ルート系

鏡映

この記事全体を通して、$V$ と書いたら $\mathbb{R}$ 上の有限次元線形空間のこととし、$V$ には正定値内積 $$ (~,~)\colon V\times V\longrightarrow \mathbb{R} $$ が備わっているとする。また、この内積による $V$ の直交群(orthogonal group) $$ \{s\in {\rm Aut}(V)\mathrel{\vert} \forall x,y\in V, (s(x),s(y))=(x,y)\} $$ のことを $O(V)$ と書くことにする。

定義 1 (鏡映(reflection))

$V$ の $0$ でないベクトル $\alpha$ に対して、同型 $s\colon V\longrightarrow V$ が $\alpha$ の$\mathbf{鏡映}$(reflection)であるとは、$s(\alpha)=-\alpha$ であり、$\mathbb{R}\alpha$ の補空間 $H_{\alpha}=\{x\in V\mathrel{\vert} (x,\alpha)=0\}$ 上で $s\vert_{H_{\alpha}}=1$ となることを言う。

$0$ でない $\alpha\in V$ に対して、 $$ s_{\alpha}\colon V\longrightarrow V;x\longmapsto x-\dfrac{2(x,\alpha)}{(\alpha,\alpha)}\alpha $$ と置くと、$s_{\alpha}$ は $\alpha$ の鏡映である。

補題 1

(1) $0$ でない実数 $c$ に対して $s_{c\alpha}=s_{\alpha}$ である。
(2) $\alpha$ の鏡映は直交群 $O(V)$ の元である。すなわち、任意の $x,y\in V$ に対して $(s_{\alpha}(x),s_{\alpha}(y))=(x,y)$ である。
(3) 任意の $t\in O(V)$ に対して、$ts_{\alpha}t^{-1}=s_{t(\alpha)}$ である。

Proof.

容易ゆえ省略。

□

ルート系

定義 2 (ルート系(root system))

$V$ の有限部分集合 $R$ が次の (RS1)～(RS4) を満たすとき、$R$ を $V$ における$\mathbf{ルート系}$(root system) と呼ぶ。

(RS1) $0\notin R$ であり、$R$ は $V$ を生成する。
(RS2) 任意の $\alpha\in R$ に対して、$s_{\alpha}(R)=R$ である。
(RS3) $\alpha,\beta\in R$ に対して、$s_{\alpha}(\beta)-\beta$ は $\alpha$ の整数倍である。
(RS4) $\alpha\in R$ に対して、$R\cap \mathbb{R}\alpha \subset \{\pm \alpha\}$ である。

$R$ の元のことをルート(root)と呼ぶ。文脈によって、(RS1)～(RS3)を満たすもののことをルート系と呼び、中でもさらに(RS4)を満たすもののことを被約なルート系(reduced root system)と呼ぶこともある。

線形独立な二つのルートは、$V$ の中で平面を張る。この平面の中で、その二つのルートの間の角度が定義できるが、この角度として取り得る値の候補は決まっている。そのことを確認しよう。線形独立な $\alpha,\beta\in R$ に対して、$\alpha$ から $\beta$ への反時計回りの角度を $\theta ~(0\leq \theta \leq \pi)$ と置くと、 $$ (\alpha,\beta)=\|\alpha\|\|\beta\|{\rm cos}\theta $$ となる。ただし、$\|x\|$ は $(x,x)^{\frac{1}{2}}$ のことである。したがって、$n(\alpha,\beta)=\dfrac{2(\alpha,\beta)}{(\alpha,\alpha)}$ と置くと、(RS3) より、これは整数であり、 $$ n(\alpha,\beta)n(\beta,\alpha)=4{\rm cos}^{2}\theta $$ となる。左辺は整数、$\alpha$ と $\beta$ は線形独立だったので、$4{\rm cos}^{2}\theta$ の値の候補は、$0,1,2,3$ である。このことから、下のような表を得る。ただし、$\|\alpha|\leq \|\beta\|$ と仮定している。

