Lucas数列:関係式
$\newcommand{\N}{\mathbb{N}}$ $\newcommand{\Z}{\mathbb{Z}}$ $\newcommand{\Q}{\mathbb{Q}}$ $\newcommand{\R}{\mathbb{R}}$ $\newcommand{\C}{\mathbb{C}}$ $\newcommand{\K}{\mathbb{K}}$ $\newcommand{\abs}[1]{\left\lvert#1\right\rvert}$ $\newcommand{\wenvert}[1]{\left\lvert\left\lvert#1\right\rvert\right\rvert}$ $\newcommand{\floor}[1]{\left\lfloor#1\right\rfloor}$ $\newcommand{\mathmod}[1]{\ \left(\mathrm{mod}\ #1\right)}$
本稿では、2次方程式 $$x^2-Px+Q=0$$ の解 $$\alpha=\frac{P+\sqrt{D}}{2}, \beta=\frac{P-\sqrt{D}}{2}$$ に対して $$u_n=\frac{\alpha^n-\beta^n}{\alpha-\beta}, v_n=\alpha^n+\beta^n (0.1)$$ により定義される、言い換えると漸化式 $$u_0=0, u_1=1, v_0=2, v_1=P (0.2)$$ および $$u_{n+2}=Pu_{n+1}-Qu_n, v_{n+2}=Pv_{n+1}-Qv_n (0.3)$$ により定まるLucas数列の関係式を証明する。
関係式
以下、とくに明記しない限り、$m, n, r\in\Z$ は任意の整数とする。
$$\begin{split} u_{-n}= & -\frac{u_n}{Q^n}, \\ v_{-n}= & \frac{v_n}{Q^n}. \end{split} \ \ (2.1)$$
Proof.
$$\begin{split} u_{-n}= & \frac{\alpha^{-n}-\beta^{-n}}{\alpha-\beta}=\frac{\beta^n-\alpha^n}{(\alpha^n\beta^n)(\alpha-\beta)} \\ = & -\frac{u_n}{Q^n}, \end{split}$$ $$\begin{split} v_{-n}= & \alpha^{-n}+\beta^{-n}=\frac{\beta^n+\alpha^n}{\alpha^n\beta^n} \\ = & \frac{v_n}{Q^n} \end{split}$$ となる。
□$(2.2)$ $P, Q$ が実数で $P>0, D=P^2-4Q>0$ のとき、 $$\begin{split} \lim_{n\rightarrow\infty} \frac{u_n}{\alpha^n}= & \frac{1}{\alpha-\beta}, \\ \lim_{n\rightarrow\infty} \frac{v_n}{\alpha^n}= & 1 \\ \end{split}$$
Proof.
$$\abs{\alpha}=\frac{P+\sqrt{D}}{2}>\frac{\abs{P-\sqrt{D}}}{2}=\abs{\beta}$$ となるので、$n\rightarrow +\infty$ のとき $(\beta/\alpha)^n\rightarrow 0$ となるから $$\frac{\alpha^n\pm\beta^n}{\alpha^n}=1\pm\left(\frac{\beta}{\alpha}\right)^n\rightarrow 1$$ なので、$(2.2)$ が成り立つ。
□$$\begin{split} \frac{v_n+u_n\sqrt{D}}{2}= & \left(\frac{v_1+u_1\sqrt{D}}{2}\right)^n, \\ \frac{v_n-u_n\sqrt{D}}{2}= & \left(\frac{v_1-u_1\sqrt{D}}{2}\right)^n. \end{split}\ \ (2.3)$$
とくに $D$ が平方数ではないとき、 $$\alpha^n=\frac{x+y\sqrt{D}}{2} \Longleftrightarrow (x, y)=(u_n, v_n)$$ が成り立つ。
Proof.
