Abelの級数変形法とその応用

$\newcommand{\NN}{\mathbb{N}}$ $\newcommand{\ZZ}{\mathbb{Z}}$ $\newcommand{\QQ}{\mathbb{Q}}$ $\newcommand{\RR}{\mathbb{R}}$ $\newcommand{\CC}{\mathbb{C}}$ $\newcommand{\abs}[1]{\left\lvert#1\right\rvert}$ $\newcommand{\wenvert}[1]{\left\lvert\left\lvert#1\right\rvert\right\rvert}$ $\newcommand{\floor}[1]{\left\lfloor#1\right\rfloor}$ $\newcommand{\mathmod}[1]{\ \left(\mathrm{mod}\ #1\right)}$ $\newcommand{\Arg}{\mathrm{Arg}}$

この項目では、級数に関するAbelの変形法およびその応用について扱う。Abelの連続性定理は級数の総和法の特殊な場合である。また、Abelの総和公式は有限和の大きさの評価に用いられる重要な公式である。

Abelの級数変形法

$2$つの数列 $a_n, b_n$ および整数 $M, N$ に対して $$B_N=\sum_{n=M+1}^N b_n, S_N=\sum_{n=M+1}^N a_n b_n$$ とおく（ただし $N\leq M$ のときは $B_N=S_N=0$ と定める）と $$S_N=a_N B_N-\sum_{n=M+1}^{N-1} (a_{n+1}-a_n)B_n.$$

Proof.

$n=M+1, \ldots, N$ に対して $b_n=B_n-B_{n-1}$ となるので $$\begin{split} S_N= & \sum_{n=M+1}^N a_n(B_n-B_{n-1}) = & \sum_{n=M+1}^N a_nB_n-\sum_{n=M+1}^N a_nB_{n-1} \\ = & \sum_{n=M+1}^N a_nB_n-\sum_{n=M}^{N-1} a_{n+1}B_n \\ = & a_N B_N+\sum_{n=M+1}^{N-1} (a_n-a_{n+1})B_n \\ = & a_N B_N-\sum_{n=M+1}^{N-1} (a_{n+1}-a_n)B_n \end{split}$$

□

Abelの総和公式

$x_0$ を任意の実数とする。$a_n$ を $x_0$ より大きな整数において定義された数列とし、$a_n$ の総和関数 $A(x)$ を $$A(x)=\sum_{x_0<n\leq x} a_n,$$ ただし $x\leq x_0$ に対しては $A(x)=0$ と定める。$x_0<x<y$ となる実数 $x, y$ をとったとき $f(t)$ は $x\leq t\leq y$ において連続な導関数をもつとする。このとき $$\sum_{x<n\leq y} a_n f(n)=A(y)f(y)-A(x)f(x)-\int_x^y A(t)f^\prime(t)dt \quad\quad (1)$$ が成り立つ。とくに $x$ を $x_0$ に近づけ、$y$ を $x$ をおき直すと、$x>x_0$ に対して $$\sum_{n\leq x} a_n f(n)=A(x)f(x)-\int_{\floor{x_0+1}}^x A(t)f^\prime(t)dt \quad\quad (2)$$ が成り立つ。ただし $\floor{t}$ は $t$ を超えない最大の整数をあらわす。

Proof.

まず $x>x_0$ に対して $(2)$ を示す。$M=\floor{x_0}, N=\floor{x}$ とおくとAbelの級数変形法より $$\begin{split} \sum_{x_0<n\leq x} a_n f(n)= & \sum_{n=M+1}^{N} a_n f(n) \\ = & A(N)f(N)-\sum_{n=M+1}^{N-1} (f(n+1)-f(n))A(n) \\ = & A(N)f(x)-\int_N^x A(N)f(t)dt -\sum_{n=M+1}^{N-1} \int_n^{n+1}A(n)f^\prime(t) dt \end{split}$$ となる。$n\leq t<n+1$ のとき $$A(t)=\sum_{x_0<m\leq t} a_m=\sum_{x_0<m\leq n} a_m$$ となるので $$\begin{split} \sum_{x_0<n\leq x} a_n f(n)= & A(N)f(x)-\int_N^x A(N)f^\prime(t)dt -\sum_{n=M+1}^{N-1} \int_n^{n+1}A(n)f^\prime(t) dt \\ = & A(x)f(x)-\int_N^x A(t)f^\prime(t) dt-\sum_{n=M+1}^{N-1} \int_n^{n+1} A(t)f^\prime(t) dt \\ = & A(x)f(x)-\int_{M+1}^x A(t)f^\prime(t)dt \end{split}$$ が成り立つ。$M+1=\floor{x_0+1}$ より $(2)$ が成り立つ。よって $x_0<x<y$ のとき $$\sum_{x<n\leq y} a_n f(n)=\sum_{x_0<n\leq y} a_n f(n)-\sum_{x_0<n\leq x} a_n f(n)=A(y)f(y)-A(x)f(x)-\int_x^y A(t)f^\prime(t)dt$$ より $(1)$ も成り立つ。