$n(\beta,\alpha)n(\alpha,\beta)$	$n(\alpha,\beta)$	$n(\beta,\alpha)$	$\theta$	長さの比
$$0$$	$$0$$	$$0$$	$$\frac{\pi}{2}$$
$$1$$	$$\pm 1$$	$$\pm 1$$	$$\frac{\pi}{3},\frac{2\pi}{3}$$	$$1$$
$$2$$	$$\pm 1$$	$$\pm 2$$	$$\frac{\pi}{4},\frac{3\pi}{4}$$	$$\sqrt{2}$$
$$3$$	$$\pm 1$$	$$\pm 3$$	$$\frac{\pi}{6},\frac{5\pi}{6}$$	$$\sqrt{3}$$

この表において、$n(\alpha,\beta)=\pm 1$ なので、$s_{\alpha}(\beta)$ は $\beta+\alpha$ か $\beta-\alpha$ のどちらか一方に等しい。この表から等式 $$ s_{\alpha}(\beta) = \left\{ \begin{array}{lllllll} \beta-\alpha & (\|\alpha|\leq \|\beta\|,\theta=\frac{\pi}{3},\frac{\pi}{4},\frac{\pi}{6}),\\ \beta+\alpha & (\|\alpha|\leq \|\beta\|,\theta=\frac{2\pi}{3},\frac{3\pi}{4},\frac{5\pi}{6}),\\ \beta-2\alpha & (\|\alpha|\geq \|\beta\|,\theta=\frac{\pi}{4}),\\ \beta+2\alpha & (\|\alpha|\geq \|\beta\|,\theta=\frac{3\pi}{4}),\\ \beta-3\alpha & (\|\alpha|\geq \|\beta\|,\theta=\frac{\pi}{6}),\\ \beta+3\alpha & (\|\alpha|\geq \|\beta\|,\theta=\frac{5\pi}{6}),\\ \beta & (\theta=\frac{\pi}{2}). \end{array} \right. $$ を得る。

定義 3 (Weyl群)

$V$ におけるルート系 $R$ に対して、ルートの鏡映全体が生成する群 $W=W(R)$ のことをルート系 $R$ の$\mathbf{Weyl群}$と呼ぶ。$W$ は有限集合 $R$ の置換群の部分群なので、特に有限群である。

定義 4 (正系(positive of root system))

$V$ におけるルート系 $R$ に対して、次の二つの条件を満足する部分集合 $R^{+}\subset R$ のことを$\mathbf{正系}$(positive of root system)と呼ぶ。

(a) 任意の $\alpha\in R$ に対して、$\pm \alpha$ のどちらか一方だけが $R^{+}$ に属する。
(b) $\alpha,\beta$ を $R^{+}$ の異なる元とする。このとき $\alpha+\beta$ もルートなら $\alpha+\beta\in R^{+}$ となる。

$R^{-}:=-R^{+}=\{-\alpha\mathrel{\vert} \alpha\in R^{+}\}$ とすると、$R=R^{+}\coprod R^{-}$ (集合の直和)になる。$R^{-}$ もまた正系になる。$V$ は $R$ によって生成されているので、$V\backslash \{0\}=(\mathbb{R}_{>0}R^{+})\coprod (\mathbb{R}_{>0}R^{-})$ である。$0$ でないベクトル $v\in V$ が錐 $\mathbb{R}_{>0}R^{+}$ の元であることを $v>0$ と書き表す。$v<0$ も同様。正系が $V$ に線形順序を定めていることが分かる。

コメント：$R^{+}$ の元の非自明な非負係数の結合で $0$ を表すことはできない。実際 $\sum_{\alpha\in R^{+}} c_{\alpha}\alpha=0$ を非負係数の結合とすれば、$\beta\in R^{+}$ を $c_{\beta}>0$ となる最小の元とすれば、

$$ 0=\sum_{\alpha} c_{\alpha}\alpha\geq (\sum_{\alpha}c_{\alpha})\beta >0 $$ となってしまうからである。

定義 5 (単純ルート)

$\Delta$ を $R$ の部分集合とする。$\Delta$ が次の二つの条件を満たすとき、$\Delta$ のことを $R$ の$\mathbf{基}$(basis)と呼ぶ。

