冪乗因数をもたない整数
$\newcommand{\N}{\mathbb{N}}$ $\newcommand{\Z}{\mathbb{Z}}$ $\newcommand{\Q}{\mathbb{Q}}$ $\newcommand{\R}{\mathbb{R}}$ $\newcommand{\C}{\mathbb{C}}$ $\newcommand{\LCM}{\mathrm{LCM}}$ $\newcommand{\abs}[1]{\left\lvert#1\right\rvert}$ $\newcommand{\wenvert}[1]{\left\lvert\left\lvert#1\right\rvert\right\rvert}$ $\newcommand{\floor}[1]{\left\lfloor#1\right\rfloor}$ $\newcommand{\mathmod}[1]{\ \left(\mathrm{mod}\ #1\right)}$
$d, k, N$ を正の整数とする。$d^k\mid N$ となる $d^k$ を $N$ の $k$ 乗因数 ($k$-th power factor) という。$k=2$ のときは平方因数 (square factor) ともいう。
$1$ 以外の $k$ 乗因数をもたない整数を単に $k$ 乗因数をもたない、あるいは無 $k$ 乗 ($k$-th power free) という。
基本的性質
定理 1
任意の正の整数 $N$ に対して $$N=m^k s$$ となる正の整数 $m$ と、$k$乗因数をもたない正の整数 $s$ の組が一意的に定まる。
Proof.
$$N=p_1^{e_1}p_2^{e_2}\cdots p_r^{e_r}$$ と素因数分解し、各 $i$ について $$e_i=kf_i+g_i, 0\leq g_i<k \ \ (1)$$ となる $f_i, g_i$ をとり、 $$m=p_1^{f_1}p_2^{f_2}\cdots p_r^{f_r}, s=p_1^{g_1}p_2^{g_2}\cdots p_r^{g_r}$$ とおくと $s$ は $k$ 乗因数をもたず $N=m^k s$ となる。
逆に、$N=m^k s$ かつ $s$ は $k$ 乗因数をもたないとし、 $$m=p_1^{f_1}p_2^{f_2}\cdots p_r^{f_r}, s=p_1^{g_1}p_2^{g_2}\cdots p_r^{g_r}$$ と素因数分解すると、各 $i$ について $0\leq g_i<k$ となるから $(1)$ が成り立つ。
除法の原理から $(1)$ が成り立つ $f_i, r_i$ の組は一意的に定まるから、 定理が示される。
□次のように、 $k$ 乗因数をもたない整数を特徴づけることができる。
定理 2
$$\sum_{d^k\mid N}\mu(d)$$ は $N$ が $k$ 乗因数をもたないとき $1$、$k$ 乗因数をもつとき $0$ となる。
Proof.
定理 1のように $$N=m^k s$$ と分解し、 $$N=p_1^{e_1}p_2^{e_2}\cdots p_r^{e_r}, m=p_1^{f_1}p_2^{f_2}\cdots p_r^{f_r}$$ と素因数分解する。 まず $$d^k\mid n\Longleftrightarrow d\mid m$$ を示す。
$d^k\mid n$ あるいは $d\mid m$ の場合、 $d$ の素因数は $p_1, p_2, \ldots, p_r$ のいずれかでなければならないから $$d=p_1^{h_1}p_2^{h_2}\cdots p_r^{h_r}$$ と素因数分解される。このとき $$d^k\mid n\Longleftrightarrow \forall i[e_i\geq kh_i]$$ となるが、 $$e_i=kf_i+g_i, 0\leq g_i<k$$ となることから、各 $i$ について $$kf_i+g_i=e_i\geq kh_i\Longleftrightarrow f_i\geq h_i$$ となるので $$d^k\mid n\Longleftrightarrow \forall i[f_i\geq h_i]\Longleftrightarrow d\mid m$$ となる。
よって、数論的関数:定理5.1より、 $$\sum_{d^k\mid n}\mu(d)=\sum_{d\mid m}\mu(d)=\left\{\begin{array}{cl} 1 & (m=1)\\ 0 & (m>1)\end{array}\right.$$ となるので、定理が従う。
□$Q_k(x)$ を $x$ 以下の、$k$ 乗因数をもたない整数の個数とすると、 $Q_k(x)$ は次のように近似できる。
定理 3
$$Q_k(x)=\frac{x}{\zeta(k)}+O(x^{1/k})$$ が成り立つ。
Proof.
