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微分形式

2022-03-28T06:46:44Z

Saitory: pukiwiki記法 [X >Y]] をX に

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== 微分形式 ==
ここでは滑らかな微分多様体上の微分形式について基本事項といくらかの応用までを解説する。
微分形式の起源は積分のインテグラルの記号を取り去った部分であるが、現在では微分幾何のあらゆる分野に計算技術として登場するため、微分形式を考えるモチベーションを簡潔に述べることはできない。

== 反対称テンソル積と外積代数の復習 ==
ここでは微分形式を定義するために必要な外積代数の最小限の復習を行う。
基本的な概念は適宜[[速習「線形空間論」]]の反対称テンソル積空間を参照されたい。

$V$ を $\mathbb{R}$ 上の $n$ 次元ベクトル空間、$V^\ast$ を双対空間、$\Lambda^p(V^\ast)$ を $V^\ast$ の $p$ 階反対称テンソル積空間とし、$\Lambda(V^\ast)=\oplus_{p=0}^n\Lambda^p(V^\ast)$ とする。
$\Lambda(V^\ast)$ に外積 $\wedge$ を定義する方法が２通りあり、ここではA方式とB方式とする。
$\omega\in\Lambda^p(V^\ast),\ \eta\in\Lambda^q(V^\ast)$ に対して、$\omega\wedge\eta\in\Lambda^{p+q}(V^\ast)$ を

A方式
$$(\omega\wedge\eta)(X_1,\cdots,X_{p+q}):=\frac{1}{p!q!}\sum_{\sigma\in \mathfrak{S}_{p+q}}{\rm sgn}(\sigma)\omega(X_{\sigma(1)},\cdots,X_{\sigma(p)})\eta(X_{\sigma(p+1)},\cdots,X_{\sigma(p+q)})\ \ \ \ \ \ \cdots(\ast A)$$

B方式
$$(\omega\wedge\eta)(X_1,\cdots,X_{p+q}):=\frac{1}{(p+q)!}\sum_{\sigma\in \mathfrak{S}_{p+q}}{\rm sgn}(\sigma)\omega(X_{\sigma(1)},\cdots,X_{\sigma(p)})\eta(X_{\sigma(p+1)},\cdots,X_{\sigma(p+q)})\ \ \ \ \ \ \cdots(\ast B)$$
と定義する。
ただし、$X_i\in V, 1\le i\le p+q$ である。
例えば、$\alpha,\beta\in\Lambda^1(V^\ast)$ に対しては、A方式では $\alpha\wedge\beta=\alpha\otimes\beta-\beta\otimes\alpha$ であり、B方式では $\alpha\wedge\beta=\frac{1}{2}(\alpha\otimes\beta-\beta\otimes\alpha)$ である。
このとき[[速習「線形空間論」#命題9.4（外積の結合法則）|外積には結合法則が成り立ち]]、$\Lambda(V^\ast)$ は環になる。
これは外積代数と呼ばれる。
また交換法則 $\omega\wedge\eta=(-1)^{pq}\eta\wedge\omega$ が成り立つ。

この記事を通して、$p$ 個の添え字を持つ量 $\omega_{i_1\cdots i_p}$ に対して、反対称化子を$\omega_{[i_1\cdots i_p]}=\frac{1}{p!}\sum_{\sigma\in\mathfrak{S}_p}{\rm sgn}(\sigma)\omega_{i_{\sigma(1)}\cdots i_{\sigma(p)}}$ とする。$\omega_{i_1\cdots i_p}$ が添え字の入れ替えに対して完全反対称であるとき、$\omega_{[i_1\cdots i_p]}=\omega_{i_1\cdots i_p}$ が成り立つ。
添え字の入れ替えに対して完全反対称な量 $A^{i_1\cdots i_p}$ と任意の量 $B_{i_1\cdots i_p}$ に対して、
$$\sum_{i_1\cdots i_p}A^{i_1\cdots i_p}B_{i_1\cdots i_p}=\sum_{i_1\cdots i_p}A^{i_1\cdots i_p}B_{[i_1\cdots i_p]}$$
が成り立つことが簡単に確かめられる。

$V^\ast$ の基底を $\{\theta^i\}_{1\le i\le n}$ とすると、$\Lambda^p(V^\ast)$ の基底は $\theta^{i_1}\wedge\cdots\wedge\theta^{i_p},\ (1\le i_1<\cdots<i_p\le n)$ 達であることが証明できる。
従って、$\dim_\mathbb{R}\Lambda^p(V^\ast)={}_nC_p$ であり、$\dim_\mathbb{R}\Lambda(V^\ast)=\sum_{p=0}^n{}_nC_p=2^n$ である。
任意の $\omega\in\Lambda^p(V^\ast)$ は
$$\omega=\frac{1}{p!}\sum_{i_1,\cdots,i_p}\omega_{i_1\cdots i_p}\theta^{i_1}\wedge\cdots\wedge\theta^{i_p},\ (\omega_{[i_1\cdots i_p]}=\omega_{i_1\cdots i_p})\\
=\sum_{i_1<\cdots<i_p}\omega_{i_1\cdots i_p}\theta^{i_1}\wedge\cdots\wedge\theta^{i_p}$$
と表され、これらは頻繁に用いられる標準的な成分表示である。

$\alpha^i\in V^\ast,\ v_i\in V\ (1\le i\le k)$ に対して、外積の定義より、
$$A方式\ \ \ \alpha^1\wedge\cdots\wedge\alpha^k(v_1,\cdots,v_k)=\det(\alpha^i(v_j))\\
B方式\ \ \ \alpha^1\wedge\cdots\wedge\alpha^k(v_1,\cdots,v_k)=\frac{1}{k!}\det(\alpha^i(v_j))$$
となる。
従って、$V$ の基底を $\{e_i\},\ (1\le i\le n)$ とし、双対基底を $\{\theta^i\},\ (1\le i\le n)$ とするとき、
$$A方式\ \ \ \theta^{i_1}\wedge\cdots\wedge\theta^{i_k}(e_{j_1},\cdots,e_{j_k})=k!\delta^{i_1}_{\ [j_1}\cdots\delta^{i_k}_{\ j_k]}\\
B方式\ \ \ \theta^{i_1}\wedge\cdots\wedge\theta^{i_k}(e_{j_1},\cdots,e_{j_k})=\delta^{i_1}_{\ [j_1}\cdots\delta^{i_k}_{\ j_k]}$$
となる。

== 定義 ==
滑らかな微分多様体 $M$ の各点 $x\in M$ に対して，$T^\ast_x(M)$ の $p$ 階反対称テンソル積空間 $\bigwedge^p T^\ast_x(M)$ の元を対応させることで $\bigwedge^p T^\ast_x(M)$ に値を持つ関数が定義され，これを ''$p$-形式''または ''$p$ 次微分形式''と呼ぶ。
$p$ 次微分形式が $(0,p)$-テンソル場([[テンソル解析]])として滑らかなとき，$C^\infty$ 級 $p$-形式といい、$C^\infty(M)$-加群をなす。
これを $\Omega^p(M)$ と書く。
また $\Omega(M)=\oplus_{p=0}^n\Omega^p(M)$ とする。

== 外積 ==
$\Omega(M)$ にはA方式、B方式で外積が定義される。
定義の仕方は上と形式的には全く同様である。
ただし、$(\ast A),(\ast B)$ における $X_i$ 達はベクトル場とする。
この外積（あるいは外積代数と交代形式との同型の作り方）をどちらの方式で定義するかによって以下の微分形式に対する色々な演算の公式の係数が変わってくる。
この方式を統一して計算しないと色々な結果が合わなくなってしまうため、しばしばデリケートかつ面倒な問題である。

== 外微分 ==
外微分の定義は、外積をA方式、B方式どちらで定めるかに依存する(成分表示は依存しない)。
$\mathbb{R}$-線形写像 $d\colon\Omega^p(M)\ni\omega\mapsto d\omega\in\Omega^{p+1}(M)$ をA方式では
$$d\omega(X_1,\cdots,X_{p+1}):=\sum_i(-1)^{i-1}X_i(\omega(X_1,\cdots,\check{X_i},\cdots,X_{p+1})))\\+\sum_{i<j}(-1)^{i+j}\omega([X_i,X_j],X_1,\cdots,\check{X_i},\cdots,\check{X_j},\cdots,X_{p+1}))$$
B方式では、
$$
\begin{aligned}
d\omega(X_1,\cdots,X_{p+1}):=\frac{1}{p+1}\sum_i(-1)^{i-1}X_i(\omega(X_1,\cdots,\check{X_i},\cdots,X_{p+1})))\\+\frac{1}{p+1}\sum_{i<j}(-1)^{i+j}\omega([X_i,X_j],X_1,\cdots,\check{X_i},\cdots,\check{X_j},\cdots,X_{p+1}))
\end{aligned}
$$
で定義する。
この定義により定まる $d\omega$ が $(p+1)$-形式になっていることをみるには、$d\omega$ が交代かつ $C^\infty(M)$-多重線形であること、すなわち、
$$
\begin{aligned}
d\omega(X_1,\cdots,X_i,\cdots,X_j,\cdots,X_{p+1})=-d\omega(X_1,\cdots,X_j,\cdots,X_i,\cdots,X_{p+1})\\
d\omega(fX_1,\cdots,X_{p+1})=fd\omega(X_1,\cdots,X_{p+1}),\ f\in C^\infty(M)
\end{aligned}
$$
を満たすことを確かめればよい(簡単に確かめられる)。
ここで定義式の二つ目の $\sum_{i<j}$ の項がなければ $C^\infty(M)$-線形とならないことに注意すべきである。
さらに $\Omega(M)=\oplus\Omega^p(M)$ 全体へは各 $p$ に関して $\mathbb{R}$-線形に拡張する。

外微分のチャートによる局所表示は次のようになる。
$\omega=\frac{1}{p!}\sum\omega_{i_1\cdots i_p}dx^{i_1}\wedge\cdots\wedge dx^{i_p}$ に対して、
$$
\begin{aligned}
d\omega=\frac{1}{p!}\sum_{i_1,\cdots,i_p}\left(\sum_{i_0}\partial_{i_0}\omega_{i_1\cdots i_p}dx^{i_0}\right)\wedge dx^{i_1}\wedge\cdots\wedge dx^{i_p}
=\frac{1}{p!}\sum_{i_0,\cdots,i_p}\partial_{[i_0}\omega_{i_1\cdots i_p]}dx^{i_0}\wedge\cdots\wedge dx^{i_p}\\
=\frac{1}{(p+1)!}\sum_{i_0,\cdots,i_p}\left(\sum_{k=0}^p(-1)^k\partial_{i_k}\omega_{i_0\cdots \check{i_k}\cdots i_p}\right)dx^{i_0}\wedge\cdots\wedge dx^{i_p}
\end{aligned}
$$
となる。
実際、A方式のとき、
$$\frac{1}{(p+1)!}\sum_{i_0,\cdots,i_p}\left(\sum_{k=0}^p(-1)^k\partial_{i_k}\omega_{i_0\cdots \check{i_k}\cdots i_p}\right)dx^{i_0}\wedge\cdots\wedge dx^{i_p}(\partial_{j_0},\cdots,\partial_{j_p})=\sum_{k=0}^p(-1)^k\partial_{j_k}\omega_{j_0\cdots \check{j_k}\cdots j_p}$$
であり、最初に与えた外微分の定義式で、$[\partial_{j_n},\partial_{j_m}]=0$ に気を付けて、$d\omega(\partial_{j_0},\cdots,\partial_{j_p})$ を計算すれば一致していることが分かる。
B方式でも同様であり、局所的な表示はA,Bの方式の選択によらない。

$\omega\in\Omega^p(M),\ \eta\in\Omega^q(M)$ に対して、外微分のLeibniz則
$$d(\omega\wedge\eta)=d\omega\wedge\eta+(-1)^p\omega\wedge d\eta$$
が成り立つ。
これは元の定義から示すこともできるし、局所表示を使えば容易にわかる。

外微分と引き戻しと可換である。

任意の $p$-形式 $\omega$ に対して$d^2\omega=0$ である。このことも局所表示を使えば簡単に示すことができる。

リーマン多様体 $(M,g)$ において、リーマン接続 $\nabla$ を使って外微分を表示することもできる。
接続の係数を $\Gamma^i_{jk}$ とすると、対称接続の条件 $\Gamma^i_{jk}=\Gamma^i_{kj}$ より、$\nabla_{[i_0}\omega_{i_1\cdots i_p]}=\partial_{[i_0}\omega_{i_1\cdots i_p]}$ であるから、
$$
\begin{aligned}
d\omega=\frac{1}{p!}\sum_{i_0,\cdots,i_p}\nabla_{[i_0}\omega_{i_1\cdots i_p]}dx^{i_0}\wedge\cdots\wedge dx^{i_p}
=\frac{1}{(p+1)!}\sum_{i_0,\cdots,i_p}(p+1)\nabla_{[i_0}\omega_{i_1\cdots i_p]}dx^{i_0}\wedge\cdots\wedge dx^{i_p}\\
=\frac{1}{(p+1)!}\sum_{i_0,\cdots,i_p}(p+1)\nabla_{i_0}\omega_{i_1\cdots i_p}dx^{i_0}\wedge\cdots\wedge dx^{i_p}
\end{aligned}
$$
などとなる。

$\omega\in\Omega^p(M)$ で $d\omega=0$ となるものを''閉形式''(closed p-form)という。
また $\eta\in\Omega^{p-1}(M)$ に対して、$d\eta\in\Omega^p(M)$ を''完全形式''(exact p-form)という。
=== 外微分の計算例 ===
チャート表示と座標に依存しない公式による計算例を与える。

(1) $f\in C^\infty(M)$ に対して、$df=\sum_{i=1}^n\frac{\partial f}{\partial x^i}dx^i$

(2) $\omega=xyz dx\wedge dy+ydx$ に対して、$d\omega=xydx\wedge dy\wedge dz-dx\wedge dy$

(3) $\eta\in\Omega^1(M)$ と単位ベクトル場 $\xi$ が $d\eta(\xi,\cdot)=0,\ \eta(\xi)=1$ を満たしているとする（この状況は例えば[[接触多様体]]では常に発生する）。
さらに、$\{\xi,e_1,e_2\}$ をフレームとし、$[e_1,e_2]=\xi$ を満たすとする。また $\{\eta,\theta^1,\theta^2\}$ をコフレームとする。
このとき、$d\eta$ を求めてみよう。
A方式では、$d\eta(e_1,e_2)=e_1(\eta(e_2))-e_2(\eta(e_1))-\eta([e_1,e_2])=-1$ であるから、$d\eta=\theta^2\wedge\theta^1$ である。
B方式でも結果は同じである。

=== ベクトル解析における div,grad,rot との関係 ===
$\mathbb{R}^3$ のベクトル解析における div,grad,rot との関係を述べる。
以下では1-形式をベクトル場と同一視する(一般のリーマン多様体上ではMusical isomorphism([[テンソル解析]])により同一視する)。

(1) grad

$f\in C^\infty(M)$ に対して、
$df=\frac{\partial f}{\partial x}dx+\frac{\partial f}{\partial y}dy+\frac{\partial f}{\partial z}dz$
であるから、$d:\Omega^0(\mathbb{R}^3)\rightarrow\Omega^1(\mathbb{R}^3)$ は grad を与える。

(2) rot

$\omega=Adx+Bdy+Cdz$ に対して、
$$
d\omega=(C_y-B_z)dy\wedge dz+(C_x-A_z)dx\wedge dz+(B_x-A_y)dx\wedge dy\\
\ast d\omega=(C_y-B_z)dx+(A_z-C_x)dy+(B_x-A_y)dz
$$
となるから($\ast$ は Hodge star である)、微分形式
$\Omega^1(\mathbb{R}^3)\xrightarrow{d}\Omega^2(\mathbb{R}^3)\xrightarrow{\ast}\Omega^1(\mathbb{R}^3)$
は rot を与える。

(3) div

$\omega=Adx+Bdy+Cdz$ に対して、
$$
\ast\omega=Ady\wedge dz+Bdz\wedge dx+Cdx\wedge dy\\
d\ast\omega=\left(\frac{\partial A}{\partial x}+\frac{\partial B}{\partial y}+\frac{\partial C}{\partial z}\right)dx\wedge dy\wedge dz\\
\ast d\ast\omega=\left(\frac{\partial A}{\partial x}+\frac{\partial B}{\partial y}+\frac{\partial C}{\partial z}\right)
$$
であるから、
$\Omega^1(\mathbb{R}^3)\xrightarrow{\ast}\Omega^2(\mathbb{R}^3)\xrightarrow{d}\Omega^3(\mathbb{R}^3)\xrightarrow{\ast}\Omega^0(\mathbb{R}^3)$ が div を与える。

== Poincaré の補題 ==
外微分の性質 $d^2=0$ より、完全形式 $\omega=d\eta$ は $d\omega=0$ となるから閉形式である。
では逆に、「閉形式は完全形式か？」という問がありえる。
これに答えるのがPoincaré の補題とそれをより一般化した de Rham コホモロジーである。

(''Poincaré の補題'')　　$\mathbb{R}^n$ 上の閉形式は完全形式である。

より一般に可縮([[可縮空間]])な微分多様体に対しても成り立つ。
=== 例 ===
$\mathbb{R}^2$ において $\omega_1=ydx+xdy$ は閉形式であり、$\eta_1=xy$ があり、$\omega_1=d\eta_1$ となる。
一方
$$
\omega_2=\frac{-y}{x^2+y^2}dx+\frac{x}{x^2+y^2}dy
$$
も閉形式であるが、原点で定義されておらず、従って $\Omega^1(\mathbb{R}^2)$ の元ではない。
従って完全形式となることは保証されない。
ただし、$\mathbb{R}^2$ の可縮な近傍に制限して考えれば、その上では完全形式になる。
実際、$\mathbb{R}^2$ から実軸の非正の部分を除いた領域における関数 $\eta_2=\arctan y/x$ に対して、$\omega_2=d\eta_2$ である。

== Stokes の定理 ==
Stokes の定理は微分形式の積分に関する最も基本的な定理である。
また de Rham コホモロジーにおいても重要な役割を果たす。

(''Stokes の定理'')　　$M$ を向きつけ可能な滑らかな $n$ 次元多様体とする。
$M$ 上のコンパクトな台を持つ $n-1$ 形式を $\omega$ とするとき、
$$
\int_Md\omega=\int_{\partial M}\omega
$$
が成り立つ。
ここで、$\partial M$ には $M$ から誘導された向きを入れるものとする。
特に、$M$ が閉多様体のときは、
$$
\int_Md\omega=0
$$
である。

=== 例 ===
(1)　$M=[a,b]\subset\mathbb{R}$ に対しては、微積分学の基本定理となる。
すなわち、$f(x)\in\Omega^0(\mathbb{R})$ に対して、
$$
\int_Mdf=\int^b_a\frac{df}{dx}dx=f(b)-f(a)=\int_{\partial M}f
$$
となる。

(2)　$\mathbb{R}^3$ におけるベクトル解析で知られる Stokes の公式が再現される。
$\mathbb{R}^3$ の有界で滑らかな曲面を $S$、その境界を $\partial S$ とする。
滑らかなベクトル場を $\overrightarrow{X}=(a,b,c)$ とするとき、Stokes の公式は
$$
\int_S{\rm rot}\overrightarrow{X}\cdot \overrightarrow{n} dS=\int_{\partial S}\overrightarrow{X}\cdot d\overrightarrow{r}\\
\int_S\left(b_z-c_y\right)dy\wedge dz+\left(a_z-c_x\right)dz\wedge dx+\left(b_x-a_y\right)dx\wedge dy
=\int_{\partial S}adx+bdy+cdz
$$
であるが、これは $\omega=adx+bdy+cdz\in\Omega^1(\mathbb{R}^3)$ と $S$ に対して上の Stokes の定理を適用したものである。

(3)　$\mathbb{R}^3$ におけるベクトル解析で知られるガウスの発散定理が再現される。
$\mathbb{R}^3$ 中の有界な開集合を $V$ とし、その境界 $\partial V$ は滑らかとする。
ベクトル場 $\overrightarrow{X}=(a,b,c)$ に対して、ガウスの発散定理は
$$
\int_V{\rm div}Xdxdydz=\int_{\partial V}\overrightarrow{X}\cdot\overrightarrow{n}dS\\
\int_V(a_x+b_y+c_z)dxdydz=\int_{\partial V}ady\wedge dz+bdz\wedge dx+cdx\wedge dy
$$
である。
これは $\omega=ady\wedge dz+bdz\wedge dx+cdx\wedge dy\in\Omega^1(\mathbb{R}^3)$ に対して、Stokes の定理を適用したものである。

== de Rhamコホモロジー ==
多様体の"穴"である[[ホモロジー]]を微分形式により検出することができる。
これは、''de Rhamコホロモジー''(de Rham cohomology)を考えることで可能になる。
Poincaréの補題によれば、可縮([[可縮空間]])な領域では閉形式は必ず完全形式となる。
しかし"穴"のある領域ではこのことが障害される。
従って、閉形式全体から完全形式となっているものを取り除けば、残りの完全形式ではない閉形式がその領域の"穴"の存在を反映していると考えられる。
完全形式を取り除く操作はコホモロジーを考えることに対応している。
=== de Rhamコホロモジーの定義 ===
$M$ を $n$ 次元の滑らかな多様体とする。
外微分が $d^2=0$ となることから、次のコチェイン複体がある。
$$
0\rightarrow \Omega^1(M)\xrightarrow{d}\Omega^2(M)\xrightarrow{d}\cdots\xrightarrow{d}\Omega^n(M)\xrightarrow{d}0
$$
これを''de Rham複体''(de Rham complex)という。
de Rham複体に関する $p$ 次のコホモロジー群 $H^p_{DR}(M)$ を ''$p$ 次de Rhamコホモロジー群''という。
すなわち、
$$
H^p_{DR}(M):=\frac{\ker(d:\Omega^p(M)\rightarrow\Omega^{p+1}(M))}{{\rm Im}(d:\Omega^{p-1}(M)\rightarrow\Omega^{p}(M))}
$$
である。
また閉 $p$-形式 $\omega$ が代表する $H^p_{DR}(M)$ の元 $[\omega]$ を $\omega$ が代表する ''de Rham コホモロジー類''という。
さらに
$$
H^*_{DR}(M):=\bigoplus_{p=0}^nH^p_{DR}(M)
$$
をMの ''de Rham コホモロジー群''という。

さらに、de Rham コホモロジー群には微分形式の外積から自然に積が定義され環となる。
すなわち、$[\omega]\in H^p_{DR}(M),\ [\eta]\in H^q_{DR}(M)$ に対して、
$(\omega+d\tau_1)\wedge(\eta+d\tau_2)=\omega\wedge\tau+d((-1)^p\omega\wedge\tau_2+\tau_1\wedge\eta+\tau_1\wedge d\tau_2)$
となることから、$[\omega\wedge\eta]\in H^{p+q}_{DR}(M)$
が定義される。
この積構造の入った $H^*_{DR}(M)$ を ''de Rham コホモロジー環''という。
$$$$
de Rham 複体 $(\Omega^k(M),d)$ と $C^\infty$ 特異コチェイン複体 $(S^k_\infty(M),\delta)$ との間に関係がつく。
$\omega\in\Omega^k(M)$ と $C^\infty$ 特異単体 $\sigma:\Delta^k\rightarrow M$ に対して、写像
$$
I(\omega)(\sigma):=\int_{\Delta^k}\sigma^\ast\omega
$$
を定義しこれを線形に拡張して $I:\Omega^\ast(M)\rightarrow S^\ast_\infty(M)$ を定義する。
Stokes の定理のおかげでこの $I:\Omega^\ast(M)\rightarrow S^\ast_\infty(M)$ はコチェイン写像である。
実際、$k$-形式 $\omega$ と特異 $(k+1)$ チェイン $c$ に対して、
$$
I(d\omega)(c)=\int_cd\omega=\int_{\partial c}\omega=I(\omega)(\partial c)
$$
であるから、$I\circ d=\delta\circ I$ となる。
従ってコホモロジーの準同型写像 $I:H^\ast_{DR}(M)\rightarrow H^\ast(M;\mathbb{R})$ が定まる。
実はこれが同型である主張が de Rham の定理である。

=== de Rham の定理 ===
(''de Rham の定理'')　　$M$ を滑らかな多様体とする。
$H^\ast(M;\mathbb{R})$ を実係数の(特異)コホモロジー環とするとき、環同型 $H^\ast_{DR}(M)\simeq H^\ast(M;\mathbb{R})$ が成り立つ。
ここで、コホモロジー環 $H^\ast(M;\mathbb{R})$ はコホモロジー群にカップ積で積構造を入れたものである。

de Rham の定理の特徴は、de Rham コホモロジーは微分形式で定義されているため、多様体の微分構造に依存しているように思えるが、実は位相空間としての構造のみによって定まってしまうことを主張していることである。

== 内部積 ==
$p$-形式にベクトル場を一つ食べさせておいて、残りの $p-1$ 個に関する交代形式と見なせば、$(p-1)$-形式が得られる。
すなわち、ベクトル場 $X$ に対して、''内部積(作用素)''(interior product) $\iota_X:\Omega^p(M)\rightarrow\Omega^{p-1}(M)$ を
$$
A方式 \ \ \ (\iota_X\omega)(X_1,\cdots,X_{p-1})\colon=\omega(X,X_1,\cdots,X_{p-1})
$$
$$
B方式 \ \ \ (\iota_X\omega)(X_1,\cdots,X_{p-1})\colon=p\omega(X,X_1,\cdots,X_{p-1})
$$
と定義する。
ただし、$f\in\Omega^0(M)$ に対しては、$\iota_Xf=0$ と定義する。

チャートによる局所表示は、A、B方式とも同じで、$\omega=\frac{1}{p!}\sum\omega_{i_1\cdots i_p}dx^{i_1}\wedge\cdots\wedge dx^{i_p}$ に対して、
$$\iota_X\omega=\frac{1}{(p-1)!}\sum_{i_1,\cdots,i_{p-1}}\left(\sum_kX^k\omega_{ki_1\cdots i_{p-1}}\right)dx^{i_1}\wedge\cdots\wedge dx^{i_{p-1}}$$
である。

また内部積は外微分と同じLeibniz則
$$\iota_X(\omega\wedge\eta)=(\iota_X\omega)\wedge\eta+(-1)^p\omega\wedge(\iota_X\eta),\ \omega\in\Omega^p(M),\eta\in\Omega^q(M)$$
を満たす。
内部積の記号は $\iota$(イオタ) 以外にも $\lrcorner$(コーナー) を使い、$X\lrcorner\omega$ と書くこともある。

== Lie微分 ==
微分形式に対するLie微分は $(0,p)$-テンソル場に対するLie微分([[テンソル解析]])である。
すなわち、$\omega\in \Omega^p(M)$ とベクトル場 $X,\ X_i,\ (1\le i\le p)$ に対して、
$$(\mathcal{L}_X\omega)(X_1,\cdots,X_p)=X(\omega(X_1,\cdots,X_p))-\sum_{i=1}^p\omega(X_1,\cdots,[X,X_i],\cdots,X_p)$$
である。

一般的な $(0,p)$-テンソル場と違い、微分形式に対しては、外微分と内部積を用いたLie微分の公式
$$\mathcal{L}_X\omega=d\iota_X\omega+\iota_Xd\omega$$
が成り立つ。
これはCartanの公式と呼ばれ微分形式の議論においては大変有用である。
この公式から外微分とLie微分は可換であることがわかる。
またこのことは外微分と引き戻しが可換であることからもわかる。

Lie微分は通常のLeibniz則
$$\mathcal{L}_X(\omega\wedge\eta)=(\mathcal{L}_X\omega)\wedge\eta+\omega\wedge(\mathcal{L}_X\eta)$$
が成り立つ。

== 内積とノルム ==
リーマン多様体 $(M,g)$ に対して、$\Lambda(T^\ast_pM)$ には内積が定義される。
この内積はA,B方式に対応した２種類とさらに外積代数の内積の合計３種類あり、状況に応じて使い分ける必要がある。

はじめに外積代数の標準的な内積を定義する。
これはA,B方式の選び方に関係ない。
$T^\ast_p(M)$ に定義される内積を $g^\ast$ で表す。
チャートに関する成分表示では、$\alpha,\ \beta\in\Lambda^1(T^\ast_pM)$ に対して、$g^\ast(\alpha,\beta)=g^{ij}\alpha_i\beta_j$ である。
このとき $\alpha^1\wedge\cdots\wedge\alpha^p,\ \beta^1\wedge\cdots\wedge\beta^p\in\Lambda^p(T^\ast_pM)$ に対して、
$$\langle \alpha^1\wedge\cdots\wedge\alpha^p,\beta^1\wedge\cdots\wedge\beta^p\rangle_s:=\det(g^\ast(\alpha^i,\beta^j)_{1\le i,j\le p})$$
と定義する。
またこれを $\mathbb{R}$-線形に拡張することで $\Lambda^p(T^\ast_pM)$ の内積とする。
さらに $\omega\in\Lambda^p(T^\ast_pM),\eta\in\Lambda^q(T^\ast_pM),p\ne q$ に対して、$\langle\omega,\eta\rangle_s=0$ とし、$\mathbb{R}$-線形に拡張することで $\Lambda(T^\ast_pM)$ 全体の内積を定義する。
$\eta=\frac{1}{p!}\sum\eta_{i_1\cdots i_p}dx^{i_1}\wedge\cdots\wedge dx^{i_p},\ \omega=\frac{1}{p!}\sum\omega_{i_1\cdots i_p}dx^{i_1}\wedge\cdots\wedge dx^{i_p}$ に対して、
$$
\begin{aligned}
\langle\eta,\omega\rangle_s
=\frac{1}{(p!)^2}\sum\eta_{i_1\cdots i_p}\omega_{j_1\cdots j_p}\langle dx^{i_1}\wedge\cdots\wedge dx^{i_p},dx^{j_1}\wedge\cdots\wedge dx^{j_p}\rangle_s
\\=\frac{1}{(p!)^2}\sum\eta_{i_1\cdots i_p}\omega_{j_1\cdots j_p}g^{i_1\alpha_1}\cdots g^{i_p\alpha_p}\epsilon^{j_1\cdots j_p}_{\alpha_1\cdots\alpha_p}
\\=\frac{1}{p!}\eta_{i_1\cdots i_p}\omega^{i_1\cdots i_p}
\end{aligned}
$$
である。
ただし、$\epsilon^{j_1\cdots j_p}_{\alpha_1\cdots\alpha_p}:=p!\delta^{j_1}_{[\alpha_1}\cdots \delta^{j_p}_{\alpha_p]}$ は $\{j_1,\cdots, j_p\}$ と $\{\alpha_1,\cdots,\alpha_p\}$ らが一つでも違う場合は０を、偶置換のときは $+1$ を、奇置換のときは $-1$ を返す。

$(0,p)$-テンソル場全体にも内積が定義される。
すなわち、$p$ 階共変テンソル場 $\alpha^1\otimes\cdots\otimes\alpha^p,\ \beta^1\otimes\cdots\otimes\beta^p$ に対して、
$$\langle \alpha^1\otimes\cdots\otimes\alpha^p,\ \beta^1\otimes\cdots\otimes\beta^p\rangle:=g^\ast(\alpha^1,\beta^1)\cdots g^\ast(\alpha^p,\beta^p)$$
である。

この内積から $\Lambda(T^\ast_pM)$ に内積がA,B方式の選び方に依存して誘導される。
A方式のとき、
$\alpha^1\wedge\cdots\wedge\alpha^p=\sum_{\sigma\in\mathfrak{S}_p}{\rm sgn}(\sigma)\alpha^{\sigma(1)}\otimes\cdots\otimes\alpha^{\sigma(p)}$
であるから、
$$
\begin{aligned}
\langle\alpha^1\wedge\cdots\wedge\alpha^p,\beta^1\wedge\cdots\wedge\beta^p\rangle_A:=\sum_{\sigma,\tau\in\mathfrak{S}_p}{\rm sgn}(\sigma\tau)\langle\alpha^{\sigma(1)}\otimes\cdots\otimes\alpha^{\sigma(p)},\beta^{\sigma(1)}\otimes\cdots\otimes\beta^{\sigma(p)}\rangle\\
=k!\det(g^\ast(\alpha^i,\beta^j)_{1\le i,j\le p})=k!\langle\alpha^1\wedge\cdots\wedge\alpha^p,\beta^1\wedge\cdots\wedge\beta^p\rangle_s
\end{aligned}
$$
であり、B方式のときは、$\alpha^1\wedge\cdots\wedge\alpha^p=\frac{1}{k!}\sum_{\sigma\in\mathfrak{S}_p}{\rm sgn}(\sigma)\alpha^{\sigma(1)}\otimes\cdots\otimes\alpha^{\sigma(p)}$
であるから、同様に
$$\langle\alpha^1\wedge\cdots\wedge\alpha^p,\beta^1\wedge\cdots\wedge\beta^p\rangle_B:=\frac{1}{k!}\langle\alpha^1\wedge\cdots\wedge\alpha^p,\beta^1\wedge\cdots\wedge\beta^p\rangle_s$$
となる。

リーマン計量 $g$ は正定値であるから、これらの３つの内積も正定値である。
$||\alpha^1\wedge\cdots\wedge\alpha^p||_s^2=\langle\alpha^1\wedge\cdots\wedge\alpha^p,\alpha^1\wedge\cdots\wedge\alpha^p\rangle_s$ と定義し、ノルムは $||\alpha^1\wedge\cdots\wedge\alpha^p||_s=\sqrt{||\alpha^1\wedge\cdots\wedge\alpha^p||_s^2}$ と定義する。
A,Bについても同様である。

微分形式のみが登場する議論の場合は、内積 $\langle\ ,\ \rangle_s$ を使えば良いが、微分形式以外のテンソル場も登場することはしばしばある。
この場合はテンソル場に対する内積を統一的に使う方が混乱が無いから、$\langle\ ,\ \rangle_A$ または $\langle\ ,\ \rangle_B$ を使うべきである。
しかし微分形式に対しての内積のみ $\langle\ ,\ \rangle_s$ を採用している文献もしばしば存在するから注意が必要である。

コンパクトリーマン多様体 $(M,g)$ 上では $\Omega(M)$ にも内積が定義される。
$\omega,\eta\in\Omega(M)$ に対して、
$$
\langle\omega,\eta\rangle_M:=\int_M\langle\omega,\eta\rangle_s
$$
とする。
=== 例 ===
$F=\frac{1}{2}\sum_{i,j}F_{ij}dx^i\wedge dx^j\in\Omega^2(M)$ に対して、
$||F||^2_s=\frac{1}{4}\sum_{i,j,k,l}F_{ij}F_{kl}\langle dx^i\wedge dx^j,dx^k\wedge dx^l\rangle_s=\frac{1}{4}\sum_{i,j,k,l}F_{ij}F_{kl}(g^{ik}g^{jl}-g^{il}g^{jk})=\frac{1}{2}\sum_{ij}F_{ij}F^{ij}$
である。
同様に
$||F||^2_A=\sum_{ij}F_{ij}F^{ij},\ ||F||^2_B=\frac{1}{4}\sum_{ij}F_{ij}F^{ij}$
となる。

== 体積形式 ==
連結で滑らかな $n$ 次元微分多様体 $M$ 上に到るところ0にならない $n$-形式 $\omega\in\Omega^n(M)$ が存在するとき、$M$ は向き付け可能な多様体であるという（連結でない場合は各連結成分について考える）。
到るところ０にならない $n$-形式を $M$ の''体積形式''(volume form)という。
体積形式は一意的ではない。
体積形式の全体はそれが定める向きにより２つの類に類別される。

リーマン多様体 $(M,g)$ には以下のような特別な体積形式がある。
各チャート $(U,\{x^\mu\})$ に関して、$g=\det(g_{ij})$ とするとき、$U$ 上で $n$-形式
$$dv_U:=\sqrt{g}dx^1\wedge\cdots\wedge dx^n$$
が定義される。
同じ向きの２つのチャート $(U,\{x^\mu\}),\ (V,\{y^\mu\}),\ U\cap V\ne\phi$ に対して、$U\cap V$ 上で
$$dv_U=\sqrt{g_x}dx^1\wedge\cdots\wedge dx^n=\sqrt{g_y}\left|\det\left(\frac{\partial y}{\partial x}\right)\right|J\left(\frac{\partial x}{\partial y}\right)dy^1\wedge\cdots\wedge dy^n=\sqrt{g_y}dy^1\wedge\cdots\wedge dy^n=dv_V$$
となる。
ここで、$J\left(\frac{\partial x}{\partial y}\right)$ は座標変換のヤコビアンである。
従って、$dv_U$ 達は貼り合わさって一つの体積形式を定義する。
これをリーマン多様体の体積形式という。
体積形式を表す記号として $\Omega,\omega$ などの記号もよく使われる。
また、正規直交フレームに対するコフレームを $\{\theta^i\}_{1\le i\le n}$ とすると、体積形式は $dv=\theta^1\wedge\cdots\wedge\theta^n$ で与えられる。

$T_p(M)$ の任意の基底を $\{X_1,\cdots,X_n\}$ とするとき、$dv(X_1,\cdots,X_n)$ は、A方式では、点 $p$ において $\{X_1,\cdots,X_n\}$ 達が作る無限小の立方体の体積を、B方式では、単体の体積を与える。
これらのことから、微分形式を使って[[特性類]]の議論をするときは（整数係数のコホモロジーを定義したいという動機で）、B方式がよく使われる。

== Hodgeの星状作用素 ==
向き付け可能 $n$ 次元リーマン多様体 $(M,g)$ において、$p$-形式 $\omega\in \Omega^p(M)$ に $(n-p)$-形式 $\ast\omega\in \Omega^{n-p}(M)$ を対応させる $C^\infty(M)$ 線形写像 $\ast:\Omega^p(M)\rightarrow \Omega^{n-p}(M)$ が定義される。
これは''Hodgeの星状作用素''(Hodge star operator)と呼ばれる。
向き付け不可能な場合でも定義を少し拡張することで定義可能であるが、ここでは向き付け可能な場合に限り定義する。

$\omega\in \Omega^p(M)$ に対して、$\ast\omega\in \Omega^{n-p}(M)$ を
$$\eta\wedge\ast\omega=\langle\eta,\omega\rangle_sdv,\ \ \ {\rm for}\ \ {}^\forall\eta\in\Omega^p(M)$$
が成り立つものとして定義する。
ただし、$dv$ は体積形式である。
$\ast$ が $C^\infty(M)$ 線形であることは定義より明らかである。

チャートによる局所的な表示は以下である。
$$
\omega=\frac{1}{p!}\sum_{i_1,\cdots,i_p}\omega_{i_1\cdots i_p}dx^{i_1}\wedge\cdots\wedge dx^{i_p}
$$
に対して、
$$
(\ast\omega)_{j_1\cdots j_{n-p}}=\frac{1}{p!}\sum_{i_1,\cdots,i_p}\omega_{i_1\cdots i_p}\varepsilon^{i_1\cdots i_p}_{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ j_1\cdots j_{n-p}}
$$
となる。

{{begin |proof | collapsible=1 |collapsed=1|display=[証明]}}
$\ast\omega=\frac{1}{(n-p)!}(\ast\omega)_{i_1\cdots i_{n-p}}dx^{i_1}\wedge\cdots\wedge dx^{i_{n-p}}$ とするとき、$\eta=dx^{j_1}\wedge\cdots\wedge dx^{j_p}$ に対して、
$$
\eta\wedge\ast\omega=\frac{1}{(n-p)!}\sum_{k_1,\cdots, k_{n-p}}(\ast\omega)_{k_1\cdots k_{n-p}}\epsilon^{j_1\cdots j_{p}k_1\cdots k_{n-p}}dx^{1}\wedge\cdots\wedge dx^{n}
$$
なる。
ただし、$\epsilon^{i_1\cdots i_n}=\epsilon_{i_1\cdots i_n}={\rm sgn}(i_1\cdots i_n)$ とする。
一方
$$
\langle\eta,\omega\rangle_s=\frac{1}{p!}\sum_{i_1,\cdots, i_p}\omega_{i_1\cdots i_p}\langle dx^{j_1}\wedge\cdots\wedge dx^{j_p},dx^{i_1}\wedge\cdots\wedge dx^{i_p}\rangle_s \sqrt{\det g}dx^{1}\wedge\cdots\wedge dx^{n}
$$
である。
従って
$$
\frac{1}{(n-p)!}\sum_{k_1,\cdots, k_{n-p}}(\ast\omega)_{k_1\cdots k_{n-p}}\epsilon^{j_1\cdots j_{p}k_1\cdots k_{n-p}}=\frac{1}{p!}\sum_{i_1,\cdots, i_p}\omega_{i_1\cdots i_p}\det(g^{j_mi_n})_{1\le m,n\le p} \sqrt{\det g}
$$
となり、両辺に $\epsilon_{j_1\cdots j_p m_1\cdots m_{n-p}}$ をかけて $(j_1,\cdots, j_p)$ で和を取ると
$$
\begin{aligned}
\frac{1}{(n-p)!}
\sum_{\substack{k_1,\cdots, k_{n-p} \\ j_1,\cdots, j_p}}
(\ast\omega)_{k_1\cdots k_{n-p}}\epsilon_{j_1\cdots j_p m_1\cdots m_{n-p}}\epsilon^{j_1\cdots j_{p}k_1\cdots k_{n-p}}=
\sum_{\substack{i_1,\cdots, i_p \\ j_1,\cdots, j_p \\ l_1,\cdots,l_p}}
\omega_{i_1\cdots i_p}
g^{j_1l_1}\cdots g^{j_pl_p}\delta^{i_1}_{\ [l_1}\cdots\delta^{i_p}_{\ l_p]} \epsilon_{j_1\cdots j_p m_1\cdots m_{n-p}}
\sqrt{\det g}\\
(\ast\omega)_{m_1\cdots m_{n-p}}=\frac{1}{p!}\sum_{i_1,\cdots, i_p}\omega_{i_1\cdots i_p}\varepsilon^{i_1\cdots i_p}_{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ m_1\cdots m_{n-p}}
\end{aligned}
$$
となる。
ただし、$\varepsilon^{i_1\cdots i_p}_{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ m_1\cdots m_{n-p}}=\sqrt{\det g}g^{j_1i_1}\cdots g^{j_pi_p}\epsilon_{j_1\cdots j_p m_1\cdots m_{n-p}}$
{{end |proof }}

さらに定義などから以下が従う。

$(1)\ \ \ \omega\wedge\ast\eta=\eta\wedge\ast\omega,\ \ \omega,\eta\in\Omega^p(M)$

$(2)\ \ \ \ast1=dv$

$(3)\ \ \ \ast\ast\omega=(-1)^{p(n-p)}\omega,\ \ \omega\in\Omega^p(M)$

$(4)\ \ \ \langle\omega,\eta\rangle_s=\langle\ast\omega,\ast\eta\rangle_s$
=== 例 ===
(1)　３次元ユークリッド空間 $\mathbb{E}^3$ の正規直交座標 $\{x,y,z\}$ に関して、計量は $ds^2=dx^2+dy^2+dz^2$ で与えられ、体積形式を $dv=dx\wedge dy\wedge dz$ で与えるとすると、
$\ast dx=dy\wedge dz,\ \ast dy=-dx\wedge dz,\ \ast dz=dx\wedge dy$ などが成り立つ。

(2)　３次元ミンコフスキー空間 $\mathbb{E}^{(1,2)}$ の正規直交座標 $\{t,x,y\}$ に関して、ミンコフスキー計量は $ds^2=-dt^2+dx^2+dy^2$ で与えられる。
このとき体積形式を $dv=dt\wedge dx\wedge dy$ で与えるとすると、 $\ast dt=-dx\wedge dy,\ \ast dx=-dt\wedge dy,\ \ast (dt\wedge dy)=dx$ などが成り立つ。

(3)　３次元単位球面 $S^3$ の Hopf 座標（を少し変数変換したもの）に関して、計量は
$$
ds^2=\frac{1}{4}((d\chi-\cos\theta d\varphi)^2+d\theta^2+\sin^2\theta d\varphi^2)
$$
で与えられる。
このとき、体積形式を $dv=\frac{1}{8}\sin\theta d\chi\wedge d\theta\wedge d\varphi$ で与えるとすると、
$$
\begin{aligned}
\ast d\theta=2\ast(d\theta/2)=-2\cdot\frac{1}{2}(d\chi-\cos\theta d\varphi)\wedge\frac{1}{2}\sin\theta d\varphi=-\frac{1}{2}\sin\theta d\chi\wedge d\varphi,\\
\ast (d\theta\wedge d\varphi)=\frac{4}{\sin\theta}\ast(\frac{1}{2}d\theta\wedge\frac{1}{2}\sin\theta d\varphi)=\frac{4}{\sin\theta}(d\chi-\cos\theta d\varphi)
\end{aligned}
$$
などが成り立つ。

== 余微分 ==
リーマン多様体上で、微分形式に対する外微分の随伴作用素として余微分が定義される。
直感的には余微分は div である。
定義する方法はいくつかあり、ここでは閉リーマン多様体上での定義を述べる。
またいくつかの同値な定義は形式的に閉多様体でない場合にも通用する。

$(M,g)$ を向き付き閉リーマン多様体とする。
$\omega\in\Omega^p(M)$ に対して、$\delta^{(p)}\omega\in\Omega^{p-1}(M)$ を
$$
\langle d\eta,\omega\rangle_M=\langle \eta,\delta^{(p)}\omega\rangle_M,\ \ \ {\rm for}{}^\forall\eta\in\Omega^{p-1}(M)
$$
を満たすものとして定義する。
これは明らかに線形写像 $\delta^{(p)}:\Omega^p(M)\rightarrow\Omega^{(p-1)}(M)$ を定義する。
ただし、$\delta^{(0)}=0$ とする。
これを''余微分''(co-differential)という。
$(M,g)$ がコンパクトでなくても $\eta,\omega$ の少なくとも一方がコンパクト台を持つ場合に同様に $\delta$ が $d$ の形式的随伴作用素として定義できる。

$\delta$ は $\ast,d$ で表示することができる。
$\eta\in\Omega^{p-1}(M),\ \omega\in\Omega^p(M)$ に対して、
$$
\begin{aligned}
\langle d\eta,\omega\rangle_M
=\int_Md\eta\wedge\ast\omega
=(-1)^{np+n+1}\int_M(\eta\wedge\ast\ast d\ast\omega-d(\eta\wedge\ast\omega))\\
=(-1)^{np+n+1}\int_M\langle\eta,\ast d\ast \omega\rangle_sdv
=\langle\eta,(-1)^{np+n+1}\ast d\ast \omega\rangle_M
\end{aligned}
$$
であるから（3番目の等号は[[Stokesの定理]]を使った）、
$$
\delta^{(p)}=(-1)^{np+n+1}\ast d\ast
$$
である。
これを余微分の定義とするとコンパクトとは限らない向き付きリーマン多様体上で考えることができる。
この公式と $d^2=0$ から
$$
\delta^{(p-1)}\circ\delta^{(p)}=0
$$
が分かる。
文脈から $p$-形式に作用していることが明らかな場合は $(p)$を省略して $\delta$ と書くことがよくある。

さらにリーマン接続 $\nabla$ により余微分を表示することもでき、$\omega\in\Omega^{p+1}(M)$ に対して、
$$
(\delta\omega)_{i_1\cdots i_p}=-g^{\alpha\beta}\nabla_\alpha\omega_{\beta i_1\cdots i_p}
$$
となる。
この共変微分を使った公式は余微分が div の一般化にあたることを示唆している。

{{begin |proof | collapsible=1 |collapsed=1|display=[証明]}}
$\eta\in\Omega^{p-1}(M),\ \omega\in\Omega^p(M)$ に対して、
$d\eta=\frac{1}{p!}\sum p\nabla_{i_1}\eta_{i_2\cdots i_p}dx^{i_1}\wedge\cdots\wedge dx^{i_p}$ であるから、
$$
\begin{aligned}
\langle d\eta,\omega\rangle_M
&=\int_M\frac{1}{(p-1)!}\sum_{i_1,\cdots,i_p}\nabla_{i_1}\eta_{i_2\cdots i_p}\omega^{i_1\cdots i_p}dv\\
&=\int_M\frac{1}{(p-1)!}\sum_{i_1,\cdots,i_p}\nabla_{i_1}(\eta_{i_2\cdots i_p}\omega^{i_1i_2\cdots i_p})dv-\int_M\frac{1}{(p-1)!}\sum_{i_1,\cdots,i_p}\eta^{i_2\cdots i_p}\nabla^{i_1}\omega_{i_1i_2\cdots i_p}dv\\
&=\int_M\langle\frac{1}{(p-1)!}\sum_{i_2,\cdots,i_p}\eta_{i_2\cdots i_p}dx^{i_2}\wedge\cdots\wedge dx^{i_p},-\frac{1}{(p-1)!}\nabla^{i_1}\omega_{i_1i_2\cdots i_p}dx^{i_2}\wedge\cdots\wedge dx^{i_p}\rangle_sdv
\end{aligned}
$$
となることより分かる。
{{end |proof }}

== ラプラシアンと調和形式 ==
$(M,g)$ を向きつけ可能なコンパクトリーマン多様体で境界のないものとする。
このとき、Laplace-de Rham作用素 $\Delta:\Omega^p(M)\rightarrow\Omega^p(M)$ は
$$
\Delta:=d\delta+\delta d
$$
と定義される。
これはEuclid空間における通常のラプラシアンの一般化の一つである。

$\omega\in\Omega^p(M)$ で $\Delta\omega=0$ となるものを $p$ 次調和形式(p-harmonic form)という。

Laplace-de Rham作用素 $\Delta$ は次の性質を持つ。

(1) $\ast\Delta=\Delta\ast$ である。従って　$\omega$ が調和形式ならば、$\ast\omega$ もそうである。

(2) $\langle\Delta\omega,\eta\rangle_M=\langle\omega,\Delta\eta\rangle_M$ である。すなわち $\Delta$ は自己随伴である。

(3) $\Delta\omega=0\Leftrightarrow d\omega=\delta\omega=0$

{{begin |proof | collapsible=1 |collapsed=1|display=[証明]}}
(1) は簡単な計算で分かる。
(2) は $d,\delta$ が互いに自己随伴であることから分かる。
(3) については$d\omega=\delta\omega=0\Rightarrow\Delta\omega=0$ は明らかである。逆は $(M,g)$ のコンパクト性が本質的である。すなわち
$0=\langle\Delta\omega,\omega\rangle_M=\langle d\omega,d\omega\rangle_M+\langle\delta\omega,\delta\omega\rangle_M$ と $\langle,\rangle_M$ の正定値性から分かる。
{{end |proof }}

== Hodge分解とHodgeの定理 ==
ここでは、向き付け可能コンパクトリーマン多様体 $(M,g)$ 上の微分形式のなす線形空間 $\Omega(M)$ の直交分解に関する定理である ''Hodge 分解''(Hodge decomposition)の概要を述べる。

(''Hodge 分解'')　　向き付け可能コンパクトリーマン多様体 $(M,g)$ に対して、任意の $p$-形式の全体は調和形式、完全形式、余完全形式の和として一意的に表される。すなわち
$$
\Omega^p(M)=\mathbb{H}^p(M)\oplus d\Omega^{p-1}(M)\oplus\delta\Omega^{p+1}(M)
$$
が成り立つ。
ここで、$\mathbb{H}^p(M),\ d\Omega^{p-1}(M),\ \delta\Omega^{p+1}(M)$ らはそれぞれ$p$ 次調和形式、$p$ 次完全形式、$p$ 次余完全形式のなす線形空間である。
またこれらの直和分解は直交分解である。

{{begin |proof | collapsible=1 |collapsed=1|display=[証明の概略]}}
Hodge分解の証明の中核をなすのは２階の楕円形偏微分方程式の解の存在定理であり、解析学からの準備が必要になるのでここでは述べない。
$\mathbb{H}^p$ への直交射影を $H:\Omega^p(M)\rightarrow\mathbb{H}^p$ とする。
任意の $\omega\in\Omega^p(M)$ に対して、$\omega-H\omega\in(\mathbb{H}^p)^\perp$ である。
$\Delta$ は楕円形偏微分作用素であり、解析学の結果から $\theta\in(\mathbb{H}^p)^\perp$ に対して、方程式 $\Delta\omega_0=\theta$ の解 $\omega_0\in(\mathbb{H}^p)^\perp$ は常に存在することが分かる。
従って、$G\omega\in(\mathbb{H}^p)^\perp$ が存在して、$\omega-H\omega=\Delta G\omega$ となる。
従って、$\omega=H\omega+d(\delta G\omega)+\delta(dG\omega)$ が成り立つ。
直交性は $d,\delta$ が随伴の関係にあることなどより簡単に確かめられる。
{{end |proof }}

この証明の $G$ は $\Delta$ のGreen作用素と呼ばれ、$(\mathbb{H}^p)^\perp$ に制限すれば $\Delta$ の逆作用素である。

Hodge分解から次のHodgeの定理が従う。

(''Hodgeの定理'')　　向き付け可能コンパクトリーマン多様体 $(M,g)$ 上の任意の de Rham コホモロジー類は唯一つの調和形式で代表される。

{{begin |proof | collapsible=1 |collapsed=1|display=[証明]}}
任意の閉形式 $\omega\in\Omega^p(M)$ に対して、Hodge分解
$$
\omega=\omega_H+d\eta+\delta\theta
$$
が存在し、$0=d\omega=d\delta\theta$ より $0=\langle d\delta\theta,\theta\rangle_M=\langle\delta\theta,\delta\theta\rangle_M$ となり $\delta\theta=0$ である。
よって $\omega=\omega_H+d\eta$ である。
{{end |proof }}

== Pfaff系とフロベニウス可積分性 ==
ここでは微分形式により表現されるフロベニウスの定理を概説する。
詳しくは[[フロベニウス可積分性]]を参照されたい。

フロベニウスの定理は $n$ 変数の $r$ 連立全微分方程式系の解の存在に関する定理である。
$n$ 変数の $r$ 連立全微分方程式系は、$\mathbb{R}^n$ の開集合 $U$ 上で定義された $r$ 個の 1-形式 $\omega_i\in\Omega^1(U),\ (1\le i\le r)$ により、
$$
\omega_1=\omega_2=\cdots=\omega_r=0
$$
で与えられる。
このような連立系は''Paff系''と呼ばれる。
Paff系が解を持つとき、''フロベニウス可積分''(Frobenius integrable)であるという。

(フロベニウスの定理)　上のPaff系がフロベニウス可積分であるための必要十分条件は、$U$ 上の $r^2$ 個の 1-形式達 $\omega_i^{\ j}\in \Omega^1(U)$ が存在して、
$$
d\omega_i=\sum_{j=1}^r\omega_i^{\ j}\omega_j,\ \ (1\le i\le r)
$$
が成り立つことである。

== 関連項目 ==
*[[ベクトル解析2：微分形式]]
*[[接続の微分幾何]]

基数関数

2022-03-28T06:45:15Z

Saitory: pukiwiki記法 [X >Y]] をX に (XとYの位置の入れ替え忘れを修正)

[[Category:位相空間論]]
<noinclude>
{{TOC |align=right |noautonum=1 }}
</noinclude>
== 基数関数 ==
基数関数とは、なんらかの数学的対象に対して[[基数]]のひとつを割り当てる対応のことである。特に、位相空間について無限基数を割り当てる基数関数を考えることが多いため、本稿ではそのようなものに限って解説を行う。
=== 濃度 ===
位相空間 $X$ について、$\mathrm{card}(X)$ を $\max\{|X|\, , \, \aleph_0\}$ として定義すると、対応 $\mathrm{card}$ は基数関数となる。ここで、有限位相空間 $X$ について、$\mathrm{card}(X)$ は $\aleph_0$となることを注意しておく。混乱が生じない場合、$\mathrm{card}(X)$ のことを指して$|X|$と表記することがある。

対応 $\mathrm{card}$ は、位相空間の大きさを測るもっとも基本的な道具である。例えば、$|\mathbb{R}|=2^{\aleph_0}$ である。
=== 開集合の個数 ===
位相空間 $X$ の開集合系を $\mathcal{O}$ とするとき、$o(X)$ を $\max\{|\mathcal{O}|\, , \, \aleph_0\}$ として定義する。

(無限集合上の)離散空間においては、明らかに $o(X)=2^{|X|}$ が成立する。逆に、$\mathcal{O}\subset \mathcal{P}(X)$ であるため、一般に $o(X)\leq 2^{|X|}$ が成り立つ。また、[[分離公理|$T_0$-空間]]においては$|X|\leq o(X)$が成り立つことが知られている。
=== weight ===
位相空間 $X$ の基底とは、開集合よりなる集合 $B$ であって、以下の性質を満たすものである。

* 任意の点 $x$ と開集合 $x\in U$ について、$B$ の要素 $V$ であって $x\in V \subset U$ が成り立つものが存在する。

$X$ の基底の濃度として最小のものを $\kappa$ とおく。このとき、$w(X)$ を $\max\{\kappa\, , \, \aleph_0\}$ として定めると、対応 $w$ は基数関数となる。

$w(X)=\aleph_0$ を満たす位相空間 $X$ について、[[第二可算空間]]であるという。
=== network weight ===
位相空間 $X$ のネットワークとは、$X$ の部分集合よりなる集合 $\mathcal{N}$ であって、以下の性質を満たすものである。

* 任意の点 $x$ と開集合 $x\in U$ について、$\mathcal{N}$ の要素 $N$ であって $x\in N\subset U$ が成り立つものが存在する。

$X$ のネットワークの濃度として最小のものを $\kappa$ とおく。このとき、$nw(X)$ を $\max\{\kappa\, , \, \aleph_0\}$ として定めると、対応 $nw$ は基数関数となる。
=== density ===
位相空間 $X$ の部分空間 $Y$ について、$Y$ が $X$ で稠密であるとは $\overline{Y}=X$ が成り立つことを言う。

$X$ の稠密な部分空間の濃度として最小のものを $\kappa$ とおく。このとき、$d(X)$ を $\max\{\kappa\, , \, \aleph_0\}$ として定めると、対応 $d$ は基数関数となる。

$d(X)=\aleph_0$ を満たす位相空間 $X$ について、[[可分空間]]であるという。
=== Lindelöf度数 ===
位相空間 $X$ について、以下の性質を充たす最小の基数を $\kappa$ とおく。

* $X$ の開被覆 $\{U_i\}_{i \in \Lambda}$ について、濃度 $\kappa$ 以下の集合 $\Lambda ' \subset \Lambda$ が存在して、$\{U_i\}_{i \in \Lambda '}$ が $X$ の開被覆となるようにできる。

このとき、$L(X)$ を $\max\{\kappa\, , \, \aleph_0\}$ として定めると、対応 $L$ は基数関数となる。

$L(X)=\aleph_0$ を満たす位相空間 $X$ について、[[Lindelöf空間]]であるという。
=== 弱被覆度数 ===
位相空間 $X$ について、以下の性質を充たす最小の基数を $\kappa$ とおく。

* $X$ の開被覆 $\{U_i\}_{i \in \Lambda}$ について、濃度 $\kappa$ 以下の集合 $\Lambda ' \subset \Lambda$ が存在して、$X=\overline{\bigcup_{i \in\Lambda '} U_i}$が成り立つようにできる。

このとき、$wc(X)$ を $\max\{\kappa\, , \, \aleph_0\}$ として定めると、対応 $wc$ は基数関数となる。定義より明らかに、$wc(X)\leq L(X)$ が成り立つ。
=== cellularity ===
位相空間 $X$ について、以下の性質を充たす最小の基数を $\kappa$ とおく。

* $X$ の開集合の族 $\{U_i\}_{ i \in \Lambda }$ であって、相異なる $i,j \in \Lambda$ について $U_i \cup U_j = \emptyset$ が成り立つようなものを取ったとき、$|\Lambda| \leq \kappa$ が成り立つ。

このとき、$c(X)$ を $\max\{\kappa\, , \, \aleph_0\}$ として定めると、対応 $c$ は基数関数となる。
=== spread ===
位相空間 $X$ について、以下の性質を充たす最小の基数を $\kappa$ とおく。

* $X$ の離散な部分空間 $Y$ について、$|Y| \leq \kappa$ が成り立つ。

このとき、$s(X)$ を $\max\{\kappa\, , \, \aleph_0\}$ として定めると、対応 $s$ は基数関数となる。
=== extent ===
位相空間 $X$ について、以下の性質を充たす最小の基数を $\kappa$ とおく。

* $X$ の離散な閉部分空間 $Y$ について、$|Y| \leq \kappa$ が成り立つ。

このとき、$e(X)$ を $\max\{\kappa\, , \, \aleph_0\}$ として定めると、対応 $e$ は基数関数となる。定義より明らかに、$e(X) \leq s(X)$がが成り立つ。
=== character ===
位相空間 $X$ と点 $x \in X$ について、$X$ の $x$ 上の基底とは、開集合よりなる集合 $B$ であって、以下の性質を満たすものである。

* 開集合 $x\in U$ について、$B$ の要素 $V$ であって $x\in V \subset U$ が成り立つものが存在する。

点 $x \in X$ について、$X$ の $x$ 上の基底の濃度として最小のものを $\kappa$ とおく。このとき、$\chi(X,x)$ を $\max\{\kappa\, , \, \aleph_0\}$ として定め、また $\chi(X)$ を $\sup_{x \in X}\chi(X,x)$ として定める。

$\chi(X)=\aleph_0$ を満たす位相空間 $X$ について、[[第一可算空間]]であるという。
=== tightness ===
位相空間 $X$ について、以下の性質を充たす最小の基数を $\kappa$ とおく。

* $X$ の任意の部分集合 $Y$ と点 $x\in\overline{Y}$ に対し、濃度 $\kappa$ 以下の集合 $A\subset Y$ が存在して $x\in \overline{A}$ が成り立つようにできる。

このとき、$t(X)$ を $\max\{\kappa\, , \, \aleph_0\}$ として定めると、対応 $t$ は基数関数となる。
== 性質 ==
* $wc(X)\leq d(X)\leq w(X)\leq o(X)$ が成り立つ。
* $wc(X)\leq c(X)$ が成り立つ。
* $t(X)\leq \chi(X) \leq w(X)$が成り立つ。
* $cf(\kappa)>t(X)$ なる基数 $\kappa$ と、閉集合の昇鎖列 $\{A_\alpha\,|\,0\leq \alpha <\kappa\}$ について、$\bigcup_{0\leq \alpha <\kappa} A_\alpha$ は閉集合である。
* $nw(X)\leq \mathrm{card}(X)$ が成り立つ。
* $nw(X)\leq w(X)$ が成り立つ。さらに、[[局所コンパクト空間|局所コンパクト]][[分離公理|Hausdorff]]空間については $nw(X)=w(X)$ が成り立つ。

== 有名な結果 ==
* [[Arhangel’skiiの不等式]]
== 関連項目 ==
* [[位相空間]]
* [[第二可算空間]]
* [[可分空間]]
* [[Lindelöf空間]]
* [[第一可算空間]]
* [[分離公理]]
* [[基数]]
* [[共終数]]

圏論に関する事項

2022-03-28T06:44:20Z

Saitory: pukiwiki記法 [X >Y]] をX に (XとYの位置の入れ替え忘れを修正)

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{{TOC |align=right |noautonum=1 }}
</noinclude>
== 圏論に関する事項 ==
＜＜現在工事中＞＞

== 基礎 ==

* [[圏]]
* [[対象]]
* [[射]]
* [[関手]]
* [[自然変換]]
* [[同型]]
* [[モノ射]]
* [[エピ射]]

== 概念 ==

=== 米田の補題 ===

* [[表現可能関手]]

=== 極限・余極限 ===

=== 圏の構成 ===

* [[圏の非交和|非交和]]
* [[圏の積|積]]

=== 射のクラス ===

* [[モノ射]]
* [[エピ射]]

=== 圏のクラス ===

=== サイズに関する概念 ===
* [[ZFC公理系]]
* [[NBG公理系]]
* [[集合]]
* [[クラス]]
* [[強到達不能基数]]
* [[Grothendieck宇宙]]

== 定理 ==

== テキスト ==

== 関連項目 ==

吸収元

2022-03-28T06:43:58Z

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</noinclude>
== 吸収元 ==

=== コンテンツ ===

== 定義 ==
[[マグマ]]$\langle M, \cdot \rangle$の元$0_L$が性質
:$ \forall a \in M, 0_L \cdot a = 0_L $

を満たすとき、$e_L$を$M$の''左吸収元''もしくは''左零元''と呼ぶ。

マグマ$\langle M, \cdot \rangle$の元$0_R$が性質
:$ \forall a \in M, a \cdot 0_R = 0_R $

を満たすとき、$e_R$を$M$の''右吸収元''もしくは''右零元''と呼ぶ。

マグマ$\langle M, \cdot \rangle$の元$0$が左吸収元かつ右吸収元であるとき、$e$は$M$の''吸収元''もしくは''零元''であるという。

== 重要な定理 ==
=== 定理1 ===
マグマ$\langle M, \cdot \rangle$が左吸収元$0_L$と右吸収元$0_R$を持つとき、$0_L=0_R$
==== 証明 ====
$0_L$の左吸収元としての性質から
: $0_L \cdot 0_R = 0_L$

$e_R$の右吸収元としての性質から
: $0_L \cdot 0_R = 0_R$

したがって、
: $0_L = 0_R$

=== 定理2(唯一性) ===
マグマ$\langle M, \cdot \rangle$は高々1個の吸収元しか持たない。
==== 証明 ====
$0_1,0_2$を$M$の吸収元とする。定理1より、$0_1=0_2$

=== 定理3 ===
# マグマ$\langle M, \cdot \rangle$の元$0$が左吸収元かつ[[単位元|左単位元]]ならば、$M=\{0\}$
# マグマ$\langle M, \cdot \rangle$の元$0$が右吸収元かつ[[単位元|右単位元]]ならば、$M=\{0\}$
==== 証明 ====
# $a \in M$を任意にとる。$0$の左吸収元としての性質から
: $0 \cdot a = 0$
< $0$の左単位元としての性質から
: $0 \cdot a = a$
< したがって$M$の任意の元は$0$と等しいので、$M=\{0\}$
# 同様

== 参考文献 ==
ｘｘｘ

== ''リンク'' ==

URLやメールアドレスは自動的にリンクになります
* URL -- http://example.org/
* メールアドレス -- foo@example.org
* URLが各種画像ファイルであればそのまま表示します
** http://pukiwiki.osdn.jp/image/b_pukiwiki.official.png

各分野における反例の一覧

2022-03-28T06:43:15Z

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== 各分野における反例の一覧 ==
ここでは、各分野における反例の一覧をまとめる。

== 位相空間論の反例 ==

=== 連結性に関する反例 ===

==== [[可縮空間|可縮]]だが局所可縮ではない ====

* [[くし空間]]
=== 分離公理に関する反例 ===

==== 全部分正規空間($T_5$)だが完全正規空間($T_6$)でない例 ====
* [[長い直線]]

==== 正規空間($T_4$)だが全部分正規空間($T_5$)でない例 ====

* [[Tychonoff の板]]

==== 完全正則空間($T_{3.5}$)だが正規空間($T_4$)でない例 ====

==== 正則空間($T_3$)だが完全正則空間($T_{3.5}$)でない例 ====

==== Hausdorff 空間($T_2$)だが正則空間($T_3$)でない例 ====

=== 位相空間の積に対する反例 ===

==== [[正規空間|正規性]]が積で保存されない例 ====

* [[Sorgenfrey 直線]]$X$は[[完全正規空間]]であるため[[正規空間]]だが、その直積$X\times X$ は[[正規空間]]ではない。

== 可換環論の反例 ==

副正規部分群

2022-03-28T06:42:06Z

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== 副正規部分群 ==
＜＜現在工事中＞＞

群 $G$ の部分群 $H$ が''副正規部分群''（ふくせいきぶぶんぐん、subnormal subgroup）であるとは、[[正規列|連正規列]] $H\triangleleft \ldots \triangleleft G$ が存在することをいう。またこのことを指して $H\triangleleft \triangleleft G$ と表記する。

== 性質 ==
* 群 $G$ の副正規部分群 $H_1$, $H_2$ について、$H_1\cap H_2$ は $G$ の副正規部分群である。
* 有限群 $G$ の副正規部分群 $H_1$, $H_2$ について、$H_1\cup H_2$ で生成される $G$ の部分群 $\langle H_1,H_2\rangle$ は副正規部分群である。

== 関連項目 ==
* [[部分群]]
* [[有限群]]

冪零群

2022-03-28T06:41:46Z

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== 冪零群 ==
群 $G$ が冪零群であるとは、[[正規列]] $\{e\}=G_0 \triangleleft \ldots \triangleleft G_r=G$ であって次の条件をみたすものが存在することをいう。

* $0\leq i<r$ について、$G_i$ は $G$ の[[正規部分群]]
* $0\leq i<r$ について、$G_{i+1}/G_i$ は $G/G_i$ の[[群の中心|中心]]
== 関連項目 ==
* [[正規列]]

位相幾何学

2022-03-28T06:41:31Z

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== 位相幾何学 ==
＜＜工事中＞＞
位相幾何学（いそうきかがく、topology）は、

== 分野の概観 ==

=== [[位相空間論|一般位相]] ===

=== [[代数的トポロジー]] ===

=== [[微分位相幾何学]] ===

=== [[低次元トポロジー]] ===

== テキストコンテンツ ==
* [[入門テキスト「代数的トポロジーの初歩」]]

== 関連項目 ==
* [[代数的トポロジー]]
* [[基本群]]
* [[ホモトピー]]
* [[ウェッジ和]]
* [[n次元球面]]
* [[くし空間]]
* [[ハワイの耳飾り]]
* [[幾何学の参考書]]

テンソル解析

2022-03-28T06:41:06Z

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== テンソル解析 ==
''テンソル解析''(てんそるかいせき、tensor analysis)とは、[[可微分多様体]]上でのテンソル場に関する微分・積分に関する技術の総称である。
微分幾何の議論を進める上で非常に有用なツールである。
この項目ではテンソル解析の概要を一望することを主眼に置き、微分幾何を学ぶにあたって重要となる基礎概念を紹介する。
また各項目については基本的なことを述べるにとどめるので、より詳しい内容については各項目の解説記事を参照されたい。
$$$$

== テンソル解析を学ぶ理由 ==
曲線達によって作られる座標（曲線座標）において幾何学的な考察をしたり微積分の計算をすることは非常に多くの場面で必要とされる（例えば極座標での考察）。
従って一般の曲線座標系における計算技術を開発しておくことは，特定の座標で考察する際に明らかに利便性を高める。
またその考察結果が幾何学的に意味を持つためには座標の取り方に依存しない概念で語られる必要がある。
例えば、$\mathbb{R}^2$ において標準的な直交座標に関しての一次関数は直線を表すが、極座標に関しての一次関数は一般に曲線である。
従って、「座標の一次関数で表される〜」といった文言は特定の座標を固定した上での議論でない限りは幾何学的な意味を持たない。
テンソル解析を学ぶことで一般の曲線座標においても正しく意味のある考察を行うことができ、またそのためテンソル解析は微分幾何を理解するための必須の技術である。
$$$$

== 反変性と共変性 ==
上に述べたように座標に依存しない形で定式化するために基本的な役割を果たすのが[[ベクトル空間]]と双対ベクトル空間([[速習「線形空間論」]])の元に関する反変性、共変性および $(p,q)$-テンソルの概念である。
これらはベクトル空間、その双対空間、及びそれらのテンソル空間を幾何学的対象と見たときに要請されるべき性質である。
ここではこれらの性質と考え方を解説する。

$V$ を $n$ 次元実ベクトル空間とする。
$v\in V$がある２つの基底 $\{e_1,\cdots,e_n\},\ \{e'_1,\cdots,e'_n\}$ に関して、それぞれ
$$
v=(e_1,\cdots,e_n)\begin{pmatrix}v^1\\ \vdots \\ v^n \end{pmatrix}=(e'_1,\cdots,e'_n)\begin{pmatrix}v'^1\\ \vdots \\ v'^n \end{pmatrix}
$$
と表されるとする(今後 $v^i$ のように上付きの添字を使うことがしばしばある。べき乗の意味ではないので注意)。
２つの基底の間には、ある $a^i_{\ j}\in GL(n,\mathbb{R})$ があり、
$$
(e_1,\cdots,e_n)=(e'_1,\cdots,e'_n)\begin{pmatrix}a^1_1&\cdots&a^1_n \\
\vdots& \ddots & \vdots \\ a^n_1 & \cdots & a^n_1 \end{pmatrix}
$$
という関係がある。
このとき
$$
\begin{pmatrix}v^1\\ \vdots \\ v^n \end{pmatrix}=\begin{pmatrix}a^1_1&\cdots&a^1_n \\
\vdots& \ddots & \vdots \\ a^n_1 & \cdots & a^n_1 \end{pmatrix}^{-1}\begin{pmatrix}v'^1\\ \vdots \\ v'^n \end{pmatrix}\\
\ \\
v^i=(a^{-1})^i_{\ j}v'^j
$$
なる関係がある。

また $V^\ast$ を $V$ の双対空間([[速習「線形空間論」]])とする。
（$V$ の双対空間とは $\mathbb{R}$-線形写像 $f:V\rightarrow\mathbb{R}$ 達が作る線形空間のことである。）
$\{\theta^1,\cdots,\theta^n\},\ \{\theta'^1,\cdots,\theta'^n\}$ をそれぞれ $\{e_i\},\ \{e'_i\}$ に対する双対基底([[速習「線形空間論」]])とする。
（$V$ の基底 $\{e_j\}$ に対する双対基底とは、 $V^\ast$ の基底 $\{\theta^i\}$ で $\theta^i(e_j)=\delta^i_{\ j}$ となるものであり、$\{e_j\}$ に対して双対基底は一意的に定まる。）
今、$e_i=\sum_j a^j_{\ i}e'_j$ なる関係があるとしたから $\{\theta^i\}$ と $\{\theta'^i\}$ には $\theta^i=\sum_j (a^{-1})^i_{\ j}\theta'^j$ なる関係がなければならない。
先程と同様に、$f\in V^\ast$ が $f=\sum_if_i\theta^i=\sum_if'_i\theta'^i$ と表されるとすれば、$f^i=\sum_ja^i_{\ j}f'^j$ が成り立つ。

総括すると，基底の変換 $e_i=\sum_j a^j_{\ i}e'_j$ に応じて$v\in V$ の成分は $v^i=\sum_j (a^{-1})^i_{\ j}v'^j$ のように変換する。
この成分の変換性を反変性と呼ぶ。
また $v$ を反変ベクトルと呼ぶことがある。
同様に、$f\in V^\ast$ は基底の変換 $e_i=\sum_j a^j_{\ i}e'_j$ に応じて、その双対基底に関する成分が $f_i=\sum_ja^j_{\ i}f'_j$ と変換する。
これを共変性と呼ぶ。
また $f$ を共変ベクトルと呼ぶことがある。
これらは $V$ を固定する毎に相対的に決まる性質である。

これらの変換性の議論はほとんど自明であるが、成分の変換性を強調する理由はある。
$V$ を幾何学的対象と見たとき、研究の対象とするのは $V$ の構造または $V$ 内の色々な図形の性質で、典型例は $V$ の元、すなわちベクトルである。
ベクトルを記述する目的で任意に定めた基底を用いるが、これは $V$ の構造とは関係がない。
従って $V$ の幾何学的性質に関する言明は基底の変換に対して不変な形に述べられるべきである。
例えば、$v=\sum_iv^ie_i$ に対して、$\sum_iv^i\in\mathbb{R}$ という量は基底の変換 $e_i=\sum_j a^j_{\ i}e'_j$ に応じて、$\sum_{i,j}(a^{-1})^i_{\ j}v'^j$ と変換する。
この量は一般に $\sum_iv'^i$ とは異なる。
従って、基底を一つ選んだときのベクトルの成分の和という量は基底の選び方に依存し、$v$ の幾何学的実体とは関係がないと考えられる。
一方、$f=\sum_if_i\theta^i\in V^\ast$ に対して、$f(v)=\sum_if_iv^i$ は基底の変換 $e_i=\sum_j a^j_{\ i}e'_j$ に応じて、$\sum_if_iv^i=\sum_{i,j,k}f'_ja^j_i(a^{-1})^i_{\ k}v'^k=\sum_if'_iv'^i$ となる。
従ってこの量は基底の取り方に依存せず一つの実数を定めているため、幾何的に意味のある量と考えられる。

最後に $p$ 個の $V$ と $q$ 個の $V^\ast$ の[[速習「線形空間論」#定義8.1（線形空間のテンソル積）|テンソル積空間]] $T^{(p,q)}:=\underbrace{V\otimes \cdots\otimes V}_{p}\otimes\underbrace{V^\ast\otimes \cdots\otimes V^\ast}_{q}$ の元を $(p,q)$-テンソルという。$T\in T^{(p,q)}$ は $$T=\sum_{i_1,\cdots,i_p,j_1,\cdots,j_q}T^{i_1\cdots i_p}_{j_1\cdots j_q}e_{i_1}\otimes\cdots\otimes e_{i_p}\otimes\theta^{j_1}\otimes\cdots\otimes\theta^{j_q}$$ と表される。
テンソル $T$ の成分は $V$ の基底の変換 $e_i=\sum_j a^j_{\ i}e'_j$ に応じて $$T^{k_1\cdots k_p}_{l_1\cdots l_q}=\sum_{i_1,\cdots,i_p,j_1,\cdots,j_q}(a^{-1})^{k_1}_{\ \ i_1}\cdots (a^{-1})^{k_p}_{\ \ i_p}a^{j_1}_{\ \ l_1}\cdots a^{j_q}_{l_q}T'^{i_1\cdots i_p}_{j_1\cdots j_q}$$
と変換することが上と同様にして分かる。
このとき $u^1,\cdots,u^p\in V^\ast,\ v_1,\cdots,v_q\in V$ に対して，$T(u^1,\cdots,u^p,v_1,\cdots,v_q)$ は基底の選び方に依らない量である。
ベクトル空間 $V$ のベクトルに関連した幾何的に意味のある量は $T(u^1,\cdots,u^p,v_1,\cdots,v_q)$ のような形の量を基にして作られることがほとんどである。
また反変ベクトルは $(1,0)$-テンソルで，共変ベクトルは $(0,1)$-テンソルのことである。

