Mathpedia - 利用者の投稿記録 [ja]

利用者:PSX/sandbox

2023-10-21T10:54:49Z

PSX:

{{begin |preamble}}


<math>
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% 多くの newcommand などを利用する場合は preamble 内で宣言してください．{{begin |preamble}}


<math>
% preamble セクションでは任意のコードが非表示になります．
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\newcommand{\R}{\mathbb{R}}
\newcommand{\C}{\mathbb{C}}
\newcommand{\K}{\mathbb{K}}
\newcommand{\Z}{\mathbb{Z}}
\newcommand{\Q}{\mathbb{Q}}
\newcommand{\Zp}{\mathbb{Z}_{\ge 1}}
\newcommand{\Zz}{\mathbb{Z}_{\ge 0}}
\newcommand{\M}{\mathbb{M}}
\newcommand{\B}{\mathcal{B}}
\newcommand{\D}{\mathcal{D}}
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\newcommand{\H}{\mathcal{H}}
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\newcommand{\Rnp}{\mathbb{R}^n_+}
\newcommand{\Rnn}{\mathbb{R}^n_-}
\newcommand{\pRnp}{\mathbb{\partial R}^n_+}
\newcommand{ae}{\mathrm{a.e.}\ }
\newcommand{\inn}{\ \mathrm{in}\ }
\newcommand{\on}{\ \mathrm{on}\ }
\newcommand{\for}{\ \mathrm{for}\ }
\newcommand{\jf}{\ \mathrm{if }\ }
\newcommand{\det}{\operatorname{det}}
\newcommand{\dim}{\operatorname{dim}}
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\newcommand{\avg}{\sout{\int}}
\newcommand{\rcpt}{\subset\subset}
\newcommand{\loc}{{\rm{loc}}}
\newcommand{\implies}{\ \Rightarrow\ }
\newcommand{\iff}{\ \Leftrightarrow\ }
\newcommand{\norm}[1]{\lVert #1\rVert}
\newcommand{\pardif}[2]{\frac{\partial{#1}}{\partial{#2}}}
\newcommand{\pair}[1]{\langle #1\rangle}
\newcommand{\Bb}{\overline{B}}
\newcommand{\Ombar}{\overline{\Omega}}
\newcommand{\OmT}{\Omega\cup T}
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\renewcommand{\Re}{\operatorname{Re}}
\renewcommand{\Im}{\operatorname{Im}}
\DeclareMathOperator*{\osc}{osc}
\DeclareMathOperator*{\essosc}{ess\, osc}
\DeclareMathOperator*{\esssup}{ess\, sup}
\DeclareMathOperator*{\essinf}{ess\, inf}

</math>
{{newtheorem |type=def |display=定義 }}
{{newtheorem |type=pro |display=命題 |family=def }}
{{newtheorem |type=thm |display=定理 |family=def }}
{{newtheorem |type=lem |display=補題 |family=def }}
{{newtheorem |type=cor |display=系 |family=def }}
{{newtheorem |type=rmk |display=注意 |family=def }}
{{newtheorem |type=ex |display=参考 |family=def }}
{{end |preamble}}

以下の形の形式的な線型微分作用素 $L$ を考える:
*$$Lu=-\sum_{i,j=1}^n a_{ij}(x)D_{ij}u+\sum_{i=1}^n b_i(x)D_iu+c(x)u. \tag{GF}\label{GF}$$
*$$Lu=-\sum_{i=1}^n D_i\left(\sum_{j=1}^n a_{ij}(x)D_ju+b_i(x)u\right)+\sum_{i=1}^n c_i(x)D_iu+d(x)u. \tag{DF}\label{DF}$$
ここで $x\in\Omega$。

{{theorem|type=def|name=楕円性|label=elliptic}}
$L$ を(\ref{GF})あるいは(\ref{DF})の形の形式的な微分作用素とする。
*(1) 各 $x\in\R^n$ について $\lambda(x)\gt 0$ であって
$$\sum_{i=1}^n a_{ij}(x)\xi_i\xi_j\ge\lambda(x)|\xi|^2\ (\forall x\in\Omega,\xi\in\R^n) \tag{E}\label{E}$$
をみたすものが存在するとき、$L$ は楕円型(elliptic)であるという。

*(2) 定数 $\lambda\gt 0$ であって
$$\sum_{i=1}^n a_{ij}(x)\xi_i\xi_j\ge\lambda|\xi|^2\ (\forall x\in\Omega,\xi\in\R^n) \tag{SE}\label{SE}$$
をみたすものが存在するとき $L$ は狭義楕円型(strictly elliptic)であるという。

*(3) 定数 $\Lambda\ge\lambda\gt 0$ であって
$$\lambda|\xi|^2\le\sum_{i,j}a_{ij}\xi_i\xi_j\le\Lambda|\xi|^2\ (\forall x\in\Omega,\xi\in\R^n)\tag{UE}\label{UE}$$
をみたすものが存在するとき $L$ は一様楕円型(uniformly elliptic)であるという。<ref name=UE>より広く、$\displaystyle\frac{\Lambda(x)}{\lambda(x)}$ が有界の場合に一様楕円型ということもある。</ref>

(\ref{GF})の形の楕円型作用素を非発散型(non-divergence form)または一般型(general form)の2階線型楕円型作用素といい、(\ref{DF})の形の楕円型作用素を発散型(divergence)の2階線型楕円型作用素という。

{{theorem|type=rmk}}
作用する関数 $u$ について偏微分の順序交換 $D_{ij}u=D_{ji}u$ が成り立つ場合、非発散型の作用素 $L$ の係数関数 $a_{ij}$ を $\frac{1}{2}(a_{ij}+a_{ji})$ に置き換えることで $a_{ij}=a_{ji}$ を仮定することができる。$L$ が発散型の場合も $a_{ij}=a_{ji}$ を仮定することがある。

$a_{ij}=a_{ji}$ のとき、(\ref{E})は行列 $(a_{ij}(x))_{i,j}$ の固有値 $\mu_1(x)\le\ldots\le\mu_n(x)$ が $\lambda(x)\le\mu_1(x)\le\mu_n(x)\le\Lambda(x)$ をみたすことと同値である。

$a_{ij}$ が微分可能であるとき非発散型の作用素 $L$ を発散型
$$Lu=-\sum_{i=1}^n D_i\left(\sum_{j=1}^n a_{ij}D_ju\right)+\sum_{i=1}^n\left(b_i+\sum_{j=1}^n D_ja_{ij}\right)D_iu+cu$$
に書き直すことができる。逆に $a_{ij}$ と $b_i$ が微分可能であるとき発散型の作用素 $L$ を非発散型
$$Lu=-\sum_{i,j=1}^n a_{ij}D_{ij}u+\sum_{i=1}^n \left(-\sum_{j=1}^n D_ja_{ij}+b_i+c_i\right)D_iu+\left(\sum_{i=1}^n D_ib_i+d\right)u$$
に書き直すことができる。

以下では断りなく $\lambda$ と $\Lambda$ を(\ref{E})をみたすものを表す記号として用いる。
==記法および注意==
ここではとくに断らない限り実数値関数のみを取り扱う。また断りなく次の記法を用いる:
* $n\in\Zp$ とし、$\Omega$ を $\R^n$ における開集合とする。
* $x\in\R^n$、$r>0$ について $B_r(x)$ で $\R^n$ の半径が $r$、中心が $x$ の開球を表す。中心や半径を具体的に指定しない場合は $B_r$ や $B(x)$ などと略すことがある。
* $\H^s$ で $s$ 次元Hausdorff測度、$\L^n$ で $n$ 次元Lebesgue外測度([[Hausdorff測度とarea_coarea_formula]]の定義30。命題31も参照。)を表し、$\L^n$ -a.e. を単にa.e.とかき、また誤解のおそれがなければ省略する。
* 多重指数 $\alpha$ について $\alpha$ 階偏微分を $D^\alpha$ で表す。また $\alpha=ke_i$ のときは $D^\alpha u$ を $D^k_i u$ と表す。$D^1_i u$ は $D_iu$ と表し、$\R^n$ 値関数 $(D_1u,\ldots D_nu)$ を $Du$ と表す。
* $n=1$ のときは $D^k_1 u$ を $u^{(k)}$ と表す。また $u^{(1)}$、$u^{(2)}$ はそれぞれ $u'$、$u^{\prime\prime}$ と表す。
* $\mu\in\R^n\backslash\{0\}$ について、$D_\mu$ で $\mu$ -方向微分を表す。とくに $u$ が微分可能であるとき $D_\mu u=\mu\cdot Du$ である。
* $p\in[1,\infty]$ について $p'$ でそのHölder共役指数、すなわち $p^{-1}+p'^{-1}=1$ をみたす $p'\in[1,\infty]$ を表す。
* $\norm{\cdot}_{p;\Omega}$ で $L^p(\Omega)=L^p(\Omega,\L^n)$ のノルムを表す。また、相対開集合 $T\subset\pOm$ について $\norm{\cdot}_{p;T}$ で $L^p(T,\H^{n-1})$ のノルムを表す。誤解のおそれがなければ $\Omega$ と $T$ は省略することがある。
* $C^k(\Ombar)$、$C^{k,\alpha}(\Ombar)$ のノルムには[[Hölder空間の基本事項]]で定義した記号を用いる。また、$W^{k,p}(\Omega)$ のノルムには[[Sobolev空間とSobolevの不等式]]で定義した記号を用いる。
* $Q\colon=(-1,1)^n$、$Q_+\colon=(-1,1)^{n-1}\times(0,1)$、$Q_0\colon=(-1,1)^{n-1}\times\{0\}$ とする。
* $\Omega,\Omega'\subset\R^n$ を開集合とし、$f\colon\Omega'-\Omega\to\R$ と $g\colon\Omega\to\R$ を $\L^n$ -可測関数とする。
$$f*g(x)\colon=\int_{\Omega}f(x-y)g(y)dy$$
が a.e. $x\in\Omega'$ で定義されるとき $f*g$ は $\Omega'$ 上で定義されるといい、これを $f$ と $g$ の合成積という。<ref name="defdifference">[[合成積とFourier変換]]で定義されているものとは $(2\pi)^\frac{n}{2}$ 倍の違いがある。</ref>
* 実数値関数からなる線形空間 $X$ に対し、各成分が $X$ に属する $\R^m$ 値関数の空間を $m$ 個の $X$ の直積と同一視して $X^m$ とかく。

==Laplace方程式とPoisson方程式==
Poisson方程式とは方程式
$$-\Delta u=f\ \inn \Omega$$
を指す。ここで $f\colon\Omega\to\R$ は既知の関数であり、$\Delta$ はラプラシアン $\displaystyle\Delta u\colon=\sum_{i=1}^n D_i^2u$ である。とくに $f\equiv 0$ とした方程式
$$-\Delta u=0\ \inn \Omega$$
をLaplace方程式という。

明らかにラプラシアンは一様楕円型である。Laplace方程式およびPoisson方程式は2階線型楕円型方程式のもっとも単純な形であり、それらのモデルとして重要である。

{{theorem|type=def|name=劣(優)解、劣(優)調和関数|label=harm}}
$f\in C(\Omega)$ とする。各 $x\in\Omega$ について $-\Delta u(x)\le(\ge) f(x)$ をみたす $u\in C^2(\Omega)$ を Poisson方程式 $-\Delta u=f$ in $\Omega$ の劣(優)解という。Laplace方程式の(劣、優)解 $u\in C^2(\Omega)$ を(劣、優)調和関数という。

{{theorem|type=rmk}}
$u$ を $-\Delta u=f$ in $\Omega$ の優解とすると、$-u$ は $-\Delta u=-f$ in $\Omega$ の劣解である。このことから、劣解 $u$ に関する命題において、その証明の $u$ を $-u$ に置き換えることによって優解 $u$ に関する同様の命題を得ることができる。以下では劣解および優解に関する多くの命題において $u$ が劣解の場合のみを示す。また、$u$ を方程式 $-\Delta u=f$ in $\Omega$ の解とすると $u$ は劣解かつ優解であるから、劣解および優解に関する命題から解に関する命題も直ちに得られる。こうした命題の証明も省略する。

===(劣・優)調和関数の基本的な性質===

{{theorem|type=pro|name=平均値不等式|label=meanv}}
$B=B_R(x_0)$ を球とする。$u\in C^2(B)\cap C(\overline{B})$ を $B$ 上の劣(優)調和関数とすると
\begin{align*}
u(x_0)&\le(\ge)\frac{1}{n\omega_nR^{n-1}}\int_{\partial B}ud\H^{n-1},\\
u(x_0)&\le(\ge)\frac{1}{\omega_nR^n}\int_B u.
\end{align*}
とくに $u$ が $B$ 上の調和関数であるときこれらの等号が成り立つ。

{{begin|proof}}
$u$ が劣調和関数の場合のみを示す。$r\in[0,R]$ について
$$\varphi(r)\colon=\begin{cases}
\frac{1}{n\omega_nr^{n-1}}\int_{\partial B_r(x_0)}ud\H^{n-1}&\jf r\in(0,R]\\
u(x_0)&\jf r=0
\end{cases}$$
と定める。変数変換 $x=x_0+rz$ により $\varphi(r)$ は
$$\varphi(r)=\int_{\partial B_1(0)}u(x_0+rz)d\H^{n-1}(z)$$
と表される。これより $\varphi$ は $[0,R]$ において連続である。また $\varphi$ は $(0,R)$ において微分可能で
\begin{align*}
\varphi'(r)&=\int_{\partial B_1(0)}Du(x_0+rz)\cdot zd\H^{n-1}(z)\\
&=\frac{1}{n\omega_nr^{n-1}}\int_{\partial B_r(x_0)}Du(x)\cdot\frac{x-x_0}{r}d\H^{n-1}\\
&=\frac{1}{n\omega_nr^{n-1}}\int_{B_r(x_0)}\Delta u\\
&\ge 0.
\end{align*}
ここで $x\in\partial B_r(x_0)$ における $\partial B_r(x_0)$ の外向き単位法線ベクトルが $\displaystyle \frac{x-x_0}{r}$ と表されることを用いた。

従って $\varphi$ は $[0,R]$ で単調増加であり任意の $r\in[0,R]$ について
$$u(x_0)=\varphi(0)\le\varphi(r)=\frac{1}{n\omega_nr^{n-1}}\int_{\partial B_r(x_0)}ud\H^{n-1}.$$
$r=R$ として1つ目の不等式を得る。また $\partial B_r(x_0)=\{x\in\R^n\colon|x-x_0|=r\}$ に注意して[[Hausdorff測度とarea_coarea_formula|coarea formula]]を用いると
$$u(x_0)=\frac{1}{\omega_nR^n}\int_0^R n\omega_nr^{n-1}u(x_0)dr\le\frac{1}{\omega_nR^n}\int_0^R\left(\int_{\partial B_r(x_0)}ud\H^{n-1}\right)dr=\frac{1}{\omega_nR^n}\int_B u.$$
{{end|proof}}

{{theorem|type=rmk}}
$u$ が調和関数の場合はとくに平均値定理や平均値性質と呼ばれることも多い。

{{theorem|type=pro|name=平均値性質の逆|label=convmeanv}}
逆に $u\in C(\Omega)$ が任意の球 $B=B_R(x_0)\rcpt\Omega$ について $\displaystyle \frac{1}{n\omega_nR^{n-1}}\int_{\partial B}ud\H^{n-1}=u(x_0)$ をみたすとき $u\in C^\infty(\Omega)$ であって $u$ は調和関数となる。

{{begin|proof}}
$\eta_\varepsilon=\eta_\varepsilon(|x|)$ を球対称なFriedrich's mollifier([[Sobolev空間とSobolevの不等式]]の定義11)とする。$\Omega'\rcpt\Omega$ として $\varepsilon\gt 0$ を十分小さくとると $x\in\Omega$ について
$$\eta_\varepsilon*u(x)=\int_{B_\varepsilon(x)}\eta_\varepsilon(x-y)u(y)dy=\int_0^\varepsilon\left(\int_{\partial B_r(x)}ud\H^{n-1}\right)\eta_\varepsilon(r)dr=\int_0^r n\omega_nr^{n-1}u(x)\eta_\varepsilon(r)dr=u(x)\int_{B_\varepsilon(0)}\eta_\varepsilon=u(x).$$
よって $u=\eta_\varepsilon*u\in C^\infty(\overline{\Omega'})$ となり $u\in C^\infty(\Omega)$。

また{{ref|type=pro|label=meanv}}の証明と同様の計算により $x\in\Omega$ と十分小さい $r\gt 0$ について
$$\int_{B_r(x)}\Delta u=\pardif{}{r}\frac{1}{n\omega_nr^{n-1}}\int_{\partial B_r(x_0)}ud\H^{n-1}=0.$$
これより $-\Delta u(x)=0$ を得る。
{{end|proof}}

{{theorem|type=cor|label=harmsmo}}
$u\in C^2(\Omega)$ を調和関数とすると $u\in C^\infty(\Omega)$。

{{theorem|type=cor|label=harmconv}}
$\{u_m\}_{m=1}^\infty\subset C^2(\Omega)$ は調和関数の列で、ある $u\in C(\Omega)$ に広義一様収束しているとする。このとき $u$ も調和関数である。

{{begin|proof}}
任意の球 $B=B_R(x_0)\rcpt\Omega$ について
$$u(x_0)=\lim_{m\to\infty}u_m(x_0)=\lim_{m\to\infty}\frac{1}{n\omega_nR^{n-1}}\int_{\partial B}u_md\H^{n-1}=\frac{1}{n\omega_nR^{n-1}}\int_{\partial B}ud\H^{n-1}.$$
{{end|proof}}

{{theorem|type=thm|name=強最大値原理|label=harmsmax}}
$\Omega$ は連結であるとする。$u\in C^2(\Omega)$ を $\Omega$ 上の劣(優)調和関数とすると $u$ は次のいずれかをみたす:
*(i) $u$ は定数関数である。
*(ii) $u$ は $\Omega$ において最大(小)値をとらない。

{{begin|proof}}
$u$ が劣調和関数の場合のみを示す。

$u$ が $\Omega$ において最大値 $M$ をとったとし、$\Omega_M\colon=\{x\in\Omega\colon u(x)=M\}$ とする。明らかに $\Omega_M$ は $\Omega$ における相対位相について閉集合である。一方、$x_0\in\Omega_M$ とし、$B=B_r(x_0)\subset\Omega$ とすると平均値不等式より
$$\frac{1}{\omega_nR^n}\int_B u\ge M=\frac{1}{\omega_nR^n}\int_B M.$$
$u\le M$ in $B$ であるから $u=M\ \inn B$ となる。これより $B\subset\Omega_M$ であり、$\Omega_M$ は開集合である。

定義より明らかに $\Omega_M\neq\emptyset$ で、$\Omega$ は連結であったから $\Omega_M=\Omega$。すなわち $u\equiv M\ \inn\Omega$。
{{end|proof}}

{{theorem|type=def|name=上境界値、下境界値|label=uplwbdrvalue}}
$u\colon\Omega\to\R$ に対し $u^*,u_*\colon\Ombar\to\R$ を
$$u^*(x)\colon=\begin{cases}
u(x)&\jf x\in\Omega\\
\limsup_{y\in\Omega,y\to x}u(y) &\jf x\in\pOm
\end{cases},
u_*(\xi)\colon=\begin{cases}
u(x)&\jf x\in\Omega\\
\liminf_{y\in\Omega,y\to x}u(y) &\jf x\in\pOm
\end{cases}$$
と定め、$u^*|_\pOm$、$u_*|_\pOm$ をそれぞれ $u$ の上境界値、下境界値という。

$u\in C(\Ombar)$ のときは $u^*=u_*=u$ on $\Ombar$ が成り立つ。

{{theorem|type=pro|label=bdrsc}}
$u\colon\Omega\to\R$ とすると $\xi\in\pOm$ について
$$\limsup_{x\in\Ombar,x\to\xi}u^*(x)=u^*(\xi),\liminf_{x\in\Ombar,x\to\xi}u_*(x)=u_*(\xi).$$
とくに $u$ が上半連続のとき $u^*$ も上半連続で、$u$ が下半連続のとき $u_*$ も下半連続である。

{{begin|proof}}
$u^*$ についてのみ示す。$\displaystyle \limsup_{\substack{x\in\Ombar,\\x\to\xi}}u^*(x)\ge u^*(\xi)$ は $u^*$ の定義より直ちに従う。

$\displaystyle \limsup_{\substack{x\in\Ombar,\\x\to\xi}}u^*(x)\le u^*(\xi)$ を示す。$x_m\to\xi\ (m\to\infty)$ をみたす任意の $\{x_m\}_{m=1}^\infty\subset\Ombar$ が $\displaystyle \limsup_{m\to\infty}u^*(x_m)\le u^*(\xi)$ をみたすことを示せばよい。

$x_m'\in\Omega$ を次のようにとる: $x_m\in\Omega$ のときは $x_m'=x_m$ とする。$x_m\in\pOm$ のときは $u^*$ の定義より $x_m'\in\Omega$ を $|x_m'-x_m|\lt 2^{-m}$ かつ $u^*(x_m)\lt u(x_m')+2^{-m}$ となるようにとれる。

このとき $|x_m'-\xi|\le|x_m'-x_m|+|x_m-\xi|\to 0\ (m\to\infty)$ より $\displaystyle\limsup_{m\to\infty} u(x_m')\le u^*(\xi)$ であるから
$$\limsup_{m\to\infty}u^*(x_m)\le\limsup_{m\to\infty}(u(x_m')+2^{-m})\le u^*(\xi).$$
{{end|proof}}

{{theorem|type=thm|name=弱最大値原理|label=harmwmax}}
$\Omega$ は有界であるとする。$u\in C^2(\Omega)$ を $\Omega$ 上の劣(優)調和関数とすると
$$\sup_\Omega u\left(\inf_\Omega u\right)=\sup_\pOm u^*\left(\inf_\pOm u_*\right).$$
とくに $u\in C^2(\Omega)\cap C(\Ombar)$ のとき
$$\sup_\Omega u\left(\inf_\Omega u\right)=\sup_\pOm u\left(\inf_{\pOm}u\right).$$

{{begin|proof}}
$u$ が劣調和関数の場合のみを示す。

$\displaystyle \sup_\Omega u\ge\sup_\pOm u^*$ は明らか。

$\displaystyle \sup_\Omega u\gt\sup_\pOm u^*$ であったとする。$u^*$ は上半連続で $\Ombar$ はコンパクトであるから $u^*$ はある $x_0\in\Ombar$ において最大値をとる。このとき $\displaystyle\sup_\pOm u^*\lt\sup_\Omega u=\max_\Ombar u^*=u^*(x_0)$ となるので $x_0\in\Omega$。よって $u$ は $\Omega$ において最大値 $u(x_0)$ をとり、強最大値原理より $u$ は $x_0$ の属する連結成分 $\Omega_0$ 上で定数である。とくに $u=u(x_0)$ on $\pOm_0$ となるが、これは仮定に矛盾する。
{{end|proof}}

{{theorem|type=rmk}}
$u$ が優調和関数の場合を最小値原理という場合も多い。

Laplace方程式においては最大値原理は平均値不等式から直ちに得られる系であるが、後の節で述べるようにより一般の2階楕円型方程式についても成り立つという点において平均値不等式より重要である。

{{theorem|type=cor|name=比較原理|label=Poicomp}}
$\Omega$ は有界であるとする。$u,v\in C^2(\Omega)$ が $-\Delta u\le-\Delta v$ in $\Omega$ かつ $(u-v)^*\le 0$ on $\pOm$ をみたすとすると $u\le v$ in $\Omega$。また $\Omega$ が連結であるすると $u\not\equiv v$ でなければ $u\lt v$ in $\Omega$。

{{begin|proof}}
$w\colon=u-v$ とすると $-\Delta w\le 0$ in $\Omega$ かつ $w\le 0$ on $\pOm$ となるので $w\le 0$ in $\Omega$。後半も $w$ に強最大値原理を用いれば従う。
{{end|proof}}

{{theorem|type=ex}}
比較原理も同様に多くの2階楕円型方程式がもつ性質である。比較原理は次の意味で「非常に強力」である:方程式の解 $u$ に対する評価を境界上で $v\ge(\le)u$ となる優(劣)解 $v$ を見つけるだけで作ることができる。この方法は $v$ を見つけることができれば具体的な計算だけで証明が完成し、複雑な理論を必要としない。それにもかかわらず、しばしば解に対して他の方法では得ることが難しい強力な評価や可解性の結果を与える。

{{theorem|type=cor|name=Poisson方程式のDirichlet問題の古典解の一意性|label=Poiuniq}}
$\Omega$ は有界であるとする。$u,v\in C^2(\Omega)\cap C(\Ombar)$ が $-\Delta u=-\Delta v$ in $\Omega$ かつ $u=v$ on $\pOm$ をみたすとすると $u=v$ in $\Omega$。

{{theorem|type=thm|name=Harnackの不等式|label=harmHar}}
$\Omega$ は連結であるとする。$u\in C^2(\Omega)$ を非負値の調和関数とすると任意の連結部分領域 $\Omega'\rcpt\Omega$ について
$$\sup_{\Omega'}u\le C_{\Omega,\Omega'}\inf_{\Omega'}u.$$

{{begin|proof}}
$B=B_r(x_0)$ が $B_{3r}(x_0)\rcpt\Omega$ をみたすとする。平均値性質により $x,y\in B$ について
$$u(x)=\frac{1}{\omega_n(2r)^n}\int_{B_{2r}(x)}u\le\frac{1}{\omega_n(2r)^n}\int_{B_{3r}(x_0)} u=\left(\frac{3}{2}\right)^nu(x_0)=\frac{\left(\frac{3}{2}\right)^n}{\omega_nr^n}\int_{B_r(x_0)}u\le\frac{\left(\frac{3}{2}\right)^n}{\omega_nr^n}\int_{B_{2r}(y)}u=3^nu(y).$$
$r\colon=\frac{d}{4}$ とする。$\Omega'\rcpt\Omega$ より $x_1,\ldots,x_N\in\Omega'$ を $\displaystyle \Omega'\subset\bigcup_{i=1}^N B_r(x_i)$ となるようにとれる。$x,y\in\Omega'$ とすると[[Hölder空間の基本事項]]の補題38より $y_0,\ldots,y_m\in\Omega'$、$i_0,\ldots,i_{m-1}\in\{1,\ldots,N\}$、$m\le N$ であって $y_0=x$、$y_m=y$ かつ $y_j,y_{j+1}\in B_r(x_{i_j})$ をみたすものが存在し、各 $j$ について $B_{3r}(x_{i_j})\rcpt\Omega$ より $u(y_j)\le 3^nu(y_{j+1})$ が成り立つ。これより
$$u(x)=u(y_0)\le 3^nu(y_1)\le\ldots\le 3^{mn}u(y_m)=3^{mn}u(y).$$
従って
$$\sup_{\Omega'}u\le 3^{Nn}\inf_{\Omega'}u.$$
{{end|proof}}

===基本解とNewtonian potential===

{{theorem|type=pro|name=Laplace方程式の球対称解|label=radsymsol}}
*(1) $A\colon=\{x\in\R^n\colon a\lt|x|\lt b\}$、$0\le a\lt b\le\infty$ を円環領域とする。球対称関数 $u(x)=u(|x|)\in C^2(A)$ について
$$\Delta u(x)=u^{\prime\prime}(|x|)+\frac{n-1}{r}u'(|x|)\for x\in A.$$
*(2) Laplace方程式 $-\Delta u=0$ in $\R^n\backslash\{0\}$ の球対称解 $u(x)=u(|x|)\in C^2(\R^n\backslash\{0\})$ は定数 $c_1,c_2\in\R$ を用いて
$$u(x)=\begin{cases}
c_1|x|^{2-n}+c_2&\jf n\ge 3\\
-c_1\log|x|+c_2&\jf n=2
\end{cases}$$
と表される。

{{begin|proof}}
(1)を示す。$i=1,\ldots,n$ について
$$D_iu(x)=\frac{x_i}{r}u'(r),D_{ii}u(x)=\frac{x_i^2}{r^2}u^{\prime\prime}(r)+\left(\frac{1}{r}-\frac{x_i}{r^3}\right)u'(r)$$
となるので
$$\Delta u(x)=\sum_{i=1}^n\left(\frac{x_i^2}{r^2}u^{\prime\prime}(r)+\left(\frac{1}{r}-\frac{x_i}{r^3}\right)u'(r)\right)=u^{\prime\prime}(r)+\frac{n-1}{r}u'(r).$$

(2)を示す。(1)より常微分方程式
$$u^{\prime\prime}(r)+\frac{n-1}{r}u'(r)=0\ (r\in(0,\infty))$$
を解けばよい。変数分離法により $u'(r)$ は定数 $c$ を用いて $u'(r)=cr^{1-n}$ と表され、これを積分すれば主張が従う。
{{end|proof}}

{{theorem|type=def|name=Laplace方程式の基本解|label=defGam}}
$\Gamma\colon\R^n\backslash\{0\}\to\R$ を
$$\Gamma(x)=\Gamma(|x|)\colon=\begin{cases}
-\frac{1}{2\pi}\log|x|&\jf n=2\\
\frac{1}{n(n-2)\omega_n}|x|^{2-n}&\jf n\ge 3
\end{cases}\tag{N}\label{dNP}$$
により定め、Laplace方程式の基本解という。$\Gamma$ は $-\Delta\Gamma=0$ in $\R^n\backslash\{0\}$ の球対称解のひとつである。

{{theorem|type=pro|name=$\Gamma$ の評価|label=elemestGam}}
$\Gamma$ は $\R^n\backslash\{0\}$ において任意回微分可能で次をみたす:
*(1)多重指数 $\alpha\neq 0$ について
$$|D^\alpha\Gamma(x)|\le C_{n,\alpha}|x|^{2-n-|\alpha|}\for x\in\R^n\backslash\{0\}.$$
*(2) $r\in(0,1)$ について
$$\int_{B_r(0)}\Gamma\le\begin{cases}
Cr^2(-\log r+1)&\jf n=2\\
C_nr^2&\jf n\ge 3
\end{cases}.$$
とくに $\alpha\lt 2$ について
$$r^{-\alpha}\int_{B_r(0)}\Gamma\to 0\ (r\to +0).$$
*(3) $r\in(0,1)$ について
$$\int_{B_r(0)}|D\Gamma|\le C_nr.$$

{{begin|proof}}
$x=(x_1,\ldots,x_n)\in\R^n\backslash\{0\}$ について $D_i\Gamma(x)=-\frac{1}{n\omega_n}|x|^{-n}x_i$ に注意すると $|\alpha|\ge 1$ に関する帰納法により多重指数 $\alpha\neq 0$ について $D^\alpha\Gamma$ は $|\alpha|$ 次斉次多項式 $P_\alpha$ を用いて $D^\alpha\Gamma(x)=|x|^{2-n-2|\alpha|}P_\alpha(x)$ と表される。これより $|D^\alpha\Gamma(x)|\le C|x|^{2-n-|\alpha|}$ を得る。また $r\in(0,1)$ について
$$\int_{B_r(0)}\Gamma\le C\int_0^r \rho^{n-1}\Gamma(\rho)d\rho\le\begin{cases}
C\int_0^r \rho(-\log\rho)d\rho\le C\rho^2(-\log\rho+1)&\jf n=2\\
C\int_0^r \rho d\rho\le Cr^2&\jf n\ge 3
\end{cases}$$
で
$$\int_{B_r(0)}|D\Gamma|\le C\int_{B_r(0)}|x|^{1-n}dx\le C\int_0^rd\rho=Cr.$$
{{end|proof}}

{{theorem|type=def|name=Newtonian potential|label=NP}}
$f\in L^1_\loc(\Omega)$ とする。合成積 $\Gamma*f$ が $\Omega$ 上で定義されるときこれを $f$ のNewtonian potentialという。

$n=2$ の場合は任意の $q\in[1,\infty)$ について $\Gamma\in L^q_\loc(\R^2)$ であるから $\Omega$ が有界であって $f\in L^1(\Omega)$ であれば $\Gamma*f$ は定義される。$n\ge 3$ の場合は[[Sobolev空間とSobolevの不等式]]の命題57より $|\Omega|\lt\infty$ であって $f\in L^1(\Omega)$ であれば $\Gamma*f$ が定義される。

Newtonian potentialは次の意味で「 $-\Delta u=f$ の解 $u$ の候補」を与えるものである:

{{theorem|type=pro|name=Greenの表現公式|label=Grrp}}
$\Omega$ を $C^{0,1}$ 領域([[Hölder空間の基本事項]]の定義28。[[Sobolev空間とSobolevの不等式]]の定理90も参照。)とする。$\supp u$ が有界な $u\in C^2(\Ombar)$ について
$$u(x)=\int_\Omega \Gamma(x-y)(-\Delta u(y))dy+\int_\pOm (\Gamma(x-y)Du(y)\cdot\nu(y)+(D\Gamma(x-y)\cdot\nu(y))u(y))d\H^{n-1}(y).$$
ここで $\nu$ は $\pOm$ の外向き単位法線ベクトルである。

とくに $u\in C^2_c(\R^n)$ について
$$u=\Gamma*(-\Delta u)\ \inn\ \R^n.$$

{{begin|proof}}
$x\in\Omega$ とし、$r\gt 0$ を十分小さくとって $B_r(x)\rcpt\Omega$ となるようにする。部分積分により
\begin{align*}
&\int_{\Omega\backslash B_r(x)} \Gamma(x-y)(-\Delta u(y))dy\\
&=-\int_\pOm \Gamma(x-y)Du(y)\cdot\nu(y)d\H^{n-1}(y)+\int_{\partial B_r(x)}\Gamma(x-y)Du(y)\cdot\frac{y-x}{r}d\H^{n-1}(y)-\int_{\Omega\backslash B_r(x)} D\Gamma(x-y)\cdot Du(y)dy\\
&=-\int_\pOm (\Gamma(x-y)Du(y)\cdot\nu(y)+(D\Gamma(x-y)\cdot\nu(y))u(y))d\H^{n-1}(y)\\
&\qquad+\int_{\partial B_r(x)}(\Gamma(x-y)Du(y)+D\Gamma(x-y)u(y))\cdot\frac{y-x}{r}d\H^{n-1}(y).
\end{align*}
ここで
$$\left|\int_{\partial B_r(x)}\Gamma(x-y)Du(y)\cdot\frac{y-x}{r}d\H^{n-1}(y)\right|\le\Gamma(r)\cdot n\omega_nr^{n-1}\to 0\ (r\to +0)$$
で、
$$\int_{\partial B_r(x)}D\Gamma(x-y)u(y)\cdot\frac{y-x}{r}d\H^{n-1}(y)=-\Gamma'(r)\int_{\partial B_r(x)}ud\H^{n-1}=\frac{1}{n\omega_nr^{n-1}}\int_{\partial B_r(x)}ud\H^{n-1}\to u(x)\ (r\to +0)$$
であるから $r\to +0$ とすれば
$$\int_\Omega \Gamma(x-y)(-\Delta u(y))dy=-\int_\pOm (\Gamma(x-y)Du(y)\cdot\nu(y)+(D\Gamma(x-y)\cdot\nu(y))u(y))d\H^{n-1}(y)+u(x)$$
を得る。
{{end|proof}}

$-\Delta\Gamma=0$ より境界積分の項は調和関数になるので、$f=-\Delta u$ とすると $w=\Gamma*f$ も $w\in C^2(\Omega)$ であって $-\Delta w=f$ の解になっていることがわかる。また $u$ が調和関数の場合
$$u(x)=\int_\pOm (\Gamma(x-y)Du(y)\cdot\nu(y)+(D\Gamma(x-y)\cdot\nu(y))u(y))d\H^{n-1}(y)$$
という表示を得る。この表示からも{{ref|type=cor|label=harmsmo}}が成り立つことを確認できる。

一方、$f\in C(\Ombar)$ であっても $\Gamma*f\notin C^2(\Omega)$ となり、$u=\Gamma*f$ が $-\Delta u=f$ in $\Omega$ の解にならない場合がある。
{{begin|proof|display=例}}
$B=B_2(0)$ とし、$\eta\in C^2_c(B)$ を $\eta=1$ in $B_1(0)$ となるようにとる。$P(x)\colon=x_1x_2$ とすると $-\Delta(\eta P)=0$ in $B_1(0)$ となる。次のように
$$f(x)\colon=\begin{cases}
-\frac{1}{k}\Delta(\eta P)(2^kx)&\jf 2^{-k}\le|x|\lt 2^{1-k},k\in\Zz\\
0&\jf x=0
\end{cases}$$
とおく。明らかに $\supp f$ はコンパクトである。また $|x|=2^{-k},k\in\Zz$ とすると $-\frac{1}{k}\Delta(\eta P)(2^kx)=-\frac{1}{k+1}\Delta(\eta P)(2^{k+1}x)=0$ であるから $f$ は $B\backslash\{0\}$ において連続であり、$0\lt|x|\lt 2^{-k},k\in\Zz$ とすると $|f(x)|\le \frac{1}{k}|-\Delta(\eta P)|_0$ となるので $|f(x)|\to 0\ (|x|\to +0)$ も成り立ち、$f$ は $B$ 上で連続である。

$\Gamma*f$ を求める。$l\in\Zp$ について
$$f_l(x)\colon=\begin{cases}
-\frac{1}{k}\Delta(\eta P)(2^kx)&\jf 2^{-k}\le|x|\lt 2^{1-k},k\in\{0,\ldots,l\}\\
0&\jf |x|\lt 2^{-l}
\end{cases}
,\quad w_l(x)\colon=\sum_{k=0}^l\frac{1}{2^{2k}k}(\eta P)(2^kx)$$
とすると $f_l\in C_c(B)$、$w_l\in C^2_c(B)$、$-\Delta w_l=f_l$ であるから $\Gamma*f_l=w_l$。また $l\to\infty$ とすると $f_l$ は $f$ に一様収束し、$w_l$ は
$$w(x)\colon=\sum_{k=0}^\infty\frac{1}{2^{2k}k}(\eta P)(2^kx)$$
により定まる $w$ に一様収束する。これより $\Gamma*f=w$。

$w$ を定める級数は $x\neq 0$ のときは有限項を除いて $0$ であることに注意すると
$$w\in C^2(B\backslash\{0\}),\quad D^\alpha w(x)=\sum_{k=0}^\infty\frac{1}{k}D^\alpha(\eta P)(2^kx)\for x\in B\backslash\{0\},|\alpha|\le 2.$$
一方 $D_{12}P=1$ に注意すると $2^{-l}\le|x|\lt 2^{1-l},l\in\Zp$ について
$$D_{12}w(x)=\sum_{k=0}^l D_{12}(\eta P)(2^kx)=\sum_{k=0}^{l-1} D_{12}P(2^kx)+D_{12}(\eta P)(2^lx)\ge l-|D_{12}(\eta P)|_0.$$
これより $D_{12}w(x)\to +\infty\ (|x|\to +0)$ となり、$D_{12}w\notin C(B)$。これより $w=\Gamma*f\notin C^2(B)$ である。
{{end|proof}}

一方で、以下に示すように、$f$ がHölder連続であれば $\Gamma*f\in C^2(\Omega)$、$-\Delta(\Gamma*f)=f$ in $\Omega$ が成り立つ。(上で示した例は $0$ においてHölder連続となっていないことに注意せよ。)

{{theorem|type=lem|label=NP1}}
$\Omega$ は有界であるとする。$f\in L^\infty(\Omega)$ とすると $\Gamma*f$ は $\R^n$ 上で定義され
$$\Gamma*f\in C^1(\R^n),\quad D_i(\Gamma*f)=D_i\Gamma*f\ \inn \R^n.$$

{{begin|proof}}
$i\in\{1,\ldots,n\}$ とする。$\zeta\in C^\infty(\R^n)$ を $0\le\zeta\le 1$ in $\R^n$、$\zeta=0$ in $B_1(0)$ かつ $\zeta=1$ on $\R^n\backslash B_2(0)$ となるようにとり、$\varepsilon\gt 0$ について $\zeta_\varepsilon(x)\colon=\zeta(\varepsilon^{-1}x)$ とする。$\zeta_\varepsilon$ は
$$0\le\zeta_\varepsilon\le 1 \inn \R^n,\quad \zeta_\varepsilon=0\ \inn B_\varepsilon(0),\quad\zeta_\varepsilon=1\ \on \R^n\backslash B_{2\varepsilon}(0)$$
をみたす。

このとき $\zeta_\varepsilon\Gamma\in C^\infty(\R^n)$ となるので
$$(\zeta_\varepsilon\Gamma)*f\in C^\infty(\R^n),D_i((\zeta_\varepsilon\Gamma)*f)=(D_i(\zeta_\varepsilon\Gamma))*f.$$
また $x\in\R^n$ について
$$|(\zeta_\varepsilon\Gamma)*f(x)-\Gamma*f(x)|\le\int_\Omega (1-\zeta_\varepsilon(x-y))|\Gamma(x-y)||f(y)|dy\le\int_{B_{2\varepsilon}(x)}|\Gamma(x-y)|\norm{f}_\infty dy,$$
\begin{align*}
|(D_i(\zeta_\varepsilon\Gamma))*f(x)-D_i\Gamma*f(x)|&\le\int_\Omega (1-\zeta_\varepsilon(x-y))|D_i\Gamma(x-y)||f(y)|dy+\varepsilon^{-1}\int_\Omega |D_i\zeta(\varepsilon^{-1}(x-y))||\Gamma(x-y)||f(y)|dy\\
&\le\int_{B_{2\varepsilon}(x)}|D_i\Gamma(x-y)|\norm{f}_\infty dy+\varepsilon^{-1}\norm{D_i\zeta}_\infty\int_{B_{2\varepsilon}(x)}|\Gamma(x-y)|\norm{f}_\infty dy
\end{align*}
であるから
$$\sup_{\R^n}|(\zeta_\varepsilon\Gamma)*f-\Gamma*f|\le\norm{f}_\infty\int_{B_{2\varepsilon}(0)}|\Gamma|\to 0\ (\varepsilon\to +0),$$
$$\sup_{\R^n}|(D_i(\zeta_\varepsilon\Gamma))*f-D_i\Gamma*f|\le\norm{f}_\infty\int_{B_{2\varepsilon}(0)}|D_i\Gamma|+\varepsilon^{-1}\norm{D_i\zeta}_\infty\norm{f}_\infty\int_{B_{2\varepsilon}}|\Gamma|\to 0\ (\varepsilon\to +0).$$
これより主張が従う。
{{end|proof}}

{{theorem|type=thm|label=NP2}}
$\Omega$ は有界であるとする。$f\in C^{0,\alpha}(\Omega)\cap L^\infty(\Omega)$、$\alpha\in(0,1)$ とすると $\Gamma*f\in C^2(\Omega)$。また $\Omega_0$ を $\Omega$ を含む $C^{0,1}$ 領域とすると
$$D_{ij}(\Gamma*f)(x)=\int_\Omega D_{ij}\Gamma(x-y)(f(y)-f(x))dy-f(x)\left(\int_{\Omega_0\backslash\Omega}D_{ij}\Gamma(x-y)dy+\int_{\pOm_0}D_i\Gamma(x-y)\nu_j(y)d\H^{n-1}(y)\right)\ \for\ x\in\Omega.$$
ここで $\nu=(\nu_1,\ldots,\nu_n)$ は $\pOm_0$ の外向き単位法線ベクトルである。また
$$-\Delta(\Gamma*f)=f\ \inn \Omega.$$

{{begin|proof}}
$i,j\in\{1,\ldots,n\}$ とする。{{ref|type=lem|label=NP1}}と同様に $\zeta_\varepsilon$ をとる。{{ref|type=lem|label=NP1}}と同様の評価により
$$\sup_\Omega|(\zeta_\varepsilon D_i\Gamma)*f-D_i\Gamma*f|\to 0\ (\varepsilon\to +0).$$
$x\in\Omega$ とする。$x\in\Omega'\rcpt\Omega$ となる開集合 $\Omega'$ をとり、$\varepsilon\in(0,\frac{1}{2}\dist(\Omega',\pOm))$ とする。$B_{2\varepsilon}(x)\cap(\Omega_0\backslash\Omega)$ より $y\in\Omega_0\backslash\Omega$ については $\zeta_\varepsilon(y)=1$ となることに注意するとGaussの発散定理により
\begin{align*}
\int_{\pOm_0}D_i\Gamma(x-y)d\H^{n-1}(y)&=\int_{\pOm_0}\zeta_\varepsilon(x-y)D_i\Gamma(x-y)d\H^{n-1}(y)\\
&=-\int_{\Omega_0}D_j(\zeta_\varepsilon D_i\Gamma)(x-y)dy\\
&=-\left(\int_\Omega D_j(\zeta_\varepsilon D_i\Gamma)(x-y)dy+\int_{\Omega_0\backslash\Omega}D_{ij}\Gamma(x-y)dy\right).\tag{*}\label{np1}
\end{align*}
$D_i((\zeta_\varepsilon\Gamma)*f)=D_i(\zeta_\varepsilon\Gamma)*f$ と同様に $D_j((\zeta_\varepsilon D_i\Gamma)*f)=D_j(\zeta_\varepsilon D_i\Gamma)*f$ も成り立つので(\ref{np1})より
\begin{align*}
D_j((\zeta_\varepsilon D_i\Gamma)*f)(x)&=\int_\Omega D_j(\zeta_\varepsilon D_i\Gamma)(x-y)f(y)dy\\
&=\int_\Omega D_j(\zeta_\varepsilon D_i\Gamma)(x-y)(f(y)-f(x))dy\\
&\qquad-f(x)\left(\int_{\Omega_0\backslash\Omega}D_{ij}\Gamma(x-y)dy+\int_{\pOm_0}D_i\Gamma(x-y)\nu_j(y)d\H^{n-1}(y)\right).
\end{align*}
ここで
\begin{align*}
\int_\Omega |D_{ij}\Gamma(x-y)||f(y)-f(x)|dy&\le C\int_\Omega |x-y|^{-n}|f(y)-f(x)|dy\\
&\le C\left(\int_{B_{2\varepsilon}(x)}[f]_{0,\alpha;\Omega'}|x-y|^{\alpha-n}dy+\int_{\Omega\backslash B_{2\varepsilon}(x)}2|f|_{0;\Omega'}|x-y|^{-n}dy\right)\lt\infty
\end{align*}
より積分
$$\int_\Omega D_{ij}\Gamma(x-y)(f(y)-f(x))dy$$
は定義される。$\Omega$ 上の関数 $g$ を
$$g(x)\colon=\int_\Omega D_{ij}\Gamma(x-y)(f(y)-f(x))dy-f(x)\left(\int_{\Omega_0\backslash\Omega}D_{ij}\Gamma(x-y)dy+\int_{\pOm_0}D_i\Gamma(x-y)\nu_j(y)d\H^{n-1}(y)\right)$$
により定めると
\begin{align*}
|D_j((\zeta_\varepsilon D_i\Gamma)*f)(x)-g(x)|&\le\int_\Omega |D_j(\zeta_\varepsilon D_i\Gamma)(x-y)-D_{ij}\Gamma(x-y)||f(y)-f(x)|dy\\
&\le\int_\Omega ((1-\zeta_\varepsilon(x-y))|D_{ij}\Gamma(x-y)|+|D_j\zeta_\varepsilon(x-y)||D_i\Gamma(x-y)|)|f(y)-f(x)|dy\\
&\le C\int_{B_{2\varepsilon}(x)} (|x-y|^{-n}+\varepsilon^{-1}|D_j\zeta|_0|x-y|^{1-n})[f]_{0,\alpha;\Omega'}|x-y|^\alpha dy\\
&\le C\int_{B_{2\varepsilon}(x)}(|x-y|^{\alpha-n}+\varepsilon^{-1}|x-y|^{\alpha+1-n})[f]_{0,\alpha;\Omega'}dy\\
&\le C\varepsilon^{\alpha}[f]_{0,\alpha;\Omega'}.
\end{align*}
従って
$$\sup_{\Omega'}|D_j((\zeta_\varepsilon D_i\Gamma)*f)-g|\to 0\ (\varepsilon\to +0).$$
以上より $D_i(\Gamma*f)=D_i\Gamma*f\in C^1(\Omega)$ となり、
$$\Gamma*f\in C^2(\Omega),\quad D_{ij}(\Gamma*f)=g\inn \Omega.$$
$\Delta(\Gamma*f)=f$ を示す。$x\in\Omega$ として $\Omega_0=B_R(x)$ を $\Omega$ を含む球とする。$-\Delta\Gamma=0$ in $\R^n\backslash\{0\}$ に注意すると
\begin{align*}
-\Delta(\Gamma*f)(x)&=\sum_{i=1}^n\left(-\int_\Omega D_{ii}\Gamma(x-y)(f(y)-f(x))dy\\
&\qquad+f(x)\left(\int_{\Omega_0\backslash\Omega}D_{ii}\Gamma(x-y)dy-\int_{\partial B_R(x)}D_i\Gamma(x-y)\frac{y_i-x_i}{R}d\H^{n-1}(y)\right)\right)\\
&=f(x)\int_{\partial B_R(x)}(-D\Gamma(x-y))\cdot\frac{x-y}{R}d\H^{n-1}\\
&=f(x)\int_{\partial B_R(x)}\frac{1}{n\omega_n}|x-y|^{-n}(x-y)\cdot\frac{x-y}{R}d\H^{n-1}\\
&=f(x)\cdot n\omega_nR^{n-1}\cdot \frac{1}{n\omega_n}R^{1-n}\\
&=f(x).
\end{align*}
{{end|proof}}

===Green関数===
Greenの表現公式は次の意味で「不十分」である: Dirichlet問題の解の一意性から $u(x)$ の値は $-\Delta u$ と $u|_{\pOm}$ のみから一意的に定められるが、Greenの表現公式は $u(x)$ の値を表現するためにこれらに加えて $Du\cdot\nu$ の値を要する。

この問題を解消するために、Greenの表現公式を次のように変形する。

$h\in C^2(\Ombar)$ を調和関数とすると部分積分により $u\in C^2(\Ombar)$ について
$$\int_\Omega h(-\Delta u)=-\int_\pOm(hDu\cdot\nu-(Dh\cdot\nu)u)d\H^{n-1}.$$
$G(x,y)\colon=\Gamma(x-y)-h(y)$ とするとGreenの表現公式から
$$u(x)=\int_\Omega G(x,y)(-\Delta u(y))dy+\int_\pOm (G(x,y)Du(y)\cdot\nu(y)-(D_yG(x,y)\cdot\nu(y))u(y))d\H^{n-1}(y).$$
ここで $h=h_x\in C^2(\Ombar)$ を $-\Delta h=0$ in $\Omega$ かつ $h(y)=\Gamma(x-y)$ for $y\in\pOm$ となるように選ぶことができれば
$$u(x)=\int_\Omega G(x,y)(-\Delta u(y))dy+\int_\pOm (D_yG(x,y)\cdot\nu(y))u(y)d\H^{n-1}(y)$$
となる。

{{theorem|type=def|name=Green関数|label=Gr}}
$G=G(x,y)$ を $\Omega$ における(Dirichlet-)Green関数、あるいは第1種Green関数という。

{{ref|type=cor|label=Poiuniq}}よりGreen関数は(存在すれば)一意的であり、存在すればPoisson方程式の非斉次Dirichlet問題
$$\left\{
\begin{align*}
-\Delta u&=f& &\inn\ \Omega\\
u&=\varphi& &\on\ \pOm
\end{align*}
\right.$$
の解 $u\in C^2(\Ombar)$ の表示を得られたことになる。

実際には一般の $C^{0,1}$ 領域 $\Omega$ におけるGreen関数を求める方法はなく、Green関数を用いた解析は困難である。一方、ごく限られた単純な領域の場合はGreen関数を求めることができることがある。

====半空間の場合====

半空間 $\R^n_+$ におけるGreen関数は容易に与えることができる。実際、
$$h_x(y)=\Gamma(x^*-y)=\Gamma(x-y^*)$$
とすれば $-\Delta h_x=0$ in $\R^n_+$, $h_x(y)=\Gamma(x-y)$ for $y\in\partial\R^N_+$ となり、
$$G(x,y)=\Gamma(x-y)-\Gamma(x^*-y)=\Gamma(x-y)-\Gamma(x-y^*)$$
が半空間 $\R^n_+$ におけるGreen関数になっている。ここで $x^*\colon=(x',-x_n)$ は平面 $\partial\R^n_+$ について $x=(x',x_n)\in \R^{n-1}\times\R$ と対称な点である。

{{theorem|type=pro|label=rnpGreen}}
$u\in C^2(\R^n_+)\cap C(\overline{\R^n_+})$ は $u=0$ on $\partial\R^n_+$、$-\Delta u\in L^\infty(\R^n_+)$ をみたし、$\supp u$ は有界であるとする。このとき
$$u(x)=\int_{\R^n_+}G(x,y)(-\Delta u(y))dy\ \for\ x\in\R^n_+.$$
ここで $G(x,y)\colon=\Gamma(x-y)-\Gamma(x^*-y)$、$x^*\colon=(x',-x_n)$。

{{begin|proof}}
$u\in C^2(\overline{\R^n_+})$ の場合は一般論から従う。

$u\in C^2(\R^n_+)\cap C(\overline{\R^n_+})$ の場合を示す。$R\gt 0$ を $\supp u\subset\overline{D},D=(-R,R)^{n-1}\times(0,R)$ となるようにとる。
$$|u(x)|\le \frac{1}{2}R|\Delta u|_0x_n\for x\in D$$
を示す。$v\in C^2(\overline{D})$ を
$$v(x)\colon=\frac{1}{2}|\Delta u|_0x_n(R-x_n)$$
により定める。このとき $v\ge 0=u$ on $\partial D$、$\Delta v=-|\Delta u|_0\le\Delta u$ in $D$。比較原理より
$$u\le v\ \inn D.$$
同様に $u\ge -v$ in $D$ も成り立ち、
$$|u|\le v\le\frac{1}{2}R|\Delta u|_0x_n.$$
$\xi\in C^\infty([0,\infty))$ を $0\le\xi\le 1$ on $[0,\infty)$、$\xi(t)=0$ for $t\in[0,1]$、$\xi(t)=1$ for $t\in[2,\infty)$ となるようにとり、$\varepsilon\gt 0$ について $u_\varepsilon(x)\colon=\xi(\varepsilon^{-1}x_n)u(x)$ とする。$u_\varepsilon$ は $u_\varepsilon\in C^2_c(\R^n_+)$、$u_\varepsilon(x)=u(x)$ if $x_n\gt 2\varepsilon$ をみたす。

$y=(y',y_n)\in\R^{n-1}\times(0,\infty)$ について $\Delta u(y)=\xi(\varepsilon^{-1}y_n)\Delta u(y)+2\varepsilon^{-1}\xi'(\varepsilon^{-1}y_n)D_nu(y)+\varepsilon^{-2}\xi^{\prime\prime}(\varepsilon^{-1}y_n)u(y)$ であるから $x\in\R^n_+$ と $\varepsilon\in(0,\frac{x_n}{2})$ について
\begin{align*}
u(x)=u_\varepsilon(x)&=\int_{\R^n_+}G(x,y)(\xi(\varepsilon^{-1}y_n)\Delta u(y)+2\varepsilon^{-1}\xi'(\varepsilon^{-1}y_n)D_nu(y)+\varepsilon^{-2}\xi^{\prime\prime}(\varepsilon^{-1}y_n)u(y))dy\\
&=\int_{\R^n_+}\left(G(x,y)(\xi(\varepsilon^{-1}y_n)\Delta u(y)-\varepsilon^{-2}\xi^{\prime\prime}(\varepsilon^{-1}y_n)u(y))-2\varepsilon^{-1}D_{y_n}G(x,y)\xi'(\varepsilon^{-1}y_n)u(y)\right)dy.
\end{align*}
ここで $D_\varepsilon\colon=(-R,R)^{n-1}\times(0,2\varepsilon)$ とすると $y=(y',y_n)$ について
$$|G(x,y)|=|\Gamma(x'-y',x_n-y_n)-\Gamma(x'-y',x_n+y_n)|\le y_n\int_{-1}^1|D_n\Gamma(x'-y',x_n-ty_n)|dt\le C|x_n-y_n|^{1-n}y_n,$$
$$|D_{y_n}G(x,y)|=|-D_n\Gamma(x'-y',x_n-y_n)-D_n\Gamma(x'-y',x_n+y_n)|\le C|x_n-y_n|^{1-n}$$
となることに注意すると
$$\left|\int_{\R^n_+}G(x,y)(1-\xi(\varepsilon^{-1}y_n))\Delta u(y)dy\right|\le C\int_{D_\varepsilon}|x_n-y_n|^{1-n}y_n|\Delta u(y)|dy\to 0\ (\varepsilon\to +0),$$
\begin{align*}
\left|\varepsilon^{-2}\int_{\R^n_+}G(x,y)\xi^{\prime\prime}(\varepsilon^{-1}y_n)u(y)\right|&\le|\xi^{\prime\prime}|_0\varepsilon^{-2}\int_{D_\varepsilon}|G(x,y)u(y)|dy\\
&\le C\varepsilon^{-2}\int_{D_\varepsilon}|x_n-y_n|^{1-n}y_n\cdot\frac{1}{2}R|\Delta u|_0y_ndy\\
&\le CR|\Delta u|_0\int_{D_\varepsilon}|x_n-y_n|^{1-n}dy\to 0\ (\varepsilon\to +0),
\end{align*}
\begin{align*}
\left|\varepsilon^{-1}\int_{\R^n}D_{y_n}G(x,y)\xi'(\varepsilon^{-1}y_n)u(y))dy\right|&\le C|\xi'|_0\varepsilon^{-1}\int_{D_\varepsilon}|x_n-y_n|^{1-n}\cdot\frac{1}{2}R|\Delta u|_0y_ndy\\
&\le CR|\Delta u|_0\int_{D_\varepsilon}|x_n-y_n|^{1-n}dy\to 0\ (\varepsilon\to +0).
\end{align*}
これより
$$u(x)=\int_{\R^n_+}G(x,y)\Delta u(y)dy$$
が従う。
{{end|proof}}

{{theorem|type=rmk}}
{{ref|type=lem|label=NP1}}より $u\in C^1(\overline{\R^n_+})$ となる。

また $x\in\R^n_+$、$y\in\partial\R^n_+$ について $y_n=0$、$|x-y|=|x^*-y|$ に注意すると
$$D_yG(x,y)\cdot\nu(y)=-D_{y_n}G(x,y)=D_n\Gamma(x-y)+D_n\Gamma(x^*-y)=\frac{2}{n\omega_n}|x-y|^{-n}x_n.$$

{{theorem|type=def|name=上半空間におけるPoisson核|label=rnpPker}}
$$K(x,y)\colon=\frac{2}{n\omega_n}|x-y|^{-n}x_n$$
により定まる $\R^n_+\times\partial\R^n_+$ 上の関数 $K$ を上半空間 $\R^n_+$ におけるPoisson核という。$K$ は $\Delta_x K(x,y)=0$ をみたす。

{{theorem|type=thm|name=Poisson積分公式|label=rnpPint}}
$\varphi\in C(\partial\R^n_+)\cap L^\infty(\partial\R^n_+)$ とする。
$$u(x)\colon=\int_{\partial\R^n_+}K(x,y)\varphi(y)d\H^{n-1}(y)\ (x\in\R^n_+)$$
とおくと $u$ は次をみたす:
*(1) $$u\in C^\infty(\R^n_+)\cap L^\infty(\R^n_+),\Delta u=0\ \inn\ \R^n_+.$$
*(2) $\xi\in\partial\R^n_+$ について
$$\lim_{\substack{x\in\R^n_+,\\ x\to\xi}}u(x)=\varphi(\xi).$$

{{begin|proof}}
$$\int_{\R^n_+}K(x,y)d\H^{n-1}(y)=1$$
を示す。$x=(0,x_n)$ としてよい。
\begin{align*}
\int_{\R^n_+}K(x,y)d\H^{n-1}(y)&=\frac{2}{n\omega_n}\int_{\R^{n-1}}x_n(x_n^2+|z|^2)^{-\frac{n}{2}}dz\\
&=\frac{2}{n\omega_n}\int_{\R^{n-1}}(1^2+|w|^2)^{-\frac{n}{2}}dw\\
&=\frac{2(n-1)\omega_{n-1}}{n\omega_n}\int_0^\infty r^{n-2}(1+r^2)^{-\frac{n}{2}}dr.
\end{align*}
ここで
$$\frac{(n-1)\omega_{n-1}}{n\omega_n}=\frac{\Gamma\left(\frac{n}{2}\right)}{\Gamma\left(\frac{n-1}{2}\right)\sqrt{\pi}}=\frac{1}{B\left(\frac{n-1}{2},\frac{1}{2}\right)}.$$
ここで、$\Gamma$ は通常のgamma関数であり、$B$ はbeta関数である。
一方 $t=\frac{r^2}{1+r^2}$ と変数変換すると
$$2\int_0^\infty r^{n-2}(1+r^2)^{-\frac{n}{2}}dr=\int_0^1 t^\frac{n-3}{2}(1-t)^\frac{3}{2}\cdot(1-t)^{-2}dt=B\left(\frac{n-1}{2},\frac{1}{2}\right).$$
これより $\int_{\R^n_+}K(x,y)d\H^{n-1}(y)=1$ が従う。とくに
$$|u(x)|\le\int_{\R^n_+}K(x,y)|\varphi|_0d\H^{n-1}(y)\le|\varphi|_0$$
となり $u\in L^\infty(\R^n_+)$。

帰納法により任意の多重指数 $\alpha\gt 0$ について $D_x^\alpha K(x,y)$ は $|\alpha|$ 次以下の多項式 $P_\alpha$ と $|\alpha|-1$ 次以下の多項式 $Q_\alpha$ を用いて
$$D_x^\alpha K(x,y)=|x-y|^{-n-2|\alpha|}x_nP(x-y)+|x-y|^{-n-2|\alpha|+2}Q(x-y)$$
と表される。$|x'-y'|+x_n\le \sqrt{2}|x-y|$ に注意すると
$$|D_x^\alpha K(x,y)|\le C(|x-y|^{-n-|\alpha|}x_n+|x-y|^{-n-\alpha+1})\le C(x_n+|x'-y'|)^{-n-\alpha+1}.$$
これより
$$u\in C^\infty(\R^n_+),D^\alpha u(x)=\int_{\R^n_+} D_x^\alpha K(x,y)\varphi(y)d\H^{n-1}(y).$$
また $\Delta_x K(x,y)=0$ より
$$\Delta u=0\ \inn\ R^n_+.$$
(2)を示す。$\xi=(\xi',0)\in\partial\R^n_+$ とする。$\varepsilon\gt 0$ とし、$x=(x',x_n)\in\R^n_+$ は $|x'-\xi'|\lt\varepsilon$ をみたすとする。
$$\left|\int_{\partial\R^n_+\cap B_{2\varepsilon}(\xi)}K(x,y)(\varphi(y)-\varphi(\xi))d\H^{n-1}(y)\right|\le\sup_{\partial\R^n_+}|\varphi-\varphi(\xi)|\int_{\partial\R^n_+\cap B_{2\varepsilon}(\xi)}K(x,y)d\H^{n-1}(y)=\sup_{\partial\R^n_+\cap B_{2\varepsilon}(\xi)}|\varphi-\varphi(\xi)|.$$
一方 $z\in\R^{n-1}$ について $|z-\xi|\gt 2\varepsilon\implies|z-x'|\lt\varepsilon$ となることに注意すると
$$\left|\int_{\partial\R^n_+\backslash B_{2\varepsilon}(\xi)}K(x,y)(\varphi(y)-\varphi(\xi))d\H^{n-1}(y)\right|\le 2\sup_{\partial B}|\varphi|\int_{\{z\in\R^{n-1}\colon|z-x'|\gt\varepsilon\}}\frac{2}{n\omega_n}x_n|z-y'|^{-n}dz\le C\varepsilon^{-1}\sup_{\partial\R^n_+}|\varphi|x_n.$$
これより
$$|u(x)-\varphi(\xi)|=\left|\int_{\partial\R^n_+}K(x,y)(\varphi(y)-\varphi(\xi))d\H^{n-1}(y)\right|\le\sup_{\partial\R^n_+\cap B_{2\varepsilon}(\xi)}|\varphi-\varphi(\xi)|+C\varepsilon^{-1}\sup_{\partial\R^n_+}|\varphi|x_n$$
となり
$$\limsup_{\substack{x\in\R^n_+,\\ x\to\xi}}|u(x)-\varphi(\xi)|\le\sup_{\partial\R^n_+\cap B_{2\varepsilon}(\xi)}|\varphi-\varphi(\xi)|.$$
$\varepsilon\to +0$ として(2)を得る。
{{end|proof}}

====球の場合====

$\Omega=B$ が球の場合も $B$ におけるGreen関数を具体的に与えることができる。

$B=B_R(0)$ とする。$x\in B\backslash\{0\}$ について $\overline{x}\colon=\frac{R^2}{|x|^2}x\in\R^n\backslash\overline{B}$ を球面 $\partial B$ について $x$ を反転した点とする。$a\gt 0$ を定数として $h_x(y)\colon=\Gamma(a|x-y|)$ とすると $\Delta h_x=0$ が成り立つ。また $|\overline{x}|^2=\frac{R^4}{|x|^2}$ に注意すると $y\in\partial B$ について
$$|\overline{x}-y|^2=\frac{R^4}{|x|^2}-2\frac{R^2}{|x|^2}x\cdot y+R^2=\frac{R^2}{|x|^2}(|x|^2-2x\cdot y+R^2)=\frac{R^2}{|x|^2}|x-y|^2.$$
よって $a=\frac{|x|}{R}$ とすれば $h_x(y)=\Gamma(x-y)$ for $y\in\partial B$ が成り立つ。

一方 $h_0\colon=\Gamma(R)$ とすれば明らかに $\Delta h_0=0$ for $y\in B$、$h_0(y)=\Gamma(-y)$ for $\partial B$ が成り立つ。

従って
$$G(x,y)\colon=\begin{cases}
\Gamma(x-y)-\Gamma\left(\frac{|x|}{R}(\overline{x}-y)\right)&\jf x\in B\backslash\{0\}\\
\Gamma(y)-\Gamma(R)&\jf x=0
\end{cases}$$
によって $B$ におけるGreen関数が与えられる。

また $x\in B\backslash\{0\}$、$y\in\partial B$ について
\begin{align*}
D_yG(x,y)\cdot\nu(y)&=-\frac{1}{n\omega_n}\left(\left(\frac{|x|}{R}\right)^{2-n}|\overline{x}-y|^{-n}(\overline{x}-y)-|x-y|^{-n}(x-y)\right)\cdot\frac{y}{R}\\
&=\frac{1}{n\omega_n}|x-y|^{-n}\left(\frac{|x|^2}{R^2}(\overline{x}-y)-(x-y)\right)\cdot\frac{y}{R}\\
&=\frac{1}{n\omega_n}|x-y|^{-n}\left(1-\frac{|x|^2}{R^2}\right)y\cdot\frac{y}{R}\\
&=\frac{1}{n\omega_nR}|x-y|^{-n}(R^2-|x|^2).
\end{align*}
これは $x=0$ の場合も明らかに成り立つ。

{{theorem|type=def|name=球におけるPoisson核|label=bPker}}
$$K(x,y)\colon=\frac{1}{n\omega_nR}|x-y|^{-n}(R^2-|x|^2)$$
により定まる $B_R(0)\times\partial B_R(0)$ 上の関数 $K$ を球 $B_R(0)$ におけるPoisson核という。

$K$ は $\Delta_x K(x,y)=0$ をみたし、$u\in C^2(\overline{B})$ を調和関数とするとPoisson積分公式
$$u(x)=\int_{\partial B}K(x,y)u(y)d\H^{n-1}(y)\ (x\in B)$$
が成り立つ。$u\in C^2(B)\cap C(\overline{B})$ の場合も $\varepsilon\gt 0$ について $u_\varepsilon(x)\colon=u((1-\varepsilon)x)$ として $u_\varepsilon$ に対して公式を適用して $\varepsilon\to +0$ とすることで同様の公式が成り立つ。

{{theorem|type=rmk}}
Poisson積分公式により、Harnackの不等式をより精密にすることができる:非負値の調和関数 $u\in C^2(B)\cap C(\overline{B})$ と $x\in B$ について
$$u(x)\le\frac{1}{n\omega_nR}\int_{B}(R-|x|)^{-n}(R^2-|x|^2)u(y)dy=\frac{R^{n-2}(R+|x|)}{(R-|x|)^{n-1}}u(0)$$
かつ
$$u(x)\ge\frac{1}{n\omega_nR}\int_{B}(R+|x|)^{-n}(R^2-|x|^2)u(y)dy=\frac{R^{n-2}(R-|x|)}{(R+|x|)^{n-1}}u(0)$$
が成り立つ。とくに $r\in[0,R)$ について
$$\sup_{B_r(0)}u\le\left(\frac{R+r}{R-r}\right)^n\inf_{B_r(0)}u.$$

{{theorem|type=cor|name=Liouvilleの定理|label=Liou}}
$u\in C^2(\R^n)$ を上または下に有界な調和関数とすると $u$ は定数関数。

{{begin|proof}}
$u\ge 0$ の場合を示せば十分。任意の $R\gt r\gt 0$ について精密化したHarnackの不等式より $\displaystyle \sup_{B_r(0)}u\le\left(\frac{R+r}{R-r}\right)^n\inf_{B_r(0)}u$。$R\to +\infty$ とすれば $\displaystyle \sup_{B_r(0)}u\le\inf_{B_r(0)}u$ を得る。これより $u$ は $B_r(0)$ 上で定数であり、$r\gt 0$ は任意であったから $u$ は定数関数である。
{{end|proof}}

逆に与えられた $\varphi\in C(\partial B)$ についてPoisson積分公式によって $u=\varphi$ in $\partial B$ をみたす調和関数 $u\in C^2(B)\cap C(\overline{B})$ を構成できる。

{{theorem|type=thm|name=Poisson積分公式|label=bPint}}
$B=B_R(0)$ とし、$\varphi\in C(\partial B)$ とする。
$$u(x)\colon=\int_{\partial B}K(x,y)\varphi(y)d\H^{n-1}(y)\ (x\in B)$$
とおくと $u$ は次をみたす:
*(1) $$u\in C^\infty(B),\Delta u=0\ \inn\ B.$$
*(2) $\xi\in\partial B$ について
$$\lim_{\substack{x\in B,\\ x\to\xi}}u(x)=\varphi(\xi).$$

{{begin|proof}}
$u\in C^\infty(B)$ は明らか。また $\Delta_x K(x,y)=0$ より
$$\Delta u(x)=\int_{\partial B}\Delta_xK(x,y)\varphi(y)dy=0.$$
(2)を示す。$v\equiv 1$ in $B$ とすると明らかに $v\in C^2(\overline{B})$、$\Delta v=0$ in $B$ となるので
$$\int_{\partial B}K(x,y)d\H^{n-1}(y)=1\ (x\in B).$$
$\xi\in\partial B$ とする。$\varepsilon\gt 0$ とし、$x\in B$ は $|x-\xi|\lt\varepsilon$ をみたすとする。
$$\left|\int_{\partial B\cap B_{2\varepsilon}(\xi)}K(x,y)(\varphi(y)-\varphi(\xi))d\H^{n-1}(y)\right|\le\sup_{\partial B\cap B_{2\varepsilon}(\xi)}|\varphi-\varphi_\xi|\int_{\partial B}K(x,y)dy=\sup_{\partial B\cap B_{2\varepsilon}(\xi)}|\varphi-\varphi_\xi|.$$
また $|y-\xi|\gt 2\varepsilon\implies|x-y|\gt\varepsilon$ となることに注意すると
$$\left|\int_{\partial B\backslash B_{2\varepsilon}(\xi)}K(x,y)(\varphi(y)-\varphi(\xi))d\H^{n-1}(y)\right|\le 2\sup_{\partial B}|\varphi|\int_{\partial B}\varepsilon^{-n}(R^2-|x|^2)d\H^{n-1}(y)\le C\varepsilon^{-n}\sup_{\partial B}|\varphi|(R^2-|x|^2).$$
これより
$$|u(x)-\varphi(\xi)|=\left|\int_{\partial B}K(x,y)(\varphi(y)-\varphi(\xi))d\H^{n-1}(y)\right|\le\sup_{\partial B\cap B_{2\varepsilon}(\xi)}|\varphi-\varphi_\xi|+C\varepsilon^{-n}\sup_{\partial B}|\varphi|(R^2-|x|^2)$$
となり、$|x|\to R\ (x\in B,x\to\xi)$ より
$$\limsup_{\substack{x\in B,\\x\to\xi}}|u(x)-\varphi(\xi)|\le\sup_{\partial B\cap B_{2\varepsilon}(\xi)}|\varphi-\varphi_\xi|.$$
$\varepsilon\to +0$ として(2)を得る。
{{end|proof}}

{{theorem|type=thm|name=球におけるPoisson方程式のDirichlet問題の可解性|label=bPSolv}}
$B\subset\R^n$ を開球とし、$f\in C^{0,\alpha}(B)\cap L^\infty(B)$、$\alpha\in(0,1)$、$\varphi\in C(\partial B)$ とするとDirichlet問題
$$\left\{\begin{align*}
\Delta u&=f& &\inn\ B\\
u&=\varphi& &\on\ \partial B
\end{align*}\right.$$
の解 $u\in C^2(B)\cap C(\partial B)$ が一意的に存在する。

{{begin|proof}}
$B=B_R(0)$ としてよい。{{ref|type=thm|label=NP2}}より $\Gamma*f\in C^2(B)\cap C^1(\overline{B})$、$\Delta(\Gamma*f)=f$ in $B$。また $K(x,y)$ を $B$ におけるPoisson核として
$$v(x)\colon=\int_{\partial B}K(x,y)(\varphi(y)-\Gamma*f(y))d\H^{n-1}(y)$$
とすると{{ref|type=thm|label=bPint}}より $v\in C^2(B)\cap C(\overline{B})$、$\Delta v=0$ in $B$、$v=\varphi-\Gamma*f$ on $\partial B$。従って
$$u(x)=\Gamma*f(x)+\int_{\partial B}K(x,y)(\varphi(y)-\Gamma*f(y))d\H^{n-1}(y)$$
とすれば $u\in C^2(B)\cap C(\overline{B})$ は $\Delta u=f$ in $B$、$u=\varphi$ on $\partial B$ をみたす。
{{end|proof}}

球におけるDirichlet問題の可解性から、さらなる調和関数の性質を得られる。

{{theorem|type=pro|name=Schwarzの折り返し原理|label=reflect}}
$\Omega\subset\R^n_+$ とし、$T\subset\pOm$ は相対開集合で $T\subset\partial\R^n_+$ をみたすとする。$u\in C^2(\Omega)\cap C(\Omega\cup T)$ は調和関数で $u=0$ on $T$ をみたすとする。$\Omega^*\colon=\{x^*=(x_1,\ldots,x_{n-1},-x_n)\colon x=(x_1,\ldots,x_n)\in\Omega\}$ として $D\colon=\Omega\cup T\cup\Omega^*$ とする。$v\in C(D)$ を
$$v(x)\colon=\begin{cases}
u(x)&\jf x\in\Omega\cup T\\
-u(x^*)&\jf x\in\Omega^*
\end{cases}$$
と定めると $v$ は $D$ 上の調和関数である。

{{begin|proof}}
$v$ が各 $\xi\in T$ の近傍で調和関数になっていることを示せばよい。

$B=B(\xi)\rcpt D$ とする。$w\in C^2(B)\cap C(\overline{B})$ を
$$\left\{\begin{align*}
\Delta w&=0& &\inn B\\
w&=v& &\on \partial B
\end{align*}\right.$$
の解とする。$v(x^*)=-v(x)$ に注意すると $w^*(x)\colon=-w(x^*)$ とおくと $w^*$ も同じDirichlet問題の解になるので、{{ref|type=cor|label=Poiuniq}}より $w^*=-w$。とくに $x\in T$ について $w(x)=-w(x^*)=-w(x)$ となり $w=0$ on $T$。また $v=u$ on $\Omega\cup T$ より $w=u$ on $\partial \partial B\cap\Ombar$。これより $w=u$ on $\partial(B\cap\Omega)$ となり{{ref|type=cor|label=Poiuniq}}より $w=u$ in $B\cap\Omega$。また $x\in B\cap\Omega^*$ については $w(x)=-w(x^*)=-u(x^*)=v(x)$ となる。従って $w=v$ in $B$ であり、$v$ は $B$ 上の調和関数である。
{{end|proof}}

{{theorem|type=pro|name=調和関数の特異点の除去|label=harmremsing}}
$x_0\in\Omega$ とする。$u\in C^2(\Omega\backslash\{x_0\})$ は調和関数で
$$|u(x)|=\begin{cases}
o(|x-x_0|^{2-n})&\jf n\ge 3\\
o(|\log|x-x_0||)&\jf n=2
\end{cases}$$
をみたすとする。このとき $u(x_0)$ の値を $u$ が $\Omega$ 上の調和関数となるように定めることができる。

{{begin|proof}}
$B=B_R(x_0)\rcpt\Omega$ とする。$v\in C^2(B)\cap C(\overline{B})$ を
$$\left\{\begin{align*}
\Delta v&=0& &\inn B\\
v&=u& &\on\partial B
\end{align*}\right.$$
の解とする。$v=u$ in $B\backslash\{x_0\}$ を示せばよい。

$\varepsilon\gt 0$ について
$$w_\varepsilon(x)\colon=\begin{cases}
u(x)-v(x)-\varepsilon(|x-x_0|^{2-n}-R^{2-n})&\jf n\ge 3\\
u(x)-v(x)-\varepsilon(\log R-\log|x-x_0|)&\jf n=2
\end{cases}$$
とおく。$w$ は $\Delta w=0$ in $B\backslash\{x_0\}$、$w=0$ on $\partial B$ をみたす。

$v$ は $B$ 上で有界であることに注意すると、$r\in(0,R)$ を十分小さくとると $w_\varepsilon\lt 0$ on $\partial B_r(x_0)$ となり、$w_\varepsilon=0$ on $\partial B$ とあわせて $w\le 0$ on $\partial(B\backslash \overline{B}_r(x_0))$ となる。最大値原理より
$$w_\varepsilon\lt 0\ \inn B\backslash \overline{B}_r(x_0).$$
これより $w_\varepsilon\lt 0$ in $B\backslash\{x_0\}$。$\varepsilon\to +0$ とすれば $u-v\le 0$ in $B\backslash\{x_0\}$ を得る。

$u\ge v$ in $B\backslash\{x_0\}$ も同様に示すことができる。
{{end|proof}}

===調和関数の微分の評価===

{{theorem|type=thm|name=調和関数の微分の内部評価|label=harmintest}}
$\Omega\neq\R^n$ とする。$u\in C^2(\Omega)\cap L^\infty(\Omega)$ を調和関数とする。多重指数 $\alpha$ について $m\colon=|\alpha|$ とすると
$$|D^\alpha u|_{0;\Omega}^{(m)}\le n^me^{m-1}m!|u|_{0;\Omega}.$$
ここで $|\cdot|_{0;\Omega}^{(m)}$ は内部ノルム([[Hölder空間の基本事項]]の定義43)である。とくに任意の $\Omega'\rcpt\Omega$ について
$$[u]_{m;\Omega'}\le C_{n,m}\dist(\Omega',\pOm)^{-m}|u|_{0;\Omega}.$$

{{begin|proof}}
$\Omega=B=B_R(0)$、$u\in C^2(\overline{B})$ として $|D^\alpha u(0)|\le n^me^{m-1}m!R^{-m}|u|_{0;B}$ を示せば十分。

$m$ に関する帰納法により示す。$m=1$ の場合は $i\in\{1,\ldots,n\}$ について $\Delta(D_iu)=D_i(\Delta u)=0$ に注意すると
$$|D_iu(0)|=\frac{1}{\omega_nR^n}\left|\int_B D_iu\right|=\frac{1}{\omega_nR^n}\left|\int_{\partial B} u(x)\frac{x_i}{R}d\H^{n-1}\right|\le nR^{-1}\sup_{\partial B}|u|$$
となることから従う。

ある $m\ge 1$ について $|\alpha|=m$ なる多重指数 $\alpha$ に対し主張が成り立ったとし、$|\alpha|=m$、$i\in\{1,\ldots,n\}$ とする。$t\in(0,1)$、$r=tR$ とすると仮定より
$$|D_iD^\alpha u(0)|\le n^me^{m-1}m!r^{-m}|D_iu|_{0;B_r(0)}.$$
また $x\in B_r(0)$ として $m=1$ の場合を $B$ を $B_{R-r}(x)$ にとりかえて用いると
$$|D_iu(x)|\le n(R-r)^{-1}|u|_{0;B_{R-r}(x)}$$
となるので
$$|D_iu|_{0;B_r(0)}\le n(R-r)^{-1}|u|_{0;B}.$$
従って
$$|D_iD^\alpha u(0)|\le n^{m+1}e^{m-1}m!(1-t)^{-1}t^{-m}R^{-m}|u|_{0;B}.$$
ここで $t$ を $(1-t)t^m$ が最大となるように選ぶ。すなわち $t=\frac{m}{m+1}$ でこのとき
$$(1-t)^{-1}t^{-m}=\frac{(m+1)^{m+1}}{m^m}=(m+1)(1+m^{-1})^m\lt (m+1)e.$$
これより
$$|D_iD^\alpha u(0)|\le n^{m+1}e^m(m+1)!R^{-(m+1)}|u|_{0;B}$$
を得る。
{{end|proof}}

{{theorem|type=cor|name=調和関数の内部 $C^{k,\alpha}$ 評価|label=harmcka}}
$\Omega\neq\R^n$ とする。$u\in C^2(\Omega)$ を調和関数とする。$k\in\Zp$、$\alpha\in[0,1]$、$\sigma\in\R$ とすると
$$|u|_{k,\alpha;\Omega}^{(\sigma)}\le C_{n,k,\alpha}|u|_{0;\Omega}^{(\sigma)}.$$

{{begin|proof}}
$d_x\colon=\dist(x,\pOm)$ とする。{{ref|type=thm|label=harmintest}}と[[Hölder空間の基本事項]]の定理46、59より
$$|u|_{k,\alpha;\Omega}^{(\sigma)}\le C\sup_{x\in\Omega}d_x^\sigma|u|_{k,\alpha;B_{\frac{1}{2}d_x}(x)}'\le C\sup_{x\in\Omega}d_x^\sigma|u|_{0;B_{d_x}(x)}'\le C|u|_{0;\Omega}^{(\sigma)}.$$
{{end|proof}}

{{theorem|type=cor|name=調和関数の解析性|label=harmanal}}
$u\in C^2(\Omega)$ を調和関数とすると $u$ は各点で解析的である。

{{begin|proof}}
$\Omega=B=B_R(0)$、$u\in C^2(\overline{B})$ として $u$ が $0$ において解析的であることを示せば十分。

{{ref|type=thm|label=harmintest}}と同様に $z\in\partial B_1(0)$ と $m\in\Zp$ と $s\in[0,R)$ について
$$|D_z^m u(sz)|\le n^me^{m-1}m!(R-s)^{-m}|u|_{0;B}.$$
$z\in\partial B_1(0)$ と $t\in(0,R)$ について
$$u(tz)-\sum_{|\alpha|\le m}\frac{1}{\alpha!}D^\alpha u(0)(tz)^\alpha=\frac{1}{(m-1)!}\int_0^t(t-s)^{m-1}D_z^mu(x+sz)ds$$
であるから
$$\left|u(tz)-\sum_{|\alpha|\le m}\frac{1}{\alpha!}D^\alpha u(0)(tz)^\alpha\right|\le\frac{1}{m!}t^m\sup_{s\in[0,t]}|D_z^mu(x+sz)|\le n^me^{m-1}(R-t)^{-m}t^m|u|_{0;B}.$$
とくに $t\lt\frac{R}{ne+1}$ とすれば $ne(R-t)^{-1}t\lt 1$ となり
$$\left|u(tz)-\sum_{|\alpha|\le m}\frac{1}{\alpha!}D^\alpha u(0)(tz)^\alpha\right|\to 0\ (m\to\infty)$$
となる。従って $u$ は $0$ において解析的である。
{{end|proof}}

{{theorem|type=cor|label=harmcpt}}
$\{u_m\}_{m=1}^\infty\subset C^2(\Omega)\cap L^\infty(\Omega)$ は調和関数の列で $\displaystyle \sup_m |u_m|_{0;\Omega}\lt\infty$ をみたすとする。このとき部分列 $\{u_{m_k}\}_{k=1}^\infty$ であってある調和関数 $u\in C^2(\Omega)$ に広義一様収束するものが存在する。

{{begin|proof}}
任意の球 $B\rcpt\Omega$ について $\displaystyle \sup_m[u_m]_{1;B}\le C_B\sup_m|u_m|_{0;\Omega}$ であるから[[Hölder空間の基本事項]]の定理62より $\{u_m\}_m$ は $B$ 上で一様収束する部分列をもつ。

$\{B_j\}_{j=1}^\infty$ を $B_j\rcpt\Omega$ なる球からなる $\Omega$ の開被覆とすると、対角線論法により $\{u_m\}_m$ は各 $B_j$ 上で一様収束する部分列 $\{u_{m_k}\}_k$ をもち、$\{u_{m_k}\}_k$ はある $u\in C(\Omega)$ に広義一様収束している。{{ref|type=cor|label=harmconv}}より $u$ は調和関数である。
{{end|proof}}

===Dirichlet境界値問題の可解性===
ここではDirichlet問題
$$\left\{\begin{align*}
\Delta u&=0& &\inn\Omega\\
u&=\varphi& &\on\partial\Omega
\end{align*}\right.\tag{$D_{\Delta}$}\label{DL}$$
の解をPerron法と呼ばれる方法で構成する。ここで $\varphi\in C(\pOm)$ である。Perron法とは方程式の解を「最大の劣解」として構成する方法であり、2階楕円型方程式の解の構成に広く使える初等的な解の構成である。(比較原理より(\ref{DL})の解 $u$ が存在すれば $v\le\varphi$ on $\pOm$ をみたす任意の劣調和関数 $v$ について $v\le u$ in $\Omega$ となることに注意せよ。)

{{theorem|type=rmk}}
(\ref{DL})が任意の $\varphi\in C(\pOm)$ に対して解 $u$ をもてば、Poisson方程式のDirichlet問題
$$\left\{\begin{align*}
\Delta u&=f& &\inn\Omega\\
u&=\varphi& &\on\partial\Omega
\end{align*}\right.$$
も任意の $f\in C^{0,\alpha}(\Omega)\cap L^\infty(\Omega)$、$\alpha\in(0,1)$ と $\varphi\in C(\pOm)$ に対して解 $u$ をもつ。実際、{{ref|type=thm|label=NP2}}より $v$ を
$$\left\{\begin{align*}
\Delta v&=0& &\inn\Omega\\
v&=\varphi-\Gamma*f& &\on\partial\Omega
\end{align*}\right.$$
の解として $u=\Gamma*f+v$ とすればよい。

この節では $\Omega$ は有界かつ連結であるとする。準備として、劣(優)調和関数の定義を連続関数について定義できるように拡張する。

{{theorem|type=lem|label=extsubh}}
$u\in C^2(\Omega)$ について次は同値:
*(i) $u$ は劣(優)調和関数である。
*(ii) 任意の開球 $B\rcpt\Omega$ と $h\ge(\le)u$ on $\partial B$ をみたす $B$ 上の調和関数 $h$ について $u\le(\ge) h$ in $B$。

{{begin|proof}}
(i) $\implies$ (ii)は比較原理から直ちに従う。

$u$ が劣調和関数でなかったとする。$x_0\in\Omega$ であって $\Delta u(x_0)\lt 0$ となるものが存在する。

$B=B(x_0)\rcpt\Omega$ を十分小さくとると $\Delta u\lt 0$ in $B$ となる。$h$ を $h=u$ on $\partial B$ なる $B$ 上の調和関数とすると比較原理より $u\gt h$ in $B$ となる。これより $u$ は(ii)をみたさない。
{{end|proof}}

{{theorem|type=def|name=劣(優)調和関数の定義の拡張|label=defextsubh}}
$u\in C(\Omega)$ が任意の開球 $B\rcpt\Omega$ と $h\ge(\le)u$ on $\partial B$ をみたす $B$ 上の調和関数 $h$ について $u\le(\ge) h$ in $B$ をみたすとき $u$ は劣(優)調和関数であるという。

{{theorem|type=lem|label=propsubh}}
*(i) (強最大値原理、比較原理) $u\in C(\Omega)$ が劣調和関数、$v\in C(\Omega)$ が優調和関数であるとする。このとき $u-v$ は定数であるか、あるいは $\Omega$ において最大値をとらない。とくに $(u-v)^*\le 0$ on $\pOm$ とすると $u\le v$ in $\Omega$。
*(ii) (調和持ち上げ) $\Omega'\subset\Omega$ を開集合とする。$u\in C(\Omega\backslash\Omega')$ が劣調和関数であるとき、$B\rcpt\Omega$ として $h\in C^2(\Omega')\cap C(\overline{\Omega'})$ を $h=u$ on $\pOm'\cap\Omega$ をみたす調和関数とすると
$$U\colon=\begin{cases}
h& \on \Omega\backslash\Omega'\\
u& \inn\Omega'
\end{cases}$$
により定まる $U\in C(\Omega)$ も劣調和関数である。$U$ を $u$ の $\Omega'$ 上での調和持ち上げという。
*(iii) $u_1,\ldots,u_m\in C(\Omega)$ が劣調和関数であるとき $u\colon=\max\{u_1,\ldots,u_m\}$ も劣調和関数である。

{{begin|proof}}
(i)を示す。$u-v$ がある $x_0\in\Omega$ で最大値 $M$ をとるとする。

任意の $B_R=B_R(x_0)\rcpt\Omega$ について $u-v=M$ in $B_R$ となることを示す。$r\in(0,R)$ とし、$h,k$ をそれぞれ $h=u,k=v$ on $\partial B_r$ をみたす調和関数とする。$u\le v+M$ より $h\le k+M$ on $\partial B_r$ で、$k(x_0)+M\le v(x_0)+M=u(x_0)\le h(x_0)$ となるので強最大値原理より $h=k+M$ in $B_r$。よって $u=v+M$ on $\partial B_r$ となり、$r\in(0,R)$ は任意であるから $u+v=M$ in $B_R$。

従って $\Omega_M\colon=\{x\in\Omega\colon u(x)-v(x)=M\}$ は開集合である。一方 $\Omega_M$ は明らかに $\Omega$ の相対位相について閉集合であり、また $x_0\in\Omega_M\neq\emptyset$。これより $\Omega_M=\Omega$ となり $u-v\equiv M$ in $\Omega$。

(ii)を示す。$B\rcpt\Omega$ を開球とし、$h,H$ をそれぞれ $h=u,H=U$ on $\partial B$ をみたす調和関数とする。$U\ge u$ in $\Omega$ より $H\ge h$ on $\partial B$ であるから $H\ge h\ge u$ in $B$。またこれより $H\ge U$ on $\partial \Omega'\cap B$ であり、$H=U$ on $\partial B\cap\Omega'$ とあわせて $H\ge U$ on $\partial(\Omega'\cap B)$ となるので $H\ge U$ in $\Omega'\cap B$。従って $U\le H$ in $B$ が成り立つ。

(iii)を示す。$B\rcpt\Omega$ を開球とし、$h_1,\ldots,h_m,h$ をそれぞれ $h_1=u_1,\ldots,h_m=u_m,h=u$ on $\partial B$ をみたす調和関数とする。$i=1,\ldots,m$ について、$u\ge u_i$ in $\Omega$ より $h\ge h_i$ on $\partial B$ であるから $h\ge h_i\ge u_i$ in $B$。これより $h\ge\max\{u_1,\ldots,u_m\}=u$ in $B$ を得る。
{{end|proof}}

$\varphi\in C(\partial\Omega)$ とし、$S_\varphi$ を $u^*\le\varphi$ on $\pOm$ なる劣調和関数 $u\in C(\Omega)$ からなる $C(\Omega)$ の部分集合とする。

比較原理より直ちに次が成り立つ:

{{theorem|type=lem|label=harmSphi}}
$S_\varphi$ は次をみたす:
*(i) 定数関数 $\displaystyle \inf_{\pOm}\varphi$ は $S_\varphi$ の元である。とくに $S_\varphi\neq\emptyset$。
*(ii) 任意の $v\in S_\varphi$ について $\displaystyle v\le\sup_{\pOm}\varphi$ in $\Omega$。

{{theorem|type=thm|label=harmPerron}}
$$u\colon=\sup_{v\in S_\varphi}v$$
により $\Omega$ 上の関数 $u$ を定めると
$$u\in C^2(\Omega),\Delta u=0\ \inn\Omega.$$

{{begin|proof}}
$B=B(x_0)\rcpt\Omega$ を任意にとる。$\{u_m\}_{m=1}^\infty\subset S_\varphi$ を $u_m(x_0)\to u(x_0)\ (m\to\infty)$ となるようにとる。$u_m$ を $\displaystyle\max\left\{u_m,\inf_{\pOm}\varphi\right\}$ にとりかえて $\displaystyle u_m\ge\inf_\pOm\varphi$ in $\Omega$ としてよい。$U_m$ を $u_m$ の $B$ 上での調和持ち上げとする。$U_m\ge u_m$ in $\Omega$ で、$U_m$ も劣調和関数で $U_m=u_m\le\varphi$ on $\pOm$ をみたすので $U_m\in S_\varphi$ となり $U_m\le u$ in $\Omega$。とくに $u_m(x_0)\le U_m(x_0)\le u(x_0)$ であるから $U_m(x_0)\to u(x_0)\ (m\to\infty)$。

$\displaystyle \inf_\pOm\varphi\le u_m\le U_m\le\sup_{\pOm}\varphi$ であるから{{ref|type=cor|label=harmcpt}}より部分列に移って $U_m$ がある $B$ 上の調和関数 $w$ に $B$ 上で広義一様収束するとしてよい。$U_m\le u$ in $B$ より $w\le u$ in $B$。

$w=u$ in $B$ を示す。$w(y)\lt u(y)$ となる $y\in B$ が存在したとし、$\{\bar{u}_m\}_{m=1}^\infty\subset S_\varphi$ を $\bar{u}(y)\to u(y)\ (m\to\infty)$ となるようにとる。$V_m$ を $\max\{u_m,\bar{u}_m\}$ の $B$ 上での調和持ち上げとすると、$U_m$ と同様に $\bar{U}_m(x_0)\to u(x_0)$、$\bar{U}_m(y)\to u(y)\ (m\to\infty)$。再び部分列に移って $\bar{U}_m$ がある $B$ 上の調和関数 $\bar{w}$ に $B$ 上で広義一様収束するとしてよい。$U_m\le\bar{U}_m$ on $\partial B$ より $U_m\le\bar{U}_m$ in $B$ となるので $w\le\bar{w}$ in $B$。また $w(y)\lt u(y)=\bar{w}(y)$。強最大値原理より $w\lt\bar{w}$ in $B$ となるが、これは $w(x_0)=\bar{w}(x_0)=u(x_0)$ に矛盾。

従って $w=u$ in $B$ であり、$u$ は $B$ 上の調和関数である。$B$ は任意であったから、$u$ は $\Omega$ 上の調和関数となる。
{{end|proof}}

従って、この $u$ が $u=\varphi$ on $\pOm$ をみたすかを調べればよい。

{{theorem|type=def|name=バリア関数,局所バリア関数|label=harmbarrier}}
*(1) $\xi\in\pOm$ とする。
$$w_*\gt 0\ \inn\Ombar\backslash\{\xi\},\lim_{\substack{x\in\Omega,\\x\to\xi}}w(x)=0$$
をみたす優調和関数 $w\in C(\Omega)$ を $\xi$ におけるバリア関数という。

*(2) $\xi\in\pOm$ とし、$U\subset\R^n$ を $\xi$ の開近傍とする。バリア関数の定義の $\Omega$ を $U\cap\Omega$ にとりかえたものをみたす $w\in C(U\cap\Omega)$ を $\xi$ における局所バリア関数という。

{{theorem|type=def|name=正則点|label=regpt}}
$\xi\in\pOm$ におけるバリア関数が存在するとき $\xi$ は $\pOm$ の(ラプラシアンに関する)正則点であるという。

{{theorem|type=lem|label=harmregptPerron}}
$\xi\in\pOm$ を正則点とすると{{ref|type=thm|label=harmPerron}}で構成した $u$ は
$$\lim_{\substack{x\in\Omega,\\x\to\xi}}u=\varphi(\xi)$$
をみたす。

{{begin|proof}}
$w$ を $\xi$ におけるバリア関数とする。$\varepsilon\gt 0$ とし、$r\gt 0$ を $|\varphi-\varphi(\xi)|\lt\varepsilon$ on $B_r(\xi)\cap\pOm$ となるようにとる。

$w_*$ は下半連続で $\pOm\backslash B_r(\xi)$ はコンパクトであるから $\displaystyle\inf_{\pOm\backslash B_r(\xi)}w_*\gt 0$。$v_+,v_-\in C(\Omega)$ を
$$v_\pm\colon=\varphi(\xi)\pm\varepsilon\pm\left(\inf_{\pOm\backslash B_r(\xi)}w_*\right)^{-1}\sup_\pOm|\varphi-\varphi(\xi)|w$$
により定める。$v_+$ と $v_-$ はそれぞれ優調和関数、劣調和関数である。

$v_+$ と $v_-$ は
$${v_-}^*\lt\varphi(\xi)-\varepsilon\lt\varphi\lt\varphi(\xi)+\varepsilon\lt {v_+}_*\ \on B_r(\xi)\cap\pOm$$
かつ
$${v_-}^*\lt\varphi(\xi)-w_*^{-1}\cdot|\varphi-\varphi(\xi)|w_*\le\varphi(\xi)\le\varphi(\xi)+w_*^{-1}\cdot|\varphi-\varphi(\xi)|w_*\lt {v_+}_*\ \on\pOm\backslash B_r(\xi)$$
をみたす。

$v_-$ は ${v_-}^*\lt\varphi$ on $\pOm$ をみたす劣調和関数であるから $v_-\in S_\varphi$ であり $u\ge v_-$。また $v_+$ は ${v_+}_*\gt\varphi$ on $\pOm$ をみたす優調和関数であるから任意の $v\in S_\varphi$ について $v\le v_+$ であり $u\le v_+$。これより
$$|u-\varphi(\xi)|\le\varepsilon+\left(\inf_{\pOm\backslash B_r(\xi)}w\right)^{-1}\sup_\pOm|\varphi-\varphi(\xi)|w\ \inn\Omega$$
を得る。とくに
$$\limsup_{\substack{x\in\Omega,\\x\to\xi}}|u-\varphi(\xi)|\le\varepsilon.$$
$\varepsilon\to +0$ として主張を得る。
{{end|proof}}

{{theorem|type=thm|name=Laplace方程式のDirichlet問題の可解性の必要十分条件|label=LapSolvable}}
任意の $\varphi\in C(\pOm)$ についてDirichlet問題(\ref{DL})が解 $u\in C^2(\Omega)\cap C(\Ombar)$ をもつことは、$\pOm$ の任意の点が正則点であることと同値である。

{{begin|proof}}
$\pOm$ の任意の点が正則点であるとすると、{{ref|type=lem|label=harmregptPerron}}より{{ref|type=thm|label=harmPerron}}の $u$ が(\ref{DL})の解になっている。

逆に任意の $\varphi\in C(\pOm)$ についてDirichlet問題(\ref{DL})が解 $u\in C^2(\Omega)\cap C(\Ombar)$ をもつとし、$\xi\in\pOm$ とすると、$w$ を $\varphi(x)=|x-\xi|$ に対する(\ref{DL})の解とすればこの $w$ は $\xi$ におけるバリア関数になっている。
{{end|proof}}

従って、Laplace方程式のDirichlet問題はどのような点が正則点であるかという問題に帰着される。

{{theorem|type=lem|label=locbarrier}}
$\xi\in\pOm$ における局所バリア関数 $w\in C(U\cap\Omega)$ ( $U\subset\R^n$ は $\xi$ のある開近傍)が存在するとき $\xi$ は正則点である。

{{begin|proof}}
$B=B(\xi)\rcpt U$ をとると $w_*$ は下半連続より
$$m\colon=\inf_{(U\cap\Omega)\backslash B}w=\inf_{\overline{U\cap\Omega}\backslash B}w_*\gt 0.$$
このとき $\min\{w,m\}=m$ on $\partial U\cap\Omega$。

$\bar{w}\in C(\Omega)$ を
$$\bar{w}\colon=\begin{cases}
\min\{w,m\}& \on \overline{U}\cap\Omega\\
m&\inn \Omega\backslash\overline{U}
\end{cases}$$
と定める。$w$ と定数関数 $m$ は優調和関数であるから $\bar{w}$ も優調和関数である。

また $\bar{w}_*\ge\min\{w^*,m\}$ on $\overline{U}\cap\Ombar$ かつ $\bar{w}_w=m$ on $\Ombar\backslash\overline{U}$ より $\bar{w}_*\gt 0$ on $\Ombar\backslash\{0\}$。一方、$\xi$ の十分小さい近傍において $w\lt m$ より $\bar{w}=w$ となるので $\displaystyle\lim_{\substack{x\in\Omega,\\x\to\xi}}\bar{w}(x)=0$ も成り立つ。

従って $\bar{w}$ は $\xi$ におけるバリア関数になっている。
{{end|proof}}

====$n=2$ の場合====
$n=2$ の場合は複素対数関数を用いることで多くの場合にバリア関数を構成することができる。

{{theorem|type=thm|label=2dimcase}}
$n=2$ とする。$\xi\in\pOm$ とし、$\xi$ の開近傍 $U\subset\R^2$ と単連結開集合 $D\subset\R^2\backslash\{\xi\}$ で $U\cap\Omega\subset D$ となるものが存在するとき $\xi$ は正則点である。

{{begin|proof}}
$\xi=0$ としてよい。

$\R^2$ を $\C$ と同一視する。Cauchy-Riemann方程式より $\R^2=\C$ の開集合上の複素正則関数の実部と虚部は調和関数となっていることに注意する。
定数 $a\gt 0$ を十分小さくとって $a|z|\lt 1$ in $D$ となるようにし、複素多価関数 $\log az$ の $D$ における枝 $f(z)$ をとると $f(z)\neq 0$ in $D$ となるので
$$w(z)\colon=-\Re\frac{1}{f(z)}$$
は $D$ 上の調和関数である。また $w$ は
$$w(z)=-\frac{\Re f(z)}{|f(z)|^2}=-\frac{\log a|z|}{|f(z)|^2}$$
と表され、$0\lt-\log a|z|\le|f(z)|$ より
$$w\in C(\overline{D}),w\gt 0\on\overline{D}\backslash\{0\},\lim_{\substack{x\in D,\\x\to\xi}}w(0)=0$$
をみたす。$\overline{U\cap\Omega}\subset\overline{D}$ より $w$ は $0$ における局所バリア関数になっている。
{{end|proof}}

====$n\ge 3$ の場合====
$n\ge 3$ の場合はより繊細である。例えば、次の外部錐条件をみたす $\xi\in\pOm$ は正則点である。

{{theorem|type=def|name=外部錐条件|label=extcone}}
$\xi\in\pOm$ とする。錐 $C_\xi=\{x\in\R^n\colon |x-\xi|\le r,\nu\cdot(x-\xi)\ge c|x-\xi|\}\ (r\gt 0,\nu\in\partial B_1(0),c\in(0,1))$ であって $\Ombar\cap C_\xi=\{\xi\}$ をみたすものが存在するとき、$\xi$ は外部錐条件をみたすという。

相対開集合 $T\subset\pOm$ 上の各点が外部錐条件をみたすとき、$T$ は外部錐条件をみたすという。$\pOm$ が外部錐条件をみたすとき $\Omega$ は外部錐条件をみたすという。

$T$ が外部錐条件をみたし、かつ任意の $\xi\in T$ について $C_\xi$ を $C$ と合同にとれるような錐 $C$ が存在するとき $T$ は一様外部錐条件をみたすという。$\pOm$ が一様外部錐条件をみたすとき $\Omega$ は一様外部錐条件をみたすという。

{{theorem|type=thm|label=hdimcase}}
$\xi\in\pOm$ が外部錐条件をみたすとき $\xi$ は正則点である。

{{begin|proof}}
$\xi=0$ としてよい。{{ref|type=def|label=extcone}}の $C$ をとって $U\colon=B_r(0)\cap\Omega$ とすると $x\in U$ について $\nu\cdot x\lt c|x|$。

$f\in C^2([-1,c])$、$\gamma\gt 0$ とし、
$$w(x)\colon=|x|^\gamma f\left(\frac{\nu\cdot x}{|x|}\right)\ (x\in U)$$
とする。
\begin{align*}
D_i w(x)&=\gamma|x|^{\gamma-2}x_if+|x|^{\gamma-3}(\nu_i|x|^2-(\nu\cdot x)x_i)f',\\
D_{ij}w(x)&=(\gamma(\gamma-2)|x|^{\gamma-4}x_ix_j+\gamma\delta_{ij}|x|^{\gamma-2})f+((\gamma-1)|x|^{\gamma-3}(\nu_jx_i+\nu_ix_j)-(2\gamma-3)|x|^{\gamma-5}(\nu\cdot x)x_ix_j-\delta_{ij}|x|^{\gamma-3}(\nu\cdot x))f'+|x|^{\gamma-6}(\nu_i|x|^2-(\nu\cdot x)x_i)(\nu_j|x|^2-(\nu\cdot x)x_j)f^{\prime\prime}
\end{align*}
であり、$||x|^2\nu-(\nu\cdot x)x|^2=|x|^2(|x|^2-(\nu\cdot x)^2)$ より
\begin{align*}
\Delta w(x)&=\gamma(\gamma+n-2)|x|^{\gamma-2}f-(n-1)|x|^{\gamma-3}(\nu\cdot x)f'+|x|^{\gamma-4}(|x|^2-(\nu\cdot x)^2)f^{\prime\prime}\\
&=|x|^{\gamma-2}\left(\gamma(\gamma+n-2)f-(n-1)\left(\frac{\nu\cdot x}{|x|}\right)f'+\left(1-\left(\frac{\nu\cdot x}{|x|}\right)^2\right)f^{\prime\prime}\right).
\end{align*}
また $\theta_0\colon=\arccos c$ とし、$g(\theta)\colon=f(\cos\theta)\ (\theta\in[\theta_0,\pi])$ とすると
\begin{align*}
&\quad\gamma(\gamma+n-2)f(\cos\theta)-(n-1)\cos\theta f'(\cos\theta)+(1-\cos^2\theta)f^{\prime\prime}(\cos\theta)\\
&=\gamma(\gamma+n-2)f(\cos\theta)-(n-2)\cos\theta f'(\cos\theta)+(-\cos\theta f'(\cos\theta)+\sin^2\theta f^{\prime\prime}(\cos\theta))\\
&=\gamma(\gamma+n-2)g(\theta)+(n-2)\cot\theta g'(\theta)+g^{\prime\prime}(\theta).
\end{align*}
ここで、$\displaystyle\lim_{\theta\to\pi-0}\csc\theta\cot\theta=-\infty$ であるから $\displaystyle M\colon=(n-2)\sup_{\theta\in[\theta_0,\pi)}\csc\theta\cot\theta\lt\infty$。

$g\in C^\infty([\theta_0,\pi])$ を
$$g(\theta)\colon=1+\int_{\theta_0}^\theta\left(\int_\sigma^\pi e^{M\cos\sigma-M\cos\tau}d\tau\right)d\sigma$$
により定める。このとき
$$g'(\theta)=\int_\theta^\pi e^{M\cos\theta-M\cos\tau}d\tau,g^{\prime\prime}(\theta)=-M\sin\theta g'(\theta)-1,g^{\prime\prime\prime}(\theta)=(M\cos\theta+M^2\sin^2\theta)g'(\theta)-M\sin\theta.$$
$f(\cos\theta)=g(\theta)$ によって $f\in C^\infty((-1,c])\cap C([-1,c])$ を定める。

$g'(\pi)=0$ と $\csc\theta=(\pi-\theta)^{-1}+O(1)\ (\theta\to\pi-0)$ より
$$f'(\cos\theta)=-\csc\theta g'(\theta)\to g^{\prime\prime}(\pi)\ (\theta\to\pi-0).$$
また
$$f^{\prime\prime}(\cos\theta)=\csc^2\theta\cot\theta(g'(\theta)+\tan\theta g^{\prime\prime}(\theta)).$$
$g^{\prime\prime\prime}(\pi)=0$ であるから $\displaystyle g^{\prime\prime}(\theta)=g^{\prime\prime}(\pi)+\frac{1}{2}g^{\prime\prime\prime\prime}(\pi)(\pi-\theta)^2+O((\pi-\theta)^3)\ (\theta\to\pi-0)$。$\tan\theta=-(\pi-\theta)-\frac{1}{3}(\pi-\theta)^3+O((\pi-\theta)^5)\ (\theta\to\pi-0)$ とあわせて
$$\tan\theta g^{\prime\prime}(\theta)=-g^{\prime\prime}(\pi)(\pi-\theta)-\left(\frac{1}{3}g^{\prime\prime}(\pi)+\frac{1}{2}g^{\prime\prime\prime\prime}(\pi)\right)(\pi-\theta)^3+O((\pi-\theta)^4)\ (\theta\to\pi-0).$$
これより
$$g'(\theta)-\tan\theta g^{\prime\prime}(\theta)=\left(\frac{1}{2}g^{\prime\prime}(\pi)+\frac{1}{3}g^{\prime\prime\prime\prime}(\pi)\right)(\pi-\theta)^3+O((\pi-\theta)^4)\ (\theta\to\pi-0).$$
従って
$$f^{\prime\prime}(\cos\theta)\to\frac{1}{2}g^{\prime\prime}(\pi)+\frac{1}{3}g^{\prime\prime\prime\prime}(\pi)\ (\theta\to\pi-0)$$
となり $f\in C^2([-1,c])$。

また $(n-2)\cot\theta\le M\sin\theta$、$g'\ge 0$ より
$$g^{\prime\prime}+(n-2)\cot\theta g'\le g^{\prime\prime}+M\sin\theta g'=-1.$$
とくに $\gamma$ を十分小さくとって
$$\gamma(\gamma+n-2)\le|g|_{0;(\theta_0,\pi)}^{-1}$$
となるようにすればこの $g$ は $\gamma(\gamma+n-2)g(\theta)+(n-2)\cot\theta g'(\theta)+g^{\prime\prime}(\theta)\le 0$ をみたし、$\displaystyle w(x)=|x|^\gamma f\left(\frac{\nu\cdot x}{|x|}\right)$ により定まる $w$ は $\Delta w\le 0$ in $U$ をみたす。$w$ は $w\ge|x|^\gamma$、$w(0)=0$ をみたすのでこの $w$ は $0$ における局所バリア関数になっている。
{{end|proof}}

従って $\Omega$ が外部錐条件をみたすとき任意の $\varphi\in C(\pOm)$ について(\ref{DL})は解 $u\in C^2(\Omega)\cap C(\Ombar)$ をもつ。

最後に、{{ref|type=thm|label=hdimcase}}の証明で構成した局所バリア関数を用いると調和関数の大域Hölder評価の結果が得られる。

{{theorem|type=thm|name=大域Hölder評価|label=harmglhol}}
$\Omega$ が一様外部錐条件をみたすとする。次をみたす $\gamma=\gamma_\Omega\in(0,1]$ が存在する:

$\varphi\in C^{0,\alpha}(\pOm)$、$\alpha\in(0,1]$ について(\ref{DL})の解 $u\in C^2(\Omega)\cap C(\Ombar)$ は
$$u\in C^{0,\frac{\alpha\gamma}{\alpha+\gamma}}(\Ombar),|u|_{0,\frac{\alpha\gamma}{\alpha+\gamma};\Omega}\le C_{\alpha,\Omega}|\varphi|_{0,\alpha;\pOm}$$
をみたす。

{{begin|proof}}
$\varphi\not\equiv 0$ としてよい。

{{ref|type=thm|label=hdimcase}}の証明より、$r_0\gt 0$、$M\gt m\gt 0$、$\gamma\in(0,1]$ が存在し各 $\xi\in\pOm$ におけるバリア関数 $w=w_\xi\in C(\overline{B_{r_0}(\xi)\cap\Omega})$ で $m|x-\xi|\le w(x)\le M|x-\xi|$ for $x\in B_{r_0}(\xi)\cap\Omega$ をみたすものが存在する。

$r\in(0,r_0]$ とする。{{ref|type=lem|label=locbarrier}}の証明と同様に
$$\bar{w}\colon=\begin{cases}
\min\{w,mr^\gamma\}& \on \Bb_r(\xi)\cap\Omega\\
mr^\gamma&\inn \Omega\backslash\Bb_r(\xi)
\end{cases}$$
によって $\xi$ におけるバリア関数 $w\in C(\Omega)$ が定まる。

$|\varphi-\varphi(\xi)|\le[\varphi]_{0,\alpha}r^\alpha$ in $\Bb_r(\xi)\cap\Omega$ に注意すると{{ref|type=lem|label=harmregptPerron}}の証明より
$$|u(x)-\varphi(\xi)|\le [\varphi]_{0,\alpha}r^\alpha+(mr^\gamma)^{-1}\sup_{\pOm}|\varphi-\varphi(\xi)|w(x)\le [\varphi]_{0,\alpha}r^\alpha+(\diam\Omega)^\alpha[\varphi]_{0,\alpha}\frac{M}{m}\left(\frac{|x-\xi|}{r}\right)^\gamma\ \for x\in \Bb_r(\xi)\cap\Omega.$$
ここで $\displaystyle r_1\colon=\min\left\{(\diam\Omega)^{-\frac{\alpha}{\gamma}}r_0^{1+\frac{\alpha}{\gamma}},r_0\right\}$ とする。$r\in[0,r_1]$ について $(\diam\Omega)^\frac{\alpha}{\alpha+\gamma}r^\frac{\gamma}{\alpha+\gamma}\le r_0$ が成り立つ。$x\in B_{r_1}(\xi)\cap\Omega$ として $r=(\diam\Omega)^\frac{\alpha}{\alpha+\gamma}|x-\xi|^\frac{\gamma}{\alpha+\gamma}$ ととると $r\in(0,r_0]$、$x\in \Bb_r(\xi)\cap\Omega$ となり
$$|u(x)-\varphi(\xi)|\le[\varphi]_{0,\alpha}r^\alpha+(\diam\Omega)^\alpha[\varphi]_{0,\alpha}\frac{M}{m}\left(\frac{|x-\xi|}{r}\right)^\gamma\le C[\varphi]_{0,\alpha}|x-\xi|^\frac{\alpha\gamma}{\alpha+\gamma}.$$
$x,y\in\Omega$ は $\displaystyle d_x\le d_y\lt \frac{r_1}{2}$ をみたすとする。$\xi\in\pOm$ を $|x-\xi|=d_x$ をみたすようにとる。{{ref|type=thm|label=harmintest}}と $|z-\xi|\lt d_x$ for $z\in B_{\frac{d_x}{2}}(\xi)$ に注意すると
$$|u(x)-u(y)|\le\begin{cases}
[u-\varphi(\xi)]_{0,\frac{\alpha\gamma}{\alpha+\gamma};B_{\frac{d_x}{2}}(x)\cap\Omega}^{(0)}\left(\frac{d_x}{2}\right)^{-\frac{\alpha\gamma}{\alpha+\gamma}}|x-y|^\frac{\alpha\gamma}{\alpha+\gamma}\le C|u-\varphi(\xi)|_{0,\frac{\alpha\gamma}{\alpha+\gamma};B_{\frac{d_x}{2}}(x)\cap\Omega}d_x^{-\frac{\alpha\gamma}{\alpha+\gamma}}|x-y|^{-\frac{\alpha\gamma}{\alpha+\gamma}}\le C[\varphi]_{0,\alpha}|x-y|^\frac{\alpha\gamma}{\alpha+\gamma}&\jf |x-y|\lt\frac{d_x}{2}\\
|u(x)-\varphi(\xi)|+|u(y)-\varphi(\xi)|\le C[\varphi]_{0,\alpha}\left(d_x^\frac{\alpha\gamma}{\alpha+\gamma}+(d_x+|x-y|)^\frac{\alpha\gamma}{\alpha+\gamma}\right)\le C[\varphi]_{0,\alpha}|x-y|^\frac{\alpha\gamma}{\alpha+\gamma}&\jf |x-y|\ge\frac{d_x}{2}.
\end{cases}$$
従って $\Omega_1\colon=\left\{x\in\Omega\colon d_x\lt\frac{r_1}{2}\right\}$ とすると $[u]_{0,\frac{\alpha\gamma}{\alpha+\gamma};\Omega_1}\le C[\varphi]_{0,\alpha}$。

一方{{ref|type=cor|label=harmcka}}より $\Omega_2\colon=\left\{x\in\Omega\colon d_x\gt\frac{r_1}{4}\right\}$ とすると $[u]_{0,\frac{\alpha\gamma}{\alpha+\gamma};\Omega_2}\le C|u|_0$。

[[Hölder空間の基本事項]]の命題9と最大値原理より
$$|u|_{0,\frac{\alpha\gamma}{\alpha+\gamma};\Omega}\le C(|u|_0+[\varphi]_{0,\alpha})\le C|\varphi|_{0,\alpha}.$$
{{end|proof}}

==発散型の2階線型楕円型方程式==

ここでは、発散型の楕円型微分作用素をもつ楕円型方程式を取り扱う。発散型の楕円型方程式を取り扱う際は、弱解と呼ばれる古典解より広い解の定義を用いることが多い。

===弱解の定義===

$L$ は発散型の楕円型微分作用素(\ref{DF})で、係数 $a_{ij}$、$b_i$、$c_i$、$d$ は $\Omega$ 上の可測関数であるとする。また $f_i,g\in L^1_\loc(\Omega)$、$\varphi_1\in W^{1,1}_\loc(\Omega)$ とする。また $T\subset\pOm$ を $C^{0,1}$ 境界部分( $\emptyset$ または $\pOm$ でもよい) とし、$\sigma$ を $T$ 上の $\H^{n-1}$ -可測関数、$\varphi_2\in L^1_\loc(T,\H^{n-1})$ とする。

次の方程式を考える:
$$Lu=\sum_{i=1}^n D_i\left(\sum_{j=1}^n a_{ij}D_ju+b_iu\right)+\sum_{i=1}^n c_iD_iu+du=\sum_{i=1}^n D_if_i+g\ \inn\Omega.$$
境界条件としては次の混合境界条件を考える:
$$\left\{\begin{align*}
u&=\varphi_1& &\on \Omega\backslash T\\
Nu&=\sum_{i=1}^n\nu_if_i+\varphi_2& &\on T
\end{align*}\right..$$
ここで $N$ は $T$ 上の関数に作用する形式的な微分作用素
$$Nu\colon=\sum_{i,j=1}^n a_{ij}\nu_iD_ju+\sum_{i=1}^nb_i\nu_iu+\sigma u$$
である。

$T=\emptyset$ の場合は境界条件は
$$u=\varphi_1\ \on\pOm$$
のみとし、これをDirichlet条件という。

$T=\pOm$ の場合は境界条件は
$$Nu=\sum_i\nu_if_i+\varphi_2 \on\pOm$$
のみとし、これをRobin条件という。とくに $\sigma\equiv 0$ の場合をNeumann条件という。

{{theorem|type=pro|label=wsubpro}}
*(1) $u\in L^1_\loc(\Omega)$ が任意の $v\in C^1_c(\Omega)$、$v\ge 0$ について $\int_\Omega uv\ge 0$ をみたすとき $u\ge 0$ a.e. in $\Omega$。
*(2) $T\subset\pOm$ は相対開集合で任意の $T'\rcpt T$ が $\H^{n-1}(T)\lt\infty$ をみたすとする。$\varphi\in L^1_\loc(\Omega,\H^{n-1})$ が任意の $v\in C^1_c(\Omega\cup T)$、$v\ge 0$ について $\int_T \varphi vd\H^{n-1}\ge 0$ をみたすとき $\varphi\ge 0$ $\H^{n-1}$ -a.e. in $\Omega$。

{{begin|proof}}
(1) を示す。$\eta_\varepsilon$ をmollifierとすると任意の $\Omega'\rcpt\Omega$ と十分小さい $\varepsilon\gt 0$ について $\eta_\varepsilon*u\ge 0$ in $\Omega'$ となるので $u\ge 0$ in $\Omega'$。これより主張が従う。

(2) を示す。$E\rcpt T$ を $\H^{n-1}$ -可測集合とする。$\H^{n-1}$ のBorel正則性([[Hausdorff測度とarea_coarea_formula]]の定理11)と仮定より $\H^{n-1}$ は $T$ 上のRadon測度である。[[Hausdorff測度とarea_coarea_formula]]の命題8より $K_1\rcpt K_2\rcpt\ldots\rcpt E$ と相対開集合 $E \rcpt\ldots\rcpt T_2\rcpt T_1\rcpt T$ であって各 $j$ について $\H^{n-1}(T_j)\lt\H^{n-1}(E)+2^{-j}$、$\H^{n-1}(K_j)\gt\H^{n-1}(E)-2^{-j}$ をみたすものが存在する。開集合 $U_j\subset\R^n\backslash(\pOm\backslash T_j)$ を $U_j\cap\pOm=T_j$ となるようにとると、$\zeta_j\in C_c(\R^n\backslash(\pOm\backslash U_j))$ で $0\le\zeta_j\le 1$ in $\R^n\backslash(\pOm\backslash U_j)$ かつ $\zeta_j=1$ on $K$ をみたすものが存在する。この $\zeta$ は $\int_T \varphi\zeta_j d\H^{n-1}\ge 0$ をみたし、また $|\chi_E-\zeta_j|\le 1$ in $T_j$、$\chi_E-\zeta_j=0$ on $K_j\cup(T\backslash T_j)$ をみたすので
$$\int_E \varphi d\H^{n-1}=\int_E \varphi d\H^{n-1}-\int_T\varphi\zeta_j d\H^{n-1}\ge -\int_T|\varphi||\chi_E-\zeta_j|d\H^{n-1}\ge -\int_{T_j\backslash K_j}|\varphi| d\H^{n-1}.$$
$\H^{n-1}(T_j-K_j)\to 0$ ( $j\to\infty$ )であるからLebesgueの収束定理より $\int_E\varphi d\H^{n-1}\ge 0$ を得る。これより主張が従う。
{{end|proof}}

{{theorem|type=pro|label=wcheck}}
*(1) $L$ の係数と $u\in W^{1,1}_\loc(\Omega)$ は $\displaystyle \sum_{j}a_{i,j}D_ju+b_iu\in W^{1,1}_\loc(\Omega)$ ($ i=1,\ldots,n$ )、$\displaystyle\sum_i c_iD_iu+du\in L^1_\loc(\Omega)$ をみたすとする。また $f_i\in W^{1,1}_\loc(\Omega)$ とする。このとき次は同値:
**(i) $\displaystyle Lu\ge(\le)\sum_i D_if_i+g$ in $\Omega$。
**(ii)
$$\L(u,v)\colon=\int_\Omega\left(\sum_i\left(\sum_j a_{ij}D_ju+b_iu\right)D_iv-\left(\sum_i c_iD_iu+du\right)v\right)\le(\ge)\int_\Omega\left(\sum_i f_iD_iv-gv\right)\ (\forall v\in C^\infty(\Omega),v\ge 0) \tag{$\rm W_{sub}$}\label{wsub}.$$
*(2) $L$ の係数と $u\in W^{2,1}_\loc(\OmT)$ は $\displaystyle \sum_{j}a_{i,j}D_ju+b_iu\in W^{1,1}_\loc(\OmT)$ ($ i=1,\ldots,n$ )、$\displaystyle\sum_i c_iD_iu+du\in L^1_\loc(\OmT)$ をみたすとする。また $f_i\in W^{1,1}_\loc(\OmT)$ とする。このとき次は同値:
**(iii) $\displaystyle Lu\ge(\le)\sum_i D_if_i+g$ in $\Omega$、$\displaystyle Nu\le(\ge)\sum_i\nu_if_i+\varphi_2$ on $T$。
**(iv)
$$\L(u,v)+\int_T \sigma uvd\H^{n-1}\le(\ge)\int_\Omega\left(\sum_i f_iD_iv-gv\right)+\int_T\varphi_2vd\H^{n-1}\ (\forall v\in C^1_c(\OmT),v\ge 0) \tag{$\rm W_{sub}'$}\label{wsub'}.$$

{{begin|proof}}
()の外側の不等号についてのみ示す。

(1)を示す。(i)が成り立つとし、$v\in C^1_c(\Omega)$、$v\ge 0$ とすると部分積分により
$$\L(u,v)=-\int_\Omega Luv\le-\int_\Omega\left(\sum_i D_if_i+g\right)v=\int_\Omega\left(\sum_i f_iD_iv-gv\right).$$
逆に(ii)を仮定すると部分積分により任意の $v\in C^1_c(\Omega)$、$v\ge 0$ について $\displaystyle -\int_\Omega Luv\le -\int_\Omega\left(\sum_i D_if_i+g\right)v$ となり{{ref|type=pro|label=wsubpro}}より(i)も成り立つ。

(2)を示す。(iii)が成り立つとし、$v\in C^1_c(\OmT)$、$v\ge 0$ とすると部分積分により
\begin{align*}
\L(u,v)+\int_T \sigma uvd\H^{n-1}&=-\int_\Omega Luv+\int_T \left(\sum_{i,j}a_{ij}\nu_iD_ju+\sum_i b_i\nu_iu+\sigma u\right)vd\H^{n-1}\\
&\le-\int_\Omega\left(\sum_i D_if_i+g\right)v+\int_T\left(\sum_i \nu_if_i+\varphi_2\right)vd\H^{n-1}\\
&=\int_\Omega\left(\sum_i f_iD_iv-gv\right)+\int_T\varphi_2vd\H^{n-1}.
\end{align*}
逆に(iv)を仮定する。(\ref{wsub'})で $v\in C^1_c(\Omega)$ とすると(\ref{wsub})が得られることと(1)より $\displaystyle Lu\ge\sum_i D_if_i+g$ in $\Omega$。またこれより $v\in C^1_c(\OmT)$、$v\ge 0$ について
\begin{align*}
\int_T Nuvd\H^{n-1}&=\int_\Omega\left(\sum_i D_i\left(\sum_j a_{ij}D_juv+b_iuv\right)\right)+\int_T \left(\sigma uv-\sum_i\nu_if_i\right)\\
&=\int_\Omega\left(\sum_i\left(\sum_j a_{ij}D_ju+b_iu\right)D_iv-\left(\sum_i c_iD_iu+du\right)v\right)+\int_\Omega\left(\sum_iD_i\left(\sum_j a_{ij}D_ju+b_iu\right)+\left(\sum_i c_iD_iu+du\right)\right)v
&=\L(u,v)+\int_\Omega Luv+\int_T \left(\sigma uv-\sum_i\nu_if_i\right)\\
&\le\L(u,v)+\int_\Omega\left(\sum_i D_if_i+g\right)v+\int_T \left(\sigma uv-\sum_i\nu_if_i\right)\\
&=\L(u,v)-\int_\Omega\left(\sum_i f_iD_iv-gv\right)+\int_T \sigma uv\\
&\le\int_T \varphi_2vd\H^{n-1}.
\end{align*}
{{ref|type=pro|label=wsubpro}}より(iii)を得る。
{{end|proof}}

{{theorem|type=def|name=弱解|label=wsol}}
*(1) $f_i,g\in L^1_\loc(\Omega)$ とする。$u\in W^{1,1}_\loc(\Omega)$ が $\displaystyle \sum_j a_{ij}D_ju+b_iu\ (i=1,\ldots,n),\sum_i c_iD_iu+du\in L^1_\loc(\Omega)$ で(\ref{wsub})をみたすとき $u$ は(弱い意味で) $\displaystyle Lu\ge(\le)\sum_i D_if_i+g$ in $\Omega$ をみたすという。また $u$ が
$$\L(u,v)=\int_\Omega\left(\sum_i f_iD_iv-gv\right)\ (\forall v\in C^1_c(\Omega)) \tag{W}\label{wsol}$$
をみたすとき $u$ は(弱い意味で) $\displaystyle Lu=\sum_i D_if_i+g$ in $\Omega$ をみたす、あるいは方程式 $\displaystyle Lu=\sum_i D_if_i+g$ in $\Omega$ の弱解であるという。

*(2) $u$ が $\displaystyle \sum_j a_{ij}D_ju+b_iu\ (i=1,\ldots,n),\sum_i c_iD_iu+du\in L^1_\loc(\OmT)$、$\sigma u\in L^1_\loc(T,\H^{n-1})$ かつ任意の $v\in C^1_c(\OmT)$、$v\ge 0$ について(\ref{wsub'})をみたすとき、$u$ は(弱い意味で) $\displaystyle Lu\ge(\le)\sum_iD_if_i-g$ in $\Omega$、$\displaystyle Nu\le(\ge)\sum_i\nu_if_i+\varphi_2$ on $T$ をみたすという。また $u$ が
$$\L(u,v)+\int_T \sigma uvd\H^{n-1}=\int_\Omega\left(\sum_i f_iD_iv-gv\right)+\int_T\varphi_2vd\H^{n-1}\ (\forall v\in C^1_c(\OmT))\tag{W'}\label{wsol'}$$
をみたすとき、$u$ は(弱い意味で) $\displaystyle Lu=\sum_iD_if_i-g$ in $\Omega$、$\displaystyle Nu=\sum_i\nu_if_i+\varphi_2$ on $T$ をみたすという。

*(3) $\varphi_1\in W^{1,p}_\loc(\OmT)$ とする。$u\in W^{1,p}_\loc(\OmT)$ が $u-\varphi_1\in W^{1,p}_0(\OmT)$ をみたしかつ $\displaystyle Lu\ge(\le)\sum_iD_if_i-g$ in $\Omega$、$\displaystyle Nu=\sum_i\nu_if_i+\varphi_2$ on $T$ をみたすとき $u$ は( $W^{1,p}$ の意味で)境界値問題
$$\left\{\begin{align*}
Lu&=\sum_iD_if_i+g & &\ \inn \Omega\\
u&=\varphi_1 & &\ \on \pOm\backslash T\\
Nu&=\varphi_2 & &\ \on T
\end{align*}\right.\tag{MBP}\label{MBP}$$
の弱解であるという。

{{theorem|type=rmk}}
(\ref{wsub})と(\ref{wsol})における $v$ は試験関数、あるいはテスト関数と呼ばれる。

$u\in W^{1,1}_\loc(\Omega)$ が $\displaystyle Lu\ge\sum_i D_if+g$ かつ $\displaystyle Lu\le\sum_i D_if+g$ をみたすとすると $u$ は $\displaystyle Lu=\sum_i D_if+g$ をみたす。実際、非負のテスト関数 $v$ については明らかに(\ref{wsol})が成り立ち、一般の場合も $v_+\in C^1_c(\Omega)$ を $v\ge 0$ in $\Omega$、$\displaystyle v_+=\sup_\Omega v$ on $\supp v$ となるようにとって $v_-=v_+-v$ とすると $v_+,v_-\ge 0$、$v=v_+-v_-$ となることから従う。

(3)で $p$ が明らかな場合は「 $W^{1,p}$ の意味で」をしばしば省略する。また $T=\emptyset$ の場合は単に $u\le(\ge,=)v$ on $\pOm$ という。

$\varphi_1\in W^{1,p}(\Omega)$ とすると $u\in W^{1,p}(\Omega)$ がDirichlet問題
$$\left\{\begin{align*}
Lu&=\sum_i D_if_i+g& &\inn\Omega\\
u&=\varphi_1& &\on\pOm
\end{align*}\right.\tag{DP}\label{DP}$$
の弱解となることは $u$ が $u-\varphi\in W^{1,p}_0(\Omega)$ かつ(\ref{wsol})をみたすことと同値である。

$\Omega$ が $C^{0,1}$ 領域であるとき $u\in W^{1,p}(\Omega)$ がRobin問題
$$\left\{\begin{align*}
Lu&=\sum_i D_if_i+g& &\inn\Omega\\
Nu&=\sum_i\nu_if_i+\varphi_2& &\on\pOm
\end{align*}\right.\tag{RP}\label{RP}$$
の弱解となることは $u$ が
$$\L(u,v)+\int_\pOm \sigma uvd\H^{n-1}=\int_\Omega\left(\sum_i f_iD_iv-gv\right)+\int_\pOm \varphi_2vd\H^{n-1}\ (\forall v\in C^1(\Ombar))$$
をみたすことと同値である。

$$\overline{f}_i\colon=f_i-\sum_j a_{ij}D_j\varphi_1-b_i\varphi_1,\overline{g}\colon=g-\sum_i c_iD_i\varphi_1-d,\overline{\varphi}_2\colon=\varphi_2-\sum_{i,j} a_{ij}\nu_iD_j\varphi_1-\sum_i b_i\nu_i\varphi_1$$
とすると $u$ が(\ref{MBP})の弱解となることは $\overline{u}\colon=u-\varphi_1$ が
$$\left\{\begin{align*}
L\overline{u}&=\sum_iD_i\overline{f}_i+\overline{g} & &\ \inn \Omega\\
\overline{u}&=0 & &\ \on \pOm\backslash T\\
N\overline{u}&=\sum_iD_i\overline{f}_i+\overline{\varphi}_2 & &\ \on T
\end{align*}\right.$$
の弱解となることと同値である。以下では多くの場合において $\varphi_1\equiv 0$ の場合のみを考える。

===混合境界値問題の可解性===
弱解には、関数解析の定理を援用して容易に存在を示すことができるという利点がある。とくに、次のLax-Milgramの定理とFredholmの択一性定理([[Hilbert空間上の作用素論]]の定理13.13)を用いる。

{{theorem|type=thm|name=Lax-Milgramの定理|label=LMT}}
$H$ をHilbert空間とする。$\B\colon H\times H\to\R$ を有界強圧的双線型汎関数とする。すなわち以下をみたすとする:
*(i) $\B$ は双線型である。
*(ii)(有界性) 定数 $K\gt 0$ が存在し $|\B(u,v)|\le K\norm{u}_H\norm{v}_H\ (u,v\in H)$。
*(iii)(強圧性) 定数 $\theta\gt 0$ が存在し $\B(u,u)\ge\theta\norm{u}_H^2\ (u\in H)$。
このとき $F\in H^*$ について $u\in H$ であって任意の $v\in H$ について $\B(u,v)=\pair{ F,v}_H$ をみたすものが一意的に存在する。

{{begin|proof}}
$u\in H$ と $t\gt 0$ について(i)と(ii)より $(u,v)_H-t\B(u,v)+t\pair{ F,v}_H$ は $v\in H$ について線型かつ $$|(u,v)_H-t\B(u,v)+t\pair{ F,v}_H|\le ((tK+1)\norm{u}_H+t\norm{F}_{H^*})\norm{v}_H$$
となるので、Rieszの表現定理より $u\in H$ について $\Phi(u)\in H$ であって任意の $v\in H$ について
$$(\Phi(u),v)_H=(u,v)_H-t\B(u,v)+t\pair{ F,v}_H$$
をみたすものが一意的に存在する。

この $\Phi\colon H\to H$ について、$u\in H$ が任意の $v\in H$ について $\B(u,v)=\pair{ F,v}_H$ をみたすことは $\Phi(u)=u$ と同値である。実際、$u$ が任意の $v\in H$ について $\B(u,v)=\pair{ F,v}_H$ をみたすとすると任意の $v\in H$ について $(\Phi(u),v)_H=(u,v)_H$ となるので $\Phi(u)=u$。逆に $\Phi(u)=u$ とすると任意の $v\in H$ について $(u,v)_H=(u,v)_H-t\B(u,v)+t\pair{ F,v}_H$ となるので $\B(u,v)=\pair{ F,v}_H$ が成り立つ。

$u,u',v\in H$ について
$$(\Phi(u)-\Phi(u')-u+u',v)_H=-t\B(u-u',v)\le tK\norm{u-u'}_H\norm{v}_H$$
であるから $\norm{\Phi(u)-\Phi(u')-u+u'}_H\le tK\norm{u-u'}_H$ であり、
\begin{align*}
\norm{\Phi(u)-\Phi(u')}_H^2&=\norm{\Phi(u)-\Phi(u')-u+u'}_H^2+2(\Phi(u)-\Phi(u'),u-u')_H-\norm{u-u'}_H^2\\
&=\norm{\Phi(u)-\Phi(u')-u+u'}_H^2+2\left(\norm{u-u'}_H^2-t\B(u-u',u-u')\right)-\norm{u-u'}_H^2\\
&\le(1-2t\theta+t^2K^2)\norm{u-u'}_H^2.
\end{align*}
$t$ を十分小さくとれば $1-2t\theta+t^2K^2\lt 1$ となり、Banachの不動点定理([[位相空間論13：距離空間の位相(1)]]の定理13)より $\Phi(u)=u$ となる $u\in H$ が一意的に存在する。
{{end|proof}}

{{theorem|type=rmk}}
$G\colon H^*\to H$ を $GF=u$ により定めると、$G$ は全単射である。実際、$B\colon H\to H^*$ を $\pair{ Bu,v}_H\colon=\B(u,v)$ for $u,v\in H$ により定めると $B$ は $G$ の逆写像となっている。また $G$ は明らかに線型で、かつ $F\in H^*$ について
$$\theta\norm{GF}_H^2\le\B(GF,GF)=\pair{F,GF}_H\le K\norm{F}_{H^*}\norm{GF}_H$$
をみたすので有界線型作用素である。

$\B$ が対称(すなわち任意の $u,v\in H$ について $\B(u,v)=\B(v,u)$ )のとき、$\B$ は $H$ に $(\cdot,\cdot)_H$ と同値なノルムを定める内積となり、$H$ は内積 $\B$ によってもHilbert空間となる。この場合のLax-Milgramの定理は内積 $\B$ に関するRieszの表現定理と同値であり、$u$ は汎関数
$$\frac{1}{2}\B(u,u)-\pair{ F,u}_H$$
が最小値をとる $u\in H$ として特徴づけられる。

以下では $\Omega$ と $T$ は次の条件をみたすとする:
$$開集合D\subset\R^nとC^{0,1}境界部分S\subset\partial Dが存在し\Omega\subset D,T\rcpt S. \tag{$\diamondsuit$}\label{D}$$
また $\varphi_1\equiv 0$ であるとし、$a_{ij}$ は一様楕円性(\ref{UE})をみたし、$b_i,c_i,d,f_i,g,\sigma,\varphi_2$ は
$$b,c\in L^q(\Omega)^n,d\in L^\frac{q}{2}(\Omega),\sigma\in L^{q-1}(T,\H^{n-1}),\begin{cases}
q\in[n,\infty]&\jf n\ge 3\\
q\in(2,\infty]&\jf n=2
\end{cases}\ ,\tag{C1}\label{C1}$$
$$f\in L^2(\Omega)^n,g\in L^{2-\frac{4}{r+2}}(\Omega),\varphi_2\in L^{2-\frac{2}{r}}(T,\H^{n-1}),\begin{cases}
r\in[n,\infty]&\jf n\ge 3\\
r\in(2,\infty]&\jf n=2
\end{cases}\tag{C2}\label{C2}$$
をみたすとする。ここで $b,c,f$ はベクトル値関数 $b=(b_1,\ldots,b_n),c=(c_1,\ldots,c_n),f=(f_1,\ldots,f_n)$ である。

さらに、$q\gt n$ のとき
$$\mu\colon= \norm{\lambda^{-2}(|b|^2+|c|^2)+\lambda^{-1}|d|}_{\frac{q}{2};\Omega}+\norm{\lambda^{-1}\varphi}_{q-1;T}$$
とし、$q=n\ge 3$ のとき
$$\mu\colon(0,\infty)\to[0,\infty),\mu(t)\colon=\norm{(\lambda^{-2}(|b|^2+|c|^2)+\lambda^{-1}|d|-t)^+}_{\frac{n}{2};\Omega}+\norm{(\lambda^{-1}|\sigma|-t)^+}_{n-1;T}$$
とおく。

{{theorem|type=pro|label=west}}
*(1) $a_{ij},b_i,c_i,d,\sigma$ は(\ref{UE})、(\ref{C1})をみたすとする。このとき $u\in W^{1,2}_0(\OmT)$ と $v\in C^\infty_c(\OmT)$ について
$$\left|\L(u,v)+\int_T\sigma uvd\H^{n-1}\right|\le C_{q,\Lambda,\lambda,\mu,\Omega}\norm{u}_{1,2;\Omega}\norm{v}_{1,2;\Omega}.$$
*(2) $f_i,g,\varphi_2$ は(\ref{C2})をみたすとする。このとき $v\in C^\infty_c(\OmT)$ について
$$\left|\int_\Omega\left(\sum_i f_iD_iv-gv\right)+\int_T \varphi_2vd\H^{n-1}\right|\le C_{r,\Omega}\left(\norm{f}_{2;\Omega}+\norm{g}_{2-\frac{4}{r+2};\Omega}+\norm{\varphi_2}_{2-\frac{2}{r};T}\right).$$

{{begin|proof}}
Sobolevの不等式とトレースSobolev不等式([[Sobolev空間とSobolevの不等式]]の定理67、命題84。トレースSobolev不等式については章末の注意も参照せよ。)より $u\in W^{1,2}(\OmT)$ と $v\in C^\infty_c(\OmT)$ について
\begin{align*}
\left|\L(u,v)\right|&\le\Lambda\norm{Du}_2\norm{Dv}_2+\norm{b}_q\norm{u}_{2+\frac{4}{q-2}}\norm{Dv}_2+\norm{c}_q\norm{Du}_2\norm{v}_{2+\frac{4}{q-2}}+\norm{d}_\frac{q}{2}\norm{u}_{2+\frac{4}{q-2}}\norm{v}_{2+\frac{4}{q-2}}\le C\norm{u}_{1,2}\norm{v}_{1,2},\\
\left|\int_T\sigma uvd\H^{n-1}\right|&\le\norm{\sigma}_{T;q-1}\norm{u}_{2+\frac{2}{q-2};T}\norm{v}_{2+\frac{2}{q-2};T}\le C\norm{u}_{1,2}\norm{v}_{1,2}.
\end{align*}
となり(1)を得る。また
\begin{align*}
\left|\int_\Omega f_iD_iu+\int_\Omega gu+\int_T \varphi_2ud\H^{n-1}\right|\le\norm{f}_2\norm{Du}_2+\norm{g}_{2-\frac{4}{r+2}}\norm{u}_{2+\frac{4}{r-2}}+\norm{\varphi_2}_{2-\frac{2}{r};T}\norm{u}_{1,2}\le C\norm{u}_{1,2}
\end{align*}
となり(2)を得る。
{{end|proof}}

{{theorem|type=rmk}}
(1)より $u,v\in W^{1,2}_0(\OmT)$ についても $\L(u,v)+\int_T \sigma uvd\H^{n-1}$ が定義でき、$W^{1,2}_0(\OmT)$ 上の有界双線型汎関数を定め、(1)が $u,v\in W^{1,2}_0(\OmT)$ についても成り立つ。また $\L(u,v)+\int_T \sigma uvd\H^{n-1}$ も $v\in W^{1,2}_0(\OmT)$ について連続で、$C^\infty_c(\OmT)$ は $W^{1,2}_0(\OmT)$ において稠密である。これより、$u\in W^{1,2}_0(\OmT)$ のときは(\ref{wsol'})はテスト関数 $v\in W^{1,2}_0(\OmT)$ についても成り立つ。

(2)より $\displaystyle \pair{F,v}_{(W^{1,2}_0(\OmT))^*}=\int_\Omega\left(\sum_i f_iD_iv-gv\right)+\int_T \varphi_2vd\H^{n-1}$ for $v\in W^{1,2}_0(\OmT)$ によって $F\in(W^{1,2}_0(\OmT))^*$ が定まる。

これらより混合境界値問題(\ref{MBP})は $F\in(W^{1,2}_0(\OmT))^*$ が与えられたとき
$$\L(u,v)+\int_T \sigma uvd\H^{n-1}=\pair{F,v}_{W^{1,2}_0(\OmT)}\ (\forall v\in W^{1,2}_0(\OmT))\tag{$\rm \overline{W}$}\label{Wsol}$$
をみたす $u\in W^{1,2}_0(\OmT)$ を見つける問題に帰着される。

{{theorem|type=lem|label=est1}}
*(1) $q\gt n$ とする。$h\in L^\frac{q}{2}(\Omega)$、$\sigma\in L^{q-1}(\Omega)$ とすると $v\in W^{1,2}_0(\OmT)$、$\varepsilon\in(0,1)$ について
$$\left|\int_\Omega hv^2+\int_T \sigma v^2d\H^{n-1}\right|\le\varepsilon\int_\Omega |Dv|^2+C_{q,\Omega,T,\norm{h}_{\frac{q}{2};\Omega}+\norm{\sigma}_{q-1;T}}\varepsilon^{-\theta}\int_\Omega v^2,\theta=\theta_{n,q}\gt 0.\tag{E1}\label{E1}$$

*(2) $n\ge 3$ とする。$h\in L^\frac{n}{2}(\Omega)$、$\sigma\in L^{n-1}(\Omega)$ とし、
$$\omega\colon(0,\infty)\to[0,\infty),\omega(t)\colon=\norm{(|h|-t)^+}_{\frac{n}{2};\Omega}+\norm{(\lambda^{-1}|\sigma|-t)^+}_{n-1;T}$$
とすると
$$\left|\int_\Omega hv^2+\int_T\sigma v^2d\H^{n-1}\right|\le\varepsilon\int_\Omega |Dv|^2+C_{q,\Omega,T,\omega,\varepsilon}\int_\Omega v^2.\tag{E2}\label{E2}$$

{{begin|proof}}
*(1) を示す。補間不等式([[Sobolev空間とSobolevの不等式]]の命題74)より
$$\left|\int_\Omega hv^2\right|\le C\norm{v}_{2+\frac{4}{q-2}}^2\le C\norm{v}_{1,2}^\frac{2n}{q}\norm{v}_2^{2-\frac{2n}{q}}\le\varepsilon\int_\Omega|Dv|^2+C\varepsilon^{-\frac{n}{q-n}}\int_\Omega v^2.$$
また[[Sobolev空間とSobolevの不等式]]の定理79と補間不等式より
\begin{align*}
\left|\int_T \sigma v^2d\H^{n-1}\right|&\le C\norm{v}_{2+\frac{2}{q-2};T}^2\\
&\le C\left(\int_\Omega(|Dv|+|v|)|v|^{1+\frac{2}{q-2}}\right)^{1-\frac{1}{q-1}}\\
&\le C\norm{v}_{1,2}^{1-\frac{1}{q-1}}\norm{v}_{2+\frac{4}{q-2}}^{1+\frac{1}{q-1}}\\
&\le C\norm{v}_{1,2}^{1+\frac{n-1}{q-1}}\norm{v}_2^{1-\frac{n-1}{q-1}}\\
&\le \varepsilon\int_\Omega|Dv|^2+C\varepsilon^{-1-\frac{2n-2}{q-n}}\int_\Omega|v|^2.
\end{align*}
これらから(\ref{E1})が従う。
{{end|proof}}

{{theorem|type=lem|name=エネルギー評価|label=NRG1}}
$b_i,c_i,d,\sigma$ は(\ref{C1})をみたすとする。$u\in W^{1,2}_0(\OmT)$ について
$$\L(u,u)+\int_T\sigma u^2d\H^{n-1}\ge \frac{\lambda}{4}\norm{u}_{1,2;\Omega}^2-C_{q,\Omega,T,\mu}\lambda\norm{u}_{2;\Omega}^2.$$

{{begin|proof}}
{{ref|type=lem|label=est1}}とYoungの不等式より
\begin{align*}
\L(u,u)+\int_T \sigma u^2d\H^{n-1}&\ge\int_\Omega\left(\lambda|Du|^2-(|b|+|c|)|u||Du|-|d|u^2\right)-\int_T|\sigma|u^2d\H^{n-1}\\
&\ge\frac{\lambda}{2}\int_\Omega|Du|^2-\lambda\left(\int_\Omega\left((\lambda^{-2}(|b|^2+|c|^2)+\lambda^{-1}|d|)u^2\right)+\int_T\lambda^{-1}|\sigma|u^2d\H^{n-1}\right)\\
&\ge\frac{\lambda}{2}\int_\Omega|Du|^2-\lambda\left(\frac{1}{4}\int_\Omega|Du|^2+C\int_\Omega u^2\right)\\
&=\frac{\lambda}{4}\int_\Omega|Du|^2-C\lambda\int_\Omega u^2.
\end{align*}
{{end|proof}}

{{theorem|type=pro|name=混合境界値問題の可解性1|label=wsolv1}}
$b_i,c_i,d,\sigma$ は(\ref{C1})をみたすとする。$\gamma\in\R$ を十分大きくとると任意の $F\in(W^{1,2}_0(\OmT))^*$ について $u\in W^{1,2}_0(\OmT)$ であって
$$\L(u,v)+\int_T \sigma uvd\H^{n-1}+\int_\Omega \gamma uv=\pair{F,v}_{W^{1,2}_0(\OmT)}\ (\forall v\in W^{1,2}_0(\OmT))\tag{$\rm \overline{W}_\gamma$}\label{Wsolg}$$
となるものが一意的に存在する。

{{begin|proof}}
{{ref|type=lem|label=NRG1}}より十分大きな $\gamma$ について
$$\L(u,u)+\int_T\sigma u^2d\H^{n-1}+\int_\Omega \gamma u^2\ge \frac{\lambda}{4}\norm{u}_{1,2;\Omega}^2$$
となり{{ref|type=thm|label=LMT}}より主張が従う。
{{end|proof}}

これより十分大きい $\gamma$ について混合境界値問題
$$\left\{\begin{align*}
Lu-\gamma u&=\sum_iD_if_i+g & &\ \inn \Omega\\
u&=0 & &\ \on \pOm\backslash T\\
Nu&=\sum_i\nu_if_i+\varphi_2 & &\ \on T
\end{align*}\right.$$
の弱解 $u\in W^{1,2}_0(\OmT)$ が一意的に存在する。

より詳細な可解性の結果をFredholmの択一性定理を用いて得ることができる。

{{theorem|type=def|name=包含 $L^2(\Omega)\subset(W^{1,2}_0(\OmT))^*$|label=wincl}}
$u\in L^2(\Omega)$、$v\in W^{1,2}_0(\OmT)$ とすると明らかに $\displaystyle \int_\Omega uv\le\norm{u}_2\norm{v}_{1,2}$ であるから、$Iu\in (W^{1,2}_0(\OmT))^*$ を $\displaystyle \pair{ Iu,v}_{W^{1,2}_0(\OmT)}\colon=\int_\Omega uv$ for $v\in W^{1,2}_0(\OmT)$ によって定めることができ、$\norm{Iu}_{(W^{1,2}_0(\OmT))^*}\le\norm{u}_2$ となる。また $W^{1,2}_0(\OmT)\subset L^2(\Omega)$ が稠密であることから $u\in W^{1,2}_0(\OmT)$ が $Iu=0$ をみたすとすると $u=0$ となり、$I$ は単射である。そこで、$u$ を $Iu$ と同一視することにより連続な包含 $L^2(\Omega)\subset(W^{1,2}_0(\OmT))^*$ が定まる。

{{theorem|type=rmk}}
[[Sobolev空間とSobolevの不等式]]の定義40も参照せよ。

内積構造を用いてRieszの表現定理により $(W^{1,2}_0(\OmT))^*=W^{1,2}_0(\OmT)$ と見做す同一視は多くの場合採用されない。[[Sobolev空間とSobolevの不等式]]の定義40の注意も参照せよ。

{{theorem|type=pro|label=winclpro}}
{{ref|type=def|label=wincl}}で定義した包含 $L^2(\OmT)\subset(W^{1,2}_0(\OmT))^*$ について次が成り立つ:
*(1) $W^{1,2}_0(\OmT)\subset(W^{1,2}_0(\OmT))^*$ は稠密である。
*(2) 包含 $W^{1,2}_0(\OmT)\subset(W^{1,2}_0(\OmT))^*$ はコンパクトである。すなわち、$\{u_m\}_{m=1}^\infty\subset W^{1,2}_0(\OmT)$ が $\displaystyle \sup_m\norm{u_m}_{1,2;\Omega}\lt\infty$ をみたすとすると $\{u_m\}_{m=1}^\infty$ は $(W^{1,2}_0(\OmT))^*$ において収束する部分列をもつ。

{{begin|proof}}
(1)を示す。$\Phi\in(W^{1,2}_0(\OmT))^{**}$ が任意の $v\in W^{1,2}_0(\OmT)$ について　$\pair{\Phi,v}_{(W^{1,2}_0(\OmT))^*}=0$ をみたすとして $\Phi=0$ を示せばよい。$W^{1,2}_0(\OmT)$ は回帰的Banach空間であるから $u\in W^{1,2}_0(\OmT)$ であって任意の $v\in (W^{1,2}_0(\OmT))^*$ について
$$\pair{ F,u}_{W^{1,2}_0(\OmT)}=\pair{\Phi,F}_{(W^{1,2}_0(\OmT))^*}$$
をみたすものが存在するが、仮定より任意の $v\in W^{1,2}_0(\OmT)$ について $\displaystyle\int_\Omega uv=0$ となり $u\equiv 0$。これより $\Phi=0$ となる。

(2)はRellich-Kondrachovの定理([[Sobolev空間とSobolevの不等式]]の定理69)より包含 $W^{1,2}_0(\OmT)\subset L^2(\Omega)$ がコンパクトであることから従う。
{{end|proof}}

{{theorem|type=def|name=形式的共役作用素、双対問題|label=dual}}
形式的な微分作用素 $L^*$ を
$$L^*u=\sum_j D_j\left(\sum_i a_{ij}D_iu-c_ju\right)-\sum_i b_iD_iu+du$$
により定め、$L$ の形式的共役作用素という。また $T$ 上の関数に作用する形式的な微分作用素 $N^*$ を
$$N^*u=\sum_{i,j} a_{ij}\nu_jD_iu-\sum_i c_i\nu_iu+\sigma_2u$$
と定め、混合境界値問題
$$\left\{\begin{align*}
L^*v&=0& & \inn\Omega\\
v&=0& & \on\pOm\backslash T\\
N^*v&=0& &\on T
\end{align*}\right.\tag{$\rm MBP_0^*$}\label{MBP*}$$
を斉次問題
$$\left\{\begin{align*}
Lu&=0& & \inn\Omega\\
u&=0& & \on\pOm\backslash T\\
Nu&=0& &\on T
\end{align*}\right.\tag{$\rm MBP_0$}\label{MBP0}$$
の双対問題という。

定義より $v\in W^{1,2}_0(\OmT)$ が(\ref{MBP*})の弱解であることは任意の $u\in W^{1,2}_0(\OmT)$ について $\displaystyle \L(u,v)+\int_T \sigma uvd\H^{n-1}=0$ をみたすことと同値である。

{{theorem|type=thm|name=混合境界値問題の可解性2|label=wsolv2}}
$|\Omega|\lt\infty$ とし、$b_i,c_i,d,\sigma$ は(\ref{C1})をみたすとする。次が成り立つ:
*(1) 次は同値:
**(i) 任意の $F\in(W^{1,2}_0(\OmT))^*$ について、(\ref{Wsol})をみたす $u\in W^{1,2}_0(\OmT)$ が存在する。
**(ii) 混合境界値問題 (\ref{MBP0}) の弱解 $u\in W^{1,2}_0(\OmT)$ は $0$ のみである。

*(2) (\ref{MBP0})の弱解のなす $W^{1,2}_0(\OmT)$ の部分空間を $M$、(\ref{MBP*})の弱解のなす $W^{1,2}_0(\OmT)$ の部分空間を $M^*$ とすると
$$\dim M=\dim M^*\lt\infty.$$
*(3) $F\in(W^{1,2}_0(\OmT))^*$ について、次は同値:
**(iii) (\ref{Wsol})をみたす $u\in W^{1,2}_0(\OmT)$ が存在する。
**(iv) 任意の(\ref{MBP*})の弱解 $v\in W^{1,2}_0(\OmT)$ について
$$\pair{ F,v}_{W^{1,2}_0(\OmT)}=0.$$

{{begin|proof}}
$\gamma\gt 0$ を{{ref|type=pro|label=wsolv1}}の証明と同様にとると、$F\in (W^{1,2}_0(\OmT))^*$ に対して(\ref{Wsol})をみたす $u\in W^{1,2}_0(\OmT)$ を $GF$ とすることによって $G\colon (W^{1,2}_0(\OmT))^*\to W^{1,2}_0(\OmT)$ が定まる。{{ref|type=thm|label=LMT}}の注意より $G$ は全単射有界線型作用素である。

包含 $W^{1,2}_0(\OmT)\subset(W^{1,2}_0(\OmT))^*$ はコンパクトであるから、$G$ は $(W^{1,2}_0(\OmT))^*$ 上のコンパクト作用素([[Hilbert空間上の作用素論]]の定義13.1。定理13.10も参照せよ。)になっている。

また、$F\in (W^{1,2}_0(\OmT))^*$ と $u\in W^{1,2}_0(\OmT)$ について
$$\text{(\ref{Wsol})}\iff u=G(F+\gamma u)\iff u-\gamma Gu=GF.$$
$R(G)=W^{1,2}_0(\OmT)$ であるから(i) $\iff W^{1,2}_0(\OmT)\subset R(I-\gamma G)$。ここで $I$ は恒等作用素である。
$W^{1,2}_0(\OmT)\subset(W^{1,2}_0(\OmT))^*$ は稠密であって、[[Hilbert空間上の作用素論]]の命題13.11より $R(I-\gamma G)\subset(W^{1,2}_0(\OmT))^*$ は閉であるから
$${\rm (i)}\iff R(I-\gamma G)=(W^{1,2}_0(\OmT))^*.$$

Fredholmの択一性定理([[Hilbert空間上の作用素論]]の定理13.13)より
$${\rm (i)}\iff N(I-\gamma G)=\{0\}.$$

一方、(\ref{MBP})の弱解 $u$ は任意の $v\in W^{1,2}_0(\OmT)$ について $\displaystyle \L(u,v)+\int_T \sigma uvd\H^{n-1}=0$ をみたすので $u=\gamma Gu$。

逆に $F\in(W^{1,2}_0(\OmT))^*$ が $F-\gamma GF=0$ をみたすとすると $GF=\gamma^{-1}F$ となるので $F\in W^{1,2}_0(\OmT)$ で任意の $v\in W^{1,2}_0(\OmT)$ について $\displaystyle \L(\gamma^{-1}F,v)+\gamma^{-1}\int_T \sigma Fvd\H^{n-1}+\int_\Omega Fv=\int_\Omega Fv$ となる。これより $F$ は(\ref{MBP})の弱解である。これらより $M=N(I-\gamma G)$。

以上より(i) $\iff M=\{0\}$ であり、(1)が従う。

(2)を示す。$G^*\colon(W^{1,2}_0(\OmT))^*\to W^{1,2}_0(\OmT)$ を $G$ の共役作用素とする。$G^*$ の制限 $G^*\colon W^{1,2}_0(\OmT)\to W^{1,2}_0(\OmT)$ が $G\colon(W^{1,2}_0(\OmT))^*\to (W^{1,2}_0(\OmT))^*$ の共役作用素になっていることに注意する。

$u\in W^{1,2}_0(\OmT)$、$F=G^{-1}u\in (W^{1,2}_0(\OmT))^*$ とすると $H\in (W^{1,2}_0(\OmT))^*$ について
$$\L(u,G^*H)+\int_T \sigma uG^*Hd\H^{n-1}+\int_\Omega \gamma uG^*H=\pair{ F,G^*H}_{W^{1,2}_0(\OmT)}=\pair{ H,u}_{W^{1,2}_0(\OmT)}.$$
とくに $v\in M^*$ は任意の $u\in W^{1,2}_0(\OmT)$ について $\displaystyle \int_\Omega\gamma uG^*v=\int_\Omega uv$
となり $\gamma G^*v=v$。これより $M^*\subset N(I-\gamma G^*)$。

逆に $H\in(W^{1,2}_0(\OmT))^*$ が $H-\gamma G^*H=0$ をみたすとすると $H\in W^{1,2}_0(\OmT)$、$G^*H=\gamma^{-1}H$ で、任意の $u\in W^{1,2}_0(\OmT)$ について
$$\L(u,\gamma^{-1}H)+\int_T \gamma^{-1}\sigma uHd\H^{n-1}+\int_\Omega uH=\int_\Omega uH$$
となり $\displaystyle \L(u,H)+\int_T\sigma uHd\H^{n-1}=0$。これより $v\in M^*$ となり、$M^*=N(I-\gamma G^*)$。

[[Hilbert空間上の作用素論]]の命題13.14より $\dim M=\dim N(I-\gamma G)=\dim N(I-\gamma G^*)=\dim M^*\lt\infty$ が従う。

(3)を示す。(\ref{Wsol}) $\iff u-\gamma Gu=GF$ であったから、(iii)は $GF\in R(I-\gamma G)$ と同値である。一方、$R(I-\gamma G)\subset W^{1,2}_0(\OmT)$ は閉であるから[[Hilbert空間上の作用素論]]の命題3.9の(5)より $R(I-\gamma G)=(N(I-\gamma G^*))^\bot={M^*}^\bot$。また $v\in M^*$ について
$$\int_\Omega GFv=\pair{ F,G^*v}_{W^{1,2}_0(\OmT)}=\gamma^{-1}\pair{F,v}_{W^{1,2}_0(\OmT)}$$
となるので $GF\in {M^*}^\bot\iff F\in {M^*}^\bot$。以上より主張が従う。
{{end|proof}}

===弱解の大域有界性===
ここでは、係数と非斉次項への適当な仮定のもと、(\ref{MBP})の弱解 $u$ は $\Omega$ 上で有界となることを示す。

$k\gt 0$ とし、
$$\bar{b}\colon=\lambda^{-2}(|b|^2+k^{-2}|f|^2),\bar{c}\colon=\lambda^{-2}|c|^2,\bar{d}\colon=\lambda^{-1}(d^-+k^{-1}g^-),\bar{\sigma}\colon=\lambda^{-1}(\sigma^-+k^{-1}\varphi_2^-)$$
とおく。

{{theorem|type=lem|label=est2}}
$u\in W^{1,2}_0(\OmT)$ が $\displaystyle Lu\ge\sum_i D_if-g$ in $\Omega$、$\displaystyle Nu\le\sum_i\nu_if_i+\varphi_2$ on $T$ をみたすとする。$G(k)=0$、$G'(t)\gt 0$ if $t\gt k$ をみたす $G\in W^{1,\infty}(k,\infty)$ について、$H\in W^{1,\infty}(k,\infty)$ を $\displaystyle H(t)\colon=\int_0^t G'(s)^2ds$ と定めると
$$\int_{\{u\gt k\}}|D(G(u))|^2\le C\left(\int_{\{u\gt k\}}\left(\bar{b}G'(u)^2u^2+\bar{c}\frac{H(w)^2}{G'(w)^2}+\bar{d}H(u)u\right)+\int_{T\cap\{u\gt k\}}\bar{\sigma}H(u)ud\H^{n-1}\right).\tag{E3}\label{E3}$$

{{begin|proof}}
テスト関数として $H(w)$ を用いると
\begin{align*}
0&\ge\int_{\{u\gt k\}}\left(\sum_i\left(\sum_j a_{ij}D_ju+b_iu-f\right)G'(u)^2D_iu-\left(\sum_ic_iu+du-g\right)H(u)\right)+\int_{T\cap\{u\gt k\}}\left(\sigma u-\varphi_2\right)H(u)d\H^{n-1}\\
&\ge\int_{\{u\gt k\}}\left(\lambda G'(u)^2|Du|^2-(|b|+k^{-1}|f|)G'(u)^2u|Du|-cH(u)|Du|-(d^-+k^{-1}g^-)H(u)u\right)-\int_{T\cap\{u\gt k\}}(\sigma^-+k^{-1}\varphi_2^-)H(u)d\H^{n-1}\\
&\ge\frac{\lambda}{2}\int_{\{u\gt k\}}|D(G(u))|^2-C\lambda\left(\int_{\{u\gt k\}}\left(\bar{b}G'(u)^2u^2+\bar{c}\frac{H(u)^2}{G'(u)^2}+\bar{d}H(w)u\right)+\int_{T\cap\{u\gt k\}}\bar{\sigma}H(u)ud\H^{n-1}\right)
\end{align*}
となり(\ref{E3})が成り立つ。
{{end|proof}}

{{theorem|type=thm|name=弱解の大域有界性1|label=wglob1}}
$b_i,c_i,d,\sigma,f_i,g,\varphi_2$ は
$$b_i\in L^q(\Omega),c_i\in\begin{cases}
L^n(\Omega)&\jf n\ge 3\\
L^q(\Omega)&\jf n=2
\end{cases},d\in L^\frac{q}{2}(\Omega),\sigma\in L^{q-1}(T,\H^{n-1}),q\gt n,\tag{C3}\label{C3}$$
$$f_i\in L^q(\Omega),g\in L^\frac{q}{2}(\Omega),\varphi_2\in L^{q-1}(T,\H^{n-1}),q\gt n,\tag{C4}\label{C4}$$
をみたすとし、
$$\mu_1\colon=\norm{\lambda^{-2}|b|^2+\lambda^{-1}d^-}_{\frac{q}{2};\Omega}+\norm{\lambda^{-1}\varphi_2}_{q-1;T}$$
とする。また $n\ge 3$ のとき
$$\mu_2\colon(0,\infty)\to[0,\infty),\mu_2(t)\colon=\norm{(\lambda^{-2}|c|^2-t)^+}_{\frac{n}{2};\Omega}$$
とし、$n=2$ のときは $\mu_2\colon=\norm{\lambda^{-1}|c|}_{q;\Omega}$ とする。

$u\in W^{1,2}_0(\OmT)$ が $\displaystyle Lu\ge(\le,=)\sum_i D_if-g$ in $\Omega$、$Nu\le(\ge,=)\varphi_2$ on $T$ をみたすとすると
$$\sup_{\Omega}u(-u,|u|)\le C_{q,\Omega,T,\mu_1,\mu_2}\left(\norm{u^+(u^-,u)}_{2;\Omega}+\lambda^{-1}\left(\norm{f}_{q;\Omega}+\norm{g}_{\frac{q}{2};\Omega}+\norm{\varphi_2}_{q-1;T}\right)\right).$$

{{begin|proof}}
劣解の場合を示す。$k\gt 0$ を
$$k\ge \lambda^{-1}\left(\norm{f}_{q;\Omega}+\norm{g}_{\frac{q}{2};\Omega}+\norm{\varphi_2}_{q-1;T}\right)$$
となるようにとる。
$$\norm{\bar{b}}_{\frac{q}{2};\Omega},\norm{\bar{d}}_{\frac{q}{2};\Omega},\norm{\bar{\sigma}}_{q-1;T}\le\mu_1+1$$
となることに注意する。

$\beta\ge 1$、$M\gt k$ とし、(\ref{E3})を
$$G(t)=\begin{cases}
t^\beta-k^\beta&\jf k\le t\le M\\
\beta M^{\beta-1}(t-M)+M^\beta-k^\beta&\jf t\gt M
\end{cases}$$
として用いる。
$G'(t)=\begin{cases}
\beta t^{\beta-1}&\jf k\le t\le M\\
\beta M^{\beta-1}&\jf t\gt M\\
\end{cases},
H(t)=\begin{cases}
\frac{\beta^2}{2\beta-1}(t^{2\beta-1}-k^{2\beta-1})&\jf t\le M\\
\beta^2 M^{2\beta-1}(t-M)+\frac{\beta^2}{2\beta-1}(M^{2\beta-1}-k^{2\beta-1})&\jf t\gt M
\end{cases}$
より
$$G'(t)t\le\beta(G(t)+k^\beta),H(t)t\le\frac{\beta^2}{2\beta-1}(G(t)+k^\beta)^2\le 2\beta(G(t)^2+k^{2\beta})$$
かつ
$$\frac{H(t)}{G'(t)}=\begin{cases}
\frac{\beta}{2\beta-1}(t^\beta-k^{2\beta-1}t^{-(\beta-1)})\le G(t)&\jf k\le t\le M\\
\beta M^{2\beta-1}(t-M)+\frac{\beta}{2\beta-1}(M^{2\beta-1}-k^{2\beta-1}M^{-(\beta-1)})\le G(t)&\jf t\gt M
\end{cases}$$
となることに注意すると
$$\int_{\{u\gt k\}}|D(G(u))|^2\le C\left(\int_{\{u\gt k\}}\left(\beta^2\bar{b}+\bar{c}+\beta\bar{d}\right)G(u)^2+\int_{T\cap\{u\gt k\}}\beta\bar{\sigma}G(u)^2\right)+C\left(\int_{\{u\gt k\}}(\beta^2\bar{b}+\beta\bar{d})+\int_{T\cap\{u\gt k\}}\beta\bar{\sigma}d\H^{n-1}\right)k^{2\beta}.$$
(\ref{E1})、(\ref{E2})より
$$\int_{\{u\gt k\}}|D(G(u))|^2\le \frac{1}{2}\int_{\{u\gt k\}}|D(G(u))|^2+C(\beta^\theta+1)\int_{\{u\gt k\}}G(u)^2+C\beta^2k^{2\beta},\theta=\theta_{n,q}\gt 2$$
となり
$$\int_{\{u\gt k\}}|D(G(u))|^2\le C\beta^\theta\left(\int_{\{u\gt k\}}G(u)^2+k^{2\beta}\right).$$
Sobolevの不等式より
$$\left(\int_{\{u\gt k\}}(u^\beta-k^\beta)^{2\chi}\right)^\frac{1}{\chi}\le C\beta^\theta\left(\int_{\{u\gt k\}}(u^\beta-k^\beta)^2+k^{2\beta}\right),\begin{cases}
\chi\colon=\frac{n}{n-2}&\jf n\ge 3\\
\chi\gt 1&\jf n=2
\end{cases}.$$
従って $u^+\in L^{2\chi\beta}(\Omega)$ で
$$\norm{u^+}_{2\chi\beta}+k\le \left(\int_{\{u\gt k\}}(u^\beta-k^\beta)^{2\chi}\right)^\frac{1}{2\chi\beta}+Ck\le C^\frac{1}{2\beta}\beta^\frac{\theta}{2\beta}\left(\norm{u^+}_{2\beta}+k\right).$$
ここで $\beta=\chi^m\ (m=0,1,\ldots)$ ととると帰納法により $u^+\in L^{2\chi^m}(\Omega)\ (m=0,1,\ldots)$。さらに
$$\norm{u^+}_{2\chi^{m}}+k\le\left(\prod_{l=0}^{m-1}C^{\chi^{-l}}\chi^{2l\theta\chi^{-l}}\right)\left(\norm{u^+}_2+k\right).$$
$m\to\infty$ として
$$\sup_{\Omega}u^+\le C(\norm{u^+}_2+k)$$
を得る。$k$ のとりかたより主張が従う。
{{end|proof}}

{{theorem|type=lem|name=凸関数と劣解の合成|label=convex}}
$|\Omega|\lt\infty$ とする。$b_i,c_i,d,\sigma,f,g,\varphi_2$ は(\ref{C1})と(\ref{C2})と
$$\int_\Omega\left(dv-\sum_i b_iD_iv\right)+\int_T \sigma vd\H^{n-1}\le 0\ (\forall v\in C^1_c(\OmT),v\ge 0)
\tag{C5}\label{C5}$$
をみたすとし、$k\ge 0$ とする。$u\in W^{1,2}(\Omega)$ が $\displaystyle Lu\ge\sum_i D_if_i+g$ in $\Omega$、$\displaystyle Nu\le\sum_i\nu_if_i+\varphi_2$ on $T$、$w\colon=(u-k)^+$ をみたすとする。$H\in C^2([0,\infty))\cap C^{1,1}([0,\infty))$ は凸かつ非減少で $H(0)=0$ をみたすとすると $H(w)$ は
$$\left\{\begin{align*}
\sum_iD_i\left(\sum_ja_{ij}D_j(H(w))\right)+\sum_i(b_i+c_i)D_i(H(w))&\ge\sum_iH'(w)f_i-\left(\frac{1}{4\lambda}H^{\prime\prime}(w)|f|^2+H'(w)g\right)& &\inn\Omega\\
H(u)&=0& &\on\pOm\backslash T\\
\sum_{i,j}a_{ij}\nu_iD_j(H(u))&\le \sum_iH'(w)f_i\nu_i+H'(w)\varphi_2& &\on T
\end{align*}\right.$$
をみたす。すなわち $H(w)\in W^{1,2}_0(\OmT)$ で
$$\int_\Omega\left(\sum_{i,j}a_{ij}D_i(H(w))D_jv-\sum_i(b_i+c_i)D_i(H(w))v\right)\le\int_\Omega\left(H'(w)\sum_i f_iD_iv+\left(\frac{1}{4\lambda}H^{\prime\prime}(w)|f|^2+H'(w)g\right)v\right)+\int_TH'(w)\varphi_2vd\H^{n-1}\ (\forall v\in W^{1,2}_0(\OmT),v\ge 0).$$

{{begin|proof}}
$H\in C^{2,1}(\R)$ の場合を示す。$v\in C^1_c(\OmT)$、$v\ge 0$ について
\begin{align*}
&\quad\L(u,H'(w)v)\\
&=\int_\Omega\left(\sum_{i,j}a_{ij}H'(w)D_juD_iv-\sum_ic_iH'(w)D_iuv\right)+\int_\Omega\left(\sum_ib_iD_i(H'(w)uv)-dH'(w)uv\right)+\int_T\sigma H'(w)uvd\H^{n-1}+\int_\Omega\left(H^{\prime\prime}(w)\sum_{i,j}a_{ij}D_iuD_juv-\sum_ib_iH'(w)D_iuv\right)\\
&\ge\int_\Omega\left(\sum_{i,j}a_{ij}H'(w)D_jwD_iv-\sum_i(b_i+c_i)H'(w)D_iwv\right)+\lambda\int_\Omega H^{\prime\prime}(w)|Dw|^2v.
\end{align*}
一方、
\begin{align*}
&\quad\int_\Omega\left(\sum_i f_iD_i(H'(u^+)v)+gH'(u^+)v\right)+\int_T\varphi_2H'(u^+)v\\
&=\int_\Omega\left(H'(u^+)\sum_i f_iD_iv+H^{\prime\prime}(u^+)\sum_i f_iD_iuv+H'(u^+)gv\right)+\int_TH'(u^+)\varphi_2v\\
&\le\int_\Omega\left(H'(u^+)\sum_i f_iD_iv+\left(\frac{1}{4\lambda}H^{\prime\prime}(u)|f|^2+H'(u^+)g\right)v\right)+\int_TH'(u^+)\varphi_2v+\lambda\int_\Omega H^{\prime\prime}(u^+)|Du|^2v.
\end{align*}
これより主張が従う。
{{end|proof}}

{{theorem|type=def|name=$\sup_{\pOm\backslash T}u$|label=ineqbdr}}
$u\in W^{1,2}(\Omega)$ について
$$\sup_{\pOm\backslash T}u\colon=\inf\{k\colon u\le k\ \inn\ \pOm\backslash T\}$$
と定める。$\inf_{\pOm\backslash T}u$ も同様に定義する。

{{theorem|type=rmk}}
$\displaystyle k\ge\sup_{\pOm\backslash T}u$ とすると $(u-k)^+\in W^{1,2}_0(\OmT)$ が成り立つ。実際、$\displaystyle k\gt\sup_{\pOm\backslash T}u$ とすると $\displaystyle l\in\left(k,\sup_\Omega u\right)$ であって $(u-l)^+\in W^{1,2}_0(\OmT)$ となるものが存在し、$(u-k)^+=((u-l)^+-(k-l))^+$ であるから $(u-k)^+\in W^{1,2}_0(\OmT)$ も成り立つ。$\displaystyle k\to \sup_{\pOm\backslash T}u+0$ により $\displaystyle k=\sup_{\pOm\backslash T}u$ の場合も従う。

{{theorem|type=thm|name=弱解の大域有界性2|label=wglob2}}
$\Omega$ は $|\Omega|\lt\infty$ かつ $1\notin W^{1,2}_0(\OmT)$ をみたすとする。$b_i,c_i,d,\sigma,f_i,g,\varphi_2$ は(\ref{C1})、(\ref{C4})をみたし、さらに

をみたすとする。

$u\in W^{1,2}_0(\OmT)$ が $\displaystyle Lu\ge(\le,=)\sum_i D_if-g$ in $\Omega$、$Nu\le(\ge,=)\varphi_2$ on $T$ をみたすとすると
$$\sup_{\Omega}u(-u,|u|)\le C_{q,\Omega,T,\mu}\left(\sup_{\pOm}u^+(u^-,|u|)+\lambda^{-1}\left(\norm{f}_{q;\Omega}+\norm{g}_{\frac{q}{2};\Omega}+\norm{\varphi_2}_{q-1;T}\right)\right).$$
{{begin|proof}}

{{end|proof}}

Marcinkiewiczの補間定理

2022-09-28T17:41:43Z

PSX:

<noinclude>
{{TOC |align=right |noautonum=1 }}
</noinclude>
{{begin |preamble}}
$$
\newcommand{\R}{\mathbb{R}}
\newcommand{\C}{\mathbb{C}}
\newcommand{\K}{\mathbb{K}}
\newcommand{\Z}{\mathbb{Z}}
\newcommand{\Q}{\mathbb{Q}}
\newcommand{\H}{\mathcal{H}}
\newcommand{\Zp}{\mathbb{Z}_{\ge 1}}
\newcommand{\Zz}{\mathbb{Z}_{\ge 0}}
\newcommand{\M}{\mathbb{M}}
\newcommand{\B}{\mathcal{B}}
\newcommand{\D}{\mathcal{D}}
\newcommand{\F}{\mathcal{F}}
\newcommand{\G}{\mathcal{G}}
\newcommand{\L}{\mathcal{L}}
\newcommand{\n}{\mathbf{n}}
\newcommand{\Rnp}{\mathbb{R^n_+}}
\newcommand{\Rnn}{\mathbb{R^n_-}}
\newcommand{\pRnp}{\mathbb{\partial R^n_+}}
\newcommand{ae}{\mathrm{a.e.}\ }
\newcommand{\inn}{\ \mathrm{in}\ }
\newcommand{\on}{\ \mathrm{on}\ }
\newcommand{\for}{\ \mathrm{for}\ }
\newcommand{\jf}{\ \mathrm{if }\ }
\newcommand{\det}{\operatorname{det}}
\newcommand{\dim}{\operatorname{dim}}
\newcommand{\Ker}{\operatorname{Ker}}
\newcommand{\sgn}{\operatorname{sgn}}
\newcommand{\wid}{\operatorname{wid}}
\newcommand{\diam}{\operatorname{diam}}
\newcommand{\dist}{\operatorname{dist}}
\newcommand{\supp}{\operatorname{supp}}
\newcommand{\avg}{\sout{\int}}
\newcommand{\rcpt}{\subset\subset}
\newcommand{\loc}{\rm{loc}}
\newcommand{\implies}{\ \Rightarrow\ }
\newcommand{\iff}{\ \Leftrightarrow\ }
\newcommand{\pardif}[2]{\frac{\partial{#1}}{\partial{#2}}}
\newcommand{\Bb}{\overline{B}}
\newcommand{\Ombar}{\overline{\Omega}}
\newcommand{\OmT}{\Omega\cup T}
\newcommand{\pOm}{\partial\Omega}
\renewcommand{\Re}{\operatorname{Re}}
\renewcommand{\Im}{\operatorname{Im}}
\DeclareMathOperator*{\osc}{osc}
\DeclareMathOperator*{\essosc}{ess\, osc}
\DeclareMathOperator*{\esssup}{ess\, sup}
\DeclareMathOperator*{\essinf}{ess\, inf}
$$
{{end|preamble}}
Marcinkiewiczの補間定理は、線型ないし非線形の作用素のノルムの評価に用いられる実解析学の定理である。

==弱 $L^p$ 空間==
$p\in[1,\infty)$ とする。測度空間 $X=(X,\mu)$ について関数空間 $L^{p,w}(X)$ を
$$L^{p,w}(X)\colon=\left\{f\colon X\to \R\ \colon\ [f]_{p;X}\colon=\sup_{t\gt 0} t\mu(\{x\in X\colon |f(x)|\gt t\})^\frac{1}{p}\lt\infty\right\}$$
と定め、弱 $L^p$ 空間という。$[\cdot]_{p;X}$ を弱 $L^p$ 準ノルムという。

$p=\infty$ のときは $L^{\infty,w}(X)\colon=L^\infty(X)$、$[\cdot]_{\infty;X}\colon=||\cdot||_{\infty;X}$ と定める。

==主張==
$1\le p\le q\le\infty$、$p',q'\in[1,\infty]$、$p'\neq q'$、$p\le p'$、$q\le q'$ とする。$X=(X,\mu),Y=(Y,\nu)$ を測度空間とする。$E$ は $L^p(X)+L^q(Y)$ の線形部分空間であって、任意の $f\in E$ と $s\gt 0$ について、
$$h(x)\colon=\begin{cases}
-s&\colon f(x)\lt -s\\
f(x)&\colon |f(x)|\le s\\
s&\colon f(x)\gt s
\end{cases}$$
とすると $h\in E$ となるとする。

$T$ は $E$ から $Y$ 上の可測関数の空間への作用素で次をみたすとする:
*(1) $f,g\in E$ について $|T(f+g)|\le |Tf|+|Tg|\ \nu-\ae\on Y$。
*(2) $T(E\cap L^p(X))\subset L^{p',w}(Y)$ で、正の定数 $A_1$ が存在し $f\in E\cap L^p(X)$ について $[Tf]_{p',Y}\le A_1||f||_{p;X}.$
*(3) $T(E\cap L^q(X))\subset L^{q',w}(Y)$ で、正の定数 $A_2$ が存在し $f\in E\cap L^q(X)$ について $[Tf]_{q',Y}\le A_2||f||_{q;X}.$
$\theta\in(0,1)$ とし、$r\colon=((1-\theta)p^{-1}+\theta q^{-1})^{-1}$、$r'\colon=((1-\theta)p'^{-1}+\theta q'^{-1})^{-1}$ とすると、
$$T(E\cap L^r(X))\subset L^{r'}(Y),||Tf||_{r';X}\le C_{p,q,p',q',\theta}A_1^{1-\theta}A_2^\theta||f||_{r;X}\ (f\in E\cap L^r(X)).$$

==証明==
{{begin|proof|collapsible=1}}
(i) $p\lt q$ かつ $p',q'\lt\infty$ の場合を示す。このとき $p\lt q\lt\infty$ である。

$f\in (E\cap L^r(X))\backslash\{0\}$、$s\ge 0$ とし、$\mu$ -可測関数 $g,h$ を
$$g(x)\colon=\begin{cases}
f(x)+s&\colon f(x)\lt -s\\
0&\colon |f(x)|\le s\\
f(x)-s&\colon f(x)\gt s
\end{cases},h\colon=f-g=\begin{cases}
-s&\colon f(x)\lt -s\\
f(x)&\colon |f(x)|\le s\\
s&\colon f(x)\gt s
\end{cases}$$
とする。仮定より $g,h\in E$ で、
$$|g|=\max\{|f|-s,0\},|h|=\min\{|f|,s\}$$
となることに注意する。$p\lt r$ より
\begin{align*}
\int_X |g|^pd\mu&=p\int_0^\infty \mu(\{|g|\gt \tau\})\tau^{p-1}d\tau\\
&=p\int_0^\infty\mu(\{|f|\gt \tau+s\})\tau^{p-1}d\tau\\
&=p\int_s^\infty\mu(\{|f|\gt \tau\})(\tau-s)^{p-1}d\tau\\
&\le p\int_s^\infty\mu(\{|f|\gt \tau\})\tau^{p-1}d\tau\\
&\le ps^{p-r}\int_s^\infty\mu(\{|f|\gt \tau\})\tau^{r-1}d\tau\\
&\le \frac{p}{r}s^{p-r}\int_X |f|^rd\mu
\end{align*}
であるから仮定より $t\gt 0$ について
$$\nu(\{|Tg|\gt t\})\le A_1^{p'}\left(p\int_s^\infty\mu(\{|f|\gt \tau\})\tau^{p-1}d\tau\right)^\frac{p'}{p}t^{-p'}.$$
また $q\gt r$ より
\begin{align*}
\int_X |h|^qd\mu&=q\int_0^\infty\mu(\{|g|\gt \tau\})\tau^{q-1}d\tau\\
&=q\int_0^s \mu(\{|f|\gt \tau\})\tau^{q-1}d\tau\\
&=qs^{q-r}\int_0^s \mu(\{|f|\gt \tau\})\tau^{r-1}d\tau\\
&\le\frac{q}{r}s^{q-r}\int_X |f|^rd\mu
\end{align*}
であるから仮定より $t\gt 0$ について
$$\nu(\{|Th|\gt t\})\le A_2^{q'}\left(q\int_0^s \mu(\{|f|\gt \tau\})\tau^{q-1}d\tau\right)^\frac{q'}{q}t^{-q'}.$$
$f=g+h$ より $|Tf|\le|Tg|+|th|$。 $t\gt 0$ について、一般に $a,b\ge 0$、$a+b\gt t$ であれば $a\gt\frac{t}{2}$ あるいは $b\gt\frac{t}{2}$ となることに注意すると
\begin{align*}
\nu(\{|Tf|\gt t\})&\le\nu(\{|Tg|+|Th|\gt t\})\\
&\le\nu\left(\left\{|Tg|\gt\frac{t}{2}\right\}\cup\left\{|Th|\gt\frac{t}{2}\right\}\right)\\
&\le(2A_1)^{p'}\left(p\int_s^\infty\mu(\{|f|\gt \tau\})\tau^{p-1}d\tau\right)^\frac{p'}{p}t^{-p'}+(2A_2)^{q'}\left(q\int_0^s \mu(\{|f|\gt \tau\})\tau^{q-1}d\tau\right)^\frac{q'}{q}t^{-q'}.
\end{align*}
ここで $L\ge 0$ とし、$\sigma\in\R$ を $p'\lt q'$ のときは $\sigma\in(0,\frac{q'}{q'-r'}]$、$p'\gt q'$ のときは $\sigma\in[\frac{q'}{q'-r'},0)$ となるようにとる。$s=(L^{-1}t)^{\sigma^{-1}}$ ととると
$$\nu(\{|Tf|\gt t\})\le(2A_1)^{p'}\left(p\int_{(L^{-1}t)^{\sigma^{-1}}}^\infty\mu(\{|f|\gt \tau\})\tau^{p-1}d\tau\right)^\frac{p'}{p}t^{-p'}+(2A_2)^{q'}\left(q\int_0^{(L^{-1}t)^{\sigma^{-1}}} \mu(\{|f|\gt \tau\})\tau^{q-1}d\tau\right)^\frac{q'}{q}t^{-q'}.$$
よって
\begin{align*}
\int_Y |Tf|^{r'}d\nu&=r'\int_0^\infty \nu(\{|Tf|\gt t\})t^{r'-1}dt\\
&\le C\Biggl(A_1^{p'}\int_0^\infty\left(p\int_{(L^{-1}t)^{\sigma^{-1}}}^\infty\mu(\{|f|\gt \tau\})\tau^{p-1}d\tau\right)^\frac{p'}{p}t^{r'-p'-1}dt\Biggr.\\
&\quad \Biggl.+A_2^{q'}\int_0^\infty\left(q\int_0^{(L^{-1}t)^{\sigma^{-1}}} \mu(\{|f|\gt \tau\})\tau^{q-1}d\tau\right)^\frac{q'}{q}t^{r'-q'-1}dt\Biggr).
\end{align*}
$p'\lt q'$ のとき、$\sigma\gt 0$、$\frac{p'}{p},\frac{q'}{q}\le 1$、$p'\lt r'\lt q'$ に注意すると積分形のMinkowskiの不等式([[Sobolev空間とSobolevの不等式]]の補題13)より
\begin{equation}
\begin{aligned}
\int_0^\infty\left(\int_{(L^{-1}t)^{\sigma^{-1}}}^\infty\mu(\{|f|\gt \tau\})\tau^{p-1}d\tau\right)^\frac{p'}{p}t^{r'-p'-1}dt&\le\left(\int_0^\infty\left(\int_0^{L\tau^\sigma} t^{r'-p'-1}dt\right)^\frac{p}{p'}\mu(\{|f|\gt \tau\})\tau^{p-1}d\tau\right)^\frac{p'}{p}\\
&=\left(\int_0^\infty \left(\frac{1}{r'-p'}(L\tau^\sigma)^{r'-p'}\right)^\frac{p}{p'}\mu(\{|f|\gt \tau\})\tau^{p-1}d\tau\right)^\frac{p'}{p}\\
&=\frac{1}{r'-p'}L^{r'-p'}\left(\int_0^\infty \mu(\{|f|\gt \tau\})\tau^{\sigma(r'-p')\frac{p}{p'}+p-1}d\tau\right)^\frac{p'}{p}\\
&\le CL^{r'-p'}\int_X |f|^{\sigma(r'-p')\frac{p}{p'}+p}d\mu,\\
\int_0^\infty\left(\int_0^{(L^{-1}t)^{\sigma^{-1}}} \mu(\{|f|\gt \tau\})\tau^{q-1}d\tau\right)^\frac{q'}{q}t^{r'-q'-1}dt&\le\left(\int_0^\infty\left(\int_{L\tau^\sigma}^\infty t^{r'-q'-1}dt\right)^\frac{q}{q'}\mu(\{|f|\gt \tau\})\tau^{q-1}d\tau\right)^\frac{q'}{q}\\
&=\left(\int_0^\infty \left(\frac{1}{q'-r'}(L\tau^\sigma)^{r'-q'}\right)^\frac{q}{q'}\mu(\{|f|\gt \tau\})\tau^qd\tau\right)^\frac{q'}{q}\\
&=\frac{1}{q'-r'}L^{r'-q'}\left(\int_0^\infty \mu(\{|f|\gt \tau\})\tau^{\sigma(r'-q')\frac{q}{q'}+q-1}d\tau\right)^\frac{q'}{q}\\
&\le CL^{r'-q'}\int_X |f|^{\sigma(r'-q')\frac{q}{q'}+q}d\mu.
\end{aligned}
\tag{*}\label{mi1}\end{equation}
$p'\gt q'$ のときは $\sigma\lt 0$、$q'\lt r'\lt p'$ に注意すると
\begin{equation}
\begin{aligned}
\int_0^\infty\left(\int_{(L^{-1}t)^{\sigma^{-1}}}^\infty\mu(\{|f|\gt \tau\})\tau^{p-1}d\tau\right)^\frac{p'}{p}t^{r'-p'-1}dt&\le\left(\int_0^\infty\left(\int_{L\tau^\sigma}^\infty t^{r'-p'-1}dt\right)^\frac{p}{p'}\mu(\{|f|\gt \tau\})\tau^{p-1}d\tau\right)^\frac{p'}{p}\\
&=\left(\int_0^\infty \left(\frac{1}{p'-r'}(L\tau^\sigma)^{r'-p'}\right)^\frac{p}{p'}\mu(\{|f|\gt \tau\})\tau^{p-1}d\tau\right)^\frac{p'}{p}\\
&=\frac{1}{p'-r'}L^{r'-p'}\left(\int_0^\infty \mu(\{|f|\gt \tau\})\tau^{\sigma(r'-p')\frac{p}{p'}+p-1}d\tau\right)^\frac{p'}{p}\\
&\le CL^{r'-p'}\int_X |f|^{\sigma(r'-p')\frac{p}{p'}+p}d\mu,\\
\int_0^\infty\left(\int_0^{(L^{-1}t)^{\sigma^{-1}}} \mu(\{|f|\gt \tau\})\tau^{q-1}d\tau\right)^\frac{q'}{q}t^{r'-q'-1}dt&\le\left(\int_0^\infty\left(\int_0^{L\tau^\sigma} t^{r'-q'-1}dt\right)^\frac{q}{q'}\mu(\{|f|\gt \tau\})\tau^{q-1}d\tau\right)^\frac{q'}{q}\\
&=\left(\int_0^\infty \left(\frac{1}{r'-q'}(L\tau^\sigma)^{r'-q'}\right)^\frac{q}{q'}\mu(\{|f|\gt \tau\})\tau^qd\tau\right)^\frac{q'}{q}\\
&=\frac{1}{r'-q'}L^{q'-r'}\left(\int_0^\infty \mu(\{|f|\gt \tau\})\tau^{\sigma(r'-q')\frac{q}{q'}+q-1}d\tau\right)^\frac{q'}{q}\\
&\le CL^{r'-q'}\int_X |f|^{\sigma(r'-q')\frac{q}{q'}+q}d\mu.
\end{aligned}
\tag{**}\label{mi2}\end{equation}
ここで
$$\frac{p'(r-p)}{p(r'-p')}=\frac{r'^{-1}(p'^{-1}-r'^{-1})}{r^{-1}(p^{-1}-r^{-1})}=\frac{r'^{-1}\theta(q'^{-1}-p'^{-1})}{r^{-1}\theta(q^{-1}-p^{-1})}=\frac{r'^{-1}(1-\theta)(q'^{-1}-p'^{-1})}{r^{-1}(1-\theta)(q^{-1}-p^{-1})}=\frac{r'^{-1}(q'^{-1}-r'^{-1})}{r^{-1}(q^{-1}-r^{-1})}=\frac{q'(r-q)}{q(r'-q')}$$
となる。この値を $\sigma$ とすれば $p'\lt q'$ のときは $\sigma\in(0,\frac{q'}{q'-r'}]$、$p'\gt q'$ のときは $\sigma\in[\frac{q'}{q'-r'},0)$ で
$$\sigma(r'-p')\frac{p}{p'}+p=\sigma(r'-q')\frac{q}{q'}+q=r$$
となり
$$\int_0^\infty\left(\int_{(L^{-1}t)^{\sigma^{-1}}}^\infty\mu(\{|f|\gt \tau\})\tau^{p-1}d\tau\right)^\frac{p'}{p}t^{r'-p'+1}dt\le CL^{r'-p'}\left(\int_X |f|^rd\mu\right)^\frac{p'}{p}$$
かつ
$$\int_0^\infty\left(\int_0^{(L^{-1}t)^{\sigma^{-1}}} \mu(\{|f|\gt \tau\})\tau^{q-1}d\tau\right)^\frac{q'}{q}t^{r'-q'+1}dt\le CL^{r'-q'}\left(\int_X |f|^rd\mu\right)^\frac{q'}{q}.$$
よって
$$\int_Y |Tf|^{r'}d\nu\le C\left(A_1^{p'}L^{r'-p'}\left(\int_X |f|^rd\mu\right)^\frac{p'}{p}+A_2^{q'}L^{r'-q'}\left(\int_X |f|^rd\mu\right)^\frac{q'}{q}\right).$$
\begin{gather}
\frac{\frac{r'}{r}-\frac{p'}{p}}{r'-p'}=\frac{p'^{-1}r^{-1}-p^{-1}r'^{-1}}{p'^{-1}-r'^{-1}}=\frac{p'^{-1}((1-\theta)p^{-1}+\theta q^{-1})-p^{-1}((1-\theta)p'^{-1}+\theta q'^{-1})}{p'^{-1}-((1-\theta)p'+\theta q')}=\frac{p'^{-1}q^{-1}-p^{-1}q'^{-1}}{p'^{-1}-q'^{-1}}=\frac{\frac{q'}{q}-\frac{p'}{p}}{q'-p'},\\
\frac{\frac{r'}{r}-\frac{q'}{q}}{r'-q'}=\frac{\frac{p'}{p}-\frac{q'}{q}}{p'-q'}=\frac{\frac{q'}{q}-\frac{p'}{p}}{q'-p'}
\end{gather}
であるから
$$L=\left(\frac{A_2^{q'}}{A_1^{p'}}\right)^\frac{1}{q'-p'}\left(\int_X |f|^rd\mu\right)^\frac{\frac{q'}{q}-\frac{p'}{p}}{q'-p'}$$
とすれば
\begin{align*}
\int_Y |Tf|^{r'}d\nu&\le CA_1^\frac{p'(q'-r')}{q'-p'}A_2^\frac{q'(r'-p')}{q'-p'}\left(\int_X |f|^rd\mu\right)^\frac{r'}{r}.
\end{align*}
\begin{equation}
\begin{gathered}
\frac{p'(q'-r')}{r'(q'-p')}=\frac{r'^{-1}-q'^{-1}}{p^{-1}-q^{-1}}=\frac{((1-\theta)p'^{-1}+\theta q'^{-1})-q^{-1}}{p^{-1}-q^{-1}}=1-\theta,\\
\frac{q'(r'-p')}{r'(q'-p')}=\frac{p'^{-1}-r'^{-1}}{p^{-1}-q^{-1}}=\frac{p'^{-1}-((1-\theta)p'^{-1}+\theta q'^{-1})}{p^{-1}-q^{-1}}=\theta
\end{gathered}
\tag{***}\label{***}\end{equation}
であるから
$$||Tf||_{r'}\le CA_1^{1-\theta}A_2^\theta||f||_r$$
が成り立つ。

(ii) $p\lt q$ かつ $p'=\infty$ の場合を示す。このとき $p\lt q\le q'\lt\infty$。

$f\in (E\cap L^r(X))\backslash\{0\}$、$s\ge 0$ とし、(i)と同様に $g,h$ を定めると仮定より
$$||Tg||_\infty\le \frac{p}{r}A_1s^\frac{p-r}{p}\left(\int_X|f|^rd\mu\right)^\frac{1}{p}$$
であるから
$$\nu(\{|Tg|\gt t\})=0\ \jf\ t\ge \frac{p}{r}A_1s^\frac{p-r}{p}\left(\int_X|f|^rd\mu\right)^\frac{1}{p}.$$
$\nu(\{|Th|\gt t\})$ の評価は(i) と同様である。よって
$$\nu(\{|Tf|\gt t\})\le \frac{q}{r}(2A_2)^{q'}\left(q\int_0^s\mu(\{|f|\gt\tau\})\tau^{q-1} d\tau\right)^\frac{q'}{q}t^{-q'}\ \jf t\ge \frac{p}{r}(2A_1)s^\frac{p-r}{p}\left(\int_X|f|^rd\mu\right)^\frac{1}{p}.$$
$t\gt 0$ について、$\sigma\colon=\frac{p-r}{p}$、$L\colon=2A_1\left(\int_X|f|^rd\mu\right)^\frac{1}{p}$ として $s=(L^{-1}t)^{\sigma^{-1}}$ とすれば $t=Ls^\sigma=2A_1s^\frac{p-r}{p}\left(\int_X|f|^rd\mu\right)^\frac{1}{p}$ となる。これより
$$\nu(\{|Tf|\gt t\})\le CA_2^{q'}\left(\int_0^{Ls^\sigma}\mu(\{|f|\gt\tau\})\tau^{q-1} d\tau\right)^\frac{q'}{q}t^{-q'}$$
となり
$$\int_Y|Tf|^{r'}d\nu\le CA_2^{q'}\int_0^\infty\left(\int_0^{Ls^\sigma}\mu(\{|f|\gt\tau\})\tau^{q-1} d\tau\right)^\frac{q'}{q}t^{r'-q'-1}dt.$$
$\sigma\lt 0$ であるから(\ref{mi2})と同様の評価により
$$\int_0^\infty\left(\int_{\{|f|\le (L^{-1}t)^{-\sigma}\}}|f|^qd\mu\right)^\frac{q'}{q}t^{r'-q'-1}dt\le CL^{r'-q'}\left(\int_X |f|^{\sigma(r'-q')\frac{q}{q'}+q}d\mu\right)^\frac{q'}{q}.$$
よって
$$\int_Y|Tf|^{r'}d\nu\le CA_2^{q'}L^{r'-q'}\left(\int_X |f|^{\sigma(r'-q')\frac{q}{q'}+q}d\mu\right)^\frac{q'}{q}.$$
ここで $r'^{-1}=\theta q'^{-1}$ に注意すると
$$\frac{r'-q'}{p}+\frac{q'}{q}=p^{-1}(r'-q')+q^{-1}q'=p^{-1}(r'-\theta r')+q^{-1}r'=((1-\theta)p^{-1}+q^{-1})r'=\frac{r'}{r}.$$
また
$$\sigma(r'-q')\frac{q}{q'}=(r^{-1}-p^{-1})r(\theta^{-1}-1)q=\theta(q^{-1}-p^{-1})r(\theta^{-1}-1)q=(1-\theta)(q^{-1}-p^{-1})qr=(q^{-1}-r^{-1})qr=r-q.$$
従って
$$\int_Y|Tf|^{r'}d\nu\le CA_1^{r'-q'}A_2^{q'}\left(\int_X|f|^rd\mu\right)^\frac{r'-q'}{p}\left(\int_X |f|^{(r-q)+q}d\mu\right)^\frac{q'}{q}=(A_1^{1-\theta}A_2^{\theta})^{r'}\left(\int_X |f|^rd\mu\right)^\frac{r'}{r}$$
となり
$$||Tf||_{r'}\le CA_1^{1-\theta}A_2^{\theta}||f||_r$$
が成り立つ。

(iii) $p\lt q$ かつ $q'=\infty$ の場合を示す。このとき $p\le p'\lt\infty$。

$f\in (E\cap L^r(X))\backslash\{0\}$、$s\ge 0$ とし、(i)と同様に $g,h$ を定めると仮定より $||Th||_\infty\le A_2||h||_q$ であり、
$$\begin{cases}
||h||_q=\left(q\int_0^s\mu(\{|f|\gt\tau\})\tau^{q-1}d\tau\right)^\frac{1}{q}\le s^\frac{q-r}{q}\left(q\int_0^s\mu(\{|f|\gt\tau\})\tau^{r-1}d\tau\right)^\frac{1}{q}&\colon q\lt\infty\\
||h||_q\le s&\colon q=\infty
\end{cases}$$
であるから
$$L\colon=\begin{cases}
2A_2\left(q\int_0^s\mu(\{|f|\gt\tau\})\tau^{r-1}d\tau\right)^\frac{1}{q}&\colon q\lt\infty\\
2A_2&\colon q=\infty
\end{cases},\sigma\colon=\begin{cases}
\frac{q-r}{q}&\colon q\lt\infty\\
1&\colon q=\infty
\end{cases}$$
とすれば $||Th||_\infty\le \frac{1}{2}Ls^\sigma$ となり
$$\nu(\{|Th|\gt t\})=0\ \jf t\ge\frac{1}{2}Ls^\sigma.$$
$\nu(\{|Tg|\gt t\})$ の評価は (i) と同様である。よって
$$\nu(\{|Tf|\gt t\})\le (2A_1)^{p'}\left(p\int_s^\infty\mu(\{|f|\gt\tau\})\tau^{p-1}d\tau\right)^\frac{p'}{p}t^{-p'}\ \jf t\ge Ls^\sigma$$
となり $s=(L^{-1}t)^{\sigma^{-1}}$ とすれば
$$\nu(\{|Tf|\gt t\})\le CA_1^{p'}\left(\int_{(L^{-1}t)^{\sigma^{-1}}}^\infty\mu(\{|f|\gt\tau\})\tau^{p-1}d\tau\right)^\frac{p'}{p}t^{-p'}.$$
これより
$$\int_Y |Tf|^{r'}d\nu\le CA_1^{p'}\int_0^\infty\left(\int_{(L^{-1}t)^{\sigma^{-1}}}^\infty\mu(\{|f|\gt\tau\})\tau^{p-1}d\tau\right)^\frac{p'}{p}t^{r'-p'-1}dt.$$
$\sigma\gt 0$ であるから(\ref{mi1})と同様の評価により
$$\int_0^\infty\left(\int_{(L^{-1}t)^{\sigma^{-1}}}^\infty\mu(\{|f|\gt\tau\})\tau^{p-1}d\tau\right)^\frac{p'}{p}t^{r'-p'-1}dt\le CL^{r'-p'}\left(\int_X |f|^{\sigma(r'-p')\frac{p}{p'}+p}d\mu\right)^\frac{p'}{p}.$$
よって
$$\int_Y |Tf|^{r'}d\nu\le CA_1^{p'}L^{r'-p'}\left(\int_X |f|^{\sigma(r'-p')\frac{p}{p'}+p}d\mu\right)^\frac{p'}{p}.$$
$q\lt\infty$ のときは $p,q,p',\theta,A_1,A_2$ をそれぞれ $q,p,q',1-\theta,A_2,A_1$ におきかえて(ii)と同様の計算をすれば
$$||Tf||_{r'}\le CA_1^{1-\theta}A_2^{\theta}||f||_r$$
が従う。$q=\infty$ のときは $L=2A_2$、$\sigma=1$ で、$r=(1-\theta)^{-1}p$、$r'=(1-\theta)^{-1}p$ より $\frac{r}{r'}=\frac{p}{p'}$ となるので
$$\int_Y |Tf|^{r'}d\nu\le CA_1^{p'}A_2^{r'-p'}\left(\int_X |f|^{(r-p)+p}d\mu\right)^\frac{r'}{r}=C(A_1^{1-\theta}A_2^\theta)^{r'}\left(\int_X |f|^rd\mu\right)^\frac{r'}{r}$$
となり
$$||Tf||_{r'}\le CA_1^{1-\theta}A_2^{\theta}||f||_r$$
が成り立つ。

*(iv) $p=q$ かつ $p',q'\lt\infty$ の場合を示す。$p'\lt q'$ として一般性を失わない。任意の $f\in (E\cap L^p(X))\backslash\{0\}$ について
$$
\|Tf\|_{r'}\le C[Tf]_{p'}^{1-\theta}[Tf]_{q'}^\theta
$$
となることを示せばよい。

任意の $t\gt 0$ について
$$
\nu(\{|Tf|\gt t\})\le\min\{[Tf]_{p'}t^{-p'},[Tf]_{q'}t^{-q'}\}=\begin{cases}
[Tf]_{p'}^{p'}t^{-p'}&\colon t\le t_0\\
[Tf]_{q'}^{q'}t^{-q'}&\colon t\gt t_0
\end{cases}.$$
ここで
$$
t_0\colon=[Tf]_{p'}^{-\frac{p'}{q'-p'}}[Tf]_{q'}^\frac{q'}{q'-p'}.
$$
従って
\begin{align*}
\int_Y |Tf|^{r'}d\nu&\le r'\left(\int_0^{t_0}[Tf]_{p'}^{p'}t^{r'-p'-1}dt+\int_{t_0}^\infty [Tf]_{q'}^{q'}t^{r'-q'-1}dt \right)\\
&\le \frac{r'}{r'-p'}[Tf]_{p'}^{p'}t_0^{r'-p'}+\frac{r'}{q'-r'}[Tf]_{q'}^{q'}t_0^{r'-q'}\\
&=C[Tf]_{p'}^{(1-\theta)r'}[Tf]_{q'}^{\theta r'}.
\end{align*}
ここで(\ref{***})を用いた。

*(v) $p=q$ かつ $p'$ と $q'$ のいずれかが $\infty$ の場合を示す。$p'\lt\infty$、$q'=\infty$ として一般性を失わない。任意の $f\in L^p(X)\backslash\{0\}$ について
$$
\|Tf\|_{r'}\le C[Tf]_{p'}^{1-\theta}\|Tf\|_{\infty}^\theta
$$
となることを示せばよい。

任意の $t\gt 0$ について
$$
\nu(\{|Tf|\gt t\})\le\begin{cases}
[Tf]_{p'}^{p'}t^{-p'}&\colon t\lt\|Tf\|_{\infty}\\
0&\colon t\ge\|Tf\|_{\infty}
\end{cases}.$$
$p'=(1-\theta) r'$ であるから
\begin{align*}
\int_Y |Tf|^{r'}d\nu&\le r'\int_0^{\|Tf\|_\infty} [Tf]_{p'}^{p'}t^{r'-p'-1}dt\\
&\le\frac{r'}{r'-p'}[Tf]_{p'}^{p'}\|Tf\|_\infty^{r'-p'}\\
&=\frac{r'}{r'-p'}[Tf]_{p'}^{(1-\theta)r'}\|Tf\|_\infty^{\theta r'}.
\end{align*}
{{end|proof}}
==注意==
* $p\in[1,\infty)$ について $L^p(X)\subset L^{p,w}(X)$、$[f]_{p;X}\le||f||_{p;X}\ (f\in L^p(X))$ となる。弱 $L^1$ であるが $L^1$ でない関数としては $X=(0,1)$、$f(x)=\frac{1}{x}$ が挙げられる。実際、$f\notin L^1(0,1)$ であるが、$[f]_1=1$ である。
* 弱 $L^p$ 準ノルムは $[f+g]_{p;X}\le 2([f]_{p;X}+[g]_{q;X})$ をみたし、とくに $L^{p,w}(X)$ はベクトル空間になる。一方 $[f+g]_{p;X}\le [f]_{p;X}+[g]_{q;X}$ は成り立たない。例えば $X=(0,1)$、$f(x)=\frac{1}{x}$、$g(x)=\frac{1}{1-x}$ とすると $[f]_1=[g]_1=1$ であるが、$f+g$ の最小値は $4$ であることから $[f+g]_1\ge 4$ である。(実際には上の不等式より $[f+g]_1=4$。)
* 仮定をみたす $E$ としては次のようなものがある:
** $L^p(X)+L^q(X)$。
** $L^p(X)\cap L^q(X)$。
** $X$ が位相空間で $\mu$ がRadon測度の場合、台がコンパクトな連続関数の空間 $C_c(X)$。
** $X$ が距離空間で $\mu$ がRadon測度の場合、台がコンパクトな[[Lipschtz写像と関数空間|Lipschtz連続関数]]の空間$\operatorname{Lip}_c(X)$。
** $X$ が多様体で $\mu$ がRadon測度の場合、$C^\infty_c(X)$ は仮定をみたしていない。しかし、任意の $f\in C^\infty_c(X)$ と $s\gt 0$ と $\varepsilon\in(0,1)$ について $h_\varepsilon\in C^\infty_c(X)$ であって
$$|h_\varepsilon|\le|f|\inn X, h_\varepsilon(x)=f(x)\jf |f(x)|\le(1-\varepsilon)s,h_\varepsilon(x)=s\jf f(x)\le -s, h_\varepsilon(x)=s\jf f(x)\ge s$$
をみたすものが存在する。$h$ の代わりに $h_\varepsilon$ を用いて証明を修正することにより $E=C^\infty_c(X)$ の場合も同じ結果を示すことができる。
* 仮定(2)を「 $T$ は弱 $(p,p')$ 型である」ということがある。これと対比し、$T$ が $L^p(X)$ から $L^{p'}(Y)$ への有界線型作用素となっているとき「 $T$ は強 $(p,p')$ 型である」という。

==応用例==
Marcinkiewiczの補間定理の簡単な応用例として、Hardy-Littlewoodの極大関数
$$Mf(x)\colon=\sup_{r\gt 0}\frac{1}{|B_r(x)|}\int_{B_r(x)}|f|\ (f\in L^1_{\loc}(\R^n))$$
が $r\in(1,\infty]$、$f\in L^r(\R^n)$ について
$$Mf\in L^r(\R^n), ||Mf||_r\le C_{n,r}||f||_r$$
をみたすことを示す。

明らかに $f,g\in L^1_{\loc}(\R^n)$ について $|M(f+g)|\le|Mf|+|Mg|\ \ae\inn\R^n$。また、$f\in L^\infty(\R^n)$ とすると明らかに $Mf\in L^\infty(\R^n)$、$||Mf||_\infty\le ||f||_\infty$。一方[[測度と積分8：Lebesgue測度の基本的性質]]の命題38.4より $f\in L^1(\R^n)$ とすると $Mf\in L^{1,w}(\R^n)$、$[Mf]_1\le 3^n||f||_1$。Marcinkiewiczの補間定理を $p=1$、$q=\infty$、$E=L^1(\R^n)+L^\infty(\R^n)$ として用いれば $r\in(1,\infty)$、$f\in L^r(\R^n)$ についても $Mf\in L^r(\R^n)$、$||Mf||_r\le C_{n,r}||f||_r$ が示される。

==参考文献==
*David Gilbarg , Neil S. Trudinger「Elliptic Partial Differential Equations of Second Order」
*Gerald B. Folland「Real Analysis: Modern Techniques and Their Applications」

Marcinkiewiczの補間定理

2022-09-27T07:40:45Z

PSX: /* 主張 */

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{{TOC |align=right |noautonum=1 }}
</noinclude>
{{begin |preamble}}
$$
\newcommand{\R}{\mathbb{R}}
\newcommand{\C}{\mathbb{C}}
\newcommand{\K}{\mathbb{K}}
\newcommand{\Z}{\mathbb{Z}}
\newcommand{\Q}{\mathbb{Q}}
\newcommand{\H}{\mathcal{H}}
\newcommand{\Zp}{\mathbb{Z}_{\ge 1}}
\newcommand{\Zz}{\mathbb{Z}_{\ge 0}}
\newcommand{\M}{\mathbb{M}}
\newcommand{\B}{\mathcal{B}}
\newcommand{\D}{\mathcal{D}}
\newcommand{\F}{\mathcal{F}}
\newcommand{\G}{\mathcal{G}}
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\newcommand{\n}{\mathbf{n}}
\newcommand{\Rnp}{\mathbb{R^n_+}}
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\newcommand{\pRnp}{\mathbb{\partial R^n_+}}
\newcommand{ae}{\mathrm{a.e.}\ }
\newcommand{\inn}{\ \mathrm{in}\ }
\newcommand{\on}{\ \mathrm{on}\ }
\newcommand{\for}{\ \mathrm{for}\ }
\newcommand{\jf}{\ \mathrm{if }\ }
\newcommand{\det}{\operatorname{det}}
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\newcommand{\dist}{\operatorname{dist}}
\newcommand{\supp}{\operatorname{supp}}
\newcommand{\avg}{\sout{\int}}
\newcommand{\rcpt}{\subset\subset}
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\newcommand{\implies}{\ \Rightarrow\ }
\newcommand{\iff}{\ \Leftrightarrow\ }
\newcommand{\pardif}[2]{\frac{\partial{#1}}{\partial{#2}}}
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\newcommand{\Ombar}{\overline{\Omega}}
\newcommand{\OmT}{\Omega\cup T}
\newcommand{\pOm}{\partial\Omega}
\renewcommand{\Re}{\operatorname{Re}}
\renewcommand{\Im}{\operatorname{Im}}
\DeclareMathOperator*{\osc}{osc}
\DeclareMathOperator*{\essosc}{ess\, osc}
\DeclareMathOperator*{\esssup}{ess\, sup}
\DeclareMathOperator*{\essinf}{ess\, inf}
$$
{{end|preamble}}
Marcinkiewiczの補間定理は、線型ないし非線形の作用素のノルムの評価に用いられる実解析学の定理である。

==弱 $L^p$ 空間==
$K$ を $\R$ または $\C$ とし、$p\in[1,\infty)$ とする。測度空間 $X=(X,\mu)$ について関数空間 $L^{p,w}(X)$ を
$$L^{p,w}(X)\colon=\left\{f\colon X\to K\ \colon\ [f]_{p;X}\colon=\sup_{t\gt 0} t\mu(\{x\in X\colon |f(x)|\gt t\})^\frac{1}{p}\lt\infty\right\}$$
と定め、弱 $L^p$ 空間という。$[\cdot]_{p;X}$ を弱 $L^p$ 準ノルムという。

$p=\infty$ のときは $L^{\infty,w}(X)\colon=L^\infty(X)$、$[\cdot]_{\infty;X}\colon=||\cdot||_{\infty;X}$ と定める。

==主張==
$1\le p\le q\le\infty$、$p',q'\in[1,\infty]$、$p'\neq q'$、$p\le p'$、$q\le q'$ とする。$X=(X,\mu),Y=(Y,\nu)$ を測度空間とし、$T$ を $L^p(X)+L^q(X)$ から $X$ 上の可測関数の空間への作用素で次をみたすとする:
*(1) $f\in L^p(X)$ と $g\in L^q(X)$ について $|T(f+g)|\le |Tf|+|Tg|\ \nu-\ae\on Y$。
*(2) $T(L^p(X))\subset L^{p',w}(Y)$ で、正の定数 $A_1$ が存在し $f\in L^p(X)$ について $[Tf]_{p',Y}\le A_1||f||_{p;X}.$
*(3) $T(L^q(X))\subset L^{q',w}(Y)$ で、正の定数 $A_2$ が存在し $f\in L^q(X)$ について $[Tf]_{q',Y}\le A_2||f||_{q;X}.$
$\theta\in(0,1)$ とし、$r\colon=((1-\theta)p^{-1}+\theta q^{-1})^{-1}$、$r'\colon=((1-\theta)p'^{-1}+\theta q'^{-1})^{-1}$ とすると、
$$T(L^r(X))\subset L^{r'}(Y),||Tf||_{r';X}\le C_{p,q,p',q',\theta}A_1^{1-\theta}A_2^\theta||f||_{r;X}\ (f\in L^r(X)).$$

==証明==
{{begin|proof|collapsible=1}}
(i) $p',q'\lt\infty$ の場合を示す。このとき $p\le q\lt\infty$ である。

$f\in L^r(X)$、$s\ge 0$ とし、$g\colon=f\chi_{\{|f|\gt s\}}$、$h\colon=f\chi_{\{|f|\le s\}}$ とする。

$$\int_X |g|^pd\mu=\int_{\{|f|\gt s\}} |f|^pd\mu\le s^{p-r}\int_{\{|f|\gt s\}}|f|^rd\mu\lt\infty$$
であるから仮定より $t\gt 0$ について
$$\nu(\{|Tg|\gt t\})\le A_1^{p'}\left(\int_{\{|f|\gt s\}} |f|^pd\mu\right)^\frac{p'}{p}t^{-p'}.$$
また
$$\int_X |h|^qd\mu=\int_{\{|f|\le s\}}|f|^qd\mu\le s^{q-r}\int_{\{|f|\le s\}}|f|^rd\mu\lt\infty$$
であるから仮定より $t\gt 0$ について
$$\nu(\{|Th|\gt t\})\le A_2^{q'}\left(\int_{\{|f|\le s\}}|f|^qd\mu\right)^\frac{q'}{q}t^{-q'}.$$
$f=g+h$ より $|Tf|\le|Tg|+|th|$。 $t\gt 0$ について、一般に $a,b\ge 0$、$a+b\gt t$ であれば $a\gt\frac{t}{2}$ あるいは $b\gt\frac{t}{2}$ となることに注意すると
\begin{align*}
\nu(\{|Tf|\gt t\})&\le\nu(\{|Tg|+|Th|\gt t\})\\
&\le\nu\left(\left\{|Tg|\gt\frac{t}{2}\right\}\cup\left\{|Th|\gt\frac{t}{2}\right\}\right)\\
&\le(2A_1)^{p'}\left(\int_{\{|f|\gt s\}} |f|^pd\mu\right)^\frac{p'}{p}t^{-p'}+(2A_2)^{q'}\left(\int_{\{|f|\le s\}}|f|^qd\mu\right)^\frac{q'}{q}t^{-q'}.
\end{align*}
ここで $L\ge 0$ とし、$\sigma\in\R$ を $p'\lt q'$ のときは $\sigma\in(0,\frac{q'}{q'-r'}]$、$p'\gt q'$ のときは $\sigma\in[\frac{q'}{q'-r'},0)$ となるようにとる。$s=(L^{-1}t)^{\sigma^{-1}}$ ととると
$$\nu(\{|Tf|\gt t\})\le(2A_1)^{p'}\left(\int_{\{|f|\gt (L^{-1}t)^{\sigma^{-1}}\}} |f|^pd\mu\right)^\frac{p'}{p}t^{-p'}+(2A_2)^{q'}\left(\int_{\{|f|\le (L^{-1}t)^{\sigma^{-1}}\}}|f|^qd\mu\right)^\frac{q'}{q}t^{-q'}.$$
よって
\begin{align*}
\int_Y |Tf|^{r'}d\nu&=r'\int_0^\infty \nu(\{|Tf|\gt t\})t^{r'-1}dt\\
&\le r'\left((2A_1)^{p'}\int_0^\infty\left(\int_{\{|f|\gt (L^{-1}t)^{\sigma^{-1}}\}} |f|^pd\mu\right)^\frac{p'}{p}t^{r'-p'-1}dt+(2A_2)^{q'}\int_0^\infty\left(\int_{\{|f|\le (L^{-1}t)^{\sigma^{-1}}\}}|f|^qd\mu\right)^\frac{q'}{q}t^{r'-q'-1}dt\right).
\end{align*}
$p'\lt q'$ のとき、$\sigma\gt 0$、$\frac{p'}{p},\frac{q'}{q}\le 1$、$p'\lt r'\lt q'$ に注意すると積分形のMinkowskiの不等式([[Sobolev空間とSobolevの不等式]]の補題13)より
\begin{align*}
\int_0^\infty\left(\int_{\{|f|\gt (L^{-1}t)^{\sigma^{-1}}\}} |f|^pd\mu\right)^\frac{p'}{p}t^{r'-p'-1}dt&\le\left(\int_X\left(\int_0^\infty {\chi_{\{t\lt L|f|^\sigma\}}}^\frac{p'}{p}t^{r'-p'-1}dt\right)^\frac{p}{p'}|f|^pd\mu\right)^\frac{p'}{p}\\
&=\left(\int_X \left(\frac{1}{r'-p'}(L|f|^\sigma)^{r'-p'}\right)^\frac{p}{p'}|f|^pd\mu\right)^\frac{p'}{p}\\
&=\frac{1}{r'-p'}L^{r'-p'}\left(\int_X |f|^{\sigma(r'-p')\frac{p}{p'}+p}d\mu\right)^\frac{p'}{p},\tag{*}\label{mi1}\\
\int_0^\infty\left(\int_{\{|f|\le (L^{-1}t)^{\sigma^{-1}}\}}|f|^qd\mu\right)^\frac{q'}{q}t^{r'-q'-1}dt&\le\left(\int_X\left(\int_0^\infty {\chi_{\{t\ge L|f|^\sigma\}}}^\frac{q'}{q}t^{r'-q'-1}dt\right)^\frac{q}{q'}|f|^qd\mu\right)^\frac{q'}{q}\\
&=\left(\int_X \left(\frac{1}{q'-r'}(L|f|^\sigma)^{r'-q'}\right)^\frac{q}{q'}|f|^qd\mu\right)^\frac{q'}{q}\\
&=\frac{1}{q'-r'}L^{r'-q'}\left(\int_X |f|^{\sigma(r'-q')\frac{q}{q'}+q}d\mu\right)^\frac{q'}{q}.
\end{align*}
$p'\gt q'$ のときは $\sigma\lt 0$、$q'\lt r'\lt p'$ に注意すると
\begin{align*}
\int_0^\infty\left(\int_{\{|f|\gt (L^{-1}t)^{\sigma^{-1}}\}} |f|^pd\mu\right)^\frac{p'}{p}t^{r'-p'-1}dt&\le\left(\int_X\left(\int_0^\infty {\chi_{\{t\gt L|f|^\sigma\}}}^\frac{p'}{p}t^{r'-p'-1}dt\right)^\frac{p}{p'}|f|^pd\mu\right)^\frac{p'}{p}\\
&=\left(\int_X \left(\frac{1}{p'-r'}(L|f|^\sigma)^{r'-p'}\right)^\frac{p}{p'}|f|^pd\mu\right)^\frac{p'}{p}\\
&=\frac{1}{p'-r'}L^{r'-p'}\left(\int_X |f|^{\sigma(r'-p')\frac{p}{p'}+p}d\mu\right)^\frac{p'}{p},\\
\int_0^\infty\left(\int_{\{|f|\le (L^{-1}t)^{\sigma^{-1}}\}}|f|^qd\mu\right)^\frac{q'}{q}t^{r'-q'-1}dt&\le\left(\int_X\left(\int_0^\infty {\chi_{\{t\le L|f|^\sigma\}}}^\frac{q'}{q}t^{r'-q'-1}dt\right)^\frac{q}{q'}|f|^qd\mu\right)^\frac{q'}{q}\\
&=\left(\int_X \left(\frac{1}{r'-q'}(L|f|^\sigma)^{r'-q'}\right)^\frac{q}{q'}|f|^qd\mu\right)^\frac{q'}{q}\\
&=\frac{1}{r'-q'}L^{r'-q'}\left(\int_X |f|^{\sigma(r'-q')\frac{q}{q'}+q}d\mu\right)^\frac{q'}{q}.\tag{**}\label{mi2}
\end{align*}
ここで
$$\frac{p'(r-p)}{p(r'-p')}=\frac{r'^{-1}(p'^{-1}-r'^{-1})}{r^{-1}(p^{-1}-r^{-1})}=\frac{r'^{-1}\theta(q'^{-1}-p'^{-1})}{r^{-1}\theta(q^{-1}-p^{-1})}=\frac{r'^{-1}(1-\theta)(q'^{-1}-p'^{-1})}{r^{-1}(1-\theta)(q^{-1}-p^{-1})}=\frac{r'^{-1}(q'^{-1}-r'^{-1})}{r^{-1}(q^{-1}-r^{-1})}=\frac{q'(r-q)}{q(r'-q')}$$
となる。( $p=q$ のときはこの等式は明らか。)この値を $\sigma$ とすれば $p'\lt q'$ のときは $\sigma\in(0,\frac{q'}{q'-r'}]$、$p'\gt q'$ のときは $\sigma\in[\frac{q'}{q'-r'},0)$ で
$$\sigma(r'-p')\frac{p}{p'}+p=\sigma(r'-q')\frac{q}{q'}+q=r$$
となり
$$\int_0^\infty\left(\int_{\{|f|\gt (L^{-1}t)^{\sigma^{-1}}\}} |f|^pd\mu\right)^\frac{p'}{p}t^{r'-p'+1}dt\le\frac{1}{|r'-p'|}L^{r'-p'}\left(\int_X |f|^rd\mu\right)^\frac{p'}{p}$$
かつ
$$\int_0^\infty\left(\int_{\{|f|\le (L^{-1}t)^{\sigma^{-1}}\}} |f|^qd\mu\right)^\frac{q'}{q}t^{r'-q'+1}dt\le\frac{1}{|r'-q'|}L^{r'-q'}\left(\int_X |f|^rd\mu\right)^\frac{q'}{q}.$$
よって
$$\int_Y |Tf|^{r'}d\nu\le (2A_1)^{p'}\frac{r'}{|r'-p'|}L^{r'-p'}\left(\int_X |f|^rd\mu\right)^\frac{p'}{p}+(2A_2)^{q'}\frac{r'}{|r'-q'|}L^{r'-q'}\left(\int_X |f|^rd\mu\right)^\frac{q'}{q}.$$
\begin{gather}
\frac{\frac{r'}{r}-\frac{p'}{p}}{r'-p'}=\frac{p'^{-1}r^{-1}-p^{-1}r'^{-1}}{p'^{-1}-r'^{-1}}=\frac{p'^{-1}((1-\theta)p^{-1}+\theta q^{-1})-p^{-1}((1-\theta)p'^{-1}+\theta q'^{-1})}{p'^{-1}-((1-\theta)p'+\theta q')}=\frac{p'^{-1}q^{-1}-p^{-1}q'^{-1}}{p'^{-1}-q'^{-1}}=\frac{\frac{q'}{q}-\frac{p'}{p}}{q'-p'},\\
\frac{\frac{r'}{r}-\frac{q'}{q}}{r'-q'}=\frac{\frac{p'}{p}-\frac{q'}{q}}{p'-q'}=\frac{\frac{q'}{q}-\frac{p'}{p}}{q'-p'}
\end{gather}
であるから
$$L=\left(\frac{(2A_2)^{q'}}{(2A_1)^{p'}}\right)^\frac{1}{q'-p'}\left(\int_X |f|^rd\mu\right)^\frac{\frac{q'}{q}-\frac{p'}{p}}{q'-p'}$$
とすれば
\begin{align*}
\int_Y |Tf|^{r'}d\nu&\le(2A_1)^\frac{p'(q'-r')}{q'-p'}(2A_2)^\frac{q'(r'-p')}{q'-p'}\left(\frac{r'}{|r'-p'|}+\frac{r'}{|r'-q'|}\right)\left(\int_X |f|^rd\mu\right)^\frac{r'}{r}.
\end{align*}
\begin{gather}
\frac{p'(q'-r')}{r'(q'-p')}=\frac{r'^{-1}-q'^{-1}}{p^{-1}-q^{-1}}=\frac{((1-\theta)p'^{-1}+\theta q'^{-1})-q^{-1}}{p^{-1}-q^{-1}}=1-\theta,\\
\frac{q'(r'-p')}{r'(q'-p')}=\frac{p'^{-1}-r'^{-1}}{p^{-1}-q^{-1}}=\frac{p'^{-1}-((1-\theta)p'^{-1}+\theta q'^{-1})}{p^{-1}-q^{-1}}=\theta
\end{gather}
であるから
$$||Tf||_{r'}\le 2\left(\frac{r'}{|r'-p'|}+\frac{r'}{|r'-q'|}\right)^\frac{1}{r'}A_1^{1-\theta}A_2^\theta||f||_r$$
が成り立つ。

(ii) $p'=\infty$ の場合を示す。このとき $p\le q\le q'\lt\infty$。

$f\in L^r(X)$、$s\ge 0$ とし、(i)と同様に $g,h$ を定めると仮定より $||Tg||_\infty\le A_1\left(\int_{\{|f|\gt s\}}|f|^pd\mu\right)^\frac{1}{p}\le A_1s^\frac{p-r}{p}\left(\int_X|f|^rd\mu\right)^\frac{1}{p}$ であるから
$$\nu(\{|Tg|\gt t\})=0\ \jf\ t\ge A_1s^\frac{p-r}{p}\left(\int_X|f|^rd\mu\right)^\frac{1}{p}.$$
$\nu(\{|Th|\gt t\})$ の評価は(i) と同様である。よって
$$\nu(\{|Tf|\gt t\})\le (2A_2)^{q'}\left(\int_{\{|f|\le s\}}|f|^qd\mu\right)^\frac{q'}{q}t^{-q'}\ \jf t\ge 2A_1s^\frac{p-r}{p}\left(\int_X|f|^rd\mu\right)^\frac{1}{p}.$$
$t\gt 0$ について、$\sigma\colon=\frac{p-r}{p}$、$L\colon=2A_1\left(\int_X|f|^rd\mu\right)^\frac{1}{p}$ として $s=(L^{-1}t)^{\sigma^{-1}}$ とすれば $t=Ls^\sigma=2A_1s^\frac{p-r}{p}\left(\int_X|f|^rd\mu\right)^\frac{1}{p}$ となる。これより
$$\nu(\{|Tf|\gt t\})\le (2A_2)^{q'}\left(\int_{\{|f|\le (L^{-1}t)^{-\sigma}\}}|f|^qd\mu\right)^\frac{q'}{q}t^{-q'}$$
となり
$$\int_Y|Tf|^{r'}d\nu\le r'(2A_2)^{q'}\int_0^\infty\left(\int_{\{|f|\le (L^{-1}t)^{-\sigma}\}}|f|^qd\mu\right)^\frac{q'}{q}t^{r'-q'-1}dt.$$
$\sigma\lt 0$ であるから(\ref{mi2})と同様の評価により
$$\int_0^\infty\left(\int_{\{|f|\le (L^{-1}t)^{-\sigma}\}}|f|^qd\mu\right)^\frac{q'}{q}t^{r'-q'-1}dt\le\frac{1}{r'-q'}L^{r'-q'}\left(\int_X |f|^{\sigma(r'-q')\frac{q}{q'}+q}d\mu\right)^\frac{q'}{q}.$$
よって
$$\int_Y|Tf|^{r'}d\nu\le(2A_2)^{q'}\frac{r'}{r'-q'}L^{r'-q'}\left(\int_X |f|^{\sigma(r'-q')\frac{q}{q'}+q}d\mu\right)^\frac{q'}{q}.$$
ここで $r'^{-1}=\theta q'^{-1}$ に注意すると
$$\frac{r'-q'}{p}+\frac{q'}{q}=p^{-1}(r'-q')+q^{-1}q'=p^{-1}(r'-\theta r')+q^{-1}r'=((1-\theta)p^{-1}+q^{-1})r'=\frac{r'}{r}.$$
また
$$\sigma(r'-q')\frac{q}{q'}=(r^{-1}-p^{-1})r(\theta^{-1}-1)q=\theta(q^{-1}-p^{-1})r(\theta^{-1}-1)q=(1-\theta)(q^{-1}-p^{-1})qr=(q^{-1}-r^{-1})qr=r-q$$
従って
$$\int_Y|Tf|^{r'}d\nu\le(2A_1)^{r'-q'}(2A_2)^{q'}\frac{r'}{r'-q'}\left(\int_X|f|^rd\mu\right)^\frac{r'-q'}{p}\left(\int_X |f|^{(r-q)+q}d\mu\right)^\frac{q'}{q}=(2A_1^{1-\theta}A_2^{\theta})^{r'}\frac{r'}{r'-q'}\left(\int_X |f|^rd\mu\right)^\frac{r'}{r}$$
となり
$$||Tf||_{r'}\le 2A_1^{1-\theta}A_2^{\theta}\left(\frac{r'}{r'-q'}\right)^\frac{1}{r'}||f||_r$$
が成り立つ。

(iii) $q'=\infty$ の場合を示す。このとき $p\le p'\lt\infty$。

$f\in L^r(X)$、$s\ge 0$ とし、(i)と同様に $g,h$ を定めると仮定より $||Th||_\infty\le A_2||h||_q$ であり、
$$\begin{cases}
||h||_q=\left(\int_{\{|f|\le s\}}|f|^qd\mu\right)^\frac{1}{q}\le s^\frac{q-r}{q}\left(\int_{\{|f|\le s\}}|f|^rd\mu\right)^\frac{1}{q}&\colon q\lt\infty\\
||h||_q\le s&\colon q=\infty
\end{cases}$$
であるから
$$L\colon=\begin{cases}
2A_2\left(\int_{\{|f|\le s\}}|f|^rd\mu\right)^\frac{1}{q}&\colon q\lt\infty\\
2A_2&\colon q=\infty
\end{cases},\sigma\colon=\begin{cases}
\frac{q-r}{q}&\colon q\lt\infty\\
1&\colon q=\infty
\end{cases}$$
とすれば $||Th||_\infty\le \frac{1}{2}Ls^\sigma$ となり
$$\nu(\{|Th|\gt t\})=0\ \jf t\ge\frac{1}{2}Ls^\sigma.$$
$\nu(\{|Tg|\gt t\})$ の評価は (i) と同様である。よって
$$\nu(\{|Tf|\gt t\})\le (2A_1)^{p'}\left(\int_{\{|f|\gt s\}} |f|^pd\mu\right)^\frac{p'}{p}t^{-p'}\ \jf t\ge Ls^\sigma$$
となり $s=(L^{-1}t)^{\sigma^{-1}}$ とすれば
$$\nu(\{|Tf|\gt t\})\le(2A_1)^{p'}\left(\int_{\{|f|\gt (L^{-1}t)^{\sigma^{-1}}\}} |f|^pd\mu\right)^\frac{p'}{p}t^{-p'}.$$
これより
$$\int_Y |Tf|^{r'}d\nu\le r'(2A_1)^{p'}\int_0^\infty\left(\int_{\{|f|\gt (L^{-1}t)^{\sigma^{-1}}\}} |f|^pd\mu\right)^\frac{p'}{p}t^{r'-p'-1}dt.$$
$\sigma\gt 0$ であるから(\ref{mi1})と同様の評価により
$$\int_0^\infty\left(\int_{\{|f|\gt (L^{-1}t)^{\sigma^{-1}}\}} |f|^pd\mu\right)^\frac{p'}{p}t^{r'-p'-1}dt\le\frac{1}{p'-r'}L^{r'-p'}\left(\int_X |f|^{\sigma(r'-p')\frac{p}{p'}+p}d\mu\right)^\frac{p'}{p}.$$
よって
$$\int_Y |Tf|^{r'}d\nu\le (2A_1)^{p'}\frac{r'}{p'-r'}L^{r'-p'}\left(\int_X |f|^{\sigma(r'-p')\frac{p}{p'}+p}d\mu\right)^\frac{p'}{p}.$$
$q\lt\infty$ のときは $p,q,p',\theta,A_1,A_2$ をそれぞれ $q,p,q',1-\theta,A_2,A_1$ におきかえて(ii)と同様の計算をすれば
$$||Tf||_{r'}\le 2A_1^{1-\theta}A_2^{\theta}\left(\frac{r'}{r'-p'}\right)^\frac{1}{r'}||f||_r$$
が従う。$q=\infty$ のときは $L=2A_2$、$\sigma=1$ で、$r=(1-\theta)^{-1}p$、$r'=(1-\theta)^{-1}p$ より $\frac{r}{r'}=\frac{p}{p'}$ となるので
$$\int_Y |Tf|^{r'}d\nu\le (2A_1)^{p'}(2A_2)^{r'-p'}\frac{r'}{r'-p'}\left(\int_X |f|^{(r-p)+p}d\mu\right)^\frac{r'}{r}=(2A_1^{1-\theta}A_2^\theta)^{r'}\frac{r'}{r'-p'}\left(\int_X |f|^rd\mu\right)^\frac{r'}{r}$$
となり
$$||Tf||_{r'}\le 2A_1^{1-\theta}A_2^{\theta}\left(\frac{r'}{r'-p'}\right)^\frac{1}{r'}||f||_r$$
が成り立つ。
{{end|proof}}

==注意==
* $p\in[1,\infty)$ について $L^p(X)\subset L^{p,w}(X)$、$[f]_{p;X}\le||f||_{p;X}\ (f\in L^p(X))$ となる。弱 $L^1$ であるが $L^1$ でない関数としては $X=(0,1)$、$f(x)=\frac{1}{x}$ が挙げられる。実際、$f\notin L^1(0,1)$ であるが、$[f]_1=1$ である。
* 弱 $L^p$ 準ノルムは $[f+g]_{p;X}\le 2([f]_{p;X}+[g]_{q;X})$ をみたし、とくに $L^{p,w}(X)$ はベクトル空間になる。一方 $[f+g]_{p;X}\le [f]_{p;X}+[g]_{q;X}$ は成り立たない。例えば $X=(0,1)$、$f(x)=\frac{1}{x}$、$g(x)=\frac{1}{1-x}$ とすると $[f]_1=[g]_1=1$ であるが、$f+g$ の最小値は $4$ であることから $[f+g]_1\ge 4$ である。(実際には上の不等式より $[f+g]_1=4$。)
* 仮定(2)を「 $T$ は弱 $(p,p')$ 型である」ということがある。これと対比し、$T$ が $L^p(X)$ から $L^{p'}(Y)$ への有界線型作用素となっているとき「 $T$ は強 $(p,p')$ 型である」という。

==応用例==
Marcinkiewiczの補間定理の簡単な応用例として、Hardy-Littlewoodの極大関数
$$Mf(x)\colon=\sup_{r\gt 0}\frac{1}{|B_r(x)|}\int_{B_r(x)}|f|\ (f\in L^1_{\loc}(\R^n))$$
が $p\in(1,\infty]$、$f\in L^p(\R^n)$ について
$$Mf\in L^p(\R^n), ||Mf||_p\le C_{n,p}||f||_p$$
をみたすことを示す。

明らかに $f,g\in L^1_{\loc}(\R^n)$ について $|M(f+g)|\le|Mf|+|Mg|\ \ae\inn\R^n$。また、$f\in L^\infty(\R^n)$ とすると明らかに $Mf\in L^\infty(\R^n)$、$||Mf||_\infty\le ||f||_\infty$。一方[[測度と積分8：Lebesgue測度の基本的性質]]の命題38.4より $f\in L^1(\R^n)$ とすると $Mf\in L^{1,w}(\R^n)$、$[Mf]_1\le 3^n||f||_1$。Marcinkiewiczの補間定理より $p\in(1,\infty)$、$f\in L^p(\R^n)$ についても $Mf\in L^p(\R^n)$、$||Mf||_p\le C_{n,p}||f||_p$ が成り立つ。

==参考文献==
*David Gilbarg , Neil S. Trudinger「Elliptic Partial Differential Equations of Second Order」
*Gerald B. Folland「Real Analysis: Modern Techniques and Their Applications」

利用者:PSX/sandbox

2022-09-23T14:51:48Z

PSX:

{{begin |preamble}}


<math>
% preamble セクションでは任意のコードが非表示になります．
% 多くの newcommand などを利用する場合は preamble 内で宣言してください．{{begin |preamble}}


<math>
% preamble セクションでは任意のコードが非表示になります．
% 多くの newcommand などを利用する場合は preamble 内で宣言してください．
\newcommand{\R}{\mathbb{R}}
\newcommand{\C}{\mathbb{C}}
\newcommand{\K}{\mathbb{K}}
\newcommand{\Z}{\mathbb{Z}}
\newcommand{\Q}{\mathbb{Q}}
\newcommand{\Zp}{\mathbb{Z}_{\ge 1}}
\newcommand{\Zz}{\mathbb{Z}_{\ge 0}}
\newcommand{\M}{\mathbb{M}}
\newcommand{\B}{\mathcal{B}}
\newcommand{\D}{\mathcal{D}}
\newcommand{\F}{\mathcal{F}}
\newcommand{\G}{\mathcal{G}}
\newcommand{\H}{\mathcal{H}}
\newcommand{\I}{\mathcal{I}}
\newcommand{\L}{\mathcal{L}}
\newcommand{\n}{\mathbf{n}}
\newcommand{\Rnp}{\mathbb{R}^n_+}
\newcommand{\Rnn}{\mathbb{R}^n_-}
\newcommand{\pRnp}{\mathbb{\partial R}^n_+}
\newcommand{ae}{\mathrm{a.e.}\ }
\newcommand{\inn}{\ \mathrm{in}\ }
\newcommand{\on}{\ \mathrm{on}\ }
\newcommand{\for}{\ \mathrm{for}\ }
\newcommand{\jf}{\ \mathrm{if }\ }
\newcommand{\det}{\operatorname{det}}
\newcommand{\dim}{\operatorname{dim}}
\newcommand{\Ker}{\operatorname{Ker}}
\newcommand{\sgn}{\operatorname{sgn}}
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\newcommand{\supp}{\operatorname{supp}}
\newcommand{\avg}{\sout{\int}}
\newcommand{\rcpt}{\subset\subset}
\newcommand{\loc}{{\rm{loc}}}
\newcommand{\implies}{\ \Rightarrow\ }
\newcommand{\iff}{\ \Leftrightarrow\ }
\newcommand{\norm}[1]{\lVert #1\rVert}
\newcommand{\pardif}[2]{\frac{\partial{#1}}{\partial{#2}}}
\newcommand{\pair}[1]{\langle #1\rangle}
\newcommand{\Bb}{\overline{B}}
\newcommand{\Ombar}{\overline{\Omega}}
\newcommand{\OmT}{\Omega\cup T}
\newcommand{\pOm}{{\partial\Omega}}
\renewcommand{\Re}{\operatorname{Re}}
\renewcommand{\Im}{\operatorname{Im}}
\DeclareMathOperator*{\osc}{osc}
\DeclareMathOperator*{\essosc}{ess\, osc}
\DeclareMathOperator*{\esssup}{ess\, sup}
\DeclareMathOperator*{\essinf}{ess\, inf}

</math>
{{newtheorem |type=def |display=定義 }}
{{newtheorem |type=pro |display=命題 |family=def }}
{{newtheorem |type=thm |display=定理 |family=def }}
{{newtheorem |type=lem |display=補題 |family=def }}
{{newtheorem |type=cor |display=系 |family=def }}
{{newtheorem |type=rmk |display=注意 |family=def }}
{{newtheorem |type=ex |display=参考 |family=def }}
{{end |preamble}}

以下の形の形式的な線型微分作用素 $L$ を考える:
*$$Lu=\sum_{i,j=1}^n a_{ij}(x)D_{ij}u+\sum_{i=1}^n b_i(x)D_iu+c(x)u. \tag{GF}\label{GF}$$
*$$Lu=\sum_{i=1}^n D_i\left(\sum_{j=1}^n a_{ij}(x)D_ju+b_i(x)u\right)+\sum_{i=1}^n c_i(x)D_iu+d(x)u. \tag{DF}\label{DF}$$
ここで $x\in\Omega$。

{{theorem|type=def|name=楕円性|label=elliptic}}
$L$ を(\ref{GF})あるいは(\ref{DF})の形の形式的な微分作用素とする。
*(1) 各 $x\in\R^n$ について $\lambda(x)\gt 0$ であって
$$\sum_{i=1}^n a_{ij}(x)\xi_i\xi_j\ge\lambda(x)|\xi|^2\ (\forall x\in\Omega,\xi\in\R^n) \tag{E}\label{E}$$
をみたすものが存在するとき、$L$ は楕円型(elliptic)であるという。

*(2) 定数 $\lambda\gt 0$ であって
$$\sum_{i=1}^n a_{ij}(x)\xi_i\xi_j\ge\lambda|\xi|^2\ (\forall x\in\Omega,\xi\in\R^n) \tag{SE}\label{SE}$$
をみたすものが存在するとき $L$ は狭義楕円型(strictly elliptic)であるという。

*(3) 定数 $\Lambda\ge\lambda\gt 0$ であって
$$\lambda|\xi|^2\le\sum_{i,j}a_{ij}\xi_i\xi_j\le\Lambda|\xi|^2\ (\forall x\in\Omega,\xi\in\R^n)\tag{UE}\label{UE}$$
をみたすものが存在するとき $L$ は一様楕円型(uniformly elliptic)であるという。<ref name=UE>より広く、$\displaystyle\frac{\Lambda(x)}{\lambda(x)}$ が有界の場合に一様楕円型ということもある。</ref>

(\ref{GF})の形の楕円型作用素を非発散型(non-divergence form)または一般型(general form)の2階線型楕円型作用素といい、(\ref{DF})の形の楕円型作用素を発散型(divergence)の2階線型楕円型作用素という。

{{theorem|type=rmk}}
作用する関数 $u$ について偏微分の順序交換 $D_{ij}u=D_{ji}u$ が成り立つ場合、非発散型の作用素 $L$ の係数関数 $a_{ij}$ を $\frac{1}{2}(a_{ij}+a_{ji})$ に置き換えることで $a_{ij}=a_{ji}$ を仮定することができる。$L$ が発散型の場合も $a_{ij}=a_{ji}$ を仮定することがある。

$a_{ij}=a_{ji}$ のとき、(\ref{E})は行列 $(a_{ij}(x))_{i,j}$ の固有値 $\mu_1(x)\le\ldots\le\mu_n(x)$ が $\lambda(x)\le\mu_1(x)\le\mu_n(x)\le\Lambda(x)$ をみたすことと同値である。

$a_{ij}$ が微分可能であるとき非発散型の作用素 $L$ を発散型
$$Lu=\sum_{i=1}^n D_i\left(\sum_{j=1}^n a_{ij}D_ju\right)+\sum_{i=1}^n\left(b_i-\sum_{j=1}^n D_ja_{ij}\right)D_iu+cu$$
に書き直すことができる。逆に $a_{ij}$ と $b_i$ が微分可能であるとき発散型の作用素 $L$ を非発散型
$$Lu=\sum_{i,j=1}^n a_{ij}D_{ij}u+\sum_{i=1}^n \left(\sum_{j=1}^n D_ja_{ij}+b_i+c_i\right)D_iu+\left(\sum_{i=1}^n D_ib_i+d\right)u$$
に書き直すことができる。

以下では断りなく $\lambda$ と $\Lambda$ を(\ref{E})をみたすものを表す記号として用いる。
==記法および注意==
ここではとくに断らない限り実数値関数のみを取り扱う。また断りなく次の記法を用いる:
* $n\in\Zp$ とし、$\Omega$ を $\R^n$ における開集合とする。
* $x\in\R^n$、$r>0$ について $B_r(x)$ で $\R^n$ の半径が $r$、中心が $x$ の開球を表す。中心や半径を具体的に指定しない場合は $B_r$ や $B(x)$ などと略すことがある。
* $\H^s$ で $s$ 次元Hausdorff測度、$\L^n$ で $n$ 次元Lebesgue外測度([[Hausdorff測度とarea_coarea_formula]]の定義30。命題31も参照。)を表し、$\L^n$ -a.e. を単にa.e.とかき、また誤解のおそれがなければ省略する。
* 多重指数 $\alpha$ について $\alpha$ 階偏微分を $D^\alpha$ で表す。また $\alpha=ke_i$ のときは $D^\alpha u$ を $D^k_i u$ と表す。$D^1_i u$ は $D_iu$ と表し、$\R^n$ 値関数 $(D_1u,\ldots D_nu)$ を $Du$ と表す。
* $n=1$ のときは $D^k_1 u$ を $u^{(k)}$ と表す。また $u^{(1)}$、$u^{(2)}$ はそれぞれ $u'$、$u^{\prime\prime}$ と表す。
* $\mu\in\R^n\backslash\{0\}$ について、$D_\mu$ で $\mu$ -方向微分を表す。とくに $u$ が微分可能であるとき $D_\mu u=\mu\cdot Du$ である。
* $p\in[1,\infty]$ について $p'$ でそのHölder共役指数、すなわち $p^{-1}+p'^{-1}=1$ をみたす $p'\in[1,\infty]$ を表す。
* $\norm{\cdot}_{p;\Omega}$ で $L^p(\Omega)=L^p(\Omega,\L^n)$ のノルムを表す。また、相対開集合 $T\subset\pOm$ について $\norm{\cdot}_{p;T}$ で $L^p(T,\H^{n-1})$ のノルムを表す。誤解のおそれがなければ $\Omega$ と $T$ は省略することがある。
* $C^k(\Ombar)$、$C^{k,\alpha}(\Ombar)$ のノルムには[[Hölder空間の基本事項]]で定義した記号を用いる。また、$W^{k,p}(\Omega)$ のノルムには[[Sobolev空間とSobolevの不等式]]で定義した記号を用いる。
* $Q\colon=(-1,1)^n$、$Q_+\colon=(-1,1)^{n-1}\times(0,1)$、$Q_0\colon=(-1,1)^{n-1}\times\{0\}$ とする。
* $\Omega,\Omega'\subset\R^n$ を開集合とし、$f\colon\Omega'-\Omega\to\R$ と $g\colon\Omega\to\R$ を $\L^n$ -可測関数とする。
$$f*g(x)\colon=\int_{\Omega}f(x-y)g(y)dy$$
が a.e. $x\in\Omega'$ で定義されるとき $f*g$ は $\Omega'$ 上で定義されるといい、これを $f$ と $g$ の合成積という。<ref name="defdifference">[[合成積とFourier変換]]で定義されているものとは $(2\pi)^\frac{n}{2}$ 倍の違いがある。</ref>
* 実数値関数からなる線形空間 $X$ に対し、各成分が $X$ に属する $\R^m$ 値関数の空間を $m$ 個の $X$ の直積と同一視して $X^m$ とかく。

==Laplace方程式とPoisson方程式==
Poisson方程式とは方程式
$$\Delta u=f\ \inn \Omega$$
を指す。ここで $f\colon\Omega\to\R$ は既知の関数であり、$\Delta$ はラプラシアン $\displaystyle\Delta u\colon=\sum_{i=1}^n D_i^2u$ である。とくに $f\equiv 0$ とした方程式
$$\Delta u=0\ \inn \Omega$$
をLaplace方程式という。

明らかにラプラシアンは一様楕円型である。Laplace方程式およびPoisson方程式は2階線型楕円型方程式のもっとも単純な形であり、それらのモデルとして重要である。

{{theorem|type=def|name=劣(優)解、劣(優)調和関数|label=harm}}
$f\in C(\Omega)$ とする。各 $x\in\Omega$ について $\Delta u(x)\ge(\le) f(x)$ をみたす $u\in C^2(\Omega)$ を Poisson方程式 $\Delta u=f$ in $\Omega$ の劣(優)解という。Laplace方程式の(劣、優)解 $u\in C^2(\Omega)$ を(劣、優)調和関数という。

{{theorem|type=rmk}}
$u$ を $\Delta u=f$ in $\Omega$ の優解とすると、$-u$ は $\Delta u=-f$ in $\Omega$ の劣解である。このことから、劣解 $u$ に関する命題において、その証明の $u$ を $-u$ に置き換えることによって優解 $u$ に関する同様の命題を得ることができる。以下では劣解および優解に関する多くの命題において $u$ が劣解の場合のみを示す。また、$u$ を方程式 $\Delta u=f$ in $\Omega$ の解とすると $u$ は劣解かつ優解であるから、劣解および優解に関する命題から解に関する命題も直ちに得られる。こうした命題の証明も省略する。

===(劣・優)調和関数の基本的な性質===

{{theorem|type=pro|name=平均値不等式|label=meanv}}
$B=B_R(x_0)$ を球とする。$u\in C^2(B)\cap C(\overline{B})$ を $B$ 上の劣(優)調和関数とすると
\begin{align*}
u(x_0)&\le(\ge)\frac{1}{n\omega_nR^{n-1}}\int_{\partial B}ud\H^{n-1},\\
u(x_0)&\le(\ge)\frac{1}{\omega_nR^n}\int_B u.
\end{align*}
とくに $u$ が $B$ 上の調和関数であるときこれらの等号が成り立つ。

{{begin|proof}}
$u$ が劣調和関数の場合のみを示す。$r\in[0,R]$ について
$$\varphi(r)\colon=\begin{cases}
\frac{1}{n\omega_nr^{n-1}}\int_{\partial B_r(x_0)}ud\H^{n-1}&\jf r\in(0,R]\\
u(x_0)&\jf r=0
\end{cases}$$
と定める。変数変換 $x=x_0+rz$ により $\varphi(r)$ は
$$\varphi(r)=\int_{\partial B_1(0)}u(x_0+rz)d\H^{n-1}(z)$$
と表される。これより $\varphi$ は $[0,R]$ において連続である。また $\varphi$ は $(0,R)$ において微分可能で
\begin{align*}
\varphi'(r)&=\int_{\partial B_1(0)}Du(x_0+rz)\cdot zd\H^{n-1}(z)\\
&=\frac{1}{n\omega_nr^{n-1}}\int_{\partial B_r(x_0)}Du(x)\cdot\frac{x-x_0}{r}d\H^{n-1}\\
&=\frac{1}{n\omega_nr^{n-1}}\int_{B_r(x_0)}\Delta u\\
&\ge 0.
\end{align*}
ここで $x\in\partial B_r(x_0)$ における $\partial B_r(x_0)$ の外向き単位法線ベクトルが $\displaystyle \frac{x-x_0}{r}$ と表されることを用いた。

従って $\varphi$ は $[0,R]$ で単調増加であり任意の $r\in[0,R]$ について
$$u(x_0)=\varphi(0)\le\varphi(r)=\frac{1}{n\omega_nr^{n-1}}\int_{\partial B_r(x_0)}ud\H^{n-1}.$$
$r=R$ として1つ目の不等式を得る。また $\partial B_r(x_0)=\{x\in\R^n\colon|x-x_0|=r\}$ に注意して[[Hausdorff測度とarea_coarea_formula|coarea formula]]を用いると
$$u(x_0)=\frac{1}{\omega_nR^n}\int_0^R n\omega_nr^{n-1}u(x_0)dr\le\frac{1}{\omega_nR^n}\int_0^R\left(\int_{\partial B_r(x_0)}ud\H^{n-1}\right)dr=\frac{1}{\omega_nR^n}\int_B u.$$
{{end|proof}}

{{theorem|type=rmk}}
$u$ が調和関数の場合はとくに平均値定理や平均値性質と呼ばれることも多い。

{{theorem|type=pro|name=平均値性質の逆|label=convmeanv}}
逆に $u\in C(\Omega)$ が任意の球 $B=B_R(x_0)\rcpt\Omega$ について $\displaystyle \frac{1}{n\omega_nR^{n-1}}\int_{\partial B}ud\H^{n-1}=u(x_0)$ をみたすとき $u\in C^\infty(\Omega)$ であって $u$ は調和関数となる。

{{begin|proof}}
$\eta_\varepsilon=\eta_\varepsilon(|x|)$ を球対称なFriedrich's mollifier([[Sobolev空間とSobolevの不等式]]の定義11)とする。$\Omega'\rcpt\Omega$ として $\varepsilon\gt 0$ を十分小さくとると $x\in\Omega$ について
$$\eta_\varepsilon*u(x)=\int_{B_\varepsilon(x)}\eta_\varepsilon(x-y)u(y)dy=\int_0^\varepsilon\left(\int_{\partial B_r(x)}ud\H^{n-1}\right)\eta_\varepsilon(r)dr=\int_0^r n\omega_nr^{n-1}u(x)\eta_\varepsilon(r)dr=u(x)\int_{B_\varepsilon(0)}\eta_\varepsilon=u(x).$$
よって $u=\eta_\varepsilon*u\in C^\infty(\overline{\Omega'})$ となり $u\in C^\infty(\Omega)$。

また{{ref|type=pro|label=meanv}}の証明と同様の計算により $x\in\Omega$ と十分小さい $r\gt 0$ について
$$\int_{B_r(x)}\Delta u=\pardif{}{r}\frac{1}{n\omega_nr^{n-1}}\int_{\partial B_r(x_0)}ud\H^{n-1}=0.$$
これより $\Delta u(x)=0$ を得る。
{{end|proof}}

{{theorem|type=cor|label=harmsmo}}
$u\in C^2(\Omega)$ を調和関数とすると $u\in C^\infty(\Omega)$。

{{theorem|type=cor|label=harmconv}}
$\{u_m\}_{m=1}^\infty\subset C^2(\Omega)$ は調和関数の列で、ある $u\in C(\Omega)$ に広義一様収束しているとする。このとき $u$ も調和関数である。

{{begin|proof}}
任意の球 $B=B_R(x_0)\rcpt\Omega$ について
$$u(x_0)=\lim_{m\to\infty}u_m(x_0)=\lim_{m\to\infty}\frac{1}{n\omega_nR^{n-1}}\int_{\partial B}u_md\H^{n-1}=\frac{1}{n\omega_nR^{n-1}}\int_{\partial B}ud\H^{n-1}.$$
{{end|proof}}

{{theorem|type=thm|name=強最大値原理|label=harmsmax}}
$\Omega$ は連結であるとする。$u\in C^2(\Omega)$ を $\Omega$ 上の劣(優)調和関数とすると $u$ は次のいずれかをみたす:
*(i) $u$ は定数関数である。
*(ii) $u$ は $\Omega$ において最大(小)値をとらない。

{{begin|proof}}
$u$ が劣調和関数の場合のみを示す。

$u$ が $\Omega$ において最大値 $M$ をとったとし、$\Omega_M\colon=\{x\in\Omega\colon u(x)=M\}$ とする。明らかに $\Omega_M$ は $\Omega$ における相対位相について閉集合である。一方、$x_0\in\Omega_M$ とし、$B=B_r(x_0)\subset\Omega$ とすると平均値不等式より
$$\frac{1}{\omega_nR^n}\int_B u\ge M=\frac{1}{\omega_nR^n}\int_B M.$$
$u\le M$ in $B$ であるから $u=M\ \inn B$ となる。これより $B\subset\Omega_M$ であり、$\Omega_M$ は開集合である。

定義より明らかに $\Omega_M\neq\emptyset$ で、$\Omega$ は連結であったから $\Omega_M=\Omega$。すなわち $u\equiv M\ \inn\Omega$。
{{end|proof}}

{{theorem|type=def|name=上境界値、下境界値|label=uplwbdrvalue}}
$u\colon\Omega\to\R$ に対し $u^*,u_*\colon\Ombar\to\R$ を
$$u^*(x)\colon=\begin{cases}
u(x)&\jf x\in\Omega\\
\limsup_{y\in\Omega,y\to x}u(y) &\jf x\in\pOm
\end{cases},
u_*(\xi)\colon=\begin{cases}
u(x)&\jf x\in\Omega\\
\liminf_{y\in\Omega,y\to x}u(y) &\jf x\in\pOm
\end{cases}$$
と定め、$u^*|_\pOm$、$u_*|_\pOm$ をそれぞれ $u$ の上境界値、下境界値という。

$u\in C(\Ombar)$ のときは $u^*=u_*=u$ on $\Ombar$ が成り立つ。

{{theorem|type=pro|label=bdrsc}}
$u\colon\Omega\to\R$ とすると $\xi\in\pOm$ について
$$\limsup_{x\in\Ombar,x\to\xi}u^*(x)=u^*(\xi),\liminf_{x\in\Ombar,x\to\xi}u_*(x)=u_*(\xi).$$
とくに $u$ が上半連続のとき $u^*$ も上半連続で、$u$ が下半連続のとき $u_*$ も下半連続である。

{{begin|proof}}
$u^*$ についてのみ示す。$\displaystyle \limsup_{\substack{x\in\Ombar,\\x\to\xi}}u^*(x)\ge u^*(\xi)$ は $u^*$ の定義より直ちに従う。

$\displaystyle \limsup_{\substack{x\in\Ombar,\\x\to\xi}}u^*(x)\le u^*(\xi)$ を示す。$x_m\to\xi\ (m\to\infty)$ をみたす任意の $\{x_m\}_{m=1}^\infty\subset\Ombar$ が $\displaystyle \limsup_{m\to\infty}u^*(x_m)\le u^*(\xi)$ をみたすことを示せばよい。

$x_m'\in\Omega$ を次のようにとる: $x_m\in\Omega$ のときは $x_m'=x_m$ とする。$x_m\in\pOm$ のときは $u^*$ の定義より $x_m'\in\Omega$ を $|x_m'-x_m|\lt 2^{-m}$ かつ $u^*(x_m)\lt u(x_m')+2^{-m}$ となるようにとれる。

このとき $|x_m'-\xi|\le|x_m'-x_m|+|x_m-\xi|\to 0\ (m\to\infty)$ より $\displaystyle\limsup_{m\to\infty} u(x_m')\le u^*(\xi)$ であるから
$$\limsup_{m\to\infty}u^*(x_m)\le\limsup_{m\to\infty}(u(x_m')+2^{-m})\le u^*(\xi).$$
{{end|proof}}

{{theorem|type=thm|name=弱最大値原理|label=harmwmax}}
$\Omega$ は有界であるとする。$u\in C^2(\Omega)$ を $\Omega$ 上の劣(優)調和関数とすると
$$\sup_\Omega u\left(\inf_\Omega u\right)=\sup_\pOm u^*\left(\inf_\pOm u_*\right).$$
とくに $u\in C^2(\Omega)\cap C(\Ombar)$ のとき
$$\sup_\Omega u\left(\inf_\Omega u\right)=\sup_\pOm u\left(\inf_{\pOm}u\right).$$

{{begin|proof}}
$u$ が劣調和関数の場合のみを示す。

$\displaystyle \sup_\Omega u\ge\sup_\pOm u^*$ は明らか。

$\displaystyle \sup_\Omega u\gt\sup_\pOm u^*$ であったとする。$u^*$ は上半連続で $\Ombar$ はコンパクトであるから $u^*$ はある $x_0\in\Ombar$ において最大値をとる。このとき $\displaystyle\sup_\pOm u^*\lt\sup_\Omega u=\max_\Ombar u^*=u^*(x_0)$ となるので $x_0\in\Omega$。よって $u$ は $\Omega$ において最大値 $u(x_0)$ をとり、強最大値原理より $u$ は $x_0$ の属する連結成分 $\Omega_0$ 上で定数である。とくに $u=u(x_0)$ on $\pOm_0$ となるが、これは仮定に矛盾する。
{{end|proof}}

{{theorem|type=rmk}}
$u$ が優調和関数の場合を最小値原理という場合も多い。

Laplace方程式においては最大値原理は平均値不等式から直ちに得られる系であるが、後の節で述べるようにより一般の2階楕円型方程式についても成り立つという点において平均値不等式より重要である。

{{theorem|type=cor|name=比較原理|label=Poicomp}}
$\Omega$ は有界であるとする。$u,v\in C^2(\Omega)$ が $\Delta u\ge\Delta v$ in $\Omega$ かつ $(u-v)^*\le 0$ on $\pOm$ をみたすとすると $u\le v$ in $\Omega$。また $\Omega$ が連結であるすると $u\not\equiv v$ でなければ $u\lt v$ in $\Omega$。

{{begin|proof}}
$w\colon=u-v$ とすると $\Delta w\ge 0$ in $\Omega$ かつ $w\le 0$ on $\pOm$ となるので $w\le 0$ in $\Omega$。後半も $w$ に強最大値原理を用いれば従う。
{{end|proof}}

{{theorem|type=ex}}
比較原理も同様に多くの2階楕円型方程式がもつ性質である。比較原理は次の意味で「非常に強力」である:方程式の解 $u$ に対する評価を境界上で $v\ge(\le)u$ となる優(劣)解 $v$ を見つけるだけで作ることができる。この方法は $v$ を見つけることができれば具体的な計算だけで証明が完成し、複雑な理論を必要としない。それにもかかわらず、しばしば解に対して他の方法では得ることが難しい強力な評価や可解性の結果を与える。

{{theorem|type=cor|name=Poisson方程式のDirichlet問題の古典解の一意性|label=Poiuniq}}
$\Omega$ は有界であるとする。$u,v\in C^2(\Omega)\cap C(\Ombar)$ が $\Delta u=\Delta v$ in $\Omega$ かつ $u=v$ on $\pOm$ をみたすとすると $u=v$ in $\Omega$。

{{theorem|type=thm|name=Harnackの不等式|label=harmHar}}
$\Omega$ は連結であるとする。$u\in C^2(\Omega)$ を非負値の調和関数とすると任意の連結部分領域 $\Omega'\rcpt\Omega$ について
$$\sup_{\Omega'}u\le C_{\Omega,\Omega'}\inf_{\Omega'}u.$$

{{begin|proof}}
$B=B_r(x_0)$ が $B_{3r}(x_0)\rcpt\Omega$ をみたすとすると $x,y\in B$ について
$$u(x)=\frac{1}{\omega_n(2r)^n}\int_{B_{2r}(x)}u\le\frac{1}{\omega_n(2r)^n}\int_{B_{3r}(x_0)} u=\left(\frac{3}{2}\right)^nu(x_0)=\frac{\left(\frac{3}{2}\right)^n}{\omega_nr^n}\int_{B_r(x_0)}u\le\frac{\left(\frac{3}{2}\right)^n}{\omega_nr^n}\int_{B_{2r}(y)}u=3^nu(y).$$
$r\colon=\frac{d}{4}$ とする。$\Omega'\rcpt\Omega$ より $x_1,\ldots,x_N\in\Omega'$ を $\displaystyle \Omega'\subset\bigcup_{i=1}^N B_r(x_i)$ となるようにとれる。$x,y\in\Omega'$ とすると[[Hölder空間の基本事項]]の補題38より $y_0,\ldots,y_m\in\Omega'$、$i_0,\ldots,i_{m-1}\in\{1,\ldots,N\}$、$m\le N$ であって $y_0=x$、$y_m=y$ かつ $y_j,y_{j+1}\in B_r(x_{i_j})$ をみたすものが存在し、各 $j$ について $B_{3r}(x_{i_j})\rcpt\Omega$ より $u(y_j)\le 3^nu(y_{j+1})$ が成り立つ。これより
$$u(x)=u(y_0)\le 3^nu(y_1)\le\ldots\le 3^{mn}u(y_m)=3^{mn}u(y).$$
従って
$$\sup_{\Omega'}u\le 3^{Nn}\inf_{\Omega'}u.$$
{{end|proof}}

===基本解とNewtonian potential===

{{theorem|type=pro|name=Laplace方程式の球対称解|label=radsymsol}}
*(1) $A\colon=\{x\in\R^n\colon a\lt|x|\lt b\}$、$0\le a\lt b\le\infty$ を円環領域とする。球対称関数 $u(x)=u(|x|)\in C^2(A)$ について
$$\Delta u(x)=u^{\prime\prime}(|x|)+\frac{n-1}{r}u'(|x|)\ (x\in A).$$
*(2) Laplace方程式 $\Delta u=0$ in $\R^n\backslash\{0\}$ の球対称解 $u(x)=u(|x|)\in C^2(\R^n\backslash\{0\})$ は定数 $c_1,c_2\in\R$ を用いて
$$u(x)=\begin{cases}
c_1|x|^{2-n}+c_2&\jf n\ge 3\\
c_1\log|x|+c_2&\jf n=2
\end{cases}$$
と表される。

{{begin|proof}}
(1)を示す。$i=1,\ldots,n$ について
$$D_iu(x)=\frac{x_i}{r}u'(r),D_{ii}u(x)=\frac{x_i^2}{r^2}u^{\prime\prime}(r)+\left(\frac{1}{r}-\frac{x_i}{r^3}\right)u'(r)$$
となるので
$$\Delta u(x)=\sum_{i=1}^n\left(\frac{x_i^2}{r^2}u^{\prime\prime}(r)+\left(\frac{1}{r}-\frac{x_i}{r^3}\right)u'(r)\right)=u^{\prime\prime}(r)+\frac{n-1}{r}u'(r).$$

(2)を示す。(1)より常微分方程式
$$u^{\prime\prime}(r)+\frac{n-1}{r}u'(r)=0\ (r\in(0,\infty))$$
を解けばよい。変数分離法により $u'(r)$ は定数 $c$ を用いて $u'(r)=cr^{1-n}$ と表され、これを積分すれば主張が従う。
{{end|proof}}

{{theorem|type=def|name=Laplace方程式の基本解|label=defGam}}
$\Gamma\colon\R^n\backslash\{0\}\to\R$ を
$$\Gamma(x)=\Gamma(|x|)\colon=\begin{cases}
\frac{1}{2\pi}\log|x|&\jf n=2\\
\frac{1}{n(2-n)\omega_n}|x|^{2-n}&\jf n\ge 3
\end{cases}\tag{N}\label{dNP}$$
により定め、Laplace方程式の基本解という。$\Gamma$ は $\Delta\Gamma=0$ in $\R^n\backslash\{0\}$ の球対称解のひとつである。

{{theorem|type=pro|name=$\Gamma$ の評価|label=elemestGam}}
$\Gamma$ は $\R^n\backslash\{0\}$ において任意回微分可能で次をみたす:
*(1)多重指数 $\alpha\neq 0$ について
$$|D^\alpha\Gamma(x)|\le C_{n,\alpha}|x|^{2-n-|\alpha|}\ (x\in\R^n\backslash\{0\}).$$
*(2) $r\in(0,1)$ について
$$\int_{B_r(0)}|\Gamma|\le\begin{cases}
Cr^2(|\log r|+1)&\jf n=2\\
C_nr^2&\jf n\ge 3
\end{cases}.$$
とくに $\alpha\lt 2$ について
$$r^{-\alpha}\int_{B_r(0)}|\Gamma|\to 0\ (r\to +0).$$
*(3) $r\in(0,1)$ について
$$\int_{B_r(0)}|D\Gamma|\le C_nr.$$

{{begin|proof}}
$x=(x_1,\ldots,x_n)\in\R^n\backslash\{0\}$ について $D_i\Gamma(x)=\frac{1}{n\omega_n}|x|^{-n}x_i$ に注意すると $|\alpha|\ge 1$ に関する帰納法により多重指数 $\alpha\neq 0$ について $D^\alpha\Gamma$ は $|\alpha|$ 次多項式 $P_\alpha$ を用いて $D^\alpha\Gamma(x)=|x|^{2-n-2|\alpha|}P_\alpha(x)$ と表される。これより $|D^\alpha\Gamma(x)|\le C|x|^{2-n-|\alpha|}$ を得る。また $r\in(0,1)$ について
$$\int_{B_r(0)}|\Gamma|\le C\int_0^r \rho^{n-1}|\Gamma(\rho)|d\rho\le\begin{cases}
C\int_0^r \rho|\log\rho|d\rho\le C\rho^2(|\log\rho|+1)&\jf n=2\\
C\int_0^r \rho d\rho\le Cr^2&\jf n\ge 3
\end{cases}$$
で
$$\int_{B_r(0)}|D\Gamma|\le C\int_{B_r(0)}|x|^{1-n}dx\le C\int_0^rd\rho=Cr.$$
{{end|proof}}

{{theorem|type=def|name=Newtonian potential|label=NP}}
$f\in L^1_\loc(\Omega)$ とする。合成積 $\Gamma*f$ が $\Omega$ 上で定義されるときこれを $f$ のNewtonian potentialという。

$n=2$ の場合は任意の $q\in[1,\infty)$ について $\Gamma\in L^q_\loc(\R^n)$ であるから $\Omega$ が有界であって $f\in L^p(\Omega),p\in(1,\infty]$ であれば $\Gamma*f$ は定義される。$n\ge 3$ の場合は[[Sobolev空間とSobolevの不等式]]の命題57より $|\Omega|\lt\infty$ であって $f\in L^1(\Omega)$ であれば $\Gamma*f$ が定義される。

Newtonian potentialは次の意味で「 $\Delta u=f$ の解 $u$ の候補」を与えるものである:

{{theorem|type=pro|name=Greenの表現公式|label=Grrp}}
$\Omega$ を $C^{0,1}$ 領域([[Hölder空間の基本事項]]の定義28。[[Sobolev空間とSobolevの不等式]]の定理90も参照。)とする。$\supp u$ が有界な $u\in C^2(\Ombar)$ について
$$u(x)=\int_\Omega \Gamma(x-y)\Delta u(y)dy-\int_\pOm (\Gamma(x-y)Du(y)\cdot\nu(y)+(D\Gamma(x-y)\cdot\nu(y))u(y))d\H^{n-1}(y).$$
ここで $\nu$ は $\pOm$ の外向き単位法線ベクトルである。

