利用者:ますくま/sandbox

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位相群

位相群 $G$ とは位相空間でありかつ群であって、位相構造と群構造が整合的であるようなもののことである。ここで言う整合性とは、積演算 $m : G \times G \to G,\ (g,h) \mapsto gh$ と逆演算 $i : G \to G,\ g \mapsto g^{-1}$ が連続写像であることを指す。

線形Lie群

位相群 $G$ は複素一般線形群 $GL(n,\mathbb{C})$ の閉部分群であるとき、線形Lie群(あるいは閉線形群)であるという。

複素係数の $n$ 次正方行列全体の成す集合を $M(n,\mathbb{C})$ と表す。行列の和・積・スカラー倍により、 $M(n,\mathbb{C})$ は $\mathbb{C}$ 上の多元環となる。このとき、 $A = (a_{ij}) \in M(n,\mathbb{C})$ に対して、その行列ノルム $\|A\|$ が $$\|A\| = \sqrt{\sum_{i,j=1}^n |a_{ij}|^2}$$ によって定義される。行列ノルムをノルムとして、 $M(n,\mathbb{C})$ は複素Banach環となる。このとき、一般線形群$$GL(n,\mathbb{C}) = \{A \in M(n,\mathbb{C}) \mid \det A \neq 0\}$$は $M(n,\mathbb{C})$ の開集合であり、相対位相により位相群となる。すなわち、 $GL(n,\mathbb{C})$ は位相構造を備えた群であり、積演算 $(A,B) \mapsto AB$ と逆演算 $A \mapsto A^{-1}$ は連続写像となる。線形Lie群 $G$ とは、この位相群の閉部分群(すなわち閉集合であるような部分群)のことである。

補足：$M(n,\mathbb{C})$ は位相構造のみに注目すれば、 $\mathbb{C}^{n^2} \cong \mathbb{R}^{2n^2}$ と等距離同型である。実際、対応$$M(n,\mathbb{C}) \to \mathbb{C}^{n^2},\ (a_{ij}) \mapsto (a_{11},\cdots,a_{nn})$$は等長写像である。それゆえ、線形Lie群はEuclid空間内の曲面であると考えることが出来る. 実際、このような幾何学的視点に立てば、線形Lie群は可微分多様体となる。しかしこれは自明なことではなく、その証明には以下で説明する線形Lie群 $G$ に付随するLie環 $\Lie{G}$ を利用することになる。

Lie環

$\mathbb{K}$ を体とし、 ${\frak g}$ を $\mathbb{K}$ 上のベクトル空間とする。以下の条件を満たす二項演算 $(X,Y) \mapsto [X,Y]$ を備えているとき、 ${\frak g}$ は $\mathbb{K}$ 上のLie環であるという。

• $[aX+bY,Z] = a[X,Y] + b[X,Y]\ (a,b \in \mathbb{K})$
• $[X,X] = 0$
• $[X,[Y,Z]] + [Y,[Z,X]] + [Z,[X,Y]] = 0$

一般に、$\mathbb{K}$ 上の結合多元環 $A$ は交換子$$[X,Y] = XY - YX$$によってLie環となる。例えば、 $V$ を $\mathbb{K}$ 上のベクトル空間とするとき、 $\End{V}$ は $\mathbb{K}$ 上のLie環となる。 特に、 $M(n,\mathbb{C})$ は複素Lie環となる。以下の節では、 $M(n,\mathbb{C})$ の係数体を $\mathbb{R}$ に制限して実Lie環と見做したものを利用する。

また、可微分多様体$M$に対して、 $M$ 上の $C^\infty$ 級ベクトル場の全体 ${\frak X}(M)$ は実Lie環となる。

線形Lie群に付随するLie環

線形Lie群$G$に付随するLie環 $\Lie{G}$ は $M(n,\mathbb{C})$ のある部分Lie環として定義される。以下では、このことを確認する。

