行列

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行列

行列(matrix)とは、数や式などを、長方形型に並べたもののことである。行列に関する算術は現代数学においても、応用においても非常に重要な役割を果たす。以下に簡単な例をいくつか記す。

　例　

$\begin{pmatrix} 1 & 2 & 1 \\ 0 & 5 & -1 \end{pmatrix}$ ,$\begin{pmatrix} 2 & -1 & 0 \\ -1 & 2 & -1 \\ 0 & -1 & 2\end{pmatrix}$ ,$\begin{pmatrix} x^2+y+1 & -y \\ y & x \end{pmatrix}$

基本的な用語

行列

以下のように数などを長方形に配列した表を $m \times n$ 型の行列と呼ぶ。特別な場合として、$m=n$ である時には $n$ 次正方行列と呼ぶ。長方形の左上を $(1,1)$ 番地として、右に向かって $(1,j)$ 番地、左に向かって $(i,1)$ 番地、という風に番地を振っていく。$(i,j)$ 番地に割り振られたものを $a_{ij}$ と表し、行列の $(i,j)$ 成分と呼び、$i,j$ を行列の添字と呼ぶ。\[ A = \begin{pmatrix} a_{11} & \cdots & a_{1j} & \cdots & a_{1n} \\ \vdots & \ddots & \vdots & \ddots &\vdots \\ a_{i1} & \cdots & a_{ij} & \cdots & a_{in} \\ \vdots & \ddots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{m1} & \cdots & a_{mj} & \cdots & a_{mn} \end{pmatrix} \]　$(i,1)～(i,n)$ の並びを $i$ 行(row)、$(1,j)～(m,j)$ の並びを $j$ 列(column)と呼び、その並びを取り出して並べた行列をそれぞれ、行ベクトル/列ベクトルと呼ぶ。行ベクトル $1 \times n$ 型行列、列ベクトルは $m \times 1$型行列である。$1 \le i \le m \ , \ 1 \le j \le n$ である。\[第i行ベクトル \colon \begin{pmatrix} a_{i1} & a_{i2} & \cdots & a_{in} \end{pmatrix} \ , \ 1 \le i \le m \ ,\ 第j列ベクトル \colon \begin{pmatrix} a_{1j} \\ a_{2j} \\ \vdots \\ a_{mj} \end{pmatrix} \ ,\ 1 \le j \le n \] 最後に、$1 \times 1$ 型行列 $\left(a \right)$ は、唯一の成分 $a$ と同一視する事がある事を注意しておく。

ベクトル

$1 \times n$ 型または $m \times 1$ 型の行列を特にベクトル、または数ベクトルと呼ぶ。この場合はしばしば、$1$ つしかない方の行または列の添字は省略して以下の様に書く。\[\begin{pmatrix} a_1 & \cdots & a_n \end{pmatrix} \ , \ \begin{pmatrix} b_1 \\ \vdots \\ b_m \end{pmatrix}\] 行列の項で述べた行/列ベクトルはベクトルの例である。慣例で $1 \times n$ 型行列を $n$次横ベクトル、$m \times 1$ 型行列の事を $m$次縦ベクトルと呼ぶことがある。また単にベクトルと呼んだ時には、縦ベクトルの事を指すことが多い。これは後に解説する行列の積との相性の良さに依るものである。(注意 $\colon$ 高校数学において「向きと大きさ」をもつ量がベクトルだと習った方は多いのではないかと思う。決して間違ってはいないのだが、ここでは単に数などを直線状に並べたものがベクトルであるというようなことしか言っていないことに注意してほしい。なので無理に矢印との対応付けを試みるのではなく、ここでは文字通りに受け取ってもらえたらと思う。)

行列の記法

上に記した $A$ を記す際に、上のように書くと嵩張ることから次のように記す事も多く、また便利である。\[ A = \begin{pmatrix} a_{ij} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a_{ij} \end{pmatrix}_{m \times n} \] このような記法は、行列の成分 $a_{ij}$ の規則性がわかっている時などに特に有効である。

