特殊相対性理論
特殊相対性理論(Theory of special relativity)とは、重力作用のない状況において電磁力学を記述する目的で1905年にAlbert Einsteinによって発表された論文をはじめとする一連の理論である。 特殊相対性理論はMinkowski時空での電磁力学の理論であり、ここではその数学的定式化を中心に解説する。
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Newton時空
ニュートン力学での時空概念を復習する。
Newton時空 (Newtonian spacetime)とは、３次元ユークリッド空間 $E$ と $\mathbb{R}$ の直積多様体 $\mathbb{R}\times E$ のことである。 自然な射影を $T\colon\mathbb{R}\times E\rightarrow \mathbb{R},\ S\colon\mathbb{R}\times E\rightarrow E$ とする。 $T$ は絶対Newton時間 (Absolute Newtonian time)と呼ばれる。
世界線 (World line)とは、Newton時空の一次元部分多様体 $W$ で、$T|_W$ がある区間 $I\subset\mathbb{R}$ の上への微分同相写像となるようなもののことである。 粒子の軌道は世界線として理解される。 Newton時空の典型的な特徴は、全ての観測者に関して共通の時間、絶対Newton時間が定義されることである。
Minkowski時空の幾何学
特殊相対性理論の舞台となるのはNewton時空ではなく、次に定義するMinkowski時空である。 Minkowski時空の基本的な幾何学的性質や定義を述べる。
微分多様体 $\mathbb{R}^{4}$ の標準的な直交座標 $\{x^0,x^1,x^2,x^3\}$ に関して、 $$ \begin{aligned} ds^2=g=-(dx^0)^2+(dx^1)^2+(dx^2)^2+(dx^3)^2 \end{aligned} $$ で与えられる擬リーマン計量を備えた擬リーマン多様体 $(\mathbb{R}^4,g)$ を $\mathbb{E}^{(1,3)}$ と表す。
Minkowski時空 (Minkowski spacetime)とは $\mathbb{E}^{(1,3)}$ と等長同型なローレンツ多様体 $M$ のことである。 または単連結完備平坦Lorentz多様体と定義してもよい。 以下特に断らない限り $M$ でMinkowski時空を表す。
Minkowski時空 $M$ のLorentz座標または慣性座標 (inertial coordinate)とは、等長写像 $\varphi:M\rightarrow \mathbb{E}^{(1,3)}(\simeq\mathbb{R}^4)$ のことである。 Newton時空でも慣性座標という言葉は使うことがあるので、ここでは誤解を避けるためLorentz座標という言葉を使う。
$\mathbb{E}^{(1,3)}$ の等長変換群はPoincare群と呼ばれる。 $\mathbb{E}^{(1,3)}$ の正規直交座標系 $\{x^0,x^1,x^2,x^3\}$ を一つ任意に固定すると、Poincare群の元は $x^i\mapsto \Lambda^i_{\ j}x^j+a^i$ と表される。 ここで、$\Lambda=(\Lambda^i_{\ j})$ は $O(1,3):=\{\Lambda\in GL(4,\mathbb{R});\ {}^t\Lambda\mathbb{I}_{(1,3)}\Lambda=\mathbb{I}_{(1,3)}\}$ の元であり、$a={}^t(a^0,a^1,a^2,a^3)\in\mathbb{R}^4$ である。 ただし、 $$ \begin{align} \mathbb{I}_{(1,3)}=\begin{pmatrix} -1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ \end{pmatrix} \end{align} $$ である。 $O(1,3)$ はLorentz群と呼ばれる。 ２つのLorentz座標系 $\varphi_i:M\rightarrow\mathbb{E}^{(1,3)},\ (i=1,2)$ に対して、この２つの座標系の間の座標変換 $\varphi_1^{-1}\circ\varphi_2$ は、明らかに $\mathbb{E}^{(1,3)}$ の等長変換である。
Minkowski時空の接ベクトル $X$ は $||X||^2<0$ のとき時間的 (timelike)、$||X||^2>0$ のとき空間的 (spacelike)、$||X||^2=0$ のとき光的 (null)という。また空間的でないものを因果的 (causal)という。
Lorentz座標 $\varphi$ は $M$ に時間的向きを誘導する。すなわち、因果的な接ベクトル $X$ は、$-g(X,\partial_0)>0$ のとき未来向き (future-directed)といい、$-g(X,\partial_0)<0$ のとき過去向き (past-directed)であるという。以降は $M$ の時間的向きを一つ固定して議論する。
有質量粒子(massive particle)の世界線とは、timelikeな未来向きの滑らかな曲線 $$ \alpha\colon \mathbb{R}\supset I\ni t\mapsto \alpha(t)\in M $$ のことである。 また区分的滑らかな場合も各区間ごとにこの条件が成り立っていれば世界線と呼ぶ。
無質量粒子(massless particle)の世界線とは、未来向きの区分的滑らかな光的測地線のことである。
任意の $p\in M$ と $T_pM$の任意の正規直交基底 $\{e_i\}$ に対して、Lorentz座標 $\{x^0,x^1,x^2,x^3\}$ で $\partial_i|_p=e_i,\ (0\le i\le 3)$ となるものがただ一つ存在する。
Proof.
$\{e_i\}$ が定義する正規座標 $\xi$ は求める性質を持つ。同じ性質を持つLorentz座標 $\eta$ があれば、$\xi\circ\eta^{-1}$ は $\mathbb{R}^{(1,3)}$ の等長変換で、かつある正規直交基底を固定する。従って、$\xi=\eta$ である。
□特殊相対性理論
特殊相対性理論は力学と電磁気現象に関する理論であり、さらに重力をも扱えるのが一般相対性理論であるが、それらを建設する上で次の二つの事が基本的な指針となっている。 これらは特殊でも一般でも関係なく要請されるべきものである。
（I）相対性原理：物理法則は時空をローレンツ多様体と見なして、その幾何学構造によって定式化されるべきである。特に、時空の等長変換により物理法則は不変となるべきである。
(II)光速不変の原理：真空において、光速は光源と観測者の相対運動によらずいかなる観測者が観測しても $c\sim299,792km/s$である。
Minkowski時空の導入の動機づけ
Newton力学においてある慣性系 $S$ の直交座標系を $\{t,x,y,z\}$ ($t$ は絶対時間) とする。 $S$ に対して、$x$ 方向に速度 $v$ で等速運動する慣性系 $X'$ の直交座標系を $\{t',x',y',z'\}$ とする。 $t=t'=0$ において、両者の原点が一致しているとすると、二つの座標系間の座標変換は $$ \begin{align} t&=t',\\ x&=x'+vt',\\ y&=y',\ z=z', \end{align} $$ で与えられる。 これはGalilei変換と呼ばれる（ものの特別な場合である）。
慣性系 $S$ における光速を $c$ とする。 両系の原点が一致した瞬間に原点において光が全方向に発されたとする。 このとき、慣性系 $S$ において光線の軌道 $(x(t),y(t),z(t))$ を考えると光速は $(dx/dt)^2+(dy/dt)^2+(dz/dt)^2=c^2$ であるから、$-(cdt)^2+dx^2+dy^2+dz^2=0$ を満たす。 光速度不変の原理によれば、慣性系 $S'$ においても光線の軌道は $-(cdt')^2+dx'^2+dy'^2+dz'^2=0$ を満たさなければならない。 しかし、上のGalilei変換は明らかにこれを満たさない。 従って、特殊相対性理論においては互いに等速運動する慣性系間の座標変換としてGalilei変換を採用することはできない。
ある慣性系において等速直線運動する粒子は別の慣性系でもそうであるべきという考察から、慣性系間の座標変換は線形変換と仮定する。線形変換でかつ $-(cdt)^2+dx^2+dy^2+dz^2=-(cdt')^2+dx'^2+dy'^2+dz'^2$ となる変換の成す群がPoincare群である。Galilei変換が３次元Euclid空間の等長変換となっていたことを参考にすると、Poincare群が等長変換となっている４次元時空、すなわちMinkowski時空を考え、慣性系間の座標変換をPoincare変換とする理論を建設すると都合が良さそうである。
基本的な概念の定義
観測者、瞬間の観測者
有質量粒子の世界線 $$ \alpha\colon \mathbb{R}\supset I\ni \lambda\mapsto \alpha(\lambda)\in M $$ で $\left|\left|\frac{d\alpha}{d\lambda}\right|\right|^2=-1$ となるものを観測者 (Observer)という。 さらに時空点 $p\in M$ における瞬間の観測者 (instantaneous observer) とは、$V\in T_pM$ で $||V||^2=-1$ となるもののことをいう。 瞬間の観測者は時空点 $p$ において瞬間的に等速直線運動している観測者を表現している。 また慣性的観測者 (inertial observer) とは 弧長でパラメータ付けされた未来向きの時間的測地線のことである。 慣性的観測者のことを慣性系（inertial system）とも呼ぶ。
瞬間の観測者 $V\in T_pM$ に対して、Lorentz座標系 $\{x^0,x^1,x^2,x^3\}$ で $\partial_0|_p=V$ となるものを $V$ に関する慣性座標系または単に慣性系と呼ぶことにする。 $V$ に関する慣性座標系は一意的ではない。