指数写像(行列の指数関数)とは、 $$\exp(X) = \sum_{n=0}^\infty \frac{1}{n!}X^n$$ によって定義される写像 $\exp : M(n,\mathbb{C}) \to GL(n,\mathbb{C})$ のことである。線形Lie群に付随するLie環 $\Lie{G}$ は指数写像を用いて、$$\Lie{G} = \{X \in M(n,\mathbb{C}) \mid \exp(tX) \in G\ (\forall t \in \mathbb{R})\}$$によって定義される。このとき、 $\Lie{G}$ は実Lie環となる。実際、後述するLie-Trotterの公式により、$$X,Y \in \Lie{G} \Rightarrow X+Y,[X,Y] \in \Lie{G}$$が成り立つことが分かる。

$\Lie{G}$ の定義から、指数写像の制限 $\exp|_{\Lie{G}} : \Lie{G} \to G$ が定義される。以後、この写像も $\exp$ と表し、指数写像と呼ぶ。

指数写像に対して、以下のLie-Trotterの公式が成り立つ。

• $\displaystyle \exp(X+Y) = \lim_{n \to \infty} \left(\exp\left(\frac{X}{n}\right)\exp\left(\frac{Y}{n}\right)\right)^n$
• $\displaystyle \exp([X,Y]) = \lim_{n \to \infty} \left(\exp\left(\frac{X}{n}\right)\exp\left(\frac{Y}{n}\right)\exp\left(\frac{-X}{n}\right)\exp\left(\frac{-Y}{n}\right)\right)^{n^2}$

線形Lie群 $G$ に対して、 $G^\circ$ を単位元 $e \in G$ の連結成分とする。このとき、$G^\circ$ は $G$ の閉正規部分群であり、線形Lie群となる。 さらに、$$\Lie{G} = \Lie{G^\circ}$$が成り立つ。つまり、線形Lie群に付随するLie環は単位元の連結成分により決定される。それゆえ、 $\Lie{G}$ は $G$ の大域的な情報を持たないことが分かる。

線形Lie群の閉部分群と付随するLie環の部分Lie環の間に、以下の対応が成り立つ。

• $H$ が $G$ の閉部分群であるとき、 $\Lie{H}$ は $\Lie{G}$ の部分Lie環である。
• $H$ が $G$ の閉正規部分群であるとき、 $\Lie{H}$ は $\Lie{G}$ のイデアルである。

また、以下が成り立つ。

• $\Lie{G \cap H} = \Lie{G} \cap \Lie{H}$
• $\Lie{G \times H} = \Lie{G} \oplus \Lie{H}$
• $G$ が可換であるとき、 $\Lie{G}$ は可換である。
• $Z$ を $G$ の中心とすると、$\Lie{Z}$ は $\Lie{G}$ の中心である。

線形Lie群の例

以下は、線形Lie群の代表的な例であり、古典Lie群と呼ばれる。

• 実一般線形群： $GL(n,\mathbb{R}) = \{A \in M(n,\mathbb{R}) \mid \det A \neq 0\}$
• 複素一般線形群： $GL(n,\mathbb{C}) = \{A \in M(n,\mathbb{C}) \mid \det A \neq 0\}$
• 実特殊線形群： $SL(n,\mathbb{R}) = \{A \in GL(n,\mathbb{R}) \mid \det A = 1\}$
• 複素特殊線形群：$SL(n,\mathbb{C}) = \{A \in GL(n,\mathbb{C}) \mid \det A = 1\}$
• 回転群： $O(n) = \{A \in GL(n,\mathbb{R}) \mid A^T A=A^T A = I_n\}$
• 特殊回転群：$SO(n) = \{A \in SL(n,\mathbb{R}) \mid A^T A=A^T A = I_n\}$
• ユニタリ群：$U(n) = \{A \in GL(n,\mathbb{C}) \mid A^\ast A = A^\ast A = I_n\}$
• 特殊ユニタリ群：$SU(n) = \{A \in SL(n,\mathbb{C}) \mid A^\ast A = A^\ast A = I_n\}$

