可換モノイド論/表示
\(\newcommand{\ker}{\mathrm{ker}} \newcommand{\im}{\mathrm{im}} \newcommand{\nat}{\mathbb{N}} \) この記事においてはモノイドの表示について導入する。
表示
定義 1 (有限生成モノイド)
モノイド $M$ について、$M$ が有限生成であるとは、$M$ の有限部分集合 $G$ であって $M$ を生成するものが存在することをいう。
定義 2 (表示)
モノイド $M$ について、$M$ の表示とは、以下のコイコライザ図式 $$ \xymatrix{ L_1 \ar@<0.4ex>[r] \ar@<-0.4ex>[r] & L_0 \ar[r] & M } $$ であって、$L_1$, $L_0$ がともに自由モノイドであるようなものを指す。$L_1$, $L_0$ がともに有限生成なるものを $M$ の有限表示という。
コイコライザ
定理 3 (コイコライザ)
モノイド射図式 $$ \xymatrix{ M \ar@<0.4ex>[r]^g \ar@<-0.4ex>[r]_h & N \ar[r] } $$ について $g$ と $h$ のモノイドの圏におけるコイコライザは存在し、$m \in M$ について $(g(m),h(m))$ と表される $N\times N$ の元により生成される合同関係を $R$ とおいたとき $N/R$ と同型である。
証明
自然な射影 $\pi\colon N\to N/R$ が $g$ と $h$ のコイコライザとなることを示す。ここで $m \in M$ について $\pi(g(m))=\pi(h(m))$ であるため、$\pi\circ g = \pi \circ h$ が成り立つ。$k\circ g = k\circ h$ が成り立つモノイドの射 $k\colon N\to X$ について、$k$ の核は $(g(m),h(m))$ と表される元を含むため、$k$ は $\pi$ を経由する。また明らかにこの射分解は一意的である。よって $\pi$ はコイコライザである。□
表示の存在
定理 4 (表示の存在)
モノイド $M$ について、$M$ には表示が存在する。
証明
$M$ の生成系 $X$ について、$X$ を基底に持つ自由モノイドを $L_0$ とおくと、基底 $x \in X$ を $x \in M$ に送るモノイドの射 $\pi\colon L_0 \to M$ は全射である。このとき、$L\times_M L=\{(x,y) \in L\times L|\pi(x)=\pi(y)\}$ は $L\times L$ の部分モノイドであり、また $L\times_M L$ から $L$ への射であって第 $i$ 成分を充てるものを $\mathrm{pr}_i$ とおくと、$\pi\circ \mathrm{pr}_1=\pi\circ \mathrm{pr}_2$ が成り立つ。
ここで、任意の $\pi(x)=\pi(y)$ を充たす $x,y \in M$ について $(x,y)=(\mathrm{pr}_1((x,y)),\mathrm{pr}_2((x,y)))$ が成り立つため、$\pi$ は $\mathrm{pr}_1$ と $\mathrm{pr}_2$ のコイコライザである。ここで、自由モノイド $F$ と $f\colon F\to L\times_M L$ を任意に取ると(これは先ほどと同様の議論により存在が示される)、$f$ はエピであるため、$\pi$ は $\mathrm{pr}_1\circ f$ と $\mathrm{pr}_2\circ f$ のコイコライザである。よってこれは $M$ の表示となる。□information
情報源
- P. A. Grillet. "Commutative Semigroups". Springer, Netherlands (2001).