例

  • $\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ -1 & 0 & 1 \end{pmatrix}$ は $2 \times 3$ 型の行列であり、 $2$ 行目の行ベクトルは $\begin{pmatrix} -1 & 0 & 1 \end{pmatrix}$ で、$3$ 列目の列ベクトルは $\begin{pmatrix} 3 \\ 1 \end{pmatrix}$ である。
  • 零行列とは、全ての成分が全て $0$ である行列のことである。記号としてはよく $O$ を用いるが、型を明示したい時は $O_{mn}$ というように記す。文脈によって誤解が生じないと思われる際は、単に $0$ と記すこともある事を注意しておく。零行列の例 $\colon$ \[ O = O_{23} = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \]
  • 正方行列とは、既に述べたように $m \times m$ 型の行列のことを言う。また、正方行列の行番号と列番号の等しい成分を対角成分と呼び、そうでない成分の事を非対角成分と呼ぶ。非対角成分が全て $0$ の行列を対角行列と呼ぶ。対角行列は一般的に次の様に表される。

\[ \begin{pmatrix} a_{11} & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & a_{22} & \ddots & \vdots \\ \vdots & \ddots & \ddots & 0 \\ 0 & \cdots & 0 & a_{mm} \end{pmatrix} \] またしばしば $\mathrm{diag}(a_{11}\ ,\ \ldots \ ,\ a_{mm})$ と言う記法も用いられる。($\mathrm{diag}$ は対角線(diagonal)に由来する。) 対角行列は扱いがしばしば容易なため、一般の正方行列の考察をどのようにして対角行列に帰着するかということは重要な問題であることを指摘しておく。

  • 単位行列とは、全ての対角成分が $1$ であり、非対角成分は全て $0$ である対角行列の事である。左から順に $2$ 次、$3$ 次、$\ldots$ $n$次単位行列となっている。 \[ \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \ , \ \begin{pmatrix} 1 & 0 &0 \\ 0 & 1 &0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \ ,\ldots , \ \begin{pmatrix} 1 & 0 & \cdots & 0 & 0 \\ 0 & 1 & \cdots & 0 & 0 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots \\ 0 & 0 & \cdots & 1 & 0 \\ 0 & 0 & \cdots & 0 & 1 \end{pmatrix} \] $n$ 次の単位行列は $E_n \ , \ I_n \ , \ 1_n$ などと書かれ、次数が文脈から明らかな時は添字 $n$ を省略する事がある。Kroneckerのデルタ(後述)を使うと、$I_n = (\delta_{ij})_{n \times n}$ と表される。また単位行列の $j$ 列ベクトルたちを標準基底ベクトル、あるいは単に標準ベクトルと呼ぶ。

\[ e_j = \begin{pmatrix} 0 \\ \vdots \\ 0 \\ 1 \\ 0 \\ \vdots \\ 0 \end{pmatrix} = (\delta_{kj})_{k=1}^{n} \ ,\ j=1, \ldots , n \]

Kroneckerのデルタについて

$1 \le i,j \le n$ なる組 $(i,j)$ に対して $0,1$ を返す、次のような量 $\delta$ を定義する。\begin{align*} \delta_{ij} := \begin{cases} 1 & (i=j) \\ 0 & (i \neq j) \end{cases} \end{align*}

  • 行列の積に関連した公式

$a=(a_k)_{k=1}^{n}$ とする。以下の公式は簡単ではあるが、後述の行列の積の計算で威力を発揮する。

  • $(1)$ $\sum_{k=1}^{n} \delta_{ik} a_{k} = a_{i}$
  • $(2)$ $\sum_{k=1}^{n} a_{k} \delta_{kj} = a_{j}$
  • $(3)$ $\sum_{k=1}^{n} \delta_{ik} \delta_{kj} = \delta_{ij}$
Proof.

$\delta_{ij} = 1$ を満たす部分の和と、$\delta_{ij} = 0$ を満たす部分に分けて計算すればよい。

  • $(1)$ \begin{align*}\sum_{k=1}^{n} \delta_{ik} a_{k} &= \delta_{ii} a_{i} + \sum_{k=1 ,\ k \neq i}^{n} \delta_{ik} a_{k} \\ &= 1 a_{i} + \sum_{k=1 ,\ i \neq k}^{n} 0 a_{k} \\ &= a_{i} \end{align*}

$(2)$ は $(1)$ と全く同様であるから省く。$(3)$ は、$(1)$ の式に、$a = e_j = (\delta_{kj})_{k=1}^{n}$ を代入すればよい。

