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環論の基礎2：イデアルと剰余環

2023-03-17T13:12:50Z

Q-rad: /* 例 2.27 ($\mathbb{C}[x]/(x^2+1)\cong \mathbb{C}$) */

この章では環やその周辺用語の定義について述べる。

'''[[入門テキスト「環論の基礎」]]'''
* [[環論の基礎1：環の定義]]
* [[環論の基礎2：イデアルと剰余環]]

=== 定義 2.1 (イデアル) ===

$R$を可換環とする。

空でない部分集合$I\subset R$が以下を満たすならば、$I$を$R$のイデアルという。

(1)任意の$a,b\in I$に対して、$-a+b\in I$。

(2)任意の$a\in I,r\in R$に対して、$ra\in I$。

=== 例 2.2 (自明なイデアル) ===

$R$を可換環とする。

$R,\{0\}$はイデアルとなる。

これらを自明なイデアルという。

=== 例 2.3 (零化イデアル) ===

$R$を可換環、$S\subset R$を部分集合とする。

\[
N(S)=\{a\in R|as=0,s\in S\}
\]

によって定義すると$N(S)$はイデアルになる。

このイデアルを零化イデアルという。

=== 定義 2.4 (生成されるイデアル) ===

$R$を可換環、$a_1,\cdots,a_n\in R$とする。

\[
I=\{r_1a_1+\cdots+r_na_n|r_1,\cdots r_n\in R\}
\]

と定義すると、$I$は$R$のイデアルになる。

このイデアルを$a_1,\cdots,a_n$によって生成されるイデアルと呼び、$(a_1,\cdots,a_b)$と表記する。

また、有限個の元によって生成されるイデアルを有限生成イデアルという。

=== 命題 2.5 (生成されるイデアルは生成元を含む最小のイデアル) ===

$R$を可換環、$a_1,\cdots,a_n\in R$とする。

$I=(a_1,\cdots,a_n)$は$a_1,\cdots,a_n$を含むイデアルの中で最小のイデアルである。

{{begin|proof|display=''Proof.''|collapsible=1|collapsed=1}}

$J$を$a_1,\cdots,a_n$を含むイデアルとする。

このとき任意の$i=r_1a_1+\cdots+r_na_n\in I$に対して、$i\in J$なので$I\subset J$。

よって、$I$は$a_1,\cdots,a_n$を含むイデアルの中で最小のイデアルである。

{{end|proof|}}

=== 定義 2.6 (単項イデアル) ===

$R$を可換環とする。

1つの元$a\in R$によって生成される$R$のイデアル$(a)$を単項イデアルという。

=== 例 2.7 (多項式環のイデアル) ===

$R=\mathbb{C}[x],I=(x)$とする。

このとき

\[
I=\{fx|f\in R\}=R\backslash\mathbb{C}
\]

である。

=== 命題 2.8 ($(a)\subset (b)\Leftrightarrow ^\exists r(a=rb)$) ===

$R$を可換環、$(a),(b)$を$R$の単項イデアルとする。

$(a)\subset (b)\Leftrightarrow $r\in R$が存在して$a=rb$を満たす。

{{begin|proof|display=''Proof.''|collapsible=1|collapsed=1}}

($\Rightarrow$)

$a\in (a)$なので$a\in (b)$が成り立つ。

\[
(b)=\{rb|r\in R\}
\]

なので、$a=rb$となるような$r$が存在する。

($\Leftarrow$)

$(a)=(rb)\subset (b)$より明らか。

{{end|proof|}}

=== 命題 2.9 (可逆元を持つイデアルは$R$) ===

$R$を可換環、$I$をイデアルとする。

$I$が$R$の可逆元を含むならば$I=R$である。

{{begin|proof|display=''Proof.''|collapsible=1|collapsed=1}}

$a\in I$を可逆元とする。

イデアルの定義より$a^{-1}a\in I$なので$1\in I$。

よって任意の$r\in R$に対して$1\cdot r=r\in I$が成り立つので、$R\subset I$。

$I\subset R$は明らかなので$I=R$である。

{{end|proof|}}

=== 命題 2.10 (体$\Leftrightarrow$自明なイデアルしか持たない) ===

$F\neq\{0\}$を可換環とする。

$F$は体$\Leftrightarrow$$F$は自明なイデアルしか持たない

{{begin|proof|display=''Proof.''|collapsible=1|collapsed=1}}

$\Rightarrow$

$I$を$F$のイデアルとする。

$I$が0ではない$F$の元を持つならば、それは可逆元なので$I=F$である。

よって体は自明なイデアルしか持たない。

$\Leftarrow$

$f\in F\backslash\{0\}$を任意に取ると、$(f)=F$である。

よって$F$の任意の元は$f$との積で表されるので、$ff^\prime=1$となる$f^\prime$が存在して$f$は可逆元。

つまり$F\backslash\{0\}$の任意の元は可逆元なので$F$は体。

{{end|proof|}}

=== 命題 2.11 (体から環への準同型は単射) ===

体から零環ではない環への準同型は単射である。

{{begin|proof|display=''Proof.''|collapsible=1|collapsed=1}}

$F$を体、$R\neq\{0\}$を環、$f:F\rightarrow R$を環準同型とする。

$Ker(f)$は$F$のイデアルなので$Ker(f)=F$または$\{0\}$である。

$Ker(f)=F$とすると、$f(1_F)=0_R$だが環準同型の定義より$f(1_F)=1_R$で$R$は零環ではないのでこれは矛盾。

よって、$Ker(f)=\{0\}$なので$f$は単射。

{{end|proof|}}

=== 定義 2.12 (部分環のイデアル) ===

$R$を可換環、$S$を部分環とする。

$I\subset S$をイデアルとして、$I$で生成された$R$のイデアルを$IR$と書く。

=== 定義 2.13 (イデアルの和・積) ===

$R$を可換環、$I,J$をイデアルとする。

\[
I+J=\{x+y|x\in I,y\in J\}
\]

をイデアルの和という。

\[
\{xy|x\in I,y\in J\}
\]

によって生成されるイデアルを$IJ$と書き、イデアルの積という。

$I+J,IJ$はイデアルである。

=== 定義 2.14 (互いに素なイデアル) ===

$R$を可換環、$I,J$をイデアルとする。

\[
I+J=R
\]

が成り立つとき、$I,J$は互いに素であるという。

=== 命題 2.15 ($I+J$は$I\cup J$で生成されるイデアル) ===

$R$を可換環、$I,J$をイデアルとする。

$I+J$は$I\cup J$で生成されるイデアル$(I\cup J)$である。

{{begin|proof|display=''Proof.''|collapsible=1|collapsed=1}}

任意に$a\in I,b\in J$を取る。$a,b\in I\cup J$なので$a+b\in (I\cup J)$である。

よって$I+J\subset (I\cup J)$が成り立つ。

$I,J\subset I+J$であり、$(I\cup J)$は$I,J$を含む最小のイデアルなので$I+J=(I\cup J)$が成り立つ。

{{end|proof|}}

=== 命題 2.16 ($2\mathbb{Z}+3\mathbb{Z}=\mathbb{Z}$) ===

$n\in \mathbb{Z}$で生成される単項イデアル$(n)$を$n\mathbb{Z}$と書くことにする。

\[
2\mathbb{Z}+3\mathbb{Z}=\mathbb{Z}
\]

が成り立つ。

{{begin|proof|display=''Proof.''|collapsible=1|collapsed=1}}

$2\mathbb{Z}+3\mathbb{Z}\subset\mathbb{Z}$は明らか。

$2\mathbb{Z}+3\mathbb{Z}\supset\mathbb{Z}$を示す。

任意の偶数は$2k+0(k\in\mathbb{Z})$と書けるので$2k\in 2\mathbb{Z}+3\mathbb{Z}$

任意の奇数は$2k-1=2(k-2)+3(k\in\mathbb{Z})$と書けるので$2k-1\in 2\mathbb{Z}+3\mathbb{Z}$

よって$2\mathbb{Z}+3\mathbb{Z}\supset\mathbb{Z}$が成り立つ。

以上より、$2\mathbb{Z}+3\mathbb{Z}=\mathbb{Z}$。

{{end|proof|}}

=== 定義 2.17 (剰余環) ===

$R$を可換環、$I\neq R$をイデアルとする。

\[
x\sim y\Leftrightarrow x-y\in I
\]

によって同値関係を定義して、同値類の集合を$R/I$と書く。

また、$x\in R$を代表元とする同値類を$x+I$と書くとき、

\[
(x+I)+(y+I)=(x+y)+I
\]

\[
(x+I)\cdot (y+I)=xy+i
\]

