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769行目:

$$

$$

である。ゆえに $(**)$ は $(*)$ の一意解である。

である。ゆえに $(**)$ は $(*)$ の一意解である。

+

{{end|proof}}

+

=== 定理1.15 (非斉次線型常微分方程式の定数変化法) ===

+

$N\in \mathbb{N}$、$J\subset \mathbb{R}$を開区間、$a_0(t),a_1(t),\ldots,a_{N-1}(t),b(t):J\rightarrow\mathbb{R}$をそれぞれ連続関数とし、  

+

$$

+

\left\{x(t)\in C^N(J,\mathbb{R}):\sum_{k=0}^{N-1}a_k(t)x^{(k)}(t)+x^{(N)}(t)=0\right\}

+

$$

+

の基底 $x_1(t),\ldots,x_N(t)\in C^N(J,\mathbb{R})$を取る（'''定理1.13'''を参照）。  そして$W(t):J\rightarrow \mathbb{M}_{N\times N}(\mathbb{R})$ を、

+

$$

+

W(t):=\begin{pmatrix}x_1(t)&x_2(t)&\cdots&x_N(t)\\

+

x_1^{(1)}(t)&x_2^{(1)}(t)&\cdots &x_N^{(1)}(t)\\

+

\vdots&\vdots&\vdots&\vdots\\

+

x_1^{(N-1)}(t)&x_2^{(N-1)}(t)&\cdots &x_N^{(N-1)}(t)\end{pmatrix}

+

$$

+

とおき（'''定理1.13'''より$W(t)$は各点で可逆であることに注意）、  

+

$$

+

\begin{pmatrix}\xi_1(t)\\\xi_2(t)\\\vdots\\\xi_N(t)\end{pmatrix}=\int W(t)^{-1}\begin{pmatrix}0\\\vdots\\0\\b(t)\end{pmatrix}dt

+

$$

+

とおく.  このとき非斉次線型常微分方程式

+

$$

+

\sum_{k=0}^{N-1}a_k(t)x^{(k)}(t)+x^{(N)}(t)=b(t)\quad\quad(*)

+

$$

+

の解として、

+

$$

+

y_0(t)=\sum_{k=1}^{N}\xi_k(t)x_k(t)

+

$$

+

が取れる。また $(*)$ の任意の解は、定数$\zeta_1,\ldots,\zeta_N\in \mathbb{R}$に対し、

+

$$

+

x(t)=\sum_{k=1}^{N}\zeta_kx_k(t)+y_0(t)

+

$$

+

と表せる。

+

{{begin|proof}}

+

$$

+

A(t)=

+

\begin{pmatrix}0&1&0&\cdots &0\\0&0&1&\cdots&0\\\vdots&\vdots&\ddots&\ddots&\vdots\\0&0&0&\cdots&1\\-a_0(t)&-a_1(t)&-a_2(t)&\cdots &-a_{N-1}(t)\end{pmatrix}\in \mathbb{M}_{N\times N}(\mathbb{R})\quad(\forall t\in J)

+

$$

+

とおけば、

+

$$

+

\begin{aligned}

+

&\frac{d}{dt}\left(W(t)\begin{pmatrix}\xi_1(t)\\\xi_2(t)\\\vdots\\\xi_N(t)\end{pmatrix}\right)

+

=W'(t)\begin{pmatrix}\xi_1(t)\\\xi_2(t)\\\vdots\\\xi_N(t)\end{pmatrix}+W(t)\begin{pmatrix}\xi_1'(t)\\\xi_2'(t)\\\vdots\\\xi_N'(t)\end{pmatrix}\\

+

&=A(t)W(t)\begin{pmatrix}\xi_1(t)\\\xi_2(t)\\\vdots\\\xi_N(t)\end{pmatrix}+W(t)W(t)^{-1}\begin{pmatrix}0\\\vdots\\0\\b(t)\end{pmatrix}

+

=A(t)W(t)\begin{pmatrix}\xi_1(t)\\\xi_2(t)\\\vdots\\\xi_N(t)\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}0\\\vdots\\0\\b(t)\end{pmatrix}

+

\end{aligned}

+

$$

+

となる。 これは、

+

$$

+

y_0(t)=\sum_{k=1}^{N}\xi_k(t)x_k(t)

+

$$

+

が $(*)$ を満たすことを意味する。$y(t)\in C^N(J,\mathbb{R})$ を $(*)$ の任意の解とすると,  $y(t)-y_0(t)$は斉次線型常微分方程式

