量子力学

概要

量子力学(量子論)とは, 空間$X$上を運動する粒子の状態を, $X$上の可積分関数全体の空間$\mathcal{H}(X)$によって捉えようという物理学の一理論のことである. 対応して, 空間$X$上を運動する粒子の状態を, $X$の座標などで捉える考え方を古典論という. 量子論は古典論を含んでいて, 量子論の適切な極限(プランク定数$\hbar$がゼロの極限)が古典論である, と考えられている.

$X$が有限次元であっても, $\mathcal{H}(X)$は無限次元であるため, 量子論は古典論よりも広い空間によって状態を表している.　また状態 $\psi\in\mathcal{H}(X)$は波動関数と呼ばれ,確率論的な意味が与えられている. それを保証するために$\mathcal{H}(X)$はヒルベルト空間と呼ばれるものになる.

量子力学は, 電子や分子などのごく微小な系において特に有効である.

量子力学の公理

公理1. 状態はヒルベルト空間$\mathcal{H}$の元であり, 物理量は $\mathcal{H}$上のエルミート作用素である.

公理2. 物理量 $\hat{A}$ の固有値を$A$, 固有ベクトルを$\ket{A}\in\mathcal{H}$と表す. 状態 $\ket{\psi}$ に対して, $A$についての確率分布 $p_{\psi}(A)dA$ を定めることを観測あるいは測定という. この確率分布は, ボルンの確率規則と呼ばれる次の式で与えられる:

$$ p_{\psi}(A)=|\braket{A|\psi}|^2.$$

公理3. ハミルトニアンと呼ばれるエルミート演算子 $\hat{H}$が存在して, 状態ベクトルの時間発展が次で与えられる: $$ \ket{\psi(t)}=\exp\left[-\frac{i}{\hbar}t\hat{H}\right]\ket{\psi(0)}.$$

具体的な系

エネルギー(ハミルトニアンの固有値)を,厳密に求められるような幾つかの重要な系が存在する.

1次元井戸型ポテンシャル

$$H(x,\hat{p})=\frac{1}{2m}\hat{p}^2+V(x)$$

$$V(x)=\begin{cases}\infty, |x|>a\\ 0,|x|\leq a\end{cases}$$

このときエネルギー固有値は

$$E_n=\frac{\pi^2\hbar^2}{8ma^2}n^2, n=0,1,2,...$$

1次元調和振動子

$$ H(\hat{x},\hat{p})=\frac{1}{2m}\hat{p}^2+\frac{1}{2}m\omega^2\hat{x}^2 $$

エネルギー固有値は $$E_n=\hbar\omega(n+\frac{1}{2}),n=0,1,2,...$$

水素原子

$$ \hat{H}=\frac{1}{2m}(\hat{p}_x^2+\hat{p}_y^2+\hat{p}_z^2) -\frac{e^2}{4\pi\epsilon_0 r}$$