と和と積を定義すると、$(R/I,+,\cdot)$は可換環になる。

可換環$R/I$を$R$の$I$に関する剰余環という。

=== 例 2.18 ($\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$) ===

$n\geq 2$とする。

$\mathbb{Z}$は可換環、$n\mathbb{Z}$はイデアルなので、$\mathbb{Z}$の$n\mathbb{Z}$に関する剰余環$\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$が定義できる。

$\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$は$n\mathbb{Z}$を零元、$1+n\mathbb{Z}$を単位元とする可換環である。

=== 定義 2.19 (環の準同型・同型) ===

$R,S$を環、$f:R\rightarrow R^\prime$を写像とする。

任意の$a,b\in R$に対して、

\[
f(a+b)=f(a)+f(b)
\]
\[
f(ab)=f(a)f(b)
\]

が成り立ち、

\[
f(1_R)=1_{R^\prime}
\]

を満たすとき、$f$を環の準同型という。

$f:R\rightarrow R^\prime$が環の全単射準同型で逆写像も準同型のとき、$f$を環の同型という。

このとき、$R,R^\prime$は同型であるといい、$R\cong R^\prime$と表記する。

また、$F,F^\prime$が体のとき、$f:F\rightarrow F^\prime$が環の準同型・同型ならば$f$を体の準同型・同型という。

=== 定義 2.20 (核・像) ===

$R,R^\prime$を環、$f:R\rightarrow R^\prime$を環の準同型とする。

\[
Ker(f)=\{r\in R|f(r)=0_{R^\prime}\}
\]

と定義し、これを$f$の核という。

\[
Im(f)=\{r^\prime\in R^\prime|f(r)=r^\prime,r\in R\}
\]

と定義し、これを$f$の像という。

=== 命題 2.21 (核はイデアル) ===

$R,R^\prime$を環、$f:R\rightarrow R^\prime$を環の準同型とする。

$Ker(f)$は$R$のイデアルである。

{{begin|proof|display=''Proof.''|collapsible=1|collapsed=1}}

$r\in R,k\in Ker(f)$を任意に取る。

\[
f(rk)=f(r)f(k)=0_{R^\prime}
\]

よって、$rk\in Ker(f)$。

また、$Ker(f)$は加法について部分群なので任意の$k,l\in Ker(f)$に対して$-l+l\in Ker(f)$である。

以上より、$Ker(f)$は$R$のイデアル。

{{end|proof|}}

=== 命題 2.22 (単射$\Leftrightarrow$$Ker(f)=\{0\}$) ===

$R,S$を環、$f:R\rightarrow R^\prime$を環準同型とする。

$f$が単射$\Leftrightarrow$$Ker(f)=\{0_R\}$

{{begin|proof|display=''Proof.''|collapsible=1|collapsed=1}}

($\Rightarrow$)

$f(0_R)=0_{R^\prime}$より$0_R\in Ker(f)$。

任意に$x\in Ker(f)$を取ると$f(x)=0_{R^\prime}=f(0_R)$なので$f$の単射性より$Ker(f)=\{0_R\}$

($\Leftarrow$)

$x,y\in R$を任意に取る。

$f(x)=f(y)$とすると、

\[
f(x-y)=f(x)-f(y)=0_{R^\prime}
\]

よって$x-y\in Ker(f)=\{0_R\}$なので$x=y$である。

{{end|proof|}}

=== 命題 2.23 ($\mathbb{Z}$の自己同型は恒等写像のみ) ===

$\mathbb{Z}$から$\mathbb{Z}$への環準同型は恒等写像$id$以外に存在しない。

{{begin|proof|display=''Proof.''|collapsible=1|collapsed=1}}

$f:\mathbb{Z}\rightarrow\mathbb{Z}$を環準同型とする。

準同型の定義より$f(1)=1$である。

よって、任意の$n\in \mathbb{Z}$に対して$f(n)=nf(1)=n$が成り立つ。

$f$による始域の元の行き先が完全に決定してしまったので$\mathbb{Z}$は$f$以外に自己準同型を持たない。

よって、$f=id$。

{{end|proof|}}

=== 定義 2.24 (自然な準同型) ===

$R$を可換環$I\neq R$をイデアルとする。

準同型$\pi:R\rightarrow R/I$を

\[
\pi(r)=r+I
\]

と定義すると$\pi$は全射準同型となる。

$\pi$を自然な準同型という。

=== 定理 2.25 (環の準同型定理) ===

$R.R^\prime$を可換環、$\phi:R\rightarrow R^\prime$を環準同型とする。

$\pi:R\rightarrow R/Ker(\phi)$を自然な準同型とする。

準同型$\psi:R/Ker(\phi)\rightarrow R^\prime$で、$\psi\circ\pi=\phi$を満たし同型$R/Ker(\phi)\rightarrow Im(\phi)$を定めるものが一意に存在する。

=== 命題 2.26 (環の第3同型定理) ===

$R$を可換環、$I\subset J\neq R$を$R$のイデアルとする。

\[
(R/I)(J/I)\cong R/J
\]

が成り立つ。

=== 例 2.27 ($\mathbb{R}[x]/(x^2+1)\cong \mathbb{C}$) ===

準同型$\phi:\mathbb{R}[x]\rightarrow\mathbb{C}$を

\[
\phi(f(x))=f(i)
\]

と定義すると、$Ker(\varphi)=(x^2+1),Im(\varphi)=\mathbb{C}$なので、準同型定理より

\[
\mathbb{R}[x]/(x^2+1)\cong \mathbb{C}
\]

=== 定理 2.28 (中国剰余定理) ===

$R$を可換環、$I_1,\cdots,I_n\neq R$をどの$I_i,I_j(i\neq j)$も互いに素なイデアルとする。以下が成り立つ。

(1)任意の$i\leq n$に対して$I_i$と$I_1\cdots I_{i-1}I_{i+1}\cdots I_n$は互いに素。

(2)

\[
I_1\cap\cdots\cap I_n=I_1\cdots I_n
\]

(3)

\[
R/(I_1\cap\cdots\cap I_n)\cong R/I_1\times\cdots\times R/I_n
\]

{{begin|proof|display=''Proof.''|collapsible=1|collapsed=1}}

{{end|proof|}}

=== 例 2.29 (整数環における中国剰余定理) ===

中国剰余定理において、$R=\mathbb{Z}$とするとそのイデアルは$n\mathbb{Z}$という形で書けるので、これを中国剰余定理へと適用する。

$n_1,\cdots,n_k$をそれぞれ互いに素な整数とすると、

\[
\mathbb{Z}/n_1\cdots n_k\mathbb{Z}\cong\mathbb{Z}/n_1\mathbb{Z}\times\cdots\times\mathbb{Z}/n_k\mathbb{Z}
\]

が成り立つ。

例えば、$6=2\times 3$なので、

\[
\mathbb{Z}/6\mathbb{Z}\cong\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}\times\mathbb{Z}/3\mathbb{Z}
\]

=== 命題 2.30 ($p$が素数$\Leftrightarrow$$\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}$が体) ===

$p\geq 2$を自然数とする。

$p$が素数$\Leftrightarrow$$\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}$が体

{{begin|proof|display=''Proof.''|collapsible=1|collapsed=1}}

($\Leftarrow$)

対偶を示す。

$p$が素数ではないとすると、互いに素な自然数$m,n$を用いて$p=mn$と書ける。

$\overline{m},\overline{n}\in\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}$は共に$\overline{0}$ではない。

しかし、

\[
\overline{m}\cdot\overline{n}=\overline{mn}=\overline{p}=\overline{0}
\]

なので、$\overline{m},\overline{n}$は零因子である。

よって$\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}$は体ではない。

($\Rightarrow$)

$\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}\ni\overline{n}\neq\overline{p}$を任意に取る。

$p$が素数であることより$n$は$p$と互いに素なので$nx+py=1$を満たす$x,y\in\mathbb{Z}$が存在する。

よって、

\[
\overline{n}\overline{x}=\overline{1}
\]

が成り立つので、任意の$\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}\ni\overline{n}\neq\overline{0}$は可逆元である。

つまり、$\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}$は体。

{{end|proof|}}

Whiteheadの問題

2023-03-01T12:14:04Z

Q-rad: /* 集合論的公理 */

'''Whiteheadの問題'''(ホワイトヘッドのもんだい、Whitehead problem) とは、アーベル群に関する主張であり、具体的には次のようなものである。

* アーベル群 $A$ について $\mathrm{Ext}^1(A, \mathbb{Z}) = 0$ ならば $A$ は自由アーベル群であるか ?

