奇数の完全数

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約数総和関数に記したように、奇数の完全数は存在するか否かもわかっていない。 本稿では、奇数の完全数について知られている結果を詳しく記す。

まず、約数総和関数に記したように、 $N$ が奇数の完全数ならば $$N=p^\alpha M^2, p\not\mid M$$ かつ $p\equiv\alpha\equiv 1\mathmod{4}$ である。

このことから $N$ が奇数の完全数ならば $$N=p^\alpha M^2=p^\alpha q_1^{2b_1} q_2^{2b_2} \cdots q_s^{2b_s}, p\equiv\alpha\equiv 1\mathmod{4}\quad\quad (0.1)$$ と素因数分解できることがわかる。 また $\sigma(p^\alpha)$ および各 $\sigma(q_i^{2b_i})$ はいずれも $\sigma(N)=2N$ を割り切るが、 $\sigma(q_i^{2b_i})$ は奇数だから、$\sigma(p^\alpha)/2$ および各 $\sigma(q_i^{2b_i})$ はいずれも $N$ を割り切ることがわかる。

Sternは $N$ が奇数の完全数ならば $N\equiv 1\mathmod{4}$ となることを示した。 $N$ が奇数の完全数ならば $N\equiv 1\mathmod{12}$ または $N\equiv 9\mathmod{36}$ となることは TouchardによってJacobiの$\theta$関数の理論を用いて証明され、その後 Satyanarayana, Raghavachari, Holdenerにより独立に初等的に証明された。 約数総和関数に記したように、Roberts, 2008 はやや強く、$N$ が奇数の完全数ならば $N\equiv 1\mathmod{12}, N\equiv 81\mathmod{324},$ または $N\equiv 117\mathmod{468}$ であることを示した。

  • $[$Touchard, 1953$]$ Jacques Touchard, On prime numbers and perfect numbers, Scripta Math. 19 (1953), 35--39.
  • $[$Satyanarayana, 1959$]$ M. Satyanarayana, Odd perfect numbers, Math. Student 27 (1959), 17--18.
  • $[$Raghavachari, 1966$]$ M. Raghavachari, On the form of odd perfect numbers, Math. Student 34 (1966), 85--86.
  • $[$Holdener, 2002$]$ Judy A. Holdener, A theorem of Touchard on odd perfect numbers, Amer. Math. Monthly 109 (2002), 661--663, doi:10.1080/00029890.2002.11919899 (Taylor and Francis Online), doi:10.2307/3072433 (JSTOR).
  • $[$Roberts, 2008$]$ Tim S. Roberts, On the form of an odd perfect number, Austral. Math. Soc. Gaz. 35 (2008), 244, [1]
  • $[$Stern, 1886$]$ M. M. Stern, Sur les nombres parfaits, Mathesis 6 (1886), 248--250, available from Google books.

素因数の個数

約数総和関数に記したように、$N$ が奇数の完全数で、$3$ で割り切れないならば $\omega(N)\geq 7$ で、$\gcd(N, 15)=1$ ならば $\omega(N)\geq 15$ である。 $\omega(N)$ について、さらに次のような結果が知られている。

  • Kanold, 1949: $\omega(N)\geq 5$, $3\not\mid N$ ならば $\omega(N)\geq 9$.
  • Kühnel, 1951 and Webber, 1951: $\omega(N)\geq 6$.
  • Pomerance, 1972/1974 and Robbins 1972a/1972b: $\omega(N)\geq 7$.
  • Kishore, 1977a/1977c: $3\not\mid N$ ならば $\omega(N)\geq 10$.
  • Kishore, 1978: $N$ が奇数で \omega(N)\leq 5$ のとき $\abs{\sigma(N)/N-2}>10^{-14}$.
  • Chein, 1979 and Hagis, 1980: $\omega(N)\geq 8$.
  • Hagis, 1983 and Kishore, 1983: $3\not\mid N$ ならば $\omega(N)\geq 11$.
  • Nielsen, 2007: $\omega(N)\geq 9$, $3\not\mid N$ ならば $\omega(N)\geq 12$.
  • Nielsen, 2015: $\omega(N)\geq 10$.

一方、$N$ の重複も含めた素因数の個数 $\Omega(N)$ については次のような結果が知られている。

  • Cohen, 1982c: $\Omega(N)\geq 23$.
  • Iannucci and Sorli, 2003: $\Omega(N)\geq 37$.
  • Hare, 2005: $\Omega(N)\geq 47$.
  • Hare, 2007: $\Omega(N)\geq 75$.
  • Ochem and Rao, 2012: $\Omega(N)\geq 101$.

つまり、奇数の完全数は少なくとも$10$個の相異なる素因数を持たなければならず、重複も含めると少なくとも$101$個の素因数を持たなければならないことが知られている。

なお、$\Omega(N)$ と $\omega(N)$ の間には、次のような関係が成り立つ。

  • Ochem and Rao, 2014: $\Omega(N)\geq \max\{(18\omega(N)-31)/7, 2\omega(N)+51\}$.
  • Zelinsky, 2018: $3\not\mid N$ のとき $\Omega(N)\geq (8\omega(N)-7)/3$, $3\mid N$ のとき $\Omega(N)\geq (21\omega(N)-39)/8$.
  • Zelinsky, 2021: $3\not\mid N$ のとき $\Omega(N)\geq (302\omega(N)-286)/113$, $3\mid N$ のとき $\Omega(N)\geq (66/25)\omega(N)-5$.