□

  • スカラー行列とは、全ての対角成分が等しい対角行列のことである。以下に図示しておく。 \[ \begin{pmatrix} a & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & a & \ddots & \vdots \\ \vdots & \ddots & \ddots & 0 \\ 0 & \cdots & 0 & a \end{pmatrix} \] 単位行列の場合のように、Kroneckerのデルタを使って、$(a \delta_{ij})_{n \times n}$ と書き表せる。
  • 上三角行列とは、正方行列 $A$ であって $i > j$ を満たすような $(i,j)$ 成分が全て $a_{ij}=0$ となる行列のことである。同様にして、$i < j$ を満たす $(i,j)$ 成分が $0$ であるような行列のことを下三角行列と呼ぶ。また文脈からいずれであるかが明らかな際には単に三角行列と呼ぶ。言葉で言えば、$i > j$ を満たす $(i,j)$ 番地は左下の領域を指し、$i < j$ を満たす番地は右上の領域を指しているので、その領域の成分が全て $0$ だということである。以下に例を示す。\[ \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} \\ 0 & a_{22} \end{pmatrix} \ , \ \begin{pmatrix} a_{11} & 0 \\ a_{21} & a_{22} \end{pmatrix} \ , \ \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1m} \\ 0 & a_{22} & \cdots & a_{2m} \\ \vdots & \ddots & \ddots & \vdots \\ 0 & \cdots & 0 & a_{mm} \end{pmatrix} \ , \ \begin{pmatrix} a_{11} & 0 & \cdots & 0 \\ a_{21} & a_{22} & \ddots & \vdots \\ \vdots & \vdots & \ddots & 0 \\ a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{mm} \end{pmatrix} \]
  • $m \times n$ 型行列 $A = (a_{ij})_{m \times n}$ に対して、転置行列と呼ばれる $n \times m$ 型行列 $A^{\top}$ が定義される。$A^{\top}$ は元の行列の成分を、対角線に沿って折り返した行列のことであり、成分で表示すれば $A^{\top} = (a_{ji})_{n \times m}$ と定義される。ややこしいのでもう少し詳しく述べると、$(i,j)$ が $1 \le i \le n \ ,\ 1 \le j \le m$ を動く時、$A^{\top}$ の $(i,j)$ 成分を、$A$ の $(j,i)$ 成分で定めたということである。定義から、$(A^{\top})^{\top} = A$ が成り立つ。以下に転置行列を図示する。\[\begin{pmatrix} a_{11} & \cdots & a_{1i} & \cdots & a_{1n} \\ \vdots & \ddots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{j1} & \cdots & a_{ji} & \cdots & a_{jn} \\ \vdots & \ddots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{m1} & \cdots & a_{mi} & \cdots & a_{mn}\end{pmatrix}^{\top} = \begin{pmatrix} a_{11} & \cdots & a_{j1} & \cdots & a_{m1} \\ \vdots & \ddots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{1i} & \cdots & a_{ji} & \cdots & a_{mi} \\ \vdots & \ddots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{1n} & \cdots & a_{jn} & \cdots & a_{mn}\end{pmatrix} \] より具体的な $2 \times 3$ 型行列の例も下に記す。\[ \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23}\end{pmatrix}^{\top} = \begin{pmatrix} a_{11} & a_{21} \\ a_{12} & a_{22} \\ a_{13} & a_{23} \end{pmatrix}\]

左における $a_{ji}$ は $j$ 行 $i$ 列の成分であり、右においては $i$ 行 $j$ 列の成分であることに注意してほしい。また、$A \ ,\ A^{\top}$ において $i$ 行 $i$ 列の成分が等しいこともわかる。また主に数学系の文献において、転置の記号に $^t\!A$ を用いる慣習があることを注意しておく。記号は転置(transpose)に由来している。

行列の区分け

行列を扱う際、いくつかの小さな行列の集まりとみなす事がしばしば有用である。 \[A = \left(\begin{array}{c|c|c} A_{11} & \cdots & A_{1n} \\ \hline \vdots & \ddots & \vdots \\ \hline A_{m1} & \cdots & A_{mn} \end{array} \right) \] それぞれの $A_{ij}$ が行列であり、$i$ 行目の成分行列の行数は全て等しく、同様に $j$ 列目の成分行列の列数も全て等しい。このような行列を区分けされた行列、区分行列、あるいはブロック行列と呼ぶ。なお、分割する際に用いた線は単に便宜的なものであるから、省略することもある。以下に有用な区分けされた行列の一例を示す。

