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篩法:Brunの篩

2023-09-29T09:17:00Z

Tyamada: 誤記を修正

[[Category:数論]]
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{{TOC |align=right |noautonum=1 }}
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{{begin |preamble}}
{{newtheorem |type=Thm |counter=0 |display='''定理''' }}
{{newtheorem |type=Conj |display='''予想''' |family=Thm }}
{{newtheorem |type=Cor |display='''系''' |family=Thm}}
{{newtheorem |type=Def |display='''定義''' |family=Thm }}
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{{newtheorem |type=proof |counter=-1 |display='''証明''' }}
$\newcommand{\N}{\mathbb{N}}$
$\newcommand{\Z}{\mathbb{Z}}$
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$\newcommand{\LCM}{\mathrm{LCM}}$
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$\newcommand{\abs}[1]{\left\lvert#1\right\rvert}$
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{{end |preamble}}

本記事では、[[篩法]] (sieve method) の中でも、最初の本格的な進展である'''Brunの篩 (Brun's sieve)'''について解説する。

上位記事と同様、$A$ が有限集合で、$A_i (i=1, 2, \ldots, n)$ がその部分集合とする。
このとき
$I\subset\{1, 2, \ldots, n\}$ に対して、$A_I=\cap_{i\in I}A_i$ と定め、また、
$$S=A\setminus\left(\bigcup_{i=1}^n A_i\right)$$
を $A$ の要素のうち、どの $A_i$ にも属さないもの全体の集合とする。

== Brunの最初の篩 ==

$\mu(I)$ において $I$ の個数を与えられた個数以下に制限した関数
$$\mu_k(I)=\left\{\begin{array}{cl}
(-1)^{\# I} & (\# I\leq k), \\
0 & (\# I>k)
\end{array}\right.$$
を定める。
たとえば $k=1$ のとき、$\mu_1(\emptyset)=1$, $\mu_1(\{i\})=-1$ でそれ以外の $I$ については $\mu_1(I)=0$ となるので
$$\sum_{I\subset\{1, 2, \ldots, n\}}\mu_1(I) \# A_I=\# A-\sum_{i=1}^n\# A_i\leq \# S$$
が明らかに成り立つ。Brunの最初の篩（Brun's pure sieveと呼ばれる）の基本原理はこれを次のように一般化したものである。

{{theorem|type=Thm|label=thm11}}
$k$ が奇数のとき
$$\# S\geq \sum_{I\subset\{1, 2, \ldots, n\}}\mu_k(I) \# A_I \ \ (1.1)$$
となり、$k$ が偶数のとき
$$\# S\leq \sum_{I\subset\{1, 2, \ldots, n\}}\mu_k(I) \# A_I \ \ (1.2)$$
となる。

{{begin|proof|collapsible=1|boxed=1}}
$k=2\ell+i, i\in\{0, 1\}$ とおいて、
$$\chi_i(I)=\left\{\begin{array}{cl}
1 & (\# I\leq k), \\
0 & (\# I>k)
\end{array}\right.$$
と定めると $\mu_k(I)=\chi_i(I)\mu(I)$ となる。
数列 $b_i$ を $j\geq \ell+1$ のとき $b_j=n$, $j\leq \ell$ のとき $b_j=0$ と定めると
[[篩法#thm32|篩法:定理4]]の $(3.1)$ が成り立つから、同定理から $(1.1)$ および $(1.2)$ が従う。

[[二項係数#その他の性質|二項係数:その他の性質]]で述べた等式から証明することもできる。
$$J(x)=\{i: x\in A_i\}$$
とおくと
$$x\in A_I\Longleftrightarrow I\subset J(x)$$
なので
$$\sum_{I\subset\{1, 2, \ldots, n\}}\mu_k(I) \# A_I=\sum_{x\in A} \sum_{I, x\in A_I, \# I\leq k} (-1)^{\#I}
=\sum_{x\in A} \sum_{I\subset J(x), \# I\leq k} (-1)^{\#I}$$
となるが、
$\# J(x)=m\neq 0$ のとき
$$\sum_{I\subset J(x), \# I\leq k} (-1)^{\#I}=\sum_{j=1}^k (-1)^j \sum_{I\subset J(x), \# I=j}1=\sum_{j=1}^k (-1)^j \binom{m}{j}$$
となるので、[[二項係数#その他の性質|二項係数:その他の性質]]で述べた等式より
$$\sum_{I\subset J(x), \# I\leq k} (-1)^{\#I}=(-1)^k\binom{m-1}{k}$$
となる。また、$f(x)=0$ つまり $J(x)=\emptyset$ は $x\in S$ と同値で、このとき $\sum_{I\subset J(x), \# I\leq k} (-1)^{\#I}=1$ となる。
よって
$$\begin{split}
\sum_{I\subset\{1, 2, \ldots, n\}}\mu_k(I) \# A_I= & \# S+\sum_{x\in A, f(x)>0} \sum_{I\subset J(x), \# I\leq k} (-1)^{\#I} \\
= & \# S+(-1)^k \sum_{x\in A} \binom{\# J(x) -1}{k}
\end{split}$$
つまり
$$\# S=\sum_{I\subset\{1, 2, \ldots, n\}}\mu_k(I) \# A_I-(-1)^k \sum_{x\in A} \binom{\# J(x) -1}{k}$$
が成り立つので、$k$ が奇数のとき $(1.1)$ が、$k$ が偶数のとき $(1.2)$ が成り立つ。
{{end|proof}}

対称式の値に関する次の評価は、Brunの篩にあらわれる和の評価に有用である。
{{theorem|type=Lem|label=lem11}}
$s_k(x_1, \ldots, x_r)$ を $k$ 次基本対称式とおくと
$x_1, \ldots, x_r\geq 0$ ならば
$$s_k(x_1, \ldots, x_r)\leq\frac{(x_1+\cdots +x_r)^k}{k!}$$
が成り立つ。

{{begin|proof|collapsible=1|boxed=1}}
$$(x_1+\cdots +x_r)^k=\sum_{1\leq i_1, i_2, \ldots, i_k\leq r} x_{i_1}x_{i_2}\cdots x_{i_k}
\geq \sum_{\substack{1\leq i_1, i_2, \ldots, i_k\leq r,\\ i_p=i_q\Longrightarrow p=q}} x_{i_1}x_{i_2}\cdots x_{i_k}$$
となる。

$1\leq j_1<j_2<\ldots<j_k\leq r$ となる $(j_1, j_2, \ldots, j_k)$ をひとつとる。右辺の和のなかにある項で、$x_{i_1}x_{i_2}\cdots x_{i_k}=x_{j_1}x_{j_2}\cdots x_{j_k}$ となるのは、$(i_1, i_2, \ldots, i_k)$ が $(j_1, j_2, \ldots, j_k)$ の置換であるものであり、そのようなものに限られるから、
$$(x_1+\cdots +x_r)^k=\sum_{1\leq i_1, i_2, \ldots, i_k\leq r} x_{i_1}x_{i_2}\cdots x_{i_k}
\geq (k!)\sum_{1\leq j_1<j_2< \cdots< j_k\leq r} x_{j_1}x_{j_2}\cdots x_{j_k}=(k!)s_k(x_1, \ldots, x_r)$$
となる。
{{end|proof}}

Brun's pure sieveから、ひとつの素数を法とする複数の剰余類を取り除くとき、つぎの評価が得られる。
{{theorem|type=Thm|label=thm12}}
$z>0$ を正の実数とする。$\rho(n)$ は乗法的関数で、
$$\sum_{p<z}\frac{\rho(p)}{p}\leq\kappa\log\log z+B_0\ \ (1.3)$$
が成り立つとする。
$$A=\Z\cup (M, M+X]=\{n\in\Z: M<n\leq M+X\}$$
とおく。
さらに、各素数 $p$ について、$\rho(p)$ 個の剰余類 $a(p, 1), \ldots, a(p, \rho(p))\mathmod{p}$ が対応するとし、
$$A_p=\{n\in A: n\equiv a(p, 1), a(p, 2), \ldots, a(p, \rho(p))\mathmod{p}\}$$
とおく。

このとき、
$$S(A, z)=A\setminus \left(\bigcup_{p<z}A_p\right)$$
を、どの $p<z$ となる素数についても $A_p$ に属さない $A$ の要素の全体の集合とすると、
$m>2e(\kappa\log\log z+B_0)$ となるよう偶数 $m$ に対して、
$$\# S(A, z)=X\prod_{p<z}\left(1-\frac{\rho(p)}{p}\right)+O^*\left(\frac{X}{2^m}+\left(1+\sum_{p<z}\rho(p)\right)^m\right)$$
となる。
なお、$O^*(T)$ は絶対値が $T$ 以下の量をあらわす。

{{begin|proof|collapsible=1|boxed=1}}
相異なる素数の積 $d$ について、
$$A_d=\bigcap_{p\mid d} A_p$$
とおくと、
$$A_d=\#\{n: M<n\leq M+X, p\mid d\Longrightarrow (1\leq \exists u(p)\leq \rho(p))[n\equiv a(p, u(p))\mathmod{p}]\}$$
となる。

[[合同式#中国式剰余定理|中国式剰余定理]]から、相異なる素数の積 $d=p_1 p_2 \cdots p_k$ について、
$$n\equiv r_i\mathmod{p_i}\ (\forall i=1, 2, \ldots, k)\Longleftrightarrow n\equiv U(r_1, r_2, \ldots, r_k)\mathmod{d}$$
となる剰余類 $U(r_1, r_2, \ldots, r_k)\mathmod{d}$ が一意的に定まる。
$1\leq d_i\leq \rho(p_i)\ (1\leq i\leq k)$ となる $(d_1, d_2, \ldots, d_k)$ について
$$U(a(p_1, d_1), a(p_2, d_2), \ldots, a(p_k, d_k))\mathmod{d}$$
は相異なる剰余類で、
$$A_d=\#\{n: M<n\leq M+X, n\equiv U(a(p_1, d_1), a(p_2, d_2), \ldots, a(p_k, d_k))\mathmod{d}\}$$
となる（ただし、各 $d_i$ は $1\leq \exists d_i\leq \rho(p_i)$ となる整数）ので、
$$\# A_d\leq \rho(d)\left(\ceil{\frac{(M+X)}{d}}-\floor{\frac{M}{d}}\right)<\frac{\rho(d)X}{d}+\rho(d)$$
かつ
$$\# A_d\geq \rho(d)\left(\floor{\frac{(M+X)}{d}}-\ceil{\frac{M}{d}}\right)>\frac{\rho(d)X}{d}-\rho(d)$$
となる。つまり
$$\abs{\# A_d-\frac{X}{d}}<\rho(d) \ \ (1.4)$$
が成立する。

$$\mu_k(d)=\left\{\begin{array}{cl}
\mu(d)=(-1)^{\omega(d)} & (\omega(d)\leq k), \\
0 & (\omega(d)>k)
\end{array}\right.$$
とおくと、$m$ が偶数のときBrunの篩より
$$\# S(A, z)\leq \sum_{d\mid P(z)} \mu_m(d)\# A_d$$
となる。

そこで、$m>2e(\kappa\log\log z+B_0)$ となるように偶数 $m$ をとると、 $(1.4)$ より
$$\begin{split}
\# S(A, z)\leq & \sum_{d\mid P(z), \omega(d)\leq m} \mu(d) \# A_d \\
= & \sum_{d\mid P(z), \omega(d)\leq m} \left(\frac{\mu(d)\rho(d) X}{d}+O^*(\rho(d))\right) \\
= & X\sum_{d\mid P(z)} \frac{\mu(d)\rho(d)}{d} \\
& +O^*\left(X\sum_{d\mid P(z), \omega(d)\geq m+1} \mu(d)\frac{\rho(d)}{d}+\sum_{d\mid P(z), \omega(d)\leq m} \rho(d)\right)
\end{split} \ \ (1.5)$$
が成り立つ。以下、この右辺の各項について考察する。

まず、$\mu(d)\rho(d)/d$ は乗法的関数だから
$$\sum_{d\mid P(z)} \frac{\mu(d)\rho(d)}{d}=\prod_{p<z}\left(1-\frac{\rho(p)}{p}\right) \ \ (1.6)$$
となる。

$z$ 以下の素数を $p_1, \ldots, p_r$ とおくと
$$\begin{split}
\sum_{d\mid P(z), \omega(d)\geq m+1} \frac{\rho(d)}{d}
= & \sum_{k=m+1}^r \sum_{d\mid P(z), \omega(d)=k} \frac{\rho(d)}{d} \\
= & \sum_{k=m+1}^r \sum_{\{i_1, \ldots, i_k\} \subset \{1, \ldots, r\}} \left(\frac{\rho(p_{i_1})}{p_{i_1}}\right)\cdots\left(\frac{\rho(p_{i_k})}{p_{i_k}}\right) \\
= & \sum_{k=m+1}^r s_k\left(\frac{\rho(p_1)}{p_1}, \ldots \frac{\rho(p_r)}{p_r}\right)
\end{split}$$
となるので、{{ref|type=Lem|label=lem11}}およびStirlingの公式より
$$\begin{split}
\sum_{d\mid P(z), \omega(d)\geq m+1} \frac{\rho(d)}{d}
\leq & \sum_{k=m+1}^r \frac{1}{k!}\left(\sum_{p<z} \frac{\rho(p)}{p}\right)^k \\
< & \sum_{k=m+1}^r \left(\frac{e}{k}\right)^k \left(\sum_{p<z} \frac{\rho(p)}{p}\right)^k \\
< & \sum_{k=m+1}^r \left(\frac{e}{m}\right)^k \left(\sum_{p<z} \frac{\rho(p)}{p}\right)^k
\end{split}$$
となるが、仮定より
$$\sum_{d\mid P(z), \omega(d)\geq m+1} \frac{\rho(d)}{d}<\sum_{k=m+1}^r \left(\frac{e(\kappa \log\log z+B_0)}{m}\right)^k$$
となる。
$m>2e(\kappa\log\log z+B_0)$ となるように $m$ をとっているので、
$$\sum_{d\mid P(z), \omega(d)\geq m+1} \frac{\rho(d)}{d}<\sum_{k=m+1}^r \frac{1}{2^k}=\frac{1}{2^m} \ \ (1.7)$$
となる。

さらに、仮定より
$$\begin{split}
\sum_{d\mid P(z), \omega(d)\leq m} \rho(d)
= & \sum_{k=1}^m\sum_{\{i_1, \ldots, i_k\} \subset \{1, \ldots, r\}}\rho(p_{i_1})\cdots \rho(p_{i_k}) \\
\leq & \sum_{k=1}^m \left(\sum_{p<z}\rho(p)\right)^k \\
\leq & \left(1+\sum_{p<z}\rho(p)\right)^m
\end{split} \ \ (1.8)$$
となる。

$(1.6), (1.7), (1.8)$ を $(1.5)$ に適用して
$$\# S(A, z)=X\prod_{p<z}\left(1-\frac{\rho(p)}{p}\right)+O^*\left(\frac{X}{2^m}+\left(1+\sum_{p<z}\rho(p)\right)^m\right)$$
となって、定理が証明される。
{{end|proof}}

{{theorem|type=Thm|label=thm13}}
$a, b$ が互いに素な整数とする。
$\pi_2(a, b; x)$ を $ap+b$ も素数となる、素数 $p\leq x$ の個数とおくと
$$\pi_2(a, b; x)<\frac{ab CX (\log\log X)^2}{\varphi(ab) \log^2 X}$$
となる絶対定数 $C$ が存在する。

{{begin|proof|collapsible=1|boxed=1}}
$$A_p=\{n\in A: (p\mid n)\lor(an+b\equiv 0\mathmod{p})\}$$
と定める。
このとき $p$ が $a$ を割り切るとき、$p$ は $b$ を割り切らないので $\rho(p)=1$、
$p$ が $b$ を割り切るとき、$p$ は $a$ を割り切らないので、やはり $\rho(p)=1$
となり、$ab$ を割り切らない素数 $p$ について、
$au\equiv b\mathmod{p}$ となる $k$ を $u(p)$ とおくと
$$A_p=\#\{n: M<n\leq M+X, (n\equiv 0\mathmod{p})\lor(n\equiv u(p)\mathmod{p})\}$$
より $\rho(p)=2$ となる。よって[[素数の分布（初等的理論）#Mertensの定理|Mertensの第三定理]]より
$$\begin{split}
\prod_{p<z}\left(1-\frac{\rho(p)}{p}\right)
= & \prod_{p<z, p\mid ab}\left(1-\frac{1}{p}\right)\prod_{p<z, p\nmid ab}\left(1-\frac{2}{p}\right) \\
< & \prod_{p<z, p\mid ab}\left(1-\frac{1}{p}\right)^{-1}\prod_{p<z}\left(1-\frac{1}{p}\right)^2 \\
< & \left(\prod_{p<z, p\mid ab}\left(1-\frac{1}{p}\right)^{-1}\right) \frac{C_1}{\log^2 z} \\
= & \frac{ab C_1}{\varphi(ab) \log^2 z}
\end{split}$$
となる。また、
[[素数の分布（初等的理論）#系|素数の分布（初等的理論）:系]]および[[素数の分布（初等的理論）#定理2.2|定理2.2]]から、$\pi(z)<C_2 z/\log z$ となる定数 $C_2$ が存在するので、
$$1+\sum_{p<z}\rho(p)<1+2\pi(z)<\frac{C_3 z}{\log z}$$
となる。

これらのことから、$m$ が $2e(2\log\log z+C_4)$ より大きい偶数のとき、
$$\# S(A, z)<\frac{ab C_1 X}{\varphi(ab) \log^2 z}+\frac{X}{2^m}+\left(\frac{C_3 z}{\log z}\right)^m \ \ (1.9)$$
であることがわかる。定数 $c$ を $2e$ より大きく選び、
$$z=X^{1/(3c\log\log X)}, m=2\floor{c\log\log X}$$
とおくと、$X$ が大きいとき、
$$m>2(c\log\log X-1)>2e(2\log\log X+C_4)>2e(2\log\log z+C_4)$$
より、$m$ は $2e(2\log\log z+C_4)$ より大きい偶数なので、$(1.9)$ が成り立つ。$X$ が大きいとき、$z$ も大きくなるので
$$\begin{split}
\# S(A, z)< & \frac{ab C_1 X}{\varphi(ab) \log^2 z}+\frac{X}{2^m}+z^m \\
< & \frac{9ab C_1 c^2 X (\log\log X)^2}{\varphi(ab) \log^2 X}+\frac{4X}{\log^{2c\log 2} X}+X^{2/3}
\end{split}$$
となる。

さて、$p, ap+b$ がともに素数で $p\geq z$ ならば、$p, ap+b$ はいずれも $z$ より小さい素因数をもたないから $p$ は $S(A, z)$ に含まれる。よって
$$\begin{split}
\pi_2(a, b; x)\leq & \# S(A, z)+\pi(z) \\
< & \frac{9ab C_1 c^2 X (\log\log X)^2}{\varphi(ab) \log^2 X}+\frac{4X}{\log^{2c\log 2} X}+X^{2/3}+z
\end{split}$$
となるから、定理が成り立つ。
{{end|proof}}

このことから、$ap+b$ も素数となる素数 $p$ の逆数の和が収束することがわかる。とくに、$p+2$ も素数となる素数 $p$ の逆数の和は収束する。よって双子素数 $p, p+2$ の逆数の和
$$\sum_{p, p+2: \textrm{prime}}\left(\frac{1}{p}+\frac{1}{p+2}\right)
=\left(\frac{1}{3}+\frac{1}{5}\right)+\left(\frac{1}{5}+\frac{1}{7}\right)+\left(\frac{1}{11}+\frac{1}{13}\right)+\cdots$$
は収束する。この逆数の和をBrun定数という。

== Brunの篩 ==

Brunは、篩法をさらに発展させ、1920年に[[篩法]]の記事の冒頭に記した一連の定理を得た。それで、この新しい篩法を単にBrunの篩という。
Brunの篩は、[[篩法#thm21|篩法:定理4]]でも記した、つぎの一般的な事実に依拠している。

{{theorem|type=Thm|label=thm21}}
$0$ 以上の整数列 $b_k$ を任意にとる。
$I\subset \{1, 2, \ldots, n\}$ に対して $0$ または $1$ をとる関数 $\chi_0(I), \chi_1(I)$ を
$I=\{a_1, a_2, \ldots, a_r\}, 1\leq a_1<a_2<\cdots a_r\leq n$ の形の表示に対して
$$\chi_i(\{a_1, a_2, \ldots, a_r\})=1\Longleftrightarrow [a_{2k+i}\geq b_k\ (1\leq 2k+i\leq r)]\ \ \ (2.1)$$
により定めると、
$$\sum_{I\subset\{1, 2, \ldots, n\}}\chi_0(I)\mu(I) \# A_I\leq\# S\leq \sum_{I\subset\{1, 2, \ldots, n\}}\chi_1(I)\mu(I) \# A_I \ \ \ (2.2)$$
が成り立つ。

このことから、Brunが考察した整数に関する問題については、つぎのことがいえる。
まず、$A$ をものの集まりとし、各素数 $p$ に対して $A$ の部分集合 $A_p$ が与えられ、
相異なる素数の積 $d=p_1 p_2 \cdots p_r$ について
$$A_d=\bigcap_{i=1}^r A_p, A_1=A$$
と定める。
一方、各素数 $p$ に対して実数（整数でなくてもよい） $\rho(p)$ が対応し、相異なる素数の積 $d=p_1 p_2 \cdots p_r$ について
$$\rho(d)=\prod_{i=1}^r \rho(p_i), \rho(1)=1$$
と定める。そして各 $d$ について
$$\# A_d=\frac{\rho(d)}{d}X+R_d=X\prod_{p\mid d}\frac{\rho(p)}{p}+R_d \ \ \ (2.3)$$
となるとする（$\delta_i$ に対して $\rho(p)/p$ が対応している）。このとき $z$ よりも小さい素数 $p$ に対する $A_p$ をすべて $A$ から取り除いた集合の要素の個数を
$$S(A, z)=\# \left(A\setminus \bigcup_{p<z} A_p\right)$$
とおくと、つぎの定理が成り立つ。

{{theorem|type=Thm|label=thm22}}
$$2=z_s<z_{s-1}<\cdots<z_0=z$$
となる実数列 $z_i\ (i=0, 1, \ldots, s)$ をとる。また $b$ は $0$ 以上の任意の整数とする。

$d$ が平方因数をもたない自然数で、
$$d=p_1 p_2 \cdots p_r, z>p_1>p_2>\cdots >p_r\ \ (1)$$
と素因数分解されるとき、$\chi_0(d), \chi_1(d)$ をそれぞれ
$$\chi_0(d)=1\Longleftrightarrow[\omega(\gcd(d, P_{z_k, z}))\leq 2(b+k)-1\ (1\leq k\leq s)]$$
および
$$\chi_1(d)=1\Longleftrightarrow[\omega(\gcd(d, P_{z_k, z}))\leq 2(b+k)\ (1\leq k\leq s)]$$
により定める。
このとき
$$\begin{split}
& \sum_{d\mid P(z)}\chi_0(d)\mu(d)\frac{\rho(d)}{d}-\sum_{d\mid P(z)}\chi_0(d)\abs{R_d}
\leq \\
& S(A, z)\leq \sum_{d\mid P(z)}\chi_1(d)\mu(d)\frac{\rho(d)}{d}+\sum_{d\mid P(z)}\chi_1(d)\abs{R_d}.\end{split}
\ \ \ (2.4)$$

{{begin|proof|collapsible=1|boxed=1}}
$\chi_i(d)$ は、$\{1, 2, \ldots, n\}$ の部分集合 $I$ に対する関数 $\chi_i(I)$ に読み替えることができる。
$z$ より小さい素数を大きいものから順に $q_1>q_2>\cdots>q_n=2$ とおき、$I\subset\{1, 2, \ldots, n\}$ に対しては
$$\chi_i(I)=\chi_i(\prod_{j\in I}q_j)$$
と定める。

このとき、$(1)$ のように素因数分解される数 $d$ に
$$I=\{a_1, a_2, \ldots, a_r\}, p_i=q_{a_i}$$
を対応させると、$\chi_i(I)=\chi_i(d)$ となる。

$$\chi_i(d)=1\Longleftrightarrow[\omega(\gcd(d, P_{z_k, z}))\leq 2(b+k)+i-1\ (1\leq k\leq s)]
\Longleftrightarrow[p_{2(b+k)+i}<z_k\ (1\leq k\leq s, 2(b+k)+i\leq r)]$$
となるから、
$1\leq k\leq s$ に対し、$q_i<z_k\leq q_{i-1}$ となる $i$ を $f_{b+k}$ とし、
$$f_0=f_1=\cdots f_b=f_{b+1}, f_{b+s}=f_{b+s+1}=\cdots =0$$
と定めると
$$\begin{split}
\chi_i(I)=1
\Longleftrightarrow& [q_{a_{2(b+k)+i}}<z_k\ (1\leq k\leq s, 2(b+k)+i\leq r)] \\
\Longleftrightarrow& [a_{2(b+k)+i}\geq f_{b+k}\ (1\leq k\leq s, 2(b+k)+i\leq r)] \\
\Longleftrightarrow& [a_{2k+i}\geq f_k\ (1\leq 2k+i\leq r)]
\end{split}$$
となる。また、$S=S(A, z)$ となるからBrunの篩より
$$\sum_{d\mid P(z)}\chi_0(d)\# A_d \leq S(A, z)\leq \sum_{d\mid P(z)}\chi_1(d)\# A_d$$
となる。よって左辺と右辺に $(2.3)$ を代入して $(2.4)$ が成り立つ。
{{end|proof}}

そこで
$$\sum_{d\mid P(z)}\chi_i(d)\mu(d)\frac{\rho(d)}{d}$$
および
$$\sum_{d\mid P(z)}\chi_i(d)\abs{R_d}$$
について考察する必要がある。前者について、つぎのことがいえる。

{{theorem|type=Thm|label=thm23}}
$$H_i(z)=\frac{W(z_k)}{W(z)}\frac{1}{(2(k+b)+i)!}\left(\sum_{z_k\leq p<z}\frac{\rho(p)}{p}\right)^{2(k+b)+i}$$
とおくと、
$$\sum_{d\mid P(z)}\chi_0(d)\mu(d)\frac{\rho(d)}{d}\geq W(z)(1-H_0(z))$$
および
$$\sum_{d\mid P(z)}\chi_1(d)\mu(d)\frac{\rho(d)}{d}\leq W(z)(1+H_1(z))$$
が成り立つ。

{{begin|proof|collapsible=1|boxed=1}}
$\bar\chi_i(d)\ (i=0, 1)$ を
$$\bar\chi_0(p_1 p_2 \ldots p_{2n})=1\Longleftrightarrow [(n\geq b)\land (p_{2n}\geq z_{n-b}) \land (m<n\Longrightarrow p_{2m}<z_{m-b})]$$
および
$$\bar\chi_1(p_1 \ldots p_{2n+1})=1\Longleftrightarrow [(n\geq b)\land (p_{2n+1}\geq z_{n-b}) \land (m<n\Longrightarrow p_{2m+1}<z_{m-b})]$$
により定める。
これは[[篩法#lem31|篩法:補題5]]で導入した $\chi_0, \chi_1$ に相当するもので、[[篩法#lem31|篩法:補題5]]と同様に
$$\begin{split}
\chi_0(d)= & 1-\sum_{2j\leq r} \bar\chi_0(p_1 p_2 \cdots p_{2j}), \\
\chi_1(d)= & 1-\sum_{2j+1\leq r} \bar\chi_0(p_1 p_2 \cdots p_{2j+1})
\end{split}$$
が成り立つので
$$\sum_{d\mid P(z)}\chi_i(d)\mu(d)\frac{\rho(d)}{d}=\sum_{d\mid P(z)}\mu(d)\frac{\rho(d)}{d}-\sum_{\substack{d\mid P(z),\\ d=p_1 p_2 \cdots p_r,\\ p_1>p_2>\cdots >p_r}}\mu(d)\frac{\rho(d)}{d}\sum_{2j+i\leq r} \bar\chi_i(p_1 p_2 \cdots p_{2j+i})\mu(p_1 p_2 \cdots p_{2j+i}) \ \ (2.5)$$
となる。