テンソルの成分の変換性は後術するようにテンソル場のある性質が座標の取り方に依存しないものであるかを見るためにも必要とされる（例えば微分可能性）。
座標に依存しない方法（後術）において形式上は変換性について特別に注意を払う必要はないが，それでも成分の変換性でテンソルを理解することは，ベクトルバンドルや主バンドルにおける同伴バンドルの理解の基礎にもなるため重要である。

== テンソル解析で考察対象となる主な概念 ==
ここではテンソル解析で主に考察の対象となる概念を概観する。
基本的にはテンソル代数における概念が”場”となったものとそれらに対する微分である。
多くの状況では滑らかな微分多様体を考えるためここでもそうする。
$C^r$ 級微分多様体上の有限回の微分可能性については少しの注意を補足する。

また以下では多様体の局所的な議論を説明をいたずらに煩雑にしないために、チャート(局所座標近傍)に関する表記を文脈から明らかな場合はしばしば省略する。
すなわち、チャート $(U,\phi)$ を $\phi:U\rightarrow\mathbb{R}^n$ とし、$\mathbb{R}^n$ の標準的座標を $\{x^1,\cdots,x^n\}$ とするとき、$U$ 上の座標関数は $x^i\circ\phi$ と書くべきであるが単に $x^i$ と書くことにする。
あるいはチャートに関しても $(U,\{x^i\})$ などと書き、同相写像 $\phi$ を省略する。
=== 曲線 ===
$n$ 次元の滑らかな級微分多様体 $M$ の曲線とは写像
$$c:\mathbb{R}\supset I\rightarrow M$$
のことである（文脈によって写像 $c:t\mapsto c(t)$ を曲線ということもあるし，その像 $c(t)$ を曲線と呼ぶこともある）。
チャート $(U,\{x^i\})$ に関して、$U$ 上で $c(t)=(x^1(t),\cdots,x^n(t))$ と表示される。
（正確には、チャート $(U,\phi)$ を $\phi:U\rightarrow\mathbb{R}^n$ とし、$\mathbb{R}^n$ の標準的座標を $\{x^1,\cdots,x^n\}$ とするとき、$\phi\circ c(t) = (x^1(t),\cdots,x^n(t))$ と書かれるべきであるが便利のため短縮した。これ以降も同様）

曲線 $c$ が滑らかであるとは、各 $x^i(t)$ が $t$ の関数として $C^\infty$ 級であり，$n$ 個の $dx^i/dt$ が同時に0にならないことである。
この性質はチャートの取り方に依らない。
なぜなら，別のチャートを $(V,\{y^j\}),\ U\cap V\ne\phi$ とし，$U\cap V$ 上で $c(t)=(y^1(t),\cdots,y^n(t))$ と表したとき，
$$\frac{dy^i(t)}{dt}=\sum_j\left(\frac{\partial y^i}{\partial x^j}\right)\frac{dx^j(t)}{dt}$$
であるが、滑らかな微分多様体のアトラスに属する２つのチャート間の座標変換は $C^\infty$ 級であるから，$dy^i(t)/dt$ も $C^\infty$ 級である。

もし $C^r$ 級微分多様体を考えるならば、$C^r$ 級より大きい微分可能性を考えることは意味がない。
あるチャートについて $C^{r+1}$ 級だとしても別のチャートでそうなることは保証されないからである。
以降の解説においても微分可能性に関するwell-definednessの議論はほぼ同様である。
曲線は多様体上の考察において最も基本的な対象である。

=== 曲線座標 ===
$n$ 次元の滑らかな級微分多様体 $M$ のチャート $(U,\{x^i\})$ に関して、ある $i$ に対して、 $x^i$ 以外を止めて $x^i$ だけ動かしてできる曲線 $t\mapsto (x^1_0,\cdots,x^{i-1}_0,t,x^{i+1},\cdots,x^n_0)$ を $x^i$-曲線と呼ぶ。
これは $(x^1_0,\cdots,x^{i-1}_0,x^{i+1},\cdots,x^n_0)$ を指定する毎に一つの曲線が決まるので曲線の族である。
$1\le i\le n$ の $n$ 個の $x^i$-曲線達を座標曲線と呼ぶ。
チャートを定めるというのは、多様体に局所的に $n$ 個の座標曲線族達による曲線座標を設定することに他ならない。
簡単な例は $\mathbb{R}^n$ の標準的な直交座標である（直線は曲線の一種）。
非自明で有名な例は球座標である。
=== スカラー場 ===
滑らかな微分多様体 $M$ の各点に実数（複素数）を対応させることで、$M$ を定義域とした実数値の関数 $f$ が定まり、これを実（複素）''スカラー場''(real (complex) scalar field)または''スカラー関数''という。
スカラー場 $f$ が滑らかであるとは、$M$ の任意のチャート $(U,\{x^i\})$ に関して、$f(x^1,\cdots,x^n)$ と表されるとき、$\{x^i\}$に関して $f$ が $C^\infty$ 級であることを言う（これはチャートの取り方によらない）。
$M$ 上の滑らかなスカラー場の全体を $C^\infty(M)$ と書く。
$f,g\in C^\infty(M)$ に対して，各点 $p$ で $(f+g)(p):=f(p)+g(p),\ (fg)(p):=f(p)g(p)$ を対応させることで $C^\infty(M)$ には和と積が定義され[[環]]となる。
=== Einstein規約 ===
テンソル解析では添字で指定されるスカラーの組についてある添字に関しての和を取る操作が頻繁に出てくる。
例えば、２つの行列 $(a^i_{\ j})_{1\le i,j\le n},\ (b^i_{\ j})_{1\le i,j\le n}$ の積の $(i,j)$ 成分は $\sum_{k=1}^na^i_{\ k}b^k_{\ j}$ となるが、このとき添字 $k$ についての和を取っている。
このとき記号 $\sum$ はしばしば煩わしいので省略して $a^i_{\ k}b^k_{\ j}$ と書くことがよくある。
これを''Einstein規約''という。
Einstein規約では和を取る添字は上下に配置されるようにして添字の文字を同じものにしておくことが約束である。
テンソル解析で登場する添字を持った量(テンソル場の成分)の添字の付け方はEinstein規約が機能するように作られている。
しかしこの記事内ではEinstein規約は使わず、$\sum$ を使う。
この記事内の数式のほとんどは $\sum$ を省略してもEinstein規約として意味が通るように書いてある。
=== ベクトル場 ===
ベクトル場(vector field)または反変ベクトル場(contravariant vector field)は、大雑把に言うとベクトル場は多様体の各点に[[接ベクトル]]を配置したものである。
反変とつくのは、[[接空間]]の基底の変換に対して、成分が反変的に変換するためである。

始めに多様体の接ベクトルと接空間を定義しよう。
多様体をより大きい次元の $\mathbb{R}^n$ の部分多様体として実現して接ベクトルを考えることはできるが、そのような $\mathbb{R}^n$ が存在することは多様体の定義から自明なことではない(ホイットニーの埋め込み定理により肯定されるが）。
従って接ベクトルやその集まりの接空間を定義する際に多様体の定義から定まる内在的な概念のみを材料とするべきである。
基礎となるのは接ベクトルをスカラー関数の方向微分を定める微分作用素と見なすことである。

$M$ を $n$ 次元の滑らかな微分多様体とする。
点 $p\in M$ を通る滑らかな曲線 $c:\mathbb{R}\supset(-\varepsilon,\varepsilon)\rightarrow M,\ c(0)=p$ を考える。
点 $p$ の近傍で定義される任意の関数 $f\in C^\infty(U)$ に対して、微分係数$$\frac{d}{dt}f(c(t))|_{t=0}$$を考えることができる。
これは曲線 $c$ の点 $p$ での”接ベクトル”方向への方向微分であると考えられる。
$p$ を通る２つの曲線 $c,c',(c(0)=c'(0)=0)$ に対して， $df(c(t))/dt|_{t=0}=df(c'(t))/dt|_{t=0}$ となるとき，$c$ と $c'$ を同値と定義すると明らかに点 $p$ を通る $C^r$ 級曲線全体に同値関係が入る。
$p$ を通る曲線 $c$ の類が定義する点 $p$ における微分作用素，すなわち $f\mapsto df(c(t))/dt|_{t=0}$ を点 $p$ における''接ベクトル''と呼ぶ。
点 $p$ における接ベクトル全体は明らかに $\mathbb{R}$ 上のベクトル空間になり点 $p$ における''接ベクトル空間''(tangent vector space)または単に''接空間''(tangent space)といい、$T_p(M)$ と書かれる。

チャート $(U,\{x^i\})$ に対して、$(\partial/\partial x^i)_p$ を $f\mapsto (\partial f/\partial x^i)_p$ と定義すると、$n$ 個の $(\partial/\partial x^i)_p$ 達は $T_p(M)$ の基底になり、$v\in T_p(M)$ は $$v=\sum_iv^i\left(\frac{\partial}{\partial x^i}\right)_p$$ と表され、$v^i$ 達はチャート $(U,\{x^i\})$ に関する成分と言う。
また ${\rm dim}_\mathbb{R}T_p(M)=n$ である。
$(\partial/\partial x^i)_p$ 達はチャート $(U,\{x^i\})$ に関する''座標基底''（coordinate basis）または''自然基底''（natural basis）という。
定義より $(\partial/\partial x^i)_p$ 達は座標曲線の接ベクトルである。

$v$ の類を代表する曲線を $c(t)=(x^1(t),\cdots,x^n(t))$ とすると、定義より明らかに $v^i=dx^i(t)/dt|_{t=0}$ である。
別のチャート $(V,\{y^j\}),\ U\cap V\ne\phi$ に対して、$c(t)=(y^1(t),\cdots,y^n(t))$ とすると $(V,\{y^j\})$ に関する $v$ の成分は $v'^i=dy^i(t)/dt|_{t=0}=\sum_j(\partial y^i/\partial x^j)_p(dx^j(t)/dt)_{t=0}=\sum_j(\partial y^i/\partial x^j)_pv^j$ となる。
一方、合成関数の微分を考えると $(\partial/\partial x^i)_p=\sum_j(\partial y^j/\partial x^i)_p(\partial/\partial y^j)_p$ が成り立つから、$T_p(M)$ の座標基底の変換行列が $(\partial y^j/\partial x^i)_p\in GL(n,\mathbb{R})$ で与えられることになる。
したがって、$v\in T_p(M)$ のあるチャートに関する成分は反変性を持つ。

$M$ の各点に接ベクトルを一つ対応さすことによって接ベクトルに値を持つ関数が定まり、これを''ベクトル場''という（[[接バンドル]]の文脈では切断と呼ばれる写像で定義することができる）。
ベクトル場 $v$ はチャート $(U,\{x^i\})$ に関して、$v=\sum_iv^i(x)\partial/\partial x^i$ と表され、$v^i(x)$ は実数値関数である。
$n$ 個の$v^i(x)$ が $\{x^i\}$ に関して $C^\infty$ 級であるとき、ベクトル場 $v$ は滑らか、または $C^\infty$ 級であるという。
成分の反変性を考えると、ベクトル場が滑らかであるという性質はチャートの選び方によらない。

$C^\infty$ 級ベクトル場 $v,w$ に対して、$v+w$ が自然に定義され $C^\infty$ 級ベクトル場となる。
また$C^\infty$ 級ベクトル場 $v$ と $f\in C^\infty(M)$ に対して、$fv$ は $C^\infty$ 級ベクトル場である。
従って、$C^\infty$ 級ベクトル場の全体は $C^\infty(M)$-[[加群]]となる。
また明らかに $\mathbb{R}$ 上の線形空間であるが、実次元は無限である。
滑らかな多様体 $M$ の滑らかなベクトル場の全体を $\mathcal{X}(M)$ と書く。

$v\in\mathcal{X}(M),\ f\in C^\infty(M)$ に対して，$v(f)\in C^\infty(M)$ が定義される。
従って，$v\in\mathcal{X}(M)$ は線形な微分作用素 $C^\infty(M)\rightarrow C^\infty(M)$ を誘導する。
逆にこのような微分作用素はベクトル場から得られる。

=== コベクトル場 ===
コベクトル場(covector field)または共変ベクトル場(convariant vector field)は，
大雑把に言うと多様体の各点に接空間の双対空間の元を配置したものである。
共変とつくのは、[[接空間]]の基底の変換に対して、成分が共変的に変換するためである。

滑らかな微分多様体 $M$ の点 $p$ における接空間 $T_p(M)$ の双対空間([[速習「線形空間論」]])を $T_p^\ast(M)$ と書く。
$T_p(M)$ の元を点 $p$ における''共変ベクトル''または''コベクトル''という。
$M$ の各点にコベクトルを一つ対応さすことによってコベクトルに値を持つ関数が定まり、これを''共変ベクトル場''または''コベクトル場''という（[[余接バンドル]]の文脈では切断と呼ばれる写像で定義することができる）。
後術する $p$-形式の $p=1$ の特別な場合でもあるから $1$-形式とも呼ばれる。

コベクトル場 $u$ が滑らかまたは $C^\infty$ 級であるとは、任意の滑らかなベクトル場 $v$ に対して、スカラー関数 $u(v)$ が $C^\infty$ 級であるときをいう。
各点 $p\in M$ に対して、$T^\ast_p(M)$ は [[$\mathbb{R}$-線形写像]] $T_p(M)\rightarrow\mathbb{R}$ を定義するから、滑らかなコベクトル場は $C^\infty(M)$-線形写像 $\mathcal{X}(M)\rightarrow C^\infty(M)$ を定める。
すなわち、$X,Y\in\mathcal{X}(M)$ と $f\in C^\infty(M)$ と滑らかなコベクトル場 $u$ に対して、$u(fX+g)=fu(X)+u(Y)$ となる。
逆にこのような $C^\infty(M)$-線形写像 $\mathcal{X}(M)\rightarrow C^\infty(M)$ は滑らかなコベクトル場を定義することが分かる。
ベクトル場と同様に、滑らかなコベクトル場の全体は実線形空間であり、$C^\infty(M)$-[[加群]]である。
$p$-形式に対する記号を使い，滑らかなコベクトル場のなす $C^\infty(M)$-加群を $\Omega^1(M)$ と書く。

コベクトルとコベクトル場の基本的な例はスカラー関数から得られる。
ベクトル場の解説をしたときは、$v\in T_pM$ と点 $p$ の近傍 $U$ 上の関数 $f\in C^1(U)$ に対して、ベクトル $v$ を固定して関数 $f$ を入力とみなして出力 $v(f)|_p\in\mathbb{R}$ を考えたが、役割を入れ替えて関数 $f$ を固定してベクトル $v$ を入力とみなしてもよい。
すなわち、$f\in C^1(M)$ に対して、 $(df)_p\in T_p^\ast(M)$ を任意の $v\in T_p(M)$ に対して、$$(df)_p(v):=v(f)|_p$$ と定義すればよい。
さらに、$f\in C^\infty(M)$ と $v\in\mathcal{X}(M)$ に対して、同様に $df(v):=v(f)$と定義すると、$df$ は滑らかな級コベクトル場である。

チャート $(U,\{x^i\})$ の座標関数 $x^i$ に対して $dx^i$ は、$dx^i(\partial/\partial x^j)=\partial x^i /\partial x^j=\delta^i_{\ j}$ となるので、$n$ 個の $(dx^i)_p$ 達は座標基底 $\{(\partial/\partial x^i)_p\}$ に対する双対基底([[速習「線形空間論]])であり、$T_p^\ast(M)$ の基底となる。
従って、$U$ 上で任意のコベクトル場は$$u=\sum_iu_i(x)dx^i$$と表される。
各 $u_i(x)$ をチャート $(U,\{x^i\})$ に関する成分という。
$u$ が滑らかであることと $n$ 個の成分 $u_i(x)$ が $\{x^i\}$ に関して $C^\infty$ 級であることは同値である。

$f\in C^\infty(M)$ に対して，$(df)_p$ の基底 $\{(dx^i)_p\}$ に関する成分は $df(\partial/\partial x^i)_p=(\partial f/\partial x^i)_p$ であるから，
$$df=\sum_i\frac{\partial f}{\partial x^i}dx^i$$である。

$T^\ast_p(M)$ は $T_p(M)$ の双対空間であるから，座標変換に関して $T^\ast_p(M)$ の元の成分は共変的に変換する。従って，２つのチャート $(U,\{x^i\}),\ (V,\{y^j\}),\ U\cap V\ne\phi$ に対して，$U\cap V$ 上で $u\in T^\ast_p(M)$ が
$u=\sum_iu_i(dx^i)_p=\sum_iu'_i(dy^i)_p$ とするとき $u_i=\sum_j(\partial y^j/\partial x^i)_pu'_j$ となる。

同型 $(T^\ast_p(M))^\ast\simeq T_p(M)$ により，$v\in\mathcal{X}(M),\ u\in\Omega^1(M)$ に対して，$v(u):=u(v)$ と定義する。
==== コベクトル場の例 ====
(1) 平面波の波数ベクトル　　コベクトル場の単純で基本的な例であり、幾何学的理解を与えるものである。
$n$ 次元Euclid空間において、$\overrightarrow{k}=\sum k^ie_i$ をベクトル、$k=\sum k_i\theta^i,\ (k_i=k^i)$ をコベクトルとするとき($\{e_i\}$ と $\{\theta^i\}$ は双対基底の関係)、コベクトル $k$ は $1/|k|$ 隔たって配置されて $\overrightarrow{k}$ に直交している超平面達と理解することができる。

このことを３次元Euclid空間の例で説明する。$n>3$ 次元でも同様である。
(以下のEuclid空間中での説明においては、多様体(Euclid空間)と接空間をしばしば標準的な平行移動により同一視して述べている。)
$\mathbb{E}^3$ においてある方向 $\overrightarrow{e},\ (|\overrightarrow{e}|=1)$ に波長 $\lambda$ で平面波が伝わっているとする。
$\overrightarrow{x}$ を位置ベクトルとするとき、波面は $\overrightarrow{e}\cdot\overrightarrow{x}={\rm const.}$ で与えられるから、点 $\overrightarrow{x}$ におけるこの波の位相は ${\rm exp}(2\pi i/\lambda \overrightarrow{e}\cdot\overrightarrow{x}+\delta_0)$ で与えられる($\delta_0$ は初期位相)。
従って、波数ベクトル $\overrightarrow{k}=2\pi /\lambda \overrightarrow{e}$ はコベクトル $k$ とみなすべきである($2\pi$ の因子は割とどうでもよい)。
このとき位相は ${\rm exp}(ik(\overrightarrow{x})+\delta_0)$ である。

より一般的に、Euclid空間でない多様体においては、コベクトル場は各点での無限小の平面波と考えることができる。
(2) 運動量
＜＜執筆中＞＞

=== テンソル場 ===
テンソル場(tensor field)またはより詳しく$(p,q)$-テンソル場は，大雑把に言うと多様体の各点に $p$ 個の接空間と $q$ 個の双対空間のテンソル積空間の元を配置したものである。
滑らかな微分多様体 $M$ の点 $x$ に対して $$T^{(p,q)}_xM:=\underbrace{T_xM\otimes \cdots\otimes T_xM}_{p}\otimes\underbrace{T^\ast_xM\otimes \cdots\otimes T^\ast_xM}_{q}$$ と書くことにする。
$M$ の各点 $x$ に $T^{(p,q)}_xM$ の元を一つ対応さすことによって $(p,q)$-テンソルに値を持つ関数が定まり、これを ''$(p,q)$-テンソル場''または ''$p$ 階反変 $q$ 階共変テンソル場''という。

$(p,q)$-テンソル場 $T$ が滑らかまたは $C^\infty$ 級であるとは，任意の滑らかな $p$ 個のコベクトル場 $u^1,\cdots,u^p$ と $q$ 個のベクトル場 $v_1,\cdots,v_q$ に対して，
スカラー関数 $T(u^1,\cdots,u^p,v_1,\cdots,v_q)$ が $C^\infty$ 級であるときをいう。

チャート $(U,\{x^i\})$ に関して，$T$ の成分は $T^{i_1i_2\cdots i_p}_{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ j_1j_2\cdots j_q}:=T(dx^{i_1},\cdots,dx^{i_p},\partial/\partial x^{j_1},\cdots,\partial/\partial x^{j_q})$ で定義され，
$U$ 上で
$$T=\sum_{i_1,\cdots,i_p,j_1,\cdots,j_q} T^{i_1\cdots i_p}_{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ j_1\cdots j_q}(x)\left(\frac{\partial}{\partial x^{i_1}}\right)\otimes\cdots\otimes\left(\frac{\partial}{\partial x^{i_p}}\right)\otimes(dx^{j_1})\otimes\cdots\otimes(dx^{j_q})$$
と表される。
このとき，成分 $T^{i_1\cdots i_p}_{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ j_1\cdots j_q}(x)$ が $\{x^i\}$ に関して $C^\infty$ 級であることと，$T$ が滑らかであることは同値である。

２つのチャート $(U,\{x^i\}),\ (V,\{y^j\}),\ U\cap V\ne\phi$ に対して，$U\cap V$ 上で
$$
\begin{aligned}
T&=\sum T^{i_1\cdots i_p}_{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ j_1\cdots j_q}(x)(\partial/\partial x^{i_1})\otimes\cdots\otimes(\partial/\partial x^{i_p})\otimes(dx^{j_1})\otimes\cdots\otimes(dx^{j_q})\\
&=\sum T'^{i_1\cdots i_p}_{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ j_1\cdots j_q}(x)(\partial/\partial y^{i_1})\otimes\cdots\otimes(\partial/\partial y^{i_p})\otimes(dy^{j_1})\otimes\cdots\otimes(dy^{j_q})
\end{aligned}
$$
となるとき，成分間の関係は
$$T^{i_1\cdots i_p}_{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ j_1\cdots j_q}=\sum \left(\frac{\partial x^{i_1}}{\partial y^{\alpha_1}}\right)\cdots\left(\frac{\partial x^{i_p}}{\partial y^{\alpha_p}}\right)\left(\frac{\partial y^{\beta_1}}{\partial x^{j_1}}\right)\cdots\left(\frac{\partial y^{\beta_q}}{\partial x^{j_q}}\right)T'^{\alpha_1\cdots \alpha_p}_{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \beta_1\cdots \beta_q}$$
となる。
$T$ の成分 $T^{i_1\cdots i_p}_{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ j_1\cdots j_q}$ に関して，上についている添え字 $i_1\cdots i_p$ 達は反変指標，下についている添え字 $j_1\cdots j_q$ は共変指標と呼ばれる。

=== フレーム場、コフレーム場 ===
滑らかな $n$ 次元多様体 $M$ のある近傍 $U$ において、$U$ の各点で一次独立な $n$ 個のベクトル場達の組 $\{X_1,\cdots,X_n\}$ を $U$ における''フレーム''(frame)、または''フレーム場''という。
$\{X_1,\cdots,X_n\}$ 達の双対基底を $\{\theta^1,\cdots,\theta^n\}$ は''コフレーム''(co-frame)、または''コフレーム場''という。

チャート $(U,\{x^i\})$ に関する座標基底達 $\{\frac{\partial}{\partial x^1},\cdots,\frac{\partial}{\partial x^n}\}$ は $U$ 上のフレーム場となる。
しかし逆に与えられたフレーム場 $\{X_1,\cdots,X_n\}$ に対して、座標基底がこれらに一致する座標系が存在するとは限らない。

局所的にはフレーム場はいつでも存在するが、多様体全体で定義された大域的なフレーム場が存在するとは限らない。
もし存在すれば、[[接束]]は自明な[[ベクトルバンドル]]となる。

特にリーマン多様体においては、各接空間に内積が定義されているため、各接空間の正規直交基底となるフレーム場が局所的には存在して、（狭い意味での）テンソル解析ではないフレーム場によるリーマン幾何の議論が行われる。
このフレーム場によるリーマン幾何は、E.Cartanにより創始され、[[主バンドル]]の接続の理論へと発展した。
=== 微分写像 ===
滑らかな多様体 $M,N$ と滑らかな写像 $\varphi\colon M\rightarrow N$ に対して微分写像と呼ばれる $M$ の接空間を $N$ の接空間へ写す写像が定義される。
感覚的に言うと，接ベクトルは十分近い２点であり，滑らかな写像は十分近い２点を十分近い２点に写すから，接ベクトルを接ベクトルへ写すと理解できる。

$v\in T_p(M)$ に対して，微分写像 $\varphi_\ast\colon T_p(M)\rightarrow T_q(N),\ (q=\varphi(p))$ を次のように定義する。
点 $p\in M$ を通る曲線 $c\colon I\rightarrow M,\ c(0)=p,\ \dot{c}(0)=v$ を一つとり，$q\in N$ の近傍 $V$ 上のスカラー関数 $f\in C^\infty(V)$ に対して，$q\in N$ における微分作用素を
$$\varphi_\ast(v)(f):=\frac{d}{dt}f(\varphi(c(t)))|_{t=0}$$
と定める。
$\varphi_\ast(v)$ は $d\varphi(v)$ とも書かれる。
微分写像を「$\ast$」を使って表す場合は多くの場合右下に $\ast$ をつける。
また微分写像は押し出し(push forward)とも呼ばれる。

微分写像のチャートによる局所的な表示を求めておこう。
$p$ を含むチャート $(U,\{x^i\} )_{1\le i\le m}$ と $q$ を含むチャート $ (V,\{y^j\})_{1\le j\le n}$ に対して，$\varphi^j(x)=y^j(x^1,\cdots,x^m),\ v=\sum_iv^i(\partial/\partial x^i)_p\in T_p(M),\ f(y^1,\cdots,y^m)\in C^\infty(V)$ と表されているとすると，
$$\varphi_\ast(v)(f)=\frac{d}{dt}f(x(c(t)))|_{t=0}=\sum_{j,i}\left(\frac{\partial f}{\partial y^j}\right)_q\left(\frac{\partial y^j}{\partial x^i}\right)_p\frac{d x^i}{dt}(0)=\sum_{j,i}\left(\frac{\partial y^j}{\partial x^i}v^i\right)_p\left(\frac{\partial }{\partial y^j}\right)_qf$$
となるから，
$$\varphi_\ast(v)=\sum_{j,i}\left(\frac{\partial \varphi^j}{\partial x^i}v^i\right)_{\varphi^{-1}(q)}\left(\frac{\partial }{\partial y^j}\right)_q=\sum_j(J(\varphi)v)^j\left(\frac{\partial }{\partial y^j}\right)_q$$
である。
ただし，$J(\varphi)$ は $\varphi$ のチャート $(U,\{x^i\}),(V,\{y^j\})$ に関するヤコビ行列である。

一般に $v\in\mathcal{X}(M)$ が与えられたとき，各点で微分写像 $d\varphi(v)$ を考えても $N$ 上のベクトル場を定義できない。
例えば $\varphi$ が全射であっても単射でない場合は，ある点 $p_1,p_2\in M,\ q\in N$ に対して，$\varphi(p_1)=\varphi(p_2)=q$ となっていて，さらに $\varphi_\ast(v_{p_1})\ne \varphi_\ast(v_{p_2})$ となることがあるので，$T_q(N)$ の元が一意的に定まらないからである。
$\varphi$ が微分同相写像のときはベクトル場はベクトル場へ写る。
一般的な場合でも $M$ 上のベクトル場で $N$ 上のベクトル場へ写るものは存在する（例えば $\varphi$ が[[沈め込み]]の場合のProjectable vector field）。

=== 引き戻し ===
２つのベクトル空間 $V,W$ と線形写像 $f\colon V\rightarrow W$ と $T\in \bigotimes_{i=1}^m W^\ast$ に対して，$f^\ast T\in\bigotimes_{i=1}^m V^\ast$ が次のように定義される。
$$(f^\ast T)(X_1,\cdots,X_m):=T(f(X_1),\cdots,f(X_m))$$
これを $T$ の $f$ による''引き戻し''(pullback)という。

滑らかな多様体 $M,N$ と滑らかな写像 $\varphi\colon M\rightarrow N$ と $N$ 上の $m$ 階共変テンソル場 $T\in T^{(0,m)}(N)$ に対して，各接空間において $\varphi_\ast$ で $T$ を引き戻すことを考えると，$\varphi^\ast T\in T^{(0,m)}(M)$ が
$$(\varphi^\ast T)_p(X_1,\cdots,X_m):=T_{\varphi(p)}((\varphi_\ast X_1)_{\varphi(p)},\cdots,(\varphi_\ast X_m)_{\varphi(p)}),\ p\in M$$
として定義される。
$\varphi^\ast T$ も $\varphi$ による $T$ の引き戻しと呼ばれる。
また特別な場合として関数 $f\in C^\infty(N)$ の引き戻し $\varphi^\ast f=f\circ\varphi\in C^\infty(M)$ が定義される。
微分写像とは逆に $\ast$ を右上につけることが多い。
ベクトル場の押し出しがベクトル場を定めるとは限らないこととは対照的に，共変テンソル場の引き戻しは常に共変テンソル場を定める。
=== 添え字の上げ下げとMusical isomorphism ===
リーマン多様体において，しばしばテンソルの成分の添え字の上げ下げと呼ばれる簡便法がある。
これは計算を行う際に便利なことがある。

[[リーマン多様体]]とは微分多様体 $M$ と非退化正定値な[[対称 $(0,2)$-テンソル場]] $g$ の組 $(M,g)$ のことである。
$T_p(M)$ の任意の基底を $\{e_1,\cdots,e_n\}$ とし，その双対基底を $\{\theta^1,\cdots,\theta^n\}$ とするとき，写像 $T_p(M)\ni\sum_iv^ie_i\mapsto \sum_iv^i\theta^i\in T^\ast_p(M)$ は同型 $T_p(M)\simeq T^\ast_p(M)$ を導くが，この同型は基底の選び方に依存するため考える意味がない。
そこで写像
$$\flat : T_p(M)\ni v\mapsto {}^\flat v:=[T_p(M)\ni w\mapsto g(v,w)\in\mathbb{R} ]\in T^\ast_p(M)$$
を考える。
この写像は基底の取り方に依存せず定まる。
チャート $(U,\{x^i\})$ に関して成分表示すると $g(v,w)=\sum_{ij}g_{ij}dx^idx^j(v,w)=\sum_{ij}g_{ij}v^idx^j(w)$ であるから、
$${}^\flat v=\sum_{ij}g_{ij}v^idx^j$$
である。
ここで ${}^\flat v$ の成分を $v_i:=g_{ij}v^j$ と書くことにする。
この写像 $\flat$ を作用させることが簡便法として、添字を下げる、と表現されることがある。

リーマン計量 $g$ は非退化であるから，写像 $\flat$ は逆写像 $\sharp : T^\ast_p(M)\rightarrow T_p(M)$ を持つ。
$T_p(M)$ の計量を $\sharp$ で[[|#引き戻し|引き戻し]]て、$T^\ast_p(M)$ に計量 $\sharp^\ast g$ を定義できる。
双対基底 $\{dx^i\}$ に関して，$\sharp^\ast g$ の成分を $g^{ij}$ と書くことにすると，定義より $\sharp^\ast g({}^\flat v,{}^\flat w)=g({}^{\sharp\flat}v,{}^{\sharp\flat}w)=g(v,w)$ となることから，$g^{ij}$ は $g_{ij}$ の逆行列であることがわかる。
$\sharp^\ast g$ も単に $g$ と書くことが多い。
また明らかに $u=\sum_iu_idx^i$ に対して，$${}^\sharp u=\sum_{ij}g^{ij}u_j\frac{\partial}{\partial x^i}$$ である。
この写像 $\sharp$ を作用させることが簡便法として、添字を上げる、と表現されることがある。
$\flat,\sharp$ により $\mathcal{X}(M)$ と $\Omega^1(M)$ は $\mathbb{R}$ 上の線形空間としても $C^\infty(M)$-加群としても同型となる。
$\flat,\sharp$ らは''Musical isomorphism''と呼ばれる。

=== $p$-形式 ===
滑らかな微分多様体 $M$ の各点 $x\in M$ に対して，$T^\ast_x(M)$ の [[速習「線形空間論」#定義9.1（置換作用素、反対称化作用素、反対称テンソル積線形空間）|$p$ 階反対称テンソル積空間]] $\bigwedge^p T^\ast_x(M)$ の元を対応させることで $\bigwedge^p T^\ast_x(M)$ に値を持つ関数が定義され，これを ''$p$-形式''または ''$p$ 次微分形式''と呼ぶ。
$p$-形式は微分幾何において非常に重要な役割を果たす。
詳しくは[[微分形式]]，[[ベクトル解析2：微分形式]]を参照。

=== 1-パラメータ変換群 ===
滑らかな微分多様体 $M$ 上のベクトル場 $X\in\mathcal{X}(M)$ に対して，点 $p\in M$ を通る曲線 $c:(-\varepsilon,\varepsilon)\rightarrow M,\ c(0)=p$ で
$$\frac{dc}{dt}(t)=X_{c(t)}$$
を満たすものを $X$ の点 $p$ を通る積分曲線という。
この方程式は線形の連立常微分方程式だから $t=0$ の近傍で必ず解が存在する。
積分曲線を感覚的に説明すると，$M$ 上に風が吹いていて各点の風見がベクトル場 $X$ であるとして，軽い綿を風に流したときの綿の軌道である。

次に $M$ 上の微分同相変換の族 $\varphi_t:M\rightarrow M,\ t\in\mathbb{R}$ が次の３つの条件を
満たすとする。

(1) $M\times\mathbb{R}\ni(p,t)\mapsto\varphi_t(p)$ が $C^\infty(M)$ 級写像となる。

(2) $\varphi_0={\rm id}_M$

(3) 任意の $s,t\in\mathbb{R}$ に対して，$\varphi_t\circ\varphi_s=\varphi_{t+s}$ を満たす。

このとき，$\varphi_t$ を''1-パラメータ変換群''(one-parameter group of transformations)または''フロー''(flow)
という。

1-パラメータ変換群 $\varphi_t$ は各点 $p\in M$ を通る曲線 $t\mapsto\varphi_t(p)$ を定め，従ってベクトル場 $X$ を定める。
すなわち $f\in C^\infty(M)$ に対して，$X(f)_p=\frac{d}{dt}f(\varphi_t(p))|_{t=0}$ である。
このとき，$t=0$ で点 $p\in M$ を通る $X$ の積分曲線は $t\mapsto \varphi_t(p)$ である。
$X$ は1-パラメータ変換群 $\varphi_t$ を生成(generate)するという。

逆に与えられたベクトル場 $X\in\mathcal{X}(M)$ に対して，任意の $p\in M$ を通る積分曲線 $c_p(t),\ c_p(0)=p$ が全実数 $t$ に対して定義されるならば，$\varphi_t(p):=c_p(t)$ と定義することで，$X$ が生成する1-パラメータ変換群が得られる。
このように1-パラメータ変換群生成するベクトル場を''完備''(complete)であるという。

$M$ がコンパクトなときは，任意のベクトル場は1-パラメータ変換群を生成することが知られている。
$M$ がコンパクトでないときは，与えられたベクトル場の積分曲線 $c_p(t)$ が常に全実数 $t$ に対して定義されるとは限らないため，1-パラメータ変換群を生成するとは限らない。
この場合でも各点 $p\in M$ に対して，$t=0$ の近傍では積分曲線 $c_p(t)$ は存在する。
従って，各 $p\in M$ に対して，正数 $\varepsilon$ と $p$ の近傍 $U_\varepsilon$ があり，$|t|<\varepsilon$ に対して，微分同相 $\varphi_t:U_\varepsilon\rightarrow \varphi_tU_\varepsilon$ が定義される。
これは(1),(2),(3)を少し修正した性質を満たし，1-パラメータ局所変換群という。

=== Lie微分 ===
滑らかな微分多様体 $M$ のベクトル場 $X$ が与えられたとき $M$ 各点の近傍で $X$ の生成する1-パラメータ局所変換群 $\varphi_t$ が定義される。この $\varphi_t$ の流れで何らかの場（スカラー場，ベクトル場，テンソル場）を"変形"することで $t$ に依存する新しい場が作られる。この新しい場の $t=0$ での微分，すなわち場の無限小の変形がベクトル場 $X$ による''Lie微分''(Lie derivative)である。
ここでは少しの定義と感覚的な説明のみ行う。
詳しくは，[[Lie微分]]参照。

==== スカラー場のLie微分 ====
$X$ の生成する1-パラメータ局所変換群を $\varphi_t$ とする。
スカラー場 $f\in C^\infty(M)$ に対して，$f$ の $X$ によるLie微分を
$$\mathcal{L}_Xf:=\lim_{t\rightarrow0}\frac{1}{t}(\varphi_t^\ast f-f)=\frac{d}{dt}\varphi_t^\ast f|_{t=0}=X(f)$$
と定義する。
すなわちスカラー場に対しては通常の方向微分である。

==== ベクトル場のLie微分 ====
ベクトル場 $X,Y$ に対して，$\varphi_t$ を $X$ が生成する1-パラメータ局所変換群とする。
このとき，$Y$ の $X$ によるLie微分を
$$\mathcal{L}_XY:=\lim_{t\rightarrow0}\frac{1}{t}( \varphi_{t\ast}^{-1}Y-Y )$$
と定義する。

==== テンソル場のLie微分 ====
テンソル場 $T\in T^r_{\ s}(M)$ とベクトル場 $X$ が生成する1-パラメータ局所変換群 $\varphi_t$ に対して，$T$ の $X$ によるLie微分 $\mathcal{L}_XT$ を
$$\mathcal{L}_XT=\lim_{t\rightarrow0}\frac{1}{t}(\widetilde{\varphi_t^{-1}}T-T)$$
と定義する。
ただし，$\widetilde{\varphi_t^{-1}}$ は $\varphi_t$ が誘導するテンソル場からテンソル場への写像である。

=== 接続，共変微分 ===
''接続''(connection)とは微分多様体 $M$ 上の二点 $p,q\in M$ と $p,q$ を結ぶ曲線が与えられたときに接空間 $T_p(M)$ と $T_q(M)$ の線形同型対応を与える機構である。
この対応はしばしば曲線に沿う接ベクトルの平行移動とも呼ばれる。
接空間に対する接続の議論はより一般的に[[ベクトルバンドル]]の接続や[[主バンドル]]の接続の議論をすることで概念的に見通しが良くなるが，それなりの準備が必要であるため，ここでは素朴な方法で解説する。
またここでは接続とベクトル場、テンソル場の共変微分の概念を主に解説し、捩率、曲率、測地線については述べない。
詳しくは[[ベクトルバンドルの接続]]を参照されたい。
またリーマン幾何学で重要なリーマン接続に関しては[[リーマン幾何学]]で詳しく解説する。

チャート $(U,\{x^i\}_{1\le i\le n})$ に含まれる2点 $p,q$ を結ぶ曲線を $c:[0,1]\ni t\mapsto c(t)\in M,\ c(0)=p,c(1)=q$ とする。
このとき $U$ 上の $n^3$ 個の関数 $\Gamma^i_{jk},(1\le i,j,k\le n)$ に対して，曲線 $c(t)=(x^1(t),\cdots,x^n(t))$ 上の微分方程式
$$\frac{dY^i(t)}{dt}+\sum_{j,k}\Gamma^i_{jk}(x(t))\frac{dx^j(t)}{dt}Y^k(t)=0$$
を考える。
ここで $Y^i(t)$ は $n$ 個の未知関数である。
この方程式は曲線 $c(t)$ に依存する線形の一階微分方程式としては自然なものである。
$v\in T_p(M)$ に対して，初期条件を $Y^i(0)=v^i$ とすると，線形常微分方程式の解の存在と一意性から $\sum_iY^i(1)(\frac{\partial}{\partial x^i})_q\in T_q(M)$ が定まる。このように $T_p(M)$ の元を初期条件とする上の微分方程式の解を $T_q(M)$ の元に対応させる写像は明らかに線形同型写像である。

次にこの同型対応がチャートの選び方に依存せず定まるための条件を考えよう。
２つのチャート $(U,\{x^i\}),(V,\{y^a\}),U\cap V\ne\phi$ に対して，曲線 $c(t)$ が $U\cap V$ に含まれているとする。
$V$ 上で $c(t)=(y^1(t),\cdots,y^n(t))$ とし，$\bar{\Gamma}^a_{bc}$ が与えられているとする。先の微分方程式は
$$\frac{d\bar{Y}^a(t)}{dt}+\sum_{b,c}\bar{\Gamma}^a_{bc}(x(t))\frac{dy^b(t)}{dt}\bar{Y}^c(t)=0$$
で与えられ，さらに
$$\bar{Y}^a(t)=\sum_k\frac{\partial y^a}{\partial x^k}Y^k(t),\ \frac{dy^b(t)}{dt}=\sum_i\frac{\partial y^b}{\partial x^i}\frac{dx^i(t)}{dt}$$
であるから，
$$\sum_{j,k}\frac{\partial^2y^a}{\partial x^k\partial x^j}\frac{dx^j}{dt}Y^k+\sum_k\frac{\partial y^a}{\partial x^k}\frac{dY^k}{dt}+\sum_{b,c,i,k}\bar{\Gamma}^a_{bc}\frac{\partial y^b}{\partial x^i}\frac{dx^i}{dt}\frac{\partial y^c}{\partial x^k}Y^k=0$$
を得る。
$\frac{dY^i(t)}{dt}=-\sum_{j,k}\Gamma^i_{jk}(x(t))\frac{dx^j(t)}{dt}Y^k(t)$ を代入すると
$$\sum_{i,j,k}\left(\Gamma^i_{jk}\frac{\partial y^a}{\partial x^i}-(\frac{\partial^2y^a}{\partial x^k\partial x^j}+\sum_{b,c}\bar{\Gamma}^a_{bc}\frac{\partial y^b}{\partial x^j}\frac{\partial y^c}{\partial x^k}) \right)\frac{dx^j}{dt}Y^k=0$$
となる。
従って，
$$\Gamma^i_{jk}=\sum_{a,b,c}\bar{\Gamma}^a_{bc}\frac{\partial x^i}{\partial y^a}\frac{\partial y^b}{\partial x^j}\frac{\partial y^c}{\partial x^k}+\sum_a\frac{\partial x^i}{\partial y^a}\frac{\partial^2 y^a}{\partial x^j\partial x^k}$$
が成り立てばよい。
これが成り立つとき，上に定義された同型は座標によらずwell-definedとなる。

==== ''接続の定義'' ====
滑らかな微分多様体 $M$ の(線形)接続(linear connection)とは，$M$ のチャートによる被覆 $\{(U_\alpha,x^i)\}_{\alpha\in\Lambda}$ の各 $(U_\alpha,x^i)$ 上に与えられた $n^3$ 個の関数 $\Gamma^i_{jk}$ で，$U_\alpha\cap U_\beta\ne\phi$ 上では
$$\Gamma^i_{jk}=\sum_{a,b,c}\bar{\Gamma}^a_{bc}\frac{\partial x^i}{\partial y^a}\frac{\partial y^b}{\partial x^j}\frac{\partial y^c}{\partial x^k}+\sum_a\frac{\partial x^i}{\partial y^a}\frac{\partial^2 y^a}{\partial x^j\partial x^k}$$
が成り立つもののことを言う。
またこのとき各 $\Gamma^i_{jk}$ を''接続の係数''(coefficients of connection)という。
またチャート $(U,\{x^i\}_{1\le i\le n})$ に含まれる曲線を $c:[0,1]\ni t\mapsto c(t)\in M$ が $c(t)=(x^1(t),\cdots,x^n(t))$ で与えられているとき，$v\in T_{c(0)}(M)$ に対して，初期条件 $Y(0)=v$ に対する微分方程式
$$\frac{dY^i(t)}{dt}+\sum_{j,k}\Gamma^i_{jk}(x(t))\frac{dx^j(t)}{dt}Y^k(t)=0$$
の解 $Y(t)\in T_{c(t)}(M)$ を曲線 $c$ に沿う $v\in T_{c(0)}(M)$ の接続 $\Gamma$ に関する''平行移動''(parallel displacement)という。
曲線 $c(t),\ t\in [a,b]$ に対して，平行移動を $P(c)_a^b:T_{c(a)}(M)\rightarrow T_{c(b)}(M)$ と書くことにする。

ここでの平行移動という言葉はもはやユークリッド幾何における直観的に理解しやすい幾何学的描像を持たない。接続の概念に至って平行移動という概念は完全に公理によって与えられるものとなる。ただしリーマン多様体のリーマン計量から一意的に定まるリーマン接続は，同位角が等しい（計量条件）という直観的に平行移動が持つことを期待される性質を持っている。

==== ''ベクトル場の共変微分'' ====
ベクトル場 $X,Y$ に対して，各点 $p\in M$ を通る $X$ の積分曲線を $c(t),\ t\in(-\epsilon,\epsilon),\ c(0)=p$ とするとき，
$$\nabla_XY:=\lim_{t\rightarrow0}\frac{1}{t}(P(c)_{t}^0Y_{c(t)}-Y_{c(0)})$$
を$X$ による $Y$ の''共変微分''(covariant derivative)という。
各点 $p$ で $(\nabla_XY)_p$ を考えることでベクトル場 $\nabla_XY$ が得られる。
$\nabla$ は”ナブラ”と読む。

共変微分のチャートによる表示を求めよう。
チャート $(U,x^i)$ に関して接続の係数が $\Gamma^i_{jk}$ で与えられているとする。
上の定義の設定で，$Y(t):=P(c)_0^tY_{c(0)}$ は
$$Y^i(t)=Y^i_{c(0)}+\frac{dY^i(0)}{dt}t+o(t^2)=Y^i_{c(0)}-\sum_{j,k}\Gamma^i_{jk}(c(0))X_{c(0)}^jY^k_{c(0)}t+o(t^2)$$
であり，一方
$$Y^i_{c(t)}=Y^i_{c(0)}+\sum_j\frac{\partial Y^i}{\partial x^j}X^j_{c(0)}t+o(t^2)$$
となる。
よって
$$(Y_{c(t)}-P(c)_0^tY_{c(0)})^i=(\sum_jX^j_{c(0)}\frac{\partial Y^i}{\partial x^j}+\sum_{j,k}\Gamma^i_{jk}(c(0))X_{c(0)}^jY^k_{c(0)})t+o(t^2)$$
より
$$
\begin{aligned}
(P(c)_{t}^0Y_{c(t)}-Y_{c(0)})^i&=(P(c)_{t}^0(Y_{c(t)}-P(c)_0^tY_{c(0)}))^i\\
&=(Y_{c(t)}-P(c)_0^tY_{c(0)})^i+\sum\Gamma^i_{jk}X^j_{c(t)}(Y_{c(t)}-P(c)_0^tY_{c(0)})^jt+o(t^2)\\
&=(\sum_jX^j_{c(0)}\frac{\partial Y^i}{\partial x^j}+\sum_{j,k}\Gamma^i_{jk}(c(0))X_{c(0)}^jY^k_{c(0)})t+o(t^2)\\
\therefore\ \nabla_XY&=\sum_i(\sum_jX^j\frac{\partial Y^i}{\partial x^j}+\sum_{j,k}\Gamma^i_{jk}X^jY^k)\frac{\partial}{\partial x^i}
\end{aligned}
$$

これより $\nabla_{\frac{\partial}{\partial x^i}}\frac{\partial}{\partial x^j}=\sum_k\Gamma^k_{ij}\frac{\partial}{\partial x^k}$ が分かる。
チャートによる成分表示では、 $\nabla_{\frac{\partial}{\partial x^i}}$ は $\nabla_i$ と書くことが多い。
$\nabla_iY$ の第 $j$ 成分 $(\nabla_iY)^j$ は $\nabla_iY^j$ と書かれることが多い。
またベクトル場 $Y$ に対して、$(1,1)$-型テンソル場
$$\nabla Y:=\sum_{i,j}\nabla_iY^j\frac{\partial}{\partial x^j}\otimes dx^i$$
が定義される。
$\nabla Y$ にベクトル場 $X$ を無限小平行移動する方向として入力すると $\nabla_XY$ が得られることから、$Y$ の共変微分として $\nabla Y$ を指すことも多い。
$\nabla Y=0$ となるベクトル場 $Y$ を''平行ベクトル場''と呼ぶ。

コベクトル場や一般のテンソル場の共変微分はベクトル場の共変微分を基礎として定義される。
コベクトル場 $u$ とベクトル場 $X$ に対して、コベクトル場 $\nabla_Xu$が
$$(\nabla_Xu)(Y):=X(u(Y))-u(\nabla_XY)$$
で定義される。
この定義は、共変微分にテンソル場の縮約に対してLeibniz則を満たすことを要請していると言い換えることもできる。
実際、移項すれば $X(u(Y))=(\nabla_Xu)(Y)+u(\nabla_XY)$ である。
また、同様の考えでテンソル場に対する共変微分も定義される。
例えば $(2,1)$-型テンソル場 $T$ に対しては、$(2,1)$-型テンソル場 $\nabla_XT$ が
$$(\nabla_XT)(Y,Z,u)=X(T(Y,Z,u))-T(\nabla_XY,Z,u)-T(Y,\nabla_XZ,u)-T(Y,Z,\nabla_Xu),\ Y,Z\in\mathcal{X}(M),\ u\in\Omega^1(M)$$
で定義される。

　その他、接続に対して曲率、捩率、測地線などが定義される。
詳しくは[[ベクトルバンドルの接続]]を参照されたい。

== テンソル解析の表記法 ==
テンソル解析の表記法は良く知られたものとして、添え字の方法、abstract indexの方法、座標に依存しない方法がある。
それぞれ状況や用途によって長所がある。

=== 添え字の方法 ===
任意にチャートを設定し、テンソルの成分のみで計算して議論していく方法である。
おそらく最も古くからある記法と思われる。
例えば、ベクトル場は接空間の基底とその成分をセットにして $X=X^\mu\partial_\mu$ と書かれるべきものだが、単に $X^\mu$ と書く。他のテンソル場に対しても同様である。具体的な計算をイメージしやすいが、場合によっては添え字が煩雑になり概念的に理解しずらくなる可能性がある。

=== 座標に依存しない方法 ===
テンソル場の基底やその成分を明示せずに計算して議論していく方法である。
例えば、ベクトル場を $X$ などと書く。
概念的に理解しやすくなる可能性があるが、式を一目見ただけでは場の種類（ベクトル場なのかコベクトル場なのかなど）が分からない。

=== Abstract index記法 ===
Abstract index記法はロジャー・ペンローズ(Sir Roger Penrose)が考案して、ロバート・ウォルド(Robert Wald)が相対論の教科書をこれを用いて執筆して有名になった。
テンソル場を表す記号に添え字の記法における添え字と同じ位置にテンソル場の種類に応じてローマ字 $a,b,c,\cdots$ などを書く。
これは添え字と区別してabstract indexと呼ばれる。
例えば、ベクトル場は $X^a$、コベクトル場は $X_a$ と書く。
添え字記法との違いは、これが成分を表しているわけではなく、座標に依存しない方法と同様にテンソル場そのものを表している。
座標に依存しない方法での記号が表すテンソル場の種類が一目では分かりにくいという点を克服している。
しかしabstract indexはテンソル場の種類を指定するただの模様ではない。
コベクトル場 $X_a$ にベクトル場 $Y^b$ を食べさせてスカラー場を作るとき、すなわち座標に依存しない方法においては、$X_a(Y^b)$ と書かれるべきものは、添え字の記法における縮約の記法を援用して $X_aY^a$ と書く。
従って、添え字の記法と形式的には同様である。
またリーマン計量が定義されていることはほとんど前提とされており、$X^a$ と $X_a$ はMusical isomorphismの関係にあると理解する。

=== 表記法の比較 ===
同じものを３つの表記法で書くことで比較してみる。

(1) $(0,2)$-テンソル場 $g$ とベクトル場 $X,Y$ に対して
$$g(X,Y)=\sum_{\mu,\nu}g_{\mu\nu}X^\mu Y^\nu=g_{ab}X^a Y^b$$
となる。

(2) $(1,1)$-テンソル場 $J$ に対して、$(0,2)$-テンソル場 $\omega$ が $\omega(X,Y)=g(X,JY)$ で定義されるとするとき、$\omega_{\mu\nu}=\sum_\lambda g_{\mu\lambda}J^\lambda_{\ \nu}$ または $\omega_{ab}=g_{ac}J^c_{\ b}$ である。

== 関連項目 ==
*[[Euclid空間における微積分1]]
*[[Euclid空間における微積分2]]

コンパクト性とその周辺

2022-03-28T06:34:43Z

Saitory: pukiwiki記法 [X >Y]] をX に (XとYの位置の入れ替え忘れを修正)

<noinclude>
{{TOC |align=right |noautonum=1 }}
</noinclude>
{{newtheorem |type=thm |display=定理 |counter=0 }}
{{newtheorem |type=prop |display=命題 |family=thm }}
{{newtheorem |type=def |display=定義 |family=thm }}
{{newtheorem |type=note |display=注意 |family=thm }}
{{newtheorem |type=ex |display=例 |family=thm }}
{{newtheorem |type=lem |display=補題 |family=thm }}
{{newtheorem |type=axiom |display=公理 |family=thm }}
コンパクト性は位相空間論において非常に基本的な概念であり、[[コンパクト空間]]においては様々な命題が成り立つ。これはコンパクト性の類似概念についても同様である。本稿ではこれらの話題について解説する。
----
Pukiwiki バージョンにて『コンパクト性とその周辺』として執筆中であった記事のソースコードをそのままコピーペーストしているため、端的に言って組版が崩壊している。現在修正作業中であるが、修正中の記事について、これを公開している。(2020-10-21)

以下は用語についての注意である。
* コンパクトという用語について、本稿ではHausdorff性を課さない。
* 正則・正規という用語について、本稿では $T_1$-性を課す。
* $T_3$, $T_4$ という用語について、本稿では $T_1$-性を課さない。

== コンパクト空間 ==
=== コンパクト空間の定義 ===
本稿のテーマであるコンパクト空間について導入する。

{{theorem |type=def |label=opencov |name=開被覆 }}
位相空間 $X$ の開集合からなる族 $\mathcal{U}=\{U_i\,|\,i\in I\}$ が開被覆であるとは、$\mathcal{U}$ の要素すべての和集合が $X$ に一致することをいう。
すなわち、$X=\bigcup_{i\in I} U_i$ が成りたつことをいう。

{{theorem |type=def |label=cptspace |name=コンパクト空間 }}
位相空間 $X$ がコンパクトであるとは、以下の性質を満たすことを指していう。
* $X$ の任意の[[開被覆]] $\mathcal{U}$ について、$\mathcal{U}$ の有限部分集合 $\mathcal{V}$ が存在して、$\mathcal{V}$ が $X$ の開被覆となる。

{{theorem |type=note |label=refinement |name=細分について }}
開被覆 $\mathcal{V}$ が開被覆 $\mathcal{U}$ の細分であるとは、$V \in \mathcal{V}$ に対して、$V\subset U\in \mathcal{U}$ が成り立つような $U$ が存在することをいう。このとき、位相空間 $X$ がコンパクトであることは、任意の開被覆に対して有限細分が存在することと同値である。

=== コンパクト空間の基本性質 ===
コンパクト性について [[#コンパクト空間の定義]] にてその定義を述べた。次に、コンパクト性と同値な条件について述べる。そののち、コンパクト性についての基本的な性質を挙げていく。

{{theorem |type=def |label=fin_int_fam |name=有限交叉性を持つ集合族 }}
集合 $X$ の部分集合族 $\mathcal{A}$ が有限交叉性を持つとは、有限個の $\mathcal{A}$ の要素 $A_1,\ldots,A_n$ について、$A_1\cap\ldots\cap A_n$ が空でないことをいう。

{{theorem |type=ex |label=cofin_ex |name=補有限集合の族 }}
無限集合 $X$ を任意にひとつとる(例えば $\mathbb{N}$ など)。このとき、$X-A$ が有限集合であるような $A\subset X$ を $X$ の補有限集合という。$\mathcal{A}$ を $X$ の補有限集合全体の集合とすると、$\mathcal{A}$ は有限交叉性を持つ。

{{theorem |type=prop |label=equivdef_o_cpt |name=コンパクト性の同値な定義 }}
位相空間 $X$ について、以下は同値である。

# $X$ はコンパクト空間
# $X$ の、閉集合からなる有限交叉性を持つ部分集合族 $\mathcal{F}$ について、$\bigcap_{F\in \mathcal{F}} F$ は空でない
{{begin |proof |collapsible=1 |display={{ref |type=prop |label=equivdef_o_cpt}} の証明：}}
1. $\Rightarrow$ 2. を示す。閉集合からなる有限交叉性を持つ部分集合族 $\mathcal{F}$ について、$\mathcal{U}=\{X-F|F \in \mathcal{F}\}$ とおく。このとき、$\mathcal{U}$ が開被覆ならば、$X$ のコンパクト性により $\mathcal{U}$ の有限個の要素 $X-F_1,\ldots, X-F_n$ について $X=(X-F_1)\cup \ldots \cup (X-F_n)$ が成り立つが、ここから $F_1\cap \ldots \cap F_n=\emptyset $ が導かれ、これは仮定に反する。よって$\mathcal{U}$ は開被覆でないため、$\bigcap_{F\in \mathcal{F}} F=X-(\bigcup_{U \in \mathcal{U}} U)$ は空でない。

2. $\Rightarrow$ 1. についても同様である。開被覆 $\mathcal{U}$ について、$\mathcal{F}=\{X-U|U \in \mathcal{U}\}$ とおく。このとき、$\bigcap_{F\in \mathcal{F}} F=X-(\bigcup_{U \in \mathcal{U}} U)$ は空集合であるため、$\mathcal{F}$ の有限個の要素 $X-U_1,\ldots, X-U_n$ について $(X-U_1)\cap \ldots \cap (X-U_n)=\emptyset$ が成り立つ。ここから $X=U_1\cup \ldots \cup U_n$ が導かれる。{{end |proof }}
{{theorem |type=prop |label=her_cl |name=コンパクト性の閉部分集合への遺伝 }}
コンパクト空間 $X$ の閉部分空間 $Y$ はコンパクトである。
{{begin |proof |collapsible=1 |display={{ref |type=prop |label=her_cl}} の証明：}}
{{ref |type=prop |label=equivdef_o_cpt }} の特徴付けを用いる。$Y$ の閉集合からなる有限交叉性を持つ集合族を任意に取る。これを $\mathcal{F}$ とおく。このとき、$Y$ の閉集合は $X$ の閉集合であるため、$\mathcal{F}$ は $X$ の閉集合からなる有限交叉性を持つ集合族である。$X$ はコンパクトであるため、$\bigcap_{F\in \mathcal{F}} F$ は空でないことが示される。よって $Y$ はコンパクトである。{{end |proof }}

{{theorem |type=prop |label=her_image |name=コンパクト性の像への遺伝 }}
コンパクト空間 $X$ と連続写像 $f:X\to Y$ について、$Y$ の像 $f(X)$ はコンパクト空間である。

{{begin |proof |collapsible=1 |display={{ref |type=prop |label=her_image}} の証明：}}
$f(X)$ の開被覆 $\mathcal{V}$ を取る。このときそれぞれの $\mathcal{V}$ の要素 $V$ について、$Y$ の開集合 $U_V$ であって$U_V\cap f(X)= V$ が成り立つようなものを選ぶ。このとき、$U_V$ 全体は $f(X)$ を被覆する。

$U_V$ は $Y$ の開集合であったため、$f^{-1}(U_V)$ は $X$ の開集合である。このとき、$f^{-1}(U_V)$ は $X$ の開被覆となる。$X$ のコンパクト性より、有限個の $U_{V_1},\ldots,U_{V_n}$ について$ f^{-1}(U_{V_1})\cup \ldots \cup f^{-1}(U_{V_n})=X$ が成り立つ。よって $f(X)\subset U_{V_1}\cup \ldots \cup U_{V_n}$ が成り立つ。従って $\{V_1,\ldots, V_n\}$ は $f(X)$ の開被覆となる。よって $f(X)$ はコンパクトである。{{end |proof }}

=== {{id |id=01cptness |display=閉区間 $[0,1]$ のコンパクト性 }}===
閉区間 $[0,1]$ がコンパクト空間であることを示す。[[#01cptness|閉区間 $[0,1]$ のコンパクト性]]の内容について、これを事実として認めて他の内容を読み進めることは可能である。
{{theorem |type=thm |label=01cpt |name=$[0,1]$ のコンパクト性 }}
実数空間 $\mathbb{R}$ の閉区間 $[0,1]$ はコンパクトである。

{{begin |proof |collapsible=1 |display={{ref |type=thm |label=01cpt }} の証明： }}
$[0,1]$ の開被覆 $\mathcal{U}$ であって有限細分が取れないものが存在したとする。このとき、$[0,\frac{1}{2}]$ または $[\frac{1}{2},1]$ のいずれかについて $\mathcal{U}$ の要素による細分を取ることができない。そのような区間を一つ選ぶ。同様の操作を繰り返すことで、有理数の列 $0\leq q_1 \leq\ldots\leq q_n\leq \ldots $ であって、$[q_n,q_n+\frac{1}{2^n}]$ を被覆する $\mathcal{U}$ の有限細分が取れず、かつ $\ldots\subset [q_n,q_n+\frac{1}{2^n}]\subset \ldots \subset [q_1,q_1+\frac{1}{2}] \subset [0,1]$ が成り立つようなものを取れる。

このとき、$\lim_{n\to \infty} q_n$ を $q$ とおくと、$\bigcap_{n \in \mathbb{N}}[q_n,q_n+\frac{1}{2^n}]=\{q\}$ が成り立つ。$q \in U \in \mathcal{U}$ なる $U$ が存在するが、このときある $n$ について $[q_n,q_n+\frac{1}{2^n}] \subset U]$ が成り立つため、$q_n$ の取り方に反する。よって $[0,1]$ のコンパクト性が示された。{{end |proof }}

=== Hausdorff空間内のコンパクト集合は閉 ===
Hausdorff空間の定義については[[分離公理]]を参照されたい。
{{theorem |type=thm |label=cpt_in_haus |name=Hausdorff空間内のコンパクト集合は閉 }}
Hausdorff空間 $X$ の部分集合 $K$ がコンパクトならば、$K$ は $X$ の閉集合である。
{{begin |proof |collapsible=1 |display={{ref |type=thm |label=cpt_in_haus }} の証明： }}
$x \in K$ なる $X$ の点 $x$ について、$K$ の各点 $y$ ごとに、$x$, $y$ の開近傍 $U_y$, $V_y$ を取ることができる。

このとき、$V_y$ 全体は $K$ を被覆するが、コンパクト性より有限個の $K$ の点 $y_1,\ldots,y_n$ により $K\subset V=\bigcup_{1\leq i\leq n}V_{y_i}$ が成り立つようにできる。このとき、$\bigcap_{1\leq i\leq n}U_{y_i}\cap V=\emptyset $ であるため、$x$ は $K$ の閉包には属しない。よって $K=\overline{K}$ より、$K$ は閉集合である。{{end |proof }}

{{theorem |type=thm |label=cpt_to_haus |name=コンパクト空間からHausdorff空間への全単射連続写像は同相 }}
コンパクト空間 $X$ とHausdorff空間 $Y$ について、全単射連続写像 $f:X\to Y$ は同相である。
{{begin |proof |collapsible=1 |display={{ref |type=thm |label=cpt_to_haus }} の証明： }}
全単射性より、集合としての逆写像 $f^{-1}$ を取ることができる。このとき $f^{-1}$ が連続であれば $f$ の同相性が従う。$f$ が閉射像ならば $f^{-1}$ が連続となることに注意する($f^{-1}$ の閉集合の逆像が閉集合となるため)。

$X$ の閉集合 $K$ について、{{ref |type=prop |label=her_cl }}よりこれはコンパクトである。このとき $f(K)$ は{{ref |type=prop |label=her_image }}よりこれはコンパクトである。{{ref |type=thm |label=cpt_in_haus }}より $f(X)$ は $Y$ の閉集合であるため、$f$ の閉写像性が示される。よって $f$ は同相である。{{end |proof }}

=== コンパクトHausdorff $\Rightarrow$ 正規 ===
コンパクトかつHausdorffであるような空間は、さまざまな位相空間論的に面白い性質を満たす。その最も基本的なものとして、正規性の成立が挙げられる。
{{theorem |type=prop |label=cpthaus_reg |name=コンパクトHausdorff $\Rightarrow$ 正則 }}
コンパクト空間 $X$ がHausdorffならば、正則である。

{{begin |proof |collapsible=1 |display={{ref |type=prop |label=cpthaus_reg }} の証明： }}
閉集合 $F$ と $x \notin F$ なる点 $x$ を取る。このとき、{{ref |type=prop |label=her_cl }} より $F$ はコンパクト空間である。

$F$ の各点 $y$ について、$x\neq y$ であるため、$y$, $x$ の開近傍 $U_y$, $V_y$ であって $U_y \cap V_y =\emptyset $ を満たすものが存在する。このとき、$\{U_y|y \in F\}$ は $F$ の開被覆であるため、有限個の点 $y_1,\ldots.y_n$ が存在して $\{U_{y_i}|1\leq i\leq n\}$ は $F$ の開被覆となる。このとき $\bigcup_{1\leq i \leq n} U_{y_i}$ と $\bigcap_{1\leq i \leq n} V_{y_i}$ は非交な開集合であって、それぞれ $F$, $x$ の近傍である。$X$ の $T_1$-性は明らかであるため、$X$ は正則である。{{end |proof }}

{{theorem |type=prop |label=cpthaus_nor |name=コンパクトHausdorff $\Rightarrow$ 正規 }}
コンパクト空間 $X$ がHausdorffならば、正規である。

{{begin |proof |collapsible=1 |display={{ref |type=prop |label=cpthaus_nor }} の証明： }}
非交な閉集合 $F$ と $G$ を取る。このとき、{{ref |type=prop |label=her_cl }} より $F$ はコンパクト空間である。

$F$ の各点 $y$ について、$y \notin G$ であるため、$y$, $G$ の開近傍 $U_y$, $V_y$ であって $U_y \cap V_y =\emptyset $ を満たすものが存在する。このとき、$\{U_y|y \in F\}$ は $F$ の開被覆であるため、有限個の点 $y_1,\ldots.y_n$ が存在して $\{U_{y_i}|1\leq i\leq n\}$ は $F$ の開被覆となる。このとき $\bigcup_{1\leq i \leq n} U_{y_i}$ と $\bigcap_{1\leq i \leq n} V_{y_i}$ は非交な開集合であって、それぞれ $F$, $G$ の近傍である。$X$ の $T_1$-性は明らかであるため、$X$ は正規である。{{end |proof }}

== {{id |id=tych |display=Tychonoffの定理 }} ==
=== 導入 ===

コンパクト空間のクラスは任意の積について閉じる。[[#tych|Tychonoffの定理]]においてはこの事実を証明する。ZF公理系においてこの定理は選択公理と同値な命題である。

{{theorem |type=thm |label=tych |name=コンパクト空間の積はコンパクト}}
コンパクト空間の族 $\{X_i|i \in \Lambda\}$ について、$X=\prod_{i \in \Lambda} X_i$ はコンパクト空間である。

{{begin |proof |collapsible=1 |display={{ref |type=thm |label=tych }} の証明：}}
[[ネットによる位相空間論]]、[[フィルターによる位相空間論]]を参照されよ。{{end |proof }}

=== Alexander subbase theorem ===

この節においては、Tychonoffの定理を示す準備として、Alexander subbase theoremを証明する。subbaseとは準開基のことである。

{{theorem |type=def |label=basis |name=開基}}
位相空間 $(X, \mathcal{O})$ とその開集合の族 $\mathcal{U}$ について、$\mathcal{U}$ が $X$ の開基（あるいは、$\mathcal{O}$ の開基）であるとは、任意の開集合 $V$ と $x\in V$ について、$x\in U \subset V$ を満たす $U\in \mathcal{U}$ が存在することをいう。

{{theorem |type=def |label=subbasis |name=準開基}}
位相空間 $(X, \mathcal{O})$ とその開集合の族 $\mathcal{U}$ について、$\mathcal{U}$ が $X$ の準開基であるとは、任意の開集合 $V$ と $x\in V$ について、有限個の $\mathcal{U}$ の要素 $U_1, \ldots, U_n$ であって $x \in U_1\cap \ldots \cap U_n \subset V$ が成り立つようなものを取れることをいう。
{{theorem |type=note |label=notesubbasis |name=準開基についての同値な定義}}
開集合族 $\mathcal{U}$ について、$\mathcal{U}$ の要素の有限個の共通集合として得られるような開集合の族を $\mathcal{U}_{\mathrm{fi}}$ と表記したとき、以下が成り立つ：$\mathcal{U}$ が準開基であることは $\mathcal{U}_{\mathrm{fi}}$ が開基となることと同値である。そのためこの方法で準開基の概念が導入されることもある。

{{theorem |type=axiom |label=zorn |name=Zornの補題 }}
'''空でない'''[[半順序集合]] $(P,\leq)$ が以下の性質を満たすとする。
* $Q\subset P$ であって $P$ の順序により全順序集合となる $Q$ について、$Q$ の任意の要素 $q$ について $q\leq p$ となるような $p \in P$ が存在する
このとき、$P$ は極大な要素を持つ。

{{theorem |type=note |label=equiv_ac |name=選択公理との同値性}}
ZF公理系において、Zornの補題は選択公理と同値である。この記事においては、議論の単純化のため、ZFに加えて {{ref |type=axiom |label=zorn }} を公理として課したものを公理系として採用するが、これは本質的にZFC公理系を採用することと変わらないことをここで注意しておく。また詳細については[[Zornの補題]]、[[選択公理]]を参照されよ。
{{theorem |type=thm |label=ast |name=Alexander subbase theorem}}
位相空間 $X$ の準開基 $\mathcal{V}$ について、任意の $\mathcal{V}$ の要素による開被覆について、その有限細分であって開被覆であるようなものが取れるとき、$X$ はコンパクト空間である。

{{begin |proof |contracitble=1 |display={{ref |type=thm |label=ast }} の証明：}}
$X$ の開集合族 $\mathcal{U}$ であって $X$ の開被覆となり、かつ有限細分であえるような開被覆がとれないもの全体の集合を $P$ とおき、$\mathcal{U}\subset \mathcal{U}'$ であるときに$\mathcal{U}\leq \mathcal{U}'$ が成り立つように $P$ 上の[[半順序]]を定める。'''$P$ が空でないとして矛盾を導く。'''

$P$ の全順序部分集合 $Q$ について、$\mathcal{U}_Q=\bigcup_{\mathcal{U} \in Q}\mathcal{U}$ は $X$ の開被覆となっている。このとき、$\mathcal{U}_Q$ の有限個の要素 $U_1,\ldots,U_n$ であって $X=U_1\cup \ldots \cup U_n$ なるものが取れたとする。このとき、$U_i\in \mathcal{U}_i \in Q$ なる $\mathcal{U}_i$ を取ると、$P$ 上の順序において $\mathcal{U}_i$ のいずれよりも大きな $\mathcal{U}_u \in Q$ を取ることができる。このとき任意の $i$ について $U_i \in \mathcal{U}_i \subset \mathcal{U}_u$ である。$\{U_i\}_{1\leq i \leq n}$ は $X$ の開被覆であったが、これは $\mathcal{U}_u$ が $P$ の要素であることに反する。よって $\mathcal{U}_Q$ は $P$ の要素であるため、$Q$ の上界となる。

{{ref |type=axiom |label=zorn}} (Zornの補題)より、$P$ の極大な要素を取ることができるが、これをひとつ選び $\mathcal{U}_{max}$ と表記する。極大性より、$\mathcal{U}_{max}$ に含まれないどのような開集合 $U$ についても、$\{U\}\cup \mathcal{U}_{max}$ は有限細分であって開被覆となるようなものを取ることができる。

$\mathcal{U}_{max}\cap \mathcal{V}$ を $\mathcal{V}_m$ と表記する。このとき、$\mathcal{V}_m$ の有限細分であって開被覆となるものを取ることができないため、$\mathcal{V}_m$ は $X$ の開被覆ではないことが示される。よって、$x\in X$ であって、$\bigcup_{V \in \mathcal{V}_m}V$ に含まれない点をとることができる。

このとき、$x$ を含む開集合であって $\mathcal{V}$ の要素であるようなものは、$\mathcal{U}_{max}$ の要素ではないことに注意する。なぜならば、そのような開集合 $V \in \mathcal{U}_{max}$ があったならば、これは $\mathcal{V}_m$ の要素であり $x$ を含む開集合であるが、このようなことは $x$ の取り方により起こり得ないためである。

ある $x \in U \in \mathcal{U}_{max}$ について、有限個の $\mathcal{V}$ の要素 $V_1,\ldots, V_t$ であって、$x \in V_1\cap \ldots \cap V_t \subset U$ なるものを取る。このとき $x \in V_i \in \mathcal{V}$ であるため、$V_i$ は $\mathcal{U}_{max}$ の要素ではない。従って、$\{V_i\}\cup \mathcal{U}_{max}$ は有限細分であって開被覆であるような開集合族 $\{V_i\}\cup \{U_{i,j}\}$ を持つ。

このとき $\{U\}\cup \{U_{i,j}\}$ は $\mathcal{U}_{max}$ の有限細分であって、開被覆となる。''これは矛盾である。''よって $P$ は空であり、これは $X$ のコンパクト性を意味する。よって定理が示された。{{end |proof }}

=== Tychonoffの定理 ===
{{theorem |type=thm |label=tychre |display=Tychonoffの定理}}
コンパクト空間の族 $\{X_i|i \in \Lambda\}$ について、$X=\prod_{i \in \Lambda} X_i$ はコンパクト空間である。

{{begin |proof |collapsible=1 |display={{ref |type=thm |label=tychre }} の証明：}}
$\prod_{i \in \Lambda} X_i$ の開集合として、以下の形で表すことができるもの全体の集合を $\mathcal{V}$ とおく。
* ある $i \in \Lambda$ について $X_i$ の開集合 $U_i$ を取ったとき、$U_i \times \prod_{i\neq j \in \Lambda} X_j$ と表せる
このとき、$\mathcal{V}$ は $X$ の準開基となる。

{{ref |type=thm |label=ast }} により、$X$ の $\mathcal{V}$ の要素による開被覆についてその有限細分であって開被覆となるものが取れることを示せばよい。

$\mathcal{U}\subset \mathcal{V}$ であって、有限細分であって開被覆となるものが取れないものを固定する。このとき、$i \in \Lambda $ について、$U_i\times \prod_{i\neq j \in \Lambda}$ の形の $\mathcal{U}$ の要素についてここに現れる $U_i$ 全体の集合を $\mathcal{U}_i$ とおくと、$X_i$ のコンパクト性より、$\{U_i\}$ は $X_i$ の開被覆とならない。よって、$x_i \in X_i$ であって $\bigcup U_i$ に含まれない点を $i \in \Lambda$ ごとに選ぶことができる。((これは選択公理による。))

このとき、$(x_i)_{i \in \Lambda} \in \prod_{i \in \Lambda} X_i$ は $\mathcal{U}$ の要素に含まれない。よって $\mathcal{U}$ は開被覆でない。背理法を用いることで、定理は示される。{{end |proof }}

== 基本的な例 ==
=== $\mathbb{R}^n$ の有界閉部分空間 ===
{{theorem |type=prop |label=bdd_closed_is_cpt |name=$\mathbb{R}^n$ の有界閉部分空間はコンパクト }}
$\mathbb{R}^n$ の有界閉部分空間はコンパクトである。
{{begin |proof |collapsible=1 |display=証明 }}$\mathbb{R}^n$ の有界閉部分空間 $K$ をひとつとる。このとき、ある実数 $a$ により、$K$ は $[-a,a]^n$ に含まれる。$[-a,a]$ は $[0,1]$ と同相であるため、コンパクトである。[[#Tychonoffの定理|Tychonoffの定理 (2.3.1)]] より、$[-a,a]^n$ はコンパクトである。$K$ は $[-a,a]^n$ の閉集合であるため、[[#コンパクト空間の基本性質|1.2.4]] より、$K$ はコンパクトである。{{end |proof }}

{{theorem |type=prop |label=cpt_is_bdd_closed |name=$\mathbb{R}^n$ のコンパクト集合は有界閉 }}
$\mathbb{R}^n$ のコンパクト集合は有界閉である。
{{begin |proof |collapsible=1 |display=証明 }}
$\mathbb{R}^n$ のコンパクト集合を $K$ とおく。[[#Hausdorff空間内のコンパクト集合は閉|1.4.1]]より、$K$ は閉集合である。また、$d \in \mathbb{N}$ について $\mathbb{R}^n$ の原点を中心とした半径 $d$ の開球を $U_d$ とおいたとき、$U_d$ 全体は $K$ を被覆する。よって、有限個の $U_d$ によって被覆されなければならない。したがって $K$ は有界である。{{end |proof }}

=== cube ===
* 集合 $J$ について、$[0,1]^J=\prod_{j \in J}[0,1]$ はコンパクト集合である。これはTychonoffの定理と $[0,1]$ のコンパクト性より従う。

* 集合 $J$ について、$\{0,1\}^J=\prod_{j \in J}\{0,1\}$ はコンパクト集合である。ただし、$\{0,1\}$ には離散位相が入っているものとする。この事実も同様にTychonoffの定理と $[0,1]$ のコンパクト性より従う。

