被覆次数

$X$, $Y$ を閉リーマン面とする。また、$f \colon X \to Y$ を正則写像とする。以下リーマン面は連結であるとする。

このとき $B_f$ を分岐点全体の集合、$R_f$ を $f^{-1}(B_f)$ とすると、$f|_{X \setminus R_f} \colon X \setminus R_f \to Y \setminus B_f$ は被覆写像となる。したがって、$y \in Y \setminus B_f$ について $f^{-1}(y)$ は有限であったことを思いだすと、これらの濃度は等しい。このとき、$\# f^{-1}(y)$ のことを $f$ の被覆次数とよび、$\mathrm{deg}(f)$ と表記する。

さらに、分岐点についても同様の事実が成り立つ。

• $y \in Y$ について、$\mathrm{deg}(f) = \sum_{x \in f^{-1}(y)} e_x(f)$ である。