瞬間の観測者 $V\in T_pM$ に対して、ある慣性的観測者 $\mathbb{R}\ni t\mapsto c(t)\in M$ で $c(0)=p,\ \dot{c}(0)=V$ となるものが存在する。 文脈に応じてこの２つはしばしば同一視して議論される。
２つの慣性系は定義より $M$ の等長変換群であるPoincare群の作用により写りあう。 以下では、慣性系に対する観測可能な物理量や物理法則を与えるが、これらは相対性原理の要請により、等長変換により不変になるように定式化される。 また後で（慣性系が観測する速度を定義した後で）、２つの慣性系は互いに等速運動の関係にあることが分かる。 従って、互いに等速運動する慣性的観測者が観測する物理法則は完全に一致するため、物理的に区別することはできない。 これを特殊相対性原理 (Principle of special relativity)という。
固有時
任意の有質量粒子の世界線 $\alpha:I\rightarrow M$ に対して、この曲線の長さを $$ s=\int_a^b\sqrt{-\left|\left|\frac{d\alpha}{d\lambda}\right|\right|^2}d\lambda $$ とするとき、 $$ \tau=\frac{s}{c} $$ をこの世界線の固有時 (proper time)という。 ここで積分区間 $[a,b]\subset I$ は任意に選ぶ。 このとき、事象 $\alpha(a)$ と $\alpha(b)$ の間にこの世界線に沿う観測者が経験する時間が $\tau$ であると定義する。
無質量粒子の世界線は未来向きの区分的滑らかな光的測地線であるから固有時は常に0である。 光的測地線のアフィンパラメータは固有時とは呼ばない。
観測者に依存した時刻一定面
Newton力学では全ての観測者にとって時間は同等に経過すると仮定している。 一方、Minkowski時空の力学では、時刻一定面を観測者に依存して次のように定義する。 すなわち、瞬間の観測者 $V\in T_pM$ に対して、$T_pM$ の正規直交基底 $\{e_0=V,e_1,e_2,e_3\}$ を任意に一つ取る。 このとき、Lorentz座標 $\{x^0,x^1,x^2,x^3\}$ が存在して $\partial_i|_p=e_i,\ (0\le i\le3)$ となる。 このとき、$x^0=x^0(p)$の集合は $M$ の超曲面（超平面）であり、これを観測者 $V$ のこの瞬間の時刻一定面と定義する。 さらに、$T_pM$ は $T_pM=\mathbb{R}V\oplus V^\perp$ と直交分解される。 ここで $V^\perp$ は $V$ に直交する部分空間である。 この分解を観測者 $V$ に関する時間-空間分解または $1+3$ 分解という。 また、${\rm exp}_p(V^\perp)=\{(x^0,x^1,x^2,x^3)\in M;\ x^0=x^0(p) \}$ であるから、$V^\perp$ と $V$ の時刻一定面はしばしば同一視される。
図は観測者 $V,W$ に関する時間-空間分解である。
このことから、時刻一定面は観測者に依存する。 従って、ある観測者にとって同時に起きている２つの事象が別の観測者にとっては時間的な関係になっていることがあり得る。 同時刻の事象の集合が観測者に依存して決定されることを同時刻の相対性と呼ぶ。 時刻一定面の観測者への依存性こそ特殊相対論のNewton力学とは異なった様々な性質を導く要因となっている。
特殊相対論的力学
因果的ベクトルの観測者に依存した時間-空間分解
瞬間の観測者 $V\in T_pM$ に関して、任意の未来向き因果的ベクトル $X\in T_pM$ の時間-空間分解は $$ \begin{aligned} X=-g(V,X)V+\left(X+g(V,X)V\right) \end{aligned} $$ と表される。 ここで、 $$ \begin{aligned} -g(V,X)V\in\mathbb{R}V,\\ X^{S(V)}\colon=X+g(V,X)V\in V^\perp \end{aligned} $$ である。
瞬間の観測者の観測する速度
時空点 $p\in M$ を通過する世界線 $\alpha:I\ni\lambda\mapsto\alpha(\lambda)\in M,\ \alpha(0)=p$ を瞬間の観測者 $V\in T_pM$ が観測したときの $\alpha$ の速度を次のように定義する。
瞬間の観測者 $V\in T_pM$ と $p$ を通る因果的な世界線 $\alpha\colon I\rightarrow M,\ \alpha(0)=p,\ X=\frac{d\alpha}{d\lambda}(0)$ に対して、$V$ が時空点 $p$ において観測する $\alpha$ の空間的速度ベクトル $X^V$ を $$ X^V\colon=-\frac{c}{g(V,X)}X^{S(V)}=-\frac{c}{g(V,X)}\left(X+g(V,X)V\right) $$ とする。 $X^V$ は $X\to\alpha X$ という変換に対して不変である。
この定義の意味は次のようなものである。 すなわち、$X^{S(V)}$ は $V$ にとっての $\alpha$ の空間的な微小な移動距離（単位パラメータ $\lambda$ 当たり）であり、$-g(X,V)/c$ はその移動の間に経過した $V$ の固有時である。
速度限界と光速不変の原理
瞬間の観測者 $V\in T_pM$ と 任意の因果的ベクトル $X\in T_pM$ に対して、 $$ ||X^V||^2=\frac{c^2||X||^2}{g(X,V)^2}+c^2\le c^2 $$ となる。 これは任意の因果的世界線を任意の観測者が観測してもその空間的速さが光速 $c$ を超えないことを意味している。 さらに $X$ が光的であるときは、$||X^V||^2=c^2$ である。 これは実際の実験結果である光速不変の原理を表現している。
Lorentz座標 $\{x^0,x^1,x^2,x^3\}$ を適当に取れば、時空点 $p\in M$ における瞬間の観測者は $V=(\partial_0)_p$ と表される。 このとき、$X=\cosh\theta\partial_0+\sinh\theta\partial_1$ としてよい。 よって、$X^V=c\tanh\theta\partial_x$ を得る。 このことから、$V$ が観測する $X$ の $x$ 方向の速度（符号付き）を $v$ とすると、$\tanh\theta=\frac{v}{c}$ である。 $V$ と $X$ の時空でのなす角 $\theta$ が大きいほど、速さは光速 $c$ に近づく。
このように特殊相対性理論とNewton力学との顕著な違いの一つは物理的に意味のある最高速度は光速であり、その世界線は光的測地線となることである。 従って、空間的に離れた時空の任意の２点は因果的に関係することはできない。 Newton力学ではそれが可能な場合もある。
速度合成
３つの瞬間の観測者 $X,Y,Z\in T_pM$ が一次従属であるとする。 $T_pM$ の基底 $\{\partial_0,\partial_1,\partial_2,\partial_3\}$ を適当に取り、$X=\partial_0,\ Y=\cosh\theta\partial_0+\sinh\theta\partial_1,\ Z=\cosh\phi\partial_0+\sinh\phi\partial_1,\ 0\le\theta\le\phi$ としてよい。 このとき、$v_1=|Y^X|=c\tanh\theta,\ v_2=|Z^Y|=c\tanh(\phi-\theta)$ であるから、 $$ \begin{aligned} v=|Z^X|=\tanh\phi=\tanh(\phi-\theta+\theta)=\frac{v_1/c+v_2/c}{1+v_1v_2/c^2} \end{aligned} $$ となる。
ローレンツ収縮
ある観測者に対して物体が運動しているとする。 このとき、その観測者の測定するその物体の運動方向への空間的長さは、その物体の静止系で測定される長さに比べて小さいということが結論される。 これをローレンツ収縮 (Lorentz contraction)と呼ぶ。
この現象はMinkowski時空の幾何学として以下のように理解される。 ある観測者 $V\in T_pM$ が $p=(0,0,0,0),\ V=\partial_0$ と表されるようなLorentz座標 $\{x^0,x^1,x^2,x^3\}$ を一つ固定する。 観測者 $V$ のこの瞬間（時空点 $p$）の時間一定面は $\{(0,x^1,x^2,x^3)\in M\}$ である。 一方、$V$ から見て $\partial_1$ 方向へ速さ $v$ で移動する観測者 $V_\theta\in T_pM,\ \tanh\theta=v/c$ のこの瞬間の時間一定面は、 $$ \begin{aligned} &\{(\sinh\theta x^1,\cosh\theta x^1,x^2,x^3)\in M\},\\ &\sinh\theta=\frac{v/c}{\sqrt{1-(v/c)^2}},\ \cosh\theta=\frac{1}{\sqrt{1-(v/c)^2}} \end{aligned} $$ である。
このとき、ある観測者がある時刻に見た物体の空間的な大きさは、その観測者の時刻一定面とその物体がはく時空領域（物体の４次元的領域）の共通部分のことと定義する。
従って、物体の長さも観測者に依存する。 いま、２つの粒子の世界線がそれぞれ $c_1(t)=(ct,0,0,0),\ c_2(t)=(ct,L,0,0)$ であるとする。 ここで $t$ は $V$ の固有時である。 観測者 $V$ から見たこの２つの粒子の空間的な距離は $L$ である。 一方、$V_\theta$ の時刻一定面 $\Pi_\theta$ 上を $p$ から $x^1$ 方向へ距離 $\lambda$ 進んだ点は $(\sinh\theta,\cosh\theta,0,0)\lambda$ であるから、$\Pi_\theta$ と $c_2(t)$ の共有点は、 $$ \begin{aligned} (\sinh\theta,\cosh\theta,0,0)\lambda=(ct,L,0,0),\\ \therefore\ \lambda=\frac{L}{\cosh\theta} \end{aligned} $$ で与えられる。 従って、この瞬間、観測者 $V_\theta$ にとっての $c_1,c_2$ の空間的距離 $L'$ は、 $$ \begin{aligned} L'=L\sqrt{1-(v/c)^2}\ (<L) \end{aligned} $$ である。 このように、相対運動する方向に広がった物体は縮んで見える。