(a) $\Delta$ は $V$ の基底である。
(b) $R$ の元を $\Delta$ の元の線形結合で書いたとき、その係数の符号は、すべて等しい。

$R^{+},R^{+'}$ を $R$ の二つの正系とする。証明は $r=\mathrm{Card}(R^{+}\cap -R^{+'})$ の帰納法による。$r=0$ ならば $R=R^{+}\coprod R^{-}=R^{+'}\coprod R^{-'}$ から分かる。$r>0$ とすると、$R^{+}$ に対応する基 $\Delta$ の元 $\alpha$ で $\alpha\in -R^{+'}$ となるものが取れる。なぜなら、もしそうでなければ $\Delta\subset R^{+'}$ となり、これは $R^{+}=R^{+}(\Delta)=R^{+'}$ を意味するからである。このとき、補題 4 より $\mathrm{Card}(s_{\alpha}(R^{+})\cap -R^{+'})=r-1$ となり帰納法の仮定から、$ws_{\alpha}(R^{+})=R^{+'}$ となる $w\in W(R)$ が存在する。

□

特にWeyl群 $W(R)$ は $R$ の基全体にも推移的に作用している。

例

例 1

$1$ 次元ベクトル空間 $V=\mathbb{R}$ と $V$ におけるルート系 $R=\{1\}$ に対して $s_{1}$ は $-1$ 倍写像であり、$W(R)=\{\pm 1\}$ となる。

例 2 ($A_{n-1}$ 型)

$V=\mathbb{R}^{n}$ を $n$ 次元ベクトル空間とし、標準基底を $\{e_{1},\ldots e_{n}\}$ とする。$n$ 次対称群 $S_{n}$ の $V$ への作用を $$ \sigma(\sum_{i=1}a_{i}e_{i})=\sum a_{i}e_{\sigma (i)} $$ と定めると、$V$ の標準内積は $S_{n}$ で保たれる。実際、 \begin{align} \langle \sum a_{i}e_{\sigma (i)} , \sum b_{j}e_{\sigma (j)}\rangle &=\sum_{i,j}a_{i}b_{j} \langle e_{\sigma (i)} ,e_{\sigma(j)} \rangle \\ &= \sum a_{i}b_{j}\delta_{\sigma(i)\sigma(j)} \\ &= \sum a_{i}b_{j}\delta_{ij} \\ &=\langle \sum a_{i}e_{i},\sum b_{j}e_{j}\rangle \end{align} である。よって自然に $S_{n}\subset O(\mathbb{R}^{n})$ である。$V=\mathbb{R}^{n}$ のルート系として $R=\{e_{i}-e_{j}\mathrel{\vert}i\neq j\}$ を取ると $s_{e_{i}-e_{j}}$ は互換 $(i~j)\in S_{n}$ に対応する $O(\mathbb{R}^{n})$ の元を与え、$S_{n}$ は自然にWeyl群 $W(R)$ と同型になる。$S_{n}$ のことを $A_{n-1}$ 型鏡映群と呼ぶ。$R$ の基として、$\Delta=\{e_{i}-e_{j}\mathrel{\vert} i<j\}$ を取ることができる。

例 3 ($B_{n}$ 型)

$S_{n}$ の $V=\mathbb{R}^{n}$ への作用を引き続き考える。$R=\{\pm e_{i}\mathrel{\vert}i=1,\ldots,n\}\cup \{\pm e_{i}\pm e_{j}\mathrel{\vert}i\neq j\}$ は $V$ におけるルート系であり、$R$ には $e_{i}$ を $e_{\sigma(i)}$ へ送る $S_{n}$ の作用と符号を反転させる $(\mathbb{Z}/2)^{n}$ の作用が入り、$W(R)$ はこれらの半直積 $S_{n} \ltimes (\mathbb{Z}/2)^{n}$ と同型になる。

例 4 ($D_{n}$ 型)

長さ関数と簡約表示

ここでは、$R$ の基 $\Delta$ を一つ固定しよう。

定義 6 (高さ関数)