+

$$

+

\sum_{k=0}^{N-1}a_k(t)x^{(k)}(t)+x^{(N)}(t)=0

+

$$

+

の解であるので、ある$\zeta_1,\ldots,\zeta_N\in \mathbb{R}$ が存在して、

+

$$

+

y(t)-y_0(t)=\sum_{k=1}^{N}\zeta_kx_k(t)

+

$$

+

と表せる。

{{end|proof}}

{{end|proof}}

836行目:

895行目:

\lim_{n\rightarrow\infty}\lVert {\rm div}(u)-{\rm div}(u^{(n)})\rVert_2=0

\lim_{n\rightarrow\infty}\lVert {\rm div}(u)-{\rm div}(u^{(n)})\rVert_2=0

$$

$$

−

であるから、$\Omega$ が有界であることとHölderの不等式より、

+

であるから、$\Omega$ が有界であることから、

$$

$$

\int_{\Omega}{\rm div}(u)(x)dx=\lim_{n\rightarrow\infty}\int_{\Omega}{\rm div}(u^{(n)})(x)dx

\int_{\Omega}{\rm div}(u)(x)dx=\lim_{n\rightarrow\infty}\int_{\Omega}{\rm div}(u^{(n)})(x)dx

$$

$$

−

が成り立つ。また $\gamma\colon H^1(\Omega)\rightarrow L^2(\partial\Omega)$ は有界線形作用素であり、$\partial\Omega$ のコンパクト性より面積測度 $\mu_{\partial\Omega}$ は有限測度であるから、$(*)$ とHölderの不等式より、

+

が成り立つ。また $\gamma\colon H^1(\Omega)\rightarrow L^2(\partial\Omega)$ は有界線形作用素であり、$\partial\Omega$ のコンパクト性より面積測度 $\mu_{\partial\Omega}$ は有限測度であるから、$(*)$ より、

$$

$$

\int_{\partial\Omega}\gamma(u)(x)\cdot \nu(x)d\mu_{\partial\Omega}(x)=\lim_{n\rightarrow\infty}\int_{\partial\Omega}\gamma(u^{(n)})(x)\cdot\nu(x)d\mu_{\partial\Omega}(x)

\int_{\partial\Omega}\gamma(u)(x)\cdot \nu(x)d\mu_{\partial\Omega}(x)=\lim_{n\rightarrow\infty}\int_{\partial\Omega}\gamma(u^{(n)})(x)\cdot\nu(x)d\mu_{\partial\Omega}(x)

862行目:

921行目:

\lim_{n\rightarrow\infty}\lVert u-u^{(n)}\rVert_{2,1}=0,\quad \lim_{n\rightarrow\infty}\lVert v-v^{(n)}\rVert_{2,1}=0

\lim_{n\rightarrow\infty}\lVert u-u^{(n)}\rVert_{2,1}=0,\quad \lim_{n\rightarrow\infty}\lVert v-v^{(n)}\rVert_{2,1}=0

$$

$$

−

を満たすものが取れ、Hölderの不等式より、

+

を満たすものが取れ、

$$

$$

\int_{\Omega}({\rm div}(u)(x)v(x)+u(x)\cdot\nabla v(x))dx=\lim_{n\rightarrow\infty}\int_{\Omega}({\rm div}(u^{(n)})(x)v^{(n)}(x)+u^{(n)}(x)\cdot \nabla v^{(n)}(x))dx

\int_{\Omega}({\rm div}(u)(x)v(x)+u(x)\cdot\nabla v(x))dx=\lim_{n\rightarrow\infty}\int_{\Omega}({\rm div}(u^{(n)})(x)v^{(n)}(x)+u^{(n)}(x)\cdot \nabla v^{(n)}(x))dx

871行目:

930行目:

\lim_{n\rightarrow\infty}\lVert \gamma(v)-v^{(n)}\rVert_2=0

\lim_{n\rightarrow\infty}\lVert \gamma(v)-v^{(n)}\rVert_2=0

$$

$$

−

となるので、Hölderの不等式より、

+

となるので、

$$

$$

\int_{\partial\Omega}(\gamma(u)(x)\cdot\nu(x))\gamma(v)(x)d\mu_{\partial\Omega}(x)

\int_{\partial\Omega}(\gamma(u)(x)\cdot\nu(x))\gamma(v)(x)d\mu_{\partial\Omega}(x)

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微分方程式の初歩