経過時間の相対性
互いに運動する観測者は自分の固有時と相手の固有時の差異を観測することを解説する。
最も単純な状況として互いに等速直線運動する２つの観測者を考えよう。 あるLorentz座標において、ある観測者が $c_1(\tau_1)=(c,0,0,0)\tau_1$ と表されているとする。 また $c_1$ に対して、$x^1$ 方向へ速度 $v$ で等速直線運動する観測者を $c_2(\tau_2)=(\cosh\theta,\sinh\theta,0,0)c\tau_2,\ (\tanh\theta=v/c)$ とする。 このとき、$c_1,c_2$ の共有点をそれぞれの固有時0の点とし、それぞれの固有時を $\tau_1,\tau_2$ とする。 すると、$c_2$ の固有時 $\tau_2=1$ の事象、すなわち $c_2(1)$ は観測者 $c_1$ にとっては固有時 $\tau_1=\cosh\theta$ の時刻一定面、すなわち $\{(\cosh\theta,x^1,x^2,x^3)\in M\}$ 上の事象である。 このことから、例えば、$c_1$ が $c_2$ と共に運動する時計を観測したとき、$c_1$ の時計で $\cosh\theta$ 秒かけて $c_1$ の時計が1秒を刻むのを観測することになり、$c_1$ は $c_2$ の時計が自分より遅れているように見える。
またこの議論で $c_1,c_2$ の役割を入れ替えることもできるので、$c_2$ も $c_1$ の時計が自分より遅れているように見えることが分かる。 このことから、互いに等速度で相対運動する観測者は互いに相手の時計の進みが遅れていることを観測する。
エネルギー、運動量
質量 $m$ の粒子の固有時パラメータ付けされた世界線を $\gamma:I\in \tau\mapsto\gamma(t)\in M$ とする。 このとき $$ p=m\frac{d\gamma}{d\tau} $$ をこの粒子 $\gamma$ の4元運動量 (4-momentum)と呼ぶ。 点 $\gamma(\tau)$ における観測者を $V\in T_{\gamma(\tau)}M$ とするとき、$V$ が観測する $\gamma$ の運動量を $$ p^{S(V)}=p+g(p,V)V\ \in T_{\gamma(\tau)}M $$ と定義する。 さらに $V$ が観測する $\gamma$ のエネルギー $E_\gamma^V$ を $$ E_\gamma^V:=-c\ g(p,V) $$ と定義する。
適当なLorentz座標 $\{x^0,x^1,x^2,x^3\}$ を取ると、$V=\partial_0$、$X\colon=\frac{d\gamma}{d\tau}=c\cosh\theta\partial_0+c\sinh\theta\partial_1,\ (\tanh\theta=v/c)$ と表される。 このとき、$V$ が観測する $\gamma$ のエネルギーは \begin{align} E^V_\gamma=-cmg(X,V)=mc^2\cosh\theta&=\frac{mc^2}{\sqrt{1-(v/c)^2}}\\ &=mc^2+\frac{1}{2}mv^2+\cdots \end{align} となる。
$v=0$ のとき、 $$ E_\gamma^V=mc^2 $$ となる。 これはEinsteinの公式と呼ばれ、たぶん特殊相対論において一番有名な式である。
電磁場
Minkowski時空 $M$ において、ベクトルポテンシャル (vector potential) は１形式 $A$ として与えられる。 ベクトルポテンシャルはゲージ場の一種であるが、ここではゲージ理論については深入りしない。 さらに電磁場 (Electromagnetic field) は、２形式 $$ F=dA $$ として定義される。
物理的に意味があるのは電磁場である。 任意の関数 $f\in C^\infty(M)$ に対して、ベクトルポテンシャルを $$ A'=A+df $$ と変換しても、$F'=dA'=d(A+df)=dA=F$ となり、この変換で電磁場は不変である。 従って、このベクトルポテンシャルの変換は物理的な意味は持たない。 この変換はゲージ変換 (Gauge transformation) と呼ばれる。 これはゲージ理論における一般のゲージ変換のゲージ群を可換群にした特別な場合のものである。
観測者 $V\in T_pM$ に対して、$\{x^0,x^1,x^2,x^3\}$ を $\partial_0|_p=V$ となるLorentz座標を一つとる。 １形式 $E,B$ を $$ \begin{align} E&:=-c\partial_0\lrcorner F,\\ B&:=\partial_0\lrcorner(\ast F) \end{align} $$ と定義する。 ここで、$\lrcorner$ は内部積であり、体積要素は $dx^0\wedge dx^1\wedge dx^2\wedge dx^3=4!dx^{[1}\otimes dx^2\otimes dx^3\otimes dx^{4]}$ とする。 $E,B\in \Omega^1(M)$ を $V$ が観測する電場 (Electric field)、磁場 (Magnetic field)という。 $E,B$ の計量双対を取りベクトル場 ${}^\sharp E,{}^\sharp B\in \mathcal{X}(M)$ を電場、磁場と呼ぶこともあり、文脈に依存する。
電磁場 $F$ は Yang-Mills 方程式 $$ \delta F=\mu_0J $$ を満たすことが要請される。 ここで $\delta$ は $d$ に対する余外微分、$J\in \Omega^1(M)$ は電流密度と呼ばれ物理的には電磁場を作り出す源となる。 また $J$ の係数は物理的な次元や符号を合わせるためのもので数学的には本質的ではない。 ただし、電流密度が0の領域でも電磁波のように非自明な解は存在する。 また電流密度を作り出す物質と電磁場も相互作用するので、実際には物質場の方程式と連立しなければならない。 しかしここでは、電流密度は外場とみなし（つまり、電磁場からの作用を受けない）、電磁場のみについて述べる。 特に、$J=0$ のときはこれらの事情を考える必要は普通ない。
一般的にはYang-Mills方程式はゲージ理論におけるゲージ場が従う方程式であり、先に述べたことは、電磁場の場合に制限したものであるが、形式的には同じである。 またYang-Mills方程式 $\delta F=J$ とBianchi恒等式 $dF=ddA=0$ を合わせて、Maxwell方程式と呼ぶ。
Maxwell方程式
ここではBianch恒等式とYang-Mills方程式を任意のLorentz座標 $\{x^0,x^1,x^2,x^3\}$ に関して具体的に書き下す。 ただし、時空は真空であるとする。 ギリシャ文字 $\mu,\nu,\lambda,\cdots$ は $0,1,2,3$ の値を取るとし、ラテン文字 $i,j,k,\cdots$ は $1,2,3$ の値を取るとする。
定義より、電場と磁場は $F_{i0}=E_i/c,\ F_{ij}=\sum_k\epsilon_{ijk}B_k$ である。 また３次元の空間的なベクトルを $\mathbb{E}=\sum_{k=1}^3E_k\partial_k,\ \mathbb{B}=\sum_{k=1}^3B_k\partial_k$ と定義する。
まず、Bianchi恒等式は、 $$ \begin{align} dF=\frac{1}{3}\sum_{\mu,\nu,\lambda}(\partial_\mu F_{\nu\lambda}+\partial_\nu F_{\lambda\mu}+\partial_\lambda F_{\mu\nu})dx^\mu\wedge dx^\nu\wedge dx^\lambda=0 \end{align} $$ であり、非自明なのは、(i) $\mu=0,1\le\nu=i,\lambda=j\le 3$、(ii) $1\le\mu=i,\nu=j,\lambda=k\le 3$ のときである。
(i) $\mu=0,1\le\nu=i,\lambda=j\le 3$ のとき
$$ \begin{align} 0&=\partial_0 F_{ij}+\partial_i F_{j0}+\partial_j F_{0i}\\ &=\epsilon_{ijk}\partial_0B_k+\frac{2}{c}\partial_{[i}E_{j]},\\ 0&=2\partial_0B_k+\frac{2}{c}\epsilon_{kij}\partial_{[i}E_{j]},\\ 0&=\partial_0B_k+\frac{1}{c}\epsilon_{kij}\partial_{i}E_{j},\\ &\partial_t\mathbb{B}+{\rm rot}\mathbb{E}=0 \end{align} $$
(ii) $1\le\mu=i,\nu=j,\lambda=k\le 3$ かつ $i\ne j\ne k$ のとき
$$ \begin{align} 0&=\partial_i F_{jk}+\partial_j F_{ki}+\partial_k F_{ij},\\ 0&=\sum_l(\epsilon_{jkl}\partial_i B_l+\epsilon_{kil}\partial_j B_l+\epsilon_{ijl}\partial_k B_l),\\ 0&=\epsilon_{jki}\partial_i B_i+\epsilon_{kij}\partial_j B_j+\epsilon_{ijk}\partial_k B_k,\\ &{\rm div}\mathbb{B}=0 \end{align} $$
