列型空間
記法に関する注意：
- 写像 $f\colon X\to Y$ と $A\subset X$ について、$f[A]:=\{f(a)|a \in A\}$ と定める。
- 写像 $f\colon X\to Y$ と $g\colon Y\to Z$ について、その合成を $g\circ f$ もしくは $f \triangleright g$ と表記する。
- 位相空間 $X$ の部分集合 $A$ について、$A$ の $X$ における閉包を $\overline{A}$ もしくは $\mathrm{Cl}_X(A)$ と表記する。
- $\omega$ とは、自然数全体の集合に離散位相を入れて位相空間としたものである。また、$\omega + 1$ とは、集合 $\omega\cup\{\omega\}$ 上に定まる位相空間で、その位相は以下のように定まる。
- $U\in \omega + 1$ が開集合であることと、$\omega\notin U$ または $X\setminus U$ が有限集合であることは同値
定義
定義 1 (点列)
位相空間 $X$ に対して、$X$ 上の点列とは、$\omega$ から $X$ への連続写像のことである。また、$A\subset X$ に対し、$A$ 内の点列とは、値域が $A$ に含まれるような $X$ 上の点列のことである。
定義 2 (収束列)
位相空間 $X$ に対して、$X$ 上の収束列とは、$\omega$ から $X$ への連続写像 $f$ であって、以下の図式 $$ \xymatrix{ \omega \ar[d]_{i} \ar[r]^{f} & X\\ \omega+1 \ar[ur]_{\tilde{f}} & } $$ を可換にするような $\tilde{f}$ が存在することをいう。また、点 $x \in X$ が点列 $f$ の収束先であるとは、このような $\tilde{f}$ として $\tilde{f}(\omega)=x$ が成り立つようなものが取れることをいう。
観察 3 (収束先の非一意性)
一般に、点列の収束先は、存在したとしても一意であるとは限らない。実際、密着位相の入った空間 $X$ においては、任意の点列 $f$ と任意の点 $x$ に対し、$x$ は $f$ の収束先となる。
系 4 (収束性の言い換え)
位相空間 $X$ について、$X$ 上の点列 $f$ と $x \in X$ を任意に取ったとき、以下は同値である。
- $x$ は $f$ の収束先である
- $x$ の任意の近傍 $U$ について、有限個の $n$ を除いて $f(n) \in U$ が成り立つ
証明
$\tilde{f}\colon \omega + 1 \to X$ を $f$ の延長であって $\tilde{f}(\omega)=x$ が成り立つような集合の写像とする。
- 1. $\Rightarrow$ 2.
$n \neq \omega$ なる $n \in \omega + 1$ について $\tilde{f}(n)=f(n)$ が成り立ちかつ $\tilde{f}(\omega)=x$ が成り立つような写像 $\tilde{f}$ が連続であるため、任意の $x$ の開近傍 $U$ について、$\tilde{f}^{-1}[U]$ は $\omega+1$ の開集合となる。また、$\tilde{f}^{-1}[U]$ は $\omega \in \omega + 1$ を含むため、ある $\alpha \in \omega + 1$ に対して $(\alpha, \infty) \subset \tilde{f}^{-1}[U]$ かつ $\omega \in (\alpha,\infty)$ が成り立つ。従って、$\alpha$ は自然数であり、したがって、$f^{-1}[U]$ に含まれない元は $\alpha$ 以下の自然数に限られるが、これは高々有限個である。
- 2. $\Rightarrow$ 1.
