単位元

単位元

工事中

定義

マグマ$\langle M, \cdot \rangle$の元$e_L$が性質

$ \forall a \in M, e_L \cdot a = a $

を満たすとき、$e_L$を$M$の左単位元と呼ぶ。

マグマ$\langle M, \cdot \rangle$の元$e_R$が性質

$ \forall a \in M, a \cdot e_R = a $

を満たすとき、$e_R$を$M$の右単位元と呼ぶ。

マグマ$\langle M, \cdot \rangle$の元$e$が左単位元かつ右単位元であるとき、$e$は$M$の単位元であるという。

重要な定理

定理1

マグマ$\langle M, \cdot \rangle$が左単位元$e_L$と右単位元$e_R$を持つとき、$e_L=e_R$

Proof.

$e_L$の左単位元としての性質から

$e_L \cdot e_R = e_R$

$e_R$の右単位元としての性質から

$e_L \cdot e_R = e_L$

したがって、

$e_L = e_R$

□

定理2(唯一性)

マグマ$\langle M, \cdot \rangle$は高々1個の単位元しか持たない。

Proof.

$e_1,e_2$を$M$の単位元とする。定理1より、$e_1=e_2$

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