対数積分と指数積分

$\newcommand{\N}{\mathbb{N}}$ $\newcommand{\Z}{\mathbb{Z}}$ $\newcommand{\Q}{\mathbb{Q}}$ $\newcommand{\R}{\mathbb{R}}$ $\newcommand{\C}{\mathbb{C}}$ $\newcommand{\LCM}{\mathrm{LCM}}$ $\newcommand{\abs}[1]{\left\lvert#1\right\rvert}$ $\newcommand{\wenvert}[1]{\left\lvert\left\lvert#1\right\rvert\right\rvert}$ $\newcommand{\floor}[1]{\left\lfloor#1\right\rfloor}$ $\newcommand{\mathmod}[1]{\ \left(\mathrm{mod}\ #1\right)}$

本稿では、対数積分と指数積分について取り扱う。

対数積分

$1/\log x$ の積分により定義される特殊関数を対数積分 (logarithmic integral)という。 具体的には区間 $[0, x]$ での定積分により定義されるが、被積分関数は $x=1$ を特異点にもつので、Cauchyの主値 $$\mathrm{li} x=\int_0^x\frac{dt}{\log t}=\lim_{\epsilon\rightarrow 0}\left(\int_0^{1-\epsilon}\frac{dt}{\log t}+\int_{1+\epsilon}^\infty \frac{dt}{\log t}\right)$$ により定義される。

特異点を回避したEulerの対数積分 $$\mathrm{Li} x=\mathrm{li} x-\mathrm{li} 2=\int_2^x\frac{dt}{\log t}$$ もよく用いられる。

つぎのように、対数積分は $x/\log x$ で近似される。

定理 1

$$\mathrm{li} x=\frac{x}{\log x}+O\left(\frac{x}{\log^2 x}\right).$$

より正確には、$x>e$ のとき $$\frac{x-e}{\log x}+\frac{x-e}{\log^2 x}<\mathrm{li} x-\mathrm{li} e<\frac{x}{\log x}+\frac{4x}{\log^2 x}+\sqrt{x}-2e$$ が成り立つ。

Proof.

$$\begin{split} \mathrm{li} x-\mathrm{li} e= & \int_e^x\frac{dt}{\log t} \\ = & \frac{x}{\log x}-e+\int_e^{\sqrt{x}}\frac{dt}{\log^2 t}+\int_{\sqrt{x}}^x\frac{dt}{\log^2 t} \\ < & \frac{x}{\log x}+\frac{4x}{\log^2 x}+\sqrt{x}-2e \end{split}$$ となるので、 $$\mathrm{li} x-\mathrm{li} e<\frac{x}{\log x}+\frac{4x}{\log^2 x}+\sqrt{x}-2e$$ が成り立つ。また $$\int_e^x\frac{dt}{\log^2 t}>\frac{x-e}{\log^2 x}$$ より $$\mathrm{li} x-\mathrm{li} e>\frac{x-e}{\log x}+\frac{x-e}{\log^2 x}$$ も成り立つ。

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また、つぎの近似式が成り立つ。

定理 2

任意の $r\geq 1$ に対し、 $$\mathrm{li} x=\frac{x}{\log x}\sum_{k=1}^r\frac{k!}{\log^k x}+\int_0^x \frac{r! dt}{\log^{r+1} t} =\frac{x}{\log x}\sum_{k=0}^r\frac{k!}{\log^k x}+O\left(\frac{x}{\log^{r+1} x}\right)$$ が成り立つ。ただし、積分はCauchyの主値 $$\int_0^x \frac{r! dt}{\log^{r+1} t}=\lim_{\epsilon\rightarrow +0}\left(\int_0^{1-\epsilon} \frac{r! dt}{\log^{r+1} t}+\int_{1+\epsilon}^\infty \frac{r! dt}{\log^{r+1} t}\right)$$ をとる。また、 $O$ 記号における定数は $r$ に依存するが $x$ には依存しない。

この右辺の和は、$r$ を大きくするとき、どのような $x>0, x\neq 1$ に対しても収束しないことに注意しなければならない。

Proof.