とくに $u\in C^2_c(\R^n)$ について
$$u=\Gamma*\Delta u\ \inn\ \R^n.$$

{{begin|proof}}
$x\in\Omega$ とし、$r\gt 0$ を十分小さくとって $B_r(x)\rcpt\Omega$ となるようにする。部分積分により
\begin{align*}
&\quad\int_{\Omega\backslash B_r(x)} \Gamma(x-y)\Delta u(y)dy\\
&=\int_\pOm \Gamma(x-y)Du(y)\cdot\nu(y)d\H^{n-1}(y)-\int_{\partial B_r(x)}\Gamma(x-y)Du(y)\cdot\frac{y-x}{r}d\H^{n-1}(y)+\int_{\Omega\backslash B_r(x)} D\Gamma(x-y)\cdot Du(y)dy\\
&=\int_\pOm (\Gamma(x-y)Du(y)\cdot\nu(y)+(D\Gamma(x-y)\cdot\nu(y))u(y))d\H^{n-1}(y)-\int_{\partial B_r(x)}(\Gamma(x-y)Du(y)+D\Gamma(x-y)u(y))\cdot\frac{y-x}{r}d\H^{n-1}(y).
\end{align*}
ここで
$$\left|\int_{\partial B_r(x)}\Gamma(x-y)Du(y)\cdot\frac{y-x}{r}d\H^{n-1}(y)\right|\le|\Gamma(r)|\cdot n\omega_nr^{n-1}\to 0\ (r\to +0)$$
で、
$$\int_{\partial B_r(x)}D\Gamma(x-y)u(y)\cdot\frac{y-x}{r}d\H^{n-1}(y)=-\Gamma'(r)\int_{\partial B_r(x)}ud\H^{n-1}=\frac{1}{n\omega_nr^{n-1}}\int_{\partial B_r(x)}ud\H^{n-1}\to u(x)\ (r\to +0)$$
であるから $r\to +0$ とすれば
$$\int_\Omega \Gamma(x-y)\Delta u(y)dy=\int_\pOm (\Gamma(x-y)Du(y)\cdot\nu(y)+(D\Gamma(x-y)\cdot\nu(y))u(y))d\H^{n-1}(y)-u(x)$$
を得る。
{{end|proof}}

$\Delta\Gamma=0$ より境界積分の項は調和関数になるので、$f=\Delta u$ とすると $w=\Gamma*f$ も $w\in C^2(\Omega)$ であって $\Delta w=f$ の解になっていることがわかる。また $u$ が調和関数の場合
$$u(x)=-\int_\pOm (\Gamma(x-y)Du(y)\cdot\nu(y)+(D\Gamma(x-y)\cdot\nu(y))u(y))d\H^{n-1}(y)$$
という表示を得る。この表示からも{{ref|type=cor|label=harmsmo}}が成り立つことを確認できる。

一方、$f\in C(\Ombar)$ であっても $\Gamma*f\notin C^2(\Omega)$ となる場合がある。
{{begin|proof|display=例}}
$B=B_2(0)$ とし、$\eta\in C^2_c(B)$ を $\eta=1$ in $B_1(0)$ となるようにとる。$P(x)\colon=x_1x_2$ とすると $\Delta(\eta P)=0$ in $B_1(0)$ となる。次のように
$$f(x)\colon=\begin{cases}
\frac{1}{k}\Delta(\eta P)(2^kx)&\jf 2^{-k}\le|x|\lt 2^{1-k},k\in\Zz\\
0&\jf x=0
\end{cases}$$
とおく。明らかに $\supp f$ はコンパクトである。また $|x|=2^{-k},k\in\Zz$ とすると $\frac{1}{k}\Delta(\eta P)(2^kx)=\frac{1}{k+1}\Delta(\eta P)(2^{k+1}x)=0$ であるから $f$ は $B\backslash\{0\}$ において連続であり、$0\lt|x|\lt 2^{-k},k\in\Zz$ とすると $|f(x)|\le \frac{1}{k}|\Delta(\eta P)|_0$ となるので $|f(x)|\to 0\ (|x|\to +0)$ も成り立つので $f$ は $B$ 上で連続である。

$\Gamma*f$ を求める。$l\in\Zp$ について
$$f_l(x)\colon=\begin{cases}
\frac{1}{k}\Delta(\eta P)(2^kx)&\jf 2^{-k}\le|x|\lt 2^{1-k},k\in\{0,\ldots,l\}\\
0&\jf |x|\lt 2^{-l}
\end{cases}
,w_l(x)\colon=\sum_{k=0}^l\frac{1}{2^{2k}k}(\eta P)(2^kx)$$
とすると $f\in C_c(B)$、$w_l\in C^2_c(B)$、$\Delta w_l=f$ であるから $\Gamma*f_l=w_l$。また $l\to\infty$ とすると $f_l$ は $f$ に一様収束し、$w_l$ は
$$w(x)\colon=\sum_{k=0}^\infty\frac{1}{2^{2k}k}(\eta P)(2^kx)$$
により定まる $w$ に一様収束する。これより $\Gamma*f=w$。

$w$ を定める級数は $x\neq 0$ のときは有限項を除いて $0$ であることに注意すると
$$w\in C^2(B\backslash\{0\}),D^\alpha w(x)=\sum_{k=0}^\infty\frac{1}{k}D^\alpha(\eta P)(2^kx)\ (x\in B\backslash\{0\},|\alpha|\le 2).$$
一方 $D_{12}P=1$ に注意すると $2^{-l}\le|x|\lt 2^{1-l},l\in\Zp$ について
$$D_{12}w(x)=\sum_{k=0}^l D_{12}(\eta P)(2^kx)=\sum_{k=0}^{l-1} D_{12}P(2^kx)+D_{12}(\eta P)(2^lx)\ge l-|D_{12}(\eta P)|_0.$$
これより $D_{12}w(x)\to +\infty\ (|x|\to +0)$ となり、$D_{12}w\notin C(B)$。これより $w=\Gamma*f\notin C^2(B)$ である。
{{end|proof}}

一方で、以下に示すように、$f$ がHölder連続であれば $\Gamma*f\in C^2(\Omega)$、$\Delta(\Gamma*f)=f$ in $\Omega$ が成り立つ。(上で示した例は $0$ においてHölder連続となっていないことに注意せよ。)

{{theorem|type=lem|label=NP1}}
$\Omega$ は有界であるとする。$f\in L^\infty(\Omega)$ とすると $\Gamma*f$ は $\R^n$ 上で定義され
$$\Gamma*f\in C^1(\R^n),D_i(\Gamma*f)=D_i\Gamma*f\ \inn \R^n.$$

{{begin|proof}}
$i\in\{1,\ldots,n\}$ とする。$\zeta\in C^\infty(\R^n)$ を $0\le\zeta\le 1$ in $\R^n$、$\zeta=0$ in $B_1(0)$ かつ $\zeta=1$ on $\R^n\backslash B_2(0)$ となるようにとり、$\varepsilon\gt 0$ について $\zeta_\varepsilon(x)\colon=\zeta(\varepsilon^{-1}x)$ とする。$\zeta_\varepsilon$ は
$$0\le\zeta_\varepsilon\le 1 \inn \R^n, \zeta_\varepsilon=0\ \inn B_\varepsilon(0),\zeta_\varepsilon=1\ \on \R^n\backslash B_{2\varepsilon}(0)$$
をみたす。

このとき $\zeta_\varepsilon\Gamma\in C^\infty(\R^n)$ となるので
$$(\zeta_\varepsilon\Gamma)*f\in C^\infty(\R^n),D_i((\zeta_\varepsilon\Gamma)*f)=(D_i(\zeta_\varepsilon\Gamma))*f.$$
また $x\in\R^n$ について
$$|(\zeta_\varepsilon\Gamma)*f(x)-\Gamma*f(x)|\le\int_\Omega (1-\zeta_\varepsilon(x-y))|\Gamma(x-y)||f(y)|dy\le\int_{B_{2\varepsilon}(x)}|\Gamma(x-y)|\norm{f}_\infty dy,$$
\begin{align*}
|(D_i(\zeta_\varepsilon\Gamma))*f(x)-D_i\Gamma*f(x)|&\le\int_\Omega (1-\zeta_\varepsilon(x-y))|D_i\Gamma(x-y)||f(y)|dy+\varepsilon^{-1}\int_\Omega |D_i\zeta(\varepsilon^{-1}(x-y))||\Gamma(x-y)||f(y)|dy\\
&\le\int_{B_{2\varepsilon}(x)}|D_i\Gamma(x-y)|\norm{f}_\infty dy+\varepsilon^{-1}\norm{D_i\zeta}_\infty\int_{B_{2\varepsilon}(x)}|\Gamma(x-y)|\norm{f}_\infty dy
\end{align*}
であるから
$$\sup_{\R^n}|(\zeta_\varepsilon\Gamma)*f-\Gamma*f|\le\norm{f}_\infty\int_{B_{2\varepsilon}(0)}|\Gamma|\to 0\ (\varepsilon\to +0),$$
$$\sup_{\R^n}|(D_i(\zeta_\varepsilon\Gamma))*f-D_i\Gamma*f|\le\norm{f}_\infty\int_{B_{2\varepsilon}(0)}|D_i\Gamma|+\varepsilon^{-1}\norm{D_i\zeta}_\infty\norm{f}_\infty\int_{B_{2\varepsilon}}|\Gamma|\to 0\ (\varepsilon\to +0).$$
これより主張が従う。
{{end|proof}}

{{theorem|type=thm|label=NP2}}
$\Omega$ は有界であるとする。$f\in C^{0,\alpha}(\Omega)\cap L^\infty(\Omega)$、$\alpha\in(0,1)$ とすると $\Gamma*f\in C^2(\Omega)$。また $\Omega_0$ を $\Omega$ を含む $C^{0,1}$ 領域とすると
$$D_{ij}(\Gamma*f)(x)=\int_\Omega D_{ij}\Gamma(x-y)(f(y)-f(x))dy-f(x)\left(\int_{\Omega_0\backslash\Omega}D_{ij}\Gamma(x-y)dy+\int_{\pOm_0}D_i\Gamma(x-y)\nu_j(y)d\H^{n-1}(y)\right)\ (x\in\Omega).$$
ここで $\nu=(\nu_1,\ldots,\nu_n)$ は $\pOm_0$ の外向き単位法線ベクトルである。また
$$\Delta(\Gamma*f)=f\ \inn \Omega.$$

{{begin|proof}}
$i,j\in\{1,\ldots,n\}$ とする。{{ref|type=lem|label=NP1}}と同様に $\zeta_\varepsilon$ をとる。{{ref|type=lem|label=NP1}}と同様の評価により
$$\sup_\Omega|(\zeta_\varepsilon D_i\Gamma)*f-D_i\Gamma*f|\to 0\ (\varepsilon\to +0).$$
$x\in\Omega$ とする。$x\in\Omega'\rcpt\Omega$ となる開集合 $\Omega'$ をとり、$\varepsilon\in(0,\frac{1}{2}\dist(\Omega',\pOm))$ とする。$B_{2\varepsilon}(x)\cap(\Omega_0\backslash\Omega)$ より $y\in\Omega_0\backslash\Omega$ については $\zeta_\varepsilon(y)=1$ となることに注意するとGaussの発散定理により
\begin{align*}
\int_{\pOm_0}D_i\Gamma(x-y)d\H^{n-1}(y)&=\int_{\pOm_0}\zeta_\varepsilon(x-y)D_i\Gamma(x-y)d\H^{n-1}(y)\\
&=-\int_{\Omega_0}D_j(\zeta_\varepsilon D_i\Gamma)(x-y)dy\\
&=-\left(\int_\Omega D_j(\zeta_\varepsilon D_i\Gamma)(x-y)dy+\int_{\Omega_0\backslash\Omega}D_{ij}\Gamma(x-y)dy\right).\tag{*}\label{np1}
\end{align*}
$D_i((\zeta_\varepsilon\Gamma)*f)=D_i(\zeta_\varepsilon\Gamma)*f$ と同様に $D_j((\zeta_\varepsilon D_i\Gamma)*f)=D_j(\zeta_\varepsilon D_i\Gamma)*f$ も成り立つので(\ref{np1})より
\begin{align*}
D_j((\zeta_\varepsilon D_i\Gamma)*f)(x)&=\int_\Omega D_j(\zeta_\varepsilon D_i\Gamma)(x-y)f(y)dy\\
&=\int_\Omega D_j(\zeta_\varepsilon D_i\Gamma)(x-y)(f(y)-f(x))dy-f(x)\left(\int_{\Omega_0\backslash\Omega}D_{ij}\Gamma(x-y)dy+\int_{\pOm_0}D_i\Gamma(x-y)\nu_j(y)d\H^{n-1}(y)\right).
\end{align*}
ここで
\begin{align*}
\int_\Omega |D_{ij}\Gamma(x-y)||f(y)-f(x)|dy&\le C\int_\Omega |x-y|^{-n}|f(y)-f(x)|dy\\
&\le C\left(\int_{B_{2\varepsilon}(x)}[f]_{0,\alpha;\Omega'}|x-y|^{\alpha-n}dy+\int_{\Omega\backslash B_{2\varepsilon}(x)}2|f|_{0;\Omega'}|x-y|^{-n}dy\right)\lt\infty
\end{align*}
より積分
$$\int_\Omega D_{ij}\Gamma(x-y)(f(y)-f(x))dy$$
はwell-definedである。$\Omega$ 上の関数 $g$ を
$$g(x)\colon=\int_\Omega D_{ij}\Gamma(x-y)(f(y)-f(x))dy-f(x)\left(\int_{\Omega_0\backslash\Omega}D_{ij}\Gamma(x-y)dy+\int_{\pOm_0}D_i\Gamma(x-y)\nu_j(y)d\H^{n-1}(y)\right)$$
により定めると
\begin{align*}
|D_j((\zeta_\varepsilon D_i\Gamma)*f)(x)-g(x)|&\le\int_\Omega |D_j(\zeta_\varepsilon D_i\Gamma)(x-y)-D_{ij}\Gamma(x-y)||f(y)-f(x)|dy\\
&\le\int_\Omega ((1-\zeta_\varepsilon(x-y))|D_{ij}\Gamma(x-y)|+|D_j\zeta_\varepsilon(x-y)||D_i\Gamma(x-y)|)|f(y)-f(x)|dy\\
&\le C\int_{B_{2\varepsilon}(x)} (|x-y|^{-n}+\varepsilon^{-1}|D_j\zeta|_0|x-y|^{1-n})[f]_{0,\alpha;\Omega'}|x-y|^\alpha dy\\
&\le C\int_{B_{2\varepsilon}(x)}(|x-y|^{\alpha-n}+\varepsilon^{-1}|x-y|^{\alpha+1-n})[f]_{0,\alpha;\Omega'}dy\\
&\le C\varepsilon^{\alpha}[f]_{0,\alpha;\Omega'}.
\end{align*}
従って
$$\sup_{\Omega'}|D_j((\zeta_\varepsilon D_i\Gamma)*f)-g|\to 0\ (\varepsilon\to +0).$$
以上より $D_i(\Gamma*f)=D_i\Gamma*f\in C^1(\Omega)$ となり、
$$\Gamma*f\in C^2(\Omega),D_{ij}(\Gamma*f)(x)=g(x)=\int_\Omega D_{ij}\Gamma(x-y)(f(y)-f(x))dy-f(x)\left(\int_{\Omega_0\backslash\Omega}D_{ij}\Gamma(x-y)dy+\int_{\pOm_0}D_i\Gamma(x-y)\nu_j(y)d\H^{n-1}(y)\right)\ (x\in\Omega).$$
$\Delta(\Gamma*f)=f$ を示す。$x\in\Omega$ として $\Omega_0=B_R(x)$ を $\Omega$ を含む球とする。$\Delta\Gamma=0$ in $\R^n\backslash\{0\}$ に注意すると
\begin{align*}
\Delta(\Gamma*f)(x)&=\sum_{i=1}^n\left(\int_\Omega D_{ii}\Gamma(x-y)(f(y)-f(x))dy-f(x)\left(\int_{\Omega_0\backslash\Omega}D_{ii}\Gamma(x-y)dy+\int_{\partial B_R(x)}D_i\Gamma(x-y)\frac{y_i-x_i}{R}d\H^{n-1}(y)\right)\right)\\
&=f(x)\int_{\partial B_R(x)}D\Gamma(x-y)\cdot\frac{x-y}{R}d\H^{n-1}\\
&=f(x)\int_{\partial B_R(x)}\frac{1}{n\omega_n}|x-y|^{-n}(x-y)\cdot\frac{x-y}{R}d\H^{n-1}\\
&=f(x)\cdot n\omega_nR^{n-1}\cdot \frac{1}{n\omega_n}R^{1-n}\\
&=f(x).
\end{align*}
{{end|proof}}

===Green関数===
$h\in C^2(\Ombar)$ を調和関数とすると部分積分により $u\in C^2(\Ombar)$ について
$$\int_\Omega h\Delta u=\int_\pOm(hDu\cdot\nu-(Dh\cdot\nu)u)d\H^{n-1}.$$
$G(x,y)\colon=\Gamma(x-y)+h(y)$ としてGreenの表現公式に加えると
$$u(x)=\int_\Omega G(x,y)u(y)dy-\int_\pOm (G(x,y)Du(y)\cdot\nu(y)-(D_yG(x,y)\cdot\nu(y))u(y))d\H^{n-1}(y).$$
ここで $h=h_x\in C^2(\Ombar)$ を $\Delta h=0$ in $\Omega$ かつ $h(y)=-\Gamma(x-y)\ (y\in\pOm)$ となるように選ぶことができれば
$$u(x)=\int_\Omega G(x,y)u(y)dy+\int_\pOm (D_yG(x,y)\cdot\nu(y))u(y)d\H^{n-1}(y)$$
を得る。

{{theorem|type=def|name=Green関数|label=Gr}}
$G=G(x,y)$ を $\Omega$ における(Dirichlet-)Green関数、あるいは第1種Green関数という。

{{ref|type=cor|label=Poiuniq}}よりGreen関数は(存在すれば)一意的であり、存在すればPoisson方程式の非斉次Dirichlet問題
$$\left\{
\begin{align*}
\Delta u&=f& &\inn\ \Omega\\
u&=\varphi& &\on\ \pOm
\end{align*}
\right.$$
の解 $u\in C^2(\Ombar)$ の表示を得られたことになる。

実際には一般の $C^{0,1}$ 領域 $\Omega$ におけるGreen関数を求める方法はなく、Green関数を用いた解析は困難である。一方、ごく限られた単純な領域の場合はGreen関数を求めることができることがある。

====半空間の場合====

半空間 $\R^n_+$ におけるGreen関数は容易に与えることができる。実際、
$$h_x(y)=-\Gamma(x^*-y)=-\Gamma(x-y^*),G(x,y)=\Gamma(x-y)-\Gamma(x^*-y)=\Gamma(x-y)-\Gamma(x-y^*)$$
が半空間 $\R^n_+$ におけるGreen関数になっている。ここで $x^*\colon=(x',-x_n)$ は平面 $\partial\R^n_+$ について $x=(x',x_n)\in \R^{n-1}\times\R$ と対称な点である。

{{theorem|type=pro|label=rnpGreen}}
$u\in C^2(\R^n_+)\cap C(\overline{\R^n_+})$ は $u=0$ on $\partial\R^n_+$、$\Delta u\in L^\infty(\R^n_+)$ をみたし、$\supp u$ は有界であるとする。このとき
$$u(x)=\int_{\R^n_+}G(x,y)\Delta u(y)dy\ (x\in\R^n_+).$$
ここで $G(x,y)\colon=\Gamma(x-y)-\Gamma(x^*-y)$、$x^*\colon=(x',-x_n)$。

{{begin|proof}}
$u\in C^2(\R^n_+)$ の場合は一般論から従う。

$u\in C^2(\R^n_+)\cap C(\overline{\R^n_+})$ の場合を示す。$R\gt 0$ を $\supp u\subset\overline{D},D=(-R,R)^{n-1}\times(0,R)$ となるようにとる。
$$|u(x)|\le \frac{1}{2}R|\Delta u|_0x_n\ (x\inn D)$$
を示す。$v\in C^2(\overline{D})$ を
$$v(x)\colon=\frac{1}{2}|\Delta u|_0x_n(R-x_n)$$
により定める。このとき $v\ge 0=u$ on $\partial D$、$\Delta v=-|\Delta u|_0\le\Delta u$ in $D$。比較原理より
$$u\le v\ \inn D.$$
同様に $u\ge -v$ in $D$ も成り立ち、
$$|u|\le v\le\frac{1}{2}R|\Delta u|_0x_n.$$
$\xi\in C^\infty([0,\infty))$ を $0\le\xi\le 1$ on $[0,\infty)$、$\xi(t)=0$ for $t\in[0,1]$、$\xi(t)=1$ for $t\in[2,\infty)$ となるようにとり、$\varepsilon\gt 0$ について $u_\varepsilon(x)\colon=\xi(\varepsilon^{-1}x_n)u(x)$ とする。$u_\varepsilon$ は $u_\varepsilon\in C^2_c(\R^n_+)$、$u_\varepsilon(x)=u(x)$ if $x_n\gt 2\varepsilon$ をみたす。

$y=(y',y_n)\in\R^{n-1}\times(0,\infty)$ について $\Delta u(y)=\xi(\varepsilon^{-1}y_n)\Delta u(y)+2\varepsilon^{-1}\xi'(\varepsilon^{-1}y_n)D_nu(y)+\varepsilon^{-2}\xi^{\prime\prime}(\varepsilon^{-1}y_n)u(y)$ であるから $x\in\R^n_+$ と $\varepsilon\in(0,\frac{x_n}{2})$ について
\begin{align*}
u(x)=u_\varepsilon(x)&=\int_{\R^n_+}G(x,y)(\xi(\varepsilon^{-1}y_n)\Delta u(y)+2\varepsilon^{-1}\xi'(\varepsilon^{-1}y_n)D_nu(y)+\varepsilon^{-2}\xi^{\prime\prime}(\varepsilon^{-1}y_n)u(y))dy\\
&=\int_{\R^n_+}\left(G(x,y)(\xi(\varepsilon^{-1}y_n)\Delta u(y)-\varepsilon^{-2}\xi^{\prime\prime}(\varepsilon^{-1}y_n)u(y))-2\varepsilon^{-1}D_{y_n}G(x,y)\xi'(\varepsilon^{-1}y_n)u(y)\right)dy.
\end{align*}
ここで $D_\varepsilon\colon=(-R,R)^{n-1}\times(0,2\varepsilon)$ とすると $y=(y',y_n)$ について
$$|G(x,y)|=|\Gamma(x'-y',x_n-y_n)-\Gamma(x'-y',x_n+y_n)|\le y_n\int_{-1}^1|D_n\Gamma(x'-y',x_n-ty_n)|dt\le C|x_n-y_n|^{1-n}y_n,$$
$$|D_{y_n}G(x,y)|=|-D_n\Gamma(x'-y',x_n-y_n)-D_n\Gamma(x'-y',x_n+y_n)|\le C|x_n-y_n|^{1-n}$$
となることに注意すると
$$\left|\int_{\R^n_+}G(x,y)(1-\xi(\varepsilon^{-1}y_n))\Delta u(y)dy\right|\le C\int_{D_\varepsilon}|x_n-y_n|^{1-n}y_n|\Delta u(y)|dy\to 0\ (\varepsilon\to +0),$$
\begin{align*}
\left|\varepsilon^{-2}\int_{\R^n_+}G(x,y)\xi^{\prime\prime}(\varepsilon^{-1}y_n)u(y)\right|&\le|\xi^{\prime\prime}|_0\varepsilon^{-2}\int_{D_\varepsilon}|G(x,y)u(y)|dy\\
&\le C\varepsilon^{-2}\int_{D_\varepsilon}|x_n-y_n|^{1-n}y_n\cdot\frac{1}{2}R|\Delta u|_0y_ndy\\
&\le CR|\Delta u|_0\int_{D_\varepsilon}|x_n-y_n|^{1-n}dy\to 0\ (\varepsilon\to +0),
\end{align*}
\begin{align*}
\left|\varepsilon^{-1}\int_{\R^n}D_{y_n}G(x,y)\xi'(\varepsilon^{-1}y_n)u(y))dy\right|&\le C|\xi'|_0\varepsilon^{-1}\int_{D_\varepsilon}|x_n-y_n|^{1-n}\cdot\frac{1}{2}R|\Delta u|_0y_ndy\\
&\le CR|\Delta u|_0\int_{D_\varepsilon}|x_n-y_n|^{1-n}dy\to 0\ (\varepsilon\to +0).
\end{align*}
これより
$$u(x)=\int_{\R^n_+}G(x,y)\Delta u(y)dy$$
が従う。
{{end|proof}}

{{theorem|type=rmk}}
{{ref|type=lem|label=NP1}}より $u\in C^1(\overline{\R^n_+})$ となる。

また $x\in\R^n_+$、$y\in\partial\R^n_+$ について $y_n=0$、$|x-y|=|x^*-y|$ に注意すると
$$D_yG(x,y)\cdot\nu(y)=-D_{y_n}G(x,y)=D_n\Gamma(x-y)+D_n\Gamma(x^*-y)=\frac{2}{n\omega_n}|x-y|^{-n}x_n.$$

{{theorem|type=def|name=上半空間におけるPoisson核|label=rnpPker}}
$$K(x,y)\colon=\frac{2}{n\omega_n}|x-y|^{-n}x_n$$
により定まる $\R^n_+\times\partial\R^n_+$ 上の関数 $K$ を上半空間 $\R^n_+$ におけるPoisson核という。$K$ は $\Delta_x K(x,y)=0$ をみたす。

{{theorem|type=thm|name=Poisson積分公式|label=rnpPint}}
$\varphi\in C(\partial\R^n_+)\cap L^\infty(\partial\R^n_+)$ とする。
$$u(x)\colon=\int_{\partial\R^n_+}K(x,y)\varphi(y)d\H^{n-1}(y)\ (x\in\R^n_+)$$
とおくと $u$ は次をみたす:
*(1) $$u\in C^\infty(\R^n_+)\cap L^\infty(\R^n_+),\Delta u=0\ \inn\ \R^n_+.$$
*(2) $\xi\in\partial\R^n_+$ について
$$\lim_{\substack{x\in\R^n_+,\\ x\to\xi}}u(x)=\varphi(\xi).$$

{{begin|proof}}
$$\int_{\R^n_+}K(x,y)d\H^{n-1}(y)=1$$
を示す。$x=(0,x_n)$ としてよい。
\begin{align*}
\int_{\R^n_+}K(x,y)d\H^{n-1}(y)&=\frac{2}{n\omega_n}\int_{\R^{n-1}}x_n(x_n^2+|z|^2)^{-\frac{n}{2}}dz\\
&=\frac{2}{n\omega_n}\int_{\R^{n-1}}(1^2+|w|^2)^{-\frac{n}{2}}dw\\
&=\frac{2(n-1)\omega_{n-1}}{n\omega_n}\int_0^\infty r^{n-2}(1+r^2)^{-\frac{n}{2}}dr.
\end{align*}
ここで
$$\frac{(n-1)\omega_{n-1}}{n\omega_n}=\frac{\Gamma\left(\frac{n}{2}\right)}{\Gamma\left(\frac{n-1}{2}\right)\sqrt{\pi}}=\frac{1}{B\left(\frac{n-1}{2},\frac{1}{2}\right)}.$$
ここで、$\Gamma$ は通常のgamma関数であり、$B$ はbeta関数である。
一方 $t=\frac{r^2}{1+r^2}$ と変数変換すると
$$2\int_0^\infty r^{n-2}(1+r^2)^{-\frac{n}{2}}dr=\int_0^1 t^\frac{n-3}{2}(1-t)^\frac{3}{2}\cdot(1-t)^{-2}dt=B\left(\frac{n-1}{2},\frac{1}{2}\right).$$
これより $\int_{\R^n_+}K(x,y)d\H^{n-1}(y)=1$ が従う。とくに
$$|u(x)|\le\int_{\R^n_+}K(x,y)|\varphi|_0d\H^{n-1}(y)\le|\varphi|_0$$
となり $u\in L^\infty(\R^n_+)$。

帰納法により任意の多重指数 $\alpha\gt 0$ について $D_x^\alpha K(x,y)$ は $|\alpha|$ 次以下の多項式 $P_\alpha$ と $|\alpha|-1$ 次以下の多項式 $Q_\alpha$ を用いて
$$D_x^\alpha K(x,y)=|x-y|^{-n-2|\alpha|}x_nP(x-y)+|x-y|^{-n-2|\alpha|+2}Q(x-y)$$
と表される。$|x'-y'|+x_n\le \sqrt{2}|x-y|$ に注意すると
$$|D_x^\alpha K(x,y)|\le C(|x-y|^{-n-|\alpha|}x_n+|x-y|^{-n-\alpha+1})\le C(x_n+|x'-y'|)^{-n-\alpha+1}.$$
これより
$$u\in C^\infty(\R^n_+),D^\alpha u(x)=\int_{\R^n_+} D_x^\alpha K(x,y)\varphi(y)d\H^{n-1}(y).$$
また $\Delta_x K(x,y)=0$ より
$$\Delta u=0\ \inn\ R^n_+.$$
(2)を示す。$\xi=(\xi',0)\in\partial\R^n_+$ とする。$\varepsilon\gt 0$ とし、$x=(x',x_n)\in\R^n_+$ は $|x'-\xi'|\lt\varepsilon$ をみたすとする。
$$\left|\int_{\partial\R^n_+\cap B_{2\varepsilon}(\xi)}K(x,y)(\varphi(y)-\varphi(\xi))d\H^{n-1}(y)\right|\le\sup_{\partial\R^n_+}|\varphi-\varphi(\xi)|\int_{\partial\R^n_+\cap B_{2\varepsilon}(\xi)}K(x,y)d\H^{n-1}(y)=\sup_{\partial\R^n_+\cap B_{2\varepsilon}(\xi)}|\varphi-\varphi(\xi)|.$$
一方 $z\in\R^{n-1}$ について $|z-\xi|\gt 2\varepsilon\implies|z-x'|\lt\varepsilon$ となることに注意すると
$$\left|\int_{\partial\R^n_+\backslash B_{2\varepsilon}(\xi)}K(x,y)(\varphi(y)-\varphi(\xi))d\H^{n-1}(y)\right|\le 2\sup_{\partial B}|\varphi|\int_{\{z\in\R^{n-1}\colon|z-x'|\gt\varepsilon\}}\frac{2}{n\omega_n}x_n|z-y'|^{-n}dz\le C\varepsilon^{-1}\sup_{\partial\R^n_+}|\varphi|x_n.$$
これより
$$|u(x)-\varphi(\xi)|=\left|\int_{\partial\R^n_+}K(x,y)(\varphi(y)-\varphi(\xi))d\H^{n-1}(y)\right|\le\sup_{\partial\R^n_+\cap B_{2\varepsilon}(\xi)}|\varphi-\varphi(\xi)|+C\varepsilon^{-1}\sup_{\partial\R^n_+}|\varphi|x_n$$
となり
$$\limsup_{\substack{x\in\R^n_+,\\ x\to\xi}}|u(x)-\varphi(\xi)|\le\sup_{\partial\R^n_+\cap B_{2\varepsilon}(\xi)}|\varphi-\varphi(\xi)|.$$
$\varepsilon\to +0$ として(2)を得る。
{{end|proof}}

====球の場合====

$\Omega=B$ が球の場合も $B$ におけるGreen関数を具体的に与えることができる。

$B=B_R(0)$ とする。$x\in B\backslash\{0\}$ について $\overline{x}\colon=\frac{R^2}{|x|^2}x\in\R^n\backslash\overline{B}$ を球面 $\partial B$ について $x$ を反転した点とする。$a\gt 0$ を定数として $h_x(y)\colon=\Gamma(a|x-y|)$ とすると $\Delta h_x=0$ が成り立つ。また $|\overline{x}|^2=\frac{R^4}{|x|^2}$ に注意すると $y\in\partial B$ について
$$|\overline{x}-y|^2=\frac{R^4}{|x|^2}-2\frac{R^2}{|x|^2}x\cdot y+R^2=\frac{R^2}{|x|^2}(|x|^2-2x\cdot y+R^2)=\frac{R^2}{|x|^2}|x-y|^2.$$
よって $a=\frac{|x|}{R}$ とすれば $h_x(y)=\Gamma(x-y)$ for $y\in\partial B$ が成り立つ。

一方 $h_0\colon=\Gamma(R)$ とすれば明らかに $\Delta h_0=0$ for $y\in B$、$h_0(y)=\Gamma(-y)$ for $\partial B$ が成り立つ。

従って
$$G(x,y)\colon=\begin{cases}
\Gamma(x-y)-\Gamma\left(\frac{|x|}{R}(\overline{x}-y)\right)&\jf x\in B\backslash\{0\}\\
\Gamma(y)-\Gamma(R)&\jf x=0
\end{cases}$$
によって $B$ におけるGreen関数が与えられる。

また $x\in B\backslash\{0\}$、$y\in\partial B$ について
\begin{align*}
D_yG(x,y)\cdot\nu(y)&=-\frac{1}{n\omega_n}\left(\left(\frac{|x|}{R}\right)^{2-n}|\overline{x}-y|^{-n}(\overline{x}-y)-|x-y|^{-n}(x-y)\right)\cdot\frac{y}{R}\\
&=\frac{1}{n\omega_n}|x-y|^{-n}\left(\frac{|x|^2}{R^2}(\overline{x}-y)-(x-y)\right)\cdot\frac{y}{R}\\
&=\frac{1}{n\omega_n}|x-y|^{-n}\left(1-\frac{|x|^2}{R^2}\right)y\cdot\frac{y}{R}\\
&=\frac{1}{n\omega_nR}|x-y|^{-n}(R^2-|x|^2).
\end{align*}
これは $x=0$ の場合も明らかに成り立つ。

{{theorem|type=def|name=球におけるPoisson核|label=bPker}}
$$K(x,y)\colon=\frac{1}{n\omega_nR}|x-y|^{-n}(R^2-|x|^2)$$
により定まる $B_R(0)\times\partial B_R(0)$ 上の関数 $K$ を球 $B_R(0)$ におけるPoisson核という。

$K$ は $\Delta_x K(x,y)=0$ をみたし、$u\in C^2(\overline{B})$ を調和関数とするとPoisson積分公式
$$u(x)=\int_{\partial B}K(x,y)u(y)d\H^{n-1}(y)\ (x\in B)$$
が成り立つ。$u\in C^2(B)\cap C(\overline{B})$ の場合も $\varepsilon\gt 0$ について $u_\varepsilon(x)\colon=u((1-\varepsilon)x)$ として $u_\varepsilon$ に対して公式を適用して $\varepsilon\to +0$ とすることで同様の公式が成り立つ。

{{theorem|type=rmk}}
Poisson積分公式により、Harnackの不等式をより精密にすることができる:非負値の調和関数 $u\in C^2(B)\cap C(\overline{B})$ と $x\in B$ について
$$u(x)\le\frac{1}{n\omega_nR}\int_{B}(R-|x|)^{-n}(R^2-|x|^2)u(y)dy=\frac{R^{n-2}(R+|x|)}{(R-|x|)^{n-1}}u(0)$$
かつ
$$u(x)\ge\frac{1}{n\omega_nR}\int_{B}(R+|x|)^{-n}(R^2-|x|^2)u(y)dy=\frac{R^{n-2}(R-|x|)}{(R+|x|)^{n-1}}u(0)$$
が成り立つ。とくに $r\in[0,R)$ について
$$\sup_{B_r(0)}u\le\left(\frac{R+r}{R-r}\right)^n\inf_{B_r(0)}u.$$

{{theorem|type=cor|name=Liouvilleの定理|label=Liou}}
$u\in C^2(\R^n)$ を上または下に有界な調和関数とすると $u$ は定数関数。

{{begin|proof}}
$u\ge 0$ の場合を示せば十分。任意の $R\gt r\gt 0$ について精密化したHarnackの不等式より $\displaystyle \sup_{B_r(0)}u\le\left(\frac{R+r}{R-r}\right)^n\inf_{B_r(0)}u$。$R\to +\infty$ とすれば $\displaystyle \sup_{B_r(0)}u\le\inf_{B_r(0)}u$ を得る。これより $u$ は $B_r(0)$ 上で定数であり、$r\gt 0$ は任意であったから $u$ は定数関数である。
{{end|proof}}

逆に与えられた $\varphi\in C(\partial B)$ についてPoisson積分公式によって $u=\varphi$ in $\partial B$ をみたす調和関数 $u\in C^2(B)\cap C(\overline{B})$ を構成できる。

{{theorem|type=thm|name=Poisson積分公式|label=bPint}}
$B=B_R(0)$ とし、$\varphi\in C(\partial B)$ とする。
$$u(x)\colon=\int_{\partial B}K(x,y)\varphi(y)d\H^{n-1}(y)\ (x\in B)$$
とおくと $u$ は次をみたす:
*(1) $$u\in C^\infty(B),\Delta u=0\ \inn\ B.$$
*(2) $\xi\in\partial B$ について
$$\lim_{\substack{x\in B,\\ x\to\xi}}u(x)=\varphi(\xi).$$

{{begin|proof}}
$u\in C^\infty(B)$ は明らか。また $\Delta_x K(x,y)=0$ より
$$\Delta u(x)=\int_{\partial B}\Delta_xK(x,y)\varphi(y)dy=0.$$
(2)を示す。$v\equiv 1$ in $B$ とすると明らかに $v\in C^2(\overline{B})$、$\Delta v=0$ in $B$ となるので
$$\int_{\partial B}K(x,y)d\H^{n-1}(y)=1\ (x\in B).$$
$\xi\in\partial B$ とする。$\varepsilon\gt 0$ とし、$x\in B$ は $|x-\xi|\lt\varepsilon$ をみたすとする。
$$\left|\int_{\partial B\cap B_{2\varepsilon}(\xi)}K(x,y)(\varphi(y)-\varphi(\xi))d\H^{n-1}(y)\right|\le\sup_{\partial B\cap B_{2\varepsilon}(\xi)}|\varphi-\varphi_\xi|\int_{\partial B}K(x,y)dy=\sup_{\partial B\cap B_{2\varepsilon}(\xi)}|\varphi-\varphi_\xi|.$$
また $|y-\xi|\gt 2\varepsilon\implies|x-y|\gt\varepsilon$ となることに注意すると
$$\left|\int_{\partial B\backslash B_{2\varepsilon}(\xi)}K(x,y)(\varphi(y)-\varphi(\xi))d\H^{n-1}(y)\right|\le 2\sup_{\partial B}|\varphi|\int_{\partial B}\varepsilon^{-n}(R^2-|x|^2)d\H^{n-1}(y)\le C\varepsilon^{-n}\sup_{\partial B}|\varphi|(R^2-|x|^2).$$
これより
$$|u(x)-\varphi(\xi)|=\left|\int_{\partial B}K(x,y)(\varphi(y)-\varphi(\xi))d\H^{n-1}(y)\right|\le\sup_{\partial B\cap B_{2\varepsilon}(\xi)}|\varphi-\varphi_\xi|+C\varepsilon^{-n}\sup_{\partial B}|\varphi|(R^2-|x|^2)$$
となり、$|x|\to R\ (x\in B,x\to\xi)$ より
$$\limsup_{\substack{x\in B,\\x\to\xi}}|u(x)-\varphi(\xi)|\le\sup_{\partial B\cap B_{2\varepsilon}(\xi)}|\varphi-\varphi_\xi|.$$
$\varepsilon\to +0$ として(2)を得る。
{{end|proof}}

{{theorem|type=thm|name=球におけるPoisson方程式のDirichlet問題の可解性|label=bPSolv}}
$B\subset\R^n$ を開球とし、$f\in C^{0,\alpha}(B)\cap L^\infty(B)$、$\alpha\in(0,1)$、$\varphi\in C(\partial B)$ とするとDirichlet問題
$$\left\{\begin{align*}
\Delta u&=f& &\inn\ B\\
u&=\varphi& &\on\ \partial B
\end{align*}\right.$$
の解 $u\in C^2(B)\cap C(\partial B)$ が一意的に存在する。

{{begin|proof}}
$B=B_R(0)$ としてよい。{{ref|type=thm|label=NP2}}より $\Gamma*f\in C^2(B)\cap C^1(\overline{B})$、$\Delta(\Gamma*f)=f$ in $B$。また $K(x,y)$ を $B$ におけるPoisson核として
$$v(x)\colon=\int_{\partial B}K(x,y)(\varphi(y)-\Gamma*f(y))d\H^{n-1}(y)$$
とすると{{ref|type=thm|label=bPint}}より $v\in C^2(B)\cap C(\overline{B})$、$\Delta v=0$ in $B$、$v=\varphi-\Gamma*f$ on $\partial B$。従って
$$u(x)=\Gamma*f(x)+\int_{\partial B}K(x,y)(\varphi(y)-\Gamma*f(y))d\H^{n-1}(y)$$
とすれば $u\in C^2(B)\cap C(\overline{B})$ は $\Delta u=f$ in $B$、$u=\varphi$ on $\partial B$ をみたす。
{{end|proof}}

球におけるDirichlet問題の可解性から、さらなる調和関数の性質を得られる。

{{theorem|type=pro|name=Schwarzの折り返し原理|label=reflect}}
$\Omega\subset\R^n_+$ とし、$T\subset\pOm$ は相対開集合で $T\subset\partial\R^n_+$ をみたすとする。$u\in C^2(\Omega)\cap C(\Omega\cup T)$ は調和関数で $u=0$ on $T$ をみたすとする。$\Omega^*\colon=\{x^*=(x_1,\ldots,x_{n-1},-x_n)\colon x=(x_1,\ldots,x_n)\in\Omega\}$ として $D\colon=\Omega\cup T\cup\Omega^*$ とする。$v\in C(D)$ を
$$v(x)\colon=\begin{cases}
u(x)&\jf x\in\Omega\cup T\\
-u(x^*)&\jf x\in\Omega^*
\end{cases}$$
と定めると $v$ は $D$ 上の調和関数である。

{{begin|proof}}
$v$ が各 $\xi\in T$ の近傍で調和関数になっていることを示せばよい。

$B=B(\xi)\rcpt D$ とする。$w\in C^2(B)\cap C(\overline{B})$ を
$$\left\{\begin{align*}
\Delta w&=0& &\inn B\\
w&=v& &\on \partial B
\end{align*}\right.$$
の解とする。$v(x^*)=-v(x)$ に注意すると $w^*(x)\colon=-w(x^*)$ とおくと $w^*$ も同じDirichlet問題の解になるので、{{ref|type=cor|label=Poiuniq}}より $w^*=-w$。とくに $x\in T$ について $w(x)=-w(x^*)=-w(x)$ となり $w=0$ on $T$。また $v=u$ on $\Omega\cup T$ より $w=u$ on $\partial \partial B\cap\Ombar$。これより $w=u$ on $\partial(B\cap\Omega)$ となり{{ref|type=cor|label=Poiuniq}}より $w=u$ in $B\cap\Omega$。また $x\in B\cap\Omega^*$ については $w(x)=-w(x^*)=-u(x^*)=v(x)$ となる。従って $w=v$ in $B$ であり、$v$ は $B$ 上の調和関数である。
{{end|proof}}

{{theorem|type=pro|name=調和関数の特異点の除去|label=harmremsing}}
$x_0\in\Omega$ とする。$u\in C^2(\Omega\backslash\{x_0\})$ は調和関数で
$$|u(x)|=\begin{cases}
o(|x-x_0|^{2-n})&\jf n\ge 3\\
o(|\log|x-x_0||)&\jf n=2
\end{cases}$$
をみたすとする。このとき $u(x_0)$ の値を $u$ が $\Omega$ 上の調和関数となるように定めることができる。

{{begin|proof}}
$B=B_R(x_0)\rcpt\Omega$ とする。$v\in C^2(B)\cap C(\overline{B})$ を
$$\left\{\begin{align*}
\Delta v&=0& &\inn B\\
v&=u& &\on\partial B
\end{align*}\right.$$
の解とする。$v=u$ in $B\backslash\{x_0\}$ を示せばよい。

$\varepsilon\gt 0$ について
$$w_\varepsilon(x)\colon=\begin{cases}
u(x)-v(x)-\varepsilon(|x-x_0|^{2-n}-R^{2-n})&\jf n\ge 3\\
u(x)-v(x)-\varepsilon(\log R-\log|x-x_0|)&\jf n=2
\end{cases}$$
とおく。$w$ は $\Delta w=0$ in $B\backslash\{x_0\}$、$w=0$ on $\partial B$ をみたす。

$v$ は $B$ 上で有界であることに注意すると、$r\in(0,R)$ を十分小さくとると $w_\varepsilon\lt 0$ on $\partial B_r(x_0)$ となり、$w_\varepsilon=0$ on $\partial B$ とあわせて $w\le 0$ on $\partial(B\backslash \overline{B}_r(x_0))$ となる。最大値原理より
$$w_\varepsilon\lt 0\ \inn B\backslash \overline{B}_r(x_0).$$
これより $w_\varepsilon\lt 0$ in $B\backslash\{x_0\}$。$\varepsilon\to +0$ とすれば $u-v\le 0$ in $B\backslash\{x_0\}$ を得る。

$u\ge v$ in $B\backslash\{x_0\}$ も同様に示すことができる。
{{end|proof}}

===調和関数の微分の評価===

{{theorem|type=thm|name=調和関数の微分の内部評価|label=harmintest}}
$\Omega\neq\R^n$ とする。$u\in C^2(\Omega)\cap L^\infty(\Omega)$ を調和関数とする。多重指数 $\alpha$ について $m\colon=|\alpha|$ とすると
$$|D^\alpha u|_{0;\Omega}^{(m)}\le n^me^{m-1}m!|u|_{0;\Omega}.$$
ここで $|\cdot|_{0;\Omega}^{(m)}$ は内部ノルム([[Hölder空間の基本事項]]の定義43)である。とくに任意の $\Omega'\rcpt\Omega$ について
$$[u]_{m;\Omega'}\le C_{n,m}\dist(\Omega',\pOm)^{-m}|u|_{0;\Omega}.$$

{{begin|proof}}
$\Omega=B=B_R(0)$、$u\in C^2(\overline{B})$ として $|D^\alpha u(0)|\le n^me^{m-1}m!R^{-m}|u|_{0;B}$ を示せば十分。

$m$ に関する帰納法により示す。$m=1$ の場合は $i\in\{1,\ldots,n\}$ について $\Delta(D_iu)=D_i(\Delta u)=0$ に注意すると
$$|D_iu(0)|=\frac{1}{\omega_nR^n}\left|\int_B D_iu\right|=\frac{1}{\omega_nR^n}\left|\int_{\partial B} u(x)\frac{x_i}{R}d\H^{n-1}\right|\le nR^{-1}\sup_{\partial B}|u|$$
となることから従う。

ある $m\ge 1$ について $|\alpha|=m$ なる多重指数 $\alpha$ に対し主張が成り立ったとし、$|\alpha|=m$、$i\in\{1,\ldots,n\}$ とする。$t\in(0,1)$、$r=tR$ とすると仮定より
$$|D_iD^\alpha u(0)|\le n^me^{m-1}m!r^{-m}|D_iu|_{0;B_r(0)}.$$
また $x\in B_r(0)$ として $m=1$ の場合を $B$ を $B_{R-r}(x)$ にとりかえて用いると
$$|D_iu(x)|\le n(R-r)^{-1}|u|_{0;B_{R-r}(x)}$$
となるので
$$|D_iu|_{0;B_r(0)}\le n(R-r)^{-1}|u|_{0;B}.$$
従って
$$|D_iD^\alpha u(0)|\le n^{m+1}e^{m-1}m!(1-t)^{-1}t^{-m}R^{-m}|u|_{0;B}.$$
ここで $t$ を $(1-t)t^m$ が最大となるように選ぶ。すなわち $t=\frac{m}{m+1}$ でこのとき
$$(1-t)^{-1}t^{-m}=\frac{(m+1)^{m+1}}{m^m}=(m+1)(1+m^{-1})^m\lt (m+1)e.$$
これより
$$|D_iD^\alpha u(0)|\le n^{m+1}e^m(m+1)!R^{-(m+1)}|u|_{0;B}$$
を得る。
{{end|proof}}

{{theorem|type=cor|name=調和関数の内部 $C^{k,\alpha}$ 評価|label=harmcka}}
$\Omega\neq\R^n$ とする。$u\in C^2(\Omega)$ を調和関数とする。$k\in\Zp$、$\alpha\in[0,1]$、$\sigma\in\R$ とすると
$$|u|_{k,\alpha;\Omega}^{(\sigma)}\le C_{n,k,\alpha}|u|_{0;\Omega}^{(\sigma)}.$$

{{begin|proof}}
$d_x\colon=\dist(x,\pOm)$ とする。{{ref|type=thm|label=harmintest}}と[[Hölder空間の基本事項]]の定理46、59より
$$|u|_{k,\alpha;\Omega}^{(\sigma)}\le C\sup_{x\in\Omega}d_x^\sigma|u|_{k,\alpha;B_{\frac{1}{2}d_x}(x)}'\le C\sup_{x\in\Omega}d_x^\sigma|u|_{0;B_{d_x}(x)}'\le C|u|_{0;\Omega}^{(\sigma)}.$$
{{end|proof}}

{{theorem|type=cor|name=調和関数の解析性|label=harmanal}}
$u\in C^2(\Omega)$ を調和関数とすると $u$ は各点で解析的である。

{{begin|proof}}
$\Omega=B=B_R(0)$、$u\in C^2(\overline{B})$ として $u$ が $0$ において解析的であることを示せば十分。

{{ref|type=thm|label=harmintest}}と同様に $z\in\partial B_1(0)$ と $m\in\Zp$ と $s\in[0,R)$ について
$$|D_z^m u(sz)|\le n^me^{m-1}m!(R-s)^{-m}|u|_{0;B}.$$
$z\in\partial B_1(0)$ と $t\in(0,R)$ について
$$u(tz)-\sum_{|\alpha|\le m}\frac{1}{\alpha!}D^\alpha u(0)(tz)^\alpha=\frac{1}{(m-1)!}\int_0^t(t-s)^{m-1}D_z^mu(x+sz)ds$$
であるから
$$\left|u(tz)-\sum_{|\alpha|\le m}\frac{1}{\alpha!}D^\alpha u(0)(tz)^\alpha\right|\le\frac{1}{m!}t^m\sup_{s\in[0,t]}|D_z^mu(x+sz)|\le n^me^{m-1}(R-t)^{-m}t^m|u|_{0;B}.$$
とくに $t\lt\frac{R}{ne+1}$ とすれば $ne(R-t)^{-1}t\lt 1$ となり
$$\left|u(tz)-\sum_{|\alpha|\le m}\frac{1}{\alpha!}D^\alpha u(0)(tz)^\alpha\right|\to 0\ (m\to\infty)$$
となる。従って $u$ は $0$ において解析的である。
{{end|proof}}

{{theorem|type=cor|label=harmcpt}}
$\{u_m\}_{m=1}^\infty\subset C^2(\Omega)\cap L^\infty(\Omega)$ は調和関数の列で $\displaystyle \sup_m |u_m|_{0;\Omega}\lt\infty$ をみたすとする。このとき部分列 $\{u_{m_k}\}_{k=1}^\infty$ であってある調和関数 $u\in C^2(\Omega)$ に広義一様収束するものが存在する。

{{begin|proof}}
任意の球 $B\rcpt\Omega$ について $\displaystyle \sup_m[u_m]_{1;B}\le C_B\sup_m|u_m|_{0;\Omega}$ であるから[[Hölder空間の基本事項]]の定理62より $\{u_m\}_m$ は $B$ 上で一様収束する部分列をもつ。

$\{B_j\}_{j=1}^\infty$ を $B_j\rcpt\Omega$ なる球からなる $\Omega$ の開被覆とすると、対角線論法により $\{u_m\}_m$ は各 $B_j$ 上で一様収束する部分列 $\{u_{m_k}\}_k$ をもち、$\{u_{m_k}\}_k$ はある $u\in C(\Omega)$ に広義一様収束している。{{ref|type=cor|label=harmconv}}より $u$ は調和関数である。
{{end|proof}}

===Dirichlet境界値問題の可解性===
ここではDirichlet問題
$$\left\{\begin{align*}
\Delta u&=0& &\inn\Omega\\
u&=\varphi& &\on\partial\Omega
\end{align*}\right.\tag{$D_{\Delta}$}\label{DL}$$
の解をPerron法と呼ばれる方法で構成する。ここで $\varphi\in C(\pOm)$ である。Perron法とは方程式の解を「最大の劣解」として構成する方法であり、2階楕円型方程式の解の構成に広く使える初等的な解の構成である。(比較原理より(\ref{DL})の解 $u$ が存在すれば $v\le\varphi$ on $\pOm$ をみたす任意の劣調和関数 $v$ について $v\le u$ in $\Omega$ となることに注意せよ。)

{{theorem|type=rmk}}
(\ref{DL})が任意の $\varphi\in C(\pOm)$ に対して解 $u$ をもてば、Poisson方程式のDirichlet問題
$$\left\{\begin{align*}
\Delta u&=f& &\inn\Omega\\
u&=\varphi& &\on\partial\Omega
\end{align*}\right.$$
も任意の $f\in C^{0,\alpha}(\Omega)\cap L^\infty(\Omega)$、$\alpha\in(0,1)$ と $\varphi\in C(\pOm)$ に対して解 $u$ をもつ。実際、{{ref|type=thm|label=NP2}}より $v$ を
$$\left\{\begin{align*}
\Delta v&=0& &\inn\Omega\\
v&=\varphi-\Gamma*f& &\on\partial\Omega
\end{align*}\right.$$
の解として $u=\Gamma*f+v$ とすればよい。

この節では $\Omega$ は有界かつ連結であるとする。準備として、劣(優)調和関数の定義を連続関数について定義できるように拡張する。

{{theorem|type=lem|label=extsubh}}
$u\in C^2(\Omega)$ について次は同値:
*(i) $u$ は劣(優)調和関数である。
*(ii) 任意の開球 $B\rcpt\Omega$ と $h\ge(\le)u$ on $\partial B$ をみたす $B$ 上の調和関数 $h$ について $u\le(\ge) h$ in $B$。

{{begin|proof}}
(i) $\implies$ (ii)は比較原理から直ちに従う。

$u$ が劣調和関数でなかったとする。$x_0\in\Omega$ であって $\Delta u(x_0)\lt 0$ となるものが存在する。

$B=B(x_0)\rcpt\Omega$ を十分小さくとると $\Delta u\lt 0$ in $B$ となる。$h$ を $h=u$ on $\partial B$ なる $B$ 上の調和関数とすると比較原理より $u\gt h$ in $B$ となる。これより $u$ は(ii)をみたさない。
{{end|proof}}

{{theorem|type=def|name=劣(優)調和関数の定義の拡張|label=defextsubh}}
$u\in C(\Omega)$ が任意の開球 $B\rcpt\Omega$ と $h\ge(\le)u$ on $\partial B$ をみたす $B$ 上の調和関数 $h$ について $u\le(\ge) h$ in $B$ をみたすとき $u$ は劣(優)調和関数であるという。

{{theorem|type=lem|label=propsubh}}
*(i) (強最大値原理、比較原理) $u\in C(\Omega)$ が劣調和関数、$v\in C(\Omega)$ が優調和関数であるとする。このとき $u-v$ は定数であるか、あるいは $\Omega$ において最大値をとらない。とくに $(u-v)^*\le 0$ on $\pOm$ とすると $u\le v$ in $\Omega$。
*(ii) (調和持ち上げ) $\Omega'\subset\Omega$ を開集合とする。$u\in C(\Omega\backslash\Omega')$ が劣調和関数であるとき、$B\rcpt\Omega$ として $h\in C^2(\Omega')\cap C(\overline{\Omega'})$ を $h=u$ on $\pOm'\cap\Omega$ をみたす調和関数とすると
$$U\colon=\begin{cases}
h& \on \Omega\backslash\Omega'\\
u& \inn\Omega'
\end{cases}$$
により定まる $U\in C(\Omega)$ も劣調和関数である。$U$ を $u$ の $\Omega'$ 上での調和持ち上げという。
*(iii) $u_1,\ldots,u_m\in C(\Omega)$ が劣調和関数であるとき $u\colon=\max\{u_1,\ldots,u_m\}$ も劣調和関数である。

{{begin|proof}}
(i)を示す。$u-v$ がある $x_0\in\Omega$ で最大値 $M$ をとるとする。

任意の $B_R=B_R(x_0)\rcpt\Omega$ について $u-v=M$ in $B_R$ となることを示す。$r\in(0,R)$ とし、$h,k$ をそれぞれ $h=u,k=v$ on $\partial B_r$ をみたす調和関数とする。$u\le v+M$ より $h\le k+M$ on $\partial B_r$ で、$k(x_0)+M\le v(x_0)+M=u(x_0)\le h(x_0)$ となるので強最大値原理より $h=k+M$ in $B_r$。よって $u=v+M$ on $\partial B_r$ となり、$r\in(0,R)$ は任意であるから $u+v=M$ in $B_R$。

従って $\Omega_M\colon=\{x\in\Omega\colon u(x)-v(x)=M\}$ は開集合である。一方 $\Omega_M$ は明らかに $\Omega$ の相対位相について閉集合であり、また $x_0\in\Omega_M\neq\emptyset$。これより $\Omega_M=\Omega$ となり $u-v\equiv M$ in $\Omega$。

(ii)を示す。$B\rcpt\Omega$ を開球とし、$h,H$ をそれぞれ $h=u,H=U$ on $\partial B$ をみたす調和関数とする。$U\ge u$ in $\Omega$ より $H\ge h$ on $\partial B$ であるから $H\ge h\ge u$ in $B$。またこれより $H\ge U$ on $\partial \Omega'\cap B$ であり、$H=U$ on $\partial B\cap\Omega'$ とあわせて $H\ge U$ on $\partial(\Omega'\cap B)$ となるので $H\ge U$ in $\Omega'\cap B$。従って $U\le H$ in $B$ が成り立つ。

(iii)を示す。$B\rcpt\Omega$ を開球とし、$h_1,\ldots,h_m,h$ をそれぞれ $h_1=u_1,\ldots,h_m=u_m,h=u$ on $\partial B$ をみたす調和関数とする。$i=1,\ldots,m$ について、$u\ge u_i$ in $\Omega$ より $h\ge h_i$ on $\partial B$ であるから $h\ge h_i\ge u_i$ in $B$。これより $h\ge\max\{u_1,\ldots,u_m\}=u$ in $B$ を得る。
{{end|proof}}

$\varphi\in C(\partial\Omega)$ とし、$S_\varphi$ を $u^*\le\varphi$ on $\pOm$ なる劣調和関数 $u\in C(\Omega)$ からなる $C(\Omega)$ の部分集合とする。

比較原理より直ちに次が成り立つ:

{{theorem|type=lem|label=harmSphi}}
$S_\varphi$ は次をみたす:
*(i) 定数関数 $\displaystyle \inf_{\pOm}\varphi$ は $S_\varphi$ の元である。とくに $S_\varphi\neq\emptyset$。
*(ii) 任意の $v\in S_\varphi$ について $\displaystyle v\le\sup_{\pOm}\varphi$ in $\Omega$。

{{theorem|type=thm|label=harmPerron}}
$$u\colon=\sup_{v\in S_\varphi}v$$
により $\Omega$ 上の関数 $u$ を定めると
$$u\in C^2(\Omega),\Delta u=0\ \inn\Omega.$$

{{begin|proof}}
$B=B(x_0)\rcpt\Omega$ を任意にとる。$\{u_m\}_{m=1}^\infty\subset S_\varphi$ を $u_m(x_0)\to u(x_0)\ (m\to\infty)$ となるようにとる。$u_m$ を $\displaystyle\max\left\{u_m,\inf_{\pOm}\varphi\right\}$ にとりかえて $\displaystyle u_m\ge\inf_\pOm\varphi$ in $\Omega$ としてよい。$U_m$ を $u_m$ の $B$ 上での調和持ち上げとする。$U_m\ge u_m$ in $\Omega$ で、$U_m$ も劣調和関数で $U_m=u_m\le\varphi$ on $\pOm$ をみたすので $U_m\in S_\varphi$ となり $U_m\le u$ in $\Omega$。とくに $u_m(x_0)\le U_m(x_0)\le u(x_0)$ であるから $U_m(x_0)\to u(x_0)\ (m\to\infty)$。

$\displaystyle \inf_\pOm\varphi\le u_m\le U_m\le\sup_{\pOm}\varphi$ であるから{{ref|type=cor|label=harmcpt}}より部分列に移って $U_m$ がある $B$ 上の調和関数 $w$ に $B$ 上で広義一様収束するとしてよい。$U_m\le u$ in $B$ より $w\le u$ in $B$。

$w=u$ in $B$ を示す。$w(y)\lt u(y)$ となる $y\in B$ が存在したとし、$\{\bar{u}_m\}_{m=1}^\infty\subset S_\varphi$ を $\bar{u}(y)\to u(y)\ (m\to\infty)$ となるようにとる。$V_m$ を $\max\{u_m,\bar{u}_m\}$ の $B$ 上での調和持ち上げとすると、$U_m$ と同様に $\bar{U}_m(x_0)\to u(x_0)$、$\bar{U}_m(y)\to u(y)\ (m\to\infty)$。再び部分列に移って $\bar{U}_m$ がある $B$ 上の調和関数 $\bar{w}$ に $B$ 上で広義一様収束するとしてよい。$U_m\le\bar{U}_m$ on $\partial B$ より $U_m\le\bar{U}_m$ in $B$ となるので $w\le\bar{w}$ in $B$。また $w(y)\lt u(y)=\bar{w}(y)$。強最大値原理より $w\lt\bar{w}$ in $B$ となるが、これは $w(x_0)=\bar{w}(x_0)=u(x_0)$ に矛盾。

従って $w=u$ in $B$ であり、$u$ は $B$ 上の調和関数である。$B$ は任意であったから、$u$ は $\Omega$ 上の調和関数となる。
{{end|proof}}

従って、この $u$ が $u=\varphi$ on $\pOm$ をみたすかを調べればよい。

{{theorem|type=def|name=バリア関数,局所バリア関数|label=harmbarrier}}
*(1) $\xi\in\pOm$ とする。
$$w_*\gt 0\ \inn\Ombar\backslash\{\xi\},\lim_{\substack{x\in\Omega,\\x\to\xi}}w(x)=0$$
をみたす優調和関数 $w\in C(\Omega)$ を $\xi$ におけるバリア関数という。

*(2) $\xi\in\pOm$ とし、$U\subset\R^n$ を $\xi$ の開近傍とする。バリア関数の定義の $\Omega$ を $U\cap\Omega$ にとりかえたものをみたす $w\in C(U\cap\Omega)$ を $\xi$ における局所バリア関数という。

{{theorem|type=def|name=正則点|label=regpt}}
$\xi\in\pOm$ におけるバリア関数が存在するとき $\xi$ は $\pOm$ の(ラプラシアンに関する)正則点であるという。

{{theorem|type=lem|label=harmregptPerron}}
$\xi\in\pOm$ を正則点とすると{{ref|type=thm|label=harmPerron}}で構成した $u$ は
$$\lim_{\substack{x\in\Omega,\\x\to\xi}}u=\varphi(\xi)$$
をみたす。

{{begin|proof}}
$w$ を $\xi$ におけるバリア関数とする。$\varepsilon\gt 0$ とし、$r\gt 0$ を $|\varphi-\varphi(\xi)|\lt\varepsilon$ on $B_r(\xi)\cap\pOm$ となるようにとる。

$w_*$ は下半連続で $\pOm\backslash B_r(\xi)$ はコンパクトであるから $\displaystyle\inf_{\pOm\backslash B_r(\xi)}w_*\gt 0$。$v_+,v_-\in C(\Omega)$ を
$$v_\pm\colon=\varphi(\xi)\pm\varepsilon\pm\left(\inf_{\pOm\backslash B_r(\xi)}w_*\right)^{-1}\sup_\pOm|\varphi-\varphi(\xi)|w$$
により定める。$v_+$ と $v_-$ はそれぞれ優調和関数、劣調和関数である。

$v_+$ と $v_-$ は
$${v_-}^*\lt\varphi(\xi)-\varepsilon\lt\varphi\lt\varphi(\xi)+\varepsilon\lt {v_+}_*\ \on B_r(\xi)\cap\pOm$$
かつ
$${v_-}^*\lt\varphi(\xi)-w_*^{-1}\cdot|\varphi-\varphi(\xi)|w_*\le\varphi(\xi)\le\varphi(\xi)+w_*^{-1}\cdot|\varphi-\varphi(\xi)|w_*\lt {v_+}_*\ \on\pOm\backslash B_r(\xi)$$
をみたす。

$v_-$ は ${v_-}^*\lt\varphi$ on $\pOm$ をみたす劣調和関数であるから $v_-\in S_\varphi$ であり $u\ge v_-$。また $v_+$ は ${v_+}_*\gt\varphi$ on $\pOm$ をみたす優調和関数であるから任意の $v\in S_\varphi$ について $v\le v_+$ であり $u\le v_+$。これより
$$|u-\varphi(\xi)|\le\varepsilon+\left(\inf_{\pOm\backslash B_r(\xi)}w\right)^{-1}\sup_\pOm|\varphi-\varphi(\xi)|w\ \inn\Omega$$
を得る。とくに
$$\limsup_{\substack{x\in\Omega,\\x\to\xi}}|u-\varphi(\xi)|\le\varepsilon.$$
$\varepsilon\to +0$ として主張を得る。
{{end|proof}}

{{theorem|type=thm|name=Laplace方程式のDirichlet問題の可解性の必要十分条件|label=LapSolvable}}
任意の $\varphi\in C(\pOm)$ についてDirichlet問題(\ref{DL})が解 $u\in C^2(\Omega)\cap C(\Ombar)$ をもつことは、$\pOm$ の任意の点が正則点であることと同値である。

{{begin|proof}}
$\pOm$ の任意の点が正則点であるとすると、{{ref|type=lem|label=harmregptPerron}}より{{ref|type=thm|label=harmPerron}}の $u$ が(\ref{DL})の解になっている。

逆に任意の $\varphi\in C(\pOm)$ についてDirichlet問題(\ref{DL})が解 $u\in C^2(\Omega)\cap C(\Ombar)$ をもつとし、$\xi\in\pOm$ とすると、$w$ を $\varphi(x)=|x-\xi|$ に対する(\ref{DL})の解とすればこの $w$ は $\xi$ におけるバリア関数になっている。
{{end|proof}}

従って、Laplace方程式のDirichlet問題はどのような点が正則点であるかという問題に帰着される。

{{theorem|type=lem|label=locbarrier}}
$\xi\in\pOm$ における局所バリア関数 $w\in C(U\cap\Omega)$ ( $U\subset\R^n$ は $\xi$ のある開近傍)が存在するとき $\xi$ は正則点である。

{{begin|proof}}
$B=B(\xi)\rcpt U$ をとると $w_*$ は下半連続より
$$m\colon=\inf_{(U\cap\Omega)\backslash B}w=\inf_{\overline{U\cap\Omega}\backslash B}w_*\gt 0.$$
このとき $\min\{w,m\}=m$ on $\partial U\cap\Omega$。

$\bar{w}\in C(\Omega)$ を
$$\bar{w}\colon=\begin{cases}
\min\{w,m\}& \on \overline{U}\cap\Omega\\
m&\inn \Omega\backslash\overline{U}
\end{cases}$$
と定める。$w$ と定数関数 $m$ は優調和関数であるから $\bar{w}$ も優調和関数である。

また $\bar{w}_*\ge\min\{w^*,m\}$ on $\overline{U}\cap\Ombar$ かつ $\bar{w}_w=m$ on $\Ombar\backslash\overline{U}$ より $\bar{w}_*\gt 0$ on $\Ombar\backslash\{0\}$。一方、$\xi$ の十分小さい近傍において $w\lt m$ より $\bar{w}=w$ となるので $\displaystyle\lim_{\substack{x\in\Omega,\\x\to\xi}}\bar{w}(x)=0$ も成り立つ。

従って $\bar{w}$ は $\xi$ におけるバリア関数になっている。
{{end|proof}}

====$n=2$ の場合====
$n=2$ の場合は複素対数関数を用いることで多くの場合にバリア関数を構成することができる。

{{theorem|type=thm|label=2dimcase}}
$n=2$ とする。$\xi\in\pOm$ とし、$\xi$ の開近傍 $U\subset\R^2$ と単連結開集合 $D\subset\R^2\backslash\{\xi\}$ で $U\cap\Omega\subset D$ となるものが存在するとき $\xi$ は正則点である。

{{begin|proof}}
$\xi=0$ としてよい。

$\R^2$ を $\C$ と同一視する。Cauchy-Riemann方程式より $\R^2=\C$ の開集合上の複素正則関数の実部と虚部は調和関数となっていることに注意する。
定数 $a\gt 0$ を十分小さくとって $a|z|\lt 1$ in $D$ となるようにし、複素多価関数 $\log az$ の $D$ における枝 $f(z)$ をとると $f(z)\neq 0$ in $D$ となるので
$$w(z)\colon=-\Re\frac{1}{f(z)}$$
は $D$ 上の調和関数である。また $w$ は
$$w(z)=-\frac{\Re f(z)}{|f(z)|^2}=-\frac{\log a|z|}{|f(z)|^2}$$
と表され、$0\lt-\log a|z|\le|f(z)|$ より
$$w\in C(\overline{D}),w\gt 0\on\overline{D}\backslash\{0\},\lim_{\substack{x\in D,\\x\to\xi}}w(0)=0$$
をみたす。$\overline{U\cap\Omega}\subset\overline{D}$ より $w$ は $0$ における局所バリア関数になっている。
{{end|proof}}

====$n\ge 3$ の場合====
$n\ge 3$ の場合はより繊細である。例えば、次の外部錐条件をみたす $\xi\in\pOm$ は正則点である。

{{theorem|type=def|name=外部錐条件|label=extcone}}
$\xi\in\pOm$ とする。錐 $C_\xi=\{x\in\R^n\colon |x-\xi|\le r,\nu\cdot(x-\xi)\ge c|x-\xi|\}\ (r\gt 0,\nu\in\partial B_1(0),c\in(0,1))$ であって $\Ombar\cap C_\xi=\{\xi\}$ をみたすものが存在するとき、$\xi$ は外部錐条件をみたすという。

相対開集合 $T\subset\pOm$ 上の各点が外部錐条件をみたすとき、$T$ は外部錐条件をみたすという。$\pOm$ が外部錐条件をみたすとき $\Omega$ は外部錐条件をみたすという。

$T$ が外部錐条件をみたし、かつ任意の $\xi\in T$ について $C_\xi$ を $C$ と合同にとれるような錐 $C$ が存在するとき $T$ は一様外部錐条件をみたすという。$\pOm$ が一様外部錐条件をみたすとき $\Omega$ は一様外部錐条件をみたすという。

{{theorem|type=thm|label=hdimcase}}
$\xi\in\pOm$ が外部錐条件をみたすとき $\xi$ は正則点である。

{{begin|proof}}
$\xi=0$ としてよい。{{ref|type=def|label=extcone}}の $C$ をとって $U\colon=B_r(0)\cap\Omega$ とすると $x\in U$ について $\nu\cdot x\lt c|x|$。

$f\in C^2([-1,c])$、$\gamma\gt 0$ とし、
$$w(x)\colon=|x|^\gamma f\left(\frac{\nu\cdot x}{|x|}\right)\ (x\in U)$$
とする。
\begin{align*}
D_i w(x)&=\gamma|x|^{\gamma-2}x_if+|x|^{\gamma-3}(\nu_i|x|^2-(\nu\cdot x)x_i)f',\\
D_{ij}w(x)&=(\gamma(\gamma-2)|x|^{\gamma-4}x_ix_j+\gamma\delta_{ij}|x|^{\gamma-2})f+((\gamma-1)|x|^{\gamma-3}(\nu_jx_i+\nu_ix_j)-(2\gamma-3)|x|^{\gamma-5}(\nu\cdot x)x_ix_j-\delta_{ij}|x|^{\gamma-3}(\nu\cdot x))f'+|x|^{\gamma-6}(\nu_i|x|^2-(\nu\cdot x)x_i)(\nu_j|x|^2-(\nu\cdot x)x_j)f^{\prime\prime}
\end{align*}
であり、$||x|^2\nu-(\nu\cdot x)x|^2=|x|^2(|x|^2-(\nu\cdot x)^2)$ より
\begin{align*}
\Delta w(x)&=\gamma(\gamma+n-2)|x|^{\gamma-2}f-(n-1)|x|^{\gamma-3}(\nu\cdot x)f'+|x|^{\gamma-4}(|x|^2-(\nu\cdot x)^2)f^{\prime\prime}\\
&=|x|^{\gamma-2}\left(\gamma(\gamma+n-2)f-(n-1)\left(\frac{\nu\cdot x}{|x|}\right)f'+\left(1-\left(\frac{\nu\cdot x}{|x|}\right)^2\right)f^{\prime\prime}\right).
\end{align*}
また $\theta_0\colon=\arccos c$ とし、$g(\theta)\colon=f(\cos\theta)\ (\theta\in[\theta_0,\pi])$ とすると
\begin{align*}
&\quad\gamma(\gamma+n-2)f(\cos\theta)-(n-1)\cos\theta f'(\cos\theta)+(1-\cos^2\theta)f^{\prime\prime}(\cos\theta)\\
&=\gamma(\gamma+n-2)f(\cos\theta)-(n-2)\cos\theta f'(\cos\theta)+(-\cos\theta f'(\cos\theta)+\sin^2\theta f^{\prime\prime}(\cos\theta))\\
&=\gamma(\gamma+n-2)g(\theta)+(n-2)\cot\theta g'(\theta)+g^{\prime\prime}(\theta).
\end{align*}
ここで、$\displaystyle\lim_{\theta\to\pi-0}\csc\theta\cot\theta=-\infty$ であるから $\displaystyle M\colon=(n-2)\sup_{\theta\in[\theta_0,\pi)}\csc\theta\cot\theta\lt\infty$。

$g\in C^\infty([\theta_0,\pi])$ を
$$g(\theta)\colon=1+\int_{\theta_0}^\theta\left(\int_\sigma^\pi e^{M\cos\sigma-M\cos\tau}d\tau\right)d\sigma$$
により定める。このとき
$$g'(\theta)=\int_\theta^\pi e^{M\cos\theta-M\cos\tau}d\tau,g^{\prime\prime}(\theta)=-M\sin\theta g'(\theta)-1,g^{\prime\prime\prime}(\theta)=(M\cos\theta+M^2\sin^2\theta)g'(\theta)-M\sin\theta.$$
$f(\cos\theta)=g(\theta)$ によって $f\in C^\infty((-1,c])\cap C([-1,c])$ を定める。

$g'(\pi)=0$ と $\csc\theta=(\pi-\theta)^{-1}+O(1)\ (\theta\to\pi-0)$ より
$$f'(\cos\theta)=-\csc\theta g'(\theta)\to g^{\prime\prime}(\pi)\ (\theta\to\pi-0).$$
また
$$f^{\prime\prime}(\cos\theta)=\csc^2\theta\cot\theta(g'(\theta)+\tan\theta g^{\prime\prime}(\theta)).$$
$g^{\prime\prime\prime}(\pi)=0$ であるから $\displaystyle g^{\prime\prime}(\theta)=g^{\prime\prime}(\pi)+\frac{1}{2}g^{\prime\prime\prime\prime}(\pi)(\pi-\theta)^2+O((\pi-\theta)^3)\ (\theta\to\pi-0)$。$\tan\theta=-(\pi-\theta)-\frac{1}{3}(\pi-\theta)^3+O((\pi-\theta)^5)\ (\theta\to\pi-0)$ とあわせて
$$\tan\theta g^{\prime\prime}(\theta)=-g^{\prime\prime}(\pi)(\pi-\theta)-\left(\frac{1}{3}g^{\prime\prime}(\pi)+\frac{1}{2}g^{\prime\prime\prime\prime}(\pi)\right)(\pi-\theta)^3+O((\pi-\theta)^4)\ (\theta\to\pi-0).$$
これより
$$g'(\theta)-\tan\theta g^{\prime\prime}(\theta)=\left(\frac{1}{2}g^{\prime\prime}(\pi)+\frac{1}{3}g^{\prime\prime\prime\prime}(\pi)\right)(\pi-\theta)^3+O((\pi-\theta)^4)\ (\theta\to\pi-0).$$
従って
$$f^{\prime\prime}(\cos\theta)\to\frac{1}{2}g^{\prime\prime}(\pi)+\frac{1}{3}g^{\prime\prime\prime\prime}(\pi)\ (\theta\to\pi-0)$$
となり $f\in C^2([-1,c])$。

また $(n-2)\cot\theta\le M\sin\theta$、$g'\ge 0$ より
$$g^{\prime\prime}+(n-2)\cot\theta g'\le g^{\prime\prime}+M\sin\theta g'=-1.$$
とくに $\gamma$ を十分小さくとって
$$\gamma(\gamma+n-2)\le|g|_{0;(\theta_0,\pi)}^{-1}$$
となるようにすればこの $g$ は $\gamma(\gamma+n-2)g(\theta)+(n-2)\cot\theta g'(\theta)+g^{\prime\prime}(\theta)\le 0$ をみたし、$\displaystyle w(x)=|x|^\gamma f\left(\frac{\nu\cdot x}{|x|}\right)$ により定まる $w$ は $\Delta w\le 0$ in $U$ をみたす。$w$ は $w\ge|x|^\gamma$、$w(0)=0$ をみたすのでこの $w$ は $0$ における局所バリア関数になっている。
{{end|proof}}

従って $\Omega$ が外部錐条件をみたすとき任意の $\varphi\in C(\pOm)$ について(\ref{DL})は解 $u\in C^2(\Omega)\cap C(\Ombar)$ をもつ。

最後に、{{ref|type=thm|label=hdimcase}}の証明で構成した局所バリア関数を用いると調和関数の大域Hölder評価の結果が得られる。

{{theorem|type=thm|name=大域Hölder評価|label=harmglhol}}
$\Omega$ が一様外部錐条件をみたすとする。次をみたす $\gamma=\gamma_\Omega\in(0,1]$ が存在する:

$\varphi\in C^{0,\alpha}(\pOm)$、$\alpha\in(0,1]$ について(\ref{DL})の解 $u\in C^2(\Omega)\cap C(\Ombar)$ は
$$u\in C^{0,\frac{\alpha\gamma}{\alpha+\gamma}}(\Ombar),|u|_{0,\frac{\alpha\gamma}{\alpha+\gamma};\Omega}\le C_{\alpha,\Omega}|\varphi|_{0,\alpha;\pOm}$$
をみたす。

{{begin|proof}}
$\varphi\not\equiv 0$ としてよい。

{{ref|type=thm|label=hdimcase}}の証明より、$r_0\gt 0$、$M\gt m\gt 0$、$\gamma\in(0,1]$ が存在し各 $\xi\in\pOm$ におけるバリア関数 $w=w_\xi\in C(\overline{B_{r_0}(\xi)\cap\Omega})$ で $m|x-\xi|\le w(x)\le M|x-\xi|$ for $x\in B_{r_0}(\xi)\cap\Omega$ をみたすものが存在する。

$r\in(0,r_0]$ とする。{{ref|type=lem|label=locbarrier}}の証明と同様に
$$\bar{w}\colon=\begin{cases}
\min\{w,mr^\gamma\}& \on \Bb_r(\xi)\cap\Omega\\
mr^\gamma&\inn \Omega\backslash\Bb_r(\xi)
\end{cases}$$
によって $\xi$ におけるバリア関数 $w\in C(\Omega)$ が定まる。

$|\varphi-\varphi(\xi)|\le[\varphi]_{0,\alpha}r^\alpha$ in $\Bb_r(\xi)\cap\Omega$ に注意すると{{ref|type=lem|label=harmregptPerron}}の証明より
$$|u(x)-\varphi(\xi)|\le [\varphi]_{0,\alpha}r^\alpha+(mr^\gamma)^{-1}\sup_{\pOm}|\varphi-\varphi(\xi)|w(x)\le [\varphi]_{0,\alpha}r^\alpha+(\diam\Omega)^\alpha[\varphi]_{0,\alpha}\frac{M}{m}\left(\frac{|x-\xi|}{r}\right)^\gamma\ \for x\in \Bb_r(\xi)\cap\Omega.$$
ここで $\displaystyle r_1\colon=\min\left\{(\diam\Omega)^{-\frac{\alpha}{\gamma}}r_0^{1+\frac{\alpha}{\gamma}},r_0\right\}$ とする。$r\in[0,r_1]$ について $(\diam\Omega)^\frac{\alpha}{\alpha+\gamma}r^\frac{\gamma}{\alpha+\gamma}\le r_0$ が成り立つ。$x\in B_{r_1}(\xi)\cap\Omega$ として $r=(\diam\Omega)^\frac{\alpha}{\alpha+\gamma}|x-\xi|^\frac{\gamma}{\alpha+\gamma}$ ととると $r\in(0,r_0]$、$x\in \Bb_r(\xi)\cap\Omega$ となり
$$|u(x)-\varphi(\xi)|\le[\varphi]_{0,\alpha}r^\alpha+(\diam\Omega)^\alpha[\varphi]_{0,\alpha}\frac{M}{m}\left(\frac{|x-\xi|}{r}\right)^\gamma\le C[\varphi]_{0,\alpha}|x-\xi|^\frac{\alpha\gamma}{\alpha+\gamma}.$$
$x,y\in\Omega$ は $\displaystyle d_x\le d_y\lt \frac{r_1}{2}$ をみたすとする。$\xi\in\pOm$ を $|x-\xi|=d_x$ をみたすようにとる。{{ref|type=thm|label=harmintest}}と $|z-\xi|\lt d_x$ for $z\in B_{\frac{d_x}{2}}(\xi)$ に注意すると
$$|u(x)-u(y)|\le\begin{cases}
[u-\varphi(\xi)]_{0,\frac{\alpha\gamma}{\alpha+\gamma};B_{\frac{d_x}{2}}(x)\cap\Omega}^{(0)}\left(\frac{d_x}{2}\right)^{-\frac{\alpha\gamma}{\alpha+\gamma}}|x-y|^\frac{\alpha\gamma}{\alpha+\gamma}\le C|u-\varphi(\xi)|_{0,\frac{\alpha\gamma}{\alpha+\gamma};B_{\frac{d_x}{2}}(x)\cap\Omega}d_x^{-\frac{\alpha\gamma}{\alpha+\gamma}}|x-y|^{-\frac{\alpha\gamma}{\alpha+\gamma}}\le C[\varphi]_{0,\alpha}|x-y|^\frac{\alpha\gamma}{\alpha+\gamma}&\jf |x-y|\lt\frac{d_x}{2}\\
|u(x)-\varphi(\xi)|+|u(y)-\varphi(\xi)|\le C[\varphi]_{0,\alpha}\left(d_x^\frac{\alpha\gamma}{\alpha+\gamma}+(d_x+|x-y|)^\frac{\alpha\gamma}{\alpha+\gamma}\right)\le C[\varphi]_{0,\alpha}|x-y|^\frac{\alpha\gamma}{\alpha+\gamma}&\jf |x-y|\ge\frac{d_x}{2}.
\end{cases}$$
従って $\Omega_1\colon=\left\{x\in\Omega\colon d_x\lt\frac{r_1}{2}\right\}$ とすると $[u]_{0,\frac{\alpha\gamma}{\alpha+\gamma};\Omega_1}\le C[\varphi]_{0,\alpha}$。

一方{{ref|type=cor|label=harmcka}}より $\Omega_2\colon=\left\{x\in\Omega\colon d_x\gt\frac{r_1}{4}\right\}$ とすると $[u]_{0,\frac{\alpha\gamma}{\alpha+\gamma};\Omega_2}\le C|u|_0$。

[[Hölder空間の基本事項]]の命題9と最大値原理より
$$|u|_{0,\frac{\alpha\gamma}{\alpha+\gamma};\Omega}\le C(|u|_0+[\varphi]_{0,\alpha})\le C|\varphi|_{0,\alpha}.$$
{{end|proof}}

==発散型の2階線型楕円型方程式==

ここでは、発散型の楕円型微分作用素をもつ楕円型方程式を取り扱う。発散型の楕円型方程式を取り扱う際は、弱解と呼ばれる古典解より広い解の定義を用いることが多い。

===弱解の定義===

$L$ は発散型の楕円型微分作用素(\ref{DF})で、係数 $a_{ij}$、$b_i$、$c_i$、$d$ は $\Omega$ 上の可測関数であるとする。また $f_i,g\in L^1_\loc(\Omega)$、$\varphi_1\in W^{1,1}_\loc(\Omega)$ とする。また $T\subset\pOm$ を $C^{0,1}$ 境界部分( $\emptyset$ または $\pOm$ でもよい) とし、$\sigma$ を $T$ 上の $\H^{n-1}$ -可測関数、$\varphi_2\in L^1_\loc(T,\H^{n-1})$ とする。

次の方程式を考える:
$$Lu=\sum_{i=1}^n D_i\left(\sum_{j=1}^n a_{ij}D_ju+b_iu\right)+\sum_{i=1}^n c_iD_iu+du=\sum_{i=1}^n D_if_i+g\ \inn\Omega.$$
境界条件としては次の混合境界条件を考える:
$$\left\{\begin{align*}
u&=\varphi_1& &\on \Omega\backslash T\\
Nu&=\sum_{i=1}^n\nu_if_i+\varphi_2& &\on T
\end{align*}\right..$$
ここで $N$ は $T$ 上の関数に作用する形式的な微分作用素
$$Nu\colon=\sum_{i,j=1}^n a_{ij}\nu_iD_ju+\sum_{i=1}^nb_i\nu_iu+\sigma u$$
である。

$T=\emptyset$ の場合は境界条件は
$$u=\varphi_1\ \on\pOm$$
のみとし、これをDirichlet条件という。

$T=\pOm$ の場合は境界条件は
$$Nu=\sum_i\nu_if_i+\varphi_2 \on\pOm$$
のみとし、これをRobin条件という。とくに $\sigma\equiv 0$ の場合をNeumann条件という。

{{theorem|type=pro|label=wsubpro}}
*(1) $u\in L^1_\loc(\Omega)$ が任意の $v\in C^1_c(\Omega)$、$v\ge 0$ について $\int_\Omega uv\ge 0$ をみたすとき $u\ge 0$ a.e. in $\Omega$。
*(2) $T\subset\pOm$ は相対開集合で任意の $T'\rcpt T$ が $\H^{n-1}(T)\lt\infty$ をみたすとする。$\varphi\in L^1_\loc(\Omega,\H^{n-1})$ が任意の $v\in C^1_c(\Omega\cup T)$、$v\ge 0$ について $\int_T \varphi vd\H^{n-1}\ge 0$ をみたすとき $\varphi\ge 0$ $\H^{n-1}$ -a.e. in $\Omega$。

{{begin|proof}}
(1) を示す。$\eta_\varepsilon$ をmollifierとすると任意の $\Omega'\rcpt\Omega$ と十分小さい $\varepsilon\gt 0$ について $\eta_\varepsilon*u\ge 0$ in $\Omega'$ となるので $u\ge 0$ in $\Omega'$。これより主張が従う。

(2) を示す。$E\rcpt T$ を $\H^{n-1}$ -可測集合とする。$\H^{n-1}$ のBorel正則性([[Hausdorff測度とarea_coarea_formula]]の定理11)と仮定より $\H^{n-1}$ は $T$ 上のRadon測度である。[[Hausdorff測度とarea_coarea_formula]]の命題8より $K_1\rcpt K_2\rcpt\ldots\rcpt E$ と相対開集合 $E \rcpt\ldots\rcpt T_2\rcpt T_1\rcpt T$ であって各 $j$ について $\H^{n-1}(T_j)\lt\H^{n-1}(E)+2^{-j}$、$\H^{n-1}(K_j)\gt\H^{n-1}(E)-2^{-j}$ をみたすものが存在する。開集合 $U_j\subset\R^n\backslash(\pOm\backslash T_j)$ を $U_j\cap\pOm=T_j$ となるようにとると、$\zeta_j\in C_c(\R^n\backslash(\pOm\backslash U_j))$ で $0\le\zeta_j\le 1$ in $\R^n\backslash(\pOm\backslash U_j)$ かつ $\zeta_j=1$ on $K$ をみたすものが存在する。この $\zeta$ は $\int_T \varphi\zeta_j d\H^{n-1}\ge 0$ をみたし、また $|\chi_E-\zeta_j|\le 1$ in $T_j$、$\chi_E-\zeta_j=0$ on $K_j\cup(T\backslash T_j)$ をみたすので
$$\int_E \varphi d\H^{n-1}=\int_E \varphi d\H^{n-1}-\int_T\varphi\zeta_j d\H^{n-1}\ge -\int_T|\varphi||\chi_E-\zeta_j|d\H^{n-1}\ge -\int_{T_j\backslash K_j}|\varphi| d\H^{n-1}.$$
$\H^{n-1}(T_j-K_j)\to 0$ ( $j\to\infty$ )であるからLebesgueの収束定理より $\int_E\varphi d\H^{n-1}\ge 0$ を得る。これより主張が従う。
{{end|proof}}

{{theorem|type=pro|label=wcheck}}
*(1) $L$ の係数と $u\in W^{1,1}_\loc(\Omega)$ は $\displaystyle \sum_{j}a_{i,j}D_ju+b_iu\in W^{1,1}_\loc(\Omega)$ ($ i=1,\ldots,n$ )、$\displaystyle\sum_i c_iD_iu+du\in L^1_\loc(\Omega)$ をみたすとする。また $f_i\in W^{1,1}_\loc(\Omega)$ とする。このとき次は同値:
**(i) $\displaystyle Lu\ge(\le)\sum_i D_if_i+g$ in $\Omega$。
**(ii)
$$\L(u,v)\colon=\int_\Omega\left(\sum_i\left(\sum_j a_{ij}D_ju+b_iu\right)D_iv-\left(\sum_i c_iD_iu+du\right)v\right)\le(\ge)\int_\Omega\left(\sum_i f_iD_iv-gv\right)\ (\forall v\in C^\infty(\Omega),v\ge 0) \tag{$\rm W_{sub}$}\label{wsub}.$$
*(2) $L$ の係数と $u\in W^{2,1}_\loc(\OmT)$ は $\displaystyle \sum_{j}a_{i,j}D_ju+b_iu\in W^{1,1}_\loc(\OmT)$ ($ i=1,\ldots,n$ )、$\displaystyle\sum_i c_iD_iu+du\in L^1_\loc(\OmT)$ をみたすとする。また $f_i\in W^{1,1}_\loc(\OmT)$ とする。このとき次は同値:
**(iii) $\displaystyle Lu\ge(\le)\sum_i D_if_i+g$ in $\Omega$、$\displaystyle Nu\le(\ge)\sum_i\nu_if_i+\varphi_2$ on $T$。
**(iv)
$$\L(u,v)+\int_T \sigma uvd\H^{n-1}\le(\ge)\int_\Omega\left(\sum_i f_iD_iv-gv\right)+\int_T\varphi_2vd\H^{n-1}\ (\forall v\in C^1_c(\OmT),v\ge 0) \tag{$\rm W_{sub}'$}\label{wsub'}.$$

{{begin|proof}}
()の外側の不等号についてのみ示す。

(1)を示す。(i)が成り立つとし、$v\in C^1_c(\Omega)$、$v\ge 0$ とすると部分積分により
$$\L(u,v)=-\int_\Omega Luv\le-\int_\Omega\left(\sum_i D_if_i+g\right)v=\int_\Omega\left(\sum_i f_iD_iv-gv\right).$$
逆に(ii)を仮定すると部分積分により任意の $v\in C^1_c(\Omega)$、$v\ge 0$ について $\displaystyle -\int_\Omega Luv\le -\int_\Omega\left(\sum_i D_if_i+g\right)v$ となり{{ref|type=pro|label=wsubpro}}より(i)も成り立つ。

(2)を示す。(iii)が成り立つとし、$v\in C^1_c(\OmT)$、$v\ge 0$ とすると部分積分により
\begin{align*}
\L(u,v)+\int_T \sigma uvd\H^{n-1}&=-\int_\Omega Luv+\int_T \left(\sum_{i,j}a_{ij}\nu_iD_ju+\sum_i b_i\nu_iu+\sigma u\right)vd\H^{n-1}\\
&\le-\int_\Omega\left(\sum_i D_if_i+g\right)v+\int_T\left(\sum_i \nu_if_i+\varphi_2\right)vd\H^{n-1}\\
&=\int_\Omega\left(\sum_i f_iD_iv-gv\right)+\int_T\varphi_2vd\H^{n-1}.
\end{align*}
逆に(iv)を仮定する。(\ref{wsub'})で $v\in C^1_c(\Omega)$ とすると(\ref{wsub})が得られることと(1)より $\displaystyle Lu\ge\sum_i D_if_i+g$ in $\Omega$。またこれより $v\in C^1_c(\OmT)$、$v\ge 0$ について
\begin{align*}
\int_T Nuvd\H^{n-1}&=\int_\Omega\left(\sum_i D_i\left(\sum_j a_{ij}D_juv+b_iuv\right)\right)+\int_T \left(\sigma uv-\sum_i\nu_if_i\right)\\
&=\int_\Omega\left(\sum_i\left(\sum_j a_{ij}D_ju+b_iu\right)D_iv-\left(\sum_i c_iD_iu+du\right)v\right)+\int_\Omega\left(\sum_iD_i\left(\sum_j a_{ij}D_ju+b_iu\right)+\left(\sum_i c_iD_iu+du\right)\right)v
&=\L(u,v)+\int_\Omega Luv+\int_T \left(\sigma uv-\sum_i\nu_if_i\right)\\
&\le\L(u,v)+\int_\Omega\left(\sum_i D_if_i+g\right)v+\int_T \left(\sigma uv-\sum_i\nu_if_i\right)\\
&=\L(u,v)-\int_\Omega\left(\sum_i f_iD_iv-gv\right)+\int_T \sigma uv\\
&\le\int_T \varphi_2vd\H^{n-1}.
\end{align*}
{{ref|type=pro|label=wsubpro}}より(iii)を得る。
{{end|proof}}

{{theorem|type=def|name=弱解|label=wsol}}
*(1) $f_i,g\in L^1_\loc(\Omega)$ とする。$u\in W^{1,1}_\loc(\Omega)$ が $\displaystyle \sum_j a_{ij}D_ju+b_iu\ (i=1,\ldots,n),\sum_i c_iD_iu+du\in L^1_\loc(\Omega)$ で(\ref{wsub})をみたすとき $u$ は(弱い意味で) $\displaystyle Lu\ge(\le)\sum_i D_if_i+g$ in $\Omega$ をみたすという。また $u$ が
$$\L(u,v)=\int_\Omega\left(\sum_i f_iD_iv-gv\right)\ (\forall v\in C^1_c(\Omega)) \tag{W}\label{wsol}$$
をみたすとき $u$ は(弱い意味で) $\displaystyle Lu=\sum_i D_if_i+g$ in $\Omega$ をみたす、あるいは方程式 $\displaystyle Lu=\sum_i D_if_i+g$ in $\Omega$ の弱解であるという。

*(2) $u$ が $\displaystyle \sum_j a_{ij}D_ju+b_iu\ (i=1,\ldots,n),\sum_i c_iD_iu+du\in L^1_\loc(\OmT)$、$\sigma u\in L^1_\loc(T,\H^{n-1})$ かつ任意の $v\in C^1_c(\OmT)$、$v\ge 0$ について(\ref{wsub'})をみたすとき、$u$ は(弱い意味で) $\displaystyle Lu\ge(\le)\sum_iD_if_i-g$ in $\Omega$、$\displaystyle Nu\le(\ge)\sum_i\nu_if_i+\varphi_2$ on $T$ をみたすという。また $u$ が
$$\L(u,v)+\int_T \sigma uvd\H^{n-1}=\int_\Omega\left(\sum_i f_iD_iv-gv\right)+\int_T\varphi_2vd\H^{n-1}\ (\forall v\in C^1_c(\OmT))\tag{W'}\label{wsol'}$$
をみたすとき、$u$ は(弱い意味で) $\displaystyle Lu=\sum_iD_if_i-g$ in $\Omega$、$\displaystyle Nu=\sum_i\nu_if_i+\varphi_2$ on $T$ をみたすという。

*(3) $\varphi_1\in W^{1,p}_\loc(\OmT)$ とする。$u\in W^{1,p}_\loc(\OmT)$ が $u-\varphi_1\in W^{1,p}_0(\OmT)$ をみたしかつ $\displaystyle Lu\ge(\le)\sum_iD_if_i-g$ in $\Omega$、$\displaystyle Nu=\sum_i\nu_if_i+\varphi_2$ on $T$ をみたすとき $u$ は( $W^{1,p}$ の意味で)境界値問題
$$\left\{\begin{align*}
Lu&=\sum_iD_if_i+g & &\ \inn \Omega\\
u&=\varphi_1 & &\ \on \pOm\backslash T\\
Nu&=\varphi_2 & &\ \on T
\end{align*}\right.\tag{MBP}\label{MBP}$$
の弱解であるという。

{{theorem|type=rmk}}
(\ref{wsub})と(\ref{wsol})における $v$ は試験関数、あるいはテスト関数と呼ばれる。

$u\in W^{1,1}_\loc(\Omega)$ が $\displaystyle Lu\ge\sum_i D_if+g$ かつ $\displaystyle Lu\le\sum_i D_if+g$ をみたすとすると $u$ は $\displaystyle Lu=\sum_i D_if+g$ をみたす。実際、非負のテスト関数 $v$ については明らかに(\ref{wsol})が成り立ち、一般の場合も $v_+\in C^1_c(\Omega)$ を $v\ge 0$ in $\Omega$、$\displaystyle v_+=\sup_\Omega v$ on $\supp v$ となるようにとって $v_-=v_+-v$ とすると $v_+,v_-\ge 0$、$v=v_+-v_-$ となることから従う。

(3)で $p$ が明らかな場合は「 $W^{1,p}$ の意味で」をしばしば省略する。また $T=\emptyset$ の場合は単に $u\le(\ge,=)v$ on $\pOm$ という。

$\varphi_1\in W^{1,p}(\Omega)$ とすると $u\in W^{1,p}(\Omega)$ がDirichlet問題
$$\left\{\begin{align*}
Lu&=\sum_i D_if_i+g& &\inn\Omega\\
u&=\varphi_1& &\on\pOm
\end{align*}\right.\tag{DP}\label{DP}$$
の弱解となることは $u$ が $u-\varphi\in W^{1,p}_0(\Omega)$ かつ(\ref{wsol})をみたすことと同値である。

$\Omega$ が $C^{0,1}$ 領域であるとき $u\in W^{1,p}(\Omega)$ がRobin問題
$$\left\{\begin{align*}
Lu&=\sum_i D_if_i+g& &\inn\Omega\\
Nu&=\sum_i\nu_if_i+\varphi_2& &\on\pOm
\end{align*}\right.\tag{RP}\label{RP}$$
の弱解となることは $u$ が
$$\L(u,v)+\int_\pOm \sigma uvd\H^{n-1}=\int_\Omega\left(\sum_i f_iD_iv-gv\right)+\int_\pOm \varphi_2vd\H^{n-1}\ (\forall v\in C^1(\Ombar))$$
をみたすことと同値である。

$$\overline{f}_i\colon=f_i-\sum_j a_{ij}D_j\varphi_1-b_i\varphi_1,\overline{g}\colon=g-\sum_i c_iD_i\varphi_1-d,\overline{\varphi}_2\colon=\varphi_2-\sum_{i,j} a_{ij}\nu_iD_j\varphi_1-\sum_i b_i\nu_i\varphi_1$$
とすると $u$ が(\ref{MBP})の弱解となることは $\overline{u}\colon=u-\varphi_1$ が
$$\left\{\begin{align*}
L\overline{u}&=\sum_iD_i\overline{f}_i+\overline{g} & &\ \inn \Omega\\
\overline{u}&=0 & &\ \on \pOm\backslash T\\
N\overline{u}&=\sum_iD_i\overline{f}_i+\overline{\varphi}_2 & &\ \on T
\end{align*}\right.$$
の弱解となることと同値である。以下では多くの場合において $\varphi_1\equiv 0$ の場合のみを考える。

===混合境界値問題の可解性===
弱解には、関数解析の定理を援用して容易に存在を示すことができるという利点がある。とくに、次のLax-Milgramの定理とFredholmの択一性定理([[Hilbert空間上の作用素論]]の定理13.13)を用いる。

{{theorem|type=thm|name=Lax-Milgramの定理|label=LMT}}
$H$ をHilbert空間とする。$\B\colon H\times H\to\R$ を有界強圧的双線型汎関数とする。すなわち以下をみたすとする:
*(i) $\B$ は双線型である。
*(ii)(有界性) 定数 $K\gt 0$ が存在し $|\B(u,v)|\le K\norm{u}_H\norm{v}_H\ (u,v\in H)$。
*(iii)(強圧性) 定数 $\theta\gt 0$ が存在し $\B(u,u)\ge\theta\norm{u}_H^2\ (u\in H)$。
このとき $F\in H^*$ について $u\in H$ であって任意の $v\in H$ について $\B(u,v)=\pair{ F,v}_H$ をみたすものが一意的に存在する。

{{begin|proof}}
$u\in H$ と $t\gt 0$ について(i)と(ii)より $(u,v)_H-t\B(u,v)+t\pair{ F,v}_H$ は $v\in H$ について線型かつ $$|(u,v)_H-t\B(u,v)+t\pair{ F,v}_H|\le ((tK+1)\norm{u}_H+t\norm{F}_{H^*})\norm{v}_H$$
となるので、Rieszの表現定理より $u\in H$ について $\Phi(u)\in H$ であって任意の $v\in H$ について
$$(\Phi(u),v)_H=(u,v)_H-t\B(u,v)+t\pair{ F,v}_H$$
をみたすものが一意的に存在する。

この $\Phi\colon H\to H$ について、$u\in H$ が任意の $v\in H$ について $\B(u,v)=\pair{ F,v}_H$ をみたすことは $\Phi(u)=u$ と同値である。実際、$u$ が任意の $v\in H$ について $\B(u,v)=\pair{ F,v}_H$ をみたすとすると任意の $v\in H$ について $(\Phi(u),v)_H=(u,v)_H$ となるので $\Phi(u)=u$。逆に $\Phi(u)=u$ とすると任意の $v\in H$ について $(u,v)_H=(u,v)_H-t\B(u,v)+t\pair{ F,v}_H$ となるので $\B(u,v)=\pair{ F,v}_H$ が成り立つ。

$u,u',v\in H$ について
$$(\Phi(u)-\Phi(u')-u+u',v)_H=-t\B(u-u',v)\le tK\norm{u-u'}_H\norm{v}_H$$
であるから $\norm{\Phi(u)-\Phi(u')-u+u'}_H\le tK\norm{u-u'}_H$ であり、
\begin{align*}
\norm{\Phi(u)-\Phi(u')}_H^2&=\norm{\Phi(u)-\Phi(u')-u+u'}_H^2+2(\Phi(u)-\Phi(u'),u-u')_H-\norm{u-u'}_H^2\\
&=\norm{\Phi(u)-\Phi(u')-u+u'}_H^2+2\left(\norm{u-u'}_H^2-t\B(u-u',u-u')\right)-\norm{u-u'}_H^2\\
&\le(1-2t\theta+t^2K^2)\norm{u-u'}_H^2.
\end{align*}
$t$ を十分小さくとれば $1-2t\theta+t^2K^2\lt 1$ となり、Banachの不動点定理([[位相空間論13：距離空間の位相(1)]]の定理13)より $\Phi(u)=u$ となる $u\in H$ が一意的に存在する。
{{end|proof}}

{{theorem|type=rmk}}
$G\colon H^*\to H$ を $GF=u$ により定めると、$G$ は全単射である。実際、$B\colon H\to H^*$ を $\pair{ Bu,v}_H\colon=\B(u,v)$ for $u,v\in H$ により定めると $B$ は $G$ の逆写像となっている。また $G$ は明らかに線型で、かつ $F\in H^*$ について
$$\theta\norm{GF}_H^2\le\B(GF,GF)=\pair{F,GF}_H\le K\norm{F}_{H^*}\norm{GF}_H$$
をみたすので有界線型作用素である。

$\B$ が対称(すなわち任意の $u,v\in H$ について $\B(u,v)=\B(v,u)$ )のとき、$\B$ は $H$ に $(\cdot,\cdot)_H$ と同値なノルムを定める内積となり、$H$ は内積 $\B$ によってもHilbert空間となる。この場合のLax-Milgramの定理は内積 $\B$ に関するRieszの表現定理と同値であり、$u$ は汎関数
$$\frac{1}{2}\B(u,u)-\pair{ F,u}_H$$
が最小値をとる $u\in H$ として特徴づけられる。

以下では $\Omega$ と $T$ は次の条件をみたすとする:
$$開集合D\subset\R^nとC^{0,1}境界部分S\subset\partial Dが存在し\Omega\subset D,T\rcpt S. \tag{$\diamondsuit$}\label{D}$$
また $\varphi_1\equiv 0$ であるとし、$a_{ij}$ は一様楕円性(\ref{UE})をみたし、$b_i,c_i,d,f_i,g,\sigma,\varphi_2$ は
$$b,c\in L^q(\Omega)^n,d\in L^\frac{q}{2}(\Omega),\sigma\in L^{q-1}(T,\H^{n-1}),\begin{cases}
q\in[n,\infty]&\jf n\ge 3\\
q\in(2,\infty]&\jf n=2
\end{cases}\ ,\tag{C1}\label{C1}$$
$$f\in L^2(\Omega)^n,g\in L^{2-\frac{4}{r+2}}(\Omega),\varphi_2\in L^{2-\frac{2}{r}}(T,\H^{n-1}),\begin{cases}
r\in[n,\infty]&\jf n\ge 3\\
r\in(2,\infty]&\jf n=2
\end{cases}\tag{C2}\label{C2}$$
をみたすとする。ここで $b,c,f$ はベクトル値関数 $b=(b_1,\ldots,b_n),c=(c_1,\ldots,c_n),f=(f_1,\ldots,f_n)$ である。

さらに、$q\gt n$ のとき
$$\mu\colon= \norm{\lambda^{-2}(|b|^2+|c|^2)+\lambda^{-1}|d|}_{\frac{q}{2};\Omega}+\norm{\lambda^{-1}\varphi}_{q-1;T}$$
とし、$q=n\ge 3$ のとき
$$\mu\colon(0,\infty)\to[0,\infty),\mu(t)\colon=\norm{(\lambda^{-2}(|b|^2+|c|^2)+\lambda^{-1}|d|-t)^+}_{\frac{n}{2};\Omega}+\norm{(\lambda^{-1}|\sigma|-t)^+}_{n-1;T}$$
とおく。

{{theorem|type=pro|label=west}}
*(1) $a_{ij},b_i,c_i,d,\sigma$ は(\ref{UE})、(\ref{C1})をみたすとする。このとき $u\in W^{1,2}_0(\OmT)$ と $v\in C^\infty_c(\OmT)$ について
$$\left|\L(u,v)+\int_T\sigma uvd\H^{n-1}\right|\le C_{q,\Lambda,\lambda,\mu,\Omega}\norm{u}_{1,2;\Omega}\norm{v}_{1,2;\Omega}.$$
*(2) $f_i,g,\varphi_2$ は(\ref{C2})をみたすとする。このとき $v\in C^\infty_c(\OmT)$ について
$$\left|\int_\Omega\left(\sum_i f_iD_iv-gv\right)+\int_T \varphi_2vd\H^{n-1}\right|\le C_{r,\Omega}\left(\norm{f}_{2;\Omega}+\norm{g}_{2-\frac{4}{r+2};\Omega}+\norm{\varphi_2}_{2-\frac{2}{r};T}\right).$$

{{begin|proof}}
Sobolevの不等式とトレースSobolev不等式([[Sobolev空間とSobolevの不等式]]の定理67、命題84。トレースSobolev不等式については章末の注意も参照せよ。)より $u\in W^{1,2}(\OmT)$ と $v\in C^\infty_c(\OmT)$ について
\begin{align*}
\left|\L(u,v)\right|&\le\Lambda\norm{Du}_2\norm{Dv}_2+\norm{b}_q\norm{u}_{2+\frac{4}{q-2}}\norm{Dv}_2+\norm{c}_q\norm{Du}_2\norm{v}_{2+\frac{4}{q-2}}+\norm{d}_\frac{q}{2}\norm{u}_{2+\frac{4}{q-2}}\norm{v}_{2+\frac{4}{q-2}}\le C\norm{u}_{1,2}\norm{v}_{1,2},\\
\left|\int_T\sigma uvd\H^{n-1}\right|&\le\norm{\sigma}_{T;q-1}\norm{u}_{2+\frac{2}{q-2};T}\norm{v}_{2+\frac{2}{q-2};T}\le C\norm{u}_{1,2}\norm{v}_{1,2}.
\end{align*}
となり(1)を得る。また
\begin{align*}
\left|\int_\Omega f_iD_iu+\int_\Omega gu+\int_T \varphi_2ud\H^{n-1}\right|\le\norm{f}_2\norm{Du}_2+\norm{g}_{2-\frac{4}{r+2}}\norm{u}_{2+\frac{4}{r-2}}+\norm{\varphi_2}_{2-\frac{2}{r};T}\norm{u}_{1,2}\le C\norm{u}_{1,2}
\end{align*}
となり(2)を得る。
{{end|proof}}

{{theorem|type=rmk}}
(1)より $u,v\in W^{1,2}_0(\OmT)$ についても $\L(u,v)+\int_T \sigma uvd\H^{n-1}$ が定義でき、$W^{1,2}_0(\OmT)$ 上の有界双線型汎関数を定め、(1)が $u,v\in W^{1,2}_0(\OmT)$ についても成り立つ。また $\L(u,v)+\int_T \sigma uvd\H^{n-1}$ も $v\in W^{1,2}_0(\OmT)$ について連続で、$C^\infty_c(\OmT)$ は $W^{1,2}_0(\OmT)$ において稠密である。これより、$u\in W^{1,2}_0(\OmT)$ のときは(\ref{wsol'})はテスト関数 $v\in W^{1,2}_0(\OmT)$ についても成り立つ。

(2)より $\displaystyle \pair{F,v}_{(W^{1,2}_0(\OmT))^*}=\int_\Omega\left(\sum_i f_iD_iv-gv\right)+\int_T \varphi_2vd\H^{n-1}$ for $v\in W^{1,2}_0(\OmT)$ によって $F\in(W^{1,2}_0(\OmT))^*$ が定まる。

これらより混合境界値問題(\ref{MBP})は $F\in(W^{1,2}_0(\OmT))^*$ が与えられたとき
$$\L(u,v)+\int_T \sigma uvd\H^{n-1}=\pair{F,v}_{W^{1,2}_0(\OmT)}\ (\forall v\in W^{1,2}_0(\OmT))\tag{$\rm \overline{W}$}\label{Wsol}$$
をみたす $u\in W^{1,2}_0(\OmT)$ を見つける問題に帰着される。

{{theorem|type=lem|label=est1}}
*(1) $q\gt n$ とする。$h\in L^\frac{q}{2}(\Omega)$、$\sigma\in L^{q-1}(\Omega)$ とすると $v\in W^{1,2}_0(\OmT)$、$\varepsilon\in(0,1)$ について
$$\left|\int_\Omega hv^2+\int_T \sigma v^2d\H^{n-1}\right|\le\varepsilon\int_\Omega |Dv|^2+C_{q,\Omega,T,\norm{h}_{\frac{q}{2};\Omega}+\norm{\sigma}_{q-1;T}}\varepsilon^{-\theta}\int_\Omega v^2,\theta=\theta_{n,q}\gt 0.\tag{E1}\label{E1}$$

*(2) $n\ge 3$ とする。$h\in L^\frac{n}{2}(\Omega)$、$\sigma\in L^{n-1}(\Omega)$ とし、
$$\omega\colon(0,\infty)\to[0,\infty),\omega(t)\colon=\norm{(|h|-t)^+}_{\frac{n}{2};\Omega}+\norm{(\lambda^{-1}|\sigma|-t)^+}_{n-1;T}$$
とすると
$$\left|\int_\Omega hv^2+\int_T\sigma v^2d\H^{n-1}\right|\le\varepsilon\int_\Omega |Dv|^2+C_{q,\Omega,T,\omega,\varepsilon}\int_\Omega v^2.\tag{E2}\label{E2}$$

{{begin|proof}}
*(1) を示す。補間不等式([[Sobolev空間とSobolevの不等式]]の命題74)より
$$\left|\int_\Omega hv^2\right|\le C\norm{v}_{2+\frac{4}{q-2}}^2\le C\norm{v}_{1,2}^\frac{2n}{q}\norm{v}_2^{2-\frac{2n}{q}}\le\varepsilon\int_\Omega|Dv|^2+C\varepsilon^{-\frac{n}{q-n}}\int_\Omega v^2.$$
また[[Sobolev空間とSobolevの不等式]]の定理79と補間不等式より
\begin{align*}
\left|\int_T \sigma v^2d\H^{n-1}\right|&\le C\norm{v}_{2+\frac{2}{q-2};T}^2\\
&\le C\left(\int_\Omega(|Dv|+|v|)|v|^{1+\frac{2}{q-2}}\right)^{1-\frac{1}{q-1}}\\
&\le C\norm{v}_{1,2}^{1-\frac{1}{q-1}}\norm{v}_{2+\frac{4}{q-2}}^{1+\frac{1}{q-1}}\\
&\le C\norm{v}_{1,2}^{1+\frac{n-1}{q-1}}\norm{v}_2^{1-\frac{n-1}{q-1}}\\
&\le \varepsilon\int_\Omega|Dv|^2+C\varepsilon^{-1-\frac{2n-2}{q-n}}\int_\Omega|v|^2.
\end{align*}
これらから(\ref{E1})が従う。
{{end|proof}}

{{theorem|type=lem|name=エネルギー評価|label=NRG1}}
$b_i,c_i,d,\sigma$ は(\ref{C1})をみたすとする。$u\in W^{1,2}_0(\OmT)$ について
$$\L(u,u)+\int_T\sigma u^2d\H^{n-1}\ge \frac{\lambda}{4}\norm{u}_{1,2;\Omega}^2-C_{q,\Omega,T,\mu}\lambda\norm{u}_{2;\Omega}^2.$$

{{begin|proof}}
{{ref|type=lem|label=est1}}とYoungの不等式より
\begin{align*}
\L(u,u)+\int_T \sigma u^2d\H^{n-1}&\ge\int_\Omega\left(\lambda|Du|^2-(|b|+|c|)|u||Du|-|d|u^2\right)-\int_T|\sigma|u^2d\H^{n-1}\\
&\ge\frac{\lambda}{2}\int_\Omega|Du|^2-\lambda\left(\int_\Omega\left((\lambda^{-2}(|b|^2+|c|^2)+\lambda^{-1}|d|)u^2\right)+\int_T\lambda^{-1}|\sigma|u^2d\H^{n-1}\right)\\
&\ge\frac{\lambda}{2}\int_\Omega|Du|^2-\lambda\left(\frac{1}{4}\int_\Omega|Du|^2+C\int_\Omega u^2\right)\\
&=\frac{\lambda}{4}\int_\Omega|Du|^2-C\lambda\int_\Omega u^2.
\end{align*}
{{end|proof}}

{{theorem|type=pro|name=混合境界値問題の可解性1|label=wsolv1}}
$b_i,c_i,d,\sigma$ は(\ref{C1})をみたすとする。$\gamma\in\R$ を十分大きくとると任意の $F\in(W^{1,2}_0(\OmT))^*$ について $u\in W^{1,2}_0(\OmT)$ であって
$$\L(u,v)+\int_T \sigma uvd\H^{n-1}+\int_\Omega \gamma uv=\pair{F,v}_{W^{1,2}_0(\OmT)}\ (\forall v\in W^{1,2}_0(\OmT))\tag{$\rm \overline{W}_\gamma$}\label{Wsolg}$$
となるものが一意的に存在する。

{{begin|proof}}
{{ref|type=lem|label=NRG1}}より十分大きな $\gamma$ について
$$\L(u,u)+\int_T\sigma u^2d\H^{n-1}+\int_\Omega \gamma u^2\ge \frac{\lambda}{4}\norm{u}_{1,2;\Omega}^2$$
となり{{ref|type=thm|label=LMT}}より主張が従う。
{{end|proof}}

これより十分大きい $\gamma$ について混合境界値問題
$$\left\{\begin{align*}
Lu-\gamma u&=\sum_iD_if_i+g & &\ \inn \Omega\\
u&=0 & &\ \on \pOm\backslash T\\
Nu&=\sum_i\nu_if_i+\varphi_2 & &\ \on T
\end{align*}\right.$$
の弱解 $u\in W^{1,2}_0(\OmT)$ が一意的に存在する。

より詳細な可解性の結果をFredholmの択一性定理を用いて得ることができる。

{{theorem|type=def|name=包含 $L^2(\Omega)\subset(W^{1,2}_0(\OmT))^*$|label=wincl}}
$u\in L^2(\Omega)$、$v\in W^{1,2}_0(\OmT)$ とすると明らかに $\displaystyle \int_\Omega uv\le\norm{u}_2\norm{v}_{1,2}$ であるから、$Iu\in (W^{1,2}_0(\OmT))^*$ を $\displaystyle \pair{ Iu,v}_{W^{1,2}_0(\OmT)}\colon=\int_\Omega uv$ for $v\in W^{1,2}_0(\OmT)$ によって定めることができ、$\norm{Iu}_{(W^{1,2}_0(\OmT))^*}\le\norm{u}_2$ となる。また $W^{1,2}_0(\OmT)\subset L^2(\Omega)$ が稠密であることから $u\in W^{1,2}_0(\OmT)$ が $Iu=0$ をみたすとすると $u=0$ となり、$I$ は単射である。そこで、$u$ を $Iu$ と同一視することにより連続な包含 $L^2(\Omega)\subset(W^{1,2}_0(\OmT))^*$ が定まる。

{{theorem|type=rmk}}
[[Sobolev空間とSobolevの不等式]]の定義40も参照せよ。

内積構造を用いてRieszの表現定理により $(W^{1,2}_0(\OmT))^*=W^{1,2}_0(\OmT)$ と見做す同一視は多くの場合採用されない。[[Sobolev空間とSobolevの不等式]]の定義40の注意も参照せよ。

{{theorem|type=pro|label=winclpro}}
{{ref|type=def|label=wincl}}で定義した包含 $L^2(\OmT)\subset(W^{1,2}_0(\OmT))^*$ について次が成り立つ:
*(1) $W^{1,2}_0(\OmT)\subset(W^{1,2}_0(\OmT))^*$ は稠密である。
*(2) 包含 $W^{1,2}_0(\OmT)\subset(W^{1,2}_0(\OmT))^*$ はコンパクトである。すなわち、$\{u_m\}_{m=1}^\infty\subset W^{1,2}_0(\OmT)$ が $\displaystyle \sup_m\norm{u_m}_{1,2;\Omega}\lt\infty$ をみたすとすると $\{u_m\}_{m=1}^\infty$ は $(W^{1,2}_0(\OmT))^*$ において収束する部分列をもつ。

{{begin|proof}}
(1)を示す。$\Phi\in(W^{1,2}_0(\OmT))^{**}$ が任意の $v\in W^{1,2}_0(\OmT)$ について　$\pair{\Phi,v}_{(W^{1,2}_0(\OmT))^*}=0$ をみたすとして $\Phi=0$ を示せばよい。$W^{1,2}_0(\OmT)$ は回帰的Banach空間であるから $u\in W^{1,2}_0(\OmT)$ であって任意の $v\in (W^{1,2}_0(\OmT))^*$ について
$$\pair{ F,u}_{W^{1,2}_0(\OmT)}=\pair{\Phi,F}_{(W^{1,2}_0(\OmT))^*}$$
をみたすものが存在するが、仮定より任意の $v\in W^{1,2}_0(\OmT)$ について $\displaystyle\int_\Omega uv=0$ となり $u\equiv 0$。これより $\Phi=0$ となる。

(2)はRellich-Kondrachovの定理([[Sobolev空間とSobolevの不等式]]の定理69)より包含 $W^{1,2}_0(\OmT)\subset L^2(\Omega)$ がコンパクトであることから従う。
{{end|proof}}

{{theorem|type=def|name=形式的共役作用素、双対問題|label=dual}}
形式的な微分作用素 $L^*$ を
$$L^*u=\sum_j D_j\left(\sum_i a_{ij}D_iu-c_ju\right)-\sum_i b_iD_iu+du$$
により定め、$L$ の形式的共役作用素という。また $T$ 上の関数に作用する形式的な微分作用素 $N^*$ を
$$N^*u=\sum_{i,j} a_{ij}\nu_jD_iu-\sum_i c_i\nu_iu+\sigma_2u$$
と定め、混合境界値問題
$$\left\{\begin{align*}
L^*v&=0& & \inn\Omega\\
v&=0& & \on\pOm\backslash T\\
N^*v&=0& &\on T
\end{align*}\right.\tag{$\rm MBP_0^*$}\label{MBP*}$$
を斉次問題
$$\left\{\begin{align*}
Lu&=0& & \inn\Omega\\
u&=0& & \on\pOm\backslash T\\
Nu&=0& &\on T
\end{align*}\right.\tag{$\rm MBP_0$}\label{MBP0}$$
の双対問題という。

定義より $v\in W^{1,2}_0(\OmT)$ が(\ref{MBP*})の弱解であることは任意の $u\in W^{1,2}_0(\OmT)$ について $\displaystyle \L(u,v)+\int_T \sigma uvd\H^{n-1}=0$ をみたすことと同値である。

{{theorem|type=thm|name=混合境界値問題の可解性2|label=wsolv2}}
$|\Omega|\lt\infty$ とし、$b_i,c_i,d,\sigma$ は(\ref{C1})をみたすとする。次が成り立つ:
*(1) 次は同値:
**(i) 任意の $F\in(W^{1,2}_0(\OmT))^*$ について、(\ref{Wsol})をみたす $u\in W^{1,2}_0(\OmT)$ が存在する。
**(ii) 混合境界値問題 (\ref{MBP0}) の弱解 $u\in W^{1,2}_0(\OmT)$ は $0$ のみである。

*(2) (\ref{MBP0})の弱解のなす $W^{1,2}_0(\OmT)$ の部分空間を $M$、(\ref{MBP*})の弱解のなす $W^{1,2}_0(\OmT)$ の部分空間を $M^*$ とすると
$$\dim M=\dim M^*\lt\infty.$$
*(3) $F\in(W^{1,2}_0(\OmT))^*$ について、次は同値:
**(iii) (\ref{Wsol})をみたす $u\in W^{1,2}_0(\OmT)$ が存在する。
**(iv) 任意の(\ref{MBP*})の弱解 $v\in W^{1,2}_0(\OmT)$ について
$$\pair{ F,v}_{W^{1,2}_0(\OmT)}=0.$$

{{begin|proof}}
$\gamma\gt 0$ を{{ref|type=pro|label=wsolv1}}の証明と同様にとると、$F\in (W^{1,2}_0(\OmT))^*$ に対して(\ref{Wsol})をみたす $u\in W^{1,2}_0(\OmT)$ を $GF$ とすることによって $G\colon (W^{1,2}_0(\OmT))^*\to W^{1,2}_0(\OmT)$ が定まる。{{ref|type=thm|label=LMT}}の注意より $G$ は全単射有界線型作用素である。

包含 $W^{1,2}_0(\OmT)\subset(W^{1,2}_0(\OmT))^*$ はコンパクトであるから、$G$ は $(W^{1,2}_0(\OmT))^*$ 上のコンパクト作用素([[Hilbert空間上の作用素論]]の定義13.1。定理13.10も参照せよ。)になっている。

また、$F\in (W^{1,2}_0(\OmT))^*$ と $u\in W^{1,2}_0(\OmT)$ について
$$\text{(\ref{Wsol})}\iff u=G(F+\gamma u)\iff u-\gamma Gu=GF.$$
$R(G)=W^{1,2}_0(\OmT)$ であるから(i) $\iff W^{1,2}_0(\OmT)\subset R(I-\gamma G)$。ここで $I$ は恒等作用素である。
$W^{1,2}_0(\OmT)\subset(W^{1,2}_0(\OmT))^*$ は稠密であって、[[Hilbert空間上の作用素論]]の命題13.11より $R(I-\gamma G)\subset(W^{1,2}_0(\OmT))^*$ は閉であるから
$${\rm (i)}\iff R(I-\gamma G)=(W^{1,2}_0(\OmT))^*.$$

Fredholmの択一性定理([[Hilbert空間上の作用素論]]の定理13.13)より
$${\rm (i)}\iff N(I-\gamma G)=\{0\}.$$

一方、(\ref{MBP})の弱解 $u$ は任意の $v\in W^{1,2}_0(\OmT)$ について $\displaystyle \L(u,v)+\int_T \sigma uvd\H^{n-1}=0$ をみたすので $u=\gamma Gu$。

逆に $F\in(W^{1,2}_0(\OmT))^*$ が $F-\gamma GF=0$ をみたすとすると $GF=\gamma^{-1}F$ となるので $F\in W^{1,2}_0(\OmT)$ で任意の $v\in W^{1,2}_0(\OmT)$ について $\displaystyle \L(\gamma^{-1}F,v)+\gamma^{-1}\int_T \sigma Fvd\H^{n-1}+\int_\Omega Fv=\int_\Omega Fv$ となる。これより $F$ は(\ref{MBP})の弱解である。これらより $M=N(I-\gamma G)$。

以上より(i) $\iff M=\{0\}$ であり、(1)が従う。

(2)を示す。$G^*\colon(W^{1,2}_0(\OmT))^*\to W^{1,2}_0(\OmT)$ を $G$ の共役作用素とする。$G^*$ の制限 $G^*\colon W^{1,2}_0(\OmT)\to W^{1,2}_0(\OmT)$ が $G\colon(W^{1,2}_0(\OmT))^*\to (W^{1,2}_0(\OmT))^*$ の共役作用素になっていることに注意する。

$u\in W^{1,2}_0(\OmT)$、$F=G^{-1}u\in (W^{1,2}_0(\OmT))^*$ とすると $H\in (W^{1,2}_0(\OmT))^*$ について
$$\L(u,G^*H)+\int_T \sigma uG^*Hd\H^{n-1}+\int_\Omega \gamma uG^*H=\pair{ F,G^*H}_{W^{1,2}_0(\OmT)}=\pair{ H,u}_{W^{1,2}_0(\OmT)}.$$
とくに $v\in M^*$ は任意の $u\in W^{1,2}_0(\OmT)$ について $\displaystyle \int_\Omega\gamma uG^*v=\int_\Omega uv$
となり $\gamma G^*v=v$。これより $M^*\subset N(I-\gamma G^*)$。

逆に $H\in(W^{1,2}_0(\OmT))^*$ が $H-\gamma G^*H=0$ をみたすとすると $H\in W^{1,2}_0(\OmT)$、$G^*H=\gamma^{-1}H$ で、任意の $u\in W^{1,2}_0(\OmT)$ について
$$\L(u,\gamma^{-1}H)+\int_T \gamma^{-1}\sigma uHd\H^{n-1}+\int_\Omega uH=\int_\Omega uH$$
となり $\displaystyle \L(u,H)+\int_T\sigma uHd\H^{n-1}=0$。これより $v\in M^*$ となり、$M^*=N(I-\gamma G^*)$。

[[Hilbert空間上の作用素論]]の命題13.14より $\dim M=\dim N(I-\gamma G)=\dim N(I-\gamma G^*)=\dim M^*\lt\infty$ が従う。

(3)を示す。(\ref{Wsol}) $\iff u-\gamma Gu=GF$ であったから、(iii)は $GF\in R(I-\gamma G)$ と同値である。一方、$R(I-\gamma G)\subset W^{1,2}_0(\OmT)$ は閉であるから[[Hilbert空間上の作用素論]]の命題3.9の(5)より $R(I-\gamma G)=(N(I-\gamma G^*))^\bot={M^*}^\bot$。また $v\in M^*$ について
$$\int_\Omega GFv=\pair{ F,G^*v}_{W^{1,2}_0(\OmT)}=\gamma^{-1}\pair{F,v}_{W^{1,2}_0(\OmT)}$$
となるので $GF\in {M^*}^\bot\iff F\in {M^*}^\bot$。以上より主張が従う。
{{end|proof}}

===弱解の大域有界性===
ここでは、係数と非斉次項への適当な仮定のもと、(\ref{MBP})の弱解 $u$ は $\Omega$ 上で有界となることを示す。

$k\gt 0$ とし、
$$\bar{b}\colon=\lambda^{-2}(|b|^2+k^{-2}|f|^2),\bar{c}\colon=\lambda^{-2}|c|^2,\bar{d}\colon=\lambda^{-1}(d^-+k^{-1}g^-),\bar{\sigma}\colon=\lambda^{-1}(\sigma^-+k^{-1}\varphi_2^-)$$
とおく。

{{theorem|type=lem|label=est2}}
$u\in W^{1,2}_0(\OmT)$ が $\displaystyle Lu\ge\sum_i D_if-g$ in $\Omega$、$\displaystyle Nu\le\sum_i\nu_if_i+\varphi_2$ on $T$ をみたすとする。$G(k)=0$、$G'(t)\gt 0$ if $t\gt k$ をみたす $G\in W^{1,\infty}(k,\infty)$ について、$H\in W^{1,\infty}(k,\infty)$ を $\displaystyle H(t)\colon=\int_0^t G'(s)^2ds$ と定めると
$$\int_{\{u\gt k\}}|D(G(u))|^2\le C\left(\int_{\{u\gt k\}}\left(\bar{b}G'(u)^2u^2+\bar{c}\frac{H(w)^2}{G'(w)^2}+\bar{d}H(u)u\right)+\int_{T\cap\{u\gt k\}}\bar{\sigma}H(u)ud\H^{n-1}\right).\tag{E3}\label{E3}$$

{{begin|proof}}
テスト関数として $H(w)$ を用いると
\begin{align*}
0&\ge\int_{\{u\gt k\}}\left(\sum_i\left(\sum_j a_{ij}D_ju+b_iu-f\right)G'(u)^2D_iu-\left(\sum_ic_iu+du-g\right)H(u)\right)+\int_{T\cap\{u\gt k\}}\left(\sigma u-\varphi_2\right)H(u)d\H^{n-1}\\
&\ge\int_{\{u\gt k\}}\left(\lambda G'(u)^2|Du|^2-(|b|+k^{-1}|f|)G'(u)^2u|Du|-cH(u)|Du|-(d^-+k^{-1}g^-)H(u)u\right)-\int_{T\cap\{u\gt k\}}(\sigma^-+k^{-1}\varphi_2^-)H(u)d\H^{n-1}\\
&\ge\frac{\lambda}{2}\int_{\{u\gt k\}}|D(G(u))|^2-C\lambda\left(\int_{\{u\gt k\}}\left(\bar{b}G'(u)^2u^2+\bar{c}\frac{H(u)^2}{G'(u)^2}+\bar{d}H(w)u\right)+\int_{T\cap\{u\gt k\}}\bar{\sigma}H(u)ud\H^{n-1}\right)
\end{align*}
となり(\ref{E3})が成り立つ。
{{end|proof}}

{{theorem|type=thm|name=弱解の大域有界性1|label=wglob1}}
$b_i,c_i,d,\sigma,f_i,g,\varphi_2$ は
$$b_i\in L^q(\Omega),c_i\in\begin{cases}
L^n(\Omega)&\jf n\ge 3\\
L^q(\Omega)&\jf n=2
\end{cases},d\in L^\frac{q}{2}(\Omega),\sigma\in L^{q-1}(T,\H^{n-1}),q\gt n,\tag{C3}\label{C3}$$
$$f_i\in L^q(\Omega),g\in L^\frac{q}{2}(\Omega),\varphi_2\in L^{q-1}(T,\H^{n-1}),q\gt n,\tag{C4}\label{C4}$$
をみたすとし、
$$\mu_1\colon=\norm{\lambda^{-2}|b|^2+\lambda^{-1}d^-}_{\frac{q}{2};\Omega}+\norm{\lambda^{-1}\varphi_2}_{q-1;T}$$
とする。また $n\ge 3$ のとき
$$\mu_2\colon(0,\infty)\to[0,\infty),\mu_2(t)\colon=\norm{(\lambda^{-2}|c|^2-t)^+}_{\frac{n}{2};\Omega}$$
とし、$n=2$ のときは $\mu_2\colon=\norm{\lambda^{-1}|c|}_{q;\Omega}$ とする。

$u\in W^{1,2}_0(\OmT)$ が $\displaystyle Lu\ge(\le,=)\sum_i D_if-g$ in $\Omega$、$Nu\le(\ge,=)\varphi_2$ on $T$ をみたすとすると
$$\sup_{\Omega}u(-u,|u|)\le C_{q,\Omega,T,\mu_1,\mu_2}\left(\norm{u^+(u^-,u)}_{2;\Omega}+\lambda^{-1}\left(\norm{f}_{q;\Omega}+\norm{g}_{\frac{q}{2};\Omega}+\norm{\varphi_2}_{q-1;T}\right)\right).$$

{{begin|proof}}
劣解の場合を示す。$k\gt 0$ を
$$k\ge \lambda^{-1}\left(\norm{f}_{q;\Omega}+\norm{g}_{\frac{q}{2};\Omega}+\norm{\varphi_2}_{q-1;T}\right)$$
となるようにとる。
$$\norm{\bar{b}}_{\frac{q}{2};\Omega},\norm{\bar{d}}_{\frac{q}{2};\Omega},\norm{\bar{\sigma}}_{q-1;T}\le\mu_1+1$$
となることに注意する。

$\beta\ge 1$、$M\gt k$ とし、(\ref{E3})を
$$G(t)=\begin{cases}
t^\beta-k^\beta&\jf k\le t\le M\\
\beta M^{\beta-1}(t-M)+M^\beta-k^\beta&\jf t\gt M
\end{cases}$$
として用いる。
$G'(t)=\begin{cases}
\beta t^{\beta-1}&\jf k\le t\le M\\
\beta M^{\beta-1}&\jf t\gt M\\
\end{cases},
H(t)=\begin{cases}
\frac{\beta^2}{2\beta-1}(t^{2\beta-1}-k^{2\beta-1})&\jf t\le M\\
\beta^2 M^{2\beta-1}(t-M)+\frac{\beta^2}{2\beta-1}(M^{2\beta-1}-k^{2\beta-1})&\jf t\gt M
\end{cases}$
より
$$G'(t)t\le\beta(G(t)+k^\beta),H(t)t\le\frac{\beta^2}{2\beta-1}(G(t)+k^\beta)^2\le 2\beta(G(t)^2+k^{2\beta})$$
かつ
$$\frac{H(t)}{G'(t)}=\begin{cases}
\frac{\beta}{2\beta-1}(t^\beta-k^{2\beta-1}t^{-(\beta-1)})\le G(t)&\jf k\le t\le M\\
\beta M^{2\beta-1}(t-M)+\frac{\beta}{2\beta-1}(M^{2\beta-1}-k^{2\beta-1}M^{-(\beta-1)})\le G(t)&\jf t\gt M
\end{cases}$$
となることに注意すると
$$\int_{\{u\gt k\}}|D(G(u))|^2\le C\left(\int_{\{u\gt k\}}\left(\beta^2\bar{b}+\bar{c}+\beta\bar{d}\right)G(u)^2+\int_{T\cap\{u\gt k\}}\beta\bar{\sigma}G(u)^2\right)+C\left(\int_{\{u\gt k\}}(\beta^2\bar{b}+\beta\bar{d})+\int_{T\cap\{u\gt k\}}\beta\bar{\sigma}d\H^{n-1}\right)k^{2\beta}.$$
(\ref{E1})、(\ref{E2})より
$$\int_{\{u\gt k\}}|D(G(u))|^2\le \frac{1}{2}\int_{\{u\gt k\}}|D(G(u))|^2+C(\beta^\theta+1)\int_{\{u\gt k\}}G(u)^2+C\beta^2k^{2\beta},\theta=\theta_{n,q}\gt 2$$
となり
$$\int_{\{u\gt k\}}|D(G(u))|^2\le C\beta^\theta\left(\int_{\{u\gt k\}}G(u)^2+k^{2\beta}\right).$$
Sobolevの不等式より
$$\left(\int_{\{u\gt k\}}(u^\beta-k^\beta)^{2\chi}\right)^\frac{1}{\chi}\le C\beta^\theta\left(\int_{\{u\gt k\}}(u^\beta-k^\beta)^2+k^{2\beta}\right),\begin{cases}
\chi\colon=\frac{n}{n-2}&\jf n\ge 3\\
\chi\gt 1&\jf n=2
\end{cases}.$$
従って $u^+\in L^{2\chi\beta}(\Omega)$ で
$$\norm{u^+}_{2\chi\beta}+k\le \left(\int_{\{u\gt k\}}(u^\beta-k^\beta)^{2\chi}\right)^\frac{1}{2\chi\beta}+Ck\le C^\frac{1}{2\beta}\beta^\frac{\theta}{2\beta}\left(\norm{u^+}_{2\beta}+k\right).$$
ここで $\beta=\chi^m\ (m=0,1,\ldots)$ ととると帰納法により $u^+\in L^{2\chi^m}(\Omega)\ (m=0,1,\ldots)$。さらに
$$\norm{u^+}_{2\chi^{m}}+k\le\left(\prod_{l=0}^{m-1}C^{\chi^{-l}}\chi^{2l\theta\chi^{-l}}\right)\left(\norm{u^+}_2+k\right).$$
$m\to\infty$ として
$$\sup_{\Omega}u^+\le C(\norm{u^+}_2+k)$$
を得る。$k$ のとりかたより主張が従う。
{{end|proof}}

{{theorem|type=lem|name=凸関数と劣解の合成|label=convex}}
$|\Omega|\lt\infty$ とする。$b_i,c_i,d,\sigma,f,g,\varphi_2$ は(\ref{C1})と(\ref{C2})と
$$\int_\Omega\left(dv-\sum_i b_iD_iv\right)+\int_T \sigma vd\H^{n-1}\le 0\ (\forall v\in C^1_c(\OmT),v\ge 0)
\tag{C5}\label{C5}$$
をみたすとし、$k\ge 0$ とする。$u\in W^{1,2}(\Omega)$ が $\displaystyle Lu\ge\sum_i D_if_i+g$ in $\Omega$、$\displaystyle Nu\le\sum_i\nu_if_i+\varphi_2$ on $T$、$w\colon=(u-k)^+$ をみたすとする。$H\in C^2([0,\infty))\cap C^{1,1}([0,\infty))$ は凸かつ非減少で $H(0)=0$ をみたすとすると $H(w)$ は
$$\left\{\begin{align*}
\sum_iD_i\left(\sum_ja_{ij}D_j(H(w))\right)+\sum_i(b_i+c_i)D_i(H(w))&\ge\sum_iH'(w)f_i-\left(\frac{1}{4\lambda}H^{\prime\prime}(w)|f|^2+H'(w)g\right)& &\inn\Omega\\
H(u)&=0& &\on\pOm\backslash T\\
\sum_{i,j}a_{ij}\nu_iD_j(H(u))&\le \sum_iH'(w)f_i\nu_i+H'(w)\varphi_2& &\on T
\end{align*}\right.$$
をみたす。すなわち $H(w)\in W^{1,2}_0(\OmT)$ で
$$\int_\Omega\left(\sum_{i,j}a_{ij}D_i(H(w))D_jv-\sum_i(b_i+c_i)D_i(H(w))v\right)\le\int_\Omega\left(H'(w)\sum_i f_iD_iv+\left(\frac{1}{4\lambda}H^{\prime\prime}(w)|f|^2+H'(w)g\right)v\right)+\int_TH'(w)\varphi_2vd\H^{n-1}\ (\forall v\in W^{1,2}_0(\OmT),v\ge 0).$$

{{begin|proof}}
$H\in C^{2,1}(\R)$ の場合を示す。$v\in C^1_c(\OmT)$、$v\ge 0$ について
\begin{align*}
&\quad\L(u,H'(w)v)\\
&=\int_\Omega\left(\sum_{i,j}a_{ij}H'(w)D_juD_iv-\sum_ic_iH'(w)D_iuv\right)+\int_\Omega\left(\sum_ib_iD_i(H'(w)uv)-dH'(w)uv\right)+\int_T\sigma H'(w)uvd\H^{n-1}+\int_\Omega\left(H^{\prime\prime}(w)\sum_{i,j}a_{ij}D_iuD_juv-\sum_ib_iH'(w)D_iuv\right)\\
&\ge\int_\Omega\left(\sum_{i,j}a_{ij}H'(w)D_jwD_iv-\sum_i(b_i+c_i)H'(w)D_iwv\right)+\lambda\int_\Omega H^{\prime\prime}(w)|Dw|^2v.
\end{align*}
一方、
\begin{align*}
&\quad\int_\Omega\left(\sum_i f_iD_i(H'(u^+)v)+gH'(u^+)v\right)+\int_T\varphi_2H'(u^+)v\\
&=\int_\Omega\left(H'(u^+)\sum_i f_iD_iv+H^{\prime\prime}(u^+)\sum_i f_iD_iuv+H'(u^+)gv\right)+\int_TH'(u^+)\varphi_2v\\
&\le\int_\Omega\left(H'(u^+)\sum_i f_iD_iv+\left(\frac{1}{4\lambda}H^{\prime\prime}(u)|f|^2+H'(u^+)g\right)v\right)+\int_TH'(u^+)\varphi_2v+\lambda\int_\Omega H^{\prime\prime}(u^+)|Du|^2v.
\end{align*}
これより主張が従う。
{{end|proof}}

{{theorem|type=def|name=$\sup_{\pOm\backslash T}u$|label=ineqbdr}}
$u\in W^{1,2}(\Omega)$ について
$$\sup_{\pOm\backslash T}u\colon=\inf\{k\colon u\le k\ \inn\ \pOm\backslash T\}$$
と定める。$\inf_{\pOm\backslash T}u$ も同様に定義する。

{{theorem|type=rmk}}
$\displaystyle k\ge\sup_{\pOm\backslash T}u$ とすると $(u-k)^+\in W^{1,2}_0(\OmT)$ が成り立つ。実際、$\displaystyle k\gt\sup_{\pOm\backslash T}u$ とすると $\displaystyle l\in\left(k,\sup_\Omega u\right)$ であって $(u-l)^+\in W^{1,2}_0(\OmT)$ となるものが存在し、$(u-k)^+=((u-l)^+-(k-l))^+$ であるから $(u-k)^+\in W^{1,2}_0(\OmT)$ も成り立つ。$\displaystyle k\to \sup_{\pOm\backslash T}u+0$ により $\displaystyle k=\sup_{\pOm\backslash T}u$ の場合も従う。

{{theorem|type=thm|name=弱解の大域有界性2|label=wglob2}}
$\Omega$ は $|\Omega|\lt\infty$ かつ $1\notin W^{1,2}_0(\OmT)$ をみたすとする。$b_i,c_i,d,\sigma,f_i,g,\varphi_2$ は(\ref{C1})、(\ref{C4})をみたし、さらに

をみたすとする。

$u\in W^{1,2}_0(\OmT)$ が $\displaystyle Lu\ge(\le,=)\sum_i D_if-g$ in $\Omega$、$Nu\le(\ge,=)\varphi_2$ on $T$ をみたすとすると
$$\sup_{\Omega}u(-u,|u|)\le C_{q,\Omega,T,\mu}\left(\sup_{\pOm}u^+(u^-,|u|)+\lambda^{-1}\left(\norm{f}_{q;\Omega}+\norm{g}_{\frac{q}{2};\Omega}+\norm{\varphi_2}_{q-1;T}\right)\right).$$
{{begin|proof}}

{{end|proof}}

Marcinkiewiczの補間定理

2022-09-20T10:26:04Z

PSX:

<noinclude>
{{TOC |align=right |noautonum=1 }}
</noinclude>
{{begin |preamble}}
$$
\newcommand{\R}{\mathbb{R}}
\newcommand{\C}{\mathbb{C}}
\newcommand{\K}{\mathbb{K}}
\newcommand{\Z}{\mathbb{Z}}
\newcommand{\Q}{\mathbb{Q}}
\newcommand{\H}{\mathcal{H}}
\newcommand{\Zp}{\mathbb{Z}_{\ge 1}}
\newcommand{\Zz}{\mathbb{Z}_{\ge 0}}
\newcommand{\M}{\mathbb{M}}
\newcommand{\B}{\mathcal{B}}
\newcommand{\D}{\mathcal{D}}
\newcommand{\F}{\mathcal{F}}
\newcommand{\G}{\mathcal{G}}
\newcommand{\L}{\mathcal{L}}
\newcommand{\n}{\mathbf{n}}
\newcommand{\Rnp}{\mathbb{R^n_+}}
\newcommand{\Rnn}{\mathbb{R^n_-}}
\newcommand{\pRnp}{\mathbb{\partial R^n_+}}
\newcommand{ae}{\mathrm{a.e.}\ }
\newcommand{\inn}{\ \mathrm{in}\ }
\newcommand{\on}{\ \mathrm{on}\ }
\newcommand{\for}{\ \mathrm{for}\ }
\newcommand{\jf}{\ \mathrm{if }\ }
\newcommand{\det}{\operatorname{det}}
\newcommand{\dim}{\operatorname{dim}}
\newcommand{\Ker}{\operatorname{Ker}}
\newcommand{\sgn}{\operatorname{sgn}}
\newcommand{\wid}{\operatorname{wid}}
\newcommand{\diam}{\operatorname{diam}}
\newcommand{\dist}{\operatorname{dist}}
\newcommand{\supp}{\operatorname{supp}}
\newcommand{\avg}{\sout{\int}}
\newcommand{\rcpt}{\subset\subset}
\newcommand{\loc}{\rm{loc}}
\newcommand{\implies}{\ \Rightarrow\ }
\newcommand{\iff}{\ \Leftrightarrow\ }
\newcommand{\pardif}[2]{\frac{\partial{#1}}{\partial{#2}}}
\newcommand{\Bb}{\overline{B}}
\newcommand{\Ombar}{\overline{\Omega}}
\newcommand{\OmT}{\Omega\cup T}
\newcommand{\pOm}{\partial\Omega}
\renewcommand{\Re}{\operatorname{Re}}
\renewcommand{\Im}{\operatorname{Im}}
\DeclareMathOperator*{\osc}{osc}
\DeclareMathOperator*{\essosc}{ess\, osc}
\DeclareMathOperator*{\esssup}{ess\, sup}
\DeclareMathOperator*{\essinf}{ess\, inf}
$$
{{end|preamble}}
Marcinkiewiczの補間定理は、線型ないし非線形の作用素のノルムの評価に用いられる実解析学の定理である。

==弱 $L^p$ 空間==
$K$ を $\R$ または $\C$ とし、$p\in[1,\infty)$ とする。測度空間 $X=(X,\mu)$ について関数空間 $L^{p,w}(X)$ を
$$L^{p,w}(X)\colon=\left\{f\colon X\to K\ \colon\ [f]_{p;X}\colon=\sup_{t\gt 0} t\mu(\{x\in X\colon |f(x)|\gt t\})^\frac{1}{p}\lt\infty\right\}$$
と定め、弱 $L^p$ 空間という。$[\cdot]_{p;X}$ を弱 $L^p$ 準ノルムという。

$p=\infty$ のときは $L^{\infty,w}(X)\colon=L^\infty(X)$、$[\cdot]_{\infty;X}\colon=||\cdot||_{\infty;X}$ と定める。

==主張==
$1\le p\le q\le\infty$、$p',q'\in[1,\infty]$、$p'\neq q'$、$p\le p'$、$q\le q'$ とする。$X=(X,\mu),Y=(Y,\nu)$ を測度空間とし、$T$ を $L^p(X)+L^q(X)$ から $X$ 上の可測関数の空間への作用素で次をみたすとする:
*(1) $f\in L^p(X)$ と $g\in L^q(X)$ について $|T(f+g)|\le |Tf|+|Tg|\ \nu-\ae\on Y$。
*(2) $T(L^p(X))\subset L^{p',w}(Y)$ で、正の定数 $A_1$ が存在し $f\in L^p(X)$ について $[Tf]_{p',Y}\le A_1||f||_{p;X}.$
*(3) $T(L^q(X))\subset L^{q',w}(Y)$ で、正の定数 $A_2$ が存在し $f\in L^q(X)$ について $[Tf]_{q',Y}\le A_2||f||_{q;X}.$
$\theta\in(0,1)$ とし、$r\colon=((1-\theta)p^{-1}+\theta q^{-1})^{-1}$、$r'\colon=((1-\theta)p'^{-1}+\theta q'^{-1})^{-1}$ とすると、
$$T(L^r(X))\subset L^{r'}(Y),||Tf||_{r'}\le C_{p,q,p',q',\theta}A_1^{1-\theta}A_2^\theta||f||_r\ (f\in L^r(X)).$$

==証明==
{{begin|proof|collapsible=1}}
(i) $p',q'\lt\infty$ の場合を示す。このとき $p\le q\lt\infty$ である。

$f\in L^r(X)$、$s\ge 0$ とし、$g\colon=f\chi_{\{|f|\gt s\}}$、$h\colon=f\chi_{\{|f|\le s\}}$ とする。

$$\int_X |g|^pd\mu=\int_{\{|f|\gt s\}} |f|^pd\mu\le s^{p-r}\int_{\{|f|\gt s\}}|f|^rd\mu\lt\infty$$
であるから仮定より $t\gt 0$ について
$$\nu(\{|Tg|\gt t\})\le A_1^{p'}\left(\int_{\{|f|\gt s\}} |f|^pd\mu\right)^\frac{p'}{p}t^{-p'}.$$
また
$$\int_X |h|^qd\mu=\int_{\{|f|\le s\}}|f|^qd\mu\le s^{q-r}\int_{\{|f|\le s\}}|f|^rd\mu\lt\infty$$
であるから仮定より $t\gt 0$ について
$$\nu(\{|Th|\gt t\})\le A_2^{q'}\left(\int_{\{|f|\le s\}}|f|^qd\mu\right)^\frac{q'}{q}t^{-q'}.$$
$f=g+h$ より $|Tf|\le|Tg|+|th|$。 $t\gt 0$ について、一般に $a,b\ge 0$、$a+b\gt t$ であれば $a\gt\frac{t}{2}$ あるいは $b\gt\frac{t}{2}$ となることに注意すると
\begin{align*}
\nu(\{|Tf|\gt t\})&\le\nu(\{|Tg|+|Th|\gt t\})\\
&\le\nu\left(\left\{|Tg|\gt\frac{t}{2}\right\}\cup\left\{|Th|\gt\frac{t}{2}\right\}\right)\\
&\le(2A_1)^{p'}\left(\int_{\{|f|\gt s\}} |f|^pd\mu\right)^\frac{p'}{p}t^{-p'}+(2A_2)^{q'}\left(\int_{\{|f|\le s\}}|f|^qd\mu\right)^\frac{q'}{q}t^{-q'}.
\end{align*}
ここで $L\ge 0$ とし、$\sigma\in\R$ を $p'\lt q'$ のときは $\sigma\in(0,\frac{q'}{q'-r'}]$、$p'\gt q'$ のときは $\sigma\in[\frac{q'}{q'-r'},0)$ となるようにとる。$s=(L^{-1}t)^{\sigma^{-1}}$ ととると
$$\nu(\{|Tf|\gt t\})\le(2A_1)^{p'}\left(\int_{\{|f|\gt (L^{-1}t)^{\sigma^{-1}}\}} |f|^pd\mu\right)^\frac{p'}{p}t^{-p'}+(2A_2)^{q'}\left(\int_{\{|f|\le (L^{-1}t)^{\sigma^{-1}}\}}|f|^qd\mu\right)^\frac{q'}{q}t^{-q'}.$$
よって
\begin{align*}
\int_Y |Tf|^{r'}d\nu&=r'\int_0^\infty \nu(\{|Tf|\gt t\})t^{r'-1}dt\\
&\le r'\left((2A_1)^{p'}\int_0^\infty\left(\int_{\{|f|\gt (L^{-1}t)^{\sigma^{-1}}\}} |f|^pd\mu\right)^\frac{p'}{p}t^{r'-p'-1}dt+(2A_2)^{q'}\int_0^\infty\left(\int_{\{|f|\le (L^{-1}t)^{\sigma^{-1}}\}}|f|^qd\mu\right)^\frac{q'}{q}t^{r'-q'-1}dt\right).
\end{align*}
$p'\lt q'$ のとき、$\sigma\gt 0$、$\frac{p'}{p},\frac{q'}{q}\le 1$、$p'\lt r'\lt q'$ に注意すると積分形のMinkowskiの不等式([[Sobolev空間とSobolevの不等式]]の補題13)より
\begin{align*}
\int_0^\infty\left(\int_{\{|f|\gt (L^{-1}t)^{\sigma^{-1}}\}} |f|^pd\mu\right)^\frac{p'}{p}t^{r'-p'-1}dt&\le\left(\int_X\left(\int_0^\infty {\chi_{\{t\lt L|f|^\sigma\}}}^\frac{p'}{p}t^{r'-p'-1}dt\right)^\frac{p}{p'}|f|^pd\mu\right)^\frac{p'}{p}\\
&=\left(\int_X \left(\frac{1}{r'-p'}(L|f|^\sigma)^{r'-p'}\right)^\frac{p}{p'}|f|^pd\mu\right)^\frac{p'}{p}\\
&=\frac{1}{r'-p'}L^{r'-p'}\left(\int_X |f|^{\sigma(r'-p')\frac{p}{p'}+p}d\mu\right)^\frac{p'}{p},\tag{*}\label{mi1}\\
\int_0^\infty\left(\int_{\{|f|\le (L^{-1}t)^{\sigma^{-1}}\}}|f|^qd\mu\right)^\frac{q'}{q}t^{r'-q'-1}dt&\le\left(\int_X\left(\int_0^\infty {\chi_{\{t\ge L|f|^\sigma\}}}^\frac{q'}{q}t^{r'-q'-1}dt\right)^\frac{q}{q'}|f|^qd\mu\right)^\frac{q'}{q}\\
&=\left(\int_X \left(\frac{1}{q'-r'}(L|f|^\sigma)^{r'-q'}\right)^\frac{q}{q'}|f|^qd\mu\right)^\frac{q'}{q}\\
&=\frac{1}{q'-r'}L^{r'-q'}\left(\int_X |f|^{\sigma(r'-q')\frac{q}{q'}+q}d\mu\right)^\frac{q'}{q}.
\end{align*}
$p'\gt q'$ のときは $\sigma\lt 0$、$q'\lt r'\lt p'$ に注意すると
\begin{align*}
\int_0^\infty\left(\int_{\{|f|\gt (L^{-1}t)^{\sigma^{-1}}\}} |f|^pd\mu\right)^\frac{p'}{p}t^{r'-p'-1}dt&\le\left(\int_X\left(\int_0^\infty {\chi_{\{t\gt L|f|^\sigma\}}}^\frac{p'}{p}t^{r'-p'-1}dt\right)^\frac{p}{p'}|f|^pd\mu\right)^\frac{p'}{p}\\
&=\left(\int_X \left(\frac{1}{p'-r'}(L|f|^\sigma)^{r'-p'}\right)^\frac{p}{p'}|f|^pd\mu\right)^\frac{p'}{p}\\
&=\frac{1}{p'-r'}L^{r'-p'}\left(\int_X |f|^{\sigma(r'-p')\frac{p}{p'}+p}d\mu\right)^\frac{p'}{p},\\
\int_0^\infty\left(\int_{\{|f|\le (L^{-1}t)^{\sigma^{-1}}\}}|f|^qd\mu\right)^\frac{q'}{q}t^{r'-q'-1}dt&\le\left(\int_X\left(\int_0^\infty {\chi_{\{t\le L|f|^\sigma\}}}^\frac{q'}{q}t^{r'-q'-1}dt\right)^\frac{q}{q'}|f|^qd\mu\right)^\frac{q'}{q}\\
&=\left(\int_X \left(\frac{1}{r'-q'}(L|f|^\sigma)^{r'-q'}\right)^\frac{q}{q'}|f|^qd\mu\right)^\frac{q'}{q}\\
&=\frac{1}{r'-q'}L^{r'-q'}\left(\int_X |f|^{\sigma(r'-q')\frac{q}{q'}+q}d\mu\right)^\frac{q'}{q}.\tag{**}\label{mi2}
\end{align*}
ここで
$$\frac{p'(r-p)}{p(r'-p')}=\frac{r'^{-1}(p'^{-1}-r'^{-1})}{r^{-1}(p^{-1}-r^{-1})}=\frac{r'^{-1}\theta(q'^{-1}-p'^{-1})}{r^{-1}\theta(q^{-1}-p^{-1})}=\frac{r'^{-1}(1-\theta)(q'^{-1}-p'^{-1})}{r^{-1}(1-\theta)(q^{-1}-p^{-1})}=\frac{r'^{-1}(q'^{-1}-r'^{-1})}{r^{-1}(q^{-1}-r^{-1})}=\frac{q'(r-q)}{q(r'-q')}$$
となる。( $p=q$ のときはこの等式は明らか。)この値を $\sigma$ とすれば $p'\lt q'$ のときは $\sigma\in(0,\frac{q'}{q'-r'}]$、$p'\gt q'$ のときは $\sigma\in[\frac{q'}{q'-r'},0)$ で
$$\sigma(r'-p')\frac{p}{p'}+p=\sigma(r'-q')\frac{q}{q'}+q=r$$
となり
$$\int_0^\infty\left(\int_{\{|f|\gt (L^{-1}t)^{\sigma^{-1}}\}} |f|^pd\mu\right)^\frac{p'}{p}t^{r'-p'+1}dt\le\frac{1}{|r'-p'|}L^{r'-p'}\left(\int_X |f|^rd\mu\right)^\frac{p'}{p}$$
かつ
$$\int_0^\infty\left(\int_{\{|f|\le (L^{-1}t)^{\sigma^{-1}}\}} |f|^qd\mu\right)^\frac{q'}{q}t^{r'-q'+1}dt\le\frac{1}{|r'-q'|}L^{r'-q'}\left(\int_X |f|^rd\mu\right)^\frac{q'}{q}.$$
よって
$$\int_Y |Tf|^{r'}d\nu\le (2A_1)^{p'}\frac{r'}{|r'-p'|}L^{r'-p'}\left(\int_X |f|^rd\mu\right)^\frac{p'}{p}+(2A_2)^{q'}\frac{r'}{|r'-q'|}L^{r'-q'}\left(\int_X |f|^rd\mu\right)^\frac{q'}{q}.$$
\begin{gather}
\frac{\frac{r'}{r}-\frac{p'}{p}}{r'-p'}=\frac{p'^{-1}r^{-1}-p^{-1}r'^{-1}}{p'^{-1}-r'^{-1}}=\frac{p'^{-1}((1-\theta)p^{-1}+\theta q^{-1})-p^{-1}((1-\theta)p'^{-1}+\theta q'^{-1})}{p'^{-1}-((1-\theta)p'+\theta q')}=\frac{p'^{-1}q^{-1}-p^{-1}q'^{-1}}{p'^{-1}-q'^{-1}}=\frac{\frac{q'}{q}-\frac{p'}{p}}{q'-p'},\\
\frac{\frac{r'}{r}-\frac{q'}{q}}{r'-q'}=\frac{\frac{p'}{p}-\frac{q'}{q}}{p'-q'}=\frac{\frac{q'}{q}-\frac{p'}{p}}{q'-p'}
\end{gather}
であるから
$$L=\left(\frac{(2A_2)^{q'}}{(2A_1)^{p'}}\right)^\frac{1}{q'-p'}\left(\int_X |f|^rd\mu\right)^\frac{\frac{q'}{q}-\frac{p'}{p}}{q'-p'}$$
とすれば
\begin{align*}
\int_Y |Tf|^{r'}d\nu&\le(2A_1)^\frac{p'(q'-r')}{q'-p'}(2A_2)^\frac{q'(r'-p')}{q'-p'}\left(\frac{r'}{|r'-p'|}+\frac{r'}{|r'-q'|}\right)\left(\int_X |f|^rd\mu\right)^\frac{r'}{r}.
\end{align*}
\begin{gather}
\frac{p'(q'-r')}{r'(q'-p')}=\frac{r'^{-1}-q'^{-1}}{p^{-1}-q^{-1}}=\frac{((1-\theta)p'^{-1}+\theta q'^{-1})-q^{-1}}{p^{-1}-q^{-1}}=1-\theta,\\
\frac{q'(r'-p')}{r'(q'-p')}=\frac{p'^{-1}-r'^{-1}}{p^{-1}-q^{-1}}=\frac{p'^{-1}-((1-\theta)p'^{-1}+\theta q'^{-1})}{p^{-1}-q^{-1}}=\theta
\end{gather}
であるから
$$||Tf||_{r'}\le 2\left(\frac{r'}{|r'-p'|}+\frac{r'}{|r'-q'|}\right)^\frac{1}{r'}A_1^{1-\theta}A_2^\theta||f||_r$$
が成り立つ。

(ii) $p'=\infty$ の場合を示す。このとき $p\le q\le q'\lt\infty$。

$f\in L^r(X)$、$s\ge 0$ とし、(i)と同様に $g,h$ を定めると仮定より $||Tg||_\infty\le A_1\left(\int_{\{|f|\gt s\}}|f|^pd\mu\right)^\frac{1}{p}\le A_1s^\frac{p-r}{p}\left(\int_X|f|^rd\mu\right)^\frac{1}{p}$ であるから
$$\nu(\{|Tg|\gt t\})=0\ \jf\ t\ge A_1s^\frac{p-r}{p}\left(\int_X|f|^rd\mu\right)^\frac{1}{p}.$$
$\nu(\{|Th|\gt t\})$ の評価は(i) と同様である。よって
$$\nu(\{|Tf|\gt t\})\le (2A_2)^{q'}\left(\int_{\{|f|\le s\}}|f|^qd\mu\right)^\frac{q'}{q}t^{-q'}\ \jf t\ge 2A_1s^\frac{p-r}{p}\left(\int_X|f|^rd\mu\right)^\frac{1}{p}.$$
$t\gt 0$ について、$\sigma\colon=\frac{p-r}{p}$、$L\colon=2A_1\left(\int_X|f|^rd\mu\right)^\frac{1}{p}$ として $s=(L^{-1}t)^{\sigma^{-1}}$ とすれば $t=Ls^\sigma=2A_1s^\frac{p-r}{p}\left(\int_X|f|^rd\mu\right)^\frac{1}{p}$ となる。これより
$$\nu(\{|Tf|\gt t\})\le (2A_2)^{q'}\left(\int_{\{|f|\le (L^{-1}t)^{-\sigma}\}}|f|^qd\mu\right)^\frac{q'}{q}t^{-q'}$$
となり
$$\int_Y|Tf|^{r'}d\nu\le r'(2A_2)^{q'}\int_0^\infty\left(\int_{\{|f|\le (L^{-1}t)^{-\sigma}\}}|f|^qd\mu\right)^\frac{q'}{q}t^{r'-q'-1}dt.$$
$\sigma\lt 0$ であるから(\ref{mi2})と同様の評価により
$$\int_0^\infty\left(\int_{\{|f|\le (L^{-1}t)^{-\sigma}\}}|f|^qd\mu\right)^\frac{q'}{q}t^{r'-q'-1}dt\le\frac{1}{r'-q'}L^{r'-q'}\left(\int_X |f|^{\sigma(r'-q')\frac{q}{q'}+q}d\mu\right)^\frac{q'}{q}.$$
よって
$$\int_Y|Tf|^{r'}d\nu\le(2A_2)^{q'}\frac{r'}{r'-q'}L^{r'-q'}\left(\int_X |f|^{\sigma(r'-q')\frac{q}{q'}+q}d\mu\right)^\frac{q'}{q}.$$
ここで $r'^{-1}=\theta q'^{-1}$ に注意すると
$$\frac{r'-q'}{p}+\frac{q'}{q}=p^{-1}(r'-q')+q^{-1}q'=p^{-1}(r'-\theta r')+q^{-1}r'=((1-\theta)p^{-1}+q^{-1})r'=\frac{r'}{r}.$$
また
$$\sigma(r'-q')\frac{q}{q'}=(r^{-1}-p^{-1})r(\theta^{-1}-1)q=\theta(q^{-1}-p^{-1})r(\theta^{-1}-1)q=(1-\theta)(q^{-1}-p^{-1})qr=(q^{-1}-r^{-1})qr=r-q$$
従って
$$\int_Y|Tf|^{r'}d\nu\le(2A_1)^{r'-q'}(2A_2)^{q'}\frac{r'}{r'-q'}\left(\int_X|f|^rd\mu\right)^\frac{r'-q'}{p}\left(\int_X |f|^{(r-q)+q}d\mu\right)^\frac{q'}{q}=(2A_1^{1-\theta}A_2^{\theta})^{r'}\frac{r'}{r'-q'}\left(\int_X |f|^rd\mu\right)^\frac{r'}{r}$$
となり
$$||Tf||_{r'}\le 2A_1^{1-\theta}A_2^{\theta}\left(\frac{r'}{r'-q'}\right)^\frac{1}{r'}||f||_r$$
が成り立つ。

(iii) $q'=\infty$ の場合を示す。このとき $p\le p'\lt\infty$。

$f\in L^r(X)$、$s\ge 0$ とし、(i)と同様に $g,h$ を定めると仮定より $||Th||_\infty\le A_2||h||_q$ であり、
$$\begin{cases}
||h||_q=\left(\int_{\{|f|\le s\}}|f|^qd\mu\right)^\frac{1}{q}\le s^\frac{q-r}{q}\left(\int_{\{|f|\le s\}}|f|^rd\mu\right)^\frac{1}{q}&\colon q\lt\infty\\
||h||_q\le s&\colon q=\infty
\end{cases}$$
であるから
$$L\colon=\begin{cases}
2A_2\left(\int_{\{|f|\le s\}}|f|^rd\mu\right)^\frac{1}{q}&\colon q\lt\infty\\
2A_2&\colon q=\infty
\end{cases},\sigma\colon=\begin{cases}
\frac{q-r}{q}&\colon q\lt\infty\\
1&\colon q=\infty
\end{cases}$$
とすれば $||Th||_\infty\le \frac{1}{2}Ls^\sigma$ となり
$$\nu(\{|Th|\gt t\})=0\ \jf t\ge\frac{1}{2}Ls^\sigma.$$
$\nu(\{|Tg|\gt t\})$ の評価は (i) と同様である。よって
$$\nu(\{|Tf|\gt t\})\le (2A_1)^{p'}\left(\int_{\{|f|\gt s\}} |f|^pd\mu\right)^\frac{p'}{p}t^{-p'}\ \jf t\ge Ls^\sigma$$
となり $s=(L^{-1}t)^{\sigma^{-1}}$ とすれば
$$\nu(\{|Tf|\gt t\})\le(2A_1)^{p'}\left(\int_{\{|f|\gt (L^{-1}t)^{\sigma^{-1}}\}} |f|^pd\mu\right)^\frac{p'}{p}t^{-p'}.$$
これより
$$\int_Y |Tf|^{r'}d\nu\le r'(2A_1)^{p'}\int_0^\infty\left(\int_{\{|f|\gt (L^{-1}t)^{\sigma^{-1}}\}} |f|^pd\mu\right)^\frac{p'}{p}t^{r'-p'-1}dt.$$
$\sigma\gt 0$ であるから(\ref{mi1})と同様の評価により
$$\int_0^\infty\left(\int_{\{|f|\gt (L^{-1}t)^{\sigma^{-1}}\}} |f|^pd\mu\right)^\frac{p'}{p}t^{r'-p'-1}dt\le\frac{1}{p'-r'}L^{r'-p'}\left(\int_X |f|^{\sigma(r'-p')\frac{p}{p'}+p}d\mu\right)^\frac{p'}{p}.$$
よって
$$\int_Y |Tf|^{r'}d\nu\le (2A_1)^{p'}\frac{r'}{p'-r'}L^{r'-p'}\left(\int_X |f|^{\sigma(r'-p')\frac{p}{p'}+p}d\mu\right)^\frac{p'}{p}.$$
$q\lt\infty$ のときは $p,q,p',\theta,A_1,A_2$ をそれぞれ $q,p,q',1-\theta,A_2,A_1$ におきかえて(ii)と同様の計算をすれば
$$||Tf||_{r'}\le 2A_1^{1-\theta}A_2^{\theta}\left(\frac{r'}{r'-p'}\right)^\frac{1}{r'}||f||_r$$
が従う。$q=\infty$ のときは $L=2A_2$、$\sigma=1$ で、$r=(1-\theta)^{-1}p$、$r'=(1-\theta)^{-1}p$ より $\frac{r}{r'}=\frac{p}{p'}$ となるので
$$\int_Y |Tf|^{r'}d\nu\le (2A_1)^{p'}(2A_2)^{r'-p'}\frac{r'}{r'-p'}\left(\int_X |f|^{(r-p)+p}d\mu\right)^\frac{r'}{r}=(2A_1^{1-\theta}A_2^\theta)^{r'}\frac{r'}{r'-p'}\left(\int_X |f|^rd\mu\right)^\frac{r'}{r}$$
となり
$$||Tf||_{r'}\le 2A_1^{1-\theta}A_2^{\theta}\left(\frac{r'}{r'-p'}\right)^\frac{1}{r'}||f||_r$$
が成り立つ。
{{end|proof}}

==注意==
* $p\in[1,\infty)$ について $L^p(X)\subset L^{p,w}(X)$、$[f]_{p;X}\le||f||_{p;X}\ (f\in L^p(X))$ となる。弱 $L^1$ であるが $L^1$ でない関数としては $X=(0,1)$、$f(x)=\frac{1}{x}$ が挙げられる。実際、$f\notin L^1(0,1)$ であるが、$[f]_1=1$ である。
* 弱 $L^p$ 準ノルムは $[f+g]_{p;X}\le 2([f]_{p;X}+[g]_{q;X})$ をみたし、とくに $L^{p,w}(X)$ はベクトル空間になる。一方 $[f+g]_{p;X}\le [f]_{p;X}+[g]_{q;X}$ は成り立たない。例えば $X=(0,1)$、$f(x)=\frac{1}{x}$、$g(x)=\frac{1}{1-x}$ とすると $[f]_1=[g]_1=1$ であるが、$f+g$ の最小値は $4$ であることから $[f+g]_1\ge 4$ である。(実際には上の不等式より $[f+g]_1=4$。)
* 仮定(2)を「 $T$ は弱 $(p,p')$ 型である」ということがある。これと対比し、$T$ が $L^p(X)$ から $L^{p'}(Y)$ への有界線型作用素となっているとき「 $T$ は強 $(p,p')$ 型である」という。

==応用例==
Marcinkiewiczの補間定理の簡単な応用例として、Hardy-Littlewoodの極大関数
$$Mf(x)\colon=\sup_{r\gt 0}\frac{1}{|B_r(x)|}\int_{B_r(x)}|f|\ (f\in L^1_{\loc}(\R^n))$$
が $p\in(1,\infty]$、$f\in L^p(\R^n)$ について
$$Mf\in L^p(\R^n), ||Mf||_p\le C_{n,p}||f||_p$$
をみたすことを示す。

明らかに $f,g\in L^1_{\loc}(\R^n)$ について $|M(f+g)|\le|Mf|+|Mg|\ \ae\inn\R^n$。また、$f\in L^\infty(\R^n)$ とすると明らかに $Mf\in L^\infty(\R^n)$、$||Mf||_\infty\le ||f||_\infty$。一方[[測度と積分8：Lebesgue測度の基本的性質]]の命題38.4より $f\in L^1(\R^n)$ とすると $Mf\in L^{1,w}(\R^n)$、$[Mf]_1\le 3^n||f||_1$。Marcinkiewiczの補間定理より $p\in(1,\infty)$、$f\in L^p(\R^n)$ についても $Mf\in L^p(\R^n)$、$||Mf||_p\le C_{n,p}||f||_p$ が成り立つ。

==参考文献==
*David Gilbarg , Neil S. Trudinger「Elliptic Partial Differential Equations of Second Order」
*Gerald B. Folland「Real Analysis: Modern Techniques and Their Applications」

Sobolev空間とSobolevの不等式

2022-09-20T08:23:45Z

PSX: /* なめらかな関数による近似 */

{{begin|preamble}}
<math>
\newcommand{\R}{\mathbb{R}}
\newcommand{\C}{\mathbb{C}}
\newcommand{\K}{\mathbb{K}}
\newcommand{\Z}{\mathbb{Z}}
\newcommand{\Q}{\mathbb{Q}}
\newcommand{\Zp}{\mathbb{Z}_{\ge 1}}
\newcommand{\Zz}{\mathbb{Z}_{\ge 0}}
\newcommand{\M}{\mathbb{M}}
\newcommand{\B}{\mathcal{B}}
\newcommand{\D}{\mathcal{D}}
\newcommand{\F}{\mathcal{F}}
\newcommand{\G}{\mathcal{G}}
\newcommand{\H}{\mathcal{H}}
\newcommand{\I}{\mathcal{I}}
\newcommand{\L}{\mathcal{L}}
\newcommand{\n}{\mathbf{n}}
\newcommand{\Rnp}{\mathbb{R}^n_+}
\newcommand{\Rnn}{\mathbb{R}^n_-}
\newcommand{\pRnp}{\mathbb{\partial R}^n_+}
\newcommand{ae}{\mathrm{a.e.}}
\newcommand{\inn}{\ \mathrm{in}\ }
\newcommand{\on}{\ \mathrm{on}\ }
\newcommand{\for}{\ \mathrm{for}\ }
\newcommand{\jf}{\ \mathrm{if }\ }
\newcommand{\det}{\operatorname{det}}
\newcommand{\dim}{\operatorname{dim}}
\newcommand{\Ker}{\operatorname{Ker}}
\newcommand{\sgn}{\operatorname{sgn}}
\newcommand{\wid}{\operatorname{wid}}
\newcommand{\diam}{\operatorname{diam}}
\newcommand{\dist}{\operatorname{dist}}
\newcommand{\supp}{\operatorname{supp}}
\newcommand{\avg}{\sout{\int}}
\newcommand{\rcpt}{\subset\subset}
\newcommand{\loc}{{\rm{loc}}}
\newcommand{\implies}{\ \Rightarrow\ }
\newcommand{\iff}{\ \Leftrightarrow\ }
\newcommand{\norm}[1]{\lVert #1\rVert}
\newcommand{\pardif}[2]{\frac{\partial{#1}}{\partial{#2}}}
\newcommand{\Bb}{\overline{B}}
\newcommand{\Ombar}{\overline{\Omega}}
\newcommand{\OmT}{\Omega\cup T}
\newcommand{\pOm}{{\partial\Omega}}
\renewcommand{\Re}{\operatorname{Re}}
\renewcommand{\Im}{\operatorname{Im}}
\DeclareMathOperator*{\osc}{osc}
\DeclareMathOperator*{\essosc}{ess\, osc}
\DeclareMathOperator*{\esssup}{ess\, sup}
\DeclareMathOperator*{\essinf}{ess\, inf}

</math>
{{newtheorem |type=def |display=定義 }}
{{newtheorem |type=pro |display=命題 |family=def }}
{{newtheorem |type=thm |display=定理 |family=def }}
{{newtheorem |type=lem |display=補題 |family=def }}
{{newtheorem |type=cor |display=系 |family=def }}
{{newtheorem |type=rmk |display=注意 |family=def }}
{{newtheorem |type=ex |display=参考 |family=def }}
{{end |preamble}}
{{TOC |align=right |noautonum=1 }}

ここでは $p\neq 2$ を含めた $L^p$ 空間におけるSobolev空間とSobolev空間に対する一般的な埋め込み定理であるSobolevの不等式について主に取り扱う。

==記法および注意==
ここではとくに断らない限り実数値関数のみを取り扱う。また断りなく次の記法を用いる:
* $n\in\Zp$ とし、$\Omega$ を $\R^n$ における開集合とする。
* $x\in\R^n$、$r>0$ について $B_r(x)$ で $\R^n$ の半径が $r$、中心が $x$ の開球を表す。中心や半径を具体的に指定しない場合は $B_r$ や $B(x)$ などと略すことがある。
* $\H^s$ で $s$ 次元Hausdorff測度、$\L^n$ で $n$ 次元Lebesgue外測度([[Hausdorff測度とarea_coarea_formula]]の定義30。命題31も参照。)を表し、$\L^n$ -a.e. を単にa.e.とかき、また誤解のおそれがなければ省略する。
* 多重指数 $\alpha$ について $\alpha$ 階偏微分を $D^\alpha$ で表す。また $\alpha=ke_i$ のときは $D^\alpha u$ を $D^k_i u$ と表す。$D^1_i u$ は $D_iu$ と表し、$\R^n$ 値関数 $(D_1u,\ldots D_nu)$ を $Du$ と表す。
* $n=1$ のときは $D^k_1 u$ を $u^{(k)}$ と表す。また $u^{(1)}$、$u^{(2)}$ はそれぞれ $u'$、$u^{\prime\prime}$ と表す。
* $\mu\in\R^n\backslash\{0\}$ について、$D_\mu$ で $\mu$ -方向微分を表す。とくに $u$ が微分可能であるとき $D_\mu u=\mu\cdot Du$ である。
* $p\in[1,\infty]$ について $p'$ でそのHölder共役指数、すなわち $p^{-1}+p'^{-1}=1$ をみたす $p'\in[1,\infty]$ を表す。
* $\norm{\cdot}_{p;\Omega}$ で $L^p(\Omega)=L^p(\Omega,\L^n)$ のノルムを表す。また、相対開集合 $T\subset\pOm$ について $\norm{\cdot}_{p;T}$ で $L^p(T,\H^{n-1})$ のノルムを表す。誤解のおそれがなければ $\Omega$ と $T$ は省略することがある。
* $C^k(\Ombar)$、$C^{k,\alpha}(\Ombar)$ のノルムには[[Hölder空間の基本事項]]で定義した記号を用いる。
* $Q\colon=(-1,1)^n$、$Q_+\colon=(-1,1)^{n-1}\times(0,1)$、$Q_0\colon=(-1,1)^{n-1}\times\{0\}$ とする。
* $\Omega,\Omega'\subset\R^n$ を開集合とし、$f\colon\Omega'-\Omega\to\R$ と $g\colon\Omega\to\R$ を $\L^n$ -可測関数とする。
$$f*g(x)\colon=\int_{\Omega}f(x-y)g(y)dy$$
が a.e. $x\in\Omega'$ で定義されるとき $f*g$ は $\Omega'$ 上で定義されるといい、これを $f$ と $g$ の合成積という。<ref name="defdifference">[[合成積とFourier変換]]で定義されているものとは $(2\pi)^\frac{n}{2}$ 倍の違いがある。</ref>

$f*g$ は次のYoungの不等式をみたす:

{{theorem|type=lem|name=Youngの不等式|label=young}}
$p,q\in[1,\infty]$ が $p^{-1}+q^{-1}\ge 1$ をみたすとする。$\L^n$ -可測関数 $f\colon\Omega'-\Omega\to\R$ は
$$M_1\colon=\sup_{x\in\Omega'}\norm{f(x-\cdot)}_{p;\Omega}\lt\infty,M_2\colon=\sup_{y\in\Omega}\norm{f(\cdot-y)}_{p;\Omega'}\lt\infty$$
をみたすとする。$g\in L^q(\Omega)$ とすると $f*g$ は $\Omega'$ 上で定義され、$r\colon=(p^{-1}+q^{-1}-1)^{-1}\in[1,\infty]$ とすると
$$f*g\in L^r(\Omega'),\norm{f*g}_{r;\Omega'}\le M_1^{1-\frac{p}{r}}M_2^\frac{p}{r}\norm{g}_{q;\Omega}.$$
ただし $p=\infty$、$q=1$、$r=\infty$ の場合は $\frac{p}{r}=0$ とする。

とくに $f\in L^p(\Omega'-\Omega)$ のとき
$$\norm{f*g}_{r;\Omega'}\le\norm{f}_{p;\Omega'-\Omega}\norm{g}_{q;\Omega}.$$

{{begin|proof|display=''Proof.''|collapsible=1}}
$p^{-1}+q^{-1}=1$ のときは $r=\infty$ で、Hölderの不等式より $x\in\Omega'$ について
$$\int_{\Omega}|f(x-y)||g(y)|dy\le M_1\norm{g}_q$$
となるので $f*g$ は $\Omega'$ 上で定義され、$\norm{f*g}_\infty\le M_1\norm{g}_q$。

$p^{-1}+q^{-1}\gt 1$ の場合を示す。このとき $p,q,r\in[1,\infty)$ で、Hölderの不等式より
\begin{align*}
\left(\int_{\Omega'}\left(\int_{\Omega}|f(x-y)||g(y)|dy\right)^rdx\right)^{r^{-1}}&=\left(\int_{\Omega'}\left(\int_{\Omega}|f(x-y)|^{p(1-q^{-1})}|g(y)|^{q(1-p^{-1})}(|f(x-y)|^p|g(y)|^q)^{p^{-1}+q^{-1}-1}dy\right)^rdx\right)^{r^{-1}}\\
&\le\left(\int_{\Omega'}\left(\left(\int_{\Omega}|f(x-y)|^pdy\right)^{1-q^{-1}}\left(\int_{\Omega}|g(y)|^qdy\right)^{1-p^{-1}}\left(\int_{\Omega}|f(x-y)|^p|g(y)|^qdy\right)^{p^{-1}+q^{-1}-1}\right)^rdx\right)^{r^{-1}}\\
&\le\left(\int_{\Omega'} M_1^{pr(1-q^{-1})}\norm{g}_q^{qr(1-p^{-1})}\left(\int_{\Omega}|f(x-y)|^p|g(y)|^qdy\right)dx\right)^{r^{-1}}\\
&=M_1^{p(1-q^{-1})}\norm{g}_q^{q(1-p^{-1})}\left(\int_{\Omega}\left(\int_{\Omega'} |f(x-y)|^p|g(y)|^qdx\right)dy\right)^{r^{-1}}\\
&\le M_1^{p(p^{-1}-r^{-1})}\norm{g}_q^{q(q^{-1}-r^{-1})}\left(M_2^p\norm{g}_q^q\right)^{r^{-1}}\\
&=M_1^{1-\frac{p}{r}}M_2^\frac{p}{r}\norm{g}_q.
\end{align*}
よって $f*g$ は $\Omega'$ 上で定義され
$$f*g\in L^r(\Omega'),\norm{f*g}_r\le M_1^{1-\frac{p}{r}}M_2^\frac{p}{r}\norm{g}_q.$$
{{end|proof}}

* 実数値関数からなる線形空間 $X$ に対し、各成分が $X$ に属する $\R^m$ 値関数の空間を $m$ 個の $X$ の直積と同一視して $X^m$ とかく。

==$\pOm$ への条件==
Sobolev空間の一部の性質は、$\Omega\subset\R^n$ が一般の開集合の場合は成立せず、主に $\pOm$ に関する適切な仮定の下で成立する。そのような性質はなめらかな領域ではすべて成立するが、以下に述べるようなより弱い仮定の下で考えることもある。

{{theorem|type=def|name=線分条件|label=segm}}
相対開集合 $T\subset\pOm$ について、各 $\xi\in T$ について次をみたす $\xi$ の開近傍 $U_\xi\subset\R^n$ と $y_\xi\in\R^n$ が存在するとき $T$ は線分条件をみたすという:
$$\{x+ty_\xi\colon x\in\overline{U_\xi\cap\Omega},t\in(0,1)\}\subset\Omega.\tag{$\dagger$}\label{segm}$$
$\pOm$ が線分条件をみたすとき $\Omega$ は線分条件をみたすという。

{{theorem|type=def|name=Lipschitz領域|label=Lipdom}}
$n\ge 2$ とする。相対開集合 $T\subset\pOm$ について、各 $\xi\in\pOm$ について $0\in V_\xi$ なる開集合 $V_\xi\subset\R^{n-1}$ と $h_\xi\gt 0$ と $O_\xi\in O_n$ と $\gamma_\xi\in C^{0,1}_c(\R^{n-1})$ であって次をみたすものが存在するとき $T$ はLipschitz境界部分であるという:
$$\gamma_\xi(0)=0,O_\xi(\Omega-\xi)\cap(V_\xi\times (-h_\xi,h_\xi))=\{(y',y_n)\in V_\xi\times (-h_\xi,h_\xi)\colon y_n\gt \gamma_\xi(y')\}.\tag{$\dagger\dagger$}\label{Lipdom}$$
$\pOm$ がLipschitz境界部分であるとき $\Omega$ はLipschitz領域であるという。

{{theorem|type=rmk}}
$O_\xi$ は $O_\xi\in SO_n$ ととってもよい。

明らかにLipschitz境界部分は線分条件をみたし、かつ $C^{0,1}$ 境界部分([[Hölder空間の基本事項]]の定義28)となる。一方、次が成り立つ:

{{theorem|type=pro|label=conv}}
任意の凸領域はLipschitz領域である。

{{begin|proof}}
$x\in\Omega$ をとり、$r\gt 0$ を $B_{6r}(x)\subset\Omega$ となるようにとる。$\xi\in\pOm$ とし、$h\colon=|x-\xi|$ とする。$z\colon=h^{-1}(x-\xi)\in \partial B_1(0)$ とし、$O\in O_n$ を $Oz=e_n$ となるようにとる。

$\R^{n-1}$ における開球を $B'$ で表す。$y'\in B'_{6r}(0)$ について $\gamma'(y')\colon=\inf\{t\in\R\colon (y',t)\in O(\Omega-\xi)\}$ と定める。

$(y',h)=(y',0)+hOz=O(O^{-1}(y',0)+(x-\xi))\in O(B_{6r}(x-\xi))\subset O(\Omega-\xi)$ であるから $\gamma'(y')\le h$。また $\Omega$ は開かつ凸であるから $\{t\in\R\colon (y',t)\in O(\Omega-\xi)\}$ は開区間である。これより $t\lt h$ について
$$(y',t)\in O(\Omega-\xi)\iff t\in(\gamma'(y'),h)$$
であり、
$$O(\Omega-\xi)\cap(B'_{2r}(0)\times(-h,h))=\{(y',t)\in B'_{2r}(0)\times(-h,h)\colon t\gt\gamma'(y')\}$$
が成り立つ。また $\gamma'(0)=0$。

$x',y'\in B'_{6r}(0)$ と $s,t\lt h$ と $\sigma\in[0,1]$ について、$O(\Omega-\xi)$ が凸であることから
$$s\in(\gamma'(x'),h),t\in(\gamma'(y'),h)\implies (1-\sigma)s+\sigma t\in(\gamma'((1-\sigma)x'+\sigma y'),h).$$
これより $\gamma'((1-\sigma)x'+\sigma y')\le(1-\sigma)\gamma'(x')+\sigma\gamma'(y')$ となり $\gamma'$ は凸である。

また $y'\in B_{6r}(0)$ について $\gamma(0)-\gamma'(y')\le\gamma'(-y')-\gamma'(0)$ となるので $\gamma'(y')\ge-\gamma'(-y')\ge -h$。

$x',y'\in B'_{2r}(0)$ とする。$|x'-y'|\lt 4r\lt 6r-|x'|$ であるから $\tau\colon=4|x'-y'|^{-1}r$ とすると $\tau\gt 1$ かつ $x'+\tau(x'-y')\in B_{6r}(0)$ で
$$\gamma'(x')-\gamma'(y')\le(1+\tau)^{-1}(\gamma'(x'+\tau(x'-y'))-\gamma'(y'))\le 2h\tau^{-1}\le\frac{1}{2}hr^{-1}|x'-y'|.$$
同様に $\gamma'(y')-\gamma'(x')\le\le\frac{1}{2}hr^{-1}|y'-x'|$ も示される。これより $\gamma'\in C^{0,1}(\overline{B'_{2r}(0)})$。

以上より $V=B'_r(0)$ ととって $\gamma\in C^{0,1}(\R^{n-1})$ を $\gamma=\gamma'$ in $B'_r(0)$ となるようにとればこの $V$、$h$、$O$、$\gamma$ は(\ref{Lipdom})をみたす。
{{end|proof}}

{{theorem|type=pro|label=Cka}}
$k\ge 1$、$\alpha\in[0,1]$ とする。$T\subset\pOm$ を $C^{k,\alpha}$ 境界部分とすると、各 $\xi\in T$ について $0\in V_\xi$ なる開集合 $V_\xi\subset\R^{n-1}$ と $h_\xi\gt 0$ と $O_\xi\in O_n$ と $\gamma_\xi\in C^{k,\alpha}_c(\R^{n-1})$ であって(\ref{Lipdom})をみたすものが存在する。とくに $C^1$ 領域はLipschitz領域である。

{{begin|proof}}
$\xi$ の開近傍 $U$ と全単射 $\psi\colon 2Q\to U$ で $\psi$ と $\psi^{-1}$ がともに $C^{k,\alpha}$ 写像で $\psi(2Q_+)=U\cap\Omega$、$\psi(2Q_0)=U\cap\pOm$ をみたすものが存在する。$\psi(\xi)=0$ としてよい。

$f\colon U\to 2Q$ を $\psi^{-1}$ の第 $n$ 成分として定める。$U\cap\Omega$ と $U\cap\pOm$ はそれぞれ $\{x\in U\colon f(x)\gt 0\}$、$\{x\in U\colon f(x)=0\}$ と表される。また $Df\neq 0$ in $U$。

$O\in O_n$ を $O^{-1}D_nf(\xi)\gt 0$ となるようにとる。$\widetilde{\Omega}\colon=O(\Omega-\xi)$、$\widetilde{U}\colon=O(U-\xi)$ とし、$\widetilde{f}\colon\widetilde{\Omega}\to\R$ を $\widetilde{f}(y)\colon=\widetilde{f}(O^{-1}y+\xi)$ により定める。$\widetilde{U}\cap\widetilde{\Omega}$ と $\widetilde{U}\cap\partial\widetilde{\Omega}$ はそれぞれ $\{y\in \widetilde{U}\colon \widetilde{f}(y)\gt 0\}$、$\{y\in \widetilde{U}\colon \widetilde{f}(y)=0\}$ と表される。また $D_n\widetilde{f}(0)\gt 0$。

陰関数定理([[ベクトル解析1：Euclid空間内の多様体上の関数の微分]])により十分小さい $h\gt 0$ をとると射影 $p\colon\R^{n-1}\times\R\to\R^{n-1},(y',y_n)\mapsto y'$ の $hQ\cap\partial\widetilde{\Omega}$ への制限はある開集合 $W\subset\R^{n-1}$ への全単射であり、$p^{-1}\colon V\to hQ\cap\partial\widetilde{\Omega}$ は $C^{k,\alpha}$ 写像である。<ref name="impfct">陰関数定理は $h_i\in C^\infty(U)$ の場合が証明されているが、$C^\infty$ を $C^k$ にとりかえても同様であり、また逆写像定理において逆写像の $k$ 階微分の表示によりもとの写像が $C^{k,\alpha}$ 写像の場合は逆写像も $C^{k,\alpha}$ 写像となることが示されることから、陰関数定理も $C^{k,\alpha}$ にとりかえても同様に成り立つ。</ref>

$p^{-1}$ はある $\gamma'\colon W\to hQ\cap\partial\widetilde{\Omega}$ を用いて $p^{-1}(y')=(y',\gamma'(y_n))$ と表され、$hQ\cap\widetilde{\Omega}=\{(y',\gamma'(y_n))\colon y'\in W\}$。また $p^{-1}$ が $C^{k,\alpha}$ 写像であることから $\gamma'\in C^{k,\alpha}(W)$。

一方、必要であれば $r$ を小さくとり直して $D_nh\gt 0$ in $hQ$ とできる。
$$\{y\in hQ\colon h(y)=0\}=hQ\cap\widetilde{\Omega}=\{(y',\gamma'(y'))\colon y'\in W\}$$
より $(y',y_n)\in W\times(-h,h)$ について $\widetilde{f}(y',y_n)=0\iff y_n=\gamma'(y')$。$\widetilde{f}$ は $hQ$ 上では $y_n$ について狭義単調増加であるから
$$hQ\cap\widetilde{\Omega}=\{y\in hQ\colon h(x)\gt 0\}=\{(y',y_n)\in W\times(-h,h)\colon y_n\gt\gamma'(y')\}.$$
従って $0$ の開近傍 $V\rcpt W$ をとって $\gamma\in C^{k,\alpha}_c(\R^n)$ を $\gamma=\gamma'$ in $V$ となるようにとればこの $V$、$h$、$O$、$\gamma$ は(\ref{Lipdom})をみたす。
{{end|proof}}

{{theorem|type=rmk}}
陰関数定理は $C^{0,1}$ 写像に対しては無効であり、$C^{0,1}$ 領域は一般にLipschitz領域とはならない。<ref name="Lipdom">混同を防ぐため「Lipschitz領域」を「強Lipschitz領域」といい、「$C^{0,1}$ 領域」を「弱Lipschitz領域」ということもある。</ref>実際、$n=2$ とし、$\psi\colon\R^2\to\R^2,(x,y)\mapsto(x+y\sin(\log|y|),y)$ は全単射で $\psi,\psi^{-1}$ ともに $C^{0,1}$ 写像であるから
$$\Omega\colon=\{\psi(x,y)\colon y\gt-|x|\}$$
とすると $\Omega$ は $C^{0,1}$ 領域となる。一方で、この $\Omega$ は線分条件をみたしていないので、Lipschitz領域ではない。

==Sobolev空間の定義==
{{theorem|type=def|name=弱微分|label=defweakder}}
$u\in L^1_{\loc}(\Omega)$ とし、$\alpha$ を多重指数とする。変分学の基本補題([[超関数の定義と基本操作]]の命題5.3)により任意の $\varphi\in C^\infty_c(\Omega)$ について
$$\int_{\Omega}uD^\alpha\varphi=(-1)^{|\alpha|}\int_{\Omega}v\varphi$$
をみたす $v\in L^1_{\loc}(\Omega)$ は存在すれば一意的である。$v$ を $D^\alpha u$ とかき、$u$ の $\alpha$ 階弱微分という。

{{theorem|type=def|name=Sobolev空間 $W^{k,p}(\Omega),W^{k,p}_{\loc}(\OmT),W^{k,p}_c(\OmT)$|label=defsob}}
$C^\infty_c(\Omega)$ で $\Omega$ 上のコンパクトな台をもつなめらかな関数からなる空間を表す。

$k\in\Zp$、$p\in[1,\infty]$ についてSobolev空間 $W^{k,p}(\Omega)$ を
$$W^{k,p}(\Omega)\colon=\left\{u\in L^p(\Omega)\colon |\alpha|\le k\ について\ D^\alpha u\in L^p(\Omega)\right\}$$
と定める。また相対開集合 $T\subset\pOm$ について $L^p_\loc(\OmT)$ と $W^{k,p}_{\loc}(\OmT)$ を
$$L^p_\loc(\OmT)\colon=\left\{f\in L^p_\loc(\Omega)\colon \Omega'\rcpt\OmT\ について\ f\in L^p(\Omega')\right\},$$
$$W^{k,p}_{\loc}(\OmT)\colon=\left\{u\in L^p_{\loc}(\OmT)\colon |\alpha|\le k\ について\ D^\alpha u\in L^p_{\loc}(\OmT)\right\}$$
と定める。また $W^{k,p}_c(\OmT)$ を
$$W^{k,p}_c(\OmT)\colon=\{u\in W^{k,p}(\Omega)\colon\supp u\rcpt\OmT\}$$
と定める。

{{theorem|type=def|name=$W^{k,p}(\Omega)$ のノルム|label=defnorm}}
$W^{k,p}(\Omega)$ に
$$\norm{u}_{k,p;\Omega}\colon=
\begin{cases}
\left(\sum_{|\alpha|\le k}\int_{\Omega}|D^\alpha u|^p\right)^\frac{1}{p}&\colon p\in[1,\infty)\\
\max_{|\alpha|\le k}\esssup_{\Omega} |D^\alpha u|&\colon p=\infty
\end{cases}$$
によりノルム $\norm{\cdot}_{k,p;\Omega}$ を定める。

{{theorem|type=rmk}}
便宜上 $\norm{u}_{0,p;\Omega}=\norm{u}_{p;\Omega}$ とすることがある。またどの領域におけるSobolev空間のノルムかが明らかな場合は「$;\Omega$」は省略されることが多い。

$W^{k,2}(\Omega)$ は $H^k(\Omega)$ と書かれることが多い。$H^k(\Omega)$ には
$$(u,v)_{H^k(\Omega)}=\sum_{|\alpha|\le k}\int_\Omega D^\alpha uD^\alpha v$$
により内積が定まる。

$\displaystyle \sum_{|\alpha|\le k}\norm{D^\alpha u}_{p;\Omega}$ や $\displaystyle \left(\sum_{|\alpha|\le k}\norm{D^\alpha u}_{p;\Omega}^2\right)^\frac{1}{2}$ も同値なノルムである。また
$$\norm{u}_{k,p;\Omega}\le\sum_{|\alpha|\le k}\norm{D^\alpha u}_{p;\Omega}$$
で、
$$\sum_{|\alpha|\le k}\norm{D^\alpha u}_{p;\Omega}\le C\norm{u}_{k,p;\Omega}$$
となる定数 $C$ は $n$ と $k$ のみに依存し $p$ には依存しないようにとれる。

{{theorem|type=def|name=$\norm{D^ku}_{p;\Omega}$|label=gradnorm}}
$W^{k,p}(\Omega)$ に
$$\norm{D^ku}_{p;\Omega}\colon=\begin{cases}
\left(\sum_{|\alpha|=k}\norm{D^\alpha u}_{p;\Omega}^p\right)^{p^{-1}}&\colon p\in[1,\infty)\\
\max_{|\alpha|}\norm{D^\alpha u}_{\infty;\Omega}&\colon p=\infty
\end{cases}$$
によりセミノルム $\norm{D^ku}_{p;\Omega}$ を定める。

{{theorem|type=rmk}}
$\displaystyle \sum_{|\alpha|=k}\norm{D^\alpha u}_{p;\Omega}$ や $\displaystyle \left(\sum_{|\alpha|=k}\norm{D^\alpha u}_{p;\Omega}^2\right)^\frac{1}{2}$ も同値なセミノルムである。また
$$\norm{D^ku}_{p;\Omega}\le\sum_{|\alpha|=k}\norm{D^\alpha u}_{p;\Omega}$$
で、
$$\sum_{|\alpha|=k}\norm{D^\alpha u}_{p;\Omega}\le C\norm{D^ku}_{p;\Omega}$$
となる定数 $C$ は $n$ と $k$ のみに依存し $p$ には依存しないようにとれる。

{{theorem|type=pro|name=$W^{k,p}(\Omega)$ の完備性|label=compl}}
$W^{k,p}(\Omega)$ はノルム $\norm{\cdot}_{k,p;\Omega}$ について完備である。

{{begin|proof|display=''Proof.''|collapsible=1}}
$\{u_m\}_{m=1}^\infty\subset W^{k,p}(\Omega)$ をCauchy列とすると各 $|\alpha|\le k$ について $\{D^\alpha u_m\}_{m=1}^\infty$ は $L^p(\Omega)$ におけるCauchy列であるから $v_\alpha\in L^p(\Omega)$ が存在して $\norm{u_m-v_\alpha}_{p;\Omega}\to 0\ (m\to\infty)$。$u\colon=v_0$ とすると $\varphi\in C^\infty_c(\Omega)$ について
$$\int_\Omega uD^\alpha\varphi=\lim_{m\to\infty}\int_\Omega u_mD^\alpha\varphi=(-1)^{|\alpha|}\lim_{m\to\infty}\int_\Omega D^\alpha u_m\varphi=(-1)^{|\alpha|}\int_\Omega v_\alpha\varphi$$
であるから $u\in W^{k,p}(\Omega)$、$D^\alpha u=v_\alpha\ (|\alpha|\le k)$、$\norm{D^\alpha u_m-D^\alpha u}_{p;\Omega}\to 0\ (m\to\infty,|\alpha|\le k)$。$\norm{\cdot}_{k,p;\Omega}$ の定義より
$$\norm{u_m-u}_{k,p;\Omega}\to 0\ (m\to\infty)$$
となる。
{{end|proof}}

{{theorem|type=rmk}}
この証明から $u_m\in W^{1,p}(\Omega)\ (m\in\Zp)$、$u,v_1,\ldots ,v_n\in L^p(\Omega)$ が $\norm{u_m-u}_p,\norm{D_iu_m-v_i}_p\to 0\ (m\to\infty)$ をみたすとき $u\in W^{1,p}(\Omega)$、$D_iu=v_i$ となることが従う。このことは作用素の用語を用いると
$$D\colon L^p(\Omega)\supset D(D)=W^{1,p}(\Omega)\to L^p(\Omega)^n,Du=(D_1u,\ldots,D_nu)$$
により定まる非有界作用素 $D$ は閉作用素であると言い換えられる。

==なめらかな関数による近似==
{{theorem|type=def|name=Friedrich's mollifier|label=mol}}
$$\eta(x)\colon=
\begin{cases}
A\exp\left(\frac{1}{|x|^2-1}\right)&\colon x\in B_1(0)\\
0&\colon x\in\R^n\backslash B_1(0)
\end{cases}
,A\colon=\left(\int_{B_1(0)}\exp\left(\frac{1}{|x|^2-1}\right)dx\right)^{-1}$$
として $\eta\colon \R^n\to\R$ を定める。$\eta$ は
$$\eta\in C^\infty(\R^n),\eta\ge 0,\eta=0\on\R^n\backslash B_1(0),\int_{\R^n} \eta=1\tag{*}\label{mol}$$
をみたす。
$\varepsilon\gt 0$ について
$$\eta_\varepsilon(x)\colon=\varepsilon^{-n}\eta(\varepsilon^{-1}x)$$
と定め、Friedrich's mollifier、または単にmollifierという。

{{theorem|type=rmk}}
(\ref{mol})をみたしていれば $\eta$ はこの関数でなくてもよい。

{{theorem|type=pro|name=mollifierの性質|label=promol}}
開集合 $\Omega'\subset\Omega\subset\R^n$ は $d\colon=\dist(\Omega',\pOm)\gt 0$ をみたすとする。$f\in L^1_{\loc}(\Omega)$、$p\in[1,\infty]$、$\varepsilon\in (0,d)$ について、$\eta_\varepsilon*f$ は $\Omega'$ 上で定義され次が成り立つ:
* (1) $\supp\eta_\varepsilon*f\subset\{x\in\R^n\colon\dist(x,\supp f)\le\varepsilon\}$。とくに $\dist(\supp f,\Omega\backslash\Omega')\gt 0$ のとき十分小さく$\varepsilon\gt 0$ をとれば $\supp\eta_\varepsilon*f\subset\Omega'$。
* (2) $\eta_\varepsilon*f\in C^\infty(\overline{\Omega'})$ で、多重指数 $\alpha$ について $D^\alpha(\eta_\varepsilon*f)=D^\alpha\eta_\varepsilon*f$ in $\Omega'$。
* (3) $f\in L^p(\R^n)$ のとき $q\in[p,\infty]$ と多重指数 $\alpha$ について $\norm{D^\alpha(\eta_\varepsilon*f)}_{q;\Omega'}\le C_{n,p,q,\alpha}\varepsilon^{-|\alpha|-n(p^{-1}-q^{-1})}\norm{f}_{p;\Omega}$。
また $\varepsilon\to 0$ とするとき、
* (4) $\eta_\varepsilon*f\to f$ a.e. in $\Omega'$。
* (5) $f\in C(\Omega)$ のとき有界な $U\subset\Omega'$ について $\norm{\eta_\varepsilon*u-u}_{\infty;U}\to 0$。
* (6) $f\in L^p(\Omega)$、$p\in[1,\infty)$ のとき $\norm{\eta_\varepsilon*f-f}_{p;\Omega'}\to 0$。

{{begin|proof|display=''Proof.''|collapsible=1}}
(1)は明らか。

(2)を示す。任意の多重指数 $\alpha$ と $i=1,\ldots,n$ について $D_i(D^\alpha\eta_\varepsilon*f)=D_iD^\alpha\eta_\varepsilon*f$ on $\overline{\Omega'}$ を示せばよい。$x\in\overline{\Omega'}$ と $a\lt 0\lt b$ について
\begin{align*}
D^\alpha\eta_\varepsilon*f(x+be_i)-D^\alpha\eta_\varepsilon*f(x+ae_i)&=\int_{\R^n}(D^\alpha\eta_\varepsilon(x+ae_i-y)-D^\alpha\eta_\varepsilon(x+be_i-y))f(y)dy\\
&=\int_{\R^n}\left(\int_a^bD_iD^\alpha\eta_\varepsilon(x+te_i-y)dt\right)f(y)dy\\
&=\int_a^b\left(\int_{\R^n}D_iD^\alpha\eta_\varepsilon(x+te_i-y)f(y)dy\right)dt.
\end{align*}
Lebesgueの収束定理より $t\mapsto\int_{\Omega}D_iD^\alpha\eta_\varepsilon(x+te_i-y)f(y)dy$ は $(a,b)$ 上で連続であるから微積分基本公式より
$$D_i\left(D^\alpha\eta_\varepsilon*f\right)(x)=\int_{\R^n}D_iD^\alpha\eta_\varepsilon(x-y)f(y)dy=D_iD^\alpha\eta_\varepsilon*f(x).$$

(3)は(2)とYoungの不等式と
\begin{align*}
\left(\int_{B_\varepsilon(0)}|D^\alpha\eta_\varepsilon(x)|^{(1-p^{-1}+q^{-1})^{-1}}dx\right)^{1-p^{-1}+q^{-1}}&=\left(\int_{\R^n}|\varepsilon^{-|\alpha|-n}D^\alpha\eta(\varepsilon^{-1}x)|^{(1-p^{-1}+q^{-1})^{-1}}dx\right)^{1-p^{-1}+q^{-1}}\\
&=\varepsilon^{-|\alpha|-n}\left(\int_{\R^n}\varepsilon^n|D^\alpha\eta(y)|^{(1-p^{-1}+q^{-1})^{-1}}dy\right)^{1-p^{-1}+q^{-1}}\\
&\le C\varepsilon^{-|\alpha|-n(p^{-1}-q^{-1})}
\end{align*}
から従う。

(4)を示す。$x\in\Omega'$ を $f$ のLebesgue点とすれば
$$|\eta_\varepsilon*f(x)-f(x)|\le\int_{\Omega'}\eta_\varepsilon(x-y)|f(y)-f(x)|dy\le\int_{B_\varepsilon(x)}\varepsilon^{-n}\norm{\eta}_\infty|f(y)-f(x)|dy\to 0\ (\varepsilon\to +0).$$

(5)を示す。$x\in U$ について
\begin{align*}
|\eta_\varepsilon*f(x)-f(x)|&\le\int_{B_\varepsilon(x)}\eta_\varepsilon(x-y)|f(y)-f(x)|dy\\
&\le\int_{B_\varepsilon(x)}\eta_\varepsilon(x-y)dy\cdot\sup_{y\in B_\varepsilon(x)}|f(y)-f(x)|\\
&\le\sup_{\substack{y,z\in U+B_\varepsilon(0),|y-z|\lt\varepsilon}}|f(y)-f(z)|.
\end{align*}
ここで $U+B_\frac{d}{2}(0)$ は有界で $\dist(U+B_\frac{d}{2}(0),\pOm)\ge\dist(\Omega',\pOm)-\frac{d}{2}=\frac{d}{2}$ であるから $U+B_\frac{d}{2}(0)\rcpt\Omega$。これより
$$\sup_{\substack{y,z\in U+B_\varepsilon(0),|y-z|\lt\varepsilon}}|f(y)-f(z)|\le\sup_{\substack{y,z\in U+B_\frac{d}{2}(0),|y-z|\lt\varepsilon}}|f(y)-f(z)|\to 0\ (\varepsilon\to +0).$$
これより $\norm{\eta_\varepsilon*f-f}_{\infty;\Omega'}\to 0\ (\varepsilon\to +0)$。

(6)を示す。積分形のMinkowskiの不等式と平行移動の $L^p$ 連続性([[合成積とFourier変換]]の命題28.2)より
\begin{align*}
\norm{\eta_\varepsilon*f-f}_{p,\Omega'}&=\int_{\Omega'}|\int_{B_\varepsilon(y)}\eta_\varepsilon(x-y)(f(y)-f(x))dy|^pdx\\
&\le\int_{\Omega'}\left(\int_{B_\varepsilon(0)}\eta_\varepsilon(z)|f(x-z)-f(x)|dz\right)^pdx\\
&\le\int_{B_\varepsilon(0)}\eta_\varepsilon(z)\left(\int_{\Omega'}|f(x-z)-f(x)|^pdx\right)^{p^{-1}}dz\\
&\le\sup_{z\in B_\varepsilon(0)}\left(\int_{\Omega'}|f(x-z)-f(x)|^pdx\right)^{p^{-1}}\to 0.
\end{align*}
{{end|proof}}

なお積分形のMinkowskiの不等式とは次の主張である:

{{theorem|type=lem|name=積分形のMinkowskiの不等式|label=mink}}
$\sigma$ -有限測度空間 $X=(X,\mathfrak{M},\mu)$、$Y=(Y,\mathfrak{N},\nu)$ と $\mathfrak{M}\otimes\mathfrak{N}$ -可測関数 $f$ と $p\ge 1$ について
$$\int_X\left(\int_Y |f(x,y)|d\nu(y)\right)^pd\mu(x)\le\int_Y\left(\int_X|f(x,y)|^pd\mu(x)\right)^{p^{-1}}d\nu(y).$$

{{begin|proof}}
$\int_X\left(\int_Y |f(x,y)|d\nu(y)\right)^pd\mu(x)\lt\infty$ の場合を示す。
\begin{align*}
\int_X\left(\int_Y |f(x,y)|d\nu(y)\right)^pd\mu(x)&=\int_Y\left(\int_X\left(\int_Y |f(x,y)|d\nu(y)\right)^{p-1}|f(x,y')|d\mu(x)\right)d\nu(y')\\
&\int_Y\left(\int_X\left(\int_Y |f(x,y)|d\nu(y)\right)^pd\mu(x)\right)^{1-p^{-1}}\left(\int_X|f(x,y')|^pd\mu(x)\right)^{p^{-1}}d\nu(y')\\
&=\left(\int_X\left(\int_Y |f(x,y)|d\nu(y)\right)^pd\mu(x)\right)^{1-p^{-1}}\int_Y\left(\int_X|f(x,y)|^pd\mu(x)\right)^{p^{-1}}d\nu(y)
\end{align*}
となり
$$\left(\int_X\left(\int_Y |f(x,y)|d\nu(y)\right)^pd\mu(x)\right)^{p^{-1}}\le\int_Y\left(\int_X|f(x,y)|^pd\mu(x)\right)^{p^{-1}}d\nu(y)$$
を得る。

$\int_X\left(\int_Y |f(x,y)|d\nu(y)\right)^pd\mu(x)=\infty$ の場合は $X_1\subset X_2\subset\ldots\subset X$、$Y_1\subset Y_2\subset\ldots\subset Y$ を $\mu(X_i),\nu(Y_i)\lt\infty$ かつ $\displaystyle\bigcup_{i=1}^\infty X_i=X,\bigcup_{i=1}^\infty Y_i=Y$ となるようにとると
$$\left(\int_{X_i}\left(\int_{Y_i} \min\{|f(x,y)|,i\}d\nu(y)\right)^pd\mu(x)\right)^{p^{-1}}\le\int_{Y_i}\left(\int_{X_i}\min\{|f(x,y)|,i\}^pd\mu(x)\right)^{p^{-1}}d\nu(y)$$
となるので $i\to\infty$ として $\int_Y\left(\int_X|f(x,y)|^pd\mu(x)\right)^{p^{-1}}d\nu(y)=\infty$ を得る。
{{end|proof}}

{{theorem|type=ex}}
$\nu$ -a.e. $y\in Y$ について $\int_X|f(x,y)|^pd\mu(x)\lt\infty$ のとき $y\mapsto f(\cdot,y)$ は $Y$ 上の $L^p(X)$ -値Bochner可測関数となる。これに[[測度と積分9：Bochner積分]]の命題44.2を適用することによっても積分形のMinkowskiの不等式を証明できる。

{{theorem|type=lem|name=$W^{k,p}$ 関数となめらかな関数の積|label=prod1}}
$u\in W^{k,p}_{\loc}(\Omega)$、$\zeta\in C^k(\Omega)$ について、
$$\zeta u\in W^{k,p}_{\loc}(\Omega),D^\alpha(\zeta u)=\sum_{\beta\le\alpha}\left(\begin{array}{c}\alpha\\ \beta\end{array}\right)D^{\alpha-\beta}\zeta D^\beta u.$$
とくに $u\in W^{k,p}(\Omega)$、$\zeta\in C^k(\Omega)\cap W^{k,\infty}(\Omega)$ のとき
$$\zeta u\in W^{k,p}(\Omega),\norm{D^k(\zeta u)}_{p;\Omega}\le C_{n,k}\sum_{j=0}^k\norm{D^{k-j}\zeta}_{\infty;\Omega}\norm{D^ju}_{p;\Omega},\norm{\zeta u}_{k,p;\Omega}\le C_{n,k}\norm{\zeta}_{k,\infty;\Omega}\norm{u}_{k,p;\Omega}.$$
また $\zeta\in C^k_c(\Omega)$ の場合は $\zeta u=0$ on $\R^n\backslash\Omega$ と定めると $\zeta u\in W^{k,p}(\R^n)$ となる。

{{begin|proof|display=''Proof.''|collapsible=1}}
$k=1$ のときのみ示す。一般の場合は帰納法により従う。

$\varphi\in C^\infty_c(\Omega)$、$i=1,\ldots ,n$ について
$$\int_\Omega D_iu\zeta\varphi=-\int_\Omega uD_i(\zeta\varphi)=-\int_\Omega u(D_i\zeta\varphi+\zeta D_i\varphi)$$
より
$$\int_\Omega \zeta uD_i\varphi=-\int_\Omega (\zeta D_iu+D_i\zeta u)\varphi.$$
$u,D_iu\in L^p_{\loc}(\Omega)$、$\zeta,D_i\zeta\in L^\infty_{\loc}(\Omega)$ より $\zeta u,\zeta D_iu+D_i\zeta u\in L^p_\loc(\Omega)$。従って $\zeta u\in W^{1,p}_{\loc}(\Omega)$、$D_i(\zeta u)=\zeta D_iu+D_i\zeta u$。

$\zeta\in C^\infty_c(\Omega)$ とすると $\varphi\in C^\infty_c(\R^n)$ について $\zeta\varphi\in C^\infty_c(\Omega)$ となるので同様の計算により $\int_\Omega \zeta uD_i\varphi=-\int_\Omega (\zeta D_iu+D_i\zeta u)\varphi$ となる。$\zeta u,\zeta D_iu,D_i\zeta u\in L^p(\R^n)$ となるので $\zeta u\in W^{1,p}(\R^n)$。
{{end|proof}}

{{theorem|type=pro|label=apx1}}
$k\in\Zp$ とする。以下が成り立つ:
*(1) $u\in W^{k,1}_{\loc}(\R^n)$ と $|\alpha|\le k$ なる多重指数 $\alpha$ について
$$D^\alpha(\eta_\varepsilon*u)=\eta_\varepsilon*D^\alpha u.$$
とくに $p\in[1,\infty)$、$u\in W^{k,p}(\R^n)$ のとき $\norm{\eta_\varepsilon*u-u}_{k,p;\R^n}\to 0\ (\varepsilon\to +0)$。
*(2) $p\in[1,\infty)$、$u\in L^p_{\loc}(\Omega)$ について次は同値:
**(i) $u\in W^{k,p}_{\loc}(\Omega)$。
**(ii) $\{u_m\}_{m=1}^\infty\subset C^\infty(\Omega)$ で $u_m\to u$ in $L^p_{\loc}(\Omega)(m\to\infty)$ かつ $|\alpha|\le k$ について $D^\alpha u_m$ が $L^p_{\loc}(\Omega)$ で収束するものが存在する。
*(3) $p\in[1,\infty)$ とすると $C^\infty_c(\R^n)$ は $W^{k,p}(\R^n)$ において稠密である。

{{begin|proof|display=''Proof.''|collapsible=1}}
(1)を示す。$x\in\R^n$ について
$$D^\alpha(\eta_\varepsilon*u)(x)=\int_{\R^n}D^\alpha\eta_\varepsilon(x-y)u(y)dy=(-1)^{|\alpha|}\int_{\R^n}(D^\alpha\eta_\varepsilon(x-\cdot))(y)u(y)dy=\int_{\R^n}\eta_\varepsilon(x-y)D^\alpha u(y)dy=D^\alpha\eta_\varepsilon*u(y).$$

(2)を示す。(i) $\implies$ (ii)は次のように従う: $\Omega_1\rcpt\Omega_2\rcpt\ldots\rcpt\Omega$ を $\displaystyle \bigcup_{m=1}^\infty \Omega_m=\Omega$ となるようにとり、$\varepsilon_m\in(0,\dist(\Omega_{m+1},\pOm))$ を $\varepsilon_m\to 0\ (m\to\infty)$ となるようにとる。また $\zeta_m\in C^\infty(\Omega_{m+1})$ を $\zeta_m=1$ in $\Omega_m$ となるようにとる。このとき $u_m\colon=\eta_{\varepsilon_m}*(\zeta_mu)$ は $\Omega$ 上で定義され、$m'\ge m$ について $u_{m'}=\eta_{\varepsilon_{m'}}*u$ in $\Omega_m$ となるので $|\alpha|\le k$ について $D^\alpha u_{m'}=\eta_{\varepsilon_{m'}}*D^\alpha u$ in $\Omega_m$。これより $\norm_{D^\alpha u_{m'}-D^\alpha u}_{p;\Omega'}\to 0\ (m'\to\infty)$。これよりこの $\{u_m\}_{m=1}^\infty$ は条件をみたす。

(ii) $\implies$ (i)は $|\alpha|\le k$ について $D^\alpha u_m\to v_\alpha$ in $L^1_{\loc}(\Omega)$ とすると任意の $\varepsilon\in C^\infty_c(\Omega)$ と $|\alpha|\le k$ について
$$\int_\Omega uD^\alpha\varphi=\lim_{m\to\infty}\int_\Omega u_mD^\alpha\varphi=(-1)^{|\alpha|}\int_\Omega v_\alpha\varphi$$
となり $D^\alpha u=v_\alpha$ となって従う。

(3)を示す。(1)より $u_m\in W^{k,p}(\Omega)\ (m\in\Zp)$ が存在して $\supp u_m$ が有界かつ $\norm{u_m-u}_{k,p;\R^n}\to 0 (m\to\infty)$ となることを示せばよい。

$\zeta\in C^\infty_c(B_2(0))$ を $\zeta=1$ on $\Bb_1(0)$ となるようにとる。$\zeta_m(x)\colon=\zeta(m^{-1}x)$ とすると $\supp\zeta_m\subset B_{2m}(0)$、$\zeta_m=1$ on $\Bb_m(0)$。また任意の多重指数 $\alpha$ について $D^\alpha \zeta_m(x)=m^{-|\alpha|}\zeta(m^{-1}x)$ であるから $\norm{\zeta_m}_{k,\infty}\le\norm{\zeta}_{k,\infty}$

$u_m\colon=\zeta_m u$ とすると $u_m\in W^{k,p}(\R^n)$、$\supp u_m\subset B_{2m}(0)$、$u_m=u$ on $\Bb_m(0)$ となり
$$\norm{u_m-u}_{k,p}=\norm{u_m-u}_{k,p;\R^n\backslash\Bb_m(0)}=\norm{(1-\zeta_m)u}_{k,p;\R^n\backslash\Bb_m(0)}\le C\norm{u}_{k,p;\R^n\backslash\Bb_m(0)}\to 0\ (m\to\infty).$$
{{end|proof}}

{{theorem|type=rmk}}
(2)の(ii)で $D^\alpha u$ を定義することもできる。このように定義された $u\in L^1_{\loc}(\Omega)$ の微分は強微分とよばれる。

{{theorem|type=cor|label=ck}}
$k\in\Zp$ とする。$u\in L^1_\loc(\Omega)$ について次は同値:
*(1) $u\in C^k(\Omega)$。
*(2) $|\alpha|\le k$ について $u$ は弱微分 $D^\alpha u$ をもち $D^\alpha u\in C(\Omega)$。

{{begin|proof|display=''Proof.''|collapsible=1}}
$u\in C^k(\Omega)$ とすると $v_\alpha\ (|\alpha|\le k)$ を各点での偏微分としての $D^\alpha u$ と定めれば部分積分により任意の $\varphi\in C^\infty_c(\Omega)$ について $\int_{\Omega}uD^\alpha\varphi=(-1)^{|\alpha|}\int_{\Omega}v_\alpha\varphi$ となる。これより $u$ は $k$ 階以下の弱微分をもち、各点微分と一致する。

$|\alpha|\le k$ について $u$ は弱微分 $D^\alpha u$ をもち $D^\alpha u\in C(\Omega)$ をみたすとする。$\Omega'\rcpt\Omega$ として $\zeta\in C^\infty_c(\Omega)$ を $\zeta=1$ in $\Omega'$ となるようにとると $|\alpha|\le k$ について $\norm{D^\alpha(\eta_\varepsilon*\zeta u)-D^\alpha(\zeta u)}_\infty=\norm{\eta_\varepsilon*D^\alpha(\zeta u)-D^\alpha(\zeta u)}_\infty\to 0\ (\varepsilon\to +0)$ であるから $\zeta u\in C^k(\R^n)$。これより $u\in C(\Omega)$。
{{end|proof}}

{{theorem|type=thm|name=なめらかな関数による近似|label=apx2}}
$k\in\Zp$、$p\in[1,\infty)$ とすると $C^\infty(\Omega)\cap W^{k,p}(\Omega)$ は $W^{k,p}(\Omega)$ において稠密である。

{{begin|proof|display=''Proof.''|collapsible=1}}
$u\in W^{k,p}(\Omega)$、$\delta\gt 0$ とする。各 $x\in\Omega$ について $x$ を中心とする球 $B(x)\rcpt\Omega$ をとり、$\Omega$ の開被覆 $\{B(x)\}_{x\in\Omega}$ の局所有限な細分 $\{U_i\}_{i=1}^\infty$ を $\displaystyle\bigcup_{i=1}^\infty U_i=\Omega$ となるようにとり、これに従属する $1$ の分割 $\{\zeta_i\}_{i=1}^\infty$、$\zeta_i\in C^\infty_c(U_i)$ をとる。

{{ref|type=lem|label=prod1}}より $\zeta_iu\in W^{k,p}(\Omega)$、$\supp\zeta_iu\subset U_i\rcpt\Omega$。{{ref|type=pro|label=apx1}}より十分小さい $\varepsilon_i\gt 0$ をとって $\norm{\eta_{\varepsilon_i}*(\zeta_iu)-\zeta_iu}_{k,p;\Omega}\lt 2^{-i}\delta$ かつ $\supp\eta_{\varepsilon_i}*(\zeta_iu)\subset U_i$ となるようにできる。

$$\sum_{i=1}^\infty\norm{\eta_{\varepsilon_i}*(\zeta_iu)-\zeta_iu}_{k,p;\Omega}\lt\delta$$
であるから $W^{k,p}(\Omega)$ の完備性より無限和
$$w\colon=\sum_{i=1}^\infty(\eta_{\varepsilon_i}*(\zeta_iu)-\zeta_iu)$$
は $W^{k,p}(\Omega)$ で収束し、$\norm{w}_{k,p;\Omega}\lt\delta$。
$$v\colon=\sum_{i=1}^\infty\eta_{\varepsilon_i}*(\zeta_iu)$$
とすると $\{U_i\}_{i=1}^\infty$ は局所有限よりこの無限和は各点で値が定まり $v\in C^\infty(\Omega)$。一方 $v=u+w\in W^{k,p}(\Omega)$ で $\norm{v-u}_{k,\alpha;\Omega}\lt\delta$ となる。
{{end|proof}}

{{theorem|type=rmk}}
これより $W^{k,p}(\Omega)$ を $\left\{u\in C^\infty(\Omega)\colon \norm{u}_{k,p;\Omega}\lt\infty\right\}$ のノルム $\norm{\cdot}_{k,p;\Omega}$ による完備化として定義し、$D^\alpha u$ を強微分で定義しても同値である。

一方、$v\in C^\infty(\Ombar)$ による近似をするには $\pOm$ に条件が必要である。

{{theorem|type=thm|name=線分条件をみたす領域における近似|label=apx3}}
相対開集合 $T\subset\pOm$ は線分条件をみたすとする。$k\in\Zp$、$p\in[1,\infty)$ とすると $C^\infty(\Omega\cup T)\cap W^{k,p}(\Omega)$ は $W^{k,p}(\Omega)$ において稠密である。

{{begin|proof|display=''Proof.''|collapsible=1}}
$\xi\in T$ について(\ref{segm})の $U_\xi$ と $y_\xi$ をとり、$\Omega_{d,r}\colon=\{x\in\Omega\colon |x|\lt d,\dist(x,\pOm)\gt r\}\ (d,r\gt 0)$ とする。$\{U_\xi\}_{\xi\in T}\cup\{\Omega_{d,r}\}_{d,r\gt 0}$ は $\Omega\cup T$ の開被覆となり、$\{U_\xi\}_{\xi\in\pOm}$、$\{\Omega_{d,r}\}_{d,r\gt 0}$ の局所有限な細分 $\{V_i\}_{i=1}^\infty$、$\{W_j\}_{j=1}^\infty$ を $\Omega\cup T\subset\bigcup_{i=1}^\infty V_i\cup\bigcup_{j=1}^\infty W_j$ となるようにとれる。各 $i\in\Zp$ について $y_i\in\R^n$ が存在し、
$$\{x+ty_i\colon x\in \overline{V_i\cap\Omega},t\in(0,1)\}\subset\Omega$$
が成り立つ。また各 $j\in\Zp$ について $W_j\rcpt\Omega$。

$\Omega\cup T$ の開被覆 $\{V_i\}_{i=1}^\infty\cup\{W_j\}_{j=1}^\infty$ に従属する $1$ の分割 $\{\zeta_i\}_{i=1}^\infty\cup\{\theta_j\}_{j=1}^\infty$、$\zeta_i\in C^\infty_c(V_i)$、$\theta_j\in C^\infty_c(W_j)$ をとる。

$i\in\Zp$ とする。{{ref|type=thm|label=apx2}}と{{ref|type=lem|label=prod1}}より $v_i\in C^\infty(\Omega)\cap W^{k,p}(\Omega)$ を $\norm{\zeta_iv_i-\zeta_iu}_{k,p;\Omega}\lt 2^{-i-2}\delta$ となるようにとれる。平行移動の $L^p$ 連続性([[合成積とFourier変換]]の命題28.2)より $|\alpha|\le k$ について
$$\norm{D^\alpha v_i(\cdot+ty_i)-D^\alpha v_i}_{p;V_i\cap\Omega}\to 0 (t\to +0).$$
{{ref|type=lem|label=prod1}}より十分小さい $t_i\in(0,1)$ をとって $\norm{\zeta_iv_i(\cdot+ty_i)-\zeta_iv_i}_{k,p;V_i\cap\Omega}\lt 2^{-i-2}\delta$ とできる。$V_i$ のとりかたより $\overline{V_i\cap\Omega+t_iy_i}\subset\Omega$ であるから $v_i\in C^\infty(\overline{V_i\cap\Omega+t_iy_i})$ であり、$v_i(\cdot+ty_i)\in C^\infty(\overline{V_i\cap\Omega})$。よって $\zeta_iv_i(\cdot+ty_i)\in C^\infty(\overline{\Omega})$、$\supp\zeta_iv_i\subset V_i\cap\Omega$。また $\norm{\zeta_iv_i(\cdot+ty_i)-\zeta_iu}_{k,p;\Omega}\lt 2^{-i-1}\delta$。

また $j\in\Zp$ について $\theta_ju\in W^{k,p}(\R^n)$、$\supp\theta_ju\subset W_j$ であるから十分小さい $\varepsilon_j$ をとって $\norm{\eta_{\varepsilon_j}*(\theta_ju)-\theta_ju}_{k,p;\Omega}\lt 2^{-j-1}\delta$、$\supp\eta_{\varepsilon_j}*(\theta_ju)\subset W_j$ とできる。

$$v\colon=\sum_{i=1}^\infty\zeta_iv_i(\cdot+ty_i)+\sum_{j=1}^\infty\eta_{\varepsilon_j}*(\theta_ju)$$
とすれば $\Omega\cup T$ の開被覆 $\{V_i\}_{i=1}^\infty\cup\{W_j\}_{j=1}^\infty$ は局所有限より $v\in C^\infty(\Omega\cup T)$ で、{{ref|type=thm|label=apx2}}と同様に $v\in W^{k,p}(\Omega)$ かつ
$$\norm{v-u}_{k,p;\Omega}\le\sum_{i=1}^\infty\norm{\zeta_iv_i(\cdot+ty_i)-\zeta_i u}_{k,p;\Omega}+\sum_{j=1}^\infty\norm{\eta_{\varepsilon_j}*(\theta_ju)-\theta_ju}_{k,p;\Omega}\lt\delta.$$
{{end|proof}}

{{theorem|type=rmk}}
とくに $\Omega$ が有界かつ線分条件をみたすとき $C^\infty(\Ombar)$ は $W^{k,p}(\Omega)$ において稠密である。

$p=\infty$ のときはこれらの近似定理は $W^{k,\infty}(\Omega)$ を $C^k(\Ombar)$ にとりかえた主張を同様に証明できる。また、近似列の構成のしかたが $k$ と $p$ によらないことから、 $u\in W^{j,p}(\Omega)\cap W^{k,q}(\Omega)$ と $\delta\gt 0$ について $v\in C^\infty(\Omega)\cap v\in W^{j,p}(\Omega)\cap W^{k,q}(\Omega)$ ( $\Omega$ が線分条件をみたすときは $v\in C^\infty(\Ombar)\cap W^{j,p}(\Omega)\cap W^{k,q}(\Omega)$ ) が存在して $\norm{u-v}_{j,p}\lt\delta$、$\norm{u-v}_{k,q}\lt\delta$ となる。( $p=\infty$ の場合は $W^{k,p}(\Omega)$ を $C^k(\Ombar)$ にとりかえる。$q=\infty$ の場合も同様。)

{{ref|type=pro|label=apx1}}で、(3)の証明の(1)を{{ref|type=thm|label=apx2}}にとりかえると、$\Omega$ が非有界の場合
$$\left\{u\in C^\infty(\Omega)\cap W^{k,p}(\Omega)\colon \supp u\ が有界\right\}$$
が $W^{k,p}(\Omega)$ において稠密であることが示される。( $\Omega$ が線分条件をみたすときは $C^\infty(\Omega)\cap W^{k,p}(\Omega)$ を $C^\infty(\Ombar)$ にとりかえてよい。)

$w\in C^\infty(\Omega)\cap W^{k,p}_c(\OmT)$ ( $T$ が線分条件をみたす場合は $C^\infty_c(\OmT)$ )は $W^{k,p}_c(\Omega)$ において稠密である。実際、$v\in C^\infty(\Omega)\cap W^{k,p}(\Omega)$ を $\norm{v-u}_{k,p}\lt\varepsilon$ をみたすようにとり、$\zeta\in C^\infty(\R^n\backslash(\pOm\backslash T))$ を $\zeta=1$ on $\supp u$ となるようにとると $\norm{\zeta v-u}_{k,p}=\norm{\zeta (v-u)}_{k,p}\le C_\zeta\varepsilon$ となる。

==$n=1$ の場合==
ここでは $n=1$ とし、$I=(a,b)$、$-\infty\le a\lt b\le +\infty$ を開区間とする。

{{theorem|type=thm|name=$W^{1,p}(I)$ の特徴づけ|label=1dim1}}
$p\in[1,\infty]$ とし、$u\in L^p(I)$ とする。次は同値:
*(1) $u\in W^{1,p}(I)$。
*(2) $u$ は絶対 $p$ -連続である。すなわち $u\in C(\overline{I})$ で $f\in L^p(I)$ が存在して $a\le x\lt y\le a$ について
$$u(y)-u(x)=\int_x^y f(t)dt.$$
またこのとき $u'=f$。

{{begin|proof|display=''Proof.''|collapsible=1}}
$p=1$ の場合を示せば十分。

(1) $\implies$ (2)を示す。$I$ は明らかに線分条件をみたすので $u_m\in C^\infty(\overline{I})\cap W^{1,1}(I)$ を $\norm{u_m-u}_{1,1}\to 0\ (m\to\infty)$ となるようにとれる。部分列に移って $u_m\to u,u_m'\to u'$ a.e. in $I$ としてよい。

$x_0\in I$ を $u_m(x_0)\to u(x_0)\ (m\to\infty)$ をみたす点とする。$x\in[x_0,b)$ について
$$u_m(x)=u_m(x_0)+\int_{x_0}^x u_m'(t)dt.$$
$\norm{u_m'-u'}_1\to 0\ (m\to\infty)$ より右辺は $m\to\infty$ とすると $x\in[x_0,b)$ について $u(x_0)+\int_{x_0}^x u'(t)dt$ に一様収束するので
$$u\in C([x_0,b]),u(x)=u(x_0)+\int_a^x u'(t)dt\ (x\in[x_0,b]).$$
任意の $x\in I$ について $x_0$ を $x_0\in(a,x)$ となるようにとれることから $u\in C((a,b])$。また $x,y\in (a,b]$、$x\lt y$ について $x_0$ を $x_0\lt x$ となるようにとれば
$$u(y)-u(x)=\left(u(x_0)+\int_{x_0}^yu'(t)dt\right)-\left(u(x_0)+\int_{x_0}^xu'(t)dt\right)=\int_x^yu'(t)dt\ (x,y\in(a,b]).$$
また $u'\in L^1(I)$ より $y\in I$ を固定すると
$$u(x)=u(y)-\int_x^y u'(t)dt$$
は $x\to a+0$ で収束する。とくに $a\gt -\infty$ の場合は $u\in C(\overline{I})$ で
$$u(y)-u(a)=\int_a^y u'(t)dt.$$
これより
$$u\in C(\overline{I}),u(y)-u(x)=\int_x^y u'(t)dt\ (x,y\in\overline{I},x\lt y).$$

(2) $\implies$ (1)を示す。$\varphi\in C^\infty_c(I)$ とする。$J=(a',b')\rcpt I$ を $\supp\varphi$ を含む開区間とする。 $y\in (b',b)$ とすると仮定より $x\in(a,y)$ について
$$u(y)-u(x)=\int_x^y f(t)dt.$$

$x\in (a,a')$ とする。$J\subset(x,y)$ で、$\varphi(x)=0$ より $t\in(x,b')$ について $\varphi(t)=\int_x^t\varphi'(s)ds$ であるから
\begin{align*}
\int_I f(t)\varphi(t)dt&=\int_x^y f(t)\varphi(t)dt\\
&=\int_x^y f(t)\left(\int_x^t \varphi'(s)ds\right)dt\\
&=\int_x^y \varphi'(s)\left(\int_s^yf(t)dt\right)ds\\
&=\int_x^y \varphi'(s)(u(y)-u(s))ds\\
&=u(y)\int_x^y \varphi'(s)ds-\int_x^y u(s)\varphi'(s)ds\\
&=-\int_I u(s)\varphi'(s)ds.
\end{align*}
よって $u\in W^{1,1}(I)$、$u'=f$。
{{end|proof}}

{{theorem|type=cor|name=$W^{1,p}_{\loc}(I)$ の特徴づけ|label=1dim2}}
$p\in[1,\infty]$ とし、$u\in L^p_{\loc}(I)$ とする。次は同値:
*(1) $u\in W^{1,p}_{\loc}(I)$。
*(2) $u$ は局所絶対 $p$ -連続である。すなわち $u\in C(I)$ で $f\in L^p_{\loc}(\Omega)$ が存在して $a\lt x\lt y\lt b$ について
$$u(y)-u(x)=\int_x^y f(t)dt.$$
またこのとき $u'=f$。

{{theorem|type=rmk}}
絶対 $1$ -連続と局所絶対 $1$ -連続は単に絶対連続、局所絶対連続という。

{{ref|type=cor|label=1dim2}}より $u\in W^{1,p}_{\loc}(I)$ は $u'$ のLebesgue点で(従ってa.e. in $I$ で)微分可能で、各点微分は弱微分とa.e.で一致する。

{{theorem|type=thm|name=$n=1$ のときのMorreyの不等式|label=dim1mor}}
$I$ は有界であるとする。
*(1) $u\in W^{1,1}(I)$ のとき
$$\norm{u}_\infty\le C_{|I|}\norm{u}_{1,1}.$$
また $u(y)=0$ なる $y\in \overline{I}$ が存在するとき
$$\norm{u}_\infty\le \norm{u'}_1.$$
*(2) $p\in(1,\infty]$ とする。 $\alpha=1-\frac{1}{p}$ とすると $u\in W^{1,p}(I)$ について
$$u\in C^{0,\alpha}(\overline{I}),[u]_{0,\alpha;I}\le \norm{u'}_p.$$

{{begin|proof|display=''Proof.''|collapsible=1}}
(1)を示す。{{ref|type=thm|label=1dim1}}より $x,y\in\overline{I}$、$x\lt y$ について
$$|u(x)-u(y)|\le\int_x^y|u'(t)|dt\le \norm{u'}_1.$$
対称性よりこれは任意の $x,y\in I$ について成り立つ。ここで $x,y\in\overline{I}$ を
$$|u(x)|=\sup_{I}|u|,|u(y)|=\inf_{I}|u|$$
となるようにとると
$$\sup_{I}|u|=|u(x)|\le|u(y)|+\norm{u'}_1=\inf_{I}|u|+\norm{u'}_1\le|I|^{-1}\int_I|u|+\norm{u'}_1\le C_{|I|}\norm{u}_{1,1}.$$
また $|u(y)|=0$ のとき
$$\sup_{I}|u|\le\norm{u'}_1.$$

(2)を示す。Hölderの不等式より $x,y\in I$、$x\lt y$ について
$$|u(x)-u(y)|\le\int_x^y|u'(t)|dt\le\norm{u'}_p|x-y|^{1-\frac{1}{p}}.$$
よって
$$u\in C^{0,\alpha}(\overline{I}),[u]_{0,\alpha;I}\le\norm{u'}_p.$$
{{end|proof}}

==合成関数の微分、積の微分==

{{theorem|type=thm|name=合成関数の微分|label=chain1}}
$p\in[1,\infty]$、$m\in\Zp$、$u\in W^{1,p}_{\loc}(\Omega)^m$ とする。
$G\in C^1(\R^m)$ が
$$G(u),\sum_{j=1}^m D_jG(u)D_iu_j\in L^p_{\loc}(\Omega)$$
をみたすとすると
$$G(u)\in W^{1,p}_{\loc}(\Omega),D_i(G(u))=\sum_{j=1}^m D_jG(u)D_iu_j\ (i=1,\ldots,n).$$

{{begin|proof|display=''Proof.''|collapsible=1}}
$|\Omega|\lt\infty$、$p\in[1,\infty)$、$u\in W^{1,p}(\Omega)^m$ の場合を示せば十分である。また $G$ を $G-G(0)$ にとりかえて $G(0)=0$ としてよい。<ref name="chainsuf">実際には $\Omega$ が有界かつ $p=1$ の場合のみで十分である。$\Omega$ が非有界の場合と $p\in(1,\infty)$ の場合を含めたのは{{ref|type=pro|label=chapro0}}の証明に使う都合によるものである。なお、{{ref|type=pro|label=chapro0}}では $|\Omega|\lt\infty$ を仮定できないが、実際には $G(0)=0$ でも十分であるため{{ref|type=pro|label=chapro0}}も問題なく証明できる。</ref>

$DG\in L^\infty(\R^m)^m$ の場合を示す。{{ref|type=thm|label=apx2}}より $u^{(k)}\in C^\infty(\Omega)^m\cap W^{1,p}(\Omega)^m$ を $\norm{u^{(k)}-u}_{1,p}\to 0\ (k\to\infty)$ となるようにとれる。部分列に移って $u^{(k)}\to u,D_iu^{(k)}\to D_iu$ a.e. in $\Omega$ かつ $v,v_1,\ldots,v_n\in L^p(\Omega)$ が存在して $|u^{(k)}|\le v,|D_iu^{(k)}|\le v_i\ (\forall k\in\Zp)$ としてよい。<ref name="dominant">一般に測度空間 $X=(X,\mu)$ 上の関数列 $\{f_m\}_{m=1}^\infty\subset L^p(X)$ と $f\in L^p(X)$ が $\int_X |f_m-f|^pd\mu\to 0\ (m\to\infty)$ をみたすとき、部分列 $\{f_{m_l}\}_{l=1}^\infty$ を $f_{m_l}\to f\ \mu-$ a.e. in $X$ かつ $g\in L^p(X)$ であって任意の $l$ について $|f_{m_l}|\le g$ in $X$ となるようなものが存在するようにとれる。実際、[[測度と積分5：$L%5Ep$_空間の完備性と双対性]]の定理21.4の証明のように部分列をとればよい。</ref>

各 $u^{(k)}$ は $G(u^{(k)})\in C^1(\Omega)$、$\displaystyle D_i(G(u^{(k)}))=\sum_{j=1}^m D_jG(u^{(k)})D_iu^{(k)}_i\ (i=1,\ldots,n)$ をみたす。また、$G(0)=0$ より $G(t)\le\norm{DG}_\infty|t|\ (t\in\R)$ となることから $|G(u^{(k)})|\le\norm{DG}_\infty v$、$\displaystyle \left|\sum_{j=1}^mD_jG(u^{(k)})D_iu^{(k)}_j\right|\le C\norm{DG}_\infty v_i$。$\displaystyle G(u^{(k)})\to G(u),\sum_{j=1}^m D_jG(u^{(k)})\cdot D_iu^{(k)}_j\to \sum_{j=1}^mD_jG(u)D_iu_j\ (k\to\infty)$ であるからLebesgueの収束定理より
$$\norm{G(u^{(k)})-G(u)}_p,\norm{D_i(G(u^{(k)}))-\sum_{j=1}^mD_jG(u)D_iu_j}_p\to 0\ (k\to\infty)$$
となる。これより
$$G(u)\in W^{1,p}(\Omega),D_i(G(u))=\sum_{j=1}^mD_jG(u)D_iu_j.$$

一般の場合を示す。$\xi\in C^1(\R)$ を
$$|\xi|\le 1,\xi(t)=1\ \jf t\ge 1,\xi(t)\le 1\ \jf t\le 1,\xi(t)=t\ \jf |t|\le\frac{1}{2}$$
となるようにとり、$M\gt 0$ について $\xi_M(t)\colon=M\xi(M^{-1}t)\ (t\in\R)$ とする。$\xi$、$\xi_M$ は
$$\xi'\in C_c(\R),|\xi_M'(t)|=|\xi'(M^{-1}t)|\le 1,\xi_M'(t)\to 1\ (M\to\infty)$$
をみたす。

$G_M\colon=\xi_M(G)$ とする。$\xi_M(G)\in C^1(\R^m)$、$D_j(\xi_M(G))=\xi_M'(G)D_jG\in C_c(\R^m)^m$ であるから $DG\in L^\infty(\R^m)^m$ の場合より
$$G_M(u)\in W^{1,p}(\Omega),D_i(G_M(u))=\xi_M'(G(u))\sum_{j=1}^mD_jG(u)D_iu_j.$$
$|G_M(u)|\le|G(u)|$、$|\xi_M'(u)DG(u)|\le|DG(u)|$で、$$G_M(u)\to G(u),\sum_{j=1}^m\xi_M'(u)D_jG(u)D_iu_j\to \sum_{j=1}^m D_jG(u)D_iu_j\ (M\to\infty)$$
であるからLebesgueの収束定理より
$$\norm{G_M(u)-G(u)}_p,\norm{D_i(G_M(u))-\sum_{j=1}^m D_jG(u)D_iu_j}_p\to 0\ (M\to\infty).$$
よって
$$G(u)\in W^{1,p}(\Omega),D_i(G(u))=\sum_{j=1}^mD_jG(u)D_iu_j.$$
{{end|proof}}

{{theorem|type=rmk}}
$G(0)=0$ かつ $DG\in L^\infty(\R^m)^m$ であれば十分である。とくに $|\Omega|\lt\infty$ のときは $DG\in L^\infty(\R^m)^m$ であれば十分である。

帰納法により高階の合成関数の微分公式も成り立つ。すなわち、$u\in W^{k,1}_{\loc}(\Omega)^m$、$G\in C^k(\R^m)$ とすると、$G(u)$ の形式的な $\alpha$ 階微分( $|\alpha|\le k$ )がすべて $L^1_{\loc}(\Omega)$ に属せば $G(u)\in W^{k,1}_{\loc}(\Omega)$ で $D^\alpha (G(u))$ は形式的な $\alpha$ 階微分と一致する。

{{theorem|type=cor|name=積の微分|label=prod2}}
$k\in\Zp$ とする。$u_1,\ldots ,u_m\in W^{k,1}_{\loc}(\Omega)$ が $|\alpha|\le k$ について
$$\sum_{\beta_1+\ldots +\beta_m=\alpha}\frac{\alpha!}{\beta_1!\ldots \beta_m!}D^{\beta_1}u_1\ldots D^{\beta_m}u_m\in L^1_{\loc}(\Omega)$$
をみたすとすると
$$u_1\ldots u_m\in W^{k,1}_{\loc}(\Omega),D^\alpha(u_1\ldots u_m)=\sum_{\beta_1+\ldots +\beta_m=\alpha}\frac{\alpha!}{\beta_1!\ldots \beta_m!}D^{\beta_1}u_1\ldots D^{\beta_m}u_m\ (|\alpha|\le k).$$

{{begin|proof|display=''Proof.''|collapsible=1}}
$G(t_1,\ldots ,t_m)=t_1\ldots t_m$ として $k$ 階の合成関数の微分公式を用いればよい。
{{end|proof}}

$m=1$ の場合はより正則性を欠いた関数との合成を考えることもできる:

{{theorem|type=lem|label=chainlem}}
$u\in W^{1,1}_{\loc}(\Omega)$ とし、$N\subset\R$ はBorel集合で $|N|=0$ をみたすとする。このとき
$$Du=0\ \ae\on\{x\in\Omega\colon u(x)\in N\}.$$

{{begin|proof|display=''Proof.''|collapsible=1}}
$\Omega$ が有界で $u\in W^{1,1}(\Omega)$ の場合を示せば十分。

$m\in\Zp$ について開集合 $U_m\subset\R$ を $N\subset U_m$、$|U_m|\lt 2^{-m}$ となるようにとる。また $W_m\colon=\{x\in\Omega\colon u(x)\in U_m\}$ として
$$N'\colon=\bigcup_{l=1}^\infty\bigcap_{m=l}^\infty U_m,W\colon=\bigcup_{l=1}^\infty\bigcap_{m=l}^\infty W_m$$
とする。$N'$ は $N\subset N'$、$|N'|=0$ をみたす。

$U'_{m,1}\rcpt U'_{m,2}\rcpt\ldots\rcpt U_m$ を $\displaystyle \bigcup_{l=1}^\infty U'_{m,l}=U_m$ となるようにとると $\displaystyle \left|W_m\backslash\bigcup_{l=1}^\infty \left\{x\in\Omega\colon u(x)\in U'_{m,l}\right\}\right|=0$ となるので十分大きい $l$ をとって $U'_m\colon=U'_{m,l}$、$W'_m\colon=\{x\in\Omega\colon u(x)\in U'_m\}$ とすれば $|W_m\backslash W'_m|\lt 2^{-m}$ となる。

$\varphi_m\in C_c(U_m)$ を $0\le\varphi_m\le 1$ かつ $\varphi_m=1$ in $U'_m$ となるようにとり
$$G_m(t)\colon=\int_{-\infty}^t \varphi_m$$
とする。$G_m\in C^1(\R)$、$0\le G_m'\le 1$ であるから{{ref|type=thm|label=chain1}}より
$$G_m(u)\in W^{1,1}(\Omega),D_i(G_m(u))=G_m'(u)D_iu.$$
$G_m'=1$ in $U'_m$、$G_m'=0$ on $\R\backslash U_m$ より
$$D_i(G_m(u))=D_iu\ \on\ W'_m,D_i(G_m(u))=0\ \on\ \Omega\backslash W_m.$$
また
$$\norm{G_m(u)}_\infty\le\int_\R\varphi_m\le|U_m|\lt 2^{-m}.$$

$W$ と $W_m$ の定義から $\displaystyle W=\bigcup_{l=1}^\infty\bigcap_{m=l}^\infty W_m$ であるからa.e. $x\in \Omega\backslash W$ について十分大きい $m$ をとれば $D_i(G_m(u))(x)=0$ となる。一方
\begin{align*}
\left|W\backslash\bigcup_{l=1}^\infty\bigcap_{m=l}^\infty W'_m\right|&=\lim_{k\to\infty}\left|\bigcap_{m=k}^\infty W_m\backslash\bigcup_{l=1}^\infty\bigcap_{m=l}^\infty W'_m\right|\\
&\le\liminf_{k\to\infty}\left|\bigcap_{m=k}^\infty W_m\backslash\bigcap_{m=k}^\infty W'_m\right|\\
&=\liminf_{k\to\infty}\left|\bigcup_{l=k}^\infty\left(\bigcap_{m=k}^\infty W_m\backslash W'_l\right)\right|\\
&\le\liminf_{k\to\infty}\left|\bigcup_{l=k}^\infty(W_l\backslash W'_l)\right|\\
&\le\liminf_{k\to\infty}\sum_{l=k}^\infty|W_l\backslash W'_l|\\
&\le\liminf_{k\to\infty}\sum_{l=k}^\infty 2^{-l}=0.
\end{align*}
よってa.e. $x\in W$ について十分大きい $m$ をとれば $D_i(G_m(u))(x)=D_iu(x)$ となる。従って
$$D_i(G_m(u))\to D_iu\chi_W\ \ae\inn\Omega\ (m\to\infty).$$
$|D_i(G_m(u))|\le |D_iu|$ であるからLebesgueの収束定理より
$$\norm{D_i(G_m(u))-D_iu\chi_W}_1\to 0\ (m\to\infty).$$
一方 $\norm{G_m(u)}_\infty\lt 2^{-m}\to 0\ (m\to\infty)$。よって $G_m(u)$ は $m\to\infty$ とすると $W^{1,1}(\Omega)$ において $0$ に収束し、
$$D_iu\chi_W=0\ \ae\inn \Omega.$$
よって $Du=0$ a.e. on $W$。$W$ の定義より $\{x\in\Omega\colon u(x)\in N\}\subset W$ となるので主張が示された。
{{end|proof}}

{{theorem|type=thm|name=局所絶対連続関数と $W^{1,p}$ 関数の合成|label=chain2}}
$p\in[1,\infty]$、$u\in W^{1,p}_{\loc}(\Omega)$ とする。
*(1) $\R$ 上の $\L^n$ -可測関数 $f$ について $f(u)D_iu\ (i=1,\ldots ,n)$ はwell-definedである。
*(2) $G\in W^{1,1}_{\loc}(\R)$ とする。$u$ が
$$G(u),G'(u)D_iu\in L^p_{\loc}(\Omega)\ (i=1,...n)$$
をみたすとすると
$$G(u)\in W^{1,p}_{\loc}(\Omega),D_i(G(u))=G'(u)D_iu\ (i=1,\ldots ,n).$$

{{begin|proof|display=''Proof.''|collapsible=1}}
(1)を示す。$f$ のBorel可測な代表元 $f_1$ をとると $f_1(u)D_iu$ は $\L^n$ -可測である。また $f_2$ を $f$ の別の代表元とすると{{ref|type=lem|label=chainlem}}より
$$D_iu=0\ \ae\on\{x\in\Omega\colon f_1(u(x))\neq f_2(u(x))\}$$
であるから $f_1(u)D_iu=f_2(u)D_iu$ a.e. in $\Omega$ となる。これより $f(u)D_iu$ はwell-definedである。

(2)を示す。{{ref|type=thm|label=chain1}}
と同様に $p\in[1,\infty)$、$u\in W^{1,p}(\Omega)$、$G(u),G'(u)D_iu\in L^p(\Omega)$、$G(0)=0$ の場合を示せば十分。<ref name="chainsuf" />

$G'\in L^\infty(\R)$ の場合を示す。$\varepsilon\gt 0$ について $G_\varepsilon\colon=\eta_\varepsilon*G-\eta_\varepsilon*G(0)$ とする。$G_\varepsilon\in C^\infty(\R)$、$|G_\varepsilon'|\le\norm{G'}_\infty$、$G_\varepsilon(0)=0$ であるから{{ref|type=thm|label=chain1}}より
$$G_\varepsilon(u)\in W^{1,p}(\Omega),D_i(G_\varepsilon(u))=G_\varepsilon'(u)D_iu.$$
また $G_\varepsilon\to G,G_\varepsilon'\to G'$ a.e. in $\R\ (\varepsilon\to +0)$ であり、{{ref|type=lem|label=chainlem}}より $G_\varepsilon(u(x))\to G(u(x)),G_\varepsilon'(u(x))\to G'(u(x))\ (\varepsilon\to +0)$ とならないほどんど全ての $x\in\Omega$ について $D_iu(x)=0$ であるから
$$G_\varepsilon(u)\to G(u),G_\varepsilon'(u)D_iu\to G'(u)D_iu\ \ae\inn\Omega\ (\varepsilon\to +0).$$
$|G(u)|\le\norm{G'}_\infty|u|$、$|G_\varepsilon'(u)D_iu|\le\norm{G'}_\infty|D_iu|$ であるからLebesgueの収束定理より
$$\norm{G_\varepsilon(u)-G(u)}_p,\norm{G_\varepsilon'(u)D_iu-G'(u)D_iu}_p\to 0\ (\varepsilon\to +0).$$
従って
$$G(u)\in W^{1,p}(\Omega),D_i(G(u))=G(u)D_iu.$$

$u\in L^\infty(\Omega)$ の場合を示す。$\zeta\in C^\infty(B_2(0))$、$\zeta=1$ in $B_1(0)$ をとり、$m\in\Zp$ として $\zeta_m(x)\colon=\zeta(m^{-1}x)\ (x\in\R^n)$ とする。

$M\gt 0$ について $G_M(t)\ (t\in\R)$ を
$$G_M(t)=
\begin{cases}
\int_0^t\min\{\max\{G'(s),-M\},M\}ds\ &\colon t\ge 0\\
-\int_0^{-t}\min\{\max\{G'(s),-M\},M\}ds\ &\colon t\lt 0\\
\end{cases}$$
と定める。このとき $|G_M'|\le M$、$G_M'=\min\{\max\{G',-M\},M\}$、$G_M(0)=0$。

$|G_M'|\le M$、$G_M(0)=0$ より $|G_M(t)|\le M|t|\ (t\in\R)$ であるから $G_M(\zeta_mu)\in L^p(\Omega)$ で $\supp G_M(u)\subset B_{2m}(0)$ より $\supp G_M(\zeta_mu)\in L^p(\Omega)$。$G'\in L^\infty(\R)$ の場合より
$$G_M(u)\in W^{1,p}(\Omega),D_i(G_M(u))=\min\{\max\{G'(u),-M\},M\}D_iu.$$
また
$$|G_M(t)|\le
\begin{cases}
\int_0^t|\min\{\max\{G'(s),-M\},M\}|ds\le\int_0^t|G'(s)|ds\ &\colon t\ge 0\\
\int_0^{-t}|\min\{\max\{G'(s),-M\},M\}|ds\le\int_0^{-t}|G'(s)|ds\ &\colon t\lt 0\\
\end{cases}$$
であるから
$$|G_M(u)|\le\int_{-\norm{u}_\infty}^{\norm{u}_\infty}|G'(s)|ds.$$
またLebesgueの収束定理より各 $t\in\R$ について $G_M(t)\to G(t)\ (M\to\infty)$ であるからLebesgueの収束定理より
$$\norm{\zeta_mG_M(u)-\zeta_mG(u)}_p\to 0\ (M\to\infty).$$
また $t\in\R$ について $\min\{\max\{G'(t),-M\},M\}\le |G'(t)|$、$\min\{\max\{G'(t),-M\},M\}\to G'(t)\ (M\to\infty)$ であるから $|D_i(\zeta_mG_M(u))|\le|D_i\zeta_m||G_M(u)|+|\zeta_m||G(u)D_iu|$、$D_i(\zeta_mG_M(u))\to D_i\zeta_mG(u)+\zeta_mG'(u)D_iu\ (M\to\infty)$。Lebesgueの収束定理より
$$\norm{D_i(\zeta_mG_M(u))-(D_i\zeta_mG_M(u)+\zeta_mG'(u)D_iu)}_p\to 0\ (M\to\infty).$$
よって
$$\zeta_mG(u)\in W^{1,p}(\Omega),D_i(\zeta_mG(u))=D_i\zeta_mG_M(u)+\zeta_mG'(u)D_iu.$$
$m\to\infty$ とすれば $\norm{\zeta_mG(u)-G(u)}_p,\norm{D_i\zeta_mG_M(u)+\zeta_mG'(u)D_iu-G'(u)D_iu}_p\to 0$ となるので
$$G(u)\in W^{1,p}(\Omega),D_i(G(u))=G'(u)D_iu.$$

一般の場合を示す。$M,N\ge 0$ について
$$u_{M,N}\colon=\min\{\max\{u,-N\},M\}$$
とする。$G'\in L^\infty(\R)$ の場合より
$$u_{M,N}\in W^{1,p}(\Omega),D_iu_{M,N}=D_iu\chi_{\{-N\lt u\lt M\}}.$$
また $|u_{M,N}|\le \max\{M,N\}$ で、
$$|G'(u_{M,N})D_iu_{M,N}|=|G'(u_{M,N})D_iu|\chi_{\{-N\lt u\lt M\}}=|G'(u)D_iu|\chi_{\{-N\lt u\lt M\}}\le|G'(u)D_iu|$$
となるので $u\in L^\infty(\Omega)$ の場合より
$$G(u_{M,N})\in W^{1,p}(\Omega),D_i(G(u_{M,N}))=G'(u_{M,N})D_iu_{M,N}.$$

a.e. $x\in\Omega$ について $M,N\gt|u(x)|$ とすれば $u_{M,N}(x)=u(x)$ となることから
$$G(u_{M,N})\to G(u),G'(u_{M,N})D_iu_{M,N}\to G'(u)D_iu\ \ae\inn\Omega\ (M,N\to\infty).$$
$|G'(u_{M,N})D_iu_{M,N}|\le|G'(u)D_iu|$ であるからLebesgueの収束定理より
$$\norm{G'(u_{M,N})D_iu_{M,N}-G'(u)D_iu}_p\to 0\ (M,N\to\infty).$$

また $j\in\Zz$ について次のように $L_j,M_j,N_j\ge 0$ をとる:

$L_0=M_0=N_0\colon=0$ とする。

$L_j,M_j,N_j$ がとれたとする。 $|\{|u|\gt L\}|\to 0\ (L\to\infty)$ に注意し、$L_{j+1}$ を
$$L_{j+1}\ge L_j+1,|G(L_j)|^p|\{u\gt L_{j+1}\}|\lt 2^{-(j+1)},|G(-L_j)|^p|\{u\lt -L_{j+1}\}|\lt 2^{-(j+1)}$$
となるようにとる。$M_{j+1},N_{j+1}$ を $M_{j+1},N_{j+1}\in [L_j,L_{j+1}]$ かつ
$$|G(M_{j+1})|=\inf_{[L_j,L_{j+1}]}|G|,|G(-N_{j+1})|=\inf_{[-L_{j+1},-L_j]}|G|$$
となるようにとる。

このとき $j\in\Zp$ とすると $M_j,N_j\le L_j$ で $t\in[M_j,L_j]$ について $|G(M_j)|\le|G(t)|$、$t\in[-L_j,-N_j]$ について $|G(-N_j)|\le|G(t)|$。これより
$$|G(u_{M_j,N_j})|\chi_{\{|u|\le L_j\}}=
\begin{cases}
|G(-N_j)|\le|G(u)|&\colon u\in [-L_j,-N_j]\\
|G(u)|&\colon u\in(-N_j,M_j)\\
|G(M_j)|\le|G(u)|&\colon u\in [M_j,N_j]\\
0&\colon |u|\gt L_j
.\end{cases}
$$
また $\chi_{\{|u|\le L_j\}}\to 1$ a.e. in $\Omega\ (j\to\infty)$ より
$$G(u_{M_j,N_j})\chi_{\{|u|\le L_j\}}\to G(u)\ \ae\inn\Omega\ (j\to\infty).$$
Lebesgueの収束定理より
$$\norm{G(u_{M_j,N_j})\chi_{\{|u|\le L_j\}}-G(u)}_p\to 0\ (j\to\infty).$$
また $M_j,N_j\ge L_{j-1}\ge j-1$ より $M_j,N_j\to\infty\ (j\to\infty)$ であり、
\begin{align*}
\int_\Omega|G(u_{M_j,N_j})|^p\chi_{\{|u|\gt L_j\}}&=\int_\Omega(|G(M_j)|^p\chi_{\{u\gt M_j\}}+|G(-N_j)|^p\chi_{\{u\lt -N_j\}})\\
&=|G(M_j)||\{u\gt M_j\}|+|G(-N_j)||\{u\gt -N_j\}|\\
&\le|G(L_j)||\{u\gt L_{j-1}\}|+|G(-L_j)||\{u\gt -L_{j-1}\}|\\
&\le 2^{1-j}\to 0\ (j\to\infty).
\end{align*}
従って
$$\norm{G(u_{M_j,N_j})-G(u)}_p\to 0\ (j\to\infty).$$
$M_j,N_j\ge L_{j-1}\ge j-1\to\infty\ (j\to\infty)$ より
$$\norm{G'(u_{M_j,N_j})D_iu_{M_j,N_j}-G'(u)D_iu}_p\to 0\ (j\to\infty)$$
となることとあわせて
$$G(u)\in W^{1,p}(\Omega),D_i(G(u))=G'(u)D_iu$$
が成り立つ。
{{end|proof}}

==差分商による特徴づけ==
{{theorem|type=def|name=差分商|label=difq}}
$f\colon\Omega\to\R$ と開集合 $\Omega'\rcpt\Omega$ と $0\lt|h|\lt\dist(\Omega',\pOm)$ なる $h\in\R$ と $z\in\partial B_1(0)$ について
$$\Delta^h_z f(x)\colon=\frac{f(x+hz)-f(x)}{h}\ (x\in\Omega',i=1,\ldots ,n)$$
により $f$ の $z$ 方向の差分商 $\Delta^h_z f\colon\Omega'\to\R$ を定める。$\Delta^h_{e_i} f$ は $\Delta^h_i f$ と書く。

{{theorem|type=pro|name=差分商の初等的性質|label=difq1}}
開集合 $\Omega'\rcpt\Omega$ と $0\lt|h|\lt\frac{1}{2}\dist(\Omega',\pOm)$ なる $h\in\R$ と $\partial B_1(0)$ について次が成り立つ:
*(1) $f\in C^1(\Omega)$ について
$$\Delta^h_z f(x)=\int_0^1 D_if(x+thz)dt\ (x\in\Omega').$$
*(2) $f\colon\Omega\to\R$ について
$$\Delta^h_z(fg)(x)=\Delta^h_zf(x)g(x)+f(x+hz)\Delta^h_zg(x)=\Delta^h_zf(x)g(x+hz)+f(x)\Delta^h_zg(x)\ (x\in\Omega').$$
*(3) $f\colon \Omega\to\R$ と $g\colon\R^n\to\R$ が $\L^n$ -可測で $\supp g\subset\Omega'$ かつ $f(\cdot+hz)g,fg\in L^1(\Omega)$ とすると
$$\int_{\Omega'}\Delta^h_zfg=-\int_{\Omega}f\Delta^{-h}_zg.$$

{{begin|proof|display=''Proof.''|collapsible=1}}
(1) は微積分基本公式から直ちに従う。

(2) は
$$f(x+hz)g(x+hz)-f(x)g(x)=(f(x+hz)-f(x))g(x)+f(x+hz)(g(x+hz)-g(x))$$
から従う。

(3) は
\begin{align*}
\int_{\Omega'} \Delta^h_zfg&=\frac{1}{h}\left(\int_{\Omega'} f(x+hz)g(x)dx-\int_{\Omega'} f(x)g(x)dx\right)\\
&=\frac{1}{h}\left(\int_{\Omega'+hz} f(x)g(x-hz)dx-\int_{\Omega'} f(x)g(x)dx\right)\\
&=-\frac{1}{-h}\left(\int_\Omega f(x)g(x-hz)dx-\int_\Omega f(x)g(x)dx\right)\\
&=-\int_\Omega f\Delta^{-h}_zg
\end{align*}
となり従う。
{{end|proof}}

$p\in(1,\infty]$ のとき、差分商を用いて $W^{1,p}(\Omega)$ を特徴づけることができる。差分商は微分可能性を仮定することなく定義できるため、この特徴づけは $u\in W^{1,p}(\Omega)$ を示す上でしばしば有用なものである。

{{theorem|type=lem|label=difqlem}}
*(1) $p,p'\in[1,\infty]$ とする。$u\in W^{1,p}(\Omega)$ とすると $z\in\partial B_1(0)$ について
$$\norm{D_zu}_p=\sup\left\{\int_\Omega uD_z\varphi\colon\varphi\in C^\infty_c(\Omega),\norm{\varphi}_{p'}\le 1\right\}.\tag{*}\label{difqlem1}$$
ここで $\displaystyle D_zu\colon=z\cdot Du$ である。
*(2) $p\in(1,\infty]$ の場合は逆に $u\in L^p(\Omega)$ で各 $i=1,\ldots ,n$ について(\ref{difqlem1})の右辺が有限であれば $u\in W^{1,p}(\Omega)$ である。

{{begin|proof|display=''Proof.''|collapsible=1}}
(1)を示す。(\ref{difqlem1})の右辺を $A_z$ とおく。$\varphi\in C^\infty(\Omega)$ について
$$\int_\Omega uD_z\varphi=-\int_\Omega D_zu\varphi$$
であるから
$$A_z=\sup\left\{-\int_\Omega D_zu\varphi\colon\varphi\in C^\infty_c(\Omega),\norm{\varphi}_{p'}\le 1\right\}=\norm{D_zu}_p.$$

(2)を示す。$A_i=A_{e_i}\lt\infty\ (i=1,\ldots ,n)$ とすると $\varphi\mapsto\int_\Omega uD_i\varphi$ は $L^{p'}(\Omega)$ 上の有界線型汎関数に拡張され、$p'\in[1,\infty)$ よりこの汎関数はある $v_i\in L^p(\Omega)$ を用いて $\varphi\mapsto-\int_\Omega v_i\varphi$ と表される。従って
$$\int_\Omega uD_i\varphi=-\int_\Omega v_i\varphi\ (\forall\varphi\in C^\infty_c(\Omega))$$
となり $u\in W^{1,p}(\Omega)$、$D_iu=v_i$ となる。
{{end|proof}}

{{theorem|type=rmk}}
(2)は $p=1$ の場合は成り立たない。<ref name="BV">(2)で $p=1$ とした仮定をみたす関数は有界変動関数と呼ばれる。$\Omega$ 上の有界変動関数の空間は $BV(\Omega)$ と書かれ、これも重要な関数空間のひとつである。</ref>例えば $n=1$、$\Omega=\R$、$u=\chi_{(0,\infty)}$ とすると $\varphi\in C^\infty_c(\R)$、$\norm{\varphi}_\infty\le 1$ について $\int_\R u\varphi'=\int_0^\infty \varphi'=-\varphi(0)\le 1$ となる。一方 $u\in W^{1,1}(\Omega)$ であったとして $v=u'$ とすると任意の $\varphi\in C^\infty_c(\R)$ について $\int_\R v\varphi=\varphi(0)$ となり、とくに $x\in\R\backslash\{0\}$ として $\varepsilon\gt 0$ を十分小さくとると $\eta_\varepsilon*v(x)=\eta_\varepsilon(x)=0$ となるので $\eta_\varepsilon*v\to 0$ a.e. in $\R$ であり $v=0$ となるがこれは $\int_\R v\varphi=\varphi(0)$ に矛盾する。

{{theorem|type=thm|name=$W^{1,p}(\Omega)$ の差分商による特徴づけ|label=difq1}}
*(1) $\Omega'\rcpt\Omega$ を開集合とする。$0\lt|h|\lt\frac{1}{2}\dist(\Omega',\pOm)$ なる $h\in\R$ と $z\in\partial B_1(0)$ と $p\in[1,\infty]$、$u\in W^{1,p}(\Omega)$ について
$$\norm{\Delta^h_z u}_{p;\Omega'}\le \norm{D_zu}_p.$$
*(2) $p\in(1,\infty]$ の場合は逆に $u\in L^p(\Omega)$ について、$C_i\ge 0$ が存在して任意の開集合 $\Omega'\rcpt\Omega$ と $0\lt|h|\lt\frac{1}{2}\dist(\Omega',\pOm)$ なる $h\in\R$ について $\norm{\Delta^h_i u}_{p;\Omega'}\le C_i$ が成り立てば
$$u\in W^{1,p}(\Omega),\norm{D_iu}_{p;\Omega}\le C_i\ (i=1,\ldots ,n).$$

{{begin|proof|display=''Proof.''|collapsible=1}}
(1)を示す。$\varphi\in C^\infty_c(\Omega')$、$\norm{\varphi}_{p'}\le 1$ について
$$\int_{\Omega'}\Delta^h_z u\varphi=-\int_\Omega u\Delta^{-h}_z\varphi=-\int_\Omega u(x)\left(\int_0^1 D_z\varphi(x-thz)dt\right)dx$$
で、{{ref|type=lem|label=difqlem}}より $t\in[0,1]$ について
$$-\int_\Omega u(x)\varphi(x-thz)dx\le\norm{D_zu}_p.$$
よって $\norm{\Delta^h_zu}_p\le\int_0^1\norm{D_zu}_pdt=\norm{D_zu}_p$。

(2)を示す。$\varphi\in C^\infty_c(\Omega)$、$\norm{\varphi}_{p'}\le 1$ として開集合 $\Omega'\rcpt\Omega$ を $\supp\varphi\subset\Omega'$ となるようにとると十分小さい $h\gt 0$ について
$$C_i\ge-\int_\Omega\Delta^h_i u(x)\varphi(x)dx=\int_\Omega u(x)\Delta^{-h}_i\varphi(x)dx=\int_\Omega u(x)\left(\int_0^1 D_i\varphi(x-the_i)dt\right)dx$$
で、$h\to +0$ とすれば
$$\int_\Omega uD_i\varphi\le C_i$$
となる。{{ref|type=lem|label=difqlem}}より $u\in W^{1,p}(\Omega)$、$\norm{D_iu}_p\le C_i$。
{{end|proof}}

{{theorem|type=rmk}}
$\Omega\subset\Rnp$ とし、$T\subset\pOm$ を $T\subset\pRnp$ なる相対開集合とする。$\Omega'\rcpt\OmT$ を開集合とし、$h\in\R$、$0\lt|h|\lt\frac{1}{2}\dist(\Omega',\pOm\backslash T)$ とすると、$z\in\partial B_1(0)\cap\pRnp$ については
$f\colon\Omega\to\R$ の差分商 $\Delta^h_i f\colon\Omega'\to\R$ を定義することができる。$p\in(1,\infty]$、$u\in L^p(\Omega)$、$i=1,\ldots ,n-1$ について、$C_i\ge 0$ が存在して任意の開集合 $\Omega'\rcpt\OmT$ と $h\in\R$、$0\lt|h|\lt\frac{1}{2}\dist(\Omega',\pOm)$ について $\norm{\Delta^h_i u}_{p;\Omega'}\le C_i$ が成り立てば $u$ の弱微分 $D_iu$ が存在し
$$\norm{D_iu}_p\le C_i\ (i=1,\ldots ,n-1)$$
となることが{{ref|type=thm|label=difq1}}と同様に示される。これは境界の近傍における $u$ の正則性を調べる上で重要となるが、法線微分 $D_nu$ が存在するかは別の方法で調べる必要がある。

==$p=\infty$ の場合==
$W^{k,\infty}(\Omega)$ は著しく特殊であり、Lipschitz連続性によって特徴づけることができる。
{{theorem|type=thm|name=$W^{k,\infty}(\Omega)$ の特徴づけ|label=lip}}
$k\in\Zp$ とする。
*(1) $C^{k-1,1}(\Ombar)\subset W^{k,\infty}(\Omega)$ で $u\in C^{k-1,1}(\Ombar)$ について
$$\norm{D^ku}_{\infty;\Omega}\le[u]_{k-1,1;\Omega}.$$
さらに $\Omega$ が[[Hölder空間の基本事項]]の補題14の($\dagger$)をみたすとすると $W^{k,\infty}(\Omega)=C^{k-1,1}(\Ombar)$ で $u\in W^{k,\infty}(\Omega)$ について
$$[u]_{k-1,1;\Omega}\le C_{k,\Omega}\norm{D^ku}_{k,\infty;\Omega}.$$
*(2) 任意の開集合 $\Omega\subset\R^n$ について
$$W^{k,\infty}_{\loc}(\Omega)=C^{k-1,1}(\Omega).$$

また $u\in W^{k,\infty}_{\loc}(\Omega)=C^{k-1,1}(\Omega)$ について、$k$ 階以下の各点での微分と弱微分は一致する。

{{begin|proof|display=''Proof.''|collapsible=1}}
$k=1$ の場合を示せば十分。

(2)は(1)と凸領域が($\dagger$)をみたすことから直ちに従う。

(1)を示す。$u\in C^{0,1}(\Ombar)$ とすると任意の $\Omega'\rcpt\Omega$ について $\Delta^h_iu$ は $h\to +0$ とすると $\Omega'$ 上で各点微分の意味の $D_iu$ に収束する。$\varphi\in C^\infty_c(\Omega')$ について
$$\int_\Omega D_iu\varphi=\lim_{h\to 0}\int_{\Omega'}\Delta^h_iu\varphi=-\lim_{h\to 0}\int_\Omega u\Delta^{-h}_i\varphi=-\int_\Omega uD_i\varphi.$$
これより $u\in W^{1,\infty}(\Omega)$ で、$u$ は弱微分は a.e. in $\Omega$ で $u$ の各点微分と一致する。また $\norm{D_iu}_\infty\le[u]_{0,1}$。