対応するLie環は以下のようになる。

• ${\frak gl}(n,\mathbb{R}) = M(n,\mathbb{R})$
• ${\frak gl}(n,\mathbb{C}) = M(n,\mathbb{C})$
• ${\frak sl}(n,\mathbb{R}) = \{ X \in M(n,\mathbb{R}) \mid \tr{X} = 0\}$
• ${\frak sl}(n,\mathbb{C}) = \{ X \in M(n,\mathbb{C}) \mid \tr{X} = 0\}$
• ${\frak o}(n) = \{X \in M(n,\mathbb{R}) \mid X + X^T = 0\}$
• ${\frak so}(n) = \{X \in M(n,\mathbb{R}) \mid \tr{X} = 0,\ X + X^T = 0\}$
• ${\frak u}(n) = \{X \in M(n,\mathbb{R}) \mid \ X + X^\ast = 0\}$
• ${\frak su}(n) = \{X \in M(n,\mathbb{R}) \mid \tr{X} = 0,\ X + X^\ast = 0\}$

付随するLie環の計算例

ここでは例として、 $SL(n,\mathbb{R})$に付随するLie環を決定する。証明には、指数写像の性質$$\det \exp(X) = \exp (\tr{X})$$を利用する。この公式は $X \in M(n,\mathbb{C})$の三角化を用いて証明することが出来る。実際、両辺が共役 $X \mapsto P^{-1}XP$ に関して不変であることに注意すれば、 $X$ が上三角行列の場合を考えればよいから、 $X$ の固有値を $\lambda_1,\cdots,\lambda_n$ として、$$\det \exp(X) = e^{\lambda_1} \cdots e^{\lambda_n} = e^{\lambda_1 + \cdots + \lambda_n} = \exp (\tr{X})$$によって、主張を得る。

上の公式により、$$\det \exp(tX) = \exp (t \tr{X})$$であるから、$X \in \Lie{SL(n,\mathbb{R})}$とすると、$\exp (t \tr{X}) = \det \exp(tX) = 1$ となり、両辺を $t=0$ で微分することで、 $\tr{X} = 0$ すなわち $X \in {\frak sl}(n,\mathbb{R})$を得る。 逆に、$X \in {\frak sl}(n,\mathbb{R})$とすると、$\tr{X} = 0$ であるから、$\det \exp(tX) = \exp (t \tr{X}) = 1$となり、 $X \in \Lie{SL(n,\mathbb{R})}$を得る。以上により、$$\Lie{SL(n,\mathbb{R})} = {\frak sl}(n,\mathbb{R})$$が成り立つ。

次に、 $O(n)$ に付随するLie環を決定する。証明には、指数写像の性質$$(\exp X)^T = \exp X^T$$を利用する。

上の公式により、$$(\exp tX)(\exp tX)^T = \exp (t(X+X^T))$$であるから、 $X \in \Lie{O(n,\mathbb{R})}$とすると、 $\exp (t(X+X^T)) = (\exp tX)(\exp tX)^T = I_n$ となり、両辺を $t=0$ で微分することで、 $X + X^T = O_n$ すなわち $X \in {\frak o}(n)$を得る。 逆に、$X \in {\frak o}(n)$とすると、$X + X^T = O_n$ であるから、$(\exp tX)(\exp tX)^T = \exp (t(X+X^T)) = I_n$となり、 $X \in \Lie{O(n)}$を得る。以上により、$$\Lie{O(n)} = {\frak o}(n)$$が成り立つ。

これらの結果を合わせると, $$\Lie{SO(n)} = \Lie{O(n)} \cap \Lie{SL(n,\mathbb{R})} = {\frak o}(n) \cap {\frak sl}(n,\mathbb{R}) = {\frak so}(n)$$を得る。なお、${\frak o}(n) \subset {\frak sl}(n,\mathbb{R})$ なので ${\frak o}(n) = {\frak so}(n)$ であるが、これは $O(n)$ が非連結であり、 $SO(n)$ が $I_n \in O(n)$ の連結成分であるという事実を反映している。

