体上有限生成環

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体 $\K$ 上有限個の要素で生成される環、すなわち $v_1, v_2, \ldots, v_n$ を用いて $\K[v_1, v_2, \ldots, v_n]$ とあらわされる環を $\K$ 上有限生成な環という。 $R=\K[v_1, v_2, \ldots, v_n]$ が $\K$ 上有限生成であるとき、多項式環 $\K[X_1, X_2, \ldots, X_n]$ から $R$ への準同型が $\varphi(X_i)=v_i\ (i=1, 2, \ldots, n)$ により自然に定まる。このとき、 $$R=\K[X_1, X_2, \ldots, X_n]/\Ker\ \varphi$$ とあらわされる。すなわち、体上有限生成環は多項式環の剰余環として得られる。体上有限生成環の理論はアフィン代数多様体の理論において重要である。

基本的な事実

もちろん、上記の事実と逆に、多項式環の剰余環 $\K[X_1, X_2, \ldots, X_n]/I$ は $X_i\mathmod{I}$ により生成されるから、 $\K$ 上有限生成環となる。一方、関数体は環としては有限生成でない。

定理 1

関数体 $\K(t_1, \ldots, t_n)$ は体としては$\K$ 上有限生成だが、$\K$ 上の環としては有限生成ではない。

Proof.

有理関数体#thm11:有理関数体の記事を参照。

□

さらに、次のように、環として有限生成な体の拡大は代数拡大しかないことがわかる。この事実はHilbertの零点定理の証明にも用いられる（Fulton, 1.7節から1.10節を参照）。

定理 2

体 $\L$ が体 $\K$ の拡大体、かつ $\K$ 上環として有限生成であるとき、 $\L$ は $\K$ の有限次拡大体である。すなわち $\L$ は $\K$ 上加群として有限生成である。

とくに、$\K$ が代数閉体ならば、$\L=\K$ となるから、$\K$ 上環として有限生成である体は $\K$ 自身しかない。

Proof.

$\L=\K[v_1, v_2, \ldots, v_n]$ とおく。$n$ に関する帰納法で証明する。

$1.$ まず、$n=1$ のとき、$\varphi(X)=v_1$ となる準同型 $\varphi\colon \K[X] \to \L$ をとる。

多項式環:既約多項式にあるように $\K[X]$ はPIDだから、$\Ker\ \varphi=(f)$ となる $f\in \K[X]$ が存在する。 $f=0$ のとき、$\K[v_1]$ は $\K[X]$ と同型なので、$\L=\K(v_1)$ は $\K(X)$ と同型であるが、これは定理 1より環として有限生成でないので仮定に反する。 よって、$f\neq 0$ となる。$\K[X]/(f)$ は $\L=\K[v_1]$ と同型だが、これは整域なので、$(f)$ は素イデアルとなる。よって $f$ は既約であるが、 $\K[X]$ はPIDなので、「環論の基礎4：UFD・PID」の命題4.14より、$(f)$ は極大イデアルとなる。 よって、$\K[v_1]$ は体だから、$\L=\K(v_1)=\K[v_1]$ は $\K[X]/(f)$ と同型である。これは、$\L=\K(v_1)$ が $\K$ の有限次拡大体であること、つまり $\K$ 上加群として有限生成であることを示している。

$2.$ $n\leq m-1$ について正しいとし、$n=m$ のとき証明する。

$\K_1=\K(v_m)$ とおく。数学的帰納法から、$\L=\K_1[v_1, \ldots, v_{m-1}]$ は $\K_1$ の有限次拡大体である。$v_m$ が $\K$ 上代数的ならば、$\K_1$ は $\K$ の有限次拡大体だから、体の拡大に関する推移律より $\L$ も $\K$ の有限次拡大体である。

そこで、$v_m$ が $\K$ 上代数的ではないとする。数学的帰納法から、$\L=\K_1[v_1, \ldots, v_{m-1}]$ は $\K_1$ の有限次拡大体であり、$v_m\in \K_1$ だから、各 $v_i$ は $\K_1$ 上代数的である。 $$g_i(X)=X^{d_i}+a_{i, 1}X^{d_i-1}+\cdots +a_{i, d_i}$$ を $v_i$ の $\K_1$ 上の最小多項式とする。すべての係数 $a_{i, j}\ (1\leq i\leq m, 0\leq j\leq d_i-1)$ の分母の最小公倍数を $A$ とおくと、 $$(Av_i)^{d_i}+Aa_{i, 1}(Av_i)^{d_i-1}+\cdots +A^{d_i} a_{i, d_i}=A^{d_i}g_i(v_i)=0$$ となるが、$A$ のとり方から、$a_{i, j}\in \K[v_m]$ となるから、各 $Av_i$ は $\K[v_m]$ 上整である。 よって、任意の $z\in \K[v_1, \ldots, v_m]$ について、$A^N z$ が $\K[v_m]$ 上整となる自然数 $N$ がとれる。 とくに、 $$\K(v_m)\subset \K(v_1, \ldots, v_m)=\K[v_1, \ldots, v_m]$$ だから、任意の $z\in \K(v_m)$ について、$A^N z$ が $\K[v_m]$ 上整となる自然数 $N$ がとれる。$v_m$ は $\K$ 上代数的ではないので、 $\K[v_m]$ は多項式環 $\K[X]$ と同型、$\K(v_m)$ は有理関数体 $\K(X)$ と同型であるから、 任意の $z\in \K(X)$ について、$A^N z$ が $\K[X]$ 上整となる自然数 $N$ がとれることになるが、これは有理関数体の性質に矛盾する。

これらのことから、数学的帰納法により、定理が $\K$ の任意の有限生成環について証明できる。

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参考文献

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