正規
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$\Delta$-細分
- 位相空間 $X$ と $X$ の開被覆 $\mathcal{U} = \{U_i\}_{i \in \Lambda}$ と $x \in X$ について、$\mathcal{U}(x)$ とは、集合 $\{y \in U| x \in U \in \mathcal{U}\}$ のことを指す。
- 位相空間 $X$ の開被覆 $\mathcal{U} = \{U_i\}_{i \in \Lambda}$ と $\mathcal{V} = \{V_j\}_{j \in \Lambda'}$ について、$\mathcal{V}$ が $\mathcal{U}$ の $\Delta$-細分であるとは、任意の $x \in X$ について $\mathcal{V}(x) \subset U \in \mathcal{U}$ なる $U$ が存在することをいう。
正規
位相空間 $X$ の開被覆 $\mathcal{U} = \{U_i\}_{i \in \Lambda}$ が正規であるとは、開被覆の列 $\mathcal{U}_0 = \mathcal{U}, \mathcal{U}_1, \mathcal{U}_2, \ldots $ について、$\mathcal{U}_{i+1}$ が $\mathcal{U}_i$ の $\Delta$-細分となるようなものがとれることをいう。
全体正規空間
位相空間 $X$ が全体正規であるとは、任意の開被覆が正規であることをいう。
- 全体正規空間は正規空間である。
- 距離空間は全体正規空間である。
- 全体正規空間であることとパラコンパクトハウスドルフ空間であることは同値である。