微分準同型写像

$G,H$ を線形Lie群とする。写像 $f : G \to H$ が位相群の準同型写像であるとは、$f$が群準同型写像であって、かつ連続写像であることを指す。後述する1係数部分群の特徴づけにより、位相群の準同型写像$f : G \to H$に対して、$$f(\exp tX) = \exp (tf_\ast(X))\ (\forall t \in \mathbb{R})$$を満たす写像 $f_\ast : \Lie{G} \to \Lie{H}$ が定まる。この写像は微分準同型写像と呼ばれる。$f_\ast(X)$ は$$f_\ast(X) = \left.\frac{d}{dt}\right|_{t=0}f(\exp(tX))$$によって計算することが出来る.

微分準同型写像 $f_\ast$ が実Lie環の準同型写像であり、さらに対応 $f \mapsto f_\ast$ が関手的であることが示される。このことから、線形Lie群 $G,H$ が位相群として同型であれば、付随するLie環 $\Lie{G}, \Lie{H}$ が実Lie環として同型であることが分かる。すなわち、$$G \cong H \Rightarrow \Lie{G} \cong \Lie{H}$$が成り立つ。

また、準同型写像 $f : G \to H$ に対して、 $N = \Ker{f}$ とおけば、$N$ は線形Lie群であり、 $$\Lie{N} = \Ker{f_\ast}$$が成り立つ。特に、 $f$ が単射であれば、$f_\ast$ は単射である。

Lie群との関係(多様体論的な定式化)

Lie群 $G$ とは可微分多様体でありかつ群であって、微分構造と群構造が整合的であるようなもののことである。ここで言う整合性とは、積演算 $m : G \times G \to G,\ (g,h) \mapsto gh$ と逆演算 $i : G \to G,\ g \mapsto g^{-1}$ が $C^\infty$ 級写像であることを指す。

Lie群 $G$ に対して、 $g \in G$ による左移動 $L_g : G \to G,\ x \mapsto gx$ は可微分同相を与える。ここで、$G$上のベクトル場全体の成す実Lie環を ${\frak X}(G)$ とし、$${\frak X}_L(G) = \{X \in {\frak X}(G) \mid (L_g)_\ast(X) = X\ (\forall g \in G)\}$$として、 $G$ 上の左不変ベクトル場の全体 ${\frak X}_L(G)$ を定義する。${\frak X}_L(G)$ は交換子積について閉じており、 ${\frak X}(G)$ の部分Lie環となる。 これを $G$ に付随するLie環と定義する。 $X \in {\frak X}_L(G)$ は$$X_g = (L_g)_\ast(X_e)\ (g \in G)$$を満たすため、 $X_e \in T_e(G)$によって決定される。 それゆえ, 全単射対応$${\frak X}_L(G) \to T_e(G),\ X \mapsto X_e$$によって ${\frak X}_L(G)$ と $T_e(G)$ を同一視することが出来る。

$G$が線形Lie群であるとき、自然な同型$$\Lie{G} \cong T_e(G)$$が存在して、 $f : G \to H$の微分準同型写像 $f_\ast : \Lie{G} \to \Lie{H}$ と $(f_\ast)_e : T_e(G) \to T_e(H)$ は同一視される。

von Neumannの定理

線形Lie群 $G$ はLie群であり、$\dim G = \dim \Lie{G}$が成り立つ。ここで左辺は多様体の次元であり、右辺は実ベクトル空間の次元である。この事実をvon Neumannの定理という。

証明の概略：von Neumannの定理を証明するためには, 指数写像 $\exp : \Lie{G} \to G$ が $O_n \in \Lie{G}$の開近傍 $U$ から $I_n \in G$ の開近傍$V$への局所的な同相 $\exp|_U : U \to V$ を与えていることを示せばよい。 実際、$\Lie{G}$ は有限次元実ベクトル空間であるから、位相空間としては $\Lie{G} \cong \mathbb{R}^n$ であり、 $(V,(\exp|_U)^{-1})$ が $I_n \in G$ の周りのチャートを定めることが分かる。そして、 $G$ は位相群であるから、左移動 $L_g : G \to G,\ x \mapsto gx$ を用いて、各点 $g \in G$の周りのチャート$(gV,(\exp|_U)^{-1}) \circ L_{g^{-1}})$ を得ることが出来る.