例

  • $m \times n$ 型の行列 $A$ と、$m \times 1$ 型ベクトル $v$ が与えられたとき、\[\left(\begin{array}{c|c} A & v \end{array} \right) \] という $m \times (n+1)$ 型行列を作ることができる。このような区分けされた行列の構成方法は一般的な連立一次方程式を解くのに役立つ。以下に一次連立方程式を区分行列に書き換える一例を示しておく。

\begin{align*} \begin{cases} a_{11} x + a_{12} y ＋ a_{13} z &= b_1 \\ a_{21} x + a_{22} y + a_{23} z &= b_2\end{cases} \ \rightsquigarrow \ \left(\begin{array}{c|c} \begin{matrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \end{matrix} & \begin{matrix} b_1 \\ b_2 \end{matrix} \end{array} \right) \end{align*}

  • $A$ を $m \times n$ 型行列とする。この時、$j$ 列ベクトルを $c_{j} \ ,\ 1 \le j \le n$と置くと、元の行列 $A$ は、\[A = \left(\begin{array}{c|c|c|c} c_1 & c_2 & \cdots & c_n \end{array} \right) \] という区分けされた行列に表される。同様に、$i$ 行ベクトルを $r_{i} \ , \ 1 \le i \le m$と置くと、\[A = \left(\begin{array}{c} r_1 \\ \hline r_2 \\ \hline \vdots \\ \hline r_m \end{array} \right) \] という区分けされた行列で表される。このような表示は後述の行列の積を取り扱う際に基本的となり、また基底変換の理論と行列の算術を接続する際にも重要となる。以下に、$2 \times 3$ 型行列の行/列ベクトルによる区分けを例示しておく。

\begin{align*} A = \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \end{pmatrix} \rightsquigarrow \ \left(\begin{array}{c} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ \hline a_{21} & a_{22} & a_{23} \end{array} \right) \ , \ \left(\begin{array}{c|c|c} \begin{matrix} a_{11} \\ a_{21} \end{matrix} & \begin{matrix} a_{12} \\ a_{22} \end{matrix} & \begin{matrix} a_{13} \\ a_{23} \end{matrix} \end{array} \right) \end{align*} 左が行ベクトルによる区分け、右が列ベクトルによる区分けである。

  • 正方行列の理論においては、区分三角行列や区分対角行列の取り扱いが重要である。区分三角行列とは、\[ \left(\begin{array}{c|c|c|c} A_{11} & A_{12} & \cdots & A_{1m} \\ \hline O & A_{22} & \cdots & A_{2m} \\ \hline \vdots & \ddots & \ddots & \vdots \\ \hline O & \cdots & O & A_{mm} \end{array} \right) \] という形の行列の事である。但し、対角成分 $A_{ii}$ はいずれも正方行列であるとし、非対角成分は正方行列であるとは限らないとする。区分対角行列は、区分三角行列であって非対角成分が全て $0$ であるような区分けされた行列であるとする。以下に例を記す。\[ \left(\begin{array}{c|c|c|c} A_{11} & O & \cdots & O \\ \hline O & A_{22} & \ddots & \vdots \\ \hline \vdots & \ddots & \ddots & O \\ \hline O & \cdots & O & A_{mm} \end{array} \right)\] 以上に記した行列は一般的な区分け行列であるが、具体的に区分けが$4$つの場合も記しておく。 \[ \left(\begin{array}{c|c} A & B \\ \hline O & C \end{array} \right) \ , \ \left(\begin{array}{c|c} A & O \\ \hline O & C \end{array} \right) \] このような行列は、正方行列についての問題を、より小さな行列の問題に帰着して単純化できるような場合に効力を発揮することが多い。

行列の算術

算術とは、数の計算に関する術のことである。数や整式に対しては加法や減法、乗法などの様々な演算ができるのであった。行列に対しても加法や乗法などの演算を定義することができ、まるで一つの行列自体を「数のように」計算することができるようになる。このように行列の算術を考える際には行列の成分自体が加法や乗法のできるものになっていることを前提としていることを注意しておく。基本的な線形代数学に置いては除法も可能なことが重要であるが、必ずしも割り算のできない成分を持つ行列も重要である。