このことから、素因数の指数の平均値は $103/41=2.512\cdots$ 以上でならなければならないことがわかる。

  • $[$Chein, 1979$]$ Joseph E. Z. Chein, An odd perfect number has at least $8$ prime factors, Ph. D. Thesis, Pennsylvenia State University, 1979, ProQuest
  • $[$Cohen, 1982c$]$ Graeme Laurence Cohen, Generalised quasiperfect numbers (with an appendix on odd perfect numbers), Ph. D. Thesis, University of New South Wales, 1982, ProQuest.
  • $[$Hagis, 1980$]$ Peter Hagis, Jr., Outline of a proof that every odd perfect number has at least eight prime factors, Math. Comp. 35 (1980), 1027--1032, doi:10.1090/S0025-5718-1980-0572873-9.
  • $[$Hagis, 1983$]$ Peter Hagis, Jr., Sketch of a proof that an odd perfect number relatively prime to has at least eleven prime factors, Math. Comp. 40 (1983), 399--404, doi:10.1090/S0025-5718-1983-0679455-1.
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  • $[$Hare, 2007$]$ Kevin G. Hare, New techniques for bounds on the total number of prime factors of an odd perfect number, Math. Comp. 76 (2007), 2241--2248, https://doi.org/10.1090/S0025-5718-07-02033-9
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  • $[$Kanold, 1949$]$ Hans-Joachim Kanold, Folgerungen aus dem Vorkommen einer Gauss'schen Primzahl in der Primfaktorenzerlegung einer ungeraden vollkommenen Zahl, J. Reine Angew. Math. 186 (1949), 25--29, doi:10.1515/crll.1949.186.25, available from GDZ.
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  • $[$Kishore, 1977c$]$ Masao Kishore, Odd perfect numbers not divisible by 3 are divisible by at least ten distinct primes, Math. Comp. 31 (1977), 274--379, doi:10.1090/S0025-5718-1977-0429716-3.
  • $[$Kishore, 1978$]$ Masao Kishore, Odd integers $N$ with five distinct prime factors for which $2-10^{-12}<\sigma(N)/N<2+10^{-12}$, Math. Comp. 32 (1978), 303--309, doi:10.1090/S0025-5718-1978-0485658-X.
  • $[$Kishore, 1983$]$ Masao Kishore, Odd perfect numbers not divisible by 3. II, Math. Comp. 40 (1983), 405--411, doi:10.1090/S0025-5718-1983-0679456-3.
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  • $[$Pomerance, 1974$]$ Carl Pomerance, Odd perfect numbers are divisible by at least seven distinct primes, Acta Arith. 25 (1974), 265--300, doi:10.4064/aa-25-3-265-300.
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  • $[$Sayers, 1986$]$ M. Sayers, An improved lower bound for the total number of prime factors of an odd perfect number, Master's thesis, New South Wales Institute of Technology, 1986.
  • $[$Webber, 1951$]$ G. Cuthbert Webber, Non-existene of odd perfect numbers of the form $3^{2\beta}\cdot p^\alpha \cdot s_1^{2\beta_1}s_2^{2\beta_2}s_3^{2\beta_3}$, Duke Math. J. 18 (1951), 741--749, doi:10.1215/S0012-7094-51-01867-4.
  • $[$Zelinsky, 2018$]$ Joshua Zelinsky, An improvement of an inequality of Ochem and Rao concerning odd perfect numbers, INTEGERS 18 (2018), A48.
  • $[$Zelinsky, 2021$]$ Joshua Zelinsky, On the total number of prime factors of an odd perfect number, INTEGERS 21 (2021), A76.

$N$ の大きさ

奇数の完全数自体の大きさについては、次のような結果が知られている。

  • Kanold, 1957b: $N>10^{20}$.
  • Tuckerman, 1967/1968/1973: $N>10^{36}$.
  • Hagis, 1973: $N>10^{50}$.
  • Buxton and Stubblefield, 1975: $N>10^{150}$.
  • Buxton and Elmore, 1976: $N>10^{200}$.
  • Brent and Cohen, 1989: $N>10^{160}$,
  • Brent, Cohen and te Riele, 1991: $N>10^{300}$.
  • Ochem and Rao, 2012: $N>10^{1500}$.

一方、奇数の完全数は無限個か有限個かもわかっていないが、素因数の個数が限られた奇数の完全数は有限個であることが知られている。これについては後の節を参照。

素因数の大きさ

奇数の完全数 $N$ を $$N=p_1^{e_1} p_2^{e_2} \cdots p_r^{e_r}, p_1<p_2<\cdots <p_r$$ と素因数分解する。大きい素因数については次のような結果が知られている。

  • Kanold, 1949: $p_r\geq 61$. $5\mid N$ ならば $p_r\geq 149$.
  • Hagis and McDaniel, 1973: $p_r>11200$.
  • Hagis and McDaniel, 1975: $p_r>100110$.
  • Condict, 1978: $p_r>300000$.
  • Brandstein, 1982: $p_r>500000$.
  • Hagis and Cohen, 1998: $p_r>10^6$.
  • Jenkins, 2003: $p_r>10^7$.
  • Goto and Ohno, 2007: $p_r>10^8$.
  • Pomerance, 1975: $p_{r-1}\geq 139$.
  • Hagis, 1981: $p_{r-1}>1000$.
  • Iannucci, 1999: $p_{r-1}>10000$.
  • Iannucci, 2000: $p_{r-2}>100$.
  • Acquaah and Konyagin, 2012: $p_r<(3N)^{1/3}$, また $(0.1)$ のように素因数分解したとき $q_i<(2N)^{1/4}$.
  • Zelinsky, 2019: $p_{r-1}<(2N)^{1/5}$ かつ $p_r p_{r-1}<6^{1/4}N^{1/2}$. また $p_r<p_{r-1}+\sqrt{3p_{r-1}}-2$ のとき $p_{r-1}<(2N)^{1/6}$.

また、大きな素数べき因数については次のような結果が知られている。

  • Muskat, 1966: $\max p_i^{e_i}>10^{12}$.
  • Tuckerman, 1967/1968/1973: $\gcd(15, N)>1$ ならば $(0.1)$ のように素因数分解したとき $\max q_i^{2b_i}>10^{18}$
  • Cohen, 1987: $\max p_i^{e_i}>10^{20}$.
  • Ochem and Rao, 2012: $\max p_i^{e_i}>10^{62}$.

一方、小さい素因数について次のような結果が知られている。

  • Cesáro, 1887: $p_1<r\sqrt{2}+1$.
  • Servais, 1888: $p_1\leq r$.
  • Grün, 1952: $p_1<\frac{2}{3}r+2$.
  • Kishore, 1977a/1981: $2\leq i\leq 6$ のとき $p_i<2^{2^{i-1}}(r-i+1)$.

さらに Pomerance, 1977 は $N$ が奇数で $p_1<p_2<\cdots<p_r$ が $N$ の素因数、$\sigma(N)/N=n/d, \omega(N)=r$ ならば $$p_k<(2nr)^{2^{k(k+1)/2}}$$ となることを示している。 また、Norton, 1961 は、$N$ の最小の素因数が $n$ 番目の素数であるとき $$\omega(N)>n^2-2n-\frac{n+1}{\log n}-\frac{5}{4}-\frac{1}{2n}-\frac{1}{4n\log n}$$ であることを示している。