逆に $u\in W^{1,\infty}(\Omega)$ とする。$x,y\in\Omega$ とし、$x_0=x$、$x_N=y$、$l(p)\le L|x-y|$ となるように $\Omega$ 内の折れ線 $p=\{x_i\}_{i=0}^N$ をとる。$\displaystyle \bigcup_{i=0}^N\{(1-t)x_i+tx_{i+1}\colon t\in[0,1]\}$ はコンパクトより開集合 $\Omega'\rcpt\Omega$ をとって $\displaystyle\bigcup_{i=0}^N\{(1-t)x_i+tx_{i+1}\colon t\in[0,1]\}\subset\Omega'$ とできる。$\zeta\in C^\infty_c(\Omega)$ を $\zeta=1$ in $\Omega'$ となるようにとる。十分小さい $\varepsilon\gt 0$ をとると任意の $i=0,\ldots ,N-1$ と $t\in[0,1]$ について $B_\varepsilon((1-t)x_i+tx_{i+1})\subset\Omega'$ となり
$$|\eta_\varepsilon*D(\zeta u)((1-t)x_i+tx_{i+1})|\le C\norm{D(\zeta u)}_{\infty;\Omega'}=C\norm{Du}_{\infty;\Omega'}\ (j=1,\ldots ,n).$$
これより $i=0,\ldots ,N-1$ について
\begin{align*}
|\eta_\varepsilon*(\zeta u)(x_{i+1})-\eta_\varepsilon*(\zeta u)(x_i)|&=\left|\int_{\R^n}(\eta_\varepsilon(x_{i+1}-z)-\eta_\varepsilon(x_i-z))(\zeta u)(z)dz\right|\\
&=\left|\int_{\R^n}\left(\int_0^1 D\eta_\varepsilon((1-t)x_i+tx_{i+1}-z)\cdot(x_{i+1}-x_i)dt\right)(\zeta u)(z)dz\right|\\
&=\left|\int_0^1\eta_\varepsilon*D(\zeta u)((1-t)x_i+tx_{i+1})\cdot(x_{i+1}-x_i)dt\right|\\
&=\int_0^1|\eta_\varepsilon*D(\zeta u)((1-t)x_i+tx_{i+1})||x_{i+1}-x_i|dt\\
&\le C\norm{Du}_{\infty}|x_{i+1}-x_i|
\end{align*}
となり
$$|\eta_\varepsilon*(\zeta u)(y)-\eta_\varepsilon*(\zeta u)(x)|\le C\norm{Du}_\infty l(p)\le C\norm{Du}_\infty|x-y|.$$
$\varepsilon\to+0$ すれば、$u$ のLebesgue点 $x,y\in\Omega'$ について
$$|u(x)-u(y)|\le C\norm{Du}_\infty|x-y|$$
が成り立つ。$\Omega$ のほとんど全ての点が $u$ のLebesgue点であり、とくに $u$ のLebesgue点は $\Omega$ で稠密であるから、$u^*\colon\Omega\to\R$ を $u$ のLebesgue点で $u^*=u$ かつ $|u^*(x)-u^*(y)|\le C\norm{Du}_\infty|x-y|\ (\forall x,y\in\Omega)$ となるようにとれる。これより
$$u=u^*\in C^{0,1}(\Ombar),[u]_{0,1}\le C\norm{Du}_\infty.$$
{{end|proof}}

{{theorem|type=rmk}}
同様にして $T\subset\pOm$ が[[Hölder空間の基本事項]]の系16の($\dagger_\loc$)をみたすとき $W^{k,\infty}_\loc(\Omega)\subset C^{k-1,1}(\Omega\cup T)$ となることが証明できる。

$\gamma\colon [a,b]\to\Omega$ をLipschitz曲線とし、$u\in C^{0,1}(\Omega)$ とすると $u\circ\gamma\in C^{0,1}([a,b])=W^{1,\infty}(a,b)$ となるので $x\colon=\gamma(a)$、$y\colon=\gamma(b)$ とすれば
$$u(y)=u(x)+\int_a^b (u\circ\gamma)'(t)dt$$
が成り立つ。とくに a.e. $t\in(a,b)$ について $u$ が $\gamma(t)$ において微分可能であれば
$$u(y)=u(x)+\int_a^b Du(\gamma(t))\cdot\gamma'(t)dt$$
が成り立つ。

==変数変換公式==

{{theorem|type=thm|name=変数変換公式|label=chavar}}
$D,\widetilde{D}\subset\R^n$ を開集合とし、$\psi\colon \widetilde{D}\to D$ は全単射で $\psi,\psi^{-1}$ はともに $C^{0,1}$ 写像であるとする。$\widetilde{\Omega}\rcpt\widetilde{D}$ を開集合とし、$\Omega\colon=\psi(\widetilde{\Omega})$ とする。$u\in W^{1,p}(\Omega)$ について
$$u\circ\psi\in W^{1,p}(\widetilde{\Omega}),D_j(u\circ\psi)=\sum_{i=1}^n (D_iu\circ\psi)D_j\psi_i.$$
とくに
$$\norm{u\circ\psi}_{1,p;\widetilde{\Omega}}\le C_{\psi}\norm{u}_{1,p;\Omega}.$$

{{begin|proof|display=''Proof.''|collapsible=1}}
$u\in C^{0,1}(\Omega)\cap W^{1,p}(\Omega)$ とする。$u$ はa.e. in $\Omega$ で微分可能で、{{ref|type=thm|label=lip}}より各点微分は弱微分と一致する。また $\psi^{-1}$ がLipschitz写像であることから $|\{y\in\widetilde{\Omega}\colon\ u\ は\ \psi(y)\ で微分不可能\}|=|\psi^{-1}(\{x\in\Omega\colon u\ は\ x\ で微分不可能\})|=0$ となり、a.e. $y\in\widetilde{\Omega}$ について $u$ は $\psi(y)$ で微分可能である。 $\psi$ はa.e. in $\widetilde{\Omega'}$ で微分可能であるから $u\circ\psi$ もa.e. in $\widetilde{\Omega'}$ で微分可能で
$$D_j(u\circ\psi)=\sum_{i=1}^n (D_iu\circ\psi)D_j\psi_i.$$
$p=\infty$ の場合は $\norm{u\circ\psi}_\infty=\norm{u}_\infty$ と
$$\norm{D_j(u\circ\psi)}_\infty\le\sum_{i=1}^n \norm{D_iu\circ\psi}_\infty\norm{D_j\psi_i}_\infty\le C\sum_{i=1}^n\norm{D_iu}_\infty$$
より
$$u\circ\psi\in W^{1,\infty}(\Omega),\norm{u\circ\psi}_{1,\infty}\le C\norm{u}_{1,\infty}$$
が成り立つ。

$p\in[1,\infty)$ の場合はarea不等式([[Hausdorff測度とarea_coarea_formula]]の定理19)より
$$\int_{\Omega'}|u\circ\psi|^p\le C\int_\Omega |u|^p.$$
また $D\psi$ は $\Omega'$ 上で有界であるから $i,j\in\{1,\ldots ,n\}$ について
$$\int_{\Omega'}|(D_iu\circ\psi)D_j\psi_i|^p\le C\int_{\Omega'}|D_iu\circ\psi|^p\le C\int_\Omega |D_iu|^p$$
となるので
$$\norm{D_j(u\circ\psi)}_p\le \sum_{i=1}^n\norm{(D_iu\circ\psi)D_j\psi_i}_p\le C\sum_{i=1}^n\norm{D_iu}_p$$
となり
$$u\circ\psi\in W^{1,p}(\Omega),\norm{u\circ\psi}_{1;p}\le C\norm{u}_{1;p}$$
が成り立つ。

$p\in[1,\infty)$ の一般の場合は $u_m\in C^\infty(\Omega)\cap W^{1,p}(\Omega)$ を $\norm{u_m-u}_{1,p}\to 0\ (m\to\infty)$ となるようにとると
$$\norm{u_m-u}_p,\norm{\sum_{i=1}^n(D_iu_m\circ\psi)D_j\psi_i-\sum_{i=1}^n(D_iu\circ\psi)D_j\psi_i}_p\to 0\ (m\to\infty)$$
となることから従う。
{{end|proof}}

{{theorem|type=cor|label=kchavar}}
$D,\widetilde{D}\subset\R^n$ を開集合とし、$\psi\colon \widetilde{D}\to D$ は全単射で $\psi,\psi^{-1}$ はともに $C^{k-1,1}$ 写像であるとする。$\widetilde{\Omega}\rcpt\widetilde{D}$ を開集合とし、$\Omega\colon=\psi(\widetilde{\Omega})$ とする。$u\in W^{k,p}(\Omega)$ について
$$u\circ\psi\in W^{k,p}(\widetilde{\Omega}),\norm{u\circ\psi}_{k,p;\widetilde{\Omega}}\le C_{k,\psi}\norm{u}_{k,p;\Omega}.$$

{{begin|proof|display=''Proof.''|collapsible=1}}
{{ref|type=thm|label=chavar}}と積の微分を用いて $k$ に関する帰納法により証明できる。
{{end|proof}}

==Sobolev空間 $W^{k,p}_0(\OmT)$==

{{theorem|type=def|name=$W^{k,p}_c(\OmT),W^{k,p}_0(\OmT)$|label=defsob0}}
$k\in\Zp$、$p\in[1,\infty)$ とし、$T\subset\pOm$ を相対開集合とする。$W^{k,p}_c(\OmT)$ の $W^{k,p}(\Omega)$ のノルムでの閉包を $W^{k,p}_0(\OmT)$ と表す。$W^{k,p}_0(\Omega\cup\emptyset)$ は単に $W^{k,p}_0(\Omega)$ とかく。

{{theorem|type=rmk}}
{{ref|type=thm|label=apx3}}の注意より、$T$ が線分条件をみたす場合は $C^\infty_c(\OmT)\subset W^{k,p}_0(\OmT)$ は稠密である。とくに $C^\infty_c(\Omega)\subset W^{k,p}_0(\Omega)$ は稠密である。

$W^{1,p}_0(\OmT)$ は「弱い意味で $u=0$ on $\pOm\backslash T$ 」となる関数の空間としてよく用いられ、より高階の微分可能性と組み合わせて $W^{2,p}(\Omega)\cap W^{1,p}_0(\OmT)$ などの形で用いられることがある。なお、この空間を $W^{2,p}_0(\OmT)$ と混同しないように注意せよ。

$W^{k,2}_0(\OmT)$ は $H^k_0(\OmT)$ と書かれることが多い。

{{theorem|type=pro|name=$u\in W^{k,p}_0(\OmT)$ の拡張|label=ext0}}
$k\in\Zp$、$p\in[1,\infty)$ とし、$T\subset\pOm$ を相対開集合とする。$D\subset\R^n$ は開集合で $\Omega\subset D$、
$T\subset\partial D$ をみたすとする。このとき $u\in W^{k,p}_0(\OmT)$ について
$$v\colon=\begin{cases}
u&\ \inn\Omega\\
0&\ \on D\backslash\Omega
\end{cases}$$
とすると $v\in W^{k,p}_0(D\cup T)$ である。

{{begin|proof|display=''Proof.''|collapsible=1}}
$u\in W^{1,p}_c(\OmT)$ とする。$\dist(\supp u,\pOm\backslash T)\gt 0$ より $\zeta\in C^\infty(\Omega)$ を $\zeta=1$ on $\supp u$ かつ $\pOm\backslash T$ の近傍で $\zeta=0$ となるようにとれる。$\zeta=0$ on $D\backslash\Omega$ として $\zeta$ を $D$ 上に拡張すると $D\cap\pOm\subset\pOm\backslash T$ の近傍で $\zeta=0$ より $\zeta\in C^\infty(D)$。また $\supp\zeta\rcpt\OmT$。

$\varphi\in C^\infty_c(D)$ とすると $\zeta\varphi\in C^\infty_c(\Omega)$。$D_i\zeta=0$ on $\supp u$ に注意すると
$$\int_D vD_i\varphi=\int_\Omega \zeta uD_i\varphi=\int_\Omega u(D_i(\zeta\varphi)-D_i\zeta\varphi)=-\int_\Omega D_iu\zeta\varphi=-\int_\Omega D_iu\varphi.$$
これより $v\in W^{1,p}(D)$。また $\supp v=\supp u\rcpt D\cup T$ で、$Dv=Du$ in $\Omega$、$Dv=0$ on $D\backslash\Omega$。

帰納法により $u\in W^{k,p}_c(\OmT)$ のとき $v\in W^{k,p}_c(D\cup T)$ となる。近似により主張が従う。
{{end|proof}}

{{theorem|type=rmk}}
以下では $\Omega\subset D$、
$T\subset\partial D$ のとき $u\in W^{k,p}_0(\OmT)$ とそのここで構成した $D$ 上への拡張を区別せず $W^{k,p}_0(\OmT)\subset W^{k,p}_0(D\cup T)$ と見做す。

{{theorem|type=pro|name=部分積分|label=intpart}}
$p\in[1,\infty)$ とする。$T_1,T_2\subset\pOm$ は $T_1\cap T_2=\emptyset$ をみたすとする。$u\in W^{1,p}_0(\OmT_1)$、$v\in W^{1,p'}_0(\OmT_2)$ とすると
$$\int_\Omega D_iuv=-\int_\Omega uD_iv\ (i=1,\ldots ,n)$$

{{begin|proof|display=''Proof.''|collapsible=1}}
近似により $u\in W^{1,p}_c(\OmT_1)$、$v\in W^{1,p'}_c(\OmT_2)$ としてよい。$uv,D_iuv+uD_iv\in L^1(\Omega)$ より $uv\in W^{1,1}(\Omega)$。$T_1\cap T_2=\emptyset$ より $\supp uv\rcpt\Omega$ であるから $uv\in W^{1,1}_c(\Omega)$。$C^\infty_c(\Omega)\subset W^{1,1}_0(\Omega)$ は稠密であるから近似により $\displaystyle \int_\Omega D_i(uv)=0$。これより主張が従う。
{{end|proof}}

{{theorem|type=pro|label=c0}}
$p\in[1,\infty)$ とし、$T\subset\pOm$ を相対開集合とする。$u\in W^{1,p}(\Omega)$ が任意の有界な $S\subset\pOm\backslash T$ について
$$\limsup_{x\to S}|u(x)|\colon=\lim_{\delta\to +0}\esssup_{\dist(x,S)\lt\delta}|u(x)|=0$$
をみたすとすると $u\in W^{1,p}_0(\OmT)$。

{{begin|proof|display=''Proof.''|collapsible=1}}
$\supp u$ が有界な場合を示す。$B=B_R(0)$ を $\supp u\rcpt B$ となるようにとる。

$G\in C^1(\R)$ を $G(t)=0$ if $|t|\lt 1$、$G(t)=t$ if $|t|\gt 2$ となるようにとる。$G'(t)=1$ if $|t|\gt 2$ より $G'\in L^\infty(\R)$。$\varepsilon\gt 0$ について $G_\varepsilon(t)\colon=\varepsilon G(\varepsilon^{-1}t)$ とする。このとき $G_\varepsilon(t)=0$ if $|t|\lt\varepsilon$、$G_\varepsilon(t)=t$ if $|t|\gt\varepsilon$、$|G'_\varepsilon|\le\norm{G'}_\infty$ であるから{{ref|type=thm|label=chain1}}より $G(u)\in W^{1,p}(\Omega)$。また仮定より十分小さい $\delta\gt 0$ をとると
$$|u|\lt\varepsilon\ \ae\inn\{x\in\Omega\colon\dist(x,(\pOm\cap B)\backslash T)\lt\delta\}\cup(\R^n\backslash B_{R-\delta}(0)).$$
これより
$$\dist(\supp G_\varepsilon(u),(\pOm\cap B)\backslash T),\dist(\supp G_\varepsilon(u),(\pOm\backslash B)\backslash T)\ge\delta$$
従って $\dist((\supp G_\varepsilon(u),\pOm\backslash T)\gt 0$ となり $G_\varepsilon(u)\in W^{1,p}_c(\OmT)$。

$u(x)\neq 0$ なる $x\in\Omega$ について $\varepsilon\lt \frac{1}{2}|u(x)|$ とすれば $G_\varepsilon(u(x))=u(x)$ となり、$u(x)=0$ なる $x\in\Omega$ については $G_\varepsilon(u(x))=u(x)=0$ となるのでLebesgueの収束定理より $\norm{G_\varepsilon(u)-u}_p\to 0\ (\varepsilon\to +0)$。また $u(x)\neq 0$ なる $x\in\Omega$ について $\varepsilon\lt \frac{1}{2}|u(x)|$ とすれば $D(G_\varepsilon(u(x)))=G'_\varepsilon(u(x))Du(x)=Du(x)$ となり、$G'_\varepsilon(0)=0$ と{{ref|type=lem|label=chainlem}}より $D(G_\varepsilon(u))=G'_\varepsilon(u)Du=0=Du$ a.e. on $\{u=0\}$ となるのでLebesgueの収束定理より $\norm{D(G_\varepsilon(u))-Du}_p\to 0\ (\varepsilon\to +0)$。これより $u\in W^{1,p}_0(\OmT)$。

$\Omega$ が有界でない場合は $\zeta\in C^\infty_c(\Omega)$ を $\zeta=1$ in $B_1(0)$ となるようにとり、 $\zeta_m(x)=\zeta(m^{-1}x)\ (m\in\Zp)$ とすると仮定より明らかに $\zeta_mu$ も同じ仮定をみたし $\supp\zeta_mu$ は有界であるから $\zeta_mu\in W^{1,p}_0(\OmT)$。$m\to\infty$ として主張を得る。
{{end|proof}}

{{theorem|type=rmk}}
とくに $u\in W^{1,p}(\Omega)\cap C(\Ombar\backslash T)$ で $u=0$ on $\pOm\backslash T$ であれば $u\in W^{1,p}_0(\OmT)$ となる。

{{theorem|type=pro|name=合成関数と積|label=chapro0}}
$p\in[1,\infty)$ とし、$T\subset\pOm$ を相対開集合とする。
*(1) $G\in C^1(\R^m)$ が
$$G(0,\ldots,0,t_{j+1},\ldots,t_m)=0\ (t_{j+1},\ldots,t_m\in\R)$$
をみたすとする。$u=(u_1,\ldots,u_m)\in W^{1,p}(\Omega)^m$ が
$$u_1,\ldots,u_j\in W^{1,p}_0(\OmT)$$
かつ
$$G(u),\sum_{j=1}^m D_jG(u)D_iu_j\in L^p(\Omega)\ (i=1,\ldots,n)$$
をみたすとすると $G(u)\in W^{1,p}_0(\OmT).$
*(2) $G\in W^{1,1}_{\loc}(\R)$、$G(0)=0$ とする。$u\in W^{1,p}_0(\OmT)$、$G(u),G'(u)D_iu\in L^p(\Omega)$ とすると $G(u)\in W^{1,p}_0(\OmT)$。
*(3) $u\in W^{1,p}_0(\OmT)$、$v\in W^{1,p}(\Omega)$ が $uv,D_iuv+uD_iv\in L^p(\Omega)$ をみたすとすると $uv\in W^{1,p}_0(\OmT)$。

{{begin|proof|display=''Proof.''|collapsible=1}}
(1)の $DG\in L^\infty(\R^m)$ の場合は{{ref|type=thm|label=apx3}}の注意より{{ref|type=thm|label=chain1}}の証明で $u^{(k)}=(u^{(k)}_1,\ldots ,u^{(k)}_m)$ を $u^{(k)}_1,\ldots,u^{(k)}_j\in W^{1,p}_c(\OmT)$ となるようにとれ、このとき $\supp G(u^{(k)})\rcpt\OmT$ となり $G(u)\in W^{1,p}_0(\OmT)$ が従う。一般の場合は{{ref|type=thm|label=chain1}}と同様である。

(2)は(1)より{{ref|type=thm|label=chain2}}の証明で $W^{1,p}(\Omega)$ を $W^{1,p}_0(\OmT)$ にとりかえられることから従う。
{{end|proof}}

==Sobolev空間 $W^{-k,p}(\Omega)$==

{{theorem|type=def|name=$W^{-k,p}(\Omega)$|label=0dual}}
$k\in\Zp$、$p\in(1,\infty]$ とする。$W^{k,p'}_0(\Omega)$ のノルム $\norm{\cdot}_{k,p';\Omega}$ に関する双対空間を $W^{-k,p}(\Omega)$ と表す。

{{theorem|type=pro|label=0dualrep}}
$k\in\Zp$、$p\in(1,\infty]$ とする。$\varphi\in W^{-k,p}(\Omega)$ について $g_\alpha\in L^p(\Omega)\ (|\alpha|\le k)$ が存在し
$$\langle \varphi,u\rangle=\sum_{|\alpha|\le k}(-1)^{|\alpha|}\int_\Omega g_\alpha D^\alpha u\ (\forall u\in W^{k,p}_0(\Omega))\tag{*}\label{rep}$$
かつ
$$\norm{\varphi} =\begin{cases}
\left(\sum_{|\alpha|\le k} \norm{g_\alpha}_{p;\Omega}^p\right)^\frac{1}{p}&\colon p\in(1,\infty)\\
\max_{|\alpha|\le k}\norm{g_\alpha}_{\infty;\Omega} &\colon p=\infty
\end{cases}.$$
ここで $\norm{\cdot}$ は $W^{k,p}_0(\Omega)$ のノルム $\norm{\cdot}_{k,p;\Omega}$ に関する双対ノルムである。

{{begin|proof|display=''Proof.''|collapsible=1}}
$|\alpha|\le k$ なる多重指数 $\alpha$ を $\alpha_1,\ldots ,\alpha_N$ と番号づけて $W^{k,p'}_0(\Omega)$ を $u\mapsto (D^{\alpha_1}u,\ldots ,D^{\alpha_N}u)$ により $L^{p'}(\Omega)^N$ の部分空間と見做す。Hahn-Banachの定理より $\varphi$ は $\varphi'\in(L^{p'}(\Omega)^N)^*$ に拡張でき、$\norm{\varphi'} =\norm{\varphi}$。ここで $\norm{\varphi'}$ は $L^p(\Omega)^N$ のノルム
$$\norm{(f_1,\ldots ,f_N)} =\left(\sum_{i=1}^N|f_i|^p\right)^\frac{1}{p}$$
に関する双対ノルムである。$\varphi'$ は $\varphi'_i\in (L^{p'}(\Omega))^*\ (i=1,\ldots ,N)$ を用いて
$$\langle \varphi',f\rangle=\sum_{i=1}^N\langle \varphi'_i,f_i\rangle\ (f=(f_1,\ldots ,f_N)\in L^{p'}(\Omega))$$
と表され、
$$\norm{\varphi} =\norm{\varphi'} =\begin{cases}
\left(\sum_{i=1}^N \norm{\varphi_i} ^p\right)^\frac{1}{p}&\colon p\in(1,\infty)\\
\max_{i=1,\ldots ,N}\norm{\varphi_i} &\colon p=\infty
\end{cases}.$$
各 $i=1,\ldots ,N$ について $g_i\in L^p(\Omega)$ が存在して $\langle \varphi'_i,f\rangle=(-1)^{|\alpha_i|}\int_\Omega g_if\ (f\in L^{p'}(\Omega))$、$\norm{\varphi'_i} =\norm{g_i}_p$。$g_i$ を $g_{\alpha_i}$ と書き直せば
$$\langle\varphi,u\rangle=\sum_{|\alpha|\le k}\int_\Omega g_\alpha D^\alpha u\ (u\in W^{k,p'}_0(\Omega))$$
かつ
$$\norm{\varphi} =\begin{cases}
\left(\sum_{|\alpha|\le k} \norm{g_\alpha}_p^p\right)^\frac{1}{p}&\colon p\in(1,\infty)\\
\max_{|\alpha|\le k}\norm{g_\alpha}_\infty &\colon p=\infty
\end{cases}$$
が成り立つ。
{{end|proof}}

{{theorem|type=def|name=$W^{-k,p}(\Omega)$ の元の表示|label=defdualrep}}
$\varphi\in W^{-k,p}(\Omega)$ を(\ref{rep})をみたす $g_\alpha\in L^1_\loc(\Omega)$ を用いて
$$\varphi=\sum_{|\alpha|\le k}D^\alpha g_\alpha$$
と表す。またこの表示により $\varphi=g$ と表される $\varphi\in W^{-k,p}(\Omega)$ を $g\in L^1_\loc(\Omega)$ と同一視し、$L^p(\Omega)\subset W^{-k,p}(\Omega)$ と見做す。

{{theorem|type=rmk}}
超関数の用語を用いて言い換えると、$\varphi\in W^{-k,p}(\Omega)$ を $\displaystyle\sum_{|\alpha|\le k}D^\alpha g_\alpha\in\D'(\Omega)$ と同一視して $W^{-k,p}(\Omega)\subset\D'(\Omega)$ と見做すということである。

$W^{-k,2}(\Omega)$ は $H^{-k}(\Omega)$ と書かれることが多い。$H^k_0(\Omega)$ の双対空間は $H^k_0(\Omega)$ の内積構造を用いてRieszの表現定理によって $H^k_0(\Omega)$ 自身と同一視することもできる。しかし、{{ref|type=def|label=defdualrep}}によれば $H^k_0(\Omega)$ は $H^{-k}(\Omega)$ の真部分空間となることから、Rieszの表現定理による同一視は{{ref|type=def|label=defdualrep}}で与えたものと一致せず、どちらを採用するか選ぶ必要がある。$H^{-k}(\Omega)$ と書いた場合は、{{ref|type=def|label=defdualrep}}の方を採用する。

==拡張作用素==
{{theorem|type=thm|name=$C^{0,1}$ 境界部分における局所拡張作用素|label=ext1}}
$p\in[1,\infty]$ とし、$T\subset\pOm$ を $C^{0,1}$ 境界部分([[Hölder空間の基本事項]]の定義28)とする。$\xi\in T$ について、$\xi$ の開近傍 $V\subset\R^n$ と有界線型作用素 $E\colon W^{1,p}(V\cap\Omega)\to W^{1,p}(V)$ であって $u\in W^{1,p}(V\cap\Omega)$ について $Eu=u$ in $V\cap\Omega$ をみたすものが存在する。

{{begin|proof|display=''Proof.''|collapsible=1}}
$u\in W^{1,\infty}(V\cap\Omega)\subset C^{0,1}(\Omega\cup T)$ について[[Hölder空間の基本事項]]の定理30より $\xi$ の開近傍 $V$ と $v=Eu\in C^{0,1}_c(V)$ が存在して $Eu=u$ in $V\cap\Omega$。<ref name="linty">構成から明らかに $E$ は線型である。</ref>また{{ref|type=cor|label=kchavar}}に注意すると、$Eu$ の構成から $p\in[1,\infty]$ について $\norm{Eu}_{1,p;V}\le C\norm{u}_{1,p;V\cap\Omega}$ も成り立つ。

$E$ は $W^{1,p}(V\cap\Omega)$ から $W^{1,p}(V)$ への有界線型作用素に一意的に拡張される。$u\in W^{1,p}(V\cap\Omega)$ とし、$u_m\in C^\infty(V\cap\Omega)\cap W^{1,p}(V\cap\Omega)$、$\norm{u_m-u}_{1,p;V\cap\Omega}\to 0,u_m\to u$ a.e. in $V\cap\Omega\ (m\to\infty)$ とすると $\norm{Eu_m-Eu}_{1,p;V}\to 0$ で $Eu_m=u_m$ in $V\cap\Omega$ であるから $Eu=u$ in $V\cap\Omega$。
{{end|proof}}

{{theorem|type=thm|name=$C^{0,1}$ 領域における拡張作用素|label=ext2}}
$p\in[1,\infty]$ とする。次が成り立つ:
*(1) $T\subset\pOm$ を $C^{0,1}$ 境界部分とする。$T'\rcpt T$ について、$\OmT\subset\Omega_0$ をみたす開集合 $\Omega_0\subset\R^n$ と有界線型作用素 $E\colon W^{1,p}(\Omega)\to W^{1,p}(\Omega_0)$ であって $u\in W^{1,p}(\Omega)$ について $Eu=u$ in $\Omega$ をみたすものが存在する。また $u\in W^{1,p}_0(\OmT')$ のとき $Eu\in W^{1,p}_0(\Omega_0)$。
*(2) $T\subset\pOm$ を次をみたす相対開集合とする:
$$開集合D\subset\R^nとC^{0,1}境界部分S\subset\partial Dが存在し\Omega\subset D,T\rcpt S. \tag{$\diamondsuit$}\label{D}$$
このとき $\OmT\subset\Omega_0$ をみたす開集合 $\Omega_0\subset\R^n$ と有界線型作用素 $E\colon W^{1,p}_0(\OmT)\to W^{1,p}_0(\Omega_0)$ であって $u\in W^{1,p}_0(\OmT)$ について $Eu=u$ in $\Omega$ をみたすものが存在する。
*(3) $\Omega$ を有界な $C^{0,1}$ 領域とする。$D\subset\R^n$ を $\Omega\rcpt D$ なる開集合とすると有界線型作用素 $E\colon W^{1,p}(\Omega)\to W^{1,p}_c(D)$ ( $p\in[1,\infty]$ )で $u\in W^{1,p}(\Omega)$ $Eu=u$ in $\Omega$ をみたすものが存在する。

{{begin|proof}}
(1)を示す。{{ref|type=thm|label=ext1}}の $V=V_\xi$ から $V_1,\ldots,V_N$ を選んで $\displaystyle T'\subset\bigcup_{i=1}^N V_i$ となるようにする。$\OmT$ の開被覆 $\Omega,V_1,\ldots, V_N$ に従属する $1$ の分割 $\zeta_0\in C^\infty(\Omega)$、$\zeta_i\in C^\infty_c(V_i)$ をとり、拡張作用素 $E_i\colon W^{1,p}(V_i\cap\Omega_i)\to W^{1,p}(V_i)$ を用いて
$$\Omega_0\colon=\Omega\cup\bigcup_{i=1}^N V_i,Eu\colon=\zeta_0u+\sum_{i=1}^N \zeta_iE_iu$$
とすればよい。またこのとき $u\in W^{1,p}_c(\OmT)$ とすると明らかに $Eu\in W^{1,p}_c(\Omega_0)$ となるので $u\in W^{1,p}_0(\OmT)$ について $Eu\in W^{1,p}_0(\Omega_0)$。

(2)は{{ref|type=pro|label=ext0}}と(1)から従う。(3)は(1)で $T=\pOm$ としたものから直ちに従う。
{{end|proof}}

{{theorem|type=rmk}}
構成より(1)、(2)の $\Omega_0$ は $\Omega_0\backslash\Omega$ が有界になるようにとれる。とくに $\Omega$ が有界であれば $\Omega_0$ も有界とでき、$|\Omega|\lt\infty$ であれば $|\Omega_0|\lt\infty$ とできる。

{{theorem|type=cor|label=apx4}}
$T\subset\pOm$ を $C^{0,1}$ 境界部分とすると $p\in[1,\infty)$ について $C^\infty(\Omega\cup T)\cap W^{1,p}(\Omega)$ は $W^{1,p}(\Omega)$ において稠密である。

{{begin|proof}}
{{ref|type=thm|label=apx3}}の証明で、$v_i(\cdot+t_iy_i)$ の代わりに局所拡張作用素 $E_i\colon W^{1,p}(V_i\cap\Omega)\to W^{1,p}(V_i)$ をとって $\norm{w_i-E_iu}_{1,p;V_i}\lt 2^{-i}\delta$ をみたす $w_i\in C^\infty(V_i)\cap W^{1,p}(V_i)$ を用いればよい。
{{end|proof}}

同様にして $\Omega$ が有界な $C^{k-1,1}$ 領域のとき $W^{k,p}(\Omega)$ から $W^{k,p}(\R^n)$ への有界な拡張作用素を構成できる。

一方で、別の方法により $\Omega$ が有界なLipschitz領域のときに任意の $k\in\Zz$ と $p\in[1,\infty]$ について $W^{k,p}(\Omega)$ から $W^{k,p}(\R^n)$ へ有界となる拡張作用素 $E\colon L^1(\Omega)\to L^1(\R^n)$ を構成できる。

{{theorem|type=lem|label=kernel}}
次をみたす $h\colon[1,\infty)\to\R$ が存在する:任意の多項式関数 $P$ について
$$Ph\in L^1(1,\infty),\int_1^\infty Ph=P(0).$$

{{begin|proof}}
$\C\backslash[1,\infty)$ 上の正則関数 $f=f(z)$ を
$$\exp\left(-\exp\left(-\frac{\pi\sqrt{-1}}{4}\right)(z-1)^\frac{1}{4}\right)$$
の $\arg\left((z-1)^\frac{1}{4}\right)\in\left(0,\frac{\pi}{2}\right)$ なる枝により定める。$0\lt\delta\lt 1\lt R\lt\infty$ とし、$\C\backslash[1,\infty)$ 上のなめらかな曲線 $\gamma_i$、$i=1,2,3,4$ を
\begin{align*}
\gamma_1(t)&\colon=t+\delta\sqrt{-1}\ (t\in[1,R]),\\
\gamma_2(t)&\colon=(R^2+\delta^2)^\frac{1}{2}\exp\left(\sqrt{-1}t\right)\ \left(t\in\left[\arctan\frac{\delta}{R},2\pi-\arctan\frac{\delta}{R}\right]\right)\\
\gamma_3(t)&\colon=R-t+\delta\sqrt{-1}\ (t\in[0,R-1])\\
\gamma_4(t)&\colon=\delta\exp\left(\pi\sqrt{-1}\left(\frac{3}{2}-t\right)\right)\ (t\in[0,1])
\end{align*}
により定め、この順につないで得られる区分的になめらかな曲線を $\gamma$ とすると $\gamma$ は単純閉曲線となる。留数定理により多項式関数 $P$ について
$$\int_\gamma P(z)z^{-1}f(z)dz=\frac{2\pi\sqrt{-1}}{e}P(0).$$
ここで $\arg\left(\exp\left(-\frac{\pi\sqrt{-1}}{4}\right)(z-1)^\frac{1}{4}\right)\in\left(-\frac{\pi}{4},\frac{\pi}{4}\right)$ であるから
$$\left|\exp\left(-\frac{\pi\sqrt{-1}}{4}\right)(z-1)^\frac{1}{4}\right|\le\exp\left(-\frac{1}{\sqrt{2}}(|z|+1)^\frac{1}{4}\right)$$
となり
$$\left|\int_{\gamma_2}P(z)z^{-1}f(z)dz\right|\le 2\pi\sup_{|z|=(R^2+\delta^2)^\frac{1}{2}}|P(z)|\exp\left(-\frac{1}{\sqrt{2}}(R+1)^\frac{1}{4}\right)\to 0\ (R\to+\infty).$$
また $P(z)z^{-1}f(z)\to P(1)\ (z\to 1)$ より
$$\left|\int_{\gamma_4}P(z)z^{-1}f(z)dz\right|\to 0\ (\delta\to +0).$$
一方 $\lambda\in[1,\infty)$ について
\begin{align*}
&\quad\lim_{\delta\to+0}P(\lambda+\delta\sqrt{-1})(x+\delta\sqrt{-1})f(\lambda+\delta\sqrt{-1})-\lim_{\delta\to+0}P(\lambda-\delta\sqrt{-1})(\lambda-\delta\sqrt{-1})f(\lambda-\delta\sqrt{-1})\\
&=P(\lambda)\lambda^{-1}\left(\exp\left(-\exp\left(-\frac{\pi\sqrt{-1}}{4}\right)(\lambda-1)^\frac{1}{4}\right)-\exp\left(-\exp\left(\frac{\pi\sqrt{-1}}{4}\right)(\lambda-1)^\frac{1}{4}\right)\right)\\
&=2\sqrt{-1}P(\lambda)\lambda^{-1}\Im\left(\exp\left(-\exp\left(-\frac{\pi\sqrt{-1}}{4}\right)(\lambda-1)^\frac{1}{4}\right)\right).
\end{align*}
従って $R\to +\infty,\delta\to +0$ とすると
$$2\sqrt{-1}\int_1^\infty P(\lambda)\lambda^{-1}\Im\left(\exp\left(-\exp\left(-\frac{\pi\sqrt{-1}}{4}\right)(\lambda-1)^\frac{1}{4}\right)\right)d\lambda=\frac{2\pi\sqrt{-1}}{e}P(0)$$
となる。これより
$$ h(\lambda)=\frac{e}{\pi}\lambda^{-1}\Im\left(\exp\left(-\exp\left(-\frac{\pi\sqrt{-1}}{4}\right)(\lambda-1)^\frac{1}{4}\right)\right)$$
ととればよい。
{{end|proof}}

{{theorem|type=thm|name=$n=1$ の場合|label=extn1}}
$I\subsetneq\R$ を開区間とする。線型作用素 $E\colon L^1(I)+L^\infty(I)\to L^1(\R)+L^\infty(\R)$ であって次をみたすものが存在する:
* $u\in L^1(I)+L^\infty(I)$ について
$$Eu=u\ \inn I.$$
* 任意の $k\in\Zz$ と $p\in[1,\infty]$ について $E(W^{k,p}(I))\subset W^{k,p}(\R)$ で $u\in W^{k,p}(I)$ について
$$\norm{Eu}_{k,p;\R}\le C_{k,|I|}\norm{u}_{k,p;\Omega}.$$

{{begin|proof|display=''Proof.''|collapsible=1}}
$I$ が非有界の場合を示す。$I=(0,\infty)$ としてよい。

{{ref|type=lem|label=kernel}}の $h$ をとる。$u\in L^p(I)$ について積分形のMinkowskiの不等式により
$$\norm{\int_1^\infty u((1-2\lambda)\cdot)h(\lambda)d\lambda}_{p;(-\infty,0)}\le\int_1^\infty\norm{u((1-2\lambda)\cdot)}_{p;(-\infty,0)}|h(\lambda)|d\lambda\le\int_1^\infty\norm{u}_{p;I}|h(\lambda)|d\lambda\le C\norm{u}_{p;I}.$$
$u\in L^1(I)+L^\infty(I)$ について
$$Eu(x)\colon=\begin{cases}
u(x)&\colon x\in\overline{I}\\
\int_1^\infty u((1-2\lambda)\cdot)h(\lambda)d\lambda&\colon x\in(-\infty,0)
\end{cases}$$
と定める。上で示したことより $E\colon L^1(I)+L^\infty(I)\to L^1(\R)+L^\infty(\R)$ はwell-definedで、$L^p(\R)$ から $L^p(\R)$ へ連続である。

$u\in W^{1,p}(I)$ とすると{{ref|type=thm|label=1dim1}}より $-\infty\lt x\lt y\le 0$ について
\begin{align*}
Eu(x)&=\int_1^\infty\left(u(y)-\int_{(1-2\lambda)y}^{(1-2\lambda)x}u'(t)dt\right)h(\lambda)d\lambda\\
&=Eu(y)-\int_0^\infty\left((1-2\lambda)\int_x^y u'((1-2\lambda)s)ds\right)h(\lambda)d\lambda\\
&=Eu(y)-\int_x^0\left(\int_0^\infty u'((1-2\lambda)s)h(\lambda)d\lambda\right)ds\\
&=Eu(y)-\int_x^0 Eu'(s)ds.
\end{align*}
また
$$\lim_{x\to +0}Eu(x)=\int_1^\infty u(0)h(\lambda)d\lambda=u(0).$$
これより $-\infty\lt x\lt 0\le y\lt\infty$ についても
$$u(y)=u(0)+\int_0^y u'(t)dt=u(x)+\int_x^y Eu'(t)dt.$$
これより
$$Eu\in W^{1,p}(\R),(Eu)'=Eu',\norm{(Eu)'}_{p;\R}\le C\norm{u'}_p.$$
帰納法により任意の $k\in\Zp$ と $p\in[1,\infty]$ について $E$ は $W^{k,p}(I)$ から $W^{k,p}(\R)$ へ連続で $u\in W^{k,p}(I)$ について $(Eu)^{(k)}=Eu^{(k)}$ となる。

$I=(a,b)$ が有界な場合を示す。$\zeta\in C^\infty([a,b])$ を $a$ の近傍で $1$ かつ $b$ の近傍で $1$ となるようにとると $u\in W^{k,p}(I)$ について $\zeta u\in W^{k,p}(a,\infty)$、$(1-\zeta)u\in W^{k,p}(-\infty,b)$ となるので、拡張作用素 $E_{a+}\colon L^1(a,\infty)+L^\infty(a,\infty)\to L^1(\R)+L^\infty(\R)$ と $E_{b-}\colon L^1(-\infty,b)+L^\infty(-\infty,b)\to L^1(\R)+L^\infty(\R)$ をとって $Eu\colon=E_{a+}(\zeta u)+E_{b-}((1-\zeta)u)$ とすればよい。
{{end|proof}}

{{theorem|type=lem|label=regdis}}
$\gamma\in C^{0,1}_c(\R^{n-1})$ とし、$\Omega\colon=\{(x',x_n)\in\R^{n-1}\times\R\colon x_n\lt\gamma(x')\}$ とする。次をみたす $\delta\in C^\infty(\Omega)\cap C^{0,1}(\Ombar)$ が存在する:
* $$\sup_{\Omega}D_n\delta\lt 0.$$
* 任意の多重指数 $\alpha$ について
$$|D^\alpha\delta(x',x_n)|\le C_{\alpha,\gamma}(\gamma(x')-x_n)^{1-|\alpha|}\ \inn\Omega.$$

{{begin|proof|display=''Proof.''|collapsible=1}}
$M\colon=\left(1+[\gamma]_{0,1}^2\right)^\frac{1}{2}$、$t\colon=1+(16M)^{-1}$ とする。また $m\in\Z$ について $\Omega_m\colon=\{(x',x_n)\in\R^{n-1}\times\R\colon x_n-\gamma(x')\lt -t^m\}\subset\Omega$ とする。

$(x',x_n),(y',y_n)\in\Omega$ について
$$|(x_n-\gamma(x'))-(y_n-\gamma(y'))|^2\le([\gamma]_{0,1}|x'-y'|)^2+|x_n-y_n|^2\le M^2|(x',x_n)-(y',y_n)|$$
であるから $l\lt m$ について $\dist(\Omega_m,\pOm_l)\ge M^{-1}(t^m-t^l)$。

$\delta_m\colon=\eta_{(4M)^{-1}t^m}*\chi_{\Omega_m}$ とする。$N\in\Zp$ を $t^N\gt 2$ となるようにとると $\dist(\Omega_m,\pOm_{m-N})\gt (2M)^{-1}t^m$ となるので $\supp\delta_m\subset\Omega_{m-N}$。また $\dist(\Omega_{m+N},\pOm_m)\gt (2M)^{-1}t^{m+N}$ となるので $\delta_m=1$ in $\Omega_{m+N}$。とくに $\supp D\delta_m\subset\Omega\backslash\Ombar_{m+N}$ であり、$\{\supp D\delta_m\}_{m\in\Z}$ は局所有限である。また多重指数 $\alpha$ について $\norm{D^\alpha\delta_m}_\infty\le Ct^{-m|\alpha|}$。

一方
\begin{align*}
D_n\delta_m(x',x_n)&=\int_{\Omega_m}D_n\eta_{(4M)^{-1}t^m}(x'-y',x_n-y_n)dy\\
&=\int_{\R^{n-1}}\left(\int_{-\infty}^{\gamma(z')-t^m}D_n\eta_{(4M)^{-1}t^m}(x'-z',x_n-z_n)dz'\right)\\
&=-\int_{\R^{n-1}}\eta_{(4M)^{-1}t^m}(x'-y',x_n+t^m-\gamma(y'))dy'\le 0.
\end{align*}
また $(x',x_n)\in\Omega_m\backslash\Omega_{m+1}$ とすると $|x_n+t^m-\gamma(x')|\lt t^{m+1}-t^m=(16M)^{-1}t^m$ であるから、$y'\in\R^n$ を $|y'-x'|\lt(16M^2)^{-1}t^m$ となるようにとれば
$$|(x'-y',x_n+t^m-\gamma(y')|\le|(x'-y',\gamma(x')-\gamma(y'))|+|x_n+t^m-\gamma(x')|\lt M|x'-y'|+|x_n+t^m-\gamma(x')|\lt(8M)^{-1}t^m$$
となり
\begin{align*}
D_n\delta(x',x_n)&\le -\int_{\{y'\in\R^{n-1}\colon|y'-x'|\lt(16M^2)^{-1}t^m\}}\eta_{(4M)^{-1}t^m}(x'-y',x_n+t^m-\gamma(y'))dy'\\
&\le -\omega_{n-1}\left((16M^2)^{-1}t^m\right)^{n-1}\cdot\left((4M)^{-1}t^m\right)^{-n}\inf_{B_\frac{1}{2}(0)}\eta\\
&=-ct^{-m},c=c_{n,M}\gt 0.
\end{align*}
$$\delta\colon=\sum_{l\in\Z}t^l\delta_l$$
とする。$x=(x',x_n)\in\Omega_{m-1}\backslash\Omega_m$ とすると $l\ge m+N$ について $\supp\delta_l\subset\Omega_{l-N}\subset\Omega_m$ となるので $\delta_l(x)=0$。これより
$$\delta(x)=\sum_{l=-\infty}^{m+N-1}t^l\delta_l\le\sum_{l=-\infty}^{m+N-1}t^l\le(t-1)^{-1}t^{m+N}\le C(\gamma(x')-x_n).$$
また $\{\supp D\delta_m\}_{m\in\Z}$ は局所有限であったから $\delta\in C^\infty(\Omega)$。$x=(x',x_n)\in\Omega_{m-1}\backslash\Omega_m$ とすると $l\ge m+N$ について $\supp D\delta_l\subset\Omega_m$ で、$l\le m-N-1$ について $\supp\delta_l\cap\Omega_{m-1}=\emptyset$ となるのでこれらの場合 $D^\alpha\delta(x)=0$。これより多重指数 $\alpha\gt 0$ について
$$|D^\alpha\delta(x)|\le\sum_{l=m-N}^{m+N-1}t^l|D^\alpha\delta_l(x)|\le C\sum_{l=m-N}^{m+N-1}t^{l(1-|\alpha|)}\le C\left(2Nt^{(m-N)(1-|\alpha|)}\right)\le C(\gamma(x')-x_n)^{1-|\alpha|}.$$
とくに $D\delta$ は有界であり $\delta\in C^{0,1}(\Ombar)$ となる。

一方 $l\in\Z$ について $D_n\delta_l(x)\le 0$ で、$D_n\delta_m(x)\le -ct^{-m}$ であるから
$$D_n\delta(x)\le -c.$$
以上よりこの $\delta$ は条件をみたす。
{{end|proof}}

{{theorem|type=rmk}}
$|\delta(x)|\le C(\gamma(x')-x_n)$ より $\delta=0$ on $\pOm$ である。

{{theorem|type=thm|name=Steinの拡張作用素|label=stext}}
$\gamma\in C^{0,1}_c(\R^{n-1})$、$\Omega\colon=\{(x',x_n)\in\R^{n-1}\times\R\colon x_n\gt\gamma(x')\}$ とする。線型作用素 $E\colon L^1(\Omega)+L^\infty(\Omega)\to L^1(\R^n)+L^\infty(\R^n)$ であって次をみたすものが存在する:
* $u\in L^1(\Omega)+L^\infty(\Omega)$ について
$$Eu=u \inn\Omega.$$
* 任意の $k\in\Zz$ と $p\in[1,\infty]$ について $E(W^{k,p}(\Omega))\subset W^{k,p}(\R^n)$ で $u\in W^{k,p}(\Omega)$ について
$$\norm{D^kEu}_{p;\R^n}\le C_{k,\gamma}\norm{D^ku}_{p;\Omega}.$$

{{begin|proof}}
{{ref|type=lem|label=regdis}}の $\delta\in C^\infty(\R^n\backslash\Ombar)$ と{{ref|type=lem|label=kernel}} の $h$ をとり、$\displaystyle M\colon=-2\left(\sup_{\R^n\backslash\Ombar}D_n\delta\right)^{-1}$ とする。

$\lambda\ge 1$ について $\psi_\lambda\colon\R^n\backslash\Ombar\to\R^n$ を
$$\psi_\lambda(x',x_n)=(x',x_n+M\lambda\delta(x))$$
により定める。$x'\in\R^{n-1}$、$t\in(-\infty,\gamma(x'))$ について
$$\frac{\partial}{\partial t}(t+M\lambda\delta(x',t))=1+M\lambda D_n\delta(x',t)\le 1-2\lambda\lt 0.$$
また $\delta(x',\gamma(x'))=0$ より $\gamma(x')+M\lambda\delta(x',\gamma(x'))=\gamma(x')$ で
$$\psi_\lambda(x',t)=\gamma(x')-\int_t^{\gamma(x')}(1+M\lambda D_n\delta(x',s))ds\le\gamma(x')+(2\lambda-1)(\gamma(x')-t)\to +\infty\ (t\to-\infty).$$
よって $(-\infty,\gamma(x'))\to(\gamma(x'),+\infty),t\mapsto t+M\lambda\delta(x',t)$ は全単射である。これより $\psi_\lambda$ は $\R^n\backslash\Ombar$ から $\Omega$ への全単射で $|\det D\psi_\lambda|=|D_n\psi_\lambda|=2\lambda-1\ge 1$ となるので $p\in[1,\infty)$ と $u\in L^p(\Omega)$ について
$$\int_\Omega |u|^p=\int_{\R^n\backslash\Ombar}|u\circ\psi_\lambda|^p|D_n\psi_\lambda|\ge\int_{\R^n\backslash\Ombar}|u\circ\psi_\lambda|^p.$$
積分形のMinkowskiの不等式により $p\in[1,\infty]$ と $u\in L^p(\Omega)$ について
$$\norm{\int_1^\infty |(u\circ\psi_\lambda)h(\lambda)|d\lambda}_{p;\R^n\backslash\Omega}\le\int_1^\infty\norm{u\circ\psi_\lambda}_{p;\R^n\backslash\Omega}|h(\lambda)|d\lambda\le C\norm{u}_p.\tag{*}\label{stext1}$$

また $L(\psi_\lambda)\le 1+M\lambda[\delta]_{0,1}$ であるから $u\in C^{0,1}(\Ombar)$ とすると $x,y\in \R^n\backslash\Ombar$ について
$$\left|\int_0^1 u(\psi_\lambda(x))h(\lambda)d\lambda-\int_0^1 u(\psi_\lambda(y))h(\lambda)d\lambda\right|\le\int_0^1 (1+M\lambda[\delta]_{0,1})[u]_{0,1}|x-y||h(\lambda)|d\lambda\le C[u]_{0,1}|x-y|$$
となるので $\displaystyle \int_0^1(u\circ\psi_\lambda)h(\lambda)d\lambda\in C^{0,1}(\R^n\backslash\Omega)$。

また各 $\lambda\in[1,\infty)$ について $u\circ\psi_\lambda$ は a.e. in $\R^n\backslash\Ombar$ で微分可能であるから、Fubiniの定理よりa.e. $ x\in\R^n\backslash\Ombar$ について、a.e. $\lambda\in[1,\infty)$ に対し $u\circ\psi_\lambda$ は $x$ で微分可能である。またそのような $x\in\R^n\backslash\Ombar$ と $|k|$ が十分小さい $k\in\R\backslash\{0\}$ について
$$\left|\frac{u(\psi_\lambda(x+ke_i))-u_\lambda(x)}{k}h(\lambda)\right|\le(1+M\lambda[\delta]_{0,1})|h(\lambda)|$$
であるからLebesgueの収束定理より
\begin{align*}
D_i\left(\int_1^\infty(u\circ\psi_\lambda)h(\lambda)d\lambda\right)&=\int_1^\infty D_i(u\circ\psi_\lambda)h(\lambda)d\lambda\\
&=\int_1^\infty(D_iu\circ\psi_\lambda)h(\lambda)d\lambda+D_i\delta\int_1^\infty(D_nu\circ\psi_\lambda)h(\lambda)d\lambda.\tag{**}\label{stext2}
\end{align*}

また部分積分による帰納法により $u\in C^{k-1,1}(\Ombar)$、$x\in\R^n\backslash\Ombar$、$\lambda\ge 1$ について
$$u(\psi_\lambda(x))=\sum_{j=0}^{k-1}\frac{(M\delta(x))^j}{j!}D_n^ju(\psi_1(x))(\lambda-1)^j+\frac{(M\delta(x))^k}{(k-1)!}\int_1^\lambda (\lambda-\mu)^{k-1}D_n^ku(\psi_\mu(x))d\mu.$$
となるので $l\in\Zp$ について
\begin{align*}
\int_1^\infty \lambda^lu(\psi_\lambda(x))h(\lambda)d\lambda&=\int_1^\infty\left(\sum_{j=0}^{k-1}\frac{(M\delta(x))^j}{j!}D_n^ju(\psi_1(x))(\lambda-1)^j\lambda^l+\frac{(M\delta(x))^k}{(k-1)!}\int_1^\lambda (\lambda-\mu)^{k-1}\lambda^lD_n^ku(\psi_\mu(x))d\mu\right)h(\lambda)d\lambda\\
&=\frac{(M\delta(x))^k}{(k-1)!}\int_1^\infty\left(\int_1^\lambda (\lambda-\mu)^{k-1}\lambda^lD_n^ku(\psi_\mu(x))d\mu\right)h(\lambda)d\lambda.\tag{***}\label{stext3}
\end{align*}
積分形のMinkowskiの不等式と $\delta(x)\le C(\gamma(x')-x_n)$ より
\begin{align*}
&\quad\norm{(\gamma(x')-x_n)^{-k}\int_1^\infty \lambda^lu(\psi_\lambda(x))h(\lambda)d\lambda}_{p;(\R^n\backslash\Omega)_x}\\
&=\norm{(\gamma(x')-x_n)^{-k}\frac{(M\delta(x))^k}{(k-1)!}\int_1^\infty\left(\int_1^\lambda (\lambda-\mu)^{k-1}\lambda^lD_n^ku(\psi_\mu(x))d\mu\right)h(\lambda)d\lambda}_{p;(\R^n\backslash\Omega)_x}\\
&\le C\int_1^\infty\left(\int_1^\lambda\norm{D_n^ku\circ\psi_\mu}_{p;\R^n\backslash\Omega}(\lambda-\mu)^kd\mu\right)\lambda^l|h(\lambda)|d\lambda\\
&\le C\left(\int_1^\infty\left(\int_1^\lambda(\lambda-\mu)^kd\mu\right)\lambda^l|h(\lambda)|d\lambda\right)\norm{D_n^ku}_p\\
&=C\left(\int_1^\infty \frac{1}{(k+1)!}(\lambda-1)^{k+1}\lambda^l|h(\lambda)| d\lambda\right)\norm{D_n^ku}_p\\
&\le C\norm{D_n^ku}_p.\tag{****}\label{stext4}
\end{align*}
が成り立つ。<ref name="x">$\norm{}_{p;(\Omega)_x}$ は $x$ を変数と見做したときの $L^p(\Omega)$ におけるノルムを表す。</ref>

$u\in L^1(\Omega)\cap L^\infty(\Omega)$ について
$$Eu(x)\colon=\begin{cases}
u(x)&\colon x\in\Ombar\\
\int_1^\infty u(\psi_\lambda(x))h(\lambda)d\lambda &\colon x\in\R^n\backslash\Ombar
\end{cases}$$
と定める。(\ref{stext1})より $E$ はwell-definedで、$p\in[1,\infty]$ について $L^p(\Omega)$ から $L^p(\R^n)$ へ有界である。

$u\in C^{k-1,1}(\Ombar)=W^{k,\infty}(\Omega)$ とする。(\ref{stext2})と $k$ に関する帰納法により $Eu\in C^{k-1,1}(\R^n\backslash\Ombar)$ で多重指数 $|\alpha|\le k$ と $x\in\R^n\backslash\Ombar$ について $D^\alpha Eu(x)$ は
$$D^\alpha Eu(x)=\int_1^\infty D^\alpha u(\psi_\lambda(x)) h(\lambda)d\lambda+\sum_{0\lt\beta\le\alpha}\sum_{l=1}^{|\beta|}\sum_{\beta'_1+\ldots+\beta'_l=\beta}C_{\alpha,\beta'_1,\ldots,\beta'_l}\prod_{j=1}^lD^{\beta'_j}\delta(x)\int_1^\infty \lambda^lD^l_nD^{\alpha-\beta} u(\psi_\lambda(x)) h(\lambda)d\lambda$$
と表される。ここで $C_{\alpha,\beta'_1,\ldots,\beta'_l}$ は定数である。

(\ref{stext4})と $0\lt\beta\le\alpha$、$l=1,\ldots,|\beta|$ と $\beta'_1+\ldots+\beta'_l=\beta$ なる多重指数 $\beta'_1,\ldots\beta'_l$ について
$$\left|\prod_{j=1}^lD^{\beta'_j}\delta(x)\right|\le C(\gamma(x')-x_n)^{-(|\beta|-l)}$$
となることから
$$\norm{D^\alpha Eu}_{p;\R^n\backslash\Omega}\le C\norm{D^{|\alpha|}u}_p.$$
また $|\alpha|\le l-1$ とすると $x_0=(x_0',\gamma(x_0'))\in\pOm$ について $\psi_\lambda(x)\to x_0\ (x\to x_0)$ であるからLebesgueの収束定理より
$$\lim_{\substack{x\to x_0,\\x\in\R^n\backslash\Ombar}}\int_1^\infty D^\alpha u(\psi_\lambda(x)) h(\lambda)d\lambda=\int_1^\infty D^\alpha u(x_0) h(\lambda)d\lambda=u(x_0).$$
また $0\lt\beta\le\alpha$、$l=1,\ldots,|\beta|$ と $\beta'_1+\ldots+\beta'_l=\beta$ なる多重指数 $\beta'_1,\ldots\beta'_l$ について $\prod_{j=1}^lD^{\beta'_j}\delta(x)\delta(x)^{|\beta|-l}$ は有界で、Lebesgueの収束定理より
\begin{align*}
\lim_{\substack{x\to x_0,\\x\in\R^n\backslash\Ombar}}\int_1^\infty\left(\int_1^\lambda (\lambda-\mu)^{k-1}D^{|\beta|}_nD^{\alpha-\beta}u(\psi_\mu(x))d\mu\right)h(\lambda)d\lambda&=\int_1^\infty\left(\int_1^\lambda (\lambda-\mu)^{k-1}D^{|\beta|}_nD^{\alpha-\beta}u(x_0)d\mu\right)h(\lambda)d\lambda\\
&=\frac{1}{k}\left(\int_1^\infty(\lambda-1)^k\lambda^lh(\lambda)d\lambda\right)D^{|\beta|}_nD^{\alpha-\beta}u(x_0)=0
\end{align*}
であるから(\ref{stext4})とあわせて
$$\lim_{\substack{x\to x_0,\\x\in\R^n\backslash\Ombar}}\prod_{j=1}^lD^{\beta'_j}\delta(x)\int_1^\infty \lambda^lD^l_nD^{\alpha-\beta} u(\psi_\lambda(x)) h(\lambda)d\lambda=0.$$
従って $\displaystyle \lim_{\substack{x\to x_0,\\x\in\R^n\backslash\Ombar}}D^\alpha Eu(x)=D^\alpha u(x_0)$ となり $Eu\in C^{k-1}(\R^n)$。

また $x\in\Ombar$、$y\in\R^n\backslash\Ombar$ とすると $t\in[0,1]$ で $z\colon=(1-t)x+ty\in\pOm$ となるものが存在するので $|\alpha|=k-1$ とすると
$$|D^\alpha u(x)-D^\alpha Eu(y)|\le|D^\alpha u(x)-D^\alpha u(z)|+|D^\alpha u(z)-D^\alpha u(y)|\le \left((1-t)[D^\alpha u]_{0,1}+t[D^\alpha Eu]_{0,1}\right)|x-y|\le C\norm{D^ku}_{\infty}|x-y|.$$
よって $Eu\in C^{k-1,1}(\R^n)=W^{k,\infty}(\R^n)$ となる。

$p\in[1,\infty)$ について $W^{k,\infty}(\Omega)\cap W^{k,p}(\Omega)\subset W^{k,p}(\Omega)$ は稠密であり、$E$ は $L^p(\Omega)$ から $L^p(\R^n)$ へ有界であるから近似により
$$E(W^{k,p}(\Omega))\subset E^{k,p}(\R^n),\norm{D^kEu}_{p;\R^n}\le C\norm{D^ku}_{\Omega;\R^n}$$
も成り立つ。
{{end|proof}}

{{ref|type=thm|label=ext2}}と同様に次を得る:

{{theorem|type=thm|label=stext2}}
*(1) $T\subset\pOm$ をLipschitz境界部分とする。$T'\rcpt T$ について、$\OmT\subset\Omega_0$ をみたす開集合 $\Omega_0\subset\R^n$ と線型作用素 $E\colon L^1(\Omega)+L^\infty(\Omega)\to L^1(\Omega_0)+L^\infty(\Omega_0)$ であって $u\in L^1(\Omega)+L^\infty(\Omega)$ について $Eu=u$ in $\Omega$ をみたし、任意の $k\in\Zz$ と $p\in[1,\infty]$ について
$$E(W^{k,p}(\Omega))\subset W^{k,p}(\Omega),\norm{Eu}_{k,p;\Omega_0}\le C_{k,p}\norm{u}_{k,p;\Omega}\ (u\in W^{k,p}(\Omega))$$
をみたすものが存在する。また $\supp u\rcpt\OmT$ のとき $\supp Eu\rcpt\Omega_0$。
*(2) $T\subset\pOm$ を次をみたす相対開集合とする:
$$開集合D\subset\R^nと{\rm Lipschitz}境界部分S\subset\partial Dが存在し\Omega\subset D,T\rcpt S. \tag{$\diamondsuit'$}\label{D'}$$
このとき $\OmT\subset\Omega_0$ をみたす開集合 $\Omega_0\subset\R^n$ と線型作用素 $E\colon L^1(\Omega)+L^\infty(\Omega)\to L^1(\Omega_0)+L^\infty(\Omega_0)$ であって $u\in L^1(\Omega)+L^\infty(\Omega)$ について $Eu=u$ in $\Omega$ をみたし、任意の $k\in\Zz$ と $p\in[1,\infty]$ について
$$E(W^{k,p}_0(\Omega))\subset W^{k,p}_0(\Omega_0),\norm{Eu}_{k,p;\Omega_0}\le C_{k,p}\norm{u}_{k,p;\Omega}\ (u\in W^{k,p}(\Omega_0))$$
をみたすものが存在する。
*(3) $\Omega$ を有界な $C^{0,1}$ 領域とする。$D\subset\R^n$ を $\Omega\rcpt D$ なる開集合とすると線型作用素 $E\colon L^1(\Omega)\to L^1_c(D)$ であって $u\in L^1(\Omega)$ について $Eu=u$ in $\Omega$ をみたし、任意の $k\in\Zz$ と $p\in[1,\infty]$ について
$$E(W^{k,p}(\Omega))\subset W^{k,p}_c(D),\norm{Eu}_{k,p;D}\le C_{k,p}\norm{u}_{k,p;\Omega}\ (u\in W^{k,p}(\Omega))$$
をみたすものが存在する。

==Gagliardo-Nirenberg-Sobolevの不等式==
{{theorem|type=def|name=Sobolev共役指数|label=pstar}}
$p\in[1,n)$ について
$$p^*\colon=\frac{np}{n-p}$$
と定め、$p$ のSobolev共役指数という。$p^*$ は $p^{*-1}=p^{-1}-n^{-1}$ をみたす。

{{theorem|type=lem|label=GNSlem}}
$n\ge 2$ とする。$-\infty\le a_i\lt b_i\le +\infty\ (i=1,\ldots ,n)$ とし、$R\colon=(a_1,b_1)\times\ldots \times(a_n,b_n)$ とする。$f_1,\ldots ,f_n\in L^1(R)$ とすると
$$\int_{R}\left(\prod_{i=1}^n\int_{a_i}^{x_i}|f_i(x_1,\ldots ,x_{i-1},t,x_{i+1},\ldots ,x_n)|dt\right)^\frac{1}{n-1}dx_1\ldots dx_n\le\prod_{i=1}^n\norm{f_i}_{1;R}^\frac{1}{n-1}.$$

{{begin|proof|display=''Proof.''|collapsible=1}}
$n$ に関する帰納法により示す。

$n=2$ の場合を示す。$f_1,f_2\in L^1(R)$ とすると
\begin{align*}
\int_{R}\left(\int_{a_1}^{x_1}|f_1(t,x_2)|dt\right)\left(\int_{a_2}^{x_2}|f_2(x_1,t)|dt\right)dx_1dx_2&\le\int_{R}\left(\int_{a_1}^{b_1}|f_1(t,x_2)|dt\right)\left(\int_{a_2}^{b_2}|f_2(x_1,t)|dt\right)dx_1dx_2\\
&=\left(\int_{a_2}^{b_2}\left(\int_{a_1}^{b_1}|f_1(t,x_2)|dt\right)dx_2\right)\left(\int_{a_1}^{b_1}\left(\int_{a_2}^{b_2}|f_1(x_1,t)|dt\right)dx_1\right)\\
&\le\norm{f_1}_1\norm{f_2}_1
\end{align*}
となり主張が成り立つ。

ある $n$ について主張が成り立ったとし、$-\infty\le a_i\lt b_i\le +\infty\ (i=1,\ldots ,n+1)$ 、$R\colon=(a_1,b_1)\times\ldots \times(a_{n+1},b_{n+1})$、$f_1,\ldots ,f_{n+1}\in L^1(R)$ とする。また $R'\colon=(a_1,b_1)\times\ldots\times(a_n,b_n)$ とする。$i=1,\ldots ,n+1$ について
$$g_i(x')\colon=\int_{a_i}^{b_i}|f_i(x',t)|dt\ (x'\in R')$$
とすると $g_i\in L^1(R')$、$\norm{g_i}_{1;R'}=\norm{f_i}_{1;R}$。
\begin{align*}
&\quad \int_R\left(\prod_{i=1}^{n+1}\int_{a_i}^{x_i}|f_i(x_1,\ldots ,x_{i-1},t,x_{i+1},\ldots ,x_{n+1})|dt\right)^\frac{1}{n}dx_1\ldots dx_{n+1}\\
&\le\int_{R'}\left(\int_{a_{n+1}}^{b_{n+1}}\left(\prod_{i=1}^n\int_{a_i}^{x_i}|f_i(x_1,\ldots ,x_{i-1},t,x_{i+1},\ldots ,x_{n+1})|dt\right)^\frac{1}{n}dx_{n+1}\right)\left(\int_{a_{n+1}}^{b_{n+1}}|f_{n+1}(x_1,\ldots ,x_n,t)|dt\right)^\frac{1}{n}dx_1\ldots dx_n\\
&\le\left(\int_{R'}\left(\int_{a_{n+1}}^{b_{n+1}}\left(\prod_{i=1}^n\int_{a_i}^{x_i}|f_i(x_1,\ldots ,x_{i-1},t,x_{i+1},\ldots ,x_{n+1})|dt\right)^\frac{1}{n}dx_{n+1}\right)^\frac{n}{n-1}dx_1\ldots dx_n\right)^\frac{n-1}{n}\left(\int_{R'}|g(x',t)|dx'\right)^\frac{1}{n}\\
&\le\left(\int_{R'}\prod_{i=1}^n\left(\int_{a_{n+1}}^{b_{n+1}}\left(\int_{a_i}^{x_i}|f_i(x_1,\ldots ,x_{i-1},t,x_{i+1},\ldots ,x_{n+1})|dt\right)dx_{n+1}\right)^\frac{1}{n-1}dx_1\ldots dx_n\right)^\frac{n-1}{n}\norm{f_{n+1}}_1^\frac{1}{n}\\
&=\left(\int_{R'}\prod_{i=1}^n\left(\int_{a_i}^{x_i}g_i(x_1,\ldots ,x_{i-1},t,x_{i+1},\ldots ,x_n)dt\right)^\frac{1}{n-1}dx_1\ldots dx_n\right)^\frac{n-1}{n}\norm{f_{n+1}}_1^\frac{1}{n}\\
&\le\prod_{i=1}^n\norm{g_i}_1^\frac{1}{n}\norm{f_{n+1}}_1^\frac{1}{n}\\
&=\prod_{i=1}^{n+1}\norm{f_i}_1^\frac{1}{n+1}
\end{align*}
となる。これより主張が成り立つ。
{{end|proof}}

{{theorem|type=thm|name=Gagliardo-Nirenberg-Sobolevの不等式|label=GNS}}
$p\in[1,n)$ とすると $W^{1,p}(\R^n)\subset L^{p^*}(\R^n)$ で $u\in W^{1,p}(\R^n)$ について
$$\norm{u}_{p^*;\R^n}\le C_{n,p}\norm{Du}_{p;\R^n}.$$
{{theorem|type=rmk}}
任意の $u\in W^{1,p}(\R^n)$ について $\norm{u}_{p^*}\le C\norm{Du}_p$ となる定数 $C=C_{n,p}$ が存在しうる $p^*$ は $p^*=\frac{np}{n-p}$ に限られる。実際 $u\in C^\infty_c(\R^n)\backslash\{0\}$ と $\lambda\gt 0$ について $u_\lambda(x)\colon=u(\lambda x)$ として $u_\lambda\in C^\infty_c(\R^n)$ を定めると、積分の変数変換により $\norm{u_\lambda}_{p^*}=\lambda^{-\frac{n}{p^*}}\norm{u}_p$ となり、また $Du_\lambda(x)=\lambda Du(\lambda x)$ に注意すると $\norm{Du_\lambda}_{p}=\lambda^{1-\frac{n}{p}}\norm{Du}_p$ となるので $\frac{\norm{u_\lambda}_{p^*}}{\norm{Du_\lambda}_p}$ が有界となるには $-\frac{n}{p^*}=1-\frac{n}{p}$ が必要であるが、これをみたす $p^*$ は $p^*=\frac{np}{n-p}$ のみである。

{{begin|proof|display=''Proof.''|collapsible=1}}
$u\in C^\infty_c(\R^n)$ について $\norm{u}_{p^*;\R^n}\le C_{n,p}\norm{Du}_{p;\R^n}$ を示す。

$p=1$ の場合を示す。$i=1,\ldots ,n$ と $(x_1,\ldots ,x_n)\in\R^n$ について
$$|u(x_1,\ldots ,x_n)|\le\int_{-\infty}^{x_i}|D_iu(x_1,\ldots ,x_{i-1},t,x_{i+1},\ldots ,x_n)|dt$$
であるから
$$|u(x_1,\ldots ,x_n)|\le\prod_{i=1}^n\left(\int_{-\infty}^{x_i}|D_iu(x_1,\ldots ,x_{i-1},t,x_{i+1},\ldots ,x_n)|dt\right)^\frac{1}{n}.$$
{{ref|type=lem|label=GNSlem}}より
\begin{align*}
\int_{\R^n}|u|^{1^*}&\le\int_{\R^n}\prod_{i=1}^n\left(\int_{-\infty}^{x_i}|D_iu(x_1,\ldots ,x_{i-1},t,x_{i+1},\ldots ,x_n)|dt\right)^\frac{1}{n-1}dx_1\ldots dx_n\\
&\le\prod_{i=1}^n\norm{D_iu}_1^\frac{1}{n-1}\\
&\le\norm{Du}_1^{1^*}
\end{align*}
となり $\norm{u}_{1^*}\le\norm{Du}_1$ が成り立つ。

$p\in(1,n)$ の場合を示す。$t\in(1,\infty)$ として $v\colon=|u|^t$ とすると $v\in C^1_c(\R^n)$、$D_iv=t|u|^{t-1}\sgn uD_iu$。$p=1$ の場合より
$$\left(\int_\Omega |u|^{\frac{n}{n-1}t}\right)^\frac{n-1}{n}\le\int_\Omega t|u|^{t-1}|Du|\le t\left(\int_\Omega|u|^{\frac{p}{p-1}(t-1)}\right)^\frac{p-1}{p}\norm{Du}_p.$$
ここで $t=\frac{(n-1)p}{n-p}$ とすると $\frac{n}{n-1}t=\frac{p}{p-1}(t-1)=\frac{np}{n-p}$ となり
$$\left(\int_\Omega |u|^{p^*}\right)^\frac{n}{n-1}\le \frac{(n-1)p}{n-p}\left(\int_\Omega|u|^{p^*}\right)^\frac{p}{p-1}\norm{Du}_p.$$
これより $\norm{u}_{p^*}=\left(\int_\Omega |u|^{p^*}\right)^{\frac{n-1}{n}-\frac{p-1}{p}}\le\frac{(n-1)p}{n-p}\norm{Du}_p$ が従う。

$u\in W^{1,p}(\R^n)$ とし、$u_m\in C^\infty_c(\R^n)$、$\norm{u_m-u}_{1,p}\to 0\ (m\to\infty)$ とする。部分列に移って $u_m\to u $ a.e. in $\R^n$ としてよい。Fatouの補題より
$$\norm{u}_{p^*}\le\liminf_{m\to\infty}\norm{u}_{p^*}\le C\liminf_{m\to\infty}\norm{Du_m}_p=C\norm{Du}_p.$$
{{end|proof}}

{{theorem|type=ex}}
$C_{n,p}=\frac{(n-1)p}{n-p}$ はGagliardo-Nirenberg-Sobolevの不等式の最良定数(すなわちこの不等式が任意の $u\in W^{1,p}(\R^n)$ について成り立つ最小の $C_{n,p}$)ではない。Gagliardo-Nirenberg-Sobolevの不等式の最良定数は
$$C_{n,p}=n^{-\frac{1}{p}}\pi^{-\frac{1}{2}}\left(\frac{p-1}{n-p}\right)^{1-\frac{1}{p}}\left(\frac{\Gamma(1+\frac{n}{2})\Gamma(n)}{\Gamma(\frac{n}{p})\Gamma(1+n-\frac{n}{p})}\right)^\frac{1}{n}$$
で与えられ、
$$u(x)=(a+b|x|^\frac{p}{p-1})^{1-\frac{n}{p}}$$
とすると $\norm{u}_{p^*;\R^n}=C_{n,p}\norm{Du}_{p;\R^n}$ が成り立つことが知られている。ここで $a,b$ は正の定数であり、$\Gamma$ は $\Gamma$ 関数である。$u$ はTalentiの関数と呼ばれる。

{{theorem|type=cor|label=locGNS}}
$p\in[1,n)$ について $W^{1,p}_{\loc}(\Omega)\subset L^{p^*}_{\loc}(\Omega)$。

{{begin|proof|display=''Proof.''|collapsible=1}}
$u\in W^{1,p}_\loc(\Omega)$、$\Omega'\rcpt\Omega$ とし、$\zeta\in C^\infty_c(\Omega)$ で $\zeta=1$ in $\Omega'$ となるものをとると $\zeta u\in W^{1,p}_0(\Omega)\subset L^{p^*}(\Omega)$。これより $u\in L^{p^*}(\Omega')$。
{{end|proof}}

$W^{1,p}(\Omega)\subset L^{p^*}(\Omega)$ を示すには $\pOm$ に条件が必要である:

{{theorem|type=cor|label=gGNS}}
$p\in[1,n)$ について次が成り立つ:
*(1) $T\subset\pOm$ が(\ref{D})をみたす相対開集合のとき $W^{1,p}_0(\OmT)\subset L^{p^*}(\Omega)$ で $u\in W^{1,p}_0(\OmT)$ について
$$\norm{u}_{p^*;\Omega}\le C_{p,\Omega,T}\norm{u}_{1,p;\Omega}.$$
*(2) $\Omega$ が有界な $C^{0,1}$ 領域のとき $W^{1,p}(\Omega)\subset L^{p^*}(\Omega)$ で $u\in W^{1,p}(\Omega)$ について
$$\norm{u}_{p^*;\Omega}\le C_{p,\Omega}\norm{u}_{1,p;\Omega}.$$

{{begin|proof|display=''Proof.''|collapsible=1}}
(1)は $E\colon W^{1,p}_0(\OmT)\to W^{1,p}(\R^n)$ を拡張作用素とすれば $u\in W^{1,p}_0(\OmT)$ について
$$\norm{u}_{p^*}\le\norm{Eu}_{p^*}\le C\norm{DEu}_{p}\le C\norm{Eu}_{1,p}\le C\norm{u}_p.$$
(2)も同様。
{{end|proof}}

{{theorem|type=cor|name=$p=n$ の場合|label=pn}}
$|\Omega|\lt\infty$ のとき任意の $q\in[1,\infty)$ について $W^{1,n}_0(\Omega)\subset L^q(\Omega)$ で $u\in W^{1,n}_0(\Omega)$ について
$$\norm{u}_{q;\Omega}\le C_{n,q}|\Omega|^{q^{-1}}\norm{Du}_{n;\Omega}.$$

{{begin|proof|display=''Proof.''|collapsible=1}}
$q\ge 1^*$ の場合を示せば十分。{{ref|type=thm|label=GNS}}より
$$\norm{u}_q\le C\norm{Du}_\frac{nq}{n+q}\le C|\Omega|^{q^{-1}}\norm{Du}_n.$$
{{end|proof}}

{{theorem|type=cor|label=gpn}}
*(1) $q\in[n,\infty)$ について $W^{1,n}_{\loc}(\Omega)\subset L^q_{\loc}(\Omega)$。
*(2) $|\Omega|\lt\infty$ で $T\subset\pOm$ が $T\subset\pOm$ を(\ref{D})をみたす相対開集合のとき任意の $q\in[n,\infty)$ について $W^{1,n}_0(\OmT)\subset L^q(\Omega)$ で $u\in W^{1,p}_0(\OmT)$ について
$$\norm{u}_{q;\Omega}\le C_{q,\Omega,T}\norm{u}_{n;\Omega}.$$
*(3) $\Omega$ を有界な $C^{0,1}$ 領域とすると任意の $q\in[n,\infty)$ について $W^{1,n}(\Omega)\subset L^q(\Omega)$ で $u\in W^{1,p}(\Omega)$ について
$$\norm{u}_{q;\Omega}\le C_{q,\Omega}\norm{u}_{n;\Omega}.$$
{{theorem|type=rmk}}
$n=1$ の場合は{{ref|type=thm|label=dim1mor}}より $W^{1,1}(I)\subset L^\infty(I)$ であるが、$n\ge 2$ の場合は $W^{1,n}(\Omega)\subset L^\infty(\Omega)$ は成り立たない。

たとえば $\Omega=B_1(0)$ とし、
$$u(x)=(-\log|x|)^\alpha,\alpha\in (0,1-n^{-1})$$
とすると、任意の $q\in[1,\infty)$ について $u\in L^q(\Omega)$ で、$x\in\Omega\backslash\{0\}$ について
$$Du(x)=\alpha|x|^{-2}(-\log|x|)^{\alpha-1}x$$
が各点の意味で成り立ち、$n(\alpha-1)\lt -1$ より
$$\int_\Omega |Du|^n=n\omega_n\int_0^1 r^{-n+(n-1)}(-\log r)^{n(\alpha-1)}dr\lt\infty.$$
また $\varphi\in C^\infty_c(\Omega)$ と $r\in(0,1)$ について
$$\int_{\Omega\backslash\Bb_r(0)}uD_i\varphi=-\int_{\Omega\backslash\Bb_r(0)}D_iu\varphi-\int_{\partial\Bb_r(0)}(-\log|x|)^\alpha\varphi(x)\frac{x_i}{r}d\H^{n-1}(x),$$
$$\left|\int_{\partial\Bb_r(0)}(-\log|x|)^\alpha\varphi(x)\frac{x_i}{r}d\H^{n-1}(x)\right|\le \norm{\varphi}_\infty(-\log r)^\alpha\cdot n\omega_n r^{n-1}\to 0\ (r\to 0)$$
より $u$ は弱微分をもち、各点微分と一致する。これより $u\in W^{1,n}(\Omega)$。一方、明らかに $u\notin L^\infty(\Omega)$ である。
==Rieszポテンシャル==
$p\in(n,\infty)$ の場合を扱う準備として、次のRieszポテンシャルを定義する:

{{theorem|type=def|name=Rieszポテンシャル|label=riep}}
$\mu\in(0,1]$ とする。$\L^n$ -可測関数 $f\colon\Omega\to\R$ について合成積 $|\cdot|^{-n(1-\mu)}*f$ がある開集合上で定義されるときこれを $V_\mu f$ とかきRieszポテンシャルという。

{{theorem|type=pro|label=riep1}}
$|\Omega|\lt\infty$、$p\in[1,\infty]$、$\mu\in(0,1]$ とする。$f\in L^p(\Omega)$ とすると $V_\mu f$ は $\Omega$ 上で定義され次が成り立つ:
*(1) $q\in[p,\infty]$ が $\delta\colon=p^{-1}-q^{-1}\lt\mu$ をみたすとすると
$$V_\mu f\in L^q(\Omega),\norm{V_\mu f}_{q;\Omega}\le\left(\frac{1-\delta}{\mu-\delta}\right)^{1-\delta}\omega_n^{1-\mu}|\Omega|^{\mu-\delta}\norm{f}_{p;\Omega}.$$
*(2) $p\in[1,\infty)$、$\mu=p^{-1}$、$f\not\equiv 0$ のとき、$\alpha\gt 0$ について
$$\int_\Omega\exp\left(\left(\frac{|V_{p^{-1}} f|}{C_{n,p,\alpha}\norm{f}_{p,\Omega}}\right)^{p'}\right)\le (1+\alpha)|\Omega|.$$

{{begin|proof|display=''Proof.''|collapsible=1}}
(1)を示す。$h\colon=|\cdot|^{-n(1-\mu)}$、$r\colon=(q^{-1}-p^{-1}+1)^{-1}=(1-\delta)^{-1}$ とする。
$$\norm{h}_{r;\Omega}\le\left(\frac{1-\delta}{\mu-\delta}\right)^{1-\delta}\omega_n^{1-\mu}|\Omega|^{\mu-\delta}\tag{*}\label{riep}$$
を示す。

$R\colon=(\omega_n^{-1}|\Omega|)^{n^{-1}}$ とする。$|\Omega|=\omega_nR^n=|B_R(0)|$ であるから $|\Omega\backslash B_R(0)|=|B_R(0)\backslash\Omega|$ で
$$\int_{\Omega}h^r\le R^{-n(1-\mu)}|\Omega\backslash B_R(0)|+\int_{B_R(0)\cap\Omega}h^r=R^{-n(1-\mu)}|B_R(0)\backslash\Omega|+\int_{B_R(0)\cap\Omega}h^r\le\int_{B_R(0)}h^r.$$
$1-(1-\mu)r=1-\frac{1-\mu}{1-\delta}=\frac{\mu-\delta}{1-\delta}\gt 0$ に注意すると
$$\int_\Omega h^r\le\int_{B_R(0)}h^r=n\omega_n\int_0^R t^{n-n(1-\mu)r-1}dx=\frac{1-\delta}{\mu-\delta}\omega_nR^{n-n(1-\mu)r}=\frac{1-\delta}{\mu-\delta}\omega_n^{(1-\mu)r}|\Omega|^{(\mu-\delta)r}$$
となり(\ref{riep})が従う。

$x,y\in\Omega$ について(\ref{riep})より
\begin{align*}
\norm{h(x-\cdot)}_{r;\Omega}&=\norm{h}_{r;x-\Omega}\le\left(\frac{1-\delta}{\mu-\delta}\right)^{1-\delta}\omega_n^{1-\mu}|\Omega|^{\mu-\delta},\\
\norm{h(\cdot-y)}_{r;\Omega}&=\norm{h}_{r;\Omega-y}\le\left(\frac{1-\delta}{\mu-\delta}\right)^{1-\delta}\omega_n^{1-\mu}|\Omega|^{\mu-\delta}.
\end{align*}
$q^{-1}=p^{-1}+r^{-1}-1$ であるからYoungの不等式より $V_\mu f$ は $\Omega$ 上で定義され
$$V_\mu f\in L^q(\Omega),\norm{V_\mu f}_q\le\left(\frac{1-\delta}{\mu-\delta}\right)^{1-\delta}\omega_n^{1-\mu}|\Omega|^{\mu-\delta}\norm{f}_p$$
が成り立つ。

(2)を示す。$\mu=p^{-1}$ のときは任意の $q\in[p,\infty)$ が $p^{-1}-q^{-1}\lt\mu$ をみたす。

$N\colon=\lceil p-1\rceil$ とする。$m\in\Z$、$m\ge N$ とすると $mp'\ge p$ となり、$q=mp'$ として(1)を用いると $\delta=p^{-1}-(mp')^{-1}=1-(1+m^{-1})p'^{-1}$ より
$$\int_\Omega|V_{p^{-1}}f|^{mp'}\le\left((m+1)^{(1+m^{-1})p'^{-1}}\omega_n^{p'^{-1}}|\Omega|^{(mp')^{-1}}\norm{f}_p\right)^{mp'}=(m+1)^{m+1}\omega_n^m|\Omega|\norm{f}_p^{mp'}.$$
$m=1,\ldots ,N-1$ については
$$\int_\Omega|V_{p^{-1}}f|^{mp'}\le|\Omega|^{1-\frac{m}{N}}\left(\int_\Omega|V_{p^{-1}}f|^{Np'}\right)^\frac{m}{N}\le N^m\omega_n^m|\Omega|\norm{f}_p^{mp'}.$$
$m!=O(m^{m+\frac{1}{2}}e^{-m})$ に注意すると $m\in\Zp$ について
$$\int_\Omega|V_{p^{-1}}f|^{mp'}\le C(m+1)^{-\frac{1}{2}}e^{-m}(m+1)!|\Omega|.$$
これより $M\gt (e\omega_n)^{p'^{-1}}$ について
\begin{align*}
\int_\Omega\exp\left(\left(\frac{|V_{p^{-1}}f|}{M\norm{f}_p}\right)^{p'}\right)&=|\Omega|+\sum_{m=1}^\infty\frac{1}{m!(M\norm{f}_p)^{mp'}}\int_\Omega|V_{p^{-1}}f|^{mp'}\\
&\le\left(1+C\sum_{m=1}^\infty\frac{(m+1)^\frac{1}{2}e^{m+1}\omega_n^m}{M^m}\right)|\Omega|.
\end{align*}
$\displaystyle \sum_{m=1}^\infty\frac{(m+1)^\frac{1}{2}e^{m+1}}{M^m}\to 0 (M\to\infty)$ であるから十分大きな $C=C_{n,p,\alpha}$ をとれば
$$\int_\Omega\exp\left(\left(\frac{|V_{p^{-1}}f|}{C\norm{f}_p}\right)^{p'}\right)\le(1+\alpha)|\Omega|.$$
{{end|proof}}

$\mu=\delta$ の場合は次の結果が重要である:

{{theorem|type=thm|name=Hardy-Littlewood-Sobolevの不等式|label=HLS}}
$p\in[1,\mu^{-1})$ とし、$f\in L^p(\R^n)$ とすると $V_\mu f$ は $\R^n$ 上で定義され、$q\colon=\frac{p}{1-\mu p}$ とすると次が成り立つ:
*(1) $p=1$ のとき
$$V_\mu f\in L^{q,w}(\R^n),[V_\mu f]_{q;\R^n}\le C_{n,\mu}\norm{f}_{1;\R^n}.$$
( $L^{q,w}$ と $[\cdot]_q$ の定義は[[Marcinkiewiczの補間定理]]を参照。)
*(2) $p\in(1,\mu^{-1})$ のとき
$$V_\mu f\in L^q(\R^n),\norm{V_\mu f}_{q;\R^n}\le C_{n,p,\mu}\norm{f}_{p;\R^n}.$$

{{begin|proof|display=''Proof.''|collapsible=1}}
$R\gt 0$ とし、$h_1\colon=|\cdot|^{-n(1-\mu)}\chi_{B_R(0)}$、$h_2\colon=|\cdot|^{-n(1-\mu)}\chi_{\R^n\backslash B_R(0)}$ とする。
$$\norm{h_1}_1=n\omega_n\int_0^R t^{n\mu-1}dt=\mu^{-1}\omega_nR^{n\mu}$$
であるからYoungの不等式より
$$h_1*f\in L^p(\R^n),\norm{h_1*f}_p\le CR^{n\mu}\norm{f}_p.$$
また $p'\colon=\frac{p}{p-1}$ とすると $((1-\mu)p'-1)^{-1}=p'((1-\mu)-(1-p^{-1}))^{-1}=p'q^{-1}$
$$\norm{h_2}_{p'}^{p'}=n\omega_n\int_R^\infty t^{n-n(1-\mu)p'-1}dt=p'q^{-1}\omega_nR^{-np'q^{-1}}$$
であるからHölderの不等式より
$$h_2*f\in L^\infty(\R^n),\norm{h_2*f}_\infty\le KR^{-nq^{-1}}\norm{f}_p,K\colon=(p'q^{-1}\omega_n)^{1-p^{-1}}.$$
よって $V_\mu f=h_1*f+h_2*f$ は $\R^n$ 上で定義される。

$t\gt 0$ とする。$R=(2K\norm{f}_pt^{-1})^{n^{-1}q}$ ととれば $\norm{h_2*f}_\infty\le\frac{t}{2}$ となり
$$\left|\left\{|h_2*f|\gt\frac{t}{2}\right\}\right|=0.$$
また $\mu pq+p=q(\mu p+p(p^{-1}-\mu))=q$ に注意すると
$$\left|\left\{|h_1*f|\gt\frac{t}{2}\right\}\right|=(\norm{h_1*f}_pt^{-1})^p\le C(R^{n\mu}\norm{f}_pt^{-1})^p=C(\norm{f}_pt^{-1})^{\mu pq+p}=C(\norm{f}_pt^{-1})^q.$$
$|V_\mu f|\gt t\implies|h_1*f|\gt\frac{t}{2}$ or $|h_2*f|\gt\frac{t}{2}$ より
$$|\{|V_\mu f|\gt t\}|\le\left|\left\{|h_1*f|\gt\frac{t}{2}\right\}\right|+\left|\left\{|h_2*f|\gt\frac{t}{2}\right\}\right|\le C(\norm{f}_pt^{-1})^q.$$
従って
$$V_\mu f\in L^{q,w}(\R^n),[V_\mu f]_q\le C\norm{f}_p.\tag{*}\label{HLS}$$
(1)はこれで示された。

(2)を示す。$p_0,p_1$ を $1\le p_0\lt p\lt p_1\lt\mu^{-1}$ となるようにとり、$q_i\colon=\frac{p_i}{1-\mu p_i}\ (i=0,1)$ とする。$\theta\in(0,1)$ を $p^{-1}=(1-\theta)p_0^{-1}+\theta p_1^{-1}$ となるようにとると
$$q^{-1}=p^{-1}-\mu=(1-\theta)(p_0^{-1}-\mu)+\theta(p_1^{-1}-\mu)=(1-\theta)q_0^{-1}+\theta q_1^{-1}.$$
(\ref{HLS})と[[Marcinkiewiczの補間定理]]より(2)が従う。
{{end|proof}}

{{theorem|type=pro|name=Rieszポテンシャルと微分の関係|label=riep2}}
*(1) $k=1,\ldots,n$ とする。$u\in C^\infty_c(\R^n)$ とすると $x\in\R^n$ について
$$u(x)=\frac{1}{(k-1)!n\omega_n}\int_{\R^n}\sum_{|\alpha|=k}|x-y|^{-n}(x-y)^\alpha D^\alpha u(y)dy.$$
とくに $u\in W^{k,1}(\Omega)$ について
$$|u|\le\frac{1}{(k-1)!n\omega_n}V_\frac{k}{n}|D^ku|.$$
*(2) $\Omega$ は凸であるとし、$S\subset\Omega$ は有界かつ $|S|\gt 0$ をみたすとする。$u\in W^{1,1}(\Omega)$ とすると
$$|u-u_S|\le\frac{(\diam\Omega)^n}{n|S|}|V_{n^{-1}}u|\ \inn\Omega.$$
ここで
$$u_S\colon=\frac{1}{|S|}\int_S u.$$

{{begin|proof|display=''Proof.''|collapsible=1}}
(1)を示す。$z\in\partial B_1(0)$ とする。十分大きい $t\gt 0$ について $u(x+tz)=0$ となることに注意すると部分積分による $k$ に関する帰納法により
$$u(x)=\frac{1}{(k-1)!}\int_0^\infty t^{k-1}D^k_z u(x+tz)dt=\frac{(-1)^k}{(k-1)!}\int_0^\infty\sum_{|\alpha|=k}t^{k-1}z^\alpha D^\alpha u(x+tz)dt.$$
よって
\begin{align*}
u(x)&=\frac{(-1)^k}{(k-1)!n\omega_n}\int_{\partial B_1(0)}\left(\int_0^\infty \sum_{|\alpha|=k}t^{k-1}z^\alpha D^\alpha u(x+tz)dt\right)d\H^{n-1}(z)\\
&=\frac{1}{(k-1)!n\omega_n}\int_0^\infty\left(\int_{B_t(x)} \sum_{|\alpha|=k}t^{k-n}(t^{-1}(x-y))^\alpha D^\alpha u(y)d\H^{n-1}(y)\right)dt\\
&=\frac{1}{(k-1)!n\omega_n}\int_{\R^n} \sum_{|\alpha|=k}|x-y|^{-n}(x-y)^\alpha D^\alpha u(y)dy.
\end{align*}

(2)を示す。$x,z\in\Omega$ とすると
$$u(x)-u(z)=\int_0^1 Du(tx+(1-t)z)\cdot(x-z)dt.$$
$z\in S$ について積分すると
$$u(x)-u_S=\frac{1}{|S|}\int_S\left(\int_0^1 Du((1-t)x+tz)\cdot(x-z)dt\right)dz.$$
$t\in[0,1]$ について $x\in (1-t)x+t\Omega$、$\diam((1-t)x+t\Omega)=t\diam\Omega$ より $y\in\Omega$ について $y\in(1-t)x+t\Omega\implies |x-y|\le t\diam\Omega$ となることに注意すると
\begin{align*}
|u(x)-u_S|&\le\frac{1}{|S|}\int_S\left(\int_0^1 |Du((1-t)x+tz)||x-z|dt\right)dz\\
&=\frac{1}{|S|}\int_0^1\left(\int_{(1-t)x+tS} t^{-n}|Du(y)|t^{-1}|x-y|dy\right)dt\\
&=\frac{1}{|S|}\int_\Omega\left(\int_{\{t\in[0,1]\colon y\in(1-t)x+tS\}}t^{-n-1}|x-y||Du(y)|dt\right)dy\\
&\le\frac{1}{|S|}\int_\Omega\left(\int_{\{t\in[0,1]\colon y\in(1-t)x+t\Omega\}}t^{-n-1}|x-y||Du(y)|dt\right)dy\\
&\le\frac{1}{|S|}\int_\Omega\left(\int_\frac{|x-y|}{\diam\Omega}^\infty t^{-n-1}|x-y||Du(y)|dt\right)dy\\
&=\frac{(\diam\Omega)^n}{n|S|}\int_\Omega|x-y|^{1-n}|Du(y)|dt.
\end{align*}
{{end|proof}}

{{theorem|type=ex}}
$p\in(1,n)$ の場合は(1)とHardy-Littlewood-Sobolevの不等式を組み合わせてSobolevの不等式を証明することもできる。

==Poincaréの不等式==
実用上は以下に示すSobolevの不等式のより弱い形であるPoincaréの不等式で十分であることも多い。
{{theorem|type=thm|name=Poincaréの不等式|label=Poi0}}
*(1) $|\Omega|\lt\infty$ とする。$p\in[1,\infty)$ と $u\in W^{1,p}_0(\Omega)$ について
$$\norm{u}_{p;\Omega}\le C_n|\Omega|^{n^{-1}}\norm{Du}_{p;\Omega}.$$
*(2) $\Omega$ は一方向に有界であるとする。すなわち $z\in\partial B_1(0)$ が存在し $\displaystyle w\colon=\sup_{x\in\R^n}\diam(\{t\in\R\colon x+tz\in\Omega\})\lt\infty$ となるとする。$p\in[1,\infty)$ と $u\in W^{1,p}_0(\Omega)$ について
$$\norm{u}_{p;\Omega}\le C_nw\norm{D_zu}_{p;\Omega}.$$

{{begin|proof|display=''Proof.''|collapsible=1}}
(1)は{{ref|type=pro|label=riep2}}の(1)と{{ref|type=pro|label=riep1}}の(1)より
$$\norm{u}_p\le\frac{1}{n\omega_n}\norm{V_{n^{-1}}|Du|}_p\le C|\Omega|^{n^{-1}}\norm{Du}_p.$$

(2)を示す。$u\in C^\infty_c(\Omega)$ としてよい。

$\pi\colon=\{x\in\R^n\colon z\cdot x=0\}$ とする。$x\in\pi$ について
$$a_x\colon=\inf\{t\in\R\colon x+tz\in\Omega\},b_x\colon=\sup\{t\in\R\colon x+tz\in\Omega\},I_x\colon=(a_x,b_x)$$
とすると $|I_x|\le w$、$\displaystyle \Omega\subset\bigcup_{x\in\pi}\{x+tz\colon t\in I_x\}$。
$u\in C^\infty_c(\Omega)$ とすると{{ref|type=thm|label=dim1mor}}より $x\in\pi$ について
$$\left(\int_{I_x}|u(x+tz)|^pdt\right)^{p^{-1}}\le|I_x|^{p^{-1}}\sup_{t\in I_x}|D_zu(x+tz)|\le|I_x|\left(\int_{I_x}|D_zu(x+tz)|^pdt\right)^{p^{-1}}.$$
Lipschitz連続関数 $x\mapsto z\cdot x$ に対して[[Hausdorff測度とarea_coarea_formula|coarea formula]]を用いると
\begin{align*}
\norm{u}_p&=\left(\int_\R\left(\int_{\{x\in\Omega\colon z\cdot x=t\}}|u(x)|^pd\H^{n-1}(x)\right)dt\right)^{p^{-1}}\\
&=\left(\int_\R\left(\int_{\{x\in\pi\colon x+tz\in\Omega\}}|u(x+tz)|^pd\H^{n-1}(x)\right)dt\right)^{p^{-1}}\\
&=\left(\int_\pi\left(\int_{I_x}|u(x+tz)|^pdt\right)d\H^{n-1}(x)\right)^{p^{-1}}\\
&\le\left(\int_\pi |I_x|^p\left(\int_{I_x}|D_zu(x+tz)|^pdt\right)d\H^{n-1}\right)^{p^{-1}}\\
&\le w\norm{D_zu}_p.
\end{align*}
{{end|proof}}

{{theorem|type=thm|name=Poincaréの不等式|label=Poi}}
$\Omega$ は有界かつ凸であるとする。$p\in[1,\infty)$ と $u\in W^{1,p}(\Omega)$ と $|S|\gt 0$ なる $S\subset\Omega$ について
$$\norm{u-u_S}_{p;\Omega}\le C_n\frac{(\diam\Omega)^n}{|S|}|\Omega|^{n^{-1}}\norm{Du}_{p;\Omega}.$$

{{begin|proof|display=''Proof.''|collapsible=1}}
{{ref|type=pro|label=riep2}}の(2)と{{ref|type=pro|label=riep1}}の(1)より
$$\norm{u-u_\Omega}_p\le\frac{(\diam\Omega)^n}{n|\Omega|}\norm{V_{n^{-1}}|Du|}_p\le C\frac{(\diam\Omega)^n}{|S|}|\Omega|\norm{Du}_p.$$
{{end|proof}}

{{theorem|type=rmk}}
$|\Omega|\lt\infty$ または $\Omega$ が一方向に有界のとき、$\norm{Du}_{p;\Omega}$ は $W^{1,p}_0(\Omega)$ に $\norm{u}_{1,p;\Omega}$ と同値なノルムを定める。とくに $p=2$ のとき、
$$\int_\Omega Du\cdot Dv$$
は $W^{1,2}_0(\Omega)$ に $W^{1,2}(\Omega)$ における内積と同値な内積を定める。

また、$\Omega$ が有界かつ凸のとき、$\norm{Du}_{p;\Omega}$ は $W^{1,p}(\Omega)$ の閉部分空間 $\{u\in W^{1,p}(\Omega)\colon u_\Omega=0\}$ に $\norm{u}_{1,p;\Omega}$ と同値なノルムを定める。

==Morreyの不等式==
ここでは $p\in(n,\infty)$ の場合を取り扱う。

{{theorem|type=thm|name=Morreyの不等式|label=mor}}
$p\in(n,\infty)$ とする。$\alpha=1-\frac{n}{p}$ とすると次が成り立つ。
*(1) $|\Omega|\lt\infty$ のとき $W^{1,p}_0(\Omega)\subset L^\infty(\Omega)$ で $u\in W^{1,p}_0(\Omega)$ について
$$\norm{u}_{\infty;\Omega}\le C_{n,p}|\Omega|^{n^{-1}-p^{-1}}\norm{Du}_{p;\Omega}.$$
*(2) $W^{1,p}(\R^n)\subset C^{0,\alpha}(\R^n)$ で $u\in W^{1,p}(\R^n)$ について
$$[u]_{0,\alpha;\R^n}\le C_{n,p}\norm{Du}_{p;\R^n}.$$
とくに $|\Omega|\lt\infty$ のとき $W^{1,p}_0(\Omega)\subset C^{0,\alpha}(\Ombar)$ で $u\in W^{1,p}_0(\Omega)$ について
$$|u|_{0,\alpha;\Omega}\le C_{n,p,|\Omega|}\norm{Du}_{p;\Omega},u=0\ \on\pOm.$$

{{begin|proof|display=''Proof.''|collapsible=1}}
(1)を示す。{{ref|type=pro|label=riep2}}の(1)と{{ref|type=pro|label=riep1}}で $\mu=n^{-1}$、$q=\infty$ としたものより
$$\norm{u}_\infty\le CV_{n^{-1}}|Du|\le C|\Omega|^{n^{-1}-p^{-1}}\norm{Du}_p.$$

(2)を示す。$B=B_r\subset\R^n$ とする。{{ref|type=pro|label=riep2}}の(2)と{{ref|type=pro|label=riep1}}より
$$|u-u_B|\le\frac{(\diam B)^n}{n|B|}V_{n^{-1}}\left(\left(\left.|Du|\right)\right|_B\right)\le C|B|^{n^{-1}-p^{-1}}\norm{Du}_p\le Cr^\alpha\norm{Du}_p\ \inn B.$$
$x,y\in B$ とすると
$$|u(x)-u(y)|\le|u(x)-u_B|+|u(y)-u_B|\le Cr^\alpha\norm{Du}_p.\tag{*}\label{mor1}$$
$x,y\in\R^n$、$x\neq y$ について、$B=B_r$ を $x,y\in B$ かつ $r\le|x-y|$ となるようにとれるので
$$|u(x)-u(y)|\le C\norm{Du}_p|x-y|^\alpha$$
が成り立つ。$u=0$ on $\pOm$ は $u_m\in W^{1,p}_c(\Omega)$、$\norm{u_m-u}_{1,p;\Omega}\to 0\ (m\to\infty)$ とすると $u_m=0$ on $\pOm$、$\norm{u_m-u}_\infty\to 0\ (m\to\infty)$ となることから成り立つ。
{{end|proof}}

{{ref|type=cor|label=locGNS}}、{{ref|type=cor|label=gGNS}}と同様に次が成り立つ:

{{theorem|type=cor|label=locmor}}
$p\in(n,\infty)$ とする。$\alpha=1-\frac{n}{p}$ とすると $W^{1,p}_{\loc}(\Omega)\subset C^{0,\alpha}(\Omega)$。

{{theorem|type=cor|label=gmor}}
$p\in(n,\infty)$ とする。$\alpha=1-\frac{n}{p}$ とすると次が成り立つ:
*(1) $|\Omega|\lt\infty$ で $T\subset\pOm$ が(\ref{D})をみたす相対開集合のとき $W^{1,p}_0(\OmT)\subset C^{0,\alpha}(\Ombar)$ で $u\in W^{1,p}_0(\OmT)$ について
$$|u|_{0,\alpha;\Omega}\le C_{p,T,\Omega}\norm{u}_{1,p;\Omega}, u=0\ \on \Omega\backslash T.$$
*(2) $\Omega$ を有界な $C^{0,1}$ 領域とすると $W^{1,p}(\Omega)\subset C^{0,\alpha}(\Ombar)$ で $u\in W^{1,p}(\Omega)$ について
$$|u|_{0,\alpha;\Omega}\le C_{p,\Omega}\norm{u}_{1,p;\Omega}.$$

{{theorem|type=rmk}}
{{ref|type=thm|label=lip}}より、{{ref|type=cor|label=locmor}}と{{ref|type=cor|label=gmor}}の(2)は $p=\infty$ の場合にも成立する。

{{theorem|type=cor|name=a.e.微分可能性|label=difae}}
$p\in(n,\infty]$ とする。$u\in W^{1,p}_{\loc}(\Omega)$ は a.e. in $\Omega$ で微分可能で、各点微分と弱微分は一致する。

{{begin|proof|display=''Proof.''|collapsible=1}}
$p\in(n,\infty)$ としてよい。

$x_0\in\Omega$ は
$$r^{-n}\int_{B_r(x_0)}|Du-Du(x_0)|^p\to 0\ (r\to +0)$$
をみたすとする。Lebesgueの微分定理よりこれはa.e. $x_0\in\Omega$ で成り立つ。
$$v(x)\colon=u(x)-u(x_0)-Du(x_0)\cdot(x-x_0)\ (x\in\Omega)$$
と定め、$v(x)=o(|x-x_0|)\ (|x-x_0|\to +0)$ を示せばよい。

{{ref|type=thm|label=mor}}の証明の(\ref{mor1})より $B_r=B_r(x_0)\rcpt\Omega$ について
$$|v|_{\infty;B_r}=|v-v(x_0)|_{\infty;B_r}\le C\norm{Dv}_{p;B_r}r^{1-\frac{p}{n}}\le Cr\left(r^{-n}\int_{B_r}|Du-Du(x_0)|^p\right)^{p^{-1}}.$$
これより $v(x)=o(|x-x_0|)\ (|x-x_0|\to +0)$。
{{end|proof}}

{{theorem|type=ex}}
$p=\infty$ の場合を{{ref|type=thm|label=lip}}と組み合わせるとRademacherの定理([[Hausdorff測度とarea_coarea_formula]]の定理33)の別の証明が得られる。

==Trudinger-Moserの不等式==
{{ref|type=cor|label=gpn}}の注意で述べたように、$p=n\ge 2$ の場合のSobolevの不等式はその他の場合より繊細である。一方、Rieszポテンシャルを用いると{{ref|type=cor|label=pn}}と{{ref|type=cor|label=gpn}}の評価をより精密にすることができる。

{{theorem|type=thm|name=Trudinger-Moserの不等式|label=TM}}
$n\ge 2$ のとき次が成り立つ:
*(1) $|\Omega|\lt\infty$ のとき $u\in W^{1,n}_0(\Omega)\backslash\{0\}$ と $\alpha\gt 0$ について
$$\int_\Omega\exp\left(\left(\frac{|u|}{C_{n,\alpha}\norm{Du}_{n;\Omega}}\right)^\frac{n}{n-1}\right)\le (1+\alpha)|\Omega|.$$
*(2) $|\Omega|\lt\infty$ で $T\subset\pOm$ を $T\subset\pOm$ が(\ref{D})をみたす相対開集合のとき $u\in W^{1,n}_0(\OmT)\backslash\{0\}$ と $\alpha\gt 0$ について
$$\int_\Omega\exp\left(\left(\frac{|u|}{C_{\Omega,T,\alpha}\norm{u}_{1,n;\Omega}}\right)^\frac{n}{n-1}\right)\le (1+\alpha)|\Omega|.$$
*(3) $\Omega$ が有界な $C^{0,1}$ 領域のとき $u\in W^{1,n}(\Omega)\backslash\{0\}$ と $\alpha\gt 0$ について
$$\int_\Omega\exp\left(\left(\frac{|u|}{C_{\Omega,\alpha}\norm{u}_{1,n;\Omega}}\right)^\frac{n}{n-1}\right)\le (1+\alpha)|\Omega|.$$

{{begin|proof|display=''Proof.''|collapsible=1}}
(1)を示す。{{ref|type=pro|label=riep2}}の(1)より $u\in C^\infty_c(\R^n)$ について $|u|\le CV_{n^{-1}}|Du|$ となるので{{ref|type=pro|label=riep1}}より
$$\int_\Omega\left(\left(\frac{|u|}{C\norm{Du}_{n;\Omega}}\right)^\frac{n}{n-1}\right)\le(1+\alpha)|\Omega|.$$
一般の場合は近似により従う。

(2)と(3)は(1)と拡張作用素により示される。
{{end|proof}}

{{theorem|type=rmk}}
{{ref|type=cor|label=gpn}}の注意の $u$ は $\int_\Omega\exp\left(|u|^\frac{n}{n-1}\right)\lt\infty$ をみたしている。

==一般のSobolevの不等式==
{{theorem|type=thm|name=一般のSobolevの不等式|label=gsob}}
$k\in\Zp$、$p\in[1,\infty)$ とする。次が成り立つ:
*(1) $kp\lt n$ のとき $p_k\colon=\frac{np}{n-kp}$ とすると $W^{k,p}(\R^n)\subset L^{p_k}(\R^n)$ で $u\in W^{k,p}(\R^n)$ について
$$\norm{u}_{p_k;\R^n}\le C_{n,k,p}\norm{D^ku}_{p;\R^n}.$$
また $T\subset\pOm$ が $T\subset\pOm$ が(\ref{D})をみたす相対開集合のとき $W^{k,p}_0(\OmT)\subset L^{p_k}(\Omega)$ で $u\in W^{k,p}_0(\OmT)$ について
$$\norm{u}_{p_k;\Omega}\le C_{k,p,\Omega,T}\norm{u}_{k,p;\Omega}.$$
$\Omega$ が有界な $C^{0,1}$ 領域のとき $W^{k,p}(\Omega)\subset L^{p_k}(\Omega)$ で $u\in W^{k,p}(\Omega)$ について
$$\norm{u}_{p_k;\Omega}\le C_{k,p,\Omega}\norm{u}_{k,p;\Omega}.$$
*(2) $|\Omega|\lt\infty$、$kp=n$ のとき任意の $q\in[1,\infty)$ について $W^{k,p}_0(\Omega)\subset L^q(\Omega)$ で $u\in W^{k,p}_0(\Omega)$ について
$$\norm{u}_{q;\Omega}\le C_{n,k,q}|\Omega|^{q^{-1}}\norm{u}_{k,p;\Omega}.$$
また $|\Omega|\lt\infty$ で $T\subset\pOm$ が $T\subset\pOm$ が(\ref{D})をみたす相対開集合のとき任意の $q\in[p,\infty)$ について $W^{k,p}_0(\OmT)\subset L^q(\Omega)$ で $u\in W^{k,p}_0(\OmT)$ について
$$\norm{u}_{q;\Omega}\le C_{k,q,\Omega}\norm{u}_{k,p;\Omega}.$$
$\Omega$ が有界な $C^{0,1}$ 領域のとき任意の $q\in[p,\infty)$ について $W^{k,p}(\Omega)\subset L^q(\Omega)$ で $u\in W^{k,p}(\Omega)$ について
$$\norm{u}_{q;\Omega}\le C_{k,q,\Omega}\norm{D^ku}_{p;\Omega}.$$
*(3) $kp=n\ge k+1$、$|\Omega|\lt\infty$ のとき $u\in W^{k,p}_0(\Omega)\backslash\{0\}$ と $\alpha\gt 0$ について
$$\int_\Omega\exp\left(\left(\frac{|u|}{C_{n,k,\alpha}\norm{D^ku}_{p;\Omega}}\right)^\frac{n}{n-k}\right)\le (1+\alpha)|\Omega|.$$
また $|\Omega|\lt\infty$ で $T\subset\pOm$ が $T\subset\pOm$ が(\ref{D'})をみたす相対開集合のとき $u\in W^{k,p}_0(\OmT)\backslash\{0\}$ と $\alpha\gt 0$ について
$$\int_\Omega\exp\left(\left(\frac{|u|}{C_{k,\Omega,T,\alpha}\norm{u}_{k,p;\Omega}}\right)^\frac{n}{n-k}\right)\le (1+\alpha)|\Omega|.$$
$\Omega$ が有界なLipschitz領域のとき $u\in W^{k,p}(\Omega)\backslash\{0\}$ と $\alpha\gt 0$ について
$$\int_\Omega\exp\left(\left(\frac{|u|}{C_{k,\Omega,\alpha}\norm{u}_{k,p;\Omega}}\right)^\frac{n}{n-k}\right)\le (1+\alpha)|\Omega|.$$
*(4) $kp\gt n$、$\frac{n}{p}\notin\Z$ のとき $j\colon=\left\lfloor k-\frac{n}{p}\right\rfloor$、$\beta\colon= k-j-\frac{n}{p}$ とすると $W^{k,p}(\R^n)\subset C^{j,\beta}(\R^n)$ で $u\in W^{k,p}(\R^n)$ について
$$[u]_{j,\beta;\R^n}\le C_{n,k,p}\norm{D^ku}_{p;\R^n}.$$
また $|\Omega|\lt\infty$ のとき $u\in W^{k,p}_0(\Omega)$ について
$$|u|_{j,\beta;\Omega}\le C_{n,k,p,|\Omega|}\norm{u}_{k,p;\Omega},D^\alpha u=0\ \on\pOm\ (|\alpha|\le k-1).$$
$|\Omega|\lt\infty$ で $T\subset\pOm$ が(\ref{D})をみたす相対開集合のとき $W^{k,p}_0(\OmT)\subset C^{j,\beta}(\Ombar)$ で $u\in W^{k,p}_0(\OmT)$ について
$$|u|_{j,\beta;\Omega}\le C_{k,p,\Omega,T}\norm{u}_{k,p;\Omega},D^\alpha u=0\ \on\pOm\backslash T\ (|\alpha|\le k-1).$$
$\Omega$ が有界な $C^{0,1}$ 領域のとき $W^{k,p}(\Omega)\subset C^{j,\beta}(\Ombar)$ で $u\in W^{k,p}(\Omega)$ について
$$|u|_{j,\beta;\Omega}\le C_{k,p,\Omega}\norm{u}_{k,p;\Omega}.$$
*(5) $|\Omega|\lt\infty$、$kp\gt n$、$\frac{n}{p}\in\Z$ のとき $j\colon=k-\frac{n}{p}-1$ とすると任意の $\beta\in(0,1)$ について $W^{k,p}_0(\Omega)\subset C^{j,\beta}(\Ombar)$ で $u\in W^{k,p}_0(\Omega)$ について
$$|u|_{j,\beta;\Omega}\le C_{n,k,p,\beta,|\Omega|}\norm{u}_{k,p;\Omega},[u]_{j,\beta;\Omega}\le C_{n,k,p,\beta}|\Omega|^\frac{1-\beta}{n}\norm{D^ku}_{k,p;\Omega},D^\alpha u=0\ \on\pOm\ (|\alpha|\le k-1).$$
$|\Omega|\lt\infty$ で $T\subset\pOm$ が(\ref{D})をみたす相対開集合のとき $W^{k,p}_0(\OmT)\subset C^{j,\beta}(\Ombar)$ で $u\in W^{k,p}_0(\OmT)$ について
$$|u|_{j,\beta;\Omega}\le C_{k,p,\beta,\Omega,T}\norm{u}_{k,p;\Omega}.$$
$\Omega$ が有界な $C^{0,1}$ 領域のとき $W^{k,p}(\Omega)\subset C^{j,\beta}(\Ombar)$ で $u\in W^{k,p}(\Omega)$ について
$$|u|_{j,\beta;\Omega}\le C_{k,p,\beta,\Omega}\norm{u}_{k,p;\Omega}.$$
*(6) $k\gt n$、$p=1$ のとき $W^{k,1}(\R^n)\subset C^{k-n}(\R^n)\cap W^{k-n,\infty}(\R^n)$ で $u\in W^{k,1}(\R^n)$ について
$$[u]_{k-n;\R^n}\le C_{n,k}\norm{D^ku}_{1;\R^n},D^\alpha u=0\ \on\pOm\ (|\alpha|\le k-1).$$
$T\subset\pOm$ が(\ref{D})をみたす相対開集合のとき $W^{k,1}_0(\OmT)\subset C^{k-n}(\Ombar)\cap W^{k-n,\infty}(\Omega)$ で $u\in W^{k,1}(\Omega)$ について
$$[u]_{k-n;\Omega}\le C_{k,\Omega,T}\norm{u}_{k,1;\Omega},D^\alpha u=0\ \on\pOm\backslash T\ (|\alpha|\le k-1).$$
$\Omega$ が有界な $C^{0,1}$ 領域のとき $W^{k,1}(\Omega)\subset C^{k-n}(\Ombar)$ で $u\in W^{k,1}(\Omega)$ について
$$[u]_{k-n;\Omega}\le C_{k,\Omega}\norm{u}_{k,1;\Omega}.$$
{{begin|proof|display=''Proof.''}}
(1)、(2)、(4)、(5)は{{ref|type=thm|label=dim1mor}}、{{ref|type=thm|label=GNS}}、{{ref|type=cor|label=pn}}、{{ref|type=cor|label=gpn}}、{{ref|type=cor|label=gGNS}}、{{ref|type=thm|label=mor}}、{{ref|type=cor|label=gmor}}を用いて $k$ に関する帰納法により示される。

(3)は前半は{{ref|type=thm|label=TM}}と同様。拡張作用素により後半も従う。

(6)を示す。前半の $k=n$ の場合を示せば十分。$u\in C^\infty_c(\R^n)$ について{{ref|type=pro|label=riep2}}の(1)より
$$|u|\le V_1|D^nu|=\int_{\R^n}|D^nu|=\norm{D^nu}_1.$$
近似によりこれは任意の $u\in W^{n,1}(\R^n)$ に対して成り立つ。またこれより
$$W^{n,1}(\R^n)\subset\overline{C^\infty_c(\R^n)}^{L^\infty(\R^n)}\subset C(\R^n).$$
{{end|proof}}

==コンパクト埋め込み==
{{theorem|type=lem|label=cptlem}}
$p\in[1,\infty)$ とする。$u\in W^{1,p}(\R^n)$ と $\varepsilon\gt 0$ について
$$\norm{\eta_\varepsilon*u-u}_{p;\R^n}\le C_{n,p}\norm{Du}_{p;\R^n}\varepsilon.$$

{{begin|proof|display=''Proof.''}}
{{ref|type=thm|label=difq1}}に注意して
\begin{align*}
\int_{\R^n}|\eta_\varepsilon*u-u|^p&=\int_{\R^n}\left|\int_{B_\varepsilon(0)}\eta_\varepsilon(y)(u(x-y)-u(x))dy\right|^pdx\\
&=\int_{\R^n}\norm{\eta_\varepsilon}_{p'}^p\left(\int_{B_\varepsilon(0)}|u(x-y)-u(x)|^pdy\right)dx\\
&\le C\varepsilon^{-n}\int_{\R^n}\left(\int_{0}^\varepsilon\left(\int_{\partial B_1(0)}t^{n-1+p}|\Delta^t_z u(x)|^pd\H^{n-1}(z)\right)dt\right)dx\\
&\le C\varepsilon^{-n}\int_{0}^\varepsilon\left(\int_{\partial B_1(0)}t^{n-1+p}\norm{Du}_p^pd\H^{n-1}(z)\right)dt\\
&\le C\varepsilon^{-n}\norm{Du}_p^p\int_0^\varepsilon t^{n-1+p}dt\le C\norm{Du}_p^p\varepsilon^p.
\end{align*}
{{end|proof}}

{{theorem|type=thm|name=Rellich-Kondrachovの定理|label=cpt}}
$p\in[1,\infty)$ とし、
$$\begin{cases}
q\in[1,p^*)&\colon p\in(1,n)\\
q\in[1,\infty)&\colon p=n\\
q\in[1,\infty]&\colon p\in(n,\infty)
\end{cases}$$
とする。次が成り立つ:
*(1) $|\Omega|\lt\infty$ のとき埋め込み $W^{1,p}_0(\Omega)\subset L^q(\Omega)$ はコンパクトである。すなわち、$\{u_m\}_{m=1}^\infty\subset W^{1,p}_0(\Omega)$ が $\displaystyle \sup_{m}\norm{u_m}_{1,p;\Omega}\lt\infty$ をみたすとすると、$\{u_m\}_{m=1}^\infty$ の部分列で $L^q(\Omega)$ で収束するものが存在する。
*(2) $|\Omega|\lt\infty$ で $T\subset\pOm$ が(\ref{D})をみたす相対開集合のとき埋め込み $W^{1,p}_0(\OmT)\subset L^q(\Omega)$ はコンパクトである。
*(3) $\Omega$ を有界な $C^{0,1}$ 領域とすると、埋め込み $W^{1,p}(\Omega)\subset L^q(\Omega)$ はコンパクトである。

{{begin|proof|display=''Proof.''}}
(1)の $\Omega$ が有界かつ $q=p\in[1,n]$ の場合を示す。

開球 $B\subset\R^n$ を $\Omega\rcpt B$ となるようにとる。$\varepsilon\gt 0$ とすると $k=0,1$ について
$$\norm{D^k(\eta_\varepsilon*u_m)}_\infty\le C\varepsilon^{np^{-1}}\norm{D^ku_m}_p$$
であるから $\displaystyle\sup_m|\eta_\varepsilon*u_m|_{1;B}\lt\infty$。

[[Hölder空間の基本事項]]の定理62と対角線論法により、$\{u_m\}_{m=1}^\infty$ の部分列 $\{u_{m_j}\}_{j=1}^\infty$ で任意の $l\in\Zp$ について $\{\eta_{l^{-1}}*u_{m_j}\}_{j=1}^\infty$ が $C(\overline{B})$ において収束し、とくに $L^p(B)$ において収束するものがとれる。{{ref|type=lem|label=cptlem}}より
\begin{align*}
\limsup_{i,j\to\infty}\norm{u_{m_i}-u_{m_j}}_p&\le\limsup_{i,j\to\infty}\left(\norm{\eta_{l^{-1}}*u_{m_i}-\eta_{l^{-1}}*u_{m_j}}_p+C\left(\norm{Du_{m_i}}_p+\norm{Du_{m_j}}_p\right)l^{-1}\right)\\
&\le C\sup_m\norm{Du_m}_pl^{-1}.
\end{align*}
$l\to\infty$ として $\displaystyle\limsup_{i,j\to\infty}\norm{u_{m_i}-u_{m_j}}_p=0$ を得る。

(1)の $\Omega$ が非有界かつ $q=p\in[1,n]$ の場合を示す。$\zeta\in C^\infty_c(B_2(0))$ を $\zeta=1$ in $B_1(0)$ となるようにとり、$\zeta_l(x)\colon=\zeta(l^{-1}x)\ (l\in\Zp)$ とする。(1)の $\Omega$ が有界な場合と対角線論法により $\{u_{m_j}\}_{j=1}^\infty$ で任意の$l\in\Zp$ について $\{\zeta_lu_{m_j}\}_{j=1}^\infty$ が $L^p(\Omega)$ で収束するものがとれる。また
$$\norm{(1-\zeta_l)u_m}_p\le C|\Omega\backslash B_l(0)|^\frac{1}{n}\norm{D((1-\zeta_l)u_m)}_p\le C|\Omega\backslash B_l(0)|^\frac{1}{n}(1+l^{-1})\norm{u_m}_{1,p}.$$
これより
$$\limsup_{i,j\to\infty}\norm{u_{m_i}-u_{m_j}}_p\le\limsup_{i,j\to\infty}\norm{\zeta_l u_{m_i}-\zeta_l u_{m_j}}_p+C|\Omega\backslash B_l(0)|^\frac{1}{n}\sup_m\norm{u_m}_{1,p}.$$
$|\Omega\backslash B_l(0)|\to 0\ (l\to\infty)$ より $l\to\infty$ とすれば $\displaystyle\limsup_{i,j\to\infty}\norm{u_{m_i}-u_{m_j}}_p=0$ を得る。

(1)の $p\in[1,n]$ の場合は $L^p(\Omega)$ で収束する部分列 $\{u_{m_j}\}_{j=1}^\infty$ をとればHölderの不等式と{{ref|type=thm|label=GNS}}、{{ref|type=cor|label=pn}}より
$$\limsup_{i,j\to\infty}\norm{u_{m_i}-u_{m_j}}_q\le\begin{cases}
\limsup_{i,j\to\infty}|\Omega|^{p^{-1}-q^{-1}}\norm{u_{m_i}-u_{m_j}}_p=0\ &\colon q\in[1,p]\\
\limsup_{i,j\to\infty}\norm{u_{m_i}-u_{m_j}}_p^\frac{n}{q}\left(\norm{Du_{m_i}}_p+\norm{Du_{m_j}}_p\right)^{1-\frac{n}{q}}=0\ &\colon q\in(p,p^*)
\end{cases}$$
となり従う。

(1)の $p\in(n,\infty]$ の場合を示す。$q=\infty$ としてよい。$\Omega$ が有界な場合は{{ref|type=thm|label=mor}}と[[Hölder空間の基本事項]]の命題61から従う。$\Omega$ が非有界な場合は $\Omega$ が有界な場合と対角線論法により $l\in\Zp$ について $\{\zeta_lu_{m_j}\}_{j=1}^\infty$ が $L^\infty(\Omega)$ で収束する部分列 $\{u_{m_j}\}_{j=1}^\infty$ がとれ、{{ref|type=thm|label=mor}}より
$$\limsup_{i,j\to\infty}\norm{u_{m_i}-u_{m_j}}_\infty\le\limsup_{i,j\to\infty}\norm{\zeta_lu_{m_i}-\zeta_lu_{m_j}}_\infty+2\sup_m\norm{(1-\zeta_l)u_m}_\infty\le C|\Omega\backslash B_l(0)|^{n^{-1}-p^{-1}}\sup_m\norm{Du}_p.$$

$l\to\infty$ とすれば $\displaystyle\limsup_{i,j\to\infty}\norm{u_{m_i}-u_{m_j}}_\infty=0$ を得る。

(2)、(3)は拡張作用素 $E\colon W^{1,p}(\Omega)\to W^{1,p}_0(\Omega_0)\ (\Omega\rcpt\Omega_0,|\Omega_0|\lt\infty)$ をとって $\{Eu_{m_j}\}_{j=1}^\infty$ が $L^q(\Omega_0)$ で収束する部分列 $\{u_{m_j}\}_{j=1}^\infty$ をとればよい。
{{end|proof}}

{{theorem|type=rmk}}
とくに $q=p$ の場合が重要である。すなわち、$|\Omega|\lt\infty$ のとき埋め込み $W^{1,p}_0(\Omega)\subset L^p(\Omega)$ はコンパクトで、$\Omega$ が有界な $C^{0,1}$ 領域のときは埋め込み $W^{1,p}(\Omega)\subset L^p(\Omega)$ はコンパクトである。

$k\gt j$ なる $j,k\in\Zz$ と $p\in[1,\infty]$ について、帰納法により
$$\begin{cases}
q\in\left[1,\frac{np}{n-(k-j)p}\right)&\colon np\lt k-j\\
q\in[1,\infty)&\colon np=k-j\\
q\in[1,\infty]&\colon np\gt k-j
\end{cases}$$
とすると $|\Omega|\lt\infty$ のとき埋め込み $W^{k,p}_0(\Omega)\subset W^{j,q}(\Omega)$ はコンパクトで、$\Omega$ が有界な $C^{0,1}$ 領域のとき埋め込み $W^{k,p}(\Omega)\subset W^{j,q}(\Omega)$ はコンパクトである。

(1)の仮定「 $|\Omega|\lt\infty$ 」と(2)の仮定「有界」は外すことができない。例えば $\Omega=\R^n$ とし、$u\in C^\infty_c(\R^n)\backslash\{0\}$、$u_m(x)\colon=u(x-me_1)$ とすると $\{u_m\}_m$ は明らかに $W^{1,p}(\R^n)$ で有界である。一方、$u_m\to 0$ a.e. in $\R^n\ (m\to\infty)$ であるから、$\{u_m\}_m$ が $L^q(\R^n)$ で収束する部分列をもつとすればその極限は $0$ であるが、$\norm{u_m}_q=\norm{u}_q\gt 0$ より $\{u_m\}_m$ は $0$ に $L^q(\R^n)$ で収束する部分列をもたず、従って$L^q(\R^n)$ で収束する部分列をもたない。

また、$p\in[1,n)$ のとき $\Omega$ がいかなる開集合であっても $q=p^*$ を含めることはできない。実際、$0\in\Omega$ として一般性を失わない。$u\in C^\infty_c(\R^n)\backslash\{0\}$ として $\lambda\gt 0$ について $u_\lambda(x)\colon=\lambda^{\frac{n}{p}-1}u(\lambda x)$ とすると十分小さい $\lambda\gt 0$ について $u_\lambda\in C^\infty_c(\Omega)$ であり、また変数変換により $\norm{Du_\lambda}_p=\norm{Du}_p$ であるから $\displaystyle\sup_{\lambda\gt 0}\norm{Du_\lambda}_p\lt\infty$。一方、$u_\lambda\to 0$ a.e. in $\Omega\ (\lambda\to +0)$ であるから、$\{u_{m^{-1}}\}_m$ が $L^q(\Omega)$ で収束する部分列をもつとすればその極限は $0$ であるが、$\norm{u_\lambda}_{p^*}=\norm{u}_{p^*}\gt 0$ より $\{u_{m^{-1}}\}_m$ は $0$ に $L^{p^*}(\Omega)$ で収束する部分列をもたず、従って$L^{p^*}(\Omega)$ で収束する部分列をもたない。

{{theorem|type=cor|name=Poincaréの不等式|label=Poi2}}
$\Omega$ が $|\Omega|\lt\infty$ かつ連結で相対開集合 $T\subset\pOm$ が(\ref{D})をみたすとし、$p\in[1,\infty)$ とする。$\mathcal{W}\subset W^{1,p}_0(\OmT)$ はノルム閉集合で $u∈\mathcal{W},t\in\R\implies tu∈\mathcal{W}$ かつ $1\notin\mathcal{W}$ をみたすとする。$u\in \mathcal{W}$ について
$$\norm{u}_{p;\Omega}\le C_{p,\mathcal{W}}\norm{Du}_{p;\Omega}.$$

{{begin|proof|display=''Proof.''}}
主張が成り立たなかったとする。$(u_m)_S=1$ なる $\{u_m\}_{m=1}^\infty\subset \mathcal{W}$ が存在し、$\norm{u_m}_p=1$ かつ $\norm{Du_m}_p\to 0\ (m\to\infty)$ となる。{{ref|type=thm|label=cpt}}より部分列にとりかえてある $u\in L^p(\Omega)$ について $\norm{u_m-u}_p\to 0\ (m\to\infty)$ となるとしてよい。

$\norm{Du_m}_p\to 0\ (m\to\infty)$ であるから $u\in W^{1,p}(\Omega)$、$Du=0$ in $\Omega$ となり $v$ は定数関数である。<ref name="const">$\Omega'\rcpt\Omega$、$\varepsilon\gt 0$ とすると $D(\eta_\varepsilon*u)=\eta_\varepsilon*Du=0$ となり $\eta_\varepsilon*u$ は局所定数関数で、$\varepsilon\to +0$ とすれば $u$ も局所定数関数である。$\Omega$ は連結であるから $u$ は定数関数である。</ref>一方 $\norm{u_m-u}_{1,p}\to 0\ (m\to\infty)$ となるので $u\in\mathcal{W}$。$1\notin\mathcal{W}$ より $\mathcal{W}$ は $0$ 以外の定数関数を含まないので $u=0$。これは $\norm{u_m}_p=1$ より $\norm{u}_p=1$ となることに矛盾。
{{end|proof}}

{{theorem|type=rmk}}
たとえば次が成り立つ:
*(1) $1\notin W^{1,p}_0(\OmT)$ とすると任意の $u\in W^{1,p}_0(\OmT)$ について $\norm{u}\le C_{p,\Omega,T}\norm{Du}$。
*(2) $\delta\gt 0$ とすると $\{u\in L^p(\Omega)\colon |\{u=0\}|\ge\delta\}$ はノルム閉集合である。実際、$\{u_m\}_{m=1}^\infty\subset L^p(\Omega)$ と $u\in L^p(\Omega)$ が $|\{u_m\ge 0\}|\ge\delta$ かつ $\norm{u_m-u}_p\to 0\ (m\to\infty)$ をみたすとすると任意の $r\gt 0$ について $|\{|u_m-u|\gt r\}|\le r^{-p}\norm{u_m-u}_p^p$ であるから任意の $\varepsilon\gt 0$ について十分 $m$ を大きくとれば $|\{|u_m-u|\gt r\}|\le\varepsilon$ となり $\{u_m=0\}\backslash\{|u_m-u|\gt r\}\subset\{|u|\le r\}$ より $|\{|u|\le r\}|\ge\delta-\varepsilon$。$r\to +0$、$\varepsilon\to +0$ として $|\{u=0\}|\ge\delta$ を得る。

これより $\mathcal{W}=\{u\in W^{1,p}_0(\OmT)\colon |\{u=0\}|\ge\delta\}$ も $0$ 以外の定数関数を含まないノルム閉集合であり、$u\in\mathcal{W}$ について $\norm{u}_p\le C_{p,\Omega,T,\delta}\norm{Du}_p$ が成り立つ。
*(3) $\xi\in\pOm\backslash T$ と $r\gt 0$ が存在して $B=B_r(\xi)$ が $B\cap T=\emptyset$ かつ $|B\backslash\Omega|\gt 0$ をみたすとすると $\Omega$ を $\Omega\cup B$ にとりかえて $\mathcal{W}=W^{1,p}_0(\OmT)$ とすることにより任意の $u\in W^{1,p}_0(\OmT)$ について $\norm{u}\le C_{p,\Omega,T}\norm{Du}$。
*(4) $\Omega$ が有界かつ連結な $C^{0,1}$ 領域のとき、$T=\pOm$ として $\mathcal{W}=\{u\in W^{1,p}(\Omega)\colon u_\Omega=0\}$ ( $u_\Omega\colon=\frac{1}{|\Omega|}\int_\Omega u$ )とすると $\mathcal{W}$ は仮定をみたし、任意の $u\in W^{1,p}(\Omega)$ について
$$\norm{u-u_S}_p\le C_{p,\Omega}\norm{Du}_p.$$

(1)、(3)と{{ref|type=thm|label=Poi0}}の(1)、(4)と{{ref|type=thm|label=Poi}}を比較せよ。凸領域は連結かつ $C^{0,1}$ であるから{{ref|type=cor|label=Poi2}}の方がより一般的な不等式である。一方、{{ref|type=thm|label=Poi0}}と{{ref|type=thm|label=Poi}}では $C$ がどのように $\Omega$ に依存するかまでわかっているが、{{ref|type=cor|label=Poi2}}の証明は $C$ の具体的な表示を与えていない。

==補間不等式==
ここでは主に
$$\norm{D^ju}_{r;\Omega}\le C\norm{u}_{k,p;\Omega}^{1-\tau}\norm{u}_{q;\Omega}^\tau$$
の形の補間不等式を取り扱う。

{{theorem|type=lem|name=$n=1$、$j=1$、$k=2$ の場合|label=intp1}}
$p,q\in[1,\infty]$ とし、$r\colon=\left(\frac{1}{2}p^{-1}+\frac{1}{2}q^{-1}\right)^{-1}$ とすると $u\in W^{k,p}(\R)$ について
$$\norm{u'}_{1,r;\R}\le C\norm{u^{\prime\prime}}_{p;\R}^\frac{1}{2}\norm{u}_{q;\R}^\frac{1}{2}.$$

{{begin|proof|display=''Proof.''}}
$p,q\in[1,\infty)$ の場合を示す。

$u\in C^\infty_c(\R)\backslash\{0\}$ としてよい。$J=(a,b)\subset\R$ を開区間とする。$x\in J_1\colon=(a,a+\frac{1}{3}|J|)$、$y\in J_2\colon=(b-\frac{1}{3}|J|,b)$ とすると $z\in J$ について
$$\frac{1}{3}|J||u'(z)|\le(y-x)|u'(z)|=\left|u(y)-u(x)-\int_x^y(u'-u'(z))\right|\le|u(y)|+|u(x)|+|J|\int_J|u^{\prime\prime}|.$$
$x\in I_1$、$y\in I_2$ について積分しHölderの不等式を用いると
\begin{align*}
\frac{1}{27}|J|^3|u'(z)|&\le\frac{1}{3}|J|\left(\int_{J_1}|u|+\int_{J_2}|u|\right)+\frac{1}{9}|J|^3\int_J|u^{\prime\prime}|\\
&\le\frac{1}{3}|J|\int_J|u|+\frac{1}{9}|J|^3\int_J|u^{\prime\prime}|\\
&\le\frac{1}{9}|J|^{4-p^{-1}}\norm{u^{\prime\prime}}_{p;J}+\frac{1}{3}|J|^{2-q^{-1}}\norm{u}_{q;J}.
\end{align*}
これより
$$\norm{u'}_{r;J}\le|J|^{r^{-1}}\norm{u'}_{\infty;J}\le 3|J|^{1-\frac{1}{2}(p^{-1}-q^{-1})}\norm{u^{\prime\prime}}_{p;J}+9|J|^{-1+\frac{1}{2}(p^{-1}-q^{-1})}\norm{u}_{q;J}.$$
ここで $U\colon=\{u\neq 0\}$ とする。$x\in U$ について $t\mapsto\norm{u}_{q;(x-t,x+t)}$ と $t\mapsto\norm{u^{\prime\prime}}_{p;(x-t,x+t)}$ は $(0,+\infty)$ から $\R$ へ連続であって
$$(2t)^{-1+\frac{1}{2}(p^{-1}-q^{-1})}\norm{u}_{q;(x-t,x+t)}\to+\infty,(2t)^{1-\frac{1}{2}(p^{-1}-q^{-1})}\norm{u^{\prime\prime}}_{p;(x-t,x+t)}\to 0\ (t\to +0)$$
かつ
$$(2t)^{-1+\frac{1}{2}(p^{-1}-q^{-1})}\norm{u}_{q;(x-t,x+t)}\to 0,(2t)^{1-\frac{1}{2}(p^{-1}-q^{-1})}\norm{u^{\prime\prime}}_{p;(x-t,x+t)}\to +\infty\ (t\to +\infty)$$
であるから中間値の定理より $t_x\in(0,+\infty)$ が存在して
$$(2t_x)^{-1+\frac{1}{2}(p^{-1}-q^{-1})}\norm{u}_{q;(x-t_x,x+t_x)}=(2t_x)^{1-\frac{1}{2}(p^{-1}-q^{-1})}\norm{u^{\prime\prime}}_{p;(x-t_x,x+t_x)}=\norm{u}_{q;(x-t_x,x+t_x)}^\frac{1}{2}\norm{u^{\prime\prime}}_{p;(x-t_x,x+t_x)}^\frac{1}{2}.$$
また $t_x\ge\diam U$ を仮定すると $U\subset(x-t_x,x+t_x)$ より $\norm{u}_{q;(x-t_x,x+t_x)}=\norm{u}_{q;\R}$、$\norm{u^{\prime\prime}}_{p;(x-t_x,x+t_x)}=\norm{u^{\prime\prime}}_{p;\R}$ となり
$$(2t_x)^{2-p^{-1}+q^{-1}}=\frac{\norm{u}_{q;\R}}{\norm{u^{\prime\prime}}_{p;\R}}.$$
これより
$$t_x\le\max\left\{\diam U,\frac{1}{2}\left(\frac{\norm{u}_{q;\R}}{\norm{u^{\prime\prime}}_{p;\R}}\right)^{(2-p^{-1}+q^{-1})^{-1}}\right\}.$$
[[Besicovitchの被覆定理]]より $\{J_i\}_{i=1}^\infty=\{(x_i-t_{x_i},x_i+t_{x_i})\}_{i=1}^j$、$j\in\Zp\cup\{\infty\}$ が存在して
$$U\subset\bigcup_{i=1}^j J_i,\sum_{i=1}^j\chi_{J_i}\le C.$$
$u'=0$ a.e. on $\R\backslash U$ に注意すると
\begin{align*}
\norm{u'}_{r;\R}^r&=\norm{u'}_{r;U}^r\\
&\le\sum_{i=1}^j\norm{u'}_{r;J_i}^r\\
&\le C\sum_{i=1}^j\left(\norm{u}_{q;J_i}\norm{u^{\prime\prime}}_{p;J_i}\right)^\frac{r}{2}\\
&\le C\left(\sum_{i=1}^j\norm{u}_{q;J_i}^q\right)^\frac{r}{2q}\left(\sum_{i=1}^j\norm{u^{\prime\prime}}_{p;J_i}^p\right)^\frac{r}{2p}\\
&\le C\norm{u}_{q;\R}^\frac{r}{2}\norm{u^{\prime\prime}}_{p;\R}^\frac{r}{2}
\end{align*}
を得る。

この定数 $C$ は $p,q$ には依存しないので、$p=\infty$ あるいは $q=\infty$ で $\supp u$ が有界の場合も成り立つ。一般の場合は $\zeta\in C^\infty_c(-2,2)$ を $\zeta=1$ in $(-1,1)$ となるようにとり $\zeta_m(t)\colon=\zeta(m^{-1}t)\ (m\in\Zp)$ として $\zeta_mu$ に補間不等式を用いて $m\to\infty$ とすれば従う。
{{end|proof}}

{{theorem|type=thm|name=補間不等式|label=intp2}}
$j,k\in\Zp$、$j\lt k$、$p,q\in[1,\infty]$ とし、$r\colon=\left(\frac{j}{k}p^{-1}+\frac{k-j}{k}q^{-1}\right)^{-1}$ とする。次が成り立つ:
*(1) $W^{k,p}(\R^n)\cap L^q(\R^n)\subset W^{j,r}(\R^n)$ で $u\in W^{k,p}(\R^n)\cap L^q(\R^n)$ について
$$\norm{D^ju}_{r;\R^n}\le C_{n,j,k}\norm{D^ku}_{p;\R^n}^\frac{j}{k}\norm{u}_{q;\R^n}^\frac{k-j}{k}.$$
*(2) $T\subset\pOm$ が(\ref{D'})をみたす相対開集合のとき $W^{k,p}_0(\OmT)\cap L^q(\Omega)\subset W^{j,r}_0(\OmT)$ で $u\in W^{k,p}_0(\OmT)\cap L^q(\Omega)$ について
$$\norm{D^ju}_{r;\Omega}\le C_{j,k,\Omega,T}\norm{u}_{k,p;\Omega}^\frac{j}{k}\norm{u}_{q;\Omega}^\frac{k-j}{k}.$$
*(3) $\Omega$ が有界なLipschitz領域のとき $W^{k,p}(\Omega)\cap L^q(\Omega)\subset W^{j,r}(\Omega)$ で $u\in W^{k,p}(\Omega)\cap L^q(\Omega)$ について
$$\norm{D^ju}_{r;\Omega}\le C_{j,k,\Omega}\norm{u}_{k,p;\Omega}^\frac{j}{k}\norm{u}_{q;\Omega}^\frac{k-j}{k}.$$

{{begin|proof|display=''Proof.''}}
(1)を示す。(2)と(3)は(1)と拡張作用素により従う。

まず $j=1$、$k=2$、$p,q\in[1,\infty)$ の場合を示す。$u\in C^\infty_c(\R^n)$ としてよい。{{ref|type=lem|label=intp0}}より $i=1,\ldots,n$ について
\begin{align*}
\norm{D_iu}_r&=\left(\int_{\R^{n-1}}\left(\int_\R|D_iu(x_1,\ldots ,x_n)|^rdx_i\right)dx_1\ldots dx_{i-1}dx_{i+1}\ldots dx_n\right)^{r^{-1}}\\
&\le C\left(\int_{\R^{n-1}}\left(\int_\R|D_{ii}u(x_1,\ldots,x_n)|^pdx_i\right)^\frac{r}{2p}\left(\int_\R|u(x_1,\ldots ,x_n)|^qdx_i\right)^\frac{r}{2q}dx_1\ldots dx_{i-1}dx_{i+1}\ldots dx_n\right)^{r^{-1}}\\
&\le C\norm{D_{ii}u}_p^\frac{1}{2}\norm{u}_q^\frac{1}{2}.
\end{align*}
これより $\norm{Du}_r\le C\norm{u}_p^\frac{1}{2}\norm{D^2u}_q^\frac{1}{2}$ を得る。

$j=1$、$k=2$ で $p,q$ のいずれかが $\infty$ の場合を示す。$\supp u$ がコンパクトな場合は $p,q\in[1,\infty)$ の場合の定数 $C$ が $p,q$ に依存していないことから従う。$\supp u$ がコンパクトでない場合は $\zeta\in C^\infty_c(B_2(0))$ を $0\le\zeta\le 1$、$\zeta=1$ in $B_1(0)$ となるようにとり $\zeta_m(x)=\zeta(m^{-1}x)\ (m\in\Zp)$ として $\zeta_mu$ に補間不等式を用いて $m\to\infty$ とすれば従う。

$k=j+1$ の場合を $j$ に関する帰納法により示す。

$j=1$ の場合は既に示した。

ある $j$ について主張が成り立ったとし、$u\in W^{j+2,p}(\R^n)\cap L^q(\R^n)$、$r\colon=\left(\frac{j+1}{j+2}p^{-1}+\frac{1}{j+1}q^{-1}\right)^{-1}$ とする。$j=1$ の場合と仮定より
$$\norm{D^{j+1}u}_r\le C\norm{D^ju}_{\left(\frac{j}{j+2}p^{-1}+\frac{2}{j+1}q^{-1}\right)^{-1}}^\frac{1}{2}\norm{D^{j+2}u}_p^\frac{1}{2}\le C\norm{D^{j+1}u}_r^\frac{j}{2(j+1)}\norm{D^{j+2}u}_{p}^\frac{1}{2}\norm{u}_q^\frac{1}{2(j+1)}.$$
これより
$$\norm{D^{j+1}u}_r\le C\norm{D^{j+2}u}_p^\frac{j+1}{j+2}\norm{u}_q^\frac{1}{j+2}$$
を得る。

一般の場合を $j$ を固定し $k$ に関する帰納法により示す。

$k=j+1$ の場合は既に示した。

ある $k$ について主張が成り立ったとし、$u\in W^{k+1,p}(\R^n)\cap L^q(\R^n)$、$r\colon=\left(\frac{j}{k+1}p^{-1}+\frac{k-j+1}{k+1}q^{-1}\right)^{-1}$ とする。$k=j+1$ の場合と仮定より
$$\norm{D^ju}_r\le C\norm{D^ku}_{\left(\frac{k}{k+1}p^{-1}+\frac{1}{k+1}q^{-1}\right)^{-1}}^\frac{j}{k}\norm{u}_q^\frac{k-j}{k}\le C\norm{D^ju}_r^\frac{j}{k(k-j+1)}\norm{D^{k+1}u}_p^\frac{j(k-j)}{k(k-j+1)}\norm{u}_q^\frac{k-j}{k}.$$
これより
$$\norm{D^ju}_r\le C\norm{D^{k+1}u}_p^\frac{j}{k+1}\norm{u}_q^\frac{k-j+1}{k+1}$$
を得る。
{{end|proof}}

{{theorem|type=cor|label=equivnorm}}
$\Omega=\R^n$、あるいは $\Omega$ が有界なLipschitz領域のとき $p\in[1,\infty]$ とすると $u\in W^{k,p}(\Omega)$ について
$$\norm{u}_{k,p;\Omega}\le C_{k,\Omega}\left(\norm{u}_{p;\Omega}+\norm{D^ku}_{p;\Omega}\right).$$

{{begin|proof}}
{{ref|type=thm|label=intp2}}で $p=q$ とすると $j=1,\ldots,k-1$ について
$$\norm{D^ju}_{p}\le C\norm{u}_{k,p}^\frac{j}{k}\norm{u}_p^\frac{k-j}{k}\le\frac{1}{2(k-1)}\norm{u}_{k,p}+C\norm{u}_p$$
であるから
$$\norm{u}_{k,p}\le\sum_{j=0}^k\norm{D^ju}_p\le\frac{1}{2}\norm{u}_{k,p}+C(\norm{u}_p+\norm{D^ku}_p)$$
となり
$$\norm{u}_{k,p}\le C(\norm{u}_p+\norm{D^ku}_p)$$
となる。
{{end|proof}}

{{theorem|type=rmk}}
これより $\norm{u}_p+\norm{D^ku}_p$ や $\left(\norm{u}_p^p+\norm{D^ku}_p^p\right)^{p^{-1}}$ は $W^{k,p}(\Omega)$ に $\norm{u}_{k,p}$ と同値なノルムを定めることが従う。

一方Sobolevの不等式を用いるとこれとは異なる補間不等式を得られる。

{{theorem|type=pro|label=intp3}}
$p\in[1,n]$、$q\in[1,\infty)$、$\tau\in(0,1]$ とし、$r\colon=\left((1-\tau)p^{*-1}+\tau q^{-1}\right)^{-1}$ とすると次が成り立つ:
*(1) $W^{1,p}(\R^n)\cap L^q(\R^n)\subset L^r(\R^n)$ で $u\in W^{1,p}(\R^n)\cap L^q(\R^n)$ について
$$\norm{u}_{r;\R^n}\le C_{n,p,q,\tau}\norm{Du}_{p;\R^n}^{1-\tau}\norm{u}_{q;\R^n}^\tau.$$
*(2) $T\subset\pOm$ が(\ref{D})をみたす相対開集合のとき $W^{1,p}_0(\OmT)\cap L^q(\Omega)\subset L^r(\Omega)$ で $u\in W^{1,p}_0(\OmT)\cap L^q(\Omega)$ について
$$\norm{u}_{r;\Omega}\le C_{n,p,q,\tau,\Omega,T}\norm{u}_{1,p;\Omega}^{1-\tau}\norm{u}_{q;\Omega}^\tau.$$
*(3) $\Omega$ が有界な $C^{0,1}$ 領域のとき $W^{1,p}(\Omega)\cap L^q(\Omega)\subset L^r(\Omega)$ で $u\in W^{1,p}(\Omega)\cap L^q(\Omega)$ について
$$\norm{u}_{r;\Omega}\le C_{n,p,q,\tau,\Omega}\norm{u}_{1,p;\Omega}^{1-\tau}\norm{u}_{q;\Omega}^\tau.$$

{{begin|proof|display=''Proof.''}}
(1)を示す。(2)と(3)は(1)と拡張作用素により従う。

$p\in[1,n)$ のときは{{ref|type=thm|label=GNS}}より直ちに従う。以下 $p=n$ とする。

$m\in\Zp$ について{{ref|type=thm|label=GNS}}より
$$\norm{u}_{q+m1^*}^{1^{*-1}q+m}\le C\norm{|u|^{1^{*-1}q+m-1}Du}_1\le C\norm{Du}_n\norm{u}_{q+(m-1)1^*}^{1^{*-1}q+m-1}.$$
帰納法により $m\in\Zp$ について
$$\norm{u}_{q+m1^*}^{1^{*-1}q+m}\le C\norm{Du}_n^m\norm{u}_q^{1^{*-1}q}.$$
ここで $m=\left\lfloor 1^{*-1}(r-q)\right\rfloor$ ととる。このとき $q+m1^*\le r\lt q+(m+1)1^*$ となる。$\theta\in[0,1)$ を $r^{-1}=(1-\theta)(q+m1^*)^{-1}+\theta(q+(m+1)1^*)^{-1}$ となるようにとると
\begin{align*}
\norm{u}_r&\le\norm{u}_{q+m1^*}^{1-\theta}\norm{u}_{q+(m+1)1^*}^\theta\\
&\le C\norm{Du}_n^{m(1-\theta)(1^{*-1}q+m)^{-1}+(m+1)\theta(1^{*-1}q+m+1)^{-1}}\norm{u}_q^{((1-\theta)(1^{*-1}q+m)^{-1}+\theta(1^{*-1}q+m+1)^{-1})1^{*-1}q}\\
&=C\norm{Du}_n^{1-\frac{q}{r}}\norm{u}_q^{\frac{q}{r}}=C\norm{Du}_n^{1-\tau}\norm{u}_q^\tau.
\end{align*}
{{end|proof}}

{{theorem|type=rmk}}
$p=q=n$ の場合より、$|\Omega|=\infty$ の場合でも任意の $r\in[n,\infty)$
について $W^{1,n}_0(\Omega)\subset L^r(\Omega)$ で $u\in W^{1,n}_0(\Omega)$ について $\norm{u}_{r;\Omega}\le C_{n,r}\norm{u}_{1,n;\Omega}$ が成り立つ。{{ref|type=cor|label=pn}}と比較せよ。

{{ref|type=thm|label=intp2}}と{{ref|type=pro|label=intp3}}を組み合わせてより一般的な補間不等式を得る。

{{theorem|type=lem|label=intp4}}
$k\in\Zz$、$\alpha\in[0,1]$、$q\in[1,\infty]$ とする。$\theta\in[0,1]$ について次が成り立つ:
*(1) $\sigma\colon=(1-\theta)(k+\alpha)-\frac{\theta n}{q}\le 0$ のとき $r\colon=\frac{n}{\sigma}$ とすると $u\in C^{k,\alpha}(\R^n)\cap L^q(\R^n)$ について
$$\norm{u}_{r;\R^n}\le C_{p,k,\alpha,\tau}[u]_{k,\alpha;\R^n}^{1-\theta}\norm{u}_{q;\R^n}^\theta.$$
*(2) $\sigma\gt 0$ のとき $j\colon=\lceil \sigma\rceil-1$、$\beta\colon=\sigma-j$ とすると　$u\in C^{k,\alpha}(\R^n)\cap L^q(\R^n)$ について
$$[u]_{j,\beta;\R^n}\le C_{p,k,\alpha,\tau}[u]_{k,\alpha;\R^n}^{1-\theta}\norm{u}_{q;\R^n}^\theta.$$

{{begin|proof}}
$$\theta=\frac{(k+\alpha-\sigma)q}{(k+\alpha)q+n}=\left(1+\frac{\sigma q}{n}\right)\frac{(k+\alpha)q}{(k+\alpha)q+n}-\frac{\sigma q}{n}=\left(1-\frac{\sigma}{k+\alpha}\right)\frac{(k+\alpha)q}{(k+\alpha)q+n}$$
に注意する。

$q=\infty$ の場合は[[Hölder空間の基本事項]]の定理54で既に示されている。<ref name="kaintp">正確には $u|_{B_R(0)}$ に対し定理を適用して $R\to\infty$ とする必要がある。</ref>以下 $q\in[1,\infty)$ とする。

まず $k=0$、$\sigma=0$ の場合を示す。$\alpha=0$ のときは明らかであるから $\alpha\in(0,1]$ としてよい。

$[u]_{0,\alpha}=0$ のときは $u$ は定数関数であって $u\in L^q(\R^n)$ であるから $u\equiv 0$。この場合主張は明らかである。以下 $[u]_{0,\alpha}\neq 0$ とする。

$x\in\R^n$、$u(x)\neq 0$ として $R=\left(\frac{|u(x)|}{2[u]_{0,\alpha}}\right)^{\alpha^{-1}}$ とすると $|u|\ge \frac{1}{2}|u(x)|$ on $B_R(x)$ となり
$$\norm{u}_q\ge\frac{1}{2}|B_R(x)|^{q^{-1}}|u(x)|=\frac{1}{2}\omega_n^{q^{-1}}|u(x)|^{1+\frac{n\alpha^{-1}}{q}}[u]_{0,\alpha}^{-\frac{n\alpha^{-1}}{q}}.$$
$x$ について $\sup$ をとると $\norm{u}^{1+\frac{n\alpha^{-1}}{q}}[u]_{0,\alpha}^{-\frac{n\alpha^{-1}}{q}}\le C\norm{u}_q$。$\theta=\frac{\alpha q}{\alpha q+n}$ であるから
$$\norm{u}_\infty\le C[u]_{0,\alpha}^{1-\theta}\norm{u}_q^\theta$$
を得る。

$k\ge 1$、$\sigma=0$ の場合を示す。$k=0$ の場合と[[Hölder空間の基本事項]]の定理54<ref name=kaintp />より
$$\norm{u}_\infty\le C[u]_{0,1}^\frac{n}{q+n}\norm{u}_q^\frac{q}{q+n}\le C[u]_{k,\alpha}^\frac{n}{(k+\alpha)(q+n)}\norm{u}_\infty^\frac{(k-1+\alpha)n}{(k+\alpha)(q+n)}\norm{u}_q^\frac{q}{q+n}.$$
$\theta=\frac{(k+\alpha)q}{(k+\alpha)q+n}$ であるから
$$\norm{u}_\infty\le C[u]_{k,\alpha}^{1-\theta}\norm{u}_q^\theta$$
を得る。

(1)を示す。Hölderの不等式と $k\ge 1$、$\sigma=0$ の場合より
$$\norm{u}_r\le\norm{u}_\infty^{1+\frac{\sigma q}{n}}\norm{u}_q^{-\frac{\sigma q}{n}}\le[u]_{k,\alpha}^{1-\theta}\norm{u}_q^\theta$$
を得る。

(2)を示す。[[Hölder空間の基本事項]]の定理54<ref name=kaintp />と $k\ge 1$、$\sigma=0$ の場合より
$$[u]_{j,\beta}\le C[u]_{k,\alpha}^\frac{\sigma}{k+\alpha}\norm{u}_\infty^{1-\frac{\sigma}{k+\alpha}}\le C[u]_{k,\alpha}^{1-\theta}\norm{u}_q^\theta$$
を得る。
{{end|proof}}

{{theorem|type=thm|name=Gagliardo-Nirenbergの補間不等式|label=GN}}
$j\in\Zz$、$k\in\Zp$、$j\lt k$ とする。$p,q\in[1,\infty)$ とし、
$$\tau\in\begin{cases}
\left(0,\frac{k-j}{k}\right]&\colon p\in(1,\infty),k-j-\frac{n}{p}\in\Zz\\
\left[0,\frac{k-j}{k}\right]&\colon \rm{otherwise}
\end{cases}$$
をみたすとする。
$$\sigma\colon=(1-\tau)\left(k-\frac{n}{p}\right)-\frac{\tau n}{q}-j$$
とすると次が成り立つ:
*(1) $\sigma\le 0$ のとき $r\colon=-\frac{n}{\sigma}$ とすると $W^{k,p}(\R^n)\cap L^q(\R^n)\subset W^{j,r}(\R^n)$ で $u\in W^{k,p}(\R^n)\cap L^q(\R^n)$ について
$$\norm{D^ju}_{r;\R^n}\le C_{n,p,q,\tau}\norm{D^ku}_{p;\R^n}^{1-\tau}\norm{u}_{q;\R^n}^\tau.$$
また $T\subset\pOm$ が(\ref{D'})をみたす相対開集合のとき $W^{k,p}_0(\OmT)\cap L^q(\Omega)\subset W^{j,r}_0(\OmT)$ で $u\in W^{k,p}_0(\OmT)\cap L^q(\Omega)$ について
$$\norm{D^ju}_{r;\Omega}\le C_{p,q,\Omega,T,\tau}\norm{u}_{k,p;\Omega}^{1-\tau}\norm{u}_{q;\Omega}^\tau.$$
$\Omega$ が有界なLipschitz領域のとき $W^{k,p}(\Omega)\cap L^q(\Omega)\subset W^{j,r}(\Omega)$ で $u\in W^{k,p}(\Omega)\cap L^q(\Omega)$ について
$$\norm{D^ju}_{r;\Omega}\le C_{p,q,\Omega,\tau}\norm{u}_{k,p;\Omega}^{1-\tau}\norm{u}_{q;\Omega}^\tau.$$
*(2) $\sigma\gt 0$ のとき $j'\colon=j+\lceil\sigma\rceil-1$、$\alpha\colon=\sigma-(\lceil\sigma\rceil-1)$ とすると $W^{k,p}(\R^n)\cap L^q(\R^n)\subset C^{j',\alpha}(\R^n)$ で $u\in W^{k,p}(\R^n)\cap L^q(\R^n)$ について
$$[u]_{j',\alpha;\R^n}\le C_{n,p,q,\tau}\norm{D^ku}_{p;\R^n}^{1-\tau}\norm{u}_{q;\R^n}^\tau.$$
また $T\subset\pOm$ が(\ref{D'})をみたす相対開集合のとき $W^{k,p}_0(\OmT)\cap L^q(\Omega)\subset C^{j',\alpha}(\Ombar)$ で $u\in W^{k,p}_0(\OmT)\cap L^q(\Omega)$ について
$$[u]_{j',\alpha;\Omega}\le C_{p,q,\Omega,T,\tau}\norm{u}_{k,p;\Omega}^{1-\tau}\norm{u}_{q;\Omega}^\tau.$$
$\Omega$ が有界なLipschitz領域のとき $W^{k,p}(\Omega)\cap L^q(\Omega)\subset C^{j',\alpha}(\Ombar)$ で $u\in W^{k,p}(\Omega)\cap L^q(\Omega)$ について
$$[u]_{j',\alpha;\Omega}\le C_{p,q,\Omega,\tau}\norm{u}_{k,p;\Omega}^{1-\tau}\norm{u}_{q;\Omega}^\tau.$$

{{begin|proof|display=''Proof.''}}
$\Omega=\R^n$ の場合を示す。その他は拡張作用素により従う。

$u\in C^\infty(\R^n)$ としてよい。表記を簡単にするため次の記号を用いる: $k\in\Zz$、$\sigma\ge k-n$ について
$$\langle u\rangle_{k,\sigma}\colon=\begin{cases}
\norm{D^ku}_{\frac{n}{k-\sigma}}&\colon \sigma\in[k-n,k]\\
[u]_{\lceil\sigma\rceil-1,\sigma-(\lceil\sigma\rceil-1)}&\colon \sigma\gt k
\end{cases}.$$
{{ref|type=thm|label=gsob}}より $j,k\in\Zz$、$j\lt k$ で $\sigma\ge k-n$ が $\sigma-j\notin\Zz$、$\sigma=k-n$、$\sigma=k$ のいずれかをみたすとき
$$\langle u\rangle_{j,\sigma}\le C\langle u\rangle_{k,\sigma}.$$
{{ref|type=thm|label=intp2}}より $j,k\in\Zp$、$j\lt k$、$\sigma\in[k-n,0]$、$\sigma'\in[-n,0]$ について
$$\langle u\rangle_{j,\frac{k-j}{k}\sigma+\frac{j}{k}\sigma'}\le C\langle u\rangle_{k,\sigma}^\frac{k-j}{k}\langle u\rangle_{0,\sigma'}^\frac{j}{k}.$$
{{ref|type=pro|label=intp3}}より $k\in\Zp$、$\sigma\in[k-n,k-1]$、$\sigma\in[k-n,0]$、$\tau\in[0,1)$ について
$$\langle u\rangle_{k-1,(1-\tau)\sigma+\tau\sigma'}\le C\langle u\rangle_{k,\sigma}^{1-\tau}\langle u\rangle_{k-1,\sigma'}^\tau.$$
Hölderの不等式と{{ref|type=lem|label=intp4}}と[[Hölder空間の基本事項]]の定理54<ref name="kaintp" />より $k\in\Zz$、$\sigma,\sigma'\ge k-n$、$\theta\in[0,1]$ について
$$\langle u\rangle_{k,(1-\theta)\sigma+\theta\sigma'}\le C\langle u\rangle_{k,\sigma}^{1-\theta}\langle u\rangle_{k,\sigma'}^{\theta}.$$
また主張は次のように表される: $k\in\Zp$、$\sigma\in [k-n,k]$、$\sigma'\in [-n,0]$ とし、
$$\begin{cases}
\tau\in\left[\frac{j}{k},1\right)&\colon \sigma\in(k-n,k),\sigma-j\in\Zz\\
\tau\in\left[\frac{j}{k},1\right]&\colon \rm{otherwise}
\end{cases}$$
とすると
$$\langle u\rangle_{j,(1-\tau)\sigma+\tau\sigma'}\le C\langle u\rangle_{k,\sigma}^{1-\tau}\langle u\rangle_{\sigma'}^\tau.$$

$\tau=\frac{k-j}{k}$ の場合および $\sigma-j\notin\Zz$、$\sigma=k-n$ あるいは $\sigma=k$ で $\tau=0$ の場合は{{ref|type=thm|label=genSob}}、{{ref|type=thm|label=lip}}から直ちに従う。

$\sigma\in\left(k-n,k\right)$、$\sigma-j\in\Zz$、$\tau\in\left(0,\frac{1}{k}\right]$ とする。

$\sigma\in\Z$ より $\sigma\le k-1$ であるから
$$\langle u\rangle_{k-1,(1-\tau)\sigma+\tau\sigma'}\le C\langle u\rangle_{k,\sigma}^{1-k\tau}\langle u\rangle_{k-1,\frac{k-1}{k}\sigma+\frac{1}{k}\sigma'}^{k\tau}\le C\langle u\rangle_{k,\sigma}^{1-\tau}\langle u\rangle_{k,\sigma'}^\tau$$
となり $j=k-1$ の場合が従う。また $\sigma\ge j\gt 0\le\sigma'$ より十分小さく $\tau$ をとれば $(1-\tau)\sigma+\tau\sigma'\notin\Z$ となり $j=1,\ldots,k-2$ について $\langle u\rangle_{j,(1-\tau)\sigma+\tau\sigma'}\le C\langle u\rangle_{k-1,(1-\tau)\sigma+\tau\sigma'}$ となりこの場合も従う。

また $\tau=\tau_1,\tau_2$ について主張が成り立ったとして $\theta\in[0,1]$、$\tau=(1-\theta)\tau_1+\theta\tau_2$ とすると
$$(1-\tau)\sigma+\tau\sigma'=(1-\theta)((1-\tau_1)\sigma+\tau_1\sigma')+\theta((1-\tau_2)\sigma+\tau_2\sigma'),(1-\theta)(1-\tau_1)+\theta(1-\tau_2)=1-\tau$$
であるから
$$\langle u\rangle_{j,(1-\tau)\sigma+\tau\sigma'}\le C\langle u\rangle_{j,(1-\tau_1)\sigma+\tau_1\sigma'}^{1-\theta}\langle u\rangle_{j,(1-\tau_2)\sigma+\tau_2\sigma'}^\theta\le C\langle u\rangle_{k,\sigma}^{1-\tau}\langle u\rangle_{\sigma'}^\tau.$$
以上より主張が従う。
{{end|proof}}

==トレース作用素==
最後に $u\in W^{1,p}(\Omega)$ に「境界値」を定めるトレース作用素について述べる。$n=1$ の場合と $p\in(n,\infty]$ の場合は適切な仮定の下 $W^{1,p}(\Omega)\subset C^{0,1-\frac{n}{p}}(\Ombar)$ であったから $u\in W^{1,p}(\Omega)$ には境界値を定めることができるが、そうでない場合も $\Omega$ が $C^{0,1}$ 以上のなめらかさがある境界部分をもつとき $u\in W^{1,p}(\Omega)$ にその上の「弱い意味の境界値」を定めることができる。

{{theorem|type=lem|label=halfspcase}}
$\mu=(\mu_1,...,\mu_n)\in B_1(0)$、$\xi\in\R^n$ とし、$\Omega\colon=\{x\in\R^n\colon \mu\cdot(x-\xi)\gt 0\}$ を半空間とする。$u\in C^{0,1}(\Ombar)$ で $\supp u$ が有界なものについて
$$\int_\Omega D_iu=-\mu_i\int_\pOm ud\H^{n-1}.$$

{{begin|proof}}
$\xi=0$ としてよい。Lipschitz連続関数 $x\mapsto \mu\cdot x$ に対して[[Hausdorff測度とarea_coarea_formula|coarea formula]]を用いると
\begin{align*}
\int_\Omega D_\mu u&=\int_0^\infty\left(\int_{\{\mu\cdot y=t\}}D_\mu u(y)d\H^{n-1}(y)\right)dt\\
&=\int_0^\infty\left(\int_\pOm D_\mu u(x+t\mu)d\H^{n-1}(x)\right)dt\\
&=-\int_\pOm ud\H^{n-1}.
\end{align*}
一方 $\mu'\in\R^n\backslash\{0\}$、$\mu'\cdot\mu=0$ とするとcoarea formulaより
\begin{align*}
\int_\Omega D_{\mu'}u&=\int_\R\left(\int_{\{\mu\cdot y\gt 0,\mu'\cdot y=t\}}D_{\mu'}u(y)d\H^{n-1}(y)\right)|\mu'|^{-1}dt\\
&=\int_\R\left(\int_{\{\mu\cdot y\gt 0,\mu'\cdot y=0\}}D_{\mu'}u(x+t\mu')d\H^{n-1}(x)\right)|\mu'|^{-1}dt\\
&=0.
\end{align*}
$i=1,...,n$ について $(e_i-\mu_i\mu)\cdot\mu=0$ であるから
$$\int_\Omega D_iu=\mu_i\int_\Omega D_\mu u+\int_\Omega D_{e_i-\mu_i\mu}u=-\mu_i\int_\pOm ud\H^{n-1}.$$
{{end|proof}}

{{theorem|type=lem|label=tracelem}}
$S\subset\R^n$ が $|S|=0$ をみたすとすると $f\in L^1_\loc(\R^n)$ について
$$\lim_{r\to+0}\frac{1}{r^{n-1}}\int_{B_r(x)}|f|=0\ \H^{n-1}-\ae x\in S.$$

{{begin|proof|display=''Proof.''|collapsible=1}}
$S$ は有界であるとしてよい。$\sigma\gt 0$ とし、
$$A_\sigma\colon=\left\{x\in\R^n\colon\limsup_{r\to+0}\frac{1}{r^{n-1}}\int_{\Bb_r(x)}|f|\gt\sigma\right\}$$
として $\H^{n-1}(A_\sigma)=0$ を示せば十分。

$S$ は有界で $|S|$ をみたすので $S$ の有界な開近傍 $U_1\supset U_2\ldots\supset S$ で $\displaystyle \left|\bigcap_{i=1}^\infty U_i\right|=0$ となるものをとれ、$\displaystyle\int_{U_1}|f|\lt\infty$ より $\displaystyle \lim_{i\to\infty}\int_{U_i}|f|=0$ となる。これより $\varepsilon\gt 0$ とすると $S$ の有界な開近傍 $U$ で $\displaystyle\int_{U}|f|\lt\varepsilon$ となるものをとれる。

$\varepsilon\gt 0$、$\delta\gt 0$ とし、$S\subset U$
$$\B\colon=\left\{\Bb=\Bb_r(x)\colon x\in A_\sigma,r\lt\delta,\Bb\subset U,\int_{\Bb}|f|\ge\sigma r^{n-1}\right\}$$
とすると、任意の $x\in A_\sigma$ と $\varepsilon\gt 0$ について $r\in(0,\varepsilon)$ が存在して $B_r(x)\in\B$。

[[Vitaliの被覆定理]]より $\{\Bb_i\}_{i=1}^\infty=\{\Bb_{r_i}(x_i)\}_{i=1}^\infty\subset\B$ で $i\neq j\implies \Bb_i\cap\Bb_j=\emptyset$ かつ $\displaystyle A_\sigma\subset\bigcup_{i=1}^\infty\Bb_{5r_i}(x_i)$ となるものが存在する。これより
$$\H^{n-1}_{10\delta}(A_\sigma)\colon=\omega_{n-1}\sum_{i=1}^\infty(5r_i)^{n-1}\le 5^{n-1}\omega_m\sum_{i=1}^\infty\int_{\Bb_i}|f|=5^{n-1}\omega_n\int_{\bigcup_{i=1}^\infty\Bb_i}|f|\le 5^{n-1}\omega_n\int_U|f|\lt\varepsilon.$$
$\delta\to +0$ として $\H^{n-1}(A_\sigma)\lt\varepsilon$ を得る。
{{end|proof}}

{{theorem|type=thm|name=トレース作用素|label=trace}}
$S\subset\pOm$ を $C^{0,1}$ 境界部分とする。$p\in[1,\infty)$、$u\in W^{1,p}(\Omega)$ とすると $\H^{n-1}$ -a.e. $\xi\in S$ について
$$Tu(\xi)\colon=\lim_{r\to +0}\frac{1}{|B_r(\xi)\cap\Omega|}\int_{B_r(\xi)\cap\Omega}u$$
は収束する。また $Tu\in L^p_\loc(S,\H^{n-1})$ で相対開集合 $S'\rcpt S$ について
$$\int_{S'} |Tu|^pd\H^{n-1}\le C_{p,S'}\int_\Omega\left(|u|^p+|u|^{p-1}|Du|\right).$$

{{begin|proof|display=''Proof.''|collapsible=1}}
$\xi\in\overline{S'}$ について開集合 $U_\xi\subset\R^n$ と全単射 $\psi_\xi\colon 2Q\to U_\xi$ が存在して $U_\xi\cap\Omega=\psi_\xi(2Q_+)$、$U_\xi\cap\pOm=\psi_\xi(2Q_0)$ かつ $\psi_\xi$ と $\psi_\xi^{-1}$ はいずれも $C^{0,1}$ 写像となる。$\overline{S'}$ はコンパクトであるから $\xi_1,\ldots ,\xi_N\in\overline{S'}$ を $\displaystyle\overline{S'}\subset\bigcup_{i=1}^N\psi_\xi(Q)$ となるようにとれる。$U_{\xi_i}$、$\psi_{\xi_i}$ をそれぞれ $U_i$、$\psi_i$ と置きなおす。$V_i\colon=\psi_i(Q)$ とする。$i=1,\ldots ,N$ について $L_i\colon=\max\{L(\psi|_Q),L(\psi^{-1}|_{V_i})^{-1}\}$ とする。

$\chi\in C^\infty([0,1])$ を $\chi(0)=1$ かつ $\chi(1)=0$ となるようにとる。Area不等式([[Hausdorff測度とarea_coarea_formula]]の定理19)より $u\in C^{0,1}(\Omega\cup S')\cap W^{1,p}(\Omega)$ と $p\in[1,\infty)$ について
\begin{align*}
\int_{V_i\cap\pOm}|u|^pd\H^{n-1}&\le L_i^n\int_{Q_0}|u\circ\psi_i|^pd\H^{n-1}\\
&=-pL_i^n\int_{Q_+}\frac{\partial}{\partial x_n}\left(\chi(x_n)|u(\psi_i(x',x_n))|^p\right)dx\\
&\le C\int_{Q_+}\left(|u\circ\psi_i|^p+|u\circ\psi_i|^{p-1}|D_n(u\circ\psi)|\right)\\
&\le C\int_{V_i\cap\Omega}\left(|u|^p+|u|^{p-1}|Du|\right).
\end{align*}
$i$ について加えて
$$\int_{S'} |u|^pd\H^{n-1}\le C\int_\Omega\left(|u|^p+|u|^{p-1}|Du|\right)$$
を得る。

{{ref|type=cor|label=apx4}}より $u\mapsto u|_{S'}$ は $W^{1,p}(\Omega)$ から $L^p(S',\H^{n-1})$ への有界線型作用素 $T$ に一意的に拡張される。$u_m\in C^\infty(\Omega\cup S')\cap W^{1,p}(\Omega)$、$\norm{u_m-u}_{1,p}\to 0\ (m\to\infty)$ とすると $\int_\pOm|u_m-Tu|^pd\H^{n-1}\to 0\ (m\to\infty)$ であるから部分列に移って $u_m\to Tu\ \H^{n-1}$ -a.e. on $S'$ となるようにできてFatouの補題により
$$\int_{S'} |Tu|^pd\H^{n-1}\le\liminf_{m\to\infty}\int_{S'}|u_m|^pd\H^{n-1}\le C\liminf_{m\to\infty}\int_\Omega\left(|u_m|^p+|u_m|^{p-1}|Du_m|\right)=\int_\Omega\left(|u|^p+|u|^{p-1}|Du|\right).$$

$u\in W^{1,p}(\Omega)$ について
$$\lim_{r\to +0}\frac{1}{|B_r(\xi)\cap\Omega|}\int_{B_r(\xi)\cap\Omega}|u-Tu(\xi)|=0\ \H^{n-1}-\ae \xi\in S'\tag{*}\label{trace}$$
を示す。

$i=1,\ldots ,N$ とする。Lebesgueの微分定理より $\H^{n-1}$ -a.e. $\eta\in Q_0$ について
$$\lim_{r\to+0}\frac{1}{s^{n-1}}\int_{B_s(\eta)\cap Q_0}|Tu\circ\psi_i-Tu(\psi_i(\eta))|d\H^{n-1}=0.$$
また $y\in Q_+$ を $(y',y_n)\in(-1,1)^{n-1}\times(0,1)$ と表すと $v\in C^\infty(\Omega\cup S)$ と $\eta\in Q_0$、$(B_s(\eta)\cap Q_0)\times(0,s)\subset Q_+$ について
\begin{align*}
\int_{(B_s(\eta)\cap Q_0)\times(0,s)}|v(\psi_i(y))-v(\psi_i(y',0))|&=\int_{(B_s(\eta)\cap Q_0)\times(0,s)}\left(\int_0^{y_n}|D_n(v\circ\psi_i)(y',t)|dt\right)dy\\
&=\int_{(B_s(\eta)\cap Q_0)\times(0,s)}(s-y_n)|D_n(v\circ\psi_i)(y)|dy\\
&\le s\int_{(B_s(\eta)\cap Q_0)\times(0,s)}|D_n(v\circ\psi_i)v|.
\end{align*}
area不等式より $\varphi\mapsto\varphi\circ\psi_i$ は $L^1(V_i\cap\pOm,\H^{n-1})$ から $L^1(Q_0,\H^{n-1})$ へ有界であることに注意すると近似により
$$\int_{(B_s(\eta)\cap Q_0)\times(0,s)}|u(\psi(y))-Tu(\psi_i(y',0))|dy\le s\int_{(B_s(\eta)\cap Q_0)\times(0,s)}|D_n(u\circ\psi_i)|.\tag{**}\label{trace2}$$
$(B_s(\eta)\cap Q_0)\times(0,s)\subset B_{\sqrt{2}s}(\eta)\cap Q_+$ と{{ref|type=lem|label=tracelem}}より $\H^{n-1}$ -a.e. $\eta\in Q_+$ について
$$\frac{1}{s^n}\int_{(B_s(\eta)\cap Q_0)\times(0,s)}|u(\psi_i(y))-Tu(\psi_i(y',0))|dy\le \frac{1}{s^{n-1}}\int_{B_{\sqrt{2}s}(\eta)\cap Q_+}|D_n(u\circ\psi_i)|\to 0\ (s\to+0).$$
これより $\H^{n-1}$ -a.e. $\eta\in Q_+$ について
\begin{align*}
&\quad\frac{1}{s^n}\int_{(B_s(\eta)\cap Q_0)\times(0,s)}|u\circ\psi_i-Tu(\psi_i(\eta))|\\
&\le\frac{1}{s^n}\int_{(B_s(\eta)\cap Q_0)\times(0,s)}|u(\psi_i(y))-Tu(\psi_i(y'))|dy+\frac{1}{s^{n-1}}\int_{B_s(\eta)\cap Q_0}|Tu\circ\psi_i-Tu(\psi_i(\eta))|d\H^{n-1}\\
&\to 0\ (s\to +0).
\end{align*}
また $\xi\in V_i\cap\pOm$ と十分小さい $r\gt 0$ について $\psi_i^{-1}(B_r(\xi)\cap\Omega)\subset B_{Lr}(\psi_i^{-1}(\xi))\cap Q_+\subset (B_{Lr}(\psi_i^{-1}(\xi))\cap Q_0)\times(0,Lr)$ かつ
$|B_r(\xi)\cap\Omega|\ge L_i^{-1}|B_{L_i^{-1}r}(\psi_i^{-1}(\xi))\cap Q_+|\ge\frac{1}{2}\omega_nL_i^{-2n}r^n$ となることとArea不等式より $\H^{n-1}$ -a.e. $\xi\in V_i\cap\pOm$ について
$$\frac{1}{|B_r(\xi)\cap\Omega|}\int_{B_r(\xi)\cap\Omega}|u-Tu(\xi)|\le \frac{C}{r^n}\int_{(B_{Lr}(\psi_i^{-1}(\xi))\cap Q_0)\times(0,Lr)}|u\circ\psi_i-Tu(\xi)|\to 0\ (r\to+0).$$
これより(\ref{trace})が成り立ち、とくに
$$\lim_{r\to +0}\frac{1}{|B_r(\xi)\cap\Omega|}\int_{B_r(\xi)\cap\Omega}u=Tu(\xi)\ \H^{n-1}-\ae \xi\in S'.$$

$S'\rcpt S$ は任意であったから、これにより $T\colon W^{1,p}(\Omega)\to L^p_\loc(S,\H^{n-1})$ が定まる。
{{end|proof}}

{{theorem|type=def|label=deftrace}}
$T$ を $\Omega$ におけるトレース作用素という。

{{theorem|type=rmk}}
$T$ の表示から明らかに $u\in W^{1,p}(\Omega)\cap C(\Omega\cup S)$ については $Tu=u|_S$ である。この意味で $Tu$ は $u$ の「弱い意味の境界値」となっている。

$\Omega$ が $C^{0,1}$ 領域のときは $S=\pOm$ ととれる。とくに $\Omega$ が有界な場合は $\pOm$ はコンパクトであるから $S'=\pOm$ ととれ、このとき $T\colon W^{1,p}(\Omega)\to L^p_{\loc}(\pOm,\H^{n-1})=L^p(\pOm,\H^{n-1})$ は有界線型作用素である。

{{theorem|type=pro|name=合成関数と積|label=traceelm}}
$S\subset\pOm$ を $C^{0,1}$ 境界部分とし、$T$ を $\Omega$ におけるトレース作用素とする。次が成り立つ:
*(1) $u=(u_1,\ldots,u_m)\in W^{1,p}(\Omega)^m$ と $G\in C^1(\R^m)$ が $G(u)\in W^{1,p}(\Omega)$ をみたすとき $T(G(u))=G(Tu)$ on $S$。ここで $Tu\colon=(Tu_1,\ldots,Tu_m)\in L^p_{\loc}(S,\H^{n-1})^m$ である。

また $u\in W^{1,p}(\Omega)$ と $G\in W^{1,1}_{\loc}(\R)$ が{{ref|type=thm|label=chain2}}の仮定をみたすとき $T(G(u))=G(Tu)$ on $S$。
*(2) $u_1,\ldots,u_m\in W^{1,p}(\Omega)$ が $u_1\ldots u_m\in W^{1,p}(\Omega)$ をみたすとき $T(u_1\ldots u_m)=Tu_1\ldots Tu_m$ on $S$。

{{begin|proof}}
(1)を示す。(2)は(1)で $G(t_1,\ldots,t_m)=t_1\ldots t_m$ とすれば従う。

$G'\in L^\infty(\R^m)^m$ の場合を示す。一般の場合は{{ref|type=thm|label=chain1}}と{{ref|type=thm|label=chain2}}の証明で与えた近似により従う。

このとき $G\in C^{0,1}(\R^m)$ であるから $\H^{n-1}$-a.e.$\xi\in S$ について
$$\frac{1}{r^n}\int_{B_r(\xi)\cap\Omega}|G(u)-G(Tu(\xi))|\le\frac{[G]_{0,1}}{r^n}\int_{B_r(\xi)\cap\Omega}|u-Tu(\xi)|\to 0\ (r\to +0).$$
これより $T(G(u))=G(Tu)$ が従う。
{{end|proof}}

{{theorem|type=pro|name=変数変換|label=tracechavar}}
$D,\widetilde{D}\subset\R^n$ を開集合とし、$\psi\colon\widetilde{D}\to D$ は全単射で $\psi$ と $\psi^{-1}$ はともに $C^{0,1}$ 写像であるとする。$\widetilde{\Omega}\rcpt\widetilde{D}$ を開集合として $\widetilde{S}\subset\partial\widetilde{\Omega}$ を $C^{0,1}$ 境界部分とし、 $\Omega\colon=\psi(\widetilde{\Omega})$、$S\colon=\psi(\widetilde{S})$ とする。$T$、$\widetilde{T}$ をそれぞれ $\Omega$、$\widetilde{\Omega}$ におけるトレース作用素とする。 $u\in W^{1,p}(\Omega)$ について $\widetilde{T}(u\circ\psi)=Tu\circ\psi$ on $\widetilde{S}$。

{{begin|proof}}
$u\in C^\infty(\Omega\cup T)\cap W^{1,p}(\Omega)$ の場合は明らか。一般の場合は近似により従う。
{{end|proof}}

{{theorem|type=thm|name=トレースの核の特徴づけ|label=trace0}}
$S\subset\pOm$ を $C^{0,1}$ 境界部分とし、$T$ を $\Omega$ におけるトレース作用素とする。 $p\in[1,\infty)$、$u\in W^{1,p}(\Omega)$ について次は同値:
*(1) $Tu=0$ on $S$。
*(2) 任意の $\zeta\in C^\infty_c((\R^n\backslash\pOm)\cup S)$ について $\zeta u\in W^{1,p}_0(\Omega)$。

とくに $\Omega$ が $C^{0,1}$ 領域のとき
$$\left\{u\in W^{1,p}(\Omega)\colon Tu=0\ \on\pOm\right\}=W^{1,p}_0(\Omega).$$

{{begin|proof|display=''Proof.''|collapsible=1}}
(2) $\implies$ (1) を示す。$u\in C^\infty_c(\Omega)$ のときは $Tu=0$ であるから $u\in W^{1,p}_0(\Omega)$ についても $Tu=0$。

任意の $\zeta\in C^\infty_c((\R^n\backslash\pOm)\cup S)$ について $\zeta u\in W^{1,p}_0(\Omega)$ となるとする。$S'\rcpt S$ とし、$\zeta\in C^\infty_c((\R^n\backslash\pOm)\cup S)$ を $\zeta=1$ on $S'$ かつ $\supp\zeta\rcpt\Omega\cup S$ となるようにとると $\zeta u\in W^{1,p}_0(\Omega)$ より $\zeta Tu=T(\zeta u)=0$。これより $Tu=0$ on $S'$。$S'\rcpt S$ は任意より $Tu=0$ を得る。

(1) $\implies$ (2) を示す。 $u\in W^{1,p}(\Omega)$ が $Tu=0$ をみたすとし、$\zeta\in C^\infty_c((\R^n\backslash\pOm)\cup S)$ とする。$S'\colon=\{\xi\in S\colon \zeta(\xi)\neq 0\}$ とすると $S'\rcpt S$。

{{ref|type=thm|label=trace}}と同様に $U_\xi$、$\psi_\xi$ をとり、$V_\xi$ を定める。また $W_\xi\colon=\psi_\xi(\frac{1}{2}Q)$ とする。$\xi_1,\ldots ,\xi_N\in\pOm$ を $\displaystyle \pOm\subset\bigcup_{i=1}^N W_{\xi_i}$ となるようにとり、$U_{\xi_i}$、$\psi_{\xi_i}$、$V_{\xi_i}$、$W_{\xi_i}$ をそれぞれ $U_i$、$\psi_i$、$V_i$、$W_i$ と置きなおす。

{{ref|type=thm|label=trace}}の証明の(\ref{trace2})と同様の計算により $s\in(0,1)$ について
$$\int_{(-1,1)^{n-1}\times(0,s)}|u\circ\psi_i|\le s\int_{(-1,1)^{n-1}\times(0,s)}|D_n(u\circ\psi_i)|.$$
$u$ を $|u|^p$ にとりかえれば
\begin{align*}
\int_{(-1,1)^{n-1}\times(0,s)}|u\circ\psi_i|^p&\le s\int_{(-1,1)^{n-1}\times(0,s)}|u\circ\psi_i|^{p-1}|D_n(u\circ\psi_i)|\\
&\le s\left(\int_{(-1,1)^{n-1}\times(0,s)}|u\circ\psi_i|^p\right)^{1-p^{-1}}\left(\int_{(-1,1)^{n-1}\times(0,s)}|D_nu\circ\psi_i|^p\right)^{p^{-1}}.
\end{align*}
これより
$$\int_{(-1,1)^{n-1}\times(0,s)}|u\circ\psi_i|^p\le s^p\int_{(-1,1)^{n-1}\times(0,s)}|D_nu\circ\psi_i|^p.$$
$\chi\in C^\infty((0,\infty))$ を
$$0\le\chi\le 1,\chi(t)=0\ \jf t\in(0,1),\chi(t)=1\ \jf t\gt 2$$
となるようにとり、$\chi_s(t)\colon=\chi(s^{-1}t)\ (s\gt 1)$ とする。$v_{s,i}\in W^{1,1}(Q_+)$ を
$$v_{s,i}(y',y_n)\colon=\chi_s(y_n)u(\psi_i(y))$$
と定めると $\supp v_{s,i}\subset[-1,1]^{n-1}\times[s,1]$ で
$$\int_{Q_+}|u\circ\psi_i-v_{s,i}|^p\le\int_{Q_+}(1-\chi_s(y_n))^p|u\circ\psi_i|^p\le\int_{(-1,1)^{n-1}\times(0,s)}|u\circ\psi_i|^p$$
で、
\begin{align*}
\int_{Q_+}|D(u\circ\psi_i-v_{s,i})|^p&\le C\left(\int_{Q_+}(1-\chi_s(y_n))^p|D(u\circ\psi_i)(y)|^pdy+\int_{Q_+}s^{-p}\chi'(s^{-1}y_n)^p|u(\psi_i(y))|^pdy\right)\\
&\le C\left(\int_{(-1,1)^{n-1}\times(0,s)}|D(u\circ\psi_i)(y)|^pdy+s^{-p}\int_{(-1,1)^{n-1}\times(0,s)}|u\circ\psi_i|^p\right)\\
&\le C\int_{(-1,1)^{n-1}\times(0,s)}|D(u\circ\psi_i)(y)|^pdy.
\end{align*}
これより
$$\norm{u\circ\psi_i-v_{s,i}}_{1,p}\to 0\ (s\to +0).$$
$\R^n$ の開被覆 $\R^n\backslash\pOm,W_1,\ldots ,W_N$ に従属する $1$ の分割 $\varphi_0,\varphi_1,\ldots ,\varphi_N$ をとって
$$u_s\colon=\varphi_0\zeta u+\sum_{i=1}^N\varphi_i(\zeta v_{s,i}\circ\psi_i^{-1})$$
とすると
$$\supp u_s\subset\bigcup_{i=1}^N \psi_i([-1,1]^{n-1}\times[s,1])$$
となり $u_s\in C^\infty_c(\Omega)$。また $\norm{u_s-\zeta u}_{1,p}\to 0\ (s\to +0)$。これより $\zeta u\in W^{1,p}_0(\Omega)$。
{{end|proof}}

{{theorem|type=pro|name=トレースSobolev不等式|label=TSob}}
$S\subset\pOm$ を $C^{0,1}$ 境界部分とし、$T$ を $\Omega$ におけるトレース作用素とする。$p\in(1,n)$ とすると $T(W^{1,p}(\Omega))\subset L^\frac{(n-1)p}{n-p}_\loc(S,\H^{n-1})$ で $u\in W^{1,p}(\Omega)$ と相対開集合 $S'\rcpt S$ について
$$\norm{Tu}_{\frac{(n-1)p}{n-p};S'}\le C_{p,S'}\norm{u}_{1,p;\Omega}.$$

{{begin|proof|display=''Proof.''|collapsible=1}}
$q\in[1,\infty)$ について
$$\int_{S'}|Tu|^qd\H^{n-1}\le C\int_\Omega\left(|u|^q+|u|^{q-1}|Du|\right)\le C\norm{u}_{p'(q-1)}^{q-1}\left(\norm{u}_p+\norm{Du}_p\right).$$
ここで $q=\frac{(n-1)p}{n-p}$ とすると $p'(q-1)=p^*$ となり
$$\int_{S'}|Tu|^qd\H^{n-1}\le C \norm{u}_{p^*}^{q-1}\norm{u}_{1,p}\le C\norm{u}_{1,p}^q.$$
{{end|proof}}

{{theorem|type=rmk}}
$p=n$ のときは任意の $q\subset[1,\infty)$ について $\norm{u}_{q;S'}\le C_{q,S'}\norm{u}_{1,n;\Omega}$ が成り立つ。また $p\in(n,\infty]$ のときは $Tu\in C^{0,\alpha}(S)$ である。

{{theorem|type=pro|name=トレース作用素のコンパクト性|label=Tcpt}}
$S\subset\pOm$ を $C^{0,1}$ 境界部分とし、$p\in(1,\infty)$ とする。
$$\begin{cases}
r\in\left[1,\frac{(n-1)p}{n-p}\right)&\colon p\in[1,n)\\
r\in[1,\infty)&\colon p=n\\
r\in[1,\infty]&\colon p\in(n,\infty)
\end{cases}$$
とすると $\Omega$ におけるトレース作用素 $T$ は相対開集合 $S'\rcpt S$ について $W^{1,p}(\Omega)$ から $L^r(S',\H^{n-1})$ へのコンパクト作用素である。すなわち、$\{u_m\}_{m=1}^\infty\subset W^{1,p}(\Omega)$ が $\displaystyle\sup_m\norm{u_m}_{1,p;\Omega}\lt\infty$ をみたすとすると部分列 $\{u_{m_j}\}_{m=1}^\infty$ で $\{Tu_{m_j}\}_{m=1}^\infty$ が $L^r(S',\H^{n-1})$ において収束するものがとれる。

{{begin|proof|display=''Proof.''}}
$q\colon=p'(r-1)\ge 1$ の場合を示せば十分。$v\in W^{1,p}(\Omega)$ について $\int_{S'}|Tu|^rd\H^{n-1}\le C\norm{u}_q^{r-1}\left(\norm{u}_p+\norm{Du}_p\right)$ となり、また $q$ は{{ref|type=thm|label=cpt}}の仮定をみたす。これより $L^q(\Omega)$ において収束する部分列 $\{u_{m_j}\}_{m=1}^\infty$ をとれば
$$\limsup_{i,j\to\infty}\int_{S'}|Tu_{m_i}-Tu_{m_j}|^r\le C\limsup_{i,j\to\infty}\norm{u_{m_i}-u_{m_j}}_q^{r-1}\sup_m\norm{u_m}_{1,p}=0$$
となる。
{{end|proof}}

対照的に、$p=1$ の場合は $\varphi\in L^1(S,\H^{n-1})$ を拡張して $Tu=\varphi$ となる $u\in W^{1,1}(\Omega)$ を構成することができる。

{{theorem|type=lem|label=trlem1}}
$S$ を $C^{0,1}$ 境界部分とする。$\H^{n-1}$ -a.e. $\xi\in S$ について $\nu(\xi)\in\partial B_1(0)$ であって次をみたすものが一意的に存在する:任意の $\lambda\in(0,1)$ について十分小さい $r\gt 0$ をとると
$$\{x\in\R^n\colon |x-\xi|\lt r,(x-\xi)\cdot\nu\lt -\lambda|x|\}\subset\Omega,\{x\in\R^n\colon |x-\xi|\lt r,(x-\xi)\cdot\nu\gt \lambda|x|\}\cap\Omega=\emptyset.$$
とくに
$$\chi_{\xi+a(\Omega-\xi)}\to\chi_{\{x\in\R^n\colon (x-\xi)\cdot\nu\lt 0\}}\ (a\to+\infty)\ \ae\inn\R^n.$$

{{begin|proof|display=''Proof.''|collapsible=1}}
開集合 $U\subset\R^n$ と全単射 $\psi\colon Q\to U$ が存在し $U\cap\Omega=\psi(Q_+)$、$S=\psi(Q_0)$ かつ $\psi$ と $\psi^{-1}$ がともに $C^{0,1}$ 写像となるものが存在するものが存在するとしてよい。

$Q_0\subset\R^{n-1}$ と見做して $\psi'\colon=\psi|_{Q_0}$ とすると[[Hausdorff測度とarea_coarea_formula|area formula]]とarea不等式より $E\subset Q_0$ について $\H^{n-1}(E)\le C\H^{n-1}\psi(E)\le C\int_E J\psi'$ であるから $J\psi'\gt 0\ \H^{n-1}$ -a.e. on $ Q_0$ であり、$\H^{n-1}$ -a.e. $y'\in Q_0$ について $D_1\psi(y'),\ldots ,D_{n-1}\psi(y')$ は一次独立である。

$y_0\in Q_0$ を $\psi'$ が微分可能で $D_1\psi(y_0),\ldots ,D_{n-1}\psi(y_0)$ が一次独立となりかつ $\nu_{j,1}\circ\psi'J\psi',\ldots ,\nu_{j,n}\circ\psi'J\psi'$ のLebesgue点となるような点とし、$\xi\colon=\psi(y_0)\in U\cap\pOm$ とする。$\H^{n-1}$ -a.e. $y_0\in Q_0$ はこれらをみたす。

また $\pi\colon=\xi+\operatorname{span}\{D_1\psi(y_0),\ldots ,D_{n-1}\psi(y_0)\}$ とする。また $\mu$ を平面 $\pi$ の単位法線ベクトルの一つとし、半空間 $\pi_+$、$\pi_-$ を $\pi_+\colon=\{x\in\R^n,\mu\cdot(x-\xi)\gt 0\}$、$\pi_-\colon=\{x\in\R^n,\mu\cdot(x-\xi)\lt 0\}$ と定める。

$\eta\in U\cap\pOm$ について
$$\mu\cdot(\eta-\xi)=\mu\cdot D\psi'(\psi^{-1}(\eta))(\psi^{-1}(\eta)-\psi^{-1}(\xi))+o(|\psi^{-1}(\eta)-\psi^{-1}(\xi)|)$$
よって $\lambda\in(0,1)$ について $C^+_\lambda\colon=\{x\in\R^n\colon\mu\cdot(x-\xi)\gt \lambda|x-\xi|\}$、$C^-_\lambda\colon=\{x\in\R^n\colon\mu\cdot(x-\xi)\lt-\lambda|x-\xi|\}$ とすると十分小さい $r\gt 0$ について
$$C^+_\lambda\cap B_r(\xi)\cap\pOm,C^-_\lambda\cap B_r(\xi)\cap\pOm=\emptyset$$
となり、
$$C^+_\lambda\cap B_r(\xi),C^-_\lambda\cap B_r(\xi)\subset U\backslash\pOm.$$
とくに $r_0\gt 0$ を十分小さくとると線分 $s_+\colon=\{\xi+t\mu\colon t\in(0,r_0)\}$ と $s_-\colon=\{\xi-t\mu\colon t\in(0,r_0)\}$ はともに $U\backslash\pOm$ に含まれる。$U\backslash\pOm=\psi(2Q\backslash 2Q_0)$ は $U\cap\Omega=\psi(2Q_+)$ と $U\backslash\Omega=\psi(2Q_-)$ の2つの連結成分をもち、$s_+$、$s_-$ はいずれもそのいずれか一方に含まれる。また十分小さい $r\gt 0$ について $C^+_\lambda\cap B_r(\xi)$ と $C^-_\lambda\cap B_r(\xi)$ も $U\backslash\pOm$ に含まれるので $U\cap\Omega$ と $U\backslash\Omega$ のいずれか一方に含まれ、また $C^+_\lambda\cap B_r(\xi)\cap s_+\neq\emptyset$、$C^-_\lambda\cap B_r(\xi)\cap s_-\neq\emptyset$ であるから
$$C^+_\lambda\cap B_r(\xi)\subset U\cap\Omega\iff s_+\subset U\cap\Omega,C^-_\lambda\cap B_r(\xi)\subset U\cap\Omega\iff s_-\subset U\cap\Omega.$$

$I\colon=\{\sigma\in\{+,-\}\colon s_i\subset U\cap\Omega\}$ とする。$\lambda\in(0,1)$ とし、$r\gt 0$ を十分小さくとって $C^+_\lambda\cap B_r(\xi)\subset U\backslash\pOm$ が成り立つようにする。任意の $x\in C^+_\lambda$ について、$a\gt 0$ を十分大きくとれば
$$\xi+a^{-1}(x-\xi)\in C^+_\lambda\cap B_r(\xi)$$
となり
$$\xi+a^{-1}(x-\xi)\in U\cap\Omega\iff +\in I.$$
これより
$$\chi_{\xi+a(U\cap\Omega-\xi)}(x)=\chi_{U\cap\Omega}(\xi+a^{-1}(x-\xi))\to\begin{cases}
1&\colon +\in I\\
0&\colon +\notin I
\end{cases}\ (a\to+\infty).$$
$\displaystyle\pi_+=\bigcup_{\lambda\in(0,1)} C^+_\lambda$ であるからこれは任意の $x\in\pi_+$ について成り立つ。

同様に任意の $x\in\pi_-$ について
$$\chi_{\xi+a(U\cap\Omega-\xi)}(x)\to\begin{cases}
1&\colon -\in I\\
0&\colon -\notin I
\end{cases}\ (a\to+\infty).$$
従って
$$\chi_{\xi+a(U\cap\Omega-\xi)}\to\chi_{\bigcup_{\sigma\in I}\pi_\sigma}\ (a\to+\infty).$$

また $\xi$ の開近傍 $W\subset U$ をとって $L\colon=\max\{L(\psi|_W),L(\psi^{-1}|_{\psi(W)})\}$ とすると十分小さい $r\gt 0$ について $|B_r(\xi)\cap\Omega|\ge\frac{1}{2}L^{-2n}\omega_nr^n$。$\lambda\in(0,1)$ を十分小さくとると $r\gt 0$ について $|C^+_\lambda\cap B_r(\xi)|,|C^+_\lambda\cap B_r(\xi)|\gt\frac{1}{2}\left(1-\frac{1}{2}L^{-2n}\right)\omega_nr^n$ となり、十分小さい $r\gt 0$ について
$$|C^+_\lambda\cap B_r(\xi)|+|C^+_\lambda\cap B_r(\xi)|+|B_r(\xi)\cap\Omega|\gt\omega_nr^n.$$
よって $C^+_\lambda\cap B_r(\xi)\cap\Omega\neq\emptyset$ または $C^-_\lambda\cap B_r(\xi)\cap\Omega\neq\emptyset$ が成り立ち、$I\neq\emptyset$。

$B_r(\xi)\cap\Omega$ を $B_r(\xi)\backslash\Omega$ にとりかえると同様に $I\neq\{+,-\}$ も示される。これより $I=\{+\}$ または $I=\{-\}$。

$$\bigcup_{i\in I}\pi_i=\begin{cases}
\pi_+=\{x\in\R^n\colon\mu\cdot(x-\xi)\gt 0\}&\colon I=\{+\}\\
\pi_-=\{x\in\R^n\colon\mu\cdot(x-\xi)\lt 0\}&\colon I=\{-\}
\end{cases}$$
であるから
$$\nu=\begin{cases}
-\mu&\colon I=\{+\}\\
\mu&\colon I=\{-\}
\end{cases}$$
とすればこの $\nu=\nu(\xi)$ は条件をみたす。
{{end|proof}}

{{theorem|type=def|name=外向き単位法線ベクトル|label=outnorm}}
$\nu(\xi)$ を $\xi$ における $S$ の(測度論的)外向き単位法線ベクトルという。

{{theorem|type=rmk}}
$\Omega$ がLipschitz領域のときは(\ref{Lipdom})をみたす $V_\xi$、$h_\xi$、$O_\xi$、$\gamma_\xi$ をとって $\psi$ を $\psi(y',y_n)=\xi+O_\xi(y',y_n+\gamma_\xi(y'))$ (を適当に制限しスケール変換して $Q\to\R^n$ としたもの)ととって証明中に得られた $\nu(\xi)$ の特徴づけを用いると $\H^{n-1}$ -a.e. $y'\in V_\xi$ について
$$\nu_i(\xi+O_\xi(y',\gamma_\xi(y'))=O_\xi\frac{(D\gamma_\xi(y'),-1)}{(|D\gamma_\xi(y')|^2+1)^\frac{1}{2}}$$
なる表示を得る。

とくに $\Omega$ がなめらかな領域の場合、$\nu(\xi)$ は幾何学的な外向き単位法線ベクトル([[ベクトル解析5：多様体の向き]]の定義22.1)と一致する。

{{ref|type=lem|label=trlem1}}より $\H^{n-1}$ -a.e. $\xi\in S$ について
$$r^{-n}|B_r(\xi)\cap\Omega|=|B_1(\xi)\cap(\xi+r^{-1}(\Omega-\xi))|\to|\{x\in B_1(\xi)\colon x\cdot\nu(\xi)\lt 0\}|=\frac{1}{2}\omega_n$$
が成り立つ。

{{theorem|type=lem|label=trlem2}}
$S\subset\Omega$ を $C^{0,1}$ 境界部分として $\nu$ を $S$ の外向き単位法線ベクトルとする。$F_i\rcpt S\ (i\in\Zp)$ で次をみたすものが存在する:
* $$\H^{n-1}\left(S\backslash\bigcup_{i=1}^\infty F_i\right)=0.$$
* $j_i\in\{1,\ldots,n\}$ と $\sigma_i\in\{1,-1\}$ と $F_i\rcpt U_i$ なる開集合 $U_i\subset\R^n$ と $\gamma_i\in C^{0,1}(\R^{n-1})$ が存在して
$$F_i\subset\{(x_1,\ldots,x_n)\in\R^n\colon\sigma_i x_{j_i}=\gamma(x_1,\ldots,x_{j_i-i},x_{j_i+1},\ldots,x_n)\}$$
かつ
$$\{(x_1,\ldots,x_n)\in U_i\colon\sigma_i x_{j_i}\gt\gamma(x_1,\ldots,x_{j_i-i},x_{j_i+1},\ldots,x_n)\}\subset\Omega.$$

{{begin|proof}}
(1)の $\nu=(\nu_1,\ldots,\nu_n)$ をとる。$\xi\in S$ を $\nu(\xi)$ が定義される点とすると $j\in\{1,\ldots,n\}$ であって $|\nu_j(\xi)|\ge n^{-\frac{1}{2}}$ となるものが存在するので $\lambda\colon=(2n)^{-\frac{1}{2}}$ として
$$D_{j,+}\colon=\left\{\xi\in S\colon \nu_j(\xi)\lt -\lambda \right\},D_{j,-}\colon=\left\{\xi\in S\colon \nu_j(\xi)\gt \lambda\right\}$$
とすると
$$\H^{n-1}\left(S\backslash\left(\bigcup_{j=1}^n D_{j,+}\cup\bigcup_{j=1}^n D_{j,-}\right)\right)=0.$$
$\xi\in D_{n,+}$ と $x\in\R^n$ について、$x-\xi=(y',y_n)\in\R^{n-1}\times\R$ と表すと
$$(\xi-x)\cdot\nu(\xi)\le\nu_n(\xi)y_n+(1-\nu_n(\xi)^2)^\frac{1}{2}|y'|.$$
$\nu_n(\xi)\lt -\lambda$、$(1-\nu_n(\xi)^2)^\frac{1}{2}\lt(1-\lambda^2)^\frac{1}{2}=\colon\lambda'$ に注意すると $y_n\gt\lambda'|x-\xi|$ なる $x$ について
$$(\xi-x)\cdot\nu(\xi)\le\nu_n(\xi)\lambda'+(1-\nu_n(\xi)^2)^\frac{1}{2}\lambda\lt 0.$$
$\nu$ のとりかたより $r\gt 0$ を十分小さくとれば
$$\xi+rC\subset\Omega.$$
ここで
$$C\colon=\{y=(y',y_n)\in\R^{n-1}\times\R\colon |y|\lt 1,y_n\gt\lambda'|y'|\}.$$
これより $E_{n,+,k}\colon=\{\xi\in D_{n,+}\colon \xi+2^{-k}C\subset\Omega\}$ とすると $\displaystyle \bigcup_{k=1}^\infty E_{n,+,k}=D_{n,+}$。

$k\in\Zp$ に対し、$F_{n,+,k,l}\subset E_{n,+,k}$ を $F_{n,+,k,l}\rcpt S$、$\diam F_{n,+,k,l}\lt 2^{-(k+1)}$ かつ $\displaystyle\bigcup_{l=1}^\infty F_{n,+,k,l}=E_{n,+,k}$ となるようにとり、$x'\in\R^{n-1}$ について
$$\gamma_{n,+,k,l}(x')\colon=\inf_{(\xi',\xi_n)\in F_{n,+,k,l}}(\xi_n+\lambda'|x'-\xi'|)$$
と定める。

$\gamma_{n,+,k,l}\in C^{0,1}(\R^{n-1})$ を示す。$x',y'\in\R^{n-1}$、$\varepsilon\gt 0$ として $\xi_n+\lambda'|x'-\xi'|\lt\gamma_{n,+,k,l}(x')+\varepsilon$ となる $(\xi',\xi_n)\in F_{n,+,k,l}$ をとると
$$\gamma_{n,+,k,l}(y')\le\xi_n+\lambda'|y'-\xi'|\le\xi_n+\lambda'|x'-\xi'|+\lambda'|x'-y'|\lt\gamma_{n,+,k,l}(x')+\lambda'|x'-y'|+\varepsilon.$$
これより $\gamma_{n,+,k,l}(y')\le\gamma_{n,+,k,l}(x')+\lambda|x'-y'|$。同様に $\gamma_{n,+,k,l}(x')\le\gamma_{n,+,k,l}(y')+\lambda|x'-y'|$ も成り立ち、$[\gamma]_{0,1}\le\lambda'$ が従う。

$\xi=(\xi',\xi_n)\in F_{n,+,k,l}$ とすると $\gamma_{n,+,k,l}(\xi')=\xi_n$ となることを示す。$(x',x_n)\in\xi+2^{-k}C$ とすると $x_n-\xi_n\gt\lambda'|x'-\xi'|$ であるから
$$\gamma_{n,+,k,l}(x')\le\xi_n+\lambda'|x'-\xi'|\lt x_n.$$
$\xi\in\overline{\xi+2^{-k}C}$ であるから $\gamma_{n,+,k,l}(\xi)\le \xi_n$。

一方 $\gamma_{n,+,k,l}(\xi)\lt\xi_n$ であったとすると $\eta=(\eta',\eta_n)\in F_{n,+,k,l}$ であって $\eta_n+\lambda'|\eta'-\xi'|\lt\xi_n$ となるものが存在する。$\xi_n-\eta_n\gt\lambda'|\eta'-\xi'|$ で、$\diam F_{n,+,k,l}\lt 2^{-(k+1)}$ より $|\xi-\eta|\lt 2^{-(k+1)}$ となるので $\xi\in\eta+2^{-k}C$。$\eta\in F_{n,+,k,l}\subset E_{n,+,k}$ より $\eta+2^{-k}C\subset\Omega$ であるから $\xi\in\Omega$ であるが、これは $F_{n,+,k,l}\subset E_{n,+,k}\subset\pOm$ に矛盾。これより $\gamma_{n,+,k,l}(\xi')=\xi_n$。

$$U_{n,+,k,l}\colon=\{x\in\R^n\colon \dist(x,F_{n,+,k,l})\lt 2^{-(k+1)}\}$$
とする。$x=(x',x_n)\in U_{n,+,k,l}$ が $x_n\gt\gamma_{n,+,k,l}(x')$ をみたすとすると $\xi=(\xi',x_n)\in F_{n,+,k,l}$ であって $\xi_n+\lambda'|x'-\xi_n|\lt x_n$ をみたすものが存在する。$x_n-\xi_n\gt\lambda'|x'-x_n|$ で、$\dist(x,F_{n,+,k,l})\lt 2^{-(k+1)}$ と $\diam F_{n,+,k,l}\lt 2^{-(k+1)}$ より $F_{n,+,k,l}\subset B_{2^{-k}}(x)$ であるから $|x-\xi|\lt 2^{-k}$。これより $x\in\xi+2^{-k}C\subset\Omega$。

同様に $j\in\{1,\ldots,n\}$ と $\sigma\in\{+,-\}$ について $F_{j,\sigma,k,l}\rcpt S$ と $\gamma_{j,\sigma,k,l}\in C^{0,1}(\R^{n-1})$ と $F_{j,\sigma,k,l}\rcpt U_{j,\sigma,k,l}$ なる開集合 $U_{j,\sigma,k,l}$ を
$$\bigcup_{k,l=1}^\infty F_{j,\sigma,k,l}=D_{j,\sigma},$$
$$F_{j,\sigma,k,l}\subset\{(x_1,\ldots,x_n)\in\R^n\colon \sigma_jx_j=\gamma_{j,\sigma,k,l}(x_1,\ldots,x_{j-1},x_{j+1},\ldots,x_n)\}$$
かつ
$$\{(x_1,\ldots,x_n)\in U_{j,\sigma,k,l}\colon \sigma_jx_j\gt\gamma_{j,\sigma,k,l}(x_1,\ldots,x_{j-1},x_{j+1},\ldots,x_n)\}\subset\Omega$$
となるようにとれる。

$\{(F_{j,\sigma,k,l},\gamma_{j,\sigma,k,l},U_{j,\sigma,k,l})\}_{j,\sigma,k,l}$ を $\{(F_i,\gamma_i,U_i)\}_i$ とおき直せば主張が従う。
{{end|proof}}

{{theorem|type=thm|name=境界上の関数の拡張|label=Text}}
$S\subset\pOm$ を $C^{0,1}$ 境界部分とし、開集合 $V\subset\R^n$ は $S\cap V\neq\emptyset$ をみたすとする。$\varphi\in L^1(S\cap V,\H^{n-1})$ とし、$\varepsilon\gt 0$ とすると $u\in W^{1,1}(\Omega)$ で次をみたすものが存在する:
$$Tu=\varphi\ \on S\cap V,u=0\ \on \Omega\backslash V,\norm{u}_{1;\Omega}\lt\varepsilon,\int_\Omega|Du|\lt\int_\pOm|\varphi|d\H^{n-1}+\varepsilon.$$

{{begin|proof|display=''Proof.''|collapsible=1}}
$\Omega,S$ を $V\cap\Omega,V\cap S$ にとりかえた{{ref|type=lem|label=trlem2}}の $F_i,j_i,\sigma_i,U_i,\gamma_i$ をとる。$F_i$ を $\displaystyle \left(\overline{F_i}\backslash\bigcup_{i'=1}^i\overline{F_{i'}}\right)\cap S$ にとりかえることにより $F_i$ はBorel集合で $i\neq i'\implies F_i\cap F_{i'}$ となるとしてよい。また $F_i\rcpt V\cap S$ より $U_i$ を $U_i\cap V$ にとりかえて $U_i\subset V$ としてよい。

$j_i=n$、$\sigma=1$ となる $i$ をとってfixする。(それ以外の $i$ についても同様である。) $F_i\rcpt U_i$、$F_i\subset\{(x',\gamma_i(x'))\colon x'\in\R^{n-1}\}$ より開集合 $W\subset\R^{n-1}$ と $h\gt 0$ が存在して
$$U_i'\colon=\{(x',x_n)\in W\times\R\colon |x_n-\gamma_i(x')|\lt h\}$$
は $F_i\rcpt U_i'\rcpt U_i$ をみたす。また
$$U_{i,+}'\colon=\{(x',x_n)\in W\times\R\colon 0\lt x_n-\gamma_i(x')\lt h\}\subset\Omega.$$

$\varphi_i\in L^1(\R^{n-1})$ を $\varphi_i(x')\colon=(\varphi\chi_{F_i})(x',\gamma_i(x'))$ により定める。$F_i\rcpt U_i'$ より $\supp\varphi_i\subset W$。

$\eta'$ を $\R^{n-1}$ におけるmollifierとし、$r_k\gt 0\ (k\in\Zp)$ を単調減少かつ $r_1\lt h$、$\supp(\eta'_{r_k}*\varphi_i)\subset U_i'$ かつ $\norm{\eta'_{r_k}*\varphi_i-\varphi_i}\lt 2^{-k}$ となるようにとる。また $k\in\Zz$ について $\displaystyle t_k\colon=\sum_{l=k+1}^\infty 2^{-l}r_l$ とする。

$k\in\Zp$ について $ w_k\colon[0,\infty)\to\R$ を
$$ w_k(t)\colon=\begin{cases}
0&\colon t\in[0,t_{k+1})\\
2^{-(k+1)}r_{k+1}(t-t_{k+1})&\colon t\in[t_{k+1},t_k)\\
-2^{-k}r_k(t_{k-1}-t)&\colon t\in[t_k,t_{k-1})\\
0&\colon t\ge t_{k-1}
\end{cases}$$
と定める。$k_0\in\Zp$ とし、
$$v_i(x',x_n)\colon=\sum_{k=k_0}^\infty w_k(x_n)(\eta'_{r_k}*\varphi_i)(x')\ ((x',x_n)\in\R^{n-1}\times(0,\infty))$$
とする。$\supp w_k=[t_{k+1},t_{k-1}]$ より $\{\supp w_k\}_k$ は局所有限であるから $v_i$ はwell-definedで $v_i\in C^\infty(\Rnp)$。また $v_i=0$ on $\R^n\backslash(W\times(0,t_{k_0}))$。また
\begin{align*}
\int_{\R^n_+}|v_i|&=\sum_{k=k_0}^\infty\int_0^\infty w_k\left(\int_{\R^{n-1}}|\eta'_{r_k}*\varphi_i|\right)\\
&\le\sum_{k=k_0}^\infty 2^{-1}(2^{-k}r_k+2^{-(k+1)}r_{k+1})\int_{\R^{n-1}}|\varphi_i|\\
&\le C2^{-k_0}t_{k_0}\int_{\R^{n-1}}|\varphi_i|,\\
\int_{\R^n_+}|D_jv_i|&=\sum_{k=k_0}^\infty\int_0^\infty w_k\left(\int_{\R^{n-1}}|D_j(\eta'_{r_k}*\varphi_i)|\right)\\
&\le C\sum_{k=k_0}^\infty 2^{-1}(2^{-k}r_k+2^{-k+1}r_{k+1})r_k^{-1}\int_{\R^{n-1}}|\varphi_i|\\
&\le C2^{k_0}\int_{\R^{n-1}}|\varphi_i|\ (j=1,\ldots,n-1),\\
\int_{\R^{n-1}\times(0,t_{k_0})}|D_nv_i|&=\sum_{k=k_0}^\infty\int_{t_{k+1}}^{t_k}\left(2^{k+1}r_{k+1}\int_{\R^{n-1}}|\eta'_{r_k}*\varphi_i-\eta'_{r_{k+1}}*\varphi_i|\right)\\
&\le\sum_{k=k_0}^\infty\left(\int_{\R^{n-1}}|\eta'_{r_k}*\varphi_i-\varphi_i|+\int_{\R^{n-1}}|\eta'_{r_{k+1}}*\varphi_i-\varphi_i|\right)\\
&\le\sum_{k=k_0}^\infty (2^{-k}+2^{-(k+1)})=C2^{-k_0},\\
\int_{\R^{n-1}\times(t_{k_0},\infty)}|D_nv_i-2^{-k_0}r_k\chi_{\R^{n-1}\times(t_{k_0},t_{k_0-1})}\varphi_i|&=\int_{t_{k_0}}^{t_{k_0-1}}2^{k_0}r_k^{-1}\int_{\R^{n-1}}|\eta'_{r_{k_0}}*\varphi_i-\varphi_i|\\
&\le 2^{-k_0}.
\end{align*}
これより $v_i\in W^{1,1}(\Rnp)$。

$T_0$ を $\Rnp$ におけるトレース作用素とする。$l\ge k_0$ について $v_i(\cdot,2^{-l})=\eta'_{r_l}*\varphi_i$ であるから $T_0(v_i(\cdot-2^{-l}e_n))=\eta'_{r_l}*\varphi_i$ であり
$$\norm{T_0(v_i(\cdot-2^{-l}e_n))-\varphi'}_{1,\pRnp}\to 0\ (l\to\infty).$$
一方 $L^1$ ノルムの平行移動連続性より
$$\norm{v_i(\cdot-2^{-l}e_n)-v_i}_{1,1}\to 0\ (l\to\infty).$$
これより
$$T_0v_i=\varphi_i.$$

$\psi_i\colon\R^n\to\R^n$ を $\psi_i(x',x_n)\colon=(x',x_n-\gamma_i(x'))$ により定め、$u_i\colon=v_i\circ\psi_i\in W^{1,1}(\psi_i^{-1}(\Rnp))$ とする。$T_i$ を $\psi_i^{-1}(\Rnp)=\{(x',x_n)\colon x_n\gt\gamma_i(x')\}$ におけるトレース作用素とすると
$$T_iu_i=(T_0v_i)\circ\psi_i=\varphi_i\circ\psi_i=\varphi\chi_{F_i}.$$
とくに $T_iu_i=0$ on $\partial\psi_i^{-1}(\Rnp)\backslash\overline{F_i}$ であるから任意の $\zeta\in C^\infty_c(\R^n\backslash\overline{F_i})$ について $\zeta u_i\in W^{1,1}_0(\psi^{-1}(\Rnp))$ となり
$$\int_{\psi^{-1}(\Rnp)}(D_j\zeta u_i+\zeta D_ju_i)=\int_{\psi^{-1}(\Rnp)}D_j(\zeta u_i)=0.$$
これより $u_i=0$ on $\R^n\backslash\psi^{-1}(\Rnp)$ として $u_i$ を $R^n$ 上に拡張すると $u_i\in W^{1,1}(\R^n\backslash\overline{F_i})$ となり、とくに $u_i\in W^{1,1}(\Omega)$。

また $\displaystyle t_{k_0}\lt\sum_{k=k_0}^\infty 2^{-k}h=2^{-k_0}h\le h$ に注意すると $v_i=0$ on $\Rnp\backslash(W\times(0,h))$ で、$\psi^{-1}(W\times(0,h))=U_{i,+}'$ であるから $u_i=0$ on $\Omega\backslash U_{i,+}'$。とくに $u_i=0$ on $\Omega\backslash V$。

$Tu_i=\varphi\chi_{F_i}$ $\H^{n-1}$ -a.e. on $S$ を示す。$\xi\in S\backslash\overline{U_{i,+}'}$ については $\xi$ の近傍において $u_i=0$ となるので $Tu_i(\xi)=0$。

$\xi=(\xi',\xi_n)\in S\cap\overline{U_{i,+}'}$ とすると $U_i'\rcpt U_i$ より $\xi\in U_i$ で $\xi\notin\Omega$ であるから $U_i$ のとりかたより $\xi_n=\gamma_i(\xi')$ となり $\xi\in\partial\psi_i^{-1}(\Rnp)$。$r\gt 0$ を十分小さくとると $B_r(\xi)\cap\psi^{-1}(\Rnp)\subset\{x\in U_i\colon 0\lt\xi_n-\gamma_i(\xi')\lt h\}\subset\Omega$。$u_i=0$ on $\R^n\backslash\psi_i^{-1}(\Rnp)$ とあわせて
$$\int_{B_r(\xi)\cap\Omega}u_i=\int_{B_r(\xi)\cap\Omega\cap\psi_i^{-1}(\Rnp)}u_i=\int_{B_r(\xi)\cap\psi^{-1}(\Rnp)}u_i.$$
$\H^{n-1}$ -a.e. $\xi\in S\cap\psi_i^{-1}(\Rnp)$ について
$$\lim_{r\to +0}r^{-n}|B_r(\xi)\cap\Omega|=\lim_{r\to +0}r^{-n}|B_r(\xi)\cap\psi_i^{-1}(\Rnp)|=\frac{1}{2}\omega_n$$
となることから $\H^{n-1}$ -a.e. $\xi\in S\cap\overline{U_{i,+}'}$ について
$$Tu_i=\lim_{r\to+0}\frac{1}{B_r(\xi)\cap\Omega}\int_{B_r(\xi)\cap\Omega}u_i=\lim_{r\to+0}\frac{1}{B_r(\xi)\cap\psi_i^{-1}(\Rnp)}\int_{B_r(\xi)\cap\psi_i^{-1}(\Rnp)}u_i=T_iu_i=\varphi\chi_{F_i}.$$
$F_i\subset \overline{U_{i,+}'}$ とあわせて
$$Tu_i=\varphi\chi_{F_i}\ \H^{n-1}-\ae\on\ S.$$
また
$$\int_\Omega|u_i|\le C\int_{\R^n_+}|v_i|\le C2^{-k_0}t_{k_0}\le C4^{-k_0}h.$$
一方 $x=(x',x_n)\in\Omega\cap\psi_i^{-1}(\Rnp)$ とすると $j=1,\ldots,n-1$ については $D_ju_i(x)=(D_jv_i)(\psi_i(x))-D_nu_i(\psi_i(x))D_j\gamma_i(x')$ で、$D_nu_i(x)=D_nv_i(\psi_i(x))$ であるから
$$\int_{\Omega\cap\psi_i^{-1}(\Rnp)}|Du_i(x)-(-D\gamma_i(x'),1)D_nv_i(\psi_i(x))|dx=\int_{\Omega\cap\psi_i^{-1}(\Rnp)}|D'u_i\circ\psi_i|\le C\int_{\R^n_+}|D'v_i|\le C2^{-k_0}$$
となり
$$\int_{\Omega\cap\psi_i^{-1}(\Rnp)}|Du_i|\le\int_{\Omega\cap\psi_i^{-1}(\Rnp)}|D_nv_i(\psi_i(x))|(1+|D\gamma_i(x')|^2)^\frac{1}{2}dx+C2^{-k_0}.$$
$$\int_{\Omega\cap\psi_i^{-1}(\Rnp)}|D_nv_i(\psi_i(x))-2^{-k_0}r_k\chi_{\psi_i^{-1}(\R^{n-1}\times(t_{k_0},t_{k_0-1}))}(\chi_{F_i}\varphi)(x)|(1+|D\gamma_i(x')|^2)^\frac{1}{2}dx\le C\int_{\R^{n-1}\times(t_{k_0},\infty)}|D_nv_i-2^{-k_0}r_k\chi_{\R^{n-1}\times(t_{k_0},t_{k_0-1})}\varphi_i|\le C2^{-k_0}$$
で、$\psi_i^{-1}(\R^{n-1}\times(t_{k_0},t_{k_0-1}))\subset U_{i,+}'\subset\Omega$ に注意すると
\begin{align*}
\int_{\Omega\cap\psi_i^{-1}(\Rnp)}|2^{-k_0}r_k\chi_{\psi_i^{-1}(\R^{n-1}\times(t_{k_0},t_{k_0-1}))}(\chi_{F_i}\varphi)(x')|(1+|D\gamma_i(x')|^2)^\frac{1}{2}dx&=2^{-k_0}r_k\int_{\psi_i^{-1}(\R^{n-1}\times(t_{k_0},t_{k_0-1}))}|(\chi_{F_i}\varphi)(x')|(1+|D\gamma_i(x')|^2)^\frac{1}{2}dx\\
&=2^{-k_0}r_k\int_{\R^{n-1}\times(t_{k_0},t_{k_0-1})}|\psi_i(x')|(1+|D\gamma_i(x')|^2)^\frac{1}{2}dx\\
&=\int_{\partial\R^{n-1}}|\varphi_i(x')||(1+|D\gamma_i(x')|^2)^\frac{1}{2}d\H^{n-1}(x')\\
&=\int_{\partial\psi_i^{-1}(\Rnp)}\chi_{F_i}|\varphi| d\H^{n-1}\\
&=\int_{F_i}|\varphi| d\H^{n-1}
\end{align*}
となるので
$$\int_{\Omega\cap\psi_i^{-1}(\Rnp)}|D_nv_i(\psi_i(x))|(1+|D\gamma_i(x')|^2)^\frac{1}{2}dx\le\int_{F_i}|\varphi| d\H^{n-1}+C2^{-k_0}$$
となり $u_i=0$ on $\Omega\backslash\psi_i^{-1}(\Rnp)$ より $Du_i=0$ on $\Omega\backslash\psi_i^{-1}(\Rnp)$ となることとあわせて
$$\int_\Omega|Du_i|\le\int_{F_i}|\varphi| d\H^{n-1}+C2^{-k_0}.$$
従って $k_0$ を十分大きくとれば
$$\int_\Omega|u_i|\lt 2^{-i}\varepsilon,\int_\Omega|Du_i|\le\int_{F_i}|\varphi| d\H^{n-1}+2^{-i}\varepsilon.$$
最後に
$$u\colon=\sum_{i=1}^\infty u_i$$
とすると
$$\sum_{i=1}^\infty\int_\Omega|u_i|\lt \sum_{i=1}^\infty 2^{-i}\varepsilon=\varepsilon,\sum_{i=1}^\infty\int_\Omega|Du_i|\le\sum_{i=1}^\infty\left(\int_{F_i}|\varphi| d\H^{n-1}+2^{-i}\varepsilon\right)=\int_S|\varphi|d\H^{n-1}+\varepsilon$$
となることからこの無限和は $W^{1,1}(\Omega)$ において収束し
$$\int_\Omega|u|\lt\varepsilon,\int_\Omega|Du|\lt\int_S|\varphi|d\H^{n-1}+\varepsilon$$
が成り立つ。各 $u_i$ は $u_i=0$ on $\Omega\backslash V$ をみたすので $u=0$ on $\Omega\backslash V$。また
$$Tu=\sum_{i=1}^\infty Tu_i=\sum_{i=1}^\infty\chi_{F_i}\varphi=\varphi\ \on S\cap V.$$
{{end|proof}}

{{theorem|type=rmk}}
トレースSobolev不等式により、$p\in(1,\infty)$ の場合は一般には $\varphi\in L^p(S,\H^{n-1})$ を拡張して $u\in W^{1,p}(\Omega)$、$Tu=\varphi$ on $S$ とすることはできない。また、トレース作用素 $T$ は $W^{1,1}(\Omega)$ から $L^1(S',\H^{n-1})$ へのコンパクト作用素にはならない。

最後にトレース作用素の応用として次の $C^{0,1}$ 領域においても成り立つGaussの発散定理を示す。

{{theorem|type=thm|name=Gaussの発散定理|label=divthm}}
$S\subset\pOm$ を $C^{0,1}$ 境界部分とする。$\nu=(\nu_1,\ldots,\nu_n)$ を $S$ の外向き単位法線ベクトルとすると $u\in W^{1,1}_c(\Omega\cup S)$ について
$$\int_\Omega D_iu=\int_S Tu\nu_id\H^{n-1}.$$
とくに $\Omega$ が有界な $C^{0,1}$ 領域のとき任意の $u\in W^{1,1}(\Omega)$ について
$$\int_\Omega D_iu=\int_\pOm Tu\nu_id\H^{n-1}.$$

{{begin|proof}}
$\zeta\in C^\infty_c(\R^n\backslash(\pOm\backslash S))$ を任意にとる。$\varepsilon\gt 0$ とすると $\varphi\in L^1(S,\H^{n-1})$ について{{ref|type=thm|label=Text}}より $u\in W^{1,1}(\Omega)$ を $Tu=\varphi$ on $S$ となるようにとれる。また $v\in W^{1,1}(\Omega)$ が $Tv=0$ on $S$ をみたすとすると{{ref|type=thm|label=trace0}}より $\zeta v\in W^{1,1}_0(\Omega)$ となるので $i=1,\ldots,n$ について $\int_\Omega D_i(\zeta v)=0$。これより
$$\langle\tau_i,\varphi\rangle\colon=\int_\Omega D_i(\zeta u)$$
は $u$ の選択に依存せず、$\tau_i$ はwell-definedな $L^1(S,\H^{n-1})$ 上の線型汎関数である。また $\varepsilon\gt 0$ とすると $u$ は $\displaystyle\int_\Omega|u|\lt\varepsilon$ かつ $\displaystyle\int_\Omega|Du|\lt\int_S |\varphi|d\H^{n-1}+\varepsilon$ となるようにとれるので $\displaystyle|\langle\tau_i,\varphi\rangle|\le \norm{\zeta}_{1,\infty}\int_S |\varphi|d\H^{n-1}$。

[[測度と積分5：$L%5Ep$_空間の完備性と双対性]]の定理23.4より $\nu'_1,\ldots ,\nu'_n\in L^\infty(U_j\cap\pOm,\H^{n-1})$ であって任意の $\varphi\in L^1(S,\H^{n-1})$ について
$$\langle\tau_i,\varphi\rangle=\int_S\varphi\nu'_id\H^{n-1}$$
をみたすものが存在する。$\nu'_i$ は任意の $u\in W^{1,1}(\Omega)$ について
$$\int_S Tu\nu'_id\H^{n-1}=\langle\tau_i,Tu\rangle=\int_\Omega D_i(\zeta u)$$
をみたす。

$\nu'_i=\zeta\nu_i$ を示す。開集合 $U\subset\R^n$ と全単射 $\psi\colon 2Q\to U$ が $\psi$ と $\psi^{-1}$ がともに $C^{0,1}$ 写像で $\psi(Q_+)=U\cap\Omega$、$\psi(Q_0)=U\cap\pOm\subset S$ をみたすとして $\nu'_i=\zeta\nu_i$ on $U\cap\pOm$ を示せば十分。

{{ref|type=lem|label=trlem}}より $\H^{n-1}$ -a.e. $\xi\in U\cap\pOm$ と任意の $u\in C^\infty_c(\R^n)$ について
$$\lim_{a\to+\infty}\int_{\xi+a(U\cap\Omega-\xi)}D_i(\zeta u)=\int_{\{x\in\R^n\colon (x-\xi)\cdot\nu(\xi)\lt 0\}}D_i(\zeta u)=\int_{\{x\in\R^n\colon (x-\xi)\cdot\nu(\xi)=0\}}\zeta u\nu_id\H^{n-1}.\tag{$\dagger$}\label{divthm0}$$

一方、$a$ を十分大きくとって $\supp u\subset \xi+a(U-\xi)$ となるようにすると
\begin{align*}
\int_{\xi+a(U\cap\Omega-\xi)}D_i(\zeta u)&=a^n\int_\Omega D_i(\zeta u)(\xi+a(x-\xi))dx\\
&=a^{n-1}\int_\pOm u(\xi+a(x-\xi))\nu'_id\H^{n-1}(x)\\
&=a^{n-1}\int_{Q_0} u(\xi+a(\psi(y)-\xi))\nu'_i(\psi(y))J\psi(y)d\H^{n-1}(y).
\end{align*}
$Q_0\subset\R^{n-1}$ と見做して $\psi'\colon=\psi|_{Q_0}$ とする。$\H^{n-1}$ -a.e. $\xi\in U\cap\pOm$ について $\psi'$ は $y_0\colon=\psi^{-1}(\xi)$ において微分可能であり、なおかつLebesgueの微分定理より
$$\int_{B_r(y_0)\cap Q_0}|\nu'_i(\psi(y))J\psi'(y)-\nu'_i(\psi(y_0))J\psi'(y_0)|d\H^{n-1}=o(r^n)\ (r\to +0)$$
となることに注意する。$R\gt 0$ を十分大きくとると、十分大きい $a\gt 0$ について $\supp u(\xi+a(\psi(\cdot)-\xi))\subset B_{a^{-1}R}(y_0)\cap Q_0$ であるから
\begin{align*}
&\quad\int_{Q_0}\left|u(\xi+a(\psi(y)-\xi))\nu'_i(\psi(y))J\psi(y)-u\left(\xi+aD\psi'(y_0)(y-y_0)\right)\nu'_i(\psi(y_0))J\psi(y_0)\right|d\H^{n-1}(y)\\
&\le \int_{B_{a^{-1}R}(y_0)\cap Q_0}\left(\left|u(\xi+a(\psi(y)-\xi))-u\left(\xi+aD\psi'(y_0)(y-y_0)\right)\right||\nu'_i(\psi(y_0))J\psi(y_0)|+|u(\xi+a(\psi(y)-\xi))||\nu'_i(\psi(y))J\psi(y)-\nu'_i(\psi(y_0))J\psi(y_0)|\right)d\H^{n-1}(y)\\
&\le C\int_{B_{a^{-1}R}(y_0)\cap Q_0}\left(a\norm{Du}_\infty\left|\psi(y)-\psi(y_0)-D\psi'(y_0)(y-y_0)\right|+\norm{u}_\infty|\nu'_i(\psi(y))J\psi(y)-\nu'_i(\psi(y_0))J\psi(y_0)|\right)d\H^{n-1}(y)\\
&=o(a^{-(n-1)}).
\end{align*}
また
\begin{align*}
a^{n-1}\int_{Q_0}u\left(\xi+aD\psi'(y_0)(y-y_0)\right)\nu'_i(\psi(y_0))J\psi(y_0)d\H^{n-1}(y)&=\int_{\pRnp}u\left(\xi+D\psi'(y_0)(z-y_0)\right)\nu'_i(\xi)J\psi(y_0)d\H^{n-1}\\
&=\int_{\xi+D\psi'(y_0)\pRnp}u\nu'_i(\xi)d\H^{n-1}.
\end{align*}
従って
$$\lim_{a\to+\infty}\int_{\xi+a(U\cap\Omega-\xi)}D_i(\zeta u)=\int_{\xi+D\psi'(y_0)\pRnp}u\nu'_i(\xi)d\H^{n-1}\ \H^{n-1}-\ae\ \xi\in U\cap\pOm. \tag{$\ddagger$}\label{divthm1}$$
(\ref{divthm0})と(\ref{divthm1})より $\H^{n-1}-\ae\ \xi\in U\cap\pOm$ と任意の $u\in C^\infty_c(\R^n)$ について
$$\int_{\{x\in\R^n\colon (x-\xi)\cdot\nu(\xi)=0\}}\zeta u\nu_id\H^{n-1}=\int_{\xi+D\psi'(y_0)(\pRnp-y_0)}u\nu'_i(\xi)d\H^{n-1}\ \H^{n-1}-\ae\ \xi\in U\cap\pOm.$$
外向き単位法線ベクトルの構成より $\H^{n-1}$ -a.e. $\xi\in U\cap\pOm$ について
$$\{x\in\R^n\colon (x-\xi)\cdot\nu(\xi)=0\}=\xi+D\psi'(y_0)\pRnp$$
となるので
$$\nu'_i=\zeta\nu_i.$$
これより任意の $u\in W^{1,1}(\Omega)$ と $\zeta\in C^\infty_c(\R^n\backslash(\pOm\backslash S))$ について
$$\int_\Omega D_i(\zeta u)=\int_S \zeta u\nu_id\H^{n-1}.$$
とくに $u\in W^{1,1}_c(\Omega\cap S)$ のときは $\zeta\in C^\infty_c(\R^n\backslash(\pOm\backslash S))$ を $\zeta=1$ on $\supp u$ となるようにとれ、このときは $\zeta u=u$ であるから
$$\int_\Omega u=\int_S u\nu_id\H^{n-1}.$$
が成り立つ。
{{end|proof}}

{{theorem|type=cor|name=部分積分|label=trintpart}}
$S\subset\pOm$ を $C^{0,1}$ 境界部分とする。$u,v\in W^{1,1}(\Omega)$ が $uv\in W^{1,1}_c(\Omega\cup T)$ をみたすとき
$$\int_\Omega D_iuv=\int_S TuTv\nu_id\H^{n-1}-\int_\Omega uD_iv.$$

{{begin|proof}}
{{ref|type=thm|label=divthm}}より
$$\int_S TuTv\nu_id\H^{n-1}=\int_S T(uv)\nu_id\H^{n-1}=\int_\Omega D_i(uv)=\int_\Omega (D_iuv+uD_iv).$$
{{end|proof}}

{{theorem|type=rmk}}
$S\subset\pOm$ を(\ref{D})をみたす相対開集合とする。(\ref{D})における $S$ を $S'$ と表すと、$u\in W^{1,p}_0(\Omega\cup S)\subset W^{1,p}(D)$ の $\Omega$ におけるトレースを $D$ におけるトレース $Tu\in L^p_\loc(S',\H^{n-1})$ の $S$ への制限として定めることができる。また $\xi\in S$ における $S$ の外向き単位法線ベクトルを $S'$ の外向き単位法線ベクトルとして定めることができ、この節で挙げたトレースの性質は $W^{1,p}(\Omega)$ を $W^{1,p}_0(\Omega\cup S)$ にとりかえた上ですべて成り立つ。また $T$ は $W^{1,p}_0(\Omega\cup S)$ から $L^p(S,\H^{n-1})$ への有界線型作用素となり、$\displaystyle \int_S Tud\H^{n-1}\le C_{p,\Omega,T}\int_\Omega (|u|^p+|u|^{p-1}|Du|)$ が成り立つ。トレースSobolev不等式と $T$ のコンパクト性も $S$ を相対コンパクト部分集合にとりかえることなく成り立つ。Gaussの発散定理は $u\in W^{1,1}_0(\Omega\cup S)$ について成り立つ。

また、このようにして定めた $Tu\in L^p(S,\H^{n-1})$ と $\nu\in L^\infty(S,\H^{n-1})$ は $D$ と $S'$ の選択に依存しない。実際、$Tu$ は $\displaystyle r^{-n}\int_{B_r(\xi)\cap\Omega}|u-Tu(\xi)|\to 0\ (r\to +0)$ によって特徴づけられるので $D$ と $S'$ に依存しない。また $\varphi\in L^1_c(S,\H^{n-1})$ とすると $Tu=\varphi$ on $S$、$Tu=0$ on $S'\backslash S$ なる $u\in W^{1,1}(D)$ をとれ、$\eta\in C^\infty_c(\Omega\cup S)$ を $\eta=1$ on $\supp\varphi$ となるようにとって $v=\eta u$ とすることで $Tv=\varphi$ なる $v\in W^{1,1}_c(\Omega\cup S)$ をとれる。これより{{ref|type=thm|label=divthm}}の証明で定義した $\tau_i\in(L^1(S',\H^{n-1}))^*$ の $L^1_c(S,\H^{n-1})$ への制限は $D$ と $S'$ に依存せず、従って $\nu_i|_{S}$ も $D$ と $S'$ に依存しない。

==参考文献==
*Robert A. Adams「Sobolev Spaces」
*David Gilbarg, Neil S. Trudinger「Elliptic Partial Differential Equations of Second Order」
*Lawrence C. Evans, Ronald F. Gariepy「Measure Theory and Fine Properties of Functions,Revised Edition」
*Lawrence C. Evans「Partial Differential Equations,Second Edition」
*Gerald B. Folland「Real Analysis: Modern Techniques and Their Applications」
*Olga A. Ladyzhenskaya,Vsevolod A. Solonnikov,Nina N. Uraltseva「Linear and Quasilinear Equations of Parabolic Type」
*Haim Brezis「Functional Analysis, Sobolev Spaces and Partial Differential Equations」
*Michel Willem「Minimax Theorems」
*Luke G. Rogers「A Degree-Independent Sobolev Extension Operator」
*Giorgio Talenti「Best Constant in Sobolev Inequality」
*宮島静雄「ソボレフ空間の基礎と応用」
======脚注======

Sobolev空間とSobolevの不等式

2022-09-20T08:22:44Z

PSX: /* なめらかな関数による近似 */

{{begin|preamble}}
<math>
\newcommand{\R}{\mathbb{R}}
\newcommand{\C}{\mathbb{C}}
\newcommand{\K}{\mathbb{K}}
\newcommand{\Z}{\mathbb{Z}}
\newcommand{\Q}{\mathbb{Q}}
\newcommand{\Zp}{\mathbb{Z}_{\ge 1}}
\newcommand{\Zz}{\mathbb{Z}_{\ge 0}}
\newcommand{\M}{\mathbb{M}}
\newcommand{\B}{\mathcal{B}}
\newcommand{\D}{\mathcal{D}}
\newcommand{\F}{\mathcal{F}}
\newcommand{\G}{\mathcal{G}}
\newcommand{\H}{\mathcal{H}}
\newcommand{\I}{\mathcal{I}}
\newcommand{\L}{\mathcal{L}}
\newcommand{\n}{\mathbf{n}}
\newcommand{\Rnp}{\mathbb{R}^n_+}
\newcommand{\Rnn}{\mathbb{R}^n_-}
\newcommand{\pRnp}{\mathbb{\partial R}^n_+}
\newcommand{ae}{\mathrm{a.e.}}
\newcommand{\inn}{\ \mathrm{in}\ }
\newcommand{\on}{\ \mathrm{on}\ }
\newcommand{\for}{\ \mathrm{for}\ }
\newcommand{\jf}{\ \mathrm{if }\ }
\newcommand{\det}{\operatorname{det}}
\newcommand{\dim}{\operatorname{dim}}
\newcommand{\Ker}{\operatorname{Ker}}
\newcommand{\sgn}{\operatorname{sgn}}
\newcommand{\wid}{\operatorname{wid}}
\newcommand{\diam}{\operatorname{diam}}
\newcommand{\dist}{\operatorname{dist}}
\newcommand{\supp}{\operatorname{supp}}
\newcommand{\avg}{\sout{\int}}
\newcommand{\rcpt}{\subset\subset}
\newcommand{\loc}{{\rm{loc}}}
\newcommand{\implies}{\ \Rightarrow\ }
\newcommand{\iff}{\ \Leftrightarrow\ }
\newcommand{\norm}[1]{\lVert #1\rVert}
\newcommand{\pardif}[2]{\frac{\partial{#1}}{\partial{#2}}}
\newcommand{\Bb}{\overline{B}}
\newcommand{\Ombar}{\overline{\Omega}}
\newcommand{\OmT}{\Omega\cup T}
\newcommand{\pOm}{{\partial\Omega}}
\renewcommand{\Re}{\operatorname{Re}}
\renewcommand{\Im}{\operatorname{Im}}
\DeclareMathOperator*{\osc}{osc}
\DeclareMathOperator*{\essosc}{ess\, osc}
\DeclareMathOperator*{\esssup}{ess\, sup}
\DeclareMathOperator*{\essinf}{ess\, inf}

</math>
{{newtheorem |type=def |display=定義 }}
{{newtheorem |type=pro |display=命題 |family=def }}
{{newtheorem |type=thm |display=定理 |family=def }}
{{newtheorem |type=lem |display=補題 |family=def }}
{{newtheorem |type=cor |display=系 |family=def }}
{{newtheorem |type=rmk |display=注意 |family=def }}
{{newtheorem |type=ex |display=参考 |family=def }}
{{end |preamble}}
{{TOC |align=right |noautonum=1 }}

ここでは $p\neq 2$ を含めた $L^p$ 空間におけるSobolev空間とSobolev空間に対する一般的な埋め込み定理であるSobolevの不等式について主に取り扱う。

==記法および注意==
ここではとくに断らない限り実数値関数のみを取り扱う。また断りなく次の記法を用いる:
* $n\in\Zp$ とし、$\Omega$ を $\R^n$ における開集合とする。
* $x\in\R^n$、$r>0$ について $B_r(x)$ で $\R^n$ の半径が $r$、中心が $x$ の開球を表す。中心や半径を具体的に指定しない場合は $B_r$ や $B(x)$ などと略すことがある。
* $\H^s$ で $s$ 次元Hausdorff測度、$\L^n$ で $n$ 次元Lebesgue外測度([[Hausdorff測度とarea_coarea_formula]]の定義30。命題31も参照。)を表し、$\L^n$ -a.e. を単にa.e.とかき、また誤解のおそれがなければ省略する。
* 多重指数 $\alpha$ について $\alpha$ 階偏微分を $D^\alpha$ で表す。また $\alpha=ke_i$ のときは $D^\alpha u$ を $D^k_i u$ と表す。$D^1_i u$ は $D_iu$ と表し、$\R^n$ 値関数 $(D_1u,\ldots D_nu)$ を $Du$ と表す。
* $n=1$ のときは $D^k_1 u$ を $u^{(k)}$ と表す。また $u^{(1)}$、$u^{(2)}$ はそれぞれ $u'$、$u^{\prime\prime}$ と表す。
* $\mu\in\R^n\backslash\{0\}$ について、$D_\mu$ で $\mu$ -方向微分を表す。とくに $u$ が微分可能であるとき $D_\mu u=\mu\cdot Du$ である。
* $p\in[1,\infty]$ について $p'$ でそのHölder共役指数、すなわち $p^{-1}+p'^{-1}=1$ をみたす $p'\in[1,\infty]$ を表す。
* $\norm{\cdot}_{p;\Omega}$ で $L^p(\Omega)=L^p(\Omega,\L^n)$ のノルムを表す。また、相対開集合 $T\subset\pOm$ について $\norm{\cdot}_{p;T}$ で $L^p(T,\H^{n-1})$ のノルムを表す。誤解のおそれがなければ $\Omega$ と $T$ は省略することがある。
* $C^k(\Ombar)$、$C^{k,\alpha}(\Ombar)$ のノルムには[[Hölder空間の基本事項]]で定義した記号を用いる。
* $Q\colon=(-1,1)^n$、$Q_+\colon=(-1,1)^{n-1}\times(0,1)$、$Q_0\colon=(-1,1)^{n-1}\times\{0\}$ とする。
* $\Omega,\Omega'\subset\R^n$ を開集合とし、$f\colon\Omega'-\Omega\to\R$ と $g\colon\Omega\to\R$ を $\L^n$ -可測関数とする。
$$f*g(x)\colon=\int_{\Omega}f(x-y)g(y)dy$$
が a.e. $x\in\Omega'$ で定義されるとき $f*g$ は $\Omega'$ 上で定義されるといい、これを $f$ と $g$ の合成積という。<ref name="defdifference">[[合成積とFourier変換]]で定義されているものとは $(2\pi)^\frac{n}{2}$ 倍の違いがある。</ref>

$f*g$ は次のYoungの不等式をみたす:

{{theorem|type=lem|name=Youngの不等式|label=young}}
$p,q\in[1,\infty]$ が $p^{-1}+q^{-1}\ge 1$ をみたすとする。$\L^n$ -可測関数 $f\colon\Omega'-\Omega\to\R$ は
$$M_1\colon=\sup_{x\in\Omega'}\norm{f(x-\cdot)}_{p;\Omega}\lt\infty,M_2\colon=\sup_{y\in\Omega}\norm{f(\cdot-y)}_{p;\Omega'}\lt\infty$$
をみたすとする。$g\in L^q(\Omega)$ とすると $f*g$ は $\Omega'$ 上で定義され、$r\colon=(p^{-1}+q^{-1}-1)^{-1}\in[1,\infty]$ とすると
$$f*g\in L^r(\Omega'),\norm{f*g}_{r;\Omega'}\le M_1^{1-\frac{p}{r}}M_2^\frac{p}{r}\norm{g}_{q;\Omega}.$$
ただし $p=\infty$、$q=1$、$r=\infty$ の場合は $\frac{p}{r}=0$ とする。

とくに $f\in L^p(\Omega'-\Omega)$ のとき
$$\norm{f*g}_{r;\Omega'}\le\norm{f}_{p;\Omega'-\Omega}\norm{g}_{q;\Omega}.$$

{{begin|proof|display=''Proof.''|collapsible=1}}
$p^{-1}+q^{-1}=1$ のときは $r=\infty$ で、Hölderの不等式より $x\in\Omega'$ について
$$\int_{\Omega}|f(x-y)||g(y)|dy\le M_1\norm{g}_q$$
となるので $f*g$ は $\Omega'$ 上で定義され、$\norm{f*g}_\infty\le M_1\norm{g}_q$。

$p^{-1}+q^{-1}\gt 1$ の場合を示す。このとき $p,q,r\in[1,\infty)$ で、Hölderの不等式より
\begin{align*}
\left(\int_{\Omega'}\left(\int_{\Omega}|f(x-y)||g(y)|dy\right)^rdx\right)^{r^{-1}}&=\left(\int_{\Omega'}\left(\int_{\Omega}|f(x-y)|^{p(1-q^{-1})}|g(y)|^{q(1-p^{-1})}(|f(x-y)|^p|g(y)|^q)^{p^{-1}+q^{-1}-1}dy\right)^rdx\right)^{r^{-1}}\\
&\le\left(\int_{\Omega'}\left(\left(\int_{\Omega}|f(x-y)|^pdy\right)^{1-q^{-1}}\left(\int_{\Omega}|g(y)|^qdy\right)^{1-p^{-1}}\left(\int_{\Omega}|f(x-y)|^p|g(y)|^qdy\right)^{p^{-1}+q^{-1}-1}\right)^rdx\right)^{r^{-1}}\\
&\le\left(\int_{\Omega'} M_1^{pr(1-q^{-1})}\norm{g}_q^{qr(1-p^{-1})}\left(\int_{\Omega}|f(x-y)|^p|g(y)|^qdy\right)dx\right)^{r^{-1}}\\
&=M_1^{p(1-q^{-1})}\norm{g}_q^{q(1-p^{-1})}\left(\int_{\Omega}\left(\int_{\Omega'} |f(x-y)|^p|g(y)|^qdx\right)dy\right)^{r^{-1}}\\
&\le M_1^{p(p^{-1}-r^{-1})}\norm{g}_q^{q(q^{-1}-r^{-1})}\left(M_2^p\norm{g}_q^q\right)^{r^{-1}}\\
&=M_1^{1-\frac{p}{r}}M_2^\frac{p}{r}\norm{g}_q.
\end{align*}
よって $f*g$ は $\Omega'$ 上で定義され
$$f*g\in L^r(\Omega'),\norm{f*g}_r\le M_1^{1-\frac{p}{r}}M_2^\frac{p}{r}\norm{g}_q.$$
{{end|proof}}

* 実数値関数からなる線形空間 $X$ に対し、各成分が $X$ に属する $\R^m$ 値関数の空間を $m$ 個の $X$ の直積と同一視して $X^m$ とかく。

==$\pOm$ への条件==
Sobolev空間の一部の性質は、$\Omega\subset\R^n$ が一般の開集合の場合は成立せず、主に $\pOm$ に関する適切な仮定の下で成立する。そのような性質はなめらかな領域ではすべて成立するが、以下に述べるようなより弱い仮定の下で考えることもある。

{{theorem|type=def|name=線分条件|label=segm}}
相対開集合 $T\subset\pOm$ について、各 $\xi\in T$ について次をみたす $\xi$ の開近傍 $U_\xi\subset\R^n$ と $y_\xi\in\R^n$ が存在するとき $T$ は線分条件をみたすという:
$$\{x+ty_\xi\colon x\in\overline{U_\xi\cap\Omega},t\in(0,1)\}\subset\Omega.\tag{$\dagger$}\label{segm}$$
$\pOm$ が線分条件をみたすとき $\Omega$ は線分条件をみたすという。

{{theorem|type=def|name=Lipschitz領域|label=Lipdom}}
$n\ge 2$ とする。相対開集合 $T\subset\pOm$ について、各 $\xi\in\pOm$ について $0\in V_\xi$ なる開集合 $V_\xi\subset\R^{n-1}$ と $h_\xi\gt 0$ と $O_\xi\in O_n$ と $\gamma_\xi\in C^{0,1}_c(\R^{n-1})$ であって次をみたすものが存在するとき $T$ はLipschitz境界部分であるという:
$$\gamma_\xi(0)=0,O_\xi(\Omega-\xi)\cap(V_\xi\times (-h_\xi,h_\xi))=\{(y',y_n)\in V_\xi\times (-h_\xi,h_\xi)\colon y_n\gt \gamma_\xi(y')\}.\tag{$\dagger\dagger$}\label{Lipdom}$$
$\pOm$ がLipschitz境界部分であるとき $\Omega$ はLipschitz領域であるという。

{{theorem|type=rmk}}
$O_\xi$ は $O_\xi\in SO_n$ ととってもよい。

明らかにLipschitz境界部分は線分条件をみたし、かつ $C^{0,1}$ 境界部分([[Hölder空間の基本事項]]の定義28)となる。一方、次が成り立つ:

{{theorem|type=pro|label=conv}}
任意の凸領域はLipschitz領域である。

{{begin|proof}}
$x\in\Omega$ をとり、$r\gt 0$ を $B_{6r}(x)\subset\Omega$ となるようにとる。$\xi\in\pOm$ とし、$h\colon=|x-\xi|$ とする。$z\colon=h^{-1}(x-\xi)\in \partial B_1(0)$ とし、$O\in O_n$ を $Oz=e_n$ となるようにとる。

$\R^{n-1}$ における開球を $B'$ で表す。$y'\in B'_{6r}(0)$ について $\gamma'(y')\colon=\inf\{t\in\R\colon (y',t)\in O(\Omega-\xi)\}$ と定める。

$(y',h)=(y',0)+hOz=O(O^{-1}(y',0)+(x-\xi))\in O(B_{6r}(x-\xi))\subset O(\Omega-\xi)$ であるから $\gamma'(y')\le h$。また $\Omega$ は開かつ凸であるから $\{t\in\R\colon (y',t)\in O(\Omega-\xi)\}$ は開区間である。これより $t\lt h$ について
$$(y',t)\in O(\Omega-\xi)\iff t\in(\gamma'(y'),h)$$
であり、
$$O(\Omega-\xi)\cap(B'_{2r}(0)\times(-h,h))=\{(y',t)\in B'_{2r}(0)\times(-h,h)\colon t\gt\gamma'(y')\}$$
が成り立つ。また $\gamma'(0)=0$。

$x',y'\in B'_{6r}(0)$ と $s,t\lt h$ と $\sigma\in[0,1]$ について、$O(\Omega-\xi)$ が凸であることから
$$s\in(\gamma'(x'),h),t\in(\gamma'(y'),h)\implies (1-\sigma)s+\sigma t\in(\gamma'((1-\sigma)x'+\sigma y'),h).$$
これより $\gamma'((1-\sigma)x'+\sigma y')\le(1-\sigma)\gamma'(x')+\sigma\gamma'(y')$ となり $\gamma'$ は凸である。

また $y'\in B_{6r}(0)$ について $\gamma(0)-\gamma'(y')\le\gamma'(-y')-\gamma'(0)$ となるので $\gamma'(y')\ge-\gamma'(-y')\ge -h$。

$x',y'\in B'_{2r}(0)$ とする。$|x'-y'|\lt 4r\lt 6r-|x'|$ であるから $\tau\colon=4|x'-y'|^{-1}r$ とすると $\tau\gt 1$ かつ $x'+\tau(x'-y')\in B_{6r}(0)$ で
$$\gamma'(x')-\gamma'(y')\le(1+\tau)^{-1}(\gamma'(x'+\tau(x'-y'))-\gamma'(y'))\le 2h\tau^{-1}\le\frac{1}{2}hr^{-1}|x'-y'|.$$
同様に $\gamma'(y')-\gamma'(x')\le\le\frac{1}{2}hr^{-1}|y'-x'|$ も示される。これより $\gamma'\in C^{0,1}(\overline{B'_{2r}(0)})$。

以上より $V=B'_r(0)$ ととって $\gamma\in C^{0,1}(\R^{n-1})$ を $\gamma=\gamma'$ in $B'_r(0)$ となるようにとればこの $V$、$h$、$O$、$\gamma$ は(\ref{Lipdom})をみたす。
{{end|proof}}

{{theorem|type=pro|label=Cka}}
$k\ge 1$、$\alpha\in[0,1]$ とする。$T\subset\pOm$ を $C^{k,\alpha}$ 境界部分とすると、各 $\xi\in T$ について $0\in V_\xi$ なる開集合 $V_\xi\subset\R^{n-1}$ と $h_\xi\gt 0$ と $O_\xi\in O_n$ と $\gamma_\xi\in C^{k,\alpha}_c(\R^{n-1})$ であって(\ref{Lipdom})をみたすものが存在する。とくに $C^1$ 領域はLipschitz領域である。

{{begin|proof}}
$\xi$ の開近傍 $U$ と全単射 $\psi\colon 2Q\to U$ で $\psi$ と $\psi^{-1}$ がともに $C^{k,\alpha}$ 写像で $\psi(2Q_+)=U\cap\Omega$、$\psi(2Q_0)=U\cap\pOm$ をみたすものが存在する。$\psi(\xi)=0$ としてよい。

$f\colon U\to 2Q$ を $\psi^{-1}$ の第 $n$ 成分として定める。$U\cap\Omega$ と $U\cap\pOm$ はそれぞれ $\{x\in U\colon f(x)\gt 0\}$、$\{x\in U\colon f(x)=0\}$ と表される。また $Df\neq 0$ in $U$。

$O\in O_n$ を $O^{-1}D_nf(\xi)\gt 0$ となるようにとる。$\widetilde{\Omega}\colon=O(\Omega-\xi)$、$\widetilde{U}\colon=O(U-\xi)$ とし、$\widetilde{f}\colon\widetilde{\Omega}\to\R$ を $\widetilde{f}(y)\colon=\widetilde{f}(O^{-1}y+\xi)$ により定める。$\widetilde{U}\cap\widetilde{\Omega}$ と $\widetilde{U}\cap\partial\widetilde{\Omega}$ はそれぞれ $\{y\in \widetilde{U}\colon \widetilde{f}(y)\gt 0\}$、$\{y\in \widetilde{U}\colon \widetilde{f}(y)=0\}$ と表される。また $D_n\widetilde{f}(0)\gt 0$。

陰関数定理([[ベクトル解析1：Euclid空間内の多様体上の関数の微分]])により十分小さい $h\gt 0$ をとると射影 $p\colon\R^{n-1}\times\R\to\R^{n-1},(y',y_n)\mapsto y'$ の $hQ\cap\partial\widetilde{\Omega}$ への制限はある開集合 $W\subset\R^{n-1}$ への全単射であり、$p^{-1}\colon V\to hQ\cap\partial\widetilde{\Omega}$ は $C^{k,\alpha}$ 写像である。<ref name="impfct">陰関数定理は $h_i\in C^\infty(U)$ の場合が証明されているが、$C^\infty$ を $C^k$ にとりかえても同様であり、また逆写像定理において逆写像の $k$ 階微分の表示によりもとの写像が $C^{k,\alpha}$ 写像の場合は逆写像も $C^{k,\alpha}$ 写像となることが示されることから、陰関数定理も $C^{k,\alpha}$ にとりかえても同様に成り立つ。</ref>

$p^{-1}$ はある $\gamma'\colon W\to hQ\cap\partial\widetilde{\Omega}$ を用いて $p^{-1}(y')=(y',\gamma'(y_n))$ と表され、$hQ\cap\widetilde{\Omega}=\{(y',\gamma'(y_n))\colon y'\in W\}$。また $p^{-1}$ が $C^{k,\alpha}$ 写像であることから $\gamma'\in C^{k,\alpha}(W)$。

一方、必要であれば $r$ を小さくとり直して $D_nh\gt 0$ in $hQ$ とできる。
$$\{y\in hQ\colon h(y)=0\}=hQ\cap\widetilde{\Omega}=\{(y',\gamma'(y'))\colon y'\in W\}$$
より $(y',y_n)\in W\times(-h,h)$ について $\widetilde{f}(y',y_n)=0\iff y_n=\gamma'(y')$。$\widetilde{f}$ は $hQ$ 上では $y_n$ について狭義単調増加であるから
$$hQ\cap\widetilde{\Omega}=\{y\in hQ\colon h(x)\gt 0\}=\{(y',y_n)\in W\times(-h,h)\colon y_n\gt\gamma'(y')\}.$$
従って $0$ の開近傍 $V\rcpt W$ をとって $\gamma\in C^{k,\alpha}_c(\R^n)$ を $\gamma=\gamma'$ in $V$ となるようにとればこの $V$、$h$、$O$、$\gamma$ は(\ref{Lipdom})をみたす。
{{end|proof}}

{{theorem|type=rmk}}
陰関数定理は $C^{0,1}$ 写像に対しては無効であり、$C^{0,1}$ 領域は一般にLipschitz領域とはならない。<ref name="Lipdom">混同を防ぐため「Lipschitz領域」を「強Lipschitz領域」といい、「$C^{0,1}$ 領域」を「弱Lipschitz領域」ということもある。</ref>実際、$n=2$ とし、$\psi\colon\R^2\to\R^2,(x,y)\mapsto(x+y\sin(\log|y|),y)$ は全単射で $\psi,\psi^{-1}$ ともに $C^{0,1}$ 写像であるから
$$\Omega\colon=\{\psi(x,y)\colon y\gt-|x|\}$$
とすると $\Omega$ は $C^{0,1}$ 領域となる。一方で、この $\Omega$ は線分条件をみたしていないので、Lipschitz領域ではない。

==Sobolev空間の定義==
{{theorem|type=def|name=弱微分|label=defweakder}}
$u\in L^1_{\loc}(\Omega)$ とし、$\alpha$ を多重指数とする。変分学の基本補題([[超関数の定義と基本操作]]の命題5.3)により任意の $\varphi\in C^\infty_c(\Omega)$ について
$$\int_{\Omega}uD^\alpha\varphi=(-1)^{|\alpha|}\int_{\Omega}v\varphi$$
をみたす $v\in L^1_{\loc}(\Omega)$ は存在すれば一意的である。$v$ を $D^\alpha u$ とかき、$u$ の $\alpha$ 階弱微分という。

{{theorem|type=def|name=Sobolev空間 $W^{k,p}(\Omega),W^{k,p}_{\loc}(\OmT),W^{k,p}_c(\OmT)$|label=defsob}}
$C^\infty_c(\Omega)$ で $\Omega$ 上のコンパクトな台をもつなめらかな関数からなる空間を表す。

$k\in\Zp$、$p\in[1,\infty]$ についてSobolev空間 $W^{k,p}(\Omega)$ を
$$W^{k,p}(\Omega)\colon=\left\{u\in L^p(\Omega)\colon |\alpha|\le k\ について\ D^\alpha u\in L^p(\Omega)\right\}$$
と定める。また相対開集合 $T\subset\pOm$ について $L^p_\loc(\OmT)$ と $W^{k,p}_{\loc}(\OmT)$ を
$$L^p_\loc(\OmT)\colon=\left\{f\in L^p_\loc(\Omega)\colon \Omega'\rcpt\OmT\ について\ f\in L^p(\Omega')\right\},$$
$$W^{k,p}_{\loc}(\OmT)\colon=\left\{u\in L^p_{\loc}(\OmT)\colon |\alpha|\le k\ について\ D^\alpha u\in L^p_{\loc}(\OmT)\right\}$$
と定める。また $W^{k,p}_c(\OmT)$ を
$$W^{k,p}_c(\OmT)\colon=\{u\in W^{k,p}(\Omega)\colon\supp u\rcpt\OmT\}$$
と定める。

{{theorem|type=def|name=$W^{k,p}(\Omega)$ のノルム|label=defnorm}}
$W^{k,p}(\Omega)$ に
$$\norm{u}_{k,p;\Omega}\colon=
\begin{cases}
\left(\sum_{|\alpha|\le k}\int_{\Omega}|D^\alpha u|^p\right)^\frac{1}{p}&\colon p\in[1,\infty)\\
\max_{|\alpha|\le k}\esssup_{\Omega} |D^\alpha u|&\colon p=\infty
\end{cases}$$
によりノルム $\norm{\cdot}_{k,p;\Omega}$ を定める。

{{theorem|type=rmk}}
便宜上 $\norm{u}_{0,p;\Omega}=\norm{u}_{p;\Omega}$ とすることがある。またどの領域におけるSobolev空間のノルムかが明らかな場合は「$;\Omega$」は省略されることが多い。

$W^{k,2}(\Omega)$ は $H^k(\Omega)$ と書かれることが多い。$H^k(\Omega)$ には
$$(u,v)_{H^k(\Omega)}=\sum_{|\alpha|\le k}\int_\Omega D^\alpha uD^\alpha v$$
により内積が定まる。

$\displaystyle \sum_{|\alpha|\le k}\norm{D^\alpha u}_{p;\Omega}$ や $\displaystyle \left(\sum_{|\alpha|\le k}\norm{D^\alpha u}_{p;\Omega}^2\right)^\frac{1}{2}$ も同値なノルムである。また
$$\norm{u}_{k,p;\Omega}\le\sum_{|\alpha|\le k}\norm{D^\alpha u}_{p;\Omega}$$
で、
$$\sum_{|\alpha|\le k}\norm{D^\alpha u}_{p;\Omega}\le C\norm{u}_{k,p;\Omega}$$
となる定数 $C$ は $n$ と $k$ のみに依存し $p$ には依存しないようにとれる。

{{theorem|type=def|name=$\norm{D^ku}_{p;\Omega}$|label=gradnorm}}
$W^{k,p}(\Omega)$ に
$$\norm{D^ku}_{p;\Omega}\colon=\begin{cases}
\left(\sum_{|\alpha|=k}\norm{D^\alpha u}_{p;\Omega}^p\right)^{p^{-1}}&\colon p\in[1,\infty)\\
\max_{|\alpha|}\norm{D^\alpha u}_{\infty;\Omega}&\colon p=\infty
\end{cases}$$
によりセミノルム $\norm{D^ku}_{p;\Omega}$ を定める。

{{theorem|type=rmk}}
$\displaystyle \sum_{|\alpha|=k}\norm{D^\alpha u}_{p;\Omega}$ や $\displaystyle \left(\sum_{|\alpha|=k}\norm{D^\alpha u}_{p;\Omega}^2\right)^\frac{1}{2}$ も同値なセミノルムである。また
$$\norm{D^ku}_{p;\Omega}\le\sum_{|\alpha|=k}\norm{D^\alpha u}_{p;\Omega}$$
で、
$$\sum_{|\alpha|=k}\norm{D^\alpha u}_{p;\Omega}\le C\norm{D^ku}_{p;\Omega}$$
となる定数 $C$ は $n$ と $k$ のみに依存し $p$ には依存しないようにとれる。

{{theorem|type=pro|name=$W^{k,p}(\Omega)$ の完備性|label=compl}}
$W^{k,p}(\Omega)$ はノルム $\norm{\cdot}_{k,p;\Omega}$ について完備である。

{{begin|proof|display=''Proof.''|collapsible=1}}
$\{u_m\}_{m=1}^\infty\subset W^{k,p}(\Omega)$ をCauchy列とすると各 $|\alpha|\le k$ について $\{D^\alpha u_m\}_{m=1}^\infty$ は $L^p(\Omega)$ におけるCauchy列であるから $v_\alpha\in L^p(\Omega)$ が存在して $\norm{u_m-v_\alpha}_{p;\Omega}\to 0\ (m\to\infty)$。$u\colon=v_0$ とすると $\varphi\in C^\infty_c(\Omega)$ について
$$\int_\Omega uD^\alpha\varphi=\lim_{m\to\infty}\int_\Omega u_mD^\alpha\varphi=(-1)^{|\alpha|}\lim_{m\to\infty}\int_\Omega D^\alpha u_m\varphi=(-1)^{|\alpha|}\int_\Omega v_\alpha\varphi$$
であるから $u\in W^{k,p}(\Omega)$、$D^\alpha u=v_\alpha\ (|\alpha|\le k)$、$\norm{D^\alpha u_m-D^\alpha u}_{p;\Omega}\to 0\ (m\to\infty,|\alpha|\le k)$。$\norm{\cdot}_{k,p;\Omega}$ の定義より
$$\norm{u_m-u}_{k,p;\Omega}\to 0\ (m\to\infty)$$
となる。
{{end|proof}}

{{theorem|type=rmk}}
この証明から $u_m\in W^{1,p}(\Omega)\ (m\in\Zp)$、$u,v_1,\ldots ,v_n\in L^p(\Omega)$ が $\norm{u_m-u}_p,\norm{D_iu_m-v_i}_p\to 0\ (m\to\infty)$ をみたすとき $u\in W^{1,p}(\Omega)$、$D_iu=v_i$ となることが従う。このことは作用素の用語を用いると
$$D\colon L^p(\Omega)\supset D(D)=W^{1,p}(\Omega)\to L^p(\Omega)^n,Du=(D_1u,\ldots,D_nu)$$
により定まる非有界作用素 $D$ は閉作用素であると言い換えられる。

==なめらかな関数による近似==
{{theorem|type=def|name=Friedrich's mollifier|label=mol}}
$$\eta(x)\colon=
\begin{cases}
A\exp\left(\frac{1}{|x|^2-1}\right)&\colon x\in B_1(0)\\
0&\colon x\in\R^n\backslash B_1(0)
\end{cases}
,A\colon=\left(\int_{B_1(0)}\exp\left(\frac{1}{|x|^2-1}\right)dx\right)^{-1}$$
として $\eta\colon \R^n\to\R$ を定める。$\eta$ は
$$\eta\in C^\infty(\R^n),\eta\ge 0,\eta=0\on\R^n\backslash B_1(0),\int_{\R^n} \eta=1\tag{*}\label{mol}$$
をみたす。
$\varepsilon\gt 0$ について
$$\eta_\varepsilon(x)\colon=\varepsilon^{-n}\eta(\varepsilon^{-1}x)$$
と定め、Friedrich's mollifier、または単にmollifierという。

{{theorem|type=rmk}}
(\ref{mol})をみたしていれば $\eta$ はこの関数でなくてもよい。

{{theorem|type=pro|name=mollifierの性質|label=promol}}
開集合 $\Omega'\subset\Omega\subset\R^n$ は $d\colon=\dist(\Omega',\pOm)\gt 0$ をみたすとする。$f\in L^1_{\loc}(\Omega)$、$p\in[1,\infty]$、$\varepsilon\in (0,d)$ について、$\eta_\varepsilon*f$ は $\Omega'$ 上で定義され次が成り立つ:
* (1) $\supp\eta_\varepsilon*f\subset\{x\in\R^n\colon\dist(x,\supp f)\le\varepsilon\}$。とくに $\dist(\supp f,\Omega\backslash\Omega')\gt 0$ のとき十分小さく$\varepsilon\gt 0$ をとれば $\supp\eta_\varepsilon*f\subset\Omega'$。
* (2) $\eta_\varepsilon*f\in C^\infty(\overline{\Omega'})$ で、多重指数 $\alpha$ について $D^\alpha(\eta_\varepsilon*f)=D^\alpha\eta_\varepsilon*f$ in $\Omega'$。
* (3) $f\in L^p(\R^n)$ のとき $q\in[p,\infty]$ と多重指数 $\alpha$ について $\norm{D^\alpha(\eta_\varepsilon*f)}_{q;\Omega'}\le C_{n,p,q,\alpha}\varepsilon^{-|\alpha|-n(p^{-1}-q^{-1})}\norm{f}_{p;\Omega}$。
また $\varepsilon\to 0$ とするとき、
* (4) $\eta_\varepsilon*f\to f$ a.e. in $\Omega'$。
* (5) $f\in C(\Omega)$ のとき有界な $U\subset\Omega'$ について $\norm{\eta_\varepsilon*u-u}_{\infty;U}\to 0$。
* (6) $f\in L^p(\Omega)$、$p\in[1,\infty)$ のとき $\norm{\eta_\varepsilon*f-f}_{p;\Omega'}\to 0$。