次にYang-Mills方程式を書き下す。 $$ \begin{align} \delta F&=-\partial^\mu F_{\mu\nu}dx^\nu,\\ &=-\frac{1}{c}\partial_iE_idx^0+\left(-\frac{1}{c}\partial_0E_i-\partial_jF_{ji}\right)dx^i,\\ &=-\frac{1}{c}\partial_iE_idx^0+\left(-\frac{1}{c}\partial_0E_i+\epsilon_{ijk}\partial_jB_k\right)dx^i,\\ &=-\frac{1}{c}{\rm div}\mathbb{E}dx^0+\left(-\frac{1}{c^2}\partial_tE_i+({\rm rot}\mathbb{B})_i\right)dx^i \end{align} $$ である。 さらに、４元電流密度を $$ \begin{align} J:=c\rho\partial_0+\sum_{k=1}^3j_k\partial_k \end{align} $$ と定義する。 よって、$\delta F=\mu_0J$ より、 $$ \begin{align} {\rm div}\mathbb{E}=\frac{\rho}{\varepsilon_0},\\ {\rm rot}\mathbb{B}-\frac{1}{c^2}\partial_t\mathbb{E}=\mu_0\mathbb{j} \end{align} $$ を得る。
以上に現れた４つの式 $$ \begin{align} &\partial_t\mathbb{B}+{\rm rot}\mathbb{E}=0,\\ &{\rm div}\mathbb{B}=0,\\ &{\rm div}\mathbb{E}=\frac{\rho}{\varepsilon_0},\\ &{\rm rot}\mathbb{B}-\frac{1}{c^2}\partial_t\mathbb{E}=\mu_0\mathbb{j} \end{align} $$ はMaxwell方程式と呼ばれる。 従って、Maxwell電磁気学は任意の慣性的観測者に対して成り立つ。
電磁場のエネルギー運動量テンソル
真空中の電磁場 $F$ に対して、エネルギー運動量テンソルを $$ \begin{align} T(X,Y)=\frac{1}{\mu_0}\left(g^\ast(X\lrcorner F,Y\lrcorner F)-\frac{1}{4}||F||^2g(X,Y)\right) \end{align} $$ と定義する。 ここで、$g^\ast$ は双対接空間に定義される内積である。 チャートに関して成分表示すると $$ \begin{align} T_{\mu\nu}=\frac{1}{\mu_0}\left(F_{\mu\rho}F_\nu^{\ \rho}-\frac{1}{4}F_{\rho\omega}F^{\rho\omega}g_{\mu\nu}\right) \end{align} $$ である。
あるLorentz座標系 $\{x^0,x^1,x^2,x^3\}$ に関して、 $$ F=\sum_i\frac{1}{c}E_idx^i\wedge dx^0+\frac{1}{2}\sum_{i,j,k}\epsilon_{ijk}B_idx^j\wedge dx^k $$ と表すとき、 $$ \begin{align} T_{00}&=\frac{1}{2}(\mathbb{E}\cdot\mathbb{D}+\mathbb{H}\cdot\mathbb{B}),\\ T_{i0}&=-\frac{1}{c}\mathbb{S}_i,\ \mathbb{S}=\mathbb{E}\times\mathbb{H},\\ T_{ij}&=-\epsilon_0E_iE_j-\mu_0H_iH_j+\frac{1}{2}(\mathbb{E}\cdot\mathbb{D}+\mathbb{H}\cdot\mathbb{B})\delta_{ij} \end{align} $$ となる。 ただし、$\mathbb{D}=\varepsilon_0\mathbb{E},\mathbb{B}=\mu_0\mathbb{H}$ である。
Proof.
$$ \begin{align} ||F||^2&=2(\sum_iF_{0i}F^{0i}+\sum_{i<j}F_{ij}F^{ij})=-\frac{2}{c^2}|\mathbb{E}|^2+2|\mathbb{B}|^2,\\ T_{00}&=\frac{1}{\mu_0}(F_0^{\ \alpha}+F_{0\alpha}+\frac{1}{4}||F||^2) =\frac{1}{\mu_0}(\frac{1}{c^2}|\mathbb{E}|^2-\frac{1}{2c^2}|\mathbb{E}|^2+\frac{1}{2}|\mathbb{B}|^2) =\frac{1}{2}(\mathbb{E}\cdot\mathbb{D}+\mathbb{H}\cdot\mathbb{B}),\\ T_{i0}&=\frac{1}{\mu_0}F_0^{\ \nu}F_{i\nu}=-\frac{1}{\mu_0}F_{j0}F_i^{\ j}=-\frac{1}{\mu_0c}\sum_{j,k}E_j\epsilon_{ijk}B_k =-\frac{1}{c}(\mathbb{E}\times\mathbb{H})_i,\\ T_{ij}&=\frac{1}{\mu_0}(F_i^{\ \mu}F_{j\mu}-\frac{1}{4}F_{\mu\nu}F^{\mu\nu}g_{ij}) =\frac{1}{\mu_0}(F_i^{\ 0}F_{j0}+F_{ik}F_{jk}+\frac{1}{2}(|\mathbb{E}|^2/c^2-|\mathbb{B}|^2)\delta_{ij})\\ &=\frac{1}{\mu_0}(-\frac{1}{c^2}E_iE_j+\epsilon_{ikl}\epsilon_{jkm}B_lB_m+\frac{1}{2}(|\mathbb{E}|^2/c^2-|\mathbb{B}|^2)\delta_{ij})\\ &=-\varepsilon_0E_iE_j+\frac{1}{\mu_0}(\delta^i_j\delta^l_m-\delta^i_m\delta^l_j)B_lB_m+\frac{1}{2}(\mathbb{E}\cdot\mathbb{D}-\mathbb{B}\cdot\mathbb{H})\delta_{ij},\\ &=-\varepsilon_0E_iE_j+\mathbb{B}\cdot\mathbb{H}\delta_{ij}-\frac{1}{\mu_0}B_jB_i+\frac{1}{2}(\mathbb{E}\cdot\mathbb{D}-\mathbb{B}\cdot\mathbb{H})\delta_{ij} =-\varepsilon_0E_iE_j-\mu_0H_iH_j+\frac{1}{2}(\mathbb{E}\cdot\mathbb{D}+\mathbb{B}\cdot\mathbb{H})\delta_{ij} \end{align} $$
□さらに、 $$ \begin{align} \partial^\mu T_{\mu\nu}=\mu_0F_\nu^{\ \mu}J_\mu \end{align} $$ が成り立つ。
Proof.
$$ \begin{align} \partial^\mu T_{\mu\nu}&=\partial^\mu(F_{\mu\lambda}F_\nu^{\ \lambda}-\frac{1}{4}F_{\lambda\rho}F^{\lambda\rho}g_{\mu\nu}),\\ &=\partial^\mu F_{\mu\lambda}F_\nu^{\ \lambda}+F_{\mu\lambda}\partial^\mu F_\nu^{\ \lambda}-\frac{1}{4}\partial^\mu(F_{\lambda\rho}F^{\lambda\rho})g_{\mu\nu},\\ &=\partial^\mu F_{\mu \lambda}F_\nu^{\ \lambda}+F_{\mu \lambda}\partial^\mu F_\nu^{\ \lambda}-\frac{1}{2}(\partial_\nu F_{\lambda\rho})F^{\lambda\rho},\\ &=\partial^\mu F_{\mu\lambda}F_\nu^{\ \lambda}+F_{\mu\lambda}\partial^\mu F_\nu^{\ \lambda}+\frac{1}{2}(\partial_\lambda F_{\rho\nu}+\partial_\rho F_{\nu\lambda})F^{\lambda\rho},\\ &=\partial^\mu F_{\mu \lambda}F_\nu^{\ \lambda}=\mu_0F_\nu^{\ \lambda}J_\lambda,\ (\because\ \partial^\mu F_{\mu\nu}=\mu_0J_\nu) \end{align} $$
□また、上の式を時間と空間の成分に分解すると、 $$ \begin{align} -\frac{\partial w}{\partial t}&={\rm div}\mathbb{S}+\mathbb{E}\cdot\mathbb{j},\\ \frac{1}{c^2}\frac{\partial\mathbb{S}}{\partial t}&={\rm div}\mathbb{M}-(\rho\mathbb{E}+\mathbb{j}\times\mathbb{B}) \end{align} $$ となる。ただし、 $$ \begin{align} J&=\rho dx^0-\sum_{k=1}^3j_kdx^k,\\ w&:=\frac{1}{2}(\mathbb{E}\cdot\mathbb{D}+\mathbb{H}\cdot\mathbb{B}),\\ M_{ij}&:=-T_{ij}=\epsilon_0E_iE_j+\mu_0H_iH_j-\frac{1}{2}(\mathbb{E}\cdot\mathbb{D}+\mathbb{H}\cdot\mathbb{B})\delta_{ij},\\ {\rm div}\mathbb{M}&=\sum_{i,j=1}^3\partial_iM_{ij}\partial_j \end{align} $$ と置いた。
Proof.