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  • $[$Cesáro, 1887$]$ M. E. Cesáro, Sur les nombres perfaits impairs, Mathesis 7 (1887), 245--246, available from Google books.
  • $[$Cohen, 1987$]$ Graeme L. Cohen, On the largest component of an odd perfect number, J. Austral. Math. Soc. Ser. A. 42 (1987), 280--286, doi:10.1017/S1446788700028251.
  • $[$Condict, 1978$]$ J. T. Condict, On An Odd Perfect Number's Largest Prime Divisor, Senior Thesis, Middlebury College, May 1978.
  • $[$Goto and Ohno, 2008$]$ Takashi Goto and Yasuo Ohno, Odd perfect numbers have a prime factor exceeding $10^8$, Math. Comp. 77 (2008), 1859--1868, doi:10.1090/S0025-5718-08-02050-4.
  • $[$Grum, 1952$]$ Otto Grün, Über ungerade vollkommene Zahlen, Math. Z. 55 (1952), 353--354, doi:10.1007/BF01181133.
  • $[$Hagis, 1981$]$ Peter Hagis, Jr., On the second largest prime divisor of an odd perfect numbers, Analytic Number Theory: Proceedings of a Conference Held at Temple University, Philadelphia, May 12-15, 1980, Lecture Notes in Math. 899 (1981), 254--263, doi:10.1007/BFb0096466.
  • $[$Hagis and Cohen, 1998$]$ Peter Hagis, Jr. and Graeme L. Cohen, Every odd perfect number has a prime factor which exceeds $10^6$, Math. Comp. 67 (1998), 1323--1330, doi:10.1090/S0025-5718-98-00982-X.
  • $[$Hagis and McDaniel, 1973$]$ Peter Hagis, Jr. and Wayne L. McDaniel, On the largest prime divisor of an odd perfect number, Math. Comp. 27 (1973), 955--957, doi:10.1090/S0025-5718-1973-0325508-0.
  • $[$Hagis and McDaniel, 1975$]$ Peter Hagis, Jr. and Wayne L. McDaniel, On the largest prime divisor of an odd perfect number. II, Math. Comp. 29 (1975), 922--924, doi:10.1090/S0025-5718-1975-0371804-2.
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素因数の個数が限られた奇数の完全数

奇数の完全数は無限個か有限個かもわかっていないが、素因数の個数が限られた奇数の完全数は有限個であることが知られている。

Dickson, 1913 は $\omega(N)$ が与えられた数以下になる奇数の完全数は有限個しか存在しないことを証明した。 Dicksonはより強く、$\sigma(N)/N\geq 2$ となるが、$N$ の約数 $M<N$ に対しては $\sigma(M)/M<2$ となるような奇数 $N$ で $\omega(N)$ が与えられた数以下になるものは 有限個しか存在しないことを証明した。 Dicksonの証明はThue方程式の解の有限性を用いるものであったが、Shapiro, 1949 は初等的な方法で、より一般的な次の定理を証明した。

定理 1

任意の有理数 $n/d, \gcd(n, d)=1$ と整数 $r\geq 1$ に対して、次のような自然数 $N$ は有限個しか存在しない。 $$(\textrm{a})\ \omega(N)\leq r,$$ $$(\textrm{b})\ \frac{\sigma(N)}{N}\geq \frac{n}{d},$$ $$(\textrm{c})\ M\mid N, M<N\Longrightarrow\frac{\sigma(M)}{M}<\frac{n}{d},$$ $$(\textrm{d})\ \gcd(N, n)=1.$$

Proof.

$(\textrm{a})$ のかわりに $\omega(N)=r$ としても一般性を失わない。 さらに $(\textrm{b}), (\textrm{c})$ が同時に成立する自然数 $N$ が無限に多く存在するとし、 そのような自然数の無限列を $N_j (j=1, 2, \ldots)$ とする。

$$N_j=\prod_{i=1}^r p_{i, j}^{e_{i, j}}$$ と素因数分解する。このとき

  • $\limsup_j p_{i, j}=\infty$ ならば、$p_{i, j}\rightarrow\infty (j\rightarrow\infty)$ となる無限部分列を選ぶことができる。
  • $\limsup_j p_{i, j}<\infty$ ならば、ある素数 $p_i$ を選び、$p_{i, j}=p_i$ となる無限部分列をとることができる。
  • $\limsup_j e_{i, j}=\infty$ ならば、$e_{i, j}\rightarrow\infty (j\rightarrow\infty)$ となる無限部分列を選ぶことができる。
  • $\limsup_j p_{i, j}<\infty, \limsup_j e_{i, j}>\infty$ ならば、ある素数 $p_i$ および指数 $e_i$ を選び、$p_{i, j}=p_i, e_{i, j}=e_i$ となる無限部分列をとることができる。

かくして

  • $t+1\leq i\leq r \Longrightarrow p_{i, j}\rightarrow\infty (j\rightarrow\infty),$
  • $s+1\leq i\leq t \Longrightarrow p_{i, j}=p_i, e_{i, j}\rightarrow\infty (j\rightarrow\infty),$
  • $1\leq i\leq s \Longrightarrow p_{i, j}=p_i, e_{i, j}=e_i$

となるように無限部分列 $N_j$ を選ぶことができる。 ここで $t=r$ とすると $$N_j=\prod_{i=1}^s p_i^{e_i} \prod_{i=s+1}^t p_i^{e_{i, j}}$$ となるが、$e_{i, j}\rightarrow\infty (j\rightarrow\infty)$ なので $j$ が大きいとき $N_0\mid N_j$ かつ $N_0<N_j$ となる。一方 $N=N_0$ に対して $(\mathrm{b})$ が成立するので $$\frac{\sigma(N_j)}{N_j}>\frac{\sigma(N_0)}{N_0}\geq \frac{n}{d}$$ となって、$N=N_j$ に対して $(\mathrm{c})$ が成り立たなくなってしまう。 よって $t<r$ でなければならない。

$$1<\frac{\sigma(p_{i, j}^{e_{i, j}})}{p_{i, j}^{e_{i, j}}}<\frac{p_{i, j}}{p_{i, j}-1}$$ より、$t+1\leq i\leq r$ に対して $$\frac{\sigma(p_{i, j}^{e_{i, j}})}{p_{i, j}^{e_{i, j}}}\rightarrow 1\ (j\rightarrow\infty)$$ となる。 さらに、$s+1\leq i\leq t$ に対して $$\frac{\sigma(p_{i, j}^{e_{i, j}})}{p_{i, j}^{e_{i, j}}}=\frac{\sigma(p_i^{e_{i, j}})}{p_i^{e_{i, j}}}\rightarrow\frac{p_i}{p_i-1}\ (j\rightarrow\infty)$$ となる。 よって $$\frac{\sigma(N_j)}{N_j}\rightarrow \prod_{i=1}^s \frac{p_i^{e_i+1}-1}{p_i^{e_i}(p_i-1)} \prod_{i=s+1}^t \frac{p_i}{p_i-1}\ (j\rightarrow\infty)$$ である。 $$\frac{n}{d}>\prod_{i=1}^s \frac{p_i^{e_i+1}-1}{p_i^{e_i}(p_i-1)} \prod_{i=s+1}^t \frac{p_i}{p_i-1}$$ ならば、$j$ が大きいとき $$\frac{\sigma(N_j)}{N_j}<\frac{n}{d}$$ となって $(\mathrm{b})$ に矛盾する。