{{begin|proof|display=''Proof.''|collapsible=1}}
(1)は明らか。

(2)を示す。任意の多重指数 $\alpha$ と $i=1,\ldots,n$ について $D_i(D^\alpha\eta_\varepsilon*f)=D_iD^\alpha\eta_\varepsilon*f$ on $\overline{\Omega'}$ を示せばよい。$x\in\overline{\Omega'}$ と $a\lt 0\lt b$ について
\begin{align*}
D^\alpha\eta_\varepsilon*f(x+be_i)-D^\alpha\eta_\varepsilon*f(x+ae_i)&=\int_{\R^n}(D^\alpha\eta_\varepsilon(x+ae_i-y)-D^\alpha\eta_\varepsilon(x+be_i-y))f(y)dy\\
&=\int_{\R^n}\left(\int_a^bD_iD^\alpha\eta_\varepsilon(x+te_i-y)dt\right)f(y)dy\\
&=\int_a^b\left(\int_{\R^n}D_iD^\alpha\eta_\varepsilon(x+te_i-y)f(y)dy\right)dt.
\end{align*}
Lebesgueの収束定理より $t\mapsto\int_{\Omega}D_iD^\alpha\eta_\varepsilon(x+te_i-y)f(y)dy$ は $(a,b)$ 上で連続であるから微積分基本公式より
$$D_i\left(D^\alpha\eta_\varepsilon*f\right)(x)=\int_{\R^n}D_iD^\alpha\eta_\varepsilon(x-y)f(y)dy=D_iD^\alpha\eta_\varepsilon*f(x).$$

(3)は(2)とYoungの不等式と
\begin{align*}
\left(\int_{B_\varepsilon(0)}|D^\alpha\eta_\varepsilon(x)|^{(1-p^{-1}+q^{-1})^{-1}}dx\right)^{1-p^{-1}+q^{-1}}&=\left(\int_{\R^n}|\varepsilon^{-|\alpha|-n}D^\alpha\eta(\varepsilon^{-1}x)|^{(1-p^{-1}+q^{-1})^{-1}}dx\right)^{1-p^{-1}+q^{-1}}\\
&=\varepsilon^{-|\alpha|-n}\left(\int_{\R^n}\varepsilon^n|D^\alpha\eta(y)|^{(1-p^{-1}+q^{-1})^{-1}}dy\right)^{1-p^{-1}+q^{-1}}\\
&\le C\varepsilon^{-|\alpha|-n(p^{-1}-q^{-1})}
\end{align*}
から従う。

(4)を示す。$x\in\Omega'$ を $f$ のLebesgue点とすれば
$$|\eta_\varepsilon*f(x)-f(x)|\le\int_{\Omega'}\eta_\varepsilon(x-y)|f(y)-f(x)|dy\le\int_{B_\varepsilon(x)}\varepsilon^{-n}\norm{\eta}_\infty|f(y)-f(x)|dy\to 0\ (\varepsilon\to +0).$$

(5)を示す。$x\in U$ について
\begin{align*}
|\eta_\varepsilon*f(x)-f(x)|&\le\int_{B_\varepsilon(x)}\eta_\varepsilon(x-y)|f(y)-f(x)|dy\\
&\le\int_{B_\varepsilon(x)}\eta_\varepsilon(x-y)dy\cdot\sup_{y\in B_\varepsilon(x)}|f(y)-f(x)|\\
&\le\sup_{\substack{y,z\in U+B_\varepsilon(0),|y-z|\lt\varepsilon}}|f(y)-f(z)|.
\end{align*}
ここで $U+B_\frac{d}{2}(0)$ は有界で $\dist(U+B_\frac{d}{2}(0),\pOm)\ge\dist(\Omega',\pOm)-\frac{d}{2}=\frac{d}{2}$ であるから $U+B_\frac{d}{2}(0)\rcpt\Omega$。これより
$$\sup_{\substack{y,z\in U+B_\varepsilon(0),|y-z|\lt\varepsilon}}|f(y)-f(z)|\le\sup_{\substack{y,z\in U+B_\frac{d}{2}(0),|y-z|\lt\varepsilon}}|f(y)-f(z)|\to 0\ (\varepsilon\to +0).$$
これより $\norm{\eta_\varepsilon*f-f}_{\infty;\Omega'}\to 0\ (\varepsilon\to +0)$。

(6)を示す。積分形のMinkowskiの不等式と平行移動の $L^p$ 連続性([[合成積とFourier変換]]の命題28.2)より
\begin{align*}
\norm{\eta_\varepsilon*f-f}_{p,\Omega'}&=\int_{\Omega'}|\int_{B_\varepsilon(y)}\eta_\varepsilon(x-y)(f(y)-f(x))dy|^pdx\\
&=\int_{\Omega'}\left(\int_{B_\varepsilon(0)}\eta_\varepsilon(z)|f(x-z)-f(x)|dz\right)^pdx\\
&\le\int_{B_\varepsilon(0)}\eta_\varepsilon(z)\left(\int_{\Omega'}|f(x-z)-f(x)|^pdx\right)^{p^{-1}}dz\\
&\le\sup_{z\in B_\varepsilon(0)}\left(\int_{\Omega'}|f(x-z)-f(x)|^pdx\right)^{p^{-1}}\to 0.
\end{align*}
{{end|proof}}

なお積分形のMinkowskiの不等式とは次の主張である:

{{theorem|type=lem|name=積分形のMinkowskiの不等式|label=mink}}
$\sigma$ -有限測度空間 $X=(X,\mathfrak{M},\mu)$、$Y=(Y,\mathfrak{N},\nu)$ と $\mathfrak{M}\otimes\mathfrak{N}$ -可測関数 $f$ と $p\ge 1$ について
$$\int_X\left(\int_Y |f(x,y)|d\nu(y)\right)^pd\mu(x)\le\int_Y\left(\int_X|f(x,y)|^pd\mu(x)\right)^{p^{-1}}d\nu(y).$$

{{begin|proof}}
$\int_X\left(\int_Y |f(x,y)|d\nu(y)\right)^pd\mu(x)\lt\infty$ の場合を示す。
\begin{align*}
\int_X\left(\int_Y |f(x,y)|d\nu(y)\right)^pd\mu(x)&=\int_Y\left(\int_X\left(\int_Y |f(x,y)|d\nu(y)\right)^{p-1}|f(x,y')|d\mu(x)\right)d\nu(y')\\
&\int_Y\left(\int_X\left(\int_Y |f(x,y)|d\nu(y)\right)^pd\mu(x)\right)^{1-p^{-1}}\left(\int_X|f(x,y')|^pd\mu(x)\right)^{p^{-1}}d\nu(y')\\
&=\left(\int_X\left(\int_Y |f(x,y)|d\nu(y)\right)^pd\mu(x)\right)^{1-p^{-1}}\int_Y\left(\int_X|f(x,y)|^pd\mu(x)\right)^{p^{-1}}d\nu(y)
\end{align*}
となり
$$\left(\int_X\left(\int_Y |f(x,y)|d\nu(y)\right)^pd\mu(x)\right)^{p^{-1}}\le\int_Y\left(\int_X|f(x,y)|^pd\mu(x)\right)^{p^{-1}}d\nu(y)$$
を得る。

$\int_X\left(\int_Y |f(x,y)|d\nu(y)\right)^pd\mu(x)=\infty$ の場合は $X_1\subset X_2\subset\ldots\subset X$、$Y_1\subset Y_2\subset\ldots\subset Y$ を $\mu(X_i),\nu(Y_i)\lt\infty$ かつ $\displaystyle\bigcup_{i=1}^\infty X_i=X,\bigcup_{i=1}^\infty Y_i=Y$ となるようにとると
$$\left(\int_{X_i}\left(\int_{Y_i} \min\{|f(x,y)|,i\}d\nu(y)\right)^pd\mu(x)\right)^{p^{-1}}\le\int_{Y_i}\left(\int_{X_i}\min\{|f(x,y)|,i\}^pd\mu(x)\right)^{p^{-1}}d\nu(y)$$
となるので $i\to\infty$ として $\int_Y\left(\int_X|f(x,y)|^pd\mu(x)\right)^{p^{-1}}d\nu(y)=\infty$ を得る。
{{end|proof}}

{{theorem|type=ex}}
$\nu$ -a.e. $y\in Y$ について $\int_X|f(x,y)|^pd\mu(x)\lt\infty$ のとき $y\mapsto f(\cdot,y)$ は $Y$ 上の $L^p(X)$ -値Bochner可測関数となる。これに[[測度と積分9：Bochner積分]]の命題44.2を適用することによっても積分形のMinkowskiの不等式を証明できる。

{{theorem|type=lem|name=$W^{k,p}$ 関数となめらかな関数の積|label=prod1}}
$u\in W^{k,p}_{\loc}(\Omega)$、$\zeta\in C^k(\Omega)$ について、
$$\zeta u\in W^{k,p}_{\loc}(\Omega),D^\alpha(\zeta u)=\sum_{\beta\le\alpha}\left(\begin{array}{c}\alpha\\ \beta\end{array}\right)D^{\alpha-\beta}\zeta D^\beta u.$$
とくに $u\in W^{k,p}(\Omega)$、$\zeta\in C^k(\Omega)\cap W^{k,\infty}(\Omega)$ のとき
$$\zeta u\in W^{k,p}(\Omega),\norm{D^k(\zeta u)}_{p;\Omega}\le C_{n,k}\sum_{j=0}^k\norm{D^{k-j}\zeta}_{\infty;\Omega}\norm{D^ju}_{p;\Omega},\norm{\zeta u}_{k,p;\Omega}\le C_{n,k}\norm{\zeta}_{k,\infty;\Omega}\norm{u}_{k,p;\Omega}.$$
また $\zeta\in C^k_c(\Omega)$ の場合は $\zeta u=0$ on $\R^n\backslash\Omega$ と定めると $\zeta u\in W^{k,p}(\R^n)$ となる。

{{begin|proof|display=''Proof.''|collapsible=1}}
$k=1$ のときのみ示す。一般の場合は帰納法により従う。

$\varphi\in C^\infty_c(\Omega)$、$i=1,\ldots ,n$ について
$$\int_\Omega D_iu\zeta\varphi=-\int_\Omega uD_i(\zeta\varphi)=-\int_\Omega u(D_i\zeta\varphi+\zeta D_i\varphi)$$
より
$$\int_\Omega \zeta uD_i\varphi=-\int_\Omega (\zeta D_iu+D_i\zeta u)\varphi.$$
$u,D_iu\in L^p_{\loc}(\Omega)$、$\zeta,D_i\zeta\in L^\infty_{\loc}(\Omega)$ より $\zeta u,\zeta D_iu+D_i\zeta u\in L^p_\loc(\Omega)$。従って $\zeta u\in W^{1,p}_{\loc}(\Omega)$、$D_i(\zeta u)=\zeta D_iu+D_i\zeta u$。

$\zeta\in C^\infty_c(\Omega)$ とすると $\varphi\in C^\infty_c(\R^n)$ について $\zeta\varphi\in C^\infty_c(\Omega)$ となるので同様の計算により $\int_\Omega \zeta uD_i\varphi=-\int_\Omega (\zeta D_iu+D_i\zeta u)\varphi$ となる。$\zeta u,\zeta D_iu,D_i\zeta u\in L^p(\R^n)$ となるので $\zeta u\in W^{1,p}(\R^n)$。
{{end|proof}}

{{theorem|type=pro|label=apx1}}
$k\in\Zp$ とする。以下が成り立つ:
*(1) $u\in W^{k,1}_{\loc}(\R^n)$ と $|\alpha|\le k$ なる多重指数 $\alpha$ について
$$D^\alpha(\eta_\varepsilon*u)=\eta_\varepsilon*D^\alpha u.$$
とくに $p\in[1,\infty)$、$u\in W^{k,p}(\R^n)$ のとき $\norm{\eta_\varepsilon*u-u}_{k,p;\R^n}\to 0\ (\varepsilon\to +0)$。
*(2) $p\in[1,\infty)$、$u\in L^p_{\loc}(\Omega)$ について次は同値:
**(i) $u\in W^{k,p}_{\loc}(\Omega)$。
**(ii) $\{u_m\}_{m=1}^\infty\subset C^\infty(\Omega)$ で $u_m\to u$ in $L^p_{\loc}(\Omega)(m\to\infty)$ かつ $|\alpha|\le k$ について $D^\alpha u_m$ が $L^p_{\loc}(\Omega)$ で収束するものが存在する。
*(3) $p\in[1,\infty)$ とすると $C^\infty_c(\R^n)$ は $W^{k,p}(\R^n)$ において稠密である。

{{begin|proof|display=''Proof.''|collapsible=1}}
(1)を示す。$x\in\R^n$ について
$$D^\alpha(\eta_\varepsilon*u)(x)=\int_{\R^n}D^\alpha\eta_\varepsilon(x-y)u(y)dy=(-1)^{|\alpha|}\int_{\R^n}(D^\alpha\eta_\varepsilon(x-\cdot))(y)u(y)dy=\int_{\R^n}\eta_\varepsilon(x-y)D^\alpha u(y)dy=D^\alpha\eta_\varepsilon*u(y).$$

(2)を示す。(i) $\implies$ (ii)は次のように従う: $\Omega_1\rcpt\Omega_2\rcpt\ldots\rcpt\Omega$ を $\displaystyle \bigcup_{m=1}^\infty \Omega_m=\Omega$ となるようにとり、$\varepsilon_m\in(0,\dist(\Omega_{m+1},\pOm))$ を $\varepsilon_m\to 0\ (m\to\infty)$ となるようにとる。また $\zeta_m\in C^\infty(\Omega_{m+1})$ を $\zeta_m=1$ in $\Omega_m$ となるようにとる。このとき $u_m\colon=\eta_{\varepsilon_m}*(\zeta_mu)$ は $\Omega$ 上で定義され、$m'\ge m$ について $u_{m'}=\eta_{\varepsilon_{m'}}*u$ in $\Omega_m$ となるので $|\alpha|\le k$ について $D^\alpha u_{m'}=\eta_{\varepsilon_{m'}}*D^\alpha u$ in $\Omega_m$。これより $\norm_{D^\alpha u_{m'}-D^\alpha u}_{p;\Omega'}\to 0\ (m'\to\infty)$。これよりこの $\{u_m\}_{m=1}^\infty$ は条件をみたす。

(ii) $\implies$ (i)は $|\alpha|\le k$ について $D^\alpha u_m\to v_\alpha$ in $L^1_{\loc}(\Omega)$ とすると任意の $\varepsilon\in C^\infty_c(\Omega)$ と $|\alpha|\le k$ について
$$\int_\Omega uD^\alpha\varphi=\lim_{m\to\infty}\int_\Omega u_mD^\alpha\varphi=(-1)^{|\alpha|}\int_\Omega v_\alpha\varphi$$
となり $D^\alpha u=v_\alpha$ となって従う。

(3)を示す。(1)より $u_m\in W^{k,p}(\Omega)\ (m\in\Zp)$ が存在して $\supp u_m$ が有界かつ $\norm{u_m-u}_{k,p;\R^n}\to 0 (m\to\infty)$ となることを示せばよい。

$\zeta\in C^\infty_c(B_2(0))$ を $\zeta=1$ on $\Bb_1(0)$ となるようにとる。$\zeta_m(x)\colon=\zeta(m^{-1}x)$ とすると $\supp\zeta_m\subset B_{2m}(0)$、$\zeta_m=1$ on $\Bb_m(0)$。また任意の多重指数 $\alpha$ について $D^\alpha \zeta_m(x)=m^{-|\alpha|}\zeta(m^{-1}x)$ であるから $\norm{\zeta_m}_{k,\infty}\le\norm{\zeta}_{k,\infty}$

$u_m\colon=\zeta_m u$ とすると $u_m\in W^{k,p}(\R^n)$、$\supp u_m\subset B_{2m}(0)$、$u_m=u$ on $\Bb_m(0)$ となり
$$\norm{u_m-u}_{k,p}=\norm{u_m-u}_{k,p;\R^n\backslash\Bb_m(0)}=\norm{(1-\zeta_m)u}_{k,p;\R^n\backslash\Bb_m(0)}\le C\norm{u}_{k,p;\R^n\backslash\Bb_m(0)}\to 0\ (m\to\infty).$$
{{end|proof}}

{{theorem|type=rmk}}
(2)の(ii)で $D^\alpha u$ を定義することもできる。このように定義された $u\in L^1_{\loc}(\Omega)$ の微分は強微分とよばれる。

{{theorem|type=cor|label=ck}}
$k\in\Zp$ とする。$u\in L^1_\loc(\Omega)$ について次は同値:
*(1) $u\in C^k(\Omega)$。
*(2) $|\alpha|\le k$ について $u$ は弱微分 $D^\alpha u$ をもち $D^\alpha u\in C(\Omega)$。

{{begin|proof|display=''Proof.''|collapsible=1}}
$u\in C^k(\Omega)$ とすると $v_\alpha\ (|\alpha|\le k)$ を各点での偏微分としての $D^\alpha u$ と定めれば部分積分により任意の $\varphi\in C^\infty_c(\Omega)$ について $\int_{\Omega}uD^\alpha\varphi=(-1)^{|\alpha|}\int_{\Omega}v_\alpha\varphi$ となる。これより $u$ は $k$ 階以下の弱微分をもち、各点微分と一致する。

$|\alpha|\le k$ について $u$ は弱微分 $D^\alpha u$ をもち $D^\alpha u\in C(\Omega)$ をみたすとする。$\Omega'\rcpt\Omega$ として $\zeta\in C^\infty_c(\Omega)$ を $\zeta=1$ in $\Omega'$ となるようにとると $|\alpha|\le k$ について $\norm{D^\alpha(\eta_\varepsilon*\zeta u)-D^\alpha(\zeta u)}_\infty=\norm{\eta_\varepsilon*D^\alpha(\zeta u)-D^\alpha(\zeta u)}_\infty\to 0\ (\varepsilon\to +0)$ であるから $\zeta u\in C^k(\R^n)$。これより $u\in C(\Omega)$。
{{end|proof}}

{{theorem|type=thm|name=なめらかな関数による近似|label=apx2}}
$k\in\Zp$、$p\in[1,\infty)$ とすると $C^\infty(\Omega)\cap W^{k,p}(\Omega)$ は $W^{k,p}(\Omega)$ において稠密である。

{{begin|proof|display=''Proof.''|collapsible=1}}
$u\in W^{k,p}(\Omega)$、$\delta\gt 0$ とする。各 $x\in\Omega$ について $x$ を中心とする球 $B(x)\rcpt\Omega$ をとり、$\Omega$ の開被覆 $\{B(x)\}_{x\in\Omega}$ の局所有限な細分 $\{U_i\}_{i=1}^\infty$ を $\displaystyle\bigcup_{i=1}^\infty U_i=\Omega$ となるようにとり、これに従属する $1$ の分割 $\{\zeta_i\}_{i=1}^\infty$、$\zeta_i\in C^\infty_c(U_i)$ をとる。

{{ref|type=lem|label=prod1}}より $\zeta_iu\in W^{k,p}(\Omega)$、$\supp\zeta_iu\subset U_i\rcpt\Omega$。{{ref|type=pro|label=apx1}}より十分小さい $\varepsilon_i\gt 0$ をとって $\norm{\eta_{\varepsilon_i}*(\zeta_iu)-\zeta_iu}_{k,p;\Omega}\lt 2^{-i}\delta$ かつ $\supp\eta_{\varepsilon_i}*(\zeta_iu)\subset U_i$ となるようにできる。

$$\sum_{i=1}^\infty\norm{\eta_{\varepsilon_i}*(\zeta_iu)-\zeta_iu}_{k,p;\Omega}\lt\delta$$
であるから $W^{k,p}(\Omega)$ の完備性より無限和
$$w\colon=\sum_{i=1}^\infty(\eta_{\varepsilon_i}*(\zeta_iu)-\zeta_iu)$$
は $W^{k,p}(\Omega)$ で収束し、$\norm{w}_{k,p;\Omega}\lt\delta$。
$$v\colon=\sum_{i=1}^\infty\eta_{\varepsilon_i}*(\zeta_iu)$$
とすると $\{U_i\}_{i=1}^\infty$ は局所有限よりこの無限和は各点で値が定まり $v\in C^\infty(\Omega)$。一方 $v=u+w\in W^{k,p}(\Omega)$ で $\norm{v-u}_{k,\alpha;\Omega}\lt\delta$ となる。
{{end|proof}}

{{theorem|type=rmk}}
これより $W^{k,p}(\Omega)$ を $\left\{u\in C^\infty(\Omega)\colon \norm{u}_{k,p;\Omega}\lt\infty\right\}$ のノルム $\norm{\cdot}_{k,p;\Omega}$ による完備化として定義し、$D^\alpha u$ を強微分で定義しても同値である。

一方、$v\in C^\infty(\Ombar)$ による近似をするには $\pOm$ に条件が必要である。

{{theorem|type=thm|name=線分条件をみたす領域における近似|label=apx3}}
相対開集合 $T\subset\pOm$ は線分条件をみたすとする。$k\in\Zp$、$p\in[1,\infty)$ とすると $C^\infty(\Omega\cup T)\cap W^{k,p}(\Omega)$ は $W^{k,p}(\Omega)$ において稠密である。

{{begin|proof|display=''Proof.''|collapsible=1}}
$\xi\in T$ について(\ref{segm})の $U_\xi$ と $y_\xi$ をとり、$\Omega_{d,r}\colon=\{x\in\Omega\colon |x|\lt d,\dist(x,\pOm)\gt r\}\ (d,r\gt 0)$ とする。$\{U_\xi\}_{\xi\in T}\cup\{\Omega_{d,r}\}_{d,r\gt 0}$ は $\Omega\cup T$ の開被覆となり、$\{U_\xi\}_{\xi\in\pOm}$、$\{\Omega_{d,r}\}_{d,r\gt 0}$ の局所有限な細分 $\{V_i\}_{i=1}^\infty$、$\{W_j\}_{j=1}^\infty$ を $\Omega\cup T\subset\bigcup_{i=1}^\infty V_i\cup\bigcup_{j=1}^\infty W_j$ となるようにとれる。各 $i\in\Zp$ について $y_i\in\R^n$ が存在し、
$$\{x+ty_i\colon x\in \overline{V_i\cap\Omega},t\in(0,1)\}\subset\Omega$$
が成り立つ。また各 $j\in\Zp$ について $W_j\rcpt\Omega$。

$\Omega\cup T$ の開被覆 $\{V_i\}_{i=1}^\infty\cup\{W_j\}_{j=1}^\infty$ に従属する $1$ の分割 $\{\zeta_i\}_{i=1}^\infty\cup\{\theta_j\}_{j=1}^\infty$、$\zeta_i\in C^\infty_c(V_i)$、$\theta_j\in C^\infty_c(W_j)$ をとる。

$i\in\Zp$ とする。{{ref|type=thm|label=apx2}}と{{ref|type=lem|label=prod1}}より $v_i\in C^\infty(\Omega)\cap W^{k,p}(\Omega)$ を $\norm{\zeta_iv_i-\zeta_iu}_{k,p;\Omega}\lt 2^{-i-2}\delta$ となるようにとれる。平行移動の $L^p$ 連続性([[合成積とFourier変換]]の命題28.2)より $|\alpha|\le k$ について
$$\norm{D^\alpha v_i(\cdot+ty_i)-D^\alpha v_i}_{p;V_i\cap\Omega}\to 0 (t\to +0).$$
{{ref|type=lem|label=prod1}}より十分小さい $t_i\in(0,1)$ をとって $\norm{\zeta_iv_i(\cdot+ty_i)-\zeta_iv_i}_{k,p;V_i\cap\Omega}\lt 2^{-i-2}\delta$ とできる。$V_i$ のとりかたより $\overline{V_i\cap\Omega+t_iy_i}\subset\Omega$ であるから $v_i\in C^\infty(\overline{V_i\cap\Omega+t_iy_i})$ であり、$v_i(\cdot+ty_i)\in C^\infty(\overline{V_i\cap\Omega})$。よって $\zeta_iv_i(\cdot+ty_i)\in C^\infty(\overline{\Omega})$、$\supp\zeta_iv_i\subset V_i\cap\Omega$。また $\norm{\zeta_iv_i(\cdot+ty_i)-\zeta_iu}_{k,p;\Omega}\lt 2^{-i-1}\delta$。

また $j\in\Zp$ について $\theta_ju\in W^{k,p}(\R^n)$、$\supp\theta_ju\subset W_j$ であるから十分小さい $\varepsilon_j$ をとって $\norm{\eta_{\varepsilon_j}*(\theta_ju)-\theta_ju}_{k,p;\Omega}\lt 2^{-j-1}\delta$、$\supp\eta_{\varepsilon_j}*(\theta_ju)\subset W_j$ とできる。

$$v\colon=\sum_{i=1}^\infty\zeta_iv_i(\cdot+ty_i)+\sum_{j=1}^\infty\eta_{\varepsilon_j}*(\theta_ju)$$
とすれば $\Omega\cup T$ の開被覆 $\{V_i\}_{i=1}^\infty\cup\{W_j\}_{j=1}^\infty$ は局所有限より $v\in C^\infty(\Omega\cup T)$ で、{{ref|type=thm|label=apx2}}と同様に $v\in W^{k,p}(\Omega)$ かつ
$$\norm{v-u}_{k,p;\Omega}\le\sum_{i=1}^\infty\norm{\zeta_iv_i(\cdot+ty_i)-\zeta_i u}_{k,p;\Omega}+\sum_{j=1}^\infty\norm{\eta_{\varepsilon_j}*(\theta_ju)-\theta_ju}_{k,p;\Omega}\lt\delta.$$
{{end|proof}}

{{theorem|type=rmk}}
とくに $\Omega$ が有界かつ線分条件をみたすとき $C^\infty(\Ombar)$ は $W^{k,p}(\Omega)$ において稠密である。

$p=\infty$ のときはこれらの近似定理は $W^{k,\infty}(\Omega)$ を $C^k(\Ombar)$ にとりかえた主張を同様に証明できる。また、近似列の構成のしかたが $k$ と $p$ によらないことから、 $u\in W^{j,p}(\Omega)\cap W^{k,q}(\Omega)$ と $\delta\gt 0$ について $v\in C^\infty(\Omega)\cap v\in W^{j,p}(\Omega)\cap W^{k,q}(\Omega)$ ( $\Omega$ が線分条件をみたすときは $v\in C^\infty(\Ombar)\cap W^{j,p}(\Omega)\cap W^{k,q}(\Omega)$ ) が存在して $\norm{u-v}_{j,p}\lt\delta$、$\norm{u-v}_{k,q}\lt\delta$ となる。( $p=\infty$ の場合は $W^{k,p}(\Omega)$ を $C^k(\Ombar)$ にとりかえる。$q=\infty$ の場合も同様。)

{{ref|type=pro|label=apx1}}で、(3)の証明の(1)を{{ref|type=thm|label=apx2}}にとりかえると、$\Omega$ が非有界の場合
$$\left\{u\in C^\infty(\Omega)\cap W^{k,p}(\Omega)\colon \supp u\ が有界\right\}$$
が $W^{k,p}(\Omega)$ において稠密であることが示される。( $\Omega$ が線分条件をみたすときは $C^\infty(\Omega)\cap W^{k,p}(\Omega)$ を $C^\infty(\Ombar)$ にとりかえてよい。)

$w\in C^\infty(\Omega)\cap W^{k,p}_c(\OmT)$ ( $T$ が線分条件をみたす場合は $C^\infty_c(\OmT)$ )は $W^{k,p}_c(\Omega)$ において稠密である。実際、$v\in C^\infty(\Omega)\cap W^{k,p}(\Omega)$ を $\norm{v-u}_{k,p}\lt\varepsilon$ をみたすようにとり、$\zeta\in C^\infty(\R^n\backslash(\pOm\backslash T))$ を $\zeta=1$ on $\supp u$ となるようにとると $\norm{\zeta v-u}_{k,p}=\norm{\zeta (v-u)}_{k,p}\le C_\zeta\varepsilon$ となる。

==$n=1$ の場合==
ここでは $n=1$ とし、$I=(a,b)$、$-\infty\le a\lt b\le +\infty$ を開区間とする。

{{theorem|type=thm|name=$W^{1,p}(I)$ の特徴づけ|label=1dim1}}
$p\in[1,\infty]$ とし、$u\in L^p(I)$ とする。次は同値:
*(1) $u\in W^{1,p}(I)$。
*(2) $u$ は絶対 $p$ -連続である。すなわち $u\in C(\overline{I})$ で $f\in L^p(I)$ が存在して $a\le x\lt y\le a$ について
$$u(y)-u(x)=\int_x^y f(t)dt.$$
またこのとき $u'=f$。

{{begin|proof|display=''Proof.''|collapsible=1}}
$p=1$ の場合を示せば十分。

(1) $\implies$ (2)を示す。$I$ は明らかに線分条件をみたすので $u_m\in C^\infty(\overline{I})\cap W^{1,1}(I)$ を $\norm{u_m-u}_{1,1}\to 0\ (m\to\infty)$ となるようにとれる。部分列に移って $u_m\to u,u_m'\to u'$ a.e. in $I$ としてよい。

$x_0\in I$ を $u_m(x_0)\to u(x_0)\ (m\to\infty)$ をみたす点とする。$x\in[x_0,b)$ について
$$u_m(x)=u_m(x_0)+\int_{x_0}^x u_m'(t)dt.$$
$\norm{u_m'-u'}_1\to 0\ (m\to\infty)$ より右辺は $m\to\infty$ とすると $x\in[x_0,b)$ について $u(x_0)+\int_{x_0}^x u'(t)dt$ に一様収束するので
$$u\in C([x_0,b]),u(x)=u(x_0)+\int_a^x u'(t)dt\ (x\in[x_0,b]).$$
任意の $x\in I$ について $x_0$ を $x_0\in(a,x)$ となるようにとれることから $u\in C((a,b])$。また $x,y\in (a,b]$、$x\lt y$ について $x_0$ を $x_0\lt x$ となるようにとれば
$$u(y)-u(x)=\left(u(x_0)+\int_{x_0}^yu'(t)dt\right)-\left(u(x_0)+\int_{x_0}^xu'(t)dt\right)=\int_x^yu'(t)dt\ (x,y\in(a,b]).$$
また $u'\in L^1(I)$ より $y\in I$ を固定すると
$$u(x)=u(y)-\int_x^y u'(t)dt$$
は $x\to a+0$ で収束する。とくに $a\gt -\infty$ の場合は $u\in C(\overline{I})$ で
$$u(y)-u(a)=\int_a^y u'(t)dt.$$
これより
$$u\in C(\overline{I}),u(y)-u(x)=\int_x^y u'(t)dt\ (x,y\in\overline{I},x\lt y).$$

(2) $\implies$ (1)を示す。$\varphi\in C^\infty_c(I)$ とする。$J=(a',b')\rcpt I$ を $\supp\varphi$ を含む開区間とする。 $y\in (b',b)$ とすると仮定より $x\in(a,y)$ について
$$u(y)-u(x)=\int_x^y f(t)dt.$$

$x\in (a,a')$ とする。$J\subset(x,y)$ で、$\varphi(x)=0$ より $t\in(x,b')$ について $\varphi(t)=\int_x^t\varphi'(s)ds$ であるから
\begin{align*}
\int_I f(t)\varphi(t)dt&=\int_x^y f(t)\varphi(t)dt\\
&=\int_x^y f(t)\left(\int_x^t \varphi'(s)ds\right)dt\\
&=\int_x^y \varphi'(s)\left(\int_s^yf(t)dt\right)ds\\
&=\int_x^y \varphi'(s)(u(y)-u(s))ds\\
&=u(y)\int_x^y \varphi'(s)ds-\int_x^y u(s)\varphi'(s)ds\\
&=-\int_I u(s)\varphi'(s)ds.
\end{align*}
よって $u\in W^{1,1}(I)$、$u'=f$。
{{end|proof}}

{{theorem|type=cor|name=$W^{1,p}_{\loc}(I)$ の特徴づけ|label=1dim2}}
$p\in[1,\infty]$ とし、$u\in L^p_{\loc}(I)$ とする。次は同値:
*(1) $u\in W^{1,p}_{\loc}(I)$。
*(2) $u$ は局所絶対 $p$ -連続である。すなわち $u\in C(I)$ で $f\in L^p_{\loc}(\Omega)$ が存在して $a\lt x\lt y\lt b$ について
$$u(y)-u(x)=\int_x^y f(t)dt.$$
またこのとき $u'=f$。

{{theorem|type=rmk}}
絶対 $1$ -連続と局所絶対 $1$ -連続は単に絶対連続、局所絶対連続という。

{{ref|type=cor|label=1dim2}}より $u\in W^{1,p}_{\loc}(I)$ は $u'$ のLebesgue点で(従ってa.e. in $I$ で)微分可能で、各点微分は弱微分とa.e.で一致する。

{{theorem|type=thm|name=$n=1$ のときのMorreyの不等式|label=dim1mor}}
$I$ は有界であるとする。
*(1) $u\in W^{1,1}(I)$ のとき
$$\norm{u}_\infty\le C_{|I|}\norm{u}_{1,1}.$$
また $u(y)=0$ なる $y\in \overline{I}$ が存在するとき
$$\norm{u}_\infty\le \norm{u'}_1.$$
*(2) $p\in(1,\infty]$ とする。 $\alpha=1-\frac{1}{p}$ とすると $u\in W^{1,p}(I)$ について
$$u\in C^{0,\alpha}(\overline{I}),[u]_{0,\alpha;I}\le \norm{u'}_p.$$

{{begin|proof|display=''Proof.''|collapsible=1}}
(1)を示す。{{ref|type=thm|label=1dim1}}より $x,y\in\overline{I}$、$x\lt y$ について
$$|u(x)-u(y)|\le\int_x^y|u'(t)|dt\le \norm{u'}_1.$$
対称性よりこれは任意の $x,y\in I$ について成り立つ。ここで $x,y\in\overline{I}$ を
$$|u(x)|=\sup_{I}|u|,|u(y)|=\inf_{I}|u|$$
となるようにとると
$$\sup_{I}|u|=|u(x)|\le|u(y)|+\norm{u'}_1=\inf_{I}|u|+\norm{u'}_1\le|I|^{-1}\int_I|u|+\norm{u'}_1\le C_{|I|}\norm{u}_{1,1}.$$
また $|u(y)|=0$ のとき
$$\sup_{I}|u|\le\norm{u'}_1.$$

(2)を示す。Hölderの不等式より $x,y\in I$、$x\lt y$ について
$$|u(x)-u(y)|\le\int_x^y|u'(t)|dt\le\norm{u'}_p|x-y|^{1-\frac{1}{p}}.$$
よって
$$u\in C^{0,\alpha}(\overline{I}),[u]_{0,\alpha;I}\le\norm{u'}_p.$$
{{end|proof}}

==合成関数の微分、積の微分==

{{theorem|type=thm|name=合成関数の微分|label=chain1}}
$p\in[1,\infty]$、$m\in\Zp$、$u\in W^{1,p}_{\loc}(\Omega)^m$ とする。
$G\in C^1(\R^m)$ が
$$G(u),\sum_{j=1}^m D_jG(u)D_iu_j\in L^p_{\loc}(\Omega)$$
をみたすとすると
$$G(u)\in W^{1,p}_{\loc}(\Omega),D_i(G(u))=\sum_{j=1}^m D_jG(u)D_iu_j\ (i=1,\ldots,n).$$

{{begin|proof|display=''Proof.''|collapsible=1}}
$|\Omega|\lt\infty$、$p\in[1,\infty)$、$u\in W^{1,p}(\Omega)^m$ の場合を示せば十分である。また $G$ を $G-G(0)$ にとりかえて $G(0)=0$ としてよい。<ref name="chainsuf">実際には $\Omega$ が有界かつ $p=1$ の場合のみで十分である。$\Omega$ が非有界の場合と $p\in(1,\infty)$ の場合を含めたのは{{ref|type=pro|label=chapro0}}の証明に使う都合によるものである。なお、{{ref|type=pro|label=chapro0}}では $|\Omega|\lt\infty$ を仮定できないが、実際には $G(0)=0$ でも十分であるため{{ref|type=pro|label=chapro0}}も問題なく証明できる。</ref>

$DG\in L^\infty(\R^m)^m$ の場合を示す。{{ref|type=thm|label=apx2}}より $u^{(k)}\in C^\infty(\Omega)^m\cap W^{1,p}(\Omega)^m$ を $\norm{u^{(k)}-u}_{1,p}\to 0\ (k\to\infty)$ となるようにとれる。部分列に移って $u^{(k)}\to u,D_iu^{(k)}\to D_iu$ a.e. in $\Omega$ かつ $v,v_1,\ldots,v_n\in L^p(\Omega)$ が存在して $|u^{(k)}|\le v,|D_iu^{(k)}|\le v_i\ (\forall k\in\Zp)$ としてよい。<ref name="dominant">一般に測度空間 $X=(X,\mu)$ 上の関数列 $\{f_m\}_{m=1}^\infty\subset L^p(X)$ と $f\in L^p(X)$ が $\int_X |f_m-f|^pd\mu\to 0\ (m\to\infty)$ をみたすとき、部分列 $\{f_{m_l}\}_{l=1}^\infty$ を $f_{m_l}\to f\ \mu-$ a.e. in $X$ かつ $g\in L^p(X)$ であって任意の $l$ について $|f_{m_l}|\le g$ in $X$ となるようなものが存在するようにとれる。実際、[[測度と積分5：$L%5Ep$_空間の完備性と双対性]]の定理21.4の証明のように部分列をとればよい。</ref>

各 $u^{(k)}$ は $G(u^{(k)})\in C^1(\Omega)$、$\displaystyle D_i(G(u^{(k)}))=\sum_{j=1}^m D_jG(u^{(k)})D_iu^{(k)}_i\ (i=1,\ldots,n)$ をみたす。また、$G(0)=0$ より $G(t)\le\norm{DG}_\infty|t|\ (t\in\R)$ となることから $|G(u^{(k)})|\le\norm{DG}_\infty v$、$\displaystyle \left|\sum_{j=1}^mD_jG(u^{(k)})D_iu^{(k)}_j\right|\le C\norm{DG}_\infty v_i$。$\displaystyle G(u^{(k)})\to G(u),\sum_{j=1}^m D_jG(u^{(k)})\cdot D_iu^{(k)}_j\to \sum_{j=1}^mD_jG(u)D_iu_j\ (k\to\infty)$ であるからLebesgueの収束定理より
$$\norm{G(u^{(k)})-G(u)}_p,\norm{D_i(G(u^{(k)}))-\sum_{j=1}^mD_jG(u)D_iu_j}_p\to 0\ (k\to\infty)$$
となる。これより
$$G(u)\in W^{1,p}(\Omega),D_i(G(u))=\sum_{j=1}^mD_jG(u)D_iu_j.$$

一般の場合を示す。$\xi\in C^1(\R)$ を
$$|\xi|\le 1,\xi(t)=1\ \jf t\ge 1,\xi(t)\le 1\ \jf t\le 1,\xi(t)=t\ \jf |t|\le\frac{1}{2}$$
となるようにとり、$M\gt 0$ について $\xi_M(t)\colon=M\xi(M^{-1}t)\ (t\in\R)$ とする。$\xi$、$\xi_M$ は
$$\xi'\in C_c(\R),|\xi_M'(t)|=|\xi'(M^{-1}t)|\le 1,\xi_M'(t)\to 1\ (M\to\infty)$$
をみたす。

$G_M\colon=\xi_M(G)$ とする。$\xi_M(G)\in C^1(\R^m)$、$D_j(\xi_M(G))=\xi_M'(G)D_jG\in C_c(\R^m)^m$ であるから $DG\in L^\infty(\R^m)^m$ の場合より
$$G_M(u)\in W^{1,p}(\Omega),D_i(G_M(u))=\xi_M'(G(u))\sum_{j=1}^mD_jG(u)D_iu_j.$$
$|G_M(u)|\le|G(u)|$、$|\xi_M'(u)DG(u)|\le|DG(u)|$で、$$G_M(u)\to G(u),\sum_{j=1}^m\xi_M'(u)D_jG(u)D_iu_j\to \sum_{j=1}^m D_jG(u)D_iu_j\ (M\to\infty)$$
であるからLebesgueの収束定理より
$$\norm{G_M(u)-G(u)}_p,\norm{D_i(G_M(u))-\sum_{j=1}^m D_jG(u)D_iu_j}_p\to 0\ (M\to\infty).$$
よって
$$G(u)\in W^{1,p}(\Omega),D_i(G(u))=\sum_{j=1}^mD_jG(u)D_iu_j.$$
{{end|proof}}

{{theorem|type=rmk}}
$G(0)=0$ かつ $DG\in L^\infty(\R^m)^m$ であれば十分である。とくに $|\Omega|\lt\infty$ のときは $DG\in L^\infty(\R^m)^m$ であれば十分である。

帰納法により高階の合成関数の微分公式も成り立つ。すなわち、$u\in W^{k,1}_{\loc}(\Omega)^m$、$G\in C^k(\R^m)$ とすると、$G(u)$ の形式的な $\alpha$ 階微分( $|\alpha|\le k$ )がすべて $L^1_{\loc}(\Omega)$ に属せば $G(u)\in W^{k,1}_{\loc}(\Omega)$ で $D^\alpha (G(u))$ は形式的な $\alpha$ 階微分と一致する。

{{theorem|type=cor|name=積の微分|label=prod2}}
$k\in\Zp$ とする。$u_1,\ldots ,u_m\in W^{k,1}_{\loc}(\Omega)$ が $|\alpha|\le k$ について
$$\sum_{\beta_1+\ldots +\beta_m=\alpha}\frac{\alpha!}{\beta_1!\ldots \beta_m!}D^{\beta_1}u_1\ldots D^{\beta_m}u_m\in L^1_{\loc}(\Omega)$$
をみたすとすると
$$u_1\ldots u_m\in W^{k,1}_{\loc}(\Omega),D^\alpha(u_1\ldots u_m)=\sum_{\beta_1+\ldots +\beta_m=\alpha}\frac{\alpha!}{\beta_1!\ldots \beta_m!}D^{\beta_1}u_1\ldots D^{\beta_m}u_m\ (|\alpha|\le k).$$

{{begin|proof|display=''Proof.''|collapsible=1}}
$G(t_1,\ldots ,t_m)=t_1\ldots t_m$ として $k$ 階の合成関数の微分公式を用いればよい。
{{end|proof}}

$m=1$ の場合はより正則性を欠いた関数との合成を考えることもできる:

{{theorem|type=lem|label=chainlem}}
$u\in W^{1,1}_{\loc}(\Omega)$ とし、$N\subset\R$ はBorel集合で $|N|=0$ をみたすとする。このとき
$$Du=0\ \ae\on\{x\in\Omega\colon u(x)\in N\}.$$

{{begin|proof|display=''Proof.''|collapsible=1}}
$\Omega$ が有界で $u\in W^{1,1}(\Omega)$ の場合を示せば十分。

$m\in\Zp$ について開集合 $U_m\subset\R$ を $N\subset U_m$、$|U_m|\lt 2^{-m}$ となるようにとる。また $W_m\colon=\{x\in\Omega\colon u(x)\in U_m\}$ として
$$N'\colon=\bigcup_{l=1}^\infty\bigcap_{m=l}^\infty U_m,W\colon=\bigcup_{l=1}^\infty\bigcap_{m=l}^\infty W_m$$
とする。$N'$ は $N\subset N'$、$|N'|=0$ をみたす。

$U'_{m,1}\rcpt U'_{m,2}\rcpt\ldots\rcpt U_m$ を $\displaystyle \bigcup_{l=1}^\infty U'_{m,l}=U_m$ となるようにとると $\displaystyle \left|W_m\backslash\bigcup_{l=1}^\infty \left\{x\in\Omega\colon u(x)\in U'_{m,l}\right\}\right|=0$ となるので十分大きい $l$ をとって $U'_m\colon=U'_{m,l}$、$W'_m\colon=\{x\in\Omega\colon u(x)\in U'_m\}$ とすれば $|W_m\backslash W'_m|\lt 2^{-m}$ となる。

$\varphi_m\in C_c(U_m)$ を $0\le\varphi_m\le 1$ かつ $\varphi_m=1$ in $U'_m$ となるようにとり
$$G_m(t)\colon=\int_{-\infty}^t \varphi_m$$
とする。$G_m\in C^1(\R)$、$0\le G_m'\le 1$ であるから{{ref|type=thm|label=chain1}}より
$$G_m(u)\in W^{1,1}(\Omega),D_i(G_m(u))=G_m'(u)D_iu.$$
$G_m'=1$ in $U'_m$、$G_m'=0$ on $\R\backslash U_m$ より
$$D_i(G_m(u))=D_iu\ \on\ W'_m,D_i(G_m(u))=0\ \on\ \Omega\backslash W_m.$$
また
$$\norm{G_m(u)}_\infty\le\int_\R\varphi_m\le|U_m|\lt 2^{-m}.$$

$W$ と $W_m$ の定義から $\displaystyle W=\bigcup_{l=1}^\infty\bigcap_{m=l}^\infty W_m$ であるからa.e. $x\in \Omega\backslash W$ について十分大きい $m$ をとれば $D_i(G_m(u))(x)=0$ となる。一方
\begin{align*}
\left|W\backslash\bigcup_{l=1}^\infty\bigcap_{m=l}^\infty W'_m\right|&=\lim_{k\to\infty}\left|\bigcap_{m=k}^\infty W_m\backslash\bigcup_{l=1}^\infty\bigcap_{m=l}^\infty W'_m\right|\\
&\le\liminf_{k\to\infty}\left|\bigcap_{m=k}^\infty W_m\backslash\bigcap_{m=k}^\infty W'_m\right|\\
&=\liminf_{k\to\infty}\left|\bigcup_{l=k}^\infty\left(\bigcap_{m=k}^\infty W_m\backslash W'_l\right)\right|\\
&\le\liminf_{k\to\infty}\left|\bigcup_{l=k}^\infty(W_l\backslash W'_l)\right|\\
&\le\liminf_{k\to\infty}\sum_{l=k}^\infty|W_l\backslash W'_l|\\
&\le\liminf_{k\to\infty}\sum_{l=k}^\infty 2^{-l}=0.
\end{align*}
よってa.e. $x\in W$ について十分大きい $m$ をとれば $D_i(G_m(u))(x)=D_iu(x)$ となる。従って
$$D_i(G_m(u))\to D_iu\chi_W\ \ae\inn\Omega\ (m\to\infty).$$
$|D_i(G_m(u))|\le |D_iu|$ であるからLebesgueの収束定理より
$$\norm{D_i(G_m(u))-D_iu\chi_W}_1\to 0\ (m\to\infty).$$
一方 $\norm{G_m(u)}_\infty\lt 2^{-m}\to 0\ (m\to\infty)$。よって $G_m(u)$ は $m\to\infty$ とすると $W^{1,1}(\Omega)$ において $0$ に収束し、
$$D_iu\chi_W=0\ \ae\inn \Omega.$$
よって $Du=0$ a.e. on $W$。$W$ の定義より $\{x\in\Omega\colon u(x)\in N\}\subset W$ となるので主張が示された。
{{end|proof}}

{{theorem|type=thm|name=局所絶対連続関数と $W^{1,p}$ 関数の合成|label=chain2}}
$p\in[1,\infty]$、$u\in W^{1,p}_{\loc}(\Omega)$ とする。
*(1) $\R$ 上の $\L^n$ -可測関数 $f$ について $f(u)D_iu\ (i=1,\ldots ,n)$ はwell-definedである。
*(2) $G\in W^{1,1}_{\loc}(\R)$ とする。$u$ が
$$G(u),G'(u)D_iu\in L^p_{\loc}(\Omega)\ (i=1,...n)$$
をみたすとすると
$$G(u)\in W^{1,p}_{\loc}(\Omega),D_i(G(u))=G'(u)D_iu\ (i=1,\ldots ,n).$$

{{begin|proof|display=''Proof.''|collapsible=1}}
(1)を示す。$f$ のBorel可測な代表元 $f_1$ をとると $f_1(u)D_iu$ は $\L^n$ -可測である。また $f_2$ を $f$ の別の代表元とすると{{ref|type=lem|label=chainlem}}より
$$D_iu=0\ \ae\on\{x\in\Omega\colon f_1(u(x))\neq f_2(u(x))\}$$
であるから $f_1(u)D_iu=f_2(u)D_iu$ a.e. in $\Omega$ となる。これより $f(u)D_iu$ はwell-definedである。

(2)を示す。{{ref|type=thm|label=chain1}}
と同様に $p\in[1,\infty)$、$u\in W^{1,p}(\Omega)$、$G(u),G'(u)D_iu\in L^p(\Omega)$、$G(0)=0$ の場合を示せば十分。<ref name="chainsuf" />

$G'\in L^\infty(\R)$ の場合を示す。$\varepsilon\gt 0$ について $G_\varepsilon\colon=\eta_\varepsilon*G-\eta_\varepsilon*G(0)$ とする。$G_\varepsilon\in C^\infty(\R)$、$|G_\varepsilon'|\le\norm{G'}_\infty$、$G_\varepsilon(0)=0$ であるから{{ref|type=thm|label=chain1}}より
$$G_\varepsilon(u)\in W^{1,p}(\Omega),D_i(G_\varepsilon(u))=G_\varepsilon'(u)D_iu.$$
また $G_\varepsilon\to G,G_\varepsilon'\to G'$ a.e. in $\R\ (\varepsilon\to +0)$ であり、{{ref|type=lem|label=chainlem}}より $G_\varepsilon(u(x))\to G(u(x)),G_\varepsilon'(u(x))\to G'(u(x))\ (\varepsilon\to +0)$ とならないほどんど全ての $x\in\Omega$ について $D_iu(x)=0$ であるから
$$G_\varepsilon(u)\to G(u),G_\varepsilon'(u)D_iu\to G'(u)D_iu\ \ae\inn\Omega\ (\varepsilon\to +0).$$
$|G(u)|\le\norm{G'}_\infty|u|$、$|G_\varepsilon'(u)D_iu|\le\norm{G'}_\infty|D_iu|$ であるからLebesgueの収束定理より
$$\norm{G_\varepsilon(u)-G(u)}_p,\norm{G_\varepsilon'(u)D_iu-G'(u)D_iu}_p\to 0\ (\varepsilon\to +0).$$
従って
$$G(u)\in W^{1,p}(\Omega),D_i(G(u))=G(u)D_iu.$$

$u\in L^\infty(\Omega)$ の場合を示す。$\zeta\in C^\infty(B_2(0))$、$\zeta=1$ in $B_1(0)$ をとり、$m\in\Zp$ として $\zeta_m(x)\colon=\zeta(m^{-1}x)\ (x\in\R^n)$ とする。

$M\gt 0$ について $G_M(t)\ (t\in\R)$ を
$$G_M(t)=
\begin{cases}
\int_0^t\min\{\max\{G'(s),-M\},M\}ds\ &\colon t\ge 0\\
-\int_0^{-t}\min\{\max\{G'(s),-M\},M\}ds\ &\colon t\lt 0\\
\end{cases}$$
と定める。このとき $|G_M'|\le M$、$G_M'=\min\{\max\{G',-M\},M\}$、$G_M(0)=0$。

$|G_M'|\le M$、$G_M(0)=0$ より $|G_M(t)|\le M|t|\ (t\in\R)$ であるから $G_M(\zeta_mu)\in L^p(\Omega)$ で $\supp G_M(u)\subset B_{2m}(0)$ より $\supp G_M(\zeta_mu)\in L^p(\Omega)$。$G'\in L^\infty(\R)$ の場合より
$$G_M(u)\in W^{1,p}(\Omega),D_i(G_M(u))=\min\{\max\{G'(u),-M\},M\}D_iu.$$
また
$$|G_M(t)|\le
\begin{cases}
\int_0^t|\min\{\max\{G'(s),-M\},M\}|ds\le\int_0^t|G'(s)|ds\ &\colon t\ge 0\\
\int_0^{-t}|\min\{\max\{G'(s),-M\},M\}|ds\le\int_0^{-t}|G'(s)|ds\ &\colon t\lt 0\\
\end{cases}$$
であるから
$$|G_M(u)|\le\int_{-\norm{u}_\infty}^{\norm{u}_\infty}|G'(s)|ds.$$
またLebesgueの収束定理より各 $t\in\R$ について $G_M(t)\to G(t)\ (M\to\infty)$ であるからLebesgueの収束定理より
$$\norm{\zeta_mG_M(u)-\zeta_mG(u)}_p\to 0\ (M\to\infty).$$
また $t\in\R$ について $\min\{\max\{G'(t),-M\},M\}\le |G'(t)|$、$\min\{\max\{G'(t),-M\},M\}\to G'(t)\ (M\to\infty)$ であるから $|D_i(\zeta_mG_M(u))|\le|D_i\zeta_m||G_M(u)|+|\zeta_m||G(u)D_iu|$、$D_i(\zeta_mG_M(u))\to D_i\zeta_mG(u)+\zeta_mG'(u)D_iu\ (M\to\infty)$。Lebesgueの収束定理より
$$\norm{D_i(\zeta_mG_M(u))-(D_i\zeta_mG_M(u)+\zeta_mG'(u)D_iu)}_p\to 0\ (M\to\infty).$$
よって
$$\zeta_mG(u)\in W^{1,p}(\Omega),D_i(\zeta_mG(u))=D_i\zeta_mG_M(u)+\zeta_mG'(u)D_iu.$$
$m\to\infty$ とすれば $\norm{\zeta_mG(u)-G(u)}_p,\norm{D_i\zeta_mG_M(u)+\zeta_mG'(u)D_iu-G'(u)D_iu}_p\to 0$ となるので
$$G(u)\in W^{1,p}(\Omega),D_i(G(u))=G'(u)D_iu.$$

一般の場合を示す。$M,N\ge 0$ について
$$u_{M,N}\colon=\min\{\max\{u,-N\},M\}$$
とする。$G'\in L^\infty(\R)$ の場合より
$$u_{M,N}\in W^{1,p}(\Omega),D_iu_{M,N}=D_iu\chi_{\{-N\lt u\lt M\}}.$$
また $|u_{M,N}|\le \max\{M,N\}$ で、
$$|G'(u_{M,N})D_iu_{M,N}|=|G'(u_{M,N})D_iu|\chi_{\{-N\lt u\lt M\}}=|G'(u)D_iu|\chi_{\{-N\lt u\lt M\}}\le|G'(u)D_iu|$$
となるので $u\in L^\infty(\Omega)$ の場合より
$$G(u_{M,N})\in W^{1,p}(\Omega),D_i(G(u_{M,N}))=G'(u_{M,N})D_iu_{M,N}.$$

a.e. $x\in\Omega$ について $M,N\gt|u(x)|$ とすれば $u_{M,N}(x)=u(x)$ となることから
$$G(u_{M,N})\to G(u),G'(u_{M,N})D_iu_{M,N}\to G'(u)D_iu\ \ae\inn\Omega\ (M,N\to\infty).$$
$|G'(u_{M,N})D_iu_{M,N}|\le|G'(u)D_iu|$ であるからLebesgueの収束定理より
$$\norm{G'(u_{M,N})D_iu_{M,N}-G'(u)D_iu}_p\to 0\ (M,N\to\infty).$$

また $j\in\Zz$ について次のように $L_j,M_j,N_j\ge 0$ をとる:

$L_0=M_0=N_0\colon=0$ とする。

$L_j,M_j,N_j$ がとれたとする。 $|\{|u|\gt L\}|\to 0\ (L\to\infty)$ に注意し、$L_{j+1}$ を
$$L_{j+1}\ge L_j+1,|G(L_j)|^p|\{u\gt L_{j+1}\}|\lt 2^{-(j+1)},|G(-L_j)|^p|\{u\lt -L_{j+1}\}|\lt 2^{-(j+1)}$$
となるようにとる。$M_{j+1},N_{j+1}$ を $M_{j+1},N_{j+1}\in [L_j,L_{j+1}]$ かつ
$$|G(M_{j+1})|=\inf_{[L_j,L_{j+1}]}|G|,|G(-N_{j+1})|=\inf_{[-L_{j+1},-L_j]}|G|$$
となるようにとる。

このとき $j\in\Zp$ とすると $M_j,N_j\le L_j$ で $t\in[M_j,L_j]$ について $|G(M_j)|\le|G(t)|$、$t\in[-L_j,-N_j]$ について $|G(-N_j)|\le|G(t)|$。これより
$$|G(u_{M_j,N_j})|\chi_{\{|u|\le L_j\}}=
\begin{cases}
|G(-N_j)|\le|G(u)|&\colon u\in [-L_j,-N_j]\\
|G(u)|&\colon u\in(-N_j,M_j)\\
|G(M_j)|\le|G(u)|&\colon u\in [M_j,N_j]\\
0&\colon |u|\gt L_j
.\end{cases}
$$
また $\chi_{\{|u|\le L_j\}}\to 1$ a.e. in $\Omega\ (j\to\infty)$ より
$$G(u_{M_j,N_j})\chi_{\{|u|\le L_j\}}\to G(u)\ \ae\inn\Omega\ (j\to\infty).$$
Lebesgueの収束定理より
$$\norm{G(u_{M_j,N_j})\chi_{\{|u|\le L_j\}}-G(u)}_p\to 0\ (j\to\infty).$$
また $M_j,N_j\ge L_{j-1}\ge j-1$ より $M_j,N_j\to\infty\ (j\to\infty)$ であり、
\begin{align*}
\int_\Omega|G(u_{M_j,N_j})|^p\chi_{\{|u|\gt L_j\}}&=\int_\Omega(|G(M_j)|^p\chi_{\{u\gt M_j\}}+|G(-N_j)|^p\chi_{\{u\lt -N_j\}})\\
&=|G(M_j)||\{u\gt M_j\}|+|G(-N_j)||\{u\gt -N_j\}|\\
&\le|G(L_j)||\{u\gt L_{j-1}\}|+|G(-L_j)||\{u\gt -L_{j-1}\}|\\
&\le 2^{1-j}\to 0\ (j\to\infty).
\end{align*}
従って
$$\norm{G(u_{M_j,N_j})-G(u)}_p\to 0\ (j\to\infty).$$
$M_j,N_j\ge L_{j-1}\ge j-1\to\infty\ (j\to\infty)$ より
$$\norm{G'(u_{M_j,N_j})D_iu_{M_j,N_j}-G'(u)D_iu}_p\to 0\ (j\to\infty)$$
となることとあわせて
$$G(u)\in W^{1,p}(\Omega),D_i(G(u))=G'(u)D_iu$$
が成り立つ。
{{end|proof}}

==差分商による特徴づけ==
{{theorem|type=def|name=差分商|label=difq}}
$f\colon\Omega\to\R$ と開集合 $\Omega'\rcpt\Omega$ と $0\lt|h|\lt\dist(\Omega',\pOm)$ なる $h\in\R$ と $z\in\partial B_1(0)$ について
$$\Delta^h_z f(x)\colon=\frac{f(x+hz)-f(x)}{h}\ (x\in\Omega',i=1,\ldots ,n)$$
により $f$ の $z$ 方向の差分商 $\Delta^h_z f\colon\Omega'\to\R$ を定める。$\Delta^h_{e_i} f$ は $\Delta^h_i f$ と書く。

{{theorem|type=pro|name=差分商の初等的性質|label=difq1}}
開集合 $\Omega'\rcpt\Omega$ と $0\lt|h|\lt\frac{1}{2}\dist(\Omega',\pOm)$ なる $h\in\R$ と $\partial B_1(0)$ について次が成り立つ:
*(1) $f\in C^1(\Omega)$ について
$$\Delta^h_z f(x)=\int_0^1 D_if(x+thz)dt\ (x\in\Omega').$$
*(2) $f\colon\Omega\to\R$ について
$$\Delta^h_z(fg)(x)=\Delta^h_zf(x)g(x)+f(x+hz)\Delta^h_zg(x)=\Delta^h_zf(x)g(x+hz)+f(x)\Delta^h_zg(x)\ (x\in\Omega').$$
*(3) $f\colon \Omega\to\R$ と $g\colon\R^n\to\R$ が $\L^n$ -可測で $\supp g\subset\Omega'$ かつ $f(\cdot+hz)g,fg\in L^1(\Omega)$ とすると
$$\int_{\Omega'}\Delta^h_zfg=-\int_{\Omega}f\Delta^{-h}_zg.$$

{{begin|proof|display=''Proof.''|collapsible=1}}
(1) は微積分基本公式から直ちに従う。

(2) は
$$f(x+hz)g(x+hz)-f(x)g(x)=(f(x+hz)-f(x))g(x)+f(x+hz)(g(x+hz)-g(x))$$
から従う。

(3) は
\begin{align*}
\int_{\Omega'} \Delta^h_zfg&=\frac{1}{h}\left(\int_{\Omega'} f(x+hz)g(x)dx-\int_{\Omega'} f(x)g(x)dx\right)\\
&=\frac{1}{h}\left(\int_{\Omega'+hz} f(x)g(x-hz)dx-\int_{\Omega'} f(x)g(x)dx\right)\\
&=-\frac{1}{-h}\left(\int_\Omega f(x)g(x-hz)dx-\int_\Omega f(x)g(x)dx\right)\\
&=-\int_\Omega f\Delta^{-h}_zg
\end{align*}
となり従う。
{{end|proof}}

$p\in(1,\infty]$ のとき、差分商を用いて $W^{1,p}(\Omega)$ を特徴づけることができる。差分商は微分可能性を仮定することなく定義できるため、この特徴づけは $u\in W^{1,p}(\Omega)$ を示す上でしばしば有用なものである。

{{theorem|type=lem|label=difqlem}}
*(1) $p,p'\in[1,\infty]$ とする。$u\in W^{1,p}(\Omega)$ とすると $z\in\partial B_1(0)$ について
$$\norm{D_zu}_p=\sup\left\{\int_\Omega uD_z\varphi\colon\varphi\in C^\infty_c(\Omega),\norm{\varphi}_{p'}\le 1\right\}.\tag{*}\label{difqlem1}$$
ここで $\displaystyle D_zu\colon=z\cdot Du$ である。
*(2) $p\in(1,\infty]$ の場合は逆に $u\in L^p(\Omega)$ で各 $i=1,\ldots ,n$ について(\ref{difqlem1})の右辺が有限であれば $u\in W^{1,p}(\Omega)$ である。

{{begin|proof|display=''Proof.''|collapsible=1}}
(1)を示す。(\ref{difqlem1})の右辺を $A_z$ とおく。$\varphi\in C^\infty(\Omega)$ について
$$\int_\Omega uD_z\varphi=-\int_\Omega D_zu\varphi$$
であるから
$$A_z=\sup\left\{-\int_\Omega D_zu\varphi\colon\varphi\in C^\infty_c(\Omega),\norm{\varphi}_{p'}\le 1\right\}=\norm{D_zu}_p.$$

(2)を示す。$A_i=A_{e_i}\lt\infty\ (i=1,\ldots ,n)$ とすると $\varphi\mapsto\int_\Omega uD_i\varphi$ は $L^{p'}(\Omega)$ 上の有界線型汎関数に拡張され、$p'\in[1,\infty)$ よりこの汎関数はある $v_i\in L^p(\Omega)$ を用いて $\varphi\mapsto-\int_\Omega v_i\varphi$ と表される。従って
$$\int_\Omega uD_i\varphi=-\int_\Omega v_i\varphi\ (\forall\varphi\in C^\infty_c(\Omega))$$
となり $u\in W^{1,p}(\Omega)$、$D_iu=v_i$ となる。
{{end|proof}}

{{theorem|type=rmk}}
(2)は $p=1$ の場合は成り立たない。<ref name="BV">(2)で $p=1$ とした仮定をみたす関数は有界変動関数と呼ばれる。$\Omega$ 上の有界変動関数の空間は $BV(\Omega)$ と書かれ、これも重要な関数空間のひとつである。</ref>例えば $n=1$、$\Omega=\R$、$u=\chi_{(0,\infty)}$ とすると $\varphi\in C^\infty_c(\R)$、$\norm{\varphi}_\infty\le 1$ について $\int_\R u\varphi'=\int_0^\infty \varphi'=-\varphi(0)\le 1$ となる。一方 $u\in W^{1,1}(\Omega)$ であったとして $v=u'$ とすると任意の $\varphi\in C^\infty_c(\R)$ について $\int_\R v\varphi=\varphi(0)$ となり、とくに $x\in\R\backslash\{0\}$ として $\varepsilon\gt 0$ を十分小さくとると $\eta_\varepsilon*v(x)=\eta_\varepsilon(x)=0$ となるので $\eta_\varepsilon*v\to 0$ a.e. in $\R$ であり $v=0$ となるがこれは $\int_\R v\varphi=\varphi(0)$ に矛盾する。

{{theorem|type=thm|name=$W^{1,p}(\Omega)$ の差分商による特徴づけ|label=difq1}}
*(1) $\Omega'\rcpt\Omega$ を開集合とする。$0\lt|h|\lt\frac{1}{2}\dist(\Omega',\pOm)$ なる $h\in\R$ と $z\in\partial B_1(0)$ と $p\in[1,\infty]$、$u\in W^{1,p}(\Omega)$ について
$$\norm{\Delta^h_z u}_{p;\Omega'}\le \norm{D_zu}_p.$$
*(2) $p\in(1,\infty]$ の場合は逆に $u\in L^p(\Omega)$ について、$C_i\ge 0$ が存在して任意の開集合 $\Omega'\rcpt\Omega$ と $0\lt|h|\lt\frac{1}{2}\dist(\Omega',\pOm)$ なる $h\in\R$ について $\norm{\Delta^h_i u}_{p;\Omega'}\le C_i$ が成り立てば
$$u\in W^{1,p}(\Omega),\norm{D_iu}_{p;\Omega}\le C_i\ (i=1,\ldots ,n).$$

{{begin|proof|display=''Proof.''|collapsible=1}}
(1)を示す。$\varphi\in C^\infty_c(\Omega')$、$\norm{\varphi}_{p'}\le 1$ について
$$\int_{\Omega'}\Delta^h_z u\varphi=-\int_\Omega u\Delta^{-h}_z\varphi=-\int_\Omega u(x)\left(\int_0^1 D_z\varphi(x-thz)dt\right)dx$$
で、{{ref|type=lem|label=difqlem}}より $t\in[0,1]$ について
$$-\int_\Omega u(x)\varphi(x-thz)dx\le\norm{D_zu}_p.$$
よって $\norm{\Delta^h_zu}_p\le\int_0^1\norm{D_zu}_pdt=\norm{D_zu}_p$。

(2)を示す。$\varphi\in C^\infty_c(\Omega)$、$\norm{\varphi}_{p'}\le 1$ として開集合 $\Omega'\rcpt\Omega$ を $\supp\varphi\subset\Omega'$ となるようにとると十分小さい $h\gt 0$ について
$$C_i\ge-\int_\Omega\Delta^h_i u(x)\varphi(x)dx=\int_\Omega u(x)\Delta^{-h}_i\varphi(x)dx=\int_\Omega u(x)\left(\int_0^1 D_i\varphi(x-the_i)dt\right)dx$$
で、$h\to +0$ とすれば
$$\int_\Omega uD_i\varphi\le C_i$$
となる。{{ref|type=lem|label=difqlem}}より $u\in W^{1,p}(\Omega)$、$\norm{D_iu}_p\le C_i$。
{{end|proof}}

{{theorem|type=rmk}}
$\Omega\subset\Rnp$ とし、$T\subset\pOm$ を $T\subset\pRnp$ なる相対開集合とする。$\Omega'\rcpt\OmT$ を開集合とし、$h\in\R$、$0\lt|h|\lt\frac{1}{2}\dist(\Omega',\pOm\backslash T)$ とすると、$z\in\partial B_1(0)\cap\pRnp$ については
$f\colon\Omega\to\R$ の差分商 $\Delta^h_i f\colon\Omega'\to\R$ を定義することができる。$p\in(1,\infty]$、$u\in L^p(\Omega)$、$i=1,\ldots ,n-1$ について、$C_i\ge 0$ が存在して任意の開集合 $\Omega'\rcpt\OmT$ と $h\in\R$、$0\lt|h|\lt\frac{1}{2}\dist(\Omega',\pOm)$ について $\norm{\Delta^h_i u}_{p;\Omega'}\le C_i$ が成り立てば $u$ の弱微分 $D_iu$ が存在し
$$\norm{D_iu}_p\le C_i\ (i=1,\ldots ,n-1)$$
となることが{{ref|type=thm|label=difq1}}と同様に示される。これは境界の近傍における $u$ の正則性を調べる上で重要となるが、法線微分 $D_nu$ が存在するかは別の方法で調べる必要がある。

==$p=\infty$ の場合==
$W^{k,\infty}(\Omega)$ は著しく特殊であり、Lipschitz連続性によって特徴づけることができる。
{{theorem|type=thm|name=$W^{k,\infty}(\Omega)$ の特徴づけ|label=lip}}
$k\in\Zp$ とする。
*(1) $C^{k-1,1}(\Ombar)\subset W^{k,\infty}(\Omega)$ で $u\in C^{k-1,1}(\Ombar)$ について
$$\norm{D^ku}_{\infty;\Omega}\le[u]_{k-1,1;\Omega}.$$
さらに $\Omega$ が[[Hölder空間の基本事項]]の補題14の($\dagger$)をみたすとすると $W^{k,\infty}(\Omega)=C^{k-1,1}(\Ombar)$ で $u\in W^{k,\infty}(\Omega)$ について
$$[u]_{k-1,1;\Omega}\le C_{k,\Omega}\norm{D^ku}_{k,\infty;\Omega}.$$
*(2) 任意の開集合 $\Omega\subset\R^n$ について
$$W^{k,\infty}_{\loc}(\Omega)=C^{k-1,1}(\Omega).$$

また $u\in W^{k,\infty}_{\loc}(\Omega)=C^{k-1,1}(\Omega)$ について、$k$ 階以下の各点での微分と弱微分は一致する。

{{begin|proof|display=''Proof.''|collapsible=1}}
$k=1$ の場合を示せば十分。

(2)は(1)と凸領域が($\dagger$)をみたすことから直ちに従う。

(1)を示す。$u\in C^{0,1}(\Ombar)$ とすると任意の $\Omega'\rcpt\Omega$ について $\Delta^h_iu$ は $h\to +0$ とすると $\Omega'$ 上で各点微分の意味の $D_iu$ に収束する。$\varphi\in C^\infty_c(\Omega')$ について
$$\int_\Omega D_iu\varphi=\lim_{h\to 0}\int_{\Omega'}\Delta^h_iu\varphi=-\lim_{h\to 0}\int_\Omega u\Delta^{-h}_i\varphi=-\int_\Omega uD_i\varphi.$$
これより $u\in W^{1,\infty}(\Omega)$ で、$u$ は弱微分は a.e. in $\Omega$ で $u$ の各点微分と一致する。また $\norm{D_iu}_\infty\le[u]_{0,1}$。

逆に $u\in W^{1,\infty}(\Omega)$ とする。$x,y\in\Omega$ とし、$x_0=x$、$x_N=y$、$l(p)\le L|x-y|$ となるように $\Omega$ 内の折れ線 $p=\{x_i\}_{i=0}^N$ をとる。$\displaystyle \bigcup_{i=0}^N\{(1-t)x_i+tx_{i+1}\colon t\in[0,1]\}$ はコンパクトより開集合 $\Omega'\rcpt\Omega$ をとって $\displaystyle\bigcup_{i=0}^N\{(1-t)x_i+tx_{i+1}\colon t\in[0,1]\}\subset\Omega'$ とできる。$\zeta\in C^\infty_c(\Omega)$ を $\zeta=1$ in $\Omega'$ となるようにとる。十分小さい $\varepsilon\gt 0$ をとると任意の $i=0,\ldots ,N-1$ と $t\in[0,1]$ について $B_\varepsilon((1-t)x_i+tx_{i+1})\subset\Omega'$ となり
$$|\eta_\varepsilon*D(\zeta u)((1-t)x_i+tx_{i+1})|\le C\norm{D(\zeta u)}_{\infty;\Omega'}=C\norm{Du}_{\infty;\Omega'}\ (j=1,\ldots ,n).$$
これより $i=0,\ldots ,N-1$ について
\begin{align*}
|\eta_\varepsilon*(\zeta u)(x_{i+1})-\eta_\varepsilon*(\zeta u)(x_i)|&=\left|\int_{\R^n}(\eta_\varepsilon(x_{i+1}-z)-\eta_\varepsilon(x_i-z))(\zeta u)(z)dz\right|\\
&=\left|\int_{\R^n}\left(\int_0^1 D\eta_\varepsilon((1-t)x_i+tx_{i+1}-z)\cdot(x_{i+1}-x_i)dt\right)(\zeta u)(z)dz\right|\\
&=\left|\int_0^1\eta_\varepsilon*D(\zeta u)((1-t)x_i+tx_{i+1})\cdot(x_{i+1}-x_i)dt\right|\\
&=\int_0^1|\eta_\varepsilon*D(\zeta u)((1-t)x_i+tx_{i+1})||x_{i+1}-x_i|dt\\
&\le C\norm{Du}_{\infty}|x_{i+1}-x_i|
\end{align*}
となり
$$|\eta_\varepsilon*(\zeta u)(y)-\eta_\varepsilon*(\zeta u)(x)|\le C\norm{Du}_\infty l(p)\le C\norm{Du}_\infty|x-y|.$$
$\varepsilon\to+0$ すれば、$u$ のLebesgue点 $x,y\in\Omega'$ について
$$|u(x)-u(y)|\le C\norm{Du}_\infty|x-y|$$
が成り立つ。$\Omega$ のほとんど全ての点が $u$ のLebesgue点であり、とくに $u$ のLebesgue点は $\Omega$ で稠密であるから、$u^*\colon\Omega\to\R$ を $u$ のLebesgue点で $u^*=u$ かつ $|u^*(x)-u^*(y)|\le C\norm{Du}_\infty|x-y|\ (\forall x,y\in\Omega)$ となるようにとれる。これより
$$u=u^*\in C^{0,1}(\Ombar),[u]_{0,1}\le C\norm{Du}_\infty.$$
{{end|proof}}

{{theorem|type=rmk}}
同様にして $T\subset\pOm$ が[[Hölder空間の基本事項]]の系16の($\dagger_\loc$)をみたすとき $W^{k,\infty}_\loc(\Omega)\subset C^{k-1,1}(\Omega\cup T)$ となることが証明できる。

$\gamma\colon [a,b]\to\Omega$ をLipschitz曲線とし、$u\in C^{0,1}(\Omega)$ とすると $u\circ\gamma\in C^{0,1}([a,b])=W^{1,\infty}(a,b)$ となるので $x\colon=\gamma(a)$、$y\colon=\gamma(b)$ とすれば
$$u(y)=u(x)+\int_a^b (u\circ\gamma)'(t)dt$$
が成り立つ。とくに a.e. $t\in(a,b)$ について $u$ が $\gamma(t)$ において微分可能であれば
$$u(y)=u(x)+\int_a^b Du(\gamma(t))\cdot\gamma'(t)dt$$
が成り立つ。

==変数変換公式==

{{theorem|type=thm|name=変数変換公式|label=chavar}}
$D,\widetilde{D}\subset\R^n$ を開集合とし、$\psi\colon \widetilde{D}\to D$ は全単射で $\psi,\psi^{-1}$ はともに $C^{0,1}$ 写像であるとする。$\widetilde{\Omega}\rcpt\widetilde{D}$ を開集合とし、$\Omega\colon=\psi(\widetilde{\Omega})$ とする。$u\in W^{1,p}(\Omega)$ について
$$u\circ\psi\in W^{1,p}(\widetilde{\Omega}),D_j(u\circ\psi)=\sum_{i=1}^n (D_iu\circ\psi)D_j\psi_i.$$
とくに
$$\norm{u\circ\psi}_{1,p;\widetilde{\Omega}}\le C_{\psi}\norm{u}_{1,p;\Omega}.$$

{{begin|proof|display=''Proof.''|collapsible=1}}
$u\in C^{0,1}(\Omega)\cap W^{1,p}(\Omega)$ とする。$u$ はa.e. in $\Omega$ で微分可能で、{{ref|type=thm|label=lip}}より各点微分は弱微分と一致する。また $\psi^{-1}$ がLipschitz写像であることから $|\{y\in\widetilde{\Omega}\colon\ u\ は\ \psi(y)\ で微分不可能\}|=|\psi^{-1}(\{x\in\Omega\colon u\ は\ x\ で微分不可能\})|=0$ となり、a.e. $y\in\widetilde{\Omega}$ について $u$ は $\psi(y)$ で微分可能である。 $\psi$ はa.e. in $\widetilde{\Omega'}$ で微分可能であるから $u\circ\psi$ もa.e. in $\widetilde{\Omega'}$ で微分可能で
$$D_j(u\circ\psi)=\sum_{i=1}^n (D_iu\circ\psi)D_j\psi_i.$$
$p=\infty$ の場合は $\norm{u\circ\psi}_\infty=\norm{u}_\infty$ と
$$\norm{D_j(u\circ\psi)}_\infty\le\sum_{i=1}^n \norm{D_iu\circ\psi}_\infty\norm{D_j\psi_i}_\infty\le C\sum_{i=1}^n\norm{D_iu}_\infty$$
より
$$u\circ\psi\in W^{1,\infty}(\Omega),\norm{u\circ\psi}_{1,\infty}\le C\norm{u}_{1,\infty}$$
が成り立つ。

$p\in[1,\infty)$ の場合はarea不等式([[Hausdorff測度とarea_coarea_formula]]の定理19)より
$$\int_{\Omega'}|u\circ\psi|^p\le C\int_\Omega |u|^p.$$
また $D\psi$ は $\Omega'$ 上で有界であるから $i,j\in\{1,\ldots ,n\}$ について
$$\int_{\Omega'}|(D_iu\circ\psi)D_j\psi_i|^p\le C\int_{\Omega'}|D_iu\circ\psi|^p\le C\int_\Omega |D_iu|^p$$
となるので
$$\norm{D_j(u\circ\psi)}_p\le \sum_{i=1}^n\norm{(D_iu\circ\psi)D_j\psi_i}_p\le C\sum_{i=1}^n\norm{D_iu}_p$$
となり
$$u\circ\psi\in W^{1,p}(\Omega),\norm{u\circ\psi}_{1;p}\le C\norm{u}_{1;p}$$
が成り立つ。

$p\in[1,\infty)$ の一般の場合は $u_m\in C^\infty(\Omega)\cap W^{1,p}(\Omega)$ を $\norm{u_m-u}_{1,p}\to 0\ (m\to\infty)$ となるようにとると
$$\norm{u_m-u}_p,\norm{\sum_{i=1}^n(D_iu_m\circ\psi)D_j\psi_i-\sum_{i=1}^n(D_iu\circ\psi)D_j\psi_i}_p\to 0\ (m\to\infty)$$
となることから従う。
{{end|proof}}

{{theorem|type=cor|label=kchavar}}
$D,\widetilde{D}\subset\R^n$ を開集合とし、$\psi\colon \widetilde{D}\to D$ は全単射で $\psi,\psi^{-1}$ はともに $C^{k-1,1}$ 写像であるとする。$\widetilde{\Omega}\rcpt\widetilde{D}$ を開集合とし、$\Omega\colon=\psi(\widetilde{\Omega})$ とする。$u\in W^{k,p}(\Omega)$ について
$$u\circ\psi\in W^{k,p}(\widetilde{\Omega}),\norm{u\circ\psi}_{k,p;\widetilde{\Omega}}\le C_{k,\psi}\norm{u}_{k,p;\Omega}.$$

{{begin|proof|display=''Proof.''|collapsible=1}}
{{ref|type=thm|label=chavar}}と積の微分を用いて $k$ に関する帰納法により証明できる。
{{end|proof}}

==Sobolev空間 $W^{k,p}_0(\OmT)$==

{{theorem|type=def|name=$W^{k,p}_c(\OmT),W^{k,p}_0(\OmT)$|label=defsob0}}
$k\in\Zp$、$p\in[1,\infty)$ とし、$T\subset\pOm$ を相対開集合とする。$W^{k,p}_c(\OmT)$ の $W^{k,p}(\Omega)$ のノルムでの閉包を $W^{k,p}_0(\OmT)$ と表す。$W^{k,p}_0(\Omega\cup\emptyset)$ は単に $W^{k,p}_0(\Omega)$ とかく。

{{theorem|type=rmk}}
{{ref|type=thm|label=apx3}}の注意より、$T$ が線分条件をみたす場合は $C^\infty_c(\OmT)\subset W^{k,p}_0(\OmT)$ は稠密である。とくに $C^\infty_c(\Omega)\subset W^{k,p}_0(\Omega)$ は稠密である。

$W^{1,p}_0(\OmT)$ は「弱い意味で $u=0$ on $\pOm\backslash T$ 」となる関数の空間としてよく用いられ、より高階の微分可能性と組み合わせて $W^{2,p}(\Omega)\cap W^{1,p}_0(\OmT)$ などの形で用いられることがある。なお、この空間を $W^{2,p}_0(\OmT)$ と混同しないように注意せよ。

$W^{k,2}_0(\OmT)$ は $H^k_0(\OmT)$ と書かれることが多い。

{{theorem|type=pro|name=$u\in W^{k,p}_0(\OmT)$ の拡張|label=ext0}}
$k\in\Zp$、$p\in[1,\infty)$ とし、$T\subset\pOm$ を相対開集合とする。$D\subset\R^n$ は開集合で $\Omega\subset D$、
$T\subset\partial D$ をみたすとする。このとき $u\in W^{k,p}_0(\OmT)$ について
$$v\colon=\begin{cases}
u&\ \inn\Omega\\
0&\ \on D\backslash\Omega
\end{cases}$$
とすると $v\in W^{k,p}_0(D\cup T)$ である。

{{begin|proof|display=''Proof.''|collapsible=1}}
$u\in W^{1,p}_c(\OmT)$ とする。$\dist(\supp u,\pOm\backslash T)\gt 0$ より $\zeta\in C^\infty(\Omega)$ を $\zeta=1$ on $\supp u$ かつ $\pOm\backslash T$ の近傍で $\zeta=0$ となるようにとれる。$\zeta=0$ on $D\backslash\Omega$ として $\zeta$ を $D$ 上に拡張すると $D\cap\pOm\subset\pOm\backslash T$ の近傍で $\zeta=0$ より $\zeta\in C^\infty(D)$。また $\supp\zeta\rcpt\OmT$。

$\varphi\in C^\infty_c(D)$ とすると $\zeta\varphi\in C^\infty_c(\Omega)$。$D_i\zeta=0$ on $\supp u$ に注意すると
$$\int_D vD_i\varphi=\int_\Omega \zeta uD_i\varphi=\int_\Omega u(D_i(\zeta\varphi)-D_i\zeta\varphi)=-\int_\Omega D_iu\zeta\varphi=-\int_\Omega D_iu\varphi.$$
これより $v\in W^{1,p}(D)$。また $\supp v=\supp u\rcpt D\cup T$ で、$Dv=Du$ in $\Omega$、$Dv=0$ on $D\backslash\Omega$。

帰納法により $u\in W^{k,p}_c(\OmT)$ のとき $v\in W^{k,p}_c(D\cup T)$ となる。近似により主張が従う。
{{end|proof}}

{{theorem|type=rmk}}
以下では $\Omega\subset D$、
$T\subset\partial D$ のとき $u\in W^{k,p}_0(\OmT)$ とそのここで構成した $D$ 上への拡張を区別せず $W^{k,p}_0(\OmT)\subset W^{k,p}_0(D\cup T)$ と見做す。

{{theorem|type=pro|name=部分積分|label=intpart}}
$p\in[1,\infty)$ とする。$T_1,T_2\subset\pOm$ は $T_1\cap T_2=\emptyset$ をみたすとする。$u\in W^{1,p}_0(\OmT_1)$、$v\in W^{1,p'}_0(\OmT_2)$ とすると
$$\int_\Omega D_iuv=-\int_\Omega uD_iv\ (i=1,\ldots ,n)$$

{{begin|proof|display=''Proof.''|collapsible=1}}
近似により $u\in W^{1,p}_c(\OmT_1)$、$v\in W^{1,p'}_c(\OmT_2)$ としてよい。$uv,D_iuv+uD_iv\in L^1(\Omega)$ より $uv\in W^{1,1}(\Omega)$。$T_1\cap T_2=\emptyset$ より $\supp uv\rcpt\Omega$ であるから $uv\in W^{1,1}_c(\Omega)$。$C^\infty_c(\Omega)\subset W^{1,1}_0(\Omega)$ は稠密であるから近似により $\displaystyle \int_\Omega D_i(uv)=0$。これより主張が従う。
{{end|proof}}

{{theorem|type=pro|label=c0}}
$p\in[1,\infty)$ とし、$T\subset\pOm$ を相対開集合とする。$u\in W^{1,p}(\Omega)$ が任意の有界な $S\subset\pOm\backslash T$ について
$$\limsup_{x\to S}|u(x)|\colon=\lim_{\delta\to +0}\esssup_{\dist(x,S)\lt\delta}|u(x)|=0$$
をみたすとすると $u\in W^{1,p}_0(\OmT)$。

{{begin|proof|display=''Proof.''|collapsible=1}}
$\supp u$ が有界な場合を示す。$B=B_R(0)$ を $\supp u\rcpt B$ となるようにとる。

$G\in C^1(\R)$ を $G(t)=0$ if $|t|\lt 1$、$G(t)=t$ if $|t|\gt 2$ となるようにとる。$G'(t)=1$ if $|t|\gt 2$ より $G'\in L^\infty(\R)$。$\varepsilon\gt 0$ について $G_\varepsilon(t)\colon=\varepsilon G(\varepsilon^{-1}t)$ とする。このとき $G_\varepsilon(t)=0$ if $|t|\lt\varepsilon$、$G_\varepsilon(t)=t$ if $|t|\gt\varepsilon$、$|G'_\varepsilon|\le\norm{G'}_\infty$ であるから{{ref|type=thm|label=chain1}}より $G(u)\in W^{1,p}(\Omega)$。また仮定より十分小さい $\delta\gt 0$ をとると
$$|u|\lt\varepsilon\ \ae\inn\{x\in\Omega\colon\dist(x,(\pOm\cap B)\backslash T)\lt\delta\}\cup(\R^n\backslash B_{R-\delta}(0)).$$
これより
$$\dist(\supp G_\varepsilon(u),(\pOm\cap B)\backslash T),\dist(\supp G_\varepsilon(u),(\pOm\backslash B)\backslash T)\ge\delta$$
従って $\dist((\supp G_\varepsilon(u),\pOm\backslash T)\gt 0$ となり $G_\varepsilon(u)\in W^{1,p}_c(\OmT)$。

$u(x)\neq 0$ なる $x\in\Omega$ について $\varepsilon\lt \frac{1}{2}|u(x)|$ とすれば $G_\varepsilon(u(x))=u(x)$ となり、$u(x)=0$ なる $x\in\Omega$ については $G_\varepsilon(u(x))=u(x)=0$ となるのでLebesgueの収束定理より $\norm{G_\varepsilon(u)-u}_p\to 0\ (\varepsilon\to +0)$。また $u(x)\neq 0$ なる $x\in\Omega$ について $\varepsilon\lt \frac{1}{2}|u(x)|$ とすれば $D(G_\varepsilon(u(x)))=G'_\varepsilon(u(x))Du(x)=Du(x)$ となり、$G'_\varepsilon(0)=0$ と{{ref|type=lem|label=chainlem}}より $D(G_\varepsilon(u))=G'_\varepsilon(u)Du=0=Du$ a.e. on $\{u=0\}$ となるのでLebesgueの収束定理より $\norm{D(G_\varepsilon(u))-Du}_p\to 0\ (\varepsilon\to +0)$。これより $u\in W^{1,p}_0(\OmT)$。

$\Omega$ が有界でない場合は $\zeta\in C^\infty_c(\Omega)$ を $\zeta=1$ in $B_1(0)$ となるようにとり、 $\zeta_m(x)=\zeta(m^{-1}x)\ (m\in\Zp)$ とすると仮定より明らかに $\zeta_mu$ も同じ仮定をみたし $\supp\zeta_mu$ は有界であるから $\zeta_mu\in W^{1,p}_0(\OmT)$。$m\to\infty$ として主張を得る。
{{end|proof}}

{{theorem|type=rmk}}
とくに $u\in W^{1,p}(\Omega)\cap C(\Ombar\backslash T)$ で $u=0$ on $\pOm\backslash T$ であれば $u\in W^{1,p}_0(\OmT)$ となる。

{{theorem|type=pro|name=合成関数と積|label=chapro0}}
$p\in[1,\infty)$ とし、$T\subset\pOm$ を相対開集合とする。
*(1) $G\in C^1(\R^m)$ が
$$G(0,\ldots,0,t_{j+1},\ldots,t_m)=0\ (t_{j+1},\ldots,t_m\in\R)$$
をみたすとする。$u=(u_1,\ldots,u_m)\in W^{1,p}(\Omega)^m$ が
$$u_1,\ldots,u_j\in W^{1,p}_0(\OmT)$$
かつ
$$G(u),\sum_{j=1}^m D_jG(u)D_iu_j\in L^p(\Omega)\ (i=1,\ldots,n)$$
をみたすとすると $G(u)\in W^{1,p}_0(\OmT).$
*(2) $G\in W^{1,1}_{\loc}(\R)$、$G(0)=0$ とする。$u\in W^{1,p}_0(\OmT)$、$G(u),G'(u)D_iu\in L^p(\Omega)$ とすると $G(u)\in W^{1,p}_0(\OmT)$。
*(3) $u\in W^{1,p}_0(\OmT)$、$v\in W^{1,p}(\Omega)$ が $uv,D_iuv+uD_iv\in L^p(\Omega)$ をみたすとすると $uv\in W^{1,p}_0(\OmT)$。

{{begin|proof|display=''Proof.''|collapsible=1}}
(1)の $DG\in L^\infty(\R^m)$ の場合は{{ref|type=thm|label=apx3}}の注意より{{ref|type=thm|label=chain1}}の証明で $u^{(k)}=(u^{(k)}_1,\ldots ,u^{(k)}_m)$ を $u^{(k)}_1,\ldots,u^{(k)}_j\in W^{1,p}_c(\OmT)$ となるようにとれ、このとき $\supp G(u^{(k)})\rcpt\OmT$ となり $G(u)\in W^{1,p}_0(\OmT)$ が従う。一般の場合は{{ref|type=thm|label=chain1}}と同様である。

(2)は(1)より{{ref|type=thm|label=chain2}}の証明で $W^{1,p}(\Omega)$ を $W^{1,p}_0(\OmT)$ にとりかえられることから従う。
{{end|proof}}

==Sobolev空間 $W^{-k,p}(\Omega)$==

{{theorem|type=def|name=$W^{-k,p}(\Omega)$|label=0dual}}
$k\in\Zp$、$p\in(1,\infty]$ とする。$W^{k,p'}_0(\Omega)$ のノルム $\norm{\cdot}_{k,p';\Omega}$ に関する双対空間を $W^{-k,p}(\Omega)$ と表す。

{{theorem|type=pro|label=0dualrep}}
$k\in\Zp$、$p\in(1,\infty]$ とする。$\varphi\in W^{-k,p}(\Omega)$ について $g_\alpha\in L^p(\Omega)\ (|\alpha|\le k)$ が存在し
$$\langle \varphi,u\rangle=\sum_{|\alpha|\le k}(-1)^{|\alpha|}\int_\Omega g_\alpha D^\alpha u\ (\forall u\in W^{k,p}_0(\Omega))\tag{*}\label{rep}$$
かつ
$$\norm{\varphi} =\begin{cases}
\left(\sum_{|\alpha|\le k} \norm{g_\alpha}_{p;\Omega}^p\right)^\frac{1}{p}&\colon p\in(1,\infty)\\
\max_{|\alpha|\le k}\norm{g_\alpha}_{\infty;\Omega} &\colon p=\infty
\end{cases}.$$
ここで $\norm{\cdot}$ は $W^{k,p}_0(\Omega)$ のノルム $\norm{\cdot}_{k,p;\Omega}$ に関する双対ノルムである。

{{begin|proof|display=''Proof.''|collapsible=1}}
$|\alpha|\le k$ なる多重指数 $\alpha$ を $\alpha_1,\ldots ,\alpha_N$ と番号づけて $W^{k,p'}_0(\Omega)$ を $u\mapsto (D^{\alpha_1}u,\ldots ,D^{\alpha_N}u)$ により $L^{p'}(\Omega)^N$ の部分空間と見做す。Hahn-Banachの定理より $\varphi$ は $\varphi'\in(L^{p'}(\Omega)^N)^*$ に拡張でき、$\norm{\varphi'} =\norm{\varphi}$。ここで $\norm{\varphi'}$ は $L^p(\Omega)^N$ のノルム
$$\norm{(f_1,\ldots ,f_N)} =\left(\sum_{i=1}^N|f_i|^p\right)^\frac{1}{p}$$
に関する双対ノルムである。$\varphi'$ は $\varphi'_i\in (L^{p'}(\Omega))^*\ (i=1,\ldots ,N)$ を用いて
$$\langle \varphi',f\rangle=\sum_{i=1}^N\langle \varphi'_i,f_i\rangle\ (f=(f_1,\ldots ,f_N)\in L^{p'}(\Omega))$$
と表され、
$$\norm{\varphi} =\norm{\varphi'} =\begin{cases}
\left(\sum_{i=1}^N \norm{\varphi_i} ^p\right)^\frac{1}{p}&\colon p\in(1,\infty)\\
\max_{i=1,\ldots ,N}\norm{\varphi_i} &\colon p=\infty
\end{cases}.$$
各 $i=1,\ldots ,N$ について $g_i\in L^p(\Omega)$ が存在して $\langle \varphi'_i,f\rangle=(-1)^{|\alpha_i|}\int_\Omega g_if\ (f\in L^{p'}(\Omega))$、$\norm{\varphi'_i} =\norm{g_i}_p$。$g_i$ を $g_{\alpha_i}$ と書き直せば
$$\langle\varphi,u\rangle=\sum_{|\alpha|\le k}\int_\Omega g_\alpha D^\alpha u\ (u\in W^{k,p'}_0(\Omega))$$
かつ
$$\norm{\varphi} =\begin{cases}
\left(\sum_{|\alpha|\le k} \norm{g_\alpha}_p^p\right)^\frac{1}{p}&\colon p\in(1,\infty)\\
\max_{|\alpha|\le k}\norm{g_\alpha}_\infty &\colon p=\infty
\end{cases}$$
が成り立つ。
{{end|proof}}

{{theorem|type=def|name=$W^{-k,p}(\Omega)$ の元の表示|label=defdualrep}}
$\varphi\in W^{-k,p}(\Omega)$ を(\ref{rep})をみたす $g_\alpha\in L^1_\loc(\Omega)$ を用いて
$$\varphi=\sum_{|\alpha|\le k}D^\alpha g_\alpha$$
と表す。またこの表示により $\varphi=g$ と表される $\varphi\in W^{-k,p}(\Omega)$ を $g\in L^1_\loc(\Omega)$ と同一視し、$L^p(\Omega)\subset W^{-k,p}(\Omega)$ と見做す。

{{theorem|type=rmk}}
超関数の用語を用いて言い換えると、$\varphi\in W^{-k,p}(\Omega)$ を $\displaystyle\sum_{|\alpha|\le k}D^\alpha g_\alpha\in\D'(\Omega)$ と同一視して $W^{-k,p}(\Omega)\subset\D'(\Omega)$ と見做すということである。

$W^{-k,2}(\Omega)$ は $H^{-k}(\Omega)$ と書かれることが多い。$H^k_0(\Omega)$ の双対空間は $H^k_0(\Omega)$ の内積構造を用いてRieszの表現定理によって $H^k_0(\Omega)$ 自身と同一視することもできる。しかし、{{ref|type=def|label=defdualrep}}によれば $H^k_0(\Omega)$ は $H^{-k}(\Omega)$ の真部分空間となることから、Rieszの表現定理による同一視は{{ref|type=def|label=defdualrep}}で与えたものと一致せず、どちらを採用するか選ぶ必要がある。$H^{-k}(\Omega)$ と書いた場合は、{{ref|type=def|label=defdualrep}}の方を採用する。

==拡張作用素==
{{theorem|type=thm|name=$C^{0,1}$ 境界部分における局所拡張作用素|label=ext1}}
$p\in[1,\infty]$ とし、$T\subset\pOm$ を $C^{0,1}$ 境界部分([[Hölder空間の基本事項]]の定義28)とする。$\xi\in T$ について、$\xi$ の開近傍 $V\subset\R^n$ と有界線型作用素 $E\colon W^{1,p}(V\cap\Omega)\to W^{1,p}(V)$ であって $u\in W^{1,p}(V\cap\Omega)$ について $Eu=u$ in $V\cap\Omega$ をみたすものが存在する。

{{begin|proof|display=''Proof.''|collapsible=1}}
$u\in W^{1,\infty}(V\cap\Omega)\subset C^{0,1}(\Omega\cup T)$ について[[Hölder空間の基本事項]]の定理30より $\xi$ の開近傍 $V$ と $v=Eu\in C^{0,1}_c(V)$ が存在して $Eu=u$ in $V\cap\Omega$。<ref name="linty">構成から明らかに $E$ は線型である。</ref>また{{ref|type=cor|label=kchavar}}に注意すると、$Eu$ の構成から $p\in[1,\infty]$ について $\norm{Eu}_{1,p;V}\le C\norm{u}_{1,p;V\cap\Omega}$ も成り立つ。

$E$ は $W^{1,p}(V\cap\Omega)$ から $W^{1,p}(V)$ への有界線型作用素に一意的に拡張される。$u\in W^{1,p}(V\cap\Omega)$ とし、$u_m\in C^\infty(V\cap\Omega)\cap W^{1,p}(V\cap\Omega)$、$\norm{u_m-u}_{1,p;V\cap\Omega}\to 0,u_m\to u$ a.e. in $V\cap\Omega\ (m\to\infty)$ とすると $\norm{Eu_m-Eu}_{1,p;V}\to 0$ で $Eu_m=u_m$ in $V\cap\Omega$ であるから $Eu=u$ in $V\cap\Omega$。
{{end|proof}}

{{theorem|type=thm|name=$C^{0,1}$ 領域における拡張作用素|label=ext2}}
$p\in[1,\infty]$ とする。次が成り立つ:
*(1) $T\subset\pOm$ を $C^{0,1}$ 境界部分とする。$T'\rcpt T$ について、$\OmT\subset\Omega_0$ をみたす開集合 $\Omega_0\subset\R^n$ と有界線型作用素 $E\colon W^{1,p}(\Omega)\to W^{1,p}(\Omega_0)$ であって $u\in W^{1,p}(\Omega)$ について $Eu=u$ in $\Omega$ をみたすものが存在する。また $u\in W^{1,p}_0(\OmT')$ のとき $Eu\in W^{1,p}_0(\Omega_0)$。
*(2) $T\subset\pOm$ を次をみたす相対開集合とする:
$$開集合D\subset\R^nとC^{0,1}境界部分S\subset\partial Dが存在し\Omega\subset D,T\rcpt S. \tag{$\diamondsuit$}\label{D}$$
このとき $\OmT\subset\Omega_0$ をみたす開集合 $\Omega_0\subset\R^n$ と有界線型作用素 $E\colon W^{1,p}_0(\OmT)\to W^{1,p}_0(\Omega_0)$ であって $u\in W^{1,p}_0(\OmT)$ について $Eu=u$ in $\Omega$ をみたすものが存在する。
*(3) $\Omega$ を有界な $C^{0,1}$ 領域とする。$D\subset\R^n$ を $\Omega\rcpt D$ なる開集合とすると有界線型作用素 $E\colon W^{1,p}(\Omega)\to W^{1,p}_c(D)$ ( $p\in[1,\infty]$ )で $u\in W^{1,p}(\Omega)$ $Eu=u$ in $\Omega$ をみたすものが存在する。

{{begin|proof}}
(1)を示す。{{ref|type=thm|label=ext1}}の $V=V_\xi$ から $V_1,\ldots,V_N$ を選んで $\displaystyle T'\subset\bigcup_{i=1}^N V_i$ となるようにする。$\OmT$ の開被覆 $\Omega,V_1,\ldots, V_N$ に従属する $1$ の分割 $\zeta_0\in C^\infty(\Omega)$、$\zeta_i\in C^\infty_c(V_i)$ をとり、拡張作用素 $E_i\colon W^{1,p}(V_i\cap\Omega_i)\to W^{1,p}(V_i)$ を用いて
$$\Omega_0\colon=\Omega\cup\bigcup_{i=1}^N V_i,Eu\colon=\zeta_0u+\sum_{i=1}^N \zeta_iE_iu$$
とすればよい。またこのとき $u\in W^{1,p}_c(\OmT)$ とすると明らかに $Eu\in W^{1,p}_c(\Omega_0)$ となるので $u\in W^{1,p}_0(\OmT)$ について $Eu\in W^{1,p}_0(\Omega_0)$。

(2)は{{ref|type=pro|label=ext0}}と(1)から従う。(3)は(1)で $T=\pOm$ としたものから直ちに従う。
{{end|proof}}

{{theorem|type=rmk}}
構成より(1)、(2)の $\Omega_0$ は $\Omega_0\backslash\Omega$ が有界になるようにとれる。とくに $\Omega$ が有界であれば $\Omega_0$ も有界とでき、$|\Omega|\lt\infty$ であれば $|\Omega_0|\lt\infty$ とできる。

{{theorem|type=cor|label=apx4}}
$T\subset\pOm$ を $C^{0,1}$ 境界部分とすると $p\in[1,\infty)$ について $C^\infty(\Omega\cup T)\cap W^{1,p}(\Omega)$ は $W^{1,p}(\Omega)$ において稠密である。

{{begin|proof}}
{{ref|type=thm|label=apx3}}の証明で、$v_i(\cdot+t_iy_i)$ の代わりに局所拡張作用素 $E_i\colon W^{1,p}(V_i\cap\Omega)\to W^{1,p}(V_i)$ をとって $\norm{w_i-E_iu}_{1,p;V_i}\lt 2^{-i}\delta$ をみたす $w_i\in C^\infty(V_i)\cap W^{1,p}(V_i)$ を用いればよい。
{{end|proof}}

同様にして $\Omega$ が有界な $C^{k-1,1}$ 領域のとき $W^{k,p}(\Omega)$ から $W^{k,p}(\R^n)$ への有界な拡張作用素を構成できる。

一方で、別の方法により $\Omega$ が有界なLipschitz領域のときに任意の $k\in\Zz$ と $p\in[1,\infty]$ について $W^{k,p}(\Omega)$ から $W^{k,p}(\R^n)$ へ有界となる拡張作用素 $E\colon L^1(\Omega)\to L^1(\R^n)$ を構成できる。

{{theorem|type=lem|label=kernel}}
次をみたす $h\colon[1,\infty)\to\R$ が存在する:任意の多項式関数 $P$ について
$$Ph\in L^1(1,\infty),\int_1^\infty Ph=P(0).$$

{{begin|proof}}
$\C\backslash[1,\infty)$ 上の正則関数 $f=f(z)$ を
$$\exp\left(-\exp\left(-\frac{\pi\sqrt{-1}}{4}\right)(z-1)^\frac{1}{4}\right)$$
の $\arg\left((z-1)^\frac{1}{4}\right)\in\left(0,\frac{\pi}{2}\right)$ なる枝により定める。$0\lt\delta\lt 1\lt R\lt\infty$ とし、$\C\backslash[1,\infty)$ 上のなめらかな曲線 $\gamma_i$、$i=1,2,3,4$ を
\begin{align*}
\gamma_1(t)&\colon=t+\delta\sqrt{-1}\ (t\in[1,R]),\\
\gamma_2(t)&\colon=(R^2+\delta^2)^\frac{1}{2}\exp\left(\sqrt{-1}t\right)\ \left(t\in\left[\arctan\frac{\delta}{R},2\pi-\arctan\frac{\delta}{R}\right]\right)\\
\gamma_3(t)&\colon=R-t+\delta\sqrt{-1}\ (t\in[0,R-1])\\
\gamma_4(t)&\colon=\delta\exp\left(\pi\sqrt{-1}\left(\frac{3}{2}-t\right)\right)\ (t\in[0,1])
\end{align*}
により定め、この順につないで得られる区分的になめらかな曲線を $\gamma$ とすると $\gamma$ は単純閉曲線となる。留数定理により多項式関数 $P$ について
$$\int_\gamma P(z)z^{-1}f(z)dz=\frac{2\pi\sqrt{-1}}{e}P(0).$$
ここで $\arg\left(\exp\left(-\frac{\pi\sqrt{-1}}{4}\right)(z-1)^\frac{1}{4}\right)\in\left(-\frac{\pi}{4},\frac{\pi}{4}\right)$ であるから
$$\left|\exp\left(-\frac{\pi\sqrt{-1}}{4}\right)(z-1)^\frac{1}{4}\right|\le\exp\left(-\frac{1}{\sqrt{2}}(|z|+1)^\frac{1}{4}\right)$$
となり
$$\left|\int_{\gamma_2}P(z)z^{-1}f(z)dz\right|\le 2\pi\sup_{|z|=(R^2+\delta^2)^\frac{1}{2}}|P(z)|\exp\left(-\frac{1}{\sqrt{2}}(R+1)^\frac{1}{4}\right)\to 0\ (R\to+\infty).$$
また $P(z)z^{-1}f(z)\to P(1)\ (z\to 1)$ より
$$\left|\int_{\gamma_4}P(z)z^{-1}f(z)dz\right|\to 0\ (\delta\to +0).$$
一方 $\lambda\in[1,\infty)$ について
\begin{align*}
&\quad\lim_{\delta\to+0}P(\lambda+\delta\sqrt{-1})(x+\delta\sqrt{-1})f(\lambda+\delta\sqrt{-1})-\lim_{\delta\to+0}P(\lambda-\delta\sqrt{-1})(\lambda-\delta\sqrt{-1})f(\lambda-\delta\sqrt{-1})\\
&=P(\lambda)\lambda^{-1}\left(\exp\left(-\exp\left(-\frac{\pi\sqrt{-1}}{4}\right)(\lambda-1)^\frac{1}{4}\right)-\exp\left(-\exp\left(\frac{\pi\sqrt{-1}}{4}\right)(\lambda-1)^\frac{1}{4}\right)\right)\\
&=2\sqrt{-1}P(\lambda)\lambda^{-1}\Im\left(\exp\left(-\exp\left(-\frac{\pi\sqrt{-1}}{4}\right)(\lambda-1)^\frac{1}{4}\right)\right).
\end{align*}
従って $R\to +\infty,\delta\to +0$ とすると
$$2\sqrt{-1}\int_1^\infty P(\lambda)\lambda^{-1}\Im\left(\exp\left(-\exp\left(-\frac{\pi\sqrt{-1}}{4}\right)(\lambda-1)^\frac{1}{4}\right)\right)d\lambda=\frac{2\pi\sqrt{-1}}{e}P(0)$$
となる。これより
$$ h(\lambda)=\frac{e}{\pi}\lambda^{-1}\Im\left(\exp\left(-\exp\left(-\frac{\pi\sqrt{-1}}{4}\right)(\lambda-1)^\frac{1}{4}\right)\right)$$
ととればよい。
{{end|proof}}

{{theorem|type=thm|name=$n=1$ の場合|label=extn1}}
$I\subsetneq\R$ を開区間とする。線型作用素 $E\colon L^1(I)+L^\infty(I)\to L^1(\R)+L^\infty(\R)$ であって次をみたすものが存在する:
* $u\in L^1(I)+L^\infty(I)$ について
$$Eu=u\ \inn I.$$
* 任意の $k\in\Zz$ と $p\in[1,\infty]$ について $E(W^{k,p}(I))\subset W^{k,p}(\R)$ で $u\in W^{k,p}(I)$ について
$$\norm{Eu}_{k,p;\R}\le C_{k,|I|}\norm{u}_{k,p;\Omega}.$$

{{begin|proof|display=''Proof.''|collapsible=1}}
$I$ が非有界の場合を示す。$I=(0,\infty)$ としてよい。

{{ref|type=lem|label=kernel}}の $h$ をとる。$u\in L^p(I)$ について積分形のMinkowskiの不等式により
$$\norm{\int_1^\infty u((1-2\lambda)\cdot)h(\lambda)d\lambda}_{p;(-\infty,0)}\le\int_1^\infty\norm{u((1-2\lambda)\cdot)}_{p;(-\infty,0)}|h(\lambda)|d\lambda\le\int_1^\infty\norm{u}_{p;I}|h(\lambda)|d\lambda\le C\norm{u}_{p;I}.$$
$u\in L^1(I)+L^\infty(I)$ について
$$Eu(x)\colon=\begin{cases}
u(x)&\colon x\in\overline{I}\\
\int_1^\infty u((1-2\lambda)\cdot)h(\lambda)d\lambda&\colon x\in(-\infty,0)
\end{cases}$$
と定める。上で示したことより $E\colon L^1(I)+L^\infty(I)\to L^1(\R)+L^\infty(\R)$ はwell-definedで、$L^p(\R)$ から $L^p(\R)$ へ連続である。

$u\in W^{1,p}(I)$ とすると{{ref|type=thm|label=1dim1}}より $-\infty\lt x\lt y\le 0$ について
\begin{align*}
Eu(x)&=\int_1^\infty\left(u(y)-\int_{(1-2\lambda)y}^{(1-2\lambda)x}u'(t)dt\right)h(\lambda)d\lambda\\
&=Eu(y)-\int_0^\infty\left((1-2\lambda)\int_x^y u'((1-2\lambda)s)ds\right)h(\lambda)d\lambda\\
&=Eu(y)-\int_x^0\left(\int_0^\infty u'((1-2\lambda)s)h(\lambda)d\lambda\right)ds\\
&=Eu(y)-\int_x^0 Eu'(s)ds.
\end{align*}
また
$$\lim_{x\to +0}Eu(x)=\int_1^\infty u(0)h(\lambda)d\lambda=u(0).$$
これより $-\infty\lt x\lt 0\le y\lt\infty$ についても
$$u(y)=u(0)+\int_0^y u'(t)dt=u(x)+\int_x^y Eu'(t)dt.$$
これより
$$Eu\in W^{1,p}(\R),(Eu)'=Eu',\norm{(Eu)'}_{p;\R}\le C\norm{u'}_p.$$
帰納法により任意の $k\in\Zp$ と $p\in[1,\infty]$ について $E$ は $W^{k,p}(I)$ から $W^{k,p}(\R)$ へ連続で $u\in W^{k,p}(I)$ について $(Eu)^{(k)}=Eu^{(k)}$ となる。

$I=(a,b)$ が有界な場合を示す。$\zeta\in C^\infty([a,b])$ を $a$ の近傍で $1$ かつ $b$ の近傍で $1$ となるようにとると $u\in W^{k,p}(I)$ について $\zeta u\in W^{k,p}(a,\infty)$、$(1-\zeta)u\in W^{k,p}(-\infty,b)$ となるので、拡張作用素 $E_{a+}\colon L^1(a,\infty)+L^\infty(a,\infty)\to L^1(\R)+L^\infty(\R)$ と $E_{b-}\colon L^1(-\infty,b)+L^\infty(-\infty,b)\to L^1(\R)+L^\infty(\R)$ をとって $Eu\colon=E_{a+}(\zeta u)+E_{b-}((1-\zeta)u)$ とすればよい。
{{end|proof}}

{{theorem|type=lem|label=regdis}}
$\gamma\in C^{0,1}_c(\R^{n-1})$ とし、$\Omega\colon=\{(x',x_n)\in\R^{n-1}\times\R\colon x_n\lt\gamma(x')\}$ とする。次をみたす $\delta\in C^\infty(\Omega)\cap C^{0,1}(\Ombar)$ が存在する:
* $$\sup_{\Omega}D_n\delta\lt 0.$$
* 任意の多重指数 $\alpha$ について
$$|D^\alpha\delta(x',x_n)|\le C_{\alpha,\gamma}(\gamma(x')-x_n)^{1-|\alpha|}\ \inn\Omega.$$

{{begin|proof|display=''Proof.''|collapsible=1}}
$M\colon=\left(1+[\gamma]_{0,1}^2\right)^\frac{1}{2}$、$t\colon=1+(16M)^{-1}$ とする。また $m\in\Z$ について $\Omega_m\colon=\{(x',x_n)\in\R^{n-1}\times\R\colon x_n-\gamma(x')\lt -t^m\}\subset\Omega$ とする。

$(x',x_n),(y',y_n)\in\Omega$ について
$$|(x_n-\gamma(x'))-(y_n-\gamma(y'))|^2\le([\gamma]_{0,1}|x'-y'|)^2+|x_n-y_n|^2\le M^2|(x',x_n)-(y',y_n)|$$
であるから $l\lt m$ について $\dist(\Omega_m,\pOm_l)\ge M^{-1}(t^m-t^l)$。

$\delta_m\colon=\eta_{(4M)^{-1}t^m}*\chi_{\Omega_m}$ とする。$N\in\Zp$ を $t^N\gt 2$ となるようにとると $\dist(\Omega_m,\pOm_{m-N})\gt (2M)^{-1}t^m$ となるので $\supp\delta_m\subset\Omega_{m-N}$。また $\dist(\Omega_{m+N},\pOm_m)\gt (2M)^{-1}t^{m+N}$ となるので $\delta_m=1$ in $\Omega_{m+N}$。とくに $\supp D\delta_m\subset\Omega\backslash\Ombar_{m+N}$ であり、$\{\supp D\delta_m\}_{m\in\Z}$ は局所有限である。また多重指数 $\alpha$ について $\norm{D^\alpha\delta_m}_\infty\le Ct^{-m|\alpha|}$。

一方
\begin{align*}
D_n\delta_m(x',x_n)&=\int_{\Omega_m}D_n\eta_{(4M)^{-1}t^m}(x'-y',x_n-y_n)dy\\
&=\int_{\R^{n-1}}\left(\int_{-\infty}^{\gamma(z')-t^m}D_n\eta_{(4M)^{-1}t^m}(x'-z',x_n-z_n)dz'\right)\\
&=-\int_{\R^{n-1}}\eta_{(4M)^{-1}t^m}(x'-y',x_n+t^m-\gamma(y'))dy'\le 0.
\end{align*}
また $(x',x_n)\in\Omega_m\backslash\Omega_{m+1}$ とすると $|x_n+t^m-\gamma(x')|\lt t^{m+1}-t^m=(16M)^{-1}t^m$ であるから、$y'\in\R^n$ を $|y'-x'|\lt(16M^2)^{-1}t^m$ となるようにとれば
$$|(x'-y',x_n+t^m-\gamma(y')|\le|(x'-y',\gamma(x')-\gamma(y'))|+|x_n+t^m-\gamma(x')|\lt M|x'-y'|+|x_n+t^m-\gamma(x')|\lt(8M)^{-1}t^m$$
となり
\begin{align*}
D_n\delta(x',x_n)&\le -\int_{\{y'\in\R^{n-1}\colon|y'-x'|\lt(16M^2)^{-1}t^m\}}\eta_{(4M)^{-1}t^m}(x'-y',x_n+t^m-\gamma(y'))dy'\\
&\le -\omega_{n-1}\left((16M^2)^{-1}t^m\right)^{n-1}\cdot\left((4M)^{-1}t^m\right)^{-n}\inf_{B_\frac{1}{2}(0)}\eta\\
&=-ct^{-m},c=c_{n,M}\gt 0.
\end{align*}
$$\delta\colon=\sum_{l\in\Z}t^l\delta_l$$
とする。$x=(x',x_n)\in\Omega_{m-1}\backslash\Omega_m$ とすると $l\ge m+N$ について $\supp\delta_l\subset\Omega_{l-N}\subset\Omega_m$ となるので $\delta_l(x)=0$。これより
$$\delta(x)=\sum_{l=-\infty}^{m+N-1}t^l\delta_l\le\sum_{l=-\infty}^{m+N-1}t^l\le(t-1)^{-1}t^{m+N}\le C(\gamma(x')-x_n).$$
また $\{\supp D\delta_m\}_{m\in\Z}$ は局所有限であったから $\delta\in C^\infty(\Omega)$。$x=(x',x_n)\in\Omega_{m-1}\backslash\Omega_m$ とすると $l\ge m+N$ について $\supp D\delta_l\subset\Omega_m$ で、$l\le m-N-1$ について $\supp\delta_l\cap\Omega_{m-1}=\emptyset$ となるのでこれらの場合 $D^\alpha\delta(x)=0$。これより多重指数 $\alpha\gt 0$ について
$$|D^\alpha\delta(x)|\le\sum_{l=m-N}^{m+N-1}t^l|D^\alpha\delta_l(x)|\le C\sum_{l=m-N}^{m+N-1}t^{l(1-|\alpha|)}\le C\left(2Nt^{(m-N)(1-|\alpha|)}\right)\le C(\gamma(x')-x_n)^{1-|\alpha|}.$$
とくに $D\delta$ は有界であり $\delta\in C^{0,1}(\Ombar)$ となる。

一方 $l\in\Z$ について $D_n\delta_l(x)\le 0$ で、$D_n\delta_m(x)\le -ct^{-m}$ であるから
$$D_n\delta(x)\le -c.$$
以上よりこの $\delta$ は条件をみたす。
{{end|proof}}

{{theorem|type=rmk}}
$|\delta(x)|\le C(\gamma(x')-x_n)$ より $\delta=0$ on $\pOm$ である。

{{theorem|type=thm|name=Steinの拡張作用素|label=stext}}
$\gamma\in C^{0,1}_c(\R^{n-1})$、$\Omega\colon=\{(x',x_n)\in\R^{n-1}\times\R\colon x_n\gt\gamma(x')\}$ とする。線型作用素 $E\colon L^1(\Omega)+L^\infty(\Omega)\to L^1(\R^n)+L^\infty(\R^n)$ であって次をみたすものが存在する:
* $u\in L^1(\Omega)+L^\infty(\Omega)$ について
$$Eu=u \inn\Omega.$$
* 任意の $k\in\Zz$ と $p\in[1,\infty]$ について $E(W^{k,p}(\Omega))\subset W^{k,p}(\R^n)$ で $u\in W^{k,p}(\Omega)$ について
$$\norm{D^kEu}_{p;\R^n}\le C_{k,\gamma}\norm{D^ku}_{p;\Omega}.$$

{{begin|proof}}
{{ref|type=lem|label=regdis}}の $\delta\in C^\infty(\R^n\backslash\Ombar)$ と{{ref|type=lem|label=kernel}} の $h$ をとり、$\displaystyle M\colon=-2\left(\sup_{\R^n\backslash\Ombar}D_n\delta\right)^{-1}$ とする。

$\lambda\ge 1$ について $\psi_\lambda\colon\R^n\backslash\Ombar\to\R^n$ を
$$\psi_\lambda(x',x_n)=(x',x_n+M\lambda\delta(x))$$
により定める。$x'\in\R^{n-1}$、$t\in(-\infty,\gamma(x'))$ について
$$\frac{\partial}{\partial t}(t+M\lambda\delta(x',t))=1+M\lambda D_n\delta(x',t)\le 1-2\lambda\lt 0.$$
また $\delta(x',\gamma(x'))=0$ より $\gamma(x')+M\lambda\delta(x',\gamma(x'))=\gamma(x')$ で
$$\psi_\lambda(x',t)=\gamma(x')-\int_t^{\gamma(x')}(1+M\lambda D_n\delta(x',s))ds\le\gamma(x')+(2\lambda-1)(\gamma(x')-t)\to +\infty\ (t\to-\infty).$$
よって $(-\infty,\gamma(x'))\to(\gamma(x'),+\infty),t\mapsto t+M\lambda\delta(x',t)$ は全単射である。これより $\psi_\lambda$ は $\R^n\backslash\Ombar$ から $\Omega$ への全単射で $|\det D\psi_\lambda|=|D_n\psi_\lambda|=2\lambda-1\ge 1$ となるので $p\in[1,\infty)$ と $u\in L^p(\Omega)$ について
$$\int_\Omega |u|^p=\int_{\R^n\backslash\Ombar}|u\circ\psi_\lambda|^p|D_n\psi_\lambda|\ge\int_{\R^n\backslash\Ombar}|u\circ\psi_\lambda|^p.$$
積分形のMinkowskiの不等式により $p\in[1,\infty]$ と $u\in L^p(\Omega)$ について
$$\norm{\int_1^\infty |(u\circ\psi_\lambda)h(\lambda)|d\lambda}_{p;\R^n\backslash\Omega}\le\int_1^\infty\norm{u\circ\psi_\lambda}_{p;\R^n\backslash\Omega}|h(\lambda)|d\lambda\le C\norm{u}_p.\tag{*}\label{stext1}$$

また $L(\psi_\lambda)\le 1+M\lambda[\delta]_{0,1}$ であるから $u\in C^{0,1}(\Ombar)$ とすると $x,y\in \R^n\backslash\Ombar$ について
$$\left|\int_0^1 u(\psi_\lambda(x))h(\lambda)d\lambda-\int_0^1 u(\psi_\lambda(y))h(\lambda)d\lambda\right|\le\int_0^1 (1+M\lambda[\delta]_{0,1})[u]_{0,1}|x-y||h(\lambda)|d\lambda\le C[u]_{0,1}|x-y|$$
となるので $\displaystyle \int_0^1(u\circ\psi_\lambda)h(\lambda)d\lambda\in C^{0,1}(\R^n\backslash\Omega)$。

また各 $\lambda\in[1,\infty)$ について $u\circ\psi_\lambda$ は a.e. in $\R^n\backslash\Ombar$ で微分可能であるから、Fubiniの定理よりa.e. $ x\in\R^n\backslash\Ombar$ について、a.e. $\lambda\in[1,\infty)$ に対し $u\circ\psi_\lambda$ は $x$ で微分可能である。またそのような $x\in\R^n\backslash\Ombar$ と $|k|$ が十分小さい $k\in\R\backslash\{0\}$ について
$$\left|\frac{u(\psi_\lambda(x+ke_i))-u_\lambda(x)}{k}h(\lambda)\right|\le(1+M\lambda[\delta]_{0,1})|h(\lambda)|$$
であるからLebesgueの収束定理より
\begin{align*}
D_i\left(\int_1^\infty(u\circ\psi_\lambda)h(\lambda)d\lambda\right)&=\int_1^\infty D_i(u\circ\psi_\lambda)h(\lambda)d\lambda\\
&=\int_1^\infty(D_iu\circ\psi_\lambda)h(\lambda)d\lambda+D_i\delta\int_1^\infty(D_nu\circ\psi_\lambda)h(\lambda)d\lambda.\tag{**}\label{stext2}
\end{align*}

また部分積分による帰納法により $u\in C^{k-1,1}(\Ombar)$、$x\in\R^n\backslash\Ombar$、$\lambda\ge 1$ について
$$u(\psi_\lambda(x))=\sum_{j=0}^{k-1}\frac{(M\delta(x))^j}{j!}D_n^ju(\psi_1(x))(\lambda-1)^j+\frac{(M\delta(x))^k}{(k-1)!}\int_1^\lambda (\lambda-\mu)^{k-1}D_n^ku(\psi_\mu(x))d\mu.$$
となるので $l\in\Zp$ について
\begin{align*}
\int_1^\infty \lambda^lu(\psi_\lambda(x))h(\lambda)d\lambda&=\int_1^\infty\left(\sum_{j=0}^{k-1}\frac{(M\delta(x))^j}{j!}D_n^ju(\psi_1(x))(\lambda-1)^j\lambda^l+\frac{(M\delta(x))^k}{(k-1)!}\int_1^\lambda (\lambda-\mu)^{k-1}\lambda^lD_n^ku(\psi_\mu(x))d\mu\right)h(\lambda)d\lambda\\
&=\frac{(M\delta(x))^k}{(k-1)!}\int_1^\infty\left(\int_1^\lambda (\lambda-\mu)^{k-1}\lambda^lD_n^ku(\psi_\mu(x))d\mu\right)h(\lambda)d\lambda.\tag{***}\label{stext3}
\end{align*}
積分形のMinkowskiの不等式と $\delta(x)\le C(\gamma(x')-x_n)$ より
\begin{align*}
&\quad\norm{(\gamma(x')-x_n)^{-k}\int_1^\infty \lambda^lu(\psi_\lambda(x))h(\lambda)d\lambda}_{p;(\R^n\backslash\Omega)_x}\\
&=\norm{(\gamma(x')-x_n)^{-k}\frac{(M\delta(x))^k}{(k-1)!}\int_1^\infty\left(\int_1^\lambda (\lambda-\mu)^{k-1}\lambda^lD_n^ku(\psi_\mu(x))d\mu\right)h(\lambda)d\lambda}_{p;(\R^n\backslash\Omega)_x}\\
&\le C\int_1^\infty\left(\int_1^\lambda\norm{D_n^ku\circ\psi_\mu}_{p;\R^n\backslash\Omega}(\lambda-\mu)^kd\mu\right)\lambda^l|h(\lambda)|d\lambda\\
&\le C\left(\int_1^\infty\left(\int_1^\lambda(\lambda-\mu)^kd\mu\right)\lambda^l|h(\lambda)|d\lambda\right)\norm{D_n^ku}_p\\
&=C\left(\int_1^\infty \frac{1}{(k+1)!}(\lambda-1)^{k+1}\lambda^l|h(\lambda)| d\lambda\right)\norm{D_n^ku}_p\\
&\le C\norm{D_n^ku}_p.\tag{****}\label{stext4}
\end{align*}
が成り立つ。<ref name="x">$\norm{}_{p;(\Omega)_x}$ は $x$ を変数と見做したときの $L^p(\Omega)$ におけるノルムを表す。</ref>

$u\in L^1(\Omega)\cap L^\infty(\Omega)$ について
$$Eu(x)\colon=\begin{cases}
u(x)&\colon x\in\Ombar\\
\int_1^\infty u(\psi_\lambda(x))h(\lambda)d\lambda &\colon x\in\R^n\backslash\Ombar
\end{cases}$$
と定める。(\ref{stext1})より $E$ はwell-definedで、$p\in[1,\infty]$ について $L^p(\Omega)$ から $L^p(\R^n)$ へ有界である。

$u\in C^{k-1,1}(\Ombar)=W^{k,\infty}(\Omega)$ とする。(\ref{stext2})と $k$ に関する帰納法により $Eu\in C^{k-1,1}(\R^n\backslash\Ombar)$ で多重指数 $|\alpha|\le k$ と $x\in\R^n\backslash\Ombar$ について $D^\alpha Eu(x)$ は
$$D^\alpha Eu(x)=\int_1^\infty D^\alpha u(\psi_\lambda(x)) h(\lambda)d\lambda+\sum_{0\lt\beta\le\alpha}\sum_{l=1}^{|\beta|}\sum_{\beta'_1+\ldots+\beta'_l=\beta}C_{\alpha,\beta'_1,\ldots,\beta'_l}\prod_{j=1}^lD^{\beta'_j}\delta(x)\int_1^\infty \lambda^lD^l_nD^{\alpha-\beta} u(\psi_\lambda(x)) h(\lambda)d\lambda$$
と表される。ここで $C_{\alpha,\beta'_1,\ldots,\beta'_l}$ は定数である。

(\ref{stext4})と $0\lt\beta\le\alpha$、$l=1,\ldots,|\beta|$ と $\beta'_1+\ldots+\beta'_l=\beta$ なる多重指数 $\beta'_1,\ldots\beta'_l$ について
$$\left|\prod_{j=1}^lD^{\beta'_j}\delta(x)\right|\le C(\gamma(x')-x_n)^{-(|\beta|-l)}$$
となることから
$$\norm{D^\alpha Eu}_{p;\R^n\backslash\Omega}\le C\norm{D^{|\alpha|}u}_p.$$
また $|\alpha|\le l-1$ とすると $x_0=(x_0',\gamma(x_0'))\in\pOm$ について $\psi_\lambda(x)\to x_0\ (x\to x_0)$ であるからLebesgueの収束定理より
$$\lim_{\substack{x\to x_0,\\x\in\R^n\backslash\Ombar}}\int_1^\infty D^\alpha u(\psi_\lambda(x)) h(\lambda)d\lambda=\int_1^\infty D^\alpha u(x_0) h(\lambda)d\lambda=u(x_0).$$
また $0\lt\beta\le\alpha$、$l=1,\ldots,|\beta|$ と $\beta'_1+\ldots+\beta'_l=\beta$ なる多重指数 $\beta'_1,\ldots\beta'_l$ について $\prod_{j=1}^lD^{\beta'_j}\delta(x)\delta(x)^{|\beta|-l}$ は有界で、Lebesgueの収束定理より
\begin{align*}
\lim_{\substack{x\to x_0,\\x\in\R^n\backslash\Ombar}}\int_1^\infty\left(\int_1^\lambda (\lambda-\mu)^{k-1}D^{|\beta|}_nD^{\alpha-\beta}u(\psi_\mu(x))d\mu\right)h(\lambda)d\lambda&=\int_1^\infty\left(\int_1^\lambda (\lambda-\mu)^{k-1}D^{|\beta|}_nD^{\alpha-\beta}u(x_0)d\mu\right)h(\lambda)d\lambda\\
&=\frac{1}{k}\left(\int_1^\infty(\lambda-1)^k\lambda^lh(\lambda)d\lambda\right)D^{|\beta|}_nD^{\alpha-\beta}u(x_0)=0
\end{align*}
であるから(\ref{stext4})とあわせて
$$\lim_{\substack{x\to x_0,\\x\in\R^n\backslash\Ombar}}\prod_{j=1}^lD^{\beta'_j}\delta(x)\int_1^\infty \lambda^lD^l_nD^{\alpha-\beta} u(\psi_\lambda(x)) h(\lambda)d\lambda=0.$$
従って $\displaystyle \lim_{\substack{x\to x_0,\\x\in\R^n\backslash\Ombar}}D^\alpha Eu(x)=D^\alpha u(x_0)$ となり $Eu\in C^{k-1}(\R^n)$。

また $x\in\Ombar$、$y\in\R^n\backslash\Ombar$ とすると $t\in[0,1]$ で $z\colon=(1-t)x+ty\in\pOm$ となるものが存在するので $|\alpha|=k-1$ とすると
$$|D^\alpha u(x)-D^\alpha Eu(y)|\le|D^\alpha u(x)-D^\alpha u(z)|+|D^\alpha u(z)-D^\alpha u(y)|\le \left((1-t)[D^\alpha u]_{0,1}+t[D^\alpha Eu]_{0,1}\right)|x-y|\le C\norm{D^ku}_{\infty}|x-y|.$$
よって $Eu\in C^{k-1,1}(\R^n)=W^{k,\infty}(\R^n)$ となる。

$p\in[1,\infty)$ について $W^{k,\infty}(\Omega)\cap W^{k,p}(\Omega)\subset W^{k,p}(\Omega)$ は稠密であり、$E$ は $L^p(\Omega)$ から $L^p(\R^n)$ へ有界であるから近似により
$$E(W^{k,p}(\Omega))\subset E^{k,p}(\R^n),\norm{D^kEu}_{p;\R^n}\le C\norm{D^ku}_{\Omega;\R^n}$$
も成り立つ。
{{end|proof}}

{{ref|type=thm|label=ext2}}と同様に次を得る:

{{theorem|type=thm|label=stext2}}
*(1) $T\subset\pOm$ をLipschitz境界部分とする。$T'\rcpt T$ について、$\OmT\subset\Omega_0$ をみたす開集合 $\Omega_0\subset\R^n$ と線型作用素 $E\colon L^1(\Omega)+L^\infty(\Omega)\to L^1(\Omega_0)+L^\infty(\Omega_0)$ であって $u\in L^1(\Omega)+L^\infty(\Omega)$ について $Eu=u$ in $\Omega$ をみたし、任意の $k\in\Zz$ と $p\in[1,\infty]$ について
$$E(W^{k,p}(\Omega))\subset W^{k,p}(\Omega),\norm{Eu}_{k,p;\Omega_0}\le C_{k,p}\norm{u}_{k,p;\Omega}\ (u\in W^{k,p}(\Omega))$$
をみたすものが存在する。また $\supp u\rcpt\OmT$ のとき $\supp Eu\rcpt\Omega_0$。
*(2) $T\subset\pOm$ を次をみたす相対開集合とする:
$$開集合D\subset\R^nと{\rm Lipschitz}境界部分S\subset\partial Dが存在し\Omega\subset D,T\rcpt S. \tag{$\diamondsuit'$}\label{D'}$$
このとき $\OmT\subset\Omega_0$ をみたす開集合 $\Omega_0\subset\R^n$ と線型作用素 $E\colon L^1(\Omega)+L^\infty(\Omega)\to L^1(\Omega_0)+L^\infty(\Omega_0)$ であって $u\in L^1(\Omega)+L^\infty(\Omega)$ について $Eu=u$ in $\Omega$ をみたし、任意の $k\in\Zz$ と $p\in[1,\infty]$ について
$$E(W^{k,p}_0(\Omega))\subset W^{k,p}_0(\Omega_0),\norm{Eu}_{k,p;\Omega_0}\le C_{k,p}\norm{u}_{k,p;\Omega}\ (u\in W^{k,p}(\Omega_0))$$
をみたすものが存在する。
*(3) $\Omega$ を有界な $C^{0,1}$ 領域とする。$D\subset\R^n$ を $\Omega\rcpt D$ なる開集合とすると線型作用素 $E\colon L^1(\Omega)\to L^1_c(D)$ であって $u\in L^1(\Omega)$ について $Eu=u$ in $\Omega$ をみたし、任意の $k\in\Zz$ と $p\in[1,\infty]$ について
$$E(W^{k,p}(\Omega))\subset W^{k,p}_c(D),\norm{Eu}_{k,p;D}\le C_{k,p}\norm{u}_{k,p;\Omega}\ (u\in W^{k,p}(\Omega))$$
をみたすものが存在する。

==Gagliardo-Nirenberg-Sobolevの不等式==
{{theorem|type=def|name=Sobolev共役指数|label=pstar}}
$p\in[1,n)$ について
$$p^*\colon=\frac{np}{n-p}$$
と定め、$p$ のSobolev共役指数という。$p^*$ は $p^{*-1}=p^{-1}-n^{-1}$ をみたす。

{{theorem|type=lem|label=GNSlem}}
$n\ge 2$ とする。$-\infty\le a_i\lt b_i\le +\infty\ (i=1,\ldots ,n)$ とし、$R\colon=(a_1,b_1)\times\ldots \times(a_n,b_n)$ とする。$f_1,\ldots ,f_n\in L^1(R)$ とすると
$$\int_{R}\left(\prod_{i=1}^n\int_{a_i}^{x_i}|f_i(x_1,\ldots ,x_{i-1},t,x_{i+1},\ldots ,x_n)|dt\right)^\frac{1}{n-1}dx_1\ldots dx_n\le\prod_{i=1}^n\norm{f_i}_{1;R}^\frac{1}{n-1}.$$

{{begin|proof|display=''Proof.''|collapsible=1}}
$n$ に関する帰納法により示す。

$n=2$ の場合を示す。$f_1,f_2\in L^1(R)$ とすると
\begin{align*}
\int_{R}\left(\int_{a_1}^{x_1}|f_1(t,x_2)|dt\right)\left(\int_{a_2}^{x_2}|f_2(x_1,t)|dt\right)dx_1dx_2&\le\int_{R}\left(\int_{a_1}^{b_1}|f_1(t,x_2)|dt\right)\left(\int_{a_2}^{b_2}|f_2(x_1,t)|dt\right)dx_1dx_2\\
&=\left(\int_{a_2}^{b_2}\left(\int_{a_1}^{b_1}|f_1(t,x_2)|dt\right)dx_2\right)\left(\int_{a_1}^{b_1}\left(\int_{a_2}^{b_2}|f_1(x_1,t)|dt\right)dx_1\right)\\
&\le\norm{f_1}_1\norm{f_2}_1
\end{align*}
となり主張が成り立つ。

ある $n$ について主張が成り立ったとし、$-\infty\le a_i\lt b_i\le +\infty\ (i=1,\ldots ,n+1)$ 、$R\colon=(a_1,b_1)\times\ldots \times(a_{n+1},b_{n+1})$、$f_1,\ldots ,f_{n+1}\in L^1(R)$ とする。また $R'\colon=(a_1,b_1)\times\ldots\times(a_n,b_n)$ とする。$i=1,\ldots ,n+1$ について
$$g_i(x')\colon=\int_{a_i}^{b_i}|f_i(x',t)|dt\ (x'\in R')$$
とすると $g_i\in L^1(R')$、$\norm{g_i}_{1;R'}=\norm{f_i}_{1;R}$。
\begin{align*}
&\quad \int_R\left(\prod_{i=1}^{n+1}\int_{a_i}^{x_i}|f_i(x_1,\ldots ,x_{i-1},t,x_{i+1},\ldots ,x_{n+1})|dt\right)^\frac{1}{n}dx_1\ldots dx_{n+1}\\
&\le\int_{R'}\left(\int_{a_{n+1}}^{b_{n+1}}\left(\prod_{i=1}^n\int_{a_i}^{x_i}|f_i(x_1,\ldots ,x_{i-1},t,x_{i+1},\ldots ,x_{n+1})|dt\right)^\frac{1}{n}dx_{n+1}\right)\left(\int_{a_{n+1}}^{b_{n+1}}|f_{n+1}(x_1,\ldots ,x_n,t)|dt\right)^\frac{1}{n}dx_1\ldots dx_n\\
&\le\left(\int_{R'}\left(\int_{a_{n+1}}^{b_{n+1}}\left(\prod_{i=1}^n\int_{a_i}^{x_i}|f_i(x_1,\ldots ,x_{i-1},t,x_{i+1},\ldots ,x_{n+1})|dt\right)^\frac{1}{n}dx_{n+1}\right)^\frac{n}{n-1}dx_1\ldots dx_n\right)^\frac{n-1}{n}\left(\int_{R'}|g(x',t)|dx'\right)^\frac{1}{n}\\
&\le\left(\int_{R'}\prod_{i=1}^n\left(\int_{a_{n+1}}^{b_{n+1}}\left(\int_{a_i}^{x_i}|f_i(x_1,\ldots ,x_{i-1},t,x_{i+1},\ldots ,x_{n+1})|dt\right)dx_{n+1}\right)^\frac{1}{n-1}dx_1\ldots dx_n\right)^\frac{n-1}{n}\norm{f_{n+1}}_1^\frac{1}{n}\\
&=\left(\int_{R'}\prod_{i=1}^n\left(\int_{a_i}^{x_i}g_i(x_1,\ldots ,x_{i-1},t,x_{i+1},\ldots ,x_n)dt\right)^\frac{1}{n-1}dx_1\ldots dx_n\right)^\frac{n-1}{n}\norm{f_{n+1}}_1^\frac{1}{n}\\
&\le\prod_{i=1}^n\norm{g_i}_1^\frac{1}{n}\norm{f_{n+1}}_1^\frac{1}{n}\\
&=\prod_{i=1}^{n+1}\norm{f_i}_1^\frac{1}{n+1}
\end{align*}
となる。これより主張が成り立つ。
{{end|proof}}

{{theorem|type=thm|name=Gagliardo-Nirenberg-Sobolevの不等式|label=GNS}}
$p\in[1,n)$ とすると $W^{1,p}(\R^n)\subset L^{p^*}(\R^n)$ で $u\in W^{1,p}(\R^n)$ について
$$\norm{u}_{p^*;\R^n}\le C_{n,p}\norm{Du}_{p;\R^n}.$$
{{theorem|type=rmk}}
任意の $u\in W^{1,p}(\R^n)$ について $\norm{u}_{p^*}\le C\norm{Du}_p$ となる定数 $C=C_{n,p}$ が存在しうる $p^*$ は $p^*=\frac{np}{n-p}$ に限られる。実際 $u\in C^\infty_c(\R^n)\backslash\{0\}$ と $\lambda\gt 0$ について $u_\lambda(x)\colon=u(\lambda x)$ として $u_\lambda\in C^\infty_c(\R^n)$ を定めると、積分の変数変換により $\norm{u_\lambda}_{p^*}=\lambda^{-\frac{n}{p^*}}\norm{u}_p$ となり、また $Du_\lambda(x)=\lambda Du(\lambda x)$ に注意すると $\norm{Du_\lambda}_{p}=\lambda^{1-\frac{n}{p}}\norm{Du}_p$ となるので $\frac{\norm{u_\lambda}_{p^*}}{\norm{Du_\lambda}_p}$ が有界となるには $-\frac{n}{p^*}=1-\frac{n}{p}$ が必要であるが、これをみたす $p^*$ は $p^*=\frac{np}{n-p}$ のみである。

{{begin|proof|display=''Proof.''|collapsible=1}}
$u\in C^\infty_c(\R^n)$ について $\norm{u}_{p^*;\R^n}\le C_{n,p}\norm{Du}_{p;\R^n}$ を示す。

$p=1$ の場合を示す。$i=1,\ldots ,n$ と $(x_1,\ldots ,x_n)\in\R^n$ について
$$|u(x_1,\ldots ,x_n)|\le\int_{-\infty}^{x_i}|D_iu(x_1,\ldots ,x_{i-1},t,x_{i+1},\ldots ,x_n)|dt$$
であるから
$$|u(x_1,\ldots ,x_n)|\le\prod_{i=1}^n\left(\int_{-\infty}^{x_i}|D_iu(x_1,\ldots ,x_{i-1},t,x_{i+1},\ldots ,x_n)|dt\right)^\frac{1}{n}.$$
{{ref|type=lem|label=GNSlem}}より
\begin{align*}
\int_{\R^n}|u|^{1^*}&\le\int_{\R^n}\prod_{i=1}^n\left(\int_{-\infty}^{x_i}|D_iu(x_1,\ldots ,x_{i-1},t,x_{i+1},\ldots ,x_n)|dt\right)^\frac{1}{n-1}dx_1\ldots dx_n\\
&\le\prod_{i=1}^n\norm{D_iu}_1^\frac{1}{n-1}\\
&\le\norm{Du}_1^{1^*}
\end{align*}
となり $\norm{u}_{1^*}\le\norm{Du}_1$ が成り立つ。

$p\in(1,n)$ の場合を示す。$t\in(1,\infty)$ として $v\colon=|u|^t$ とすると $v\in C^1_c(\R^n)$、$D_iv=t|u|^{t-1}\sgn uD_iu$。$p=1$ の場合より
$$\left(\int_\Omega |u|^{\frac{n}{n-1}t}\right)^\frac{n-1}{n}\le\int_\Omega t|u|^{t-1}|Du|\le t\left(\int_\Omega|u|^{\frac{p}{p-1}(t-1)}\right)^\frac{p-1}{p}\norm{Du}_p.$$
ここで $t=\frac{(n-1)p}{n-p}$ とすると $\frac{n}{n-1}t=\frac{p}{p-1}(t-1)=\frac{np}{n-p}$ となり
$$\left(\int_\Omega |u|^{p^*}\right)^\frac{n}{n-1}\le \frac{(n-1)p}{n-p}\left(\int_\Omega|u|^{p^*}\right)^\frac{p}{p-1}\norm{Du}_p.$$
これより $\norm{u}_{p^*}=\left(\int_\Omega |u|^{p^*}\right)^{\frac{n-1}{n}-\frac{p-1}{p}}\le\frac{(n-1)p}{n-p}\norm{Du}_p$ が従う。

$u\in W^{1,p}(\R^n)$ とし、$u_m\in C^\infty_c(\R^n)$、$\norm{u_m-u}_{1,p}\to 0\ (m\to\infty)$ とする。部分列に移って $u_m\to u $ a.e. in $\R^n$ としてよい。Fatouの補題より
$$\norm{u}_{p^*}\le\liminf_{m\to\infty}\norm{u}_{p^*}\le C\liminf_{m\to\infty}\norm{Du_m}_p=C\norm{Du}_p.$$
{{end|proof}}

{{theorem|type=ex}}
$C_{n,p}=\frac{(n-1)p}{n-p}$ はGagliardo-Nirenberg-Sobolevの不等式の最良定数(すなわちこの不等式が任意の $u\in W^{1,p}(\R^n)$ について成り立つ最小の $C_{n,p}$)ではない。Gagliardo-Nirenberg-Sobolevの不等式の最良定数は
$$C_{n,p}=n^{-\frac{1}{p}}\pi^{-\frac{1}{2}}\left(\frac{p-1}{n-p}\right)^{1-\frac{1}{p}}\left(\frac{\Gamma(1+\frac{n}{2})\Gamma(n)}{\Gamma(\frac{n}{p})\Gamma(1+n-\frac{n}{p})}\right)^\frac{1}{n}$$
で与えられ、
$$u(x)=(a+b|x|^\frac{p}{p-1})^{1-\frac{n}{p}}$$
とすると $\norm{u}_{p^*;\R^n}=C_{n,p}\norm{Du}_{p;\R^n}$ が成り立つことが知られている。ここで $a,b$ は正の定数であり、$\Gamma$ は $\Gamma$ 関数である。$u$ はTalentiの関数と呼ばれる。

{{theorem|type=cor|label=locGNS}}
$p\in[1,n)$ について $W^{1,p}_{\loc}(\Omega)\subset L^{p^*}_{\loc}(\Omega)$。

{{begin|proof|display=''Proof.''|collapsible=1}}
$u\in W^{1,p}_\loc(\Omega)$、$\Omega'\rcpt\Omega$ とし、$\zeta\in C^\infty_c(\Omega)$ で $\zeta=1$ in $\Omega'$ となるものをとると $\zeta u\in W^{1,p}_0(\Omega)\subset L^{p^*}(\Omega)$。これより $u\in L^{p^*}(\Omega')$。
{{end|proof}}

$W^{1,p}(\Omega)\subset L^{p^*}(\Omega)$ を示すには $\pOm$ に条件が必要である:

{{theorem|type=cor|label=gGNS}}
$p\in[1,n)$ について次が成り立つ:
*(1) $T\subset\pOm$ が(\ref{D})をみたす相対開集合のとき $W^{1,p}_0(\OmT)\subset L^{p^*}(\Omega)$ で $u\in W^{1,p}_0(\OmT)$ について
$$\norm{u}_{p^*;\Omega}\le C_{p,\Omega,T}\norm{u}_{1,p;\Omega}.$$
*(2) $\Omega$ が有界な $C^{0,1}$ 領域のとき $W^{1,p}(\Omega)\subset L^{p^*}(\Omega)$ で $u\in W^{1,p}(\Omega)$ について
$$\norm{u}_{p^*;\Omega}\le C_{p,\Omega}\norm{u}_{1,p;\Omega}.$$

{{begin|proof|display=''Proof.''|collapsible=1}}
(1)は $E\colon W^{1,p}_0(\OmT)\to W^{1,p}(\R^n)$ を拡張作用素とすれば $u\in W^{1,p}_0(\OmT)$ について
$$\norm{u}_{p^*}\le\norm{Eu}_{p^*}\le C\norm{DEu}_{p}\le C\norm{Eu}_{1,p}\le C\norm{u}_p.$$
(2)も同様。
{{end|proof}}

{{theorem|type=cor|name=$p=n$ の場合|label=pn}}
$|\Omega|\lt\infty$ のとき任意の $q\in[1,\infty)$ について $W^{1,n}_0(\Omega)\subset L^q(\Omega)$ で $u\in W^{1,n}_0(\Omega)$ について
$$\norm{u}_{q;\Omega}\le C_{n,q}|\Omega|^{q^{-1}}\norm{Du}_{n;\Omega}.$$

{{begin|proof|display=''Proof.''|collapsible=1}}
$q\ge 1^*$ の場合を示せば十分。{{ref|type=thm|label=GNS}}より
$$\norm{u}_q\le C\norm{Du}_\frac{nq}{n+q}\le C|\Omega|^{q^{-1}}\norm{Du}_n.$$
{{end|proof}}

{{theorem|type=cor|label=gpn}}
*(1) $q\in[n,\infty)$ について $W^{1,n}_{\loc}(\Omega)\subset L^q_{\loc}(\Omega)$。
*(2) $|\Omega|\lt\infty$ で $T\subset\pOm$ が $T\subset\pOm$ を(\ref{D})をみたす相対開集合のとき任意の $q\in[n,\infty)$ について $W^{1,n}_0(\OmT)\subset L^q(\Omega)$ で $u\in W^{1,p}_0(\OmT)$ について
$$\norm{u}_{q;\Omega}\le C_{q,\Omega,T}\norm{u}_{n;\Omega}.$$
*(3) $\Omega$ を有界な $C^{0,1}$ 領域とすると任意の $q\in[n,\infty)$ について $W^{1,n}(\Omega)\subset L^q(\Omega)$ で $u\in W^{1,p}(\Omega)$ について
$$\norm{u}_{q;\Omega}\le C_{q,\Omega}\norm{u}_{n;\Omega}.$$
{{theorem|type=rmk}}
$n=1$ の場合は{{ref|type=thm|label=dim1mor}}より $W^{1,1}(I)\subset L^\infty(I)$ であるが、$n\ge 2$ の場合は $W^{1,n}(\Omega)\subset L^\infty(\Omega)$ は成り立たない。

たとえば $\Omega=B_1(0)$ とし、
$$u(x)=(-\log|x|)^\alpha,\alpha\in (0,1-n^{-1})$$
とすると、任意の $q\in[1,\infty)$ について $u\in L^q(\Omega)$ で、$x\in\Omega\backslash\{0\}$ について
$$Du(x)=\alpha|x|^{-2}(-\log|x|)^{\alpha-1}x$$
が各点の意味で成り立ち、$n(\alpha-1)\lt -1$ より
$$\int_\Omega |Du|^n=n\omega_n\int_0^1 r^{-n+(n-1)}(-\log r)^{n(\alpha-1)}dr\lt\infty.$$
また $\varphi\in C^\infty_c(\Omega)$ と $r\in(0,1)$ について
$$\int_{\Omega\backslash\Bb_r(0)}uD_i\varphi=-\int_{\Omega\backslash\Bb_r(0)}D_iu\varphi-\int_{\partial\Bb_r(0)}(-\log|x|)^\alpha\varphi(x)\frac{x_i}{r}d\H^{n-1}(x),$$
$$\left|\int_{\partial\Bb_r(0)}(-\log|x|)^\alpha\varphi(x)\frac{x_i}{r}d\H^{n-1}(x)\right|\le \norm{\varphi}_\infty(-\log r)^\alpha\cdot n\omega_n r^{n-1}\to 0\ (r\to 0)$$
より $u$ は弱微分をもち、各点微分と一致する。これより $u\in W^{1,n}(\Omega)$。一方、明らかに $u\notin L^\infty(\Omega)$ である。
==Rieszポテンシャル==
$p\in(n,\infty)$ の場合を扱う準備として、次のRieszポテンシャルを定義する:

{{theorem|type=def|name=Rieszポテンシャル|label=riep}}
$\mu\in(0,1]$ とする。$\L^n$ -可測関数 $f\colon\Omega\to\R$ について合成積 $|\cdot|^{-n(1-\mu)}*f$ がある開集合上で定義されるときこれを $V_\mu f$ とかきRieszポテンシャルという。

{{theorem|type=pro|label=riep1}}
$|\Omega|\lt\infty$、$p\in[1,\infty]$、$\mu\in(0,1]$ とする。$f\in L^p(\Omega)$ とすると $V_\mu f$ は $\Omega$ 上で定義され次が成り立つ:
*(1) $q\in[p,\infty]$ が $\delta\colon=p^{-1}-q^{-1}\lt\mu$ をみたすとすると
$$V_\mu f\in L^q(\Omega),\norm{V_\mu f}_{q;\Omega}\le\left(\frac{1-\delta}{\mu-\delta}\right)^{1-\delta}\omega_n^{1-\mu}|\Omega|^{\mu-\delta}\norm{f}_{p;\Omega}.$$
*(2) $p\in[1,\infty)$、$\mu=p^{-1}$、$f\not\equiv 0$ のとき、$\alpha\gt 0$ について
$$\int_\Omega\exp\left(\left(\frac{|V_{p^{-1}} f|}{C_{n,p,\alpha}\norm{f}_{p,\Omega}}\right)^{p'}\right)\le (1+\alpha)|\Omega|.$$

{{begin|proof|display=''Proof.''|collapsible=1}}
(1)を示す。$h\colon=|\cdot|^{-n(1-\mu)}$、$r\colon=(q^{-1}-p^{-1}+1)^{-1}=(1-\delta)^{-1}$ とする。
$$\norm{h}_{r;\Omega}\le\left(\frac{1-\delta}{\mu-\delta}\right)^{1-\delta}\omega_n^{1-\mu}|\Omega|^{\mu-\delta}\tag{*}\label{riep}$$
を示す。

$R\colon=(\omega_n^{-1}|\Omega|)^{n^{-1}}$ とする。$|\Omega|=\omega_nR^n=|B_R(0)|$ であるから $|\Omega\backslash B_R(0)|=|B_R(0)\backslash\Omega|$ で
$$\int_{\Omega}h^r\le R^{-n(1-\mu)}|\Omega\backslash B_R(0)|+\int_{B_R(0)\cap\Omega}h^r=R^{-n(1-\mu)}|B_R(0)\backslash\Omega|+\int_{B_R(0)\cap\Omega}h^r\le\int_{B_R(0)}h^r.$$
$1-(1-\mu)r=1-\frac{1-\mu}{1-\delta}=\frac{\mu-\delta}{1-\delta}\gt 0$ に注意すると
$$\int_\Omega h^r\le\int_{B_R(0)}h^r=n\omega_n\int_0^R t^{n-n(1-\mu)r-1}dx=\frac{1-\delta}{\mu-\delta}\omega_nR^{n-n(1-\mu)r}=\frac{1-\delta}{\mu-\delta}\omega_n^{(1-\mu)r}|\Omega|^{(\mu-\delta)r}$$
となり(\ref{riep})が従う。

$x,y\in\Omega$ について(\ref{riep})より
\begin{align*}
\norm{h(x-\cdot)}_{r;\Omega}&=\norm{h}_{r;x-\Omega}\le\left(\frac{1-\delta}{\mu-\delta}\right)^{1-\delta}\omega_n^{1-\mu}|\Omega|^{\mu-\delta},\\
\norm{h(\cdot-y)}_{r;\Omega}&=\norm{h}_{r;\Omega-y}\le\left(\frac{1-\delta}{\mu-\delta}\right)^{1-\delta}\omega_n^{1-\mu}|\Omega|^{\mu-\delta}.
\end{align*}
$q^{-1}=p^{-1}+r^{-1}-1$ であるからYoungの不等式より $V_\mu f$ は $\Omega$ 上で定義され
$$V_\mu f\in L^q(\Omega),\norm{V_\mu f}_q\le\left(\frac{1-\delta}{\mu-\delta}\right)^{1-\delta}\omega_n^{1-\mu}|\Omega|^{\mu-\delta}\norm{f}_p$$
が成り立つ。

(2)を示す。$\mu=p^{-1}$ のときは任意の $q\in[p,\infty)$ が $p^{-1}-q^{-1}\lt\mu$ をみたす。

$N\colon=\lceil p-1\rceil$ とする。$m\in\Z$、$m\ge N$ とすると $mp'\ge p$ となり、$q=mp'$ として(1)を用いると $\delta=p^{-1}-(mp')^{-1}=1-(1+m^{-1})p'^{-1}$ より
$$\int_\Omega|V_{p^{-1}}f|^{mp'}\le\left((m+1)^{(1+m^{-1})p'^{-1}}\omega_n^{p'^{-1}}|\Omega|^{(mp')^{-1}}\norm{f}_p\right)^{mp'}=(m+1)^{m+1}\omega_n^m|\Omega|\norm{f}_p^{mp'}.$$
$m=1,\ldots ,N-1$ については
$$\int_\Omega|V_{p^{-1}}f|^{mp'}\le|\Omega|^{1-\frac{m}{N}}\left(\int_\Omega|V_{p^{-1}}f|^{Np'}\right)^\frac{m}{N}\le N^m\omega_n^m|\Omega|\norm{f}_p^{mp'}.$$
$m!=O(m^{m+\frac{1}{2}}e^{-m})$ に注意すると $m\in\Zp$ について
$$\int_\Omega|V_{p^{-1}}f|^{mp'}\le C(m+1)^{-\frac{1}{2}}e^{-m}(m+1)!|\Omega|.$$
これより $M\gt (e\omega_n)^{p'^{-1}}$ について
\begin{align*}
\int_\Omega\exp\left(\left(\frac{|V_{p^{-1}}f|}{M\norm{f}_p}\right)^{p'}\right)&=|\Omega|+\sum_{m=1}^\infty\frac{1}{m!(M\norm{f}_p)^{mp'}}\int_\Omega|V_{p^{-1}}f|^{mp'}\\
&\le\left(1+C\sum_{m=1}^\infty\frac{(m+1)^\frac{1}{2}e^{m+1}\omega_n^m}{M^m}\right)|\Omega|.
\end{align*}
$\displaystyle \sum_{m=1}^\infty\frac{(m+1)^\frac{1}{2}e^{m+1}}{M^m}\to 0 (M\to\infty)$ であるから十分大きな $C=C_{n,p,\alpha}$ をとれば
$$\int_\Omega\exp\left(\left(\frac{|V_{p^{-1}}f|}{C\norm{f}_p}\right)^{p'}\right)\le(1+\alpha)|\Omega|.$$
{{end|proof}}

$\mu=\delta$ の場合は次の結果が重要である:

{{theorem|type=thm|name=Hardy-Littlewood-Sobolevの不等式|label=HLS}}
$p\in[1,\mu^{-1})$ とし、$f\in L^p(\R^n)$ とすると $V_\mu f$ は $\R^n$ 上で定義され、$q\colon=\frac{p}{1-\mu p}$ とすると次が成り立つ:
*(1) $p=1$ のとき
$$V_\mu f\in L^{q,w}(\R^n),[V_\mu f]_{q;\R^n}\le C_{n,\mu}\norm{f}_{1;\R^n}.$$
( $L^{q,w}$ と $[\cdot]_q$ の定義は[[Marcinkiewiczの補間定理]]を参照。)
*(2) $p\in(1,\mu^{-1})$ のとき
$$V_\mu f\in L^q(\R^n),\norm{V_\mu f}_{q;\R^n}\le C_{n,p,\mu}\norm{f}_{p;\R^n}.$$

{{begin|proof|display=''Proof.''|collapsible=1}}
$R\gt 0$ とし、$h_1\colon=|\cdot|^{-n(1-\mu)}\chi_{B_R(0)}$、$h_2\colon=|\cdot|^{-n(1-\mu)}\chi_{\R^n\backslash B_R(0)}$ とする。
$$\norm{h_1}_1=n\omega_n\int_0^R t^{n\mu-1}dt=\mu^{-1}\omega_nR^{n\mu}$$
であるからYoungの不等式より
$$h_1*f\in L^p(\R^n),\norm{h_1*f}_p\le CR^{n\mu}\norm{f}_p.$$
また $p'\colon=\frac{p}{p-1}$ とすると $((1-\mu)p'-1)^{-1}=p'((1-\mu)-(1-p^{-1}))^{-1}=p'q^{-1}$
$$\norm{h_2}_{p'}^{p'}=n\omega_n\int_R^\infty t^{n-n(1-\mu)p'-1}dt=p'q^{-1}\omega_nR^{-np'q^{-1}}$$
であるからHölderの不等式より
$$h_2*f\in L^\infty(\R^n),\norm{h_2*f}_\infty\le KR^{-nq^{-1}}\norm{f}_p,K\colon=(p'q^{-1}\omega_n)^{1-p^{-1}}.$$
よって $V_\mu f=h_1*f+h_2*f$ は $\R^n$ 上で定義される。

$t\gt 0$ とする。$R=(2K\norm{f}_pt^{-1})^{n^{-1}q}$ ととれば $\norm{h_2*f}_\infty\le\frac{t}{2}$ となり
$$\left|\left\{|h_2*f|\gt\frac{t}{2}\right\}\right|=0.$$
また $\mu pq+p=q(\mu p+p(p^{-1}-\mu))=q$ に注意すると
$$\left|\left\{|h_1*f|\gt\frac{t}{2}\right\}\right|=(\norm{h_1*f}_pt^{-1})^p\le C(R^{n\mu}\norm{f}_pt^{-1})^p=C(\norm{f}_pt^{-1})^{\mu pq+p}=C(\norm{f}_pt^{-1})^q.$$
$|V_\mu f|\gt t\implies|h_1*f|\gt\frac{t}{2}$ or $|h_2*f|\gt\frac{t}{2}$ より
$$|\{|V_\mu f|\gt t\}|\le\left|\left\{|h_1*f|\gt\frac{t}{2}\right\}\right|+\left|\left\{|h_2*f|\gt\frac{t}{2}\right\}\right|\le C(\norm{f}_pt^{-1})^q.$$
従って
$$V_\mu f\in L^{q,w}(\R^n),[V_\mu f]_q\le C\norm{f}_p.\tag{*}\label{HLS}$$
(1)はこれで示された。

(2)を示す。$p_0,p_1$ を $1\le p_0\lt p\lt p_1\lt\mu^{-1}$ となるようにとり、$q_i\colon=\frac{p_i}{1-\mu p_i}\ (i=0,1)$ とする。$\theta\in(0,1)$ を $p^{-1}=(1-\theta)p_0^{-1}+\theta p_1^{-1}$ となるようにとると
$$q^{-1}=p^{-1}-\mu=(1-\theta)(p_0^{-1}-\mu)+\theta(p_1^{-1}-\mu)=(1-\theta)q_0^{-1}+\theta q_1^{-1}.$$
(\ref{HLS})と[[Marcinkiewiczの補間定理]]より(2)が従う。
{{end|proof}}

{{theorem|type=pro|name=Rieszポテンシャルと微分の関係|label=riep2}}
*(1) $k=1,\ldots,n$ とする。$u\in C^\infty_c(\R^n)$ とすると $x\in\R^n$ について
$$u(x)=\frac{1}{(k-1)!n\omega_n}\int_{\R^n}\sum_{|\alpha|=k}|x-y|^{-n}(x-y)^\alpha D^\alpha u(y)dy.$$
とくに $u\in W^{k,1}(\Omega)$ について
$$|u|\le\frac{1}{(k-1)!n\omega_n}V_\frac{k}{n}|D^ku|.$$
*(2) $\Omega$ は凸であるとし、$S\subset\Omega$ は有界かつ $|S|\gt 0$ をみたすとする。$u\in W^{1,1}(\Omega)$ とすると
$$|u-u_S|\le\frac{(\diam\Omega)^n}{n|S|}|V_{n^{-1}}u|\ \inn\Omega.$$
ここで
$$u_S\colon=\frac{1}{|S|}\int_S u.$$

{{begin|proof|display=''Proof.''|collapsible=1}}
(1)を示す。$z\in\partial B_1(0)$ とする。十分大きい $t\gt 0$ について $u(x+tz)=0$ となることに注意すると部分積分による $k$ に関する帰納法により
$$u(x)=\frac{1}{(k-1)!}\int_0^\infty t^{k-1}D^k_z u(x+tz)dt=\frac{(-1)^k}{(k-1)!}\int_0^\infty\sum_{|\alpha|=k}t^{k-1}z^\alpha D^\alpha u(x+tz)dt.$$
よって
\begin{align*}
u(x)&=\frac{(-1)^k}{(k-1)!n\omega_n}\int_{\partial B_1(0)}\left(\int_0^\infty \sum_{|\alpha|=k}t^{k-1}z^\alpha D^\alpha u(x+tz)dt\right)d\H^{n-1}(z)\\
&=\frac{1}{(k-1)!n\omega_n}\int_0^\infty\left(\int_{B_t(x)} \sum_{|\alpha|=k}t^{k-n}(t^{-1}(x-y))^\alpha D^\alpha u(y)d\H^{n-1}(y)\right)dt\\
&=\frac{1}{(k-1)!n\omega_n}\int_{\R^n} \sum_{|\alpha|=k}|x-y|^{-n}(x-y)^\alpha D^\alpha u(y)dy.
\end{align*}

(2)を示す。$x,z\in\Omega$ とすると
$$u(x)-u(z)=\int_0^1 Du(tx+(1-t)z)\cdot(x-z)dt.$$
$z\in S$ について積分すると
$$u(x)-u_S=\frac{1}{|S|}\int_S\left(\int_0^1 Du((1-t)x+tz)\cdot(x-z)dt\right)dz.$$
$t\in[0,1]$ について $x\in (1-t)x+t\Omega$、$\diam((1-t)x+t\Omega)=t\diam\Omega$ より $y\in\Omega$ について $y\in(1-t)x+t\Omega\implies |x-y|\le t\diam\Omega$ となることに注意すると
\begin{align*}
|u(x)-u_S|&\le\frac{1}{|S|}\int_S\left(\int_0^1 |Du((1-t)x+tz)||x-z|dt\right)dz\\
&=\frac{1}{|S|}\int_0^1\left(\int_{(1-t)x+tS} t^{-n}|Du(y)|t^{-1}|x-y|dy\right)dt\\
&=\frac{1}{|S|}\int_\Omega\left(\int_{\{t\in[0,1]\colon y\in(1-t)x+tS\}}t^{-n-1}|x-y||Du(y)|dt\right)dy\\
&\le\frac{1}{|S|}\int_\Omega\left(\int_{\{t\in[0,1]\colon y\in(1-t)x+t\Omega\}}t^{-n-1}|x-y||Du(y)|dt\right)dy\\
&\le\frac{1}{|S|}\int_\Omega\left(\int_\frac{|x-y|}{\diam\Omega}^\infty t^{-n-1}|x-y||Du(y)|dt\right)dy\\
&=\frac{(\diam\Omega)^n}{n|S|}\int_\Omega|x-y|^{1-n}|Du(y)|dt.
\end{align*}
{{end|proof}}

{{theorem|type=ex}}
$p\in(1,n)$ の場合は(1)とHardy-Littlewood-Sobolevの不等式を組み合わせてSobolevの不等式を証明することもできる。

==Poincaréの不等式==
実用上は以下に示すSobolevの不等式のより弱い形であるPoincaréの不等式で十分であることも多い。
{{theorem|type=thm|name=Poincaréの不等式|label=Poi0}}
*(1) $|\Omega|\lt\infty$ とする。$p\in[1,\infty)$ と $u\in W^{1,p}_0(\Omega)$ について
$$\norm{u}_{p;\Omega}\le C_n|\Omega|^{n^{-1}}\norm{Du}_{p;\Omega}.$$
*(2) $\Omega$ は一方向に有界であるとする。すなわち $z\in\partial B_1(0)$ が存在し $\displaystyle w\colon=\sup_{x\in\R^n}\diam(\{t\in\R\colon x+tz\in\Omega\})\lt\infty$ となるとする。$p\in[1,\infty)$ と $u\in W^{1,p}_0(\Omega)$ について
$$\norm{u}_{p;\Omega}\le C_nw\norm{D_zu}_{p;\Omega}.$$

{{begin|proof|display=''Proof.''|collapsible=1}}
(1)は{{ref|type=pro|label=riep2}}の(1)と{{ref|type=pro|label=riep1}}の(1)より
$$\norm{u}_p\le\frac{1}{n\omega_n}\norm{V_{n^{-1}}|Du|}_p\le C|\Omega|^{n^{-1}}\norm{Du}_p.$$

(2)を示す。$u\in C^\infty_c(\Omega)$ としてよい。

$\pi\colon=\{x\in\R^n\colon z\cdot x=0\}$ とする。$x\in\pi$ について
$$a_x\colon=\inf\{t\in\R\colon x+tz\in\Omega\},b_x\colon=\sup\{t\in\R\colon x+tz\in\Omega\},I_x\colon=(a_x,b_x)$$
とすると $|I_x|\le w$、$\displaystyle \Omega\subset\bigcup_{x\in\pi}\{x+tz\colon t\in I_x\}$。
$u\in C^\infty_c(\Omega)$ とすると{{ref|type=thm|label=dim1mor}}より $x\in\pi$ について
$$\left(\int_{I_x}|u(x+tz)|^pdt\right)^{p^{-1}}\le|I_x|^{p^{-1}}\sup_{t\in I_x}|D_zu(x+tz)|\le|I_x|\left(\int_{I_x}|D_zu(x+tz)|^pdt\right)^{p^{-1}}.$$
Lipschitz連続関数 $x\mapsto z\cdot x$ に対して[[Hausdorff測度とarea_coarea_formula|coarea formula]]を用いると
\begin{align*}
\norm{u}_p&=\left(\int_\R\left(\int_{\{x\in\Omega\colon z\cdot x=t\}}|u(x)|^pd\H^{n-1}(x)\right)dt\right)^{p^{-1}}\\
&=\left(\int_\R\left(\int_{\{x\in\pi\colon x+tz\in\Omega\}}|u(x+tz)|^pd\H^{n-1}(x)\right)dt\right)^{p^{-1}}\\
&=\left(\int_\pi\left(\int_{I_x}|u(x+tz)|^pdt\right)d\H^{n-1}(x)\right)^{p^{-1}}\\
&\le\left(\int_\pi |I_x|^p\left(\int_{I_x}|D_zu(x+tz)|^pdt\right)d\H^{n-1}\right)^{p^{-1}}\\
&\le w\norm{D_zu}_p.
\end{align*}
{{end|proof}}

{{theorem|type=thm|name=Poincaréの不等式|label=Poi}}
$\Omega$ は有界かつ凸であるとする。$p\in[1,\infty)$ と $u\in W^{1,p}(\Omega)$ と $|S|\gt 0$ なる $S\subset\Omega$ について
$$\norm{u-u_S}_{p;\Omega}\le C_n\frac{(\diam\Omega)^n}{|S|}|\Omega|^{n^{-1}}\norm{Du}_{p;\Omega}.$$

{{begin|proof|display=''Proof.''|collapsible=1}}
{{ref|type=pro|label=riep2}}の(2)と{{ref|type=pro|label=riep1}}の(1)より
$$\norm{u-u_\Omega}_p\le\frac{(\diam\Omega)^n}{n|\Omega|}\norm{V_{n^{-1}}|Du|}_p\le C\frac{(\diam\Omega)^n}{|S|}|\Omega|\norm{Du}_p.$$
{{end|proof}}

{{theorem|type=rmk}}
$|\Omega|\lt\infty$ または $\Omega$ が一方向に有界のとき、$\norm{Du}_{p;\Omega}$ は $W^{1,p}_0(\Omega)$ に $\norm{u}_{1,p;\Omega}$ と同値なノルムを定める。とくに $p=2$ のとき、
$$\int_\Omega Du\cdot Dv$$
は $W^{1,2}_0(\Omega)$ に $W^{1,2}(\Omega)$ における内積と同値な内積を定める。

また、$\Omega$ が有界かつ凸のとき、$\norm{Du}_{p;\Omega}$ は $W^{1,p}(\Omega)$ の閉部分空間 $\{u\in W^{1,p}(\Omega)\colon u_\Omega=0\}$ に $\norm{u}_{1,p;\Omega}$ と同値なノルムを定める。

==Morreyの不等式==
ここでは $p\in(n,\infty)$ の場合を取り扱う。

{{theorem|type=thm|name=Morreyの不等式|label=mor}}
$p\in(n,\infty)$ とする。$\alpha=1-\frac{n}{p}$ とすると次が成り立つ。
*(1) $|\Omega|\lt\infty$ のとき $W^{1,p}_0(\Omega)\subset L^\infty(\Omega)$ で $u\in W^{1,p}_0(\Omega)$ について
$$\norm{u}_{\infty;\Omega}\le C_{n,p}|\Omega|^{n^{-1}-p^{-1}}\norm{Du}_{p;\Omega}.$$
*(2) $W^{1,p}(\R^n)\subset C^{0,\alpha}(\R^n)$ で $u\in W^{1,p}(\R^n)$ について
$$[u]_{0,\alpha;\R^n}\le C_{n,p}\norm{Du}_{p;\R^n}.$$
とくに $|\Omega|\lt\infty$ のとき $W^{1,p}_0(\Omega)\subset C^{0,\alpha}(\Ombar)$ で $u\in W^{1,p}_0(\Omega)$ について
$$|u|_{0,\alpha;\Omega}\le C_{n,p,|\Omega|}\norm{Du}_{p;\Omega},u=0\ \on\pOm.$$

{{begin|proof|display=''Proof.''|collapsible=1}}
(1)を示す。{{ref|type=pro|label=riep2}}の(1)と{{ref|type=pro|label=riep1}}で $\mu=n^{-1}$、$q=\infty$ としたものより
$$\norm{u}_\infty\le CV_{n^{-1}}|Du|\le C|\Omega|^{n^{-1}-p^{-1}}\norm{Du}_p.$$

(2)を示す。$B=B_r\subset\R^n$ とする。{{ref|type=pro|label=riep2}}の(2)と{{ref|type=pro|label=riep1}}より
$$|u-u_B|\le\frac{(\diam B)^n}{n|B|}V_{n^{-1}}\left(\left(\left.|Du|\right)\right|_B\right)\le C|B|^{n^{-1}-p^{-1}}\norm{Du}_p\le Cr^\alpha\norm{Du}_p\ \inn B.$$
$x,y\in B$ とすると
$$|u(x)-u(y)|\le|u(x)-u_B|+|u(y)-u_B|\le Cr^\alpha\norm{Du}_p.\tag{*}\label{mor1}$$
$x,y\in\R^n$、$x\neq y$ について、$B=B_r$ を $x,y\in B$ かつ $r\le|x-y|$ となるようにとれるので
$$|u(x)-u(y)|\le C\norm{Du}_p|x-y|^\alpha$$
が成り立つ。$u=0$ on $\pOm$ は $u_m\in W^{1,p}_c(\Omega)$、$\norm{u_m-u}_{1,p;\Omega}\to 0\ (m\to\infty)$ とすると $u_m=0$ on $\pOm$、$\norm{u_m-u}_\infty\to 0\ (m\to\infty)$ となることから成り立つ。
{{end|proof}}

{{ref|type=cor|label=locGNS}}、{{ref|type=cor|label=gGNS}}と同様に次が成り立つ:

{{theorem|type=cor|label=locmor}}
$p\in(n,\infty)$ とする。$\alpha=1-\frac{n}{p}$ とすると $W^{1,p}_{\loc}(\Omega)\subset C^{0,\alpha}(\Omega)$。

{{theorem|type=cor|label=gmor}}
$p\in(n,\infty)$ とする。$\alpha=1-\frac{n}{p}$ とすると次が成り立つ:
*(1) $|\Omega|\lt\infty$ で $T\subset\pOm$ が(\ref{D})をみたす相対開集合のとき $W^{1,p}_0(\OmT)\subset C^{0,\alpha}(\Ombar)$ で $u\in W^{1,p}_0(\OmT)$ について
$$|u|_{0,\alpha;\Omega}\le C_{p,T,\Omega}\norm{u}_{1,p;\Omega}, u=0\ \on \Omega\backslash T.$$
*(2) $\Omega$ を有界な $C^{0,1}$ 領域とすると $W^{1,p}(\Omega)\subset C^{0,\alpha}(\Ombar)$ で $u\in W^{1,p}(\Omega)$ について
$$|u|_{0,\alpha;\Omega}\le C_{p,\Omega}\norm{u}_{1,p;\Omega}.$$

{{theorem|type=rmk}}
{{ref|type=thm|label=lip}}より、{{ref|type=cor|label=locmor}}と{{ref|type=cor|label=gmor}}の(2)は $p=\infty$ の場合にも成立する。

{{theorem|type=cor|name=a.e.微分可能性|label=difae}}
$p\in(n,\infty]$ とする。$u\in W^{1,p}_{\loc}(\Omega)$ は a.e. in $\Omega$ で微分可能で、各点微分と弱微分は一致する。

{{begin|proof|display=''Proof.''|collapsible=1}}
$p\in(n,\infty)$ としてよい。

$x_0\in\Omega$ は
$$r^{-n}\int_{B_r(x_0)}|Du-Du(x_0)|^p\to 0\ (r\to +0)$$
をみたすとする。Lebesgueの微分定理よりこれはa.e. $x_0\in\Omega$ で成り立つ。
$$v(x)\colon=u(x)-u(x_0)-Du(x_0)\cdot(x-x_0)\ (x\in\Omega)$$
と定め、$v(x)=o(|x-x_0|)\ (|x-x_0|\to +0)$ を示せばよい。

{{ref|type=thm|label=mor}}の証明の(\ref{mor1})より $B_r=B_r(x_0)\rcpt\Omega$ について
$$|v|_{\infty;B_r}=|v-v(x_0)|_{\infty;B_r}\le C\norm{Dv}_{p;B_r}r^{1-\frac{p}{n}}\le Cr\left(r^{-n}\int_{B_r}|Du-Du(x_0)|^p\right)^{p^{-1}}.$$
これより $v(x)=o(|x-x_0|)\ (|x-x_0|\to +0)$。
{{end|proof}}

{{theorem|type=ex}}
$p=\infty$ の場合を{{ref|type=thm|label=lip}}と組み合わせるとRademacherの定理([[Hausdorff測度とarea_coarea_formula]]の定理33)の別の証明が得られる。

==Trudinger-Moserの不等式==
{{ref|type=cor|label=gpn}}の注意で述べたように、$p=n\ge 2$ の場合のSobolevの不等式はその他の場合より繊細である。一方、Rieszポテンシャルを用いると{{ref|type=cor|label=pn}}と{{ref|type=cor|label=gpn}}の評価をより精密にすることができる。

{{theorem|type=thm|name=Trudinger-Moserの不等式|label=TM}}
$n\ge 2$ のとき次が成り立つ:
*(1) $|\Omega|\lt\infty$ のとき $u\in W^{1,n}_0(\Omega)\backslash\{0\}$ と $\alpha\gt 0$ について
$$\int_\Omega\exp\left(\left(\frac{|u|}{C_{n,\alpha}\norm{Du}_{n;\Omega}}\right)^\frac{n}{n-1}\right)\le (1+\alpha)|\Omega|.$$
*(2) $|\Omega|\lt\infty$ で $T\subset\pOm$ を $T\subset\pOm$ が(\ref{D})をみたす相対開集合のとき $u\in W^{1,n}_0(\OmT)\backslash\{0\}$ と $\alpha\gt 0$ について
$$\int_\Omega\exp\left(\left(\frac{|u|}{C_{\Omega,T,\alpha}\norm{u}_{1,n;\Omega}}\right)^\frac{n}{n-1}\right)\le (1+\alpha)|\Omega|.$$
*(3) $\Omega$ が有界な $C^{0,1}$ 領域のとき $u\in W^{1,n}(\Omega)\backslash\{0\}$ と $\alpha\gt 0$ について
$$\int_\Omega\exp\left(\left(\frac{|u|}{C_{\Omega,\alpha}\norm{u}_{1,n;\Omega}}\right)^\frac{n}{n-1}\right)\le (1+\alpha)|\Omega|.$$

{{begin|proof|display=''Proof.''|collapsible=1}}
(1)を示す。{{ref|type=pro|label=riep2}}の(1)より $u\in C^\infty_c(\R^n)$ について $|u|\le CV_{n^{-1}}|Du|$ となるので{{ref|type=pro|label=riep1}}より
$$\int_\Omega\left(\left(\frac{|u|}{C\norm{Du}_{n;\Omega}}\right)^\frac{n}{n-1}\right)\le(1+\alpha)|\Omega|.$$
一般の場合は近似により従う。

(2)と(3)は(1)と拡張作用素により示される。
{{end|proof}}

{{theorem|type=rmk}}
{{ref|type=cor|label=gpn}}の注意の $u$ は $\int_\Omega\exp\left(|u|^\frac{n}{n-1}\right)\lt\infty$ をみたしている。

==一般のSobolevの不等式==
{{theorem|type=thm|name=一般のSobolevの不等式|label=gsob}}
$k\in\Zp$、$p\in[1,\infty)$ とする。次が成り立つ:
*(1) $kp\lt n$ のとき $p_k\colon=\frac{np}{n-kp}$ とすると $W^{k,p}(\R^n)\subset L^{p_k}(\R^n)$ で $u\in W^{k,p}(\R^n)$ について
$$\norm{u}_{p_k;\R^n}\le C_{n,k,p}\norm{D^ku}_{p;\R^n}.$$
また $T\subset\pOm$ が $T\subset\pOm$ が(\ref{D})をみたす相対開集合のとき $W^{k,p}_0(\OmT)\subset L^{p_k}(\Omega)$ で $u\in W^{k,p}_0(\OmT)$ について
$$\norm{u}_{p_k;\Omega}\le C_{k,p,\Omega,T}\norm{u}_{k,p;\Omega}.$$
$\Omega$ が有界な $C^{0,1}$ 領域のとき $W^{k,p}(\Omega)\subset L^{p_k}(\Omega)$ で $u\in W^{k,p}(\Omega)$ について
$$\norm{u}_{p_k;\Omega}\le C_{k,p,\Omega}\norm{u}_{k,p;\Omega}.$$
*(2) $|\Omega|\lt\infty$、$kp=n$ のとき任意の $q\in[1,\infty)$ について $W^{k,p}_0(\Omega)\subset L^q(\Omega)$ で $u\in W^{k,p}_0(\Omega)$ について
$$\norm{u}_{q;\Omega}\le C_{n,k,q}|\Omega|^{q^{-1}}\norm{u}_{k,p;\Omega}.$$
また $|\Omega|\lt\infty$ で $T\subset\pOm$ が $T\subset\pOm$ が(\ref{D})をみたす相対開集合のとき任意の $q\in[p,\infty)$ について $W^{k,p}_0(\OmT)\subset L^q(\Omega)$ で $u\in W^{k,p}_0(\OmT)$ について
$$\norm{u}_{q;\Omega}\le C_{k,q,\Omega}\norm{u}_{k,p;\Omega}.$$
$\Omega$ が有界な $C^{0,1}$ 領域のとき任意の $q\in[p,\infty)$ について $W^{k,p}(\Omega)\subset L^q(\Omega)$ で $u\in W^{k,p}(\Omega)$ について
$$\norm{u}_{q;\Omega}\le C_{k,q,\Omega}\norm{D^ku}_{p;\Omega}.$$
*(3) $kp=n\ge k+1$、$|\Omega|\lt\infty$ のとき $u\in W^{k,p}_0(\Omega)\backslash\{0\}$ と $\alpha\gt 0$ について
$$\int_\Omega\exp\left(\left(\frac{|u|}{C_{n,k,\alpha}\norm{D^ku}_{p;\Omega}}\right)^\frac{n}{n-k}\right)\le (1+\alpha)|\Omega|.$$
また $|\Omega|\lt\infty$ で $T\subset\pOm$ が $T\subset\pOm$ が(\ref{D'})をみたす相対開集合のとき $u\in W^{k,p}_0(\OmT)\backslash\{0\}$ と $\alpha\gt 0$ について
$$\int_\Omega\exp\left(\left(\frac{|u|}{C_{k,\Omega,T,\alpha}\norm{u}_{k,p;\Omega}}\right)^\frac{n}{n-k}\right)\le (1+\alpha)|\Omega|.$$
$\Omega$ が有界なLipschitz領域のとき $u\in W^{k,p}(\Omega)\backslash\{0\}$ と $\alpha\gt 0$ について
$$\int_\Omega\exp\left(\left(\frac{|u|}{C_{k,\Omega,\alpha}\norm{u}_{k,p;\Omega}}\right)^\frac{n}{n-k}\right)\le (1+\alpha)|\Omega|.$$
*(4) $kp\gt n$、$\frac{n}{p}\notin\Z$ のとき $j\colon=\left\lfloor k-\frac{n}{p}\right\rfloor$、$\beta\colon= k-j-\frac{n}{p}$ とすると $W^{k,p}(\R^n)\subset C^{j,\beta}(\R^n)$ で $u\in W^{k,p}(\R^n)$ について
$$[u]_{j,\beta;\R^n}\le C_{n,k,p}\norm{D^ku}_{p;\R^n}.$$
また $|\Omega|\lt\infty$ のとき $u\in W^{k,p}_0(\Omega)$ について
$$|u|_{j,\beta;\Omega}\le C_{n,k,p,|\Omega|}\norm{u}_{k,p;\Omega},D^\alpha u=0\ \on\pOm\ (|\alpha|\le k-1).$$
$|\Omega|\lt\infty$ で $T\subset\pOm$ が(\ref{D})をみたす相対開集合のとき $W^{k,p}_0(\OmT)\subset C^{j,\beta}(\Ombar)$ で $u\in W^{k,p}_0(\OmT)$ について
$$|u|_{j,\beta;\Omega}\le C_{k,p,\Omega,T}\norm{u}_{k,p;\Omega},D^\alpha u=0\ \on\pOm\backslash T\ (|\alpha|\le k-1).$$
$\Omega$ が有界な $C^{0,1}$ 領域のとき $W^{k,p}(\Omega)\subset C^{j,\beta}(\Ombar)$ で $u\in W^{k,p}(\Omega)$ について
$$|u|_{j,\beta;\Omega}\le C_{k,p,\Omega}\norm{u}_{k,p;\Omega}.$$
*(5) $|\Omega|\lt\infty$、$kp\gt n$、$\frac{n}{p}\in\Z$ のとき $j\colon=k-\frac{n}{p}-1$ とすると任意の $\beta\in(0,1)$ について $W^{k,p}_0(\Omega)\subset C^{j,\beta}(\Ombar)$ で $u\in W^{k,p}_0(\Omega)$ について
$$|u|_{j,\beta;\Omega}\le C_{n,k,p,\beta,|\Omega|}\norm{u}_{k,p;\Omega},[u]_{j,\beta;\Omega}\le C_{n,k,p,\beta}|\Omega|^\frac{1-\beta}{n}\norm{D^ku}_{k,p;\Omega},D^\alpha u=0\ \on\pOm\ (|\alpha|\le k-1).$$
$|\Omega|\lt\infty$ で $T\subset\pOm$ が(\ref{D})をみたす相対開集合のとき $W^{k,p}_0(\OmT)\subset C^{j,\beta}(\Ombar)$ で $u\in W^{k,p}_0(\OmT)$ について
$$|u|_{j,\beta;\Omega}\le C_{k,p,\beta,\Omega,T}\norm{u}_{k,p;\Omega}.$$
$\Omega$ が有界な $C^{0,1}$ 領域のとき $W^{k,p}(\Omega)\subset C^{j,\beta}(\Ombar)$ で $u\in W^{k,p}(\Omega)$ について
$$|u|_{j,\beta;\Omega}\le C_{k,p,\beta,\Omega}\norm{u}_{k,p;\Omega}.$$
*(6) $k\gt n$、$p=1$ のとき $W^{k,1}(\R^n)\subset C^{k-n}(\R^n)\cap W^{k-n,\infty}(\R^n)$ で $u\in W^{k,1}(\R^n)$ について
$$[u]_{k-n;\R^n}\le C_{n,k}\norm{D^ku}_{1;\R^n},D^\alpha u=0\ \on\pOm\ (|\alpha|\le k-1).$$
$T\subset\pOm$ が(\ref{D})をみたす相対開集合のとき $W^{k,1}_0(\OmT)\subset C^{k-n}(\Ombar)\cap W^{k-n,\infty}(\Omega)$ で $u\in W^{k,1}(\Omega)$ について
$$[u]_{k-n;\Omega}\le C_{k,\Omega,T}\norm{u}_{k,1;\Omega},D^\alpha u=0\ \on\pOm\backslash T\ (|\alpha|\le k-1).$$
$\Omega$ が有界な $C^{0,1}$ 領域のとき $W^{k,1}(\Omega)\subset C^{k-n}(\Ombar)$ で $u\in W^{k,1}(\Omega)$ について
$$[u]_{k-n;\Omega}\le C_{k,\Omega}\norm{u}_{k,1;\Omega}.$$
{{begin|proof|display=''Proof.''}}
(1)、(2)、(4)、(5)は{{ref|type=thm|label=dim1mor}}、{{ref|type=thm|label=GNS}}、{{ref|type=cor|label=pn}}、{{ref|type=cor|label=gpn}}、{{ref|type=cor|label=gGNS}}、{{ref|type=thm|label=mor}}、{{ref|type=cor|label=gmor}}を用いて $k$ に関する帰納法により示される。

(3)は前半は{{ref|type=thm|label=TM}}と同様。拡張作用素により後半も従う。

(6)を示す。前半の $k=n$ の場合を示せば十分。$u\in C^\infty_c(\R^n)$ について{{ref|type=pro|label=riep2}}の(1)より
$$|u|\le V_1|D^nu|=\int_{\R^n}|D^nu|=\norm{D^nu}_1.$$
近似によりこれは任意の $u\in W^{n,1}(\R^n)$ に対して成り立つ。またこれより
$$W^{n,1}(\R^n)\subset\overline{C^\infty_c(\R^n)}^{L^\infty(\R^n)}\subset C(\R^n).$$
{{end|proof}}

==コンパクト埋め込み==
{{theorem|type=lem|label=cptlem}}
$p\in[1,\infty)$ とする。$u\in W^{1,p}(\R^n)$ と $\varepsilon\gt 0$ について
$$\norm{\eta_\varepsilon*u-u}_{p;\R^n}\le C_{n,p}\norm{Du}_{p;\R^n}\varepsilon.$$

{{begin|proof|display=''Proof.''}}
{{ref|type=thm|label=difq1}}に注意して
\begin{align*}
\int_{\R^n}|\eta_\varepsilon*u-u|^p&=\int_{\R^n}\left|\int_{B_\varepsilon(0)}\eta_\varepsilon(y)(u(x-y)-u(x))dy\right|^pdx\\
&=\int_{\R^n}\norm{\eta_\varepsilon}_{p'}^p\left(\int_{B_\varepsilon(0)}|u(x-y)-u(x)|^pdy\right)dx\\
&\le C\varepsilon^{-n}\int_{\R^n}\left(\int_{0}^\varepsilon\left(\int_{\partial B_1(0)}t^{n-1+p}|\Delta^t_z u(x)|^pd\H^{n-1}(z)\right)dt\right)dx\\
&\le C\varepsilon^{-n}\int_{0}^\varepsilon\left(\int_{\partial B_1(0)}t^{n-1+p}\norm{Du}_p^pd\H^{n-1}(z)\right)dt\\
&\le C\varepsilon^{-n}\norm{Du}_p^p\int_0^\varepsilon t^{n-1+p}dt\le C\norm{Du}_p^p\varepsilon^p.
\end{align*}
{{end|proof}}

{{theorem|type=thm|name=Rellich-Kondrachovの定理|label=cpt}}
$p\in[1,\infty)$ とし、
$$\begin{cases}
q\in[1,p^*)&\colon p\in(1,n)\\
q\in[1,\infty)&\colon p=n\\
q\in[1,\infty]&\colon p\in(n,\infty)
\end{cases}$$
とする。次が成り立つ:
*(1) $|\Omega|\lt\infty$ のとき埋め込み $W^{1,p}_0(\Omega)\subset L^q(\Omega)$ はコンパクトである。すなわち、$\{u_m\}_{m=1}^\infty\subset W^{1,p}_0(\Omega)$ が $\displaystyle \sup_{m}\norm{u_m}_{1,p;\Omega}\lt\infty$ をみたすとすると、$\{u_m\}_{m=1}^\infty$ の部分列で $L^q(\Omega)$ で収束するものが存在する。
*(2) $|\Omega|\lt\infty$ で $T\subset\pOm$ が(\ref{D})をみたす相対開集合のとき埋め込み $W^{1,p}_0(\OmT)\subset L^q(\Omega)$ はコンパクトである。
*(3) $\Omega$ を有界な $C^{0,1}$ 領域とすると、埋め込み $W^{1,p}(\Omega)\subset L^q(\Omega)$ はコンパクトである。

{{begin|proof|display=''Proof.''}}
(1)の $\Omega$ が有界かつ $q=p\in[1,n]$ の場合を示す。

開球 $B\subset\R^n$ を $\Omega\rcpt B$ となるようにとる。$\varepsilon\gt 0$ とすると $k=0,1$ について
$$\norm{D^k(\eta_\varepsilon*u_m)}_\infty\le C\varepsilon^{np^{-1}}\norm{D^ku_m}_p$$
であるから $\displaystyle\sup_m|\eta_\varepsilon*u_m|_{1;B}\lt\infty$。

[[Hölder空間の基本事項]]の定理62と対角線論法により、$\{u_m\}_{m=1}^\infty$ の部分列 $\{u_{m_j}\}_{j=1}^\infty$ で任意の $l\in\Zp$ について $\{\eta_{l^{-1}}*u_{m_j}\}_{j=1}^\infty$ が $C(\overline{B})$ において収束し、とくに $L^p(B)$ において収束するものがとれる。{{ref|type=lem|label=cptlem}}より
\begin{align*}
\limsup_{i,j\to\infty}\norm{u_{m_i}-u_{m_j}}_p&\le\limsup_{i,j\to\infty}\left(\norm{\eta_{l^{-1}}*u_{m_i}-\eta_{l^{-1}}*u_{m_j}}_p+C\left(\norm{Du_{m_i}}_p+\norm{Du_{m_j}}_p\right)l^{-1}\right)\\
&\le C\sup_m\norm{Du_m}_pl^{-1}.
\end{align*}
$l\to\infty$ として $\displaystyle\limsup_{i,j\to\infty}\norm{u_{m_i}-u_{m_j}}_p=0$ を得る。

(1)の $\Omega$ が非有界かつ $q=p\in[1,n]$ の場合を示す。$\zeta\in C^\infty_c(B_2(0))$ を $\zeta=1$ in $B_1(0)$ となるようにとり、$\zeta_l(x)\colon=\zeta(l^{-1}x)\ (l\in\Zp)$ とする。(1)の $\Omega$ が有界な場合と対角線論法により $\{u_{m_j}\}_{j=1}^\infty$ で任意の$l\in\Zp$ について $\{\zeta_lu_{m_j}\}_{j=1}^\infty$ が $L^p(\Omega)$ で収束するものがとれる。また
$$\norm{(1-\zeta_l)u_m}_p\le C|\Omega\backslash B_l(0)|^\frac{1}{n}\norm{D((1-\zeta_l)u_m)}_p\le C|\Omega\backslash B_l(0)|^\frac{1}{n}(1+l^{-1})\norm{u_m}_{1,p}.$$
これより
$$\limsup_{i,j\to\infty}\norm{u_{m_i}-u_{m_j}}_p\le\limsup_{i,j\to\infty}\norm{\zeta_l u_{m_i}-\zeta_l u_{m_j}}_p+C|\Omega\backslash B_l(0)|^\frac{1}{n}\sup_m\norm{u_m}_{1,p}.$$
$|\Omega\backslash B_l(0)|\to 0\ (l\to\infty)$ より $l\to\infty$ とすれば $\displaystyle\limsup_{i,j\to\infty}\norm{u_{m_i}-u_{m_j}}_p=0$ を得る。

(1)の $p\in[1,n]$ の場合は $L^p(\Omega)$ で収束する部分列 $\{u_{m_j}\}_{j=1}^\infty$ をとればHölderの不等式と{{ref|type=thm|label=GNS}}、{{ref|type=cor|label=pn}}より
$$\limsup_{i,j\to\infty}\norm{u_{m_i}-u_{m_j}}_q\le\begin{cases}
\limsup_{i,j\to\infty}|\Omega|^{p^{-1}-q^{-1}}\norm{u_{m_i}-u_{m_j}}_p=0\ &\colon q\in[1,p]\\
\limsup_{i,j\to\infty}\norm{u_{m_i}-u_{m_j}}_p^\frac{n}{q}\left(\norm{Du_{m_i}}_p+\norm{Du_{m_j}}_p\right)^{1-\frac{n}{q}}=0\ &\colon q\in(p,p^*)
\end{cases}$$
となり従う。

(1)の $p\in(n,\infty]$ の場合を示す。$q=\infty$ としてよい。$\Omega$ が有界な場合は{{ref|type=thm|label=mor}}と[[Hölder空間の基本事項]]の命題61から従う。$\Omega$ が非有界な場合は $\Omega$ が有界な場合と対角線論法により $l\in\Zp$ について $\{\zeta_lu_{m_j}\}_{j=1}^\infty$ が $L^\infty(\Omega)$ で収束する部分列 $\{u_{m_j}\}_{j=1}^\infty$ がとれ、{{ref|type=thm|label=mor}}より
$$\limsup_{i,j\to\infty}\norm{u_{m_i}-u_{m_j}}_\infty\le\limsup_{i,j\to\infty}\norm{\zeta_lu_{m_i}-\zeta_lu_{m_j}}_\infty+2\sup_m\norm{(1-\zeta_l)u_m}_\infty\le C|\Omega\backslash B_l(0)|^{n^{-1}-p^{-1}}\sup_m\norm{Du}_p.$$

$l\to\infty$ とすれば $\displaystyle\limsup_{i,j\to\infty}\norm{u_{m_i}-u_{m_j}}_\infty=0$ を得る。

(2)、(3)は拡張作用素 $E\colon W^{1,p}(\Omega)\to W^{1,p}_0(\Omega_0)\ (\Omega\rcpt\Omega_0,|\Omega_0|\lt\infty)$ をとって $\{Eu_{m_j}\}_{j=1}^\infty$ が $L^q(\Omega_0)$ で収束する部分列 $\{u_{m_j}\}_{j=1}^\infty$ をとればよい。
{{end|proof}}

{{theorem|type=rmk}}
とくに $q=p$ の場合が重要である。すなわち、$|\Omega|\lt\infty$ のとき埋め込み $W^{1,p}_0(\Omega)\subset L^p(\Omega)$ はコンパクトで、$\Omega$ が有界な $C^{0,1}$ 領域のときは埋め込み $W^{1,p}(\Omega)\subset L^p(\Omega)$ はコンパクトである。

$k\gt j$ なる $j,k\in\Zz$ と $p\in[1,\infty]$ について、帰納法により
$$\begin{cases}
q\in\left[1,\frac{np}{n-(k-j)p}\right)&\colon np\lt k-j\\
q\in[1,\infty)&\colon np=k-j\\
q\in[1,\infty]&\colon np\gt k-j
\end{cases}$$
とすると $|\Omega|\lt\infty$ のとき埋め込み $W^{k,p}_0(\Omega)\subset W^{j,q}(\Omega)$ はコンパクトで、$\Omega$ が有界な $C^{0,1}$ 領域のとき埋め込み $W^{k,p}(\Omega)\subset W^{j,q}(\Omega)$ はコンパクトである。

(1)の仮定「 $|\Omega|\lt\infty$ 」と(2)の仮定「有界」は外すことができない。例えば $\Omega=\R^n$ とし、$u\in C^\infty_c(\R^n)\backslash\{0\}$、$u_m(x)\colon=u(x-me_1)$ とすると $\{u_m\}_m$ は明らかに $W^{1,p}(\R^n)$ で有界である。一方、$u_m\to 0$ a.e. in $\R^n\ (m\to\infty)$ であるから、$\{u_m\}_m$ が $L^q(\R^n)$ で収束する部分列をもつとすればその極限は $0$ であるが、$\norm{u_m}_q=\norm{u}_q\gt 0$ より $\{u_m\}_m$ は $0$ に $L^q(\R^n)$ で収束する部分列をもたず、従って$L^q(\R^n)$ で収束する部分列をもたない。

また、$p\in[1,n)$ のとき $\Omega$ がいかなる開集合であっても $q=p^*$ を含めることはできない。実際、$0\in\Omega$ として一般性を失わない。$u\in C^\infty_c(\R^n)\backslash\{0\}$ として $\lambda\gt 0$ について $u_\lambda(x)\colon=\lambda^{\frac{n}{p}-1}u(\lambda x)$ とすると十分小さい $\lambda\gt 0$ について $u_\lambda\in C^\infty_c(\Omega)$ であり、また変数変換により $\norm{Du_\lambda}_p=\norm{Du}_p$ であるから $\displaystyle\sup_{\lambda\gt 0}\norm{Du_\lambda}_p\lt\infty$。一方、$u_\lambda\to 0$ a.e. in $\Omega\ (\lambda\to +0)$ であるから、$\{u_{m^{-1}}\}_m$ が $L^q(\Omega)$ で収束する部分列をもつとすればその極限は $0$ であるが、$\norm{u_\lambda}_{p^*}=\norm{u}_{p^*}\gt 0$ より $\{u_{m^{-1}}\}_m$ は $0$ に $L^{p^*}(\Omega)$ で収束する部分列をもたず、従って$L^{p^*}(\Omega)$ で収束する部分列をもたない。

{{theorem|type=cor|name=Poincaréの不等式|label=Poi2}}
$\Omega$ が $|\Omega|\lt\infty$ かつ連結で相対開集合 $T\subset\pOm$ が(\ref{D})をみたすとし、$p\in[1,\infty)$ とする。$\mathcal{W}\subset W^{1,p}_0(\OmT)$ はノルム閉集合で $u∈\mathcal{W},t\in\R\implies tu∈\mathcal{W}$ かつ $1\notin\mathcal{W}$ をみたすとする。$u\in \mathcal{W}$ について
$$\norm{u}_{p;\Omega}\le C_{p,\mathcal{W}}\norm{Du}_{p;\Omega}.$$

{{begin|proof|display=''Proof.''}}
主張が成り立たなかったとする。$(u_m)_S=1$ なる $\{u_m\}_{m=1}^\infty\subset \mathcal{W}$ が存在し、$\norm{u_m}_p=1$ かつ $\norm{Du_m}_p\to 0\ (m\to\infty)$ となる。{{ref|type=thm|label=cpt}}より部分列にとりかえてある $u\in L^p(\Omega)$ について $\norm{u_m-u}_p\to 0\ (m\to\infty)$ となるとしてよい。

$\norm{Du_m}_p\to 0\ (m\to\infty)$ であるから $u\in W^{1,p}(\Omega)$、$Du=0$ in $\Omega$ となり $v$ は定数関数である。<ref name="const">$\Omega'\rcpt\Omega$、$\varepsilon\gt 0$ とすると $D(\eta_\varepsilon*u)=\eta_\varepsilon*Du=0$ となり $\eta_\varepsilon*u$ は局所定数関数で、$\varepsilon\to +0$ とすれば $u$ も局所定数関数である。$\Omega$ は連結であるから $u$ は定数関数である。</ref>一方 $\norm{u_m-u}_{1,p}\to 0\ (m\to\infty)$ となるので $u\in\mathcal{W}$。$1\notin\mathcal{W}$ より $\mathcal{W}$ は $0$ 以外の定数関数を含まないので $u=0$。これは $\norm{u_m}_p=1$ より $\norm{u}_p=1$ となることに矛盾。
{{end|proof}}

{{theorem|type=rmk}}
たとえば次が成り立つ:
*(1) $1\notin W^{1,p}_0(\OmT)$ とすると任意の $u\in W^{1,p}_0(\OmT)$ について $\norm{u}\le C_{p,\Omega,T}\norm{Du}$。
*(2) $\delta\gt 0$ とすると $\{u\in L^p(\Omega)\colon |\{u=0\}|\ge\delta\}$ はノルム閉集合である。実際、$\{u_m\}_{m=1}^\infty\subset L^p(\Omega)$ と $u\in L^p(\Omega)$ が $|\{u_m\ge 0\}|\ge\delta$ かつ $\norm{u_m-u}_p\to 0\ (m\to\infty)$ をみたすとすると任意の $r\gt 0$ について $|\{|u_m-u|\gt r\}|\le r^{-p}\norm{u_m-u}_p^p$ であるから任意の $\varepsilon\gt 0$ について十分 $m$ を大きくとれば $|\{|u_m-u|\gt r\}|\le\varepsilon$ となり $\{u_m=0\}\backslash\{|u_m-u|\gt r\}\subset\{|u|\le r\}$ より $|\{|u|\le r\}|\ge\delta-\varepsilon$。$r\to +0$、$\varepsilon\to +0$ として $|\{u=0\}|\ge\delta$ を得る。

これより $\mathcal{W}=\{u\in W^{1,p}_0(\OmT)\colon |\{u=0\}|\ge\delta\}$ も $0$ 以外の定数関数を含まないノルム閉集合であり、$u\in\mathcal{W}$ について $\norm{u}_p\le C_{p,\Omega,T,\delta}\norm{Du}_p$ が成り立つ。
*(3) $\xi\in\pOm\backslash T$ と $r\gt 0$ が存在して $B=B_r(\xi)$ が $B\cap T=\emptyset$ かつ $|B\backslash\Omega|\gt 0$ をみたすとすると $\Omega$ を $\Omega\cup B$ にとりかえて $\mathcal{W}=W^{1,p}_0(\OmT)$ とすることにより任意の $u\in W^{1,p}_0(\OmT)$ について $\norm{u}\le C_{p,\Omega,T}\norm{Du}$。
*(4) $\Omega$ が有界かつ連結な $C^{0,1}$ 領域のとき、$T=\pOm$ として $\mathcal{W}=\{u\in W^{1,p}(\Omega)\colon u_\Omega=0\}$ ( $u_\Omega\colon=\frac{1}{|\Omega|}\int_\Omega u$ )とすると $\mathcal{W}$ は仮定をみたし、任意の $u\in W^{1,p}(\Omega)$ について
$$\norm{u-u_S}_p\le C_{p,\Omega}\norm{Du}_p.$$

(1)、(3)と{{ref|type=thm|label=Poi0}}の(1)、(4)と{{ref|type=thm|label=Poi}}を比較せよ。凸領域は連結かつ $C^{0,1}$ であるから{{ref|type=cor|label=Poi2}}の方がより一般的な不等式である。一方、{{ref|type=thm|label=Poi0}}と{{ref|type=thm|label=Poi}}では $C$ がどのように $\Omega$ に依存するかまでわかっているが、{{ref|type=cor|label=Poi2}}の証明は $C$ の具体的な表示を与えていない。

==補間不等式==
ここでは主に
$$\norm{D^ju}_{r;\Omega}\le C\norm{u}_{k,p;\Omega}^{1-\tau}\norm{u}_{q;\Omega}^\tau$$
の形の補間不等式を取り扱う。

{{theorem|type=lem|name=$n=1$、$j=1$、$k=2$ の場合|label=intp1}}
$p,q\in[1,\infty]$ とし、$r\colon=\left(\frac{1}{2}p^{-1}+\frac{1}{2}q^{-1}\right)^{-1}$ とすると $u\in W^{k,p}(\R)$ について
$$\norm{u'}_{1,r;\R}\le C\norm{u^{\prime\prime}}_{p;\R}^\frac{1}{2}\norm{u}_{q;\R}^\frac{1}{2}.$$

{{begin|proof|display=''Proof.''}}
$p,q\in[1,\infty)$ の場合を示す。

$u\in C^\infty_c(\R)\backslash\{0\}$ としてよい。$J=(a,b)\subset\R$ を開区間とする。$x\in J_1\colon=(a,a+\frac{1}{3}|J|)$、$y\in J_2\colon=(b-\frac{1}{3}|J|,b)$ とすると $z\in J$ について
$$\frac{1}{3}|J||u'(z)|\le(y-x)|u'(z)|=\left|u(y)-u(x)-\int_x^y(u'-u'(z))\right|\le|u(y)|+|u(x)|+|J|\int_J|u^{\prime\prime}|.$$
$x\in I_1$、$y\in I_2$ について積分しHölderの不等式を用いると
\begin{align*}
\frac{1}{27}|J|^3|u'(z)|&\le\frac{1}{3}|J|\left(\int_{J_1}|u|+\int_{J_2}|u|\right)+\frac{1}{9}|J|^3\int_J|u^{\prime\prime}|\\
&\le\frac{1}{3}|J|\int_J|u|+\frac{1}{9}|J|^3\int_J|u^{\prime\prime}|\\
&\le\frac{1}{9}|J|^{4-p^{-1}}\norm{u^{\prime\prime}}_{p;J}+\frac{1}{3}|J|^{2-q^{-1}}\norm{u}_{q;J}.
\end{align*}
これより
$$\norm{u'}_{r;J}\le|J|^{r^{-1}}\norm{u'}_{\infty;J}\le 3|J|^{1-\frac{1}{2}(p^{-1}-q^{-1})}\norm{u^{\prime\prime}}_{p;J}+9|J|^{-1+\frac{1}{2}(p^{-1}-q^{-1})}\norm{u}_{q;J}.$$
ここで $U\colon=\{u\neq 0\}$ とする。$x\in U$ について $t\mapsto\norm{u}_{q;(x-t,x+t)}$ と $t\mapsto\norm{u^{\prime\prime}}_{p;(x-t,x+t)}$ は $(0,+\infty)$ から $\R$ へ連続であって
$$(2t)^{-1+\frac{1}{2}(p^{-1}-q^{-1})}\norm{u}_{q;(x-t,x+t)}\to+\infty,(2t)^{1-\frac{1}{2}(p^{-1}-q^{-1})}\norm{u^{\prime\prime}}_{p;(x-t,x+t)}\to 0\ (t\to +0)$$
かつ
$$(2t)^{-1+\frac{1}{2}(p^{-1}-q^{-1})}\norm{u}_{q;(x-t,x+t)}\to 0,(2t)^{1-\frac{1}{2}(p^{-1}-q^{-1})}\norm{u^{\prime\prime}}_{p;(x-t,x+t)}\to +\infty\ (t\to +\infty)$$
であるから中間値の定理より $t_x\in(0,+\infty)$ が存在して
$$(2t_x)^{-1+\frac{1}{2}(p^{-1}-q^{-1})}\norm{u}_{q;(x-t_x,x+t_x)}=(2t_x)^{1-\frac{1}{2}(p^{-1}-q^{-1})}\norm{u^{\prime\prime}}_{p;(x-t_x,x+t_x)}=\norm{u}_{q;(x-t_x,x+t_x)}^\frac{1}{2}\norm{u^{\prime\prime}}_{p;(x-t_x,x+t_x)}^\frac{1}{2}.$$
また $t_x\ge\diam U$ を仮定すると $U\subset(x-t_x,x+t_x)$ より $\norm{u}_{q;(x-t_x,x+t_x)}=\norm{u}_{q;\R}$、$\norm{u^{\prime\prime}}_{p;(x-t_x,x+t_x)}=\norm{u^{\prime\prime}}_{p;\R}$ となり
$$(2t_x)^{2-p^{-1}+q^{-1}}=\frac{\norm{u}_{q;\R}}{\norm{u^{\prime\prime}}_{p;\R}}.$$
これより
$$t_x\le\max\left\{\diam U,\frac{1}{2}\left(\frac{\norm{u}_{q;\R}}{\norm{u^{\prime\prime}}_{p;\R}}\right)^{(2-p^{-1}+q^{-1})^{-1}}\right\}.$$
[[Besicovitchの被覆定理]]より $\{J_i\}_{i=1}^\infty=\{(x_i-t_{x_i},x_i+t_{x_i})\}_{i=1}^j$、$j\in\Zp\cup\{\infty\}$ が存在して
$$U\subset\bigcup_{i=1}^j J_i,\sum_{i=1}^j\chi_{J_i}\le C.$$
$u'=0$ a.e. on $\R\backslash U$ に注意すると
\begin{align*}
\norm{u'}_{r;\R}^r&=\norm{u'}_{r;U}^r\\
&\le\sum_{i=1}^j\norm{u'}_{r;J_i}^r\\
&\le C\sum_{i=1}^j\left(\norm{u}_{q;J_i}\norm{u^{\prime\prime}}_{p;J_i}\right)^\frac{r}{2}\\
&\le C\left(\sum_{i=1}^j\norm{u}_{q;J_i}^q\right)^\frac{r}{2q}\left(\sum_{i=1}^j\norm{u^{\prime\prime}}_{p;J_i}^p\right)^\frac{r}{2p}\\
&\le C\norm{u}_{q;\R}^\frac{r}{2}\norm{u^{\prime\prime}}_{p;\R}^\frac{r}{2}
\end{align*}
を得る。

この定数 $C$ は $p,q$ には依存しないので、$p=\infty$ あるいは $q=\infty$ で $\supp u$ が有界の場合も成り立つ。一般の場合は $\zeta\in C^\infty_c(-2,2)$ を $\zeta=1$ in $(-1,1)$ となるようにとり $\zeta_m(t)\colon=\zeta(m^{-1}t)\ (m\in\Zp)$ として $\zeta_mu$ に補間不等式を用いて $m\to\infty$ とすれば従う。
{{end|proof}}

{{theorem|type=thm|name=補間不等式|label=intp2}}
$j,k\in\Zp$、$j\lt k$、$p,q\in[1,\infty]$ とし、$r\colon=\left(\frac{j}{k}p^{-1}+\frac{k-j}{k}q^{-1}\right)^{-1}$ とする。次が成り立つ:
*(1) $W^{k,p}(\R^n)\cap L^q(\R^n)\subset W^{j,r}(\R^n)$ で $u\in W^{k,p}(\R^n)\cap L^q(\R^n)$ について
$$\norm{D^ju}_{r;\R^n}\le C_{n,j,k}\norm{D^ku}_{p;\R^n}^\frac{j}{k}\norm{u}_{q;\R^n}^\frac{k-j}{k}.$$
*(2) $T\subset\pOm$ が(\ref{D'})をみたす相対開集合のとき $W^{k,p}_0(\OmT)\cap L^q(\Omega)\subset W^{j,r}_0(\OmT)$ で $u\in W^{k,p}_0(\OmT)\cap L^q(\Omega)$ について
$$\norm{D^ju}_{r;\Omega}\le C_{j,k,\Omega,T}\norm{u}_{k,p;\Omega}^\frac{j}{k}\norm{u}_{q;\Omega}^\frac{k-j}{k}.$$
*(3) $\Omega$ が有界なLipschitz領域のとき $W^{k,p}(\Omega)\cap L^q(\Omega)\subset W^{j,r}(\Omega)$ で $u\in W^{k,p}(\Omega)\cap L^q(\Omega)$ について
$$\norm{D^ju}_{r;\Omega}\le C_{j,k,\Omega}\norm{u}_{k,p;\Omega}^\frac{j}{k}\norm{u}_{q;\Omega}^\frac{k-j}{k}.$$

{{begin|proof|display=''Proof.''}}
(1)を示す。(2)と(3)は(1)と拡張作用素により従う。

まず $j=1$、$k=2$、$p,q\in[1,\infty)$ の場合を示す。$u\in C^\infty_c(\R^n)$ としてよい。{{ref|type=lem|label=intp0}}より $i=1,\ldots,n$ について
\begin{align*}
\norm{D_iu}_r&=\left(\int_{\R^{n-1}}\left(\int_\R|D_iu(x_1,\ldots ,x_n)|^rdx_i\right)dx_1\ldots dx_{i-1}dx_{i+1}\ldots dx_n\right)^{r^{-1}}\\
&\le C\left(\int_{\R^{n-1}}\left(\int_\R|D_{ii}u(x_1,\ldots,x_n)|^pdx_i\right)^\frac{r}{2p}\left(\int_\R|u(x_1,\ldots ,x_n)|^qdx_i\right)^\frac{r}{2q}dx_1\ldots dx_{i-1}dx_{i+1}\ldots dx_n\right)^{r^{-1}}\\
&\le C\norm{D_{ii}u}_p^\frac{1}{2}\norm{u}_q^\frac{1}{2}.
\end{align*}
これより $\norm{Du}_r\le C\norm{u}_p^\frac{1}{2}\norm{D^2u}_q^\frac{1}{2}$ を得る。

$j=1$、$k=2$ で $p,q$ のいずれかが $\infty$ の場合を示す。$\supp u$ がコンパクトな場合は $p,q\in[1,\infty)$ の場合の定数 $C$ が $p,q$ に依存していないことから従う。$\supp u$ がコンパクトでない場合は $\zeta\in C^\infty_c(B_2(0))$ を $0\le\zeta\le 1$、$\zeta=1$ in $B_1(0)$ となるようにとり $\zeta_m(x)=\zeta(m^{-1}x)\ (m\in\Zp)$ として $\zeta_mu$ に補間不等式を用いて $m\to\infty$ とすれば従う。

$k=j+1$ の場合を $j$ に関する帰納法により示す。

$j=1$ の場合は既に示した。

ある $j$ について主張が成り立ったとし、$u\in W^{j+2,p}(\R^n)\cap L^q(\R^n)$、$r\colon=\left(\frac{j+1}{j+2}p^{-1}+\frac{1}{j+1}q^{-1}\right)^{-1}$ とする。$j=1$ の場合と仮定より
$$\norm{D^{j+1}u}_r\le C\norm{D^ju}_{\left(\frac{j}{j+2}p^{-1}+\frac{2}{j+1}q^{-1}\right)^{-1}}^\frac{1}{2}\norm{D^{j+2}u}_p^\frac{1}{2}\le C\norm{D^{j+1}u}_r^\frac{j}{2(j+1)}\norm{D^{j+2}u}_{p}^\frac{1}{2}\norm{u}_q^\frac{1}{2(j+1)}.$$
これより
$$\norm{D^{j+1}u}_r\le C\norm{D^{j+2}u}_p^\frac{j+1}{j+2}\norm{u}_q^\frac{1}{j+2}$$
を得る。

一般の場合を $j$ を固定し $k$ に関する帰納法により示す。

$k=j+1$ の場合は既に示した。

ある $k$ について主張が成り立ったとし、$u\in W^{k+1,p}(\R^n)\cap L^q(\R^n)$、$r\colon=\left(\frac{j}{k+1}p^{-1}+\frac{k-j+1}{k+1}q^{-1}\right)^{-1}$ とする。$k=j+1$ の場合と仮定より
$$\norm{D^ju}_r\le C\norm{D^ku}_{\left(\frac{k}{k+1}p^{-1}+\frac{1}{k+1}q^{-1}\right)^{-1}}^\frac{j}{k}\norm{u}_q^\frac{k-j}{k}\le C\norm{D^ju}_r^\frac{j}{k(k-j+1)}\norm{D^{k+1}u}_p^\frac{j(k-j)}{k(k-j+1)}\norm{u}_q^\frac{k-j}{k}.$$
これより
$$\norm{D^ju}_r\le C\norm{D^{k+1}u}_p^\frac{j}{k+1}\norm{u}_q^\frac{k-j+1}{k+1}$$
を得る。
{{end|proof}}

{{theorem|type=cor|label=equivnorm}}
$\Omega=\R^n$、あるいは $\Omega$ が有界なLipschitz領域のとき $p\in[1,\infty]$ とすると $u\in W^{k,p}(\Omega)$ について
$$\norm{u}_{k,p;\Omega}\le C_{k,\Omega}\left(\norm{u}_{p;\Omega}+\norm{D^ku}_{p;\Omega}\right).$$

{{begin|proof}}
{{ref|type=thm|label=intp2}}で $p=q$ とすると $j=1,\ldots,k-1$ について
$$\norm{D^ju}_{p}\le C\norm{u}_{k,p}^\frac{j}{k}\norm{u}_p^\frac{k-j}{k}\le\frac{1}{2(k-1)}\norm{u}_{k,p}+C\norm{u}_p$$
であるから
$$\norm{u}_{k,p}\le\sum_{j=0}^k\norm{D^ju}_p\le\frac{1}{2}\norm{u}_{k,p}+C(\norm{u}_p+\norm{D^ku}_p)$$
となり
$$\norm{u}_{k,p}\le C(\norm{u}_p+\norm{D^ku}_p)$$
となる。
{{end|proof}}

{{theorem|type=rmk}}
これより $\norm{u}_p+\norm{D^ku}_p$ や $\left(\norm{u}_p^p+\norm{D^ku}_p^p\right)^{p^{-1}}$ は $W^{k,p}(\Omega)$ に $\norm{u}_{k,p}$ と同値なノルムを定めることが従う。

一方Sobolevの不等式を用いるとこれとは異なる補間不等式を得られる。

{{theorem|type=pro|label=intp3}}
$p\in[1,n]$、$q\in[1,\infty)$、$\tau\in(0,1]$ とし、$r\colon=\left((1-\tau)p^{*-1}+\tau q^{-1}\right)^{-1}$ とすると次が成り立つ:
*(1) $W^{1,p}(\R^n)\cap L^q(\R^n)\subset L^r(\R^n)$ で $u\in W^{1,p}(\R^n)\cap L^q(\R^n)$ について
$$\norm{u}_{r;\R^n}\le C_{n,p,q,\tau}\norm{Du}_{p;\R^n}^{1-\tau}\norm{u}_{q;\R^n}^\tau.$$
*(2) $T\subset\pOm$ が(\ref{D})をみたす相対開集合のとき $W^{1,p}_0(\OmT)\cap L^q(\Omega)\subset L^r(\Omega)$ で $u\in W^{1,p}_0(\OmT)\cap L^q(\Omega)$ について
$$\norm{u}_{r;\Omega}\le C_{n,p,q,\tau,\Omega,T}\norm{u}_{1,p;\Omega}^{1-\tau}\norm{u}_{q;\Omega}^\tau.$$
*(3) $\Omega$ が有界な $C^{0,1}$ 領域のとき $W^{1,p}(\Omega)\cap L^q(\Omega)\subset L^r(\Omega)$ で $u\in W^{1,p}(\Omega)\cap L^q(\Omega)$ について
$$\norm{u}_{r;\Omega}\le C_{n,p,q,\tau,\Omega}\norm{u}_{1,p;\Omega}^{1-\tau}\norm{u}_{q;\Omega}^\tau.$$

{{begin|proof|display=''Proof.''}}
(1)を示す。(2)と(3)は(1)と拡張作用素により従う。

$p\in[1,n)$ のときは{{ref|type=thm|label=GNS}}より直ちに従う。以下 $p=n$ とする。

$m\in\Zp$ について{{ref|type=thm|label=GNS}}より
$$\norm{u}_{q+m1^*}^{1^{*-1}q+m}\le C\norm{|u|^{1^{*-1}q+m-1}Du}_1\le C\norm{Du}_n\norm{u}_{q+(m-1)1^*}^{1^{*-1}q+m-1}.$$
帰納法により $m\in\Zp$ について
$$\norm{u}_{q+m1^*}^{1^{*-1}q+m}\le C\norm{Du}_n^m\norm{u}_q^{1^{*-1}q}.$$
ここで $m=\left\lfloor 1^{*-1}(r-q)\right\rfloor$ ととる。このとき $q+m1^*\le r\lt q+(m+1)1^*$ となる。$\theta\in[0,1)$ を $r^{-1}=(1-\theta)(q+m1^*)^{-1}+\theta(q+(m+1)1^*)^{-1}$ となるようにとると
\begin{align*}
\norm{u}_r&\le\norm{u}_{q+m1^*}^{1-\theta}\norm{u}_{q+(m+1)1^*}^\theta\\
&\le C\norm{Du}_n^{m(1-\theta)(1^{*-1}q+m)^{-1}+(m+1)\theta(1^{*-1}q+m+1)^{-1}}\norm{u}_q^{((1-\theta)(1^{*-1}q+m)^{-1}+\theta(1^{*-1}q+m+1)^{-1})1^{*-1}q}\\
&=C\norm{Du}_n^{1-\frac{q}{r}}\norm{u}_q^{\frac{q}{r}}=C\norm{Du}_n^{1-\tau}\norm{u}_q^\tau.
\end{align*}
{{end|proof}}

{{theorem|type=rmk}}
$p=q=n$ の場合より、$|\Omega|=\infty$ の場合でも任意の $r\in[n,\infty)$
について $W^{1,n}_0(\Omega)\subset L^r(\Omega)$ で $u\in W^{1,n}_0(\Omega)$ について $\norm{u}_{r;\Omega}\le C_{n,r}\norm{u}_{1,n;\Omega}$ が成り立つ。{{ref|type=cor|label=pn}}と比較せよ。

{{ref|type=thm|label=intp2}}と{{ref|type=pro|label=intp3}}を組み合わせてより一般的な補間不等式を得る。

{{theorem|type=lem|label=intp4}}
$k\in\Zz$、$\alpha\in[0,1]$、$q\in[1,\infty]$ とする。$\theta\in[0,1]$ について次が成り立つ:
*(1) $\sigma\colon=(1-\theta)(k+\alpha)-\frac{\theta n}{q}\le 0$ のとき $r\colon=\frac{n}{\sigma}$ とすると $u\in C^{k,\alpha}(\R^n)\cap L^q(\R^n)$ について
$$\norm{u}_{r;\R^n}\le C_{p,k,\alpha,\tau}[u]_{k,\alpha;\R^n}^{1-\theta}\norm{u}_{q;\R^n}^\theta.$$
*(2) $\sigma\gt 0$ のとき $j\colon=\lceil \sigma\rceil-1$、$\beta\colon=\sigma-j$ とすると　$u\in C^{k,\alpha}(\R^n)\cap L^q(\R^n)$ について
$$[u]_{j,\beta;\R^n}\le C_{p,k,\alpha,\tau}[u]_{k,\alpha;\R^n}^{1-\theta}\norm{u}_{q;\R^n}^\theta.$$

{{begin|proof}}
$$\theta=\frac{(k+\alpha-\sigma)q}{(k+\alpha)q+n}=\left(1+\frac{\sigma q}{n}\right)\frac{(k+\alpha)q}{(k+\alpha)q+n}-\frac{\sigma q}{n}=\left(1-\frac{\sigma}{k+\alpha}\right)\frac{(k+\alpha)q}{(k+\alpha)q+n}$$
に注意する。

$q=\infty$ の場合は[[Hölder空間の基本事項]]の定理54で既に示されている。<ref name="kaintp">正確には $u|_{B_R(0)}$ に対し定理を適用して $R\to\infty$ とする必要がある。</ref>以下 $q\in[1,\infty)$ とする。

まず $k=0$、$\sigma=0$ の場合を示す。$\alpha=0$ のときは明らかであるから $\alpha\in(0,1]$ としてよい。

$[u]_{0,\alpha}=0$ のときは $u$ は定数関数であって $u\in L^q(\R^n)$ であるから $u\equiv 0$。この場合主張は明らかである。以下 $[u]_{0,\alpha}\neq 0$ とする。

$x\in\R^n$、$u(x)\neq 0$ として $R=\left(\frac{|u(x)|}{2[u]_{0,\alpha}}\right)^{\alpha^{-1}}$ とすると $|u|\ge \frac{1}{2}|u(x)|$ on $B_R(x)$ となり
$$\norm{u}_q\ge\frac{1}{2}|B_R(x)|^{q^{-1}}|u(x)|=\frac{1}{2}\omega_n^{q^{-1}}|u(x)|^{1+\frac{n\alpha^{-1}}{q}}[u]_{0,\alpha}^{-\frac{n\alpha^{-1}}{q}}.$$
$x$ について $\sup$ をとると $\norm{u}^{1+\frac{n\alpha^{-1}}{q}}[u]_{0,\alpha}^{-\frac{n\alpha^{-1}}{q}}\le C\norm{u}_q$。$\theta=\frac{\alpha q}{\alpha q+n}$ であるから
$$\norm{u}_\infty\le C[u]_{0,\alpha}^{1-\theta}\norm{u}_q^\theta$$
を得る。

$k\ge 1$、$\sigma=0$ の場合を示す。$k=0$ の場合と[[Hölder空間の基本事項]]の定理54<ref name=kaintp />より
$$\norm{u}_\infty\le C[u]_{0,1}^\frac{n}{q+n}\norm{u}_q^\frac{q}{q+n}\le C[u]_{k,\alpha}^\frac{n}{(k+\alpha)(q+n)}\norm{u}_\infty^\frac{(k-1+\alpha)n}{(k+\alpha)(q+n)}\norm{u}_q^\frac{q}{q+n}.$$
$\theta=\frac{(k+\alpha)q}{(k+\alpha)q+n}$ であるから
$$\norm{u}_\infty\le C[u]_{k,\alpha}^{1-\theta}\norm{u}_q^\theta$$
を得る。

(1)を示す。Hölderの不等式と $k\ge 1$、$\sigma=0$ の場合より
$$\norm{u}_r\le\norm{u}_\infty^{1+\frac{\sigma q}{n}}\norm{u}_q^{-\frac{\sigma q}{n}}\le[u]_{k,\alpha}^{1-\theta}\norm{u}_q^\theta$$
を得る。

(2)を示す。[[Hölder空間の基本事項]]の定理54<ref name=kaintp />と $k\ge 1$、$\sigma=0$ の場合より
$$[u]_{j,\beta}\le C[u]_{k,\alpha}^\frac{\sigma}{k+\alpha}\norm{u}_\infty^{1-\frac{\sigma}{k+\alpha}}\le C[u]_{k,\alpha}^{1-\theta}\norm{u}_q^\theta$$
を得る。
{{end|proof}}

{{theorem|type=thm|name=Gagliardo-Nirenbergの補間不等式|label=GN}}
$j\in\Zz$、$k\in\Zp$、$j\lt k$ とする。$p,q\in[1,\infty)$ とし、
$$\tau\in\begin{cases}
\left(0,\frac{k-j}{k}\right]&\colon p\in(1,\infty),k-j-\frac{n}{p}\in\Zz\\
\left[0,\frac{k-j}{k}\right]&\colon \rm{otherwise}
\end{cases}$$
をみたすとする。
$$\sigma\colon=(1-\tau)\left(k-\frac{n}{p}\right)-\frac{\tau n}{q}-j$$
とすると次が成り立つ:
*(1) $\sigma\le 0$ のとき $r\colon=-\frac{n}{\sigma}$ とすると $W^{k,p}(\R^n)\cap L^q(\R^n)\subset W^{j,r}(\R^n)$ で $u\in W^{k,p}(\R^n)\cap L^q(\R^n)$ について
$$\norm{D^ju}_{r;\R^n}\le C_{n,p,q,\tau}\norm{D^ku}_{p;\R^n}^{1-\tau}\norm{u}_{q;\R^n}^\tau.$$
また $T\subset\pOm$ が(\ref{D'})をみたす相対開集合のとき $W^{k,p}_0(\OmT)\cap L^q(\Omega)\subset W^{j,r}_0(\OmT)$ で $u\in W^{k,p}_0(\OmT)\cap L^q(\Omega)$ について
$$\norm{D^ju}_{r;\Omega}\le C_{p,q,\Omega,T,\tau}\norm{u}_{k,p;\Omega}^{1-\tau}\norm{u}_{q;\Omega}^\tau.$$
$\Omega$ が有界なLipschitz領域のとき $W^{k,p}(\Omega)\cap L^q(\Omega)\subset W^{j,r}(\Omega)$ で $u\in W^{k,p}(\Omega)\cap L^q(\Omega)$ について
$$\norm{D^ju}_{r;\Omega}\le C_{p,q,\Omega,\tau}\norm{u}_{k,p;\Omega}^{1-\tau}\norm{u}_{q;\Omega}^\tau.$$
*(2) $\sigma\gt 0$ のとき $j'\colon=j+\lceil\sigma\rceil-1$、$\alpha\colon=\sigma-(\lceil\sigma\rceil-1)$ とすると $W^{k,p}(\R^n)\cap L^q(\R^n)\subset C^{j',\alpha}(\R^n)$ で $u\in W^{k,p}(\R^n)\cap L^q(\R^n)$ について
$$[u]_{j',\alpha;\R^n}\le C_{n,p,q,\tau}\norm{D^ku}_{p;\R^n}^{1-\tau}\norm{u}_{q;\R^n}^\tau.$$
また $T\subset\pOm$ が(\ref{D'})をみたす相対開集合のとき $W^{k,p}_0(\OmT)\cap L^q(\Omega)\subset C^{j',\alpha}(\Ombar)$ で $u\in W^{k,p}_0(\OmT)\cap L^q(\Omega)$ について
$$[u]_{j',\alpha;\Omega}\le C_{p,q,\Omega,T,\tau}\norm{u}_{k,p;\Omega}^{1-\tau}\norm{u}_{q;\Omega}^\tau.$$
$\Omega$ が有界なLipschitz領域のとき $W^{k,p}(\Omega)\cap L^q(\Omega)\subset C^{j',\alpha}(\Ombar)$ で $u\in W^{k,p}(\Omega)\cap L^q(\Omega)$ について
$$[u]_{j',\alpha;\Omega}\le C_{p,q,\Omega,\tau}\norm{u}_{k,p;\Omega}^{1-\tau}\norm{u}_{q;\Omega}^\tau.$$

{{begin|proof|display=''Proof.''}}
$\Omega=\R^n$ の場合を示す。その他は拡張作用素により従う。

$u\in C^\infty(\R^n)$ としてよい。表記を簡単にするため次の記号を用いる: $k\in\Zz$、$\sigma\ge k-n$ について
$$\langle u\rangle_{k,\sigma}\colon=\begin{cases}
\norm{D^ku}_{\frac{n}{k-\sigma}}&\colon \sigma\in[k-n,k]\\
[u]_{\lceil\sigma\rceil-1,\sigma-(\lceil\sigma\rceil-1)}&\colon \sigma\gt k
\end{cases}.$$
{{ref|type=thm|label=gsob}}より $j,k\in\Zz$、$j\lt k$ で $\sigma\ge k-n$ が $\sigma-j\notin\Zz$、$\sigma=k-n$、$\sigma=k$ のいずれかをみたすとき
$$\langle u\rangle_{j,\sigma}\le C\langle u\rangle_{k,\sigma}.$$
{{ref|type=thm|label=intp2}}より $j,k\in\Zp$、$j\lt k$、$\sigma\in[k-n,0]$、$\sigma'\in[-n,0]$ について
$$\langle u\rangle_{j,\frac{k-j}{k}\sigma+\frac{j}{k}\sigma'}\le C\langle u\rangle_{k,\sigma}^\frac{k-j}{k}\langle u\rangle_{0,\sigma'}^\frac{j}{k}.$$
{{ref|type=pro|label=intp3}}より $k\in\Zp$、$\sigma\in[k-n,k-1]$、$\sigma\in[k-n,0]$、$\tau\in[0,1)$ について
$$\langle u\rangle_{k-1,(1-\tau)\sigma+\tau\sigma'}\le C\langle u\rangle_{k,\sigma}^{1-\tau}\langle u\rangle_{k-1,\sigma'}^\tau.$$
Hölderの不等式と{{ref|type=lem|label=intp4}}と[[Hölder空間の基本事項]]の定理54<ref name="kaintp" />より $k\in\Zz$、$\sigma,\sigma'\ge k-n$、$\theta\in[0,1]$ について
$$\langle u\rangle_{k,(1-\theta)\sigma+\theta\sigma'}\le C\langle u\rangle_{k,\sigma}^{1-\theta}\langle u\rangle_{k,\sigma'}^{\theta}.$$
また主張は次のように表される: $k\in\Zp$、$\sigma\in [k-n,k]$、$\sigma'\in [-n,0]$ とし、
$$\begin{cases}
\tau\in\left[\frac{j}{k},1\right)&\colon \sigma\in(k-n,k),\sigma-j\in\Zz\\
\tau\in\left[\frac{j}{k},1\right]&\colon \rm{otherwise}
\end{cases}$$
とすると
$$\langle u\rangle_{j,(1-\tau)\sigma+\tau\sigma'}\le C\langle u\rangle_{k,\sigma}^{1-\tau}\langle u\rangle_{\sigma'}^\tau.$$

$\tau=\frac{k-j}{k}$ の場合および $\sigma-j\notin\Zz$、$\sigma=k-n$ あるいは $\sigma=k$ で $\tau=0$ の場合は{{ref|type=thm|label=genSob}}、{{ref|type=thm|label=lip}}から直ちに従う。

$\sigma\in\left(k-n,k\right)$、$\sigma-j\in\Zz$、$\tau\in\left(0,\frac{1}{k}\right]$ とする。

$\sigma\in\Z$ より $\sigma\le k-1$ であるから
$$\langle u\rangle_{k-1,(1-\tau)\sigma+\tau\sigma'}\le C\langle u\rangle_{k,\sigma}^{1-k\tau}\langle u\rangle_{k-1,\frac{k-1}{k}\sigma+\frac{1}{k}\sigma'}^{k\tau}\le C\langle u\rangle_{k,\sigma}^{1-\tau}\langle u\rangle_{k,\sigma'}^\tau$$
となり $j=k-1$ の場合が従う。また $\sigma\ge j\gt 0\le\sigma'$ より十分小さく $\tau$ をとれば $(1-\tau)\sigma+\tau\sigma'\notin\Z$ となり $j=1,\ldots,k-2$ について $\langle u\rangle_{j,(1-\tau)\sigma+\tau\sigma'}\le C\langle u\rangle_{k-1,(1-\tau)\sigma+\tau\sigma'}$ となりこの場合も従う。

また $\tau=\tau_1,\tau_2$ について主張が成り立ったとして $\theta\in[0,1]$、$\tau=(1-\theta)\tau_1+\theta\tau_2$ とすると
$$(1-\tau)\sigma+\tau\sigma'=(1-\theta)((1-\tau_1)\sigma+\tau_1\sigma')+\theta((1-\tau_2)\sigma+\tau_2\sigma'),(1-\theta)(1-\tau_1)+\theta(1-\tau_2)=1-\tau$$
であるから
$$\langle u\rangle_{j,(1-\tau)\sigma+\tau\sigma'}\le C\langle u\rangle_{j,(1-\tau_1)\sigma+\tau_1\sigma'}^{1-\theta}\langle u\rangle_{j,(1-\tau_2)\sigma+\tau_2\sigma'}^\theta\le C\langle u\rangle_{k,\sigma}^{1-\tau}\langle u\rangle_{\sigma'}^\tau.$$
以上より主張が従う。
{{end|proof}}

==トレース作用素==
最後に $u\in W^{1,p}(\Omega)$ に「境界値」を定めるトレース作用素について述べる。$n=1$ の場合と $p\in(n,\infty]$ の場合は適切な仮定の下 $W^{1,p}(\Omega)\subset C^{0,1-\frac{n}{p}}(\Ombar)$ であったから $u\in W^{1,p}(\Omega)$ には境界値を定めることができるが、そうでない場合も $\Omega$ が $C^{0,1}$ 以上のなめらかさがある境界部分をもつとき $u\in W^{1,p}(\Omega)$ にその上の「弱い意味の境界値」を定めることができる。

{{theorem|type=lem|label=halfspcase}}
$\mu=(\mu_1,...,\mu_n)\in B_1(0)$、$\xi\in\R^n$ とし、$\Omega\colon=\{x\in\R^n\colon \mu\cdot(x-\xi)\gt 0\}$ を半空間とする。$u\in C^{0,1}(\Ombar)$ で $\supp u$ が有界なものについて
$$\int_\Omega D_iu=-\mu_i\int_\pOm ud\H^{n-1}.$$

{{begin|proof}}
$\xi=0$ としてよい。Lipschitz連続関数 $x\mapsto \mu\cdot x$ に対して[[Hausdorff測度とarea_coarea_formula|coarea formula]]を用いると
\begin{align*}
\int_\Omega D_\mu u&=\int_0^\infty\left(\int_{\{\mu\cdot y=t\}}D_\mu u(y)d\H^{n-1}(y)\right)dt\\
&=\int_0^\infty\left(\int_\pOm D_\mu u(x+t\mu)d\H^{n-1}(x)\right)dt\\
&=-\int_\pOm ud\H^{n-1}.
\end{align*}
一方 $\mu'\in\R^n\backslash\{0\}$、$\mu'\cdot\mu=0$ とするとcoarea formulaより
\begin{align*}
\int_\Omega D_{\mu'}u&=\int_\R\left(\int_{\{\mu\cdot y\gt 0,\mu'\cdot y=t\}}D_{\mu'}u(y)d\H^{n-1}(y)\right)|\mu'|^{-1}dt\\
&=\int_\R\left(\int_{\{\mu\cdot y\gt 0,\mu'\cdot y=0\}}D_{\mu'}u(x+t\mu')d\H^{n-1}(x)\right)|\mu'|^{-1}dt\\
&=0.
\end{align*}
$i=1,...,n$ について $(e_i-\mu_i\mu)\cdot\mu=0$ であるから
$$\int_\Omega D_iu=\mu_i\int_\Omega D_\mu u+\int_\Omega D_{e_i-\mu_i\mu}u=-\mu_i\int_\pOm ud\H^{n-1}.$$
{{end|proof}}

{{theorem|type=lem|label=tracelem}}
$S\subset\R^n$ が $|S|=0$ をみたすとすると $f\in L^1_\loc(\R^n)$ について
$$\lim_{r\to+0}\frac{1}{r^{n-1}}\int_{B_r(x)}|f|=0\ \H^{n-1}-\ae x\in S.$$

{{begin|proof|display=''Proof.''|collapsible=1}}
$S$ は有界であるとしてよい。$\sigma\gt 0$ とし、
$$A_\sigma\colon=\left\{x\in\R^n\colon\limsup_{r\to+0}\frac{1}{r^{n-1}}\int_{\Bb_r(x)}|f|\gt\sigma\right\}$$
として $\H^{n-1}(A_\sigma)=0$ を示せば十分。

$S$ は有界で $|S|$ をみたすので $S$ の有界な開近傍 $U_1\supset U_2\ldots\supset S$ で $\displaystyle \left|\bigcap_{i=1}^\infty U_i\right|=0$ となるものをとれ、$\displaystyle\int_{U_1}|f|\lt\infty$ より $\displaystyle \lim_{i\to\infty}\int_{U_i}|f|=0$ となる。これより $\varepsilon\gt 0$ とすると $S$ の有界な開近傍 $U$ で $\displaystyle\int_{U}|f|\lt\varepsilon$ となるものをとれる。

$\varepsilon\gt 0$、$\delta\gt 0$ とし、$S\subset U$
$$\B\colon=\left\{\Bb=\Bb_r(x)\colon x\in A_\sigma,r\lt\delta,\Bb\subset U,\int_{\Bb}|f|\ge\sigma r^{n-1}\right\}$$
とすると、任意の $x\in A_\sigma$ と $\varepsilon\gt 0$ について $r\in(0,\varepsilon)$ が存在して $B_r(x)\in\B$。

[[Vitaliの被覆定理]]より $\{\Bb_i\}_{i=1}^\infty=\{\Bb_{r_i}(x_i)\}_{i=1}^\infty\subset\B$ で $i\neq j\implies \Bb_i\cap\Bb_j=\emptyset$ かつ $\displaystyle A_\sigma\subset\bigcup_{i=1}^\infty\Bb_{5r_i}(x_i)$ となるものが存在する。これより
$$\H^{n-1}_{10\delta}(A_\sigma)\colon=\omega_{n-1}\sum_{i=1}^\infty(5r_i)^{n-1}\le 5^{n-1}\omega_m\sum_{i=1}^\infty\int_{\Bb_i}|f|=5^{n-1}\omega_n\int_{\bigcup_{i=1}^\infty\Bb_i}|f|\le 5^{n-1}\omega_n\int_U|f|\lt\varepsilon.$$
$\delta\to +0$ として $\H^{n-1}(A_\sigma)\lt\varepsilon$ を得る。
{{end|proof}}

{{theorem|type=thm|name=トレース作用素|label=trace}}
$S\subset\pOm$ を $C^{0,1}$ 境界部分とする。$p\in[1,\infty)$、$u\in W^{1,p}(\Omega)$ とすると $\H^{n-1}$ -a.e. $\xi\in S$ について
$$Tu(\xi)\colon=\lim_{r\to +0}\frac{1}{|B_r(\xi)\cap\Omega|}\int_{B_r(\xi)\cap\Omega}u$$
は収束する。また $Tu\in L^p_\loc(S,\H^{n-1})$ で相対開集合 $S'\rcpt S$ について
$$\int_{S'} |Tu|^pd\H^{n-1}\le C_{p,S'}\int_\Omega\left(|u|^p+|u|^{p-1}|Du|\right).$$

{{begin|proof|display=''Proof.''|collapsible=1}}
$\xi\in\overline{S'}$ について開集合 $U_\xi\subset\R^n$ と全単射 $\psi_\xi\colon 2Q\to U_\xi$ が存在して $U_\xi\cap\Omega=\psi_\xi(2Q_+)$、$U_\xi\cap\pOm=\psi_\xi(2Q_0)$ かつ $\psi_\xi$ と $\psi_\xi^{-1}$ はいずれも $C^{0,1}$ 写像となる。$\overline{S'}$ はコンパクトであるから $\xi_1,\ldots ,\xi_N\in\overline{S'}$ を $\displaystyle\overline{S'}\subset\bigcup_{i=1}^N\psi_\xi(Q)$ となるようにとれる。$U_{\xi_i}$、$\psi_{\xi_i}$ をそれぞれ $U_i$、$\psi_i$ と置きなおす。$V_i\colon=\psi_i(Q)$ とする。$i=1,\ldots ,N$ について $L_i\colon=\max\{L(\psi|_Q),L(\psi^{-1}|_{V_i})^{-1}\}$ とする。

$\chi\in C^\infty([0,1])$ を $\chi(0)=1$ かつ $\chi(1)=0$ となるようにとる。Area不等式([[Hausdorff測度とarea_coarea_formula]]の定理19)より $u\in C^{0,1}(\Omega\cup S')\cap W^{1,p}(\Omega)$ と $p\in[1,\infty)$ について
\begin{align*}
\int_{V_i\cap\pOm}|u|^pd\H^{n-1}&\le L_i^n\int_{Q_0}|u\circ\psi_i|^pd\H^{n-1}\\
&=-pL_i^n\int_{Q_+}\frac{\partial}{\partial x_n}\left(\chi(x_n)|u(\psi_i(x',x_n))|^p\right)dx\\
&\le C\int_{Q_+}\left(|u\circ\psi_i|^p+|u\circ\psi_i|^{p-1}|D_n(u\circ\psi)|\right)\\
&\le C\int_{V_i\cap\Omega}\left(|u|^p+|u|^{p-1}|Du|\right).
\end{align*}
$i$ について加えて
$$\int_{S'} |u|^pd\H^{n-1}\le C\int_\Omega\left(|u|^p+|u|^{p-1}|Du|\right)$$
を得る。

{{ref|type=cor|label=apx4}}より $u\mapsto u|_{S'}$ は $W^{1,p}(\Omega)$ から $L^p(S',\H^{n-1})$ への有界線型作用素 $T$ に一意的に拡張される。$u_m\in C^\infty(\Omega\cup S')\cap W^{1,p}(\Omega)$、$\norm{u_m-u}_{1,p}\to 0\ (m\to\infty)$ とすると $\int_\pOm|u_m-Tu|^pd\H^{n-1}\to 0\ (m\to\infty)$ であるから部分列に移って $u_m\to Tu\ \H^{n-1}$ -a.e. on $S'$ となるようにできてFatouの補題により
$$\int_{S'} |Tu|^pd\H^{n-1}\le\liminf_{m\to\infty}\int_{S'}|u_m|^pd\H^{n-1}\le C\liminf_{m\to\infty}\int_\Omega\left(|u_m|^p+|u_m|^{p-1}|Du_m|\right)=\int_\Omega\left(|u|^p+|u|^{p-1}|Du|\right).$$

$u\in W^{1,p}(\Omega)$ について
$$\lim_{r\to +0}\frac{1}{|B_r(\xi)\cap\Omega|}\int_{B_r(\xi)\cap\Omega}|u-Tu(\xi)|=0\ \H^{n-1}-\ae \xi\in S'\tag{*}\label{trace}$$
を示す。

$i=1,\ldots ,N$ とする。Lebesgueの微分定理より $\H^{n-1}$ -a.e. $\eta\in Q_0$ について
$$\lim_{r\to+0}\frac{1}{s^{n-1}}\int_{B_s(\eta)\cap Q_0}|Tu\circ\psi_i-Tu(\psi_i(\eta))|d\H^{n-1}=0.$$
また $y\in Q_+$ を $(y',y_n)\in(-1,1)^{n-1}\times(0,1)$ と表すと $v\in C^\infty(\Omega\cup S)$ と $\eta\in Q_0$、$(B_s(\eta)\cap Q_0)\times(0,s)\subset Q_+$ について
\begin{align*}
\int_{(B_s(\eta)\cap Q_0)\times(0,s)}|v(\psi_i(y))-v(\psi_i(y',0))|&=\int_{(B_s(\eta)\cap Q_0)\times(0,s)}\left(\int_0^{y_n}|D_n(v\circ\psi_i)(y',t)|dt\right)dy\\
&=\int_{(B_s(\eta)\cap Q_0)\times(0,s)}(s-y_n)|D_n(v\circ\psi_i)(y)|dy\\
&\le s\int_{(B_s(\eta)\cap Q_0)\times(0,s)}|D_n(v\circ\psi_i)v|.
\end{align*}
area不等式より $\varphi\mapsto\varphi\circ\psi_i$ は $L^1(V_i\cap\pOm,\H^{n-1})$ から $L^1(Q_0,\H^{n-1})$ へ有界であることに注意すると近似により
$$\int_{(B_s(\eta)\cap Q_0)\times(0,s)}|u(\psi(y))-Tu(\psi_i(y',0))|dy\le s\int_{(B_s(\eta)\cap Q_0)\times(0,s)}|D_n(u\circ\psi_i)|.\tag{**}\label{trace2}$$
$(B_s(\eta)\cap Q_0)\times(0,s)\subset B_{\sqrt{2}s}(\eta)\cap Q_+$ と{{ref|type=lem|label=tracelem}}より $\H^{n-1}$ -a.e. $\eta\in Q_+$ について
$$\frac{1}{s^n}\int_{(B_s(\eta)\cap Q_0)\times(0,s)}|u(\psi_i(y))-Tu(\psi_i(y',0))|dy\le \frac{1}{s^{n-1}}\int_{B_{\sqrt{2}s}(\eta)\cap Q_+}|D_n(u\circ\psi_i)|\to 0\ (s\to+0).$$
これより $\H^{n-1}$ -a.e. $\eta\in Q_+$ について
\begin{align*}
&\quad\frac{1}{s^n}\int_{(B_s(\eta)\cap Q_0)\times(0,s)}|u\circ\psi_i-Tu(\psi_i(\eta))|\\
&\le\frac{1}{s^n}\int_{(B_s(\eta)\cap Q_0)\times(0,s)}|u(\psi_i(y))-Tu(\psi_i(y'))|dy+\frac{1}{s^{n-1}}\int_{B_s(\eta)\cap Q_0}|Tu\circ\psi_i-Tu(\psi_i(\eta))|d\H^{n-1}\\
&\to 0\ (s\to +0).
\end{align*}
また $\xi\in V_i\cap\pOm$ と十分小さい $r\gt 0$ について $\psi_i^{-1}(B_r(\xi)\cap\Omega)\subset B_{Lr}(\psi_i^{-1}(\xi))\cap Q_+\subset (B_{Lr}(\psi_i^{-1}(\xi))\cap Q_0)\times(0,Lr)$ かつ
$|B_r(\xi)\cap\Omega|\ge L_i^{-1}|B_{L_i^{-1}r}(\psi_i^{-1}(\xi))\cap Q_+|\ge\frac{1}{2}\omega_nL_i^{-2n}r^n$ となることとArea不等式より $\H^{n-1}$ -a.e. $\xi\in V_i\cap\pOm$ について
$$\frac{1}{|B_r(\xi)\cap\Omega|}\int_{B_r(\xi)\cap\Omega}|u-Tu(\xi)|\le \frac{C}{r^n}\int_{(B_{Lr}(\psi_i^{-1}(\xi))\cap Q_0)\times(0,Lr)}|u\circ\psi_i-Tu(\xi)|\to 0\ (r\to+0).$$
これより(\ref{trace})が成り立ち、とくに
$$\lim_{r\to +0}\frac{1}{|B_r(\xi)\cap\Omega|}\int_{B_r(\xi)\cap\Omega}u=Tu(\xi)\ \H^{n-1}-\ae \xi\in S'.$$

$S'\rcpt S$ は任意であったから、これにより $T\colon W^{1,p}(\Omega)\to L^p_\loc(S,\H^{n-1})$ が定まる。
{{end|proof}}

{{theorem|type=def|label=deftrace}}
$T$ を $\Omega$ におけるトレース作用素という。

{{theorem|type=rmk}}
$T$ の表示から明らかに $u\in W^{1,p}(\Omega)\cap C(\Omega\cup S)$ については $Tu=u|_S$ である。この意味で $Tu$ は $u$ の「弱い意味の境界値」となっている。

$\Omega$ が $C^{0,1}$ 領域のときは $S=\pOm$ ととれる。とくに $\Omega$ が有界な場合は $\pOm$ はコンパクトであるから $S'=\pOm$ ととれ、このとき $T\colon W^{1,p}(\Omega)\to L^p_{\loc}(\pOm,\H^{n-1})=L^p(\pOm,\H^{n-1})$ は有界線型作用素である。

{{theorem|type=pro|name=合成関数と積|label=traceelm}}
$S\subset\pOm$ を $C^{0,1}$ 境界部分とし、$T$ を $\Omega$ におけるトレース作用素とする。次が成り立つ:
*(1) $u=(u_1,\ldots,u_m)\in W^{1,p}(\Omega)^m$ と $G\in C^1(\R^m)$ が $G(u)\in W^{1,p}(\Omega)$ をみたすとき $T(G(u))=G(Tu)$ on $S$。ここで $Tu\colon=(Tu_1,\ldots,Tu_m)\in L^p_{\loc}(S,\H^{n-1})^m$ である。

また $u\in W^{1,p}(\Omega)$ と $G\in W^{1,1}_{\loc}(\R)$ が{{ref|type=thm|label=chain2}}の仮定をみたすとき $T(G(u))=G(Tu)$ on $S$。
*(2) $u_1,\ldots,u_m\in W^{1,p}(\Omega)$ が $u_1\ldots u_m\in W^{1,p}(\Omega)$ をみたすとき $T(u_1\ldots u_m)=Tu_1\ldots Tu_m$ on $S$。

{{begin|proof}}
(1)を示す。(2)は(1)で $G(t_1,\ldots,t_m)=t_1\ldots t_m$ とすれば従う。

$G'\in L^\infty(\R^m)^m$ の場合を示す。一般の場合は{{ref|type=thm|label=chain1}}と{{ref|type=thm|label=chain2}}の証明で与えた近似により従う。

このとき $G\in C^{0,1}(\R^m)$ であるから $\H^{n-1}$-a.e.$\xi\in S$ について
$$\frac{1}{r^n}\int_{B_r(\xi)\cap\Omega}|G(u)-G(Tu(\xi))|\le\frac{[G]_{0,1}}{r^n}\int_{B_r(\xi)\cap\Omega}|u-Tu(\xi)|\to 0\ (r\to +0).$$
これより $T(G(u))=G(Tu)$ が従う。
{{end|proof}}

{{theorem|type=pro|name=変数変換|label=tracechavar}}
$D,\widetilde{D}\subset\R^n$ を開集合とし、$\psi\colon\widetilde{D}\to D$ は全単射で $\psi$ と $\psi^{-1}$ はともに $C^{0,1}$ 写像であるとする。$\widetilde{\Omega}\rcpt\widetilde{D}$ を開集合として $\widetilde{S}\subset\partial\widetilde{\Omega}$ を $C^{0,1}$ 境界部分とし、 $\Omega\colon=\psi(\widetilde{\Omega})$、$S\colon=\psi(\widetilde{S})$ とする。$T$、$\widetilde{T}$ をそれぞれ $\Omega$、$\widetilde{\Omega}$ におけるトレース作用素とする。 $u\in W^{1,p}(\Omega)$ について $\widetilde{T}(u\circ\psi)=Tu\circ\psi$ on $\widetilde{S}$。

{{begin|proof}}
$u\in C^\infty(\Omega\cup T)\cap W^{1,p}(\Omega)$ の場合は明らか。一般の場合は近似により従う。
{{end|proof}}

{{theorem|type=thm|name=トレースの核の特徴づけ|label=trace0}}
$S\subset\pOm$ を $C^{0,1}$ 境界部分とし、$T$ を $\Omega$ におけるトレース作用素とする。 $p\in[1,\infty)$、$u\in W^{1,p}(\Omega)$ について次は同値:
*(1) $Tu=0$ on $S$。
*(2) 任意の $\zeta\in C^\infty_c((\R^n\backslash\pOm)\cup S)$ について $\zeta u\in W^{1,p}_0(\Omega)$。

とくに $\Omega$ が $C^{0,1}$ 領域のとき
$$\left\{u\in W^{1,p}(\Omega)\colon Tu=0\ \on\pOm\right\}=W^{1,p}_0(\Omega).$$

{{begin|proof|display=''Proof.''|collapsible=1}}
(2) $\implies$ (1) を示す。$u\in C^\infty_c(\Omega)$ のときは $Tu=0$ であるから $u\in W^{1,p}_0(\Omega)$ についても $Tu=0$。

任意の $\zeta\in C^\infty_c((\R^n\backslash\pOm)\cup S)$ について $\zeta u\in W^{1,p}_0(\Omega)$ となるとする。$S'\rcpt S$ とし、$\zeta\in C^\infty_c((\R^n\backslash\pOm)\cup S)$ を $\zeta=1$ on $S'$ かつ $\supp\zeta\rcpt\Omega\cup S$ となるようにとると $\zeta u\in W^{1,p}_0(\Omega)$ より $\zeta Tu=T(\zeta u)=0$。これより $Tu=0$ on $S'$。$S'\rcpt S$ は任意より $Tu=0$ を得る。

(1) $\implies$ (2) を示す。 $u\in W^{1,p}(\Omega)$ が $Tu=0$ をみたすとし、$\zeta\in C^\infty_c((\R^n\backslash\pOm)\cup S)$ とする。$S'\colon=\{\xi\in S\colon \zeta(\xi)\neq 0\}$ とすると $S'\rcpt S$。

{{ref|type=thm|label=trace}}と同様に $U_\xi$、$\psi_\xi$ をとり、$V_\xi$ を定める。また $W_\xi\colon=\psi_\xi(\frac{1}{2}Q)$ とする。$\xi_1,\ldots ,\xi_N\in\pOm$ を $\displaystyle \pOm\subset\bigcup_{i=1}^N W_{\xi_i}$ となるようにとり、$U_{\xi_i}$、$\psi_{\xi_i}$、$V_{\xi_i}$、$W_{\xi_i}$ をそれぞれ $U_i$、$\psi_i$、$V_i$、$W_i$ と置きなおす。

{{ref|type=thm|label=trace}}の証明の(\ref{trace2})と同様の計算により $s\in(0,1)$ について
$$\int_{(-1,1)^{n-1}\times(0,s)}|u\circ\psi_i|\le s\int_{(-1,1)^{n-1}\times(0,s)}|D_n(u\circ\psi_i)|.$$
$u$ を $|u|^p$ にとりかえれば
\begin{align*}
\int_{(-1,1)^{n-1}\times(0,s)}|u\circ\psi_i|^p&\le s\int_{(-1,1)^{n-1}\times(0,s)}|u\circ\psi_i|^{p-1}|D_n(u\circ\psi_i)|\\
&\le s\left(\int_{(-1,1)^{n-1}\times(0,s)}|u\circ\psi_i|^p\right)^{1-p^{-1}}\left(\int_{(-1,1)^{n-1}\times(0,s)}|D_nu\circ\psi_i|^p\right)^{p^{-1}}.
\end{align*}
これより
$$\int_{(-1,1)^{n-1}\times(0,s)}|u\circ\psi_i|^p\le s^p\int_{(-1,1)^{n-1}\times(0,s)}|D_nu\circ\psi_i|^p.$$
$\chi\in C^\infty((0,\infty))$ を
$$0\le\chi\le 1,\chi(t)=0\ \jf t\in(0,1),\chi(t)=1\ \jf t\gt 2$$
となるようにとり、$\chi_s(t)\colon=\chi(s^{-1}t)\ (s\gt 1)$ とする。$v_{s,i}\in W^{1,1}(Q_+)$ を
$$v_{s,i}(y',y_n)\colon=\chi_s(y_n)u(\psi_i(y))$$
と定めると $\supp v_{s,i}\subset[-1,1]^{n-1}\times[s,1]$ で
$$\int_{Q_+}|u\circ\psi_i-v_{s,i}|^p\le\int_{Q_+}(1-\chi_s(y_n))^p|u\circ\psi_i|^p\le\int_{(-1,1)^{n-1}\times(0,s)}|u\circ\psi_i|^p$$
で、
\begin{align*}
\int_{Q_+}|D(u\circ\psi_i-v_{s,i})|^p&\le C\left(\int_{Q_+}(1-\chi_s(y_n))^p|D(u\circ\psi_i)(y)|^pdy+\int_{Q_+}s^{-p}\chi'(s^{-1}y_n)^p|u(\psi_i(y))|^pdy\right)\\
&\le C\left(\int_{(-1,1)^{n-1}\times(0,s)}|D(u\circ\psi_i)(y)|^pdy+s^{-p}\int_{(-1,1)^{n-1}\times(0,s)}|u\circ\psi_i|^p\right)\\
&\le C\int_{(-1,1)^{n-1}\times(0,s)}|D(u\circ\psi_i)(y)|^pdy.
\end{align*}
これより
$$\norm{u\circ\psi_i-v_{s,i}}_{1,p}\to 0\ (s\to +0).$$
$\R^n$ の開被覆 $\R^n\backslash\pOm,W_1,\ldots ,W_N$ に従属する $1$ の分割 $\varphi_0,\varphi_1,\ldots ,\varphi_N$ をとって
$$u_s\colon=\varphi_0\zeta u+\sum_{i=1}^N\varphi_i(\zeta v_{s,i}\circ\psi_i^{-1})$$
とすると
$$\supp u_s\subset\bigcup_{i=1}^N \psi_i([-1,1]^{n-1}\times[s,1])$$
となり $u_s\in C^\infty_c(\Omega)$。また $\norm{u_s-\zeta u}_{1,p}\to 0\ (s\to +0)$。これより $\zeta u\in W^{1,p}_0(\Omega)$。
{{end|proof}}

{{theorem|type=pro|name=トレースSobolev不等式|label=TSob}}
$S\subset\pOm$ を $C^{0,1}$ 境界部分とし、$T$ を $\Omega$ におけるトレース作用素とする。$p\in(1,n)$ とすると $T(W^{1,p}(\Omega))\subset L^\frac{(n-1)p}{n-p}_\loc(S,\H^{n-1})$ で $u\in W^{1,p}(\Omega)$ と相対開集合 $S'\rcpt S$ について
$$\norm{Tu}_{\frac{(n-1)p}{n-p};S'}\le C_{p,S'}\norm{u}_{1,p;\Omega}.$$

{{begin|proof|display=''Proof.''|collapsible=1}}
$q\in[1,\infty)$ について
$$\int_{S'}|Tu|^qd\H^{n-1}\le C\int_\Omega\left(|u|^q+|u|^{q-1}|Du|\right)\le C\norm{u}_{p'(q-1)}^{q-1}\left(\norm{u}_p+\norm{Du}_p\right).$$
ここで $q=\frac{(n-1)p}{n-p}$ とすると $p'(q-1)=p^*$ となり
$$\int_{S'}|Tu|^qd\H^{n-1}\le C \norm{u}_{p^*}^{q-1}\norm{u}_{1,p}\le C\norm{u}_{1,p}^q.$$
{{end|proof}}

{{theorem|type=rmk}}
$p=n$ のときは任意の $q\subset[1,\infty)$ について $\norm{u}_{q;S'}\le C_{q,S'}\norm{u}_{1,n;\Omega}$ が成り立つ。また $p\in(n,\infty]$ のときは $Tu\in C^{0,\alpha}(S)$ である。

{{theorem|type=pro|name=トレース作用素のコンパクト性|label=Tcpt}}
$S\subset\pOm$ を $C^{0,1}$ 境界部分とし、$p\in(1,\infty)$ とする。
$$\begin{cases}
r\in\left[1,\frac{(n-1)p}{n-p}\right)&\colon p\in[1,n)\\
r\in[1,\infty)&\colon p=n\\
r\in[1,\infty]&\colon p\in(n,\infty)
\end{cases}$$
とすると $\Omega$ におけるトレース作用素 $T$ は相対開集合 $S'\rcpt S$ について $W^{1,p}(\Omega)$ から $L^r(S',\H^{n-1})$ へのコンパクト作用素である。すなわち、$\{u_m\}_{m=1}^\infty\subset W^{1,p}(\Omega)$ が $\displaystyle\sup_m\norm{u_m}_{1,p;\Omega}\lt\infty$ をみたすとすると部分列 $\{u_{m_j}\}_{m=1}^\infty$ で $\{Tu_{m_j}\}_{m=1}^\infty$ が $L^r(S',\H^{n-1})$ において収束するものがとれる。

{{begin|proof|display=''Proof.''}}
$q\colon=p'(r-1)\ge 1$ の場合を示せば十分。$v\in W^{1,p}(\Omega)$ について $\int_{S'}|Tu|^rd\H^{n-1}\le C\norm{u}_q^{r-1}\left(\norm{u}_p+\norm{Du}_p\right)$ となり、また $q$ は{{ref|type=thm|label=cpt}}の仮定をみたす。これより $L^q(\Omega)$ において収束する部分列 $\{u_{m_j}\}_{m=1}^\infty$ をとれば
$$\limsup_{i,j\to\infty}\int_{S'}|Tu_{m_i}-Tu_{m_j}|^r\le C\limsup_{i,j\to\infty}\norm{u_{m_i}-u_{m_j}}_q^{r-1}\sup_m\norm{u_m}_{1,p}=0$$
となる。
{{end|proof}}

対照的に、$p=1$ の場合は $\varphi\in L^1(S,\H^{n-1})$ を拡張して $Tu=\varphi$ となる $u\in W^{1,1}(\Omega)$ を構成することができる。

{{theorem|type=lem|label=trlem1}}
$S$ を $C^{0,1}$ 境界部分とする。$\H^{n-1}$ -a.e. $\xi\in S$ について $\nu(\xi)\in\partial B_1(0)$ であって次をみたすものが一意的に存在する:任意の $\lambda\in(0,1)$ について十分小さい $r\gt 0$ をとると
$$\{x\in\R^n\colon |x-\xi|\lt r,(x-\xi)\cdot\nu\lt -\lambda|x|\}\subset\Omega,\{x\in\R^n\colon |x-\xi|\lt r,(x-\xi)\cdot\nu\gt \lambda|x|\}\cap\Omega=\emptyset.$$
とくに
$$\chi_{\xi+a(\Omega-\xi)}\to\chi_{\{x\in\R^n\colon (x-\xi)\cdot\nu\lt 0\}}\ (a\to+\infty)\ \ae\inn\R^n.$$

{{begin|proof|display=''Proof.''|collapsible=1}}
開集合 $U\subset\R^n$ と全単射 $\psi\colon Q\to U$ が存在し $U\cap\Omega=\psi(Q_+)$、$S=\psi(Q_0)$ かつ $\psi$ と $\psi^{-1}$ がともに $C^{0,1}$ 写像となるものが存在するものが存在するとしてよい。

$Q_0\subset\R^{n-1}$ と見做して $\psi'\colon=\psi|_{Q_0}$ とすると[[Hausdorff測度とarea_coarea_formula|area formula]]とarea不等式より $E\subset Q_0$ について $\H^{n-1}(E)\le C\H^{n-1}\psi(E)\le C\int_E J\psi'$ であるから $J\psi'\gt 0\ \H^{n-1}$ -a.e. on $ Q_0$ であり、$\H^{n-1}$ -a.e. $y'\in Q_0$ について $D_1\psi(y'),\ldots ,D_{n-1}\psi(y')$ は一次独立である。

$y_0\in Q_0$ を $\psi'$ が微分可能で $D_1\psi(y_0),\ldots ,D_{n-1}\psi(y_0)$ が一次独立となりかつ $\nu_{j,1}\circ\psi'J\psi',\ldots ,\nu_{j,n}\circ\psi'J\psi'$ のLebesgue点となるような点とし、$\xi\colon=\psi(y_0)\in U\cap\pOm$ とする。$\H^{n-1}$ -a.e. $y_0\in Q_0$ はこれらをみたす。

また $\pi\colon=\xi+\operatorname{span}\{D_1\psi(y_0),\ldots ,D_{n-1}\psi(y_0)\}$ とする。また $\mu$ を平面 $\pi$ の単位法線ベクトルの一つとし、半空間 $\pi_+$、$\pi_-$ を $\pi_+\colon=\{x\in\R^n,\mu\cdot(x-\xi)\gt 0\}$、$\pi_-\colon=\{x\in\R^n,\mu\cdot(x-\xi)\lt 0\}$ と定める。

$\eta\in U\cap\pOm$ について
$$\mu\cdot(\eta-\xi)=\mu\cdot D\psi'(\psi^{-1}(\eta))(\psi^{-1}(\eta)-\psi^{-1}(\xi))+o(|\psi^{-1}(\eta)-\psi^{-1}(\xi)|)$$
よって $\lambda\in(0,1)$ について $C^+_\lambda\colon=\{x\in\R^n\colon\mu\cdot(x-\xi)\gt \lambda|x-\xi|\}$、$C^-_\lambda\colon=\{x\in\R^n\colon\mu\cdot(x-\xi)\lt-\lambda|x-\xi|\}$ とすると十分小さい $r\gt 0$ について
$$C^+_\lambda\cap B_r(\xi)\cap\pOm,C^-_\lambda\cap B_r(\xi)\cap\pOm=\emptyset$$
となり、
$$C^+_\lambda\cap B_r(\xi),C^-_\lambda\cap B_r(\xi)\subset U\backslash\pOm.$$
とくに $r_0\gt 0$ を十分小さくとると線分 $s_+\colon=\{\xi+t\mu\colon t\in(0,r_0)\}$ と $s_-\colon=\{\xi-t\mu\colon t\in(0,r_0)\}$ はともに $U\backslash\pOm$ に含まれる。$U\backslash\pOm=\psi(2Q\backslash 2Q_0)$ は $U\cap\Omega=\psi(2Q_+)$ と $U\backslash\Omega=\psi(2Q_-)$ の2つの連結成分をもち、$s_+$、$s_-$ はいずれもそのいずれか一方に含まれる。また十分小さい $r\gt 0$ について $C^+_\lambda\cap B_r(\xi)$ と $C^-_\lambda\cap B_r(\xi)$ も $U\backslash\pOm$ に含まれるので $U\cap\Omega$ と $U\backslash\Omega$ のいずれか一方に含まれ、また $C^+_\lambda\cap B_r(\xi)\cap s_+\neq\emptyset$、$C^-_\lambda\cap B_r(\xi)\cap s_-\neq\emptyset$ であるから
$$C^+_\lambda\cap B_r(\xi)\subset U\cap\Omega\iff s_+\subset U\cap\Omega,C^-_\lambda\cap B_r(\xi)\subset U\cap\Omega\iff s_-\subset U\cap\Omega.$$

$I\colon=\{\sigma\in\{+,-\}\colon s_i\subset U\cap\Omega\}$ とする。$\lambda\in(0,1)$ とし、$r\gt 0$ を十分小さくとって $C^+_\lambda\cap B_r(\xi)\subset U\backslash\pOm$ が成り立つようにする。任意の $x\in C^+_\lambda$ について、$a\gt 0$ を十分大きくとれば
$$\xi+a^{-1}(x-\xi)\in C^+_\lambda\cap B_r(\xi)$$
となり
$$\xi+a^{-1}(x-\xi)\in U\cap\Omega\iff +\in I.$$
これより
$$\chi_{\xi+a(U\cap\Omega-\xi)}(x)=\chi_{U\cap\Omega}(\xi+a^{-1}(x-\xi))\to\begin{cases}
1&\colon +\in I\\
0&\colon +\notin I
\end{cases}\ (a\to+\infty).$$
$\displaystyle\pi_+=\bigcup_{\lambda\in(0,1)} C^+_\lambda$ であるからこれは任意の $x\in\pi_+$ について成り立つ。

同様に任意の $x\in\pi_-$ について
$$\chi_{\xi+a(U\cap\Omega-\xi)}(x)\to\begin{cases}
1&\colon -\in I\\
0&\colon -\notin I
\end{cases}\ (a\to+\infty).$$
従って
$$\chi_{\xi+a(U\cap\Omega-\xi)}\to\chi_{\bigcup_{\sigma\in I}\pi_\sigma}\ (a\to+\infty).$$

また $\xi$ の開近傍 $W\subset U$ をとって $L\colon=\max\{L(\psi|_W),L(\psi^{-1}|_{\psi(W)})\}$ とすると十分小さい $r\gt 0$ について $|B_r(\xi)\cap\Omega|\ge\frac{1}{2}L^{-2n}\omega_nr^n$。$\lambda\in(0,1)$ を十分小さくとると $r\gt 0$ について $|C^+_\lambda\cap B_r(\xi)|,|C^+_\lambda\cap B_r(\xi)|\gt\frac{1}{2}\left(1-\frac{1}{2}L^{-2n}\right)\omega_nr^n$ となり、十分小さい $r\gt 0$ について
$$|C^+_\lambda\cap B_r(\xi)|+|C^+_\lambda\cap B_r(\xi)|+|B_r(\xi)\cap\Omega|\gt\omega_nr^n.$$
よって $C^+_\lambda\cap B_r(\xi)\cap\Omega\neq\emptyset$ または $C^-_\lambda\cap B_r(\xi)\cap\Omega\neq\emptyset$ が成り立ち、$I\neq\emptyset$。

$B_r(\xi)\cap\Omega$ を $B_r(\xi)\backslash\Omega$ にとりかえると同様に $I\neq\{+,-\}$ も示される。これより $I=\{+\}$ または $I=\{-\}$。

$$\bigcup_{i\in I}\pi_i=\begin{cases}
\pi_+=\{x\in\R^n\colon\mu\cdot(x-\xi)\gt 0\}&\colon I=\{+\}\\
\pi_-=\{x\in\R^n\colon\mu\cdot(x-\xi)\lt 0\}&\colon I=\{-\}
\end{cases}$$
であるから
$$\nu=\begin{cases}
-\mu&\colon I=\{+\}\\
\mu&\colon I=\{-\}
\end{cases}$$
とすればこの $\nu=\nu(\xi)$ は条件をみたす。
{{end|proof}}

{{theorem|type=def|name=外向き単位法線ベクトル|label=outnorm}}
$\nu(\xi)$ を $\xi$ における $S$ の(測度論的)外向き単位法線ベクトルという。

{{theorem|type=rmk}}
$\Omega$ がLipschitz領域のときは(\ref{Lipdom})をみたす $V_\xi$、$h_\xi$、$O_\xi$、$\gamma_\xi$ をとって $\psi$ を $\psi(y',y_n)=\xi+O_\xi(y',y_n+\gamma_\xi(y'))$ (を適当に制限しスケール変換して $Q\to\R^n$ としたもの)ととって証明中に得られた $\nu(\xi)$ の特徴づけを用いると $\H^{n-1}$ -a.e. $y'\in V_\xi$ について
$$\nu_i(\xi+O_\xi(y',\gamma_\xi(y'))=O_\xi\frac{(D\gamma_\xi(y'),-1)}{(|D\gamma_\xi(y')|^2+1)^\frac{1}{2}}$$
なる表示を得る。

とくに $\Omega$ がなめらかな領域の場合、$\nu(\xi)$ は幾何学的な外向き単位法線ベクトル([[ベクトル解析5：多様体の向き]]の定義22.1)と一致する。

{{ref|type=lem|label=trlem1}}より $\H^{n-1}$ -a.e. $\xi\in S$ について
$$r^{-n}|B_r(\xi)\cap\Omega|=|B_1(\xi)\cap(\xi+r^{-1}(\Omega-\xi))|\to|\{x\in B_1(\xi)\colon x\cdot\nu(\xi)\lt 0\}|=\frac{1}{2}\omega_n$$
が成り立つ。

