多様体

多様体

多様体とは標語的に言えば「局所的にEuclid空間とみなせる位相空間」であり幾何においてよく扱われる対象である。その中でも位相多様体は最も基本となる対象であり、位相多様体にその他構造を付加することで可微分多様体、PL多様体、複素多様体などが定義される。

定義

境界を持たない位相多様体の定義

$M$ をHausdorff空間、 $\{ U_{i} \}_{i \in I}$ を $M$ の開被覆、$\{ V_{i} \}_{i \in I}$ をEuclid空間 ${\mathbb{R}}^n$ の開集合の族, $\{ {\phi}_{i} : U_{i} \to V_{i} \}_{i \in I}$ を同相写像の族とする。この時 $(M,\{{\phi}_{i}\}_{i\in I})$ 、または単に $M$ を(境界を持たない)$n$次元位相多様体であると言い、各 ${\phi}_{i}$ をchartまたは局所座標、 $\{{\phi}_{i}\}_{i\in I}$ をatlasと呼ぶ。これは単に $M$ の各点に対しEuclid空間の開集合と同相な近傍が取れるHausdorffな位相空間とも言うことができる。

具体例

• より一般に$n$次元球面 $\displaystyle S^n:=\{(x_1,x_2\cdots x_{n+1})\in \mathbb{R}^{n+1} \mid \sum_{i=1}^{i=n+1}x_{i}^2=1 \}$ は$n$次元多様体となる。
• $\omega_1$を最小の非可算順序数とし、$[0,1)\times \omega_{1}$に辞書式順序により順序位相を入れたものを長い(閉半)直線と呼ぶ。これは直感的には区間[0,1)を非可算個端点で貼り合わせたものでパラコンパクトでない1次元位相多様体となる。
• $H:=\{(x,y)\in \mathbb{R}^2 \mid y>0\}$ と $X_a:=\mathbb{R}^2\times\{a\}$ ($a\in \mathbb{R}$) を考え、これらの非交和 $\displaystyle H \sqcup (\bigsqcup_{a\in \mathbb{R}} X_a)$上の「$y>0$のとき$((x,y),a) (\in X_a) \sim (a+yx,y) (\in H)$」

によって生成される同値関係で割った空間をPrüfer曲面と呼びパラコンパクトでない2次元多様体となる。