$\mu(d)\rho(d)/d$ は乗法的関数だから、$(2.5)$ の右辺のひとつめの項は
$$\begin{split}
\sum_{\delta\mid P(z))} \mu(d)\frac{\rho(d)}{d}
= & \prod_{p<z}\left(1+\mu(p)\frac{\rho(p)}{p}\right) \\
= & \prod_{p<z}\left(1-\frac{\rho(p)}{p}\right) \\
= & W(z)
\end{split} \ \ (2.6)$$
である。

$(2.5)$ の右辺の後の項は
$$\begin{split}
\sum_{\substack{d\mid P(z),\\ d=p_1 p_2 \cdots p_r,\\ p_1>p_2>\cdots >p_r}}\mu(d)\frac{\rho(d)}{d}\sum_{2j+i\leq r} \bar\chi_i(p_1 p_2 \cdots p_{2j+i})
= & \sum_{\substack{\delta t\mid P(z),\\ \delta\mid P(q(t))}}\mu(\delta t)\frac{\rho(\delta t)}{\delta t}\bar\chi_i(t) \\
= & \sum_{t\mid P(z)}\mu(t)\frac{\bar\chi_i(t)\rho(t)}{t}\sum_{\delta\mid P(q(t))} \mu(\delta)\frac{\rho(\delta)}{\delta}
\end{split}$$
となる。
$\mu(\delta)\rho(\delta)/\delta$ は乗法的関数だから、$(2.6)$ と同様に
$$\sum_{\delta\mid P(q(t))} \mu(\delta)\frac{\rho(\delta)}{\delta}=W(q(t))$$
となる。
また、$\bar\chi_i(t)\neq 0$ のとき $\mu(t)=(-1)^i$ なので、
$$\sum_{\substack{d\mid P(z),\\ d=p_1 p_2 \cdots p_r,\\ p_1>p_2>\cdots >p_r}}\mu(d)\frac{\rho(d)}{d}\sum_{2j+i\leq r} \bar\chi_i(p_1 p_2 \cdots p_{2j+i})
=(-1)^i \sum_{t\mid P(z)}\frac{\bar\chi_i(t)\rho(t)}{t}W(q(t)) \ \ (2.7)$$
であることがわかる。

$(2.6), (2.7)$ より $(2.5)$ は
$$\sum_{d\mid P(z)}\chi_i(d)\mu(d)\frac{\rho(d)}{d}=W(z)-(-1)^i \sum_{t\mid P(z)}\frac{\bar\chi_i(t)\rho(t)}{t}W(q(t)) \ \ (2.8)$$
と書き直せる。

ここで、$\bar\chi_i(t)\neq 0$ のとき
$$t=p_1 p_2 \cdots p_{2\ell +i}, p_1>p_2>\cdots >p_{2\ell+i}\geq z_{\ell-b}$$
となる $\ell\geq b$ が存在するから、
$$\begin{split}
\sum_{t\mid P(z)}\frac{\bar\chi_i(t)\rho(t)}{t}W(q(t))
= & \sum_{\ell\geq b} \sum_{\substack{t=p_1 p_2 \cdots p_{2\ell +i},\\ z>p_1>p_2>\cdots >p_{2\ell +i}\geq z_{\ell -b}}}\frac{\rho(t)}{t}W(p_{2\ell +i}) \\
\leq & \sum_{\ell\geq b} W(z_{\ell -b}) \sum_{\substack{t=p_1 p_2 \cdots p_{2\ell +i},\\ z>p_1>p_2>\cdots >p_{2\ell +i}\geq z_{\ell -b}}}\frac{\rho(t)}{t} \\
\leq & \sum_{k\geq 0} W(z_k)\sum_{\substack{t=p_1 p_2 \cdots p_{2(k+b)+i},\\ z>p_1>p_2>\cdots >p_{2(k+b)+i}\geq z_k}}\frac{\rho(t)}{t}
\end{split}$$
となるが
$$\sum_{\substack{t=p_1 p_2 \cdots p_{2(k+b)+i},\\ z>p_1>p_2>\cdots >p_{2(k+b)+i}\geq z_k}}\frac{\rho(t)}{t}
\leq \frac{1}{(2(k+b)+i)!}\left(\sum_{z_k\leq p<z}\frac{\rho(p)}{p}\right)^{2(k+b)+i}$$
なので、
$$\sum_{t\mid P(z)}\frac{\bar\chi_i(t)\rho(t)}{t}W(q(t))\leq\sum_{k\geq 0} \frac{W(z_k)}{(2(k+b)+i)!}\left(\sum_{z_k\leq p<z}\frac{\rho(p)}{p}\right)^{2(k+b)+i}$$
となる。
これによって、$(2.8)$ から
$$(-1)^i\left(\sum_{d\mid P(z)}\chi_i(d)\mu(d)\frac{\rho(d)}{d}-W(z)\right)\leq \sum_{k\geq 0}\frac{W(z_k)}{(2(k+b)+i)!}\left(\sum_{z_k\leq p<z}\frac{\rho(p)}{p}\right)^{2(k+b)+i}$$
が得られ、ここから定理が従う。
{{end|proof}}

== Brunの篩の利用 ==

ここで、$w\geq 2$ で、$z$ が大きいとき
$$\sum_{w\leq p<z}\frac{\rho(p)}{p}<\kappa(\log\log z-\log\log w)+\frac{A}{\log w}\ \ \ (\sharp)$$
が成り立つ場合について考える。

$\lambda$ を
$$0<\lambda e^{1+\lambda}<1$$
となる定数とし（これは $0<\lambda<0.2784645427\cdots$ に同値である）、
$$\epsilon=\frac{1}{200e^{1/\kappa}}, \Lambda=\frac{2\lambda}{\kappa(1+\epsilon)}$$
と定める。さらに
$$e^{(r-1)\Lambda}<\frac{\log z}{\log 2}\leq e^{r\Lambda} \ \ \ (3.1)$$
となる整数 $r$ をとり、
$$\log z_k=e^{-k\Lambda} \log z\ (k=0, 1, \ldots, r-1), \log z_r=2$$
と定める。仮定より
$$\sum_{z_k\leq p<z}\frac{\rho(p)}{p}<\kappa(\log\log z-\log\log z_k)+\frac{A}{\log w}=k\Lambda+\frac{A}{\log w}$$
となるので、[[篩法#thm22|篩法:定理2]]より
$$\frac{W(z_k)}{W(z)}\leq \left(\frac{\log z}{\log z_k}\left(1+\frac{A_1}{\log z_k}\right)\right)^\kappa\leq e^{k\Lambda\kappa+A_1\kappa/\log z_k} \ \ \ (3.2)$$
となる、$A$ にのみ依存する定数 $A_1$ が存在する。
この仮定のもとで、次の事実が成り立つ。

{{theorem|type=Lem|label=lem31}}
$$\frac{\log z}{\log 2}>\exp\frac{A_1e^\Lambda}{\epsilon\log 2}$$
が成り立つとする。このとき
$$\sum_{z_k\leq p<z}\frac{\rho(p)}{p}<2k\lambda+\frac{\kappa A_1}{\log z} \ \ \ (3.3)$$
および
$$\frac{W(z_k)}{W(z)}\leq e^{2k\lambda+\kappa A_1/\log z} \ \ \ (3.4)$$
が成り立つ。

{{begin|proof|collapsible=1|boxed=1}}
$(3.2)$ より
$$\log \frac{W(z_k)}{W(z)}\leq \kappa\left(k\Lambda+\frac{A_1 e^{k\Lambda}}{\log z}\right)
=k\kappa\left(\Lambda+A_1\frac{e^{k\Lambda}-1}{k\log z}\right)+\frac{\kappa A_1}{\log z}$$
となるが、$(3.1)$ より
$$\frac{e^{k\Lambda}-1}{k}\leq \frac{e^{r\Lambda}-1}{r}<\Lambda\frac{e^{r\Lambda}}{r\Lambda}
\leq \Lambda\frac{e^\Lambda\log z}{\log 2\log(\log z/\log 2)}$$
となるから、
$$\log \frac{W(z_k)}{W(z)}\leq k\kappa\Lambda\left(1+A_1\frac{e^\Lambda}{\log 2\log (\log z/\log 2)}\right)+\frac{\kappa A_1}{\log z}$$
が成り立つ。
仮定より
$$\frac{A_1e^\Lambda}{\log 2\log (\log z/\log 2)}\leq \epsilon$$
となるので、
$$\log \frac{W(z_k)}{W(z)}\leq k\kappa\Lambda(1+\epsilon)+\frac{\kappa A_1}{\log z}
=2k\lambda+\frac{\kappa A_1}{\log z}$$
となって、$(3.4)$ が成り立つ。また
$$\sum_{z_k\leq p<z}\frac{\rho(p)}{p}\leq \sum_{z_k\leq p<z} -\log\left(1-\frac{\rho(p)}{p}\right)=\log\frac{W(z_k)}{W(z)}$$
より $(3.3)$ も成り立つ。
{{end|proof}}

そこで、
$$\mu=\frac{\kappa A_1}{2\log z}$$
とおく。つぎの評価が成り立つ。

{{theorem|type=Lem|label=lem32}}
$z$ が大きいとき $(\sharp)$ が成り立つとすると、やはり $z$ が大きいとき
$$H_i(z)\leq e^{(2b+i+4)\mu/\lambda}\frac{2\lambda^{2b+i+2}e^{2\lambda}}{1-\lambda^2 e^{2(1+\lambda)}}. \ \ \ (3.5)$$

{{begin|proof|collapsible=1|boxed=1}}
$(3.3)$ は
$$\sum_{z_k\leq p<z}\frac{\rho(p)}{p}<2(k\lambda+\mu)$$
とあらわされ、$(3.4)$ は
$$\frac{W(z_k)}{W(z)}\leq e^{2(k\lambda+\mu)}$$
とあらわされる。
$k=0$ のとき
$$\sum_{z_k\leq p<z}\frac{\rho(p)}{p}=0$$
なので
$$\begin{split}
H_i(z)= & \sum_{k\geq 1}\frac{W(z_k)}{W(z)(2(k+b)+i)!}\left(\sum_{z_k\leq p<z}\frac{\rho(p)}{p}\right)^{2(k+b)+i} \\
\leq & \sum_{k\geq 1}e^{2(k\lambda+\mu)}\frac{(2(k\lambda+\mu))^{2(k+b)+i}}{(2(k+b)+i)!}
\end{split} \ \ \ (3.6)$$
となる。
$(2(k+b)+i)!\geq (2k)!(2k)^{2b+i}$ より
$$\begin{split}
\sum_{k\geq 1}e^{2(k\lambda+\mu)}\frac{(2(k\lambda+\mu))^{2(k+b)+i}}{(2(k+b)+i)!}
\leq & e^{2\mu}\sum_{k\geq 1}\left(\frac{k\lambda+\mu}{k}\right)^{2b+i}\frac{(2(k\lambda+\mu))^{2k}}{(2k)!} e^{2k\lambda} \\
\leq & e^{2\mu}(\lambda+\mu)^{2b+i}\sum_{k\geq 1}\frac{(2k)^{2k}}{(2k)!}\left(1+\frac{\mu}{k\lambda}\right)^{2k} (\lambda e^{\lambda})^{2k}
\end{split}$$
となるが、
$$\begin{split}
\log\frac{(2k/e)^{2k}}{(2k)!}= & 2k(\log(2k)-1)-\sum_{n=1}^{2k}\log n \\
= & 1+\int_1^{2k} \log tdt-\sum_{n=1}^{2k}\log n \\
= & 1+\sum_{n=2}^{2k}\left(\int_{n-1}^n (\log t-\log n)dt\right)
\end{split}$$
は減少関数なので、
$$\frac{(2k)^{2k}}{(2k)!}=e^{2k}\frac{(2k/e)^{2k}}{(2k)!}\leq \frac{2e^{2k}}{e^2}$$
となる。また
$$\left(1+\frac{\mu}{k\lambda}\right)^{2k}<e^{2\mu/\lambda}$$
だから
$$\begin{split}
\sum_{k\geq 1}e^{2(k\lambda+\mu)}\frac{(2(k\lambda+\mu))^{2(k+b)+i}}{(2(k+b)+i)!}
\leq & 2e^{2\mu-2}(\lambda+\mu)^{2b+i}\sum_{k\geq 1}\left(1+\frac{\mu}{k\lambda}\right)^{2k} (\lambda e^{1+\lambda})^{2k} \\
\leq & 2e^{2\mu-2+2\mu/\lambda}(\lambda+\mu)^{2b+i}\sum_{k\geq 1}(\lambda e^{1+\lambda})^{2k} \\
= & 2e^{2\mu-2+2\mu/\lambda}(\lambda+\mu)^{2b+i}\frac{(\lambda e^{1+\lambda})^2}{1-(\lambda e^{1+\lambda})^2} \\
= & e^{2\mu(1+1/\lambda)}\left(1+\frac{\mu}{\lambda}\right)^{2b+i}\frac{2\lambda^{2b+i+2}e^{2\lambda}}{1-\lambda^2 e^{2(1+\lambda)}}
\end{split}$$
となる。よって $(3.6)$ から
$$H_i(z)\leq e^{2\mu(1+1/\lambda)}\left(1+\frac{\mu}{\lambda}\right)^{2b+i}\frac{2\lambda^{2b+i+2}e^{2\lambda}}{1-\lambda^2 e^{2(1+\lambda)}}$$
であることがわかる。ここで、$\lambda<1$ より
$$\left(1+\frac{\mu}{\lambda}\right)^{2b+i}<e^{(2b+i)\mu/\lambda}, e^{2\mu(1+1/\lambda)}<e^{4\mu/\lambda}$$
となるので、
$$H_i(z)\leq e^{(2b+i+4)\mu/\lambda}\frac{2\lambda^{2b+i+2}e^{2\lambda}}{1-\lambda^2 e^{2(1+\lambda)}}$$
であることがわかり、$(3.5)$ が示される。
{{end|proof}}

これと、{{ref|type=Thm|label=thm23}}から、
$$\sum_{d\mid P(z)}\chi_i(d)\mu(d)\frac{\rho(d)}{d}$$
の評価が得られる。{{ref|type=Thm|label=thm22}}から、$S(A, z)$ の評価のためには、
$$\sum_{d\mid P(z)}\chi_i(d)\abs{R_d}$$
の評価を得ることができればよい。
そこで$(\sharp)$に加えて
$$\abs{R_d}\leq \rho(d)\ \ \ (\flat)$$
が成り立つ場合について考える。

{{theorem|type=Lem|label=lem33}}
$d$ が平方因数をもたない自然数の時 $(\flat)$ が成り立ち、かつ $z\geq C_0$ のとき $(\sharp)$ が成り立つとすると、
$z\geq C_1$ のとき
$$\sum_{d\mid P(z), \chi_i(d)=1}\rho(d)\leq z^{2b+i+1+2.01/(e^{2\lambda/\kappa}-1)} \ \ \ (3.7)$$
となる。ここで $C_1$ は $C_0, \kappa, A$ にのみ依存する定数である。

{{begin|proof|collapsible=1|boxed=1}}
仮定から
$$\sum_{d\mid P(z)}\chi_i(d)\abs{R_d}\leq \sum_{d\mid P(z), \chi_i(d)=1}\rho(d)$$
となるが、
$\chi_i(d)=1$ のとき、 $z_k$ 以上の素因数の個数は $2(b+k)+i-1$ 以下であるから、
$$\sum_{d\mid P(z), \chi_i(d)=1}\rho(d)\leq\left(1+\sum_{p<z}\rho(p)\right)^{2b+i+1}\prod_{k=1}^{r-1}\left(1+\sum_{p<z_k}\rho(p)\right)^2$$
となる。[[篩法#thm22|篩法:定理2]]より
$$\sum_{p<z}\rho(p)\leq (\kappa+A)\mathrm{Li} z+\frac{2A}{\log 2}$$
なので、
$$\begin{split}
\sum_{d\mid P(z), \chi_i(d)=1}\rho(d)\leq & \left(1+\sum_{p<z}\rho(p)\right)^{2b+i+1}\prod_{k=1}^{r-1}\left(1+\sum_{p<z_k}\rho(p)\right)^2 \\
\leq & \left(1+(\kappa+A)\mathrm{Li} z+\frac{2A}{\log 2}\right)^{2b+i+1} \prod_{k=1}^{r-1} \left(1+(\kappa+A)\mathrm{Li} z_k+\frac{2A}{\log 2}\right)^{2b+i+1}
\end{split}$$
となる。

[[対数積分と指数積分#thm11|対数積分と指数積分:定理1]]より
$$1+(\kappa+A)\mathrm{Li} x+\frac{2A}{\log 2}<\frac{B_1 x}{\log x}$$
となる、$\kappa, A$ にのみ依存する $B_1$ が存在するから
$$\begin{split}
\sum_{d\mid P(z), \chi_i(d)=1}\rho(d)\leq & \left(1+\sum_{p<z}\rho(p)\right)^{2b+i+1}\prod_{k=1}^{r-1}\left(1+\sum_{p<z_k}\rho(p)\right)^2 \\
\leq & \left(\frac{B_1 z}{\log z}\right)^{2b+i+1} \prod_{k=1}^{r-1} \left(\frac{B_1 z_k e^{k\Lambda}}{\log z}\right)^2 \\
= & \left(\frac{B_1 z}{\log z}\right)^{2b+i+1} \exp\left(2\log z \sum_{k=1}^{r-1} e^{-k\Lambda} \right) \prod_{k=1}^{r-1} \left(\frac{B_1 e^{k\Lambda}}{\log z}\right)^2 \\
\leq & \left(\frac{B_1 z}{\log z}\right)^{2b+i+1} z^{2/(e^\Lambda -1)} \left(\frac{B_1}{\log z}\right)^{2(r-1)} e^{\frac{r(r-1)\Lambda}{2}} \\
= & \left(\frac{B_1 z}{\log z}\right)^{2b+i+1} z^{2/(e^\Lambda -1)} \left(\frac{B_1e^{r\Lambda /2}}{\log z}\right)^{2(r-1)}
\end{split}$$
となる。$z$ が大きいとき $\log z>B_1$ となるから
$$\sum_{d\mid P(z), \chi_i(d)=1}\rho(d)\leq z^{2b+i+1} z^{2/(e^\Lambda -1)} \left(\frac{B_1e^{r\Lambda /2}}{\log z}\right)^{2(r-1)} \ \ \ (3.8)$$
であることがわかる。

ここで
$$e^{2\lambda/\kappa}-e^\Lambda<(e^{2\lambda/\kappa-\Lambda}-1)e^{2\lambda/\kappa}<\left(\frac{2\lambda}{\kappa}-\Lambda\right)e^{2\lambda/\kappa}$$
および
$$\frac{2\lambda}{\kappa}-\Lambda=\frac{2\lambda}{\kappa}\left(1-\frac{1}{1+\epsilon}\right)=\epsilon\Lambda$$
より
$$e^{2\lambda/\kappa}-e^\Lambda<\epsilon\Lambda e^{2\lambda/\kappa}$$
であることがわかる。よって
$$\frac{e^{2\lambda/\kappa}-1}{e^\Lambda -1}<1+\frac{\epsilon\Lambda e^{2\lambda/\kappa}}{e^\Lambda -1}$$
となるが、$\lambda<1/2$ なので
$$\frac{e^{2\lambda/\kappa}-1}{e^\Lambda -1}<1+\epsilon e^{2\lambda/\kappa}<1+\epsilon e^{1/\kappa}=\frac{201}{200}$$
となる。さらに $e^{(r-1)\Lambda}<\log z/\log 2$ より
$$\frac{e^{r\Lambda/2}}{\log z}\leq \frac{e^{2\lambda/\kappa+(r-1)\Lambda/2}}{\log z}<\frac{e^{1/\kappa}}{\sqrt{\log z}}$$
となるが、$z$ が大きいとき $\sqrt{\log z}>e^{1/\kappa}$ となるから、上記不等式の右辺は $1$ より小さくなる。
よって、$(3.8)$より$(3.7)$が示される。
{{end|proof}}

{{ref|type=Thm|label=thm23}}および{{ref|type=Lem|label=lem32}}から得られる
$$\sum_{d\mid P(z)}\chi_i(d)\mu(d)\frac{\rho(d)}{d}$$
の評価と{{ref|type=Lem|label=lem33}}から得られる
$$\sum_{d\mid P(z)}\chi_i(d)\abs{R_d}$$
の評価から、{{ref|type=Thm|label=thm23}}より、ついに次の結果が得られる。

{{theorem|type=Thm|label=thm31}}
$d$ が平方因数をもたない自然数の時 $(\flat)$ が成り立ち、かつ $z\geq C_0$ のとき $(\sharp)$ が成り立つとすると、
$z\geq C$ のとき、整数 $b\geq 0$ に対して
$$S(A, z)\geq XW(z)\left(1-e^{(b+2)\kappa A_1/\lambda\log z}\frac{2\lambda^{2b+2}e^{2\lambda}}{1-\lambda^2 e^{2(1+\lambda)}}\right)-z^{2b+1+2.01/(e^{2\lambda/\kappa}-1)}$$
および
$$S(A, z)\leq XW(z)\left(1-e^{(b+5/2)\kappa A_1/\lambda\log z}\frac{2\lambda^{2b+3}e^{2\lambda}}{1-\lambda^2 e^{2(1+\lambda)}}\right)+z^{2b+2+2.01/(e^{2\lambda/\kappa}-1)}$$
が成り立つ。ここで $C$ は $C_0, \kappa, A$ にのみ依存する定数である。

この定理は素数に関する多くの未解決の問題について、部分的な解決を与える。たとえば、双子素数の予想に対する部分的解決が得られる。

そこで、$n$ と $an+b$ がともに $z$ より小さい素因数をもたない場合を考える。ただし $a, b$ は互いに素な整数で、$a>0$ かつ $ab$ は偶数とする。

$A$ を $X$ 以下の正の整数全体の集合、$A_p$ を $A$ の要素 $n$ のうち、$n$ あるいは $an+b$ の少なくとも一方が $p$ で割り切れるもの全体の集合とし、
$p\mid a$ のとき $\rho(p)=0$、$p\mid b$ のとき $\rho(p)=1$、それ以外のとき $\rho(p)=2$ とする。

$p\mid a$ のとき $a, b$ は互いに素だから
$$an+b\equiv b\not\equiv 0\mathmod{p}$$
となるから、$\# A_p=0$ となる。$p\mid b$ のとき $a, b$ は互いに素なので
$$p\mid (an+b)\Longleftrightarrow p\mid (an)\Longleftrightarrow p\mid n$$
であるから
$$A_p=\{n\leq X, p\mid n\}$$
となる。それ以外のとき、
$$an+b\equiv 0\mathmod{p}\Longleftrightarrow n\equiv k\mathmod{p}$$
となる、$0$ でない剰余類 $k\mathmod{p}$ が一意的に定まるから、
$$A_p=\{n\leq X, n\equiv 0, k\mathmod{p}\}$$
となる。
これらのことから、$d$ が平方因数をもたない自然数のとき
$$A_d=\{n\leq X, n\equiv r_1, r_2, \ldots, r_{\rho(d)}\mathmod{d}\}$$
となる、相異なる $\rho(d)$ 個の剰余類 $r_1, r_2, \ldots, r_{\rho(d)}\mathmod{d}$ がとれる。よって
$$\abs{\#A_d-\frac{\rho(d)X}{d}}\leq \rho(d)$$
であることがわかるので、$(\flat)$ が成立する。

[[素数の分布（初等的理論）#Mertensの定理|Mertensの第1定理]]より
$$\sum_{w\leq p<z} \frac{\rho(p)}{p}\leq \sum_{w\leq p<z} \frac{2\rho(p)}{p}<2(\log\log z-\log\log w)+\frac{A}{\log w}$$
となる定数 $A$ が存在するから、$(\sharp)$ が成立する。
さらに、$z$ が $ab$ の最大の素因数より大きいとき、
[[素数の分布（初等的理論）#Mertensの定理|Mertensの第3定理]]より
$$\begin{split}
W(z)= & \prod_{p<z, p\mid b}\left(1-\frac{1}{p}\right)\prod_{p<z, p\not\mid ab}\left(1-\frac{2}{p}\right) \\
= & \prod_{p\mid b}\left(1-\frac{1}{p}\right)\prod_{p<z, p\not\mid ab} \left[\left(1-\frac{1}{p}\right)^2\left(1-\frac{1}{(p-1)^2}\right)\right] \\
= & c \prod_{p<z}\left(1-\frac{1}{p}\right)^2 \prod_{p\geq z}\left(1-\frac{1}{(p-1)^2}\right) \\
= & \frac{c}{e^{2\gamma} \log^2 z}\left(1+O\left(\frac{1}{\log z}\right)\right),
\end{split} \ \ \ (3.9)$$
ここで
$$c=\prod_{p\mid b}\left(1-\frac{1}{p}\right)^{-1} \prod_{p\mid a}\left(1-\frac{1}{p}\right)^{-2} \prod_{p\not\mid ab} \left(1-\frac{1}{(p-1)^2}\right) $$
となる。$ab$ は偶数なので $c>0$ となる。

これらのことから、$(\flat)$ および $(\sharp)$ が成立するので、Brunの篩において $b=0$ とおくと、$z$ が大きいとき
$$S(A, z)\geq XW(z)\left(1-e^{2/\lambda\log z}\frac{2\lambda^2 e^{2\lambda}}{1-\lambda^2 e^{2(1+\lambda)}}\right)-z^{1+2.01/(e^\lambda -1)}$$
および
$$S(A, z)\leq XW(z)\left(1-e^{5/2\lambda\log z}\frac{2\lambda^3 e^{2\lambda}}{1-\lambda^2 e^{2(1+\lambda)}}\right)+z^{2+2.01/(e^\lambda -1)}$$
が成り立つ。
ここで、$\lambda=0.253$ とおくと
$$\frac{2\lambda^2 e^{2\lambda}}{1-\lambda^2 e^{2(1+\lambda)}}=0.98523\cdots<1$$
および
$$1+2.01/(e^\lambda -1)=7.98199\cdots$$
より、$z$ が大きいとき
$$S(A, z)\geq 0.01476XW(z)-z^{7.982}$$
が成り立つ。$z=\max\{X+1, (aX+b+1)\}^{1/8}$ とおくと、 $(3.9)$ より
$$S(A, \max\{X+1, (aX+b+1)\}^{1/8})\geq \frac{c_3 X}{\log^2 X}-\frac{c_4 X}{\log^3 X}-\max\{X+1, (aX+b+1)\}^{0.99775}$$
となる定数 $c_3>0, c_4$ がとれる。
ここで、$n$ が $S(A, \max\{X+1, (aX+b+1)\}^{1/8})$ によって数え上げられるとき $n, an+b$ ともに
$\max\{X+1, (aX+b+1)\}^{1/8}$ より小さい素因数をもたないが、$n$ は $X$ 以下の整数だから、
$S(A, \max\{X+1, (aX+b+1)\}^{1/8})$ によって数え上げられる整数 $n$ については $n, an+b$ ともに
重複度を含めても、多くても $7$ 個の素因数しかもたない。

一方、
$$\frac{2\lambda^2 e^{2\lambda}}{1-\lambda^2 e^{2(1+\lambda)}}=0.24926\cdots$$
および
$$2+2.01/(e^\lambda -1)=8.98199\cdots$$
が成り立つから
$z=X^{1/9}$ とおくと
$$S(A, X^{1/9})\leq 1.24927XW(z)+z^{8.982}<\frac{c_5 X}{\log^2 X}+\frac{c_6 X}{\log^3 X}+X^{0.998}$$
となる $c_5, c_6$ が存在する。
一方、$p, ap+b$ がともに素数で $p\geq X^{1/9}$ ならば $p, ap+b$ は $X^{1/9}$ より小さい素因数をもたない。
よって
$$\pi_2(a, b; X)-\pi_2(a, b; X^{1/9})<S(A, X^{1/9})<\frac{c_5 X}{\log^2 X}+\frac{c_6 X}{\log^3 X}+X^{0.998}$$
となるから、
$$\pi_2(a, b; X)<\frac{c_5 X}{\log^2 X}+\frac{c_6 X}{\log^3 X}+X^{0.998}+X^{1/9}<\frac{c_7 X}{\log^2 X}$$
となる定数 $c_7$ が存在する。