行列の相同

行列 $A=(a_{ij})$ と $B=(b_{ij})$ が等しいとは、$A \ , \ B$ が同じ型であり、かつ任意の $(i,j)$ について、$a_{ij} = b_{ij}$ が成り立つこととし、この時、$A = B$と書く。

行列の加法

同じ型の行列同士では行列の足し算を考えることができる。数同士はいつでも足し算することができたが行列の場合はそうとは限らないことに注意する。

$A = (a_{ij})_{m \times n}\ ,\ B =(b_{ij})_{m \times n}$ を $m \times n$ 型の行列であるとする。この時、$A \ , \ B$ の和は次のように定義される。\[ A + B := \begin{pmatrix} a_{11} + b_{11} & \cdots & a_{1n} + b_{1n} \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{m1} + b_{m1} & \cdots & a_{mn} + b_{mn} \end{pmatrix}\]

  • 与えられた行列 $A$ に対して、行列 $B$ が条件式 $A+B = O$ を満たす時、この $B$ をもって $-A := B$ と記号を定める。条件式を満たすような行列は唯一つであり、$-A = (-a_{ij})_{m \times n}$ が成り立つ。

スカラー倍

定数 $c$ を行列 $A = (a_{ij})_{m \times n}$に掛ける操作を、行列のスカラー倍と呼び、次のように定義する。\[ cA = Ac := \begin{pmatrix} ca_{11} & \cdots & ca_{1n} \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ ca_{m1} & \cdots & ca_{mn} \end{pmatrix} \] つまり、全ての成分に均等に $c$ を掛ける操作ということである。$c = -1$ とすれば、$(-1)A = ((-1)a_{ij})_{m \times n} = (-a_{ij})_{m \times n} = -A$ となるから、$(-1)A = -A $であることが直ちに分かる。また $c=0$ とすれば、$0A = (0 \ a_{ij})_{m \times n} = (0)_{m \times n} = O_{m \times n}$ もこの通りに導かれる。

  • $A$ が $n$ 次正方行列であれば、$A^{\top}$ も $n$ 次正方行列となる。$A^{\top} = A$ を満たす行列を対称行列と呼び、$A^{\top} = -A$ を満たす行列を反対称行列と呼ぶ。以下に $2,3$ 次の場合を図示する。\[\begin{pmatrix}a & b \\ b & c \end{pmatrix} \ ,\ \begin{pmatrix} 0 & a \\ -a & 0 \end{pmatrix} \ ,\ \begin{pmatrix}a & b & c \\ b & d & e \\ c & e & f \end{pmatrix} \ ,\ \begin{pmatrix}0 & a & b \\ -a & 0 & c \\ -b & -c & 0 \end{pmatrix}\] 等式 $-A = A^{\top}$ の対角成分を比較すると、$-a_{ii} = a_{ii}$ が成り立つことから、反対称行列の対角成分は全て $0$ であると結論できる。

いくつかの行列 $\{A_l \}_{l=1}^{k}$ が与えられた時に、勝手ないくつかの定数 $\{ x_l \}_{l=1}^k$ を用いて $x_1 A_1 + \ldots + x_k A_k$ のように、各行列をスカラー倍してから和を取って得られる行列のことを、$\{A_l \}_{l=1}^{k}$ の線形結合や、一次結合などと呼ぶ。

