上極限と下極限
$\newcommand{\Zp}{\mathbb{Z}_{\ge 1}}$ $\newcommand{\R}{\mathbb{R}}$
上極限(limit superior)と下極限(limit inferior)とは、主に数列の十分後ろの項や関数のある点の近傍でとりうる値を評価するために用いられる値である。同様の目的で用いられる値として通常の極限があるが、上極限と下極限はそれとは異なりどのような数列や関数についても定義できるという利点がある。
定義
$(\Lambda,\le)$ を有向集合とし、$\{a_\lambda\}_{\lambda\in\Lambda}$ を $\overline{\R}=\R\cup\{\infty,-\infty\}$ のネットとする。 \begin{align*} \limsup_{\lambda\in\Lambda}a_\lambda=\varlimsup_{\lambda\in\Lambda}a_\lambda\colon&=\inf_{\mu\in\Lambda}\sup_{\lambda\ge\mu}a_\lambda,\\ \liminf_{\lambda\in\Lambda}a_\lambda=\varliminf_{\lambda\in\Lambda}a_\lambda&\colon=\sup_{\mu\in\Lambda}\inf_{\lambda\ge\mu}a_\lambda \end{align*} と定め、それぞれ $\{a_\lambda\}_{\lambda\in\Lambda}$ の上極限、下極限という。
注意
$\lambda\in\Lambda$ の部分は通常の極限と同様の規約に従い異なる書き方がされることがある。例えば、$\Lambda=\Zp$ (すなわち $\{a_m\}_{m=1}^\infty$ が数列)のときの上極限は $$\limsup_{m\to\infty}a_m$$ のように表す。下極限についても同様。
$X$ を位相空間とし、$A\subset X,f\colon A\to\overline{\R}$ とする。$a\in\overline{A}$ とし、$\mathcal{N}_a$ を $a$ の近傍系とする。このとき \begin{align*} \limsup_{x\to a}f(x)=\varlimsup_{x\to a}f(x)\colon&=\inf_{N\in\mathcal{N}_a}\sup_{x\in N\cap A\backslash\{a\}}f(x),\\ \liminf_{x\to a}f(x)=\varliminf_{x\to a}f(x)\colon&=\sup_{N\in\mathcal{N}_a}\inf_{x\in N\cap A\backslash\{a\}}f(x) \end{align*} と定め、それぞれ $x\to a$ としたときの $f(x)$ の上極限、下極限という。
性質
- 任意の $\overline{\R}$ のネット $\{a_\lambda\}_{\lambda\in\Lambda}$ について
$$\liminf_{\lambda\in\Lambda}a_\lambda\le\limsup_{\lambda\in\Lambda}a_\lambda.$$
- $\overline{\R}$ のネット $\{a_\lambda\}_{\lambda\in\Lambda},\{b_\lambda\}_{\lambda\in\Lambda}$ について $\{a_\lambda+b_\lambda\}_{\lambda\in\Lambda}$ が定義されれば
$$\limsup_{\lambda\in\Lambda}(a_\lambda+b_\lambda)\le\limsup_{\lambda\in\Lambda}a_\lambda+\limsup_{\lambda\in\Lambda}b_\lambda, \liminf_{\lambda\in\Lambda} (a_\lambda+b_\lambda)\ge\liminf_{\lambda\in\Lambda}a_\lambda+\liminf_{\lambda\in\Lambda}b_\lambda.$$ 通常の極限と異なり、上極限と下極限は一般には和を保たないことに注意。
- 上極限と下極限は順序を保つ。すなわち、$\overline{\R}$ のネット $\{a_\lambda\}_{\lambda\in\Lambda},\{b_\lambda\}_{\lambda\in\Lambda}$ が任意の $\lambda\le\Lambda$ について $a_\lambda\le b_\lambda$ をみたせば
$$\limsup_{\lambda\in\Lambda}a_\lambda\le\limsup_{\lambda\in\Lambda}b_\lambda,\liminf_{\lambda\in\Lambda}a_\lambda\le\liminf_{\lambda\in\Lambda}b_\lambda.$$
- $\overline{\R}$ のネット $\{a_\lambda\}_{\lambda\in\Lambda}$ が $a\in\overline{\R}$ に収束することは $\liminf_{\lambda\in\Lambda}a_\lambda=\limsup_{\lambda\in\Lambda}a_\lambda=a$ と同値である。とくに $\{a_\lambda\}_{\lambda\in\Lambda}$ がある $a\in\overline{\R}$ に収束することは$\liminf_{\lambda\in\Lambda}a_\lambda=\limsup_{\lambda\in\Lambda}a_\lambda$ と同値であり、 $\liminf_{\lambda\in\Lambda}a_\lambda\ge\limsup_{\lambda\in\Lambda}a_\lambda$ とも同値である。
- 以上の性質は関数の上極限、下極限についても同様に成り立つ。
- 距離空間 $(X,d)$ のネット $\{x_\lambda\}_{\lambda\in\Lambda}$ が $x\in X$ に収束することは $\limsup_{\lambda\in\Lambda}d(x_\lambda,x)=0$ と同値であり、$\limsup_{\lambda\in\Lambda}d(x_\lambda,x)\le 0$ とも同値である。
- $\{f_m\}_{m=1}^\infty$ を測度空間 $(X,\mathfrak{M},\mu)$ 上の実数値可測関数の列とすると $\limsup_{m\to\infty}f_m$ と $\liminf_{m\to\infty}f_m$ も可測である。
- $\limsup_{x\to a}f(x)\le\alpha$ は $a$ に収束し $x_\lambda\neq a\ (\forall\lambda\in\Lambda)$ をみたす任意のネット $\{x_\lambda\}_{\lambda\in\Lambda}$ について $\limsup_{\lambda\in\Lambda}f(x_\lambda)\le\alpha$ となることと同値である。また、$\liminf_{x\to a}f(x)\ge\alpha$ は $a$ に収束し $x_\lambda\neq a\ (\forall\lambda\in\Lambda)$ をみたす任意のネット $\{x_\lambda\}_{\lambda\in\Lambda}$ について $\liminf_{\lambda\in\Lambda}f(x_\lambda)\ge\alpha$ となることと同値である。$X$ が第一可算の場合は「ネット」を「点列」に変えてよい。