つまり、次の定理が成り立つ。

{{theorem|type=Thm|label=thm32}}
$a$ と $b$ が互いに素な整数で $a>0$ であるとき、$n, an+b$ がいずれも重複度を含めて多くても $7$ 個の素因数しかもたない整数 $n$ が無限に多く存在する。一方、ある定数 $c_7$ について、$X$ 以下の素数 $p$ で、$ap+b$ も素数であるものの個数は必ず $c_7 X/\log^2 X$ より小さくなる。

これは、双子素数に関して{{ref|type=Thm|label=thm13}}よりも強い評価を与え、さらに、素数の代わりに重複度を含めて多くても $7$ 個の素因数しかもたない整数を考えると、そのような整数の組 $(n, n+2)$ は無限に多く存在することを示している。

Brunの篩はまた、Goldbach予想の部分的解決をも導く。$n$ を偶数とする。
$$A_p=\{x: 1\leq x\leq n-1, p\mid x(n-x)\}$$
とおくと、
$S(A, z)$ は $m, n-m$ がともに $z$ より小さな素因数をもたない正の整数 $m\leq x$ の個数となる。

$p\mid n$ のとき $\rho(p)=1$、それ以外のとき $\rho(p)=2$ とすると、先程と同様に $(\sharp)$ が成り立ち、また
$$\abs{\#A_d-\frac{\rho(d)n}{d}}\leq \rho(d)$$
となるので、$(\flat)$ が成り立つ。また、
$$W(z)=\frac{c}{e^{2\gamma} \log^2 z}\left(1+O\left(\frac{1}{\log z}\right)\right),$$
ここで
$$c=\prod_{p\mid n}\left(1-\frac{1}{p}\right)^{-1} \prod_{p\not\mid n} \left(1-\frac{1}{(p-1)^2}\right)$$
となるから、
$$\frac{C_1}{\log^2 z}\prod_{p\mid n}\left(1+\frac{1}{p}\right)<W(z)<\frac{C_2}{\log^2 z}\prod_{p\mid n}\left(1+\frac{1}{p}\right)$$
となる正の絶対定数 $C_1, C_2$ がとれる。実際、$n$ は偶数なので、$c>0$ かつ $C_1>0$ であることがわかる。
$$f(n)=\prod_{p\mid n}\left(1+\frac{1}{p}\right)$$
とおくと、
$$\frac{C_1 f(n)}{\log^2 z}<W(z)<\frac{C_2 f(n)}{\log^2 z}$$
となる。

このことから、つぎの事実がわかる。前段はGoldbach予想の部分的解決となっており、後段はSchnirelmannによる、
別の形でのGoldbach予想の部分的解決に用いられる。

{{theorem|type=Thm|label=thm33}}
十分大きな偶数は、重複度を含めても、多くても $7$ 個の素因数しかもたない数 $2$ つの和としてあらわされる。
また、$R(n)$ を、整数 $n$ を$2$つの素数の和 $p+q$ の形にあらわす方法の個数とする。
ただし $p=q$ でもよく、また $p, q$ を入れ替えたものは別の表現として数える。このとき、$n$ が偶数のとき
$$R(n)<\frac{C_0 f(n)n}{\log^2 n}$$
となる絶対定数 $C_0$ が存在する。ただし、
$$f(n)=\prod_{p\mid n}\left(1+\frac{1}{p}\right)$$
とする。

{{begin|proof}}
Brunの篩から、$n$ が大きいとき先程と同様に
$$S(A, z)\geq 0.01476nW(z)-z^{7.982}$$
となるので、
$$S(A, n^{1/8})\geq \frac{C_3 f(n)n}{\log^2 n}$$
となる絶対定数 $C_3>0$ が存在する。整数 $m$ が $S(A, n^{1/8})$ によって数え上げられるとき $m, n-m$ はともに$n^{1/8}$ より小さい素因数をもたない $n-1$ 以下の正の整数だから、$m, n-m$ は重複度を含めても、多くても $7$ 個の素因数しかもたない。

一方、 $z=n^{1/9}$ とおくと、$z$ が大きいとき
$$S(A, n^{1/9})\leq 1.24927nW(z)+z^{8.982}<\frac{C_3 f(n)n}{\log^2 n}$$
となる絶対定数 $C_3$ がとれる。一方、$p, n-p$ がともに素数で、$n^{1/9}\leq p\leq n-n^{1/9}$ ならば
$p, n-p$ は $n^{1/9}$ より小さい素因数をもたないから $p$ は $S(A, n^{1/9})$ によって数え上げられる。よって
$$R(n)\leq S(A, n^{1/9})+2n^{1/9}<\frac{C_0 f(n)n}{\log^2 n}$$
が成り立つ。
{{end|proof}}

== 参考文献 ==
* George Greaves, ''Sieves in Number Theory'', Springer-Verlag, 2001, [https://doi.org/10.1007/978-3-662-04658-6 doi:10.1007/978-3-662-04658-6], Chapter 3.
* Heini Halberstam and Hans Egon-Richert, ''Sieve Methods'', 2nd edition, Dover publications, 2011, Chapter 2.
* Melvyn B. Nathanson, ''Additive Number Theory: The Classical Bases'', Graduate Texts in Math. 164, Springer-Verlag, 1996, [https://doi.org/10.1007/978-1-4757-3845-2 doi:10.1007/978-1-4757-3845-2], Chapter 6.

アフィン代数的集合の基礎

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素数の分布（初等的理論）

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Tyamada: /* 第1補充法則 */ $p\equiv 3\pmod{4}$ のとき $(-1/p)$ が $1$ になっていたので $-1$ に修正

Lucas数列:関係式

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合同式:合成数を法とする合同式

2023-05-22T10:43:43Z

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抽象線形代数学入門:ベクトル空間

2023-02-13T08:49:18Z

Tyamada:

抽象線形代数学入門:ベクトル空間

2023-02-13T06:34:19Z

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抽象線形代数学入門

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このテキストでは、実ベクトル空間・複素ベクトル空間にとどまらず、より一般的な体上でのベクトル空間に関する線形代数学について取り扱う。

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* [[抽象線形代数学入門:内積]]
* [[抽象線形代数学入門:線形写像]]
* [[抽象線形代数学入門:行列]]

== 参考文献 ==
* Serge Lang, ''Linear Algebra'', Third Edition, Undergraduate Texts in Mathematics, Springer, 1987, [https://doi.org/10.1007/978-1-4757-1949-9 doi:10.1007/978-1-4757-1949-9 (eBook of the softcover reprint version)].
* Morton L. Curtis, ''Abstract Linear Algebra'', With Revisions by Paul Place, Preface by John Hempel, Universitext, Springer Science+Business Media, LLC, 1990, [https://doi.org/10.1007/978-1-4419-8764-8 doi:10.1007/978-1-4419-8764-8].

抽象線形代数学入門

2023-02-13T06:17:24Z

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このテキストでは、実ベクトル空間・複素ベクトル空間にとどまらず、より一般的な体上でのベクトル空間に関する線形代数学について取り扱う。

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== 参考文献 ==
* Serge Lang, ''Linear Algebra'', Third Edition, Undergraduate Texts in Mathematics, Springer, 1987, [https://doi.org/10.1007/978-1-4757-1949-9 doi:10.1007/978-1-4757-1949-9 (eBook of the softcover reprint version)].
* Morton L. Curtis, ''Abstract Linear Algebra'', With Revisions by Paul Place, Preface by John Hempel, Universitext, Springer Science+Business Media, LLC, 1990, [https://doi.org/10.1007/978-1-4419-8764-8 doi:10.1007/978-1-4419-8764-8].

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ベクトル空間

2023-02-03T05:50:28Z

Tyamada: 体とベクトル空間

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{{TOC |align=right |noautonum=1 }}
</noinclude>

{{begin |preamble}}
{{newtheorem |type=Thm |counter=0 |display='''定理''' }}
{{newtheorem |type=Conj |display='''予想''' |family=Thm }}
{{newtheorem |type=Cor |display='''系''' |family=Thm}}
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{{end |preamble}}

この記事では、一般の体上のベクトル空間の基本的な性質について解説する。

== 定義 ==
* 集合 $V$
* 体 $\K(\langle \K, +_{\K}, 0, \times_{\K}, 1\rangle)$
* 二項演算 $+:V\times V\rightarrow V$
* 二項演算 $\cdot :\K\times V\rightarrow V$
* 要素 $\Bzr\in V$

による5つ組 $\langle V, \K, +, \cdot, \Bzr\rangle$ は、次の8つの公理を満たすとき$\K$ 上の'''ベクトル空間 (vector space) '''または'''線形空間 (linear space)'''であるという。このとき $V$ を $K$-ベクトル空間、$K$-線形空間ともいう。とくに $\K=\R$ のとき、$V$ を実ベクトル空間、あるいは実線形空間という。なお、$k\in\K, \Bv\in V$ について $k\cdot\Bv$ を単に $k\Bv$ とあらわす。混同のおそれのない場合には $\K$ 上の演算 $+_{\K}$, $\times_{\K}$ も単に $+$, $\times$ であらわし、$\K$ 上の積 $a\times_{\K} b$ を単に $ab$ であらわす。

: $(V1-V4)$ $\langle V, +, \Bzr\rangle$ は[[Abel群]]である。すなわち、
:: $(V1)$ （結合律） $V$ の任意の元 $\mathbf{x},\mathbf{y},\mathbf{z}$ に対して $(\mathbf{x} + \mathbf{y}) + \mathbf{z} = \mathbf{x} + (\mathbf{y} + \mathbf{z})$ が成り立つ。
:: $(V2)$ （可換律） $V$ の任意の元 $\mathbf{x},\mathbf{y}$ に対して $\mathbf{x} + \mathbf{y} = \mathbf{y} + \mathbf{x}$ が成り立つ。
:: $(V3)$ （単位元（零ベクトル）の性質） $V$ の任意の元 $\mathbf{x}$ に対して $\mathbf{x} + \mathbf{0} = \mathbf{0} + \mathbf{x} = \mathbf{x}$ が成り立つ。
:: $(V4)$ （逆元（逆ベクトル）の存在） $V$ の任意の元 $\mathbf{x}$ に対して $V$ のある元 $\mathbf{x}'$ が存在して $\mathbf{x} + \mathbf{x}' = \mathbf{x}' + \mathbf{x} = \mathbf{0}$ を満たす。
: $(V5)$ （スカラーの加法に対する分配律） $K$ の任意の元 $a,b$ と $V$ の任意の元 $\mathbf{x}$ に対して $(a+_{\K} b)\mathbf{x} = a\mathbf{x} + b\mathbf{x}$ が成り立つ。
: $(V6)$ （ベクトルの加法に対する分配律） $K$ の任意の元 $a$ と $V$ の任意の元 $\mathbf{x},\mathbf{y}$ に対して $a(\mathbf{x}+\mathbf{y}) = a\mathbf{x} + a\mathbf{y}$ が成り立つ。
: $(V7)$ （スカラーの積とスカラー乗法の両立） $K$ の任意の元 $a,b$ と $V$ の任意の元 $\mathbf{x}$ に対して $(a\times_{\K} b)\cdot\mathbf{x} = a\cdot(b\cdot\mathbf{x})$ が成り立つ。
: $(V8)$ （スカラー乗法の単位元の存在） $V$ の任意の元 $\mathbf{x}$ に対して $1\mathbf{x} = \mathbf{x}$ が成り立つ。

$V$ 上の二項演算 $+$ をベクトルの'''加法 (addition) '''、$\cdot$ を'''スカラー乗法 (scalar multiplication)'''、$\Bzr\in V$ を'''零ベクトル (zero vector) '''という。

{{theorem|type=Prop|label=prop11}}
: $(1)$ $\Bu+\Bv=\Bu+\Bw$ ならば $\Bv=\Bw$ となる。とくに $\Bu+\Bv=\Bu$ となるベクトル $\Bv$ は零ベクトルに一致する。
: $(2)$ 任意の $\Bv\in V$ について $0\Bv=\Bzr$ が成り立つ。
: $(3)$ 任意の $k\in\K, \Bv\in V$ について $(-k)\Bv=-(k\Bv)$ が成り立つ。とくに任意の $\Bv\in V$ について $(-1)\Bv=-\Bv$ が成り立つ。

{{begin|proof|collapsible=1|boxed=1}}
: $(1)$ $\Bu+\Bv=\Bu+\Bw$ ならば $(V4)$, $(V1)$ より
$$\Bv=((-\Bu)+\Bu)+\Bv=(-\Bu)+(\Bu+\Bv)=(-\Bu)+(\Bu+\Bw)=((-\Bu)+\Bu)+\Bw=\Bw$$
となる。とくに $\Bu+\Bv=\Bu$ ならば $\Bu+\Bv=\Bu=\Bu+\Bzr$ より $\Bv=\Bzr$ となる。
: $(2)$ $(V8)$, $(V5)$, $(V3)$ より
$$0\Bv+\Bv=0\Bv+1\Bv=1\Bv=\Bv$$
であるから、$(V4)$, $(V1)$ より
$$0\Bv=0\Bv+(\Bv+(-\Bv))=(0\Bv+\Bv)+(-\Bv)=\Bv+(-\Bv)=\Bzr$$
となる。
: $(3)$ $(V5)$, $(2)$ および $(V4)$ より
$$(-k)\Bv+k\Bv=(-k+k)\Bv=0\Bv=\Bzr=-(k\Bv)+k\Bv$$
となるから $(1)$ より $(-k)\Bv=-(k\Bv)$ となる。とくに $k=1$ のとき $(V8)$ より
$(-1)\Bv=-(1\Bv)=-\Bv$ となる。
{{end|proof}}

$\Bu, \Bv\in V$ について、ベクトルの'''減法 (subtraction)''' を
$$\Bu+(-\Bv)=\Bu-\Bv$$
により定める。

{{theorem|type=Prop|label=prop12}}
: $(1)$ 任意の $\Bu, \Bv\in V$ について $\Bx+\Bv=\Bu \Longleftrightarrow \Bx=\Bu-\Bv$ が成り立つ。
: $(2)$ 任意の $a, b\in\K, \Bv\in V$ について $a\Bv-b\Bv=(a-b)\Bv$ が成り立つ。

{{begin|proof|collapsible=1|boxed=1}}
: $(1)$ $(V1)$, $(V4)$, $(V3)$ より
$$(\Bu-\Bv)+\Bv=\Bu+(-\Bv)+\Bv=\Bu+((-\Bv)+\Bv)=\Bu$$
となるから、{{ref|type=Prop|label=prop11}} の $(1)$ より
$$\Bx+\Bv=\Bu=(\Bu-\Bv)+\Bv \Longleftrightarrow \Bx=\Bu-\Bv$$
ば成り立つ。
: $(2)$ {{ref|type=Prop|label=prop11}} の $(3)$ より
$$a\Bv-b\Bv=a\Bv+(-(b\Bv))=a\Bv+(-b)\Bv=(a-b)\Bv$$
となる。
{{end|proof}}

== 部分空間 ==
$V$ が $\K$ 上のベクトル空間、$W$ が $V$ の空でない部分集合で、

:$\Bx, \By\in W$ ならば $\Bx+\By\in W$
:$\Bx\in W, r\in\K$ ならば $r\Bx\in W$

となるとき、$W$ 自身も、$V$ における加法とスカラー乗法を $W$ に制限したものにより $\K$ 上のベクトル空間となる。
この $W$ を $V$ の'''部分ベクトル空間'''、'''部分線形空間'''あるいは単に'''部分空間 (subspace) '''という。

{{theorem|type=Ex|label=ex21}}
$V=\K^n$ とし、
$$W=\{(a_1, \ldots, a_{n-1}, 0): a_1, \ldots, a_{n-1}\in\K\}$$
とおくと、$W$ は $V$ の部分空間となる。実際、
$(a_1, \ldots, a_{n-1}, 0), (b_1, \ldots, b_{n-1}, 0)\in W$ ならば
$$(a_1, \ldots, a_{n-1}, 0)+(b_1, \ldots, b_{n-1}, 0)=(a_1+b_1, \ldots, a_{n-1}+b_{n-1}, 0)\in W$$
となり、また $k\in\K$, $(a_1, \ldots, a_{n-1}, 0)\in W$ ならば
$$k(a_1, \ldots, a_{n-1}, 0)=(ka_1, \ldots, ka_{n-1}, 0)\in W$$
となる。

$V$ が体 $\K$ 上のベクトル空間のとき、$\Bv_1, \ldots, \Bv_r\in V$ について
$$a_1\Bv_1+a_2\Bv_2+\cdots +a_r\Bv_r~(a_1, \ldots, a_r\in\K)$$
を $\Bv_1, \ldots, \Bv_r$ の'''線形結合 (linear combination) '''という。

$V$ の部分集合 $S$ に属するベクトルの線形結合であらわされるベクトル全体の集合
$$\span~S=\{a_1\Bv_1+\cdots +a_r\Bv_r: k\in\N, a_1, \ldots, a_r\in\K, \Bv_1, \ldots, \Bv_r\in S\}$$
は $V$ の部分空間となる。実際 $a_1\Bv_1+\cdots +a_r\Bv_r, b_1\Bv_1+\cdots +b_r\Bv_r\in\span~S$ に対し、
$$(a_1\Bv_1+\cdots +a_r\Bv_r)+(b_1\Bv_1+\cdots +b_r\Bv_r)=(a_1+b_1)\Bv_1+\cdots +(a_r+b_r)\Bv_r\in\span~S,$$
$k\in\K, a_1\Bv_1+\cdots +a_r\Bv_r\in \span~S$ に対し
$$k(a_1\Bv_1+\cdots +a_r\Bv_r)=ka_1\Bv_1+\cdots +ka_r\Bv_r\in\span~S$$
となる。この部分空間 $\span~S$ を、$S$ の'''線形包 (linear span) '''という。

とくに $S=\{\Bv_1, \ldots, \Bv_r\}$ が有限集合であるとき、$S$ の線形包、すなわち $\Bv_1, \ldots, \Bv_r$ の線形結合であらわされる
ベクトル全体の集合を
$$\langle \Bv_1, \ldots, \Bv_r\rangle=\{a_1\Bv_1+\cdots +a_r\Bv_r: a_1, \ldots, a_r\in\K\}$$
とあらわす。これを $\Bv_1, \ldots, \Bv_r$ により生成される空間という。

また、あるベクトル空間 $U$ が
$$U=\span~S$$
の形にあらわされるとき、$S$ は $U$ を'''生成する'''という。また、$S$ を $U$ の'''生成集合 (generating set) '''という。
$S=\{\Bv_1, \ldots, \Bv_r\}$ が有限集合であるとき、つまり $U=\langle \Bv_1, \ldots, \Bv_r\rangle$ のとき
$U$ は'''有限生成 (finitely generated) '''であるといい、$\Bv_1, \ldots, \Bv_r$ を $U$ の生成元という。

{{theorem|type=Ex|label=ex22}}
$V=\K^n$ で、$\Be_1=(1, 0, \ldots, 0), \ldots, \Be_n=(0, 0, \ldots, 1)$ を
$$\Be_i=(\delta_{i1}, \ldots, \delta_{in})~(i=1, \ldots, n),$$
ただし $\delta_{ij}$ は $i=j$ のとき $1$、それ以外のとき $0$ とすることにより定めると
$\Be_1, \ldots, \Be_n$ は $V$ を生成する。実際 $\Bv=(a_1, \ldots, a_n)\in V$ は
$$\Bv=a_1\Be_1+\cdots +a_n\Be_n$$
とあらわされる。

== 線形独立性とベクトル空間の基底 ==

$V$ が体 $\K$ 上のベクトル空間のとき、$\Bv_1, \ldots, \Bv_r\in V$ が $\K$ 上'''線形独立 (linear independent) '''であるとは
$$a_1\Bv_1+a_2\Bv_2+\cdots +a_r\Bv_r=\Bzr$$
となる $a_1, \ldots, a_r\in\K$ が $a_1=\cdots =a_r=0$ しかないことをいう。$\Bv_1, \ldots, \Bv_r\in V$ が線形独立でないとき、つまり
上記の等式が成り立つが $a_1, \ldots, a_r$ の、少なくともひとつは $0$ ではないような $a_1, \ldots, a_r\in\K$ が存在するとき、
$\Bv_1, \ldots, \Bv_r\in V$ を'''線形従属 (linear dependent) '''であるという。

{{theorem|type=Ex|label=ex31}}
$V=\K^n$ について、{{ref|type=Ex|label=ex22}}における $\Be_1, \ldots, \Be_n$ は $\K$ 上線形独立である。実際
$$a_1\Be_1+a_2\Be_2+\cdots +a_n\Be_n=(a_1, \ldots, a_n)$$
だから
$$a_1\Be_1+a_2\Be_2+\cdots +a_n\Be_n=\Bzr\Longleftrightarrow a_1= \ldots =a_n=0$$
となる。

{{theorem|type=Prop|label=prop31}}
$\Bv_1, \ldots, \Bv_n\in V$ が線形独立なベクトルとする。このとき $\Bw\in V$ について、
:$\Bv_1, \ldots, \Bv_n, \Bw$ が線形従属 $\Longleftrightarrow \Bw\in\langle\Bv_1, \ldots, \Bv_n\rangle$,
言い換えれば、
:$\Bv_1, \ldots, \Bv_n, \Bw$ が線形独立 $\Longleftrightarrow \Bw\not\in\langle\Bv_1, \ldots, \Bv_n\rangle$.

{{begin|proof|collapsible=1|boxed=1}}
$\Bw\in\langle\Bv_1, \ldots, \Bv_n\rangle$ ならば
$\Bw=a_1\Bv_1+\cdots +a_n\Bv_n$ となる $a_1, \ldots, a_n\in\K$ がとれるから
$$a_1\Bv_1+\cdots +a_n\Bv_n+(-1)\Bw=\Bzr$$
より $\Bv_1, \ldots, \Bv_n, \Bw$ は線形従属。
逆に $\Bv_1, \ldots, \Bv_n, \Bw$ が線形従属のとき
$$a_1\Bv_1+\cdots +a_n\Bv_n+a_{n+1}\Bw=\Bzr$$
となる $a_1, \ldots, a_{n+1}\in\K$ で、その少なくともひとつは $0$ ではないものをとる。
$a_{n+1}=0$ のとき
$$a_1\Bv_1+\cdots +a_n\Bv_n=\Bzr$$
で、なおかつ、$a_1, \ldots, a_n$ の少なくともひとつは $0$ ではないので、
$\Bv_1, \ldots, \Bv_n$ が線形従属となって仮定に反する。よって $a_{n+1}\neq 0$ なので
$$\Bw=-\frac{1}{a_{n+1}}(a_1\Bv_1+\cdots +a_n\Bv_n)\in\langle\Bv_1, \ldots, \Bv_n\rangle.$$
{{end|proof}}

$D\subset V$ が線形独立で、なおかつ $V$ を生成するとき $D$ は $V$ の'''基底 (basis) '''であるという。
ここで $D=\{\Bv_1, \ldots, \Bv_r\}$ であるとき、$\Bv_1, \ldots, \Bv_r$ は $V$ の基底であるともいう。

{{theorem|type=Ex|label=ex32}}
$V=\K^n$ について、{{ref|type=Ex|label=ex22}}における $\Be_1, \ldots, \Be_n$ は $\K$ 上線形独立かつ $V$ を生成するから、
$V$ の基底である。

一般的には、基底のとり方は一意的ではない。たとえば $(1, 1, 0)$, $(1, 0, 1)$, $(0, 1, 1)$ も $\K^3$ の基底となる。

有限生成なベクトル空間は、有限個のベクトルからなる基底をもつ。さらに強く、つぎのように、ベクトル空間の生成集合の部分集合で基底となるものが存在することがいえる。

{{theorem|type=Thm|label=thm31}}
ベクトルの有限集合 $B=\{\Bv_1, \ldots, \Bv_n\}\subset V$ について、$B$ の線形独立な部分集合 $C$ で
$$\span~B=\span~C$$
となるものがとれる。つまり、$B$ の部分集合で $\span~B$ の基底となるものが存在する。

{{begin|proof|collapsible=1|boxed=1}}
$B$ が零ベクトルを含むとき、$B_0=B\setminus\{\Bzr\}$ とおき、そうでないとき、
$B_0=B$ とおくと、$B_0$ は $B$ の部分集合で零ベクトルを含まず、 $\span~B=\span~B_0$ となる。

$B_0=\{\Bw_1, \ldots, \Bw_m\}$ とおく。$B_0$ 自身が線形独立ならば、$C=B_0$ ととれる。$B_0$ が線形独立でないとき、
$$a_1\Bw_1+\cdots +a_m\Bw_m=0$$
かつ、少なくともひとつは $0$ でない $a_1, \ldots, a_m\in\K$ がとれる。
$a_i\neq 0$ となる $i$ をひとつとり、それを $i(1)$ とおいて、$B_1=B_0\setminus\{\Bw_{i(1)}\}$ とおく。
$$\Bw_{i(1)}=-\frac{1}{a_{i(1)}}\sum_{j\neq i(1)}a_j\Bw_j\in \span~B_1$$
であるから、$\span~B=\span~B_1$ となる。
同様にして、$B_r$ が線形独立でなければ、
$$\span(B_r\setminus\{\Bw_{i(r)}\})=\span~B_r$$
となる $i(r)$ がとれるので、$B_{m+1}=B_m\setminus\{\Bw_{i(m)}\}$ とおく。

$B_1, \ldots, B_{m-2}$ がすべて線形従属のとき、$B_{m-1}=\{\Bw_j\}$ となる $j$ がとれるが、
$\Bw_j\in B_0$ なので、$\Bw_j\neq \Bzr$ であるから、$B_{m-1}$ は線形独立である。よって、
このようにして、$B_r$ が線形独立となる $r\in\{0, 1, \ldots, m-1\}$ がとれる。このとき
$B_r$ は$B$ の線形独立な部分集合で、帰納的に
$$\span~B_r=\span~B_0=\span~B$$
となる。
{{end|proof}}

基底の基本的な性質を示すために、線形独立なベクトルの個数に関する一般的な定理を証明する。

{{theorem|type=Thm|label=thm32}}
$B=\{\Bv_1, \ldots, \Bv_n\}\subset V$, $C=\{\Bw_1, \ldots,\Bw_m\}\subset V$ がともに線形独立で
$$\Bw_1, \ldots, \Bw_m\in \span~B$$
となるとき、$m\leq n$.

