895行目:

\lim_{n\rightarrow\infty}\lVert {\rm div}(u)-{\rm div}(u^{(n)})\rVert_2=0

\lim_{n\rightarrow\infty}\lVert {\rm div}(u)-{\rm div}(u^{(n)})\rVert_2=0

$$

$$

−

であるから、$\Omega$ が有界であることとHölderの不等式より、

+

であるから、$\Omega$ が有界であることから、

$$

$$

\int_{\Omega}{\rm div}(u)(x)dx=\lim_{n\rightarrow\infty}\int_{\Omega}{\rm div}(u^{(n)})(x)dx

\int_{\Omega}{\rm div}(u)(x)dx=\lim_{n\rightarrow\infty}\int_{\Omega}{\rm div}(u^{(n)})(x)dx

$$

$$

−

が成り立つ。また $\gamma\colon H^1(\Omega)\rightarrow L^2(\partial\Omega)$ は有界線形作用素であり、$\partial\Omega$ のコンパクト性より面積測度 $\mu_{\partial\Omega}$ は有限測度であるから、$(*)$ とHölderの不等式より、

+

が成り立つ。また $\gamma\colon H^1(\Omega)\rightarrow L^2(\partial\Omega)$ は有界線形作用素であり、$\partial\Omega$ のコンパクト性より面積測度 $\mu_{\partial\Omega}$ は有限測度であるから、$(*)$ より、

$$

$$

\int_{\partial\Omega}\gamma(u)(x)\cdot \nu(x)d\mu_{\partial\Omega}(x)=\lim_{n\rightarrow\infty}\int_{\partial\Omega}\gamma(u^{(n)})(x)\cdot\nu(x)d\mu_{\partial\Omega}(x)

\int_{\partial\Omega}\gamma(u)(x)\cdot \nu(x)d\mu_{\partial\Omega}(x)=\lim_{n\rightarrow\infty}\int_{\partial\Omega}\gamma(u^{(n)})(x)\cdot\nu(x)d\mu_{\partial\Omega}(x)

921行目:

\lim_{n\rightarrow\infty}\lVert u-u^{(n)}\rVert_{2,1}=0,\quad \lim_{n\rightarrow\infty}\lVert v-v^{(n)}\rVert_{2,1}=0

\lim_{n\rightarrow\infty}\lVert u-u^{(n)}\rVert_{2,1}=0,\quad \lim_{n\rightarrow\infty}\lVert v-v^{(n)}\rVert_{2,1}=0

$$

$$

−

を満たすものが取れ、Hölderの不等式より、

+

を満たすものが取れ、

$$

$$

\int_{\Omega}({\rm div}(u)(x)v(x)+u(x)\cdot\nabla v(x))dx=\lim_{n\rightarrow\infty}\int_{\Omega}({\rm div}(u^{(n)})(x)v^{(n)}(x)+u^{(n)}(x)\cdot \nabla v^{(n)}(x))dx

\int_{\Omega}({\rm div}(u)(x)v(x)+u(x)\cdot\nabla v(x))dx=\lim_{n\rightarrow\infty}\int_{\Omega}({\rm div}(u^{(n)})(x)v^{(n)}(x)+u^{(n)}(x)\cdot \nabla v^{(n)}(x))dx

930行目:

\lim_{n\rightarrow\infty}\lVert \gamma(v)-v^{(n)}\rVert_2=0

\lim_{n\rightarrow\infty}\lVert \gamma(v)-v^{(n)}\rVert_2=0

$$

$$

−

となるので、Hölderの不等式より、

+

となるので、

$$

$$

\int_{\partial\Omega}(\gamma(u)(x)\cdot\nu(x))\gamma(v)(x)d\mu_{\partial\Omega}(x)

\int_{\partial\Omega}(\gamma(u)(x)\cdot\nu(x))\gamma(v)(x)d\mu_{\partial\Omega}(x)

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