* Sierpinski空間を $\mathbb{S}$ と表記する。このとき、集合 $J$ について、$\mathbb{S}^J=\prod_{j \in J}\mathbb{S}$ はコンパクト集合である。この事実も同様にTychonoffの定理と $[0,1]$ のコンパクト性より従う。ここで得られた位相空間を[[Alexandroff立方体]]という。

=== ordinal numbers ===
順序数は、順序位相を与えることで位相空間とみなすことができる。順序数の定義や、基本的な事柄に関しては [[A3.]] を参照されたい。

{{theorem |type=def |label=def:order_top |name=順序位相 }}
半順序集合 $P$ について、$x,y \in P$ に対し $(x,y)$ を $\{z \in P|x<z<y\}$ とおく。また、$(-\infty,x)$ を $\{z \in P|z<x\}$ とおく。また、$(y,\infty)$ を $\{z \in P|y<z\}$ とおく。このとき、$I=\{(x,y)\}_{x,y \in P}\cup \{(-\infty,x)\}_{x \in P}\cup \{(y,\infty)\}_{y \in P}$ によって生成される $P$ 上の位相を $P$ の半順序集合という。すなわち、$I$ の要素の有限交叉として表される $P$ の部分集合全体を開基とする位相のことである。

{{theorem |type=def |label=def:ord_as_top |name=位相空間としての順序数 }}
順序数 $\alpha$ について、順序位相によって $\alpha$ を位相空間とみなすことができる。この空間を $\alpha$ と同じ記号で表記する。

{{theorem |type=thm |label=succ_ord_is_cpt |name=後続順序数のコンパクト性 }}
[[順序数|後続型順序数]] $\alpha$ について、$\alpha$ をコンパクトである。
{{begin |proof |collapsible=1 |display=証明 }}
$\alpha$ の開被覆 $\{U_\lambda\}$ であって、有限細分を持たないものが存在したとする。このとき、次のような順序数の列 $\{\beta_n\}_{n \in \mathbb{N}}$ と開被覆の元の列 $\{U_n\}_{n \in \mathbb{N}}$ を考える。
* $\beta_0 = \alpha - 1$
* $n \geq 0$ について、$U_n$ は $\beta_n$ を含む開集合であって開被覆の元であるもの
* $n \geq 1$ について、$\beta_n$ は $\bigcup_{0 \leq i \leq n-1} U_i$ に含まれない元であって最大のもの(このような元は、$\alpha \setminus \bigcup_{0 \leq i \leq n-1} U_i$ が開被覆の取り方より非空であり、さらに閉集合であることから存在することが言える）

このとき、順序数の無限下降列が存在してしまうが、これは正則性公理に矛盾する。{{end |proof }}

== コンパクト化 ==
本節において、基本的に考える空間はHausdorff空間に限る。

{{theorem |type=def |label=def:cpt-fication |name=コンパクト化 }}
位相空間 $X$ に対して、コンパクトHausdorff位相空間 $Y$ と連続写像 $c:X\to Y$ の組 $(Y,c)$ が $X$ のコンパクト化であるとは、以下の性質が成り立つことをいう。
* $X \to f(X)$ は同相
* $\overline{f(X)}=Y$

ただし、$c$ にあたる射が文脈のうえで明らかな場合は $Y$ のみを表記してこれを $X$ のコンパクト化であるという。

{{theorem |type=def |label=def:Tych_sp |name=Tychonoff空間 }}
位相空間 $X$ がTychonoff空間であるとは、Hausdorff空間であり、任意の閉集合 $F$ と $x\notin F$ について、連続写像 $f:X\to[0,1]\subset \mathbb{R}$ であって $f(x)=0$ かつ $f(F)=\{1\}$ なるものが存在することをいう。

{{theorem |type=prop |label=Tych_hered |name=Tychonoff性は部分空間に遺伝 }}
Tychonoff空間 $X$ の部分空間 $Y$ はTychonoff空間である。

{{begin |proof |collapsible=1 |display=証明 }}
$Y$ がHausdorffであることは明らかである。

$Y$ の点 $y$ と $Y$ の閉集合 $y \notin F'$ について、$X$ の閉集合 $F$ であって $F'=Y\cap F$ なるものが存在する。このとき、$y \notin F$ であるため、連続写像 $f:X \to [0,1]$ であって、$f(y)=0$ かつ $f(F)=\{1\}$ なるものが存在する。このとき、$f$ の $Y$ への制限は、$f(y)=0$ かつ $f(F')=\{1\}$ なる連続写像である。よって $Y$ はTychonoff空間である。{{end |proof }}

{{theorem |type=def |label=def:loc_cpt |name=局所コンパクト空間 }}
位相空間 $X$ が局所コンパクトであるとは、Hausdorffであって、かつ任意の点 $x \in X$ について $x$ を含む近傍でコンパクトなものが存在することをいう。

{{theorem |type=note |label=loc_cpt_is_Haus |name=Hausdorff性に関する注意 }}
コンパクト性においてはHausdorff性を課さないが、局所コンパクト性についてはHausdorff性を課していることに注意されたい。これは簡単のためというのもひとつの理由にはあるが、「局所コンパクト性」として知られる(よばれる)性質については、いくつかの流儀があり、しばしばこれらの流儀は「Hausdorff空間上では一致するが、一般には一致しない」という形での、弱いconflictをみせる。また(本稿の意味で)コンパクト化可能な位相空間はHausdorff空間に限られるため、このような扱いを行う。

{{theorem |type=note |label=neighborhood |name=近傍についての注意 }}
点 $x$ の近傍とは、$x$ を含む集合 $N$ であって、さらに $x$ を含む開集合 $U \subset N$ が存在することを指していう。このため、近傍は必ずしも開集合であるわけではない。

=== 一点コンパクト化 ===

=== Stone-Čechコンパクト化 ===

== 距離化可能性 ==

=== 距離化可能空間 ===

{{theorem |type=def |label=def:metr_sp |name=距離空間 }}
集合 $X$ と実数値関数 $d:X\times X\to \mathbb{R}$ の組 $(X,d)$ が[[距離空間]]であるとは、以下の条件を満たすことを指していう。
* $X$ の点 $x$, $y$ について、$d(x,y)\geq 0$
* $X$ の点 $x$, $y$ について、$d(x,y)=0$ と $x=y$ は同値
* $X$ の点 $x$, $y$ について、$d(x,y)=d(y,x)$
* $X$ の点 $x$, $y$, $z$ について、$d(x,y)+d(y,z)\geq d(x,z)$

[[距離空間]] $(X,d)$ について、距離が文脈上明らかである場合これを明記せず単に $X$ と表記する場合がある。

{{theorem |type=def |label=def:top_as_metr |name=距離に伴う位相 }}
[[距離空間]] $X$ について、$x \in X$ と $i \in \mathbb{N}$ に対して、$U(x,i)$ を点 $x$ を中心とする半径 $\frac{1}{i}$ の開球、すなわち $\{y \in X|d(x,y)<\frac{1}{i}\}$ と定めると、$\{U(x,i)\}_{x \in X,i \in \mathbb{N}}$ を[[開基]]とする $X$ 上の位相が唯一つ存在する。この位相でもって距離空間 $X$ を位相空間とみなすことができる。

断りなく距離空間を位相空間とみなす場合はつねにこの方法で位相を入れているものとする。

{{theorem |type=def |label=def:metrizable |name=距離化可能空間 }}
位相空間 $X$ が距離化可能空間であるとは、距離空間を位相空間とみなして構成されたもの(と同相な位相空間)であることをいう。

{{theorem |type=ex |label=real_sp |name=実数空間 }}
実数空間 $\mathbb{R}$ は距離化可能空間である。

{{theorem |type=prop |label=metrizable_is_Haus |name=距離化可能ならばHausdorff }}
距離化可能空間はHausdorffである。

{{begin |proof |collapsible=1 |display=証明 }}
距離化可能空間 $X$ に対して、$X$ の異なる二点 $x,y$ を取る。このとき、$d(x,y)$ を $d$ とおくと、$x$, $y$ それぞれを中心とした半径 $\frac{d}{3}$ の開球は非交な開近傍である。よって $X$ はHausdorffである。{{end |proof }}

{{theorem |type=def |label=def:bdd_metr |name=有界距離空間 }}
距離空間 $(X,d)$ が有界であるとは、ある実数 $r$ が存在し、任意の $X$ の点 $x$, $y$ について、$d(x,y)<r$ が成り立つことをいう。

{{theorem |type=prop |label=metr_bdd-cation |name=距離化可能空間は有界距離空間と同相 }}
距離化可能空間 $X$ について、$X$ 上の有界な距離 $d$ であって、$X$ と同じ位相を定めるものが存在する。
{{begin |proof |collapsible=1 |display=証明 }}{{end |proof }}

{{theorem |type=prop |label=metrizable_ctbl_prod |name=距離化可能空間の可算積は距離化可能 }}
距離化可能空間の可算族 $\{X_i\}_{i \in \mathbb{N}}$ について、$\prod_{i \in \mathbb{N}}X_i$ は距離化可能である。
{{begin |proof |collapsible=1 |display=証明 }}{{end |proof }}

=== [[第二可算空間|第二可算性]] ===

{{theorem |type=def |label=def:2nd_ctbl |name=第二可算空間 }}
位相空間 $X$ が[[第二可算空間|第二可算]]であるとは、$X$ の[[基底]] $B$ であって、高々可算な開集合の族であるようなものが存在することをいう。

* $\mathbb{R}$ は第二可算である。実際、有理数 $q,q'\in\mathbb{Q}$ について開集合 $(q,q') \subset \mathbb{R}$ 全体は $\mathbb{R}$ の開基となる。

{{theorem |type=prop |label=cpt_metr_is_2nd_ctbl |name=コンパクトな距離空間は第二可算 }}
距離空間 $X$ について、$X$ が位相空間としてコンパクトならば、第二可算である。

{{begin |proof |collapsible=1 |display=証明 }}
自然数 $i \in \mathbb{N}$ と $X$ の点 $x$ について、$U(x,i)$ を $x$ を中心とする半径 $\frac{1}{i}$ の開球とする。$i$ を固定したとき、$X$ のコンパクト性より、有限個の開球によって $X$ は覆われる。この有限個の開球全体の集合を $B_i$ とおく。このとき、$B=\bigcup_{i \in\mathbb{N}} B_i$ は可算集合である。

$B$ が $X$ の基底となることを示す。$X$ の開集合 $U$ と $U$ の点 $x$ について、ある自然数 $j$ であって、$U(x,j)\subset U$ なるものが存在する。このような $j$ を固定する。このとき、$B_{2j}$ は $X$ の開被覆であったため、$B_{2j}$ の元 $U(y,2j)$ であって $x$ を含むものが存在する。このとき、$y$ と $x$ の距離は $\frac{1}{2j}$ 未満であり、また $U(y,2j)$ の点は $y$ との距離が高々 $\frac{1}{2j}$ 未満である。よって、$U(y,2j)\subset U(x,j)$ が成り立つ。従って、$B$ は $X$ の基底である。{{end |proof }}

=== Urysohnの距離化定理 ===

== 副有限空間 ==

== コンパクト空間と基数関数 ==

== 半順序集合 ==

== コンパクト性の類似概念 ==

コンパクト性は位相空間論において非常に基本的な概念であるため、そのさまざまな類似概念についてもよく調べられてきた。そのような概念のいくつかについてここで紹介しようと思う。

=== 局所的な有限性 ===
{{theorem |type=def |label=def:point_fin |name=点有限開被覆 }}
位相空間 $X$ の開被覆 $\mathcal{U}$ が点有限であるとは、任意の点 $x\in X$ について、$x\in U$ となる $U\in \mathcal{U}$ が高々有限個であることをいう。

{{theorem |type=def |label=def:loc_fin |name=局所有限開被覆 }}
位相空間 $X$ の開被覆 $\mathcal{U}$ が局所有限であるとは、任意の点 $x\in X$ について、ある $x$ の[[近傍]] $V$ が存在し、$V\cap U\neq \emptyset$ となる $U\in \mathcal{U}$ が高々有限個であることをいう。

{{theorem |type=def |label=def:star_fin |name=星状有限開被覆 }}
位相空間 $X$ の開被覆 $\mathcal{U}$ が星状有限であるとは、任意の $U\in \mathcal{U}$ について、$ U\cap V\neq \emptyset$ となる $V\in\mathcal{U}$ が高々有限個であることをいう。

{{theorem |type=def |label=def:meta_cpt |name=メタコンパクト空間 }}
位相空間 $X$ がメタコンパクトであるとは、任意の $x$ の開被覆 $\mathcal{U}$ について、$\mathcal{U}$ の細分であって点有限なものが存在することをいう。

{{theorem |type=def |label=def:para_cpt |name=メタコンパクト空間 }}
位相空間 $X$ がパラコンパクトであるとは、任意の $x$ の開被覆 $\mathcal{U}$ について、$\mathcal{U}$ の細分であって局所有限なものが存在することをいう。

{{theorem |type=def |label=def:str_para_cpt |name=強メタコンパクト空間 }}
位相空間 $X$ が強パラコンパクトであるとは、任意の $x$ の開被覆 $\mathcal{U}$ について、$\mathcal{U}$ の細分であって星状有限なものが存在することをいう。

=== 有限性を弱めた概念 ===
{{theorem |type=def |label=def:Lindelof |name=Lindelof空間 }}
位相空間 $X$ がLindelofであるとは、以下の性質を満たすことを指していう。
* $X$ の任意の[[開被覆]] $\mathcal{U}$ について、$\mathcal{U}$ の可算部分集合 $\mathcal{V}$ が存在して、$\mathcal{V}$ が $X$ の開被覆となる。

== 順序数・基数 ==
=== 定義 ===

=== 基数の演算 ===

== information ==

=== Suggested Reading ===

[[位相空間論の参考書]]にリストアップされた文献等を参考にされたい。

本稿において必要な位相空間論の知識は[[速習コース「位相空間論の基礎事項」]]に整理している。

順序数・基数の概念の詳細については[[xxx]]を参照されたい。

=== 関連項目 ===

=== 参考文献 ===
* Ryszard Engelking, "General Topology", 1989

=== 外部リンク ===
* [[nlab "Introduction to Topology":https://ncatlab.org/nlab/show/Introduction+to+Topology]]

コンパクト性とAscoli-Arzelàの定理

2022-03-28T06:09:28Z

Saitory: pukiwiki記法 [X >Y]] をX に (XとYの位置の入れ替え忘れを修正)

<noinclude>
{{TOC |align=right |noautonum=1 }}
</noinclude>
== コンパクト性とAscoli-Arzelàの定理 ==
＜＜執筆中＞＞
ここでは距離空間の基本的な位相的性質を復習しつつ、いくつか用語と記法を導入し、距離空間のその中で特に重要なAscoli-Arzelàの定理を紹介する。

=== 1.1. 有界性 ===
==== 定義1.1.1（直径） ====

距離空間 $(X,d)$ の部分集合 $A\subseteq X$ にたいし ${\rm diam}(A)$ を
$${\rm diam}(A):=\sup\{d(x,y)|x,y\in A\}$$

と定義し、$A$ の直径（diameter）と呼ぶ。

==== 定義1.1.2（部分集合の近傍） ====

距離空間 $(X,d)$ の部分集合 $A\subseteq X$ と実数 $r>0$ にたいし $B_d(A,r)$ を
$$B_d(A,r):=\{y\in X|d(A,y)<r\}$$

と定義し、$A$ の $r$ （開）近傍と呼ぶ。

同様に $\overline{B}_d(A,r)$ を
$$\overline{B}_d(A,r):=\{y\in X|d(A,y)\le r\}$$

と定義し、$A$ の $r$ 閉近傍と呼ぶ。

誤解の恐れがないときは、$d$ を省略する。

==== 命題1.1.3（可分距離空間） ====
距離空間 $(X,d)$ について以下の条件は同値
*$(1)$ $X$ は稠密な高々可算な部分集合を持つ（[[可分|可分空間]]）.
*$(2)$ 任意の実数 $\epsilon>0$ にたいし、ある高々可算な部分集合 $S\subseteq X$ が存在し $X\subseteq B_d(S,\epsilon)$.
*$(3)$ $X$ は[[第二可算空間|第二可算]].
*$(4)$ $X$ は[[Lindelöf空間|Lindelöf]].

''証明''

$(1)\Rightarrow (2)$ を示す。$\epsilon>0$ を任意に与える。仮定 $(1)$ から、$X$ の高々可算な稠密部分集合 $S$ が存在する。任意に $x\in X$ を与える。$S$ の稠密性から、ある $s\in S$ が存在して、$d(x,s)<\epsilon$ である。よって、$X\subseteq B_d(S,\epsilon)$ である。

$(2)\Rightarrow (1)$ を示す。仮定 $(2)$ から、各正整数 $n$ に対して、高々可算な $S_n\subseteq X$ であって、$B_d(S_n, 2^{-n})=X$ であるようなものが選べる。$S=\bigcup_{n=1}^\infty S_n$ は $X$ の高々可算な部分集合である。$S$ が $X$ において稠密であることを示そう。そのため、$x\in X$, $\epsilon>0$ とする。$B(x, \epsilon)\cap S\neq\emptyset$ を示せばよい。正整数 $n$ を $1/n<\epsilon$ であるように取る。$B_d(S_n, 2^{-n})=X$ によりある $s\in S_n$ が存在して $d(x, s)<2^{-n}$ である。すると、$s\in B_d(x, \epsilon)\cap S$ であるから $B_d(x, \epsilon)\cap S\neq\emptyset$ である。

$(1)\Rightarrow (3)$ を示す。仮定 $(1)$ により、高々可算な $X$ の稠密部分集合 $S$ が存在する。$\mathcal{B}=\{B_d(s, 2^{-n})\,|\,s\in S,\,n=1,2,\ldots\}$ とおこう。$\mathcal{B}$ は $X$ の開集合からなる高々可算な族であるが、これが $X$ の開基となることを証明しよう。そのため、$U\subseteq X$ を開集合とし、$x\in U$ とする。すると、ある正整数 $n$ が存在して、$B_d(x, 2^{-n})\subseteq U$ である。$S$ の稠密性により、点 $s\in S\cap B_d(x, 2^{-n-1})$ が存在する。$V=B_d(s, 2^{-n-1})$ とおくと、$V\in\mathcal{B}$ であり、$x\in V$ である。さらに、$V\subseteq U$ である。これを示すため、$y\in V$ とすると、$V$ の定義により $d(s, y)<2^{-n-1}$ であるので、

$$d(x, y)\leq d(x, s)+d(s, y)<2^{-n-1}+2^{-n-1}=2^{-n}$$

となる。よって、$y\in B_d(x, 2^{-n})\subseteq U$ である。これで、$V\subseteq U$ が示され、したがって $\mathcal{B}$ が $X$ の開基であることが示された。

$(3)\Rightarrow (4)$ を示す。$\mathcal{B}$ を、仮定 $(3)$ により存在する $X$ の高々可算な開基の一つとする。$\mathcal{U}$ を $X$ の開被覆とする。$\mathcal{U}$ が高々可算な部分被覆をもつことを示せばよい。集合族 $\mathcal{B}'$ を

$$ \mathcal{B}'=\{B\in\mathcal{B}\,|\, \text{ある }U\in\mathcal{U}\text{ に対して }B\subseteq U\}$$

で定義する。$\mathcal{B}'$ は $\mathcal{B}$ の部分族であるから、高々可算である。各 $B\in\mathcal{B}'$ に対して $U_B\in\mathcal{U}$ を、$B\subseteq U_B$ であるように選び、$\mathcal{U}'=\{U_B\,|\,B\in\mathcal{B}'\}$ と定義すると、$\mathcal{U}'$ は $\mathcal{U}$ の高々可算な部分族である。あとは $\mathcal{U}'$ が $X$ の被覆であることを示せばよい。そこで、$x\in X$ とする。$\mathcal{U}$ は被覆だから、$x\in U$ となる $U\in\mathcal{U}$ が存在する。$\mathcal{B}$ は開基なので、$x\in B\subseteq U$ を満たす $B\in\mathcal{B}$ が存在する。このとき、$\mathcal{B}'$ の定義により、$B\in\mathcal{B}'$ である。したがって、$U_B\in\mathcal{U}'$ が定義され、$B\subseteq U_B$ であるから $x\in U_B$ である。これで、 $\mathcal{U}'$ が $X$ の被覆であることが示された。

$(4)\Rightarrow (1)$ を示す。各正整数 $n$ に対して、$X$ の開被覆 $\mathcal{U}_n=\{B_d(x, 2^{-n})\,|\,x\in X\}$ を考える。仮定 $(4)$ により、各 $n$ に対して、$\mathcal{U}_n$ は高々可算な部分被覆をもつ。すなわち、$X$ の高々可算な部分集合 $S_n$ を選び、$\mathcal{V}_n=\{B_d(s, 2^{-n})\,|\,s\in S_n\}$ が $X$ の被覆になるようにできる。$S=\bigcup_{n=1}^\infty S_n$ は $X$ の高々可算集合であるが、これが $X$ において稠密であることを示そう。そのため、$x\in X$ とし、$\epsilon>0$ を任意に与える。$B_d(x, \epsilon)\cap S\neq\emptyset$ を言えばよい。正整数 $n$ を $2^{-n}<\epsilon$ となるように取る。$\mathcal{V}_n$ は $X$ の被覆だから、ある $s\in S_n\subseteq S$ に対して、$x\in B_d(s, 2^{-n})$ となり、したがって $d(x, s)<2^{-n}<\epsilon$ となる。よって、$s\in B_d(x, \epsilon)\cap S$ だから $B_d(x, \epsilon)\cap S\neq\emptyset$ である。

=== 1.2. 完備性とコンパクト性の復習 ===

==== 定義1.2.1（完備） ====

距離空間の任意のCauchy列が収束するとき、その距離空間は[[完備距離空間|完備]] （complete）であるという。

==== 定義1.2.2（完備化） ====

$X$ を距離空間、$Y$ を完備距離空間、$\iota\colon X\to Y$ を等長埋め込みとする（定義は[[Lipschtz写像と関数空間]]参照）。$\overline{\iota(X)}=\iota(Y)$ が成り立つとき $(Y,\iota)$ または単に $Y$ を $X$ の完備化という。

==== 定義1.2.3（点列コンパクト） ====

任意の点列が収束する部分列を持つ距離空間を[[点列コンパクト|点列コンパクト]]という。

==== 定理1.2.4（点列コンパクトの特徴付け） ====

距離空間が全有界かつ完備であることは、距離空間が[[点列コンパクト|点列コンパクト]]である為の必要十分条件である。

==== 命題1.2.5 ====

距離空間では点列コンパクトと[[コンパクト空間|コンパクト]]は同値。

==== 定義1.2.6（固有距離空間） ====

任意の有界閉集合が[[コンパクト空間|コンパクト]]になる距離空間を[[固有距離空間]]（proper metric space）という。

==== 例1.2.7 ====
よく知られているようにユークリッド空間は固有距離空間である（[[Heine–Borelの被覆定理]]）。より一般に完備リーマン多様体は固有距離空間（[[Hopf-Rinowの定理]]）。

==== 命題1.2.8（固有距離空間の位相的性質） ====
固有距離空間は完備かつ[[局所コンパクト空間|局所コンパクト]]かつ[[σコンパクト空間|σコンパクト]]である。

逆は一般には言えないが弧長距離空間では完備かつ[[局所コンパクト空間|局所コンパクト]]だけから固有距離であることが従う（[[曲線の長さとHopf-Rinowの定理]]参照）。

=== 1.3. Ascoli-Arzelàの定理 ===
==== 定義1.3.1 （同程度連続と各点全有界） ====
$\mathcal{F}$ を距離空間 $X$ から距離空間 $Y$ への写像からなる族とする。

任意の $x\in X$ と $\epsilon>0$ にたいして、ある $\delta>0$ が存在して、任意の $f\in\mathcal{F}$ と $y\in Y$ について「 $d(x,y)<\delta$ ならば $d(f(x),f(y))<\epsilon$ 」が成り立つときに、$\mathcal{F}$ は同程度連続だという。

任意の $x\in X$ について、$\{f(x)|f\in\mathcal{F}\}\subseteq Y$ が全有界となるとき、$\mathcal{F}$ は各点全有界だという。

==== 補題1.3.2 ====
$(f_n)_{n\in\mathbb{N}}$ を距離空間 $X$ から距離空間 $Y$ への写像の同程度連続な可算列であり、関数 $f\colon X\to Y$ に各点収束しているとするこのとき、$f$ は連続。

''証明''

今 $x\in X$ と $\epsilon>0$ を任意に取る。$(f_n)_{n\in\mathbb{N}}$ の同程度連続性から、$\delta>0$ を任意の $y\in X$ と $n\in\mathbb{N}$ にたいし、「$d(x,y)<\delta$ ならば $d(f_n(x),f_n(y))<\epsilon$」を満たすように取る。さらに $d(x,y)<\delta$ を満たす $y\in X$ を任意に取る。今 $\delta$ の取り方から $d(f_n(x),f_n(y))<\epsilon$ であるが、$\displaystyle\lim_{n\to\infty}f_n(x)=f(x)$ かつ $\displaystyle\lim_{n\to\infty}f_n(y)=f(y)$ であるから $d(f(x),f(y))\le \epsilon$ となり $f$ は $x$ において連続となる。これがすべての $x\in X$ に対して成り立つので、$f$ は連続である。

==== 補題1.3.3 ====
$(f_n)_{n\in\mathbb{N}}$ を距離空間 $X$ から距離空間 $Y$ への写像の同程度連続な可算列であり、関数 $f\colon X\to Y$ に各点収束しているとするこのとき、$(f_n)_{n\in\mathbb{N}}$ は任意のコンパクト集合上で $f\colon X\to Y$ に一様収束する。

''証明''

$A\subseteq X$ をコンパクト集合とし、$\epsilon>0$を固定する。このとき $\delta_0:=\inf\{d(a,b)|n>0,a,b\in A,d(f_n(a),f_n(b))\ge\epsilon\}$ は正の実数である。

もしそうでないなら、ある$A\times X$ 上の点列 $( (a_i,b_i) )_{i\in\mathbb{N}}$ と $(f_n)_{n\in\mathbb{N}}$ の部分列 $(f_{n_i})_{i\in\mathbb{N}} $ が存在して、$\displaystyle\lim_{i\to\infty}d(a_i,b_i)=0$ かつ任意の $i\in\mathbb{N}$ にたいし $d(f_{n_i}(a_i),f_{n_i}(b_i))\ge\epsilon$ となる。$A$ は点列コンパクトなので必要なら部分列を取ることで $\displaystyle\lim_{i\to\infty}a_i(=:\alpha)\in A$ として良い。今 $(f_n)_{n\in\mathbb{N}}$ の同程度連続性から、$\delta>0$ を任意の $x\in X$ と $n\in\mathbb{N}$ にたいし、「$d(\alpha,x)<\delta$ ならば $d(f_n(\alpha),f_n(x))<\frac{1}{2}\epsilon$」を満たすように取る。今$\displaystyle\lim_{i\to\infty}a_i=\alpha$ および $\displaystyle\lim_{i\to\infty}d(a_i,b_i)=0$ に注意すると十分大きい $N\in\mathbb{N}$ にたいし、$d(\alpha,a_N),d(\alpha,b_N)<\delta$ が成立する。このとき $\delta$ の取り方から $d(f_{n_N}(\alpha), f_{n_N}(a_N))<\frac{1}{2}\epsilon$ かつ $d(f_{n_N}(\alpha), f_{n_N}(b_N))<\frac{1}{2}\epsilon$ となり、$d(f_{n_N}(a_N), f_{n_N}(b_N))<\epsilon$ が成立し矛盾する。

今 $d(a,b)<\delta_0$ を満たす $a,b\in A$ を任意に取る。$d(f_n(a),f_n(b))<\epsilon$ および $\displaystyle\lim_{n\to\infty}f_n(a)=f(a)$ 、$\displaystyle\lim_{n\to\infty}f_n(b)=f(b)$ から $d(f(a),f(b))\le \epsilon$ がいえる。

$A$ はコンパクトなのである有限集合 $S\subseteq A$ が存在して $A\subseteq B_d(S,\delta_0)$ となる。$S$ が有限集合であること、$(f_n)_{n\in\mathbb{N}}$ が $f$ に各点収束していることから、$M\in\mathbb{N}$ を、「任意の $i>M$ と $s\in S$ について $d(f_i(s),f(s))<\epsilon$ が成立する」ように取る。今 $a\in A$ と $i>M$ を任意に取る。このときある $s\in S$ が存在して、$d(a,s)<\delta_0$ となり、$\delta_0,M$ の取り方から、$d(f_i(s),f_(s))<\epsilon$ および $d(f_i(a),f_i(s))<\epsilon$ 、$d(f(s),f(a))\le \epsilon$ がいえ、$d(f_i(a),f(a))<3\epsilon$ となる。$a$ と $\epsilon$ は任意だったので、一様収束が示せた。

==== 定理1.3.4（Ascoli-Arzelàの定理） ====
$(f_n)_{n\in\mathbb{N}}$ を可分距離空間 $X$ から完備距離空間 $Y$ への写像の可算列とする。$(f_n)_{n\in\mathbb{N}}$ が同程度連続かつ各点全有界ならある部分列が存在して、連続写像にコンパクト一様収束する。

''証明''

''補題1.3.2''および''補題1.3.3''より、各点収束だけ示せば良い。

$(s_i)_{i\in\mathbb{N}}$ を $X$ の稠密な部分集合を成す可算列とする。$(\iota_i\colon\mathbb{N}\to\mathbb{N})_{i\in\mathbb{N}}$ を以下のように再帰的に取る。
*step 0

$\{f_n(s_0)|n\in\mathbb{N}\}$ は完備距離空間の全有界な部分集合なので相対コンパクトである。これより $f_{\iota_0(i)}(s_0)$ を $(f_n(s_0))_{n\in\mathbb{N}}$ の収束する部分列として取り、その収束先を $f(s_0)$ と表記する。
*step i

同様に $(f_{\iota_i(n)}(s_i))_{n\in\mathbb{N}}$ を $(f_{\iota_{i-1}(n)}(s_{i-1}))_{n\in\mathbb{N}}$ の収束する部分列((つまりある狭義単調増加列 $\sigma\colon\mathbb{N}\to\mathbb{N}$ が存在して $\iota_i=\iota_{i-1}\circ\sigma$))として取り、その収束先を $f(s_i)$ と表記する。

このとき、$(\iota_n(n))_{n\ge i}$ は $(\iota_i(n))_{n\ge i}$ の部分列になっているのに注意すると、任意の $i\in\mathbb{N}$ について $\displaystyle\lim_{n\to\infty}f_{\iota_n(n)}(s_i)=f(s_i)$ が成り立つ。数列 $(\iota(n))_{n\in\mathbb{N}}$ を $\iota(n):=\iota_n(n)$ と定義する。
このとき、$(\iota_n(n))_{n\ge i}$ は $(\iota_i(n))_{n\ge i}$ の部分列になっているのに注意すると、任意の $i\in\mathbb{N}$ について $\displaystyle\lim_{n\to\infty}f_{\iota_n(n)}(s_i)=f(s_i)$ が成り立つ。数列 $(\iota(n))_{n\in\mathbb{N}}$ を $\iota(n):=\iota_n(n)$ と定義する。

今 $x\in X$ と $\epsilon>0$ を任意に固定。
$(f_n)_{n\in\mathbb{N}}$ の同程度連続性から $\delta>0$ を任意の $y\in X$ と $n\in\mathbb{N}$ にたいし、「$d(x,y)<\delta$ ならば $(f_n(x),f_(y))<\frac{1}{3}\epsilon$ 」を満たすように取る。さらに、$(s_i)_{i\in\mathbb{N}}$ の稠密性から $s_j$ を $d(x,s_j)<\delta$ となるように取る。
このとき $(f_{\iota(n)}(s_i))_{n\in\mathbb{n}}$ は収束列なので、十分大きい $n,m\in\mathbb{N}$ について $d(f_{\iota(m)}(s_j),f_{\iota(n)}(s_j))<\frac{1}{3}\epsilon$ が成立。さらに $\delta$ の取り方から $d(f_{\iota(m)}(s_j),f_{\iota(m)}(x))<\frac{1}{3}\epsilon$ と $d(f_{\iota(n)}(s_j),f_{\iota(n)}(x))<\frac{1}{3}\epsilon$ もいえるので $d(f_{\iota(m)}(x),f_{\iota(n)}(x))<\epsilon$ となる。よって $f_{\iota(n)}(x)$ はCauchy列であり $Y$ の完備性から収束する。その収束先を $f(x)$ と置けば、$(f_{\iota(n)})_ {n\in\mathbb{N}}$ は $f\colon X\to Y$ に各点収束する。

== 関連項目 ==
*[[距離空間]]
*前ページ：[[距離空間の位相の基本的性質]]
*次ページ：[[Lipschtz写像と関数空間]]

Lipschtz写像と関数空間

2022-03-28T06:07:11Z

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== Lipschtz写像と関数空間 ==
ここでは距離空間の間の写像の中で最も距離構造を反映するLipschtz写像を紹介し、任意の距離空間が[[Banach空間]]に埋め込めることを証明する。
=== 2.1. Lipschitz写像 ===
==== 定義2.1.1（$L$-Lipschitz写像） ====
距離空間 $(X,d_X)$ から $(Y,d_Y)$ への写像 $f\colon X\to Y$ と実数 $L\ge 0$ が任意 $x_0,x_1\in X$ について
$$d_Y(f(x_0),f(x_1))\le L\cdot d_X(x_0,x_1)$$
を満たすとき、$f$ は $L$-Lipschitzであるといい、$L$-Lipschitzな写像を $L$-Lipschitz写像という。ある実数 $L\ge 0$ が存在して $L$-Lipschitzになる写像を単にLipschitz写像という((Lipschitz写像は連続なのでLipschitz連続ともいう))。
ある実数 $0<L<1$ が存在して $L$-Lipschtz となる写像を縮小写像（contraction map）という。

以下、（拡張擬）距離空間とLipschtz写像からなる圏を $\mathbf{Lip}$、（拡張擬）距離空間と $1$-Lipschtz写像からなる圏を $\mathbf{Lip}_1$ と書く。
==== 定義2.1.2（Lipschitzノルム） ====

距離空間 $(X,d_X)$ から $(Y,d_Y)$ への写像 $f\colon X\to Y$ にたいし $L(f)$ を
$$L(f):=\inf\{L| f\text{ は }L\text{-Lipschitz}\}$$
と定義し、$f$ のLipschitzノルムと呼ぶ。定義からLipschitzノルムが有限であることと、Lipschitz写像であることは同値。
==== 注意2.1.3 ====
$f$ がLipschitz写像なら $L(f)$-Lipschitzになる。
==== 例2.1.4 ====
距離空間 $(X,d)$ 上の点 $x\in X$ にたいし、関数 $d_x\colon X\to\mathbb{R}$
$$d_x(y):=d(x,y)$$
と定義する。このとき、任意の $x\in X$ にたいし $d_x$ は $1$-Lipschitzである。
=== 2.2. 等長埋め込みと等長同型写像 ===
==== 定義2.2.1（等長埋め込みと同値同型写像） ====
距離空間 $(X,d_X)$ から $(Y,d_Y)$ への写像 $f\colon X\to Y$ が任意 $x_0,x_1\in X$ について
$$d_Y(f(x_0),f(x_1))= d_X(x_0,x_1)$$
を満たすとき、$f$ は等長埋め込み（写像）（isometric embedding）であるという。また全単射な等長埋め込みを等長同型写像（または単に等長同型）（isometric isomorphism）という((等長同型または単に等長埋め込みのことを等長写像（isometry）ということも多い。))。距離空間 $X$ と $Y$ の間に等長同型写像が存在するとき、$X$ と $Y$ は等長同型（isometric）だという。

以下、距離空間と等長埋め込みからなる圏を $\mathbf{Isom}$と書く。
==== 命題2.2.2（準同型定理） ====
距離空間 $(X,d_X)$ から $(Y,d_Y)$ への写像 $f\colon X\to Y$ について、
*$(0)$ $f$ が等長同型写像である.
*$(1)$ $f$ が $1$-Lipschitz写像かつ全単射でその逆写像も $1$-Lipschitz写像である.

は同値。
==== 例2.2.3 ====
=== 2.3.関数空間と埋め込み定理 ===
==== 定義2.3.1（Lipschtz関数による双対） ====
$(X,d,b)$ を基点付き距離空間とする（ただし $b\in X$）。このとき[[距離空間]] $\rm{Lip}(X,b)$ を
$$\rm{Lip}(X,b):=\{f\colon X\to\mathbb{R}|f{\small\,はLipschtzかつ\,}f(b)=0\}$$
に $d_{\rm Lip}(f,g):=L(f-g)$ と距離を入れたものとする（ただし $f,g\in\rm{Lip}(X,b)$）。
==== 命題2.3.2 ====
任意の基点付き距離空間 $(X,d,b)$ にたいし、$\rm{Lip}(X,b)$ は[[Banach空間]]。
==== 命題2.3.3 ====
任意の距離空間はBanach空間に等長に埋め込める。

''証明''

$(X,d)$ を距離空間とし、$b\in X$ を一つ固定する。$\iota\colon X\to\rm{Map}(\rm{Lip}(X,b),\mathbb{R})$ を $\iota(x)(f):=f(x)$ のように定義する。

$x\in X$ とする。任意の $f,g\in\rm{Lip}(X,b)$ にたいし $|\iota(x)(f)-\iota(x)(g)|=|f(x)-g(x)|=|(f-g)(x)-(f-g)(b)|<L(f-g)d(x,b)$ となるので $L(\iota(x))\le d(x,b)$ となり、$\iota(x)\in\rm{Lip}(\rm{Lip}(X,b),0)$ 。

今 $x,y\in X$ を任意に取り固定。このとき任意の $f,g\in\rm{Lip}(X,b)$ について $d_{\rm Lip}(f,g)=L(f-g)$ の定義から $|(\iota(x)-\iota(y))(f)-(\iota(x)-\iota(y))(g)|=|(f-g)(x)-(f-g)(y)|\le L(f-g)d(x,y)=d(x,y)d_{\rm Lip}(f,g)$ が成り立つ。よって $d_{\rm Lip}(\iota(x),\iota(y))\le d(x,y)$ 。

次に $f(\cdot):=d(x,\cdot)-d(x,b)$ 、$g:=0$ とおくと、 $|f(a)-f(b)|=|d(x,a)-d(x,b)|\le 1\cdot d(a,b)$ かつ $|f(x)-f(y)|=|d(x,y)|=1\cdot d(x,y)$ から $d_{\rm Lip}(f,g)=L(f-g)=L(f)=1$ であり、$|(\iota(x)-\iota(y))(f)-(\iota(x)-\iota(y))(g)|=|(d(x,y)-d(x,b))-(0-d(x,b))|=d(x,y)=d(x,y)\cdot 1$ なので $d_{\rm Lip}(\iota(x),\iota(y))\ge d(x,y)$

以上から $d_{\rm Lip}(\iota(x),\iota(y))=d(x,y)$ がいえ、よって $\iota$ はBanach空間 $\rm{Lip}(\rm{Lip}(X,b),0) $ への等長埋め込み((より強く、$\rm{Lip}(X,b)$ の位相線形双対空間に埋め込まれていることが分かる))。
==== 2.3.4（命題2.3.3の別証明） ====
$(X,d,b)$ を基点付き距離空間とする（ただし $b\in X$）。このとき $X$ から[[lᵖ空間|$\ell^p$ 空間]] $\ell^\infty(X)$ への写像 $\iota\colon X\to \ell^\infty(X)$ を
$$\iota(x):=d_x-d_b$$
と定義する（ただし $x\in X$）。後は上記の証明と同様に $\iota$ が等長埋め込みであることが示せる((より強く、有界なLipschtz関数全体に一様距離を入れた空間 $\rm{Lip}_b^\infty(X)$ に埋め込まれていることが分かる。))。
==== 系2.3.5（完備化の存在） ====
任意の距離空間にたいし完備距離空間への稠密な等長埋め込みが存在する。

''証明''

Banach空間への埋め込みの終域を像の閉包に制限すれば良い。
=== 2.4 縮小写像と不動点定理。 ===
== 関連項目 ==
*[[距離空間]]
*前ページ：[[コンパクト性とAscoli-Arzelàの定理]]
*次ページ：[[曲線の長さとHopf-Rinowの定理]]

基数関数

2022-03-28T05:51:40Z

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[[Category:位相空間論]]
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== 基数関数 ==
基数関数とは、なんらかの数学的対象に対して[[基数]]のひとつを割り当てる対応のことである。特に、位相空間について無限基数を割り当てる基数関数を考えることが多いため、本稿ではそのようなものに限って解説を行う。
=== 濃度 ===
位相空間 $X$ について、$\mathrm{card}(X)$ を $\max\{|X|\, , \, \aleph_0\}$ として定義すると、対応 $\mathrm{card}$ は基数関数となる。ここで、有限位相空間 $X$ について、$\mathrm{card}(X)$ は $\aleph_0$となることを注意しておく。混乱が生じない場合、$\mathrm{card}(X)$ のことを指して$|X|$と表記することがある。

対応 $\mathrm{card}$ は、位相空間の大きさを測るもっとも基本的な道具である。例えば、$|\mathbb{R}|=2^{\aleph_0}$ である。
=== 開集合の個数 ===
位相空間 $X$ の開集合系を $\mathcal{O}$ とするとき、$o(X)$ を $\max\{|\mathcal{O}|\, , \, \aleph_0\}$ として定義する。

(無限集合上の)離散空間においては、明らかに $o(X)=2^{|X|}$ が成立する。逆に、$\mathcal{O}\subset \mathcal{P}(X)$ であるため、一般に $o(X)\leq 2^{|X|}$ が成り立つ。また、[[$T_0$-空間|分離公理]]においては$|X|\leq o(X)$が成り立つことが知られている。
=== weight ===
位相空間 $X$ の基底とは、開集合よりなる集合 $B$ であって、以下の性質を満たすものである。

* 任意の点 $x$ と開集合 $x\in U$ について、$B$ の要素 $V$ であって $x\in V \subset U$ が成り立つものが存在する。

$X$ の基底の濃度として最小のものを $\kappa$ とおく。このとき、$w(X)$ を $\max\{\kappa\, , \, \aleph_0\}$ として定めると、対応 $w$ は基数関数となる。

$w(X)=\aleph_0$ を満たす位相空間 $X$ について、[[第二可算空間]]であるという。
=== network weight ===
位相空間 $X$ のネットワークとは、$X$ の部分集合よりなる集合 $\mathcal{N}$ であって、以下の性質を満たすものである。

* 任意の点 $x$ と開集合 $x\in U$ について、$\mathcal{N}$ の要素 $N$ であって $x\in N\subset U$ が成り立つものが存在する。

$X$ のネットワークの濃度として最小のものを $\kappa$ とおく。このとき、$nw(X)$ を $\max\{\kappa\, , \, \aleph_0\}$ として定めると、対応 $nw$ は基数関数となる。
=== density ===
位相空間 $X$ の部分空間 $Y$ について、$Y$ が $X$ で稠密であるとは $\overline{Y}=X$ が成り立つことを言う。

$X$ の稠密な部分空間の濃度として最小のものを $\kappa$ とおく。このとき、$d(X)$ を $\max\{\kappa\, , \, \aleph_0\}$ として定めると、対応 $d$ は基数関数となる。

$d(X)=\aleph_0$ を満たす位相空間 $X$ について、[[可分空間]]であるという。
=== Lindelöf度数 ===
位相空間 $X$ について、以下の性質を充たす最小の基数を $\kappa$ とおく。

* $X$ の開被覆 $\{U_i\}_{i \in \Lambda}$ について、濃度 $\kappa$ 以下の集合 $\Lambda ' \subset \Lambda$ が存在して、$\{U_i\}_{i \in \Lambda '}$ が $X$ の開被覆となるようにできる。

このとき、$L(X)$ を $\max\{\kappa\, , \, \aleph_0\}$ として定めると、対応 $L$ は基数関数となる。

$L(X)=\aleph_0$ を満たす位相空間 $X$ について、[[Lindelöf空間]]であるという。
=== 弱被覆度数 ===
位相空間 $X$ について、以下の性質を充たす最小の基数を $\kappa$ とおく。

* $X$ の開被覆 $\{U_i\}_{i \in \Lambda}$ について、濃度 $\kappa$ 以下の集合 $\Lambda ' \subset \Lambda$ が存在して、$X=\overline{\bigcup_{i \in\Lambda '} U_i}$が成り立つようにできる。

このとき、$wc(X)$ を $\max\{\kappa\, , \, \aleph_0\}$ として定めると、対応 $wc$ は基数関数となる。定義より明らかに、$wc(X)\leq L(X)$ が成り立つ。
=== cellularity ===
位相空間 $X$ について、以下の性質を充たす最小の基数を $\kappa$ とおく。

* $X$ の開集合の族 $\{U_i\}_{ i \in \Lambda }$ であって、相異なる $i,j \in \Lambda$ について $U_i \cup U_j = \emptyset$ が成り立つようなものを取ったとき、$|\Lambda| \leq \kappa$ が成り立つ。

このとき、$c(X)$ を $\max\{\kappa\, , \, \aleph_0\}$ として定めると、対応 $c$ は基数関数となる。
=== spread ===
位相空間 $X$ について、以下の性質を充たす最小の基数を $\kappa$ とおく。

* $X$ の離散な部分空間 $Y$ について、$|Y| \leq \kappa$ が成り立つ。

このとき、$s(X)$ を $\max\{\kappa\, , \, \aleph_0\}$ として定めると、対応 $s$ は基数関数となる。
=== extent ===
位相空間 $X$ について、以下の性質を充たす最小の基数を $\kappa$ とおく。

* $X$ の離散な閉部分空間 $Y$ について、$|Y| \leq \kappa$ が成り立つ。

このとき、$e(X)$ を $\max\{\kappa\, , \, \aleph_0\}$ として定めると、対応 $e$ は基数関数となる。定義より明らかに、$e(X) \leq s(X)$がが成り立つ。
=== character ===
位相空間 $X$ と点 $x \in X$ について、$X$ の $x$ 上の基底とは、開集合よりなる集合 $B$ であって、以下の性質を満たすものである。

* 開集合 $x\in U$ について、$B$ の要素 $V$ であって $x\in V \subset U$ が成り立つものが存在する。

点 $x \in X$ について、$X$ の $x$ 上の基底の濃度として最小のものを $\kappa$ とおく。このとき、$\chi(X,x)$ を $\max\{\kappa\, , \, \aleph_0\}$ として定め、また $\chi(X)$ を $\sup_{x \in X}\chi(X,x)$ として定める。

$\chi(X)=\aleph_0$ を満たす位相空間 $X$ について、[[第一可算空間]]であるという。
=== tightness ===
位相空間 $X$ について、以下の性質を充たす最小の基数を $\kappa$ とおく。

* $X$ の任意の部分集合 $Y$ と点 $x\in\overline{Y}$ に対し、濃度 $\kappa$ 以下の集合 $A\subset Y$ が存在して $x\in \overline{A}$ が成り立つようにできる。

このとき、$t(X)$ を $\max\{\kappa\, , \, \aleph_0\}$ として定めると、対応 $t$ は基数関数となる。
== 性質 ==
* $wc(X)\leq d(X)\leq w(X)\leq o(X)$ が成り立つ。
* $wc(X)\leq c(X)$ が成り立つ。
* $t(X)\leq \chi(X) \leq w(X)$が成り立つ。
* $cf(\kappa)>t(X)$ なる基数 $\kappa$ と、閉集合の昇鎖列 $\{A_\alpha\,|\,0\leq \alpha <\kappa\}$ について、$\bigcup_{0\leq \alpha <\kappa} A_\alpha$ は閉集合である。
* $nw(X)\leq \mathrm{card}(X)$ が成り立つ。
* $nw(X)\leq w(X)$ が成り立つ。さらに、[[局所コンパクト空間|局所コンパクト]][[分離公理|Hausdorff]]空間については $nw(X)=w(X)$ が成り立つ。

== 有名な結果 ==
* [[Arhangel’skiiの不等式]]
== 関連項目 ==
* [[位相空間]]
* [[第二可算空間]]
* [[可分空間]]
* [[Lindelöf空間]]
* [[第一可算空間]]
* [[分離公理]]
* [[基数]]
* [[共終数]]

圏論に関する事項

2022-03-28T05:50:36Z

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== 圏論に関する事項 ==
＜＜現在工事中＞＞

== 基礎 ==

* [[圏]]
* [[対象]]
* [[射]]
* [[関手]]
* [[自然変換]]
* [[同型]]
* [[モノ射]]
* [[エピ射]]

== 概念 ==

=== 米田の補題 ===

* [[表現可能関手]]

=== 極限・余極限 ===

=== 圏の構成 ===

* [[非交和|圏の非交和]]
* [[積|圏の積]]

=== 射のクラス ===

* [[モノ射]]
* [[エピ射]]

=== 圏のクラス ===

=== サイズに関する概念 ===
* [[ZFC公理系]]
* [[NBG公理系]]
* [[集合]]
* [[クラス]]
* [[強到達不能基数]]
* [[Grothendieck宇宙]]

== 定理 ==

== テキスト ==

== 関連項目 ==

吸収元

2022-03-28T05:49:51Z

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== 吸収元 ==

=== コンテンツ ===

== 定義 ==
[[マグマ]]$\langle M, \cdot \rangle$の元$0_L$が性質
:$ \forall a \in M, 0_L \cdot a = 0_L $

を満たすとき、$e_L$を$M$の''左吸収元''もしくは''左零元''と呼ぶ。

マグマ$\langle M, \cdot \rangle$の元$0_R$が性質
:$ \forall a \in M, a \cdot 0_R = 0_R $

を満たすとき、$e_R$を$M$の''右吸収元''もしくは''右零元''と呼ぶ。

マグマ$\langle M, \cdot \rangle$の元$0$が左吸収元かつ右吸収元であるとき、$e$は$M$の''吸収元''もしくは''零元''であるという。

== 重要な定理 ==
=== 定理1 ===
マグマ$\langle M, \cdot \rangle$が左吸収元$0_L$と右吸収元$0_R$を持つとき、$0_L=0_R$
==== 証明 ====
$0_L$の左吸収元としての性質から
: $0_L \cdot 0_R = 0_L$

$e_R$の右吸収元としての性質から
: $0_L \cdot 0_R = 0_R$

したがって、
: $0_L = 0_R$

=== 定理2(唯一性) ===
マグマ$\langle M, \cdot \rangle$は高々1個の吸収元しか持たない。
==== 証明 ====
$0_1,0_2$を$M$の吸収元とする。定理1より、$0_1=0_2$

=== 定理3 ===
# マグマ$\langle M, \cdot \rangle$の元$0$が左吸収元かつ[[左単位元|単位元]]ならば、$M=\{0\}$
# マグマ$\langle M, \cdot \rangle$の元$0$が右吸収元かつ[[右単位元|単位元]]ならば、$M=\{0\}$
==== 証明 ====
# $a \in M$を任意にとる。$0$の左吸収元としての性質から
: $0 \cdot a = 0$
< $0$の左単位元としての性質から
: $0 \cdot a = a$
< したがって$M$の任意の元は$0$と等しいので、$M=\{0\}$
# 同様

== 参考文献 ==
ｘｘｘ

== ''リンク'' ==

URLやメールアドレスは自動的にリンクになります
* URL -- http://example.org/
* メールアドレス -- foo@example.org
* URLが各種画像ファイルであればそのまま表示します
** http://pukiwiki.osdn.jp/image/b_pukiwiki.official.png

各分野における反例の一覧

2022-03-28T05:49:13Z

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== 各分野における反例の一覧 ==
ここでは、各分野における反例の一覧をまとめる。

== 位相空間論の反例 ==

=== 連結性に関する反例 ===

==== [[可縮|可縮空間]]だが局所可縮ではない ====

* [[くし空間]]
=== 分離公理に関する反例 ===

==== 全部分正規空間($T_5$)だが完全正規空間($T_6$)でない例 ====
* [[長い直線]]

==== 正規空間($T_4$)だが全部分正規空間($T_5$)でない例 ====

* [[Tychonoff の板]]

==== 完全正則空間($T_{3.5}$)だが正規空間($T_4$)でない例 ====

==== 正則空間($T_3$)だが完全正則空間($T_{3.5}$)でない例 ====

==== Hausdorff 空間($T_2$)だが正則空間($T_3$)でない例 ====

=== 位相空間の積に対する反例 ===

==== [[正規性|正規空間]]が積で保存されない例 ====

* [[Sorgenfrey 直線]]$X$は[[完全正規空間]]であるため[[正規空間]]だが、その直積$X\times X$ は[[正規空間]]ではない。

== 可換環論の反例 ==

各分野における反例の一覧

2022-03-28T05:48:45Z

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== 各分野における反例の一覧 ==
ここでは、各分野における反例の一覧をまとめる。

== 位相空間論の反例 ==

=== 連結性に関する反例 ===

==== [[可縮|可縮空間]]だが局所可縮ではない ====

* [[くし空間]]
=== 分離公理に関する反例 ===

==== 全部分正規空間($T_5$)だが完全正規空間($T_6$)でない例 ====
* [[長い直線]]

==== 正規空間($T_4$)だが全部分正規空間($T_5$)でない例 ====

* [[Tychonoff の板]]

==== 完全正則空間($T_{3.5}$)だが正規空間($T_4$)でない例 ====

==== 正則空間($T_3$)だが完全正則空間($T_{3.5}$)でない例 ====

==== Hausdorff 空間($T_2$)だが正則空間($T_3$)でない例 ====

=== 位相空間の積に対する反例 ===

==== [[正規性>正規空間]]が積で保存されない例 ====

* [[Sorgenfrey 直線]]$X$は[[完全正規空間]]であるため[[正規空間]]だが、その直積$X\times X$ は[[正規空間]]ではない。

== 可換環論の反例 ==

副正規部分群

2022-03-28T05:48:23Z

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== 副正規部分群 ==
＜＜現在工事中＞＞

群 $G$ の部分群 $H$ が''副正規部分群''（ふくせいきぶぶんぐん、subnormal subgroup）であるとは、[[連正規列|正規列]] $H\triangleleft \ldots \triangleleft G$ が存在することをいう。またこのことを指して $H\triangleleft \triangleleft G$ と表記する。

== 性質 ==
* 群 $G$ の副正規部分群 $H_1$, $H_2$ について、$H_1\cap H_2$ は $G$ の副正規部分群である。
* 有限群 $G$ の副正規部分群 $H_1$, $H_2$ について、$H_1\cup H_2$ で生成される $G$ の部分群 $\langle H_1,H_2\rangle$ は副正規部分群である。

== 関連項目 ==
* [[部分群]]
* [[有限群]]

冪零群

2022-03-28T05:47:53Z

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== 冪零群 ==
群 $G$ が冪零群であるとは、[[正規列]] $\{e\}=G_0 \triangleleft \ldots \triangleleft G_r=G$ であって次の条件をみたすものが存在することをいう。

* $0\leq i<r$ について、$G_i$ は $G$ の[[正規部分群]]
* $0\leq i<r$ について、$G_{i+1}/G_i$ は $G/G_i$ の[[中心|群の中心]]
== 関連項目 ==
* [[正規列]]

位相幾何学

2022-03-28T05:46:57Z

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== 位相幾何学 ==
＜＜工事中＞＞
位相幾何学（いそうきかがく、topology）は、

== 分野の概観 ==

=== [[一般位相|位相空間論]] ===

=== [[代数的トポロジー]] ===

=== [[微分位相幾何学]] ===

=== [[低次元トポロジー]] ===

== テキストコンテンツ ==
* [[入門テキスト「代数的トポロジーの初歩」]]

== 関連項目 ==
* [[代数的トポロジー]]
* [[基本群]]
* [[ホモトピー]]
* [[ウェッジ和]]
* [[n次元球面]]
* [[くし空間]]
* [[ハワイの耳飾り]]
* [[幾何学の参考書]]

テンソル解析

2022-03-28T05:44:28Z

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== テンソル解析 ==
''テンソル解析''(てんそるかいせき、tensor analysis)とは、[[可微分多様体]]上でのテンソル場に関する微分・積分に関する技術の総称である。
微分幾何の議論を進める上で非常に有用なツールである。
この項目ではテンソル解析の概要を一望することを主眼に置き、微分幾何を学ぶにあたって重要となる基礎概念を紹介する。
また各項目については基本的なことを述べるにとどめるので、より詳しい内容については各項目の解説記事を参照されたい。
$$$$

== テンソル解析を学ぶ理由 ==
曲線達によって作られる座標（曲線座標）において幾何学的な考察をしたり微積分の計算をすることは非常に多くの場面で必要とされる（例えば極座標での考察）。
従って一般の曲線座標系における計算技術を開発しておくことは，特定の座標で考察する際に明らかに利便性を高める。
またその考察結果が幾何学的に意味を持つためには座標の取り方に依存しない概念で語られる必要がある。
例えば、$\mathbb{R}^2$ において標準的な直交座標に関しての一次関数は直線を表すが、極座標に関しての一次関数は一般に曲線である。
従って、「座標の一次関数で表される〜」といった文言は特定の座標を固定した上での議論でない限りは幾何学的な意味を持たない。
テンソル解析を学ぶことで一般の曲線座標においても正しく意味のある考察を行うことができ、またそのためテンソル解析は微分幾何を理解するための必須の技術である。
$$$$

== 反変性と共変性 ==
上に述べたように座標に依存しない形で定式化するために基本的な役割を果たすのが[[ベクトル空間]]と双対ベクトル空間([[速習「線形空間論」]])の元に関する反変性、共変性および $(p,q)$-テンソルの概念である。
これらはベクトル空間、その双対空間、及びそれらのテンソル空間を幾何学的対象と見たときに要請されるべき性質である。
ここではこれらの性質と考え方を解説する。

$V$ を $n$ 次元実ベクトル空間とする。
$v\in V$がある２つの基底 $\{e_1,\cdots,e_n\},\ \{e'_1,\cdots,e'_n\}$ に関して、それぞれ
$$
v=(e_1,\cdots,e_n)\begin{pmatrix}v^1\\ \vdots \\ v^n \end{pmatrix}=(e'_1,\cdots,e'_n)\begin{pmatrix}v'^1\\ \vdots \\ v'^n \end{pmatrix}
$$
と表されるとする(今後 $v^i$ のように上付きの添字を使うことがしばしばある。べき乗の意味ではないので注意)。
２つの基底の間には、ある $a^i_{\ j}\in GL(n,\mathbb{R})$ があり、
$$
(e_1,\cdots,e_n)=(e'_1,\cdots,e'_n)\begin{pmatrix}a^1_1&\cdots&a^1_n \\
\vdots& \ddots & \vdots \\ a^n_1 & \cdots & a^n_1 \end{pmatrix}
$$
という関係がある。
このとき
$$
\begin{pmatrix}v^1\\ \vdots \\ v^n \end{pmatrix}=\begin{pmatrix}a^1_1&\cdots&a^1_n \\
\vdots& \ddots & \vdots \\ a^n_1 & \cdots & a^n_1 \end{pmatrix}^{-1}\begin{pmatrix}v'^1\\ \vdots \\ v'^n \end{pmatrix}\\
\ \\
v^i=(a^{-1})^i_{\ j}v'^j
$$
なる関係がある。

また $V^\ast$ を $V$ の双対空間([[速習「線形空間論」]])とする。
（$V$ の双対空間とは $\mathbb{R}$-線形写像 $f:V\rightarrow\mathbb{R}$ 達が作る線形空間のことである。）
$\{\theta^1,\cdots,\theta^n\},\ \{\theta'^1,\cdots,\theta'^n\}$ をそれぞれ $\{e_i\},\ \{e'_i\}$ に対する双対基底([[速習「線形空間論」]])とする。
（$V$ の基底 $\{e_j\}$ に対する双対基底とは、 $V^\ast$ の基底 $\{\theta^i\}$ で $\theta^i(e_j)=\delta^i_{\ j}$ となるものであり、$\{e_j\}$ に対して双対基底は一意的に定まる。）
今、$e_i=\sum_j a^j_{\ i}e'_j$ なる関係があるとしたから $\{\theta^i\}$ と $\{\theta'^i\}$ には $\theta^i=\sum_j (a^{-1})^i_{\ j}\theta'^j$ なる関係がなければならない。
先程と同様に、$f\in V^\ast$ が $f=\sum_if_i\theta^i=\sum_if'_i\theta'^i$ と表されるとすれば、$f^i=\sum_ja^i_{\ j}f'^j$ が成り立つ。

総括すると，基底の変換 $e_i=\sum_j a^j_{\ i}e'_j$ に応じて$v\in V$ の成分は $v^i=\sum_j (a^{-1})^i_{\ j}v'^j$ のように変換する。
この成分の変換性を反変性と呼ぶ。
また $v$ を反変ベクトルと呼ぶことがある。
同様に、$f\in V^\ast$ は基底の変換 $e_i=\sum_j a^j_{\ i}e'_j$ に応じて、その双対基底に関する成分が $f_i=\sum_ja^j_{\ i}f'_j$ と変換する。
これを共変性と呼ぶ。
また $f$ を共変ベクトルと呼ぶことがある。
これらは $V$ を固定する毎に相対的に決まる性質である。

これらの変換性の議論はほとんど自明であるが、成分の変換性を強調する理由はある。
$V$ を幾何学的対象と見たとき、研究の対象とするのは $V$ の構造または $V$ 内の色々な図形の性質で、典型例は $V$ の元、すなわちベクトルである。
ベクトルを記述する目的で任意に定めた基底を用いるが、これは $V$ の構造とは関係がない。
従って $V$ の幾何学的性質に関する言明は基底の変換に対して不変な形に述べられるべきである。
例えば、$v=\sum_iv^ie_i$ に対して、$\sum_iv^i\in\mathbb{R}$ という量は基底の変換 $e_i=\sum_j a^j_{\ i}e'_j$ に応じて、$\sum_{i,j}(a^{-1})^i_{\ j}v'^j$ と変換する。
この量は一般に $\sum_iv'^i$ とは異なる。
従って、基底を一つ選んだときのベクトルの成分の和という量は基底の選び方に依存し、$v$ の幾何学的実体とは関係がないと考えられる。
一方、$f=\sum_if_i\theta^i\in V^\ast$ に対して、$f(v)=\sum_if_iv^i$ は基底の変換 $e_i=\sum_j a^j_{\ i}e'_j$ に応じて、$\sum_if_iv^i=\sum_{i,j,k}f'_ja^j_i(a^{-1})^i_{\ k}v'^k=\sum_if'_iv'^i$ となる。
従ってこの量は基底の取り方に依存せず一つの実数を定めているため、幾何的に意味のある量と考えられる。

最後に $p$ 個の $V$ と $q$ 個の $V^\ast$ の[[テンソル積空間|速習「線形空間論」#o162ee0d]] $T^{(p,q)}:=\underbrace{V\otimes \cdots\otimes V}_{p}\otimes\underbrace{V^\ast\otimes \cdots\otimes V^\ast}_{q}$ の元を $(p,q)$-テンソルという。$T\in T^{(p,q)}$ は $$T=\sum_{i_1,\cdots,i_p,j_1,\cdots,j_q}T^{i_1\cdots i_p}_{j_1\cdots j_q}e_{i_1}\otimes\cdots\otimes e_{i_p}\otimes\theta^{j_1}\otimes\cdots\otimes\theta^{j_q}$$ と表される。
テンソル $T$ の成分は $V$ の基底の変換 $e_i=\sum_j a^j_{\ i}e'_j$ に応じて $$T^{k_1\cdots k_p}_{l_1\cdots l_q}=\sum_{i_1,\cdots,i_p,j_1,\cdots,j_q}(a^{-1})^{k_1}_{\ \ i_1}\cdots (a^{-1})^{k_p}_{\ \ i_p}a^{j_1}_{\ \ l_1}\cdots a^{j_q}_{l_q}T'^{i_1\cdots i_p}_{j_1\cdots j_q}$$
と変換することが上と同様にして分かる。
このとき $u^1,\cdots,u^p\in V^\ast,\ v_1,\cdots,v_q\in V$ に対して，$T(u^1,\cdots,u^p,v_1,\cdots,v_q)$ は基底の選び方に依らない量である。
ベクトル空間 $V$ のベクトルに関連した幾何的に意味のある量は $T(u^1,\cdots,u^p,v_1,\cdots,v_q)$ のような形の量を基にして作られることがほとんどである。
また反変ベクトルは $(1,0)$-テンソルで，共変ベクトルは $(0,1)$-テンソルのことである。

テンソルの成分の変換性は後術するようにテンソル場のある性質が座標の取り方に依存しないものであるかを見るためにも必要とされる（例えば微分可能性）。
座標に依存しない方法（後術）において形式上は変換性について特別に注意を払う必要はないが，それでも成分の変換性でテンソルを理解することは，ベクトルバンドルや主バンドルにおける同伴バンドルの理解の基礎にもなるため重要である。

== テンソル解析で考察対象となる主な概念 ==
ここではテンソル解析で主に考察の対象となる概念を概観する。
基本的にはテンソル代数における概念が”場”となったものとそれらに対する微分である。
多くの状況では滑らかな微分多様体を考えるためここでもそうする。
$C^r$ 級微分多様体上の有限回の微分可能性については少しの注意を補足する。

また以下では多様体の局所的な議論を説明をいたずらに煩雑にしないために、チャート(局所座標近傍)に関する表記を文脈から明らかな場合はしばしば省略する。
すなわち、チャート $(U,\phi)$ を $\phi:U\rightarrow\mathbb{R}^n$ とし、$\mathbb{R}^n$ の標準的座標を $\{x^1,\cdots,x^n\}$ とするとき、$U$ 上の座標関数は $x^i\circ\phi$ と書くべきであるが単に $x^i$ と書くことにする。
あるいはチャートに関しても $(U,\{x^i\})$ などと書き、同相写像 $\phi$ を省略する。
=== 曲線 ===
$n$ 次元の滑らかな級微分多様体 $M$ の曲線とは写像
$$c:\mathbb{R}\supset I\rightarrow M$$
のことである（文脈によって写像 $c:t\mapsto c(t)$ を曲線ということもあるし，その像 $c(t)$ を曲線と呼ぶこともある）。
チャート $(U,\{x^i\})$ に関して、$U$ 上で $c(t)=(x^1(t),\cdots,x^n(t))$ と表示される。
（正確には、チャート $(U,\phi)$ を $\phi:U\rightarrow\mathbb{R}^n$ とし、$\mathbb{R}^n$ の標準的座標を $\{x^1,\cdots,x^n\}$ とするとき、$\phi\circ c(t) = (x^1(t),\cdots,x^n(t))$ と書かれるべきであるが便利のため短縮した。これ以降も同様）

曲線 $c$ が滑らかであるとは、各 $x^i(t)$ が $t$ の関数として $C^\infty$ 級であり，$n$ 個の $dx^i/dt$ が同時に0にならないことである。
この性質はチャートの取り方に依らない。
なぜなら，別のチャートを $(V,\{y^j\}),\ U\cap V\ne\phi$ とし，$U\cap V$ 上で $c(t)=(y^1(t),\cdots,y^n(t))$ と表したとき，
$$\frac{dy^i(t)}{dt}=\sum_j\left(\frac{\partial y^i}{\partial x^j}\right)\frac{dx^j(t)}{dt}$$
であるが、滑らかな微分多様体のアトラスに属する２つのチャート間の座標変換は $C^\infty$ 級であるから，$dy^i(t)/dt$ も $C^\infty$ 級である。

もし $C^r$ 級微分多様体を考えるならば、$C^r$ 級より大きい微分可能性を考えることは意味がない。
あるチャートについて $C^{r+1}$ 級だとしても別のチャートでそうなることは保証されないからである。
以降の解説においても微分可能性に関するwell-definednessの議論はほぼ同様である。
曲線は多様体上の考察において最も基本的な対象である。

=== 曲線座標 ===
$n$ 次元の滑らかな級微分多様体 $M$ のチャート $(U,\{x^i\})$ に関して、ある $i$ に対して、 $x^i$ 以外を止めて $x^i$ だけ動かしてできる曲線 $t\mapsto (x^1_0,\cdots,x^{i-1}_0,t,x^{i+1},\cdots,x^n_0)$ を $x^i$-曲線と呼ぶ。
これは $(x^1_0,\cdots,x^{i-1}_0,x^{i+1},\cdots,x^n_0)$ を指定する毎に一つの曲線が決まるので曲線の族である。
$1\le i\le n$ の $n$ 個の $x^i$-曲線達を座標曲線と呼ぶ。
チャートを定めるというのは、多様体に局所的に $n$ 個の座標曲線族達による曲線座標を設定することに他ならない。
簡単な例は $\mathbb{R}^n$ の標準的な直交座標である（直線は曲線の一種）。
非自明で有名な例は球座標である。
=== スカラー場 ===
滑らかな微分多様体 $M$ の各点に実数（複素数）を対応させることで、$M$ を定義域とした実数値の関数 $f$ が定まり、これを実（複素）''スカラー場''(real (complex) scalar field)または''スカラー関数''という。
スカラー場 $f$ が滑らかであるとは、$M$ の任意のチャート $(U,\{x^i\})$ に関して、$f(x^1,\cdots,x^n)$ と表されるとき、$\{x^i\}$に関して $f$ が $C^\infty$ 級であることを言う（これはチャートの取り方によらない）。
$M$ 上の滑らかなスカラー場の全体を $C^\infty(M)$ と書く。
$f,g\in C^\infty(M)$ に対して，各点 $p$ で $(f+g)(p):=f(p)+g(p),\ (fg)(p):=f(p)g(p)$ を対応させることで $C^\infty(M)$ には和と積が定義され[[環]]となる。
=== Einstein規約 ===
テンソル解析では添字で指定されるスカラーの組についてある添字に関しての和を取る操作が頻繁に出てくる。
例えば、２つの行列 $(a^i_{\ j})_{1\le i,j\le n},\ (b^i_{\ j})_{1\le i,j\le n}$ の積の $(i,j)$ 成分は $\sum_{k=1}^na^i_{\ k}b^k_{\ j}$ となるが、このとき添字 $k$ についての和を取っている。
このとき記号 $\sum$ はしばしば煩わしいので省略して $a^i_{\ k}b^k_{\ j}$ と書くことがよくある。
これを''Einstein規約''という。
Einstein規約では和を取る添字は上下に配置されるようにして添字の文字を同じものにしておくことが約束である。
テンソル解析で登場する添字を持った量(テンソル場の成分)の添字の付け方はEinstein規約が機能するように作られている。
しかしこの記事内ではEinstein規約は使わず、$\sum$ を使う。
この記事内の数式のほとんどは $\sum$ を省略してもEinstein規約として意味が通るように書いてある。
=== ベクトル場 ===
ベクトル場(vector field)または反変ベクトル場(contravariant vector field)は、大雑把に言うとベクトル場は多様体の各点に[[接ベクトル]]を配置したものである。
反変とつくのは、[[接空間]]の基底の変換に対して、成分が反変的に変換するためである。

始めに多様体の接ベクトルと接空間を定義しよう。
多様体をより大きい次元の $\mathbb{R}^n$ の部分多様体として実現して接ベクトルを考えることはできるが、そのような $\mathbb{R}^n$ が存在することは多様体の定義から自明なことではない(ホイットニーの埋め込み定理により肯定されるが）。
従って接ベクトルやその集まりの接空間を定義する際に多様体の定義から定まる内在的な概念のみを材料とするべきである。
基礎となるのは接ベクトルをスカラー関数の方向微分を定める微分作用素と見なすことである。

$M$ を $n$ 次元の滑らかな微分多様体とする。
点 $p\in M$ を通る滑らかな曲線 $c:\mathbb{R}\supset(-\varepsilon,\varepsilon)\rightarrow M,\ c(0)=p$ を考える。
点 $p$ の近傍で定義される任意の関数 $f\in C^\infty(U)$ に対して、微分係数$$\frac{d}{dt}f(c(t))|_{t=0}$$を考えることができる。
これは曲線 $c$ の点 $p$ での”接ベクトル”方向への方向微分であると考えられる。
$p$ を通る２つの曲線 $c,c',(c(0)=c'(0)=0)$ に対して， $df(c(t))/dt|_{t=0}=df(c'(t))/dt|_{t=0}$ となるとき，$c$ と $c'$ を同値と定義すると明らかに点 $p$ を通る $C^r$ 級曲線全体に同値関係が入る。
$p$ を通る曲線 $c$ の類が定義する点 $p$ における微分作用素，すなわち $f\mapsto df(c(t))/dt|_{t=0}$ を点 $p$ における''接ベクトル''と呼ぶ。
点 $p$ における接ベクトル全体は明らかに $\mathbb{R}$ 上のベクトル空間になり点 $p$ における''接ベクトル空間''(tangent vector space)または単に''接空間''(tangent space)といい、$T_p(M)$ と書かれる。

チャート $(U,\{x^i\})$ に対して、$(\partial/\partial x^i)_p$ を $f\mapsto (\partial f/\partial x^i)_p$ と定義すると、$n$ 個の $(\partial/\partial x^i)_p$ 達は $T_p(M)$ の基底になり、$v\in T_p(M)$ は $$v=\sum_iv^i\left(\frac{\partial}{\partial x^i}\right)_p$$ と表され、$v^i$ 達はチャート $(U,\{x^i\})$ に関する成分と言う。
また ${\rm dim}_\mathbb{R}T_p(M)=n$ である。
$(\partial/\partial x^i)_p$ 達はチャート $(U,\{x^i\})$ に関する''座標基底''（coordinate basis）または''自然基底''（natural basis）という。
定義より $(\partial/\partial x^i)_p$ 達は座標曲線の接ベクトルである。

$v$ の類を代表する曲線を $c(t)=(x^1(t),\cdots,x^n(t))$ とすると、定義より明らかに $v^i=dx^i(t)/dt|_{t=0}$ である。
別のチャート $(V,\{y^j\}),\ U\cap V\ne\phi$ に対して、$c(t)=(y^1(t),\cdots,y^n(t))$ とすると $(V,\{y^j\})$ に関する $v$ の成分は $v'^i=dy^i(t)/dt|_{t=0}=\sum_j(\partial y^i/\partial x^j)_p(dx^j(t)/dt)_{t=0}=\sum_j(\partial y^i/\partial x^j)_pv^j$ となる。
一方、合成関数の微分を考えると $(\partial/\partial x^i)_p=\sum_j(\partial y^j/\partial x^i)_p(\partial/\partial y^j)_p$ が成り立つから、$T_p(M)$ の座標基底の変換行列が $(\partial y^j/\partial x^i)_p\in GL(n,\mathbb{R})$ で与えられることになる。
したがって、$v\in T_p(M)$ のあるチャートに関する成分は反変性を持つ。

$M$ の各点に接ベクトルを一つ対応さすことによって接ベクトルに値を持つ関数が定まり、これを''ベクトル場''という（[[接バンドル]]の文脈では切断と呼ばれる写像で定義することができる）。
ベクトル場 $v$ はチャート $(U,\{x^i\})$ に関して、$v=\sum_iv^i(x)\partial/\partial x^i$ と表され、$v^i(x)$ は実数値関数である。
$n$ 個の$v^i(x)$ が $\{x^i\}$ に関して $C^\infty$ 級であるとき、ベクトル場 $v$ は滑らか、または $C^\infty$ 級であるという。
成分の反変性を考えると、ベクトル場が滑らかであるという性質はチャートの選び方によらない。

$C^\infty$ 級ベクトル場 $v,w$ に対して、$v+w$ が自然に定義され $C^\infty$ 級ベクトル場となる。
また$C^\infty$ 級ベクトル場 $v$ と $f\in C^\infty(M)$ に対して、$fv$ は $C^\infty$ 級ベクトル場である。
従って、$C^\infty$ 級ベクトル場の全体は $C^\infty(M)$-[[加群]]となる。
また明らかに $\mathbb{R}$ 上の線形空間であるが、実次元は無限である。
滑らかな多様体 $M$ の滑らかなベクトル場の全体を $\mathcal{X}(M)$ と書く。

$v\in\mathcal{X}(M),\ f\in C^\infty(M)$ に対して，$v(f)\in C^\infty(M)$ が定義される。
従って，$v\in\mathcal{X}(M)$ は線形な微分作用素 $C^\infty(M)\rightarrow C^\infty(M)$ を誘導する。
逆にこのような微分作用素はベクトル場から得られる。

=== コベクトル場 ===
コベクトル場(covector field)または共変ベクトル場(convariant vector field)は，
大雑把に言うと多様体の各点に接空間の双対空間の元を配置したものである。
共変とつくのは、[[接空間]]の基底の変換に対して、成分が共変的に変換するためである。

滑らかな微分多様体 $M$ の点 $p$ における接空間 $T_p(M)$ の双対空間([[速習「線形空間論」]])を $T_p^\ast(M)$ と書く。
$T_p(M)$ の元を点 $p$ における''共変ベクトル''または''コベクトル''という。
$M$ の各点にコベクトルを一つ対応さすことによってコベクトルに値を持つ関数が定まり、これを''共変ベクトル場''または''コベクトル場''という（[[余接バンドル]]の文脈では切断と呼ばれる写像で定義することができる）。
後術する $p$-形式の $p=1$ の特別な場合でもあるから $1$-形式とも呼ばれる。