この主張の真偽は ZFC 上独立であることが知られている。

== 概要 ==
この主張が ZFC 上独立であることは、Shelah によって示された。

実際に、以下のことが示されている。

* 公理 $\mathbf{V} = \mathbf{L}$ のもとでは主張は真である。
* 公理 $\mathrm{MA} + \lnot \mathrm{CH}$ のもとでは主張は偽である。

== 解説 ==
代数学に関する基本的な知識については仮定している。
=== $\mathrm{Ext}$ 群 ===
詳細はホモロジー代数の教科書等にゆずるとして、ここでは必要な範囲においての説明をおこなう。

まず $\mathrm{Ext}$ 群の定義について解説する。自然数 $i \in \mathbb{N}_0$, アーベル群 $A$, $B$ が与えられたときに、次の方法によりアーベル群 $\mathrm{Ext}^i(A, B)$ を得ることができる。

* 完全列 $\ldots \to P_2 \to P_1 \to P_0 \to A \to 0$ であって、$P_\bullet$ がすべて射影アーベル群であるようなものをとる。このとき、$\ldots \to \mathrm{Hom}(P_2, B) \to \mathrm{Hom}(P_1, B) \to \mathrm{Hom}(P_0, B) \to 0$ の $i$-次ホモロジー群について、これを $\mathrm{Ext}^i(A, B)$ とよぶ。

この構成は完全列 $P_\bullet \to A \to 0$ の取り方に依存しているが、しかしながら異なる完全列によって構成された $\mathrm{Ext}$ 群のあいだには、標準的な同型が存在することが知られている。

また、$\mathrm{Ext}^1$ については、次のような具体的な対象と対応することが知られている。

* アーベル群 $A$, $B$ について、$0 \to B \to X \to A \to 0$ なるアーベル群の短完全系列の同型類全体の集合を $\mathrm{Ext}(A, B)$ とよぶと、自然な集合の同型 $\mathrm{Ext}(A, B) \cong \mathrm{Ext}^1(A, B)$ が存在する。

実際、アーベル群 $A$ に対して、$\mathbb{Z}[A^3] \to \mathbb{Z}[A^2] \to \mathbb{Z}[A] \to A \to 0$ なる完全列をとることができる。ただし、それぞれの射について、$(a, b, c) \in A^3$ に対応する単位ベクトル $[(a, b, c)]$ について、$[(a, b)] + [(a + b, c)] - [(b, c)] - [(a, b + c)]$ を充てる射として $\mathbb{Z}[A^3] \to \mathbb{Z}[A^2]$ をとり、また $(a, b) \in A^2$ に対応する単位ベクトル $[(a, b)]$ について $[a] + [b] - [a + b]$ を充てる射として $\mathbb{Z}[A^2] \to \mathbb{Z}[A]$ をとり、$[a]$ について $a$ を充てる射として $\mathbb{Z}[A] \to A$ をとる。このとき図式は完全となる。

ここで、集合の射 $c \colon A^2 \to B$ であって、$c(a, b) + c(a+ b, c) - c(a, b + c) - c(b, c) = 0$ をみたすものを $1$-コサイクル、ある $d \colon A \to B$ なる集合の射により $c(a, b) = d(a) + d(b) - d(a + b)$ と表せるものを $1$-コバウンダリという。それぞれ全体のなすアーベル群を $Z^1(A, B)$, $B^1(A, B)$ という。

このとき、$\mathrm{Ext}^1(A, B)$ は、自然に $Z^1(A, B)/B^1(A, B)$ と同一視される。

ここで、$0 \to B \to X \to A \to 0$ なる短完全系列が与えられたとき、$s \colon A \to X$ なる集合のセクションをとる。このとき、$c(a, b) := s(a) + s(b) - s(a + b)$ とおけば、これは $1$-コサイクルとなる。このコサイクルは、modulo $B^1(A, B)$ のもとでは、セクション $s$ のとり方によらないため、$\mathrm{Ext}^1(A, B)$ の元が定まる。これは、$\mathrm{Ext}$ と $\mathrm{Ext}^1$ との標準的な同型を定める。

=== 集合論的公理 ===
Whiteheadの問題に関連して登場する集合論的公理について解説する。ここで、順序数や基数などに関する基本的な知識については前提とする。

==== 構成可能宇宙 ====

==== Martin の公理 ====

=== $\mathbf{V} = \mathbf{L}$ からの肯定 ===

=== $\mathrm{MA} + \lnot \mathrm{CH}$ からの否定 ===

Whiteheadの問題

2023-03-01T12:05:31Z

Q-rad: /* $\mathrm{Ext}$ 群 */

'''Whiteheadの問題'''(ホワイトヘッドのもんだい、Whitehead problem) とは、アーベル群に関する主張であり、具体的には次のようなものである。

* アーベル群 $A$ について $\mathrm{Ext}^1(A, \mathbb{Z}) = 0$ ならば $A$ は自由アーベル群であるか ?

この主張の真偽は ZFC 上独立であることが知られている。

== 概要 ==
この主張が ZFC 上独立であることは、Shelah によって示された。

実際に、以下のことが示されている。

* 公理 $\mathbf{V} = \mathbf{L}$ のもとでは主張は真である。
* 公理 $\mathrm{MA} + \lnot \mathrm{CH}$ のもとでは主張は偽である。

== 解説 ==
代数学に関する基本的な知識については仮定している。
=== $\mathrm{Ext}$ 群 ===
詳細はホモロジー代数の教科書等にゆずるとして、ここでは必要な範囲においての説明をおこなう。

まず $\mathrm{Ext}$ 群の定義について解説する。自然数 $i \in \mathbb{N}_0$, アーベル群 $A$, $B$ が与えられたときに、次の方法によりアーベル群 $\mathrm{Ext}^i(A, B)$ を得ることができる。

* 完全列 $\ldots \to P_2 \to P_1 \to P_0 \to A \to 0$ であって、$P_\bullet$ がすべて射影アーベル群であるようなものをとる。このとき、$\ldots \to \mathrm{Hom}(P_2, B) \to \mathrm{Hom}(P_1, B) \to \mathrm{Hom}(P_0, B) \to 0$ の $i$-次ホモロジー群について、これを $\mathrm{Ext}^i(A, B)$ とよぶ。

この構成は完全列 $P_\bullet \to A \to 0$ の取り方に依存しているが、しかしながら異なる完全列によって構成された $\mathrm{Ext}$ 群のあいだには、標準的な同型が存在することが知られている。

また、$\mathrm{Ext}^1$ については、次のような具体的な対象と対応することが知られている。

* アーベル群 $A$, $B$ について、$0 \to B \to X \to A \to 0$ なるアーベル群の短完全系列の同型類全体の集合を $\mathrm{Ext}(A, B)$ とよぶと、自然な集合の同型 $\mathrm{Ext}(A, B) \cong \mathrm{Ext}^1(A, B)$ が存在する。

実際、アーベル群 $A$ に対して、$\mathbb{Z}[A^3] \to \mathbb{Z}[A^2] \to \mathbb{Z}[A] \to A \to 0$ なる完全列をとることができる。ただし、それぞれの射について、$(a, b, c) \in A^3$ に対応する単位ベクトル $[(a, b, c)]$ について、$[(a, b)] + [(a + b, c)] - [(b, c)] - [(a, b + c)]$ を充てる射として $\mathbb{Z}[A^3] \to \mathbb{Z}[A^2]$ をとり、また $(a, b) \in A^2$ に対応する単位ベクトル $[(a, b)]$ について $[a] + [b] - [a + b]$ を充てる射として $\mathbb{Z}[A^2] \to \mathbb{Z}[A]$ をとり、$[a]$ について $a$ を充てる射として $\mathbb{Z}[A] \to A$ をとる。このとき図式は完全となる。

ここで、集合の射 $c \colon A^2 \to B$ であって、$c(a, b) + c(a+ b, c) - c(a, b + c) - c(b, c) = 0$ をみたすものを $1$-コサイクル、ある $d \colon A \to B$ なる集合の射により $c(a, b) = d(a) + d(b) - d(a + b)$ と表せるものを $1$-コバウンダリという。それぞれ全体のなすアーベル群を $Z^1(A, B)$, $B^1(A, B)$ という。

このとき、$\mathrm{Ext}^1(A, B)$ は、自然に $Z^1(A, B)/B^1(A, B)$ と同一視される。

ここで、$0 \to B \to X \to A \to 0$ なる短完全系列が与えられたとき、$s \colon A \to X$ なる集合のセクションをとる。このとき、$c(a, b) := s(a) + s(b) - s(a + b)$ とおけば、これは $1$-コサイクルとなる。このコサイクルは、modulo $B^1(A, B)$ のもとでは、セクション $s$ のとり方によらないため、$\mathrm{Ext}^1(A, B)$ の元が定まる。これは、$\mathrm{Ext}$ と $\mathrm{Ext}^1$ との標準的な同型を定める。

