付値環

この記事において、環は可換であるとする。

定義

整域 $R$ が付値環であるとは、商体 $K$ のなかで $K=R\cup R^{-1}$ をみたすことをいう。

同値な定義

定理 1 (付値環の同値な定義)

環 $R$ について以下は同値である。

1. $R$ は付値環
2. $R$ のイデアル全体は包含関係により全順序集合をなす
3. $R$ の主イデアル全体は包含関係により全順序集合をなす

証明

2. $\Rightarrow$ 3. は明らかである。また 3. が成り立つと仮定する。このとき、任意の $k \in K$ について、$a,b \in R$ によって $k=ab^{-1}$ と表記できる。ここで、$(a) \subset (b)$ ならば $k \in R$ が、$(b) \subset (a)$ ならば $k^{-1} \in R$ が成り立つ。よって 3. $\Rightarrow$ 1. である。

環 $R$ が付値環であるとする。$R$ のイデアル $I$, $J$ について、$I$ が $J$ に含まれないと仮定する。このとき、ある元 $x \in I$ が存在して $x \notin J$ が成り立つ。よって、任意の $j \in J$ について $xj^{-1} \notin R$ が示される。よって $jx^{-1} \in R$ である。したがって $j \in xR=(x) \subset I$ であるため、$J \subset I$ が示される。1. $\Rightarrow$ 2. の成立である。□

基本的な性質

命題 2 (付値環は局所環)

付値環 $R$ について、$R$ は局所環である。

証明

$R$ の非単元 $x,y$ について、$x \in (y)$ もしくは $y \in (x)$ が成り立つ。$x \in (y)$ であると仮定して以下の議論は一般性を失わない。$x \in (y)$ であるため、$x+y \in (y)$ が成り立つが、$x+y$ が単元ならば $(y)=R$ が成り立つ。これは $y$ の非単元性に反する。従って $R$ は局所環である。□

命題 3 (付値環は整閉)

付値環 $R$ について、$R$ は整閉である。

証明

$x \in K$ について、$x$ が $R$ 上整であるとする。このとき、$c_0 ,\ldots, c_{n-1} \in R$ について $$ x^n+c_{n-1}x^{n-1}+\ldots + c_0 =0$$ が成り立つ。このとき、$x \notin R$ ならば、$x^{-1} \in R$ が成り立つ。よって $$x = - (c_{n-1}+\ldots + c_0x^{-n+1}) \in R$$ が成り立つため、矛盾する。よって $x \in R$ が成り立つ。□

命題 4 (有限生成イデアルは主イデアル)

付値環 $R$ の有限生成イデアル $I$ について、$I$ は主イデアルである。

証明

$R$ の主イデアル全体は包含関係により全順序集合をなすことに注意する。このとき、$I=(x_1,\ldots,x_n)$ であると仮定すると、主イデアル $(x_1)$, $\ldots$, $(x_n)$ のなかで最も大きいイデアル $(x_i)$ を取ることができる。このとき、$I=(x_i)$ が成り立つ。よって $I$ は主イデアルである。□

系 5 (Noether付値環はPID)

Noether付値環 $R$ について、$R$ は主イデアル整域である。

証明

命題 4 より。□

付値群

付値環 $R$ について、$R$ の単元群を $R^\times$ とおき、商体 $K$ の乗法群を $K^\times$ とおく。このとき、$K^\times/R^\times$ の元 $[a]$, $[b]$ に対して、$a=rb$ なる $r\in R$ が存在するとき $b\leq a$ が成り立つような $K^\times/R^\times$ 上の順序が存在するが、これは全順序集合となっている。この全順序アーベル群のことを付値環 $R$ の付値群という。

付値

整域 $R$ について、$R$ の商体を $K$ とおく。全順序アーベル群 $\Gamma$ について、$\Gamma$ を値に持つ環 $R$ 上の付値 $v$ とは、以下の条件をみたす写像 $v\colon K\to \Gamma\cup\{\infty\}$ のことである。

• $v(x)=\infty\Leftrightarrow x=0$
• $v(x) \in R \Leftrightarrow v(x) \geq 0$
• $v(xy)=v(x)+v(y)$
• $v(x+y) \geq \mathrm{min}\{v(x),v(y)\}$

このとき、$v$ が自明であるとは、$0\neq x\in R$ について $v(x)=0$ が成り立つことをいう。

ここで、付値環 $R$ について、射影 $\pi\colon R\to K^\times/R^\times \cup\{\infty\}$ は付値となっている。

環 $R$ が離散付値環(discrete valuation ring)であるとは、$\mathbb{Z}$ を値に持つ非自明な付値が存在することをいう。DVRと略記することがある。

例

• 体 $K$ について、その商体は $K$ と一致するため、$K$ は付値環である。
• 素数 $p$ と有理数 $q \in \mathbb{Q}$ について、$m,n \in \mathbb{Z}$ によって $q=\frac{n}{m}$ と表記したとき、$\mathrm{ord}_p(n)-\mathrm{ord}_p(m)$ の値は $m,n$ の取り方に依らない。よってこの値を $\mathrm{ord}_p(q)$ とおく。このとき、$\mathbb{Z}_{(p)}=\{q \in \mathbb{Q}|\mathrm{ord}_p(q)\geq 0\} \subset \mathbb{Q}$ は $\mathbb{Q}$ を商体に持つ付値環となる。$\mathbb{Z}_{(p)}$ について、その付値群は $\mathbb{Z}$ と同型であるため、$\mathbb{Z}_{(p)}$ はDVRである。

任意の全順序アーベル群に対しての付値環の構成

全順序アーベル群 $\Gamma$ について、付値群に $\Gamma$ を持つような付値環を構成する。

$k$ を体とする。このとき、$\Gamma_{\geq 0}$ を指数とする $k$-係数多項式環 $k[X^e|e\in \Gamma_{\geq 0}]$ の商体を $K$ とおく。このとき、$f\in k[X^e|e\in \Gamma_{\geq 0}]$ が相異なる単項式 $c_iX^{e_i}$ の和で表されるとき、$v(f)=\mathrm{min}\{e_i\}$ とおく。ただし $0\in R$ については $v(0)=\infty$ とおく。

$r\in K$ の元は $f,g\in k[X^e|e\in \Gamma_{\geq 0}]$ によって $\frac{f}{g}$ と表されるが、このとき $v(f)-v(g)$ の値は $f,g$ の取り方に依らない。この値を $v(r)$ と表記する。

このとき、写像 $v\colon K\to \Gamma \cup \{\infty\}$ が構成される。このとき $v^{-1}(\Gamma_{\geq 0}\cup \{\infty\})\subset K$ は $K$ の部分環となっている。この環を $R_\Gamma$ とおくと、$R_\Gamma$ は付値環となり、その付値群は $\Gamma$ と同型である。

Noether付値環

環がNoether付値環であるためのさまざまな同値条件が知られている。

定理 6 (離散付値環)

環 $R$ について以下は同値である。

1. $R$ はNoether付値環である。
2. $R$ は付値環であり、付値群として $0$ または $\mathbb{Z}$ を持つ。
3. $R$ はKrull次元 $1$ 以下のNoether局所整閉整域である。
4. $R$ はKrull次元 $1$ 以下の正則局所環である。

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参考文献

• [AM]
• [Mat]