Besicovitchの被覆定理

$\newcommand{\R}{\mathbb{R}}$ $\newcommand{\F}{\mathcal{F}}$ $\newcommand{\G}{\mathcal{G}}$ $\newcommand{\H}{\mathcal{H}}$ $\newcommand{\Zz}{\mathbb{Z}_{\ge 1}}$ $\newcommand{\Zp}{\mathbb{Z}_{\ge 1}}$ $\newcommand{\Bb}{\overline{B}}$ $\newcommand{\diam}{\operatorname{diam}}$ $\newcommand{\inn}{\ \mathrm{in}\ }$ $\newcommand{\loc}{{\rm{loc}}}$

Besicovitchの被覆定理は、$\R^n$ の部分集合の閉球による被覆が性質のよい部分被覆をもつことを主張する定理である。主に測度論においてよく用いられる。

主張

$n\in\Zp$ とすると次をみたす定数 $N=N_n$ が存在する:

$A\subset\R^n$ とし、$\F$ は $\R^n$ の閉球の族で $\displaystyle \sup_{B\in\F}\diam B\lt\infty$ かつ任意の $a\in A$ について $a$ を中心とする $B\in\F$ が存在するとする。$\G_1,...,\G_N\subset\F$ が存在し各 $\G_i$ は高々可算で次をみたす:

• 各 $i=1,...,N$ について $B,B'\in\G_i,B\neq B'\implies B\cap B'=\emptyset$。
• $$A\subset\bigcup_{i=1}^N\bigcup_{B\in\G_i} B.$$

とくに $\displaystyle \G\colon=\bigcup_{i=1}^N\G_i$ とすると $$A\subset\bigcup_{B\in\G} B,\sum_{B\in\G}\chi_B\le N\inn\R^n.$$

証明

まず $A$ が有界の場合を考える。$\displaystyle R\colon=\frac{1}{2}\sup_{B\in\F}\diam B$ とし、$\G=\{B_i\}_{i=1}^J=\{\Bb_{r_i}(a_i)\}_{i=1}^J\subset\F$、$J\in\Zp\cup\{\infty\}$ を次のようにとる:

$B_1=\Bb_{r_1}(a_1)$ を $r_1\ge\frac{3}{4}R$ となるようにとる。

$B_1,...,B_{j-1}$ がとれたとする。$\displaystyle A_j\colon=A\backslash\bigcup_{i=1}^{j-1} B_i$ とする。

• $A_j=\emptyset$ のときは $J=j-1$ として終了する。
• $A_j\neq\emptyset$ のときは $B_j=\Bb_{r_j}(a_j)$ を

$$a_j\in A_j,r_j\ge\frac{3}{4}\sup\left\{r\colon B_r(a)\in\F,a\in A_j\right\}$$ となるようにとる。

終了せずに無限個の $B_i$ がとれた場合は $J=\infty$ とする。

$A_0=A$ とする。$i\lt j$ とすると $a_i\in A_i$、$a_j\in A_j\subset A_i$ より $$r_i\ge\frac{3}{4}\sup\left\{r\colon B_r(a)\in\F,a\in A_i\right\}\ge\frac{3}{4}r_j.$$ $B_j\in\G$ について $B'_j\colon=\Bb_{\frac{1}{3}r_j}(a_j)$ とすると $a_j\in A_j$ より $a_j\notin B_i$ であるから $$|a_j-a_i|\gt r_i\gt\frac{7}{9}r_i\ge\frac{1}{3}r_i+\frac{1}{3}r_j.$$ これより $$i\neq j\implies B'_i\cap B'_j=\emptyset.$$

$\displaystyle\bigcup_{B\in\F}B$ が有界であることに注意すると $$\sum_{i=1}^J\left(\frac{1}{3}\right)^n\omega_nr_i^n=\sum_{i=1}^J|B'_i|=\left|\bigcup_{i=1}^JB'_i\right|\lt\infty.$$ ここで $\omega_n\colon=|B_1(0)|$ である。とくに $J=\infty$ のとき $r_i\to 0\ (i\to\infty)$。またこれより $$\sup\left\{r\colon B_a(r)\in\F,a\in\bigcap_{i=1}^\infty A_i\right\}\le\liminf_{i\to\infty}\sup\left\{r\colon B_a(r)\in\F,a\in A_i\right\}\le\liminf_{i\to\infty}\frac{4}{3}r_i=0.$$ となり $\displaystyle \bigcap_{i=1}^\infty A_i=\emptyset$ となる。すなわち $\displaystyle A\subset\bigcup_{i=1}^\infty B_i$。