コベクトル場 $u$ が滑らかまたは $C^\infty$ 級であるとは、任意の滑らかなベクトル場 $v$ に対して、スカラー関数 $u(v)$ が $C^\infty$ 級であるときをいう。
各点 $p\in M$ に対して、$T^\ast_p(M)$ は [[$\mathbb{R}$-線形写像]] $T_p(M)\rightarrow\mathbb{R}$ を定義するから、滑らかなコベクトル場は $C^\infty(M)$-線形写像 $\mathcal{X}(M)\rightarrow C^\infty(M)$ を定める。
すなわち、$X,Y\in\mathcal{X}(M)$ と $f\in C^\infty(M)$ と滑らかなコベクトル場 $u$ に対して、$u(fX+g)=fu(X)+u(Y)$ となる。
逆にこのような $C^\infty(M)$-線形写像 $\mathcal{X}(M)\rightarrow C^\infty(M)$ は滑らかなコベクトル場を定義することが分かる。
ベクトル場と同様に、滑らかなコベクトル場の全体は実線形空間であり、$C^\infty(M)$-[[加群]]である。
$p$-形式に対する記号を使い，滑らかなコベクトル場のなす $C^\infty(M)$-加群を $\Omega^1(M)$ と書く。

コベクトルとコベクトル場の基本的な例はスカラー関数から得られる。
ベクトル場の解説をしたときは、$v\in T_pM$ と点 $p$ の近傍 $U$ 上の関数 $f\in C^1(U)$ に対して、ベクトル $v$ を固定して関数 $f$ を入力とみなして出力 $v(f)|_p\in\mathbb{R}$ を考えたが、役割を入れ替えて関数 $f$ を固定してベクトル $v$ を入力とみなしてもよい。
すなわち、$f\in C^1(M)$ に対して、 $(df)_p\in T_p^\ast(M)$ を任意の $v\in T_p(M)$ に対して、$$(df)_p(v):=v(f)|_p$$ と定義すればよい。
さらに、$f\in C^\infty(M)$ と $v\in\mathcal{X}(M)$ に対して、同様に $df(v):=v(f)$と定義すると、$df$ は滑らかな級コベクトル場である。

チャート $(U,\{x^i\})$ の座標関数 $x^i$ に対して $dx^i$ は、$dx^i(\partial/\partial x^j)=\partial x^i /\partial x^j=\delta^i_{\ j}$ となるので、$n$ 個の $(dx^i)_p$ 達は座標基底 $\{(\partial/\partial x^i)_p\}$ に対する双対基底([[速習「線形空間論]])であり、$T_p^\ast(M)$ の基底となる。
従って、$U$ 上で任意のコベクトル場は$$u=\sum_iu_i(x)dx^i$$と表される。
各 $u_i(x)$ をチャート $(U,\{x^i\})$ に関する成分という。
$u$ が滑らかであることと $n$ 個の成分 $u_i(x)$ が $\{x^i\}$ に関して $C^\infty$ 級であることは同値である。

$f\in C^\infty(M)$ に対して，$(df)_p$ の基底 $\{(dx^i)_p\}$ に関する成分は $df(\partial/\partial x^i)_p=(\partial f/\partial x^i)_p$ であるから，
$$df=\sum_i\frac{\partial f}{\partial x^i}dx^i$$である。

$T^\ast_p(M)$ は $T_p(M)$ の双対空間であるから，座標変換に関して $T^\ast_p(M)$ の元の成分は共変的に変換する。従って，２つのチャート $(U,\{x^i\}),\ (V,\{y^j\}),\ U\cap V\ne\phi$ に対して，$U\cap V$ 上で $u\in T^\ast_p(M)$ が
$u=\sum_iu_i(dx^i)_p=\sum_iu'_i(dy^i)_p$ とするとき $u_i=\sum_j(\partial y^j/\partial x^i)_pu'_j$ となる。

同型 $(T^\ast_p(M))^\ast\simeq T_p(M)$ により，$v\in\mathcal{X}(M),\ u\in\Omega^1(M)$ に対して，$v(u):=u(v)$ と定義する。
==== コベクトル場の例 ====
(1) 平面波の波数ベクトル　　コベクトル場の単純で基本的な例であり、幾何学的理解を与えるものである。
$n$ 次元Euclid空間において、$\overrightarrow{k}=\sum k^ie_i$ をベクトル、$k=\sum k_i\theta^i,\ (k_i=k^i)$ をコベクトルとするとき($\{e_i\}$ と $\{\theta^i\}$ は双対基底の関係)、コベクトル $k$ は $1/|k|$ 隔たって配置されて $\overrightarrow{k}$ に直交している超平面達と理解することができる。

このことを３次元Euclid空間の例で説明する。$n>3$ 次元でも同様である。
(以下のEuclid空間中での説明においては、多様体(Euclid空間)と接空間をしばしば標準的な平行移動により同一視して述べている。)
$\mathbb{E}^3$ においてある方向 $\overrightarrow{e},\ (|\overrightarrow{e}|=1)$ に波長 $\lambda$ で平面波が伝わっているとする。
$\overrightarrow{x}$ を位置ベクトルとするとき、波面は $\overrightarrow{e}\cdot\overrightarrow{x}={\rm const.}$ で与えられるから、点 $\overrightarrow{x}$ におけるこの波の位相は ${\rm exp}(2\pi i/\lambda \overrightarrow{e}\cdot\overrightarrow{x}+\delta_0)$ で与えられる($\delta_0$ は初期位相)。
従って、波数ベクトル $\overrightarrow{k}=2\pi /\lambda \overrightarrow{e}$ はコベクトル $k$ とみなすべきである($2\pi$ の因子は割とどうでもよい)。
このとき位相は ${\rm exp}(ik(\overrightarrow{x})+\delta_0)$ である。

より一般的に、Euclid空間でない多様体においては、コベクトル場は各点での無限小の平面波と考えることができる。
(2) 運動量
＜＜執筆中＞＞

=== テンソル場 ===
テンソル場(tensor field)またはより詳しく$(p,q)$-テンソル場は，大雑把に言うと多様体の各点に $p$ 個の接空間と $q$ 個の双対空間のテンソル積空間の元を配置したものである。
滑らかな微分多様体 $M$ の点 $x$ に対して $$T^{(p,q)}_xM:=\underbrace{T_xM\otimes \cdots\otimes T_xM}_{p}\otimes\underbrace{T^\ast_xM\otimes \cdots\otimes T^\ast_xM}_{q}$$ と書くことにする。
$M$ の各点 $x$ に $T^{(p,q)}_xM$ の元を一つ対応さすことによって $(p,q)$-テンソルに値を持つ関数が定まり、これを ''$(p,q)$-テンソル場''または ''$p$ 階反変 $q$ 階共変テンソル場''という。

$(p,q)$-テンソル場 $T$ が滑らかまたは $C^\infty$ 級であるとは，任意の滑らかな $p$ 個のコベクトル場 $u^1,\cdots,u^p$ と $q$ 個のベクトル場 $v_1,\cdots,v_q$ に対して，
スカラー関数 $T(u^1,\cdots,u^p,v_1,\cdots,v_q)$ が $C^\infty$ 級であるときをいう。

チャート $(U,\{x^i\})$ に関して，$T$ の成分は $T^{i_1i_2\cdots i_p}_{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ j_1j_2\cdots j_q}:=T(dx^{i_1},\cdots,dx^{i_p},\partial/\partial x^{j_1},\cdots,\partial/\partial x^{j_q})$ で定義され，
$U$ 上で
$$T=\sum_{i_1,\cdots,i_p,j_1,\cdots,j_q} T^{i_1\cdots i_p}_{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ j_1\cdots j_q}(x)\left(\frac{\partial}{\partial x^{i_1}}\right)\otimes\cdots\otimes\left(\frac{\partial}{\partial x^{i_p}}\right)\otimes(dx^{j_1})\otimes\cdots\otimes(dx^{j_q})$$
と表される。
このとき，成分 $T^{i_1\cdots i_p}_{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ j_1\cdots j_q}(x)$ が $\{x^i\}$ に関して $C^\infty$ 級であることと，$T$ が滑らかであることは同値である。

２つのチャート $(U,\{x^i\}),\ (V,\{y^j\}),\ U\cap V\ne\phi$ に対して，$U\cap V$ 上で
$$
\begin{aligned}
T&=\sum T^{i_1\cdots i_p}_{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ j_1\cdots j_q}(x)(\partial/\partial x^{i_1})\otimes\cdots\otimes(\partial/\partial x^{i_p})\otimes(dx^{j_1})\otimes\cdots\otimes(dx^{j_q})\\
&=\sum T'^{i_1\cdots i_p}_{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ j_1\cdots j_q}(x)(\partial/\partial y^{i_1})\otimes\cdots\otimes(\partial/\partial y^{i_p})\otimes(dy^{j_1})\otimes\cdots\otimes(dy^{j_q})
\end{aligned}
$$
となるとき，成分間の関係は
$$T^{i_1\cdots i_p}_{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ j_1\cdots j_q}=\sum \left(\frac{\partial x^{i_1}}{\partial y^{\alpha_1}}\right)\cdots\left(\frac{\partial x^{i_p}}{\partial y^{\alpha_p}}\right)\left(\frac{\partial y^{\beta_1}}{\partial x^{j_1}}\right)\cdots\left(\frac{\partial y^{\beta_q}}{\partial x^{j_q}}\right)T'^{\alpha_1\cdots \alpha_p}_{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \beta_1\cdots \beta_q}$$
となる。
$T$ の成分 $T^{i_1\cdots i_p}_{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ j_1\cdots j_q}$ に関して，上についている添え字 $i_1\cdots i_p$ 達は反変指標，下についている添え字 $j_1\cdots j_q$ は共変指標と呼ばれる。

=== フレーム場、コフレーム場 ===
滑らかな $n$ 次元多様体 $M$ のある近傍 $U$ において、$U$ の各点で一次独立な $n$ 個のベクトル場達の組 $\{X_1,\cdots,X_n\}$ を $U$ における''フレーム''(frame)、または''フレーム場''という。
$\{X_1,\cdots,X_n\}$ 達の双対基底を $\{\theta^1,\cdots,\theta^n\}$ は''コフレーム''(co-frame)、または''コフレーム場''という。

チャート $(U,\{x^i\})$ に関する座標基底達 $\{\frac{\partial}{\partial x^1},\cdots,\frac{\partial}{\partial x^n}\}$ は $U$ 上のフレーム場となる。
しかし逆に与えられたフレーム場 $\{X_1,\cdots,X_n\}$ に対して、座標基底がこれらに一致する座標系が存在するとは限らない。

局所的にはフレーム場はいつでも存在するが、多様体全体で定義された大域的なフレーム場が存在するとは限らない。
もし存在すれば、[[接束]]は自明な[[ベクトルバンドル]]となる。

特にリーマン多様体においては、各接空間に内積が定義されているため、各接空間の正規直交基底となるフレーム場が局所的には存在して、（狭い意味での）テンソル解析ではないフレーム場によるリーマン幾何の議論が行われる。
このフレーム場によるリーマン幾何は、E.Cartanにより創始され、[[主バンドル]]の接続の理論へと発展した。
=== 微分写像 ===
滑らかな多様体 $M,N$ と滑らかな写像 $\varphi\colon M\rightarrow N$ に対して微分写像と呼ばれる $M$ の接空間を $N$ の接空間へ写す写像が定義される。
感覚的に言うと，接ベクトルは十分近い２点であり，滑らかな写像は十分近い２点を十分近い２点に写すから，接ベクトルを接ベクトルへ写すと理解できる。

$v\in T_p(M)$ に対して，微分写像 $\varphi_\ast\colon T_p(M)\rightarrow T_q(N),\ (q=\varphi(p))$ を次のように定義する。
点 $p\in M$ を通る曲線 $c\colon I\rightarrow M,\ c(0)=p,\ \dot{c}(0)=v$ を一つとり，$q\in N$ の近傍 $V$ 上のスカラー関数 $f\in C^\infty(V)$ に対して，$q\in N$ における微分作用素を
$$\varphi_\ast(v)(f):=\frac{d}{dt}f(\varphi(c(t)))|_{t=0}$$
と定める。
$\varphi_\ast(v)$ は $d\varphi(v)$ とも書かれる。
微分写像を「$\ast$」を使って表す場合は多くの場合右下に $\ast$ をつける。
また微分写像は押し出し(push forward)とも呼ばれる。

微分写像のチャートによる局所的な表示を求めておこう。
$p$ を含むチャート $(U,\{x^i\} )_{1\le i\le m}$ と $q$ を含むチャート $ (V,\{y^j\})_{1\le j\le n}$ に対して，$\varphi^j(x)=y^j(x^1,\cdots,x^m),\ v=\sum_iv^i(\partial/\partial x^i)_p\in T_p(M),\ f(y^1,\cdots,y^m)\in C^\infty(V)$ と表されているとすると，
$$\varphi_\ast(v)(f)=\frac{d}{dt}f(x(c(t)))|_{t=0}=\sum_{j,i}\left(\frac{\partial f}{\partial y^j}\right)_q\left(\frac{\partial y^j}{\partial x^i}\right)_p\frac{d x^i}{dt}(0)=\sum_{j,i}\left(\frac{\partial y^j}{\partial x^i}v^i\right)_p\left(\frac{\partial }{\partial y^j}\right)_qf$$
となるから，
$$\varphi_\ast(v)=\sum_{j,i}\left(\frac{\partial \varphi^j}{\partial x^i}v^i\right)_{\varphi^{-1}(q)}\left(\frac{\partial }{\partial y^j}\right)_q=\sum_j(J(\varphi)v)^j\left(\frac{\partial }{\partial y^j}\right)_q$$
である。
ただし，$J(\varphi)$ は $\varphi$ のチャート $(U,\{x^i\}),(V,\{y^j\})$ に関するヤコビ行列である。

一般に $v\in\mathcal{X}(M)$ が与えられたとき，各点で微分写像 $d\varphi(v)$ を考えても $N$ 上のベクトル場を定義できない。
例えば $\varphi$ が全射であっても単射でない場合は，ある点 $p_1,p_2\in M,\ q\in N$ に対して，$\varphi(p_1)=\varphi(p_2)=q$ となっていて，さらに $\varphi_\ast(v_{p_1})\ne \varphi_\ast(v_{p_2})$ となることがあるので，$T_q(N)$ の元が一意的に定まらないからである。
$\varphi$ が微分同相写像のときはベクトル場はベクトル場へ写る。
一般的な場合でも $M$ 上のベクトル場で $N$ 上のベクトル場へ写るものは存在する（例えば $\varphi$ が[[沈め込み]]の場合のProjectable vector field）。

=== 引き戻し ===
２つのベクトル空間 $V,W$ と線形写像 $f\colon V\rightarrow W$ と $T\in \bigotimes_{i=1}^m W^\ast$ に対して，$f^\ast T\in\bigotimes_{i=1}^m V^\ast$ が次のように定義される。
$$(f^\ast T)(X_1,\cdots,X_m):=T(f(X_1),\cdots,f(X_m))$$
これを $T$ の $f$ による''引き戻し''(pullback)という。

滑らかな多様体 $M,N$ と滑らかな写像 $\varphi\colon M\rightarrow N$ と $N$ 上の $m$ 階共変テンソル場 $T\in T^{(0,m)}(N)$ に対して，各接空間において $\varphi_\ast$ で $T$ を引き戻すことを考えると，$\varphi^\ast T\in T^{(0,m)}(M)$ が
$$(\varphi^\ast T)_p(X_1,\cdots,X_m):=T_{\varphi(p)}((\varphi_\ast X_1)_{\varphi(p)},\cdots,(\varphi_\ast X_m)_{\varphi(p)}),\ p\in M$$
として定義される。
$\varphi^\ast T$ も $\varphi$ による $T$ の引き戻しと呼ばれる。
また特別な場合として関数 $f\in C^\infty(N)$ の引き戻し $\varphi^\ast f=f\circ\varphi\in C^\infty(M)$ が定義される。
微分写像とは逆に $\ast$ を右上につけることが多い。
ベクトル場の押し出しがベクトル場を定めるとは限らないこととは対照的に，共変テンソル場の引き戻しは常に共変テンソル場を定める。
=== 添え字の上げ下げとMusical isomorphism ===
リーマン多様体において，しばしばテンソルの成分の添え字の上げ下げと呼ばれる簡便法がある。
これは計算を行う際に便利なことがある。

[[リーマン多様体]]とは微分多様体 $M$ と非退化正定値な[[対称 $(0,2)$-テンソル場]] $g$ の組 $(M,g)$ のことである。
$T_p(M)$ の任意の基底を $\{e_1,\cdots,e_n\}$ とし，その双対基底を $\{\theta^1,\cdots,\theta^n\}$ とするとき，写像 $T_p(M)\ni\sum_iv^ie_i\mapsto \sum_iv^i\theta^i\in T^\ast_p(M)$ は同型 $T_p(M)\simeq T^\ast_p(M)$ を導くが，この同型は基底の選び方に依存するため考える意味がない。
そこで写像
$$\flat : T_p(M)\ni v\mapsto {}^\flat v:=[T_p(M)\ni w\mapsto g(v,w)\in\mathbb{R} ]\in T^\ast_p(M)$$
を考える。
この写像は基底の取り方に依存せず定まる。
チャート $(U,\{x^i\})$ に関して成分表示すると $g(v,w)=\sum_{ij}g_{ij}dx^idx^j(v,w)=\sum_{ij}g_{ij}v^idx^j(w)$ であるから、
$${}^\flat v=\sum_{ij}g_{ij}v^idx^j$$
である。
ここで ${}^\flat v$ の成分を $v_i:=g_{ij}v^j$ と書くことにする。
この写像 $\flat$ を作用させることが簡便法として、添字を下げる、と表現されることがある。

リーマン計量 $g$ は非退化であるから，写像 $\flat$ は逆写像 $\sharp : T^\ast_p(M)\rightarrow T_p(M)$ を持つ。
$T_p(M)$ の計量を $\sharp$ で[[引き戻し|テンソル解析#vebea362]]て、$T^\ast_p(M)$ に計量 $\sharp^\ast g$ を定義できる。
双対基底 $\{dx^i\}$ に関して，$\sharp^\ast g$ の成分を $g^{ij}$ と書くことにすると，定義より $\sharp^\ast g({}^\flat v,{}^\flat w)=g({}^{\sharp\flat}v,{}^{\sharp\flat}w)=g(v,w)$ となることから，$g^{ij}$ は $g_{ij}$ の逆行列であることがわかる。
$\sharp^\ast g$ も単に $g$ と書くことが多い。
また明らかに $u=\sum_iu_idx^i$ に対して，$${}^\sharp u=\sum_{ij}g^{ij}u_j\frac{\partial}{\partial x^i}$$ である。
この写像 $\sharp$ を作用させることが簡便法として、添字を上げる、と表現されることがある。
$\flat,\sharp$ により $\mathcal{X}(M)$ と $\Omega^1(M)$ は $\mathbb{R}$ 上の線形空間としても $C^\infty(M)$-加群としても同型となる。
$\flat,\sharp$ らは''Musical isomorphism''と呼ばれる。

=== $p$-形式 ===
滑らかな微分多様体 $M$ の各点 $x\in M$ に対して，$T^\ast_x(M)$ の [[$p$ 階反対称テンソル積空間|速習「線形空間論」#j89ba203]] $\bigwedge^p T^\ast_x(M)$ の元を対応させることで $\bigwedge^p T^\ast_x(M)$ に値を持つ関数が定義され，これを ''$p$-形式''または ''$p$ 次微分形式''と呼ぶ。
$p$-形式は微分幾何において非常に重要な役割を果たす。
詳しくは[[微分形式]]，[[ベクトル解析2：微分形式]]を参照。

=== 1-パラメータ変換群 ===
滑らかな微分多様体 $M$ 上のベクトル場 $X\in\mathcal{X}(M)$ に対して，点 $p\in M$ を通る曲線 $c:(-\varepsilon,\varepsilon)\rightarrow M,\ c(0)=p$ で
$$\frac{dc}{dt}(t)=X_{c(t)}$$
を満たすものを $X$ の点 $p$ を通る積分曲線という。
この方程式は線形の連立常微分方程式だから $t=0$ の近傍で必ず解が存在する。
積分曲線を感覚的に説明すると，$M$ 上に風が吹いていて各点の風見がベクトル場 $X$ であるとして，軽い綿を風に流したときの綿の軌道である。

次に $M$ 上の微分同相変換の族 $\varphi_t:M\rightarrow M,\ t\in\mathbb{R}$ が次の３つの条件を
満たすとする。

(1) $M\times\mathbb{R}\ni(p,t)\mapsto\varphi_t(p)$ が $C^\infty(M)$ 級写像となる。

(2) $\varphi_0={\rm id}_M$

(3) 任意の $s,t\in\mathbb{R}$ に対して，$\varphi_t\circ\varphi_s=\varphi_{t+s}$ を満たす。

このとき，$\varphi_t$ を''1-パラメータ変換群''(one-parameter group of transformations)または''フロー''(flow)
という。

1-パラメータ変換群 $\varphi_t$ は各点 $p\in M$ を通る曲線 $t\mapsto\varphi_t(p)$ を定め，従ってベクトル場 $X$ を定める。
すなわち $f\in C^\infty(M)$ に対して，$X(f)_p=\frac{d}{dt}f(\varphi_t(p))|_{t=0}$ である。
このとき，$t=0$ で点 $p\in M$ を通る $X$ の積分曲線は $t\mapsto \varphi_t(p)$ である。
$X$ は1-パラメータ変換群 $\varphi_t$ を生成(generate)するという。

逆に与えられたベクトル場 $X\in\mathcal{X}(M)$ に対して，任意の $p\in M$ を通る積分曲線 $c_p(t),\ c_p(0)=p$ が全実数 $t$ に対して定義されるならば，$\varphi_t(p):=c_p(t)$ と定義することで，$X$ が生成する1-パラメータ変換群が得られる。
このように1-パラメータ変換群生成するベクトル場を''完備''(complete)であるという。

$M$ がコンパクトなときは，任意のベクトル場は1-パラメータ変換群を生成することが知られている。
$M$ がコンパクトでないときは，与えられたベクトル場の積分曲線 $c_p(t)$ が常に全実数 $t$ に対して定義されるとは限らないため，1-パラメータ変換群を生成するとは限らない。
この場合でも各点 $p\in M$ に対して，$t=0$ の近傍では積分曲線 $c_p(t)$ は存在する。
従って，各 $p\in M$ に対して，正数 $\varepsilon$ と $p$ の近傍 $U_\varepsilon$ があり，$|t|<\varepsilon$ に対して，微分同相 $\varphi_t:U_\varepsilon\rightarrow \varphi_tU_\varepsilon$ が定義される。
これは(1),(2),(3)を少し修正した性質を満たし，1-パラメータ局所変換群という。

=== Lie微分 ===
滑らかな微分多様体 $M$ のベクトル場 $X$ が与えられたとき $M$ 各点の近傍で $X$ の生成する1-パラメータ局所変換群 $\varphi_t$ が定義される。この $\varphi_t$ の流れで何らかの場（スカラー場，ベクトル場，テンソル場）を"変形"することで $t$ に依存する新しい場が作られる。この新しい場の $t=0$ での微分，すなわち場の無限小の変形がベクトル場 $X$ による''Lie微分''(Lie derivative)である。
ここでは少しの定義と感覚的な説明のみ行う。
詳しくは，[[Lie微分]]参照。

==== スカラー場のLie微分 ====
$X$ の生成する1-パラメータ局所変換群を $\varphi_t$ とする。
スカラー場 $f\in C^\infty(M)$ に対して，$f$ の $X$ によるLie微分を
$$\mathcal{L}_Xf:=\lim_{t\rightarrow0}\frac{1}{t}(\varphi_t^\ast f-f)=\frac{d}{dt}\varphi_t^\ast f|_{t=0}=X(f)$$
と定義する。
すなわちスカラー場に対しては通常の方向微分である。

==== ベクトル場のLie微分 ====
ベクトル場 $X,Y$ に対して，$\varphi_t$ を $X$ が生成する1-パラメータ局所変換群とする。
このとき，$Y$ の $X$ によるLie微分を
$$\mathcal{L}_XY:=\lim_{t\rightarrow0}\frac{1}{t}( \varphi_{t\ast}^{-1}Y-Y )$$
と定義する。

==== テンソル場のLie微分 ====
テンソル場 $T\in T^r_{\ s}(M)$ とベクトル場 $X$ が生成する1-パラメータ局所変換群 $\varphi_t$ に対して，$T$ の $X$ によるLie微分 $\mathcal{L}_XT$ を
$$\mathcal{L}_XT=\lim_{t\rightarrow0}\frac{1}{t}(\widetilde{\varphi_t^{-1}}T-T)$$
と定義する。
ただし，$\widetilde{\varphi_t^{-1}}$ は $\varphi_t$ が誘導するテンソル場からテンソル場への写像である。

=== 接続，共変微分 ===
''接続''(connection)とは微分多様体 $M$ 上の二点 $p,q\in M$ と $p,q$ を結ぶ曲線が与えられたときに接空間 $T_p(M)$ と $T_q(M)$ の線形同型対応を与える機構である。
この対応はしばしば曲線に沿う接ベクトルの平行移動とも呼ばれる。
接空間に対する接続の議論はより一般的に[[ベクトルバンドル]]の接続や[[主バンドル]]の接続の議論をすることで概念的に見通しが良くなるが，それなりの準備が必要であるため，ここでは素朴な方法で解説する。
またここでは接続とベクトル場、テンソル場の共変微分の概念を主に解説し、捩率、曲率、測地線については述べない。
詳しくは[[ベクトルバンドルの接続]]を参照されたい。
またリーマン幾何学で重要なリーマン接続に関しては[[リーマン幾何学]]で詳しく解説する。

チャート $(U,\{x^i\}_{1\le i\le n})$ に含まれる2点 $p,q$ を結ぶ曲線を $c:[0,1]\ni t\mapsto c(t)\in M,\ c(0)=p,c(1)=q$ とする。
このとき $U$ 上の $n^3$ 個の関数 $\Gamma^i_{jk},(1\le i,j,k\le n)$ に対して，曲線 $c(t)=(x^1(t),\cdots,x^n(t))$ 上の微分方程式
$$\frac{dY^i(t)}{dt}+\sum_{j,k}\Gamma^i_{jk}(x(t))\frac{dx^j(t)}{dt}Y^k(t)=0$$
を考える。
ここで $Y^i(t)$ は $n$ 個の未知関数である。
この方程式は曲線 $c(t)$ に依存する線形の一階微分方程式としては自然なものである。
$v\in T_p(M)$ に対して，初期条件を $Y^i(0)=v^i$ とすると，線形常微分方程式の解の存在と一意性から $\sum_iY^i(1)(\frac{\partial}{\partial x^i})_q\in T_q(M)$ が定まる。このように $T_p(M)$ の元を初期条件とする上の微分方程式の解を $T_q(M)$ の元に対応させる写像は明らかに線形同型写像である。

次にこの同型対応がチャートの選び方に依存せず定まるための条件を考えよう。
２つのチャート $(U,\{x^i\}),(V,\{y^a\}),U\cap V\ne\phi$ に対して，曲線 $c(t)$ が $U\cap V$ に含まれているとする。
$V$ 上で $c(t)=(y^1(t),\cdots,y^n(t))$ とし，$\bar{\Gamma}^a_{bc}$ が与えられているとする。先の微分方程式は
$$\frac{d\bar{Y}^a(t)}{dt}+\sum_{b,c}\bar{\Gamma}^a_{bc}(x(t))\frac{dy^b(t)}{dt}\bar{Y}^c(t)=0$$
で与えられ，さらに
$$\bar{Y}^a(t)=\sum_k\frac{\partial y^a}{\partial x^k}Y^k(t),\ \frac{dy^b(t)}{dt}=\sum_i\frac{\partial y^b}{\partial x^i}\frac{dx^i(t)}{dt}$$
であるから，
$$\sum_{j,k}\frac{\partial^2y^a}{\partial x^k\partial x^j}\frac{dx^j}{dt}Y^k+\sum_k\frac{\partial y^a}{\partial x^k}\frac{dY^k}{dt}+\sum_{b,c,i,k}\bar{\Gamma}^a_{bc}\frac{\partial y^b}{\partial x^i}\frac{dx^i}{dt}\frac{\partial y^c}{\partial x^k}Y^k=0$$
を得る。
$\frac{dY^i(t)}{dt}=-\sum_{j,k}\Gamma^i_{jk}(x(t))\frac{dx^j(t)}{dt}Y^k(t)$ を代入すると
$$\sum_{i,j,k}\left(\Gamma^i_{jk}\frac{\partial y^a}{\partial x^i}-(\frac{\partial^2y^a}{\partial x^k\partial x^j}+\sum_{b,c}\bar{\Gamma}^a_{bc}\frac{\partial y^b}{\partial x^j}\frac{\partial y^c}{\partial x^k}) \right)\frac{dx^j}{dt}Y^k=0$$
となる。
従って，
$$\Gamma^i_{jk}=\sum_{a,b,c}\bar{\Gamma}^a_{bc}\frac{\partial x^i}{\partial y^a}\frac{\partial y^b}{\partial x^j}\frac{\partial y^c}{\partial x^k}+\sum_a\frac{\partial x^i}{\partial y^a}\frac{\partial^2 y^a}{\partial x^j\partial x^k}$$
が成り立てばよい。
これが成り立つとき，上に定義された同型は座標によらずwell-definedとなる。

==== ''接続の定義'' ====
滑らかな微分多様体 $M$ の(線形)接続(linear connection)とは，$M$ のチャートによる被覆 $\{(U_\alpha,x^i)\}_{\alpha\in\Lambda}$ の各 $(U_\alpha,x^i)$ 上に与えられた $n^3$ 個の関数 $\Gamma^i_{jk}$ で，$U_\alpha\cap U_\beta\ne\phi$ 上では
$$\Gamma^i_{jk}=\sum_{a,b,c}\bar{\Gamma}^a_{bc}\frac{\partial x^i}{\partial y^a}\frac{\partial y^b}{\partial x^j}\frac{\partial y^c}{\partial x^k}+\sum_a\frac{\partial x^i}{\partial y^a}\frac{\partial^2 y^a}{\partial x^j\partial x^k}$$
が成り立つもののことを言う。
またこのとき各 $\Gamma^i_{jk}$ を''接続の係数''(coefficients of connection)という。
またチャート $(U,\{x^i\}_{1\le i\le n})$ に含まれる曲線を $c:[0,1]\ni t\mapsto c(t)\in M$ が $c(t)=(x^1(t),\cdots,x^n(t))$ で与えられているとき，$v\in T_{c(0)}(M)$ に対して，初期条件 $Y(0)=v$ に対する微分方程式
$$\frac{dY^i(t)}{dt}+\sum_{j,k}\Gamma^i_{jk}(x(t))\frac{dx^j(t)}{dt}Y^k(t)=0$$
の解 $Y(t)\in T_{c(t)}(M)$ を曲線 $c$ に沿う $v\in T_{c(0)}(M)$ の接続 $\Gamma$ に関する''平行移動''(parallel displacement)という。
曲線 $c(t),\ t\in [a,b]$ に対して，平行移動を $P(c)_a^b:T_{c(a)}(M)\rightarrow T_{c(b)}(M)$ と書くことにする。

ここでの平行移動という言葉はもはやユークリッド幾何における直観的に理解しやすい幾何学的描像を持たない。接続の概念に至って平行移動という概念は完全に公理によって与えられるものとなる。ただしリーマン多様体のリーマン計量から一意的に定まるリーマン接続は，同位角が等しい（計量条件）という直観的に平行移動が持つことを期待される性質を持っている。

==== ''ベクトル場の共変微分'' ====
ベクトル場 $X,Y$ に対して，各点 $p\in M$ を通る $X$ の積分曲線を $c(t),\ t\in(-\epsilon,\epsilon),\ c(0)=p$ とするとき，
$$\nabla_XY:=\lim_{t\rightarrow0}\frac{1}{t}(P(c)_{t}^0Y_{c(t)}-Y_{c(0)})$$
を$X$ による $Y$ の''共変微分''(covariant derivative)という。
各点 $p$ で $(\nabla_XY)_p$ を考えることでベクトル場 $\nabla_XY$ が得られる。
$\nabla$ は”ナブラ”と読む。

共変微分のチャートによる表示を求めよう。
チャート $(U,x^i)$ に関して接続の係数が $\Gamma^i_{jk}$ で与えられているとする。
上の定義の設定で，$Y(t):=P(c)_0^tY_{c(0)}$ は
$$Y^i(t)=Y^i_{c(0)}+\frac{dY^i(0)}{dt}t+o(t^2)=Y^i_{c(0)}-\sum_{j,k}\Gamma^i_{jk}(c(0))X_{c(0)}^jY^k_{c(0)}t+o(t^2)$$
であり，一方
$$Y^i_{c(t)}=Y^i_{c(0)}+\sum_j\frac{\partial Y^i}{\partial x^j}X^j_{c(0)}t+o(t^2)$$
となる。
よって
$$(Y_{c(t)}-P(c)_0^tY_{c(0)})^i=(\sum_jX^j_{c(0)}\frac{\partial Y^i}{\partial x^j}+\sum_{j,k}\Gamma^i_{jk}(c(0))X_{c(0)}^jY^k_{c(0)})t+o(t^2)$$
より
$$
\begin{aligned}
(P(c)_{t}^0Y_{c(t)}-Y_{c(0)})^i&=(P(c)_{t}^0(Y_{c(t)}-P(c)_0^tY_{c(0)}))^i\\
&=(Y_{c(t)}-P(c)_0^tY_{c(0)})^i+\sum\Gamma^i_{jk}X^j_{c(t)}(Y_{c(t)}-P(c)_0^tY_{c(0)})^jt+o(t^2)\\
&=(\sum_jX^j_{c(0)}\frac{\partial Y^i}{\partial x^j}+\sum_{j,k}\Gamma^i_{jk}(c(0))X_{c(0)}^jY^k_{c(0)})t+o(t^2)\\
\therefore\ \nabla_XY&=\sum_i(\sum_jX^j\frac{\partial Y^i}{\partial x^j}+\sum_{j,k}\Gamma^i_{jk}X^jY^k)\frac{\partial}{\partial x^i}
\end{aligned}
$$

これより $\nabla_{\frac{\partial}{\partial x^i}}\frac{\partial}{\partial x^j}=\sum_k\Gamma^k_{ij}\frac{\partial}{\partial x^k}$ が分かる。
チャートによる成分表示では、 $\nabla_{\frac{\partial}{\partial x^i}}$ は $\nabla_i$ と書くことが多い。
$\nabla_iY$ の第 $j$ 成分 $(\nabla_iY)^j$ は $\nabla_iY^j$ と書かれることが多い。
またベクトル場 $Y$ に対して、$(1,1)$-型テンソル場
$$\nabla Y:=\sum_{i,j}\nabla_iY^j\frac{\partial}{\partial x^j}\otimes dx^i$$
が定義される。
$\nabla Y$ にベクトル場 $X$ を無限小平行移動する方向として入力すると $\nabla_XY$ が得られることから、$Y$ の共変微分として $\nabla Y$ を指すことも多い。
$\nabla Y=0$ となるベクトル場 $Y$ を''平行ベクトル場''と呼ぶ。

コベクトル場や一般のテンソル場の共変微分はベクトル場の共変微分を基礎として定義される。
コベクトル場 $u$ とベクトル場 $X$ に対して、コベクトル場 $\nabla_Xu$が
$$(\nabla_Xu)(Y):=X(u(Y))-u(\nabla_XY)$$
で定義される。
この定義は、共変微分にテンソル場の縮約に対してLeibniz則を満たすことを要請していると言い換えることもできる。
実際、移項すれば $X(u(Y))=(\nabla_Xu)(Y)+u(\nabla_XY)$ である。
また、同様の考えでテンソル場に対する共変微分も定義される。
例えば $(2,1)$-型テンソル場 $T$ に対しては、$(2,1)$-型テンソル場 $\nabla_XT$ が
$$(\nabla_XT)(Y,Z,u)=X(T(Y,Z,u))-T(\nabla_XY,Z,u)-T(Y,\nabla_XZ,u)-T(Y,Z,\nabla_Xu),\ Y,Z\in\mathcal{X}(M),\ u\in\Omega^1(M)$$
で定義される。

　その他、接続に対して曲率、捩率、測地線などが定義される。
詳しくは[[ベクトルバンドルの接続]]を参照されたい。

== テンソル解析の表記法 ==
テンソル解析の表記法は良く知られたものとして、添え字の方法、abstract indexの方法、座標に依存しない方法がある。
それぞれ状況や用途によって長所がある。

=== 添え字の方法 ===
任意にチャートを設定し、テンソルの成分のみで計算して議論していく方法である。
おそらく最も古くからある記法と思われる。
例えば、ベクトル場は接空間の基底とその成分をセットにして $X=X^\mu\partial_\mu$ と書かれるべきものだが、単に $X^\mu$ と書く。他のテンソル場に対しても同様である。具体的な計算をイメージしやすいが、場合によっては添え字が煩雑になり概念的に理解しずらくなる可能性がある。

=== 座標に依存しない方法 ===
テンソル場の基底やその成分を明示せずに計算して議論していく方法である。
例えば、ベクトル場を $X$ などと書く。
概念的に理解しやすくなる可能性があるが、式を一目見ただけでは場の種類（ベクトル場なのかコベクトル場なのかなど）が分からない。

=== Abstract index記法 ===
Abstract index記法はロジャー・ペンローズ(Sir Roger Penrose)が考案して、ロバート・ウォルド(Robert Wald)が相対論の教科書をこれを用いて執筆して有名になった。
テンソル場を表す記号に添え字の記法における添え字と同じ位置にテンソル場の種類に応じてローマ字 $a,b,c,\cdots$ などを書く。
これは添え字と区別してabstract indexと呼ばれる。
例えば、ベクトル場は $X^a$、コベクトル場は $X_a$ と書く。
添え字記法との違いは、これが成分を表しているわけではなく、座標に依存しない方法と同様にテンソル場そのものを表している。
座標に依存しない方法での記号が表すテンソル場の種類が一目では分かりにくいという点を克服している。
しかしabstract indexはテンソル場の種類を指定するただの模様ではない。
コベクトル場 $X_a$ にベクトル場 $Y^b$ を食べさせてスカラー場を作るとき、すなわち座標に依存しない方法においては、$X_a(Y^b)$ と書かれるべきものは、添え字の記法における縮約の記法を援用して $X_aY^a$ と書く。
従って、添え字の記法と形式的には同様である。
またリーマン計量が定義されていることはほとんど前提とされており、$X^a$ と $X_a$ はMusical isomorphismの関係にあると理解する。

=== 表記法の比較 ===
同じものを３つの表記法で書くことで比較してみる。

(1) $(0,2)$-テンソル場 $g$ とベクトル場 $X,Y$ に対して
$$g(X,Y)=\sum_{\mu,\nu}g_{\mu\nu}X^\mu Y^\nu=g_{ab}X^a Y^b$$
となる。

(2) $(1,1)$-テンソル場 $J$ に対して、$(0,2)$-テンソル場 $\omega$ が $\omega(X,Y)=g(X,JY)$ で定義されるとするとき、$\omega_{\mu\nu}=\sum_\lambda g_{\mu\lambda}J^\lambda_{\ \nu}$ または $\omega_{ab}=g_{ac}J^c_{\ b}$ である。

== 関連項目 ==
*[[Euclid空間における微積分1]]
*[[Euclid空間における微積分2]]

コンパクト性とその周辺

2022-03-28T05:42:26Z

Saitory: pukiwiki記法 > をに

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{{TOC |align=right |noautonum=1 }}
</noinclude>
{{newtheorem |type=thm |display=定理 |counter=0 }}
{{newtheorem |type=prop |display=命題 |family=thm }}
{{newtheorem |type=def |display=定義 |family=thm }}
{{newtheorem |type=note |display=注意 |family=thm }}
{{newtheorem |type=ex |display=例 |family=thm }}
{{newtheorem |type=lem |display=補題 |family=thm }}
{{newtheorem |type=axiom |display=公理 |family=thm }}
コンパクト性は位相空間論において非常に基本的な概念であり、[[コンパクト空間]]においては様々な命題が成り立つ。これはコンパクト性の類似概念についても同様である。本稿ではこれらの話題について解説する。
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Pukiwiki バージョンにて『コンパクト性とその周辺』として執筆中であった記事のソースコードをそのままコピーペーストしているため、端的に言って組版が崩壊している。現在修正作業中であるが、修正中の記事について、これを公開している。(2020-10-21)

以下は用語についての注意である。
* コンパクトという用語について、本稿ではHausdorff性を課さない。
* 正則・正規という用語について、本稿では $T_1$-性を課す。
* $T_3$, $T_4$ という用語について、本稿では $T_1$-性を課さない。

== コンパクト空間 ==
=== コンパクト空間の定義 ===
本稿のテーマであるコンパクト空間について導入する。

{{theorem |type=def |label=opencov |name=開被覆 }}
位相空間 $X$ の開集合からなる族 $\mathcal{U}=\{U_i\,|\,i\in I\}$ が開被覆であるとは、$\mathcal{U}$ の要素すべての和集合が $X$ に一致することをいう。
すなわち、$X=\bigcup_{i\in I} U_i$ が成りたつことをいう。

{{theorem |type=def |label=cptspace |name=コンパクト空間 }}
位相空間 $X$ がコンパクトであるとは、以下の性質を満たすことを指していう。
* $X$ の任意の[[開被覆]] $\mathcal{U}$ について、$\mathcal{U}$ の有限部分集合 $\mathcal{V}$ が存在して、$\mathcal{V}$ が $X$ の開被覆となる。

{{theorem |type=note |label=refinement |name=細分について }}
開被覆 $\mathcal{V}$ が開被覆 $\mathcal{U}$ の細分であるとは、$V \in \mathcal{V}$ に対して、$V\subset U\in \mathcal{U}$ が成り立つような $U$ が存在することをいう。このとき、位相空間 $X$ がコンパクトであることは、任意の開被覆に対して有限細分が存在することと同値である。

=== コンパクト空間の基本性質 ===
コンパクト性について [[#コンパクト空間の定義]] にてその定義を述べた。次に、コンパクト性と同値な条件について述べる。そののち、コンパクト性についての基本的な性質を挙げていく。

{{theorem |type=def |label=fin_int_fam |name=有限交叉性を持つ集合族 }}
集合 $X$ の部分集合族 $\mathcal{A}$ が有限交叉性を持つとは、有限個の $\mathcal{A}$ の要素 $A_1,\ldots,A_n$ について、$A_1\cap\ldots\cap A_n$ が空でないことをいう。

{{theorem |type=ex |label=cofin_ex |name=補有限集合の族 }}
無限集合 $X$ を任意にひとつとる(例えば $\mathbb{N}$ など)。このとき、$X-A$ が有限集合であるような $A\subset X$ を $X$ の補有限集合という。$\mathcal{A}$ を $X$ の補有限集合全体の集合とすると、$\mathcal{A}$ は有限交叉性を持つ。

{{theorem |type=prop |label=equivdef_o_cpt |name=コンパクト性の同値な定義 }}
位相空間 $X$ について、以下は同値である。

# $X$ はコンパクト空間
# $X$ の、閉集合からなる有限交叉性を持つ部分集合族 $\mathcal{F}$ について、$\bigcap_{F\in \mathcal{F}} F$ は空でない
{{begin |proof |collapsible=1 |display={{ref |type=prop |label=equivdef_o_cpt}} の証明：}}
1. $\Rightarrow$ 2. を示す。閉集合からなる有限交叉性を持つ部分集合族 $\mathcal{F}$ について、$\mathcal{U}=\{X-F|F \in \mathcal{F}\}$ とおく。このとき、$\mathcal{U}$ が開被覆ならば、$X$ のコンパクト性により $\mathcal{U}$ の有限個の要素 $X-F_1,\ldots, X-F_n$ について $X=(X-F_1)\cup \ldots \cup (X-F_n)$ が成り立つが、ここから $F_1\cap \ldots \cap F_n=\emptyset $ が導かれ、これは仮定に反する。よって$\mathcal{U}$ は開被覆でないため、$\bigcap_{F\in \mathcal{F}} F=X-(\bigcup_{U \in \mathcal{U}} U)$ は空でない。

2. $\Rightarrow$ 1. についても同様である。開被覆 $\mathcal{U}$ について、$\mathcal{F}=\{X-U|U \in \mathcal{U}\}$ とおく。このとき、$\bigcap_{F\in \mathcal{F}} F=X-(\bigcup_{U \in \mathcal{U}} U)$ は空集合であるため、$\mathcal{F}$ の有限個の要素 $X-U_1,\ldots, X-U_n$ について $(X-U_1)\cap \ldots \cap (X-U_n)=\emptyset$ が成り立つ。ここから $X=U_1\cup \ldots \cup U_n$ が導かれる。{{end |proof }}
{{theorem |type=prop |label=her_cl |name=コンパクト性の閉部分集合への遺伝 }}
コンパクト空間 $X$ の閉部分空間 $Y$ はコンパクトである。
{{begin |proof |collapsible=1 |display={{ref |type=prop |label=her_cl}} の証明：}}
{{ref |type=prop |label=equivdef_o_cpt }} の特徴付けを用いる。$Y$ の閉集合からなる有限交叉性を持つ集合族を任意に取る。これを $\mathcal{F}$ とおく。このとき、$Y$ の閉集合は $X$ の閉集合であるため、$\mathcal{F}$ は $X$ の閉集合からなる有限交叉性を持つ集合族である。$X$ はコンパクトであるため、$\bigcap_{F\in \mathcal{F}} F$ は空でないことが示される。よって $Y$ はコンパクトである。{{end |proof }}

{{theorem |type=prop |label=her_image |name=コンパクト性の像への遺伝 }}
コンパクト空間 $X$ と連続写像 $f:X\to Y$ について、$Y$ の像 $f(X)$ はコンパクト空間である。

{{begin |proof |collapsible=1 |display={{ref |type=prop |label=her_image}} の証明：}}
$f(X)$ の開被覆 $\mathcal{V}$ を取る。このときそれぞれの $\mathcal{V}$ の要素 $V$ について、$Y$ の開集合 $U_V$ であって$U_V\cap f(X)= V$ が成り立つようなものを選ぶ。このとき、$U_V$ 全体は $f(X)$ を被覆する。

$U_V$ は $Y$ の開集合であったため、$f^{-1}(U_V)$ は $X$ の開集合である。このとき、$f^{-1}(U_V)$ は $X$ の開被覆となる。$X$ のコンパクト性より、有限個の $U_{V_1},\ldots,U_{V_n}$ について$ f^{-1}(U_{V_1})\cup \ldots \cup f^{-1}(U_{V_n})=X$ が成り立つ。よって $f(X)\subset U_{V_1}\cup \ldots \cup U_{V_n}$ が成り立つ。従って $\{V_1,\ldots, V_n\}$ は $f(X)$ の開被覆となる。よって $f(X)$ はコンパクトである。{{end |proof }}

=== {{id |id=01cptness |display=閉区間 $[0,1]$ のコンパクト性 }}===
閉区間 $[0,1]$ がコンパクト空間であることを示す。[[#01cptness|閉区間 $[0,1]$ のコンパクト性]]の内容について、これを事実として認めて他の内容を読み進めることは可能である。
{{theorem |type=thm |label=01cpt |name=$[0,1]$ のコンパクト性 }}
実数空間 $\mathbb{R}$ の閉区間 $[0,1]$ はコンパクトである。

{{begin |proof |collapsible=1 |display={{ref |type=thm |label=01cpt }} の証明： }}
$[0,1]$ の開被覆 $\mathcal{U}$ であって有限細分が取れないものが存在したとする。このとき、$[0,\frac{1}{2}]$ または $[\frac{1}{2},1]$ のいずれかについて $\mathcal{U}$ の要素による細分を取ることができない。そのような区間を一つ選ぶ。同様の操作を繰り返すことで、有理数の列 $0\leq q_1 \leq\ldots\leq q_n\leq \ldots $ であって、$[q_n,q_n+\frac{1}{2^n}]$ を被覆する $\mathcal{U}$ の有限細分が取れず、かつ $\ldots\subset [q_n,q_n+\frac{1}{2^n}]\subset \ldots \subset [q_1,q_1+\frac{1}{2}] \subset [0,1]$ が成り立つようなものを取れる。

このとき、$\lim_{n\to \infty} q_n$ を $q$ とおくと、$\bigcap_{n \in \mathbb{N}}[q_n,q_n+\frac{1}{2^n}]=\{q\}$ が成り立つ。$q \in U \in \mathcal{U}$ なる $U$ が存在するが、このときある $n$ について $[q_n,q_n+\frac{1}{2^n}] \subset U]$ が成り立つため、$q_n$ の取り方に反する。よって $[0,1]$ のコンパクト性が示された。{{end |proof }}

=== Hausdorff空間内のコンパクト集合は閉 ===
Hausdorff空間の定義については[[分離公理]]を参照されたい。
{{theorem |type=thm |label=cpt_in_haus |name=Hausdorff空間内のコンパクト集合は閉 }}
Hausdorff空間 $X$ の部分集合 $K$ がコンパクトならば、$K$ は $X$ の閉集合である。
{{begin |proof |collapsible=1 |display={{ref |type=thm |label=cpt_in_haus }} の証明： }}
$x \in K$ なる $X$ の点 $x$ について、$K$ の各点 $y$ ごとに、$x$, $y$ の開近傍 $U_y$, $V_y$ を取ることができる。

このとき、$V_y$ 全体は $K$ を被覆するが、コンパクト性より有限個の $K$ の点 $y_1,\ldots,y_n$ により $K\subset V=\bigcup_{1\leq i\leq n}V_{y_i}$ が成り立つようにできる。このとき、$\bigcap_{1\leq i\leq n}U_{y_i}\cap V=\emptyset $ であるため、$x$ は $K$ の閉包には属しない。よって $K=\overline{K}$ より、$K$ は閉集合である。{{end |proof }}

{{theorem |type=thm |label=cpt_to_haus |name=コンパクト空間からHausdorff空間への全単射連続写像は同相 }}
コンパクト空間 $X$ とHausdorff空間 $Y$ について、全単射連続写像 $f:X\to Y$ は同相である。
{{begin |proof |collapsible=1 |display={{ref |type=thm |label=cpt_to_haus }} の証明： }}
全単射性より、集合としての逆写像 $f^{-1}$ を取ることができる。このとき $f^{-1}$ が連続であれば $f$ の同相性が従う。$f$ が閉射像ならば $f^{-1}$ が連続となることに注意する($f^{-1}$ の閉集合の逆像が閉集合となるため)。

$X$ の閉集合 $K$ について、{{ref |type=prop |label=her_cl }}よりこれはコンパクトである。このとき $f(K)$ は{{ref |type=prop |label=her_image }}よりこれはコンパクトである。{{ref |type=thm |label=cpt_in_haus }}より $f(X)$ は $Y$ の閉集合であるため、$f$ の閉写像性が示される。よって $f$ は同相である。{{end |proof }}

=== コンパクトHausdorff $\Rightarrow$ 正規 ===
コンパクトかつHausdorffであるような空間は、さまざまな位相空間論的に面白い性質を満たす。その最も基本的なものとして、正規性の成立が挙げられる。
{{theorem |type=prop |label=cpthaus_reg |name=コンパクトHausdorff $\Rightarrow$ 正則 }}
コンパクト空間 $X$ がHausdorffならば、正則である。

{{begin |proof |collapsible=1 |display={{ref |type=prop |label=cpthaus_reg }} の証明： }}
閉集合 $F$ と $x \notin F$ なる点 $x$ を取る。このとき、{{ref |type=prop |label=her_cl }} より $F$ はコンパクト空間である。

$F$ の各点 $y$ について、$x\neq y$ であるため、$y$, $x$ の開近傍 $U_y$, $V_y$ であって $U_y \cap V_y =\emptyset $ を満たすものが存在する。このとき、$\{U_y|y \in F\}$ は $F$ の開被覆であるため、有限個の点 $y_1,\ldots.y_n$ が存在して $\{U_{y_i}|1\leq i\leq n\}$ は $F$ の開被覆となる。このとき $\bigcup_{1\leq i \leq n} U_{y_i}$ と $\bigcap_{1\leq i \leq n} V_{y_i}$ は非交な開集合であって、それぞれ $F$, $x$ の近傍である。$X$ の $T_1$-性は明らかであるため、$X$ は正則である。{{end |proof }}

{{theorem |type=prop |label=cpthaus_nor |name=コンパクトHausdorff $\Rightarrow$ 正規 }}
コンパクト空間 $X$ がHausdorffならば、正規である。

{{begin |proof |collapsible=1 |display={{ref |type=prop |label=cpthaus_nor }} の証明： }}
非交な閉集合 $F$ と $G$ を取る。このとき、{{ref |type=prop |label=her_cl }} より $F$ はコンパクト空間である。

$F$ の各点 $y$ について、$y \notin G$ であるため、$y$, $G$ の開近傍 $U_y$, $V_y$ であって $U_y \cap V_y =\emptyset $ を満たすものが存在する。このとき、$\{U_y|y \in F\}$ は $F$ の開被覆であるため、有限個の点 $y_1,\ldots.y_n$ が存在して $\{U_{y_i}|1\leq i\leq n\}$ は $F$ の開被覆となる。このとき $\bigcup_{1\leq i \leq n} U_{y_i}$ と $\bigcap_{1\leq i \leq n} V_{y_i}$ は非交な開集合であって、それぞれ $F$, $G$ の近傍である。$X$ の $T_1$-性は明らかであるため、$X$ は正規である。{{end |proof }}

== {{id |id=tych |display=Tychonoffの定理 }} ==
=== 導入 ===

コンパクト空間のクラスは任意の積について閉じる。[[#tych|Tychonoffの定理]]においてはこの事実を証明する。ZF公理系においてこの定理は選択公理と同値な命題である。

{{theorem |type=thm |label=tych |name=コンパクト空間の積はコンパクト}}
コンパクト空間の族 $\{X_i|i \in \Lambda\}$ について、$X=\prod_{i \in \Lambda} X_i$ はコンパクト空間である。

{{begin |proof |collapsible=1 |display={{ref |type=thm |label=tych }} の証明：}}
[[ネットによる位相空間論]]、[[フィルターによる位相空間論]]を参照されよ。{{end |proof }}

=== Alexander subbase theorem ===

この節においては、Tychonoffの定理を示す準備として、Alexander subbase theoremを証明する。subbaseとは準開基のことである。

{{theorem |type=def |label=basis |name=開基}}
位相空間 $(X, \mathcal{O})$ とその開集合の族 $\mathcal{U}$ について、$\mathcal{U}$ が $X$ の開基（あるいは、$\mathcal{O}$ の開基）であるとは、任意の開集合 $V$ と $x\in V$ について、$x\in U \subset V$ を満たす $U\in \mathcal{U}$ が存在することをいう。

{{theorem |type=def |label=subbasis |name=準開基}}
位相空間 $(X, \mathcal{O})$ とその開集合の族 $\mathcal{U}$ について、$\mathcal{U}$ が $X$ の準開基であるとは、任意の開集合 $V$ と $x\in V$ について、有限個の $\mathcal{U}$ の要素 $U_1, \ldots, U_n$ であって $x \in U_1\cap \ldots \cap U_n \subset V$ が成り立つようなものを取れることをいう。
{{theorem |type=note |label=notesubbasis |name=準開基についての同値な定義}}
開集合族 $\mathcal{U}$ について、$\mathcal{U}$ の要素の有限個の共通集合として得られるような開集合の族を $\mathcal{U}_{\mathrm{fi}}$ と表記したとき、以下が成り立つ：$\mathcal{U}$ が準開基であることは $\mathcal{U}_{\mathrm{fi}}$ が開基となることと同値である。そのためこの方法で準開基の概念が導入されることもある。

{{theorem |type=axiom |label=zorn |name=Zornの補題 }}
'''空でない'''[[半順序集合]] $(P,\leq)$ が以下の性質を満たすとする。
* $Q\subset P$ であって $P$ の順序により全順序集合となる $Q$ について、$Q$ の任意の要素 $q$ について $q\leq p$ となるような $p \in P$ が存在する
このとき、$P$ は極大な要素を持つ。

{{theorem |type=note |label=equiv_ac |name=選択公理との同値性}}
ZF公理系において、Zornの補題は選択公理と同値である。この記事においては、議論の単純化のため、ZFに加えて {{ref |type=axiom |label=zorn }} を公理として課したものを公理系として採用するが、これは本質的にZFC公理系を採用することと変わらないことをここで注意しておく。また詳細については[[Zornの補題]]、[[選択公理]]を参照されよ。
{{theorem |type=thm |label=ast |name=Alexander subbase theorem}}
位相空間 $X$ の準開基 $\mathcal{V}$ について、任意の $\mathcal{V}$ の要素による開被覆について、その有限細分であって開被覆であるようなものが取れるとき、$X$ はコンパクト空間である。

{{begin |proof |contracitble=1 |display={{ref |type=thm |label=ast }} の証明：}}
$X$ の開集合族 $\mathcal{U}$ であって $X$ の開被覆となり、かつ有限細分であえるような開被覆がとれないもの全体の集合を $P$ とおき、$\mathcal{U}\subset \mathcal{U}'$ であるときに$\mathcal{U}\leq \mathcal{U}'$ が成り立つように $P$ 上の[[半順序]]を定める。'''$P$ が空でないとして矛盾を導く。'''

$P$ の全順序部分集合 $Q$ について、$\mathcal{U}_Q=\bigcup_{\mathcal{U} \in Q}\mathcal{U}$ は $X$ の開被覆となっている。このとき、$\mathcal{U}_Q$ の有限個の要素 $U_1,\ldots,U_n$ であって $X=U_1\cup \ldots \cup U_n$ なるものが取れたとする。このとき、$U_i\in \mathcal{U}_i \in Q$ なる $\mathcal{U}_i$ を取ると、$P$ 上の順序において $\mathcal{U}_i$ のいずれよりも大きな $\mathcal{U}_u \in Q$ を取ることができる。このとき任意の $i$ について $U_i \in \mathcal{U}_i \subset \mathcal{U}_u$ である。$\{U_i\}_{1\leq i \leq n}$ は $X$ の開被覆であったが、これは $\mathcal{U}_u$ が $P$ の要素であることに反する。よって $\mathcal{U}_Q$ は $P$ の要素であるため、$Q$ の上界となる。

{{ref |type=axiom |label=zorn}} (Zornの補題)より、$P$ の極大な要素を取ることができるが、これをひとつ選び $\mathcal{U}_{max}$ と表記する。極大性より、$\mathcal{U}_{max}$ に含まれないどのような開集合 $U$ についても、$\{U\}\cup \mathcal{U}_{max}$ は有限細分であって開被覆となるようなものを取ることができる。

$\mathcal{U}_{max}\cap \mathcal{V}$ を $\mathcal{V}_m$ と表記する。このとき、$\mathcal{V}_m$ の有限細分であって開被覆となるものを取ることができないため、$\mathcal{V}_m$ は $X$ の開被覆ではないことが示される。よって、$x\in X$ であって、$\bigcup_{V \in \mathcal{V}_m}V$ に含まれない点をとることができる。

このとき、$x$ を含む開集合であって $\mathcal{V}$ の要素であるようなものは、$\mathcal{U}_{max}$ の要素ではないことに注意する。なぜならば、そのような開集合 $V \in \mathcal{U}_{max}$ があったならば、これは $\mathcal{V}_m$ の要素であり $x$ を含む開集合であるが、このようなことは $x$ の取り方により起こり得ないためである。

ある $x \in U \in \mathcal{U}_{max}$ について、有限個の $\mathcal{V}$ の要素 $V_1,\ldots, V_t$ であって、$x \in V_1\cap \ldots \cap V_t \subset U$ なるものを取る。このとき $x \in V_i \in \mathcal{V}$ であるため、$V_i$ は $\mathcal{U}_{max}$ の要素ではない。従って、$\{V_i\}\cup \mathcal{U}_{max}$ は有限細分であって開被覆であるような開集合族 $\{V_i\}\cup \{U_{i,j}\}$ を持つ。

このとき $\{U\}\cup \{U_{i,j}\}$ は $\mathcal{U}_{max}$ の有限細分であって、開被覆となる。''これは矛盾である。''よって $P$ は空であり、これは $X$ のコンパクト性を意味する。よって定理が示された。{{end |proof }}

=== Tychonoffの定理 ===
{{theorem |type=thm |label=tychre |display=Tychonoffの定理}}
コンパクト空間の族 $\{X_i|i \in \Lambda\}$ について、$X=\prod_{i \in \Lambda} X_i$ はコンパクト空間である。

{{begin |proof |collapsible=1 |display={{ref |type=thm |label=tychre }} の証明：}}
$\prod_{i \in \Lambda} X_i$ の開集合として、以下の形で表すことができるもの全体の集合を $\mathcal{V}$ とおく。
* ある $i \in \Lambda$ について $X_i$ の開集合 $U_i$ を取ったとき、$U_i \times \prod_{i\neq j \in \Lambda} X_j$ と表せる
このとき、$\mathcal{V}$ は $X$ の準開基となる。

{{ref |type=thm |label=ast }} により、$X$ の $\mathcal{V}$ の要素による開被覆についてその有限細分であって開被覆となるものが取れることを示せばよい。

$\mathcal{U}\subset \mathcal{V}$ であって、有限細分であって開被覆となるものが取れないものを固定する。このとき、$i \in \Lambda $ について、$U_i\times \prod_{i\neq j \in \Lambda}$ の形の $\mathcal{U}$ の要素についてここに現れる $U_i$ 全体の集合を $\mathcal{U}_i$ とおくと、$X_i$ のコンパクト性より、$\{U_i\}$ は $X_i$ の開被覆とならない。よって、$x_i \in X_i$ であって $\bigcup U_i$ に含まれない点を $i \in \Lambda$ ごとに選ぶことができる。((これは選択公理による。))

このとき、$(x_i)_{i \in \Lambda} \in \prod_{i \in \Lambda} X_i$ は $\mathcal{U}$ の要素に含まれない。よって $\mathcal{U}$ は開被覆でない。背理法を用いることで、定理は示される。{{end |proof }}

== 基本的な例 ==
=== $\mathbb{R}^n$ の有界閉部分空間 ===
{{theorem |type=prop |label=bdd_closed_is_cpt |name=$\mathbb{R}^n$ の有界閉部分空間はコンパクト }}
$\mathbb{R}^n$ の有界閉部分空間はコンパクトである。
{{begin |proof |collapsible=1 |display=証明 }}$\mathbb{R}^n$ の有界閉部分空間 $K$ をひとつとる。このとき、ある実数 $a$ により、$K$ は $[-a,a]^n$ に含まれる。$[-a,a]$ は $[0,1]$ と同相であるため、コンパクトである。[[Tychonoffの定理 (2.3.1)|#z680cfa1]] より、$[-a,a]^n$ はコンパクトである。$K$ は $[-a,a]^n$ の閉集合であるため、[[1.2.4|#r71d27e8]] より、$K$ はコンパクトである。{{end |proof }}

{{theorem |type=prop |label=cpt_is_bdd_closed |name=$\mathbb{R}^n$ のコンパクト集合は有界閉 }}
$\mathbb{R}^n$ のコンパクト集合は有界閉である。
{{begin |proof |collapsible=1 |display=証明 }}
$\mathbb{R}^n$ のコンパクト集合を $K$ とおく。[[1.4.1|#y416aa5b]]より、$K$ は閉集合である。また、$d \in \mathbb{N}$ について $\mathbb{R}^n$ の原点を中心とした半径 $d$ の開球を $U_d$ とおいたとき、$U_d$ 全体は $K$ を被覆する。よって、有限個の $U_d$ によって被覆されなければならない。したがって $K$ は有界である。{{end |proof }}

=== cube ===
* 集合 $J$ について、$[0,1]^J=\prod_{j \in J}[0,1]$ はコンパクト集合である。これはTychonoffの定理と $[0,1]$ のコンパクト性より従う。

* 集合 $J$ について、$\{0,1\}^J=\prod_{j \in J}\{0,1\}$ はコンパクト集合である。ただし、$\{0,1\}$ には離散位相が入っているものとする。この事実も同様にTychonoffの定理と $[0,1]$ のコンパクト性より従う。

* Sierpinski空間を $\mathbb{S}$ と表記する。このとき、集合 $J$ について、$\mathbb{S}^J=\prod_{j \in J}\mathbb{S}$ はコンパクト集合である。この事実も同様にTychonoffの定理と $[0,1]$ のコンパクト性より従う。ここで得られた位相空間を[[Alexandroff立方体]]という。

=== ordinal numbers ===
順序数は、順序位相を与えることで位相空間とみなすことができる。順序数の定義や、基本的な事柄に関しては [[A3.]] を参照されたい。

{{theorem |type=def |label=def:order_top |name=順序位相 }}
半順序集合 $P$ について、$x,y \in P$ に対し $(x,y)$ を $\{z \in P|x<z<y\}$ とおく。また、$(-\infty,x)$ を $\{z \in P|z<x\}$ とおく。また、$(y,\infty)$ を $\{z \in P|y<z\}$ とおく。このとき、$I=\{(x,y)\}_{x,y \in P}\cup \{(-\infty,x)\}_{x \in P}\cup \{(y,\infty)\}_{y \in P}$ によって生成される $P$ 上の位相を $P$ の半順序集合という。すなわち、$I$ の要素の有限交叉として表される $P$ の部分集合全体を開基とする位相のことである。

{{theorem |type=def |label=def:ord_as_top |name=位相空間としての順序数 }}
順序数 $\alpha$ について、順序位相によって $\alpha$ を位相空間とみなすことができる。この空間を $\alpha$ と同じ記号で表記する。

{{theorem |type=thm |label=succ_ord_is_cpt |name=後続順序数のコンパクト性 }}
[[後続型順序数|順序数]] $\alpha$ について、$\alpha$ をコンパクトである。
{{begin |proof |collapsible=1 |display=証明 }}
$\alpha$ の開被覆 $\{U_\lambda\}$ であって、有限細分を持たないものが存在したとする。このとき、次のような順序数の列 $\{\beta_n\}_{n \in \mathbb{N}}$ と開被覆の元の列 $\{U_n\}_{n \in \mathbb{N}}$ を考える。
* $\beta_0 = \alpha - 1$
* $n \geq 0$ について、$U_n$ は $\beta_n$ を含む開集合であって開被覆の元であるもの
* $n \geq 1$ について、$\beta_n$ は $\bigcup_{0 \leq i \leq n-1} U_i$ に含まれない元であって最大のもの(このような元は、$\alpha \setminus \bigcup_{0 \leq i \leq n-1} U_i$ が開被覆の取り方より非空であり、さらに閉集合であることから存在することが言える）

このとき、順序数の無限下降列が存在してしまうが、これは正則性公理に矛盾する。{{end |proof }}

== コンパクト化 ==
本節において、基本的に考える空間はHausdorff空間に限る。

{{theorem |type=def |label=def:cpt-fication |name=コンパクト化 }}
位相空間 $X$ に対して、コンパクトHausdorff位相空間 $Y$ と連続写像 $c:X\to Y$ の組 $(Y,c)$ が $X$ のコンパクト化であるとは、以下の性質が成り立つことをいう。
* $X \to f(X)$ は同相
* $\overline{f(X)}=Y$

ただし、$c$ にあたる射が文脈のうえで明らかな場合は $Y$ のみを表記してこれを $X$ のコンパクト化であるという。

{{theorem |type=def |label=def:Tych_sp |name=Tychonoff空間 }}
位相空間 $X$ がTychonoff空間であるとは、Hausdorff空間であり、任意の閉集合 $F$ と $x\notin F$ について、連続写像 $f:X\to[0,1]\subset \mathbb{R}$ であって $f(x)=0$ かつ $f(F)=\{1\}$ なるものが存在することをいう。

{{theorem |type=prop |label=Tych_hered |name=Tychonoff性は部分空間に遺伝 }}
Tychonoff空間 $X$ の部分空間 $Y$ はTychonoff空間である。

{{begin |proof |collapsible=1 |display=証明 }}
$Y$ がHausdorffであることは明らかである。

$Y$ の点 $y$ と $Y$ の閉集合 $y \notin F'$ について、$X$ の閉集合 $F$ であって $F'=Y\cap F$ なるものが存在する。このとき、$y \notin F$ であるため、連続写像 $f:X \to [0,1]$ であって、$f(y)=0$ かつ $f(F)=\{1\}$ なるものが存在する。このとき、$f$ の $Y$ への制限は、$f(y)=0$ かつ $f(F')=\{1\}$ なる連続写像である。よって $Y$ はTychonoff空間である。{{end |proof }}

{{theorem |type=def |label=def:loc_cpt |name=局所コンパクト空間 }}
位相空間 $X$ が局所コンパクトであるとは、Hausdorffであって、かつ任意の点 $x \in X$ について $x$ を含む近傍でコンパクトなものが存在することをいう。

{{theorem |type=note |label=loc_cpt_is_Haus |name=Hausdorff性に関する注意 }}
コンパクト性においてはHausdorff性を課さないが、局所コンパクト性についてはHausdorff性を課していることに注意されたい。これは簡単のためというのもひとつの理由にはあるが、「局所コンパクト性」として知られる(よばれる)性質については、いくつかの流儀があり、しばしばこれらの流儀は「Hausdorff空間上では一致するが、一般には一致しない」という形での、弱いconflictをみせる。また(本稿の意味で)コンパクト化可能な位相空間はHausdorff空間に限られるため、このような扱いを行う。

{{theorem |type=note |label=neighborhood |name=近傍についての注意 }}
点 $x$ の近傍とは、$x$ を含む集合 $N$ であって、さらに $x$ を含む開集合 $U \subset N$ が存在することを指していう。このため、近傍は必ずしも開集合であるわけではない。

=== 一点コンパクト化 ===

=== Stone-Čechコンパクト化 ===

== 距離化可能性 ==

=== 距離化可能空間 ===

{{theorem |type=def |label=def:metr_sp |name=距離空間 }}
集合 $X$ と実数値関数 $d:X\times X\to \mathbb{R}$ の組 $(X,d)$ が[[距離空間]]であるとは、以下の条件を満たすことを指していう。
* $X$ の点 $x$, $y$ について、$d(x,y)\geq 0$
* $X$ の点 $x$, $y$ について、$d(x,y)=0$ と $x=y$ は同値
* $X$ の点 $x$, $y$ について、$d(x,y)=d(y,x)$
* $X$ の点 $x$, $y$, $z$ について、$d(x,y)+d(y,z)\geq d(x,z)$

[[距離空間]] $(X,d)$ について、距離が文脈上明らかである場合これを明記せず単に $X$ と表記する場合がある。

{{theorem |type=def |label=def:top_as_metr |name=距離に伴う位相 }}
[[距離空間]] $X$ について、$x \in X$ と $i \in \mathbb{N}$ に対して、$U(x,i)$ を点 $x$ を中心とする半径 $\frac{1}{i}$ の開球、すなわち $\{y \in X|d(x,y)<\frac{1}{i}\}$ と定めると、$\{U(x,i)\}_{x \in X,i \in \mathbb{N}}$ を[[開基]]とする $X$ 上の位相が唯一つ存在する。この位相でもって距離空間 $X$ を位相空間とみなすことができる。

断りなく距離空間を位相空間とみなす場合はつねにこの方法で位相を入れているものとする。

{{theorem |type=def |label=def:metrizable |name=距離化可能空間 }}
位相空間 $X$ が距離化可能空間であるとは、距離空間を位相空間とみなして構成されたもの(と同相な位相空間)であることをいう。

{{theorem |type=ex |label=real_sp |name=実数空間 }}
実数空間 $\mathbb{R}$ は距離化可能空間である。

{{theorem |type=prop |label=metrizable_is_Haus |name=距離化可能ならばHausdorff }}
距離化可能空間はHausdorffである。

{{begin |proof |collapsible=1 |display=証明 }}
距離化可能空間 $X$ に対して、$X$ の異なる二点 $x,y$ を取る。このとき、$d(x,y)$ を $d$ とおくと、$x$, $y$ それぞれを中心とした半径 $\frac{d}{3}$ の開球は非交な開近傍である。よって $X$ はHausdorffである。{{end |proof }}

{{theorem |type=def |label=def:bdd_metr |name=有界距離空間 }}
距離空間 $(X,d)$ が有界であるとは、ある実数 $r$ が存在し、任意の $X$ の点 $x$, $y$ について、$d(x,y)<r$ が成り立つことをいう。

{{theorem |type=prop |label=metr_bdd-cation |name=距離化可能空間は有界距離空間と同相 }}
距離化可能空間 $X$ について、$X$ 上の有界な距離 $d$ であって、$X$ と同じ位相を定めるものが存在する。
{{begin |proof |collapsible=1 |display=証明 }}{{end |proof }}

{{theorem |type=prop |label=metrizable_ctbl_prod |name=距離化可能空間の可算積は距離化可能 }}
距離化可能空間の可算族 $\{X_i\}_{i \in \mathbb{N}}$ について、$\prod_{i \in \mathbb{N}}X_i$ は距離化可能である。
{{begin |proof |collapsible=1 |display=証明 }}{{end |proof }}

=== [[第二可算空間|第二可算性]] ===

{{theorem |type=def |label=def:2nd_ctbl |name=第二可算空間 }}
位相空間 $X$ が[[第二可算空間|第二可算]]であるとは、$X$ の[[基底]] $B$ であって、高々可算な開集合の族であるようなものが存在することをいう。

* $\mathbb{R}$ は第二可算である。実際、有理数 $q,q'\in\mathbb{Q}$ について開集合 $(q,q') \subset \mathbb{R}$ 全体は $\mathbb{R}$ の開基となる。

{{theorem |type=prop |label=cpt_metr_is_2nd_ctbl |name=コンパクトな距離空間は第二可算 }}
距離空間 $X$ について、$X$ が位相空間としてコンパクトならば、第二可算である。

{{begin |proof |collapsible=1 |display=証明 }}
自然数 $i \in \mathbb{N}$ と $X$ の点 $x$ について、$U(x,i)$ を $x$ を中心とする半径 $\frac{1}{i}$ の開球とする。$i$ を固定したとき、$X$ のコンパクト性より、有限個の開球によって $X$ は覆われる。この有限個の開球全体の集合を $B_i$ とおく。このとき、$B=\bigcup_{i \in\mathbb{N}} B_i$ は可算集合である。

$B$ が $X$ の基底となることを示す。$X$ の開集合 $U$ と $U$ の点 $x$ について、ある自然数 $j$ であって、$U(x,j)\subset U$ なるものが存在する。このような $j$ を固定する。このとき、$B_{2j}$ は $X$ の開被覆であったため、$B_{2j}$ の元 $U(y,2j)$ であって $x$ を含むものが存在する。このとき、$y$ と $x$ の距離は $\frac{1}{2j}$ 未満であり、また $U(y,2j)$ の点は $y$ との距離が高々 $\frac{1}{2j}$ 未満である。よって、$U(y,2j)\subset U(x,j)$ が成り立つ。従って、$B$ は $X$ の基底である。{{end |proof }}

=== Urysohnの距離化定理 ===

== 副有限空間 ==

== コンパクト空間と基数関数 ==

== 半順序集合 ==

== コンパクト性の類似概念 ==

コンパクト性は位相空間論において非常に基本的な概念であるため、そのさまざまな類似概念についてもよく調べられてきた。そのような概念のいくつかについてここで紹介しようと思う。

=== 局所的な有限性 ===
{{theorem |type=def |label=def:point_fin |name=点有限開被覆 }}
位相空間 $X$ の開被覆 $\mathcal{U}$ が点有限であるとは、任意の点 $x\in X$ について、$x\in U$ となる $U\in \mathcal{U}$ が高々有限個であることをいう。

{{theorem |type=def |label=def:loc_fin |name=局所有限開被覆 }}
位相空間 $X$ の開被覆 $\mathcal{U}$ が局所有限であるとは、任意の点 $x\in X$ について、ある $x$ の[[近傍]] $V$ が存在し、$V\cap U\neq \emptyset$ となる $U\in \mathcal{U}$ が高々有限個であることをいう。

{{theorem |type=def |label=def:star_fin |name=星状有限開被覆 }}
位相空間 $X$ の開被覆 $\mathcal{U}$ が星状有限であるとは、任意の $U\in \mathcal{U}$ について、$ U\cap V\neq \emptyset$ となる $V\in\mathcal{U}$ が高々有限個であることをいう。

{{theorem |type=def |label=def:meta_cpt |name=メタコンパクト空間 }}
位相空間 $X$ がメタコンパクトであるとは、任意の $x$ の開被覆 $\mathcal{U}$ について、$\mathcal{U}$ の細分であって点有限なものが存在することをいう。

{{theorem |type=def |label=def:para_cpt |name=メタコンパクト空間 }}
位相空間 $X$ がパラコンパクトであるとは、任意の $x$ の開被覆 $\mathcal{U}$ について、$\mathcal{U}$ の細分であって局所有限なものが存在することをいう。

{{theorem |type=def |label=def:str_para_cpt |name=強メタコンパクト空間 }}
位相空間 $X$ が強パラコンパクトであるとは、任意の $x$ の開被覆 $\mathcal{U}$ について、$\mathcal{U}$ の細分であって星状有限なものが存在することをいう。

=== 有限性を弱めた概念 ===
{{theorem |type=def |label=def:Lindelof |name=Lindelof空間 }}
位相空間 $X$ がLindelofであるとは、以下の性質を満たすことを指していう。
* $X$ の任意の[[開被覆]] $\mathcal{U}$ について、$\mathcal{U}$ の可算部分集合 $\mathcal{V}$ が存在して、$\mathcal{V}$ が $X$ の開被覆となる。

== 順序数・基数 ==
=== 定義 ===

=== 基数の演算 ===

== information ==

=== Suggested Reading ===

[[位相空間論の参考書]]にリストアップされた文献等を参考にされたい。

本稿において必要な位相空間論の知識は[[速習コース「位相空間論の基礎事項」]]に整理している。

順序数・基数の概念の詳細については[[xxx]]を参照されたい。

=== 関連項目 ===

=== 参考文献 ===
* Ryszard Engelking, "General Topology", 1989

=== 外部リンク ===
* [[nlab "Introduction to Topology":https://ncatlab.org/nlab/show/Introduction+to+Topology]]

コンパクト性とAscoli-Arzelàの定理

2022-03-28T05:41:00Z

Saitory: pukiwiki記法 > をに

<noinclude>
{{TOC |align=right |noautonum=1 }}
</noinclude>
== コンパクト性とAscoli-Arzelàの定理 ==
＜＜執筆中＞＞
ここでは距離空間の基本的な位相的性質を復習しつつ、いくつか用語と記法を導入し、距離空間のその中で特に重要なAscoli-Arzelàの定理を紹介する。

=== 1.1. 有界性 ===
==== 定義1.1.1（直径） ====

距離空間 $(X,d)$ の部分集合 $A\subseteq X$ にたいし ${\rm diam}(A)$ を
$${\rm diam}(A):=\sup\{d(x,y)|x,y\in A\}$$

と定義し、$A$ の直径（diameter）と呼ぶ。

==== 定義1.1.2（部分集合の近傍） ====

距離空間 $(X,d)$ の部分集合 $A\subseteq X$ と実数 $r>0$ にたいし $B_d(A,r)$ を
$$B_d(A,r):=\{y\in X|d(A,y)<r\}$$

と定義し、$A$ の $r$ （開）近傍と呼ぶ。

同様に $\overline{B}_d(A,r)$ を
$$\overline{B}_d(A,r):=\{y\in X|d(A,y)\le r\}$$

と定義し、$A$ の $r$ 閉近傍と呼ぶ。

誤解の恐れがないときは、$d$ を省略する。

==== 命題1.1.3（可分距離空間） ====
距離空間 $(X,d)$ について以下の条件は同値
*$(1)$ $X$ は稠密な高々可算な部分集合を持つ（[[可分空間|可分]]）.
*$(2)$ 任意の実数 $\epsilon>0$ にたいし、ある高々可算な部分集合 $S\subseteq X$ が存在し $X\subseteq B_d(S,\epsilon)$.
*$(3)$ $X$ は[[第二可算|第二可算空間]].
*$(4)$ $X$ は[[Lindelöf|Lindelöf空間]].