{{theorem|type=lem|label=trlem2}}
$S\subset\Omega$ を $C^{0,1}$ 境界部分として $\nu$ を $S$ の外向き単位法線ベクトルとする。$F_i\rcpt S\ (i\in\Zp)$ で次をみたすものが存在する:
* $$\H^{n-1}\left(S\backslash\bigcup_{i=1}^\infty F_i\right)=0.$$
* $j_i\in\{1,\ldots,n\}$ と $\sigma_i\in\{1,-1\}$ と $F_i\rcpt U_i$ なる開集合 $U_i\subset\R^n$ と $\gamma_i\in C^{0,1}(\R^{n-1})$ が存在して
$$F_i\subset\{(x_1,\ldots,x_n)\in\R^n\colon\sigma_i x_{j_i}=\gamma(x_1,\ldots,x_{j_i-i},x_{j_i+1},\ldots,x_n)\}$$
かつ
$$\{(x_1,\ldots,x_n)\in U_i\colon\sigma_i x_{j_i}\gt\gamma(x_1,\ldots,x_{j_i-i},x_{j_i+1},\ldots,x_n)\}\subset\Omega.$$

{{begin|proof}}
(1)の $\nu=(\nu_1,\ldots,\nu_n)$ をとる。$\xi\in S$ を $\nu(\xi)$ が定義される点とすると $j\in\{1,\ldots,n\}$ であって $|\nu_j(\xi)|\ge n^{-\frac{1}{2}}$ となるものが存在するので $\lambda\colon=(2n)^{-\frac{1}{2}}$ として
$$D_{j,+}\colon=\left\{\xi\in S\colon \nu_j(\xi)\lt -\lambda \right\},D_{j,-}\colon=\left\{\xi\in S\colon \nu_j(\xi)\gt \lambda\right\}$$
とすると
$$\H^{n-1}\left(S\backslash\left(\bigcup_{j=1}^n D_{j,+}\cup\bigcup_{j=1}^n D_{j,-}\right)\right)=0.$$
$\xi\in D_{n,+}$ と $x\in\R^n$ について、$x-\xi=(y',y_n)\in\R^{n-1}\times\R$ と表すと
$$(\xi-x)\cdot\nu(\xi)\le\nu_n(\xi)y_n+(1-\nu_n(\xi)^2)^\frac{1}{2}|y'|.$$
$\nu_n(\xi)\lt -\lambda$、$(1-\nu_n(\xi)^2)^\frac{1}{2}\lt(1-\lambda^2)^\frac{1}{2}=\colon\lambda'$ に注意すると $y_n\gt\lambda'|x-\xi|$ なる $x$ について
$$(\xi-x)\cdot\nu(\xi)\le\nu_n(\xi)\lambda'+(1-\nu_n(\xi)^2)^\frac{1}{2}\lambda\lt 0.$$
$\nu$ のとりかたより $r\gt 0$ を十分小さくとれば
$$\xi+rC\subset\Omega.$$
ここで
$$C\colon=\{y=(y',y_n)\in\R^{n-1}\times\R\colon |y|\lt 1,y_n\gt\lambda'|y'|\}.$$
これより $E_{n,+,k}\colon=\{\xi\in D_{n,+}\colon \xi+2^{-k}C\subset\Omega\}$ とすると $\displaystyle \bigcup_{k=1}^\infty E_{n,+,k}=D_{n,+}$。

$k\in\Zp$ に対し、$F_{n,+,k,l}\subset E_{n,+,k}$ を $F_{n,+,k,l}\rcpt S$、$\diam F_{n,+,k,l}\lt 2^{-(k+1)}$ かつ $\displaystyle\bigcup_{l=1}^\infty F_{n,+,k,l}=E_{n,+,k}$ となるようにとり、$x'\in\R^{n-1}$ について
$$\gamma_{n,+,k,l}(x')\colon=\inf_{(\xi',\xi_n)\in F_{n,+,k,l}}(\xi_n+\lambda'|x'-\xi'|)$$
と定める。

$\gamma_{n,+,k,l}\in C^{0,1}(\R^{n-1})$ を示す。$x',y'\in\R^{n-1}$、$\varepsilon\gt 0$ として $\xi_n+\lambda'|x'-\xi'|\lt\gamma_{n,+,k,l}(x')+\varepsilon$ となる $(\xi',\xi_n)\in F_{n,+,k,l}$ をとると
$$\gamma_{n,+,k,l}(y')\le\xi_n+\lambda'|y'-\xi'|\le\xi_n+\lambda'|x'-\xi'|+\lambda'|x'-y'|\lt\gamma_{n,+,k,l}(x')+\lambda'|x'-y'|+\varepsilon.$$
これより $\gamma_{n,+,k,l}(y')\le\gamma_{n,+,k,l}(x')+\lambda|x'-y'|$。同様に $\gamma_{n,+,k,l}(x')\le\gamma_{n,+,k,l}(y')+\lambda|x'-y'|$ も成り立ち、$[\gamma]_{0,1}\le\lambda'$ が従う。

$\xi=(\xi',\xi_n)\in F_{n,+,k,l}$ とすると $\gamma_{n,+,k,l}(\xi')=\xi_n$ となることを示す。$(x',x_n)\in\xi+2^{-k}C$ とすると $x_n-\xi_n\gt\lambda'|x'-\xi'|$ であるから
$$\gamma_{n,+,k,l}(x')\le\xi_n+\lambda'|x'-\xi'|\lt x_n.$$
$\xi\in\overline{\xi+2^{-k}C}$ であるから $\gamma_{n,+,k,l}(\xi)\le \xi_n$。

一方 $\gamma_{n,+,k,l}(\xi)\lt\xi_n$ であったとすると $\eta=(\eta',\eta_n)\in F_{n,+,k,l}$ であって $\eta_n+\lambda'|\eta'-\xi'|\lt\xi_n$ となるものが存在する。$\xi_n-\eta_n\gt\lambda'|\eta'-\xi'|$ で、$\diam F_{n,+,k,l}\lt 2^{-(k+1)}$ より $|\xi-\eta|\lt 2^{-(k+1)}$ となるので $\xi\in\eta+2^{-k}C$。$\eta\in F_{n,+,k,l}\subset E_{n,+,k}$ より $\eta+2^{-k}C\subset\Omega$ であるから $\xi\in\Omega$ であるが、これは $F_{n,+,k,l}\subset E_{n,+,k}\subset\pOm$ に矛盾。これより $\gamma_{n,+,k,l}(\xi')=\xi_n$。

$$U_{n,+,k,l}\colon=\{x\in\R^n\colon \dist(x,F_{n,+,k,l})\lt 2^{-(k+1)}\}$$
とする。$x=(x',x_n)\in U_{n,+,k,l}$ が $x_n\gt\gamma_{n,+,k,l}(x')$ をみたすとすると $\xi=(\xi',x_n)\in F_{n,+,k,l}$ であって $\xi_n+\lambda'|x'-\xi_n|\lt x_n$ をみたすものが存在する。$x_n-\xi_n\gt\lambda'|x'-x_n|$ で、$\dist(x,F_{n,+,k,l})\lt 2^{-(k+1)}$ と $\diam F_{n,+,k,l}\lt 2^{-(k+1)}$ より $F_{n,+,k,l}\subset B_{2^{-k}}(x)$ であるから $|x-\xi|\lt 2^{-k}$。これより $x\in\xi+2^{-k}C\subset\Omega$。

同様に $j\in\{1,\ldots,n\}$ と $\sigma\in\{+,-\}$ について $F_{j,\sigma,k,l}\rcpt S$ と $\gamma_{j,\sigma,k,l}\in C^{0,1}(\R^{n-1})$ と $F_{j,\sigma,k,l}\rcpt U_{j,\sigma,k,l}$ なる開集合 $U_{j,\sigma,k,l}$ を
$$\bigcup_{k,l=1}^\infty F_{j,\sigma,k,l}=D_{j,\sigma},$$
$$F_{j,\sigma,k,l}\subset\{(x_1,\ldots,x_n)\in\R^n\colon \sigma_jx_j=\gamma_{j,\sigma,k,l}(x_1,\ldots,x_{j-1},x_{j+1},\ldots,x_n)\}$$
かつ
$$\{(x_1,\ldots,x_n)\in U_{j,\sigma,k,l}\colon \sigma_jx_j\gt\gamma_{j,\sigma,k,l}(x_1,\ldots,x_{j-1},x_{j+1},\ldots,x_n)\}\subset\Omega$$
となるようにとれる。

$\{(F_{j,\sigma,k,l},\gamma_{j,\sigma,k,l},U_{j,\sigma,k,l})\}_{j,\sigma,k,l}$ を $\{(F_i,\gamma_i,U_i)\}_i$ とおき直せば主張が従う。
{{end|proof}}

{{theorem|type=thm|name=境界上の関数の拡張|label=Text}}
$S\subset\pOm$ を $C^{0,1}$ 境界部分とし、開集合 $V\subset\R^n$ は $S\cap V\neq\emptyset$ をみたすとする。$\varphi\in L^1(S\cap V,\H^{n-1})$ とし、$\varepsilon\gt 0$ とすると $u\in W^{1,1}(\Omega)$ で次をみたすものが存在する:
$$Tu=\varphi\ \on S\cap V,u=0\ \on \Omega\backslash V,\norm{u}_{1;\Omega}\lt\varepsilon,\int_\Omega|Du|\lt\int_\pOm|\varphi|d\H^{n-1}+\varepsilon.$$

{{begin|proof|display=''Proof.''|collapsible=1}}
$\Omega,S$ を $V\cap\Omega,V\cap S$ にとりかえた{{ref|type=lem|label=trlem2}}の $F_i,j_i,\sigma_i,U_i,\gamma_i$ をとる。$F_i$ を $\displaystyle \left(\overline{F_i}\backslash\bigcup_{i'=1}^i\overline{F_{i'}}\right)\cap S$ にとりかえることにより $F_i$ はBorel集合で $i\neq i'\implies F_i\cap F_{i'}$ となるとしてよい。また $F_i\rcpt V\cap S$ より $U_i$ を $U_i\cap V$ にとりかえて $U_i\subset V$ としてよい。

$j_i=n$、$\sigma=1$ となる $i$ をとってfixする。(それ以外の $i$ についても同様である。) $F_i\rcpt U_i$、$F_i\subset\{(x',\gamma_i(x'))\colon x'\in\R^{n-1}\}$ より開集合 $W\subset\R^{n-1}$ と $h\gt 0$ が存在して
$$U_i'\colon=\{(x',x_n)\in W\times\R\colon |x_n-\gamma_i(x')|\lt h\}$$
は $F_i\rcpt U_i'\rcpt U_i$ をみたす。また
$$U_{i,+}'\colon=\{(x',x_n)\in W\times\R\colon 0\lt x_n-\gamma_i(x')\lt h\}\subset\Omega.$$

$\varphi_i\in L^1(\R^{n-1})$ を $\varphi_i(x')\colon=(\varphi\chi_{F_i})(x',\gamma_i(x'))$ により定める。$F_i\rcpt U_i'$ より $\supp\varphi_i\subset W$。

$\eta'$ を $\R^{n-1}$ におけるmollifierとし、$r_k\gt 0\ (k\in\Zp)$ を単調減少かつ $r_1\lt h$、$\supp(\eta'_{r_k}*\varphi_i)\subset U_i'$ かつ $\norm{\eta'_{r_k}*\varphi_i-\varphi_i}\lt 2^{-k}$ となるようにとる。また $k\in\Zz$ について $\displaystyle t_k\colon=\sum_{l=k+1}^\infty 2^{-l}r_l$ とする。

$k\in\Zp$ について $ w_k\colon[0,\infty)\to\R$ を
$$ w_k(t)\colon=\begin{cases}
0&\colon t\in[0,t_{k+1})\\
2^{-(k+1)}r_{k+1}(t-t_{k+1})&\colon t\in[t_{k+1},t_k)\\
-2^{-k}r_k(t_{k-1}-t)&\colon t\in[t_k,t_{k-1})\\
0&\colon t\ge t_{k-1}
\end{cases}$$
と定める。$k_0\in\Zp$ とし、
$$v_i(x',x_n)\colon=\sum_{k=k_0}^\infty w_k(x_n)(\eta'_{r_k}*\varphi_i)(x')\ ((x',x_n)\in\R^{n-1}\times(0,\infty))$$
とする。$\supp w_k=[t_{k+1},t_{k-1}]$ より $\{\supp w_k\}_k$ は局所有限であるから $v_i$ はwell-definedで $v_i\in C^\infty(\Rnp)$。また $v_i=0$ on $\R^n\backslash(W\times(0,t_{k_0}))$。また
\begin{align*}
\int_{\R^n_+}|v_i|&=\sum_{k=k_0}^\infty\int_0^\infty w_k\left(\int_{\R^{n-1}}|\eta'_{r_k}*\varphi_i|\right)\\
&\le\sum_{k=k_0}^\infty 2^{-1}(2^{-k}r_k+2^{-(k+1)}r_{k+1})\int_{\R^{n-1}}|\varphi_i|\\
&\le C2^{-k_0}t_{k_0}\int_{\R^{n-1}}|\varphi_i|,\\
\int_{\R^n_+}|D_jv_i|&=\sum_{k=k_0}^\infty\int_0^\infty w_k\left(\int_{\R^{n-1}}|D_j(\eta'_{r_k}*\varphi_i)|\right)\\
&\le C\sum_{k=k_0}^\infty 2^{-1}(2^{-k}r_k+2^{-k+1}r_{k+1})r_k^{-1}\int_{\R^{n-1}}|\varphi_i|\\
&\le C2^{k_0}\int_{\R^{n-1}}|\varphi_i|\ (j=1,\ldots,n-1),\\
\int_{\R^{n-1}\times(0,t_{k_0})}|D_nv_i|&=\sum_{k=k_0}^\infty\int_{t_{k+1}}^{t_k}\left(2^{k+1}r_{k+1}\int_{\R^{n-1}}|\eta'_{r_k}*\varphi_i-\eta'_{r_{k+1}}*\varphi_i|\right)\\
&\le\sum_{k=k_0}^\infty\left(\int_{\R^{n-1}}|\eta'_{r_k}*\varphi_i-\varphi_i|+\int_{\R^{n-1}}|\eta'_{r_{k+1}}*\varphi_i-\varphi_i|\right)\\
&\le\sum_{k=k_0}^\infty (2^{-k}+2^{-(k+1)})=C2^{-k_0},\\
\int_{\R^{n-1}\times(t_{k_0},\infty)}|D_nv_i-2^{-k_0}r_k\chi_{\R^{n-1}\times(t_{k_0},t_{k_0-1})}\varphi_i|&=\int_{t_{k_0}}^{t_{k_0-1}}2^{k_0}r_k^{-1}\int_{\R^{n-1}}|\eta'_{r_{k_0}}*\varphi_i-\varphi_i|\\
&\le 2^{-k_0}.
\end{align*}
これより $v_i\in W^{1,1}(\Rnp)$。

$T_0$ を $\Rnp$ におけるトレース作用素とする。$l\ge k_0$ について $v_i(\cdot,2^{-l})=\eta'_{r_l}*\varphi_i$ であるから $T_0(v_i(\cdot-2^{-l}e_n))=\eta'_{r_l}*\varphi_i$ であり
$$\norm{T_0(v_i(\cdot-2^{-l}e_n))-\varphi'}_{1,\pRnp}\to 0\ (l\to\infty).$$
一方 $L^1$ ノルムの平行移動連続性より
$$\norm{v_i(\cdot-2^{-l}e_n)-v_i}_{1,1}\to 0\ (l\to\infty).$$
これより
$$T_0v_i=\varphi_i.$$

$\psi_i\colon\R^n\to\R^n$ を $\psi_i(x',x_n)\colon=(x',x_n-\gamma_i(x'))$ により定め、$u_i\colon=v_i\circ\psi_i\in W^{1,1}(\psi_i^{-1}(\Rnp))$ とする。$T_i$ を $\psi_i^{-1}(\Rnp)=\{(x',x_n)\colon x_n\gt\gamma_i(x')\}$ におけるトレース作用素とすると
$$T_iu_i=(T_0v_i)\circ\psi_i=\varphi_i\circ\psi_i=\varphi\chi_{F_i}.$$
とくに $T_iu_i=0$ on $\partial\psi_i^{-1}(\Rnp)\backslash\overline{F_i}$ であるから任意の $\zeta\in C^\infty_c(\R^n\backslash\overline{F_i})$ について $\zeta u_i\in W^{1,1}_0(\psi^{-1}(\Rnp))$ となり
$$\int_{\psi^{-1}(\Rnp)}(D_j\zeta u_i+\zeta D_ju_i)=\int_{\psi^{-1}(\Rnp)}D_j(\zeta u_i)=0.$$
これより $u_i=0$ on $\R^n\backslash\psi^{-1}(\Rnp)$ として $u_i$ を $R^n$ 上に拡張すると $u_i\in W^{1,1}(\R^n\backslash\overline{F_i})$ となり、とくに $u_i\in W^{1,1}(\Omega)$。

また $\displaystyle t_{k_0}\lt\sum_{k=k_0}^\infty 2^{-k}h=2^{-k_0}h\le h$ に注意すると $v_i=0$ on $\Rnp\backslash(W\times(0,h))$ で、$\psi^{-1}(W\times(0,h))=U_{i,+}'$ であるから $u_i=0$ on $\Omega\backslash U_{i,+}'$。とくに $u_i=0$ on $\Omega\backslash V$。

$Tu_i=\varphi\chi_{F_i}$ $\H^{n-1}$ -a.e. on $S$ を示す。$\xi\in S\backslash\overline{U_{i,+}'}$ については $\xi$ の近傍において $u_i=0$ となるので $Tu_i(\xi)=0$。

$\xi=(\xi',\xi_n)\in S\cap\overline{U_{i,+}'}$ とすると $U_i'\rcpt U_i$ より $\xi\in U_i$ で $\xi\notin\Omega$ であるから $U_i$ のとりかたより $\xi_n=\gamma_i(\xi')$ となり $\xi\in\partial\psi_i^{-1}(\Rnp)$。$r\gt 0$ を十分小さくとると $B_r(\xi)\cap\psi^{-1}(\Rnp)\subset\{x\in U_i\colon 0\lt\xi_n-\gamma_i(\xi')\lt h\}\subset\Omega$。$u_i=0$ on $\R^n\backslash\psi_i^{-1}(\Rnp)$ とあわせて
$$\int_{B_r(\xi)\cap\Omega}u_i=\int_{B_r(\xi)\cap\Omega\cap\psi_i^{-1}(\Rnp)}u_i=\int_{B_r(\xi)\cap\psi^{-1}(\Rnp)}u_i.$$
$\H^{n-1}$ -a.e. $\xi\in S\cap\psi_i^{-1}(\Rnp)$ について
$$\lim_{r\to +0}r^{-n}|B_r(\xi)\cap\Omega|=\lim_{r\to +0}r^{-n}|B_r(\xi)\cap\psi_i^{-1}(\Rnp)|=\frac{1}{2}\omega_n$$
となることから $\H^{n-1}$ -a.e. $\xi\in S\cap\overline{U_{i,+}'}$ について
$$Tu_i=\lim_{r\to+0}\frac{1}{B_r(\xi)\cap\Omega}\int_{B_r(\xi)\cap\Omega}u_i=\lim_{r\to+0}\frac{1}{B_r(\xi)\cap\psi_i^{-1}(\Rnp)}\int_{B_r(\xi)\cap\psi_i^{-1}(\Rnp)}u_i=T_iu_i=\varphi\chi_{F_i}.$$
$F_i\subset \overline{U_{i,+}'}$ とあわせて
$$Tu_i=\varphi\chi_{F_i}\ \H^{n-1}-\ae\on\ S.$$
また
$$\int_\Omega|u_i|\le C\int_{\R^n_+}|v_i|\le C2^{-k_0}t_{k_0}\le C4^{-k_0}h.$$
一方 $x=(x',x_n)\in\Omega\cap\psi_i^{-1}(\Rnp)$ とすると $j=1,\ldots,n-1$ については $D_ju_i(x)=(D_jv_i)(\psi_i(x))-D_nu_i(\psi_i(x))D_j\gamma_i(x')$ で、$D_nu_i(x)=D_nv_i(\psi_i(x))$ であるから
$$\int_{\Omega\cap\psi_i^{-1}(\Rnp)}|Du_i(x)-(-D\gamma_i(x'),1)D_nv_i(\psi_i(x))|dx=\int_{\Omega\cap\psi_i^{-1}(\Rnp)}|D'u_i\circ\psi_i|\le C\int_{\R^n_+}|D'v_i|\le C2^{-k_0}$$
となり
$$\int_{\Omega\cap\psi_i^{-1}(\Rnp)}|Du_i|\le\int_{\Omega\cap\psi_i^{-1}(\Rnp)}|D_nv_i(\psi_i(x))|(1+|D\gamma_i(x')|^2)^\frac{1}{2}dx+C2^{-k_0}.$$
$$\int_{\Omega\cap\psi_i^{-1}(\Rnp)}|D_nv_i(\psi_i(x))-2^{-k_0}r_k\chi_{\psi_i^{-1}(\R^{n-1}\times(t_{k_0},t_{k_0-1}))}(\chi_{F_i}\varphi)(x)|(1+|D\gamma_i(x')|^2)^\frac{1}{2}dx\le C\int_{\R^{n-1}\times(t_{k_0},\infty)}|D_nv_i-2^{-k_0}r_k\chi_{\R^{n-1}\times(t_{k_0},t_{k_0-1})}\varphi_i|\le C2^{-k_0}$$
で、$\psi_i^{-1}(\R^{n-1}\times(t_{k_0},t_{k_0-1}))\subset U_{i,+}'\subset\Omega$ に注意すると
\begin{align*}
\int_{\Omega\cap\psi_i^{-1}(\Rnp)}|2^{-k_0}r_k\chi_{\psi_i^{-1}(\R^{n-1}\times(t_{k_0},t_{k_0-1}))}(\chi_{F_i}\varphi)(x')|(1+|D\gamma_i(x')|^2)^\frac{1}{2}dx&=2^{-k_0}r_k\int_{\psi_i^{-1}(\R^{n-1}\times(t_{k_0},t_{k_0-1}))}|(\chi_{F_i}\varphi)(x')|(1+|D\gamma_i(x')|^2)^\frac{1}{2}dx\\
&=2^{-k_0}r_k\int_{\R^{n-1}\times(t_{k_0},t_{k_0-1})}|\psi_i(x')|(1+|D\gamma_i(x')|^2)^\frac{1}{2}dx\\
&=\int_{\partial\R^{n-1}}|\varphi_i(x')||(1+|D\gamma_i(x')|^2)^\frac{1}{2}d\H^{n-1}(x')\\
&=\int_{\partial\psi_i^{-1}(\Rnp)}\chi_{F_i}|\varphi| d\H^{n-1}\\
&=\int_{F_i}|\varphi| d\H^{n-1}
\end{align*}
となるので
$$\int_{\Omega\cap\psi_i^{-1}(\Rnp)}|D_nv_i(\psi_i(x))|(1+|D\gamma_i(x')|^2)^\frac{1}{2}dx\le\int_{F_i}|\varphi| d\H^{n-1}+C2^{-k_0}$$
となり $u_i=0$ on $\Omega\backslash\psi_i^{-1}(\Rnp)$ より $Du_i=0$ on $\Omega\backslash\psi_i^{-1}(\Rnp)$ となることとあわせて
$$\int_\Omega|Du_i|\le\int_{F_i}|\varphi| d\H^{n-1}+C2^{-k_0}.$$
従って $k_0$ を十分大きくとれば
$$\int_\Omega|u_i|\lt 2^{-i}\varepsilon,\int_\Omega|Du_i|\le\int_{F_i}|\varphi| d\H^{n-1}+2^{-i}\varepsilon.$$
最後に
$$u\colon=\sum_{i=1}^\infty u_i$$
とすると
$$\sum_{i=1}^\infty\int_\Omega|u_i|\lt \sum_{i=1}^\infty 2^{-i}\varepsilon=\varepsilon,\sum_{i=1}^\infty\int_\Omega|Du_i|\le\sum_{i=1}^\infty\left(\int_{F_i}|\varphi| d\H^{n-1}+2^{-i}\varepsilon\right)=\int_S|\varphi|d\H^{n-1}+\varepsilon$$
となることからこの無限和は $W^{1,1}(\Omega)$ において収束し
$$\int_\Omega|u|\lt\varepsilon,\int_\Omega|Du|\lt\int_S|\varphi|d\H^{n-1}+\varepsilon$$
が成り立つ。各 $u_i$ は $u_i=0$ on $\Omega\backslash V$ をみたすので $u=0$ on $\Omega\backslash V$。また
$$Tu=\sum_{i=1}^\infty Tu_i=\sum_{i=1}^\infty\chi_{F_i}\varphi=\varphi\ \on S\cap V.$$
{{end|proof}}

{{theorem|type=rmk}}
トレースSobolev不等式により、$p\in(1,\infty)$ の場合は一般には $\varphi\in L^p(S,\H^{n-1})$ を拡張して $u\in W^{1,p}(\Omega)$、$Tu=\varphi$ on $S$ とすることはできない。また、トレース作用素 $T$ は $W^{1,1}(\Omega)$ から $L^1(S',\H^{n-1})$ へのコンパクト作用素にはならない。

最後にトレース作用素の応用として次の $C^{0,1}$ 領域においても成り立つGaussの発散定理を示す。

{{theorem|type=thm|name=Gaussの発散定理|label=divthm}}
$S\subset\pOm$ を $C^{0,1}$ 境界部分とする。$\nu=(\nu_1,\ldots,\nu_n)$ を $S$ の外向き単位法線ベクトルとすると $u\in W^{1,1}_c(\Omega\cup S)$ について
$$\int_\Omega D_iu=\int_S Tu\nu_id\H^{n-1}.$$
とくに $\Omega$ が有界な $C^{0,1}$ 領域のとき任意の $u\in W^{1,1}(\Omega)$ について
$$\int_\Omega D_iu=\int_\pOm Tu\nu_id\H^{n-1}.$$

{{begin|proof}}
$\zeta\in C^\infty_c(\R^n\backslash(\pOm\backslash S))$ を任意にとる。$\varepsilon\gt 0$ とすると $\varphi\in L^1(S,\H^{n-1})$ について{{ref|type=thm|label=Text}}より $u\in W^{1,1}(\Omega)$ を $Tu=\varphi$ on $S$ となるようにとれる。また $v\in W^{1,1}(\Omega)$ が $Tv=0$ on $S$ をみたすとすると{{ref|type=thm|label=trace0}}より $\zeta v\in W^{1,1}_0(\Omega)$ となるので $i=1,\ldots,n$ について $\int_\Omega D_i(\zeta v)=0$。これより
$$\langle\tau_i,\varphi\rangle\colon=\int_\Omega D_i(\zeta u)$$
は $u$ の選択に依存せず、$\tau_i$ はwell-definedな $L^1(S,\H^{n-1})$ 上の線型汎関数である。また $\varepsilon\gt 0$ とすると $u$ は $\displaystyle\int_\Omega|u|\lt\varepsilon$ かつ $\displaystyle\int_\Omega|Du|\lt\int_S |\varphi|d\H^{n-1}+\varepsilon$ となるようにとれるので $\displaystyle|\langle\tau_i,\varphi\rangle|\le \norm{\zeta}_{1,\infty}\int_S |\varphi|d\H^{n-1}$。

[[測度と積分5：$L%5Ep$_空間の完備性と双対性]]の定理23.4より $\nu'_1,\ldots ,\nu'_n\in L^\infty(U_j\cap\pOm,\H^{n-1})$ であって任意の $\varphi\in L^1(S,\H^{n-1})$ について
$$\langle\tau_i,\varphi\rangle=\int_S\varphi\nu'_id\H^{n-1}$$
をみたすものが存在する。$\nu'_i$ は任意の $u\in W^{1,1}(\Omega)$ について
$$\int_S Tu\nu'_id\H^{n-1}=\langle\tau_i,Tu\rangle=\int_\Omega D_i(\zeta u)$$
をみたす。

$\nu'_i=\zeta\nu_i$ を示す。開集合 $U\subset\R^n$ と全単射 $\psi\colon 2Q\to U$ が $\psi$ と $\psi^{-1}$ がともに $C^{0,1}$ 写像で $\psi(Q_+)=U\cap\Omega$、$\psi(Q_0)=U\cap\pOm\subset S$ をみたすとして $\nu'_i=\zeta\nu_i$ on $U\cap\pOm$ を示せば十分。

{{ref|type=lem|label=trlem}}より $\H^{n-1}$ -a.e. $\xi\in U\cap\pOm$ と任意の $u\in C^\infty_c(\R^n)$ について
$$\lim_{a\to+\infty}\int_{\xi+a(U\cap\Omega-\xi)}D_i(\zeta u)=\int_{\{x\in\R^n\colon (x-\xi)\cdot\nu(\xi)\lt 0\}}D_i(\zeta u)=\int_{\{x\in\R^n\colon (x-\xi)\cdot\nu(\xi)=0\}}\zeta u\nu_id\H^{n-1}.\tag{$\dagger$}\label{divthm0}$$

一方、$a$ を十分大きくとって $\supp u\subset \xi+a(U-\xi)$ となるようにすると
\begin{align*}
\int_{\xi+a(U\cap\Omega-\xi)}D_i(\zeta u)&=a^n\int_\Omega D_i(\zeta u)(\xi+a(x-\xi))dx\\
&=a^{n-1}\int_\pOm u(\xi+a(x-\xi))\nu'_id\H^{n-1}(x)\\
&=a^{n-1}\int_{Q_0} u(\xi+a(\psi(y)-\xi))\nu'_i(\psi(y))J\psi(y)d\H^{n-1}(y).
\end{align*}
$Q_0\subset\R^{n-1}$ と見做して $\psi'\colon=\psi|_{Q_0}$ とする。$\H^{n-1}$ -a.e. $\xi\in U\cap\pOm$ について $\psi'$ は $y_0\colon=\psi^{-1}(\xi)$ において微分可能であり、なおかつLebesgueの微分定理より
$$\int_{B_r(y_0)\cap Q_0}|\nu'_i(\psi(y))J\psi'(y)-\nu'_i(\psi(y_0))J\psi'(y_0)|d\H^{n-1}=o(r^n)\ (r\to +0)$$
となることに注意する。$R\gt 0$ を十分大きくとると、十分大きい $a\gt 0$ について $\supp u(\xi+a(\psi(\cdot)-\xi))\subset B_{a^{-1}R}(y_0)\cap Q_0$ であるから
\begin{align*}
&\quad\int_{Q_0}\left|u(\xi+a(\psi(y)-\xi))\nu'_i(\psi(y))J\psi(y)-u\left(\xi+aD\psi'(y_0)(y-y_0)\right)\nu'_i(\psi(y_0))J\psi(y_0)\right|d\H^{n-1}(y)\\
&\le \int_{B_{a^{-1}R}(y_0)\cap Q_0}\left(\left|u(\xi+a(\psi(y)-\xi))-u\left(\xi+aD\psi'(y_0)(y-y_0)\right)\right||\nu'_i(\psi(y_0))J\psi(y_0)|+|u(\xi+a(\psi(y)-\xi))||\nu'_i(\psi(y))J\psi(y)-\nu'_i(\psi(y_0))J\psi(y_0)|\right)d\H^{n-1}(y)\\
&\le C\int_{B_{a^{-1}R}(y_0)\cap Q_0}\left(a\norm{Du}_\infty\left|\psi(y)-\psi(y_0)-D\psi'(y_0)(y-y_0)\right|+\norm{u}_\infty|\nu'_i(\psi(y))J\psi(y)-\nu'_i(\psi(y_0))J\psi(y_0)|\right)d\H^{n-1}(y)\\
&=o(a^{-(n-1)}).
\end{align*}
また
\begin{align*}
a^{n-1}\int_{Q_0}u\left(\xi+aD\psi'(y_0)(y-y_0)\right)\nu'_i(\psi(y_0))J\psi(y_0)d\H^{n-1}(y)&=\int_{\pRnp}u\left(\xi+D\psi'(y_0)(z-y_0)\right)\nu'_i(\xi)J\psi(y_0)d\H^{n-1}\\
&=\int_{\xi+D\psi'(y_0)\pRnp}u\nu'_i(\xi)d\H^{n-1}.
\end{align*}
従って
$$\lim_{a\to+\infty}\int_{\xi+a(U\cap\Omega-\xi)}D_i(\zeta u)=\int_{\xi+D\psi'(y_0)\pRnp}u\nu'_i(\xi)d\H^{n-1}\ \H^{n-1}-\ae\ \xi\in U\cap\pOm. \tag{$\ddagger$}\label{divthm1}$$
(\ref{divthm0})と(\ref{divthm1})より $\H^{n-1}-\ae\ \xi\in U\cap\pOm$ と任意の $u\in C^\infty_c(\R^n)$ について
$$\int_{\{x\in\R^n\colon (x-\xi)\cdot\nu(\xi)=0\}}\zeta u\nu_id\H^{n-1}=\int_{\xi+D\psi'(y_0)(\pRnp-y_0)}u\nu'_i(\xi)d\H^{n-1}\ \H^{n-1}-\ae\ \xi\in U\cap\pOm.$$
外向き単位法線ベクトルの構成より $\H^{n-1}$ -a.e. $\xi\in U\cap\pOm$ について
$$\{x\in\R^n\colon (x-\xi)\cdot\nu(\xi)=0\}=\xi+D\psi'(y_0)\pRnp$$
となるので
$$\nu'_i=\zeta\nu_i.$$
これより任意の $u\in W^{1,1}(\Omega)$ と $\zeta\in C^\infty_c(\R^n\backslash(\pOm\backslash S))$ について
$$\int_\Omega D_i(\zeta u)=\int_S \zeta u\nu_id\H^{n-1}.$$
とくに $u\in W^{1,1}_c(\Omega\cap S)$ のときは $\zeta\in C^\infty_c(\R^n\backslash(\pOm\backslash S))$ を $\zeta=1$ on $\supp u$ となるようにとれ、このときは $\zeta u=u$ であるから
$$\int_\Omega u=\int_S u\nu_id\H^{n-1}.$$
が成り立つ。
{{end|proof}}

{{theorem|type=cor|name=部分積分|label=trintpart}}
$S\subset\pOm$ を $C^{0,1}$ 境界部分とする。$u,v\in W^{1,1}(\Omega)$ が $uv\in W^{1,1}_c(\Omega\cup T)$ をみたすとき
$$\int_\Omega D_iuv=\int_S TuTv\nu_id\H^{n-1}-\int_\Omega uD_iv.$$

{{begin|proof}}
{{ref|type=thm|label=divthm}}より
$$\int_S TuTv\nu_id\H^{n-1}=\int_S T(uv)\nu_id\H^{n-1}=\int_\Omega D_i(uv)=\int_\Omega (D_iuv+uD_iv).$$
{{end|proof}}

{{theorem|type=rmk}}
$S\subset\pOm$ を(\ref{D})をみたす相対開集合とする。(\ref{D})における $S$ を $S'$ と表すと、$u\in W^{1,p}_0(\Omega\cup S)\subset W^{1,p}(D)$ の $\Omega$ におけるトレースを $D$ におけるトレース $Tu\in L^p_\loc(S',\H^{n-1})$ の $S$ への制限として定めることができる。また $\xi\in S$ における $S$ の外向き単位法線ベクトルを $S'$ の外向き単位法線ベクトルとして定めることができ、この節で挙げたトレースの性質は $W^{1,p}(\Omega)$ を $W^{1,p}_0(\Omega\cup S)$ にとりかえた上ですべて成り立つ。また $T$ は $W^{1,p}_0(\Omega\cup S)$ から $L^p(S,\H^{n-1})$ への有界線型作用素となり、$\displaystyle \int_S Tud\H^{n-1}\le C_{p,\Omega,T}\int_\Omega (|u|^p+|u|^{p-1}|Du|)$ が成り立つ。トレースSobolev不等式と $T$ のコンパクト性も $S$ を相対コンパクト部分集合にとりかえることなく成り立つ。Gaussの発散定理は $u\in W^{1,1}_0(\Omega\cup S)$ について成り立つ。

また、このようにして定めた $Tu\in L^p(S,\H^{n-1})$ と $\nu\in L^\infty(S,\H^{n-1})$ は $D$ と $S'$ の選択に依存しない。実際、$Tu$ は $\displaystyle r^{-n}\int_{B_r(\xi)\cap\Omega}|u-Tu(\xi)|\to 0\ (r\to +0)$ によって特徴づけられるので $D$ と $S'$ に依存しない。また $\varphi\in L^1_c(S,\H^{n-1})$ とすると $Tu=\varphi$ on $S$、$Tu=0$ on $S'\backslash S$ なる $u\in W^{1,1}(D)$ をとれ、$\eta\in C^\infty_c(\Omega\cup S)$ を $\eta=1$ on $\supp\varphi$ となるようにとって $v=\eta u$ とすることで $Tv=\varphi$ なる $v\in W^{1,1}_c(\Omega\cup S)$ をとれる。これより{{ref|type=thm|label=divthm}}の証明で定義した $\tau_i\in(L^1(S',\H^{n-1}))^*$ の $L^1_c(S,\H^{n-1})$ への制限は $D$ と $S'$ に依存せず、従って $\nu_i|_{S}$ も $D$ と $S'$ に依存しない。

==参考文献==
*Robert A. Adams「Sobolev Spaces」
*David Gilbarg, Neil S. Trudinger「Elliptic Partial Differential Equations of Second Order」
*Lawrence C. Evans, Ronald F. Gariepy「Measure Theory and Fine Properties of Functions,Revised Edition」
*Lawrence C. Evans「Partial Differential Equations,Second Edition」
*Gerald B. Folland「Real Analysis: Modern Techniques and Their Applications」
*Olga A. Ladyzhenskaya,Vsevolod A. Solonnikov,Nina N. Uraltseva「Linear and Quasilinear Equations of Parabolic Type」
*Haim Brezis「Functional Analysis, Sobolev Spaces and Partial Differential Equations」
*Michel Willem「Minimax Theorems」
*Luke G. Rogers「A Degree-Independent Sobolev Extension Operator」
*Giorgio Talenti「Best Constant in Sobolev Inequality」
*宮島静雄「ソボレフ空間の基礎と応用」
======脚注======

Sobolev空間とSobolevの不等式

2022-09-20T07:55:14Z

PSX: /* $\pOm$ への条件 */

{{begin|preamble}}
<math>
\newcommand{\R}{\mathbb{R}}
\newcommand{\C}{\mathbb{C}}
\newcommand{\K}{\mathbb{K}}
\newcommand{\Z}{\mathbb{Z}}
\newcommand{\Q}{\mathbb{Q}}
\newcommand{\Zp}{\mathbb{Z}_{\ge 1}}
\newcommand{\Zz}{\mathbb{Z}_{\ge 0}}
\newcommand{\M}{\mathbb{M}}
\newcommand{\B}{\mathcal{B}}
\newcommand{\D}{\mathcal{D}}
\newcommand{\F}{\mathcal{F}}
\newcommand{\G}{\mathcal{G}}
\newcommand{\H}{\mathcal{H}}
\newcommand{\I}{\mathcal{I}}
\newcommand{\L}{\mathcal{L}}
\newcommand{\n}{\mathbf{n}}
\newcommand{\Rnp}{\mathbb{R}^n_+}
\newcommand{\Rnn}{\mathbb{R}^n_-}
\newcommand{\pRnp}{\mathbb{\partial R}^n_+}
\newcommand{ae}{\mathrm{a.e.}}
\newcommand{\inn}{\ \mathrm{in}\ }
\newcommand{\on}{\ \mathrm{on}\ }
\newcommand{\for}{\ \mathrm{for}\ }
\newcommand{\jf}{\ \mathrm{if }\ }
\newcommand{\det}{\operatorname{det}}
\newcommand{\dim}{\operatorname{dim}}
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\newcommand{\sgn}{\operatorname{sgn}}
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\newcommand{\supp}{\operatorname{supp}}
\newcommand{\avg}{\sout{\int}}
\newcommand{\rcpt}{\subset\subset}
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\newcommand{\implies}{\ \Rightarrow\ }
\newcommand{\iff}{\ \Leftrightarrow\ }
\newcommand{\norm}[1]{\lVert #1\rVert}
\newcommand{\pardif}[2]{\frac{\partial{#1}}{\partial{#2}}}
\newcommand{\Bb}{\overline{B}}
\newcommand{\Ombar}{\overline{\Omega}}
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\renewcommand{\Re}{\operatorname{Re}}
\renewcommand{\Im}{\operatorname{Im}}
\DeclareMathOperator*{\osc}{osc}
\DeclareMathOperator*{\essosc}{ess\, osc}
\DeclareMathOperator*{\esssup}{ess\, sup}
\DeclareMathOperator*{\essinf}{ess\, inf}

</math>
{{newtheorem |type=def |display=定義 }}
{{newtheorem |type=pro |display=命題 |family=def }}
{{newtheorem |type=thm |display=定理 |family=def }}
{{newtheorem |type=lem |display=補題 |family=def }}
{{newtheorem |type=cor |display=系 |family=def }}
{{newtheorem |type=rmk |display=注意 |family=def }}
{{newtheorem |type=ex |display=参考 |family=def }}
{{end |preamble}}
{{TOC |align=right |noautonum=1 }}

ここでは $p\neq 2$ を含めた $L^p$ 空間におけるSobolev空間とSobolev空間に対する一般的な埋め込み定理であるSobolevの不等式について主に取り扱う。

==記法および注意==
ここではとくに断らない限り実数値関数のみを取り扱う。また断りなく次の記法を用いる:
* $n\in\Zp$ とし、$\Omega$ を $\R^n$ における開集合とする。
* $x\in\R^n$、$r>0$ について $B_r(x)$ で $\R^n$ の半径が $r$、中心が $x$ の開球を表す。中心や半径を具体的に指定しない場合は $B_r$ や $B(x)$ などと略すことがある。
* $\H^s$ で $s$ 次元Hausdorff測度、$\L^n$ で $n$ 次元Lebesgue外測度([[Hausdorff測度とarea_coarea_formula]]の定義30。命題31も参照。)を表し、$\L^n$ -a.e. を単にa.e.とかき、また誤解のおそれがなければ省略する。
* 多重指数 $\alpha$ について $\alpha$ 階偏微分を $D^\alpha$ で表す。また $\alpha=ke_i$ のときは $D^\alpha u$ を $D^k_i u$ と表す。$D^1_i u$ は $D_iu$ と表し、$\R^n$ 値関数 $(D_1u,\ldots D_nu)$ を $Du$ と表す。
* $n=1$ のときは $D^k_1 u$ を $u^{(k)}$ と表す。また $u^{(1)}$、$u^{(2)}$ はそれぞれ $u'$、$u^{\prime\prime}$ と表す。
* $\mu\in\R^n\backslash\{0\}$ について、$D_\mu$ で $\mu$ -方向微分を表す。とくに $u$ が微分可能であるとき $D_\mu u=\mu\cdot Du$ である。
* $p\in[1,\infty]$ について $p'$ でそのHölder共役指数、すなわち $p^{-1}+p'^{-1}=1$ をみたす $p'\in[1,\infty]$ を表す。
* $\norm{\cdot}_{p;\Omega}$ で $L^p(\Omega)=L^p(\Omega,\L^n)$ のノルムを表す。また、相対開集合 $T\subset\pOm$ について $\norm{\cdot}_{p;T}$ で $L^p(T,\H^{n-1})$ のノルムを表す。誤解のおそれがなければ $\Omega$ と $T$ は省略することがある。
* $C^k(\Ombar)$、$C^{k,\alpha}(\Ombar)$ のノルムには[[Hölder空間の基本事項]]で定義した記号を用いる。
* $Q\colon=(-1,1)^n$、$Q_+\colon=(-1,1)^{n-1}\times(0,1)$、$Q_0\colon=(-1,1)^{n-1}\times\{0\}$ とする。
* $\Omega,\Omega'\subset\R^n$ を開集合とし、$f\colon\Omega'-\Omega\to\R$ と $g\colon\Omega\to\R$ を $\L^n$ -可測関数とする。
$$f*g(x)\colon=\int_{\Omega}f(x-y)g(y)dy$$
が a.e. $x\in\Omega'$ で定義されるとき $f*g$ は $\Omega'$ 上で定義されるといい、これを $f$ と $g$ の合成積という。<ref name="defdifference">[[合成積とFourier変換]]で定義されているものとは $(2\pi)^\frac{n}{2}$ 倍の違いがある。</ref>

$f*g$ は次のYoungの不等式をみたす:

{{theorem|type=lem|name=Youngの不等式|label=young}}
$p,q\in[1,\infty]$ が $p^{-1}+q^{-1}\ge 1$ をみたすとする。$\L^n$ -可測関数 $f\colon\Omega'-\Omega\to\R$ は
$$M_1\colon=\sup_{x\in\Omega'}\norm{f(x-\cdot)}_{p;\Omega}\lt\infty,M_2\colon=\sup_{y\in\Omega}\norm{f(\cdot-y)}_{p;\Omega'}\lt\infty$$
をみたすとする。$g\in L^q(\Omega)$ とすると $f*g$ は $\Omega'$ 上で定義され、$r\colon=(p^{-1}+q^{-1}-1)^{-1}\in[1,\infty]$ とすると
$$f*g\in L^r(\Omega'),\norm{f*g}_{r;\Omega'}\le M_1^{1-\frac{p}{r}}M_2^\frac{p}{r}\norm{g}_{q;\Omega}.$$
ただし $p=\infty$、$q=1$、$r=\infty$ の場合は $\frac{p}{r}=0$ とする。

とくに $f\in L^p(\Omega'-\Omega)$ のとき
$$\norm{f*g}_{r;\Omega'}\le\norm{f}_{p;\Omega'-\Omega}\norm{g}_{q;\Omega}.$$

{{begin|proof|display=''Proof.''|collapsible=1}}
$p^{-1}+q^{-1}=1$ のときは $r=\infty$ で、Hölderの不等式より $x\in\Omega'$ について
$$\int_{\Omega}|f(x-y)||g(y)|dy\le M_1\norm{g}_q$$
となるので $f*g$ は $\Omega'$ 上で定義され、$\norm{f*g}_\infty\le M_1\norm{g}_q$。

$p^{-1}+q^{-1}\gt 1$ の場合を示す。このとき $p,q,r\in[1,\infty)$ で、Hölderの不等式より
\begin{align*}
\left(\int_{\Omega'}\left(\int_{\Omega}|f(x-y)||g(y)|dy\right)^rdx\right)^{r^{-1}}&=\left(\int_{\Omega'}\left(\int_{\Omega}|f(x-y)|^{p(1-q^{-1})}|g(y)|^{q(1-p^{-1})}(|f(x-y)|^p|g(y)|^q)^{p^{-1}+q^{-1}-1}dy\right)^rdx\right)^{r^{-1}}\\
&\le\left(\int_{\Omega'}\left(\left(\int_{\Omega}|f(x-y)|^pdy\right)^{1-q^{-1}}\left(\int_{\Omega}|g(y)|^qdy\right)^{1-p^{-1}}\left(\int_{\Omega}|f(x-y)|^p|g(y)|^qdy\right)^{p^{-1}+q^{-1}-1}\right)^rdx\right)^{r^{-1}}\\
&\le\left(\int_{\Omega'} M_1^{pr(1-q^{-1})}\norm{g}_q^{qr(1-p^{-1})}\left(\int_{\Omega}|f(x-y)|^p|g(y)|^qdy\right)dx\right)^{r^{-1}}\\
&=M_1^{p(1-q^{-1})}\norm{g}_q^{q(1-p^{-1})}\left(\int_{\Omega}\left(\int_{\Omega'} |f(x-y)|^p|g(y)|^qdx\right)dy\right)^{r^{-1}}\\
&\le M_1^{p(p^{-1}-r^{-1})}\norm{g}_q^{q(q^{-1}-r^{-1})}\left(M_2^p\norm{g}_q^q\right)^{r^{-1}}\\
&=M_1^{1-\frac{p}{r}}M_2^\frac{p}{r}\norm{g}_q.
\end{align*}
よって $f*g$ は $\Omega'$ 上で定義され
$$f*g\in L^r(\Omega'),\norm{f*g}_r\le M_1^{1-\frac{p}{r}}M_2^\frac{p}{r}\norm{g}_q.$$
{{end|proof}}

* 実数値関数からなる線形空間 $X$ に対し、各成分が $X$ に属する $\R^m$ 値関数の空間を $m$ 個の $X$ の直積と同一視して $X^m$ とかく。

==$\pOm$ への条件==
Sobolev空間の一部の性質は、$\Omega\subset\R^n$ が一般の開集合の場合は成立せず、主に $\pOm$ に関する適切な仮定の下で成立する。そのような性質はなめらかな領域ではすべて成立するが、以下に述べるようなより弱い仮定の下で考えることもある。

{{theorem|type=def|name=線分条件|label=segm}}
相対開集合 $T\subset\pOm$ について、各 $\xi\in T$ について次をみたす $\xi$ の開近傍 $U_\xi\subset\R^n$ と $y_\xi\in\R^n$ が存在するとき $T$ は線分条件をみたすという:
$$\{x+ty_\xi\colon x\in\overline{U_\xi\cap\Omega},t\in(0,1)\}\subset\Omega.\tag{$\dagger$}\label{segm}$$
$\pOm$ が線分条件をみたすとき $\Omega$ は線分条件をみたすという。

{{theorem|type=def|name=Lipschitz領域|label=Lipdom}}
$n\ge 2$ とする。相対開集合 $T\subset\pOm$ について、各 $\xi\in\pOm$ について $0\in V_\xi$ なる開集合 $V_\xi\subset\R^{n-1}$ と $h_\xi\gt 0$ と $O_\xi\in O_n$ と $\gamma_\xi\in C^{0,1}_c(\R^{n-1})$ であって次をみたすものが存在するとき $T$ はLipschitz境界部分であるという:
$$\gamma_\xi(0)=0,O_\xi(\Omega-\xi)\cap(V_\xi\times (-h_\xi,h_\xi))=\{(y',y_n)\in V_\xi\times (-h_\xi,h_\xi)\colon y_n\gt \gamma_\xi(y')\}.\tag{$\dagger\dagger$}\label{Lipdom}$$
$\pOm$ がLipschitz境界部分であるとき $\Omega$ はLipschitz領域であるという。

{{theorem|type=rmk}}
$O_\xi$ は $O_\xi\in SO_n$ ととってもよい。

明らかにLipschitz境界部分は線分条件をみたし、かつ $C^{0,1}$ 境界部分([[Hölder空間の基本事項]]の定義28)となる。一方、次が成り立つ:

{{theorem|type=pro|label=conv}}
任意の凸領域はLipschitz領域である。

{{begin|proof}}
$x\in\Omega$ をとり、$r\gt 0$ を $B_{6r}(x)\subset\Omega$ となるようにとる。$\xi\in\pOm$ とし、$h\colon=|x-\xi|$ とする。$z\colon=h^{-1}(x-\xi)\in \partial B_1(0)$ とし、$O\in O_n$ を $Oz=e_n$ となるようにとる。

$\R^{n-1}$ における開球を $B'$ で表す。$y'\in B'_{6r}(0)$ について $\gamma'(y')\colon=\inf\{t\in\R\colon (y',t)\in O(\Omega-\xi)\}$ と定める。

$(y',h)=(y',0)+hOz=O(O^{-1}(y',0)+(x-\xi))\in O(B_{6r}(x-\xi))\subset O(\Omega-\xi)$ であるから $\gamma'(y')\le h$。また $\Omega$ は開かつ凸であるから $\{t\in\R\colon (y',t)\in O(\Omega-\xi)\}$ は開区間である。これより $t\lt h$ について
$$(y',t)\in O(\Omega-\xi)\iff t\in(\gamma'(y'),h)$$
であり、
$$O(\Omega-\xi)\cap(B'_{2r}(0)\times(-h,h))=\{(y',t)\in B'_{2r}(0)\times(-h,h)\colon t\gt\gamma'(y')\}$$
が成り立つ。また $\gamma'(0)=0$。

$x',y'\in B'_{6r}(0)$ と $s,t\lt h$ と $\sigma\in[0,1]$ について、$O(\Omega-\xi)$ が凸であることから
$$s\in(\gamma'(x'),h),t\in(\gamma'(y'),h)\implies (1-\sigma)s+\sigma t\in(\gamma'((1-\sigma)x'+\sigma y'),h).$$
これより $\gamma'((1-\sigma)x'+\sigma y')\le(1-\sigma)\gamma'(x')+\sigma\gamma'(y')$ となり $\gamma'$ は凸である。

また $y'\in B_{6r}(0)$ について $\gamma(0)-\gamma'(y')\le\gamma'(-y')-\gamma'(0)$ となるので $\gamma'(y')\ge-\gamma'(-y')\ge -h$。

$x',y'\in B'_{2r}(0)$ とする。$|x'-y'|\lt 4r\lt 6r-|x'|$ であるから $\tau\colon=4|x'-y'|^{-1}r$ とすると $\tau\gt 1$ かつ $x'+\tau(x'-y')\in B_{6r}(0)$ で
$$\gamma'(x')-\gamma'(y')\le(1+\tau)^{-1}(\gamma'(x'+\tau(x'-y'))-\gamma'(y'))\le 2h\tau^{-1}\le\frac{1}{2}hr^{-1}|x'-y'|.$$
同様に $\gamma'(y')-\gamma'(x')\le\le\frac{1}{2}hr^{-1}|y'-x'|$ も示される。これより $\gamma'\in C^{0,1}(\overline{B'_{2r}(0)})$。

以上より $V=B'_r(0)$ ととって $\gamma\in C^{0,1}(\R^{n-1})$ を $\gamma=\gamma'$ in $B'_r(0)$ となるようにとればこの $V$、$h$、$O$、$\gamma$ は(\ref{Lipdom})をみたす。
{{end|proof}}

{{theorem|type=pro|label=Cka}}
$k\ge 1$、$\alpha\in[0,1]$ とする。$T\subset\pOm$ を $C^{k,\alpha}$ 境界部分とすると、各 $\xi\in T$ について $0\in V_\xi$ なる開集合 $V_\xi\subset\R^{n-1}$ と $h_\xi\gt 0$ と $O_\xi\in O_n$ と $\gamma_\xi\in C^{k,\alpha}_c(\R^{n-1})$ であって(\ref{Lipdom})をみたすものが存在する。とくに $C^1$ 領域はLipschitz領域である。

{{begin|proof}}
$\xi$ の開近傍 $U$ と全単射 $\psi\colon 2Q\to U$ で $\psi$ と $\psi^{-1}$ がともに $C^{k,\alpha}$ 写像で $\psi(2Q_+)=U\cap\Omega$、$\psi(2Q_0)=U\cap\pOm$ をみたすものが存在する。$\psi(\xi)=0$ としてよい。

$f\colon U\to 2Q$ を $\psi^{-1}$ の第 $n$ 成分として定める。$U\cap\Omega$ と $U\cap\pOm$ はそれぞれ $\{x\in U\colon f(x)\gt 0\}$、$\{x\in U\colon f(x)=0\}$ と表される。また $Df\neq 0$ in $U$。

$O\in O_n$ を $O^{-1}D_nf(\xi)\gt 0$ となるようにとる。$\widetilde{\Omega}\colon=O(\Omega-\xi)$、$\widetilde{U}\colon=O(U-\xi)$ とし、$\widetilde{f}\colon\widetilde{\Omega}\to\R$ を $\widetilde{f}(y)\colon=\widetilde{f}(O^{-1}y+\xi)$ により定める。$\widetilde{U}\cap\widetilde{\Omega}$ と $\widetilde{U}\cap\partial\widetilde{\Omega}$ はそれぞれ $\{y\in \widetilde{U}\colon \widetilde{f}(y)\gt 0\}$、$\{y\in \widetilde{U}\colon \widetilde{f}(y)=0\}$ と表される。また $D_n\widetilde{f}(0)\gt 0$。

陰関数定理([[ベクトル解析1：Euclid空間内の多様体上の関数の微分]])により十分小さい $h\gt 0$ をとると射影 $p\colon\R^{n-1}\times\R\to\R^{n-1},(y',y_n)\mapsto y'$ の $hQ\cap\partial\widetilde{\Omega}$ への制限はある開集合 $W\subset\R^{n-1}$ への全単射であり、$p^{-1}\colon V\to hQ\cap\partial\widetilde{\Omega}$ は $C^{k,\alpha}$ 写像である。<ref name="impfct">陰関数定理は $h_i\in C^\infty(U)$ の場合が証明されているが、$C^\infty$ を $C^k$ にとりかえても同様であり、また逆写像定理において逆写像の $k$ 階微分の表示によりもとの写像が $C^{k,\alpha}$ 写像の場合は逆写像も $C^{k,\alpha}$ 写像となることが示されることから、陰関数定理も $C^{k,\alpha}$ にとりかえても同様に成り立つ。</ref>

$p^{-1}$ はある $\gamma'\colon W\to hQ\cap\partial\widetilde{\Omega}$ を用いて $p^{-1}(y')=(y',\gamma'(y_n))$ と表され、$hQ\cap\widetilde{\Omega}=\{(y',\gamma'(y_n))\colon y'\in W\}$。また $p^{-1}$ が $C^{k,\alpha}$ 写像であることから $\gamma'\in C^{k,\alpha}(W)$。

一方、必要であれば $r$ を小さくとり直して $D_nh\gt 0$ in $hQ$ とできる。
$$\{y\in hQ\colon h(y)=0\}=hQ\cap\widetilde{\Omega}=\{(y',\gamma'(y'))\colon y'\in W\}$$
より $(y',y_n)\in W\times(-h,h)$ について $\widetilde{f}(y',y_n)=0\iff y_n=\gamma'(y')$。$\widetilde{f}$ は $hQ$ 上では $y_n$ について狭義単調増加であるから
$$hQ\cap\widetilde{\Omega}=\{y\in hQ\colon h(x)\gt 0\}=\{(y',y_n)\in W\times(-h,h)\colon y_n\gt\gamma'(y')\}.$$
従って $0$ の開近傍 $V\rcpt W$ をとって $\gamma\in C^{k,\alpha}_c(\R^n)$ を $\gamma=\gamma'$ in $V$ となるようにとればこの $V$、$h$、$O$、$\gamma$ は(\ref{Lipdom})をみたす。
{{end|proof}}

{{theorem|type=rmk}}
陰関数定理は $C^{0,1}$ 写像に対しては無効であり、$C^{0,1}$ 領域は一般にLipschitz領域とはならない。<ref name="Lipdom">混同を防ぐため「Lipschitz領域」を「強Lipschitz領域」といい、「$C^{0,1}$ 領域」を「弱Lipschitz領域」ということもある。</ref>実際、$n=2$ とし、$\psi\colon\R^2\to\R^2,(x,y)\mapsto(x+y\sin(\log|y|),y)$ は全単射で $\psi,\psi^{-1}$ ともに $C^{0,1}$ 写像であるから
$$\Omega\colon=\{\psi(x,y)\colon y\gt-|x|\}$$
とすると $\Omega$ は $C^{0,1}$ 領域となる。一方で、この $\Omega$ は線分条件をみたしていないので、Lipschitz領域ではない。

==Sobolev空間の定義==
{{theorem|type=def|name=弱微分|label=defweakder}}
$u\in L^1_{\loc}(\Omega)$ とし、$\alpha$ を多重指数とする。変分学の基本補題([[超関数の定義と基本操作]]の命題5.3)により任意の $\varphi\in C^\infty_c(\Omega)$ について
$$\int_{\Omega}uD^\alpha\varphi=(-1)^{|\alpha|}\int_{\Omega}v\varphi$$
をみたす $v\in L^1_{\loc}(\Omega)$ は存在すれば一意的である。$v$ を $D^\alpha u$ とかき、$u$ の $\alpha$ 階弱微分という。

{{theorem|type=def|name=Sobolev空間 $W^{k,p}(\Omega),W^{k,p}_{\loc}(\OmT),W^{k,p}_c(\OmT)$|label=defsob}}
$C^\infty_c(\Omega)$ で $\Omega$ 上のコンパクトな台をもつなめらかな関数からなる空間を表す。

$k\in\Zp$、$p\in[1,\infty]$ についてSobolev空間 $W^{k,p}(\Omega)$ を
$$W^{k,p}(\Omega)\colon=\left\{u\in L^p(\Omega)\colon |\alpha|\le k\ について\ D^\alpha u\in L^p(\Omega)\right\}$$
と定める。また相対開集合 $T\subset\pOm$ について $L^p_\loc(\OmT)$ と $W^{k,p}_{\loc}(\OmT)$ を
$$L^p_\loc(\OmT)\colon=\left\{f\in L^p_\loc(\Omega)\colon \Omega'\rcpt\OmT\ について\ f\in L^p(\Omega')\right\},$$
$$W^{k,p}_{\loc}(\OmT)\colon=\left\{u\in L^p_{\loc}(\OmT)\colon |\alpha|\le k\ について\ D^\alpha u\in L^p_{\loc}(\OmT)\right\}$$
と定める。また $W^{k,p}_c(\OmT)$ を
$$W^{k,p}_c(\OmT)\colon=\{u\in W^{k,p}(\Omega)\colon\supp u\rcpt\OmT\}$$
と定める。

{{theorem|type=def|name=$W^{k,p}(\Omega)$ のノルム|label=defnorm}}
$W^{k,p}(\Omega)$ に
$$\norm{u}_{k,p;\Omega}\colon=
\begin{cases}
\left(\sum_{|\alpha|\le k}\int_{\Omega}|D^\alpha u|^p\right)^\frac{1}{p}&\colon p\in[1,\infty)\\
\max_{|\alpha|\le k}\esssup_{\Omega} |D^\alpha u|&\colon p=\infty
\end{cases}$$
によりノルム $\norm{\cdot}_{k,p;\Omega}$ を定める。

{{theorem|type=rmk}}
便宜上 $\norm{u}_{0,p;\Omega}=\norm{u}_{p;\Omega}$ とすることがある。またどの領域におけるSobolev空間のノルムかが明らかな場合は「$;\Omega$」は省略されることが多い。

$W^{k,2}(\Omega)$ は $H^k(\Omega)$ と書かれることが多い。$H^k(\Omega)$ には
$$(u,v)_{H^k(\Omega)}=\sum_{|\alpha|\le k}\int_\Omega D^\alpha uD^\alpha v$$
により内積が定まる。

$\displaystyle \sum_{|\alpha|\le k}\norm{D^\alpha u}_{p;\Omega}$ や $\displaystyle \left(\sum_{|\alpha|\le k}\norm{D^\alpha u}_{p;\Omega}^2\right)^\frac{1}{2}$ も同値なノルムである。また
$$\norm{u}_{k,p;\Omega}\le\sum_{|\alpha|\le k}\norm{D^\alpha u}_{p;\Omega}$$
で、
$$\sum_{|\alpha|\le k}\norm{D^\alpha u}_{p;\Omega}\le C\norm{u}_{k,p;\Omega}$$
となる定数 $C$ は $n$ と $k$ のみに依存し $p$ には依存しないようにとれる。

{{theorem|type=def|name=$\norm{D^ku}_{p;\Omega}$|label=gradnorm}}
$W^{k,p}(\Omega)$ に
$$\norm{D^ku}_{p;\Omega}\colon=\begin{cases}
\left(\sum_{|\alpha|=k}\norm{D^\alpha u}_{p;\Omega}^p\right)^{p^{-1}}&\colon p\in[1,\infty)\\
\max_{|\alpha|}\norm{D^\alpha u}_{\infty;\Omega}&\colon p=\infty
\end{cases}$$
によりセミノルム $\norm{D^ku}_{p;\Omega}$ を定める。

{{theorem|type=rmk}}
$\displaystyle \sum_{|\alpha|=k}\norm{D^\alpha u}_{p;\Omega}$ や $\displaystyle \left(\sum_{|\alpha|=k}\norm{D^\alpha u}_{p;\Omega}^2\right)^\frac{1}{2}$ も同値なセミノルムである。また
$$\norm{D^ku}_{p;\Omega}\le\sum_{|\alpha|=k}\norm{D^\alpha u}_{p;\Omega}$$
で、
$$\sum_{|\alpha|=k}\norm{D^\alpha u}_{p;\Omega}\le C\norm{D^ku}_{p;\Omega}$$
となる定数 $C$ は $n$ と $k$ のみに依存し $p$ には依存しないようにとれる。

{{theorem|type=pro|name=$W^{k,p}(\Omega)$ の完備性|label=compl}}
$W^{k,p}(\Omega)$ はノルム $\norm{\cdot}_{k,p;\Omega}$ について完備である。

{{begin|proof|display=''Proof.''|collapsible=1}}
$\{u_m\}_{m=1}^\infty\subset W^{k,p}(\Omega)$ をCauchy列とすると各 $|\alpha|\le k$ について $\{D^\alpha u_m\}_{m=1}^\infty$ は $L^p(\Omega)$ におけるCauchy列であるから $v_\alpha\in L^p(\Omega)$ が存在して $\norm{u_m-v_\alpha}_{p;\Omega}\to 0\ (m\to\infty)$。$u\colon=v_0$ とすると $\varphi\in C^\infty_c(\Omega)$ について
$$\int_\Omega uD^\alpha\varphi=\lim_{m\to\infty}\int_\Omega u_mD^\alpha\varphi=(-1)^{|\alpha|}\lim_{m\to\infty}\int_\Omega D^\alpha u_m\varphi=(-1)^{|\alpha|}\int_\Omega v_\alpha\varphi$$
であるから $u\in W^{k,p}(\Omega)$、$D^\alpha u=v_\alpha\ (|\alpha|\le k)$、$\norm{D^\alpha u_m-D^\alpha u}_{p;\Omega}\to 0\ (m\to\infty,|\alpha|\le k)$。$\norm{\cdot}_{k,p;\Omega}$ の定義より
$$\norm{u_m-u}_{k,p;\Omega}\to 0\ (m\to\infty)$$
となる。
{{end|proof}}

{{theorem|type=rmk}}
この証明から $u_m\in W^{1,p}(\Omega)\ (m\in\Zp)$、$u,v_1,\ldots ,v_n\in L^p(\Omega)$ が $\norm{u_m-u}_p,\norm{D_iu_m-v_i}_p\to 0\ (m\to\infty)$ をみたすとき $u\in W^{1,p}(\Omega)$、$D_iu=v_i$ となることが従う。このことは作用素の用語を用いると
$$D\colon L^p(\Omega)\supset D(D)=W^{1,p}(\Omega)\to L^p(\Omega)^n,Du=(D_1u,\ldots,D_nu)$$
により定まる非有界作用素 $D$ は閉作用素であると言い換えられる。

==なめらかな関数による近似==
{{theorem|type=def|name=Friedrich's mollifier|label=mol}}
$$\eta(x)\colon=
\begin{cases}
A\exp\left(\frac{1}{|x|^2-1}\right)&\colon x\in B_1(0)\\
0&\colon x\in\R^n\backslash B_1(0)
\end{cases}
,A\colon=\left(\int_{B_1(0)}\exp\left(\frac{1}{|x|^2-1}\right)dx\right)^{-1}$$
として $\eta\colon \R^n\to\R$ を定める。$\eta$ は
$$\eta\in C^\infty(\R^n),\eta\ge 0,\eta=0\on\R^n\backslash B_1(0),\int_{\R^n} \eta=1\tag{*}\label{mol}$$
をみたす。
$\varepsilon\gt 0$ について
$$\eta_\varepsilon(x)\colon=\varepsilon^{-n}\eta(\varepsilon^{-1}x)$$
と定め、Friedrich's mollifier、または単にmollifierという。

{{theorem|type=rmk}}
(\ref{mol})をみたしていれば $\eta$ はこの関数でなくてもよい。

{{theorem|type=pro|name=mollifierの性質|label=promol}}
開集合 $\Omega'\subset\Omega\subset\R^n$ は $d\colon=\dist(\Omega',\pOm)\gt 0$ をみたすとする。$f\in L^1_{\loc}(\Omega)$、$p\in[1,\infty]$、$\varepsilon\in (0,d)$ について、$\eta_\varepsilon*f$ は $\Omega'$ 上で定義され次が成り立つ:
* (1) $\supp\eta_\varepsilon*f\subset\{x\in\R^n\colon\dist(x,\supp f)\le\varepsilon\}$。とくに $\dist(\supp f,\Omega\backslash\Omega')\gt 0$ のとき十分小さく$\varepsilon\gt 0$ をとれば $\supp\eta_\varepsilon*f\subset\Omega'$。
* (2) $\eta_\varepsilon*f\in C^\infty(\overline{\Omega'})$ で、多重指数 $\alpha$ について $D^\alpha(\eta_\varepsilon*f)=D^\alpha\eta_\varepsilon*f$ in $\Omega'$。
* (3) $f\in L^p(\R^n)$ のとき $q\in[p,\infty]$ と多重指数 $\alpha$ について $\norm{D^\alpha(\eta_\varepsilon*f)}_{q;\Omega'}\le C_{n,p,q,\alpha}\varepsilon^{-|\alpha|-n(p^{-1}-q^{-1})}\norm{f}_{p;\Omega}$。
また $\varepsilon\to 0$ とするとき、
* (4) $\eta_\varepsilon*f\to f$ a.e. in $\Omega'$。
* (5) $f\in C(\Omega)$ のとき有界な $U\subset\Omega'$ について $\norm{\eta_\varepsilon*u-u}_{\infty;U}\to 0$。
* (6) $f\in L^p(\Omega)$、$p\in[1,\infty)$ のとき $\norm{\eta_\varepsilon*f-f}_{p;\Omega'}\to 0$。

{{begin|proof|display=''Proof.''|collapsible=1}}
(1)は明らか。

(2)を示す。任意の多重指数 $\alpha$ と $i=1,\ldots,n$ について $D_i(D^\alpha\eta_\varepsilon*f)=D_iD^\alpha\eta_\varepsilon*f$ on $\overline{\Omega'}$ を示せばよい。$x\in\overline{\Omega'}$ と $a\lt 0\lt b$ について
\begin{align*}
D^\alpha\eta_\varepsilon*f(x+be_i)-D^\alpha\eta_\varepsilon*f(x+ae_i)&=\int_{\R^n}(D^\alpha\eta_\varepsilon(x+ae_i-y)-D^\alpha\eta_\varepsilon(x+be_i-y))f(y)dy\\
&=\int_{\R^n}\left(\int_a^bD_iD^\alpha\eta_\varepsilon(x+te_i-y)dt\right)f(y)dy\\
&=\int_a^b\left(\int_{\R^n}D_iD^\alpha\eta_\varepsilon(x+te_i-y)f(y)dy\right)dt.
\end{align*}
Lebesgueの収束定理より $t\mapsto\int_{\Omega}D_iD^\alpha\eta_\varepsilon(x+te_i-y)f(y)dy$ は $(a,b)$ 上で連続であるから微積分基本公式より
$$D_i\left(D^\alpha\eta_\varepsilon*f\right)(x)=\int_{\R^n}D_iD^\alpha\eta_\varepsilon(x-y)f(y)dy=D_iD^\alpha\eta_\varepsilon*f(x).$$

(3)は(2)とYoungの不等式と
\begin{align*}
\left(\int_{B_\varepsilon(0)}|D^\alpha\eta_\varepsilon(x)|^{(1-p^{-1}+q^{-1})^{-1}}dx\right)^{1-p^{-1}+q^{-1}}&=\left(\int_{\R^n}|\varepsilon^{-|\alpha|-n}D^\alpha\eta(\varepsilon^{-1}x)|^{(1-p^{-1}+q^{-1})^{-1}}dx\right)^{1-p^{-1}+q^{-1}}\\
&=\varepsilon^{-|\alpha|-n}\left(\int_{\R^n}\varepsilon^n|D^\alpha\eta(y)|^{(1-p^{-1}+q^{-1})^{-1}}dy\right)^{1-p^{-1}+q^{-1}}\\
&\le C\varepsilon^{-|\alpha|-n(p^{-1}-q^{-1})}
\end{align*}
から従う。

(4)を示す。$x\in\Omega'$ を $f$ のLebesgue点とすれば
$$|\eta_\varepsilon*f(x)-f(x)|\le\int_{\Omega'}\eta_\varepsilon(x-y)|f(y)-f(x)|dy\le\int_{B_\varepsilon(x)}\varepsilon^{-n}\norm{\eta}_\infty|f(y)-f(x)|dy\to 0\ (\varepsilon\to +0).$$

(5)を示す。$x\in U$ について
\begin{align*}
|\eta_\varepsilon*f(x)-f(x)|&\le\int_{B_\varepsilon(x)}\eta_\varepsilon(x-y)|f(y)-f(x)|dy\\
&\le\int_{B_\varepsilon(x)}\eta_\varepsilon(x-y)dy\cdot\sup_{y\in B_\varepsilon(x)}|f(y)-f(x)|\\
&\le\sup_{\substack{y,z\in U+B_\varepsilon(0),|y-z|\lt\varepsilon}}|f(y)-f(z)|.
\end{align*}
ここで $U+B_\frac{d}{2}(0)$ は有界で $\dist(U+B_\frac{d}{2}(0),\pOm)\ge\dist(\Omega',\pOm)-\frac{d}{2}=\frac{d}{2}$ であるから $U+B_\frac{d}{2}(0)\rcpt\Omega$。これより
$$\sup_{\substack{y,z\in U+B_\varepsilon(0),|y-z|\lt\varepsilon}}|f(y)-f(z)|\le\sup_{\substack{y,z\in U+B_\frac{d}{2}(0),|y-z|\lt\varepsilon}}|f(y)-f(z)|\to 0\ (\varepsilon\to +0).$$
これより $\norm{\eta_\varepsilon*f-f}_{\infty;\Omega'}\to 0\ (\varepsilon\to +0)$。

(6)を示す。積分形のMinkowskiの不等式と平行移動の $L^p$ 連続性([[合成積とFourier変換]]の命題28.2)より
\begin{align*}
\norm{\eta_\varepsilon*f-f}_{p,\Omega'}&=\int_{\Omega'}\left|\int_{B_\varepsilon(y)}\eta_\varepsilon(x-y)(f(y)-f(x))dy\right|^pdx\\
&=\int_{\Omega'}\left|\int_{B_\varepsilon(0)}\eta_\varepsilon(z)(f(x-z)-f(x))dz\right|^pdx\\
&\le\int_{B_\varepsilon(0)}\eta_\varepsilon(z)\left(\int_{\Omega'}|f(x-z)-f(x)|^pdx\right)^{p^{-1}}dz\\
&\le\sup_{z\in B_\varepsilon(0)}\left(\int_{\Omega'}|f(x-z)-f(x)|^pdx\right)^{p^{-1}}\to 0.
\end{align*}
{{end|proof}}

なお積分形のMinkowskiの不等式とは次の主張である:

{{theorem|type=lem|name=積分形のMinkowskiの不等式|label=mink}}
$\sigma$ -有限測度空間 $X=(X,\mathfrak{M},\mu)$、$Y=(Y,\mathfrak{N},\nu)$ と $\mathfrak{M}\otimes\mathfrak{N}$ -可測関数 $f$ と $p\in[1,\infty]$ について
$$\norm{\int_Y |f(\cdot,y)|d\nu(y)}_{p;X}\le\int_Y\norm{f(\cdot,y)}_{p;X}d\nu(y).$$

{{begin|proof}}
$p=\infty$ の場合は明らか。

$p\in[1,\infty)$、$\int_X\left(\int_Y |f(x,y)|d\nu(y)\right)^pd\mu(x)\lt\infty$ の場合を示す。
\begin{align*}
\int_X\left(\int_Y |f(x,y)|d\nu(y)\right)^pd\mu(x)&=\int_Y\left(\int_X\left(\int_Y |f(x,y)|d\nu(y)\right)^{p-1}|f(x,y')|d\mu(x)\right)d\nu(y')\\
&\int_Y\left(\int_X\left(\int_Y |f(x,y)|d\nu(y)\right)^pd\mu(x)\right)^{1-p^{-1}}\left(\int_X|f(x,y')|^pd\mu(x)\right)^{p^{-1}}d\nu(y')\\
&=\left(\int_X\left(\int_Y |f(x,y)|d\nu(y)\right)^pd\mu(x)\right)^{1-p^{-1}}\int_Y\left(\int_X|f(x,y)|^pd\mu(x)\right)^{p^{-1}}d\nu(y)
\end{align*}
となり
$$\left(\int_X\left(\int_Y |f(x,y)|d\nu(y)\right)^pd\mu(x)\right)^{p^{-1}}\le\int_Y\left(\int_X|f(x,y)|^pd\mu(x)\right)^{p^{-1}}d\nu(y)$$
を得る。

$\int_X\left(\int_Y |f(x,y)|d\nu(y)\right)^pd\mu(x)=\infty$ の場合は $X_1\subset X_2\subset\ldots\subset X$、$Y_1\subset Y_2\subset\ldots\subset Y$ を $\mu(X_i),\nu(Y_i)\lt\infty$ かつ $\displaystyle\bigcup_{i=1}^\infty X_i=X,\bigcup_{i=1}^\infty Y_i=Y$ となるようにとると
$$\left(\int_{X_i}\left(\int_{Y_i} \min\{|f(x,y)|,i\}d\nu(y)\right)^pd\mu(x)\right)^{p^{-1}}\le\int_{Y_i}\left(\int_{X_i}\min\{|f(x,y)|,i\}^pd\mu(x)\right)^{p^{-1}}d\nu(y)$$
となるので $i\to\infty$ として $\int_Y\left(\int_X|f(x,y)|^pd\mu(x)\right)^{p^{-1}}d\nu(y)=\infty$ を得る。
{{end|proof}}

{{theorem|type=ex}}
$\nu$ -a.e. $y\in Y$ について $\int_X|f(x,y)|^pd\mu(x)\lt\infty$ のとき $y\mapsto f(\cdot,y)$ は $Y$ 上の $L^p(X)$ -値Bochner可測関数となる。これに[[測度と積分9：Bochner積分]]の命題44.2を適用することによっても積分形のMinkowskiの不等式を証明できる。

{{theorem|type=lem|name=$W^{k,p}$ 関数となめらかな関数の積|label=prod1}}
$u\in W^{k,p}_{\loc}(\Omega)$、$\zeta\in C^k(\Omega)$ について、
$$\zeta u\in W^{k,p}_{\loc}(\Omega),D^\alpha(\zeta u)=\sum_{\beta\le\alpha}\left(\begin{array}{c}\alpha\\ \beta\end{array}\right)D^{\alpha-\beta}\zeta D^\beta u.$$
とくに $u\in W^{k,p}(\Omega)$、$\zeta\in C^k(\Omega)\cap W^{k,\infty}(\Omega)$ のとき
$$\zeta u\in W^{k,p}(\Omega),\norm{D^k(\zeta u)}_{p;\Omega}\le C_{n,k}\sum_{j=0}^k\norm{D^{k-j}\zeta}_{\infty;\Omega}\norm{D^ju}_{p;\Omega},\norm{\zeta u}_{k,p;\Omega}\le C_{n,k}\norm{\zeta}_{k,\infty;\Omega}\norm{u}_{k,p;\Omega}.$$
また $\zeta\in C^k_c(\Omega)$ の場合は $\zeta u=0$ on $\R^n\backslash\Omega$ と定めると $\zeta u\in W^{k,p}(\R^n)$ となる。

{{begin|proof|display=''Proof.''|collapsible=1}}
$k=1$ のときのみ示す。一般の場合は帰納法により従う。

$\varphi\in C^\infty_c(\Omega)$、$i=1,\ldots ,n$ について
$$\int_\Omega D_iu\zeta\varphi=-\int_\Omega uD_i(\zeta\varphi)=-\int_\Omega u(D_i\zeta\varphi+\zeta D_i\varphi)$$
より
$$\int_\Omega \zeta uD_i\varphi=-\int_\Omega (\zeta D_iu+D_i\zeta u)\varphi.$$
$u,D_iu\in L^p_{\loc}(\Omega)$、$\zeta,D_i\zeta\in L^\infty_{\loc}(\Omega)$ より $\zeta u,\zeta D_iu+D_i\zeta u\in L^p_\loc(\Omega)$。従って $\zeta u\in W^{1,p}_{\loc}(\Omega)$、$D_i(\zeta u)=\zeta D_iu+D_i\zeta u$。

$\zeta\in C^\infty_c(\Omega)$ とすると $\varphi\in C^\infty_c(\R^n)$ について $\zeta\varphi\in C^\infty_c(\Omega)$ となるので同様の計算により $\int_\Omega \zeta uD_i\varphi=-\int_\Omega (\zeta D_iu+D_i\zeta u)\varphi$ となる。$\zeta u,\zeta D_iu,D_i\zeta u\in L^p(\R^n)$ となるので $\zeta u\in W^{1,p}(\R^n)$。
{{end|proof}}

{{theorem|type=pro|label=apx1}}
$k\in\Zp$ とする。以下が成り立つ:
*(1) $u\in W^{k,1}_{\loc}(\R^n)$ と $|\alpha|\le k$ なる多重指数 $\alpha$ について
$$D^\alpha(\eta_\varepsilon*u)=\eta_\varepsilon*D^\alpha u.$$
とくに $p\in[1,\infty)$、$u\in W^{k,p}(\R^n)$ のとき $\norm{\eta_\varepsilon*u-u}_{k,p;\R^n}\to 0\ (\varepsilon\to +0)$。
*(2) $p\in[1,\infty)$、$u\in L^p_{\loc}(\Omega)$ について次は同値:
**(i) $u\in W^{k,p}_{\loc}(\Omega)$。
**(ii) $\{u_m\}_{m=1}^\infty\subset C^\infty(\Omega)$ で $u_m\to u$ in $L^p_{\loc}(\Omega)(m\to\infty)$ かつ $|\alpha|\le k$ について $D^\alpha u_m$ が $L^p_{\loc}(\Omega)$ で収束するものが存在する。
*(3) $p\in[1,\infty)$ とすると $C^\infty_c(\R^n)$ は $W^{k,p}(\R^n)$ において稠密である。

{{begin|proof|display=''Proof.''|collapsible=1}}
(1)を示す。$x\in\R^n$ について
$$D^\alpha(\eta_\varepsilon*u)(x)=\int_{\R^n}D^\alpha\eta_\varepsilon(x-y)u(y)dy=(-1)^{|\alpha|}\int_{\R^n}(D^\alpha\eta_\varepsilon(x-\cdot))(y)u(y)dy=\int_{\R^n}\eta_\varepsilon(x-y)D^\alpha u(y)dy=D^\alpha\eta_\varepsilon*u(y).$$

(2)を示す。(i) $\implies$ (ii)は次のように従う: $\Omega_1\rcpt\Omega_2\rcpt\ldots\rcpt\Omega$ を $\displaystyle \bigcup_{m=1}^\infty \Omega_m=\Omega$ となるようにとり、$\varepsilon_m\in(0,\dist(\Omega_{m+1},\pOm))$ を $\varepsilon_m\to 0\ (m\to\infty)$ となるようにとる。また $\zeta_m\in C^\infty(\Omega_{m+1})$ を $\zeta_m=1$ in $\Omega_m$ となるようにとる。このとき $u_m\colon=\eta_{\varepsilon_m}*(\zeta_mu)$ は $\Omega$ 上で定義され、$m'\ge m$ について $u_{m'}=\eta_{\varepsilon_{m'}}*u$ in $\Omega_m$ となるので $|\alpha|\le k$ について $D^\alpha u_{m'}=\eta_{\varepsilon_{m'}}*D^\alpha u$ in $\Omega_m$。これより $\norm_{D^\alpha u_{m'}-D^\alpha u}_{p;\Omega'}\to 0\ (m'\to\infty)$。これよりこの $\{u_m\}_{m=1}^\infty$ は条件をみたす。

(ii) $\implies$ (i)は $|\alpha|\le k$ について $D^\alpha u_m\to v_\alpha$ in $L^1_{\loc}(\Omega)$ とすると任意の $\varepsilon\in C^\infty_c(\Omega)$ と $|\alpha|\le k$ について
$$\int_\Omega uD^\alpha\varphi=\lim_{m\to\infty}\int_\Omega u_mD^\alpha\varphi=(-1)^{|\alpha|}\int_\Omega v_\alpha\varphi$$
となり $D^\alpha u=v_\alpha$ となって従う。

(3)を示す。(1)より $u_m\in W^{k,p}(\Omega)\ (m\in\Zp)$ が存在して $\supp u_m$ が有界かつ $\norm{u_m-u}_{k,p;\R^n}\to 0 (m\to\infty)$ となることを示せばよい。

$\zeta\in C^\infty_c(B_2(0))$ を $\zeta=1$ on $\Bb_1(0)$ となるようにとる。$\zeta_m(x)\colon=\zeta(m^{-1}x)$ とすると $\supp\zeta_m\subset B_{2m}(0)$、$\zeta_m=1$ on $\Bb_m(0)$。また任意の多重指数 $\alpha$ について $D^\alpha \zeta_m(x)=m^{-|\alpha|}\zeta(m^{-1}x)$ であるから $\norm{\zeta_m}_{k,\infty}\le\norm{\zeta}_{k,\infty}$

$u_m\colon=\zeta_m u$ とすると $u_m\in W^{k,p}(\R^n)$、$\supp u_m\subset B_{2m}(0)$、$u_m=u$ on $\Bb_m(0)$ となり
$$\norm{u_m-u}_{k,p}=\norm{u_m-u}_{k,p;\R^n\backslash\Bb_m(0)}=\norm{(1-\zeta_m)u}_{k,p;\R^n\backslash\Bb_m(0)}\le C\norm{u}_{k,p;\R^n\backslash\Bb_m(0)}\to 0\ (m\to\infty).$$
{{end|proof}}

{{theorem|type=rmk}}
(2)の(ii)で $D^\alpha u$ を定義することもできる。このように定義された $u\in L^1_{\loc}(\Omega)$ の微分は強微分とよばれる。

{{theorem|type=cor|label=ck}}
$k\in\Zp$ とする。$u\in L^1_\loc(\Omega)$ について次は同値:
*(1) $u\in C^k(\Omega)$。
*(2) $|\alpha|\le k$ について $u$ は弱微分 $D^\alpha u$ をもち $D^\alpha u\in C(\Omega)$。

{{begin|proof|display=''Proof.''|collapsible=1}}
$u\in C^k(\Omega)$ とすると $v_\alpha\ (|\alpha|\le k)$ を各点での偏微分としての $D^\alpha u$ と定めれば部分積分により任意の $\varphi\in C^\infty_c(\Omega)$ について $\int_{\Omega}uD^\alpha\varphi=(-1)^{|\alpha|}\int_{\Omega}v_\alpha\varphi$ となる。これより $u$ は $k$ 階以下の弱微分をもち、各点微分と一致する。

$|\alpha|\le k$ について $u$ は弱微分 $D^\alpha u$ をもち $D^\alpha u\in C(\Omega)$ をみたすとする。$\Omega'\rcpt\Omega$ として $\zeta\in C^\infty_c(\Omega)$ を $\zeta=1$ in $\Omega'$ となるようにとると $|\alpha|\le k$ について $\norm{D^\alpha(\eta_\varepsilon*\zeta u)-D^\alpha(\zeta u)}_\infty=\norm{\eta_\varepsilon*D^\alpha(\zeta u)-D^\alpha(\zeta u)}_\infty\to 0\ (\varepsilon\to +0)$ であるから $\zeta u\in C^k(\R^n)$。これより $u\in C(\Omega)$。
{{end|proof}}

{{theorem|type=thm|name=なめらかな関数による近似|label=apx2}}
$k\in\Zp$、$p\in[1,\infty)$ とすると $C^\infty(\Omega)\cap W^{k,p}(\Omega)$ は $W^{k,p}(\Omega)$ において稠密である。

{{begin|proof|display=''Proof.''|collapsible=1}}
$u\in W^{k,p}(\Omega)$、$\delta\gt 0$ とする。各 $x\in\Omega$ について $x$ を中心とする球 $B(x)\rcpt\Omega$ をとり、$\Omega$ の開被覆 $\{B(x)\}_{x\in\Omega}$ の局所有限な細分 $\{U_i\}_{i=1}^\infty$ を $\displaystyle\bigcup_{i=1}^\infty U_i=\Omega$ となるようにとり、これに従属する $1$ の分割 $\{\zeta_i\}_{i=1}^\infty$、$\zeta_i\in C^\infty_c(U_i)$ をとる。

{{ref|type=lem|label=prod1}}より $\zeta_iu\in W^{k,p}(\Omega)$、$\supp\zeta_iu\subset U_i\rcpt\Omega$。{{ref|type=pro|label=apx1}}より十分小さい $\varepsilon_i\gt 0$ をとって $\norm{\eta_{\varepsilon_i}*(\zeta_iu)-\zeta_iu}_{k,p;\Omega}\lt 2^{-i}\delta$ かつ $\supp\eta_{\varepsilon_i}*(\zeta_iu)\subset U_i$ となるようにできる。

$$\sum_{i=1}^\infty\norm{\eta_{\varepsilon_i}*(\zeta_iu)-\zeta_iu}_{k,p;\Omega}\lt\delta$$
であるから $W^{k,p}(\Omega)$ の完備性より無限和
$$w\colon=\sum_{i=1}^\infty(\eta_{\varepsilon_i}*(\zeta_iu)-\zeta_iu)$$
は $W^{k,p}(\Omega)$ で収束し、$\norm{w}_{k,p;\Omega}\lt\delta$。
$$v\colon=\sum_{i=1}^\infty\eta_{\varepsilon_i}*(\zeta_iu)$$
とすると $\{U_i\}_{i=1}^\infty$ は局所有限よりこの無限和は各点で値が定まり $v\in C^\infty(\Omega)$。一方 $v=u+w\in W^{k,p}(\Omega)$ で $\norm{v-u}_{k,\alpha;\Omega}\lt\delta$ となる。
{{end|proof}}

{{theorem|type=rmk}}
これより $W^{k,p}(\Omega)$ を $\left\{u\in C^\infty(\Omega)\colon \norm{u}_{k,p;\Omega}\lt\infty\right\}$ のノルム $\norm{\cdot}_{k,p;\Omega}$ による完備化として定義し、$D^\alpha u$ を強微分で定義しても同値である。

一方、$v\in C^\infty(\Ombar)$ による近似をするには $\pOm$ に条件が必要である。

{{theorem|type=thm|name=線分条件をみたす領域における近似|label=apx3}}
相対開集合 $T\subset\pOm$ は線分条件をみたすとする。$k\in\Zp$、$p\in[1,\infty)$ とすると $C^\infty(\Omega\cup T)\cap W^{k,p}(\Omega)$ は $W^{k,p}(\Omega)$ において稠密である。

{{begin|proof|display=''Proof.''|collapsible=1}}
$\xi\in T$ について(\ref{segm})の $U_\xi$ と $y_\xi$ をとり、$\Omega_{d,r}\colon=\{x\in\Omega\colon |x|\lt d,\dist(x,\pOm)\gt r\}\ (d,r\gt 0)$ とする。$\{U_\xi\}_{\xi\in T}\cup\{\Omega_{d,r}\}_{d,r\gt 0}$ は $\Omega\cup T$ の開被覆となり、$\{U_\xi\}_{\xi\in\pOm}$、$\{\Omega_{d,r}\}_{d,r\gt 0}$ の局所有限な細分 $\{V_i\}_{i=1}^\infty$、$\{W_j\}_{j=1}^\infty$ を $\Omega\cup T\subset\bigcup_{i=1}^\infty V_i\cup\bigcup_{j=1}^\infty W_j$ となるようにとれる。各 $i\in\Zp$ について $y_i\in\R^n$ が存在し、
$$\{x+ty_i\colon x\in \overline{V_i\cap\Omega},t\in(0,1)\}\subset\Omega$$
が成り立つ。また各 $j\in\Zp$ について $W_j\rcpt\Omega$。

$\Omega\cup T$ の開被覆 $\{V_i\}_{i=1}^\infty\cup\{W_j\}_{j=1}^\infty$ に従属する $1$ の分割 $\{\zeta_i\}_{i=1}^\infty\cup\{\theta_j\}_{j=1}^\infty$、$\zeta_i\in C^\infty_c(V_i)$、$\theta_j\in C^\infty_c(W_j)$ をとる。

$i\in\Zp$ とする。{{ref|type=thm|label=apx2}}と{{ref|type=lem|label=prod1}}より $v_i\in C^\infty(\Omega)\cap W^{k,p}(\Omega)$ を $\norm{\zeta_iv_i-\zeta_iu}_{k,p;\Omega}\lt 2^{-i-2}\delta$ となるようにとれる。平行移動の $L^p$ 連続性([[合成積とFourier変換]]の命題28.2)より $|\alpha|\le k$ について
$$\norm{D^\alpha v_i(\cdot+ty_i)-D^\alpha v_i}_{p;V_i\cap\Omega}\to 0 (t\to +0).$$
{{ref|type=lem|label=prod1}}より十分小さい $t_i\in(0,1)$ をとって $\norm{\zeta_iv_i(\cdot+ty_i)-\zeta_iv_i}_{k,p;V_i\cap\Omega}\lt 2^{-i-2}\delta$ とできる。$V_i$ のとりかたより $\overline{V_i\cap\Omega+t_iy_i}\subset\Omega$ であるから $v_i\in C^\infty(\overline{V_i\cap\Omega+t_iy_i})$ であり、$v_i(\cdot+ty_i)\in C^\infty(\overline{V_i\cap\Omega})$。よって $\zeta_iv_i(\cdot+ty_i)\in C^\infty(\overline{\Omega})$、$\supp\zeta_iv_i\subset V_i\cap\Omega$。また $\norm{\zeta_iv_i(\cdot+ty_i)-\zeta_iu}_{k,p;\Omega}\lt 2^{-i-1}\delta$。

また $j\in\Zp$ について $\theta_ju\in W^{k,p}(\R^n)$、$\supp\theta_ju\subset W_j$ であるから十分小さい $\varepsilon_j$ をとって $\norm{\eta_{\varepsilon_j}*(\theta_ju)-\theta_ju}_{k,p;\Omega}\lt 2^{-j-1}\delta$、$\supp\eta_{\varepsilon_j}*(\theta_ju)\subset W_j$ とできる。

$$v\colon=\sum_{i=1}^\infty\zeta_iv_i(\cdot+ty_i)+\sum_{j=1}^\infty\eta_{\varepsilon_j}*(\theta_ju)$$
とすれば $\Omega\cup T$ の開被覆 $\{V_i\}_{i=1}^\infty\cup\{W_j\}_{j=1}^\infty$ は局所有限より $v\in C^\infty(\Omega\cup T)$ で、{{ref|type=thm|label=apx2}}と同様に $v\in W^{k,p}(\Omega)$ かつ
$$\norm{v-u}_{k,p;\Omega}\le\sum_{i=1}^\infty\norm{\zeta_iv_i(\cdot+ty_i)-\zeta_i u}_{k,p;\Omega}+\sum_{j=1}^\infty\norm{\eta_{\varepsilon_j}*(\theta_ju)-\theta_ju}_{k,p;\Omega}\lt\delta.$$
{{end|proof}}

{{theorem|type=rmk}}
とくに $\Omega$ が有界かつ線分条件をみたすとき $C^\infty(\Ombar)$ は $W^{k,p}(\Omega)$ において稠密である。

$p=\infty$ のときはこれらの近似定理は $W^{k,\infty}(\Omega)$ を $C^k(\Ombar)$ にとりかえた主張を同様に証明できる。また、近似列の構成のしかたが $k$ と $p$ によらないことから、 $u\in W^{j,p}(\Omega)\cap W^{k,q}(\Omega)$ と $\delta\gt 0$ について $v\in C^\infty(\Omega)\cap v\in W^{j,p}(\Omega)\cap W^{k,q}(\Omega)$ ( $\Omega$ が線分条件をみたすときは $v\in C^\infty(\Ombar)\cap W^{j,p}(\Omega)\cap W^{k,q}(\Omega)$ ) が存在して $\norm{u-v}_{j,p}\lt\delta$、$\norm{u-v}_{k,q}\lt\delta$ となる。( $p=\infty$ の場合は $W^{k,p}(\Omega)$ を $C^k(\Ombar)$ にとりかえる。$q=\infty$ の場合も同様。)

{{ref|type=pro|label=apx1}}で、(3)の証明の(1)を{{ref|type=thm|label=apx2}}にとりかえると、$\Omega$ が非有界の場合
$$\left\{u\in C^\infty(\Omega)\cap W^{k,p}(\Omega)\colon \supp u\ が有界\right\}$$
が $W^{k,p}(\Omega)$ において稠密であることが示される。( $\Omega$ が線分条件をみたすときは $C^\infty(\Omega)\cap W^{k,p}(\Omega)$ を $C^\infty(\Ombar)$ にとりかえてよい。)

$w\in C^\infty(\Omega)\cap W^{k,p}_c(\OmT)$ ( $T$ が線分条件をみたす場合は $C^\infty_c(\OmT)$ )は $W^{k,p}_c(\Omega)$ において稠密である。実際、$v\in C^\infty(\Omega)\cap W^{k,p}(\Omega)$ を $\norm{v-u}_{k,p}\lt\varepsilon$ をみたすようにとり、$\zeta\in C^\infty(\R^n\backslash(\pOm\backslash T))$ を $\zeta=1$ on $\supp u$ となるようにとると $\norm{\zeta v-u}_{k,p}=\norm{\zeta (v-u)}_{k,p}\le C_\zeta\varepsilon$ となる。

==$n=1$ の場合==
ここでは $n=1$ とし、$I=(a,b)$、$-\infty\le a\lt b\le +\infty$ を開区間とする。

{{theorem|type=thm|name=$W^{1,p}(I)$ の特徴づけ|label=1dim1}}
$p\in[1,\infty]$ とし、$u\in L^p(I)$ とする。次は同値:
*(1) $u\in W^{1,p}(I)$。
*(2) $u$ は絶対 $p$ -連続である。すなわち $u\in C(\overline{I})$ で $f\in L^p(I)$ が存在して $a\le x\lt y\le a$ について
$$u(y)-u(x)=\int_x^y f(t)dt.$$
またこのとき $u'=f$。

{{begin|proof|display=''Proof.''|collapsible=1}}
$p=1$ の場合を示せば十分。

(1) $\implies$ (2)を示す。$I$ は明らかに線分条件をみたすので $u_m\in C^\infty(\overline{I})\cap W^{1,1}(I)$ を $\norm{u_m-u}_{1,1}\to 0\ (m\to\infty)$ となるようにとれる。部分列に移って $u_m\to u,u_m'\to u'$ a.e. in $I$ としてよい。

$x_0\in I$ を $u_m(x_0)\to u(x_0)\ (m\to\infty)$ をみたす点とする。$x\in[x_0,b)$ について
$$u_m(x)=u_m(x_0)+\int_{x_0}^x u_m'(t)dt.$$
$\norm{u_m'-u'}_1\to 0\ (m\to\infty)$ より右辺は $m\to\infty$ とすると $x\in[x_0,b)$ について $u(x_0)+\int_{x_0}^x u'(t)dt$ に一様収束するので
$$u\in C([x_0,b]),u(x)=u(x_0)+\int_a^x u'(t)dt\ (x\in[x_0,b]).$$
任意の $x\in I$ について $x_0$ を $x_0\in(a,x)$ となるようにとれることから $u\in C((a,b])$。また $x,y\in (a,b]$、$x\lt y$ について $x_0$ を $x_0\lt x$ となるようにとれば
$$u(y)-u(x)=\left(u(x_0)+\int_{x_0}^yu'(t)dt\right)-\left(u(x_0)+\int_{x_0}^xu'(t)dt\right)=\int_x^yu'(t)dt\ (x,y\in(a,b]).$$
また $u'\in L^1(I)$ より $y\in I$ を固定すると
$$u(x)=u(y)-\int_x^y u'(t)dt$$
は $x\to a+0$ で収束する。とくに $a\gt -\infty$ の場合は $u\in C(\overline{I})$ で
$$u(y)-u(a)=\int_a^y u'(t)dt.$$
これより
$$u\in C(\overline{I}),u(y)-u(x)=\int_x^y u'(t)dt\ (x,y\in\overline{I},x\lt y).$$

(2) $\implies$ (1)を示す。$\varphi\in C^\infty_c(I)$ とする。$J=(a',b')\rcpt I$ を $\supp\varphi$ を含む開区間とする。 $y\in (b',b)$ とすると仮定より $x\in(a,y)$ について
$$u(y)-u(x)=\int_x^y f(t)dt.$$

$x\in (a,a')$ とする。$J\subset(x,y)$ で、$\varphi(x)=0$ より $t\in(x,b')$ について $\varphi(t)=\int_x^t\varphi'(s)ds$ であるから
\begin{align*}
\int_I f(t)\varphi(t)dt&=\int_x^y f(t)\varphi(t)dt\\
&=\int_x^y f(t)\left(\int_x^t \varphi'(s)ds\right)dt\\
&=\int_x^y \varphi'(s)\left(\int_s^yf(t)dt\right)ds\\
&=\int_x^y \varphi'(s)(u(y)-u(s))ds\\
&=u(y)\int_x^y \varphi'(s)ds-\int_x^y u(s)\varphi'(s)ds\\
&=-\int_I u(s)\varphi'(s)ds.
\end{align*}
よって $u\in W^{1,1}(I)$、$u'=f$。
{{end|proof}}

{{theorem|type=cor|name=$W^{1,p}_{\loc}(I)$ の特徴づけ|label=1dim2}}
$p\in[1,\infty]$ とし、$u\in L^p_{\loc}(I)$ とする。次は同値:
*(1) $u\in W^{1,p}_{\loc}(I)$。
*(2) $u$ は局所絶対 $p$ -連続である。すなわち $u\in C(I)$ で $f\in L^p_{\loc}(\Omega)$ が存在して $a\lt x\lt y\lt b$ について
$$u(y)-u(x)=\int_x^y f(t)dt.$$
またこのとき $u'=f$。

{{theorem|type=rmk}}
絶対 $1$ -連続と局所絶対 $1$ -連続は単に絶対連続、局所絶対連続という。

{{ref|type=cor|label=1dim2}}より $u\in W^{1,p}_{\loc}(I)$ は $u'$ のLebesgue点で(従ってa.e. in $I$ で)微分可能で、各点微分は弱微分とa.e.で一致する。

{{theorem|type=thm|name=$n=1$ のときのMorreyの不等式|label=dim1mor}}
$I$ は有界であるとする。
*(1) $u\in W^{1,1}(I)$ のとき
$$\norm{u}_\infty\le C_{|I|}\norm{u}_{1,1}.$$
また $u(y)=0$ なる $y\in \overline{I}$ が存在するとき
$$\norm{u}_\infty\le \norm{u'}_1.$$
*(2) $p\in(1,\infty]$ とする。 $\alpha=1-\frac{1}{p}$ とすると $u\in W^{1,p}(I)$ について
$$u\in C^{0,\alpha}(\overline{I}),[u]_{0,\alpha;I}\le \norm{u'}_p.$$

{{begin|proof|display=''Proof.''|collapsible=1}}
(1)を示す。{{ref|type=thm|label=1dim1}}より $x,y\in\overline{I}$、$x\lt y$ について
$$|u(x)-u(y)|\le\int_x^y|u'(t)|dt\le \norm{u'}_1.$$
対称性よりこれは任意の $x,y\in I$ について成り立つ。ここで $x,y\in\overline{I}$ を
$$|u(x)|=\sup_{I}|u|,|u(y)|=\inf_{I}|u|$$
となるようにとると
$$\sup_{I}|u|=|u(x)|\le|u(y)|+\norm{u'}_1=\inf_{I}|u|+\norm{u'}_1\le|I|^{-1}\int_I|u|+\norm{u'}_1\le C_{|I|}\norm{u}_{1,1}.$$
また $|u(y)|=0$ のとき
$$\sup_{I}|u|\le\norm{u'}_1.$$

(2)を示す。Hölderの不等式より $x,y\in I$、$x\lt y$ について
$$|u(x)-u(y)|\le\int_x^y|u'(t)|dt\le\norm{u'}_p|x-y|^{1-\frac{1}{p}}.$$
よって
$$u\in C^{0,\alpha}(\overline{I}),[u]_{0,\alpha;I}\le\norm{u'}_p.$$
{{end|proof}}

==合成関数の微分、積の微分==

{{theorem|type=thm|name=合成関数の微分|label=chain1}}
$p\in[1,\infty]$、$m\in\Zp$、$u\in W^{1,p}_{\loc}(\Omega)^m$ とする。
$G\in C^1(\R^m)$ が
$$G(u),\sum_{j=1}^m D_jG(u)D_iu_j\in L^p_{\loc}(\Omega)$$
をみたすとすると
$$G(u)\in W^{1,p}_{\loc}(\Omega),D_i(G(u))=\sum_{j=1}^m D_jG(u)D_iu_j\ (i=1,\ldots,n).$$

{{begin|proof|display=''Proof.''|collapsible=1}}
$|\Omega|\lt\infty$、$p\in[1,\infty)$、$u\in W^{1,p}(\Omega)^m$ の場合を示せば十分である。また $G$ を $G-G(0)$ にとりかえて $G(0)=0$ としてよい。<ref name="chainsuf">実際には $\Omega$ が有界かつ $p=1$ の場合のみで十分である。$\Omega$ が非有界の場合と $p\in(1,\infty)$ の場合を含めたのは{{ref|type=pro|label=chapro0}}の証明に使う都合によるものである。なお、{{ref|type=pro|label=chapro0}}では $|\Omega|\lt\infty$ を仮定できないが、実際には $G(0)=0$ でも十分であるため{{ref|type=pro|label=chapro0}}も問題なく証明できる。</ref>

$DG\in L^\infty(\R^m)^m$ の場合を示す。{{ref|type=thm|label=apx2}}より $u^{(k)}\in C^\infty(\Omega)^m\cap W^{1,p}(\Omega)^m$ を $\norm{u^{(k)}-u}_{1,p}\to 0\ (k\to\infty)$ となるようにとれる。部分列に移って $u^{(k)}\to u,D_iu^{(k)}\to D_iu$ a.e. in $\Omega$ かつ $v,v_1,\ldots,v_n\in L^p(\Omega)$ が存在して $|u^{(k)}|\le v,|D_iu^{(k)}|\le v_i\ (\forall k\in\Zp)$ としてよい。<ref name="dominant">一般に測度空間 $X=(X,\mu)$ 上の関数列 $\{f_m\}_{m=1}^\infty\subset L^p(X)$ と $f\in L^p(X)$ が $\int_X |f_m-f|^pd\mu\to 0\ (m\to\infty)$ をみたすとき、部分列 $\{f_{m_l}\}_{l=1}^\infty$ を $f_{m_l}\to f\ \mu-$ a.e. in $X$ かつ $g\in L^p(X)$ であって任意の $l$ について $|f_{m_l}|\le g$ in $X$ となるようなものが存在するようにとれる。実際、[[測度と積分5：$L%5Ep$_空間の完備性と双対性]]の定理21.4の証明のように部分列をとればよい。</ref>

各 $u^{(k)}$ は $G(u^{(k)})\in C^1(\Omega)$、$\displaystyle D_i(G(u^{(k)}))=\sum_{j=1}^m D_jG(u^{(k)})D_iu^{(k)}_i\ (i=1,\ldots,n)$ をみたす。また、$G(0)=0$ より $G(t)\le\norm{DG}_\infty|t|\ (t\in\R)$ となることから $|G(u^{(k)})|\le\norm{DG}_\infty v$、$\displaystyle \left|\sum_{j=1}^mD_jG(u^{(k)})D_iu^{(k)}_j\right|\le C\norm{DG}_\infty v_i$。$\displaystyle G(u^{(k)})\to G(u),\sum_{j=1}^m D_jG(u^{(k)})\cdot D_iu^{(k)}_j\to \sum_{j=1}^mD_jG(u)D_iu_j\ (k\to\infty)$ であるからLebesgueの収束定理より
$$\norm{G(u^{(k)})-G(u)}_p,\norm{D_i(G(u^{(k)}))-\sum_{j=1}^mD_jG(u)D_iu_j}_p\to 0\ (k\to\infty)$$
となる。これより
$$G(u)\in W^{1,p}(\Omega),D_i(G(u))=\sum_{j=1}^mD_jG(u)D_iu_j.$$

一般の場合を示す。$\xi\in C^1(\R)$ を
$$|\xi|\le 1,\xi(t)=1\ \jf t\ge 1,\xi(t)\le 1\ \jf t\le 1,\xi(t)=t\ \jf |t|\le\frac{1}{2}$$
となるようにとり、$M\gt 0$ について $\xi_M(t)\colon=M\xi(M^{-1}t)\ (t\in\R)$ とする。$\xi$、$\xi_M$ は
$$\xi'\in C_c(\R),|\xi_M'(t)|=|\xi'(M^{-1}t)|\le 1,\xi_M'(t)\to 1\ (M\to\infty)$$
をみたす。

$G_M\colon=\xi_M(G)$ とする。$\xi_M(G)\in C^1(\R^m)$、$D_j(\xi_M(G))=\xi_M'(G)D_jG\in C_c(\R^m)^m$ であるから $DG\in L^\infty(\R^m)^m$ の場合より
$$G_M(u)\in W^{1,p}(\Omega),D_i(G_M(u))=\xi_M'(G(u))\sum_{j=1}^mD_jG(u)D_iu_j.$$
$|G_M(u)|\le|G(u)|$、$|\xi_M'(u)DG(u)|\le|DG(u)|$で、$$G_M(u)\to G(u),\sum_{j=1}^m\xi_M'(u)D_jG(u)D_iu_j\to \sum_{j=1}^m D_jG(u)D_iu_j\ (M\to\infty)$$
であるからLebesgueの収束定理より
$$\norm{G_M(u)-G(u)}_p,\norm{D_i(G_M(u))-\sum_{j=1}^m D_jG(u)D_iu_j}_p\to 0\ (M\to\infty).$$
よって
$$G(u)\in W^{1,p}(\Omega),D_i(G(u))=\sum_{j=1}^mD_jG(u)D_iu_j.$$
{{end|proof}}

{{theorem|type=rmk}}
$G(0)=0$ かつ $DG\in L^\infty(\R^m)^m$ であれば十分である。とくに $|\Omega|\lt\infty$ のときは $DG\in L^\infty(\R^m)^m$ であれば十分である。

帰納法により高階の合成関数の微分公式も成り立つ。すなわち、$u\in W^{k,1}_{\loc}(\Omega)^m$、$G\in C^k(\R^m)$ とすると、$G(u)$ の形式的な $\alpha$ 階微分( $|\alpha|\le k$ )がすべて $L^1_{\loc}(\Omega)$ に属せば $G(u)\in W^{k,1}_{\loc}(\Omega)$ で $D^\alpha (G(u))$ は形式的な $\alpha$ 階微分と一致する。

{{theorem|type=cor|name=積の微分|label=prod2}}
$k\in\Zp$ とする。$u_1,\ldots ,u_m\in W^{k,1}_{\loc}(\Omega)$ が $|\alpha|\le k$ について
$$\sum_{\beta_1+\ldots +\beta_m=\alpha}\frac{\alpha!}{\beta_1!\ldots \beta_m!}D^{\beta_1}u_1\ldots D^{\beta_m}u_m\in L^1_{\loc}(\Omega)$$
をみたすとすると
$$u_1\ldots u_m\in W^{k,1}_{\loc}(\Omega),D^\alpha(u_1\ldots u_m)=\sum_{\beta_1+\ldots +\beta_m=\alpha}\frac{\alpha!}{\beta_1!\ldots \beta_m!}D^{\beta_1}u_1\ldots D^{\beta_m}u_m\ (|\alpha|\le k).$$

{{begin|proof|display=''Proof.''|collapsible=1}}
$G(t_1,\ldots ,t_m)=t_1\ldots t_m$ として $k$ 階の合成関数の微分公式を用いればよい。
{{end|proof}}

$m=1$ の場合はより正則性を欠いた関数との合成を考えることもできる:

{{theorem|type=lem|label=chainlem}}
$u\in W^{1,1}_{\loc}(\Omega)$ とし、$N\subset\R$ はBorel集合で $|N|=0$ をみたすとする。このとき
$$Du=0\ \ae\on\{x\in\Omega\colon u(x)\in N\}.$$

{{begin|proof|display=''Proof.''|collapsible=1}}
$\Omega$ が有界で $u\in W^{1,1}(\Omega)$ の場合を示せば十分。

$m\in\Zp$ について開集合 $U_m\subset\R$ を $N\subset U_m$、$|U_m|\lt 2^{-m}$ となるようにとる。また $W_m\colon=\{x\in\Omega\colon u(x)\in U_m\}$ として
$$N'\colon=\bigcup_{l=1}^\infty\bigcap_{m=l}^\infty U_m,W\colon=\bigcup_{l=1}^\infty\bigcap_{m=l}^\infty W_m$$
とする。$N'$ は $N\subset N'$、$|N'|=0$ をみたす。

$U'_{m,1}\rcpt U'_{m,2}\rcpt\ldots\rcpt U_m$ を $\displaystyle \bigcup_{l=1}^\infty U'_{m,l}=U_m$ となるようにとると $\displaystyle \left|W_m\backslash\bigcup_{l=1}^\infty \left\{x\in\Omega\colon u(x)\in U'_{m,l}\right\}\right|=0$ となるので十分大きい $l$ をとって $U'_m\colon=U'_{m,l}$、$W'_m\colon=\{x\in\Omega\colon u(x)\in U'_m\}$ とすれば $|W_m\backslash W'_m|\lt 2^{-m}$ となる。

$\varphi_m\in C_c(U_m)$ を $0\le\varphi_m\le 1$ かつ $\varphi_m=1$ in $U'_m$ となるようにとり
$$G_m(t)\colon=\int_{-\infty}^t \varphi_m$$
とする。$G_m\in C^1(\R)$、$0\le G_m'\le 1$ であるから{{ref|type=thm|label=chain1}}より
$$G_m(u)\in W^{1,1}(\Omega),D_i(G_m(u))=G_m'(u)D_iu.$$
$G_m'=1$ in $U'_m$、$G_m'=0$ on $\R\backslash U_m$ より
$$D_i(G_m(u))=D_iu\ \on\ W'_m,D_i(G_m(u))=0\ \on\ \Omega\backslash W_m.$$
また
$$\norm{G_m(u)}_\infty\le\int_\R\varphi_m\le|U_m|\lt 2^{-m}.$$

$W$ と $W_m$ の定義から $\displaystyle W=\bigcup_{l=1}^\infty\bigcap_{m=l}^\infty W_m$ であるからa.e. $x\in \Omega\backslash W$ について十分大きい $m$ をとれば $D_i(G_m(u))(x)=0$ となる。一方
\begin{align*}
\left|W\backslash\bigcup_{l=1}^\infty\bigcap_{m=l}^\infty W'_m\right|&=\lim_{k\to\infty}\left|\bigcap_{m=k}^\infty W_m\backslash\bigcup_{l=1}^\infty\bigcap_{m=l}^\infty W'_m\right|\\
&\le\liminf_{k\to\infty}\left|\bigcap_{m=k}^\infty W_m\backslash\bigcap_{m=k}^\infty W'_m\right|\\
&=\liminf_{k\to\infty}\left|\bigcup_{l=k}^\infty\left(\bigcap_{m=k}^\infty W_m\backslash W'_l\right)\right|\\
&\le\liminf_{k\to\infty}\left|\bigcup_{l=k}^\infty(W_l\backslash W'_l)\right|\\
&\le\liminf_{k\to\infty}\sum_{l=k}^\infty|W_l\backslash W'_l|\\
&\le\liminf_{k\to\infty}\sum_{l=k}^\infty 2^{-l}=0.
\end{align*}
よってa.e. $x\in W$ について十分大きい $m$ をとれば $D_i(G_m(u))(x)=D_iu(x)$ となる。従って
$$D_i(G_m(u))\to D_iu\chi_W\ \ae\inn\Omega\ (m\to\infty).$$
$|D_i(G_m(u))|\le |D_iu|$ であるからLebesgueの収束定理より
$$\norm{D_i(G_m(u))-D_iu\chi_W}_1\to 0\ (m\to\infty).$$
一方 $\norm{G_m(u)}_\infty\lt 2^{-m}\to 0\ (m\to\infty)$。よって $G_m(u)$ は $m\to\infty$ とすると $W^{1,1}(\Omega)$ において $0$ に収束し、
$$D_iu\chi_W=0\ \ae\inn \Omega.$$
よって $Du=0$ a.e. on $W$。$W$ の定義より $\{x\in\Omega\colon u(x)\in N\}\subset W$ となるので主張が示された。
{{end|proof}}

{{theorem|type=thm|name=局所絶対連続関数と $W^{1,p}$ 関数の合成|label=chain2}}
$p\in[1,\infty]$、$u\in W^{1,p}_{\loc}(\Omega)$ とする。
*(1) $\R$ 上の $\L^n$ -可測関数 $f$ について $f(u)D_iu\ (i=1,\ldots ,n)$ はwell-definedである。
*(2) $G\in W^{1,1}_{\loc}(\R)$ とする。$u$ が
$$G(u),G'(u)D_iu\in L^p_{\loc}(\Omega)\ (i=1,...n)$$
をみたすとすると
$$G(u)\in W^{1,p}_{\loc}(\Omega),D_i(G(u))=G'(u)D_iu\ (i=1,\ldots ,n).$$

{{begin|proof|display=''Proof.''|collapsible=1}}
(1)を示す。$f$ のBorel可測な代表元 $f_1$ をとると $f_1(u)D_iu$ は $\L^n$ -可測である。また $f_2$ を $f$ の別の代表元とすると{{ref|type=lem|label=chainlem}}より
$$D_iu=0\ \ae\on\{x\in\Omega\colon f_1(u(x))\neq f_2(u(x))\}$$
であるから $f_1(u)D_iu=f_2(u)D_iu$ a.e. in $\Omega$ となる。これより $f(u)D_iu$ はwell-definedである。

(2)を示す。{{ref|type=thm|label=chain1}}
と同様に $p\in[1,\infty)$、$u\in W^{1,p}(\Omega)$、$G(u),G'(u)D_iu\in L^p(\Omega)$、$G(0)=0$ の場合を示せば十分。<ref name="chainsuf" />

$G'\in L^\infty(\R)$ の場合を示す。$\varepsilon\gt 0$ について $G_\varepsilon\colon=\eta_\varepsilon*G-\eta_\varepsilon*G(0)$ とする。$G_\varepsilon\in C^\infty(\R)$、$|G_\varepsilon'|\le\norm{G'}_\infty$、$G_\varepsilon(0)=0$ であるから{{ref|type=thm|label=chain1}}より
$$G_\varepsilon(u)\in W^{1,p}(\Omega),D_i(G_\varepsilon(u))=G_\varepsilon'(u)D_iu.$$
また $G_\varepsilon\to G,G_\varepsilon'\to G'$ a.e. in $\R\ (\varepsilon\to +0)$ であり、{{ref|type=lem|label=chainlem}}より $G_\varepsilon(u(x))\to G(u(x)),G_\varepsilon'(u(x))\to G'(u(x))\ (\varepsilon\to +0)$ とならないほどんど全ての $x\in\Omega$ について $D_iu(x)=0$ であるから
$$G_\varepsilon(u)\to G(u),G_\varepsilon'(u)D_iu\to G'(u)D_iu\ \ae\inn\Omega\ (\varepsilon\to +0).$$
$|G(u)|\le\norm{G'}_\infty|u|$、$|G_\varepsilon'(u)D_iu|\le\norm{G'}_\infty|D_iu|$ であるからLebesgueの収束定理より
$$\norm{G_\varepsilon(u)-G(u)}_p,\norm{G_\varepsilon'(u)D_iu-G'(u)D_iu}_p\to 0\ (\varepsilon\to +0).$$
従って
$$G(u)\in W^{1,p}(\Omega),D_i(G(u))=G(u)D_iu.$$

$u\in L^\infty(\Omega)$ の場合を示す。$\zeta\in C^\infty(B_2(0))$、$\zeta=1$ in $B_1(0)$ をとり、$m\in\Zp$ として $\zeta_m(x)\colon=\zeta(m^{-1}x)\ (x\in\R^n)$ とする。

$M\gt 0$ について $G_M(t)\ (t\in\R)$ を
$$G_M(t)=
\begin{cases}
\int_0^t\min\{\max\{G'(s),-M\},M\}ds\ &\colon t\ge 0\\
-\int_0^{-t}\min\{\max\{G'(s),-M\},M\}ds\ &\colon t\lt 0\\
\end{cases}$$
と定める。このとき $|G_M'|\le M$、$G_M'=\min\{\max\{G',-M\},M\}$、$G_M(0)=0$。

$|G_M'|\le M$、$G_M(0)=0$ より $|G_M(t)|\le M|t|\ (t\in\R)$ であるから $G_M(\zeta_mu)\in L^p(\Omega)$ で $\supp G_M(u)\subset B_{2m}(0)$ より $\supp G_M(\zeta_mu)\in L^p(\Omega)$。$G'\in L^\infty(\R)$ の場合より
$$G_M(u)\in W^{1,p}(\Omega),D_i(G_M(u))=\min\{\max\{G'(u),-M\},M\}D_iu.$$
また
$$|G_M(t)|\le
\begin{cases}
\int_0^t|\min\{\max\{G'(s),-M\},M\}|ds\le\int_0^t|G'(s)|ds\ &\colon t\ge 0\\
\int_0^{-t}|\min\{\max\{G'(s),-M\},M\}|ds\le\int_0^{-t}|G'(s)|ds\ &\colon t\lt 0\\
\end{cases}$$
であるから
$$|G_M(u)|\le\int_{-\norm{u}_\infty}^{\norm{u}_\infty}|G'(s)|ds.$$
またLebesgueの収束定理より各 $t\in\R$ について $G_M(t)\to G(t)\ (M\to\infty)$ であるからLebesgueの収束定理より
$$\norm{\zeta_mG_M(u)-\zeta_mG(u)}_p\to 0\ (M\to\infty).$$
また $t\in\R$ について $\min\{\max\{G'(t),-M\},M\}\le |G'(t)|$、$\min\{\max\{G'(t),-M\},M\}\to G'(t)\ (M\to\infty)$ であるから $|D_i(\zeta_mG_M(u))|\le|D_i\zeta_m||G_M(u)|+|\zeta_m||G(u)D_iu|$、$D_i(\zeta_mG_M(u))\to D_i\zeta_mG(u)+\zeta_mG'(u)D_iu\ (M\to\infty)$。Lebesgueの収束定理より
$$\norm{D_i(\zeta_mG_M(u))-(D_i\zeta_mG_M(u)+\zeta_mG'(u)D_iu)}_p\to 0\ (M\to\infty).$$
よって
$$\zeta_mG(u)\in W^{1,p}(\Omega),D_i(\zeta_mG(u))=D_i\zeta_mG_M(u)+\zeta_mG'(u)D_iu.$$
$m\to\infty$ とすれば $\norm{\zeta_mG(u)-G(u)}_p,\norm{D_i\zeta_mG_M(u)+\zeta_mG'(u)D_iu-G'(u)D_iu}_p\to 0$ となるので
$$G(u)\in W^{1,p}(\Omega),D_i(G(u))=G'(u)D_iu.$$

一般の場合を示す。$M,N\ge 0$ について
$$u_{M,N}\colon=\min\{\max\{u,-N\},M\}$$
とする。$G'\in L^\infty(\R)$ の場合より
$$u_{M,N}\in W^{1,p}(\Omega),D_iu_{M,N}=D_iu\chi_{\{-N\lt u\lt M\}}.$$
また $|u_{M,N}|\le \max\{M,N\}$ で、
$$|G'(u_{M,N})D_iu_{M,N}|=|G'(u_{M,N})D_iu|\chi_{\{-N\lt u\lt M\}}=|G'(u)D_iu|\chi_{\{-N\lt u\lt M\}}\le|G'(u)D_iu|$$
となるので $u\in L^\infty(\Omega)$ の場合より
$$G(u_{M,N})\in W^{1,p}(\Omega),D_i(G(u_{M,N}))=G'(u_{M,N})D_iu_{M,N}.$$

a.e. $x\in\Omega$ について $M,N\gt|u(x)|$ とすれば $u_{M,N}(x)=u(x)$ となることから
$$G(u_{M,N})\to G(u),G'(u_{M,N})D_iu_{M,N}\to G'(u)D_iu\ \ae\inn\Omega\ (M,N\to\infty).$$
$|G'(u_{M,N})D_iu_{M,N}|\le|G'(u)D_iu|$ であるからLebesgueの収束定理より
$$\norm{G'(u_{M,N})D_iu_{M,N}-G'(u)D_iu}_p\to 0\ (M,N\to\infty).$$

また $j\in\Zz$ について次のように $L_j,M_j,N_j\ge 0$ をとる:

$L_0=M_0=N_0\colon=0$ とする。

$L_j,M_j,N_j$ がとれたとする。 $|\{|u|\gt L\}|\to 0\ (L\to\infty)$ に注意し、$L_{j+1}$ を
$$L_{j+1}\ge L_j+1,|G(L_j)|^p|\{u\gt L_{j+1}\}|\lt 2^{-(j+1)},|G(-L_j)|^p|\{u\lt -L_{j+1}\}|\lt 2^{-(j+1)}$$
となるようにとる。$M_{j+1},N_{j+1}$ を $M_{j+1},N_{j+1}\in [L_j,L_{j+1}]$ かつ
$$|G(M_{j+1})|=\inf_{[L_j,L_{j+1}]}|G|,|G(-N_{j+1})|=\inf_{[-L_{j+1},-L_j]}|G|$$
となるようにとる。

このとき $j\in\Zp$ とすると $M_j,N_j\le L_j$ で $t\in[M_j,L_j]$ について $|G(M_j)|\le|G(t)|$、$t\in[-L_j,-N_j]$ について $|G(-N_j)|\le|G(t)|$。これより
$$|G(u_{M_j,N_j})|\chi_{\{|u|\le L_j\}}=
\begin{cases}
|G(-N_j)|\le|G(u)|&\colon u\in [-L_j,-N_j]\\
|G(u)|&\colon u\in(-N_j,M_j)\\
|G(M_j)|\le|G(u)|&\colon u\in [M_j,N_j]\\
0&\colon |u|\gt L_j
.\end{cases}
$$
また $\chi_{\{|u|\le L_j\}}\to 1$ a.e. in $\Omega\ (j\to\infty)$ より
$$G(u_{M_j,N_j})\chi_{\{|u|\le L_j\}}\to G(u)\ \ae\inn\Omega\ (j\to\infty).$$
Lebesgueの収束定理より
$$\norm{G(u_{M_j,N_j})\chi_{\{|u|\le L_j\}}-G(u)}_p\to 0\ (j\to\infty).$$
また $M_j,N_j\ge L_{j-1}\ge j-1$ より $M_j,N_j\to\infty\ (j\to\infty)$ であり、
\begin{align*}
\int_\Omega|G(u_{M_j,N_j})|^p\chi_{\{|u|\gt L_j\}}&=\int_\Omega(|G(M_j)|^p\chi_{\{u\gt M_j\}}+|G(-N_j)|^p\chi_{\{u\lt -N_j\}})\\
&=|G(M_j)||\{u\gt M_j\}|+|G(-N_j)||\{u\gt -N_j\}|\\
&\le|G(L_j)||\{u\gt L_{j-1}\}|+|G(-L_j)||\{u\gt -L_{j-1}\}|\\
&\le 2^{1-j}\to 0\ (j\to\infty).
\end{align*}
従って
$$\norm{G(u_{M_j,N_j})-G(u)}_p\to 0\ (j\to\infty).$$
$M_j,N_j\ge L_{j-1}\ge j-1\to\infty\ (j\to\infty)$ より
$$\norm{G'(u_{M_j,N_j})D_iu_{M_j,N_j}-G'(u)D_iu}_p\to 0\ (j\to\infty)$$
となることとあわせて
$$G(u)\in W^{1,p}(\Omega),D_i(G(u))=G'(u)D_iu$$
が成り立つ。
{{end|proof}}

==差分商による特徴づけ==
{{theorem|type=def|name=差分商|label=difq}}
$f\colon\Omega\to\R$ と開集合 $\Omega'\rcpt\Omega$ と $0\lt|h|\lt\dist(\Omega',\pOm)$ なる $h\in\R$ と $z\in\partial B_1(0)$ について
$$\Delta^h_z f(x)\colon=\frac{f(x+hz)-f(x)}{h}\ (x\in\Omega',i=1,\ldots ,n)$$
により $f$ の $z$ 方向の差分商 $\Delta^h_z f\colon\Omega'\to\R$ を定める。$\Delta^h_{e_i} f$ は $\Delta^h_i f$ と書く。

{{theorem|type=pro|name=差分商の初等的性質|label=difq1}}
開集合 $\Omega'\rcpt\Omega$ と $0\lt|h|\lt\frac{1}{2}\dist(\Omega',\pOm)$ なる $h\in\R$ と $\partial B_1(0)$ について次が成り立つ:
*(1) $f\in C^1(\Omega)$ について
$$\Delta^h_z f(x)=\int_0^1 D_if(x+thz)dt\ (x\in\Omega').$$
*(2) $f\colon\Omega\to\R$ について
$$\Delta^h_z(fg)(x)=\Delta^h_zf(x)g(x)+f(x+hz)\Delta^h_zg(x)=\Delta^h_zf(x)g(x+hz)+f(x)\Delta^h_zg(x)\ (x\in\Omega').$$
*(3) $f\colon \Omega\to\R$ と $g\colon\R^n\to\R$ が $\L^n$ -可測で $\supp g\subset\Omega'$ かつ $f(\cdot+hz)g,fg\in L^1(\Omega)$ とすると
$$\int_{\Omega'}\Delta^h_zfg=-\int_{\Omega}f\Delta^{-h}_zg.$$

{{begin|proof|display=''Proof.''|collapsible=1}}
(1) は微積分基本公式から直ちに従う。

(2) は
$$f(x+hz)g(x+hz)-f(x)g(x)=(f(x+hz)-f(x))g(x)+f(x+hz)(g(x+hz)-g(x))$$
から従う。

(3) は
\begin{align*}
\int_{\Omega'} \Delta^h_zfg&=\frac{1}{h}\left(\int_{\Omega'} f(x+hz)g(x)dx-\int_{\Omega'} f(x)g(x)dx\right)\\
&=\frac{1}{h}\left(\int_{\Omega'+hz} f(x)g(x-hz)dx-\int_{\Omega'} f(x)g(x)dx\right)\\
&=-\frac{1}{-h}\left(\int_\Omega f(x)g(x-hz)dx-\int_\Omega f(x)g(x)dx\right)\\
&=-\int_\Omega f\Delta^{-h}_zg
\end{align*}
となり従う。
{{end|proof}}

$p\in(1,\infty]$ のとき、差分商を用いて $W^{1,p}(\Omega)$ を特徴づけることができる。差分商は微分可能性を仮定することなく定義できるため、この特徴づけは $u\in W^{1,p}(\Omega)$ を示す上でしばしば有用なものである。

{{theorem|type=lem|label=difqlem}}
*(1) $p,p'\in[1,\infty]$ とする。$u\in W^{1,p}(\Omega)$ とすると $z\in\partial B_1(0)$ について
$$\norm{D_zu}_p=\sup\left\{\int_\Omega uD_z\varphi\colon\varphi\in C^\infty_c(\Omega),\norm{\varphi}_{p'}\le 1\right\}.\tag{*}\label{difqlem1}$$
ここで $\displaystyle D_zu\colon=z\cdot Du$ である。
*(2) $p\in(1,\infty]$ の場合は逆に $u\in L^p(\Omega)$ で各 $i=1,\ldots ,n$ について(\ref{difqlem1})の右辺が有限であれば $u\in W^{1,p}(\Omega)$ である。

{{begin|proof|display=''Proof.''|collapsible=1}}
(1)を示す。(\ref{difqlem1})の右辺を $A_z$ とおく。$\varphi\in C^\infty(\Omega)$ について
$$\int_\Omega uD_z\varphi=-\int_\Omega D_zu\varphi$$
であるから
$$A_z=\sup\left\{-\int_\Omega D_zu\varphi\colon\varphi\in C^\infty_c(\Omega),\norm{\varphi}_{p'}\le 1\right\}=\norm{D_zu}_p.$$

(2)を示す。$A_i=A_{e_i}\lt\infty\ (i=1,\ldots ,n)$ とすると $\varphi\mapsto\int_\Omega uD_i\varphi$ は $L^{p'}(\Omega)$ 上の有界線型汎関数に拡張され、$p'\in[1,\infty)$ よりこの汎関数はある $v_i\in L^p(\Omega)$ を用いて $\varphi\mapsto-\int_\Omega v_i\varphi$ と表される。従って
$$\int_\Omega uD_i\varphi=-\int_\Omega v_i\varphi\ (\forall\varphi\in C^\infty_c(\Omega))$$
となり $u\in W^{1,p}(\Omega)$、$D_iu=v_i$ となる。
{{end|proof}}

{{theorem|type=rmk}}
(2)は $p=1$ の場合は成り立たない。<ref name="BV">(2)で $p=1$ とした仮定をみたす関数は有界変動関数と呼ばれる。$\Omega$ 上の有界変動関数の空間は $BV(\Omega)$ と書かれ、これも重要な関数空間のひとつである。</ref>例えば $n=1$、$\Omega=\R$、$u=\chi_{(0,\infty)}$ とすると $\varphi\in C^\infty_c(\R)$、$\norm{\varphi}_\infty\le 1$ について $\int_\R u\varphi'=\int_0^\infty \varphi'=-\varphi(0)\le 1$ となる。一方 $u\in W^{1,1}(\Omega)$ であったとして $v=u'$ とすると任意の $\varphi\in C^\infty_c(\R)$ について $\int_\R v\varphi=\varphi(0)$ となり、とくに $x\in\R\backslash\{0\}$ として $\varepsilon\gt 0$ を十分小さくとると $\eta_\varepsilon*v(x)=\eta_\varepsilon(x)=0$ となるので $\eta_\varepsilon*v\to 0$ a.e. in $\R$ であり $v=0$ となるがこれは $\int_\R v\varphi=\varphi(0)$ に矛盾する。

{{theorem|type=thm|name=$W^{1,p}(\Omega)$ の差分商による特徴づけ|label=difq1}}
*(1) $\Omega'\rcpt\Omega$ を開集合とする。$0\lt|h|\lt\frac{1}{2}\dist(\Omega',\pOm)$ なる $h\in\R$ と $z\in\partial B_1(0)$ と $p\in[1,\infty]$、$u\in W^{1,p}(\Omega)$ について
$$\norm{\Delta^h_z u}_{p;\Omega'}\le \norm{D_zu}_p.$$
*(2) $p\in(1,\infty]$ の場合は逆に $u\in L^p(\Omega)$ について、$C_i\ge 0$ が存在して任意の開集合 $\Omega'\rcpt\Omega$ と $0\lt|h|\lt\frac{1}{2}\dist(\Omega',\pOm)$ なる $h\in\R$ について $\norm{\Delta^h_i u}_{p;\Omega'}\le C_i$ が成り立てば
$$u\in W^{1,p}(\Omega),\norm{D_iu}_{p;\Omega}\le C_i\ (i=1,\ldots ,n).$$

{{begin|proof|display=''Proof.''|collapsible=1}}
(1)を示す。$\varphi\in C^\infty_c(\Omega')$、$\norm{\varphi}_{p'}\le 1$ について
$$\int_{\Omega'}\Delta^h_z u\varphi=-\int_\Omega u\Delta^{-h}_z\varphi=-\int_\Omega u(x)\left(\int_0^1 D_z\varphi(x-thz)dt\right)dx$$
で、{{ref|type=lem|label=difqlem}}より $t\in[0,1]$ について
$$-\int_\Omega u(x)\varphi(x-thz)dx\le\norm{D_zu}_p.$$
よって $\norm{\Delta^h_zu}_p\le\int_0^1\norm{D_zu}_pdt=\norm{D_zu}_p$。

(2)を示す。$\varphi\in C^\infty_c(\Omega)$、$\norm{\varphi}_{p'}\le 1$ として開集合 $\Omega'\rcpt\Omega$ を $\supp\varphi\subset\Omega'$ となるようにとると十分小さい $h\gt 0$ について
$$C_i\ge-\int_\Omega\Delta^h_i u(x)\varphi(x)dx=\int_\Omega u(x)\Delta^{-h}_i\varphi(x)dx=\int_\Omega u(x)\left(\int_0^1 D_i\varphi(x-the_i)dt\right)dx$$
で、$h\to +0$ とすれば
$$\int_\Omega uD_i\varphi\le C_i$$
となる。{{ref|type=lem|label=difqlem}}より $u\in W^{1,p}(\Omega)$、$\norm{D_iu}_p\le C_i$。
{{end|proof}}

{{theorem|type=rmk}}
$\Omega\subset\Rnp$ とし、$T\subset\pOm$ を $T\subset\pRnp$ なる相対開集合とする。$\Omega'\rcpt\OmT$ を開集合とし、$h\in\R$、$0\lt|h|\lt\frac{1}{2}\dist(\Omega',\pOm\backslash T)$ とすると、$z\in\partial B_1(0)\cap\pRnp$ については
$f\colon\Omega\to\R$ の差分商 $\Delta^h_i f\colon\Omega'\to\R$ を定義することができる。$p\in(1,\infty]$、$u\in L^p(\Omega)$、$i=1,\ldots ,n-1$ について、$C_i\ge 0$ が存在して任意の開集合 $\Omega'\rcpt\OmT$ と $h\in\R$、$0\lt|h|\lt\frac{1}{2}\dist(\Omega',\pOm)$ について $\norm{\Delta^h_i u}_{p;\Omega'}\le C_i$ が成り立てば $u$ の弱微分 $D_iu$ が存在し
$$\norm{D_iu}_p\le C_i\ (i=1,\ldots ,n-1)$$
となることが{{ref|type=thm|label=difq1}}と同様に示される。これは境界の近傍における $u$ の正則性を調べる上で重要となるが、法線微分 $D_nu$ が存在するかは別の方法で調べる必要がある。

==$p=\infty$ の場合==
$W^{k,\infty}(\Omega)$ は著しく特殊であり、Lipschitz連続性によって特徴づけることができる。
{{theorem|type=thm|name=$W^{k,\infty}(\Omega)$ の特徴づけ|label=lip}}
$k\in\Zp$ とする。
*(1) $C^{k-1,1}(\Ombar)\subset W^{k,\infty}(\Omega)$ で $u\in C^{k-1,1}(\Ombar)$ について
$$\norm{D^ku}_{\infty;\Omega}\le[u]_{k-1,1;\Omega}.$$
さらに $\Omega$ が[[Hölder空間の基本事項]]の補題14の($\dagger$)をみたすとすると $W^{k,\infty}(\Omega)=C^{k-1,1}(\Ombar)$ で $u\in W^{k,\infty}(\Omega)$ について
$$[u]_{k-1,1;\Omega}\le C_{k,\Omega}\norm{D^ku}_{k,\infty;\Omega}.$$
*(2) 任意の開集合 $\Omega\subset\R^n$ について
$$W^{k,\infty}_{\loc}(\Omega)=C^{k-1,1}(\Omega).$$

また $u\in W^{k,\infty}_{\loc}(\Omega)=C^{k-1,1}(\Omega)$ について、$k$ 階以下の各点での微分と弱微分は一致する。

{{begin|proof|display=''Proof.''|collapsible=1}}
$k=1$ の場合を示せば十分。

(2)は(1)と凸領域が($\dagger$)をみたすことから直ちに従う。

(1)を示す。$u\in C^{0,1}(\Ombar)$ とすると任意の $\Omega'\rcpt\Omega$ について $\Delta^h_iu$ は $h\to +0$ とすると $\Omega'$ 上で各点微分の意味の $D_iu$ に収束する。$\varphi\in C^\infty_c(\Omega')$ について
$$\int_\Omega D_iu\varphi=\lim_{h\to 0}\int_{\Omega'}\Delta^h_iu\varphi=-\lim_{h\to 0}\int_\Omega u\Delta^{-h}_i\varphi=-\int_\Omega uD_i\varphi.$$
これより $u\in W^{1,\infty}(\Omega)$ で、$u$ は弱微分は a.e. in $\Omega$ で $u$ の各点微分と一致する。また $\norm{D_iu}_\infty\le[u]_{0,1}$。

逆に $u\in W^{1,\infty}(\Omega)$ とする。$x,y\in\Omega$ とし、$x_0=x$、$x_N=y$、$l(p)\le L|x-y|$ となるように $\Omega$ 内の折れ線 $p=\{x_i\}_{i=0}^N$ をとる。$\displaystyle \bigcup_{i=0}^N\{(1-t)x_i+tx_{i+1}\colon t\in[0,1]\}$ はコンパクトより開集合 $\Omega'\rcpt\Omega$ をとって $\displaystyle\bigcup_{i=0}^N\{(1-t)x_i+tx_{i+1}\colon t\in[0,1]\}\subset\Omega'$ とできる。$\zeta\in C^\infty_c(\Omega)$ を $\zeta=1$ in $\Omega'$ となるようにとる。十分小さい $\varepsilon\gt 0$ をとると任意の $i=0,\ldots ,N-1$ と $t\in[0,1]$ について $B_\varepsilon((1-t)x_i+tx_{i+1})\subset\Omega'$ となり
$$|\eta_\varepsilon*D(\zeta u)((1-t)x_i+tx_{i+1})|\le C\norm{D(\zeta u)}_{\infty;\Omega'}=C\norm{Du}_{\infty;\Omega'}\ (j=1,\ldots ,n).$$
これより $i=0,\ldots ,N-1$ について
\begin{align*}
|\eta_\varepsilon*(\zeta u)(x_{i+1})-\eta_\varepsilon*(\zeta u)(x_i)|&=\left|\int_{\R^n}(\eta_\varepsilon(x_{i+1}-z)-\eta_\varepsilon(x_i-z))(\zeta u)(z)dz\right|\\
&=\left|\int_{\R^n}\left(\int_0^1 D\eta_\varepsilon((1-t)x_i+tx_{i+1}-z)\cdot(x_{i+1}-x_i)dt\right)(\zeta u)(z)dz\right|\\
&=\left|\int_0^1\eta_\varepsilon*D(\zeta u)((1-t)x_i+tx_{i+1})\cdot(x_{i+1}-x_i)dt\right|\\
&=\int_0^1|\eta_\varepsilon*D(\zeta u)((1-t)x_i+tx_{i+1})||x_{i+1}-x_i|dt\\
&\le C\norm{Du}_{\infty}|x_{i+1}-x_i|
\end{align*}
となり
$$|\eta_\varepsilon*(\zeta u)(y)-\eta_\varepsilon*(\zeta u)(x)|\le C\norm{Du}_\infty l(p)\le C\norm{Du}_\infty|x-y|.$$
$\varepsilon\to+0$ すれば、$u$ のLebesgue点 $x,y\in\Omega'$ について
$$|u(x)-u(y)|\le C\norm{Du}_\infty|x-y|$$
が成り立つ。$\Omega$ のほとんど全ての点が $u$ のLebesgue点であり、とくに $u$ のLebesgue点は $\Omega$ で稠密であるから、$u^*\colon\Omega\to\R$ を $u$ のLebesgue点で $u^*=u$ かつ $|u^*(x)-u^*(y)|\le C\norm{Du}_\infty|x-y|\ (\forall x,y\in\Omega)$ となるようにとれる。これより
$$u=u^*\in C^{0,1}(\Ombar),[u]_{0,1}\le C\norm{Du}_\infty.$$
{{end|proof}}

{{theorem|type=rmk}}
同様にして $T\subset\pOm$ が[[Hölder空間の基本事項]]の系16の($\dagger_\loc$)をみたすとき $W^{k,\infty}_\loc(\Omega)\subset C^{k-1,1}(\Omega\cup T)$ となることが証明できる。

$\gamma\colon [a,b]\to\Omega$ をLipschitz曲線とし、$u\in C^{0,1}(\Omega)$ とすると $u\circ\gamma\in C^{0,1}([a,b])=W^{1,\infty}(a,b)$ となるので $x\colon=\gamma(a)$、$y\colon=\gamma(b)$ とすれば
$$u(y)=u(x)+\int_a^b (u\circ\gamma)'(t)dt$$
が成り立つ。とくに a.e. $t\in(a,b)$ について $u$ が $\gamma(t)$ において微分可能であれば
$$u(y)=u(x)+\int_a^b Du(\gamma(t))\cdot\gamma'(t)dt$$
が成り立つ。

==変数変換公式==

{{theorem|type=thm|name=変数変換公式|label=chavar}}
$D,\widetilde{D}\subset\R^n$ を開集合とし、$\psi\colon \widetilde{D}\to D$ は全単射で $\psi,\psi^{-1}$ はともに $C^{0,1}$ 写像であるとする。$\widetilde{\Omega}\rcpt\widetilde{D}$ を開集合とし、$\Omega\colon=\psi(\widetilde{\Omega})$ とする。$u\in W^{1,p}(\Omega)$ について
$$u\circ\psi\in W^{1,p}(\widetilde{\Omega}),D_j(u\circ\psi)=\sum_{i=1}^n (D_iu\circ\psi)D_j\psi_i.$$
とくに
$$\norm{u\circ\psi}_{1,p;\widetilde{\Omega}}\le C_{\psi}\norm{u}_{1,p;\Omega}.$$

{{begin|proof|display=''Proof.''|collapsible=1}}
$u\in C^{0,1}(\Omega)\cap W^{1,p}(\Omega)$ とする。$u$ はa.e. in $\Omega$ で微分可能で、{{ref|type=thm|label=lip}}より各点微分は弱微分と一致する。また $\psi^{-1}$ がLipschitz写像であることから $|\{y\in\widetilde{\Omega}\colon\ u\ は\ \psi(y)\ で微分不可能\}|=|\psi^{-1}(\{x\in\Omega\colon u\ は\ x\ で微分不可能\})|=0$ となり、a.e. $y\in\widetilde{\Omega}$ について $u$ は $\psi(y)$ で微分可能である。 $\psi$ はa.e. in $\widetilde{\Omega'}$ で微分可能であるから $u\circ\psi$ もa.e. in $\widetilde{\Omega'}$ で微分可能で
$$D_j(u\circ\psi)=\sum_{i=1}^n (D_iu\circ\psi)D_j\psi_i.$$
$p=\infty$ の場合は $\norm{u\circ\psi}_\infty=\norm{u}_\infty$ と
$$\norm{D_j(u\circ\psi)}_\infty\le\sum_{i=1}^n \norm{D_iu\circ\psi}_\infty\norm{D_j\psi_i}_\infty\le C\sum_{i=1}^n\norm{D_iu}_\infty$$
より
$$u\circ\psi\in W^{1,\infty}(\Omega),\norm{u\circ\psi}_{1,\infty}\le C\norm{u}_{1,\infty}$$
が成り立つ。

$p\in[1,\infty)$ の場合はarea不等式([[Hausdorff測度とarea_coarea_formula]]の定理19)より
$$\int_{\Omega'}|u\circ\psi|^p\le C\int_\Omega |u|^p.$$
また $D\psi$ は $\Omega'$ 上で有界であるから $i,j\in\{1,\ldots ,n\}$ について
$$\int_{\Omega'}|(D_iu\circ\psi)D_j\psi_i|^p\le C\int_{\Omega'}|D_iu\circ\psi|^p\le C\int_\Omega |D_iu|^p$$
となるので
$$\norm{D_j(u\circ\psi)}_p\le \sum_{i=1}^n\norm{(D_iu\circ\psi)D_j\psi_i}_p\le C\sum_{i=1}^n\norm{D_iu}_p$$
となり
$$u\circ\psi\in W^{1,p}(\Omega),\norm{u\circ\psi}_{1;p}\le C\norm{u}_{1;p}$$
が成り立つ。

$p\in[1,\infty)$ の一般の場合は $u_m\in C^\infty(\Omega)\cap W^{1,p}(\Omega)$ を $\norm{u_m-u}_{1,p}\to 0\ (m\to\infty)$ となるようにとると
$$\norm{u_m-u}_p,\norm{\sum_{i=1}^n(D_iu_m\circ\psi)D_j\psi_i-\sum_{i=1}^n(D_iu\circ\psi)D_j\psi_i}_p\to 0\ (m\to\infty)$$
となることから従う。
{{end|proof}}

{{theorem|type=cor|label=kchavar}}
$D,\widetilde{D}\subset\R^n$ を開集合とし、$\psi\colon \widetilde{D}\to D$ は全単射で $\psi,\psi^{-1}$ はともに $C^{k-1,1}$ 写像であるとする。$\widetilde{\Omega}\rcpt\widetilde{D}$ を開集合とし、$\Omega\colon=\psi(\widetilde{\Omega})$ とする。$u\in W^{k,p}(\Omega)$ について
$$u\circ\psi\in W^{k,p}(\widetilde{\Omega}),\norm{u\circ\psi}_{k,p;\widetilde{\Omega}}\le C_{k,\psi}\norm{u}_{k,p;\Omega}.$$

{{begin|proof|display=''Proof.''|collapsible=1}}
{{ref|type=thm|label=chavar}}と積の微分を用いて $k$ に関する帰納法により証明できる。
{{end|proof}}

==Sobolev空間 $W^{k,p}_0(\OmT)$==

{{theorem|type=def|name=$W^{k,p}_c(\OmT),W^{k,p}_0(\OmT)$|label=defsob0}}
$k\in\Zp$、$p\in[1,\infty)$ とし、$T\subset\pOm$ を相対開集合とする。$W^{k,p}_c(\OmT)$ の $W^{k,p}(\Omega)$ のノルムでの閉包を $W^{k,p}_0(\OmT)$ と表す。$W^{k,p}_0(\Omega\cup\emptyset)$ は単に $W^{k,p}_0(\Omega)$ とかく。

{{theorem|type=rmk}}
{{ref|type=thm|label=apx3}}の注意より、$T$ が線分条件をみたす場合は $C^\infty_c(\OmT)\subset W^{k,p}_0(\OmT)$ は稠密である。とくに $C^\infty_c(\Omega)\subset W^{k,p}_0(\Omega)$ は稠密である。

$W^{1,p}_0(\OmT)$ は「弱い意味で $u=0$ on $\pOm\backslash T$ 」となる関数の空間としてよく用いられ、より高階の微分可能性と組み合わせて $W^{2,p}(\Omega)\cap W^{1,p}_0(\OmT)$ などの形で用いられることがある。なお、この空間を $W^{2,p}_0(\OmT)$ と混同しないように注意せよ。

$W^{k,2}_0(\OmT)$ は $H^k_0(\OmT)$ と書かれることが多い。

{{theorem|type=pro|name=$u\in W^{k,p}_0(\OmT)$ の拡張|label=ext0}}
$k\in\Zp$、$p\in[1,\infty)$ とし、$T\subset\pOm$ を相対開集合とする。$D\subset\R^n$ は開集合で $\Omega\subset D$、
$T\subset\partial D$ をみたすとする。このとき $u\in W^{k,p}_0(\OmT)$ について
$$v\colon=\begin{cases}
u&\ \inn\Omega\\
0&\ \on D\backslash\Omega
\end{cases}$$
とすると $v\in W^{k,p}_0(D\cup T)$ である。

{{begin|proof|display=''Proof.''|collapsible=1}}
$u\in W^{1,p}_c(\OmT)$ とする。$\dist(\supp u,\pOm\backslash T)\gt 0$ より $\zeta\in C^\infty(\Omega)$ を $\zeta=1$ on $\supp u$ かつ $\pOm\backslash T$ の近傍で $\zeta=0$ となるようにとれる。$\zeta=0$ on $D\backslash\Omega$ として $\zeta$ を $D$ 上に拡張すると $D\cap\pOm\subset\pOm\backslash T$ の近傍で $\zeta=0$ より $\zeta\in C^\infty(D)$。また $\supp\zeta\rcpt\OmT$。

$\varphi\in C^\infty_c(D)$ とすると $\zeta\varphi\in C^\infty_c(\Omega)$。$D_i\zeta=0$ on $\supp u$ に注意すると
$$\int_D vD_i\varphi=\int_\Omega \zeta uD_i\varphi=\int_\Omega u(D_i(\zeta\varphi)-D_i\zeta\varphi)=-\int_\Omega D_iu\zeta\varphi=-\int_\Omega D_iu\varphi.$$
これより $v\in W^{1,p}(D)$。また $\supp v=\supp u\rcpt D\cup T$ で、$Dv=Du$ in $\Omega$、$Dv=0$ on $D\backslash\Omega$。

帰納法により $u\in W^{k,p}_c(\OmT)$ のとき $v\in W^{k,p}_c(D\cup T)$ となる。近似により主張が従う。
{{end|proof}}

{{theorem|type=rmk}}
以下では $\Omega\subset D$、
$T\subset\partial D$ のとき $u\in W^{k,p}_0(\OmT)$ とそのここで構成した $D$ 上への拡張を区別せず $W^{k,p}_0(\OmT)\subset W^{k,p}_0(D\cup T)$ と見做す。

{{theorem|type=pro|name=部分積分|label=intpart}}
$p\in[1,\infty)$ とする。$T_1,T_2\subset\pOm$ は $T_1\cap T_2=\emptyset$ をみたすとする。$u\in W^{1,p}_0(\OmT_1)$、$v\in W^{1,p'}_0(\OmT_2)$ とすると
$$\int_\Omega D_iuv=-\int_\Omega uD_iv\ (i=1,\ldots ,n)$$

{{begin|proof|display=''Proof.''|collapsible=1}}
近似により $u\in W^{1,p}_c(\OmT_1)$、$v\in W^{1,p'}_c(\OmT_2)$ としてよい。$uv,D_iuv+uD_iv\in L^1(\Omega)$ より $uv\in W^{1,1}(\Omega)$。$T_1\cap T_2=\emptyset$ より $\supp uv\rcpt\Omega$ であるから $uv\in W^{1,1}_c(\Omega)$。$C^\infty_c(\Omega)\subset W^{1,1}_0(\Omega)$ は稠密であるから近似により $\displaystyle \int_\Omega D_i(uv)=0$。これより主張が従う。
{{end|proof}}

{{theorem|type=pro|label=c0}}
$p\in[1,\infty)$ とし、$T\subset\pOm$ を相対開集合とする。$u\in W^{1,p}(\Omega)$ が任意の有界な $S\subset\pOm\backslash T$ について
$$\limsup_{x\to S}|u(x)|\colon=\lim_{\delta\to +0}\esssup_{\dist(x,S)\lt\delta}|u(x)|=0$$
をみたすとすると $u\in W^{1,p}_0(\OmT)$。

{{begin|proof|display=''Proof.''|collapsible=1}}
$\supp u$ が有界な場合を示す。$B=B_R(0)$ を $\supp u\rcpt B$ となるようにとる。

$G\in C^1(\R)$ を $G(t)=0$ if $|t|\lt 1$、$G(t)=t$ if $|t|\gt 2$ となるようにとる。$G'(t)=1$ if $|t|\gt 2$ より $G'\in L^\infty(\R)$。$\varepsilon\gt 0$ について $G_\varepsilon(t)\colon=\varepsilon G(\varepsilon^{-1}t)$ とする。このとき $G_\varepsilon(t)=0$ if $|t|\lt\varepsilon$、$G_\varepsilon(t)=t$ if $|t|\gt\varepsilon$、$|G'_\varepsilon|\le\norm{G'}_\infty$ であるから{{ref|type=thm|label=chain1}}より $G(u)\in W^{1,p}(\Omega)$。また仮定より十分小さい $\delta\gt 0$ をとると
$$|u|\lt\varepsilon\ \ae\inn\{x\in\Omega\colon\dist(x,(\pOm\cap B)\backslash T)\lt\delta\}\cup(\R^n\backslash B_{R-\delta}(0)).$$
これより
$$\dist(\supp G_\varepsilon(u),(\pOm\cap B)\backslash T),\dist(\supp G_\varepsilon(u),(\pOm\backslash B)\backslash T)\ge\delta$$
従って $\dist((\supp G_\varepsilon(u),\pOm\backslash T)\gt 0$ となり $G_\varepsilon(u)\in W^{1,p}_c(\OmT)$。

$u(x)\neq 0$ なる $x\in\Omega$ について $\varepsilon\lt \frac{1}{2}|u(x)|$ とすれば $G_\varepsilon(u(x))=u(x)$ となり、$u(x)=0$ なる $x\in\Omega$ については $G_\varepsilon(u(x))=u(x)=0$ となるのでLebesgueの収束定理より $\norm{G_\varepsilon(u)-u}_p\to 0\ (\varepsilon\to +0)$。また $u(x)\neq 0$ なる $x\in\Omega$ について $\varepsilon\lt \frac{1}{2}|u(x)|$ とすれば $D(G_\varepsilon(u(x)))=G'_\varepsilon(u(x))Du(x)=Du(x)$ となり、$G'_\varepsilon(0)=0$ と{{ref|type=lem|label=chainlem}}より $D(G_\varepsilon(u))=G'_\varepsilon(u)Du=0=Du$ a.e. on $\{u=0\}$ となるのでLebesgueの収束定理より $\norm{D(G_\varepsilon(u))-Du}_p\to 0\ (\varepsilon\to +0)$。これより $u\in W^{1,p}_0(\OmT)$。

$\Omega$ が有界でない場合は $\zeta\in C^\infty_c(\Omega)$ を $\zeta=1$ in $B_1(0)$ となるようにとり、 $\zeta_m(x)=\zeta(m^{-1}x)\ (m\in\Zp)$ とすると仮定より明らかに $\zeta_mu$ も同じ仮定をみたし $\supp\zeta_mu$ は有界であるから $\zeta_mu\in W^{1,p}_0(\OmT)$。$m\to\infty$ として主張を得る。
{{end|proof}}

{{theorem|type=rmk}}
とくに $u\in W^{1,p}(\Omega)\cap C(\Ombar\backslash T)$ で $u=0$ on $\pOm\backslash T$ であれば $u\in W^{1,p}_0(\OmT)$ となる。

{{theorem|type=pro|name=合成関数と積|label=chapro0}}
$p\in[1,\infty)$ とし、$T\subset\pOm$ を相対開集合とする。
*(1) $G\in C^1(\R^m)$ が
$$G(0,\ldots,0,t_{j+1},\ldots,t_m)=0\ (t_{j+1},\ldots,t_m\in\R)$$
をみたすとする。$u=(u_1,\ldots,u_m)\in W^{1,p}(\Omega)^m$ が
$$u_1,\ldots,u_j\in W^{1,p}_0(\OmT)$$
かつ
$$G(u),\sum_{j=1}^m D_jG(u)D_iu_j\in L^p(\Omega)\ (i=1,\ldots,n)$$
をみたすとすると $G(u)\in W^{1,p}_0(\OmT).$
*(2) $G\in W^{1,1}_{\loc}(\R)$、$G(0)=0$ とする。$u\in W^{1,p}_0(\OmT)$、$G(u),G'(u)D_iu\in L^p(\Omega)$ とすると $G(u)\in W^{1,p}_0(\OmT)$。
*(3) $u\in W^{1,p}_0(\OmT)$、$v\in W^{1,p}(\Omega)$ が $uv,D_iuv+uD_iv\in L^p(\Omega)$ をみたすとすると $uv\in W^{1,p}_0(\OmT)$。

{{begin|proof|display=''Proof.''|collapsible=1}}
(1)の $DG\in L^\infty(\R^m)$ の場合は{{ref|type=thm|label=apx3}}の注意より{{ref|type=thm|label=chain1}}の証明で $u^{(k)}=(u^{(k)}_1,\ldots ,u^{(k)}_m)$ を $u^{(k)}_1,\ldots,u^{(k)}_j\in W^{1,p}_c(\OmT)$ となるようにとれ、このとき $\supp G(u^{(k)})\rcpt\OmT$ となり $G(u)\in W^{1,p}_0(\OmT)$ が従う。一般の場合は{{ref|type=thm|label=chain1}}と同様である。

(2)は(1)より{{ref|type=thm|label=chain2}}の証明で $W^{1,p}(\Omega)$ を $W^{1,p}_0(\OmT)$ にとりかえられることから従う。
{{end|proof}}

==Sobolev空間 $W^{-k,p}(\Omega)$==

{{theorem|type=def|name=$W^{-k,p}(\Omega)$|label=0dual}}
$k\in\Zp$、$p\in(1,\infty]$ とする。$W^{k,p'}_0(\Omega)$ のノルム $\norm{\cdot}_{k,p';\Omega}$ に関する双対空間を $W^{-k,p}(\Omega)$ と表す。

{{theorem|type=pro|label=0dualrep}}
$k\in\Zp$、$p\in(1,\infty]$ とする。$\varphi\in W^{-k,p}(\Omega)$ について $g_\alpha\in L^p(\Omega)\ (|\alpha|\le k)$ が存在し
$$\langle \varphi,u\rangle=\sum_{|\alpha|\le k}(-1)^{|\alpha|}\int_\Omega g_\alpha D^\alpha u\ (\forall u\in W^{k,p}_0(\Omega))\tag{*}\label{rep}$$
かつ
$$\norm{\varphi} =\begin{cases}
\left(\sum_{|\alpha|\le k} \norm{g_\alpha}_{p;\Omega}^p\right)^\frac{1}{p}&\colon p\in(1,\infty)\\
\max_{|\alpha|\le k}\norm{g_\alpha}_{\infty;\Omega} &\colon p=\infty
\end{cases}.$$
ここで $\norm{\cdot}$ は $W^{k,p}_0(\Omega)$ のノルム $\norm{\cdot}_{k,p;\Omega}$ に関する双対ノルムである。

{{begin|proof|display=''Proof.''|collapsible=1}}
$|\alpha|\le k$ なる多重指数 $\alpha$ を $\alpha_1,\ldots ,\alpha_N$ と番号づけて $W^{k,p'}_0(\Omega)$ を $u\mapsto (D^{\alpha_1}u,\ldots ,D^{\alpha_N}u)$ により $L^{p'}(\Omega)^N$ の部分空間と見做す。Hahn-Banachの定理より $\varphi$ は $\varphi'\in(L^{p'}(\Omega)^N)^*$ に拡張でき、$\norm{\varphi'} =\norm{\varphi}$。ここで $\norm{\varphi'}$ は $L^p(\Omega)^N$ のノルム
$$\norm{(f_1,\ldots ,f_N)} =\left(\sum_{i=1}^N|f_i|^p\right)^\frac{1}{p}$$
に関する双対ノルムである。$\varphi'$ は $\varphi'_i\in (L^{p'}(\Omega))^*\ (i=1,\ldots ,N)$ を用いて
$$\langle \varphi',f\rangle=\sum_{i=1}^N\langle \varphi'_i,f_i\rangle\ (f=(f_1,\ldots ,f_N)\in L^{p'}(\Omega))$$
と表され、
$$\norm{\varphi} =\norm{\varphi'} =\begin{cases}
\left(\sum_{i=1}^N \norm{\varphi_i} ^p\right)^\frac{1}{p}&\colon p\in(1,\infty)\\
\max_{i=1,\ldots ,N}\norm{\varphi_i} &\colon p=\infty
\end{cases}.$$
各 $i=1,\ldots ,N$ について $g_i\in L^p(\Omega)$ が存在して $\langle \varphi'_i,f\rangle=(-1)^{|\alpha_i|}\int_\Omega g_if\ (f\in L^{p'}(\Omega))$、$\norm{\varphi'_i} =\norm{g_i}_p$。$g_i$ を $g_{\alpha_i}$ と書き直せば
$$\langle\varphi,u\rangle=\sum_{|\alpha|\le k}\int_\Omega g_\alpha D^\alpha u\ (u\in W^{k,p'}_0(\Omega))$$
かつ
$$\norm{\varphi} =\begin{cases}
\left(\sum_{|\alpha|\le k} \norm{g_\alpha}_p^p\right)^\frac{1}{p}&\colon p\in(1,\infty)\\
\max_{|\alpha|\le k}\norm{g_\alpha}_\infty &\colon p=\infty
\end{cases}$$
が成り立つ。
{{end|proof}}

{{theorem|type=def|name=$W^{-k,p}(\Omega)$ の元の表示|label=defdualrep}}
$\varphi\in W^{-k,p}(\Omega)$ を(\ref{rep})をみたす $g_\alpha\in L^1_\loc(\Omega)$ を用いて
$$\varphi=\sum_{|\alpha|\le k}D^\alpha g_\alpha$$
と表す。またこの表示により $\varphi=g$ と表される $\varphi\in W^{-k,p}(\Omega)$ を $g\in L^1_\loc(\Omega)$ と同一視し、$L^p(\Omega)\subset W^{-k,p}(\Omega)$ と見做す。

{{theorem|type=rmk}}
超関数の用語を用いて言い換えると、$\varphi\in W^{-k,p}(\Omega)$ を $\displaystyle\sum_{|\alpha|\le k}D^\alpha g_\alpha\in\D'(\Omega)$ と同一視して $W^{-k,p}(\Omega)\subset\D'(\Omega)$ と見做すということである。

$W^{-k,2}(\Omega)$ は $H^{-k}(\Omega)$ と書かれることが多い。$H^k_0(\Omega)$ の双対空間は $H^k_0(\Omega)$ の内積構造を用いてRieszの表現定理によって $H^k_0(\Omega)$ 自身と同一視することもできる。しかし、{{ref|type=def|label=defdualrep}}によれば $H^k_0(\Omega)$ は $H^{-k}(\Omega)$ の真部分空間となることから、Rieszの表現定理による同一視は{{ref|type=def|label=defdualrep}}で与えたものと一致せず、どちらを採用するか選ぶ必要がある。$H^{-k}(\Omega)$ と書いた場合は、{{ref|type=def|label=defdualrep}}の方を採用する。

==拡張作用素==
{{theorem|type=thm|name=$C^{0,1}$ 境界部分における局所拡張作用素|label=ext1}}
$p\in[1,\infty]$ とし、$T\subset\pOm$ を $C^{0,1}$ 境界部分([[Hölder空間の基本事項]]の定義28)とする。$\xi\in T$ について、$\xi$ の開近傍 $V\subset\R^n$ と有界線型作用素 $E\colon W^{1,p}(V\cap\Omega)\to W^{1,p}(V)$ であって $u\in W^{1,p}(V\cap\Omega)$ について $Eu=u$ in $V\cap\Omega$ をみたすものが存在する。

{{begin|proof|display=''Proof.''|collapsible=1}}
$u\in W^{1,\infty}(V\cap\Omega)\subset C^{0,1}(\Omega\cup T)$ について[[Hölder空間の基本事項]]の定理30より $\xi$ の開近傍 $V$ と $v=Eu\in C^{0,1}_c(V)$ が存在して $Eu=u$ in $V\cap\Omega$。<ref name="linty">構成から明らかに $E$ は線型である。</ref>また{{ref|type=cor|label=kchavar}}に注意すると、$Eu$ の構成から $p\in[1,\infty]$ について $\norm{Eu}_{1,p;V}\le C\norm{u}_{1,p;V\cap\Omega}$ も成り立つ。

$E$ は $W^{1,p}(V\cap\Omega)$ から $W^{1,p}(V)$ への有界線型作用素に一意的に拡張される。$u\in W^{1,p}(V\cap\Omega)$ とし、$u_m\in C^\infty(V\cap\Omega)\cap W^{1,p}(V\cap\Omega)$、$\norm{u_m-u}_{1,p;V\cap\Omega}\to 0,u_m\to u$ a.e. in $V\cap\Omega\ (m\to\infty)$ とすると $\norm{Eu_m-Eu}_{1,p;V}\to 0$ で $Eu_m=u_m$ in $V\cap\Omega$ であるから $Eu=u$ in $V\cap\Omega$。
{{end|proof}}

{{theorem|type=thm|name=$C^{0,1}$ 領域における拡張作用素|label=ext2}}
$p\in[1,\infty]$ とする。次が成り立つ:
*(1) $T\subset\pOm$ を $C^{0,1}$ 境界部分とする。$T'\rcpt T$ について、$\OmT\subset\Omega_0$ をみたす開集合 $\Omega_0\subset\R^n$ と有界線型作用素 $E\colon W^{1,p}(\Omega)\to W^{1,p}(\Omega_0)$ であって $u\in W^{1,p}(\Omega)$ について $Eu=u$ in $\Omega$ をみたすものが存在する。また $u\in W^{1,p}_0(\OmT')$ のとき $Eu\in W^{1,p}_0(\Omega_0)$。
*(2) $T\subset\pOm$ を次をみたす相対開集合とする:
$$開集合D\subset\R^nとC^{0,1}境界部分S\subset\partial Dが存在し\Omega\subset D,T\rcpt S. \tag{$\diamondsuit$}\label{D}$$
このとき $\OmT\subset\Omega_0$ をみたす開集合 $\Omega_0\subset\R^n$ と有界線型作用素 $E\colon W^{1,p}_0(\OmT)\to W^{1,p}_0(\Omega_0)$ であって $u\in W^{1,p}_0(\OmT)$ について $Eu=u$ in $\Omega$ をみたすものが存在する。
*(3) $\Omega$ を有界な $C^{0,1}$ 領域とする。$D\subset\R^n$ を $\Omega\rcpt D$ なる開集合とすると有界線型作用素 $E\colon W^{1,p}(\Omega)\to W^{1,p}_c(D)$ ( $p\in[1,\infty]$ )で $u\in W^{1,p}(\Omega)$ $Eu=u$ in $\Omega$ をみたすものが存在する。

{{begin|proof}}
(1)を示す。{{ref|type=thm|label=ext1}}の $V=V_\xi$ から $V_1,\ldots,V_N$ を選んで $\displaystyle T'\subset\bigcup_{i=1}^N V_i$ となるようにする。$\OmT$ の開被覆 $\Omega,V_1,\ldots, V_N$ に従属する $1$ の分割 $\zeta_0\in C^\infty(\Omega)$、$\zeta_i\in C^\infty_c(V_i)$ をとり、拡張作用素 $E_i\colon W^{1,p}(V_i\cap\Omega_i)\to W^{1,p}(V_i)$ を用いて
$$\Omega_0\colon=\Omega\cup\bigcup_{i=1}^N V_i,Eu\colon=\zeta_0u+\sum_{i=1}^N \zeta_iE_iu$$
とすればよい。またこのとき $u\in W^{1,p}_c(\OmT)$ とすると明らかに $Eu\in W^{1,p}_c(\Omega_0)$ となるので $u\in W^{1,p}_0(\OmT)$ について $Eu\in W^{1,p}_0(\Omega_0)$。

(2)は{{ref|type=pro|label=ext0}}と(1)から従う。(3)は(1)で $T=\pOm$ としたものから直ちに従う。
{{end|proof}}

{{theorem|type=rmk}}
構成より(1)、(2)の $\Omega_0$ は $\Omega_0\backslash\Omega$ が有界になるようにとれる。とくに $\Omega$ が有界であれば $\Omega_0$ も有界とでき、$|\Omega|\lt\infty$ であれば $|\Omega_0|\lt\infty$ とできる。

{{theorem|type=cor|label=apx4}}
$T\subset\pOm$ を $C^{0,1}$ 境界部分とすると $p\in[1,\infty)$ について $C^\infty(\Omega\cup T)\cap W^{1,p}(\Omega)$ は $W^{1,p}(\Omega)$ において稠密である。

{{begin|proof}}
{{ref|type=thm|label=apx3}}の証明で、$v_i(\cdot+t_iy_i)$ の代わりに局所拡張作用素 $E_i\colon W^{1,p}(V_i\cap\Omega)\to W^{1,p}(V_i)$ をとって $\norm{w_i-E_iu}_{1,p;V_i}\lt 2^{-i}\delta$ をみたす $w_i\in C^\infty(V_i)\cap W^{1,p}(V_i)$ を用いればよい。
{{end|proof}}

同様にして $\Omega$ が有界な $C^{k-1,1}$ 領域のとき $W^{k,p}(\Omega)$ から $W^{k,p}(\R^n)$ への有界な拡張作用素を構成できる。

一方で、別の方法により $\Omega$ が有界なLipschitz領域のときに任意の $k\in\Zz$ と $p\in[1,\infty]$ について $W^{k,p}(\Omega)$ から $W^{k,p}(\R^n)$ へ有界となる拡張作用素 $E\colon L^1(\Omega)\to L^1(\R^n)$ を構成できる。

{{theorem|type=lem|label=kernel}}
次をみたす $h\colon[1,\infty)\to\R$ が存在する:任意の多項式関数 $P$ について
$$Ph\in L^1(1,\infty),\int_1^\infty Ph=P(0).$$

{{begin|proof}}
$\C\backslash[1,\infty)$ 上の正則関数 $f=f(z)$ を
$$\exp\left(-\exp\left(-\frac{\pi\sqrt{-1}}{4}\right)(z-1)^\frac{1}{4}\right)$$
の $\arg\left((z-1)^\frac{1}{4}\right)\in\left(0,\frac{\pi}{2}\right)$ なる枝により定める。$0\lt\delta\lt 1\lt R\lt\infty$ とし、$\C\backslash[1,\infty)$ 上のなめらかな曲線 $\gamma_i$、$i=1,2,3,4$ を
\begin{align*}
\gamma_1(t)&\colon=t+\delta\sqrt{-1}\ (t\in[1,R]),\\
\gamma_2(t)&\colon=(R^2+\delta^2)^\frac{1}{2}\exp\left(\sqrt{-1}t\right)\ \left(t\in\left[\arctan\frac{\delta}{R},2\pi-\arctan\frac{\delta}{R}\right]\right)\\
\gamma_3(t)&\colon=R-t+\delta\sqrt{-1}\ (t\in[0,R-1])\\
\gamma_4(t)&\colon=\delta\exp\left(\pi\sqrt{-1}\left(\frac{3}{2}-t\right)\right)\ (t\in[0,1])
\end{align*}
により定め、この順につないで得られる区分的になめらかな曲線を $\gamma$ とすると $\gamma$ は単純閉曲線となる。留数定理により多項式関数 $P$ について
$$\int_\gamma P(z)z^{-1}f(z)dz=\frac{2\pi\sqrt{-1}}{e}P(0).$$
ここで $\arg\left(\exp\left(-\frac{\pi\sqrt{-1}}{4}\right)(z-1)^\frac{1}{4}\right)\in\left(-\frac{\pi}{4},\frac{\pi}{4}\right)$ であるから
$$\left|\exp\left(-\frac{\pi\sqrt{-1}}{4}\right)(z-1)^\frac{1}{4}\right|\le\exp\left(-\frac{1}{\sqrt{2}}(|z|+1)^\frac{1}{4}\right)$$
となり
$$\left|\int_{\gamma_2}P(z)z^{-1}f(z)dz\right|\le 2\pi\sup_{|z|=(R^2+\delta^2)^\frac{1}{2}}|P(z)|\exp\left(-\frac{1}{\sqrt{2}}(R+1)^\frac{1}{4}\right)\to 0\ (R\to+\infty).$$
また $P(z)z^{-1}f(z)\to P(1)\ (z\to 1)$ より
$$\left|\int_{\gamma_4}P(z)z^{-1}f(z)dz\right|\to 0\ (\delta\to +0).$$
一方 $\lambda\in[1,\infty)$ について
\begin{align*}
&\quad\lim_{\delta\to+0}P(\lambda+\delta\sqrt{-1})(x+\delta\sqrt{-1})f(\lambda+\delta\sqrt{-1})-\lim_{\delta\to+0}P(\lambda-\delta\sqrt{-1})(\lambda-\delta\sqrt{-1})f(\lambda-\delta\sqrt{-1})\\
&=P(\lambda)\lambda^{-1}\left(\exp\left(-\exp\left(-\frac{\pi\sqrt{-1}}{4}\right)(\lambda-1)^\frac{1}{4}\right)-\exp\left(-\exp\left(\frac{\pi\sqrt{-1}}{4}\right)(\lambda-1)^\frac{1}{4}\right)\right)\\
&=2\sqrt{-1}P(\lambda)\lambda^{-1}\Im\left(\exp\left(-\exp\left(-\frac{\pi\sqrt{-1}}{4}\right)(\lambda-1)^\frac{1}{4}\right)\right).
\end{align*}
従って $R\to +\infty,\delta\to +0$ とすると
$$2\sqrt{-1}\int_1^\infty P(\lambda)\lambda^{-1}\Im\left(\exp\left(-\exp\left(-\frac{\pi\sqrt{-1}}{4}\right)(\lambda-1)^\frac{1}{4}\right)\right)d\lambda=\frac{2\pi\sqrt{-1}}{e}P(0)$$
となる。これより
$$ h(\lambda)=\frac{e}{\pi}\lambda^{-1}\Im\left(\exp\left(-\exp\left(-\frac{\pi\sqrt{-1}}{4}\right)(\lambda-1)^\frac{1}{4}\right)\right)$$
ととればよい。
{{end|proof}}

{{theorem|type=thm|name=$n=1$ の場合|label=extn1}}
$I\subsetneq\R$ を開区間とする。線型作用素 $E\colon L^1(I)+L^\infty(I)\to L^1(\R)+L^\infty(\R)$ であって次をみたすものが存在する:
* $u\in L^1(I)+L^\infty(I)$ について
$$Eu=u\ \inn I.$$
* 任意の $k\in\Zz$ と $p\in[1,\infty]$ について $E(W^{k,p}(I))\subset W^{k,p}(\R)$ で $u\in W^{k,p}(I)$ について
$$\norm{Eu}_{k,p;\R}\le C_{k,|I|}\norm{u}_{k,p;\Omega}.$$

{{begin|proof|display=''Proof.''|collapsible=1}}
$I$ が非有界の場合を示す。$I=(0,\infty)$ としてよい。

{{ref|type=lem|label=kernel}}の $h$ をとる。$u\in L^p(I)$ について積分形のMinkowskiの不等式により
$$\norm{\int_1^\infty u((1-2\lambda)\cdot)h(\lambda)d\lambda}_{p;(-\infty,0)}\le\int_1^\infty\norm{u((1-2\lambda)\cdot)}_{p;(-\infty,0)}|h(\lambda)|d\lambda\le\int_1^\infty\norm{u}_{p;I}|h(\lambda)|d\lambda\le C\norm{u}_{p;I}.$$
$u\in L^1(I)+L^\infty(I)$ について
$$Eu(x)\colon=\begin{cases}
u(x)&\colon x\in\overline{I}\\
\int_1^\infty u((1-2\lambda)\cdot)h(\lambda)d\lambda&\colon x\in(-\infty,0)
\end{cases}$$
と定める。上で示したことより $E\colon L^1(I)+L^\infty(I)\to L^1(\R)+L^\infty(\R)$ はwell-definedで、$L^p(\R)$ から $L^p(\R)$ へ連続である。

$u\in W^{1,p}(I)$ とすると{{ref|type=thm|label=1dim1}}より $-\infty\lt x\lt y\le 0$ について
\begin{align*}
Eu(x)&=\int_1^\infty\left(u(y)-\int_{(1-2\lambda)y}^{(1-2\lambda)x}u'(t)dt\right)h(\lambda)d\lambda\\
&=Eu(y)-\int_0^\infty\left((1-2\lambda)\int_x^y u'((1-2\lambda)s)ds\right)h(\lambda)d\lambda\\
&=Eu(y)-\int_x^0\left(\int_0^\infty u'((1-2\lambda)s)h(\lambda)d\lambda\right)ds\\
&=Eu(y)-\int_x^0 Eu'(s)ds.
\end{align*}
また
$$\lim_{x\to +0}Eu(x)=\int_1^\infty u(0)h(\lambda)d\lambda=u(0).$$
これより $-\infty\lt x\lt 0\le y\lt\infty$ についても
$$u(y)=u(0)+\int_0^y u'(t)dt=u(x)+\int_x^y Eu'(t)dt.$$
これより
$$Eu\in W^{1,p}(\R),(Eu)'=Eu',\norm{(Eu)'}_{p;\R}\le C\norm{u'}_p.$$
帰納法により任意の $k\in\Zp$ と $p\in[1,\infty]$ について $E$ は $W^{k,p}(I)$ から $W^{k,p}(\R)$ へ連続で $u\in W^{k,p}(I)$ について $(Eu)^{(k)}=Eu^{(k)}$ となる。

$I=(a,b)$ が有界な場合を示す。$\zeta\in C^\infty([a,b])$ を $a$ の近傍で $1$ かつ $b$ の近傍で $1$ となるようにとると $u\in W^{k,p}(I)$ について $\zeta u\in W^{k,p}(a,\infty)$、$(1-\zeta)u\in W^{k,p}(-\infty,b)$ となるので、拡張作用素 $E_{a+}\colon L^1(a,\infty)+L^\infty(a,\infty)\to L^1(\R)+L^\infty(\R)$ と $E_{b-}\colon L^1(-\infty,b)+L^\infty(-\infty,b)\to L^1(\R)+L^\infty(\R)$ をとって $Eu\colon=E_{a+}(\zeta u)+E_{b-}((1-\zeta)u)$ とすればよい。
{{end|proof}}

{{theorem|type=lem|label=regdis}}
$\gamma\in C^{0,1}_c(\R^{n-1})$ とし、$\Omega\colon=\{(x',x_n)\in\R^{n-1}\times\R\colon x_n\lt\gamma(x')\}$ とする。次をみたす $\delta\in C^\infty(\Omega)\cap C^{0,1}(\Ombar)$ が存在する:
* $$\sup_{\Omega}D_n\delta\lt 0.$$
* 任意の多重指数 $\alpha$ について
$$|D^\alpha\delta(x',x_n)|\le C_{\alpha,\gamma}(\gamma(x')-x_n)^{1-|\alpha|}\ \inn\Omega.$$

{{begin|proof|display=''Proof.''|collapsible=1}}
$M\colon=\left(1+[\gamma]_{0,1}^2\right)^\frac{1}{2}$、$t\colon=1+(16M)^{-1}$ とする。また $m\in\Z$ について $\Omega_m\colon=\{(x',x_n)\in\R^{n-1}\times\R\colon x_n-\gamma(x')\lt -t^m\}\subset\Omega$ とする。

$(x',x_n),(y',y_n)\in\Omega$ について
$$|(x_n-\gamma(x'))-(y_n-\gamma(y'))|^2\le([\gamma]_{0,1}|x'-y'|)^2+|x_n-y_n|^2\le M^2|(x',x_n)-(y',y_n)|$$
であるから $l\lt m$ について $\dist(\Omega_m,\pOm_l)\ge M^{-1}(t^m-t^l)$。

$\delta_m\colon=\eta_{(4M)^{-1}t^m}*\chi_{\Omega_m}$ とする。$N\in\Zp$ を $t^N\gt 2$ となるようにとると $\dist(\Omega_m,\pOm_{m-N})\gt (2M)^{-1}t^m$ となるので $\supp\delta_m\subset\Omega_{m-N}$。また $\dist(\Omega_{m+N},\pOm_m)\gt (2M)^{-1}t^{m+N}$ となるので $\delta_m=1$ in $\Omega_{m+N}$。とくに $\supp D\delta_m\subset\Omega\backslash\Ombar_{m+N}$ であり、$\{\supp D\delta_m\}_{m\in\Z}$ は局所有限である。また多重指数 $\alpha$ について $\norm{D^\alpha\delta_m}_\infty\le Ct^{-m|\alpha|}$。

一方
\begin{align*}
D_n\delta_m(x',x_n)&=\int_{\Omega_m}D_n\eta_{(4M)^{-1}t^m}(x'-y',x_n-y_n)dy\\
&=\int_{\R^{n-1}}\left(\int_{-\infty}^{\gamma(z')-t^m}D_n\eta_{(4M)^{-1}t^m}(x'-z',x_n-z_n)dz'\right)\\
&=-\int_{\R^{n-1}}\eta_{(4M)^{-1}t^m}(x'-y',x_n+t^m-\gamma(y'))dy'\le 0.
\end{align*}
また $(x',x_n)\in\Omega_m\backslash\Omega_{m+1}$ とすると $|x_n+t^m-\gamma(x')|\lt t^{m+1}-t^m=(16M)^{-1}t^m$ であるから、$y'\in\R^n$ を $|y'-x'|\lt(16M^2)^{-1}t^m$ となるようにとれば
$$|(x'-y',x_n+t^m-\gamma(y')|\le|(x'-y',\gamma(x')-\gamma(y'))|+|x_n+t^m-\gamma(x')|\lt M|x'-y'|+|x_n+t^m-\gamma(x')|\lt(8M)^{-1}t^m$$
となり
\begin{align*}
D_n\delta(x',x_n)&\le -\int_{\{y'\in\R^{n-1}\colon|y'-x'|\lt(16M^2)^{-1}t^m\}}\eta_{(4M)^{-1}t^m}(x'-y',x_n+t^m-\gamma(y'))dy'\\
&\le -\omega_{n-1}\left((16M^2)^{-1}t^m\right)^{n-1}\cdot\left((4M)^{-1}t^m\right)^{-n}\inf_{B_\frac{1}{2}(0)}\eta\\
&=-ct^{-m},c=c_{n,M}\gt 0.
\end{align*}
$$\delta\colon=\sum_{l\in\Z}t^l\delta_l$$
とする。$x=(x',x_n)\in\Omega_{m-1}\backslash\Omega_m$ とすると $l\ge m+N$ について $\supp\delta_l\subset\Omega_{l-N}\subset\Omega_m$ となるので $\delta_l(x)=0$。これより
$$\delta(x)=\sum_{l=-\infty}^{m+N-1}t^l\delta_l\le\sum_{l=-\infty}^{m+N-1}t^l\le(t-1)^{-1}t^{m+N}\le C(\gamma(x')-x_n).$$
また $\{\supp D\delta_m\}_{m\in\Z}$ は局所有限であったから $\delta\in C^\infty(\Omega)$。$x=(x',x_n)\in\Omega_{m-1}\backslash\Omega_m$ とすると $l\ge m+N$ について $\supp D\delta_l\subset\Omega_m$ で、$l\le m-N-1$ について $\supp\delta_l\cap\Omega_{m-1}=\emptyset$ となるのでこれらの場合 $D^\alpha\delta(x)=0$。これより多重指数 $\alpha\gt 0$ について
$$|D^\alpha\delta(x)|\le\sum_{l=m-N}^{m+N-1}t^l|D^\alpha\delta_l(x)|\le C\sum_{l=m-N}^{m+N-1}t^{l(1-|\alpha|)}\le C\left(2Nt^{(m-N)(1-|\alpha|)}\right)\le C(\gamma(x')-x_n)^{1-|\alpha|}.$$
とくに $D\delta$ は有界であり $\delta\in C^{0,1}(\Ombar)$ となる。

一方 $l\in\Z$ について $D_n\delta_l(x)\le 0$ で、$D_n\delta_m(x)\le -ct^{-m}$ であるから
$$D_n\delta(x)\le -c.$$
以上よりこの $\delta$ は条件をみたす。
{{end|proof}}

{{theorem|type=rmk}}
$|\delta(x)|\le C(\gamma(x')-x_n)$ より $\delta=0$ on $\pOm$ である。

{{theorem|type=thm|name=Steinの拡張作用素|label=stext}}
$\gamma\in C^{0,1}_c(\R^{n-1})$、$\Omega\colon=\{(x',x_n)\in\R^{n-1}\times\R\colon x_n\gt\gamma(x')\}$ とする。線型作用素 $E\colon L^1(\Omega)+L^\infty(\Omega)\to L^1(\R^n)+L^\infty(\R^n)$ であって次をみたすものが存在する:
* $u\in L^1(\Omega)+L^\infty(\Omega)$ について
$$Eu=u \inn\Omega.$$
* 任意の $k\in\Zz$ と $p\in[1,\infty]$ について $E(W^{k,p}(\Omega))\subset W^{k,p}(\R^n)$ で $u\in W^{k,p}(\Omega)$ について
$$\norm{D^kEu}_{p;\R^n}\le C_{k,\gamma}\norm{D^ku}_{p;\Omega}.$$

{{begin|proof}}
{{ref|type=lem|label=regdis}}の $\delta\in C^\infty(\R^n\backslash\Ombar)$ と{{ref|type=lem|label=kernel}} の $h$ をとり、$\displaystyle M\colon=-2\left(\sup_{\R^n\backslash\Ombar}D_n\delta\right)^{-1}$ とする。

$\lambda\ge 1$ について $\psi_\lambda\colon\R^n\backslash\Ombar\to\R^n$ を
$$\psi_\lambda(x',x_n)=(x',x_n+M\lambda\delta(x))$$
により定める。$x'\in\R^{n-1}$、$t\in(-\infty,\gamma(x'))$ について
$$\frac{\partial}{\partial t}(t+M\lambda\delta(x',t))=1+M\lambda D_n\delta(x',t)\le 1-2\lambda\lt 0.$$
また $\delta(x',\gamma(x'))=0$ より $\gamma(x')+M\lambda\delta(x',\gamma(x'))=\gamma(x')$ で
$$\psi_\lambda(x',t)=\gamma(x')-\int_t^{\gamma(x')}(1+M\lambda D_n\delta(x',s))ds\le\gamma(x')+(2\lambda-1)(\gamma(x')-t)\to +\infty\ (t\to-\infty).$$
よって $(-\infty,\gamma(x'))\to(\gamma(x'),+\infty),t\mapsto t+M\lambda\delta(x',t)$ は全単射である。これより $\psi_\lambda$ は $\R^n\backslash\Ombar$ から $\Omega$ への全単射で $|\det D\psi_\lambda|=|D_n\psi_\lambda|=2\lambda-1\ge 1$ となるので $p\in[1,\infty)$ と $u\in L^p(\Omega)$ について
$$\int_\Omega |u|^p=\int_{\R^n\backslash\Ombar}|u\circ\psi_\lambda|^p|D_n\psi_\lambda|\ge\int_{\R^n\backslash\Ombar}|u\circ\psi_\lambda|^p.$$
積分形のMinkowskiの不等式により $p\in[1,\infty]$ と $u\in L^p(\Omega)$ について
$$\norm{\int_1^\infty |(u\circ\psi_\lambda)h(\lambda)|d\lambda}_{p;\R^n\backslash\Omega}\le\int_1^\infty\norm{u\circ\psi_\lambda}_{p;\R^n\backslash\Omega}|h(\lambda)|d\lambda\le C\norm{u}_p.\tag{*}\label{stext1}$$

また $L(\psi_\lambda)\le 1+M\lambda[\delta]_{0,1}$ であるから $u\in C^{0,1}(\Ombar)$ とすると $x,y\in \R^n\backslash\Ombar$ について
$$\left|\int_0^1 u(\psi_\lambda(x))h(\lambda)d\lambda-\int_0^1 u(\psi_\lambda(y))h(\lambda)d\lambda\right|\le\int_0^1 (1+M\lambda[\delta]_{0,1})[u]_{0,1}|x-y||h(\lambda)|d\lambda\le C[u]_{0,1}|x-y|$$
となるので $\displaystyle \int_0^1(u\circ\psi_\lambda)h(\lambda)d\lambda\in C^{0,1}(\R^n\backslash\Omega)$。

また各 $\lambda\in[1,\infty)$ について $u\circ\psi_\lambda$ は a.e. in $\R^n\backslash\Ombar$ で微分可能であるから、Fubiniの定理よりa.e. $ x\in\R^n\backslash\Ombar$ について、a.e. $\lambda\in[1,\infty)$ に対し $u\circ\psi_\lambda$ は $x$ で微分可能である。またそのような $x\in\R^n\backslash\Ombar$ と $|k|$ が十分小さい $k\in\R\backslash\{0\}$ について
$$\left|\frac{u(\psi_\lambda(x+ke_i))-u_\lambda(x)}{k}h(\lambda)\right|\le(1+M\lambda[\delta]_{0,1})|h(\lambda)|$$
であるからLebesgueの収束定理より
\begin{align*}
D_i\left(\int_1^\infty(u\circ\psi_\lambda)h(\lambda)d\lambda\right)&=\int_1^\infty D_i(u\circ\psi_\lambda)h(\lambda)d\lambda\\
&=\int_1^\infty(D_iu\circ\psi_\lambda)h(\lambda)d\lambda+D_i\delta\int_1^\infty(D_nu\circ\psi_\lambda)h(\lambda)d\lambda.\tag{**}\label{stext2}
\end{align*}

また部分積分による帰納法により $u\in C^{k-1,1}(\Ombar)$、$x\in\R^n\backslash\Ombar$、$\lambda\ge 1$ について
$$u(\psi_\lambda(x))=\sum_{j=0}^{k-1}\frac{(M\delta(x))^j}{j!}D_n^ju(\psi_1(x))(\lambda-1)^j+\frac{(M\delta(x))^k}{(k-1)!}\int_1^\lambda (\lambda-\mu)^{k-1}D_n^ku(\psi_\mu(x))d\mu.$$
となるので $l\in\Zp$ について
\begin{align*}
\int_1^\infty \lambda^lu(\psi_\lambda(x))h(\lambda)d\lambda&=\int_1^\infty\left(\sum_{j=0}^{k-1}\frac{(M\delta(x))^j}{j!}D_n^ju(\psi_1(x))(\lambda-1)^j\lambda^l+\frac{(M\delta(x))^k}{(k-1)!}\int_1^\lambda (\lambda-\mu)^{k-1}\lambda^lD_n^ku(\psi_\mu(x))d\mu\right)h(\lambda)d\lambda\\
&=\frac{(M\delta(x))^k}{(k-1)!}\int_1^\infty\left(\int_1^\lambda (\lambda-\mu)^{k-1}\lambda^lD_n^ku(\psi_\mu(x))d\mu\right)h(\lambda)d\lambda.\tag{***}\label{stext3}
\end{align*}
積分形のMinkowskiの不等式と $\delta(x)\le C(\gamma(x')-x_n)$ より
\begin{align*}
&\quad\norm{(\gamma(x')-x_n)^{-k}\int_1^\infty \lambda^lu(\psi_\lambda(x))h(\lambda)d\lambda}_{p;(\R^n\backslash\Omega)_x}\\
&=\norm{(\gamma(x')-x_n)^{-k}\frac{(M\delta(x))^k}{(k-1)!}\int_1^\infty\left(\int_1^\lambda (\lambda-\mu)^{k-1}\lambda^lD_n^ku(\psi_\mu(x))d\mu\right)h(\lambda)d\lambda}_{p;(\R^n\backslash\Omega)_x}\\
&\le C\int_1^\infty\left(\int_1^\lambda\norm{D_n^ku\circ\psi_\mu}_{p;\R^n\backslash\Omega}(\lambda-\mu)^kd\mu\right)\lambda^l|h(\lambda)|d\lambda\\
&\le C\left(\int_1^\infty\left(\int_1^\lambda(\lambda-\mu)^kd\mu\right)\lambda^l|h(\lambda)|d\lambda\right)\norm{D_n^ku}_p\\
&=C\left(\int_1^\infty \frac{1}{(k+1)!}(\lambda-1)^{k+1}\lambda^l|h(\lambda)| d\lambda\right)\norm{D_n^ku}_p\\
&\le C\norm{D_n^ku}_p.\tag{****}\label{stext4}
\end{align*}
が成り立つ。<ref name="x">$\norm{}_{p;(\Omega)_x}$ は $x$ を変数と見做したときの $L^p(\Omega)$ におけるノルムを表す。</ref>

$u\in L^1(\Omega)\cap L^\infty(\Omega)$ について
$$Eu(x)\colon=\begin{cases}
u(x)&\colon x\in\Ombar\\
\int_1^\infty u(\psi_\lambda(x))h(\lambda)d\lambda &\colon x\in\R^n\backslash\Ombar
\end{cases}$$
と定める。(\ref{stext1})より $E$ はwell-definedで、$p\in[1,\infty]$ について $L^p(\Omega)$ から $L^p(\R^n)$ へ有界である。

$u\in C^{k-1,1}(\Ombar)=W^{k,\infty}(\Omega)$ とする。(\ref{stext2})と $k$ に関する帰納法により $Eu\in C^{k-1,1}(\R^n\backslash\Ombar)$ で多重指数 $|\alpha|\le k$ と $x\in\R^n\backslash\Ombar$ について $D^\alpha Eu(x)$ は
$$D^\alpha Eu(x)=\int_1^\infty D^\alpha u(\psi_\lambda(x)) h(\lambda)d\lambda+\sum_{0\lt\beta\le\alpha}\sum_{l=1}^{|\beta|}\sum_{\beta'_1+\ldots+\beta'_l=\beta}C_{\alpha,\beta'_1,\ldots,\beta'_l}\prod_{j=1}^lD^{\beta'_j}\delta(x)\int_1^\infty \lambda^lD^l_nD^{\alpha-\beta} u(\psi_\lambda(x)) h(\lambda)d\lambda$$
と表される。ここで $C_{\alpha,\beta'_1,\ldots,\beta'_l}$ は定数である。

(\ref{stext4})と $0\lt\beta\le\alpha$、$l=1,\ldots,|\beta|$ と $\beta'_1+\ldots+\beta'_l=\beta$ なる多重指数 $\beta'_1,\ldots\beta'_l$ について
$$\left|\prod_{j=1}^lD^{\beta'_j}\delta(x)\right|\le C(\gamma(x')-x_n)^{-(|\beta|-l)}$$
となることから
$$\norm{D^\alpha Eu}_{p;\R^n\backslash\Omega}\le C\norm{D^{|\alpha|}u}_p.$$
また $|\alpha|\le l-1$ とすると $x_0=(x_0',\gamma(x_0'))\in\pOm$ について $\psi_\lambda(x)\to x_0\ (x\to x_0)$ であるからLebesgueの収束定理より
$$\lim_{\substack{x\to x_0,\\x\in\R^n\backslash\Ombar}}\int_1^\infty D^\alpha u(\psi_\lambda(x)) h(\lambda)d\lambda=\int_1^\infty D^\alpha u(x_0) h(\lambda)d\lambda=u(x_0).$$
また $0\lt\beta\le\alpha$、$l=1,\ldots,|\beta|$ と $\beta'_1+\ldots+\beta'_l=\beta$ なる多重指数 $\beta'_1,\ldots\beta'_l$ について $\prod_{j=1}^lD^{\beta'_j}\delta(x)\delta(x)^{|\beta|-l}$ は有界で、Lebesgueの収束定理より
\begin{align*}
\lim_{\substack{x\to x_0,\\x\in\R^n\backslash\Ombar}}\int_1^\infty\left(\int_1^\lambda (\lambda-\mu)^{k-1}D^{|\beta|}_nD^{\alpha-\beta}u(\psi_\mu(x))d\mu\right)h(\lambda)d\lambda&=\int_1^\infty\left(\int_1^\lambda (\lambda-\mu)^{k-1}D^{|\beta|}_nD^{\alpha-\beta}u(x_0)d\mu\right)h(\lambda)d\lambda\\
&=\frac{1}{k}\left(\int_1^\infty(\lambda-1)^k\lambda^lh(\lambda)d\lambda\right)D^{|\beta|}_nD^{\alpha-\beta}u(x_0)=0
\end{align*}
であるから(\ref{stext4})とあわせて
$$\lim_{\substack{x\to x_0,\\x\in\R^n\backslash\Ombar}}\prod_{j=1}^lD^{\beta'_j}\delta(x)\int_1^\infty \lambda^lD^l_nD^{\alpha-\beta} u(\psi_\lambda(x)) h(\lambda)d\lambda=0.$$
従って $\displaystyle \lim_{\substack{x\to x_0,\\x\in\R^n\backslash\Ombar}}D^\alpha Eu(x)=D^\alpha u(x_0)$ となり $Eu\in C^{k-1}(\R^n)$。

また $x\in\Ombar$、$y\in\R^n\backslash\Ombar$ とすると $t\in[0,1]$ で $z\colon=(1-t)x+ty\in\pOm$ となるものが存在するので $|\alpha|=k-1$ とすると
$$|D^\alpha u(x)-D^\alpha Eu(y)|\le|D^\alpha u(x)-D^\alpha u(z)|+|D^\alpha u(z)-D^\alpha u(y)|\le \left((1-t)[D^\alpha u]_{0,1}+t[D^\alpha Eu]_{0,1}\right)|x-y|\le C\norm{D^ku}_{\infty}|x-y|.$$
よって $Eu\in C^{k-1,1}(\R^n)=W^{k,\infty}(\R^n)$ となる。

$p\in[1,\infty)$ について $W^{k,\infty}(\Omega)\cap W^{k,p}(\Omega)\subset W^{k,p}(\Omega)$ は稠密であり、$E$ は $L^p(\Omega)$ から $L^p(\R^n)$ へ有界であるから近似により
$$E(W^{k,p}(\Omega))\subset E^{k,p}(\R^n),\norm{D^kEu}_{p;\R^n}\le C\norm{D^ku}_{\Omega;\R^n}$$
も成り立つ。
{{end|proof}}

{{ref|type=thm|label=ext2}}と同様に次を得る:

{{theorem|type=thm|label=stext2}}
*(1) $T\subset\pOm$ をLipschitz境界部分とする。$T'\rcpt T$ について、$\OmT\subset\Omega_0$ をみたす開集合 $\Omega_0\subset\R^n$ と線型作用素 $E\colon L^1(\Omega)+L^\infty(\Omega)\to L^1(\Omega_0)+L^\infty(\Omega_0)$ であって $u\in L^1(\Omega)+L^\infty(\Omega)$ について $Eu=u$ in $\Omega$ をみたし、任意の $k\in\Zz$ と $p\in[1,\infty]$ について
$$E(W^{k,p}(\Omega))\subset W^{k,p}(\Omega),\norm{Eu}_{k,p;\Omega_0}\le C_{k,p}\norm{u}_{k,p;\Omega}\ (u\in W^{k,p}(\Omega))$$
をみたすものが存在する。また $\supp u\rcpt\OmT$ のとき $\supp Eu\rcpt\Omega_0$。
*(2) $T\subset\pOm$ を次をみたす相対開集合とする:
$$開集合D\subset\R^nと{\rm Lipschitz}境界部分S\subset\partial Dが存在し\Omega\subset D,T\rcpt S. \tag{$\diamondsuit'$}\label{D'}$$
このとき $\OmT\subset\Omega_0$ をみたす開集合 $\Omega_0\subset\R^n$ と線型作用素 $E\colon L^1(\Omega)+L^\infty(\Omega)\to L^1(\Omega_0)+L^\infty(\Omega_0)$ であって $u\in L^1(\Omega)+L^\infty(\Omega)$ について $Eu=u$ in $\Omega$ をみたし、任意の $k\in\Zz$ と $p\in[1,\infty]$ について
$$E(W^{k,p}_0(\Omega))\subset W^{k,p}_0(\Omega_0),\norm{Eu}_{k,p;\Omega_0}\le C_{k,p}\norm{u}_{k,p;\Omega}\ (u\in W^{k,p}(\Omega_0))$$
をみたすものが存在する。
*(3) $\Omega$ を有界な $C^{0,1}$ 領域とする。$D\subset\R^n$ を $\Omega\rcpt D$ なる開集合とすると線型作用素 $E\colon L^1(\Omega)\to L^1_c(D)$ であって $u\in L^1(\Omega)$ について $Eu=u$ in $\Omega$ をみたし、任意の $k\in\Zz$ と $p\in[1,\infty]$ について
$$E(W^{k,p}(\Omega))\subset W^{k,p}_c(D),\norm{Eu}_{k,p;D}\le C_{k,p}\norm{u}_{k,p;\Omega}\ (u\in W^{k,p}(\Omega))$$
をみたすものが存在する。

==Gagliardo-Nirenberg-Sobolevの不等式==
{{theorem|type=def|name=Sobolev共役指数|label=pstar}}
$p\in[1,n)$ について
$$p^*\colon=\frac{np}{n-p}$$
と定め、$p$ のSobolev共役指数という。$p^*$ は $p^{*-1}=p^{-1}-n^{-1}$ をみたす。

{{theorem|type=lem|label=GNSlem}}
$n\ge 2$ とする。$-\infty\le a_i\lt b_i\le +\infty\ (i=1,\ldots ,n)$ とし、$R\colon=(a_1,b_1)\times\ldots \times(a_n,b_n)$ とする。$f_1,\ldots ,f_n\in L^1(R)$ とすると
$$\int_{R}\left(\prod_{i=1}^n\int_{a_i}^{x_i}|f_i(x_1,\ldots ,x_{i-1},t,x_{i+1},\ldots ,x_n)|dt\right)^\frac{1}{n-1}dx_1\ldots dx_n\le\prod_{i=1}^n\norm{f_i}_{1;R}^\frac{1}{n-1}.$$

{{begin|proof|display=''Proof.''|collapsible=1}}
$n$ に関する帰納法により示す。

$n=2$ の場合を示す。$f_1,f_2\in L^1(R)$ とすると
\begin{align*}
\int_{R}\left(\int_{a_1}^{x_1}|f_1(t,x_2)|dt\right)\left(\int_{a_2}^{x_2}|f_2(x_1,t)|dt\right)dx_1dx_2&\le\int_{R}\left(\int_{a_1}^{b_1}|f_1(t,x_2)|dt\right)\left(\int_{a_2}^{b_2}|f_2(x_1,t)|dt\right)dx_1dx_2\\
&=\left(\int_{a_2}^{b_2}\left(\int_{a_1}^{b_1}|f_1(t,x_2)|dt\right)dx_2\right)\left(\int_{a_1}^{b_1}\left(\int_{a_2}^{b_2}|f_1(x_1,t)|dt\right)dx_1\right)\\
&\le\norm{f_1}_1\norm{f_2}_1
\end{align*}
となり主張が成り立つ。

ある $n$ について主張が成り立ったとし、$-\infty\le a_i\lt b_i\le +\infty\ (i=1,\ldots ,n+1)$ 、$R\colon=(a_1,b_1)\times\ldots \times(a_{n+1},b_{n+1})$、$f_1,\ldots ,f_{n+1}\in L^1(R)$ とする。また $R'\colon=(a_1,b_1)\times\ldots\times(a_n,b_n)$ とする。$i=1,\ldots ,n+1$ について
$$g_i(x')\colon=\int_{a_i}^{b_i}|f_i(x',t)|dt\ (x'\in R')$$
とすると $g_i\in L^1(R')$、$\norm{g_i}_{1;R'}=\norm{f_i}_{1;R}$。
\begin{align*}
&\quad \int_R\left(\prod_{i=1}^{n+1}\int_{a_i}^{x_i}|f_i(x_1,\ldots ,x_{i-1},t,x_{i+1},\ldots ,x_{n+1})|dt\right)^\frac{1}{n}dx_1\ldots dx_{n+1}\\
&\le\int_{R'}\left(\int_{a_{n+1}}^{b_{n+1}}\left(\prod_{i=1}^n\int_{a_i}^{x_i}|f_i(x_1,\ldots ,x_{i-1},t,x_{i+1},\ldots ,x_{n+1})|dt\right)^\frac{1}{n}dx_{n+1}\right)\left(\int_{a_{n+1}}^{b_{n+1}}|f_{n+1}(x_1,\ldots ,x_n,t)|dt\right)^\frac{1}{n}dx_1\ldots dx_n\\
&\le\left(\int_{R'}\left(\int_{a_{n+1}}^{b_{n+1}}\left(\prod_{i=1}^n\int_{a_i}^{x_i}|f_i(x_1,\ldots ,x_{i-1},t,x_{i+1},\ldots ,x_{n+1})|dt\right)^\frac{1}{n}dx_{n+1}\right)^\frac{n}{n-1}dx_1\ldots dx_n\right)^\frac{n-1}{n}\left(\int_{R'}|g(x',t)|dx'\right)^\frac{1}{n}\\
&\le\left(\int_{R'}\prod_{i=1}^n\left(\int_{a_{n+1}}^{b_{n+1}}\left(\int_{a_i}^{x_i}|f_i(x_1,\ldots ,x_{i-1},t,x_{i+1},\ldots ,x_{n+1})|dt\right)dx_{n+1}\right)^\frac{1}{n-1}dx_1\ldots dx_n\right)^\frac{n-1}{n}\norm{f_{n+1}}_1^\frac{1}{n}\\
&=\left(\int_{R'}\prod_{i=1}^n\left(\int_{a_i}^{x_i}g_i(x_1,\ldots ,x_{i-1},t,x_{i+1},\ldots ,x_n)dt\right)^\frac{1}{n-1}dx_1\ldots dx_n\right)^\frac{n-1}{n}\norm{f_{n+1}}_1^\frac{1}{n}\\
&\le\prod_{i=1}^n\norm{g_i}_1^\frac{1}{n}\norm{f_{n+1}}_1^\frac{1}{n}\\
&=\prod_{i=1}^{n+1}\norm{f_i}_1^\frac{1}{n+1}
\end{align*}
となる。これより主張が成り立つ。
{{end|proof}}

{{theorem|type=thm|name=Gagliardo-Nirenberg-Sobolevの不等式|label=GNS}}
$p\in[1,n)$ とすると $W^{1,p}(\R^n)\subset L^{p^*}(\R^n)$ で $u\in W^{1,p}(\R^n)$ について
$$\norm{u}_{p^*;\R^n}\le C_{n,p}\norm{Du}_{p;\R^n}.$$
{{theorem|type=rmk}}
任意の $u\in W^{1,p}(\R^n)$ について $\norm{u}_{p^*}\le C\norm{Du}_p$ となる定数 $C=C_{n,p}$ が存在しうる $p^*$ は $p^*=\frac{np}{n-p}$ に限られる。実際 $u\in C^\infty_c(\R^n)\backslash\{0\}$ と $\lambda\gt 0$ について $u_\lambda(x)\colon=u(\lambda x)$ として $u_\lambda\in C^\infty_c(\R^n)$ を定めると、積分の変数変換により $\norm{u_\lambda}_{p^*}=\lambda^{-\frac{n}{p^*}}\norm{u}_p$ となり、また $Du_\lambda(x)=\lambda Du(\lambda x)$ に注意すると $\norm{Du_\lambda}_{p}=\lambda^{1-\frac{n}{p}}\norm{Du}_p$ となるので $\frac{\norm{u_\lambda}_{p^*}}{\norm{Du_\lambda}_p}$ が有界となるには $-\frac{n}{p^*}=1-\frac{n}{p}$ が必要であるが、これをみたす $p^*$ は $p^*=\frac{np}{n-p}$ のみである。

{{begin|proof|display=''Proof.''|collapsible=1}}
$u\in C^\infty_c(\R^n)$ について $\norm{u}_{p^*;\R^n}\le C_{n,p}\norm{Du}_{p;\R^n}$ を示す。

$p=1$ の場合を示す。$i=1,\ldots ,n$ と $(x_1,\ldots ,x_n)\in\R^n$ について
$$|u(x_1,\ldots ,x_n)|\le\int_{-\infty}^{x_i}|D_iu(x_1,\ldots ,x_{i-1},t,x_{i+1},\ldots ,x_n)|dt$$
であるから
$$|u(x_1,\ldots ,x_n)|\le\prod_{i=1}^n\left(\int_{-\infty}^{x_i}|D_iu(x_1,\ldots ,x_{i-1},t,x_{i+1},\ldots ,x_n)|dt\right)^\frac{1}{n}.$$
{{ref|type=lem|label=GNSlem}}より
\begin{align*}
\int_{\R^n}|u|^{1^*}&\le\int_{\R^n}\prod_{i=1}^n\left(\int_{-\infty}^{x_i}|D_iu(x_1,\ldots ,x_{i-1},t,x_{i+1},\ldots ,x_n)|dt\right)^\frac{1}{n-1}dx_1\ldots dx_n\\
&\le\prod_{i=1}^n\norm{D_iu}_1^\frac{1}{n-1}\\
&\le\norm{Du}_1^{1^*}
\end{align*}
となり $\norm{u}_{1^*}\le\norm{Du}_1$ が成り立つ。

$p\in(1,n)$ の場合を示す。$t\in(1,\infty)$ として $v\colon=|u|^t$ とすると $v\in C^1_c(\R^n)$、$D_iv=t|u|^{t-1}\sgn uD_iu$。$p=1$ の場合より
$$\left(\int_\Omega |u|^{\frac{n}{n-1}t}\right)^\frac{n-1}{n}\le\int_\Omega t|u|^{t-1}|Du|\le t\left(\int_\Omega|u|^{\frac{p}{p-1}(t-1)}\right)^\frac{p-1}{p}\norm{Du}_p.$$
ここで $t=\frac{(n-1)p}{n-p}$ とすると $\frac{n}{n-1}t=\frac{p}{p-1}(t-1)=\frac{np}{n-p}$ となり
$$\left(\int_\Omega |u|^{p^*}\right)^\frac{n}{n-1}\le \frac{(n-1)p}{n-p}\left(\int_\Omega|u|^{p^*}\right)^\frac{p}{p-1}\norm{Du}_p.$$
これより $\norm{u}_{p^*}=\left(\int_\Omega |u|^{p^*}\right)^{\frac{n-1}{n}-\frac{p-1}{p}}\le\frac{(n-1)p}{n-p}\norm{Du}_p$ が従う。

$u\in W^{1,p}(\R^n)$ とし、$u_m\in C^\infty_c(\R^n)$、$\norm{u_m-u}_{1,p}\to 0\ (m\to\infty)$ とする。部分列に移って $u_m\to u $ a.e. in $\R^n$ としてよい。Fatouの補題より
$$\norm{u}_{p^*}\le\liminf_{m\to\infty}\norm{u}_{p^*}\le C\liminf_{m\to\infty}\norm{Du_m}_p=C\norm{Du}_p.$$
{{end|proof}}

{{theorem|type=ex}}
$C_{n,p}=\frac{(n-1)p}{n-p}$ はGagliardo-Nirenberg-Sobolevの不等式の最良定数(すなわちこの不等式が任意の $u\in W^{1,p}(\R^n)$ について成り立つ最小の $C_{n,p}$)ではない。Gagliardo-Nirenberg-Sobolevの不等式の最良定数は
$$C_{n,p}=n^{-\frac{1}{p}}\pi^{-\frac{1}{2}}\left(\frac{p-1}{n-p}\right)^{1-\frac{1}{p}}\left(\frac{\Gamma(1+\frac{n}{2})\Gamma(n)}{\Gamma(\frac{n}{p})\Gamma(1+n-\frac{n}{p})}\right)^\frac{1}{n}$$
で与えられ、
$$u(x)=(a+b|x|^\frac{p}{p-1})^{1-\frac{n}{p}}$$
とすると $\norm{u}_{p^*;\R^n}=C_{n,p}\norm{Du}_{p;\R^n}$ が成り立つことが知られている。ここで $a,b$ は正の定数であり、$\Gamma$ は $\Gamma$ 関数である。$u$ はTalentiの関数と呼ばれる。

{{theorem|type=cor|label=locGNS}}
$p\in[1,n)$ について $W^{1,p}_{\loc}(\Omega)\subset L^{p^*}_{\loc}(\Omega)$。

{{begin|proof|display=''Proof.''|collapsible=1}}
$u\in W^{1,p}_\loc(\Omega)$、$\Omega'\rcpt\Omega$ とし、$\zeta\in C^\infty_c(\Omega)$ で $\zeta=1$ in $\Omega'$ となるものをとると $\zeta u\in W^{1,p}_0(\Omega)\subset L^{p^*}(\Omega)$。これより $u\in L^{p^*}(\Omega')$。
{{end|proof}}

$W^{1,p}(\Omega)\subset L^{p^*}(\Omega)$ を示すには $\pOm$ に条件が必要である:

{{theorem|type=cor|label=gGNS}}
$p\in[1,n)$ について次が成り立つ:
*(1) $T\subset\pOm$ が(\ref{D})をみたす相対開集合のとき $W^{1,p}_0(\OmT)\subset L^{p^*}(\Omega)$ で $u\in W^{1,p}_0(\OmT)$ について
$$\norm{u}_{p^*;\Omega}\le C_{p,\Omega,T}\norm{u}_{1,p;\Omega}.$$
*(2) $\Omega$ が有界な $C^{0,1}$ 領域のとき $W^{1,p}(\Omega)\subset L^{p^*}(\Omega)$ で $u\in W^{1,p}(\Omega)$ について
$$\norm{u}_{p^*;\Omega}\le C_{p,\Omega}\norm{u}_{1,p;\Omega}.$$

{{begin|proof|display=''Proof.''|collapsible=1}}
(1)は $E\colon W^{1,p}_0(\OmT)\to W^{1,p}(\R^n)$ を拡張作用素とすれば $u\in W^{1,p}_0(\OmT)$ について
$$\norm{u}_{p^*}\le\norm{Eu}_{p^*}\le C\norm{DEu}_{p}\le C\norm{Eu}_{1,p}\le C\norm{u}_p.$$
(2)も同様。
{{end|proof}}

{{theorem|type=cor|name=$p=n$ の場合|label=pn}}
$|\Omega|\lt\infty$ のとき任意の $q\in[1,\infty)$ について $W^{1,n}_0(\Omega)\subset L^q(\Omega)$ で $u\in W^{1,n}_0(\Omega)$ について
$$\norm{u}_{q;\Omega}\le C_{n,q}|\Omega|^{q^{-1}}\norm{Du}_{n;\Omega}.$$

{{begin|proof|display=''Proof.''|collapsible=1}}
$q\ge 1^*$ の場合を示せば十分。{{ref|type=thm|label=GNS}}より
$$\norm{u}_q\le C\norm{Du}_\frac{nq}{n+q}\le C|\Omega|^{q^{-1}}\norm{Du}_n.$$
{{end|proof}}

{{theorem|type=cor|label=gpn}}
*(1) $q\in[n,\infty)$ について $W^{1,n}_{\loc}(\Omega)\subset L^q_{\loc}(\Omega)$。
*(2) $|\Omega|\lt\infty$ で $T\subset\pOm$ が $T\subset\pOm$ を(\ref{D})をみたす相対開集合のとき任意の $q\in[n,\infty)$ について $W^{1,n}_0(\OmT)\subset L^q(\Omega)$ で $u\in W^{1,p}_0(\OmT)$ について
$$\norm{u}_{q;\Omega}\le C_{q,\Omega,T}\norm{u}_{n;\Omega}.$$
*(3) $\Omega$ を有界な $C^{0,1}$ 領域とすると任意の $q\in[n,\infty)$ について $W^{1,n}(\Omega)\subset L^q(\Omega)$ で $u\in W^{1,p}(\Omega)$ について
$$\norm{u}_{q;\Omega}\le C_{q,\Omega}\norm{u}_{n;\Omega}.$$
{{theorem|type=rmk}}
$n=1$ の場合は{{ref|type=thm|label=dim1mor}}より $W^{1,1}(I)\subset L^\infty(I)$ であるが、$n\ge 2$ の場合は $W^{1,n}(\Omega)\subset L^\infty(\Omega)$ は成り立たない。

たとえば $\Omega=B_1(0)$ とし、
$$u(x)=(-\log|x|)^\alpha,\alpha\in (0,1-n^{-1})$$
とすると、任意の $q\in[1,\infty)$ について $u\in L^q(\Omega)$ で、$x\in\Omega\backslash\{0\}$ について
$$Du(x)=\alpha|x|^{-2}(-\log|x|)^{\alpha-1}x$$
が各点の意味で成り立ち、$n(\alpha-1)\lt -1$ より
$$\int_\Omega |Du|^n=n\omega_n\int_0^1 r^{-n+(n-1)}(-\log r)^{n(\alpha-1)}dr\lt\infty.$$
また $\varphi\in C^\infty_c(\Omega)$ と $r\in(0,1)$ について
$$\int_{\Omega\backslash\Bb_r(0)}uD_i\varphi=-\int_{\Omega\backslash\Bb_r(0)}D_iu\varphi-\int_{\partial\Bb_r(0)}(-\log|x|)^\alpha\varphi(x)\frac{x_i}{r}d\H^{n-1}(x),$$
$$\left|\int_{\partial\Bb_r(0)}(-\log|x|)^\alpha\varphi(x)\frac{x_i}{r}d\H^{n-1}(x)\right|\le \norm{\varphi}_\infty(-\log r)^\alpha\cdot n\omega_n r^{n-1}\to 0\ (r\to 0)$$
より $u$ は弱微分をもち、各点微分と一致する。これより $u\in W^{1,n}(\Omega)$。一方、明らかに $u\notin L^\infty(\Omega)$ である。
==Rieszポテンシャル==
$p\in(n,\infty)$ の場合を扱う準備として、次のRieszポテンシャルを定義する:

{{theorem|type=def|name=Rieszポテンシャル|label=riep}}
$\mu\in(0,1]$ とする。$\L^n$ -可測関数 $f\colon\Omega\to\R$ について合成積 $|\cdot|^{-n(1-\mu)}*f$ がある開集合上で定義されるときこれを $V_\mu f$ とかきRieszポテンシャルという。

{{theorem|type=pro|label=riep1}}
$|\Omega|\lt\infty$、$p\in[1,\infty]$、$\mu\in(0,1]$ とする。$f\in L^p(\Omega)$ とすると $V_\mu f$ は $\Omega$ 上で定義され次が成り立つ:
*(1) $q\in[p,\infty]$ が $\delta\colon=p^{-1}-q^{-1}\lt\mu$ をみたすとすると
$$V_\mu f\in L^q(\Omega),\norm{V_\mu f}_{q;\Omega}\le\left(\frac{1-\delta}{\mu-\delta}\right)^{1-\delta}\omega_n^{1-\mu}|\Omega|^{\mu-\delta}\norm{f}_{p;\Omega}.$$
*(2) $p\in[1,\infty)$、$\mu=p^{-1}$、$f\not\equiv 0$ のとき、$\alpha\gt 0$ について
$$\int_\Omega\exp\left(\left(\frac{|V_{p^{-1}} f|}{C_{n,p,\alpha}\norm{f}_{p,\Omega}}\right)^{p'}\right)\le (1+\alpha)|\Omega|.$$

{{begin|proof|display=''Proof.''|collapsible=1}}
(1)を示す。$h\colon=|\cdot|^{-n(1-\mu)}$、$r\colon=(q^{-1}-p^{-1}+1)^{-1}=(1-\delta)^{-1}$ とする。
$$\norm{h}_{r;\Omega}\le\left(\frac{1-\delta}{\mu-\delta}\right)^{1-\delta}\omega_n^{1-\mu}|\Omega|^{\mu-\delta}\tag{*}\label{riep}$$
を示す。

$R\colon=(\omega_n^{-1}|\Omega|)^{n^{-1}}$ とする。$|\Omega|=\omega_nR^n=|B_R(0)|$ であるから $|\Omega\backslash B_R(0)|=|B_R(0)\backslash\Omega|$ で
$$\int_{\Omega}h^r\le R^{-n(1-\mu)}|\Omega\backslash B_R(0)|+\int_{B_R(0)\cap\Omega}h^r=R^{-n(1-\mu)}|B_R(0)\backslash\Omega|+\int_{B_R(0)\cap\Omega}h^r\le\int_{B_R(0)}h^r.$$
$1-(1-\mu)r=1-\frac{1-\mu}{1-\delta}=\frac{\mu-\delta}{1-\delta}\gt 0$ に注意すると
$$\int_\Omega h^r\le\int_{B_R(0)}h^r=n\omega_n\int_0^R t^{n-n(1-\mu)r-1}dx=\frac{1-\delta}{\mu-\delta}\omega_nR^{n-n(1-\mu)r}=\frac{1-\delta}{\mu-\delta}\omega_n^{(1-\mu)r}|\Omega|^{(\mu-\delta)r}$$
となり(\ref{riep})が従う。

$x,y\in\Omega$ について(\ref{riep})より
\begin{align*}
\norm{h(x-\cdot)}_{r;\Omega}&=\norm{h}_{r;x-\Omega}\le\left(\frac{1-\delta}{\mu-\delta}\right)^{1-\delta}\omega_n^{1-\mu}|\Omega|^{\mu-\delta},\\
\norm{h(\cdot-y)}_{r;\Omega}&=\norm{h}_{r;\Omega-y}\le\left(\frac{1-\delta}{\mu-\delta}\right)^{1-\delta}\omega_n^{1-\mu}|\Omega|^{\mu-\delta}.
\end{align*}
$q^{-1}=p^{-1}+r^{-1}-1$ であるからYoungの不等式より $V_\mu f$ は $\Omega$ 上で定義され
$$V_\mu f\in L^q(\Omega),\norm{V_\mu f}_q\le\left(\frac{1-\delta}{\mu-\delta}\right)^{1-\delta}\omega_n^{1-\mu}|\Omega|^{\mu-\delta}\norm{f}_p$$
が成り立つ。

(2)を示す。$\mu=p^{-1}$ のときは任意の $q\in[p,\infty)$ が $p^{-1}-q^{-1}\lt\mu$ をみたす。

$N\colon=\lceil p-1\rceil$ とする。$m\in\Z$、$m\ge N$ とすると $mp'\ge p$ となり、$q=mp'$ として(1)を用いると $\delta=p^{-1}-(mp')^{-1}=1-(1+m^{-1})p'^{-1}$ より
$$\int_\Omega|V_{p^{-1}}f|^{mp'}\le\left((m+1)^{(1+m^{-1})p'^{-1}}\omega_n^{p'^{-1}}|\Omega|^{(mp')^{-1}}\norm{f}_p\right)^{mp'}=(m+1)^{m+1}\omega_n^m|\Omega|\norm{f}_p^{mp'}.$$
$m=1,\ldots ,N-1$ については
$$\int_\Omega|V_{p^{-1}}f|^{mp'}\le|\Omega|^{1-\frac{m}{N}}\left(\int_\Omega|V_{p^{-1}}f|^{Np'}\right)^\frac{m}{N}\le N^m\omega_n^m|\Omega|\norm{f}_p^{mp'}.$$
$m!=O(m^{m+\frac{1}{2}}e^{-m})$ に注意すると $m\in\Zp$ について
$$\int_\Omega|V_{p^{-1}}f|^{mp'}\le C(m+1)^{-\frac{1}{2}}e^{-m}(m+1)!|\Omega|.$$
これより $M\gt (e\omega_n)^{p'^{-1}}$ について
\begin{align*}
\int_\Omega\exp\left(\left(\frac{|V_{p^{-1}}f|}{M\norm{f}_p}\right)^{p'}\right)&=|\Omega|+\sum_{m=1}^\infty\frac{1}{m!(M\norm{f}_p)^{mp'}}\int_\Omega|V_{p^{-1}}f|^{mp'}\\
&\le\left(1+C\sum_{m=1}^\infty\frac{(m+1)^\frac{1}{2}e^{m+1}\omega_n^m}{M^m}\right)|\Omega|.
\end{align*}
$\displaystyle \sum_{m=1}^\infty\frac{(m+1)^\frac{1}{2}e^{m+1}}{M^m}\to 0 (M\to\infty)$ であるから十分大きな $C=C_{n,p,\alpha}$ をとれば
$$\int_\Omega\exp\left(\left(\frac{|V_{p^{-1}}f|}{C\norm{f}_p}\right)^{p'}\right)\le(1+\alpha)|\Omega|.$$
{{end|proof}}

$\mu=\delta$ の場合は次の結果が重要である:

{{theorem|type=thm|name=Hardy-Littlewood-Sobolevの不等式|label=HLS}}
$p\in[1,\mu^{-1})$ とし、$f\in L^p(\R^n)$ とすると $V_\mu f$ は $\R^n$ 上で定義され、$q\colon=\frac{p}{1-\mu p}$ とすると次が成り立つ:
*(1) $p=1$ のとき
$$V_\mu f\in L^{q,w}(\R^n),[V_\mu f]_{q;\R^n}\le C_{n,\mu}\norm{f}_{1;\R^n}.$$
( $L^{q,w}$ と $[\cdot]_q$ の定義は[[Marcinkiewiczの補間定理]]を参照。)
*(2) $p\in(1,\mu^{-1})$ のとき
$$V_\mu f\in L^q(\R^n),\norm{V_\mu f}_{q;\R^n}\le C_{n,p,\mu}\norm{f}_{p;\R^n}.$$

{{begin|proof|display=''Proof.''|collapsible=1}}
$R\gt 0$ とし、$h_1\colon=|\cdot|^{-n(1-\mu)}\chi_{B_R(0)}$、$h_2\colon=|\cdot|^{-n(1-\mu)}\chi_{\R^n\backslash B_R(0)}$ とする。
$$\norm{h_1}_1=n\omega_n\int_0^R t^{n\mu-1}dt=\mu^{-1}\omega_nR^{n\mu}$$
であるからYoungの不等式より
$$h_1*f\in L^p(\R^n),\norm{h_1*f}_p\le CR^{n\mu}\norm{f}_p.$$
また $p'\colon=\frac{p}{p-1}$ とすると $((1-\mu)p'-1)^{-1}=p'((1-\mu)-(1-p^{-1}))^{-1}=p'q^{-1}$
$$\norm{h_2}_{p'}^{p'}=n\omega_n\int_R^\infty t^{n-n(1-\mu)p'-1}dt=p'q^{-1}\omega_nR^{-np'q^{-1}}$$
であるからHölderの不等式より
$$h_2*f\in L^\infty(\R^n),\norm{h_2*f}_\infty\le KR^{-nq^{-1}}\norm{f}_p,K\colon=(p'q^{-1}\omega_n)^{1-p^{-1}}.$$
よって $V_\mu f=h_1*f+h_2*f$ は $\R^n$ 上で定義される。

$t\gt 0$ とする。$R=(2K\norm{f}_pt^{-1})^{n^{-1}q}$ ととれば $\norm{h_2*f}_\infty\le\frac{t}{2}$ となり
$$\left|\left\{|h_2*f|\gt\frac{t}{2}\right\}\right|=0.$$
また $\mu pq+p=q(\mu p+p(p^{-1}-\mu))=q$ に注意すると
$$\left|\left\{|h_1*f|\gt\frac{t}{2}\right\}\right|=(\norm{h_1*f}_pt^{-1})^p\le C(R^{n\mu}\norm{f}_pt^{-1})^p=C(\norm{f}_pt^{-1})^{\mu pq+p}=C(\norm{f}_pt^{-1})^q.$$
$|V_\mu f|\gt t\implies|h_1*f|\gt\frac{t}{2}$ or $|h_2*f|\gt\frac{t}{2}$ より
$$|\{|V_\mu f|\gt t\}|\le\left|\left\{|h_1*f|\gt\frac{t}{2}\right\}\right|+\left|\left\{|h_2*f|\gt\frac{t}{2}\right\}\right|\le C(\norm{f}_pt^{-1})^q.$$
従って
$$V_\mu f\in L^{q,w}(\R^n),[V_\mu f]_q\le C\norm{f}_p.\tag{*}\label{HLS}$$
(1)はこれで示された。

(2)を示す。$p_0,p_1$ を $1\le p_0\lt p\lt p_1\lt\mu^{-1}$ となるようにとり、$q_i\colon=\frac{p_i}{1-\mu p_i}\ (i=0,1)$ とする。$\theta\in(0,1)$ を $p^{-1}=(1-\theta)p_0^{-1}+\theta p_1^{-1}$ となるようにとると
$$q^{-1}=p^{-1}-\mu=(1-\theta)(p_0^{-1}-\mu)+\theta(p_1^{-1}-\mu)=(1-\theta)q_0^{-1}+\theta q_1^{-1}.$$
(\ref{HLS})と[[Marcinkiewiczの補間定理]]より(2)が従う。
{{end|proof}}

{{theorem|type=pro|name=Rieszポテンシャルと微分の関係|label=riep2}}
*(1) $k=1,\ldots,n$ とする。$u\in C^\infty_c(\R^n)$ とすると $x\in\R^n$ について
$$u(x)=\frac{1}{(k-1)!n\omega_n}\int_{\R^n}\sum_{|\alpha|=k}|x-y|^{-n}(x-y)^\alpha D^\alpha u(y)dy.$$
とくに $u\in W^{k,1}(\Omega)$ について
$$|u|\le\frac{1}{(k-1)!n\omega_n}V_\frac{k}{n}|D^ku|.$$
*(2) $\Omega$ は凸であるとし、$S\subset\Omega$ は有界かつ $|S|\gt 0$ をみたすとする。$u\in W^{1,1}(\Omega)$ とすると
$$|u-u_S|\le\frac{(\diam\Omega)^n}{n|S|}|V_{n^{-1}}u|\ \inn\Omega.$$
ここで
$$u_S\colon=\frac{1}{|S|}\int_S u.$$

{{begin|proof|display=''Proof.''|collapsible=1}}
(1)を示す。$z\in\partial B_1(0)$ とする。十分大きい $t\gt 0$ について $u(x+tz)=0$ となることに注意すると部分積分による $k$ に関する帰納法により
$$u(x)=\frac{1}{(k-1)!}\int_0^\infty t^{k-1}D^k_z u(x+tz)dt=\frac{(-1)^k}{(k-1)!}\int_0^\infty\sum_{|\alpha|=k}t^{k-1}z^\alpha D^\alpha u(x+tz)dt.$$
よって
\begin{align*}
u(x)&=\frac{(-1)^k}{(k-1)!n\omega_n}\int_{\partial B_1(0)}\left(\int_0^\infty \sum_{|\alpha|=k}t^{k-1}z^\alpha D^\alpha u(x+tz)dt\right)d\H^{n-1}(z)\\
&=\frac{1}{(k-1)!n\omega_n}\int_0^\infty\left(\int_{B_t(x)} \sum_{|\alpha|=k}t^{k-n}(t^{-1}(x-y))^\alpha D^\alpha u(y)d\H^{n-1}(y)\right)dt\\
&=\frac{1}{(k-1)!n\omega_n}\int_{\R^n} \sum_{|\alpha|=k}|x-y|^{-n}(x-y)^\alpha D^\alpha u(y)dy.
\end{align*}

(2)を示す。$x,z\in\Omega$ とすると
$$u(x)-u(z)=\int_0^1 Du(tx+(1-t)z)\cdot(x-z)dt.$$
$z\in S$ について積分すると
$$u(x)-u_S=\frac{1}{|S|}\int_S\left(\int_0^1 Du((1-t)x+tz)\cdot(x-z)dt\right)dz.$$
$t\in[0,1]$ について $x\in (1-t)x+t\Omega$、$\diam((1-t)x+t\Omega)=t\diam\Omega$ より $y\in\Omega$ について $y\in(1-t)x+t\Omega\implies |x-y|\le t\diam\Omega$ となることに注意すると
\begin{align*}
|u(x)-u_S|&\le\frac{1}{|S|}\int_S\left(\int_0^1 |Du((1-t)x+tz)||x-z|dt\right)dz\\
&=\frac{1}{|S|}\int_0^1\left(\int_{(1-t)x+tS} t^{-n}|Du(y)|t^{-1}|x-y|dy\right)dt\\
&=\frac{1}{|S|}\int_\Omega\left(\int_{\{t\in[0,1]\colon y\in(1-t)x+tS\}}t^{-n-1}|x-y||Du(y)|dt\right)dy\\
&\le\frac{1}{|S|}\int_\Omega\left(\int_{\{t\in[0,1]\colon y\in(1-t)x+t\Omega\}}t^{-n-1}|x-y||Du(y)|dt\right)dy\\
&\le\frac{1}{|S|}\int_\Omega\left(\int_\frac{|x-y|}{\diam\Omega}^\infty t^{-n-1}|x-y||Du(y)|dt\right)dy\\
&=\frac{(\diam\Omega)^n}{n|S|}\int_\Omega|x-y|^{1-n}|Du(y)|dt.
\end{align*}
{{end|proof}}

{{theorem|type=ex}}
$p\in(1,n)$ の場合は(1)とHardy-Littlewood-Sobolevの不等式を組み合わせてSobolevの不等式を証明することもできる。

==Poincaréの不等式==
実用上は以下に示すSobolevの不等式のより弱い形であるPoincaréの不等式で十分であることも多い。
{{theorem|type=thm|name=Poincaréの不等式|label=Poi0}}
*(1) $|\Omega|\lt\infty$ とする。$p\in[1,\infty)$ と $u\in W^{1,p}_0(\Omega)$ について
$$\norm{u}_{p;\Omega}\le C_n|\Omega|^{n^{-1}}\norm{Du}_{p;\Omega}.$$
*(2) $\Omega$ は一方向に有界であるとする。すなわち $z\in\partial B_1(0)$ が存在し $\displaystyle w\colon=\sup_{x\in\R^n}\diam(\{t\in\R\colon x+tz\in\Omega\})\lt\infty$ となるとする。$p\in[1,\infty)$ と $u\in W^{1,p}_0(\Omega)$ について
$$\norm{u}_{p;\Omega}\le C_nw\norm{D_zu}_{p;\Omega}.$$

{{begin|proof|display=''Proof.''|collapsible=1}}
(1)は{{ref|type=pro|label=riep2}}の(1)と{{ref|type=pro|label=riep1}}の(1)より
$$\norm{u}_p\le\frac{1}{n\omega_n}\norm{V_{n^{-1}}|Du|}_p\le C|\Omega|^{n^{-1}}\norm{Du}_p.$$

(2)を示す。$u\in C^\infty_c(\Omega)$ としてよい。

$\pi\colon=\{x\in\R^n\colon z\cdot x=0\}$ とする。$x\in\pi$ について
$$a_x\colon=\inf\{t\in\R\colon x+tz\in\Omega\},b_x\colon=\sup\{t\in\R\colon x+tz\in\Omega\},I_x\colon=(a_x,b_x)$$
とすると $|I_x|\le w$、$\displaystyle \Omega\subset\bigcup_{x\in\pi}\{x+tz\colon t\in I_x\}$。
$u\in C^\infty_c(\Omega)$ とすると{{ref|type=thm|label=dim1mor}}より $x\in\pi$ について
$$\left(\int_{I_x}|u(x+tz)|^pdt\right)^{p^{-1}}\le|I_x|^{p^{-1}}\sup_{t\in I_x}|D_zu(x+tz)|\le|I_x|\left(\int_{I_x}|D_zu(x+tz)|^pdt\right)^{p^{-1}}.$$
Lipschitz連続関数 $x\mapsto z\cdot x$ に対して[[Hausdorff測度とarea_coarea_formula|coarea formula]]を用いると
\begin{align*}
\norm{u}_p&=\left(\int_\R\left(\int_{\{x\in\Omega\colon z\cdot x=t\}}|u(x)|^pd\H^{n-1}(x)\right)dt\right)^{p^{-1}}\\
&=\left(\int_\R\left(\int_{\{x\in\pi\colon x+tz\in\Omega\}}|u(x+tz)|^pd\H^{n-1}(x)\right)dt\right)^{p^{-1}}\\
&=\left(\int_\pi\left(\int_{I_x}|u(x+tz)|^pdt\right)d\H^{n-1}(x)\right)^{p^{-1}}\\
&\le\left(\int_\pi |I_x|^p\left(\int_{I_x}|D_zu(x+tz)|^pdt\right)d\H^{n-1}\right)^{p^{-1}}\\
&\le w\norm{D_zu}_p.
\end{align*}
{{end|proof}}

{{theorem|type=thm|name=Poincaréの不等式|label=Poi}}
$\Omega$ は有界かつ凸であるとする。$p\in[1,\infty)$ と $u\in W^{1,p}(\Omega)$ と $|S|\gt 0$ なる $S\subset\Omega$ について
$$\norm{u-u_S}_{p;\Omega}\le C_n\frac{(\diam\Omega)^n}{|S|}|\Omega|^{n^{-1}}\norm{Du}_{p;\Omega}.$$

{{begin|proof|display=''Proof.''|collapsible=1}}
{{ref|type=pro|label=riep2}}の(2)と{{ref|type=pro|label=riep1}}の(1)より
$$\norm{u-u_\Omega}_p\le\frac{(\diam\Omega)^n}{n|\Omega|}\norm{V_{n^{-1}}|Du|}_p\le C\frac{(\diam\Omega)^n}{|S|}|\Omega|\norm{Du}_p.$$
{{end|proof}}

{{theorem|type=rmk}}
$|\Omega|\lt\infty$ または $\Omega$ が一方向に有界のとき、$\norm{Du}_{p;\Omega}$ は $W^{1,p}_0(\Omega)$ に $\norm{u}_{1,p;\Omega}$ と同値なノルムを定める。とくに $p=2$ のとき、
$$\int_\Omega Du\cdot Dv$$
は $W^{1,2}_0(\Omega)$ に $W^{1,2}(\Omega)$ における内積と同値な内積を定める。

また、$\Omega$ が有界かつ凸のとき、$\norm{Du}_{p;\Omega}$ は $W^{1,p}(\Omega)$ の閉部分空間 $\{u\in W^{1,p}(\Omega)\colon u_\Omega=0\}$ に $\norm{u}_{1,p;\Omega}$ と同値なノルムを定める。

==Morreyの不等式==
ここでは $p\in(n,\infty)$ の場合を取り扱う。

{{theorem|type=thm|name=Morreyの不等式|label=mor}}
$p\in(n,\infty)$ とする。$\alpha=1-\frac{n}{p}$ とすると次が成り立つ。
*(1) $|\Omega|\lt\infty$ のとき $W^{1,p}_0(\Omega)\subset L^\infty(\Omega)$ で $u\in W^{1,p}_0(\Omega)$ について
$$\norm{u}_{\infty;\Omega}\le C_{n,p}|\Omega|^{n^{-1}-p^{-1}}\norm{Du}_{p;\Omega}.$$
*(2) $W^{1,p}(\R^n)\subset C^{0,\alpha}(\R^n)$ で $u\in W^{1,p}(\R^n)$ について
$$[u]_{0,\alpha;\R^n}\le C_{n,p}\norm{Du}_{p;\R^n}.$$
とくに $|\Omega|\lt\infty$ のとき $W^{1,p}_0(\Omega)\subset C^{0,\alpha}(\Ombar)$ で $u\in W^{1,p}_0(\Omega)$ について
$$|u|_{0,\alpha;\Omega}\le C_{n,p,|\Omega|}\norm{Du}_{p;\Omega},u=0\ \on\pOm.$$

{{begin|proof|display=''Proof.''|collapsible=1}}
(1)を示す。{{ref|type=pro|label=riep2}}の(1)と{{ref|type=pro|label=riep1}}で $\mu=n^{-1}$、$q=\infty$ としたものより
$$\norm{u}_\infty\le CV_{n^{-1}}|Du|\le C|\Omega|^{n^{-1}-p^{-1}}\norm{Du}_p.$$

(2)を示す。$B=B_r\subset\R^n$ とする。{{ref|type=pro|label=riep2}}の(2)と{{ref|type=pro|label=riep1}}より
$$|u-u_B|\le\frac{(\diam B)^n}{n|B|}V_{n^{-1}}\left(\left(\left.|Du|\right)\right|_B\right)\le C|B|^{n^{-1}-p^{-1}}\norm{Du}_p\le Cr^\alpha\norm{Du}_p\ \inn B.$$
$x,y\in B$ とすると
$$|u(x)-u(y)|\le|u(x)-u_B|+|u(y)-u_B|\le Cr^\alpha\norm{Du}_p.\tag{*}\label{mor1}$$
$x,y\in\R^n$、$x\neq y$ について、$B=B_r$ を $x,y\in B$ かつ $r\le|x-y|$ となるようにとれるので
$$|u(x)-u(y)|\le C\norm{Du}_p|x-y|^\alpha$$
が成り立つ。$u=0$ on $\pOm$ は $u_m\in W^{1,p}_c(\Omega)$、$\norm{u_m-u}_{1,p;\Omega}\to 0\ (m\to\infty)$ とすると $u_m=0$ on $\pOm$、$\norm{u_m-u}_\infty\to 0\ (m\to\infty)$ となることから成り立つ。
{{end|proof}}

{{ref|type=cor|label=locGNS}}、{{ref|type=cor|label=gGNS}}と同様に次が成り立つ:

{{theorem|type=cor|label=locmor}}
$p\in(n,\infty)$ とする。$\alpha=1-\frac{n}{p}$ とすると $W^{1,p}_{\loc}(\Omega)\subset C^{0,\alpha}(\Omega)$。

{{theorem|type=cor|label=gmor}}
$p\in(n,\infty)$ とする。$\alpha=1-\frac{n}{p}$ とすると次が成り立つ:
*(1) $|\Omega|\lt\infty$ で $T\subset\pOm$ が(\ref{D})をみたす相対開集合のとき $W^{1,p}_0(\OmT)\subset C^{0,\alpha}(\Ombar)$ で $u\in W^{1,p}_0(\OmT)$ について
$$|u|_{0,\alpha;\Omega}\le C_{p,T,\Omega}\norm{u}_{1,p;\Omega}, u=0\ \on \Omega\backslash T.$$
*(2) $\Omega$ を有界な $C^{0,1}$ 領域とすると $W^{1,p}(\Omega)\subset C^{0,\alpha}(\Ombar)$ で $u\in W^{1,p}(\Omega)$ について
$$|u|_{0,\alpha;\Omega}\le C_{p,\Omega}\norm{u}_{1,p;\Omega}.$$

{{theorem|type=rmk}}
{{ref|type=thm|label=lip}}より、{{ref|type=cor|label=locmor}}と{{ref|type=cor|label=gmor}}の(2)は $p=\infty$ の場合にも成立する。

{{theorem|type=cor|name=a.e.微分可能性|label=difae}}
$p\in(n,\infty]$ とする。$u\in W^{1,p}_{\loc}(\Omega)$ は a.e. in $\Omega$ で微分可能で、各点微分と弱微分は一致する。

{{begin|proof|display=''Proof.''|collapsible=1}}
$p\in(n,\infty)$ としてよい。

$x_0\in\Omega$ は
$$r^{-n}\int_{B_r(x_0)}|Du-Du(x_0)|^p\to 0\ (r\to +0)$$
をみたすとする。Lebesgueの微分定理よりこれはa.e. $x_0\in\Omega$ で成り立つ。
$$v(x)\colon=u(x)-u(x_0)-Du(x_0)\cdot(x-x_0)\ (x\in\Omega)$$
と定め、$v(x)=o(|x-x_0|)\ (|x-x_0|\to +0)$ を示せばよい。

{{ref|type=thm|label=mor}}の証明の(\ref{mor1})より $B_r=B_r(x_0)\rcpt\Omega$ について
$$|v|_{\infty;B_r}=|v-v(x_0)|_{\infty;B_r}\le C\norm{Dv}_{p;B_r}r^{1-\frac{p}{n}}\le Cr\left(r^{-n}\int_{B_r}|Du-Du(x_0)|^p\right)^{p^{-1}}.$$
これより $v(x)=o(|x-x_0|)\ (|x-x_0|\to +0)$。
{{end|proof}}

{{theorem|type=ex}}
$p=\infty$ の場合を{{ref|type=thm|label=lip}}と組み合わせるとRademacherの定理([[Hausdorff測度とarea_coarea_formula]]の定理33)の別の証明が得られる。

==Trudinger-Moserの不等式==
{{ref|type=cor|label=gpn}}の注意で述べたように、$p=n\ge 2$ の場合のSobolevの不等式はその他の場合より繊細である。一方、Rieszポテンシャルを用いると{{ref|type=cor|label=pn}}と{{ref|type=cor|label=gpn}}の評価をより精密にすることができる。

{{theorem|type=thm|name=Trudinger-Moserの不等式|label=TM}}
$n\ge 2$ のとき次が成り立つ:
*(1) $|\Omega|\lt\infty$ のとき $u\in W^{1,n}_0(\Omega)\backslash\{0\}$ と $\alpha\gt 0$ について
$$\int_\Omega\exp\left(\left(\frac{|u|}{C_{n,\alpha}\norm{Du}_{n;\Omega}}\right)^\frac{n}{n-1}\right)\le (1+\alpha)|\Omega|.$$
*(2) $|\Omega|\lt\infty$ で $T\subset\pOm$ を $T\subset\pOm$ が(\ref{D})をみたす相対開集合のとき $u\in W^{1,n}_0(\OmT)\backslash\{0\}$ と $\alpha\gt 0$ について
$$\int_\Omega\exp\left(\left(\frac{|u|}{C_{\Omega,T,\alpha}\norm{u}_{1,n;\Omega}}\right)^\frac{n}{n-1}\right)\le (1+\alpha)|\Omega|.$$
*(3) $\Omega$ が有界な $C^{0,1}$ 領域のとき $u\in W^{1,n}(\Omega)\backslash\{0\}$ と $\alpha\gt 0$ について
$$\int_\Omega\exp\left(\left(\frac{|u|}{C_{\Omega,\alpha}\norm{u}_{1,n;\Omega}}\right)^\frac{n}{n-1}\right)\le (1+\alpha)|\Omega|.$$

{{begin|proof|display=''Proof.''|collapsible=1}}
(1)を示す。{{ref|type=pro|label=riep2}}の(1)より $u\in C^\infty_c(\R^n)$ について $|u|\le CV_{n^{-1}}|Du|$ となるので{{ref|type=pro|label=riep1}}より
$$\int_\Omega\left(\left(\frac{|u|}{C\norm{Du}_{n;\Omega}}\right)^\frac{n}{n-1}\right)\le(1+\alpha)|\Omega|.$$
一般の場合は近似により従う。

(2)と(3)は(1)と拡張作用素により示される。
{{end|proof}}

{{theorem|type=rmk}}
{{ref|type=cor|label=gpn}}の注意の $u$ は $\int_\Omega\exp\left(|u|^\frac{n}{n-1}\right)\lt\infty$ をみたしている。

==一般のSobolevの不等式==
{{theorem|type=thm|name=一般のSobolevの不等式|label=gsob}}
$k\in\Zp$、$p\in[1,\infty)$ とする。次が成り立つ:
*(1) $kp\lt n$ のとき $p_k\colon=\frac{np}{n-kp}$ とすると $W^{k,p}(\R^n)\subset L^{p_k}(\R^n)$ で $u\in W^{k,p}(\R^n)$ について
$$\norm{u}_{p_k;\R^n}\le C_{n,k,p}\norm{D^ku}_{p;\R^n}.$$
また $T\subset\pOm$ が $T\subset\pOm$ が(\ref{D})をみたす相対開集合のとき $W^{k,p}_0(\OmT)\subset L^{p_k}(\Omega)$ で $u\in W^{k,p}_0(\OmT)$ について
$$\norm{u}_{p_k;\Omega}\le C_{k,p,\Omega,T}\norm{u}_{k,p;\Omega}.$$
$\Omega$ が有界な $C^{0,1}$ 領域のとき $W^{k,p}(\Omega)\subset L^{p_k}(\Omega)$ で $u\in W^{k,p}(\Omega)$ について
$$\norm{u}_{p_k;\Omega}\le C_{k,p,\Omega}\norm{u}_{k,p;\Omega}.$$
*(2) $|\Omega|\lt\infty$、$kp=n$ のとき任意の $q\in[1,\infty)$ について $W^{k,p}_0(\Omega)\subset L^q(\Omega)$ で $u\in W^{k,p}_0(\Omega)$ について
$$\norm{u}_{q;\Omega}\le C_{n,k,q}|\Omega|^{q^{-1}}\norm{u}_{k,p;\Omega}.$$
また $|\Omega|\lt\infty$ で $T\subset\pOm$ が $T\subset\pOm$ が(\ref{D})をみたす相対開集合のとき任意の $q\in[p,\infty)$ について $W^{k,p}_0(\OmT)\subset L^q(\Omega)$ で $u\in W^{k,p}_0(\OmT)$ について
$$\norm{u}_{q;\Omega}\le C_{k,q,\Omega}\norm{u}_{k,p;\Omega}.$$
$\Omega$ が有界な $C^{0,1}$ 領域のとき任意の $q\in[p,\infty)$ について $W^{k,p}(\Omega)\subset L^q(\Omega)$ で $u\in W^{k,p}(\Omega)$ について
$$\norm{u}_{q;\Omega}\le C_{k,q,\Omega}\norm{D^ku}_{p;\Omega}.$$
*(3) $kp=n\ge k+1$、$|\Omega|\lt\infty$ のとき $u\in W^{k,p}_0(\Omega)\backslash\{0\}$ と $\alpha\gt 0$ について
$$\int_\Omega\exp\left(\left(\frac{|u|}{C_{n,k,\alpha}\norm{D^ku}_{p;\Omega}}\right)^\frac{n}{n-k}\right)\le (1+\alpha)|\Omega|.$$
また $|\Omega|\lt\infty$ で $T\subset\pOm$ が $T\subset\pOm$ が(\ref{D'})をみたす相対開集合のとき $u\in W^{k,p}_0(\OmT)\backslash\{0\}$ と $\alpha\gt 0$ について
$$\int_\Omega\exp\left(\left(\frac{|u|}{C_{k,\Omega,T,\alpha}\norm{u}_{k,p;\Omega}}\right)^\frac{n}{n-k}\right)\le (1+\alpha)|\Omega|.$$
$\Omega$ が有界なLipschitz領域のとき $u\in W^{k,p}(\Omega)\backslash\{0\}$ と $\alpha\gt 0$ について
$$\int_\Omega\exp\left(\left(\frac{|u|}{C_{k,\Omega,\alpha}\norm{u}_{k,p;\Omega}}\right)^\frac{n}{n-k}\right)\le (1+\alpha)|\Omega|.$$
*(4) $kp\gt n$、$\frac{n}{p}\notin\Z$ のとき $j\colon=\left\lfloor k-\frac{n}{p}\right\rfloor$、$\beta\colon= k-j-\frac{n}{p}$ とすると $W^{k,p}(\R^n)\subset C^{j,\beta}(\R^n)$ で $u\in W^{k,p}(\R^n)$ について
$$[u]_{j,\beta;\R^n}\le C_{n,k,p}\norm{D^ku}_{p;\R^n}.$$
また $|\Omega|\lt\infty$ のとき $u\in W^{k,p}_0(\Omega)$ について
$$|u|_{j,\beta;\Omega}\le C_{n,k,p,|\Omega|}\norm{u}_{k,p;\Omega},D^\alpha u=0\ \on\pOm\ (|\alpha|\le k-1).$$
$|\Omega|\lt\infty$ で $T\subset\pOm$ が(\ref{D})をみたす相対開集合のとき $W^{k,p}_0(\OmT)\subset C^{j,\beta}(\Ombar)$ で $u\in W^{k,p}_0(\OmT)$ について
$$|u|_{j,\beta;\Omega}\le C_{k,p,\Omega,T}\norm{u}_{k,p;\Omega},D^\alpha u=0\ \on\pOm\backslash T\ (|\alpha|\le k-1).$$
$\Omega$ が有界な $C^{0,1}$ 領域のとき $W^{k,p}(\Omega)\subset C^{j,\beta}(\Ombar)$ で $u\in W^{k,p}(\Omega)$ について
$$|u|_{j,\beta;\Omega}\le C_{k,p,\Omega}\norm{u}_{k,p;\Omega}.$$
*(5) $|\Omega|\lt\infty$、$kp\gt n$、$\frac{n}{p}\in\Z$ のとき $j\colon=k-\frac{n}{p}-1$ とすると任意の $\beta\in(0,1)$ について $W^{k,p}_0(\Omega)\subset C^{j,\beta}(\Ombar)$ で $u\in W^{k,p}_0(\Omega)$ について
$$|u|_{j,\beta;\Omega}\le C_{n,k,p,\beta,|\Omega|}\norm{u}_{k,p;\Omega},[u]_{j,\beta;\Omega}\le C_{n,k,p,\beta}|\Omega|^\frac{1-\beta}{n}\norm{D^ku}_{k,p;\Omega},D^\alpha u=0\ \on\pOm\ (|\alpha|\le k-1).$$
$|\Omega|\lt\infty$ で $T\subset\pOm$ が(\ref{D})をみたす相対開集合のとき $W^{k,p}_0(\OmT)\subset C^{j,\beta}(\Ombar)$ で $u\in W^{k,p}_0(\OmT)$ について
$$|u|_{j,\beta;\Omega}\le C_{k,p,\beta,\Omega,T}\norm{u}_{k,p;\Omega}.$$
$\Omega$ が有界な $C^{0,1}$ 領域のとき $W^{k,p}(\Omega)\subset C^{j,\beta}(\Ombar)$ で $u\in W^{k,p}(\Omega)$ について
$$|u|_{j,\beta;\Omega}\le C_{k,p,\beta,\Omega}\norm{u}_{k,p;\Omega}.$$
*(6) $k\gt n$、$p=1$ のとき $W^{k,1}(\R^n)\subset C^{k-n}(\R^n)\cap W^{k-n,\infty}(\R^n)$ で $u\in W^{k,1}(\R^n)$ について
$$[u]_{k-n;\R^n}\le C_{n,k}\norm{D^ku}_{1;\R^n},D^\alpha u=0\ \on\pOm\ (|\alpha|\le k-1).$$
$T\subset\pOm$ が(\ref{D})をみたす相対開集合のとき $W^{k,1}_0(\OmT)\subset C^{k-n}(\Ombar)\cap W^{k-n,\infty}(\Omega)$ で $u\in W^{k,1}(\Omega)$ について
$$[u]_{k-n;\Omega}\le C_{k,\Omega,T}\norm{u}_{k,1;\Omega},D^\alpha u=0\ \on\pOm\backslash T\ (|\alpha|\le k-1).$$
$\Omega$ が有界な $C^{0,1}$ 領域のとき $W^{k,1}(\Omega)\subset C^{k-n}(\Ombar)$ で $u\in W^{k,1}(\Omega)$ について
$$[u]_{k-n;\Omega}\le C_{k,\Omega}\norm{u}_{k,1;\Omega}.$$
{{begin|proof|display=''Proof.''}}
(1)、(2)、(4)、(5)は{{ref|type=thm|label=dim1mor}}、{{ref|type=thm|label=GNS}}、{{ref|type=cor|label=pn}}、{{ref|type=cor|label=gpn}}、{{ref|type=cor|label=gGNS}}、{{ref|type=thm|label=mor}}、{{ref|type=cor|label=gmor}}を用いて $k$ に関する帰納法により示される。

(3)は前半は{{ref|type=thm|label=TM}}と同様。拡張作用素により後半も従う。

(6)を示す。前半の $k=n$ の場合を示せば十分。$u\in C^\infty_c(\R^n)$ について{{ref|type=pro|label=riep2}}の(1)より
$$|u|\le V_1|D^nu|=\int_{\R^n}|D^nu|=\norm{D^nu}_1.$$
近似によりこれは任意の $u\in W^{n,1}(\R^n)$ に対して成り立つ。またこれより
$$W^{n,1}(\R^n)\subset\overline{C^\infty_c(\R^n)}^{L^\infty(\R^n)}\subset C(\R^n).$$
{{end|proof}}

==コンパクト埋め込み==
{{theorem|type=lem|label=cptlem}}
$p\in[1,\infty)$ とする。$u\in W^{1,p}(\R^n)$ と $\varepsilon\gt 0$ について
$$\norm{\eta_\varepsilon*u-u}_{p;\R^n}\le C_{n,p}\norm{Du}_{p;\R^n}\varepsilon.$$

{{begin|proof|display=''Proof.''}}
{{ref|type=thm|label=difq1}}に注意して
\begin{align*}
\int_{\R^n}|\eta_\varepsilon*u-u|^p&=\int_{\R^n}\left|\int_{B_\varepsilon(0)}\eta_\varepsilon(y)(u(x-y)-u(x))dy\right|^pdx\\
&=\int_{\R^n}\norm{\eta_\varepsilon}_{p'}^p\left(\int_{B_\varepsilon(0)}|u(x-y)-u(x)|^pdy\right)dx\\
&\le C\varepsilon^{-n}\int_{\R^n}\left(\int_{0}^\varepsilon\left(\int_{\partial B_1(0)}t^{n-1+p}|\Delta^t_z u(x)|^pd\H^{n-1}(z)\right)dt\right)dx\\
&\le C\varepsilon^{-n}\int_{0}^\varepsilon\left(\int_{\partial B_1(0)}t^{n-1+p}\norm{Du}_p^pd\H^{n-1}(z)\right)dt\\
&\le C\varepsilon^{-n}\norm{Du}_p^p\int_0^\varepsilon t^{n-1+p}dt\le C\norm{Du}_p^p\varepsilon^p.
\end{align*}
{{end|proof}}

{{theorem|type=thm|name=Rellich-Kondrachovの定理|label=cpt}}
$p\in[1,\infty)$ とし、
$$\begin{cases}
q\in[1,p^*)&\colon p\in(1,n)\\
q\in[1,\infty)&\colon p=n\\
q\in[1,\infty]&\colon p\in(n,\infty)
\end{cases}$$
とする。次が成り立つ:
*(1) $|\Omega|\lt\infty$ のとき埋め込み $W^{1,p}_0(\Omega)\subset L^q(\Omega)$ はコンパクトである。すなわち、$\{u_m\}_{m=1}^\infty\subset W^{1,p}_0(\Omega)$ が $\displaystyle \sup_{m}\norm{u_m}_{1,p;\Omega}\lt\infty$ をみたすとすると、$\{u_m\}_{m=1}^\infty$ の部分列で $L^q(\Omega)$ で収束するものが存在する。
*(2) $|\Omega|\lt\infty$ で $T\subset\pOm$ が(\ref{D})をみたす相対開集合のとき埋め込み $W^{1,p}_0(\OmT)\subset L^q(\Omega)$ はコンパクトである。
*(3) $\Omega$ を有界な $C^{0,1}$ 領域とすると、埋め込み $W^{1,p}(\Omega)\subset L^q(\Omega)$ はコンパクトである。

{{begin|proof|display=''Proof.''}}
(1)の $\Omega$ が有界かつ $q=p\in[1,n]$ の場合を示す。

開球 $B\subset\R^n$ を $\Omega\rcpt B$ となるようにとる。$\varepsilon\gt 0$ とすると $k=0,1$ について
$$\norm{D^k(\eta_\varepsilon*u_m)}_\infty\le C\varepsilon^{np^{-1}}\norm{D^ku_m}_p$$
であるから $\displaystyle\sup_m|\eta_\varepsilon*u_m|_{1;B}\lt\infty$。

[[Hölder空間の基本事項]]の定理62と対角線論法により、$\{u_m\}_{m=1}^\infty$ の部分列 $\{u_{m_j}\}_{j=1}^\infty$ で任意の $l\in\Zp$ について $\{\eta_{l^{-1}}*u_{m_j}\}_{j=1}^\infty$ が $C(\overline{B})$ において収束し、とくに $L^p(B)$ において収束するものがとれる。{{ref|type=lem|label=cptlem}}より
\begin{align*}
\limsup_{i,j\to\infty}\norm{u_{m_i}-u_{m_j}}_p&\le\limsup_{i,j\to\infty}\left(\norm{\eta_{l^{-1}}*u_{m_i}-\eta_{l^{-1}}*u_{m_j}}_p+C\left(\norm{Du_{m_i}}_p+\norm{Du_{m_j}}_p\right)l^{-1}\right)\\
&\le C\sup_m\norm{Du_m}_pl^{-1}.
\end{align*}
$l\to\infty$ として $\displaystyle\limsup_{i,j\to\infty}\norm{u_{m_i}-u_{m_j}}_p=0$ を得る。

(1)の $\Omega$ が非有界かつ $q=p\in[1,n]$ の場合を示す。$\zeta\in C^\infty_c(B_2(0))$ を $\zeta=1$ in $B_1(0)$ となるようにとり、$\zeta_l(x)\colon=\zeta(l^{-1}x)\ (l\in\Zp)$ とする。(1)の $\Omega$ が有界な場合と対角線論法により $\{u_{m_j}\}_{j=1}^\infty$ で任意の$l\in\Zp$ について $\{\zeta_lu_{m_j}\}_{j=1}^\infty$ が $L^p(\Omega)$ で収束するものがとれる。また
$$\norm{(1-\zeta_l)u_m}_p\le C|\Omega\backslash B_l(0)|^\frac{1}{n}\norm{D((1-\zeta_l)u_m)}_p\le C|\Omega\backslash B_l(0)|^\frac{1}{n}(1+l^{-1})\norm{u_m}_{1,p}.$$
これより
$$\limsup_{i,j\to\infty}\norm{u_{m_i}-u_{m_j}}_p\le\limsup_{i,j\to\infty}\norm{\zeta_l u_{m_i}-\zeta_l u_{m_j}}_p+C|\Omega\backslash B_l(0)|^\frac{1}{n}\sup_m\norm{u_m}_{1,p}.$$
$|\Omega\backslash B_l(0)|\to 0\ (l\to\infty)$ より $l\to\infty$ とすれば $\displaystyle\limsup_{i,j\to\infty}\norm{u_{m_i}-u_{m_j}}_p=0$ を得る。

(1)の $p\in[1,n]$ の場合は $L^p(\Omega)$ で収束する部分列 $\{u_{m_j}\}_{j=1}^\infty$ をとればHölderの不等式と{{ref|type=thm|label=GNS}}、{{ref|type=cor|label=pn}}より
$$\limsup_{i,j\to\infty}\norm{u_{m_i}-u_{m_j}}_q\le\begin{cases}
\limsup_{i,j\to\infty}|\Omega|^{p^{-1}-q^{-1}}\norm{u_{m_i}-u_{m_j}}_p=0\ &\colon q\in[1,p]\\
\limsup_{i,j\to\infty}\norm{u_{m_i}-u_{m_j}}_p^\frac{n}{q}\left(\norm{Du_{m_i}}_p+\norm{Du_{m_j}}_p\right)^{1-\frac{n}{q}}=0\ &\colon q\in(p,p^*)
\end{cases}$$
となり従う。

(1)の $p\in(n,\infty]$ の場合を示す。$q=\infty$ としてよい。$\Omega$ が有界な場合は{{ref|type=thm|label=mor}}と[[Hölder空間の基本事項]]の命題61から従う。$\Omega$ が非有界な場合は $\Omega$ が有界な場合と対角線論法により $l\in\Zp$ について $\{\zeta_lu_{m_j}\}_{j=1}^\infty$ が $L^\infty(\Omega)$ で収束する部分列 $\{u_{m_j}\}_{j=1}^\infty$ がとれ、{{ref|type=thm|label=mor}}より
$$\limsup_{i,j\to\infty}\norm{u_{m_i}-u_{m_j}}_\infty\le\limsup_{i,j\to\infty}\norm{\zeta_lu_{m_i}-\zeta_lu_{m_j}}_\infty+2\sup_m\norm{(1-\zeta_l)u_m}_\infty\le C|\Omega\backslash B_l(0)|^{n^{-1}-p^{-1}}\sup_m\norm{Du}_p.$$

$l\to\infty$ とすれば $\displaystyle\limsup_{i,j\to\infty}\norm{u_{m_i}-u_{m_j}}_\infty=0$ を得る。

(2)、(3)は拡張作用素 $E\colon W^{1,p}(\Omega)\to W^{1,p}_0(\Omega_0)\ (\Omega\rcpt\Omega_0,|\Omega_0|\lt\infty)$ をとって $\{Eu_{m_j}\}_{j=1}^\infty$ が $L^q(\Omega_0)$ で収束する部分列 $\{u_{m_j}\}_{j=1}^\infty$ をとればよい。
{{end|proof}}

{{theorem|type=rmk}}
とくに $q=p$ の場合が重要である。すなわち、$|\Omega|\lt\infty$ のとき埋め込み $W^{1,p}_0(\Omega)\subset L^p(\Omega)$ はコンパクトで、$\Omega$ が有界な $C^{0,1}$ 領域のときは埋め込み $W^{1,p}(\Omega)\subset L^p(\Omega)$ はコンパクトである。

$k\gt j$ なる $j,k\in\Zz$ と $p\in[1,\infty]$ について、帰納法により
$$\begin{cases}
q\in\left[1,\frac{np}{n-(k-j)p}\right)&\colon np\lt k-j\\
q\in[1,\infty)&\colon np=k-j\\
q\in[1,\infty]&\colon np\gt k-j
\end{cases}$$
とすると $|\Omega|\lt\infty$ のとき埋め込み $W^{k,p}_0(\Omega)\subset W^{j,q}(\Omega)$ はコンパクトで、$\Omega$ が有界な $C^{0,1}$ 領域のとき埋め込み $W^{k,p}(\Omega)\subset W^{j,q}(\Omega)$ はコンパクトである。

(1)の仮定「 $|\Omega|\lt\infty$ 」と(2)の仮定「有界」は外すことができない。例えば $\Omega=\R^n$ とし、$u\in C^\infty_c(\R^n)\backslash\{0\}$、$u_m(x)\colon=u(x-me_1)$ とすると $\{u_m\}_m$ は明らかに $W^{1,p}(\R^n)$ で有界である。一方、$u_m\to 0$ a.e. in $\R^n\ (m\to\infty)$ であるから、$\{u_m\}_m$ が $L^q(\R^n)$ で収束する部分列をもつとすればその極限は $0$ であるが、$\norm{u_m}_q=\norm{u}_q\gt 0$ より $\{u_m\}_m$ は $0$ に $L^q(\R^n)$ で収束する部分列をもたず、従って$L^q(\R^n)$ で収束する部分列をもたない。

また、$p\in[1,n)$ のとき $\Omega$ がいかなる開集合であっても $q=p^*$ を含めることはできない。実際、$0\in\Omega$ として一般性を失わない。$u\in C^\infty_c(\R^n)\backslash\{0\}$ として $\lambda\gt 0$ について $u_\lambda(x)\colon=\lambda^{\frac{n}{p}-1}u(\lambda x)$ とすると十分小さい $\lambda\gt 0$ について $u_\lambda\in C^\infty_c(\Omega)$ であり、また変数変換により $\norm{Du_\lambda}_p=\norm{Du}_p$ であるから $\displaystyle\sup_{\lambda\gt 0}\norm{Du_\lambda}_p\lt\infty$。一方、$u_\lambda\to 0$ a.e. in $\Omega\ (\lambda\to +0)$ であるから、$\{u_{m^{-1}}\}_m$ が $L^q(\Omega)$ で収束する部分列をもつとすればその極限は $0$ であるが、$\norm{u_\lambda}_{p^*}=\norm{u}_{p^*}\gt 0$ より $\{u_{m^{-1}}\}_m$ は $0$ に $L^{p^*}(\Omega)$ で収束する部分列をもたず、従って$L^{p^*}(\Omega)$ で収束する部分列をもたない。

{{theorem|type=cor|name=Poincaréの不等式|label=Poi2}}
$\Omega$ が $|\Omega|\lt\infty$ かつ連結で相対開集合 $T\subset\pOm$ が(\ref{D})をみたすとし、$p\in[1,\infty)$ とする。$\mathcal{W}\subset W^{1,p}_0(\OmT)$ はノルム閉集合で $u∈\mathcal{W},t\in\R\implies tu∈\mathcal{W}$ かつ $1\notin\mathcal{W}$ をみたすとする。$u\in \mathcal{W}$ について
$$\norm{u}_{p;\Omega}\le C_{p,\mathcal{W}}\norm{Du}_{p;\Omega}.$$

{{begin|proof|display=''Proof.''}}
主張が成り立たなかったとする。$(u_m)_S=1$ なる $\{u_m\}_{m=1}^\infty\subset \mathcal{W}$ が存在し、$\norm{u_m}_p=1$ かつ $\norm{Du_m}_p\to 0\ (m\to\infty)$ となる。{{ref|type=thm|label=cpt}}より部分列にとりかえてある $u\in L^p(\Omega)$ について $\norm{u_m-u}_p\to 0\ (m\to\infty)$ となるとしてよい。

$\norm{Du_m}_p\to 0\ (m\to\infty)$ であるから $u\in W^{1,p}(\Omega)$、$Du=0$ in $\Omega$ となり $v$ は定数関数である。<ref name="const">$\Omega'\rcpt\Omega$、$\varepsilon\gt 0$ とすると $D(\eta_\varepsilon*u)=\eta_\varepsilon*Du=0$ となり $\eta_\varepsilon*u$ は局所定数関数で、$\varepsilon\to +0$ とすれば $u$ も局所定数関数である。$\Omega$ は連結であるから $u$ は定数関数である。</ref>一方 $\norm{u_m-u}_{1,p}\to 0\ (m\to\infty)$ となるので $u\in\mathcal{W}$。$1\notin\mathcal{W}$ より $\mathcal{W}$ は $0$ 以外の定数関数を含まないので $u=0$。これは $\norm{u_m}_p=1$ より $\norm{u}_p=1$ となることに矛盾。
{{end|proof}}

{{theorem|type=rmk}}
たとえば次が成り立つ:
*(1) $1\notin W^{1,p}_0(\OmT)$ とすると任意の $u\in W^{1,p}_0(\OmT)$ について $\norm{u}\le C_{p,\Omega,T}\norm{Du}$。
*(2) $\delta\gt 0$ とすると $\{u\in L^p(\Omega)\colon |\{u=0\}|\ge\delta\}$ はノルム閉集合である。実際、$\{u_m\}_{m=1}^\infty\subset L^p(\Omega)$ と $u\in L^p(\Omega)$ が $|\{u_m\ge 0\}|\ge\delta$ かつ $\norm{u_m-u}_p\to 0\ (m\to\infty)$ をみたすとすると任意の $r\gt 0$ について $|\{|u_m-u|\gt r\}|\le r^{-p}\norm{u_m-u}_p^p$ であるから任意の $\varepsilon\gt 0$ について十分 $m$ を大きくとれば $|\{|u_m-u|\gt r\}|\le\varepsilon$ となり $\{u_m=0\}\backslash\{|u_m-u|\gt r\}\subset\{|u|\le r\}$ より $|\{|u|\le r\}|\ge\delta-\varepsilon$。$r\to +0$、$\varepsilon\to +0$ として $|\{u=0\}|\ge\delta$ を得る。

これより $\mathcal{W}=\{u\in W^{1,p}_0(\OmT)\colon |\{u=0\}|\ge\delta\}$ も $0$ 以外の定数関数を含まないノルム閉集合であり、$u\in\mathcal{W}$ について $\norm{u}_p\le C_{p,\Omega,T,\delta}\norm{Du}_p$ が成り立つ。
*(3) $\xi\in\pOm\backslash T$ と $r\gt 0$ が存在して $B=B_r(\xi)$ が $B\cap T=\emptyset$ かつ $|B\backslash\Omega|\gt 0$ をみたすとすると $\Omega$ を $\Omega\cup B$ にとりかえて $\mathcal{W}=W^{1,p}_0(\OmT)$ とすることにより任意の $u\in W^{1,p}_0(\OmT)$ について $\norm{u}\le C_{p,\Omega,T}\norm{Du}$。
*(4) $\Omega$ が有界かつ連結な $C^{0,1}$ 領域のとき、$T=\pOm$ として $\mathcal{W}=\{u\in W^{1,p}(\Omega)\colon u_\Omega=0\}$ ( $u_\Omega\colon=\frac{1}{|\Omega|}\int_\Omega u$ )とすると $\mathcal{W}$ は仮定をみたし、任意の $u\in W^{1,p}(\Omega)$ について
$$\norm{u-u_S}_p\le C_{p,\Omega}\norm{Du}_p.$$

