$G_\delta$-集合

位相空間 $X$ の部分集合 $A$ が $G_\delta$-集合であるとは、可算個の開集合 $U_1,\ldots,U_n,\ldots$ が存在して $A=\bigcap_{i\in\mathbb{N}}U_i$ が成り立つことをいう。

性質

$G_\delta$-集合の可算個の共通集合は$G_\delta$-集合である。
位相空間 $X$ について、$X$ のpseudo-characterが $\aleph_1$ 以上ならば、一点集合であって $G_\delta$-集合でないものが存在する。
Hausdorffかつ第一可算な位相空間 $X$ について、任意の一点集合は $G_\delta$-集合である。
Baire空間のBorel階層に於いて $\mathbf{\Pi}^0_2$ である。

(Hausdorff)正規空間 $X$ について、非交な閉集合 $A$, $B$ について、$G_\delta$ な閉集合 $A\subset F$, $B\subset G$ であって $F\cap G=\emptyset$ なるものが存在する。