Niemytzki平面
提供: Mathpedia
Niemytzki平面
位相空間の例のひとつであり、上半平面上に新たに位相を定めたものである。Mooreの半平面ともいう。
定義
上半平面 $P = \mathbb{R} \times [0,\infty)$ について、$\mathbb{R}\times \{0\}$ に属する点のことを、(この記事において)境界上にあるといい、$\mathbb{R}\times (0,\infty)$ に属する点のことを、(この記事において)内部にあるということにする。
境界上にある点 $x = (r,0)$ と自然数 $i\geq 1$ について、点 $(r,\frac{1}{i})$ を $x_i$ とおいたとき、$x_i$ から距離 $\frac{1}{i}$ 未満の点もしくは $x$ であるもの全体の集合を $U(x,i)$ とおく。
内部にある点 $x$ と自然数 $i\geq 1$ について、$x$ から距離 $\frac{1}{i}$ 未満にある点全体の集合を $U(x,i)$ とおく。
このとき、$x \in P$ と $i \in \mathbb{N}$ について $U(x,i)$ 全体を開基とするような集合 $P$ 上の位相が唯一つ存在する。$P$ にこの位相を入れたものをNiemytzki平面という。
性質
- 可分であるが、遺伝的可分ではない。
実際、可分であることについては、座標が有理数の点全体をとればこれは稠密となる。しかしながら、境界にある点全体のなす部分空間は離散的であるため、遺伝的可分ではない。
- 完全正則である。