(1)、(3)と{{ref|type=thm|label=Poi0}}の(1)、(4)と{{ref|type=thm|label=Poi}}を比較せよ。凸領域は連結かつ $C^{0,1}$ であるから{{ref|type=cor|label=Poi2}}の方がより一般的な不等式である。一方、{{ref|type=thm|label=Poi0}}と{{ref|type=thm|label=Poi}}では $C$ がどのように $\Omega$ に依存するかまでわかっているが、{{ref|type=cor|label=Poi2}}の証明は $C$ の具体的な表示を与えていない。

==補間不等式==
ここでは主に
$$\norm{D^ju}_{r;\Omega}\le C\norm{u}_{k,p;\Omega}^{1-\tau}\norm{u}_{q;\Omega}^\tau$$
の形の補間不等式を取り扱う。

{{theorem|type=lem|name=$n=1$、$j=1$、$k=2$ の場合|label=intp1}}
$p,q\in[1,\infty]$ とし、$r\colon=\left(\frac{1}{2}p^{-1}+\frac{1}{2}q^{-1}\right)^{-1}$ とすると $u\in W^{k,p}(\R)$ について
$$\norm{u'}_{1,r;\R}\le C\norm{u^{\prime\prime}}_{p;\R}^\frac{1}{2}\norm{u}_{q;\R}^\frac{1}{2}.$$

{{begin|proof|display=''Proof.''}}
$p,q\in[1,\infty)$ の場合を示す。

$u\in C^\infty_c(\R)\backslash\{0\}$ としてよい。$J=(a,b)\subset\R$ を開区間とする。$x\in J_1\colon=(a,a+\frac{1}{3}|J|)$、$y\in J_2\colon=(b-\frac{1}{3}|J|,b)$ とすると $z\in J$ について
$$\frac{1}{3}|J||u'(z)|\le(y-x)|u'(z)|=\left|u(y)-u(x)-\int_x^y(u'-u'(z))\right|\le|u(y)|+|u(x)|+|J|\int_J|u^{\prime\prime}|.$$
$x\in I_1$、$y\in I_2$ について積分しHölderの不等式を用いると
\begin{align*}
\frac{1}{27}|J|^3|u'(z)|&\le\frac{1}{3}|J|\left(\int_{J_1}|u|+\int_{J_2}|u|\right)+\frac{1}{9}|J|^3\int_J|u^{\prime\prime}|\\
&\le\frac{1}{3}|J|\int_J|u|+\frac{1}{9}|J|^3\int_J|u^{\prime\prime}|\\
&\le\frac{1}{9}|J|^{4-p^{-1}}\norm{u^{\prime\prime}}_{p;J}+\frac{1}{3}|J|^{2-q^{-1}}\norm{u}_{q;J}.
\end{align*}
これより
$$\norm{u'}_{r;J}\le|J|^{r^{-1}}\norm{u'}_{\infty;J}\le 3|J|^{1-\frac{1}{2}(p^{-1}-q^{-1})}\norm{u^{\prime\prime}}_{p;J}+9|J|^{-1+\frac{1}{2}(p^{-1}-q^{-1})}\norm{u}_{q;J}.$$
ここで $U\colon=\{u\neq 0\}$ とする。$x\in U$ について $t\mapsto\norm{u}_{q;(x-t,x+t)}$ と $t\mapsto\norm{u^{\prime\prime}}_{p;(x-t,x+t)}$ は $(0,+\infty)$ から $\R$ へ連続であって
$$(2t)^{-1+\frac{1}{2}(p^{-1}-q^{-1})}\norm{u}_{q;(x-t,x+t)}\to+\infty,(2t)^{1-\frac{1}{2}(p^{-1}-q^{-1})}\norm{u^{\prime\prime}}_{p;(x-t,x+t)}\to 0\ (t\to +0)$$
かつ
$$(2t)^{-1+\frac{1}{2}(p^{-1}-q^{-1})}\norm{u}_{q;(x-t,x+t)}\to 0,(2t)^{1-\frac{1}{2}(p^{-1}-q^{-1})}\norm{u^{\prime\prime}}_{p;(x-t,x+t)}\to +\infty\ (t\to +\infty)$$
であるから中間値の定理より $t_x\in(0,+\infty)$ が存在して
$$(2t_x)^{-1+\frac{1}{2}(p^{-1}-q^{-1})}\norm{u}_{q;(x-t_x,x+t_x)}=(2t_x)^{1-\frac{1}{2}(p^{-1}-q^{-1})}\norm{u^{\prime\prime}}_{p;(x-t_x,x+t_x)}=\norm{u}_{q;(x-t_x,x+t_x)}^\frac{1}{2}\norm{u^{\prime\prime}}_{p;(x-t_x,x+t_x)}^\frac{1}{2}.$$
また $t_x\ge\diam U$ を仮定すると $U\subset(x-t_x,x+t_x)$ より $\norm{u}_{q;(x-t_x,x+t_x)}=\norm{u}_{q;\R}$、$\norm{u^{\prime\prime}}_{p;(x-t_x,x+t_x)}=\norm{u^{\prime\prime}}_{p;\R}$ となり
$$(2t_x)^{2-p^{-1}+q^{-1}}=\frac{\norm{u}_{q;\R}}{\norm{u^{\prime\prime}}_{p;\R}}.$$
これより
$$t_x\le\max\left\{\diam U,\frac{1}{2}\left(\frac{\norm{u}_{q;\R}}{\norm{u^{\prime\prime}}_{p;\R}}\right)^{(2-p^{-1}+q^{-1})^{-1}}\right\}.$$
[[Besicovitchの被覆定理]]より $\{J_i\}_{i=1}^\infty=\{(x_i-t_{x_i},x_i+t_{x_i})\}_{i=1}^j$、$j\in\Zp\cup\{\infty\}$ が存在して
$$U\subset\bigcup_{i=1}^j J_i,\sum_{i=1}^j\chi_{J_i}\le C.$$
$u'=0$ a.e. on $\R\backslash U$ に注意すると
\begin{align*}
\norm{u'}_{r;\R}^r&=\norm{u'}_{r;U}^r\\
&\le\sum_{i=1}^j\norm{u'}_{r;J_i}^r\\
&\le C\sum_{i=1}^j\left(\norm{u}_{q;J_i}\norm{u^{\prime\prime}}_{p;J_i}\right)^\frac{r}{2}\\
&\le C\left(\sum_{i=1}^j\norm{u}_{q;J_i}^q\right)^\frac{r}{2q}\left(\sum_{i=1}^j\norm{u^{\prime\prime}}_{p;J_i}^p\right)^\frac{r}{2p}\\
&\le C\norm{u}_{q;\R}^\frac{r}{2}\norm{u^{\prime\prime}}_{p;\R}^\frac{r}{2}
\end{align*}
を得る。

この定数 $C$ は $p,q$ には依存しないので、$p=\infty$ あるいは $q=\infty$ で $\supp u$ が有界の場合も成り立つ。一般の場合は $\zeta\in C^\infty_c(-2,2)$ を $\zeta=1$ in $(-1,1)$ となるようにとり $\zeta_m(t)\colon=\zeta(m^{-1}t)\ (m\in\Zp)$ として $\zeta_mu$ に補間不等式を用いて $m\to\infty$ とすれば従う。
{{end|proof}}

{{theorem|type=thm|name=補間不等式|label=intp2}}
$j,k\in\Zp$、$j\lt k$、$p,q\in[1,\infty]$ とし、$r\colon=\left(\frac{j}{k}p^{-1}+\frac{k-j}{k}q^{-1}\right)^{-1}$ とする。次が成り立つ:
*(1) $W^{k,p}(\R^n)\cap L^q(\R^n)\subset W^{j,r}(\R^n)$ で $u\in W^{k,p}(\R^n)\cap L^q(\R^n)$ について
$$\norm{D^ju}_{r;\R^n}\le C_{n,j,k}\norm{D^ku}_{p;\R^n}^\frac{j}{k}\norm{u}_{q;\R^n}^\frac{k-j}{k}.$$
*(2) $T\subset\pOm$ が(\ref{D'})をみたす相対開集合のとき $W^{k,p}_0(\OmT)\cap L^q(\Omega)\subset W^{j,r}_0(\OmT)$ で $u\in W^{k,p}_0(\OmT)\cap L^q(\Omega)$ について
$$\norm{D^ju}_{r;\Omega}\le C_{j,k,\Omega,T}\norm{u}_{k,p;\Omega}^\frac{j}{k}\norm{u}_{q;\Omega}^\frac{k-j}{k}.$$
*(3) $\Omega$ が有界なLipschitz領域のとき $W^{k,p}(\Omega)\cap L^q(\Omega)\subset W^{j,r}(\Omega)$ で $u\in W^{k,p}(\Omega)\cap L^q(\Omega)$ について
$$\norm{D^ju}_{r;\Omega}\le C_{j,k,\Omega}\norm{u}_{k,p;\Omega}^\frac{j}{k}\norm{u}_{q;\Omega}^\frac{k-j}{k}.$$

{{begin|proof|display=''Proof.''}}
(1)を示す。(2)と(3)は(1)と拡張作用素により従う。

まず $j=1$、$k=2$、$p,q\in[1,\infty)$ の場合を示す。$u\in C^\infty_c(\R^n)$ としてよい。{{ref|type=lem|label=intp0}}より $i=1,\ldots,n$ について
\begin{align*}
\norm{D_iu}_r&=\left(\int_{\R^{n-1}}\left(\int_\R|D_iu(x_1,\ldots ,x_n)|^rdx_i\right)dx_1\ldots dx_{i-1}dx_{i+1}\ldots dx_n\right)^{r^{-1}}\\
&\le C\left(\int_{\R^{n-1}}\left(\int_\R|D_{ii}u(x_1,\ldots,x_n)|^pdx_i\right)^\frac{r}{2p}\left(\int_\R|u(x_1,\ldots ,x_n)|^qdx_i\right)^\frac{r}{2q}dx_1\ldots dx_{i-1}dx_{i+1}\ldots dx_n\right)^{r^{-1}}\\
&\le C\norm{D_{ii}u}_p^\frac{1}{2}\norm{u}_q^\frac{1}{2}.
\end{align*}
これより $\norm{Du}_r\le C\norm{u}_p^\frac{1}{2}\norm{D^2u}_q^\frac{1}{2}$ を得る。

$j=1$、$k=2$ で $p,q$ のいずれかが $\infty$ の場合を示す。$\supp u$ がコンパクトな場合は $p,q\in[1,\infty)$ の場合の定数 $C$ が $p,q$ に依存していないことから従う。$\supp u$ がコンパクトでない場合は $\zeta\in C^\infty_c(B_2(0))$ を $0\le\zeta\le 1$、$\zeta=1$ in $B_1(0)$ となるようにとり $\zeta_m(x)=\zeta(m^{-1}x)\ (m\in\Zp)$ として $\zeta_mu$ に補間不等式を用いて $m\to\infty$ とすれば従う。

$k=j+1$ の場合を $j$ に関する帰納法により示す。

$j=1$ の場合は既に示した。

ある $j$ について主張が成り立ったとし、$u\in W^{j+2,p}(\R^n)\cap L^q(\R^n)$、$r\colon=\left(\frac{j+1}{j+2}p^{-1}+\frac{1}{j+1}q^{-1}\right)^{-1}$ とする。$j=1$ の場合と仮定より
$$\norm{D^{j+1}u}_r\le C\norm{D^ju}_{\left(\frac{j}{j+2}p^{-1}+\frac{2}{j+1}q^{-1}\right)^{-1}}^\frac{1}{2}\norm{D^{j+2}u}_p^\frac{1}{2}\le C\norm{D^{j+1}u}_r^\frac{j}{2(j+1)}\norm{D^{j+2}u}_{p}^\frac{1}{2}\norm{u}_q^\frac{1}{2(j+1)}.$$
これより
$$\norm{D^{j+1}u}_r\le C\norm{D^{j+2}u}_p^\frac{j+1}{j+2}\norm{u}_q^\frac{1}{j+2}$$
を得る。

一般の場合を $j$ を固定し $k$ に関する帰納法により示す。

$k=j+1$ の場合は既に示した。

ある $k$ について主張が成り立ったとし、$u\in W^{k+1,p}(\R^n)\cap L^q(\R^n)$、$r\colon=\left(\frac{j}{k+1}p^{-1}+\frac{k-j+1}{k+1}q^{-1}\right)^{-1}$ とする。$k=j+1$ の場合と仮定より
$$\norm{D^ju}_r\le C\norm{D^ku}_{\left(\frac{k}{k+1}p^{-1}+\frac{1}{k+1}q^{-1}\right)^{-1}}^\frac{j}{k}\norm{u}_q^\frac{k-j}{k}\le C\norm{D^ju}_r^\frac{j}{k(k-j+1)}\norm{D^{k+1}u}_p^\frac{j(k-j)}{k(k-j+1)}\norm{u}_q^\frac{k-j}{k}.$$
これより
$$\norm{D^ju}_r\le C\norm{D^{k+1}u}_p^\frac{j}{k+1}\norm{u}_q^\frac{k-j+1}{k+1}$$
を得る。
{{end|proof}}

{{theorem|type=cor|label=equivnorm}}
$\Omega=\R^n$、あるいは $\Omega$ が有界なLipschitz領域のとき $p\in[1,\infty]$ とすると $u\in W^{k,p}(\Omega)$ について
$$\norm{u}_{k,p;\Omega}\le C_{k,\Omega}\left(\norm{u}_{p;\Omega}+\norm{D^ku}_{p;\Omega}\right).$$

{{begin|proof}}
{{ref|type=thm|label=intp2}}で $p=q$ とすると $j=1,\ldots,k-1$ について
$$\norm{D^ju}_{p}\le C\norm{u}_{k,p}^\frac{j}{k}\norm{u}_p^\frac{k-j}{k}\le\frac{1}{2(k-1)}\norm{u}_{k,p}+C\norm{u}_p$$
であるから
$$\norm{u}_{k,p}\le\sum_{j=0}^k\norm{D^ju}_p\le\frac{1}{2}\norm{u}_{k,p}+C(\norm{u}_p+\norm{D^ku}_p)$$
となり
$$\norm{u}_{k,p}\le C(\norm{u}_p+\norm{D^ku}_p)$$
となる。
{{end|proof}}

{{theorem|type=rmk}}
これより $\norm{u}_p+\norm{D^ku}_p$ や $\left(\norm{u}_p^p+\norm{D^ku}_p^p\right)^{p^{-1}}$ は $W^{k,p}(\Omega)$ に $\norm{u}_{k,p}$ と同値なノルムを定めることが従う。

一方Sobolevの不等式を用いるとこれとは異なる補間不等式を得られる。

{{theorem|type=pro|label=intp3}}
$p\in[1,n]$、$q\in[1,\infty)$、$\tau\in(0,1]$ とし、$r\colon=\left((1-\tau)p^{*-1}+\tau q^{-1}\right)^{-1}$ とすると次が成り立つ:
*(1) $W^{1,p}(\R^n)\cap L^q(\R^n)\subset L^r(\R^n)$ で $u\in W^{1,p}(\R^n)\cap L^q(\R^n)$ について
$$\norm{u}_{r;\R^n}\le C_{n,p,q,\tau}\norm{Du}_{p;\R^n}^{1-\tau}\norm{u}_{q;\R^n}^\tau.$$
*(2) $T\subset\pOm$ が(\ref{D})をみたす相対開集合のとき $W^{1,p}_0(\OmT)\cap L^q(\Omega)\subset L^r(\Omega)$ で $u\in W^{1,p}_0(\OmT)\cap L^q(\Omega)$ について
$$\norm{u}_{r;\Omega}\le C_{n,p,q,\tau,\Omega,T}\norm{u}_{1,p;\Omega}^{1-\tau}\norm{u}_{q;\Omega}^\tau.$$
*(3) $\Omega$ が有界な $C^{0,1}$ 領域のとき $W^{1,p}(\Omega)\cap L^q(\Omega)\subset L^r(\Omega)$ で $u\in W^{1,p}(\Omega)\cap L^q(\Omega)$ について
$$\norm{u}_{r;\Omega}\le C_{n,p,q,\tau,\Omega}\norm{u}_{1,p;\Omega}^{1-\tau}\norm{u}_{q;\Omega}^\tau.$$

{{begin|proof|display=''Proof.''}}
(1)を示す。(2)と(3)は(1)と拡張作用素により従う。

$p\in[1,n)$ のときは{{ref|type=thm|label=GNS}}より直ちに従う。以下 $p=n$ とする。

$m\in\Zp$ について{{ref|type=thm|label=GNS}}より
$$\norm{u}_{q+m1^*}^{1^{*-1}q+m}\le C\norm{|u|^{1^{*-1}q+m-1}Du}_1\le C\norm{Du}_n\norm{u}_{q+(m-1)1^*}^{1^{*-1}q+m-1}.$$
帰納法により $m\in\Zp$ について
$$\norm{u}_{q+m1^*}^{1^{*-1}q+m}\le C\norm{Du}_n^m\norm{u}_q^{1^{*-1}q}.$$
ここで $m=\left\lfloor 1^{*-1}(r-q)\right\rfloor$ ととる。このとき $q+m1^*\le r\lt q+(m+1)1^*$ となる。$\theta\in[0,1)$ を $r^{-1}=(1-\theta)(q+m1^*)^{-1}+\theta(q+(m+1)1^*)^{-1}$ となるようにとると
\begin{align*}
\norm{u}_r&\le\norm{u}_{q+m1^*}^{1-\theta}\norm{u}_{q+(m+1)1^*}^\theta\\
&\le C\norm{Du}_n^{m(1-\theta)(1^{*-1}q+m)^{-1}+(m+1)\theta(1^{*-1}q+m+1)^{-1}}\norm{u}_q^{((1-\theta)(1^{*-1}q+m)^{-1}+\theta(1^{*-1}q+m+1)^{-1})1^{*-1}q}\\
&=C\norm{Du}_n^{1-\frac{q}{r}}\norm{u}_q^{\frac{q}{r}}=C\norm{Du}_n^{1-\tau}\norm{u}_q^\tau.
\end{align*}
{{end|proof}}

{{theorem|type=rmk}}
$p=q=n$ の場合より、$|\Omega|=\infty$ の場合でも任意の $r\in[n,\infty)$
について $W^{1,n}_0(\Omega)\subset L^r(\Omega)$ で $u\in W^{1,n}_0(\Omega)$ について $\norm{u}_{r;\Omega}\le C_{n,r}\norm{u}_{1,n;\Omega}$ が成り立つ。{{ref|type=cor|label=pn}}と比較せよ。

{{ref|type=thm|label=intp2}}と{{ref|type=pro|label=intp3}}を組み合わせてより一般的な補間不等式を得る。

{{theorem|type=lem|label=intp4}}
$k\in\Zz$、$\alpha\in[0,1]$、$q\in[1,\infty]$ とする。$\theta\in[0,1]$ について次が成り立つ:
*(1) $\sigma\colon=(1-\theta)(k+\alpha)-\frac{\theta n}{q}\le 0$ のとき $r\colon=\frac{n}{\sigma}$ とすると $u\in C^{k,\alpha}(\R^n)\cap L^q(\R^n)$ について
$$\norm{u}_{r;\R^n}\le C_{p,k,\alpha,\tau}[u]_{k,\alpha;\R^n}^{1-\theta}\norm{u}_{q;\R^n}^\theta.$$
*(2) $\sigma\gt 0$ のとき $j\colon=\lceil \sigma\rceil-1$、$\beta\colon=\sigma-j$ とすると　$u\in C^{k,\alpha}(\R^n)\cap L^q(\R^n)$ について
$$[u]_{j,\beta;\R^n}\le C_{p,k,\alpha,\tau}[u]_{k,\alpha;\R^n}^{1-\theta}\norm{u}_{q;\R^n}^\theta.$$

{{begin|proof}}
$$\theta=\frac{(k+\alpha-\sigma)q}{(k+\alpha)q+n}=\left(1+\frac{\sigma q}{n}\right)\frac{(k+\alpha)q}{(k+\alpha)q+n}-\frac{\sigma q}{n}=\left(1-\frac{\sigma}{k+\alpha}\right)\frac{(k+\alpha)q}{(k+\alpha)q+n}$$
に注意する。

$q=\infty$ の場合は[[Hölder空間の基本事項]]の定理54で既に示されている。<ref name="kaintp">正確には $u|_{B_R(0)}$ に対し定理を適用して $R\to\infty$ とする必要がある。</ref>以下 $q\in[1,\infty)$ とする。

まず $k=0$、$\sigma=0$ の場合を示す。$\alpha=0$ のときは明らかであるから $\alpha\in(0,1]$ としてよい。

$[u]_{0,\alpha}=0$ のときは $u$ は定数関数であって $u\in L^q(\R^n)$ であるから $u\equiv 0$。この場合主張は明らかである。以下 $[u]_{0,\alpha}\neq 0$ とする。

$x\in\R^n$、$u(x)\neq 0$ として $R=\left(\frac{|u(x)|}{2[u]_{0,\alpha}}\right)^{\alpha^{-1}}$ とすると $|u|\ge \frac{1}{2}|u(x)|$ on $B_R(x)$ となり
$$\norm{u}_q\ge\frac{1}{2}|B_R(x)|^{q^{-1}}|u(x)|=\frac{1}{2}\omega_n^{q^{-1}}|u(x)|^{1+\frac{n\alpha^{-1}}{q}}[u]_{0,\alpha}^{-\frac{n\alpha^{-1}}{q}}.$$
$x$ について $\sup$ をとると $\norm{u}^{1+\frac{n\alpha^{-1}}{q}}[u]_{0,\alpha}^{-\frac{n\alpha^{-1}}{q}}\le C\norm{u}_q$。$\theta=\frac{\alpha q}{\alpha q+n}$ であるから
$$\norm{u}_\infty\le C[u]_{0,\alpha}^{1-\theta}\norm{u}_q^\theta$$
を得る。

$k\ge 1$、$\sigma=0$ の場合を示す。$k=0$ の場合と[[Hölder空間の基本事項]]の定理54<ref name=kaintp />より
$$\norm{u}_\infty\le C[u]_{0,1}^\frac{n}{q+n}\norm{u}_q^\frac{q}{q+n}\le C[u]_{k,\alpha}^\frac{n}{(k+\alpha)(q+n)}\norm{u}_\infty^\frac{(k-1+\alpha)n}{(k+\alpha)(q+n)}\norm{u}_q^\frac{q}{q+n}.$$
$\theta=\frac{(k+\alpha)q}{(k+\alpha)q+n}$ であるから
$$\norm{u}_\infty\le C[u]_{k,\alpha}^{1-\theta}\norm{u}_q^\theta$$
を得る。

(1)を示す。Hölderの不等式と $k\ge 1$、$\sigma=0$ の場合より
$$\norm{u}_r\le\norm{u}_\infty^{1+\frac{\sigma q}{n}}\norm{u}_q^{-\frac{\sigma q}{n}}\le[u]_{k,\alpha}^{1-\theta}\norm{u}_q^\theta$$
を得る。

(2)を示す。[[Hölder空間の基本事項]]の定理54<ref name=kaintp />と $k\ge 1$、$\sigma=0$ の場合より
$$[u]_{j,\beta}\le C[u]_{k,\alpha}^\frac{\sigma}{k+\alpha}\norm{u}_\infty^{1-\frac{\sigma}{k+\alpha}}\le C[u]_{k,\alpha}^{1-\theta}\norm{u}_q^\theta$$
を得る。
{{end|proof}}

{{theorem|type=thm|name=Gagliardo-Nirenbergの補間不等式|label=GN}}
$j\in\Zz$、$k\in\Zp$、$j\lt k$ とする。$p,q\in[1,\infty)$ とし、
$$\tau\in\begin{cases}
\left(0,\frac{k-j}{k}\right]&\colon p\in(1,\infty),k-j-\frac{n}{p}\in\Zz\\
\left[0,\frac{k-j}{k}\right]&\colon \rm{otherwise}
\end{cases}$$
をみたすとする。
$$\sigma\colon=(1-\tau)\left(k-\frac{n}{p}\right)-\frac{\tau n}{q}-j$$
とすると次が成り立つ:
*(1) $\sigma\le 0$ のとき $r\colon=-\frac{n}{\sigma}$ とすると $W^{k,p}(\R^n)\cap L^q(\R^n)\subset W^{j,r}(\R^n)$ で $u\in W^{k,p}(\R^n)\cap L^q(\R^n)$ について
$$\norm{D^ju}_{r;\R^n}\le C_{n,p,q,\tau}\norm{D^ku}_{p;\R^n}^{1-\tau}\norm{u}_{q;\R^n}^\tau.$$
また $T\subset\pOm$ が(\ref{D'})をみたす相対開集合のとき $W^{k,p}_0(\OmT)\cap L^q(\Omega)\subset W^{j,r}_0(\OmT)$ で $u\in W^{k,p}_0(\OmT)\cap L^q(\Omega)$ について
$$\norm{D^ju}_{r;\Omega}\le C_{p,q,\Omega,T,\tau}\norm{u}_{k,p;\Omega}^{1-\tau}\norm{u}_{q;\Omega}^\tau.$$
$\Omega$ が有界なLipschitz領域のとき $W^{k,p}(\Omega)\cap L^q(\Omega)\subset W^{j,r}(\Omega)$ で $u\in W^{k,p}(\Omega)\cap L^q(\Omega)$ について
$$\norm{D^ju}_{r;\Omega}\le C_{p,q,\Omega,\tau}\norm{u}_{k,p;\Omega}^{1-\tau}\norm{u}_{q;\Omega}^\tau.$$
*(2) $\sigma\gt 0$ のとき $j'\colon=j+\lceil\sigma\rceil-1$、$\alpha\colon=\sigma-(\lceil\sigma\rceil-1)$ とすると $W^{k,p}(\R^n)\cap L^q(\R^n)\subset C^{j',\alpha}(\R^n)$ で $u\in W^{k,p}(\R^n)\cap L^q(\R^n)$ について
$$[u]_{j',\alpha;\R^n}\le C_{n,p,q,\tau}\norm{D^ku}_{p;\R^n}^{1-\tau}\norm{u}_{q;\R^n}^\tau.$$
また $T\subset\pOm$ が(\ref{D'})をみたす相対開集合のとき $W^{k,p}_0(\OmT)\cap L^q(\Omega)\subset C^{j',\alpha}(\Ombar)$ で $u\in W^{k,p}_0(\OmT)\cap L^q(\Omega)$ について
$$[u]_{j',\alpha;\Omega}\le C_{p,q,\Omega,T,\tau}\norm{u}_{k,p;\Omega}^{1-\tau}\norm{u}_{q;\Omega}^\tau.$$
$\Omega$ が有界なLipschitz領域のとき $W^{k,p}(\Omega)\cap L^q(\Omega)\subset C^{j',\alpha}(\Ombar)$ で $u\in W^{k,p}(\Omega)\cap L^q(\Omega)$ について
$$[u]_{j',\alpha;\Omega}\le C_{p,q,\Omega,\tau}\norm{u}_{k,p;\Omega}^{1-\tau}\norm{u}_{q;\Omega}^\tau.$$

{{begin|proof|display=''Proof.''}}
$\Omega=\R^n$ の場合を示す。その他は拡張作用素により従う。

$u\in C^\infty(\R^n)$ としてよい。表記を簡単にするため次の記号を用いる: $k\in\Zz$、$\sigma\ge k-n$ について
$$\langle u\rangle_{k,\sigma}\colon=\begin{cases}
\norm{D^ku}_{\frac{n}{k-\sigma}}&\colon \sigma\in[k-n,k]\\
[u]_{\lceil\sigma\rceil-1,\sigma-(\lceil\sigma\rceil-1)}&\colon \sigma\gt k
\end{cases}.$$
{{ref|type=thm|label=gsob}}より $j,k\in\Zz$、$j\lt k$ で $\sigma\ge k-n$ が $\sigma-j\notin\Zz$、$\sigma=k-n$、$\sigma=k$ のいずれかをみたすとき
$$\langle u\rangle_{j,\sigma}\le C\langle u\rangle_{k,\sigma}.$$
{{ref|type=thm|label=intp2}}より $j,k\in\Zp$、$j\lt k$、$\sigma\in[k-n,0]$、$\sigma'\in[-n,0]$ について
$$\langle u\rangle_{j,\frac{k-j}{k}\sigma+\frac{j}{k}\sigma'}\le C\langle u\rangle_{k,\sigma}^\frac{k-j}{k}\langle u\rangle_{0,\sigma'}^\frac{j}{k}.$$
{{ref|type=pro|label=intp3}}より $k\in\Zp$、$\sigma\in[k-n,k-1]$、$\sigma\in[k-n,0]$、$\tau\in[0,1)$ について
$$\langle u\rangle_{k-1,(1-\tau)\sigma+\tau\sigma'}\le C\langle u\rangle_{k,\sigma}^{1-\tau}\langle u\rangle_{k-1,\sigma'}^\tau.$$
Hölderの不等式と{{ref|type=lem|label=intp4}}と[[Hölder空間の基本事項]]の定理54<ref name="kaintp" />より $k\in\Zz$、$\sigma,\sigma'\ge k-n$、$\theta\in[0,1]$ について
$$\langle u\rangle_{k,(1-\theta)\sigma+\theta\sigma'}\le C\langle u\rangle_{k,\sigma}^{1-\theta}\langle u\rangle_{k,\sigma'}^{\theta}.$$
また主張は次のように表される: $k\in\Zp$、$\sigma\in [k-n,k]$、$\sigma'\in [-n,0]$ とし、
$$\begin{cases}
\tau\in\left[\frac{j}{k},1\right)&\colon \sigma\in(k-n,k),\sigma-j\in\Zz\\
\tau\in\left[\frac{j}{k},1\right]&\colon \rm{otherwise}
\end{cases}$$
とすると
$$\langle u\rangle_{j,(1-\tau)\sigma+\tau\sigma'}\le C\langle u\rangle_{k,\sigma}^{1-\tau}\langle u\rangle_{\sigma'}^\tau.$$

$\tau=\frac{k-j}{k}$ の場合および $\sigma-j\notin\Zz$、$\sigma=k-n$ あるいは $\sigma=k$ で $\tau=0$ の場合は{{ref|type=thm|label=genSob}}、{{ref|type=thm|label=lip}}から直ちに従う。

$\sigma\in\left(k-n,k\right)$、$\sigma-j\in\Zz$、$\tau\in\left(0,\frac{1}{k}\right]$ とする。

$\sigma\in\Z$ より $\sigma\le k-1$ であるから
$$\langle u\rangle_{k-1,(1-\tau)\sigma+\tau\sigma'}\le C\langle u\rangle_{k,\sigma}^{1-k\tau}\langle u\rangle_{k-1,\frac{k-1}{k}\sigma+\frac{1}{k}\sigma'}^{k\tau}\le C\langle u\rangle_{k,\sigma}^{1-\tau}\langle u\rangle_{k,\sigma'}^\tau$$
となり $j=k-1$ の場合が従う。また $\sigma\ge j\gt 0\le\sigma'$ より十分小さく $\tau$ をとれば $(1-\tau)\sigma+\tau\sigma'\notin\Z$ となり $j=1,\ldots,k-2$ について $\langle u\rangle_{j,(1-\tau)\sigma+\tau\sigma'}\le C\langle u\rangle_{k-1,(1-\tau)\sigma+\tau\sigma'}$ となりこの場合も従う。

また $\tau=\tau_1,\tau_2$ について主張が成り立ったとして $\theta\in[0,1]$、$\tau=(1-\theta)\tau_1+\theta\tau_2$ とすると
$$(1-\tau)\sigma+\tau\sigma'=(1-\theta)((1-\tau_1)\sigma+\tau_1\sigma')+\theta((1-\tau_2)\sigma+\tau_2\sigma'),(1-\theta)(1-\tau_1)+\theta(1-\tau_2)=1-\tau$$
であるから
$$\langle u\rangle_{j,(1-\tau)\sigma+\tau\sigma'}\le C\langle u\rangle_{j,(1-\tau_1)\sigma+\tau_1\sigma'}^{1-\theta}\langle u\rangle_{j,(1-\tau_2)\sigma+\tau_2\sigma'}^\theta\le C\langle u\rangle_{k,\sigma}^{1-\tau}\langle u\rangle_{\sigma'}^\tau.$$
以上より主張が従う。
{{end|proof}}

==トレース作用素==
最後に $u\in W^{1,p}(\Omega)$ に「境界値」を定めるトレース作用素について述べる。$n=1$ の場合と $p\in(n,\infty]$ の場合は適切な仮定の下 $W^{1,p}(\Omega)\subset C^{0,1-\frac{n}{p}}(\Ombar)$ であったから $u\in W^{1,p}(\Omega)$ には境界値を定めることができるが、そうでない場合も $\Omega$ が $C^{0,1}$ 以上のなめらかさがある境界部分をもつとき $u\in W^{1,p}(\Omega)$ にその上の「弱い意味の境界値」を定めることができる。

{{theorem|type=lem|label=halfspcase}}
$\mu=(\mu_1,...,\mu_n)\in B_1(0)$、$\xi\in\R^n$ とし、$\Omega\colon=\{x\in\R^n\colon \mu\cdot(x-\xi)\gt 0\}$ を半空間とする。$u\in C^{0,1}(\Ombar)$ で $\supp u$ が有界なものについて
$$\int_\Omega D_iu=-\mu_i\int_\pOm ud\H^{n-1}.$$

{{begin|proof}}
$\xi=0$ としてよい。Lipschitz連続関数 $x\mapsto \mu\cdot x$ に対して[[Hausdorff測度とarea_coarea_formula|coarea formula]]を用いると
\begin{align*}
\int_\Omega D_\mu u&=\int_0^\infty\left(\int_{\{\mu\cdot y=t\}}D_\mu u(y)d\H^{n-1}(y)\right)dt\\
&=\int_0^\infty\left(\int_\pOm D_\mu u(x+t\mu)d\H^{n-1}(x)\right)dt\\
&=-\int_\pOm ud\H^{n-1}.
\end{align*}
一方 $\mu'\in\R^n\backslash\{0\}$、$\mu'\cdot\mu=0$ とするとcoarea formulaより
\begin{align*}
\int_\Omega D_{\mu'}u&=\int_\R\left(\int_{\{\mu\cdot y\gt 0,\mu'\cdot y=t\}}D_{\mu'}u(y)d\H^{n-1}(y)\right)|\mu'|^{-1}dt\\
&=\int_\R\left(\int_{\{\mu\cdot y\gt 0,\mu'\cdot y=0\}}D_{\mu'}u(x+t\mu')d\H^{n-1}(x)\right)|\mu'|^{-1}dt\\
&=0.
\end{align*}
$i=1,...,n$ について $(e_i-\mu_i\mu)\cdot\mu=0$ であるから
$$\int_\Omega D_iu=\mu_i\int_\Omega D_\mu u+\int_\Omega D_{e_i-\mu_i\mu}u=-\mu_i\int_\pOm ud\H^{n-1}.$$
{{end|proof}}

{{theorem|type=lem|label=tracelem}}
$S\subset\R^n$ が $|S|=0$ をみたすとすると $f\in L^1_\loc(\R^n)$ について
$$\lim_{r\to+0}\frac{1}{r^{n-1}}\int_{B_r(x)}|f|=0\ \H^{n-1}-\ae x\in S.$$

{{begin|proof|display=''Proof.''|collapsible=1}}
$S$ は有界であるとしてよい。$\sigma\gt 0$ とし、
$$A_\sigma\colon=\left\{x\in\R^n\colon\limsup_{r\to+0}\frac{1}{r^{n-1}}\int_{\Bb_r(x)}|f|\gt\sigma\right\}$$
として $\H^{n-1}(A_\sigma)=0$ を示せば十分。

$S$ は有界で $|S|$ をみたすので $S$ の有界な開近傍 $U_1\supset U_2\ldots\supset S$ で $\displaystyle \left|\bigcap_{i=1}^\infty U_i\right|=0$ となるものをとれ、$\displaystyle\int_{U_1}|f|\lt\infty$ より $\displaystyle \lim_{i\to\infty}\int_{U_i}|f|=0$ となる。これより $\varepsilon\gt 0$ とすると $S$ の有界な開近傍 $U$ で $\displaystyle\int_{U}|f|\lt\varepsilon$ となるものをとれる。

$\varepsilon\gt 0$、$\delta\gt 0$ とし、$S\subset U$
$$\B\colon=\left\{\Bb=\Bb_r(x)\colon x\in A_\sigma,r\lt\delta,\Bb\subset U,\int_{\Bb}|f|\ge\sigma r^{n-1}\right\}$$
とすると、任意の $x\in A_\sigma$ と $\varepsilon\gt 0$ について $r\in(0,\varepsilon)$ が存在して $B_r(x)\in\B$。

[[Vitaliの被覆定理]]より $\{\Bb_i\}_{i=1}^\infty=\{\Bb_{r_i}(x_i)\}_{i=1}^\infty\subset\B$ で $i\neq j\implies \Bb_i\cap\Bb_j=\emptyset$ かつ $\displaystyle A_\sigma\subset\bigcup_{i=1}^\infty\Bb_{5r_i}(x_i)$ となるものが存在する。これより
$$\H^{n-1}_{10\delta}(A_\sigma)\colon=\omega_{n-1}\sum_{i=1}^\infty(5r_i)^{n-1}\le 5^{n-1}\omega_m\sum_{i=1}^\infty\int_{\Bb_i}|f|=5^{n-1}\omega_n\int_{\bigcup_{i=1}^\infty\Bb_i}|f|\le 5^{n-1}\omega_n\int_U|f|\lt\varepsilon.$$
$\delta\to +0$ として $\H^{n-1}(A_\sigma)\lt\varepsilon$ を得る。
{{end|proof}}

{{theorem|type=thm|name=トレース作用素|label=trace}}
$S\subset\pOm$ を $C^{0,1}$ 境界部分とする。$p\in[1,\infty)$、$u\in W^{1,p}(\Omega)$ とすると $\H^{n-1}$ -a.e. $\xi\in S$ について
$$Tu(\xi)\colon=\lim_{r\to +0}\frac{1}{|B_r(\xi)\cap\Omega|}\int_{B_r(\xi)\cap\Omega}u$$
は収束する。また $Tu\in L^p_\loc(S,\H^{n-1})$ で相対開集合 $S'\rcpt S$ について
$$\int_{S'} |Tu|^pd\H^{n-1}\le C_{p,S'}\int_\Omega\left(|u|^p+|u|^{p-1}|Du|\right).$$

{{begin|proof|display=''Proof.''|collapsible=1}}
$\xi\in\overline{S'}$ について開集合 $U_\xi\subset\R^n$ と全単射 $\psi_\xi\colon 2Q\to U_\xi$ が存在して $U_\xi\cap\Omega=\psi_\xi(2Q_+)$、$U_\xi\cap\pOm=\psi_\xi(2Q_0)$ かつ $\psi_\xi$ と $\psi_\xi^{-1}$ はいずれも $C^{0,1}$ 写像となる。$\overline{S'}$ はコンパクトであるから $\xi_1,\ldots ,\xi_N\in\overline{S'}$ を $\displaystyle\overline{S'}\subset\bigcup_{i=1}^N\psi_\xi(Q)$ となるようにとれる。$U_{\xi_i}$、$\psi_{\xi_i}$ をそれぞれ $U_i$、$\psi_i$ と置きなおす。$V_i\colon=\psi_i(Q)$ とする。$i=1,\ldots ,N$ について $L_i\colon=\max\{L(\psi|_Q),L(\psi^{-1}|_{V_i})^{-1}\}$ とする。

$\chi\in C^\infty([0,1])$ を $\chi(0)=1$ かつ $\chi(1)=0$ となるようにとる。Area不等式([[Hausdorff測度とarea_coarea_formula]]の定理19)より $u\in C^{0,1}(\Omega\cup S')\cap W^{1,p}(\Omega)$ と $p\in[1,\infty)$ について
\begin{align*}
\int_{V_i\cap\pOm}|u|^pd\H^{n-1}&\le L_i^n\int_{Q_0}|u\circ\psi_i|^pd\H^{n-1}\\
&=-pL_i^n\int_{Q_+}\frac{\partial}{\partial x_n}\left(\chi(x_n)|u(\psi_i(x',x_n))|^p\right)dx\\
&\le C\int_{Q_+}\left(|u\circ\psi_i|^p+|u\circ\psi_i|^{p-1}|D_n(u\circ\psi)|\right)\\
&\le C\int_{V_i\cap\Omega}\left(|u|^p+|u|^{p-1}|Du|\right).
\end{align*}
$i$ について加えて
$$\int_{S'} |u|^pd\H^{n-1}\le C\int_\Omega\left(|u|^p+|u|^{p-1}|Du|\right)$$
を得る。

{{ref|type=cor|label=apx4}}より $u\mapsto u|_{S'}$ は $W^{1,p}(\Omega)$ から $L^p(S',\H^{n-1})$ への有界線型作用素 $T$ に一意的に拡張される。$u_m\in C^\infty(\Omega\cup S')\cap W^{1,p}(\Omega)$、$\norm{u_m-u}_{1,p}\to 0\ (m\to\infty)$ とすると $\int_\pOm|u_m-Tu|^pd\H^{n-1}\to 0\ (m\to\infty)$ であるから部分列に移って $u_m\to Tu\ \H^{n-1}$ -a.e. on $S'$ となるようにできてFatouの補題により
$$\int_{S'} |Tu|^pd\H^{n-1}\le\liminf_{m\to\infty}\int_{S'}|u_m|^pd\H^{n-1}\le C\liminf_{m\to\infty}\int_\Omega\left(|u_m|^p+|u_m|^{p-1}|Du_m|\right)=\int_\Omega\left(|u|^p+|u|^{p-1}|Du|\right).$$

$u\in W^{1,p}(\Omega)$ について
$$\lim_{r\to +0}\frac{1}{|B_r(\xi)\cap\Omega|}\int_{B_r(\xi)\cap\Omega}|u-Tu(\xi)|=0\ \H^{n-1}-\ae \xi\in S'\tag{*}\label{trace}$$
を示す。

$i=1,\ldots ,N$ とする。Lebesgueの微分定理より $\H^{n-1}$ -a.e. $\eta\in Q_0$ について
$$\lim_{r\to+0}\frac{1}{s^{n-1}}\int_{B_s(\eta)\cap Q_0}|Tu\circ\psi_i-Tu(\psi_i(\eta))|d\H^{n-1}=0.$$
また $y\in Q_+$ を $(y',y_n)\in(-1,1)^{n-1}\times(0,1)$ と表すと $v\in C^\infty(\Omega\cup S)$ と $\eta\in Q_0$、$(B_s(\eta)\cap Q_0)\times(0,s)\subset Q_+$ について
\begin{align*}
\int_{(B_s(\eta)\cap Q_0)\times(0,s)}|v(\psi_i(y))-v(\psi_i(y',0))|&=\int_{(B_s(\eta)\cap Q_0)\times(0,s)}\left(\int_0^{y_n}|D_n(v\circ\psi_i)(y',t)|dt\right)dy\\
&=\int_{(B_s(\eta)\cap Q_0)\times(0,s)}(s-y_n)|D_n(v\circ\psi_i)(y)|dy\\
&\le s\int_{(B_s(\eta)\cap Q_0)\times(0,s)}|D_n(v\circ\psi_i)v|.
\end{align*}
area不等式より $\varphi\mapsto\varphi\circ\psi_i$ は $L^1(V_i\cap\pOm,\H^{n-1})$ から $L^1(Q_0,\H^{n-1})$ へ有界であることに注意すると近似により
$$\int_{(B_s(\eta)\cap Q_0)\times(0,s)}|u(\psi(y))-Tu(\psi_i(y',0))|dy\le s\int_{(B_s(\eta)\cap Q_0)\times(0,s)}|D_n(u\circ\psi_i)|.\tag{**}\label{trace2}$$
$(B_s(\eta)\cap Q_0)\times(0,s)\subset B_{\sqrt{2}s}(\eta)\cap Q_+$ と{{ref|type=lem|label=tracelem}}より $\H^{n-1}$ -a.e. $\eta\in Q_+$ について
$$\frac{1}{s^n}\int_{(B_s(\eta)\cap Q_0)\times(0,s)}|u(\psi_i(y))-Tu(\psi_i(y',0))|dy\le \frac{1}{s^{n-1}}\int_{B_{\sqrt{2}s}(\eta)\cap Q_+}|D_n(u\circ\psi_i)|\to 0\ (s\to+0).$$
これより $\H^{n-1}$ -a.e. $\eta\in Q_+$ について
\begin{align*}
&\quad\frac{1}{s^n}\int_{(B_s(\eta)\cap Q_0)\times(0,s)}|u\circ\psi_i-Tu(\psi_i(\eta))|\\
&\le\frac{1}{s^n}\int_{(B_s(\eta)\cap Q_0)\times(0,s)}|u(\psi_i(y))-Tu(\psi_i(y'))|dy+\frac{1}{s^{n-1}}\int_{B_s(\eta)\cap Q_0}|Tu\circ\psi_i-Tu(\psi_i(\eta))|d\H^{n-1}\\
&\to 0\ (s\to +0).
\end{align*}
また $\xi\in V_i\cap\pOm$ と十分小さい $r\gt 0$ について $\psi_i^{-1}(B_r(\xi)\cap\Omega)\subset B_{Lr}(\psi_i^{-1}(\xi))\cap Q_+\subset (B_{Lr}(\psi_i^{-1}(\xi))\cap Q_0)\times(0,Lr)$ かつ
$|B_r(\xi)\cap\Omega|\ge L_i^{-1}|B_{L_i^{-1}r}(\psi_i^{-1}(\xi))\cap Q_+|\ge\frac{1}{2}\omega_nL_i^{-2n}r^n$ となることとArea不等式より $\H^{n-1}$ -a.e. $\xi\in V_i\cap\pOm$ について
$$\frac{1}{|B_r(\xi)\cap\Omega|}\int_{B_r(\xi)\cap\Omega}|u-Tu(\xi)|\le \frac{C}{r^n}\int_{(B_{Lr}(\psi_i^{-1}(\xi))\cap Q_0)\times(0,Lr)}|u\circ\psi_i-Tu(\xi)|\to 0\ (r\to+0).$$
これより(\ref{trace})が成り立ち、とくに
$$\lim_{r\to +0}\frac{1}{|B_r(\xi)\cap\Omega|}\int_{B_r(\xi)\cap\Omega}u=Tu(\xi)\ \H^{n-1}-\ae \xi\in S'.$$

$S'\rcpt S$ は任意であったから、これにより $T\colon W^{1,p}(\Omega)\to L^p_\loc(S,\H^{n-1})$ が定まる。
{{end|proof}}

{{theorem|type=def|label=deftrace}}
$T$ を $\Omega$ におけるトレース作用素という。

{{theorem|type=rmk}}
$T$ の表示から明らかに $u\in W^{1,p}(\Omega)\cap C(\Omega\cup S)$ については $Tu=u|_S$ である。この意味で $Tu$ は $u$ の「弱い意味の境界値」となっている。

$\Omega$ が $C^{0,1}$ 領域のときは $S=\pOm$ ととれる。とくに $\Omega$ が有界な場合は $\pOm$ はコンパクトであるから $S'=\pOm$ ととれ、このとき $T\colon W^{1,p}(\Omega)\to L^p_{\loc}(\pOm,\H^{n-1})=L^p(\pOm,\H^{n-1})$ は有界線型作用素である。

{{theorem|type=pro|name=合成関数と積|label=traceelm}}
$S\subset\pOm$ を $C^{0,1}$ 境界部分とし、$T$ を $\Omega$ におけるトレース作用素とする。次が成り立つ:
*(1) $u=(u_1,\ldots,u_m)\in W^{1,p}(\Omega)^m$ と $G\in C^1(\R^m)$ が $G(u)\in W^{1,p}(\Omega)$ をみたすとき $T(G(u))=G(Tu)$ on $S$。ここで $Tu\colon=(Tu_1,\ldots,Tu_m)\in L^p_{\loc}(S,\H^{n-1})^m$ である。

また $u\in W^{1,p}(\Omega)$ と $G\in W^{1,1}_{\loc}(\R)$ が{{ref|type=thm|label=chain2}}の仮定をみたすとき $T(G(u))=G(Tu)$ on $S$。
*(2) $u_1,\ldots,u_m\in W^{1,p}(\Omega)$ が $u_1\ldots u_m\in W^{1,p}(\Omega)$ をみたすとき $T(u_1\ldots u_m)=Tu_1\ldots Tu_m$ on $S$。

{{begin|proof}}
(1)を示す。(2)は(1)で $G(t_1,\ldots,t_m)=t_1\ldots t_m$ とすれば従う。

$G'\in L^\infty(\R^m)^m$ の場合を示す。一般の場合は{{ref|type=thm|label=chain1}}と{{ref|type=thm|label=chain2}}の証明で与えた近似により従う。

このとき $G\in C^{0,1}(\R^m)$ であるから $\H^{n-1}$-a.e.$\xi\in S$ について
$$\frac{1}{r^n}\int_{B_r(\xi)\cap\Omega}|G(u)-G(Tu(\xi))|\le\frac{[G]_{0,1}}{r^n}\int_{B_r(\xi)\cap\Omega}|u-Tu(\xi)|\to 0\ (r\to +0).$$
これより $T(G(u))=G(Tu)$ が従う。
{{end|proof}}

{{theorem|type=pro|name=変数変換|label=tracechavar}}
$D,\widetilde{D}\subset\R^n$ を開集合とし、$\psi\colon\widetilde{D}\to D$ は全単射で $\psi$ と $\psi^{-1}$ はともに $C^{0,1}$ 写像であるとする。$\widetilde{\Omega}\rcpt\widetilde{D}$ を開集合として $\widetilde{S}\subset\partial\widetilde{\Omega}$ を $C^{0,1}$ 境界部分とし、 $\Omega\colon=\psi(\widetilde{\Omega})$、$S\colon=\psi(\widetilde{S})$ とする。$T$、$\widetilde{T}$ をそれぞれ $\Omega$、$\widetilde{\Omega}$ におけるトレース作用素とする。 $u\in W^{1,p}(\Omega)$ について $\widetilde{T}(u\circ\psi)=Tu\circ\psi$ on $\widetilde{S}$。

{{begin|proof}}
$u\in C^\infty(\Omega\cup T)\cap W^{1,p}(\Omega)$ の場合は明らか。一般の場合は近似により従う。
{{end|proof}}

{{theorem|type=thm|name=トレースの核の特徴づけ|label=trace0}}
$S\subset\pOm$ を $C^{0,1}$ 境界部分とし、$T$ を $\Omega$ におけるトレース作用素とする。 $p\in[1,\infty)$、$u\in W^{1,p}(\Omega)$ について次は同値:
*(1) $Tu=0$ on $S$。
*(2) 任意の $\zeta\in C^\infty_c((\R^n\backslash\pOm)\cup S)$ について $\zeta u\in W^{1,p}_0(\Omega)$。

とくに $\Omega$ が $C^{0,1}$ 領域のとき
$$\left\{u\in W^{1,p}(\Omega)\colon Tu=0\ \on\pOm\right\}=W^{1,p}_0(\Omega).$$

{{begin|proof|display=''Proof.''|collapsible=1}}
(2) $\implies$ (1) を示す。$u\in C^\infty_c(\Omega)$ のときは $Tu=0$ であるから $u\in W^{1,p}_0(\Omega)$ についても $Tu=0$。

任意の $\zeta\in C^\infty_c((\R^n\backslash\pOm)\cup S)$ について $\zeta u\in W^{1,p}_0(\Omega)$ となるとする。$S'\rcpt S$ とし、$\zeta\in C^\infty_c((\R^n\backslash\pOm)\cup S)$ を $\zeta=1$ on $S'$ かつ $\supp\zeta\rcpt\Omega\cup S$ となるようにとると $\zeta u\in W^{1,p}_0(\Omega)$ より $\zeta Tu=T(\zeta u)=0$。これより $Tu=0$ on $S'$。$S'\rcpt S$ は任意より $Tu=0$ を得る。

(1) $\implies$ (2) を示す。 $u\in W^{1,p}(\Omega)$ が $Tu=0$ をみたすとし、$\zeta\in C^\infty_c((\R^n\backslash\pOm)\cup S)$ とする。$S'\colon=\{\xi\in S\colon \zeta(\xi)\neq 0\}$ とすると $S'\rcpt S$。

{{ref|type=thm|label=trace}}と同様に $U_\xi$、$\psi_\xi$ をとり、$V_\xi$ を定める。また $W_\xi\colon=\psi_\xi(\frac{1}{2}Q)$ とする。$\xi_1,\ldots ,\xi_N\in\pOm$ を $\displaystyle \pOm\subset\bigcup_{i=1}^N W_{\xi_i}$ となるようにとり、$U_{\xi_i}$、$\psi_{\xi_i}$、$V_{\xi_i}$、$W_{\xi_i}$ をそれぞれ $U_i$、$\psi_i$、$V_i$、$W_i$ と置きなおす。

{{ref|type=thm|label=trace}}の証明の(\ref{trace2})と同様の計算により $s\in(0,1)$ について
$$\int_{(-1,1)^{n-1}\times(0,s)}|u\circ\psi_i|\le s\int_{(-1,1)^{n-1}\times(0,s)}|D_n(u\circ\psi_i)|.$$
$u$ を $|u|^p$ にとりかえれば
\begin{align*}
\int_{(-1,1)^{n-1}\times(0,s)}|u\circ\psi_i|^p&\le s\int_{(-1,1)^{n-1}\times(0,s)}|u\circ\psi_i|^{p-1}|D_n(u\circ\psi_i)|\\
&\le s\left(\int_{(-1,1)^{n-1}\times(0,s)}|u\circ\psi_i|^p\right)^{1-p^{-1}}\left(\int_{(-1,1)^{n-1}\times(0,s)}|D_nu\circ\psi_i|^p\right)^{p^{-1}}.
\end{align*}
これより
$$\int_{(-1,1)^{n-1}\times(0,s)}|u\circ\psi_i|^p\le s^p\int_{(-1,1)^{n-1}\times(0,s)}|D_nu\circ\psi_i|^p.$$
$\chi\in C^\infty((0,\infty))$ を
$$0\le\chi\le 1,\chi(t)=0\ \jf t\in(0,1),\chi(t)=1\ \jf t\gt 2$$
となるようにとり、$\chi_s(t)\colon=\chi(s^{-1}t)\ (s\gt 1)$ とする。$v_{s,i}\in W^{1,1}(Q_+)$ を
$$v_{s,i}(y',y_n)\colon=\chi_s(y_n)u(\psi_i(y))$$
と定めると $\supp v_{s,i}\subset[-1,1]^{n-1}\times[s,1]$ で
$$\int_{Q_+}|u\circ\psi_i-v_{s,i}|^p\le\int_{Q_+}(1-\chi_s(y_n))^p|u\circ\psi_i|^p\le\int_{(-1,1)^{n-1}\times(0,s)}|u\circ\psi_i|^p$$
で、
\begin{align*}
\int_{Q_+}|D(u\circ\psi_i-v_{s,i})|^p&\le C\left(\int_{Q_+}(1-\chi_s(y_n))^p|D(u\circ\psi_i)(y)|^pdy+\int_{Q_+}s^{-p}\chi'(s^{-1}y_n)^p|u(\psi_i(y))|^pdy\right)\\
&\le C\left(\int_{(-1,1)^{n-1}\times(0,s)}|D(u\circ\psi_i)(y)|^pdy+s^{-p}\int_{(-1,1)^{n-1}\times(0,s)}|u\circ\psi_i|^p\right)\\
&\le C\int_{(-1,1)^{n-1}\times(0,s)}|D(u\circ\psi_i)(y)|^pdy.
\end{align*}
これより
$$\norm{u\circ\psi_i-v_{s,i}}_{1,p}\to 0\ (s\to +0).$$
$\R^n$ の開被覆 $\R^n\backslash\pOm,W_1,\ldots ,W_N$ に従属する $1$ の分割 $\varphi_0,\varphi_1,\ldots ,\varphi_N$ をとって
$$u_s\colon=\varphi_0\zeta u+\sum_{i=1}^N\varphi_i(\zeta v_{s,i}\circ\psi_i^{-1})$$
とすると
$$\supp u_s\subset\bigcup_{i=1}^N \psi_i([-1,1]^{n-1}\times[s,1])$$
となり $u_s\in C^\infty_c(\Omega)$。また $\norm{u_s-\zeta u}_{1,p}\to 0\ (s\to +0)$。これより $\zeta u\in W^{1,p}_0(\Omega)$。
{{end|proof}}

{{theorem|type=pro|name=トレースSobolev不等式|label=TSob}}
$S\subset\pOm$ を $C^{0,1}$ 境界部分とし、$T$ を $\Omega$ におけるトレース作用素とする。$p\in(1,n)$ とすると $T(W^{1,p}(\Omega))\subset L^\frac{(n-1)p}{n-p}_\loc(S,\H^{n-1})$ で $u\in W^{1,p}(\Omega)$ と相対開集合 $S'\rcpt S$ について
$$\norm{Tu}_{\frac{(n-1)p}{n-p};S'}\le C_{p,S'}\norm{u}_{1,p;\Omega}.$$

{{begin|proof|display=''Proof.''|collapsible=1}}
$q\in[1,\infty)$ について
$$\int_{S'}|Tu|^qd\H^{n-1}\le C\int_\Omega\left(|u|^q+|u|^{q-1}|Du|\right)\le C\norm{u}_{p'(q-1)}^{q-1}\left(\norm{u}_p+\norm{Du}_p\right).$$
ここで $q=\frac{(n-1)p}{n-p}$ とすると $p'(q-1)=p^*$ となり
$$\int_{S'}|Tu|^qd\H^{n-1}\le C \norm{u}_{p^*}^{q-1}\norm{u}_{1,p}\le C\norm{u}_{1,p}^q.$$
{{end|proof}}

{{theorem|type=rmk}}
$p=n$ のときは任意の $q\subset[1,\infty)$ について $\norm{u}_{q;S'}\le C_{q,S'}\norm{u}_{1,n;\Omega}$ が成り立つ。また $p\in(n,\infty]$ のときは $Tu\in C^{0,\alpha}(S)$ である。

{{theorem|type=pro|name=トレース作用素のコンパクト性|label=Tcpt}}
$S\subset\pOm$ を $C^{0,1}$ 境界部分とし、$p\in(1,\infty)$ とする。
$$\begin{cases}
r\in\left[1,\frac{(n-1)p}{n-p}\right)&\colon p\in[1,n)\\
r\in[1,\infty)&\colon p=n\\
r\in[1,\infty]&\colon p\in(n,\infty)
\end{cases}$$
とすると $\Omega$ におけるトレース作用素 $T$ は相対開集合 $S'\rcpt S$ について $W^{1,p}(\Omega)$ から $L^r(S',\H^{n-1})$ へのコンパクト作用素である。すなわち、$\{u_m\}_{m=1}^\infty\subset W^{1,p}(\Omega)$ が $\displaystyle\sup_m\norm{u_m}_{1,p;\Omega}\lt\infty$ をみたすとすると部分列 $\{u_{m_j}\}_{m=1}^\infty$ で $\{Tu_{m_j}\}_{m=1}^\infty$ が $L^r(S',\H^{n-1})$ において収束するものがとれる。

{{begin|proof|display=''Proof.''}}
$q\colon=p'(r-1)\ge 1$ の場合を示せば十分。$v\in W^{1,p}(\Omega)$ について $\int_{S'}|Tu|^rd\H^{n-1}\le C\norm{u}_q^{r-1}\left(\norm{u}_p+\norm{Du}_p\right)$ となり、また $q$ は{{ref|type=thm|label=cpt}}の仮定をみたす。これより $L^q(\Omega)$ において収束する部分列 $\{u_{m_j}\}_{m=1}^\infty$ をとれば
$$\limsup_{i,j\to\infty}\int_{S'}|Tu_{m_i}-Tu_{m_j}|^r\le C\limsup_{i,j\to\infty}\norm{u_{m_i}-u_{m_j}}_q^{r-1}\sup_m\norm{u_m}_{1,p}=0$$
となる。
{{end|proof}}

対照的に、$p=1$ の場合は $\varphi\in L^1(S,\H^{n-1})$ を拡張して $Tu=\varphi$ となる $u\in W^{1,1}(\Omega)$ を構成することができる。

{{theorem|type=lem|label=trlem1}}
$S$ を $C^{0,1}$ 境界部分とする。$\H^{n-1}$ -a.e. $\xi\in S$ について $\nu(\xi)\in\partial B_1(0)$ であって次をみたすものが一意的に存在する:任意の $\lambda\in(0,1)$ について十分小さい $r\gt 0$ をとると
$$\{x\in\R^n\colon |x-\xi|\lt r,(x-\xi)\cdot\nu\lt -\lambda|x|\}\subset\Omega,\{x\in\R^n\colon |x-\xi|\lt r,(x-\xi)\cdot\nu\gt \lambda|x|\}\cap\Omega=\emptyset.$$
とくに
$$\chi_{\xi+a(\Omega-\xi)}\to\chi_{\{x\in\R^n\colon (x-\xi)\cdot\nu\lt 0\}}\ (a\to+\infty)\ \ae\inn\R^n.$$

{{begin|proof|display=''Proof.''|collapsible=1}}
開集合 $U\subset\R^n$ と全単射 $\psi\colon Q\to U$ が存在し $U\cap\Omega=\psi(Q_+)$、$S=\psi(Q_0)$ かつ $\psi$ と $\psi^{-1}$ がともに $C^{0,1}$ 写像となるものが存在するものが存在するとしてよい。

$Q_0\subset\R^{n-1}$ と見做して $\psi'\colon=\psi|_{Q_0}$ とすると[[Hausdorff測度とarea_coarea_formula|area formula]]とarea不等式より $E\subset Q_0$ について $\H^{n-1}(E)\le C\H^{n-1}\psi(E)\le C\int_E J\psi'$ であるから $J\psi'\gt 0\ \H^{n-1}$ -a.e. on $ Q_0$ であり、$\H^{n-1}$ -a.e. $y'\in Q_0$ について $D_1\psi(y'),\ldots ,D_{n-1}\psi(y')$ は一次独立である。

$y_0\in Q_0$ を $\psi'$ が微分可能で $D_1\psi(y_0),\ldots ,D_{n-1}\psi(y_0)$ が一次独立となりかつ $\nu_{j,1}\circ\psi'J\psi',\ldots ,\nu_{j,n}\circ\psi'J\psi'$ のLebesgue点となるような点とし、$\xi\colon=\psi(y_0)\in U\cap\pOm$ とする。$\H^{n-1}$ -a.e. $y_0\in Q_0$ はこれらをみたす。

また $\pi\colon=\xi+\operatorname{span}\{D_1\psi(y_0),\ldots ,D_{n-1}\psi(y_0)\}$ とする。また $\mu$ を平面 $\pi$ の単位法線ベクトルの一つとし、半空間 $\pi_+$、$\pi_-$ を $\pi_+\colon=\{x\in\R^n,\mu\cdot(x-\xi)\gt 0\}$、$\pi_-\colon=\{x\in\R^n,\mu\cdot(x-\xi)\lt 0\}$ と定める。

$\eta\in U\cap\pOm$ について
$$\mu\cdot(\eta-\xi)=\mu\cdot D\psi'(\psi^{-1}(\eta))(\psi^{-1}(\eta)-\psi^{-1}(\xi))+o(|\psi^{-1}(\eta)-\psi^{-1}(\xi)|)$$
よって $\lambda\in(0,1)$ について $C^+_\lambda\colon=\{x\in\R^n\colon\mu\cdot(x-\xi)\gt \lambda|x-\xi|\}$、$C^-_\lambda\colon=\{x\in\R^n\colon\mu\cdot(x-\xi)\lt-\lambda|x-\xi|\}$ とすると十分小さい $r\gt 0$ について
$$C^+_\lambda\cap B_r(\xi)\cap\pOm,C^-_\lambda\cap B_r(\xi)\cap\pOm=\emptyset$$
となり、
$$C^+_\lambda\cap B_r(\xi),C^-_\lambda\cap B_r(\xi)\subset U\backslash\pOm.$$
とくに $r_0\gt 0$ を十分小さくとると線分 $s_+\colon=\{\xi+t\mu\colon t\in(0,r_0)\}$ と $s_-\colon=\{\xi-t\mu\colon t\in(0,r_0)\}$ はともに $U\backslash\pOm$ に含まれる。$U\backslash\pOm=\psi(2Q\backslash 2Q_0)$ は $U\cap\Omega=\psi(2Q_+)$ と $U\backslash\Omega=\psi(2Q_-)$ の2つの連結成分をもち、$s_+$、$s_-$ はいずれもそのいずれか一方に含まれる。また十分小さい $r\gt 0$ について $C^+_\lambda\cap B_r(\xi)$ と $C^-_\lambda\cap B_r(\xi)$ も $U\backslash\pOm$ に含まれるので $U\cap\Omega$ と $U\backslash\Omega$ のいずれか一方に含まれ、また $C^+_\lambda\cap B_r(\xi)\cap s_+\neq\emptyset$、$C^-_\lambda\cap B_r(\xi)\cap s_-\neq\emptyset$ であるから
$$C^+_\lambda\cap B_r(\xi)\subset U\cap\Omega\iff s_+\subset U\cap\Omega,C^-_\lambda\cap B_r(\xi)\subset U\cap\Omega\iff s_-\subset U\cap\Omega.$$

$I\colon=\{\sigma\in\{+,-\}\colon s_i\subset U\cap\Omega\}$ とする。$\lambda\in(0,1)$ とし、$r\gt 0$ を十分小さくとって $C^+_\lambda\cap B_r(\xi)\subset U\backslash\pOm$ が成り立つようにする。任意の $x\in C^+_\lambda$ について、$a\gt 0$ を十分大きくとれば
$$\xi+a^{-1}(x-\xi)\in C^+_\lambda\cap B_r(\xi)$$
となり
$$\xi+a^{-1}(x-\xi)\in U\cap\Omega\iff +\in I.$$
これより
$$\chi_{\xi+a(U\cap\Omega-\xi)}(x)=\chi_{U\cap\Omega}(\xi+a^{-1}(x-\xi))\to\begin{cases}
1&\colon +\in I\\
0&\colon +\notin I
\end{cases}\ (a\to+\infty).$$
$\displaystyle\pi_+=\bigcup_{\lambda\in(0,1)} C^+_\lambda$ であるからこれは任意の $x\in\pi_+$ について成り立つ。

同様に任意の $x\in\pi_-$ について
$$\chi_{\xi+a(U\cap\Omega-\xi)}(x)\to\begin{cases}
1&\colon -\in I\\
0&\colon -\notin I
\end{cases}\ (a\to+\infty).$$
従って
$$\chi_{\xi+a(U\cap\Omega-\xi)}\to\chi_{\bigcup_{\sigma\in I}\pi_\sigma}\ (a\to+\infty).$$

また $\xi$ の開近傍 $W\subset U$ をとって $L\colon=\max\{L(\psi|_W),L(\psi^{-1}|_{\psi(W)})\}$ とすると十分小さい $r\gt 0$ について $|B_r(\xi)\cap\Omega|\ge\frac{1}{2}L^{-2n}\omega_nr^n$。$\lambda\in(0,1)$ を十分小さくとると $r\gt 0$ について $|C^+_\lambda\cap B_r(\xi)|,|C^+_\lambda\cap B_r(\xi)|\gt\frac{1}{2}\left(1-\frac{1}{2}L^{-2n}\right)\omega_nr^n$ となり、十分小さい $r\gt 0$ について
$$|C^+_\lambda\cap B_r(\xi)|+|C^+_\lambda\cap B_r(\xi)|+|B_r(\xi)\cap\Omega|\gt\omega_nr^n.$$
よって $C^+_\lambda\cap B_r(\xi)\cap\Omega\neq\emptyset$ または $C^-_\lambda\cap B_r(\xi)\cap\Omega\neq\emptyset$ が成り立ち、$I\neq\emptyset$。

$B_r(\xi)\cap\Omega$ を $B_r(\xi)\backslash\Omega$ にとりかえると同様に $I\neq\{+,-\}$ も示される。これより $I=\{+\}$ または $I=\{-\}$。

$$\bigcup_{i\in I}\pi_i=\begin{cases}
\pi_+=\{x\in\R^n\colon\mu\cdot(x-\xi)\gt 0\}&\colon I=\{+\}\\
\pi_-=\{x\in\R^n\colon\mu\cdot(x-\xi)\lt 0\}&\colon I=\{-\}
\end{cases}$$
であるから
$$\nu=\begin{cases}
-\mu&\colon I=\{+\}\\
\mu&\colon I=\{-\}
\end{cases}$$
とすればこの $\nu=\nu(\xi)$ は条件をみたす。
{{end|proof}}

{{theorem|type=def|name=外向き単位法線ベクトル|label=outnorm}}
$\nu(\xi)$ を $\xi$ における $S$ の(測度論的)外向き単位法線ベクトルという。

{{theorem|type=rmk}}
$\Omega$ がLipschitz領域のときは(\ref{Lipdom})をみたす $V_\xi$、$h_\xi$、$O_\xi$、$\gamma_\xi$ をとって $\psi$ を $\psi(y',y_n)=\xi+O_\xi(y',y_n+\gamma_\xi(y'))$ (を適当に制限しスケール変換して $Q\to\R^n$ としたもの)ととって証明中に得られた $\nu(\xi)$ の特徴づけを用いると $\H^{n-1}$ -a.e. $y'\in V_\xi$ について
$$\nu_i(\xi+O_\xi(y',\gamma_\xi(y'))=O_\xi\frac{(D\gamma_\xi(y'),-1)}{(|D\gamma_\xi(y')|^2+1)^\frac{1}{2}}$$
なる表示を得る。

とくに $\Omega$ がなめらかな領域の場合、$\nu(\xi)$ は幾何学的な外向き単位法線ベクトル([[ベクトル解析5：多様体の向き]]の定義22.1)と一致する。

{{ref|type=lem|label=trlem1}}より $\H^{n-1}$ -a.e. $\xi\in S$ について
$$r^{-n}|B_r(\xi)\cap\Omega|=|B_1(\xi)\cap(\xi+r^{-1}(\Omega-\xi))|\to|\{x\in B_1(\xi)\colon x\cdot\nu(\xi)\lt 0\}|=\frac{1}{2}\omega_n$$
が成り立つ。

{{theorem|type=lem|label=trlem2}}
$S\subset\Omega$ を $C^{0,1}$ 境界部分として $\nu$ を $S$ の外向き単位法線ベクトルとする。$F_i\rcpt S\ (i\in\Zp)$ で次をみたすものが存在する:
* $$\H^{n-1}\left(S\backslash\bigcup_{i=1}^\infty F_i\right)=0.$$
* $j_i\in\{1,\ldots,n\}$ と $\sigma_i\in\{1,-1\}$ と $F_i\rcpt U_i$ なる開集合 $U_i\subset\R^n$ と $\gamma_i\in C^{0,1}(\R^{n-1})$ が存在して
$$F_i\subset\{(x_1,\ldots,x_n)\in\R^n\colon\sigma_i x_{j_i}=\gamma(x_1,\ldots,x_{j_i-i},x_{j_i+1},\ldots,x_n)\}$$
かつ
$$\{(x_1,\ldots,x_n)\in U_i\colon\sigma_i x_{j_i}\gt\gamma(x_1,\ldots,x_{j_i-i},x_{j_i+1},\ldots,x_n)\}\subset\Omega.$$

{{begin|proof}}
(1)の $\nu=(\nu_1,\ldots,\nu_n)$ をとる。$\xi\in S$ を $\nu(\xi)$ が定義される点とすると $j\in\{1,\ldots,n\}$ であって $|\nu_j(\xi)|\ge n^{-\frac{1}{2}}$ となるものが存在するので $\lambda\colon=(2n)^{-\frac{1}{2}}$ として
$$D_{j,+}\colon=\left\{\xi\in S\colon \nu_j(\xi)\lt -\lambda \right\},D_{j,-}\colon=\left\{\xi\in S\colon \nu_j(\xi)\gt \lambda\right\}$$
とすると
$$\H^{n-1}\left(S\backslash\left(\bigcup_{j=1}^n D_{j,+}\cup\bigcup_{j=1}^n D_{j,-}\right)\right)=0.$$
$\xi\in D_{n,+}$ と $x\in\R^n$ について、$x-\xi=(y',y_n)\in\R^{n-1}\times\R$ と表すと
$$(\xi-x)\cdot\nu(\xi)\le\nu_n(\xi)y_n+(1-\nu_n(\xi)^2)^\frac{1}{2}|y'|.$$
$\nu_n(\xi)\lt -\lambda$、$(1-\nu_n(\xi)^2)^\frac{1}{2}\lt(1-\lambda^2)^\frac{1}{2}=\colon\lambda'$ に注意すると $y_n\gt\lambda'|x-\xi|$ なる $x$ について
$$(\xi-x)\cdot\nu(\xi)\le\nu_n(\xi)\lambda'+(1-\nu_n(\xi)^2)^\frac{1}{2}\lambda\lt 0.$$
$\nu$ のとりかたより $r\gt 0$ を十分小さくとれば
$$\xi+rC\subset\Omega.$$
ここで
$$C\colon=\{y=(y',y_n)\in\R^{n-1}\times\R\colon |y|\lt 1,y_n\gt\lambda'|y'|\}.$$
これより $E_{n,+,k}\colon=\{\xi\in D_{n,+}\colon \xi+2^{-k}C\subset\Omega\}$ とすると $\displaystyle \bigcup_{k=1}^\infty E_{n,+,k}=D_{n,+}$。

$k\in\Zp$ に対し、$F_{n,+,k,l}\subset E_{n,+,k}$ を $F_{n,+,k,l}\rcpt S$、$\diam F_{n,+,k,l}\lt 2^{-(k+1)}$ かつ $\displaystyle\bigcup_{l=1}^\infty F_{n,+,k,l}=E_{n,+,k}$ となるようにとり、$x'\in\R^{n-1}$ について
$$\gamma_{n,+,k,l}(x')\colon=\inf_{(\xi',\xi_n)\in F_{n,+,k,l}}(\xi_n+\lambda'|x'-\xi'|)$$
と定める。

$\gamma_{n,+,k,l}\in C^{0,1}(\R^{n-1})$ を示す。$x',y'\in\R^{n-1}$、$\varepsilon\gt 0$ として $\xi_n+\lambda'|x'-\xi'|\lt\gamma_{n,+,k,l}(x')+\varepsilon$ となる $(\xi',\xi_n)\in F_{n,+,k,l}$ をとると
$$\gamma_{n,+,k,l}(y')\le\xi_n+\lambda'|y'-\xi'|\le\xi_n+\lambda'|x'-\xi'|+\lambda'|x'-y'|\lt\gamma_{n,+,k,l}(x')+\lambda'|x'-y'|+\varepsilon.$$
これより $\gamma_{n,+,k,l}(y')\le\gamma_{n,+,k,l}(x')+\lambda|x'-y'|$。同様に $\gamma_{n,+,k,l}(x')\le\gamma_{n,+,k,l}(y')+\lambda|x'-y'|$ も成り立ち、$[\gamma]_{0,1}\le\lambda'$ が従う。

$\xi=(\xi',\xi_n)\in F_{n,+,k,l}$ とすると $\gamma_{n,+,k,l}(\xi')=\xi_n$ となることを示す。$(x',x_n)\in\xi+2^{-k}C$ とすると $x_n-\xi_n\gt\lambda'|x'-\xi'|$ であるから
$$\gamma_{n,+,k,l}(x')\le\xi_n+\lambda'|x'-\xi'|\lt x_n.$$
$\xi\in\overline{\xi+2^{-k}C}$ であるから $\gamma_{n,+,k,l}(\xi)\le \xi_n$。

一方 $\gamma_{n,+,k,l}(\xi)\lt\xi_n$ であったとすると $\eta=(\eta',\eta_n)\in F_{n,+,k,l}$ であって $\eta_n+\lambda'|\eta'-\xi'|\lt\xi_n$ となるものが存在する。$\xi_n-\eta_n\gt\lambda'|\eta'-\xi'|$ で、$\diam F_{n,+,k,l}\lt 2^{-(k+1)}$ より $|\xi-\eta|\lt 2^{-(k+1)}$ となるので $\xi\in\eta+2^{-k}C$。$\eta\in F_{n,+,k,l}\subset E_{n,+,k}$ より $\eta+2^{-k}C\subset\Omega$ であるから $\xi\in\Omega$ であるが、これは $F_{n,+,k,l}\subset E_{n,+,k}\subset\pOm$ に矛盾。これより $\gamma_{n,+,k,l}(\xi')=\xi_n$。

$$U_{n,+,k,l}\colon=\{x\in\R^n\colon \dist(x,F_{n,+,k,l})\lt 2^{-(k+1)}\}$$
とする。$x=(x',x_n)\in U_{n,+,k,l}$ が $x_n\gt\gamma_{n,+,k,l}(x')$ をみたすとすると $\xi=(\xi',x_n)\in F_{n,+,k,l}$ であって $\xi_n+\lambda'|x'-\xi_n|\lt x_n$ をみたすものが存在する。$x_n-\xi_n\gt\lambda'|x'-x_n|$ で、$\dist(x,F_{n,+,k,l})\lt 2^{-(k+1)}$ と $\diam F_{n,+,k,l}\lt 2^{-(k+1)}$ より $F_{n,+,k,l}\subset B_{2^{-k}}(x)$ であるから $|x-\xi|\lt 2^{-k}$。これより $x\in\xi+2^{-k}C\subset\Omega$。

同様に $j\in\{1,\ldots,n\}$ と $\sigma\in\{+,-\}$ について $F_{j,\sigma,k,l}\rcpt S$ と $\gamma_{j,\sigma,k,l}\in C^{0,1}(\R^{n-1})$ と $F_{j,\sigma,k,l}\rcpt U_{j,\sigma,k,l}$ なる開集合 $U_{j,\sigma,k,l}$ を
$$\bigcup_{k,l=1}^\infty F_{j,\sigma,k,l}=D_{j,\sigma},$$
$$F_{j,\sigma,k,l}\subset\{(x_1,\ldots,x_n)\in\R^n\colon \sigma_jx_j=\gamma_{j,\sigma,k,l}(x_1,\ldots,x_{j-1},x_{j+1},\ldots,x_n)\}$$
かつ
$$\{(x_1,\ldots,x_n)\in U_{j,\sigma,k,l}\colon \sigma_jx_j\gt\gamma_{j,\sigma,k,l}(x_1,\ldots,x_{j-1},x_{j+1},\ldots,x_n)\}\subset\Omega$$
となるようにとれる。

$\{(F_{j,\sigma,k,l},\gamma_{j,\sigma,k,l},U_{j,\sigma,k,l})\}_{j,\sigma,k,l}$ を $\{(F_i,\gamma_i,U_i)\}_i$ とおき直せば主張が従う。
{{end|proof}}

{{theorem|type=thm|name=境界上の関数の拡張|label=Text}}
$S\subset\pOm$ を $C^{0,1}$ 境界部分とし、開集合 $V\subset\R^n$ は $S\cap V\neq\emptyset$ をみたすとする。$\varphi\in L^1(S\cap V,\H^{n-1})$ とし、$\varepsilon\gt 0$ とすると $u\in W^{1,1}(\Omega)$ で次をみたすものが存在する:
$$Tu=\varphi\ \on S\cap V,u=0\ \on \Omega\backslash V,\norm{u}_{1;\Omega}\lt\varepsilon,\int_\Omega|Du|\lt\int_\pOm|\varphi|d\H^{n-1}+\varepsilon.$$

{{begin|proof|display=''Proof.''|collapsible=1}}
$\Omega,S$ を $V\cap\Omega,V\cap S$ にとりかえた{{ref|type=lem|label=trlem2}}の $F_i,j_i,\sigma_i,U_i,\gamma_i$ をとる。$F_i$ を $\displaystyle \left(\overline{F_i}\backslash\bigcup_{i'=1}^i\overline{F_{i'}}\right)\cap S$ にとりかえることにより $F_i$ はBorel集合で $i\neq i'\implies F_i\cap F_{i'}$ となるとしてよい。また $F_i\rcpt V\cap S$ より $U_i$ を $U_i\cap V$ にとりかえて $U_i\subset V$ としてよい。

$j_i=n$、$\sigma=1$ となる $i$ をとってfixする。(それ以外の $i$ についても同様である。) $F_i\rcpt U_i$、$F_i\subset\{(x',\gamma_i(x'))\colon x'\in\R^{n-1}\}$ より開集合 $W\subset\R^{n-1}$ と $h\gt 0$ が存在して
$$U_i'\colon=\{(x',x_n)\in W\times\R\colon |x_n-\gamma_i(x')|\lt h\}$$
は $F_i\rcpt U_i'\rcpt U_i$ をみたす。また
$$U_{i,+}'\colon=\{(x',x_n)\in W\times\R\colon 0\lt x_n-\gamma_i(x')\lt h\}\subset\Omega.$$

$\varphi_i\in L^1(\R^{n-1})$ を $\varphi_i(x')\colon=(\varphi\chi_{F_i})(x',\gamma_i(x'))$ により定める。$F_i\rcpt U_i'$ より $\supp\varphi_i\subset W$。

$\eta'$ を $\R^{n-1}$ におけるmollifierとし、$r_k\gt 0\ (k\in\Zp)$ を単調減少かつ $r_1\lt h$、$\supp(\eta'_{r_k}*\varphi_i)\subset U_i'$ かつ $\norm{\eta'_{r_k}*\varphi_i-\varphi_i}\lt 2^{-k}$ となるようにとる。また $k\in\Zz$ について $\displaystyle t_k\colon=\sum_{l=k+1}^\infty 2^{-l}r_l$ とする。

$k\in\Zp$ について $ w_k\colon[0,\infty)\to\R$ を
$$ w_k(t)\colon=\begin{cases}
0&\colon t\in[0,t_{k+1})\\
2^{-(k+1)}r_{k+1}(t-t_{k+1})&\colon t\in[t_{k+1},t_k)\\
-2^{-k}r_k(t_{k-1}-t)&\colon t\in[t_k,t_{k-1})\\
0&\colon t\ge t_{k-1}
\end{cases}$$
と定める。$k_0\in\Zp$ とし、
$$v_i(x',x_n)\colon=\sum_{k=k_0}^\infty w_k(x_n)(\eta'_{r_k}*\varphi_i)(x')\ ((x',x_n)\in\R^{n-1}\times(0,\infty))$$
とする。$\supp w_k=[t_{k+1},t_{k-1}]$ より $\{\supp w_k\}_k$ は局所有限であるから $v_i$ はwell-definedで $v_i\in C^\infty(\Rnp)$。また $v_i=0$ on $\R^n\backslash(W\times(0,t_{k_0}))$。また
\begin{align*}
\int_{\R^n_+}|v_i|&=\sum_{k=k_0}^\infty\int_0^\infty w_k\left(\int_{\R^{n-1}}|\eta'_{r_k}*\varphi_i|\right)\\
&\le\sum_{k=k_0}^\infty 2^{-1}(2^{-k}r_k+2^{-(k+1)}r_{k+1})\int_{\R^{n-1}}|\varphi_i|\\
&\le C2^{-k_0}t_{k_0}\int_{\R^{n-1}}|\varphi_i|,\\
\int_{\R^n_+}|D_jv_i|&=\sum_{k=k_0}^\infty\int_0^\infty w_k\left(\int_{\R^{n-1}}|D_j(\eta'_{r_k}*\varphi_i)|\right)\\
&\le C\sum_{k=k_0}^\infty 2^{-1}(2^{-k}r_k+2^{-k+1}r_{k+1})r_k^{-1}\int_{\R^{n-1}}|\varphi_i|\\
&\le C2^{k_0}\int_{\R^{n-1}}|\varphi_i|\ (j=1,\ldots,n-1),\\
\int_{\R^{n-1}\times(0,t_{k_0})}|D_nv_i|&=\sum_{k=k_0}^\infty\int_{t_{k+1}}^{t_k}\left(2^{k+1}r_{k+1}\int_{\R^{n-1}}|\eta'_{r_k}*\varphi_i-\eta'_{r_{k+1}}*\varphi_i|\right)\\
&\le\sum_{k=k_0}^\infty\left(\int_{\R^{n-1}}|\eta'_{r_k}*\varphi_i-\varphi_i|+\int_{\R^{n-1}}|\eta'_{r_{k+1}}*\varphi_i-\varphi_i|\right)\\
&\le\sum_{k=k_0}^\infty (2^{-k}+2^{-(k+1)})=C2^{-k_0},\\
\int_{\R^{n-1}\times(t_{k_0},\infty)}|D_nv_i-2^{-k_0}r_k\chi_{\R^{n-1}\times(t_{k_0},t_{k_0-1})}\varphi_i|&=\int_{t_{k_0}}^{t_{k_0-1}}2^{k_0}r_k^{-1}\int_{\R^{n-1}}|\eta'_{r_{k_0}}*\varphi_i-\varphi_i|\\
&\le 2^{-k_0}.
\end{align*}
これより $v_i\in W^{1,1}(\Rnp)$。

$T_0$ を $\Rnp$ におけるトレース作用素とする。$l\ge k_0$ について $v_i(\cdot,2^{-l})=\eta'_{r_l}*\varphi_i$ であるから $T_0(v_i(\cdot-2^{-l}e_n))=\eta'_{r_l}*\varphi_i$ であり
$$\norm{T_0(v_i(\cdot-2^{-l}e_n))-\varphi'}_{1,\pRnp}\to 0\ (l\to\infty).$$
一方 $L^1$ ノルムの平行移動連続性より
$$\norm{v_i(\cdot-2^{-l}e_n)-v_i}_{1,1}\to 0\ (l\to\infty).$$
これより
$$T_0v_i=\varphi_i.$$

$\psi_i\colon\R^n\to\R^n$ を $\psi_i(x',x_n)\colon=(x',x_n-\gamma_i(x'))$ により定め、$u_i\colon=v_i\circ\psi_i\in W^{1,1}(\psi_i^{-1}(\Rnp))$ とする。$T_i$ を $\psi_i^{-1}(\Rnp)=\{(x',x_n)\colon x_n\gt\gamma_i(x')\}$ におけるトレース作用素とすると
$$T_iu_i=(T_0v_i)\circ\psi_i=\varphi_i\circ\psi_i=\varphi\chi_{F_i}.$$
とくに $T_iu_i=0$ on $\partial\psi_i^{-1}(\Rnp)\backslash\overline{F_i}$ であるから任意の $\zeta\in C^\infty_c(\R^n\backslash\overline{F_i})$ について $\zeta u_i\in W^{1,1}_0(\psi^{-1}(\Rnp))$ となり
$$\int_{\psi^{-1}(\Rnp)}(D_j\zeta u_i+\zeta D_ju_i)=\int_{\psi^{-1}(\Rnp)}D_j(\zeta u_i)=0.$$
これより $u_i=0$ on $\R^n\backslash\psi^{-1}(\Rnp)$ として $u_i$ を $R^n$ 上に拡張すると $u_i\in W^{1,1}(\R^n\backslash\overline{F_i})$ となり、とくに $u_i\in W^{1,1}(\Omega)$。

また $\displaystyle t_{k_0}\lt\sum_{k=k_0}^\infty 2^{-k}h=2^{-k_0}h\le h$ に注意すると $v_i=0$ on $\Rnp\backslash(W\times(0,h))$ で、$\psi^{-1}(W\times(0,h))=U_{i,+}'$ であるから $u_i=0$ on $\Omega\backslash U_{i,+}'$。とくに $u_i=0$ on $\Omega\backslash V$。

$Tu_i=\varphi\chi_{F_i}$ $\H^{n-1}$ -a.e. on $S$ を示す。$\xi\in S\backslash\overline{U_{i,+}'}$ については $\xi$ の近傍において $u_i=0$ となるので $Tu_i(\xi)=0$。

$\xi=(\xi',\xi_n)\in S\cap\overline{U_{i,+}'}$ とすると $U_i'\rcpt U_i$ より $\xi\in U_i$ で $\xi\notin\Omega$ であるから $U_i$ のとりかたより $\xi_n=\gamma_i(\xi')$ となり $\xi\in\partial\psi_i^{-1}(\Rnp)$。$r\gt 0$ を十分小さくとると $B_r(\xi)\cap\psi^{-1}(\Rnp)\subset\{x\in U_i\colon 0\lt\xi_n-\gamma_i(\xi')\lt h\}\subset\Omega$。$u_i=0$ on $\R^n\backslash\psi_i^{-1}(\Rnp)$ とあわせて
$$\int_{B_r(\xi)\cap\Omega}u_i=\int_{B_r(\xi)\cap\Omega\cap\psi_i^{-1}(\Rnp)}u_i=\int_{B_r(\xi)\cap\psi^{-1}(\Rnp)}u_i.$$
$\H^{n-1}$ -a.e. $\xi\in S\cap\psi_i^{-1}(\Rnp)$ について
$$\lim_{r\to +0}r^{-n}|B_r(\xi)\cap\Omega|=\lim_{r\to +0}r^{-n}|B_r(\xi)\cap\psi_i^{-1}(\Rnp)|=\frac{1}{2}\omega_n$$
となることから $\H^{n-1}$ -a.e. $\xi\in S\cap\overline{U_{i,+}'}$ について
$$Tu_i=\lim_{r\to+0}\frac{1}{B_r(\xi)\cap\Omega}\int_{B_r(\xi)\cap\Omega}u_i=\lim_{r\to+0}\frac{1}{B_r(\xi)\cap\psi_i^{-1}(\Rnp)}\int_{B_r(\xi)\cap\psi_i^{-1}(\Rnp)}u_i=T_iu_i=\varphi\chi_{F_i}.$$
$F_i\subset \overline{U_{i,+}'}$ とあわせて
$$Tu_i=\varphi\chi_{F_i}\ \H^{n-1}-\ae\on\ S.$$
また
$$\int_\Omega|u_i|\le C\int_{\R^n_+}|v_i|\le C2^{-k_0}t_{k_0}\le C4^{-k_0}h.$$
一方 $x=(x',x_n)\in\Omega\cap\psi_i^{-1}(\Rnp)$ とすると $j=1,\ldots,n-1$ については $D_ju_i(x)=(D_jv_i)(\psi_i(x))-D_nu_i(\psi_i(x))D_j\gamma_i(x')$ で、$D_nu_i(x)=D_nv_i(\psi_i(x))$ であるから
$$\int_{\Omega\cap\psi_i^{-1}(\Rnp)}|Du_i(x)-(-D\gamma_i(x'),1)D_nv_i(\psi_i(x))|dx=\int_{\Omega\cap\psi_i^{-1}(\Rnp)}|D'u_i\circ\psi_i|\le C\int_{\R^n_+}|D'v_i|\le C2^{-k_0}$$
となり
$$\int_{\Omega\cap\psi_i^{-1}(\Rnp)}|Du_i|\le\int_{\Omega\cap\psi_i^{-1}(\Rnp)}|D_nv_i(\psi_i(x))|(1+|D\gamma_i(x')|^2)^\frac{1}{2}dx+C2^{-k_0}.$$
$$\int_{\Omega\cap\psi_i^{-1}(\Rnp)}|D_nv_i(\psi_i(x))-2^{-k_0}r_k\chi_{\psi_i^{-1}(\R^{n-1}\times(t_{k_0},t_{k_0-1}))}(\chi_{F_i}\varphi)(x)|(1+|D\gamma_i(x')|^2)^\frac{1}{2}dx\le C\int_{\R^{n-1}\times(t_{k_0},\infty)}|D_nv_i-2^{-k_0}r_k\chi_{\R^{n-1}\times(t_{k_0},t_{k_0-1})}\varphi_i|\le C2^{-k_0}$$
で、$\psi_i^{-1}(\R^{n-1}\times(t_{k_0},t_{k_0-1}))\subset U_{i,+}'\subset\Omega$ に注意すると
\begin{align*}
\int_{\Omega\cap\psi_i^{-1}(\Rnp)}|2^{-k_0}r_k\chi_{\psi_i^{-1}(\R^{n-1}\times(t_{k_0},t_{k_0-1}))}(\chi_{F_i}\varphi)(x')|(1+|D\gamma_i(x')|^2)^\frac{1}{2}dx&=2^{-k_0}r_k\int_{\psi_i^{-1}(\R^{n-1}\times(t_{k_0},t_{k_0-1}))}|(\chi_{F_i}\varphi)(x')|(1+|D\gamma_i(x')|^2)^\frac{1}{2}dx\\
&=2^{-k_0}r_k\int_{\R^{n-1}\times(t_{k_0},t_{k_0-1})}|\psi_i(x')|(1+|D\gamma_i(x')|^2)^\frac{1}{2}dx\\
&=\int_{\partial\R^{n-1}}|\varphi_i(x')||(1+|D\gamma_i(x')|^2)^\frac{1}{2}d\H^{n-1}(x')\\
&=\int_{\partial\psi_i^{-1}(\Rnp)}\chi_{F_i}|\varphi| d\H^{n-1}\\
&=\int_{F_i}|\varphi| d\H^{n-1}
\end{align*}
となるので
$$\int_{\Omega\cap\psi_i^{-1}(\Rnp)}|D_nv_i(\psi_i(x))|(1+|D\gamma_i(x')|^2)^\frac{1}{2}dx\le\int_{F_i}|\varphi| d\H^{n-1}+C2^{-k_0}$$
となり $u_i=0$ on $\Omega\backslash\psi_i^{-1}(\Rnp)$ より $Du_i=0$ on $\Omega\backslash\psi_i^{-1}(\Rnp)$ となることとあわせて
$$\int_\Omega|Du_i|\le\int_{F_i}|\varphi| d\H^{n-1}+C2^{-k_0}.$$
従って $k_0$ を十分大きくとれば
$$\int_\Omega|u_i|\lt 2^{-i}\varepsilon,\int_\Omega|Du_i|\le\int_{F_i}|\varphi| d\H^{n-1}+2^{-i}\varepsilon.$$
最後に
$$u\colon=\sum_{i=1}^\infty u_i$$
とすると
$$\sum_{i=1}^\infty\int_\Omega|u_i|\lt \sum_{i=1}^\infty 2^{-i}\varepsilon=\varepsilon,\sum_{i=1}^\infty\int_\Omega|Du_i|\le\sum_{i=1}^\infty\left(\int_{F_i}|\varphi| d\H^{n-1}+2^{-i}\varepsilon\right)=\int_S|\varphi|d\H^{n-1}+\varepsilon$$
となることからこの無限和は $W^{1,1}(\Omega)$ において収束し
$$\int_\Omega|u|\lt\varepsilon,\int_\Omega|Du|\lt\int_S|\varphi|d\H^{n-1}+\varepsilon$$
が成り立つ。各 $u_i$ は $u_i=0$ on $\Omega\backslash V$ をみたすので $u=0$ on $\Omega\backslash V$。また
$$Tu=\sum_{i=1}^\infty Tu_i=\sum_{i=1}^\infty\chi_{F_i}\varphi=\varphi\ \on S\cap V.$$
{{end|proof}}

{{theorem|type=rmk}}
トレースSobolev不等式により、$p\in(1,\infty)$ の場合は一般には $\varphi\in L^p(S,\H^{n-1})$ を拡張して $u\in W^{1,p}(\Omega)$、$Tu=\varphi$ on $S$ とすることはできない。また、トレース作用素 $T$ は $W^{1,1}(\Omega)$ から $L^1(S',\H^{n-1})$ へのコンパクト作用素にはならない。

最後にトレース作用素の応用として次の $C^{0,1}$ 領域においても成り立つGaussの発散定理を示す。

{{theorem|type=thm|name=Gaussの発散定理|label=divthm}}
$S\subset\pOm$ を $C^{0,1}$ 境界部分とする。$\nu=(\nu_1,\ldots,\nu_n)$ を $S$ の外向き単位法線ベクトルとすると $u\in W^{1,1}_c(\Omega\cup S)$ について
$$\int_\Omega D_iu=\int_S Tu\nu_id\H^{n-1}.$$
とくに $\Omega$ が有界な $C^{0,1}$ 領域のとき任意の $u\in W^{1,1}(\Omega)$ について
$$\int_\Omega D_iu=\int_\pOm Tu\nu_id\H^{n-1}.$$

{{begin|proof}}
$\zeta\in C^\infty_c(\R^n\backslash(\pOm\backslash S))$ を任意にとる。$\varepsilon\gt 0$ とすると $\varphi\in L^1(S,\H^{n-1})$ について{{ref|type=thm|label=Text}}より $u\in W^{1,1}(\Omega)$ を $Tu=\varphi$ on $S$ となるようにとれる。また $v\in W^{1,1}(\Omega)$ が $Tv=0$ on $S$ をみたすとすると{{ref|type=thm|label=trace0}}より $\zeta v\in W^{1,1}_0(\Omega)$ となるので $i=1,\ldots,n$ について $\int_\Omega D_i(\zeta v)=0$。これより
$$\langle\tau_i,\varphi\rangle\colon=\int_\Omega D_i(\zeta u)$$
は $u$ の選択に依存せず、$\tau_i$ はwell-definedな $L^1(S,\H^{n-1})$ 上の線型汎関数である。また $\varepsilon\gt 0$ とすると $u$ は $\displaystyle\int_\Omega|u|\lt\varepsilon$ かつ $\displaystyle\int_\Omega|Du|\lt\int_S |\varphi|d\H^{n-1}+\varepsilon$ となるようにとれるので $\displaystyle|\langle\tau_i,\varphi\rangle|\le \norm{\zeta}_{1,\infty}\int_S |\varphi|d\H^{n-1}$。

[[測度と積分5：$L%5Ep$_空間の完備性と双対性]]の定理23.4より $\nu'_1,\ldots ,\nu'_n\in L^\infty(U_j\cap\pOm,\H^{n-1})$ であって任意の $\varphi\in L^1(S,\H^{n-1})$ について
$$\langle\tau_i,\varphi\rangle=\int_S\varphi\nu'_id\H^{n-1}$$
をみたすものが存在する。$\nu'_i$ は任意の $u\in W^{1,1}(\Omega)$ について
$$\int_S Tu\nu'_id\H^{n-1}=\langle\tau_i,Tu\rangle=\int_\Omega D_i(\zeta u)$$
をみたす。

$\nu'_i=\zeta\nu_i$ を示す。開集合 $U\subset\R^n$ と全単射 $\psi\colon 2Q\to U$ が $\psi$ と $\psi^{-1}$ がともに $C^{0,1}$ 写像で $\psi(Q_+)=U\cap\Omega$、$\psi(Q_0)=U\cap\pOm\subset S$ をみたすとして $\nu'_i=\zeta\nu_i$ on $U\cap\pOm$ を示せば十分。

{{ref|type=lem|label=trlem}}より $\H^{n-1}$ -a.e. $\xi\in U\cap\pOm$ と任意の $u\in C^\infty_c(\R^n)$ について
$$\lim_{a\to+\infty}\int_{\xi+a(U\cap\Omega-\xi)}D_i(\zeta u)=\int_{\{x\in\R^n\colon (x-\xi)\cdot\nu(\xi)\lt 0\}}D_i(\zeta u)=\int_{\{x\in\R^n\colon (x-\xi)\cdot\nu(\xi)=0\}}\zeta u\nu_id\H^{n-1}.\tag{$\dagger$}\label{divthm0}$$

一方、$a$ を十分大きくとって $\supp u\subset \xi+a(U-\xi)$ となるようにすると
\begin{align*}
\int_{\xi+a(U\cap\Omega-\xi)}D_i(\zeta u)&=a^n\int_\Omega D_i(\zeta u)(\xi+a(x-\xi))dx\\
&=a^{n-1}\int_\pOm u(\xi+a(x-\xi))\nu'_id\H^{n-1}(x)\\
&=a^{n-1}\int_{Q_0} u(\xi+a(\psi(y)-\xi))\nu'_i(\psi(y))J\psi(y)d\H^{n-1}(y).
\end{align*}
$Q_0\subset\R^{n-1}$ と見做して $\psi'\colon=\psi|_{Q_0}$ とする。$\H^{n-1}$ -a.e. $\xi\in U\cap\pOm$ について $\psi'$ は $y_0\colon=\psi^{-1}(\xi)$ において微分可能であり、なおかつLebesgueの微分定理より
$$\int_{B_r(y_0)\cap Q_0}|\nu'_i(\psi(y))J\psi'(y)-\nu'_i(\psi(y_0))J\psi'(y_0)|d\H^{n-1}=o(r^n)\ (r\to +0)$$
となることに注意する。$R\gt 0$ を十分大きくとると、十分大きい $a\gt 0$ について $\supp u(\xi+a(\psi(\cdot)-\xi))\subset B_{a^{-1}R}(y_0)\cap Q_0$ であるから
\begin{align*}
&\quad\int_{Q_0}\left|u(\xi+a(\psi(y)-\xi))\nu'_i(\psi(y))J\psi(y)-u\left(\xi+aD\psi'(y_0)(y-y_0)\right)\nu'_i(\psi(y_0))J\psi(y_0)\right|d\H^{n-1}(y)\\
&\le \int_{B_{a^{-1}R}(y_0)\cap Q_0}\left(\left|u(\xi+a(\psi(y)-\xi))-u\left(\xi+aD\psi'(y_0)(y-y_0)\right)\right||\nu'_i(\psi(y_0))J\psi(y_0)|+|u(\xi+a(\psi(y)-\xi))||\nu'_i(\psi(y))J\psi(y)-\nu'_i(\psi(y_0))J\psi(y_0)|\right)d\H^{n-1}(y)\\
&\le C\int_{B_{a^{-1}R}(y_0)\cap Q_0}\left(a\norm{Du}_\infty\left|\psi(y)-\psi(y_0)-D\psi'(y_0)(y-y_0)\right|+\norm{u}_\infty|\nu'_i(\psi(y))J\psi(y)-\nu'_i(\psi(y_0))J\psi(y_0)|\right)d\H^{n-1}(y)\\
&=o(a^{-(n-1)}).
\end{align*}
また
\begin{align*}
a^{n-1}\int_{Q_0}u\left(\xi+aD\psi'(y_0)(y-y_0)\right)\nu'_i(\psi(y_0))J\psi(y_0)d\H^{n-1}(y)&=\int_{\pRnp}u\left(\xi+D\psi'(y_0)(z-y_0)\right)\nu'_i(\xi)J\psi(y_0)d\H^{n-1}\\
&=\int_{\xi+D\psi'(y_0)\pRnp}u\nu'_i(\xi)d\H^{n-1}.
\end{align*}
従って
$$\lim_{a\to+\infty}\int_{\xi+a(U\cap\Omega-\xi)}D_i(\zeta u)=\int_{\xi+D\psi'(y_0)\pRnp}u\nu'_i(\xi)d\H^{n-1}\ \H^{n-1}-\ae\ \xi\in U\cap\pOm. \tag{$\ddagger$}\label{divthm1}$$
(\ref{divthm0})と(\ref{divthm1})より $\H^{n-1}-\ae\ \xi\in U\cap\pOm$ と任意の $u\in C^\infty_c(\R^n)$ について
$$\int_{\{x\in\R^n\colon (x-\xi)\cdot\nu(\xi)=0\}}\zeta u\nu_id\H^{n-1}=\int_{\xi+D\psi'(y_0)(\pRnp-y_0)}u\nu'_i(\xi)d\H^{n-1}\ \H^{n-1}-\ae\ \xi\in U\cap\pOm.$$
外向き単位法線ベクトルの構成より $\H^{n-1}$ -a.e. $\xi\in U\cap\pOm$ について
$$\{x\in\R^n\colon (x-\xi)\cdot\nu(\xi)=0\}=\xi+D\psi'(y_0)\pRnp$$
となるので
$$\nu'_i=\zeta\nu_i.$$
これより任意の $u\in W^{1,1}(\Omega)$ と $\zeta\in C^\infty_c(\R^n\backslash(\pOm\backslash S))$ について
$$\int_\Omega D_i(\zeta u)=\int_S \zeta u\nu_id\H^{n-1}.$$
とくに $u\in W^{1,1}_c(\Omega\cap S)$ のときは $\zeta\in C^\infty_c(\R^n\backslash(\pOm\backslash S))$ を $\zeta=1$ on $\supp u$ となるようにとれ、このときは $\zeta u=u$ であるから
$$\int_\Omega u=\int_S u\nu_id\H^{n-1}.$$
が成り立つ。
{{end|proof}}

{{theorem|type=cor|name=部分積分|label=trintpart}}
$S\subset\pOm$ を $C^{0,1}$ 境界部分とする。$u,v\in W^{1,1}(\Omega)$ が $uv\in W^{1,1}_c(\Omega\cup T)$ をみたすとき
$$\int_\Omega D_iuv=\int_S TuTv\nu_id\H^{n-1}-\int_\Omega uD_iv.$$

{{begin|proof}}
{{ref|type=thm|label=divthm}}より
$$\int_S TuTv\nu_id\H^{n-1}=\int_S T(uv)\nu_id\H^{n-1}=\int_\Omega D_i(uv)=\int_\Omega (D_iuv+uD_iv).$$
{{end|proof}}

{{theorem|type=rmk}}
$S\subset\pOm$ を(\ref{D})をみたす相対開集合とする。(\ref{D})における $S$ を $S'$ と表すと、$u\in W^{1,p}_0(\Omega\cup S)\subset W^{1,p}(D)$ の $\Omega$ におけるトレースを $D$ におけるトレース $Tu\in L^p_\loc(S',\H^{n-1})$ の $S$ への制限として定めることができる。また $\xi\in S$ における $S$ の外向き単位法線ベクトルを $S'$ の外向き単位法線ベクトルとして定めることができ、この節で挙げたトレースの性質は $W^{1,p}(\Omega)$ を $W^{1,p}_0(\Omega\cup S)$ にとりかえた上ですべて成り立つ。また $T$ は $W^{1,p}_0(\Omega\cup S)$ から $L^p(S,\H^{n-1})$ への有界線型作用素となり、$\displaystyle \int_S Tud\H^{n-1}\le C_{p,\Omega,T}\int_\Omega (|u|^p+|u|^{p-1}|Du|)$ が成り立つ。トレースSobolev不等式と $T$ のコンパクト性も $S$ を相対コンパクト部分集合にとりかえることなく成り立つ。Gaussの発散定理は $u\in W^{1,1}_0(\Omega\cup S)$ について成り立つ。

また、このようにして定めた $Tu\in L^p(S,\H^{n-1})$ と $\nu\in L^\infty(S,\H^{n-1})$ は $D$ と $S'$ の選択に依存しない。実際、$Tu$ は $\displaystyle r^{-n}\int_{B_r(\xi)\cap\Omega}|u-Tu(\xi)|\to 0\ (r\to +0)$ によって特徴づけられるので $D$ と $S'$ に依存しない。また $\varphi\in L^1_c(S,\H^{n-1})$ とすると $Tu=\varphi$ on $S$、$Tu=0$ on $S'\backslash S$ なる $u\in W^{1,1}(D)$ をとれ、$\eta\in C^\infty_c(\Omega\cup S)$ を $\eta=1$ on $\supp\varphi$ となるようにとって $v=\eta u$ とすることで $Tv=\varphi$ なる $v\in W^{1,1}_c(\Omega\cup S)$ をとれる。これより{{ref|type=thm|label=divthm}}の証明で定義した $\tau_i\in(L^1(S',\H^{n-1}))^*$ の $L^1_c(S,\H^{n-1})$ への制限は $D$ と $S'$ に依存せず、従って $\nu_i|_{S}$ も $D$ と $S'$ に依存しない。

==参考文献==
*Robert A. Adams「Sobolev Spaces」
*David Gilbarg, Neil S. Trudinger「Elliptic Partial Differential Equations of Second Order」
*Lawrence C. Evans, Ronald F. Gariepy「Measure Theory and Fine Properties of Functions,Revised Edition」
*Lawrence C. Evans「Partial Differential Equations,Second Edition」
*Gerald B. Folland「Real Analysis: Modern Techniques and Their Applications」
*Olga A. Ladyzhenskaya,Vsevolod A. Solonnikov,Nina N. Uraltseva「Linear and Quasilinear Equations of Parabolic Type」
*Haim Brezis「Functional Analysis, Sobolev Spaces and Partial Differential Equations」
*Michel Willem「Minimax Theorems」
*Luke G. Rogers「A Degree-Independent Sobolev Extension Operator」
*Giorgio Talenti「Best Constant in Sobolev Inequality」
*宮島静雄「ソボレフ空間の基礎と応用」
======脚注======

Sobolev空間とSobolevの不等式

2022-09-20T05:52:48Z

PSX: /* Sobolev空間 $W^{k,p}_0(\OmT)$ */

{{begin|preamble}}
<math>
\newcommand{\R}{\mathbb{R}}
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\DeclareMathOperator*{\essinf}{ess\, inf}

</math>
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{{TOC |align=right |noautonum=1 }}

ここでは $p\neq 2$ を含めた $L^p$ 空間におけるSobolev空間とSobolev空間に対する一般的な埋め込み定理であるSobolevの不等式について主に取り扱う。

==記法および注意==
ここではとくに断らない限り実数値関数のみを取り扱う。また断りなく次の記法を用いる:
* $n\in\Zp$ とし、$\Omega$ を $\R^n$ における開集合とする。
* $x\in\R^n$、$r>0$ について $B_r(x)$ で $\R^n$ の半径が $r$、中心が $x$ の開球を表す。中心や半径を具体的に指定しない場合は $B_r$ や $B(x)$ などと略すことがある。
* $\H^s$ で $s$ 次元Hausdorff測度、$\L^n$ で $n$ 次元Lebesgue外測度([[Hausdorff測度とarea_coarea_formula]]の定義30。命題31も参照。)を表し、$\L^n$ -a.e. を単にa.e.とかき、また誤解のおそれがなければ省略する。
* 多重指数 $\alpha$ について $\alpha$ 階偏微分を $D^\alpha$ で表す。また $\alpha=ke_i$ のときは $D^\alpha u$ を $D^k_i u$ と表す。$D^1_i u$ は $D_iu$ と表し、$\R^n$ 値関数 $(D_1u,\ldots D_nu)$ を $Du$ と表す。
* $n=1$ のときは $D^k_1 u$ を $u^{(k)}$ と表す。また $u^{(1)}$、$u^{(2)}$ はそれぞれ $u'$、$u^{\prime\prime}$ と表す。
* $\mu\in\R^n\backslash\{0\}$ について、$D_\mu$ で $\mu$ -方向微分を表す。とくに $u$ が微分可能であるとき $D_\mu u=\mu\cdot Du$ である。
* $p\in[1,\infty]$ について $p'$ でそのHölder共役指数、すなわち $p^{-1}+p'^{-1}=1$ をみたす $p'\in[1,\infty]$ を表す。
* $\norm{\cdot}_{p;\Omega}$ で $L^p(\Omega)=L^p(\Omega,\L^n)$ のノルムを表す。また、相対開集合 $T\subset\pOm$ について $\norm{\cdot}_{p;T}$ で $L^p(T,\H^{n-1})$ のノルムを表す。誤解のおそれがなければ $\Omega$ と $T$ は省略することがある。
* $C^k(\Ombar)$、$C^{k,\alpha}(\Ombar)$ のノルムには[[Hölder空間の基本事項]]で定義した記号を用いる。
* $Q\colon=(-1,1)^n$、$Q_+\colon=(-1,1)^{n-1}\times(0,1)$、$Q_0\colon=(-1,1)^{n-1}\times\{0\}$ とする。
* $\Omega,\Omega'\subset\R^n$ を開集合とし、$f\colon\Omega'-\Omega\to\R$ と $g\colon\Omega\to\R$ を $\L^n$ -可測関数とする。
$$f*g(x)\colon=\int_{\Omega}f(x-y)g(y)dy$$
が a.e. $x\in\Omega'$ で定義されるとき $f*g$ は $\Omega'$ 上で定義されるといい、これを $f$ と $g$ の合成積という。<ref name="defdifference">[[合成積とFourier変換]]で定義されているものとは $(2\pi)^\frac{n}{2}$ 倍の違いがある。</ref>

$f*g$ は次のYoungの不等式をみたす:

{{theorem|type=lem|name=Youngの不等式|label=young}}
$p,q\in[1,\infty]$ が $p^{-1}+q^{-1}\ge 1$ をみたすとする。$\L^n$ -可測関数 $f\colon\Omega'-\Omega\to\R$ は
$$M_1\colon=\sup_{x\in\Omega'}\norm{f(x-\cdot)}_{p;\Omega}\lt\infty,M_2\colon=\sup_{y\in\Omega}\norm{f(\cdot-y)}_{p;\Omega'}\lt\infty$$
をみたすとする。$g\in L^q(\Omega)$ とすると $f*g$ は $\Omega'$ 上で定義され、$r\colon=(p^{-1}+q^{-1}-1)^{-1}\in[1,\infty]$ とすると
$$f*g\in L^r(\Omega'),\norm{f*g}_{r;\Omega'}\le M_1^{1-\frac{p}{r}}M_2^\frac{p}{r}\norm{g}_{q;\Omega}.$$
ただし $p=\infty$、$q=1$、$r=\infty$ の場合は $\frac{p}{r}=0$ とする。

とくに $f\in L^p(\Omega'-\Omega)$ のとき
$$\norm{f*g}_{r;\Omega'}\le\norm{f}_{p;\Omega'-\Omega}\norm{g}_{q;\Omega}.$$

{{begin|proof|display=''Proof.''|collapsible=1}}
$p^{-1}+q^{-1}=1$ のときは $r=\infty$ で、Hölderの不等式より $x\in\Omega'$ について
$$\int_{\Omega}|f(x-y)||g(y)|dy\le M_1\norm{g}_q$$
となるので $f*g$ は $\Omega'$ 上で定義され、$\norm{f*g}_\infty\le M_1\norm{g}_q$。

$p^{-1}+q^{-1}\gt 1$ の場合を示す。このとき $p,q,r\in[1,\infty)$ で、Hölderの不等式より
\begin{align*}
\left(\int_{\Omega'}\left(\int_{\Omega}|f(x-y)||g(y)|dy\right)^rdx\right)^{r^{-1}}&=\left(\int_{\Omega'}\left(\int_{\Omega}|f(x-y)|^{p(1-q^{-1})}|g(y)|^{q(1-p^{-1})}(|f(x-y)|^p|g(y)|^q)^{p^{-1}+q^{-1}-1}dy\right)^rdx\right)^{r^{-1}}\\
&\le\left(\int_{\Omega'}\left(\left(\int_{\Omega}|f(x-y)|^pdy\right)^{1-q^{-1}}\left(\int_{\Omega}|g(y)|^qdy\right)^{1-p^{-1}}\left(\int_{\Omega}|f(x-y)|^p|g(y)|^qdy\right)^{p^{-1}+q^{-1}-1}\right)^rdx\right)^{r^{-1}}\\
&\le\left(\int_{\Omega'} M_1^{pr(1-q^{-1})}\norm{g}_q^{qr(1-p^{-1})}\left(\int_{\Omega}|f(x-y)|^p|g(y)|^qdy\right)dx\right)^{r^{-1}}\\
&=M_1^{p(1-q^{-1})}\norm{g}_q^{q(1-p^{-1})}\left(\int_{\Omega}\left(\int_{\Omega'} |f(x-y)|^p|g(y)|^qdx\right)dy\right)^{r^{-1}}\\
&\le M_1^{p(p^{-1}-r^{-1})}\norm{g}_q^{q(q^{-1}-r^{-1})}\left(M_2^p\norm{g}_q^q\right)^{r^{-1}}\\
&=M_1^{1-\frac{p}{r}}M_2^\frac{p}{r}\norm{g}_q.
\end{align*}
よって $f*g$ は $\Omega'$ 上で定義され
$$f*g\in L^r(\Omega'),\norm{f*g}_r\le M_1^{1-\frac{p}{r}}M_2^\frac{p}{r}\norm{g}_q.$$
{{end|proof}}

* 実数値関数からなる線形空間 $X$ に対し、各成分が $X$ に属する $\R^m$ 値関数の空間を $m$ 個の $X$ の直積と同一視して $X^m$ とかく。

==$\pOm$ への条件==
Sobolev空間の一部の性質は、$\Omega\subset\R^n$ が一般の開集合の場合は成立せず、(主に $\pOm$ に関する)適切な仮定の下で成立する。そのような性質はなめらかな領域ではすべて成立するが、以下に述べるようなより弱い仮定の下で考えることもある。

{{theorem|type=def|name=線分条件|label=segm}}
相対開集合 $T\subset\pOm$ について、各 $\xi\in T$ について次をみたす $\xi$ の開近傍 $U_\xi\subset\R^n$ と $y_\xi\in\R^n$ が存在するとき $T$ は線分条件をみたすという:
$$\{x+ty_\xi\colon x\in\overline{U_\xi\cap\Omega},t\in(0,1)\}\subset\Omega.\tag{$\dagger$}\label{segm}$$
$\pOm$ が線分条件をみたすとき $\Omega$ は線分条件をみたすという。

{{theorem|type=def|name=Lipschitz領域|label=Lipdom}}
$n\ge 2$ とする。相対開集合 $T\subset\pOm$ について、各 $\xi\in\pOm$ について $0\in V_\xi$ なる開集合 $V_\xi\subset\R^{n-1}$ と $h_\xi\gt 0$ と $O_\xi\in O_n$ と $\gamma_\xi\in C^{0,1}_c(\R^{n-1})$ であって次をみたすものが存在するとき $T$ はLipschitz境界部分であるという:
$$\gamma_\xi(0)=0,O_\xi(\Omega-\xi)\cap(V_\xi\times (-h_\xi,h_\xi))=\{(y',y_n)\in V_\xi\times (-h_\xi,h_\xi)\colon y_n\gt \gamma_\xi(y')\}.\tag{$\dagger\dagger$}\label{Lipdom}$$
$\pOm$ がLipschitz境界部分であるとき $\Omega$ はLipschitz領域であるという。

{{theorem|type=rmk}}
$O_\xi$ は $O_\xi\in SO_n$ ととってもよい。

明らかにLipschitz境界部分は線分条件をみたし、かつ $C^{0,1}$ 境界部分([[Hölder空間の基本事項]]の定義28)となる。一方、次が成り立つ:

{{theorem|type=pro|label=conv}}
任意の凸領域はLipschitz領域である。

{{begin|proof}}
$x\in\Omega$ をとり、$r\gt 0$ を $B_{6r}(x)\subset\Omega$ となるようにとる。$\xi\in\pOm$ とし、$h\colon=|x-\xi|$ とする。$z\colon=h^{-1}(x-\xi)\in \partial B_1(0)$ とし、$O\in O_n$ を $Oz=e_n$ となるようにとる。

$\R^{n-1}$ における開球を $B'$ で表す。$y'\in B'_{6r}(0)$ について $\gamma'(y')\colon=\inf\{t\in\R\colon (y',t)\in O(\Omega-\xi)\}$ と定める。

$(y',h)=(y',0)+hOz=O(O^{-1}(y',0)+(x-\xi))\in O(B_{6r}(x-\xi))\subset O(\Omega-\xi)$ であるから $\gamma'(y')\le h$。また $\Omega$ は開かつ凸であるから $\{t\in\R\colon (y',t)\in O(\Omega-\xi)\}$ は開区間である。これより $t\lt h$ について
$$(y',t)\in O(\Omega-\xi)\iff t\in(\gamma'(y'),h)$$
であり、
$$O(\Omega-\xi)\cap(B'_{2r}(0)\times(-h,h))=\{(y',t)\in B'_{2r}(0)\times(-h,h)\colon t\gt\gamma'(y')\}$$
が成り立つ。また $\gamma'(0)=0$。

$x',y'\in B'_{6r}(0)$ と $s,t\lt h$ と $\sigma\in[0,1]$ について、$O(\Omega-\xi)$ が凸であることから
$$s\in(\gamma'(x'),h),t\in(\gamma'(y'),h)\implies (1-\sigma)s+\sigma t\in(\gamma'((1-\sigma)x'+\sigma y'),h).$$
これより $\gamma'((1-\sigma)x'+\sigma y')\le(1-\sigma)\gamma'(x')+\sigma\gamma'(y')$ となり $\gamma'$ は凸である。

また $y'\in B_{6r}(0)$ について $\gamma(0)-\gamma'(y')\le\gamma'(-y')-\gamma'(0)$ となるので $\gamma'(y')\ge-\gamma'(-y')\ge -h$。

$x',y'\in B'_{2r}(0)$ とする。$|x'-y'|\lt 4r\lt 6r-|x'|$ であるから $\tau\colon=4|x'-y'|^{-1}r$ とすると $\tau\gt 1$ かつ $x'+\tau(x'-y')\in B_{6r}(0)$ で
$$\gamma'(x')-\gamma'(y')\le(1+\tau)^{-1}(\gamma'(x'+\tau(x'-y'))-\gamma'(y'))\le 2h\tau^{-1}\le\frac{1}{2}hr^{-1}|x'-y'|.$$
同様に $\gamma'(y')-\gamma'(x')\le\le\frac{1}{2}hr^{-1}|y'-x'|$ も示される。これより $\gamma'\in C^{0,1}(\overline{B'_{2r}(0)})$。

以上より $V=B'_r(0)$ ととって $\gamma\in C^{0,1}(\R^{n-1})$ を $\gamma=\gamma'$ in $B'_r(0)$ となるようにとればこの $V$、$h$、$O$、$\gamma$ は(\ref{Lipdom})をみたす。
{{end|proof}}

{{theorem|type=pro|label=Cka}}
$k\ge 1$、$\alpha\in[0,1]$ とする。$T\subset\pOm$ を $C^{k,\alpha}$ 境界部分とすると、各 $\xi\in T$ について $0\in V_\xi$ なる開集合 $V_\xi\subset\R^{n-1}$ と $h_\xi\gt 0$ と $O_\xi\in O_n$ と $\gamma_\xi\in C^{k,\alpha}_c(\R^{n-1})$ であって(\ref{Lipdom})をみたすものが存在する。とくに $C^1$ 領域はLipschitz領域である。

{{begin|proof}}
$\xi$ の開近傍 $U$ と全単射 $\psi\colon 2Q\to U$ で $\psi$ と $\psi^{-1}$ がともに $C^{k,\alpha}$ 写像で $\psi(2Q_+)=U\cap\Omega$、$\psi(2Q_0)=U\cap\pOm$ をみたすものが存在する。$\psi(\xi)=0$ としてよい。

$f\colon U\to 2Q$ を $\psi^{-1}$ の第 $n$ 成分として定める。$U\cap\Omega$ と $U\cap\pOm$ はそれぞれ $\{x\in U\colon f(x)\gt 0\}$、$\{x\in U\colon f(x)=0\}$ と表される。また $Df\neq 0$ in $U$。

$O\in O_n$ を $O^{-1}D_nf(\xi)\gt 0$ となるようにとる。$\widetilde{\Omega}\colon=O(\Omega-\xi)$、$\widetilde{U}\colon=O(U-\xi)$ とし、$\widetilde{f}\colon\widetilde{\Omega}\to\R$ を $\widetilde{f}(y)\colon=\widetilde{f}(O^{-1}y+\xi)$ により定める。$\widetilde{U}\cap\widetilde{\Omega}$ と $\widetilde{U}\cap\partial\widetilde{\Omega}$ はそれぞれ $\{y\in \widetilde{U}\colon \widetilde{f}(y)\gt 0\}$、$\{y\in \widetilde{U}\colon \widetilde{f}(y)=0\}$ と表される。また $D_n\widetilde{f}(0)\gt 0$。

陰関数定理([[ベクトル解析1：Euclid空間内の多様体上の関数の微分]])により十分小さい $h\gt 0$ をとると射影 $p\colon\R^{n-1}\times\R\to\R^{n-1},(y',y_n)\mapsto y'$ の $hQ\cap\partial\widetilde{\Omega}$ への制限はある開集合 $W\subset\R^{n-1}$ への全単射であり、$p^{-1}\colon V\to hQ\cap\partial\widetilde{\Omega}$ は $C^{k,\alpha}$ 写像である。<ref name="impfct">陰関数定理は $h_i\in C^\infty(U)$ の場合が証明されているが、$C^\infty$ を $C^k$ にとりかえても同様であり、また逆写像定理において逆写像の $k$ 階微分の表示によりもとの写像が $C^{k,\alpha}$ 写像の場合は逆写像も $C^{k,\alpha}$ 写像となることが示されることから、陰関数定理も $C^{k,\alpha}$ にとりかえても同様に成り立つ。</ref>

$p^{-1}$ はある $\gamma'\colon W\to hQ\cap\partial\widetilde{\Omega}$ を用いて $p^{-1}(y')=(y',\gamma'(y_n))$ と表され、$hQ\cap\widetilde{\Omega}=\{(y',\gamma'(y_n))\colon y'\in W\}$。また $p^{-1}$ が $C^{k,\alpha}$ 写像であることから $\gamma'\in C^{k,\alpha}(W)$。

一方、必要であれば $r$ を小さくとり直して $D_nh\gt 0$ in $hQ$ とできる。
$$\{y\in hQ\colon h(y)=0\}=hQ\cap\widetilde{\Omega}=\{(y',\gamma'(y'))\colon y'\in W\}$$
より $(y',y_n)\in W\times(-h,h)$ について $\widetilde{f}(y',y_n)=0\iff y_n=\gamma'(y')$。$\widetilde{f}$ は $hQ$ 上では $y_n$ について狭義単調増加であるから
$$hQ\cap\widetilde{\Omega}=\{y\in hQ\colon h(x)\gt 0\}=\{(y',y_n)\in W\times(-h,h)\colon y_n\gt\gamma'(y')\}.$$
従って $0$ の開近傍 $V\rcpt W$ をとって $\gamma\in C^{k,\alpha}_c(\R^n)$ を $\gamma=\gamma'$ in $V$ となるようにとればこの $V$、$h$、$O$、$\gamma$ は(\ref{Lipdom})をみたす。
{{end|proof}}

{{theorem|type=rmk}}
陰関数定理は $C^{0,1}$ 写像に対しては無効であり、$C^{0,1}$ 領域は一般にLipschitz領域とはならない。<ref name="Lipdom">混同を防ぐため「Lipschitz領域」を「強Lipschitz領域」といい、「$C^{0,1}$ 領域」を「弱Lipschitz領域」ということもある。</ref>実際、$n=2$ とし、$\psi\colon\R^2\to\R^2,(x,y)\mapsto(x+y\sin(\log|y|),y)$ は全単射で $\psi,\psi^{-1}$ ともに $C^{0,1}$ 写像であるから
$$\Omega\colon=\{\psi(x,y)\colon y\gt-|x|\}$$
とすると $\Omega$ は $C^{0,1}$ 領域となる。一方で、この $\Omega$ は線分条件をみたしていないので、Lipschitz領域ではない。

==Sobolev空間の定義==
{{theorem|type=def|name=弱微分|label=defweakder}}
$u\in L^1_{\loc}(\Omega)$ とし、$\alpha$ を多重指数とする。変分学の基本補題([[超関数の定義と基本操作]]の命題5.3)により任意の $\varphi\in C^\infty_c(\Omega)$ について
$$\int_{\Omega}uD^\alpha\varphi=(-1)^{|\alpha|}\int_{\Omega}v\varphi$$
をみたす $v\in L^1_{\loc}(\Omega)$ は存在すれば一意的である。$v$ を $D^\alpha u$ とかき、$u$ の $\alpha$ 階弱微分という。

{{theorem|type=def|name=Sobolev空間 $W^{k,p}(\Omega),W^{k,p}_{\loc}(\OmT),W^{k,p}_c(\OmT)$|label=defsob}}
$C^\infty_c(\Omega)$ で $\Omega$ 上のコンパクトな台をもつなめらかな関数からなる空間を表す。

$k\in\Zp$、$p\in[1,\infty]$ についてSobolev空間 $W^{k,p}(\Omega)$ を
$$W^{k,p}(\Omega)\colon=\left\{u\in L^p(\Omega)\colon |\alpha|\le k\ について\ D^\alpha u\in L^p(\Omega)\right\}$$
と定める。また相対開集合 $T\subset\pOm$ について $L^p_\loc(\OmT)$ と $W^{k,p}_{\loc}(\OmT)$ を
$$L^p_\loc(\OmT)\colon=\left\{f\in L^p_\loc(\Omega)\colon \Omega'\rcpt\OmT\ について\ f\in L^p(\Omega')\right\},$$
$$W^{k,p}_{\loc}(\OmT)\colon=\left\{u\in L^p_{\loc}(\OmT)\colon |\alpha|\le k\ について\ D^\alpha u\in L^p_{\loc}(\OmT)\right\}$$
と定める。また $W^{k,p}_c(\OmT)$ を
$$W^{k,p}_c(\OmT)\colon=\{u\in W^{k,p}(\Omega)\colon\supp u\rcpt\OmT\}$$
と定める。

{{theorem|type=def|name=$W^{k,p}(\Omega)$ のノルム|label=defnorm}}
$W^{k,p}(\Omega)$ に
$$\norm{u}_{k,p;\Omega}\colon=
\begin{cases}
\left(\sum_{|\alpha|\le k}\int_{\Omega}|D^\alpha u|^p\right)^\frac{1}{p}&\colon p\in[1,\infty)\\
\max_{|\alpha|\le k}\esssup_{\Omega} |D^\alpha u|&\colon p=\infty
\end{cases}$$
によりノルム $\norm{\cdot}_{k,p;\Omega}$ を定める。

{{theorem|type=rmk}}
便宜上 $\norm{u}_{0,p;\Omega}=\norm{u}_{p;\Omega}$ とすることがある。またどの領域におけるSobolev空間のノルムかが明らかな場合は「$;\Omega$」は省略されることが多い。

$W^{k,2}(\Omega)$ は $H^k(\Omega)$ と書かれることが多い。$H^k(\Omega)$ には
$$(u,v)_{H^k(\Omega)}=\sum_{|\alpha|\le k}\int_\Omega D^\alpha uD^\alpha v$$
により内積が定まる。

$\displaystyle \sum_{|\alpha|\le k}\norm{D^\alpha u}_{p;\Omega}$ や $\displaystyle \left(\sum_{|\alpha|\le k}\norm{D^\alpha u}_{p;\Omega}^2\right)^\frac{1}{2}$ も同値なノルムである。また
$$\norm{u}_{k,p;\Omega}\le\sum_{|\alpha|\le k}\norm{D^\alpha u}_{p;\Omega}$$
で、
$$\sum_{|\alpha|\le k}\norm{D^\alpha u}_{p;\Omega}\le C\norm{u}_{k,p;\Omega}$$
となる定数 $C$ は $n$ と $k$ のみに依存し $p$ には依存しないようにとれる。

{{theorem|type=def|name=$\norm{D^ku}_{p;\Omega}$|label=gradnorm}}
$W^{k,p}(\Omega)$ に
$$\norm{D^ku}_{p;\Omega}\colon=\begin{cases}
\left(\sum_{|\alpha|=k}\norm{D^\alpha u}_{p;\Omega}^p\right)^{p^{-1}}&\colon p\in[1,\infty)\\
\max_{|\alpha|}\norm{D^\alpha u}_{\infty;\Omega}&\colon p=\infty
\end{cases}$$
によりセミノルム $\norm{D^ku}_{p;\Omega}$ を定める。

{{theorem|type=rmk}}
$\displaystyle \sum_{|\alpha|=k}\norm{D^\alpha u}_{p;\Omega}$ や $\displaystyle \left(\sum_{|\alpha|=k}\norm{D^\alpha u}_{p;\Omega}^2\right)^\frac{1}{2}$ も同値なセミノルムである。また
$$\norm{D^ku}_{p;\Omega}\le\sum_{|\alpha|=k}\norm{D^\alpha u}_{p;\Omega}$$
で、
$$\sum_{|\alpha|=k}\norm{D^\alpha u}_{p;\Omega}\le C\norm{D^ku}_{p;\Omega}$$
となる定数 $C$ は $n$ と $k$ のみに依存し $p$ には依存しないようにとれる。

{{theorem|type=pro|name=$W^{k,p}(\Omega)$ の完備性|label=compl}}
$W^{k,p}(\Omega)$ はノルム $\norm{\cdot}_{k,p;\Omega}$ について完備である。

{{begin|proof|display=''Proof.''|collapsible=1}}
$\{u_m\}_{m=1}^\infty\subset W^{k,p}(\Omega)$ をCauchy列とすると各 $|\alpha|\le k$ について $\{D^\alpha u_m\}_{m=1}^\infty$ は $L^p(\Omega)$ におけるCauchy列であるから $v_\alpha\in L^p(\Omega)$ が存在して $\norm{u_m-v_\alpha}_{p;\Omega}\to 0\ (m\to\infty)$。$u\colon=v_0$ とすると $\varphi\in C^\infty_c(\Omega)$ について
$$\int_\Omega uD^\alpha\varphi=\lim_{m\to\infty}\int_\Omega u_mD^\alpha\varphi=(-1)^{|\alpha|}\lim_{m\to\infty}\int_\Omega D^\alpha u_m\varphi=(-1)^{|\alpha|}\int_\Omega v_\alpha\varphi$$
であるから $u\in W^{k,p}(\Omega)$、$D^\alpha u=v_\alpha\ (|\alpha|\le k)$、$\norm{D^\alpha u_m-D^\alpha u}_{p;\Omega}\to 0\ (m\to\infty,|\alpha|\le k)$。$\norm{\cdot}_{k,p;\Omega}$ の定義より
$$\norm{u_m-u}_{k,p;\Omega}\to 0\ (m\to\infty)$$
となる。
{{end|proof}}

{{theorem|type=rmk}}
この証明から $u_m\in W^{1,p}(\Omega)\ (m\in\Zp)$、$u,v_1,\ldots ,v_n\in L^p(\Omega)$ が $\norm{u_m-u}_p,\norm{D_iu_m-v_i}_p\to 0\ (m\to\infty)$ をみたすとき $u\in W^{1,p}(\Omega)$、$D_iu=v_i$ となることが従う。このことは作用素の用語を用いると
$$D\colon L^p(\Omega)\supset D(D)=W^{1,p}(\Omega)\to L^p(\Omega)^n,Du=(D_1u,\ldots,D_nu)$$
により定まる非有界作用素 $D$ は閉作用素であると言い換えられる。

==なめらかな関数による近似==
{{theorem|type=def|name=Friedrich's mollifier|label=mol}}
$$\eta(x)\colon=
\begin{cases}
A\exp\left(\frac{1}{|x|^2-1}\right)&\colon x\in B_1(0)\\
0&\colon x\in\R^n\backslash B_1(0)
\end{cases}
,A\colon=\left(\int_{B_1(0)}\exp\left(\frac{1}{|x|^2-1}\right)dx\right)^{-1}$$
として $\eta\colon \R^n\to\R$ を定める。$\eta$ は
$$\eta\in C^\infty(\R^n),\eta\ge 0,\eta=0\on\R^n\backslash B_1(0),\int_{\R^n} \eta=1\tag{*}\label{mol}$$
をみたす。
$\varepsilon\gt 0$ について
$$\eta_\varepsilon(x)\colon=\varepsilon^{-n}\eta(\varepsilon^{-1}x)$$
と定め、Friedrich's mollifier、または単にmollifierという。

{{theorem|type=rmk}}
(\ref{mol})をみたしていれば $\eta$ はこの関数でなくてもよい。

{{theorem|type=pro|name=mollifierの性質|label=promol}}
開集合 $\Omega'\subset\Omega\subset\R^n$ は $d\colon=\dist(\Omega',\pOm)\gt 0$ をみたすとする。$f\in L^1_{\loc}(\Omega)$、$p\in[1,\infty]$、$\varepsilon\in (0,d)$ について、$\eta_\varepsilon*f$ は $\Omega'$ 上で定義され次が成り立つ:
* (1) $\supp\eta_\varepsilon*f\subset\{x\in\R^n\colon\dist(x,\supp f)\le\varepsilon\}$。とくに $\dist(\supp f,\Omega\backslash\Omega')\gt 0$ のとき十分小さく$\varepsilon\gt 0$ をとれば $\supp\eta_\varepsilon*f\subset\Omega'$。
* (2) $\eta_\varepsilon*f\in C^\infty(\overline{\Omega'})$ で、多重指数 $\alpha$ について $D^\alpha(\eta_\varepsilon*f)=D^\alpha\eta_\varepsilon*f$ in $\Omega'$。
* (3) $f\in L^p(\R^n)$ のとき $q\in[p,\infty]$ と多重指数 $\alpha$ について $\norm{D^\alpha(\eta_\varepsilon*f)}_{q;\Omega'}\le C_{n,p,q,\alpha}\varepsilon^{-|\alpha|-n(p^{-1}-q^{-1})}\norm{f}_{p;\Omega}$。
また $\varepsilon\to 0$ とするとき、
* (4) $\eta_\varepsilon*f\to f$ a.e. in $\Omega'$。
* (5) $f\in C(\Omega)$ のとき有界な $U\subset\Omega'$ について $\norm{\eta_\varepsilon*u-u}_{\infty;U}\to 0$。
* (6) $f\in L^p(\Omega)$、$p\in[1,\infty)$ のとき $\norm{\eta_\varepsilon*f-f}_{p;\Omega'}\to 0$。

{{begin|proof|display=''Proof.''|collapsible=1}}
(1)は明らか。

(2)を示す。任意の多重指数 $\alpha$ と $i=1,\ldots,n$ について $D_i(D^\alpha\eta_\varepsilon*f)=D_iD^\alpha\eta_\varepsilon*f$ on $\overline{\Omega'}$ を示せばよい。$x\in\overline{\Omega'}$ と $a\lt 0\lt b$ について
\begin{align*}
D^\alpha\eta_\varepsilon*f(x+be_i)-D^\alpha\eta_\varepsilon*f(x+ae_i)&=\int_{\R^n}(D^\alpha\eta_\varepsilon(x+ae_i-y)-D^\alpha\eta_\varepsilon(x+be_i-y))f(y)dy\\
&=\int_{\R^n}\left(\int_a^bD_iD^\alpha\eta_\varepsilon(x+te_i-y)dt\right)f(y)dy\\
&=\int_a^b\left(\int_{\R^n}D_iD^\alpha\eta_\varepsilon(x+te_i-y)f(y)dy\right)dt.
\end{align*}
Lebesgueの収束定理より $t\mapsto\int_{\Omega}D_iD^\alpha\eta_\varepsilon(x+te_i-y)f(y)dy$ は $(a,b)$ 上で連続であるから微積分基本公式より
$$D_i\left(D^\alpha\eta_\varepsilon*f\right)(x)=\int_{\R^n}D_iD^\alpha\eta_\varepsilon(x-y)f(y)dy=D_iD^\alpha\eta_\varepsilon*f(x).$$

(3)は(2)とYoungの不等式と
\begin{align*}
\left(\int_{B_\varepsilon(0)}|D^\alpha\eta_\varepsilon(x)|^{(1-p^{-1}+q^{-1})^{-1}}dx\right)^{1-p^{-1}+q^{-1}}&=\left(\int_{\R^n}|\varepsilon^{-|\alpha|-n}D^\alpha\eta(\varepsilon^{-1}x)|^{(1-p^{-1}+q^{-1})^{-1}}dx\right)^{1-p^{-1}+q^{-1}}\\
&=\varepsilon^{-|\alpha|-n}\left(\int_{\R^n}\varepsilon^n|D^\alpha\eta(y)|^{(1-p^{-1}+q^{-1})^{-1}}dy\right)^{1-p^{-1}+q^{-1}}\\
&\le C\varepsilon^{-|\alpha|-n(p^{-1}-q^{-1})}
\end{align*}
から従う。

(4)を示す。$x\in\Omega'$ を $f$ のLebesgue点とすれば
$$|\eta_\varepsilon*f(x)-f(x)|\le\int_{\Omega'}\eta_\varepsilon(x-y)|f(y)-f(x)|dy\le\int_{B_\varepsilon(x)}\varepsilon^{-n}\norm{\eta}_\infty|f(y)-f(x)|dy\to 0\ (\varepsilon\to +0).$$

(5)を示す。$x\in U$ について
\begin{align*}
|\eta_\varepsilon*f(x)-f(x)|&\le\int_{B_\varepsilon(x)}\eta_\varepsilon(x-y)|f(y)-f(x)|dy\\
&\le\int_{B_\varepsilon(x)}\eta_\varepsilon(x-y)dy\cdot\sup_{y\in B_\varepsilon(x)}|f(y)-f(x)|\\
&\le\sup_{\substack{y,z\in U+B_\varepsilon(0),|y-z|\lt\varepsilon}}|f(y)-f(z)|.
\end{align*}
ここで $U+B_\frac{d}{2}(0)$ は有界で $\dist(U+B_\frac{d}{2}(0),\pOm)\ge\dist(\Omega',\pOm)-\frac{d}{2}=\frac{d}{2}$ であるから $U+B_\frac{d}{2}(0)\rcpt\Omega$。これより
$$\sup_{\substack{y,z\in U+B_\varepsilon(0),|y-z|\lt\varepsilon}}|f(y)-f(z)|\le\sup_{\substack{y,z\in U+B_\frac{d}{2}(0),|y-z|\lt\varepsilon}}|f(y)-f(z)|\to 0\ (\varepsilon\to +0).$$
これより $\norm{\eta_\varepsilon*f-f}_{\infty;\Omega'}\to 0\ (\varepsilon\to +0)$。

(6)を示す。積分形のMinkowskiの不等式と平行移動の $L^p$ 連続性([[合成積とFourier変換]]の命題28.2)より
\begin{align*}
\norm{\eta_\varepsilon*f-f}_{p,\Omega'}&=\int_{\Omega'}\left|\int_{B_\varepsilon(y)}\eta_\varepsilon(x-y)(f(y)-f(x))dy\right|^pdx\\
&=\int_{\Omega'}\left|\int_{B_\varepsilon(0)}\eta_\varepsilon(z)(f(x-z)-f(x))dz\right|^pdx\\
&\le\int_{B_\varepsilon(0)}\eta_\varepsilon(z)\left(\int_{\Omega'}|f(x-z)-f(x)|^pdx\right)^{p^{-1}}dz\\
&\le\sup_{z\in B_\varepsilon(0)}\left(\int_{\Omega'}|f(x-z)-f(x)|^pdx\right)^{p^{-1}}\to 0.
\end{align*}
{{end|proof}}

なお積分形のMinkowskiの不等式とは次の主張である:

{{theorem|type=lem|name=積分形のMinkowskiの不等式|label=mink}}
$\sigma$ -有限測度空間 $X=(X,\mathfrak{M},\mu)$、$Y=(Y,\mathfrak{N},\nu)$ と $\mathfrak{M}\otimes\mathfrak{N}$ -可測関数 $f$ と $p\in[1,\infty]$ について
$$\norm{\int_Y |f(\cdot,y)|d\nu(y)}_{p;X}\le\int_Y\norm{f(\cdot,y)}_{p;X}d\nu(y).$$

{{begin|proof}}
$p=\infty$ の場合は明らか。

$p\in[1,\infty)$、$\int_X\left(\int_Y |f(x,y)|d\nu(y)\right)^pd\mu(x)\lt\infty$ の場合を示す。
\begin{align*}
\int_X\left(\int_Y |f(x,y)|d\nu(y)\right)^pd\mu(x)&=\int_Y\left(\int_X\left(\int_Y |f(x,y)|d\nu(y)\right)^{p-1}|f(x,y')|d\mu(x)\right)d\nu(y')\\
&\int_Y\left(\int_X\left(\int_Y |f(x,y)|d\nu(y)\right)^pd\mu(x)\right)^{1-p^{-1}}\left(\int_X|f(x,y')|^pd\mu(x)\right)^{p^{-1}}d\nu(y')\\
&=\left(\int_X\left(\int_Y |f(x,y)|d\nu(y)\right)^pd\mu(x)\right)^{1-p^{-1}}\int_Y\left(\int_X|f(x,y)|^pd\mu(x)\right)^{p^{-1}}d\nu(y)
\end{align*}
となり
$$\left(\int_X\left(\int_Y |f(x,y)|d\nu(y)\right)^pd\mu(x)\right)^{p^{-1}}\le\int_Y\left(\int_X|f(x,y)|^pd\mu(x)\right)^{p^{-1}}d\nu(y)$$
を得る。

$\int_X\left(\int_Y |f(x,y)|d\nu(y)\right)^pd\mu(x)=\infty$ の場合は $X_1\subset X_2\subset\ldots\subset X$、$Y_1\subset Y_2\subset\ldots\subset Y$ を $\mu(X_i),\nu(Y_i)\lt\infty$ かつ $\displaystyle\bigcup_{i=1}^\infty X_i=X,\bigcup_{i=1}^\infty Y_i=Y$ となるようにとると
$$\left(\int_{X_i}\left(\int_{Y_i} \min\{|f(x,y)|,i\}d\nu(y)\right)^pd\mu(x)\right)^{p^{-1}}\le\int_{Y_i}\left(\int_{X_i}\min\{|f(x,y)|,i\}^pd\mu(x)\right)^{p^{-1}}d\nu(y)$$
となるので $i\to\infty$ として $\int_Y\left(\int_X|f(x,y)|^pd\mu(x)\right)^{p^{-1}}d\nu(y)=\infty$ を得る。
{{end|proof}}

{{theorem|type=ex}}
$\nu$ -a.e. $y\in Y$ について $\int_X|f(x,y)|^pd\mu(x)\lt\infty$ のとき $y\mapsto f(\cdot,y)$ は $Y$ 上の $L^p(X)$ -値Bochner可測関数となる。これに[[測度と積分9：Bochner積分]]の命題44.2を適用することによっても積分形のMinkowskiの不等式を証明できる。

{{theorem|type=lem|name=$W^{k,p}$ 関数となめらかな関数の積|label=prod1}}
$u\in W^{k,p}_{\loc}(\Omega)$、$\zeta\in C^k(\Omega)$ について、
$$\zeta u\in W^{k,p}_{\loc}(\Omega),D^\alpha(\zeta u)=\sum_{\beta\le\alpha}\left(\begin{array}{c}\alpha\\ \beta\end{array}\right)D^{\alpha-\beta}\zeta D^\beta u.$$
とくに $u\in W^{k,p}(\Omega)$、$\zeta\in C^k(\Omega)\cap W^{k,\infty}(\Omega)$ のとき
$$\zeta u\in W^{k,p}(\Omega),\norm{D^k(\zeta u)}_{p;\Omega}\le C_{n,k}\sum_{j=0}^k\norm{D^{k-j}\zeta}_{\infty;\Omega}\norm{D^ju}_{p;\Omega},\norm{\zeta u}_{k,p;\Omega}\le C_{n,k}\norm{\zeta}_{k,\infty;\Omega}\norm{u}_{k,p;\Omega}.$$
また $\zeta\in C^k_c(\Omega)$ の場合は $\zeta u=0$ on $\R^n\backslash\Omega$ と定めると $\zeta u\in W^{k,p}(\R^n)$ となる。

{{begin|proof|display=''Proof.''|collapsible=1}}
$k=1$ のときのみ示す。一般の場合は帰納法により従う。

$\varphi\in C^\infty_c(\Omega)$、$i=1,\ldots ,n$ について
$$\int_\Omega D_iu\zeta\varphi=-\int_\Omega uD_i(\zeta\varphi)=-\int_\Omega u(D_i\zeta\varphi+\zeta D_i\varphi)$$
より
$$\int_\Omega \zeta uD_i\varphi=-\int_\Omega (\zeta D_iu+D_i\zeta u)\varphi.$$
$u,D_iu\in L^p_{\loc}(\Omega)$、$\zeta,D_i\zeta\in L^\infty_{\loc}(\Omega)$ より $\zeta u,\zeta D_iu+D_i\zeta u\in L^p_\loc(\Omega)$。従って $\zeta u\in W^{1,p}_{\loc}(\Omega)$、$D_i(\zeta u)=\zeta D_iu+D_i\zeta u$。

$\zeta\in C^\infty_c(\Omega)$ とすると $\varphi\in C^\infty_c(\R^n)$ について $\zeta\varphi\in C^\infty_c(\Omega)$ となるので同様の計算により $\int_\Omega \zeta uD_i\varphi=-\int_\Omega (\zeta D_iu+D_i\zeta u)\varphi$ となる。$\zeta u,\zeta D_iu,D_i\zeta u\in L^p(\R^n)$ となるので $\zeta u\in W^{1,p}(\R^n)$。
{{end|proof}}

{{theorem|type=pro|label=apx1}}
$k\in\Zp$ とする。以下が成り立つ:
*(1) $u\in W^{k,1}_{\loc}(\R^n)$ と $|\alpha|\le k$ なる多重指数 $\alpha$ について
$$D^\alpha(\eta_\varepsilon*u)=\eta_\varepsilon*D^\alpha u.$$
とくに $p\in[1,\infty)$、$u\in W^{k,p}(\R^n)$ のとき $\norm{\eta_\varepsilon*u-u}_{k,p;\R^n}\to 0\ (\varepsilon\to +0)$。
*(2) $p\in[1,\infty)$、$u\in L^p_{\loc}(\Omega)$ について次は同値:
**(i) $u\in W^{k,p}_{\loc}(\Omega)$。
**(ii) $\{u_m\}_{m=1}^\infty\subset C^\infty(\Omega)$ で $u_m\to u$ in $L^p_{\loc}(\Omega)(m\to\infty)$ かつ $|\alpha|\le k$ について $D^\alpha u_m$ が $L^p_{\loc}(\Omega)$ で収束するものが存在する。
*(3) $p\in[1,\infty)$ とすると $C^\infty_c(\R^n)$ は $W^{k,p}(\R^n)$ において稠密である。

{{begin|proof|display=''Proof.''|collapsible=1}}
(1)を示す。$x\in\R^n$ について
$$D^\alpha(\eta_\varepsilon*u)(x)=\int_{\R^n}D^\alpha\eta_\varepsilon(x-y)u(y)dy=(-1)^{|\alpha|}\int_{\R^n}(D^\alpha\eta_\varepsilon(x-\cdot))(y)u(y)dy=\int_{\R^n}\eta_\varepsilon(x-y)D^\alpha u(y)dy=D^\alpha\eta_\varepsilon*u(y).$$

(2)を示す。(i) $\implies$ (ii)は次のように従う: $\Omega_1\rcpt\Omega_2\rcpt\ldots\rcpt\Omega$ を $\displaystyle \bigcup_{m=1}^\infty \Omega_m=\Omega$ となるようにとり、$\varepsilon_m\in(0,\dist(\Omega_{m+1},\pOm))$ を $\varepsilon_m\to 0\ (m\to\infty)$ となるようにとる。また $\zeta_m\in C^\infty(\Omega_{m+1})$ を $\zeta_m=1$ in $\Omega_m$ となるようにとる。このとき $u_m\colon=\eta_{\varepsilon_m}*(\zeta_mu)$ は $\Omega$ 上で定義され、$m'\ge m$ について $u_{m'}=\eta_{\varepsilon_{m'}}*u$ in $\Omega_m$ となるので $|\alpha|\le k$ について $D^\alpha u_{m'}=\eta_{\varepsilon_{m'}}*D^\alpha u$ in $\Omega_m$。これより $\norm_{D^\alpha u_{m'}-D^\alpha u}_{p;\Omega'}\to 0\ (m'\to\infty)$。これよりこの $\{u_m\}_{m=1}^\infty$ は条件をみたす。

(ii) $\implies$ (i)は $|\alpha|\le k$ について $D^\alpha u_m\to v_\alpha$ in $L^1_{\loc}(\Omega)$ とすると任意の $\varepsilon\in C^\infty_c(\Omega)$ と $|\alpha|\le k$ について
$$\int_\Omega uD^\alpha\varphi=\lim_{m\to\infty}\int_\Omega u_mD^\alpha\varphi=(-1)^{|\alpha|}\int_\Omega v_\alpha\varphi$$
となり $D^\alpha u=v_\alpha$ となって従う。

(3)を示す。(1)より $u_m\in W^{k,p}(\Omega)\ (m\in\Zp)$ が存在して $\supp u_m$ が有界かつ $\norm{u_m-u}_{k,p;\R^n}\to 0 (m\to\infty)$ となることを示せばよい。

$\zeta\in C^\infty_c(B_2(0))$ を $\zeta=1$ on $\Bb_1(0)$ となるようにとる。$\zeta_m(x)\colon=\zeta(m^{-1}x)$ とすると $\supp\zeta_m\subset B_{2m}(0)$、$\zeta_m=1$ on $\Bb_m(0)$。また任意の多重指数 $\alpha$ について $D^\alpha \zeta_m(x)=m^{-|\alpha|}\zeta(m^{-1}x)$ であるから $\norm{\zeta_m}_{k,\infty}\le\norm{\zeta}_{k,\infty}$

$u_m\colon=\zeta_m u$ とすると $u_m\in W^{k,p}(\R^n)$、$\supp u_m\subset B_{2m}(0)$、$u_m=u$ on $\Bb_m(0)$ となり
$$\norm{u_m-u}_{k,p}=\norm{u_m-u}_{k,p;\R^n\backslash\Bb_m(0)}=\norm{(1-\zeta_m)u}_{k,p;\R^n\backslash\Bb_m(0)}\le C\norm{u}_{k,p;\R^n\backslash\Bb_m(0)}\to 0\ (m\to\infty).$$
{{end|proof}}

{{theorem|type=rmk}}
(2)の(ii)で $D^\alpha u$ を定義することもできる。このように定義された $u\in L^1_{\loc}(\Omega)$ の微分は強微分とよばれる。

{{theorem|type=cor|label=ck}}
$k\in\Zp$ とする。$u\in L^1_\loc(\Omega)$ について次は同値:
*(1) $u\in C^k(\Omega)$。
*(2) $|\alpha|\le k$ について $u$ は弱微分 $D^\alpha u$ をもち $D^\alpha u\in C(\Omega)$。

{{begin|proof|display=''Proof.''|collapsible=1}}
$u\in C^k(\Omega)$ とすると $v_\alpha\ (|\alpha|\le k)$ を各点での偏微分としての $D^\alpha u$ と定めれば部分積分により任意の $\varphi\in C^\infty_c(\Omega)$ について $\int_{\Omega}uD^\alpha\varphi=(-1)^{|\alpha|}\int_{\Omega}v_\alpha\varphi$ となる。これより $u$ は $k$ 階以下の弱微分をもち、各点微分と一致する。

$|\alpha|\le k$ について $u$ は弱微分 $D^\alpha u$ をもち $D^\alpha u\in C(\Omega)$ をみたすとする。$\Omega'\rcpt\Omega$ として $\zeta\in C^\infty_c(\Omega)$ を $\zeta=1$ in $\Omega'$ となるようにとると $|\alpha|\le k$ について $\norm{D^\alpha(\eta_\varepsilon*\zeta u)-D^\alpha(\zeta u)}_\infty=\norm{\eta_\varepsilon*D^\alpha(\zeta u)-D^\alpha(\zeta u)}_\infty\to 0\ (\varepsilon\to +0)$ であるから $\zeta u\in C^k(\R^n)$。これより $u\in C(\Omega)$。
{{end|proof}}

{{theorem|type=thm|name=なめらかな関数による近似|label=apx2}}
$k\in\Zp$、$p\in[1,\infty)$ とすると $C^\infty(\Omega)\cap W^{k,p}(\Omega)$ は $W^{k,p}(\Omega)$ において稠密である。

{{begin|proof|display=''Proof.''|collapsible=1}}
$u\in W^{k,p}(\Omega)$、$\delta\gt 0$ とする。各 $x\in\Omega$ について $x$ を中心とする球 $B(x)\rcpt\Omega$ をとり、$\Omega$ の開被覆 $\{B(x)\}_{x\in\Omega}$ の局所有限な細分 $\{U_i\}_{i=1}^\infty$ を $\displaystyle\bigcup_{i=1}^\infty U_i=\Omega$ となるようにとり、これに従属する $1$ の分割 $\{\zeta_i\}_{i=1}^\infty$、$\zeta_i\in C^\infty_c(U_i)$ をとる。

{{ref|type=lem|label=prod1}}より $\zeta_iu\in W^{k,p}(\Omega)$、$\supp\zeta_iu\subset U_i\rcpt\Omega$。{{ref|type=pro|label=apx1}}より十分小さい $\varepsilon_i\gt 0$ をとって $\norm{\eta_{\varepsilon_i}*(\zeta_iu)-\zeta_iu}_{k,p;\Omega}\lt 2^{-i}\delta$ かつ $\supp\eta_{\varepsilon_i}*(\zeta_iu)\subset U_i$ となるようにできる。

$$\sum_{i=1}^\infty\norm{\eta_{\varepsilon_i}*(\zeta_iu)-\zeta_iu}_{k,p;\Omega}\lt\delta$$
であるから $W^{k,p}(\Omega)$ の完備性より無限和
$$w\colon=\sum_{i=1}^\infty(\eta_{\varepsilon_i}*(\zeta_iu)-\zeta_iu)$$
は $W^{k,p}(\Omega)$ で収束し、$\norm{w}_{k,p;\Omega}\lt\delta$。
$$v\colon=\sum_{i=1}^\infty\eta_{\varepsilon_i}*(\zeta_iu)$$
とすると $\{U_i\}_{i=1}^\infty$ は局所有限よりこの無限和は各点で値が定まり $v\in C^\infty(\Omega)$。一方 $v=u+w\in W^{k,p}(\Omega)$ で $\norm{v-u}_{k,\alpha;\Omega}\lt\delta$ となる。
{{end|proof}}

{{theorem|type=rmk}}
これより $W^{k,p}(\Omega)$ を $\left\{u\in C^\infty(\Omega)\colon \norm{u}_{k,p;\Omega}\lt\infty\right\}$ のノルム $\norm{\cdot}_{k,p;\Omega}$ による完備化として定義し、$D^\alpha u$ を強微分で定義しても同値である。

一方、$v\in C^\infty(\Ombar)$ による近似をするには $\pOm$ に条件が必要である。

{{theorem|type=thm|name=線分条件をみたす領域における近似|label=apx3}}
相対開集合 $T\subset\pOm$ は線分条件をみたすとする。$k\in\Zp$、$p\in[1,\infty)$ とすると $C^\infty(\Omega\cup T)\cap W^{k,p}(\Omega)$ は $W^{k,p}(\Omega)$ において稠密である。

{{begin|proof|display=''Proof.''|collapsible=1}}
$\xi\in T$ について(\ref{segm})の $U_\xi$ と $y_\xi$ をとり、$\Omega_{d,r}\colon=\{x\in\Omega\colon |x|\lt d,\dist(x,\pOm)\gt r\}\ (d,r\gt 0)$ とする。$\{U_\xi\}_{\xi\in T}\cup\{\Omega_{d,r}\}_{d,r\gt 0}$ は $\Omega\cup T$ の開被覆となり、$\{U_\xi\}_{\xi\in\pOm}$、$\{\Omega_{d,r}\}_{d,r\gt 0}$ の局所有限な細分 $\{V_i\}_{i=1}^\infty$、$\{W_j\}_{j=1}^\infty$ を $\Omega\cup T\subset\bigcup_{i=1}^\infty V_i\cup\bigcup_{j=1}^\infty W_j$ となるようにとれる。各 $i\in\Zp$ について $y_i\in\R^n$ が存在し、
$$\{x+ty_i\colon x\in \overline{V_i\cap\Omega},t\in(0,1)\}\subset\Omega$$
が成り立つ。また各 $j\in\Zp$ について $W_j\rcpt\Omega$。

$\Omega\cup T$ の開被覆 $\{V_i\}_{i=1}^\infty\cup\{W_j\}_{j=1}^\infty$ に従属する $1$ の分割 $\{\zeta_i\}_{i=1}^\infty\cup\{\theta_j\}_{j=1}^\infty$、$\zeta_i\in C^\infty_c(V_i)$、$\theta_j\in C^\infty_c(W_j)$ をとる。

$i\in\Zp$ とする。{{ref|type=thm|label=apx2}}と{{ref|type=lem|label=prod1}}より $v_i\in C^\infty(\Omega)\cap W^{k,p}(\Omega)$ を $\norm{\zeta_iv_i-\zeta_iu}_{k,p;\Omega}\lt 2^{-i-2}\delta$ となるようにとれる。平行移動の $L^p$ 連続性([[合成積とFourier変換]]の命題28.2)より $|\alpha|\le k$ について
$$\norm{D^\alpha v_i(\cdot+ty_i)-D^\alpha v_i}_{p;V_i\cap\Omega}\to 0 (t\to +0).$$
{{ref|type=lem|label=prod1}}より十分小さい $t_i\in(0,1)$ をとって $\norm{\zeta_iv_i(\cdot+ty_i)-\zeta_iv_i}_{k,p;V_i\cap\Omega}\lt 2^{-i-2}\delta$ とできる。$V_i$ のとりかたより $\overline{V_i\cap\Omega+t_iy_i}\subset\Omega$ であるから $v_i\in C^\infty(\overline{V_i\cap\Omega+t_iy_i})$ であり、$v_i(\cdot+ty_i)\in C^\infty(\overline{V_i\cap\Omega})$。よって $\zeta_iv_i(\cdot+ty_i)\in C^\infty(\overline{\Omega})$、$\supp\zeta_iv_i\subset V_i\cap\Omega$。また $\norm{\zeta_iv_i(\cdot+ty_i)-\zeta_iu}_{k,p;\Omega}\lt 2^{-i-1}\delta$。

また $j\in\Zp$ について $\theta_ju\in W^{k,p}(\R^n)$、$\supp\theta_ju\subset W_j$ であるから十分小さい $\varepsilon_j$ をとって $\norm{\eta_{\varepsilon_j}*(\theta_ju)-\theta_ju}_{k,p;\Omega}\lt 2^{-j-1}\delta$、$\supp\eta_{\varepsilon_j}*(\theta_ju)\subset W_j$ とできる。

$$v\colon=\sum_{i=1}^\infty\zeta_iv_i(\cdot+ty_i)+\sum_{j=1}^\infty\eta_{\varepsilon_j}*(\theta_ju)$$
とすれば $\Omega\cup T$ の開被覆 $\{V_i\}_{i=1}^\infty\cup\{W_j\}_{j=1}^\infty$ は局所有限より $v\in C^\infty(\Omega\cup T)$ で、{{ref|type=thm|label=apx2}}と同様に $v\in W^{k,p}(\Omega)$ かつ
$$\norm{v-u}_{k,p;\Omega}\le\sum_{i=1}^\infty\norm{\zeta_iv_i(\cdot+ty_i)-\zeta_i u}_{k,p;\Omega}+\sum_{j=1}^\infty\norm{\eta_{\varepsilon_j}*(\theta_ju)-\theta_ju}_{k,p;\Omega}\lt\delta.$$
{{end|proof}}

{{theorem|type=rmk}}
とくに $\Omega$ が有界かつ線分条件をみたすとき $C^\infty(\Ombar)$ は $W^{k,p}(\Omega)$ において稠密である。

$p=\infty$ のときはこれらの近似定理は $W^{k,\infty}(\Omega)$ を $C^k(\Ombar)$ にとりかえた主張を同様に証明できる。また、近似列の構成のしかたが $k$ と $p$ によらないことから、 $u\in W^{j,p}(\Omega)\cap W^{k,q}(\Omega)$ と $\delta\gt 0$ について $v\in C^\infty(\Omega)\cap v\in W^{j,p}(\Omega)\cap W^{k,q}(\Omega)$ ( $\Omega$ が線分条件をみたすときは $v\in C^\infty(\Ombar)\cap W^{j,p}(\Omega)\cap W^{k,q}(\Omega)$ ) が存在して $\norm{u-v}_{j,p}\lt\delta$、$\norm{u-v}_{k,q}\lt\delta$ となる。( $p=\infty$ の場合は $W^{k,p}(\Omega)$ を $C^k(\Ombar)$ にとりかえる。$q=\infty$ の場合も同様。)

{{ref|type=pro|label=apx1}}で、(3)の証明の(1)を{{ref|type=thm|label=apx2}}にとりかえると、$\Omega$ が非有界の場合
$$\left\{u\in C^\infty(\Omega)\cap W^{k,p}(\Omega)\colon \supp u\ が有界\right\}$$
が $W^{k,p}(\Omega)$ において稠密であることが示される。( $\Omega$ が線分条件をみたすときは $C^\infty(\Omega)\cap W^{k,p}(\Omega)$ を $C^\infty(\Ombar)$ にとりかえてよい。)

$w\in C^\infty(\Omega)\cap W^{k,p}_c(\OmT)$ ( $T$ が線分条件をみたす場合は $C^\infty_c(\OmT)$ )は $W^{k,p}_c(\Omega)$ において稠密である。実際、$v\in C^\infty(\Omega)\cap W^{k,p}(\Omega)$ を $\norm{v-u}_{k,p}\lt\varepsilon$ をみたすようにとり、$\zeta\in C^\infty(\R^n\backslash(\pOm\backslash T))$ を $\zeta=1$ on $\supp u$ となるようにとると $\norm{\zeta v-u}_{k,p}=\norm{\zeta (v-u)}_{k,p}\le C_\zeta\varepsilon$ となる。

==$n=1$ の場合==
ここでは $n=1$ とし、$I=(a,b)$、$-\infty\le a\lt b\le +\infty$ を開区間とする。

{{theorem|type=thm|name=$W^{1,p}(I)$ の特徴づけ|label=1dim1}}
$p\in[1,\infty]$ とし、$u\in L^p(I)$ とする。次は同値:
*(1) $u\in W^{1,p}(I)$。
*(2) $u$ は絶対 $p$ -連続である。すなわち $u\in C(\overline{I})$ で $f\in L^p(I)$ が存在して $a\le x\lt y\le a$ について
$$u(y)-u(x)=\int_x^y f(t)dt.$$
またこのとき $u'=f$。

{{begin|proof|display=''Proof.''|collapsible=1}}
$p=1$ の場合を示せば十分。

(1) $\implies$ (2)を示す。$I$ は明らかに線分条件をみたすので $u_m\in C^\infty(\overline{I})\cap W^{1,1}(I)$ を $\norm{u_m-u}_{1,1}\to 0\ (m\to\infty)$ となるようにとれる。部分列に移って $u_m\to u,u_m'\to u'$ a.e. in $I$ としてよい。

$x_0\in I$ を $u_m(x_0)\to u(x_0)\ (m\to\infty)$ をみたす点とする。$x\in[x_0,b)$ について
$$u_m(x)=u_m(x_0)+\int_{x_0}^x u_m'(t)dt.$$
$\norm{u_m'-u'}_1\to 0\ (m\to\infty)$ より右辺は $m\to\infty$ とすると $x\in[x_0,b)$ について $u(x_0)+\int_{x_0}^x u'(t)dt$ に一様収束するので
$$u\in C([x_0,b]),u(x)=u(x_0)+\int_a^x u'(t)dt\ (x\in[x_0,b]).$$
任意の $x\in I$ について $x_0$ を $x_0\in(a,x)$ となるようにとれることから $u\in C((a,b])$。また $x,y\in (a,b]$、$x\lt y$ について $x_0$ を $x_0\lt x$ となるようにとれば
$$u(y)-u(x)=\left(u(x_0)+\int_{x_0}^yu'(t)dt\right)-\left(u(x_0)+\int_{x_0}^xu'(t)dt\right)=\int_x^yu'(t)dt\ (x,y\in(a,b]).$$
また $u'\in L^1(I)$ より $y\in I$ を固定すると
$$u(x)=u(y)-\int_x^y u'(t)dt$$
は $x\to a+0$ で収束する。とくに $a\gt -\infty$ の場合は $u\in C(\overline{I})$ で
$$u(y)-u(a)=\int_a^y u'(t)dt.$$
これより
$$u\in C(\overline{I}),u(y)-u(x)=\int_x^y u'(t)dt\ (x,y\in\overline{I},x\lt y).$$

(2) $\implies$ (1)を示す。$\varphi\in C^\infty_c(I)$ とする。$J=(a',b')\rcpt I$ を $\supp\varphi$ を含む開区間とする。 $y\in (b',b)$ とすると仮定より $x\in(a,y)$ について
$$u(y)-u(x)=\int_x^y f(t)dt.$$

$x\in (a,a')$ とする。$J\subset(x,y)$ で、$\varphi(x)=0$ より $t\in(x,b')$ について $\varphi(t)=\int_x^t\varphi'(s)ds$ であるから
\begin{align*}
\int_I f(t)\varphi(t)dt&=\int_x^y f(t)\varphi(t)dt\\
&=\int_x^y f(t)\left(\int_x^t \varphi'(s)ds\right)dt\\
&=\int_x^y \varphi'(s)\left(\int_s^yf(t)dt\right)ds\\
&=\int_x^y \varphi'(s)(u(y)-u(s))ds\\
&=u(y)\int_x^y \varphi'(s)ds-\int_x^y u(s)\varphi'(s)ds\\
&=-\int_I u(s)\varphi'(s)ds.
\end{align*}
よって $u\in W^{1,1}(I)$、$u'=f$。
{{end|proof}}

{{theorem|type=cor|name=$W^{1,p}_{\loc}(I)$ の特徴づけ|label=1dim2}}
$p\in[1,\infty]$ とし、$u\in L^p_{\loc}(I)$ とする。次は同値:
*(1) $u\in W^{1,p}_{\loc}(I)$。
*(2) $u$ は局所絶対 $p$ -連続である。すなわち $u\in C(I)$ で $f\in L^p_{\loc}(\Omega)$ が存在して $a\lt x\lt y\lt b$ について
$$u(y)-u(x)=\int_x^y f(t)dt.$$
またこのとき $u'=f$。

{{theorem|type=rmk}}
絶対 $1$ -連続と局所絶対 $1$ -連続は単に絶対連続、局所絶対連続という。

{{ref|type=cor|label=1dim2}}より $u\in W^{1,p}_{\loc}(I)$ は $u'$ のLebesgue点で(従ってa.e. in $I$ で)微分可能で、各点微分は弱微分とa.e.で一致する。

{{theorem|type=thm|name=$n=1$ のときのMorreyの不等式|label=dim1mor}}
$I$ は有界であるとする。
*(1) $u\in W^{1,1}(I)$ のとき
$$\norm{u}_\infty\le C_{|I|}\norm{u}_{1,1}.$$
また $u(y)=0$ なる $y\in \overline{I}$ が存在するとき
$$\norm{u}_\infty\le \norm{u'}_1.$$
*(2) $p\in(1,\infty]$ とする。 $\alpha=1-\frac{1}{p}$ とすると $u\in W^{1,p}(I)$ について
$$u\in C^{0,\alpha}(\overline{I}),[u]_{0,\alpha;I}\le \norm{u'}_p.$$

{{begin|proof|display=''Proof.''|collapsible=1}}
(1)を示す。{{ref|type=thm|label=1dim1}}より $x,y\in\overline{I}$、$x\lt y$ について
$$|u(x)-u(y)|\le\int_x^y|u'(t)|dt\le \norm{u'}_1.$$
対称性よりこれは任意の $x,y\in I$ について成り立つ。ここで $x,y\in\overline{I}$ を
$$|u(x)|=\sup_{I}|u|,|u(y)|=\inf_{I}|u|$$
となるようにとると
$$\sup_{I}|u|=|u(x)|\le|u(y)|+\norm{u'}_1=\inf_{I}|u|+\norm{u'}_1\le|I|^{-1}\int_I|u|+\norm{u'}_1\le C_{|I|}\norm{u}_{1,1}.$$
また $|u(y)|=0$ のとき
$$\sup_{I}|u|\le\norm{u'}_1.$$

(2)を示す。Hölderの不等式より $x,y\in I$、$x\lt y$ について
$$|u(x)-u(y)|\le\int_x^y|u'(t)|dt\le\norm{u'}_p|x-y|^{1-\frac{1}{p}}.$$
よって
$$u\in C^{0,\alpha}(\overline{I}),[u]_{0,\alpha;I}\le\norm{u'}_p.$$
{{end|proof}}

==合成関数の微分、積の微分==

{{theorem|type=thm|name=合成関数の微分|label=chain1}}
$p\in[1,\infty]$、$m\in\Zp$、$u\in W^{1,p}_{\loc}(\Omega)^m$ とする。
$G\in C^1(\R^m)$ が
$$G(u),\sum_{j=1}^m D_jG(u)D_iu_j\in L^p_{\loc}(\Omega)$$
をみたすとすると
$$G(u)\in W^{1,p}_{\loc}(\Omega),D_i(G(u))=\sum_{j=1}^m D_jG(u)D_iu_j\ (i=1,\ldots,n).$$

{{begin|proof|display=''Proof.''|collapsible=1}}
$|\Omega|\lt\infty$、$p\in[1,\infty)$、$u\in W^{1,p}(\Omega)^m$ の場合を示せば十分である。また $G$ を $G-G(0)$ にとりかえて $G(0)=0$ としてよい。<ref name="chainsuf">実際には $\Omega$ が有界かつ $p=1$ の場合のみで十分である。$\Omega$ が非有界の場合と $p\in(1,\infty)$ の場合を含めたのは{{ref|type=pro|label=chapro0}}の証明に使う都合によるものである。なお、{{ref|type=pro|label=chapro0}}では $|\Omega|\lt\infty$ を仮定できないが、実際には $G(0)=0$ でも十分であるため{{ref|type=pro|label=chapro0}}も問題なく証明できる。</ref>

$DG\in L^\infty(\R^m)^m$ の場合を示す。{{ref|type=thm|label=apx2}}より $u^{(k)}\in C^\infty(\Omega)^m\cap W^{1,p}(\Omega)^m$ を $\norm{u^{(k)}-u}_{1,p}\to 0\ (k\to\infty)$ となるようにとれる。部分列に移って $u^{(k)}\to u,D_iu^{(k)}\to D_iu$ a.e. in $\Omega$ かつ $v,v_1,\ldots,v_n\in L^p(\Omega)$ が存在して $|u^{(k)}|\le v,|D_iu^{(k)}|\le v_i\ (\forall k\in\Zp)$ としてよい。<ref name="dominant">一般に測度空間 $X=(X,\mu)$ 上の関数列 $\{f_m\}_{m=1}^\infty\subset L^p(X)$ と $f\in L^p(X)$ が $\int_X |f_m-f|^pd\mu\to 0\ (m\to\infty)$ をみたすとき、部分列 $\{f_{m_l}\}_{l=1}^\infty$ を $f_{m_l}\to f\ \mu-$ a.e. in $X$ かつ $g\in L^p(X)$ であって任意の $l$ について $|f_{m_l}|\le g$ in $X$ となるようなものが存在するようにとれる。実際、[[測度と積分5：$L%5Ep$_空間の完備性と双対性]]の定理21.4の証明のように部分列をとればよい。</ref>

各 $u^{(k)}$ は $G(u^{(k)})\in C^1(\Omega)$、$\displaystyle D_i(G(u^{(k)}))=\sum_{j=1}^m D_jG(u^{(k)})D_iu^{(k)}_i\ (i=1,\ldots,n)$ をみたす。また、$G(0)=0$ より $G(t)\le\norm{DG}_\infty|t|\ (t\in\R)$ となることから $|G(u^{(k)})|\le\norm{DG}_\infty v$、$\displaystyle \left|\sum_{j=1}^mD_jG(u^{(k)})D_iu^{(k)}_j\right|\le C\norm{DG}_\infty v_i$。$\displaystyle G(u^{(k)})\to G(u),\sum_{j=1}^m D_jG(u^{(k)})\cdot D_iu^{(k)}_j\to \sum_{j=1}^mD_jG(u)D_iu_j\ (k\to\infty)$ であるからLebesgueの収束定理より
$$\norm{G(u^{(k)})-G(u)}_p,\norm{D_i(G(u^{(k)}))-\sum_{j=1}^mD_jG(u)D_iu_j}_p\to 0\ (k\to\infty)$$
となる。これより
$$G(u)\in W^{1,p}(\Omega),D_i(G(u))=\sum_{j=1}^mD_jG(u)D_iu_j.$$

一般の場合を示す。$\xi\in C^1(\R)$ を
$$|\xi|\le 1,\xi(t)=1\ \jf t\ge 1,\xi(t)\le 1\ \jf t\le 1,\xi(t)=t\ \jf |t|\le\frac{1}{2}$$
となるようにとり、$M\gt 0$ について $\xi_M(t)\colon=M\xi(M^{-1}t)\ (t\in\R)$ とする。$\xi$、$\xi_M$ は
$$\xi'\in C_c(\R),|\xi_M'(t)|=|\xi'(M^{-1}t)|\le 1,\xi_M'(t)\to 1\ (M\to\infty)$$
をみたす。

$G_M\colon=\xi_M(G)$ とする。$\xi_M(G)\in C^1(\R^m)$、$D_j(\xi_M(G))=\xi_M'(G)D_jG\in C_c(\R^m)^m$ であるから $DG\in L^\infty(\R^m)^m$ の場合より
$$G_M(u)\in W^{1,p}(\Omega),D_i(G_M(u))=\xi_M'(G(u))\sum_{j=1}^mD_jG(u)D_iu_j.$$
$|G_M(u)|\le|G(u)|$、$|\xi_M'(u)DG(u)|\le|DG(u)|$で、$$G_M(u)\to G(u),\sum_{j=1}^m\xi_M'(u)D_jG(u)D_iu_j\to \sum_{j=1}^m D_jG(u)D_iu_j\ (M\to\infty)$$
であるからLebesgueの収束定理より
$$\norm{G_M(u)-G(u)}_p,\norm{D_i(G_M(u))-\sum_{j=1}^m D_jG(u)D_iu_j}_p\to 0\ (M\to\infty).$$
よって
$$G(u)\in W^{1,p}(\Omega),D_i(G(u))=\sum_{j=1}^mD_jG(u)D_iu_j.$$
{{end|proof}}

{{theorem|type=rmk}}
$G(0)=0$ かつ $DG\in L^\infty(\R^m)^m$ であれば十分である。とくに $|\Omega|\lt\infty$ のときは $DG\in L^\infty(\R^m)^m$ であれば十分である。

帰納法により高階の合成関数の微分公式も成り立つ。すなわち、$u\in W^{k,1}_{\loc}(\Omega)^m$、$G\in C^k(\R^m)$ とすると、$G(u)$ の形式的な $\alpha$ 階微分( $|\alpha|\le k$ )がすべて $L^1_{\loc}(\Omega)$ に属せば $G(u)\in W^{k,1}_{\loc}(\Omega)$ で $D^\alpha (G(u))$ は形式的な $\alpha$ 階微分と一致する。

{{theorem|type=cor|name=積の微分|label=prod2}}
$k\in\Zp$ とする。$u_1,\ldots ,u_m\in W^{k,1}_{\loc}(\Omega)$ が $|\alpha|\le k$ について
$$\sum_{\beta_1+\ldots +\beta_m=\alpha}\frac{\alpha!}{\beta_1!\ldots \beta_m!}D^{\beta_1}u_1\ldots D^{\beta_m}u_m\in L^1_{\loc}(\Omega)$$
をみたすとすると
$$u_1\ldots u_m\in W^{k,1}_{\loc}(\Omega),D^\alpha(u_1\ldots u_m)=\sum_{\beta_1+\ldots +\beta_m=\alpha}\frac{\alpha!}{\beta_1!\ldots \beta_m!}D^{\beta_1}u_1\ldots D^{\beta_m}u_m\ (|\alpha|\le k).$$

{{begin|proof|display=''Proof.''|collapsible=1}}
$G(t_1,\ldots ,t_m)=t_1\ldots t_m$ として $k$ 階の合成関数の微分公式を用いればよい。
{{end|proof}}

$m=1$ の場合はより正則性を欠いた関数との合成を考えることもできる:

{{theorem|type=lem|label=chainlem}}
$u\in W^{1,1}_{\loc}(\Omega)$ とし、$N\subset\R$ はBorel集合で $|N|=0$ をみたすとする。このとき
$$Du=0\ \ae\on\{x\in\Omega\colon u(x)\in N\}.$$

{{begin|proof|display=''Proof.''|collapsible=1}}
$\Omega$ が有界で $u\in W^{1,1}(\Omega)$ の場合を示せば十分。

$m\in\Zp$ について開集合 $U_m\subset\R$ を $N\subset U_m$、$|U_m|\lt 2^{-m}$ となるようにとる。また $W_m\colon=\{x\in\Omega\colon u(x)\in U_m\}$ として
$$N'\colon=\bigcup_{l=1}^\infty\bigcap_{m=l}^\infty U_m,W\colon=\bigcup_{l=1}^\infty\bigcap_{m=l}^\infty W_m$$
とする。$N'$ は $N\subset N'$、$|N'|=0$ をみたす。

$U'_{m,1}\rcpt U'_{m,2}\rcpt\ldots\rcpt U_m$ を $\displaystyle \bigcup_{l=1}^\infty U'_{m,l}=U_m$ となるようにとると $\displaystyle \left|W_m\backslash\bigcup_{l=1}^\infty \left\{x\in\Omega\colon u(x)\in U'_{m,l}\right\}\right|=0$ となるので十分大きい $l$ をとって $U'_m\colon=U'_{m,l}$、$W'_m\colon=\{x\in\Omega\colon u(x)\in U'_m\}$ とすれば $|W_m\backslash W'_m|\lt 2^{-m}$ となる。

$\varphi_m\in C_c(U_m)$ を $0\le\varphi_m\le 1$ かつ $\varphi_m=1$ in $U'_m$ となるようにとり
$$G_m(t)\colon=\int_{-\infty}^t \varphi_m$$
とする。$G_m\in C^1(\R)$、$0\le G_m'\le 1$ であるから{{ref|type=thm|label=chain1}}より
$$G_m(u)\in W^{1,1}(\Omega),D_i(G_m(u))=G_m'(u)D_iu.$$
$G_m'=1$ in $U'_m$、$G_m'=0$ on $\R\backslash U_m$ より
$$D_i(G_m(u))=D_iu\ \on\ W'_m,D_i(G_m(u))=0\ \on\ \Omega\backslash W_m.$$
また
$$\norm{G_m(u)}_\infty\le\int_\R\varphi_m\le|U_m|\lt 2^{-m}.$$

$W$ と $W_m$ の定義から $\displaystyle W=\bigcup_{l=1}^\infty\bigcap_{m=l}^\infty W_m$ であるからa.e. $x\in \Omega\backslash W$ について十分大きい $m$ をとれば $D_i(G_m(u))(x)=0$ となる。一方
\begin{align*}
\left|W\backslash\bigcup_{l=1}^\infty\bigcap_{m=l}^\infty W'_m\right|&=\lim_{k\to\infty}\left|\bigcap_{m=k}^\infty W_m\backslash\bigcup_{l=1}^\infty\bigcap_{m=l}^\infty W'_m\right|\\
&\le\liminf_{k\to\infty}\left|\bigcap_{m=k}^\infty W_m\backslash\bigcap_{m=k}^\infty W'_m\right|\\
&=\liminf_{k\to\infty}\left|\bigcup_{l=k}^\infty\left(\bigcap_{m=k}^\infty W_m\backslash W'_l\right)\right|\\
&\le\liminf_{k\to\infty}\left|\bigcup_{l=k}^\infty(W_l\backslash W'_l)\right|\\
&\le\liminf_{k\to\infty}\sum_{l=k}^\infty|W_l\backslash W'_l|\\
&\le\liminf_{k\to\infty}\sum_{l=k}^\infty 2^{-l}=0.
\end{align*}
よってa.e. $x\in W$ について十分大きい $m$ をとれば $D_i(G_m(u))(x)=D_iu(x)$ となる。従って
$$D_i(G_m(u))\to D_iu\chi_W\ \ae\inn\Omega\ (m\to\infty).$$
$|D_i(G_m(u))|\le |D_iu|$ であるからLebesgueの収束定理より
$$\norm{D_i(G_m(u))-D_iu\chi_W}_1\to 0\ (m\to\infty).$$
一方 $\norm{G_m(u)}_\infty\lt 2^{-m}\to 0\ (m\to\infty)$。よって $G_m(u)$ は $m\to\infty$ とすると $W^{1,1}(\Omega)$ において $0$ に収束し、
$$D_iu\chi_W=0\ \ae\inn \Omega.$$
よって $Du=0$ a.e. on $W$。$W$ の定義より $\{x\in\Omega\colon u(x)\in N\}\subset W$ となるので主張が示された。
{{end|proof}}

{{theorem|type=thm|name=局所絶対連続関数と $W^{1,p}$ 関数の合成|label=chain2}}
$p\in[1,\infty]$、$u\in W^{1,p}_{\loc}(\Omega)$ とする。
*(1) $\R$ 上の $\L^n$ -可測関数 $f$ について $f(u)D_iu\ (i=1,\ldots ,n)$ はwell-definedである。
*(2) $G\in W^{1,1}_{\loc}(\R)$ とする。$u$ が
$$G(u),G'(u)D_iu\in L^p_{\loc}(\Omega)\ (i=1,...n)$$
をみたすとすると
$$G(u)\in W^{1,p}_{\loc}(\Omega),D_i(G(u))=G'(u)D_iu\ (i=1,\ldots ,n).$$

{{begin|proof|display=''Proof.''|collapsible=1}}
(1)を示す。$f$ のBorel可測な代表元 $f_1$ をとると $f_1(u)D_iu$ は $\L^n$ -可測である。また $f_2$ を $f$ の別の代表元とすると{{ref|type=lem|label=chainlem}}より
$$D_iu=0\ \ae\on\{x\in\Omega\colon f_1(u(x))\neq f_2(u(x))\}$$
であるから $f_1(u)D_iu=f_2(u)D_iu$ a.e. in $\Omega$ となる。これより $f(u)D_iu$ はwell-definedである。

(2)を示す。{{ref|type=thm|label=chain1}}
と同様に $p\in[1,\infty)$、$u\in W^{1,p}(\Omega)$、$G(u),G'(u)D_iu\in L^p(\Omega)$、$G(0)=0$ の場合を示せば十分。<ref name="chainsuf" />

$G'\in L^\infty(\R)$ の場合を示す。$\varepsilon\gt 0$ について $G_\varepsilon\colon=\eta_\varepsilon*G-\eta_\varepsilon*G(0)$ とする。$G_\varepsilon\in C^\infty(\R)$、$|G_\varepsilon'|\le\norm{G'}_\infty$、$G_\varepsilon(0)=0$ であるから{{ref|type=thm|label=chain1}}より
$$G_\varepsilon(u)\in W^{1,p}(\Omega),D_i(G_\varepsilon(u))=G_\varepsilon'(u)D_iu.$$
また $G_\varepsilon\to G,G_\varepsilon'\to G'$ a.e. in $\R\ (\varepsilon\to +0)$ であり、{{ref|type=lem|label=chainlem}}より $G_\varepsilon(u(x))\to G(u(x)),G_\varepsilon'(u(x))\to G'(u(x))\ (\varepsilon\to +0)$ とならないほどんど全ての $x\in\Omega$ について $D_iu(x)=0$ であるから
$$G_\varepsilon(u)\to G(u),G_\varepsilon'(u)D_iu\to G'(u)D_iu\ \ae\inn\Omega\ (\varepsilon\to +0).$$
$|G(u)|\le\norm{G'}_\infty|u|$、$|G_\varepsilon'(u)D_iu|\le\norm{G'}_\infty|D_iu|$ であるからLebesgueの収束定理より
$$\norm{G_\varepsilon(u)-G(u)}_p,\norm{G_\varepsilon'(u)D_iu-G'(u)D_iu}_p\to 0\ (\varepsilon\to +0).$$
従って
$$G(u)\in W^{1,p}(\Omega),D_i(G(u))=G(u)D_iu.$$

$u\in L^\infty(\Omega)$ の場合を示す。$\zeta\in C^\infty(B_2(0))$、$\zeta=1$ in $B_1(0)$ をとり、$m\in\Zp$ として $\zeta_m(x)\colon=\zeta(m^{-1}x)\ (x\in\R^n)$ とする。

$M\gt 0$ について $G_M(t)\ (t\in\R)$ を
$$G_M(t)=
\begin{cases}
\int_0^t\min\{\max\{G'(s),-M\},M\}ds\ &\colon t\ge 0\\
-\int_0^{-t}\min\{\max\{G'(s),-M\},M\}ds\ &\colon t\lt 0\\
\end{cases}$$
と定める。このとき $|G_M'|\le M$、$G_M'=\min\{\max\{G',-M\},M\}$、$G_M(0)=0$。

$|G_M'|\le M$、$G_M(0)=0$ より $|G_M(t)|\le M|t|\ (t\in\R)$ であるから $G_M(\zeta_mu)\in L^p(\Omega)$ で $\supp G_M(u)\subset B_{2m}(0)$ より $\supp G_M(\zeta_mu)\in L^p(\Omega)$。$G'\in L^\infty(\R)$ の場合より
$$G_M(u)\in W^{1,p}(\Omega),D_i(G_M(u))=\min\{\max\{G'(u),-M\},M\}D_iu.$$
また
$$|G_M(t)|\le
\begin{cases}
\int_0^t|\min\{\max\{G'(s),-M\},M\}|ds\le\int_0^t|G'(s)|ds\ &\colon t\ge 0\\
\int_0^{-t}|\min\{\max\{G'(s),-M\},M\}|ds\le\int_0^{-t}|G'(s)|ds\ &\colon t\lt 0\\
\end{cases}$$
であるから
$$|G_M(u)|\le\int_{-\norm{u}_\infty}^{\norm{u}_\infty}|G'(s)|ds.$$
またLebesgueの収束定理より各 $t\in\R$ について $G_M(t)\to G(t)\ (M\to\infty)$ であるからLebesgueの収束定理より
$$\norm{\zeta_mG_M(u)-\zeta_mG(u)}_p\to 0\ (M\to\infty).$$
また $t\in\R$ について $\min\{\max\{G'(t),-M\},M\}\le |G'(t)|$、$\min\{\max\{G'(t),-M\},M\}\to G'(t)\ (M\to\infty)$ であるから $|D_i(\zeta_mG_M(u))|\le|D_i\zeta_m||G_M(u)|+|\zeta_m||G(u)D_iu|$、$D_i(\zeta_mG_M(u))\to D_i\zeta_mG(u)+\zeta_mG'(u)D_iu\ (M\to\infty)$。Lebesgueの収束定理より
$$\norm{D_i(\zeta_mG_M(u))-(D_i\zeta_mG_M(u)+\zeta_mG'(u)D_iu)}_p\to 0\ (M\to\infty).$$
よって
$$\zeta_mG(u)\in W^{1,p}(\Omega),D_i(\zeta_mG(u))=D_i\zeta_mG_M(u)+\zeta_mG'(u)D_iu.$$
$m\to\infty$ とすれば $\norm{\zeta_mG(u)-G(u)}_p,\norm{D_i\zeta_mG_M(u)+\zeta_mG'(u)D_iu-G'(u)D_iu}_p\to 0$ となるので
$$G(u)\in W^{1,p}(\Omega),D_i(G(u))=G'(u)D_iu.$$

一般の場合を示す。$M,N\ge 0$ について
$$u_{M,N}\colon=\min\{\max\{u,-N\},M\}$$
とする。$G'\in L^\infty(\R)$ の場合より
$$u_{M,N}\in W^{1,p}(\Omega),D_iu_{M,N}=D_iu\chi_{\{-N\lt u\lt M\}}.$$
また $|u_{M,N}|\le \max\{M,N\}$ で、
$$|G'(u_{M,N})D_iu_{M,N}|=|G'(u_{M,N})D_iu|\chi_{\{-N\lt u\lt M\}}=|G'(u)D_iu|\chi_{\{-N\lt u\lt M\}}\le|G'(u)D_iu|$$
となるので $u\in L^\infty(\Omega)$ の場合より
$$G(u_{M,N})\in W^{1,p}(\Omega),D_i(G(u_{M,N}))=G'(u_{M,N})D_iu_{M,N}.$$

a.e. $x\in\Omega$ について $M,N\gt|u(x)|$ とすれば $u_{M,N}(x)=u(x)$ となることから
$$G(u_{M,N})\to G(u),G'(u_{M,N})D_iu_{M,N}\to G'(u)D_iu\ \ae\inn\Omega\ (M,N\to\infty).$$
$|G'(u_{M,N})D_iu_{M,N}|\le|G'(u)D_iu|$ であるからLebesgueの収束定理より
$$\norm{G'(u_{M,N})D_iu_{M,N}-G'(u)D_iu}_p\to 0\ (M,N\to\infty).$$

また $j\in\Zz$ について次のように $L_j,M_j,N_j\ge 0$ をとる:

$L_0=M_0=N_0\colon=0$ とする。

$L_j,M_j,N_j$ がとれたとする。 $|\{|u|\gt L\}|\to 0\ (L\to\infty)$ に注意し、$L_{j+1}$ を
$$L_{j+1}\ge L_j+1,|G(L_j)|^p|\{u\gt L_{j+1}\}|\lt 2^{-(j+1)},|G(-L_j)|^p|\{u\lt -L_{j+1}\}|\lt 2^{-(j+1)}$$
となるようにとる。$M_{j+1},N_{j+1}$ を $M_{j+1},N_{j+1}\in [L_j,L_{j+1}]$ かつ
$$|G(M_{j+1})|=\inf_{[L_j,L_{j+1}]}|G|,|G(-N_{j+1})|=\inf_{[-L_{j+1},-L_j]}|G|$$
となるようにとる。

このとき $j\in\Zp$ とすると $M_j,N_j\le L_j$ で $t\in[M_j,L_j]$ について $|G(M_j)|\le|G(t)|$、$t\in[-L_j,-N_j]$ について $|G(-N_j)|\le|G(t)|$。これより
$$|G(u_{M_j,N_j})|\chi_{\{|u|\le L_j\}}=
\begin{cases}
|G(-N_j)|\le|G(u)|&\colon u\in [-L_j,-N_j]\\
|G(u)|&\colon u\in(-N_j,M_j)\\
|G(M_j)|\le|G(u)|&\colon u\in [M_j,N_j]\\
0&\colon |u|\gt L_j
.\end{cases}
$$
また $\chi_{\{|u|\le L_j\}}\to 1$ a.e. in $\Omega\ (j\to\infty)$ より
$$G(u_{M_j,N_j})\chi_{\{|u|\le L_j\}}\to G(u)\ \ae\inn\Omega\ (j\to\infty).$$
Lebesgueの収束定理より
$$\norm{G(u_{M_j,N_j})\chi_{\{|u|\le L_j\}}-G(u)}_p\to 0\ (j\to\infty).$$
また $M_j,N_j\ge L_{j-1}\ge j-1$ より $M_j,N_j\to\infty\ (j\to\infty)$ であり、
\begin{align*}
\int_\Omega|G(u_{M_j,N_j})|^p\chi_{\{|u|\gt L_j\}}&=\int_\Omega(|G(M_j)|^p\chi_{\{u\gt M_j\}}+|G(-N_j)|^p\chi_{\{u\lt -N_j\}})\\
&=|G(M_j)||\{u\gt M_j\}|+|G(-N_j)||\{u\gt -N_j\}|\\
&\le|G(L_j)||\{u\gt L_{j-1}\}|+|G(-L_j)||\{u\gt -L_{j-1}\}|\\
&\le 2^{1-j}\to 0\ (j\to\infty).
\end{align*}
従って
$$\norm{G(u_{M_j,N_j})-G(u)}_p\to 0\ (j\to\infty).$$
$M_j,N_j\ge L_{j-1}\ge j-1\to\infty\ (j\to\infty)$ より
$$\norm{G'(u_{M_j,N_j})D_iu_{M_j,N_j}-G'(u)D_iu}_p\to 0\ (j\to\infty)$$
となることとあわせて
$$G(u)\in W^{1,p}(\Omega),D_i(G(u))=G'(u)D_iu$$
が成り立つ。
{{end|proof}}

==差分商による特徴づけ==
{{theorem|type=def|name=差分商|label=difq}}
$f\colon\Omega\to\R$ と開集合 $\Omega'\rcpt\Omega$ と $0\lt|h|\lt\dist(\Omega',\pOm)$ なる $h\in\R$ と $z\in\partial B_1(0)$ について
$$\Delta^h_z f(x)\colon=\frac{f(x+hz)-f(x)}{h}\ (x\in\Omega',i=1,\ldots ,n)$$
により $f$ の $z$ 方向の差分商 $\Delta^h_z f\colon\Omega'\to\R$ を定める。$\Delta^h_{e_i} f$ は $\Delta^h_i f$ と書く。

{{theorem|type=pro|name=差分商の初等的性質|label=difq1}}
開集合 $\Omega'\rcpt\Omega$ と $0\lt|h|\lt\frac{1}{2}\dist(\Omega',\pOm)$ なる $h\in\R$ と $\partial B_1(0)$ について次が成り立つ:
*(1) $f\in C^1(\Omega)$ について
$$\Delta^h_z f(x)=\int_0^1 D_if(x+thz)dt\ (x\in\Omega').$$
*(2) $f\colon\Omega\to\R$ について
$$\Delta^h_z(fg)(x)=\Delta^h_zf(x)g(x)+f(x+hz)\Delta^h_zg(x)=\Delta^h_zf(x)g(x+hz)+f(x)\Delta^h_zg(x)\ (x\in\Omega').$$
*(3) $f\colon \Omega\to\R$ と $g\colon\R^n\to\R$ が $\L^n$ -可測で $\supp g\subset\Omega'$ かつ $f(\cdot+hz)g,fg\in L^1(\Omega)$ とすると
$$\int_{\Omega'}\Delta^h_zfg=-\int_{\Omega}f\Delta^{-h}_zg.$$

{{begin|proof|display=''Proof.''|collapsible=1}}
(1) は微積分基本公式から直ちに従う。

(2) は
$$f(x+hz)g(x+hz)-f(x)g(x)=(f(x+hz)-f(x))g(x)+f(x+hz)(g(x+hz)-g(x))$$
から従う。

(3) は
\begin{align*}
\int_{\Omega'} \Delta^h_zfg&=\frac{1}{h}\left(\int_{\Omega'} f(x+hz)g(x)dx-\int_{\Omega'} f(x)g(x)dx\right)\\
&=\frac{1}{h}\left(\int_{\Omega'+hz} f(x)g(x-hz)dx-\int_{\Omega'} f(x)g(x)dx\right)\\
&=-\frac{1}{-h}\left(\int_\Omega f(x)g(x-hz)dx-\int_\Omega f(x)g(x)dx\right)\\
&=-\int_\Omega f\Delta^{-h}_zg
\end{align*}
となり従う。
{{end|proof}}

$p\in(1,\infty]$ のとき、差分商を用いて $W^{1,p}(\Omega)$ を特徴づけることができる。差分商は微分可能性を仮定することなく定義できるため、この特徴づけは $u\in W^{1,p}(\Omega)$ を示す上でしばしば有用なものである。

{{theorem|type=lem|label=difqlem}}
*(1) $p,p'\in[1,\infty]$ とする。$u\in W^{1,p}(\Omega)$ とすると $z\in\partial B_1(0)$ について
$$\norm{D_zu}_p=\sup\left\{\int_\Omega uD_z\varphi\colon\varphi\in C^\infty_c(\Omega),\norm{\varphi}_{p'}\le 1\right\}.\tag{*}\label{difqlem1}$$
ここで $\displaystyle D_zu\colon=z\cdot Du$ である。
*(2) $p\in(1,\infty]$ の場合は逆に $u\in L^p(\Omega)$ で各 $i=1,\ldots ,n$ について(\ref{difqlem1})の右辺が有限であれば $u\in W^{1,p}(\Omega)$ である。

{{begin|proof|display=''Proof.''|collapsible=1}}
(1)を示す。(\ref{difqlem1})の右辺を $A_z$ とおく。$\varphi\in C^\infty(\Omega)$ について
$$\int_\Omega uD_z\varphi=-\int_\Omega D_zu\varphi$$
であるから
$$A_z=\sup\left\{-\int_\Omega D_zu\varphi\colon\varphi\in C^\infty_c(\Omega),\norm{\varphi}_{p'}\le 1\right\}=\norm{D_zu}_p.$$

(2)を示す。$A_i=A_{e_i}\lt\infty\ (i=1,\ldots ,n)$ とすると $\varphi\mapsto\int_\Omega uD_i\varphi$ は $L^{p'}(\Omega)$ 上の有界線型汎関数に拡張され、$p'\in[1,\infty)$ よりこの汎関数はある $v_i\in L^p(\Omega)$ を用いて $\varphi\mapsto-\int_\Omega v_i\varphi$ と表される。従って
$$\int_\Omega uD_i\varphi=-\int_\Omega v_i\varphi\ (\forall\varphi\in C^\infty_c(\Omega))$$
となり $u\in W^{1,p}(\Omega)$、$D_iu=v_i$ となる。
{{end|proof}}

{{theorem|type=rmk}}
(2)は $p=1$ の場合は成り立たない。<ref name="BV">(2)で $p=1$ とした仮定をみたす関数は有界変動関数と呼ばれる。$\Omega$ 上の有界変動関数の空間は $BV(\Omega)$ と書かれ、これも重要な関数空間のひとつである。</ref>例えば $n=1$、$\Omega=\R$、$u=\chi_{(0,\infty)}$ とすると $\varphi\in C^\infty_c(\R)$、$\norm{\varphi}_\infty\le 1$ について $\int_\R u\varphi'=\int_0^\infty \varphi'=-\varphi(0)\le 1$ となる。一方 $u\in W^{1,1}(\Omega)$ であったとして $v=u'$ とすると任意の $\varphi\in C^\infty_c(\R)$ について $\int_\R v\varphi=\varphi(0)$ となり、とくに $x\in\R\backslash\{0\}$ として $\varepsilon\gt 0$ を十分小さくとると $\eta_\varepsilon*v(x)=\eta_\varepsilon(x)=0$ となるので $\eta_\varepsilon*v\to 0$ a.e. in $\R$ であり $v=0$ となるがこれは $\int_\R v\varphi=\varphi(0)$ に矛盾する。

{{theorem|type=thm|name=$W^{1,p}(\Omega)$ の差分商による特徴づけ|label=difq1}}
*(1) $\Omega'\rcpt\Omega$ を開集合とする。$0\lt|h|\lt\frac{1}{2}\dist(\Omega',\pOm)$ なる $h\in\R$ と $z\in\partial B_1(0)$ と $p\in[1,\infty]$、$u\in W^{1,p}(\Omega)$ について
$$\norm{\Delta^h_z u}_{p;\Omega'}\le \norm{D_zu}_p.$$
*(2) $p\in(1,\infty]$ の場合は逆に $u\in L^p(\Omega)$ について、$C_i\ge 0$ が存在して任意の開集合 $\Omega'\rcpt\Omega$ と $0\lt|h|\lt\frac{1}{2}\dist(\Omega',\pOm)$ なる $h\in\R$ について $\norm{\Delta^h_i u}_{p;\Omega'}\le C_i$ が成り立てば
$$u\in W^{1,p}(\Omega),\norm{D_iu}_{p;\Omega}\le C_i\ (i=1,\ldots ,n).$$

{{begin|proof|display=''Proof.''|collapsible=1}}
(1)を示す。$\varphi\in C^\infty_c(\Omega')$、$\norm{\varphi}_{p'}\le 1$ について
$$\int_{\Omega'}\Delta^h_z u\varphi=-\int_\Omega u\Delta^{-h}_z\varphi=-\int_\Omega u(x)\left(\int_0^1 D_z\varphi(x-thz)dt\right)dx$$
で、{{ref|type=lem|label=difqlem}}より $t\in[0,1]$ について
$$-\int_\Omega u(x)\varphi(x-thz)dx\le\norm{D_zu}_p.$$
よって $\norm{\Delta^h_zu}_p\le\int_0^1\norm{D_zu}_pdt=\norm{D_zu}_p$。

(2)を示す。$\varphi\in C^\infty_c(\Omega)$、$\norm{\varphi}_{p'}\le 1$ として開集合 $\Omega'\rcpt\Omega$ を $\supp\varphi\subset\Omega'$ となるようにとると十分小さい $h\gt 0$ について
$$C_i\ge-\int_\Omega\Delta^h_i u(x)\varphi(x)dx=\int_\Omega u(x)\Delta^{-h}_i\varphi(x)dx=\int_\Omega u(x)\left(\int_0^1 D_i\varphi(x-the_i)dt\right)dx$$
で、$h\to +0$ とすれば
$$\int_\Omega uD_i\varphi\le C_i$$
となる。{{ref|type=lem|label=difqlem}}より $u\in W^{1,p}(\Omega)$、$\norm{D_iu}_p\le C_i$。
{{end|proof}}

{{theorem|type=rmk}}
$\Omega\subset\Rnp$ とし、$T\subset\pOm$ を $T\subset\pRnp$ なる相対開集合とする。$\Omega'\rcpt\OmT$ を開集合とし、$h\in\R$、$0\lt|h|\lt\frac{1}{2}\dist(\Omega',\pOm\backslash T)$ とすると、$z\in\partial B_1(0)\cap\pRnp$ については
$f\colon\Omega\to\R$ の差分商 $\Delta^h_i f\colon\Omega'\to\R$ を定義することができる。$p\in(1,\infty]$、$u\in L^p(\Omega)$、$i=1,\ldots ,n-1$ について、$C_i\ge 0$ が存在して任意の開集合 $\Omega'\rcpt\OmT$ と $h\in\R$、$0\lt|h|\lt\frac{1}{2}\dist(\Omega',\pOm)$ について $\norm{\Delta^h_i u}_{p;\Omega'}\le C_i$ が成り立てば $u$ の弱微分 $D_iu$ が存在し
$$\norm{D_iu}_p\le C_i\ (i=1,\ldots ,n-1)$$
となることが{{ref|type=thm|label=difq1}}と同様に示される。これは境界の近傍における $u$ の正則性を調べる上で重要となるが、法線微分 $D_nu$ が存在するかは別の方法で調べる必要がある。

==$p=\infty$ の場合==
$W^{k,\infty}(\Omega)$ は著しく特殊であり、Lipschitz連続性によって特徴づけることができる。
{{theorem|type=thm|name=$W^{k,\infty}(\Omega)$ の特徴づけ|label=lip}}
$k\in\Zp$ とする。
*(1) $C^{k-1,1}(\Ombar)\subset W^{k,\infty}(\Omega)$ で $u\in C^{k-1,1}(\Ombar)$ について
$$\norm{D^ku}_{\infty;\Omega}\le[u]_{k-1,1;\Omega}.$$
さらに $\Omega$ が[[Hölder空間の基本事項]]の補題14の($\dagger$)をみたすとすると $W^{k,\infty}(\Omega)=C^{k-1,1}(\Ombar)$ で $u\in W^{k,\infty}(\Omega)$ について
$$[u]_{k-1,1;\Omega}\le C_{k,\Omega}\norm{D^ku}_{k,\infty;\Omega}.$$
*(2) 任意の開集合 $\Omega\subset\R^n$ について
$$W^{k,\infty}_{\loc}(\Omega)=C^{k-1,1}(\Omega).$$

また $u\in W^{k,\infty}_{\loc}(\Omega)=C^{k-1,1}(\Omega)$ について、$k$ 階以下の各点での微分と弱微分は一致する。

{{begin|proof|display=''Proof.''|collapsible=1}}
$k=1$ の場合を示せば十分。

(2)は(1)と凸領域が($\dagger$)をみたすことから直ちに従う。

(1)を示す。$u\in C^{0,1}(\Ombar)$ とすると任意の $\Omega'\rcpt\Omega$ について $\Delta^h_iu$ は $h\to +0$ とすると $\Omega'$ 上で各点微分の意味の $D_iu$ に収束する。$\varphi\in C^\infty_c(\Omega')$ について
$$\int_\Omega D_iu\varphi=\lim_{h\to 0}\int_{\Omega'}\Delta^h_iu\varphi=-\lim_{h\to 0}\int_\Omega u\Delta^{-h}_i\varphi=-\int_\Omega uD_i\varphi.$$
これより $u\in W^{1,\infty}(\Omega)$ で、$u$ は弱微分は a.e. in $\Omega$ で $u$ の各点微分と一致する。また $\norm{D_iu}_\infty\le[u]_{0,1}$。

逆に $u\in W^{1,\infty}(\Omega)$ とする。$x,y\in\Omega$ とし、$x_0=x$、$x_N=y$、$l(p)\le L|x-y|$ となるように $\Omega$ 内の折れ線 $p=\{x_i\}_{i=0}^N$ をとる。$\displaystyle \bigcup_{i=0}^N\{(1-t)x_i+tx_{i+1}\colon t\in[0,1]\}$ はコンパクトより開集合 $\Omega'\rcpt\Omega$ をとって $\displaystyle\bigcup_{i=0}^N\{(1-t)x_i+tx_{i+1}\colon t\in[0,1]\}\subset\Omega'$ とできる。$\zeta\in C^\infty_c(\Omega)$ を $\zeta=1$ in $\Omega'$ となるようにとる。十分小さい $\varepsilon\gt 0$ をとると任意の $i=0,\ldots ,N-1$ と $t\in[0,1]$ について $B_\varepsilon((1-t)x_i+tx_{i+1})\subset\Omega'$ となり
$$|\eta_\varepsilon*D(\zeta u)((1-t)x_i+tx_{i+1})|\le C\norm{D(\zeta u)}_{\infty;\Omega'}=C\norm{Du}_{\infty;\Omega'}\ (j=1,\ldots ,n).$$
これより $i=0,\ldots ,N-1$ について
\begin{align*}
|\eta_\varepsilon*(\zeta u)(x_{i+1})-\eta_\varepsilon*(\zeta u)(x_i)|&=\left|\int_{\R^n}(\eta_\varepsilon(x_{i+1}-z)-\eta_\varepsilon(x_i-z))(\zeta u)(z)dz\right|\\
&=\left|\int_{\R^n}\left(\int_0^1 D\eta_\varepsilon((1-t)x_i+tx_{i+1}-z)\cdot(x_{i+1}-x_i)dt\right)(\zeta u)(z)dz\right|\\
&=\left|\int_0^1\eta_\varepsilon*D(\zeta u)((1-t)x_i+tx_{i+1})\cdot(x_{i+1}-x_i)dt\right|\\
&=\int_0^1|\eta_\varepsilon*D(\zeta u)((1-t)x_i+tx_{i+1})||x_{i+1}-x_i|dt\\
&\le C\norm{Du}_{\infty}|x_{i+1}-x_i|
\end{align*}
となり
$$|\eta_\varepsilon*(\zeta u)(y)-\eta_\varepsilon*(\zeta u)(x)|\le C\norm{Du}_\infty l(p)\le C\norm{Du}_\infty|x-y|.$$
$\varepsilon\to+0$ すれば、$u$ のLebesgue点 $x,y\in\Omega'$ について
$$|u(x)-u(y)|\le C\norm{Du}_\infty|x-y|$$
が成り立つ。$\Omega$ のほとんど全ての点が $u$ のLebesgue点であり、とくに $u$ のLebesgue点は $\Omega$ で稠密であるから、$u^*\colon\Omega\to\R$ を $u$ のLebesgue点で $u^*=u$ かつ $|u^*(x)-u^*(y)|\le C\norm{Du}_\infty|x-y|\ (\forall x,y\in\Omega)$ となるようにとれる。これより
$$u=u^*\in C^{0,1}(\Ombar),[u]_{0,1}\le C\norm{Du}_\infty.$$
{{end|proof}}

{{theorem|type=rmk}}
同様にして $T\subset\pOm$ が[[Hölder空間の基本事項]]の系16の($\dagger_\loc$)をみたすとき $W^{k,\infty}_\loc(\Omega)\subset C^{k-1,1}(\Omega\cup T)$ となることが証明できる。

$\gamma\colon [a,b]\to\Omega$ をLipschitz曲線とし、$u\in C^{0,1}(\Omega)$ とすると $u\circ\gamma\in C^{0,1}([a,b])=W^{1,\infty}(a,b)$ となるので $x\colon=\gamma(a)$、$y\colon=\gamma(b)$ とすれば
$$u(y)=u(x)+\int_a^b (u\circ\gamma)'(t)dt$$
が成り立つ。とくに a.e. $t\in(a,b)$ について $u$ が $\gamma(t)$ において微分可能であれば
$$u(y)=u(x)+\int_a^b Du(\gamma(t))\cdot\gamma'(t)dt$$
が成り立つ。

==変数変換公式==

{{theorem|type=thm|name=変数変換公式|label=chavar}}
$D,\widetilde{D}\subset\R^n$ を開集合とし、$\psi\colon \widetilde{D}\to D$ は全単射で $\psi,\psi^{-1}$ はともに $C^{0,1}$ 写像であるとする。$\widetilde{\Omega}\rcpt\widetilde{D}$ を開集合とし、$\Omega\colon=\psi(\widetilde{\Omega})$ とする。$u\in W^{1,p}(\Omega)$ について
$$u\circ\psi\in W^{1,p}(\widetilde{\Omega}),D_j(u\circ\psi)=\sum_{i=1}^n (D_iu\circ\psi)D_j\psi_i.$$
とくに
$$\norm{u\circ\psi}_{1,p;\widetilde{\Omega}}\le C_{\psi}\norm{u}_{1,p;\Omega}.$$

{{begin|proof|display=''Proof.''|collapsible=1}}
$u\in C^{0,1}(\Omega)\cap W^{1,p}(\Omega)$ とする。$u$ はa.e. in $\Omega$ で微分可能で、{{ref|type=thm|label=lip}}より各点微分は弱微分と一致する。また $\psi^{-1}$ がLipschitz写像であることから $|\{y\in\widetilde{\Omega}\colon\ u\ は\ \psi(y)\ で微分不可能\}|=|\psi^{-1}(\{x\in\Omega\colon u\ は\ x\ で微分不可能\})|=0$ となり、a.e. $y\in\widetilde{\Omega}$ について $u$ は $\psi(y)$ で微分可能である。 $\psi$ はa.e. in $\widetilde{\Omega'}$ で微分可能であるから $u\circ\psi$ もa.e. in $\widetilde{\Omega'}$ で微分可能で
$$D_j(u\circ\psi)=\sum_{i=1}^n (D_iu\circ\psi)D_j\psi_i.$$
$p=\infty$ の場合は $\norm{u\circ\psi}_\infty=\norm{u}_\infty$ と
$$\norm{D_j(u\circ\psi)}_\infty\le\sum_{i=1}^n \norm{D_iu\circ\psi}_\infty\norm{D_j\psi_i}_\infty\le C\sum_{i=1}^n\norm{D_iu}_\infty$$
より
$$u\circ\psi\in W^{1,\infty}(\Omega),\norm{u\circ\psi}_{1,\infty}\le C\norm{u}_{1,\infty}$$
が成り立つ。

$p\in[1,\infty)$ の場合はarea不等式([[Hausdorff測度とarea_coarea_formula]]の定理19)より
$$\int_{\Omega'}|u\circ\psi|^p\le C\int_\Omega |u|^p.$$
また $D\psi$ は $\Omega'$ 上で有界であるから $i,j\in\{1,\ldots ,n\}$ について
$$\int_{\Omega'}|(D_iu\circ\psi)D_j\psi_i|^p\le C\int_{\Omega'}|D_iu\circ\psi|^p\le C\int_\Omega |D_iu|^p$$
となるので
$$\norm{D_j(u\circ\psi)}_p\le \sum_{i=1}^n\norm{(D_iu\circ\psi)D_j\psi_i}_p\le C\sum_{i=1}^n\norm{D_iu}_p$$
となり
$$u\circ\psi\in W^{1,p}(\Omega),\norm{u\circ\psi}_{1;p}\le C\norm{u}_{1;p}$$
が成り立つ。

$p\in[1,\infty)$ の一般の場合は $u_m\in C^\infty(\Omega)\cap W^{1,p}(\Omega)$ を $\norm{u_m-u}_{1,p}\to 0\ (m\to\infty)$ となるようにとると
$$\norm{u_m-u}_p,\norm{\sum_{i=1}^n(D_iu_m\circ\psi)D_j\psi_i-\sum_{i=1}^n(D_iu\circ\psi)D_j\psi_i}_p\to 0\ (m\to\infty)$$
となることから従う。
{{end|proof}}

{{theorem|type=cor|label=kchavar}}
$D,\widetilde{D}\subset\R^n$ を開集合とし、$\psi\colon \widetilde{D}\to D$ は全単射で $\psi,\psi^{-1}$ はともに $C^{k-1,1}$ 写像であるとする。$\widetilde{\Omega}\rcpt\widetilde{D}$ を開集合とし、$\Omega\colon=\psi(\widetilde{\Omega})$ とする。$u\in W^{k,p}(\Omega)$ について
$$u\circ\psi\in W^{k,p}(\widetilde{\Omega}),\norm{u\circ\psi}_{k,p;\widetilde{\Omega}}\le C_{k,\psi}\norm{u}_{k,p;\Omega}.$$

{{begin|proof|display=''Proof.''|collapsible=1}}
{{ref|type=thm|label=chavar}}と積の微分を用いて $k$ に関する帰納法により証明できる。
{{end|proof}}

==Sobolev空間 $W^{k,p}_0(\OmT)$==

{{theorem|type=def|name=$W^{k,p}_c(\OmT),W^{k,p}_0(\OmT)$|label=defsob0}}
$k\in\Zp$、$p\in[1,\infty)$ とし、$T\subset\pOm$ を相対開集合とする。$W^{k,p}_c(\OmT)$ の $W^{k,p}(\Omega)$ のノルムでの閉包を $W^{k,p}_0(\OmT)$ と表す。$W^{k,p}_0(\Omega\cup\emptyset)$ は単に $W^{k,p}_0(\Omega)$ とかく。

{{theorem|type=rmk}}
{{ref|type=thm|label=apx3}}の注意より、$T$ が線分条件をみたす場合は $C^\infty_c(\OmT)\subset W^{k,p}_0(\OmT)$ は稠密である。とくに $C^\infty_c(\Omega)\subset W^{k,p}_0(\Omega)$ は稠密である。

$W^{1,p}_0(\OmT)$ は「弱い意味で $u=0$ on $\pOm\backslash T$ 」となる関数の空間としてよく用いられ、より高階の微分可能性と組み合わせて $W^{2,p}(\Omega)\cap W^{1,p}_0(\OmT)$ などの形で用いられることがある。なお、この空間を $W^{2,p}_0(\OmT)$ と混同しないように注意せよ。

$W^{k,2}_0(\OmT)$ は $H^k_0(\OmT)$ と書かれることが多い。

{{theorem|type=pro|name=$u\in W^{k,p}_0(\OmT)$ の拡張|label=ext0}}
$k\in\Zp$、$p\in[1,\infty)$ とし、$T\subset\pOm$ を相対開集合とする。$D\subset\R^n$ は開集合で $\Omega\subset D$、
$T\subset\partial D$ をみたすとする。このとき $u\in W^{k,p}_0(\OmT)$ について
$$v\colon=\begin{cases}
u&\ \inn\Omega\\
0&\ \on D\backslash\Omega
\end{cases}$$
とすると $v\in W^{k,p}_0(D\cup T)$ である。

{{begin|proof|display=''Proof.''|collapsible=1}}
$u\in W^{1,p}_c(\OmT)$ とする。$\dist(\supp u,\pOm\backslash T)\gt 0$ より $\zeta\in C^\infty(\Omega)$ を $\zeta=1$ on $\supp u$ かつ $\pOm\backslash T$ の近傍で $\zeta=0$ となるようにとれる。$\zeta=0$ on $D\backslash\Omega$ として $\zeta$ を $D$ 上に拡張すると $D\cap\pOm\subset\pOm\backslash T$ の近傍で $\zeta=0$ より $\zeta\in C^\infty(D)$。また $\supp\zeta\rcpt\OmT$。

$\varphi\in C^\infty_c(D)$ とすると $\zeta\varphi\in C^\infty_c(\Omega)$。$D_i\zeta=0$ on $\supp u$ に注意すると
$$\int_D vD_i\varphi=\int_\Omega \zeta uD_i\varphi=\int_\Omega u(D_i(\zeta\varphi)-D_i\zeta\varphi)=-\int_\Omega D_iu\zeta\varphi=-\int_\Omega D_iu\varphi.$$
これより $v\in W^{1,p}(D)$。また $\supp v=\supp u\rcpt D\cup T$ で、$Dv=Du$ in $\Omega$、$Dv=0$ on $D\backslash\Omega$。

帰納法により $u\in W^{k,p}_c(\OmT)$ のとき $v\in W^{k,p}_c(D\cup T)$ となる。近似により主張が従う。
{{end|proof}}

{{theorem|type=rmk}}
以下では $\Omega\subset D$、
$T\subset\partial D$ のとき $u\in W^{k,p}_0(\OmT)$ とそのここで構成した $D$ 上への拡張を区別せず $W^{k,p}_0(\OmT)\subset W^{k,p}_0(D\cup T)$ と見做す。

{{theorem|type=pro|name=部分積分|label=intpart}}
$p\in[1,\infty)$ とする。$T_1,T_2\subset\pOm$ は $T_1\cap T_2=\emptyset$ をみたすとする。$u\in W^{1,p}_0(\OmT_1)$、$v\in W^{1,p'}_0(\OmT_2)$ とすると
$$\int_\Omega D_iuv=-\int_\Omega uD_iv\ (i=1,\ldots ,n)$$

{{begin|proof|display=''Proof.''|collapsible=1}}
近似により $u\in W^{1,p}_c(\OmT_1)$、$v\in W^{1,p'}_c(\OmT_2)$ としてよい。$uv,D_iuv+uD_iv\in L^1(\Omega)$ より $uv\in W^{1,1}(\Omega)$。$T_1\cap T_2=\emptyset$ より $\supp uv\rcpt\Omega$ であるから $uv\in W^{1,1}_c(\Omega)$。$C^\infty_c(\Omega)\subset W^{1,1}_0(\Omega)$ は稠密であるから近似により $\displaystyle \int_\Omega D_i(uv)=0$。これより主張が従う。
{{end|proof}}

{{theorem|type=pro|label=c0}}
$p\in[1,\infty)$ とし、$T\subset\pOm$ を相対開集合とする。$u\in W^{1,p}(\Omega)$ が任意の有界な $S\subset\pOm\backslash T$ について
$$\limsup_{x\to S}|u(x)|\colon=\lim_{\delta\to +0}\esssup_{\dist(x,S)\lt\delta}|u(x)|=0$$
をみたすとすると $u\in W^{1,p}_0(\OmT)$。

{{begin|proof|display=''Proof.''|collapsible=1}}
$\supp u$ が有界な場合を示す。$B=B_R(0)$ を $\supp u\rcpt B$ となるようにとる。

$G\in C^1(\R)$ を $G(t)=0$ if $|t|\lt 1$、$G(t)=t$ if $|t|\gt 2$ となるようにとる。$G'(t)=1$ if $|t|\gt 2$ より $G'\in L^\infty(\R)$。$\varepsilon\gt 0$ について $G_\varepsilon(t)\colon=\varepsilon G(\varepsilon^{-1}t)$ とする。このとき $G_\varepsilon(t)=0$ if $|t|\lt\varepsilon$、$G_\varepsilon(t)=t$ if $|t|\gt\varepsilon$、$|G'_\varepsilon|\le\norm{G'}_\infty$ であるから{{ref|type=thm|label=chain1}}より $G(u)\in W^{1,p}(\Omega)$。また仮定より十分小さい $\delta\gt 0$ をとると
$$|u|\lt\varepsilon\ \ae\inn\{x\in\Omega\colon\dist(x,(\pOm\cap B)\backslash T)\lt\delta\}\cup(\R^n\backslash B_{R-\delta}(0)).$$
これより
$$\dist(\supp G_\varepsilon(u),(\pOm\cap B)\backslash T),\dist(\supp G_\varepsilon(u),(\pOm\backslash B)\backslash T)\ge\delta$$
従って $\dist((\supp G_\varepsilon(u),\pOm\backslash T)\gt 0$ となり $G_\varepsilon(u)\in W^{1,p}_c(\OmT)$。

$u(x)\neq 0$ なる $x\in\Omega$ について $\varepsilon\lt \frac{1}{2}|u(x)|$ とすれば $G_\varepsilon(u(x))=u(x)$ となり、$u(x)=0$ なる $x\in\Omega$ については $G_\varepsilon(u(x))=u(x)=0$ となるのでLebesgueの収束定理より $\norm{G_\varepsilon(u)-u}_p\to 0\ (\varepsilon\to +0)$。また $u(x)\neq 0$ なる $x\in\Omega$ について $\varepsilon\lt \frac{1}{2}|u(x)|$ とすれば $D(G_\varepsilon(u(x)))=G'_\varepsilon(u(x))Du(x)=Du(x)$ となり、$G'_\varepsilon(0)=0$ と{{ref|type=lem|label=chainlem}}より $D(G_\varepsilon(u))=G'_\varepsilon(u)Du=0=Du$ a.e. on $\{u=0\}$ となるのでLebesgueの収束定理より $\norm{D(G_\varepsilon(u))-Du}_p\to 0\ (\varepsilon\to +0)$。これより $u\in W^{1,p}_0(\OmT)$。

$\Omega$ が有界でない場合は $\zeta\in C^\infty_c(\Omega)$ を $\zeta=1$ in $B_1(0)$ となるようにとり、 $\zeta_m(x)=\zeta(m^{-1}x)\ (m\in\Zp)$ とすると仮定より明らかに $\zeta_mu$ も同じ仮定をみたし $\supp\zeta_mu$ は有界であるから $\zeta_mu\in W^{1,p}_0(\OmT)$。$m\to\infty$ として主張を得る。
{{end|proof}}

{{theorem|type=rmk}}
とくに $u\in W^{1,p}(\Omega)\cap C(\Ombar\backslash T)$ で $u=0$ on $\pOm\backslash T$ であれば $u\in W^{1,p}_0(\OmT)$ となる。

{{theorem|type=pro|name=合成関数と積|label=chapro0}}
$p\in[1,\infty)$ とし、$T\subset\pOm$ を相対開集合とする。
*(1) $G\in C^1(\R^m)$ が
$$G(0,\ldots,0,t_{j+1},\ldots,t_m)=0\ (t_{j+1},\ldots,t_m\in\R)$$
をみたすとする。$u=(u_1,\ldots,u_m)\in W^{1,p}(\Omega)^m$ が
$$u_1,\ldots,u_j\in W^{1,p}_0(\OmT)$$
かつ
$$G(u),\sum_{j=1}^m D_jG(u)D_iu_j\in L^p(\Omega)\ (i=1,\ldots,n)$$
をみたすとすると $G(u)\in W^{1,p}_0(\OmT).$
*(2) $G\in W^{1,1}_{\loc}(\R)$、$G(0)=0$ とする。$u\in W^{1,p}_0(\OmT)$、$G(u),G'(u)D_iu\in L^p(\Omega)$ とすると $G(u)\in W^{1,p}_0(\OmT)$。
*(3) $u\in W^{1,p}_0(\OmT)$、$v\in W^{1,p}(\Omega)$ が $uv,D_iuv+uD_iv\in L^p(\Omega)$ をみたすとすると $uv\in W^{1,p}_0(\OmT)$。

{{begin|proof|display=''Proof.''|collapsible=1}}
(1)の $DG\in L^\infty(\R^m)$ の場合は{{ref|type=thm|label=apx3}}の注意より{{ref|type=thm|label=chain1}}の証明で $u^{(k)}=(u^{(k)}_1,\ldots ,u^{(k)}_m)$ を $u^{(k)}_1,\ldots,u^{(k)}_j\in W^{1,p}_c(\OmT)$ となるようにとれ、このとき $\supp G(u^{(k)})\rcpt\OmT$ となり $G(u)\in W^{1,p}_0(\OmT)$ が従う。一般の場合は{{ref|type=thm|label=chain1}}と同様である。

(2)は(1)より{{ref|type=thm|label=chain2}}の証明で $W^{1,p}(\Omega)$ を $W^{1,p}_0(\OmT)$ にとりかえられることから従う。
{{end|proof}}

==Sobolev空間 $W^{-k,p}(\Omega)$==

{{theorem|type=def|name=$W^{-k,p}(\Omega)$|label=0dual}}
$k\in\Zp$、$p\in(1,\infty]$ とする。$W^{k,p'}_0(\Omega)$ のノルム $\norm{\cdot}_{k,p';\Omega}$ に関する双対空間を $W^{-k,p}(\Omega)$ と表す。

{{theorem|type=pro|label=0dualrep}}
$k\in\Zp$、$p\in(1,\infty]$ とする。$\varphi\in W^{-k,p}(\Omega)$ について $g_\alpha\in L^p(\Omega)\ (|\alpha|\le k)$ が存在し
$$\langle \varphi,u\rangle=\sum_{|\alpha|\le k}(-1)^{|\alpha|}\int_\Omega g_\alpha D^\alpha u\ (\forall u\in W^{k,p}_0(\Omega))\tag{*}\label{rep}$$
かつ
$$\norm{\varphi} =\begin{cases}
\left(\sum_{|\alpha|\le k} \norm{g_\alpha}_{p;\Omega}^p\right)^\frac{1}{p}&\colon p\in(1,\infty)\\
\max_{|\alpha|\le k}\norm{g_\alpha}_{\infty;\Omega} &\colon p=\infty
\end{cases}.$$
ここで $\norm{\cdot}$ は $W^{k,p}_0(\Omega)$ のノルム $\norm{\cdot}_{k,p;\Omega}$ に関する双対ノルムである。

{{begin|proof|display=''Proof.''|collapsible=1}}
$|\alpha|\le k$ なる多重指数 $\alpha$ を $\alpha_1,\ldots ,\alpha_N$ と番号づけて $W^{k,p'}_0(\Omega)$ を $u\mapsto (D^{\alpha_1}u,\ldots ,D^{\alpha_N}u)$ により $L^{p'}(\Omega)^N$ の部分空間と見做す。Hahn-Banachの定理より $\varphi$ は $\varphi'\in(L^{p'}(\Omega)^N)^*$ に拡張でき、$\norm{\varphi'} =\norm{\varphi}$。ここで $\norm{\varphi'}$ は $L^p(\Omega)^N$ のノルム
$$\norm{(f_1,\ldots ,f_N)} =\left(\sum_{i=1}^N|f_i|^p\right)^\frac{1}{p}$$
に関する双対ノルムである。$\varphi'$ は $\varphi'_i\in (L^{p'}(\Omega))^*\ (i=1,\ldots ,N)$ を用いて
$$\langle \varphi',f\rangle=\sum_{i=1}^N\langle \varphi'_i,f_i\rangle\ (f=(f_1,\ldots ,f_N)\in L^{p'}(\Omega))$$
と表され、
$$\norm{\varphi} =\norm{\varphi'} =\begin{cases}
\left(\sum_{i=1}^N \norm{\varphi_i} ^p\right)^\frac{1}{p}&\colon p\in(1,\infty)\\
\max_{i=1,\ldots ,N}\norm{\varphi_i} &\colon p=\infty
\end{cases}.$$
各 $i=1,\ldots ,N$ について $g_i\in L^p(\Omega)$ が存在して $\langle \varphi'_i,f\rangle=(-1)^{|\alpha_i|}\int_\Omega g_if\ (f\in L^{p'}(\Omega))$、$\norm{\varphi'_i} =\norm{g_i}_p$。$g_i$ を $g_{\alpha_i}$ と書き直せば
$$\langle\varphi,u\rangle=\sum_{|\alpha|\le k}\int_\Omega g_\alpha D^\alpha u\ (u\in W^{k,p'}_0(\Omega))$$
かつ
$$\norm{\varphi} =\begin{cases}
\left(\sum_{|\alpha|\le k} \norm{g_\alpha}_p^p\right)^\frac{1}{p}&\colon p\in(1,\infty)\\
\max_{|\alpha|\le k}\norm{g_\alpha}_\infty &\colon p=\infty
\end{cases}$$
が成り立つ。
{{end|proof}}

{{theorem|type=def|name=$W^{-k,p}(\Omega)$ の元の表示|label=defdualrep}}
$\varphi\in W^{-k,p}(\Omega)$ を(\ref{rep})をみたす $g_\alpha\in L^1_\loc(\Omega)$ を用いて
$$\varphi=\sum_{|\alpha|\le k}D^\alpha g_\alpha$$
と表す。またこの表示により $\varphi=g$ と表される $\varphi\in W^{-k,p}(\Omega)$ を $g\in L^1_\loc(\Omega)$ と同一視し、$L^p(\Omega)\subset W^{-k,p}(\Omega)$ と見做す。

{{theorem|type=rmk}}
超関数の用語を用いて言い換えると、$\varphi\in W^{-k,p}(\Omega)$ を $\displaystyle\sum_{|\alpha|\le k}D^\alpha g_\alpha\in\D'(\Omega)$ と同一視して $W^{-k,p}(\Omega)\subset\D'(\Omega)$ と見做すということである。

$W^{-k,2}(\Omega)$ は $H^{-k}(\Omega)$ と書かれることが多い。$H^k_0(\Omega)$ の双対空間は $H^k_0(\Omega)$ の内積構造を用いてRieszの表現定理によって $H^k_0(\Omega)$ 自身と同一視することもできる。しかし、{{ref|type=def|label=defdualrep}}によれば $H^k_0(\Omega)$ は $H^{-k}(\Omega)$ の真部分空間となることから、Rieszの表現定理による同一視は{{ref|type=def|label=defdualrep}}で与えたものと一致せず、どちらを採用するか選ぶ必要がある。$H^{-k}(\Omega)$ と書いた場合は、{{ref|type=def|label=defdualrep}}の方を採用する。

==拡張作用素==
{{theorem|type=thm|name=$C^{0,1}$ 境界部分における局所拡張作用素|label=ext1}}
$p\in[1,\infty]$ とし、$T\subset\pOm$ を $C^{0,1}$ 境界部分([[Hölder空間の基本事項]]の定義28)とする。$\xi\in T$ について、$\xi$ の開近傍 $V\subset\R^n$ と有界線型作用素 $E\colon W^{1,p}(V\cap\Omega)\to W^{1,p}(V)$ であって $u\in W^{1,p}(V\cap\Omega)$ について $Eu=u$ in $V\cap\Omega$ をみたすものが存在する。

{{begin|proof|display=''Proof.''|collapsible=1}}
$u\in W^{1,\infty}(V\cap\Omega)\subset C^{0,1}(\Omega\cup T)$ について[[Hölder空間の基本事項]]の定理30より $\xi$ の開近傍 $V$ と $v=Eu\in C^{0,1}_c(V)$ が存在して $Eu=u$ in $V\cap\Omega$。<ref name="linty">構成から明らかに $E$ は線型である。</ref>また{{ref|type=cor|label=kchavar}}に注意すると、$Eu$ の構成から $p\in[1,\infty]$ について $\norm{Eu}_{1,p;V}\le C\norm{u}_{1,p;V\cap\Omega}$ も成り立つ。

$E$ は $W^{1,p}(V\cap\Omega)$ から $W^{1,p}(V)$ への有界線型作用素に一意的に拡張される。$u\in W^{1,p}(V\cap\Omega)$ とし、$u_m\in C^\infty(V\cap\Omega)\cap W^{1,p}(V\cap\Omega)$、$\norm{u_m-u}_{1,p;V\cap\Omega}\to 0,u_m\to u$ a.e. in $V\cap\Omega\ (m\to\infty)$ とすると $\norm{Eu_m-Eu}_{1,p;V}\to 0$ で $Eu_m=u_m$ in $V\cap\Omega$ であるから $Eu=u$ in $V\cap\Omega$。
{{end|proof}}

{{theorem|type=thm|name=$C^{0,1}$ 領域における拡張作用素|label=ext2}}
$p\in[1,\infty]$ とする。次が成り立つ:
*(1) $T\subset\pOm$ を $C^{0,1}$ 境界部分とする。$T'\rcpt T$ について、$\OmT\subset\Omega_0$ をみたす開集合 $\Omega_0\subset\R^n$ と有界線型作用素 $E\colon W^{1,p}(\Omega)\to W^{1,p}(\Omega_0)$ であって $u\in W^{1,p}(\Omega)$ について $Eu=u$ in $\Omega$ をみたすものが存在する。また $u\in W^{1,p}_0(\OmT')$ のとき $Eu\in W^{1,p}_0(\Omega_0)$。
*(2) $T\subset\pOm$ を次をみたす相対開集合とする:
$$開集合D\subset\R^nとC^{0,1}境界部分S\subset\partial Dが存在し\Omega\subset D,T\rcpt S. \tag{$\diamondsuit$}\label{D}$$
このとき $\OmT\subset\Omega_0$ をみたす開集合 $\Omega_0\subset\R^n$ と有界線型作用素 $E\colon W^{1,p}_0(\OmT)\to W^{1,p}_0(\Omega_0)$ であって $u\in W^{1,p}_0(\OmT)$ について $Eu=u$ in $\Omega$ をみたすものが存在する。
*(3) $\Omega$ を有界な $C^{0,1}$ 領域とする。$D\subset\R^n$ を $\Omega\rcpt D$ なる開集合とすると有界線型作用素 $E\colon W^{1,p}(\Omega)\to W^{1,p}_c(D)$ ( $p\in[1,\infty]$ )で $u\in W^{1,p}(\Omega)$ $Eu=u$ in $\Omega$ をみたすものが存在する。

{{begin|proof}}
(1)を示す。{{ref|type=thm|label=ext1}}の $V=V_\xi$ から $V_1,\ldots,V_N$ を選んで $\displaystyle T'\subset\bigcup_{i=1}^N V_i$ となるようにする。$\OmT$ の開被覆 $\Omega,V_1,\ldots, V_N$ に従属する $1$ の分割 $\zeta_0\in C^\infty(\Omega)$、$\zeta_i\in C^\infty_c(V_i)$ をとり、拡張作用素 $E_i\colon W^{1,p}(V_i\cap\Omega_i)\to W^{1,p}(V_i)$ を用いて
$$\Omega_0\colon=\Omega\cup\bigcup_{i=1}^N V_i,Eu\colon=\zeta_0u+\sum_{i=1}^N \zeta_iE_iu$$
とすればよい。またこのとき $u\in W^{1,p}_c(\OmT)$ とすると明らかに $Eu\in W^{1,p}_c(\Omega_0)$ となるので $u\in W^{1,p}_0(\OmT)$ について $Eu\in W^{1,p}_0(\Omega_0)$。

(2)は{{ref|type=pro|label=ext0}}と(1)から従う。(3)は(1)で $T=\pOm$ としたものから直ちに従う。
{{end|proof}}

{{theorem|type=rmk}}
構成より(1)、(2)の $\Omega_0$ は $\Omega_0\backslash\Omega$ が有界になるようにとれる。とくに $\Omega$ が有界であれば $\Omega_0$ も有界とでき、$|\Omega|\lt\infty$ であれば $|\Omega_0|\lt\infty$ とできる。

{{theorem|type=cor|label=apx4}}
$T\subset\pOm$ を $C^{0,1}$ 境界部分とすると $p\in[1,\infty)$ について $C^\infty(\Omega\cup T)\cap W^{1,p}(\Omega)$ は $W^{1,p}(\Omega)$ において稠密である。

{{begin|proof}}
{{ref|type=thm|label=apx3}}の証明で、$v_i(\cdot+t_iy_i)$ の代わりに局所拡張作用素 $E_i\colon W^{1,p}(V_i\cap\Omega)\to W^{1,p}(V_i)$ をとって $\norm{w_i-E_iu}_{1,p;V_i}\lt 2^{-i}\delta$ をみたす $w_i\in C^\infty(V_i)\cap W^{1,p}(V_i)$ を用いればよい。
{{end|proof}}

同様にして $\Omega$ が有界な $C^{k-1,1}$ 領域のとき $W^{k,p}(\Omega)$ から $W^{k,p}(\R^n)$ への有界な拡張作用素を構成できる。

一方で、別の方法により $\Omega$ が有界なLipschitz領域のときに任意の $k\in\Zz$ と $p\in[1,\infty]$ について $W^{k,p}(\Omega)$ から $W^{k,p}(\R^n)$ へ有界となる拡張作用素 $E\colon L^1(\Omega)\to L^1(\R^n)$ を構成できる。

{{theorem|type=lem|label=kernel}}
次をみたす $h\colon[1,\infty)\to\R$ が存在する:任意の多項式関数 $P$ について
$$Ph\in L^1(1,\infty),\int_1^\infty Ph=P(0).$$

{{begin|proof}}
$\C\backslash[1,\infty)$ 上の正則関数 $f=f(z)$ を
$$\exp\left(-\exp\left(-\frac{\pi\sqrt{-1}}{4}\right)(z-1)^\frac{1}{4}\right)$$
の $\arg\left((z-1)^\frac{1}{4}\right)\in\left(0,\frac{\pi}{2}\right)$ なる枝により定める。$0\lt\delta\lt 1\lt R\lt\infty$ とし、$\C\backslash[1,\infty)$ 上のなめらかな曲線 $\gamma_i$、$i=1,2,3,4$ を
\begin{align*}
\gamma_1(t)&\colon=t+\delta\sqrt{-1}\ (t\in[1,R]),\\
\gamma_2(t)&\colon=(R^2+\delta^2)^\frac{1}{2}\exp\left(\sqrt{-1}t\right)\ \left(t\in\left[\arctan\frac{\delta}{R},2\pi-\arctan\frac{\delta}{R}\right]\right)\\
\gamma_3(t)&\colon=R-t+\delta\sqrt{-1}\ (t\in[0,R-1])\\
\gamma_4(t)&\colon=\delta\exp\left(\pi\sqrt{-1}\left(\frac{3}{2}-t\right)\right)\ (t\in[0,1])
\end{align*}
により定め、この順につないで得られる区分的になめらかな曲線を $\gamma$ とすると $\gamma$ は単純閉曲線となる。留数定理により多項式関数 $P$ について
$$\int_\gamma P(z)z^{-1}f(z)dz=\frac{2\pi\sqrt{-1}}{e}P(0).$$
ここで $\arg\left(\exp\left(-\frac{\pi\sqrt{-1}}{4}\right)(z-1)^\frac{1}{4}\right)\in\left(-\frac{\pi}{4},\frac{\pi}{4}\right)$ であるから
$$\left|\exp\left(-\frac{\pi\sqrt{-1}}{4}\right)(z-1)^\frac{1}{4}\right|\le\exp\left(-\frac{1}{\sqrt{2}}(|z|+1)^\frac{1}{4}\right)$$
となり
$$\left|\int_{\gamma_2}P(z)z^{-1}f(z)dz\right|\le 2\pi\sup_{|z|=(R^2+\delta^2)^\frac{1}{2}}|P(z)|\exp\left(-\frac{1}{\sqrt{2}}(R+1)^\frac{1}{4}\right)\to 0\ (R\to+\infty).$$
また $P(z)z^{-1}f(z)\to P(1)\ (z\to 1)$ より
$$\left|\int_{\gamma_4}P(z)z^{-1}f(z)dz\right|\to 0\ (\delta\to +0).$$
一方 $\lambda\in[1,\infty)$ について
\begin{align*}
&\quad\lim_{\delta\to+0}P(\lambda+\delta\sqrt{-1})(x+\delta\sqrt{-1})f(\lambda+\delta\sqrt{-1})-\lim_{\delta\to+0}P(\lambda-\delta\sqrt{-1})(\lambda-\delta\sqrt{-1})f(\lambda-\delta\sqrt{-1})\\
&=P(\lambda)\lambda^{-1}\left(\exp\left(-\exp\left(-\frac{\pi\sqrt{-1}}{4}\right)(\lambda-1)^\frac{1}{4}\right)-\exp\left(-\exp\left(\frac{\pi\sqrt{-1}}{4}\right)(\lambda-1)^\frac{1}{4}\right)\right)\\
&=2\sqrt{-1}P(\lambda)\lambda^{-1}\Im\left(\exp\left(-\exp\left(-\frac{\pi\sqrt{-1}}{4}\right)(\lambda-1)^\frac{1}{4}\right)\right).
\end{align*}
従って $R\to +\infty,\delta\to +0$ とすると
$$2\sqrt{-1}\int_1^\infty P(\lambda)\lambda^{-1}\Im\left(\exp\left(-\exp\left(-\frac{\pi\sqrt{-1}}{4}\right)(\lambda-1)^\frac{1}{4}\right)\right)d\lambda=\frac{2\pi\sqrt{-1}}{e}P(0)$$
となる。これより
$$ h(\lambda)=\frac{e}{\pi}\lambda^{-1}\Im\left(\exp\left(-\exp\left(-\frac{\pi\sqrt{-1}}{4}\right)(\lambda-1)^\frac{1}{4}\right)\right)$$
ととればよい。
{{end|proof}}

{{theorem|type=thm|name=$n=1$ の場合|label=extn1}}
$I\subsetneq\R$ を開区間とする。線型作用素 $E\colon L^1(I)+L^\infty(I)\to L^1(\R)+L^\infty(\R)$ であって次をみたすものが存在する:
* $u\in L^1(I)+L^\infty(I)$ について
$$Eu=u\ \inn I.$$
* 任意の $k\in\Zz$ と $p\in[1,\infty]$ について $E(W^{k,p}(I))\subset W^{k,p}(\R)$ で $u\in W^{k,p}(I)$ について
$$\norm{Eu}_{k,p;\R}\le C_{k,|I|}\norm{u}_{k,p;\Omega}.$$

{{begin|proof|display=''Proof.''|collapsible=1}}
$I$ が非有界の場合を示す。$I=(0,\infty)$ としてよい。

{{ref|type=lem|label=kernel}}の $h$ をとる。$u\in L^p(I)$ について積分形のMinkowskiの不等式により
$$\norm{\int_1^\infty u((1-2\lambda)\cdot)h(\lambda)d\lambda}_{p;(-\infty,0)}\le\int_1^\infty\norm{u((1-2\lambda)\cdot)}_{p;(-\infty,0)}|h(\lambda)|d\lambda\le\int_1^\infty\norm{u}_{p;I}|h(\lambda)|d\lambda\le C\norm{u}_{p;I}.$$
$u\in L^1(I)+L^\infty(I)$ について
$$Eu(x)\colon=\begin{cases}
u(x)&\colon x\in\overline{I}\\
\int_1^\infty u((1-2\lambda)\cdot)h(\lambda)d\lambda&\colon x\in(-\infty,0)
\end{cases}$$
と定める。上で示したことより $E\colon L^1(I)+L^\infty(I)\to L^1(\R)+L^\infty(\R)$ はwell-definedで、$L^p(\R)$ から $L^p(\R)$ へ連続である。

$u\in W^{1,p}(I)$ とすると{{ref|type=thm|label=1dim1}}より $-\infty\lt x\lt y\le 0$ について
\begin{align*}
Eu(x)&=\int_1^\infty\left(u(y)-\int_{(1-2\lambda)y}^{(1-2\lambda)x}u'(t)dt\right)h(\lambda)d\lambda\\
&=Eu(y)-\int_0^\infty\left((1-2\lambda)\int_x^y u'((1-2\lambda)s)ds\right)h(\lambda)d\lambda\\
&=Eu(y)-\int_x^0\left(\int_0^\infty u'((1-2\lambda)s)h(\lambda)d\lambda\right)ds\\
&=Eu(y)-\int_x^0 Eu'(s)ds.
\end{align*}
また
$$\lim_{x\to +0}Eu(x)=\int_1^\infty u(0)h(\lambda)d\lambda=u(0).$$
これより $-\infty\lt x\lt 0\le y\lt\infty$ についても
$$u(y)=u(0)+\int_0^y u'(t)dt=u(x)+\int_x^y Eu'(t)dt.$$
これより
$$Eu\in W^{1,p}(\R),(Eu)'=Eu',\norm{(Eu)'}_{p;\R}\le C\norm{u'}_p.$$
帰納法により任意の $k\in\Zp$ と $p\in[1,\infty]$ について $E$ は $W^{k,p}(I)$ から $W^{k,p}(\R)$ へ連続で $u\in W^{k,p}(I)$ について $(Eu)^{(k)}=Eu^{(k)}$ となる。

$I=(a,b)$ が有界な場合を示す。$\zeta\in C^\infty([a,b])$ を $a$ の近傍で $1$ かつ $b$ の近傍で $1$ となるようにとると $u\in W^{k,p}(I)$ について $\zeta u\in W^{k,p}(a,\infty)$、$(1-\zeta)u\in W^{k,p}(-\infty,b)$ となるので、拡張作用素 $E_{a+}\colon L^1(a,\infty)+L^\infty(a,\infty)\to L^1(\R)+L^\infty(\R)$ と $E_{b-}\colon L^1(-\infty,b)+L^\infty(-\infty,b)\to L^1(\R)+L^\infty(\R)$ をとって $Eu\colon=E_{a+}(\zeta u)+E_{b-}((1-\zeta)u)$ とすればよい。
{{end|proof}}

{{theorem|type=lem|label=regdis}}
$\gamma\in C^{0,1}_c(\R^{n-1})$ とし、$\Omega\colon=\{(x',x_n)\in\R^{n-1}\times\R\colon x_n\lt\gamma(x')\}$ とする。次をみたす $\delta\in C^\infty(\Omega)\cap C^{0,1}(\Ombar)$ が存在する:
* $$\sup_{\Omega}D_n\delta\lt 0.$$
* 任意の多重指数 $\alpha$ について
$$|D^\alpha\delta(x',x_n)|\le C_{\alpha,\gamma}(\gamma(x')-x_n)^{1-|\alpha|}\ \inn\Omega.$$

{{begin|proof|display=''Proof.''|collapsible=1}}
$M\colon=\left(1+[\gamma]_{0,1}^2\right)^\frac{1}{2}$、$t\colon=1+(16M)^{-1}$ とする。また $m\in\Z$ について $\Omega_m\colon=\{(x',x_n)\in\R^{n-1}\times\R\colon x_n-\gamma(x')\lt -t^m\}\subset\Omega$ とする。

$(x',x_n),(y',y_n)\in\Omega$ について
$$|(x_n-\gamma(x'))-(y_n-\gamma(y'))|^2\le([\gamma]_{0,1}|x'-y'|)^2+|x_n-y_n|^2\le M^2|(x',x_n)-(y',y_n)|$$
であるから $l\lt m$ について $\dist(\Omega_m,\pOm_l)\ge M^{-1}(t^m-t^l)$。

$\delta_m\colon=\eta_{(4M)^{-1}t^m}*\chi_{\Omega_m}$ とする。$N\in\Zp$ を $t^N\gt 2$ となるようにとると $\dist(\Omega_m,\pOm_{m-N})\gt (2M)^{-1}t^m$ となるので $\supp\delta_m\subset\Omega_{m-N}$。また $\dist(\Omega_{m+N},\pOm_m)\gt (2M)^{-1}t^{m+N}$ となるので $\delta_m=1$ in $\Omega_{m+N}$。とくに $\supp D\delta_m\subset\Omega\backslash\Ombar_{m+N}$ であり、$\{\supp D\delta_m\}_{m\in\Z}$ は局所有限である。また多重指数 $\alpha$ について $\norm{D^\alpha\delta_m}_\infty\le Ct^{-m|\alpha|}$。

一方
\begin{align*}
D_n\delta_m(x',x_n)&=\int_{\Omega_m}D_n\eta_{(4M)^{-1}t^m}(x'-y',x_n-y_n)dy\\
&=\int_{\R^{n-1}}\left(\int_{-\infty}^{\gamma(z')-t^m}D_n\eta_{(4M)^{-1}t^m}(x'-z',x_n-z_n)dz'\right)\\
&=-\int_{\R^{n-1}}\eta_{(4M)^{-1}t^m}(x'-y',x_n+t^m-\gamma(y'))dy'\le 0.
\end{align*}
また $(x',x_n)\in\Omega_m\backslash\Omega_{m+1}$ とすると $|x_n+t^m-\gamma(x')|\lt t^{m+1}-t^m=(16M)^{-1}t^m$ であるから、$y'\in\R^n$ を $|y'-x'|\lt(16M^2)^{-1}t^m$ となるようにとれば
$$|(x'-y',x_n+t^m-\gamma(y')|\le|(x'-y',\gamma(x')-\gamma(y'))|+|x_n+t^m-\gamma(x')|\lt M|x'-y'|+|x_n+t^m-\gamma(x')|\lt(8M)^{-1}t^m$$
となり
\begin{align*}
D_n\delta(x',x_n)&\le -\int_{\{y'\in\R^{n-1}\colon|y'-x'|\lt(16M^2)^{-1}t^m\}}\eta_{(4M)^{-1}t^m}(x'-y',x_n+t^m-\gamma(y'))dy'\\
&\le -\omega_{n-1}\left((16M^2)^{-1}t^m\right)^{n-1}\cdot\left((4M)^{-1}t^m\right)^{-n}\inf_{B_\frac{1}{2}(0)}\eta\\
&=-ct^{-m},c=c_{n,M}\gt 0.
\end{align*}
$$\delta\colon=\sum_{l\in\Z}t^l\delta_l$$
とする。$x=(x',x_n)\in\Omega_{m-1}\backslash\Omega_m$ とすると $l\ge m+N$ について $\supp\delta_l\subset\Omega_{l-N}\subset\Omega_m$ となるので $\delta_l(x)=0$。これより
$$\delta(x)=\sum_{l=-\infty}^{m+N-1}t^l\delta_l\le\sum_{l=-\infty}^{m+N-1}t^l\le(t-1)^{-1}t^{m+N}\le C(\gamma(x')-x_n).$$
また $\{\supp D\delta_m\}_{m\in\Z}$ は局所有限であったから $\delta\in C^\infty(\Omega)$。$x=(x',x_n)\in\Omega_{m-1}\backslash\Omega_m$ とすると $l\ge m+N$ について $\supp D\delta_l\subset\Omega_m$ で、$l\le m-N-1$ について $\supp\delta_l\cap\Omega_{m-1}=\emptyset$ となるのでこれらの場合 $D^\alpha\delta(x)=0$。これより多重指数 $\alpha\gt 0$ について
$$|D^\alpha\delta(x)|\le\sum_{l=m-N}^{m+N-1}t^l|D^\alpha\delta_l(x)|\le C\sum_{l=m-N}^{m+N-1}t^{l(1-|\alpha|)}\le C\left(2Nt^{(m-N)(1-|\alpha|)}\right)\le C(\gamma(x')-x_n)^{1-|\alpha|}.$$
とくに $D\delta$ は有界であり $\delta\in C^{0,1}(\Ombar)$ となる。

一方 $l\in\Z$ について $D_n\delta_l(x)\le 0$ で、$D_n\delta_m(x)\le -ct^{-m}$ であるから
$$D_n\delta(x)\le -c.$$
以上よりこの $\delta$ は条件をみたす。
{{end|proof}}

{{theorem|type=rmk}}
$|\delta(x)|\le C(\gamma(x')-x_n)$ より $\delta=0$ on $\pOm$ である。

{{theorem|type=thm|name=Steinの拡張作用素|label=stext}}
$\gamma\in C^{0,1}_c(\R^{n-1})$、$\Omega\colon=\{(x',x_n)\in\R^{n-1}\times\R\colon x_n\gt\gamma(x')\}$ とする。線型作用素 $E\colon L^1(\Omega)+L^\infty(\Omega)\to L^1(\R^n)+L^\infty(\R^n)$ であって次をみたすものが存在する:
* $u\in L^1(\Omega)+L^\infty(\Omega)$ について
$$Eu=u \inn\Omega.$$
* 任意の $k\in\Zz$ と $p\in[1,\infty]$ について $E(W^{k,p}(\Omega))\subset W^{k,p}(\R^n)$ で $u\in W^{k,p}(\Omega)$ について
$$\norm{D^kEu}_{p;\R^n}\le C_{k,\gamma}\norm{D^ku}_{p;\Omega}.$$

{{begin|proof}}
{{ref|type=lem|label=regdis}}の $\delta\in C^\infty(\R^n\backslash\Ombar)$ と{{ref|type=lem|label=kernel}} の $h$ をとり、$\displaystyle M\colon=-2\left(\sup_{\R^n\backslash\Ombar}D_n\delta\right)^{-1}$ とする。

$\lambda\ge 1$ について $\psi_\lambda\colon\R^n\backslash\Ombar\to\R^n$ を
$$\psi_\lambda(x',x_n)=(x',x_n+M\lambda\delta(x))$$
により定める。$x'\in\R^{n-1}$、$t\in(-\infty,\gamma(x'))$ について
$$\frac{\partial}{\partial t}(t+M\lambda\delta(x',t))=1+M\lambda D_n\delta(x',t)\le 1-2\lambda\lt 0.$$
また $\delta(x',\gamma(x'))=0$ より $\gamma(x')+M\lambda\delta(x',\gamma(x'))=\gamma(x')$ で
$$\psi_\lambda(x',t)=\gamma(x')-\int_t^{\gamma(x')}(1+M\lambda D_n\delta(x',s))ds\le\gamma(x')+(2\lambda-1)(\gamma(x')-t)\to +\infty\ (t\to-\infty).$$
よって $(-\infty,\gamma(x'))\to(\gamma(x'),+\infty),t\mapsto t+M\lambda\delta(x',t)$ は全単射である。これより $\psi_\lambda$ は $\R^n\backslash\Ombar$ から $\Omega$ への全単射で $|\det D\psi_\lambda|=|D_n\psi_\lambda|=2\lambda-1\ge 1$ となるので $p\in[1,\infty)$ と $u\in L^p(\Omega)$ について
$$\int_\Omega |u|^p=\int_{\R^n\backslash\Ombar}|u\circ\psi_\lambda|^p|D_n\psi_\lambda|\ge\int_{\R^n\backslash\Ombar}|u\circ\psi_\lambda|^p.$$
積分形のMinkowskiの不等式により $p\in[1,\infty]$ と $u\in L^p(\Omega)$ について
$$\norm{\int_1^\infty |(u\circ\psi_\lambda)h(\lambda)|d\lambda}_{p;\R^n\backslash\Omega}\le\int_1^\infty\norm{u\circ\psi_\lambda}_{p;\R^n\backslash\Omega}|h(\lambda)|d\lambda\le C\norm{u}_p.\tag{*}\label{stext1}$$

また $L(\psi_\lambda)\le 1+M\lambda[\delta]_{0,1}$ であるから $u\in C^{0,1}(\Ombar)$ とすると $x,y\in \R^n\backslash\Ombar$ について
$$\left|\int_0^1 u(\psi_\lambda(x))h(\lambda)d\lambda-\int_0^1 u(\psi_\lambda(y))h(\lambda)d\lambda\right|\le\int_0^1 (1+M\lambda[\delta]_{0,1})[u]_{0,1}|x-y||h(\lambda)|d\lambda\le C[u]_{0,1}|x-y|$$
となるので $\displaystyle \int_0^1(u\circ\psi_\lambda)h(\lambda)d\lambda\in C^{0,1}(\R^n\backslash\Omega)$。

また各 $\lambda\in[1,\infty)$ について $u\circ\psi_\lambda$ は a.e. in $\R^n\backslash\Ombar$ で微分可能であるから、Fubiniの定理よりa.e. $ x\in\R^n\backslash\Ombar$ について、a.e. $\lambda\in[1,\infty)$ に対し $u\circ\psi_\lambda$ は $x$ で微分可能である。またそのような $x\in\R^n\backslash\Ombar$ と $|k|$ が十分小さい $k\in\R\backslash\{0\}$ について
$$\left|\frac{u(\psi_\lambda(x+ke_i))-u_\lambda(x)}{k}h(\lambda)\right|\le(1+M\lambda[\delta]_{0,1})|h(\lambda)|$$
であるからLebesgueの収束定理より
\begin{align*}
D_i\left(\int_1^\infty(u\circ\psi_\lambda)h(\lambda)d\lambda\right)&=\int_1^\infty D_i(u\circ\psi_\lambda)h(\lambda)d\lambda\\
&=\int_1^\infty(D_iu\circ\psi_\lambda)h(\lambda)d\lambda+D_i\delta\int_1^\infty(D_nu\circ\psi_\lambda)h(\lambda)d\lambda.\tag{**}\label{stext2}
\end{align*}

また部分積分による帰納法により $u\in C^{k-1,1}(\Ombar)$、$x\in\R^n\backslash\Ombar$、$\lambda\ge 1$ について
$$u(\psi_\lambda(x))=\sum_{j=0}^{k-1}\frac{(M\delta(x))^j}{j!}D_n^ju(\psi_1(x))(\lambda-1)^j+\frac{(M\delta(x))^k}{(k-1)!}\int_1^\lambda (\lambda-\mu)^{k-1}D_n^ku(\psi_\mu(x))d\mu.$$
となるので $l\in\Zp$ について
\begin{align*}
\int_1^\infty \lambda^lu(\psi_\lambda(x))h(\lambda)d\lambda&=\int_1^\infty\left(\sum_{j=0}^{k-1}\frac{(M\delta(x))^j}{j!}D_n^ju(\psi_1(x))(\lambda-1)^j\lambda^l+\frac{(M\delta(x))^k}{(k-1)!}\int_1^\lambda (\lambda-\mu)^{k-1}\lambda^lD_n^ku(\psi_\mu(x))d\mu\right)h(\lambda)d\lambda\\
&=\frac{(M\delta(x))^k}{(k-1)!}\int_1^\infty\left(\int_1^\lambda (\lambda-\mu)^{k-1}\lambda^lD_n^ku(\psi_\mu(x))d\mu\right)h(\lambda)d\lambda.\tag{***}\label{stext3}
\end{align*}
積分形のMinkowskiの不等式と $\delta(x)\le C(\gamma(x')-x_n)$ より
\begin{align*}
&\quad\norm{(\gamma(x')-x_n)^{-k}\int_1^\infty \lambda^lu(\psi_\lambda(x))h(\lambda)d\lambda}_{p;(\R^n\backslash\Omega)_x}\\
&=\norm{(\gamma(x')-x_n)^{-k}\frac{(M\delta(x))^k}{(k-1)!}\int_1^\infty\left(\int_1^\lambda (\lambda-\mu)^{k-1}\lambda^lD_n^ku(\psi_\mu(x))d\mu\right)h(\lambda)d\lambda}_{p;(\R^n\backslash\Omega)_x}\\
&\le C\int_1^\infty\left(\int_1^\lambda\norm{D_n^ku\circ\psi_\mu}_{p;\R^n\backslash\Omega}(\lambda-\mu)^kd\mu\right)\lambda^l|h(\lambda)|d\lambda\\
&\le C\left(\int_1^\infty\left(\int_1^\lambda(\lambda-\mu)^kd\mu\right)\lambda^l|h(\lambda)|d\lambda\right)\norm{D_n^ku}_p\\
&=C\left(\int_1^\infty \frac{1}{(k+1)!}(\lambda-1)^{k+1}\lambda^l|h(\lambda)| d\lambda\right)\norm{D_n^ku}_p\\
&\le C\norm{D_n^ku}_p.\tag{****}\label{stext4}
\end{align*}
が成り立つ。<ref name="x">$\norm{}_{p;(\Omega)_x}$ は $x$ を変数と見做したときの $L^p(\Omega)$ におけるノルムを表す。</ref>

$u\in L^1(\Omega)\cap L^\infty(\Omega)$ について
$$Eu(x)\colon=\begin{cases}
u(x)&\colon x\in\Ombar\\
\int_1^\infty u(\psi_\lambda(x))h(\lambda)d\lambda &\colon x\in\R^n\backslash\Ombar
\end{cases}$$
と定める。(\ref{stext1})より $E$ はwell-definedで、$p\in[1,\infty]$ について $L^p(\Omega)$ から $L^p(\R^n)$ へ有界である。

$u\in C^{k-1,1}(\Ombar)=W^{k,\infty}(\Omega)$ とする。(\ref{stext2})と $k$ に関する帰納法により $Eu\in C^{k-1,1}(\R^n\backslash\Ombar)$ で多重指数 $|\alpha|\le k$ と $x\in\R^n\backslash\Ombar$ について $D^\alpha Eu(x)$ は
$$D^\alpha Eu(x)=\int_1^\infty D^\alpha u(\psi_\lambda(x)) h(\lambda)d\lambda+\sum_{0\lt\beta\le\alpha}\sum_{l=1}^{|\beta|}\sum_{\beta'_1+\ldots+\beta'_l=\beta}C_{\alpha,\beta'_1,\ldots,\beta'_l}\prod_{j=1}^lD^{\beta'_j}\delta(x)\int_1^\infty \lambda^lD^l_nD^{\alpha-\beta} u(\psi_\lambda(x)) h(\lambda)d\lambda$$
と表される。ここで $C_{\alpha,\beta'_1,\ldots,\beta'_l}$ は定数である。

(\ref{stext4})と $0\lt\beta\le\alpha$、$l=1,\ldots,|\beta|$ と $\beta'_1+\ldots+\beta'_l=\beta$ なる多重指数 $\beta'_1,\ldots\beta'_l$ について
$$\left|\prod_{j=1}^lD^{\beta'_j}\delta(x)\right|\le C(\gamma(x')-x_n)^{-(|\beta|-l)}$$
となることから
$$\norm{D^\alpha Eu}_{p;\R^n\backslash\Omega}\le C\norm{D^{|\alpha|}u}_p.$$
また $|\alpha|\le l-1$ とすると $x_0=(x_0',\gamma(x_0'))\in\pOm$ について $\psi_\lambda(x)\to x_0\ (x\to x_0)$ であるからLebesgueの収束定理より
$$\lim_{\substack{x\to x_0,\\x\in\R^n\backslash\Ombar}}\int_1^\infty D^\alpha u(\psi_\lambda(x)) h(\lambda)d\lambda=\int_1^\infty D^\alpha u(x_0) h(\lambda)d\lambda=u(x_0).$$
また $0\lt\beta\le\alpha$、$l=1,\ldots,|\beta|$ と $\beta'_1+\ldots+\beta'_l=\beta$ なる多重指数 $\beta'_1,\ldots\beta'_l$ について $\prod_{j=1}^lD^{\beta'_j}\delta(x)\delta(x)^{|\beta|-l}$ は有界で、Lebesgueの収束定理より
\begin{align*}
\lim_{\substack{x\to x_0,\\x\in\R^n\backslash\Ombar}}\int_1^\infty\left(\int_1^\lambda (\lambda-\mu)^{k-1}D^{|\beta|}_nD^{\alpha-\beta}u(\psi_\mu(x))d\mu\right)h(\lambda)d\lambda&=\int_1^\infty\left(\int_1^\lambda (\lambda-\mu)^{k-1}D^{|\beta|}_nD^{\alpha-\beta}u(x_0)d\mu\right)h(\lambda)d\lambda\\
&=\frac{1}{k}\left(\int_1^\infty(\lambda-1)^k\lambda^lh(\lambda)d\lambda\right)D^{|\beta|}_nD^{\alpha-\beta}u(x_0)=0
\end{align*}
であるから(\ref{stext4})とあわせて
$$\lim_{\substack{x\to x_0,\\x\in\R^n\backslash\Ombar}}\prod_{j=1}^lD^{\beta'_j}\delta(x)\int_1^\infty \lambda^lD^l_nD^{\alpha-\beta} u(\psi_\lambda(x)) h(\lambda)d\lambda=0.$$
従って $\displaystyle \lim_{\substack{x\to x_0,\\x\in\R^n\backslash\Ombar}}D^\alpha Eu(x)=D^\alpha u(x_0)$ となり $Eu\in C^{k-1}(\R^n)$。

また $x\in\Ombar$、$y\in\R^n\backslash\Ombar$ とすると $t\in[0,1]$ で $z\colon=(1-t)x+ty\in\pOm$ となるものが存在するので $|\alpha|=k-1$ とすると
$$|D^\alpha u(x)-D^\alpha Eu(y)|\le|D^\alpha u(x)-D^\alpha u(z)|+|D^\alpha u(z)-D^\alpha u(y)|\le \left((1-t)[D^\alpha u]_{0,1}+t[D^\alpha Eu]_{0,1}\right)|x-y|\le C\norm{D^ku}_{\infty}|x-y|.$$
よって $Eu\in C^{k-1,1}(\R^n)=W^{k,\infty}(\R^n)$ となる。

$p\in[1,\infty)$ について $W^{k,\infty}(\Omega)\cap W^{k,p}(\Omega)\subset W^{k,p}(\Omega)$ は稠密であり、$E$ は $L^p(\Omega)$ から $L^p(\R^n)$ へ有界であるから近似により
$$E(W^{k,p}(\Omega))\subset E^{k,p}(\R^n),\norm{D^kEu}_{p;\R^n}\le C\norm{D^ku}_{\Omega;\R^n}$$
も成り立つ。
{{end|proof}}

{{ref|type=thm|label=ext2}}と同様に次を得る:

{{theorem|type=thm|label=stext2}}
*(1) $T\subset\pOm$ をLipschitz境界部分とする。$T'\rcpt T$ について、$\OmT\subset\Omega_0$ をみたす開集合 $\Omega_0\subset\R^n$ と線型作用素 $E\colon L^1(\Omega)+L^\infty(\Omega)\to L^1(\Omega_0)+L^\infty(\Omega_0)$ であって $u\in L^1(\Omega)+L^\infty(\Omega)$ について $Eu=u$ in $\Omega$ をみたし、任意の $k\in\Zz$ と $p\in[1,\infty]$ について
$$E(W^{k,p}(\Omega))\subset W^{k,p}(\Omega),\norm{Eu}_{k,p;\Omega_0}\le C_{k,p}\norm{u}_{k,p;\Omega}\ (u\in W^{k,p}(\Omega))$$
をみたすものが存在する。また $\supp u\rcpt\OmT$ のとき $\supp Eu\rcpt\Omega_0$。
*(2) $T\subset\pOm$ を次をみたす相対開集合とする:
$$開集合D\subset\R^nと{\rm Lipschitz}境界部分S\subset\partial Dが存在し\Omega\subset D,T\rcpt S. \tag{$\diamondsuit'$}\label{D'}$$
このとき $\OmT\subset\Omega_0$ をみたす開集合 $\Omega_0\subset\R^n$ と線型作用素 $E\colon L^1(\Omega)+L^\infty(\Omega)\to L^1(\Omega_0)+L^\infty(\Omega_0)$ であって $u\in L^1(\Omega)+L^\infty(\Omega)$ について $Eu=u$ in $\Omega$ をみたし、任意の $k\in\Zz$ と $p\in[1,\infty]$ について
$$E(W^{k,p}_0(\Omega))\subset W^{k,p}_0(\Omega_0),\norm{Eu}_{k,p;\Omega_0}\le C_{k,p}\norm{u}_{k,p;\Omega}\ (u\in W^{k,p}(\Omega_0))$$
をみたすものが存在する。
*(3) $\Omega$ を有界な $C^{0,1}$ 領域とする。$D\subset\R^n$ を $\Omega\rcpt D$ なる開集合とすると線型作用素 $E\colon L^1(\Omega)\to L^1_c(D)$ であって $u\in L^1(\Omega)$ について $Eu=u$ in $\Omega$ をみたし、任意の $k\in\Zz$ と $p\in[1,\infty]$ について
$$E(W^{k,p}(\Omega))\subset W^{k,p}_c(D),\norm{Eu}_{k,p;D}\le C_{k,p}\norm{u}_{k,p;\Omega}\ (u\in W^{k,p}(\Omega))$$
をみたすものが存在する。

==Gagliardo-Nirenberg-Sobolevの不等式==
{{theorem|type=def|name=Sobolev共役指数|label=pstar}}
$p\in[1,n)$ について
$$p^*\colon=\frac{np}{n-p}$$
と定め、$p$ のSobolev共役指数という。$p^*$ は $p^{*-1}=p^{-1}-n^{-1}$ をみたす。

{{theorem|type=lem|label=GNSlem}}
$n\ge 2$ とする。$-\infty\le a_i\lt b_i\le +\infty\ (i=1,\ldots ,n)$ とし、$R\colon=(a_1,b_1)\times\ldots \times(a_n,b_n)$ とする。$f_1,\ldots ,f_n\in L^1(R)$ とすると
$$\int_{R}\left(\prod_{i=1}^n\int_{a_i}^{x_i}|f_i(x_1,\ldots ,x_{i-1},t,x_{i+1},\ldots ,x_n)|dt\right)^\frac{1}{n-1}dx_1\ldots dx_n\le\prod_{i=1}^n\norm{f_i}_{1;R}^\frac{1}{n-1}.$$

{{begin|proof|display=''Proof.''|collapsible=1}}
$n$ に関する帰納法により示す。

$n=2$ の場合を示す。$f_1,f_2\in L^1(R)$ とすると
\begin{align*}
\int_{R}\left(\int_{a_1}^{x_1}|f_1(t,x_2)|dt\right)\left(\int_{a_2}^{x_2}|f_2(x_1,t)|dt\right)dx_1dx_2&\le\int_{R}\left(\int_{a_1}^{b_1}|f_1(t,x_2)|dt\right)\left(\int_{a_2}^{b_2}|f_2(x_1,t)|dt\right)dx_1dx_2\\
&=\left(\int_{a_2}^{b_2}\left(\int_{a_1}^{b_1}|f_1(t,x_2)|dt\right)dx_2\right)\left(\int_{a_1}^{b_1}\left(\int_{a_2}^{b_2}|f_1(x_1,t)|dt\right)dx_1\right)\\
&\le\norm{f_1}_1\norm{f_2}_1
\end{align*}
となり主張が成り立つ。

ある $n$ について主張が成り立ったとし、$-\infty\le a_i\lt b_i\le +\infty\ (i=1,\ldots ,n+1)$ 、$R\colon=(a_1,b_1)\times\ldots \times(a_{n+1},b_{n+1})$、$f_1,\ldots ,f_{n+1}\in L^1(R)$ とする。また $R'\colon=(a_1,b_1)\times\ldots\times(a_n,b_n)$ とする。$i=1,\ldots ,n+1$ について
$$g_i(x')\colon=\int_{a_i}^{b_i}|f_i(x',t)|dt\ (x'\in R')$$
とすると $g_i\in L^1(R')$、$\norm{g_i}_{1;R'}=\norm{f_i}_{1;R}$。
\begin{align*}
&\quad \int_R\left(\prod_{i=1}^{n+1}\int_{a_i}^{x_i}|f_i(x_1,\ldots ,x_{i-1},t,x_{i+1},\ldots ,x_{n+1})|dt\right)^\frac{1}{n}dx_1\ldots dx_{n+1}\\
&\le\int_{R'}\left(\int_{a_{n+1}}^{b_{n+1}}\left(\prod_{i=1}^n\int_{a_i}^{x_i}|f_i(x_1,\ldots ,x_{i-1},t,x_{i+1},\ldots ,x_{n+1})|dt\right)^\frac{1}{n}dx_{n+1}\right)\left(\int_{a_{n+1}}^{b_{n+1}}|f_{n+1}(x_1,\ldots ,x_n,t)|dt\right)^\frac{1}{n}dx_1\ldots dx_n\\
&\le\left(\int_{R'}\left(\int_{a_{n+1}}^{b_{n+1}}\left(\prod_{i=1}^n\int_{a_i}^{x_i}|f_i(x_1,\ldots ,x_{i-1},t,x_{i+1},\ldots ,x_{n+1})|dt\right)^\frac{1}{n}dx_{n+1}\right)^\frac{n}{n-1}dx_1\ldots dx_n\right)^\frac{n-1}{n}\left(\int_{R'}|g(x',t)|dx'\right)^\frac{1}{n}\\
&\le\left(\int_{R'}\prod_{i=1}^n\left(\int_{a_{n+1}}^{b_{n+1}}\left(\int_{a_i}^{x_i}|f_i(x_1,\ldots ,x_{i-1},t,x_{i+1},\ldots ,x_{n+1})|dt\right)dx_{n+1}\right)^\frac{1}{n-1}dx_1\ldots dx_n\right)^\frac{n-1}{n}\norm{f_{n+1}}_1^\frac{1}{n}\\
&=\left(\int_{R'}\prod_{i=1}^n\left(\int_{a_i}^{x_i}g_i(x_1,\ldots ,x_{i-1},t,x_{i+1},\ldots ,x_n)dt\right)^\frac{1}{n-1}dx_1\ldots dx_n\right)^\frac{n-1}{n}\norm{f_{n+1}}_1^\frac{1}{n}\\
&\le\prod_{i=1}^n\norm{g_i}_1^\frac{1}{n}\norm{f_{n+1}}_1^\frac{1}{n}\\
&=\prod_{i=1}^{n+1}\norm{f_i}_1^\frac{1}{n+1}
\end{align*}
となる。これより主張が成り立つ。
{{end|proof}}