□

Abelの総和公式はRiemann–Stieltjes積分の部分積分の公式の特殊な場合であり、Riemann–Stieltjes積分を用いて $$\int_x^y fdA=A(y)f(y)-A(x)f(x)-\int_x^y Adf$$ とあらわされる。

Abelの総和公式の応用例

$a_n=1 (n=1, 2, \ldots), f(t)=\frac{1}{t} (t>0)$ に対して $A(x)=\floor{x}$ となることから $$\begin{split} \sum_{n=1}^x\frac{1}{n}= & \frac{\floor{x}}{x}+\int_1^x \frac{\floor{t}}{t^2} dt \\ = & 1-\frac{\{x\}}{x}+\log x-\int_1^x \frac{\{t\}}{t^2} dt, \end{split}$$ ここで $$\gamma=1+\int_1^\infty \frac{\{t\}}{t^2}dt$$ とおくと $$\begin{split} \sum_{n=1}^x\frac{1}{n}= & \frac{\floor{x}}{x}+\int_1^x \frac{\floor{t}}{t^2} dt \\ = & \log x+\gamma-\frac{\{x\}}{x}-\int_x^\infty \frac{\{t\}}{t^2} dt \\ = & \log x+\gamma+O\left(\frac{1}{x}\right) \end{split}$$ となる。この定数 $\gamma$ を Eulerの $\gamma$ 定数、あるいはEuler-Mascheroni定数という。同様に $$\begin{split} \sum_{n=1}^x\frac{\log n}{n} = & \frac{\floor{x}\log x}{x}+\int_1^x \frac{\floor{t}(-1+\log t)}{t^2} dt \\ = & \frac{\log^2 x}{2}+C+O\left(\frac{\log x}{x}\right) \end{split}$$ となる定数 $C$ が存在し、また $$\begin{split} \sum_{n=1}^x \log n= & \floor{x}\log x-\int_1^x \frac{\floor{t}}{t} dt \\ = & x\log x-x+O(\log x) \end{split}$$ が成り立つ。

Abelの連続性定理

数列 $a_n (n=0, 1, \ldots)$ に対して、$\sum_{n=0}^\infty a_n$ が収束し、$f(z)=\sum_{n=0}^\infty a_n z^n$ が中心$0$、収束半径$1$の複素べき級数を与えるとき、 $z\in\CC$ が $\abs{z}<1$ かつ $\abs{1-z}/(1-\abs{z})$ が有界であるように $1$ に近づくならば、$f(z)$ は $\sum_{n=0}^\infty a_n$ に近づく。

Proof.

$$a_0^\prime=-\sum_{n=1}^\infty a_n, g(z)=a_0^\prime+\sum_{n=1}^\infty a_n z^n=f(z)-\sum_{n=0}^\infty a_n$$ で与えられる $g(z)$ を $f(z)$ の代わりに考える。 $N=0, 1, \ldots$ に対して $$s_N(z)=a_0^\prime +a_1 z+\cdots +a_N z^N, s_N=s_N(1)=a_0^\prime +a_1+\cdots +a_N$$ とおくとAbelの級数変形法より $$s_N(z)=s_N z^N-\sum_{n=0}^{N-1} (z^{n+1}-z^n) s_n=s_N z^N+(1-z)\sum_{n=0}^{N-1} s_n z^n$$ となる。 $N\rightarrow\infty$ のとき $s_N\rightarrow a_0^\prime+\sum_{n=1}^\infty a_n=0$ なので $\abs{z}<1$ のとき $s_N z^N\rightarrow 0$ となる。よって $\abs{z}<1$ に対して $$g(z)=(1-z)\sum_{n=0}^{N-1} s_n z^n$$ が成り立つ。

$\epsilon>0$ を任意にとる。先に述べたように $s_N\rightarrow 0$ なので、 $N\geq N_0$ のとき必ず $\abs{s_N}<\epsilon$ となる整数 $N_0=N_0(\epsilon)$ が存在する。 よって $\abs{z}<1$ かつ $\abs{1-z}\leq M(1-\abs{z})$ のとき $$\begin{split} \abs{g(z)}\leq & \abs{1-z}\abs{\sum_{n=0}^{N_0-1} s_n z^n}+\epsilon\abs{1-z}\sum_{n=N_0}^\infty \abs{z}^n \\ = & \abs{1-z}\abs{\sum_{n=0}^{N_0-1} s_n z^n}+\frac{\epsilon\abs{1-z}\abs{z}^{N_0}}{1-\abs{z}} \\ \leq & \abs{1-z}\abs{\sum_{n=0}^{N_0-1} s_n z^n}+\epsilon M. \end{split}$$ が成り立つ。$M$ および $N_0$ は $z$ に依存しないので、$z$ が $1$ に近いとき $$\abs{g(z)}\leq (1+M)\epsilon$$ となる。$\epsilon$ はいくらでも小さくとれるから、$\abs{z}<1$ かつ $\abs{1-z}\leq M(1-\abs{z})$ という条件のもとで $z$ が $1$ に近づくとき $g(z)$ は $0$ に近づく。よって $$f(z)=g(z)+\sum_{n=0}^\infty a_n$$ は $\sum_{n=0}^\infty a_n$ に近づく。

