Koebeの1/4定理
Koebeの1/4定理(Koebe 1/4 theorem, ケーべのよんぶんのいちていり)とは、複素関数論におけるひとつの定理であり、単葉関数についての一般論的な挙動について述べるものである。ここで、単葉関数とは単射な正則関数のことをいう。
主張は以下のとおりである:
- $\mathbf{D}$ を半径 $1$ の開円盤、$f \colon \mathbf{D} \to \mathbb{C}$ を単射な正則関数とする。さらに $f(0)=0$ かつ $f'(0)=1$ が成り立つとする。このとき、$f$ の像は半径 $\frac{1}{4}$ の開円盤を含む。
この $\frac{1}{4}$ なる数値は厳密な上限であり、これ以上数値を大きくすることはできない。実際、Koebe関数と呼ばれる次の関数 $f(z) = \frac{z}{(z-1)^2}$ などは像に $-\frac{1}{4}$ を含まない。
以下証明をおこなう。
$c$ を絶対値 $1$ の複素数、 $\delta$ を任意の正数として、$g = c(1 + \delta)f$ とすることによって、$g(0) = 0$, $|g'(0)| \geq 1$ かつ $g(\mathbf{D})$ が $\frac{1}{4}$ を含まないことを仮定として矛盾を導く。Koebe 関数についてこれを $K$ とよぶ。$g$ の像は $K \colon \mathbb{P}^1 \to \mathbb{P}^1$ の臨界点を含まないため、$K$ による $g$ の lift $g_0$, $g_\infty$ が存在する。$K$ に関するデッキ変換群は $\{z, \frac{1}{z}\}$ であるため、$g_\infty = \frac{1}{g_0}$ なる関係が成立している。さらにこれらの像は disjoint である。
ここで、extremal length に関する議論を行う。任意の $\epsilon > 0$ について、充分小さな $r$ をとると、$g_0(B(r))$ は $B(r(1-\epsilon)g'(0))$ を含む。よって $g_\infty(B(r))$ は $A(\frac{1}{r(1-\epsilon)g'(0)}, \infty)$ を含む。よって、$A_\bullet$ を $g_\bullet(A(r,1))$ として $A = A(r(1-\epsilon)g'(0), \frac{1}{r(1-\epsilon)g'(0)})$ とすると、$A_\bullet \subset A$ が成り立つ。このとき、extremal length の series law について思いだすと、$\Gamma_\bullet$ を $A_\bullet$ のふたつの境界をつなぐ rectifiable curve 全体の集合、$\Gamma$ を $A$ について同様のものとすると、$A$, $A_\bullet$ の幾何学的配置について観察すればさきの法則を用いることができ、したがって extremal length の計算をおこなうと $$\frac{2}{2\pi} \log\frac{1}{r} \leq \frac{1}{2\pi} \log\frac{1}{r^2(1-\epsilon)^2\vert g'(0) \vert^2}$$ なる不等式が得られる。$\epsilon$ の任意性より $|g'(0)| \leq 1$ となり、これは矛盾となる。よって、主張が示された。
Koebeの1/4 定理は、双曲幾何的に重要な概念であるPoincaré密度に関する下限を与えるさいにも用いられる。