まず、 $$\begin{split} \alpha= & \frac{P+\sqrt{D}}{2}=\frac{v_1+u_1\sqrt{D}}{2}, \\ \beta= & \frac{P-\sqrt{D}}{2}=\frac{v_1-u_1\sqrt{D}}{2} \end{split}$$ は明らか。よって $u_n, v_n$ の定義より $$\begin{split} \frac{v_n+u_n\sqrt{D}}{2}= & \alpha^n=\left(\frac{v_1+u_1\sqrt{D}}{2}\right)^n, \\ \frac{v_n-u_n\sqrt{D}}{2}= & \beta^n=\left(\frac{v_1-u_1\sqrt{D}}{2}\right)^n \end{split}$$ となる。
□$$v_n^2-Du_n^2=4Q^n.\ \ (2.4)$$
Proof.
$(2.3)$ より $$\begin{split} \frac{v_n^2-Du_n^2}{4} = & \left(\frac{v_n+u_n\sqrt{D}}{2}\right)\left(\frac{v_n-u_n\sqrt{D}}{2}\right)=\left(\frac{v_1+u_1\sqrt{D}}{2}\right)^n\left(\frac{v_1-u_1\sqrt{D}}{2}\right)^n \\ = & \left(\frac{v_1^2-Du_1^2}{4}\right)^n=\left(\frac{P^2-D}{4}\right)^n=Q^n. \end{split}$$
□
$$\begin{split}
u_{m+n}= & \frac{u_m v_n+u_n v_m}{2}, \\
v_{m+n}= & \frac{v_m v_n+Du_m u_n}{2}.
\end{split}\ \ (2.5)$$
とくに $$u_{2n}=u_n v_n, v_{2n}=v_n^2-2Q^n (2.5a).$$
Proof.
$$\begin{split} \frac{v_{m+n}+u_{m+n}\sqrt{D}}{2}= & \frac{v_m+u_m\sqrt{D}}{2}\times \frac{v_n+u_n\sqrt{D}}{2} \\ = & \frac{v_m v_n+Du_m u_n+(u_m v_n+u_n v_m)\sqrt{D}}{4}. \end{split}$$
□$$\begin{split} u_{3n}= & u_n(v_n^2-Q^n)=u_n(Du_n^2+3Q^n),\\ v_{3n}= & v_n(v_n^2-3Q^n). \end{split} \ \ (2.5b)$$
Proof.
$$2v_{3n}=v_n v_{2n}+Du_n u_{2n}=v_n(v_n^2-2Q^n)+Du_n^2 v_n=v_n(v_n^2+Du_n^2-2Q^n)$$ となるが $(2.4)$ より $$v_n^2+Du_n^2=2v_n^2-(v_n^2-Du_n^2)=2v_n^2-4Q^n$$ となるので $$v_{3n}=v_n(v_n^2-2Q^n-Q^n)=v_n(v_n^2-3Q^n).$$
また、 $$2u_{3n}=u_n v_{2n}+u_{2n}v_n=u_n(v_n^2-2Q^n)+u_n v_n^2=2u_n(v_n^2-Q^n)$$ より $$u_{3n}=u_n(v_n^2-Q^n)$$ となる。さらに $(2.4)$ より $$u_{3n}=u_n(Du_n^2+3Q^n)$$ となる。
$$\begin{split} U_{3n}= & \frac{\alpha^{3n}-\beta^{3n}}{\alpha-\beta} \\ = & \frac{\alpha^n-\beta^n}{\alpha-\beta}\cdot (\alpha^{2n}+\alpha^n\beta^n+\beta^{2n}) \\ = & u_n((\alpha^n+\beta^n)^2-(\alpha\beta)^n)=u_n(v_n^2-Q^n)\\ = & u_n((\alpha^n-\beta^n)^2+3(\alpha\beta)^n)=u_n(Du_n^2+3Q^n) \end{split}$$ および $$\begin{split} v_{3n}= & \alpha^{3n}+\beta^{3n} \\ = & (\alpha^n+\beta^n)^3-3(\alpha\beta)^n(\alpha^n+\beta^n) \\ = & v_n(v_n^2-3Q^n). \end{split}$$ により確かめることもできる。
□また、$u_{-n}=-u_n/Q^n, v_{-n}=v_n/Q^n$ だから $$\begin{split} u_{m-n}= & \frac{u_m v_n-u_n v_m}{2Q^n}, \\ v_{m-n}= & \frac{v_m v_n-Du_m u_n}{2Q^n}. \end{split} \ \ (2.5c)$$
$$\begin{split} u_{rn}= & \frac{(u_r+v_r\sqrt{D})^n-(u_r-v_r\sqrt{D})^n}{2\sqrt{D}}, \\ v_{rn}= & (u_r+v_r\sqrt{D})^n+(u_r-v_r\sqrt{D})^n. \end{split} \ \ (2.6a)$$
Proof.