$$\int_0^x \frac{dt}{\log^r t}=\frac{x}{\log^r x}+\int_0^x \frac{r dt}{\log^{r+1} t}$$ より、$r=1$ のとき定理の左の等式が成り立つ。$r=s$ について定理の左の等式が成り立つとき、上の等式を $r=s+1$ について適用して $$\mathrm{li} x=\frac{x}{\log x}\sum_{k=1}^s\frac{k!}{\log^k x}+\int_0^x \frac{s! dt}{\log^{s+1} t} =\frac{x}{\log x}\sum_{k=1}^{s+1}\frac{k!}{\log^k x}+\int_0^x \frac{(s+1)! dt}{\log^{s+2} t}$$ となるので、$r=s+1$ についても定理の左の等式が成り立つ。 $t\geq \sqrt{x}$ のとき、$1/\log^{r+1} t<2^{r+1}/\log^{r+1} x=O(1/\log^{r+1} x)$ なので $$\begin{split} \int_0^x \frac{r! dt}{\log^{r+1} t}= & \int_0^e \frac{r! dt}{\log^{r+1} t}+\int_e^{\sqrt{x}} \frac{r! dt}{\log^{r+1} t}+\int_{\sqrt{x}}^x \frac{r! dt}{\log^{r+1} t} \\ = & O(1)+O(\sqrt{x})+O\left(\frac{x}{\log^{r+1} x}\right) \\ = & O\left(\frac{x}{\log^{r+1} x}\right) \end{split}$$ であることから、定理の右の等式が成り立つ。

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素数の分布との関係

対数積分は $x$ 以下の素数の個数 $\pi(x)$ を $x/\log x$ よりもよく近似する。実際 $$\pi(x)=\mathrm{li} x+O(x\exp (-c\log^\alpha x))$$ となる正の定数 $c, \alpha$ が存在することが示される。 この形の定理はde la Vallée Poussin が $\alpha=1/2$ ととれることを示したことに始まり（Davenport, Chapter 18 などを参照）、Fordは $$\pi(x)=\mathrm{li} x+O(x\exp (-0.2098\log^{3/5} x/(\log\log x)^{1/5}))$$ となることを示した。さらにTrudgianは $x\geq 229$ のとき $$\abs{\pi(x)-\mathrm{li} x}\leq 0.2795\frac{x}{\log^{3/4} x}\exp(-\sqrt{(\log x)/6.455})$$ となることを示した。

一般に、Chebyshev関数 $\theta(x)$ に対して、ある（$x$ よりも遅く増加する）関数 $E(x)$ が存在して $$\theta(x)=x+O(E(x))$$ の形の近似式が成り立つとすると、 $$\begin{split} \pi(x)= & \frac{\theta(x)}{\log x}+\int_2^x\frac{\theta(t)}{t\log^2 t} dt \\ = & \frac{x}{\log x}+\int_2^x\frac{dt}{\log^2 t}+O\left(\frac{E(x)}{\log x}+\int_2^x\frac{E(t)}{t\log^2 t}dt\right) \end{split}$$ となるが、 $$\begin{split} \mathrm{li} x-\mathrm{li} 2= & \mathrm{Li} x=\int_2^x\frac{dt}{\log t} \\ = & \frac{x}{\log x}-\frac{2}{\log 2}+\int_2^x\frac{dt}{\log^2 t} \end{split}$$ より $$\pi(x)=\mathrm{li} x+O\left(\frac{E(x)}{\log x}+\int_2^x\frac{E(t)}{t\log^2 t}dt\right)$$ が成立する。

参考文献

• Harold Davenport, Multiplicative Number Theory, Graduate Texts for Mathematics 74, Second Edition, Springer-Verlag, 1980, doi:10.1007/978-1-4757-5927-3.
• Kevin Ford, Vinogradov's integral and bounds for the Riemann zeta function, Proc. London Math. Soc. 85 (2002), 565--633, doi:10.1112/S0024611502013655.
• Tim Trudgian, Updating the error term in the prime number theorem, The Ramanujan Journal 39 (2016), 225--234, doi:10.1007/s11139-014-9656-6.