加法的整数論
$\newcommand{\NN}{\mathbb{N}}$ $\newcommand{\ZZ}{\mathbb{Z}}$ $\newcommand{\QQ}{\mathbb{Q}}$ $\newcommand{\RR}{\mathbb{R}}$ $\newcommand{\CC}{\mathbb{C}}$ $\newcommand{\KK}{\mathbb{K}}$
$\newcommand{\AA}{\mathscr{A}}$ $\newcommand{\BB}{\mathscr{B}}$ $\newcommand{\PP}{\mathscr{P}}$ $\newcommand{\SS}{\mathscr{S}}$
$\newcommand{\abs}[1]{\left\lvert#1\right\rvert}$ $\newcommand{\wenvert}[1]{\left\lvert\left\lvert#1\right\rvert\right\rvert}$ $\newcommand{\floor}[1]{\left\lfloor#1\right\rfloor}$ $\newcommand{\mathmod}[1]{\ \left(\mathrm{mod}\ #1\right)}$
加法的整数論は、整数や自然数などの加法的な性質について扱う理論である。すなわち $\ZZ$, $\NN$, より一般にある加法半群 $G$ の要素 $g$ を、$G$ の部分集合 $A_1, A_2, \ldots, A_k$ の要素の和 $$g=a_1+a_2+\ldots +a_k\ (a_i\in A_i)$$ としてあらわす方法について扱う理論である。
具体的な例としては、つぎのような定理、予想、問題がある。
例 1 (Lagrangeの定理)
$\SS$ を、$0$ を含む平方数全体の集合とすると、$\NN_{\geq 0}=\{0, 1, \ldots\}$ の任意の要素 $n$ は $n=a_1+a_2+a_3+a_4 (a_i\in\SS)$ の形にあらわすことができる。
例 2 (Goldbachの予想)
$\PP$ を素数全体の集合とすると、$4$ 以上のすべての偶数 $n$ は $n=p+q (p, q\in\PP)$ の形にあらわすことができる。
例 3 (郵便切手の問題)
整数 $k\geq 2$ を定める。 $A$ が $\NN_{\geq 0}$ の部分集合で、$0\leq m\leq n$ となる任意の整数 $m$ が $a_1+a_2+\ldots+a_k (a_i\in A)$ の形であらわされるとする。 そのような $A$ で要素の数が可能な限り少ないものを求めよ。
加法的整数論に関する詳細は下位記事を参照。
基本用語
$0$ 以上の整数全体の集合 $\NN_{\geq 0}$ の部分集合 $\AA$ は $0$ 以上の整数の狭義単調増加列（以下、単純に整数列という） $$0=a_0<a_1<a_2<\cdots$$ あるいは $$0<a_1<a_2<\cdots$$ とみることができる。
整数列 $\AA$ に対して、 $n$ 以下の正の項の個数を $A(n)$ であらわす。ただし $A(0)=0$ とおく。 $A(n)$ を $\AA$ の計数関数 (counting function)という。 $$k=A(n)\Longleftrightarrow a_k\leq n<a_{k+1}$$ が成り立つ。
$2$つの整数列 $\AA, \BB$ の和集合 (sumset)を、$\AA$ と $\BB$ の要素の和であらわされる数全体の集合 $$\AA+\BB=\{a+b\mid a\in\AA, b\in\BB\}$$ と定める（unionとは全く別概念なので、混同しないように）。
$h\AA\supset \BB$ となるとき、$\AA$ を $\BB$ の位数 $h$ の加法的基 (additive basis) あるいは単に基 (basis) という。 そのような整数 $h\geq 1$ が存在するとき、$\AA$ を $\BB$ の加法的基あるいは単に基という。
例 4
先と同様、素数全体の集合を $\PP$, $0$ を含む平方数全体の集合を $\SS$ であらわすと、 Waring-Lagrangeの四平方数定理は $$\SS + \SS + \SS + \SS = \NN_{\geq 0}$$ あるいは、$\SS$ が $\NN_{\geq 0}$ の位数 $4$ の基であるとあらわされ、Goldbach予想は $$\{2n\mid n\geq 2, n\in\NN\}\subset \PP + \PP$$ とあらわされる。
