Theta関数

Theta関数

テータ関数とは, $\nu\in \mathbb{C}, \tau \in \mathbb{C},Im\tau >0$ について, $q=e^{2\pi i\tau}, z=e^{2\pi i \nu}$として定まる次の関数をいう: $$\vartheta_{00}(\nu, \tau):=\prod_{m=1}^{\infty}\left(1-q^{m}\right)\left(1+z q^{m-1 / 2}\right)\left(1+z^{-1} q^{m-1 / 2}\right)$$ $$\vartheta_{01}(\nu, \tau):=\prod_{m=1}^{\infty}\left(1-q^{m}\right)\left(1-z q^{m-1 / 2}\right)\left(1-z^{-1} q^{m-1 / 2}\right)$$ $$\vartheta_{10}(\nu, \tau):=2 q^{\frac{1}{8}} \cos \pi \nu \prod_{m=1}^{\infty}\left(1-q^{m}\right)\left(1+z q^{m}\right)\left(1+z^{-1} q^{m}\right)$$ $$\vartheta_{11}(\nu, \tau):=-2 q^{\frac{1}{8}} \sin \pi \nu \prod_{m=1}^{\infty}\left(1-q^{m}\right)\left(1-z q^{m}\right)\left(1-z^{-1} q^{m}\right)$$

$\theta_{00}(\tau,\nu)$を用いると, 他の3つは次のように表せる:

$$ \begin{aligned} &\theta_{01}(\tau, \nu)=\theta_{00}\left(\tau, \nu+\frac{1}{2}\right) \\ &\theta_{10}(\tau, \nu)=q^{\frac{1}{8}} z^{\frac{1}{2}} \theta_{00}\left(\tau, \nu+\frac{1}{2} \tau\right) \\ &\vartheta_{11}(\tau, \nu)=iq^{\frac{1}{8}} z^{\frac{1}{2}} \vartheta_{00}\left(\tau, \nu-\frac{1}{2}+\frac{1}{2} \tau\right) \end{aligned} $$

Jacobiの三重積公式

Theta関数には, 次の恒等式が知られている:

$$\prod_{m=1}^{\infty}\left(1-q^{m}\right)\left(1+z q^{m-1 / 2}\right)\left(1+z^{-1} q^{m-1 / 2}\right)=\sum_{m=-\infty}^{\infty}z^m q^{\frac{1}{2}m^2}$$ $$\prod_{m=1}^{\infty}\left(1-q^{m}\right)\left(1-z q^{m-1 / 2}\right)\left(1-z^{-1} q^{m-1 / 2}\right)=\sum_{m=-\infty}^{\infty}(-1)^m z^m q^{\frac{1}{2}m^2}$$ $$2 q^{\frac{1}{8}} \cos \pi \nu \prod_{m=1}^{\infty}\left(1-q^{m}\right)\left(1+z q^{m}\right)\left(1+z^{-1} q^{m}\right)=\sum_{m=-\infty}^{\infty}z^{m-\frac{1}{2}} q^{\frac{1}{2}(m-\frac{1}{2})^2}$$ $$-2 q^{\frac{1}{8}} \sin \pi \nu \prod_{m=1}^{\infty}\left(1-q^{m}\right)\left(1-z q^{m}\right)\left(1-z^{-1} q^{m}\right)=\sum_{m=-\infty}^{\infty}(-1)^m z^{m-\frac{1}{2}} q^{\frac{1}{2}(m-\frac{1}{2})^2}$$

以下では, この恒等式に量子統計物理学的な証明を与える. 物理の用語としてはボソンやフェルミオン, 数学の用語としてはマヤ図形やヤング図形である.

母関数

無限個のパラメータの組 $\{\epsilon_i\}_{i=1}^\infty$ を固定する.

分配関数を次で定義する:

$$ Z(\beta):=\prod_{i=1}^\infty \sum_{n_i} e^{-\beta \epsilon_i n_i} $$

各 $i$ について, $ n_i=0,1,2,...$ とするものをボソンといい, $n_i =0,1$ とするものをフェルミオンという.

$$ Z_{\mathrm{Boson}}(\beta)=\prod_{i=1}^\infty \frac{1}{1-e^{-\beta\epsilon_i}}$$

$$ Z_{\mathrm{Fermion}}(\beta)=\prod_{i=1}^\infty (1+e^{-\beta\epsilon_i}) $$

マヤ図形

マヤ図形の分配関数は $$\circ$$ $$ Z_{\mathrm{Fermion}}(q)=\prod_{n=1}^\infty (1-zq^{n-1/2})(1-z^{-1}q^{n-1/2})$$

ヤング図形

$$ \sum_{\lambda}q^{|\lambda|}=\prod_{n=1}^\infty \frac{1}{1-q^n}$$

ヤング図形として分配関数を計算すると