$$\alpha_r=(u_1+v_1\sqrt{D})^r=(u_r+v_r\sqrt{D}), \beta_r=(u_1-v_1\sqrt{D})^r=(u_r-v_r\sqrt{D})$$ より明らか。
□$$\begin{split} \frac{u_{rn}(P, Q)}{u_r(P, Q)}= & u_n(v_r, Q^r), \\ v_{rn}(P, Q)= & v_n(v_r, Q^r). \end{split} \ \ (2.6b)$$ とくに、$P, Q$ が整数のとき $u_{rn}$ は $u_r$ で割り切れる。
Proof.
$\alpha^r, \beta^r$ は $$X^2-v_r X+Q^r=X^2-(\alpha^r+\beta^r)X+(\alpha^r \beta^r)=(X-\alpha^r)(X-\beta^r)=0$$ の解だから、 $$\frac{u_{rn}(P, Q)}{u_r(P, Q)}=\frac{\alpha^{rn}-\beta^{rn}}{\alpha^r-\beta^r}=u_n(v_r, Q^r)$$ かつ $$v_{rn}(P, Q)=\alpha^{rn}+\beta^{rn}=v_n(v_r, Q^r)$$ が成り立つ。
□$$\begin{split} u_{n+2r}= & v_r u_{n+r}-Q^r u_n, \\ v_{n+2r}= & v_r v_{n+r}-Q^r v_n=Du_r u_{n+r}+Q^r v_n. \end{split} \ \ (2.7)$$
Proof.
$X=\alpha, \beta$ は $$X^{2r}-v_r X^r+Q_r=X^{2r}-(\alpha^r+\beta^r)X+\alpha^r\beta^r=(X^r-\alpha^r)(X^r-\beta^r)=0$$ の解だから $$X^{n+2r}=v_r X^{n+r}-Q^r X^n$$ となる。よって、一般的に漸化式 $(0.3)$ が成り立つ数列に対して $$\begin{split} u_{n+2r}= & v_r u_{n+r}-Q^r u_n, \\ v_{n+2r}= & v_r v_{n+r}-Q^r v_n \end{split}$$ が成り立つ。最後に $(2.5c)$ より $$v_r v_{n+r}-Du_r u_{n+r}=2Q^n v_n$$ なので、 $$v_{n+2r}=v_r v_{n+r}-Q^r v_n=Du_r u_{n+r}+Q^r v_n$$ も成り立つ。
□より一般的な、添字の $k$倍公式を示すために、次の等式を用いる。
$(2.8)$ $m$ が偶数のとき $$\begin{split} (X+Y)^m= & \sum_{r=0}^m \binom{m}{r}X^r Y^{m-r} \\ = & \sum_{r=0}^{(m/2)-1} \binom{m}{r}(X^r Y^{m-r}+X^{m-r}Y^r) + \binom{m}{m/2}(XY)^{m/2} \\ = & \sum_{r=0}^{(m/2)-1} \binom{m}{r}(XY)^r(X^{m-2r}+Y^{m-2r}) + \binom{m}{m/2}(XY)^{m/2}, \end{split}$$ $m$ が奇数のとき $$\begin{split} (X+Y)^m= & \sum_{r=0}^m \binom{m}{r}X^r Y^{m-r} \\ = & \sum_{r=0}^{(m-1)/2} \binom{m}{r}(X^r Y^{m-r}+X^{m-r}Y^r) \\ = & \sum_{r=0}^{(m-1)/2} \binom{m}{r}(XY)^r(X^{m-2r}+Y^{m-2r}). \end{split}$$
$(2.9)$ $m$ が奇数で $k$ が正の整数のとき