この定理から分かるように、Lie環 $\Lie{G}$ は線形Lie群$G$の単位元近傍の局所的な情報を記述する。 実際、多様体論的な視点に立てば、Lie環 $\Lie{G}$ は $G$ の単位元 $e$ における接空間$T_e(G)$に他ならない。$\Lie{G}$ の情報から $G$ の情報がどの程度復元できるかは興味深い問題であるが、後述するように、これには $G$ の位相が関係する。

補足：線形Lie群はLie群であるが、一般にこの逆は成り立たない。すなわち、線形Lie群と同型にならないようなLie群 $G$ が存在する。一方で、任意のコンパクトLie群は線形Lie群として実現出来ることが知られている。

線形Lie群の位相

以下では、古典Lie群の位相(連結性・コンパクト性・単連結性)に関する基本的な事実を整理する。

$O(n)$, $SO(n)$, $U(n)$, $SU(n)$の等質空間を考える。球面への自然な作用を考えることで、以下の同相が成り立つことが分かる。

• $O(n)/O(n-1) \cong S^{n-1}$
• $SO(n)/SO(n-1) \cong S^{n-1}$
• $U(n)/U(n-1) \cong S^{2n-1}$
• $SU(n)/SU(n-1) \cong S^{2n-1}$

位相群 $G$ とその閉部分群 $H$ に関して、以下が成り立つことが知られている。

• $H$と$G/H$と連結であれば、$G$は連結である。
• $H$と$G/H$がコンパクトであれば、$G$はコンパクトである。

この事実と上の事実を用いれば、連結性とコンパクト性に関して、以下が成り立つことが帰納的に分かる。

• $O(n)$は非連結かつコンパクトである。
• $SO(n)$は連結かつコンパクトである。
• $U(n)$は連結かつコンパクトである。
• $SU(n)$は連結かつコンパクトである。

補足：von Neumannの定理により、線形Lie群はLie群であり、特に多様体であるから、弧状連結性と連結性は同値である。

線形Lie群の位相を調べるうえで、次の事実は重要である。$G$が線形Lie群であり、連結成分の個数が有限個であるとする。このとき、あるコンパクト部分群$H$と$N \in \mathbb{N}$が存在して、同相$$G \cong H \times \mathbb{R}^N$$が成り立つ。この分解をCartan分解という。Cartan分解により、 $G$ が連結 $\Leftrightarrow H$ が連結, が成り立つ。それゆえ、線形Lie群の連結性の判定はコンパクト線形Lie群の連結性の判定に帰着する。

以下はCartan分解の具体例である。

• $GL(n,\mathbb{R}) \cong O(n) \times \mathbb{R}^{n(n+1)/2}$
• $GL(n,\mathbb{C}) \cong U(n) \times \mathbb{R}^{n^2}$
• $SL(n,\mathbb{R}) \cong SO(n) \times \mathbb{R}^{(n+2)(n+1)/2}$
• $SL(n,\mathbb{C}) \cong SU(n) \times \mathbb{R}^{n^2-1}$

これらの用いると、連結性とコンパクト性に関して、以下が成り立つことが分かる.

• $GL(n,\mathbb{R})$は非連結かつ非コンパクトである。
• $GL(n,\mathbb{C})$は連結かつ非コンパクトである。
• $SL(n,\mathbb{R})$は非連結かつ非コンパクトである。
• $SL(n,\mathbb{C})$は連結かつ非コンパクトである。

古典Lie群の基本群は以下のようになることが知られている。

• $\pi_1(SO(n)) \cong \pi_1(SL(n,\mathbb{R})) \cong \mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$
• $\pi_1(SU(n)) \cong \pi_1(SL(n,\mathbb{C})) \cong \{0\}$
• $\pi_1(U(n)) \cong \pi_1(GL(n,\mathbb{C})) \cong \mathbb{Z}$

