複素解析の基礎1：正則関数
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定義 1. (正則関数)
定理 1. (Cauchy-Riemann方程式)
$u(x,y),v(x,y)$を$C^1$級実数値関数とする。
$f(z)=u(x,y)+iv(x,y)$が正則$\LR$ \[ \frac{\partial u}{\partial x}=\frac{\partial v}{\partial y},\ \frac{\partial u}{\partial y}=-\frac{\partial v}{\partial x} \]
上記の式をCauchy-Riemann方程式(CR方程式)という。
定義 1. (指数関数)
複素数$z=x+iy$に対して、指数関数$e^z$を
\[ e^z=e^{x+iy}=e^x(\cos y+i\sin y) \]
によって定義する。
定義 1. (三角関数)
複素数$z$に対して、三角関数$\sin z,\cos z$を
\[ \sin z=\frac{e^{iz}-e^{-iz}}{2i} \] \[ \cos z=\frac{e^{iz}+e^{-iz}}{2} \]
と定義する。
定義 1. (対数関数)
複素数$z=re^{i\theta}$に対して、対数関数$\log z$を
\[ \Log z=\log r+\theta \]
と定義する。