$$\begin{split}
D^{(m-1)/2}u_k^m= & \sum_{r=0}^{(m-1)/2} \binom{m}{r} (-1)^r Q^{kr} u_{k(m-2r)} \\
= & u_{km}-\binom{m}{1}Q^k u_{k(m-2)}+\binom{m}{2}Q^{2k} u_{k(m-4)}-\cdots +(-1)^{(m-1)/2} \binom{m}{(m-1)/2}Q^{k(m-1)/2}u_k
\end{split}$$
かつ
$$\begin{split}
v_k^m= & \sum_{r=0}^{(m-1)/2} \binom{m}{r} Q^{kr} v_{k(m-2r)} \\
= & v_{km}+\binom{m}{1}Q^k v_{k(m-2)}+\cdots +\binom{m}{(m-1)/2}Q^{k(m-1)/2}v_k.
\end{split}$$
Proof.
$D=(\alpha-\beta)^2$ より $$D^{(m-1)/2}u_k^m=\frac{(\alpha^k-\beta^k)^m}{\alpha-\beta}$$ となるので、 $(2.8)$ を用いて $$\begin{split} \frac{(\alpha^k-\beta^k)^m}{\alpha-\beta}=& \sum_{r=0}^{(m-1)/2} \binom{m}{r}(-\alpha^k \beta^k)^r\times\frac{\alpha^{k(m-2r)}-\beta^{k(m-2r)}}{\alpha-\beta} \\ =& \sum_{r=0}^{(m-1)/2} \binom{m}{r} (-1)^r Q^{kr} u_{k(m-2r)}. \end{split}$$ が成り立つ。同様に、$(2.8)$ より $$\begin{split} v_k^m=& (\alpha^k+\beta^k)^m \\ =& \sum_{r=0}^{(m-1)/2} \binom{m}{r}(\alpha\beta)^{kr}(\alpha^{k(m-2r)}+\beta^{k(m-2r)}) \\ =& \sum_{r=0}^{(m-1)/2} \binom{m}{r} Q^{kr} v_{k(m-2r)}. \end{split}$$ が成り立つ。
□$(2.10)$ $m$ が偶数で $k$ が正の整数のとき $$\begin{split} D^{m/2}u_k^m = & \sum_{r=0}^{(m/2)-1} \binom{m}{r}(-1)^r Q^{kr} v_{k(m-2r)} + (-1)^{m/2} \binom{m}{m/2}Q^{km/2} \\ = & V_{km}-\binom{m}{1}Q^k v_{k(m-2)}+\binom{m}{2}Q^{2k} v_{k(m-4)}-\cdots +(-1)^{(m/2)-1} \binom{m}{m/2-1}Q^{\left(\frac{m}{2}-1\right)k} v_{2k} +(-1)^{m/2} \binom{m}{m/2}Q^{km/2}, \end{split}$$ および $$\begin{split} v_k^m= & \sum_{r=0}^{(m/2)-1} \binom{m}{r}Q^{kr} v_{k(m-2r)} + \binom{m}{m/2}Q^{km/2} \\ = & v_{km}+\binom{m}{1}Q^k v_{k(m-2)}+\binom{m}{2}Q^{2k} v_{k(m-4)}+\cdots +\binom{m}{m/2-1}Q^{\left(\frac{m}{2}-1\right)k} v_{2k} +\binom{m}{m/2}Q^{km/2}. \end{split}$$ 成り立つ。
Proof.