系 5 (収束列の部分列)
狭義単調増加関数 $\mathrm{incr}\colon \omega \to \omega$ を任意に取る。このとき、位相空間 $X$ 上の点列 $f\colon \omega \to X$ と $f$ の収束先 $x$ が与えられたならば、$\mathrm{incr}\triangleright f$ は $x$ に収束する。
証明
$x$ の近傍 $U$ を任意に取る。このとき、有限個の $n$ を除いて $f(n) \in U$ が成り立つ。従って、$\mathrm{incr}$ は狭義単調増加であるため、有限個の $n$ を除いて $f(\mathrm{inrc}(n)) \in U$ が成り立つ。従って $\mathrm{incr}\triangleright f$ は $x$ に収束する。□
定義 6 (点列閉包作用素)
位相空間 $X$ とその部分集合 $A$ について、$A$ の点列閉包とは、$A$ 内の点列の収束先全体の集合のことである。このとき、$A$ の点列閉包について $[A]_\mathrm{seq}$ と表記する。また、$A \in \mathcal{P}(X)$ について $[A]_\mathrm{seq} \in \mathcal{P}(x)$ を充てる写像 $[-]_\mathrm{seq}$ について、これを点列閉包作用素とよぶ。
定義 7 (点列閉集合)
位相空間 $X$ とその部分集合 $A$ について、$A=[A]_\mathrm{seq}$ であるようなものを点列閉集合であるという。
命題 8 (点列閉包作用素の性質)
位相空間 $X$ とその部分集合 $A,B$ について、以下が成り立つ。
- $A\subset B$ ならば $[A]_\mathrm{seq}\subset [B]_\mathrm{seq}$
- $A\subset [A]_\mathrm{seq}\subset \overline{A}$
- $[\emptyset]_\mathrm{seq}=\emptyset$
- $[A\cup B]_\mathrm{seq}=[A]_\mathrm{seq}\cup [B]_\mathrm{seq}$
証明
1. を示す。任意の $A$ 内の点列は $B$ 内の点列であるため、$[A]_\mathrm{seq}\subset [B]_\mathrm{seq}$ は明らかに成り立つ。
2. を示す。任意の $a \in A$ について、$\omega \to \{a\}\subset X$ で表される $A$ 内の点列は、$a$ を収束点として持つため、$A\subset [A]_\mathrm{seq}$ が成り立つ。$x \in [A]_\mathrm{seq}$ について、$x \notin \overline{A}$ であるとし、また $x$ に収束する $A$ 内の点列 $f$ が存在すると仮定する。このとき $X-\overline{A}$ は $x$ の近傍であるため、有限個の $n$ を除いて $f(n) \in X-\overline{A}$ が成り立つ。特に、$f(n)\notin A$ なる $n$ が存在してしまうため、これは仮定に矛盾する。従って、$x \in \overline{A}$ が示される。
3. を示す。$\emptyset$ 内の点列は存在しないため、$[\emptyset]_\mathrm{seq}=\emptyset$ である。
4. を示す。$A\subset A\cup B$ かつ $B\subset A\cap B$ であるため、$[A]_\mathrm{seq}\subset [A\cup B]_\mathrm{seq}$ かつ $[B]_\mathrm{seq}\subset [A\cup B]_\mathrm{seq}$ が成り立つ。逆に、$x \in [A\cup B]_\mathrm{seq}$ なる点 $x$ を取ると、$A\cup B$ 内の点列 $f$ であって、$x$ に収束するものが取れる。ここで、$X_A=\{n \in \omega|f(n) \in A \}$ もしくは $X_B=\{n \in \omega|f(n) \in B \}$ のいずれかは無限集合である。
$X_A$ が無限集合であると仮定すると、狭義単調増加関数 $\mathrm{incr}\colon \omega \to X_A \subset \omega$ が存在する。このとき $\mathrm{incr}\triangleright f$ は $A$ 内の点列であって、$x$ に収束する。従って $x \in [A]_\mathrm{seq}$ である。同様に、$X_B$ は無限集合であると仮定すると、$x \in [B]_\mathrm{seq}$ が成り立つ。□系 9 (閉ならば点列閉)
位相空間 $X$ の閉集合 $A$ について、$A$ は点列閉集合である。
証明
$A \subset [A]_\mathrm{seq}\subset \overline{A}=A$ より。□
系 10 (点列閉集合の性質)
位相空間 $X$ について、以下が成り立つ。
- 点列閉集合の族 $\mathcal{F}=\{F_i\}$ について、$\bigcap \mathcal{F}$ は点列閉集合である。