$i$ をfixする。平行移動により $a_i=0$ としてよい。 $$I_1\colon=\left\{j\lt i\colon B_j\cap B_i=\emptyset,r_j\le 6r_i\right\},I_2\colon=\left\{j\lt i\colon B_j\cap B_i=\emptyset,r_j\gt 6r_i\right\}$$ とする。

$\#I_1$ を評価する。$j\in I_1$ について $|a_j|\le r_i+r_j\le 9r_i-\frac{1}{3}r_j$ より $B'_j\subset B_{9r_i}(0)$。$j\lt i$ より $r_j\ge\frac{3}{4}r_i$ であるから $$\omega_nr_i^n\#I_1\le 4^n\sum_{j\in I_1}\omega_n\left(\frac{1}{3}r_j\right)^n=4^n\left|\bigcup_{j\in I_1}B'_j\right|\le 4^n\left|B_{9r_i}(0)\right|\le 36^n\omega_nr_i^n.$$ 従って $$\#I_1\le 36^n.$$ 一方 $j,k\in I_2$、$j\neq k$ について $$\frac{a_j\cdot a_k}{|a_j||a_k|}\lt\frac{43}{48}$$ となることを示す。

$j\lt k$ としてよい。$r_k\le\frac{4}{3}r_j$ で、$a_k\notin B_j$ であり $|a_j-a_k|\gt r_j$。また $0=a_i\notin B_j,B_k$ と $B_j\cap B_i,B_k\cap B_i\neq\emptyset$ より $r_j\lt|a_j|\le r_j+r_i$、$r_k\lt|a_k|\le r_k+r_i$。これより $$|a_k|\le r_k+r_i\le\frac{4}{3}r_j+\frac{1}{6}r_j=\frac{3}{2}r_j\lt\frac{3}{2}|a_j|,$$ $$|a_j-a_k|\gt r_j\ge|a_j|-r_i\ge|a_j|-\frac{1}{6}r_k\gt|a_j|-\frac{1}{6}|a_k|\gt\frac{3}{4}|a_j|\gt 0.$$ 従って \begin{align*} \frac{a_j\cdot a_k}{|a_j||a_k|}&=\frac{|a_j|^2+|a_k|^2-|a_j-a_k|^2}{2|a_j||a_k|}\\ &\lt\frac{1}{2}\left(\frac{|a_j|}{|a_k|}+\frac{|a_k|}{|a_j|}-\frac{\left(|a_j|-\frac{1}{6}|a_k|\right)^2}{|a_j||a_k|}\right)\\ &=\frac{35}{72}\frac{|a_k|}{|a_j|}+\frac{1}{6}\\ &\le\frac{35}{72}\cdot\frac{3}{2}+\frac{1}{6}=\frac{43}{48}. \end{align*} $\# I_2$ を評価する。$\partial B_1(0)$ はコンパクトであるから、$L=L_n\in\Zp$ と $z_1,...,z_L\in\partial B_1(0)$ が存在し $\displaystyle \partial B_1(0)\subset\bigcup_{l=1}^L B_{\frac{1}{6}}(z_i)$ となる。$j\in I_2$ について $y_j\colon=\frac{a_j}{|a_j|}$ とすると $l_j\in\{1,...,L\}$ であって $y_j\in B_{\frac{1}{6}}(z_l)$ となるものが存在する。一方、$j,k\in I_2$、$j\neq k$ について $y_j\cdot y_k\lt\frac{43}{48}$ より $|y_j-y_k|^2\gt 2-2\cdot\frac{43}{48}=\frac{5}{24}\gt\frac{1}{9}$。とくに $l\in\{1,...,L\}$ であって $y_j,y_k\in B_{\frac{1}{6}}(z_l)$ をみたすものは存在せず、$l_j\ (j\in I_2)$ はすべて異なる。よって $$\# I_2\le L.$$ 従って $$\#\left\{j\lt i\colon B_j\cap B_i\neq\emptyset\right\}\lt 36^n+L+1=\colon M.$$ $\varphi\colon\G\to\{1,...,M\}$ で $\varphi(B)=\varphi(B'),B\neq B'\implies B\cap B'=\emptyset$ をみたすものが存在することを示す。