$R^{+}$ の元 $\beta$ を $\beta=\sum_{\gamma \in \Delta} c_{\gamma}\gamma$ としたときに、$\mathrm{ht}(\beta)$ を係数の和 $\sum c_{\gamma}$ として定める。$\mathrm{ht}\colon R^{+}\longrightarrow \mathbb{R}_{\geq 0}$ を $\Delta$ に関する高さ関数(height function)と呼ぶ。

この関数を使って、次の重要な結果を示すことができる。

命題 2

Weyl群 $W(R)$ は単純ルートの鏡映で生成される。すなわち $W(R)=\langle s_{\alpha}\mathrel{\vert} \alpha\in \Delta \rangle$ である。

Proof.

$W^{'}=\langle s_{\alpha} \mathrel{\vert}\alpha\in \Delta \rangle$ と置いて、$W(R)=W^{'}$ を三つのステップを踏んで示そう。

$\beta\in R^{+}$ に対して、$W^{'}\beta\cap R^{+}$ は、$\beta$ を含むので、空でない有限集合であり、この中で ${\rm ht}(\gamma)$ が最小となるような $\gamma$ を取ることができる。$\gamma\in \Delta$ を証明しよう。$\gamma$ を単純ルートの非負係数の線形結合として

$$ \gamma=\sum_{\alpha\in \Delta}c_{\alpha}\alpha $$ と一意的に表示したとき、 $$ (\gamma,\gamma)=\sum_{\alpha\in \Delta}c_{\alpha}(\gamma,\alpha)>0 $$ なので、$(\gamma,\alpha)>0$ であるような $\alpha\in \Delta$ を取ることができる。このとき、$\gamma=\alpha$ となり、$\gamma$ が単純ルートであることが証明できる。ここで仮に $\gamma$ が $\alpha$ と等しくなければ補題 4より、$s_{\alpha}(\gamma)\in W^{'}\beta\cap R^{+}$ であり、一方で $$ {\rm ht}(s_{\alpha}(\gamma))={\rm ht}(\gamma)-\dfrac{2(\gamma,\alpha)}{\|\alpha\|^{2}}<{\rm ht}(\gamma) $$ となり、$\gamma$ の選び方に矛盾する。したがって $W^{'}\beta\cap R^{+}$ の中で高さが最小であるような元は単純ルートである。

$W^{'}\Delta=R$ である。今示した通り、任意の $\beta\in R^{+}$ に対して、$W^{'}\beta\cap R^{+}\cap \Delta=W^{'}\beta\cap \Delta$ は空ではないため、$\beta\in W^{'}\Delta$ であり、したがって、$R^{+}\subset W^{'}\Delta$ である。$w\in W^{'}$と$\alpha\in \Delta$ を$\beta=w(\alpha)$ となるようにとると、$-\beta=ws_{\alpha}(\alpha)$ で $ws_{\alpha}\in W^{'}$ なので、$R^{-}\subset W^{'}\Delta$ でもある。以上より $W^{'}\Delta=R$ が言えた。
任意の $\beta\in R$ に対して、$s_{\beta}\in W^{'}$ を示せば、$W=W^{'}$ が言えたことになる。$W^{'}\Delta=R$ より $\beta=w(\alpha)$ となる $w\in W^{'}$ と $\alpha\in \Delta$ が取れる。このとき、$s_{\beta}=ws_{\alpha}w^{-1}\in W^{'}$ となる。

□

定義 7 (長さ関数(length))

命題 2より、任意の $w\in W(R)$ は $$ w=s_{1}\cdots s_{h}, ~(s_{i}=s_{\alpha_{i}},\alpha_{i}\in \Delta) $$ という積表示を持つ。$w$ がこれより短い単純鏡映の積で表示できないとき、$h$ のことを $w$ の長さといい、$\ell(w)=h$ と書き表す。この $\ell\colon W(R)\longrightarrow \mathbb{Z}_{\geq 0}$ のことを $\Delta$ に関する$\mathbf{長さ関数}$という。これは次の性質を満たす。