- 有限個の点列閉集合 $F_1$, $\ldots$, $F_n$ について、$F_1\cup \ldots \cup F_n$ は点列閉集合である。
証明
1. を示す。任意の $F_i \in \mathcal{F}$ について、$[\bigcap \mathcal{F}]_\mathrm{seq}\subset [F_i]_\mathrm{seq}=F_i$ であるため、$[\bigcap \mathcal{F}]_\mathrm{seq}=\bigcap \mathcal{F}$ が示される。
2. を示す。帰納法により、$[F_1\cup \ldots \cup F_n]_\mathrm{seq}=[F_1]_\mathrm{seq}\cup\ldots \cup [F_n]_\mathrm{seq}$ が成り立つ。□定義 11 (列型空間)
列型空間とは、位相空間 $X$ であって、任意の部分集合 $A\subset X$ に対し以下が成り立つようなものである。
- $A=[A]_\mathrm{seq}$ ならば、$A$ は閉集合
定義 12 (Fréchet–Urysohn空間)
Fréchet–Urysohn空間とは、位相空間 $X$ であって、任意の部分集合 $A\subset X$ に対し以下が成り立つようなものである。
- $\overline{A}=[A]_\mathrm{seq}$
具体例
例 13 (Fréchet–Urysohn空間である例)
$\mathbb{R}$ はFréchet–Urysohn空間である。実際、$\mathbb{R}$ の各点は高々可算個の開集合 $U_1$, $U_2$, $\ldots$ からなる開近傍系を持つ。さらに $U_1\supset U_2 \supset \ldots$ が成り立つと仮定してよい。このとき、ある $A\subset \mathbb{R}$ について $x \in \overline{A}$ が成り立つならば、$U_n \cap A$ は空でない。したがって、$x_n \in U_n \cap A$ なる点を選べる。このとき、$n \in \omega$ に対し $x_n$ を充てる写像は $x$ に収束する。
例 14 (Fréchet–Urysohn空間でなく列型空間である例)
Arens' spaceはFréchet–Urysohn空間でなく列型空間であるような位相空間のなかで基本的な例である。すなわちこれは、空間 $X_1 =\omega \times (\omega + 1)$ と $X_2=\omega + 1$ の直和空間の商であって、$(n,\omega) \in X_1$ と $n \in X_2$ を同一視したものである。詳細は https://dantopology.wordpress.com/2010/08/18/a-note-about-the-arens-space/ を参照のこと。
例 15 (列型空間でない例)
最小の非可算順序数 $\omega_1$ について、$\omega_1 + 1$ は列型空間ではない。実際、$[0,\omega_1)$ は点列閉集合であるが、閉集合ではない。しかし $\omega_1 + 1$ はコンパクトHausdorff空間である。
クラスの包含
命題 16 (クラスの包含)
第一可算空間ならばFréchet-Urysohn空間である。Fréchet-Urysohn空間ならば列型空間である。
証明
第一可算空間 $X$ を取る。$A\subset X$ と $x \in \overline{A}$ を任意に取る。このとき、$X$ は第一可算であるため、$x$ の可算個の開近傍からなる基本近傍系 $\{U_n|n \in \mathbb{N}\}$ を構成できる。このとき、$V_n=\bigcap_{1\leq i \leq n} U_i$ とおくと、$\{V_n|n \in \mathbb{N}\}$ もまた $x$ の基本近傍系となり、さらに $i \leq j \in \mathbb{N}$ について $V_i \supset V_j$ が成り立つ。
このとき、任意の $n \in \mathbb{N}$ について、$V_n \cap A$ は空でない。従って、点 $x_n \in V_n \cap A$ を選ぶことができる。$n \in \omega$ に対して $x_n$ を充てるような写像 $f\colon \omega \to X$ について、これは $x$ に収束する。従って、$\overline{A}\subset [A]_\mathrm{seq}$ が示される。よって $[A]_\mathrm{seq}=\overline{A}$ が成り立つ。
Fréchet-Urysohn空間 $Y$ を取る。$A\subset Y$ について、$A=[A]_\mathrm{seq}$ ならば、$[A]_\mathrm{seq}$ であるため、$A=\overline{A}$ が成り立つ。したがって $Y$ は列型空間である。□系 17 (距離空間は列型)
距離空間は列型空間である。
証明
距離空間は第一可算空間であるため、列型空間である。□
命題 18 (Fréchet-Urysohn空間の特徴付け)
位相空間 $X$ について、以下は同値である。
- $X$ はFréchet-Urysohn空間
- $X$ の任意の部分空間は列型空間
証明
- 1. $\Rightarrow$ 2.
