モノイド

モノイド

モノイド(monoid)とは、演算ができる枠組みの一つ。モノイドは代数学、幾何学を始めとして至るところに現れ、コンピュータサイエンスでの応用も盛んである。以下においては、モノイドについての一般的な性質を述べる。

モノイドは群の一般化として捉えられることが多く、実際その側面も強い。しかし、モノイドの重要な例に自然数$\mathbb{N}$とその通常の加法があったり、$\mathbb{N}$のモノイドとしての局所化として整数群$\mathbb{Z}$が得られたりと、この枠組みで議論することが適切な例も少なくない。

他の概念との関係

(編集中) モノイドの中で重要な位置を占める概念と、モノイドの一般化として捉えられる概念を挙げる。

• 重要なモノイドの例
  • 群(任意の元が可逆なモノイド)
  • binoid(吸収元を備えた可換モノイド)
  • 環の乗法モノイド(二つの二項演算を備えたよい代数系から一方を忘却したもの)
• 条件を緩めた概念
  • マグマ(二項演算を備えた集合)
  • 半群(結合的な二項演算を備えた集合)
• 圏論的な一般化
  • 圏(水平圏化)
  • モノイド対象
  • モナド(特殊なモノイド対象)
  • bicategory(モナドの水平圏化)

定義

定義1

モノイドとは、集合$M$と$M$の上で閉じた二項演算$\times$、$M$の要素$1$の三つ組$\langle M, \times, 1\rangle$で、次の公理を満たすものをいう。

• (M1) $ \forall a,b,c \in M, (a \times b) \times c = a \times (b \times c) $
• (M2) $ \forall a \in M, a \times 1 = 1 \times a = a $

ここで二項演算とは，集合$M$の任意の2元$a$、$b$に対して、ただ一つの$M$の元$a\times b$を対応させる写像のことであり、実数の掛け算とは限らないものである。 (M1)は結合律と呼ばれ、この条件を満たしていることで演算の順番によらずに計算結果が一致することが分かる。括弧の付けかえができると言っても同じことである。 (M2)は単位律と呼ばれる。

正式にはモノイドは$\langle M, \times, 1\rangle$という三つ組のことであるが、通常は$\times$や$1$を暗黙のうちに固定されたものとみなし、混乱が生じない限りは単にモノイド$M$と呼ぶことがある。ただし、集合$M$に対してモノイドとして区別されるべき二項演算を定めることができるため、固定されているという暗黙の諒解が肝要である。このような例は次を参照されたい。

また、一般に集合とその上の二項演算との組$\langle M, \times \rangle$に対して、$\times$に関する$M$の単位元は存在すれば一意である（証明）。よって$1$については省略しても混乱が生じる恐れはない。本によっては最初から組$\langle M, \times \rangle$であってよい性質を満たすものとしてモノイドを定義することがある。具体的には次の通り。

定義2

モノイドとは、集合$M$と$M$の上で閉じた二項演算$\times$の組$\langle M, \times\rangle$で、次の公理を満たすものをいう。

• (M1) $ \forall a,b,c \in M, (a \times b) \times c = a \times (b \times c) $
• (M2)' $ \exists 1 \in M \forall a \in M, a \times 1 = 1 \times a = a $

定義3

圏$\mathscr{C}$がモノイドであるとは，$\mathop{\mathrm{Ob}}(\mathscr{C})$が一元集合であることである．

定義の同値性

上述した3つの定義は一方から他方が構成でき、その対応が(真クラスの)全単射を与えるという意味で同値である。

定義1の意味のモノイドならば定義3の意味のモノイドであること

定義1のモノイド$\langle M,\times, 1\rangle$を任意にとる． このとき$M$から$\{*\}$への写像$\mathop{\mathrm{dom}}$、$\mathop{\mathrm{cod}}$を任意にとると、 $M$の任意の元$m$に対して$\mathop{\mathrm{dom}}(m)=*=\mathop{\mathrm{cod}}(m)$が成立するので一致する。 ここで六つ組$\langle \{ * \}, M, \mathop{\mathrm{dom}}, \mathop{\mathrm{cod}}, \times, 1\rangle$は定義3の意味のモノイドである。 実際、 $M$の任意の元$m$、$n$について$\mathop{\mathrm{dom}}(m)=*=\mathop{\mathrm{cod}}(n)$が成立するので合成可能であるが、 $m\times n$は定義されている。 圏であることを示すには結合律と単位律とを示す必要があるが、 射集合がモノイドの台集合$M$であり、 射の合成がモノイドの元の積であることに留意すると、 定義1の意味のモノイドであることから直ちに従う。

具体例

モナドにならない例

$\emptyset$は半群にはなるが、単位元が存在しないためモノイドにはならない。このような現象は、集合と写像の為す圏がunitary categoryではないことに起因している。

重要な性質

重要な構成

与えられたモノイドから新たなモノイドを構成する方法について述べる。

より詳しい情報

binoid

binoidは吸収元を持つ可換モノイドのことである。可換環$A$に対して定まるスペクトラム$\mathop{\mathrm{Spec}}(A)$に関する基本的な議論は、binoidに対して一般化される。 詳細はbinoidを参照されたい。

群

群は任意の元が可逆なモノイドのことである。詳細は群を参照されたい。