形式的冪級数

形式的冪級数(けいしきてきべききゅうしゅう、formal power series)とは、大雑把に言うならば、「無限次元の多項式」のことである。

定義

環 $R$ について、$R$ 係数形式的冪級数とは、集合の写像 $\mathbb{N}_0 \to R$ のことである。ここで、形式的冪級数 $f:\mathbb{N}_0\to R$ について、$$\sum_{i=0}^\infty f(i)X^i$$ と表記することがある。$R$ 係数形式的冪級数全体の集合を $R[ [X] ]$ と表記する。

形式的冪級数 $f,g:\mathbb{N}_0 \to R$ について、$f+g, f-g, fg:\mathbb{N}_0 \to R$ を以下のように定める。

• $f+g(i)=f(i)+g(i)$
• $f-g(i)=f(i)-g(i)$
• $fg(i)=\sum_{j=0}^i f(j)g(i-j)$

ここに定めた演算によって、$R[ [X] ]$ は環となる。

無限和について

形式的冪級数においては、部分的に、無限和を取る操作について考えることができる。