任意の $w\in W(R)$ に対して $\ell(w)=\ell(w^{-1})$ である。
$\ell(w)=1$ となるのは $w=1$ のみである。
$\alpha\in \Delta$ に対して、$\ell(s_{\alpha}w)=\ell(w)\pm 1$ である。
任意の $w,w^{'}\in W(R)$ に対して $\ell(ww^{'})\leq \ell(w)+\ell(w^{'})$ である。

また $\ell(w)=h$ のとき、$w=s_{1}\cdots s_{h}, ~(s_{i}=s_{\alpha_{i}},\alpha_{i}\in \Delta)$ のことを $w$ の$\mathbf{簡約表示}$(reduced expression)

$w\in W(R)$ に対して $R(w)=R^{+}\cap w^{-1}(R^{-})=\{\alpha\in R^{+}\mathrel{\vert} w(\alpha)<0\}$ と置くと、$w$ の長さは $R(w)$ の元の個数と等しい。例えば、$\alpha\in \Delta$ に対しては、$s_{\alpha}(R^{+}\backslash \{\alpha\})=R^{+}\backslash \{\alpha\}$ かつ $s_{\alpha}(\alpha)=-\alpha$ なので $R(s_{\alpha})=\{\alpha\}$ であり、$\ell(s_{\alpha})=1$ なので、$\ell(s_{\alpha})=\mathrm{Card}(R(s_{\alpha}))$ である。一般の $w\in W(R)$ に対してもそうであることをこれから確かめる。

補題 5

任意の $w\in W(R)$ と $\alpha\in \Delta$ に対して $$ R(ws_{\alpha})= \left\{ \begin{array}{ll} s_{\alpha}R(w)\cup \{\alpha\} & (w(\alpha)\in R^{+} ),\\ s_{\alpha}(R(w)\backslash \{\alpha\}) & (w(\alpha)\in R^{-} ) \end{array} \right. $$ が成り立つ。

Proof.

$\beta\neq \alpha$ であるような $\beta\in R$ に対しては \begin{align} \beta\in R(ws_{\alpha}) & \iff \beta>0, ws_{\alpha}(\beta)<0 \\ & \iff \beta>0, s_{\alpha}(\beta)\in R(w) \\ & \iff \beta\in s_{\alpha} R(w) \end{align} なので $R(ws_{\alpha})=s_{\alpha}R(w)\cup \{\alpha\}$ である。ただし、二番目の $\iff$ のところで $s_{\alpha}$ が $R^{+}\backslash \{\alpha\}$ を保つことを使った。$w(\alpha)>0$ のとき、$\alpha$ は $R(ws_{\alpha})$ の元であり、$w(\alpha)<0$ のときは $\alpha\notin R(ws_{\alpha})$ である。よって、 $$ R(ws_{\alpha})= \left\{ \begin{array}{ll} s_{\alpha}R(w)\cup \{\alpha\} & (w(\alpha)\in R^{+} ),\\ s_{\alpha}(R(w)\backslash \{\alpha\}) & (w(\alpha)\in R^{-} ) \end{array} \right. $$ となる。

□

定理 2

$w\in W(R)$ に対して $w=s_{1}\cdots s_{h}, ~(s_{i}=s_{\alpha_{i}},\alpha_{i}\in \Delta)$ を簡約表示とすると、実は $$ R(w)=\{\alpha_{h},s_{h}\alpha_{h-1},\ldots, s_{h}\cdots s_{2}\alpha_{1} \} $$ であり、これらの元はすべて異なる。特に $\ell(w)=\mathrm{Card}(R(w))$ が成り立つ。

Proof.

