正規/全体正規空間は正規空間

以下では、全体正規空間が正規空間であることを示す。位相空間 $X$ の互いに素な閉集合 $A$, $B$ をとる。このとき、$\{X-A, X-B\}$ は開被覆となるため、これは正規である。このとき、この開被覆を $\Delta$-細分する開被覆 $\mathcal{V}$ をとると、$\mathcal{V}(A) = \{y \in U \in \mathcal{V}| U \cap A \neq \emptyset\}$, $\mathcal{V}(B) = \{y \in U \in \mathcal{V}| U \cap B \neq \emptyset\}$ は $A$, $B$ の交わらない近傍となる。

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逆に、正規空間 $X$ について、 $X$ の有限個の開集合による開被覆がすべて正規であることも知られている。

実際、開被覆 $\{U_1, \ldots, U_n\}$ が与えられたとき、$V_i \subset U_i$ なるコゼロ集合 $V_i$ であって $\{V_1, \ldots, V_n\}$ が開被覆となるようなものがとれ、これは正規となるため。