補足：位相群の基本群はAbel群になることが知られている。

Schleierの定理

$G$ を連結位相群とし、 $U$ を単位元の開近傍とする。このとき、 $G = \bigcup_{n=1}^\infty U^n$ が成り立つ。すなわち、 任意の $g \in G$ に対して、 $g = u_1 \cdots u_n$ を満たす $u_1,\cdots,u_n \in U$ が存在する。これをSchleierの定理という。

$G$ が線形Lie群のとき、von Neumannの定理により、この定理は次のように精密化される。 線形Lie群 $G$ に対して、以下は同値である。

• $G$ は弧状連結である。
• $G$ は連結である。
• $G$ を生成する単位元の開近傍が存在する。
• 任意の $g \in G$ に対して、 $g = \exp X_1 \cdots \exp X_n$ を満たす $X_1,\cdots,X_n \in \Lie{G}$ が存在する。

局所同型と普遍被覆

$G$ が連結Lie群であるとき、その普遍被覆 $\widetilde{G}$ は自然にLie群になることが知られている。この $\widetilde{G}$ を $G$ の普遍被覆群という。このとき, 被覆写像 $p : \widetilde{G} \to G$ は群準同型写像であり、 $$\Ker{p} = \pi_1(G,e)$$が成り立つ。特に、 $$\widetilde{G}/\pi_1(G,e) \cong G$$ が成り立つ。従って、 任意の連結Lie群は単連結Lie群の離散部分群による剰余群として実現される。

補足：ただし、 $G$ が線形Lie群であっても、 $\widetilde{G}$ が線形Lie群であるとは限らない。

Lie群 $G$ に対して、以下の条件は同値であることが知られている。

• $G$ と $H$ は局所同型である。
• $\Lie{G}$ と $\Lie{H}$ は同型である。
• $\widetilde{G}$ と $\widetilde{H}$ は同型である。

特に、単連結なLie群 $G,H$ に対して、$$G \cong H \Leftrightarrow \Lie{G} \cong \Lie{H}$$が成り立つ。この事実によって、単連結Lie群に関する問題を付随するLie環 $\Lie{G}$ の問題に帰着させることが出来る。

ユニタリ表現

以下、線形Lie群とは限らない一般の位相群について、その連続表現の定義を行う。

$G$ を位相群とする. $V$ を複素ノルム空間とし、 $\pi : G \to GL(V)$ を群の準同型写像とする。 任意の $v \in V$ に対して $G \to V,\ g \mapsto \pi(g)v$ が連続であるとき、 $(\pi,V)$ を$G$の強連続表現(あるいは単に表現)という。特に、 $V$がHilbert空間であり、 $\pi(g) : V \to V\ (g \in G)$ がユニタリ作用素である場合、 $(\pi,V)$ は $G$ のユニタリ表現であるという。$\dim V < \infty$であるとき、 表現 $(\pi,V)$ は有限次元表現であるという。そうでないとき、無限次元表現であるという。

$V$ の閉部分空間 $W$ が $\pi(g)W \subset W\ (\forall g \in G)$ を満たすとき、 $W$ は$(\pi,V)$ の不変部分空間であるという。このとき, $\pi_W(g) = \pi(g)|_W$ として、 $G$ の表現 $(\pi_W,W)$ が定まる。これを $(\pi,V)$ の部分表現という。 表現 $(\pi,V)$ は非自明な部分表現を持たないとき、 既約表現であるという。 $G$ の既約ユニタリ表現の全体を $\widehat{G}$ で表し、 $G$ のユニタリ双対という。