$(2.8)$ より $$\begin{split} D^{m/2}u_k^m= & (\alpha^k-\beta^k)^m \\ = & \sum_{r=0}^{(m/2)-1} \binom{m}{r}(-\alpha^k \beta^k)^r(\alpha^{k(m-2r)}+\beta^{k(m-2r)}) + \binom{m}{m/2}(-\alpha^k \beta^k)^{m/2} \\ = & \sum_{r=0}^{(m/2)-1} \binom{m}{r}(-1)^r Q^{kr} v_{k(m-2r)} + (-1)^{m/2}\binom{m}{m/2}Q^{km/2} \end{split}$$ および $$\begin{split} v_k^m= & (\alpha^k+\beta^k)^m \\ = & \sum_{r=0}^{(m/2)-1} \binom{m}{r}(\alpha^k \beta^k)^r(\alpha^{k(m-2r)}+\beta^{k(m-2r)}) + \binom{m}{m/2}(\alpha^k \beta^k)^{m/2} \\ = & \sum_{r=0}^{(m/2)-1} \binom{m}{r}Q^{kr} v_{k(m-2r)} + \binom{m}{m/2}Q^{km/2} \end{split}$$ となって、$(2.10)$ が成り立つ。
□$(2.11)$ $k$ が偶数のとき $$\frac{u_{km}}{u_m}=\sum_{r=0}^{(k/2)-1}Q^{mr} v_{m(k-1-2r)}=v_{m(k-1)}+Q^m v_{m(k-3)}+\cdots +Q^{m\left(\frac{m}{2}-1\right)}v_m,$$ $k$ が奇数のとき $$\begin{split} \frac{u_{km}}{u_m}= & Q^{m(k-1)/2}+\sum_{r=0}^{(k-3)/2}Q^{mr} v_{m(k-1-2r)} \\ = & v_{m(k-1)}+Q^m v_{m(k-3)}+\cdots +Q^{m(k-1)/2} \end{split}$$ および $$\frac{v_{km}}{v_m}=(-1)^{(k-1)/2} Q^{m(k-1)/2}+\sum_{r=0}^{(k-3)/2}(-1)^r Q^{mr} v_{m(k-1-2r)}$$ が成り立つ。
Proof.
$k$ が偶数のとき $$\begin{split} \frac{u_{km}}{u_m}= & \frac{\alpha^{km}-\beta^{km}}{\alpha^m-\beta^m} \\ = & \sum_{r=0}^{k-1}\alpha^{m(k-1-r)}\beta^{mr} \\ = & \sum_{r=0}^{(k/2)-1}Q^{mr} v_{m(k-1-2r)}, \end{split}$$ また $k$ が奇数のとき $$\begin{split} \frac{u_{km}}{u_m}= & \frac{\alpha^{km}-\beta^{km}}{\alpha^m-\beta^m} \\ = & \sum_{r=0}^{k-1}\alpha^{m(k-1-r)}\beta^{mr} \\ = & Q^{m(k-1)/2}+\sum_{r=0}^{(k-3)/2}Q^{mr} v_{m(k-1-2r)} \end{split}$$ および $$\begin{split} \frac{v_{km}}{v_m}= & \frac{\alpha^{km}+\beta^{km}}{\alpha^m+\beta^m} \\ = & \sum_{r=0}^{k-1}(-1)^r \alpha^{m(k-1-r)}\beta^{mr} \\ = & (-1)^{(k-1)/2} Q^{m(k-1)/2}+\sum_{r=0}^{(k-3)/2}(-1)^r Q^{mr} v_{m(k-1-2r)} \end{split}$$ が成り立つ。
□$(2.12)$ $$2^{n-1}u_n=\binom{n}{1}P^{n-1}+\binom{n}{3}P^{n-3}D+\cdots$$ $$2^{n-1}v_n=P^n+\binom{n}{2}P^{n-2}D+\binom{n}{4}P^{n-4}D^2+\cdots$$
Proof.