''証明''

$(1)\Rightarrow (2)$ を示す。$\epsilon>0$ を任意に与える。仮定 $(1)$ から、$X$ の高々可算な稠密部分集合 $S$ が存在する。任意に $x\in X$ を与える。$S$ の稠密性から、ある $s\in S$ が存在して、$d(x,s)<\epsilon$ である。よって、$X\subseteq B_d(S,\epsilon)$ である。

$(2)\Rightarrow (1)$ を示す。仮定 $(2)$ から、各正整数 $n$ に対して、高々可算な $S_n\subseteq X$ であって、$B_d(S_n, 2^{-n})=X$ であるようなものが選べる。$S=\bigcup_{n=1}^\infty S_n$ は $X$ の高々可算な部分集合である。$S$ が $X$ において稠密であることを示そう。そのため、$x\in X$, $\epsilon>0$ とする。$B(x, \epsilon)\cap S\neq\emptyset$ を示せばよい。正整数 $n$ を $1/n<\epsilon$ であるように取る。$B_d(S_n, 2^{-n})=X$ によりある $s\in S_n$ が存在して $d(x, s)<2^{-n}$ である。すると、$s\in B_d(x, \epsilon)\cap S$ であるから $B_d(x, \epsilon)\cap S\neq\emptyset$ である。

$(1)\Rightarrow (3)$ を示す。仮定 $(1)$ により、高々可算な $X$ の稠密部分集合 $S$ が存在する。$\mathcal{B}=\{B_d(s, 2^{-n})\,|\,s\in S,\,n=1,2,\ldots\}$ とおこう。$\mathcal{B}$ は $X$ の開集合からなる高々可算な族であるが、これが $X$ の開基となることを証明しよう。そのため、$U\subseteq X$ を開集合とし、$x\in U$ とする。すると、ある正整数 $n$ が存在して、$B_d(x, 2^{-n})\subseteq U$ である。$S$ の稠密性により、点 $s\in S\cap B_d(x, 2^{-n-1})$ が存在する。$V=B_d(s, 2^{-n-1})$ とおくと、$V\in\mathcal{B}$ であり、$x\in V$ である。さらに、$V\subseteq U$ である。これを示すため、$y\in V$ とすると、$V$ の定義により $d(s, y)<2^{-n-1}$ であるので、

$$d(x, y)\leq d(x, s)+d(s, y)<2^{-n-1}+2^{-n-1}=2^{-n}$$

となる。よって、$y\in B_d(x, 2^{-n})\subseteq U$ である。これで、$V\subseteq U$ が示され、したがって $\mathcal{B}$ が $X$ の開基であることが示された。

$(3)\Rightarrow (4)$ を示す。$\mathcal{B}$ を、仮定 $(3)$ により存在する $X$ の高々可算な開基の一つとする。$\mathcal{U}$ を $X$ の開被覆とする。$\mathcal{U}$ が高々可算な部分被覆をもつことを示せばよい。集合族 $\mathcal{B}'$ を

$$ \mathcal{B}'=\{B\in\mathcal{B}\,|\, \text{ある }U\in\mathcal{U}\text{ に対して }B\subseteq U\}$$

で定義する。$\mathcal{B}'$ は $\mathcal{B}$ の部分族であるから、高々可算である。各 $B\in\mathcal{B}'$ に対して $U_B\in\mathcal{U}$ を、$B\subseteq U_B$ であるように選び、$\mathcal{U}'=\{U_B\,|\,B\in\mathcal{B}'\}$ と定義すると、$\mathcal{U}'$ は $\mathcal{U}$ の高々可算な部分族である。あとは $\mathcal{U}'$ が $X$ の被覆であることを示せばよい。そこで、$x\in X$ とする。$\mathcal{U}$ は被覆だから、$x\in U$ となる $U\in\mathcal{U}$ が存在する。$\mathcal{B}$ は開基なので、$x\in B\subseteq U$ を満たす $B\in\mathcal{B}$ が存在する。このとき、$\mathcal{B}'$ の定義により、$B\in\mathcal{B}'$ である。したがって、$U_B\in\mathcal{U}'$ が定義され、$B\subseteq U_B$ であるから $x\in U_B$ である。これで、 $\mathcal{U}'$ が $X$ の被覆であることが示された。

$(4)\Rightarrow (1)$ を示す。各正整数 $n$ に対して、$X$ の開被覆 $\mathcal{U}_n=\{B_d(x, 2^{-n})\,|\,x\in X\}$ を考える。仮定 $(4)$ により、各 $n$ に対して、$\mathcal{U}_n$ は高々可算な部分被覆をもつ。すなわち、$X$ の高々可算な部分集合 $S_n$ を選び、$\mathcal{V}_n=\{B_d(s, 2^{-n})\,|\,s\in S_n\}$ が $X$ の被覆になるようにできる。$S=\bigcup_{n=1}^\infty S_n$ は $X$ の高々可算集合であるが、これが $X$ において稠密であることを示そう。そのため、$x\in X$ とし、$\epsilon>0$ を任意に与える。$B_d(x, \epsilon)\cap S\neq\emptyset$ を言えばよい。正整数 $n$ を $2^{-n}<\epsilon$ となるように取る。$\mathcal{V}_n$ は $X$ の被覆だから、ある $s\in S_n\subseteq S$ に対して、$x\in B_d(s, 2^{-n})$ となり、したがって $d(x, s)<2^{-n}<\epsilon$ となる。よって、$s\in B_d(x, \epsilon)\cap S$ だから $B_d(x, \epsilon)\cap S\neq\emptyset$ である。

=== 1.2. 完備性とコンパクト性の復習 ===

==== 定義1.2.1（完備） ====

距離空間の任意のCauchy列が収束するとき、その距離空間は[[完備|完備距離空間]] （complete）であるという。

==== 定義1.2.2（完備化） ====

$X$ を距離空間、$Y$ を完備距離空間、$\iota\colon X\to Y$ を等長埋め込みとする（定義は[[Lipschtz写像と関数空間]]参照）。$\overline{\iota(X)}=\iota(Y)$ が成り立つとき $(Y,\iota)$ または単に $Y$ を $X$ の完備化という。

==== 定義1.2.3（点列コンパクト） ====

任意の点列が収束する部分列を持つ距離空間を[[点列コンパクト|点列コンパクト]]という。

==== 定理1.2.4（点列コンパクトの特徴付け） ====

距離空間が全有界かつ完備であることは、距離空間が[[点列コンパクト|点列コンパクト]]である為の必要十分条件である。

==== 命題1.2.5 ====

距離空間では点列コンパクトと[[コンパクト|コンパクト空間]]は同値。

==== 定義1.2.6（固有距離空間） ====

任意の有界閉集合が[[コンパクト|コンパクト空間]]になる距離空間を[[固有距離空間]]（proper metric space）という。

==== 例1.2.7 ====
よく知られているようにユークリッド空間は固有距離空間である（[[Heine–Borelの被覆定理]]）。より一般に完備リーマン多様体は固有距離空間（[[Hopf-Rinowの定理]]）。

==== 命題1.2.8（固有距離空間の位相的性質） ====
固有距離空間は完備かつ[[局所コンパクト|局所コンパクト空間]]かつ[[σコンパクト|σコンパクト空間]]である。

逆は一般には言えないが弧長距離空間では完備かつ[[局所コンパクト|局所コンパクト空間]]だけから固有距離であることが従う（[[曲線の長さとHopf-Rinowの定理]]参照）。

=== 1.3. Ascoli-Arzelàの定理 ===
==== 定義1.3.1 （同程度連続と各点全有界） ====
$\mathcal{F}$ を距離空間 $X$ から距離空間 $Y$ への写像からなる族とする。

任意の $x\in X$ と $\epsilon>0$ にたいして、ある $\delta>0$ が存在して、任意の $f\in\mathcal{F}$ と $y\in Y$ について「 $d(x,y)<\delta$ ならば $d(f(x),f(y))<\epsilon$ 」が成り立つときに、$\mathcal{F}$ は同程度連続だという。

任意の $x\in X$ について、$\{f(x)|f\in\mathcal{F}\}\subseteq Y$ が全有界となるとき、$\mathcal{F}$ は各点全有界だという。

==== 補題1.3.2 ====
$(f_n)_{n\in\mathbb{N}}$ を距離空間 $X$ から距離空間 $Y$ への写像の同程度連続な可算列であり、関数 $f\colon X\to Y$ に各点収束しているとするこのとき、$f$ は連続。

''証明''

今 $x\in X$ と $\epsilon>0$ を任意に取る。$(f_n)_{n\in\mathbb{N}}$ の同程度連続性から、$\delta>0$ を任意の $y\in X$ と $n\in\mathbb{N}$ にたいし、「$d(x,y)<\delta$ ならば $d(f_n(x),f_n(y))<\epsilon$」を満たすように取る。さらに $d(x,y)<\delta$ を満たす $y\in X$ を任意に取る。今 $\delta$ の取り方から $d(f_n(x),f_n(y))<\epsilon$ であるが、$\displaystyle\lim_{n\to\infty}f_n(x)=f(x)$ かつ $\displaystyle\lim_{n\to\infty}f_n(y)=f(y)$ であるから $d(f(x),f(y))\le \epsilon$ となり $f$ は $x$ において連続となる。これがすべての $x\in X$ に対して成り立つので、$f$ は連続である。

==== 補題1.3.3 ====
$(f_n)_{n\in\mathbb{N}}$ を距離空間 $X$ から距離空間 $Y$ への写像の同程度連続な可算列であり、関数 $f\colon X\to Y$ に各点収束しているとするこのとき、$(f_n)_{n\in\mathbb{N}}$ は任意のコンパクト集合上で $f\colon X\to Y$ に一様収束する。

''証明''

$A\subseteq X$ をコンパクト集合とし、$\epsilon>0$を固定する。このとき $\delta_0:=\inf\{d(a,b)|n>0,a,b\in A,d(f_n(a),f_n(b))\ge\epsilon\}$ は正の実数である。

もしそうでないなら、ある$A\times X$ 上の点列 $( (a_i,b_i) )_{i\in\mathbb{N}}$ と $(f_n)_{n\in\mathbb{N}}$ の部分列 $(f_{n_i})_{i\in\mathbb{N}} $ が存在して、$\displaystyle\lim_{i\to\infty}d(a_i,b_i)=0$ かつ任意の $i\in\mathbb{N}$ にたいし $d(f_{n_i}(a_i),f_{n_i}(b_i))\ge\epsilon$ となる。$A$ は点列コンパクトなので必要なら部分列を取ることで $\displaystyle\lim_{i\to\infty}a_i(=:\alpha)\in A$ として良い。今 $(f_n)_{n\in\mathbb{N}}$ の同程度連続性から、$\delta>0$ を任意の $x\in X$ と $n\in\mathbb{N}$ にたいし、「$d(\alpha,x)<\delta$ ならば $d(f_n(\alpha),f_n(x))<\frac{1}{2}\epsilon$」を満たすように取る。今$\displaystyle\lim_{i\to\infty}a_i=\alpha$ および $\displaystyle\lim_{i\to\infty}d(a_i,b_i)=0$ に注意すると十分大きい $N\in\mathbb{N}$ にたいし、$d(\alpha,a_N),d(\alpha,b_N)<\delta$ が成立する。このとき $\delta$ の取り方から $d(f_{n_N}(\alpha), f_{n_N}(a_N))<\frac{1}{2}\epsilon$ かつ $d(f_{n_N}(\alpha), f_{n_N}(b_N))<\frac{1}{2}\epsilon$ となり、$d(f_{n_N}(a_N), f_{n_N}(b_N))<\epsilon$ が成立し矛盾する。

今 $d(a,b)<\delta_0$ を満たす $a,b\in A$ を任意に取る。$d(f_n(a),f_n(b))<\epsilon$ および $\displaystyle\lim_{n\to\infty}f_n(a)=f(a)$ 、$\displaystyle\lim_{n\to\infty}f_n(b)=f(b)$ から $d(f(a),f(b))\le \epsilon$ がいえる。

$A$ はコンパクトなのである有限集合 $S\subseteq A$ が存在して $A\subseteq B_d(S,\delta_0)$ となる。$S$ が有限集合であること、$(f_n)_{n\in\mathbb{N}}$ が $f$ に各点収束していることから、$M\in\mathbb{N}$ を、「任意の $i>M$ と $s\in S$ について $d(f_i(s),f(s))<\epsilon$ が成立する」ように取る。今 $a\in A$ と $i>M$ を任意に取る。このときある $s\in S$ が存在して、$d(a,s)<\delta_0$ となり、$\delta_0,M$ の取り方から、$d(f_i(s),f_(s))<\epsilon$ および $d(f_i(a),f_i(s))<\epsilon$ 、$d(f(s),f(a))\le \epsilon$ がいえ、$d(f_i(a),f(a))<3\epsilon$ となる。$a$ と $\epsilon$ は任意だったので、一様収束が示せた。

==== 定理1.3.4（Ascoli-Arzelàの定理） ====
$(f_n)_{n\in\mathbb{N}}$ を可分距離空間 $X$ から完備距離空間 $Y$ への写像の可算列とする。$(f_n)_{n\in\mathbb{N}}$ が同程度連続かつ各点全有界ならある部分列が存在して、連続写像にコンパクト一様収束する。

''証明''

''補題1.3.2''および''補題1.3.3''より、各点収束だけ示せば良い。

$(s_i)_{i\in\mathbb{N}}$ を $X$ の稠密な部分集合を成す可算列とする。$(\iota_i\colon\mathbb{N}\to\mathbb{N})_{i\in\mathbb{N}}$ を以下のように再帰的に取る。
*step 0

$\{f_n(s_0)|n\in\mathbb{N}\}$ は完備距離空間の全有界な部分集合なので相対コンパクトである。これより $f_{\iota_0(i)}(s_0)$ を $(f_n(s_0))_{n\in\mathbb{N}}$ の収束する部分列として取り、その収束先を $f(s_0)$ と表記する。
*step i

同様に $(f_{\iota_i(n)}(s_i))_{n\in\mathbb{N}}$ を $(f_{\iota_{i-1}(n)}(s_{i-1}))_{n\in\mathbb{N}}$ の収束する部分列((つまりある狭義単調増加列 $\sigma\colon\mathbb{N}\to\mathbb{N}$ が存在して $\iota_i=\iota_{i-1}\circ\sigma$))として取り、その収束先を $f(s_i)$ と表記する。

このとき、$(\iota_n(n))_{n\ge i}$ は $(\iota_i(n))_{n\ge i}$ の部分列になっているのに注意すると、任意の $i\in\mathbb{N}$ について $\displaystyle\lim_{n\to\infty}f_{\iota_n(n)}(s_i)=f(s_i)$ が成り立つ。数列 $(\iota(n))_{n\in\mathbb{N}}$ を $\iota(n):=\iota_n(n)$ と定義する。
このとき、$(\iota_n(n))_{n\ge i}$ は $(\iota_i(n))_{n\ge i}$ の部分列になっているのに注意すると、任意の $i\in\mathbb{N}$ について $\displaystyle\lim_{n\to\infty}f_{\iota_n(n)}(s_i)=f(s_i)$ が成り立つ。数列 $(\iota(n))_{n\in\mathbb{N}}$ を $\iota(n):=\iota_n(n)$ と定義する。

今 $x\in X$ と $\epsilon>0$ を任意に固定。
$(f_n)_{n\in\mathbb{N}}$ の同程度連続性から $\delta>0$ を任意の $y\in X$ と $n\in\mathbb{N}$ にたいし、「$d(x,y)<\delta$ ならば $(f_n(x),f_(y))<\frac{1}{3}\epsilon$ 」を満たすように取る。さらに、$(s_i)_{i\in\mathbb{N}}$ の稠密性から $s_j$ を $d(x,s_j)<\delta$ となるように取る。
このとき $(f_{\iota(n)}(s_i))_{n\in\mathbb{n}}$ は収束列なので、十分大きい $n,m\in\mathbb{N}$ について $d(f_{\iota(m)}(s_j),f_{\iota(n)}(s_j))<\frac{1}{3}\epsilon$ が成立。さらに $\delta$ の取り方から $d(f_{\iota(m)}(s_j),f_{\iota(m)}(x))<\frac{1}{3}\epsilon$ と $d(f_{\iota(n)}(s_j),f_{\iota(n)}(x))<\frac{1}{3}\epsilon$ もいえるので $d(f_{\iota(m)}(x),f_{\iota(n)}(x))<\epsilon$ となる。よって $f_{\iota(n)}(x)$ はCauchy列であり $Y$ の完備性から収束する。その収束先を $f(x)$ と置けば、$(f_{\iota(n)})_ {n\in\mathbb{N}}$ は $f\colon X\to Y$ に各点収束する。

== 関連項目 ==
*[[距離空間]]
*前ページ：[[距離空間の位相の基本的性質]]
*次ページ：[[Lipschtz写像と関数空間]]

コンパクト性とAscoli-Arzelàの定理

2022-03-28T05:38:35Z

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== コンパクト性とAscoli-Arzelàの定理 ==
＜＜執筆中＞＞
ここでは距離空間の基本的な位相的性質を復習しつつ、いくつか用語と記法を導入し、距離空間のその中で特に重要なAscoli-Arzelàの定理を紹介する。

=== 1.1. 有界性 ===
==== 定義1.1.1（直径） ====

距離空間 $(X,d)$ の部分集合 $A\subseteq X$ にたいし ${\rm diam}(A)$ を
$${\rm diam}(A):=\sup\{d(x,y)|x,y\in A\}$$

と定義し、$A$ の直径（diameter）と呼ぶ。

==== 定義1.1.2（部分集合の近傍） ====

距離空間 $(X,d)$ の部分集合 $A\subseteq X$ と実数 $r>0$ にたいし $B_d(A,r)$ を
$$B_d(A,r):=\{y\in X|d(A,y)<r\}$$

と定義し、$A$ の $r$ （開）近傍と呼ぶ。

同様に $\overline{B}_d(A,r)$ を
$$\overline{B}_d(A,r):=\{y\in X|d(A,y)\le r\}$$

と定義し、$A$ の $r$ 閉近傍と呼ぶ。

誤解の恐れがないときは、$d$ を省略する。

==== 命題1.1.3（可分距離空間） ====
距離空間 $(X,d)$ について以下の条件は同値
*$(1)$ $X$ は稠密な高々可算な部分集合を持つ（[[可分空間|可分]]）.
*$(2)$ 任意の実数 $\epsilon>0$ にたいし、ある高々可算な部分集合 $S\subseteq X$ が存在し $X\subseteq B_d(S,\epsilon)$.
*$(3)$ $X$ は[[第二可算|第二可算空間]].
*$(4)$ $X$ は[[Lindelöf|Lindelöf空間]].

''証明''

$(1)\Rightarrow (2)$ を示す。$\epsilon>0$ を任意に与える。仮定 $(1)$ から、$X$ の高々可算な稠密部分集合 $S$ が存在する。任意に $x\in X$ を与える。$S$ の稠密性から、ある $s\in S$ が存在して、$d(x,s)<\epsilon$ である。よって、$X\subseteq B_d(S,\epsilon)$ である。

$(2)\Rightarrow (1)$ を示す。仮定 $(2)$ から、各正整数 $n$ に対して、高々可算な $S_n\subseteq X$ であって、$B_d(S_n, 2^{-n})=X$ であるようなものが選べる。$S=\bigcup_{n=1}^\infty S_n$ は $X$ の高々可算な部分集合である。$S$ が $X$ において稠密であることを示そう。そのため、$x\in X$, $\epsilon>0$ とする。$B(x, \epsilon)\cap S\neq\emptyset$ を示せばよい。正整数 $n$ を $1/n<\epsilon$ であるように取る。$B_d(S_n, 2^{-n})=X$ によりある $s\in S_n$ が存在して $d(x, s)<2^{-n}$ である。すると、$s\in B_d(x, \epsilon)\cap S$ であるから $B_d(x, \epsilon)\cap S\neq\emptyset$ である。

$(1)\Rightarrow (3)$ を示す。仮定 $(1)$ により、高々可算な $X$ の稠密部分集合 $S$ が存在する。$\mathcal{B}=\{B_d(s, 2^{-n})\,|\,s\in S,\,n=1,2,\ldots\}$ とおこう。$\mathcal{B}$ は $X$ の開集合からなる高々可算な族であるが、これが $X$ の開基となることを証明しよう。そのため、$U\subseteq X$ を開集合とし、$x\in U$ とする。すると、ある正整数 $n$ が存在して、$B_d(x, 2^{-n})\subseteq U$ である。$S$ の稠密性により、点 $s\in S\cap B_d(x, 2^{-n-1})$ が存在する。$V=B_d(s, 2^{-n-1})$ とおくと、$V\in\mathcal{B}$ であり、$x\in V$ である。さらに、$V\subseteq U$ である。これを示すため、$y\in V$ とすると、$V$ の定義により $d(s, y)<2^{-n-1}$ であるので、

$$d(x, y)\leq d(x, s)+d(s, y)<2^{-n-1}+2^{-n-1}=2^{-n}$$

となる。よって、$y\in B_d(x, 2^{-n})\subseteq U$ である。これで、$V\subseteq U$ が示され、したがって $\mathcal{B}$ が $X$ の開基であることが示された。

$(3)\Rightarrow (4)$ を示す。$\mathcal{B}$ を、仮定 $(3)$ により存在する $X$ の高々可算な開基の一つとする。$\mathcal{U}$ を $X$ の開被覆とする。$\mathcal{U}$ が高々可算な部分被覆をもつことを示せばよい。集合族 $\mathcal{B}'$ を

$$ \mathcal{B}'=\{B\in\mathcal{B}\,|\, \text{ある }U\in\mathcal{U}\text{ に対して }B\subseteq U\}$$

で定義する。$\mathcal{B}'$ は $\mathcal{B}$ の部分族であるから、高々可算である。各 $B\in\mathcal{B}'$ に対して $U_B\in\mathcal{U}$ を、$B\subseteq U_B$ であるように選び、$\mathcal{U}'=\{U_B\,|\,B\in\mathcal{B}'\}$ と定義すると、$\mathcal{U}'$ は $\mathcal{U}$ の高々可算な部分族である。あとは $\mathcal{U}'$ が $X$ の被覆であることを示せばよい。そこで、$x\in X$ とする。$\mathcal{U}$ は被覆だから、$x\in U$ となる $U\in\mathcal{U}$ が存在する。$\mathcal{B}$ は開基なので、$x\in B\subseteq U$ を満たす $B\in\mathcal{B}$ が存在する。このとき、$\mathcal{B}'$ の定義により、$B\in\mathcal{B}'$ である。したがって、$U_B\in\mathcal{U}'$ が定義され、$B\subseteq U_B$ であるから $x\in U_B$ である。これで、 $\mathcal{U}'$ が $X$ の被覆であることが示された。

$(4)\Rightarrow (1)$ を示す。各正整数 $n$ に対して、$X$ の開被覆 $\mathcal{U}_n=\{B_d(x, 2^{-n})\,|\,x\in X\}$ を考える。仮定 $(4)$ により、各 $n$ に対して、$\mathcal{U}_n$ は高々可算な部分被覆をもつ。すなわち、$X$ の高々可算な部分集合 $S_n$ を選び、$\mathcal{V}_n=\{B_d(s, 2^{-n})\,|\,s\in S_n\}$ が $X$ の被覆になるようにできる。$S=\bigcup_{n=1}^\infty S_n$ は $X$ の高々可算集合であるが、これが $X$ において稠密であることを示そう。そのため、$x\in X$ とし、$\epsilon>0$ を任意に与える。$B_d(x, \epsilon)\cap S\neq\emptyset$ を言えばよい。正整数 $n$ を $2^{-n}<\epsilon$ となるように取る。$\mathcal{V}_n$ は $X$ の被覆だから、ある $s\in S_n\subseteq S$ に対して、$x\in B_d(s, 2^{-n})$ となり、したがって $d(x, s)<2^{-n}<\epsilon$ となる。よって、$s\in B_d(x, \epsilon)\cap S$ だから $B_d(x, \epsilon)\cap S\neq\emptyset$ である。

=== 1.2. 完備性とコンパクト性の復習 ===

==== 定義1.2.1（完備） ====

距離空間の任意のCauchy列が収束するとき、その距離空間は[[完備>完備距離空間]] （complete）であるという。

==== 定義1.2.2（完備化） ====

$X$ を距離空間、$Y$ を完備距離空間、$\iota\colon X\to Y$ を等長埋め込みとする（定義は[[Lipschtz写像と関数空間]]参照）。$\overline{\iota(X)}=\iota(Y)$ が成り立つとき $(Y,\iota)$ または単に $Y$ を $X$ の完備化という。

==== 定義1.2.3（点列コンパクト） ====

任意の点列が収束する部分列を持つ距離空間を[[点列コンパクト>点列コンパクト]]という。

==== 定理1.2.4（点列コンパクトの特徴付け） ====

距離空間が全有界かつ完備であることは、距離空間が[[点列コンパクト>点列コンパクト]]である為の必要十分条件である。

==== 命題1.2.5 ====

距離空間では点列コンパクトと[[コンパクト>コンパクト空間]]は同値。

==== 定義1.2.6（固有距離空間） ====

任意の有界閉集合が[[コンパクト>コンパクト空間]]になる距離空間を[[固有距離空間]]（proper metric space）という。

==== 例1.2.7 ====
よく知られているようにユークリッド空間は固有距離空間である（[[Heine–Borelの被覆定理]]）。より一般に完備リーマン多様体は固有距離空間（[[Hopf-Rinowの定理]]）。

==== 命題1.2.8（固有距離空間の位相的性質） ====
固有距離空間は完備かつ[[局所コンパクト>局所コンパクト空間]]かつ[[σコンパクト>σコンパクト空間]]である。

逆は一般には言えないが弧長距離空間では完備かつ[[局所コンパクト>局所コンパクト空間]]だけから固有距離であることが従う（[[曲線の長さとHopf-Rinowの定理]]参照）。

=== 1.3. Ascoli-Arzelàの定理 ===
==== 定義1.3.1 （同程度連続と各点全有界） ====
$\mathcal{F}$ を距離空間 $X$ から距離空間 $Y$ への写像からなる族とする。

任意の $x\in X$ と $\epsilon>0$ にたいして、ある $\delta>0$ が存在して、任意の $f\in\mathcal{F}$ と $y\in Y$ について「 $d(x,y)<\delta$ ならば $d(f(x),f(y))<\epsilon$ 」が成り立つときに、$\mathcal{F}$ は同程度連続だという。

任意の $x\in X$ について、$\{f(x)|f\in\mathcal{F}\}\subseteq Y$ が全有界となるとき、$\mathcal{F}$ は各点全有界だという。

==== 補題1.3.2 ====
$(f_n)_{n\in\mathbb{N}}$ を距離空間 $X$ から距離空間 $Y$ への写像の同程度連続な可算列であり、関数 $f\colon X\to Y$ に各点収束しているとするこのとき、$f$ は連続。

''証明''

今 $x\in X$ と $\epsilon>0$ を任意に取る。$(f_n)_{n\in\mathbb{N}}$ の同程度連続性から、$\delta>0$ を任意の $y\in X$ と $n\in\mathbb{N}$ にたいし、「$d(x,y)<\delta$ ならば $d(f_n(x),f_n(y))<\epsilon$」を満たすように取る。さらに $d(x,y)<\delta$ を満たす $y\in X$ を任意に取る。今 $\delta$ の取り方から $d(f_n(x),f_n(y))<\epsilon$ であるが、$\displaystyle\lim_{n\to\infty}f_n(x)=f(x)$ かつ $\displaystyle\lim_{n\to\infty}f_n(y)=f(y)$ であるから $d(f(x),f(y))\le \epsilon$ となり $f$ は $x$ において連続となる。これがすべての $x\in X$ に対して成り立つので、$f$ は連続である。

==== 補題1.3.3 ====
$(f_n)_{n\in\mathbb{N}}$ を距離空間 $X$ から距離空間 $Y$ への写像の同程度連続な可算列であり、関数 $f\colon X\to Y$ に各点収束しているとするこのとき、$(f_n)_{n\in\mathbb{N}}$ は任意のコンパクト集合上で $f\colon X\to Y$ に一様収束する。

''証明''

$A\subseteq X$ をコンパクト集合とし、$\epsilon>0$を固定する。このとき $\delta_0:=\inf\{d(a,b)|n>0,a,b\in A,d(f_n(a),f_n(b))\ge\epsilon\}$ は正の実数である。

もしそうでないなら、ある$A\times X$ 上の点列 $( (a_i,b_i) )_{i\in\mathbb{N}}$ と $(f_n)_{n\in\mathbb{N}}$ の部分列 $(f_{n_i})_{i\in\mathbb{N}} $ が存在して、$\displaystyle\lim_{i\to\infty}d(a_i,b_i)=0$ かつ任意の $i\in\mathbb{N}$ にたいし $d(f_{n_i}(a_i),f_{n_i}(b_i))\ge\epsilon$ となる。$A$ は点列コンパクトなので必要なら部分列を取ることで $\displaystyle\lim_{i\to\infty}a_i(=:\alpha)\in A$ として良い。今 $(f_n)_{n\in\mathbb{N}}$ の同程度連続性から、$\delta>0$ を任意の $x\in X$ と $n\in\mathbb{N}$ にたいし、「$d(\alpha,x)<\delta$ ならば $d(f_n(\alpha),f_n(x))<\frac{1}{2}\epsilon$」を満たすように取る。今$\displaystyle\lim_{i\to\infty}a_i=\alpha$ および $\displaystyle\lim_{i\to\infty}d(a_i,b_i)=0$ に注意すると十分大きい $N\in\mathbb{N}$ にたいし、$d(\alpha,a_N),d(\alpha,b_N)<\delta$ が成立する。このとき $\delta$ の取り方から $d(f_{n_N}(\alpha), f_{n_N}(a_N))<\frac{1}{2}\epsilon$ かつ $d(f_{n_N}(\alpha), f_{n_N}(b_N))<\frac{1}{2}\epsilon$ となり、$d(f_{n_N}(a_N), f_{n_N}(b_N))<\epsilon$ が成立し矛盾する。

今 $d(a,b)<\delta_0$ を満たす $a,b\in A$ を任意に取る。$d(f_n(a),f_n(b))<\epsilon$ および $\displaystyle\lim_{n\to\infty}f_n(a)=f(a)$ 、$\displaystyle\lim_{n\to\infty}f_n(b)=f(b)$ から $d(f(a),f(b))\le \epsilon$ がいえる。

$A$ はコンパクトなのである有限集合 $S\subseteq A$ が存在して $A\subseteq B_d(S,\delta_0)$ となる。$S$ が有限集合であること、$(f_n)_{n\in\mathbb{N}}$ が $f$ に各点収束していることから、$M\in\mathbb{N}$ を、「任意の $i>M$ と $s\in S$ について $d(f_i(s),f(s))<\epsilon$ が成立する」ように取る。今 $a\in A$ と $i>M$ を任意に取る。このときある $s\in S$ が存在して、$d(a,s)<\delta_0$ となり、$\delta_0,M$ の取り方から、$d(f_i(s),f_(s))<\epsilon$ および $d(f_i(a),f_i(s))<\epsilon$ 、$d(f(s),f(a))\le \epsilon$ がいえ、$d(f_i(a),f(a))<3\epsilon$ となる。$a$ と $\epsilon$ は任意だったので、一様収束が示せた。

==== 定理1.3.4（Ascoli-Arzelàの定理） ====
$(f_n)_{n\in\mathbb{N}}$ を可分距離空間 $X$ から完備距離空間 $Y$ への写像の可算列とする。$(f_n)_{n\in\mathbb{N}}$ が同程度連続かつ各点全有界ならある部分列が存在して、連続写像にコンパクト一様収束する。

''証明''

''補題1.3.2''および''補題1.3.3''より、各点収束だけ示せば良い。

$(s_i)_{i\in\mathbb{N}}$ を $X$ の稠密な部分集合を成す可算列とする。$(\iota_i\colon\mathbb{N}\to\mathbb{N})_{i\in\mathbb{N}}$ を以下のように再帰的に取る。
*step 0

$\{f_n(s_0)|n\in\mathbb{N}\}$ は完備距離空間の全有界な部分集合なので相対コンパクトである。これより $f_{\iota_0(i)}(s_0)$ を $(f_n(s_0))_{n\in\mathbb{N}}$ の収束する部分列として取り、その収束先を $f(s_0)$ と表記する。
*step i

同様に $(f_{\iota_i(n)}(s_i))_{n\in\mathbb{N}}$ を $(f_{\iota_{i-1}(n)}(s_{i-1}))_{n\in\mathbb{N}}$ の収束する部分列((つまりある狭義単調増加列 $\sigma\colon\mathbb{N}\to\mathbb{N}$ が存在して $\iota_i=\iota_{i-1}\circ\sigma$))として取り、その収束先を $f(s_i)$ と表記する。

このとき、$(\iota_n(n))_{n\ge i}$ は $(\iota_i(n))_{n\ge i}$ の部分列になっているのに注意すると、任意の $i\in\mathbb{N}$ について $\displaystyle\lim_{n\to\infty}f_{\iota_n(n)}(s_i)=f(s_i)$ が成り立つ。数列 $(\iota(n))_{n\in\mathbb{N}}$ を $\iota(n):=\iota_n(n)$ と定義する。
このとき、$(\iota_n(n))_{n\ge i}$ は $(\iota_i(n))_{n\ge i}$ の部分列になっているのに注意すると、任意の $i\in\mathbb{N}$ について $\displaystyle\lim_{n\to\infty}f_{\iota_n(n)}(s_i)=f(s_i)$ が成り立つ。数列 $(\iota(n))_{n\in\mathbb{N}}$ を $\iota(n):=\iota_n(n)$ と定義する。

今 $x\in X$ と $\epsilon>0$ を任意に固定。
$(f_n)_{n\in\mathbb{N}}$ の同程度連続性から $\delta>0$ を任意の $y\in X$ と $n\in\mathbb{N}$ にたいし、「$d(x,y)<\delta$ ならば $(f_n(x),f_(y))<\frac{1}{3}\epsilon$ 」を満たすように取る。さらに、$(s_i)_{i\in\mathbb{N}}$ の稠密性から $s_j$ を $d(x,s_j)<\delta$ となるように取る。
このとき $(f_{\iota(n)}(s_i))_{n\in\mathbb{n}}$ は収束列なので、十分大きい $n,m\in\mathbb{N}$ について $d(f_{\iota(m)}(s_j),f_{\iota(n)}(s_j))<\frac{1}{3}\epsilon$ が成立。さらに $\delta$ の取り方から $d(f_{\iota(m)}(s_j),f_{\iota(m)}(x))<\frac{1}{3}\epsilon$ と $d(f_{\iota(n)}(s_j),f_{\iota(n)}(x))<\frac{1}{3}\epsilon$ もいえるので $d(f_{\iota(m)}(x),f_{\iota(n)}(x))<\epsilon$ となる。よって $f_{\iota(n)}(x)$ はCauchy列であり $Y$ の完備性から収束する。その収束先を $f(x)$ と置けば、$(f_{\iota(n)})_ {n\in\mathbb{N}}$ は $f\colon X\to Y$ に各点収束する。

== 関連項目 ==
*[[距離空間]]
*前ページ：[[距離空間の位相の基本的性質]]
*次ページ：[[Lipschtz写像と関数空間]]

Lipschtz写像と関数空間

2022-03-28T05:36:42Z

Saitory: pukiwiki記法 > をに

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== Lipschtz写像と関数空間 ==
ここでは距離空間の間の写像の中で最も距離構造を反映するLipschtz写像を紹介し、任意の距離空間が[[Banach空間]]に埋め込めることを証明する。
=== 2.1. Lipschitz写像 ===
==== 定義2.1.1（$L$-Lipschitz写像） ====
距離空間 $(X,d_X)$ から $(Y,d_Y)$ への写像 $f\colon X\to Y$ と実数 $L\ge 0$ が任意 $x_0,x_1\in X$ について
$$d_Y(f(x_0),f(x_1))\le L\cdot d_X(x_0,x_1)$$
を満たすとき、$f$ は $L$-Lipschitzであるといい、$L$-Lipschitzな写像を $L$-Lipschitz写像という。ある実数 $L\ge 0$ が存在して $L$-Lipschitzになる写像を単にLipschitz写像という((Lipschitz写像は連続なのでLipschitz連続ともいう))。
ある実数 $0<L<1$ が存在して $L$-Lipschtz となる写像を縮小写像（contraction map）という。

以下、（拡張擬）距離空間とLipschtz写像からなる圏を $\mathbf{Lip}$、（拡張擬）距離空間と $1$-Lipschtz写像からなる圏を $\mathbf{Lip}_1$ と書く。
==== 定義2.1.2（Lipschitzノルム） ====

距離空間 $(X,d_X)$ から $(Y,d_Y)$ への写像 $f\colon X\to Y$ にたいし $L(f)$ を
$$L(f):=\inf\{L| f\text{ は }L\text{-Lipschitz}\}$$
と定義し、$f$ のLipschitzノルムと呼ぶ。定義からLipschitzノルムが有限であることと、Lipschitz写像であることは同値。
==== 注意2.1.3 ====
$f$ がLipschitz写像なら $L(f)$-Lipschitzになる。
==== 例2.1.4 ====
距離空間 $(X,d)$ 上の点 $x\in X$ にたいし、関数 $d_x\colon X\to\mathbb{R}$
$$d_x(y):=d(x,y)$$
と定義する。このとき、任意の $x\in X$ にたいし $d_x$ は $1$-Lipschitzである。
=== 2.2. 等長埋め込みと等長同型写像 ===
==== 定義2.2.1（等長埋め込みと同値同型写像） ====
距離空間 $(X,d_X)$ から $(Y,d_Y)$ への写像 $f\colon X\to Y$ が任意 $x_0,x_1\in X$ について
$$d_Y(f(x_0),f(x_1))= d_X(x_0,x_1)$$
を満たすとき、$f$ は等長埋め込み（写像）（isometric embedding）であるという。また全単射な等長埋め込みを等長同型写像（または単に等長同型）（isometric isomorphism）という((等長同型または単に等長埋め込みのことを等長写像（isometry）ということも多い。))。距離空間 $X$ と $Y$ の間に等長同型写像が存在するとき、$X$ と $Y$ は等長同型（isometric）だという。

以下、距離空間と等長埋め込みからなる圏を $\mathbf{Isom}$と書く。
==== 命題2.2.2（準同型定理） ====
距離空間 $(X,d_X)$ から $(Y,d_Y)$ への写像 $f\colon X\to Y$ について、
*$(0)$ $f$ が等長同型写像である.
*$(1)$ $f$ が $1$-Lipschitz写像かつ全単射でその逆写像も $1$-Lipschitz写像である.

は同値。
==== 例2.2.3 ====
=== 2.3.関数空間と埋め込み定理 ===
==== 定義2.3.1（Lipschtz関数による双対） ====
$(X,d,b)$ を基点付き距離空間とする（ただし $b\in X$）。このとき[[距離空間]] $\rm{Lip}(X,b)$ を
$$\rm{Lip}(X,b):=\{f\colon X\to\mathbb{R}|f{\small\,はLipschtzかつ\,}f(b)=0\}$$
に $d_{\rm Lip}(f,g):=L(f-g)$ と距離を入れたものとする（ただし $f,g\in\rm{Lip}(X,b)$）。
==== 命題2.3.2 ====
任意の基点付き距離空間 $(X,d,b)$ にたいし、$\rm{Lip}(X,b)$ は[[Banach空間]]。
==== 命題2.3.3 ====
任意の距離空間はBanach空間に等長に埋め込める。

''証明''

$(X,d)$ を距離空間とし、$b\in X$ を一つ固定する。$\iota\colon X\to\rm{Map}(\rm{Lip}(X,b),\mathbb{R})$ を $\iota(x)(f):=f(x)$ のように定義する。

$x\in X$ とする。任意の $f,g\in\rm{Lip}(X,b)$ にたいし $|\iota(x)(f)-\iota(x)(g)|=|f(x)-g(x)|=|(f-g)(x)-(f-g)(b)|<L(f-g)d(x,b)$ となるので $L(\iota(x))\le d(x,b)$ となり、$\iota(x)\in\rm{Lip}(\rm{Lip}(X,b),0)$ 。

今 $x,y\in X$ を任意に取り固定。このとき任意の $f,g\in\rm{Lip}(X,b)$ について $d_{\rm Lip}(f,g)=L(f-g)$ の定義から $|(\iota(x)-\iota(y))(f)-(\iota(x)-\iota(y))(g)|=|(f-g)(x)-(f-g)(y)|\le L(f-g)d(x,y)=d(x,y)d_{\rm Lip}(f,g)$ が成り立つ。よって $d_{\rm Lip}(\iota(x),\iota(y))\le d(x,y)$ 。

次に $f(\cdot):=d(x,\cdot)-d(x,b)$ 、$g:=0$ とおくと、 $|f(a)-f(b)|=|d(x,a)-d(x,b)|\le 1\cdot d(a,b)$ かつ $|f(x)-f(y)|=|d(x,y)|=1\cdot d(x,y)$ から $d_{\rm Lip}(f,g)=L(f-g)=L(f)=1$ であり、$|(\iota(x)-\iota(y))(f)-(\iota(x)-\iota(y))(g)|=|(d(x,y)-d(x,b))-(0-d(x,b))|=d(x,y)=d(x,y)\cdot 1$ なので $d_{\rm Lip}(\iota(x),\iota(y))\ge d(x,y)$

以上から $d_{\rm Lip}(\iota(x),\iota(y))=d(x,y)$ がいえ、よって $\iota$ はBanach空間 $\rm{Lip}(\rm{Lip}(X,b),0) $ への等長埋め込み((より強く、$\rm{Lip}(X,b)$ の位相線形双対空間に埋め込まれていることが分かる))。
==== 2.3.4（命題2.3.3の別証明） ====
$(X,d,b)$ を基点付き距離空間とする（ただし $b\in X$）。このとき $X$ から[[ $\ell^p$ 空間|lᵖ空間]] $\ell^\infty(X)$ への写像 $\iota\colon X\to \ell^\infty(X)$ を
$$\iota(x):=d_x-d_b$$
と定義する（ただし $x\in X$）。後は上記の証明と同様に $\iota$ が等長埋め込みであることが示せる((より強く、有界なLipschtz関数全体に一様距離を入れた空間 $\rm{Lip}_b^\infty(X)$ に埋め込まれていることが分かる。))。
==== 系2.3.5（完備化の存在） ====
任意の距離空間にたいし完備距離空間への稠密な等長埋め込みが存在する。

''証明''

Banach空間への埋め込みの終域を像の閉包に制限すれば良い。
=== 2.4 縮小写像と不動点定理。 ===
== 関連項目 ==
*[[距離空間]]
*前ページ：[[コンパクト性とAscoli-Arzelàの定理]]
*次ページ：[[曲線の長さとHopf-Rinowの定理]]

$\odot$-回帰的

2022-03-27T10:19:53Z

Saitory: 変な日本語を修正

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＜＜執筆中＞＞
== $\odot$-回帰的 ==
'''$\odot$-回帰的(サン-かいきてき、sun-reflexive)'''な空間とは、共役空間のある部分空間を取り出す操作を2回行うと元に戻るようなBanach空間のことである。回帰的でないBanach空間も $\odot$-回帰的であることがある。

「ある部分空間」の決め方は、あらかじめ $\odot$-operatorとよばれる閉作用素を1つ選ぶことによって定まる。とくに選んだ$\odot$-operatorがある $C_0$-半群の無限小生成作用素である場合は重要であり、抽象的Cauchy問題の軟解の構成への応用が知られている。本記事で主として述べるのは $C_0$-半群の無限小生成作用素について $\odot$-回帰的な空間である。

== 定義 ==
=== 定義のための準備1: $\odot$-adjoint space ===
{{theorem|type=Def|label=def1}}
$X$ をBanach空間、$T(t)$ を $X$ 上の $C_0$-半群とする。$X^*$ の部分空間
$$X^\odot = \left\{ x^* \in X^* \middle| \lim_{h \downarrow 0} \| T^*(h)x^* - x^*\| = 0 \right\}$$
を $X$ の( $T(t)$ に関する) $\odot$-adjoint spaceという。ここで $T^*(t)$ とは共役空間 $X^*$ における $T(t)$ の共役作用素である。

{{theorem|type=Prop|label=prop1}}
$X$ の( $T(t)$ に関する) $\odot$-adjoint space $X^\odot$ について次が成り立つ：
* (i) $X^\odot$ は $T^*(t)$-不変な $X^*$ の閉部分空間である。
* (ii) $X^\odot = \overline{D(A^*)}$ である。ここで $A^*$ は $T(t)$ の無限小生成作用素 $A$ の共役作用素であり、$T(t)$ のweak $*$ generatorに等しい。
{{begin|proof|display=''Proof.''|collapsible=1|collapsed=1}}

{{end|proof}}

命題1より、$T^*(t)$ の定義域を $X^\odot$ に制限することで $X^\odot$ 上の $C_0$-半群 $T^\odot(t)$ が得られる。これの無限小生成作用素を $A^\odot$ とおく。

{{theorem|type=Thm|label=thm1}}
$A^\odot$ は $X^\odot$ における $A^*$ の部分(part)である。すなわち、
$$D(A^\odot) = \{ x^* \in D(A^*) | A^* x^* \in X^\odot \},\ A^\odot x^* = A^* x^*$$
である。
{{begin|proof|display=''Proof.''|collapsible=1|collapsed=1}}

{{end|proof}}

=== 定義のための準備2: $X^{\odot \odot}$ への埋め込み ===
$X^\odot$ 上の $C_0$-半群 $T^\odot(t)$ が定義されたので、再び $\odot$-adjoint spaceをとって $X^{\odot \odot} = (X^\odot)^\odot$ を定義することができる。$X^{\odot *} = (X^\odot)^*$ 上の作用素として $T^\odot(t)$ の共役作用素 $T^{\odot *}(t)$が定義され、$T^{\odot *}(t)$ の定義域を $X^{\odot \odot}$ に制限すれば、$X^{\odot \odot}$ 上の $C_0$-半群 $T^{\odot \odot}(t)$ が定義される。いま、線形写像 $j\colon X \to X^{\odot *}$ を以下で定義する。

{{theorem|type=Def|label=def2}}
$$\langle j(x), x^\odot \rangle = \langle x^\odot, x\rangle$$

$X^\odot$ は $X^*$ においてweak $*$ の意味で稠密であることから $j$ の単射性がしたがう。

{{theorem|type=Def|label=def3}}
$X$ のノルム $\| \cdot \|^\prime$ を、
$$\| x \|^\prime = \sup \{ |\langle x^\odot, x\rangle | \colon x^\odot \in X^\odot, \| x^\odot \| \leq 1 \}$$
で定める。

{{theorem|type=Lem|label=lem1}}
* (i) 任意の $x^* \in X^*$ と $h > 0$ について、
$$\int_0^h T^*(s)x^* ds \in D(A^*)$$
かつ
$$A^* \int_0^h T^*(s)x^* ds = T^*(h)x^* - x^*$$
* (ii) 次が成り立つ：
$$\left\| \int_0^h T^*(s) x^* ds \right\| \leq \frac{M}{\omega} (e^{\omega h}-1) \|x^*\|$$
{{begin|proof|display=''Proof.''|collapsible=1|collapsed=1}}

{{end|proof}}

{{theorem|type=Lem|label=lem2}}
$$\| x \|^\prime \leq \| x \| \leq M \| x \|^\prime$$
が成り立つ。ここで $M$ はある $\omega$ について $\| T(t) \| \leq Me^{\omega t}$ となるようにとる。
{{begin|proof|display=''Proof.''|collapsible=1|collapsed=1}}

{{end|proof}}

{{theorem|type=Cor|label=cor1}}
$j$ は $X$ から $X^{\odot *}$ への連続な埋め込みである。また、 $X$ にノルム $\| \cdot \|^\prime$ を入れると $j$ はノルムを保存する。

{{theorem|type=Prop|label=prop2}}
* (i) $jT(t) = T^{\odot *}j.$
* (ii) $j(X) \subset X^{\odot \odot}.$
{{begin|proof|display=''Proof.''|collapsible=1|collapsed=1}}

{{end|proof}}

=== 定義 ===
命題2より、$j$ は $X$ から $X^{\odot \odot}$ への埋め込みであり、$x \in X$ と $j(x) \in X^{\odot \odot}$ を同一視すれば $X \subset X^{\odot \odot}$ である。$\odot$-回帰的な空間とは、$X = X^{\odot \odot}$ であるようなBanach空間のことである。

{{theorem|type=Def|label=def4}}
$j(X) = X^{\odot \odot}$ のとき、$X$ は $T(t)$ に関して $\odot$-回帰的であるという。

== 例 ==
{{theorem|type=Ex|label=ex1}}
$X$ が回帰的ならば $\odot$-回帰的でもある。

{{theorem|type=Ex|label=ex2}}
$X=C(S^1)$, $T(t)$ :shift semigroupのとき $X$ は $\odot$-回帰的である。

{{theorem|type=Ex|label=ex3}}
$X=C^0(\R)$, $T(t)$ :shift semigroupのとき $X$ は $\odot$-回帰的でない。

== $\odot$-回帰的であるための必要十分条件 ==
{{theorem|type=Thm|label=thm2}}
Banach空間 $X$ が $C_0$-半群 $T(t)$ に関して $\odot$-回帰的となるためには、$X^\odot$ が $T^\odot(t)$ に関して $\odot$-回帰的となることが必要かつ十分である。
{{begin|proof|display=''Proof.''|collapsible=1|collapsed=1}}

{{end|proof}}

{{theorem|type=Thm|label=thm3}}(Phillips)
Banach空間 $X$ が $C_0$-半群 $T(t)$ に関して $\odot$-回帰的となるためには、$T(t)$ の無限小生成作用素 $A$ のレゾルベント $(\lambda I-A)^{-1}$ が $\sigma(X, X^\odot)$-コンパクトとなることが必要かつ十分である。
{{begin|proof|display=''Proof.''|collapsible=1|collapsed=1}}

{{end|proof}}

de Pagter によって、より強い次の結果が与えられている。
{{theorem|type=Thm|label=thm4}}(de Pagter)
Banach空間 $X$ が $C_0$-半群 $T(t)$に関して $\odot$-回帰的となるためには、$T(t)$ の無限小生成作用素 $A$ のレゾルベント $(\lambda I-A)^{-1}$ が弱コンパクトとなることが必要かつ十分である。
{{begin|proof|display=''Proof.''|collapsible=1|collapsed=1}}

{{end|proof}}

== 抽象的Cauchy問題への応用 ==
{{theorem|type=Thm|label=thm5}}
$T_0(t)$ を $X$ 上の $C_0$-半群、$A_0$ を $T_0(t)$ の無限小生成作用素とし、$X$ は $T_0(t)$ に関して $\odot$-回帰的であるとする。$B\colon X \to X^{\odot *}$ を有界線形作用素とする。このとき、$X$ 上の $C_0$-半群 $T(t)$ で、variation-of-constants formula
$$T(t)x = T_0(t)x + \int_0^t T_0^{\odot *}(t-s) BT(s)x ds,\ x\in X, t\geq 0$$
を任意の$x \in X, t \geq 0$ についてみたすものが唯一つ存在する。さらに、$T_0(t)$ が以下の条件
$$\| T(t) \| \leq Me^{\omega t},\ M \geq 1,\ \omega \in \R$$
をみたすならば、
$$\| T(t) \| \leq Me^{\bar\omega t},\ t\geq 0$$
が成り立つ。ここで $\bar\omega = \omega + M \| B \|$ である。
{{begin|proof|display=''Proof.''|collapsible=1|collapsed=1}}

{{end|proof}}

定理5は抽象的Cauchy問題 $u^\prime (t)=A_0u(t)$ の解がわかっているときに、摂動項の加わった $u^\prime (t) = (A_0 + B)u(t)$ の解を考察する道具を与える。

== 一般の $\odot$-adjoint space ==
最後にHille, Phillipsによるより一般的な $\odot$-adjoint spaceの定義も述べておく。
{{theorem|type=Def|label=def}}
$X$ をBanach空間とする。閉作用素 $U\colon X\to X$ が以下の2条件
* (i) $D(U)$ は $X$ において稠密
* (ii) $\lambda \to \infty$において$\|(\lambda I - A)^{-1}\| = O(1/\lambda)$
をみたすとき、$U$ を $\odot$-operatorという。$\odot$-operator $U$ が与えられたとき、$X$ の共役空間 $X^*$ の部分空間
$$\overline{D(U^*)} \subset X^*$$
を$U$ に関する $X$ の $\odot$-adjoint spaceといい、$X^\odot$ と書く。

線形作用素 $A$ が $C_0$-半群の無限小生成作用素ならば $A$ は $\odot$-operatorであり、命題1より定義4と定義5による $\odot$-adjoint spaceは一致する。

== 参考文献 ==
* Clement, Heijmans, Angenent, van Duijn, de Pagter (1987), “One-Paramter Semigroups”, CWI Monograph
* Diekmann, van Gils, Verduyn Lunel, Walther (1994), “Delay Equations Functional-, Complex-, and Nonlinear Analysis”, Springer-Verlag
* Hille, Phillips (1957), “Functional Analysis and Semi-Groups”, American Mathematical Society Colloquium Publications
* de Pagter (1989), “A Characterization of Sun-Reflexivity”, Math. Ann. 283, 511–518

== 関連項目 ==

$\odot$-回帰的

2022-03-27T09:54:26Z

Saitory: /* 抽象的Cauchy問題への応用 */ 誤記修正

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$\newcommand{\mathmod}[1]{\ \left(\mathrm{mod}\ #1\right)}$
{{end |preamble}}
<math>
\newcommand\eps\varepsilon{}
</math>
{{end |preamble }}{{TOC |limit=3 }} 
＜＜執筆中＞＞
== $\odot$-回帰的 ==
'''$\odot$-回帰的(サン-かいきてき、sun-reflexive)'''な空間とは、共役空間のある部分空間を取り出す操作を2回行うと元に戻るようなBanach空間のことである。回帰的でないBanach空間も $\odot$-回帰的であることがある。

「ある部分空間」の決め方は、あらかじめ $\odot$-operatorとよばれる閉作用素を1つ選ぶことによって定まる。とくに選んだ$\odot$-operatorがある $C_0$-半群の無限小生成作用素である場合は重要であり、抽象的Cauchy問題の軟解の構成への応用が知られている。本記事では主として $C_0$-半群の無限小生成作用素について $\odot$-回帰的な空間について述べる。

== 定義 ==
=== 定義のための準備1: $\odot$-adjoint space ===
{{theorem|type=Def|label=def1}}
$X$ をBanach空間、$T(t)$ を $X$ 上の $C_0$-半群とする。$X^*$ の部分空間
$$X^\odot = \left\{ x^* \in X^* \middle| \lim_{h \downarrow 0} \| T^*(h)x^* - x^*\| = 0 \right\}$$
を $X$ の( $T(t)$ に関する) $\odot$-adjoint spaceという。ここで $T^*(t)$ とは共役空間 $X^*$ における $T(t)$ の共役作用素である。

{{theorem|type=Prop|label=prop1}}
$X$ の( $T(t)$ に関する) $\odot$-adjoint space $X^\odot$ について次が成り立つ：
* (i) $X^\odot$ は $T^*(t)$-不変な $X^*$ の閉部分空間である。
* (ii) $X^\odot = \overline{D(A^*)}$ である。ここで $A^*$ は $T(t)$ の無限小生成作用素 $A$ の共役作用素であり、$T(t)$ のweak $*$ generatorに等しい。
{{begin|proof|display=''Proof.''|collapsible=1|collapsed=1}}

{{end|proof}}

命題1より、$T^*(t)$ の定義域を $X^\odot$ に制限することで $X^\odot$ 上の $C_0$-半群 $T^\odot(t)$ が得られる。これの無限小生成作用素を $A^\odot$ とおく。

{{theorem|type=Thm|label=thm1}}
$A^\odot$ は $X^\odot$ における $A^*$ の部分(part)である。すなわち、
$$D(A^\odot) = \{ x^* \in D(A^*) | A^* x^* \in X^\odot \},\ A^\odot x^* = A^* x^*$$
である。
{{begin|proof|display=''Proof.''|collapsible=1|collapsed=1}}

{{end|proof}}

=== 定義のための準備2: $X^{\odot \odot}$ への埋め込み ===
$X^\odot$ 上の $C_0$-半群 $T^\odot(t)$ が定義されたので、再び $\odot$-adjoint spaceをとって $X^{\odot \odot} = (X^\odot)^\odot$ を定義することができる。$X^{\odot *}$ 上に $T^\odot(t)$ の共役作用素 $T^{\odot *}(t)$ の定義域を $X^{\odot \odot}$ に制限すれば、$X^{\odot \odot}$ 上の $C_0$-半群 $T^{\odot \odot}(t)$ が定義される。いま、線形写像 $j\colon X \to X^{\odot *}$ を以下で定義する。

{{theorem|type=Def|label=def2}}
$$\langle j(x), x^\odot \rangle = \langle x^\odot, x\rangle$$

$X^\odot$ は $X^*$ においてweak $*$ の意味で稠密であることから $j$ の単射性がしたがう。

{{theorem|type=Def|label=def3}}
$X$ のノルム $\| \cdot \|^\prime$ を、
$$\| x \|^\prime = \sup \{ |\langle x^\odot, x\rangle | \colon x^\odot \in X^\odot, \| x^\odot \| \leq 1 \}$$
で定める。

{{theorem|type=Lem|label=lem1}}
* (i) 任意の $x^* \in X^*$ と $h > 0$ について、
$$\int_0^h T^*(s)x^* ds \in D(A^*)$$
かつ
$$A^* \int_0^h T^*(s)x^* ds = T^*(h)x^* - x^*$$
* (ii) 次が成り立つ：
$$\left\| \int_0^h T^*(s) x^* ds \right\| \leq \frac{M}{\omega} (e^{\omega h}-1) \|x^*\|$$
{{begin|proof|display=''Proof.''|collapsible=1|collapsed=1}}

{{end|proof}}

{{theorem|type=Lem|label=lem2}}
$$\| x \|^\prime \leq \| x \| \leq M \| x \|^\prime$$
が成り立つ。ここで $M$ はある $\omega$ について $\| T(t) \| \leq Me^{\omega t}$ となるようにとる。
{{begin|proof|display=''Proof.''|collapsible=1|collapsed=1}}

{{end|proof}}

{{theorem|type=Cor|label=cor1}}
$j$ は $X$ から $X^{\odot *}$ への連続な埋め込みである。また、 $X$ にノルム $\| \cdot \|^\prime$ を入れると $j$ はノルムを保存する。

{{theorem|type=Prop|label=prop2}}
* (i) $jT(t) = T^{\odot *}j.$
* (ii) $j(X) \subset X^{\odot \odot}.$
{{begin|proof|display=''Proof.''|collapsible=1|collapsed=1}}

{{end|proof}}

=== 定義 ===
命題2より、$j$ は $X$ から $X^{\odot \odot}$ への埋め込みであり、$x \in X$ と $j(x) \in X^{\odot \odot}$ を同一視すれば $X \subset X^{\odot \odot}$ である。$\odot$-回帰的な空間とは、$X = X^{\odot \odot}$ であるようなBanach空間のことである。

{{theorem|type=Def|label=def4}}
$j(X) = X^{\odot \odot}$ のとき、$X$ は $T(t)$ に関して $\odot$-回帰的であるという。

== 例 ==
{{theorem|type=Ex|label=ex1}}
$X$ が回帰的ならば $\odot$-回帰的でもある。

{{theorem|type=Ex|label=ex2}}
$X=C(S^1)$, $T(t)$ :shift semigroupのとき $X$ は $\odot$-回帰的である。

{{theorem|type=Ex|label=ex3}}
$X=C^0(\R)$, $T(t)$ :shift semigroupのとき $X$ は $\odot$-回帰的でない。

== $\odot$-回帰的であるための必要十分条件 ==
{{theorem|type=Thm|label=thm2}}
Banach空間 $X$ が $C_0$-半群 $T(t)$ に関して $\odot$-回帰的となるためには、$X^\odot$ が $T^\odot(t)$ に関して $\odot$-回帰的となることが必要かつ十分である。
{{begin|proof|display=''Proof.''|collapsible=1|collapsed=1}}

{{end|proof}}

{{theorem|type=Thm|label=thm3}}(Phillips)
Banach空間 $X$ が $C_0$-半群 $T(t)$ に関して $\odot$-回帰的となるためには、$T(t)$ の無限小生成作用素 $A$ のレゾルベント $(\lambda I-A)^{-1}$ が $\sigma(X, X^\odot)$-コンパクトとなることが必要かつ十分である。
{{begin|proof|display=''Proof.''|collapsible=1|collapsed=1}}

{{end|proof}}

de Pagter によって、より強い次の結果が与えられている。
{{theorem|type=Thm|label=thm4}}(de Pagter)
Banach空間 $X$ が $C_0$-半群 $T(t)$に関して $\odot$-回帰的となるためには、$T(t)$ の無限小生成作用素 $A$ のレゾルベント $(\lambda I-A)^{-1}$ が弱コンパクトとなることが必要かつ十分である。
{{begin|proof|display=''Proof.''|collapsible=1|collapsed=1}}

{{end|proof}}

== 抽象的Cauchy問題への応用 ==
{{theorem|type=Thm|label=thm5}}
$T_0(t)$ を $X$ 上の $C_0$-半群、$A_0$ を $T_0(t)$ の無限小生成作用素とし、$X$ は $T_0(t)$ に関して $\odot$-回帰的であるとする。$B\colon X \to X^{\odot *}$ を有界線形作用素とする。このとき、$X$ 上の $C_0$-半群 $T(t)$ で、variation-of-constants formula
$$T(t)x = T_0(t)x + \int_0^t T_0^{\odot *}(t-s) BT(s)x ds,\ x\in X, t\geq 0$$
を任意の$x \in X, t \geq 0$ についてみたすものが唯一つ存在する。さらに、$T_0(t)$ が以下の条件
$$\| T(t) \| \leq Me^{\omega t},\ M \geq 1,\ \omega \in \R$$
をみたすならば、
$$\| T(t) \| \leq Me^{\bar\omega t},\ t\geq 0$$
が成り立つ。ここで $\bar\omega = \omega + M \| B \|$ である。
{{begin|proof|display=''Proof.''|collapsible=1|collapsed=1}}

{{end|proof}}

定理5は抽象的Cauchy問題 $u^\prime (t)=A_0u(t)$ の解がわかっているときに、摂動項の加わった $u^\prime (t) = (A_0 + B)u(t)$ の解を考察する道具を与える。

== 一般の $\odot$-adjoint space ==
最後にHille, Phillipsによるより一般的な $\odot$-adjoint spaceの定義も述べておく。
{{theorem|type=Def|label=def}}
$X$ をBanach空間とする。閉作用素 $U\colon X\to X$ が以下の2条件
* (i) $D(U)$ は $X$ において稠密
* (ii) $\lambda \to \infty$において$\|(\lambda I - A)^{-1}\| = O(1/\lambda)$
をみたすとき、$U$ を $\odot$-operatorという。$\odot$-operator $U$ が与えられたとき、$X$ の共役空間 $X^*$ の部分空間
$$\overline{D(U^*)} \subset X^*$$
を$U$ に関する $X$ の $\odot$-adjoint spaceといい、$X^\odot$ と書く。

線形作用素 $A$ が $C_0$-半群の無限小生成作用素ならば $A$ は $\odot$-operatorであり、命題1より定義4と定義5による $\odot$-adjoint spaceは一致する。

== 参考文献 ==
* Clement, Heijmans, Angenent, van Duijn, de Pagter (1987), “One-Paramter Semigroups”, CWI Monograph
* Diekmann, van Gils, Verduyn Lunel, Walther (1994), “Delay Equations Functional-, Complex-, and Nonlinear Analysis”, Springer-Verlag
* Hille, Phillips (1957), “Functional Analysis and Semi-Groups”, American Mathematical Society Colloquium Publications
* de Pagter (1989), “A Characterization of Sun-Reflexivity”, Math. Ann. 283, 511–518

== 関連項目 ==

$\odot$-回帰的

2022-03-27T09:40:24Z

Saitory: 証明 → Proof.