{{begin|proof|collapsible=1|boxed=1}}
$m>n$ と仮定して矛盾を導く。まず、$r=1, \ldots, n$ について
$$\span~B=\span\left(\{\Bw_1, \ldots, \Bw_r\}\cup B\setminus \{\Bv_{k(1)}, \ldots, \Bv_{k(r)})\}\right)\ \ (*)$$
となる、相異なる添字 $k(1), \ldots, k(r)$ がとれることを $r$ に関する帰納法で示す。

$C$ は線形独立だから $\Bw_1\neq \Bzr$ である。よって
$$\Bw_1=\sum_{i=1}^n a_{1i}\Bv_i, a_{1k}\neq 0$$
となる $k$ をひとつとることができる。それを $k(1)$ とおく。このとき
$$\Bv_{k(1)}=\frac{1}{a_{1, k(1)}}\left(\Bw_1-\sum_{i\neq k(1)} a_{1i}\Bv_i\right)\in \span\left(\{\Bw_1\}\cup B\setminus\{\Bv_{k(1)})\}\right)$$
となるので、
$$\span~B\subset \span(\{\Bw_1\}\cup B\setminus\{\Bv_{k(1)}\})$$
となる。一方、$\Bw_1\in \span~B$ なので
$$\span(\{\Bw_1\}\cup B\setminus\{\Bv_{k(1)}\})=\span~B$$
が成り立つ。

$1\leq r\leq n-1$ かつ
$\span~B=\span\left(\{\Bw_1, \ldots, \Bw_r\}\cup B\setminus \{\Bv_{k(1)}, \ldots, \Bv_{k(r)})\}\right)$
となる、相異なる添字 $k(1), \ldots, k(r)$ が存在するとする。仮定より $r+1\leq n<m$ だから、
$$\Bw_{r+1}\in \span~B=\span\left(\{\Bw_1, \ldots, \Bw_r\}\cup B\setminus \{\Bv_{k(1)}, \ldots, \Bv_{k(r)})\}\right)$$
となる。$C$ は線形独立だから
$$\Bw_{r+1}=\sum_{j=1}^r b_{r+1, j}\Bw_j+\sum_{i\neq k(1), \ldots, k(r)} a_{r+1, i}\Bv_i, a_{r+1, k}\neq 0$$
となる $k$ が存在する（なお、$n\geq r+1$ なので、$\Bv_i$ に関する和は空和とはならない）。
それで、そのような $k$ をひとつとり、それを $k(r+1)$ とおくと
$$\Bv_{k(r+1)}=\frac{1}{a_{r+1, k(r+1)}}\left(\Bw_{r+1}-\sum_{j=1}^r b_{r+1, j}\Bw_j-\sum_{i\neq k(1), \ldots, k(r+1)} a_{r+1, i}\right)$$
より
$$\begin{split}
\span~B= & \span\left(\{\Bw_1, \ldots, \Bw_r\}\cup B\setminus \{\Bv_{k(1)}, \ldots, \Bv_{k(r)})\}\right) \\
\subset & \span\left(\{\Bw_1, \ldots, \Bw_{r+1}\}\cup B\setminus \{\Bv_{k(1)}, \ldots, \Bv_{k(r+1)})\}\right)
\end{split}$$
となる。一方、$\Bw_{r+1}\in \span~B$ なので、
$$\span~B=\span\left(\{\Bw_1, \ldots, \Bw_{r+1}\}\cup B\setminus \{\Bv_{k(1)}, \ldots, \Bv_{k(r+1)})\}\right)$$
が成り立つ。

ここから、帰納法により $r=1, \ldots, n$ について $(*)$ が成り立つ相異なる添字 $k(1), \ldots, k(r)$ がとれることがわかる。
とくに
$$\span~B=\span\left(\{\Bw_1, \ldots, \Bw_n\}\cup B\setminus \{\Bv_{k(1)}, \ldots, \Bv_{k(n)})\}\right)$$
となるが、$k(1), \ldots, k(n)$ は相異なる添え字だから、それは $1, \ldots, n$ の並び替えでなければならず、
$$\span~B=\langle \Bw_1, \ldots, \Bw_n\rangle$$
となる。$m>n$ なので、
$$\Bw_{n+1}\in \span~B=\langle \Bw_1, \ldots, \Bw_n\rangle$$
となって $C$ が線形独立であるという仮定に矛盾する。よって $m\leq n$ でなければならない。
{{end|proof}}

このことから、基底を構成するベクトルの個数は基底のとり方によらずベクトル空間によってのみ一意的に定まるという、
基底に関する最も重要な事実がただちに導かれる。

{{theorem|type=Thm|label=thm33}}
$B=\{\Bv_1, \ldots, \Bv_n\}\subset V$, $C=\{\Bw_1, \ldots,\Bw_m\}\subset V$ がともに線形独立で
$$\span~B=\span~C$$
となるとき、$m=n$.

{{begin|proof|collapsible=1|boxed=1}}
$B, C$ がともに線形独立で、$\Bv_1, \ldots, \Bv_n\in\span~C$, $\Bw_1, \ldots, \Bw_m\in\span~B$ だから、
{{ref|type=Thm|label=thm32}} を $B, C$ を入れ替えて適用して、$m\leq n$ かつ $n\leq m$、
つまり $m=n$ がわかる。
{{end|proof}}

$S$ が有限集合で $W$ の基底ならば、$\# S$ は $S$ のとり方によらず、一意的に定まる。
これを $W$ の $\K$ 上の'''次元 (dimension) '''といい、$\dim_\K V$ によりあらわす。

{{theorem|type=Ex|label=ex33}}
$V=\K^n$ について、{{ref|type=Ex|label=ex22}}における $\Be_1, \ldots, \Be_n$ は $V$ の基底だから、
$\dim_\K V=n$ となる。このことから、$\K^n$ の他の基底も、$n$ 個のベクトルからなることがわかる。

さらに、{{ref|type=Thm|label=thm31}} より、{{ref|type=Thm|label=thm32}} において $B$ が線形独立であるという仮定は撤去できる。

{{theorem|type=Thm|label=thm34}}
$C=\{\Bw_1, \ldots,\Bw_m\}\subset V$ が線形独立で
$$\Bw_1, \ldots, \Bw_m\in \langle \Bv_1, \ldots, \Bv_n\rangle$$
となるとき、$m\leq n$.

{{begin|proof|collapsible=1|boxed=1}}
{{ref|type=Thm|label=thm31}} より $B\subset \{\Bv_1, \ldots, \Bv_n\}$ かつ
$\span~B=\langle \Bv_1, \ldots, \Bv_n\rangle$ となる線形独立な集合 $B$ が存在する。
$\Bw_1, \ldots, \Bw_m\in\span~B$ となるから、{{ref|type=Thm|label=thm32}} より、
$$m\leq \# B\leq n$$
となる。
{{end|proof}}

このことから、$V$ の次元について、つぎの$2$つの事実が導かれる。

{{theorem|type=Thm|label=thm35}}
$V$ の生成元の個数の最小値は $\dim V$ と一致する。

{{begin|proof|collapsible=1|boxed=1}}
$\Bv_1, \ldots, \Bv_n$ が $V$ を生成するベクトルで、個数が最小となるものとする。
このとき $\Bv_1, \ldots, \Bv_n$ は線形独立である。というのは $\Bv_1, \ldots, \Bv_n$ が線形従属ならば
{{ref|type=Thm|label=thm31}} より $\span~B=\langle\Bv_1, \ldots, \Bv_n\rangle=V$ となる
$\{\Bv_1, \ldots, \Bv_n\}$ の線形独立な部分集合 $B$ がとれるが、$\{\Bv_1, \ldots, \Bv_n\}$ は線形従属なので
ため、$B$ は $\{\Bv_1, \ldots, \Bv_n\}$ の真部分集合でなければならず、$n$ の最小性に反するからである。
よって、$\Bv_1, \ldots, \Bv_n$ は $V$ の基底なので $\dim V=n$ となる。

逆に、$\dim V=n$ で $\Bv_1, \ldots, \Bv_n$ を $V$ の基底とし、
$\Bw_1, \ldots, \Bw_m$ が $V$ を生成するとすると、
$\Bv_1, \ldots, \Bv_n$ は線形独立でなおかつ
$$\Bv_1, \ldots, \Bv_n\in \langle\Bw_1, \ldots, \Bw_m\rangle$$
なので、{{ref|type=Thm|label=thm34}}より$m\geq n$ となる。
もちろん $\Bv_1, \ldots, \Bv_n$ は $V$ を生成するから、$V$ の生成元の個数の最小値は $n$ に一致する。
{{end|proof}}

{{theorem|type=Thm|label=thm36}}
$V$ の部分集合で、線形独立なものの個数の最大値は $\dim V$ と一致する。

{{begin|proof|collapsible=1|boxed=1}}
$V$ の部分集合で、線形独立なものの個数の最大値を $n$ とし、$\Bv_1, \ldots, \Bv_n$ を、$V$ の線形独立なベクトルとする。
このとき、$\Bv_1, \ldots, \Bv_n$ は $V$ の基底となる。実際、任意の $\Bw\in V$ について、仮定より
$n+1$ 個のベクトル $\Bv_1, \ldots, \Bv_n, \Bw$ は線形従属となるから、{{ref|type=Prop|label=prop31}}より
$\Bw\in\langle\Bv_1, \ldots, \Bv_n\rangle$ となる。よって、$\dim V=n$ となる。

逆に、$\dim V=n$ で $\Bv_1, \ldots, \Bv_n$ を $V$ の基底とすると、$\Bv_1, \ldots, \Bv_n$ は線形独立、かつ
$\Bw_1, \ldots, \Bw_m\in V$ が線形独立ならば{{ref|type=Thm|label=thm34}}より
$m\leq n$ となる。よって、$V$ の部分集合で、線形独立なものの個数の最大値は $n$ に一致する。
{{end|proof}}

よって、ベクトル空間の次元と同じ個数のベクトルの組については、次に示すように、線形独立であることと生成元であることが同値である。

{{theorem|type=Thm|label=thm37}}
ベクトル空間 $V$ の次元が $n$ であるとき、つぎの条件は同値。

:$(1)$ $\Bv_1, \ldots , \Bv_n$ は $V$ の基底。
:$(2)$ $\Bv_1, \ldots , \Bv_n$ は線型独立。
:$(3)$ $\Bv_1, \ldots , \Bv_n$ は $V$ を生成する。

{{begin|proof|collapsible=1|boxed=1}}
:$(2)\Longrightarrow (1).$
$\Bv_1, \ldots, \Bv_n\in V$ が線形独立とする。
このとき、$\Bv_1, \ldots, \Bv_n$ が $V$ の生成元でなければ、$\langle\Bv_1, \ldots, \Bv_n\rangle$ に属さない $V$ のベクトル $\Bv_{n+1}$ が存在するが、
{{ref|type=Prop|label=prop31}}より
$\Bv_1, \ldots, \Bv_{n+1}$ が線形独立となって、{{ref|type=Thm|label=thm36}}に矛盾する。

:$(3)\Longrightarrow (1).$
$\Bv_1, \ldots, \Bv_n\in V$ が生成元であるとする。
このとき、$\Bv_1, \ldots, \Bv_n$ が線形従属ならば
$$a_1\Bv_1+\cdots +a_n\Bv_n=\Bzr, a_i\neq 0$$
となる $a_1, \ldots, a_n\in\K$ が存在するので、
$$\Bv_i=\sum_{1\leq j\leq n, j\neq i}-\frac{a_j}{a_i}\Bv_j$$
となるから、$\Bv_1, \ldots, \Bv_n$ から $\Bv_i$ を取り除いたものも $V$ の生成元となるが、これは
{{ref|type=Thm|label=thm35}}に矛盾する。

:$(1)\Longrightarrow (2)(3).$
$\Bv_1, \ldots, \Bv_n$ が $V$ の基底ならば、次元の定義から $n=\dim V$ となる。
{{end|proof}}

また、有限次元ベクトル空間の線形独立なベクトルは基底へと拡張できることも重要な事実である。

{{theorem|type=Thm|label=thm38}}
$V$ が有限次元のベクトル空間で、
$\Bv_1, \ldots, \Bv_k\in V$ が $\K$ 上線形独立なベクトルのとき、
$\Bv_1, \ldots, \Bv_k$ を含む $V$ の基底が存在する。

{{begin|proof|collapsible=1|boxed=1}}
$n=\dim V$ を $V$ の次元とする。

一般に、$\Bv_1, \ldots, \Bv_r~(k\leq r<n)$ を、$\Bv_1, \ldots, \Bv_k$ を含む $\K$ 上線形独立なベクトルとする。
このとき、$\Bv_1, \ldots, \Bv_{r+1}$ が $\K$ 上線形独立なベクトルとするように $\Bv_{r+1}$ をとれる。実際、
$r<n=\dim V$ なので {{ref|type=Thm|label=thm35}}より $\langle\Bv_1, \ldots, \Bv_r\rangle$ は $V$ を生成しない。よって、
$\langle\Bv_1, \ldots, \Bv_r\rangle$ に属さない $V$ のベクトル $\Bv_{r+1}$ がとれる。
{{ref|type=Prop|label=prop31}}より $\langle\Bv_1, \ldots, \Bv_{r+1}\rangle$ は線形独立である。

よって、$V$ の $n$ 個のベクトル $\Bv_1, \ldots, \Bv_n$ で、$\K$ 上線型独立なものがとれるが、
$n=\dim V$ なので{{ref|type=Thm|label=thm37}}より $\Bv_1, \ldots, \Bv_n$ は $V$ の基底である。
{{end|proof}}

== ベクトル空間の和と直和 ==

ベクトル空間 $V$ の部分空間の共通部分は次に示すように $V$ の部分空間であることがすぐにわかるが、
$V$ の部分空間の合併集合は一般には部分空間とはならない。たとえば $V=\K^3$ について
$$A=\{(x, 0, 0): x\in\K\}, B=\{(0, y, 0): y\in\K\}$$
とおくと、$(1, 0, 0), (0, 1, 0)\in A\cup B$ だが $(1, 1, 0)\not\in A\cup B$ となる。
一方で、
$$C=\{(x, y, 0): x, y\in\K\}$$
とおくと、$C$ は $V$ の部分空間で、$A, B$ はともに $C$ の部分空間となる。

$V$ の部分空間 $A$, $B$ について、$A$ のベクトルと $B$ のベクトルの和であらわされるベクトル全体の集合を
$A+B=\{\Bu+\Bv: \Bu\in A, \Bv\in B\}$
とあらわす。これを $A, B$ の'''和 (sum) '''という。

{{theorem|type=Thm|label=prop41}}
$A, B$ がともに $V$ の部分空間であるとき、
$A+B$, $A\cap B$ はともに $V$ の部分空間である。

{{begin|proof|collapsible=1|boxed=1}}
$\Bw_1, \Bw_2\in A+B$ とすると、
$$\Bw_1=\Bu_1+\Bv_1, \Bw_2=\Bu_2+\Bv_2$$
となる $\Bu_1, \Bu_2\in A$, $\Bv_1+\Bv_2\in B$ が存在する。よって
$$\Bw_1+\Bw_2=(\Bu_1+\Bv_1)+(\Bu_2+\Bv_2)=(\Bu_1+\Bu_2)+(\Bv_1+\Bv_2)\in A+B$$
となる。また、$\Bw\in A$, $k\in\K$ について
$\Bw=\Bu+\Bv$ となる $\Bu\in A, \Bv\in B$ をとると
$$k\Bw=k(\Bu+\Bv)=(k\Bu)+(k\Bv)\in A+B$$
となる。これらのことから、$A+B$ は $V$ の部分空間であることがわかる。

また、
$\Bu, \Bv\in A\cap B$ のとき、
$\Bu+\Bv\in A$ かつ $\Bu+\Bv\in B$ より $\Bu+\Bv\in A\cap B$ となる。
また $\Bv\in A\cap B$ と $k\in\K$ に対して
$k\Bv\in A$ かつ $k\Bv\in B$ なので $k\Bv\in A\cap B$ となる。
これらのことから、$A\cap B$ も $V$ の部分空間であることがわかる。
{{end|proof}}

{{theorem|type=Ex|label=ex31}}
$A=\{(x, 0, 0): x\in\K\}$, $B=\{(0, y, 0): y\in\K\}$, $C=\{(x, y, 0): x, y\in\K\}$
とおくと $C=A+B$ となる。
また $A=\{(x, y, 0): x, y\in\K\}$, $B=\{(x, 0, z): y\in\K\}$ とおくと
$\K^3=A+B$ となる。

より一般に、ベクトル空間 $V$ の部分空間 $A_1, A_2, \ldots, A_n$ について、和を
$$A_1+A_2+\cdots +A_n=\{\Bv_1+\Bv_2+\cdots +\Bv_n: \Bv_i\in A_i~(i=1, \ldots, n)\}$$
と定めると、これも $V$ の部分空間となり、
$$A_1+A_2+A_3=A_1+(A_2+A_3)=(A_1+A_2)+A_3$$
などがすぐにわかる。

部分空間の和と共通部分の次元については、次の関係式が成り立つ。

{{theorem|type=Thm|label=thm41}}
$V$ がベクトル空間、$A$, $B$ が $V$ の有限次元の部分空間であるとき、
$$\dim(A+B)+\dim(A\cap B)=\dim A+\dim B.$$

{{begin|proof|collapsible=1|boxed=1}}
$A$, $B$ が有限次元であるから{{ref|type=Thm|label=thm36}}より、$A\cap B$ も有限次元である。
そこで $A\cap B$ の基底を一組とって、それを $\Bu_1, \ldots, \Bu_m$ とおく。

{{ref|type=Thm|label=thm38}}より、$\Bu_1, \ldots, \Bu_m$ を含む $A$ の基底
$\Bu_1, \ldots, \Bu_{m+n}$ が存在する。同様に、
$\Bu_1, \ldots, \Bu_m$ を含む $B$ の基底 $\Bu_1, \ldots, \Bu_m, \Bu_{m+n+1}, \ldots , \Bu_{m+n+\ell}$ が存在する。

$\Bu_1, \ldots, \Bu_{m+n+\ell}$ は $A+B$ の基底となることを示す。
任意の $\Bv+\Bw\in A+B~(\Bv\in A, \Bw\in B)$ について、
$$\Bv=a_1 \Bu_1+\cdots +a_{m+n}\Bu_{m+n}, \Bw=b_1 \Bu_1+\cdots +b_m\Bu_m+b_{m+1}\Bu_{m+n+1}+\cdots +b_{m+\ell}\Bu_{m+n+\ell}$$
とおくと、
$$\Bv+\Bw=(a_1+b_1) \Bu_1+\cdots +(a_m+b_m)\Bu_m+a_{m+1}\Bu_{m+1}+\cdots +a_{m+n}\Bu_{m+n}b_{m+1}\Bu_{m+n+1}+\cdots +b_{m+\ell}\Bu_{m+n+\ell}$$
とあらわされるので、$A+B$ は $\Bu_1, \ldots, \Bu_{m+n+\ell}$ により生成される。

そこで、$\Bu_1, \ldots, \Bu_{m+n+\ell}$ が線形独立であることを示す。
$$k_1 \Bu_1+\cdots +k_{m+n+ell}\Bu_{m+n+\ell}=\Bzr$$
となる $k_1, \ldots, k_{m+n+\ell}\in\K$ をとる。
$$\Bw=k_{m+n+1} \Bu_{m+n+1}+\cdots +k_{m+n+ell}\Bu_{m+n+\ell}$$
とおくと、
$$\Bw=-(k_1 \Bu_1+\cdots +k_{m+n}\Bu_{m+n})\in A$$
より、$\Bw\in A\cap B$ であるから、
$$\Bw=\ell_1 \Bu_1+\cdots +\ell_m \Bu_m$$
となる $\ell_1, \ldots, \ell_m\in\K$ がとれる。よって
$$\ell_1 \Bu_1+\cdots +\ell_m \Bu_m-(k_{m+n+1} \Bu_{m+n+1}+\cdots +k_{m+n+ell}\Bu_{m+n+\ell})=\Bzr$$
となる。$\Bu_1, \ldots, \Bu_m, \Bu_{m+n+1}, \ldots , \Bu_{m+n+\ell}$ は $B$ の基底である線形独立であるから
$k_{m+n+1}, \ldots, k_{m+n+\ell}$ がすべて $0$ となる。よって
$$k_1 \Bu_1+\cdots +k_{m+n}\Bu_{m+n}=\Bzr$$
となるが、$\Bu_1, \ldots, \Bu_{m+n}$ は $A$ の基底であり線形独立であるから $k_1, \ldots, k_{m+n}$ もすべて $0$ となる。
よって、$k_1, \ldots, k_{m+n+\ell}$ はすべて $0$ でなければならない。
このことから $\Bu_1, \ldots, \Bu_{m+n+\ell}$ が線形独立であることがわかる。

よって、$\Bu_1, \ldots, \Bu_{m+n+\ell}$ は $A+B$ の基底なので
$$\dim (A+B)=m+n+\ell$$
となり、
$$\dim(A+B)+\dim(A\cap B)=2m+n+\ell=\dim A+\dim B$$
となる。
{{end|proof}}

{{theorem|type=Ex|label=ex42}}
$A=\{(x, y, 0): x, y\in\K\}$, $B=\{(x, 0, z): y\in\K\}$, $C=\{(x, 0, 0): x\in\K\} とおくと
$A+B=\K^3, A\cap B=C$ となり、一方で
$$\dim (A+B)+\dim (A\cap B)=\dim(\K^3)+\dim C=4=\dim A+\dim B$$
となる。

{{ref|type=Thm|label=thm41}}、より具体的に上記の例からわかるように、$\dim (A\cap B)>0$ のときには、和の次元と次元の和は一致しない。
一方で、和の次元と次元の和が一致する条件について、つぎの事実がわかる。

{{theorem|type=Thm|label=thm42}}
$A, B$ がともに $V$ の有限次元の部分空間であるとき、つぎの条件は同値である。
:$(1)$ $A\cap B=\{\Bzr\}$.
:$(2)$ 任意の $\Bu\in A+B$ は、$\Bv+\Bw, \Bv\in A, \Bw\in B$ の形に一意的にあらわせる。
:$(3)$ $\Bv_1, \ldots, \Bv_m\in A$ が線形独立で、$\Bw_1, \ldots, \Bw_n\in B$ も線形独立ならば、
$\Bv_1, \ldots, \Bv_m, \Bw_1, \ldots, \Bw_n$ も線形独立。
:$(4)$ $\Bv_1, \ldots, \Bv_m$ が $A$ の基底、$\Bw_1, \ldots, \Bw_n$ が $B$ の基底ならば $\Bv_1, \ldots, \Bv_m, \Bw_1, \ldots, \Bw_n$ は $A+B$ の基底。
:$(5)$ $\dim (A+B)=\dim A+\dim B$.

{{begin|proof|collapsible=1|boxed=1}}
:$(1)\Longrightarrow (2).$
$A+B$ の定義より、$\Bu=\Bv+\Bw$ となる $\Bv\in A$ および $\Bw\in B$ が存在することは明らかなので、
一意性を示す。
$$\Bu=\Bv_1+\Bw_1=\Bv_2+\Bw_2$$
となる $\Bv_1, \Bv_2\in A$ および $\Bw_1, \Bw_2\in B$ をとる。このとき
$$\Bv_1-\Bv_2=\Bw_2-\Bw_1\in A\cap B$$
なので、$(1)$ より
$$\Bv_1-\Bv_2=\Bw_2-\Bw_1=\Bzr$$
つまり $\Bv_1=\Bv_2$ かつ $\Bw_1=\Bw_2$ となる。

:$(2)\Longrightarrow (3).$
$\Bv_1, \ldots, \Bv_m\in A$ が線形独立で、$\Bw_1, \ldots, \Bw_n\in B$ も線形独立だが、
$\Bv_1, \ldots, \Bv_m, \Bw_1, \ldots, \Bw_n$ は線形従属とすると、
$$a_1 \Bv_1+\cdots +a_m \Bv_m+b_1 \Bw_1+\cdots +b_n\Bw_n=\Bzr$$
となる $a_1, \ldots, a_m, b_1, \ldots, b_n\in \K$ で、そのうち少なくともひとつは $0$ ではないものがとれる。
$a_1, \ldots, a_m$ のいずれかが $0$ ではないとすると、$\Bv_1, \ldots, \Bv_m$ が線形独立と仮定したことから
$$a_1 \Bv_1+\cdots +a_m \Bv_m\neq \Bzr$$
となる。よって、
$$\Bv=a_1 \Bv_1+\cdots +a_m \Bv_m, \Bw=b_1 \Bw_1+\cdots +b_n\Bw_n$$
とおくと $\Bv\neq \Bzr$ で、
$$\Bzr=\Bv+\Bw, \Bv\in A, \Bw\in B$$
とあらわされる。しかし、明らかに $\Bzr=\Bzr+\Bzr, \Bzr\in A, \Bzr\in B$ とあらわされるので、これは $(2)$ に反する。

:$(3)\Longrightarrow (4).$
$\Bv_1, \ldots, \Bv_m$ が $A$ の基底、$\Bw_1, \ldots, \Bw_n$ が $B$ の基底ならば、
任意の $\Bv+\Bw\in A+B~(\Bv\in A, \Bw\in B)$ について、
$$\Bv=a_1 \Bv_1+\cdots +a_m \Bv_m, \Bw=b_1 \Bw_1+\cdots +b_n\Bw_n$$
となる $a_1, \ldots, a_m, b_1, \ldots, b_n\in \K$ がとれるから、
$$\Bv+\Bw=a_1 \Bv_1+\cdots +a_m \Bv_m+b_1 \Bw_1+\cdots +b_n\Bw_n$$
と、$\Bv_1, \ldots, \Bv_m, \Bw_1, \ldots, \Bw_n$ の線形結合によりあらわされる。
よって、$\Bv_1, \ldots, \Bv_m, \Bw_1, \ldots, \Bw_n$ は $A+B$ を生成する。
一方 $(3)$ より $\Bv_1, \ldots, \Bv_m, \Bw_1, \ldots, \Bw_n$ は線形独立であるから、
$\Bv_1, \ldots, \Bv_m, \Bw_1, \ldots, \Bw_n$ は $A+B$ の基底である。

:$(4)\Longrightarrow (5).$
$m=\dim A$, $n=\dim B$ とおくと、
$m$ 個のベクトルからなる$A$ の基底 $\Bv_1, \ldots, \Bv_m$ および $n$ 個のベクトルからなる $B$ の基底 $\Bw_1, \ldots, \Bw_n$ をとることができる。
このとき $(4)$ より $\Bv_1, \ldots, \Bv_m, \Bw_1, \ldots, \Bw_n$ は $A+B$ の基底なので
$$\dim (A+B)=m+n=\dim A+\dim B.$$

:$(5)\Longrightarrow (1).$
$\dim (A+B)=\dim A+\dim B$ ならば{{ref|type=Thm|label=thm41}}より
$$\dim (A\cap B)=\dim A+\dim B-\dim (A+B)=0$$
より、$A\cap B$ に属するベクトルは $\Bzr$ しかない。
{{end|proof}}

{{ref|type=Thm|label=thm42}}の条件が成り立つとき、$A+B$ を $A$ と $B$ の'''直和 (direct sum) '''といい、
$C$ が $A$ と $B$ の直和であることを
$$C=A\oplus B$$
によりあらわす。

== 体とベクトル空間 ==

本稿のベクトル空間の議論は一般の体上のベクトル空間に関する議論なので、$\R, \C$ 以外の一般の体上でも成立する。

{{theorem|type=Ex|label=ex51}}
$\C$ は $\R$ 上 $1, i$ を基底にもつベクトル空間とみることができる。

{{theorem|type=Ex|label=ex52}}
$$\Q(\sqrt{2})=\{a+b\sqrt{2}: a, b\in\Q\}$$
は $\Q$ 上のベクトル空間とみることができ、$1, \sqrt{2}$ を基底にもつ。

{{theorem|type=Ex|label=ex53}}
$\F_2=\{0, 1\}$ を
$$0+0=1+1=0, 0+1=1+0=1$$
および
$$1\times 1=1, 0\times 1=1\times 0=0\times 0=0$$
により定義される体（これは $\Z/2\Z$ に同型である）とする。
このとき、
$$\F_2^n=\{(a_1, \ldots, a_n): a_i\in \F_2\}$$
は $\F_2$ 上のベクトル空間となる。また
$$\{(a_1, \ldots, a_n)\in \F_2^n: a_1+\cdots +a_n=0\}$$
は
$$\Bu_1=(1, 0, 0, \ldots, 1), \Bu_2=(0, 1, 0, \ldots ,1), \ldots, \Bu_{n-1}=(0, 0, \ldots, 1, 1)$$
を基底にもつ$\F_2^n$ の部分空間である。ここで各 $\Bu_i ~ (i=1, \ldots, n-1)$ は $a_i=a_n=1$ かつ $j\neq i, n$ のとき $a_j=0$ により定まるベクトルである。

$\K$ が $\L$ の拡大体ならば、$\K$ 上のベクトル空間は $\L$ 上のベクトル空間とみなすことができる。
しかし、逆に $\L$ 上のベクトル空間が $\K$ 上のベクトル空間となるとは限らない。たとえば $\R^n$ は、通常のスカラー倍 $k(a_1, \ldots, a_n)=(ka_1, \ldots, ka_n)$ のもとでは $\C$ 上のベクトル空間とはならない。
一方、$\L^n$ のベクトルを $\K$ 上のベクトル空間 $\K^n$ のベクトルとみることはできる。たとえば $\R^n$ のベクトルを $\C$ 上のベクトル空間 $\C^n$ のベクトルとして考えることはできる。

$V$ が体 $\K$ 上のベクトル空間で、$\Bv_1, \ldots, \Bv_r\in V$ で、係数を体 $\L$ でとった線形結合
$$a_1\Bv_1+a_2\Bv_2+\cdots +a_r\Bv_r~(a_1, \ldots, a_r\in\L)$$
を $\Bv_1, \ldots, \Bv_r$ の $\L$ 上の線形結合という。

$\C^n$ のベクトルは $\C$ 上のベクトル空間としては線形従属でも、$\R$ 上のベクトル空間と見ると線形独立となる場合がある。たとえば $(1, 0), (i, 0)\in \C^2$ は $\C$ 上は線形従属だが、$\R$ 上は線形独立である。一方、成分がすべて実数である $\C^n$ のベクトルは $\R$ 上線形独立ならば $\C$ 上でも線形独立となる。一般には、次の事実が成り立つ。