$(2.3)$ より $$\begin{split} & 2^{n-1}(v_n\pm u_n\sqrt{D})=(P\pm \sqrt{D})^n \\ & \quad =P^n\pm \binom{n}{1}P^{n-1}\sqrt{D}+\binom{n}{2}P^{n-2}D\pm \cdots \\ & \quad =\left(P^n+\binom{n}{2}P^{n-2}D+\binom{n}{4}P^{n-4}D^2+\cdots \right) \pm \left(\binom{n}{1}P^{n-1}+\binom{n}{3}P^{n-3}D+\cdots \right)\sqrt{D} \end{split}$$ と展開できるから、 $$\begin{split} 2^{n-1}u_n= & 2^{n-2}(v_n+u_n\sqrt{D})-2^{n-2}(v_n-u_n\sqrt{D}) \\ = & \binom{n}{1}P^{n-1}+\binom{n}{3}P^{n-3}D+\cdots, 2^{n-1}v_n= & 2^{n-2}(v_n+u_n\sqrt{D})+2^{n-2}(v_n-u_n\sqrt{D}) \\ = & P^n+\binom{n}{2}P^{n-2}D+\binom{n}{4}P^{n-4}D^2+\cdots \end{split}$$ が成り立つ。
□
$(2.13)$
$m$ が偶数のとき
$$P^m=\sum_{r=0}^{(m/2)-1} \binom{m}{r}Q^r v_{m-2r} + \binom{m}{m/2}Q^{m/2},$$
$m$ が奇数のとき
$$P^m=\sum_{r=0}^{(m-1)/2} \binom{m}{r}Q^r v_{m-2r}=v_m+mQv_{m-2}+\binom{m}{2}Q^2 v_{m-4}+\cdots.$$
Proof.
$m$ が偶数のとき $(2.8)$ より $$\begin{split} P^m= & (\alpha+\beta)^m \\ = & \sum_{r=0}^{(m/2)-1} \binom{m}{r}(\alpha\beta)^r(\alpha^{m-2r}+\beta^{m-2r}) + \binom{m}{m/2}(\alpha\beta)^{m/2} \\ = & \sum_{r=0}^{(m/2)-1} \binom{m}{r}Q^r v_{m-2r} + \binom{m}{m/2}Q^{m/2}, \end{split}$$ $m$ が奇数のとき $(2.8)$ より $$\begin{split} P^m= & (\alpha+\beta)^m \\ = & \sum_{r=0}^{(m-1)/2} \binom{m}{r}(\alpha\beta)^r(\alpha^{m-2r}+\beta^{m-2r}) \\ = & \sum_{r=0}^{(m-1)/2} \binom{m}{r}Q^r v_{m-2r}. \end{split}$$
□
そのほか、以下のような関係式も成り立つ。
$$\begin{split} u_{nr}^2-u_{(n-1)r}u_{(n+1)r}= & Q^{(n-1)r}u_r^2, \\ v_{nr}^2-v_{(n-1)r}v_{(n+1)r}= & -Q^{(n-1)r}Du_r^2. \end{split} \ \ (2.14)$$
Proof.
$$\begin{split} & (\alpha^{nr}\pm\beta^{nr})^2-(\alpha^{(n-1)r}\pm\beta^{(n-1)r})(\alpha^{(n+1)r}\pm\beta^{(n+1)r}) \\ = & \mp(\alpha^{(n-1)r}\beta^{(n+1)r}+\alpha^{(n+1)r}\beta^{(n-1)r}-2\alpha^{nr}\beta^{nr}) \\ = & \mp Q^{(n-1)r}(\alpha^{2r}+\beta^{2r}-2\alpha^r \beta^r) \\ = & \mp Q^{(n-1)r}(\alpha^r-\beta^r)^2 \\ = & \mp Q^{(n-1)r}D u_r^2 \end{split}$$ だから $$u_{nr}^2-u_{(n-1)r}u_{(n+1)r}=\frac{Q^{(n-1)r}Du_r^2}{(\alpha-\beta)^2}=Q^{(n-1)r}u_r^2$$ かつ $$v_{nr}^2-v_{(n-1)r}v_{(n+1)r}=-Q^{(n-1)r}Du_r^2$$ となる。
□$$\begin{split} Du_n= & v_{n+1}-Qv_{n-1}, \\ v_n= & u_{n+1}-Qu_{n-1}. \end{split} \ \ (2.15)$$
Proof.
