Mathpedia - 最近の更新 [ja]

ベクトル解析5：多様体の向き

Kataoka — Fri, 03 Apr 2026 07:45:30 GMT

定義21.6（滑らかな境界の向き）

ベクトル解析4：Euclid空間内の多様体上の測度と積分

Kataoka — Wed, 01 Apr 2026 06:18:00 GMT

命題18.2（極座標変換の基本性質）

合成積とFourier変換

Kataoka — Fri, 13 Mar 2026 09:36:17 GMT

定義21.2（分割全体のなす有向集合）

@@ 208行目: / 208行目: @@
 === 命題21.5（滑らかな境界の向き付け可能性） ===
-$M$ をEuclid空間内の向き付けられた $n$ 次元多様体とし、$D\subset M$ を滑らかな境界を持つ開集合とする。そして $M$ の正の向きの直方体局所座標 $(U,\varphi,x_1,\ldots,x_n)$ で、
+$M$ をEuclid空間内の向き付けられた $n$ 次元多様体とし、$D\subset M$ を滑らかな境界を持つ開集合とする。そして $M$ の正の向きの直方体局所座標 $(U,\varphi,x_1,\ldots,x_n)$ で、$U\cap \partial D\neq\emptyset$、
 $$
 \varphi(U\cap \partial D)=\varphi(U)\cap (\mathbb{R}^{n-1}\times \{0\}),\quad
@@ 219行目: / 219行目: @@
 は $n-1$ 次元部分多様体 $\partial D\subset M$ の互いに同じ向きの局所座標からなるアトラスである。
 {{begin   |proof }}
-$(**)$ が $\partial D$ のアトラスであることは'''補題21.4'''による。$(**)$ が互いに同じ向きの局所座標からなることを示す。任意の $(U,x_1,\ldots,x_n), (V,y_1,\ldots,y_n)\in \mathcal{A}$ と任意の $p\in U\cap V\cap\partial D$ を取る。$(*)$ より、
+$(**)$ が $\partial D$ のアトラスであることは'''補題21.4'''と'''命題2.5'''による。$(**)$ が互いに同じ向きの局所座標からなることを示す。任意の $(U,x_1,\ldots,x_n), (V,y_1,\ldots,y_n)\in \mathcal{A}$ と任意の $p\in U\cap V\cap\partial D$ を取る。$(*)$ より、
 $$
 \frac{\partial y_n}{\partial x_j}(p)=0\quad(j=1,\ldots,n-1),\quad
@@ 232行目: / 232行目: @@
 === 定義21.6（滑らかな境界の向き） ===
-$M$ をEuclid空間内の向き付けられた $n$ 次元多様体とし、$D\subset M$ を滑らかな境界を持つ開集合とする。このとき'''命題21.5'''より $n-1$ 次元部分多様体 $\partial D\subset M$ は向き付け可能であり、'''命題21.5'''における $\mathcal{A}$ に対し、
+$M$ をEuclid空間内の向き付けられた $n$ 次元多様体とし、$D\subset M$ を滑らかな境界を持つ開集合とする。このとき'''命題21.5'''より $n-1$ 次元部分多様体 $\partial D\subset M$ は向き付け可能である。'''命題21.5'''における $\mathcal{A}$ に対し、
 $$
-\{(U\cap \partial D, (-1)^{n}x_1,\ldots,x_{n-1}): (U,x_1,\ldots,x_n)\in \mathcal{A}\}
+\{(U\cap \partial D, (-1)^{n}x_1,x_2,\ldots,x_{n-1}): (U,x_1,\ldots,x_n)\in \mathcal{A}\}
 $$
-の要素が $\partial D$ の正の向きの局所座標となるような $\partial D$ の向きが定義できる。この $\partial D$ の向きを $M$ の向きに整合する $\partial D$ の向きと言う。
+は互いに同じ向きの局所座標からなる $\partial D$ のアトラスであり、この同値類を $\partial D$ の向きと定める。この $\partial D$ の向きを $M$ の向きに整合する $\partial D$ の向きと言う。
 == 22. 外向き単位法線ベクトル場 ==

@@ 311行目: / 311行目: @@
 $M$ をEuclid空間内の $n$ 次元多様体、$H$ を $M$ の $k$ 次元部分多様体とし $k<n$ とする。このとき $\mu_M(H)=0$ である。
 {{begin   |proof | collapsible=1 |display=証明}}
-'''命題2.5'''と第二可算性より $H$ を被覆する $M$ の局所座標の可算族 $\{(U_i,\varphi_i)\}_{i\in\mathbb{N}}$ で、
+'''命題2.4'''と第二可算性より $H$ を被覆する $M$ の局所座標の可算族 $\{(U_i,\varphi_i)\}_{i\in\mathbb{N}}$ で、
 $$
 \varphi_i(U_i\cap H)=\varphi_i(U_i)\cap (\mathbb{R}^k\times\{0\})\quad(\forall i\in \mathbb{N})
@@ 634行目: / 634行目: @@
 \cos(\theta_k)\cos(\theta_{k+1})\\
 \cos(\theta_k)\sin(\theta_{k+1})\cos(\theta_{k+2})\\\vdots\\
-\cos(\theta_k)\ldots\sin(\theta_{N-2})\cos(\theta_{N-1})\\
+\cos(\theta_k)\sin(\theta_{k+1})\ldots\sin(\theta_{N-2})\cos(\theta_{N-1})\\
-\cos(\theta_k)\ldots\sin(\theta_{N-2})\sin(\theta_{N-1})\end{array}\right)\quad(k=1,\ldots,N-1),
+\cos(\theta_k)\sin(\theta_{k+1})\ldots\sin(\theta_{N-2})\sin(\theta_{N-1})\end{array}\right)\quad(k=1,\ldots,N-2),
 $$
 $$

@@ 38行目: / 38行目: @@
 \Delta_1\leq \Delta_2\quad\iff \quad \Delta_1\subset \Delta_2
 $$
-として $\mathcal{D}(I)$ における順序 $\leq$ を定義する。$\Delta_1\leq\Delta_2$ のとき $\Delta_2$ を $\Delta_1$ の細分と言う。任意の $\Delta_1,\Delta_2\in \mathcal{D}(I)$ に対し $\Delta_3=\Delta_1\cup\Delta_2\in \mathcal{D}(I)$、$\Delta_1,\Delta_2\leq\Delta_3$ であるから $\mathcal{D}(I)$ はこの順序 $\leq$ によって有向集合である。
+として $\mathcal{D}(I)$ における順序 $\leq$ を定義する。$\Delta_1\leq\Delta_2$ のとき $\Delta_2$ を $\Delta_1$ の細分と言う。任意の $\Delta_1,\Delta_2\in \mathcal{D}(I)$ に対し、明らかに $\Delta_1,\Delta_2\leq\Delta_3$ なる$\Delta_3\in \mathcal{D}(I)$ があるから $\mathcal{D}(I)$ はこの順序 $\leq$ によって有向集合である。
 === 定義21.3（Riemann和） ===