有限体
$\newcommand{\N}{\mathbb{N}}$ $\newcommand{\Z}{\mathbb{Z}}$ $\newcommand{\Q}{\mathbb{Q}}$ $\newcommand{\R}{\mathbb{R}}$ $\newcommand{\C}{\mathbb{C}}$ $\newcommand{\K}{\mathbb{K}}$ $\newcommand{\L}{\mathbb{L}}$ $\newcommand{\F}{\mathbb{F}}$ $\newcommand{\LCM}{\mathrm{LCM}}$ $\newcommand{\abs}[1]{\left\lvert#1\right\rvert}$ $\newcommand{\wenvert}[1]{\left\lvert\left\lvert#1\right\rvert\right\rvert}$ $\newcommand{\floor}[1]{\left\lfloor#1\right\rfloor}$ $\newcommand{\mathmod}[1]{\ \left(\mathrm{mod}\ #1\right)}$ $\newcommand{\relmid}[1]{\mathrel{}\middle|\mathrel{}}$
有限個の要素からなる体を有限体 (Finite field) という。
たとえば、$\F_p=\Z/p\Z$ とおくと、合同式:定理1.7より $\F_p$ は $p$ 個の要素からなる有限体であることがわかる。 一方、$n$ が合成数のとき $\Z/n\Z$ は体ではない。実際、$n=md, 1<m, d<n$ と分解すると、 $md\equiv 0\mathmod{n}$ であるから、$m\mathmod{n}, d\mathmod{n}$ は $\Z/n\Z$ における 零因子となり、$\Z/n\Z$ は整域でもないことがわかる。
定理の証明その他詳しくは、以下の項目を参照。
有限体の標数
有限体は環であるから、自然に $\Z$-加群となる。つまり $F$ が有限体のとき、$a\in F$ と、$k\in\Z$ に対して $$0a=0, 1a=a, (k+1)a=ka+a, (-k)a=-(ka)$$ つまり $$ka=\overbrace{a+a+\cdots +a}^{k}$$ により、$F$ は $\Z$-加群となる。
$F$ を有限体とすると、ある素数 $p$ が一意に定まって、 $a$ が $0$ 以外の $F$ の要素であるとき、 $$ka=0\Longleftrightarrow p\mid k$$ となる。このような $p$ を $F$ の標数 (characteristic)という。
より一般に、一般に、環 $R$ の乗法単位元 $1_R$ について、$n\times 1_R=0$ となる最小の正の整数 $n$ が存在するとき、 $n$ を $R$ の標数といい、そのような正の整数 $n$ が存在しないとき、$R$ の標数を $0$ と定める。 $R$ が整域ならば、$R$ の標数は $0$ かまたは素数である。
$F$ が標数 $p$ の有限体ならば、$F$ の要素の個数は $p$ の冪である。実際、$F$ の要素 $a_1, a_2, \ldots, a_m$ をうまくとれば、$F$ のすべての要素は $$k_1 a_1+k_2 a_2+\cdots +k_m a_m, 0\leq k_1, k_2, \ldots, k_m\leq p-1$$ と一意に表すことができる。この場合、$F$ は $p^m$ 個の要素からなる。 このとき $k\equiv \ell\mathmod{p}$ ならば、$ka=\ell a$ であるから、 $k\mathmod{p}\in \F_p$ について、$(k\mathmod{p})a=ka$ と定めると、 $F$ のすべての要素は $$k_1 a_1+k_2 a_2+\cdots +k_m a_m, k_1, k_2, \ldots, k_m\in\F_p$$ と一意に表すことができ、 $F$ は $\F_p$ 上の $m$ 次元ベクトル空間とみなすことができる。
有限体の構造
一方、任意の $e\geq 1$ について、$p^e$ 個の要素からなる有限体が存在する。これはつぎのように構成される。 $\Phi_d(X)$ を $1$ の $d$ 乗根に関する円分多項式とする。 素数 $p$ と、正の整数 $e\geq 1$ をとる。 $\Phi_{p^e-1}(T)$ の $\F_p[T]$ における既約因子をひとつとり、それを $f(T)$ とおく。 多項式環:多項式の除法の原理 にあるように、$\F_p[T]$ はユークリッド整域だから 「環論の基礎4：UFD・PID」の命題4.16よりPIDなので、 「環論の基礎4：UFD・PID」の命題4.13より$(f)$ は素イデアルである。 「環論の基礎4：UFD・PID」の命題4.14よりPIDにおいて素イデアルは極大イデアルとなるから $(f)$ は極大イデアルである。よって $\F_p[T]/(f(T))$ は体となる。 この体は $p^e$ 個の要素からなる。実際、つぎのことがわかる。
定理 1
- $\F_p[T]/(f)=\{0, 1, T, \ldots, T^{p^e-2}\}.$
- $\F_p[T]/(f)$ において、方程式 $X^{p^e}-X=0$ の解は正確に $0, 1, T, \ldots, T^{p^e-2}$ となる。つまり
$$X^{p^e}-X=X(X-1)(X-T)\cdots (X-T^{p^e-2})$$ と分解される。
さらに、$p^e$ 個の要素からなる体は、同型を除いて一意的に定まる。
定理 2
$p^e$ 個の要素からなる体は、$\F_p[T]/(f(T))$ に同型である。
それで、この $p^e$ 個の要素からなる有限体を $\F_{p^e}$ であらわす。
例 3
$4$ 個の要素からなる有限体は $$\F_4=\F_2[T]/(T^2+T+1)=\{0, 1, T, T^2\}=\{0, 1, T, T+1\}$$ により定まる。実際、この体における演算は $$T^2=T+1, T(T+1)=(T+1)T=1, (T+1)^2=T$$ により定まる（$\Z/4\Z$ や $(\Z/2\Z)\oplus(\Z/2\Z)$ は $4$ 個の要素からなる環ではあるが体ではない。$\F_4$ の演算は、これらの環の演算とは異なることに注意）。
参考文献
Rudolf Lidl and Harald Niederreiter, Finite fields, Encyclopedia of Mathamatics and its applications, 2nd edition, Cambridge University Press, 1997, reprinted 2000.