□

Abelの連続性定理の応用例

$x\in \RR\backslash\ZZ$ に対して $$\sum_{n=1}^\infty \frac{e^{2\pi i nx}}{n}\quad \quad (*)$$ を求める。

まず、これが収束することを確かめる。 $$S(M, t)=\sum_{n=M+1}^t e^{2\pi i nx}=\frac{e^{2\pi i(M+1) x}(1-e^{2\pi i(t-M)x})}{1-e^{2\pi ix}}$$ とおくと $$\abs{1-e^{2\pi i x}}=\sqrt{(1-\cos(2\pi x))^2+\sin^2(2\pi x)}=\sqrt{2(1-\cos(2\pi x))}=2\sin (\pi x)$$ より $$\abs{S(M, t)}\leq \frac{2}{\abs{1-e^{2\pi ix}}}=\frac{1}{\sin (\pi x)}$$ が成り立つ。よってAbelの総和公式より $$\begin{split} \sum_{n={M+1}}^N e^{2\pi i nx}{n}=\frac{S(M, N)}{N}+\int_M^N \frac{S(M, t)}{t^2} dt =\frac{1}{\sin (\pi x)}O\left(\frac{1}{N}+\frac{1}{M}\right) =\frac{1}{\sin (\pi x)}O\left(\frac{1}{M}\right) \end{split}$$ となり、$(*)$ は収束する。

$-1<z<1$ に対して $$\log \frac{1}{1-e^{2\pi ix}z}=\int_0^{e^{2\pi ix}z} \frac{dt}{1-t}$$ となるように定義すると、これは虚部を $(-\pi, \pi)$ にもつ対数関数と一致し、 $$\log\frac{1}{1-e^{2\pi ix}z}=\sum_{n=1}^\infty \frac{(e^{2\pi ix}z)^n}{n}$$ とべき級数展開されるから、実軸上で $z\rightarrow 1-0$ とすると、Abelの連続性定理より $$\sum_{n=1}^\infty \frac{e^{2\pi i nx}}{n}=\lim_{z\rightarrow 1-0}\log\frac{1}{1-e^{2\pi ix}z}=\log\frac{1}{1-e^{2\pi ix}}$$ が成り立つ。さらに $$\abs{1-e^{2\pi i x}}=\sqrt{(1-\cos(2\pi x))^2+\sin^2(2\pi x)}=\sqrt{2(1-\cos(2\pi x))}=\abs{2\sin (\pi x)}$$ が成り立つ。ここで $x=2n+y, -1<y<1$ とおくと $$\abs{1-e^{2\pi i x}}=\abs{2\sin (\pi x)}=\left\{\begin{array}{cl}2\sin (\pi y)&(0<y<1)\\ -2\sin (\pi x)=-2\sin (\pi y)&(-1<y<0)\end{array}\right.$$ かつ $$\begin{split} 1-e^{2\pi i x} & =(1-\cos(2\pi x))-i\sin(2\pi x)=2\sin^2(\pi x)-i(2\sin(\pi x)\cos(\pi x)) \\ & =2\sin (\pi x)(\sin (\pi x)-i\cos(\pi x))=-2i\sin(\pi x)(\cos(\pi x)+i\sin(\pi x)) \end{split}$$ より $$\Arg (1-e^{2\pi ix})\equiv \left\{\begin{array}{cl}\pi x-\frac{\pi}{2}\equiv \pi\left(y-\frac{1}{2}\right)\mathmod{2\pi}&(0<y<1)\\ \pi x+\frac{\pi}{2}\mathmod{2\pi}\equiv \pi\left(y+\frac{1}{2}\right)&(-1<y<0)\end{array}\right.$$ が成り立つ。

よって $\{x\}=x-\floor{x}$ とおくと $$\Arg (1-e^{2\pi ix})=\pi\left(\{x\}-\frac{1}{2}\right)$$ となるから $$\sum_{n=1}^\infty \frac{e^{2\pi i nx}}{n}=\log\abs{2\sin(\pi x)}+i\pi\left(\frac{1}{2}-\{x\}\right)$$ が成り立つ。虚部を比較すると $$\sum_{n=1}^\infty \frac{\sin (2\pi nx)}{n}=\pi\left(\frac{1}{2}-\{x\}\right)$$ から、ノコギリ波のFourier展開 $$\{x\}-\frac{1}{2}=-\frac{1}{\pi}\sum_{n=1}^\infty \frac{\sin (2\pi nx)}{n}$$ が得られる。

参考文献

Abelの総和公式については Tom A. Apostol, Introduction to Analytic Number Theory, Undergraduate Texts in Mathematics, Springer, 1976, doi:10.1007/978-1-4757-5579-4, Theorem 4.2 を、 Abelの連続性定理については Lars V. Ahlfors, Complex Analysis, 3rd edition, McGraw-Hill, 1980, Section 2.5, Theorem 3 を参考とした。