補足：ユニタリ双対という名前については、双対定理の節を参照せよ。

与えられた位相群 $G$ に対して、そのユニタリ双対 $\widehat{G}$ を決定することは表現論の基本的な問題である。

位相群$G$がコンパクトであるとき、 以下が成り立つことが知られている。

• $G$のユニタリ表現は完全可約である。
• $G$の既約ユニタリ表現は有限次元表現である。

つまり、 $G$ のユニタリ表現 $(\pi,V)$ は部分表現である有限次元既約ユニタリ表現の族 $(\pi_i,V_i)_{i \in I}$ を持ち、$$V = \sum_{i \in I} V_i,\ \pi(g) = \sum_{i \in I} \pi_i(g)$$のように分解される。この定理はPeter-Weylの定理と呼ばれる。Peter-Weylの定理はLebegsueの収束定理やHilbert-Schmidtの定理などを利用することで証明することが出来る。Peter-Weylの定理により, コンパクト群 $G$ のユニタリ表現は既約ユニタリ表現という原子に分解され, さらにそれが有限次元表現であることが分かる。そこで、以下ではコンパクト線形Lie群の有限次元ユニタリ表現のみを考える。

微分表現

$G$ を線形Lie群とし、 $(\pi,V)$ を $G$ の有限次元表現とする。このとき、$\pi(g) : G \to GL(V)$の微分準同型写像 $(\pi(g))_\ast : \Lie{G} \to {\frak gl}(V)$ を考えることが出来る。ここで、$\pi_\ast(g) = (\pi(g))_\ast$として$\pi_\ast$を定めれば、 $(\pi_\ast,V)$は$\Lie{G}$の(実Lie環の意味での)表現となる。これを$(\pi,V)$の微分表現という。

微分表現について、以下が成り立つ。

• $\pi$ が既約ならば $\pi_\ast$ は既約である。
• $\pi$ が完全可約ならば $\pi_\ast$は完全可約である。
• $\pi \cong \sigma$ ならば $\pi_\ast \cong \sigma_\ast$ である。

$G$が連結であれば、より強く以下が成り立つ.

• $\pi$ の既約性と $\pi_\ast$ の既約性は同値である。
• $\pi$ の完全可約性と $\pi_\ast$の完全可約性は同値である。
• $\pi \cong \sigma$ と $\pi_\ast \cong \sigma_\ast$ は同値である。

随伴表現

$G$ を線形Lie群とする。 $g \in G$ に対して、$Ad(g) : \Lie{G} \to \Lie{G}$ が $Ad(g)(X) = gXg^{-1}$ によって定まる。このとき、 $(Ad,\Lie{G})$ は $G$ の有限次元表現を定める。これを $G$ の 随伴表現 という。

また、$(Ad,\Lie{G})$の微分表現として, $\Lie{G}$の表現 $(ad,\Lie{G})$ が定まる。 これを $\Lie{G}$ の随伴表現という。このとき、 $ad(X)(Y) = [X,Y]$が成り立つ。

Haar測度

局所コンパクト群はその位相構造・群構造と整合的であるような良い測度を持つ。それはHaar測度と呼ばれる。

$G$ を局所コンパクト群とする。このとき、 $G$ 上のRadon測度 $\mu_G$ で $\mu_G(gA) = \mu_G(A)\ (\forall g \in G)$ を満たすものが正の定数倍を除いて一意的に存在することが知られている(Haarの定理). この測度 $\mu_G$ を左Haar測度という。全く同様に、右Haar測度 $\mu_G$ が $\mu_G(Ag) = \mu_G(A)\ (\forall g \in G)$ によって定義され、正の定数倍を除いて一意的に存在することが知られている。左Haar測度が右Haar測度でもあるとき, 両側Haar測度(あるいは単にHaar測度)であるという。

両側Haar測度が存在するような局所コンパクト群をユニモジュラー群という。コンパクト群$G$はユニモジュラー群であることが知られている。

正則表現

$G$をコンパクト群とし, $\mu_G$ を $G$ のHaar測度とする。このとき, $f \in L^2(G,\mu_G)$ に対して、$$\pi_L(g)f(x) = f(g^{-1}x)\ (g \in G)$$と定めると, $(\pi_L,L^2(G))$ は $G$ のユニタリ表現を定める。これを $G$ の左正則表現(あるいは単に正則表現)という。

