リッチの恒等式と可積分条件

リッチの恒等式と可積分条件

この記事ではリーマン多様体上のテンソル場に対する恒等式であるリッチの恒等式を示し、それがある種の微分方程式に対する可積分条件として機能することを解説する。

リッチの恒等式

$(M,g)$ をリーマン多様体とする。 $g$ に関するリーマン接続を $\nabla$ とする。 このとき、リーマン曲率テンソルを $R(X,Y)Z=\nabla_X\nabla_YZ-\nabla_Y\nabla_XZ-\nabla_{[X,Y]}Z$ とする。 適当なチャートに関する成分を $R(X,Y)Z=R^a_{bcd}X^cY^dZ^b\partial_a$ と定義する。 定義より、$\nabla_a\nabla_bX^c-\nabla_b\nabla_aX^c=R^c_{dab}X^d$ である。

一般のテンソル場に対する共変微分の交換子は曲率テンソルで表され、以下の恒等式が成り立つ。 $$ \begin{aligned} (1)& \nabla_i\nabla_j f-\nabla_j\nabla_i f=0\\ (2)& \nabla_i\nabla_j u_k -\nabla_j\nabla_i u_k=-R^a_{kij}u_a\\ (3)& \nabla_i\nabla_jT^k_l-\nabla_i\nabla_jT^k_l=R^k_{aij}T^a_l-R^a_{lij}T^k_a \end{aligned} $$ より高階のテンソル場に対しても $(3)$ と同様な式が成り立つ。 証明はリッチの恒等式を参照されたい。

ある偏微分方程式に関する事実

$\mathbb{R}^{n+m}$ の領域 $D$ で定義された関数 $f^i_a(x^1,\cdots,x^n,y^1,\cdots,y^m),\ (i=1,\cdots,m,\ a=1,\cdots,n)$ に対して、偏微分方程式 $$ \frac{\partial y^i}{\partial x^a}=f^i_a(x^1,\cdots,x^n,y^1,\cdots,y^m) $$ を考える。