$Y$ を $X$ の部分空間とする。$Y$ における点列閉包作用素を $[-]_{\mathrm{seq},Y}$ と表記する。このとき、$A\subset Y$ について、$y \in [A]_{\mathrm{seq}}\cap Y$ を任意に取ると、$y$ に $X$ 上で収束する $A$ 内の点列 $f$ が存在するが、明らかに $Y$ 上においても $y$ に収束するため、$y \in [A]_{\mathrm{seq},y}$ が成り立つ。
逆に $y \in [A]_{\mathrm{seq},Y}\subset [A]_\mathrm{seq}\cap Y$ は明らかであるため、$[A]_{\mathrm{seq},Y}=[A]_\mathrm{seq}\cap Y=\mathrm{Cl}_X(A)\cap Y=\mathrm{Cl}_Y(A)$ が成り立つ。従って $Y$ はFréchet-Urysohn空間であり、特に列型空間である。
- 2. $\Rightarrow$ 1.
位相的構成
命題 19 (直和空間)
列型空間の族 $\mathcal{X}=\{X_i\}$ が与えられたとき、$\coprod \mathcal{X}$ は列型空間である。
証明
$A\subset \coprod \mathcal{X}$ について、$x \in [A]_\mathrm{seq}$ ならば、ある $A$ 内の点列 $f$ であって $x$ に収束するものが取れる。このとき、$x \in X_i \in \mathcal{X}$ であるとすると、$X_i$ は $x$ の近傍であるため、有限個の $n$ を除いて $f(n) \in X_i$ が成り立つ。従って、$f$ を部分列に取り換えることで、$f[\omega]\subset A\cap X_i$ が成り立つようにできる。以上の議論より、$[A]_\mathrm{seq}=\coprod [A\cap X_i]_\mathrm{seq}$ が成り立つ。
ここで、$A=[A]_\mathrm{seq}$ ならば、$\coprod A\cap X_i=\coprod [A\cap X_i]_\mathrm{seq}$ より、$A\cap X_i$ は $X_i$ において点列閉であることが従い、よって $A\cap X_i$ は $X_i$ の閉集合となり、従って $A$ は $X$ の閉集合である。□命題 20 (商空間)
列型空間の商空間は列型空間である。
証明
列型空間 $X$ と商写像 $\pi\colon X\to Y$ が与えられたとする。このとき、$Y$ の点列閉集合 $B$ を任意に取れば、$\pi^{-1}[B]$ は点列閉集合である。実際、$\pi^{-1}[B]$ 内の収束列 $f$ を取ったとき、収束先を $x$ とおくと、$\pi(x)$ は $\pi(f)$ の収束先であるため、$\pi(x) \in B$ が成り立つ。従って、$x \in \pi^{-1}[B]$ が成り立つため、$\pi^{-1}[B]$ は点列閉集合である。$X$ は列型空間であったため、$\pi^{-1}[B]$ は閉集合である。$\pi$ は商写像であるため、$B$ は閉集合である。□
命題 21 (余極限構成)
列型空間は位相空間の圏における余極限構成において閉じている。
証明
列型空間のクラスは、直和構成・商構成に閉じているため、余極限構成についても閉じている。□
命題 22 (開部分空間)
列型空間の開部分空間は列型空間である。
証明
列型空間 $X$ の開部分空間 $U$ をとり、$U$ の点列閉集合 $A$ を任意に取る。$B=(X\setminus U)\cup A$ とおくと、$B$ は点列閉集合である。実際、$B$ 内の収束列 $f$ であって、収束先 $x$ であって $U$ に属するものが存在すれば、$U$ は $x$ の近傍であるため、有限個の $n$ を除いて $f(n)\in U$ が成り立つ。
