$G_\delta$-modification

$G_\delta$-modification

位相空間の位相を細かくする操作のひとつである。

定義

位相空間 $X$ について、$X$ の $G_\delta$-modification $X_\delta$ とは、$X$ と同じ台集合の上に以下のように位相を定めた位相空間のことである：$X$ の $G_\delta$-集合を開基とする。

注意

$G_\delta$-modificationした空間の開集合がもとの空間の $G_\delta$-集合であるとは限らない。

実際、$\mathbb{R}$ の $G_\delta$-modification は離散空間である(すなわちmodificationしたとき任意の集合が開集合となる)が、$\mathbb{R}$ の部分集合であって $G_\delta$-集合でないものは存在する。

性質

• 第一可算空間の $G_\delta$-modificationは離散空間である。