{{begin |preamble }}
{{begin |preamble}}
{{newtheorem |type=Thm |counter=0 |display='''定理''' }}
{{newtheorem |type=Conj |display='''予想''' |family=Thm }}
{{newtheorem |type=Cor |display='''系''' |family=Cor }}
{{newtheorem |type=Def |display='''定義''' |family=Def }}
{{newtheorem |type=Prop |display='''命題''' |family=Prop }}
{{newtheorem |type=Lem |display='''補題''' |family=Lem }}
{{newtheorem |type=Ex |display='''例''' |family=Ex }}
{{newtheorem |type=Rem |display='''注意''' |family=Rem }}
{{newtheorem |type=proof |counter=-1 |display='''証明''' }}
$\newcommand{\N}{\mathbb{N}}$
$\newcommand{\Z}{\mathbb{Z}}$
$\newcommand{\Q}{\mathbb{Q}}$
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\newcommand\eps\varepsilon{}
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＜＜執筆中＞＞
== $\odot$-回帰的 ==
'''$\odot$-回帰的(サン-かいきてき、sun-reflexive)'''な空間とは、共役空間のある部分空間を取り出す操作を2回行うと元に戻るようなBanach空間のことである。回帰的でないBanach空間も $\odot$-回帰的であることがある。

「ある部分空間」の決め方は、あらかじめ $\odot$-operatorとよばれる閉作用素を1つ選ぶことによって定まる。とくに選んだ$\odot$-operatorがある $C_0$-半群の無限小生成作用素である場合は重要であり、抽象的Cauchy問題の軟解の構成への応用が知られている。本記事では主として $C_0$-半群の無限小生成作用素について $\odot$-回帰的な空間について述べる。

== 定義 ==
=== 定義のための準備1: $\odot$-adjoint space ===
{{theorem|type=Def|label=def1}}
$X$ をBanach空間、$T(t)$ を $X$ 上の $C_0$-半群とする。$X^*$ の部分空間
$$X^\odot = \left\{ x^* \in X^* \middle| \lim_{h \downarrow 0} \| T^*(h)x^* - x^*\| = 0 \right\}$$
を $X$ の( $T(t)$ に関する) $\odot$-adjoint spaceという。ここで $T^*(t)$ とは共役空間 $X^*$ における $T(t)$ の共役作用素である。

{{theorem|type=Prop|label=prop1}}
$X$ の( $T(t)$ に関する) $\odot$-adjoint space $X^\odot$ について次が成り立つ：
* (i) $X^\odot$ は $T^*(t)$-不変な $X^*$ の閉部分空間である。
* (ii) $X^\odot = \overline{D(A^*)}$ である。ここで $A^*$ は $T(t)$ の無限小生成作用素 $A$ の共役作用素であり、$T(t)$ のweak $*$ generatorに等しい。
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命題1より、$T^*(t)$ の定義域を $X^\odot$ に制限することで $X^\odot$ 上の $C_0$-半群 $T^\odot(t)$ が得られる。これの無限小生成作用素を $A^\odot$ とおく。

{{theorem|type=Thm|label=thm1}}
$A^\odot$ は $X^\odot$ における $A^*$ の部分(part)である。すなわち、
$$D(A^\odot) = \{ x^* \in D(A^*) | A^* x^* \in X^\odot \},\ A^\odot x^* = A^* x^*$$
である。
{{begin|proof|display=''Proof.''|collapsible=1|collapsed=1}}

{{end|proof}}

=== 定義のための準備2: $X^{\odot \odot}$ への埋め込み ===
$X^\odot$ 上の $C_0$-半群 $T^\odot(t)$ が定義されたので、再び $\odot$-adjoint spaceをとって $X^{\odot \odot} = (X^\odot)^\odot$ を定義することができる。$X^{\odot *}$ 上に $T^\odot(t)$ の共役作用素 $T^{\odot *}(t)$ の定義域を $X^{\odot \odot}$ に制限すれば、$X^{\odot \odot}$ 上の $C_0$-半群 $T^{\odot \odot}(t)$ が定義される。いま、線形写像 $j\colon X \to X^{\odot *}$ を以下で定義する。

{{theorem|type=Def|label=def2}}
$$\langle j(x), x^\odot \rangle = \langle x^\odot, x\rangle$$

$X^\odot$ は $X^*$ においてweak $*$ の意味で稠密であることから $j$ の単射性がしたがう。

{{theorem|type=Def|label=def3}}
$X$ のノルム $\| \cdot \|^\prime$ を、
$$\| x \|^\prime = \sup \{ |\langle x^\odot, x\rangle | \colon x^\odot \in X^\odot, \| x^\odot \| \leq 1 \}$$
で定める。

{{theorem|type=Lem|label=lem1}}
* (i) 任意の $x^* \in X^*$ と $h > 0$ について、
$$\int_0^h T^*(s)x^* ds \in D(A^*)$$
かつ
$$A^* \int_0^h T^*(s)x^* ds = T^*(h)x^* - x^*$$
* (ii) 次が成り立つ：
$$\left\| \int_0^h T^*(s) x^* ds \right\| \leq \frac{M}{\omega} (e^{\omega h}-1) \|x^*\|$$
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{{theorem|type=Lem|label=lem2}}
$$\| x \|^\prime \leq \| x \| \leq M \| x \|^\prime$$
が成り立つ。ここで $M$ はある $\omega$ について $\| T(t) \| \leq Me^{\omega t}$ となるようにとる。
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{{theorem|type=Cor|label=cor1}}
$j$ は $X$ から $X^{\odot *}$ への連続な埋め込みである。また、 $X$ にノルム $\| \cdot \|^\prime$ を入れると $j$ はノルムを保存する。

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* (i) $jT(t) = T^{\odot *}j.$
* (ii) $j(X) \subset X^{\odot \odot}.$
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=== 定義 ===
命題2より、$j$ は $X$ から $X^{\odot \odot}$ への埋め込みであり、$x \in X$ と $j(x) \in X^{\odot \odot}$ を同一視すれば $X \subset X^{\odot \odot}$ である。$\odot$-回帰的な空間とは、$X = X^{\odot \odot}$ であるようなBanach空間のことである。

{{theorem|type=Def|label=def4}}
$j(X) = X^{\odot \odot}$ のとき、$X$ は $T(t)$ に関して $\odot$-回帰的であるという。

== 例 ==
{{theorem|type=Ex|label=ex1}}
$X$ が回帰的ならば $\odot$-回帰的でもある。

{{theorem|type=Ex|label=ex2}}
$X=C(S^1)$, $T(t)$ :shift semigroupのとき $X$ は $\odot$-回帰的である。

{{theorem|type=Ex|label=ex3}}
$X=C^0(\R)$, $T(t)$ :shift semigroupのとき $X$ は $\odot$-回帰的でない。

== $\odot$-回帰的であるための必要十分条件 ==
{{theorem|type=Thm|label=thm2}}
Banach空間 $X$ が $C_0$-半群 $T(t)$ に関して $\odot$-回帰的となるためには、$X^\odot$ が $T^\odot(t)$ に関して $\odot$-回帰的となることが必要かつ十分である。
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{{theorem|type=Thm|label=thm3}}(Phillips)
Banach空間 $X$ が $C_0$-半群 $T(t)$ に関して $\odot$-回帰的となるためには、$T(t)$ の無限小生成作用素 $A$ のレゾルベント $(\lambda I-A)^{-1}$ が $\sigma(X, X^\odot)$-コンパクトとなることが必要かつ十分である。
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de Pagter によって、より強い次の結果が与えられている。
{{theorem|type=Thm|label=thm4}}(de Pagter)
Banach空間 $X$ が $C_0$-半群 $T(t)$に関して $\odot$-回帰的となるためには、$T(t)$ の無限小生成作用素 $A$ のレゾルベント $(\lambda I-A)^{-1}$ が弱コンパクトとなることが必要かつ十分である。
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== 抽象的Cauchy問題への応用 ==
{{theorem|type=Thm|label=thm5}}
$T_0(t)$ を $X$ 上の $C_0$-半群、$A_0$ を $T(t)$ の無限小生成作用素とし、$X$ は $T_0(t)$ に関して $\odot$-回帰的であるとする。$B\colon X \to X^{\odot *}$ を有界線形作用素とする。このとき、$X$ 上の $C_0$-半群 $T(t)$ で、variation-of-constants formula
$$T(t)x = T_0(t)x + \int_0^t T_0^{\odot *}(t-s) BT(s)x ds,\ x\in X, t\geq 0$$
を任意の$x \in X, t \geq 0$ についてみたすものが唯一つ存在する。さらに、$T_0(t)$ が以下の条件
$$\| T(t) \| \leq Me^{\omega t},\ M \geq 1,\ \omega \in \R$$
をみたすならば、
$$\| T(t) \| \leq Me^{\bar\omega t},\ t\geq 0$$
が成り立つ。ここで $\bar\omega = \omega + M \| B \|$ である。
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{{end|proof}}

定理5は抽象的Cauchy問題 $u^\prime (t)=A_0u(t)$ の解がわかっているときに、摂動項の加わった $u^\prime (t) = (A_0 + B)u(t)$ の解を考察する道具を与える。

== 一般の $\odot$-adjoint space ==
最後にHille, Phillipsによるより一般的な $\odot$-adjoint spaceの定義も述べておく。
{{theorem|type=Def|label=def}}
$X$ をBanach空間とする。閉作用素 $U\colon X\to X$ が以下の2条件
* (i) $D(U)$ は $X$ において稠密
* (ii) $\lambda \to \infty$において$\|(\lambda I - A)^{-1}\| = O(1/\lambda)$
をみたすとき、$U$ を $\odot$-operatorという。$\odot$-operator $U$ が与えられたとき、$X$ の共役空間 $X^*$ の部分空間
$$\overline{D(U^*)} \subset X^*$$
を$U$ に関する $X$ の $\odot$-adjoint spaceといい、$X^\odot$ と書く。

線形作用素 $A$ が $C_0$-半群の無限小生成作用素ならば $A$ は $\odot$-operatorであり、命題1より定義4と定義5による $\odot$-adjoint spaceは一致する。

== 参考文献 ==
* Clement, Heijmans, Angenent, van Duijn, de Pagter (1987), “One-Paramter Semigroups”, CWI Monograph
* Diekmann, van Gils, Verduyn Lunel, Walther (1994), “Delay Equations Functional-, Complex-, and Nonlinear Analysis”, Springer-Verlag
* Hille, Phillips (1957), “Functional Analysis and Semi-Groups”, American Mathematical Society Colloquium Publications
* de Pagter (1989), “A Characterization of Sun-Reflexivity”, Math. Ann. 283, 511–518

== 関連項目 ==

$\odot$-回帰的

2022-03-27T09:26:21Z

Saitory: 誤記修正

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{{begin |preamble}}
{{newtheorem |type=Thm |counter=0 |display='''定理''' }}
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{{newtheorem |type=Cor |display='''系''' |family=Cor }}
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{{newtheorem |type=proof |counter=-1 |display='''証明''' }}
$\newcommand{\N}{\mathbb{N}}$
$\newcommand{\Z}{\mathbb{Z}}$
$\newcommand{\Q}{\mathbb{Q}}$
$\newcommand{\R}{\mathbb{R}}$
$\newcommand{\C}{\mathbb{C}}$
$\newcommand{\K}{\mathbb{K}}$
$\newcommand{\abs}[1]{\left\lvert#1\right\rvert}$
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＜＜執筆中＞＞
== $\odot$-回帰的 ==
'''$\odot$-回帰的(サン-かいきてき、sun-reflexive)'''な空間とは、共役空間のある部分空間を取り出す操作を2回行うと元に戻るようなBanach空間のことである。回帰的でないBanach空間も $\odot$-回帰的であることがある。

「ある部分空間」の決め方は、あらかじめ $\odot$-operatorとよばれる閉作用素を1つ選ぶことによって定まる。とくに選んだ$\odot$-operatorがある $C_0$-半群の無限小生成作用素である場合は重要であり、抽象的Cauchy問題の軟解の構成への応用が知られている。本記事では主として $C_0$-半群の無限小生成作用素について $\odot$-回帰的な空間について述べる。

== 定義 ==
=== 定義のための準備1: $\odot$-adjoint space ===
{{theorem|type=Def|label=def1}}
$X$ をBanach空間、$T(t)$ を $X$ 上の $C_0$-半群とする。$X^*$ の部分空間
$$X^\odot = \left\{ x^* \in X^* \middle| \lim_{h \downarrow 0} \| T^*(h)x^* - x^*\| = 0 \right\}$$
を $X$ の( $T(t)$ に関する) $\odot$-adjoint spaceという。ここで $T^*(t)$ とは共役空間 $X^*$ における $T(t)$ の共役作用素である。

{{theorem|type=Prop|label=prop1}}
$X$ の( $T(t)$ に関する) $\odot$-adjoint space $X^\odot$ について次が成り立つ：
* (i) $X^\odot$ は $T^*(t)$-不変な $X^*$ の閉部分空間である。
* (ii) $X^\odot = \overline{D(A^*)}$ である。ここで $A^*$ は $T(t)$ の無限小生成作用素 $A$ の共役作用素であり、$T(t)$ のweak $*$ generatorに等しい。
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命題1より、$T^*(t)$ の定義域を $X^\odot$ に制限することで $X^\odot$ 上の $C_0$-半群 $T^\odot(t)$ が得られる。これの無限小生成作用素を $A^\odot$ とおく。

{{theorem|type=Thm|label=thm1}}
$A^\odot$ は $X^\odot$ における $A^*$ の部分(part)である。すなわち、
$$D(A^\odot) = \{ x^* \in D(A^*) | A^* x^* \in X^\odot \},\ A^\odot x^* = A^* x^*$$
である。
{{begin|proof|display=''証明''|collapsible=1|collapsed=1}}

{{end|proof}}

=== 定義のための準備2: $X^{\odot \odot}$ への埋め込み ===
$X^\odot$ 上の $C_0$-半群 $T^\odot(t)$ が定義されたので、再び $\odot$-adjoint spaceをとって $X^{\odot \odot} = (X^\odot)^\odot$ を定義することができる。$X^{\odot *}$ 上に $T^\odot(t)$ の共役作用素 $T^{\odot *}(t)$ の定義域を $X^{\odot \odot}$ に制限すれば、$X^{\odot \odot}$ 上の $C_0$-半群 $T^{\odot \odot}(t)$ が定義される。いま、線形写像 $j\colon X \to X^{\odot *}$ を以下で定義する。

{{theorem|type=Def|label=def2}}
$$\langle j(x), x^\odot \rangle = \langle x^\odot, x\rangle$$

$X^\odot$ は $X^*$ においてweak $*$ の意味で稠密であることから $j$ の単射性がしたがう。

{{theorem|type=Def|label=def3}}
$X$ のノルム $\| \cdot \|^\prime$ を、
$$\| x \|^\prime = \sup \{ |\langle x^\odot, x\rangle | \colon x^\odot \in X^\odot, \| x^\odot \| \leq 1 \}$$
で定める。

{{theorem|type=Lem|label=lem1}}
* (i) 任意の $x^* \in X^*$ と $h > 0$ について、
$$\int_0^h T^*(s)x^* ds \in D(A^*)$$
かつ
$$A^* \int_0^h T^*(s)x^* ds = T^*(h)x^* - x^*$$
* (ii) 次が成り立つ：
$$\left\| \int_0^h T^*(s) x^* ds \right\| \leq \frac{M}{\omega} (e^{\omega h}-1) \|x^*\|$$
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{{end|proof}}

{{theorem|type=Lem|label=lem2}}
$$\| x \|^\prime \leq \| x \| \leq M \| x \|^\prime$$
が成り立つ。ここで $M$ はある $\omega$ について $\| T(t) \| \leq Me^{\omega t}$ となるようにとる。
{{begin|proof|display=''証明''|collapsible=1|collapsed=1}}

{{end|proof}}

{{theorem|type=Cor|label=cor1}}
$j$ は $X$ から $X^{\odot *}$ への連続な埋め込みである。また、 $X$ にノルム $\| \cdot \|^\prime$ を入れると $j$ はノルムを保存する。

{{theorem|type=Prop|label=prop2}}
* (i) $jT(t) = T^{\odot *}j.$
* (ii) $j(X) \subset X^{\odot \odot}.$
{{begin|proof|display=''証明''|collapsible=1|collapsed=1}}

{{end|proof}}

=== 定義 ===
命題2より、$j$ は $X$ から $X^{\odot \odot}$ への埋め込みであり、$x \in X$ と $j(x) \in X^{\odot \odot}$ を同一視すれば $X \subset X^{\odot \odot}$ である。$\odot$-回帰的な空間とは、$X = X^{\odot \odot}$ であるようなBanach空間のことである。

{{theorem|type=Def|label=def4}}
$j(X) = X^{\odot \odot}$ のとき、$X$ は $T(t)$ に関して $\odot$-回帰的であるという。

== 例 ==
{{theorem|type=Ex|label=ex1}}
$X$ が回帰的ならば $\odot$-回帰的でもある。

{{theorem|type=Ex|label=ex2}}
$X=C(S^1)$, $T(t)$ :shift semigroupのとき $X$ は $\odot$-回帰的である。

{{theorem|type=Ex|label=ex3}}
$X=C^0(\R)$, $T(t)$ :shift semigroupのとき $X$ は $\odot$-回帰的でない。

== $\odot$-回帰的であるための必要十分条件 ==
{{theorem|type=Thm|label=thm2}}
Banach空間 $X$ が $C_0$-半群 $T(t)$ に関して $\odot$-回帰的となるためには、$X^\odot$ が $T^\odot(t)$ に関して $\odot$-回帰的となることが必要かつ十分である。
{{begin|proof|display=''証明''|collapsible=1|collapsed=1}}

{{end|proof}}

{{theorem|type=Thm|label=thm3}}(Phillips)
Banach空間 $X$ が $C_0$-半群 $T(t)$ に関して $\odot$-回帰的となるためには、$T(t)$ の無限小生成作用素 $A$ のレゾルベント $(\lambda I-A)^{-1}$ が $\sigma(X, X^\odot)$-コンパクトとなることが必要かつ十分である。
{{begin|proof|display=''証明''|collapsible=1|collapsed=1}}

{{end|proof}}

de Pagter によって、より強い次の結果が与えられている。
{{theorem|type=Thm|label=thm4}}(de Pagter)
Banach空間 $X$ が $C_0$-半群 $T(t)$に関して $\odot$-回帰的となるためには、$T(t)$ の無限小生成作用素 $A$ のレゾルベント $(\lambda I-A)^{-1}$ が弱コンパクトとなることが必要かつ十分である。
{{begin|proof|display=''証明''|collapsible=1|collapsed=1}}

{{end|proof}}

== 抽象的Cauchy問題への応用 ==
{{theorem|type=Thm|label=thm5}}
$T_0(t)$ を $X$ 上の $C_0$-半群、$A_0$ を $T(t)$ の無限小生成作用素とし、$X$ は $T_0(t)$ に関して $\odot$-回帰的であるとする。$B\colon X \to X^{\odot *}$ を有界線形作用素とする。このとき、$X$ 上の $C_0$-半群 $T(t)$ で、variation-of-constants formula
$$T(t)x = T_0(t)x + \int_0^t T_0^{\odot *}(t-s) BT(s)x ds,\ x\in X, t\geq 0$$
を任意の$x \in X, t \geq 0$ についてみたすものが唯一つ存在する。さらに、$T_0(t)$ が以下の条件
$$\| T(t) \| \leq Me^{\omega t},\ M \geq 1,\ \omega \in \R$$
をみたすならば、
$$\| T(t) \| \leq Me^{\bar\omega t},\ t\geq 0$$
が成り立つ。ここで $\bar\omega = \omega + M \| B \|$ である。
{{begin|proof|display=''証明''|collapsible=1|collapsed=1}}

{{end|proof}}

定理5は抽象的Cauchy問題 $u^\prime (t)=A_0u(t)$ の解がわかっているときに、摂動項の加わった $u^\prime (t) = (A_0 + B)u(t)$ の解を考察する道具を与える。

== 一般の $\odot$-adjoint space ==
最後にHille, Phillipsによるより一般的な $\odot$-adjoint spaceの定義も述べておく。
{{theorem|type=Def|label=def}}
$X$ をBanach空間とする。閉作用素 $U\colon X\to X$ が以下の2条件
* (i) $D(U)$ は $X$ において稠密
* (ii) $\lambda \to \infty$において$\|(\lambda I - A)^{-1}\| = O(1/\lambda)$
をみたすとき、$U$ を $\odot$-operatorという。$\odot$-operator $U$ が与えられたとき、$X$ の共役空間 $X^*$ の部分空間
$$\overline{D(U^*)} \subset X^*$$
を$U$ に関する $X$ の $\odot$-adjoint spaceといい、$X^\odot$ と書く。

線形作用素 $A$ が $C_0$-半群の無限小生成作用素ならば $A$ は $\odot$-operatorであり、命題1より定義4と定義5による $\odot$-adjoint spaceは一致する。

== 参考文献 ==
* Clement, Heijmans, Angenent, van Duijn, de Pagter (1987), “One-Paramter Semigroups”, CWI Monograph
* Diekmann, van Gils, Verduyn Lunel, Walther (1994), “Delay Equations Functional-, Complex-, and Nonlinear Analysis”, Springer-Verlag
* Hille, Phillips (1957), “Functional Analysis and Semi-Groups”, American Mathematical Society Colloquium Publications
* de Pagter (1989), “A Characterization of Sun-Reflexivity”, Math. Ann. 283, 511–518

== 関連項目 ==

$\odot$-回帰的

2022-03-27T09:24:31Z

Saitory: 記事作成

{{begin |preamble }}
{{begin |preamble}}
{{newtheorem |type=Thm |counter=0 |display='''定理''' }}
{{newtheorem |type=Conj |display='''予想''' |family=Thm }}
{{newtheorem |type=Cor |display='''系''' |family=Cor }}
{{newtheorem |type=Def |display='''定義''' |family=Def }}
{{newtheorem |type=Prop |display='''命題''' |family=Prop }}
{{newtheorem |type=Lem |display='''補題''' |family=Lem }}
{{newtheorem |type=Ex |display='''例''' |family=Ex }}
{{newtheorem |type=Rem |display='''注意''' |family=Rem }}
{{newtheorem |type=proof |counter=-1 |display='''証明''' }}
$\newcommand{\N}{\mathbb{N}}$
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$\newcommand{\K}{\mathbb{K}}$
$\newcommand{\abs}[1]{\left\lvert#1\right\rvert}$
$\newcommand{\wenvert}[1]{\left\lvert\left\lvert#1\right\rvert\right\rvert}$
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$\newcommand{\mathmod}[1]{\ \left(\mathrm{mod}\ #1\right)}$
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<math>
\newcommand\eps\varepsilon{}
</math>
{{end |preamble }}{{TOC |limit=3 }} 
＜＜執筆中＞＞
== $\odot$-回帰的 ==
'''$\odot$-回帰的(サン-かいきてき、sun-reflexive)'''な空間とは、共役空間のある部分空間を取り出す操作を2回行うと元に戻るようなBanach空間のことである。回帰的でないBanach空間も $\odot$-回帰的であることがある。

「ある部分空間」の決め方は、あらかじめ $\odot$-operatorとよばれる閉作用素を1つ選ぶことによって定まる。とくに選んだ$\odot$-operatorがある $C_0$-半群の無限小生成作用素である場合は重要であり、抽象的Cauchy問題の軟解の構成への応用が知られている。本記事では主として $C_0$-半群の無限小生成作用素について $\odot$-回帰的な空間について述べる。

== 定義 ==
=== 定義のための準備1: $\odot$-adjoint space ===
{{theorem|type=Def|label=def1}}
$X$ をBanach空間、$T(t)$ を $X$ 上の $C_0$-半群とする。$X^*$ の部分空間
$$X^\odot = \left\{ x^* \in X^* \middle| \lim_{h \downarrow 0} \| T^*(h)x^* - x^*\| = 0 \right\}$$
を $X$ の( $T(t)$ に関する) $\odot$-adjoint spaceという。ここで $T^*(t)$ とは共役空間 $X^*$ における $T(t)$ の共役作用素である。

{{theorem|type=Prop|label=prop1}}
$X$ の( $T(t)$ に関する) $\odot$-adjoint space $X^\odot$ について次が成り立つ：
* (i) $X^\odot$ は $T^*(t)$-不変な $X^*$ の閉部分空間である。
* (ii) $X^\odot = \overline{D(A^*)}$ である。ここで $A^*$ は $T(t)$ の無限小生成作用素 $A$ の共役作用素であり、$T(t)$ のweak $*$ generatorに等しい。
{{begin|proof|display=''証明''|collapsible=1|collapsed=1}}

{{end|proof}}

命題1より、$T^*(t)$ の定義域を $X^\odot$ に制限することで $X^\odot$ 上の $C_0$-半群 $T^\odot(t)$ が得られる。これの無限小生成作用素を $A^\odot$ とおく。

{{theorem|type=Thm|label=thm1}}
$A^\odot$ は $X^\odot$ における $A^*$ の部分(part)である。すなわち、
$$D(A^\odot) = \{ x^* \in D(A^*) | A^* x^* \in X^\odot \},\ A^\odot x^* = A^* x^*$$
である。
{{begin|proof|display=''証明''|collapsible=1|collapsed=1}}

{{end|proof}}

=== 定義のための準備2: $X^{\odot \odot}$ への埋め込み ===
$X^\odot$ 上の $C_0$-半群 $T^\odot(t)$ が定義されたので、再び $\odot$-adjoint spaceをとって $X^{\odot \odot} = (X^\odot)^\odot$ を定義することができる。$X^{\odot *}$ 上に $T^\odot(t)$ の共役作用素 $T^{\odot *}(t)$ の定義域を $X^{\odot \odot}$ に制限すれば、$X^{\odot \odot}$ 上の $C_0$-半群 $T^{\odot \odot}(t)$ が定義される。いま、線形写像 $j\colon X \to X^{\odot *}$ を以下で定義する。

{{theorem|type=Def|label=def2}}
$$\langle j(x), x^\odot \rangle = \langle x^\odot, x\rangle$$

$X^\odot$ は $X^*$ においてweak $*$ の意味で稠密であることから $j$ の単射性がしたがう。

{{theorem|type=Def|label=def3}}
$X$ のノルム $\| \cdot \|^\prime$ を、
$$\| x \|^\prime = \sup \{ |\langle x^\odot, x\rangle | \colon x^\odot \in X^\odot, \| x^\odot \| \leq 1 \}$$
で定める。

{{theorem|type=Lem|label=lem1}}
* (i) 任意の $x^* \in X^*$ と $h > 0$ について、
$$\int_0^h T^*(s)x^* ds \in D(A^*)$$
かつ
$$A^* \int_0^h T^*(s)x^* ds = T^*(h)x^* - x^*$$
* (ii) 次が成り立つ：
$$\left\| \int_0^h T^*(s) x^* ds \right\| \leq \frac{M}{\omega} (e^{\omega h}-1) \|x^*\|$$
{{begin|proof|display=''証明''|collapsible=1|collapsed=1}}

{{end|proof}}

{{theorem|type=Lem|label=lem2}}
$$\| x \|^\prime \leq \| x \| \leq M \| x \|^\prime$$
が成り立つ。ここで $M$ はある $\omega$ について $\| T(t) \| \leq Me^{\omega t}$ となるようにとる。
{{begin|proof|display=''証明''|collapsible=1|collapsed=1}}

{{end|proof}}

{{theorem|type=Cor|label=cor1}}
$j$ は $X$ から $X^{\odot *}$ への連続な埋め込みである。また、 $X$ にノルム $\| \cdot \|^\prime$ を入れると $j$ はノルムを保存する。

{{theorem|type=Prop|label=prop2}}
* (i) $jT(t) = T^{\odot *}j.$
* (ii) $j(X) \subset X^{\odot \odot}.$
{{begin|proof|display=''証明''|collapsible=1|collapsed=1}}

{{end|proof}}

=== 定義 ===
命題2より、$j$ は $X$ から $X^{\odot \odot}$ への埋め込みであり、$x \in X$ と $j(x) \in X^{\odot \odot}$ を同一視すれば $X \subset X^{\odot \odot}$ である。$\odot$-回帰的な空間とは、$X = X^{\odot \odot}$ であるようなBanach空間のことである。

{{theorem|type=Def|label=def4}}
$j(X) = X^{\odot \odot}$ のとき、$X$ は $T(t)$ に関して $\odot$-回帰的であるという。

== 例 ==
{{theorem|type=Ex|label=ex1}}
$X$ が回帰的ならば $\odot$-回帰的でもある。

{{theorem|type=Ex|label=ex2}}
$X=C(S^1)$, $T(t)$ :shift semigroupのとき $X$ は $\odot$-回帰的である。

{{theorem|type=Ex|label=ex3}}
$X=C^0(\R)$, $T(t)$ :shift semigroupのとき $X$ は $\odot$-回帰的でない。

== $\odot$-回帰的であるための必要十分条件 ==
{{theorem|type=Thm|label=thm2}}
Banach空間 $X$ が $C_0$-半群 $T(t)$ に関して $\odot$-回帰的となるためには、$X^\odot$ が $T^\odot(t)$ に関して $\odot$-回帰的となることが必要かつ十分である。
{{begin|proof|display=''証明''|collapsible=1|collapsed=1}}

{{end|proof}}

{{theorem|type=Thm|label=thm3}}(Phillips)
Banach空間 $X$ が $C_0$-半群 $T(t)$ に関して $\odot$-回帰的となるためには、$T(t)$ の無限小生成作用素 $A$ のレゾルベント $(\lambda I-A)^{-1}$ が $\sigma(X, X^\odot)$-コンパクトとなることが必要かつ十分である。
{{begin|proof|display=''証明''|collapsible=1|collapsed=1}}

{{end|proof}}

de Pagter によって、より強い次の結果が与えられている。
{{theorem|type=Thm|label=thm4}}(de Pagter)
Banach空間 $X$ が $C_0$-半群 $T(t)$に関して $\odot$-回帰的となるためには、$T(t)$ の無限小生成作用素 $A$ のレゾルベント $(\lambda I-A)^{-1}$ が弱コンパクトとなることが必要かつ十分である。
{{begin|proof|display=''証明''|collapsible=1|collapsed=1}}

{{end|proof}}

== 抽象的Cauchy問題への応用 ==
{{theorem|type=Thm|label=thm5}}
$T_0(t)$ を $X$ 上の $C_0$-半群、$A_0$ を $T(t)$ の無限小生成作用素とし、$X$ は $T_0(t)$ に関して $\odot$-回帰的であるとする。$B\colon X \to X^{\odot *}$ を有界線形作用素とする。このとき、$X$ 上の $C_0$-半群 $T(t)$ で、variation-of-constants formula
$$T(t)x = T_0(t)x + \int_0^t T_0^{\odot *}(t-s) BT(s)x ds,\ x\in X, t\geq 0$$
を任意の$x \in X, t \geq 0$ についてみたすものが唯一つ存在する。さらに、$T_0(t)$ が以下の条件
$$\| T(t) \| \leq Me^{\omega t},\ M \geq 1,\ \omega \in \R$$
をみたすならば、
$$\| T(t) \| \leq Me^{\bar\omega t},\ t\geq 0$$
が成り立つ。ここで $\bar\omega = \omega + M \| B \|$ である。
{{begin|proof|display=''証明''|collapsible=1|collapsed=1}}

{{end|proof}}

定理5は抽象的Cauchy問題 $u^\prime (t)=A_0u(t)$ の解がわかっているときに、摂動項の加わった $u^\prime (t) = (A_0 + B)u(t)$ の解を考察する道具を与える。

== 一般の $\odot$-回帰的空間 ==
最後にHille, Phillipsによるより一般的な $\odot$-回帰的空間の定義も述べておく。
{{theorem|type=Def|label=def}}
$X$ をBanach空間とする。閉作用素 $U\colon X\to X$ が以下の2条件
* (i) $D(U)$ は $X$ において稠密
* (ii) $\lambda \to \infty$において$\|(\lambda I - A)^{-1}\| = O(1/\lambda)$
をみたすとき、$U$ を $\odot$-operatorという。$\odot$-operator $U$ が与えられたとき、$X$ の共役空間 $X^*$ の部分空間
$$\overline{D(U^*)} \subset X^*$$
を$U$ に関する $X$ の $\odot$-adjoint spaceといい、$X^\odot$ と書く。

線形作用素 $A$ が $C_0$-半群の無限小生成作用素ならば $A$ は $\odot$-operatorであり、命題1より定義4と定義5による $\odot$-adjoint spaceは一致する。

== 参考文献 ==
* Clement, Heijmans, Angenent, van Duijn, de Pagter (1987), “One-Paramter Semigroups”, CWI Monograph
* Diekmann, van Gils, Verduyn Lunel, Walther (1994), “Delay Equations Functional-, Complex-, and Nonlinear Analysis”, Springer-Verlag
* Hille, Phillips (1957), “Functional Analysis and Semi-Groups”, American Mathematical Society Colloquium Publications
* de Pagter (1989), “A Characterization of Sun-Reflexivity”, Math. Ann. 283, 511–518

== 関連項目 ==

誤差(数値解析)

2022-03-25T04:45:17Z

Saitory: /* 桁落ち */ 再び誤植を修正

[[Category:数値解析]]
{{begin |preamble }}
{{begin |preamble}}
{{newtheorem |type=Thm |counter=0 |display='''定理''' }}
{{newtheorem |type=Conj |display='''予想''' |family=Thm }}
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<math>
\newcommand\eps\varepsilon{}
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{{end |preamble }}{{TOC |limit=3 }} 
== 誤差 ==
'''誤差(ごさ、error)'''とは一般に、取り扱いたい数の真の値と、観測ないし計算によって実際に得られた値との差のことをいう。数値解析においては、扱いたい数が一般の実数である一方で、コンピュータには有限桁の小数の有限回の計算しか扱えない以上、誤差の存在を無視するわけにはいかない。

=== 一般的な定義 ===
$a$が真の値$x$の近似値であるとき、$e = x - a$を$a$の誤差という。誤差の大きさ$|e|$を$a$の絶対誤差、$|e|\leq \eps$をみたす$\eps$を誤差$e$の限界という。また、絶対誤差と真の値の比
$$ e_R = \frac{|x-a|}{x} $$
を$a$の相対誤差という。

== 丸め誤差と打ち切り誤差 ==

数値計算における誤差は、実数値を有限桁の小数で表現せざるをえないがために生じる丸め誤差と、極限を有限値で打ち切ったり近似式を用いたりすることによって生じる打ち切り誤差の2つにおおよそ分類される。

=== 丸め誤差 ===
コンピュータにおいて、実数$x$はそれに近い浮動小数点数$x_f$によって近似される。これを丸めといい、丸めによって生じる誤差を丸め誤差とよぶ。また、浮動小数点数の絶対値の最大値を$F_{\text{max}}$、最小値を$F_{\text{min}}$とおくとき、実数$x$が
$$F_{\text{min}} \leq x \leq F_{\text{max}}$$
と表される場合、浮動小数点数体系と丸めの方法によって定まる数$\eps_M$によって、
$$x_f = x(1 + \eps_x),\ |\eps_x| \leq \eps_M$$
が成立する。この$\eps_M$はマシンイプシロン、計算機イプシロンなどとよばれ、浮動小数点数による$x$の近似値$x_f$の相対誤差の限界を表す指標である。
実数$x$が$F_{\text{min}} \leq x \leq F_{\text{max}}$の範囲外にある場合は、$x$を近似する浮動小数点数が存在しないと考えるのが自然である。$|x|>F_{\text{max}}$のときオーバーフロー、$|x|<F_{\text{min}}$のときアンダーフローという。

=== 打ち切り誤差 ===

関数
$$f(x) = e^x = 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \cdots$$
の（有限回の四則演算で実行できる）近似式として、
$$f_n(x) = 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \cdots + \frac{x^n}{n!}$$
を用いた場合、関数$f(x)$に現れる無限級数を$n+1$個の和で打ち切ったことになる。このときに生じる誤差
$$e_T(x) = f(x) - f_n(x) = \frac{x^{n+1}e^c}{(n+1)!}\ (0 < c < x)$$
を打ち切り誤差という。

一般に関数$f$の計算に無限回の四則演算が必要である場合は、有限回の四則演算で値を求められる近似関数$f_a$を用いなければならない。また、実数$x$における値ではなく、浮動小数点による$x$の近似値$x_f$における値を求めるしかない。したがって、$f(x)$の近似値として$f_a(x_f)$を計算するしかない。さらに計算結果$f_a(x_f)$も丸められた結果、我々は$f_a(x_f)$の近似値$\tilde f_a(x_f)$を得ることになる。誤差を3つに分解して、
$$f(x) - \tilde f_a(x_f) = \{ f(x) - f(x_f) \} + \{ f(x_f) - f_a(x_f) \} + \{ f_a(x_f) - \tilde f_a(x_f) \}$$
と書くとき、右辺第一項を代入誤差もしくは伝播誤差という。第二項は打ち切り誤差である。第三項は生成された誤差という。

== 誤差によって生じる問題 ==

=== 桁落ち ===

差のきわめて小さい2つの数$x_1,x_2$の差を計算するとき、浮動小数点数による近似値を$a_1,a_2$とすると相対誤差$e_R$の大きさは
$$|e_R|=\frac{|(x_1-x_2)-(a_1-a_2)|}{|x_1-x_2|} \leq \frac{|x_1-a_1|+|x_2-a_2|}{|x_1-x_2|}$$
と見積もられるが、$x_1,x_2$が近いのでこの上からの評価は$a_1,a_2$の相対誤差の限界よりも大きい。つまり計算の精度が著しく低下してしまう。この現象を桁落ちという。

{{theorem|type=Ex|label=ex1}}
$h=10^{-16}$のとき、$\sqrt{1+h} - 1$を素朴に計算すると$0$を得てしまう。あらかじめ、分子の有理化
$$\sqrt{1+h} - 1 = \frac{h}{\sqrt{1+h} + 1}$$
を行ってから計算することで、正しい値の近似値$5 \times 10^{-17}$を得る。

=== 情報落ち ===

絶対値の大きな浮動小数点数$x_f$に絶対値の小さな浮動小数点数$y_f$を足すとき、$x_f+y_f$を丸めた結果が$x_f$に等しくなり、$y_f$の情報が反映されないことがある。この現象を情報落ちまたは積み残しなどとよぶ。

{{theorem|type=Ex|label=ex2}}
無限級数
$$S = \frac{1}{1^2} + \frac{1}{2^2} + \frac{1}{3^2} + \cdots = \frac{\pi^2}{6} = 1.6449340668 \dots$$
の項を最初の$n$項の和で打ち切って計算する。2進24桁の浮動小数点数で素朴に
$$\frac{1}{1^2} + \frac{1}{2^2} + \frac{1}{3^2} + \cdots + \frac{1}{n^2}$$
を左から計算すると、項数が$2^{12}=4096$を超えると情報落ちが生じ、項数を増やしても和が増加せず$1.6447253227 \dots$程度で打ち止めになってしまう。しかし和の順序を逆にして
$$\frac{1}{n^2} + \frac{1}{(n-1)^2} + \frac{1}{(n-2)^2} + \cdots + \frac{1}{1^2}$$
を計算すれば、小さい数同士の和から始まるので情報落ちが起きず、精度の良い近似値を得ることができる。

== 補足 ==

このように、数値計算において誤差はつきものであり、根本的に回避することは困難である。しかし、コンピュータを用いて計算結果を得たとき、せめてどのくらいの誤差の範囲に収まっているのか？何桁までが正しい値なのか？くらいは知りたいであろう。これを数値解の精度保証問題という。厳密に誤差の限界が得られるような数値計算は精度保証付き数値計算と呼ばれる。

== 参考文献 ==
* 山本哲朗『数値解析入門』
* 杉原正顕, 室田一雄『数値計算法の数理』

== 関連項目 ==
* [[数値解析]]

誤差(数値解析)

2022-03-25T04:44:40Z

Saitory: /* 桁落ち */ 誤植を修正

[[Category:数値解析]]
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== 誤差 ==
'''誤差(ごさ、error)'''とは一般に、取り扱いたい数の真の値と、観測ないし計算によって実際に得られた値との差のことをいう。数値解析においては、扱いたい数が一般の実数である一方で、コンピュータには有限桁の小数の有限回の計算しか扱えない以上、誤差の存在を無視するわけにはいかない。

=== 一般的な定義 ===
$a$が真の値$x$の近似値であるとき、$e = x - a$を$a$の誤差という。誤差の大きさ$|e|$を$a$の絶対誤差、$|e|\leq \eps$をみたす$\eps$を誤差$e$の限界という。また、絶対誤差と真の値の比
$$ e_R = \frac{|x-a|}{x} $$
を$a$の相対誤差という。

== 丸め誤差と打ち切り誤差 ==

数値計算における誤差は、実数値を有限桁の小数で表現せざるをえないがために生じる丸め誤差と、極限を有限値で打ち切ったり近似式を用いたりすることによって生じる打ち切り誤差の2つにおおよそ分類される。

=== 丸め誤差 ===
コンピュータにおいて、実数$x$はそれに近い浮動小数点数$x_f$によって近似される。これを丸めといい、丸めによって生じる誤差を丸め誤差とよぶ。また、浮動小数点数の絶対値の最大値を$F_{\text{max}}$、最小値を$F_{\text{min}}$とおくとき、実数$x$が
$$F_{\text{min}} \leq x \leq F_{\text{max}}$$
と表される場合、浮動小数点数体系と丸めの方法によって定まる数$\eps_M$によって、
$$x_f = x(1 + \eps_x),\ |\eps_x| \leq \eps_M$$
が成立する。この$\eps_M$はマシンイプシロン、計算機イプシロンなどとよばれ、浮動小数点数による$x$の近似値$x_f$の相対誤差の限界を表す指標である。
実数$x$が$F_{\text{min}} \leq x \leq F_{\text{max}}$の範囲外にある場合は、$x$を近似する浮動小数点数が存在しないと考えるのが自然である。$|x|>F_{\text{max}}$のときオーバーフロー、$|x|<F_{\text{min}}$のときアンダーフローという。

=== 打ち切り誤差 ===

関数
$$f(x) = e^x = 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \cdots$$
の（有限回の四則演算で実行できる）近似式として、
$$f_n(x) = 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \cdots + \frac{x^n}{n!}$$
を用いた場合、関数$f(x)$に現れる無限級数を$n+1$個の和で打ち切ったことになる。このときに生じる誤差
$$e_T(x) = f(x) - f_n(x) = \frac{x^{n+1}e^c}{(n+1)!}\ (0 < c < x)$$
を打ち切り誤差という。

一般に関数$f$の計算に無限回の四則演算が必要である場合は、有限回の四則演算で値を求められる近似関数$f_a$を用いなければならない。また、実数$x$における値ではなく、浮動小数点による$x$の近似値$x_f$における値を求めるしかない。したがって、$f(x)$の近似値として$f_a(x_f)$を計算するしかない。さらに計算結果$f_a(x_f)$も丸められた結果、我々は$f_a(x_f)$の近似値$\tilde f_a(x_f)$を得ることになる。誤差を3つに分解して、
$$f(x) - \tilde f_a(x_f) = \{ f(x) - f(x_f) \} + \{ f(x_f) - f_a(x_f) \} + \{ f_a(x_f) - \tilde f_a(x_f) \}$$
と書くとき、右辺第一項を代入誤差もしくは伝播誤差という。第二項は打ち切り誤差である。第三項は生成された誤差という。

== 誤差によって生じる問題 ==

=== 桁落ち ===

差のきわめて小さい2つの数$x_1,x_2$の差を計算するとき、浮動小数点数による近似値を$a_1,a_2$とすると相対誤差$e_R$の大きさは
$$|e_R|=\frac{|(x_1-x_2)-(a_1-a_2)|}{|x_1-x_2|} \leq \frac{|x_1-a_1|+|x_2-a_2|}{|x_1-x_2|}$$
と見積もられるが、$x,y$が近いのでこの上からの評価は$a_1,a_2$の相対誤差の限界よりも大きい。つまり計算の精度が著しく低下してしまう。この現象を桁落ちという。

{{theorem|type=Ex|label=ex1}}
$h=10^{-16}$のとき、$\sqrt{1+h} - 1$を素朴に計算すると$0$を得てしまう。あらかじめ、分子の有理化
$$\sqrt{1+h} - 1 = \frac{h}{\sqrt{1+h} + 1}$$
を行ってから計算することで、正しい値の近似値$5 \times 10^{-17}$を得る。

=== 情報落ち ===

絶対値の大きな浮動小数点数$x_f$に絶対値の小さな浮動小数点数$y_f$を足すとき、$x_f+y_f$を丸めた結果が$x_f$に等しくなり、$y_f$の情報が反映されないことがある。この現象を情報落ちまたは積み残しなどとよぶ。

{{theorem|type=Ex|label=ex2}}
無限級数
$$S = \frac{1}{1^2} + \frac{1}{2^2} + \frac{1}{3^2} + \cdots = \frac{\pi^2}{6} = 1.6449340668 \dots$$
の項を最初の$n$項の和で打ち切って計算する。2進24桁の浮動小数点数で素朴に
$$\frac{1}{1^2} + \frac{1}{2^2} + \frac{1}{3^2} + \cdots + \frac{1}{n^2}$$
を左から計算すると、項数が$2^{12}=4096$を超えると情報落ちが生じ、項数を増やしても和が増加せず$1.6447253227 \dots$程度で打ち止めになってしまう。しかし和の順序を逆にして
$$\frac{1}{n^2} + \frac{1}{(n-1)^2} + \frac{1}{(n-2)^2} + \cdots + \frac{1}{1^2}$$
を計算すれば、小さい数同士の和から始まるので情報落ちが起きず、精度の良い近似値を得ることができる。

== 補足 ==

このように、数値計算において誤差はつきものであり、根本的に回避することは困難である。しかし、コンピュータを用いて計算結果を得たとき、せめてどのくらいの誤差の範囲に収まっているのか？何桁までが正しい値なのか？くらいは知りたいであろう。これを数値解の精度保証問題という。厳密に誤差の限界が得られるような数値計算は精度保証付き数値計算と呼ばれる。

== 参考文献 ==
* 山本哲朗『数値解析入門』
* 杉原正顕, 室田一雄『数値計算法の数理』

== 関連項目 ==
* [[数値解析]]

利用者:Saitory

2022-03-25T04:35:42Z

Saitory: 記事執筆部分の加筆

== 自己紹介 ==
* 札幌市在住。
* 専攻は応用数理、特に人口と感染症の数理モデルです。生命現象にまつわる数学、および公衆衛生への応用研究に関心があります。

== 記事執筆 ==
応用数理分野・解析分野の記事を作成します。

作成記事例：[[誤差(数値解析)]]

論理をごまかさず、なおかつ厳密性のための厳密性にとどまらない、安心して応用できるツールの提供を個人的目標としています。

== Mathpediaチューター室 ==
Discordサーバー「[https://discord.gg/m4EBHtV5tu Mathpediaチューター室]」でも活動中です。チューターとしては主に専攻に近い分野と、高校数学などの初等的な分野の疑問にお答えしていく予定です。

== 家庭教師 ==
オンライン家庭教師の講師として担当可能です。

※ 講義内容は今のところ学部レベルまで（おおよそ理学部数学科B3対象の講義くらいまで）とさせて下さい。

※ 担当可能日時は変更する可能性がございます。

=== 担当可能分野 ===
* 高校までの数学
* 線形代数学
* 微分積分学
* 集合・位相
* 複素解析
* ルベーグ積分、実解析
* 関数解析
* 微分方程式
* 数理生物学、とくに数理人口学、数理疫学
* 確率論
* 数理統計学
* （数学の分野としてではなく、一般的な）統計学

=== 担当可能日時 ===
月曜：要相談

火曜：終日

水曜：〜16:00

木曜：〜17:00

金曜：要相談

土曜：不可

日曜：要相談

=== その他数学の指導 ===
* [https://sugakubunka.com/ 株式会社すうがくぶんか]に講師としても所属しております。主に数学と統計学の指導が可能ですのでご興味のある方はご連絡ください。
* 私個人との指導契約を結ぶことはできませんので、お手数ですがMathpediaもしくはすうがくぶんかへご相談ください。

誤差(数値解析)

2022-03-24T15:13:18Z

Saitory: 記事作成

[[Category:数値解析]]
{{begin |preamble }}
{{begin |preamble}}
{{newtheorem |type=Thm |counter=0 |display='''定理''' }}
{{newtheorem |type=Conj |display='''予想''' |family=Thm }}
{{newtheorem |type=Cor |display='''系''' |family=Cor }}
{{newtheorem |type=Def |display='''定義''' |family=Def }}
{{newtheorem |type=Prop |display='''命題''' |family=Prop }}
{{newtheorem |type=Lem |display='''補題''' |family=Lem }}
{{newtheorem |type=Ex |display='''例''' |family=Ex }}
{{newtheorem |type=Rem |display='''注意''' |family=Rem }}
{{newtheorem |type=proof |counter=-1 |display='''証明''' }}
$\newcommand{\N}{\mathbb{N}}$
$\newcommand{\Z}{\mathbb{Z}}$
$\newcommand{\Q}{\mathbb{Q}}$
$\newcommand{\R}{\mathbb{R}}$
$\newcommand{\C}{\mathbb{C}}$
$\newcommand{\K}{\mathbb{K}}$
$\newcommand{\abs}[1]{\left\lvert#1\right\rvert}$
$\newcommand{\wenvert}[1]{\left\lvert\left\lvert#1\right\rvert\right\rvert}$
$\newcommand{\floor}[1]{\left\lfloor#1\right\rfloor}$
$\newcommand{\mathmod}[1]{\ \left(\mathrm{mod}\ #1\right)}$
{{end |preamble}}
<math>
\newcommand\eps\varepsilon{}
</math>
{{end |preamble }}{{TOC |limit=3 }} 
== 誤差 ==
誤差(ごさ、error)とは一般に、取り扱いたい数の真の値と、観測ないし計算によって実際に得られた値との差のことをいう。数値解析においては、扱いたい数が一般の実数である一方で、コンピュータには有限桁の小数の有限回の計算しか扱えない以上、誤差の存在を無視するわけにはいかない。

=== 一般的な定義 ===
$a$が真の値$x$の近似値であるとき、$e = x - a$を$a$の誤差という。誤差の大きさ$|e|$を$a$の絶対誤差、$|e|\leq \eps$をみたす$\eps$を誤差$e$の限界という。また、絶対誤差と真の値の比
$$ e_R = \frac{|x-a|}{x} $$
を$a$の相対誤差という。

== 丸め誤差と打ち切り誤差 ==

数値計算における誤差は、実数値を有限桁の小数で表現せざるをえないがために生じる丸め誤差と、極限を有限値で打ち切ったり近似式を用いたりすることによって生じる打ち切り誤差の2つにおおよそ分類される。

=== 丸め誤差 ===
コンピュータにおいて、実数$x$はそれに近い浮動小数点数$x_f$によって近似される。これを丸めといい、丸めによって生じる誤差を丸め誤差とよぶ。また、浮動小数点数の絶対値の最大値を$F_{\text{max}}$、最小値を$F_{\text{min}}$とおくとき、実数$x$が
$$F_{\text{min}} \leq x \leq F_{\text{max}}$$
と表される場合、浮動小数点数体系と丸めの方法によって定まる数$\eps_M$によって、
$$x_f = x(1 + \eps_x),\ |\eps_x| \leq \eps_M$$
が成立する。この$\eps_M$はマシンイプシロン、計算機イプシロンなどとよばれ、浮動小数点数による$x$の近似値$x_f$の相対誤差の限界を表す指標である。
実数$x$が$F_{\text{min}} \leq x \leq F_{\text{max}}$の範囲外にある場合は、$x$を近似する浮動小数点数が存在しないと考えるのが自然である。$|x|>F_{\text{max}}$のときオーバーフロー、$|x|<F_{\text{min}}$のときアンダーフローという。

=== 打ち切り誤差 ===

関数
$$f(x) = e^x = 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \cdots$$
の（有限回の四則演算で実行できる）近似式として、
$$f_n(x) = 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \cdots + \frac{x^n}{n!}$$
を用いた場合、関数$f(x)$に現れる無限級数を$n+1$個の和で打ち切ったことになる。このときに生じる誤差
$$e_T(x) = f(x) - f_n(x) = \frac{x^{n+1}e^c}{(n+1)!}\ (0 < c < x)$$
を打ち切り誤差という。

一般に関数$f$の計算に無限回の四則演算が必要である場合は、有限回の四則演算で値を求められる近似関数$f_a$を用いなければならない。また、実数$x$における値ではなく、浮動小数点による$x$の近似値$x_f$における値を求めるしかない。したがって、$f(x)$の近似値として$f_a(x_f)$を計算するしかない。さらに計算結果$f_a(x_f)$も丸められた結果、我々は$f_a(x_f)$の近似値$\tilde f_a(x_f)$を得ることになる。誤差を3つに分解して、
$$f(x) - \tilde f_a(x_f) = \{ f(x) - f(x_f) \} + \{ f(x_f) - f_a(x_f) \} + \{ f_a(x_f) - \tilde f_a(x_f) \}$$
と書くとき、右辺第一項を代入誤差もしくは伝播誤差という。第二項は打ち切り誤差である。第三項は生成された誤差という。

== 誤差によって生じる問題 ==

=== 桁落ち ===

差のきわめて小さい2つの数$x_1,x_2$の差を計算するとき、浮動小数点数による近似値を$a_1,a_2$とすると相対誤差$e_R$の大きさは
$$|e_R|=\frac{|(x_1-x_2)-(a_1-a_2)|}{|x_1-x_2|} \leq \frac{|x_1-a_1|+|x_2-a_2|}{|x_1-x_2|}$$
と見積もられるが、$x,y$が近いのでこの上からの評価は$a,b$の相対誤差の限界よりも大きい。つまり計算の精度が著しく低下してしまう。この現象を桁落ちという。

{{theorem|type=Ex|label=ex1}}
$h=10^{-16}$のとき、$\sqrt{1+h} - 1$を素朴に計算すると$0$を得てしまう。あらかじめ、分子の有理化
$$\sqrt{1+h} - 1 = \frac{h}{\sqrt{1+h} + 1}$$
を行ってから計算することで、正しい値の近似値$5 \times 10^{-17}$を得る。

=== 情報落ち ===

絶対値の大きな浮動小数点数$x_f$に絶対値の小さな浮動小数点数$y_f$を足すとき、$x_f+y_f$を丸めた結果が$x_f$に等しくなり、$y_f$の情報が反映されないことがある。この現象を情報落ちまたは積み残しなどとよぶ。

{{theorem|type=Ex|label=ex2}}
無限級数
$$S = \frac{1}{1^2} + \frac{1}{2^2} + \frac{1}{3^2} + \cdots = \frac{\pi^2}{6} = 1.6449340668 \dots$$
の項を最初の$n$項の和で打ち切って計算する。2進24桁の浮動小数点数で素朴に
$$\frac{1}{1^2} + \frac{1}{2^2} + \frac{1}{3^2} + \cdots + \frac{1}{n^2}$$
を左から計算すると、項数が$2^{12}=4096$を超えると情報落ちが生じ、項数を増やしても和が増加せず$1.6447253227 \dots$程度で打ち止めになってしまう。しかし和の順序を逆にして
$$\frac{1}{n^2} + \frac{1}{(n-1)^2} + \frac{1}{(n-2)^2} + \cdots + \frac{1}{1^2}$$
を計算すれば、小さい数同士の和から始まるので情報落ちが起きず、精度の良い近似値を得ることができる。

== 補足 ==

このように、数値計算において誤差はつきものであり、根本的に回避することは困難である。しかし、コンピュータを用いて計算結果を得たとき、せめてどのくらいの誤差の範囲に収まっているのか？何桁までが正しい値なのか？くらいは知りたいであろう。これを数値解の精度保証問題という。厳密に誤差の限界が得られるような数値計算は精度保証付き数値計算と呼ばれる。

== 参考文献 ==
* 山本哲朗『数値解析入門』
* 杉原正顕, 室田一雄『数値計算法の数理』

== 関連項目 ==
* [[数値解析]]

Sandbox

2022-03-24T08:22:23Z

Saitory:

{{TOC|limit=2}} 
Taylor展開します：
$$
f(x) = f(a) + f'(a)(x - a) + \dfrac12 f^{\prime\prime}(a)(x-a)^2 + \dfrac1{3!} f^{\prime\prime\prime}(a) (x-a)^3 + \dfrac1{4!} f^{(4)}(x-a)^4 + \dots + \dfrac1{n!} f^{(n)}(a) (x - a)^n + \dots
\label{test}
$$

\eqref{test}です．インライン数式だと
$f(x) = f(a) + f'(a)(x - a) + \dfrac12 f^{\prime\prime}(a)(x-a)^2 + \dfrac1{3!} f^{\prime\prime\prime}(a) (x-a)^3 + \dfrac1{4!} f^{(4)}(x-a)^4 + \dots + \dfrac1{n!} f^{(n)}(a) (x - a)^n + \dots$こうなります．

{| class="mw-collapsible mw-collapsed wikitable"
! The header || remains visible
|-
| This content || is hidden
|-
| at first || load time
|}

ページ「Sandbox」は、{{#ifexist: Sandbox | 存在します | 存在しません }}。

Sandboxは、砂であり、かつ箱である。

=== HTMLets ===
<htmlet>test-htmlet</htmlet>

=== InterWikiリンク ===
<code><nowiki>[[arxiv:2010.16042]]</nowiki></code>のように接頭辞＋リンク先コンテンツ名で定義済みのウェブサイトへのリンクが貼れます～。
; <code><nowiki>[[arxiv:2010.16042]]</nowiki></code>
: [[arxiv:2010.16042]]
; <code><nowiki>[[texjp:pdf2svg|pdf2svg - TeX Wiki]]</nowiki></code>
: [[texjp:pdf2svg|pdf2svg - TeX Wiki]]
; <code><nowiki>[[wpja:数学|数学 - Wikipedia]]</nowiki></code>
: [[wpja:数学|数学 - Wikipedia]]
; <code><nowiki>[[nlab:higher+category+theory|高次圏論]]</nowiki></code>
: [[nlab:higher+category+theory|高次圏論]]
使える接頭辞の一覧は [[特別:インターウィキ]] を見てください。

=== 画像テスト ===
[[ファイル:SpectralSequence.png]] 

[[File:Freesample.svg]]でSVGも貼れるよ～

<xh3 class="fuga" style="color:red;">これは目次に出ない見出しです</xh3>
ほんとにそうなってますか？

=== Ref テスト ===
これはテスト<ref name="label-test">これは脚注のテストです。</ref>です。

脚注を書くにはrefタグを使い<code><nowiki><ref name="ラベル名"></nowiki></code>のように書きます<ref name="label-test2">ここはrefタグの中身です。</ref>。二度目の脚注<ref name="label-test2" />は同じラベルで中身が空のref要素<code><nowiki><ref name="ラベル" /></nowiki></code>を文章中に配置します。

最後に、脚注セクションと<code><nowiki><references /></nowiki></code>を置けば完成です！

==Notes==
<references />

== rotate etc. ==
[https://developer.mozilla.org/ja/docs/Web/CSS/transform CSS transform]を使うと回転や線形変換できます：
<pre><nowiki>
$\newcommand\rotate[2]{\style{display:inline-block;transform:rotate(#1);}{#2}}$
$\rotate{0.25turn}{\curvearrowleft}
\rotate{3.1415rad}{\curvearrowleft}
\rotate{300grad}{\curvearrowleft}
\rotate{360deg}{\curvearrowleft}$
</nowiki></pre>
$\newcommand\rotate[2]{\style{display:inline-block;transform:rotate(#1);}{#2}}$
$\rotate{0.25turn}{\curvearrowleft}
\rotate{3.1415rad}{\curvearrowleft}
\rotate{300grad}{\curvearrowleft}
\rotate{360deg}{\curvearrowleft}$

****** abc

{{newtheorem |type=thm |display=定理 |counter=0 }}
{{newtheorem |type=def |display=定義 |family=thm }}

{{theorem |type=def |label=defdef |name=定義についての解説 }}
'''定義'''というのは、至極まっとうなことを言ってなければならないが、ここで至極まっとうであると $\omega$-神託機械が $20000000000000000000$ ミリ秒以内に判断しうることを'''インタラクティブ・DREAM'''という。ただしインタラクティブ・DREAMには空集合が許容される。

以下インタラクティブ・DREAMに関するインフォーマルな気持ちについてのとりあえずの解説を行ってみる。なんらかの説明～～～

ここで次にもう一度視認性のテスト。

{{theorem |type=def |label=defdef |name=定義についての解説 }}
'''定義'''というのは、至極まっとうなことを言ってなければならないが、ここで至極まっとうであると $\omega$-神託機械が $20000000000000000000$ ミリ秒以内に判断しうることを'''インタラクティブ・DREAM'''という。ただしインタラクティブ・DREAMには空集合が許容される。

----

以下インタラクティブ・DREAMに関するインフォーマルな気持ちについてのとりあえずの解説を行ってみる。(でもあまり<code><nowiki>----</nowiki></code> は使いたくない……?)

begin{cases}って使えますっけ？　gest N 2020年10月31日 (土) 18:11 (JST)
<nowiki>
${\rm Aut}(\kappa(\mathfrak{P})/\kappa(\mathfrak{p}))$
</nowiki>

{{begin |section |display=section |collapsible=1 }}
Abstract nonsense
{{end |section }}

----

コードスニペット貼り付けテスト。

<pre>
#include <cstdio>
int main(void) {
float a = 0.0;
for(int i=0; i<10000; ++i) a += 0.01;
printf("%.10f\n", a);
}
</pre>

<code>
#include <cstdio>
int main(void) {
float a = 0.0;
for(int i=0; i<10000; ++i) a += 0.01;
printf("%.10f\n", a);
}
</code>

<syntaxhighlight lang="C">
#include <cstdio>
int main(void) {
float a = 0.0;
for(int i=0; i<10000; ++i) a += 0.01;
printf("%.10f\n", a);
}
</syntaxhighlight>

Sandbox

2022-03-24T08:12:15Z

Saitory:

{{TOC|limit=2}} 
Taylor展開します：
$$
f(x) = f(a) + f'(a)(x - a) + \dfrac12 f^{\prime\prime}(a)(x-a)^2 + \dfrac1{3!} f^{\prime\prime\prime}(a) (x-a)^3 + \dfrac1{4!} f^{(4)}(x-a)^4 + \dots + \dfrac1{n!} f^{(n)}(a) (x - a)^n + \dots
\label{test}
$$

\eqref{test}です．インライン数式だと
$f(x) = f(a) + f'(a)(x - a) + \dfrac12 f^{\prime\prime}(a)(x-a)^2 + \dfrac1{3!} f^{\prime\prime\prime}(a) (x-a)^3 + \dfrac1{4!} f^{(4)}(x-a)^4 + \dots + \dfrac1{n!} f^{(n)}(a) (x - a)^n + \dots$こうなります．

{| class="mw-collapsible mw-collapsed wikitable"
! The header || remains visible
|-
| This content || is hidden
|-
| at first || load time
|}

ページ「Sandbox」は、{{#ifexist: Sandbox | 存在します | 存在しません }}。

Sandboxは、砂であり、かつ箱である。

=== HTMLets ===
<htmlet>test-htmlet</htmlet>

=== InterWikiリンク ===
<code><nowiki>[[arxiv:2010.16042]]</nowiki></code>のように接頭辞＋リンク先コンテンツ名で定義済みのウェブサイトへのリンクが貼れます～。
; <code><nowiki>[[arxiv:2010.16042]]</nowiki></code>
: [[arxiv:2010.16042]]
; <code><nowiki>[[texjp:pdf2svg|pdf2svg - TeX Wiki]]</nowiki></code>
: [[texjp:pdf2svg|pdf2svg - TeX Wiki]]
; <code><nowiki>[[wpja:数学|数学 - Wikipedia]]</nowiki></code>
: [[wpja:数学|数学 - Wikipedia]]
; <code><nowiki>[[nlab:higher+category+theory|高次圏論]]</nowiki></code>
: [[nlab:higher+category+theory|高次圏論]]
使える接頭辞の一覧は [[特別:インターウィキ]] を見てください。

=== 画像テスト ===
[[ファイル:SpectralSequence.png]] 

[[File:Freesample.svg]]でSVGも貼れるよ～

<xh3 class="fuga" style="color:red;">これは目次に出ない見出しです</xh3>
ほんとにそうなってますか？

=== Ref テスト ===
これはテスト<ref name="label-test">これは脚注のテストです。</ref>です。

脚注を書くにはrefタグを使い<code><nowiki><ref name="ラベル名"></nowiki></code>のように書きます<ref name="label-test2">ここはrefタグの中身です。</ref>。二度目の脚注<ref name="label-test2" />は同じラベルで中身が空のref要素<code><nowiki><ref name="ラベル" /></nowiki></code>を文章中に配置します。

最後に、脚注セクションと<code><nowiki><references /></nowiki></code>を置けば完成です！

==Notes==
<references />

== rotate etc. ==
[https://developer.mozilla.org/ja/docs/Web/CSS/transform CSS transform]を使うと回転や線形変換できます：
<pre><nowiki>
$\newcommand\rotate[2]{\style{display:inline-block;transform:rotate(#1);}{#2}}$
$\rotate{0.25turn}{\curvearrowleft}
\rotate{3.1415rad}{\curvearrowleft}
\rotate{300grad}{\curvearrowleft}
\rotate{360deg}{\curvearrowleft}$
</nowiki></pre>
$\newcommand\rotate[2]{\style{display:inline-block;transform:rotate(#1);}{#2}}$
$\rotate{0.25turn}{\curvearrowleft}
\rotate{3.1415rad}{\curvearrowleft}
\rotate{300grad}{\curvearrowleft}
\rotate{360deg}{\curvearrowleft}$

****** abc

{{newtheorem |type=thm |display=定理 |counter=0 }}
{{newtheorem |type=def |display=定義 |family=thm }}

{{theorem |type=def |label=defdef |name=定義についての解説 }}
'''定義'''というのは、至極まっとうなことを言ってなければならないが、ここで至極まっとうであると $\omega$-神託機械が $20000000000000000000$ ミリ秒以内に判断しうることを'''インタラクティブ・DREAM'''という。ただしインタラクティブ・DREAMには空集合が許容される。

以下インタラクティブ・DREAMに関するインフォーマルな気持ちについてのとりあえずの解説を行ってみる。なんらかの説明～～～

ここで次にもう一度視認性のテスト。

{{theorem |type=def |label=defdef |name=定義についての解説 }}
'''定義'''というのは、至極まっとうなことを言ってなければならないが、ここで至極まっとうであると $\omega$-神託機械が $20000000000000000000$ ミリ秒以内に判断しうることを'''インタラクティブ・DREAM'''という。ただしインタラクティブ・DREAMには空集合が許容される。

----

以下インタラクティブ・DREAMに関するインフォーマルな気持ちについてのとりあえずの解説を行ってみる。(でもあまり<code><nowiki>----</nowiki></code> は使いたくない……?)

begin{cases}って使えますっけ？　gest N 2020年10月31日 (土) 18:11 (JST)
<nowiki>
${\rm Aut}(\kappa(\mathfrak{P})/\kappa(\mathfrak{p}))$
</nowiki>

{{begin |section |display=section |collapsible=1 }}
Abstract nonsense
{{end |section }}

----

コードスニペット貼り付けテスト。
<pre>
#include <cstdio>
int main(void) {
float a = 0.0;
for(int i=0; i<10000; ++i) a += 0.01;
printf("%.10f\n", a);
}
</pre>

利用者:Saitory

2022-03-24T06:30:28Z

Saitory:

== 自己紹介 ==
* 札幌市在住。
* 専攻は応用数理、特に人口と感染症の数理モデルです。生命現象にまつわる数学、および公衆衛生への応用研究に関心があります。

== 記事執筆 ==
応用数理分野・解析分野の記事を作成します。

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利用者:Saitory

2022-03-07T14:29:18Z

Saitory: 編集者ページを作成

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局所副有限群の表現

2021-06-05T10:41:32Z

Saitory: proofに5.2以降が折りたたまれているのを修正

{{onlyForWriters}}

[[Category:整数論]]
{{newtheorem |type=lem |counter=0 |display=補題 }}
{{newtheorem |type=thm |counter=0 |display=定理 }}
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__MATHJAX2__

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{{TOC |align=right |noautonum=1 }}
</noinclude>
==局所副有限群の基本的性質==
局所副有限群とは、[[副有限群]]からなる単位元 $1$ の[[基本近傍系]]を持つような[[位相群]]のことである。これはまた、Hausdorffかつ[[局所コンパクト空間|局所コンパクト]]かつ[[完全不連結空間|完全不連結]]な位相群としても特徴づけることができる。いくつか例を挙げよう。

# $F$ を[[局所体]]とすると、$GL_{n}(F)$ は局所副有限群である。$\mathfrak{p}$ を $F$ の極大イデアルとすると、$GL_{n}(F)$ は $\{1+\mathfrak{p}^{i}M_{n}(\mathscr{O}_{F})\}_{i\geq 1}$ はコンパクト開部分群からなる $1$ の基本近傍系である。
# $F$ を局所体とし $I_{F}$ をその惰性群とする。$v\colon {\rm Gal}(F^{\rm sep}/F)\longrightarrow \widehat{\mathbb{Z}}$ を $F$ の剰余体の絶対Galois群への準同型とする。$v$ の核が $I_{F}$ であることが知られている。$W_{F}=\{\sigma \in \mathrm{Gal}(F^{\rm sep}/F)\mathrel{\vert} v(\sigma)\in \mathbb{Z}\}$ は $I_{F}$ を含む ${\rm Gal}(F^{\rm sep}/F)$ の部分群である。$W_{F}$ に $I_{F}$ が開部分群となるような位相を入れると、$W_{F}$ は局所副有限群となる。この位相群のことを局所体 $F$ の Weil群という。[[局所類体論]]により同相同型 $W_{F}^{\rm ab}\simeq F^{\times}$ が言える。
# $D$ を $F$ 上の中心単純代数とすると $GL_{r}(D)$ 等も局所副有限群である。

以降、$F$ を局所体とする。$F$ も加法群として、単位元 $0$ の基本近傍系 $\{\mathfrak{p}^{i}\}_{i\in \mathbb{Z}}$ を持ち、もちろん局所副有限群である。さらに $G$ は加算基を持つと仮定しよう。この仮定は一般論を展開する上で必ずしも必要ではないが、$G$ の[[商空間]]やその商測度の話をする際に、この仮定の下で煩雑な議論を回避することができる。我々が知りたい群、すなわち局所体上の[[代数群]]などはもちろんこの仮定を満足する。

{{theorem |type=def |label=d1 }}
$G$ を局所副有限群とする。$G$ の指標とは連続な準同型 $\chi\colon G\longrightarrow \mathbb{C}^{\times}$ のことである。$G$ の指標がユニタリーであるとは、その像が単位円周 $S^{1}$ に含まれるもののことをいう。

もしも $G$ がコンパクトな開部分群の順極限として表せるような群ならば、$G$ の指標はユニタリーなものしかない。例えば $F$ は $F=\varinjlim_{i} \mathfrak{p}^{i}$ とコンパクト開部分群の合併として書けるので、$F$ の指標は必ずユニタリーである。乗法群 $F^{\times}$ はコンパクト開部分群 $\mathscr{O}_{F}^{\times}$ と離散群 $\mathbb{Z}$ の積なので、$F^{\times}$ の指標は $\mathscr{O}_{F}^{\times}$ のユニタリー指標とある準同型 $\mathbb{Z}\longrightarrow \mathbb{C}^{\times}$ の積で表せる。

{{theorem |type=def |label=d2 }}
$F$ の指標 $\chi$ に対して $\mathfrak{p}^{d}\subset{\rm Ker}\chi$ を満たす最小の整数 $d$ のことを $\chi$ のレベルという。もし $\chi=1$ ならば、そのレベルを $-\infty$ と定義する。

{{theorem |type=prop |label=p1 }}
$F$ の非自明な指標 $\chi$ をとり、そのレベルを $d$ とする。このとき次のことが成り立つ。
* (1) $a\in F$ に対して、$a\chi~\colon F\longrightarrow \mathbb{C}^{\times};x\longmapsto \chi(ax)$ のレベルは $d-v_{F}(a)$ である。
* (2) $\widehat{F}$ を $F$ のユニタリー指標のなす群とすると、$a\longmapsto a\chi$ は $F$ から $\widehat{F}$ の同型を引き起こす。
{{begin|proof}}
*(1) この証明は簡単なので省略する。
*(2) $F\longrightarrow \widehat{F};a\longmapsto a\chi$ が全単射であることを示せばよい。
{{end |proof }}

$GL_{n}(F)$ について基本的な事実をここでおさらいしておこう。
====Cartan分解====
$t$ を $F$ の素元とし、$\Delta$ を $${\rm diag}(t^{a_{1}},\cdots,t^{a_{n}})=\left(
<nowiki>
\begin{array}{ccc}
t^{a_{1}} & & \\
& \ddots & \\
& & t^{a_{n}}
\end{array}
</nowiki>
\right)$$ という対角行列からなる部分群とする。このとき、$GL_{n}(F)$ は $$GL_{n}(F)=\coprod_{a_{1}\leq \cdots \leq a_{n}} GL_{n}(\mathscr{O}_{F}){\rm diag}(t^{a_{1}},\cdots,t^{a_{n}}) GL_{n}(\mathscr{O}_{F})
$$という分解を持つ。この分解のことを $GL_{n}(F)$ のCartan分解という。

====岩澤分解====
$GL_{n}(F)$ の上三角行列全体のなすBorel部分群 $B$ を用いて、$GL_{n}(F)$ は $GL_{n}(F)=B GL_{n}(\mathscr{O}_{F})=GL_{n}(\mathscr{O}_{F})B$ という分解を持つ。この分解のことを $GL_{n}(F)$ の岩澤分解という。例えば、$n=2$ のとき $GL_{2}(F)$ の任意の元 $g=\left(
<nowiki>
\begin{array}{cc}
a & b \\
c & d
\end{array}
</nowiki>
\right)$ が $B GL_{n}(\mathscr{O}_{F})$ に属することを示そう。
$c=0$ ならば $g\in B$ であるから、$c\neq 0$ と仮定してよい。もし $d=0$ なら $w=\left(
<nowiki>
\begin{array}{cc}
0 & 1 \\
1 & 0
\end{array}
</nowiki>\right)$ を右から掛けて、$gw\in B$ となり $g=(gw)w\in B GL_{2}(\mathscr{O}_{F})$ となる。$c,d$ どちらも $0$ でない場合は、必要なら右から $w$ を掛けて、$v_{F}(c)\geq v_{F}(d)$ としてよく、このとき $g$ に右から
$x=\left(
<nowiki>
\begin{array}{cc}
1 & 0 \\
-\frac{c}{d} & 1
\end{array}
</nowiki>\right)$ を書けると、$gx\in B$ となる。$n>2$ の場合も同様にして $GL_{n}(F)=B GL_{n}(\mathscr{O}_{F})$ であることを確かめることができる。$GL_{n}(F)=GL_{n}(\mathscr{O}_{F})B$ も同様である。

- コメント:　岩澤分解から直ちに $\operatorname{c-Ind}_{P}^{G}={\rm Ind}_{P}^{G}$ が従う。またこの分解から、放物型部分群への有限生成な表現の制限が再び有限生成であることも従う。

====Bruhat分解====
$w$ を $1,\ldots,n$ の置換とし、これを $w=(\delta_{i,w(j)})_{ij}$ と見なすことで $n$ 次対称群 $S_{n}$ を $GL_{n}(F)$ の部分群と見なしたときの像を $W=W_{n}$ と書く。このとき $GL_{n}(F)=BWB$ となる。この分解のことを $GL_{n}(F)$ のBruhat分解という。例えば $n=2$ のときには、$GL_{2}(F)$ は
$$
GL_{2}(F)=B\left(
<nowiki>
\begin{array}{cc}
1 & 0 \\
0 & 1
\end{array}
</nowiki>\right)B\coprod B\left(
<nowiki>
\begin{array}{cc}
0 & 1 \\
1 & 0
\end{array}
</nowiki>\right)B
$$
と分解する。$n=3$ のときも
$$
GL_{3}(F)=B\left(
<nowiki>
\begin{array}{ccc}
1 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 1
\end{array}
</nowiki>\right)B\coprod B
\left(
<nowiki>
\begin{array}{ccc}
1 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 1 \\
0 & 1 & 0
\end{array}
</nowiki>\right)B\coprod B
\left(
<nowiki>
\begin{array}{ccc}
0 & 1 & 0 \\
1 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 1
\end{array}
</nowiki>\right)B\coprod B
\left(
<nowiki>
\begin{array}{ccc}
0 & 0 & 1 \\
1 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 0
\end{array}
</nowiki>\right)B\coprod B
\left(
<nowiki>
\begin{array}{ccc}
0 & 0 & 1 \\
0 & 1 & 0 \\
1 & 0 & 0
\end{array}
</nowiki>\right)B\coprod B
\left(
<nowiki>
\begin{array}{ccc}
0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 1 \\
1 & 0 & 0
\end{array}
</nowiki>\right) B
$$
と分解する。

- コメント: 後に詳述するが、Bruhat分解は $p$ 進簡約群の表現を分解する際に用いられる。

====Levi分解====
$GL_{n}(F)$ の放物型部分群 $P$ のLevi分解についてもここに述べておく。$\alpha=(m_{1},\ldots,m_{r})$ が自然数 $m$ の分割であるとは $m=m_{1}+\cdots +m_{r}$ となることである。この $\alpha$ に対して $I_{1}=\{1,\ldots, m_{1} \},\cdots, I_{r}=\{m_{1}+\cdots +m_{r-1}+1,\ldots, m_{r}\}$ たちのことを $\alpha$ の区間という。$\alpha, \beta$ を $m$ の分割とする。$\alpha$ の各区間が $\beta$ の連続する区間たちの和集合となっているとき、$\beta$ は $\alpha$ の細分であるといい、$\beta<\alpha$ と書く。$P$ を $GL_{n}(F)$ の放物型部分群とすると、適当に共役を取って、$P$ はブロック上三角行列のなす部分群と見なせる。このとき、$n$ の分割 $\alpha=(n_{1},\dots, n_{r})$ であって、$P$ のLevi部分群が $G_{\alpha}=GL_{n_{1}}(F)\times \cdots \times GL_{n_{r}}(F)$ となるものが存在する。またこのとき $P$ の冪単部分群のことを $U_{\alpha}$ と書く。$G_{\alpha}$ は $U_{\alpha}$ を正規化する。例えば $n=3$ で $\alpha=(2,1)$ のとき、$G_{\alpha}$ は
$$
G_{\alpha}=GL_{2}(F)\times GL_{1}(F)=\left\{\left.
\left(
<nowiki>
\begin{array}{cc|c}
a & b & 0 \\
c & d & 0 \\
\hline
0 & 0 & x
\end{array}
</nowiki>\right)\right|
\left(<nowiki>
\begin{array}{cc}
a & b \\
c & d
\end{array}
</nowiki>\right)\in GL_{2}(F), x\in F^{\times}
\right\}
$$
となる。
$n$ の分割 $\alpha$ に対して、さらに $G_{\alpha}$ のブロック上三角行列のなす放物型部分群は、$\alpha$ の細分に対応している。

- コメント: Levi部分群は $GL_{n}(F)$ より小さい一般線形群の積である。$GL_{n}(F)$ の(非尖点的な)既約表現を調べる際、より小さいサイズの一般線形群たち $GL_{n_{1}}(F),\ldots, GL_{n_{r}}(F)$ の尖点表現を調べることが大切である。

==Smooth表現の基礎 (I)==
===定義と基本的な性質===
{{theorem |type=def |name=Smooth表現、許容表現|label=d4}}
局所副有限群 $G$ の表現について考察する。$V$ を複素数体 $\mathbb{C}$ 上のベクトル空間と準同型 $\pi\colon G\longrightarrow \mathrm{Aut}_{\mathbb{C}}(V)$ の組 $(\pi,V)$ のことを $G$ の表現と呼ぶ。$V$ の任意の元 $v$ に対して、その安定化群 ${\rm Stab}_{G}(v)=\{g\in G\mathrel{\vert}\pi(g)v=v\}$ が $G$ の開部分群となるとき、$(\pi,V)$ のことをsmooth表現または代数的表現という。$G$ はコンパクト開部分群からなる $1$ の基本近傍系を持つので、この条件は $K$ が $G$ のコンパクト開部分群を走るとき
$$
V=\bigcup_{K} V^{K}
$$
となることと同値である。ただし、$V^{K}:=\{v\in V\mathrel{\vert}\forall k\in K, \pi(k)v=v\}$ である。さらにもし任意のコンパクト開部分群 $K$ に対して、${\rm dim}_{\mathbb{C}}V^{K}<\infty$ であるとき、$(\pi,V)$ のことを $G$ の許容表現という。

$G$ の表現 $(\pi,V)$ に対して、$V^{\rm sm}=\cup_{K} V^{K}$ とすると、これは $V$ の $G$ 安定な部分空間であり、$g\in G$ に対して、$\pi^{\rm sm}(g)=\pi(g)\vert_{V^{\rm sm}}$ とすると、$(\pi^{\rm sm},V^{\rm sm})$ は $G$ のsmooth表現となる。$(\pi^{\rm sm},V^{\rm sm})$ のことを $(\pi,V)$ の smoothパートという。

$(\pi_{1},V_{1})$ 及び $(\pi_{2},V_{2})$ を $G$ のsmooth表現とする。線形写像 $f\colon V_{1}\longrightarrow V_{2}$ が任意の $g\in G$ に対して、$f\circ \pi_{1}(g)=\pi_{2}(g)\circ f$ となるとき、$f$ は $G$ のsmooth表現の射であるという。
$G$ のsmooth表現全体のなすアーベル圏のことを ${\rm Rep}(G)$ などと記す。部分表現、商表現、既約表現などの概念は、通常の表現論と同様である。

{{theorem |type=def |label=1}}
# $G$ のsmooth表現 $(\pi,V)$ が有限生成であるとは、ある $v_{1},\cdots,v_{n}\in V$ が存在して、$V$ がベクトル空間として、$\{\pi(g)v_{i}\mathrel{\vert} g\in G, i=1,...,n\}$ で生成されていることをいう。
# $G$ のsmooth表現 $(\pi,V)$ が完全可約であるとは、$G$ の表現として、有限個の既約表現の直和で書けることをいう。

{{theorem |type=lem |name=Schurの補題 |label=1}}
$(\pi,V)$ を $G$ の既約表現とすると、${\rm End}_{G}(V)=\mathbb{C}$ である。
{{begin|proof}}
スカラー倍は $G$ 射なので、$\mathbb{C}\subset {\rm End}_{G}(V)$ である。$f\colon V\longrightarrow V$ を $G$ 射とする。$0$ でない $v\in V$ を任意にとると $V$ は $\{\pi(g)v\}_{g\in G}$ で生成されている。$v\in V^{K}$ となる $G$ のコンパクト開部分群 $K$ を取ると、$G/K$ の濃度は高々可算なので、$V$ の基底の濃度も高々可算である。${\rm End}_{G}(V)(\subset {\rm End}_{\mathbb{C}}(V))$ の次元も高々可算である。もしも $f\in {\rm End}_{G}(V)$ であって、スカラー倍写像でないようなものが取れるなら、$\{(f-a)^{-1}\mathrel{\vert} a\in \mathbb{C}\}\subset \mathbb{C}(f)$ は $\mathbb{C}$ 上線形独立でありながら、その濃度は非可算無限であり、しかも ${\rm End}_{G}(V)$ に含まれるので、矛盾する。
{{end |proof }}

{{theorem |type=def |name=反傾表現 |label=d5}}
$(\pi,V)$ を $G$ のsmooth表現とし、$V^{*}$ を $V$ の双対空間とする。自然な双線形写像 $V^{*}\times V\longrightarrow \mathbb{C}$ のことを $\langle~,~\rangle$ と書くことにする。準同型 $\pi^{*}\colon G\longrightarrow \mathrm{Aut}_{\mathbb{C}}(V^{*})$ を $\langle \pi^{*}(g)\check{v},v\rangle=\langle \check{v},\pi(g^{-1})v\rangle$ により定義する。$G$ の表現 $(\pi^{*},V^{*})$ のsmoothパートのことを $(\pi,V)$ の反傾表現といい、$(\check{\pi},\check{V})$ と表記する。

{{theorem |type=def |name=中心指標 |label=1}}
$Z$ を $G$ の中心とする。$Z$ の指標 $\chi$ に対して ${\rm Rep}(G,\chi)$ を $G$ のsmooth表現 $(\pi,V)$ であって、任意の $v\in V$ 及び $z\in Z$ に対して
$$
\pi(z)v=\chi(z)v
$$
となるよう対象全体のなす ${\rm Rep}(G)$ の部分圏とする。$G$ のsmooth表現 $(\pi,V)$ が ${\rm Rep}(G,\chi)$ に属するとき $\chi$ を $(\pi,V)$ の中心指標という。

{{theorem |type=lem |label=1}}
$(\pi,V)$ を ${\rm Rep}(G,\chi)$ の対象とし、$G^{0}$ を $G$ の開部分群であって、$G^{0}Z/Z$ がコンパクト群となるような群とする。このとき、$v\in V$ に対して $\pi(G^{0}Z)v=\{\pi(g)v\mathrel{\vert} g\in G^{0}Z\}$ は有限次元であり、$G^{0}Z$ の表現として完全可約である。
{{begin|proof}}
$v\in V$ を固定するような $G$ のコンパクト開部分群 $K$ を取ると、$G^{0}Z/KZ$ は有限群になる。したがって、$\pi(G^{0}Z)v$ で生成された空間は有限次元になる。この空間は実質的に有限群の表現なので完全可約である。
{{end|proof}}

後ほど、このような表現について詳しく述べる。ここでは、$(G,G^{0})$ の具体例を一つ紹介しよう。$G=GL_{n}(F)$ とし、
$$
G^{0}=\{g\in G\mathrel{\vert} {\rm det}(g)\in \mathscr{O}_{F}^{\times}\}
$$
とすると $G^{0}$ は $G$ のコンパクト開部分群で生成されている。さらに $G^{0}Z/Z$ はコンパクトである。さらに $G^{0}$ は次のような性質を持つ。
*(a) $G^{0}\cap Z=\{a1_{n}\mathrel{\vert} a\in F,a^{n}\in \mathscr{O}_{F}\}$ はコンパクトである。
*(b) $G^{0}$ は $G$ の正規部分群であり、$G/G^{0}$ はアーベル群であり、$G/G^{0}Z$ は有限群である。

===誘導表現===

{{theorem |type=def |name=誘導表現 |label=d6}}
$H$ を $G$ の閉部分群とする。$H$ のsmooth表現 $(\sigma,W)$ に対して、$G$ の表現 ${\rm Ind}_{H}^{G}\sigma=(\Sigma,X) $ を次のように定義する。まず、$X$ を次の二つの条件を満たす写像 $f\colon G\longrightarrow W$ 全体のなす空間とする。
# 任意の $h\in H$ と $g\in G$ に対して、$f(hg)=\sigma(h)f(g)$.
# $f$ に依存した $G$ のコンパクト開部分群 $K_{f}$ が存在し、任意の $g\in G$ に対して、$f$ は $gK_{f}$ 上定値 $f(g)$ をとる。
$f\in X$ と $g\in G$ に対して、$\Sigma(g)f$ を $\Sigma(g)f~\colon G\longrightarrow W; x\longmapsto f(xg)$ と定義すると、$(\Sigma,X)$ は $G$ のsmooth表現となり、アーベル圏の間の加法的な関手 ${\rm Ind}_{H}^{G}\colon {\rm Rep}(H)\longrightarrow {\rm Rep}(G)$ が定義できた。

{{theorem |type=exa |label=1}}
$G=GL_{2}(F)$ とし $B$ を上三角行列のなすBorel部分群とする。
$$
\mathbb{P}^{1}(F)\times GL_{2}(F) \longrightarrow \mathbb{P}^{1}(F); \left( [x_{0}:x_{1}], \left(
<nowiki>
\begin{array}{cc}
a & b \\
c & d
\end{array}
</nowiki>\right)\right) \longmapsto [ax_{0}+cx_{1}:bx_{0}+dx_{1}]
$$
$1$ 次元射影空間に $GL_{2}(F)$ の右からの自然な作用があり、自然な同相 $B\backslash GL_{2}(F)\simeq \mathbb{P}^{1}(F)$ が考えられる。このとき、$B$ の自明な表現 $(1_{B},\mathbb{C})$ に対して
$$
{\rm Ind}_{B}^{GL_{2}(F)} 1_{B}=(\Sigma, {\rm Fun}(\mathbb{P}^{1}(F)))
$$
である。ただし ${\rm Fun}\mathbb{P}^{1}(F)$ は $\mathbb{P}^{1}(F)$ 上の複素数値関数のなす線形空間のことである。同様に $G=GL_{n}(F)$ とし、$H$ が分割 $(k,n-k)$ に対応する放物型部分群なら、${\rm Ind}_{H}^{G}1_{H}$ の表現空間は $n$ 次元線形空間の $k$ 次元部分空間をパラメーター付けるGrassmann多様体上の複素数値関数全体のなす線形空間である。$H$ が上三角行列のなすBorel部分群の場合には、${\rm Ind}_{H}^{G}1_{H}$ の表現空間は旗多様体上の複素数値関数全体のなす線形空間である。