$h=\ell(w)$ の帰納法によって証明しよう。$h=1$ のときは補題 4 より $R(s_{\alpha})=\{\alpha\}$ である。$w^{'}=s_{1}\cdots s_{h-1}$ と置くと、帰納法の仮定より $$ R(w^{'})=\{\alpha_{h-1},s_{h-1}\alpha_{h-2},\ldots,s_{h-1}\cdots s_{2}\alpha_{1}\} $$ であり、これらの元はすべて異なる。もし $w^{'}(\alpha_{h})\in R^{+}$ ならば補題 5より、 $$ R(w)=\{\alpha_{h},s_{h}\alpha_{h-1},\ldots, s_{h}\cdots s_{2}\alpha_{1} \} $$ となることが言える。さらにこれらの元はすべて異なる。実際、もしそうでないとすると、$\alpha_{h}\in s_{h}R(w^{'})$ となるが、これは $-\alpha_{h}=s_{h}(\alpha_{h})\in R(w^{'})\subset R^{+}$ を意味することになり、$\alpha_{h}\in \Delta\subset R^{+}$ に矛盾する。今、$w^{'}(\alpha_{h})>0$ なら主張が言えることを見た。一方で $w^{'}(\alpha_{h})<0$ となることはない。なぜなら、$w^{'}(\alpha_{h})<0$ ならば、帰納法より $$ \alpha_{h}\in R(w^{'})=\{\alpha_{h-1},s_{h-1}\alpha_{h-2},\ldots,s_{h-1}\cdots s_{2}\alpha_{1}\} $$ なので、$\alpha_{h}$ はこの中のどれかと等しい。すなわち $1\leq i\leq h-1$ を適当に取ると $\alpha_{h}=s_{h-1}\cdots s_{i+1}\alpha_{i}$ となる。このとき、 $$ w=w^{'}s_{h}=(s_{1}\cdots s_{h-1})(s_{h-1}\cdots s_{i+1})s_{i}(s_{i+1}\cdots s_{h-1})=s_{1}\cdots s_{i-1}s_{i+1}\cdots s_{h-1} $$ となり、$\ell(w)=h$ に矛盾する。二番目の等号では $s_{s_{h-1}\cdots s_{i+1}\alpha_{i}}=(s_{h-1}\cdots s_{i+1})s_{i}(s_{i+1}\cdots s_{h-1})$ となることを使った。(補題 1)

□

系 1

任意の $w\in W(R)$ と $\alpha\in \Delta$ に対して $$ \ell(ws_{\alpha}) = \left\{ \begin{array}{ll} \ell(w)+1 & (w(\alpha)\in R^{+})\\ \ell(w)-1 & ( w(\alpha)\in R^{-}) \end{array} \right. $$ が成り立つ。

系 2

任意の $w\in W(R)$ と $\alpha\in \Delta$ が $w(\alpha)\in R^{-}$ を満たすなら $s_{\alpha}$ を最後の項とするような $w$ の簡約表示 $w=\cdots s_{\alpha}$ が存在する。

Proof.

$\ell(w)=h$ とし $w=s_{1}\cdots s_{h}$ を $w$ の一つの簡約表示とすると、定理 2より $$ R(w)=\{\alpha_{h},s_{h}\alpha_{h-1},\ldots, s_{h}\cdots s_{2}\alpha_{1} \} $$ であるから、$\alpha\in R(w)$ なら $\alpha$ はこの中のどれかと等しい。よって $\alpha=s_{h}\cdots s_{i+1}\alpha_{i}$ となる $i$ が取れる。このとき、 $$ ws_{\alpha}=s_{1}\cdots s_{h}s_{\alpha}=(s_{1}\cdots s_{h})(s_{h}\cdots s_{i+1})s_{i}(s_{i+1}\cdots s_{h})=s_{1}\cdots s_{i-1}s_{i+1}\cdots s_{h} $$ は系 1より、$ws_{\alpha}$ の簡約表示であり、$w=s_{1}\cdots s_{i-1}s_{i+1}\cdots s_{h}s_{\alpha}$ は $s_{\alpha}$ を最後尾とする $w$ の簡約表示であることが分かる。

□

系 3

任意の $w_{1},w_{2}\in W(R)$ に対して、次の二つの条件は同値である。

$\ell(w_{1}w_{2})=\ell(w_{1})+\ell(w_{2}) $,
$R(w_{1}w_{2})=w_{1}R(w_{2})\coprod R(w_{1}) $.

Proof.