=== 集合論的公理 ===

=== $\mathbf{V} = \mathbf{L}$ からの肯定 ===

=== $\mathrm{MA} + \lnot \mathrm{CH}$ からの否定 ===

Conway's 99-graph problem

2023-02-28T18:25:12Z

Q-rad: /* 問題 1. (Conway's 99-graph problem) */

{{begin |preamble}}
__MATHJAX2__

$
\newcommand{\cA}{\mathcal{A}}
\newcommand{\cB}{\mathcal{B}}
\newcommand{\cC}{\mathcal{C}}
\newcommand{\cD}{\mathcal{D}}
\newcommand{\cE}{\mathcal{E}}
\newcommand{\cF}{\mathcal{F}}
\newcommand{\cG}{\mathcal{G}}
\newcommand{\cH}{\mathcal{H}}
\newcommand{\cI}{\mathcal{I}}
\newcommand{\cJ}{\mathcal{J}}
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$

$
\newcommand{\cU}{\mathcal{U}}
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\newcommand{\mZ}{\mathbb{Z}}
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$
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$

$
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$
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\newcommand{\xrls}[2]{\overset{#1}{\underset{#2}\rightleftarrows}}
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$

$
\newcommand{\lt}{\left}
\newcommand{\rt}{\right}
$

{{end |preamble}}

=== 問題 1. (Conway's 99-graph problem) ===
以下を満たす99頂点のgraph $G=(V,E)$は存在するか。
(1)任意の$e\in E$に対して$e$を含む3-cycleがただ一つする。
(2)任意の$e^\p\in E^c$に対して$e^\p$を対角線とする4-cycleがただ一つ存在する。

Whiteheadの問題

2023-02-28T18:23:14Z

Q-rad: /* $\mathrm{Ext}$ 群 */

Whiteheadの問題

2023-02-28T17:53:28Z

Q-rad: /* 解説 */

Whiteheadの問題

2023-02-28T17:43:53Z

Q-rad: /* $$\mathrm{Ext}$$ 群 */

Whiteheadの問題

2023-02-28T17:43:40Z

Q-rad: /* 解説 */

Whiteheadの問題

2023-02-28T17:40:31Z

Q-rad:

Whiteheadの問題

2023-02-28T17:34:39Z

Q-rad: ページの作成:「'''Whiteheadの問題'''(ホワイトヘッドのもんだい、Whitehead problem) とは、アーベル群に関する主張であり、具体的には次のようなも…」

Koebeの1/4定理

2023-01-20T06:58:02Z

Q-rad:

'''Koebeの1/4定理'''(Koebe 1/4 theorem, ケーべのよんぶんのいちていり)とは、複素関数論におけるひとつの定理であり、単葉関数についての一般論的な挙動について述べるものである。ここで、単葉関数とは単射な正則関数のことをいう。

主張は以下のとおりである:

* $\mathbf{D}$ を半径 $1$ の開円盤、$f \colon \mathbf{D} \to \mathbb{C}$ を単射な正則関数とする。さらに $f(0)=0$ かつ $f'(0)=1$ が成り立つとする。このとき、$f$ の像は半径 $\frac{1}{4}$ の開円盤を含む。

この $\frac{1}{4}$ なる数値は厳密な上限であり、これ以上数値を大きくすることはできない。実際、Koebe関数と呼ばれる次の関数 $f(z) = \frac{z}{(z-1)^2}$ などは像に $-\frac{1}{4}$ を含まない。

----
以下証明をおこなう。

$c$ を絶対値 $1$ の複素数、　$\delta$ を任意の正数として、$g = c(1 + \delta)f$ とすることによって、$g(0) = 0$, $|g'(0)| \geq 1$ かつ $g(\mathbf{D})$ が $\frac{1}{4}$ を含まないことを仮定として矛盾を導く。Koebe 関数についてこれを $K$ とよぶ。$g$ の像は $K \colon \mathbb{P}^1 \to \mathbb{P}^1$ の臨界点を含まないため、$K$ による $g$ の lift $g_0$, $g_\infty$ が存在する。$K$ に関するデッキ変換群は $\{z, \frac{1}{z}\}$ であるため、$g_\infty = \frac{1}{g_0}$ なる関係が成立している。さらにこれらの像は disjoint である。

ここで、extremal length に関する議論を行う。任意の $\epsilon > 0$ について、充分小さな $r$ をとると、$g_0(B(r))$ は $B(r(1-\epsilon)g'(0))$ を含む。よって $g_\infty(B(r))$ は $A(\frac{1}{r(1-\epsilon)g'(0)}, \infty)$ を含む。よって、$A_\bullet$ を $g_\bullet(A(r,1))$ として $A = A(r(1-\epsilon)g'(0), \frac{1}{r(1-\epsilon)g'(0)})$ とすると、$A_\bullet \subset A$ が成り立つ。このとき、extremal length の series law について思いだすと、$\Gamma_\bullet$ を $A_\bullet$ のふたつの境界をつなぐ rectifiable curve 全体の集合、$\Gamma$ を $A$ について同様のものとすると、$A$, $A_\bullet$ の幾何学的配置について観察すればさきの法則を用いることができ、したがって extremal length の計算をおこなうと $$\frac{2}{2\pi} \log\frac{1}{r} \leq \frac{1}{2\pi} \log\frac{1}{r^2(1-\epsilon)^2\vert g'(0) \vert^2}$$ なる不等式が得られる。$\epsilon$ の任意性より $|g'(0)| \leq 1$ となり、これは矛盾となる。よって、主張が示された。
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Koebeの1/4 定理は、双曲幾何的に重要な概念である[[双曲計量|Poincaré密度]]に関する下限を与えるさいにも用いられる。

Koebeの1/4定理

2023-01-20T06:57:39Z

Q-rad:

'''Koebeの1/4定理'''(Koebe 1/4 theorem, ケーべのよんぶんのいちていり)とは、複素関数論におけるひとつの定理であり、単葉関数についての一般論的な挙動について述べるものである。ここで、単葉関数とは単射な正則関数のことをいう。

主張は以下のとおりである:

* $\mathbf{D}$ を半径 $1$ の開円盤、$f \colon \mathbf{D} \to \mathbb{C}$ を単射な正則関数とする。さらに $f(0)=0$ かつ $f'(0)=1$ が成り立つとする。このとき、$f$ の像は半径 $\frac{1}{4}$ の開円盤を含む。

この $\frac{1}{4}$ なる数値は厳密な上限であり、これ以上数値を大きくすることはできない。実際、Koebe関数と呼ばれる次の関数 $f(z) = \frac{z}{(z-1)^2}$ などは像に $-\frac{1}{4}$ を含まない。

----
以下証明をおこなう。

$c$ を絶対値 $1$ の複素数、　$\delta$ を任意の正数として、$g = c(1 + \delta)f$ とすることによって、$g(0) = 0$, $|g'(0)| \geq 1$ かつ $g(\mathbf{D})$ が $\frac{1}{4}$ を含まないことを仮定として矛盾を導く。Koebe 関数についてこれを $K$ とよぶ。$g$ の像は $K \colon \mathbb{P}^1 \to \mathbb{P}^1$ の臨界点を含まないため、$K$ による $g$ の lift $g_0$, $g_\infty$ が存在する。$K$ に関するデッキ変換群は $\{z, \frac{1}{z}\}$ であるため、$g_\infty = \frac{1}{g_0}$ なる関係が成立している。さらにこれらの像は disjoint である。

ここで、extremal length に関する議論を行う。任意の $\epsilon > 0$ について、充分小さな $r$ をとると、$g_0(B(r))$ は $B(r(1-\epsilon)g'(0))$ を含む。よって $g_\infty(B(r))$ は $A(\frac{1}{r(1-\epsilon)g'(0)}, \infty)$ を含む。よって、$A_\bullet$ を $g_\bullet(A(r,1))$ として $A = A(r(1-\epsilon)g'(0), \frac{1}{r(1-\epsilon)g'(0)})$ とすると、$A_\bullet \subset A$ が成り立つ。このとき、extremal length の series law について思いだすと、$\Gamma_\bullet$ を $A_\bullet$ のふたつの境界をつなぐ rectifiable curve 全体の集合、$\Gamma$ を $A$ について同様のものとすると、$A$, $A_\bullet$ の幾何学的配置について観察すればさきの法則を用いることができ、したがって extremal length の計算をおこなうと $$\frac{2}{2\pi} \log\frac{1}{r} \leq \frac{1}{2\pi} \log\frac{1}{r^2(1-\epsilon)^2\vert g'(0) \vert^2}$$ なる不等式が得られる。$\epsilon$ の任意性より $|g'(0)| \leq 1$ となり、これは矛盾となる。よって、主張が示された。
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Koebeの1/4 定理は、双曲幾何的に重要な概念である[[Poincaré密度|双曲計量]]に関する下限を与えるさいにも用いられる。

双曲計量

2023-01-20T06:57:20Z

Q-rad: ページの作成:「'''双曲計量'''（hyperbolic metric, そうきょくけいりょう)とは、全平面でない複素平面上の単連結な開集合について標準的な方法で…」