以上の議論は次のように一般化することが出来る。 $X$ がコンパクト群 $G$ の等質空間であるとき, $G$ 上のHaar測度 $\mu_G$ は $\mu_X(gA) = \mu_X(A)\ (\forall g \in G)$ を満たす$X$上のRadon測度$\mu_X$を誘導する. それゆえ、 $f \in L^2(X,\mu_X)$ に対して、 $$\pi_L(g)f(x) = f(g^{-1}x)\ (g \in G)$$と定めると, $(\pi_L,L^2(X))$ は $G$ のユニタリ表現を定める。これを $G$ の準正則表現という。

$SU(2)$と$SO(3)$

特殊ユニタリ群 $SU(2)$ は最も基本的な線形Lie群である。この線形Lie群は位相空間として3次元球面 $S^3$ と同相であり、従って単連結かつコンパクトである。付随するLie環 ${\frak su}(2)$ は3次元の実Lie環である。基底を取り, 同一視 ${\frak su}(2) \cong \mathbb{R}^3$ を考えると、 $g \in SU(2)$ に対して、 $Ad(g) : {\frak su}(2) \to {\frak su}(2)\\$ は $Ad(g) : \mathbb{R}^3 \to \mathbb{R}^3$ と見做すことが出来る。特に適切な基底を取れば、 $Ad(g) \in SO(3)$ と見做すことが出来る。このようにして、$$Ad : SU(2) \to SO(3)$$が定まる。この写像によって、 $SU(2)$ は $SO(3)$ の二重被覆(普遍被覆)となる。

一方で、実Lie環 ${\frak su}(2)$ の複素化 ${\frak su}(2)^\mathbb{C}$ は複素Lie環 ${\frak sl}(2,\mathbb{C})$ に等しい。このようにして、 $SU(2)$ を介して、Lie群 $SO(3)$ とLie環 ${\frak sl}(2,\mathbb{C})$ が結び付く。特に、この対応によって、Lie群 $SO(3)$ の表現論はLie環 ${\frak sl}(2,\mathbb{C})$ の表現論 に帰着される。

純代数的な議論により、Lie環${\frak sl}(2,\mathbb{C})$の有限次元既約表現は可算個の族 $(\pi_n,V_n)_{n \in \mathbb{N}}$ で尽くされることが分かる。これにより、Lie群 $SO(3)$ の既約ユニタリ表現が可算個の族 $(\sigma_n,W_n)_{n \in \mathbb{N}}$ で尽くされることが分かる.

$SO(3)$の球面$S^2$ への自然な作用を考えると、 等質空間$$SO(3)/SO(2) \cong S^2$$を得る. この作用は関数空間 $L^2(SO(3)/SO(2)) \cong L^2(S^2)$ の準正則表現に持ち上がる. Peter-Weylの定理による準正則表現の分解を考えると, $$L^2(S^2) = \sum_{n \in \mathbb{N}} Y_n$$を得る. ここで、$(\sigma_n,W_n)$から構成した行列要素によって、$Y_n$の基底を構成すれば、 実はこれが球面調和関数を与えていることが分かる。このようにして、球面調和関数展開に表現論的な解釈が与えられる。

補足：$S^2$ それ自身はLie群にはならない。 $S^n\ (n=1,2,\cdots)$ の中でLie群の構造を持つのは $n=1,3$ に限ることが知られている。

位相群の双対定理

$G$ が局所コンパクトAbel群のとき、そのユニタリ双対 $\widehat{G}$ は自然に局所コンパクトAbel群となる。さらにこのとき、自然な同型$$\widehat{\widehat{G}} \cong G$$ が成り立つ。これをPontryaginの双対定理という。また、 $G$ がAbel群でない場合、 $\widehat{G}$ に自然な群構造は定まらない。 しかし、$G$ がコンパクト群のときには、ある意味で$$\widehat{\widehat{G}} \cong G$$が成り立つ。これを淡中の双対定理という。これらの事実は一般の局所コンパクト群にまで拡張されており、 それを辰馬の双対定理という。