{{theorem |type=prop |name=Frobenius相互律|label=p2 }}
${\rm Ind}_{H}^{G}\colon {\rm Rep}(H)\longrightarrow {\rm Rep}(G)$ は $G$ のsmooth表現を $H$ のsmooth表現とみなす自然な制限関手 ${\rm Res}_{H}^{G}\colon {\rm Rep}(G)\longrightarrow {\rm Rep}(H)$ の右随伴関手である。
{{begin|proof}}
$(\sigma,W)$ と $(\pi,V)$ をそれぞれ $H$ と $G$ のsmooth表現とする。自然な同型
$$
{\rm Hom}_{G}(\pi,{\rm Ind}_{H}^{G}\sigma)\simeq {\rm Hom}_{H}({\rm Res}_{H}^{G}\pi,\sigma)
$$
が存在することを示せばいい。${\rm Hom}_{G}(\pi,{\rm Ind}_{H}^{G}\sigma)$ の元 $\psi$ に ${\rm ev}_{1}\colon X\longrightarrow W;f\longmapsto f(1)$ を合成してできる準同型 ${\rm ev}_{1}\circ \psi\colon V\longrightarrow W$ は ${\rm Hom}_{H}({\rm Res}_{H}^{G}\pi,\sigma)$ の元である。${\rm Hom}_{H}({\rm Res}_{H}^{G}\pi,\sigma)$ の元 $\phi$ に対して、$V\longrightarrow X;v\longmapsto (g\longmapsto \phi(\pi(g)v))$ は $G$ 射であり、したがって ${\rm Hom}_{G}(\pi,{\rm Ind}_{H}^{G}\sigma)$ の元である。これらの操作が互いに逆であることを確認するのは容易である。したがって、
$$
{\rm Hom}_{G}(\pi,{\rm Ind}_{H}^{G}\sigma)\simeq {\rm Hom}_{H}({\rm Res}_{H}^{G}\pi,\sigma).
$$
{{end |proof }}

つづいて、コンパクト誘導表現を定義しよう。

{{theorem |type=def |name=コンパクト誘導表現 |label=d7}}
$H$ を $G$ の閉部分群とし、$(\sigma,W)$ を ${\rm Rep}(H)$ の対象とする。${\rm Ind}_{H}^{G}\sigma=(\Sigma,X)$ の部分表現 $\operatorname{c-Ind}_{H}^{G}\sigma=(\Sigma,X_{c})$ を $f\in X$ であって、その台 ${\rm supp}(f)$ が modulo $H$ でコンパクトなもののなす部分表現とする。言い換えれば、${\rm supp}(f)\subset HC_{f}$ となるコンパクト集合 $C_{f}\subset G$ が存在するような $f\in X$ 全体のなす部分表現である。

{{theorem |type=lem |label=1 }}
$H$ を $G$ の開部分群とし、$(\sigma,W)$ を $H$ のsmooth表現とする。ただし、$w\in W$ に対して、$f_{w}\in X_{c}$ を $f_{w}(h)=\sigma(h)v,~ (h\in H)$ かつ ${\rm supp}(f_{w})=H$ となるものとすると、$\operatorname{c-Ind}_{H}^{G}\sigma$ は $G$ の表現として $\{f_{w}\mathrel{\vert} w\in W\}$ で生成される。
{{begin|proof}}
$H$ の表現として $w\longmapsto f_{w}$ は同型 $W\simeq \{f\in X_{c}\mathrel{\vert} {\rm supp}(f)=H\}$ を与えることは容易に確かめられる。$f\in X_{c}$ に対して、$G$ のコンパクト集合 $C_{f}$ が存在して ${\rm supp}(f)\subset HC_{f}$ となる。$H$ は $G$ の開集合で、$C_{f}$ はコンパクトなので、結局、有限個の $g_{1},...,g_{n}\in G$ が存在して、${\rm supp}(f)$ は $Hg_{i}$ たちの合併である。$f$ は $Hg_{i}$ 上で $hg_{i}\longmapsto \sigma(h)f(g_{i})$ となる。したがって $w_{i}=f(g_{i})$ とおけば、$f=\sum_{i} \Sigma(g_{i}^{-1})f_{w_{i}}$ と書ける。
{{end |proof }}

{{theorem |type=prop |label=p3 }}
$H$ が $G$ の開部分群のとき、$\operatorname{c-Ind}_{H}^{G}\colon {\rm Rep}(H)\longrightarrow {\rm Rep}(G)$ は ${\rm Res}_{H}^{G}\colon {\rm Rep}(G)\longrightarrow {\rm Rep}(H)$ の左随伴関手である。
{{begin|proof}}
$(\sigma,W)$ と $(\pi,V)$ をそれぞれ $H$ と $G$ のsmooth表現とする。自然な同型
$$
{\rm Hom}_{G}(\operatorname{c-Ind}_{H}^{G}\sigma,\pi)\simeq {\rm Hom}_{H}(\sigma,{\rm Res}_{H}^{G}\pi)
$$
が存在することを確かめる。$W\longrightarrow X_{c};w\longmapsto f_{w}$ は ${\rm Hom}_{G}(\operatorname{c-Ind}_{H}^{G}\sigma,\pi)$ から ${\rm Hom}_{H}(\sigma,{\rm Res}_{H}^{G}\pi)$ への準同型を与える。また $H$ 射 $\psi\colon W\longrightarrow V$ に対して、$\Psi\colon X_{c}\longrightarrow V$ を $f_{w}\longmapsto \psi(w)$ とすると、$\psi\longmapsto \Psi$ は ${\rm Hom}_{H}(\sigma,{\rm Res}_{H}^{G}\pi)$ から ${\rm Hom}_{G}(\operatorname{c-Ind}_{H}^{G}\sigma,\pi)$ への準同型である。これらが互いに逆であることは簡単に確かめられる。
{{end |proof }}

$H$ が $G$ の閉部分群のとき、$\operatorname{c-Ind}_{H}^{G}$ の $K$ 不変部分について見てみよう。$(\sigma,W)$ を $H$ のsmooth表現とし、$K$ を $G$ のコンパクト開部分群とする。このとき、$(\operatorname{c-Ind}_{H}^{G}\sigma)^{K}$ の元は関数 $G\longrightarrow W$ であって、その台が有限個の両側剰余類 $HgK$ の合併に含まれている。$f\in (X_{c})^{K}$ を ${\rm supp}(f)\subset HgK$ となるものとする。$H$ のコンパクト開部分群 $H\cap gKg^{-1}\subset H$ は作用 $\sigma$ で $f(g)\in W$ を固定する。よって、次のようなベクトル空間の同型が言えた。
$$
\{f\in (X_{c})^{K}\mathrel{\vert} {\rm supp}(f)\subset HgK\}\simeq W^{H\cap gKg^{-1}}.
$$
これの有限個の直和をとって、
$$
(\operatorname{c-Ind}_{H}^{G}\sigma)^{K}\simeq \bigoplus_{HgK\in H\backslash G/K} W^{H\cap gKg^{-1}}
$$
となる。また、$\operatorname{c-Ind}_{H}^{G}\sigma$ ではなく ${\rm Ind}_{H}^{G}\sigma$ の場合には、台が有限個とは限らない両側剰余類 $HgK$ の合併であるような関数 $f$ について考えていることになる。この場合も上記の $\operatorname{c-Ind}_{H}^{G}\sigma$ の場合とほぼ同様にして、
$$
({\rm Ind}_{H}^{G}\sigma)^{K}\simeq \prod_{HgK\in H\backslash G/K} W^{H\cap gKg^{-1}}
$$
となる。これらの主張を補題の形でまとめておこう。

{{theorem |type=lem |label=1 }}
$H$ を $G$ の閉部分群とし $(\sigma,W)$ を ${\rm Rep}(H)$ の対象とすると
$$(\operatorname{c-Ind}_{H}^{G}\sigma)^{K}\simeq \bigoplus_{HgK\in H\backslash G/K} W^{H\cap gKg^{-1}}, ({\rm Ind}_{H}^{G}\sigma)^{K}\simeq \prod_{HgK\in H\backslash G/K} W^{H\cap gKg^{-1}}$$ である。

このテキストで我々が興味があるのは $G=GL_{n}(F)$ で $H$ がその放物型部分群の場合である。この場合には $H\backslash G$ はコンパクトになり、コンパクト誘導表現と誘導表現は一致する。またこのとき、上記の補題より、${\rm Ind}_{H}^{G}$ は $H$ の許容表現を $G$ の許容表現へと写す。

{{theorem |type=prop |label=p4 }}
閉部分群 $H\subset G$ に対して $\operatorname{c-Ind}_{H}^{G}$ 及び ${\rm Ind}_{H}^{G}$ は完全関手である。
{{begin|proof}}
$(\sigma,W), (\tau,U)$ を $H$ のsmooth表現とし、$\psi\colon U\longrightarrow W$ を $H$ 射とする。このとき、$\psi$ が誘導する $G$ の表現の間の射
$$
{\rm Ind}_{H}^{G} \tau \longrightarrow {\rm Ind}_{H}^{G} \sigma
$$
が単射、または全射であるのは、$G$ の任意のコンパクト開部分群 $K$ に対して、$K$ 固定部分
$$
({\rm Ind}_{H}^{G} \tau)^{K} \longrightarrow ({\rm Ind}_{H}^{G} \sigma)^{K}
$$
が単射、または全射であることと同値である。$\psi$ が単射、または単射であれば、その $H\cap gKg^{-1}$ 固定部分空間
$$
\psi^{H\cap gKg^{-1}}\colon U^{H\cap gKg^{-1}} \longrightarrow W^{H\cap gKg^{-1}}
$$
もそうである。
$$
({\rm Ind}_{H}^{G} \tau)^{K} \longrightarrow ({\rm Ind}_{H}^{G} \sigma)^{K}
$$
や
$$
(c{\text -}{\rm Ind}_{H}^{G} \tau)^{K} \longrightarrow (c{\text -}{\rm Ind}_{H}^{G} \sigma)^{K}
$$
はこのような射を直積または直和で束ねたものだったことを思い出せば、関手 $\operatorname{c-Ind}_{H}^{G}$ 及び ${\rm Ind}_{H}^{G}$ の完全性がわかる。
{{end |proof }}

==調和解析とHecke代数==
===Haar測度===

ここでは、$G$ のHaar測度について説明する。コンパクトな台を持つ $G$ 上の局所定数関数全体のなす集合を $C_{c}^{\infty}(G)$ と書くことにする。
$$
C_{c}^{\infty}(G)=\{f\colon G\longrightarrow \mathbb{C}\mathrel{\vert}\text{局所定数的で } {\rm supp}(f) \text{ はコンパクト} \}
$$
$f\in C_{c}^{\infty}(G)$ とする。任意の元 $g\in G$ に対して $f$ の $g$ での値 $f(g)$ は $g$ のある開近傍で変わらない。$G$ は局所副有限群なので、あるコンパクト開部分群 $K_{1},K_{2}$ が存在して、任意の $k_{1}\in K_{1},k_{2}\in K_{2}$ に対して $f(k_{1}g)=f(gk_{2})=f(g)$ となる。特に $C_{c}^{\infty}(G)$ は $K_{1}gK_{2}$ という形をした $G$ の両側剰余類の特性関数たちで生成されている。さらに、$K_{1}gK_{2}$ は $K_{1}$ のコンパクト性から有限個の元 $a_{1},\ldots,a_{n}\in K_{1}$ を適当に取れば、$K_{1}gK_{2}=\bigcup_{i} a_{i}gK_{2}$ と分割できる。同様に $b_{1},\ldots, b_{m}\in K_{2}$ を適当に取れば $K_{1}gK_{2}=\bigcup_{j} K_{1}gb_{j}$ という分割もある。したがって、$C_{c}^{\infty}(G)$ はコンパクト開部分群の左(あるいは右)剰余類の特性関数たちによって生成されている。
$$
\lambda, \rho\colon G\longrightarrow \mathrm{Aut}_{\mathbb{C}}(C_{c}^{\infty}(G))
$$
をそれぞれ、$g\in G,f\in C_{c}^{\infty}(G)$ に対して、
$$\hspace{5pt} \lambda(g)f\colon~ G\longrightarrow \mathbb{C};x\longmapsto f(g^{-1}x)$$
及び
$$\rho(g)f\colon G\longrightarrow \mathbb{C};x\longmapsto f(xg)$$
と定めると、$(\lambda,C_{c}^{\infty}(G))$ と $(\rho,C_{c}^{\infty}(G))$ はどちらも $G$ のsmooth表現である。

{{theorem |type=lem |label=l1 }}
$K$ を $G$ のコンパクト開部分群とし、$^{K}C_{c}^{\infty}(G)$ を $G$ のsmooth表現 $(\lambda,C_{c}^{\infty}(G))$ の $K$ 不変な部分空間とする。このとき、$(\rho,C_{c}^{\infty}(G))$ の部分表現 $(\rho,^{K}C_{c}^{\infty}(G))$ は $G$ の表現として、$\operatorname{c-Ind}_{K}^{G}1_{K}$ と同型である。ただし、$1_{K}$ は $K$ の自明な表現のこととする。
{{begin|proof}}
$\operatorname{c-Ind}_{K}^{G}1_{K}$ の定義からただちに従う。
{{end |proof }}

{{theorem |type=thm |name=Haar測度の存在性と一意性 |label=thm1 }}
$G$ 上には、$0$ でない右不変な汎関数
$$
I\colon C_{c}^{\infty}(G)\longrightarrow \mathbb{C};f\longmapsto \int_{G}f(g)dg
$$
が定数倍を除いて一意的に存在する。
{{begin|proof}}
$I$ が右不変であるとは、任意の $g\in G$ と $f\in C_{c}^{\infty}(G)$ に対して $I(\rho(g)f)=I(f)$ を満たすことを言う。$G$ は加算基を持つHausdorffな局所コンパクトな位相群なので、可算個のコンパクト開部分群の族 $\{K_{n}\}$ であって、$\cap_{n} K_{n}=1$ となるものが存在する。$(\lambda,C_{c}^{\infty}(G))$ は $G$ のsmooth表現なので、特に
$$
C_{c}^{\infty}(G)=\varinjlim_{n} (^{K_{n}}C_{c}^{\infty}(G))
$$
となる。{{ref |type=lem |label=l1 }}と{{ref |type=prop |label=p3 }}より同型
$$
{\rm Hom}_{G}(C_{c}^{\infty}(G),\mathbb{C})\simeq\varinjlim_{n}{\rm Hom}_{G}(^{K_{n}}C_{c}^{\infty}(G),1_{G})\simeq \varinjlim_{n} {\rm Hom}_{K}(1_{K_{n}},1_{K_{n}})
$$
を得る。Schurの補題より ${\rm dim}_{\mathbb{C}}{\rm Hom}_{K}(1_{K_{n}},1_{K_{n}})=1$ である。したがって各 $n\in \mathbb{N}$ に対して $^{K_{n}}C_{c}^{\infty}(G)$ 上の右 $G$ 不変な汎関数 $I_{n}$ で $I_{n}(\mathbb{I}_{K_{n}})=\dfrac{1}{[K_{1}:K_{n}]}$ となるものがただ一つ存在する。ただし、$\mathbb{I}_{K_{n}}$ は $K_{n}$ の特性関数のこと。このとき $I_{n+1}\vert_{^{K_{n}}C_{c}^{\infty}(G)}=I_{n}$ である。入射系 $\{I_{n}\}_{n\in \mathbb{N}}$ の極限が $I$ である。
{{end |proof }}

右Haar測度と同様に左Haar測度についても、定数倍を除いて一意的に存在することを証明することが可能である。以降、左Haar測度を一つ固定して議論を進めよう。$G$ のコンパクトな開集合 $C$ に対して、$\mathbb{I}_{C}$ をその特性関数とする。このとき、
$$
\mu_{G}(C):=\int_{G} \mathbb{I}_{C}(g) dg
$$
のことを $C$ の測度という。

{{theorem | type=rem | label=1 }}
我々はここで積分を
$$
\int_{G} f(g) dg
$$
のように書いているが、正しくは $G$ の左Haar測度 $\mu_{G}$ を一つ選んで固定し
$$
\int_{G}f(g)d\mu_{G}(g)
$$
などと書くべきである。

{{theorem |type=def |name=モジュラー関数 |label=1 }}
$I$ を $G$ 上の左Haar測度とする。このとき
$$
I(\rho(g))\colon C_{c}^{\infty}(G)\longrightarrow \mathbb{C};f\longmapsto I(\rho(g)f)=\int_{G}f(xg)dx
$$
も $G$ 上の左Haar測度となるので、ある $\delta(g)\in \mathbb{C}^{\times}$ が存在して $\delta(g)I(\rho(g))=I$ となる。$\delta=\delta_{G}\colon G\longrightarrow \mathbb{C}^{\times}$ は準同型であり、この準同型のことを $G$ のモジュラー関数もしくはモジュラー指標という。モジュラー関数は、$G$ 上の測度の取り方に依存せずに決まる。もし $\delta_{G}=1$ なら局所副有限群 $G$ はユニモジュラーであるという。

$G$ のコンパクト開部分群 $K$ をとり、モジュラー関数を計算すると
$$
\delta_{G}(g)=\dfrac{\mu_{G}(K)}{\mu_{G}(g^{-1}Kg)}=\dfrac{[K:g^{-1}Kg\cap K]}{[g^{-1}Kg:g^{-1}Kg\cap K]}
$$
となる。この値は $K$ の取り方に依存しない。

モジュラー関数の例を二つほど列挙しよう。
{{theorem |type=exa |label=1 }}
$G=GL_{2}(F)$ とする。このとき、$g\in G$ に対して $\delta(g)$ を計算しよう。Cartan分解により、$g=g_{1}{\rm diag}(t^{a_{1}},t^{a_{2}})g_{2} ~ (a_{1}\leq a_{2}, g_{1}, g_{2}\in GL_{2}(\mathscr{O}_{F}))$ と書ける。$\delta(g_{1})=\delta(g_{2})=1$ なので初めから $g={\rm diag}(t^{a_{1}},t^{a_{2}})$ としてよい。ただし、$t$ は $F$ の素元である。このとき、$g^{-1}GL_{2}(\mathscr{O}_{F})g$ と $g^{-1}GL_{2}(\mathscr{O}_{F})g\cap GL_{2}(\mathscr{O}_{F})$ はそれぞれ
$$\hspace{50pt} g^{-1}GL_{2}(\mathscr{O}_{F})g=\left\{\left(
<nowiki>
\begin{array}{cc}
a & bt^{a_{2}-a_{1}} \\
ct^{a_{1}-a_{2}} & d
\end{array}
</nowiki>\right)\in GL_{2}(F)\mathrel{\vert}\left(
<nowiki>
\begin{array}{cc}
a & b \\
c & d
\end{array}
</nowiki>\right)\in GL_{2}(\mathscr{O}_{F}) \right\},
$$
$$g^{-1}GL_{2}(\mathscr{O}_{F})g\cap GL_{2}(\mathscr{O}_{F})=\left\{\left(
<nowiki>
\begin{array}{cc}
a & bt^{a_{2}-a_{1}} \\
ct^{a_{1}-a_{2}} & d
\end{array}
</nowiki>\right)\in GL_{2}(\mathscr{O}_{F})\mathrel{\vert}\left(
<nowiki>
\begin{array}{cc}
a & b \\
c & d
\end{array}
</nowiki>\right)\in GL_{2}(\mathscr{O}_{F}) \right\}
$$
となる。$GL_{2}(\mathscr{O}_{F})$ の $\mathbb{P}^{1}(\mathscr{O}_{F}/(t^{a_{2}-a_{1}}))$ への次のような作用を考える。
$$
GL_{2}(\mathscr{O}_{F})\times \mathbb{P}^{1}(\mathscr{O}_{F}/(t^{a_{2}-a_{1}}))\longrightarrow \mathbb{P}^{1}(\mathscr{O}_{F}/(t^{a_{2}-a_{1}})) ~; \left(
<nowiki>
\begin{array}{cc}
a & b \\
c & d
\end{array}
</nowiki>\right)\times \left[
<nowiki>
\begin{array}{c}
x_{0} ~{\rm mod}~ t^{a_{2}-a_{1}}\\
x_{1} ~{\rm mod}~ t^{a_{2}-a_{1}}
\end{array}
</nowiki>\right]\longmapsto
\left[
<nowiki>
\begin{array}{c}
ax_{0}+bx_{1} ~{\rm mod}~ t^{a_{2}-a_{1}}\\
cx_{1}+dx_{1} ~{\rm mod}~ t^{a_{2}-a_{1}}
\end{array}
</nowiki>\right].
$$
この作用は推移的であり、点 $\left[
<nowiki>
\begin{array}{c}
0 ~{\rm mod}~ t^{a_{2}-a_{1}}\\
1 ~{\rm mod}~ t^{a_{2}-a_{1}}
\end{array}
</nowiki>\right]$ の固定部分群は $g^{-1}GL_{2}(\mathscr{O}_{F})g\cap GL_{2}(\mathscr{O}_{F})$ であることが簡単に確かめられる。よって
$$
\dfrac{GL_{2}(\mathscr{O}_{F})}{g^{-1}GL_{2}(\mathscr{O}_{F})g\cap GL_{2}(\mathscr{O}_{F})}\simeq \mathbb{P}^{1}(\mathscr{O}_{F}/(t^{a_{2}-a_{1}}))
$$
であり、同じような考え方で
$$
\dfrac{g^{-1}GL_{2}(\mathscr{O}_{F})g}{g^{-1}GL_{2}(\mathscr{O}_{F})g\cap GL_{2}(\mathscr{O}_{F})}\simeq \mathbb{P}^{1}(\mathscr{O}_{F}/(t^{a_{2}-a_{1}}))
$$
も示せる。したがって $\delta(g)=1$ であり $GL_{2}(F)$ はユニモジュラーである。より一般に $GL_{n}(F)$ もそうである。

{{theorem |type=exa |label=1 }}
次の例題として、$GL_{2}(F)$ の上三角行列のなすBorel部分群 $B$ のモジュラー関数について考察しよう。$B$ のLevi部分群は $$
T
=\left\{\left(
<nowiki>
\begin{array}{cc}
a & 0 \\
0 & b
\end{array}
</nowiki>\right) \mathrel{\vert} a, b\in F^{\times}
\right\}\simeq F^{\times}\times F^{\times}
$$
という形をしたトーラスであり、$B$ の冪単部分群は
$$
\hspace{-50pt}
U=\left\{\left(
<nowiki>
\begin{array}{cc}
1 & x \\
0 & 1
\end{array}
</nowiki>\right) \mathrel{\vert} x\in F
\right\}\simeq F
$$
である。$B$ の元は $s\in T, u\in U$ の積で書けて、$B$ のモジュラー関数は
$$
\delta_{B}\colon B\longrightarrow \mathbb{C}^{\times};su\longmapsto \dfrac{\|s_{2}\|}{\|s_{1}\|}
$$
である。ここで $s={\rm diag}(s_{1},s_{2})$ である。例えば、$B$ のコンパクト開部分群として
$$
K
=\left\{\left(
<nowiki>
\begin{array}{cc}
a & x \\
0 & b
\end{array}
</nowiki>\right) \mathrel{\vert} a, b\in \mathscr{O}_{F}^{\times}, x\in \mathscr{O}_{F}
\right\}
$$
というものを取ってくると、任意の $u\in U$ に対しては $u^{-1}Ku=K$ であり、$s=\left(
<nowiki>
\begin{array}{cc}
s_{1} & 0 \\
0 & s_{2}
\end{array}
</nowiki>\right)\in T$ に対しては
$$
\delta_{B}(s)=\dfrac{[K:s^{-1}Ks\cap K]}{[s^{-1}Ks:s^{-1}Ks\cap K]}=\dfrac{\|s_{2}\|}{\|s_{1}\|}
$$
となることが簡単な計算により確認できる。より一般に、$n$ の分割 $\alpha=(n_{1},\ldots, n_{r})$ に対応する $GL_{n}(F)$ の放物型部分群 $P_{\alpha}$ に対して、$\delta_{P_{\alpha}}$ は $U_{\alpha}$ 上自明であり、$x=(x_{1},\ldots, x_{r})\in GL_{n_{1}}(F)\times \cdots \times GL_{n_{r}}(F)$ に対しては $\delta_{P_{\alpha}}(x)=\prod_{i=1,\cdots,r}\|{\rm det}(x_{i}) \|^{\sum_{i<j}n_{j}-\sum_{i>j}n_{j}}$ となる。

{{theorem |type=def |name=直積測度 |label=1 }}
$G_{1}, G_{2}$ を局所副有限群とすると、$G=G_{1}\times G_{2}$ も局所副有限群であり、$f^{1}_{i}\in C_{c}^{\infty}(G_{1}), f^{2}_{i}\in C_{c}^{\infty}(G_{2})$ を取り、$\sum_{i}f^{1}_{i}\otimes f^{2}_{i}\in C_{c}^{\infty}(G_{1})\otimes C_{c}^{\infty}(G_{2})$ に対して
$$
(g_{1},g_{2})\longmapsto \sum_{i}f^{1}_{i}(g_{1})f^{2}_{i}(g_{2})
$$
は $C_{c}^{\infty}(G)$ の元である。このようにして $C_{c}^{\infty}(G_{1})\otimes C_{c}^{\infty}(G_{2})\longrightarrow C_{c}^{\infty}(G)$ を定める。一般の $C_{c}^{\infty}(G)$ の元は $f^{1}\otimes f^{2}$ という形の元で生成されるので、$C_{c}^{\infty}(G_{1})\otimes C_{c}^{\infty}(G_{2})\longrightarrow C_{c}^{\infty}(G)$ は同型である。また、$\mu_{1}, \mu_{2}$ をそれぞれ $G_{1}$ 及び $G_{2}$ の左Haar測度とすると、$G$ の左Haar測度 $\mu$ を
$$
\int_{G}f_{1}\otimes f_{2}((g_{1},g_{2}))d\mu(g):=\int_{G_{1}}f_{1}(g_{1})d\mu_{1}(g_{1}) \int_{G_{2}}f_{2}(g_{2})d\mu_{2}(g_{2})
$$
で与えられるものとして定義する。$\mu=\mu_{1}\otimes \mu_{2}$ と書く。

===Hecke代数===
$G$ が[[有限群]]のとき、$G$ の表現は自然に[[群環]] $\mathbb{C}[G]$ 上の加群と見なせた。特に ${\rm Rep}(G)$ は $\mathbb{C}[G]$ 加群の圏と圏同値であった。$G$ が局所副有限群のときも、$G$ のsmooth表現を適当な代数上の加群と見なせれば何かと便利である。

{{theorem |type=def |name=Hecke代数 |label=1 }}
$G$ を局所副有限群とし、$\mu_{G}$ を $G$ の左Haar測度とする。このとき、$C_{c}^{\infty}(G)$ の二つの元 $f_{1}, f_{2}$ に対して、その畳み込み積を
$$
(f_{1}*f_{2})(g):=\int_{G} f_{1}(x)f_{2}(x^{-1}g) d\mu_{G}(x)
$$
と定義すると、$f_{1}*f_{2}$ は再び $C_{c}^{\infty}(G)$ の元になる。$(C_{c}^{\infty}(G),*)$ のことを $G$ のHecke代数といい、$\mathcal{H}(G)$ と書く。

{{theorem |type=lem | label=1 }}
任意の局所副有限群 $G$ に対して、そのHecke代数 $\mathcal{H}(G)$ は結合代数である。
{{begin|proof}}
$f_{1}, f_{2}, f_{3}\in \mathcal{H}(G)$ とし、$(f_{1}*f_{2})*f_{3}=f_{1}*(f_{2}*f_{3})$ を示す。
\begin{align}
(f_{1}*f_{2})*f_{3}(g)&=\int_{G} (f_{1}*f_{2})(x)f_{3}(x^{-1}g) dg \\
&=\int_{G}\int_{G} f_{1}(y)f_{2}(y^{-1}x)f_{3}(x^{-1}g)dydx \\
&=\int_{G}\left(\int_{G} f_{1}(y)f_{2}(y^{-1}x)f_{3}(x^{-1}g)dx\right)dy \\
\end{align}
$y^{-1}x$ を $z$ で置き換えると左不変性から $d(y^{-1}x)=dz$ かつ $x^{-1}g=z^{-1}y^{-1}g$ なので、上の式は
\begin{align}
\hspace{-77pt} \int_{G}\left(\int_{G} f_{1}(y)f_{2}(y^{-1}x)f_{3}(x^{-1}g)dx\right)dy
&=\int_{G}\left(\int_{G} f_{1}(y)f_{2}(z)f_{3}(z^{-1}y^{-1}g)dz\right)dy　\\
&=\int_{G} f_{1}(y)(f_{2}*f_{3})(y^{-1}g)dy \\
&=f_{1}*(f_{2}*f_{3})(g)
\end{align}
となる。したがって、$\mathcal{H}(G)$ は結合的である。
{{end |proof }}

Hecke代数は左Haar測度の取り方に依存するが、二つの異なる左Haar測度から定まる二つのHecke代数の間には、定数倍の違いしかない。よって、今後も特に気にせず、Hecke代数と言えば、適当に左Haar測度をとったものとして議論を進める。

{{theorem |type=rem |label=1 }}
$G$ が非可換なら $\mathcal{H}(G)$ も非可換である。

$K$ を $G$ のコンパクト開部分群とし、$e_{K}=\mu_{G}(K)^{-1}\mathbb{I}_{K}$ とする。ただし $\mathbb{I}_{K}\colon G\longrightarrow \mathbb{C}$ は $K$ の特性関数のことである。$e_{K}$ は $\mathcal{H}(G)$ の冪等元である。すなわち、$e_{K}*e_{K}=e_{K}$ が成り立つ。実際、
\begin{align}
e_{K}*e_{K}(g)&=\int_{G}e_{K}(x)e_{K}(x^{-1}g)dx \\
\end{align}
であり、もし、$g\notin K$ なら $x$ と $x^{-1}g$ のどちらか一方は $K$ に入らず、被積分関数の値は $0$ である。もし $g\in K$ なら
\begin{align}
e_{K}*e_{K}(g)&=\int_{G}e_{K}(x)e_{K}(x^{-1}g)dx \\
&=\int_{K} \mu_{G}(K)^{-2}dx \\
&=\mu_{G}(K)^{-1}
\end{align}
となるので、$e_{K}*e_{K}=e_{K}$ である。

{{theorem |type=prop | label=p5 }}
$G$ を局所副有限群とし、$K$ をそのコンパクト開部分群とする。
* (1) 任意の $f\in \mathcal{H}(G)$ に対して $f$ が左 $K$ 不変であるのは $f=e_{K}*f$ となるとき、またそのときに限る。
* (2) 任意の $f\in \mathcal{H}(G)$ に対して $f$ が右 $K$ 不変であるのは $f=f*e_{K}$ となるとき、またそのときに限る。
* (3) $\mathcal{H}(G,K)=e_{K}*\mathcal{H}(G)*e_{K}$ は単位元 $e_{K}$ を持つ単位的な代数である。
{{begin|proof}}
* (1). もし $f=e_{K}*f$ ならば $\mu_{G}$ の左不変性から
\begin{align}
f(kg)&=e_{K}*f(kg) \\
&=\int_{G}e_{K}(x)f(x^{-1}kg)dx \\
&=\int_{G}e_{K}(kx)f(x^{-1}g)dx \\
&=\int_{G}e_{K}(x)f(x^{-1}g)dx \\
&=e_{K}*f(g)=f(g) ~(\forall k\in K, \forall g\in G).
\end{align}
逆に $f$ が左 $K$ 不変ならば $f(g)=e_{K}*f(g)$ であることは容易に確かめられる。
* (2) もし $f=f*e_{K}$ ならば
\begin{align}
f(gk)&=f*e_{K}(gk) \\
&=\int_{G}f(x)e_{K}(x^{-1}gk)dx \\
&=\int_{G}f(x)e_{K}(x^{-1}g)dx \\
&=f*e_{K}(g)=f(g) ~(\forall k\in K, \forall g\in G)
\end{align}
となり、$f$ は右 $K$ 不変である。逆にもし $f$ が右 $K$ 不変なら
\begin{align}
\hspace{-70pt} f(g)&=\dfrac{1}{\mu_{G}(K)}\int_{K}f(g)dx \\
&=\dfrac{1}{\mu_{G}(K)}\int_{K}f(gx)dx \\
&=\dfrac{1}{\mu_{G}(g^{-1}K)}\int_{g^{-1}K}f(x)dx \\
&=\int_{G}f(x)e_{K}(x^{-1}g) dx \\
&=f*e_{K}(g)
\end{align}
となる。
* (3) これは上の(1)と(2)からわかる。
{{end |proof }}

$\mathcal{H}(G)$ は $K$ が $G$ のコンパクト開部分群全体を走るとき、
$$
\mathcal{H}(G)=\bigcup_{K} \mathcal{H}(G,K)
$$
となる。実際、$f\in C_{c}^{\infty}(G)$ に対して、あるコンパクト開部分群 $K_{1}, K_{2}$ が存在して $f$ は左 $K_{1}$ 不変であり右 $K_{2}$ 不変である。このとき、$f\in \mathcal{H}(G,K_{1}\cap K_{2})$ であることが上記の命題からわかる。

次に、Hecke代数上の加群について見てみよう。
{{theorem |type=def |name=smooth加群 |label=1 }}
$\mathcal{H}(G)$ 上の左加群 $M$ に対して、$M$ への $\mathcal{H}(G)$ の自然な作用を
$$
\mathcal{H}(G)\times M\longrightarrow M; (f,m)\longmapsto f*m
$$
と書くことにする。$M$ が(左)smooth加群であるとは、$M=\bigcup_{K} e_{K}*M$ となることを意味する。ここで $K$ は $G$ のコンパクト開部分群全体を走る。右smooth加群も同様に定義できる。

局所副有限群 $G$ に対して、$\mathcal{H}(G)$ 上のsmooth加群のなす圏は、$G$ のsmooth表現のなす圏と自然に圏同値になる。今からそのことを見ていこう。

{{theorem |type=lem | label=l6 }}
$M$ を $\mathcal{H}(G)$ 上のsmooth加群とすると、自然な射
$$
\mathcal{H}(G)\otimes_{\mathcal{H}(G)} M\longrightarrow M; \sum f_{i}\otimes m_{i} \longmapsto \sum f_{i}*m_{i}
$$
は同型になる。
{{begin|proof}}
$\mathcal{H}(G)$ が単位元を持たないので、$\mathcal{H}(G)\otimes_{\mathcal{H}(G)} M\simeq M$ という主張は非自明なものである。$M=\bigcup_{K} e_{K}*M$ なので、この射は全射である。$\sum_{i=1}^{r} f_{i}\otimes m_{i}$ をこの射の核の元とする。$\mathcal{H}(G)=\bigcup_{K} e_{K}*\mathcal{H}(G)*e_{K}$ かつ $M=\bigcup_{K} e_{K}*M$ なので、$f_{1},\ldots, f_{r}\in \mathcal{H}(G,K)$ かつ $m_{1},\ldots, m_{r}\in e_{K}*M$ となるコンパクト開部分群 $K$ が取れる。このとき、$\sum f_{i}\otimes m_{i}=\sum e_{K}*f_{i}*e_{K}\otimes e_{K}*m_{i}=e_{K}\otimes \sum f_{i}*m_{i}=0$ となるので、$\mathcal{H}(G)\otimes_{\mathcal{H}(G)} M\longrightarrow M; \sum f_{i}\otimes m_{i} \longmapsto \sum f_{i}*m_{i}$ は単射になる。
{{end |proof }}

$(\pi,V)$ を $G$ のsmooth表現とし、$f\in \mathcal{H}(G), v\in V$ とする。このとき、
$$
\pi(f)v:=\int_{G} f(g)\pi(g)v dg
$$
とすると、これは有限和で $\pi(f)v\in V$ となる。$f_{1}, f_{2}\in \mathcal{H}(G)$ に対して
\begin{align}
\pi(f_{1}*f_{2})v&=\int_{G}(f_{1}*f_{2})(g)\pi(g)vdg \\
&=\int_{G}\int_{G}f_{1}(x)f_{2}(x^{-1}g)\pi(g)vdxdg \\
&=\int_{G}f_{1}(x)\left(\int_{G} f_{2}(x^{-1}g)\pi(g)vdg \right)dx \\
&=\int_{G}f_{1}(x)\pi(x)\pi(f_{2})v dx \\
&=\pi(f_{1})\pi(f_{2})v
\end{align}
となるので、$\mathcal{H}(G)\longrightarrow {\rm End}_{G}(V)$ は代数の準同型になる。このようにして $G$ のsmooth表現を $\mathcal{H}(G)$ のsmooth加群と見なせる。また、$M$ を $\mathcal{H}(G)$ 上のsmooth加群としたとき、$G$ を同型 $\mathcal{H}(G)\otimes_{\mathcal{H}(G)} M\simeq M$ を通じて、第一成分の $\mathcal{H}(G)$ に左変換 $\lambda$ で作用させると、$M$ は $G$ のsmooth表現になる。

{{theorem |type=thm |label=thm2 }}
上記の方法により ${\rm Rep}(G)$ は smooth $\mathcal{H}(G)$ 加群のなす圏 $\mathcal{H}(G)\text{-}{\rm Mod}$ と自然に圏同値である。
{{begin|proof}}
$(\pi,V)$ を $G$ のsmooth表現とし、$g\in G, f\in \mathcal{H}(G)$ とする。任意の $v\in V$ に対して
\begin{align}
\pi(\lambda(g)f)v
&=\int_{G}f(g^{-1}x)\pi(x)vdx \\
&=\int_{G}f(x)\pi(gx)vdx \\
&=\pi(g)\left(\int_{G}f(x)\pi(x)vdx\right) \\
&=\pi(g)(\pi(f)v)
\end{align}
となる。したがって $(\pi,V)$ を $\mathcal{H}(G)$ 加群と見なした後、再びそれを $G$ のsmooth表現と見なしたものは $(\pi,V)$ と同型であり、$\mathcal{H}(G)\text{-}{\rm Mod} \longrightarrow {\rm Rep}(G)$ は本質的に全射である。これが充満忠実であることを確かめよう。$(\pi_{1},V_{1})$ と $(\pi_{2},V_{2})$ を $G$ のsmooth表現とする。$\psi\colon V_{1}\longrightarrow V_{2}$ を $G$ 射とすると、$G$ 射の定義より任意の $g\in G$ に対して、$\psi\circ \pi_{1}(g)=\pi_{2}(g)\circ \psi$ となる。任意の $f\colon \mathcal{H}(G)$ に対して $\pi(f)v$ は有限個の $\pi(g)v$ たちの和なので、特に $\psi\circ \pi_{1}(f)=\pi_{2}(f)\circ \psi$ であるので、$\psi$ は $\mathcal{H}(G)$ 加群の準同型である。逆に $\mathcal{H}(G)$ 加群の準同型が $G$ 射であることも同様に確かめることができる。
{{end |proof }}

{{theorem |type=lem |label=l8 }}
$K$ を $G$ のコンパクト開部分群とし、$(\pi,V)$ を $G$ のsmooth表現とすると、$\pi(e_{K})$ は自然な $K$ 射影 $V\longrightarrow V^{K}$ であり、${\rm Ker}(\pi(e_{K}))$ は $\{v-\pi(k)v\mathrel{\vert} v\in V, k\in K\}$ が生成する $V$ の部分空間 $V(K)$ と等しい。
{{begin|proof}}
任意の $k\in K$ と $v\in V$ に対して、
$$
\pi(k)\pi(e_{K})v=\pi(e_{K})\pi(k)v=\pi(e_{K})v
$$
なので、$\pi(e_{K})(V(K))=0$ であり $\pi(e_{K})$ は $K$ 射 $V\longrightarrow V^{K}$ である。$e_{K}$ は冪等元なので ${\rm Ker}(\pi(e_{K}))={\rm Im}({\rm id}_{V}-\pi(e_{K}))$ となるが、この元は $V(K)$ に属する。実際、任意の $v\in V$ と $k\in K$ に対して $K_{v}={\rm Stab}_{G}(v)\cap K$ とすると、
$$
v-\pi(e_{K})v=\sum_{s\in K/K_{v}}\left(\dfrac{1}{[K:K_{v}]}v-\dfrac{1}{[K:K_{v}]}\pi(s)v\right) \in V(K)
$$
である。
{{end |proof }}

次に $G$ の既約表現と $\mathcal{H}(G)$ 上の単純加群とを比較しよう。
{{theorem |type=prop | label=p6 }}
* (1) $(\pi,V)$ を $G$ の既約表現とすると、$G$ の任意のコンパクト開部分群 $K$ に対して、$V^{K}=0$ であるかまたは $V^{K}$ は $\mathcal{H}(G,K)$ 上の単純加群になる。
* (2) 次のような $1$対$1$対応が存在する。
$$
\left\{
(\pi,V)\in {\rm Rep}(G) \mathrel{\vert} \text{既約かつ } V^{K}\neq 0
\right\}/\simeq \longleftrightarrow
\left\{
\text{単純 } \mathcal{H}(G,K) \text{ 加群}
\right\}/\simeq
$$
{{begin|proof}}
* (1) $(\pi,V)$ を $G$ の既約表現で $V^{K}\neq 0$ でないとすると $V^{K}=\pi(e_{K})V$ は $\mathcal{H}(G,K)$ 加群である。$M$ を $V^{K}$ の非自明な部分加群とすると、$\pi(\mathcal{H}(G))M$ は $V$ の部分表現となり、$V$ の既約性から、これは $V$ と等しい。したがって、
$$
V^{K}=\pi(e_{K})V=\pi(e_{K})\pi(\mathcal{H}(G))M=\pi(\mathcal{H}(G,K))M=M
$$
となるので、$V^{K}$ は $\mathcal{H}(G,K)$ 上の単純加群である。
* (2) $V^{K}\neq 0$ となる既約smooth表現 $(\pi,V)$ に対して、(1)より $V^{K}$ が単純 $\mathcal{H}(G,K)$ 加群になる。逆に $M$ を単純 $\mathcal{H}(G,K)$ 加群としたとき $V^{K}=M$ となる既約表現 $(\pi,V)$ を構成しよう。まず $U=\mathcal{H}(G)\otimes_{\mathcal{H}(G,K)} M$ とし、これを自然に $G$ のsmooth表現とみなす。$G$ は $U$ の第一成分の $\mathcal{H}(G)$ に左変換 $\lambda$ で作用している。このとき、
$$
U^{K}=e_{K}*\mathcal{H}(G)\otimes_{\mathcal{H}(G,K)} M\simeq M
$$
となる。集合 $\{W\subset U\mathrel{\vert} W^{K}=0\}$ を考えると、これは包含関係により半順序集合となる。[[Zornの補題]]より、この集合の極大元 $X$ が存在する。$V=U/X$ が $M$ に対応する既約表現である。$V$ の同型類が $M$ の同型類にのみ依存することを示そう。$f\colon M\longrightarrow M^{'}$ を $\mathcal{H}(G,K)$ 加群の同型射とすると、これは $G$ 同型射
$$
{\rm id}\otimes f\colon U=\mathcal{H}(G)\otimes_{\mathcal{H}(G,K)} M \longrightarrow \mathcal{H}(G)\otimes_{\mathcal{H}(G,K)} M^{'}=U^{'}
$$
に一意的に拡張できる。このとき、$X^{'}\subset U^{'}$ をこの同型による $X\subset U$ の像とすると、$X^{'}$ は $K$ 不変部分が消滅する $U^{'}$ の極大な部分空間であり、$U/X\simeq U^{'}/X^{'}$ となる。
{{end |proof }}

==Smooth表現の基礎 (II)==

===誘導表現とコンパクト誘導表現再論===

ここではHecke代数 $\mathcal{H}(G)$ を用いて、smooth表現の様々な言葉を再解釈していく。$G$ を局所副有限群とし、$H$ をその閉部分群としよう。このとき、${\rm Rep}(G)$ と ${\rm Rep}(H)$ との間には、
$$
\operatorname{c-Ind}_{H}^{G}, {\rm Ind}_{H}^{G}\colon {\rm Rep}(H) \longrightarrow {\rm Rep}(G)
$$
及び
$$
{\rm Res}_{H}^{G}\colon {\rm Rep}(G) \longrightarrow {\rm Rep}(H)
$$
があった。これらの重要な関手をHecke代数上のsmooth加群の言葉に翻訳しよう。

{{theorem |type=lem |label=1 }}
$$
L_{H}\colon \mathcal{H}(H)\times \mathcal{H}(G)\longrightarrow \mathcal{H}(G); (\phi,f)\longmapsto \left(g\longmapsto \int_{H}\phi(h)f(h^{-1}g) dh\right),
$$

とすると、$L_{H}$ により $\mathcal{H}(G)$ は $\mathcal{H}(H)$ 上の左smooth加群となる。
{{begin|proof}}
$L_{H}$ により、$\mathcal{H}(G)$ が左 $\mathcal{H}(H)$ 加群になることを示そう。$\phi_{1},\phi_{2}\in \mathcal{H}(H)$ とし、$f\in \mathcal{H}(G)$ とする。このとき
\begin{align}
\left(L_{H}(\phi_{1}*\phi_{2})f\right)(g)&=\int_{H}\phi_{1}*\phi_{2}(h)f(h^{-1}g)dh \\
&=\int_{H}\left(\int_{H}\phi_{1}(x)\phi_{2}(x^{-1}h)dx \right)f(h^{-1}g)dh \\
&=\int_{H}\int_{H}\phi_{1}(x)\phi_{2}(x^{-1}h)f(h^{-1}g)dxdh \\
&=\int_{H}\int_{H}\phi_{1}(x)\phi_{2}(x^{-1}h)f(h^{-1}g)dhdx \\
&=\int_{H}\int_{H}\phi_{1}(x)\phi_{2}(h)f(h^{-1}x^{-1}g)dhdx \\
&=\int_{H}\phi_{1}(x)L_{H}(\phi_{2})f(x^{-1}g)dx \\
&=L_{H}(\phi_{1})L_{H}(\phi_{2})f(g)
\end{align}
さらに、もし $f\in \mathcal{H}(G,K)$ とすると、$L_{H}(e_{H\cap K})f=f$ である。実際、
\begin{align}
L_{H}(e_{H\cap K})f(g)&=\int_{H}e_{H\cap K}(h)f(h^{-1}g)dh \\
&=\mu_{H}(H\cap K)^{-1}\int_{H\cap K}f(g)dh \\
&=f(g)
\end{align}
となるので、$L_{H}$ により $\mathcal{H}(G)$ は $\mathcal{H}(H)$ 上の左smooth加群になる。
{{end |proof }}

$L_{H}$ により $\mathcal{H}(G)$ を $\mathcal{H}(H)$ 上の左smooth加群と見なしたものを便宜上 $\mathcal{H}(G)_{L}$ と書くことにする。制限関手 ${\rm Res}_{H}^{G}\colon {\rm Rep}(G)\longrightarrow {\rm Rep}(H)$ は $G$ のsmooth表現を $\mathcal{H}(G)$ の上のsmooth加群と見なしたとき、$L_{H}$ により $\mathcal{H}(H)$ 上のsmooth加群と見なすことに対応した関手である。

{{theorem |type=lem |label=1 }}
$(\sigma,W)$ を $H$ のsmooth表現とする。
$$
\Psi\colon {\rm Ind}_{H}^{G}\sigma \longrightarrow {\rm Hom}_{\mathcal{H}(H)}(\mathcal{H}(G)_{L},\sigma); f\longmapsto \left(f^{'}\longmapsto \int_{G}f(x^{-1})f^{'}(x)dx\right)
$$
とする。このとき、$\Psi$ は $G$ 射であり、$(\sigma,W)$ について関手的である。
{{begin|proof}}
$\mathcal{H}(G)_{L}$ には $\mathcal{H}(G)$ 上の右加群であり対応する $G$ の右作用として、$G\times \mathcal{H}(G)_{L}\longmapsto \mathcal{H}(G)_{L};(g,f^{'})\longmapsto \lambda(g^{-1})f^{'}$ が入っていることに注意する。簡単な計算により
$$
\Psi(\Sigma(g)f)f^{'}=\Psi(f)(\lambda(g^{-1})f^{'})
$$
が確認できる。よって $\Psi$ は $G$ 射である。関手的なのは明らかである。
{{end |proof }}

上記の証明では、${\rm Hom}_{\mathcal{H}(H)}(\mathcal{H}(G)_{L},\sigma)$ に入る $G$ の表現としての構造について言及した。逆に ${\rm Ind}_{H}^{G}\sigma$ に入る $\mathcal{H}(G)$ 加群の構造は、
$$
\mathcal{H}(G)\times {\rm Ind}_{H}^{G}\sigma \longrightarrow {\rm Ind}_{H}^{G}\sigma; (f_{1},f_{2})\longrightarrow f_{1}*f_{2}
$$
である。ただし、$f_{1}*f_{2}$ は通常の畳み込み積と同様
$$
f_{1}*f_{2}(g)=\int_{G} f_{1}(x)f_{2}(x^{-1}g)dx \in W
$$
のことである。$f_{1}\in \mathcal{H}(G)$ 及び $f_{2}\in {\rm Ind}_{H}^{G}\sigma$ に対して $\Psi(f_{1}*f_{2})=f_{1}*\Psi(f_{2})$ である。一方で、$\mathcal{H}(G)_{L}$ には次のような右 $\mathcal{H}(G)$ 加群の構造
$$
\mathcal{H}(G)_{L}\times \mathcal{H}(G)\longrightarrow \mathcal{H}(G)_{L};(f,\phi)\longmapsto \phi*f
$$
を持ち、${\rm Hom}_{\mathcal{H}(H)}(\mathcal{H}(G)_{L},\sigma)$ に付随する左 $\mathcal{H}(G)$ 加群の構造が入る。このとき、次の図式は可換である。

<nowiki>
\begin{xy}
\xymatrix{
\mathcal{H}(G)\times \mathrm{Ind}_{H}^{G}\sigma \ar[r] \ar[d] & \mathrm{Ind}_{H}^{G}\sigma \ar[d] \\
\mathcal{H}(G)\times \mathrm{Hom}_{\mathcal{H}(H)}(\mathcal{H}(G)_{L},\sigma) \ar[r] & \mathrm{Hom}_{\mathcal{H}(H)}(\mathcal{H}(G)_{L},\sigma)
}
\end{xy}
</nowiki>

{{theorem |type=prop |label=p7 }}
$H$ のsmooth表現 $(\sigma, W)$ に対して、$\Psi$ は同型である。すなわち ${\rm Ind}_{H}^{G}\sigma\simeq {\rm Hom}_{\mathcal{H}(H)}(\mathcal{H}(G)_{L},\sigma)$ である。
{{begin|proof}}
これは、Frobenius相互律から従う。実際、$(\pi,V)$ を $G$ のsmooth表現とすると
\begin{align}
{\rm Hom}_{\mathcal{H}(G)}(\pi,{\rm Hom}_{\mathcal{H}(H)}(\mathcal{H}(G)_{L},\sigma))&\simeq {\rm Hom}_{\mathcal{H}(H)}(\mathcal{H}(G)\otimes_{\mathcal{H}(G)}\pi, \sigma) \\
&\simeq {\rm Hom}_{\mathcal{H}(H)}({\rm Res}_{H}^{G}\pi,\sigma)
\end{align}
となる。随伴関手は同型を除いて一意的なので、${\rm Ind}_{H}^{G}\sigma\simeq {\rm Hom}_{\mathcal{H}(H)}(\mathcal{H}(G)_{L},\sigma)$ である。
{{end |proof }}

次に我々はコンパクト誘導表現について考察しよう。

{{theorem |type=lem |label=1 }}
$$
R_{H}\colon \mathcal{H}(G)\times \mathcal{H}(H)\longrightarrow \mathcal{H}(G); (f,\phi)\longmapsto \left( g\longmapsto \int_{H}f(hg)\phi(h)dh \right)
$$
とすると、$R_{H}$ により $\mathcal{H}(G)$ は $\mathcal{H}(H)$ 上の右smooth加群となる。
{{begin|proof}}
$R_{H}$ により、$\mathcal{H}(G)$ が右 $\mathcal{H}(H)$ 加群になることを示そう。$\phi_{1},\phi_{2}\in \mathcal{H}(H)$ とし、$f\in \mathcal{H}(G)$ とする。
\begin{align}
R_{H}(\phi_{1}*\phi_{2})f(g)&=\int_{H}f(hg)\phi_{1}*phi_{2}(h)dh \\
&=\int_{H}\int_{H}f(hg)\phi_{1}(x)\phi_{2}(x^{-1}h)dxdh \\
&=\int_{H}\int_{H}f(hg)\phi_{1}(x)\phi_{2}(x^{-1}h)dhdx \\
&=\int_{H}\int_{H}f(xhg)\phi_{1}(x)\phi_{2}(h)dhdx \\
&=\int_{H}R_{H}(\phi_{1})f(hg)\phi_{2}(h)dh \\
%=R_{H}(\phi_{2})R_{H}(\phi_{1})f(g)
\end{align}
となり、右加群であることがわかる。さらにsmooth加群であることも $L_{H}$ の場合と同様にすれば確認できる。
{{end |proof }}

$R_{H}$ により、$\mathcal{H}(G)$ を $\mathcal{H}(H)$ 上の右smooth加群と見なしたもののことを $\mathcal{H}(G)_{R}$ と記そう。$\mathcal{H}(G)_{R}$ には次のようにして $\mathcal{H}(G)$ 上のsmooth加群と見なす。
$$
T\colon\mathcal{H}(G)\times \mathcal{H}(G)_{R}\longrightarrow \mathcal{H}(G)_{R};(f, f^{'})\longmapsto \left(g\longmapsto \int_{G}f(x)f^{'}(xg)dx \right).
$$
$T$ により $\mathcal{H}(G)_{R}$ は $\mathcal{H}(G)$ 上の左smooth加群である。

{{theorem |type=prop |label=p7 }}
$H$ のsmooth表現 $(\sigma,W)$ に対して、$\mathcal{H}(G)$ 上のsmooth加群の間の自然な同型
$$
\Phi\colon \mathcal{H}(G)_{R}\otimes_{\mathcal{H}(H)} \sigma \simeq \operatorname{c-Ind}_{H}^{G}\sigma
$$
が存在する。ただし、左辺には $\mathcal{H}(G)$ の作用として $T\otimes {\rm id}$ が入っていると見なす。
{{begin|proof}}
$f\in \mathcal{H}(G)$ と $w\in W$ に対して $\Phi(f\otimes w)\colon G\longrightarrow W$ を
$$
\Phi(f\otimes w)(g)=\int_{H}f(hg)\sigma(h^{-1})wdh
$$
とする。まず、これがテンソル積 $\mathcal{H}(G)_{R}\otimes_{\mathcal{H}(H)} \sigma$ からの射であることを確認しよう。そのためには任意の $\phi\in \mathcal{H}(H)$ に対して
$$
\Phi(R_{H}(\phi)f\otimes w)=\Phi(f\otimes \sigma(\phi)w)
$$
を示す。実際、$g\in G$ に対して
\begin{align}
\Phi(R_{H}(\phi)f\otimes w)(g)&=\int_{H}R_{H}(\phi)f(hg)\sigma(h^{-1})wdh \\
&=\int_{H}\int_{H}f(khg)\phi(k)\sigma(h^{-1})wdkdh \\
&=\int_{H}\int_{H}f((kh)g)\phi(k)\sigma((kh)^{-1})\sigma(k)wdkdh \\
&=\int_{H}\int_{H}f(hg)\sigma(h^{-1})\sigma(\phi)wdh \\
&=\Phi(f\otimes \sigma(\phi)w)(g)
\end{align}
なので、$\Phi$ はテンソル積 $\mathcal{H}(G)_{R}\otimes_{\mathcal{H}(H)} \sigma$ からの射である。さらに任意の $k\in H$ に対して $\Phi(f\otimes w)(kg)=\sigma(k)\Phi(f\otimes w)(g)$ であることも簡単に確認できる。よって、$\Phi$ は $\mathcal{H}(G)_{R}\otimes_{\mathcal{H}(H)} \sigma$ から $\operatorname{c-Ind}_{H}^{G}\sigma$ への射である。これが $\mathcal{H}(G)$ 加群の射であることを確かめよう。そのためには、$\psi\in \mathcal{H}(G)$, $f\in \mathcal{H}(G)_{R}$ 及び $w\in W$ に対して
$$
\Phi(T(\psi)f\otimes w)=\psi*\Phi(f\otimes w)
$$
であることを示せばよい。実際
\begin{align}
\Phi(T(\psi)f\otimes w)(g)&=\int_{H}(T(\psi)f)(hg)\sigma(h^{-1})w dh \\
&=\int_{H}\int_{G}\psi(x)f(xhg)\sigma(h^{-1})w dh dx \\
\end{align}
{{end |proof }}

===商測度と誘導表現の反傾===
$G$ を局所副有限群、$H$ をその閉部分群とし $\delta_{G},\delta_{H}$ をそれぞれ $G$ 及び $H$ のモジュラー関数とする。$\theta_{H\backslash G}=\delta_{H}^{-1}\delta_{G}\vert_{H}\colon H\longrightarrow \mathbb{C}^{\times}$ とする。ここでの目標は、$H$ のsmooth表現 $(\sigma,W)$ に対して、$\operatorname{c-Ind}_{H}^{G}\sigma$ の反傾表現を調べることである。

{{theorem |type=prop |label=p }}
$\rho$ を $G$ の $C_{c}^{\infty}(G)$ への右作用とすると
$$
\alpha\colon (\rho, C_{c}^{\infty}(G))\longrightarrow \operatorname{c-Ind}_{H}^{G}\theta_{H\backslash G}; f\longmapsto \left(x\longmapsto \int_{H}\delta_{G}^{-1}(h)f(hx)dh \right)
$$
は $G$ の表現の間の全射である。
{{begin|proof}}
まず $\alpha$ がwell-definedであることを示す。$k\in H$ と $x\in G$ に対して
\begin{align}
\alpha(f)(kx)&=\int_{H}\delta_{G}^{-1}(h)f(hkx)dh \\
&=\int_{H}\delta_{G}^{-1}(hk)\delta_{G}^{-1}(k^{-1})f((hk)x)\delta_{H}^{-1}(k)d(hk) \\
&=\theta_{H\backslash G}(k)\alpha(f)(x)
\end{align}
となる。ただし、ここで $H$ の左Haar測度 $\mu_{H}$ に関する $d\mu_{H}(h)=\delta_{H}(k)d\mu_{H}(hk)$ という性質を使った。また $\alpha(\rho(g)f)(x)=\Sigma(g)\alpha(f)(x)$ であることも簡単に確認できる。全射性を証明しよう。$G$ の任意のコンパクト開部分群 $K$ に対して、
$$
\alpha\colon C_{c}^{\infty}(G)^{K}\longrightarrow \bigoplus_{HgK\in H\backslash G/K} \left(\theta_{H\backslash G}\right)^{H\cap gKg^{-1}}
$$
が全射であればよい。$\left(\theta_{H\backslash G}\right)^{H\cap gKg^{-1}}\simeq \mathbb{C}$ であり、$\bigoplus_{HgK\in H\backslash G/K} \left(\theta_{H\backslash G}\right)^{H\cap gKg^{-1}}$ の基底として、$(e_{g})_{HgK\in H\backslash G/K}$ というものがとれる。ただし、$e_{g}$ は $HgK\in H\backslash G/K$ 成分が $1$ で他の成分が $0$ であるようなベクトル $(0,\ldots,0,1,0\ldots)$ のことである。$\alpha(\mathbb{I}_{gK})=e_{g}$ であるので、$\alpha$ は全射である。
{{end |proof }}

{{theorem |type=lem |label=1}}
$G$ の右不変な積分
$$
I\colon C_{c}^{\infty}(G)\longrightarrow \mathbb{C};f\longmapsto \int_{G}\delta_{G}^{-1}(g)f(g)dg
$$
は $\alpha$ を経由する。
{{begin|proof}}
$f\in C_{c}^{\infty}(G)$ を $\alpha(f)=0$ となる関数とする。$K$ を $f=f*e_{K}$ となるような $G$ のコンパクト開部分群とする。ある $g\in G$ が存在して ${\rm supp}(f)\subset HgK$ と仮定してよい。このとき $f$ は有限個の $h_{i}gK ~(h_{1},\ldots,h_{r}\in H)$ の特性関数の線形結合として書ける。すなわち
$$
f=\sum_{i=1}^{r}c_{i} \mathbb{I}_{h_{i}gK}
$$
となる。$\alpha(f)=0$ という条件は
$$
\mu_{H}(H\cap gKg^{-1})\sum_{i}c_{i}\delta_{G}^{-1}(g)=0
$$
を意味する。
$$
\int_{G}\delta_{G}^{-1}(g)f(g)dg=\sum_{i}\delta_{G}^{-1}(h_{i}g)f(h_{i}g)\mu_{h_{i}gK}=0
$$
なので、$I(f)=0$ となる。
{{end|proof}}

{{theorem |type=def |name=商測度 |label=1}}
$I\colon C_{c}^{\infty}(G)\longrightarrow \mathbb{C}$ を右不変な積分としたとき $I$ は
$$
c{\text -}{\rm Ind}_{H}^{G}\theta_{H\backslash G} \longrightarrow \mathbb{C}
$$
を経由する。$f\in c{\text -}{\rm Ind}_{H}^{G}\theta_{H\backslash G}$ に対して、この写像による $f$ の像を$\int_{H\backslash G} f(x) d\mu_{H\backslash G}(x) $ とか $\int_{H\backslash G}f(g) \dfrac{d\mu_{G}}{d\mu_{H}}(g)$ 等と書く。定義より、任意の $f\in C_{c}^{\infty}(G)$ に対して
$$
\int_{G}\delta_{G}^{-1}(x)f(x)d\mu_{G}(x)=\int_{H\backslash G} \alpha(f)(x) d\mu_{H\backslash G}(x)=\int_{H\backslash G} \int_{H}\delta_{G}^{-1}(h)f(hx)d\mu_{H}(h) d\mu_{H\backslash G}(x)
$$
となる。左不変な積分の言葉に直すと
$$
\int_{G}f(x)d\mu_{G}(x)=\int_{H\backslash G}\int_{H}\delta_{G}(x)f(hx)d\mu_{H}(h)d\mu_{H\backslash G}(x)
$$
となる。

{{theorem | type=thm | label=1}}
$H$ のsmooth表現 $(\sigma,W)$ に対して自然な同型
$$
(c\text{-}{\rm Ind}_{H}^{G}\sigma)^{\vee}\simeq {\rm Ind}_{H}^{G}(\theta_{H\backslash G}\otimes \check{\sigma})
$$
が存在する。ただし、$(c\text{-}{\rm Ind}_{H}^{G}\sigma)^{\vee}$ は $c\text{-}{\rm Ind}_{H}^{G}\sigma$ の反傾表現のことである。
{{begin|proof}}
自然なpairingを
$$
\langle ~,~\rangle\colon \check{W}\times W\longrightarrow \mathbb{C}
$$
と書くことにする。$\psi\in c{\text -}{\rm Ind}_{H}^{G}\sigma$ と $\Phi\in {\rm Ind}_{H}^{G}(\theta_{H\backslash G}\otimes \check{\sigma})$ に対して
$$
(\Phi,\psi)=\int_{H\backslash G} \langle\Phi(x) ,\psi(x) \rangle d\mu_{H\backslash G}(x)
$$
とすると、これは自然なpairing
$$
(~,~)\colon {\rm Ind}_{H}^{G}(\theta_{H\backslash G}\otimes \check{\sigma}) \times c{\text -}{\rm Ind}_{H}^{G}\sigma \longrightarrow \mathbb{C}
$$
を与える。$(\Sigma(g)\Psi,\Sigma(g)\psi)=(\Psi,\psi)$ なので、このpairingは $G$ 射
$$
{\rm Ind}_{H}^{G}(\theta_{H\backslash G}\otimes \check{\sigma}) \longrightarrow (c{\text -}{\rm Ind}_{H}^{G}\sigma)^{\vee}
$$
を誘導する。これが同型であることを示そう。そのためには $G$ の任意のコンパクト開部分群 $K$ に対して、
$$
{\rm Ind}_{H}^{G}(\theta_{H\backslash G}\otimes \check{\sigma}) \longrightarrow (c{\text -}{\rm Ind}_{H}^{G}\sigma)^{\vee}
$$
が誘導する $K$ 不変部分空間の間の線形写像が同型であることを言えば十分である。
\begin{align}
{\rm Ind}_{H}^{G}(\theta_{H\backslash G}\otimes \check{\sigma})^{K} &\simeq \prod_{HgK\in H\backslash G/K}\check{W}^{H\cap gKg^{-1}} \\
&\simeq \left( \bigoplus_{HgK\in H\backslash G/K} W^{H\cap gKg^{-1}} \right)^{\vee} \\
&\simeq (c{\text -}{\rm Ind}_{H}^{G}\sigma)^{\vee,K}
\end{align}
となるので、
$$
{\rm Ind}_{H}^{G}(\theta_{H\backslash G}\otimes \check{\sigma}) \simeq (c{\text -}{\rm Ind}_{H}^{G}\sigma)^{\vee}
$$
である。
{{end|proof}}

{{theorem |type=def |label=1}}
上記の設定の下で、さらに商空間 $H\backslash G$ がコンパクトであるとき、$H$ のsmooth表現 $\sigma$ に対して $i_{G,H}(\sigma)={\rm Ind}_{H}^{G}(\theta_{H\backslash G}^{-\frac{1}{2}}\otimes \sigma)$ とすると、$i_{G,H}(\check{\sigma})=i_{G,H}(\sigma)^{\vee}$ となる。$i_{G,H}(\sigma)$ のことを $\sigma$ の正規化された誘導表現と呼ぶ。

===Jacquet-Langlandsの補題===
$G$ を局所副有限群とし、$H$ をその閉部分群とする。$G$ のsmooth表現 $(\pi,V)$ と $H$ の指標 $\theta\colon H\longrightarrow \mathbb{C}^{\times}$ に対して $V(H,\theta)$ を $\{\pi(h)v-\theta(h)v \mathrel{\vert}h\in H,v\in V\}$ で生成された部分空間とし、$V_{H,\theta}=V/V(\theta)$ とする。$V_{H,\theta}$ は $H$ が指標 $\theta$ を経由して作用するような $V$ の最大の商空間である。

$$
N_{G}(H,\theta):=\{g\in G\mathrel{\vert} gHg^{-1}=H,\theta^{g}=\theta\}
$$
とする。この群のことを $G$ の閉部分群 $H$ とその指標 $\theta$ の正規化群という。ただし、$\theta^{g}(h)=\theta(ghg^{-1})$ のことである。$\theta=1$ なら、これは単に $H$ の正規化群のことに他ならない。任意の $g\in N_{G}(H,\theta)$ に対して $\pi(g)(V(H,\theta))\subset V(H,\theta)$ なので $H_{G}(H,\theta)$ は $V_{H,\theta}$ に作用する。すなわち
$$
J_{H,\theta}\colon {\rm Rep}(G) \longrightarrow {\rm Rep}N_{G}(H,\theta); (\pi,V) \longrightarrow (\theta, V_{H,\theta})
$$
という表現の圏の間にある関手が作れる。

{{theorem |type=lem |name=Jacquet-Langlandsの補題 |label=JLlem}}
$(\pi,V)$ を $G$ のsmooth表現とし、$G$ の閉部分群 $H$ がそのコンパクト部分群の合併であるとする。このとき、$v\in V$ に対して、$v$ が $V(H,\theta)$ に属するための必要十分条件は、$H$ のあるコンパクト開部分群 $N$ が存在して
$$
\int_{N}\theta^{-1}(n)\pi(n)vdn=0
$$
となることである。
{{begin|proof}}
$pi$ を $\theta^{-1}\pi$ に置き換えることによって、$\theta=1$ の場合に補題を示せば十分であることが分かる。まず十分性から確認する。$v\in V(H)$ なら、有限個の $v_{1},\ldots,v_{n}\in V$ 及び $h_{1},\ldots,h_{n}\in H$ が存在して
$$
v=\sum (v_{i}-\pi(h_{i})v_{i})
$$
となる。したがって、
\begin{align}
\int_{N}\pi(n)vdn&=\sum_{i=1}^{n}\int_{N}\left(\pi(n)v-\pi(nh_{i})v\right)dn \\
&=0 \\
\end{align}
となる。必要条件であることは次のように示せる。$v$ を固定するような $H$ のコンパクト開部分群 $N_{1}$ で $N_{1}\lhd N$ となるものが取れる。このとき、$v\in V^{N_{1}}=V^{N_{1}}(N)\oplus V^{N}$ であり{{ref |type=lem |label=l8}}より $e_{N}\colon V^{N_{1}}\longrightarrow V^{N}$ という $N/N_{1}$ 射影が取れる。
$$
e_{N}(v)=\mu(N)^{-1}\int_{N}\pi(n)vdn=0
$$
なので、$v$ は ${\rm Ker}e_{N}=V(N)$ の元である。
{{end|proof}}

==補足==

===コンパクト表現===
{{theorem |type=def |name=コンパクト表現 |label=1}}
$G$ をユニモジュラーな局所副有限群とし、$(\pi,V)$ を $G$ のsmooth表現とする。任意の $v\in V$ と任意のコンパクト開部分群 $K\subset G$ に対して
$$
D_{v,K}\colon G\longrightarrow V;g\longmapsto e_{K}(\pi(g^{-1})v)
$$
の台 ${\rm Supp} D_{v,K}$ がコンパクトであるとき、$(\pi,V)$ は $G$ のコンパクト表現という。

- コメント: コンパクト表現は、尖点表現を特徴づける際に必要になる。$G$ を $p$ 進体上の簡約代数群としたとき、$G$ の表現 $(\pi,V)$ が尖点表現であることと $\pi$ の $G^{0}$ への制限がコンパクト表現となることとは同値である。ただし、$G^{0}$ は $G^{0}Z/Z$ がコンパクトであるような $G$ の開部分群である。

{{theorem |type=def |name=行列係数 |label=1}}
$G$ のsmooth表現 $(\pi,V)$ とその反傾表現 $(\check{\pi},\check{V})$ に対して $v\in V$ と $\check{v}\in \check{V}$ から定まる $G$ 上の関数
$$
m_{\check{v},v}(g)=\langle\check{v},\pi(g^{-1})v\rangle =\langle\check{\pi}(g)\check{v},v\rangle
$$
のことを $\pi$ の行列係数と呼ぶ。

{{theorem |type=prop |label=1 }}
$G$ をユニモジュラーな局所副有限群とし、$(\pi,V)$ を $G$ のsmooth表現とする。このとき $(\pi,V)$ がコンパクト表現であるのは、$\pi$ のすべての行列係数の台がコンパクトであるとき、またそのときに限る。
{{begin|proof}}

{{end|proof}}

===許容表現===
本文中では軽くしか触れなかった許容表現について、ここであらためて詳しく述べる。

==参考文献==

===文献案内===

類体論

2021-05-12T10:49:42Z

Saitory: 目次を右側へ、連続改行の修正

<noinclude>
{{TOC |align=right |noautonum=1 }}
</noinclude>
== 類体論 ==
* コメント　この記事は現在執筆中につき未完成。現環境下では可換図式を書くのが難しいので、以下の内容は中途半端なものになってしまいました。今後のアップデートで、さらに加筆修正予定です。

類体論(class field theory)とは、[[局所体]]または[[大域体]]のアーベル拡大の様子を記述する理論である。本稿では、局所体のアーベル拡大を調べる局所類体論、大域体のアーベル拡大を調べる大域類体論の主張を説明し、これら古典理論の一般化について触れる。

== 定義 ==
ここでは、類体論を説明する上で、必要最小限の定義を与えるが、詳しい性質などについて触れない部分も多々ある。各概念の詳しい説明は[[代数的整数論]]の項を参照してください。
=== 局所体と大域体 ===
体 $K$ が大域体(global field)であるとは、$K$ が有理数体 $\mathbb{Q}$ または有限体上の一変数関数体 $\mathbb{F}_{p}(t)$ の有限次拡大体であることを言う。
また、$K$ が非アルキメデス局所体、または単に局所体(local field)であるとは、同様に $K$ が $p$ 進数体 $\mathbb{Q}_{p}$ または有限体上の一変数ローラン級数体 $\mathbb{F}_{p}({(t)})$ の有限次拡大体であることを言う。

=== 有限素点と離散付値 ===
$v$ が体 $K$ の離散付値(discreate valuation)であるとは、全射な写像
$$v\colon K\longrightarrow \mathbb{Z}\cup \{\infty \}$$
であって、次の条件を満たすもののことである。

# $x\in K$ に対して $v(x)=\infty$ となるのは $x=0$ のみである。
# 任意の $x,y \in K$ に対して $v(xy)=v(x)+v(y)$ が成り立つ。
# 任意の $x,y \in K$ に対して $v(x+y)\geq {\rm Inf}({v(x),v(y)})$ が成り立つ。

==== 例 ====
* 例えば $K=\mathbb{Q}$ のとき、有理素数 $p$ に対して、有理数 $x\in \mathbb{Q}$ が $x=p^{n}\frac{a}{b}$ ($a$ と $b$ は互いに素で共に $p$ で割れない) という形で表示できたとき、 $v(x)=n$ と定めると $v$ は $\mathbb{Q}$ の離散付値になる。 $\mathbb{Q}$ の離散付値はこのようにして、必ずある素数から定まるものに限られることが知られている。

* $K=\mathbb{C}({(T)})$ のとき、ローラン級数 $f(T)=\sum_{n\in \mathbb{Z}} a_{n}T^{n}$ に対して、$v(f)$ を $a_{n}\neq 0$ となる最小の $n$ として定めると $v$ は $\mathbb{C}({(T)})$ の離散付値になる。

大域体 $K$ の整数環 $\mathscr{O}_{K}$ の極大イデアルのことを $K$ の有限素点(finite place)と言う。上の例において、素数から有理数体 $\mathbb{Q}$ の離散付値を作ったのと同様に、$K$ の有限素点から離散付値を作ることができる。このようにして、しばしば大域体の離散付値と有限素点は同値な意味で用いられる。

=== 無限素点 ===
代数体 $K$ の無限素点(infinity place)とは、体の埋め込み $K\longrightarrow \mathbb{C}$ の複素共役類のことである。

==== 例 ====
* $\mathbb{Q}(i)$ の $\mathbb{C}$ への埋め込みは二つあり、それぞれ、
$$
a+bi \longmapsto a+bi,
$$
$$
a+bi \longmapsto a-bi
$$
である。これらは互いに共役なので、$\mathbb{Q}(i)$の無限素点は一つである。

* $\mathbb{Q}(\zeta_{8})$の $\mathbb{C}$ への埋め込みは四つあり、それぞれ、
$$
(1). \quad \zeta_{8} \longmapsto \zeta_{8},
$$
$$
(2). \quad \zeta_{8} \longmapsto \zeta_{8}^{3},
$$
$$
(3). \quad \zeta_{8} \longmapsto \zeta_{8}^{5},
$$
$$
(4). \quad \zeta_{8} \longmapsto \zeta_{8}^{7}
$$
である。このうち $(1)$ と $(4)$、$(2)$ と $(3)$ は互いに共役なので、$\mathbb{Q}(\zeta_{8})$ は二つの無限素点を持つ。

無限素点の像が実数体 $\mathbb{R}$ に収まるもののことを実素点、そうでないものを複素素点と言う。

=== 代数体の完備化とその位相 ===
* $K$ を代数体とし、$v$ をその離散付値とする。 $a$ を $1$ より大きい適当な実数とする。このとき、$x,y\in K$ に対して、$d(x,y)=a^{-v(x-y)}$ とすると、これは $K$ 上の距離となる。こうして出来た距離空間 $K$ を完備化して得られる空間を $K_{v}$ と書くことにすると、これは $K$ の演算を自然に延長して、体の構造を持つ。体 $K_{v}$ のことを体 $K$ の有限素点 $v$ での完備という。
* $K_{v}$ は、位相体として、局所コンパクトかつHausdorffである。
* $K_{v}$ は、$K$ の離散付値 $v$ の自然に延長を持ち、
$$
\mathscr{O}_{K_{v}}=\{x\in K \mathrel{\vert} v(x)\geq 0\},
$$
$$
\mathfrak{m}_{v}=\{x\in K \mathrel{\vert} v(x)>0\}
$$
はそれぞれ、$K_{v}$ の極大コンパクト部分位相環とその極大イデアルである。 $\mathscr{O}_{K_{v}}$ のことを $K_{v}$ の整数環とよぶ。 $\mathfrak{m}_{v}$は $v(x)=1$ となる元 $x\in K_{v}$ で生成される。このような $x$ のことを $v$ の素元(uniformizer)といい、しばしば $\pi_{v}$ と記される。剰余体 $k_{v}=\mathscr{O}_{K_{v}}/\mathfrak{m}_{v}$ は有限体である。