'''双曲計量'''（hyperbolic metric, そうきょくけいりょう)とは、全平面でない複素平面上の単連結な開集合について標準的な方法で与えられる計量のことをいう。

----
まず円盤上の計量について考える。$\mathbf{D}$ を半径 $1$ の開円盤とする。$\mathbf{D}$ 上の等角不変な距離 (計量) を導入する。以下で与えられる距離 $$\frac{|\mathrm{d}z|}{1-|z|^2}$$ について、これを双曲距離という。

まず、円盤に関する基本的な事項について復習をしておく。円盤に関して最初に記すべき事項として、Schwarzの補題が挙げられる - 以下に主張を述べる。

* $f \colon \mathbf{D} \to \mathbf{D}$ なる解析関数について、$f(0) = 0$ であるとき、$|f(z)| \leq |z|$ かつ $|f'(0)| \leq 1$ が成り立つ。また、これらのいずれかが等号を充したとき、ある $|c| = 1$ なる複素数があって $f(z) = cz$ が成り立つ。

この主張を用いれば、以下の事実が示される。

* $f \colon \mathbf{D} \to \mathbf{D}$ が等角同型であるとき、ある $|a| < 1$, $|c| = 1$ なる複素数があって $$f(z) = c\frac{z - a}{1 - \overline{a}z}$$ が成り立つ。

以下、双曲計量が等角同型によって保存されることをみる。$f(z) = c\frac{z - a}{1 - \overline{a}z}$ なる等角同型について、双曲計量を $M$, $M$ を $f$ で引き戻したものを $f^*M$ とよぶ。このとき、$f^*M$ は $$\frac{|f'(z)\mathrm{d}z|}{1-|f(z)|^2}$$ と表示される。

\begin{align*}
\frac{|f'(z)\mathrm{d}z|}{1-|f(z)|^2} &= \frac{\left|\frac{(1-\overline{a}z) + \overline{a} (z - a)}{(1-\overline{a}z)^2}\right||\mathrm{d}z|}{1 - \left| \frac{(z - a)^2}{(1 - \overline{a}z)^2} \right|} \\
&= \frac{1-|a|^2 |\mathrm{d}z|}{|(1-\overline{a}z)^2|-|(z - a)^2|} \\
&= \frac{(1 - |a|^2) |\mathrm{d}z|}{1 - |a|^2 - |z|^2 - |az|^2} \\
&= \frac{|\mathrm{d}z|}{1 - |z|^2}
\end{align*}

より、結局 $f^*M = M$ が示される。

円盤上の測地線について、これを決定する。任意に二点 $z$, $w$ を $\mathbf{D}$ からとったとする。$z$ と $w$ のあいだの測地線について決定するためには、$\mathbf{D}$ 上の等角同型によって $z = 0$ かつ $w \in \mathbb{R}_{>0}$ であるとしてよい。

$\gamma$ を $0$ と $w$ を最短距離でつなぐ曲線とする。このとき、$|\gamma(t)|$ は単調増大する - そうでなければ、切り貼りによってより短い曲線が構成できる。このとき、積分計算によって、実軸に沿って進む曲線が $0$ と $w$ を最短距離でつなぐことが理解される。よってこのような曲線は測地線となり、従って $0$ を通る測地線はこのようなもので尽くされる。したがって、$\mathbf{D}$ による等角同型で動かすことにより、$\mathbf{D}$ の測地線は、$\mathbb{P}^1$ 内の円であって $\partial \mathbf{D}$ と直角に交わるもの全体であると理解される。

このとき、$z_1, z_2 \in \mathbf{D}$ のあいだの双曲距離は $$\frac{1}{2} \mathrm{log} \left( \frac{|1-\overline{z_1}z_2| + |z_1 - z_2| }{|1-\overline{z_1}z_2| - |z_1 - z_2|}\right)$$ と表示される。

単連結かつ $\mathbb{P}^1$ あるいは $\mathbb{C}$ でない領域 $A$ について、Riemannの写像定理より $f \colon A \to \mathbf{D}$ なる等角同型が存在するが、この等角同型によって円盤上の双曲計量を引き戻したものを $A$ 上の双曲計量という。また、この双曲計量を $$\eta_A |\mathrm{d}z|$$ と表示するとき、この関数 $\eta_A$ を $A$ のPoincaré密度という。

$A' \subset A$ なる単連結な領域の組について、$$\eta_A \leq \eta_{A'}$$ が成立する。これは、$\mathbf{D} \to A' \subset A \to \mathbf{D}$ なる等角写像についてSchwarzの補題を適用することで導かれる。

この事実より、$d(z, \partial A)$ を $A$ の境界と $z$ との距離としたとき、$$\eta_A(z) \leq \frac{1}{d(z, \partial A)}$$ なるPoincaré密度に関する基本的上界が得られる。

また、[[Koebeの1/4定理]]を用いると、さきのPoincaré密度に関して、下界的評価を得ることができる。実際、$f \colon A \to \mathbf{D}$ を等角同型とする。$f(z) = 0$ をさらに仮定すると、$\eta_A(z) = f'(z)$ と計算される。このとき、Koebe 1/4 theorem より次の不等式が得られる。

$$\frac{1}{4\eta_A(z)} \leq d(z, \partial A).$$

よって、次の下界的評価が成り立つ。

$$\frac{1}{4d(z, \partial A)} \leq \eta_A(z).$$

Koebeの1/4定理

2023-01-20T06:49:23Z

Q-rad:

'''Koebeの1/4定理'''(Koebe 1/4 theorem, ケーべのよんぶんのいちていり)とは、複素関数論におけるひとつの定理であり、単葉関数についての一般論的な挙動について述べるものである。ここで、単葉関数とは単射な正則関数のことをいう。

主張は以下のとおりである:

* $\mathbf{D}$ を半径 $1$ の開円盤、$f \colon \mathbf{D} \to \mathbb{C}$ を単射な正則関数とする。さらに $f(0)=0$ かつ $f'(0)=1$ が成り立つとする。このとき、$f$ の像は半径 $\frac{1}{4}$ の開円盤を含む。

この $\frac{1}{4}$ なる数値は厳密な上限であり、これ以上数値を大きくすることはできない。実際、Koebe関数と呼ばれる次の関数 $f(z) = \frac{z}{(z-1)^2}$ などは像に $-\frac{1}{4}$ を含まない。

----
以下証明をおこなう。

$c$ を絶対値 $1$ の複素数、　$\delta$ を任意の正数として、$g = c(1 + \delta)f$ とすることによって、$g(0) = 0$, $|g'(0)| \geq 1$ かつ $g(\mathbf{D})$ が $\frac{1}{4}$ を含まないことを仮定として矛盾を導く。Koebe 関数についてこれを $K$ とよぶ。$g$ の像は $K \colon \mathbb{P}^1 \to \mathbb{P}^1$ の臨界点を含まないため、$K$ による $g$ の lift $g_0$, $g_\infty$ が存在する。$K$ に関するデッキ変換群は $\{z, \frac{1}{z}\}$ であるため、$g_\infty = \frac{1}{g_0}$ なる関係が成立している。さらにこれらの像は disjoint である。

ここで、extremal length に関する議論を行う。任意の $\epsilon > 0$ について、充分小さな $r$ をとると、$g_0(B(r))$ は $B(r(1-\epsilon)g'(0))$ を含む。よって $g_\infty(B(r))$ は $A(\frac{1}{r(1-\epsilon)g'(0)}, \infty)$ を含む。よって、$A_\bullet$ を $g_\bullet(A(r,1))$ として $A = A(r(1-\epsilon)g'(0), \frac{1}{r(1-\epsilon)g'(0)})$ とすると、$A_\bullet \subset A$ が成り立つ。このとき、extremal length の series law について思いだすと、$\Gamma_\bullet$ を $A_\bullet$ のふたつの境界をつなぐ rectifiable curve 全体の集合、$\Gamma$ を $A$ について同様のものとすると、$A$, $A_\bullet$ の幾何学的配置について観察すればさきの法則を用いることができ、したがって extremal length の計算をおこなうと $$\frac{2}{2\pi} \log\frac{1}{r} \leq \frac{1}{2\pi} \log\frac{1}{r^2(1-\epsilon)^2\vert g'(0) \vert^2}$$ なる不等式が得られる。$\epsilon$ の任意性より $|g'(0)| \leq 1$ となり、これは矛盾となる。よって、主張が示された。
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Koebeの1/4 定理は、双曲幾何的に重要な概念である[[Poincaré密度]]に関する下限を与えるさいにも用いられる。

Koebeの1/4定理

2023-01-20T06:46:54Z

Q-rad: ページの作成:「'''Koebeの1/4定理'''(Koebe 1/4 theorem, ケーべのよんぶんのいちていり)とは、複素関数論におけるひとつの定理であり、単葉関数につ…」