$$\frac{n}{d}<\prod_{i=1}^s \frac{p_i^{e_i+1}-1}{p_i^{e_i}(p_i-1)} \prod_{i=s+1}^t \frac{p_i}{p_i-1}$$ と仮定する。 $$M_j=\prod_{i=1}^s p_i^{e_i} \prod_{i=s+1}^t p_i^{e_{i, j}}$$ とおくと、$M_j\mid N_j$ である。$t<r$ なので $M_j\mid N_j/p_r$ となるから、必ず $M_j<N_j$ となる。 $s+1\leq i\leq t$ に対して $e_{i, j}\rightarrow\infty (j\rightarrow\infty)$ だから $j$ が大きいとき $$\frac{n}{d}<\prod_{i=1}^s \frac{p_i^{e_i+1}-1}{p_i^{e_i}(p_i-1)} \prod_{i=s+1}^t \frac{p_i^{e_{i, j}+1}-1}{p_i^{e_{i, j}}(p_i-1)}=\frac{\sigma(M_j)}{M_j}$$ となる。よって $$M_j<N_j, M_j\mid N_j, \frac{\sigma(M_j)}{M_j}>\frac{n}{d}$$ となって $(\mathrm{c})$ に矛盾する。

よって $$\frac{n}{d}=\prod_{i=1}^s \frac{p_i^{e_i+1}-1}{p_i^{e_i}(p_i-1)} \prod_{i=s+1}^t \frac{p_i}{p_i-1}$$ となる。ここで $s=t$ ならば $t<r$ で $$\frac{n}{d}=\prod_{i=1}^s \frac{p_i^{e_i+1}-1}{p_i^{e_i}(p_i-1)}$$ となる。$L=\prod_{i=1}^s p_i^{e_i}$ とおくと、$s<r$ より $$L\mid N_j, L<N_j, \frac{\sigma(N_j)}{N_j}>\frac{\sigma(L)}{L}=\frac{n}{d}$$ となって、$(\mathrm{c})$ に矛盾する。 よって $s<t$ となるから $$\prod_{i=1}^s \sigma(p_i^{e_i})\prod_{i=s+1}^t p_i=\frac{n}{d} \prod_{i=1}^s p_i^{e_i} \prod_{i=s+1}^t (p_i-1)$$ となる。よって $p_i (s+1\leq i\leq t)$ の中で最大のものを $p_k$ とおくと $$p_k\mid n\prod_{i=1}^s p_i^{e_i} \prod_{i=s+1}^t (p_i-1)$$ となるが、$i=1, \ldots, s$ のとき $p_i\neq p_k$ で $i=s+1, \ldots, t$ のとき $p_i-1<p_k$ だから $p_k$ は $n$ を割り切らなければならない。

□

なお、この証明から、有理数 $n/d, \gcd(n, d)=1$ と正の整数 $r\geq 1$ をとると、 $(\textrm{a}), (\textrm{b}), (\textrm{c})$ が同時に成立する自然数 $N$ が無限に多く存在するならば、 $$\frac{n}{d}=\prod_{i=1}^s \frac{p_i^{e_i+1}-1}{p_i^{e_i}(p_i-1)} \prod_{i=s+1}^t \frac{p_i}{p_i-1}$$ となる素数 $p_1, \ldots, p_t$ および正の整数 $e_1, \ldots, e_s$ が存在することがわかる。ただし $s<t<r$ である。 Bermhard, 1956 はこの逆も成り立つことを証明している。


Pomerance, 1977 は初等的な方法で、$N$ が奇数で $\sigma(N)/N=n/d, \omega(N)=r$ ならば $$N<(2nr)^{(2nr)^{2^{r^2}}}$$ となることを証明した（$N$ が偶数の場合も一定の条件下で $N$ が $n, r$ の関数として定まる値以下であることを示しているが、その証明は対数の一次形式に関する下からの評価を用いた複雑なものとなる）。

Heath-Brown, 1994 はPomerance とは別の初等的な方法で、$N$ が奇数で $\sigma(N)/N=n/d, \omega(N)=r$ ならば $$N<(4d)^{4^r}$$ となることを示した。Heath-Brownの方法に基づいて、さらに次のような改良がなされている。

  • Cook, 1999: $N$ が奇数の完全数で $\omega(N)=r$ ならば $N<(195^{1/7})^{4^r}$.
  • Nielsen, 2003: $N$ が奇数で $\sigma(N)/N=n/d, \omega(N)=r$ ならば $N<(d+1)^{4^r}$.
  • Chen and Tang, 2014: $N$ が奇数で $N\mid\sigma(N), \omega(N)=r$ ならば $N<2^{4^r-2^r}, N\prod_{p\mid N}p<2^{4^r}$.
  • Nielsen, 2015: $N$ が奇数で $\sigma(N)/N=n/d, \omega(N)=r$ ならば $N<(d(d+1))^{(2^r-1)^2}$.

したがって、次のことが成り立つ。

定理 2

$N$ が奇数の完全数ならば $$N<2^{(2^{\omega(N)}-1)^2}$$ が成り立つ。

また、$\omega(N)\leq r, \sigma(N)=kN$ となる $N$ の個数を $M(k, r)$ とおき、$\omega(N)\leq r, \sigma(N)=kN, N\leq x$ となる $N$ の個数を $M(k, r; x)$ とおくと、つぎのことが知られている。