{{theorem|type=Thm|label=thm51}}
$\K$ が $\L$ の拡大体で、$\Bu_1, \ldots, \Bu_r\in \L^n$ が $\L$ 上線形独立ならば、
$\Bu_1, \ldots, \Bu_r$ は（$\K^n$ のベクトルとみたときに） $\K$ 上も線形独立。

言い換えれば、
$x_1 \Bu_1+\cdots +x_r \Bu_r=0$ となる $x_1, \ldots, x_r\in \K$ が存在するとき、
$y_1 \Bu_1+\cdots +y_r \Bu_r=0$ となる $y_1, \ldots, y_r\in \L$ が存在する。

{{begin|proof|collapsible=1|boxed=1}}
$\L$ 上 $x_1, \ldots, x_r$ で生成されるベクトル空間の基底をとって、それを $\alpha_1, \ldots, \alpha_k$ とおく。
$x_i=\sum_{j=1}^k c_{ij} \alpha_j$ となる $c_{ij}\in \L$ がとれて、
$$x_1 \Bu_1+\cdots +x_r \Bu_r=\sum_{i=1}^r \left(\sum_{j=1}^k c_{ij} \alpha_j\right) \Bu_i=\sum_{j=1}^k \alpha_j (\sum_{i=1}^r c_{ij} \Bu_i)$$
となる。
$x_1 \Bu_1+\cdots +x_r \Bu_r=\Bzr$ だから、
$$\sum_{j=1}^k \alpha_j (\sum_{i=1}^r c_{ij} \Bu_i)$$
の各成分は $0$ である。$\alpha_1, \ldots, \alpha_k$ は $\L$ 上線形独立で、$\Bu_1, \ldots, \Bu_r\in \L^n$ だから、各 $j$ について $\sum_{i=1}^r c_{ij} \Bu_i$ の各成分は $0$、つまり各 $j$ について
$$c_{1j} \Bu_1 +\cdots +c_{rj} \Bu_r=\Bzr$$
となる。
{{end|proof}}

{{theorem|type=Thm|label=thm52}}
$\K$ が $\L$ の部分体で、$\Bu_1, \ldots, \Bu_r\in \L^n$ とする。
$\Bv\in \L^n$ が $\Bu_1, \ldots, \Bu_r$ の $\K$ 上の線形結合であらわされるとき、
$\Bv$ は $\Bu_1, \ldots, \Bu_r$ の $\L$ 上の線形結合であらわされる。
つまり $\Bv=x_1 \Bu_1+\cdots +x_r \Bu_r\in \L^n$ となる $x_1, \ldots, x_r\in \K$ が存在するとき、
$\Bv=y_1 \Bu_1+\cdots +y_r \Bu_r\in \L^n$ となる $y_1, \ldots, y_r\in \L$ が存在する。

{{begin|proof|collapsible=1|boxed=1}}
{{ref|type=Thm|label=thm31}}より $\K$ 上 $\Bu_1, \ldots, \Bu_r$ で生成される空間の基底を $\Bu_1, \ldots, \Bu_r$ の中から選ぶことができる。
これを $\Bu_i ~ (i\in I)$ とおくと、$\Bv$ は $\Bu_i ~ (i\in I)$ の線形結合であらわされる。つまり
$$\left(\sum_{i\in I} x_i^\prime \Bu_i\right)-\Bv=\Bzr$$
となる $x_i^\prime\in \K$ がとれる。よって $\Bu_i ~ (i\in I), \Bv$ は $\K$ 上線形従属だから、{{ref|type=Thm|label=thm51}}より $\L$ 上でも線形従属である。つまり
$$\left(\sum_{i\in I} c_i \Bu_i\right)+c_{r+1}\Bv=\Bzr$$
となる $c_i\in\L ~ (i\in I\cup \{r+1\})$ がとれる。$\Bu_i ~ (i\in I)$ は線形独立であるから、$c_{r+1}\neq 0$ となるので、$y_i=-c_i/c_{r+1}$ とおくと、
$$\Bv=\sum_{i\in I}y_i \Bu_i, y_i\in\L$$
となる。
{{end|proof}}

== 参考文献 ==
Serge Lang, ''Linear Algebra'', Third Edition, Undergraduate Texts in Mathematics, Springer, 1987, [https://doi.org/10.1007/978-1-4757-1949-9 doi:10.1007/978-1-4757-1949-9 (eBook of the softcover reprint version)].

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Tyamada: 直交基底と直交補空間

内積

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Tyamada: /* ノルム */

内積

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* [[数学の基礎の概要]]
* [[線形代数学]]
** [[ベクトル]]
** [[行列]]
** [[ベクトル空間]]
** [[線形写像]]
** [[内積]]
* [[微分積分学]]
* [[集合論]]
* [[位相空間]]
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=== [[代数学]] ===
* [[代数学の概要]]
* [[モノイド論]]
** [[可換モノイド論]]
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**[[Tits系、BN対]]
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** [[多項式環]]
** [[環上の加群論]]
** [[環上の加群のホモロジー代数]]
** [[多元環の表現論(箙の表現論)]]
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=== [[幾何学]] ===
* [[幾何学の概要]]
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=== [[解析学]] ===
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** [[量子力学の数学的構造に関わる関数解析]]
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* [[Hölder空間の基本事項]]

=== [[数論]] ===
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=== [[数理論理学|数理論理学・数学基礎論]] ===
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=== [[圏論]] ===
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ベクトル空間

2022-12-03T09:11:42Z

Tyamada: /* ベクトル空間の和と直和 */

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{{TOC |align=right |noautonum=1 }}
</noinclude>

{{begin |preamble}}
{{newtheorem |type=Thm |counter=0 |display='''定理''' }}
{{newtheorem |type=Conj |display='''予想''' |family=Thm }}
{{newtheorem |type=Cor |display='''系''' |family=Thm}}
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{{newtheorem |type=Lem |display='''補題''' |family=Thm }}
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{{newtheorem |type=Rem |display='''注意''' |family=Thm }}
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$\newcommand{\wenvert}[1]{\left\lvert\left\lvert#1\right\rvert\right\rvert}$
$\newcommand{\floor}[1]{\left\lfloor#1\right\rfloor}$
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$\newcommand{\relmid}[1]{\mathrel{}\middle|\mathrel{}}$
{{end |preamble}}

この記事では、一般の体上のベクトル空間の基本的な性質について解説する。

== 定義 ==
* 集合 $V$
* 体 $\K(\langle \K, +_{\K}, 0, \times_{\K}, 1\rangle)$
* 二項演算 $+:V\times V\rightarrow V$
* 二項演算 $\cdot :\K\times V\rightarrow V$
* 要素 $\Bzr\in V$

による5つ組 $\langle V, \K, +, \cdot, \Bzr\rangle$ は、次の8つの公理を満たすとき$\K$ 上の'''ベクトル空間 (vector space) '''または'''線形空間 (linear space)'''であるという。このとき $V$ を $K$-ベクトル空間、$K$-線形空間ともいう。とくに $\K=\R$ のとき、$V$ を実ベクトル空間、あるいは実線形空間という。なお、$k\in\K, \Bv\in V$ について $k\cdot\Bv$ を単に $k\Bv$ とあらわす。混同のおそれのない場合には $\K$ 上の演算 $+_{\K}$, $\times_{\K}$ も単に $+$, $\times$ であらわし、$\K$ 上の積 $a\times_{\K} b$ を単に $ab$ であらわす。

: $(V1-V4)$ $\langle V, +, \Bzr\rangle$ は[[Abel群]]である。すなわち、
:: $(V1)$ （結合律） $V$ の任意の元 $\mathbf{x},\mathbf{y},\mathbf{z}$ に対して $(\mathbf{x} + \mathbf{y}) + \mathbf{z} = \mathbf{x} + (\mathbf{y} + \mathbf{z})$ が成り立つ。
:: $(V2)$ （可換律） $V$ の任意の元 $\mathbf{x},\mathbf{y}$ に対して $\mathbf{x} + \mathbf{y} = \mathbf{y} + \mathbf{x}$ が成り立つ。
:: $(V3)$ （単位元（零ベクトル）の性質） $V$ の任意の元 $\mathbf{x}$ に対して $\mathbf{x} + \mathbf{0} = \mathbf{0} + \mathbf{x} = \mathbf{x}$ が成り立つ。
:: $(V4)$ （逆元（逆ベクトル）の存在） $V$ の任意の元 $\mathbf{x}$ に対して $V$ のある元 $\mathbf{x}'$ が存在して $\mathbf{x} + \mathbf{x}' = \mathbf{x}' + \mathbf{x} = \mathbf{0}$ を満たす。
: $(V5)$ （スカラーの加法に対する分配律） $K$ の任意の元 $a,b$ と $V$ の任意の元 $\mathbf{x}$ に対して $(a+_{\K} b)\mathbf{x} = a\mathbf{x} + b\mathbf{x}$ が成り立つ。
: $(V6)$ （ベクトルの加法に対する分配律） $K$ の任意の元 $a$ と $V$ の任意の元 $\mathbf{x},\mathbf{y}$ に対して $a(\mathbf{x}+\mathbf{y}) = a\mathbf{x} + a\mathbf{y}$ が成り立つ。
: $(V7)$ （スカラーの積とスカラー乗法の両立） $K$ の任意の元 $a,b$ と $V$ の任意の元 $\mathbf{x}$ に対して $(a\times_{\K} b)\cdot\mathbf{x} = a\cdot(b\cdot\mathbf{x})$ が成り立つ。
: $(V8)$ （スカラー乗法の単位元の存在） $V$ の任意の元 $\mathbf{x}$ に対して $1\mathbf{x} = \mathbf{x}$ が成り立つ。

$V$ 上の二項演算 $+$ をベクトルの'''加法 (addition) '''、$\cdot$ を'''スカラー乗法 (scalar multiplication)'''、$\Bzr\in V$ を'''零ベクトル (zero vector) '''という。

{{theorem|type=Prop|label=prop11}}
: $(1)$ $\Bu+\Bv=\Bu+\Bw$ ならば $\Bv=\Bw$ となる。とくに $\Bu+\Bv=\Bu$ となるベクトル $\Bv$ は零ベクトルに一致する。
: $(2)$ 任意の $\Bv\in V$ について $0\Bv=\Bzr$ が成り立つ。
: $(3)$ 任意の $k\in\K, \Bv\in V$ について $(-k)\Bv=-(k\Bv)$ が成り立つ。とくに任意の $\Bv\in V$ について $(-1)\Bv=-\Bv$ が成り立つ。

{{begin|proof|collapsible=1|boxed=1}}
: $(1)$ $\Bu+\Bv=\Bu+\Bw$ ならば $(V4)$, $(V1)$ より
$$\Bv=((-\Bu)+\Bu)+\Bv=(-\Bu)+(\Bu+\Bv)=(-\Bu)+(\Bu+\Bw)=((-\Bu)+\Bu)+\Bw=\Bw$$
となる。とくに $\Bu+\Bv=\Bu$ ならば $\Bu+\Bv=\Bu=\Bu+\Bzr$ より $\Bv=\Bzr$ となる。
: $(2)$ $(V8)$, $(V5)$, $(V3)$ より
$$0\Bv+\Bv=0\Bv+1\Bv=1\Bv=\Bv$$
であるから、$(V4)$, $(V1)$ より
$$0\Bv=0\Bv+(\Bv+(-\Bv))=(0\Bv+\Bv)+(-\Bv)=\Bv+(-\Bv)=\Bzr$$
となる。
: $(3)$ $(V5)$, $(2)$ および $(V4)$ より
$$(-k)\Bv+k\Bv=(-k+k)\Bv=0\Bv=\Bzr=-(k\Bv)+k\Bv$$
となるから $(1)$ より $(-k)\Bv=-(k\Bv)$ となる。とくに $k=1$ のとき $(V8)$ より
$(-1)\Bv=-(1\Bv)=-\Bv$ となる。
{{end|proof}}

$\Bu, \Bv\in V$ について、ベクトルの'''減法 (subtraction)''' を
$$\Bu+(-\Bv)=\Bu-\Bv$$
により定める。

{{theorem|type=Prop|label=prop12}}
: $(1)$ 任意の $\Bu, \Bv\in V$ について $\Bx+\Bv=\Bu \Longleftrightarrow \Bx=\Bu-\Bv$ が成り立つ。
: $(2)$ 任意の $a, b\in\K, \Bv\in V$ について $a\Bv-b\Bv=(a-b)\Bv$ が成り立つ。

{{begin|proof|collapsible=1|boxed=1}}
: $(1)$ $(V1)$, $(V4)$, $(V3)$ より
$$(\Bu-\Bv)+\Bv=\Bu+(-\Bv)+\Bv=\Bu+((-\Bv)+\Bv)=\Bu$$
となるから、{{ref|type=Prop|label=prop11}} の $(1)$ より
$$\Bx+\Bv=\Bu=(\Bu-\Bv)+\Bv \Longleftrightarrow \Bx=\Bu-\Bv$$
ば成り立つ。
: $(2)$ {{ref|type=Prop|label=prop11}} の $(3)$ より
$$a\Bv-b\Bv=a\Bv+(-(b\Bv))=a\Bv+(-b)\Bv=(a-b)\Bv$$
となる。
{{end|proof}}

== 部分空間 ==
$V$ が $\K$ 上のベクトル空間、$W$ が $V$ の空でない部分集合で、

:$\Bx, \By\in W$ ならば $\Bx+\By\in W$
:$\Bx\in W, r\in\K$ ならば $r\Bx\in W$

となるとき、$W$ 自身も、$V$ における加法とスカラー乗法を $W$ に制限したものにより $\K$ 上のベクトル空間となる。
この $W$ を $V$ の'''部分ベクトル空間'''、'''部分線形空間'''あるいは単に'''部分空間 (subspace) '''という。

{{theorem|type=Ex|label=ex21}}
$V=\K^n$ とし、
$$W=\{(a_1, \ldots, a_{n-1}, 0): a_1, \ldots, a_{n-1}\in\K\}$$
とおくと、$W$ は $V$ の部分空間となる。実際、
$(a_1, \ldots, a_{n-1}, 0), (b_1, \ldots, b_{n-1}, 0)\in W$ ならば
$$(a_1, \ldots, a_{n-1}, 0)+(b_1, \ldots, b_{n-1}, 0)=(a_1+b_1, \ldots, a_{n-1}+b_{n-1}, 0)\in W$$
となり、また $k\in\K$, $(a_1, \ldots, a_{n-1}, 0)\in W$ ならば
$$k(a_1, \ldots, a_{n-1}, 0)=(ka_1, \ldots, ka_{n-1}, 0)\in W$$
となる。

$V$ が体 $\K$ 上のベクトル空間のとき、$\Bv_1, \ldots, \Bv_r\in V$ について
$$a_1\Bv_1+a_2\Bv_2+\cdots +a_r\Bv_r~(a_1, \ldots, a_r\in\K)$$
を $\Bv_1, \ldots, \Bv_r$ の'''線形結合 (linear combination) '''という。

$V$ の部分集合 $S$ に属するベクトルの線形結合であらわされるベクトル全体の集合
$$\span~S=\{a_1\Bv_1+\cdots +a_r\Bv_r: k\in\N, a_1, \ldots, a_r\in\K, \Bv_1, \ldots, \Bv_r\in S\}$$
は $V$ の部分空間となる。実際 $a_1\Bv_1+\cdots +a_r\Bv_r, b_1\Bv_1+\cdots +b_r\Bv_r\in\span~S$ に対し、
$$(a_1\Bv_1+\cdots +a_r\Bv_r)+(b_1\Bv_1+\cdots +b_r\Bv_r)=(a_1+b_1)\Bv_1+\cdots +(a_r+b_r)\Bv_r\in\span~S,$$
$k\in\K, a_1\Bv_1+\cdots +a_r\Bv_r\in \span~S$ に対し
$$k(a_1\Bv_1+\cdots +a_r\Bv_r)=ka_1\Bv_1+\cdots +ka_r\Bv_r\in\span~S$$
となる。この部分空間 $\span~S$ を、$S$ の'''線形包 (linear span) '''という。

とくに $S=\{\Bv_1, \ldots, \Bv_r\}$ が有限集合であるとき、$S$ の線形包、すなわち $\Bv_1, \ldots, \Bv_r$ の線形結合であらわされる
ベクトル全体の集合を
$$\langle \Bv_1, \ldots, \Bv_r\rangle=\{a_1\Bv_1+\cdots +a_r\Bv_r: a_1, \ldots, a_r\in\K\}$$
とあらわす。これを $\Bv_1, \ldots, \Bv_r$ により生成される空間という。

また、あるベクトル空間 $U$ が
$$U=\span~S$$
の形にあらわされるとき、$S$ は $U$ を'''生成する'''という。また、$S$ を $U$ の'''生成集合 (generating set) '''という。
$S=\{\Bv_1, \ldots, \Bv_r\}$ が有限集合であるとき、つまり $U=\langle \Bv_1, \ldots, \Bv_r\rangle$ のとき
$U$ は'''有限生成 (finitely generated) '''であるといい、$\Bv_1, \ldots, \Bv_r$ を $U$ の生成元という。

{{theorem|type=Ex|label=ex22}}
$V=\K^n$ で、$\Be_1=(1, 0, \ldots, 0), \ldots, \Be_n=(0, 0, \ldots, 1)$ を
$$\Be_i=(\delta_{i1}, \ldots, \delta_{in})~(i=1, \ldots, n),$$
ただし $\delta_{ij}$ は $i=j$ のとき $1$、それ以外のとき $0$ とすることにより定めると
$\Be_1, \ldots, \Be_n$ は $V$ を生成する。実際 $\Bv=(a_1, \ldots, a_n)\in V$ は
$$\Bv=a_1\Be_1+\cdots +a_n\Be_n$$
とあらわされる。

== 線形独立性とベクトル空間の基底 ==

$V$ が体 $\K$ 上のベクトル空間のとき、$\Bv_1, \ldots, \Bv_r\in V$ が $\K$ 上'''線形独立 (linear independent) '''であるとは
$$a_1\Bv_1+a_2\Bv_2+\cdots +a_r\Bv_r=\Bzr$$
となる $a_1, \ldots, a_r\in\K$ が $a_1=\cdots =a_r=0$ しかないことをいう。$\Bv_1, \ldots, \Bv_r\in V$ が線形独立でないとき、つまり
上記の等式が成り立つが $a_1, \ldots, a_r$ の、少なくともひとつは $0$ ではないような $a_1, \ldots, a_r\in\K$ が存在するとき、
$\Bv_1, \ldots, \Bv_r\in V$ を'''線形従属 (linear dependent) '''であるという。

{{theorem|type=Ex|label=ex31}}
$V=\K^n$ について、{{ref|type=Ex|label=ex22}}における $\Be_1, \ldots, \Be_n$ は $\K$ 上線形独立である。実際
$$a_1\Be_1+a_2\Be_2+\cdots +a_n\Be_n=(a_1, \ldots, a_n)$$
だから
$$a_1\Be_1+a_2\Be_2+\cdots +a_n\Be_n=\Bzr\Longleftrightarrow a_1= \ldots =a_n=0$$
となる。

{{theorem|type=Prop|label=prop31}}
$\Bv_1, \ldots, \Bv_n\in V$ が線形独立なベクトルとする。このとき $\Bw\in V$ について、
:$\Bv_1, \ldots, \Bv_n, \Bw$ が線形従属 $\Longleftrightarrow \Bw\in\langle\Bv_1, \ldots, \Bv_n\rangle$,
言い換えれば、
:$\Bv_1, \ldots, \Bv_n, \Bw$ が線形独立 $\Longleftrightarrow \Bw\not\in\langle\Bv_1, \ldots, \Bv_n\rangle$.

{{begin|proof|collapsible=1|boxed=1}}
$\Bw\in\langle\Bv_1, \ldots, \Bv_n\rangle$ ならば
$\Bw=a_1\Bv_1+\cdots +a_n\Bv_n$ となる $a_1, \ldots, a_n\in\K$ がとれるから
$$a_1\Bv_1+\cdots +a_n\Bv_n+(-1)\Bw=\Bzr$$
より $\Bv_1, \ldots, \Bv_n, \Bw$ は線形従属。
逆に $\Bv_1, \ldots, \Bv_n, \Bw$ が線形従属のとき
$$a_1\Bv_1+\cdots +a_n\Bv_n+a_{n+1}\Bw=\Bzr$$
となる $a_1, \ldots, a_{n+1}\in\K$ で、その少なくともひとつは $0$ ではないものをとる。
$a_{n+1}=0$ のとき
$$a_1\Bv_1+\cdots +a_n\Bv_n=\Bzr$$
で、なおかつ、$a_1, \ldots, a_n$ の少なくともひとつは $0$ ではないので、
$\Bv_1, \ldots, \Bv_n$ が線形従属となって仮定に反する。よって $a_{n+1}\neq 0$ なので
$$\Bw=-\frac{1}{a_{n+1}}(a_1\Bv_1+\cdots +a_n\Bv_n)\in\langle\Bv_1, \ldots, \Bv_n\rangle.$$
{{end|proof}}

$D\subset V$ が線形独立で、なおかつ $V$ を生成するとき $D$ は $V$ の'''基底 (basis) '''であるという。
ここで $D=\{\Bv_1, \ldots, \Bv_r\}$ であるとき、$\Bv_1, \ldots, \Bv_r$ は $V$ の基底であるともいう。

{{theorem|type=Ex|label=ex32}}
$V=\K^n$ について、{{ref|type=Ex|label=ex22}}における $\Be_1, \ldots, \Be_n$ は $\K$ 上線形独立かつ $V$ を生成するから、
$V$ の基底である。

一般的には、基底のとり方は一意的ではない。たとえば $(1, 1, 0)$, $(1, 0, 1)$, $(0, 1, 1)$ も $\K^3$ の基底となる。

有限生成なベクトル空間は、有限個のベクトルからなる基底をもつ。さらに強く、つぎのように、ベクトル空間の生成集合の部分集合で基底となるものが存在することがいえる。

{{theorem|type=Thm|label=thm31}}
ベクトルの有限集合 $B=\{\Bv_1, \ldots, \Bv_n\}\subset V$ について、$B$ の線形独立な部分集合 $C$ で
$$\span~B=\span~C$$
となるものがとれる。つまり、$B$ の部分集合で $\span~B$ の基底となるものが存在する。

{{begin|proof|collapsible=1|boxed=1}}
$B$ が零ベクトルを含むとき、$B_0=B\setminus\{\Bzr\}$ とおき、そうでないとき、
$B_0=B$ とおくと、$B_0$ は $B$ の部分集合で零ベクトルを含まず、 $\span~B=\span~B_0$ となる。

$B_0=\{\Bw_1, \ldots, \Bw_m\}$ とおく。$B_0$ 自身が線形独立ならば、$C=B_0$ ととれる。$B_0$ が線形独立でないとき、
$$a_1\Bw_1+\cdots +a_m\Bw_m=0$$
かつ、少なくともひとつは $0$ でない $a_1, \ldots, a_m\in\K$ がとれる。
$a_i\neq 0$ となる $i$ をひとつとり、それを $i(1)$ とおいて、$B_1=B_0\setminus\{\Bw_{i(1)}\}$ とおく。
$$\Bw_{i(1)}=-\frac{1}{a_{i(1)}}\sum_{j\neq i(1)}a_j\Bw_j\in \span~B_1$$
であるから、$\span~B=\span~B_1$ となる。
同様にして、$B_r$ が線形独立でなければ、
$$\span(B_r\setminus\{\Bw_{i(r)}\})=\span~B_r$$
となる $i(r)$ がとれるので、$B_{m+1}=B_m\setminus\{\Bw_{i(m)}\}$ とおく。

$B_1, \ldots, B_{m-2}$ がすべて線形従属のとき、$B_{m-1}=\{\Bw_j\}$ となる $j$ がとれるが、
$\Bw_j\in B_0$ なので、$\Bw_j\neq \Bzr$ であるから、$B_{m-1}$ は線形独立である。よって、
このようにして、$B_r$ が線形独立となる $r\in\{0, 1, \ldots, m-1\}$ がとれる。このとき
$B_r$ は$B$ の線形独立な部分集合で、帰納的に
$$\span~B_r=\span~B_0=\span~B$$
となる。
{{end|proof}}

基底の基本的な性質を示すために、線形独立なベクトルの個数に関する一般的な定理を証明する。

{{theorem|type=Thm|label=thm32}}
$B=\{\Bv_1, \ldots, \Bv_n\}\subset V$, $C=\{\Bw_1, \ldots,\Bw_m\}\subset V$ がともに線形独立で
$$\Bw_1, \ldots, \Bw_m\in \span~B$$
となるとき、$m\leq n$.

{{begin|proof|collapsible=1|boxed=1}}
$m>n$ と仮定して矛盾を導く。まず、$r=1, \ldots, n$ について
$$\span~B=\span\left(\{\Bw_1, \ldots, \Bw_r\}\cup B\setminus \{\Bv_{k(1)}, \ldots, \Bv_{k(r)})\}\right)\ \ (*)$$
となる、相異なる添字 $k(1), \ldots, k(r)$ がとれることを $r$ に関する帰納法で示す。

$C$ は線形独立だから $\Bw_1\neq \Bzr$ である。よって
$$\Bw_1=\sum_{i=1}^n a_{1i}\Bv_i, a_{1k}\neq 0$$
となる $k$ をひとつとることができる。それを $k(1)$ とおく。このとき
$$\Bv_{k(1)}=\frac{1}{a_{1, k(1)}}\left(\Bw_1-\sum_{i\neq k(1)} a_{1i}\Bv_i\right)\in \span\left(\{\Bw_1\}\cup B\setminus\{\Bv_{k(1)})\}\right)$$
となるので、
$$\span~B\subset \span(\{\Bw_1\}\cup B\setminus\{\Bv_{k(1)}\})$$
となる。一方、$\Bw_1\in \span~B$ なので
$$\span(\{\Bw_1\}\cup B\setminus\{\Bv_{k(1)}\})=\span~B$$
が成り立つ。

$1\leq r\leq n-1$ かつ
$\span~B=\span\left(\{\Bw_1, \ldots, \Bw_r\}\cup B\setminus \{\Bv_{k(1)}, \ldots, \Bv_{k(r)})\}\right)$
となる、相異なる添字 $k(1), \ldots, k(r)$ が存在するとする。仮定より $r+1\leq n<m$ だから、
$$\Bw_{r+1}\in \span~B=\span\left(\{\Bw_1, \ldots, \Bw_r\}\cup B\setminus \{\Bv_{k(1)}, \ldots, \Bv_{k(r)})\}\right)$$
となる。$C$ は線形独立だから
$$\Bw_{r+1}=\sum_{j=1}^r b_{r+1, j}\Bw_j+\sum_{i\neq k(1), \ldots, k(r)} a_{r+1, i}\Bv_i, a_{r+1, k}\neq 0$$
となる $k$ が存在する（なお、$n\geq r+1$ なので、$\Bv_i$ に関する和は空和とはならない）。
それで、そのような $k$ をひとつとり、それを $k(r+1)$ とおくと
$$\Bv_{k(r+1)}=\frac{1}{a_{r+1, k(r+1)}}\left(\Bw_{r+1}-\sum_{j=1}^r b_{r+1, j}\Bw_j-\sum_{i\neq k(1), \ldots, k(r+1)} a_{r+1, i}\right)$$
より
$$\begin{split}
\span~B= & \span\left(\{\Bw_1, \ldots, \Bw_r\}\cup B\setminus \{\Bv_{k(1)}, \ldots, \Bv_{k(r)})\}\right) \\
\subset & \span\left(\{\Bw_1, \ldots, \Bw_{r+1}\}\cup B\setminus \{\Bv_{k(1)}, \ldots, \Bv_{k(r+1)})\}\right)
\end{split}$$
となる。一方、$\Bw_{r+1}\in \span~B$ なので、
$$\span~B=\span\left(\{\Bw_1, \ldots, \Bw_{r+1}\}\cup B\setminus \{\Bv_{k(1)}, \ldots, \Bv_{k(r+1)})\}\right)$$
が成り立つ。

ここから、帰納法により $r=1, \ldots, n$ について $(*)$ が成り立つ相異なる添字 $k(1), \ldots, k(r)$ がとれることがわかる。
とくに
$$\span~B=\span\left(\{\Bw_1, \ldots, \Bw_n\}\cup B\setminus \{\Bv_{k(1)}, \ldots, \Bv_{k(n)})\}\right)$$
となるが、$k(1), \ldots, k(n)$ は相異なる添え字だから、それは $1, \ldots, n$ の並び替えでなければならず、
$$\span~B=\langle \Bw_1, \ldots, \Bw_n\rangle$$
となる。$m>n$ なので、
$$\Bw_{n+1}\in \span~B=\langle \Bw_1, \ldots, \Bw_n\rangle$$
となって $C$ が線形独立であるという仮定に矛盾する。よって $m\leq n$ でなければならない。
{{end|proof}}

このことから、基底を構成するベクトルの個数は基底のとり方によらずベクトル空間によってのみ一意的に定まるという、
基底に関する最も重要な事実がただちに導かれる。

{{theorem|type=Thm|label=thm33}}
$B=\{\Bv_1, \ldots, \Bv_n\}\subset V$, $C=\{\Bw_1, \ldots,\Bw_m\}\subset V$ がともに線形独立で
$$\span~B=\span~C$$
となるとき、$m=n$.