$$ \begin{align} \partial^\mu T_{\mu0} &=\partial^0T_{00}+\partial^iT_{i0} =-\frac{1}{c}\frac{\partial w}{\partial t}-\frac{1}{c}\partial_iS_i \\ \mu_0F_0^{\ \mu}J_\mu &=\mu_0F_{0\mu}J^\mu =\mu_0F_{0i}J^i =-\mu_0\frac{1}{c}E_iJ^i =\mu_0\frac{1}{c}E_ij^i,\\ \partial^\mu T_{\mu i} &=\partial^0T_{0i}+\partial^jT_{ji} =\frac{1}{c^2}\partial_tS_i-\partial^jM_{ji}, \\ \mu_0F_i^{\ \mu}J_\mu &=\mu_0F_{i0}J^0+\mu_0F_{ij}J^j \end{align} $$
□慣性系による電磁場の現れ方の違い
２つの慣性系間の座標変換はLorentz変換であるから、それぞれの座標系に関する電磁場 $F$ の成分も2形式の変換規則に従い変換される。具体的には、二つの慣性系 $S,S'$ があり、$S$ のLorentz座標系を $\{x^\mu\}$、$S'$ のLorentz座標系を $\{y^\mu\}$ とする。慣性系 $S$ において、電磁場が $$ \begin{align} F&=F_{\mu\nu}dx^\mu\wedge dx^\nu,\\ &=\frac{E_i}{c}dx^i\wedge dx^0+\sum_{i<j}\sum_k\epsilon_{ijk}B_kdx^i\wedge dx^j \end{align} $$ と表されたとすると、慣性系 $S'$ においては、 $$ \begin{align} F=F_{\mu\nu}\frac{\partial x^\mu}{\partial y^\alpha}\frac{\partial x^\nu}{\partial y^\beta}dy^\alpha\wedge dy^\beta \end{align} $$ となる。 従って電場、磁場という概念は慣性系に依存した概念であることがわかる。 より明示的な表示を得るために、$S'$ 系が $S$ 系の $x^1$ 軸の方向へ速さ $v$ で等速に移動している状況、すなわち $$ \begin{align} x^0&=\cosh\theta y^0+\sinh\theta y^1,\\ x^1&=\sinh\theta y^0+\cosh\theta y^1,\\ x^2&=y^2,\\ x^3&=y^3,\\ \tanh\theta&=v/c \end{align} $$ が成り立っているとする。 このとき、 $$ \begin{align} F&=\frac{E_1}{c}dx^1\wedge dx^0+\frac{E_2}{c}dx^2\wedge dx^0+\frac{E_3}{c}dx^3\wedge dx^0+B_3dx^1\wedge dx^2+B_2dx^3\wedge dx^1+B_1dx^2\wedge dx^3,\\ &=\frac{E_1}{c}(\sinh\theta dy^0+\cosh\theta dy^1)\wedge(\cosh\theta dy^0+\sinh\theta dy^1) +\frac{E_2}{c}dy^2\wedge (\cosh\theta dy^0+\sinh\theta dy^1)\\ &+\frac{E_3}{c}dy^3\wedge (\cosh\theta dy^0+\sinh\theta dy^1) +B_3(\sinh\theta dy^0+\cosh\theta dy^1)\wedge dy^2 +B_2dy^3\wedge (\sinh\theta dy^0+\cosh\theta dy^1)\\ &+B_1dy^2\wedge dy^3,\\ &=\frac{E_1}{c}dy^1\wedge dy^0 +(\frac{E_2}{c}\cosh\theta-B_3\sinh\theta) dy^2\wedge dy^0 +(\frac{E_3}{c}\cosh\theta+B_2\sinh\theta) dy^3\wedge dy^0\\ &+(-\frac{E_2}{c}\sinh\theta+B_3\cosh\theta) dy^1\wedge dy^2 +(\frac{E_3}{c}\sinh\theta+B_2\cosh\theta) dy^3\wedge dy^1 +B_1dy^2\wedge dy^3 \end{align} $$ となる。 よって $$ \begin{align} E'_1&=E_1,\\ E'_2&=E_2\cosh\theta-cB_3\sinh\theta=\frac{E_2-B_3v}{\sqrt{1-(v/c)^2}},\\ E'_3&=E_3\cosh\theta+cB_2\sinh\theta=\frac{E_3+B_2v}{\sqrt{1-(v/c)^2}},\\ B'_1&=B_1,\\ B'_2&=\frac{E_3}{c}\sinh\theta+B_2\cosh\theta=\frac{B_2+E_3v/c^2}{\sqrt{1-(v/c)^2}},\\ B'_3&=-\frac{E_2}{c}\sinh\theta+B_3\cosh\theta=\frac{B_3-E_2v/c^2}{\sqrt{1-(v/c)^2}} \end{align} $$ と変換することが分かる。 従って、$S$ 系から見た $S'$ 系の運動方向を $\mathbb{v}$ とすると(この方向を $x^1$ 方向に取ることは常にできるから)、 $$ \begin{align} \mathbb{E}'_{||}&=\mathbb{E}_{||},\\ \mathbb{E}'_{\perp}&=\frac{\mathbb{E}_{\perp}+\mathbb{v}\times\mathbb{B}}{\sqrt{1-(v/c)^2}},\\ \mathbb{B}'_{||}&=\mathbb{B}_{||},\\ \mathbb{B}'_{\perp}&=\frac{\mathbb{E}_{\perp}-\mathbb{v}\times\mathbb{E}/c^2}{\sqrt{1-(v/c)^2}}, \end{align} $$ となる。 ここで、$||,\perp$ はそれぞれ $\mathbb{v}$ に平行な成分と垂直な成分を表す。
具体例として点電荷が静止している系と等速運動している系での電場、磁場の関係を計算する。 $S'$ 系の原点に電荷 $e$ の点電荷が静止していて、この電荷が作り出す電磁場が $$ \begin{align} F&=\frac{E'_i}{c}dy^i\wedge dy^0,\\ E'_i(y)&=\frac{e}{4\pi\epsilon_0}\frac{y^i}{r'^3},\\ r'&=\sqrt{(y^1)^2+(y^2)^2+(y^3)^2} \end{align} $$ であるとする。 これはCoulombの法則により発生する電場である。 このとき、上の変換式で $\mathbb{E},\mathbb{B}$ の'ありなしを入れ替えて、$\mathbb{v}$ を $-\mathbb{v}$ にすると、 $$ \begin{align} \mathbb{E}&=\frac{e}{4\pi\epsilon_0}\frac{\mathbb{x}-\mathbb{v}t}{((x^1-vt)^2+(x^2)^2+(x^3)^2)^{3/2}\sqrt{1-(v/c)^2}},\\ \mathbb{B}&=\frac{1}{c^2}\mathbb{v}\times\mathbb{E} \end{align} $$ となる。 第二式は $v=|\mathbb{v}|$ が小さいときは、近似的に電流が作り出す磁場の公式であるBiot-Savartの法則を与える。
例題
＜＜執筆中＞＞
ここでは、相対論的力学の適用例としていくつかの例題を示す。
同時刻の相対性(1)
ある慣性系 $S$ から $S$ の固有時で一定の時間間隔で３つの宇宙船 $A,B,C$ が飛び立った。 $A,B,C$ はこの順番に並び、 $S$ に対して同じ方向に同じ速さであるとする。 あるとき、$B$ は $A,C$ に向けて同時に光で信号を出した。 $B$ と共に動く座標系で見れば $A,C$ は等距離の場所に静止しているので、$B$ の固有時では $A,C$ はこの信号を同時に受け取った。 一方、 $S$ の固有時では $A$ の方が $C$ よりも早く信号を受け取った。 このことを時空図を描いて説明せよ。
答え
図の赤い点がA,Cが光信号を受け取った事象である。 それらの事象の $S$ の固有時における時刻は $t_1,t_2$ で $t_1<t_2$ となる。 一方、緑の点線は $B$ の固有時一定面であり、これら２つの事象が同時刻になっていることがわかる。
同時刻の相対性(2)
慣性系 $S$ において、事象 P が起き、その１秒後に P から空間的に $1.5\times 10^8 {\rm m}$ 離れた場所で事象 Q が起きたとする。このとき、Q が P よりも先に起きる慣性系は存在するか。 また、P,Q が同じ場所で起きる慣性系は存在するか。
答え
２つの慣性系間の座標変換はMinkowski時空の時間の向きを変えない等長変換を誘導する。 時間の向きを変えない等長変換は未来向きの時間的曲線という性質を不変にする。 P から Q へ向けて未来向きの時間的曲線が存在するから、Q が P よりも先に起きる慣性系は存在し得ない。 P,Q を結ぶ時間的測地線は慣性的観測者であり、この慣性系において、P,Q は同じ場所で起こる。
（物理的な補足） P,Q 間の距離は１秒間に光が進む距離 $3.0\times10^8{\rm m}$ よりも小さい。 従って、P は Q の原因となり得る。 この関係はどんな観測者から見ても逆転されない。 またP,Q を結ぶ時間的測地線は $1.5\times 10^8 {\rm m/s}$ の速さ（これは光速より遅いため可能）で１秒で P,Q 間を最短で通過する観測者である。