  • Pollack, 2011: $M(2, r)<4^{r^2}, M(2, r, x)<\log^r x$.
  • Yuan and Zhang, 2014: $\sum_{k=2}^\infty M(k, r; x)\leq\binom{\floor{\log_3 x}+r-1}{r-1} 2^{r-2}$, $\sum_{k=2}^\infty M(k, r)<4^{r^2}/(2^{r+2}(r-1)!)$.
  • $[$Bernhard, 1956$]$ Herbert A. Bernhard, On the infinitude of primitive0nondeficients, Proc. Amer. Math. Soc. 7 (1956), 469--471, doi:10.1090/S0002-9939-1956-0079018-0.
  • $[$Chen and Tang, 2014$]$ Yong-Gao Chen and Cui-E-Tang, Improved upper bounds for odd multiperfect numbers, Bull. Aust. Math. Soc. 89 (2014), 353--359, doi:10.1017/S0004972713000488.
  • $[$Cook, 1999$]$ R. J. Cook, Bounds for odd perfect numbers, Number Theory: Fifth Conference of the Canadian Number Theory Association (Ottawa, 1996), CRM Proceedings && Lecture Notes 19, Amer. Math. Soc., Providence, 1999, p.p. 67--71, AMS Bookstore.
  • $[$Dickson, 1913$]$ Leonard Eugene Dickson, Finiteness of the odd perfect and primitive abundant numbers with $n$ distinct prime factors, Amer. J. Math. 35 (1913), 413--422, doi:10.2307/2370405 (JSTOR).
  • $[$Heath-Brown, 1994$]$ D. R. Heath-Brown, Odd perfect numbers, Math. Proc. Cambridge Phil. Soc. 115 (1994), 191--196, doi:10.1017/S0305004100072030.
  • $[$Nielsen, 2003$]$ Pace P. Nielsen, An upper bound for odd perfect numbers, INTEGERS 3 (2003), A14.
  • $[$Pollack, 2011$]$ Paul Pollack, On Dickson's theorem concerning odd perfect numbers, Amer. Math. Monthly 118 (2011), 161--164, doi:10.4169/amer.math.monthly.118.02.161.
  • $[$Pollack, 2012$]$ Paul Pollack, Finiteness theorems for perfect numbers and their kin, Amer. Math. Monthly 119 (2012), 670--681, doi:10.4169/amer.math.monthly.119.08.670.
  • $[$Shapiro, 1949$]$ Harold N. Shapiro, Note on a theorem of Dickson, Bull. Amer. Math. Soc. 55 (1949), 450--452, doi:10.1090/S0002-9904-1949-09238-8.
  • $[$Yuan and Zhang, 2014$]$ Pingzhi Yuan and Zhongfeng Zhang, Addition to `An upper bound for the number of odd multiperfect numbers', Bull. Austral. Math. Soc. 89 (2014), 5--7, doi:10.1017/S000497271200113X.

与えられた数以下の奇数の完全数の個数

$M(k; x)$ を $\sigma(N)=kN$ となる $N\leq x$ の個数とすると、つぎのことが知られている。

  • Kanold, 1956b: M(2; x)=o(\sqrt{x}).
  • Kanold, 1957a: M(2; x)=O(x^{1/4}\log x/\log\log x)$.
  • Hornfeck and Wirsing, 1957: $n/d\in\Q$ に対し、 $M(n/d; x)=\exp O(\log x\log\log\log x/\log\log x)$.
  • Wirsing, 1959: $n/d\in\Q$ に対し、 $M(n/d; x)=\exp O(\log x/\log\log x)$.
  • $[$Kanold, 1956b$]$ Hans-Joachim Kanold, Eine Bemerkung über die Menge der vollkommenen Zahlen, Math. Ann. 131 (1956), 390--392, doi:10.1007/BF01350108.
  • $[$Kanold, 1957a$]$ Hans-Joachim Kanold, Über die Verteilung der vollkommenen Zahlen und allgemeinerer Zahlenmengen, Math. Ann. 132 (1957), 442--450, doi:10.1007/BF01350158.
  • $[$Hornfeck and Wirsing, 1957$]$ Bernhard Hornfeck and Eduard Wirsing, Über die Häufigkeit vollkommener Zahlen, Math. Ann. 133 (1957), 431--438, doi:10.1007/BF01343756.
  • $[$Wirsing, 1959$]$ Eduard Wirsing, Bemerkung zu der Arbeit über vollkommene Zahlen in Math. Ann. Bd. 133, S. 431--438 (1957), Math. Ann. 137 (1959), 316--318, doi:10.1007/BF01360967.

素因数の指数

奇数の完全数 $N$ を $(0.1)$ のように素因数分解したときの指数 $b_1, b_2, \ldots, b_s$ についても多くの結果が示されている。 Steuerwald, 1937 は $b_i$ がすべて $1$ となることはありえないことを示した。

定理 3

Steuerwald, 1937: $b_1=b_2=\cdots =b_s=1$ の形の奇数の完全数は存在しない。つまり $$N=p^\alpha (q_1 q_2 \cdots q_s)^2, p\equiv\alpha\equiv 1\mathmod{4}$$ の形の奇数の完全数は存在しない。

Proof.

$$N=p^\alpha (q_1 q_2 \cdots q_s)^2, p\equiv\alpha\equiv 1\mathmod{4}, q_1<q_2<\cdots$$ と素因数分解する。

$N$ が $3$ で割り切れないとする。$q_i\equiv 1\mathmod{3}$ のとき $3\mid (q_i^2+q_i+1)=\sigma(q_i^2)$ より $N$ が $3$ で割り切れてしまうから、$q_i\equiv 2\mathmod{3}$ でなければならない。 一方、$q_i^2+q_i+1$ の素因数をひとつとり、それを $q$ とおくと、円分多項式:定理3.2より、$q=3$ または $q\equiv 1\mathmod{3}$ だが $q$ は $N$ を割り切るから $q\equiv 1\mathmod{3}$ かつ $p=q$ でなければならない。よって $p\equiv 1\mathmod{12}$ で、各 $i$ について $$q_i^2+q_i+1=p^{f_i}$$ となる $f_i\geq 1$ がとれる。また、$f_i$ が偶数のとき $$q_i^2<p^{f_i}<(q_i+1)^2$$ より、 $$q_i<p^{f_i/2}<q_i+1$$ となって矛盾するから $f_i$ は奇数でなければならない。よって $$q_i^2+q_i+1=p^{2m_i+1}, 0\leq m_1<m_2<m_3<\cdots$$ となる。$0\leq m_1<m_2<\cdots$ だから $m_i\geq i-1, f_i\geq 2i-1$ が成り立つので $$(q_i+1)^2>p^{2i-1}\geq 13^{2i-1}$$ より $$q_i>13^{i-\frac{1}{2}}-1$$ となる。よって $$\frac{\sigma(N)}{N}<\frac{p}{p-1}\prod_i\frac{q_i}{q_i-1}<\frac{13}{12}\prod_{k=1}^\infty\frac{13^{k+\frac{1}{2}}-1}{13^{k+\frac{1}{2}}-2}<1.81$$ となって矛盾する。

$N$ が $3$ で割れるとき、$p\equiv 1\mathmod{4}$ だから $3^2\mid\mid N$ である。よって $\sigma(3^2)=13$ は $N$ を割り切る。