{{begin|proof|collapsible=1|boxed=1}}
$B, C$ がともに線形独立で、$\Bv_1, \ldots, \Bv_n\in\span~C$, $\Bw_1, \ldots, \Bw_m\in\span~B$ だから、
{{ref|type=Thm|label=thm32}} を $B, C$ を入れ替えて適用して、$m\leq n$ かつ $n\leq m$、
つまり $m=n$ がわかる。
{{end|proof}}

$S$ が有限集合で $W$ の基底ならば、$\# S$ は $S$ のとり方によらず、一意的に定まる。
これを $W$ の $\K$ 上の'''次元 (dimension) '''といい、$\dim_\K V$ によりあらわす。

{{theorem|type=Ex|label=ex33}}
$V=\K^n$ について、{{ref|type=Ex|label=ex22}}における $\Be_1, \ldots, \Be_n$ は $V$ の基底だから、
$\dim_\K V=n$ となる。このことから、$\K^n$ の他の基底も、$n$ 個のベクトルからなることがわかる。

さらに、{{ref|type=Thm|label=thm31}} より、{{ref|type=Thm|label=thm32}} において $B$ が線形独立であるという仮定は撤去できる。

{{theorem|type=Thm|label=thm34}}
$C=\{\Bw_1, \ldots,\Bw_m\}\subset V$ が線形独立で
$$\Bw_1, \ldots, \Bw_m\in \langle \Bv_1, \ldots, \Bv_n\rangle$$
となるとき、$m\leq n$.

{{begin|proof|collapsible=1|boxed=1}}
{{ref|type=Thm|label=thm31}} より $B\subset \{\Bv_1, \ldots, \Bv_n\}$ かつ
$\span~B=\langle \Bv_1, \ldots, \Bv_n\rangle$ となる線形独立な集合 $B$ が存在する。
$\Bw_1, \ldots, \Bw_m\in\span~B$ となるから、{{ref|type=Thm|label=thm32}} より、
$$m\leq \# B\leq n$$
となる。
{{end|proof}}

このことから、$V$ の次元について、つぎの$2$つの事実が導かれる。

{{theorem|type=Thm|label=thm35}}
$V$ の生成元の個数の最小値は $\dim V$ と一致する。

{{begin|proof|collapsible=1|boxed=1}}
$\Bv_1, \ldots, \Bv_n$ が $V$ を生成するベクトルで、個数が最小となるものとする。
このとき $\Bv_1, \ldots, \Bv_n$ は線形独立である。というのは $\Bv_1, \ldots, \Bv_n$ が線形従属ならば
{{ref|type=Thm|label=thm31}} より $\span~B=\langle\Bv_1, \ldots, \Bv_n\rangle=V$ となる
$\{\Bv_1, \ldots, \Bv_n\}$ の線形独立な部分集合 $B$ がとれるが、$\{\Bv_1, \ldots, \Bv_n\}$ は線形従属なので
ため、$B$ は $\{\Bv_1, \ldots, \Bv_n\}$ の真部分集合でなければならず、$n$ の最小性に反するからである。
よって、$\Bv_1, \ldots, \Bv_n$ は $V$ の基底なので $\dim V=n$ となる。

逆に、$\dim V=n$ で $\Bv_1, \ldots, \Bv_n$ を $V$ の基底とし、
$\Bw_1, \ldots, \Bw_m$ が $V$ を生成するとすると、
$\Bv_1, \ldots, \Bv_n$ は線形独立でなおかつ
$$\Bv_1, \ldots, \Bv_n\in \langle\Bw_1, \ldots, \Bw_m\rangle$$
なので、{{ref|type=Thm|label=thm34}}より$m\geq n$ となる。
もちろん $\Bv_1, \ldots, \Bv_n$ は $V$ を生成するから、$V$ の生成元の個数の最小値は $n$ に一致する。
{{end|proof}}

{{theorem|type=Thm|label=thm36}}
$V$ の部分集合で、線形独立なものの個数の最大値は $\dim V$ と一致する。

{{begin|proof|collapsible=1|boxed=1}}
$V$ の部分集合で、線形独立なものの個数の最大値を $n$ とし、$\Bv_1, \ldots, \Bv_n$ を、$V$ の線形独立なベクトルとする。
このとき、$\Bv_1, \ldots, \Bv_n$ は $V$ の基底となる。実際、任意の $\Bw\in V$ について、仮定より
$n+1$ 個のベクトル $\Bv_1, \ldots, \Bv_n, \Bw$ は線形従属となるから、{{ref|type=Prop|label=prop31}}より
$\Bw\in\langle\Bv_1, \ldots, \Bv_n\rangle$ となる。よって、$\dim V=n$ となる。

逆に、$\dim V=n$ で $\Bv_1, \ldots, \Bv_n$ を $V$ の基底とすると、$\Bv_1, \ldots, \Bv_n$ は線形独立、かつ
$\Bw_1, \ldots, \Bw_m\in V$ が線形独立ならば{{ref|type=Thm|label=thm34}}より
$m\leq n$ となる。よって、$V$ の部分集合で、線形独立なものの個数の最大値は $n$ に一致する。
{{end|proof}}

よって、ベクトル空間の次元と同じ個数のベクトルの組については、次に示すように、線形独立であることと生成元であることが同値である。

{{theorem|type=Thm|label=thm37}}
ベクトル空間 $V$ の次元が $n$ であるとき、つぎの条件は同値。

:$(1)$ $\Bv_1, \ldots , \Bv_n$ は $V$ の基底。
:$(2)$ $\Bv_1, \ldots , \Bv_n$ は線型独立。
:$(3)$ $\Bv_1, \ldots , \Bv_n$ は $V$ を生成する。

{{begin|proof|collapsible=1|boxed=1}}
:$(2)\Longrightarrow (1).$
$\Bv_1, \ldots, \Bv_n\in V$ が線形独立とする。
このとき、$\Bv_1, \ldots, \Bv_n$ が $V$ の生成元でなければ、$\langle\Bv_1, \ldots, \Bv_n\rangle$ に属さない $V$ のベクトル $\Bv_{n+1}$ が存在するが、
{{ref|type=Prop|label=prop31}}より
$\Bv_1, \ldots, \Bv_{n+1}$ が線形独立となって、{{ref|type=Thm|label=thm36}}に矛盾する。

:$(3)\Longrightarrow (1).$
$\Bv_1, \ldots, \Bv_n\in V$ が生成元であるとする。
このとき、$\Bv_1, \ldots, \Bv_n$ が線形従属ならば
$$a_1\Bv_1+\cdots +a_n\Bv_n=\Bzr, a_i\neq 0$$
となる $a_1, \ldots, a_n\in\K$ が存在するので、
$$\Bv_i=\sum_{1\leq j\leq n, j\neq i}-\frac{a_j}{a_i}\Bv_j$$
となるから、$\Bv_1, \ldots, \Bv_n$ から $\Bv_i$ を取り除いたものも $V$ の生成元となるが、これは
{{ref|type=Thm|label=thm35}}に矛盾する。

:$(1)\Longrightarrow (2)(3).$
$\Bv_1, \ldots, \Bv_n$ が $V$ の基底ならば、次元の定義から $n=\dim V$ となる。
{{end|proof}}

また、有限次元ベクトル空間の線形独立なベクトルは基底へと拡張できることも重要な事実である。

{{theorem|type=Thm|label=thm38}}
$V$ が有限次元のベクトル空間で、
$\Bv_1, \ldots, \Bv_k\in V$ が $\K$ 上線形独立なベクトルのとき、
$\Bv_1, \ldots, \Bv_k$ を含む $V$ の基底が存在する。

{{begin|proof|collapsible=1|boxed=1}}
$n=\dim V$ を $V$ の次元とする。

一般に、$\Bv_1, \ldots, \Bv_r~(k\leq r<n)$ を、$\Bv_1, \ldots, \Bv_k$ を含む $\K$ 上線形独立なベクトルとする。
このとき、$\Bv_1, \ldots, \Bv_{r+1}$ が $\K$ 上線形独立なベクトルとするように $\Bv_{r+1}$ をとれる。実際、
$r<n=\dim V$ なので {{ref|type=Thm|label=thm35}}より $\langle\Bv_1, \ldots, \Bv_r\rangle$ は $V$ を生成しない。よって、
$\langle\Bv_1, \ldots, \Bv_r\rangle$ に属さない $V$ のベクトル $\Bv_{r+1}$ がとれる。
{{ref|type=Prop|label=prop31}}より $\langle\Bv_1, \ldots, \Bv_{r+1}\rangle$ は線形独立である。

よって、$V$ の $n$ 個のベクトル $\Bv_1, \ldots, \Bv_n$ で、$\K$ 上線型独立なものがとれるが、
$n=\dim V$ なので{{ref|type=Thm|label=thm37}}より $\Bv_1, \ldots, \Bv_n$ は $V$ の基底である。
{{end|proof}}

== ベクトル空間の和と直和 ==

ベクトル空間 $V$ の部分空間の共通部分は次に示すように $V$ の部分空間であることがすぐにわかるが、
$V$ の部分空間の合併集合は一般には部分空間とはならない。たとえば $V=\K^3$ について
$$A=\{(x, 0, 0): x\in\K\}, B=\{(0, y, 0): y\in\K\}$$
とおくと、$(1, 0, 0), (0, 1, 0)\in A\cup B$ だが $(1, 1, 0)\not\in A\cup B$ となる。
一方で、
$$C=\{(x, y, 0): x, y\in\K\}$$
とおくと、$C$ は $V$ の部分空間で、$A, B$ はともに $C$ の部分空間となる。

$V$ の部分空間 $A$, $B$ について、$A$ のベクトルと $B$ のベクトルの和であらわされるベクトル全体の集合を
$A+B=\{\Bu+\Bv: \Bu\in A, \Bv\in B\}$
とあらわす。これを $A, B$ の'''和 (sum) '''という。

{{theorem|type=Thm|label=prop41}}
$A, B$ がともに $V$ の部分空間であるとき、
$A+B$, $A\cap B$ はともに $V$ の部分空間である。

{{begin|proof|collapsible=1|boxed=1}}
$\Bw_1, \Bw_2\in A+B$ とすると、
$$\Bw_1=\Bu_1+\Bv_1, \Bw_2=\Bu_2+\Bv_2$$
となる $\Bu_1, \Bu_2\in A$, $\Bv_1+\Bv_2\in B$ が存在する。よって
$$\Bw_1+\Bw_2=(\Bu_1+\Bv_1)+(\Bu_2+\Bv_2)=(\Bu_1+\Bu_2)+(\Bv_1+\Bv_2)\in A+B$$
となる。また、$\Bw\in A$, $k\in\K$ について
$\Bw=\Bu+\Bv$ となる $\Bu\in A, \Bv\in B$ をとると
$$k\Bw=k(\Bu+\Bv)=(k\Bu)+(k\Bv)\in A+B$$
となる。これらのことから、$A+B$ は $V$ の部分空間であることがわかる。

また、
$\Bu, \Bv\in A\cap B$ のとき、
$\Bu+\Bv\in A$ かつ $\Bu+\Bv\in B$ より $\Bu+\Bv\in A\cap B$ となる。
また $\Bv\in A\cap B$ と $k\in\K$ に対して
$k\Bv\in A$ かつ $k\Bv\in B$ なので $k\Bv\in A\cap B$ となる。
これらのことから、$A\cap B$ も $V$ の部分空間であることがわかる。
{{end|proof}}

{{theorem|type=Ex|label=ex31}}
$A=\{(x, 0, 0): x\in\K\}$, $B=\{(0, y, 0): y\in\K\}$, $C=\{(x, y, 0): x, y\in\K\}$
とおくと $C=A+B$ となる。
また $A=\{(x, y, 0): x, y\in\K\}$, $B=\{(x, 0, z): y\in\K\}$ とおくと
$\K^3=A+B$ となる。

より一般に、ベクトル空間 $V$ の部分空間 $A_1, A_2, \ldots, A_n$ について、和を
$$A_1+A_2+\cdots +A_n=\{\Bv_1+\Bv_2+\cdots +\Bv_n: \Bv_i\in A_i~(i=1, \ldots, n)\}$$
と定めると、これも $V$ の部分空間となり、
$$A_1+A_2+A_3=A_1+(A_2+A_3)=(A_1+A_2)+A_3$$
などがすぐにわかる。

部分空間の和と共通部分の次元については、次の関係式が成り立つ。

{{theorem|type=Thm|label=thm41}}
$V$ がベクトル空間、$A$, $B$ が $V$ の有限次元の部分空間であるとき、
$$\dim(A+B)+\dim(A\cap B)=\dim A+\dim B.$$

{{begin|proof|collapsible=1|boxed=1}}
$A$, $B$ が有限次元であるから{{ref|type=Thm|label=thm36}}より、$A\cap B$ も有限次元である。
そこで $A\cap B$ の基底を一組とって、それを $\Bu_1, \ldots, \Bu_m$ とおく。

{{ref|type=Thm|label=thm38}}より、$\Bu_1, \ldots, \Bu_m$ を含む $A$ の基底
$\Bu_1, \ldots, \Bu_{m+n}$ が存在する。同様に、
$\Bu_1, \ldots, \Bu_m$ を含む $B$ の基底 $\Bu_1, \ldots, \Bu_m, \Bu_{m+n+1}, \ldots , \Bu_{m+n+\ell}$ が存在する。

$\Bu_1, \ldots, \Bu_{m+n+\ell}$ は $A+B$ の基底となることを示す。
任意の $\Bv+\Bw\in A+B~(\Bv\in A, \Bw\in B)$ について、
$$\Bv=a_1 \Bu_1+\cdots +a_{m+n}\Bu_{m+n}, \Bw=b_1 \Bu_1+\cdots +b_m\Bu_m+b_{m+1}\Bu_{m+n+1}+\cdots +b_{m+\ell}\Bu_{m+n+\ell}$$
とおくと、
$$\Bv+\Bw=(a_1+b_1) \Bu_1+\cdots +(a_m+b_m)\Bu_m+a_{m+1}\Bu_{m+1}+\cdots +a_{m+n}\Bu_{m+n}b_{m+1}\Bu_{m+n+1}+\cdots +b_{m+\ell}\Bu_{m+n+\ell}$$
とあらわされるので、$A+B$ は $\Bu_1, \ldots, \Bu_{m+n+\ell}$ により生成される。

そこで、$\Bu_1, \ldots, \Bu_{m+n+\ell}$ が線形独立であることを示す。
$$k_1 \Bu_1+\cdots +k_{m+n+ell}\Bu_{m+n+\ell}=\Bzr$$
となる $k_1, \ldots, k_{m+n+\ell}\in\K$ をとる。
$$\Bw=k_{m+n+1} \Bu_{m+n+1}+\cdots +k_{m+n+ell}\Bu_{m+n+\ell}$$
とおくと、
$$\Bw=-(k_1 \Bu_1+\cdots +k_{m+n}\Bu_{m+n})\in A$$
より、$\Bw\in A\cap B$ であるから、
$$\Bw=\ell_1 \Bu_1+\cdots +\ell_m \Bu_m$$
となる $\ell_1, \ldots, \ell_m\in\K$ がとれる。よって
$$\ell_1 \Bu_1+\cdots +\ell_m \Bu_m-(k_{m+n+1} \Bu_{m+n+1}+\cdots +k_{m+n+ell}\Bu_{m+n+\ell})=\Bzr$$
となる。$\Bu_1, \ldots, \Bu_m, \Bu_{m+n+1}, \ldots , \Bu_{m+n+\ell}$ は $B$ の基底である線形独立であるから
$k_{m+n+1}, \ldots, k_{m+n+\ell}$ がすべて $0$ となる。よって
$$k_1 \Bu_1+\cdots +k_{m+n}\Bu_{m+n}=\Bzr$$
となるが、$\Bu_1, \ldots, \Bu_{m+n}$ は $A$ の基底であり線形独立であるから $k_1, \ldots, k_{m+n}$ もすべて $0$ となる。
よって、$k_1, \ldots, k_{m+n+\ell}$ はすべて $0$ でなければならない。
このことから $\Bu_1, \ldots, \Bu_{m+n+\ell}$ が線形独立であることがわかる。

よって、$\Bu_1, \ldots, \Bu_{m+n+\ell}$ は $A+B$ の基底なので
$$\dim (A+B)=m+n+\ell$$
となり、
$$\dim(A+B)+\dim(A\cap B)=2m+n+\ell=\dim A+\dim B$$
となる。
{{end|proof}}

{{theorem|type=Ex|label=ex42}}
$A=\{(x, y, 0): x, y\in\K\}$, $B=\{(x, 0, z): y\in\K\}$, $C=\{(x, 0, 0): x\in\K\} とおくと
$A+B=\K^3, A\cap B=C$ となり、一方で
$$\dim (A+B)+\dim (A\cap B)=\dim(\K^3)+\dim C=4=\dim A+\dim B$$
となる。

{{ref|type=Thm|label=thm41}}、より具体的に上記の例からわかるように、$\dim (A\cap B)>0$ のときには、和の次元と次元の和は一致しない。
一方で、和の次元と次元の和が一致する条件について、つぎの事実がわかる。

{{theorem|type=Thm|label=thm42}}
$A, B$ がともに $V$ の有限次元の部分空間であるとき、つぎの条件は同値である。
:$(1)$ $A\cap B=\{\Bzr\}$.
:$(2)$ 任意の $\Bu\in A+B$ は、$\Bv+\Bw, \Bv\in A, \Bw\in B$ の形に一意的にあらわせる。
:$(3)$ $\Bv_1, \ldots, \Bv_m\in A$ が線形独立で、$\Bw_1, \ldots, \Bw_n\in B$ も線形独立ならば、
$\Bv_1, \ldots, \Bv_m, \Bw_1, \ldots, \Bw_n$ も線形独立。
:$(4)$ $\Bv_1, \ldots, \Bv_m$ が $A$ の基底、$\Bw_1, \ldots, \Bw_n$ が $B$ の基底ならば $\Bv_1, \ldots, \Bv_m, \Bw_1, \ldots, \Bw_n$ は $A+B$ の基底。
:$(5)$ $\dim (A+B)=\dim A+\dim B$.

{{begin|proof|collapsible=1|boxed=1}}
:$(1)\Longrightarrow (2).$
$A+B$ の定義より、$\Bu=\Bv+\Bw$ となる $\Bv\in A$ および $\Bw\in B$ が存在することは明らかなので、
一意性を示す。
$$\Bu=\Bv_1+\Bw_1=\Bv_2+\Bw_2$$
となる $\Bv_1, \Bv_2\in A$ および $\Bw_1, \Bw_2\in B$ をとる。このとき
$$\Bv_1-\Bv_2=\Bw_2-\Bw_1\in A\cap B$$
なので、$(1)$ より
$$\Bv_1-\Bv_2=\Bw_2-\Bw_1=\Bzr$$
つまり $\Bv_1=\Bv_2$ かつ $\Bw_1=\Bw_2$ となる。

:$(2)\Longrightarrow (3).$
$\Bv_1, \ldots, \Bv_m\in A$ が線形独立で、$\Bw_1, \ldots, \Bw_n\in B$ も線形独立だが、
$\Bv_1, \ldots, \Bv_m, \Bw_1, \ldots, \Bw_n$ は線形従属とすると、
$$a_1 \Bv_1+\cdots +a_m \Bv_m+b_1 \Bw_1+\cdots +b_n\Bw_n=\Bzr$$
となる $a_1, \ldots, a_m, b_1, \ldots, b_n\in \K$ で、そのうち少なくともひとつは $0$ ではないものがとれる。
$a_1, \ldots, a_m$ のいずれかが $0$ ではないとすると、$\Bv_1, \ldots, \Bv_m$ が線形独立と仮定したことから
$$a_1 \Bv_1+\cdots +a_m \Bv_m\neq \Bzr$$
となる。よって、
$$\Bv=a_1 \Bv_1+\cdots +a_m \Bv_m, \Bw=b_1 \Bw_1+\cdots +b_n\Bw_n$$
とおくと $\Bv\neq \Bzr$ で、
$$\Bzr=\Bv+\Bw, \Bv\in A, \Bw\in B$$
とあらわされる。しかし、明らかに $\Bzr=\Bzr+\Bzr, \Bzr\in A, \Bzr\in B$ とあらわされるので、これは $(2)$ に反する。

:$(3)\Longrightarrow (4).$
$\Bv_1, \ldots, \Bv_m$ が $A$ の基底、$\Bw_1, \ldots, \Bw_n$ が $B$ の基底ならば、
任意の $\Bv+\Bw\in A+B~(\Bv\in A, \Bw\in B)$ について、
$$\Bv=a_1 \Bv_1+\cdots +a_m \Bv_m, \Bw=b_1 \Bw_1+\cdots +b_n\Bw_n$$
となる $a_1, \ldots, a_m, b_1, \ldots, b_n\in \K$ がとれるから、
$$\Bv+\Bw=a_1 \Bv_1+\cdots +a_m \Bv_m+b_1 \Bw_1+\cdots +b_n\Bw_n$$
と、$\Bv_1, \ldots, \Bv_m, \Bw_1, \ldots, \Bw_n$ の線形結合によりあらわされる。
よって、$\Bv_1, \ldots, \Bv_m, \Bw_1, \ldots, \Bw_n$ は $A+B$ を生成する。
一方 $(3)$ より $\Bv_1, \ldots, \Bv_m, \Bw_1, \ldots, \Bw_n$ は線形独立であるから、
$\Bv_1, \ldots, \Bv_m, \Bw_1, \ldots, \Bw_n$ は $A+B$ の基底である。

:$(4)\Longrightarrow (5).$
$m=\dim A$, $n=\dim B$ とおくと、
$m$ 個のベクトルからなる$A$ の基底 $\Bv_1, \ldots, \Bv_m$ および $n$ 個のベクトルからなる $B$ の基底 $\Bw_1, \ldots, \Bw_n$ をとることができる。
このとき $(4)$ より $\Bv_1, \ldots, \Bv_m, \Bw_1, \ldots, \Bw_n$ は $A+B$ の基底なので
$$\dim (A+B)=m+n=\dim A+\dim B.$$

:$(5)\Longrightarrow (1).$
$\dim (A+B)=\dim A+\dim B$ ならば{{ref|type=Thm|label=thm41}}より
$$\dim (A\cap B)=\dim A+\dim B-\dim (A+B)=0$$
より、$A\cap B$ に属するベクトルは $\Bzr$ しかない。
{{end|proof}}

{{ref|type=Thm|label=thm42}}の条件が成り立つとき、$A+B$ を $A$ と $B$ の'''直和 (direct sum) '''といい、
$C$ が $A$ と $B$ の直和であることを
$$C=A\oplus B$$
によりあらわす。

== 参考文献 ==
Serge Lang, ''Linear Algebra'', Third Edition, Undergraduate Texts in Mathematics, Springer, 1987, [https://doi.org/10.1007/978-1-4757-1949-9 doi:10.1007/978-1-4757-1949-9 (eBook of the softcover reprint version)].

ベクトル空間

2022-12-03T09:08:00Z

Tyamada: ベクトル空間の基底

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2022-11-18T06:59:54Z

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== 各分野のOverview ==
=== [[数学の基礎]] ===
* [[数学の基礎の概要]]
* [[線形代数学]]
** [[ベクトル]]
** [[行列]]
** [[ベクトル空間]]
** [[線形写像]]
* [[微分積分学]]
* [[集合論]]
* [[位相空間]]
* [[圏論]]

=== [[代数学]] ===
* [[代数学の概要]]
* [[モノイド論]]
** [[可換モノイド論]]
* [[群論]]
**[[Coxeter系]]
**[[Tits系、BN対]]
* [[環論]]

** [[多項式環]]
** [[環上の加群論]]
** [[環上の加群のホモロジー代数]]
** [[可換環論の基礎]]
** [[Hopf代数]]
**[[冪等代数]]
* [[体論]]
** [[Galoisの基本定理への道]]

=== [[幾何学]] ===
* [[幾何学の概要]]
* [[位相空間論]]
* [[位相幾何]]
* [[微分幾何]]
* [[代数幾何学|代数幾何]]
* [[数論幾何]]
* [[代数的トポロジー]]
* [[力学系]]
* [[幾何学的群論]]

=== [[解析学]] ===
*[[関数解析の基礎]]

=== [[数論]] ===
* [[多重ゼータ値]]

=== [[数理論理学|数理論理学・数学基礎論]] ===
* [[数理論理学の基礎1]]
* [[証明論]]
* [[モデル理論]]
* [[計算理論]]
* [[公理的集合論]]

=== [[圏論]] ===
*[[Kan拡張]]
*[[モノイダル圏]]

== テキスト形式のコンテンツ ==
* [[入門テキスト「位相空間論」]]
* [[速習コース「位相空間論の基礎事項」]]
* [[入門テキスト「単体複体の二元体係数ホモロジー」]]
* [[関数解析の基礎]]
** [[ネットによる位相空間論]]
** [[距離空間の位相の基本的性質]]
** [[入門テキスト「測度と積分」]]
** [[速習「線形空間論」]]
** [[入門テキスト「位相線形空間」]]
** [[Euclid空間における微積分1]]
** [[Euclid空間における微積分2]]
** [[ベクトル解析]]
** [[複素解析の初歩]]
** [[超関数とFourier変換、Sobolev空間]]
** [[Banach環とC*-環のスペクトル理論]]
** [[Hilbert空間上の作用素論]]
** [[微分方程式の初歩]]
** [[局所コンパクト群のユニタリ表現]]
** [[量子力学の数学的構造に関わる関数解析]]
* [[Hölder空間の基本事項]]
*
* [[数理論理学の基礎1]]
** [[数理論理学の基礎・命題論理]]
** [[数理論理学の基礎：等式論理]]
* [[多重ゼータ値入門～連結和法の観点から～]]
*
* [[入門テキスト「群論の基礎」]]

== 各分野の参考書 ==
* [[集合・論理の参考書]]
* [[位相空間論の参考書]]
* [[代数学の参考書]]
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== 演習問題解答シリーズ ==
著作権等への考え方については[[数学書の演習問題の解答集]]を参照。

* [[演習問題解答：Engelking「General Topology」]]
* [[演習問題解答：Matsumura 「Commutative Ring Theory」]]
* [[演習問題解答：Hirsch「微分トポロジー」]]
* [[演習問題解答：雪江明彦「代数学１群論入門」]]
* [[演習問題解答：Jech「Set Theory」]]

== カテゴリ ==
* [[:Category:位相空間論]]

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== 外部リンク ==
* [https://onlinemathcontest.com/ Online Math Contest]
* [https://jxiv.jst.go.jp/index.php/jxiv Jxiv]
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ベクトル空間

2022-11-16T09:13:00Z

Tyamada: /* 参考文献 */

ベクトル空間

2022-11-16T09:08:48Z

Tyamada: 線形独立と基底

利用者:Tyamada/sandbox

2022-11-16T08:20:25Z

Tyamada:

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== ユーザー Sandbox ページ ==
このページはユーザーサンドボックスです．必要に応じて編集・閲覧権限を制限した状態で作成して下書きなどに利用してください．