$D=(\alpha-\beta)^2$ より $$\begin{split} Du_n= & (\alpha-\beta)(\alpha^n-\beta^n)=\alpha^{n+1}+\beta^{n+1}-\alpha\beta(\alpha^{n-1}+\beta^{n-1}) \\ = & v_{n+1}-Qv_{n-1}. \end{split}$$ また、 $$\begin{split} (\alpha-\beta)(\alpha^n+\beta^n)= & (\alpha^{n+1}-\beta^{n+1})-\alpha\beta(\alpha^{n-1}-\beta^{n-1}) \\ = & (\alpha-\beta)(u_{n+1}-Qu_{n-1}) \end{split}$$ より、 $$v_n=u_{n+1}-Qu_{n-1}.$$
□$$\begin{split} u_{n+r}^2-Q^r u_n^2=u_n u_{2n+r}, \\ v_{n+r}~2-Q^r v_n^2=Du_r u_{2n+r}. \end{split} \ \ (2.16)$$
Proof.
$$\begin{split} Du_{n+r}^2=\alpha^{2(n+r)}+\beta^{2(n+r)}-2Q^{n+r}, Du_n^2=\alpha^{2n}+\beta^{2n}-2Q^n, \end{split}$$ より $$\begin{split} D(u_{n+r}^2-Q_r u_n^2)= & (\alpha^{2(n+r)}+\beta^{2(n+r)}-)(\alpha^{2n+r}\beta^r+\beta^{2n+r}\alpha^r) \\ = & (\alpha^r-\beta^r)(\alpha^{2n+r}-\beta^{2n+r}). \end{split}$$ つまり $$u_{n+r}^2-Q_r u_n^2=\frac{\alpha^r-\beta^r}{\alpha-\beta}\times\frac{\alpha^{2n+r}-\beta^{2n+r}}{\alpha-\beta}=u_r u_{2n+r}$$. 同様に、 $$\begin{split} v_{n+r}^2=\alpha^{2(n+r)}+\beta^{2(n+r)}+2Q^{n+r}, v_n^2=\alpha^{2n}+\beta^{2n}+2Q^n \end{split}$$ より $$v_{n+r}^2-Q^r v_n^2=(\alpha^r-\beta^r)(\alpha^{2n+r}-\beta^{2n+r})=Du_r 2_{2n+r}.$$
□
$$\begin{split}
u_{m+n}+Q^n u_{m-n}= & u_m v_n, \\
u_{m+n}-Q^n u_{m-n}= & u_n v_m
\end{split} \ \ (2.17a)$$
および
$$\begin{split}
v_{m+n}+Q^n v_{m-n}= & 2v_m v_n, \\
v_{m+n}-Q^n v_{m-n}= & Du_m u_n
\end{split} \ \ (2.17b)$$
が成り立つ。
Proof.
$(2.5)$ および $(2.5c)$ よりただちに従う。
□参考文献
Edouard Lucas, Theorie des Fonctions Numeriques Simplement Periodiques I, II, III, Amer. J. Math. 1 (1878), 184--196, 197--240, 289--321, doi:10.2307/2369308 (JSTOR), doi:10.2307/2369311 (JSTOR), doi:10.2307/2369373 (JSTOR) および P. Ribenboim, The New Book of Prime Number Records, 3rd edition, Springer, 1996 のSection 2, IV を参照。上位記事Lucas数列も参照。
