Riemann-Hurwitzの定理
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$X$, $Y$ を閉リーマン面とする。
$F \colon X \to Y$ を正則写像とする。このとき、$Y$ 上には、分岐点をすべて頂点とするような三角形分割が存在する。このとき、その三角形分割における頂点・辺・面の個数をそれぞれ $v$, $e$, $f$ とおく。すると$v - e + f = 2 - 2g_Y$ が成り立つ。ここで $g_Y$ は $Y$ の種数である。
このとき、$F$ によって引き戻した $X$ 上の三角形分割についての頂点・辺・面の個数を計算する。
辺・面についてはそのまま $\mathrm{deg}(F)$ 倍すればよい。頂点の個数については、$\mathrm{deg}(F)v - \sum_{x \in X}(e_x(F) - 1)$ が成り立つ。したがって、ここから次の主張が導かれる。
- $2g_X - 2 = \mathrm{deg}(F)(2g_Y - 2) + \sum_{x \in X}(e_x(F) - 1)$.