□同時刻の相対性(3)
慣性系 $S$ の一つのLorentz座標を $\{x^0,x^1,x^2,x^3\}$ とする。 ２つの事象 $P=(0,0,0,0)$ と $Q=(ct,x,0,0),\ (t>0)$ に対して、P,Q が同時刻に起きる慣性系 $S'$ が存在するための $t,x$ の条件を求めよ。
答え
$M$ の任意の二つの事象に対して、これらが同時刻に起こる慣性系が存在するための必要十分条件は、これら２つを通る空間的な測地線が存在することである。 従って、求める条件は $-c^2t^2+x^2>0$ である。
このとき、$\tanh\theta=ct/x$ となる $\theta$ に対して、瞬間の観測者 $V=\cosh\theta\partial_0+\sinh\theta\partial_1$ が定義する慣性系は条件を満たす。
□時間の遅れ(1)
$\mu$ 粒子の寿命は静止系で $2.2\mu$s である（この時間でおよそ９割の $\mu$ 粒子が崩壊する）。 地上30kmで生じた $\mu$ 粒子が崩壊する前に地上に到達するには $\mu$ 粒子は地上の静止系に対してどれぐらいの速さで飛ばなければならないか。
答え
$\mu$ 粒子の地上に対する速度を $v=kc,\ 0<k<1$ とする。 $\mu$ 粒子の寿命を $\tau_0=2.2\mu$s とし、$\mu$ 粒子が生じてから地上に到達するまでの地上静止系での時間を $t=L/v,\ L=30$km とすると、 $$ \begin{align} \tau_0&=\sqrt{1-k^2}L/kc,\\ \therefore\ k&=\frac{L}{c^2\tau_0^2+L^2}\sim0.99 \end{align} $$ よって $\mu$ 粒子は地上に対して光速のおよそ99%で飛んでいなければならない。
青色の破線は光の世界線であり、赤色の線が光速に近い速度で飛ぶ $\mu$ 粒子の世界線である。 黒の破線は $O$ からの距離が $|OA|$ と等しくなる点の軌跡（の一部）である。 従って、$|OA|=|OB|$ である。 静止系の固有時で $|OA|/c$ 秒経過した時点で $\mu$ 粒子は静止系で測って $L'$ 進んでいるが、このときまだ $\mu$ 粒子の固有時では $|OA|/c$ 秒経過していない。 $\mu$ 粒子の固有時で $|OA|/c=|OB|/c$ 秒間飛ぶと静止系では $L(>L')$ 進んでいることになる。
時間の遅れ(2)
水素原子は静止系において、$1.4\times10^9$Hz（波長21cm）の電磁波を放出する。 水素原子が慣性的観測者と水素原子を結ぶ直線に（空間的に）垂直な方向に速さ $0.7c$ で動いた瞬間にこの電磁波を発したとする。 このとき、この観測者が観測するこの水素原子からの電磁波の波長はいくらか。
答え
観測者の固有時 $\Delta t$ と 水素原子の固有時 $\Delta\tau$ には $$ \begin{align} \Delta\tau=\sqrt{1-0.7^2}\Delta t \end{align} $$ の関係がある。 水素原子の静止系で放射された電磁波が $\Delta\tau$ 秒で $n$ 回振動するとすれば、$1.4\times10^9=n/\Delta\tau$ である。 よって、観測者の観測する電磁波の振動数は $$ \begin{align} \frac{n}{\Delta t}=\sqrt{1-0.7^2}\times1.4\times10^9\sim\frac{1}{1.4}\times1.4\times10^9=1.0\times10^9 \end{align} $$
これは通常の媒質を伝わる波の場合、垂直方向の運動はドップラー効果を起こさない。 時間の遅れという相対論的効果によって引き起こされるこの現象を横ドップラー効果という。
□時間の遅れ(3)
ある水素原子が慣性的観測者と見なせる状況を考える。 ある慣性的観測者がこの水素原子に対して速さ $0.7c$ で運動しているとする。 観測者はこの水素原子から発生した振動数が $1.4\times10^9$Hz（波長21cm）の電磁波を両者を結ぶ直線に垂直に観測者が動いている瞬間に受け取った。 観測者が観測した電磁波の振動数を求めよ。
答え
水素原子の固有時 $\Delta t$ と 観測者の固有時 $\Delta\tau$ には $$ \begin{align} \Delta\tau=\sqrt{1-0.7^2}\Delta t \end{align} $$ の関係がある。 水素原子の静止系で放射された電磁波が $\Delta t$ 秒で $n$ 回振動するとすれば、$1.4\times10^9=n/\Delta t$ である。 よって、観測者の観測する電磁波の振動数は $$ \begin{align} \frac{n}{\Delta \tau}=\frac{1}{\sqrt{1-0.7^2}}\times1.4\times10^9\sim2.0\times10^9 \end{align} $$
□時間の遅れ(4)
上の二つの計算結果は特殊相対性原理に矛盾しないことを説明せよ。
答え
電磁波が発生した瞬間の観測者と水素原子の相対運動に違いがあるため特殊相対性原理には矛盾しない。 すなわち、（２）の状況では、観測者が受け取った電磁波は、水素原子が観測者と水素原子を結ぶ直線に垂直に動いた瞬間に発生したものである（下図左）。 一方、（３）の状況では、観測者が受け取った電磁波は、観測者が観測者と水素原子を結ぶ直線に垂直に動いた瞬間よりも以前に発生したものであり、その瞬間には観測者と水素原子は互いに互いを結ぶ直線の方向に向かい合う相対速度を持っている（下図右）。
ローレンツ収縮(１)
ある慣性系 $\{x^0,x^1,x^2,x^3\}$ に関して、観測者が $x^i=0,\ (i=1,2,3)$ に静止しているとする。 長さ $L$ の棒が $x^1$ 軸に平行に配置され、$x^2$ 方向へ速さ $v$ で運動しているとする。 さらに、棒の両端 A,B の世界線の $x^1$ 座標はそれぞれ $0,L$ とする。 観測者は光で棒を見るとする。 A の世界線と観測者が交わる瞬間に観測者が見る棒は $x^1$ 軸に対して傾いていることを示せ。
答え
A の世界線を $(x^0(u),x^1(u),x^2(u),x^3(u))=(\cosh\theta,0,\sinh\theta,0)u$、B の世界線を $(x^0(u),x^1(u),x^2(u),x^3(u))=(u\cosh\theta,L,u\sinh\theta,0)$ とする。 ただし、$\tanh\theta=v/c$ である。 原点において観測者が受け取る光は、原点を頂点とした光円錐の過去成分 $$ -(x^0)^2+(x^1)^2+(x^2)^2+(x^3)^2=0,\ x^0<0 $$ 上から発された光である。 従って、B の世界線と光円錐との交点から発された光を観測者は受け取る。 両者の交点を求めるため、方程式を連立すると \begin{align} -u^2\cosh^2\theta+L^2+u^2\sinh^2\theta&=0,\\ \therefore\ u&=-L \end{align} 従って、B の世界線と光円錐との交点 B' は $(-L\cosh\theta,L,-L\sinh\theta,0)$ であり、その $x^2$ 座標は $-\frac{Lv/c}{\sqrt{1-(v/c)^2}}$ である。 よって観測者が受け取る B' からの光と $x^1$ 軸とのなす角 $\phi$ は $$ \tan\phi=\frac{v/c}{\sqrt{1-(v/c)^2}}\sim\frac{v}{c} $$ である。 よって観測者には棒が $x^1$ 軸と角度 $\phi\sim v/c$ をなして傾いているように見える。
青色の平面が棒の世界面であり、黄色の円錐が観測者を頂点とする過去の光円錐である。
□ローレンツ収縮(２)
答え
□
Lorentz群
Lorentz群の基本事項
ここでは特殊相対論において基本的となるLorentz群についての事実を述べる。 $(1,3)$型の擬ユークリッド空間 $\mathbb{E}^{(1,3)}$ を単に計量線形空間 $(V,\eta)$ とみなす。 ただし、$\eta$ は $(1,3)$ 型の計量テンソルである。 以下では $V$ の正規直交基底 $\{e_0,e_1,e_2,e_3\}$ を一つ固定し、$V,V\otimes V^\ast,V^\ast\otimes V^\ast$ などの元の成分はこの基底と双対基底に関してのものとする。$\eta\ (\in V^\ast\otimes V^\ast)$ の成分は $$ \begin{align} \eta_{\mu\nu}=\begin{pmatrix} -1&0&0&0\\ 0&1&0&0\\ 0&0&1&0\\ 0&0&0&1 \end{pmatrix} \end{align} $$ である。
定義 1 (Lorentz群)
$O(1,3):=\{\Lambda\in GL(4,\mathbb{R});\ {}^t\Lambda\eta\Lambda=\eta\}$ は通常の行列の乗法に関して群を成し、これを Lorentz群(Lorentz group)という。（行列の積について閉じていることは自明である。また $\Lambda\in O(1,3)$ に対して、$\Lambda^{-1}=\eta\ {}^t\Lambda\eta\in GL(4,\mathbb{R})$ であるから容易に $\Lambda^{-1}\in O(1,3)$ であることが確かめられる）