定理 2のように具体的に元を書き下せばよい。

□

系 4

$W(R)$ は $R$ の正系全体、及び基全体に忠実に作用する。特に $W(R)$ の位数は $R$ の正系全体の数と等しい。

Proof.

$w(R^{+})=R^{+}$ ならば $R(w)$ は空集合なので $\ell(w)=0$ である。長さが $0$ であるような $W(R)$ の元は単位元しかない。

□

放物型部分群

$V$ の部分空間 $V^{'}$ にルート系 $R$ を制限した $R^{'}$ は $V^{'}$ におけるルート系になっている。同様にして正系 $R^{+}$ や基 $\Delta$ を $V^{'}$ に制限して $R^{'}$ の正系 $R^{'}$ や $\Delta^{'}$ を得る。$\Delta$ が $V$ の基底だったことを思い出せば $\Delta$ の真の部分集合 $\Theta$ が生成する空間は $V$ の真の部分空間 $V_{\Theta}$ であり、$\langle s_{\alpha}\vert_{V_{\Theta}}\mathrel{\vert}\alpha\in \Theta\rangle$ はそこに作用するWeyl群である。$\Delta$ の部分集合 $\Theta$ に対して、$R_{\Theta}=R\cap V_{\Theta}$ とし、$R^{+}_{\Theta}=R^{+}\cap R_{\Theta}$ とする。これらはそれぞれ $V_{\Theta}$ におけるルート系とその正系であり、$\Theta$ に対応している。

補題 6

任意の $w\in W(R)$ に対して、$wW_{\Theta}w^{-1}=W_{w\Theta}$ である。

Proof.

これは $\alpha\in R$ に対して $ws_{\alpha}w^{-1}=s_{w(\alpha)}$ であることからしたがう。

□

$\Delta$ に関する長さ関数 $\ell\colon W(R)\longrightarrow \mathbb{Z}_{\geq 0}$ と同様に、$V_{\Theta}$ におけるルート系 $R_{\Theta}$ の基 $\Theta$ に関する長さ関数 $$ \ell_{\Theta}\colon W_{\Theta}\longrightarrow \mathbb{Z}_{\geq 0} $$ を考えることができる。

命題 3

任意の $w\in W_{\Theta}$ に対して $\ell(w)=\ell_{\Theta}(w)$ である。特に $W_{\Theta}$ の元は $\Theta$ の元の鏡映からなる簡約表示を持つ。

Proof.

長さ関数の定義から $\ell(w)\leq \ell_{\Theta}(w)$ である。また $\ell(w)=\mathrm{Card}(R(w))$ かつ $\ell_{\Theta}(w)=\mathrm{Card}(R_{\Theta}(w))$ である。一方で $R_{\Theta}(w)\subset R(w)$ なので $\ell_{\Theta}(w)\leq \ell(w)$ である。

□

命題 4

$W(R)/W_{\Theta}$ の各左剰余類の中で、以下の同値な条件を満たすような $w\in wW_{\Theta}$ が唯一つ存在する。

(1) $w\Theta>0$
(2) $w$ の長さは $wW_{\Theta}$ の中で最小である。

Proof.

まずこの二つが同値であることを示そう。

(1) $\Longrightarrow$ (2). $x\in W_{\Theta}$ とすると、$\ell(wx)=\ell(w)+\ell(x)$ が成り立つことを帰納法で示そう。$\ell(x)=k$ とすると、命題 3より $\Theta$ の元の鏡映からなる $x$ の簡約表示 $x=s_{1}\cdots s_{k}$ が取れる。$x^{'}=s_{1}\cdots s_{k-1}$ とすると、仮定より $\ell(wx^{'})=\ell(w)+\ell(x^{'})$ である。$\alpha\in \Theta$ を $s_{\alpha}=s_{k}$ となる単純ルートとすると、系 1より $wx^{'}(\alpha)>0$ を示せばよい。$x=s_{1}\cdots s_{k}$ が簡約表示であることから、系 1より $x^{'}(\alpha)\in R_{\Theta}^{+}$ であり、(1) より $wR_{\Theta}^{+}>0$ なので、$wx^{'}(\alpha)>0$ が分かる。したがって $\ell(wx)=\ell(w)+\ell(x)$ が任意の $x\in W_{\Theta}$ に対して言える。このときもちろん $w$ は $wW_{\Theta}$ の中で長さ最小である。
(2) $\Longrightarrow$ (1). もしも $w(\alpha)<0$ となるような $\alpha\in \Theta$ があれば系 2より $s_{\alpha}$ を最後の項とするような $w$ の簡約表示 $w=\cdots s_{\alpha}$ がある。このとき、$ws_{\alpha}\in W_{\Theta}$ の長さは $\ell(w)-1$ である。よって(2) $\Longrightarrow$ (1)も言えた。