標準因子

2023-01-05T05:00:46Z

Q-rad: ページの作成:「$X$ を閉リーマン面とする。 $X$ 上の微分形式の層 $\mathcal{J}$ として、次のようなものを用意する: 開集合 $U$ について、$\mat…」

$X$ を閉[[リーマン面]]とする。

$X$ 上の微分形式の層 $\mathcal{J}$ として、次のようなものを用意する: 開集合 $U$ について、$\mathcal{J}(U)$ は $U$ 上の正則微分のなす集合である。

このとき、$\mathcal{J}$ はある因子 $K$ について $\mathcal{O}(K)$ と $\mathcal{O}$-加群として同型であることが知られている。このような $K$ は、主因子の差を除いては一意的に決まる。この $K$ のことを $X$ の標準因子という。

Riemann-Rochの定理

2023-01-05T04:56:25Z

Q-rad:

Riemann-Rochの定理とは、次の主張のことをいう。

* $X$ を閉[[リーマン面]]、$K$ を $X$ の標準因子、$g$ を $X$ の種数とする。このとき $D$ を $X$ の任意の因子とすれば、次の等式が成り立つ。$$\mathrm{dim} \mathcal{L}(D) - \mathrm{dim} \mathcal{L}(K - D) = \mathrm{deg}(D) + 1 - g.$$

この主張はリーマン面のさらなる探求にあたって非常に重要な役割を果たす基本的な、かつ非自明な定理である。

Riemann-Rochの定理

2023-01-05T04:55:29Z

Q-rad: ページの作成:「Riemann-Rochの定理とは、次の主張のことをいう。 * $X$ を閉リーマン面、$K$ を $X$ の標準因子、$g$ を $X$ の種数とする。この…」

リーマン面

2023-01-05T04:52:10Z

Q-rad:

''リーマン面''とは、$1$ 次元複素多様体のことをいう。リーマン面は幾何学において非常に古典的な段階から探求がなされており、幾何学の礎のひとつとしてみなすことができる。リーマン面の理論は奥深く、未だ重要な研究対象でもある。ここでは、リーマン面の理論について解説を試みたい。

* [[リーマン面の定義]]
* [[零点の位数]]
* [[リーマンの拡張定理]]
* [[一致の定理]]
* [[開写像定理]]
* [[Liouvilleの定理]]
* [[被覆写像]]
* [[被覆次数]]
* [[リーマン面上の微分形式]]
* [[Stokesの定理]]
* [[調和微分・正則微分・有理型微分]]
* [[有理型関数の存在]]
* [[種数]]
* [[Riemann-Hurwitzの定理]]
* [[因子]]
* [[可逆層]]
* [[標準因子]]
* [[Riemann-Rochの定理]]

可逆層

2023-01-05T04:51:11Z

Q-rad: ページの作成:「リーマン面 $X$ 上の可逆層とは、$X$ の正則関数の層を $\mathcal{O}$ と表記したとき、$\mathcal{O}$-加群であって局所的に階数 $1$…」

[[リーマン面]] $X$ 上の可逆層とは、$X$ の正則関数の層を $\mathcal{O}$ と表記したとき、$\mathcal{O}$-加群であって局所的に階数 $1$ の自由加群となるような層のことをいう。

因子 $D$ が与えられたときに、次のような可逆層 $\mathcal{O}(D)$ を構成できる: $\mathcal{L}(D)(U)$ とは、$U$ 上の有理型関数 $f$ であって、$((f)) \geq D$ なるもの全体のなす層のことをいう。

このとき、$\mathcal{O}(D)$ の大域切断全体のなす集合のことを $\mathcal{L}(D)$ と表記すると、これは自然に $\mathbb{C}$-ベクトル空間となる。

基本的な性質として、$\mathcal{O}(D) \otimes \mathcal{O}(E) \to \mathcal{O}(D + E)$ は同型となる。また、$X$ が閉リーマン面であるとき、$\mathrm{deg}(D) \lt 0$ ならば $\mathcal{O}(D)$ は大域切断をもたない。また $\mathrm{deg}(D) = 0$ のときにこれが大域切断をもつならば $D$ は主因子である。

因子

2023-01-05T04:45:49Z

Q-rad: ページの作成:「リーマン面 $X$ について、$X$ の因子とは、$X$ の点の形式的有限和のことをいう。$X$ の因子全体のなす群について、これを $…」

[[リーマン面]] $X$ について、$X$ の因子とは、$X$ の点の形式的有限和のことをいう。$X$ の因子全体のなす群について、これを $\mathrm{Div}(X)$ と表記することがある。

因子 $D = \sum_{p \in X} n_pp$ について、$\mathrm{deg}(D)$ を $\sum n_p$ として定義すると、これは準同型 $\mathrm{Div}(X) \to \mathbb{Z}$ を定める。

$X$ 上の有理型関数 $f$ について、$((f))$ なる因子を $\sum_{p \in X}\mathrm{ord}_p(f)p$ として定義する。有理型関数 $f$ について $((f))$ と表記できる因子について、これを主因子といい、主因子全体のなす群についてこれを $\mathrm{PDiv}(X)$ と表記する。このとき $\mathrm{Div}(X)/\mathrm{PDiv}(X)$ のことを $X$ の因子類群といい、$\mathrm{Cl}(X)$ と表記すること。

$X$ が閉リーマン面であるときには、$\mathrm{deg}$ 写像は $\mathrm{Cl}(X) \to \mathbb{Z}$ なる準同型を誘導し、この核を $\mathrm{Cl}^0(X)$ と表記する。

Riemann-Hurwitzの定理

2023-01-05T03:10:50Z

Q-rad: ページの作成:「$X$, $Y$ を閉リーマン面とする。 $F \colon X \to Y$ を正則写像とする。このとき、$Y$ 上には、分岐点をすべて頂点とするような…」

$X$, $Y$ を閉[[リーマン面]]とする。

$F \colon X \to Y$ を正則写像とする。このとき、$Y$ 上には、分岐点をすべて頂点とするような三角形分割が存在する。このとき、その三角形分割における頂点・辺・面の個数をそれぞれ $v$, $e$, $f$ とおく。すると、%v - e + f = 2 - 2g_Y$ が成り立つ。ここで $g_Y$ は $Y$ の[[種数]]である。

このとき、$F$ によって引き戻した $X$ 上の三角形分割についての頂点・辺・面の個数を計算する。

辺・面についてはそのまま $\mathrm{deg}(F)$ 倍すればよい。頂点の個数については、$\mathrm{deg}(F)v - \sum_{x \in X}(e_x(F) - 1)$ が成り立つ。したがって、ここから次の主張が導かれる。

* $2g_X - 2 = \mathrm{deg}(F)(2g_Y - 2) + \sum_{x \in X}(e_x(F) - 1)$.

有理型関数の存在

2023-01-05T02:52:46Z

Q-rad: ページの作成:「$X$ をリーマン面とする。ふたつの有理型微分 $\omega_1$, $\omega_2$ を用意する。このとき、$\frac{\omega_1}{\omega_2}$ は $X$ 上の有…」

$X$ を[[リーマン面]]とする。

ふたつの有理型微分 $\omega_1$, $\omega_2$ を用意する。このとき、$\frac{\omega_1}{\omega_2}$ は $X$ 上の有理型関数を与えることに注意する。

このとき、以下の事実が成立する。

* $X$ 上の任意の点 $x$ と $2$ 以上の整数 $k$ について、$x$ でのみ $k$-位の極をもち、それ以外では正則な有理型微分が存在する。
* $X$ 上の任意の異なる点 $x$, $y$ について、$x$, $y$ で $1$ 位の極をもち、これらの留数はそれぞれ $1$, $-1$ であり、それ以外では正則な有理型微分が存在する。

したがって、これらの事実と最初に述べた注意により、次のような有理型関数の存在に関する事実が導かれる。

* リーマン面 $X$ には定値でない有理型関数が存在する。
* $X$ の任意の点 $p$ について、$p$ で $1$-位の極を持つような有理型関数が存在する。
* 有限個の点 $p, q_1, \ldots, q_n$ について、$p$ を零点として $q_\bullet$ を極とする有理型関数が存在する。

調和微分・正則微分・有理型微分

2023-01-05T02:44:09Z

Q-rad: ページの作成:「リーマン面上の微分形式について、そのなかでも特別なものについての名前を与える。 * $\mathrm{d}\omega = 0$ となるものを閉…」

[[リーマン面]]上の微分形式について、そのなかでも特別なものについての名前を与える。

* $\mathrm{d}\omega = 0$ となるものを閉微分という。
* $\mathrm{d}\star \omega = 0$ となるものを余閉微分という。
* $\mathrm{d}f$ なるかたちであらわせるものを完全微分という。
* $\star \mathrm{d}f$ なるかたちであらわせるものを余完全微分という。