ベクトル空間

2022-11-11T09:39:09Z

Tyamada: 修正

ベクトル空間

2022-11-11T09:32:48Z

Tyamada: 命題を追加、部分空間の定義を追加

アフィン代数的集合の基礎

2022-11-05T09:34:39Z

Tyamada: 例5を修正

代数幾何学

2022-11-05T09:30:56Z

Tyamada: /* 代数幾何学 */

== 代数幾何学 ==
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代数幾何学において、もっとも基本的な対象は、多変数多項式の零点、あるいは複数の多変数多項式の共通の零点全体の集合としてあらわされるアフィン代数的集合である。

* [[アフィン代数的集合]]
** [[アフィン代数的集合の基礎]]

== 関連項目 ==

アフィン代数的集合の基礎

2022-11-05T09:25:34Z

アフィン代数的集合

2022-11-05T09:20:10Z

Tyamada: 一部修正

利用者:Tyamada/sandbox

2022-11-05T07:42:16Z

Tyamada: ページの作成:「<noinclude> {{TOC |align=right |noautonum=1 }} </noinclude> {{begin |preamble}} <!-- 任意のユーザー名に閲…」

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== ユーザー Sandbox ページ ==
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体上有限生成環

2022-11-04T08:56:26Z

Tyamada: 定理2を追加

多項式環

2022-11-04T07:42:50Z

Tyamada: /* 多変数の多項式 */ 勘違いしていたので修正

有理関数体

2022-10-30T09:43:22Z

体上有限生成環

2022-10-30T09:32:49Z

Tyamada: 証明を一部修正

多項式環

2022-10-30T09:31:06Z

Tyamada: /* 多変数の多項式 */

多項式環

2022-10-30T09:06:26Z

Tyamada: 有理関数体にリンク

整域

2022-10-30T09:03:21Z

Tyamada: /* 基本的事実 */

$\newcommand{\mathmod}[1]{\ \left(\mathrm{mod}\ #1\right)}$
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__MATHJAX2__
[[Category:環論]]
== 定義 ==
環 $R$ が整域であるとは、任意の $a\neq 0$ について $ab=0$ ならば $b=0$ が成り立つことをいう。

== 基本的事実 ==
可換環 $R$ が整域であるための必要十分条件は $(0)$ が $R$ における素イデアルとなることである。
実際、$R$ が整域である $\Longleftrightarrow$ $ab=0$ ならば $a=0$ または $b=0$ $\Longleftrightarrow$ $ab\in (0)$ ならば $a\in (0)$ または $b\in (0)$ となる。

より一般に、また、可換環 $R$ のイデアル $I$ について、 $R/I$ が整域であるための必要十分条件は $I$ が $R$ における素イデアルとなることである。実際、
$R/I$ が整域である $\Longleftrightarrow$ $ab\equiv 0 \mathmod{I}$ ならば $a\equiv 0\mathmod{I}$ または $b\equiv 0\mathmod{I}$ $\Longleftrightarrow$ $ab\in I$ ならば $a\in I$ または $b\in I$ となる。

$f\colon R \to S$ が可換環 $R$ から可換環 $S$ への準同型写像ならば、[[環論の基礎2：イデアルと剰余環#.E5.AE.9A.E7.90.86_2.25_.28.E7.92.B0.E3.81.AE.E6.BA.96.E5.90.8C.E5.9E.8B.E5.AE.9A.E7.90.86.29|準同型定理]]より $\Img f$ は $R/\Ker f$ に同型だから、
$\Img f$ が整域であることは、$\Ker f$ が素イデアルとなることと同値である。とくに、$S$ が整域ならば $\Img f\subset S$ も整域だから、$\Ker f$ は素イデアルとなる。

== ホモロジー代数的な解釈 ==
環 $R$ と $a \in R$ について、$R$ 上の $a$ 倍写像を $a_R$ と表記することにすると、$a_R:R\to R$ は単射であることがわかる。従って、以下の図式
<nowiki>
\begin{xy}
\xymatrix {
0 \ar[r] & R \ar[r]^{a_R} & R \ar[r] & R/aR \ar[r] & 0
}
\end{xy}
</nowiki>
は短完全列である。

この定義を一般の(左-)$R$ 加群 $M$ について拡張する。$R$ 加群 $M$ と $a\in R$ について、$M$ 上の $a$ 倍写像を $a_M$ と表記することにする。このとき、$a \in R$ が $M$-正則元、もしくは $M$ の'''非零因子'''であるとは、以下の図式
<nowiki>
\begin{xy}
\xymatrix {
0 \ar[r] & M \ar[r]^{a_M} & M \ar[r] & M/aM \ar[r] & 0
}
\end{xy}
</nowiki>
が短完全列であることをいう。任意の $0\neq a\in R$ について、$a$ が $M$ の非零因子であるとき、$M$ は '''$R$-捻れを持たない'''という。

== 関連項目 ==
* [[Koszul複体]]
* [[素イデアル]]

体上有限生成環

2022-10-24T08:41:52Z

有限体:有限体の構造

2022-10-24T08:38:00Z

Tyamada: 代数閉包

可換環論の基礎

2022-10-24T08:13:33Z

Tyamada: /* 環のクラス */

[[Category:環論]]

== 可換環および可換環の準同型の定義 ==
=== 可換環 ===
==== 可換環の定義 ====
''可換環''とは、[[集合]] $A$ と $A$ の上で閉じた2つの[[二項演算]] $+$、$\times$ 、 $A$ の2つの要素$0$、$1$の五つ組 $\langle A, +, 0, \times, 1\rangle$ で、次の三つの公理を満たすものをいう。
* (A1)（加法に関する条件）~
三つ組 $\langle A, +, 0\rangle$ は可換群を為す。具体的に書き下すと、次の四つの性質を全て満たすことである。
** $A$ の任意の元 $a$、$b$、$c$ について、$(a + b) + c = a + (b + c)$ が成立する。
** $A$ の任意の元 $a$ について、$a + 0 = 0 + a = a $ が成立する。
** $A$ の任意の元 $a$ について、$ a + b = b + a = 0 $ を満たす $A$ の元 $b$ が存在する。
** $A$ の任意の元 $a$、$b$について、$a+b=b+a$ が成立する。
* (A2)（乗法に関する条件）~
三つ組 $\langle A, \times, 1\rangle$ は可換モノイドを為す。具体的に書き下すと、次の三つの性質を全て満たすことである。
** $A$ の任意の元 $a$、$b$、$c$ について、$(a \times b) \times c = a \times (b \times c)$ が成立する。
** $A$ の任意の元 $a$ について、$a \times 1 = 1 \times a = a $ が成立する。
** $A$ の任意の元 $a$、$b$について、$a \times b = b \times a$ が成立する。
* (A3)（[[分配律]]）~
$A$ の任意の元 $a$、$b$、$c$ について、$a \times (b + c) = a\times b + a\times c$ および $(a + b) \times c = a\times c + b\times c$ が成立する。

==== 可換環の定義に関する補足 ====
* 定義のうち、加法に関する条件(A1)は次のように弱めることができる：
(A1)'三つ組 $\langle A, +, 0\rangle$ は群を為す。
** 証明：$A$ の任意の元 $a$、$b$ をとる。このとき $ (a+1) \times (b+1) $ の展開は、分配律の用い方によって次の二通りが考えられる： $ (a+1) \times (b+1) = a \times (b+1) + 1 \times (b+1) = a \times b + a \times 1 + 1 \times b + 1 \times 1 = a \times b + a + b + 1 $ および $ (a+1) \times (b+1) = (a+1) \times b + (a+1) \times 1 = a \times b + 1 \times b + a \times 1 + 1 \times 1 = a \times b + b + a + 1 $ 。この両者は一致するので、$ a \times b + a + b + 1 = a \times b + b + a + 1 $ が得られ、左から$ - a \times b $を加え、右から $ -1 $を加えると $ a+b = b+a $が得られる。

* 定義のうち、分配律に関する条件は、乗法の可換性に留意すると一方の式の成立が分かれば他方が得られる。

* 可換環 $ \langle A,+,0,\times,1\rangle$ について、 $A$ を台集合と、$+$を加法と、$0$を零元と、$\times$を乗法と、$1$を単位元という。

* 可換環は、正式には $ \langle A,+,0,\times,1\rangle$ という五つ組のことであるが、通常は $A$ 以外の四つの構造を暗黙のうちに固定されたものとみなし、可換環 $ \langle A,+,0,\times,1\rangle$ と呼ぶかわりに、簡単に「可換環 $A$ 」と呼ぶことが多い。

** 可換環 $A$ と書くとき、可換環 $A$ と $A$ の台集合とを同一視し、 $a$ が $A$ の台集合の元であることを $ a \in A $ と書くことがある。ただし、混乱が生じかねない場合は $A$ の台集合を $\underline{A}$ と書くことにする。

** 可換環 $A$ と書くとき、可換環 $A$ の加法を単に $+$ と書くことがある。ただし、混乱が生じかねない場合は $+_A$ のように$A$の加法であることを明示することとする。零元、乗法、単位元に対しても同様の約束をするものとし、 $A$ のものでることを明示するときはそれぞれ $0_A$、$ \times_A$、$1_A$ と書く。

* 可換環の定義から乗法単位元を存在を省いたものを可換擬環という。可換擬環に対して「乗法単位元が存在する」という性質を弱めた条件に関する研究もいくつか知られている。詳しくは[[可換擬環における乗法単位元]]を参照されたい。

=== 可換環の準同型 ===
可換環の準同型とは、可換環の構造を保つ写像のことである。ここで可換環の構造とは四つの演算のことであり、構造を保つとはそれぞれの演算について $A$ で計算してから $f$ で写すことと $f$ で写してから $B$ で計算することとが一致することをいう。
可換環は集合とその上の演算のみで既定されているので、二つの可換環 $A$、$B$ の間に全単射 $f$ であって構造を保つものがあれば、$A$ の元 $a$ と $f$ で移した $B$ の元 $f(a)$ とを同一視することで二つの可換環は( $f$ を通して)同じものだと見做すことができる。

このように、構造を保つ写像を考えることでその写像を通して二つの可換環の間の関係性を考えらえるようになる点で重要である(ここで、二つの可換環が可換環として同じであることは以下で定義するように同型というが、同型であるという性質は二つの可換環の間の一つの関係性を表していることに注意されたい)。
正式な定義は次の通り。

==== 可換環の準同型の定義 ====
$A$、$B$ を可換環とする。
$f$ が $A$ から $B$ への''可換環の準同型''(''可換環の射''ともいう)とは、 $f$ は$A$ から $B$ への[[写像]]であって、次の二つの公理を満たすことをいう。
* (Am1)（加法に関する条件）~
$f$は$\langle A, +_A, 0_A\rangle$ から $\langle B, +_B, 0_B \rangle$ への可換群の準同型である。具体的に書き下すと、次の二つの性質を全て満たすことである。
** $A$ の任意の元 $a$、$b$について、$f(a +_A b)=f(a) +_B f(b)$が成立する。
** $f(0_A)=0_B$が成立する。
* (Am2)（乗法に関する条件）~
$f$は$\langle A, \times, 1\rangle$ から $\langle B, \times, 1 \rangle$ への可換モノイドの準同型である。具体的に書き下すと、次の二つの性質を全て満たすことである。
** $A$ の任意の元 $a$、$b$について、$f(a \times_A b)=f(a) \times_B f(b)$が成立する。
** $f(1_A)=1_B$が成立する。

可換環の準同型は、二つの可換環の間の相対的な関係を調べる上で不可欠である。
この相対的な関係を調べるという意味では、最も簡単だが重要な例として部分と剰余という二つの概念がある。
これらは古典的には具体的な構成方法を以て定義されるが、
寧ろ二つの可換環の間にある準同型写像に力点を置いた方が理論全体がすっきりする。
次の補足に於いてこの二つの概念を定義し、
続くイデアルと環の構成に於いて具体的な構成方法を説明する。

==== 可換環の準同型の定義に関する補足 ====

* 可換環の準同型の定義に於いて二つの条件をそれぞれ具体的に書き下したが、実は $f(0_A)=0_B$が成立するという条件は不要である。このことは[[群]]のページに詳しいため、ここでは証明を省略する。

**

* $A$、$B$、$C$を可換環とし、$f\colon A \rightarrow B$、$g\colon B \rightarrow C$を可換環の準同型とするとき、合成写像 $g \circ f$ が考えられる。このとき $g \circ f$ は $A$ から $C$ への可換環の準同型であることが分かる。

* $A$ を可換環とするとき、$A$ から $A$ への恒等写像 $\mathop{\mathrm{id}}_A$ は可換環の準同型である。

** この二つの事実から、全ての可換環を対象とし、全ての可換環の準同型を射とする圏 $\mathbf{CRing}$ が定まる。本稿に於いては可換環の圏に関してはこれ以上言及しない。興味のある方は[[可換環の為す圏]]を参照されたい。

=== 部分，剰余，同型 ===
==== 部分と剰余の定義 ====
** $A$、$B$ を可換環とするとき、$A$ から $B$ への単射準同型写像 $f$ が存在するとき、組 $\langle A, f \rangle$ を $B$ の部分という。この定義は最初は分かりにくいが、部分環の項目で詳しく説明しているのでそちらを参照されたい。

** $A$、$B$ を可換環とするとき、$A$ から $B$ への全射準同型写像 $f$ が存在するとき、組 $\langle B, f \rangle$ を $A$ の剰余という。この定義は最初は分かりにくいが、剰余環の項目で詳しく説明しているのでそちらを参照されたい。

==== 同型の定義 ====

* 可換環の準同型 $f$ は台集合の間の写像であるため、単射、全射、全単射などの性質が考えられる。単射であるとき単射準同型、全射であるとき全射準同型、全単射であるとき同型という。

** $A$、$B$ を可換環とするとき、$A$ から $B$ への同型写像 $f$ が存在するとき、 $A$ と $B$ とは同型であるという。

* 可換環の準同型 $f$ が同型であるとき、すなわち $f$ が全単射であるとき、写像の性質より $f$ の逆写像 $f^{-1}$ が存在する。この逆写像 $f^{-1}$は可換環の準同型であり、特にこれも全単射であるため同型である。

* 可換環 $A$、$B$ が同型であるとき $A \cong B$ と書く。二つの可換環が同型であるという関係は同値関係を定める。

** 証明：可換環 $A$、$B$ が $A \cong B$を満たすとき同型写像 $f$が存在し、 $f^{-1}$ が $B$ から $A$ への同型写像を与えるので $B \cong A$ が得られ、対象律を満たす。 $A$ を可換環とするとき $\mathop{\mathrm{id}}_A$ は $A$ から $A$ への可換環の準同型であり、写像 $\mathop{\mathrm{id}}_A$ は全単射であるから $A \cong A$ が得られ、$\cong$は反射律を満たす。可換環 $A$、$B$ が $A \cong B$を満たすとき同型写像 $f$が存在し、可換環 $B$、$C$ が $B \cong C$を満たすとき同型写像 $g$が存在する。このとき合成写像 $g \circ f$ は $A$ から $C$ への同型写像であり、 $A \cong B$ が得られる。よって推移律を満たす。

== 基本的な環の構成とイデアル ==

基本的な可換環の構成方法である部分環および剰余環を導入する。
特に剰余環を定義するためにイデアルを導入する。

=== 部分環 ===
部分環とは、環の構造と整合している部分集合のことである。
代表的な例は、有理数全体 $\mathbb{Q}$ の部分集合としての整数全体 $\mathbb{Z}$ や、実数係数多項式全体 $\mathbb{R}[x]$ の中の実数全体 $\mathbb{R}$ などが挙げられる。

==== 部分環の定義 ====

$A$ を可換環とするとき、
$A$ の部分環とは、$A$ の[[部分集合]] $B$ であって次の四つの公理を満たすことである。
* (S1) $B$ の任意の元 $b_1$、$b_2$ について、$b_1 +_A b_2$ は $B$ の元である。
* (S2) $B$ は $0_A$を元に持つ。
* (S3) $B$ の任意の元 $b_1$、$b_2$ について、$b_1 \times_A b_2$ は $B$ の元である。
* (S4) $B$ は $1_A$を元に持つ。

この定義ではただの部分集合を部分環と呼ぶことを疑問に思われるやもしれないが、補足にて説明するように部分環には自然に元の可換環から演算が誘導されて環を為す。この演算を備えた新たな可換環も部分環と呼ぶ。
最初からこの構造を備えた環を部分環と呼ぶと定めてもよいが、部分集合を指定した際に部分環か否かを判定する上で条件や構造が少ない方が楽であるため本稿ではこの定義を採用する。

=== 部分環が自然に可換環と見做せること ===

* $B$ が可換環 $A$ の部分環であるとき、$B$ 上の二項演算 $+_B$ と $\times_B$ とを $b_1 +_B b_2 \colon = b_1 +_A b_2$、$b_1 \times_B b_2 \colon = b_1 \times_A b_2$ と定義すると、五つ組 $ \langle B, +_B, 0_B, \times_B, 1_B\rangle $ は可換環であり、包含写像 $\iota_B \colon B \rightarrow A $は可換環の準同型写像である。
以下、部分集合 $B$ が $A$ の部分環であるときは、特に断らずにこれらの演算を備えた可換環として扱うことがある。

=== 部分環と部分との同値性 ===
* $B$ が可換環 $A$ の部分環であるとき、組 $\langle B, \iota_B \rangle$ は $A$ の部分である。

* 組 $\langle B, f \rangle$ が $A$ の部分であるとき、$f$ の像 $ \mathop{\mathrm{Im}}(f) \colon= \{ a \in A | \text{ $B$の元 $b$ であって $f(b)=a$ を満たすものが存在する } \} $ は $A$ の部分環である。
** 証明：部分環の公理を満たすことを確かめる。(S1)については、$\mathop{\mathrm{Im}}(f)$ の元 $a_1$、$a_2$ を任意にとるとき $\mathop{\mathrm{Im}}(f)$ の定義より $f(b_i)=a_i$ を満たす $B$ の元 $b_1$、$b_2$ が存在する。これらを取ると、環の部分の定義より $f$ 可換環の準同型写像であり、準同型写像の定義より $a_1+a_2=f(b_1)+f(b_2)=f(b_1+b_2)$ と計算できる。よって $\mathop{\mathrm{Im}}(f)$ の定義より $b_1+b_2$ が $\mathop{\mathrm{Im}}(f)$ の元であることが得られる。(S_2)については、$f$ が可換環の準同型写像であることに留意すると $f(0_B)=0_A$ が成立し、$\mathop{\mathrm{Im}}(f)$ の定義より$0_A$ は $\mathop{\mathrm{Im}}(f)$ の元であることが得られる。(S_3)、(S_4)は同様である。

=== イデアル ===
イデアルとは、可換環 $A$ の和で閉じていて、かつ可換環 $A$ の元を掛ける作用で閉じている部分集合のことである。
代表的な例は、整数全体の為す可換環 $\mathbb{Z}$ に対して定まる $n$ の倍数全体の部分集合 $n\mathbb{Z}$ である。
歴史的にもイデアルはこの例の持つ性質を抽象したものと言って差し支えない。

=== イデアルの定義 ===
$A$ を可換環とするとき、
$A$ の''イデアル''とは、$A$の[[部分集合]] $I$ で、次の三つの公理を満たすものをいう。
* (I1)（加法に関する条件）~
三つ組 $\langle I, +_A, 0_A\rangle$ は可換群を為す。換言すれば、$I$ は包含写像 $\iota\colon I \rightarrow A$ が可換群の準同型であるような可換群の構造が入る。
* (I2) (乗法に関する条件) ~
$A$ の任意の元 $a$ および $I$ の任意の元 $i$ について、$A$ に於ける積 $a \times_A i$ が再び $I$ の元になる。

イデアルの重要性の一側面を垣間見るために、整数全体の為す環 $\mathbb{Z}$ のイデアルを決定してみよう。
$\mathbb{Z}$ のイデアルは次に証明するように倍数全体の集合と書かれるため、イデアル全体は $\mathbb{Z}$ の乗法の構造を比較的よく反映していると考えられる。
この事情は一般の可換環に対してもある程度正しく、実際、可換環のイデアル論の一部は加法を忘却した[[バイノイド]](吸収元付き可換モノイド)の構造のみを用いて十分に議論できることが知られている。

==== $\mathbb{Z}$ のイデアルの決定 ====

''命題''

$I$ が $\mathbb{Z}$ のイデアルであるならば、とある整数 $n$ を用いて $I = n \mathbb{Z}$ と書かれる。
逆に、$\mathbb{Z}$ の元 $n$ を用いて $I = n \mathbb{Z}$ と書かれる部分集合は $\mathbb{Z}$ のイデアルである。

''証明''

$\mathbb{Z}$ のイデアル $I$ を任意にとる。
このとき $I=\{0\}$ であれば $I=0\mathbb{Z}$ が成立する。
そうでないとき $I$ に属する $0$ でない元の中で最小のもの $n$ が取れ、これを用いて $I$ は $n\mathbb{Z}$ と書かれる。
実際、$n\mathbb{Z}\subset I$ の成立はイデアルの定義と $n$ の取り方より明らかであるため、
$I$ の任意の元 $i$ について、$i\in n\mathbb{Z}$ が成立することを証明しよう。
$i$ を $n$ で割ることで $i=qn+r$ かつ $0 \leq r < n$ を成立せしめる整数 $q$、$r$ が取れる。
$I$ がイデアルであることと $n$ が $I$ の元であることとより $qn \in I$ が従い、
これと $i \in I$ とを併せると $r = i - qn$ が $I$ の元であることが分かる。
ここで $n$ の最小性に注意すると $r$ は $0$ でなければならないため $i=qn$ となり、$i$ が $n\mathbb{Z}$の元であると分かる。
以上より $I \subset n\mathbb{Z}$ が得られ、
$I = n\mathbb{Z}$ が証明された。

==== 可換環の準同型の核 ====
==== 部分と核 ====
==== イデアルの生成 ====
==== 単項イデアルと有限生成イデアル ====

=== イデアルの定義に関する補足 ===
* $A$ を可換環とすると、$A$ 自身は $A$ のイデアルである。このイデアルを自明なイデアルという。イデアル $I$ が自明なイデアルであることを、単に自明であるという。自明でないイデアルのことを真のイデアルともいう。
* $A$ を可換環とすると、$\{0_A\}$ は$A$のイデアルである。このイデアルを零イデアルという。
* 可換環 $A$ のイデアル $I$ が自明であることと $1$ を元に持つことは同値である。特に真のイデアルは部分環ではない。

=== 剰余環の定義 ===
剰余環とは、可換環のイデアルを一つ固定するとき、固定されたイデアルを一元に潰して得られる新たな環のことである。
剰余環の典型的な例を説明する為に、[[初等整数論]]に於ける次の事実を思い出そう。
* $n$ の倍数の差を除いて一致する二つの整数を合同であると言い、合同関係と整数の加法および乗法とは $a \equiv a'$ ならば $a+b \equiv a'+b$ および $ab \equiv a'b$ が成立するという意味で整合している。

既に $n\mathbb{Z}$ が $\mathbb{Z}$ のイデアルの代表例であることを述べたが、この事実に注意すると上述した事実は次のように言い換えられる。
* イデアル $n\mathbb{Z}$ に属する元の差を除いて一致する二つの整数を合同と呼び、
イデアルから定まる合同関係 $\equiv$ による剰余集合 $A/\equiv$ は($A$ の演算を用いて自然に演算が定まり)新たな可換環を定める。

このようにして得られる新たな環を $\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$ と書き、
$\mathbb{Z}$ の $n\mathbb{Z}$ による剰余環という。

いま得られた可換環 $\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$ は集合としてはどういったものであるかをもう少し観察する。
まず合同関係 $\equiv$ の定義と剰余集合の構成方法とに注意すると、
剰余環 $\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$ の元 $x$ は $\mathbb{Z}$ の部分集合であり、
$x$ の元 $a$ を一つとるとき $x = \{ b\in\mathbb{Z} \mid a \equiv b \} = \{ a+nq \mid q\in\mathbb{Z} \}$ と書き下すことができる。
この集合はさながらイデアル $n\mathbb{Z}$ を元 $a$ で“平行移動”したように見るので $\{ a+nq \mid q\in\mathbb{Z} \} = a+n\mathbb{Z}$ と書くと約束すれば、
剰余環は $\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}=\{ n\mathbb{Z}, 1+n\mathbb{Z}, \ldots, n-1+n\mathbb{Z} \}$ と書き下すことができる。

以上の構成を注意深く観察すると、一般の可換環 $A$ とそのイデアル $I$ に対して全く同様の方法で新たな可換環を構成することができる。これを $A$ の $I$ による剰余環と呼び、 $A/I$ と書く。
この節の最初には「イデアルを一元に潰して得られる新たな環」と書いたが、$\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$ の例で最後に書いた通り、
正確にはイデアルを一元に潰すと同時にもとの可換環 $A$ の元 $a$ を足して“平行移動”したような集合 $\{ a+i | i \in I \}$ も一元に潰すことになる。

[[群論]]に於ける基本的な概念である[[剰余群]]を既に知っている場合は、
より精密に次のように説明することができる。
次の項目にて剰余群に関する知識を仮定せずに証明するため、この部分は読み飛ばしても構わない。
* 可換環 $A$ を加法に関する群と見做したときの部分群 $I$ を与えると、可換群の任意の部分群は正規であるため剰余群 $A/I$ が考えられる。
剰余環は剰余群 $A/I$ に可換環 $A$ の積から誘導された演算を備えた環である。
剰余環を構成するには剰余群 $A/I$ に積が誘導される必要があり、これは剰余群の各元である $A$ の部分集合に $A$ の如何なる元を掛けても再び同じ集合に含まれるときに(またそのときに限り)可能である。
このような $A$ の部分集合をイデアルといい、誘導される積と単位元とを備えた剰余群を剰余環という。

[[剰余群]]の項目で行われる議論も重複を厭わず、剰余環を構成する。

==== 剰余環の台集合の定義 ====

''定義''
$A$ を可換環とし、$I$ を $A$ のイデアルとするとき、
$a-b \in I$ であるとき、またそのときに限り $a \equiv_{I} b$ と書く。
これにより定まる $A$ 上の関係 $\equiv_{I}$ をイデアル $I$ を法とする $A$ 上の合同関係 $\equiv_{I}$ という。
$a \equiv_{I} b$ であることを $a \equiv b ( \mod I )$ と書くこともある。

''命題''
$A$ を可換環とし、$I$ を $A$ のイデアルとする。
このとき $\equiv_{I}$ は $A$ 上の同値関係である。

''証明''
反射律を示す。
$A$ の元 $a$ を任意にとるとき、
$a-a=0\in I$ であるから $a\equiv_{I}a$ が成立する。

対称律を示す。
$A$ の元 $a$、$b$ であって $a \equiv_{I} b$ を満たすものを任意にとる。
このとき $\equiv_{I}$ の定義より $a-b\in I$ が成立し、
$I$ はイデアルであるから $b-a=-(a-b)\in I$ が成立する。
よって $\equiv_{I}$ の定義より $b \equiv_{I} a$ が得られる。

推移律を示す。
$A$ の元 $a$、$b$、$c$ であって $a \equiv_{I} b$ および $b \equiv_{I} c$ を満たすものを任意にとる。
このとき $\equiv_{I}$ の定義より $a-b\in I$ および $b-c\in I$ が成立し、
$I$ はイデアルであるから $a-c=-(a-b)-(b-c)\in I$ が成立する。
よって $\equiv_{I}$ の定義より $a \equiv_{I} c$ が得られる。
以上より同値関係であることが示された。

''定義''
$A$ を可換環とし、$I$ をイデアルとする。
このとき $A/{\equiv_I}$ を $A/I$ と書き、
剰余集合に付随する全射を本節では $\pi\colon A \rightarrow A/I$ と書く。
ここで $\pi$ は文脈によって異なる意味で用いることがあることに注意されたい。

更に $A/{\equiv_I}$ の元 $x$ の代表元を $a$ とするとき、
$x=[a]$ と書く。
全く同じことであるが、$A$ の元 $a$ に対して $\pi(a)=[a]$ と書くといってもよい。

==== 剰余環の台集合上で加法から誘導される二項対応 $\overline{+}$ の定義 ====
''定義''
$A$ を可換環とし、$I$ をイデアルとする。
このとき $A/I$ の元 $[a]$、$[b]$に対して、
$[a]\overline{+}[b]=[a+b]$と定義する。
これにより $A/I$ 上の対応 $\overline{+}$ が定まった。