$K_{v}$ は加法群として、開部分群の族 $\{\mathfrak{m}_{v}^{n}\}_{n\geq 0}$ を $0$ の基本近傍系として持つ。また、乗法群 $K_{v}^{\times}$ は
$$
K_{v}^{\times} \simeq \mathscr{O}_{K_{v}}^{\times}\times \mathbb{Z}
$$
と分解し、単数群 $\mathscr{O}_{K_{v}}^{\times}$ は開部分群の族 $\{1+\mathfrak{m}_{v}^{n}\}_{n\geq 1}$ を $1$ の基本近傍系として持つ。特に $K_{v}^{\times}$ は局所コンパクトな位相群であり、 $\mathscr{O}_{K_{v}}^{\times}$ はその極大コンパクトな部分位相群である。
* このフィルトレーションに付随して完全列
$$
0 \longrightarrow \mathscr{O}_{K_{v}}^{\times} \longrightarrow K_{v}^{\times} \longrightarrow \mathbb{Z} \longrightarrow 0
$$

$$
0 \longrightarrow 1+\mathfrak{m}_{v} \longrightarrow \mathscr{O}_{K_{v}}^{\times} \longrightarrow k_{v}^{\times} \longrightarrow 0
$$

$$
0 \longrightarrow 1+\mathfrak{m}_{v}^{n+1} \longrightarrow 1+\mathfrak{m}_{v}^{n} \longrightarrow k_{v} \longrightarrow 0
$$
がある。特に $k_{v}$ の標数が $p$ なら、各 $1+\mathfrak{m}_{v}^{n}$ は副 $p$ 群(pro- $p$ group)である。

* $K$ の無限素点 $v$ に対して、$v$ が実素点のとき、$K_{v}=\mathbb{R}$、$v$ が複素素点のとき、$K_{v}=\mathbb{C}$ であると約束する。

=== 代数体のアデール環とイデール群、イデール類群 ===
* $K$ を代数体とし、$S$ を $K$ の素点の有限集合とし、無限素点をすべて含むものとする。このとき、
$$
\mathbb{A}_{K}(S)=\prod_{v\in S} K_{v} \times \prod_{v\notin S} \mathscr{O}_{K}
$$
とし、$S$ が $K$ のこのような素点の有限集合全体を走るとき、$\mathbb{A}_{K}(S)$ の帰納的極限を $K$ のアデール環(adele ring)といい、$\mathbb{A}_{K}$ とかく。

* コメントこうした一見めんどうな積のことを制限積と言う。これは局所コンパクト性という位相的に良い性質を崩さないための措置である。[[Tychonoffの定理]]により、コンパクト空間の積は、再びコンパクトになるが、局所コンパクト空間の積は、同様とはならない。しかし制限積は、局所コンパクト性を保存してくれる。アデール環の局所コンパクト性は、[[$p$ 進解析]]や[[跡公式]]の理論を展開する土台となってくれる。

* $K$ のアデール環は局所コンパクトな位相環である。

* 制限積の手法により、イデール群も定義できる。$S$ を$K$ の素点の有限集合とし、無限素点をすべて含むものとする。このとき、
$$
\mathbb{I}_{K}(S)=\prod_{v\in S} K_{v}^{\times} \times \prod_{v\notin S} \mathscr{O}_{K}^{\times}
$$
とし、$S$ が $K$ のこのような素点の有限集合全体を走るとき、$\mathbb{I}_{K}(S)$ の帰納的極限を $K$ のイデール群(idele group)といい、$\mathbb{I}_{K}$ とかく。

* $K$ のイデール群は局所コンパクトな位相群である。

* $K$ の乗法群からイデール群への対角射

$$
K^{\times} \longrightarrow \mathbb{I}_{K}; x \longmapsto (x,x,\cdots)
$$
による商を ${\bf C}_{K}$ とかき、$K$ のイデール類群(idele class group)という。
== 主張 ==
=== 局所類体論 ===

==== 相互写像 ====
$L/K$ を局所体の有限次アーベル拡大とする。このとき、自然な同型
$$
K^{\times}/{\rm N}_{L/K}(L^{\times}) \simeq {\rm Gal}(L/K)
$$
がある。

==== 類体の存在定理 ====
局所体 $K$ の有限次アーベル拡大体のノルム群は、 $K^{\times}$ の指数有限な開部分群であり、$K^{\times}$ の指数有限な開部分群は、そのようなものに限る。

以上より、次のことが言えた。

==== 主結果 ====
局所体 $K$ の乗法群 $K^{\times}$ から、そのGalois群のアーベル商への連続な単射準同型
$$
\psi_{K}\colon K^{\times} \longrightarrow {\rm Gal}(K^{\rm ab}/K)
$$
であって、その像が稠密となるものがある。$\psi_{K}$ はさらに、次のような図式を可換にする。

# 有限次アーベル拡大 $L/K$ に対して、
\[
\EMxymatrix{
L^{\times} \ar[r] \ar[d] & {\rm Gal}(L^{\rm ab}/L) \ar[d] \\
K^{\times} \ar[r] & {\rm Gal}(K^{\rm ab}/K)
}
\]
=== 大域類体論 ===

==== 相互写像 ====
$L/K$ を代数体の有限次アーベル拡大とする。このとき、自然な同型
$$
{\bf C}_{K}/{\rm N}_{L/K}({\bf C}_{L}) \simeq {\rm Gal}(L/K)
$$
がある。

==== 類体の存在定理 ====
代数体 $K$ のイデール類群 ${\bf C}_{K}$ の指数有限な部分群は必ず、$K$ のある有限次アーベル拡大体のイデール類群のノルムとなる。

== で、何が嬉しいの？ ==

* コメント　数学辞典Mathpediaでは、皆さまの「類体論を学んで・使って嬉しかった」体験を募集中です。皆さまのご応募をお待ちしております。

* コメント　執筆者は自身の兄に「 $4$ で割って $1$ 余る素数は平方数の和で書けるんだよ(ﾄﾞﾔｯ」と語ったことがあった。それを聞いた兄は言った。「ふーん。良かったね」

ここでは、類体論の結果を使うことによって、数学、そして整数論はどのような結果を得てきたかについて軽く触れたい。

== 種々の一般化 ==
これまで、類体論の主張について見てきたが、現在、この整数論の古典的な結果は様々な方向へと拡張し深化している。以下では、類体論の種々の一般化について軽く触れよう。以下の説明はすべて大雑把なため、より詳しい説明については、各該当項目に求められたい。

=== 高次元化 ===
ここでは、上記で述べた古典的な類体論の高次元バージョンについて軽く説明する。詳しい説明は[[高次元類体論]]を参照。

==== 定義 ====
* $K$ が $n$ 次元局所体であるとは、$K$ が離散付値 $v$ に関して完備であり、その剰余体が $n-1$ 次元局所体であるようなものとして帰納的に定義することができる。ただし、有限体のことを $0$ 次元局所体と約束する。したがって、我々が今まで扱ってきた局所体とは、$1$ 次元局所体である。

* 体 $K$ の $n$ 次Milnor K群を次のようにして定義する。
$$
{\rm K}^{\rm M}_{n}(K)=T_{n}(K)/I_{n}(K)
$$
ただし、$T_{n}(K)$ は乗法群の $n$ 回テンソル $K^{\times}\bigotimes \cdots \bigotimes K^{\times}$ であり、$I_{n}(K)$ は $\{a_{1}\otimes \cdots \otimes a_{n} \mathrel{\vert} {\text ある} i\neq j {\text に対して} a_{i}+a_{j}=1 \}$ で生成される $T_{n}(K)$ の部分群とする。

==== 主結果 ====
$n$ 次元局所体 $K$ に対して、群準同型
$$
{\rm K}_{n}^{\rm M}(K)\longrightarrow {\rm Gal}(K^{\rm ab}/K)
$$
が存在して、 $K$ の任意の有限次アーベル拡大体 $L$ に対して、自然な同型
$$
{\rm K}_{n}^{\rm M}(K)/{\rm N}_{L/K}({\rm K}_{n}^{\rm M}(L)) \simeq {\rm Gal}(L/K)
$$
を誘導する。

他にも次元の降下との兼ね合いなどとも両立して、上手く振る舞う。[[高次元類体論]]を参照。

=== 非可換化 ===
類体論は、上記のように、局所体や大域体のアーベル拡大について、かなり詳しい情報を我々に教えてくれる。しかし、そうでない拡大についての情報は類体論からは分からないという欠点もある。1960年代、非アーベルな拡大を表現論的に理解しようという試みがR.\ Langlandsによって提唱された。ここでは、それについて少し触れたい。なお、詳しい説明は[[$p$ 進簡約群の表現]]や[[Langlands対応]]を参照。

==== 定義 ====
* 位相群 $G$ が局所副有限群であるとは、$G$ が副有限群からなる $1$ の基本近傍系を持つことをいう。局所副有限群はまた、局所コンパクトかつHausdorffかつ完全不連結な位相群としても特徴づけられる。

* $(\pi,V)$ が局所副有限群 $G$ のsmooth表現であるとは、$V$ の任意の元 $v$ に対して、$G$ のコンパクト開部分群 $K$ が存在して、すべての $k\in K$ に対して $\pi(k)v=v$ となることをいう。

==== * 例 ====
# 局所体 $K$ に対して、$GL_{d}(K)$ は局所副有限群である。
# 局所体 $K$ に対して、そのWeil群 ${\rm W}_{K}$ は局所副有限群である。

* Weil群については説明が必要だろう。これは群としては、$K$ の絶対Galois群 ${\rm Gal}(K^{\rm sep}/K)$ の部分群
$$
\{\sigma \in {\rm Gal}(K^{\rm sep}/K) \mathrel{\vert} \epsilon(\sigma) \in \mathbb{Z} \}
$$
であって、その位相は、惰性群 $I_{K}$ を開部分群とするような位相群である。すなわち、部分集合 $U\subset {\rm W}_{K}$ が開であるのは、任意の $g\in {\rm W}_{K}$ に対して、
$$
\{h\in I_{K} \mathrel{\vert} gh\in U \}
$$
が $I_{K}$ の開集合であるとして、${\rm W}_{K}$ に位相を定義した。

$W_{K}$ のある種の表現(Weil Deligne表現)は、Galois群の表現と非常に近しい関係にある。Langlands対応とは、一般線形群 $GL_{d}(K)$ と ${\rm W}_{K}$ の表現同士がbijectiveに対応していることを主張する理論である。
==== 主結果 ====

==== 説明 ====

=== 類体の構成問題 ===
局所体の完全分岐な拡大は、[[Lubin-Tate形式群]]に付随する冪級数の等分点を添加することによって与えられることが知られている。また、関数体については[[Drinfeld加群]]の等分点が、類体の構成問題において重要な役割を果たす。一般の代数体に関して、これほどの結果はまだないが、虚二次体やCM体については、解決されている。虚二次体の場合には、[[虚数乗法]]を持つ[[楕円曲線]]の等分点、CM体の場合には虚数乗法を持つ[[Abel多様体]]の等分点が、その役割を果たす。詳しくは[[虚数乗法]]や[[類体の構成問題]]を参照。

== 関連項目 ==

集合の濃度

2021-05-12T10:48:57Z

Saitory: 目次を右側へ、連続改行の修正

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{{TOC |align=right |noautonum=1 }}
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== 集合の濃度 ==

集合の'''濃度''' (cardinality) は集合の「大きさ」を測る指標であり、有限集合の「元の個数」を拡張するものである。有限集合 $X,Y$ が与えられたとき、以下は同値である。
# $X$ と $Y$ の元の個数が等しい。
# $X$ と $Y$ の間に全単射 $f\colon X\to Y$ が存在する。

また同様に以下も同値である。
# $X$ の元の個数は $Y$ の元の個数以下である。
# $X$ と $Y$ の間に単射 $f\colon X\to Y$ が存在する。

ナイーブには「元の個数」は有限集合に対してしか適用できないのに対し、全単射や単射の存在は無限集合に対しても考えうる。よって全単射や単射の存在によって集合 $X,Y$ の大きさを測ろうというのが、濃度の考え方といって良いだろう。

== 定義 ==

集合 $X,Y$ に対して関係 $X\equiv_{\mathrm{card}} Y$ を $X$ から $Y$ への全単射が存在する、と定める。このとき以下が成り立つ。
# '''反射律'''　任意の集合 $X$ に対し、 $X\equiv_{\mathrm{card}} X$ である。
# '''対称律'''　任意の集合 $X,Y$ に対し、$X\equiv_{\mathrm{card}} Y$ ならば $Y\equiv_{\mathrm{card}} X$ である。
# ''推移律''　任意の集合 $X,Y,Z$ に対し、 $X\equiv_{\mathrm{card}} Y$ かつ $Y\equiv_{\mathrm{card}} Z$ ならば $X\equiv_{\mathrm{card}} Z$ である。

これらは定義に基づき書き直せば以下のようになる。
# '''反射律'''　任意の集合 $X$ に対し、全単射 $f\colon X\to X$ が存在する。
# '''対称律'''　任意の集合 $X,Y$ に対し、全単射 $f\colon X\to Y$ が存在するならば全単射$g\colon Y\to X$ も存在する。
# '''推移律'''　任意の集合 $X,Y,Z$ に対し、全単射 $f\colon X\to Y$が存在しかつ全単射 $g\colon Y\to Z$ が存在するならば全単射 $h\colon X \to Z$ も存在する。

反射律は $f:=\mathrm{id}_X$ とすれば良く、対称律は $g:=f^{-1}$ とすれば良く推移律は $h:=g\circ f$ とすれば成り立つことがすぐ分かるであろう。

よって $\equiv_{\mathrm{card}}$ は同値関係であることが分かる。同値関係であるということは、集合全体を $\equiv_{\mathrm{card}}$ で割ることができ、$X$ の同値類 $[X]_{\equiv_{\mathrm{card}}}$ を考えることができる。この同値類 $[X]_{\equiv_{\mathrm{card}}}$ を $X$ の'''濃度''' (cardinality) といい、$\mathrm{card}(X),\#X,|X|$ などと表す。また濃度の全体を $\mathrm{Card}$ とする。

== 濃度の順序 ==
$\mathrm{Card}$ の元 $[X]_{\equiv_{\mathrm{card}}},[Y]_{\equiv_{\mathrm{card}}}$ に対して二項関係 $[X]_{\equiv_{\mathrm{card}}}\leq [Y]_{\equiv_{\mathrm{card}}}$ を単射 $f\colon X\to Y$ が存在することと定義する。これはwell-definedである、すなわち以下が成り立つ。
* $[X_0]_{\equiv_{\mathrm{card}}}=[Y_0]_{\equiv_{\mathrm{card}}}$ かつ $[X_1]_{\equiv_{\mathrm{card}}}=[Y_1]_{\equiv_{\mathrm{card}}}$ かつ $[X_0]_{\equiv_{\mathrm{card}}}\leq [X_1]_{\equiv_{\mathrm{card}}}$ ならば $[Y_0]_{\equiv_{\mathrm{card}}}\leq [Y_1]_{\equiv_{\mathrm{card}}}$ である。

これを定義に基づいて書き直せば以下の用になる。
* 全単射 $f_0\colon X_0\to Y_0$ と、全単射 $f_1\colon X_1\to Y_1$ と単射 $g_X\colon X_0\to X_1$ が存在するとき、単射 $g_Y\colon Y_0\to Y_1$ も存在する。

これは $g_Y:=f_0^{-1}\circ g_X\circ f_1$ とすれば成り立つことが分かるであろう。

また $\leq$ は $\mathrm{Card}$ 上で[[全順序]]になる。すなわち以下が成り立つ。
* '''反射律'''　任意の $[X]_{\equiv_{\mathrm{card}}}\in\mathrm{Card}$ に対し、 $[X]_{\equiv_{\mathrm{card}}}\leq [X]_{\equiv_{\mathrm{card}}}$ である。
* '''全域律'''　任意の $[X]_{\equiv_{\mathrm{card}}},[Y]_{\equiv_{\mathrm{card}}}\in\mathrm{Card}$ に対し、$[X]_{\equiv_{\mathrm{card}}}\leq [Y]_{\equiv_{\mathrm{card}}}$ または $[Y]_{\equiv_{\mathrm{card}}}\leq [X]_{\equiv_{\mathrm{card}}}$ である。
* '''反対称律'''　任意の $[X]_{\equiv_{\mathrm{card}}},[Y]_{\equiv_{\mathrm{card}}}\in\mathrm{Card}$ に対し、$[X]_{\equiv_{\mathrm{card}}}\leq [Y]_{\equiv_{\mathrm{card}}}$ かつ$[Y]_{\equiv_{\mathrm{card}}}\leq [X]_{\equiv_{\mathrm{card}}}$ であるならば $[X]_{\equiv_{\mathrm{card}}}= [Y]_{\equiv_{\mathrm{card}}}$ である。
* '''推移律'''　任意の $[X]_{\equiv_{\mathrm{card}}},[Y]_{\equiv_{\mathrm{card}}},[Z]_{\equiv_{\mathrm{card}}}\in\mathrm{Card}$ に対し、$[X]_{\equiv_{\mathrm{card}}}\leq [Y]_{\equiv_{\mathrm{card}}}$ かつ $[Y]_{\equiv_{\mathrm{card}}}\leq [Z]_{\equiv_{\mathrm{card}}}$ ならば $[X]_{\equiv_{\mathrm{card}}}\leq [Z]_{\equiv_{\mathrm{card}}}$ である。

特に濃度に対する反対称律を[[Cantor–Bernstein–Schröderの定理]]という。

またもっと言えば濃度の順序は[[整列順序]]になっている。よって任意の濃度からなる集合 $X$ に対し最小元 $\min X$ が存在する。

== 濃度の演算 ==
$I$ を添字集合とし $\{[X_i]_{\equiv_{\mathrm{card}}}\}_{i\in I}$ を濃度の族とする。また $\sum_{i\in I}X_i,\prod_{i\in I}X_i$ を集合の直和、直積とする。このとき濃度の和 $\sum_{i\in I}[X_i]_{\equiv_{\mathrm{card}}}$ と濃度の積 $\prod_{i\in I}[X_i]_{\equiv_{\mathrm{card}}}$ を以下のように定める。
* $\sum_{i\in I}[X_i]_{\equiv_{\mathrm{card}}}:=[\sum_{i\in I}X_i]_{\equiv_{\mathrm{card}}}$ 。
* $\prod_{i\in I}[X_i]_{\equiv_{\mathrm{card}}}:=[\prod_{i\in I}X_i]_{\equiv_{\mathrm{card}}}$ 。

また濃度 $[X]_{\equiv_{\mathrm{card}}},[Y]_{\equiv_{\mathrm{card}}}$ に対して冪 ${[X]_{\equiv_{\mathrm{card}}}}^{[Y]_{\equiv_{\mathrm{card}}}}$ を以下のように定める。
* ${[X]_{\equiv_{\mathrm{card}}}}^{[Y]_{\equiv_{\mathrm{card}}}}:=[X^Y]_{\equiv_{\mathrm{card}}}$ 。

ここで $X^Y$ は $Y$ から $X$ への写像全体の集合である。

$I$ が有限集合で、ある $i$ に対して $X_i$ が無限集合であるとき
$$\sum_{i\in I}[X_i]_{\equiv_{\mathrm{card}}}=\prod_{i\in I}[X_i]_{\equiv_{\mathrm{card}}}=\max_{i\in_I}[X_i]_{\equiv_{\mathrm{card}}}$$ が成り立つ。また全ての $i$ に対して $X_i$ が有限集合であるとき、濃度は要素の数の和、積と一致する。

以下のような不等式も知られている。

* [[Cantorの定理]]　$Y$ の濃度は $2:=\{0,1\}$ 以上とする。このとき任意の集合 $X$ に対して $[X]_{\equiv_{\mathrm{card}}}<[Y^X]_{\equiv_{\mathrm{card}}}$ である。特に $[X]_{\equiv_{\mathrm{card}}}<[\mathcal{P}(X)]_{\equiv_{\mathrm{card}}}$ である。
* [[Kőnigの定理]] 各 $i\in I$ に対し $[X_i]_{\equiv_{\mathrm{card}}}<[Y_i]_{\equiv_{\mathrm{card}}}$ とする。このとき $\sum_{i\in I}[X_i]_{\equiv_{\mathrm{card}}}<\prod_{i\in I} [Y_i]_{\equiv_{\mathrm{card}}}$ である。

== 具体的な濃度 ==

* $\mathbb{N}$ の濃度を'''可算濃度''' といい $\aleph_0$ と表す。また $\aleph_n$ より大きい最小の濃度を $\aleph_{n+1}$ とする。また可算濃度を持つ集合を可算無限集合という((単に可算集合というと、有限集合も含むことがある。この記事に於いてはたかだか可算と可算無限のように使い分けることにする))。
* $\mathbb{R}$ の濃度を'''連続体濃度''' といい $\aleph$ や $\mathfrak{c}$ と表す。

可算濃度を持つ集合の例を挙げる。
* $\mathbb{Z},\mathbb{Q}$ 。
* 代数的数全体 $\bar{\mathbb{Q}}$ 。
* 自然数の有限列全体 $\mathbb{N}^{<\omega}$ 。

$\aleph_1$ を濃度として持つ集合の例を挙げる。
* たかだか可算な順序数全体。
* $\mathbb{Q}$ 上の通常の順序で整列されるような集合を $W$ とし順序同型関係を $\equiv$ としたとき $W/{\equiv}$ の濃度。
* $\mathbb{R}$ 上の通常の順序で整列されるような集合を $W$ とし順序同型関係を $\equiv$ としたとき $W/{\equiv}$ の濃度。

* [[長い直線]]

連続体濃度を持つ集合の例を挙げる。
* [[超越数]] 全体 $\mathbb{R}\setminus\bar{\mathbb{Q}}$ 。
* 複素数全体 $\mathbb{C}$ 。
* $\mathcal{P}(\mathbb{N})$ 。
* $\mathbb{N}^\mathbb{N}$ 。
* 実数の可算列全体 $\mathbb{R}^\mathbb{N}$ 。
* $\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ の連続関数全体。
* [[Euclid空間]] $\mathbb{R}^n$ の開集合全体。

$2^\aleph$ を濃度として持つ集合の例を挙げる。
* $\mathcal{P}(\mathbb{R})$ 。
* $\mathbb{R}^\mathbb{R}$ 。
* [[Sorgenfrey直線]] $S$ に対して $S^2$ の開集合全体。

== 連続体仮説 ==
さてCantorは以下の'''連続体仮説''' (continuum hypothesis $\mathsf{CH}$) という問題を提示した。
* $\aleph_0$ と $\aleph$ の中間の濃度、すなわち $\aleph_0<\kappa<\aleph$ となるような濃度 $\kappa$ は存在しない。<ref group="脚注">選択公理の上で同値な命題である'''アレフ仮説''' (aleph hypothesis) $\aleph_1=\aleph$ と定式化されることも多い</ref>。

連続体仮説はGödelとCohenらによって一般的な集合論の公理系 $\mathsf{ZFC}$ では証明も反証もできないことが知られている。

== 濃度の正確な扱いについて ==
上記で述べた濃度の定義は集合論 $\mathsf{ZFC}$ に於いてはill-definedである。まず集合全体は集合ではないし、全単射が存在する二つの集合の組全体も集合ではなく、同じ濃度であるという論理式 $\equiv_\mathrm{card}$ も二項関係ではない。ill-definedであることは以下のように分かる。集合全体を $V$ とし、これが集合だとすると冪集合 $\mathcal{P}(V)$ が存在し $\mathcal{P}(V)$ の元はすべて集合であり $\mathcal{P}(V)\subseteq V$ あるわけだが、これは[[Cantorの定理]]に矛盾する。また $\{(x,x)\mid x\in V\}$ は「全単射が存在する二つの集合の組全体」の部分クラスになっており $V$ からの単射が存在するので真のクラスとなる。
よって以下では濃度を正確に扱う方法をいくつか考えよう。一つ目に挙げる方法は前提知識なく理解できるであろうが、二つ目以降は[[順序数]]や[[累積階層]]、[[数理論理学の概要|数理論理学]]などの知識を必要とする。

=== 濃度を直接定義せず、間接的に扱う。 ===
集合 $X$ に対して $\mathrm{card}(X)$ というものを定義せず、
$\mathrm{card}(X)=\mathrm{card}(Y)$ を全単射 $f\colon X\to Y$ が存在することの略記、$\mathrm{card}(X)\leq \mathrm{card}(Y)$ を単射 $f\colon X\to Y$ が存在することの略記として扱うという手法である。この手法のメリットとして使う道具立てが少ないということが挙げられる。

=== 濃度をある種の順序数として定義する。 ===
濃度は直観的には同値類として上では扱っていたが、同値類は存在しないがその代表元に相当するものが実は取ることができる。順序数 $\kappa$ が'''基数''' (cardinal) であるとは $\kappa$ 未満の順序数から $\kappa$ への全単射が存在しないことを言う。この基数が「集合全体を全単射で割った商集合の完全代表系」の役割を果たす。$X$ の濃度 $\mathrm{card}(X)$ を $X$ から全単射の存在する最小の[[順序数]]と定めよう。このような順序数の存在は $\mathsf{ZFC}$ で示せて、これは基数となる。このアプローチは公理的集合論に於いて一般的なものである。しかしこの定義は選択公理に依存する。なぜなら集合から順序数への全単射の存在は、集合の整列可能性を要求しているに他ならないからである。

=== Scottの絡繰を用いる方法 ===
このアプローチは同値類の定義を見直すことで真のクラスに対して定義できるようにする、というアプローチである。階数 $\mathrm{rank}(x):=\sup\{\mathrm{rank}(y)+1\mid y\in x\}$ と定めて、クラスに対しその元の階数に於いて最小のもののみを集めたものを考える。
真のクラス $C$ に対し $$\hat{C}:=\{x\in C\mid (\forall y)[\mathrm{rank}(x)\leq\mathrm{rank}(y)]\}$$ は常に非空な集合となり、これを'''Scottの絡繰''' (Scott's trick) という。集合であることは、任意の $x\in C$ に対し $\mathrm{rank}(x)=\alpha$ であることと $x\in V_{\alpha+1}$ であることが同値であることによる。ここで $V_\alpha$ は[[累積階層]] と呼ばれ、$\alpha$ に対する超限再帰で $V_\alpha:=\bigcup_{\xi<\alpha}\mathcal{P}(V_\xi)$ と定義される''集合''である。

真のクラス　$C$ 上の同値関係 $\equiv$ に対して、同値類 $[x]_\equiv$ を
$$[x]_\equiv:=\{y\mid y\equiv x\land(\forall z\in C)[z\equiv x\to\mathrm{rank}(y)\leq\mathrm{rank}(z)]\}$$ とすればこれは集合である。。よってこの同値類の定義にて $\mathrm{card}(x):=[x]_{\equiv_{\mathrm{card}}}$ とすれば良い。このアプローチでは選択公理によらずに全ての集合に対して濃度が定義できるというメリットがある。

=== クラスを扱えるような集合論を用いる方法 ===
クラスを対称として扱える[[Neumann–Bernays–Gödel集合論]]に[[大域選択公理]] $\mathsf{AGC}$ を加えた公理 $\mathsf{NBGC}$ などではクラス上の同値類 $[x]_{\equiv_{\mathrm{card}}}$ がそのままクラスとして存在する<ref group="脚注">大域選択公理は $[x]_{\equiv_{\mathrm{card}}}$ の存在には必要がないが、$\mathsf{ZFC}$ で証明可能な定理が $\mathsf{NBGC}$ でも証明可能であることには必要となる。</ref>。よってこれを濃度の定義としてしまえば良い。また $\mathsf{NBGC}$ は $\mathsf{ZFC}$ の保存的拡大である。すなわち $\mathsf{ZFC}$ の言語で書かれた命題は、証明の際に $\mathsf{NBGC}$ にて定義される濃度を用いたとしても $\mathsf{ZFC}$ で証明可能であることが言える。つまり濃度の議論を用いて示した $\mathsf{ZFC}$ の言語での定理は $\mathsf{ZFC}$ で証明可能であることが言える。しかしこの定義だと濃度自体は $\mathsf{ZFC}$ の言語で記述できないため、濃度を含む定理が $\mathsf{NBGC}$ で証明可能だとしても、それが $\mathsf{ZFC}$ で証明可能であることをただちには導かない。$\mathsf{ZFC}$ の定理であることを導くためには $\mathsf{NBGC}$ での定義が上で挙げた他の $\mathsf{ZFC}$ に於ける定義と同値であることを証明しないとならない。
== 脚注 ==
<references group="脚注"/>
== 参考文献 ==
* T. Jech Set theory. Springer Science & Business Media, 2013.

== 集合論の初歩 ==

[[論理と命題]] / [[集合の基本的な用語、集合の演算]] / [[全称記号と存在記号]] / [[写像、像、逆像、写像のグラフ]] / [[写像の合成、写像の拡大と制限]] / [[選択公理について]] / [[単射、全射、全単射、逆写像]] / [[部分集合族、べき集合]] / （ [[演算と代数構造]] ） / （ [[関係、同値関係、商集合]] ） / （ [[初歩的な順序集合]] ） / （ [[Zornの補題]] ） / （集合の濃度）

集合の基本的な用語、集合の演算

2021-05-12T10:48:22Z

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[[Category:集合論 | シュウゴウノキホンテキナヨウゴ、シュウゴウノエンザン]]

== 集合の基本的な用語、集合の演算 ==

== '''集合''' ==
* 集合とは（有限個とは限らない）「ものの集まり」である
* 「あるもの」 $x$ が集合 $X$ に属することを「 $x$ は $X$ の'''元（げん）'''である」あるいは「 $x$ は $X$ の'''要素'''である」といい、$x \in X$と書く。元でないときは $x \notin X$と書く。
** 集合の元が含まれているかどうかを考えるとき、あるいは集合がいくつか与えられたとき、その様子を視覚的に見るのに'''$\textrm{Venn}$図（ベン図）'''が有用である。
** 集合 $X$ を「幾何学的な空間」として考えているとき $x \in X$ を元ではなく'''点'''ということがある。
** 集合 $X$ に対して、要素の数が有限個のとき $X$ は'''有限集合'''であるといい、そうでないとき $X$ は'''無限集合'''であるという。
** 集合の要請として、与えられた「もの」 $x$ が考えている集合 $X$ に属するかどうかは決まっているものとする。（我々の研究不足により分からなかったとしても'''$ x \in X$ か $ x \notin X$ のどちらであるかは決定されているものとする'''）
[[ファイル:IntroST in.jpg]]
* $2$ つの集合 $A,B$ に対して、$B$ は $A$ の'''部分集合'''（ $A$ は $B$ を'''含む'''とか'''包含する''' ともいう）であるとは、「 $B$から任意に元 $x$ をとってきたとき、その $x$ が $A$ の元でもあること」をいう。つまり、「 $ x \in B \Rightarrow x \in A $ が真である」ことである。このとき $B \subset A$ あるいは $ A \supset B$と書き、このような関係を'''包含関係'''という。$B \subset A$ でないとき $B \not\subset A$ と書く。
[[ファイル:IntroST subset.jpg]]
* $A \subset B $ かつ $ B \subset A$ のとき、集合 $A,B$ は'''等しい'''といい、$A=B$と書く。そうでないとき $A \ne B$ と書く。また $A \subset B $ かつ $ A \ne B$ のとき $A$ は $B$ の'''真部分集合'''であるといい、$A \subsetneq B$ と書く。 　包含関係の記法にいくつかの流儀があるので、上記以外の代表的な書き方をふたつ紹介する。はじめにきちんと説明されていたり、文脈で判断できることが多いのでそれほど混乱することもないと思われる。
** 数の不等号 $\lt$、$\leq$ にならって、 $A$ が $B$ の真部分集合のときのみ $A \subset B$ と書き、等号を含む場合は $A \subseteq B$ と書く。
** 真部分集合のときは $A \subsetneq B$ と書き、等号を含むときは $A \subseteq B$ と書く。
* 集合の中身をあらわす方法は次の $2$ つ
** 具体的に元を書き並べる $X = \{ a,b,c,d,e \}$ （集合は「あるもの」がその集合の要素であるかどうかだけを気にするので、要素を書く順番や何回書かれているかは問わない。$\{ a,b,c,d,e \}$ と $\{ c,e,a,d,a,b \}$ は集合として同じものとみなす） $Y = \{ 1,2,3 \ldots \}$ （元の数が無限個でも良い） $Z_1 = \{ a,b,c \}$ 、$Z_2 = \{a,Z_1, \{ b,c \} \}$ （集合の中に集合があってもよいし、要素と集合が混在していてもよい）
** 「 $|$ 」の右側に要素の条件を記述する $X= \{ x \,|\, x$ は $5$ 以上の自然数 $\}$ $Y= \{ x \in \mathbb{R} \,|\, 2 \leq x \lt 5 \}$ （要素の前提条件を「 $|$ 」の左側に書いてもよい。この場合、 $\mathbb{R}$ は実数全体の集合をあらわし（後述）、$Y$ は「$2$ 以上 $5$ 未満の実数をすべて集めた集合」をあらわす）
* 数の集合はよく使われるので、標準的な記号がある
$\mathbb{N}$ ： [[自然数]]全体の集合 $= \{0,1,2,3 \ldots \}$（自然数に $0$ を入れないことも多いので文献ごとに確認すること）

$\mathbb{Z}$ ：[[整数]]全体の集合 $= \{0, \pm 1, \pm 2,\pm 3 \ldots \} $

$\mathbb{Q}$ ：[[有理数]]全体の集合 $= \{ \frac{a}{b} \,| a,b \in \mathbb{Z} かつ b \ne 0 \}$

$\mathbb{R}$ ：[[実数]]全体の集合

$\mathbb{C}$ ：[[複素数]]全体の集合 $= \{ a+bi \,| a,b \in \mathbb{R}\}$ （ただし $i^2 = -1$ とする。）

包含関係を書くともちろん、$ \mathbb{N} \subset \mathbb{Z} \subset \mathbb{Q} \subset \mathbb{R} \subset \mathbb{C}$ が成り立つ。

== '''集合の演算、集合族、空集合''' ==

* 集合に対して次の演算は基本的である。
** 集合 $A,B$ に対して、$A \cap B = \{ x \,|\, x \in A かつ x \in B\}$ （「$A$ と $B$ の'''共通部分'''」あるいは「$A$ キャップ $B$」と読む）
** 集合 $A,B$ に対して、$A \cup B = \{ x \,|\, x \in A または x \in B\}$ （「$A$ と $B$ の'''和集合'''」あるいは「$A$ カップ $B$」と読む）
** $X$ を集合、$A$ を $X$ の部分集合とするとき、$A^{c} = \{ x \in X \,|\, x \notin A \}$ （「$A$ の'''補集合'''」と読む。 $\overline{A}$ とも書く）
** $X$ を集合、$A$、$B$ を $X$ の部分集合とするとき、$A \setminus B= A \cap B^{c}$ （「$A$ から $B$ を引いた'''差集合'''」と読む）
[[ファイル:IntroST cap.jpg]]
[[ファイル:IntroST cup.jpg]]
[[ファイル:IntroST-cpm.jpg]]
[[ファイル:IntroST-setminus.jpg]]

* $I$ を集合とし、$i \in I$ ごとに集合 $X_i$ が与えられているとする。これらの集合をひとまとめにして考えたいとき、$\{ X_i \} _{i \in I}$ と書き、$I$ を'''添え字集合'''とする'''集合族'''という。添え字集合によっては次のように書くこともある。
** $I$ が有限集合 $I = \{ 1,2, \ldots , n \}$ のとき、$ \{ X_i \}_{i=1}^{n}$
** $I=\mathbb{N}$ （自然数の集合）のとき、$\{ X_i \}_{i=0}^{\infty}$
** いちいち書く必要がないくらい添え字集合が明らかなとき、$\{ X_i \}$

* 集合の「和集合をとる操作」は'''結合律'''をみたす。つまり、 $A$、$B$、$C$ を集合とすると
$$ (A \cup B )\cup C = A \cup (B \cup C )$$
が成立する（下の「基本的な性質」参照）。したがって、「和集合をとる操作」はかっこの付け方によらないので、先ほどの式はかっこを省略して $A \cup B \cup C$ と書いてよい。一般的に、有限個からなる集合族 $\{ A_i\}_{i=1}^n$ の和集合はかっこの付け方によらない（数学的帰納法による）。これを $\bigcup _{i=1}^{n} {A_i}$ と書く。つまり、
$$
\bigcup _{i=1}^{n} {A_i} = A_1 \cup A_2 \cup \ldots \cup A_n = \{ x \,|\, ある i =1,2, \ldots ,n が存在して x \in A_i \}
$$
である。「共通部分をとる操作」も同様に考えて
$$
\bigcap _{i=1}^{n} {A_i} = A_1 \cap A_2 \cap \ldots \cap A_n =\{ x \,|\, 任意の i =1,2,\ldots,n に対して　x \in A_i\}
$$
と書くことができる。

* 上記の有限個の和集合、共通部分を踏まえて、一般の和集合、共通部分を次のように定義する。
$I$ を添え字集合、$\{ A_i \} _{i \in I}$ を集合族とするとき、
$$
\bigcup _{i \in I} {A_i} = \{ x \,|\, ある i \in I が存在して x \in A_i \}
$$
および、
$$
\bigcap _{i \in I} {A_i} = \{ x \,|\, 任意の i \in I に対して x \in A_i\}
$$
と定義する。

* 要素を持たない集合を''空集合''といい、$\emptyset$ または $\{\}$ と書く。
$x \in \emptyset$ は $x$ にかかわらず常に偽なので、命題「$ x \in \emptyset \Rightarrow x \in A $」は集合 $A$ によらず常に真。よって任意の集合 $A$ に対して $\emptyset \subset A$ である。

== 集合の直積、直和 ==

* $X$、$Y$ を集合とする。$X$ と $Y$ の元を（順序を区別して）並べた組全体
$$
X \times Y = \{ (x,y) \,|\, x \in X , y \in Y \}
$$
を$X$ と $Y$の'''直積'''という。直積のふたつの元 $(a,b)$、$(c,d)$ は「$a=c$ かつ $b=d$」のとき等しいと定める。直積の組 $( , )$ は順序を区別しているので一般的には $(x,y) \ne (y,x)$ である。

* $n$ 個の集合 $X_1 , X_2 , \ldots , X_n$ の直積も同様に定義する。つまり、
$$
X_1 \times X_2 \times \ldots \times X_n = \{ (x_1 , x_2 , \ldots , x_n) \,|\, x_1 \in X_1 , x_2 \in X_2 , \ldots , x_n \in X_n \}
$$
と定義し、この直積の2つの元 $(x_1 , x_2 , \ldots , x_n)$、$(y_1 , y_2 , \ldots , y_n)$ は「任意の $i = 1,2,\ldots,n$ に対して $x_i= y_i$」であるとき等しいとする。

* もっと一般に、 $I$ を添え字集合、$\{ X_i \} _{i \in I}$ を集合族とするとき、一般の直積を
$$
\prod_{i \in I} X_i = \{ (x_i)_{i \in I} \,|\, 任意の i \in I に対して x_i \in X_i \}
$$
と定義する。もちろんこの直積のふたつの元 $(x_i)_{i \in I}$ 、$(y_i)_{i \in I}$ は、任意の $i \in I$ に対して $x_i =y_i$ が成り立つとき等しいと定める。

* $X$、$Y$ を集合とする。$X \cap Y = \emptyset$ のとき、和集合 $X \cup Y$ は特に $X$ と $Y$ の'''直和'''であるという。

* $n$ 個の集合 $X_1 , X_2 , \ldots , X_n$ の直和も同様に定義する。つまり、「任意の $i,j = 1,2,\ldots,n$ に対して $i \ne j \Rightarrow X_i \cap X_j =\emptyset$」のとき和集合 $\bigcup_{i=1}^{n} X_i$ は $X_1 , X_2 , \ldots , X_n$ の'''直和'''であるという。

== 具体例 ==
* $X= \{ 1,2,3,4,5\}$ 、$A= \{1,2,3 \}$ 、$B= \{ 3,4 \}$ とする。（このように今考えている範囲全体の集合 $X$ を'''全体集合'''という）
このとき、$A \cap B = \{ 3 \}$ 、$A \cup B = \{ 1,2,3,4 \}$ 、$A^{c} = \{ 4,5 \} $ なので、$1 \in A \cup B$ 、$2 \notin A^{c}$ である。

* 実数 $\mathbb{R}$ の'''区間'''を次のように定義する。$a,b \in \mathbb{R},a \lt b$ に対して、
** $(a,b)= \{x \in \mathbb{R} | a \lt x \lt b \}$ '''（開区間）'''
** $(-\infty,a)= \{ x \in \mathbb{R} | x \lt a \}$ （有界でない開区間、$(a,\infty)$ も同様に定義する）
** $[a,b]= \{x \in \mathbb{R} | a \leq x \leq b \}$ '''（閉区間）'''
** $[a,b)= \{x \in \mathbb{R} | a \leq x \lt b \}$ （'''半開区間'''、$(a,b]$ も同様に定義する）
開区間と閉区間の違いは端の有無だけであるが、その差が非常に重要な違いとなってくる（例えば閉区間 $[a,b]$ で定義された数列がある実数 $\alpha$ に収束したとすると、$\alpha \in [a,b]$ が成り立つ。しかし開区間では一般にこのようなことは成り立たない）。開区間、閉区間の概念を一般の集合に拡張したのが[[位相空間]]における開集合、閉集合である。

* $X$ を集合族とする。$X \times X$ の部分集合 $\{ (x,y) \in X \times X \,|\, x=y\}$ を $X$ の'''対角線集合'''という。
* 通常の $2$ 次元平面はふたつの実数の組であらわすことができるので、
$\mathbb{R} \times \mathbb{R} = \{ (x,y) \,|\, x,y \in \mathbb{R} \}$
と同一視する。通常 $\mathbb{R} \times \mathbb{R}$ を $\mathbb{R} ^{2}$ と書く。
同様に $3$ 次元空間は $\mathbb{R} ^{3} = \mathbb{R} \times \mathbb{R} \times \mathbb{R}$と同一視される。一般に $ \mathbb{R} ^{n} = \{ ( x_1 , x_2 , \ldots , x_n ) \,|\, x_i \in \mathbb{R} \}$ を考えることができ、これを'''$n$ 次元（実）ユークリッド空間'''という。

== 基本的な性質 ==
$X$ を集合、$A,B,C$ を $X$ の部分集合とする。このとき以下が成立する。
Venn図を書いて納得することもできるが、定義に従ってきちんと証明することは先々必要なスキルであるので、ぜひ試みていただきたい。例えば、$A \subset B$ を証明するには「 $x \in A \Rightarrow x \in B$ 」を証明すればよく、$A=B$ を証明するには $A \subset B$ と $A \supset B$ を証明すればよい。
*$\emptyset \subset A$ （空集合はすべての集合の部分集合）
* $\emptyset ^{c} = X$ $X^{c} = \emptyset$
* $(A^{c})^{c} = A$
* $A \cap A^{c} = \emptyset$ $A \cup A^{c} = X$
* $A \subset A$ （反射律）
* 「 $A \subset B $ かつ $ B \subset C $ 」 $ \Rightarrow A \subset C$ （推移律）
* $A \cap B$ は「$A$ と $B$ に含まれる'''最大の''' $X$ の部分集合」である。
つまり、任意に $D \subset A $ かつ $ D \subset A$ となる $D \subset X$ をとってくると、$D \subset A \cap B$ が成り立つ。
* $A \cup B$ は「$A$ と $B$ を含む'''最小の''' $X$ の部分集合」である。
つまり、任意に $A \subset D $ かつ $ B \subset D$ となる$D \subset X$ をとってくると、$A \cup B \subset D$ が成り立つ。
* $A \cap A = A$ $A \cup A = A$ （べき等律）
* $A \cap B = B \cap A$ $A \cup B = B \cup A$ （交換律）
* $A \subset B \Leftrightarrow A \cap B = A$ （特に、$\emptyset \cap A = \emptyset$ ）
* $A \subset B \Leftrightarrow A \cup B = B$ （特に、$\emptyset \cup A = A$ ）
* $(A \cap B) \cap C = A \cap (B \cap C)$ $(A \cup B) \cup C = A \cup (B \cup C)$ （結合律）
* $A \subset A \cup B$
* $A \cap B \subset A$
* $A \subset B \Leftrightarrow B^{c} \subset A^{c}$ （補集合は包含関係を逆にする）
* $A \cap (B \cup C) = (A \cap B) \cup (A \cap C)$ $A \cup (B \cap C) = (A \cup B) \cap (A \cup C)$ （分配律）
* $(A \cap B)^{c}= A^{c} \cup B^{c}$ $(A \cup B)^{c}= A^{c} \cap B^{c}$ '''（De Morganの定理）'''
* 「 $A \subset B $ かつ $ A \subset C $ 」 $ \Rightarrow A \subset B \cap C$
* 「 $A \subset C $ かつ $ B \subset C $ 」 $ \Rightarrow A \cup B \subset C$

== 集合論の初歩 ==

[[論理と命題]] / 集合の基本的な用語、集合の演算 / [[全称記号と存在記号]] / [[写像、像、逆像、写像のグラフ]] / [[写像の合成、写像の拡大と制限]] / [[選択公理について]] / [[単射、全射、全単射、逆写像]] / [[部分集合族、べき集合]] / （ [[演算と代数構造]] ） / （ [[関係、同値関係、商集合]] ） / （ [[初歩的な順序集合]] ） / （ [[Zornの補題]] ） / （ [[集合の濃度]] ）

== 参考文献 ==
* [https://amzn.to/34utIpD 原啓介「集合・位相・圏　数学の言葉への最短コース」]
* [https://amzn.to/343u9XN 松坂和夫「集合・位相入門」]

== 関連項目 ==
*[[集合論]]

階乗

2021-05-12T10:48:03Z

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== 定義 ==
$0$ 以上の整数 $n$ について、$n$ の階乗 $n!$ とは、$n\times (n-1) \times \ldots \times 1$ の値のことを指す。

=== より厳密な定義 ===
$0$ 以上の整数の集合を $\mathbb{N}_0$ と表記する。このとき、$!\colon \mathbb{N}_0\to \mathbb{N}_0$ を、以下に述べる性質が成り立つような唯一の関数として定める。
* $!(0)=1$
* $1\leq n$ について、$!(n)=n\times !(n-1)$
このとき、$n\in \mathbb{N}_0$ について $!(n)\in \mathbb{N}_0$ を $n$ の階乗とよぶ。また $!(n)$ について、一般的にはこれを $n!$ と表記する。

=== 具体例 ===
* $0!=1$
* $1!=1\times 0!=1$
* $2!=2\times 1!=2$
* $3!=3\times 2!=6$
* $10!=10\times 9\times 8\times 7\times 6\times 5\times 4\times 3\times 2\times 1\times 0!=3628800$

== 増大性 ==
計算を行うと、非負整数 $n$ に比べて $n!$ の値は非常に大きいことがわかる。実際、以下の定理が成り立つ。
{{newtheorem |type=thm |display=定理 |counter=0 }}
{{theorem |type=thm |label=increase |name=階乗関数の増大速度は多項式関数より大きい}}
任意の(整数係数)多項式関数 $F\colon\mathbb{N}_0\to \mathbb{Z}$ について、以下の条件を満たすような非負整数 $N$ が存在する。
* $N\lt n$ なる任意の非負整数 $n$ について、$F(n)\lt n!$

== 複素数への拡張 ==
[[ガンマ関数|$\Gamma$ 関数]]は、階乗を取る操作のある種の一般化について述べているとみなすことができる。

$\Gamma$ 関数とは、正則関数 $\Gamma\colon\mathbb{C}\setminus \{0,-1,-2,\ldots\} \to \mathbb{C}$ であって、以下の条件を満たすものである。

* $\Gamma(1)=1$
* 複素数 $z$ について、$\Gamma(z+1)=z\Gamma(z)$

== 基数への拡張 ==
このセクションにおいて、$\{i\in\mathbb{N}\mid i<n\}$ の略記として $n$ と表記する。また、$\mathrm{card}(X)$ で集合 $X$ の[[濃度]]を表すものとする。

$n!$ は $\mathrm{card}(\mathrm{Aut}(n))$ と等しいことがわかる。このとき、基数 $\kappa$ に対しても同様に $\kappa !:=\mathrm{card}(\mathrm{Aut}(\kappa))$ と定めることができる。このように定めた $\kappa !$ は $\kappa$ が無限基数であるとき $2^\kappa$ と等しいことが知られている。
== 対称群の位数として ==
$n$ 元集合 $X$ を任意に取る。$X$ から $X$ への集合としての同型(全単射)全体の集合を $\mathrm{Aut}(X)$ とよぶと、$\mathrm{Aut}(X)$ は $n!$ 個の要素を持つ有限集合となる。

$\mathrm{Aut}(X)$ は合成を演算とする群としての構造を入れることができる。この方法によって作られる群のことを[[対称群]]という。対称群の群論的性質などの詳細についてはリンク先を参照されよ。

== information ==
=== 関連項目 ===
* [[二項係数]]
* [[数え上げ組合せ論]]
* [[初等整数論]]
* [[特殊関数]]
* [[ガンマ関数]]
* [[対称群]]
* [[群論]]
* [[圏化]]

=== 外部リンク ===
* [https://ja.m.wikipedia.org/wiki/階乗 wikipedia]

関係、同値関係、商集合

2021-05-12T10:47:47Z

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== 関係、同値関係、商集合 ==

　''関係''とは例えば、
* 実数 $x$、$y$ に対して、$x \le y$ である
* 平面上の $3$ 点 $P$、$Q$、$R$ に対して、この $3$ 点は同一直線上にある~

などのように2個以上の変数を持つ命題である。関係は以下に述べるように「変数を元に持つ集合の直積の部分集合」として定義される。関係の中でも $2$ 個の変数からなる関係で特別な性質をみたす''同値関係''と呼ばれるものが特に重要である。同値関係はイコール「$=$」の概念の拡張と考えられ、「今考えている議論において何をもって等しいとみなすか」を定めるときに使われる。~
　数学において同一視やグループ分けをすることはよく行われることである。例えば平面幾何において、合同であれば同じとみなす場合や相似であれば同じとみなす場合等、状況に応じて「同じ」の定義を定めてその意味で「同じ」ものに共通な性質を考えたり、あるいは整数論において偶奇の場合分けをすることがしばしば有効なように、考えている対象をいくつかのグループに分けて、あり得るパターンを有限個に落し込んでしらみつぶしで議論を進める、などである。同値関係や商集合といった概念はこのような議論の基礎を与える。

== 定義と基本的な性質 ==
　$n$ 個の集合 $A_1,A_2, \ldots ,A_n$ とこれらの直積 $X=A_1 \times A_2 \times \ldots \times A_n$ を考える。部分集合 $R \subset X$ が与えられているとき、「$X$ には''$n$ 項関係'' $R$ が定まっている」という。このとき、$(a_i)_i=(a_1,a_2,\ldots ,a_n) \in X$ のときは「$(a_i)_i$ は $R$ という関係がある」と解釈し、そうでない場合は「$(a_i)_i$ は $R$ という関係がない」と解釈する。~

　以下、特に $n=2$ 、$A_1 =A_2 (=A$ と置く $)$ で、 $A \ne \emptyset$ とする。この場合、$2$ 項関係 $R \subset A \times A$ が与えられたときは単に「$A$ には $2$ 項関係 $R$ が定まっている」といい、 $(a,b) \in R$ であることを、$R$ を $2$ 項演算子のように使って $aRb$ と書く。~

* 空でない集合 $A (\ne \emptyset)$ の $2$ 項関係 $R$ が ''同値関係'' であるとは次の $3$ つをみたすことである。
** （''反射律''）任意の $a \in A$ に対して $aRa$ が成り立つ。
** （''対称律''）任意の $a,b \in A$ に対して「$aRb \Rightarrow bRa$」が成り立つ。
** （''推移律''）任意の $a,b,c \in A$ に対して「（$aRb$ かつ $bRc） \Rightarrow aRc$」が成り立つ。 ~
$2$ 項関係 $R$ が同値関係のときは $R$ ではなく $\sim$ や $\equiv$ がよく使われ、$a \sim b$ であることを「$a$ と $b$ は同値である」とか「$a$ と $b$ は合同である」という。

以下、空でない集合 $A$ と $A$ の同値関係 $\sim$ が与えられているとする。~

* $a \in A$ に対して、$A$ の部分集合 $C(a) = \{ x \in A | a \sim x \}$ （$a$ と同値な元全体。$C(a)$ を $\overline{a}$ や $[a]$ とも書く。）を考える。$C(a)$ を「$a$ の（$\sim$ による）''同値類''」といい、逆に $b \in C(a)$ であるような $b$ （もちろん $b=a$ でもよい）を $C(a)$ の''代表元''という。

* $A$ の $\sim$ による（相異なる）同値類全体 $\{ C(a)| a \in A \}$ を $A$ の（$\sim$ による）''商集合''といい $A/\sim$ とかく。各（相異なる）同値類 $C(a)$ からひとつずつ代表元をとってきて得られる $A$ の部分集合 $S$ （代表元はひとつとは限らないのでこの $S$ は一意には定まらない）を $A$ の $\sim$ による''完全代表系''という。
* 写像 $\pi:A \ni a \longmapsto C(a) \in A/\sim $ は全射である。この写像を''自然な全射''とか''自然な射影''あるいは''商写像''などと呼ぶ。

次の命題から商集合は元の集合のグループ分けを与えることがわかる。この意味で $A$ と $\sim$ から $A/\sim$ を得ることを $A$ の（$\sim$ による）''類別''という。

=== 命題（同値関係から直和分解） ===
　空でない集合 $A (\ne \emptyset)$ に同値関係 $\sim$ が与えられたとする。このとき次が成り立つ。~
（１）任意の $a \in A$ に対して $C(a) \ne \emptyset$~
（２）$A = \bigcup_{a \in A} C(a)$ かつ「$a,b \in A$ に対して $C(a) \ne C(b) \Rightarrow C(a) \cap C(b) = \emptyset$ 」（すなわち $A$ の部分集合族 $\{ C(a)| a \in A \}$ は $A$ の直和分解を与える）~
（証明）~
（１）任意の $a \in A$ に対して、反射律より $a \sim a$ が成り立つ。よって $a \in C(a)$ なので $C(a) \ne \emptyset$ である。~
（２）（$\subset$）任意の $x \in A$ に対して、$x \in C(x) \subset \bigcup_{a \in A} C(a)$ なのでよい。~
（$\supset$）任意の $a \in A$ に対して $C(a) \subset A$ なので（そもそも $C(a)$
は $A$ の部分集合である）$\bigcup_{a \in A} C(a) \subset A$ である。~
（直和であること） $a,b \in A$ とする。対偶をとって「$C(a) \cap C(b) \ne \emptyset \Rightarrow C(a) =C(b) $」を示す。$x \in C(a) \cap C(b)$ とする。このとき $x \sim a$ かつ $x \sim b$ なので対象律と推移律から $a \sim b$である。いま、任意に $y \in C(a)$ をとると $y \sim a$ であるので、$y \sim a$ と $a \sim b$ から推移律より $y \sim b$ 、よって $y \in C(b)$ である。逆の包含関係も同様に示される。
（証明終）

=== 命題（直和分解から同値関係） ===
　空でない集合 $A (\ne \emptyset)$ に直和分解 $A = \bigcup_{\lambda \in \Lambda} A_{\lambda}$ （ただし $\lambda \ne \mu \Rightarrow A_{\lambda} \cap A_{\mu} = \emptyset$）が与えられたとする。このとき$A$ の $2$ 項関係 $\sim$ を、$a \sim b \Leftrightarrow $「ある $\lambda \in \Lambda$ が存在して、$a$ 、$b \in A_{\lambda}$」で定義すると、次のふたつが成り立つ。~
（１）$\sim$ は同値関係である。~
（２）$a \in A_{\lambda} \Rightarrow C(a)=A_{\lambda}$~
（証明）~
（１）（反射律）$a \in A$ を任意にとる。$A = \bigcup_{\lambda \in \Lambda } A_{\lambda}$ なので、ある $\lambda \in \Lambda$ が存在して $a \in A_{\lambda}$。これは $a$ 、$a \in A_{\lambda}$ と書いてもよいので $a \sim a$ が成り立つ。~
（対称律）$a \sim b$ であるように $a$ 、$b \in A$ を任意にとる。このとき、ある $\lambda \in \Lambda$ が存在して $a$ 、$b \in A_{\lambda}$ である。これは $b$ 、$a \in A_{\lambda}$ と書いてもよいので、$b \sim a$ が成り立つ。~
（推移律）$a \sim b$ かつ $b \sim c$ であるように $a$ 、$b$ 、$c \in A$ を任意にとる。このとき、ある $\lambda$ 、$\mu \in \Lambda$ が存在して $a$、$b \in A_{\lambda}$ かつ $b$、$c \in A_{\mu}$ となる。よって $b \in A_{\lambda} \cap A_{\mu}$ である。もし、$\lambda \ne \mu$ とすると直和分解の条件から $A_{\lambda} \cap A_{\mu} = \emptyset$ なので、$b \in \emptyset$ となって矛盾。したがって $\lambda = \mu$ となるので $a$ 、$c \in A_{\lambda}$ だから $a \sim c$ が成り立つ。~
（２）$(\subset)$ 任意の $x \in C(a)$ に対して、$x \sim a$ なので、ある $\mu \in \Lambda$ が存在して $x$ 、$a \in A_{\mu}$ となる。仮定より $a \in A_{\lambda}$ なので $\lambda = \mu$ となる（なぜならば $\sim$ は同値関係なので $\lambda \ne \mu \Rightarrow A_{\lambda} \cap A_{\mu} = \emptyset$ である）。よって、$x \in A_{\mu} =A_{\lambda}$~
$(\supset)$ $x \in A_{\lambda}$ とする。仮定 $a \in A_{\lambda}$ と合わせて、$x$ 、$a \in A_{\lambda}$ なので $x \sim a$ である。よって、$x \in C(a)$ である。（証明終）

=== 命題（自然な全射の普遍性） ===

=== 命題（写像の分解） ===

== 具体例 ==
* （自明な同値関係）
* （整数の剰余類）
* （トーラス）

== 集合論の初歩 ==

[[論理と命題]] / [[集合の基本的な用語、集合の演算]] / [[全称記号と存在記号]] / [[写像、像、逆像、写像のグラフ]] / [[写像の合成、写像の拡大と制限]] / [[選択公理について]] / [[単射、全射、全単射、逆写像]] / [[部分集合族、べき集合]] / （ [[演算と代数構造]] ） / （関係、同値関係、商集合） / （ [[初歩的な順序集合]] ） / （ [[Zornの補題]] ） / （ [[集合の濃度]] ）

== 参考文献 ==
*[https://amzn.to/343u9XN 松坂和夫「集合・位相入門」]

== 関連項目 ==
*[[集合論]]

錐

2021-05-12T10:47:26Z

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== 錐 ==
錐 (すい,cone) とは三角錐や円錐といった先の尖った図形を位相幾何の枠組みで定式化させた概念である。

== 定義 ==
位相空間 $X$ に対して$X\times [0,1]$ の $X\times \{1\}$を一点に潰した空間を $X$ 上の'''錐'''と呼ぶ。潰した点を錐の'''頂点'''と呼ぶ。また $x\mapsto [(x,0)]$ によって $X$ は $X$ の錐の部分空間だとみなせる。

厳密な定義としては次の通りである：位相空間 $X\times [0,1]$ と集合 $X\times [0,1)\cup\{pt\}$ について、以下のように $f\colon X\times [0,1]\to X\times [0,1)\cup\{pt\}$ を定める。
* $(x,r)\in X\times [0,1)$ に対して $f( (x,r) )=(x,r)$
* $(x,1)\in X\times \{1\}$ に対して $f( (x,1) )=pt$

このとき $f$ は集合の全射であるため、$X\times [0,1)\cup \{pt\}$ には商位相が入る。この空間が $X$ 上の錐である。

ここに述べた空間と同相な空間について、しばしば $X$ 上の錐という。また $CX$ と表記することがある。

== 位相的性質 ==
* [[分離公理|ハウスドルフ空間]]の錐は再びハウスドルフである。
*[[コンパクト空間]]の錐は再びコンパクトである。
* 錐と一点との[[ジョイン]]は[[同相]]である。
* 任意の空間の錐は可縮であり、さらに頂点を[[レトラクト|強変形レトラクト]]として持つ。
* [[CW複体]]の錐は再びCW複体となる。<ref name="remark">一般にCW複体の直積に直積位相を入れたものはそのままではCW複体にならないがより細かい自然な位相を入れることでCW複体になる。今回の場合は $[0,1]$ が有限なCW複体として実現できることからCW複体としての位相と直積位相は一致しそのまま自然なCW複体の構造を持ち元の空間は錐の部分複体となる。</ref>
== 関連項目 ==

* [[位相空間]]
* [[可縮空間]]
* [[懸垂]]
* [[ハワイの耳飾り]]

部分集合族、べき集合

2021-05-12T10:47:08Z

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== 部分集合族、べき集合 ==
　部分集合族はある集合の部分集合を元に持つ集合である。部分集合族は数学の議論をする上で基本的な概念である。たとえば[[位相空間]]では位相の定義をする段階で必要となる。

== ''定義'' ==
$S$ を集合とする。

* 「$S$ の部分集合全体の集合」を $S$ の''べき集合''といい、 $2^S$ や $\mathcal{P}(S)$ などと書く。$S$ のべき集合には空集合と $S$ 自身を元に持つ。つまり、$\emptyset , S \in 2^S$。

* $S$ のべき集合 $2^S$ の部分集合 $\{ A_i \} _{i \in I}$ （$I$ は添え字集合）を $S$ の''部分集合族''という。このとき当然、任意の $i \in I$ に対して $A_i \subset S$ である。

（注意）「部分集合系」という言葉と「部分集合族」という言葉を使い分ける流儀もある（例えば、松坂和夫「集合・位相入門」 p18、p44）。その際は上記の「べき集合 $2^S$ の部分集合」を「部分集合系」といい、写像 $A:I \longrightarrow 2^S$ （$A(i)$ を $A_i$ と書く）の像 $A(I)$ を $(A_i)_{i \in I}$ と書いてこれを「部分集合族」という。「集合論の初歩」のシリーズではこれらを区別しない流儀をとる。~

（補足）$X$、$Y$ を集合とする。$y=(y_1,y_2, \ldots ,y_n) \in Y^n$ に対して、写像 $y: \{ 1,2,\ldots , n \} \ni i \longmapsto y_i \in Y$ を与える対応は $Y^n$ から $ \textrm{Map}(\{ 1,2,\ldots , n \},Y)$ への $1$ 対 $1$ の対応である（つまり全単射である）。この意味で $Y^n = \textrm{Map}(\{ 1,2,\ldots , n \},Y)$ と思うことができる。この考え方を一般化して $Y^X := \textrm{Map}(X,Y)$ としばしば定義される。今、$Y= \{ 1,2 \}$ とし、写像 $f:X \longrightarrow \{ 1,2 \}$ に対して $\phi (f) := \{ x \in X | f(x)=1 \}$ を与える写像 $\phi$ は $\{ 1,2 \} ^X$ から $X$ のべき集合への全単射となる。この対応によって $\{ 1,2 \} ^X$ と $X$ のべき集合は同一視され、$2^X$ という記号のもととなっている。

== 具体例 ==

* $S= \emptyset$ とすると、$2^S = \{ \emptyset \}$ である。これは空集合を元に持つ集合であって、空集合ではないことに注意せよ。$\{ \emptyset \} \ne \emptyset$。

* $S = \{ a,b,c \}$ （$3$ 点集合）とすると $2^S = \{ \emptyset ,\{ a \},\{ b \},\{ c \},\{ a,b \},\{ a,c \},\{ b,c \},\{ a,b,c \} \}$ となり、これは $8$ 個の元からなる集合である。

* 一般に $S = \{ a_1, a_2 , \ldots ,a_n \}$ （$n$ 点集合）とすると、$2^S$ は $2^n$ 個の元からなる集合である。実際、$S$ の部分集合としてあり得る場合の数を考えると、$a_1$ を元に持つかどうかで $2$ 通り、$a_2$ を元に持つかどうかで $2$ 通り、$\ldots$、$a_n$ を元に持つかどうかで $2$ 通りある。よって全部で$2 \times 2 \times \ldots \times 2 (n $ 回 $) =2^n$ 通りとなる。

== 集合論の初歩 ==

[[論理と命題]] / [[集合の基本的な用語、集合の演算]] / [[全称記号と存在記号]] / [[写像、像、逆像、写像のグラフ]] / [[写像の合成、写像の拡大と制限]] / [[選択公理について]] / [[単射、全射、全単射、逆写像]] / 部分集合族、べき集合 / （ [[演算と代数構造]] ） / （ [[関係、同値関係、商集合]] ） / （ [[初歩的な順序集合]] ） / （ [[Zornの補題]] ） / （ [[集合の濃度]] ）

== 参考文献 ==
:[[松坂和夫「集合・位相入門」:https://amzn.to/343u9XN]]

== 関連項目 ==
*[[集合論]]

選択公理について

2021-05-12T10:46:47Z

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</noinclude>
[[Category:集合論 | センタクコウリニツイテ]]

{{newtheorem |type=def |display=定義 |family=thm }}
{{newtheorem |type=prop |display=命題 |family=thm }}
{{newtheorem |type=thm |display=定理}}
{{newtheorem |type=lem |display=補題 |family=thm }}
{{newtheorem |type=ex |display=例 |family=thm }}

== 選択公理 ==

　$A_1 , A_2 , \ldots , A_n $ を空集合でない集合とする。つまり任意の $i=1,2,\ldots,n$ に対して各 $A_i$ は少なくともひとつは元を持つので、その元を例えば $a_i \in A_i$ と置く。集合 $A_i$ 達は有限個しかないので、すべての $A_i$ からひとつずつ元 $x_i \in A_i$ をとってくることは有限回の操作で実行可能である。したがって直積 $\prod_{i=1}^{n} A_i$ は元 $(a_i)_{i=1}^{n}$ を持つので $\prod_{i=1}^{n} A_i \ne \emptyset$ である。一方、$I$ を有限集合でない集合とし、無限個の空でない集合族 $\{A_i \} _{i \in I}$ を考える。もちろん個々の $i \in I$ に対して、$a_i \in A_i$ をひとつ取ってくることは、$A_i \ne \emptyset$ なので可能である。しかし「一斉に」$A_i$ 達の元をひとつずつ選んできて、$(a_i)_{i \in I} \in \prod_{i \in I} A_i$ とすることが（具体的なアルゴリズムを示したり、有限回の操作で実行したり）できるかどうかはまったく明らかではない。しかし、この操作を認めないと数学をする上で非常に不便であるため我々はこれを公理として承認する。すなわち次の性質を「'''選択公理 (axiom of choice)'''」として成り立つものとする。

{{begin |section }}
{{theorem |type=thm |name=選択公理|label=def-finite_automaton}}
$I$ を集合、 $\{ A_i \}_{i \in I}$ を集合族とする。このとき次が成り立つ。
$$
「任意の i \in I に対して A_i \ne \emptyset 」 \Longrightarrow \prod_{i \in I} A_i \ne \emptyset
$$
{{end |section }}

== 初歩的な応用例 ==
　ここでは写像に関する応用をひとつだけ説明し、残りは事実を列挙するにとどめる。

{{theorem |type=prop |label=def-finite_automaton}}
$X$、$Y$ を集合とし、写像 $f \colon X \longrightarrow Y$ を考える。ただし、$f(X)=Y$ とする（$f$ は全射であるという）。このとき、写像 $g \colon Y \longrightarrow X$ が存在して、$f \circ g = id_Y$ が成り立つ。
{{begin |proof | collapsible=1 }}
（証明）
$f(X)=Y$ なので、任意の $y \in Y$ に対して、$y \in f(X)$ が成り立つ。つまり、ある $x \in X$ が存在して $f(x)=y$ が成り立つ。ゆえに $x \in f^{-1}(y)$ である。以上から、任意の $y \in Y$ に対して、 $f^{-1}(y) \ne \emptyset$ が成り立つ。よって、選択公理より $\prod_{y \in Y} f^{-1}(y) \ne \emptyset$ なので $(x_y)_{y \in Y} \in \prod_{y \in Y} f^{-1}(y)$ が存在する。このとき $x_y \in f^{-1}(y)$ なので、$f(x_y)=y$ である。今、写像 $g \colon Y \longrightarrow X$ を $g(y)=x_y$ で定める（$g$ は$(x_y)$ の取り方に依存する）。すると、任意の $y \in Y$ に対して、$f \circ g(y) = f(x_y) =y$ となる。以上から、$f \circ g = id_Y$ が成り立つ。この $g$ が求める写像であった。
(証明終わり)
{{end |proof }}

以下、未定義の用語を多用するが次のような結果も知られている。
* ([['''zorn の補題''']]) 帰納的順序集合は極大元を持つ。

* $K$ を体とし、$V$ を $K$ 上のベクトル空間とする。$V$ が $0$ 以外の点を持つとき、$V$ は基底を持つ。

== 集合論の初歩 ==

[[論理と命題]] / [[集合の基本的な用語、集合の演算]] / [[全称記号と存在記号]] / [[写像、像、逆像、写像のグラフ]] / [[写像の合成、写像の拡大と制限]] / 選択公理について / [[単射、全射、全単射、逆写像]] / [[部分集合族、べき集合]] / （ [[演算と代数構造]] ） / （ [[関係、同値関係、商集合]] ） / （ [[初歩的な順序集合]] ） / （ [[Zornの補題]] ） / （ [[集合の濃度]] ）

== 参考文献 ==
* [https://amzn.to/343u9XN 松坂和夫「集合・位相入門」]

== 関連項目 ==
*[[集合論]]

連結度

2021-05-12T10:44:51Z

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{{TOC |align=right |noautonum=1 }}
</noinclude>
{{newtheorem |type=thm |display=定理 |counter=0 }}
{{newtheorem |type=def |display=定義 |family=thm }}
{{newtheorem |type=prop |display=命題 |family=thm }}
{{newtheorem |type=lem |display=補題 |family=thm }}
{{newtheorem |type=fact |display=事実 |family=thm }}
{{newtheorem |type=axiom |display=公理 |family=thm }}
{{newtheorem |type=obs |display=観察 |family=thm }}
{{newtheorem |type=cor |display=系 |family=thm }}
{{newtheorem |type=conj |display=予想 |family=thm }}
{{newtheorem |type=note |display=注意 |family=thm }}
{{newtheorem |type=word |display=記法 |family=thm }}
{{#scite: Diestel00
|type=book
|author=R. Diestel
|year=2000
|title=Graph Theory
|publisher=Springer
}}
== 連結性 ==
空でないグラフ $G = (V,E)$ が'''連結'''であるとは、$G$ の任意の頂点 $v$, $v'$ についても $v$ と $v'$ を結ぶ道が存在することをいう。
{{theorem |type=note |label=too_simple_to_be_simple |name=空グラフは非連結 }}
ここでは空グラフは連結であるとはしない。この[https://ncatlab.org/nlab/show/too+simple+to+be+simple nlab]の記事などを参照されたい。
== 連結度 ==
グラフ $G$ について、'''$k$-連結'''であるとは、任意の濃度 $k$ 未満の集合 $X \subset |G|$ に対して部分グラフ $G - X$ が連結となることをいう。ただし、$G - X$ とは頂点集合を $|G| \setminus X$ とし、辺集合を $E(G) \cap [|G| \setminus X]^2$ とするグラフのことをいう。

$G$ が $k$-連結となるような最大の整数 $k$ を $G$ の'''連結度'''という。
== information ==
{{#referencelist:
|listtype=ul
|browselinks=false
|columns=1
|references=Diestel00
}}
=== 関連項目 ===
* [[グラフ]]

論理と命題

2021-05-12T10:43:24Z

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{{TOC |align=right |noautonum=1 }}
</noinclude>
[[Category:集合論 | ロンリトメイダイ]]

ここでは初歩的な集合論を説明するために必要な論理と命題を扱う。ただし[[数理論理学]]のような厳密な形では扱わない。

== 命題と真偽表 ==
数学的な主張で正しいか正しくないか、いずれか一方だけ成立するものを'''命題'''という。
正しいときはその命題は真であるといい、正しくないときはその命題は偽であるという。
以下、命題 $P$、$Q$ が与えれられたとする。このとき次のような「命題を結合する演算」を考える。

{| class="wikitable" style="text-align: center;"
|+ 論理結合子
|-
! 論理式 !! 読み方 !! 意味
|-
| $\lnot P$ || $P$ ではない || $P$ の真偽を逆にする
|-
| $P \land Q$ || $P$ かつ $Q$ || $P$ と $Q$ がともに真のときのみ真。それ以外は偽
|-
| $P \lor Q$ || $P$ または $Q$|| $P$ か $Q$ が少なくとも一方が真のとき真。それ以外（両方偽のとき）は偽
|-
| $P \Rightarrow Q$ || $P$ ならば $Q$ ||$P$ が真でありかつ $Q$ が偽のときのみ'''偽'''。それ以外は'''真'''
|}

$P \Rightarrow Q$のとき $P$ は $Q$ の'''十分条件'''といい、 $Q$ は $P$ の'''必要条件'''という。上記の定義で次の2点に注意せよ。
* 日常の言葉では「または」というとどちらか一方のみという意味でとられがちであるが、論理的には$P \lor Q$ は真であるとき $P$、$Q$ がともに真であってもよい。
* $P$ が偽ならば $Q$ の真偽にかかわらず $P \Rightarrow Q$ は真。（仮定を満たさなければすべて真）

命題の真偽は次のように $P$、$Q$ の真偽に応じて、それらを使って得られた命題の真偽をまとめた'''真偽表'''を作成するとわかりやすい。ここでは〇を真、×を偽の意味で略記している。

{| class="wikitable" style="text-align: center;"
|+ 基本的な真偽の一覧
|-
! $P$ !! $Q$ !! $\lnot P$ !! $P \land Q$ !! $P \lor Q$ !! $P \Rightarrow Q$
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| 〇 || 〇 || × || 〇 || '''〇''' || 〇
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| 〇 || × || × || × || 〇 || ×
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| × || 〇 || 〇 || × || 〇 || '''〇'''
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| × || × || 〇 || × || × || '''〇'''
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　$P$、$Q$ に対して
$(P \Rightarrow Q ) \land ( Q \Rightarrow P$) （つまり「 $P$ ならば $Q$ 」かつ「 $Q$ ならば $P$ 」）

を $P \Leftrightarrow Q$ と略記し、 $P$ と $Q$ は'''必要十分条件'''であるとか'''同値'''であるという。次のように真偽表を書くとわかるように、 $P \Leftrightarrow Q$ は「 $P$ と $Q$ の真偽が一致しているとき真になり、そうでないとき偽」となる。

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! $P$ !! $Q$ !! $P \Rightarrow Q$ || $Q \Rightarrow P$ || $P \Leftrightarrow Q$
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| 〇 || 〇 || 〇 || 〇 || 〇
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| 〇 || × || × || 〇 || ×
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| × || 〇 || 〇 || × || ×
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| × || × || 〇 || 〇 || 〇
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== 具体例 ==
* 具体的に存在する $A$ 君に対して、「 $A$ 君は身長170cm以上である」は命題である。しかし「 $A$ 君は背が高い」は「高い」の定義があいまいで真偽を確定できないので命題ではない。

*「平面上の直角三角形において斜辺の長さの2乗は、残りの2辺の長さの2乗和と等しい」真の命題である。
*「 $1+1=3$ である」は通常の数の範囲では偽の命題である。

== 基本的な結果 ==
以下、基本的な結果を列挙する。これらの結果は証明の基礎であったり、集合の最も基本的な性質の基礎になっている。証明は真偽表を書けば容易にわかる。
$P,Q,R$は命題とする。このとき、 $P,Q,R$ の真偽にかかわらず次の命題はすべて真。
*$ P \land Q \Leftrightarrow Q \land P$
*$ P \lor Q \Leftrightarrow Q \lor P$
これにより「 $X$ を集合、$A,B$ を $X$ の部分集合としたとき、$A \cap B = B \cap A$ 」等を証明することができる。
実際、$x \in A \cap B \Leftrightarrow $「$(x \in A) \land (x \in B)$」$\Leftrightarrow$ 「 $(x \in B) \land (x \in A)$ 」$\Leftrightarrow x \in B \cap A$

* $\lnot ( \lnot P) \Leftrightarrow P$

* $P \lor \lnot P$ は $P$ の真偽によらず常に真（'''排中律'''）
排中律が常に成り立つことが'''背理法'''の根拠になっている。

* $(P \Rightarrow Q) \Leftrightarrow (\lnot Q \Rightarrow \lnot P )$ （対偶）
与えられた命題を証明するために、その命題の対偶を示すのも基本的な方法である。

* $ P \lor ( Q \land R ) \Leftrightarrow ( (P \lor Q ) \land (P \lor R))$
* $ P \land ( Q \lor R ) \Leftrightarrow ( (P \land Q ) \lor (P \land R))$

* $ \lnot (P \land Q) \Leftrightarrow (\lnot P \lor \lnot Q)$~
$ \lnot (P \lor Q) \Leftrightarrow (\lnot P \land \lnot Q)$ '''（De Morgan の定理）'''

== 集合論の初歩 ==

論理と命題 / [[集合の基本的な用語、集合の演算]] / [[全称記号と存在記号]] / [[写像、像、逆像、写像のグラフ]] / [[写像の合成、写像の拡大と制限]] / [[選択公理について]] / [[単射、全射、全単射、逆写像]] / [[部分集合族、べき集合]] / （ [[演算と代数構造]] ） / （ [[関係、同値関係、商集合]] ） / （ [[初歩的な順序集合]] ） / （ [[Zornの補題]] ） / （ [[集合の濃度]] ）

== 参考文献 ==
* [https://amzn.to/34utIpD 原啓介「集合・位相・圏　数学の言葉への最短コース」]
* [https://amzn.to/2YgqlPj キューネン「数学基礎論講義」]

== 関連項目 ==
*[[集合論]]
*[[数理論理学の概要|数理論理学]]

表現論

2021-05-12T10:42:39Z

Saitory: 連続改行の修正

== 表現論 ==
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== 関連項目 ==
* [[線形代数学]]
* [[群論]]