$$S(x)=\mathbb{Z}\cap [0, x], S_d(x)=\{n: 0\leq n\leq x, d\mid n\}$$ とおくと、$d$ が平方因数をもたないとき $$S_{d^k}(x)=\bigcap_{p\mid d}S_{p^k}(x)$$ となるから、包含と除去の原理より $$Q_k(x)=\sum_{d\leq x}\mu(d) \#S_{d^k}(x)=\sum_{d\leq x^{1/k}}\mu(d)\floor{\frac{x}{d^k}}$$ となる。 あるいは定理 2より $$Q_k(x)=\sum_{n\leq x}\sum_{d^k\mid n}\mu(d)=\sum_{d\leq x}\mu(d)\sum_{n: d^k\mid n}1=\sum_{d\leq x^{1/k}}\mu(d)\floor{\frac{x}{d^k}}$$ となる。
よって $$\begin{split} Q_k(x)= & \sum_{d\leq x^{1/k}}\mu(d)\left(\frac{x}{d^k}-\left\{\frac{x}{d^k}\right\}\right) \\ = & x\sum_{d\leq x^{1/k}}\frac{\mu(d)}{d^k}-\sum_{d\leq x^{1/k}}\left\{\frac{x}{d^k}\right\} \\ = & x\sum_{d\leq x^{1/k}}\frac{\mu(d)}{d^k}+O(x^{1/k}) \\ = & x\sum_{d=1}^\infty\frac{\mu(d)}{d^k}+O\left(x\sum_{d\geq x^{1/k}}\frac{1}{d^k}\right)+O(x^{1/k}) \end{split}$$ が成り立つ。
$$\sum_{d\geq x^{1/k}}\frac{1}{d^k}<\frac{1}{x}+\int_{x^{1/k}}^\infty\frac{dt}{t^k}=O(x^{-(k-1)/k})$$ となる。さらに数論的関数の接合積の例4でみたように、 $$\sum_{n=1}^\infty\frac{\mu(n)}{n^k}=\frac{1}{\zeta(k)}$$ であるから、 $$Q_k(x)=\frac{x}{\zeta(k)}+O(x^{1/k})$$ が成り立つ。
□これは、$k$乗因数をもたない整数の密度が $1/\zeta(k)$ で与えられることを示している。また、 $$Q_k(x+cx^{1/k})-Q_k(x)>0\ (x\geq 1)$$ となる定数 $c$ が存在することがすぐにわかる。
平方因数をもたない整数の分布
$x$ 以下の、平方因数をもたない整数の個数 $Q_2(x)$ については、定理 3より $$Q_2(x)=\frac{x}{\zeta(2)}+O(x^{1/2})$$ となることがすぐにわかる。 Vinogradovの方法により導かれる、Riemannの$\zeta$関数の零点のない領域（Titchmarsh $[8]$ の Chapter 6, Ivíc $[5]$ の Chapter 6 など、明示的な結果はたとえばFord $[2]$ を参照）から $$Q_2(x)=\frac{x}{\zeta(2)}+O(x^{1/2} \exp(-c\log^{3/5} x/(\log\log x)^{1/5})$$ となる定数 $c>0$ が存在することがわかる。Riemann予想からは、任意の $\epsilon>0$ に対して $$Q_2(x)=\frac{x}{\zeta(2)}+O(x^{17/54+\epsilon})$$ となることがわかる（Jia $[4]$ および Sinha $[7]$）。
他方、定理 3より $$Q_2(x+c\sqrt{x})-Q_2(x)>0\ (x\geq 1)$$ となる定数 $c>0$ が存在することがすぐにわかる。Roth $[6]$ はより強く、次の結果が成り立つことを比較的単純な議論で示した。
定理 4
$1<c<x^{1/6}$ ならば $$Q_2(x+cx^{1/3})-Q_2(x)=\frac{cx^{1/3}}{\zeta(2)}+O^*(2x^{1/3}+2c+1)$$ が成り立つ。ここで $O^*(f(x))$ は絶対値が $f(x)$ を超えない量をあらわす。
Proof.