このとき、$f$ を部分列に取り換えると、$f[\omega]\subset B\cap U=A$ が成り立つとしてよい。よって、$x$ は $A$ 内の点列の収束先であるが、$A$ は点列閉集合であるため、$x \in A$ が成り立つ。したがって $B$ は点列閉集合であり、$B$ は $X$ の閉集合である。よって $A$ は $Y$ の閉集合であることが示される。□命題 23 (閉部分空間)
列型空間の閉部分空間は列型空間である。
証明
列型空間 $X$ の閉部分空間 $Y$ をとり、$Y$ の点列閉集合 $A$ を任意に取る。このとき、$[A]_{\mathrm{seq},X}\subset \mathrm{Cl}_Y(A) \subset Y$ より、$[A]_{\mathrm{seq},X}=[A]_{\mathrm{seq},Y}$ が成り立つ。よって、$A$ は $X$ において点列閉集合であり、従って閉集合である。よって $Y$ の列型性が示される。□
命題 24 (開連続像)
列型空間の開写像による連続像は列型空間である。
証明
列型空間 $X$ と全射な連続開写像 $f\colon X\to Y$ を任意に取る。このとき、$Y$ の点列閉集合 $A$ を任意に取ると、$f^{-1}[A]$ は点列閉集合である。よって、$f^{-1}[A]$ は閉集合であり、$X\setminus f^{-1}[A]=f^{-1}[Y\setminus A]$ であるため、$A$ は閉集合である。□
命題 25 (閉連続像)
列型空間の閉写像による連続像は列型空間である。
証明
列型空間 $X$ と全射な連続開写像 $f\colon X\to Y$ を任意に取る。このとき、$Y$ の点列閉集合 $A$ を任意に取ると、$f^{-1}[A]$ は点列閉集合である。よって、$A$ は閉集合である。□
観察 26 (連続像についての反例)
$\mathrm{Seq}$ は連続像については閉じていない。このことは、列型空間でない空間 $X$ に対して、$X$ の台集合に離散位相を入れた空間 $X_\mathrm{discrte}$ から $X$ への連続像が $X$ であることからわかる。
観察 27 (積についての反例)
列型空間のクラス は積については閉じていない。このことは、$[0,1]^{\omega_1}$ が列型空間でないことからわかる。実際、$[0,1]^{\omega_1}$ の部分集合であって、可算個の成分を除いて $0$ であるようなもののなす集合 $A$ を取ると、$A$ は明らかに点列閉集合であるが、閉集合ではない。
特徴付け
命題 28 (列型空間の特徴付け)
位相空間 $X$ について以下は同値である。
- $X$ は列型空間
- $X$ は第一可算空間の商
- $X$ は距離化可能空間の商
証明
3. $\Rightarrow$ 2. $\Rightarrow$ 1. は明らかである。
1. $\Rightarrow$ 3. を示す。列型空間 $X$ の点 $x$ と $x$ に収束する点列 $f$ の組全体の集合 $\mathcal{S}$ について、$M=\coprod_\mathcal{S} \omega + 1$ は距離化可能空間である。このとき、$(x,f)\in\mathcal{S}$ について、$f$ の拡張 $\tilde{f}\colon \omega + 1 \to X$ であって $\tilde{f}(\omega)=x$ なるものが取れる。これらの連続写像により全射 $q\colon M\to X$ を構成することができる。
このとき、$X$ が列型空間であるため、$q$ の商写像性は明らかである。□いくつかの結果
- 弱Lindelöfかつ正規な列型空間 $X$ について、$X$ のcharacter $\chi(X)$ が $2^{\aleph_0}$ 以下ならば、$X$ の濃度は $2^{\aleph_0}$ 以下である。(arXiv:1610.08996v1)
information
参考文献
- arXiv:1610.08996v1