以下、$O(1,3)\ni\Lambda$ の成分は $$ \begin{align} \Lambda^a_{\ b}=\begin{pmatrix} \Lambda^0_{\ 0}&\Lambda^0_{\ 1}&\Lambda^0_{\ 2}&\Lambda^0_{\ 3}\\ \Lambda^1_{\ 0}&\Lambda^1_{\ 1}&\Lambda^1_{\ 2}&\Lambda^1_{\ 3}\\ \Lambda^2_{\ 0}&\Lambda^2_{\ 1}&\Lambda^2_{\ 2}&\Lambda^2_{\ 3}\\ \Lambda^3_{\ 0}&\Lambda^3_{\ 1}&\Lambda^3_{\ 2}&\Lambda^3_{\ 3} \end{pmatrix} \end{align} $$ と表す。 定義よりLorentz群は $(V,\eta)$ の等長変換群である。 また、$\Lambda^{-1}=(\eta^{-1}){}^t\Lambda\eta^{-1}$ であるから、$\Lambda^{-1}$ の成分を $\Lambda_\mu^{\ \nu}:=\eta_{\mu\rho}\Lambda^\rho_{\ \omega}\eta^{\omega\nu}$ と書くことにする。 さらに、$\Lambda^{-1}\eta\ {}^t\Lambda=\eta$ であるから、${}^t\Lambda^{-1}\in O(1,3)$ であり、従って ${}^t\Lambda\in O(1,3)$ であることも分かる。
Lorentz群 $O(1,3)$ の元 $\Lambda$ は、定義より、$\Lambda^\mu_{\ \nu}\Lambda^\rho_{\ \omega}\eta_{\mu \rho}=\eta_{\nu\omega}$ となるから、 $(\Lambda^0_{\ 0})^2=1+(\Lambda^1_{\ 0})^2+(\Lambda^2_{\ 0})^2+(\Lambda^3_{\ 0})^2$ を満たし、従って、$\Lambda^0_{\ 0}\geq1$ または $\Lambda^0_{\ 0}\le-1$ である。 これを動機として次のように定義する。
定義 2 (順時的、非順時的)
$O(1,3)\ni\Lambda$ は $\Lambda^0_{\ 0}\geq1$ のとき、順時的(orthochronous)、$\Lambda^0_{\ 0}\le-1$ のとき、非順時的(non-orthochronous)という。
定理 3 (内積と向きの関係)
$v$ をtimelikeベクトル、$w$ をtimelikeまたはnullベクトルとする。 任意の正規直交基底 $\{e_\mu\}$ を一つ固定し、$v=\sum_{\mu=0}^3v^\mu e_\mu,w=\sum_{\mu=0}^3w^\mu e_\mu$ とする。 このとき、
(1) $v^0w^0>0$ ならば、$g(v,w)<0$ である。
(2) $v^0w^0<0$ ならば、$g(v,w)>0$ である。
Proof.
仮定より、$(v^0)^2>\sum_{i=1}^3(v^i)^2,\ (w^0)^2\geq\sum_{i=1}^3(w^i)^2$ であるから、 $(v^0w^0)^2>(\sum_{i=1}^3(v^i)^2)(\sum_{i=1}^3(w^i)^2)\geq(\sum_{i=1}^3v^iw^i)^2$ となるから、$|v^0w^0|>|\sum^3_{i=1}v^iw^i|$ が成り立つ。 このとき、$v^0w^0>0$ のとき、$v^0w^0=|v^0w^0|>|\sum^3_{i=1}v^iw^i|\geq\sum^3_{i=1}v^iw^i$ であるから、$g(v,w)<0$ である。 また、$v^0w^0<0$ のとき、$g(v,-w)<0$ である。
□系 4 (timelikeとspacelikeの直交性)
timelikeベクトルに直交する0でないベクトルはspacelikeである。
Proof.
$v$ をtimelikeベクトルで、$g(v,w)=0$ とする。 $w$ がspacelikeでないと仮定すると、timelikeまたはnullであるから、上の定理から $v^0w^0=0$ である。 よって $v^0=0$ または $w^0=0$ であるが、どちらの場合でも仮定に矛盾する。
□定義 5 (時間的向き)
$(V,\eta)$ の全てのtimelikeベクトルの集合に同値関係 $\sim_\tau$ を $v\sim_\tau w\Leftrightarrow \eta(v,w)<0$ として定義する（上の定理からこれが同値関係となることは容易に確かめられる）。 さらに、$\sim_\tau$ による同値類は２つ存在し（$e_0$ に関する成分が正、負）、そのうちの一方を任意に選び未来向き (future directed)、残りの一方を過去向き (past directed)と呼ぶ。 任意のtimelikeベクトルは未来向きまたは過去向きのどちらかであり、これを時間的向き (time orientation)と呼ぶ。
定理 6 (順時Lorentz群の特徴づけ)
$\Lambda\in O(1,3)$ に対して、以下の条件は同値である。
(1) $\Lambda$ は順時的である。
(2) $\Lambda$ は全てのゼロでないnullベクトルの時間的向きを保つ。
(3) $\Lambda$ は全てのtimelikeベクトルの時間的向きを保つ。
Proof.
$v=\sum_{\mu=0}^3v^\mu e_\mu$ をtimelikeまたはnullベクトルとする。 まず、$\Lambda\in O(1,3)$ に対して、$w=\sum_{\mu=0}^3\Lambda^0_{\ \mu}e_\mu$ と置くとき、 $$ \begin{align} \eta(v,w)(\Lambda v)^0<0 \end{align} $$ となることを示す。 実際、 $\Lambda^\mu_{\ \rho}\Lambda^\nu_{\ \omega}\eta^{\rho\omega}=\eta^{\mu\nu}$ より、$-(\Lambda^0_{\ 0})^2+\sum_{i=1}^3(\Lambda^0_{\ i})^2=-1$ であり、$\sum_{i=1}^3(\Lambda^0_{\ i})^2<(\Lambda^0_{\ 0})^2$ である。 また、$\eta$ はtimelikeまたはnullであるから、$\sum_{i=1}^3(v^i)^2\le(v^0)^2$ である。 これらのことから、$(\sum_{i=1}^3\Lambda^0_{\ i}v^i)^2\le(\sum_{i=1}^3(\Lambda^0_{\ i})^2)(\sum_{i=1}^3(v^i)^2)<(\Lambda^0_{\ 0}v^0)^2$ となる。 従って、 $$ \begin{align} (\sum_{i=1}^3\Lambda^0_{\ i}v^i)^2-(\Lambda^0_{\ 0}v^0)^2&<0,\\ (-\Lambda^0_{\ 0}v^0+\sum_{i=1}^3\Lambda^0_{\ i}v^i)(\sum_{i=0}^3\Lambda^0_{\ i}v^i)&<0,\ (因数分解した)\\ \therefore\ \eta(w,v)(\Lambda v)^0&<0 \end{align} $$ を得る。
$(1)\Leftrightarrow(2)$ の証明
(i) $(\Rightarrow)$
$\Lambda^0_{\ 0}\ge1$ とする。 もし $v^0>0$ なら内積と向きの関係の定理より、$\eta(v,w)<0$ であり、したがって、上の不等式より $(\Lambda v)^0>0$ である。 $v^0<0$ なら同様に $(\Lambda v)^0<0$ となる。
(ii) $(\Leftarrow)$
(a) $v^0>0,(\Lambda v)^0>0$ なら、$\eta(v,w)<0$ であり、$v^0w^0>0$ より $w^0=\Lambda^0_{\ 0}>0$ である。 従って、$\Lambda^0_{\ 0}\geq1$ である。
(b) $v^0<0,(\Lambda v)^0<0$ なら、$\eta(v,w)>0$ であり、$v^0w^0<0$ より $w^0=\Lambda^0_{\ 0}>0$ である。 従って、$\Lambda^0_{\ 0}\geq1$ である。
$(1)\Leftrightarrow(3)$ の証明も上と同様である。
□$\Lambda\in O(1,3)$ は定義より $\det\Lambda=\pm1$ である。 $\det\Lambda=1$ であるとき、固有 (proper)であるという。
任意の $R\in O(3)$ に対して、 $$ \begin{align} \begin{pmatrix} 1 & 0\\ 0 & R \end{pmatrix} \in O(1,3) \end{align} $$ である。 このような形で表される $O(1,3)$ の元を回転 (rotation)と呼ぶ。
任意の実数 $\theta\in\mathbb{R}$ に対して、 $$ \begin{align} \begin{pmatrix} \cosh\theta & 0 & 0 & \sinh\theta \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ \sinh\theta & 0 & 0 & \cosh\theta \end{pmatrix} \in O(1,3) \end{align} $$ であり、この形の元を $e_0,e_3$ に関するLorentz boostと呼ぶ。 $e_0,e_i,\ (i=1,2)$ に関しても同様である。
次の定理はLorentz群の元が回転とboostからなることを主張する。
定理 7 (Lorentz群の標準形)
$\Lambda\in O(1,3)$ を固有かつ順時的とする。このとき、ある適当なLorentz boost $L(\theta),\theta\in\mathbb{R}$ と適当な回転 $R_1,R_2$ があり、$\Lambda=R_1L(\theta)R_2$ となる。
Proof.