行列の積

行列の標準的な積は以上の加法とスカラー倍の計算に比べて幾分か複雑である。最初に一般的な定義を述べよう。行列 $A = (a_{ij})_{m \times n} \ , \ B = (b_{kl})_{p \times q}$ があるとする。まず行列の積は $n=p$ が成り立つ時にしか定義されず、掛け算の結果は $m \times q$ 型行列になることを予告しておく。\begin{align*} AB :=& \left(a_{i1} b_{1j} + a_{i2} b_{2j} + \ldots + a_{in} b_{nj} \right)_{m \times q} \\ \\=& \begin{pmatrix} a_{11} b_{11} + \ldots + a_{1n} b_{n1} & \cdots & a_{11} b_{1j} + \ldots + a_{1n} b_{nj} & \cdots & a_{11} b_{1q} + \ldots + a_{1n} b_{nq} \\ \vdots & \ddots & \vdots & \ddots &\vdots \\ a_{i1} b_{11} + \ldots + a_{in} b_{n1} & \cdots & a_{i1} b_{1j} + a_{i2} b_{2j} + \ldots + a_{in} b_{nj} & \cdots & a_{i1} b_{1q} + \ldots + a_{in} b_{nq} \\ \vdots & \ddots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{m1} b_{11} + \ldots + a_{mn} b_{n1} & \cdots & a_{m1} b_{1j} + \ldots + a_{mn} b_{nj} & \cdots & a_{m1} b_{1q} + \ldots + a_{mn} b_{nq} \end{pmatrix} \\ \\ =& \left(\sum_{k=1}^{n}a_{ik}b_{kj} \right)_{m \times q}\end{align*} このままでは何をしているのか分かりづらいかと思うので、区分け行列を用いた説明を以下に記す。

スカラー積

$1 \times n$ 型行列 $a = (a_{i})_{1 \times n}$ と $n \times 1$ 型行列 $b = (b_{i})_{n \times 1}$ の積を上で述べたとおりに計算すると、\[ \begin{align*} ab =& \begin{pmatrix} a_{1} & \cdots & a_{n} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} b_{1} \\ \vdots \\ b_{n} \end{pmatrix} \\ =& \sum_{i=1}^{n} a_i b_i \\ =& a_1 b_1 + \ldots + a_n b_n \end{align*} \] これをベクトルのスカラー積と呼ぶ。以上の計算結果は厳密には $1 \times 1$ 行列であるが、これを成分と同一視して括弧を省略した。行列の成分として実数を考えている時は、この積はいわゆるEuclid内積に一致している。(複素数成分の場合の内積ではない事を注意しておく。)

行列とベクトルの積

  • $m \times n$ 型行列 $A$ と $n \times 1$ 型行列、即ち $n$ 次ベクトル $b$ の積を、スカラー積を用いて簡素化する。\[\begin{align*} Ab =& \begin{pmatrix} a_{11} & \cdots & a_{1n} \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{i1} & \cdots & a_{in} \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{m1} & \cdots & a_{mn} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} b_{1} \\ \vdots \\ \vdots \\ b_{n} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a_{11}b_1 + \ldots + a_{1n}b_n \\ \vdots \\ a_{i1}b_1 + \ldots + a_{in}b_n \\ \vdots \\ a_{m1}b_1 + \ldots + a_{mn}b_n \end{pmatrix} \end{align*}\] この式を注意深くみると、$m$ 次ベクトル $Ab$ の $i$ 成分は $A$ の $i$ 行ベクトルとのスカラー積になっている。よって行ベクトルによる区分けを用いて 、$A = \left(\begin{array}{c} r_1 \\ \hline \vdots \\ \hline r_i \\ \hline \vdots \\ \hline r_m \end{array} \right)$ と表すことで $m$ 次ベクトル$Ab$ は次のように表せる。 \[Ab = \left(\begin{array}{c} r_1 \\ \hline \vdots \\ \hline r_i \\ \hline \vdots \\ \hline r_m \end{array} \right) b = \begin{pmatrix} r_1 b \\ \vdots \\ r_i b \\ \vdots \\ r_m b \end{pmatrix}\] 最後の式は $1 \times 1$ 行列たちで区分けされていると考えるのが自然だが、記号が煩雑になることから省略した。
  • 区分けの考え方を用いることでもう一つ有用な解釈を行列とベクトルの積に与えることができる。それは、$b$ を係数とした $A$ の列ベクトルの線形結合を与えると思うことである。列ベクトルによる区分けを用いて、$A = \left(\begin{array}{c|c|c} c_1 & \cdots & c_n \end{array} \right)$ と表した時、\begin{align*} Ab =& \begin{pmatrix} a_{11}b_1 + \ldots + a_{1n}b_n \\ \vdots \\ a_{i1}b_1 + \ldots + a_{in}b_n \\ \vdots \\ a_{m1}b_1 + \ldots + a_{mn}b_n \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a_{11} \\ \vdots \\ a_{i1} \\ \vdots \\ a_{m1} \end{pmatrix} b_1 + \ldots + \begin{pmatrix} a_{1n} \\ \vdots \\ a_{in} \\ \vdots \\ a_{mn} \end{pmatrix} b_n \\ \\=& c_1 b_1 + \ldots + c_n b_n =\left(\begin{array}{c|c|c} c_1 & \cdots & c_n \end{array} \right) b\end{align*} 最後の式は、$A$ を $c_1 , \ldots , c_n$ を成分に持つ横ベクトルと見て、$b$ とのスカラー積を取ったと見なしたものである。この様にして行列とベクトルの積は、ベクトルを係数とした列ベクトルの線形結合を取る操作であるとも捉えることができる。