$p=13$ のとき $7=(p+1)/2$ は $N$ を割り切る。$p=13\neq 7$ だから $7^2\mid\mid N$ なので $\sigma(7^2)=3\times 19$ は $N$ を割り切る。 同様に $\sigma(19^2)=3\times 127$ は $N$ を割り切るので、 $$3^3\mid\sigma(7^2\times 19^2\times 127^2)\mid N$$ となって、$3^2\mid\mid N$ に矛盾する。

$p\neq 13$ のとき $\sigma(13^2)=3\times 61$ は $N$ を割り切る。 $p=61$ のとき $31=(p+1)/2$ が $N$ を割り切るので、$\sigma(31^2)=3\times 331$ も $N$ を割り切るから $$3^3\mid\sigma(13^2\times 31^2\times 331^2)\mid N$$ となって、再び $3^2\mid\mid N$ に矛盾する。 $p\neq 13, 61$ のとき $\sigma(61^2)=3\times 13\times 97$ は $N$ を割り切る。 $p=97$ のとき $7^2=(p+1)/2$ が $N$ を割り切るので $$3^3\mid\sigma(13^2\times 61^2\times 7^2)\mid N$$ となって、やはり $3^2\mid\mid N$ に矛盾する。$p\neq 97$ のとき $$3^3\mid\sigma(13^2\times 61^2\times 97^2)\mid N$$ となって、この場合も $3^2\mid\mid N$ に矛盾する。

このようにしていずれの場合も矛盾に至るので、このような形の奇数の完全数は存在しないことが証明された。

□

Kanold, 1941 は、指数に関する一般的な定理を証明している。

定理 4

Kanold, 1941: $t$ が $2b_i+1 (i=1, 2, \ldots, s)$ の公約数であるとき $t^4\mid N$. また $\ell$ が素数で、各 $i$ について $2b_i+1=\ell^{g_i}$ となるとき、 $$p\equiv 1\mathmod{\ell}, \frac{\alpha+1}{2}\equiv 0, 1\mathmod{\ell}$$ となる。

Proof.

まず、$q_1<q_2<\cdots$ と素因数を並べ替えても一般性を失わない。

$\ell$ が素数で $\ell^k$ が $2b_i+1 (i=1, 2, \ldots, s)$ の公約数であるとする。 $\sigma(q_i^{2b_i})=\frac{q_i^{2b_i+1}-1}{q_i-1}=\prod_{d\mid (2b_i+1), d\neq 1}\Phi_d(q_i)$ であるから 各 $\Phi_{\ell^j}(q_i) (j=1, 2, \ldots, k)$ は $\sigma(q_i^{2b_i})$ を割り切る。$\sigma(q_i^{2b_i})$ は奇数だから $$\Phi_{\ell^j}(q_i)\mid\sigma(q_i^{2b_i})\mid N (j=1, 2, \ldots, k) \quad\quad (3.5.1) $$ となる。

$N$ が $q_i\equiv 1\mathmod{\ell}$ となる素因数をもたないとする。 円分多項式:定理3.2より $q$ が $\Phi_{\ell^j}(q_i) (j=1, 2, \ldots, k)$ の素因数ならば $q\equiv 1\mathmod{\ell}$ か、または $q=\ell, q_i\equiv 1\mathmod{\ell}$ である。しかし $N$ は $q_i\equiv 1\mathmod{\ell}$ となる素因数をもたないと仮定したから $q\equiv 1\mathmod{\ell}$ でなければならない。一方、(3.5.1) より $q$ は $N$ の素因数だが、 仮定から $q\equiv 1\mathmod{\ell}$ となる $N$ の素因数 $q$ は $p$ 以外にない。つまり $\Phi_{\ell^j}(q_i) (j=1, 2, \ldots, k)$ の素因数は $p$ しかない。

よって $$1+q_i+\cdots +q_i^{\ell-1}=\Phi_\ell(q_i)=p^{g_i}$$ となる整数 $g_i\geq 1$ が存在するから、合同式 $$1+x+\cdots +x^{\ell-1}\equiv 1\mathmod{p^{g_i}}$$ は $x\equiv q_i^j \mathmod{p^{g_i}} (j=1, \ldots, \ell-1)$ を解にもつ。この合同式は合同式:合成数を法とする合同式:定理2.2より $\ell-1$ 個の剰余類しか解にもたないから、$q_i^j \mathmod{p^{g_i}} (j=1, \ldots, \ell-1)$ がすべての解である。 $q_i<q_{i+1}$ より $g_i<g_{i+1}$ であるから $q_{i+1}\mathmod{p^{g_i}}$ も上記合同式の解となるので $$q_{i+1}\equiv q_i^j\mathmod{p^{g_i}}$$ となる $1\leq j\leq \ell-1$ がとれる。 ここで $q_{i+1}<p^{g_i}$ とすると、$q_i^{\ell-1}<p^{g_i}$ より $q_{i+1}=q_i^j$ となって矛盾するから、 $$q_{i+1}\geq 2p^{g_i}+1>2q_i^{\ell}>q_i^2$$ となる。$q_1\geq 3$ だから、$q_2\geq 19$ で $i\geq 3$ のとき $$q_i>19^{2^{i-2}}>2^{2^i}$$ となる。さらに $p\geq 5$ だから $$\frac{\sigma(N)}{N}<\frac{p}{p-1}\prod_i\frac{q_i}{q_i-1}\leq \frac{5}{4}\times \frac{3}{2}\times \prod_{i=3}^\infty\frac{2^{2^i}+1}{2^{2^i}}=2$$ となって矛盾する。

このことから、 $N$ は $q_i\equiv 1\mathmod{\ell}$ となる素因数 $q_i$ をもたなければならない。$2b_i+1$ は $\ell^k$ で割り切れるから $$\ell^k\mid\frac{q_i^{\ell^k}-1}{q_i-1}\mid\sigma(q_i^{2b_i})\mid N$$ となる。

$q_i=\ell$ となる場合と、$p=\ell$ となる場合がある。

$q_i=\ell$ の場合、$\ell^{2b_i}$ が $N$ を割り切るが、$2b_i+1$ は $\ell^k$ で割り切れるから $$\ell^{\ell^k-1}\mid N$$ となる。 $\ell\geq 5$ ならば $$\ell^k-1\geq 5^k-1\geq 4k$$ となり、$\ell^{4k}$ は $N$ を割り切る。同様に $\ell=3, k\geq 2$ のときも $3^k-1\geq 4k$ より $\ell^{4k}$ は $N$ を割り切るから、 残るのは $\ell=3, k=1$ の場合である。このとき $2b_i\geq 4$ ならば $\ell^4=\ell^{4k}$ は $N$ を割り切る。 $b_i=1$ のとき、 $3^2\mid\mid N$ となるが、定理 3の証明と同様にして矛盾を生じる。 よって、$q_i=\ell$ の場合 $\ell^4=\ell^{4k}$ は $N$ を割り切る。