次に、正則性に関連する性質をもつものについての名前を与える。

* 局所的に調和関数 $H$ が存在して $\mathrm{d}H$ と表示できるような微分について、これを調和微分という。
* 局所的に正則関数 $F$ が存在して $F\mathrm{d}z$ と表示できるような微分について、これを正則微分という。
* 局所的に有理型関数 $F$ が存在して $F\mathrm{d}z$ と表示できるような微分について、これを有理型微分という。
* 局所的に留数を持たない有理型関数 $F$ が存在して $F\mathrm{d}z$ と表示できるような微分について、これを留数をもたない有理型微分という。

Stokesの定理

2023-01-05T02:36:19Z

Q-rad: ページの作成:「$G$ をリーマン面 $X$ の相対コンパクトな領域として、さらに $\partial G$ が piecewise $\mathcal{C}^1$ であるとし、さらに $G$ は $\par…」

$G$ を[[リーマン面]] $X$ の相対コンパクトな領域として、さらに $\partial G$ が piecewise $\mathcal{C}^1$ であるとし、さらに $G$ は $\partial G$ に対して片側にしか存在しないとする。このとき、$G$ で $\mathcal{C}^1$-級かつ $\overline{G}$ で連続な微分形式 $\omega$ について、次が成立する。$$\int_G \mathrm{d}\omega = \int_{\partial G} \omega .$$

詳細は[[微分形式]]の記事を参照されたい。

リーマン面上の微分形式

2023-01-05T02:31:10Z

Q-rad:

$X$ を[[リーマン面]]とする。

$X$ は $2$ 次元 $\mathcal{C}^\infty$-多様体としての構造を自然にもつため、$X$ のうえの[[微分形式]]を考えることができる。

$X$ のある開集合上の局所座標を $z = x + iy$ とおく。このとき、(複素)微分形式とは、複素値 $\mathcal{C}^\infty$-関数 $f$, $g$ によって $f\mathrm{d}x + g\mathrm{d}y$ とあらわされる。

$\mathrm{d}z = \mathrm{d}x + i \mathrm{d}y$, $\mathrm{d}\overline{z} = \mathrm{d}x - i \mathrm{d}y$, $\frac{\partial}{\partial z} = \frac{1}{2}\left(\frac{\partial}{\partial x} - i \frac{\partial}{\partial y}\right)$, $\frac{\partial}{\partial \overline{z}} = \frac{1}{2}\left(\frac{\partial}{\partial x} + i \frac{\partial}{\partial y}\right)$ としばしばおかれ、複素多様体においてはこれらを微分形式の基底とすることが多い。

また、微分形式 $\omega = f\mathrm{d}x + g\mathrm{d}y = u\mathrm{d}z + v\mathrm{d}\overline{z}$ とおいたとき、$\star \omega$ を $-g\mathrm{d}x + f\mathrm{d}y = i(-u\mathrm{d}z + v\mathrm{d}\overline{z}$ として定めると、これは座標系に依らない微分形式の変換となる。

リーマン面上の微分形式

2023-01-05T02:30:33Z

Q-rad: ページの作成:「$X$ をリーマン面とする。 $X$ は $2$ 次元 $\mathcal{C}^\infty$-多様体としての構造を自然にもつため、$X$ のうえの微分形式を考…」

$X$ をリーマン面とする。

$X$ は $2$ 次元 $\mathcal{C}^\infty$-多様体としての構造を自然にもつため、$X$ のうえの[[微分形式]]を考えることができる。

$X$ のある開集合上の局所座標を $z = x + iy$ とおく。このとき、(複素)微分形式とは、複素値 $\mathcal{C}^\infty$-関数 $f$, $g$ によって $f\mathrm{d}x + g\mathrm{d}y$ とあらわされる。

$\mathrm{d}z = \mathrm{d}x + i \mathrm{d}y$, $\mathrm{d}\overline{z} = \mathrm{d}x - i \mathrm{d}y$, $\frac{\partial}{\partial z} = \frac{1}{2}\left(\frac{\partial}{\partial x} - i \frac{\partial}{\partial y}\right)$, $\frac{\partial}{\partial \overline{z}} = \frac{1}{2}\left(\frac{\partial}{\partial x} + i \frac{\partial}{\partial y}\right)$ としばしばおかれ、複素多様体においてはこれらを微分形式の基底とすることが多い。

また、微分形式 $\omega = f\mathrm{d}x + g\mathrm{d}y = u\mathrm{d}z + v\mathrm{d}\overline{z}$ とおいたとき、$\star \omega$ を $-g\mathrm{d}x + f\mathrm{d}y = i(-u\mathrm{d}z + v\mathrm{d}\overline{z}$ として定めると、これは座標系に依らない微分形式の変換となる。

種数

2023-01-04T17:30:29Z

Q-rad: ページの作成:「$X$ を閉リーマン面とする。このとき、$X$ は $2$ 次元位相多様体でもあるため、閉曲面の分類定理により、これはある $g \in \math…」

$X$ を閉リーマン面とする。このとき、$X$ は $2$ 次元位相多様体でもあるため、閉曲面の分類定理により、これはある $g \in \mathbb{N}_0$ について $\Sigma_g$ と同相である。この $g$ のことを種数という。

リーマン面における種数について、より理解を深めるために、以下リーマン面の三角形分割に関する議論を行う。

$X$ を閉リーマン面とする。このとき、$X$ には非自明な有理型関数が存在する。これを $f \colon X \to \mathbb{P}^1$ とおく。このとき、分岐点全体を $B_f$ とおくと、$\mathbb{P}^1$ 上には、$B_f$ が必ず頂点となるような、かつ充分細かい三角形分割が存在する。この三角形分割を $f$ によって引き戻すことによって、$X$ は三角形分割が可能となる。

有限個の単体によって三角形分割がなされた閉曲面について、そのオイラー数を考えると $2-2g$ に一致することは、トポロジーにおいて広く知られた事実である。

この方法でとった三角形分割について、その頂点・辺・面の個数を計算すると、[[Riemann-Hurwitzの定理]]が導出される。

リーマン面

2023-01-04T16:46:22Z

Q-rad:

被覆次数

2023-01-04T16:41:43Z

Q-rad: ページの作成:「{{newtheorem |type=thm |display=定理 |counter=0 }} {{newtheorem |type=def |display=定義 |family=thm }} {{newtheorem |type=prop |display=命題 |family=thm }} {{new…」

被覆写像

2023-01-04T16:35:17Z

Q-rad:

利用者:Q-rad

2023-01-04T16:25:38Z

Q-rad: /* 概ね執筆したもの */

== 自己紹介 ==
* Q-rad.heartという名前のつもりなんですけど長いのでQ-radって言ってます。
* $2021$ 年 $4$ 月から京都大学理学部に所属しています。

=== 数学をやっているの？ ===
* 多分ちょっとはやってる。
* 心はalgebra。

=== mathpediaについて ===
* writerです。

==== 読んでいる方々へ ====
* いい記事を書きたいです。

==== writerの方々へ ====
* よろしくお願いします。

== 執筆に参加した主な記事 ==
=== 現在執筆中 ===

=== 保留中 ===
* [[コンパクト性とその周辺]]
* [[半順序集合]]
* [[圏論の展開]]
* [[アーベル圏論]]
* [[可換モノイド論]]

=== 概ね執筆したもの ===
* [[Spectral space/Spectral spaces]]

=== 過去に執筆に参加していたもの ===
特になし

利用者:Q-rad

2023-01-04T16:25:23Z

Q-rad: /* 保留中 */

== 自己紹介 ==
* Q-rad.heartという名前のつもりなんですけど長いのでQ-radって言ってます。
* $2021$ 年 $4$ 月から京都大学理学部に所属しています。

=== 数学をやっているの？ ===
* 多分ちょっとはやってる。
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== 執筆に参加した主な記事 ==
=== 現在執筆中 ===

=== 保留中 ===
* [[コンパクト性とその周辺]]
* [[半順序集合]]
* [[圏論の展開]]
* [[アーベル圏論]]
* [[可換モノイド論]]

=== 概ね執筆したもの ===
特になし

=== 過去に執筆に参加していたもの ===
特になし

被覆写像

2023-01-04T16:22:13Z

Liouvilleの定理

2023-01-04T16:18:17Z

開写像定理

2023-01-04T16:16:15Z

Q-rad:

開写像定理

2023-01-04T16:16:00Z

Q-rad:

開写像定理

2023-01-04T16:12:33Z

リーマン面

2022-12-31T08:10:39Z

Q-rad:

リーマン面

2022-12-31T08:06:15Z

Q-rad:

零点の位数

2022-12-31T08:00:51Z

Q-rad:

{{newtheorem |type=thm |display=定理 |counter=0 }}
{{newtheorem |type=def |display=定義 |family=thm }}
{{newtheorem |type=prop |display=命題 |family=thm }}
{{newtheorem |type=lem |display=補題 |family=thm }}
{{newtheorem |type=fact |display=事実 |family=thm }}
{{newtheorem |type=axiom |display=公理 |family=thm }}
{{newtheorem |type=obs |display=観察 |family=thm }}
{{newtheorem |type=cor |display=系 |family=thm }}
{{newtheorem |type=conj |display=予想 |family=thm }}
{{newtheorem |type=note |display=注意 |family=thm }}
{{newtheorem |type=word |display=記法 |family=thm }}

以下 $X$ は[[リーマン面]]であるとする。

{{theorem |type=def |label=def:order_of_zeros |name=零点の位数 }}
定値写像でない有理型関数 $f \colon X \to \mathbb{P}^1$ と $x \in X$ について、$f(x) = 0$ ならば、$f$ の $x$ での零点の位数とは、$x$ の任意の座標近傍 $U(z)$ において $f$ を冪級数表示したとき、それが $a_n \neq 0$ なるように $a_nz^n + a_{n+1}z^{n+1} + \ldots $ と表示できたならば、この $n$ のことをいう。これは座標近傍の取り方に依らない。

{{theorem |type=def |label=def:order_of_poles |name=極の位数 }}
定値写像でない有理型関数 $f \colon X \to \mathbb{P}^1$ と $x \in X$ について、$f(x) = \infty$ ならば、$f$ の極の位数とは、$x$ の任意の座標近傍 $U(z)$ において $f$ をローラン展開したときの最低の次数を $-n$ としたときの $n$ のことをいう。これは座標近傍の取り方に依らない。

零点・曲の位数の概念を自然に拡張したものが、次に導入される分岐指数の概念である。

{{theorem |type=lem |label=def:ramification_index |name=分岐指数 }}
正則関数 $f \colon X \to Y$ について、$f(x) = y$ であるとする。このとき、$x$ のまわりの局所座標 $z$, $y$ のまわりの局所座標 $w$ について、$f$ を座標表示したときの $z$ についての最低の次数を $x$ についての $f$ の分岐指数といい、$e_x(f)$ と表記する。

さきの状況において、このとき陰関数定理により、適切な局所座標を選ぶと、$f$ は $z^{e_x(f)}$ と表示できる。

$e_x(f)$ が $1$ であるとき、$f$ は $x$ で不分岐であるといい、そうでないときに $x$ で分岐するという。

以下は定義 (とあるいは基本的な複素関数論) より明らか。
* 非零な正則関数について、その零点は離散的である。
* 定値でない有理型関数について、その極は離散的である。
* 分岐点全体は離散的である。

正則写像 $f \colon X \to \mathbb{P}^1$ について、$x \in X$ が零点ならば $\mathrm{ord}_x(f) = e_x(f)$, $x$ が極ならば $\mathrm{ord}_x(f) = -e_x(f)$, そうでないならば $\mathrm{ord}_x(f) = 0$ と定める。このとき、$\mathrm{ord}_x$ は $X$ 上の有理型関数のなす体 $\mathfrak{M}(X)$ 上の付値を構成する。

一致の定理

2022-12-31T07:58:04Z

リーマンの拡張定理

2022-12-31T07:54:28Z

リーマン面

2022-12-31T07:49:03Z

Q-rad:

零点の位数

2022-12-31T07:48:30Z

Q-rad:

零点の位数

2022-12-31T07:41:11Z

Q-rad:

零点の位数

2022-12-31T07:39:29Z

リーマン面

2022-12-31T06:56:59Z

Q-rad:

リーマン面の定義

2022-12-31T06:55:19Z

Q-rad:

{{newtheorem |type=thm |display=定理 |counter=0 }}
{{newtheorem |type=def |display=定義 |family=thm }}
{{newtheorem |type=prop |display=命題 |family=thm }}
{{newtheorem |type=lem |display=補題 |family=thm }}
{{newtheorem |type=fact |display=事実 |family=thm }}
{{newtheorem |type=axiom |display=公理 |family=thm }}
{{newtheorem |type=obs |display=観察 |family=thm }}
{{newtheorem |type=cor |display=系 |family=thm }}
{{newtheorem |type=conj |display=予想 |family=thm }}
{{newtheorem |type=note |display=注意 |family=thm }}
{{newtheorem |type=word |display=記法 |family=thm }}

{{theorem |type=def |label=def:Riemann_surface |name=リーマン面 }}
[[リーマン面]]とは、$1$ 次元複素多様体のことをいう。

{{theorem |type=def |label=def:holomorphic_function |name=正則関数 }}
リーマン面 $X$ について、関数 $f \colon X \to \mathbb{C}$ が正則関数であるとは、任意の $X$ の開集合 $U$, $\mathbb{C}$ の開集合 $W$ と $X$ の複素構造と同調する chart $\phi \colon W \to U$ について、合成 $f|_U \circ \phi \colon W \to U \to \mathbb{C}$ が正則写像となることをいう。

{{theorem |type=def |label=def:holomorphic_map |name=正則写像 }}
リーマン面 $X$, $Y$ について、関数 $f \colon X \to Y$ が正則写像であるとは、任意の $X$ の開集合 $U$, $Y$ の開集合 $U'$, $\mathbb{C}$ の開集合 $W$, $W'$ と $X$ の複素構造と同調する chart $\phi \colon W \to U$, $Y$ の複素構造と同調する chart $\phi' \colon W' \to U'$ であって $f(U) \subset U'$ をみたすものについて、　合成 $W \to U \to U' \to W'$ が正則写像となることをいう。

$\mathbb{C}$ に標準的な複素構造を入れたとき、$X$ から $\mathbb{C}$ への関数が正則であるとは正則写像であることと同値である。したがってこれらの用語を大きく区別せずに使用する。

{{theorem |type=def |label=def:meromorphic_function |name=有理関数 }}
リーマン面 $X$ について、$X$ 上の有理型関数とは、$X$ から $\mathbb{P}^1 = \mathbb{C} \cup \{\infty\}$ への正則写像のことをいう。

リーマン面を対象とし、正則写像を射とする圏は存在して、これを $\mathsf{RiemannSurface}$ と一時的によぶ。

リーマン面の定義

2022-12-31T06:54:34Z

{{newtheorem |type=thm |display=定理 |counter=0 }}
{{newtheorem |type=def |display=定義 |family=thm }}
{{newtheorem |type=prop |display=命題 |family=thm }}
{{newtheorem |type=lem |display=補題 |family=thm }}
{{newtheorem |type=fact |display=事実 |family=thm }}
{{newtheorem |type=axiom |display=公理 |family=thm }}
{{newtheorem |type=obs |display=観察 |family=thm }}
{{newtheorem |type=cor |display=系 |family=thm }}
{{newtheorem |type=conj |display=予想 |family=thm }}
{{newtheorem |type=note |display=注意 |family=thm }}
{{newtheorem |type=word |display=記法 |family=thm }}

{{theorem |type=def |label=def:Riemann_surface |name=リーマン面 }}
リーマン面とは、$1$ 次元複素多様体のことをいう。

{{theorem |type=def |label=def:holomorphic_function |name=正則関数 }}
リーマン面 $X$ について、関数 $f \colon X \to \mathbb{C}$ が正則関数であるとは、任意の $X$ の開集合 $U$, $\mathbb{C}$ の開集合 $W$ と $X$ の複素構造と同調する chart $\phi \colon W \to U$ について、合成 $f|_U \circ \phi \colon W \to U \to \mathbb{C}$ が正則写像となることをいう。

{{theorem |type=def |label=def:holomorphic_map |name=正則写像 }}
リーマン面 $X$, $Y$ について、関数 $f \colon X \to Y$ が正則写像であるとは、任意の $X$ の開集合 $U$, $Y$ の開集合 $U'$, $\mathbb{C}$ の開集合 $W$, $W'$ と $X$ の複素構造と同調する chart $\phi \colon W \to U$, $Y$ の複素構造と同調する chart $\phi' \colon W' \to U'$ であって $f(U) \subset U'$ をみたすものについて、　合成 $W \to U \to U' \to W'$ が正則写像となることをいう。

$\mathbb{C}$ に標準的な複素構造を入れたとき、$X$ から $\mathbb{C}$ への関数が正則であるとは正則写像であることと同値である。したがってこれらの用語を大きく区別せずに使用する。

{{theorem |type=def |label=def:meromorphic_function |name=有理関数 }}
リーマン面 $X$ について、$X$ 上の有理型関数とは、$X$ から $\mathbb{P}^1 = \mathbb{C} \cup \{\infty\}$ への正則写像のことをいう。

リーマン面を対象とし、正則写像を射とする圏は存在して、これを $\mathsf{RiemannSurface}$ と一時的によぶ。