このような $w$ の存在性と一意性は明らか。

□

同じく、次の主張を証明することができる。

命題 5

$W_{\Theta}\backslash W(R)$ の各右剰余類の中で、以下の同値な条件を満たすような $w\in W_{\Theta}w$ が唯一つ存在する。

(1) $w^{-1}\Theta>0$
(2) $w$ の長さは $W_{\Theta}w$ の中で最小である。

部屋

$W(R)$ は $V\backslash \bigcup_{\alpha\in R} H_{\alpha}$ の連結成分全体のなす集合に作用している。$V\backslash \bigcup_{\alpha\in R} H_{\alpha}$ の連結成分のことを$\mathbf{部屋}$(chamber)と呼ぶ。

命題 6

部屋 $C$ に対して、$R^{+}(C)=\{\alpha\in R\mathrel{\vert} (\alpha,v)>0 (\forall v\in C)\}$ は $R$ の正系である。$C\longmapsto R^{+}(C)$ は部屋全体から正系全体への一対一対応を与える。

Proof.

正系の定義を思い出せばよい。任意の $\alpha\in R$ に対して、$\pm \alpha$ のどちらか一方だけが必ず $R^{+}(C)$ に入る。また $\alpha,\beta\in R^{+}(C)$ に対して、$\alpha+\beta\in R$ なら $\alpha+\beta\in R^{+}(C)$ である。さらに $w\in W(R)$ に対して、 \begin{align} wR^{+}(C)&=w\{\alpha\in R\mathrel{\vert} (\alpha,v)>0 (\forall v\in C)\} \\ &=\{w(\alpha)\in R\mathrel{\vert} (\alpha,v)>0 (\forall v\in C)\} \\ &=\{\alpha\in R\mathrel{\vert} (w^{-1}(\alpha),v)>0 (\forall v\in C)\} \\ &=\{\alpha\in R\mathrel{\vert} (\alpha,w(v))>0 (\forall v\in C)\} \\ &=\{\alpha\in R\mathrel{\vert} (\alpha,v)>0 (\forall v\in w(C))\} \\ &=R^{+}(wC) \end{align} なので、部屋全体にもWeyl群 $W(R)$ が忠実かつ推移的に作用している。

□

部屋、基、正系はそれぞれの間に一対一対応があり、さらに $W(R)$ はこれらに忠実かつ推移的に作用しているので、$W(R)$ は部屋の集合と同一視できる。

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ルート系

ルート系

鏡映

定義 1 (鏡映(reflection))

補題 1

Proof.

ルート系

定義 2 (ルート系(root system))

定義 3 (Weyl群)

定義 4 (正系(positive of root system))

定義 5 (単純ルート)

補題 2

Proof.

補題 3

Proof.

定理 1

Proof.

補題 4

Proof.

命題 1

Proof.

例

例 1

例 2 ($A_{n-1}$ 型)

例 3 ($B_{n}$ 型)

例 4 ($D_{n}$ 型)

長さ関数と簡約表示

定義 6 (高さ関数)

命題 2

Proof.

定義 7 (長さ関数(length))

補題 5

Proof.

定理 2

Proof.

系 1

系 2

Proof.

系 3

Proof.

系 4

Proof.

放物型部分群

補題 6

Proof.

命題 3

Proof.

命題 4

Proof.

命題 5

部屋

命題 6

Proof.

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