開写像定理

$X$, $Y$ をリーマン面とする。以下連結性を課す。

複素解析の基本的な理論により、次の主張が成立する。

• $f \colon X \to Y$ を定値でない正則写像とすると、$f$ は開写像である。特に、$f$ の像は開集合である。

$X$, $Y$ が $\mathbb{C}$ の開集合である場合に帰着すればよい。

このことより、次の事実が導かれる。

• $X$ が閉リーマン面 (コンパクトなリーマン面), $f \colon X \to Y$ が定値でない正則写像ならば、$f$ は全射であり $Y$ は閉リーマン面となる。