行列の積再解釈

$A = (a_{ij})_{m \times n} \ , \ B = (b_{ij})_{n \times q}$ の積を以上の考察の元に整理する。$B$ を列ベクトルで区分けして、$A = \left(\begin{array}{c} r_1 \\ \hline \vdots \\ \hline r_i \\ \hline \vdots \\ \hline r_m \end{array} \right) \ ,\ B = \left(\begin{array}{c|c|c} c_1 & \cdots & c_q \end{array} \right)$ と表した時、$AB$ の $(i,j)$ 成分は $\left(\sum_{k=1}^{n} a_{ik} b_{kj} \right) = r_i c_j$ と表せることから、\[ AB = \begin{pmatrix} r_1 c_1 & \cdots & r_1 c_j & \cdots & r_1 c_q \\ \vdots & \ddots & \vdots & \ddots &\vdots \\ r_i c_1 & \cdots & r_i c_j & \cdots & r_i c_q \\ \vdots & \ddots & \vdots & \ddots & \vdots \\ r_m c_1 & \cdots & r_m c_j & \cdots & r_m c_q \end{pmatrix} \] $A$ の $i$ 行と $B$ の $j$ 列のスカラー積を並べたものが行列 $AB$ であるということである。行列とベクトルの積を使うと次のようにも表せる。$AB$ の $j$ 列ベクトルに注目すると、$\begin{pmatrix} r_1 c_j \\ \vdots \\ r_i c_j \\ \vdots \\ r_m c_j \end{pmatrix} = Ac_j$ が成り立つことが前項で述べた通りにわかる。この列ベクトルを並べたものが行列 $AB$ なのだから、結局 \[AB = \left(\begin{array}{c|c|c|c|c} Ac_1 & \cdots & Ac_j & \cdots & Ac_q \end{array} \right)\] が成立する事がわかる。これらは行列の区分けを用いることで計算の見通しをよくできる基本的な例でもある。

区分け行列と積

行列の積を考える際に、行/列ベクトルによる区分けが有効なことを見た。より一般の区分けも積の計算に役立つ事を説明する。行列 $A \ , \ B$ の区分けを与えた時、$C = AB$ の区分けを以下のように計算することができる。\begin{align*} A &= \left(\begin{array}{c|c|c} A_{11} & \cdots & A_{1n} \\ \hline \vdots & \ddots & \vdots \\ \hline A_{m1} & \cdots & A_{mn} \end{array} \right) \ , \ B = \left(\begin{array}{c|c|c} B_{11} & \cdots & B_{1q} \\ \hline \vdots & \ddots & \vdots \\ \hline B_{n1} & \cdots & B_{nq} \end{array} \right) \\ \\ C &= AB = \left(\begin{array}{c|c|c} C_{11} & \cdots & C_{1q} \\ \hline \vdots & \ddots & \vdots \\ \hline C_{m1} & \cdots & C_{mq} \end{array} \right) \\ C_{ij} &= A_{i1} B_{1j} + \ldots + A_{in} B_{nq} = \left(\begin{array}{c|c|c} A_{i1} & \cdots & A_{in} \end{array} \right) \left(\begin{array}{c} B_{1j} \\ \hline \vdots \\ \hline \vdots \\ \hline B_{nj} \end{array} \right)\end{align*} つまり、各区分けを成分だと思って通常の積と同様に計算すればよい。但し、区分け同士の積が定義されない（型が合わない）場合はもちろん上のような計算は行えない。また後述するが行列の積は掛ける順番によって結果が変わるので、区分けの積の順は $A,B$ の順に揃えなければならないことに注意する。

参考文献

三宅敏恒　「入門線形代数」

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