$p=\ell$ とする。 $N$ は $q_i\equiv 1\mathmod{\ell}$ となる素因数 $q_i$ をもたなければならないので、添え字を並べ替えてそのひとつを $q_1$ とおく。 $$\sigma(q_1^{\ell-1})\mid\sigma(q_1^{2b_1})\mid N$$ となるが、$\sigma(q_1^{\ell-1})=\Phi_\ell(q_1)$ は $q_j\equiv 1\mathmod{\ell}$ となる素因数をもつ。当然それは $N$ の素因数でもあるが $q_1$ とも $p=\ell$ とも異なるから 添え字を並べ替えて $q_j\equiv 1\mathmod{\ell}$ となる $\sigma(q_1^{\ell-1})$ の素因数 $q_j$ のひとつを $q_2$ とおく。 $$\ell^2\mid \sigma(q_1^{\ell-1} q_2^{\ell-1})\mid \sigma(q_1^{2b_1} q_2^{2b_2})\mid N$$ となるので、$\alpha\geq 2$ となるが、Eulerの結果から $\alpha\equiv 1\mathmod{4}$ なので、$\alpha\geq 5$ となる。

よって $k=1$ の場合、$\ell^{4k}=p^4$ は $N$ を割り切るので、 $k\geq 2$ の場合を考える。 このとき $$\Phi_\ell(q_1)\Phi_{\ell^2}(q_1)\mid\sigma(q_1^{\ell^2-1})\mid\sigma(q_1^{2b_1})\mid N$$ となるので、Zsigmondyの定理より、$\Phi_\ell(q_1)$, $\Phi_{\ell^2}(q_1)$ はそれぞれ原始素因数をもつ。それらの素因数はいずれも $q_1$ とは異なり、 かつ $p=\ell$ とも異なるから 添え字を入れ替えて、$\Phi_\ell(q_1)$, $\Phi_{\ell^2}(q_1)$ それぞれの原始素因数のひとつを $q_2, q_3$ とおく。 このとき $$\ell^6\mid \sigma(q_1^{\ell^2-1} q_2^{\ell^2-1} q_3^{\ell^2-1})\mid \sigma(q_1^{2b_1} q_2^{2b_2} q_3^{2b_3})\mid N$$ となるので、$\alpha\geq 6$ となるが、Eulerの結果から $\alpha\equiv 1\mathmod{4}$ なので、$\alpha\geq 9$ となる。

よって $k=2$ の場合、$\ell^{4k}=p^8$ は $N$ を割り切るので、 $k\geq 3$ の場合を考える。 先と同様にして、$\Phi_{\ell^j}(q_1) (j=1, 2, \ldots, k)$ の原始素因数が $N$ の素因数であり、それは $p=\ell$ とも異なるので、それらを $q_{j+1}$ とおくと $$\ell^{k(k+1)}\mid \prod_{j=1}^{k+1}\sigma(q_j^{\ell^k-1})\mid \prod_{j=1}^{k+1}\sigma(q_j^{2b_j})\mid N$$ となるが、$k+1\geq 4$ だから $$\ell^{4k}\mid N$$ が成り立つ。

つぎに、$\ell$ が素数で、各 $i$ について $2b_i+1=\ell^{g_i}$ となるとする。 $p=\ell$ と仮定する。 各 $i$ について $2\beta_i+1=\ell^{g_i}$ とおくと $q_i\neq p$ であるから、 $$q_i^{2\beta_i}\equiv q_i^{\ell^{g_i}-1}\equiv 1\mathmod{\ell}$$ となるので $$\frac{N}{\ell^\alpha}=\prod_{i=1}^s q_i^{\ell^{g_i}-1}\equiv 1\mathmod{\ell}\ (6.1)$$ となる。

一方、 $$\sigma(q_i^{2\beta_i})=\prod_{j=1}^{g_i} \Phi_{\ell^j}(q_i)$$ の素因数は $\ell$ を法として $1$ と合同であるか、または $\ell$ 自身である。よって $$\prod_{i=1}^s\sigma(q_i^{2\beta_i})=\ell^g L$$ となる整数 $g$ と、$\ell$ を法として $1$ と合同な素数のみを素因数にもつ整数 $L$ がとれる。よって $$2N=\sigma(p^\alpha)\prod_{i=1}^s\sigma(q_i^{2\beta_i})=\ell^g (1+\ell+\cdots +\ell^\alpha)L$$ となる。$(1+\ell+\cdots +\ell^\alpha)L\equiv 1\mathmod{\ell}$ であるから、 $$\frac{2N}{\ell^g}\equiv 1\mathmod{\ell}$$ が成り立つ。しかし $(6.1)$ より $$\frac{2N}{\ell^\alpha}\equiv 2\mathmod{\ell}$$ となって矛盾するので、$p\neq\ell$ でなければならない。 $p\mid\Phi_{\ell^s}(q_i)$ となる $i, s$ が存在するが、$p\neq\ell$ なので $p\equiv 1\mathmod{\ell}$ となることがわかった。

$p\neq \ell$ だから $q_j=\ell$ となる $j$ が存在するので、添え字を並べ替えて $\ell=q_1$ とする。 $q_i\neq \ell$ ならば $$q_i^{2\beta_i}\equiv q_i^{\ell^{g_i}-1}\equiv 1\mathmod{\ell}$$ となるので $$\frac{N}{\ell^{2b_1}}=p^\alpha\prod_{i=2}^r q_i^{2b_i}\equiv 1\mathmod{\ell}\ (6.2)$$ となる。一方、 $$N=\frac{\sigma(N)}{2}=\frac{p+1}{2}(1+p+\cdots +p^{(\alpha-1)/2})(1-p+-\cdots -+p^{(\alpha-1)/2})\prod_{i=2}^r \sigma(q_i^{2b_i})\ (6.3)$$ となる。 $p\equiv 1\mathmod{\ell}$ だから、$\ell$ が $1+p+\cdots +p^{(\alpha-1)/2}$ を割り切るとき $$1+p+\cdots +p^{(\alpha-1)/2}\equiv \frac{\alpha-1}{2}\equiv 0\mathmod{\ell}$$ となって、定理の後段が成り立つ。