''命題''
$A/I$ 上の対応 $\overline{+}$ は写像である。

''証明''
$A/I$ の元 $[a]=[a']$、$[b]=[b']$ を任意にとる。
示すべきことは $[a]\overline{+}[b]=[a']\overline{+}[b']$ である。
このとき $\equiv_{I}$ の定義より $a'-a\in I$ および $b'-b\in I$ が成立し、
$a'=a+i$ および $b'=b+j$ なる $I$ の元 $i$、$j$ が取れる。
よって $a'+b'=(a+i)+(b+j)=a+b+(i+j)$ と計算でき、
$i$、$j$ の取り方より $I$ がイデアルであることに留意すると $i+j$ は $I$ の元であることが分かる。
よって $a+b \equiv_I a'+b'$ が成立し、
$[a]\overline{+}[b]=[a+b]=[a'+b']=[a']\overline{+}[b']$ を得る。

''補足''
このように剰余集合上の写像を定義する際は、
しばしば代表元を用いて対応を定義し、それが写像であることを示すという手順を取る。
この議論はよく用いられるため、対応という言葉を明に出さずに「二項演算$\overline{+}$ をこのように定義するとwell-definedである」と言い表すことがある。
本稿では全て対応を定義した上で写像であることを示すという手順を取るが、
可換環論のより進んだ記事に於いてはここで説明したwell-definedという用語を用いることがある。

==== 剰余環の加法が $[0_A]$ を零元として持つ可換群であること ====

''命題''
三つ組 $\langle A/I,\overline{+},[0_A] \rangle$ は可換群である。

''証明''
演算の可換性を示す。
$A/I$ の元 $[a]$、$[b]$ を任意にとるとき、$[a]\overline{+}[b]=[a+b]=[b+a]=[b]\overline{+}[a]$ が成立するのでよい。

このように $A$ が加法について可換群であったことに留意すると演算の結合性、$[0_A]$ が単位元であることは同様に示される。
逆元の存在については、
$A/I$ の元 $[a]$ を任意にとるとき、
$[a]\overline{+}[-a]=[a+(-a)]=[0_A]$ が成立するので $[-a]$ が $[a]$ の逆元であると分かる。
以上より可換群を為すことが示された。

==== 剰余環の台集合上で乗法から誘導される二項対応 $\overline{\times}$ の定義 ====

''定義''
$A$ を可換環とし、$I$ をイデアルとする。
このとき $A/I$ の元 $[a]$、$[b]$に対して、
$[a]\overline{\times}[b]=[a \times b]$と定義する。
これにより $A/I$ 上の対応 $\overline{\times}$ が定まった。

''命題''
$A/I$ 上の対応 $\overline{\times}$ は写像である。

''証明''
$A/I$ の元 $[a]=[a']$、$[b]=[b']$ を任意にとる。
示すべきことは $[a]\overline{\times}[b]=[a']\overline{\times}[b']$ である。
このとき $\equiv_{I}$ の定義より $a'-a\in I$ および $b'-b\in I$ が成立し、
$a'=a+i$ および $b'=b+j$ なる $I$ の元 $i$、$j$ が取れる。
よって $a'b'=(a+i)(b+j)=ab+aj+bi+ij$ と計算でき、
$I$、$j$ の取り方より $I$ がイデアルであることに留意すると $aj+bi+ij$ は $I$ の元であることが分かる。
よって $ab \equiv_I a'b'$ が成立し、
$[a]\overline{\times}[b]=[ab]=[a'b']=[a']\overline{\times}[b']$ を得る。

==== 剰余環の加法が $[1_A]$ を単位元として持つ可換モノイドであること ====

''命題''
三つ組 $\langle A/I,\overline{+},[1_A] \rangle$ は可換群である。

''証明''
演算の可換性を示す。
$A/I$ の元 $[a]$、$[b]$ を任意にとるとき、$[a]\overline{\times}[b]=[a \times b]=[b \times a]=[b]\overline{\times}[a]$ が成立するのでよい。

このように $A$ が乗法について可換モノイドであったことに留意すると演算の結合性、$[1_A]$ が単位元であることは同様に示される。
以上より可換モノイドを為すことが示された。

==== 五つ組 $\langle A/I, \overline{+}, [0_A], \overline{\times}, [1_A] \rangle$ が可換環を為すこと ====

''命題''
五つ組 $\langle A/I,\overline{+},[0_A],\overline{\times},[1_A] \rangle$ は可換環である。

''証明''
加法について可換群を為すことと、
乗法について可換モノイドを為すこととは既に示した。
以下では両側分配律が成り立つことを示すが、
乗法の可換性より片側分配律のみを示せば十分である。

$A$ の元 $[a]$、$[b]$、$[c]$ を任意に取るとき、
$[a]\overline{\times}([b]\overline{+}[c])=[a]\overline{\times}[b+c]=[a \times (b+c)]=[a\times b + a\times c]=[a\times b]\overline{+}[a\times c]=[a]\overline{\times}[b]\overline{+}[a]\overline{\times}[c]$ と計算される。
以上より可換環を為すことが示された。

=== 剰余環の定義の補足 ===
==== 剰余環の普遍性 ====
==== 剰余と剰余環との同値性 ====
==== イデアルの対応(剰余環 ver.) ====

== この時点で導入できる環のクラス ==
単項イデアル環、Noether環、Artin環の概念は非可換環にも拡張されるが、それには左イデアルと右イデアルを区別する必要がある。

=== 体 ===
=== 整域 ===

可換環 $R$ が単位元をもち、$R$ の $0$ 以外の任意の$2$要素 $a, b$ について、その積も $ab\neq 0$ となるとき、
$R$ を'''整域 (domain)'''という。この条件は、可換環 $R$ が単位元をもち、
$R$ の$2$要素 $a, b$ の積が $ab=0$ となるとき、$a, b$ の少なくとも一方が $0$ となるとも言い換えられる。

=== 単項イデアル環 ===

すべてのイデアルが単項イデアルである環を'''単項イデアル環 (principal ideal ring)'''という。
単項イデアル環である整域を'''単項イデアル整域 (principal ideal domain / PID)'''という。
単項イデアル整域について、詳しくは[[単項イデアル整域]]を参照。

=== 可換Noether環 ===
すべてのイデアルが有限生成である環を'''Noether環 (Noetherian ring)'''という。詳しくは[[Noether環]]を参照。

=== 可換Artin環 ===

== イデアル論を用いない基本的な環の構成 ==
=== 本節で扱える構成と扱えない構成 ===
=== 直積環 ===
==== 直積環の定義 ====
==== 直積環のイデアル ====
==== 直積環を取る操作で保たれる性質 ====
=== 多項式環 ===
==== 多項式環の定義 ====
==== 多項式環のイデアル ====
==== 直積環を取る操作で保たれる性質 ====
==== Hilbertの基底定理 ====
== 素イデアルと極大イデアル ==
=== 整域と体 ===
=== 素イデアルと極大イデアルの定義 ===
=== 素イデアルの定義と極大イデアルの定義の補足 ===
=== 素イデアルの対応(剰余環 ver.) ===
=== 極大イデアルの対応(剰余環 ver.) ===
== 局所化 ==
=== 可換環の局所化の定義 ===
==== 有理数体の構成 ====
==== 積閉集合の定義 ====
==== 積閉集合の生成 ====
==== 整域の場合の局所化の台集合 $AS^{-1}$ の構成(同値関係のwell-defined性) ====
==== 一般の場合の局所化の台集合 $AS^{-1}$ の構成(同値関係のwell-defined性) ====
==== 局所化の台集合 $AS^{-1}$ 上で加法から誘導される二項対応 $\overline{+}$ の定義 ====
==== 局所化の二項対応 $\overline{+}$ が写像としてwell-definedであること ====
==== 局所化の加法が $0_A/1_A$ を零元として持つ可換群であること ====
==== 局所化の台集合 $AS^{-1}$ 上で乗法から誘導される二項対応 $\overline{\times}$ の定義 ====
==== 局所化の二項対応 $\overline{\times}$ が写像としてwell-definedであること ====
==== 局所化の加法が $1_A/1_A$ を単位元として持つ可換モノイドであること ====
==== 五つ組 $\langle AS^{-1}, \overline{+}, 0_A/1_A, \overline{\times}, 1_A/1_A \rangle$ が可換環を為すこと ====
=== 局所化の定義の補足 ===
==== 局所化の普遍性 ====
==== イデアルの対応(局所化 ver.) ====
==== 素イデアルの対応(局所化 ver.) ====
==== 極大イデアルの対応(局所化 ver.) ====

== 環のクラス ==

* [[体論|体]]
* [[整域]]
* [[多項式環]]
* [[Noether環]]
* [[Artin環]]
* [[単項イデアル整域]]
* [[体上有限生成環]]
* [[局所環]]
* [[付値環]]

== 参考文献 ==
W.W. McCune. Single axioms for groups and Abelian groups with various operations. Journal of Automated Reasoning 10.1 1993: 1-13.

== ''リンク'' ==

URLやメールアドレスは自動的にリンクになります
* URL -- http://example.org/
* メールアドレス -- foo@example.org
* URLが各種画像ファイルであればそのまま表示します
** http://pukiwiki.osdn.jp/image/b_pukiwiki.official.png

体論

2022-10-24T07:42:57Z

Tyamada: 用語の追加

[[Category:体論]]

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{{TOC |align=right |noautonum=1 }}
</noinclude>
== 体論 ==
'''体論（Field Theory）'''とは、体と呼ばれる代数系に対する理論である。体は大変基本的な対象であり、数論や（可換）環論、代数幾何学など関連する諸分野において理論を打ち立てる基礎と位置付けられることが多い。帰結として、多くの分野にまたがって体に関する事実や結果が存在する。体論に独自の理論としては、方程式の可解性や古代ギリシャ以来の作図問題に応用を持つ[[Galois理論]]が名高い。

== 体の定義 ==
可除な可換環を'''体'''（Field）という。より正確には、加法 $+$ 及び乗法 $\cdot$ という２つの二項演算が定義された集合 $K$ であって、以下の条件をみたすものをいう：
# $(K,+)$ はアーベル[[群]]である。この群 $(K,+)$ の単位元を $0$ と表す。
# $(K,\cdot)$ は可換[[モノイド]]である。このモノイド $(K,\cdot)$ の単位元を $1$ と表す。
# 加法 $+$ と乗法 $\cdot$ は分配則をみたす、すなわち任意の $a$, $b$, $c \in K$ に対し以下が成り立つ :$$ a \cdot (b+c) = a \cdot b + a \cdot c,~~(a+b) \cdot c = a \cdot c + b \cdot c. $$
# $K \setminus \{0\}$ の任意の要素は乗法 $\cdot$ に関する逆元をもつ、すなわち任意の $a \in K \setminus \{0\}$ に対し、$a \cdot b = b \cdot a = 1$ を満たす $b \in K$ が存在する。この $b$ は $a$ に対して一意的であり、$a^{-1}$ と表す。
# $0 \ne 1$。

=== 定理（体は整域である） ===
体 $K$ の２要素 $x \ne 0$, $y \ne 0$ に対し、$xy \ne 0$。

{{begin |proof |collapsible=1 |display=証明 }}
背理法による。$xy = 0$ と仮定しよう。$x \ne 0$ なので逆元 $x^{-1}$ が存在し、これを両辺に乗じると $$ 0 = x^{-1} \cdot 0 = x^{-1} xy = y.$$これは $y \ne 0$ に矛盾するので $xy \ne 0$ である。
{{end |proof |qed=証明終 }}

== 典型的な例 ==
* 有理数の全体 $\mathbb{Q}$、実数の全体 $\mathbb{R}$、複素数の全体 $\mathbb{C}$ はいずれも通常の加法と乗法により体をなす。$\mathbb{Q}$ を''有理数体''、$\mathbb{R}$ を''実数体''、$\mathbb{C}$ を''複素数体''と呼ぶ。
* 素数 $p$ に対し、剰余環 $\mathbb{F}_p := \mathbb{Z}/p\mathbb{Z}$ は体をなす。この体は $p$ 個の要素からなるので ''$p$ 元体''と呼ぶ。
* より一般に、有限個の要素からなる体を[[有限体]]と呼ぶ。
* $T$ を体 $K$ 上の不定元とするとき、$K$ 係数の $T$ の有理式の全体 $$ K(T) := \left\{ \dfrac{f(T)}{g(T)}~\middle|~f(T), g(T) \in K[T],~g(T) \ne 0 \right\} $$ は体をなす。この体を $K$ 上の''有理関数体''または''有理式体''と呼ぶ。
($K(T)$ は多項式環 $K[T]$ の局所化として実現され、局所化に定まる加法及び乗法を演算として体をなす。)

== 極大イデアルと体 ==

体と密接に関連するのは[[極大イデアル]]の概念である。

=== 定理（体のイデアル） ===
可換環 $K \ne 0$ に対して、以下は同値である：
# $K$ は体である。
# $K$ のイデアルは $\{0\}$ と $K$ 自身のちょうど２個である。

{{begin |proof |collapsible=1 |display=証明 }}
単位元 $1$ を含む可換環 $K$ のイデアル $I$ が $K$ しかないことに注意する。実際、$1 \in I$ のとき、任意の $x \in K$ に対し $x = x \cdot 1 \in I$ が成り立つ。

1.$\Rightarrow$2. $I \ne \{ 0 \}$ を $K$ のイデアルとする。$x \in I$ を $0$ でない要素とすれば、逆元 $x^{-1}$ が $K$ に存在するから $1 = x x^{-1} \in I$、特に $I = K$。

2.$\Rightarrow$1. $0$ でない要素 $x \in K$ が生成する単項イデアル $xK$ は $\{ 0 \}$ ではないので $xK = K$、すなわち $1 \in xK$。ゆえに $xy = 1$ なる $y \in K$ が存在し、$x$ は $K$ 内に逆元をもつ。特に $K$ は体である。
{{end |proof |qed=証明終 }}

=== 定理（極大イデアルと剰余体） ===
可換環 $R$ のイデアル $I$ に対し、以下は同値である：
# 剰余環 $R/I$ は体である。
# $I$ は $R$ の極大イデアルである。

{{begin |proof |collapsible=1 |display=証明 }}
剰余環のイデアルの対応関係によって、２つの条件はともに「$I$ を包む $R$ の真のイデアルが存在しない」と同値である。
{{end |proof |qed=証明終 }}

== 体上の加群（ベクトル空間） ==
体の上の加群を'''ベクトル空間'''または'''線形空間'''といい、ベクトル空間及びその上の準同型（線形写像）を調べる分野を''線形代数''という。この観点からすると、線形代数は加群論の一部と位置づけることもできる。しかしながら、基礎環（体）の良い性質を反映して、ベクトル空間と線型写像の理論は、一般の環上の加群と準同型の場合よりも高い精度で展開できる。この精度を支える定理を２つ挙げよう。これらの定理はいずれもベクトル空間と線型写像に特有のものであり、一般の可換環上では成り立たない。これらの差異を埋めるものが[[ホモロジー代数]]である。

=== 定理（基底の存在） ===
任意のベクトル空間は基底（一次独立な生成系）を持つ。

=== 定理（単射の分裂性） ===
体 $K$ 上の任意のベクトル空間 $V$ と任意の部分空間 $U$ に対し、埋入写像 $i \colon U \hookrightarrow V$ は分裂する、すなわち線型写像 $q \colon V \to U$ で $q \circ i = \operatorname{id}_U$ をみたすものが存在する。特にこのとき $V \simeq U \oplus (V/U)$ である。

== 体拡大に関するGalois理論 ==

体 $L$ の部分集合 $K$ が $L$ と同じ加法と乗法を演算として体をなすとき、$K$ を $L$ の'''部分体'''、$L$ を $K$ の'''拡大体'''という。体 $K$ の拡大体 $L$ は自然に $K$ ベクトル空間と見做せて、$K$ ベクトル空間としての次元 $\dim_K L$ を $L$ の $K$ 上の'''拡大次数'''といい $[L : K]$ と表す。$[L : K]$ が有限のとき、$L$ を $K$ の'''有限次拡大'''という。

ここで、写像 $\phi \colon L \to L$ に関する以下の条件を考えよう。
# 任意の $x$, $y \in L$ に対し $\phi(x+y) = \phi(x) + \phi(y)$；
# 任意の $x$, $y \in L$ に対し $\phi(xy) = \phi(x) \phi(y)$；
# $\phi(1) = 1$；
# 任意の $a \in K$ に対し $\phi(a) = a$；

$\phi$ が 1.～3.を充たすとき $L$ の'''自己同型'''、1.～4.を充たすとき $L$ の '''$K$ 自己同型'''という(($1 \in K$ なので、4. は 3. を含意する。))。$L$ を体 $K$ の拡大体とするとき、
* $L$ の自己同型の全体 $\operatorname{Aut} L$；
* $L$ の $K$ 自己同型の全体 $\operatorname{Aut}_K L$；

はそれぞれ写像の合成を演算として群をなす。$\operatorname{Aut} L$ を $L$ の'''自己同型群'''という。$L$ が $K$ の'''良い拡大'''のときには、その拡大の様子が $\operatorname{Aut}_K L$ という群として写し取られ、体拡大について知りたければその自己同型群を調べればよいという基本方針が得られる。この理論を現在では、最初にこの事実を示唆した若き天才の名を冠して'''Galois理論'''と呼んでいる。

体 $K, L$ について、$K$ から $L$ への単射な準同型 $\phi\colon K \to L$ を'''埋め込み'''という。$\phi$ が $K$ から $L$ への埋め込みのとき、$\phi$ は $K$ と $\phi(K)$ の間の体同型を与える。$H$ が $K$ の拡大体、$\phi\colon H \to L$ が $H$ から $L$ への埋め込み、$\psi\colon K \to L$ が $K$ から $L$ への埋め込みで、$x\in K$ について $\phi(x)=\psi(x)$ となるとき、$\phi$ は $\psi$ の $H$ への'''拡張'''であるという。$\psi$ が恒等写像、つまり $x\in K$ について $\phi(x)=x$ となるとき、$\phi$ は $K$ 上の埋め込みという。

=== 体拡大に関する諸定義 ===

Galoisの基本定理を述べるため、用語を準備する。以下、$L$ を $K$ の拡大体とする。$L$ の要素 $x$ が $K$ 上のある多項式の根となるとき、すなわちある自然数 $n > 0$ と $a_t \in K$ で $$ a_0 x^n + a_1 x^{n-1} + \cdots + a_n = 0$$ なる $a_t \in K$ なるものが存在するとき、$x$ は $K$ 上'''代数的'''であるという。$x$ を根にもつ $0$ でない多項式 $f(T) \in K[T]$ のうち、次数が最小のものを $x$ の'''最小多項式'''という。

あらゆる $L$ の要素が $K$ 上代数的のとき $L$ を $K$ の''代数拡大''という。有限次拡大はつねに代数拡大であることが知られている。

あらゆる $K$ 上代数的な要素が $K$ に含まれるとき $K$ を''代数閉体''という。$K$ を含む代数閉体で、$K$ 上代数的な要素のみを含むものを $K$ の''代数閉包''という。$K$ の代数閉包は $K$ 自己同型を除いて一意的に定まる。

$L$ が代数閉体、$\phi\colon K \to L$ が体 $K$ から $L$ への埋め込みで、$H$ が $K$ の拡大体であるとき、$\phi$ は $H$ から $L$ への埋め込みに拡張できる。

$L$ を体 $K$ の有限次代数拡大とするとき、
# 任意の $x \in L$ の $K$ 上の最小多項式が重根をもたないとき、$L$ は $K$ の'''分離拡大'''という；
# 任意の $x \in L$ の $K$ 上の最小多項式の根が総て $L$ に属するとき、$L$ は $K$の'''正規拡大'''という；
# $K$ の分離拡大かつ正規拡大 $L$ を $K$ の'''Galois拡大'''という；

体 $K$ のGalois拡大 $L$ に対し、$K$ 自己同型群 $\operatorname{Aut}_K L$ を $L$ の $K$ 上の'''Galois群'''という。

=== 定理（Galoisの基本定理） ===
$L$ を体 $K$ の有限次Galois拡大とし、$G := \operatorname{Aut}_K L$ を $L$ の $K$ 上のGalois群とする。$G$ の部分群の全体を ${\cal H}$、体拡大 $L \supset K$ の中間体の全体を ${\cal M}$ と表すとき、
$$ \Phi \colon {\cal H} \to {\cal M}~~;~~H \mapsto L^{H}:= \{ x \in L \mid \sigma(x) = x~(\forall \sigma \in G)\}$$
は互いに包含関係を反転する１対１対応を与える。

== Galois理論の応用 ==

=== ギリシャの３大作図問題 ===

「定木とコンパスのみを用いて所与の条件を充たす図を描けるか」という問題を作図問題という。以下の３つの作図問題は''ギリシャの３大作図問題''と呼ばれ、その成否は長らく不明であった。

* ''円積問題'' 与えられた円と面積が等しい正方形を作図せよ。
* ''立方体倍積問題'' 与えられた立方体の２倍の体積をもつ立方体を作図せよ。
* ''角の３等分問題'' 任意の角を３等分せよ。

これらの問題は、いずれも体拡大の理論を用いて統一的に''不可能であることが証明できる''。詳細は[[作図問題]]を参照されたい。

=== 代数方程式の可解性 ===

体 $K$ 上の代数方程式 $f(T) = 0$ が与えられたとき、体 $K$ を含む代数閉体（例えば $K$ の代数閉包）にはこの方程式の解がすべて存在する。しかし、その根を構成的に求められるか、換言すれば「四則演算と冪根をとる操作のみにより、$f(T)$ の根を総て求める手続きが存在するか？」は明らかではない。
例えば２次方程式 $aT^2 + bT + c = 0$ を考えよう。左辺の係数から判別式 $D := b^2 - 4ac$ を求め、その平方根 $\sqrt{D}$ を用いることで、２つの解は $$ T = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$$ と表せる。言い換えれば、２次多項式に対しては
# 方程式の係数から判別式 $D = b^2 - 4ac$ を求める；
# 判別式の平方根 $\sqrt{D}$ を $K$ に添加して $L := K(\sqrt{D})$ を得る；

という手続きにより、総ての根を含む体 $L$ が得られる。この手続きが存在すれば解を構成できるので、''代数的に解ける''とか''解の公式が存在する''とも表現される。歴史的に最も興味を引いてきたのは有理数体 $\mathbb{Q}$ に係数を持つ場合((代数学の基本定理は複素数体 $\mathbb{C}$ が代数閉体であること、すなわち $\mathbb{C}$ に係数をもつ多項式 $f(T)$ は $\mathbb{C}$ 内に重複を込めて $\deg f(T)$ 個の根をもつことを主張する定理である。特に有理数体に係数を持つ多項式は $\mathbb{C}$ 内で「解ける」。しかし、今回問題となっているのは「この解が構成的に見つけられるか」である。「解ける」という単語の意味を取り違えないよう注意されたい。))であり、Galois理論により導かれる次の定理が有名である．

体 $K$ 上の多項式 $f(T) \in K[T]$ に対し，$f(T)$ の根を総て含む拡大体 $L$ を $f(T)$ の''分解体''といい、そのような分解体のうち最小のものを $f(T)$ の''最小分解体''という。上の例により、２次多項式 $f(T) = aT^2 + bT + c$ の最小分解体は $K(\sqrt{D})$ である(($\sqrt{D}$ が $K$ に属する場合もあり、このとき最小分解体は $K$ 自身に他ならない。))。$f(T) \in K[T]$ が重根をもたない多項式のとき、$f(T)$ の最小分解体 $L$ は $K$ のGalois拡大である。

==== 定理（代数方程式の可解性） ====
有理数体 $\mathbb{Q}$ に係数をもつ多項式 $f(T)$ の最小分解体を $L$ とする。代数方程式 $f(T) = 0$ が代数的に解けるための必要十分条件は、$L$ の $K$ 上のGalois群 $G$ が可解群となることである。

最小分解体は $K$ 自己同型を除いて一意的に定まる。

== 関連事項 ==

* [[Galoisの基本定理への道]]
* [[作図問題]]
* [[方程式の可解性]]

有限体:有限体の構造

2022-10-17T08:01:38Z

Tyamada: 有限体が$\mathbb{Z}$加群となることについて左分配律を追加、有限体の構造の節を追加

代数学

2022-10-16T09:40:10Z

Tyamada: 有限体:有限体の構造へのリンク追加

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代数学(algebra)とは、「演算構造」についての探求を目的とした学問である。

素朴な数体系について、自然数全体($\mathbb{N}$)や整数全体($\mathbb{Z}$)、もしくは有理数全体($\mathbb{Q}$)などを例として挙げることができる。このとき数体系らについて、「足し算」・「掛け算」などの演算を定めることができるという共通点を見出すことができる。

ここで、素朴な数概念を放棄して、一般の集合の上に「演算構造」を定めたものについて考える。このようなものを'''代数'''とよぶ。このとき、代数は、数体系の抽象化であると考えることができる。

ひとたび抽象化を行うことによって、我々は様々は「数体系」の例を得ることができ、また統一的な「数体系についての理論」を構築しそれを応用することができる。例えばガウス整数全体($\mathbb{Z}[\sqrt{-1}]=\{a+b\sqrt{-1}|a,b\in \mathbb{Z}\}$)　や四元数全体($\mathbb{H}$)、もしくは実数直線上の実連続関数全体($\mathcal{C}(\mathbb{R})$)などについて素朴に「足し算」・「掛け算」を定めたものは代数となっている。これらはすべて[[環]]としての構造を持つ。

本記事は代数学についての基本的な視点を提示するとともに、代数学全体の概観を述べることを目的とする。

== 基礎事項 ==
=== 演算 ===
集合 $X$ と自然数 $n\in \mathbb{N}_0$ について、$X$ 上の $n$-項演算とは、写像 $X^n\to X$ のことを指していう。

しばしば $2$ 項演算 $*\colon X^2\to X$ については、$*(a,b)$ の代わりに $a*b$ と表記される。

また $0$-項演算とは、写像 $X^0\to X$ のことであるから、$0$-項演算を指定することは、 $X$ の元のひとつをとることと等価である。

=== 代数系 ===
* 集合
* マグマ
* 半群
* モノイド
* 群
* アーベル群
* 半環
* 環
* 可換環
* Lie代数
* 輪

集合自体についても、「$0$ 個の演算構造を持つ集合」としてみることができるので、この意味においては代数であるとみなすことができる。しかし、集合についての理論は他の代数についてこ理論とかなり異なった様相であり、特別な発展をみせているため、本記事においては集合論について触れず、[[集合論]]においてより詳細な説明を行う。

== 群論 ==
=== 有限群論 ===
有限群とは、名の通り台集合が有限であるような群のことである。

有限群について調べるにあたって、そもそも探求対象が有限集合に関するものであるため、組合せ論的なアプローチは有効なものとなる。

有限群においてもその表現論の威力は計り知れないものがある。ここで、群 $G$ の[[ベクトル空間]]への表現とは、$G$ の $V$ への線形な作用のことを指す。別の言い方をすれば、群準同型 $G\to \mathrm{GL}(V)$ のことを指す。有限群の理論においては、有限次元のベクトル空間についての表現を考えることが多い。

有限群論における重要な結果のひとつに、有限[[単純群]]の同型類の決定がある。

=== アーベル群論 ===
アーベル群とは、可換な演算を持つ群のことである。有限生成アーベル群、特に有限アーベル群については[[有限生成アーベル群の構造定理]]により、その構造は明らかになっている。しかし、一般のアーベル群において、その構造は複雑怪奇極まりないものであり、解析は困難を極める。

そのような状況のなかでも、素数 $p$ について可算な $p$-群などについてはかなりその構造が理解されている。

=== 位相群論 ===
=== 群の表現論 ===

== 体論 ==
=== Galois理論 ===
* [[Galoisの基本定理への道]]

=== 有限体論 ===
* [[有限体]]
** [[有限体:有限体の構造]]

== 環論 ==
=== 非可換環論 ===
=== 可換環論 ===

== ホモロジー代数 ==
== Lie代数論 ==
== 他分野との関わり ==
=== 普遍代数学 ===
=== 圏論 ===

有限体

2022-10-16T09:39:45Z

Tyamada: 有限体:有限体の構造へのリンク追加

有限体:有限体の構造

2022-10-16T09:38:44Z