{{theorem|type=thm|name=Gagliardo-Nirenberg-Sobolevの不等式|label=GNS}}
$p\in[1,n)$ とすると $W^{1,p}(\R^n)\subset L^{p^*}(\R^n)$ で $u\in W^{1,p}(\R^n)$ について
$$\norm{u}_{p^*;\R^n}\le C_{n,p}\norm{Du}_{p;\R^n}.$$
{{theorem|type=rmk}}
任意の $u\in W^{1,p}(\R^n)$ について $\norm{u}_{p^*}\le C\norm{Du}_p$ となる定数 $C=C_{n,p}$ が存在しうる $p^*$ は $p^*=\frac{np}{n-p}$ に限られる。実際 $u\in C^\infty_c(\R^n)\backslash\{0\}$ と $\lambda\gt 0$ について $u_\lambda(x)\colon=u(\lambda x)$ として $u_\lambda\in C^\infty_c(\R^n)$ を定めると、積分の変数変換により $\norm{u_\lambda}_{p^*}=\lambda^{-\frac{n}{p^*}}\norm{u}_p$ となり、また $Du_\lambda(x)=\lambda Du(\lambda x)$ に注意すると $\norm{Du_\lambda}_{p}=\lambda^{1-\frac{n}{p}}\norm{Du}_p$ となるので $\frac{\norm{u_\lambda}_{p^*}}{\norm{Du_\lambda}_p}$ が有界となるには $-\frac{n}{p^*}=1-\frac{n}{p}$ が必要であるが、これをみたす $p^*$ は $p^*=\frac{np}{n-p}$ のみである。

{{begin|proof|display=''Proof.''|collapsible=1}}
$u\in C^\infty_c(\R^n)$ について $\norm{u}_{p^*;\R^n}\le C_{n,p}\norm{Du}_{p;\R^n}$ を示す。

$p=1$ の場合を示す。$i=1,\ldots ,n$ と $(x_1,\ldots ,x_n)\in\R^n$ について
$$|u(x_1,\ldots ,x_n)|\le\int_{-\infty}^{x_i}|D_iu(x_1,\ldots ,x_{i-1},t,x_{i+1},\ldots ,x_n)|dt$$
であるから
$$|u(x_1,\ldots ,x_n)|\le\prod_{i=1}^n\left(\int_{-\infty}^{x_i}|D_iu(x_1,\ldots ,x_{i-1},t,x_{i+1},\ldots ,x_n)|dt\right)^\frac{1}{n}.$$
{{ref|type=lem|label=GNSlem}}より
\begin{align*}
\int_{\R^n}|u|^{1^*}&\le\int_{\R^n}\prod_{i=1}^n\left(\int_{-\infty}^{x_i}|D_iu(x_1,\ldots ,x_{i-1},t,x_{i+1},\ldots ,x_n)|dt\right)^\frac{1}{n-1}dx_1\ldots dx_n\\
&\le\prod_{i=1}^n\norm{D_iu}_1^\frac{1}{n-1}\\
&\le\norm{Du}_1^{1^*}
\end{align*}
となり $\norm{u}_{1^*}\le\norm{Du}_1$ が成り立つ。

$p\in(1,n)$ の場合を示す。$t\in(1,\infty)$ として $v\colon=|u|^t$ とすると $v\in C^1_c(\R^n)$、$D_iv=t|u|^{t-1}\sgn uD_iu$。$p=1$ の場合より
$$\left(\int_\Omega |u|^{\frac{n}{n-1}t}\right)^\frac{n-1}{n}\le\int_\Omega t|u|^{t-1}|Du|\le t\left(\int_\Omega|u|^{\frac{p}{p-1}(t-1)}\right)^\frac{p-1}{p}\norm{Du}_p.$$
ここで $t=\frac{(n-1)p}{n-p}$ とすると $\frac{n}{n-1}t=\frac{p}{p-1}(t-1)=\frac{np}{n-p}$ となり
$$\left(\int_\Omega |u|^{p^*}\right)^\frac{n}{n-1}\le \frac{(n-1)p}{n-p}\left(\int_\Omega|u|^{p^*}\right)^\frac{p}{p-1}\norm{Du}_p.$$
これより $\norm{u}_{p^*}=\left(\int_\Omega |u|^{p^*}\right)^{\frac{n-1}{n}-\frac{p-1}{p}}\le\frac{(n-1)p}{n-p}\norm{Du}_p$ が従う。

$u\in W^{1,p}(\R^n)$ とし、$u_m\in C^\infty_c(\R^n)$、$\norm{u_m-u}_{1,p}\to 0\ (m\to\infty)$ とする。部分列に移って $u_m\to u $ a.e. in $\R^n$ としてよい。Fatouの補題より
$$\norm{u}_{p^*}\le\liminf_{m\to\infty}\norm{u}_{p^*}\le C\liminf_{m\to\infty}\norm{Du_m}_p=C\norm{Du}_p.$$
{{end|proof}}

{{theorem|type=ex}}
$C_{n,p}=\frac{(n-1)p}{n-p}$ はGagliardo-Nirenberg-Sobolevの不等式の最良定数(すなわちこの不等式が任意の $u\in W^{1,p}(\R^n)$ について成り立つ最小の $C_{n,p}$)ではない。Gagliardo-Nirenberg-Sobolevの不等式の最良定数は
$$C_{n,p}=n^{-\frac{1}{p}}\pi^{-\frac{1}{2}}\left(\frac{p-1}{n-p}\right)^{1-\frac{1}{p}}\left(\frac{\Gamma(1+\frac{n}{2})\Gamma(n)}{\Gamma(\frac{n}{p})\Gamma(1+n-\frac{n}{p})}\right)^\frac{1}{n}$$
で与えられ、
$$u(x)=(a+b|x|^\frac{p}{p-1})^{1-\frac{n}{p}}$$
とすると $\norm{u}_{p^*;\R^n}=C_{n,p}\norm{Du}_{p;\R^n}$ が成り立つことが知られている。ここで $a,b$ は正の定数であり、$\Gamma$ は $\Gamma$ 関数である。$u$ はTalentiの関数と呼ばれる。

{{theorem|type=cor|label=locGNS}}
$p\in[1,n)$ について $W^{1,p}_{\loc}(\Omega)\subset L^{p^*}_{\loc}(\Omega)$。

{{begin|proof|display=''Proof.''|collapsible=1}}
$u\in W^{1,p}_\loc(\Omega)$、$\Omega'\rcpt\Omega$ とし、$\zeta\in C^\infty_c(\Omega)$ で $\zeta=1$ in $\Omega'$ となるものをとると $\zeta u\in W^{1,p}_0(\Omega)\subset L^{p^*}(\Omega)$。これより $u\in L^{p^*}(\Omega')$。
{{end|proof}}

$W^{1,p}(\Omega)\subset L^{p^*}(\Omega)$ を示すには $\pOm$ に条件が必要である:

{{theorem|type=cor|label=gGNS}}
$p\in[1,n)$ について次が成り立つ:
*(1) $T\subset\pOm$ が(\ref{D})をみたす相対開集合のとき $W^{1,p}_0(\OmT)\subset L^{p^*}(\Omega)$ で $u\in W^{1,p}_0(\OmT)$ について
$$\norm{u}_{p^*;\Omega}\le C_{p,\Omega,T}\norm{u}_{1,p;\Omega}.$$
*(2) $\Omega$ が有界な $C^{0,1}$ 領域のとき $W^{1,p}(\Omega)\subset L^{p^*}(\Omega)$ で $u\in W^{1,p}(\Omega)$ について
$$\norm{u}_{p^*;\Omega}\le C_{p,\Omega}\norm{u}_{1,p;\Omega}.$$

{{begin|proof|display=''Proof.''|collapsible=1}}
(1)は $E\colon W^{1,p}_0(\OmT)\to W^{1,p}(\R^n)$ を拡張作用素とすれば $u\in W^{1,p}_0(\OmT)$ について
$$\norm{u}_{p^*}\le\norm{Eu}_{p^*}\le C\norm{DEu}_{p}\le C\norm{Eu}_{1,p}\le C\norm{u}_p.$$
(2)も同様。
{{end|proof}}

{{theorem|type=cor|name=$p=n$ の場合|label=pn}}
$|\Omega|\lt\infty$ のとき任意の $q\in[1,\infty)$ について $W^{1,n}_0(\Omega)\subset L^q(\Omega)$ で $u\in W^{1,n}_0(\Omega)$ について
$$\norm{u}_{q;\Omega}\le C_{n,q}|\Omega|^{q^{-1}}\norm{Du}_{n;\Omega}.$$

{{begin|proof|display=''Proof.''|collapsible=1}}
$q\ge 1^*$ の場合を示せば十分。{{ref|type=thm|label=GNS}}より
$$\norm{u}_q\le C\norm{Du}_\frac{nq}{n+q}\le C|\Omega|^{q^{-1}}\norm{Du}_n.$$
{{end|proof}}

{{theorem|type=cor|label=gpn}}
*(1) $q\in[n,\infty)$ について $W^{1,n}_{\loc}(\Omega)\subset L^q_{\loc}(\Omega)$。
*(2) $|\Omega|\lt\infty$ で $T\subset\pOm$ が $T\subset\pOm$ を(\ref{D})をみたす相対開集合のとき任意の $q\in[n,\infty)$ について $W^{1,n}_0(\OmT)\subset L^q(\Omega)$ で $u\in W^{1,p}_0(\OmT)$ について
$$\norm{u}_{q;\Omega}\le C_{q,\Omega,T}\norm{u}_{n;\Omega}.$$
*(3) $\Omega$ を有界な $C^{0,1}$ 領域とすると任意の $q\in[n,\infty)$ について $W^{1,n}(\Omega)\subset L^q(\Omega)$ で $u\in W^{1,p}(\Omega)$ について
$$\norm{u}_{q;\Omega}\le C_{q,\Omega}\norm{u}_{n;\Omega}.$$
{{theorem|type=rmk}}
$n=1$ の場合は{{ref|type=thm|label=dim1mor}}より $W^{1,1}(I)\subset L^\infty(I)$ であるが、$n\ge 2$ の場合は $W^{1,n}(\Omega)\subset L^\infty(\Omega)$ は成り立たない。

たとえば $\Omega=B_1(0)$ とし、
$$u(x)=(-\log|x|)^\alpha,\alpha\in (0,1-n^{-1})$$
とすると、任意の $q\in[1,\infty)$ について $u\in L^q(\Omega)$ で、$x\in\Omega\backslash\{0\}$ について
$$Du(x)=\alpha|x|^{-2}(-\log|x|)^{\alpha-1}x$$
が各点の意味で成り立ち、$n(\alpha-1)\lt -1$ より
$$\int_\Omega |Du|^n=n\omega_n\int_0^1 r^{-n+(n-1)}(-\log r)^{n(\alpha-1)}dr\lt\infty.$$
また $\varphi\in C^\infty_c(\Omega)$ と $r\in(0,1)$ について
$$\int_{\Omega\backslash\Bb_r(0)}uD_i\varphi=-\int_{\Omega\backslash\Bb_r(0)}D_iu\varphi-\int_{\partial\Bb_r(0)}(-\log|x|)^\alpha\varphi(x)\frac{x_i}{r}d\H^{n-1}(x),$$
$$\left|\int_{\partial\Bb_r(0)}(-\log|x|)^\alpha\varphi(x)\frac{x_i}{r}d\H^{n-1}(x)\right|\le \norm{\varphi}_\infty(-\log r)^\alpha\cdot n\omega_n r^{n-1}\to 0\ (r\to 0)$$
より $u$ は弱微分をもち、各点微分と一致する。これより $u\in W^{1,n}(\Omega)$。一方、明らかに $u\notin L^\infty(\Omega)$ である。
==Rieszポテンシャル==
$p\in(n,\infty)$ の場合を扱う準備として、次のRieszポテンシャルを定義する:

{{theorem|type=def|name=Rieszポテンシャル|label=riep}}
$\mu\in(0,1]$ とする。$\L^n$ -可測関数 $f\colon\Omega\to\R$ について合成積 $|\cdot|^{-n(1-\mu)}*f$ がある開集合上で定義されるときこれを $V_\mu f$ とかきRieszポテンシャルという。

{{theorem|type=pro|label=riep1}}
$|\Omega|\lt\infty$、$p\in[1,\infty]$、$\mu\in(0,1]$ とする。$f\in L^p(\Omega)$ とすると $V_\mu f$ は $\Omega$ 上で定義され次が成り立つ:
*(1) $q\in[p,\infty]$ が $\delta\colon=p^{-1}-q^{-1}\lt\mu$ をみたすとすると
$$V_\mu f\in L^q(\Omega),\norm{V_\mu f}_{q;\Omega}\le\left(\frac{1-\delta}{\mu-\delta}\right)^{1-\delta}\omega_n^{1-\mu}|\Omega|^{\mu-\delta}\norm{f}_{p;\Omega}.$$
*(2) $p\in[1,\infty)$、$\mu=p^{-1}$、$f\not\equiv 0$ のとき、$\alpha\gt 0$ について
$$\int_\Omega\exp\left(\left(\frac{|V_{p^{-1}} f|}{C_{n,p,\alpha}\norm{f}_{p,\Omega}}\right)^{p'}\right)\le (1+\alpha)|\Omega|.$$

{{begin|proof|display=''Proof.''|collapsible=1}}
(1)を示す。$h\colon=|\cdot|^{-n(1-\mu)}$、$r\colon=(q^{-1}-p^{-1}+1)^{-1}=(1-\delta)^{-1}$ とする。
$$\norm{h}_{r;\Omega}\le\left(\frac{1-\delta}{\mu-\delta}\right)^{1-\delta}\omega_n^{1-\mu}|\Omega|^{\mu-\delta}\tag{*}\label{riep}$$
を示す。

$R\colon=(\omega_n^{-1}|\Omega|)^{n^{-1}}$ とする。$|\Omega|=\omega_nR^n=|B_R(0)|$ であるから $|\Omega\backslash B_R(0)|=|B_R(0)\backslash\Omega|$ で
$$\int_{\Omega}h^r\le R^{-n(1-\mu)}|\Omega\backslash B_R(0)|+\int_{B_R(0)\cap\Omega}h^r=R^{-n(1-\mu)}|B_R(0)\backslash\Omega|+\int_{B_R(0)\cap\Omega}h^r\le\int_{B_R(0)}h^r.$$
$1-(1-\mu)r=1-\frac{1-\mu}{1-\delta}=\frac{\mu-\delta}{1-\delta}\gt 0$ に注意すると
$$\int_\Omega h^r\le\int_{B_R(0)}h^r=n\omega_n\int_0^R t^{n-n(1-\mu)r-1}dx=\frac{1-\delta}{\mu-\delta}\omega_nR^{n-n(1-\mu)r}=\frac{1-\delta}{\mu-\delta}\omega_n^{(1-\mu)r}|\Omega|^{(\mu-\delta)r}$$
となり(\ref{riep})が従う。

$x,y\in\Omega$ について(\ref{riep})より
\begin{align*}
\norm{h(x-\cdot)}_{r;\Omega}&=\norm{h}_{r;x-\Omega}\le\left(\frac{1-\delta}{\mu-\delta}\right)^{1-\delta}\omega_n^{1-\mu}|\Omega|^{\mu-\delta},\\
\norm{h(\cdot-y)}_{r;\Omega}&=\norm{h}_{r;\Omega-y}\le\left(\frac{1-\delta}{\mu-\delta}\right)^{1-\delta}\omega_n^{1-\mu}|\Omega|^{\mu-\delta}.
\end{align*}
$q^{-1}=p^{-1}+r^{-1}-1$ であるからYoungの不等式より $V_\mu f$ は $\Omega$ 上で定義され
$$V_\mu f\in L^q(\Omega),\norm{V_\mu f}_q\le\left(\frac{1-\delta}{\mu-\delta}\right)^{1-\delta}\omega_n^{1-\mu}|\Omega|^{\mu-\delta}\norm{f}_p$$
が成り立つ。

(2)を示す。$\mu=p^{-1}$ のときは任意の $q\in[p,\infty)$ が $p^{-1}-q^{-1}\lt\mu$ をみたす。

$N\colon=\lceil p-1\rceil$ とする。$m\in\Z$、$m\ge N$ とすると $mp'\ge p$ となり、$q=mp'$ として(1)を用いると $\delta=p^{-1}-(mp')^{-1}=1-(1+m^{-1})p'^{-1}$ より
$$\int_\Omega|V_{p^{-1}}f|^{mp'}\le\left((m+1)^{(1+m^{-1})p'^{-1}}\omega_n^{p'^{-1}}|\Omega|^{(mp')^{-1}}\norm{f}_p\right)^{mp'}=(m+1)^{m+1}\omega_n^m|\Omega|\norm{f}_p^{mp'}.$$
$m=1,\ldots ,N-1$ については
$$\int_\Omega|V_{p^{-1}}f|^{mp'}\le|\Omega|^{1-\frac{m}{N}}\left(\int_\Omega|V_{p^{-1}}f|^{Np'}\right)^\frac{m}{N}\le N^m\omega_n^m|\Omega|\norm{f}_p^{mp'}.$$
$m!=O(m^{m+\frac{1}{2}}e^{-m})$ に注意すると $m\in\Zp$ について
$$\int_\Omega|V_{p^{-1}}f|^{mp'}\le C(m+1)^{-\frac{1}{2}}e^{-m}(m+1)!|\Omega|.$$
これより $M\gt (e\omega_n)^{p'^{-1}}$ について
\begin{align*}
\int_\Omega\exp\left(\left(\frac{|V_{p^{-1}}f|}{M\norm{f}_p}\right)^{p'}\right)&=|\Omega|+\sum_{m=1}^\infty\frac{1}{m!(M\norm{f}_p)^{mp'}}\int_\Omega|V_{p^{-1}}f|^{mp'}\\
&\le\left(1+C\sum_{m=1}^\infty\frac{(m+1)^\frac{1}{2}e^{m+1}\omega_n^m}{M^m}\right)|\Omega|.
\end{align*}
$\displaystyle \sum_{m=1}^\infty\frac{(m+1)^\frac{1}{2}e^{m+1}}{M^m}\to 0 (M\to\infty)$ であるから十分大きな $C=C_{n,p,\alpha}$ をとれば
$$\int_\Omega\exp\left(\left(\frac{|V_{p^{-1}}f|}{C\norm{f}_p}\right)^{p'}\right)\le(1+\alpha)|\Omega|.$$
{{end|proof}}

$\mu=\delta$ の場合は次の結果が重要である:

{{theorem|type=thm|name=Hardy-Littlewood-Sobolevの不等式|label=HLS}}
$p\in[1,\mu^{-1})$ とし、$f\in L^p(\R^n)$ とすると $V_\mu f$ は $\R^n$ 上で定義され、$q\colon=\frac{p}{1-\mu p}$ とすると次が成り立つ:
*(1) $p=1$ のとき
$$V_\mu f\in L^{q,w}(\R^n),[V_\mu f]_{q;\R^n}\le C_{n,\mu}\norm{f}_{1;\R^n}.$$
( $L^{q,w}$ と $[\cdot]_q$ の定義は[[Marcinkiewiczの補間定理]]を参照。)
*(2) $p\in(1,\mu^{-1})$ のとき
$$V_\mu f\in L^q(\R^n),\norm{V_\mu f}_{q;\R^n}\le C_{n,p,\mu}\norm{f}_{p;\R^n}.$$

{{begin|proof|display=''Proof.''|collapsible=1}}
$R\gt 0$ とし、$h_1\colon=|\cdot|^{-n(1-\mu)}\chi_{B_R(0)}$、$h_2\colon=|\cdot|^{-n(1-\mu)}\chi_{\R^n\backslash B_R(0)}$ とする。
$$\norm{h_1}_1=n\omega_n\int_0^R t^{n\mu-1}dt=\mu^{-1}\omega_nR^{n\mu}$$
であるからYoungの不等式より
$$h_1*f\in L^p(\R^n),\norm{h_1*f}_p\le CR^{n\mu}\norm{f}_p.$$
また $p'\colon=\frac{p}{p-1}$ とすると $((1-\mu)p'-1)^{-1}=p'((1-\mu)-(1-p^{-1}))^{-1}=p'q^{-1}$
$$\norm{h_2}_{p'}^{p'}=n\omega_n\int_R^\infty t^{n-n(1-\mu)p'-1}dt=p'q^{-1}\omega_nR^{-np'q^{-1}}$$
であるからHölderの不等式より
$$h_2*f\in L^\infty(\R^n),\norm{h_2*f}_\infty\le KR^{-nq^{-1}}\norm{f}_p,K\colon=(p'q^{-1}\omega_n)^{1-p^{-1}}.$$
よって $V_\mu f=h_1*f+h_2*f$ は $\R^n$ 上で定義される。

$t\gt 0$ とする。$R=(2K\norm{f}_pt^{-1})^{n^{-1}q}$ ととれば $\norm{h_2*f}_\infty\le\frac{t}{2}$ となり
$$\left|\left\{|h_2*f|\gt\frac{t}{2}\right\}\right|=0.$$
また $\mu pq+p=q(\mu p+p(p^{-1}-\mu))=q$ に注意すると
$$\left|\left\{|h_1*f|\gt\frac{t}{2}\right\}\right|=(\norm{h_1*f}_pt^{-1})^p\le C(R^{n\mu}\norm{f}_pt^{-1})^p=C(\norm{f}_pt^{-1})^{\mu pq+p}=C(\norm{f}_pt^{-1})^q.$$
$|V_\mu f|\gt t\implies|h_1*f|\gt\frac{t}{2}$ or $|h_2*f|\gt\frac{t}{2}$ より
$$|\{|V_\mu f|\gt t\}|\le\left|\left\{|h_1*f|\gt\frac{t}{2}\right\}\right|+\left|\left\{|h_2*f|\gt\frac{t}{2}\right\}\right|\le C(\norm{f}_pt^{-1})^q.$$
従って
$$V_\mu f\in L^{q,w}(\R^n),[V_\mu f]_q\le C\norm{f}_p.\tag{*}\label{HLS}$$
(1)はこれで示された。

(2)を示す。$p_0,p_1$ を $1\le p_0\lt p\lt p_1\lt\mu^{-1}$ となるようにとり、$q_i\colon=\frac{p_i}{1-\mu p_i}\ (i=0,1)$ とする。$\theta\in(0,1)$ を $p^{-1}=(1-\theta)p_0^{-1}+\theta p_1^{-1}$ となるようにとると
$$q^{-1}=p^{-1}-\mu=(1-\theta)(p_0^{-1}-\mu)+\theta(p_1^{-1}-\mu)=(1-\theta)q_0^{-1}+\theta q_1^{-1}.$$
(\ref{HLS})と[[Marcinkiewiczの補間定理]]より(2)が従う。
{{end|proof}}

{{theorem|type=pro|name=Rieszポテンシャルと微分の関係|label=riep2}}
*(1) $k=1,\ldots,n$ とする。$u\in C^\infty_c(\R^n)$ とすると $x\in\R^n$ について
$$u(x)=\frac{1}{(k-1)!n\omega_n}\int_{\R^n}\sum_{|\alpha|=k}|x-y|^{-n}(x-y)^\alpha D^\alpha u(y)dy.$$
とくに $u\in W^{k,1}(\Omega)$ について
$$|u|\le\frac{1}{(k-1)!n\omega_n}V_\frac{k}{n}|D^ku|.$$
*(2) $\Omega$ は凸であるとし、$S\subset\Omega$ は有界かつ $|S|\gt 0$ をみたすとする。$u\in W^{1,1}(\Omega)$ とすると
$$|u-u_S|\le\frac{(\diam\Omega)^n}{n|S|}|V_{n^{-1}}u|\ \inn\Omega.$$
ここで
$$u_S\colon=\frac{1}{|S|}\int_S u.$$

{{begin|proof|display=''Proof.''|collapsible=1}}
(1)を示す。$z\in\partial B_1(0)$ とする。十分大きい $t\gt 0$ について $u(x+tz)=0$ となることに注意すると部分積分による $k$ に関する帰納法により
$$u(x)=\frac{1}{(k-1)!}\int_0^\infty t^{k-1}D^k_z u(x+tz)dt=\frac{(-1)^k}{(k-1)!}\int_0^\infty\sum_{|\alpha|=k}t^{k-1}z^\alpha D^\alpha u(x+tz)dt.$$
よって
\begin{align*}
u(x)&=\frac{(-1)^k}{(k-1)!n\omega_n}\int_{\partial B_1(0)}\left(\int_0^\infty \sum_{|\alpha|=k}t^{k-1}z^\alpha D^\alpha u(x+tz)dt\right)d\H^{n-1}(z)\\
&=\frac{1}{(k-1)!n\omega_n}\int_0^\infty\left(\int_{B_t(x)} \sum_{|\alpha|=k}t^{k-n}(t^{-1}(x-y))^\alpha D^\alpha u(y)d\H^{n-1}(y)\right)dt\\
&=\frac{1}{(k-1)!n\omega_n}\int_{\R^n} \sum_{|\alpha|=k}|x-y|^{-n}(x-y)^\alpha D^\alpha u(y)dy.
\end{align*}

(2)を示す。$x,z\in\Omega$ とすると
$$u(x)-u(z)=\int_0^1 Du(tx+(1-t)z)\cdot(x-z)dt.$$
$z\in S$ について積分すると
$$u(x)-u_S=\frac{1}{|S|}\int_S\left(\int_0^1 Du((1-t)x+tz)\cdot(x-z)dt\right)dz.$$
$t\in[0,1]$ について $x\in (1-t)x+t\Omega$、$\diam((1-t)x+t\Omega)=t\diam\Omega$ より $y\in\Omega$ について $y\in(1-t)x+t\Omega\implies |x-y|\le t\diam\Omega$ となることに注意すると
\begin{align*}
|u(x)-u_S|&\le\frac{1}{|S|}\int_S\left(\int_0^1 |Du((1-t)x+tz)||x-z|dt\right)dz\\
&=\frac{1}{|S|}\int_0^1\left(\int_{(1-t)x+tS} t^{-n}|Du(y)|t^{-1}|x-y|dy\right)dt\\
&=\frac{1}{|S|}\int_\Omega\left(\int_{\{t\in[0,1]\colon y\in(1-t)x+tS\}}t^{-n-1}|x-y||Du(y)|dt\right)dy\\
&\le\frac{1}{|S|}\int_\Omega\left(\int_{\{t\in[0,1]\colon y\in(1-t)x+t\Omega\}}t^{-n-1}|x-y||Du(y)|dt\right)dy\\
&\le\frac{1}{|S|}\int_\Omega\left(\int_\frac{|x-y|}{\diam\Omega}^\infty t^{-n-1}|x-y||Du(y)|dt\right)dy\\
&=\frac{(\diam\Omega)^n}{n|S|}\int_\Omega|x-y|^{1-n}|Du(y)|dt.
\end{align*}
{{end|proof}}

{{theorem|type=ex}}
$p\in(1,n)$ の場合は(1)とHardy-Littlewood-Sobolevの不等式を組み合わせてSobolevの不等式を証明することもできる。

==Poincaréの不等式==
実用上は以下に示すSobolevの不等式のより弱い形であるPoincaréの不等式で十分であることも多い。
{{theorem|type=thm|name=Poincaréの不等式|label=Poi0}}
*(1) $|\Omega|\lt\infty$ とする。$p\in[1,\infty)$ と $u\in W^{1,p}_0(\Omega)$ について
$$\norm{u}_{p;\Omega}\le C_n|\Omega|^{n^{-1}}\norm{Du}_{p;\Omega}.$$
*(2) $\Omega$ は一方向に有界であるとする。すなわち $z\in\partial B_1(0)$ が存在し $\displaystyle w\colon=\sup_{x\in\R^n}\diam(\{t\in\R\colon x+tz\in\Omega\})\lt\infty$ となるとする。$p\in[1,\infty)$ と $u\in W^{1,p}_0(\Omega)$ について
$$\norm{u}_{p;\Omega}\le C_nw\norm{D_zu}_{p;\Omega}.$$

{{begin|proof|display=''Proof.''|collapsible=1}}
(1)は{{ref|type=pro|label=riep2}}の(1)と{{ref|type=pro|label=riep1}}の(1)より
$$\norm{u}_p\le\frac{1}{n\omega_n}\norm{V_{n^{-1}}|Du|}_p\le C|\Omega|^{n^{-1}}\norm{Du}_p.$$

(2)を示す。$u\in C^\infty_c(\Omega)$ としてよい。

$\pi\colon=\{x\in\R^n\colon z\cdot x=0\}$ とする。$x\in\pi$ について
$$a_x\colon=\inf\{t\in\R\colon x+tz\in\Omega\},b_x\colon=\sup\{t\in\R\colon x+tz\in\Omega\},I_x\colon=(a_x,b_x)$$
とすると $|I_x|\le w$、$\displaystyle \Omega\subset\bigcup_{x\in\pi}\{x+tz\colon t\in I_x\}$。
$u\in C^\infty_c(\Omega)$ とすると{{ref|type=thm|label=dim1mor}}より $x\in\pi$ について
$$\left(\int_{I_x}|u(x+tz)|^pdt\right)^{p^{-1}}\le|I_x|^{p^{-1}}\sup_{t\in I_x}|D_zu(x+tz)|\le|I_x|\left(\int_{I_x}|D_zu(x+tz)|^pdt\right)^{p^{-1}}.$$
Lipschitz連続関数 $x\mapsto z\cdot x$ に対して[[Hausdorff測度とarea_coarea_formula|coarea formula]]を用いると
\begin{align*}
\norm{u}_p&=\left(\int_\R\left(\int_{\{x\in\Omega\colon z\cdot x=t\}}|u(x)|^pd\H^{n-1}(x)\right)dt\right)^{p^{-1}}\\
&=\left(\int_\R\left(\int_{\{x\in\pi\colon x+tz\in\Omega\}}|u(x+tz)|^pd\H^{n-1}(x)\right)dt\right)^{p^{-1}}\\
&=\left(\int_\pi\left(\int_{I_x}|u(x+tz)|^pdt\right)d\H^{n-1}(x)\right)^{p^{-1}}\\
&\le\left(\int_\pi |I_x|^p\left(\int_{I_x}|D_zu(x+tz)|^pdt\right)d\H^{n-1}\right)^{p^{-1}}\\
&\le w\norm{D_zu}_p.
\end{align*}
{{end|proof}}

{{theorem|type=thm|name=Poincaréの不等式|label=Poi}}
$\Omega$ は有界かつ凸であるとする。$p\in[1,\infty)$ と $u\in W^{1,p}(\Omega)$ と $|S|\gt 0$ なる $S\subset\Omega$ について
$$\norm{u-u_S}_{p;\Omega}\le C_n\frac{(\diam\Omega)^n}{|S|}|\Omega|^{n^{-1}}\norm{Du}_{p;\Omega}.$$

{{begin|proof|display=''Proof.''|collapsible=1}}
{{ref|type=pro|label=riep2}}の(2)と{{ref|type=pro|label=riep1}}の(1)より
$$\norm{u-u_\Omega}_p\le\frac{(\diam\Omega)^n}{n|\Omega|}\norm{V_{n^{-1}}|Du|}_p\le C\frac{(\diam\Omega)^n}{|S|}|\Omega|\norm{Du}_p.$$
{{end|proof}}

{{theorem|type=rmk}}
$|\Omega|\lt\infty$ または $\Omega$ が一方向に有界のとき、$\norm{Du}_{p;\Omega}$ は $W^{1,p}_0(\Omega)$ に $\norm{u}_{1,p;\Omega}$ と同値なノルムを定める。とくに $p=2$ のとき、
$$\int_\Omega Du\cdot Dv$$
は $W^{1,2}_0(\Omega)$ に $W^{1,2}(\Omega)$ における内積と同値な内積を定める。

また、$\Omega$ が有界かつ凸のとき、$\norm{Du}_{p;\Omega}$ は $W^{1,p}(\Omega)$ の閉部分空間 $\{u\in W^{1,p}(\Omega)\colon u_\Omega=0\}$ に $\norm{u}_{1,p;\Omega}$ と同値なノルムを定める。

==Morreyの不等式==
ここでは $p\in(n,\infty)$ の場合を取り扱う。

{{theorem|type=thm|name=Morreyの不等式|label=mor}}
$p\in(n,\infty)$ とする。$\alpha=1-\frac{n}{p}$ とすると次が成り立つ。
*(1) $|\Omega|\lt\infty$ のとき $W^{1,p}_0(\Omega)\subset L^\infty(\Omega)$ で $u\in W^{1,p}_0(\Omega)$ について
$$\norm{u}_{\infty;\Omega}\le C_{n,p}|\Omega|^{n^{-1}-p^{-1}}\norm{Du}_{p;\Omega}.$$
*(2) $W^{1,p}(\R^n)\subset C^{0,\alpha}(\R^n)$ で $u\in W^{1,p}(\R^n)$ について
$$[u]_{0,\alpha;\R^n}\le C_{n,p}\norm{Du}_{p;\R^n}.$$
とくに $|\Omega|\lt\infty$ のとき $W^{1,p}_0(\Omega)\subset C^{0,\alpha}(\Ombar)$ で $u\in W^{1,p}_0(\Omega)$ について
$$|u|_{0,\alpha;\Omega}\le C_{n,p,|\Omega|}\norm{Du}_{p;\Omega},u=0\ \on\pOm.$$

{{begin|proof|display=''Proof.''|collapsible=1}}
(1)を示す。{{ref|type=pro|label=riep2}}の(1)と{{ref|type=pro|label=riep1}}で $\mu=n^{-1}$、$q=\infty$ としたものより
$$\norm{u}_\infty\le CV_{n^{-1}}|Du|\le C|\Omega|^{n^{-1}-p^{-1}}\norm{Du}_p.$$

(2)を示す。$B=B_r\subset\R^n$ とする。{{ref|type=pro|label=riep2}}の(2)と{{ref|type=pro|label=riep1}}より
$$|u-u_B|\le\frac{(\diam B)^n}{n|B|}V_{n^{-1}}\left(\left(\left.|Du|\right)\right|_B\right)\le C|B|^{n^{-1}-p^{-1}}\norm{Du}_p\le Cr^\alpha\norm{Du}_p\ \inn B.$$
$x,y\in B$ とすると
$$|u(x)-u(y)|\le|u(x)-u_B|+|u(y)-u_B|\le Cr^\alpha\norm{Du}_p.\tag{*}\label{mor1}$$
$x,y\in\R^n$、$x\neq y$ について、$B=B_r$ を $x,y\in B$ かつ $r\le|x-y|$ となるようにとれるので
$$|u(x)-u(y)|\le C\norm{Du}_p|x-y|^\alpha$$
が成り立つ。$u=0$ on $\pOm$ は $u_m\in W^{1,p}_c(\Omega)$、$\norm{u_m-u}_{1,p;\Omega}\to 0\ (m\to\infty)$ とすると $u_m=0$ on $\pOm$、$\norm{u_m-u}_\infty\to 0\ (m\to\infty)$ となることから成り立つ。
{{end|proof}}

{{ref|type=cor|label=locGNS}}、{{ref|type=cor|label=gGNS}}と同様に次が成り立つ:

{{theorem|type=cor|label=locmor}}
$p\in(n,\infty)$ とする。$\alpha=1-\frac{n}{p}$ とすると $W^{1,p}_{\loc}(\Omega)\subset C^{0,\alpha}(\Omega)$。

{{theorem|type=cor|label=gmor}}
$p\in(n,\infty)$ とする。$\alpha=1-\frac{n}{p}$ とすると次が成り立つ:
*(1) $|\Omega|\lt\infty$ で $T\subset\pOm$ が(\ref{D})をみたす相対開集合のとき $W^{1,p}_0(\OmT)\subset C^{0,\alpha}(\Ombar)$ で $u\in W^{1,p}_0(\OmT)$ について
$$|u|_{0,\alpha;\Omega}\le C_{p,T,\Omega}\norm{u}_{1,p;\Omega}, u=0\ \on \Omega\backslash T.$$
*(2) $\Omega$ を有界な $C^{0,1}$ 領域とすると $W^{1,p}(\Omega)\subset C^{0,\alpha}(\Ombar)$ で $u\in W^{1,p}(\Omega)$ について
$$|u|_{0,\alpha;\Omega}\le C_{p,\Omega}\norm{u}_{1,p;\Omega}.$$

{{theorem|type=rmk}}
{{ref|type=thm|label=lip}}より、{{ref|type=cor|label=locmor}}と{{ref|type=cor|label=gmor}}の(2)は $p=\infty$ の場合にも成立する。

{{theorem|type=cor|name=a.e.微分可能性|label=difae}}
$p\in(n,\infty]$ とする。$u\in W^{1,p}_{\loc}(\Omega)$ は a.e. in $\Omega$ で微分可能で、各点微分と弱微分は一致する。

{{begin|proof|display=''Proof.''|collapsible=1}}
$p\in(n,\infty)$ としてよい。

$x_0\in\Omega$ は
$$r^{-n}\int_{B_r(x_0)}|Du-Du(x_0)|^p\to 0\ (r\to +0)$$
をみたすとする。Lebesgueの微分定理よりこれはa.e. $x_0\in\Omega$ で成り立つ。
$$v(x)\colon=u(x)-u(x_0)-Du(x_0)\cdot(x-x_0)\ (x\in\Omega)$$
と定め、$v(x)=o(|x-x_0|)\ (|x-x_0|\to +0)$ を示せばよい。

{{ref|type=thm|label=mor}}の証明の(\ref{mor1})より $B_r=B_r(x_0)\rcpt\Omega$ について
$$|v|_{\infty;B_r}=|v-v(x_0)|_{\infty;B_r}\le C\norm{Dv}_{p;B_r}r^{1-\frac{p}{n}}\le Cr\left(r^{-n}\int_{B_r}|Du-Du(x_0)|^p\right)^{p^{-1}}.$$
これより $v(x)=o(|x-x_0|)\ (|x-x_0|\to +0)$。
{{end|proof}}

{{theorem|type=ex}}
$p=\infty$ の場合を{{ref|type=thm|label=lip}}と組み合わせるとRademacherの定理([[Hausdorff測度とarea_coarea_formula]]の定理33)の別の証明が得られる。

==Trudinger-Moserの不等式==
{{ref|type=cor|label=gpn}}の注意で述べたように、$p=n\ge 2$ の場合のSobolevの不等式はその他の場合より繊細である。一方、Rieszポテンシャルを用いると{{ref|type=cor|label=pn}}と{{ref|type=cor|label=gpn}}の評価をより精密にすることができる。

{{theorem|type=thm|name=Trudinger-Moserの不等式|label=TM}}
$n\ge 2$ のとき次が成り立つ:
*(1) $|\Omega|\lt\infty$ のとき $u\in W^{1,n}_0(\Omega)\backslash\{0\}$ と $\alpha\gt 0$ について
$$\int_\Omega\exp\left(\left(\frac{|u|}{C_{n,\alpha}\norm{Du}_{n;\Omega}}\right)^\frac{n}{n-1}\right)\le (1+\alpha)|\Omega|.$$
*(2) $|\Omega|\lt\infty$ で $T\subset\pOm$ を $T\subset\pOm$ が(\ref{D})をみたす相対開集合のとき $u\in W^{1,n}_0(\OmT)\backslash\{0\}$ と $\alpha\gt 0$ について
$$\int_\Omega\exp\left(\left(\frac{|u|}{C_{\Omega,T,\alpha}\norm{u}_{1,n;\Omega}}\right)^\frac{n}{n-1}\right)\le (1+\alpha)|\Omega|.$$
*(3) $\Omega$ が有界な $C^{0,1}$ 領域のとき $u\in W^{1,n}(\Omega)\backslash\{0\}$ と $\alpha\gt 0$ について
$$\int_\Omega\exp\left(\left(\frac{|u|}{C_{\Omega,\alpha}\norm{u}_{1,n;\Omega}}\right)^\frac{n}{n-1}\right)\le (1+\alpha)|\Omega|.$$

{{begin|proof|display=''Proof.''|collapsible=1}}
(1)を示す。{{ref|type=pro|label=riep2}}の(1)より $u\in C^\infty_c(\R^n)$ について $|u|\le CV_{n^{-1}}|Du|$ となるので{{ref|type=pro|label=riep1}}より
$$\int_\Omega\left(\left(\frac{|u|}{C\norm{Du}_{n;\Omega}}\right)^\frac{n}{n-1}\right)\le(1+\alpha)|\Omega|.$$
一般の場合は近似により従う。

(2)と(3)は(1)と拡張作用素により示される。
{{end|proof}}

{{theorem|type=rmk}}
{{ref|type=cor|label=gpn}}の注意の $u$ は $\int_\Omega\exp\left(|u|^\frac{n}{n-1}\right)\lt\infty$ をみたしている。

==一般のSobolevの不等式==
{{theorem|type=thm|name=一般のSobolevの不等式|label=gsob}}
$k\in\Zp$、$p\in[1,\infty)$ とする。次が成り立つ:
*(1) $kp\lt n$ のとき $p_k\colon=\frac{np}{n-kp}$ とすると $W^{k,p}(\R^n)\subset L^{p_k}(\R^n)$ で $u\in W^{k,p}(\R^n)$ について
$$\norm{u}_{p_k;\R^n}\le C_{n,k,p}\norm{D^ku}_{p;\R^n}.$$
また $T\subset\pOm$ が $T\subset\pOm$ が(\ref{D})をみたす相対開集合のとき $W^{k,p}_0(\OmT)\subset L^{p_k}(\Omega)$ で $u\in W^{k,p}_0(\OmT)$ について
$$\norm{u}_{p_k;\Omega}\le C_{k,p,\Omega,T}\norm{u}_{k,p;\Omega}.$$
$\Omega$ が有界な $C^{0,1}$ 領域のとき $W^{k,p}(\Omega)\subset L^{p_k}(\Omega)$ で $u\in W^{k,p}(\Omega)$ について
$$\norm{u}_{p_k;\Omega}\le C_{k,p,\Omega}\norm{u}_{k,p;\Omega}.$$
*(2) $|\Omega|\lt\infty$、$kp=n$ のとき任意の $q\in[1,\infty)$ について $W^{k,p}_0(\Omega)\subset L^q(\Omega)$ で $u\in W^{k,p}_0(\Omega)$ について
$$\norm{u}_{q;\Omega}\le C_{n,k,q}|\Omega|^{q^{-1}}\norm{u}_{k,p;\Omega}.$$
また $|\Omega|\lt\infty$ で $T\subset\pOm$ が $T\subset\pOm$ が(\ref{D})をみたす相対開集合のとき任意の $q\in[p,\infty)$ について $W^{k,p}_0(\OmT)\subset L^q(\Omega)$ で $u\in W^{k,p}_0(\OmT)$ について
$$\norm{u}_{q;\Omega}\le C_{k,q,\Omega}\norm{u}_{k,p;\Omega}.$$
$\Omega$ が有界な $C^{0,1}$ 領域のとき任意の $q\in[p,\infty)$ について $W^{k,p}(\Omega)\subset L^q(\Omega)$ で $u\in W^{k,p}(\Omega)$ について
$$\norm{u}_{q;\Omega}\le C_{k,q,\Omega}\norm{D^ku}_{p;\Omega}.$$
*(3) $kp=n\ge k+1$、$|\Omega|\lt\infty$ のとき $u\in W^{k,p}_0(\Omega)\backslash\{0\}$ と $\alpha\gt 0$ について
$$\int_\Omega\exp\left(\left(\frac{|u|}{C_{n,k,\alpha}\norm{D^ku}_{p;\Omega}}\right)^\frac{n}{n-k}\right)\le (1+\alpha)|\Omega|.$$
また $|\Omega|\lt\infty$ で $T\subset\pOm$ が $T\subset\pOm$ が(\ref{D'})をみたす相対開集合のとき $u\in W^{k,p}_0(\OmT)\backslash\{0\}$ と $\alpha\gt 0$ について
$$\int_\Omega\exp\left(\left(\frac{|u|}{C_{k,\Omega,T,\alpha}\norm{u}_{k,p;\Omega}}\right)^\frac{n}{n-k}\right)\le (1+\alpha)|\Omega|.$$
$\Omega$ が有界なLipschitz領域のとき $u\in W^{k,p}(\Omega)\backslash\{0\}$ と $\alpha\gt 0$ について
$$\int_\Omega\exp\left(\left(\frac{|u|}{C_{k,\Omega,\alpha}\norm{u}_{k,p;\Omega}}\right)^\frac{n}{n-k}\right)\le (1+\alpha)|\Omega|.$$
*(4) $kp\gt n$、$\frac{n}{p}\notin\Z$ のとき $j\colon=\left\lfloor k-\frac{n}{p}\right\rfloor$、$\beta\colon= k-j-\frac{n}{p}$ とすると $W^{k,p}(\R^n)\subset C^{j,\beta}(\R^n)$ で $u\in W^{k,p}(\R^n)$ について
$$[u]_{j,\beta;\R^n}\le C_{n,k,p}\norm{D^ku}_{p;\R^n}.$$
また $|\Omega|\lt\infty$ のとき $u\in W^{k,p}_0(\Omega)$ について
$$|u|_{j,\beta;\Omega}\le C_{n,k,p,|\Omega|}\norm{u}_{k,p;\Omega},D^\alpha u=0\ \on\pOm\ (|\alpha|\le k-1).$$
$|\Omega|\lt\infty$ で $T\subset\pOm$ が(\ref{D})をみたす相対開集合のとき $W^{k,p}_0(\OmT)\subset C^{j,\beta}(\Ombar)$ で $u\in W^{k,p}_0(\OmT)$ について
$$|u|_{j,\beta;\Omega}\le C_{k,p,\Omega,T}\norm{u}_{k,p;\Omega},D^\alpha u=0\ \on\pOm\backslash T\ (|\alpha|\le k-1).$$
$\Omega$ が有界な $C^{0,1}$ 領域のとき $W^{k,p}(\Omega)\subset C^{j,\beta}(\Ombar)$ で $u\in W^{k,p}(\Omega)$ について
$$|u|_{j,\beta;\Omega}\le C_{k,p,\Omega}\norm{u}_{k,p;\Omega}.$$
*(5) $|\Omega|\lt\infty$、$kp\gt n$、$\frac{n}{p}\in\Z$ のとき $j\colon=k-\frac{n}{p}-1$ とすると任意の $\beta\in(0,1)$ について $W^{k,p}_0(\Omega)\subset C^{j,\beta}(\Ombar)$ で $u\in W^{k,p}_0(\Omega)$ について
$$|u|_{j,\beta;\Omega}\le C_{n,k,p,\beta,|\Omega|}\norm{u}_{k,p;\Omega},[u]_{j,\beta;\Omega}\le C_{n,k,p,\beta}|\Omega|^\frac{1-\beta}{n}\norm{D^ku}_{k,p;\Omega},D^\alpha u=0\ \on\pOm\ (|\alpha|\le k-1).$$
$|\Omega|\lt\infty$ で $T\subset\pOm$ が(\ref{D})をみたす相対開集合のとき $W^{k,p}_0(\OmT)\subset C^{j,\beta}(\Ombar)$ で $u\in W^{k,p}_0(\OmT)$ について
$$|u|_{j,\beta;\Omega}\le C_{k,p,\beta,\Omega,T}\norm{u}_{k,p;\Omega}.$$
$\Omega$ が有界な $C^{0,1}$ 領域のとき $W^{k,p}(\Omega)\subset C^{j,\beta}(\Ombar)$ で $u\in W^{k,p}(\Omega)$ について
$$|u|_{j,\beta;\Omega}\le C_{k,p,\beta,\Omega}\norm{u}_{k,p;\Omega}.$$
*(6) $k\gt n$、$p=1$ のとき $W^{k,1}(\R^n)\subset C^{k-n}(\R^n)\cap W^{k-n,\infty}(\R^n)$ で $u\in W^{k,1}(\R^n)$ について
$$[u]_{k-n;\R^n}\le C_{n,k}\norm{D^ku}_{1;\R^n},D^\alpha u=0\ \on\pOm\ (|\alpha|\le k-1).$$
$T\subset\pOm$ が(\ref{D})をみたす相対開集合のとき $W^{k,1}_0(\OmT)\subset C^{k-n}(\Ombar)\cap W^{k-n,\infty}(\Omega)$ で $u\in W^{k,1}(\Omega)$ について
$$[u]_{k-n;\Omega}\le C_{k,\Omega,T}\norm{u}_{k,1;\Omega},D^\alpha u=0\ \on\pOm\backslash T\ (|\alpha|\le k-1).$$
$\Omega$ が有界な $C^{0,1}$ 領域のとき $W^{k,1}(\Omega)\subset C^{k-n}(\Ombar)$ で $u\in W^{k,1}(\Omega)$ について
$$[u]_{k-n;\Omega}\le C_{k,\Omega}\norm{u}_{k,1;\Omega}.$$
{{begin|proof|display=''Proof.''}}
(1)、(2)、(4)、(5)は{{ref|type=thm|label=dim1mor}}、{{ref|type=thm|label=GNS}}、{{ref|type=cor|label=pn}}、{{ref|type=cor|label=gpn}}、{{ref|type=cor|label=gGNS}}、{{ref|type=thm|label=mor}}、{{ref|type=cor|label=gmor}}を用いて $k$ に関する帰納法により示される。

(3)は前半は{{ref|type=thm|label=TM}}と同様。拡張作用素により後半も従う。

(6)を示す。前半の $k=n$ の場合を示せば十分。$u\in C^\infty_c(\R^n)$ について{{ref|type=pro|label=riep2}}の(1)より
$$|u|\le V_1|D^nu|=\int_{\R^n}|D^nu|=\norm{D^nu}_1.$$
近似によりこれは任意の $u\in W^{n,1}(\R^n)$ に対して成り立つ。またこれより
$$W^{n,1}(\R^n)\subset\overline{C^\infty_c(\R^n)}^{L^\infty(\R^n)}\subset C(\R^n).$$
{{end|proof}}

==コンパクト埋め込み==
{{theorem|type=lem|label=cptlem}}
$p\in[1,\infty)$ とする。$u\in W^{1,p}(\R^n)$ と $\varepsilon\gt 0$ について
$$\norm{\eta_\varepsilon*u-u}_{p;\R^n}\le C_{n,p}\norm{Du}_{p;\R^n}\varepsilon.$$

{{begin|proof|display=''Proof.''}}
{{ref|type=thm|label=difq1}}に注意して
\begin{align*}
\int_{\R^n}|\eta_\varepsilon*u-u|^p&=\int_{\R^n}\left|\int_{B_\varepsilon(0)}\eta_\varepsilon(y)(u(x-y)-u(x))dy\right|^pdx\\
&=\int_{\R^n}\norm{\eta_\varepsilon}_{p'}^p\left(\int_{B_\varepsilon(0)}|u(x-y)-u(x)|^pdy\right)dx\\
&\le C\varepsilon^{-n}\int_{\R^n}\left(\int_{0}^\varepsilon\left(\int_{\partial B_1(0)}t^{n-1+p}|\Delta^t_z u(x)|^pd\H^{n-1}(z)\right)dt\right)dx\\
&\le C\varepsilon^{-n}\int_{0}^\varepsilon\left(\int_{\partial B_1(0)}t^{n-1+p}\norm{Du}_p^pd\H^{n-1}(z)\right)dt\\
&\le C\varepsilon^{-n}\norm{Du}_p^p\int_0^\varepsilon t^{n-1+p}dt\le C\norm{Du}_p^p\varepsilon^p.
\end{align*}
{{end|proof}}

{{theorem|type=thm|name=Rellich-Kondrachovの定理|label=cpt}}
$p\in[1,\infty)$ とし、
$$\begin{cases}
q\in[1,p^*)&\colon p\in(1,n)\\
q\in[1,\infty)&\colon p=n\\
q\in[1,\infty]&\colon p\in(n,\infty)
\end{cases}$$
とする。次が成り立つ:
*(1) $|\Omega|\lt\infty$ のとき埋め込み $W^{1,p}_0(\Omega)\subset L^q(\Omega)$ はコンパクトである。すなわち、$\{u_m\}_{m=1}^\infty\subset W^{1,p}_0(\Omega)$ が $\displaystyle \sup_{m}\norm{u_m}_{1,p;\Omega}\lt\infty$ をみたすとすると、$\{u_m\}_{m=1}^\infty$ の部分列で $L^q(\Omega)$ で収束するものが存在する。
*(2) $|\Omega|\lt\infty$ で $T\subset\pOm$ が(\ref{D})をみたす相対開集合のとき埋め込み $W^{1,p}_0(\OmT)\subset L^q(\Omega)$ はコンパクトである。
*(3) $\Omega$ を有界な $C^{0,1}$ 領域とすると、埋め込み $W^{1,p}(\Omega)\subset L^q(\Omega)$ はコンパクトである。

{{begin|proof|display=''Proof.''}}
(1)の $\Omega$ が有界かつ $q=p\in[1,n]$ の場合を示す。

開球 $B\subset\R^n$ を $\Omega\rcpt B$ となるようにとる。$\varepsilon\gt 0$ とすると $k=0,1$ について
$$\norm{D^k(\eta_\varepsilon*u_m)}_\infty\le C\varepsilon^{np^{-1}}\norm{D^ku_m}_p$$
であるから $\displaystyle\sup_m|\eta_\varepsilon*u_m|_{1;B}\lt\infty$。

[[Hölder空間の基本事項]]の定理62と対角線論法により、$\{u_m\}_{m=1}^\infty$ の部分列 $\{u_{m_j}\}_{j=1}^\infty$ で任意の $l\in\Zp$ について $\{\eta_{l^{-1}}*u_{m_j}\}_{j=1}^\infty$ が $C(\overline{B})$ において収束し、とくに $L^p(B)$ において収束するものがとれる。{{ref|type=lem|label=cptlem}}より
\begin{align*}
\limsup_{i,j\to\infty}\norm{u_{m_i}-u_{m_j}}_p&\le\limsup_{i,j\to\infty}\left(\norm{\eta_{l^{-1}}*u_{m_i}-\eta_{l^{-1}}*u_{m_j}}_p+C\left(\norm{Du_{m_i}}_p+\norm{Du_{m_j}}_p\right)l^{-1}\right)\\
&\le C\sup_m\norm{Du_m}_pl^{-1}.
\end{align*}
$l\to\infty$ として $\displaystyle\limsup_{i,j\to\infty}\norm{u_{m_i}-u_{m_j}}_p=0$ を得る。

(1)の $\Omega$ が非有界かつ $q=p\in[1,n]$ の場合を示す。$\zeta\in C^\infty_c(B_2(0))$ を $\zeta=1$ in $B_1(0)$ となるようにとり、$\zeta_l(x)\colon=\zeta(l^{-1}x)\ (l\in\Zp)$ とする。(1)の $\Omega$ が有界な場合と対角線論法により $\{u_{m_j}\}_{j=1}^\infty$ で任意の$l\in\Zp$ について $\{\zeta_lu_{m_j}\}_{j=1}^\infty$ が $L^p(\Omega)$ で収束するものがとれる。また
$$\norm{(1-\zeta_l)u_m}_p\le C|\Omega\backslash B_l(0)|^\frac{1}{n}\norm{D((1-\zeta_l)u_m)}_p\le C|\Omega\backslash B_l(0)|^\frac{1}{n}(1+l^{-1})\norm{u_m}_{1,p}.$$
これより
$$\limsup_{i,j\to\infty}\norm{u_{m_i}-u_{m_j}}_p\le\limsup_{i,j\to\infty}\norm{\zeta_l u_{m_i}-\zeta_l u_{m_j}}_p+C|\Omega\backslash B_l(0)|^\frac{1}{n}\sup_m\norm{u_m}_{1,p}.$$
$|\Omega\backslash B_l(0)|\to 0\ (l\to\infty)$ より $l\to\infty$ とすれば $\displaystyle\limsup_{i,j\to\infty}\norm{u_{m_i}-u_{m_j}}_p=0$ を得る。

(1)の $p\in[1,n]$ の場合は $L^p(\Omega)$ で収束する部分列 $\{u_{m_j}\}_{j=1}^\infty$ をとればHölderの不等式と{{ref|type=thm|label=GNS}}、{{ref|type=cor|label=pn}}より
$$\limsup_{i,j\to\infty}\norm{u_{m_i}-u_{m_j}}_q\le\begin{cases}
\limsup_{i,j\to\infty}|\Omega|^{p^{-1}-q^{-1}}\norm{u_{m_i}-u_{m_j}}_p=0\ &\colon q\in[1,p]\\
\limsup_{i,j\to\infty}\norm{u_{m_i}-u_{m_j}}_p^\frac{n}{q}\left(\norm{Du_{m_i}}_p+\norm{Du_{m_j}}_p\right)^{1-\frac{n}{q}}=0\ &\colon q\in(p,p^*)
\end{cases}$$
となり従う。

(1)の $p\in(n,\infty]$ の場合を示す。$q=\infty$ としてよい。$\Omega$ が有界な場合は{{ref|type=thm|label=mor}}と[[Hölder空間の基本事項]]の命題61から従う。$\Omega$ が非有界な場合は $\Omega$ が有界な場合と対角線論法により $l\in\Zp$ について $\{\zeta_lu_{m_j}\}_{j=1}^\infty$ が $L^\infty(\Omega)$ で収束する部分列 $\{u_{m_j}\}_{j=1}^\infty$ がとれ、{{ref|type=thm|label=mor}}より
$$\limsup_{i,j\to\infty}\norm{u_{m_i}-u_{m_j}}_\infty\le\limsup_{i,j\to\infty}\norm{\zeta_lu_{m_i}-\zeta_lu_{m_j}}_\infty+2\sup_m\norm{(1-\zeta_l)u_m}_\infty\le C|\Omega\backslash B_l(0)|^{n^{-1}-p^{-1}}\sup_m\norm{Du}_p.$$

$l\to\infty$ とすれば $\displaystyle\limsup_{i,j\to\infty}\norm{u_{m_i}-u_{m_j}}_\infty=0$ を得る。

(2)、(3)は拡張作用素 $E\colon W^{1,p}(\Omega)\to W^{1,p}_0(\Omega_0)\ (\Omega\rcpt\Omega_0,|\Omega_0|\lt\infty)$ をとって $\{Eu_{m_j}\}_{j=1}^\infty$ が $L^q(\Omega_0)$ で収束する部分列 $\{u_{m_j}\}_{j=1}^\infty$ をとればよい。
{{end|proof}}

{{theorem|type=rmk}}
とくに $q=p$ の場合が重要である。すなわち、$|\Omega|\lt\infty$ のとき埋め込み $W^{1,p}_0(\Omega)\subset L^p(\Omega)$ はコンパクトで、$\Omega$ が有界な $C^{0,1}$ 領域のときは埋め込み $W^{1,p}(\Omega)\subset L^p(\Omega)$ はコンパクトである。

$k\gt j$ なる $j,k\in\Zz$ と $p\in[1,\infty]$ について、帰納法により
$$\begin{cases}
q\in\left[1,\frac{np}{n-(k-j)p}\right)&\colon np\lt k-j\\
q\in[1,\infty)&\colon np=k-j\\
q\in[1,\infty]&\colon np\gt k-j
\end{cases}$$
とすると $|\Omega|\lt\infty$ のとき埋め込み $W^{k,p}_0(\Omega)\subset W^{j,q}(\Omega)$ はコンパクトで、$\Omega$ が有界な $C^{0,1}$ 領域のとき埋め込み $W^{k,p}(\Omega)\subset W^{j,q}(\Omega)$ はコンパクトである。

(1)の仮定「 $|\Omega|\lt\infty$ 」と(2)の仮定「有界」は外すことができない。例えば $\Omega=\R^n$ とし、$u\in C^\infty_c(\R^n)\backslash\{0\}$、$u_m(x)\colon=u(x-me_1)$ とすると $\{u_m\}_m$ は明らかに $W^{1,p}(\R^n)$ で有界である。一方、$u_m\to 0$ a.e. in $\R^n\ (m\to\infty)$ であるから、$\{u_m\}_m$ が $L^q(\R^n)$ で収束する部分列をもつとすればその極限は $0$ であるが、$\norm{u_m}_q=\norm{u}_q\gt 0$ より $\{u_m\}_m$ は $0$ に $L^q(\R^n)$ で収束する部分列をもたず、従って$L^q(\R^n)$ で収束する部分列をもたない。

また、$p\in[1,n)$ のとき $\Omega$ がいかなる開集合であっても $q=p^*$ を含めることはできない。実際、$0\in\Omega$ として一般性を失わない。$u\in C^\infty_c(\R^n)\backslash\{0\}$ として $\lambda\gt 0$ について $u_\lambda(x)\colon=\lambda^{\frac{n}{p}-1}u(\lambda x)$ とすると十分小さい $\lambda\gt 0$ について $u_\lambda\in C^\infty_c(\Omega)$ であり、また変数変換により $\norm{Du_\lambda}_p=\norm{Du}_p$ であるから $\displaystyle\sup_{\lambda\gt 0}\norm{Du_\lambda}_p\lt\infty$。一方、$u_\lambda\to 0$ a.e. in $\Omega\ (\lambda\to +0)$ であるから、$\{u_{m^{-1}}\}_m$ が $L^q(\Omega)$ で収束する部分列をもつとすればその極限は $0$ であるが、$\norm{u_\lambda}_{p^*}=\norm{u}_{p^*}\gt 0$ より $\{u_{m^{-1}}\}_m$ は $0$ に $L^{p^*}(\Omega)$ で収束する部分列をもたず、従って$L^{p^*}(\Omega)$ で収束する部分列をもたない。

{{theorem|type=cor|name=Poincaréの不等式|label=Poi2}}
$\Omega$ が $|\Omega|\lt\infty$ かつ連結で相対開集合 $T\subset\pOm$ が(\ref{D})をみたすとし、$p\in[1,\infty)$ とする。$\mathcal{W}\subset W^{1,p}_0(\OmT)$ はノルム閉集合で $u∈\mathcal{W},t\in\R\implies tu∈\mathcal{W}$ かつ $1\notin\mathcal{W}$ をみたすとする。$u\in \mathcal{W}$ について
$$\norm{u}_{p;\Omega}\le C_{p,\mathcal{W}}\norm{Du}_{p;\Omega}.$$

{{begin|proof|display=''Proof.''}}
主張が成り立たなかったとする。$(u_m)_S=1$ なる $\{u_m\}_{m=1}^\infty\subset \mathcal{W}$ が存在し、$\norm{u_m}_p=1$ かつ $\norm{Du_m}_p\to 0\ (m\to\infty)$ となる。{{ref|type=thm|label=cpt}}より部分列にとりかえてある $u\in L^p(\Omega)$ について $\norm{u_m-u}_p\to 0\ (m\to\infty)$ となるとしてよい。

$\norm{Du_m}_p\to 0\ (m\to\infty)$ であるから $u\in W^{1,p}(\Omega)$、$Du=0$ in $\Omega$ となり $v$ は定数関数である。<ref name="const">$\Omega'\rcpt\Omega$、$\varepsilon\gt 0$ とすると $D(\eta_\varepsilon*u)=\eta_\varepsilon*Du=0$ となり $\eta_\varepsilon*u$ は局所定数関数で、$\varepsilon\to +0$ とすれば $u$ も局所定数関数である。$\Omega$ は連結であるから $u$ は定数関数である。</ref>一方 $\norm{u_m-u}_{1,p}\to 0\ (m\to\infty)$ となるので $u\in\mathcal{W}$。$1\notin\mathcal{W}$ より $\mathcal{W}$ は $0$ 以外の定数関数を含まないので $u=0$。これは $\norm{u_m}_p=1$ より $\norm{u}_p=1$ となることに矛盾。
{{end|proof}}

{{theorem|type=rmk}}
たとえば次が成り立つ:
*(1) $1\notin W^{1,p}_0(\OmT)$ とすると任意の $u\in W^{1,p}_0(\OmT)$ について $\norm{u}\le C_{p,\Omega,T}\norm{Du}$。
*(2) $\delta\gt 0$ とすると $\{u\in L^p(\Omega)\colon |\{u=0\}|\ge\delta\}$ はノルム閉集合である。実際、$\{u_m\}_{m=1}^\infty\subset L^p(\Omega)$ と $u\in L^p(\Omega)$ が $|\{u_m\ge 0\}|\ge\delta$ かつ $\norm{u_m-u}_p\to 0\ (m\to\infty)$ をみたすとすると任意の $r\gt 0$ について $|\{|u_m-u|\gt r\}|\le r^{-p}\norm{u_m-u}_p^p$ であるから任意の $\varepsilon\gt 0$ について十分 $m$ を大きくとれば $|\{|u_m-u|\gt r\}|\le\varepsilon$ となり $\{u_m=0\}\backslash\{|u_m-u|\gt r\}\subset\{|u|\le r\}$ より $|\{|u|\le r\}|\ge\delta-\varepsilon$。$r\to +0$、$\varepsilon\to +0$ として $|\{u=0\}|\ge\delta$ を得る。

これより $\mathcal{W}=\{u\in W^{1,p}_0(\OmT)\colon |\{u=0\}|\ge\delta\}$ も $0$ 以外の定数関数を含まないノルム閉集合であり、$u\in\mathcal{W}$ について $\norm{u}_p\le C_{p,\Omega,T,\delta}\norm{Du}_p$ が成り立つ。
*(3) $\xi\in\pOm\backslash T$ と $r\gt 0$ が存在して $B=B_r(\xi)$ が $B\cap T=\emptyset$ かつ $|B\backslash\Omega|\gt 0$ をみたすとすると $\Omega$ を $\Omega\cup B$ にとりかえて $\mathcal{W}=W^{1,p}_0(\OmT)$ とすることにより任意の $u\in W^{1,p}_0(\OmT)$ について $\norm{u}\le C_{p,\Omega,T}\norm{Du}$。
*(4) $\Omega$ が有界かつ連結な $C^{0,1}$ 領域のとき、$T=\pOm$ として $\mathcal{W}=\{u\in W^{1,p}(\Omega)\colon u_\Omega=0\}$ ( $u_\Omega\colon=\frac{1}{|\Omega|}\int_\Omega u$ )とすると $\mathcal{W}$ は仮定をみたし、任意の $u\in W^{1,p}(\Omega)$ について
$$\norm{u-u_S}_p\le C_{p,\Omega}\norm{Du}_p.$$

(1)、(3)と{{ref|type=thm|label=Poi0}}の(1)、(4)と{{ref|type=thm|label=Poi}}を比較せよ。凸領域は連結かつ $C^{0,1}$ であるから{{ref|type=cor|label=Poi2}}の方がより一般的な不等式である。一方、{{ref|type=thm|label=Poi0}}と{{ref|type=thm|label=Poi}}では $C$ がどのように $\Omega$ に依存するかまでわかっているが、{{ref|type=cor|label=Poi2}}の証明は $C$ の具体的な表示を与えていない。

==補間不等式==
ここでは主に
$$\norm{D^ju}_{r;\Omega}\le C\norm{u}_{k,p;\Omega}^{1-\tau}\norm{u}_{q;\Omega}^\tau$$
の形の補間不等式を取り扱う。

{{theorem|type=lem|name=$n=1$、$j=1$、$k=2$ の場合|label=intp1}}
$p,q\in[1,\infty]$ とし、$r\colon=\left(\frac{1}{2}p^{-1}+\frac{1}{2}q^{-1}\right)^{-1}$ とすると $u\in W^{k,p}(\R)$ について
$$\norm{u'}_{1,r;\R}\le C\norm{u^{\prime\prime}}_{p;\R}^\frac{1}{2}\norm{u}_{q;\R}^\frac{1}{2}.$$

{{begin|proof|display=''Proof.''}}
$p,q\in[1,\infty)$ の場合を示す。

$u\in C^\infty_c(\R)\backslash\{0\}$ としてよい。$J=(a,b)\subset\R$ を開区間とする。$x\in J_1\colon=(a,a+\frac{1}{3}|J|)$、$y\in J_2\colon=(b-\frac{1}{3}|J|,b)$ とすると $z\in J$ について
$$\frac{1}{3}|J||u'(z)|\le(y-x)|u'(z)|=\left|u(y)-u(x)-\int_x^y(u'-u'(z))\right|\le|u(y)|+|u(x)|+|J|\int_J|u^{\prime\prime}|.$$
$x\in I_1$、$y\in I_2$ について積分しHölderの不等式を用いると
\begin{align*}
\frac{1}{27}|J|^3|u'(z)|&\le\frac{1}{3}|J|\left(\int_{J_1}|u|+\int_{J_2}|u|\right)+\frac{1}{9}|J|^3\int_J|u^{\prime\prime}|\\
&\le\frac{1}{3}|J|\int_J|u|+\frac{1}{9}|J|^3\int_J|u^{\prime\prime}|\\
&\le\frac{1}{9}|J|^{4-p^{-1}}\norm{u^{\prime\prime}}_{p;J}+\frac{1}{3}|J|^{2-q^{-1}}\norm{u}_{q;J}.
\end{align*}
これより
$$\norm{u'}_{r;J}\le|J|^{r^{-1}}\norm{u'}_{\infty;J}\le 3|J|^{1-\frac{1}{2}(p^{-1}-q^{-1})}\norm{u^{\prime\prime}}_{p;J}+9|J|^{-1+\frac{1}{2}(p^{-1}-q^{-1})}\norm{u}_{q;J}.$$
ここで $U\colon=\{u\neq 0\}$ とする。$x\in U$ について $t\mapsto\norm{u}_{q;(x-t,x+t)}$ と $t\mapsto\norm{u^{\prime\prime}}_{p;(x-t,x+t)}$ は $(0,+\infty)$ から $\R$ へ連続であって
$$(2t)^{-1+\frac{1}{2}(p^{-1}-q^{-1})}\norm{u}_{q;(x-t,x+t)}\to+\infty,(2t)^{1-\frac{1}{2}(p^{-1}-q^{-1})}\norm{u^{\prime\prime}}_{p;(x-t,x+t)}\to 0\ (t\to +0)$$
かつ
$$(2t)^{-1+\frac{1}{2}(p^{-1}-q^{-1})}\norm{u}_{q;(x-t,x+t)}\to 0,(2t)^{1-\frac{1}{2}(p^{-1}-q^{-1})}\norm{u^{\prime\prime}}_{p;(x-t,x+t)}\to +\infty\ (t\to +\infty)$$
であるから中間値の定理より $t_x\in(0,+\infty)$ が存在して
$$(2t_x)^{-1+\frac{1}{2}(p^{-1}-q^{-1})}\norm{u}_{q;(x-t_x,x+t_x)}=(2t_x)^{1-\frac{1}{2}(p^{-1}-q^{-1})}\norm{u^{\prime\prime}}_{p;(x-t_x,x+t_x)}=\norm{u}_{q;(x-t_x,x+t_x)}^\frac{1}{2}\norm{u^{\prime\prime}}_{p;(x-t_x,x+t_x)}^\frac{1}{2}.$$
また $t_x\ge\diam U$ を仮定すると $U\subset(x-t_x,x+t_x)$ より $\norm{u}_{q;(x-t_x,x+t_x)}=\norm{u}_{q;\R}$、$\norm{u^{\prime\prime}}_{p;(x-t_x,x+t_x)}=\norm{u^{\prime\prime}}_{p;\R}$ となり
$$(2t_x)^{2-p^{-1}+q^{-1}}=\frac{\norm{u}_{q;\R}}{\norm{u^{\prime\prime}}_{p;\R}}.$$
これより
$$t_x\le\max\left\{\diam U,\frac{1}{2}\left(\frac{\norm{u}_{q;\R}}{\norm{u^{\prime\prime}}_{p;\R}}\right)^{(2-p^{-1}+q^{-1})^{-1}}\right\}.$$
[[Besicovitchの被覆定理]]より $\{J_i\}_{i=1}^\infty=\{(x_i-t_{x_i},x_i+t_{x_i})\}_{i=1}^j$、$j\in\Zp\cup\{\infty\}$ が存在して
$$U\subset\bigcup_{i=1}^j J_i,\sum_{i=1}^j\chi_{J_i}\le C.$$
$u'=0$ a.e. on $\R\backslash U$ に注意すると
\begin{align*}
\norm{u'}_{r;\R}^r&=\norm{u'}_{r;U}^r\\
&\le\sum_{i=1}^j\norm{u'}_{r;J_i}^r\\
&\le C\sum_{i=1}^j\left(\norm{u}_{q;J_i}\norm{u^{\prime\prime}}_{p;J_i}\right)^\frac{r}{2}\\
&\le C\left(\sum_{i=1}^j\norm{u}_{q;J_i}^q\right)^\frac{r}{2q}\left(\sum_{i=1}^j\norm{u^{\prime\prime}}_{p;J_i}^p\right)^\frac{r}{2p}\\
&\le C\norm{u}_{q;\R}^\frac{r}{2}\norm{u^{\prime\prime}}_{p;\R}^\frac{r}{2}
\end{align*}
を得る。

この定数 $C$ は $p,q$ には依存しないので、$p=\infty$ あるいは $q=\infty$ で $\supp u$ が有界の場合も成り立つ。一般の場合は $\zeta\in C^\infty_c(-2,2)$ を $\zeta=1$ in $(-1,1)$ となるようにとり $\zeta_m(t)\colon=\zeta(m^{-1}t)\ (m\in\Zp)$ として $\zeta_mu$ に補間不等式を用いて $m\to\infty$ とすれば従う。
{{end|proof}}

{{theorem|type=thm|name=補間不等式|label=intp2}}
$j,k\in\Zp$、$j\lt k$、$p,q\in[1,\infty]$ とし、$r\colon=\left(\frac{j}{k}p^{-1}+\frac{k-j}{k}q^{-1}\right)^{-1}$ とする。次が成り立つ:
*(1) $W^{k,p}(\R^n)\cap L^q(\R^n)\subset W^{j,r}(\R^n)$ で $u\in W^{k,p}(\R^n)\cap L^q(\R^n)$ について
$$\norm{D^ju}_{r;\R^n}\le C_{n,j,k}\norm{D^ku}_{p;\R^n}^\frac{j}{k}\norm{u}_{q;\R^n}^\frac{k-j}{k}.$$
*(2) $T\subset\pOm$ が(\ref{D'})をみたす相対開集合のとき $W^{k,p}_0(\OmT)\cap L^q(\Omega)\subset W^{j,r}_0(\OmT)$ で $u\in W^{k,p}_0(\OmT)\cap L^q(\Omega)$ について
$$\norm{D^ju}_{r;\Omega}\le C_{j,k,\Omega,T}\norm{u}_{k,p;\Omega}^\frac{j}{k}\norm{u}_{q;\Omega}^\frac{k-j}{k}.$$
*(3) $\Omega$ が有界なLipschitz領域のとき $W^{k,p}(\Omega)\cap L^q(\Omega)\subset W^{j,r}(\Omega)$ で $u\in W^{k,p}(\Omega)\cap L^q(\Omega)$ について
$$\norm{D^ju}_{r;\Omega}\le C_{j,k,\Omega}\norm{u}_{k,p;\Omega}^\frac{j}{k}\norm{u}_{q;\Omega}^\frac{k-j}{k}.$$

{{begin|proof|display=''Proof.''}}
(1)を示す。(2)と(3)は(1)と拡張作用素により従う。

まず $j=1$、$k=2$、$p,q\in[1,\infty)$ の場合を示す。$u\in C^\infty_c(\R^n)$ としてよい。{{ref|type=lem|label=intp0}}より $i=1,\ldots,n$ について
\begin{align*}
\norm{D_iu}_r&=\left(\int_{\R^{n-1}}\left(\int_\R|D_iu(x_1,\ldots ,x_n)|^rdx_i\right)dx_1\ldots dx_{i-1}dx_{i+1}\ldots dx_n\right)^{r^{-1}}\\
&\le C\left(\int_{\R^{n-1}}\left(\int_\R|D_{ii}u(x_1,\ldots,x_n)|^pdx_i\right)^\frac{r}{2p}\left(\int_\R|u(x_1,\ldots ,x_n)|^qdx_i\right)^\frac{r}{2q}dx_1\ldots dx_{i-1}dx_{i+1}\ldots dx_n\right)^{r^{-1}}\\
&\le C\norm{D_{ii}u}_p^\frac{1}{2}\norm{u}_q^\frac{1}{2}.
\end{align*}
これより $\norm{Du}_r\le C\norm{u}_p^\frac{1}{2}\norm{D^2u}_q^\frac{1}{2}$ を得る。

$j=1$、$k=2$ で $p,q$ のいずれかが $\infty$ の場合を示す。$\supp u$ がコンパクトな場合は $p,q\in[1,\infty)$ の場合の定数 $C$ が $p,q$ に依存していないことから従う。$\supp u$ がコンパクトでない場合は $\zeta\in C^\infty_c(B_2(0))$ を $0\le\zeta\le 1$、$\zeta=1$ in $B_1(0)$ となるようにとり $\zeta_m(x)=\zeta(m^{-1}x)\ (m\in\Zp)$ として $\zeta_mu$ に補間不等式を用いて $m\to\infty$ とすれば従う。

$k=j+1$ の場合を $j$ に関する帰納法により示す。

$j=1$ の場合は既に示した。

ある $j$ について主張が成り立ったとし、$u\in W^{j+2,p}(\R^n)\cap L^q(\R^n)$、$r\colon=\left(\frac{j+1}{j+2}p^{-1}+\frac{1}{j+1}q^{-1}\right)^{-1}$ とする。$j=1$ の場合と仮定より
$$\norm{D^{j+1}u}_r\le C\norm{D^ju}_{\left(\frac{j}{j+2}p^{-1}+\frac{2}{j+1}q^{-1}\right)^{-1}}^\frac{1}{2}\norm{D^{j+2}u}_p^\frac{1}{2}\le C\norm{D^{j+1}u}_r^\frac{j}{2(j+1)}\norm{D^{j+2}u}_{p}^\frac{1}{2}\norm{u}_q^\frac{1}{2(j+1)}.$$
これより
$$\norm{D^{j+1}u}_r\le C\norm{D^{j+2}u}_p^\frac{j+1}{j+2}\norm{u}_q^\frac{1}{j+2}$$
を得る。

一般の場合を $j$ を固定し $k$ に関する帰納法により示す。

$k=j+1$ の場合は既に示した。

ある $k$ について主張が成り立ったとし、$u\in W^{k+1,p}(\R^n)\cap L^q(\R^n)$、$r\colon=\left(\frac{j}{k+1}p^{-1}+\frac{k-j+1}{k+1}q^{-1}\right)^{-1}$ とする。$k=j+1$ の場合と仮定より
$$\norm{D^ju}_r\le C\norm{D^ku}_{\left(\frac{k}{k+1}p^{-1}+\frac{1}{k+1}q^{-1}\right)^{-1}}^\frac{j}{k}\norm{u}_q^\frac{k-j}{k}\le C\norm{D^ju}_r^\frac{j}{k(k-j+1)}\norm{D^{k+1}u}_p^\frac{j(k-j)}{k(k-j+1)}\norm{u}_q^\frac{k-j}{k}.$$
これより
$$\norm{D^ju}_r\le C\norm{D^{k+1}u}_p^\frac{j}{k+1}\norm{u}_q^\frac{k-j+1}{k+1}$$
を得る。
{{end|proof}}

{{theorem|type=cor|label=equivnorm}}
$\Omega=\R^n$、あるいは $\Omega$ が有界なLipschitz領域のとき $p\in[1,\infty]$ とすると $u\in W^{k,p}(\Omega)$ について
$$\norm{u}_{k,p;\Omega}\le C_{k,\Omega}\left(\norm{u}_{p;\Omega}+\norm{D^ku}_{p;\Omega}\right).$$

{{begin|proof}}
{{ref|type=thm|label=intp2}}で $p=q$ とすると $j=1,\ldots,k-1$ について
$$\norm{D^ju}_{p}\le C\norm{u}_{k,p}^\frac{j}{k}\norm{u}_p^\frac{k-j}{k}\le\frac{1}{2(k-1)}\norm{u}_{k,p}+C\norm{u}_p$$
であるから
$$\norm{u}_{k,p}\le\sum_{j=0}^k\norm{D^ju}_p\le\frac{1}{2}\norm{u}_{k,p}+C(\norm{u}_p+\norm{D^ku}_p)$$
となり
$$\norm{u}_{k,p}\le C(\norm{u}_p+\norm{D^ku}_p)$$
となる。
{{end|proof}}

{{theorem|type=rmk}}
これより $\norm{u}_p+\norm{D^ku}_p$ や $\left(\norm{u}_p^p+\norm{D^ku}_p^p\right)^{p^{-1}}$ は $W^{k,p}(\Omega)$ に $\norm{u}_{k,p}$ と同値なノルムを定めることが従う。

一方Sobolevの不等式を用いるとこれとは異なる補間不等式を得られる。

{{theorem|type=pro|label=intp3}}
$p\in[1,n]$、$q\in[1,\infty)$、$\tau\in(0,1]$ とし、$r\colon=\left((1-\tau)p^{*-1}+\tau q^{-1}\right)^{-1}$ とすると次が成り立つ:
*(1) $W^{1,p}(\R^n)\cap L^q(\R^n)\subset L^r(\R^n)$ で $u\in W^{1,p}(\R^n)\cap L^q(\R^n)$ について
$$\norm{u}_{r;\R^n}\le C_{n,p,q,\tau}\norm{Du}_{p;\R^n}^{1-\tau}\norm{u}_{q;\R^n}^\tau.$$
*(2) $T\subset\pOm$ が(\ref{D})をみたす相対開集合のとき $W^{1,p}_0(\OmT)\cap L^q(\Omega)\subset L^r(\Omega)$ で $u\in W^{1,p}_0(\OmT)\cap L^q(\Omega)$ について
$$\norm{u}_{r;\Omega}\le C_{n,p,q,\tau,\Omega,T}\norm{u}_{1,p;\Omega}^{1-\tau}\norm{u}_{q;\Omega}^\tau.$$
*(3) $\Omega$ が有界な $C^{0,1}$ 領域のとき $W^{1,p}(\Omega)\cap L^q(\Omega)\subset L^r(\Omega)$ で $u\in W^{1,p}(\Omega)\cap L^q(\Omega)$ について
$$\norm{u}_{r;\Omega}\le C_{n,p,q,\tau,\Omega}\norm{u}_{1,p;\Omega}^{1-\tau}\norm{u}_{q;\Omega}^\tau.$$

{{begin|proof|display=''Proof.''}}
(1)を示す。(2)と(3)は(1)と拡張作用素により従う。

$p\in[1,n)$ のときは{{ref|type=thm|label=GNS}}より直ちに従う。以下 $p=n$ とする。

$m\in\Zp$ について{{ref|type=thm|label=GNS}}より
$$\norm{u}_{q+m1^*}^{1^{*-1}q+m}\le C\norm{|u|^{1^{*-1}q+m-1}Du}_1\le C\norm{Du}_n\norm{u}_{q+(m-1)1^*}^{1^{*-1}q+m-1}.$$
帰納法により $m\in\Zp$ について
$$\norm{u}_{q+m1^*}^{1^{*-1}q+m}\le C\norm{Du}_n^m\norm{u}_q^{1^{*-1}q}.$$
ここで $m=\left\lfloor 1^{*-1}(r-q)\right\rfloor$ ととる。このとき $q+m1^*\le r\lt q+(m+1)1^*$ となる。$\theta\in[0,1)$ を $r^{-1}=(1-\theta)(q+m1^*)^{-1}+\theta(q+(m+1)1^*)^{-1}$ となるようにとると
\begin{align*}
\norm{u}_r&\le\norm{u}_{q+m1^*}^{1-\theta}\norm{u}_{q+(m+1)1^*}^\theta\\
&\le C\norm{Du}_n^{m(1-\theta)(1^{*-1}q+m)^{-1}+(m+1)\theta(1^{*-1}q+m+1)^{-1}}\norm{u}_q^{((1-\theta)(1^{*-1}q+m)^{-1}+\theta(1^{*-1}q+m+1)^{-1})1^{*-1}q}\\
&=C\norm{Du}_n^{1-\frac{q}{r}}\norm{u}_q^{\frac{q}{r}}=C\norm{Du}_n^{1-\tau}\norm{u}_q^\tau.
\end{align*}
{{end|proof}}

{{theorem|type=rmk}}
$p=q=n$ の場合より、$|\Omega|=\infty$ の場合でも任意の $r\in[n,\infty)$
について $W^{1,n}_0(\Omega)\subset L^r(\Omega)$ で $u\in W^{1,n}_0(\Omega)$ について $\norm{u}_{r;\Omega}\le C_{n,r}\norm{u}_{1,n;\Omega}$ が成り立つ。{{ref|type=cor|label=pn}}と比較せよ。

{{ref|type=thm|label=intp2}}と{{ref|type=pro|label=intp3}}を組み合わせてより一般的な補間不等式を得る。

{{theorem|type=lem|label=intp4}}
$k\in\Zz$、$\alpha\in[0,1]$、$q\in[1,\infty]$ とする。$\theta\in[0,1]$ について次が成り立つ:
*(1) $\sigma\colon=(1-\theta)(k+\alpha)-\frac{\theta n}{q}\le 0$ のとき $r\colon=\frac{n}{\sigma}$ とすると $u\in C^{k,\alpha}(\R^n)\cap L^q(\R^n)$ について
$$\norm{u}_{r;\R^n}\le C_{p,k,\alpha,\tau}[u]_{k,\alpha;\R^n}^{1-\theta}\norm{u}_{q;\R^n}^\theta.$$
*(2) $\sigma\gt 0$ のとき $j\colon=\lceil \sigma\rceil-1$、$\beta\colon=\sigma-j$ とすると　$u\in C^{k,\alpha}(\R^n)\cap L^q(\R^n)$ について
$$[u]_{j,\beta;\R^n}\le C_{p,k,\alpha,\tau}[u]_{k,\alpha;\R^n}^{1-\theta}\norm{u}_{q;\R^n}^\theta.$$

{{begin|proof}}
$$\theta=\frac{(k+\alpha-\sigma)q}{(k+\alpha)q+n}=\left(1+\frac{\sigma q}{n}\right)\frac{(k+\alpha)q}{(k+\alpha)q+n}-\frac{\sigma q}{n}=\left(1-\frac{\sigma}{k+\alpha}\right)\frac{(k+\alpha)q}{(k+\alpha)q+n}$$
に注意する。

$q=\infty$ の場合は[[Hölder空間の基本事項]]の定理54で既に示されている。<ref name="kaintp">正確には $u|_{B_R(0)}$ に対し定理を適用して $R\to\infty$ とする必要がある。</ref>以下 $q\in[1,\infty)$ とする。

まず $k=0$、$\sigma=0$ の場合を示す。$\alpha=0$ のときは明らかであるから $\alpha\in(0,1]$ としてよい。

$[u]_{0,\alpha}=0$ のときは $u$ は定数関数であって $u\in L^q(\R^n)$ であるから $u\equiv 0$。この場合主張は明らかである。以下 $[u]_{0,\alpha}\neq 0$ とする。

$x\in\R^n$、$u(x)\neq 0$ として $R=\left(\frac{|u(x)|}{2[u]_{0,\alpha}}\right)^{\alpha^{-1}}$ とすると $|u|\ge \frac{1}{2}|u(x)|$ on $B_R(x)$ となり
$$\norm{u}_q\ge\frac{1}{2}|B_R(x)|^{q^{-1}}|u(x)|=\frac{1}{2}\omega_n^{q^{-1}}|u(x)|^{1+\frac{n\alpha^{-1}}{q}}[u]_{0,\alpha}^{-\frac{n\alpha^{-1}}{q}}.$$
$x$ について $\sup$ をとると $\norm{u}^{1+\frac{n\alpha^{-1}}{q}}[u]_{0,\alpha}^{-\frac{n\alpha^{-1}}{q}}\le C\norm{u}_q$。$\theta=\frac{\alpha q}{\alpha q+n}$ であるから
$$\norm{u}_\infty\le C[u]_{0,\alpha}^{1-\theta}\norm{u}_q^\theta$$
を得る。

$k\ge 1$、$\sigma=0$ の場合を示す。$k=0$ の場合と[[Hölder空間の基本事項]]の定理54<ref name=kaintp />より
$$\norm{u}_\infty\le C[u]_{0,1}^\frac{n}{q+n}\norm{u}_q^\frac{q}{q+n}\le C[u]_{k,\alpha}^\frac{n}{(k+\alpha)(q+n)}\norm{u}_\infty^\frac{(k-1+\alpha)n}{(k+\alpha)(q+n)}\norm{u}_q^\frac{q}{q+n}.$$
$\theta=\frac{(k+\alpha)q}{(k+\alpha)q+n}$ であるから
$$\norm{u}_\infty\le C[u]_{k,\alpha}^{1-\theta}\norm{u}_q^\theta$$
を得る。

(1)を示す。Hölderの不等式と $k\ge 1$、$\sigma=0$ の場合より
$$\norm{u}_r\le\norm{u}_\infty^{1+\frac{\sigma q}{n}}\norm{u}_q^{-\frac{\sigma q}{n}}\le[u]_{k,\alpha}^{1-\theta}\norm{u}_q^\theta$$
を得る。

(2)を示す。[[Hölder空間の基本事項]]の定理54<ref name=kaintp />と $k\ge 1$、$\sigma=0$ の場合より
$$[u]_{j,\beta}\le C[u]_{k,\alpha}^\frac{\sigma}{k+\alpha}\norm{u}_\infty^{1-\frac{\sigma}{k+\alpha}}\le C[u]_{k,\alpha}^{1-\theta}\norm{u}_q^\theta$$
を得る。
{{end|proof}}

{{theorem|type=thm|name=Gagliardo-Nirenbergの補間不等式|label=GN}}
$j\in\Zz$、$k\in\Zp$、$j\lt k$ とする。$p,q\in[1,\infty)$ とし、
$$\tau\in\begin{cases}
\left(0,\frac{k-j}{k}\right]&\colon p\in(1,\infty),k-j-\frac{n}{p}\in\Zz\\
\left[0,\frac{k-j}{k}\right]&\colon \rm{otherwise}
\end{cases}$$
をみたすとする。
$$\sigma\colon=(1-\tau)\left(k-\frac{n}{p}\right)-\frac{\tau n}{q}-j$$
とすると次が成り立つ:
*(1) $\sigma\le 0$ のとき $r\colon=-\frac{n}{\sigma}$ とすると $W^{k,p}(\R^n)\cap L^q(\R^n)\subset W^{j,r}(\R^n)$ で $u\in W^{k,p}(\R^n)\cap L^q(\R^n)$ について
$$\norm{D^ju}_{r;\R^n}\le C_{n,p,q,\tau}\norm{D^ku}_{p;\R^n}^{1-\tau}\norm{u}_{q;\R^n}^\tau.$$
また $T\subset\pOm$ が(\ref{D'})をみたす相対開集合のとき $W^{k,p}_0(\OmT)\cap L^q(\Omega)\subset W^{j,r}_0(\OmT)$ で $u\in W^{k,p}_0(\OmT)\cap L^q(\Omega)$ について
$$\norm{D^ju}_{r;\Omega}\le C_{p,q,\Omega,T,\tau}\norm{u}_{k,p;\Omega}^{1-\tau}\norm{u}_{q;\Omega}^\tau.$$
$\Omega$ が有界なLipschitz領域のとき $W^{k,p}(\Omega)\cap L^q(\Omega)\subset W^{j,r}(\Omega)$ で $u\in W^{k,p}(\Omega)\cap L^q(\Omega)$ について
$$\norm{D^ju}_{r;\Omega}\le C_{p,q,\Omega,\tau}\norm{u}_{k,p;\Omega}^{1-\tau}\norm{u}_{q;\Omega}^\tau.$$
*(2) $\sigma\gt 0$ のとき $j'\colon=j+\lceil\sigma\rceil-1$、$\alpha\colon=\sigma-(\lceil\sigma\rceil-1)$ とすると $W^{k,p}(\R^n)\cap L^q(\R^n)\subset C^{j',\alpha}(\R^n)$ で $u\in W^{k,p}(\R^n)\cap L^q(\R^n)$ について
$$[u]_{j',\alpha;\R^n}\le C_{n,p,q,\tau}\norm{D^ku}_{p;\R^n}^{1-\tau}\norm{u}_{q;\R^n}^\tau.$$
また $T\subset\pOm$ が(\ref{D'})をみたす相対開集合のとき $W^{k,p}_0(\OmT)\cap L^q(\Omega)\subset C^{j',\alpha}(\Ombar)$ で $u\in W^{k,p}_0(\OmT)\cap L^q(\Omega)$ について
$$[u]_{j',\alpha;\Omega}\le C_{p,q,\Omega,T,\tau}\norm{u}_{k,p;\Omega}^{1-\tau}\norm{u}_{q;\Omega}^\tau.$$
$\Omega$ が有界なLipschitz領域のとき $W^{k,p}(\Omega)\cap L^q(\Omega)\subset C^{j',\alpha}(\Ombar)$ で $u\in W^{k,p}(\Omega)\cap L^q(\Omega)$ について
$$[u]_{j',\alpha;\Omega}\le C_{p,q,\Omega,\tau}\norm{u}_{k,p;\Omega}^{1-\tau}\norm{u}_{q;\Omega}^\tau.$$

{{begin|proof|display=''Proof.''}}
$\Omega=\R^n$ の場合を示す。その他は拡張作用素により従う。

$u\in C^\infty(\R^n)$ としてよい。表記を簡単にするため次の記号を用いる: $k\in\Zz$、$\sigma\ge k-n$ について
$$\langle u\rangle_{k,\sigma}\colon=\begin{cases}
\norm{D^ku}_{\frac{n}{k-\sigma}}&\colon \sigma\in[k-n,k]\\
[u]_{\lceil\sigma\rceil-1,\sigma-(\lceil\sigma\rceil-1)}&\colon \sigma\gt k
\end{cases}.$$
{{ref|type=thm|label=gsob}}より $j,k\in\Zz$、$j\lt k$ で $\sigma\ge k-n$ が $\sigma-j\notin\Zz$、$\sigma=k-n$、$\sigma=k$ のいずれかをみたすとき
$$\langle u\rangle_{j,\sigma}\le C\langle u\rangle_{k,\sigma}.$$
{{ref|type=thm|label=intp2}}より $j,k\in\Zp$、$j\lt k$、$\sigma\in[k-n,0]$、$\sigma'\in[-n,0]$ について
$$\langle u\rangle_{j,\frac{k-j}{k}\sigma+\frac{j}{k}\sigma'}\le C\langle u\rangle_{k,\sigma}^\frac{k-j}{k}\langle u\rangle_{0,\sigma'}^\frac{j}{k}.$$
{{ref|type=pro|label=intp3}}より $k\in\Zp$、$\sigma\in[k-n,k-1]$、$\sigma\in[k-n,0]$、$\tau\in[0,1)$ について
$$\langle u\rangle_{k-1,(1-\tau)\sigma+\tau\sigma'}\le C\langle u\rangle_{k,\sigma}^{1-\tau}\langle u\rangle_{k-1,\sigma'}^\tau.$$
Hölderの不等式と{{ref|type=lem|label=intp4}}と[[Hölder空間の基本事項]]の定理54<ref name="kaintp" />より $k\in\Zz$、$\sigma,\sigma'\ge k-n$、$\theta\in[0,1]$ について
$$\langle u\rangle_{k,(1-\theta)\sigma+\theta\sigma'}\le C\langle u\rangle_{k,\sigma}^{1-\theta}\langle u\rangle_{k,\sigma'}^{\theta}.$$
また主張は次のように表される: $k\in\Zp$、$\sigma\in [k-n,k]$、$\sigma'\in [-n,0]$ とし、
$$\begin{cases}
\tau\in\left[\frac{j}{k},1\right)&\colon \sigma\in(k-n,k),\sigma-j\in\Zz\\
\tau\in\left[\frac{j}{k},1\right]&\colon \rm{otherwise}
\end{cases}$$
とすると
$$\langle u\rangle_{j,(1-\tau)\sigma+\tau\sigma'}\le C\langle u\rangle_{k,\sigma}^{1-\tau}\langle u\rangle_{\sigma'}^\tau.$$

$\tau=\frac{k-j}{k}$ の場合および $\sigma-j\notin\Zz$、$\sigma=k-n$ あるいは $\sigma=k$ で $\tau=0$ の場合は{{ref|type=thm|label=genSob}}、{{ref|type=thm|label=lip}}から直ちに従う。

$\sigma\in\left(k-n,k\right)$、$\sigma-j\in\Zz$、$\tau\in\left(0,\frac{1}{k}\right]$ とする。

$\sigma\in\Z$ より $\sigma\le k-1$ であるから
$$\langle u\rangle_{k-1,(1-\tau)\sigma+\tau\sigma'}\le C\langle u\rangle_{k,\sigma}^{1-k\tau}\langle u\rangle_{k-1,\frac{k-1}{k}\sigma+\frac{1}{k}\sigma'}^{k\tau}\le C\langle u\rangle_{k,\sigma}^{1-\tau}\langle u\rangle_{k,\sigma'}^\tau$$
となり $j=k-1$ の場合が従う。また $\sigma\ge j\gt 0\le\sigma'$ より十分小さく $\tau$ をとれば $(1-\tau)\sigma+\tau\sigma'\notin\Z$ となり $j=1,\ldots,k-2$ について $\langle u\rangle_{j,(1-\tau)\sigma+\tau\sigma'}\le C\langle u\rangle_{k-1,(1-\tau)\sigma+\tau\sigma'}$ となりこの場合も従う。

また $\tau=\tau_1,\tau_2$ について主張が成り立ったとして $\theta\in[0,1]$、$\tau=(1-\theta)\tau_1+\theta\tau_2$ とすると
$$(1-\tau)\sigma+\tau\sigma'=(1-\theta)((1-\tau_1)\sigma+\tau_1\sigma')+\theta((1-\tau_2)\sigma+\tau_2\sigma'),(1-\theta)(1-\tau_1)+\theta(1-\tau_2)=1-\tau$$
であるから
$$\langle u\rangle_{j,(1-\tau)\sigma+\tau\sigma'}\le C\langle u\rangle_{j,(1-\tau_1)\sigma+\tau_1\sigma'}^{1-\theta}\langle u\rangle_{j,(1-\tau_2)\sigma+\tau_2\sigma'}^\theta\le C\langle u\rangle_{k,\sigma}^{1-\tau}\langle u\rangle_{\sigma'}^\tau.$$
以上より主張が従う。
{{end|proof}}

==トレース作用素==
最後に $u\in W^{1,p}(\Omega)$ に「境界値」を定めるトレース作用素について述べる。$n=1$ の場合と $p\in(n,\infty]$ の場合は適切な仮定の下 $W^{1,p}(\Omega)\subset C^{0,1-\frac{n}{p}}(\Ombar)$ であったから $u\in W^{1,p}(\Omega)$ には境界値を定めることができるが、そうでない場合も $\Omega$ が $C^{0,1}$ 以上のなめらかさがある境界部分をもつとき $u\in W^{1,p}(\Omega)$ にその上の「弱い意味の境界値」を定めることができる。

{{theorem|type=lem|label=halfspcase}}
$\mu=(\mu_1,...,\mu_n)\in B_1(0)$、$\xi\in\R^n$ とし、$\Omega\colon=\{x\in\R^n\colon \mu\cdot(x-\xi)\gt 0\}$ を半空間とする。$u\in C^{0,1}(\Ombar)$ で $\supp u$ が有界なものについて
$$\int_\Omega D_iu=-\mu_i\int_\pOm ud\H^{n-1}.$$

{{begin|proof}}
$\xi=0$ としてよい。Lipschitz連続関数 $x\mapsto \mu\cdot x$ に対して[[Hausdorff測度とarea_coarea_formula|coarea formula]]を用いると
\begin{align*}
\int_\Omega D_\mu u&=\int_0^\infty\left(\int_{\{\mu\cdot y=t\}}D_\mu u(y)d\H^{n-1}(y)\right)dt\\
&=\int_0^\infty\left(\int_\pOm D_\mu u(x+t\mu)d\H^{n-1}(x)\right)dt\\
&=-\int_\pOm ud\H^{n-1}.
\end{align*}
一方 $\mu'\in\R^n\backslash\{0\}$、$\mu'\cdot\mu=0$ とするとcoarea formulaより
\begin{align*}
\int_\Omega D_{\mu'}u&=\int_\R\left(\int_{\{\mu\cdot y\gt 0,\mu'\cdot y=t\}}D_{\mu'}u(y)d\H^{n-1}(y)\right)|\mu'|^{-1}dt\\
&=\int_\R\left(\int_{\{\mu\cdot y\gt 0,\mu'\cdot y=0\}}D_{\mu'}u(x+t\mu')d\H^{n-1}(x)\right)|\mu'|^{-1}dt\\
&=0.
\end{align*}
$i=1,...,n$ について $(e_i-\mu_i\mu)\cdot\mu=0$ であるから
$$\int_\Omega D_iu=\mu_i\int_\Omega D_\mu u+\int_\Omega D_{e_i-\mu_i\mu}u=-\mu_i\int_\pOm ud\H^{n-1}.$$
{{end|proof}}

{{theorem|type=lem|label=tracelem}}
$S\subset\R^n$ が $|S|=0$ をみたすとすると $f\in L^1_\loc(\R^n)$ について
$$\lim_{r\to+0}\frac{1}{r^{n-1}}\int_{B_r(x)}|f|=0\ \H^{n-1}-\ae x\in S.$$

{{begin|proof|display=''Proof.''|collapsible=1}}
$S$ は有界であるとしてよい。$\sigma\gt 0$ とし、
$$A_\sigma\colon=\left\{x\in\R^n\colon\limsup_{r\to+0}\frac{1}{r^{n-1}}\int_{\Bb_r(x)}|f|\gt\sigma\right\}$$
として $\H^{n-1}(A_\sigma)=0$ を示せば十分。

$S$ は有界で $|S|$ をみたすので $S$ の有界な開近傍 $U_1\supset U_2\ldots\supset S$ で $\displaystyle \left|\bigcap_{i=1}^\infty U_i\right|=0$ となるものをとれ、$\displaystyle\int_{U_1}|f|\lt\infty$ より $\displaystyle \lim_{i\to\infty}\int_{U_i}|f|=0$ となる。これより $\varepsilon\gt 0$ とすると $S$ の有界な開近傍 $U$ で $\displaystyle\int_{U}|f|\lt\varepsilon$ となるものをとれる。

$\varepsilon\gt 0$、$\delta\gt 0$ とし、$S\subset U$
$$\B\colon=\left\{\Bb=\Bb_r(x)\colon x\in A_\sigma,r\lt\delta,\Bb\subset U,\int_{\Bb}|f|\ge\sigma r^{n-1}\right\}$$
とすると、任意の $x\in A_\sigma$ と $\varepsilon\gt 0$ について $r\in(0,\varepsilon)$ が存在して $B_r(x)\in\B$。

[[Vitaliの被覆定理]]より $\{\Bb_i\}_{i=1}^\infty=\{\Bb_{r_i}(x_i)\}_{i=1}^\infty\subset\B$ で $i\neq j\implies \Bb_i\cap\Bb_j=\emptyset$ かつ $\displaystyle A_\sigma\subset\bigcup_{i=1}^\infty\Bb_{5r_i}(x_i)$ となるものが存在する。これより
$$\H^{n-1}_{10\delta}(A_\sigma)\colon=\omega_{n-1}\sum_{i=1}^\infty(5r_i)^{n-1}\le 5^{n-1}\omega_m\sum_{i=1}^\infty\int_{\Bb_i}|f|=5^{n-1}\omega_n\int_{\bigcup_{i=1}^\infty\Bb_i}|f|\le 5^{n-1}\omega_n\int_U|f|\lt\varepsilon.$$
$\delta\to +0$ として $\H^{n-1}(A_\sigma)\lt\varepsilon$ を得る。
{{end|proof}}

{{theorem|type=thm|name=トレース作用素|label=trace}}
$S\subset\pOm$ を $C^{0,1}$ 境界部分とする。$p\in[1,\infty)$、$u\in W^{1,p}(\Omega)$ とすると $\H^{n-1}$ -a.e. $\xi\in S$ について
$$Tu(\xi)\colon=\lim_{r\to +0}\frac{1}{|B_r(\xi)\cap\Omega|}\int_{B_r(\xi)\cap\Omega}u$$
は収束する。また $Tu\in L^p_\loc(S,\H^{n-1})$ で相対開集合 $S'\rcpt S$ について
$$\int_{S'} |Tu|^pd\H^{n-1}\le C_{p,S'}\int_\Omega\left(|u|^p+|u|^{p-1}|Du|\right).$$

{{begin|proof|display=''Proof.''|collapsible=1}}
$\xi\in\overline{S'}$ について開集合 $U_\xi\subset\R^n$ と全単射 $\psi_\xi\colon 2Q\to U_\xi$ が存在して $U_\xi\cap\Omega=\psi_\xi(2Q_+)$、$U_\xi\cap\pOm=\psi_\xi(2Q_0)$ かつ $\psi_\xi$ と $\psi_\xi^{-1}$ はいずれも $C^{0,1}$ 写像となる。$\overline{S'}$ はコンパクトであるから $\xi_1,\ldots ,\xi_N\in\overline{S'}$ を $\displaystyle\overline{S'}\subset\bigcup_{i=1}^N\psi_\xi(Q)$ となるようにとれる。$U_{\xi_i}$、$\psi_{\xi_i}$ をそれぞれ $U_i$、$\psi_i$ と置きなおす。$V_i\colon=\psi_i(Q)$ とする。$i=1,\ldots ,N$ について $L_i\colon=\max\{L(\psi|_Q),L(\psi^{-1}|_{V_i})^{-1}\}$ とする。

$\chi\in C^\infty([0,1])$ を $\chi(0)=1$ かつ $\chi(1)=0$ となるようにとる。Area不等式([[Hausdorff測度とarea_coarea_formula]]の定理19)より $u\in C^{0,1}(\Omega\cup S')\cap W^{1,p}(\Omega)$ と $p\in[1,\infty)$ について
\begin{align*}
\int_{V_i\cap\pOm}|u|^pd\H^{n-1}&\le L_i^n\int_{Q_0}|u\circ\psi_i|^pd\H^{n-1}\\
&=-pL_i^n\int_{Q_+}\frac{\partial}{\partial x_n}\left(\chi(x_n)|u(\psi_i(x',x_n))|^p\right)dx\\
&\le C\int_{Q_+}\left(|u\circ\psi_i|^p+|u\circ\psi_i|^{p-1}|D_n(u\circ\psi)|\right)\\
&\le C\int_{V_i\cap\Omega}\left(|u|^p+|u|^{p-1}|Du|\right).
\end{align*}
$i$ について加えて
$$\int_{S'} |u|^pd\H^{n-1}\le C\int_\Omega\left(|u|^p+|u|^{p-1}|Du|\right)$$
を得る。

{{ref|type=cor|label=apx4}}より $u\mapsto u|_{S'}$ は $W^{1,p}(\Omega)$ から $L^p(S',\H^{n-1})$ への有界線型作用素 $T$ に一意的に拡張される。$u_m\in C^\infty(\Omega\cup S')\cap W^{1,p}(\Omega)$、$\norm{u_m-u}_{1,p}\to 0\ (m\to\infty)$ とすると $\int_\pOm|u_m-Tu|^pd\H^{n-1}\to 0\ (m\to\infty)$ であるから部分列に移って $u_m\to Tu\ \H^{n-1}$ -a.e. on $S'$ となるようにできてFatouの補題により
$$\int_{S'} |Tu|^pd\H^{n-1}\le\liminf_{m\to\infty}\int_{S'}|u_m|^pd\H^{n-1}\le C\liminf_{m\to\infty}\int_\Omega\left(|u_m|^p+|u_m|^{p-1}|Du_m|\right)=\int_\Omega\left(|u|^p+|u|^{p-1}|Du|\right).$$

$u\in W^{1,p}(\Omega)$ について
$$\lim_{r\to +0}\frac{1}{|B_r(\xi)\cap\Omega|}\int_{B_r(\xi)\cap\Omega}|u-Tu(\xi)|=0\ \H^{n-1}-\ae \xi\in S'\tag{*}\label{trace}$$
を示す。

$i=1,\ldots ,N$ とする。Lebesgueの微分定理より $\H^{n-1}$ -a.e. $\eta\in Q_0$ について
$$\lim_{r\to+0}\frac{1}{s^{n-1}}\int_{B_s(\eta)\cap Q_0}|Tu\circ\psi_i-Tu(\psi_i(\eta))|d\H^{n-1}=0.$$
また $y\in Q_+$ を $(y',y_n)\in(-1,1)^{n-1}\times(0,1)$ と表すと $v\in C^\infty(\Omega\cup S)$ と $\eta\in Q_0$、$(B_s(\eta)\cap Q_0)\times(0,s)\subset Q_+$ について
\begin{align*}
\int_{(B_s(\eta)\cap Q_0)\times(0,s)}|v(\psi_i(y))-v(\psi_i(y',0))|&=\int_{(B_s(\eta)\cap Q_0)\times(0,s)}\left(\int_0^{y_n}|D_n(v\circ\psi_i)(y',t)|dt\right)dy\\
&=\int_{(B_s(\eta)\cap Q_0)\times(0,s)}(s-y_n)|D_n(v\circ\psi_i)(y)|dy\\
&\le s\int_{(B_s(\eta)\cap Q_0)\times(0,s)}|D_n(v\circ\psi_i)v|.
\end{align*}
area不等式より $\varphi\mapsto\varphi\circ\psi_i$ は $L^1(V_i\cap\pOm,\H^{n-1})$ から $L^1(Q_0,\H^{n-1})$ へ有界であることに注意すると近似により
$$\int_{(B_s(\eta)\cap Q_0)\times(0,s)}|u(\psi(y))-Tu(\psi_i(y',0))|dy\le s\int_{(B_s(\eta)\cap Q_0)\times(0,s)}|D_n(u\circ\psi_i)|.\tag{**}\label{trace2}$$
$(B_s(\eta)\cap Q_0)\times(0,s)\subset B_{\sqrt{2}s}(\eta)\cap Q_+$ と{{ref|type=lem|label=tracelem}}より $\H^{n-1}$ -a.e. $\eta\in Q_+$ について
$$\frac{1}{s^n}\int_{(B_s(\eta)\cap Q_0)\times(0,s)}|u(\psi_i(y))-Tu(\psi_i(y',0))|dy\le \frac{1}{s^{n-1}}\int_{B_{\sqrt{2}s}(\eta)\cap Q_+}|D_n(u\circ\psi_i)|\to 0\ (s\to+0).$$
これより $\H^{n-1}$ -a.e. $\eta\in Q_+$ について
\begin{align*}
&\quad\frac{1}{s^n}\int_{(B_s(\eta)\cap Q_0)\times(0,s)}|u\circ\psi_i-Tu(\psi_i(\eta))|\\
&\le\frac{1}{s^n}\int_{(B_s(\eta)\cap Q_0)\times(0,s)}|u(\psi_i(y))-Tu(\psi_i(y'))|dy+\frac{1}{s^{n-1}}\int_{B_s(\eta)\cap Q_0}|Tu\circ\psi_i-Tu(\psi_i(\eta))|d\H^{n-1}\\
&\to 0\ (s\to +0).
\end{align*}
また $\xi\in V_i\cap\pOm$ と十分小さい $r\gt 0$ について $\psi_i^{-1}(B_r(\xi)\cap\Omega)\subset B_{Lr}(\psi_i^{-1}(\xi))\cap Q_+\subset (B_{Lr}(\psi_i^{-1}(\xi))\cap Q_0)\times(0,Lr)$ かつ
$|B_r(\xi)\cap\Omega|\ge L_i^{-1}|B_{L_i^{-1}r}(\psi_i^{-1}(\xi))\cap Q_+|\ge\frac{1}{2}\omega_nL_i^{-2n}r^n$ となることとArea不等式より $\H^{n-1}$ -a.e. $\xi\in V_i\cap\pOm$ について
$$\frac{1}{|B_r(\xi)\cap\Omega|}\int_{B_r(\xi)\cap\Omega}|u-Tu(\xi)|\le \frac{C}{r^n}\int_{(B_{Lr}(\psi_i^{-1}(\xi))\cap Q_0)\times(0,Lr)}|u\circ\psi_i-Tu(\xi)|\to 0\ (r\to+0).$$
これより(\ref{trace})が成り立ち、とくに
$$\lim_{r\to +0}\frac{1}{|B_r(\xi)\cap\Omega|}\int_{B_r(\xi)\cap\Omega}u=Tu(\xi)\ \H^{n-1}-\ae \xi\in S'.$$

$S'\rcpt S$ は任意であったから、これにより $T\colon W^{1,p}(\Omega)\to L^p_\loc(S,\H^{n-1})$ が定まる。
{{end|proof}}

{{theorem|type=def|label=deftrace}}
$T$ を $\Omega$ におけるトレース作用素という。

{{theorem|type=rmk}}
$T$ の表示から明らかに $u\in W^{1,p}(\Omega)\cap C(\Omega\cup S)$ については $Tu=u|_S$ である。この意味で $Tu$ は $u$ の「弱い意味の境界値」となっている。

$\Omega$ が $C^{0,1}$ 領域のときは $S=\pOm$ ととれる。とくに $\Omega$ が有界な場合は $\pOm$ はコンパクトであるから $S'=\pOm$ ととれ、このとき $T\colon W^{1,p}(\Omega)\to L^p_{\loc}(\pOm,\H^{n-1})=L^p(\pOm,\H^{n-1})$ は有界線型作用素である。

{{theorem|type=pro|name=合成関数と積|label=traceelm}}
$S\subset\pOm$ を $C^{0,1}$ 境界部分とし、$T$ を $\Omega$ におけるトレース作用素とする。次が成り立つ:
*(1) $u=(u_1,\ldots,u_m)\in W^{1,p}(\Omega)^m$ と $G\in C^1(\R^m)$ が $G(u)\in W^{1,p}(\Omega)$ をみたすとき $T(G(u))=G(Tu)$ on $S$。ここで $Tu\colon=(Tu_1,\ldots,Tu_m)\in L^p_{\loc}(S,\H^{n-1})^m$ である。

また $u\in W^{1,p}(\Omega)$ と $G\in W^{1,1}_{\loc}(\R)$ が{{ref|type=thm|label=chain2}}の仮定をみたすとき $T(G(u))=G(Tu)$ on $S$。
*(2) $u_1,\ldots,u_m\in W^{1,p}(\Omega)$ が $u_1\ldots u_m\in W^{1,p}(\Omega)$ をみたすとき $T(u_1\ldots u_m)=Tu_1\ldots Tu_m$ on $S$。

{{begin|proof}}
(1)を示す。(2)は(1)で $G(t_1,\ldots,t_m)=t_1\ldots t_m$ とすれば従う。

$G'\in L^\infty(\R^m)^m$ の場合を示す。一般の場合は{{ref|type=thm|label=chain1}}と{{ref|type=thm|label=chain2}}の証明で与えた近似により従う。

このとき $G\in C^{0,1}(\R^m)$ であるから $\H^{n-1}$-a.e.$\xi\in S$ について
$$\frac{1}{r^n}\int_{B_r(\xi)\cap\Omega}|G(u)-G(Tu(\xi))|\le\frac{[G]_{0,1}}{r^n}\int_{B_r(\xi)\cap\Omega}|u-Tu(\xi)|\to 0\ (r\to +0).$$
これより $T(G(u))=G(Tu)$ が従う。
{{end|proof}}

{{theorem|type=pro|name=変数変換|label=tracechavar}}
$D,\widetilde{D}\subset\R^n$ を開集合とし、$\psi\colon\widetilde{D}\to D$ は全単射で $\psi$ と $\psi^{-1}$ はともに $C^{0,1}$ 写像であるとする。$\widetilde{\Omega}\rcpt\widetilde{D}$ を開集合として $\widetilde{S}\subset\partial\widetilde{\Omega}$ を $C^{0,1}$ 境界部分とし、 $\Omega\colon=\psi(\widetilde{\Omega})$、$S\colon=\psi(\widetilde{S})$ とする。$T$、$\widetilde{T}$ をそれぞれ $\Omega$、$\widetilde{\Omega}$ におけるトレース作用素とする。 $u\in W^{1,p}(\Omega)$ について $\widetilde{T}(u\circ\psi)=Tu\circ\psi$ on $\widetilde{S}$。

{{begin|proof}}
$u\in C^\infty(\Omega\cup T)\cap W^{1,p}(\Omega)$ の場合は明らか。一般の場合は近似により従う。
{{end|proof}}

{{theorem|type=thm|name=トレースの核の特徴づけ|label=trace0}}
$S\subset\pOm$ を $C^{0,1}$ 境界部分とし、$T$ を $\Omega$ におけるトレース作用素とする。 $p\in[1,\infty)$、$u\in W^{1,p}(\Omega)$ について次は同値:
*(1) $Tu=0$ on $S$。
*(2) 任意の $\zeta\in C^\infty_c((\R^n\backslash\pOm)\cup S)$ について $\zeta u\in W^{1,p}_0(\Omega)$。

とくに $\Omega$ が $C^{0,1}$ 領域のとき
$$\left\{u\in W^{1,p}(\Omega)\colon Tu=0\ \on\pOm\right\}=W^{1,p}_0(\Omega).$$

{{begin|proof|display=''Proof.''|collapsible=1}}
(2) $\implies$ (1) を示す。$u\in C^\infty_c(\Omega)$ のときは $Tu=0$ であるから $u\in W^{1,p}_0(\Omega)$ についても $Tu=0$。

任意の $\zeta\in C^\infty_c((\R^n\backslash\pOm)\cup S)$ について $\zeta u\in W^{1,p}_0(\Omega)$ となるとする。$S'\rcpt S$ とし、$\zeta\in C^\infty_c((\R^n\backslash\pOm)\cup S)$ を $\zeta=1$ on $S'$ かつ $\supp\zeta\rcpt\Omega\cup S$ となるようにとると $\zeta u\in W^{1,p}_0(\Omega)$ より $\zeta Tu=T(\zeta u)=0$。これより $Tu=0$ on $S'$。$S'\rcpt S$ は任意より $Tu=0$ を得る。

(1) $\implies$ (2) を示す。 $u\in W^{1,p}(\Omega)$ が $Tu=0$ をみたすとし、$\zeta\in C^\infty_c((\R^n\backslash\pOm)\cup S)$ とする。$S'\colon=\{\xi\in S\colon \zeta(\xi)\neq 0\}$ とすると $S'\rcpt S$。

{{ref|type=thm|label=trace}}と同様に $U_\xi$、$\psi_\xi$ をとり、$V_\xi$ を定める。また $W_\xi\colon=\psi_\xi(\frac{1}{2}Q)$ とする。$\xi_1,\ldots ,\xi_N\in\pOm$ を $\displaystyle \pOm\subset\bigcup_{i=1}^N W_{\xi_i}$ となるようにとり、$U_{\xi_i}$、$\psi_{\xi_i}$、$V_{\xi_i}$、$W_{\xi_i}$ をそれぞれ $U_i$、$\psi_i$、$V_i$、$W_i$ と置きなおす。

{{ref|type=thm|label=trace}}の証明の(\ref{trace2})と同様の計算により $s\in(0,1)$ について
$$\int_{(-1,1)^{n-1}\times(0,s)}|u\circ\psi_i|\le s\int_{(-1,1)^{n-1}\times(0,s)}|D_n(u\circ\psi_i)|.$$
$u$ を $|u|^p$ にとりかえれば
\begin{align*}
\int_{(-1,1)^{n-1}\times(0,s)}|u\circ\psi_i|^p&\le s\int_{(-1,1)^{n-1}\times(0,s)}|u\circ\psi_i|^{p-1}|D_n(u\circ\psi_i)|\\
&\le s\left(\int_{(-1,1)^{n-1}\times(0,s)}|u\circ\psi_i|^p\right)^{1-p^{-1}}\left(\int_{(-1,1)^{n-1}\times(0,s)}|D_nu\circ\psi_i|^p\right)^{p^{-1}}.
\end{align*}
これより
$$\int_{(-1,1)^{n-1}\times(0,s)}|u\circ\psi_i|^p\le s^p\int_{(-1,1)^{n-1}\times(0,s)}|D_nu\circ\psi_i|^p.$$
$\chi\in C^\infty((0,\infty))$ を
$$0\le\chi\le 1,\chi(t)=0\ \jf t\in(0,1),\chi(t)=1\ \jf t\gt 2$$
となるようにとり、$\chi_s(t)\colon=\chi(s^{-1}t)\ (s\gt 1)$ とする。$v_{s,i}\in W^{1,1}(Q_+)$ を
$$v_{s,i}(y',y_n)\colon=\chi_s(y_n)u(\psi_i(y))$$
と定めると $\supp v_{s,i}\subset[-1,1]^{n-1}\times[s,1]$ で
$$\int_{Q_+}|u\circ\psi_i-v_{s,i}|^p\le\int_{Q_+}(1-\chi_s(y_n))^p|u\circ\psi_i|^p\le\int_{(-1,1)^{n-1}\times(0,s)}|u\circ\psi_i|^p$$
で、
\begin{align*}
\int_{Q_+}|D(u\circ\psi_i-v_{s,i})|^p&\le C\left(\int_{Q_+}(1-\chi_s(y_n))^p|D(u\circ\psi_i)(y)|^pdy+\int_{Q_+}s^{-p}\chi'(s^{-1}y_n)^p|u(\psi_i(y))|^pdy\right)\\
&\le C\left(\int_{(-1,1)^{n-1}\times(0,s)}|D(u\circ\psi_i)(y)|^pdy+s^{-p}\int_{(-1,1)^{n-1}\times(0,s)}|u\circ\psi_i|^p\right)\\
&\le C\int_{(-1,1)^{n-1}\times(0,s)}|D(u\circ\psi_i)(y)|^pdy.
\end{align*}
これより
$$\norm{u\circ\psi_i-v_{s,i}}_{1,p}\to 0\ (s\to +0).$$
$\R^n$ の開被覆 $\R^n\backslash\pOm,W_1,\ldots ,W_N$ に従属する $1$ の分割 $\varphi_0,\varphi_1,\ldots ,\varphi_N$ をとって
$$u_s\colon=\varphi_0\zeta u+\sum_{i=1}^N\varphi_i(\zeta v_{s,i}\circ\psi_i^{-1})$$
とすると
$$\supp u_s\subset\bigcup_{i=1}^N \psi_i([-1,1]^{n-1}\times[s,1])$$
となり $u_s\in C^\infty_c(\Omega)$。また $\norm{u_s-\zeta u}_{1,p}\to 0\ (s\to +0)$。これより $\zeta u\in W^{1,p}_0(\Omega)$。
{{end|proof}}

{{theorem|type=pro|name=トレースSobolev不等式|label=TSob}}
$S\subset\pOm$ を $C^{0,1}$ 境界部分とし、$T$ を $\Omega$ におけるトレース作用素とする。$p\in(1,n)$ とすると $T(W^{1,p}(\Omega))\subset L^\frac{(n-1)p}{n-p}_\loc(S,\H^{n-1})$ で $u\in W^{1,p}(\Omega)$ と相対開集合 $S'\rcpt S$ について
$$\norm{Tu}_{\frac{(n-1)p}{n-p};S'}\le C_{p,S'}\norm{u}_{1,p;\Omega}.$$

{{begin|proof|display=''Proof.''|collapsible=1}}
$q\in[1,\infty)$ について
$$\int_{S'}|Tu|^qd\H^{n-1}\le C\int_\Omega\left(|u|^q+|u|^{q-1}|Du|\right)\le C\norm{u}_{p'(q-1)}^{q-1}\left(\norm{u}_p+\norm{Du}_p\right).$$
ここで $q=\frac{(n-1)p}{n-p}$ とすると $p'(q-1)=p^*$ となり
$$\int_{S'}|Tu|^qd\H^{n-1}\le C \norm{u}_{p^*}^{q-1}\norm{u}_{1,p}\le C\norm{u}_{1,p}^q.$$
{{end|proof}}

{{theorem|type=rmk}}
$p=n$ のときは任意の $q\subset[1,\infty)$ について $\norm{u}_{q;S'}\le C_{q,S'}\norm{u}_{1,n;\Omega}$ が成り立つ。また $p\in(n,\infty]$ のときは $Tu\in C^{0,\alpha}(S)$ である。

{{theorem|type=pro|name=トレース作用素のコンパクト性|label=Tcpt}}
$S\subset\pOm$ を $C^{0,1}$ 境界部分とし、$p\in(1,\infty)$ とする。
$$\begin{cases}
r\in\left[1,\frac{(n-1)p}{n-p}\right)&\colon p\in[1,n)\\
r\in[1,\infty)&\colon p=n\\
r\in[1,\infty]&\colon p\in(n,\infty)
\end{cases}$$
とすると $\Omega$ におけるトレース作用素 $T$ は相対開集合 $S'\rcpt S$ について $W^{1,p}(\Omega)$ から $L^r(S',\H^{n-1})$ へのコンパクト作用素である。すなわち、$\{u_m\}_{m=1}^\infty\subset W^{1,p}(\Omega)$ が $\displaystyle\sup_m\norm{u_m}_{1,p;\Omega}\lt\infty$ をみたすとすると部分列 $\{u_{m_j}\}_{m=1}^\infty$ で $\{Tu_{m_j}\}_{m=1}^\infty$ が $L^r(S',\H^{n-1})$ において収束するものがとれる。

{{begin|proof|display=''Proof.''}}
$q\colon=p'(r-1)\ge 1$ の場合を示せば十分。$v\in W^{1,p}(\Omega)$ について $\int_{S'}|Tu|^rd\H^{n-1}\le C\norm{u}_q^{r-1}\left(\norm{u}_p+\norm{Du}_p\right)$ となり、また $q$ は{{ref|type=thm|label=cpt}}の仮定をみたす。これより $L^q(\Omega)$ において収束する部分列 $\{u_{m_j}\}_{m=1}^\infty$ をとれば
$$\limsup_{i,j\to\infty}\int_{S'}|Tu_{m_i}-Tu_{m_j}|^r\le C\limsup_{i,j\to\infty}\norm{u_{m_i}-u_{m_j}}_q^{r-1}\sup_m\norm{u_m}_{1,p}=0$$
となる。
{{end|proof}}

対照的に、$p=1$ の場合は $\varphi\in L^1(S,\H^{n-1})$ を拡張して $Tu=\varphi$ となる $u\in W^{1,1}(\Omega)$ を構成することができる。

{{theorem|type=lem|label=trlem1}}
$S$ を $C^{0,1}$ 境界部分とする。$\H^{n-1}$ -a.e. $\xi\in S$ について $\nu(\xi)\in\partial B_1(0)$ であって次をみたすものが一意的に存在する:任意の $\lambda\in(0,1)$ について十分小さい $r\gt 0$ をとると
$$\{x\in\R^n\colon |x-\xi|\lt r,(x-\xi)\cdot\nu\lt -\lambda|x|\}\subset\Omega,\{x\in\R^n\colon |x-\xi|\lt r,(x-\xi)\cdot\nu\gt \lambda|x|\}\cap\Omega=\emptyset.$$
とくに
$$\chi_{\xi+a(\Omega-\xi)}\to\chi_{\{x\in\R^n\colon (x-\xi)\cdot\nu\lt 0\}}\ (a\to+\infty)\ \ae\inn\R^n.$$

{{begin|proof|display=''Proof.''|collapsible=1}}
開集合 $U\subset\R^n$ と全単射 $\psi\colon Q\to U$ が存在し $U\cap\Omega=\psi(Q_+)$、$S=\psi(Q_0)$ かつ $\psi$ と $\psi^{-1}$ がともに $C^{0,1}$ 写像となるものが存在するものが存在するとしてよい。

$Q_0\subset\R^{n-1}$ と見做して $\psi'\colon=\psi|_{Q_0}$ とすると[[Hausdorff測度とarea_coarea_formula|area formula]]とarea不等式より $E\subset Q_0$ について $\H^{n-1}(E)\le C\H^{n-1}\psi(E)\le C\int_E J\psi'$ であるから $J\psi'\gt 0\ \H^{n-1}$ -a.e. on $ Q_0$ であり、$\H^{n-1}$ -a.e. $y'\in Q_0$ について $D_1\psi(y'),\ldots ,D_{n-1}\psi(y')$ は一次独立である。

$y_0\in Q_0$ を $\psi'$ が微分可能で $D_1\psi(y_0),\ldots ,D_{n-1}\psi(y_0)$ が一次独立となりかつ $\nu_{j,1}\circ\psi'J\psi',\ldots ,\nu_{j,n}\circ\psi'J\psi'$ のLebesgue点となるような点とし、$\xi\colon=\psi(y_0)\in U\cap\pOm$ とする。$\H^{n-1}$ -a.e. $y_0\in Q_0$ はこれらをみたす。

また $\pi\colon=\xi+\operatorname{span}\{D_1\psi(y_0),\ldots ,D_{n-1}\psi(y_0)\}$ とする。また $\mu$ を平面 $\pi$ の単位法線ベクトルの一つとし、半空間 $\pi_+$、$\pi_-$ を $\pi_+\colon=\{x\in\R^n,\mu\cdot(x-\xi)\gt 0\}$、$\pi_-\colon=\{x\in\R^n,\mu\cdot(x-\xi)\lt 0\}$ と定める。

$\eta\in U\cap\pOm$ について
$$\mu\cdot(\eta-\xi)=\mu\cdot D\psi'(\psi^{-1}(\eta))(\psi^{-1}(\eta)-\psi^{-1}(\xi))+o(|\psi^{-1}(\eta)-\psi^{-1}(\xi)|)$$
よって $\lambda\in(0,1)$ について $C^+_\lambda\colon=\{x\in\R^n\colon\mu\cdot(x-\xi)\gt \lambda|x-\xi|\}$、$C^-_\lambda\colon=\{x\in\R^n\colon\mu\cdot(x-\xi)\lt-\lambda|x-\xi|\}$ とすると十分小さい $r\gt 0$ について
$$C^+_\lambda\cap B_r(\xi)\cap\pOm,C^-_\lambda\cap B_r(\xi)\cap\pOm=\emptyset$$
となり、
$$C^+_\lambda\cap B_r(\xi),C^-_\lambda\cap B_r(\xi)\subset U\backslash\pOm.$$
とくに $r_0\gt 0$ を十分小さくとると線分 $s_+\colon=\{\xi+t\mu\colon t\in(0,r_0)\}$ と $s_-\colon=\{\xi-t\mu\colon t\in(0,r_0)\}$ はともに $U\backslash\pOm$ に含まれる。$U\backslash\pOm=\psi(2Q\backslash 2Q_0)$ は $U\cap\Omega=\psi(2Q_+)$ と $U\backslash\Omega=\psi(2Q_-)$ の2つの連結成分をもち、$s_+$、$s_-$ はいずれもそのいずれか一方に含まれる。また十分小さい $r\gt 0$ について $C^+_\lambda\cap B_r(\xi)$ と $C^-_\lambda\cap B_r(\xi)$ も $U\backslash\pOm$ に含まれるので $U\cap\Omega$ と $U\backslash\Omega$ のいずれか一方に含まれ、また $C^+_\lambda\cap B_r(\xi)\cap s_+\neq\emptyset$、$C^-_\lambda\cap B_r(\xi)\cap s_-\neq\emptyset$ であるから
$$C^+_\lambda\cap B_r(\xi)\subset U\cap\Omega\iff s_+\subset U\cap\Omega,C^-_\lambda\cap B_r(\xi)\subset U\cap\Omega\iff s_-\subset U\cap\Omega.$$

$I\colon=\{\sigma\in\{+,-\}\colon s_i\subset U\cap\Omega\}$ とする。$\lambda\in(0,1)$ とし、$r\gt 0$ を十分小さくとって $C^+_\lambda\cap B_r(\xi)\subset U\backslash\pOm$ が成り立つようにする。任意の $x\in C^+_\lambda$ について、$a\gt 0$ を十分大きくとれば
$$\xi+a^{-1}(x-\xi)\in C^+_\lambda\cap B_r(\xi)$$
となり
$$\xi+a^{-1}(x-\xi)\in U\cap\Omega\iff +\in I.$$
これより
$$\chi_{\xi+a(U\cap\Omega-\xi)}(x)=\chi_{U\cap\Omega}(\xi+a^{-1}(x-\xi))\to\begin{cases}
1&\colon +\in I\\
0&\colon +\notin I
\end{cases}\ (a\to+\infty).$$
$\displaystyle\pi_+=\bigcup_{\lambda\in(0,1)} C^+_\lambda$ であるからこれは任意の $x\in\pi_+$ について成り立つ。

同様に任意の $x\in\pi_-$ について
$$\chi_{\xi+a(U\cap\Omega-\xi)}(x)\to\begin{cases}
1&\colon -\in I\\
0&\colon -\notin I
\end{cases}\ (a\to+\infty).$$
従って
$$\chi_{\xi+a(U\cap\Omega-\xi)}\to\chi_{\bigcup_{\sigma\in I}\pi_\sigma}\ (a\to+\infty).$$

また $\xi$ の開近傍 $W\subset U$ をとって $L\colon=\max\{L(\psi|_W),L(\psi^{-1}|_{\psi(W)})\}$ とすると十分小さい $r\gt 0$ について $|B_r(\xi)\cap\Omega|\ge\frac{1}{2}L^{-2n}\omega_nr^n$。$\lambda\in(0,1)$ を十分小さくとると $r\gt 0$ について $|C^+_\lambda\cap B_r(\xi)|,|C^+_\lambda\cap B_r(\xi)|\gt\frac{1}{2}\left(1-\frac{1}{2}L^{-2n}\right)\omega_nr^n$ となり、十分小さい $r\gt 0$ について
$$|C^+_\lambda\cap B_r(\xi)|+|C^+_\lambda\cap B_r(\xi)|+|B_r(\xi)\cap\Omega|\gt\omega_nr^n.$$
よって $C^+_\lambda\cap B_r(\xi)\cap\Omega\neq\emptyset$ または $C^-_\lambda\cap B_r(\xi)\cap\Omega\neq\emptyset$ が成り立ち、$I\neq\emptyset$。

$B_r(\xi)\cap\Omega$ を $B_r(\xi)\backslash\Omega$ にとりかえると同様に $I\neq\{+,-\}$ も示される。これより $I=\{+\}$ または $I=\{-\}$。

$$\bigcup_{i\in I}\pi_i=\begin{cases}
\pi_+=\{x\in\R^n\colon\mu\cdot(x-\xi)\gt 0\}&\colon I=\{+\}\\
\pi_-=\{x\in\R^n\colon\mu\cdot(x-\xi)\lt 0\}&\colon I=\{-\}
\end{cases}$$
であるから
$$\nu=\begin{cases}
-\mu&\colon I=\{+\}\\
\mu&\colon I=\{-\}
\end{cases}$$
とすればこの $\nu=\nu(\xi)$ は条件をみたす。
{{end|proof}}

{{theorem|type=def|name=外向き単位法線ベクトル|label=outnorm}}
$\nu(\xi)$ を $\xi$ における $S$ の(測度論的)外向き単位法線ベクトルという。

{{theorem|type=rmk}}
$\Omega$ がLipschitz領域のときは(\ref{Lipdom})をみたす $V_\xi$、$h_\xi$、$O_\xi$、$\gamma_\xi$ をとって $\psi$ を $\psi(y',y_n)=\xi+O_\xi(y',y_n+\gamma_\xi(y'))$ (を適当に制限しスケール変換して $Q\to\R^n$ としたもの)ととって証明中に得られた $\nu(\xi)$ の特徴づけを用いると $\H^{n-1}$ -a.e. $y'\in V_\xi$ について
$$\nu_i(\xi+O_\xi(y',\gamma_\xi(y'))=O_\xi\frac{(D\gamma_\xi(y'),-1)}{(|D\gamma_\xi(y')|^2+1)^\frac{1}{2}}$$
なる表示を得る。

とくに $\Omega$ がなめらかな領域の場合、$\nu(\xi)$ は幾何学的な外向き単位法線ベクトル([[ベクトル解析5：多様体の向き]]の定義22.1)と一致する。

{{ref|type=lem|label=trlem1}}より $\H^{n-1}$ -a.e. $\xi\in S$ について
$$r^{-n}|B_r(\xi)\cap\Omega|=|B_1(\xi)\cap(\xi+r^{-1}(\Omega-\xi))|\to|\{x\in B_1(\xi)\colon x\cdot\nu(\xi)\lt 0\}|=\frac{1}{2}\omega_n$$
が成り立つ。

{{theorem|type=lem|label=trlem2}}
$S\subset\Omega$ を $C^{0,1}$ 境界部分として $\nu$ を $S$ の外向き単位法線ベクトルとする。$F_i\rcpt S\ (i\in\Zp)$ で次をみたすものが存在する:
* $$\H^{n-1}\left(S\backslash\bigcup_{i=1}^\infty F_i\right)=0.$$
* $j_i\in\{1,\ldots,n\}$ と $\sigma_i\in\{1,-1\}$ と $F_i\rcpt U_i$ なる開集合 $U_i\subset\R^n$ と $\gamma_i\in C^{0,1}(\R^{n-1})$ が存在して
$$F_i\subset\{(x_1,\ldots,x_n)\in\R^n\colon\sigma_i x_{j_i}=\gamma(x_1,\ldots,x_{j_i-i},x_{j_i+1},\ldots,x_n)\}$$
かつ
$$\{(x_1,\ldots,x_n)\in U_i\colon\sigma_i x_{j_i}\gt\gamma(x_1,\ldots,x_{j_i-i},x_{j_i+1},\ldots,x_n)\}\subset\Omega.$$

{{begin|proof}}
(1)の $\nu=(\nu_1,\ldots,\nu_n)$ をとる。$\xi\in S$ を $\nu(\xi)$ が定義される点とすると $j\in\{1,\ldots,n\}$ であって $|\nu_j(\xi)|\ge n^{-\frac{1}{2}}$ となるものが存在するので $\lambda\colon=(2n)^{-\frac{1}{2}}$ として
$$D_{j,+}\colon=\left\{\xi\in S\colon \nu_j(\xi)\lt -\lambda \right\},D_{j,-}\colon=\left\{\xi\in S\colon \nu_j(\xi)\gt \lambda\right\}$$
とすると
$$\H^{n-1}\left(S\backslash\left(\bigcup_{j=1}^n D_{j,+}\cup\bigcup_{j=1}^n D_{j,-}\right)\right)=0.$$
$\xi\in D_{n,+}$ と $x\in\R^n$ について、$x-\xi=(y',y_n)\in\R^{n-1}\times\R$ と表すと
$$(\xi-x)\cdot\nu(\xi)\le\nu_n(\xi)y_n+(1-\nu_n(\xi)^2)^\frac{1}{2}|y'|.$$
$\nu_n(\xi)\lt -\lambda$、$(1-\nu_n(\xi)^2)^\frac{1}{2}\lt(1-\lambda^2)^\frac{1}{2}=\colon\lambda'$ に注意すると $y_n\gt\lambda'|x-\xi|$ なる $x$ について
$$(\xi-x)\cdot\nu(\xi)\le\nu_n(\xi)\lambda'+(1-\nu_n(\xi)^2)^\frac{1}{2}\lambda\lt 0.$$
$\nu$ のとりかたより $r\gt 0$ を十分小さくとれば
$$\xi+rC\subset\Omega.$$
ここで
$$C\colon=\{y=(y',y_n)\in\R^{n-1}\times\R\colon |y|\lt 1,y_n\gt\lambda'|y'|\}.$$
これより $E_{n,+,k}\colon=\{\xi\in D_{n,+}\colon \xi+2^{-k}C\subset\Omega\}$ とすると $\displaystyle \bigcup_{k=1}^\infty E_{n,+,k}=D_{n,+}$。

$k\in\Zp$ に対し、$F_{n,+,k,l}\subset E_{n,+,k}$ を $F_{n,+,k,l}\rcpt S$、$\diam F_{n,+,k,l}\lt 2^{-(k+1)}$ かつ $\displaystyle\bigcup_{l=1}^\infty F_{n,+,k,l}=E_{n,+,k}$ となるようにとり、$x'\in\R^{n-1}$ について
$$\gamma_{n,+,k,l}(x')\colon=\inf_{(\xi',\xi_n)\in F_{n,+,k,l}}(\xi_n+\lambda'|x'-\xi'|)$$
と定める。

$\gamma_{n,+,k,l}\in C^{0,1}(\R^{n-1})$ を示す。$x',y'\in\R^{n-1}$、$\varepsilon\gt 0$ として $\xi_n+\lambda'|x'-\xi'|\lt\gamma_{n,+,k,l}(x')+\varepsilon$ となる $(\xi',\xi_n)\in F_{n,+,k,l}$ をとると
$$\gamma_{n,+,k,l}(y')\le\xi_n+\lambda'|y'-\xi'|\le\xi_n+\lambda'|x'-\xi'|+\lambda'|x'-y'|\lt\gamma_{n,+,k,l}(x')+\lambda'|x'-y'|+\varepsilon.$$
これより $\gamma_{n,+,k,l}(y')\le\gamma_{n,+,k,l}(x')+\lambda|x'-y'|$。同様に $\gamma_{n,+,k,l}(x')\le\gamma_{n,+,k,l}(y')+\lambda|x'-y'|$ も成り立ち、$[\gamma]_{0,1}\le\lambda'$ が従う。

$\xi=(\xi',\xi_n)\in F_{n,+,k,l}$ とすると $\gamma_{n,+,k,l}(\xi')=\xi_n$ となることを示す。$(x',x_n)\in\xi+2^{-k}C$ とすると $x_n-\xi_n\gt\lambda'|x'-\xi'|$ であるから
$$\gamma_{n,+,k,l}(x')\le\xi_n+\lambda'|x'-\xi'|\lt x_n.$$
$\xi\in\overline{\xi+2^{-k}C}$ であるから $\gamma_{n,+,k,l}(\xi)\le \xi_n$。

一方 $\gamma_{n,+,k,l}(\xi)\lt\xi_n$ であったとすると $\eta=(\eta',\eta_n)\in F_{n,+,k,l}$ であって $\eta_n+\lambda'|\eta'-\xi'|\lt\xi_n$ となるものが存在する。$\xi_n-\eta_n\gt\lambda'|\eta'-\xi'|$ で、$\diam F_{n,+,k,l}\lt 2^{-(k+1)}$ より $|\xi-\eta|\lt 2^{-(k+1)}$ となるので $\xi\in\eta+2^{-k}C$。$\eta\in F_{n,+,k,l}\subset E_{n,+,k}$ より $\eta+2^{-k}C\subset\Omega$ であるから $\xi\in\Omega$ であるが、これは $F_{n,+,k,l}\subset E_{n,+,k}\subset\pOm$ に矛盾。これより $\gamma_{n,+,k,l}(\xi')=\xi_n$。

$$U_{n,+,k,l}\colon=\{x\in\R^n\colon \dist(x,F_{n,+,k,l})\lt 2^{-(k+1)}\}$$
とする。$x=(x',x_n)\in U_{n,+,k,l}$ が $x_n\gt\gamma_{n,+,k,l}(x')$ をみたすとすると $\xi=(\xi',x_n)\in F_{n,+,k,l}$ であって $\xi_n+\lambda'|x'-\xi_n|\lt x_n$ をみたすものが存在する。$x_n-\xi_n\gt\lambda'|x'-x_n|$ で、$\dist(x,F_{n,+,k,l})\lt 2^{-(k+1)}$ と $\diam F_{n,+,k,l}\lt 2^{-(k+1)}$ より $F_{n,+,k,l}\subset B_{2^{-k}}(x)$ であるから $|x-\xi|\lt 2^{-k}$。これより $x\in\xi+2^{-k}C\subset\Omega$。

同様に $j\in\{1,\ldots,n\}$ と $\sigma\in\{+,-\}$ について $F_{j,\sigma,k,l}\rcpt S$ と $\gamma_{j,\sigma,k,l}\in C^{0,1}(\R^{n-1})$ と $F_{j,\sigma,k,l}\rcpt U_{j,\sigma,k,l}$ なる開集合 $U_{j,\sigma,k,l}$ を
$$\bigcup_{k,l=1}^\infty F_{j,\sigma,k,l}=D_{j,\sigma},$$
$$F_{j,\sigma,k,l}\subset\{(x_1,\ldots,x_n)\in\R^n\colon \sigma_jx_j=\gamma_{j,\sigma,k,l}(x_1,\ldots,x_{j-1},x_{j+1},\ldots,x_n)\}$$
かつ
$$\{(x_1,\ldots,x_n)\in U_{j,\sigma,k,l}\colon \sigma_jx_j\gt\gamma_{j,\sigma,k,l}(x_1,\ldots,x_{j-1},x_{j+1},\ldots,x_n)\}\subset\Omega$$
となるようにとれる。

$\{(F_{j,\sigma,k,l},\gamma_{j,\sigma,k,l},U_{j,\sigma,k,l})\}_{j,\sigma,k,l}$ を $\{(F_i,\gamma_i,U_i)\}_i$ とおき直せば主張が従う。
{{end|proof}}

{{theorem|type=thm|name=境界上の関数の拡張|label=Text}}
$S\subset\pOm$ を $C^{0,1}$ 境界部分とし、開集合 $V\subset\R^n$ は $S\cap V\neq\emptyset$ をみたすとする。$\varphi\in L^1(S\cap V,\H^{n-1})$ とし、$\varepsilon\gt 0$ とすると $u\in W^{1,1}(\Omega)$ で次をみたすものが存在する:
$$Tu=\varphi\ \on S\cap V,u=0\ \on \Omega\backslash V,\norm{u}_{1;\Omega}\lt\varepsilon,\int_\Omega|Du|\lt\int_\pOm|\varphi|d\H^{n-1}+\varepsilon.$$

{{begin|proof|display=''Proof.''|collapsible=1}}
$\Omega,S$ を $V\cap\Omega,V\cap S$ にとりかえた{{ref|type=lem|label=trlem2}}の $F_i,j_i,\sigma_i,U_i,\gamma_i$ をとる。$F_i$ を $\displaystyle \left(\overline{F_i}\backslash\bigcup_{i'=1}^i\overline{F_{i'}}\right)\cap S$ にとりかえることにより $F_i$ はBorel集合で $i\neq i'\implies F_i\cap F_{i'}$ となるとしてよい。また $F_i\rcpt V\cap S$ より $U_i$ を $U_i\cap V$ にとりかえて $U_i\subset V$ としてよい。

$j_i=n$、$\sigma=1$ となる $i$ をとってfixする。(それ以外の $i$ についても同様である。) $F_i\rcpt U_i$、$F_i\subset\{(x',\gamma_i(x'))\colon x'\in\R^{n-1}\}$ より開集合 $W\subset\R^{n-1}$ と $h\gt 0$ が存在して
$$U_i'\colon=\{(x',x_n)\in W\times\R\colon |x_n-\gamma_i(x')|\lt h\}$$
は $F_i\rcpt U_i'\rcpt U_i$ をみたす。また
$$U_{i,+}'\colon=\{(x',x_n)\in W\times\R\colon 0\lt x_n-\gamma_i(x')\lt h\}\subset\Omega.$$

$\varphi_i\in L^1(\R^{n-1})$ を $\varphi_i(x')\colon=(\varphi\chi_{F_i})(x',\gamma_i(x'))$ により定める。$F_i\rcpt U_i'$ より $\supp\varphi_i\subset W$。

$\eta'$ を $\R^{n-1}$ におけるmollifierとし、$r_k\gt 0\ (k\in\Zp)$ を単調減少かつ $r_1\lt h$、$\supp(\eta'_{r_k}*\varphi_i)\subset U_i'$ かつ $\norm{\eta'_{r_k}*\varphi_i-\varphi_i}\lt 2^{-k}$ となるようにとる。また $k\in\Zz$ について $\displaystyle t_k\colon=\sum_{l=k+1}^\infty 2^{-l}r_l$ とする。

$k\in\Zp$ について $ w_k\colon[0,\infty)\to\R$ を
$$ w_k(t)\colon=\begin{cases}
0&\colon t\in[0,t_{k+1})\\
2^{-(k+1)}r_{k+1}(t-t_{k+1})&\colon t\in[t_{k+1},t_k)\\
-2^{-k}r_k(t_{k-1}-t)&\colon t\in[t_k,t_{k-1})\\
0&\colon t\ge t_{k-1}
\end{cases}$$
と定める。$k_0\in\Zp$ とし、
$$v_i(x',x_n)\colon=\sum_{k=k_0}^\infty w_k(x_n)(\eta'_{r_k}*\varphi_i)(x')\ ((x',x_n)\in\R^{n-1}\times(0,\infty))$$
とする。$\supp w_k=[t_{k+1},t_{k-1}]$ より $\{\supp w_k\}_k$ は局所有限であるから $v_i$ はwell-definedで $v_i\in C^\infty(\Rnp)$。また $v_i=0$ on $\R^n\backslash(W\times(0,t_{k_0}))$。また
\begin{align*}
\int_{\R^n_+}|v_i|&=\sum_{k=k_0}^\infty\int_0^\infty w_k\left(\int_{\R^{n-1}}|\eta'_{r_k}*\varphi_i|\right)\\
&\le\sum_{k=k_0}^\infty 2^{-1}(2^{-k}r_k+2^{-(k+1)}r_{k+1})\int_{\R^{n-1}}|\varphi_i|\\
&\le C2^{-k_0}t_{k_0}\int_{\R^{n-1}}|\varphi_i|,\\
\int_{\R^n_+}|D_jv_i|&=\sum_{k=k_0}^\infty\int_0^\infty w_k\left(\int_{\R^{n-1}}|D_j(\eta'_{r_k}*\varphi_i)|\right)\\
&\le C\sum_{k=k_0}^\infty 2^{-1}(2^{-k}r_k+2^{-k+1}r_{k+1})r_k^{-1}\int_{\R^{n-1}}|\varphi_i|\\
&\le C2^{k_0}\int_{\R^{n-1}}|\varphi_i|\ (j=1,\ldots,n-1),\\
\int_{\R^{n-1}\times(0,t_{k_0})}|D_nv_i|&=\sum_{k=k_0}^\infty\int_{t_{k+1}}^{t_k}\left(2^{k+1}r_{k+1}\int_{\R^{n-1}}|\eta'_{r_k}*\varphi_i-\eta'_{r_{k+1}}*\varphi_i|\right)\\
&\le\sum_{k=k_0}^\infty\left(\int_{\R^{n-1}}|\eta'_{r_k}*\varphi_i-\varphi_i|+\int_{\R^{n-1}}|\eta'_{r_{k+1}}*\varphi_i-\varphi_i|\right)\\
&\le\sum_{k=k_0}^\infty (2^{-k}+2^{-(k+1)})=C2^{-k_0},\\
\int_{\R^{n-1}\times(t_{k_0},\infty)}|D_nv_i-2^{-k_0}r_k\chi_{\R^{n-1}\times(t_{k_0},t_{k_0-1})}\varphi_i|&=\int_{t_{k_0}}^{t_{k_0-1}}2^{k_0}r_k^{-1}\int_{\R^{n-1}}|\eta'_{r_{k_0}}*\varphi_i-\varphi_i|\\
&\le 2^{-k_0}.
\end{align*}
これより $v_i\in W^{1,1}(\Rnp)$。

$T_0$ を $\Rnp$ におけるトレース作用素とする。$l\ge k_0$ について $v_i(\cdot,2^{-l})=\eta'_{r_l}*\varphi_i$ であるから $T_0(v_i(\cdot-2^{-l}e_n))=\eta'_{r_l}*\varphi_i$ であり
$$\norm{T_0(v_i(\cdot-2^{-l}e_n))-\varphi'}_{1,\pRnp}\to 0\ (l\to\infty).$$
一方 $L^1$ ノルムの平行移動連続性より
$$\norm{v_i(\cdot-2^{-l}e_n)-v_i}_{1,1}\to 0\ (l\to\infty).$$
これより
$$T_0v_i=\varphi_i.$$

$\psi_i\colon\R^n\to\R^n$ を $\psi_i(x',x_n)\colon=(x',x_n-\gamma_i(x'))$ により定め、$u_i\colon=v_i\circ\psi_i\in W^{1,1}(\psi_i^{-1}(\Rnp))$ とする。$T_i$ を $\psi_i^{-1}(\Rnp)=\{(x',x_n)\colon x_n\gt\gamma_i(x')\}$ におけるトレース作用素とすると
$$T_iu_i=(T_0v_i)\circ\psi_i=\varphi_i\circ\psi_i=\varphi\chi_{F_i}.$$
とくに $T_iu_i=0$ on $\partial\psi_i^{-1}(\Rnp)\backslash\overline{F_i}$ であるから任意の $\zeta\in C^\infty_c(\R^n\backslash\overline{F_i})$ について $\zeta u_i\in W^{1,1}_0(\psi^{-1}(\Rnp))$ となり
$$\int_{\psi^{-1}(\Rnp)}(D_j\zeta u_i+\zeta D_ju_i)=\int_{\psi^{-1}(\Rnp)}D_j(\zeta u_i)=0.$$
これより $u_i=0$ on $\R^n\backslash\psi^{-1}(\Rnp)$ として $u_i$ を $R^n$ 上に拡張すると $u_i\in W^{1,1}(\R^n\backslash\overline{F_i})$ となり、とくに $u_i\in W^{1,1}(\Omega)$。

また $\displaystyle t_{k_0}\lt\sum_{k=k_0}^\infty 2^{-k}h=2^{-k_0}h\le h$ に注意すると $v_i=0$ on $\Rnp\backslash(W\times(0,h))$ で、$\psi^{-1}(W\times(0,h))=U_{i,+}'$ であるから $u_i=0$ on $\Omega\backslash U_{i,+}'$。とくに $u_i=0$ on $\Omega\backslash V$。

$Tu_i=\varphi\chi_{F_i}$ $\H^{n-1}$ -a.e. on $S$ を示す。$\xi\in S\backslash\overline{U_{i,+}'}$ については $\xi$ の近傍において $u_i=0$ となるので $Tu_i(\xi)=0$。

$\xi=(\xi',\xi_n)\in S\cap\overline{U_{i,+}'}$ とすると $U_i'\rcpt U_i$ より $\xi\in U_i$ で $\xi\notin\Omega$ であるから $U_i$ のとりかたより $\xi_n=\gamma_i(\xi')$ となり $\xi\in\partial\psi_i^{-1}(\Rnp)$。$r\gt 0$ を十分小さくとると $B_r(\xi)\cap\psi^{-1}(\Rnp)\subset\{x\in U_i\colon 0\lt\xi_n-\gamma_i(\xi')\lt h\}\subset\Omega$。$u_i=0$ on $\R^n\backslash\psi_i^{-1}(\Rnp)$ とあわせて
$$\int_{B_r(\xi)\cap\Omega}u_i=\int_{B_r(\xi)\cap\Omega\cap\psi_i^{-1}(\Rnp)}u_i=\int_{B_r(\xi)\cap\psi^{-1}(\Rnp)}u_i.$$
$\H^{n-1}$ -a.e. $\xi\in S\cap\psi_i^{-1}(\Rnp)$ について
$$\lim_{r\to +0}r^{-n}|B_r(\xi)\cap\Omega|=\lim_{r\to +0}r^{-n}|B_r(\xi)\cap\psi_i^{-1}(\Rnp)|=\frac{1}{2}\omega_n$$
となることから $\H^{n-1}$ -a.e. $\xi\in S\cap\overline{U_{i,+}'}$ について
$$Tu_i=\lim_{r\to+0}\frac{1}{B_r(\xi)\cap\Omega}\int_{B_r(\xi)\cap\Omega}u_i=\lim_{r\to+0}\frac{1}{B_r(\xi)\cap\psi_i^{-1}(\Rnp)}\int_{B_r(\xi)\cap\psi_i^{-1}(\Rnp)}u_i=T_iu_i=\varphi\chi_{F_i}.$$
$F_i\subset \overline{U_{i,+}'}$ とあわせて
$$Tu_i=\varphi\chi_{F_i}\ \H^{n-1}-\ae\on\ S.$$
また
$$\int_\Omega|u_i|\le C\int_{\R^n_+}|v_i|\le C2^{-k_0}t_{k_0}\le C4^{-k_0}h.$$
一方 $x=(x',x_n)\in\Omega\cap\psi_i^{-1}(\Rnp)$ とすると $j=1,\ldots,n-1$ については $D_ju_i(x)=(D_jv_i)(\psi_i(x))-D_nu_i(\psi_i(x))D_j\gamma_i(x')$ で、$D_nu_i(x)=D_nv_i(\psi_i(x))$ であるから
$$\int_{\Omega\cap\psi_i^{-1}(\Rnp)}|Du_i(x)-(-D\gamma_i(x'),1)D_nv_i(\psi_i(x))|dx=\int_{\Omega\cap\psi_i^{-1}(\Rnp)}|D'u_i\circ\psi_i|\le C\int_{\R^n_+}|D'v_i|\le C2^{-k_0}$$
となり
$$\int_{\Omega\cap\psi_i^{-1}(\Rnp)}|Du_i|\le\int_{\Omega\cap\psi_i^{-1}(\Rnp)}|D_nv_i(\psi_i(x))|(1+|D\gamma_i(x')|^2)^\frac{1}{2}dx+C2^{-k_0}.$$
$$\int_{\Omega\cap\psi_i^{-1}(\Rnp)}|D_nv_i(\psi_i(x))-2^{-k_0}r_k\chi_{\psi_i^{-1}(\R^{n-1}\times(t_{k_0},t_{k_0-1}))}(\chi_{F_i}\varphi)(x)|(1+|D\gamma_i(x')|^2)^\frac{1}{2}dx\le C\int_{\R^{n-1}\times(t_{k_0},\infty)}|D_nv_i-2^{-k_0}r_k\chi_{\R^{n-1}\times(t_{k_0},t_{k_0-1})}\varphi_i|\le C2^{-k_0}$$
で、$\psi_i^{-1}(\R^{n-1}\times(t_{k_0},t_{k_0-1}))\subset U_{i,+}'\subset\Omega$ に注意すると
\begin{align*}
\int_{\Omega\cap\psi_i^{-1}(\Rnp)}|2^{-k_0}r_k\chi_{\psi_i^{-1}(\R^{n-1}\times(t_{k_0},t_{k_0-1}))}(\chi_{F_i}\varphi)(x')|(1+|D\gamma_i(x')|^2)^\frac{1}{2}dx&=2^{-k_0}r_k\int_{\psi_i^{-1}(\R^{n-1}\times(t_{k_0},t_{k_0-1}))}|(\chi_{F_i}\varphi)(x')|(1+|D\gamma_i(x')|^2)^\frac{1}{2}dx\\
&=2^{-k_0}r_k\int_{\R^{n-1}\times(t_{k_0},t_{k_0-1})}|\psi_i(x')|(1+|D\gamma_i(x')|^2)^\frac{1}{2}dx\\
&=\int_{\partial\R^{n-1}}|\varphi_i(x')||(1+|D\gamma_i(x')|^2)^\frac{1}{2}d\H^{n-1}(x')\\
&=\int_{\partial\psi_i^{-1}(\Rnp)}\chi_{F_i}|\varphi| d\H^{n-1}\\
&=\int_{F_i}|\varphi| d\H^{n-1}
\end{align*}
となるので
$$\int_{\Omega\cap\psi_i^{-1}(\Rnp)}|D_nv_i(\psi_i(x))|(1+|D\gamma_i(x')|^2)^\frac{1}{2}dx\le\int_{F_i}|\varphi| d\H^{n-1}+C2^{-k_0}$$
となり $u_i=0$ on $\Omega\backslash\psi_i^{-1}(\Rnp)$ より $Du_i=0$ on $\Omega\backslash\psi_i^{-1}(\Rnp)$ となることとあわせて
$$\int_\Omega|Du_i|\le\int_{F_i}|\varphi| d\H^{n-1}+C2^{-k_0}.$$
従って $k_0$ を十分大きくとれば
$$\int_\Omega|u_i|\lt 2^{-i}\varepsilon,\int_\Omega|Du_i|\le\int_{F_i}|\varphi| d\H^{n-1}+2^{-i}\varepsilon.$$
最後に
$$u\colon=\sum_{i=1}^\infty u_i$$
とすると
$$\sum_{i=1}^\infty\int_\Omega|u_i|\lt \sum_{i=1}^\infty 2^{-i}\varepsilon=\varepsilon,\sum_{i=1}^\infty\int_\Omega|Du_i|\le\sum_{i=1}^\infty\left(\int_{F_i}|\varphi| d\H^{n-1}+2^{-i}\varepsilon\right)=\int_S|\varphi|d\H^{n-1}+\varepsilon$$
となることからこの無限和は $W^{1,1}(\Omega)$ において収束し
$$\int_\Omega|u|\lt\varepsilon,\int_\Omega|Du|\lt\int_S|\varphi|d\H^{n-1}+\varepsilon$$
が成り立つ。各 $u_i$ は $u_i=0$ on $\Omega\backslash V$ をみたすので $u=0$ on $\Omega\backslash V$。また
$$Tu=\sum_{i=1}^\infty Tu_i=\sum_{i=1}^\infty\chi_{F_i}\varphi=\varphi\ \on S\cap V.$$
{{end|proof}}

{{theorem|type=rmk}}
トレースSobolev不等式により、$p\in(1,\infty)$ の場合は一般には $\varphi\in L^p(S,\H^{n-1})$ を拡張して $u\in W^{1,p}(\Omega)$、$Tu=\varphi$ on $S$ とすることはできない。また、トレース作用素 $T$ は $W^{1,1}(\Omega)$ から $L^1(S',\H^{n-1})$ へのコンパクト作用素にはならない。

最後にトレース作用素の応用として次の $C^{0,1}$ 領域においても成り立つGaussの発散定理を示す。

{{theorem|type=thm|name=Gaussの発散定理|label=divthm}}
$S\subset\pOm$ を $C^{0,1}$ 境界部分とする。$\nu=(\nu_1,\ldots,\nu_n)$ を $S$ の外向き単位法線ベクトルとすると $u\in W^{1,1}_c(\Omega\cup S)$ について
$$\int_\Omega D_iu=\int_S Tu\nu_id\H^{n-1}.$$
とくに $\Omega$ が有界な $C^{0,1}$ 領域のとき任意の $u\in W^{1,1}(\Omega)$ について
$$\int_\Omega D_iu=\int_\pOm Tu\nu_id\H^{n-1}.$$

{{begin|proof}}
$\zeta\in C^\infty_c(\R^n\backslash(\pOm\backslash S))$ を任意にとる。$\varepsilon\gt 0$ とすると $\varphi\in L^1(S,\H^{n-1})$ について{{ref|type=thm|label=Text}}より $u\in W^{1,1}(\Omega)$ を $Tu=\varphi$ on $S$ となるようにとれる。また $v\in W^{1,1}(\Omega)$ が $Tv=0$ on $S$ をみたすとすると{{ref|type=thm|label=trace0}}より $\zeta v\in W^{1,1}_0(\Omega)$ となるので $i=1,\ldots,n$ について $\int_\Omega D_i(\zeta v)=0$。これより
$$\langle\tau_i,\varphi\rangle\colon=\int_\Omega D_i(\zeta u)$$
は $u$ の選択に依存せず、$\tau_i$ はwell-definedな $L^1(S,\H^{n-1})$ 上の線型汎関数である。また $\varepsilon\gt 0$ とすると $u$ は $\displaystyle\int_\Omega|u|\lt\varepsilon$ かつ $\displaystyle\int_\Omega|Du|\lt\int_S |\varphi|d\H^{n-1}+\varepsilon$ となるようにとれるので $\displaystyle|\langle\tau_i,\varphi\rangle|\le \norm{\zeta}_{1,\infty}\int_S |\varphi|d\H^{n-1}$。

[[測度と積分5：$L%5Ep$_空間の完備性と双対性]]の定理23.4より $\nu'_1,\ldots ,\nu'_n\in L^\infty(U_j\cap\pOm,\H^{n-1})$ であって任意の $\varphi\in L^1(S,\H^{n-1})$ について
$$\langle\tau_i,\varphi\rangle=\int_S\varphi\nu'_id\H^{n-1}$$
をみたすものが存在する。$\nu'_i$ は任意の $u\in W^{1,1}(\Omega)$ について
$$\int_S Tu\nu'_id\H^{n-1}=\langle\tau_i,Tu\rangle=\int_\Omega D_i(\zeta u)$$
をみたす。

$\nu'_i=\zeta\nu_i$ を示す。開集合 $U\subset\R^n$ と全単射 $\psi\colon 2Q\to U$ が $\psi$ と $\psi^{-1}$ がともに $C^{0,1}$ 写像で $\psi(Q_+)=U\cap\Omega$、$\psi(Q_0)=U\cap\pOm\subset S$ をみたすとして $\nu'_i=\zeta\nu_i$ on $U\cap\pOm$ を示せば十分。

{{ref|type=lem|label=trlem}}より $\H^{n-1}$ -a.e. $\xi\in U\cap\pOm$ と任意の $u\in C^\infty_c(\R^n)$ について
$$\lim_{a\to+\infty}\int_{\xi+a(U\cap\Omega-\xi)}D_i(\zeta u)=\int_{\{x\in\R^n\colon (x-\xi)\cdot\nu(\xi)\lt 0\}}D_i(\zeta u)=\int_{\{x\in\R^n\colon (x-\xi)\cdot\nu(\xi)=0\}}\zeta u\nu_id\H^{n-1}.\tag{$\dagger$}\label{divthm0}$$

一方、$a$ を十分大きくとって $\supp u\subset \xi+a(U-\xi)$ となるようにすると
\begin{align*}
\int_{\xi+a(U\cap\Omega-\xi)}D_i(\zeta u)&=a^n\int_\Omega D_i(\zeta u)(\xi+a(x-\xi))dx\\
&=a^{n-1}\int_\pOm u(\xi+a(x-\xi))\nu'_id\H^{n-1}(x)\\
&=a^{n-1}\int_{Q_0} u(\xi+a(\psi(y)-\xi))\nu'_i(\psi(y))J\psi(y)d\H^{n-1}(y).
\end{align*}
$Q_0\subset\R^{n-1}$ と見做して $\psi'\colon=\psi|_{Q_0}$ とする。$\H^{n-1}$ -a.e. $\xi\in U\cap\pOm$ について $\psi'$ は $y_0\colon=\psi^{-1}(\xi)$ において微分可能であり、なおかつLebesgueの微分定理より
$$\int_{B_r(y_0)\cap Q_0}|\nu'_i(\psi(y))J\psi'(y)-\nu'_i(\psi(y_0))J\psi'(y_0)|d\H^{n-1}=o(r^n)\ (r\to +0)$$
となることに注意する。$R\gt 0$ を十分大きくとると、十分大きい $a\gt 0$ について $\supp u(\xi+a(\psi(\cdot)-\xi))\subset B_{a^{-1}R}(y_0)\cap Q_0$ であるから
\begin{align*}
&\quad\int_{Q_0}\left|u(\xi+a(\psi(y)-\xi))\nu'_i(\psi(y))J\psi(y)-u\left(\xi+aD\psi'(y_0)(y-y_0)\right)\nu'_i(\psi(y_0))J\psi(y_0)\right|d\H^{n-1}(y)\\
&\le \int_{B_{a^{-1}R}(y_0)\cap Q_0}\left(\left|u(\xi+a(\psi(y)-\xi))-u\left(\xi+aD\psi'(y_0)(y-y_0)\right)\right||\nu'_i(\psi(y_0))J\psi(y_0)|+|u(\xi+a(\psi(y)-\xi))||\nu'_i(\psi(y))J\psi(y)-\nu'_i(\psi(y_0))J\psi(y_0)|\right)d\H^{n-1}(y)\\
&\le C\int_{B_{a^{-1}R}(y_0)\cap Q_0}\left(a\norm{Du}_\infty\left|\psi(y)-\psi(y_0)-D\psi'(y_0)(y-y_0)\right|+\norm{u}_\infty|\nu'_i(\psi(y))J\psi(y)-\nu'_i(\psi(y_0))J\psi(y_0)|\right)d\H^{n-1}(y)\\
&=o(a^{-(n-1)}).
\end{align*}
また
\begin{align*}
a^{n-1}\int_{Q_0}u\left(\xi+aD\psi'(y_0)(y-y_0)\right)\nu'_i(\psi(y_0))J\psi(y_0)d\H^{n-1}(y)&=\int_{\pRnp}u\left(\xi+D\psi'(y_0)(z-y_0)\right)\nu'_i(\xi)J\psi(y_0)d\H^{n-1}\\
&=\int_{\xi+D\psi'(y_0)\pRnp}u\nu'_i(\xi)d\H^{n-1}.
\end{align*}
従って
$$\lim_{a\to+\infty}\int_{\xi+a(U\cap\Omega-\xi)}D_i(\zeta u)=\int_{\xi+D\psi'(y_0)\pRnp}u\nu'_i(\xi)d\H^{n-1}\ \H^{n-1}-\ae\ \xi\in U\cap\pOm. \tag{$\ddagger$}\label{divthm1}$$
(\ref{divthm0})と(\ref{divthm1})より $\H^{n-1}-\ae\ \xi\in U\cap\pOm$ と任意の $u\in C^\infty_c(\R^n)$ について
$$\int_{\{x\in\R^n\colon (x-\xi)\cdot\nu(\xi)=0\}}\zeta u\nu_id\H^{n-1}=\int_{\xi+D\psi'(y_0)(\pRnp-y_0)}u\nu'_i(\xi)d\H^{n-1}\ \H^{n-1}-\ae\ \xi\in U\cap\pOm.$$
外向き単位法線ベクトルの構成より $\H^{n-1}$ -a.e. $\xi\in U\cap\pOm$ について
$$\{x\in\R^n\colon (x-\xi)\cdot\nu(\xi)=0\}=\xi+D\psi'(y_0)\pRnp$$
となるので
$$\nu'_i=\zeta\nu_i.$$
これより任意の $u\in W^{1,1}(\Omega)$ と $\zeta\in C^\infty_c(\R^n\backslash(\pOm\backslash S))$ について
$$\int_\Omega D_i(\zeta u)=\int_S \zeta u\nu_id\H^{n-1}.$$
とくに $u\in W^{1,1}_c(\Omega\cap S)$ のときは $\zeta\in C^\infty_c(\R^n\backslash(\pOm\backslash S))$ を $\zeta=1$ on $\supp u$ となるようにとれ、このときは $\zeta u=u$ であるから
$$\int_\Omega u=\int_S u\nu_id\H^{n-1}.$$
が成り立つ。
{{end|proof}}

{{theorem|type=cor|name=部分積分|label=trintpart}}
$S\subset\pOm$ を $C^{0,1}$ 境界部分とする。$u,v\in W^{1,1}(\Omega)$ が $uv\in W^{1,1}_c(\Omega\cup T)$ をみたすとき
$$\int_\Omega D_iuv=\int_S TuTv\nu_id\H^{n-1}-\int_\Omega uD_iv.$$

{{begin|proof}}
{{ref|type=thm|label=divthm}}より
$$\int_S TuTv\nu_id\H^{n-1}=\int_S T(uv)\nu_id\H^{n-1}=\int_\Omega D_i(uv)=\int_\Omega (D_iuv+uD_iv).$$
{{end|proof}}

{{theorem|type=rmk}}
$S\subset\pOm$ を(\ref{D})をみたす相対開集合とする。(\ref{D})における $S$ を $S'$ と表すと、$u\in W^{1,p}_0(\Omega\cup S)\subset W^{1,p}(D)$ の $\Omega$ におけるトレースを $D$ におけるトレース $Tu\in L^p_\loc(S',\H^{n-1})$ の $S$ への制限として定めることができる。また $\xi\in S$ における $S$ の外向き単位法線ベクトルを $S'$ の外向き単位法線ベクトルとして定めることができ、この節で挙げたトレースの性質は $W^{1,p}(\Omega)$ を $W^{1,p}_0(\Omega\cup S)$ にとりかえた上ですべて成り立つ。また $T$ は $W^{1,p}_0(\Omega\cup S)$ から $L^p(S,\H^{n-1})$ への有界線型作用素となり、$\displaystyle \int_S Tud\H^{n-1}\le C_{p,\Omega,T}\int_\Omega (|u|^p+|u|^{p-1}|Du|)$ が成り立つ。トレースSobolev不等式と $T$ のコンパクト性も $S$ を相対コンパクト部分集合にとりかえることなく成り立つ。Gaussの発散定理は $u\in W^{1,1}_0(\Omega\cup S)$ について成り立つ。

また、このようにして定めた $Tu\in L^p(S,\H^{n-1})$ と $\nu\in L^\infty(S,\H^{n-1})$ は $D$ と $S'$ の選択に依存しない。実際、$Tu$ は $\displaystyle r^{-n}\int_{B_r(\xi)\cap\Omega}|u-Tu(\xi)|\to 0\ (r\to +0)$ によって特徴づけられるので $D$ と $S'$ に依存しない。また $\varphi\in L^1_c(S,\H^{n-1})$ とすると $Tu=\varphi$ on $S$、$Tu=0$ on $S'\backslash S$ なる $u\in W^{1,1}(D)$ をとれ、$\eta\in C^\infty_c(\Omega\cup S)$ を $\eta=1$ on $\supp\varphi$ となるようにとって $v=\eta u$ とすることで $Tv=\varphi$ なる $v\in W^{1,1}_c(\Omega\cup S)$ をとれる。これより{{ref|type=thm|label=divthm}}の証明で定義した $\tau_i\in(L^1(S',\H^{n-1}))^*$ の $L^1_c(S,\H^{n-1})$ への制限は $D$ と $S'$ に依存せず、従って $\nu_i|_{S}$ も $D$ と $S'$ に依存しない。

==参考文献==
*Robert A. Adams「Sobolev Spaces」
*David Gilbarg, Neil S. Trudinger「Elliptic Partial Differential Equations of Second Order」
*Lawrence C. Evans, Ronald F. Gariepy「Measure Theory and Fine Properties of Functions,Revised Edition」
*Lawrence C. Evans「Partial Differential Equations,Second Edition」
*Gerald B. Folland「Real Analysis: Modern Techniques and Their Applications」
*Olga A. Ladyzhenskaya,Vsevolod A. Solonnikov,Nina N. Uraltseva「Linear and Quasilinear Equations of Parabolic Type」
*Haim Brezis「Functional Analysis, Sobolev Spaces and Partial Differential Equations」
*Michel Willem「Minimax Theorems」
*Luke G. Rogers「A Degree-Independent Sobolev Extension Operator」
*Giorgio Talenti「Best Constant in Sobolev Inequality」
*宮島静雄「ソボレフ空間の基礎と応用」
======脚注======

Sobolev空間とSobolevの不等式

2022-09-20T05:41:39Z

PSX: /* コンパクト埋め込み */

{{begin|preamble}}
<math>
\newcommand{\R}{\mathbb{R}}
\newcommand{\C}{\mathbb{C}}
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\newcommand{\Z}{\mathbb{Z}}
\newcommand{\Q}{\mathbb{Q}}
\newcommand{\Zp}{\mathbb{Z}_{\ge 1}}
\newcommand{\Zz}{\mathbb{Z}_{\ge 0}}
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\newcommand{\Rnn}{\mathbb{R}^n_-}
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\newcommand{\jf}{\ \mathrm{if }\ }
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</math>
{{newtheorem |type=def |display=定義 }}
{{newtheorem |type=pro |display=命題 |family=def }}
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{{newtheorem |type=lem |display=補題 |family=def }}
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{{newtheorem |type=ex |display=参考 |family=def }}
{{end |preamble}}
{{TOC |align=right |noautonum=1 }}

ここでは $p\neq 2$ を含めた $L^p$ 空間におけるSobolev空間とSobolev空間に対する一般的な埋め込み定理であるSobolevの不等式について主に取り扱う。

==記法および注意==
ここではとくに断らない限り実数値関数のみを取り扱う。また断りなく次の記法を用いる:
* $n\in\Zp$ とし、$\Omega$ を $\R^n$ における開集合とする。
* $x\in\R^n$、$r>0$ について $B_r(x)$ で $\R^n$ の半径が $r$、中心が $x$ の開球を表す。中心や半径を具体的に指定しない場合は $B_r$ や $B(x)$ などと略すことがある。
* $\H^s$ で $s$ 次元Hausdorff測度、$\L^n$ で $n$ 次元Lebesgue外測度([[Hausdorff測度とarea_coarea_formula]]の定義30。命題31も参照。)を表し、$\L^n$ -a.e. を単にa.e.とかき、また誤解のおそれがなければ省略する。
* 多重指数 $\alpha$ について $\alpha$ 階偏微分を $D^\alpha$ で表す。また $\alpha=ke_i$ のときは $D^\alpha u$ を $D^k_i u$ と表す。$D^1_i u$ は $D_iu$ と表し、$\R^n$ 値関数 $(D_1u,\ldots D_nu)$ を $Du$ と表す。
* $n=1$ のときは $D^k_1 u$ を $u^{(k)}$ と表す。また $u^{(1)}$、$u^{(2)}$ はそれぞれ $u'$、$u^{\prime\prime}$ と表す。
* $\mu\in\R^n\backslash\{0\}$ について、$D_\mu$ で $\mu$ -方向微分を表す。とくに $u$ が微分可能であるとき $D_\mu u=\mu\cdot Du$ である。
* $p\in[1,\infty]$ について $p'$ でそのHölder共役指数、すなわち $p^{-1}+p'^{-1}=1$ をみたす $p'\in[1,\infty]$ を表す。
* $\norm{\cdot}_{p;\Omega}$ で $L^p(\Omega)=L^p(\Omega,\L^n)$ のノルムを表す。また、相対開集合 $T\subset\pOm$ について $\norm{\cdot}_{p;T}$ で $L^p(T,\H^{n-1})$ のノルムを表す。誤解のおそれがなければ $\Omega$ と $T$ は省略することがある。
* $C^k(\Ombar)$、$C^{k,\alpha}(\Ombar)$ のノルムには[[Hölder空間の基本事項]]で定義した記号を用いる。
* $Q\colon=(-1,1)^n$、$Q_+\colon=(-1,1)^{n-1}\times(0,1)$、$Q_0\colon=(-1,1)^{n-1}\times\{0\}$ とする。
* $\Omega,\Omega'\subset\R^n$ を開集合とし、$f\colon\Omega'-\Omega\to\R$ と $g\colon\Omega\to\R$ を $\L^n$ -可測関数とする。
$$f*g(x)\colon=\int_{\Omega}f(x-y)g(y)dy$$
が a.e. $x\in\Omega'$ で定義されるとき $f*g$ は $\Omega'$ 上で定義されるといい、これを $f$ と $g$ の合成積という。<ref name="defdifference">[[合成積とFourier変換]]で定義されているものとは $(2\pi)^\frac{n}{2}$ 倍の違いがある。</ref>

$f*g$ は次のYoungの不等式をみたす:

{{theorem|type=lem|name=Youngの不等式|label=young}}
$p,q\in[1,\infty]$ が $p^{-1}+q^{-1}\ge 1$ をみたすとする。$\L^n$ -可測関数 $f\colon\Omega'-\Omega\to\R$ は
$$M_1\colon=\sup_{x\in\Omega'}\norm{f(x-\cdot)}_{p;\Omega}\lt\infty,M_2\colon=\sup_{y\in\Omega}\norm{f(\cdot-y)}_{p;\Omega'}\lt\infty$$
をみたすとする。$g\in L^q(\Omega)$ とすると $f*g$ は $\Omega'$ 上で定義され、$r\colon=(p^{-1}+q^{-1}-1)^{-1}\in[1,\infty]$ とすると
$$f*g\in L^r(\Omega'),\norm{f*g}_{r;\Omega'}\le M_1^{1-\frac{p}{r}}M_2^\frac{p}{r}\norm{g}_{q;\Omega}.$$
ただし $p=\infty$、$q=1$、$r=\infty$ の場合は $\frac{p}{r}=0$ とする。

とくに $f\in L^p(\Omega'-\Omega)$ のとき
$$\norm{f*g}_{r;\Omega'}\le\norm{f}_{p;\Omega'-\Omega}\norm{g}_{q;\Omega}.$$

{{begin|proof|display=''Proof.''|collapsible=1}}
$p^{-1}+q^{-1}=1$ のときは $r=\infty$ で、Hölderの不等式より $x\in\Omega'$ について
$$\int_{\Omega}|f(x-y)||g(y)|dy\le M_1\norm{g}_q$$
となるので $f*g$ は $\Omega'$ 上で定義され、$\norm{f*g}_\infty\le M_1\norm{g}_q$。

$p^{-1}+q^{-1}\gt 1$ の場合を示す。このとき $p,q,r\in[1,\infty)$ で、Hölderの不等式より
\begin{align*}
\left(\int_{\Omega'}\left(\int_{\Omega}|f(x-y)||g(y)|dy\right)^rdx\right)^{r^{-1}}&=\left(\int_{\Omega'}\left(\int_{\Omega}|f(x-y)|^{p(1-q^{-1})}|g(y)|^{q(1-p^{-1})}(|f(x-y)|^p|g(y)|^q)^{p^{-1}+q^{-1}-1}dy\right)^rdx\right)^{r^{-1}}\\
&\le\left(\int_{\Omega'}\left(\left(\int_{\Omega}|f(x-y)|^pdy\right)^{1-q^{-1}}\left(\int_{\Omega}|g(y)|^qdy\right)^{1-p^{-1}}\left(\int_{\Omega}|f(x-y)|^p|g(y)|^qdy\right)^{p^{-1}+q^{-1}-1}\right)^rdx\right)^{r^{-1}}\\
&\le\left(\int_{\Omega'} M_1^{pr(1-q^{-1})}\norm{g}_q^{qr(1-p^{-1})}\left(\int_{\Omega}|f(x-y)|^p|g(y)|^qdy\right)dx\right)^{r^{-1}}\\
&=M_1^{p(1-q^{-1})}\norm{g}_q^{q(1-p^{-1})}\left(\int_{\Omega}\left(\int_{\Omega'} |f(x-y)|^p|g(y)|^qdx\right)dy\right)^{r^{-1}}\\
&\le M_1^{p(p^{-1}-r^{-1})}\norm{g}_q^{q(q^{-1}-r^{-1})}\left(M_2^p\norm{g}_q^q\right)^{r^{-1}}\\
&=M_1^{1-\frac{p}{r}}M_2^\frac{p}{r}\norm{g}_q.
\end{align*}
よって $f*g$ は $\Omega'$ 上で定義され
$$f*g\in L^r(\Omega'),\norm{f*g}_r\le M_1^{1-\frac{p}{r}}M_2^\frac{p}{r}\norm{g}_q.$$
{{end|proof}}

* 実数値関数からなる線形空間 $X$ に対し、各成分が $X$ に属する $\R^m$ 値関数の空間を $m$ 個の $X$ の直積と同一視して $X^m$ とかく。

==$\pOm$ への条件==
Sobolev空間の一部の性質は、$\Omega\subset\R^n$ が一般の開集合の場合は成立せず、(主に $\pOm$ に関する)適切な仮定の下で成立する。そのような性質はなめらかな領域ではすべて成立するが、以下に述べるようなより弱い仮定の下で考えることもある。

{{theorem|type=def|name=線分条件|label=segm}}
相対開集合 $T\subset\pOm$ について、各 $\xi\in T$ について次をみたす $\xi$ の開近傍 $U_\xi\subset\R^n$ と $y_\xi\in\R^n$ が存在するとき $T$ は線分条件をみたすという:
$$\{x+ty_\xi\colon x\in\overline{U_\xi\cap\Omega},t\in(0,1)\}\subset\Omega.\tag{$\dagger$}\label{segm}$$
$\pOm$ が線分条件をみたすとき $\Omega$ は線分条件をみたすという。

{{theorem|type=def|name=Lipschitz領域|label=Lipdom}}
$n\ge 2$ とする。相対開集合 $T\subset\pOm$ について、各 $\xi\in\pOm$ について $0\in V_\xi$ なる開集合 $V_\xi\subset\R^{n-1}$ と $h_\xi\gt 0$ と $O_\xi\in O_n$ と $\gamma_\xi\in C^{0,1}_c(\R^{n-1})$ であって次をみたすものが存在するとき $T$ はLipschitz境界部分であるという:
$$\gamma_\xi(0)=0,O_\xi(\Omega-\xi)\cap(V_\xi\times (-h_\xi,h_\xi))=\{(y',y_n)\in V_\xi\times (-h_\xi,h_\xi)\colon y_n\gt \gamma_\xi(y')\}.\tag{$\dagger\dagger$}\label{Lipdom}$$
$\pOm$ がLipschitz境界部分であるとき $\Omega$ はLipschitz領域であるという。

{{theorem|type=rmk}}
$O_\xi$ は $O_\xi\in SO_n$ ととってもよい。

明らかにLipschitz境界部分は線分条件をみたし、かつ $C^{0,1}$ 境界部分([[Hölder空間の基本事項]]の定義28)となる。一方、次が成り立つ:

{{theorem|type=pro|label=conv}}
任意の凸領域はLipschitz領域である。

{{begin|proof}}
$x\in\Omega$ をとり、$r\gt 0$ を $B_{6r}(x)\subset\Omega$ となるようにとる。$\xi\in\pOm$ とし、$h\colon=|x-\xi|$ とする。$z\colon=h^{-1}(x-\xi)\in \partial B_1(0)$ とし、$O\in O_n$ を $Oz=e_n$ となるようにとる。

$\R^{n-1}$ における開球を $B'$ で表す。$y'\in B'_{6r}(0)$ について $\gamma'(y')\colon=\inf\{t\in\R\colon (y',t)\in O(\Omega-\xi)\}$ と定める。

$(y',h)=(y',0)+hOz=O(O^{-1}(y',0)+(x-\xi))\in O(B_{6r}(x-\xi))\subset O(\Omega-\xi)$ であるから $\gamma'(y')\le h$。また $\Omega$ は開かつ凸であるから $\{t\in\R\colon (y',t)\in O(\Omega-\xi)\}$ は開区間である。これより $t\lt h$ について
$$(y',t)\in O(\Omega-\xi)\iff t\in(\gamma'(y'),h)$$
であり、
$$O(\Omega-\xi)\cap(B'_{2r}(0)\times(-h,h))=\{(y',t)\in B'_{2r}(0)\times(-h,h)\colon t\gt\gamma'(y')\}$$
が成り立つ。また $\gamma'(0)=0$。

$x',y'\in B'_{6r}(0)$ と $s,t\lt h$ と $\sigma\in[0,1]$ について、$O(\Omega-\xi)$ が凸であることから
$$s\in(\gamma'(x'),h),t\in(\gamma'(y'),h)\implies (1-\sigma)s+\sigma t\in(\gamma'((1-\sigma)x'+\sigma y'),h).$$
これより $\gamma'((1-\sigma)x'+\sigma y')\le(1-\sigma)\gamma'(x')+\sigma\gamma'(y')$ となり $\gamma'$ は凸である。

また $y'\in B_{6r}(0)$ について $\gamma(0)-\gamma'(y')\le\gamma'(-y')-\gamma'(0)$ となるので $\gamma'(y')\ge-\gamma'(-y')\ge -h$。

$x',y'\in B'_{2r}(0)$ とする。$|x'-y'|\lt 4r\lt 6r-|x'|$ であるから $\tau\colon=4|x'-y'|^{-1}r$ とすると $\tau\gt 1$ かつ $x'+\tau(x'-y')\in B_{6r}(0)$ で
$$\gamma'(x')-\gamma'(y')\le(1+\tau)^{-1}(\gamma'(x'+\tau(x'-y'))-\gamma'(y'))\le 2h\tau^{-1}\le\frac{1}{2}hr^{-1}|x'-y'|.$$
同様に $\gamma'(y')-\gamma'(x')\le\le\frac{1}{2}hr^{-1}|y'-x'|$ も示される。これより $\gamma'\in C^{0,1}(\overline{B'_{2r}(0)})$。

以上より $V=B'_r(0)$ ととって $\gamma\in C^{0,1}(\R^{n-1})$ を $\gamma=\gamma'$ in $B'_r(0)$ となるようにとればこの $V$、$h$、$O$、$\gamma$ は(\ref{Lipdom})をみたす。
{{end|proof}}

{{theorem|type=pro|label=Cka}}
$k\ge 1$、$\alpha\in[0,1]$ とする。$T\subset\pOm$ を $C^{k,\alpha}$ 境界部分とすると、各 $\xi\in T$ について $0\in V_\xi$ なる開集合 $V_\xi\subset\R^{n-1}$ と $h_\xi\gt 0$ と $O_\xi\in O_n$ と $\gamma_\xi\in C^{k,\alpha}_c(\R^{n-1})$ であって(\ref{Lipdom})をみたすものが存在する。とくに $C^1$ 領域はLipschitz領域である。

{{begin|proof}}
$\xi$ の開近傍 $U$ と全単射 $\psi\colon 2Q\to U$ で $\psi$ と $\psi^{-1}$ がともに $C^{k,\alpha}$ 写像で $\psi(2Q_+)=U\cap\Omega$、$\psi(2Q_0)=U\cap\pOm$ をみたすものが存在する。$\psi(\xi)=0$ としてよい。

$f\colon U\to 2Q$ を $\psi^{-1}$ の第 $n$ 成分として定める。$U\cap\Omega$ と $U\cap\pOm$ はそれぞれ $\{x\in U\colon f(x)\gt 0\}$、$\{x\in U\colon f(x)=0\}$ と表される。また $Df\neq 0$ in $U$。

$O\in O_n$ を $O^{-1}D_nf(\xi)\gt 0$ となるようにとる。$\widetilde{\Omega}\colon=O(\Omega-\xi)$、$\widetilde{U}\colon=O(U-\xi)$ とし、$\widetilde{f}\colon\widetilde{\Omega}\to\R$ を $\widetilde{f}(y)\colon=\widetilde{f}(O^{-1}y+\xi)$ により定める。$\widetilde{U}\cap\widetilde{\Omega}$ と $\widetilde{U}\cap\partial\widetilde{\Omega}$ はそれぞれ $\{y\in \widetilde{U}\colon \widetilde{f}(y)\gt 0\}$、$\{y\in \widetilde{U}\colon \widetilde{f}(y)=0\}$ と表される。また $D_n\widetilde{f}(0)\gt 0$。

陰関数定理([[ベクトル解析1：Euclid空間内の多様体上の関数の微分]])により十分小さい $h\gt 0$ をとると射影 $p\colon\R^{n-1}\times\R\to\R^{n-1},(y',y_n)\mapsto y'$ の $hQ\cap\partial\widetilde{\Omega}$ への制限はある開集合 $W\subset\R^{n-1}$ への全単射であり、$p^{-1}\colon V\to hQ\cap\partial\widetilde{\Omega}$ は $C^{k,\alpha}$ 写像である。<ref name="impfct">陰関数定理は $h_i\in C^\infty(U)$ の場合が証明されているが、$C^\infty$ を $C^k$ にとりかえても同様であり、また逆写像定理において逆写像の $k$ 階微分の表示によりもとの写像が $C^{k,\alpha}$ 写像の場合は逆写像も $C^{k,\alpha}$ 写像となることが示されることから、陰関数定理も $C^{k,\alpha}$ にとりかえても同様に成り立つ。</ref>

$p^{-1}$ はある $\gamma'\colon W\to hQ\cap\partial\widetilde{\Omega}$ を用いて $p^{-1}(y')=(y',\gamma'(y_n))$ と表され、$hQ\cap\widetilde{\Omega}=\{(y',\gamma'(y_n))\colon y'\in W\}$。また $p^{-1}$ が $C^{k,\alpha}$ 写像であることから $\gamma'\in C^{k,\alpha}(W)$。

一方、必要であれば $r$ を小さくとり直して $D_nh\gt 0$ in $hQ$ とできる。
$$\{y\in hQ\colon h(y)=0\}=hQ\cap\widetilde{\Omega}=\{(y',\gamma'(y'))\colon y'\in W\}$$
より $(y',y_n)\in W\times(-h,h)$ について $\widetilde{f}(y',y_n)=0\iff y_n=\gamma'(y')$。$\widetilde{f}$ は $hQ$ 上では $y_n$ について狭義単調増加であるから
$$hQ\cap\widetilde{\Omega}=\{y\in hQ\colon h(x)\gt 0\}=\{(y',y_n)\in W\times(-h,h)\colon y_n\gt\gamma'(y')\}.$$
従って $0$ の開近傍 $V\rcpt W$ をとって $\gamma\in C^{k,\alpha}_c(\R^n)$ を $\gamma=\gamma'$ in $V$ となるようにとればこの $V$、$h$、$O$、$\gamma$ は(\ref{Lipdom})をみたす。
{{end|proof}}

{{theorem|type=rmk}}
陰関数定理は $C^{0,1}$ 写像に対しては無効であり、$C^{0,1}$ 領域は一般にLipschitz領域とはならない。<ref name="Lipdom">混同を防ぐため「Lipschitz領域」を「強Lipschitz領域」といい、「$C^{0,1}$ 領域」を「弱Lipschitz領域」ということもある。</ref>実際、$n=2$ とし、$\psi\colon\R^2\to\R^2,(x,y)\mapsto(x+y\sin(\log|y|),y)$ は全単射で $\psi,\psi^{-1}$ ともに $C^{0,1}$ 写像であるから
$$\Omega\colon=\{\psi(x,y)\colon y\gt-|x|\}$$
とすると $\Omega$ は $C^{0,1}$ 領域となる。一方で、この $\Omega$ は線分条件をみたしていないので、Lipschitz領域ではない。

==Sobolev空間の定義==
{{theorem|type=def|name=弱微分|label=defweakder}}
$u\in L^1_{\loc}(\Omega)$ とし、$\alpha$ を多重指数とする。変分学の基本補題([[超関数の定義と基本操作]]の命題5.3)により任意の $\varphi\in C^\infty_c(\Omega)$ について
$$\int_{\Omega}uD^\alpha\varphi=(-1)^{|\alpha|}\int_{\Omega}v\varphi$$
をみたす $v\in L^1_{\loc}(\Omega)$ は存在すれば一意的である。$v$ を $D^\alpha u$ とかき、$u$ の $\alpha$ 階弱微分という。

{{theorem|type=def|name=Sobolev空間 $W^{k,p}(\Omega),W^{k,p}_{\loc}(\OmT),W^{k,p}_c(\OmT)$|label=defsob}}
$C^\infty_c(\Omega)$ で $\Omega$ 上のコンパクトな台をもつなめらかな関数からなる空間を表す。

$k\in\Zp$、$p\in[1,\infty]$ についてSobolev空間 $W^{k,p}(\Omega)$ を
$$W^{k,p}(\Omega)\colon=\left\{u\in L^p(\Omega)\colon |\alpha|\le k\ について\ D^\alpha u\in L^p(\Omega)\right\}$$
と定める。また相対開集合 $T\subset\pOm$ について $L^p_\loc(\OmT)$ と $W^{k,p}_{\loc}(\OmT)$ を
$$L^p_\loc(\OmT)\colon=\left\{f\in L^p_\loc(\Omega)\colon \Omega'\rcpt\OmT\ について\ f\in L^p(\Omega')\right\},$$
$$W^{k,p}_{\loc}(\OmT)\colon=\left\{u\in L^p_{\loc}(\OmT)\colon |\alpha|\le k\ について\ D^\alpha u\in L^p_{\loc}(\OmT)\right\}$$
と定める。また $W^{k,p}_c(\OmT)$ を
$$W^{k,p}_c(\OmT)\colon=\{u\in W^{k,p}(\Omega)\colon\supp u\rcpt\OmT\}$$
と定める。

{{theorem|type=def|name=$W^{k,p}(\Omega)$ のノルム|label=defnorm}}
$W^{k,p}(\Omega)$ に
$$\norm{u}_{k,p;\Omega}\colon=
\begin{cases}
\left(\sum_{|\alpha|\le k}\int_{\Omega}|D^\alpha u|^p\right)^\frac{1}{p}&\colon p\in[1,\infty)\\
\max_{|\alpha|\le k}\esssup_{\Omega} |D^\alpha u|&\colon p=\infty
\end{cases}$$
によりノルム $\norm{\cdot}_{k,p;\Omega}$ を定める。

{{theorem|type=rmk}}
便宜上 $\norm{u}_{0,p;\Omega}=\norm{u}_{p;\Omega}$ とすることがある。またどの領域におけるSobolev空間のノルムかが明らかな場合は「$;\Omega$」は省略されることが多い。

$W^{k,2}(\Omega)$ は $H^k(\Omega)$ と書かれることが多い。$H^k(\Omega)$ には
$$(u,v)_{H^k(\Omega)}=\sum_{|\alpha|\le k}\int_\Omega D^\alpha uD^\alpha v$$
により内積が定まる。

$\displaystyle \sum_{|\alpha|\le k}\norm{D^\alpha u}_{p;\Omega}$ や $\displaystyle \left(\sum_{|\alpha|\le k}\norm{D^\alpha u}_{p;\Omega}^2\right)^\frac{1}{2}$ も同値なノルムである。また
$$\norm{u}_{k,p;\Omega}\le\sum_{|\alpha|\le k}\norm{D^\alpha u}_{p;\Omega}$$
で、
$$\sum_{|\alpha|\le k}\norm{D^\alpha u}_{p;\Omega}\le C\norm{u}_{k,p;\Omega}$$
となる定数 $C$ は $n$ と $k$ のみに依存し $p$ には依存しないようにとれる。

{{theorem|type=def|name=$\norm{D^ku}_{p;\Omega}$|label=gradnorm}}
$W^{k,p}(\Omega)$ に
$$\norm{D^ku}_{p;\Omega}\colon=\begin{cases}
\left(\sum_{|\alpha|=k}\norm{D^\alpha u}_{p;\Omega}^p\right)^{p^{-1}}&\colon p\in[1,\infty)\\
\max_{|\alpha|}\norm{D^\alpha u}_{\infty;\Omega}&\colon p=\infty
\end{cases}$$
によりセミノルム $\norm{D^ku}_{p;\Omega}$ を定める。

{{theorem|type=rmk}}
$\displaystyle \sum_{|\alpha|=k}\norm{D^\alpha u}_{p;\Omega}$ や $\displaystyle \left(\sum_{|\alpha|=k}\norm{D^\alpha u}_{p;\Omega}^2\right)^\frac{1}{2}$ も同値なセミノルムである。また
$$\norm{D^ku}_{p;\Omega}\le\sum_{|\alpha|=k}\norm{D^\alpha u}_{p;\Omega}$$
で、
$$\sum_{|\alpha|=k}\norm{D^\alpha u}_{p;\Omega}\le C\norm{D^ku}_{p;\Omega}$$
となる定数 $C$ は $n$ と $k$ のみに依存し $p$ には依存しないようにとれる。

{{theorem|type=pro|name=$W^{k,p}(\Omega)$ の完備性|label=compl}}
$W^{k,p}(\Omega)$ はノルム $\norm{\cdot}_{k,p;\Omega}$ について完備である。

{{begin|proof|display=''Proof.''|collapsible=1}}
$\{u_m\}_{m=1}^\infty\subset W^{k,p}(\Omega)$ をCauchy列とすると各 $|\alpha|\le k$ について $\{D^\alpha u_m\}_{m=1}^\infty$ は $L^p(\Omega)$ におけるCauchy列であるから $v_\alpha\in L^p(\Omega)$ が存在して $\norm{u_m-v_\alpha}_{p;\Omega}\to 0\ (m\to\infty)$。$u\colon=v_0$ とすると $\varphi\in C^\infty_c(\Omega)$ について
$$\int_\Omega uD^\alpha\varphi=\lim_{m\to\infty}\int_\Omega u_mD^\alpha\varphi=(-1)^{|\alpha|}\lim_{m\to\infty}\int_\Omega D^\alpha u_m\varphi=(-1)^{|\alpha|}\int_\Omega v_\alpha\varphi$$
であるから $u\in W^{k,p}(\Omega)$、$D^\alpha u=v_\alpha\ (|\alpha|\le k)$、$\norm{D^\alpha u_m-D^\alpha u}_{p;\Omega}\to 0\ (m\to\infty,|\alpha|\le k)$。$\norm{\cdot}_{k,p;\Omega}$ の定義より
$$\norm{u_m-u}_{k,p;\Omega}\to 0\ (m\to\infty)$$
となる。
{{end|proof}}

{{theorem|type=rmk}}
この証明から $u_m\in W^{1,p}(\Omega)\ (m\in\Zp)$、$u,v_1,\ldots ,v_n\in L^p(\Omega)$ が $\norm{u_m-u}_p,\norm{D_iu_m-v_i}_p\to 0\ (m\to\infty)$ をみたすとき $u\in W^{1,p}(\Omega)$、$D_iu=v_i$ となることが従う。このことは作用素の用語を用いると
$$D\colon L^p(\Omega)\supset D(D)=W^{1,p}(\Omega)\to L^p(\Omega)^n,Du=(D_1u,\ldots,D_nu)$$
により定まる非有界作用素 $D$ は閉作用素であると言い換えられる。

==なめらかな関数による近似==
{{theorem|type=def|name=Friedrich's mollifier|label=mol}}
$$\eta(x)\colon=
\begin{cases}
A\exp\left(\frac{1}{|x|^2-1}\right)&\colon x\in B_1(0)\\
0&\colon x\in\R^n\backslash B_1(0)
\end{cases}
,A\colon=\left(\int_{B_1(0)}\exp\left(\frac{1}{|x|^2-1}\right)dx\right)^{-1}$$
として $\eta\colon \R^n\to\R$ を定める。$\eta$ は
$$\eta\in C^\infty(\R^n),\eta\ge 0,\eta=0\on\R^n\backslash B_1(0),\int_{\R^n} \eta=1\tag{*}\label{mol}$$
をみたす。
$\varepsilon\gt 0$ について
$$\eta_\varepsilon(x)\colon=\varepsilon^{-n}\eta(\varepsilon^{-1}x)$$
と定め、Friedrich's mollifier、または単にmollifierという。

{{theorem|type=rmk}}
(\ref{mol})をみたしていれば $\eta$ はこの関数でなくてもよい。

{{theorem|type=pro|name=mollifierの性質|label=promol}}
開集合 $\Omega'\subset\Omega\subset\R^n$ は $d\colon=\dist(\Omega',\pOm)\gt 0$ をみたすとする。$f\in L^1_{\loc}(\Omega)$、$p\in[1,\infty]$、$\varepsilon\in (0,d)$ について、$\eta_\varepsilon*f$ は $\Omega'$ 上で定義され次が成り立つ:
* (1) $\supp\eta_\varepsilon*f\subset\{x\in\R^n\colon\dist(x,\supp f)\le\varepsilon\}$。とくに $\dist(\supp f,\Omega\backslash\Omega')\gt 0$ のとき十分小さく$\varepsilon\gt 0$ をとれば $\supp\eta_\varepsilon*f\subset\Omega'$。
* (2) $\eta_\varepsilon*f\in C^\infty(\overline{\Omega'})$ で、多重指数 $\alpha$ について $D^\alpha(\eta_\varepsilon*f)=D^\alpha\eta_\varepsilon*f$ in $\Omega'$。
* (3) $f\in L^p(\R^n)$ のとき $q\in[p,\infty]$ と多重指数 $\alpha$ について $\norm{D^\alpha(\eta_\varepsilon*f)}_{q;\Omega'}\le C_{n,p,q,\alpha}\varepsilon^{-|\alpha|-n(p^{-1}-q^{-1})}\norm{f}_{p;\Omega}$。
また $\varepsilon\to 0$ とするとき、
* (4) $\eta_\varepsilon*f\to f$ a.e. in $\Omega'$。
* (5) $f\in C(\Omega)$ のとき有界な $U\subset\Omega'$ について $\norm{\eta_\varepsilon*u-u}_{\infty;U}\to 0$。
* (6) $f\in L^p(\Omega)$、$p\in[1,\infty)$ のとき $\norm{\eta_\varepsilon*f-f}_{p;\Omega'}\to 0$。

{{begin|proof|display=''Proof.''|collapsible=1}}
(1)は明らか。

(2)を示す。任意の多重指数 $\alpha$ と $i=1,\ldots,n$ について $D_i(D^\alpha\eta_\varepsilon*f)=D_iD^\alpha\eta_\varepsilon*f$ on $\overline{\Omega'}$ を示せばよい。$x\in\overline{\Omega'}$ と $a\lt 0\lt b$ について
\begin{align*}
D^\alpha\eta_\varepsilon*f(x+be_i)-D^\alpha\eta_\varepsilon*f(x+ae_i)&=\int_{\R^n}(D^\alpha\eta_\varepsilon(x+ae_i-y)-D^\alpha\eta_\varepsilon(x+be_i-y))f(y)dy\\
&=\int_{\R^n}\left(\int_a^bD_iD^\alpha\eta_\varepsilon(x+te_i-y)dt\right)f(y)dy\\
&=\int_a^b\left(\int_{\R^n}D_iD^\alpha\eta_\varepsilon(x+te_i-y)f(y)dy\right)dt.
\end{align*}
Lebesgueの収束定理より $t\mapsto\int_{\Omega}D_iD^\alpha\eta_\varepsilon(x+te_i-y)f(y)dy$ は $(a,b)$ 上で連続であるから微積分基本公式より
$$D_i\left(D^\alpha\eta_\varepsilon*f\right)(x)=\int_{\R^n}D_iD^\alpha\eta_\varepsilon(x-y)f(y)dy=D_iD^\alpha\eta_\varepsilon*f(x).$$

(3)は(2)とYoungの不等式と
\begin{align*}
\left(\int_{B_\varepsilon(0)}|D^\alpha\eta_\varepsilon(x)|^{(1-p^{-1}+q^{-1})^{-1}}dx\right)^{1-p^{-1}+q^{-1}}&=\left(\int_{\R^n}|\varepsilon^{-|\alpha|-n}D^\alpha\eta(\varepsilon^{-1}x)|^{(1-p^{-1}+q^{-1})^{-1}}dx\right)^{1-p^{-1}+q^{-1}}\\
&=\varepsilon^{-|\alpha|-n}\left(\int_{\R^n}\varepsilon^n|D^\alpha\eta(y)|^{(1-p^{-1}+q^{-1})^{-1}}dy\right)^{1-p^{-1}+q^{-1}}\\
&\le C\varepsilon^{-|\alpha|-n(p^{-1}-q^{-1})}
\end{align*}
から従う。

(4)を示す。$x\in\Omega'$ を $f$ のLebesgue点とすれば
$$|\eta_\varepsilon*f(x)-f(x)|\le\int_{\Omega'}\eta_\varepsilon(x-y)|f(y)-f(x)|dy\le\int_{B_\varepsilon(x)}\varepsilon^{-n}\norm{\eta}_\infty|f(y)-f(x)|dy\to 0\ (\varepsilon\to +0).$$

(5)を示す。$x\in U$ について
\begin{align*}
|\eta_\varepsilon*f(x)-f(x)|&\le\int_{B_\varepsilon(x)}\eta_\varepsilon(x-y)|f(y)-f(x)|dy\\
&\le\int_{B_\varepsilon(x)}\eta_\varepsilon(x-y)dy\cdot\sup_{y\in B_\varepsilon(x)}|f(y)-f(x)|\\
&\le\sup_{\substack{y,z\in U+B_\varepsilon(0),|y-z|\lt\varepsilon}}|f(y)-f(z)|.
\end{align*}
ここで $U+B_\frac{d}{2}(0)$ は有界で $\dist(U+B_\frac{d}{2}(0),\pOm)\ge\dist(\Omega',\pOm)-\frac{d}{2}=\frac{d}{2}$ であるから $U+B_\frac{d}{2}(0)\rcpt\Omega$。これより
$$\sup_{\substack{y,z\in U+B_\varepsilon(0),|y-z|\lt\varepsilon}}|f(y)-f(z)|\le\sup_{\substack{y,z\in U+B_\frac{d}{2}(0),|y-z|\lt\varepsilon}}|f(y)-f(z)|\to 0\ (\varepsilon\to +0).$$
これより $\norm{\eta_\varepsilon*f-f}_{\infty;\Omega'}\to 0\ (\varepsilon\to +0)$。

(6)を示す。積分形のMinkowskiの不等式と平行移動の $L^p$ 連続性([[合成積とFourier変換]]の命題28.2)より
\begin{align*}
\norm{\eta_\varepsilon*f-f}_{p,\Omega'}&=\int_{\Omega'}\left|\int_{B_\varepsilon(y)}\eta_\varepsilon(x-y)(f(y)-f(x))dy\right|^pdx\\
&=\int_{\Omega'}\left|\int_{B_\varepsilon(0)}\eta_\varepsilon(z)(f(x-z)-f(x))dz\right|^pdx\\
&\le\int_{B_\varepsilon(0)}\eta_\varepsilon(z)\left(\int_{\Omega'}|f(x-z)-f(x)|^pdx\right)^{p^{-1}}dz\\
&\le\sup_{z\in B_\varepsilon(0)}\left(\int_{\Omega'}|f(x-z)-f(x)|^pdx\right)^{p^{-1}}\to 0.
\end{align*}
{{end|proof}}

なお積分形のMinkowskiの不等式とは次の主張である:

{{theorem|type=lem|name=積分形のMinkowskiの不等式|label=mink}}
$\sigma$ -有限測度空間 $X=(X,\mathfrak{M},\mu)$、$Y=(Y,\mathfrak{N},\nu)$ と $\mathfrak{M}\otimes\mathfrak{N}$ -可測関数 $f$ と $p\in[1,\infty]$ について
$$\norm{\int_Y |f(\cdot,y)|d\nu(y)}_{p;X}\le\int_Y\norm{f(\cdot,y)}_{p;X}d\nu(y).$$

{{begin|proof}}
$p=\infty$ の場合は明らか。

$p\in[1,\infty)$、$\int_X\left(\int_Y |f(x,y)|d\nu(y)\right)^pd\mu(x)\lt\infty$ の場合を示す。
\begin{align*}
\int_X\left(\int_Y |f(x,y)|d\nu(y)\right)^pd\mu(x)&=\int_Y\left(\int_X\left(\int_Y |f(x,y)|d\nu(y)\right)^{p-1}|f(x,y')|d\mu(x)\right)d\nu(y')\\
&\int_Y\left(\int_X\left(\int_Y |f(x,y)|d\nu(y)\right)^pd\mu(x)\right)^{1-p^{-1}}\left(\int_X|f(x,y')|^pd\mu(x)\right)^{p^{-1}}d\nu(y')\\
&=\left(\int_X\left(\int_Y |f(x,y)|d\nu(y)\right)^pd\mu(x)\right)^{1-p^{-1}}\int_Y\left(\int_X|f(x,y)|^pd\mu(x)\right)^{p^{-1}}d\nu(y)
\end{align*}
となり
$$\left(\int_X\left(\int_Y |f(x,y)|d\nu(y)\right)^pd\mu(x)\right)^{p^{-1}}\le\int_Y\left(\int_X|f(x,y)|^pd\mu(x)\right)^{p^{-1}}d\nu(y)$$
を得る。

$\int_X\left(\int_Y |f(x,y)|d\nu(y)\right)^pd\mu(x)=\infty$ の場合は $X_1\subset X_2\subset\ldots\subset X$、$Y_1\subset Y_2\subset\ldots\subset Y$ を $\mu(X_i),\nu(Y_i)\lt\infty$ かつ $\displaystyle\bigcup_{i=1}^\infty X_i=X,\bigcup_{i=1}^\infty Y_i=Y$ となるようにとると
$$\left(\int_{X_i}\left(\int_{Y_i} \min\{|f(x,y)|,i\}d\nu(y)\right)^pd\mu(x)\right)^{p^{-1}}\le\int_{Y_i}\left(\int_{X_i}\min\{|f(x,y)|,i\}^pd\mu(x)\right)^{p^{-1}}d\nu(y)$$
となるので $i\to\infty$ として $\int_Y\left(\int_X|f(x,y)|^pd\mu(x)\right)^{p^{-1}}d\nu(y)=\infty$ を得る。
{{end|proof}}

{{theorem|type=ex}}
$\nu$ -a.e. $y\in Y$ について $\int_X|f(x,y)|^pd\mu(x)\lt\infty$ のとき $y\mapsto f(\cdot,y)$ は $Y$ 上の $L^p(X)$ -値Bochner可測関数となる。これに[[測度と積分9：Bochner積分]]の命題44.2を適用することによっても積分形のMinkowskiの不等式を証明できる。

{{theorem|type=lem|name=$W^{k,p}$ 関数となめらかな関数の積|label=prod1}}
$u\in W^{k,p}_{\loc}(\Omega)$、$\zeta\in C^k(\Omega)$ について、
$$\zeta u\in W^{k,p}_{\loc}(\Omega),D^\alpha(\zeta u)=\sum_{\beta\le\alpha}\left(\begin{array}{c}\alpha\\ \beta\end{array}\right)D^{\alpha-\beta}\zeta D^\beta u.$$
とくに $u\in W^{k,p}(\Omega)$、$\zeta\in C^k(\Omega)\cap W^{k,\infty}(\Omega)$ のとき
$$\zeta u\in W^{k,p}(\Omega),\norm{D^k(\zeta u)}_{p;\Omega}\le C_{n,k}\sum_{j=0}^k\norm{D^{k-j}\zeta}_{\infty;\Omega}\norm{D^ju}_{p;\Omega},\norm{\zeta u}_{k,p;\Omega}\le C_{n,k}\norm{\zeta}_{k,\infty;\Omega}\norm{u}_{k,p;\Omega}.$$
また $\zeta\in C^k_c(\Omega)$ の場合は $\zeta u=0$ on $\R^n\backslash\Omega$ と定めると $\zeta u\in W^{k,p}(\R^n)$ となる。

{{begin|proof|display=''Proof.''|collapsible=1}}
$k=1$ のときのみ示す。一般の場合は帰納法により従う。

$\varphi\in C^\infty_c(\Omega)$、$i=1,\ldots ,n$ について
$$\int_\Omega D_iu\zeta\varphi=-\int_\Omega uD_i(\zeta\varphi)=-\int_\Omega u(D_i\zeta\varphi+\zeta D_i\varphi)$$
より
$$\int_\Omega \zeta uD_i\varphi=-\int_\Omega (\zeta D_iu+D_i\zeta u)\varphi.$$
$u,D_iu\in L^p_{\loc}(\Omega)$、$\zeta,D_i\zeta\in L^\infty_{\loc}(\Omega)$ より $\zeta u,\zeta D_iu+D_i\zeta u\in L^p_\loc(\Omega)$。従って $\zeta u\in W^{1,p}_{\loc}(\Omega)$、$D_i(\zeta u)=\zeta D_iu+D_i\zeta u$。

$\zeta\in C^\infty_c(\Omega)$ とすると $\varphi\in C^\infty_c(\R^n)$ について $\zeta\varphi\in C^\infty_c(\Omega)$ となるので同様の計算により $\int_\Omega \zeta uD_i\varphi=-\int_\Omega (\zeta D_iu+D_i\zeta u)\varphi$ となる。$\zeta u,\zeta D_iu,D_i\zeta u\in L^p(\R^n)$ となるので $\zeta u\in W^{1,p}(\R^n)$。
{{end|proof}}

{{theorem|type=pro|label=apx1}}
$k\in\Zp$ とする。以下が成り立つ:
*(1) $u\in W^{k,1}_{\loc}(\R^n)$ と $|\alpha|\le k$ なる多重指数 $\alpha$ について
$$D^\alpha(\eta_\varepsilon*u)=\eta_\varepsilon*D^\alpha u.$$
とくに $p\in[1,\infty)$、$u\in W^{k,p}(\R^n)$ のとき $\norm{\eta_\varepsilon*u-u}_{k,p;\R^n}\to 0\ (\varepsilon\to +0)$。
*(2) $p\in[1,\infty)$、$u\in L^p_{\loc}(\Omega)$ について次は同値:
**(i) $u\in W^{k,p}_{\loc}(\Omega)$。
**(ii) $\{u_m\}_{m=1}^\infty\subset C^\infty(\Omega)$ で $u_m\to u$ in $L^p_{\loc}(\Omega)(m\to\infty)$ かつ $|\alpha|\le k$ について $D^\alpha u_m$ が $L^p_{\loc}(\Omega)$ で収束するものが存在する。
*(3) $p\in[1,\infty)$ とすると $C^\infty_c(\R^n)$ は $W^{k,p}(\R^n)$ において稠密である。

{{begin|proof|display=''Proof.''|collapsible=1}}
(1)を示す。$x\in\R^n$ について
$$D^\alpha(\eta_\varepsilon*u)(x)=\int_{\R^n}D^\alpha\eta_\varepsilon(x-y)u(y)dy=(-1)^{|\alpha|}\int_{\R^n}(D^\alpha\eta_\varepsilon(x-\cdot))(y)u(y)dy=\int_{\R^n}\eta_\varepsilon(x-y)D^\alpha u(y)dy=D^\alpha\eta_\varepsilon*u(y).$$

(2)を示す。(i) $\implies$ (ii)は次のように従う: $\Omega_1\rcpt\Omega_2\rcpt\ldots\rcpt\Omega$ を $\displaystyle \bigcup_{m=1}^\infty \Omega_m=\Omega$ となるようにとり、$\varepsilon_m\in(0,\dist(\Omega_{m+1},\pOm))$ を $\varepsilon_m\to 0\ (m\to\infty)$ となるようにとる。また $\zeta_m\in C^\infty(\Omega_{m+1})$ を $\zeta_m=1$ in $\Omega_m$ となるようにとる。このとき $u_m\colon=\eta_{\varepsilon_m}*(\zeta_mu)$ は $\Omega$ 上で定義され、$m'\ge m$ について $u_{m'}=\eta_{\varepsilon_{m'}}*u$ in $\Omega_m$ となるので $|\alpha|\le k$ について $D^\alpha u_{m'}=\eta_{\varepsilon_{m'}}*D^\alpha u$ in $\Omega_m$。これより $\norm_{D^\alpha u_{m'}-D^\alpha u}_{p;\Omega'}\to 0\ (m'\to\infty)$。これよりこの $\{u_m\}_{m=1}^\infty$ は条件をみたす。

(ii) $\implies$ (i)は $|\alpha|\le k$ について $D^\alpha u_m\to v_\alpha$ in $L^1_{\loc}(\Omega)$ とすると任意の $\varepsilon\in C^\infty_c(\Omega)$ と $|\alpha|\le k$ について
$$\int_\Omega uD^\alpha\varphi=\lim_{m\to\infty}\int_\Omega u_mD^\alpha\varphi=(-1)^{|\alpha|}\int_\Omega v_\alpha\varphi$$
となり $D^\alpha u=v_\alpha$ となって従う。

(3)を示す。(1)より $u_m\in W^{k,p}(\Omega)\ (m\in\Zp)$ が存在して $\supp u_m$ が有界かつ $\norm{u_m-u}_{k,p;\R^n}\to 0 (m\to\infty)$ となることを示せばよい。

$\zeta\in C^\infty_c(B_2(0))$ を $\zeta=1$ on $\Bb_1(0)$ となるようにとる。$\zeta_m(x)\colon=\zeta(m^{-1}x)$ とすると $\supp\zeta_m\subset B_{2m}(0)$、$\zeta_m=1$ on $\Bb_m(0)$。また任意の多重指数 $\alpha$ について $D^\alpha \zeta_m(x)=m^{-|\alpha|}\zeta(m^{-1}x)$ であるから $\norm{\zeta_m}_{k,\infty}\le\norm{\zeta}_{k,\infty}$

$u_m\colon=\zeta_m u$ とすると $u_m\in W^{k,p}(\R^n)$、$\supp u_m\subset B_{2m}(0)$、$u_m=u$ on $\Bb_m(0)$ となり
$$\norm{u_m-u}_{k,p}=\norm{u_m-u}_{k,p;\R^n\backslash\Bb_m(0)}=\norm{(1-\zeta_m)u}_{k,p;\R^n\backslash\Bb_m(0)}\le C\norm{u}_{k,p;\R^n\backslash\Bb_m(0)}\to 0\ (m\to\infty).$$
{{end|proof}}

{{theorem|type=rmk}}
(2)の(ii)で $D^\alpha u$ を定義することもできる。このように定義された $u\in L^1_{\loc}(\Omega)$ の微分は強微分とよばれる。

{{theorem|type=cor|label=ck}}
$k\in\Zp$ とする。$u\in L^1_\loc(\Omega)$ について次は同値:
*(1) $u\in C^k(\Omega)$。
*(2) $|\alpha|\le k$ について $u$ は弱微分 $D^\alpha u$ をもち $D^\alpha u\in C(\Omega)$。

{{begin|proof|display=''Proof.''|collapsible=1}}
$u\in C^k(\Omega)$ とすると $v_\alpha\ (|\alpha|\le k)$ を各点での偏微分としての $D^\alpha u$ と定めれば部分積分により任意の $\varphi\in C^\infty_c(\Omega)$ について $\int_{\Omega}uD^\alpha\varphi=(-1)^{|\alpha|}\int_{\Omega}v_\alpha\varphi$ となる。これより $u$ は $k$ 階以下の弱微分をもち、各点微分と一致する。

$|\alpha|\le k$ について $u$ は弱微分 $D^\alpha u$ をもち $D^\alpha u\in C(\Omega)$ をみたすとする。$\Omega'\rcpt\Omega$ として $\zeta\in C^\infty_c(\Omega)$ を $\zeta=1$ in $\Omega'$ となるようにとると $|\alpha|\le k$ について $\norm{D^\alpha(\eta_\varepsilon*\zeta u)-D^\alpha(\zeta u)}_\infty=\norm{\eta_\varepsilon*D^\alpha(\zeta u)-D^\alpha(\zeta u)}_\infty\to 0\ (\varepsilon\to +0)$ であるから $\zeta u\in C^k(\R^n)$。これより $u\in C(\Omega)$。
{{end|proof}}

{{theorem|type=thm|name=なめらかな関数による近似|label=apx2}}
$k\in\Zp$、$p\in[1,\infty)$ とすると $C^\infty(\Omega)\cap W^{k,p}(\Omega)$ は $W^{k,p}(\Omega)$ において稠密である。

{{begin|proof|display=''Proof.''|collapsible=1}}
$u\in W^{k,p}(\Omega)$、$\delta\gt 0$ とする。各 $x\in\Omega$ について $x$ を中心とする球 $B(x)\rcpt\Omega$ をとり、$\Omega$ の開被覆 $\{B(x)\}_{x\in\Omega}$ の局所有限な細分 $\{U_i\}_{i=1}^\infty$ を $\displaystyle\bigcup_{i=1}^\infty U_i=\Omega$ となるようにとり、これに従属する $1$ の分割 $\{\zeta_i\}_{i=1}^\infty$、$\zeta_i\in C^\infty_c(U_i)$ をとる。

{{ref|type=lem|label=prod1}}より $\zeta_iu\in W^{k,p}(\Omega)$、$\supp\zeta_iu\subset U_i\rcpt\Omega$。{{ref|type=pro|label=apx1}}より十分小さい $\varepsilon_i\gt 0$ をとって $\norm{\eta_{\varepsilon_i}*(\zeta_iu)-\zeta_iu}_{k,p;\Omega}\lt 2^{-i}\delta$ かつ $\supp\eta_{\varepsilon_i}*(\zeta_iu)\subset U_i$ となるようにできる。

$$\sum_{i=1}^\infty\norm{\eta_{\varepsilon_i}*(\zeta_iu)-\zeta_iu}_{k,p;\Omega}\lt\delta$$
であるから $W^{k,p}(\Omega)$ の完備性より無限和
$$w\colon=\sum_{i=1}^\infty(\eta_{\varepsilon_i}*(\zeta_iu)-\zeta_iu)$$
は $W^{k,p}(\Omega)$ で収束し、$\norm{w}_{k,p;\Omega}\lt\delta$。
$$v\colon=\sum_{i=1}^\infty\eta_{\varepsilon_i}*(\zeta_iu)$$
とすると $\{U_i\}_{i=1}^\infty$ は局所有限よりこの無限和は各点で値が定まり $v\in C^\infty(\Omega)$。一方 $v=u+w\in W^{k,p}(\Omega)$ で $\norm{v-u}_{k,\alpha;\Omega}\lt\delta$ となる。
{{end|proof}}

{{theorem|type=rmk}}
これより $W^{k,p}(\Omega)$ を $\left\{u\in C^\infty(\Omega)\colon \norm{u}_{k,p;\Omega}\lt\infty\right\}$ のノルム $\norm{\cdot}_{k,p;\Omega}$ による完備化として定義し、$D^\alpha u$ を強微分で定義しても同値である。

一方、$v\in C^\infty(\Ombar)$ による近似をするには $\pOm$ に条件が必要である。

{{theorem|type=thm|name=線分条件をみたす領域における近似|label=apx3}}
相対開集合 $T\subset\pOm$ は線分条件をみたすとする。$k\in\Zp$、$p\in[1,\infty)$ とすると $C^\infty(\Omega\cup T)\cap W^{k,p}(\Omega)$ は $W^{k,p}(\Omega)$ において稠密である。

{{begin|proof|display=''Proof.''|collapsible=1}}
$\xi\in T$ について(\ref{segm})の $U_\xi$ と $y_\xi$ をとり、$\Omega_{d,r}\colon=\{x\in\Omega\colon |x|\lt d,\dist(x,\pOm)\gt r\}\ (d,r\gt 0)$ とする。$\{U_\xi\}_{\xi\in T}\cup\{\Omega_{d,r}\}_{d,r\gt 0}$ は $\Omega\cup T$ の開被覆となり、$\{U_\xi\}_{\xi\in\pOm}$、$\{\Omega_{d,r}\}_{d,r\gt 0}$ の局所有限な細分 $\{V_i\}_{i=1}^\infty$、$\{W_j\}_{j=1}^\infty$ を $\Omega\cup T\subset\bigcup_{i=1}^\infty V_i\cup\bigcup_{j=1}^\infty W_j$ となるようにとれる。各 $i\in\Zp$ について $y_i\in\R^n$ が存在し、
$$\{x+ty_i\colon x\in \overline{V_i\cap\Omega},t\in(0,1)\}\subset\Omega$$
が成り立つ。また各 $j\in\Zp$ について $W_j\rcpt\Omega$。

$\Omega\cup T$ の開被覆 $\{V_i\}_{i=1}^\infty\cup\{W_j\}_{j=1}^\infty$ に従属する $1$ の分割 $\{\zeta_i\}_{i=1}^\infty\cup\{\theta_j\}_{j=1}^\infty$、$\zeta_i\in C^\infty_c(V_i)$、$\theta_j\in C^\infty_c(W_j)$ をとる。

$i\in\Zp$ とする。{{ref|type=thm|label=apx2}}と{{ref|type=lem|label=prod1}}より $v_i\in C^\infty(\Omega)\cap W^{k,p}(\Omega)$ を $\norm{\zeta_iv_i-\zeta_iu}_{k,p;\Omega}\lt 2^{-i-2}\delta$ となるようにとれる。平行移動の $L^p$ 連続性([[合成積とFourier変換]]の命題28.2)より $|\alpha|\le k$ について
$$\norm{D^\alpha v_i(\cdot+ty_i)-D^\alpha v_i}_{p;V_i\cap\Omega}\to 0 (t\to +0).$$
{{ref|type=lem|label=prod1}}より十分小さい $t_i\in(0,1)$ をとって $\norm{\zeta_iv_i(\cdot+ty_i)-\zeta_iv_i}_{k,p;V_i\cap\Omega}\lt 2^{-i-2}\delta$ とできる。$V_i$ のとりかたより $\overline{V_i\cap\Omega+t_iy_i}\subset\Omega$ であるから $v_i\in C^\infty(\overline{V_i\cap\Omega+t_iy_i})$ であり、$v_i(\cdot+ty_i)\in C^\infty(\overline{V_i\cap\Omega})$。よって $\zeta_iv_i(\cdot+ty_i)\in C^\infty(\overline{\Omega})$、$\supp\zeta_iv_i\subset V_i\cap\Omega$。また $\norm{\zeta_iv_i(\cdot+ty_i)-\zeta_iu}_{k,p;\Omega}\lt 2^{-i-1}\delta$。

また $j\in\Zp$ について $\theta_ju\in W^{k,p}(\R^n)$、$\supp\theta_ju\subset W_j$ であるから十分小さい $\varepsilon_j$ をとって $\norm{\eta_{\varepsilon_j}*(\theta_ju)-\theta_ju}_{k,p;\Omega}\lt 2^{-j-1}\delta$、$\supp\eta_{\varepsilon_j}*(\theta_ju)\subset W_j$ とできる。

$$v\colon=\sum_{i=1}^\infty\zeta_iv_i(\cdot+ty_i)+\sum_{j=1}^\infty\eta_{\varepsilon_j}*(\theta_ju)$$
とすれば $\Omega\cup T$ の開被覆 $\{V_i\}_{i=1}^\infty\cup\{W_j\}_{j=1}^\infty$ は局所有限より $v\in C^\infty(\Omega\cup T)$ で、{{ref|type=thm|label=apx2}}と同様に $v\in W^{k,p}(\Omega)$ かつ
$$\norm{v-u}_{k,p;\Omega}\le\sum_{i=1}^\infty\norm{\zeta_iv_i(\cdot+ty_i)-\zeta_i u}_{k,p;\Omega}+\sum_{j=1}^\infty\norm{\eta_{\varepsilon_j}*(\theta_ju)-\theta_ju}_{k,p;\Omega}\lt\delta.$$
{{end|proof}}

{{theorem|type=rmk}}
とくに $\Omega$ が有界かつ線分条件をみたすとき $C^\infty(\Ombar)$ は $W^{k,p}(\Omega)$ において稠密である。

$p=\infty$ のときはこれらの近似定理は $W^{k,\infty}(\Omega)$ を $C^k(\Ombar)$ にとりかえた主張を同様に証明できる。また、近似列の構成のしかたが $k$ と $p$ によらないことから、 $u\in W^{j,p}(\Omega)\cap W^{k,q}(\Omega)$ と $\delta\gt 0$ について $v\in C^\infty(\Omega)\cap v\in W^{j,p}(\Omega)\cap W^{k,q}(\Omega)$ ( $\Omega$ が線分条件をみたすときは $v\in C^\infty(\Ombar)\cap W^{j,p}(\Omega)\cap W^{k,q}(\Omega)$ ) が存在して $\norm{u-v}_{j,p}\lt\delta$、$\norm{u-v}_{k,q}\lt\delta$ となる。( $p=\infty$ の場合は $W^{k,p}(\Omega)$ を $C^k(\Ombar)$ にとりかえる。$q=\infty$ の場合も同様。)

{{ref|type=pro|label=apx1}}で、(3)の証明の(1)を{{ref|type=thm|label=apx2}}にとりかえると、$\Omega$ が非有界の場合
$$\left\{u\in C^\infty(\Omega)\cap W^{k,p}(\Omega)\colon \supp u\ が有界\right\}$$
が $W^{k,p}(\Omega)$ において稠密であることが示される。( $\Omega$ が線分条件をみたすときは $C^\infty(\Omega)\cap W^{k,p}(\Omega)$ を $C^\infty(\Ombar)$ にとりかえてよい。)

$w\in C^\infty(\Omega)\cap W^{k,p}_c(\OmT)$ ( $T$ が線分条件をみたす場合は $C^\infty_c(\OmT)$ )は $W^{k,p}_c(\Omega)$ において稠密である。実際、$v\in C^\infty(\Omega)\cap W^{k,p}(\Omega)$ を $\norm{v-u}_{k,p}\lt\varepsilon$ をみたすようにとり、$\zeta\in C^\infty(\R^n\backslash(\pOm\backslash T))$ を $\zeta=1$ on $\supp u$ となるようにとると $\norm{\zeta v-u}_{k,p}=\norm{\zeta (v-u)}_{k,p}\le C_\zeta\varepsilon$ となる。

==$n=1$ の場合==
ここでは $n=1$ とし、$I=(a,b)$、$-\infty\le a\lt b\le +\infty$ を開区間とする。

{{theorem|type=thm|name=$W^{1,p}(I)$ の特徴づけ|label=1dim1}}
$p\in[1,\infty]$ とし、$u\in L^p(I)$ とする。次は同値:
*(1) $u\in W^{1,p}(I)$。
*(2) $u$ は絶対 $p$ -連続である。すなわち $u\in C(\overline{I})$ で $f\in L^p(I)$ が存在して $a\le x\lt y\le a$ について
$$u(y)-u(x)=\int_x^y f(t)dt.$$
またこのとき $u'=f$。

{{begin|proof|display=''Proof.''|collapsible=1}}
$p=1$ の場合を示せば十分。

(1) $\implies$ (2)を示す。$I$ は明らかに線分条件をみたすので $u_m\in C^\infty(\overline{I})\cap W^{1,1}(I)$ を $\norm{u_m-u}_{1,1}\to 0\ (m\to\infty)$ となるようにとれる。部分列に移って $u_m\to u,u_m'\to u'$ a.e. in $I$ としてよい。

$x_0\in I$ を $u_m(x_0)\to u(x_0)\ (m\to\infty)$ をみたす点とする。$x\in[x_0,b)$ について
$$u_m(x)=u_m(x_0)+\int_{x_0}^x u_m'(t)dt.$$
$\norm{u_m'-u'}_1\to 0\ (m\to\infty)$ より右辺は $m\to\infty$ とすると $x\in[x_0,b)$ について $u(x_0)+\int_{x_0}^x u'(t)dt$ に一様収束するので
$$u\in C([x_0,b]),u(x)=u(x_0)+\int_a^x u'(t)dt\ (x\in[x_0,b]).$$
任意の $x\in I$ について $x_0$ を $x_0\in(a,x)$ となるようにとれることから $u\in C((a,b])$。また $x,y\in (a,b]$、$x\lt y$ について $x_0$ を $x_0\lt x$ となるようにとれば
$$u(y)-u(x)=\left(u(x_0)+\int_{x_0}^yu'(t)dt\right)-\left(u(x_0)+\int_{x_0}^xu'(t)dt\right)=\int_x^yu'(t)dt\ (x,y\in(a,b]).$$
また $u'\in L^1(I)$ より $y\in I$ を固定すると
$$u(x)=u(y)-\int_x^y u'(t)dt$$
は $x\to a+0$ で収束する。とくに $a\gt -\infty$ の場合は $u\in C(\overline{I})$ で
$$u(y)-u(a)=\int_a^y u'(t)dt.$$
これより
$$u\in C(\overline{I}),u(y)-u(x)=\int_x^y u'(t)dt\ (x,y\in\overline{I},x\lt y).$$

(2) $\implies$ (1)を示す。$\varphi\in C^\infty_c(I)$ とする。$J=(a',b')\rcpt I$ を $\supp\varphi$ を含む開区間とする。 $y\in (b',b)$ とすると仮定より $x\in(a,y)$ について
$$u(y)-u(x)=\int_x^y f(t)dt.$$

$x\in (a,a')$ とする。$J\subset(x,y)$ で、$\varphi(x)=0$ より $t\in(x,b')$ について $\varphi(t)=\int_x^t\varphi'(s)ds$ であるから
\begin{align*}
\int_I f(t)\varphi(t)dt&=\int_x^y f(t)\varphi(t)dt\\
&=\int_x^y f(t)\left(\int_x^t \varphi'(s)ds\right)dt\\
&=\int_x^y \varphi'(s)\left(\int_s^yf(t)dt\right)ds\\
&=\int_x^y \varphi'(s)(u(y)-u(s))ds\\
&=u(y)\int_x^y \varphi'(s)ds-\int_x^y u(s)\varphi'(s)ds\\
&=-\int_I u(s)\varphi'(s)ds.
\end{align*}
よって $u\in W^{1,1}(I)$、$u'=f$。
{{end|proof}}

{{theorem|type=cor|name=$W^{1,p}_{\loc}(I)$ の特徴づけ|label=1dim2}}
$p\in[1,\infty]$ とし、$u\in L^p_{\loc}(I)$ とする。次は同値:
*(1) $u\in W^{1,p}_{\loc}(I)$。
*(2) $u$ は局所絶対 $p$ -連続である。すなわち $u\in C(I)$ で $f\in L^p_{\loc}(\Omega)$ が存在して $a\lt x\lt y\lt b$ について
$$u(y)-u(x)=\int_x^y f(t)dt.$$
またこのとき $u'=f$。

{{theorem|type=rmk}}
絶対 $1$ -連続と局所絶対 $1$ -連続は単に絶対連続、局所絶対連続という。

{{ref|type=cor|label=1dim2}}より $u\in W^{1,p}_{\loc}(I)$ は $u'$ のLebesgue点で(従ってa.e. in $I$ で)微分可能で、各点微分は弱微分とa.e.で一致する。

{{theorem|type=thm|name=$n=1$ のときのMorreyの不等式|label=dim1mor}}
$I$ は有界であるとする。
*(1) $u\in W^{1,1}(I)$ のとき
$$\norm{u}_\infty\le C_{|I|}\norm{u}_{1,1}.$$
また $u(y)=0$ なる $y\in \overline{I}$ が存在するとき
$$\norm{u}_\infty\le \norm{u'}_1.$$
*(2) $p\in(1,\infty]$ とする。 $\alpha=1-\frac{1}{p}$ とすると $u\in W^{1,p}(I)$ について
$$u\in C^{0,\alpha}(\overline{I}),[u]_{0,\alpha;I}\le \norm{u'}_p.$$

{{begin|proof|display=''Proof.''|collapsible=1}}
(1)を示す。{{ref|type=thm|label=1dim1}}より $x,y\in\overline{I}$、$x\lt y$ について
$$|u(x)-u(y)|\le\int_x^y|u'(t)|dt\le \norm{u'}_1.$$
対称性よりこれは任意の $x,y\in I$ について成り立つ。ここで $x,y\in\overline{I}$ を
$$|u(x)|=\sup_{I}|u|,|u(y)|=\inf_{I}|u|$$
となるようにとると
$$\sup_{I}|u|=|u(x)|\le|u(y)|+\norm{u'}_1=\inf_{I}|u|+\norm{u'}_1\le|I|^{-1}\int_I|u|+\norm{u'}_1\le C_{|I|}\norm{u}_{1,1}.$$
また $|u(y)|=0$ のとき
$$\sup_{I}|u|\le\norm{u'}_1.$$

(2)を示す。Hölderの不等式より $x,y\in I$、$x\lt y$ について
$$|u(x)-u(y)|\le\int_x^y|u'(t)|dt\le\norm{u'}_p|x-y|^{1-\frac{1}{p}}.$$
よって
$$u\in C^{0,\alpha}(\overline{I}),[u]_{0,\alpha;I}\le\norm{u'}_p.$$
{{end|proof}}

==合成関数の微分、積の微分==

{{theorem|type=thm|name=合成関数の微分|label=chain1}}
$p\in[1,\infty]$、$m\in\Zp$、$u\in W^{1,p}_{\loc}(\Omega)^m$ とする。
$G\in C^1(\R^m)$ が
$$G(u),\sum_{j=1}^m D_jG(u)D_iu_j\in L^p_{\loc}(\Omega)$$
をみたすとすると
$$G(u)\in W^{1,p}_{\loc}(\Omega),D_i(G(u))=\sum_{j=1}^m D_jG(u)D_iu_j\ (i=1,\ldots,n).$$

{{begin|proof|display=''Proof.''|collapsible=1}}
$|\Omega|\lt\infty$、$p\in[1,\infty)$、$u\in W^{1,p}(\Omega)^m$ の場合を示せば十分である。また $G$ を $G-G(0)$ にとりかえて $G(0)=0$ としてよい。<ref name="chainsuf">実際には $\Omega$ が有界かつ $p=1$ の場合のみで十分である。$\Omega$ が非有界の場合と $p\in(1,\infty)$ の場合を含めたのは{{ref|type=pro|label=chapro0}}の証明に使う都合によるものである。なお、{{ref|type=pro|label=chapro0}}では $|\Omega|\lt\infty$ を仮定できないが、実際には $G(0)=0$ でも十分であるため{{ref|type=pro|label=chapro0}}も問題なく証明できる。</ref>

$DG\in L^\infty(\R^m)^m$ の場合を示す。{{ref|type=thm|label=apx2}}より $u^{(k)}\in C^\infty(\Omega)^m\cap W^{1,p}(\Omega)^m$ を $\norm{u^{(k)}-u}_{1,p}\to 0\ (k\to\infty)$ となるようにとれる。部分列に移って $u^{(k)}\to u,D_iu^{(k)}\to D_iu$ a.e. in $\Omega$ かつ $v,v_1,\ldots,v_n\in L^p(\Omega)$ が存在して $|u^{(k)}|\le v,|D_iu^{(k)}|\le v_i\ (\forall k\in\Zp)$ としてよい。<ref name="dominant">一般に測度空間 $X=(X,\mu)$ 上の関数列 $\{f_m\}_{m=1}^\infty\subset L^p(X)$ と $f\in L^p(X)$ が $\int_X |f_m-f|^pd\mu\to 0\ (m\to\infty)$ をみたすとき、部分列 $\{f_{m_l}\}_{l=1}^\infty$ を $f_{m_l}\to f\ \mu-$ a.e. in $X$ かつ $g\in L^p(X)$ であって任意の $l$ について $|f_{m_l}|\le g$ in $X$ となるようなものが存在するようにとれる。実際、[[測度と積分5：$L%5Ep$_空間の完備性と双対性]]の定理21.4の証明のように部分列をとればよい。</ref>

各 $u^{(k)}$ は $G(u^{(k)})\in C^1(\Omega)$、$\displaystyle D_i(G(u^{(k)}))=\sum_{j=1}^m D_jG(u^{(k)})D_iu^{(k)}_i\ (i=1,\ldots,n)$ をみたす。また、$G(0)=0$ より $G(t)\le\norm{DG}_\infty|t|\ (t\in\R)$ となることから $|G(u^{(k)})|\le\norm{DG}_\infty v$、$\displaystyle \left|\sum_{j=1}^mD_jG(u^{(k)})D_iu^{(k)}_j\right|\le C\norm{DG}_\infty v_i$。$\displaystyle G(u^{(k)})\to G(u),\sum_{j=1}^m D_jG(u^{(k)})\cdot D_iu^{(k)}_j\to \sum_{j=1}^mD_jG(u)D_iu_j\ (k\to\infty)$ であるからLebesgueの収束定理より
$$\norm{G(u^{(k)})-G(u)}_p,\norm{D_i(G(u^{(k)}))-\sum_{j=1}^mD_jG(u)D_iu_j}_p\to 0\ (k\to\infty)$$
となる。これより
$$G(u)\in W^{1,p}(\Omega),D_i(G(u))=\sum_{j=1}^mD_jG(u)D_iu_j.$$

一般の場合を示す。$\xi\in C^1(\R)$ を
$$|\xi|\le 1,\xi(t)=1\ \jf t\ge 1,\xi(t)\le 1\ \jf t\le 1,\xi(t)=t\ \jf |t|\le\frac{1}{2}$$
となるようにとり、$M\gt 0$ について $\xi_M(t)\colon=M\xi(M^{-1}t)\ (t\in\R)$ とする。$\xi$、$\xi_M$ は
$$\xi'\in C_c(\R),|\xi_M'(t)|=|\xi'(M^{-1}t)|\le 1,\xi_M'(t)\to 1\ (M\to\infty)$$
をみたす。

$G_M\colon=\xi_M(G)$ とする。$\xi_M(G)\in C^1(\R^m)$、$D_j(\xi_M(G))=\xi_M'(G)D_jG\in C_c(\R^m)^m$ であるから $DG\in L^\infty(\R^m)^m$ の場合より
$$G_M(u)\in W^{1,p}(\Omega),D_i(G_M(u))=\xi_M'(G(u))\sum_{j=1}^mD_jG(u)D_iu_j.$$
$|G_M(u)|\le|G(u)|$、$|\xi_M'(u)DG(u)|\le|DG(u)|$で、$$G_M(u)\to G(u),\sum_{j=1}^m\xi_M'(u)D_jG(u)D_iu_j\to \sum_{j=1}^m D_jG(u)D_iu_j\ (M\to\infty)$$
であるからLebesgueの収束定理より
$$\norm{G_M(u)-G(u)}_p,\norm{D_i(G_M(u))-\sum_{j=1}^m D_jG(u)D_iu_j}_p\to 0\ (M\to\infty).$$
よって
$$G(u)\in W^{1,p}(\Omega),D_i(G(u))=\sum_{j=1}^mD_jG(u)D_iu_j.$$
{{end|proof}}

{{theorem|type=rmk}}
$G(0)=0$ かつ $DG\in L^\infty(\R^m)^m$ であれば十分である。とくに $|\Omega|\lt\infty$ のときは $DG\in L^\infty(\R^m)^m$ であれば十分である。

帰納法により高階の合成関数の微分公式も成り立つ。すなわち、$u\in W^{k,1}_{\loc}(\Omega)^m$、$G\in C^k(\R^m)$ とすると、$G(u)$ の形式的な $\alpha$ 階微分( $|\alpha|\le k$ )がすべて $L^1_{\loc}(\Omega)$ に属せば $G(u)\in W^{k,1}_{\loc}(\Omega)$ で $D^\alpha (G(u))$ は形式的な $\alpha$ 階微分と一致する。

{{theorem|type=cor|name=積の微分|label=prod2}}
$k\in\Zp$ とする。$u_1,\ldots ,u_m\in W^{k,1}_{\loc}(\Omega)$ が $|\alpha|\le k$ について
$$\sum_{\beta_1+\ldots +\beta_m=\alpha}\frac{\alpha!}{\beta_1!\ldots \beta_m!}D^{\beta_1}u_1\ldots D^{\beta_m}u_m\in L^1_{\loc}(\Omega)$$
をみたすとすると
$$u_1\ldots u_m\in W^{k,1}_{\loc}(\Omega),D^\alpha(u_1\ldots u_m)=\sum_{\beta_1+\ldots +\beta_m=\alpha}\frac{\alpha!}{\beta_1!\ldots \beta_m!}D^{\beta_1}u_1\ldots D^{\beta_m}u_m\ (|\alpha|\le k).$$

{{begin|proof|display=''Proof.''|collapsible=1}}
$G(t_1,\ldots ,t_m)=t_1\ldots t_m$ として $k$ 階の合成関数の微分公式を用いればよい。
{{end|proof}}

$m=1$ の場合はより正則性を欠いた関数との合成を考えることもできる:

{{theorem|type=lem|label=chainlem}}
$u\in W^{1,1}_{\loc}(\Omega)$ とし、$N\subset\R$ はBorel集合で $|N|=0$ をみたすとする。このとき
$$Du=0\ \ae\on\{x\in\Omega\colon u(x)\in N\}.$$

{{begin|proof|display=''Proof.''|collapsible=1}}
$\Omega$ が有界で $u\in W^{1,1}(\Omega)$ の場合を示せば十分。

$m\in\Zp$ について開集合 $U_m\subset\R$ を $N\subset U_m$、$|U_m|\lt 2^{-m}$ となるようにとる。また $W_m\colon=\{x\in\Omega\colon u(x)\in U_m\}$ として
$$N'\colon=\bigcup_{l=1}^\infty\bigcap_{m=l}^\infty U_m,W\colon=\bigcup_{l=1}^\infty\bigcap_{m=l}^\infty W_m$$
とする。$N'$ は $N\subset N'$、$|N'|=0$ をみたす。

$U'_{m,1}\rcpt U'_{m,2}\rcpt\ldots\rcpt U_m$ を $\displaystyle \bigcup_{l=1}^\infty U'_{m,l}=U_m$ となるようにとると $\displaystyle \left|W_m\backslash\bigcup_{l=1}^\infty \left\{x\in\Omega\colon u(x)\in U'_{m,l}\right\}\right|=0$ となるので十分大きい $l$ をとって $U'_m\colon=U'_{m,l}$、$W'_m\colon=\{x\in\Omega\colon u(x)\in U'_m\}$ とすれば $|W_m\backslash W'_m|\lt 2^{-m}$ となる。

$\varphi_m\in C_c(U_m)$ を $0\le\varphi_m\le 1$ かつ $\varphi_m=1$ in $U'_m$ となるようにとり
$$G_m(t)\colon=\int_{-\infty}^t \varphi_m$$
とする。$G_m\in C^1(\R)$、$0\le G_m'\le 1$ であるから{{ref|type=thm|label=chain1}}より
$$G_m(u)\in W^{1,1}(\Omega),D_i(G_m(u))=G_m'(u)D_iu.$$
$G_m'=1$ in $U'_m$、$G_m'=0$ on $\R\backslash U_m$ より
$$D_i(G_m(u))=D_iu\ \on\ W'_m,D_i(G_m(u))=0\ \on\ \Omega\backslash W_m.$$
また
$$\norm{G_m(u)}_\infty\le\int_\R\varphi_m\le|U_m|\lt 2^{-m}.$$

$W$ と $W_m$ の定義から $\displaystyle W=\bigcup_{l=1}^\infty\bigcap_{m=l}^\infty W_m$ であるからa.e. $x\in \Omega\backslash W$ について十分大きい $m$ をとれば $D_i(G_m(u))(x)=0$ となる。一方
\begin{align*}
\left|W\backslash\bigcup_{l=1}^\infty\bigcap_{m=l}^\infty W'_m\right|&=\lim_{k\to\infty}\left|\bigcap_{m=k}^\infty W_m\backslash\bigcup_{l=1}^\infty\bigcap_{m=l}^\infty W'_m\right|\\
&\le\liminf_{k\to\infty}\left|\bigcap_{m=k}^\infty W_m\backslash\bigcap_{m=k}^\infty W'_m\right|\\
&=\liminf_{k\to\infty}\left|\bigcup_{l=k}^\infty\left(\bigcap_{m=k}^\infty W_m\backslash W'_l\right)\right|\\
&\le\liminf_{k\to\infty}\left|\bigcup_{l=k}^\infty(W_l\backslash W'_l)\right|\\
&\le\liminf_{k\to\infty}\sum_{l=k}^\infty|W_l\backslash W'_l|\\
&\le\liminf_{k\to\infty}\sum_{l=k}^\infty 2^{-l}=0.
\end{align*}
よってa.e. $x\in W$ について十分大きい $m$ をとれば $D_i(G_m(u))(x)=D_iu(x)$ となる。従って
$$D_i(G_m(u))\to D_iu\chi_W\ \ae\inn\Omega\ (m\to\infty).$$
$|D_i(G_m(u))|\le |D_iu|$ であるからLebesgueの収束定理より
$$\norm{D_i(G_m(u))-D_iu\chi_W}_1\to 0\ (m\to\infty).$$
一方 $\norm{G_m(u)}_\infty\lt 2^{-m}\to 0\ (m\to\infty)$。よって $G_m(u)$ は $m\to\infty$ とすると $W^{1,1}(\Omega)$ において $0$ に収束し、
$$D_iu\chi_W=0\ \ae\inn \Omega.$$
よって $Du=0$ a.e. on $W$。$W$ の定義より $\{x\in\Omega\colon u(x)\in N\}\subset W$ となるので主張が示された。
{{end|proof}}

{{theorem|type=thm|name=局所絶対連続関数と $W^{1,p}$ 関数の合成|label=chain2}}
$p\in[1,\infty]$、$u\in W^{1,p}_{\loc}(\Omega)$ とする。
*(1) $\R$ 上の $\L^n$ -可測関数 $f$ について $f(u)D_iu\ (i=1,\ldots ,n)$ はwell-definedである。
*(2) $G\in W^{1,1}_{\loc}(\R)$ とする。$u$ が
$$G(u),G'(u)D_iu\in L^p_{\loc}(\Omega)\ (i=1,...n)$$
をみたすとすると
$$G(u)\in W^{1,p}_{\loc}(\Omega),D_i(G(u))=G'(u)D_iu\ (i=1,\ldots ,n).$$

{{begin|proof|display=''Proof.''|collapsible=1}}
(1)を示す。$f$ のBorel可測な代表元 $f_1$ をとると $f_1(u)D_iu$ は $\L^n$ -可測である。また $f_2$ を $f$ の別の代表元とすると{{ref|type=lem|label=chainlem}}より
$$D_iu=0\ \ae\on\{x\in\Omega\colon f_1(u(x))\neq f_2(u(x))\}$$
であるから $f_1(u)D_iu=f_2(u)D_iu$ a.e. in $\Omega$ となる。これより $f(u)D_iu$ はwell-definedである。

(2)を示す。{{ref|type=thm|label=chain1}}
と同様に $p\in[1,\infty)$、$u\in W^{1,p}(\Omega)$、$G(u),G'(u)D_iu\in L^p(\Omega)$、$G(0)=0$ の場合を示せば十分。<ref name="chainsuf" />

$G'\in L^\infty(\R)$ の場合を示す。$\varepsilon\gt 0$ について $G_\varepsilon\colon=\eta_\varepsilon*G-\eta_\varepsilon*G(0)$ とする。$G_\varepsilon\in C^\infty(\R)$、$|G_\varepsilon'|\le\norm{G'}_\infty$、$G_\varepsilon(0)=0$ であるから{{ref|type=thm|label=chain1}}より
$$G_\varepsilon(u)\in W^{1,p}(\Omega),D_i(G_\varepsilon(u))=G_\varepsilon'(u)D_iu.$$
また $G_\varepsilon\to G,G_\varepsilon'\to G'$ a.e. in $\R\ (\varepsilon\to +0)$ であり、{{ref|type=lem|label=chainlem}}より $G_\varepsilon(u(x))\to G(u(x)),G_\varepsilon'(u(x))\to G'(u(x))\ (\varepsilon\to +0)$ とならないほどんど全ての $x\in\Omega$ について $D_iu(x)=0$ であるから
$$G_\varepsilon(u)\to G(u),G_\varepsilon'(u)D_iu\to G'(u)D_iu\ \ae\inn\Omega\ (\varepsilon\to +0).$$
$|G(u)|\le\norm{G'}_\infty|u|$、$|G_\varepsilon'(u)D_iu|\le\norm{G'}_\infty|D_iu|$ であるからLebesgueの収束定理より
$$\norm{G_\varepsilon(u)-G(u)}_p,\norm{G_\varepsilon'(u)D_iu-G'(u)D_iu}_p\to 0\ (\varepsilon\to +0).$$
従って
$$G(u)\in W^{1,p}(\Omega),D_i(G(u))=G(u)D_iu.$$

$u\in L^\infty(\Omega)$ の場合を示す。$\zeta\in C^\infty(B_2(0))$、$\zeta=1$ in $B_1(0)$ をとり、$m\in\Zp$ として $\zeta_m(x)\colon=\zeta(m^{-1}x)\ (x\in\R^n)$ とする。

$M\gt 0$ について $G_M(t)\ (t\in\R)$ を
$$G_M(t)=
\begin{cases}
\int_0^t\min\{\max\{G'(s),-M\},M\}ds\ &\colon t\ge 0\\
-\int_0^{-t}\min\{\max\{G'(s),-M\},M\}ds\ &\colon t\lt 0\\
\end{cases}$$
と定める。このとき $|G_M'|\le M$、$G_M'=\min\{\max\{G',-M\},M\}$、$G_M(0)=0$。

$|G_M'|\le M$、$G_M(0)=0$ より $|G_M(t)|\le M|t|\ (t\in\R)$ であるから $G_M(\zeta_mu)\in L^p(\Omega)$ で $\supp G_M(u)\subset B_{2m}(0)$ より $\supp G_M(\zeta_mu)\in L^p(\Omega)$。$G'\in L^\infty(\R)$ の場合より
$$G_M(u)\in W^{1,p}(\Omega),D_i(G_M(u))=\min\{\max\{G'(u),-M\},M\}D_iu.$$
また
$$|G_M(t)|\le
\begin{cases}
\int_0^t|\min\{\max\{G'(s),-M\},M\}|ds\le\int_0^t|G'(s)|ds\ &\colon t\ge 0\\
\int_0^{-t}|\min\{\max\{G'(s),-M\},M\}|ds\le\int_0^{-t}|G'(s)|ds\ &\colon t\lt 0\\
\end{cases}$$
であるから
$$|G_M(u)|\le\int_{-\norm{u}_\infty}^{\norm{u}_\infty}|G'(s)|ds.$$
またLebesgueの収束定理より各 $t\in\R$ について $G_M(t)\to G(t)\ (M\to\infty)$ であるからLebesgueの収束定理より
$$\norm{\zeta_mG_M(u)-\zeta_mG(u)}_p\to 0\ (M\to\infty).$$
また $t\in\R$ について $\min\{\max\{G'(t),-M\},M\}\le |G'(t)|$、$\min\{\max\{G'(t),-M\},M\}\to G'(t)\ (M\to\infty)$ であるから $|D_i(\zeta_mG_M(u))|\le|D_i\zeta_m||G_M(u)|+|\zeta_m||G(u)D_iu|$、$D_i(\zeta_mG_M(u))\to D_i\zeta_mG(u)+\zeta_mG'(u)D_iu\ (M\to\infty)$。Lebesgueの収束定理より
$$\norm{D_i(\zeta_mG_M(u))-(D_i\zeta_mG_M(u)+\zeta_mG'(u)D_iu)}_p\to 0\ (M\to\infty).$$
よって
$$\zeta_mG(u)\in W^{1,p}(\Omega),D_i(\zeta_mG(u))=D_i\zeta_mG_M(u)+\zeta_mG'(u)D_iu.$$
$m\to\infty$ とすれば $\norm{\zeta_mG(u)-G(u)}_p,\norm{D_i\zeta_mG_M(u)+\zeta_mG'(u)D_iu-G'(u)D_iu}_p\to 0$ となるので
$$G(u)\in W^{1,p}(\Omega),D_i(G(u))=G'(u)D_iu.$$

一般の場合を示す。$M,N\ge 0$ について
$$u_{M,N}\colon=\min\{\max\{u,-N\},M\}$$
とする。$G'\in L^\infty(\R)$ の場合より
$$u_{M,N}\in W^{1,p}(\Omega),D_iu_{M,N}=D_iu\chi_{\{-N\lt u\lt M\}}.$$
また $|u_{M,N}|\le \max\{M,N\}$ で、
$$|G'(u_{M,N})D_iu_{M,N}|=|G'(u_{M,N})D_iu|\chi_{\{-N\lt u\lt M\}}=|G'(u)D_iu|\chi_{\{-N\lt u\lt M\}}\le|G'(u)D_iu|$$
となるので $u\in L^\infty(\Omega)$ の場合より
$$G(u_{M,N})\in W^{1,p}(\Omega),D_i(G(u_{M,N}))=G'(u_{M,N})D_iu_{M,N}.$$

a.e. $x\in\Omega$ について $M,N\gt|u(x)|$ とすれば $u_{M,N}(x)=u(x)$ となることから
$$G(u_{M,N})\to G(u),G'(u_{M,N})D_iu_{M,N}\to G'(u)D_iu\ \ae\inn\Omega\ (M,N\to\infty).$$
$|G'(u_{M,N})D_iu_{M,N}|\le|G'(u)D_iu|$ であるからLebesgueの収束定理より
$$\norm{G'(u_{M,N})D_iu_{M,N}-G'(u)D_iu}_p\to 0\ (M,N\to\infty).$$

また $j\in\Zz$ について次のように $L_j,M_j,N_j\ge 0$ をとる:

$L_0=M_0=N_0\colon=0$ とする。

$L_j,M_j,N_j$ がとれたとする。 $|\{|u|\gt L\}|\to 0\ (L\to\infty)$ に注意し、$L_{j+1}$ を
$$L_{j+1}\ge L_j+1,|G(L_j)|^p|\{u\gt L_{j+1}\}|\lt 2^{-(j+1)},|G(-L_j)|^p|\{u\lt -L_{j+1}\}|\lt 2^{-(j+1)}$$
となるようにとる。$M_{j+1},N_{j+1}$ を $M_{j+1},N_{j+1}\in [L_j,L_{j+1}]$ かつ
$$|G(M_{j+1})|=\inf_{[L_j,L_{j+1}]}|G|,|G(-N_{j+1})|=\inf_{[-L_{j+1},-L_j]}|G|$$
となるようにとる。

このとき $j\in\Zp$ とすると $M_j,N_j\le L_j$ で $t\in[M_j,L_j]$ について $|G(M_j)|\le|G(t)|$、$t\in[-L_j,-N_j]$ について $|G(-N_j)|\le|G(t)|$。これより
$$|G(u_{M_j,N_j})|\chi_{\{|u|\le L_j\}}=
\begin{cases}
|G(-N_j)|\le|G(u)|&\colon u\in [-L_j,-N_j]\\
|G(u)|&\colon u\in(-N_j,M_j)\\
|G(M_j)|\le|G(u)|&\colon u\in [M_j,N_j]\\
0&\colon |u|\gt L_j
.\end{cases}
$$
また $\chi_{\{|u|\le L_j\}}\to 1$ a.e. in $\Omega\ (j\to\infty)$ より
$$G(u_{M_j,N_j})\chi_{\{|u|\le L_j\}}\to G(u)\ \ae\inn\Omega\ (j\to\infty).$$
Lebesgueの収束定理より
$$\norm{G(u_{M_j,N_j})\chi_{\{|u|\le L_j\}}-G(u)}_p\to 0\ (j\to\infty).$$
また $M_j,N_j\ge L_{j-1}\ge j-1$ より $M_j,N_j\to\infty\ (j\to\infty)$ であり、
\begin{align*}
\int_\Omega|G(u_{M_j,N_j})|^p\chi_{\{|u|\gt L_j\}}&=\int_\Omega(|G(M_j)|^p\chi_{\{u\gt M_j\}}+|G(-N_j)|^p\chi_{\{u\lt -N_j\}})\\
&=|G(M_j)||\{u\gt M_j\}|+|G(-N_j)||\{u\gt -N_j\}|\\
&\le|G(L_j)||\{u\gt L_{j-1}\}|+|G(-L_j)||\{u\gt -L_{j-1}\}|\\
&\le 2^{1-j}\to 0\ (j\to\infty).
\end{align*}
従って
$$\norm{G(u_{M_j,N_j})-G(u)}_p\to 0\ (j\to\infty).$$
$M_j,N_j\ge L_{j-1}\ge j-1\to\infty\ (j\to\infty)$ より
$$\norm{G'(u_{M_j,N_j})D_iu_{M_j,N_j}-G'(u)D_iu}_p\to 0\ (j\to\infty)$$
となることとあわせて
$$G(u)\in W^{1,p}(\Omega),D_i(G(u))=G'(u)D_iu$$
が成り立つ。
{{end|proof}}

==差分商による特徴づけ==
{{theorem|type=def|name=差分商|label=difq}}
$f\colon\Omega\to\R$ と開集合 $\Omega'\rcpt\Omega$ と $0\lt|h|\lt\dist(\Omega',\pOm)$ なる $h\in\R$ と $z\in\partial B_1(0)$ について
$$\Delta^h_z f(x)\colon=\frac{f(x+hz)-f(x)}{h}\ (x\in\Omega',i=1,\ldots ,n)$$
により $f$ の $z$ 方向の差分商 $\Delta^h_z f\colon\Omega'\to\R$ を定める。$\Delta^h_{e_i} f$ は $\Delta^h_i f$ と書く。

{{theorem|type=pro|name=差分商の初等的性質|label=difq1}}
開集合 $\Omega'\rcpt\Omega$ と $0\lt|h|\lt\frac{1}{2}\dist(\Omega',\pOm)$ なる $h\in\R$ と $\partial B_1(0)$ について次が成り立つ:
*(1) $f\in C^1(\Omega)$ について
$$\Delta^h_z f(x)=\int_0^1 D_if(x+thz)dt\ (x\in\Omega').$$
*(2) $f\colon\Omega\to\R$ について
$$\Delta^h_z(fg)(x)=\Delta^h_zf(x)g(x)+f(x+hz)\Delta^h_zg(x)=\Delta^h_zf(x)g(x+hz)+f(x)\Delta^h_zg(x)\ (x\in\Omega').$$
*(3) $f\colon \Omega\to\R$ と $g\colon\R^n\to\R$ が $\L^n$ -可測で $\supp g\subset\Omega'$ かつ $f(\cdot+hz)g,fg\in L^1(\Omega)$ とすると
$$\int_{\Omega'}\Delta^h_zfg=-\int_{\Omega}f\Delta^{-h}_zg.$$

{{begin|proof|display=''Proof.''|collapsible=1}}
(1) は微積分基本公式から直ちに従う。

(2) は
$$f(x+hz)g(x+hz)-f(x)g(x)=(f(x+hz)-f(x))g(x)+f(x+hz)(g(x+hz)-g(x))$$
から従う。

(3) は
\begin{align*}
\int_{\Omega'} \Delta^h_zfg&=\frac{1}{h}\left(\int_{\Omega'} f(x+hz)g(x)dx-\int_{\Omega'} f(x)g(x)dx\right)\\
&=\frac{1}{h}\left(\int_{\Omega'+hz} f(x)g(x-hz)dx-\int_{\Omega'} f(x)g(x)dx\right)\\
&=-\frac{1}{-h}\left(\int_\Omega f(x)g(x-hz)dx-\int_\Omega f(x)g(x)dx\right)\\
&=-\int_\Omega f\Delta^{-h}_zg
\end{align*}
となり従う。
{{end|proof}}

$p\in(1,\infty]$ のとき、差分商を用いて $W^{1,p}(\Omega)$ を特徴づけることができる。差分商は微分可能性を仮定することなく定義できるため、この特徴づけは $u\in W^{1,p}(\Omega)$ を示す上でしばしば有用なものである。

{{theorem|type=lem|label=difqlem}}
*(1) $p,p'\in[1,\infty]$ とする。$u\in W^{1,p}(\Omega)$ とすると $z\in\partial B_1(0)$ について
$$\norm{D_zu}_p=\sup\left\{\int_\Omega uD_z\varphi\colon\varphi\in C^\infty_c(\Omega),\norm{\varphi}_{p'}\le 1\right\}.\tag{*}\label{difqlem1}$$
ここで $\displaystyle D_zu\colon=z\cdot Du$ である。
*(2) $p\in(1,\infty]$ の場合は逆に $u\in L^p(\Omega)$ で各 $i=1,\ldots ,n$ について(\ref{difqlem1})の右辺が有限であれば $u\in W^{1,p}(\Omega)$ である。

{{begin|proof|display=''Proof.''|collapsible=1}}
(1)を示す。(\ref{difqlem1})の右辺を $A_z$ とおく。$\varphi\in C^\infty(\Omega)$ について
$$\int_\Omega uD_z\varphi=-\int_\Omega D_zu\varphi$$
であるから
$$A_z=\sup\left\{-\int_\Omega D_zu\varphi\colon\varphi\in C^\infty_c(\Omega),\norm{\varphi}_{p'}\le 1\right\}=\norm{D_zu}_p.$$

(2)を示す。$A_i=A_{e_i}\lt\infty\ (i=1,\ldots ,n)$ とすると $\varphi\mapsto\int_\Omega uD_i\varphi$ は $L^{p'}(\Omega)$ 上の有界線型汎関数に拡張され、$p'\in[1,\infty)$ よりこの汎関数はある $v_i\in L^p(\Omega)$ を用いて $\varphi\mapsto-\int_\Omega v_i\varphi$ と表される。従って
$$\int_\Omega uD_i\varphi=-\int_\Omega v_i\varphi\ (\forall\varphi\in C^\infty_c(\Omega))$$
となり $u\in W^{1,p}(\Omega)$、$D_iu=v_i$ となる。
{{end|proof}}

{{theorem|type=rmk}}
(2)は $p=1$ の場合は成り立たない。<ref name="BV">(2)で $p=1$ とした仮定をみたす関数は有界変動関数と呼ばれる。$\Omega$ 上の有界変動関数の空間は $BV(\Omega)$ と書かれ、これも重要な関数空間のひとつである。</ref>例えば $n=1$、$\Omega=\R$、$u=\chi_{(0,\infty)}$ とすると $\varphi\in C^\infty_c(\R)$、$\norm{\varphi}_\infty\le 1$ について $\int_\R u\varphi'=\int_0^\infty \varphi'=-\varphi(0)\le 1$ となる。一方 $u\in W^{1,1}(\Omega)$ であったとして $v=u'$ とすると任意の $\varphi\in C^\infty_c(\R)$ について $\int_\R v\varphi=\varphi(0)$ となり、とくに $x\in\R\backslash\{0\}$ として $\varepsilon\gt 0$ を十分小さくとると $\eta_\varepsilon*v(x)=\eta_\varepsilon(x)=0$ となるので $\eta_\varepsilon*v\to 0$ a.e. in $\R$ であり $v=0$ となるがこれは $\int_\R v\varphi=\varphi(0)$ に矛盾する。

{{theorem|type=thm|name=$W^{1,p}(\Omega)$ の差分商による特徴づけ|label=difq1}}
*(1) $\Omega'\rcpt\Omega$ を開集合とする。$0\lt|h|\lt\frac{1}{2}\dist(\Omega',\pOm)$ なる $h\in\R$ と $z\in\partial B_1(0)$ と $p\in[1,\infty]$、$u\in W^{1,p}(\Omega)$ について
$$\norm{\Delta^h_z u}_{p;\Omega'}\le \norm{D_zu}_p.$$
*(2) $p\in(1,\infty]$ の場合は逆に $u\in L^p(\Omega)$ について、$C_i\ge 0$ が存在して任意の開集合 $\Omega'\rcpt\Omega$ と $0\lt|h|\lt\frac{1}{2}\dist(\Omega',\pOm)$ なる $h\in\R$ について $\norm{\Delta^h_i u}_{p;\Omega'}\le C_i$ が成り立てば
$$u\in W^{1,p}(\Omega),\norm{D_iu}_{p;\Omega}\le C_i\ (i=1,\ldots ,n).$$

{{begin|proof|display=''Proof.''|collapsible=1}}
(1)を示す。$\varphi\in C^\infty_c(\Omega')$、$\norm{\varphi}_{p'}\le 1$ について
$$\int_{\Omega'}\Delta^h_z u\varphi=-\int_\Omega u\Delta^{-h}_z\varphi=-\int_\Omega u(x)\left(\int_0^1 D_z\varphi(x-thz)dt\right)dx$$
で、{{ref|type=lem|label=difqlem}}より $t\in[0,1]$ について
$$-\int_\Omega u(x)\varphi(x-thz)dx\le\norm{D_zu}_p.$$
よって $\norm{\Delta^h_zu}_p\le\int_0^1\norm{D_zu}_pdt=\norm{D_zu}_p$。

(2)を示す。$\varphi\in C^\infty_c(\Omega)$、$\norm{\varphi}_{p'}\le 1$ として開集合 $\Omega'\rcpt\Omega$ を $\supp\varphi\subset\Omega'$ となるようにとると十分小さい $h\gt 0$ について
$$C_i\ge-\int_\Omega\Delta^h_i u(x)\varphi(x)dx=\int_\Omega u(x)\Delta^{-h}_i\varphi(x)dx=\int_\Omega u(x)\left(\int_0^1 D_i\varphi(x-the_i)dt\right)dx$$
で、$h\to +0$ とすれば
$$\int_\Omega uD_i\varphi\le C_i$$
となる。{{ref|type=lem|label=difqlem}}より $u\in W^{1,p}(\Omega)$、$\norm{D_iu}_p\le C_i$。
{{end|proof}}

{{theorem|type=rmk}}
$\Omega\subset\Rnp$ とし、$T\subset\pOm$ を $T\subset\pRnp$ なる相対開集合とする。$\Omega'\rcpt\OmT$ を開集合とし、$h\in\R$、$0\lt|h|\lt\frac{1}{2}\dist(\Omega',\pOm\backslash T)$ とすると、$z\in\partial B_1(0)\cap\pRnp$ については
$f\colon\Omega\to\R$ の差分商 $\Delta^h_i f\colon\Omega'\to\R$ を定義することができる。$p\in(1,\infty]$、$u\in L^p(\Omega)$、$i=1,\ldots ,n-1$ について、$C_i\ge 0$ が存在して任意の開集合 $\Omega'\rcpt\OmT$ と $h\in\R$、$0\lt|h|\lt\frac{1}{2}\dist(\Omega',\pOm)$ について $\norm{\Delta^h_i u}_{p;\Omega'}\le C_i$ が成り立てば $u$ の弱微分 $D_iu$ が存在し
$$\norm{D_iu}_p\le C_i\ (i=1,\ldots ,n-1)$$
となることが{{ref|type=thm|label=difq1}}と同様に示される。これは境界の近傍における $u$ の正則性を調べる上で重要となるが、法線微分 $D_nu$ が存在するかは別の方法で調べる必要がある。

==$p=\infty$ の場合==
$W^{k,\infty}(\Omega)$ は著しく特殊であり、Lipschitz連続性によって特徴づけることができる。
{{theorem|type=thm|name=$W^{k,\infty}(\Omega)$ の特徴づけ|label=lip}}
$k\in\Zp$ とする。
*(1) $C^{k-1,1}(\Ombar)\subset W^{k,\infty}(\Omega)$ で $u\in C^{k-1,1}(\Ombar)$ について
$$\norm{D^ku}_{\infty;\Omega}\le[u]_{k-1,1;\Omega}.$$
さらに $\Omega$ が[[Hölder空間の基本事項]]の補題14の($\dagger$)をみたすとすると $W^{k,\infty}(\Omega)=C^{k-1,1}(\Ombar)$ で $u\in W^{k,\infty}(\Omega)$ について
$$[u]_{k-1,1;\Omega}\le C_{k,\Omega}\norm{D^ku}_{k,\infty;\Omega}.$$
*(2) 任意の開集合 $\Omega\subset\R^n$ について
$$W^{k,\infty}_{\loc}(\Omega)=C^{k-1,1}(\Omega).$$

