Extensive category

定義

有限和を持つ圏 $\mathcal{C}$ の対象 $a$, $b$ について、射 $a\to a+b$, $b\to a+b$ は overcategoryのあいだの函手 $\mathcal{C}_{/a}\to \mathcal{C}_{/a+b}$, $\mathcal{C}_{/b}\to \mathcal{C}_{/a+b}$ を誘導する。任意の対象 $a$, $b$ について函手 $$\mathcal{C}_{/a}\times \mathcal{C}_{/b}\to \mathcal{C}_{/a+b}$$ が圏同値となるとき、$\mathcal{C}$ をextensive categoryであるという。

インフォーマルな説明

(このセクションの内容は曖昧・不正確であるか、もしくは客観性を欠いています)

圏 $\mathcal{C}$ がextensiveであることの意味について論じる。

射 $e \to a$ が与えられているとき、$e$ を「$a$ 上のバンドル(構造物)」であると(形式的に)捉えることができる。このとき、$\mathcal{C}_{a+b}$ の対象は「$a+b$ 上のバンドル」として捉えられる。ここで、($\mathsf{Set}$ や $\mathsf{Top}$ においてしばしば直観的にイメージされるように) $a+b$ という対象が、$a$ という対象と $b$ という対象を「並べただけのもの」であるような状況を考える。すると、$a+b$ 上のバンドル(構造物) が自然と $a$ 上のバンドル(構造物)と $b$ 上のバンドル(構造物)とに分解出来てしかるべきであるように思われる。

このような方法で「$a$ 上のバンドルと $b$ 上のバンドルの組」と「$a+b$ 上のバンドル」とが同一視できる、というある意味で集合論的な条件をみたすとき、$\mathcal{C}$ をextensiveであると呼んでいる。

性質

initial is strict

対象 $x$ がstrictであるとは、任意の射 $f\colon y\to x$ について、$f$ が同型射であることをいう。このとき、extensive categoryにおいては、始対象 $0$ はstirctである。

例

• 集合の圏 $\mathsf{Set}$
• 位相空間の圏 $\mathsf{Top}$