具体圏

具体圏（ぐたいけん、concrete category）とは、対象がある意味で集合であるように思うことのできる圏であると言える。

圏 $\mathcal{C}$ と忠実函手 $U \colon \mathcal{C} \to \mathsf{Set}$ の組 $(\mathcal{C},U)$ のことを具体圏という。

圏 $\mathcal{C}$ が具体化可能 (concretizable) であるとは、$\mathsf{Set}$ への忠実関手が存在することをいう。

具体圏は圏の付加構造であるのに対して、具体化可能性は圏の性質であることに注意せよ。

例

$\mathsf{Set}$ は具体化可能である。実際、恒等関手 $\mathrm{id}_{\mathsf{Set}}$ は忠実関手である。
位相空間 $X$ についてその台集合 $X$ をあてる関手 $\mathsf{Top}\to \mathsf{Set}$ により、位相空間の圏 $\mathsf{Top}$ は具体圏となる。
同様に、群の圏 $\mathsf{Grp}$、環の圏 $\mathsf{Ring}$、環 $R$ について $R$ 加群の圏 $R\mathsf{Mod}$、実線形位相空間の圏 $\mathsf{TopVect}_\mathbb{R}$、Banach空間の圏 $\mathsf{Ban}$ などは具体化可能である。

圏 $\mathcal{X}$ について、$\mathcal{X}$-具体圏とは、圏 $\mathcal{C}$ と忠実関手 $F:\mathcal{C}\to \mathcal{X}$ の組 $(\mathcal{C},F)$ のことをいう。

一方、圏 $\mathcal{C}$ が $\mathcal{X}$-具体化可能であるとは、$\mathcal{X}$ への忠実関手が存在することをいう。

具体化可能圏 $\mathcal{C}$ の部分圏 $\mathcal{C}'$ について、$\mathcal{C}'$ は具体化可能である。
具体化可能圏のなす族 $\{\mathcal{C}_i\}_{i\in \Lambda}$ であって、集合であるものを取る。このとき、$\prod_{i\in \Lambda} C_i$ は具体化可能である。
$\mathcal{C}$ は $\mathcal{C}$-具体化可能である。
$\mathcal{C}$ が具体化可能であり、また $\mathcal{D}$ が $\mathcal{C}$-具体化可能であるとき、$\mathcal{D}$ は具体化可能である。