$\Lambda$ が回転のときは自明である。 従って、$\sum_{i=1}^3\Lambda^i_{\ 0}e_i\ne0$ とする。 このベクトルを規格化したものを $u_1$ とする。 さらに、単位ベクトル $u_2,u_3$ を ${}^T(u_1,u_2,u_3)\in SO(3)$ となるように定める（すなわち、$\{u_1,u_2,u_3\}$ は正の向きの正規直交基底である）。 $$ \begin{align} u_1&=\sum_{i=1}^3a_ie_i,\ u_2=\sum_{i=1}^3b_ie_i,\ u_3=\sum_{i=1}^3c_ie_i,\\ R'&=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0\\ 0 & & {}^Tu_1 & \\ 0 & & {}^Tu_2 & \\ 0 & & {}^Tu_3 & \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0\\ 0 & a_1 & a_2 & a_3\\ 0 & b_1 & b_2 & b_3\\ 0 & c_1 & c_2 & c_3 \end{pmatrix} \end{align} $$ と置くと、 $$ \begin{align} R_1'\Lambda&= \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0\\ 0 & & {}^Tu_1 & \\ 0 & & {}^Tu_2 & \\ 0 & & {}^Tu_3 & \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \Lambda^0_{\ 0} & \ast & \ast & \ast\\ \ & & & \\ \alpha u_1 & & \ast & \\ \ & & & \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} \Lambda^0_{\ 0} & \Lambda^0_{\ 1} & \Lambda^0_{\ 2} & \Lambda^0_{\ 3}\\ a^1_{\ 0} & a^1_{\ 1} & a^1_{\ 2} & a^1_{\ 3}\\ 0 & a^2_{\ 1} & a^2_{\ 2} & a^2_{\ 3}\\ 0 & a^3_{\ 1} & a^3_{\ 2} & a^3_{\ 3}\\ \end{pmatrix} \end{align} $$ となる。 ${}^T\Lambda\in O(1,3)$ であるから、$v_2={}^T\Lambda u_2=\sum_{i=1}^3a^2_{\ i}e_i,v_3={}^T\Lambda u_3=\sum_{i=1}^3a^3_{\ i}e_i$ は互いに直交しそのノルムは１である。
$v_1=\sum_{i=1}^3c_ie_i$ を $\{v_1,v_2,v_3\}$ が正規直交基底となるようなベクトルとし、 $$ \begin{align} R_2'=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0\\ 0 & c_1 & a^2_{\ 1} & a^3_{\ 1}\\ 0 & c_2 & a^2_{\ 2} & a^3_{\ 2}\\ 0 & c_3 & a^2_{\ 3} & a^3_{\ 3} \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0\\ 0 & \ & \ & \ \\ 0 & v_1 & v_2 & v_3\\ 0 & \ & \ & \end{pmatrix} \end{align} $$ とおくと、$R_2'$ は回転であり、$R_1'\Lambda R_2'\in O(1,3)$ である。
$$ \begin{align} R_1'\Lambda R_2'=\begin{pmatrix} \Lambda^0_{\ 0} & \Lambda^0_{\ 1} & \Lambda^0_{\ 2} & \Lambda^0_{\ 3}\\ a^1_{\ 0} & a^1_{\ 1} & a^1_{\ 2} & a^1_{\ 3}\\ 0 & \ & v_2 & \ \\ 0 & \ & v_3 & \ \\ \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0\\ 0 & \ & \ & \ \\ 0 & v_1 & v_2 & v_3\\ 0 & \ & \ & \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} \Lambda^0_{\ 0} & b^0_{\ 1} & a&b \\ a^1_{\ 0} & b^1_{\ 1} & c & d\\ 0 & 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 1\\ \end{pmatrix} \end{align} $$ と置くと、$O(1,3)$ の元であることより、 $$ \begin{align} \begin{pmatrix} \Lambda^0_{\ 0} & b^0_{\ 1} \\ a^1_{\ 0} & b^1_{\ 1} \\ \end{pmatrix} \begin{pmatrix} -a&-b \\ c & d\\ \end{pmatrix}=O \end{align} $$ であるから、$a=b=c=d=0$ である。 さらに、 $$ \begin{align} B=\begin{pmatrix} \Lambda^0_{\ 0} & b^0_{\ 1} \\ a^1_{\ 0} & b^1_{\ 1} \\ \end{pmatrix} \end{align} $$ は固有な $O(1,1)$ の元であるから、ある実数 $\theta$ により $$ \begin{align} B=\begin{pmatrix} \cosh\theta & \sinh\theta \\ \sinh\theta & \cosh\theta \\ \end{pmatrix} \end{align} $$ と表される。 よって定理が示された。
□スピン変換
因果構造
Minkowski時空における因果構造について述べる。 因果関係は時空の事象間の物理的な因果関係に関する構造である。 一般のLorentz多様体においても因果構造は重要なテーマである。
この章では $M$ でMinkowski時空を表すとする。
定義 8 (因果関係)
$x,y\in M$ に対して、$y-x$ が未来向きのtimelikeベクトルであるとき、$x$ は $y$ に対してchronologicallyに先行しているといい、$x<<y$ と表す。 また $y-x$ が未来向きのnullベクトルであるとき、$x$ は $y$ に対してcausallyに先行しているといい、$x<y$ と表す。
chronologically、causallyの和訳は年代順に、因果的に、であるがこの分野の国内での和訳の文化、流儀は定着したものがあるかは微妙なため、以後も和訳が明らかな場合以外は英単語のまま解説を進める。
上のcausallyな関係の定義は一般のLorentz多様体上での一般的な定義とは異なるため注意が必要である。
$<<,\ <$ は２つの事象間の関係であり、因果関係(causality relation)と呼ばれる。
補題 9 (「<」の特徴付け)
$x,y\in M,\ x\ne y$ に対して、$x<y$ であるための必要十分条件は、$x<<y$ でなくかつ $y<<z$ であるならば、$x<<z$ が成り立つことである。
定義 10 (因果同型)
写像 $F:M\rightarrow M$ が因果同型(causal automorphism)であるとは、$F$ が全単射かつ関係 $<$ を保つことである。
因果同型の定義には線形変換という仮定は無いが、以下の定理が成り立つ。 これはMinkowski時空が高い対称性を持つこととaffine空間であるという強い性質があるためである。
定義 11 (Translation,Dilatation)
ある $v_0\in M$ があり、$T(v):=v+v_0,\ v\in M$ で定義される $M$ の変換を並進(translation)という。 ある正数 $k\in\mathbb{R}$ があり、$K(v)=kv,\ v\in M$ で定義される $M$ の変換をDilatationという。
定理 12
任意の因果同型 $F:M\rightarrow M$ は、並進 $T$、Dilatation $K$、順時的な $L\in O(1,3)$ により、$F=T\circ K\circ L$ と表される。
Proof.
$x<y$ であるとき、$x,y$ を通る光線(Light ray)を $R(x,y):=x+(y-x)\lambda,\ lambda\in\mathbb{R}$ と書く。
補題 13
$F:M\rightarrow M$ を因果同型写像とするとき、$x<y$ ならば $F(x)<F(y)$ である。 さらに、平行な二つの光線は因果同型により平行な二つの光線に写される。
定義 14 (光線の並進)
$R(x,y)=x+s(y-x)$ を光線とする。ある $r\in\mathbb{R}$ に対して、$g:R(x,y)\rightarrow R(x,y)$ が $$ \begin{align} g(x+s(y-x))=x+(s+r)(y-x),\ r\in\mathbb{R} \end{align} $$ で与えられるとき、$g$ は $R(x,y)$ の並進であるという。
補題 15
$R(x,y)=x+s(y-x)$ を光線とし、$g:R(x,y)\rightarrow R(x,y)$ を並進とする。 $F:M\rightarrow M$ を因果同型とするとき、$h:R(F(x),F(y))\rightarrow R(F(x),F(y))$ で $h\circ F=F\circ g$ となるものは、$R(F(x),F(y))$ の並進である。
補題 16
$R(x,y)=x+s(y-x)$ を光線とし、$F:M\rightarrow M$ を因果同型とする。 $f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}$ を $R(F(x),F(y))=F(x)+f(s)(F(y)-F(x))$ で定義すると、ある $k\in\mathbb{R}$ があり $f(r)=kr$ となる。
補題 17
因果同型写像はAffine写像である。
主定理の証明
□