$\ell$ が $1+p+\cdots +p^{(\alpha-1)/2}$ を割り切らないとき、$\ell$ は $\sigma(p^\alpha)$ も割り切らない。実際 $p\equiv 1\mathmod{\ell}$ だから $$\frac{p+1}{2}\equiv 1-p+-\cdots -+p^{(\alpha-1)/2}\equiv 1\mathmod{\ell}\ (6.4)$$ となるので $\ell$ は $(p+1)/2$ および $1-p+-\cdots -+p^{(\alpha-1)/2}$ を割り切らない。 よって $\ell^{2b_1}\mid\prod_{i=2}^r \sigma(q_i^{2b_i})$ となる。しかし $2b_i+1=\ell^{g_i}$ だから $\sigma(q_i^{2b_i})$ の $\ell$ 以外の素因数は $\ell$ を法として $1$ と合同でなければならない。 よって $$\frac{\prod_{i=2}^r \sigma(q_i^{2b_i})}{\ell^{2b_1}}\equiv 1\mathmod{\ell}$$ となる。よって $(6.3)$ より $$\frac{N}{\ell^{2b_1}}\equiv \frac{p+1}{2}(1+p+\cdots +p^{(\alpha-1)/2})(1-p+-\cdots -+p^{(\alpha-1)/2})\mathmod{\ell}$$ となるが、$(6.2)$ より $$\frac{p+1}{2}(1+p+\cdots +p^{(\alpha-1)/2})(1-p+-\cdots -+p^{(\alpha-1)/2})\equiv 1\mathmod{\ell}$$ となる。$(6.4)$ より $$\frac{\alpha+1}{2}\equiv 1+p+\cdots +p^{(\alpha-1)/2}\equiv 1\mathmod{\ell}$$ であることが示され、この場合も定理の後段が成り立つ。

□

さらに、指数についてつぎのようなことが知られている。

  • Kanold, 1939: $\alpha\leq 5, b_1=2, b_2=\cdots =b_s=1$ ではない。
  • Kanold, 1941: $b_1=b_2=\cdots =b_s=2$ ではない。
  • Kanold, 1942 and Brauer, 1943a/1943b: $b_1=2, b_2=\cdots =b_s=1$ ではない。
  • Kanold, 1950c: $b_1=3, b_2=\cdots =b_s=1$ ではない。
  • Kanold, 1953: $b_1=b_2=2, b_3=\cdots =b_s=1$ ではない。また、各 $i$ について $b_i\leq 2$ のとき $\alpha\neq 5$.
  • McDaniel, 1970: $b_i\not\equiv 1\mathmod{3}$ となる $i$ が存在する。
  • McDaniel, 1971: $b_i\leq 2 (i=1, 2, \ldots, s)$ ならば $N$ は $101$ より小さな素因数をもたず、$N>10^{9118}$ でなければならない。
  • Hagis and McDaniel, 1972: $b_1=b_2=\cdots =b_s=3$ ではない。
  • McDaniel and Hagis, 1975: $b_1=b_2=\cdots =b_s=b$ とおくと $b=5, 12, 17, 24, 62$ ではない。
  • Cohen and Williams, 1985: $b_1=b_2=\cdots =b_s=b$ とおくと $b=6, 8, 11, 14, 18$ ではない。また $b_2=\cdots =b_s=1$ のとき $b_1=5, 6$ ではない。
  • Cohen, 1987: $b_i=1 (i=1, 2, \ldots, t), b_i=2 (i=t+1, \ldots, s)$ ならば $N$ は $739$ より小さな素因数をもたず、$(t-1)/4\leq s-t\leq 2t+\sqrt{\alpha}$ となる。

Yamada, 2005a はより一般的に $b_1=b_2=\cdots=b_s=b$ のとき $$s\leq 4b^2+2b+2, N<2^{4^{s+1}}=2^{4^{4b^2+2b+3}}$$ を示した（$N<2^{4^{s+1}}$ は上記のNielsen, 2003による）。Yamada, 2019 は $4b^2+2b+2$ を $2b^2+8b+2$ に、Yamada, 2021 は $2b^2+6b+2$ に改良した。 すなわち、与えられた $b$ に対して、$b_1=b_2=\cdots=b_s=b$ となる奇数の完全数は有限個しか存在しない。

Yamada, 2005b はさらに一般的に $N=\prod_{i=1}^s p_i^{a_i} \prod_{j=1}^t q_j^{b_j}, \sigma(N)/N=n/d, b_i\leq c$ ならば $N$ は $s, n, c$ のみで定まる定数 $C$ より小さな素因数をもつことを示した。 さらに Fletcher, Nielsen and Ochem, 2012 は $S$ が素数の有限集合で $$N=\prod_{i=1}^s p_i^{a_i} \prod_{j=1}^t q_j^{b_j}, \frac{\sigma(N)}{N}=\frac{n}{d}$$ かつ、各 $2b_j+1$ は $S$ に属する素因数をもつとき、 $N$ は $s, n, S$ のみで定まる定数 $C=C(s, n, S)$ より小さな素因数をもつことを示し、 $b_i\not\equiv 2\mathmod{5}$ となる $i$ が存在することを示した。 さらに各 $i$ について $\gcd(2b_i+1, 15)>1$ となるとき $N$ の最小の素因数 $p_1$ は $10^8<p_1<10^{1000}$ となることを示した。 Yamada, 2020a は $C=C(s, n, S)$ を具体的な形で与えている。


  • $[$Brauer, 1943a$]$ Alfred Brauer, On the non-existence of odd perfect numbers of form $p^\alpha q_1^2 q_2^2 \cdots q_{t-1}^2 q_t^4$, Bull. Amer. Math. Soc. 49 (1943), 712-718, doi:10.1090/S0002-9904-1943-08007-X.
  • $[$Brauer, 1943b$]$ Alfred Brauer, Note on the non-existence of odd perfect numbers of form $p^\alpha q_1^2 q_2^2 \cdots q_{t-1}^2 q_t^4$, Bull. Amer. Math. Soc. 49 (1943), 937, doi:10.1090/S0002-9904-1943-08067-6.
  • $[$Cohen and Williams, 1985$]$ G. L. Cohen and R. J. Williams, Extensions of some results concerning odd perfect numbers, Fibonacci Quart. 23 (1985), 70--76.
  • $[$Fletcher, Nielsen and Ochem, 2012$]$ S. Adam Fletcher, Pace P. Nielsen and Pascal Ochem, Sieve methods for odd perfect numbers, Math. Comp. 81 (2012), 1753--1776, doi:10.1090/S0025-5718-2011-02576-7.
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  • $[$Kanold, 1950c$]$ Hans-Joachim Kanold, Sätze über Kreisteilungspolynome und ihre Anwendungen auf einige zahlentheoretische Probleme. II, J. Reine Angew. Math. 188 (1950), 129--146, doi:10.1515/crll.1950.188.129, available from GDZ.
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