被覆写像

位相空間の連続写像 $f \colon X \to Y$ が被覆写像であるとは、すべての点 $y \in Y$ について $y$ の開近傍 $U_y$ であって、$f^{-1}(U_y)$ が $U_y$ と同相な開集合の非交和としてあらわされるようなものが存在することをいう。

詳細は被覆空間や位相空間論あるいは代数トポロジーの教科書を参照されよ。

このとき、次の事実が成り立つ。

• $X$, $Y$ を閉リーマン面として、$f \colon X \to Y$ を正則写像とする。このとき $R_f$ を分岐点全体の集合、$B_f$ を $f(R_f)$ とすると、$f|_{X \setminus R_f} \colon X \setminus R_f \to Y \setminus B_f$ は被覆写像となる。

• $f \colon X \to Y$ を被覆写像として、$Y$ をリーマン面とする。このとき、$f$ を正則にするような $X$ 上のリーマン面の構造がただひとつ存在する。

• $f \colon X \to Y$ を被覆写像として、また $X$ をリーマン面とする。任意の $y \in Y$ と $x, x' \in f^{-1}(y)$ とそれぞれ同相な近傍 $V_y$, $U_x$, $U_{x'}$ について $U_x \to V_y \to U_{x'}$ が正則写像であるとき、$f$ を正則にするような $f$ 上のリーマン面の構造がただひとつ存在する。