まず $$\begin{split} Q_2(x+cx^{1/3})-Q_2(x)= & \sum_{x<m^2 d\leq x+cx^{1/3}}\mu(d) \\ = & \sum_{d\leq x^{1/3}} \mu(d)\left(\floor{\frac{x+cx^{1/3}}{d^2}}-\floor{\frac{x}{d^2}}\right)+\sum_{d>x^{1/3}, x<d^2 m\leq x+cx^{1/3}}\mu(d) \end{split}$$ が成り立つ。ここで $$S=\{(d, m): d>x^{1/3}, x<d^2 m\leq x+cx^{1/3}\}$$ とおくと $$\abs{\sum_{d>x^{1/3}, x<d^2 m\leq x+cx^{1/3}}\mu(d)}\leq \# S$$ となる。 $(d, m)\in S$ ならば $$(d+1)^2 m>d^2 m+2dm>x+\sqrt{d^2 m}>x+\sqrt{x}>x+cx^{1/3}$$ より $(d+1, m)\not\in S$ となる。よって各 $m$ に対して $(d, m)\in S$ となる $d$ はあっても$1$つしかない。 また、$m\leq (x+cx^{1/3})/d^2<x^{1/3}+c/x^{1/3}<x^{1/3}+1$ だから $$\abs{\sum_{d>x^{1/3}, x<d^2 m\leq x+cx^{1/3}}\mu(d)}\leq \# S\leq x^{1/3}+1$$ となるので $$Q_2(x+cx^{1/3})-Q_2(x)=\sum_{d\leq x^{1/3}} \mu(d)\left(\floor{\frac{x+cx^{1/3}}{d^2}}-\floor{\frac{x}{d^2}}\right)+O^*(x^{1/3}+1)$$ が成り立つことがわかる。 左側の和については、 $$\abs{\sum_{d>x^{1/3}} \frac{\mu(d)}{d^2}}<\frac{1}{x^{1/3}}+\int_{x^{1/3}}^\infty\frac{dt}{t^2}=\frac{2}{x^{1/3}}$$ となるので、 $$\begin{split} \sum_{d\leq x^{1/3}} \mu(d)\left(\floor{\frac{x+cx^{1/3}}{d^2}}-\floor{\frac{x}{d^2}}\right)= & cx^{1/3} \sum_{d\leq x^{1/3}} \frac{\mu(d)}{d^2}+O^*(x^{1/3}) \\ = & \frac{cx^{1/3}}{\zeta(2)}+O^*(x^{1/3}+2c) \end{split}$$ となる。よって $$Q_2(x+cx^{1/3})-Q_2(x)=\frac{cx^{1/3}}{\zeta(2)}+O^*(2x^{1/3}+2c+1)$$ であることがわかる。
□$1<c<x^{1/6}$ ならば $$Q_2(x+cx^{1/3})-Q_2(x)>\left(\frac{c}{\zeta(2)}-2\right)x^{1/3}-(2c+1)$$ となるので、$c>2\zeta(2)$ かつ $x>((2c+1)/(c/\zeta(2)-2))^3$ ならば $x$ と $x+cx^{1/3}$ の間には、必ず平方因数をもたない整数が存在することがわかる。
平方因数をもたない整数を $1=q_1<q_2<q_3<\cdots$ とおく。 定理 3より $$q_n=\zeta(2)n+O(n^{1/2})$$ および $$q_{n+1}-q_n=O(q_n^{1/2})=O(n^{1/2})$$ となることがわかる。 定理 4より $$q_{n+1}-q_n=O(q_n^{1/3})=O(n^{1/3})$$ となることがわかる。 上記論文 $[6]$ で、Rothは任意の $\epsilon>0$ に対して $$q_{n+1}-q_n=O(n^{1/4+\epsilon})$$ となることを初等的な方法で示し、さらに指数和に関する van der Corput の定理を用いて $$q_{n+1}-q_n=O(n^{3/13} \log^{4/13} n)$$ となることを示した。その後、FilasetaとTrifonov $[1]$ が初等的な方法で $$q_{n+1}-q_n=O(n^{1/5} \log n)$$ を示した。 また、Granville $[3]$ はabc予想を仮定すれば、任意の $\epsilon>0$ に対して $$q_{n+1}-q_n=O(n^\epsilon)$$ が成り立つことを示した。
参考文献
Hardy and E. M. Wright, An Introduction to the Theory of Numbers, 6th Ed. revised by D. R. Heath-Brown and J. H. Silverman, Oxford University Press, 2008, Chapter 18.
D. P. Parent, Exercices des théorie des nombres, BORDAS, 1978, English translation: Exercises in Number Theory, Springer-Verlag, 1984, 日本語訳「数論問題ゼミ (1)」（訳：村田玲音）、シュプリンガー・フェアラーク東京、1987, Exercise 1.11 も参照。
他の参考文献は以下の通り。
- Michael Filaseta and Ognian Trifonov, On gaps between squarefree numbers II, J. London Math. Soc. (2) 45 (1992), 215--221, doi:10.1112/jlms/s2-45.2.215.
- Kevin Ford, Vinogradov's integral and bounds for the Riemann zeta function, Proc. London Math. Soc. 85 (2002), 565--633, doi:10.1112/S0024611502013655, preprint available from arXiv:1910.08209.
- Andrew Granville, $ABC$ allows us to count squarefrees, Int. Math. Res. Notes 1998, 991--1009, doi:10.1155/S1073792898000592, available from the author's site.
- Chao Hua Jia, The distribution of square-free numbers, Sci. China Ser. A 36 (1993), 154--169, Journal's website,doi:10.1360/ya1993-36-2-154 (not available).
- Aleksander Ivíc, The Riemann-Zeta Function: Theory and Applications, Dover, 1985.
- K. F. Roth, On gaps between squarefree numbers, J. London Math. Soc. 26 (1951), 263--268, doi:jlms/s1-26.4.263.
- Kaneenika Sinha, Average orders of certain arithmetical functions, J. Ramanujan Math. Soc. 21 (2006), 267--277, availabel from the author's site
- E. C. Titchmarsh, The Theory of the Riemann Zeta-function, 1951, 2nd ed. revised by D. R. Heath-Brown, Oxford science publication, 1986.