$J\le M$ のときは明らか。$J\gt M$ のときは次のように構成できる:

$i=1,...,M$ については $\varphi(B_i)=i$ とする。

$\varphi(B_1),...,\varphi(B_j)$、$j\ge M$ まで決まったとする。$\#\left\{k\le j\colon B_k\cap B_{j+1}\neq\emptyset\right\}\lt M$ より $i\in\{1,...,M\}$ であって次をみたすものが存在する: $k\in\{1,...,j\}$ で $\varphi(B_k)=i$ かつ $B_k\cap B_{j+1}\neq\emptyset$ となるものが存在しない。

$\varphi(B_{j+1})=i$ と定める。

この $\varphi$ は明らかに $\varphi(B)=\varphi(B'),B\neq B'\implies B\cap B'=\emptyset$ をみたす。$\G_i\colon=\{B\in\G\colon\varphi(B)=i\}\ (i=1,...,M)$ とすれば $\G_1,...,\G_M\subset\F$ は $$B,B'\in\G_i,B\neq B'\implies B\cap B'=\emptyset$$ かつ $$A\subset\G=\bigcup_{i=1}^M\bigcup_{B\in\G_i} B$$ をみたす。

$A$ が非有界の場合を考える。$A$ が有界の場合より $m\in\Zz$ について $\G_{m,1},...,\G_{m,M}\subset\F$ であって $B=B_a(r)\in\G_{m,i}\implies a\in B_{2(m+1)R}(0)\backslash B_{2mR}(0)$ かつ $$B,B'\in\G_{m,i},B\neq B'\implies B\cap B'=\emptyset,$$ $$A\cap(B_{2(m+1)R}(0)\backslash B_{2mR}(0))\subset\bigcup_{i=1}^M\bigcup_{B\in\G_i} B$$ をみたすものが存在する。$m$ が奇数のときは $i=M+1,...,2M$ について $\G_{m,i}=\G_{m,i-M}$ としておく。

$\G_1,...,\G_{2M}$ を $$\G_i\colon=\begin{cases} \bigcup_{m\colon\ 偶数}\G_{m,i}&\colon i=1,...,M\\ \bigcup_{m\colon\ 奇数}\G_{m,i}&\colon i=M+1,...,2M \end{cases}$$ と定める。明らかに $A\subset\bigcup_{i=1}^{2M}\bigcup_{B\in\G_i} B$。また $B=B_a(r),B'=B_{a'}(r')\in G_i$、$B\neq B'$ とし、$a\in B_{2(m+1)R}(0)\backslash B_{2mR}(0)$、$a'\in B_{2(m'+1)R}(0)\backslash B_{2m'R}(0)$ とすると、$m=m'$ のときは $\G_{m,i}$ のとりかたより $B\cap B'=\emptyset$ で、$m\neq m'$ のときは $|a-a'|\gt 2R\ge r+r'$ となり $B\cap B'=\emptyset$。

以上より $N=2M$ ととればよい。

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Vitaliの被覆定理との相違点

同様に性質のよい部分被覆の存在を主張する定理にVitaliの被覆定理がある。Vitaliの被覆定理は一般の距離空間と集合族に適用できるが、被覆を作る際に集合を拡大する必要がある。このため、一般のRadon測度のように $\mu(\widehat{E})$ の $\mu(E)$ による評価が期待できない測度を扱うのには不向きである。Besicovitchの被覆定理は $\R^n$ 上に限られ、集合族も閉球の族に限られるが、球を拡大する必要がないため、一般のRadon測度を扱う場合にも用いることができる。

系

Besicovitchの被覆定理の系として次の閉球による充填に関する結果を得られる:

$\mu$ を $\R^n$ 上のBorel外測度とする。$A\subset\R^n$ は $\mu(A)\lt\infty$ をみたすとする。$\F$ は $\R^n$ の閉球の族で 各 $a\in A$ について $a$ を中心とする $B\in\F$ が存在するとする。

• (1)$\F$ は $\sup\{r\colon B_r(a)\in\F\}\lt\infty$ をみたすとする。$\theta=\theta_n\gt 0$ と有限な $\H\subset\F$ が存在し $B,B'\in\H,B\neq B'\implies B\cap B'=\emptyset$ かつ

$$\mu\left(A\cap\bigcup_{B\in\H}B\right)\ge\theta\mu(A).$$

• (2)$\F$ は

$$\inf\{r\colon B_r(a)\in\F\}=0$$ をみたすとする。このとき高々可算な $\G\subset\F$ が存在し $B,B'\in\G,B\neq B'\implies B\cap B'=\emptyset$ かつ $$\mu\left(A\backslash\bigcup_{B\in\G}B\right)=0.$$

Proof.

(1)を示す。Besicovitchの被覆定理の $\G_1,...,\G_N\subset\F$ をとると $$\mu(A)\le\sum_{i=1}^N\mu\left(A\cap\bigcup_{B\in\G_i}B\right).$$ とくに $j\in\{1,...,N\}$ で $$\mu\left(A\cap\bigcup_{B\in\G_j}B\right)\ge\frac{1}{N}\mu(A)$$ をみたすものが存在する。$\G_j$ は高々可算より $\theta=\frac{1}{2N}$ とすれば $\G_j$ の有限部分集合 $\H$ で $$\mu\left(A\cap\bigcup_{B\in\H}B\right)\ge\theta\mu(A)$$ をみたすものが存在する。

(2)を示す。$\sup\{r\colon B_r(a)\in\F\}\lt\infty$ としてよい。以下のように有限な $\H_j\subset\F\ (j\in\Zz)$ をとる:

$\H_0\colon=\emptyset$ とする。

$\H_j$ がとれたとする。$\displaystyle C_j\colon=\bigcup_{B'\in\H_j}B'$、$A_j\colon=A\backslash C_j$、$\F_i\colon=\left\{B\in\F\colon B\cap C_j=\emptyset\right\}$ とする。$\H_j$ は有限より $C_j$ は閉集合であるから仮定より各 $a\in A_j$ について $B_r(a)\in\F_j$ が存在する。(1)の $\theta$ をとると有限部分集合 $\H'_j\subset\F_j$ で $$\mu\left(A_j\cap\bigcup_{B\in\H'_j}B\right)\le\theta\mu(A_j)$$ をみたすものが存在し、$\mu$ はBorelより $$\mu\left(A_j\backslash\bigcup_{B\in\H'_j}B\right)\le(1-\theta)\mu(A_j)$$ が成り立つ。$\H_{j+1}\colon=\H_j\cup\H'_j$ とする。

$\H_j$ のとりかたより $B,B'\in\H_j,B\neq B'\implies B\cap B'=\emptyset$。また $$\mu(A\backslash C_{j+1})=\mu\left(A_j\backslash\bigcup_{B\in\H'_j}B\right)\le(1-\theta)\mu(A\backslash C_j).$$ 従って $$\mu(A\backslash C_j)\le(1-\theta)^j\mu(A)\to 0\ (j\to\infty).$$ これより $\displaystyle \G\colon=\bigcup_{j=1}^\infty\H_j$ とすればよい。

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応用

Besicovitchの被覆定理の重要な応用として、Lebesgueの微分定理の一般化であるLebesgue-Besicovitchの微分定理を示すことができる:

定理 (Lebesgue-Besicovitchの微分定理)

$\mu\not\equiv 0$ を $\R^n$ 上のRadon測度とし、$f\in L^1_{\loc}(\R^n,\mu)$ とすると $\mu$ -a.e. $x\in\R^n$ について $$\lim_{r\to +0}\frac{1}{\mu(\Bb_r(x))}\int_{\Bb_r(x)}|f-f(x)|d\mu=0.$$ とくに $$\lim_{r\to +0}\frac{1}{\mu(\Bb_r(x))}\int_{\Bb_r(x)}fd\mu=f(x).$$

Proof.

$f\in L^1(\R^n,\mu)$ としてよい。$x\in\R^n$ について $$M_\mu f(x)\colon=\sup_{r\gt 0}\frac{1}{\mu(\Bb_r(x))}\int_{\Bb_r(x)}|f|d\mu$$ と定める。測度と積分8：Lebesgue測度の基本的性質の命題38.4の証明の命題38.3を系(1)にとりかえることにより $\alpha\gt 0$ について $$\mu(\{M_\mu f\gt 0\})\le\frac{1}{\theta\alpha}$$ となる。これを用いて同記事の補題39.2と同様に証明できる。

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参考文献

• Lawrence C.Evans,Ronald F.Gariepy「Measure Theory and Fine Properties of Functions,Revised Edition」
• Gerald B.Folland「Real Analysis: Modern Techniques and Their Applications」