また $u\in W^{k,\infty}_{\loc}(\Omega)=C^{k-1,1}(\Omega)$ について、$k$ 階以下の各点での微分と弱微分は一致する。

{{begin|proof|display=''Proof.''|collapsible=1}}
$k=1$ の場合を示せば十分。

(2)は(1)と凸領域が($\dagger$)をみたすことから直ちに従う。

(1)を示す。$u\in C^{0,1}(\Ombar)$ とすると任意の $\Omega'\rcpt\Omega$ について $\Delta^h_iu$ は $h\to +0$ とすると $\Omega'$ 上で各点微分の意味の $D_iu$ に収束する。$\varphi\in C^\infty_c(\Omega')$ について
$$\int_\Omega D_iu\varphi=\lim_{h\to 0}\int_{\Omega'}\Delta^h_iu\varphi=-\lim_{h\to 0}\int_\Omega u\Delta^{-h}_i\varphi=-\int_\Omega uD_i\varphi.$$
これより $u\in W^{1,\infty}(\Omega)$ で、$u$ は弱微分は a.e. in $\Omega$ で $u$ の各点微分と一致する。また $\norm{D_iu}_\infty\le[u]_{0,1}$。

逆に $u\in W^{1,\infty}(\Omega)$ とする。$x,y\in\Omega$ とし、$x_0=x$、$x_N=y$、$l(p)\le L|x-y|$ となるように $\Omega$ 内の折れ線 $p=\{x_i\}_{i=0}^N$ をとる。$\displaystyle \bigcup_{i=0}^N\{(1-t)x_i+tx_{i+1}\colon t\in[0,1]\}$ はコンパクトより開集合 $\Omega'\rcpt\Omega$ をとって $\displaystyle\bigcup_{i=0}^N\{(1-t)x_i+tx_{i+1}\colon t\in[0,1]\}\subset\Omega'$ とできる。$\zeta\in C^\infty_c(\Omega)$ を $\zeta=1$ in $\Omega'$ となるようにとる。十分小さい $\varepsilon\gt 0$ をとると任意の $i=0,\ldots ,N-1$ と $t\in[0,1]$ について $B_\varepsilon((1-t)x_i+tx_{i+1})\subset\Omega'$ となり
$$|\eta_\varepsilon*D(\zeta u)((1-t)x_i+tx_{i+1})|\le C\norm{D(\zeta u)}_{\infty;\Omega'}=C\norm{Du}_{\infty;\Omega'}\ (j=1,\ldots ,n).$$
これより $i=0,\ldots ,N-1$ について
\begin{align*}
|\eta_\varepsilon*(\zeta u)(x_{i+1})-\eta_\varepsilon*(\zeta u)(x_i)|&=\left|\int_{\R^n}(\eta_\varepsilon(x_{i+1}-z)-\eta_\varepsilon(x_i-z))(\zeta u)(z)dz\right|\\
&=\left|\int_{\R^n}\left(\int_0^1 D\eta_\varepsilon((1-t)x_i+tx_{i+1}-z)\cdot(x_{i+1}-x_i)dt\right)(\zeta u)(z)dz\right|\\
&=\left|\int_0^1\eta_\varepsilon*D(\zeta u)((1-t)x_i+tx_{i+1})\cdot(x_{i+1}-x_i)dt\right|\\
&=\int_0^1|\eta_\varepsilon*D(\zeta u)((1-t)x_i+tx_{i+1})||x_{i+1}-x_i|dt\\
&\le C\norm{Du}_{\infty}|x_{i+1}-x_i|
\end{align*}
となり
$$|\eta_\varepsilon*(\zeta u)(y)-\eta_\varepsilon*(\zeta u)(x)|\le C\norm{Du}_\infty l(p)\le C\norm{Du}_\infty|x-y|.$$
$\varepsilon\to+0$ すれば、$u$ のLebesgue点 $x,y\in\Omega'$ について
$$|u(x)-u(y)|\le C\norm{Du}_\infty|x-y|$$
が成り立つ。$\Omega$ のほとんど全ての点が $u$ のLebesgue点であり、とくに $u$ のLebesgue点は $\Omega$ で稠密であるから、$u^*\colon\Omega\to\R$ を $u$ のLebesgue点で $u^*=u$ かつ $|u^*(x)-u^*(y)|\le C\norm{Du}_\infty|x-y|\ (\forall x,y\in\Omega)$ となるようにとれる。これより
$$u=u^*\in C^{0,1}(\Ombar),[u]_{0,1}\le C\norm{Du}_\infty.$$
{{end|proof}}

{{theorem|type=rmk}}
同様にして $T\subset\pOm$ が[[Hölder空間の基本事項]]の系16の($\dagger_\loc$)をみたすとき $W^{k,\infty}_\loc(\Omega)\subset C^{k-1,1}(\Omega\cup T)$ となることが証明できる。

$\gamma\colon [a,b]\to\Omega$ をLipschitz曲線とし、$u\in C^{0,1}(\Omega)$ とすると $u\circ\gamma\in C^{0,1}([a,b])=W^{1,\infty}(a,b)$ となるので $x\colon=\gamma(a)$、$y\colon=\gamma(b)$ とすれば
$$u(y)=u(x)+\int_a^b (u\circ\gamma)'(t)dt$$
が成り立つ。とくに a.e. $t\in(a,b)$ について $u$ が $\gamma(t)$ において微分可能であれば
$$u(y)=u(x)+\int_a^b Du(\gamma(t))\cdot\gamma'(t)dt$$
が成り立つ。

==変数変換公式==

{{theorem|type=thm|name=変数変換公式|label=chavar}}
$D,\widetilde{D}\subset\R^n$ を開集合とし、$\psi\colon \widetilde{D}\to D$ は全単射で $\psi,\psi^{-1}$ はともに $C^{0,1}$ 写像であるとする。$\widetilde{\Omega}\rcpt\widetilde{D}$ を開集合とし、$\Omega\colon=\psi(\widetilde{\Omega})$ とする。$u\in W^{1,p}(\Omega)$ について
$$u\circ\psi\in W^{1,p}(\widetilde{\Omega}),D_j(u\circ\psi)=\sum_{i=1}^n (D_iu\circ\psi)D_j\psi_i.$$
とくに
$$\norm{u\circ\psi}_{1,p;\widetilde{\Omega}}\le C_{\psi}\norm{u}_{1,p;\Omega}.$$

{{begin|proof|display=''Proof.''|collapsible=1}}
$u\in C^{0,1}(\Omega)\cap W^{1,p}(\Omega)$ とする。$u$ はa.e. in $\Omega$ で微分可能で、{{ref|type=thm|label=lip}}より各点微分は弱微分と一致する。また $\psi^{-1}$ がLipschitz写像であることから $|\{y\in\widetilde{\Omega}\colon\ u\ は\ \psi(y)\ で微分不可能\}|=|\psi^{-1}(\{x\in\Omega\colon u\ は\ x\ で微分不可能\})|=0$ となり、a.e. $y\in\widetilde{\Omega}$ について $u$ は $\psi(y)$ で微分可能である。 $\psi$ はa.e. in $\widetilde{\Omega'}$ で微分可能であるから $u\circ\psi$ もa.e. in $\widetilde{\Omega'}$ で微分可能で
$$D_j(u\circ\psi)=\sum_{i=1}^n (D_iu\circ\psi)D_j\psi_i.$$
$p=\infty$ の場合は $\norm{u\circ\psi}_\infty=\norm{u}_\infty$ と
$$\norm{D_j(u\circ\psi)}_\infty\le\sum_{i=1}^n \norm{D_iu\circ\psi}_\infty\norm{D_j\psi_i}_\infty\le C\sum_{i=1}^n\norm{D_iu}_\infty$$
より
$$u\circ\psi\in W^{1,\infty}(\Omega),\norm{u\circ\psi}_{1,\infty}\le C\norm{u}_{1,\infty}$$
が成り立つ。

$p\in[1,\infty)$ の場合はarea不等式([[Hausdorff測度とarea_coarea_formula]]の定理19)より
$$\int_{\Omega'}|u\circ\psi|^p\le C\int_\Omega |u|^p.$$
また $D\psi$ は $\Omega'$ 上で有界であるから $i,j\in\{1,\ldots ,n\}$ について
$$\int_{\Omega'}|(D_iu\circ\psi)D_j\psi_i|^p\le C\int_{\Omega'}|D_iu\circ\psi|^p\le C\int_\Omega |D_iu|^p$$
となるので
$$\norm{D_j(u\circ\psi)}_p\le \sum_{i=1}^n\norm{(D_iu\circ\psi)D_j\psi_i}_p\le C\sum_{i=1}^n\norm{D_iu}_p$$
となり
$$u\circ\psi\in W^{1,p}(\Omega),\norm{u\circ\psi}_{1;p}\le C\norm{u}_{1;p}$$
が成り立つ。

$p\in[1,\infty)$ の一般の場合は $u_m\in C^\infty(\Omega)\cap W^{1,p}(\Omega)$ を $\norm{u_m-u}_{1,p}\to 0\ (m\to\infty)$ となるようにとると
$$\norm{u_m-u}_p,\norm{\sum_{i=1}^n(D_iu_m\circ\psi)D_j\psi_i-\sum_{i=1}^n(D_iu\circ\psi)D_j\psi_i}_p\to 0\ (m\to\infty)$$
となることから従う。
{{end|proof}}

{{theorem|type=cor|label=kchavar}}
$D,\widetilde{D}\subset\R^n$ を開集合とし、$\psi\colon \widetilde{D}\to D$ は全単射で $\psi,\psi^{-1}$ はともに $C^{k-1,1}$ 写像であるとする。$\widetilde{\Omega}\rcpt\widetilde{D}$ を開集合とし、$\Omega\colon=\psi(\widetilde{\Omega})$ とする。$u\in W^{k,p}(\Omega)$ について
$$u\circ\psi\in W^{k,p}(\widetilde{\Omega}),\norm{u\circ\psi}_{k,p;\widetilde{\Omega}}\le C_{k,\psi}\norm{u}_{k,p;\Omega}.$$

{{begin|proof|display=''Proof.''|collapsible=1}}
{{ref|type=thm|label=chavar}}と積の微分を用いて $k$ に関する帰納法により証明できる。
{{end|proof}}

==Sobolev空間 $W^{k,p}_0(\OmT)$==

{{theorem|type=def|name=$W^{k,p}_c(\OmT),W^{k,p}_0(\OmT)$|label=defsob0}}
$k\in\Zp$、$p\in[1,\infty)$ とし、$T\subset\pOm$ を相対開集合とする。$W^{k,p}_c(\OmT)$ の $W^{k,p}(\Omega)$ のノルムでの閉包を $W^{k,p}_0(\OmT)$ と表す。$W^{k,p}_0(\Omega\cup\emptyset)$ は単に $W^{k,p}_0(\Omega)$ とかく。

{{theorem|type=rmk}}
{{ref|type=thm|label=apx3}}の注意より、$T$ が線分条件をみたす場合は $C^\infty_c(\OmT)\subset W^{k,p}_0(\OmT)$ は稠密である。とくに $C^\infty_c(\Omega)\subset W^{k,p}_0(\Omega)$ は稠密である。

$W^{1,p}_0(\OmT)$ は「弱い意味で $u=0$ on $\pOm\backslash T$ 」となる関数の空間としてよく用いられ、より高階の微分可能性と組み合わせて $W^{2,p}(\Omega)\cap W^{1,p}_0(\OmT)$ などの形で用いられることがある。なお、この空間を $W^{2,p}_0(\OmT)$ と混同しないように注意せよ。

$W^{k,2}_0(\OmT)$ は $H^k_0(\OmT)$ と書かれることが多い。

{{theorem|type=pro|name=$u\in W^{k,p}_0(\OmT)$ の拡張|label=ext0}}
$k\in\Zp$、$p\in[1,\infty)$ とし、$T\subset\pOm$ を相対開集合とする。$D\subset\R^n$ は開集合で $\Omega\subset D$、
$T\subset\partial D$ をみたすとする。このとき $u\in W^{k,p}_0(\OmT)$ について
$$v\colon=\begin{cases}
u&\ \inn\Omega\\
0&\ \on D\backslash\Omega
\end{cases}$$
とすると $v\in W^{k,p}_0(D\cup T)$ である。

{{begin|proof|display=''Proof.''|collapsible=1}}
$u\in W^{1,p}_c(\OmT)$ とする。$\dist(\supp u,\pOm\backslash T)\gt 0$ より $\zeta\in C^\infty(\Omega)$ を $\zeta=1$ on $\supp u$ かつ $\pOm\backslash T$ の近傍で $\zeta=0$ となるようにとれる。$\zeta=0$ on $D\backslash\Omega$ として $\zeta$ を $D$ 上に拡張すると $D\cap\pOm\subset\pOm\backslash T$ の近傍で $\zeta=0$ より $\zeta\in C^\infty(D)$。また $\supp\zeta\rcpt\OmT$。

$\varphi\in C^\infty_c(D)$ とすると $\zeta\varphi\in C^\infty_c(\Omega)$。$D_i\zeta=0$ on $\supp u$ に注意すると
$$\int_D vD_i\varphi=\int_\Omega \zeta uD_i\varphi=\int_\Omega u(D_i(\zeta\varphi)-D_i\zeta\varphi)=-\int_\Omega D_iu\zeta\varphi=-\int_\Omega D_iu\varphi.$$
これより $v\in W^{1,p}(D)$。また $\supp v=\supp u\rcpt D\cup T$ で、$Dv=Du$ in $\Omega$、$Dv=0$ on $D\backslash\Omega$。

帰納法により $u\in W^{k,p}_c(\OmT)$ のとき $v\in W^{k,p}_c(D\cup T)$ となる。近似により主張が従う。
{{end|proof}}

{{theorem|type=rmk}}
以下では $\Omega\subset D$、
$T\subset\partial D$ のとき $u\in W^{k,p}_0(\OmT)$ とそのここで構成した $D$ 上への拡張を区別せず $W^{k,p}_0(\OmT)\subset W^{k,p}_0(D\cup T)$ と見做す。

{{theorem|type=pro|name=部分積分|label=intpart}}
$p\in[1,\infty)$ とする。$T_1,T_2\subset\pOm$ は $T_1\cap T_2=\emptyset$ をみたすとする。$u\in W^{1,p}_0(\OmT_1)$、$v\in W^{1,p'}_0(\OmT_2)$ とすると
$$\int_\Omega D_iuv=-\int_\Omega uD_iv\ (i=1,\ldots ,n)$$

{{begin|proof|display=''Proof.''|collapsible=1}}
近似により $u\in W^{1,p}_c(\OmT_1)$、$v\in W^{1,p'}_c(\OmT_2)$ としてよい。$uv,D_iuv+uD_iv\in L^1(\Omega)$ より $uv\in W^{1,1}(\Omega)$。$T_1\cap T_2=\emptyset$ より $\supp uv\rcpt\Omega$ であるから $uv\in W^{1,1}_c(\Omega)$。$C^\infty_c(\Omega)\subset W^{1,1}_0(\Omega)$ は稠密であるから近似により $\displaystyle \int_\Omega D_i(uv)=0$。これより主張が従う。
{{end|proof}}

{{theorem|type=pro|label=c0}}
$p\in[1,\infty)$ とし、$T\subset\pOm$ を相対開集合とする。$u\in W^{1,p}(\Omega)$ が任意の有界な $S\subset\pOm\backslash T$ について
$$\limsup_{x\to S}|u(x)|\colon=\lim_{\delta\to +0}\esssup_{\dist(x,S)\lt\delta}|u(x)|=0$$
をみたすとすると $u\in W^{1,p}_0(\OmT)$。

{{begin|proof|display=''Proof.''|collapsible=1}}
$\supp u$ が有界な場合を示す。$B=B_R(0)$ を $\supp u\rcpt B$ となるようにとる。

$G\in C^1(\R)$ を $G(t)=0$ if $|t|\lt 1$、$G(t)=t$ if $|t|\gt 2$ となるようにとる。$G'(t)=1$ if $|t|\gt 2$ より $G'\in L^\infty(\R)$。$\varepsilon\gt 0$ について $G_\varepsilon(t)\colon=\varepsilon G(\varepsilon^{-1}t)$ とする。このとき $G_\varepsilon(t)=0$ if $|t|\lt\varepsilon$、$G_\varepsilon(t)=t$ if $|t|\gt\varepsilon$、$|G'_\varepsilon|\le\norm{G'}_\infty$ であるから{{ref|type=thm|label=chain1}}より $G(u)\in W^{1,p}(\Omega)$。また仮定より十分小さい $\delta\gt 0$ をとると
$$|u|\lt\varepsilon\ \ae\inn\{x\in\Omega\colon\dist(x,(\pOm\cap B)\backslash T)\lt\delta\}\cup(\R^n\backslash B_{R-\delta}(0)).$$
これより
$$\dist(\supp G_\varepsilon(u),(\pOm\cap B)\backslash T),\dist(\supp G_\varepsilon(u),(\pOm\backslash B)\backslash T)\ge\delta$$
従って $\dist((\supp G_\varepsilon(u),\pOm\backslash T)\gt 0$ となり $G_\varepsilon(u)\in W^{1,p}_c(\OmT)$。

$u(x)\neq 0$ なる $x\in\Omega$ について $\varepsilon\lt \frac{1}{2}|u(x)|$ とすれば $G_\varepsilon(u(x))=u(x)$ となり、$u(x)=0$ なる $x\in\Omega$ については $G_\varepsilon(u(x))=u(x)=0$ となるのでLebesgueの収束定理より $\norm{G_\varepsilon(u)-u}_p\to 0\ (\varepsilon\to +0)$。また $u(x)\neq 0$ なる $x\in\Omega$ について $\varepsilon\lt \frac{1}{2}|u(x)|$ とすれば $D(G_\varepsilon(u(x)))=G'_\varepsilon(u(x))Du(x)=Du(x)$ となり、$G'_\varepsilon(0)=0$ と{{ref|type=lem|label=chainlem}}より $D(G_\varepsilon(u))=G'_\varepsilon(u)Du=0=Du$ a.e. on $\{u=0\}$ となるのでLebesgueの収束定理より $\norm{D(G_\varepsilon(u))-Du}_p\to 0\ (\varepsilon\to +0)$。これより $u\in W^{1,p}_0(\OmT)$。

$\Omega$ が有界でない場合は $\zeta\in C^\infty_c(\Omega)$ を $\zeta=1$ in $B_1(0)$ となるようにとり、 $\zeta_m(x)=\zeta(m^{-1}x)\ (m\in\Zp)$ とすると仮定より明らかに $\zeta_mu$ も同じ仮定をみたし $\supp\zeta_mu$ は有界であるから $\zeta_mu\in W^{1,p}_0(\OmT)$。$m\to\infty$ として主張を得る。
{{end|proof}}

{{theorem|type=rmk}}
とくに $u\in W^{1,p}(\Omega)\cap C(\Ombar\backslash T)$ で $u=0$ on $\pOm\backslash T$ であれば $u\in W^{1,p}_0(\OmT)$ となる。

{{theorem|type=pro|name=合成関数と積|label=chapro0}}
$p\in[1,\infty)$ とし、$T\subset\pOm$ を相対開集合とする。
*(1) $G\in C^1(\R^m)$ が
$$G(0,\ldots,0,t_{j+1},\ldots,t_m)=0\ (t_{j+1},\ldots,t_m\in\R)$$
をみたすとする。$u=(u_1,\ldots,u_m)\in W^{1,p}(\Omega)^m$ が
$$u_1,\ldots,u_j\in W^{1,p}_0(\OmT)$$
かつ
$$G(u),\sum_{j=1}^m D_jG(u)D_iu_j\in L^p(\Omega)\ (i=1,\ldots,n)$$
をみたすとすると $G(u)\in W^{1,p}_0(\OmT).$
*(2) $G\in W^{1,1}_{\loc}(\R)$、$G(0)=0$ とする。$u\in W^{1,p}_0(\OmT)$、$G(u),G'(u)D_iu\in L^p(\Omega)$ とすると $G(u)\in W^{1,p}_0(\OmT)$。
*(3) $u\in W^{1,p}_0(\OmT)$、$v\in W^{1,p}(\Omega)$ が $uv,D_iuv+uD_iv\in L^p(\Omega)$ をみたすとすると $uv\in W^{1,p}_0(\OmT)$。

{{begin|proof|display=''Proof.''|collapsible=1}}
(1)の $DG\in L^\infty(\R^m)$ の場合は{{ref|type=thm|label=apx3}}の注意より{{ref|type=thm|label=chain1}}の証明で $u^{(k)}=(u^{(k)}_1,\ldots ,u^{(k)}_m)$ を $u^{(k)}_1,\ldots,u^{(k)}_j\in W^{1,p}_c(\OmT)$ となるようにとれ、このとき $\supp G(u^{(k)})\rcpt\OmT$ となり $G(u)\in W^{1,p}_0(\OmT)$ が従う。一般の場合は{{ref|type=thm|label=chain1}}と同様である。

(2)は(1)より{{ref|type=thm|label=chain2}}の証明で $W^{1,p}(\OmT)$ を $W^{1,p}_0(\OmT)$ にとりかえられることから従う。
{{end|proof}}

==Sobolev空間 $W^{-k,p}(\Omega)$==

{{theorem|type=def|name=$W^{-k,p}(\Omega)$|label=0dual}}
$k\in\Zp$、$p\in(1,\infty]$ とする。$W^{k,p'}_0(\Omega)$ のノルム $\norm{\cdot}_{k,p';\Omega}$ に関する双対空間を $W^{-k,p}(\Omega)$ と表す。

{{theorem|type=pro|label=0dualrep}}
$k\in\Zp$、$p\in(1,\infty]$ とする。$\varphi\in W^{-k,p}(\Omega)$ について $g_\alpha\in L^p(\Omega)\ (|\alpha|\le k)$ が存在し
$$\langle \varphi,u\rangle=\sum_{|\alpha|\le k}(-1)^{|\alpha|}\int_\Omega g_\alpha D^\alpha u\ (\forall u\in W^{k,p}_0(\Omega))\tag{*}\label{rep}$$
かつ
$$\norm{\varphi} =\begin{cases}
\left(\sum_{|\alpha|\le k} \norm{g_\alpha}_{p;\Omega}^p\right)^\frac{1}{p}&\colon p\in(1,\infty)\\
\max_{|\alpha|\le k}\norm{g_\alpha}_{\infty;\Omega} &\colon p=\infty
\end{cases}.$$
ここで $\norm{\cdot}$ は $W^{k,p}_0(\Omega)$ のノルム $\norm{\cdot}_{k,p;\Omega}$ に関する双対ノルムである。

{{begin|proof|display=''Proof.''|collapsible=1}}
$|\alpha|\le k$ なる多重指数 $\alpha$ を $\alpha_1,\ldots ,\alpha_N$ と番号づけて $W^{k,p'}_0(\Omega)$ を $u\mapsto (D^{\alpha_1}u,\ldots ,D^{\alpha_N}u)$ により $L^{p'}(\Omega)^N$ の部分空間と見做す。Hahn-Banachの定理より $\varphi$ は $\varphi'\in(L^{p'}(\Omega)^N)^*$ に拡張でき、$\norm{\varphi'} =\norm{\varphi}$。ここで $\norm{\varphi'}$ は $L^p(\Omega)^N$ のノルム
$$\norm{(f_1,\ldots ,f_N)} =\left(\sum_{i=1}^N|f_i|^p\right)^\frac{1}{p}$$
に関する双対ノルムである。$\varphi'$ は $\varphi'_i\in (L^{p'}(\Omega))^*\ (i=1,\ldots ,N)$ を用いて
$$\langle \varphi',f\rangle=\sum_{i=1}^N\langle \varphi'_i,f_i\rangle\ (f=(f_1,\ldots ,f_N)\in L^{p'}(\Omega))$$
と表され、
$$\norm{\varphi} =\norm{\varphi'} =\begin{cases}
\left(\sum_{i=1}^N \norm{\varphi_i} ^p\right)^\frac{1}{p}&\colon p\in(1,\infty)\\
\max_{i=1,\ldots ,N}\norm{\varphi_i} &\colon p=\infty
\end{cases}.$$
各 $i=1,\ldots ,N$ について $g_i\in L^p(\Omega)$ が存在して $\langle \varphi'_i,f\rangle=(-1)^{|\alpha_i|}\int_\Omega g_if\ (f\in L^{p'}(\Omega))$、$\norm{\varphi'_i} =\norm{g_i}_p$。$g_i$ を $g_{\alpha_i}$ と書き直せば
$$\langle\varphi,u\rangle=\sum_{|\alpha|\le k}\int_\Omega g_\alpha D^\alpha u\ (u\in W^{k,p'}_0(\Omega))$$
かつ
$$\norm{\varphi} =\begin{cases}
\left(\sum_{|\alpha|\le k} \norm{g_\alpha}_p^p\right)^\frac{1}{p}&\colon p\in(1,\infty)\\
\max_{|\alpha|\le k}\norm{g_\alpha}_\infty &\colon p=\infty
\end{cases}$$
が成り立つ。
{{end|proof}}

{{theorem|type=def|name=$W^{-k,p}(\Omega)$ の元の表示|label=defdualrep}}
$\varphi\in W^{-k,p}(\Omega)$ を(\ref{rep})をみたす $g_\alpha\in L^1_\loc(\Omega)$ を用いて
$$\varphi=\sum_{|\alpha|\le k}D^\alpha g_\alpha$$
と表す。またこの表示により $\varphi=g$ と表される $\varphi\in W^{-k,p}(\Omega)$ を $g\in L^1_\loc(\Omega)$ と同一視し、$L^p(\Omega)\subset W^{-k,p}(\Omega)$ と見做す。

{{theorem|type=rmk}}
超関数の用語を用いて言い換えると、$\varphi\in W^{-k,p}(\Omega)$ を $\displaystyle\sum_{|\alpha|\le k}D^\alpha g_\alpha\in\D'(\Omega)$ と同一視して $W^{-k,p}(\Omega)\subset\D'(\Omega)$ と見做すということである。

$W^{-k,2}(\Omega)$ は $H^{-k}(\Omega)$ と書かれることが多い。$H^k_0(\Omega)$ の双対空間は $H^k_0(\Omega)$ の内積構造を用いてRieszの表現定理によって $H^k_0(\Omega)$ 自身と同一視することもできる。しかし、{{ref|type=def|label=defdualrep}}によれば $H^k_0(\Omega)$ は $H^{-k}(\Omega)$ の真部分空間となることから、Rieszの表現定理による同一視は{{ref|type=def|label=defdualrep}}で与えたものと一致せず、どちらを採用するか選ぶ必要がある。$H^{-k}(\Omega)$ と書いた場合は、{{ref|type=def|label=defdualrep}}の方を採用する。

==拡張作用素==
{{theorem|type=thm|name=$C^{0,1}$ 境界部分における局所拡張作用素|label=ext1}}
$p\in[1,\infty]$ とし、$T\subset\pOm$ を $C^{0,1}$ 境界部分([[Hölder空間の基本事項]]の定義28)とする。$\xi\in T$ について、$\xi$ の開近傍 $V\subset\R^n$ と有界線型作用素 $E\colon W^{1,p}(V\cap\Omega)\to W^{1,p}(V)$ であって $u\in W^{1,p}(V\cap\Omega)$ について $Eu=u$ in $V\cap\Omega$ をみたすものが存在する。

{{begin|proof|display=''Proof.''|collapsible=1}}
$u\in W^{1,\infty}(V\cap\Omega)\subset C^{0,1}(\Omega\cup T)$ について[[Hölder空間の基本事項]]の定理30より $\xi$ の開近傍 $V$ と $v=Eu\in C^{0,1}_c(V)$ が存在して $Eu=u$ in $V\cap\Omega$。<ref name="linty">構成から明らかに $E$ は線型である。</ref>また{{ref|type=cor|label=kchavar}}に注意すると、$Eu$ の構成から $p\in[1,\infty]$ について $\norm{Eu}_{1,p;V}\le C\norm{u}_{1,p;V\cap\Omega}$ も成り立つ。

$E$ は $W^{1,p}(V\cap\Omega)$ から $W^{1,p}(V)$ への有界線型作用素に一意的に拡張される。$u\in W^{1,p}(V\cap\Omega)$ とし、$u_m\in C^\infty(V\cap\Omega)\cap W^{1,p}(V\cap\Omega)$、$\norm{u_m-u}_{1,p;V\cap\Omega}\to 0,u_m\to u$ a.e. in $V\cap\Omega\ (m\to\infty)$ とすると $\norm{Eu_m-Eu}_{1,p;V}\to 0$ で $Eu_m=u_m$ in $V\cap\Omega$ であるから $Eu=u$ in $V\cap\Omega$。
{{end|proof}}

{{theorem|type=thm|name=$C^{0,1}$ 領域における拡張作用素|label=ext2}}
$p\in[1,\infty]$ とする。次が成り立つ:
*(1) $T\subset\pOm$ を $C^{0,1}$ 境界部分とする。$T'\rcpt T$ について、$\OmT\subset\Omega_0$ をみたす開集合 $\Omega_0\subset\R^n$ と有界線型作用素 $E\colon W^{1,p}(\Omega)\to W^{1,p}(\Omega_0)$ であって $u\in W^{1,p}(\Omega)$ について $Eu=u$ in $\Omega$ をみたすものが存在する。また $u\in W^{1,p}_0(\OmT')$ のとき $Eu\in W^{1,p}_0(\Omega_0)$。
*(2) $T\subset\pOm$ を次をみたす相対開集合とする:
$$開集合D\subset\R^nとC^{0,1}境界部分S\subset\partial Dが存在し\Omega\subset D,T\rcpt S. \tag{$\diamondsuit$}\label{D}$$
このとき $\OmT\subset\Omega_0$ をみたす開集合 $\Omega_0\subset\R^n$ と有界線型作用素 $E\colon W^{1,p}_0(\OmT)\to W^{1,p}_0(\Omega_0)$ であって $u\in W^{1,p}_0(\OmT)$ について $Eu=u$ in $\Omega$ をみたすものが存在する。
*(3) $\Omega$ を有界な $C^{0,1}$ 領域とする。$D\subset\R^n$ を $\Omega\rcpt D$ なる開集合とすると有界線型作用素 $E\colon W^{1,p}(\Omega)\to W^{1,p}_c(D)$ ( $p\in[1,\infty]$ )で $u\in W^{1,p}(\Omega)$ $Eu=u$ in $\Omega$ をみたすものが存在する。

{{begin|proof}}
(1)を示す。{{ref|type=thm|label=ext1}}の $V=V_\xi$ から $V_1,\ldots,V_N$ を選んで $\displaystyle T'\subset\bigcup_{i=1}^N V_i$ となるようにする。$\OmT$ の開被覆 $\Omega,V_1,\ldots, V_N$ に従属する $1$ の分割 $\zeta_0\in C^\infty(\Omega)$、$\zeta_i\in C^\infty_c(V_i)$ をとり、拡張作用素 $E_i\colon W^{1,p}(V_i\cap\Omega_i)\to W^{1,p}(V_i)$ を用いて
$$\Omega_0\colon=\Omega\cup\bigcup_{i=1}^N V_i,Eu\colon=\zeta_0u+\sum_{i=1}^N \zeta_iE_iu$$
とすればよい。またこのとき $u\in W^{1,p}_c(\OmT)$ とすると明らかに $Eu\in W^{1,p}_c(\Omega_0)$ となるので $u\in W^{1,p}_0(\OmT)$ について $Eu\in W^{1,p}_0(\Omega_0)$。

(2)は{{ref|type=pro|label=ext0}}と(1)から従う。(3)は(1)で $T=\pOm$ としたものから直ちに従う。
{{end|proof}}

{{theorem|type=rmk}}
構成より(1)、(2)の $\Omega_0$ は $\Omega_0\backslash\Omega$ が有界になるようにとれる。とくに $\Omega$ が有界であれば $\Omega_0$ も有界とでき、$|\Omega|\lt\infty$ であれば $|\Omega_0|\lt\infty$ とできる。

{{theorem|type=cor|label=apx4}}
$T\subset\pOm$ を $C^{0,1}$ 境界部分とすると $p\in[1,\infty)$ について $C^\infty(\Omega\cup T)\cap W^{1,p}(\Omega)$ は $W^{1,p}(\Omega)$ において稠密である。

{{begin|proof}}
{{ref|type=thm|label=apx3}}の証明で、$v_i(\cdot+t_iy_i)$ の代わりに局所拡張作用素 $E_i\colon W^{1,p}(V_i\cap\Omega)\to W^{1,p}(V_i)$ をとって $\norm{w_i-E_iu}_{1,p;V_i}\lt 2^{-i}\delta$ をみたす $w_i\in C^\infty(V_i)\cap W^{1,p}(V_i)$ を用いればよい。
{{end|proof}}

同様にして $\Omega$ が有界な $C^{k-1,1}$ 領域のとき $W^{k,p}(\Omega)$ から $W^{k,p}(\R^n)$ への有界な拡張作用素を構成できる。

一方で、別の方法により $\Omega$ が有界なLipschitz領域のときに任意の $k\in\Zz$ と $p\in[1,\infty]$ について $W^{k,p}(\Omega)$ から $W^{k,p}(\R^n)$ へ有界となる拡張作用素 $E\colon L^1(\Omega)\to L^1(\R^n)$ を構成できる。

{{theorem|type=lem|label=kernel}}
次をみたす $h\colon[1,\infty)\to\R$ が存在する:任意の多項式関数 $P$ について
$$Ph\in L^1(1,\infty),\int_1^\infty Ph=P(0).$$

{{begin|proof}}
$\C\backslash[1,\infty)$ 上の正則関数 $f=f(z)$ を
$$\exp\left(-\exp\left(-\frac{\pi\sqrt{-1}}{4}\right)(z-1)^\frac{1}{4}\right)$$
の $\arg\left((z-1)^\frac{1}{4}\right)\in\left(0,\frac{\pi}{2}\right)$ なる枝により定める。$0\lt\delta\lt 1\lt R\lt\infty$ とし、$\C\backslash[1,\infty)$ 上のなめらかな曲線 $\gamma_i$、$i=1,2,3,4$ を
\begin{align*}
\gamma_1(t)&\colon=t+\delta\sqrt{-1}\ (t\in[1,R]),\\
\gamma_2(t)&\colon=(R^2+\delta^2)^\frac{1}{2}\exp\left(\sqrt{-1}t\right)\ \left(t\in\left[\arctan\frac{\delta}{R},2\pi-\arctan\frac{\delta}{R}\right]\right)\\
\gamma_3(t)&\colon=R-t+\delta\sqrt{-1}\ (t\in[0,R-1])\\
\gamma_4(t)&\colon=\delta\exp\left(\pi\sqrt{-1}\left(\frac{3}{2}-t\right)\right)\ (t\in[0,1])
\end{align*}
により定め、この順につないで得られる区分的になめらかな曲線を $\gamma$ とすると $\gamma$ は単純閉曲線となる。留数定理により多項式関数 $P$ について
$$\int_\gamma P(z)z^{-1}f(z)dz=\frac{2\pi\sqrt{-1}}{e}P(0).$$
ここで $\arg\left(\exp\left(-\frac{\pi\sqrt{-1}}{4}\right)(z-1)^\frac{1}{4}\right)\in\left(-\frac{\pi}{4},\frac{\pi}{4}\right)$ であるから
$$\left|\exp\left(-\frac{\pi\sqrt{-1}}{4}\right)(z-1)^\frac{1}{4}\right|\le\exp\left(-\frac{1}{\sqrt{2}}(|z|+1)^\frac{1}{4}\right)$$
となり
$$\left|\int_{\gamma_2}P(z)z^{-1}f(z)dz\right|\le 2\pi\sup_{|z|=(R^2+\delta^2)^\frac{1}{2}}|P(z)|\exp\left(-\frac{1}{\sqrt{2}}(R+1)^\frac{1}{4}\right)\to 0\ (R\to+\infty).$$
また $P(z)z^{-1}f(z)\to P(1)\ (z\to 1)$ より
$$\left|\int_{\gamma_4}P(z)z^{-1}f(z)dz\right|\to 0\ (\delta\to +0).$$
一方 $\lambda\in[1,\infty)$ について
\begin{align*}
&\quad\lim_{\delta\to+0}P(\lambda+\delta\sqrt{-1})(x+\delta\sqrt{-1})f(\lambda+\delta\sqrt{-1})-\lim_{\delta\to+0}P(\lambda-\delta\sqrt{-1})(\lambda-\delta\sqrt{-1})f(\lambda-\delta\sqrt{-1})\\
&=P(\lambda)\lambda^{-1}\left(\exp\left(-\exp\left(-\frac{\pi\sqrt{-1}}{4}\right)(\lambda-1)^\frac{1}{4}\right)-\exp\left(-\exp\left(\frac{\pi\sqrt{-1}}{4}\right)(\lambda-1)^\frac{1}{4}\right)\right)\\
&=2\sqrt{-1}P(\lambda)\lambda^{-1}\Im\left(\exp\left(-\exp\left(-\frac{\pi\sqrt{-1}}{4}\right)(\lambda-1)^\frac{1}{4}\right)\right).
\end{align*}
従って $R\to +\infty,\delta\to +0$ とすると
$$2\sqrt{-1}\int_1^\infty P(\lambda)\lambda^{-1}\Im\left(\exp\left(-\exp\left(-\frac{\pi\sqrt{-1}}{4}\right)(\lambda-1)^\frac{1}{4}\right)\right)d\lambda=\frac{2\pi\sqrt{-1}}{e}P(0)$$
となる。これより
$$ h(\lambda)=\frac{e}{\pi}\lambda^{-1}\Im\left(\exp\left(-\exp\left(-\frac{\pi\sqrt{-1}}{4}\right)(\lambda-1)^\frac{1}{4}\right)\right)$$
ととればよい。
{{end|proof}}

{{theorem|type=thm|name=$n=1$ の場合|label=extn1}}
$I\subsetneq\R$ を開区間とする。線型作用素 $E\colon L^1(I)+L^\infty(I)\to L^1(\R)+L^\infty(\R)$ であって次をみたすものが存在する:
* $u\in L^1(I)+L^\infty(I)$ について
$$Eu=u\ \inn I.$$
* 任意の $k\in\Zz$ と $p\in[1,\infty]$ について $E(W^{k,p}(I))\subset W^{k,p}(\R)$ で $u\in W^{k,p}(I)$ について
$$\norm{Eu}_{k,p;\R}\le C_{k,|I|}\norm{u}_{k,p;\Omega}.$$

{{begin|proof|display=''Proof.''|collapsible=1}}
$I$ が非有界の場合を示す。$I=(0,\infty)$ としてよい。

{{ref|type=lem|label=kernel}}の $h$ をとる。$u\in L^p(I)$ について積分形のMinkowskiの不等式により
$$\norm{\int_1^\infty u((1-2\lambda)\cdot)h(\lambda)d\lambda}_{p;(-\infty,0)}\le\int_1^\infty\norm{u((1-2\lambda)\cdot)}_{p;(-\infty,0)}|h(\lambda)|d\lambda\le\int_1^\infty\norm{u}_{p;I}|h(\lambda)|d\lambda\le C\norm{u}_{p;I}.$$
$u\in L^1(I)+L^\infty(I)$ について
$$Eu(x)\colon=\begin{cases}
u(x)&\colon x\in\overline{I}\\
\int_1^\infty u((1-2\lambda)\cdot)h(\lambda)d\lambda&\colon x\in(-\infty,0)
\end{cases}$$
と定める。上で示したことより $E\colon L^1(I)+L^\infty(I)\to L^1(\R)+L^\infty(\R)$ はwell-definedで、$L^p(\R)$ から $L^p(\R)$ へ連続である。

$u\in W^{1,p}(I)$ とすると{{ref|type=thm|label=1dim1}}より $-\infty\lt x\lt y\le 0$ について
\begin{align*}
Eu(x)&=\int_1^\infty\left(u(y)-\int_{(1-2\lambda)y}^{(1-2\lambda)x}u'(t)dt\right)h(\lambda)d\lambda\\
&=Eu(y)-\int_0^\infty\left((1-2\lambda)\int_x^y u'((1-2\lambda)s)ds\right)h(\lambda)d\lambda\\
&=Eu(y)-\int_x^0\left(\int_0^\infty u'((1-2\lambda)s)h(\lambda)d\lambda\right)ds\\
&=Eu(y)-\int_x^0 Eu'(s)ds.
\end{align*}
また
$$\lim_{x\to +0}Eu(x)=\int_1^\infty u(0)h(\lambda)d\lambda=u(0).$$
これより $-\infty\lt x\lt 0\le y\lt\infty$ についても
$$u(y)=u(0)+\int_0^y u'(t)dt=u(x)+\int_x^y Eu'(t)dt.$$
これより
$$Eu\in W^{1,p}(\R),(Eu)'=Eu',\norm{(Eu)'}_{p;\R}\le C\norm{u'}_p.$$
帰納法により任意の $k\in\Zp$ と $p\in[1,\infty]$ について $E$ は $W^{k,p}(I)$ から $W^{k,p}(\R)$ へ連続で $u\in W^{k,p}(I)$ について $(Eu)^{(k)}=Eu^{(k)}$ となる。

$I=(a,b)$ が有界な場合を示す。$\zeta\in C^\infty([a,b])$ を $a$ の近傍で $1$ かつ $b$ の近傍で $1$ となるようにとると $u\in W^{k,p}(I)$ について $\zeta u\in W^{k,p}(a,\infty)$、$(1-\zeta)u\in W^{k,p}(-\infty,b)$ となるので、拡張作用素 $E_{a+}\colon L^1(a,\infty)+L^\infty(a,\infty)\to L^1(\R)+L^\infty(\R)$ と $E_{b-}\colon L^1(-\infty,b)+L^\infty(-\infty,b)\to L^1(\R)+L^\infty(\R)$ をとって $Eu\colon=E_{a+}(\zeta u)+E_{b-}((1-\zeta)u)$ とすればよい。
{{end|proof}}

{{theorem|type=lem|label=regdis}}
$\gamma\in C^{0,1}_c(\R^{n-1})$ とし、$\Omega\colon=\{(x',x_n)\in\R^{n-1}\times\R\colon x_n\lt\gamma(x')\}$ とする。次をみたす $\delta\in C^\infty(\Omega)\cap C^{0,1}(\Ombar)$ が存在する:
* $$\sup_{\Omega}D_n\delta\lt 0.$$
* 任意の多重指数 $\alpha$ について
$$|D^\alpha\delta(x',x_n)|\le C_{\alpha,\gamma}(\gamma(x')-x_n)^{1-|\alpha|}\ \inn\Omega.$$

{{begin|proof|display=''Proof.''|collapsible=1}}
$M\colon=\left(1+[\gamma]_{0,1}^2\right)^\frac{1}{2}$、$t\colon=1+(16M)^{-1}$ とする。また $m\in\Z$ について $\Omega_m\colon=\{(x',x_n)\in\R^{n-1}\times\R\colon x_n-\gamma(x')\lt -t^m\}\subset\Omega$ とする。

$(x',x_n),(y',y_n)\in\Omega$ について
$$|(x_n-\gamma(x'))-(y_n-\gamma(y'))|^2\le([\gamma]_{0,1}|x'-y'|)^2+|x_n-y_n|^2\le M^2|(x',x_n)-(y',y_n)|$$
であるから $l\lt m$ について $\dist(\Omega_m,\pOm_l)\ge M^{-1}(t^m-t^l)$。

$\delta_m\colon=\eta_{(4M)^{-1}t^m}*\chi_{\Omega_m}$ とする。$N\in\Zp$ を $t^N\gt 2$ となるようにとると $\dist(\Omega_m,\pOm_{m-N})\gt (2M)^{-1}t^m$ となるので $\supp\delta_m\subset\Omega_{m-N}$。また $\dist(\Omega_{m+N},\pOm_m)\gt (2M)^{-1}t^{m+N}$ となるので $\delta_m=1$ in $\Omega_{m+N}$。とくに $\supp D\delta_m\subset\Omega\backslash\Ombar_{m+N}$ であり、$\{\supp D\delta_m\}_{m\in\Z}$ は局所有限である。また多重指数 $\alpha$ について $\norm{D^\alpha\delta_m}_\infty\le Ct^{-m|\alpha|}$。

一方
\begin{align*}
D_n\delta_m(x',x_n)&=\int_{\Omega_m}D_n\eta_{(4M)^{-1}t^m}(x'-y',x_n-y_n)dy\\
&=\int_{\R^{n-1}}\left(\int_{-\infty}^{\gamma(z')-t^m}D_n\eta_{(4M)^{-1}t^m}(x'-z',x_n-z_n)dz'\right)\\
&=-\int_{\R^{n-1}}\eta_{(4M)^{-1}t^m}(x'-y',x_n+t^m-\gamma(y'))dy'\le 0.
\end{align*}
また $(x',x_n)\in\Omega_m\backslash\Omega_{m+1}$ とすると $|x_n+t^m-\gamma(x')|\lt t^{m+1}-t^m=(16M)^{-1}t^m$ であるから、$y'\in\R^n$ を $|y'-x'|\lt(16M^2)^{-1}t^m$ となるようにとれば
$$|(x'-y',x_n+t^m-\gamma(y')|\le|(x'-y',\gamma(x')-\gamma(y'))|+|x_n+t^m-\gamma(x')|\lt M|x'-y'|+|x_n+t^m-\gamma(x')|\lt(8M)^{-1}t^m$$
となり
\begin{align*}
D_n\delta(x',x_n)&\le -\int_{\{y'\in\R^{n-1}\colon|y'-x'|\lt(16M^2)^{-1}t^m\}}\eta_{(4M)^{-1}t^m}(x'-y',x_n+t^m-\gamma(y'))dy'\\
&\le -\omega_{n-1}\left((16M^2)^{-1}t^m\right)^{n-1}\cdot\left((4M)^{-1}t^m\right)^{-n}\inf_{B_\frac{1}{2}(0)}\eta\\
&=-ct^{-m},c=c_{n,M}\gt 0.
\end{align*}
$$\delta\colon=\sum_{l\in\Z}t^l\delta_l$$
とする。$x=(x',x_n)\in\Omega_{m-1}\backslash\Omega_m$ とすると $l\ge m+N$ について $\supp\delta_l\subset\Omega_{l-N}\subset\Omega_m$ となるので $\delta_l(x)=0$。これより
$$\delta(x)=\sum_{l=-\infty}^{m+N-1}t^l\delta_l\le\sum_{l=-\infty}^{m+N-1}t^l\le(t-1)^{-1}t^{m+N}\le C(\gamma(x')-x_n).$$
また $\{\supp D\delta_m\}_{m\in\Z}$ は局所有限であったから $\delta\in C^\infty(\Omega)$。$x=(x',x_n)\in\Omega_{m-1}\backslash\Omega_m$ とすると $l\ge m+N$ について $\supp D\delta_l\subset\Omega_m$ で、$l\le m-N-1$ について $\supp\delta_l\cap\Omega_{m-1}=\emptyset$ となるのでこれらの場合 $D^\alpha\delta(x)=0$。これより多重指数 $\alpha\gt 0$ について
$$|D^\alpha\delta(x)|\le\sum_{l=m-N}^{m+N-1}t^l|D^\alpha\delta_l(x)|\le C\sum_{l=m-N}^{m+N-1}t^{l(1-|\alpha|)}\le C\left(2Nt^{(m-N)(1-|\alpha|)}\right)\le C(\gamma(x')-x_n)^{1-|\alpha|}.$$
とくに $D\delta$ は有界であり $\delta\in C^{0,1}(\Ombar)$ となる。

一方 $l\in\Z$ について $D_n\delta_l(x)\le 0$ で、$D_n\delta_m(x)\le -ct^{-m}$ であるから
$$D_n\delta(x)\le -c.$$
以上よりこの $\delta$ は条件をみたす。
{{end|proof}}

{{theorem|type=rmk}}
$|\delta(x)|\le C(\gamma(x')-x_n)$ より $\delta=0$ on $\pOm$ である。

{{theorem|type=thm|name=Steinの拡張作用素|label=stext}}
$\gamma\in C^{0,1}_c(\R^{n-1})$、$\Omega\colon=\{(x',x_n)\in\R^{n-1}\times\R\colon x_n\gt\gamma(x')\}$ とする。線型作用素 $E\colon L^1(\Omega)+L^\infty(\Omega)\to L^1(\R^n)+L^\infty(\R^n)$ であって次をみたすものが存在する:
* $u\in L^1(\Omega)+L^\infty(\Omega)$ について
$$Eu=u \inn\Omega.$$
* 任意の $k\in\Zz$ と $p\in[1,\infty]$ について $E(W^{k,p}(\Omega))\subset W^{k,p}(\R^n)$ で $u\in W^{k,p}(\Omega)$ について
$$\norm{D^kEu}_{p;\R^n}\le C_{k,\gamma}\norm{D^ku}_{p;\Omega}.$$

{{begin|proof}}
{{ref|type=lem|label=regdis}}の $\delta\in C^\infty(\R^n\backslash\Ombar)$ と{{ref|type=lem|label=kernel}} の $h$ をとり、$\displaystyle M\colon=-2\left(\sup_{\R^n\backslash\Ombar}D_n\delta\right)^{-1}$ とする。

$\lambda\ge 1$ について $\psi_\lambda\colon\R^n\backslash\Ombar\to\R^n$ を
$$\psi_\lambda(x',x_n)=(x',x_n+M\lambda\delta(x))$$
により定める。$x'\in\R^{n-1}$、$t\in(-\infty,\gamma(x'))$ について
$$\frac{\partial}{\partial t}(t+M\lambda\delta(x',t))=1+M\lambda D_n\delta(x',t)\le 1-2\lambda\lt 0.$$
また $\delta(x',\gamma(x'))=0$ より $\gamma(x')+M\lambda\delta(x',\gamma(x'))=\gamma(x')$ で
$$\psi_\lambda(x',t)=\gamma(x')-\int_t^{\gamma(x')}(1+M\lambda D_n\delta(x',s))ds\le\gamma(x')+(2\lambda-1)(\gamma(x')-t)\to +\infty\ (t\to-\infty).$$
よって $(-\infty,\gamma(x'))\to(\gamma(x'),+\infty),t\mapsto t+M\lambda\delta(x',t)$ は全単射である。これより $\psi_\lambda$ は $\R^n\backslash\Ombar$ から $\Omega$ への全単射で $|\det D\psi_\lambda|=|D_n\psi_\lambda|=2\lambda-1\ge 1$ となるので $p\in[1,\infty)$ と $u\in L^p(\Omega)$ について
$$\int_\Omega |u|^p=\int_{\R^n\backslash\Ombar}|u\circ\psi_\lambda|^p|D_n\psi_\lambda|\ge\int_{\R^n\backslash\Ombar}|u\circ\psi_\lambda|^p.$$
積分形のMinkowskiの不等式により $p\in[1,\infty]$ と $u\in L^p(\Omega)$ について
$$\norm{\int_1^\infty |(u\circ\psi_\lambda)h(\lambda)|d\lambda}_{p;\R^n\backslash\Omega}\le\int_1^\infty\norm{u\circ\psi_\lambda}_{p;\R^n\backslash\Omega}|h(\lambda)|d\lambda\le C\norm{u}_p.\tag{*}\label{stext1}$$

また $L(\psi_\lambda)\le 1+M\lambda[\delta]_{0,1}$ であるから $u\in C^{0,1}(\Ombar)$ とすると $x,y\in \R^n\backslash\Ombar$ について
$$\left|\int_0^1 u(\psi_\lambda(x))h(\lambda)d\lambda-\int_0^1 u(\psi_\lambda(y))h(\lambda)d\lambda\right|\le\int_0^1 (1+M\lambda[\delta]_{0,1})[u]_{0,1}|x-y||h(\lambda)|d\lambda\le C[u]_{0,1}|x-y|$$
となるので $\displaystyle \int_0^1(u\circ\psi_\lambda)h(\lambda)d\lambda\in C^{0,1}(\R^n\backslash\Omega)$。

また各 $\lambda\in[1,\infty)$ について $u\circ\psi_\lambda$ は a.e. in $\R^n\backslash\Ombar$ で微分可能であるから、Fubiniの定理よりa.e. $ x\in\R^n\backslash\Ombar$ について、a.e. $\lambda\in[1,\infty)$ に対し $u\circ\psi_\lambda$ は $x$ で微分可能である。またそのような $x\in\R^n\backslash\Ombar$ と $|k|$ が十分小さい $k\in\R\backslash\{0\}$ について
$$\left|\frac{u(\psi_\lambda(x+ke_i))-u_\lambda(x)}{k}h(\lambda)\right|\le(1+M\lambda[\delta]_{0,1})|h(\lambda)|$$
であるからLebesgueの収束定理より
\begin{align*}
D_i\left(\int_1^\infty(u\circ\psi_\lambda)h(\lambda)d\lambda\right)&=\int_1^\infty D_i(u\circ\psi_\lambda)h(\lambda)d\lambda\\
&=\int_1^\infty(D_iu\circ\psi_\lambda)h(\lambda)d\lambda+D_i\delta\int_1^\infty(D_nu\circ\psi_\lambda)h(\lambda)d\lambda.\tag{**}\label{stext2}
\end{align*}

また部分積分による帰納法により $u\in C^{k-1,1}(\Ombar)$、$x\in\R^n\backslash\Ombar$、$\lambda\ge 1$ について
$$u(\psi_\lambda(x))=\sum_{j=0}^{k-1}\frac{(M\delta(x))^j}{j!}D_n^ju(\psi_1(x))(\lambda-1)^j+\frac{(M\delta(x))^k}{(k-1)!}\int_1^\lambda (\lambda-\mu)^{k-1}D_n^ku(\psi_\mu(x))d\mu.$$
となるので $l\in\Zp$ について
\begin{align*}
\int_1^\infty \lambda^lu(\psi_\lambda(x))h(\lambda)d\lambda&=\int_1^\infty\left(\sum_{j=0}^{k-1}\frac{(M\delta(x))^j}{j!}D_n^ju(\psi_1(x))(\lambda-1)^j\lambda^l+\frac{(M\delta(x))^k}{(k-1)!}\int_1^\lambda (\lambda-\mu)^{k-1}\lambda^lD_n^ku(\psi_\mu(x))d\mu\right)h(\lambda)d\lambda\\
&=\frac{(M\delta(x))^k}{(k-1)!}\int_1^\infty\left(\int_1^\lambda (\lambda-\mu)^{k-1}\lambda^lD_n^ku(\psi_\mu(x))d\mu\right)h(\lambda)d\lambda.\tag{***}\label{stext3}
\end{align*}
積分形のMinkowskiの不等式と $\delta(x)\le C(\gamma(x')-x_n)$ より
\begin{align*}
&\quad\norm{(\gamma(x')-x_n)^{-k}\int_1^\infty \lambda^lu(\psi_\lambda(x))h(\lambda)d\lambda}_{p;(\R^n\backslash\Omega)_x}\\
&=\norm{(\gamma(x')-x_n)^{-k}\frac{(M\delta(x))^k}{(k-1)!}\int_1^\infty\left(\int_1^\lambda (\lambda-\mu)^{k-1}\lambda^lD_n^ku(\psi_\mu(x))d\mu\right)h(\lambda)d\lambda}_{p;(\R^n\backslash\Omega)_x}\\
&\le C\int_1^\infty\left(\int_1^\lambda\norm{D_n^ku\circ\psi_\mu}_{p;\R^n\backslash\Omega}(\lambda-\mu)^kd\mu\right)\lambda^l|h(\lambda)|d\lambda\\
&\le C\left(\int_1^\infty\left(\int_1^\lambda(\lambda-\mu)^kd\mu\right)\lambda^l|h(\lambda)|d\lambda\right)\norm{D_n^ku}_p\\
&=C\left(\int_1^\infty \frac{1}{(k+1)!}(\lambda-1)^{k+1}\lambda^l|h(\lambda)| d\lambda\right)\norm{D_n^ku}_p\\
&\le C\norm{D_n^ku}_p.\tag{****}\label{stext4}
\end{align*}
が成り立つ。<ref name="x">$\norm{}_{p;(\Omega)_x}$ は $x$ を変数と見做したときの $L^p(\Omega)$ におけるノルムを表す。</ref>

$u\in L^1(\Omega)\cap L^\infty(\Omega)$ について
$$Eu(x)\colon=\begin{cases}
u(x)&\colon x\in\Ombar\\
\int_1^\infty u(\psi_\lambda(x))h(\lambda)d\lambda &\colon x\in\R^n\backslash\Ombar
\end{cases}$$
と定める。(\ref{stext1})より $E$ はwell-definedで、$p\in[1,\infty]$ について $L^p(\Omega)$ から $L^p(\R^n)$ へ有界である。

$u\in C^{k-1,1}(\Ombar)=W^{k,\infty}(\Omega)$ とする。(\ref{stext2})と $k$ に関する帰納法により $Eu\in C^{k-1,1}(\R^n\backslash\Ombar)$ で多重指数 $|\alpha|\le k$ と $x\in\R^n\backslash\Ombar$ について $D^\alpha Eu(x)$ は
$$D^\alpha Eu(x)=\int_1^\infty D^\alpha u(\psi_\lambda(x)) h(\lambda)d\lambda+\sum_{0\lt\beta\le\alpha}\sum_{l=1}^{|\beta|}\sum_{\beta'_1+\ldots+\beta'_l=\beta}C_{\alpha,\beta'_1,\ldots,\beta'_l}\prod_{j=1}^lD^{\beta'_j}\delta(x)\int_1^\infty \lambda^lD^l_nD^{\alpha-\beta} u(\psi_\lambda(x)) h(\lambda)d\lambda$$
と表される。ここで $C_{\alpha,\beta'_1,\ldots,\beta'_l}$ は定数である。

(\ref{stext4})と $0\lt\beta\le\alpha$、$l=1,\ldots,|\beta|$ と $\beta'_1+\ldots+\beta'_l=\beta$ なる多重指数 $\beta'_1,\ldots\beta'_l$ について
$$\left|\prod_{j=1}^lD^{\beta'_j}\delta(x)\right|\le C(\gamma(x')-x_n)^{-(|\beta|-l)}$$
となることから
$$\norm{D^\alpha Eu}_{p;\R^n\backslash\Omega}\le C\norm{D^{|\alpha|}u}_p.$$
また $|\alpha|\le l-1$ とすると $x_0=(x_0',\gamma(x_0'))\in\pOm$ について $\psi_\lambda(x)\to x_0\ (x\to x_0)$ であるからLebesgueの収束定理より
$$\lim_{\substack{x\to x_0,\\x\in\R^n\backslash\Ombar}}\int_1^\infty D^\alpha u(\psi_\lambda(x)) h(\lambda)d\lambda=\int_1^\infty D^\alpha u(x_0) h(\lambda)d\lambda=u(x_0).$$
また $0\lt\beta\le\alpha$、$l=1,\ldots,|\beta|$ と $\beta'_1+\ldots+\beta'_l=\beta$ なる多重指数 $\beta'_1,\ldots\beta'_l$ について $\prod_{j=1}^lD^{\beta'_j}\delta(x)\delta(x)^{|\beta|-l}$ は有界で、Lebesgueの収束定理より
\begin{align*}
\lim_{\substack{x\to x_0,\\x\in\R^n\backslash\Ombar}}\int_1^\infty\left(\int_1^\lambda (\lambda-\mu)^{k-1}D^{|\beta|}_nD^{\alpha-\beta}u(\psi_\mu(x))d\mu\right)h(\lambda)d\lambda&=\int_1^\infty\left(\int_1^\lambda (\lambda-\mu)^{k-1}D^{|\beta|}_nD^{\alpha-\beta}u(x_0)d\mu\right)h(\lambda)d\lambda\\
&=\frac{1}{k}\left(\int_1^\infty(\lambda-1)^k\lambda^lh(\lambda)d\lambda\right)D^{|\beta|}_nD^{\alpha-\beta}u(x_0)=0
\end{align*}
であるから(\ref{stext4})とあわせて
$$\lim_{\substack{x\to x_0,\\x\in\R^n\backslash\Ombar}}\prod_{j=1}^lD^{\beta'_j}\delta(x)\int_1^\infty \lambda^lD^l_nD^{\alpha-\beta} u(\psi_\lambda(x)) h(\lambda)d\lambda=0.$$
従って $\displaystyle \lim_{\substack{x\to x_0,\\x\in\R^n\backslash\Ombar}}D^\alpha Eu(x)=D^\alpha u(x_0)$ となり $Eu\in C^{k-1}(\R^n)$。

また $x\in\Ombar$、$y\in\R^n\backslash\Ombar$ とすると $t\in[0,1]$ で $z\colon=(1-t)x+ty\in\pOm$ となるものが存在するので $|\alpha|=k-1$ とすると
$$|D^\alpha u(x)-D^\alpha Eu(y)|\le|D^\alpha u(x)-D^\alpha u(z)|+|D^\alpha u(z)-D^\alpha u(y)|\le \left((1-t)[D^\alpha u]_{0,1}+t[D^\alpha Eu]_{0,1}\right)|x-y|\le C\norm{D^ku}_{\infty}|x-y|.$$
よって $Eu\in C^{k-1,1}(\R^n)=W^{k,\infty}(\R^n)$ となる。

$p\in[1,\infty)$ について $W^{k,\infty}(\Omega)\cap W^{k,p}(\Omega)\subset W^{k,p}(\Omega)$ は稠密であり、$E$ は $L^p(\Omega)$ から $L^p(\R^n)$ へ有界であるから近似により
$$E(W^{k,p}(\Omega))\subset E^{k,p}(\R^n),\norm{D^kEu}_{p;\R^n}\le C\norm{D^ku}_{\Omega;\R^n}$$
も成り立つ。
{{end|proof}}

{{ref|type=thm|label=ext2}}と同様に次を得る:

{{theorem|type=thm|label=stext2}}
*(1) $T\subset\pOm$ をLipschitz境界部分とする。$T'\rcpt T$ について、$\OmT\subset\Omega_0$ をみたす開集合 $\Omega_0\subset\R^n$ と線型作用素 $E\colon L^1(\Omega)+L^\infty(\Omega)\to L^1(\Omega_0)+L^\infty(\Omega_0)$ であって $u\in L^1(\Omega)+L^\infty(\Omega)$ について $Eu=u$ in $\Omega$ をみたし、任意の $k\in\Zz$ と $p\in[1,\infty]$ について
$$E(W^{k,p}(\Omega))\subset W^{k,p}(\Omega),\norm{Eu}_{k,p;\Omega_0}\le C_{k,p}\norm{u}_{k,p;\Omega}\ (u\in W^{k,p}(\Omega))$$
をみたすものが存在する。また $\supp u\rcpt\OmT$ のとき $\supp Eu\rcpt\Omega_0$。
*(2) $T\subset\pOm$ を次をみたす相対開集合とする:
$$開集合D\subset\R^nと{\rm Lipschitz}境界部分S\subset\partial Dが存在し\Omega\subset D,T\rcpt S. \tag{$\diamondsuit'$}\label{D'}$$
このとき $\OmT\subset\Omega_0$ をみたす開集合 $\Omega_0\subset\R^n$ と線型作用素 $E\colon L^1(\Omega)+L^\infty(\Omega)\to L^1(\Omega_0)+L^\infty(\Omega_0)$ であって $u\in L^1(\Omega)+L^\infty(\Omega)$ について $Eu=u$ in $\Omega$ をみたし、任意の $k\in\Zz$ と $p\in[1,\infty]$ について
$$E(W^{k,p}_0(\Omega))\subset W^{k,p}_0(\Omega_0),\norm{Eu}_{k,p;\Omega_0}\le C_{k,p}\norm{u}_{k,p;\Omega}\ (u\in W^{k,p}(\Omega_0))$$
をみたすものが存在する。
*(3) $\Omega$ を有界な $C^{0,1}$ 領域とする。$D\subset\R^n$ を $\Omega\rcpt D$ なる開集合とすると線型作用素 $E\colon L^1(\Omega)\to L^1_c(D)$ であって $u\in L^1(\Omega)$ について $Eu=u$ in $\Omega$ をみたし、任意の $k\in\Zz$ と $p\in[1,\infty]$ について
$$E(W^{k,p}(\Omega))\subset W^{k,p}_c(D),\norm{Eu}_{k,p;D}\le C_{k,p}\norm{u}_{k,p;\Omega}\ (u\in W^{k,p}(\Omega))$$
をみたすものが存在する。

==Gagliardo-Nirenberg-Sobolevの不等式==
{{theorem|type=def|name=Sobolev共役指数|label=pstar}}
$p\in[1,n)$ について
$$p^*\colon=\frac{np}{n-p}$$
と定め、$p$ のSobolev共役指数という。$p^*$ は $p^{*-1}=p^{-1}-n^{-1}$ をみたす。

{{theorem|type=lem|label=GNSlem}}
$n\ge 2$ とする。$-\infty\le a_i\lt b_i\le +\infty\ (i=1,\ldots ,n)$ とし、$R\colon=(a_1,b_1)\times\ldots \times(a_n,b_n)$ とする。$f_1,\ldots ,f_n\in L^1(R)$ とすると
$$\int_{R}\left(\prod_{i=1}^n\int_{a_i}^{x_i}|f_i(x_1,\ldots ,x_{i-1},t,x_{i+1},\ldots ,x_n)|dt\right)^\frac{1}{n-1}dx_1\ldots dx_n\le\prod_{i=1}^n\norm{f_i}_{1;R}^\frac{1}{n-1}.$$

{{begin|proof|display=''Proof.''|collapsible=1}}
$n$ に関する帰納法により示す。

$n=2$ の場合を示す。$f_1,f_2\in L^1(R)$ とすると
\begin{align*}
\int_{R}\left(\int_{a_1}^{x_1}|f_1(t,x_2)|dt\right)\left(\int_{a_2}^{x_2}|f_2(x_1,t)|dt\right)dx_1dx_2&\le\int_{R}\left(\int_{a_1}^{b_1}|f_1(t,x_2)|dt\right)\left(\int_{a_2}^{b_2}|f_2(x_1,t)|dt\right)dx_1dx_2\\
&=\left(\int_{a_2}^{b_2}\left(\int_{a_1}^{b_1}|f_1(t,x_2)|dt\right)dx_2\right)\left(\int_{a_1}^{b_1}\left(\int_{a_2}^{b_2}|f_1(x_1,t)|dt\right)dx_1\right)\\
&\le\norm{f_1}_1\norm{f_2}_1
\end{align*}
となり主張が成り立つ。

ある $n$ について主張が成り立ったとし、$-\infty\le a_i\lt b_i\le +\infty\ (i=1,\ldots ,n+1)$ 、$R\colon=(a_1,b_1)\times\ldots \times(a_{n+1},b_{n+1})$、$f_1,\ldots ,f_{n+1}\in L^1(R)$ とする。また $R'\colon=(a_1,b_1)\times\ldots\times(a_n,b_n)$ とする。$i=1,\ldots ,n+1$ について
$$g_i(x')\colon=\int_{a_i}^{b_i}|f_i(x',t)|dt\ (x'\in R')$$
とすると $g_i\in L^1(R')$、$\norm{g_i}_{1;R'}=\norm{f_i}_{1;R}$。
\begin{align*}
&\quad \int_R\left(\prod_{i=1}^{n+1}\int_{a_i}^{x_i}|f_i(x_1,\ldots ,x_{i-1},t,x_{i+1},\ldots ,x_{n+1})|dt\right)^\frac{1}{n}dx_1\ldots dx_{n+1}\\
&\le\int_{R'}\left(\int_{a_{n+1}}^{b_{n+1}}\left(\prod_{i=1}^n\int_{a_i}^{x_i}|f_i(x_1,\ldots ,x_{i-1},t,x_{i+1},\ldots ,x_{n+1})|dt\right)^\frac{1}{n}dx_{n+1}\right)\left(\int_{a_{n+1}}^{b_{n+1}}|f_{n+1}(x_1,\ldots ,x_n,t)|dt\right)^\frac{1}{n}dx_1\ldots dx_n\\
&\le\left(\int_{R'}\left(\int_{a_{n+1}}^{b_{n+1}}\left(\prod_{i=1}^n\int_{a_i}^{x_i}|f_i(x_1,\ldots ,x_{i-1},t,x_{i+1},\ldots ,x_{n+1})|dt\right)^\frac{1}{n}dx_{n+1}\right)^\frac{n}{n-1}dx_1\ldots dx_n\right)^\frac{n-1}{n}\left(\int_{R'}|g(x',t)|dx'\right)^\frac{1}{n}\\
&\le\left(\int_{R'}\prod_{i=1}^n\left(\int_{a_{n+1}}^{b_{n+1}}\left(\int_{a_i}^{x_i}|f_i(x_1,\ldots ,x_{i-1},t,x_{i+1},\ldots ,x_{n+1})|dt\right)dx_{n+1}\right)^\frac{1}{n-1}dx_1\ldots dx_n\right)^\frac{n-1}{n}\norm{f_{n+1}}_1^\frac{1}{n}\\
&=\left(\int_{R'}\prod_{i=1}^n\left(\int_{a_i}^{x_i}g_i(x_1,\ldots ,x_{i-1},t,x_{i+1},\ldots ,x_n)dt\right)^\frac{1}{n-1}dx_1\ldots dx_n\right)^\frac{n-1}{n}\norm{f_{n+1}}_1^\frac{1}{n}\\
&\le\prod_{i=1}^n\norm{g_i}_1^\frac{1}{n}\norm{f_{n+1}}_1^\frac{1}{n}\\
&=\prod_{i=1}^{n+1}\norm{f_i}_1^\frac{1}{n+1}
\end{align*}
となる。これより主張が成り立つ。
{{end|proof}}

{{theorem|type=thm|name=Gagliardo-Nirenberg-Sobolevの不等式|label=GNS}}
$p\in[1,n)$ とすると $W^{1,p}(\R^n)\subset L^{p^*}(\R^n)$ で $u\in W^{1,p}(\R^n)$ について
$$\norm{u}_{p^*;\R^n}\le C_{n,p}\norm{Du}_{p;\R^n}.$$
{{theorem|type=rmk}}
任意の $u\in W^{1,p}(\R^n)$ について $\norm{u}_{p^*}\le C\norm{Du}_p$ となる定数 $C=C_{n,p}$ が存在しうる $p^*$ は $p^*=\frac{np}{n-p}$ に限られる。実際 $u\in C^\infty_c(\R^n)\backslash\{0\}$ と $\lambda\gt 0$ について $u_\lambda(x)\colon=u(\lambda x)$ として $u_\lambda\in C^\infty_c(\R^n)$ を定めると、積分の変数変換により $\norm{u_\lambda}_{p^*}=\lambda^{-\frac{n}{p^*}}\norm{u}_p$ となり、また $Du_\lambda(x)=\lambda Du(\lambda x)$ に注意すると $\norm{Du_\lambda}_{p}=\lambda^{1-\frac{n}{p}}\norm{Du}_p$ となるので $\frac{\norm{u_\lambda}_{p^*}}{\norm{Du_\lambda}_p}$ が有界となるには $-\frac{n}{p^*}=1-\frac{n}{p}$ が必要であるが、これをみたす $p^*$ は $p^*=\frac{np}{n-p}$ のみである。

{{begin|proof|display=''Proof.''|collapsible=1}}
$u\in C^\infty_c(\R^n)$ について $\norm{u}_{p^*;\R^n}\le C_{n,p}\norm{Du}_{p;\R^n}$ を示す。

$p=1$ の場合を示す。$i=1,\ldots ,n$ と $(x_1,\ldots ,x_n)\in\R^n$ について
$$|u(x_1,\ldots ,x_n)|\le\int_{-\infty}^{x_i}|D_iu(x_1,\ldots ,x_{i-1},t,x_{i+1},\ldots ,x_n)|dt$$
であるから
$$|u(x_1,\ldots ,x_n)|\le\prod_{i=1}^n\left(\int_{-\infty}^{x_i}|D_iu(x_1,\ldots ,x_{i-1},t,x_{i+1},\ldots ,x_n)|dt\right)^\frac{1}{n}.$$
{{ref|type=lem|label=GNSlem}}より
\begin{align*}
\int_{\R^n}|u|^{1^*}&\le\int_{\R^n}\prod_{i=1}^n\left(\int_{-\infty}^{x_i}|D_iu(x_1,\ldots ,x_{i-1},t,x_{i+1},\ldots ,x_n)|dt\right)^\frac{1}{n-1}dx_1\ldots dx_n\\
&\le\prod_{i=1}^n\norm{D_iu}_1^\frac{1}{n-1}\\
&\le\norm{Du}_1^{1^*}
\end{align*}
となり $\norm{u}_{1^*}\le\norm{Du}_1$ が成り立つ。

$p\in(1,n)$ の場合を示す。$t\in(1,\infty)$ として $v\colon=|u|^t$ とすると $v\in C^1_c(\R^n)$、$D_iv=t|u|^{t-1}\sgn uD_iu$。$p=1$ の場合より
$$\left(\int_\Omega |u|^{\frac{n}{n-1}t}\right)^\frac{n-1}{n}\le\int_\Omega t|u|^{t-1}|Du|\le t\left(\int_\Omega|u|^{\frac{p}{p-1}(t-1)}\right)^\frac{p-1}{p}\norm{Du}_p.$$
ここで $t=\frac{(n-1)p}{n-p}$ とすると $\frac{n}{n-1}t=\frac{p}{p-1}(t-1)=\frac{np}{n-p}$ となり
$$\left(\int_\Omega |u|^{p^*}\right)^\frac{n}{n-1}\le \frac{(n-1)p}{n-p}\left(\int_\Omega|u|^{p^*}\right)^\frac{p}{p-1}\norm{Du}_p.$$
これより $\norm{u}_{p^*}=\left(\int_\Omega |u|^{p^*}\right)^{\frac{n-1}{n}-\frac{p-1}{p}}\le\frac{(n-1)p}{n-p}\norm{Du}_p$ が従う。

$u\in W^{1,p}(\R^n)$ とし、$u_m\in C^\infty_c(\R^n)$、$\norm{u_m-u}_{1,p}\to 0\ (m\to\infty)$ とする。部分列に移って $u_m\to u $ a.e. in $\R^n$ としてよい。Fatouの補題より
$$\norm{u}_{p^*}\le\liminf_{m\to\infty}\norm{u}_{p^*}\le C\liminf_{m\to\infty}\norm{Du_m}_p=C\norm{Du}_p.$$
{{end|proof}}

{{theorem|type=ex}}
$C_{n,p}=\frac{(n-1)p}{n-p}$ はGagliardo-Nirenberg-Sobolevの不等式の最良定数(すなわちこの不等式が任意の $u\in W^{1,p}(\R^n)$ について成り立つ最小の $C_{n,p}$)ではない。Gagliardo-Nirenberg-Sobolevの不等式の最良定数は
$$C_{n,p}=n^{-\frac{1}{p}}\pi^{-\frac{1}{2}}\left(\frac{p-1}{n-p}\right)^{1-\frac{1}{p}}\left(\frac{\Gamma(1+\frac{n}{2})\Gamma(n)}{\Gamma(\frac{n}{p})\Gamma(1+n-\frac{n}{p})}\right)^\frac{1}{n}$$
で与えられ、
$$u(x)=(a+b|x|^\frac{p}{p-1})^{1-\frac{n}{p}}$$
とすると $\norm{u}_{p^*;\R^n}=C_{n,p}\norm{Du}_{p;\R^n}$ が成り立つことが知られている。ここで $a,b$ は正の定数であり、$\Gamma$ は $\Gamma$ 関数である。$u$ はTalentiの関数と呼ばれる。

{{theorem|type=cor|label=locGNS}}
$p\in[1,n)$ について $W^{1,p}_{\loc}(\Omega)\subset L^{p^*}_{\loc}(\Omega)$。

{{begin|proof|display=''Proof.''|collapsible=1}}
$u\in W^{1,p}_\loc(\Omega)$、$\Omega'\rcpt\Omega$ とし、$\zeta\in C^\infty_c(\Omega)$ で $\zeta=1$ in $\Omega'$ となるものをとると $\zeta u\in W^{1,p}_0(\Omega)\subset L^{p^*}(\Omega)$。これより $u\in L^{p^*}(\Omega')$。
{{end|proof}}

$W^{1,p}(\Omega)\subset L^{p^*}(\Omega)$ を示すには $\pOm$ に条件が必要である:

{{theorem|type=cor|label=gGNS}}
$p\in[1,n)$ について次が成り立つ:
*(1) $T\subset\pOm$ が(\ref{D})をみたす相対開集合のとき $W^{1,p}_0(\OmT)\subset L^{p^*}(\Omega)$ で $u\in W^{1,p}_0(\OmT)$ について
$$\norm{u}_{p^*;\Omega}\le C_{p,\Omega,T}\norm{u}_{1,p;\Omega}.$$
*(2) $\Omega$ が有界な $C^{0,1}$ 領域のとき $W^{1,p}(\Omega)\subset L^{p^*}(\Omega)$ で $u\in W^{1,p}(\Omega)$ について
$$\norm{u}_{p^*;\Omega}\le C_{p,\Omega}\norm{u}_{1,p;\Omega}.$$

{{begin|proof|display=''Proof.''|collapsible=1}}
(1)は $E\colon W^{1,p}_0(\OmT)\to W^{1,p}(\R^n)$ を拡張作用素とすれば $u\in W^{1,p}_0(\OmT)$ について
$$\norm{u}_{p^*}\le\norm{Eu}_{p^*}\le C\norm{DEu}_{p}\le C\norm{Eu}_{1,p}\le C\norm{u}_p.$$
(2)も同様。
{{end|proof}}

{{theorem|type=cor|name=$p=n$ の場合|label=pn}}
$|\Omega|\lt\infty$ のとき任意の $q\in[1,\infty)$ について $W^{1,n}_0(\Omega)\subset L^q(\Omega)$ で $u\in W^{1,n}_0(\Omega)$ について
$$\norm{u}_{q;\Omega}\le C_{n,q}|\Omega|^{q^{-1}}\norm{Du}_{n;\Omega}.$$

{{begin|proof|display=''Proof.''|collapsible=1}}
$q\ge 1^*$ の場合を示せば十分。{{ref|type=thm|label=GNS}}より
$$\norm{u}_q\le C\norm{Du}_\frac{nq}{n+q}\le C|\Omega|^{q^{-1}}\norm{Du}_n.$$
{{end|proof}}

{{theorem|type=cor|label=gpn}}
*(1) $q\in[n,\infty)$ について $W^{1,n}_{\loc}(\Omega)\subset L^q_{\loc}(\Omega)$。
*(2) $|\Omega|\lt\infty$ で $T\subset\pOm$ が $T\subset\pOm$ を(\ref{D})をみたす相対開集合のとき任意の $q\in[n,\infty)$ について $W^{1,n}_0(\OmT)\subset L^q(\Omega)$ で $u\in W^{1,p}_0(\OmT)$ について
$$\norm{u}_{q;\Omega}\le C_{q,\Omega,T}\norm{u}_{n;\Omega}.$$
*(3) $\Omega$ を有界な $C^{0,1}$ 領域とすると任意の $q\in[n,\infty)$ について $W^{1,n}(\Omega)\subset L^q(\Omega)$ で $u\in W^{1,p}(\Omega)$ について
$$\norm{u}_{q;\Omega}\le C_{q,\Omega}\norm{u}_{n;\Omega}.$$
{{theorem|type=rmk}}
$n=1$ の場合は{{ref|type=thm|label=dim1mor}}より $W^{1,1}(I)\subset L^\infty(I)$ であるが、$n\ge 2$ の場合は $W^{1,n}(\Omega)\subset L^\infty(\Omega)$ は成り立たない。

たとえば $\Omega=B_1(0)$ とし、
$$u(x)=(-\log|x|)^\alpha,\alpha\in (0,1-n^{-1})$$
とすると、任意の $q\in[1,\infty)$ について $u\in L^q(\Omega)$ で、$x\in\Omega\backslash\{0\}$ について
$$Du(x)=\alpha|x|^{-2}(-\log|x|)^{\alpha-1}x$$
が各点の意味で成り立ち、$n(\alpha-1)\lt -1$ より
$$\int_\Omega |Du|^n=n\omega_n\int_0^1 r^{-n+(n-1)}(-\log r)^{n(\alpha-1)}dr\lt\infty.$$
また $\varphi\in C^\infty_c(\Omega)$ と $r\in(0,1)$ について
$$\int_{\Omega\backslash\Bb_r(0)}uD_i\varphi=-\int_{\Omega\backslash\Bb_r(0)}D_iu\varphi-\int_{\partial\Bb_r(0)}(-\log|x|)^\alpha\varphi(x)\frac{x_i}{r}d\H^{n-1}(x),$$
$$\left|\int_{\partial\Bb_r(0)}(-\log|x|)^\alpha\varphi(x)\frac{x_i}{r}d\H^{n-1}(x)\right|\le \norm{\varphi}_\infty(-\log r)^\alpha\cdot n\omega_n r^{n-1}\to 0\ (r\to 0)$$
より $u$ は弱微分をもち、各点微分と一致する。これより $u\in W^{1,n}(\Omega)$。一方、明らかに $u\notin L^\infty(\Omega)$ である。
==Rieszポテンシャル==
$p\in(n,\infty)$ の場合を扱う準備として、次のRieszポテンシャルを定義する:

{{theorem|type=def|name=Rieszポテンシャル|label=riep}}
$\mu\in(0,1]$ とする。$\L^n$ -可測関数 $f\colon\Omega\to\R$ について合成積 $|\cdot|^{-n(1-\mu)}*f$ がある開集合上で定義されるときこれを $V_\mu f$ とかきRieszポテンシャルという。

{{theorem|type=pro|label=riep1}}
$|\Omega|\lt\infty$、$p\in[1,\infty]$、$\mu\in(0,1]$ とする。$f\in L^p(\Omega)$ とすると $V_\mu f$ は $\Omega$ 上で定義され次が成り立つ:
*(1) $q\in[p,\infty]$ が $\delta\colon=p^{-1}-q^{-1}\lt\mu$ をみたすとすると
$$V_\mu f\in L^q(\Omega),\norm{V_\mu f}_{q;\Omega}\le\left(\frac{1-\delta}{\mu-\delta}\right)^{1-\delta}\omega_n^{1-\mu}|\Omega|^{\mu-\delta}\norm{f}_{p;\Omega}.$$
*(2) $p\in[1,\infty)$、$\mu=p^{-1}$、$f\not\equiv 0$ のとき、$\alpha\gt 0$ について
$$\int_\Omega\exp\left(\left(\frac{|V_{p^{-1}} f|}{C_{n,p,\alpha}\norm{f}_{p,\Omega}}\right)^{p'}\right)\le (1+\alpha)|\Omega|.$$

{{begin|proof|display=''Proof.''|collapsible=1}}
(1)を示す。$h\colon=|\cdot|^{-n(1-\mu)}$、$r\colon=(q^{-1}-p^{-1}+1)^{-1}=(1-\delta)^{-1}$ とする。
$$\norm{h}_{r;\Omega}\le\left(\frac{1-\delta}{\mu-\delta}\right)^{1-\delta}\omega_n^{1-\mu}|\Omega|^{\mu-\delta}\tag{*}\label{riep}$$
を示す。

$R\colon=(\omega_n^{-1}|\Omega|)^{n^{-1}}$ とする。$|\Omega|=\omega_nR^n=|B_R(0)|$ であるから $|\Omega\backslash B_R(0)|=|B_R(0)\backslash\Omega|$ で
$$\int_{\Omega}h^r\le R^{-n(1-\mu)}|\Omega\backslash B_R(0)|+\int_{B_R(0)\cap\Omega}h^r=R^{-n(1-\mu)}|B_R(0)\backslash\Omega|+\int_{B_R(0)\cap\Omega}h^r\le\int_{B_R(0)}h^r.$$
$1-(1-\mu)r=1-\frac{1-\mu}{1-\delta}=\frac{\mu-\delta}{1-\delta}\gt 0$ に注意すると
$$\int_\Omega h^r\le\int_{B_R(0)}h^r=n\omega_n\int_0^R t^{n-n(1-\mu)r-1}dx=\frac{1-\delta}{\mu-\delta}\omega_nR^{n-n(1-\mu)r}=\frac{1-\delta}{\mu-\delta}\omega_n^{(1-\mu)r}|\Omega|^{(\mu-\delta)r}$$
となり(\ref{riep})が従う。

$x,y\in\Omega$ について(\ref{riep})より
\begin{align*}
\norm{h(x-\cdot)}_{r;\Omega}&=\norm{h}_{r;x-\Omega}\le\left(\frac{1-\delta}{\mu-\delta}\right)^{1-\delta}\omega_n^{1-\mu}|\Omega|^{\mu-\delta},\\
\norm{h(\cdot-y)}_{r;\Omega}&=\norm{h}_{r;\Omega-y}\le\left(\frac{1-\delta}{\mu-\delta}\right)^{1-\delta}\omega_n^{1-\mu}|\Omega|^{\mu-\delta}.
\end{align*}
$q^{-1}=p^{-1}+r^{-1}-1$ であるからYoungの不等式より $V_\mu f$ は $\Omega$ 上で定義され
$$V_\mu f\in L^q(\Omega),\norm{V_\mu f}_q\le\left(\frac{1-\delta}{\mu-\delta}\right)^{1-\delta}\omega_n^{1-\mu}|\Omega|^{\mu-\delta}\norm{f}_p$$
が成り立つ。

(2)を示す。$\mu=p^{-1}$ のときは任意の $q\in[p,\infty)$ が $p^{-1}-q^{-1}\lt\mu$ をみたす。

$N\colon=\lceil p-1\rceil$ とする。$m\in\Z$、$m\ge N$ とすると $mp'\ge p$ となり、$q=mp'$ として(1)を用いると $\delta=p^{-1}-(mp')^{-1}=1-(1+m^{-1})p'^{-1}$ より
$$\int_\Omega|V_{p^{-1}}f|^{mp'}\le\left((m+1)^{(1+m^{-1})p'^{-1}}\omega_n^{p'^{-1}}|\Omega|^{(mp')^{-1}}\norm{f}_p\right)^{mp'}=(m+1)^{m+1}\omega_n^m|\Omega|\norm{f}_p^{mp'}.$$
$m=1,\ldots ,N-1$ については
$$\int_\Omega|V_{p^{-1}}f|^{mp'}\le|\Omega|^{1-\frac{m}{N}}\left(\int_\Omega|V_{p^{-1}}f|^{Np'}\right)^\frac{m}{N}\le N^m\omega_n^m|\Omega|\norm{f}_p^{mp'}.$$
$m!=O(m^{m+\frac{1}{2}}e^{-m})$ に注意すると $m\in\Zp$ について
$$\int_\Omega|V_{p^{-1}}f|^{mp'}\le C(m+1)^{-\frac{1}{2}}e^{-m}(m+1)!|\Omega|.$$
これより $M\gt (e\omega_n)^{p'^{-1}}$ について
\begin{align*}
\int_\Omega\exp\left(\left(\frac{|V_{p^{-1}}f|}{M\norm{f}_p}\right)^{p'}\right)&=|\Omega|+\sum_{m=1}^\infty\frac{1}{m!(M\norm{f}_p)^{mp'}}\int_\Omega|V_{p^{-1}}f|^{mp'}\\
&\le\left(1+C\sum_{m=1}^\infty\frac{(m+1)^\frac{1}{2}e^{m+1}\omega_n^m}{M^m}\right)|\Omega|.
\end{align*}
$\displaystyle \sum_{m=1}^\infty\frac{(m+1)^\frac{1}{2}e^{m+1}}{M^m}\to 0 (M\to\infty)$ であるから十分大きな $C=C_{n,p,\alpha}$ をとれば
$$\int_\Omega\exp\left(\left(\frac{|V_{p^{-1}}f|}{C\norm{f}_p}\right)^{p'}\right)\le(1+\alpha)|\Omega|.$$
{{end|proof}}

$\mu=\delta$ の場合は次の結果が重要である:

{{theorem|type=thm|name=Hardy-Littlewood-Sobolevの不等式|label=HLS}}
$p\in[1,\mu^{-1})$ とし、$f\in L^p(\R^n)$ とすると $V_\mu f$ は $\R^n$ 上で定義され、$q\colon=\frac{p}{1-\mu p}$ とすると次が成り立つ:
*(1) $p=1$ のとき
$$V_\mu f\in L^{q,w}(\R^n),[V_\mu f]_{q;\R^n}\le C_{n,\mu}\norm{f}_{1;\R^n}.$$
( $L^{q,w}$ と $[\cdot]_q$ の定義は[[Marcinkiewiczの補間定理]]を参照。)
*(2) $p\in(1,\mu^{-1})$ のとき
$$V_\mu f\in L^q(\R^n),\norm{V_\mu f}_{q;\R^n}\le C_{n,p,\mu}\norm{f}_{p;\R^n}.$$

{{begin|proof|display=''Proof.''|collapsible=1}}
$R\gt 0$ とし、$h_1\colon=|\cdot|^{-n(1-\mu)}\chi_{B_R(0)}$、$h_2\colon=|\cdot|^{-n(1-\mu)}\chi_{\R^n\backslash B_R(0)}$ とする。
$$\norm{h_1}_1=n\omega_n\int_0^R t^{n\mu-1}dt=\mu^{-1}\omega_nR^{n\mu}$$
であるからYoungの不等式より
$$h_1*f\in L^p(\R^n),\norm{h_1*f}_p\le CR^{n\mu}\norm{f}_p.$$
また $p'\colon=\frac{p}{p-1}$ とすると $((1-\mu)p'-1)^{-1}=p'((1-\mu)-(1-p^{-1}))^{-1}=p'q^{-1}$
$$\norm{h_2}_{p'}^{p'}=n\omega_n\int_R^\infty t^{n-n(1-\mu)p'-1}dt=p'q^{-1}\omega_nR^{-np'q^{-1}}$$
であるからHölderの不等式より
$$h_2*f\in L^\infty(\R^n),\norm{h_2*f}_\infty\le KR^{-nq^{-1}}\norm{f}_p,K\colon=(p'q^{-1}\omega_n)^{1-p^{-1}}.$$
よって $V_\mu f=h_1*f+h_2*f$ は $\R^n$ 上で定義される。

$t\gt 0$ とする。$R=(2K\norm{f}_pt^{-1})^{n^{-1}q}$ ととれば $\norm{h_2*f}_\infty\le\frac{t}{2}$ となり
$$\left|\left\{|h_2*f|\gt\frac{t}{2}\right\}\right|=0.$$
また $\mu pq+p=q(\mu p+p(p^{-1}-\mu))=q$ に注意すると
$$\left|\left\{|h_1*f|\gt\frac{t}{2}\right\}\right|=(\norm{h_1*f}_pt^{-1})^p\le C(R^{n\mu}\norm{f}_pt^{-1})^p=C(\norm{f}_pt^{-1})^{\mu pq+p}=C(\norm{f}_pt^{-1})^q.$$
$|V_\mu f|\gt t\implies|h_1*f|\gt\frac{t}{2}$ or $|h_2*f|\gt\frac{t}{2}$ より
$$|\{|V_\mu f|\gt t\}|\le\left|\left\{|h_1*f|\gt\frac{t}{2}\right\}\right|+\left|\left\{|h_2*f|\gt\frac{t}{2}\right\}\right|\le C(\norm{f}_pt^{-1})^q.$$
従って
$$V_\mu f\in L^{q,w}(\R^n),[V_\mu f]_q\le C\norm{f}_p.\tag{*}\label{HLS}$$
(1)はこれで示された。

(2)を示す。$p_0,p_1$ を $1\le p_0\lt p\lt p_1\lt\mu^{-1}$ となるようにとり、$q_i\colon=\frac{p_i}{1-\mu p_i}\ (i=0,1)$ とする。$\theta\in(0,1)$ を $p^{-1}=(1-\theta)p_0^{-1}+\theta p_1^{-1}$ となるようにとると
$$q^{-1}=p^{-1}-\mu=(1-\theta)(p_0^{-1}-\mu)+\theta(p_1^{-1}-\mu)=(1-\theta)q_0^{-1}+\theta q_1^{-1}.$$
(\ref{HLS})と[[Marcinkiewiczの補間定理]]より(2)が従う。
{{end|proof}}

{{theorem|type=pro|name=Rieszポテンシャルと微分の関係|label=riep2}}
*(1) $k=1,\ldots,n$ とする。$u\in C^\infty_c(\R^n)$ とすると $x\in\R^n$ について
$$u(x)=\frac{1}{(k-1)!n\omega_n}\int_{\R^n}\sum_{|\alpha|=k}|x-y|^{-n}(x-y)^\alpha D^\alpha u(y)dy.$$
とくに $u\in W^{k,1}(\Omega)$ について
$$|u|\le\frac{1}{(k-1)!n\omega_n}V_\frac{k}{n}|D^ku|.$$
*(2) $\Omega$ は凸であるとし、$S\subset\Omega$ は有界かつ $|S|\gt 0$ をみたすとする。$u\in W^{1,1}(\Omega)$ とすると
$$|u-u_S|\le\frac{(\diam\Omega)^n}{n|S|}|V_{n^{-1}}u|\ \inn\Omega.$$
ここで
$$u_S\colon=\frac{1}{|S|}\int_S u.$$

{{begin|proof|display=''Proof.''|collapsible=1}}
(1)を示す。$z\in\partial B_1(0)$ とする。十分大きい $t\gt 0$ について $u(x+tz)=0$ となることに注意すると部分積分による $k$ に関する帰納法により
$$u(x)=\frac{1}{(k-1)!}\int_0^\infty t^{k-1}D^k_z u(x+tz)dt=\frac{(-1)^k}{(k-1)!}\int_0^\infty\sum_{|\alpha|=k}t^{k-1}z^\alpha D^\alpha u(x+tz)dt.$$
よって
\begin{align*}
u(x)&=\frac{(-1)^k}{(k-1)!n\omega_n}\int_{\partial B_1(0)}\left(\int_0^\infty \sum_{|\alpha|=k}t^{k-1}z^\alpha D^\alpha u(x+tz)dt\right)d\H^{n-1}(z)\\
&=\frac{1}{(k-1)!n\omega_n}\int_0^\infty\left(\int_{B_t(x)} \sum_{|\alpha|=k}t^{k-n}(t^{-1}(x-y))^\alpha D^\alpha u(y)d\H^{n-1}(y)\right)dt\\
&=\frac{1}{(k-1)!n\omega_n}\int_{\R^n} \sum_{|\alpha|=k}|x-y|^{-n}(x-y)^\alpha D^\alpha u(y)dy.
\end{align*}

(2)を示す。$x,z\in\Omega$ とすると
$$u(x)-u(z)=\int_0^1 Du(tx+(1-t)z)\cdot(x-z)dt.$$
$z\in S$ について積分すると
$$u(x)-u_S=\frac{1}{|S|}\int_S\left(\int_0^1 Du((1-t)x+tz)\cdot(x-z)dt\right)dz.$$
$t\in[0,1]$ について $x\in (1-t)x+t\Omega$、$\diam((1-t)x+t\Omega)=t\diam\Omega$ より $y\in\Omega$ について $y\in(1-t)x+t\Omega\implies |x-y|\le t\diam\Omega$ となることに注意すると
\begin{align*}
|u(x)-u_S|&\le\frac{1}{|S|}\int_S\left(\int_0^1 |Du((1-t)x+tz)||x-z|dt\right)dz\\
&=\frac{1}{|S|}\int_0^1\left(\int_{(1-t)x+tS} t^{-n}|Du(y)|t^{-1}|x-y|dy\right)dt\\
&=\frac{1}{|S|}\int_\Omega\left(\int_{\{t\in[0,1]\colon y\in(1-t)x+tS\}}t^{-n-1}|x-y||Du(y)|dt\right)dy\\
&\le\frac{1}{|S|}\int_\Omega\left(\int_{\{t\in[0,1]\colon y\in(1-t)x+t\Omega\}}t^{-n-1}|x-y||Du(y)|dt\right)dy\\
&\le\frac{1}{|S|}\int_\Omega\left(\int_\frac{|x-y|}{\diam\Omega}^\infty t^{-n-1}|x-y||Du(y)|dt\right)dy\\
&=\frac{(\diam\Omega)^n}{n|S|}\int_\Omega|x-y|^{1-n}|Du(y)|dt.
\end{align*}
{{end|proof}}

{{theorem|type=ex}}
$p\in(1,n)$ の場合は(1)とHardy-Littlewood-Sobolevの不等式を組み合わせてSobolevの不等式を証明することもできる。

==Poincaréの不等式==
実用上は以下に示すSobolevの不等式のより弱い形であるPoincaréの不等式で十分であることも多い。
{{theorem|type=thm|name=Poincaréの不等式|label=Poi0}}
*(1) $|\Omega|\lt\infty$ とする。$p\in[1,\infty)$ と $u\in W^{1,p}_0(\Omega)$ について
$$\norm{u}_{p;\Omega}\le C_n|\Omega|^{n^{-1}}\norm{Du}_{p;\Omega}.$$
*(2) $\Omega$ は一方向に有界であるとする。すなわち $z\in\partial B_1(0)$ が存在し $\displaystyle w\colon=\sup_{x\in\R^n}\diam(\{t\in\R\colon x+tz\in\Omega\})\lt\infty$ となるとする。$p\in[1,\infty)$ と $u\in W^{1,p}_0(\Omega)$ について
$$\norm{u}_{p;\Omega}\le C_nw\norm{D_zu}_{p;\Omega}.$$

{{begin|proof|display=''Proof.''|collapsible=1}}
(1)は{{ref|type=pro|label=riep2}}の(1)と{{ref|type=pro|label=riep1}}の(1)より
$$\norm{u}_p\le\frac{1}{n\omega_n}\norm{V_{n^{-1}}|Du|}_p\le C|\Omega|^{n^{-1}}\norm{Du}_p.$$

(2)を示す。$u\in C^\infty_c(\Omega)$ としてよい。

$\pi\colon=\{x\in\R^n\colon z\cdot x=0\}$ とする。$x\in\pi$ について
$$a_x\colon=\inf\{t\in\R\colon x+tz\in\Omega\},b_x\colon=\sup\{t\in\R\colon x+tz\in\Omega\},I_x\colon=(a_x,b_x)$$
とすると $|I_x|\le w$、$\displaystyle \Omega\subset\bigcup_{x\in\pi}\{x+tz\colon t\in I_x\}$。
$u\in C^\infty_c(\Omega)$ とすると{{ref|type=thm|label=dim1mor}}より $x\in\pi$ について
$$\left(\int_{I_x}|u(x+tz)|^pdt\right)^{p^{-1}}\le|I_x|^{p^{-1}}\sup_{t\in I_x}|D_zu(x+tz)|\le|I_x|\left(\int_{I_x}|D_zu(x+tz)|^pdt\right)^{p^{-1}}.$$
Lipschitz連続関数 $x\mapsto z\cdot x$ に対して[[Hausdorff測度とarea_coarea_formula|coarea formula]]を用いると
\begin{align*}
\norm{u}_p&=\left(\int_\R\left(\int_{\{x\in\Omega\colon z\cdot x=t\}}|u(x)|^pd\H^{n-1}(x)\right)dt\right)^{p^{-1}}\\
&=\left(\int_\R\left(\int_{\{x\in\pi\colon x+tz\in\Omega\}}|u(x+tz)|^pd\H^{n-1}(x)\right)dt\right)^{p^{-1}}\\
&=\left(\int_\pi\left(\int_{I_x}|u(x+tz)|^pdt\right)d\H^{n-1}(x)\right)^{p^{-1}}\\
&\le\left(\int_\pi |I_x|^p\left(\int_{I_x}|D_zu(x+tz)|^pdt\right)d\H^{n-1}\right)^{p^{-1}}\\
&\le w\norm{D_zu}_p.
\end{align*}
{{end|proof}}

{{theorem|type=thm|name=Poincaréの不等式|label=Poi}}
$\Omega$ は有界かつ凸であるとする。$p\in[1,\infty)$ と $u\in W^{1,p}(\Omega)$ と $|S|\gt 0$ なる $S\subset\Omega$ について
$$\norm{u-u_S}_{p;\Omega}\le C_n\frac{(\diam\Omega)^n}{|S|}|\Omega|^{n^{-1}}\norm{Du}_{p;\Omega}.$$

{{begin|proof|display=''Proof.''|collapsible=1}}
{{ref|type=pro|label=riep2}}の(2)と{{ref|type=pro|label=riep1}}の(1)より
$$\norm{u-u_\Omega}_p\le\frac{(\diam\Omega)^n}{n|\Omega|}\norm{V_{n^{-1}}|Du|}_p\le C\frac{(\diam\Omega)^n}{|S|}|\Omega|\norm{Du}_p.$$
{{end|proof}}

{{theorem|type=rmk}}
$|\Omega|\lt\infty$ または $\Omega$ が一方向に有界のとき、$\norm{Du}_{p;\Omega}$ は $W^{1,p}_0(\Omega)$ に $\norm{u}_{1,p;\Omega}$ と同値なノルムを定める。とくに $p=2$ のとき、
$$\int_\Omega Du\cdot Dv$$
は $W^{1,2}_0(\Omega)$ に $W^{1,2}(\Omega)$ における内積と同値な内積を定める。

また、$\Omega$ が有界かつ凸のとき、$\norm{Du}_{p;\Omega}$ は $W^{1,p}(\Omega)$ の閉部分空間 $\{u\in W^{1,p}(\Omega)\colon u_\Omega=0\}$ に $\norm{u}_{1,p;\Omega}$ と同値なノルムを定める。

==Morreyの不等式==
ここでは $p\in(n,\infty)$ の場合を取り扱う。

{{theorem|type=thm|name=Morreyの不等式|label=mor}}
$p\in(n,\infty)$ とする。$\alpha=1-\frac{n}{p}$ とすると次が成り立つ。
*(1) $|\Omega|\lt\infty$ のとき $W^{1,p}_0(\Omega)\subset L^\infty(\Omega)$ で $u\in W^{1,p}_0(\Omega)$ について
$$\norm{u}_{\infty;\Omega}\le C_{n,p}|\Omega|^{n^{-1}-p^{-1}}\norm{Du}_{p;\Omega}.$$
*(2) $W^{1,p}(\R^n)\subset C^{0,\alpha}(\R^n)$ で $u\in W^{1,p}(\R^n)$ について
$$[u]_{0,\alpha;\R^n}\le C_{n,p}\norm{Du}_{p;\R^n}.$$
とくに $|\Omega|\lt\infty$ のとき $W^{1,p}_0(\Omega)\subset C^{0,\alpha}(\Ombar)$ で $u\in W^{1,p}_0(\Omega)$ について
$$|u|_{0,\alpha;\Omega}\le C_{n,p,|\Omega|}\norm{Du}_{p;\Omega},u=0\ \on\pOm.$$

{{begin|proof|display=''Proof.''|collapsible=1}}
(1)を示す。{{ref|type=pro|label=riep2}}の(1)と{{ref|type=pro|label=riep1}}で $\mu=n^{-1}$、$q=\infty$ としたものより
$$\norm{u}_\infty\le CV_{n^{-1}}|Du|\le C|\Omega|^{n^{-1}-p^{-1}}\norm{Du}_p.$$

(2)を示す。$B=B_r\subset\R^n$ とする。{{ref|type=pro|label=riep2}}の(2)と{{ref|type=pro|label=riep1}}より
$$|u-u_B|\le\frac{(\diam B)^n}{n|B|}V_{n^{-1}}\left(\left(\left.|Du|\right)\right|_B\right)\le C|B|^{n^{-1}-p^{-1}}\norm{Du}_p\le Cr^\alpha\norm{Du}_p\ \inn B.$$
$x,y\in B$ とすると
$$|u(x)-u(y)|\le|u(x)-u_B|+|u(y)-u_B|\le Cr^\alpha\norm{Du}_p.\tag{*}\label{mor1}$$
$x,y\in\R^n$、$x\neq y$ について、$B=B_r$ を $x,y\in B$ かつ $r\le|x-y|$ となるようにとれるので
$$|u(x)-u(y)|\le C\norm{Du}_p|x-y|^\alpha$$
が成り立つ。$u=0$ on $\pOm$ は $u_m\in W^{1,p}_c(\Omega)$、$\norm{u_m-u}_{1,p;\Omega}\to 0\ (m\to\infty)$ とすると $u_m=0$ on $\pOm$、$\norm{u_m-u}_\infty\to 0\ (m\to\infty)$ となることから成り立つ。
{{end|proof}}

{{ref|type=cor|label=locGNS}}、{{ref|type=cor|label=gGNS}}と同様に次が成り立つ:

{{theorem|type=cor|label=locmor}}
$p\in(n,\infty)$ とする。$\alpha=1-\frac{n}{p}$ とすると $W^{1,p}_{\loc}(\Omega)\subset C^{0,\alpha}(\Omega)$。

{{theorem|type=cor|label=gmor}}
$p\in(n,\infty)$ とする。$\alpha=1-\frac{n}{p}$ とすると次が成り立つ:
*(1) $|\Omega|\lt\infty$ で $T\subset\pOm$ が(\ref{D})をみたす相対開集合のとき $W^{1,p}_0(\OmT)\subset C^{0,\alpha}(\Ombar)$ で $u\in W^{1,p}_0(\OmT)$ について
$$|u|_{0,\alpha;\Omega}\le C_{p,T,\Omega}\norm{u}_{1,p;\Omega}, u=0\ \on \Omega\backslash T.$$
*(2) $\Omega$ を有界な $C^{0,1}$ 領域とすると $W^{1,p}(\Omega)\subset C^{0,\alpha}(\Ombar)$ で $u\in W^{1,p}(\Omega)$ について
$$|u|_{0,\alpha;\Omega}\le C_{p,\Omega}\norm{u}_{1,p;\Omega}.$$

{{theorem|type=rmk}}
{{ref|type=thm|label=lip}}より、{{ref|type=cor|label=locmor}}と{{ref|type=cor|label=gmor}}の(2)は $p=\infty$ の場合にも成立する。

{{theorem|type=cor|name=a.e.微分可能性|label=difae}}
$p\in(n,\infty]$ とする。$u\in W^{1,p}_{\loc}(\Omega)$ は a.e. in $\Omega$ で微分可能で、各点微分と弱微分は一致する。

{{begin|proof|display=''Proof.''|collapsible=1}}
$p\in(n,\infty)$ としてよい。

$x_0\in\Omega$ は
$$r^{-n}\int_{B_r(x_0)}|Du-Du(x_0)|^p\to 0\ (r\to +0)$$
をみたすとする。Lebesgueの微分定理よりこれはa.e. $x_0\in\Omega$ で成り立つ。
$$v(x)\colon=u(x)-u(x_0)-Du(x_0)\cdot(x-x_0)\ (x\in\Omega)$$
と定め、$v(x)=o(|x-x_0|)\ (|x-x_0|\to +0)$ を示せばよい。

{{ref|type=thm|label=mor}}の証明の(\ref{mor1})より $B_r=B_r(x_0)\rcpt\Omega$ について
$$|v|_{\infty;B_r}=|v-v(x_0)|_{\infty;B_r}\le C\norm{Dv}_{p;B_r}r^{1-\frac{p}{n}}\le Cr\left(r^{-n}\int_{B_r}|Du-Du(x_0)|^p\right)^{p^{-1}}.$$
これより $v(x)=o(|x-x_0|)\ (|x-x_0|\to +0)$。
{{end|proof}}

{{theorem|type=ex}}
$p=\infty$ の場合を{{ref|type=thm|label=lip}}と組み合わせるとRademacherの定理([[Hausdorff測度とarea_coarea_formula]]の定理33)の別の証明が得られる。

==Trudinger-Moserの不等式==
{{ref|type=cor|label=gpn}}の注意で述べたように、$p=n\ge 2$ の場合のSobolevの不等式はその他の場合より繊細である。一方、Rieszポテンシャルを用いると{{ref|type=cor|label=pn}}と{{ref|type=cor|label=gpn}}の評価をより精密にすることができる。

{{theorem|type=thm|name=Trudinger-Moserの不等式|label=TM}}
$n\ge 2$ のとき次が成り立つ:
*(1) $|\Omega|\lt\infty$ のとき $u\in W^{1,n}_0(\Omega)\backslash\{0\}$ と $\alpha\gt 0$ について
$$\int_\Omega\exp\left(\left(\frac{|u|}{C_{n,\alpha}\norm{Du}_{n;\Omega}}\right)^\frac{n}{n-1}\right)\le (1+\alpha)|\Omega|.$$
*(2) $|\Omega|\lt\infty$ で $T\subset\pOm$ を $T\subset\pOm$ が(\ref{D})をみたす相対開集合のとき $u\in W^{1,n}_0(\OmT)\backslash\{0\}$ と $\alpha\gt 0$ について
$$\int_\Omega\exp\left(\left(\frac{|u|}{C_{\Omega,T,\alpha}\norm{u}_{1,n;\Omega}}\right)^\frac{n}{n-1}\right)\le (1+\alpha)|\Omega|.$$
*(3) $\Omega$ が有界な $C^{0,1}$ 領域のとき $u\in W^{1,n}(\Omega)\backslash\{0\}$ と $\alpha\gt 0$ について
$$\int_\Omega\exp\left(\left(\frac{|u|}{C_{\Omega,\alpha}\norm{u}_{1,n;\Omega}}\right)^\frac{n}{n-1}\right)\le (1+\alpha)|\Omega|.$$

{{begin|proof|display=''Proof.''|collapsible=1}}
(1)を示す。{{ref|type=pro|label=riep2}}の(1)より $u\in C^\infty_c(\R^n)$ について $|u|\le CV_{n^{-1}}|Du|$ となるので{{ref|type=pro|label=riep1}}より
$$\int_\Omega\left(\left(\frac{|u|}{C\norm{Du}_{n;\Omega}}\right)^\frac{n}{n-1}\right)\le(1+\alpha)|\Omega|.$$
一般の場合は近似により従う。

(2)と(3)は(1)と拡張作用素により示される。
{{end|proof}}

{{theorem|type=rmk}}
{{ref|type=cor|label=gpn}}の注意の $u$ は $\int_\Omega\exp\left(|u|^\frac{n}{n-1}\right)\lt\infty$ をみたしている。

==一般のSobolevの不等式==
{{theorem|type=thm|name=一般のSobolevの不等式|label=gsob}}
$k\in\Zp$、$p\in[1,\infty)$ とする。次が成り立つ:
*(1) $kp\lt n$ のとき $p_k\colon=\frac{np}{n-kp}$ とすると $W^{k,p}(\R^n)\subset L^{p_k}(\R^n)$ で $u\in W^{k,p}(\R^n)$ について
$$\norm{u}_{p_k;\R^n}\le C_{n,k,p}\norm{D^ku}_{p;\R^n}.$$
また $T\subset\pOm$ が $T\subset\pOm$ が(\ref{D})をみたす相対開集合のとき $W^{k,p}_0(\OmT)\subset L^{p_k}(\Omega)$ で $u\in W^{k,p}_0(\OmT)$ について
$$\norm{u}_{p_k;\Omega}\le C_{k,p,\Omega,T}\norm{u}_{k,p;\Omega}.$$
$\Omega$ が有界な $C^{0,1}$ 領域のとき $W^{k,p}(\Omega)\subset L^{p_k}(\Omega)$ で $u\in W^{k,p}(\Omega)$ について
$$\norm{u}_{p_k;\Omega}\le C_{k,p,\Omega}\norm{u}_{k,p;\Omega}.$$
*(2) $|\Omega|\lt\infty$、$kp=n$ のとき任意の $q\in[1,\infty)$ について $W^{k,p}_0(\Omega)\subset L^q(\Omega)$ で $u\in W^{k,p}_0(\Omega)$ について
$$\norm{u}_{q;\Omega}\le C_{n,k,q}|\Omega|^{q^{-1}}\norm{u}_{k,p;\Omega}.$$
また $|\Omega|\lt\infty$ で $T\subset\pOm$ が $T\subset\pOm$ が(\ref{D})をみたす相対開集合のとき任意の $q\in[p,\infty)$ について $W^{k,p}_0(\OmT)\subset L^q(\Omega)$ で $u\in W^{k,p}_0(\OmT)$ について
$$\norm{u}_{q;\Omega}\le C_{k,q,\Omega}\norm{u}_{k,p;\Omega}.$$
$\Omega$ が有界な $C^{0,1}$ 領域のとき任意の $q\in[p,\infty)$ について $W^{k,p}(\Omega)\subset L^q(\Omega)$ で $u\in W^{k,p}(\Omega)$ について
$$\norm{u}_{q;\Omega}\le C_{k,q,\Omega}\norm{D^ku}_{p;\Omega}.$$
*(3) $kp=n\ge k+1$、$|\Omega|\lt\infty$ のとき $u\in W^{k,p}_0(\Omega)\backslash\{0\}$ と $\alpha\gt 0$ について
$$\int_\Omega\exp\left(\left(\frac{|u|}{C_{n,k,\alpha}\norm{D^ku}_{p;\Omega}}\right)^\frac{n}{n-k}\right)\le (1+\alpha)|\Omega|.$$
また $|\Omega|\lt\infty$ で $T\subset\pOm$ が $T\subset\pOm$ が(\ref{D'})をみたす相対開集合のとき $u\in W^{k,p}_0(\OmT)\backslash\{0\}$ と $\alpha\gt 0$ について
$$\int_\Omega\exp\left(\left(\frac{|u|}{C_{k,\Omega,T,\alpha}\norm{u}_{k,p;\Omega}}\right)^\frac{n}{n-k}\right)\le (1+\alpha)|\Omega|.$$
$\Omega$ が有界なLipschitz領域のとき $u\in W^{k,p}(\Omega)\backslash\{0\}$ と $\alpha\gt 0$ について
$$\int_\Omega\exp\left(\left(\frac{|u|}{C_{k,\Omega,\alpha}\norm{u}_{k,p;\Omega}}\right)^\frac{n}{n-k}\right)\le (1+\alpha)|\Omega|.$$
*(4) $kp\gt n$、$\frac{n}{p}\notin\Z$ のとき $j\colon=\left\lfloor k-\frac{n}{p}\right\rfloor$、$\beta\colon= k-j-\frac{n}{p}$ とすると $W^{k,p}(\R^n)\subset C^{j,\beta}(\R^n)$ で $u\in W^{k,p}(\R^n)$ について
$$[u]_{j,\beta;\R^n}\le C_{n,k,p}\norm{D^ku}_{p;\R^n}.$$
また $|\Omega|\lt\infty$ のとき $u\in W^{k,p}_0(\Omega)$ について
$$|u|_{j,\beta;\Omega}\le C_{n,k,p,|\Omega|}\norm{u}_{k,p;\Omega},D^\alpha u=0\ \on\pOm\ (|\alpha|\le k-1).$$
$|\Omega|\lt\infty$ で $T\subset\pOm$ が(\ref{D})をみたす相対開集合のとき $W^{k,p}_0(\OmT)\subset C^{j,\beta}(\Ombar)$ で $u\in W^{k,p}_0(\OmT)$ について
$$|u|_{j,\beta;\Omega}\le C_{k,p,\Omega,T}\norm{u}_{k,p;\Omega},D^\alpha u=0\ \on\pOm\backslash T\ (|\alpha|\le k-1).$$
$\Omega$ が有界な $C^{0,1}$ 領域のとき $W^{k,p}(\Omega)\subset C^{j,\beta}(\Ombar)$ で $u\in W^{k,p}(\Omega)$ について
$$|u|_{j,\beta;\Omega}\le C_{k,p,\Omega}\norm{u}_{k,p;\Omega}.$$
*(5) $|\Omega|\lt\infty$、$kp\gt n$、$\frac{n}{p}\in\Z$ のとき $j\colon=k-\frac{n}{p}-1$ とすると任意の $\beta\in(0,1)$ について $W^{k,p}_0(\Omega)\subset C^{j,\beta}(\Ombar)$ で $u\in W^{k,p}_0(\Omega)$ について
$$|u|_{j,\beta;\Omega}\le C_{n,k,p,\beta,|\Omega|}\norm{u}_{k,p;\Omega},[u]_{j,\beta;\Omega}\le C_{n,k,p,\beta}|\Omega|^\frac{1-\beta}{n}\norm{D^ku}_{k,p;\Omega},D^\alpha u=0\ \on\pOm\ (|\alpha|\le k-1).$$
$|\Omega|\lt\infty$ で $T\subset\pOm$ が(\ref{D})をみたす相対開集合のとき $W^{k,p}_0(\OmT)\subset C^{j,\beta}(\Ombar)$ で $u\in W^{k,p}_0(\OmT)$ について
$$|u|_{j,\beta;\Omega}\le C_{k,p,\beta,\Omega,T}\norm{u}_{k,p;\Omega}.$$
$\Omega$ が有界な $C^{0,1}$ 領域のとき $W^{k,p}(\Omega)\subset C^{j,\beta}(\Ombar)$ で $u\in W^{k,p}(\Omega)$ について
$$|u|_{j,\beta;\Omega}\le C_{k,p,\beta,\Omega}\norm{u}_{k,p;\Omega}.$$
*(6) $k\gt n$、$p=1$ のとき $W^{k,1}(\R^n)\subset C^{k-n}(\R^n)\cap W^{k-n,\infty}(\R^n)$ で $u\in W^{k,1}(\R^n)$ について
$$[u]_{k-n;\R^n}\le C_{n,k}\norm{D^ku}_{1;\R^n},D^\alpha u=0\ \on\pOm\ (|\alpha|\le k-1).$$
$T\subset\pOm$ が(\ref{D})をみたす相対開集合のとき $W^{k,1}_0(\OmT)\subset C^{k-n}(\Ombar)\cap W^{k-n,\infty}(\Omega)$ で $u\in W^{k,1}(\Omega)$ について
$$[u]_{k-n;\Omega}\le C_{k,\Omega,T}\norm{u}_{k,1;\Omega},D^\alpha u=0\ \on\pOm\backslash T\ (|\alpha|\le k-1).$$
$\Omega$ が有界な $C^{0,1}$ 領域のとき $W^{k,1}(\Omega)\subset C^{k-n}(\Ombar)$ で $u\in W^{k,1}(\Omega)$ について
$$[u]_{k-n;\Omega}\le C_{k,\Omega}\norm{u}_{k,1;\Omega}.$$
{{begin|proof|display=''Proof.''}}
(1)、(2)、(4)、(5)は{{ref|type=thm|label=dim1mor}}、{{ref|type=thm|label=GNS}}、{{ref|type=cor|label=pn}}、{{ref|type=cor|label=gpn}}、{{ref|type=cor|label=gGNS}}、{{ref|type=thm|label=mor}}、{{ref|type=cor|label=gmor}}を用いて $k$ に関する帰納法により示される。

(3)は前半は{{ref|type=thm|label=TM}}と同様。拡張作用素により後半も従う。

(6)を示す。前半の $k=n$ の場合を示せば十分。$u\in C^\infty_c(\R^n)$ について{{ref|type=pro|label=riep2}}の(1)より
$$|u|\le V_1|D^nu|=\int_{\R^n}|D^nu|=\norm{D^nu}_1.$$
近似によりこれは任意の $u\in W^{n,1}(\R^n)$ に対して成り立つ。またこれより
$$W^{n,1}(\R^n)\subset\overline{C^\infty_c(\R^n)}^{L^\infty(\R^n)}\subset C(\R^n).$$
{{end|proof}}

==コンパクト埋め込み==
{{theorem|type=lem|label=cptlem}}
$p\in[1,\infty)$ とする。$u\in W^{1,p}(\R^n)$ と $\varepsilon\gt 0$ について
$$\norm{\eta_\varepsilon*u-u}_{p;\R^n}\le C_{n,p}\norm{Du}_{p;\R^n}\varepsilon.$$

{{begin|proof|display=''Proof.''}}
{{ref|type=thm|label=difq1}}に注意して
\begin{align*}
\int_{\R^n}|\eta_\varepsilon*u-u|^p&=\int_{\R^n}\left|\int_{B_\varepsilon(0)}\eta_\varepsilon(y)(u(x-y)-u(x))dy\right|^pdx\\
&=\int_{\R^n}\norm{\eta_\varepsilon}_{p'}^p\left(\int_{B_\varepsilon(0)}|u(x-y)-u(x)|^pdy\right)dx\\
&\le C\varepsilon^{-n}\int_{\R^n}\left(\int_{0}^\varepsilon\left(\int_{\partial B_1(0)}t^{n-1+p}|\Delta^t_z u(x)|^pd\H^{n-1}(z)\right)dt\right)dx\\
&\le C\varepsilon^{-n}\int_{0}^\varepsilon\left(\int_{\partial B_1(0)}t^{n-1+p}\norm{Du}_p^pd\H^{n-1}(z)\right)dt\\
&\le C\varepsilon^{-n}\norm{Du}_p^p\int_0^\varepsilon t^{n-1+p}dt\le C\norm{Du}_p^p\varepsilon^p.
\end{align*}
{{end|proof}}

{{theorem|type=thm|name=Rellich-Kondrachovの定理|label=cpt}}
$p\in[1,\infty)$ とし、
$$\begin{cases}
q\in[1,p^*)&\colon p\in(1,n)\\
q\in[1,\infty)&\colon p=n\\
q\in[1,\infty]&\colon p\in(n,\infty)
\end{cases}$$
とする。次が成り立つ:
*(1) $|\Omega|\lt\infty$ のとき埋め込み $W^{1,p}_0(\Omega)\subset L^q(\Omega)$ はコンパクトである。すなわち、$\{u_m\}_{m=1}^\infty\subset W^{1,p}_0(\Omega)$ が $\displaystyle \sup_{m}\norm{u_m}_{1,p;\Omega}\lt\infty$ をみたすとすると、$\{u_m\}_{m=1}^\infty$ の部分列で $L^q(\Omega)$ で収束するものが存在する。
*(2) $|\Omega|\lt\infty$ で $T\subset\pOm$ が(\ref{D})をみたす相対開集合のとき埋め込み $W^{1,p}_0(\OmT)\subset L^q(\Omega)$ はコンパクトである。
*(3) $\Omega$ を有界な $C^{0,1}$ 領域とすると、埋め込み $W^{1,p}(\Omega)\subset L^q(\Omega)$ はコンパクトである。

{{begin|proof|display=''Proof.''}}
(1)の $\Omega$ が有界かつ $q=p\in[1,n]$ の場合を示す。

開球 $B\subset\R^n$ を $\Omega\rcpt B$ となるようにとる。$\varepsilon\gt 0$ とすると $k=0,1$ について
$$\norm{D^k(\eta_\varepsilon*u_m)}_\infty\le C\varepsilon^{np^{-1}}\norm{D^ku_m}_p$$
であるから $\displaystyle\sup_m|\eta_\varepsilon*u_m|_{1;B}\lt\infty$。

[[Hölder空間の基本事項]]の定理62と対角線論法により、$\{u_m\}_{m=1}^\infty$ の部分列 $\{u_{m_j}\}_{j=1}^\infty$ で任意の $l\in\Zp$ について $\{\eta_{l^{-1}}*u_{m_j}\}_{j=1}^\infty$ が $C(\overline{B})$ において収束し、とくに $L^p(B)$ において収束するものがとれる。{{ref|type=lem|label=cptlem}}より
\begin{align*}
\limsup_{i,j\to\infty}\norm{u_{m_i}-u_{m_j}}_p&\le\limsup_{i,j\to\infty}\left(\norm{\eta_{l^{-1}}*u_{m_i}-\eta_{l^{-1}}*u_{m_j}}_p+C\left(\norm{Du_{m_i}}_p+\norm{Du_{m_j}}_p\right)l^{-1}\right)\\
&\le C\sup_m\norm{Du_m}_pl^{-1}.
\end{align*}
$l\to\infty$ として $\displaystyle\limsup_{i,j\to\infty}\norm{u_{m_i}-u_{m_j}}_p=0$ を得る。

(1)の $\Omega$ が非有界かつ $q=p\in[1,n]$ の場合を示す。$\zeta\in C^\infty_c(B_2(0))$ を $\zeta=1$ in $B_1(0)$ となるようにとり、$\zeta_l(x)\colon=\zeta(l^{-1}x)\ (l\in\Zp)$ とする。(1)の $\Omega$ が有界な場合と対角線論法により $\{u_{m_j}\}_{j=1}^\infty$ で任意の$l\in\Zp$ について $\{\zeta_lu_{m_j}\}_{j=1}^\infty$ が $L^p(\Omega)$ で収束するものがとれる。また
$$\norm{(1-\zeta_l)u_m}_p\le C|\Omega\backslash B_l(0)|^\frac{1}{n}\norm{D((1-\zeta_l)u_m)}_p\le C|\Omega\backslash B_l(0)|^\frac{1}{n}(1+l^{-1})\norm{u_m}_{1,p}.$$
これより
$$\limsup_{i,j\to\infty}\norm{u_{m_i}-u_{m_j}}_p\le\limsup_{i,j\to\infty}\norm{\zeta_l u_{m_i}-\zeta_l u_{m_j}}_p+C|\Omega\backslash B_l(0)|^\frac{1}{n}\sup_m\norm{u_m}_{1,p}.$$
$|\Omega\backslash B_l(0)|\to 0\ (l\to\infty)$ より $l\to\infty$ とすれば $\displaystyle\limsup_{i,j\to\infty}\norm{u_{m_i}-u_{m_j}}_p=0$ を得る。

(1)の $p\in[1,n]$ の場合は $L^p(\Omega)$ で収束する部分列 $\{u_{m_j}\}_{j=1}^\infty$ をとればHölderの不等式と{{ref|type=thm|label=GNS}}、{{ref|type=cor|label=pn}}より
$$\limsup_{i,j\to\infty}\norm{u_{m_i}-u_{m_j}}_q\le\begin{cases}
\limsup_{i,j\to\infty}|\Omega|^{p^{-1}-q^{-1}}\norm{u_{m_i}-u_{m_j}}_p=0\ &\colon q\in[1,p]\\
\limsup_{i,j\to\infty}\norm{u_{m_i}-u_{m_j}}_p^\frac{n}{q}\left(\norm{Du_{m_i}}_p+\norm{Du_{m_j}}_p\right)^{1-\frac{n}{q}}=0\ &\colon q\in(p,p^*)
\end{cases}$$
となり従う。

(1)の $p\in(n,\infty]$ の場合を示す。$q=\infty$ としてよい。$\Omega$ が有界な場合は{{ref|type=thm|label=mor}}と[[Hölder空間の基本事項]]の命題61から従う。$\Omega$ が非有界な場合は $\Omega$ が有界な場合と対角線論法により $l\in\Zp$ について $\{\zeta_lu_{m_j}\}_{j=1}^\infty$ が $L^\infty(\Omega)$ で収束する部分列 $\{u_{m_j}\}_{j=1}^\infty$ がとれ、{{ref|type=thm|label=mor}}より
$$\limsup_{i,j\to\infty}\norm{u_{m_i}-u_{m_j}}_\infty\le\limsup_{i,j\to\infty}\norm{\zeta_lu_{m_i}-\zeta_lu_{m_j}}_\infty+2\sup_m\norm{(1-\zeta_l)u_m}_\infty\le C|\Omega\backslash B_l(0)|^{n^{-1}-p^{-1}}\sup_m\norm{Du}_p.$$

$l\to\infty$ とすれば $\displaystyle\limsup_{i,j\to\infty}\norm{u_{m_i}-u_{m_j}}_\infty=0$ を得る。

(2)、(3)は拡張作用素 $E\colon W^{1,p}(\Omega)\to W^{1,p}_0(\Omega_0)\ (\Omega\rcpt\Omega_0,|\Omega_0|\lt\infty)$ をとって $\{Eu_{m_j}\}_{j=1}^\infty$ が $L^q(\Omega_0)$ で収束する部分列 $\{u_{m_j}\}_{j=1}^\infty$ をとればよい。
{{end|proof}}

{{theorem|type=rmk}}
とくに $q=p$ の場合が重要である。すなわち、$|\Omega|\lt\infty$ のとき埋め込み $W^{1,p}_0(\Omega)\subset L^p(\Omega)$ はコンパクトで、$\Omega$ が有界な $C^{0,1}$ 領域のときは埋め込み $W^{1,p}(\Omega)\subset L^p(\Omega)$ はコンパクトである。

$k\gt j$ なる $j,k\in\Zz$ と $p\in[1,\infty]$ について、帰納法により
$$\begin{cases}
q\in\left[1,\frac{np}{n-(k-j)p}\right)&\colon np\lt k-j\\
q\in[1,\infty)&\colon np=k-j\\
q\in[1,\infty]&\colon np\gt k-j
\end{cases}$$
とすると $|\Omega|\lt\infty$ のとき埋め込み $W^{k,p}_0(\Omega)\subset W^{j,q}(\Omega)$ はコンパクトで、$\Omega$ が有界な $C^{0,1}$ 領域のとき埋め込み $W^{k,p}(\Omega)\subset W^{j,q}(\Omega)$ はコンパクトである。

(1)の仮定「 $|\Omega|\lt\infty$ 」と(2)の仮定「有界」は外すことができない。例えば $\Omega=\R^n$ とし、$u\in C^\infty_c(\R^n)\backslash\{0\}$、$u_m(x)\colon=u(x-me_1)$ とすると $\{u_m\}_m$ は明らかに $W^{1,p}(\R^n)$ で有界である。一方、$u_m\to 0$ a.e. in $\R^n\ (m\to\infty)$ であるから、$\{u_m\}_m$ が $L^q(\R^n)$ で収束する部分列をもつとすればその極限は $0$ であるが、$\norm{u_m}_q=\norm{u}_q\gt 0$ より $\{u_m\}_m$ は $0$ に $L^q(\R^n)$ で収束する部分列をもたず、従って$L^q(\R^n)$ で収束する部分列をもたない。

また、$p\in[1,n)$ のとき $\Omega$ がいかなる開集合であっても $q=p^*$ を含めることはできない。実際、$0\in\Omega$ として一般性を失わない。$u\in C^\infty_c(\R^n)\backslash\{0\}$ として $\lambda\gt 0$ について $u_\lambda(x)\colon=\lambda^{\frac{n}{p}-1}u(\lambda x)$ とすると十分小さい $\lambda\gt 0$ について $u_\lambda\in C^\infty_c(\Omega)$ であり、また変数変換により $\norm{Du_\lambda}_p=\norm{Du}_p$ であるから $\displaystyle\sup_{\lambda\gt 0}\norm{Du_\lambda}_p\lt\infty$。一方、$u_\lambda\to 0$ a.e. in $\Omega\ (\lambda\to +0)$ であるから、$\{u_{m^{-1}}\}_m$ が $L^q(\Omega)$ で収束する部分列をもつとすればその極限は $0$ であるが、$\norm{u_\lambda}_{p^*}=\norm{u}_{p^*}\gt 0$ より $\{u_{m^{-1}}\}_m$ は $0$ に $L^{p^*}(\Omega)$ で収束する部分列をもたず、従って$L^{p^*}(\Omega)$ で収束する部分列をもたない。

{{theorem|type=cor|name=Poincaréの不等式|label=Poi2}}
$\Omega$ が $|\Omega|\lt\infty$ かつ連結で相対開集合 $T\subset\pOm$ が(\ref{D})をみたすとし、$p\in[1,\infty)$ とする。$\mathcal{W}\subset W^{1,p}_0(\OmT)$ はノルム閉集合で $u∈\mathcal{W},t\in\R\implies tu∈\mathcal{W}$ かつ $1\notin\mathcal{W}$ をみたすとする。$u\in \mathcal{W}$ について
$$\norm{u}_{p;\Omega}\le C_{p,\mathcal{W}}\norm{Du}_{p;\Omega}.$$

{{begin|proof|display=''Proof.''}}
主張が成り立たなかったとする。$(u_m)_S=1$ なる $\{u_m\}_{m=1}^\infty\subset \mathcal{W}$ が存在し、$\norm{u_m}_p=1$ かつ $\norm{Du_m}_p\to 0\ (m\to\infty)$ となる。{{ref|type=thm|label=cpt}}より部分列にとりかえてある $u\in L^p(\Omega)$ について $\norm{u_m-u}_p\to 0\ (m\to\infty)$ となるとしてよい。

$\norm{Du_m}_p\to 0\ (m\to\infty)$ であるから $u\in W^{1,p}(\Omega)$、$Du=0$ in $\Omega$ となり $v$ は定数関数である。<ref name="const">$\Omega'\rcpt\Omega$、$\varepsilon\gt 0$ とすると $D(\eta_\varepsilon*u)=\eta_\varepsilon*Du=0$ となり $\eta_\varepsilon*u$ は局所定数関数で、$\varepsilon\to +0$ とすれば $u$ も局所定数関数である。$\Omega$ は連結であるから $u$ は定数関数である。</ref>一方 $\norm{u_m-u}_{1,p}\to 0\ (m\to\infty)$ となるので $u\in\mathcal{W}$。$1\notin\mathcal{W}$ より $\mathcal{W}$ は $0$ 以外の定数関数を含まないので $u=0$。これは $\norm{u_m}_p=1$ より $\norm{u}_p=1$ となることに矛盾。
{{end|proof}}

{{theorem|type=rmk}}
たとえば次が成り立つ:
*(1) $1\notin W^{1,p}_0(\OmT)$ とすると任意の $u\in W^{1,p}_0(\OmT)$ について $\norm{u}\le C_{p,\Omega,T}\norm{Du}$。
*(2) $\delta\gt 0$ とすると $\{u\in L^p(\Omega)\colon |\{u=0\}|\ge\delta\}$ はノルム閉集合である。実際、$\{u_m\}_{m=1}^\infty\subset L^p(\Omega)$ と $u\in L^p(\Omega)$ が $|\{u_m\ge 0\}|\ge\delta$ かつ $\norm{u_m-u}_p\to 0\ (m\to\infty)$ をみたすとすると任意の $r\gt 0$ について $|\{|u_m-u|\gt r\}|\le r^{-p}\norm{u_m-u}_p^p$ であるから任意の $\varepsilon\gt 0$ について十分 $m$ を大きくとれば $|\{|u_m-u|\gt r\}|\le\varepsilon$ となり $\{u_m=0\}\backslash\{|u_m-u|\gt r\}\subset\{|u|\le r\}$ より $|\{|u|\le r\}|\ge\delta-\varepsilon$。$r\to +0$、$\varepsilon\to +0$ として $|\{u=0\}|\ge\delta$ を得る。

これより $\mathcal{W}=\{u\in W^{1,p}_0(\OmT)\colon |\{u=0\}|\ge\delta\}$ も $0$ 以外の定数関数を含まないノルム閉集合であり、$u\in\mathcal{W}$ について $\norm{u}_p\le C_{p,\Omega,T,\delta}\norm{Du}_p$ が成り立つ。
*(3) $\xi\in\pOm\backslash T$ と $r\gt 0$ が存在して $B=B_r(\xi)$ が $B\cap T=\emptyset$ かつ $|B\backslash\Omega|\gt 0$ をみたすとすると $\Omega$ を $\Omega\cup B$ にとりかえて $\mathcal{W}=W^{1,p}_0(\OmT)$ とすることにより任意の $u\in W^{1,p}_0(\OmT)$ について $\norm{u}\le C_{p,\Omega,T}\norm{Du}$。
*(4) $\Omega$ が有界かつ連結な $C^{0,1}$ 領域のとき、$T=\pOm$ として $\mathcal{W}=\{u\in W^{1,p}(\Omega)\colon u_\Omega=0\}$ ( $u_\Omega\colon=\frac{1}{|\Omega|}\int_\Omega u$ )とすると $\mathcal{W}$ は仮定をみたし、任意の $u\in W^{1,p}(\Omega)$ について
$$\norm{u-u_S}_p\le C_{p,\Omega}\norm{Du}_p.$$

(1)、(3)と{{ref|type=thm|label=Poi0}}の(1)、(4)と{{ref|type=thm|label=Poi}}を比較せよ。凸領域は連結かつ $C^{0,1}$ であるから{{ref|type=cor|label=Poi2}}の方がより一般的な不等式である。一方、{{ref|type=thm|label=Poi0}}と{{ref|type=thm|label=Poi}}では $C$ がどのように $\Omega$ に依存するかまでわかっているが、{{ref|type=cor|label=Poi2}}の証明は $C$ の具体的な表示を与えていない。

==補間不等式==
ここでは主に
$$\norm{D^ju}_{r;\Omega}\le C\norm{u}_{k,p;\Omega}^{1-\tau}\norm{u}_{q;\Omega}^\tau$$
の形の補間不等式を取り扱う。

{{theorem|type=lem|name=$n=1$、$j=1$、$k=2$ の場合|label=intp1}}
$p,q\in[1,\infty]$ とし、$r\colon=\left(\frac{1}{2}p^{-1}+\frac{1}{2}q^{-1}\right)^{-1}$ とすると $u\in W^{k,p}(\R)$ について
$$\norm{u'}_{1,r;\R}\le C\norm{u^{\prime\prime}}_{p;\R}^\frac{1}{2}\norm{u}_{q;\R}^\frac{1}{2}.$$

{{begin|proof|display=''Proof.''}}
$p,q\in[1,\infty)$ の場合を示す。

$u\in C^\infty_c(\R)\backslash\{0\}$ としてよい。$J=(a,b)\subset\R$ を開区間とする。$x\in J_1\colon=(a,a+\frac{1}{3}|J|)$、$y\in J_2\colon=(b-\frac{1}{3}|J|,b)$ とすると $z\in J$ について
$$\frac{1}{3}|J||u'(z)|\le(y-x)|u'(z)|=\left|u(y)-u(x)-\int_x^y(u'-u'(z))\right|\le|u(y)|+|u(x)|+|J|\int_J|u^{\prime\prime}|.$$
$x\in I_1$、$y\in I_2$ について積分しHölderの不等式を用いると
\begin{align*}
\frac{1}{27}|J|^3|u'(z)|&\le\frac{1}{3}|J|\left(\int_{J_1}|u|+\int_{J_2}|u|\right)+\frac{1}{9}|J|^3\int_J|u^{\prime\prime}|\\
&\le\frac{1}{3}|J|\int_J|u|+\frac{1}{9}|J|^3\int_J|u^{\prime\prime}|\\
&\le\frac{1}{9}|J|^{4-p^{-1}}\norm{u^{\prime\prime}}_{p;J}+\frac{1}{3}|J|^{2-q^{-1}}\norm{u}_{q;J}.
\end{align*}
これより
$$\norm{u'}_{r;J}\le|J|^{r^{-1}}\norm{u'}_{\infty;J}\le 3|J|^{1-\frac{1}{2}(p^{-1}-q^{-1})}\norm{u^{\prime\prime}}_{p;J}+9|J|^{-1+\frac{1}{2}(p^{-1}-q^{-1})}\norm{u}_{q;J}.$$
ここで $U\colon=\{u\neq 0\}$ とする。$x\in U$ について $t\mapsto\norm{u}_{q;(x-t,x+t)}$ と $t\mapsto\norm{u^{\prime\prime}}_{p;(x-t,x+t)}$ は $(0,+\infty)$ から $\R$ へ連続であって
$$(2t)^{-1+\frac{1}{2}(p^{-1}-q^{-1})}\norm{u}_{q;(x-t,x+t)}\to+\infty,(2t)^{1-\frac{1}{2}(p^{-1}-q^{-1})}\norm{u^{\prime\prime}}_{p;(x-t,x+t)}\to 0\ (t\to +0)$$
かつ
$$(2t)^{-1+\frac{1}{2}(p^{-1}-q^{-1})}\norm{u}_{q;(x-t,x+t)}\to 0,(2t)^{1-\frac{1}{2}(p^{-1}-q^{-1})}\norm{u^{\prime\prime}}_{p;(x-t,x+t)}\to +\infty\ (t\to +\infty)$$
であるから中間値の定理より $t_x\in(0,+\infty)$ が存在して
$$(2t_x)^{-1+\frac{1}{2}(p^{-1}-q^{-1})}\norm{u}_{q;(x-t_x,x+t_x)}=(2t_x)^{1-\frac{1}{2}(p^{-1}-q^{-1})}\norm{u^{\prime\prime}}_{p;(x-t_x,x+t_x)}=\norm{u}_{q;(x-t_x,x+t_x)}^\frac{1}{2}\norm{u^{\prime\prime}}_{p;(x-t_x,x+t_x)}^\frac{1}{2}.$$
また $t_x\ge\diam U$ を仮定すると $U\subset(x-t_x,x+t_x)$ より $\norm{u}_{q;(x-t_x,x+t_x)}=\norm{u}_{q;\R}$、$\norm{u^{\prime\prime}}_{p;(x-t_x,x+t_x)}=\norm{u^{\prime\prime}}_{p;\R}$ となり
$$(2t_x)^{2-p^{-1}+q^{-1}}=\frac{\norm{u}_{q;\R}}{\norm{u^{\prime\prime}}_{p;\R}}.$$
これより
$$t_x\le\max\left\{\diam U,\frac{1}{2}\left(\frac{\norm{u}_{q;\R}}{\norm{u^{\prime\prime}}_{p;\R}}\right)^{(2-p^{-1}+q^{-1})^{-1}}\right\}.$$
[[Besicovitchの被覆定理]]より $\{J_i\}_{i=1}^\infty=\{(x_i-t_{x_i},x_i+t_{x_i})\}_{i=1}^j$、$j\in\Zp\cup\{\infty\}$ が存在して
$$U\subset\bigcup_{i=1}^j J_i,\sum_{i=1}^j\chi_{J_i}\le C.$$
$u'=0$ a.e. on $\R\backslash U$ に注意すると
\begin{align*}
\norm{u'}_{r;\R}^r&=\norm{u'}_{r;U}^r\\
&\le\sum_{i=1}^j\norm{u'}_{r;J_i}^r\\
&\le C\sum_{i=1}^j\left(\norm{u}_{q;J_i}\norm{u^{\prime\prime}}_{p;J_i}\right)^\frac{r}{2}\\
&\le C\left(\sum_{i=1}^j\norm{u}_{q;J_i}^q\right)^\frac{r}{2q}\left(\sum_{i=1}^j\norm{u^{\prime\prime}}_{p;J_i}^p\right)^\frac{r}{2p}\\
&\le C\norm{u}_{q;\R}^\frac{r}{2}\norm{u^{\prime\prime}}_{p;\R}^\frac{r}{2}
\end{align*}
を得る。

この定数 $C$ は $p,q$ には依存しないので、$p=\infty$ あるいは $q=\infty$ で $\supp u$ が有界の場合も成り立つ。一般の場合は $\zeta\in C^\infty_c(-2,2)$ を $\zeta=1$ in $(-1,1)$ となるようにとり $\zeta_m(t)\colon=\zeta(m^{-1}t)\ (m\in\Zp)$ として $\zeta_mu$ に補間不等式を用いて $m\to\infty$ とすれば従う。
{{end|proof}}

{{theorem|type=thm|name=補間不等式|label=intp2}}
$j,k\in\Zp$、$j\lt k$、$p,q\in[1,\infty]$ とし、$r\colon=\left(\frac{j}{k}p^{-1}+\frac{k-j}{k}q^{-1}\right)^{-1}$ とする。次が成り立つ:
*(1) $W^{k,p}(\R^n)\cap L^q(\R^n)\subset W^{j,r}(\R^n)$ で $u\in W^{k,p}(\R^n)\cap L^q(\R^n)$ について
$$\norm{D^ju}_{r;\R^n}\le C_{n,j,k}\norm{D^ku}_{p;\R^n}^\frac{j}{k}\norm{u}_{q;\R^n}^\frac{k-j}{k}.$$
*(2) $T\subset\pOm$ が(\ref{D'})をみたす相対開集合のとき $W^{k,p}_0(\OmT)\cap L^q(\Omega)\subset W^{j,r}_0(\OmT)$ で $u\in W^{k,p}_0(\OmT)\cap L^q(\Omega)$ について
$$\norm{D^ju}_{r;\Omega}\le C_{j,k,\Omega,T}\norm{u}_{k,p;\Omega}^\frac{j}{k}\norm{u}_{q;\Omega}^\frac{k-j}{k}.$$
*(3) $\Omega$ が有界なLipschitz領域のとき $W^{k,p}(\Omega)\cap L^q(\Omega)\subset W^{j,r}(\Omega)$ で $u\in W^{k,p}(\Omega)\cap L^q(\Omega)$ について
$$\norm{D^ju}_{r;\Omega}\le C_{j,k,\Omega}\norm{u}_{k,p;\Omega}^\frac{j}{k}\norm{u}_{q;\Omega}^\frac{k-j}{k}.$$

{{begin|proof|display=''Proof.''}}
(1)を示す。(2)と(3)は(1)と拡張作用素により従う。

まず $j=1$、$k=2$、$p,q\in[1,\infty)$ の場合を示す。$u\in C^\infty_c(\R^n)$ としてよい。{{ref|type=lem|label=intp0}}より $i=1,\ldots,n$ について
\begin{align*}
\norm{D_iu}_r&=\left(\int_{\R^{n-1}}\left(\int_\R|D_iu(x_1,\ldots ,x_n)|^rdx_i\right)dx_1\ldots dx_{i-1}dx_{i+1}\ldots dx_n\right)^{r^{-1}}\\
&\le C\left(\int_{\R^{n-1}}\left(\int_\R|D_{ii}u(x_1,\ldots,x_n)|^pdx_i\right)^\frac{r}{2p}\left(\int_\R|u(x_1,\ldots ,x_n)|^qdx_i\right)^\frac{r}{2q}dx_1\ldots dx_{i-1}dx_{i+1}\ldots dx_n\right)^{r^{-1}}\\
&\le C\norm{D_{ii}u}_p^\frac{1}{2}\norm{u}_q^\frac{1}{2}.
\end{align*}
これより $\norm{Du}_r\le C\norm{u}_p^\frac{1}{2}\norm{D^2u}_q^\frac{1}{2}$ を得る。

$j=1$、$k=2$ で $p,q$ のいずれかが $\infty$ の場合を示す。$\supp u$ がコンパクトな場合は $p,q\in[1,\infty)$ の場合の定数 $C$ が $p,q$ に依存していないことから従う。$\supp u$ がコンパクトでない場合は $\zeta\in C^\infty_c(B_2(0))$ を $0\le\zeta\le 1$、$\zeta=1$ in $B_1(0)$ となるようにとり $\zeta_m(x)=\zeta(m^{-1}x)\ (m\in\Zp)$ として $\zeta_mu$ に補間不等式を用いて $m\to\infty$ とすれば従う。

$k=j+1$ の場合を $j$ に関する帰納法により示す。

$j=1$ の場合は既に示した。

ある $j$ について主張が成り立ったとし、$u\in W^{j+2,p}(\R^n)\cap L^q(\R^n)$、$r\colon=\left(\frac{j+1}{j+2}p^{-1}+\frac{1}{j+1}q^{-1}\right)^{-1}$ とする。$j=1$ の場合と仮定より
$$\norm{D^{j+1}u}_r\le C\norm{D^ju}_{\left(\frac{j}{j+2}p^{-1}+\frac{2}{j+1}q^{-1}\right)^{-1}}^\frac{1}{2}\norm{D^{j+2}u}_p^\frac{1}{2}\le C\norm{D^{j+1}u}_r^\frac{j}{2(j+1)}\norm{D^{j+2}u}_{p}^\frac{1}{2}\norm{u}_q^\frac{1}{2(j+1)}.$$
これより
$$\norm{D^{j+1}u}_r\le C\norm{D^{j+2}u}_p^\frac{j+1}{j+2}\norm{u}_q^\frac{1}{j+2}$$
を得る。

一般の場合を $j$ を固定し $k$ に関する帰納法により示す。

$k=j+1$ の場合は既に示した。

ある $k$ について主張が成り立ったとし、$u\in W^{k+1,p}(\R^n)\cap L^q(\R^n)$、$r\colon=\left(\frac{j}{k+1}p^{-1}+\frac{k-j+1}{k+1}q^{-1}\right)^{-1}$ とする。$k=j+1$ の場合と仮定より
$$\norm{D^ju}_r\le C\norm{D^ku}_{\left(\frac{k}{k+1}p^{-1}+\frac{1}{k+1}q^{-1}\right)^{-1}}^\frac{j}{k}\norm{u}_q^\frac{k-j}{k}\le C\norm{D^ju}_r^\frac{j}{k(k-j+1)}\norm{D^{k+1}u}_p^\frac{j(k-j)}{k(k-j+1)}\norm{u}_q^\frac{k-j}{k}.$$
これより
$$\norm{D^ju}_r\le C\norm{D^{k+1}u}_p^\frac{j}{k+1}\norm{u}_q^\frac{k-j+1}{k+1}$$
を得る。
{{end|proof}}

{{theorem|type=cor|label=equivnorm}}
$\Omega=\R^n$、あるいは $\Omega$ が有界なLipschitz領域のとき $p\in[1,\infty]$ とすると $u\in W^{k,p}(\Omega)$ について
$$\norm{u}_{k,p;\Omega}\le C_{k,\Omega}\left(\norm{u}_{p;\Omega}+\norm{D^ku}_{p;\Omega}\right).$$

{{begin|proof}}
{{ref|type=thm|label=intp2}}で $p=q$ とすると $j=1,\ldots,k-1$ について
$$\norm{D^ju}_{p}\le C\norm{u}_{k,p}^\frac{j}{k}\norm{u}_p^\frac{k-j}{k}\le\frac{1}{2(k-1)}\norm{u}_{k,p}+C\norm{u}_p$$
であるから
$$\norm{u}_{k,p}\le\sum_{j=0}^k\norm{D^ju}_p\le\frac{1}{2}\norm{u}_{k,p}+C(\norm{u}_p+\norm{D^ku}_p)$$
となり
$$\norm{u}_{k,p}\le C(\norm{u}_p+\norm{D^ku}_p)$$
となる。
{{end|proof}}

{{theorem|type=rmk}}
これより $\norm{u}_p+\norm{D^ku}_p$ や $\left(\norm{u}_p^p+\norm{D^ku}_p^p\right)^{p^{-1}}$ は $W^{k,p}(\Omega)$ に $\norm{u}_{k,p}$ と同値なノルムを定めることが従う。

一方Sobolevの不等式を用いるとこれとは異なる補間不等式を得られる。

{{theorem|type=pro|label=intp3}}
$p\in[1,n]$、$q\in[1,\infty)$、$\tau\in(0,1]$ とし、$r\colon=\left((1-\tau)p^{*-1}+\tau q^{-1}\right)^{-1}$ とすると次が成り立つ:
*(1) $W^{1,p}(\R^n)\cap L^q(\R^n)\subset L^r(\R^n)$ で $u\in W^{1,p}(\R^n)\cap L^q(\R^n)$ について
$$\norm{u}_{r;\R^n}\le C_{n,p,q,\tau}\norm{Du}_{p;\R^n}^{1-\tau}\norm{u}_{q;\R^n}^\tau.$$
*(2) $T\subset\pOm$ が(\ref{D})をみたす相対開集合のとき $W^{1,p}_0(\OmT)\cap L^q(\Omega)\subset L^r(\Omega)$ で $u\in W^{1,p}_0(\OmT)\cap L^q(\Omega)$ について
$$\norm{u}_{r;\Omega}\le C_{n,p,q,\tau,\Omega,T}\norm{u}_{1,p;\Omega}^{1-\tau}\norm{u}_{q;\Omega}^\tau.$$
*(3) $\Omega$ が有界な $C^{0,1}$ 領域のとき $W^{1,p}(\Omega)\cap L^q(\Omega)\subset L^r(\Omega)$ で $u\in W^{1,p}(\Omega)\cap L^q(\Omega)$ について
$$\norm{u}_{r;\Omega}\le C_{n,p,q,\tau,\Omega}\norm{u}_{1,p;\Omega}^{1-\tau}\norm{u}_{q;\Omega}^\tau.$$

{{begin|proof|display=''Proof.''}}
(1)を示す。(2)と(3)は(1)と拡張作用素により従う。

$p\in[1,n)$ のときは{{ref|type=thm|label=GNS}}より直ちに従う。以下 $p=n$ とする。

$m\in\Zp$ について{{ref|type=thm|label=GNS}}より
$$\norm{u}_{q+m1^*}^{1^{*-1}q+m}\le C\norm{|u|^{1^{*-1}q+m-1}Du}_1\le C\norm{Du}_n\norm{u}_{q+(m-1)1^*}^{1^{*-1}q+m-1}.$$
帰納法により $m\in\Zp$ について
$$\norm{u}_{q+m1^*}^{1^{*-1}q+m}\le C\norm{Du}_n^m\norm{u}_q^{1^{*-1}q}.$$
ここで $m=\left\lfloor 1^{*-1}(r-q)\right\rfloor$ ととる。このとき $q+m1^*\le r\lt q+(m+1)1^*$ となる。$\theta\in[0,1)$ を $r^{-1}=(1-\theta)(q+m1^*)^{-1}+\theta(q+(m+1)1^*)^{-1}$ となるようにとると
\begin{align*}
\norm{u}_r&\le\norm{u}_{q+m1^*}^{1-\theta}\norm{u}_{q+(m+1)1^*}^\theta\\
&\le C\norm{Du}_n^{m(1-\theta)(1^{*-1}q+m)^{-1}+(m+1)\theta(1^{*-1}q+m+1)^{-1}}\norm{u}_q^{((1-\theta)(1^{*-1}q+m)^{-1}+\theta(1^{*-1}q+m+1)^{-1})1^{*-1}q}\\
&=C\norm{Du}_n^{1-\frac{q}{r}}\norm{u}_q^{\frac{q}{r}}=C\norm{Du}_n^{1-\tau}\norm{u}_q^\tau.
\end{align*}
{{end|proof}}

{{theorem|type=rmk}}
$p=q=n$ の場合より、$|\Omega|=\infty$ の場合でも任意の $r\in[n,\infty)$
について $W^{1,n}_0(\Omega)\subset L^r(\Omega)$ で $u\in W^{1,n}_0(\Omega)$ について $\norm{u}_{r;\Omega}\le C_{n,r}\norm{u}_{1,n;\Omega}$ が成り立つ。{{ref|type=cor|label=pn}}と比較せよ。

{{ref|type=thm|label=intp2}}と{{ref|type=pro|label=intp3}}を組み合わせてより一般的な補間不等式を得る。

{{theorem|type=lem|label=intp4}}
$k\in\Zz$、$\alpha\in[0,1]$、$q\in[1,\infty]$ とする。$\theta\in[0,1]$ について次が成り立つ:
*(1) $\sigma\colon=(1-\theta)(k+\alpha)-\frac{\theta n}{q}\le 0$ のとき $r\colon=\frac{n}{\sigma}$ とすると $u\in C^{k,\alpha}(\R^n)\cap L^q(\R^n)$ について
$$\norm{u}_{r;\R^n}\le C_{p,k,\alpha,\tau}[u]_{k,\alpha;\R^n}^{1-\theta}\norm{u}_{q;\R^n}^\theta.$$
*(2) $\sigma\gt 0$ のとき $j\colon=\lceil \sigma\rceil-1$、$\beta\colon=\sigma-j$ とすると　$u\in C^{k,\alpha}(\R^n)\cap L^q(\R^n)$ について
$$[u]_{j,\beta;\R^n}\le C_{p,k,\alpha,\tau}[u]_{k,\alpha;\R^n}^{1-\theta}\norm{u}_{q;\R^n}^\theta.$$

{{begin|proof}}
$$\theta=\frac{(k+\alpha-\sigma)q}{(k+\alpha)q+n}=\left(1+\frac{\sigma q}{n}\right)\frac{(k+\alpha)q}{(k+\alpha)q+n}-\frac{\sigma q}{n}=\left(1-\frac{\sigma}{k+\alpha}\right)\frac{(k+\alpha)q}{(k+\alpha)q+n}$$
に注意する。

$q=\infty$ の場合は[[Hölder空間の基本事項]]の定理54で既に示されている。<ref name="kaintp">正確には $u|_{B_R(0)}$ に対し定理を適用して $R\to\infty$ とする必要がある。</ref>以下 $q\in[1,\infty)$ とする。

まず $k=0$、$\sigma=0$ の場合を示す。$\alpha=0$ のときは明らかであるから $\alpha\in(0,1]$ としてよい。

$[u]_{0,\alpha}=0$ のときは $u$ は定数関数であって $u\in L^q(\R^n)$ であるから $u\equiv 0$。この場合主張は明らかである。以下 $[u]_{0,\alpha}\neq 0$ とする。

$x\in\R^n$、$u(x)\neq 0$ として $R=\left(\frac{|u(x)|}{2[u]_{0,\alpha}}\right)^{\alpha^{-1}}$ とすると $|u|\ge \frac{1}{2}|u(x)|$ on $B_R(x)$ となり
$$\norm{u}_q\ge\frac{1}{2}|B_R(x)|^{q^{-1}}|u(x)|=\frac{1}{2}\omega_n^{q^{-1}}|u(x)|^{1+\frac{n\alpha^{-1}}{q}}[u]_{0,\alpha}^{-\frac{n\alpha^{-1}}{q}}.$$
$x$ について $\sup$ をとると $\norm{u}^{1+\frac{n\alpha^{-1}}{q}}[u]_{0,\alpha}^{-\frac{n\alpha^{-1}}{q}}\le C\norm{u}_q$。$\theta=\frac{\alpha q}{\alpha q+n}$ であるから
$$\norm{u}_\infty\le C[u]_{0,\alpha}^{1-\theta}\norm{u}_q^\theta$$
を得る。

$k\ge 1$、$\sigma=0$ の場合を示す。$k=0$ の場合と[[Hölder空間の基本事項]]の定理54<ref name=kaintp />より
$$\norm{u}_\infty\le C[u]_{0,1}^\frac{n}{q+n}\norm{u}_q^\frac{q}{q+n}\le C[u]_{k,\alpha}^\frac{n}{(k+\alpha)(q+n)}\norm{u}_\infty^\frac{(k-1+\alpha)n}{(k+\alpha)(q+n)}\norm{u}_q^\frac{q}{q+n}.$$
$\theta=\frac{(k+\alpha)q}{(k+\alpha)q+n}$ であるから
$$\norm{u}_\infty\le C[u]_{k,\alpha}^{1-\theta}\norm{u}_q^\theta$$
を得る。

(1)を示す。Hölderの不等式と $k\ge 1$、$\sigma=0$ の場合より
$$\norm{u}_r\le\norm{u}_\infty^{1+\frac{\sigma q}{n}}\norm{u}_q^{-\frac{\sigma q}{n}}\le[u]_{k,\alpha}^{1-\theta}\norm{u}_q^\theta$$
を得る。

(2)を示す。[[Hölder空間の基本事項]]の定理54<ref name=kaintp />と $k\ge 1$、$\sigma=0$ の場合より
$$[u]_{j,\beta}\le C[u]_{k,\alpha}^\frac{\sigma}{k+\alpha}\norm{u}_\infty^{1-\frac{\sigma}{k+\alpha}}\le C[u]_{k,\alpha}^{1-\theta}\norm{u}_q^\theta$$
を得る。
{{end|proof}}

{{theorem|type=thm|name=Gagliardo-Nirenbergの補間不等式|label=GN}}
$j\in\Zz$、$k\in\Zp$、$j\lt k$ とする。$p,q\in[1,\infty)$ とし、
$$\tau\in\begin{cases}
\left(0,\frac{k-j}{k}\right]&\colon p\in(1,\infty),k-j-\frac{n}{p}\in\Zz\\
\left[0,\frac{k-j}{k}\right]&\colon \rm{otherwise}
\end{cases}$$
をみたすとする。
$$\sigma\colon=(1-\tau)\left(k-\frac{n}{p}\right)-\frac{\tau n}{q}-j$$
とすると次が成り立つ:
*(1) $\sigma\le 0$ のとき $r\colon=-\frac{n}{\sigma}$ とすると $W^{k,p}(\R^n)\cap L^q(\R^n)\subset W^{j,r}(\R^n)$ で $u\in W^{k,p}(\R^n)\cap L^q(\R^n)$ について
$$\norm{D^ju}_{r;\R^n}\le C_{n,p,q,\tau}\norm{D^ku}_{p;\R^n}^{1-\tau}\norm{u}_{q;\R^n}^\tau.$$
また $T\subset\pOm$ が(\ref{D'})をみたす相対開集合のとき $W^{k,p}_0(\OmT)\cap L^q(\Omega)\subset W^{j,r}_0(\OmT)$ で $u\in W^{k,p}_0(\OmT)\cap L^q(\Omega)$ について
$$\norm{D^ju}_{r;\Omega}\le C_{p,q,\Omega,T,\tau}\norm{u}_{k,p;\Omega}^{1-\tau}\norm{u}_{q;\Omega}^\tau.$$
$\Omega$ が有界なLipschitz領域のとき $W^{k,p}(\Omega)\cap L^q(\Omega)\subset W^{j,r}(\Omega)$ で $u\in W^{k,p}(\Omega)\cap L^q(\Omega)$ について
$$\norm{D^ju}_{r;\Omega}\le C_{p,q,\Omega,\tau}\norm{u}_{k,p;\Omega}^{1-\tau}\norm{u}_{q;\Omega}^\tau.$$
*(2) $\sigma\gt 0$ のとき $j'\colon=j+\lceil\sigma\rceil-1$、$\alpha\colon=\sigma-(\lceil\sigma\rceil-1)$ とすると $W^{k,p}(\R^n)\cap L^q(\R^n)\subset C^{j',\alpha}(\R^n)$ で $u\in W^{k,p}(\R^n)\cap L^q(\R^n)$ について
$$[u]_{j',\alpha;\R^n}\le C_{n,p,q,\tau}\norm{D^ku}_{p;\R^n}^{1-\tau}\norm{u}_{q;\R^n}^\tau.$$
また $T\subset\pOm$ が(\ref{D'})をみたす相対開集合のとき $W^{k,p}_0(\OmT)\cap L^q(\Omega)\subset C^{j',\alpha}(\Ombar)$ で $u\in W^{k,p}_0(\OmT)\cap L^q(\Omega)$ について
$$[u]_{j',\alpha;\Omega}\le C_{p,q,\Omega,T,\tau}\norm{u}_{k,p;\Omega}^{1-\tau}\norm{u}_{q;\Omega}^\tau.$$
$\Omega$ が有界なLipschitz領域のとき $W^{k,p}(\Omega)\cap L^q(\Omega)\subset C^{j',\alpha}(\Ombar)$ で $u\in W^{k,p}(\Omega)\cap L^q(\Omega)$ について
$$[u]_{j',\alpha;\Omega}\le C_{p,q,\Omega,\tau}\norm{u}_{k,p;\Omega}^{1-\tau}\norm{u}_{q;\Omega}^\tau.$$

{{begin|proof|display=''Proof.''}}
$\Omega=\R^n$ の場合を示す。その他は拡張作用素により従う。

$u\in C^\infty(\R^n)$ としてよい。表記を簡単にするため次の記号を用いる: $k\in\Zz$、$\sigma\ge k-n$ について
$$\langle u\rangle_{k,\sigma}\colon=\begin{cases}
\norm{D^ku}_{\frac{n}{k-\sigma}}&\colon \sigma\in[k-n,k]\\
[u]_{\lceil\sigma\rceil-1,\sigma-(\lceil\sigma\rceil-1)}&\colon \sigma\gt k
\end{cases}.$$
{{ref|type=thm|label=gsob}}より $j,k\in\Zz$、$j\lt k$ で $\sigma\ge k-n$ が $\sigma-j\notin\Zz$、$\sigma=k-n$、$\sigma=k$ のいずれかをみたすとき
$$\langle u\rangle_{j,\sigma}\le C\langle u\rangle_{k,\sigma}.$$
{{ref|type=thm|label=intp2}}より $j,k\in\Zp$、$j\lt k$、$\sigma\in[k-n,0]$、$\sigma'\in[-n,0]$ について
$$\langle u\rangle_{j,\frac{k-j}{k}\sigma+\frac{j}{k}\sigma'}\le C\langle u\rangle_{k,\sigma}^\frac{k-j}{k}\langle u\rangle_{0,\sigma'}^\frac{j}{k}.$$
{{ref|type=pro|label=intp3}}より $k\in\Zp$、$\sigma\in[k-n,k-1]$、$\sigma\in[k-n,0]$、$\tau\in[0,1)$ について
$$\langle u\rangle_{k-1,(1-\tau)\sigma+\tau\sigma'}\le C\langle u\rangle_{k,\sigma}^{1-\tau}\langle u\rangle_{k-1,\sigma'}^\tau.$$
Hölderの不等式と{{ref|type=lem|label=intp4}}と[[Hölder空間の基本事項]]の定理54<ref name="kaintp" />より $k\in\Zz$、$\sigma,\sigma'\ge k-n$、$\theta\in[0,1]$ について
$$\langle u\rangle_{k,(1-\theta)\sigma+\theta\sigma'}\le C\langle u\rangle_{k,\sigma}^{1-\theta}\langle u\rangle_{k,\sigma'}^{\theta}.$$
また主張は次のように表される: $k\in\Zp$、$\sigma\in [k-n,k]$、$\sigma'\in [-n,0]$ とし、
$$\begin{cases}
\tau\in\left[\frac{j}{k},1\right)&\colon \sigma\in(k-n,k),\sigma-j\in\Zz\\
\tau\in\left[\frac{j}{k},1\right]&\colon \rm{otherwise}
\end{cases}$$
とすると
$$\langle u\rangle_{j,(1-\tau)\sigma+\tau\sigma'}\le C\langle u\rangle_{k,\sigma}^{1-\tau}\langle u\rangle_{\sigma'}^\tau.$$

$\tau=\frac{k-j}{k}$ の場合および $\sigma-j\notin\Zz$、$\sigma=k-n$ あるいは $\sigma=k$ で $\tau=0$ の場合は{{ref|type=thm|label=genSob}}、{{ref|type=thm|label=lip}}から直ちに従う。

$\sigma\in\left(k-n,k\right)$、$\sigma-j\in\Zz$、$\tau\in\left(0,\frac{1}{k}\right]$ とする。

$\sigma\in\Z$ より $\sigma\le k-1$ であるから
$$\langle u\rangle_{k-1,(1-\tau)\sigma+\tau\sigma'}\le C\langle u\rangle_{k,\sigma}^{1-k\tau}\langle u\rangle_{k-1,\frac{k-1}{k}\sigma+\frac{1}{k}\sigma'}^{k\tau}\le C\langle u\rangle_{k,\sigma}^{1-\tau}\langle u\rangle_{k,\sigma'}^\tau$$
となり $j=k-1$ の場合が従う。また $\sigma\ge j\gt 0\le\sigma'$ より十分小さく $\tau$ をとれば $(1-\tau)\sigma+\tau\sigma'\notin\Z$ となり $j=1,\ldots,k-2$ について $\langle u\rangle_{j,(1-\tau)\sigma+\tau\sigma'}\le C\langle u\rangle_{k-1,(1-\tau)\sigma+\tau\sigma'}$ となりこの場合も従う。

また $\tau=\tau_1,\tau_2$ について主張が成り立ったとして $\theta\in[0,1]$、$\tau=(1-\theta)\tau_1+\theta\tau_2$ とすると
$$(1-\tau)\sigma+\tau\sigma'=(1-\theta)((1-\tau_1)\sigma+\tau_1\sigma')+\theta((1-\tau_2)\sigma+\tau_2\sigma'),(1-\theta)(1-\tau_1)+\theta(1-\tau_2)=1-\tau$$
であるから
$$\langle u\rangle_{j,(1-\tau)\sigma+\tau\sigma'}\le C\langle u\rangle_{j,(1-\tau_1)\sigma+\tau_1\sigma'}^{1-\theta}\langle u\rangle_{j,(1-\tau_2)\sigma+\tau_2\sigma'}^\theta\le C\langle u\rangle_{k,\sigma}^{1-\tau}\langle u\rangle_{\sigma'}^\tau.$$
以上より主張が従う。
{{end|proof}}

==トレース作用素==
最後に $u\in W^{1,p}(\Omega)$ に「境界値」を定めるトレース作用素について述べる。$n=1$ の場合と $p\in(n,\infty]$ の場合は適切な仮定の下 $W^{1,p}(\Omega)\subset C^{0,1-\frac{n}{p}}(\Ombar)$ であったから $u\in W^{1,p}(\Omega)$ には境界値を定めることができるが、そうでない場合も $\Omega$ が $C^{0,1}$ 以上のなめらかさがある境界部分をもつとき $u\in W^{1,p}(\Omega)$ にその上の「弱い意味の境界値」を定めることができる。

{{theorem|type=lem|label=halfspcase}}
$\mu=(\mu_1,...,\mu_n)\in B_1(0)$、$\xi\in\R^n$ とし、$\Omega\colon=\{x\in\R^n\colon \mu\cdot(x-\xi)\gt 0\}$ を半空間とする。$u\in C^{0,1}(\Ombar)$ で $\supp u$ が有界なものについて
$$\int_\Omega D_iu=-\mu_i\int_\pOm ud\H^{n-1}.$$

{{begin|proof}}
$\xi=0$ としてよい。Lipschitz連続関数 $x\mapsto \mu\cdot x$ に対して[[Hausdorff測度とarea_coarea_formula|coarea formula]]を用いると
\begin{align*}
\int_\Omega D_\mu u&=\int_0^\infty\left(\int_{\{\mu\cdot y=t\}}D_\mu u(y)d\H^{n-1}(y)\right)dt\\
&=\int_0^\infty\left(\int_\pOm D_\mu u(x+t\mu)d\H^{n-1}(x)\right)dt\\
&=-\int_\pOm ud\H^{n-1}.
\end{align*}
一方 $\mu'\in\R^n\backslash\{0\}$、$\mu'\cdot\mu=0$ とするとcoarea formulaより
\begin{align*}
\int_\Omega D_{\mu'}u&=\int_\R\left(\int_{\{\mu\cdot y\gt 0,\mu'\cdot y=t\}}D_{\mu'}u(y)d\H^{n-1}(y)\right)|\mu'|^{-1}dt\\
&=\int_\R\left(\int_{\{\mu\cdot y\gt 0,\mu'\cdot y=0\}}D_{\mu'}u(x+t\mu')d\H^{n-1}(x)\right)|\mu'|^{-1}dt\\
&=0.
\end{align*}
$i=1,...,n$ について $(e_i-\mu_i\mu)\cdot\mu=0$ であるから
$$\int_\Omega D_iu=\mu_i\int_\Omega D_\mu u+\int_\Omega D_{e_i-\mu_i\mu}u=-\mu_i\int_\pOm ud\H^{n-1}.$$
{{end|proof}}

{{theorem|type=lem|label=tracelem}}
$S\subset\R^n$ が $|S|=0$ をみたすとすると $f\in L^1_\loc(\R^n)$ について
$$\lim_{r\to+0}\frac{1}{r^{n-1}}\int_{B_r(x)}|f|=0\ \H^{n-1}-\ae x\in S.$$

{{begin|proof|display=''Proof.''|collapsible=1}}
$S$ は有界であるとしてよい。$\sigma\gt 0$ とし、
$$A_\sigma\colon=\left\{x\in\R^n\colon\limsup_{r\to+0}\frac{1}{r^{n-1}}\int_{\Bb_r(x)}|f|\gt\sigma\right\}$$
として $\H^{n-1}(A_\sigma)=0$ を示せば十分。

$S$ は有界で $|S|$ をみたすので $S$ の有界な開近傍 $U_1\supset U_2\ldots\supset S$ で $\displaystyle \left|\bigcap_{i=1}^\infty U_i\right|=0$ となるものをとれ、$\displaystyle\int_{U_1}|f|\lt\infty$ より $\displaystyle \lim_{i\to\infty}\int_{U_i}|f|=0$ となる。これより $\varepsilon\gt 0$ とすると $S$ の有界な開近傍 $U$ で $\displaystyle\int_{U}|f|\lt\varepsilon$ となるものをとれる。

$\varepsilon\gt 0$、$\delta\gt 0$ とし、$S\subset U$
$$\B\colon=\left\{\Bb=\Bb_r(x)\colon x\in A_\sigma,r\lt\delta,\Bb\subset U,\int_{\Bb}|f|\ge\sigma r^{n-1}\right\}$$
とすると、任意の $x\in A_\sigma$ と $\varepsilon\gt 0$ について $r\in(0,\varepsilon)$ が存在して $B_r(x)\in\B$。

[[Vitaliの被覆定理]]より $\{\Bb_i\}_{i=1}^\infty=\{\Bb_{r_i}(x_i)\}_{i=1}^\infty\subset\B$ で $i\neq j\implies \Bb_i\cap\Bb_j=\emptyset$ かつ $\displaystyle A_\sigma\subset\bigcup_{i=1}^\infty\Bb_{5r_i}(x_i)$ となるものが存在する。これより
$$\H^{n-1}_{10\delta}(A_\sigma)\colon=\omega_{n-1}\sum_{i=1}^\infty(5r_i)^{n-1}\le 5^{n-1}\omega_m\sum_{i=1}^\infty\int_{\Bb_i}|f|=5^{n-1}\omega_n\int_{\bigcup_{i=1}^\infty\Bb_i}|f|\le 5^{n-1}\omega_n\int_U|f|\lt\varepsilon.$$
$\delta\to +0$ として $\H^{n-1}(A_\sigma)\lt\varepsilon$ を得る。
{{end|proof}}

{{theorem|type=thm|name=トレース作用素|label=trace}}
$S\subset\pOm$ を $C^{0,1}$ 境界部分とする。$p\in[1,\infty)$、$u\in W^{1,p}(\Omega)$ とすると $\H^{n-1}$ -a.e. $\xi\in S$ について
$$Tu(\xi)\colon=\lim_{r\to +0}\frac{1}{|B_r(\xi)\cap\Omega|}\int_{B_r(\xi)\cap\Omega}u$$
は収束する。また $Tu\in L^p_\loc(S,\H^{n-1})$ で相対開集合 $S'\rcpt S$ について
$$\int_{S'} |Tu|^pd\H^{n-1}\le C_{p,S'}\int_\Omega\left(|u|^p+|u|^{p-1}|Du|\right).$$

{{begin|proof|display=''Proof.''|collapsible=1}}
$\xi\in\overline{S'}$ について開集合 $U_\xi\subset\R^n$ と全単射 $\psi_\xi\colon 2Q\to U_\xi$ が存在して $U_\xi\cap\Omega=\psi_\xi(2Q_+)$、$U_\xi\cap\pOm=\psi_\xi(2Q_0)$ かつ $\psi_\xi$ と $\psi_\xi^{-1}$ はいずれも $C^{0,1}$ 写像となる。$\overline{S'}$ はコンパクトであるから $\xi_1,\ldots ,\xi_N\in\overline{S'}$ を $\displaystyle\overline{S'}\subset\bigcup_{i=1}^N\psi_\xi(Q)$ となるようにとれる。$U_{\xi_i}$、$\psi_{\xi_i}$ をそれぞれ $U_i$、$\psi_i$ と置きなおす。$V_i\colon=\psi_i(Q)$ とする。$i=1,\ldots ,N$ について $L_i\colon=\max\{L(\psi|_Q),L(\psi^{-1}|_{V_i})^{-1}\}$ とする。

$\chi\in C^\infty([0,1])$ を $\chi(0)=1$ かつ $\chi(1)=0$ となるようにとる。Area不等式([[Hausdorff測度とarea_coarea_formula]]の定理19)より $u\in C^{0,1}(\Omega\cup S')\cap W^{1,p}(\Omega)$ と $p\in[1,\infty)$ について
\begin{align*}
\int_{V_i\cap\pOm}|u|^pd\H^{n-1}&\le L_i^n\int_{Q_0}|u\circ\psi_i|^pd\H^{n-1}\\
&=-pL_i^n\int_{Q_+}\frac{\partial}{\partial x_n}\left(\chi(x_n)|u(\psi_i(x',x_n))|^p\right)dx\\
&\le C\int_{Q_+}\left(|u\circ\psi_i|^p+|u\circ\psi_i|^{p-1}|D_n(u\circ\psi)|\right)\\
&\le C\int_{V_i\cap\Omega}\left(|u|^p+|u|^{p-1}|Du|\right).
\end{align*}
$i$ について加えて
$$\int_{S'} |u|^pd\H^{n-1}\le C\int_\Omega\left(|u|^p+|u|^{p-1}|Du|\right)$$
を得る。

{{ref|type=cor|label=apx4}}より $u\mapsto u|_{S'}$ は $W^{1,p}(\Omega)$ から $L^p(S',\H^{n-1})$ への有界線型作用素 $T$ に一意的に拡張される。$u_m\in C^\infty(\Omega\cup S')\cap W^{1,p}(\Omega)$、$\norm{u_m-u}_{1,p}\to 0\ (m\to\infty)$ とすると $\int_\pOm|u_m-Tu|^pd\H^{n-1}\to 0\ (m\to\infty)$ であるから部分列に移って $u_m\to Tu\ \H^{n-1}$ -a.e. on $S'$ となるようにできてFatouの補題により
$$\int_{S'} |Tu|^pd\H^{n-1}\le\liminf_{m\to\infty}\int_{S'}|u_m|^pd\H^{n-1}\le C\liminf_{m\to\infty}\int_\Omega\left(|u_m|^p+|u_m|^{p-1}|Du_m|\right)=\int_\Omega\left(|u|^p+|u|^{p-1}|Du|\right).$$

$u\in W^{1,p}(\Omega)$ について
$$\lim_{r\to +0}\frac{1}{|B_r(\xi)\cap\Omega|}\int_{B_r(\xi)\cap\Omega}|u-Tu(\xi)|=0\ \H^{n-1}-\ae \xi\in S'\tag{*}\label{trace}$$
を示す。

$i=1,\ldots ,N$ とする。Lebesgueの微分定理より $\H^{n-1}$ -a.e. $\eta\in Q_0$ について
$$\lim_{r\to+0}\frac{1}{s^{n-1}}\int_{B_s(\eta)\cap Q_0}|Tu\circ\psi_i-Tu(\psi_i(\eta))|d\H^{n-1}=0.$$
また $y\in Q_+$ を $(y',y_n)\in(-1,1)^{n-1}\times(0,1)$ と表すと $v\in C^\infty(\Omega\cup S)$ と $\eta\in Q_0$、$(B_s(\eta)\cap Q_0)\times(0,s)\subset Q_+$ について
\begin{align*}
\int_{(B_s(\eta)\cap Q_0)\times(0,s)}|v(\psi_i(y))-v(\psi_i(y',0))|&=\int_{(B_s(\eta)\cap Q_0)\times(0,s)}\left(\int_0^{y_n}|D_n(v\circ\psi_i)(y',t)|dt\right)dy\\
&=\int_{(B_s(\eta)\cap Q_0)\times(0,s)}(s-y_n)|D_n(v\circ\psi_i)(y)|dy\\
&\le s\int_{(B_s(\eta)\cap Q_0)\times(0,s)}|D_n(v\circ\psi_i)v|.
\end{align*}
area不等式より $\varphi\mapsto\varphi\circ\psi_i$ は $L^1(V_i\cap\pOm,\H^{n-1})$ から $L^1(Q_0,\H^{n-1})$ へ有界であることに注意すると近似により
$$\int_{(B_s(\eta)\cap Q_0)\times(0,s)}|u(\psi(y))-Tu(\psi_i(y',0))|dy\le s\int_{(B_s(\eta)\cap Q_0)\times(0,s)}|D_n(u\circ\psi_i)|.\tag{**}\label{trace2}$$
$(B_s(\eta)\cap Q_0)\times(0,s)\subset B_{\sqrt{2}s}(\eta)\cap Q_+$ と{{ref|type=lem|label=tracelem}}より $\H^{n-1}$ -a.e. $\eta\in Q_+$ について
$$\frac{1}{s^n}\int_{(B_s(\eta)\cap Q_0)\times(0,s)}|u(\psi_i(y))-Tu(\psi_i(y',0))|dy\le \frac{1}{s^{n-1}}\int_{B_{\sqrt{2}s}(\eta)\cap Q_+}|D_n(u\circ\psi_i)|\to 0\ (s\to+0).$$
これより $\H^{n-1}$ -a.e. $\eta\in Q_+$ について
\begin{align*}
&\quad\frac{1}{s^n}\int_{(B_s(\eta)\cap Q_0)\times(0,s)}|u\circ\psi_i-Tu(\psi_i(\eta))|\\
&\le\frac{1}{s^n}\int_{(B_s(\eta)\cap Q_0)\times(0,s)}|u(\psi_i(y))-Tu(\psi_i(y'))|dy+\frac{1}{s^{n-1}}\int_{B_s(\eta)\cap Q_0}|Tu\circ\psi_i-Tu(\psi_i(\eta))|d\H^{n-1}\\
&\to 0\ (s\to +0).
\end{align*}
また $\xi\in V_i\cap\pOm$ と十分小さい $r\gt 0$ について $\psi_i^{-1}(B_r(\xi)\cap\Omega)\subset B_{Lr}(\psi_i^{-1}(\xi))\cap Q_+\subset (B_{Lr}(\psi_i^{-1}(\xi))\cap Q_0)\times(0,Lr)$ かつ
$|B_r(\xi)\cap\Omega|\ge L_i^{-1}|B_{L_i^{-1}r}(\psi_i^{-1}(\xi))\cap Q_+|\ge\frac{1}{2}\omega_nL_i^{-2n}r^n$ となることとArea不等式より $\H^{n-1}$ -a.e. $\xi\in V_i\cap\pOm$ について
$$\frac{1}{|B_r(\xi)\cap\Omega|}\int_{B_r(\xi)\cap\Omega}|u-Tu(\xi)|\le \frac{C}{r^n}\int_{(B_{Lr}(\psi_i^{-1}(\xi))\cap Q_0)\times(0,Lr)}|u\circ\psi_i-Tu(\xi)|\to 0\ (r\to+0).$$
これより(\ref{trace})が成り立ち、とくに
$$\lim_{r\to +0}\frac{1}{|B_r(\xi)\cap\Omega|}\int_{B_r(\xi)\cap\Omega}u=Tu(\xi)\ \H^{n-1}-\ae \xi\in S'.$$

$S'\rcpt S$ は任意であったから、これにより $T\colon W^{1,p}(\Omega)\to L^p_\loc(S,\H^{n-1})$ が定まる。
{{end|proof}}

{{theorem|type=def|label=deftrace}}
$T$ を $\Omega$ におけるトレース作用素という。

{{theorem|type=rmk}}
$T$ の表示から明らかに $u\in W^{1,p}(\Omega)\cap C(\Omega\cup S)$ については $Tu=u|_S$ である。この意味で $Tu$ は $u$ の「弱い意味の境界値」となっている。

$\Omega$ が $C^{0,1}$ 領域のときは $S=\pOm$ ととれる。とくに $\Omega$ が有界な場合は $\pOm$ はコンパクトであるから $S'=\pOm$ ととれ、このとき $T\colon W^{1,p}(\Omega)\to L^p_{\loc}(\pOm,\H^{n-1})=L^p(\pOm,\H^{n-1})$ は有界線型作用素である。

{{theorem|type=pro|name=合成関数と積|label=traceelm}}
$S\subset\pOm$ を $C^{0,1}$ 境界部分とし、$T$ を $\Omega$ におけるトレース作用素とする。次が成り立つ:
*(1) $u=(u_1,\ldots,u_m)\in W^{1,p}(\Omega)^m$ と $G\in C^1(\R^m)$ が $G(u)\in W^{1,p}(\Omega)$ をみたすとき $T(G(u))=G(Tu)$ on $S$。ここで $Tu\colon=(Tu_1,\ldots,Tu_m)\in L^p_{\loc}(S,\H^{n-1})^m$ である。

また $u\in W^{1,p}(\Omega)$ と $G\in W^{1,1}_{\loc}(\R)$ が{{ref|type=thm|label=chain2}}の仮定をみたすとき $T(G(u))=G(Tu)$ on $S$。
*(2) $u_1,\ldots,u_m\in W^{1,p}(\Omega)$ が $u_1\ldots u_m\in W^{1,p}(\Omega)$ をみたすとき $T(u_1\ldots u_m)=Tu_1\ldots Tu_m$ on $S$。

{{begin|proof}}
(1)を示す。(2)は(1)で $G(t_1,\ldots,t_m)=t_1\ldots t_m$ とすれば従う。

$G'\in L^\infty(\R^m)^m$ の場合を示す。一般の場合は{{ref|type=thm|label=chain1}}と{{ref|type=thm|label=chain2}}の証明で与えた近似により従う。

このとき $G\in C^{0,1}(\R^m)$ であるから $\H^{n-1}$-a.e.$\xi\in S$ について
$$\frac{1}{r^n}\int_{B_r(\xi)\cap\Omega}|G(u)-G(Tu(\xi))|\le\frac{[G]_{0,1}}{r^n}\int_{B_r(\xi)\cap\Omega}|u-Tu(\xi)|\to 0\ (r\to +0).$$
これより $T(G(u))=G(Tu)$ が従う。
{{end|proof}}

{{theorem|type=pro|name=変数変換|label=tracechavar}}
$D,\widetilde{D}\subset\R^n$ を開集合とし、$\psi\colon\widetilde{D}\to D$ は全単射で $\psi$ と $\psi^{-1}$ はともに $C^{0,1}$ 写像であるとする。$\widetilde{\Omega}\rcpt\widetilde{D}$ を開集合として $\widetilde{S}\subset\partial\widetilde{\Omega}$ を $C^{0,1}$ 境界部分とし、 $\Omega\colon=\psi(\widetilde{\Omega})$、$S\colon=\psi(\widetilde{S})$ とする。$T$、$\widetilde{T}$ をそれぞれ $\Omega$、$\widetilde{\Omega}$ におけるトレース作用素とする。 $u\in W^{1,p}(\Omega)$ について $\widetilde{T}(u\circ\psi)=Tu\circ\psi$ on $\widetilde{S}$。

{{begin|proof}}
$u\in C^\infty(\Omega\cup T)\cap W^{1,p}(\Omega)$ の場合は明らか。一般の場合は近似により従う。
{{end|proof}}

{{theorem|type=thm|name=トレースの核の特徴づけ|label=trace0}}
$S\subset\pOm$ を $C^{0,1}$ 境界部分とし、$T$ を $\Omega$ におけるトレース作用素とする。 $p\in[1,\infty)$、$u\in W^{1,p}(\Omega)$ について次は同値:
*(1) $Tu=0$ on $S$。
*(2) 任意の $\zeta\in C^\infty_c((\R^n\backslash\pOm)\cup S)$ について $\zeta u\in W^{1,p}_0(\Omega)$。

とくに $\Omega$ が $C^{0,1}$ 領域のとき
$$\left\{u\in W^{1,p}(\Omega)\colon Tu=0\ \on\pOm\right\}=W^{1,p}_0(\Omega).$$

{{begin|proof|display=''Proof.''|collapsible=1}}
(2) $\implies$ (1) を示す。$u\in C^\infty_c(\Omega)$ のときは $Tu=0$ であるから $u\in W^{1,p}_0(\Omega)$ についても $Tu=0$。

任意の $\zeta\in C^\infty_c((\R^n\backslash\pOm)\cup S)$ について $\zeta u\in W^{1,p}_0(\Omega)$ となるとする。$S'\rcpt S$ とし、$\zeta\in C^\infty_c((\R^n\backslash\pOm)\cup S)$ を $\zeta=1$ on $S'$ かつ $\supp\zeta\rcpt\Omega\cup S$ となるようにとると $\zeta u\in W^{1,p}_0(\Omega)$ より $\zeta Tu=T(\zeta u)=0$。これより $Tu=0$ on $S'$。$S'\rcpt S$ は任意より $Tu=0$ を得る。

(1) $\implies$ (2) を示す。 $u\in W^{1,p}(\Omega)$ が $Tu=0$ をみたすとし、$\zeta\in C^\infty_c((\R^n\backslash\pOm)\cup S)$ とする。$S'\colon=\{\xi\in S\colon \zeta(\xi)\neq 0\}$ とすると $S'\rcpt S$。

{{ref|type=thm|label=trace}}と同様に $U_\xi$、$\psi_\xi$ をとり、$V_\xi$ を定める。また $W_\xi\colon=\psi_\xi(\frac{1}{2}Q)$ とする。$\xi_1,\ldots ,\xi_N\in\pOm$ を $\displaystyle \pOm\subset\bigcup_{i=1}^N W_{\xi_i}$ となるようにとり、$U_{\xi_i}$、$\psi_{\xi_i}$、$V_{\xi_i}$、$W_{\xi_i}$ をそれぞれ $U_i$、$\psi_i$、$V_i$、$W_i$ と置きなおす。

{{ref|type=thm|label=trace}}の証明の(\ref{trace2})と同様の計算により $s\in(0,1)$ について
$$\int_{(-1,1)^{n-1}\times(0,s)}|u\circ\psi_i|\le s\int_{(-1,1)^{n-1}\times(0,s)}|D_n(u\circ\psi_i)|.$$
$u$ を $|u|^p$ にとりかえれば
\begin{align*}
\int_{(-1,1)^{n-1}\times(0,s)}|u\circ\psi_i|^p&\le s\int_{(-1,1)^{n-1}\times(0,s)}|u\circ\psi_i|^{p-1}|D_n(u\circ\psi_i)|\\
&\le s\left(\int_{(-1,1)^{n-1}\times(0,s)}|u\circ\psi_i|^p\right)^{1-p^{-1}}\left(\int_{(-1,1)^{n-1}\times(0,s)}|D_nu\circ\psi_i|^p\right)^{p^{-1}}.
\end{align*}
これより
$$\int_{(-1,1)^{n-1}\times(0,s)}|u\circ\psi_i|^p\le s^p\int_{(-1,1)^{n-1}\times(0,s)}|D_nu\circ\psi_i|^p.$$
$\chi\in C^\infty((0,\infty))$ を
$$0\le\chi\le 1,\chi(t)=0\ \jf t\in(0,1),\chi(t)=1\ \jf t\gt 2$$
となるようにとり、$\chi_s(t)\colon=\chi(s^{-1}t)\ (s\gt 1)$ とする。$v_{s,i}\in W^{1,1}(Q_+)$ を
$$v_{s,i}(y',y_n)\colon=\chi_s(y_n)u(\psi_i(y))$$
と定めると $\supp v_{s,i}\subset[-1,1]^{n-1}\times[s,1]$ で
$$\int_{Q_+}|u\circ\psi_i-v_{s,i}|^p\le\int_{Q_+}(1-\chi_s(y_n))^p|u\circ\psi_i|^p\le\int_{(-1,1)^{n-1}\times(0,s)}|u\circ\psi_i|^p$$
で、
\begin{align*}
\int_{Q_+}|D(u\circ\psi_i-v_{s,i})|^p&\le C\left(\int_{Q_+}(1-\chi_s(y_n))^p|D(u\circ\psi_i)(y)|^pdy+\int_{Q_+}s^{-p}\chi'(s^{-1}y_n)^p|u(\psi_i(y))|^pdy\right)\\
&\le C\left(\int_{(-1,1)^{n-1}\times(0,s)}|D(u\circ\psi_i)(y)|^pdy+s^{-p}\int_{(-1,1)^{n-1}\times(0,s)}|u\circ\psi_i|^p\right)\\
&\le C\int_{(-1,1)^{n-1}\times(0,s)}|D(u\circ\psi_i)(y)|^pdy.
\end{align*}
これより
$$\norm{u\circ\psi_i-v_{s,i}}_{1,p}\to 0\ (s\to +0).$$
$\R^n$ の開被覆 $\R^n\backslash\pOm,W_1,\ldots ,W_N$ に従属する $1$ の分割 $\varphi_0,\varphi_1,\ldots ,\varphi_N$ をとって
$$u_s\colon=\varphi_0\zeta u+\sum_{i=1}^N\varphi_i(\zeta v_{s,i}\circ\psi_i^{-1})$$
とすると
$$\supp u_s\subset\bigcup_{i=1}^N \psi_i([-1,1]^{n-1}\times[s,1])$$
となり $u_s\in C^\infty_c(\Omega)$。また $\norm{u_s-\zeta u}_{1,p}\to 0\ (s\to +0)$。これより $\zeta u\in W^{1,p}_0(\Omega)$。
{{end|proof}}

{{theorem|type=pro|name=トレースSobolev不等式|label=TSob}}
$S\subset\pOm$ を $C^{0,1}$ 境界部分とし、$T$ を $\Omega$ におけるトレース作用素とする。$p\in(1,n)$ とすると $T(W^{1,p}(\Omega))\subset L^\frac{(n-1)p}{n-p}_\loc(S,\H^{n-1})$ で $u\in W^{1,p}(\Omega)$ と相対開集合 $S'\rcpt S$ について
$$\norm{Tu}_{\frac{(n-1)p}{n-p};S'}\le C_{p,S'}\norm{u}_{1,p;\Omega}.$$

{{begin|proof|display=''Proof.''|collapsible=1}}
$q\in[1,\infty)$ について
$$\int_{S'}|Tu|^qd\H^{n-1}\le C\int_\Omega\left(|u|^q+|u|^{q-1}|Du|\right)\le C\norm{u}_{p'(q-1)}^{q-1}\left(\norm{u}_p+\norm{Du}_p\right).$$
ここで $q=\frac{(n-1)p}{n-p}$ とすると $p'(q-1)=p^*$ となり
$$\int_{S'}|Tu|^qd\H^{n-1}\le C \norm{u}_{p^*}^{q-1}\norm{u}_{1,p}\le C\norm{u}_{1,p}^q.$$
{{end|proof}}

{{theorem|type=rmk}}
$p=n$ のときは任意の $q\subset[1,\infty)$ について $\norm{u}_{q;S'}\le C_{q,S'}\norm{u}_{1,n;\Omega}$ が成り立つ。また $p\in(n,\infty]$ のときは $Tu\in C^{0,\alpha}(S)$ である。

{{theorem|type=pro|name=トレース作用素のコンパクト性|label=Tcpt}}
$S\subset\pOm$ を $C^{0,1}$ 境界部分とし、$p\in(1,\infty)$ とする。
$$\begin{cases}
r\in\left[1,\frac{(n-1)p}{n-p}\right)&\colon p\in[1,n)\\
r\in[1,\infty)&\colon p=n\\
r\in[1,\infty]&\colon p\in(n,\infty)
\end{cases}$$
とすると $\Omega$ におけるトレース作用素 $T$ は相対開集合 $S'\rcpt S$ について $W^{1,p}(\Omega)$ から $L^r(S',\H^{n-1})$ へのコンパクト作用素である。すなわち、$\{u_m\}_{m=1}^\infty\subset W^{1,p}(\Omega)$ が $\displaystyle\sup_m\norm{u_m}_{1,p;\Omega}\lt\infty$ をみたすとすると部分列 $\{u_{m_j}\}_{m=1}^\infty$ で $\{Tu_{m_j}\}_{m=1}^\infty$ が $L^r(S',\H^{n-1})$ において収束するものがとれる。

{{begin|proof|display=''Proof.''}}
$q\colon=p'(r-1)\ge 1$ の場合を示せば十分。$v\in W^{1,p}(\Omega)$ について $\int_{S'}|Tu|^rd\H^{n-1}\le C\norm{u}_q^{r-1}\left(\norm{u}_p+\norm{Du}_p\right)$ となり、また $q$ は{{ref|type=thm|label=cpt}}の仮定をみたす。これより $L^q(\Omega)$ において収束する部分列 $\{u_{m_j}\}_{m=1}^\infty$ をとれば
$$\limsup_{i,j\to\infty}\int_{S'}|Tu_{m_i}-Tu_{m_j}|^r\le C\limsup_{i,j\to\infty}\norm{u_{m_i}-u_{m_j}}_q^{r-1}\sup_m\norm{u_m}_{1,p}=0$$
となる。
{{end|proof}}

対照的に、$p=1$ の場合は $\varphi\in L^1(S,\H^{n-1})$ を拡張して $Tu=\varphi$ となる $u\in W^{1,1}(\Omega)$ を構成することができる。

{{theorem|type=lem|label=trlem1}}
$S$ を $C^{0,1}$ 境界部分とする。$\H^{n-1}$ -a.e. $\xi\in S$ について $\nu(\xi)\in\partial B_1(0)$ であって次をみたすものが一意的に存在する:任意の $\lambda\in(0,1)$ について十分小さい $r\gt 0$ をとると
$$\{x\in\R^n\colon |x-\xi|\lt r,(x-\xi)\cdot\nu\lt -\lambda|x|\}\subset\Omega,\{x\in\R^n\colon |x-\xi|\lt r,(x-\xi)\cdot\nu\gt \lambda|x|\}\cap\Omega=\emptyset.$$
とくに
$$\chi_{\xi+a(\Omega-\xi)}\to\chi_{\{x\in\R^n\colon (x-\xi)\cdot\nu\lt 0\}}\ (a\to+\infty)\ \ae\inn\R^n.$$

{{begin|proof|display=''Proof.''|collapsible=1}}
開集合 $U\subset\R^n$ と全単射 $\psi\colon Q\to U$ が存在し $U\cap\Omega=\psi(Q_+)$、$S=\psi(Q_0)$ かつ $\psi$ と $\psi^{-1}$ がともに $C^{0,1}$ 写像となるものが存在するものが存在するとしてよい。

$Q_0\subset\R^{n-1}$ と見做して $\psi'\colon=\psi|_{Q_0}$ とすると[[Hausdorff測度とarea_coarea_formula|area formula]]とarea不等式より $E\subset Q_0$ について $\H^{n-1}(E)\le C\H^{n-1}\psi(E)\le C\int_E J\psi'$ であるから $J\psi'\gt 0\ \H^{n-1}$ -a.e. on $ Q_0$ であり、$\H^{n-1}$ -a.e. $y'\in Q_0$ について $D_1\psi(y'),\ldots ,D_{n-1}\psi(y')$ は一次独立である。

$y_0\in Q_0$ を $\psi'$ が微分可能で $D_1\psi(y_0),\ldots ,D_{n-1}\psi(y_0)$ が一次独立となりかつ $\nu_{j,1}\circ\psi'J\psi',\ldots ,\nu_{j,n}\circ\psi'J\psi'$ のLebesgue点となるような点とし、$\xi\colon=\psi(y_0)\in U\cap\pOm$ とする。$\H^{n-1}$ -a.e. $y_0\in Q_0$ はこれらをみたす。

また $\pi\colon=\xi+\operatorname{span}\{D_1\psi(y_0),\ldots ,D_{n-1}\psi(y_0)\}$ とする。また $\mu$ を平面 $\pi$ の単位法線ベクトルの一つとし、半空間 $\pi_+$、$\pi_-$ を $\pi_+\colon=\{x\in\R^n,\mu\cdot(x-\xi)\gt 0\}$、$\pi_-\colon=\{x\in\R^n,\mu\cdot(x-\xi)\lt 0\}$ と定める。

$\eta\in U\cap\pOm$ について
$$\mu\cdot(\eta-\xi)=\mu\cdot D\psi'(\psi^{-1}(\eta))(\psi^{-1}(\eta)-\psi^{-1}(\xi))+o(|\psi^{-1}(\eta)-\psi^{-1}(\xi)|)$$
よって $\lambda\in(0,1)$ について $C^+_\lambda\colon=\{x\in\R^n\colon\mu\cdot(x-\xi)\gt \lambda|x-\xi|\}$、$C^-_\lambda\colon=\{x\in\R^n\colon\mu\cdot(x-\xi)\lt-\lambda|x-\xi|\}$ とすると十分小さい $r\gt 0$ について
$$C^+_\lambda\cap B_r(\xi)\cap\pOm,C^-_\lambda\cap B_r(\xi)\cap\pOm=\emptyset$$
となり、
$$C^+_\lambda\cap B_r(\xi),C^-_\lambda\cap B_r(\xi)\subset U\backslash\pOm.$$
とくに $r_0\gt 0$ を十分小さくとると線分 $s_+\colon=\{\xi+t\mu\colon t\in(0,r_0)\}$ と $s_-\colon=\{\xi-t\mu\colon t\in(0,r_0)\}$ はともに $U\backslash\pOm$ に含まれる。$U\backslash\pOm=\psi(2Q\backslash 2Q_0)$ は $U\cap\Omega=\psi(2Q_+)$ と $U\backslash\Omega=\psi(2Q_-)$ の2つの連結成分をもち、$s_+$、$s_-$ はいずれもそのいずれか一方に含まれる。また十分小さい $r\gt 0$ について $C^+_\lambda\cap B_r(\xi)$ と $C^-_\lambda\cap B_r(\xi)$ も $U\backslash\pOm$ に含まれるので $U\cap\Omega$ と $U\backslash\Omega$ のいずれか一方に含まれ、また $C^+_\lambda\cap B_r(\xi)\cap s_+\neq\emptyset$、$C^-_\lambda\cap B_r(\xi)\cap s_-\neq\emptyset$ であるから
$$C^+_\lambda\cap B_r(\xi)\subset U\cap\Omega\iff s_+\subset U\cap\Omega,C^-_\lambda\cap B_r(\xi)\subset U\cap\Omega\iff s_-\subset U\cap\Omega.$$

$I\colon=\{\sigma\in\{+,-\}\colon s_i\subset U\cap\Omega\}$ とする。$\lambda\in(0,1)$ とし、$r\gt 0$ を十分小さくとって $C^+_\lambda\cap B_r(\xi)\subset U\backslash\pOm$ が成り立つようにする。任意の $x\in C^+_\lambda$ について、$a\gt 0$ を十分大きくとれば
$$\xi+a^{-1}(x-\xi)\in C^+_\lambda\cap B_r(\xi)$$
となり
$$\xi+a^{-1}(x-\xi)\in U\cap\Omega\iff +\in I.$$
これより
$$\chi_{\xi+a(U\cap\Omega-\xi)}(x)=\chi_{U\cap\Omega}(\xi+a^{-1}(x-\xi))\to\begin{cases}
1&\colon +\in I\\
0&\colon +\notin I
\end{cases}\ (a\to+\infty).$$
$\displaystyle\pi_+=\bigcup_{\lambda\in(0,1)} C^+_\lambda$ であるからこれは任意の $x\in\pi_+$ について成り立つ。

同様に任意の $x\in\pi_-$ について
$$\chi_{\xi+a(U\cap\Omega-\xi)}(x)\to\begin{cases}
1&\colon -\in I\\
0&\colon -\notin I
\end{cases}\ (a\to+\infty).$$
従って
$$\chi_{\xi+a(U\cap\Omega-\xi)}\to\chi_{\bigcup_{\sigma\in I}\pi_\sigma}\ (a\to+\infty).$$

また $\xi$ の開近傍 $W\subset U$ をとって $L\colon=\max\{L(\psi|_W),L(\psi^{-1}|_{\psi(W)})\}$ とすると十分小さい $r\gt 0$ について $|B_r(\xi)\cap\Omega|\ge\frac{1}{2}L^{-2n}\omega_nr^n$。$\lambda\in(0,1)$ を十分小さくとると $r\gt 0$ について $|C^+_\lambda\cap B_r(\xi)|,|C^+_\lambda\cap B_r(\xi)|\gt\frac{1}{2}\left(1-\frac{1}{2}L^{-2n}\right)\omega_nr^n$ となり、十分小さい $r\gt 0$ について
$$|C^+_\lambda\cap B_r(\xi)|+|C^+_\lambda\cap B_r(\xi)|+|B_r(\xi)\cap\Omega|\gt\omega_nr^n.$$
よって $C^+_\lambda\cap B_r(\xi)\cap\Omega\neq\emptyset$ または $C^-_\lambda\cap B_r(\xi)\cap\Omega\neq\emptyset$ が成り立ち、$I\neq\emptyset$。

$B_r(\xi)\cap\Omega$ を $B_r(\xi)\backslash\Omega$ にとりかえると同様に $I\neq\{+,-\}$ も示される。これより $I=\{+\}$ または $I=\{-\}$。

$$\bigcup_{i\in I}\pi_i=\begin{cases}
\pi_+=\{x\in\R^n\colon\mu\cdot(x-\xi)\gt 0\}&\colon I=\{+\}\\
\pi_-=\{x\in\R^n\colon\mu\cdot(x-\xi)\lt 0\}&\colon I=\{-\}
\end{cases}$$
であるから
$$\nu=\begin{cases}
-\mu&\colon I=\{+\}\\
\mu&\colon I=\{-\}
\end{cases}$$
とすればこの $\nu=\nu(\xi)$ は条件をみたす。
{{end|proof}}

{{theorem|type=def|name=外向き単位法線ベクトル|label=outnorm}}
$\nu(\xi)$ を $\xi$ における $S$ の(測度論的)外向き単位法線ベクトルという。

{{theorem|type=rmk}}
$\Omega$ がLipschitz領域のときは(\ref{Lipdom})をみたす $V_\xi$、$h_\xi$、$O_\xi$、$\gamma_\xi$ をとって $\psi$ を $\psi(y',y_n)=\xi+O_\xi(y',y_n+\gamma_\xi(y'))$ (を適当に制限しスケール変換して $Q\to\R^n$ としたもの)ととって証明中に得られた $\nu(\xi)$ の特徴づけを用いると $\H^{n-1}$ -a.e. $y'\in V_\xi$ について
$$\nu_i(\xi+O_\xi(y',\gamma_\xi(y'))=O_\xi\frac{(D\gamma_\xi(y'),-1)}{(|D\gamma_\xi(y')|^2+1)^\frac{1}{2}}$$
なる表示を得る。

とくに $\Omega$ がなめらかな領域の場合、$\nu(\xi)$ は幾何学的な外向き単位法線ベクトル([[ベクトル解析5：多様体の向き]]の定義22.1)と一致する。

{{ref|type=lem|label=trlem1}}より $\H^{n-1}$ -a.e. $\xi\in S$ について
$$r^{-n}|B_r(\xi)\cap\Omega|=|B_1(\xi)\cap(\xi+r^{-1}(\Omega-\xi))|\to|\{x\in B_1(\xi)\colon x\cdot\nu(\xi)\lt 0\}|=\frac{1}{2}\omega_n$$
が成り立つ。

{{theorem|type=lem|label=trlem2}}
$S\subset\Omega$ を $C^{0,1}$ 境界部分として $\nu$ を $S$ の外向き単位法線ベクトルとする。$F_i\rcpt S\ (i\in\Zp)$ で次をみたすものが存在する:
* $$\H^{n-1}\left(S\backslash\bigcup_{i=1}^\infty F_i\right)=0.$$
* $j_i\in\{1,\ldots,n\}$ と $\sigma_i\in\{1,-1\}$ と $F_i\rcpt U_i$ なる開集合 $U_i\subset\R^n$ と $\gamma_i\in C^{0,1}(\R^{n-1})$ が存在して
$$F_i\subset\{(x_1,\ldots,x_n)\in\R^n\colon\sigma_i x_{j_i}=\gamma(x_1,\ldots,x_{j_i-i},x_{j_i+1},\ldots,x_n)\}$$
かつ
$$\{(x_1,\ldots,x_n)\in U_i\colon\sigma_i x_{j_i}\gt\gamma(x_1,\ldots,x_{j_i-i},x_{j_i+1},\ldots,x_n)\}\subset\Omega.$$

{{begin|proof}}
(1)の $\nu=(\nu_1,\ldots,\nu_n)$ をとる。$\xi\in S$ を $\nu(\xi)$ が定義される点とすると $j\in\{1,\ldots,n\}$ であって $|\nu_j(\xi)|\ge n^{-\frac{1}{2}}$ となるものが存在するので $\lambda\colon=(2n)^{-\frac{1}{2}}$ として
$$D_{j,+}\colon=\left\{\xi\in S\colon \nu_j(\xi)\lt -\lambda \right\},D_{j,-}\colon=\left\{\xi\in S\colon \nu_j(\xi)\gt \lambda\right\}$$
とすると
$$\H^{n-1}\left(S\backslash\left(\bigcup_{j=1}^n D_{j,+}\cup\bigcup_{j=1}^n D_{j,-}\right)\right)=0.$$
$\xi\in D_{n,+}$ と $x\in\R^n$ について、$x-\xi=(y',y_n)\in\R^{n-1}\times\R$ と表すと
$$(\xi-x)\cdot\nu(\xi)\le\nu_n(\xi)y_n+(1-\nu_n(\xi)^2)^\frac{1}{2}|y'|.$$
$\nu_n(\xi)\lt -\lambda$、$(1-\nu_n(\xi)^2)^\frac{1}{2}\lt(1-\lambda^2)^\frac{1}{2}=\colon\lambda'$ に注意すると $y_n\gt\lambda'|x-\xi|$ なる $x$ について
$$(\xi-x)\cdot\nu(\xi)\le\nu_n(\xi)\lambda'+(1-\nu_n(\xi)^2)^\frac{1}{2}\lambda\lt 0.$$
$\nu$ のとりかたより $r\gt 0$ を十分小さくとれば
$$\xi+rC\subset\Omega.$$
ここで
$$C\colon=\{y=(y',y_n)\in\R^{n-1}\times\R\colon |y|\lt 1,y_n\gt\lambda'|y'|\}.$$
これより $E_{n,+,k}\colon=\{\xi\in D_{n,+}\colon \xi+2^{-k}C\subset\Omega\}$ とすると $\displaystyle \bigcup_{k=1}^\infty E_{n,+,k}=D_{n,+}$。

$k\in\Zp$ に対し、$F_{n,+,k,l}\subset E_{n,+,k}$ を $F_{n,+,k,l}\rcpt S$、$\diam F_{n,+,k,l}\lt 2^{-(k+1)}$ かつ $\displaystyle\bigcup_{l=1}^\infty F_{n,+,k,l}=E_{n,+,k}$ となるようにとり、$x'\in\R^{n-1}$ について
$$\gamma_{n,+,k,l}(x')\colon=\inf_{(\xi',\xi_n)\in F_{n,+,k,l}}(\xi_n+\lambda'|x'-\xi'|)$$
と定める。

$\gamma_{n,+,k,l}\in C^{0,1}(\R^{n-1})$ を示す。$x',y'\in\R^{n-1}$、$\varepsilon\gt 0$ として $\xi_n+\lambda'|x'-\xi'|\lt\gamma_{n,+,k,l}(x')+\varepsilon$ となる $(\xi',\xi_n)\in F_{n,+,k,l}$ をとると
$$\gamma_{n,+,k,l}(y')\le\xi_n+\lambda'|y'-\xi'|\le\xi_n+\lambda'|x'-\xi'|+\lambda'|x'-y'|\lt\gamma_{n,+,k,l}(x')+\lambda'|x'-y'|+\varepsilon.$$
これより $\gamma_{n,+,k,l}(y')\le\gamma_{n,+,k,l}(x')+\lambda|x'-y'|$。同様に $\gamma_{n,+,k,l}(x')\le\gamma_{n,+,k,l}(y')+\lambda|x'-y'|$ も成り立ち、$[\gamma]_{0,1}\le\lambda'$ が従う。

$\xi=(\xi',\xi_n)\in F_{n,+,k,l}$ とすると $\gamma_{n,+,k,l}(\xi')=\xi_n$ となることを示す。$(x',x_n)\in\xi+2^{-k}C$ とすると $x_n-\xi_n\gt\lambda'|x'-\xi'|$ であるから
$$\gamma_{n,+,k,l}(x')\le\xi_n+\lambda'|x'-\xi'|\lt x_n.$$
$\xi\in\overline{\xi+2^{-k}C}$ であるから $\gamma_{n,+,k,l}(\xi)\le \xi_n$。

一方 $\gamma_{n,+,k,l}(\xi)\lt\xi_n$ であったとすると $\eta=(\eta',\eta_n)\in F_{n,+,k,l}$ であって $\eta_n+\lambda'|\eta'-\xi'|\lt\xi_n$ となるものが存在する。$\xi_n-\eta_n\gt\lambda'|\eta'-\xi'|$ で、$\diam F_{n,+,k,l}\lt 2^{-(k+1)}$ より $|\xi-\eta|\lt 2^{-(k+1)}$ となるので $\xi\in\eta+2^{-k}C$。$\eta\in F_{n,+,k,l}\subset E_{n,+,k}$ より $\eta+2^{-k}C\subset\Omega$ であるから $\xi\in\Omega$ であるが、これは $F_{n,+,k,l}\subset E_{n,+,k}\subset\pOm$ に矛盾。これより $\gamma_{n,+,k,l}(\xi')=\xi_n$。

$$U_{n,+,k,l}\colon=\{x\in\R^n\colon \dist(x,F_{n,+,k,l})\lt 2^{-(k+1)}\}$$
とする。$x=(x',x_n)\in U_{n,+,k,l}$ が $x_n\gt\gamma_{n,+,k,l}(x')$ をみたすとすると $\xi=(\xi',x_n)\in F_{n,+,k,l}$ であって $\xi_n+\lambda'|x'-\xi_n|\lt x_n$ をみたすものが存在する。$x_n-\xi_n\gt\lambda'|x'-x_n|$ で、$\dist(x,F_{n,+,k,l})\lt 2^{-(k+1)}$ と $\diam F_{n,+,k,l}\lt 2^{-(k+1)}$ より $F_{n,+,k,l}\subset B_{2^{-k}}(x)$ であるから $|x-\xi|\lt 2^{-k}$。これより $x\in\xi+2^{-k}C\subset\Omega$。

同様に $j\in\{1,\ldots,n\}$ と $\sigma\in\{+,-\}$ について $F_{j,\sigma,k,l}\rcpt S$ と $\gamma_{j,\sigma,k,l}\in C^{0,1}(\R^{n-1})$ と $F_{j,\sigma,k,l}\rcpt U_{j,\sigma,k,l}$ なる開集合 $U_{j,\sigma,k,l}$ を
$$\bigcup_{k,l=1}^\infty F_{j,\sigma,k,l}=D_{j,\sigma},$$
$$F_{j,\sigma,k,l}\subset\{(x_1,\ldots,x_n)\in\R^n\colon \sigma_jx_j=\gamma_{j,\sigma,k,l}(x_1,\ldots,x_{j-1},x_{j+1},\ldots,x_n)\}$$
かつ
$$\{(x_1,\ldots,x_n)\in U_{j,\sigma,k,l}\colon \sigma_jx_j\gt\gamma_{j,\sigma,k,l}(x_1,\ldots,x_{j-1},x_{j+1},\ldots,x_n)\}\subset\Omega$$
となるようにとれる。

$\{(F_{j,\sigma,k,l},\gamma_{j,\sigma,k,l},U_{j,\sigma,k,l})\}_{j,\sigma,k,l}$ を $\{(F_i,\gamma_i,U_i)\}_i$ とおき直せば主張が従う。
{{end|proof}}

{{theorem|type=thm|name=境界上の関数の拡張|label=Text}}
$S\subset\pOm$ を $C^{0,1}$ 境界部分とし、開集合 $V\subset\R^n$ は $S\cap V\neq\emptyset$ をみたすとする。$\varphi\in L^1(S\cap V,\H^{n-1})$ とし、$\varepsilon\gt 0$ とすると $u\in W^{1,1}(\Omega)$ で次をみたすものが存在する:
$$Tu=\varphi\ \on S\cap V,u=0\ \on \Omega\backslash V,\norm{u}_{1;\Omega}\lt\varepsilon,\int_\Omega|Du|\lt\int_\pOm|\varphi|d\H^{n-1}+\varepsilon.$$

{{begin|proof|display=''Proof.''|collapsible=1}}
$\Omega,S$ を $V\cap\Omega,V\cap S$ にとりかえた{{ref|type=lem|label=trlem2}}の $F_i,j_i,\sigma_i,U_i,\gamma_i$ をとる。$F_i$ を $\displaystyle \left(\overline{F_i}\backslash\bigcup_{i'=1}^i\overline{F_{i'}}\right)\cap S$ にとりかえることにより $F_i$ はBorel集合で $i\neq i'\implies F_i\cap F_{i'}$ となるとしてよい。また $F_i\rcpt V\cap S$ より $U_i$ を $U_i\cap V$ にとりかえて $U_i\subset V$ としてよい。

$j_i=n$、$\sigma=1$ となる $i$ をとってfixする。(それ以外の $i$ についても同様である。) $F_i\rcpt U_i$、$F_i\subset\{(x',\gamma_i(x'))\colon x'\in\R^{n-1}\}$ より開集合 $W\subset\R^{n-1}$ と $h\gt 0$ が存在して
$$U_i'\colon=\{(x',x_n)\in W\times\R\colon |x_n-\gamma_i(x')|\lt h\}$$
は $F_i\rcpt U_i'\rcpt U_i$ をみたす。また
$$U_{i,+}'\colon=\{(x',x_n)\in W\times\R\colon 0\lt x_n-\gamma_i(x')\lt h\}\subset\Omega.$$

$\varphi_i\in L^1(\R^{n-1})$ を $\varphi_i(x')\colon=(\varphi\chi_{F_i})(x',\gamma_i(x'))$ により定める。$F_i\rcpt U_i'$ より $\supp\varphi_i\subset W$。

$\eta'$ を $\R^{n-1}$ におけるmollifierとし、$r_k\gt 0\ (k\in\Zp)$ を単調減少かつ $r_1\lt h$、$\supp(\eta'_{r_k}*\varphi_i)\subset U_i'$ かつ $\norm{\eta'_{r_k}*\varphi_i-\varphi_i}\lt 2^{-k}$ となるようにとる。また $k\in\Zz$ について $\displaystyle t_k\colon=\sum_{l=k+1}^\infty 2^{-l}r_l$ とする。

$k\in\Zp$ について $ w_k\colon[0,\infty)\to\R$ を
$$ w_k(t)\colon=\begin{cases}
0&\colon t\in[0,t_{k+1})\\
2^{-(k+1)}r_{k+1}(t-t_{k+1})&\colon t\in[t_{k+1},t_k)\\
-2^{-k}r_k(t_{k-1}-t)&\colon t\in[t_k,t_{k-1})\\
0&\colon t\ge t_{k-1}
\end{cases}$$
と定める。$k_0\in\Zp$ とし、
$$v_i(x',x_n)\colon=\sum_{k=k_0}^\infty w_k(x_n)(\eta'_{r_k}*\varphi_i)(x')\ ((x',x_n)\in\R^{n-1}\times(0,\infty))$$
とする。$\supp w_k=[t_{k+1},t_{k-1}]$ より $\{\supp w_k\}_k$ は局所有限であるから $v_i$ はwell-definedで $v_i\in C^\infty(\Rnp)$。また $v_i=0$ on $\R^n\backslash(W\times(0,t_{k_0}))$。また
\begin{align*}
\int_{\R^n_+}|v_i|&=\sum_{k=k_0}^\infty\int_0^\infty w_k\left(\int_{\R^{n-1}}|\eta'_{r_k}*\varphi_i|\right)\\
&\le\sum_{k=k_0}^\infty 2^{-1}(2^{-k}r_k+2^{-(k+1)}r_{k+1})\int_{\R^{n-1}}|\varphi_i|\\
&\le C2^{-k_0}t_{k_0}\int_{\R^{n-1}}|\varphi_i|,\\
\int_{\R^n_+}|D_jv_i|&=\sum_{k=k_0}^\infty\int_0^\infty w_k\left(\int_{\R^{n-1}}|D_j(\eta'_{r_k}*\varphi_i)|\right)\\
&\le C\sum_{k=k_0}^\infty 2^{-1}(2^{-k}r_k+2^{-k+1}r_{k+1})r_k^{-1}\int_{\R^{n-1}}|\varphi_i|\\
&\le C2^{k_0}\int_{\R^{n-1}}|\varphi_i|\ (j=1,\ldots,n-1),\\
\int_{\R^{n-1}\times(0,t_{k_0})}|D_nv_i|&=\sum_{k=k_0}^\infty\int_{t_{k+1}}^{t_k}\left(2^{k+1}r_{k+1}\int_{\R^{n-1}}|\eta'_{r_k}*\varphi_i-\eta'_{r_{k+1}}*\varphi_i|\right)\\
&\le\sum_{k=k_0}^\infty\left(\int_{\R^{n-1}}|\eta'_{r_k}*\varphi_i-\varphi_i|+\int_{\R^{n-1}}|\eta'_{r_{k+1}}*\varphi_i-\varphi_i|\right)\\
&\le\sum_{k=k_0}^\infty (2^{-k}+2^{-(k+1)})=C2^{-k_0},\\
\int_{\R^{n-1}\times(t_{k_0},\infty)}|D_nv_i-2^{-k_0}r_k\chi_{\R^{n-1}\times(t_{k_0},t_{k_0-1})}\varphi_i|&=\int_{t_{k_0}}^{t_{k_0-1}}2^{k_0}r_k^{-1}\int_{\R^{n-1}}|\eta'_{r_{k_0}}*\varphi_i-\varphi_i|\\
&\le 2^{-k_0}.
\end{align*}
これより $v_i\in W^{1,1}(\Rnp)$。

$T_0$ を $\Rnp$ におけるトレース作用素とする。$l\ge k_0$ について $v_i(\cdot,2^{-l})=\eta'_{r_l}*\varphi_i$ であるから $T_0(v_i(\cdot-2^{-l}e_n))=\eta'_{r_l}*\varphi_i$ であり
$$\norm{T_0(v_i(\cdot-2^{-l}e_n))-\varphi'}_{1,\pRnp}\to 0\ (l\to\infty).$$
一方 $L^1$ ノルムの平行移動連続性より
$$\norm{v_i(\cdot-2^{-l}e_n)-v_i}_{1,1}\to 0\ (l\to\infty).$$
これより
$$T_0v_i=\varphi_i.$$

$\psi_i\colon\R^n\to\R^n$ を $\psi_i(x',x_n)\colon=(x',x_n-\gamma_i(x'))$ により定め、$u_i\colon=v_i\circ\psi_i\in W^{1,1}(\psi_i^{-1}(\Rnp))$ とする。$T_i$ を $\psi_i^{-1}(\Rnp)=\{(x',x_n)\colon x_n\gt\gamma_i(x')\}$ におけるトレース作用素とすると
$$T_iu_i=(T_0v_i)\circ\psi_i=\varphi_i\circ\psi_i=\varphi\chi_{F_i}.$$
とくに $T_iu_i=0$ on $\partial\psi_i^{-1}(\Rnp)\backslash\overline{F_i}$ であるから任意の $\zeta\in C^\infty_c(\R^n\backslash\overline{F_i})$ について $\zeta u_i\in W^{1,1}_0(\psi^{-1}(\Rnp))$ となり
$$\int_{\psi^{-1}(\Rnp)}(D_j\zeta u_i+\zeta D_ju_i)=\int_{\psi^{-1}(\Rnp)}D_j(\zeta u_i)=0.$$
これより $u_i=0$ on $\R^n\backslash\psi^{-1}(\Rnp)$ として $u_i$ を $R^n$ 上に拡張すると $u_i\in W^{1,1}(\R^n\backslash\overline{F_i})$ となり、とくに $u_i\in W^{1,1}(\Omega)$。

また $\displaystyle t_{k_0}\lt\sum_{k=k_0}^\infty 2^{-k}h=2^{-k_0}h\le h$ に注意すると $v_i=0$ on $\Rnp\backslash(W\times(0,h))$ で、$\psi^{-1}(W\times(0,h))=U_{i,+}'$ であるから $u_i=0$ on $\Omega\backslash U_{i,+}'$。とくに $u_i=0$ on $\Omega\backslash V$。

$Tu_i=\varphi\chi_{F_i}$ $\H^{n-1}$ -a.e. on $S$ を示す。$\xi\in S\backslash\overline{U_{i,+}'}$ については $\xi$ の近傍において $u_i=0$ となるので $Tu_i(\xi)=0$。

$\xi=(\xi',\xi_n)\in S\cap\overline{U_{i,+}'}$ とすると $U_i'\rcpt U_i$ より $\xi\in U_i$ で $\xi\notin\Omega$ であるから $U_i$ のとりかたより $\xi_n=\gamma_i(\xi')$ となり $\xi\in\partial\psi_i^{-1}(\Rnp)$。$r\gt 0$ を十分小さくとると $B_r(\xi)\cap\psi^{-1}(\Rnp)\subset\{x\in U_i\colon 0\lt\xi_n-\gamma_i(\xi')\lt h\}\subset\Omega$。$u_i=0$ on $\R^n\backslash\psi_i^{-1}(\Rnp)$ とあわせて
$$\int_{B_r(\xi)\cap\Omega}u_i=\int_{B_r(\xi)\cap\Omega\cap\psi_i^{-1}(\Rnp)}u_i=\int_{B_r(\xi)\cap\psi^{-1}(\Rnp)}u_i.$$
$\H^{n-1}$ -a.e. $\xi\in S\cap\psi_i^{-1}(\Rnp)$ について
$$\lim_{r\to +0}r^{-n}|B_r(\xi)\cap\Omega|=\lim_{r\to +0}r^{-n}|B_r(\xi)\cap\psi_i^{-1}(\Rnp)|=\frac{1}{2}\omega_n$$
となることから $\H^{n-1}$ -a.e. $\xi\in S\cap\overline{U_{i,+}'}$ について
$$Tu_i=\lim_{r\to+0}\frac{1}{B_r(\xi)\cap\Omega}\int_{B_r(\xi)\cap\Omega}u_i=\lim_{r\to+0}\frac{1}{B_r(\xi)\cap\psi_i^{-1}(\Rnp)}\int_{B_r(\xi)\cap\psi_i^{-1}(\Rnp)}u_i=T_iu_i=\varphi\chi_{F_i}.$$
$F_i\subset \overline{U_{i,+}'}$ とあわせて
$$Tu_i=\varphi\chi_{F_i}\ \H^{n-1}-\ae\on\ S.$$
また
$$\int_\Omega|u_i|\le C\int_{\R^n_+}|v_i|\le C2^{-k_0}t_{k_0}\le C4^{-k_0}h.$$
一方 $x=(x',x_n)\in\Omega\cap\psi_i^{-1}(\Rnp)$ とすると $j=1,\ldots,n-1$ については $D_ju_i(x)=(D_jv_i)(\psi_i(x))-D_nu_i(\psi_i(x))D_j\gamma_i(x')$ で、$D_nu_i(x)=D_nv_i(\psi_i(x))$ であるから
$$\int_{\Omega\cap\psi_i^{-1}(\Rnp)}|Du_i(x)-(-D\gamma_i(x'),1)D_nv_i(\psi_i(x))|dx=\int_{\Omega\cap\psi_i^{-1}(\Rnp)}|D'u_i\circ\psi_i|\le C\int_{\R^n_+}|D'v_i|\le C2^{-k_0}$$
となり
$$\int_{\Omega\cap\psi_i^{-1}(\Rnp)}|Du_i|\le\int_{\Omega\cap\psi_i^{-1}(\Rnp)}|D_nv_i(\psi_i(x))|(1+|D\gamma_i(x')|^2)^\frac{1}{2}dx+C2^{-k_0}.$$
$$\int_{\Omega\cap\psi_i^{-1}(\Rnp)}|D_nv_i(\psi_i(x))-2^{-k_0}r_k\chi_{\psi_i^{-1}(\R^{n-1}\times(t_{k_0},t_{k_0-1}))}(\chi_{F_i}\varphi)(x)|(1+|D\gamma_i(x')|^2)^\frac{1}{2}dx\le C\int_{\R^{n-1}\times(t_{k_0},\infty)}|D_nv_i-2^{-k_0}r_k\chi_{\R^{n-1}\times(t_{k_0},t_{k_0-1})}\varphi_i|\le C2^{-k_0}$$
で、$\psi_i^{-1}(\R^{n-1}\times(t_{k_0},t_{k_0-1}))\subset U_{i,+}'\subset\Omega$ に注意すると
\begin{align*}
\int_{\Omega\cap\psi_i^{-1}(\Rnp)}|2^{-k_0}r_k\chi_{\psi_i^{-1}(\R^{n-1}\times(t_{k_0},t_{k_0-1}))}(\chi_{F_i}\varphi)(x')|(1+|D\gamma_i(x')|^2)^\frac{1}{2}dx&=2^{-k_0}r_k\int_{\psi_i^{-1}(\R^{n-1}\times(t_{k_0},t_{k_0-1}))}|(\chi_{F_i}\varphi)(x')|(1+|D\gamma_i(x')|^2)^\frac{1}{2}dx\\
&=2^{-k_0}r_k\int_{\R^{n-1}\times(t_{k_0},t_{k_0-1})}|\psi_i(x')|(1+|D\gamma_i(x')|^2)^\frac{1}{2}dx\\
&=\int_{\partial\R^{n-1}}|\varphi_i(x')||(1+|D\gamma_i(x')|^2)^\frac{1}{2}d\H^{n-1}(x')\\
&=\int_{\partial\psi_i^{-1}(\Rnp)}\chi_{F_i}|\varphi| d\H^{n-1}\\
&=\int_{F_i}|\varphi| d\H^{n-1}
\end{align*}
となるので
$$\int_{\Omega\cap\psi_i^{-1}(\Rnp)}|D_nv_i(\psi_i(x))|(1+|D\gamma_i(x')|^2)^\frac{1}{2}dx\le\int_{F_i}|\varphi| d\H^{n-1}+C2^{-k_0}$$
となり $u_i=0$ on $\Omega\backslash\psi_i^{-1}(\Rnp)$ より $Du_i=0$ on $\Omega\backslash\psi_i^{-1}(\Rnp)$ となることとあわせて
$$\int_\Omega|Du_i|\le\int_{F_i}|\varphi| d\H^{n-1}+C2^{-k_0}.$$
従って $k_0$ を十分大きくとれば
$$\int_\Omega|u_i|\lt 2^{-i}\varepsilon,\int_\Omega|Du_i|\le\int_{F_i}|\varphi| d\H^{n-1}+2^{-i}\varepsilon.$$
最後に
$$u\colon=\sum_{i=1}^\infty u_i$$
とすると
$$\sum_{i=1}^\infty\int_\Omega|u_i|\lt \sum_{i=1}^\infty 2^{-i}\varepsilon=\varepsilon,\sum_{i=1}^\infty\int_\Omega|Du_i|\le\sum_{i=1}^\infty\left(\int_{F_i}|\varphi| d\H^{n-1}+2^{-i}\varepsilon\right)=\int_S|\varphi|d\H^{n-1}+\varepsilon$$
となることからこの無限和は $W^{1,1}(\Omega)$ において収束し
$$\int_\Omega|u|\lt\varepsilon,\int_\Omega|Du|\lt\int_S|\varphi|d\H^{n-1}+\varepsilon$$
が成り立つ。各 $u_i$ は $u_i=0$ on $\Omega\backslash V$ をみたすので $u=0$ on $\Omega\backslash V$。また
$$Tu=\sum_{i=1}^\infty Tu_i=\sum_{i=1}^\infty\chi_{F_i}\varphi=\varphi\ \on S\cap V.$$
{{end|proof}}

{{theorem|type=rmk}}
トレースSobolev不等式により、$p\in(1,\infty)$ の場合は一般には $\varphi\in L^p(S,\H^{n-1})$ を拡張して $u\in W^{1,p}(\Omega)$、$Tu=\varphi$ on $S$ とすることはできない。また、トレース作用素 $T$ は $W^{1,1}(\Omega)$ から $L^1(S',\H^{n-1})$ へのコンパクト作用素にはならない。

最後にトレース作用素の応用として次の $C^{0,1}$ 領域においても成り立つGaussの発散定理を示す。

{{theorem|type=thm|name=Gaussの発散定理|label=divthm}}
$S\subset\pOm$ を $C^{0,1}$ 境界部分とする。$\nu=(\nu_1,\ldots,\nu_n)$ を $S$ の外向き単位法線ベクトルとすると $u\in W^{1,1}_c(\Omega\cup S)$ について
$$\int_\Omega D_iu=\int_S Tu\nu_id\H^{n-1}.$$
とくに $\Omega$ が有界な $C^{0,1}$ 領域のとき任意の $u\in W^{1,1}(\Omega)$ について
$$\int_\Omega D_iu=\int_\pOm Tu\nu_id\H^{n-1}.$$

{{begin|proof}}
$\zeta\in C^\infty_c(\R^n\backslash(\pOm\backslash S))$ を任意にとる。$\varepsilon\gt 0$ とすると $\varphi\in L^1(S,\H^{n-1})$ について{{ref|type=thm|label=Text}}より $u\in W^{1,1}(\Omega)$ を $Tu=\varphi$ on $S$ となるようにとれる。また $v\in W^{1,1}(\Omega)$ が $Tv=0$ on $S$ をみたすとすると{{ref|type=thm|label=trace0}}より $\zeta v\in W^{1,1}_0(\Omega)$ となるので $i=1,\ldots,n$ について $\int_\Omega D_i(\zeta v)=0$。これより
$$\langle\tau_i,\varphi\rangle\colon=\int_\Omega D_i(\zeta u)$$
は $u$ の選択に依存せず、$\tau_i$ はwell-definedな $L^1(S,\H^{n-1})$ 上の線型汎関数である。また $\varepsilon\gt 0$ とすると $u$ は $\displaystyle\int_\Omega|u|\lt\varepsilon$ かつ $\displaystyle\int_\Omega|Du|\lt\int_S |\varphi|d\H^{n-1}+\varepsilon$ となるようにとれるので $\displaystyle|\langle\tau_i,\varphi\rangle|\le \norm{\zeta}_{1,\infty}\int_S |\varphi|d\H^{n-1}$。

[[測度と積分5：$L%5Ep$_空間の完備性と双対性]]の定理23.4より $\nu'_1,\ldots ,\nu'_n\in L^\infty(U_j\cap\pOm,\H^{n-1})$ であって任意の $\varphi\in L^1(S,\H^{n-1})$ について
$$\langle\tau_i,\varphi\rangle=\int_S\varphi\nu'_id\H^{n-1}$$
をみたすものが存在する。$\nu'_i$ は任意の $u\in W^{1,1}(\Omega)$ について
$$\int_S Tu\nu'_id\H^{n-1}=\langle\tau_i,Tu\rangle=\int_\Omega D_i(\zeta u)$$
をみたす。

$\nu'_i=\zeta\nu_i$ を示す。開集合 $U\subset\R^n$ と全単射 $\psi\colon 2Q\to U$ が $\psi$ と $\psi^{-1}$ がともに $C^{0,1}$ 写像で $\psi(Q_+)=U\cap\Omega$、$\psi(Q_0)=U\cap\pOm\subset S$ をみたすとして $\nu'_i=\zeta\nu_i$ on $U\cap\pOm$ を示せば十分。

{{ref|type=lem|label=trlem}}より $\H^{n-1}$ -a.e. $\xi\in U\cap\pOm$ と任意の $u\in C^\infty_c(\R^n)$ について
$$\lim_{a\to+\infty}\int_{\xi+a(U\cap\Omega-\xi)}D_i(\zeta u)=\int_{\{x\in\R^n\colon (x-\xi)\cdot\nu(\xi)\lt 0\}}D_i(\zeta u)=\int_{\{x\in\R^n\colon (x-\xi)\cdot\nu(\xi)=0\}}\zeta u\nu_id\H^{n-1}.\tag{$\dagger$}\label{divthm0}$$

一方、$a$ を十分大きくとって $\supp u\subset \xi+a(U-\xi)$ となるようにすると
\begin{align*}
\int_{\xi+a(U\cap\Omega-\xi)}D_i(\zeta u)&=a^n\int_\Omega D_i(\zeta u)(\xi+a(x-\xi))dx\\
&=a^{n-1}\int_\pOm u(\xi+a(x-\xi))\nu'_id\H^{n-1}(x)\\
&=a^{n-1}\int_{Q_0} u(\xi+a(\psi(y)-\xi))\nu'_i(\psi(y))J\psi(y)d\H^{n-1}(y).
\end{align*}
$Q_0\subset\R^{n-1}$ と見做して $\psi'\colon=\psi|_{Q_0}$ とする。$\H^{n-1}$ -a.e. $\xi\in U\cap\pOm$ について $\psi'$ は $y_0\colon=\psi^{-1}(\xi)$ において微分可能であり、なおかつLebesgueの微分定理より
$$\int_{B_r(y_0)\cap Q_0}|\nu'_i(\psi(y))J\psi'(y)-\nu'_i(\psi(y_0))J\psi'(y_0)|d\H^{n-1}=o(r^n)\ (r\to +0)$$
となることに注意する。$R\gt 0$ を十分大きくとると、十分大きい $a\gt 0$ について $\supp u(\xi+a(\psi(\cdot)-\xi))\subset B_{a^{-1}R}(y_0)\cap Q_0$ であるから
\begin{align*}
&\quad\int_{Q_0}\left|u(\xi+a(\psi(y)-\xi))\nu'_i(\psi(y))J\psi(y)-u\left(\xi+aD\psi'(y_0)(y-y_0)\right)\nu'_i(\psi(y_0))J\psi(y_0)\right|d\H^{n-1}(y)\\
&\le \int_{B_{a^{-1}R}(y_0)\cap Q_0}\left(\left|u(\xi+a(\psi(y)-\xi))-u\left(\xi+aD\psi'(y_0)(y-y_0)\right)\right||\nu'_i(\psi(y_0))J\psi(y_0)|+|u(\xi+a(\psi(y)-\xi))||\nu'_i(\psi(y))J\psi(y)-\nu'_i(\psi(y_0))J\psi(y_0)|\right)d\H^{n-1}(y)\\
&\le C\int_{B_{a^{-1}R}(y_0)\cap Q_0}\left(a\norm{Du}_\infty\left|\psi(y)-\psi(y_0)-D\psi'(y_0)(y-y_0)\right|+\norm{u}_\infty|\nu'_i(\psi(y))J\psi(y)-\nu'_i(\psi(y_0))J\psi(y_0)|\right)d\H^{n-1}(y)\\
&=o(a^{-(n-1)}).
\end{align*}
また
\begin{align*}
a^{n-1}\int_{Q_0}u\left(\xi+aD\psi'(y_0)(y-y_0)\right)\nu'_i(\psi(y_0))J\psi(y_0)d\H^{n-1}(y)&=\int_{\pRnp}u\left(\xi+D\psi'(y_0)(z-y_0)\right)\nu'_i(\xi)J\psi(y_0)d\H^{n-1}\\
&=\int_{\xi+D\psi'(y_0)\pRnp}u\nu'_i(\xi)d\H^{n-1}.
\end{align*}
従って
$$\lim_{a\to+\infty}\int_{\xi+a(U\cap\Omega-\xi)}D_i(\zeta u)=\int_{\xi+D\psi'(y_0)\pRnp}u\nu'_i(\xi)d\H^{n-1}\ \H^{n-1}-\ae\ \xi\in U\cap\pOm. \tag{$\ddagger$}\label{divthm1}$$
(\ref{divthm0})と(\ref{divthm1})より $\H^{n-1}-\ae\ \xi\in U\cap\pOm$ と任意の $u\in C^\infty_c(\R^n)$ について
$$\int_{\{x\in\R^n\colon (x-\xi)\cdot\nu(\xi)=0\}}\zeta u\nu_id\H^{n-1}=\int_{\xi+D\psi'(y_0)(\pRnp-y_0)}u\nu'_i(\xi)d\H^{n-1}\ \H^{n-1}-\ae\ \xi\in U\cap\pOm.$$
外向き単位法線ベクトルの構成より $\H^{n-1}$ -a.e. $\xi\in U\cap\pOm$ について
$$\{x\in\R^n\colon (x-\xi)\cdot\nu(\xi)=0\}=\xi+D\psi'(y_0)\pRnp$$
となるので
$$\nu'_i=\zeta\nu_i.$$
これより任意の $u\in W^{1,1}(\Omega)$ と $\zeta\in C^\infty_c(\R^n\backslash(\pOm\backslash S))$ について
$$\int_\Omega D_i(\zeta u)=\int_S \zeta u\nu_id\H^{n-1}.$$
とくに $u\in W^{1,1}_c(\Omega\cap S)$ のときは $\zeta\in C^\infty_c(\R^n\backslash(\pOm\backslash S))$ を $\zeta=1$ on $\supp u$ となるようにとれ、このときは $\zeta u=u$ であるから
$$\int_\Omega u=\int_S u\nu_id\H^{n-1}.$$
が成り立つ。
{{end|proof}}

{{theorem|type=cor|name=部分積分|label=trintpart}}
$S\subset\pOm$ を $C^{0,1}$ 境界部分とする。$u,v\in W^{1,1}(\Omega)$ が $uv\in W^{1,1}_c(\Omega\cup T)$ をみたすとき
$$\int_\Omega D_iuv=\int_S TuTv\nu_id\H^{n-1}-\int_\Omega uD_iv.$$

{{begin|proof}}
{{ref|type=thm|label=divthm}}より
$$\int_S TuTv\nu_id\H^{n-1}=\int_S T(uv)\nu_id\H^{n-1}=\int_\Omega D_i(uv)=\int_\Omega (D_iuv+uD_iv).$$
{{end|proof}}

{{theorem|type=rmk}}
$S\subset\pOm$ を(\ref{D})をみたす相対開集合とする。(\ref{D})における $S$ を $S'$ と表すと、$u\in W^{1,p}_0(\Omega\cup S)\subset W^{1,p}(D)$ の $\Omega$ におけるトレースを $D$ におけるトレース $Tu\in L^p_\loc(S',\H^{n-1})$ の $S$ への制限として定めることができる。また $\xi\in S$ における $S$ の外向き単位法線ベクトルを $S'$ の外向き単位法線ベクトルとして定めることができ、この節で挙げたトレースの性質は $W^{1,p}(\Omega)$ を $W^{1,p}_0(\Omega\cup S)$ にとりかえた上ですべて成り立つ。また $T$ は $W^{1,p}_0(\Omega\cup S)$ から $L^p(S,\H^{n-1})$ への有界線型作用素となり、$\displaystyle \int_S Tud\H^{n-1}\le C_{p,\Omega,T}\int_\Omega (|u|^p+|u|^{p-1}|Du|)$ が成り立つ。トレースSobolev不等式と $T$ のコンパクト性も $S$ を相対コンパクト部分集合にとりかえることなく成り立つ。Gaussの発散定理は $u\in W^{1,1}_0(\Omega\cup S)$ について成り立つ。

また、このようにして定めた $Tu\in L^p(S,\H^{n-1})$ と $\nu\in L^\infty(S,\H^{n-1})$ は $D$ と $S'$ の選択に依存しない。実際、$Tu$ は $\displaystyle r^{-n}\int_{B_r(\xi)\cap\Omega}|u-Tu(\xi)|\to 0\ (r\to +0)$ によって特徴づけられるので $D$ と $S'$ に依存しない。また $\varphi\in L^1_c(S,\H^{n-1})$ とすると $Tu=\varphi$ on $S$、$Tu=0$ on $S'\backslash S$ なる $u\in W^{1,1}(D)$ をとれ、$\eta\in C^\infty_c(\Omega\cup S)$ を $\eta=1$ on $\supp\varphi$ となるようにとって $v=\eta u$ とすることで $Tv=\varphi$ なる $v\in W^{1,1}_c(\Omega\cup S)$ をとれる。これより{{ref|type=thm|label=divthm}}の証明で定義した $\tau_i\in(L^1(S',\H^{n-1}))^*$ の $L^1_c(S,\H^{n-1})$ への制限は $D$ と $S'$ に依存せず、従って $\nu_i|_{S}$ も $D$ と $S'$ に依存しない。

==参考文献==
*Robert A. Adams「Sobolev Spaces」
*David Gilbarg, Neil S. Trudinger「Elliptic Partial Differential Equations of Second Order」
*Lawrence C. Evans, Ronald F. Gariepy「Measure Theory and Fine Properties of Functions,Revised Edition」
*Lawrence C. Evans「Partial Differential Equations,Second Edition」
*Gerald B. Folland「Real Analysis: Modern Techniques and Their Applications」
*Olga A. Ladyzhenskaya,Vsevolod A. Solonnikov,Nina N. Uraltseva「Linear and Quasilinear Equations of Parabolic Type」
*Haim Brezis「Functional Analysis, Sobolev Spaces and Partial Differential Equations」
*Michel Willem「Minimax Theorems」
*Luke G. Rogers「A Degree-Independent Sobolev Extension Operator」
*Giorgio Talenti「Best Constant in Sobolev Inequality」
*宮島静雄「ソボレフ空間の基礎と応用」
======脚注======

Sobolev空間とSobolevの不等式

2022-09-20T05:37:56Z

PSX: /* 一般のSobolevの不等式 */

{{begin|preamble}}
<math>
\newcommand{\R}{\mathbb{R}}
\newcommand{\C}{\mathbb{C}}
\newcommand{\K}{\mathbb{K}}
\newcommand{\Z}{\mathbb{Z}}
\newcommand{\Q}{\mathbb{Q}}
\newcommand{\Zp}{\mathbb{Z}_{\ge 1}}
\newcommand{\Zz}{\mathbb{Z}_{\ge 0}}
\newcommand{\M}{\mathbb{M}}
\newcommand{\B}{\mathcal{B}}
\newcommand{\D}{\mathcal{D}}
\newcommand{\F}{\mathcal{F}}
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\newcommand{\n}{\mathbf{n}}
\newcommand{\Rnp}{\mathbb{R}^n_+}
\newcommand{\Rnn}{\mathbb{R}^n_-}
\newcommand{\pRnp}{\mathbb{\partial R}^n_+}
\newcommand{ae}{\mathrm{a.e.}}
\newcommand{\inn}{\ \mathrm{in}\ }
\newcommand{\on}{\ \mathrm{on}\ }
\newcommand{\for}{\ \mathrm{for}\ }
\newcommand{\jf}{\ \mathrm{if }\ }
\newcommand{\det}{\operatorname{det}}
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\newcommand{\implies}{\ \Rightarrow\ }
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\newcommand{\norm}[1]{\lVert #1\rVert}
\newcommand{\pardif}[2]{\frac{\partial{#1}}{\partial{#2}}}
\newcommand{\Bb}{\overline{B}}
\newcommand{\Ombar}{\overline{\Omega}}
\newcommand{\OmT}{\Omega\cup T}
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\renewcommand{\Re}{\operatorname{Re}}
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\DeclareMathOperator*{\osc}{osc}
\DeclareMathOperator*{\essosc}{ess\, osc}
\DeclareMathOperator*{\esssup}{ess\, sup}
\DeclareMathOperator*{\essinf}{ess\, inf}

</math>
{{newtheorem |type=def |display=定義 }}
{{newtheorem |type=pro |display=命題 |family=def }}
{{newtheorem |type=thm |display=定理 |family=def }}
{{newtheorem |type=lem |display=補題 |family=def }}
{{newtheorem |type=cor |display=系 |family=def }}
{{newtheorem |type=rmk |display=注意 |family=def }}
{{newtheorem |type=ex |display=参考 |family=def }}
{{end |preamble}}
{{TOC |align=right |noautonum=1 }}

ここでは $p\neq 2$ を含めた $L^p$ 空間におけるSobolev空間とSobolev空間に対する一般的な埋め込み定理であるSobolevの不等式について主に取り扱う。

==記法および注意==
ここではとくに断らない限り実数値関数のみを取り扱う。また断りなく次の記法を用いる:
* $n\in\Zp$ とし、$\Omega$ を $\R^n$ における開集合とする。
* $x\in\R^n$、$r>0$ について $B_r(x)$ で $\R^n$ の半径が $r$、中心が $x$ の開球を表す。中心や半径を具体的に指定しない場合は $B_r$ や $B(x)$ などと略すことがある。
* $\H^s$ で $s$ 次元Hausdorff測度、$\L^n$ で $n$ 次元Lebesgue外測度([[Hausdorff測度とarea_coarea_formula]]の定義30。命題31も参照。)を表し、$\L^n$ -a.e. を単にa.e.とかき、また誤解のおそれがなければ省略する。
* 多重指数 $\alpha$ について $\alpha$ 階偏微分を $D^\alpha$ で表す。また $\alpha=ke_i$ のときは $D^\alpha u$ を $D^k_i u$ と表す。$D^1_i u$ は $D_iu$ と表し、$\R^n$ 値関数 $(D_1u,\ldots D_nu)$ を $Du$ と表す。
* $n=1$ のときは $D^k_1 u$ を $u^{(k)}$ と表す。また $u^{(1)}$、$u^{(2)}$ はそれぞれ $u'$、$u^{\prime\prime}$ と表す。
* $\mu\in\R^n\backslash\{0\}$ について、$D_\mu$ で $\mu$ -方向微分を表す。とくに $u$ が微分可能であるとき $D_\mu u=\mu\cdot Du$ である。
* $p\in[1,\infty]$ について $p'$ でそのHölder共役指数、すなわち $p^{-1}+p'^{-1}=1$ をみたす $p'\in[1,\infty]$ を表す。
* $\norm{\cdot}_{p;\Omega}$ で $L^p(\Omega)=L^p(\Omega,\L^n)$ のノルムを表す。また、相対開集合 $T\subset\pOm$ について $\norm{\cdot}_{p;T}$ で $L^p(T,\H^{n-1})$ のノルムを表す。誤解のおそれがなければ $\Omega$ と $T$ は省略することがある。
* $C^k(\Ombar)$、$C^{k,\alpha}(\Ombar)$ のノルムには[[Hölder空間の基本事項]]で定義した記号を用いる。
* $Q\colon=(-1,1)^n$、$Q_+\colon=(-1,1)^{n-1}\times(0,1)$、$Q_0\colon=(-1,1)^{n-1}\times\{0\}$ とする。
* $\Omega,\Omega'\subset\R^n$ を開集合とし、$f\colon\Omega'-\Omega\to\R$ と $g\colon\Omega\to\R$ を $\L^n$ -可測関数とする。
$$f*g(x)\colon=\int_{\Omega}f(x-y)g(y)dy$$
が a.e. $x\in\Omega'$ で定義されるとき $f*g$ は $\Omega'$ 上で定義されるといい、これを $f$ と $g$ の合成積という。<ref name="defdifference">[[合成積とFourier変換]]で定義されているものとは $(2\pi)^\frac{n}{2}$ 倍の違いがある。</ref>

$f*g$ は次のYoungの不等式をみたす:

{{theorem|type=lem|name=Youngの不等式|label=young}}
$p,q\in[1,\infty]$ が $p^{-1}+q^{-1}\ge 1$ をみたすとする。$\L^n$ -可測関数 $f\colon\Omega'-\Omega\to\R$ は
$$M_1\colon=\sup_{x\in\Omega'}\norm{f(x-\cdot)}_{p;\Omega}\lt\infty,M_2\colon=\sup_{y\in\Omega}\norm{f(\cdot-y)}_{p;\Omega'}\lt\infty$$
をみたすとする。$g\in L^q(\Omega)$ とすると $f*g$ は $\Omega'$ 上で定義され、$r\colon=(p^{-1}+q^{-1}-1)^{-1}\in[1,\infty]$ とすると
$$f*g\in L^r(\Omega'),\norm{f*g}_{r;\Omega'}\le M_1^{1-\frac{p}{r}}M_2^\frac{p}{r}\norm{g}_{q;\Omega}.$$
ただし $p=\infty$、$q=1$、$r=\infty$ の場合は $\frac{p}{r}=0$ とする。

とくに $f\in L^p(\Omega'-\Omega)$ のとき
$$\norm{f*g}_{r;\Omega'}\le\norm{f}_{p;\Omega'-\Omega}\norm{g}_{q;\Omega}.$$

{{begin|proof|display=''Proof.''|collapsible=1}}
$p^{-1}+q^{-1}=1$ のときは $r=\infty$ で、Hölderの不等式より $x\in\Omega'$ について
$$\int_{\Omega}|f(x-y)||g(y)|dy\le M_1\norm{g}_q$$
となるので $f*g$ は $\Omega'$ 上で定義され、$\norm{f*g}_\infty\le M_1\norm{g}_q$。

$p^{-1}+q^{-1}\gt 1$ の場合を示す。このとき $p,q,r\in[1,\infty)$ で、Hölderの不等式より
\begin{align*}
\left(\int_{\Omega'}\left(\int_{\Omega}|f(x-y)||g(y)|dy\right)^rdx\right)^{r^{-1}}&=\left(\int_{\Omega'}\left(\int_{\Omega}|f(x-y)|^{p(1-q^{-1})}|g(y)|^{q(1-p^{-1})}(|f(x-y)|^p|g(y)|^q)^{p^{-1}+q^{-1}-1}dy\right)^rdx\right)^{r^{-1}}\\
&\le\left(\int_{\Omega'}\left(\left(\int_{\Omega}|f(x-y)|^pdy\right)^{1-q^{-1}}\left(\int_{\Omega}|g(y)|^qdy\right)^{1-p^{-1}}\left(\int_{\Omega}|f(x-y)|^p|g(y)|^qdy\right)^{p^{-1}+q^{-1}-1}\right)^rdx\right)^{r^{-1}}\\
&\le\left(\int_{\Omega'} M_1^{pr(1-q^{-1})}\norm{g}_q^{qr(1-p^{-1})}\left(\int_{\Omega}|f(x-y)|^p|g(y)|^qdy\right)dx\right)^{r^{-1}}\\
&=M_1^{p(1-q^{-1})}\norm{g}_q^{q(1-p^{-1})}\left(\int_{\Omega}\left(\int_{\Omega'} |f(x-y)|^p|g(y)|^qdx\right)dy\right)^{r^{-1}}\\
&\le M_1^{p(p^{-1}-r^{-1})}\norm{g}_q^{q(q^{-1}-r^{-1})}\left(M_2^p\norm{g}_q^q\right)^{r^{-1}}\\
&=M_1^{1-\frac{p}{r}}M_2^\frac{p}{r}\norm{g}_q.
\end{align*}
よって $f*g$ は $\Omega'$ 上で定義され
$$f*g\in L^r(\Omega'),\norm{f*g}_r\le M_1^{1-\frac{p}{r}}M_2^\frac{p}{r}\norm{g}_q.$$
{{end|proof}}

* 実数値関数からなる線形空間 $X$ に対し、各成分が $X$ に属する $\R^m$ 値関数の空間を $m$ 個の $X$ の直積と同一視して $X^m$ とかく。

==$\pOm$ への条件==
Sobolev空間の一部の性質は、$\Omega\subset\R^n$ が一般の開集合の場合は成立せず、(主に $\pOm$ に関する)適切な仮定の下で成立する。そのような性質はなめらかな領域ではすべて成立するが、以下に述べるようなより弱い仮定の下で考えることもある。

{{theorem|type=def|name=線分条件|label=segm}}
相対開集合 $T\subset\pOm$ について、各 $\xi\in T$ について次をみたす $\xi$ の開近傍 $U_\xi\subset\R^n$ と $y_\xi\in\R^n$ が存在するとき $T$ は線分条件をみたすという:
$$\{x+ty_\xi\colon x\in\overline{U_\xi\cap\Omega},t\in(0,1)\}\subset\Omega.\tag{$\dagger$}\label{segm}$$
$\pOm$ が線分条件をみたすとき $\Omega$ は線分条件をみたすという。

{{theorem|type=def|name=Lipschitz領域|label=Lipdom}}
$n\ge 2$ とする。相対開集合 $T\subset\pOm$ について、各 $\xi\in\pOm$ について $0\in V_\xi$ なる開集合 $V_\xi\subset\R^{n-1}$ と $h_\xi\gt 0$ と $O_\xi\in O_n$ と $\gamma_\xi\in C^{0,1}_c(\R^{n-1})$ であって次をみたすものが存在するとき $T$ はLipschitz境界部分であるという:
$$\gamma_\xi(0)=0,O_\xi(\Omega-\xi)\cap(V_\xi\times (-h_\xi,h_\xi))=\{(y',y_n)\in V_\xi\times (-h_\xi,h_\xi)\colon y_n\gt \gamma_\xi(y')\}.\tag{$\dagger\dagger$}\label{Lipdom}$$
$\pOm$ がLipschitz境界部分であるとき $\Omega$ はLipschitz領域であるという。

{{theorem|type=rmk}}
$O_\xi$ は $O_\xi\in SO_n$ ととってもよい。

明らかにLipschitz境界部分は線分条件をみたし、かつ $C^{0,1}$ 境界部分([[Hölder空間の基本事項]]の定義28)となる。一方、次が成り立つ:

{{theorem|type=pro|label=conv}}
任意の凸領域はLipschitz領域である。

{{begin|proof}}
$x\in\Omega$ をとり、$r\gt 0$ を $B_{6r}(x)\subset\Omega$ となるようにとる。$\xi\in\pOm$ とし、$h\colon=|x-\xi|$ とする。$z\colon=h^{-1}(x-\xi)\in \partial B_1(0)$ とし、$O\in O_n$ を $Oz=e_n$ となるようにとる。

$\R^{n-1}$ における開球を $B'$ で表す。$y'\in B'_{6r}(0)$ について $\gamma'(y')\colon=\inf\{t\in\R\colon (y',t)\in O(\Omega-\xi)\}$ と定める。

$(y',h)=(y',0)+hOz=O(O^{-1}(y',0)+(x-\xi))\in O(B_{6r}(x-\xi))\subset O(\Omega-\xi)$ であるから $\gamma'(y')\le h$。また $\Omega$ は開かつ凸であるから $\{t\in\R\colon (y',t)\in O(\Omega-\xi)\}$ は開区間である。これより $t\lt h$ について
$$(y',t)\in O(\Omega-\xi)\iff t\in(\gamma'(y'),h)$$
であり、
$$O(\Omega-\xi)\cap(B'_{2r}(0)\times(-h,h))=\{(y',t)\in B'_{2r}(0)\times(-h,h)\colon t\gt\gamma'(y')\}$$
が成り立つ。また $\gamma'(0)=0$。

$x',y'\in B'_{6r}(0)$ と $s,t\lt h$ と $\sigma\in[0,1]$ について、$O(\Omega-\xi)$ が凸であることから
$$s\in(\gamma'(x'),h),t\in(\gamma'(y'),h)\implies (1-\sigma)s+\sigma t\in(\gamma'((1-\sigma)x'+\sigma y'),h).$$
これより $\gamma'((1-\sigma)x'+\sigma y')\le(1-\sigma)\gamma'(x')+\sigma\gamma'(y')$ となり $\gamma'$ は凸である。

また $y'\in B_{6r}(0)$ について $\gamma(0)-\gamma'(y')\le\gamma'(-y')-\gamma'(0)$ となるので $\gamma'(y')\ge-\gamma'(-y')\ge -h$。

$x',y'\in B'_{2r}(0)$ とする。$|x'-y'|\lt 4r\lt 6r-|x'|$ であるから $\tau\colon=4|x'-y'|^{-1}r$ とすると $\tau\gt 1$ かつ $x'+\tau(x'-y')\in B_{6r}(0)$ で
$$\gamma'(x')-\gamma'(y')\le(1+\tau)^{-1}(\gamma'(x'+\tau(x'-y'))-\gamma'(y'))\le 2h\tau^{-1}\le\frac{1}{2}hr^{-1}|x'-y'|.$$
同様に $\gamma'(y')-\gamma'(x')\le\le\frac{1}{2}hr^{-1}|y'-x'|$ も示される。これより $\gamma'\in C^{0,1}(\overline{B'_{2r}(0)})$。

以上より $V=B'_r(0)$ ととって $\gamma\in C^{0,1}(\R^{n-1})$ を $\gamma=\gamma'$ in $B'_r(0)$ となるようにとればこの $V$、$h$、$O$、$\gamma$ は(\ref{Lipdom})をみたす。
{{end|proof}}

{{theorem|type=pro|label=Cka}}
$k\ge 1$、$\alpha\in[0,1]$ とする。$T\subset\pOm$ を $C^{k,\alpha}$ 境界部分とすると、各 $\xi\in T$ について $0\in V_\xi$ なる開集合 $V_\xi\subset\R^{n-1}$ と $h_\xi\gt 0$ と $O_\xi\in O_n$ と $\gamma_\xi\in C^{k,\alpha}_c(\R^{n-1})$ であって(\ref{Lipdom})をみたすものが存在する。とくに $C^1$ 領域はLipschitz領域である。

{{begin|proof}}
$\xi$ の開近傍 $U$ と全単射 $\psi\colon 2Q\to U$ で $\psi$ と $\psi^{-1}$ がともに $C^{k,\alpha}$ 写像で $\psi(2Q_+)=U\cap\Omega$、$\psi(2Q_0)=U\cap\pOm$ をみたすものが存在する。$\psi(\xi)=0$ としてよい。

$f\colon U\to 2Q$ を $\psi^{-1}$ の第 $n$ 成分として定める。$U\cap\Omega$ と $U\cap\pOm$ はそれぞれ $\{x\in U\colon f(x)\gt 0\}$、$\{x\in U\colon f(x)=0\}$ と表される。また $Df\neq 0$ in $U$。

$O\in O_n$ を $O^{-1}D_nf(\xi)\gt 0$ となるようにとる。$\widetilde{\Omega}\colon=O(\Omega-\xi)$、$\widetilde{U}\colon=O(U-\xi)$ とし、$\widetilde{f}\colon\widetilde{\Omega}\to\R$ を $\widetilde{f}(y)\colon=\widetilde{f}(O^{-1}y+\xi)$ により定める。$\widetilde{U}\cap\widetilde{\Omega}$ と $\widetilde{U}\cap\partial\widetilde{\Omega}$ はそれぞれ $\{y\in \widetilde{U}\colon \widetilde{f}(y)\gt 0\}$、$\{y\in \widetilde{U}\colon \widetilde{f}(y)=0\}$ と表される。また $D_n\widetilde{f}(0)\gt 0$。

陰関数定理([[ベクトル解析1：Euclid空間内の多様体上の関数の微分]])により十分小さい $h\gt 0$ をとると射影 $p\colon\R^{n-1}\times\R\to\R^{n-1},(y',y_n)\mapsto y'$ の $hQ\cap\partial\widetilde{\Omega}$ への制限はある開集合 $W\subset\R^{n-1}$ への全単射であり、$p^{-1}\colon V\to hQ\cap\partial\widetilde{\Omega}$ は $C^{k,\alpha}$ 写像である。<ref name="impfct">陰関数定理は $h_i\in C^\infty(U)$ の場合が証明されているが、$C^\infty$ を $C^k$ にとりかえても同様であり、また逆写像定理において逆写像の $k$ 階微分の表示によりもとの写像が $C^{k,\alpha}$ 写像の場合は逆写像も $C^{k,\alpha}$ 写像となることが示されることから、陰関数定理も $C^{k,\alpha}$ にとりかえても同様に成り立つ。</ref>

$p^{-1}$ はある $\gamma'\colon W\to hQ\cap\partial\widetilde{\Omega}$ を用いて $p^{-1}(y')=(y',\gamma'(y_n))$ と表され、$hQ\cap\widetilde{\Omega}=\{(y',\gamma'(y_n))\colon y'\in W\}$。また $p^{-1}$ が $C^{k,\alpha}$ 写像であることから $\gamma'\in C^{k,\alpha}(W)$。

一方、必要であれば $r$ を小さくとり直して $D_nh\gt 0$ in $hQ$ とできる。
$$\{y\in hQ\colon h(y)=0\}=hQ\cap\widetilde{\Omega}=\{(y',\gamma'(y'))\colon y'\in W\}$$
より $(y',y_n)\in W\times(-h,h)$ について $\widetilde{f}(y',y_n)=0\iff y_n=\gamma'(y')$。$\widetilde{f}$ は $hQ$ 上では $y_n$ について狭義単調増加であるから
$$hQ\cap\widetilde{\Omega}=\{y\in hQ\colon h(x)\gt 0\}=\{(y',y_n)\in W\times(-h,h)\colon y_n\gt\gamma'(y')\}.$$
従って $0$ の開近傍 $V\rcpt W$ をとって $\gamma\in C^{k,\alpha}_c(\R^n)$ を $\gamma=\gamma'$ in $V$ となるようにとればこの $V$、$h$、$O$、$\gamma$ は(\ref{Lipdom})をみたす。
{{end|proof}}

{{theorem|type=rmk}}
陰関数定理は $C^{0,1}$ 写像に対しては無効であり、$C^{0,1}$ 領域は一般にLipschitz領域とはならない。<ref name="Lipdom">混同を防ぐため「Lipschitz領域」を「強Lipschitz領域」といい、「$C^{0,1}$ 領域」を「弱Lipschitz領域」ということもある。</ref>実際、$n=2$ とし、$\psi\colon\R^2\to\R^2,(x,y)\mapsto(x+y\sin(\log|y|),y)$ は全単射で $\psi,\psi^{-1}$ ともに $C^{0,1}$ 写像であるから
$$\Omega\colon=\{\psi(x,y)\colon y\gt-|x|\}$$
とすると $\Omega$ は $C^{0,1}$ 領域となる。一方で、この $\Omega$ は線分条件をみたしていないので、Lipschitz領域ではない。

==Sobolev空間の定義==
{{theorem|type=def|name=弱微分|label=defweakder}}
$u\in L^1_{\loc}(\Omega)$ とし、$\alpha$ を多重指数とする。変分学の基本補題([[超関数の定義と基本操作]]の命題5.3)により任意の $\varphi\in C^\infty_c(\Omega)$ について
$$\int_{\Omega}uD^\alpha\varphi=(-1)^{|\alpha|}\int_{\Omega}v\varphi$$
をみたす $v\in L^1_{\loc}(\Omega)$ は存在すれば一意的である。$v$ を $D^\alpha u$ とかき、$u$ の $\alpha$ 階弱微分という。

{{theorem|type=def|name=Sobolev空間 $W^{k,p}(\Omega),W^{k,p}_{\loc}(\OmT),W^{k,p}_c(\OmT)$|label=defsob}}
$C^\infty_c(\Omega)$ で $\Omega$ 上のコンパクトな台をもつなめらかな関数からなる空間を表す。

$k\in\Zp$、$p\in[1,\infty]$ についてSobolev空間 $W^{k,p}(\Omega)$ を
$$W^{k,p}(\Omega)\colon=\left\{u\in L^p(\Omega)\colon |\alpha|\le k\ について\ D^\alpha u\in L^p(\Omega)\right\}$$
と定める。また相対開集合 $T\subset\pOm$ について $L^p_\loc(\OmT)$ と $W^{k,p}_{\loc}(\OmT)$ を
$$L^p_\loc(\OmT)\colon=\left\{f\in L^p_\loc(\Omega)\colon \Omega'\rcpt\OmT\ について\ f\in L^p(\Omega')\right\},$$
$$W^{k,p}_{\loc}(\OmT)\colon=\left\{u\in L^p_{\loc}(\OmT)\colon |\alpha|\le k\ について\ D^\alpha u\in L^p_{\loc}(\OmT)\right\}$$
と定める。また $W^{k,p}_c(\OmT)$ を
$$W^{k,p}_c(\OmT)\colon=\{u\in W^{k,p}(\Omega)\colon\supp u\rcpt\OmT\}$$
と定める。

{{theorem|type=def|name=$W^{k,p}(\Omega)$ のノルム|label=defnorm}}
$W^{k,p}(\Omega)$ に
$$\norm{u}_{k,p;\Omega}\colon=
\begin{cases}
\left(\sum_{|\alpha|\le k}\int_{\Omega}|D^\alpha u|^p\right)^\frac{1}{p}&\colon p\in[1,\infty)\\
\max_{|\alpha|\le k}\esssup_{\Omega} |D^\alpha u|&\colon p=\infty
\end{cases}$$
によりノルム $\norm{\cdot}_{k,p;\Omega}$ を定める。

{{theorem|type=rmk}}
便宜上 $\norm{u}_{0,p;\Omega}=\norm{u}_{p;\Omega}$ とすることがある。またどの領域におけるSobolev空間のノルムかが明らかな場合は「$;\Omega$」は省略されることが多い。

$W^{k,2}(\Omega)$ は $H^k(\Omega)$ と書かれることが多い。$H^k(\Omega)$ には
$$(u,v)_{H^k(\Omega)}=\sum_{|\alpha|\le k}\int_\Omega D^\alpha uD^\alpha v$$
により内積が定まる。

$\displaystyle \sum_{|\alpha|\le k}\norm{D^\alpha u}_{p;\Omega}$ や $\displaystyle \left(\sum_{|\alpha|\le k}\norm{D^\alpha u}_{p;\Omega}^2\right)^\frac{1}{2}$ も同値なノルムである。また
$$\norm{u}_{k,p;\Omega}\le\sum_{|\alpha|\le k}\norm{D^\alpha u}_{p;\Omega}$$
で、
$$\sum_{|\alpha|\le k}\norm{D^\alpha u}_{p;\Omega}\le C\norm{u}_{k,p;\Omega}$$
となる定数 $C$ は $n$ と $k$ のみに依存し $p$ には依存しないようにとれる。

{{theorem|type=def|name=$\norm{D^ku}_{p;\Omega}$|label=gradnorm}}
$W^{k,p}(\Omega)$ に
$$\norm{D^ku}_{p;\Omega}\colon=\begin{cases}
\left(\sum_{|\alpha|=k}\norm{D^\alpha u}_{p;\Omega}^p\right)^{p^{-1}}&\colon p\in[1,\infty)\\
\max_{|\alpha|}\norm{D^\alpha u}_{\infty;\Omega}&\colon p=\infty
\end{cases}$$
によりセミノルム $\norm{D^ku}_{p;\Omega}$ を定める。

{{theorem|type=rmk}}
$\displaystyle \sum_{|\alpha|=k}\norm{D^\alpha u}_{p;\Omega}$ や $\displaystyle \left(\sum_{|\alpha|=k}\norm{D^\alpha u}_{p;\Omega}^2\right)^\frac{1}{2}$ も同値なセミノルムである。また
$$\norm{D^ku}_{p;\Omega}\le\sum_{|\alpha|=k}\norm{D^\alpha u}_{p;\Omega}$$
で、
$$\sum_{|\alpha|=k}\norm{D^\alpha u}_{p;\Omega}\le C\norm{D^ku}_{p;\Omega}$$
となる定数 $C$ は $n$ と $k$ のみに依存し $p$ には依存しないようにとれる。

{{theorem|type=pro|name=$W^{k,p}(\Omega)$ の完備性|label=compl}}
$W^{k,p}(\Omega)$ はノルム $\norm{\cdot}_{k,p;\Omega}$ について完備である。

{{begin|proof|display=''Proof.''|collapsible=1}}
$\{u_m\}_{m=1}^\infty\subset W^{k,p}(\Omega)$ をCauchy列とすると各 $|\alpha|\le k$ について $\{D^\alpha u_m\}_{m=1}^\infty$ は $L^p(\Omega)$ におけるCauchy列であるから $v_\alpha\in L^p(\Omega)$ が存在して $\norm{u_m-v_\alpha}_{p;\Omega}\to 0\ (m\to\infty)$。$u\colon=v_0$ とすると $\varphi\in C^\infty_c(\Omega)$ について
$$\int_\Omega uD^\alpha\varphi=\lim_{m\to\infty}\int_\Omega u_mD^\alpha\varphi=(-1)^{|\alpha|}\lim_{m\to\infty}\int_\Omega D^\alpha u_m\varphi=(-1)^{|\alpha|}\int_\Omega v_\alpha\varphi$$
であるから $u\in W^{k,p}(\Omega)$、$D^\alpha u=v_\alpha\ (|\alpha|\le k)$、$\norm{D^\alpha u_m-D^\alpha u}_{p;\Omega}\to 0\ (m\to\infty,|\alpha|\le k)$。$\norm{\cdot}_{k,p;\Omega}$ の定義より
$$\norm{u_m-u}_{k,p;\Omega}\to 0\ (m\to\infty)$$
となる。
{{end|proof}}

{{theorem|type=rmk}}
この証明から $u_m\in W^{1,p}(\Omega)\ (m\in\Zp)$、$u,v_1,\ldots ,v_n\in L^p(\Omega)$ が $\norm{u_m-u}_p,\norm{D_iu_m-v_i}_p\to 0\ (m\to\infty)$ をみたすとき $u\in W^{1,p}(\Omega)$、$D_iu=v_i$ となることが従う。このことは作用素の用語を用いると
$$D\colon L^p(\Omega)\supset D(D)=W^{1,p}(\Omega)\to L^p(\Omega)^n,Du=(D_1u,\ldots,D_nu)$$
により定まる非有界作用素 $D$ は閉作用素であると言い換えられる。

==なめらかな関数による近似==
{{theorem|type=def|name=Friedrich's mollifier|label=mol}}
$$\eta(x)\colon=
\begin{cases}
A\exp\left(\frac{1}{|x|^2-1}\right)&\colon x\in B_1(0)\\
0&\colon x\in\R^n\backslash B_1(0)
\end{cases}
,A\colon=\left(\int_{B_1(0)}\exp\left(\frac{1}{|x|^2-1}\right)dx\right)^{-1}$$
として $\eta\colon \R^n\to\R$ を定める。$\eta$ は
$$\eta\in C^\infty(\R^n),\eta\ge 0,\eta=0\on\R^n\backslash B_1(0),\int_{\R^n} \eta=1\tag{*}\label{mol}$$
をみたす。
$\varepsilon\gt 0$ について
$$\eta_\varepsilon(x)\colon=\varepsilon^{-n}\eta(\varepsilon^{-1}x)$$
と定め、Friedrich's mollifier、または単にmollifierという。

{{theorem|type=rmk}}
(\ref{mol})をみたしていれば $\eta$ はこの関数でなくてもよい。

{{theorem|type=pro|name=mollifierの性質|label=promol}}
開集合 $\Omega'\subset\Omega\subset\R^n$ は $d\colon=\dist(\Omega',\pOm)\gt 0$ をみたすとする。$f\in L^1_{\loc}(\Omega)$、$p\in[1,\infty]$、$\varepsilon\in (0,d)$ について、$\eta_\varepsilon*f$ は $\Omega'$ 上で定義され次が成り立つ:
* (1) $\supp\eta_\varepsilon*f\subset\{x\in\R^n\colon\dist(x,\supp f)\le\varepsilon\}$。とくに $\dist(\supp f,\Omega\backslash\Omega')\gt 0$ のとき十分小さく$\varepsilon\gt 0$ をとれば $\supp\eta_\varepsilon*f\subset\Omega'$。
* (2) $\eta_\varepsilon*f\in C^\infty(\overline{\Omega'})$ で、多重指数 $\alpha$ について $D^\alpha(\eta_\varepsilon*f)=D^\alpha\eta_\varepsilon*f$ in $\Omega'$。
* (3) $f\in L^p(\R^n)$ のとき $q\in[p,\infty]$ と多重指数 $\alpha$ について $\norm{D^\alpha(\eta_\varepsilon*f)}_{q;\Omega'}\le C_{n,p,q,\alpha}\varepsilon^{-|\alpha|-n(p^{-1}-q^{-1})}\norm{f}_{p;\Omega}$。
また $\varepsilon\to 0$ とするとき、
* (4) $\eta_\varepsilon*f\to f$ a.e. in $\Omega'$。
* (5) $f\in C(\Omega)$ のとき有界な $U\subset\Omega'$ について $\norm{\eta_\varepsilon*u-u}_{\infty;U}\to 0$。
* (6) $f\in L^p(\Omega)$、$p\in[1,\infty)$ のとき $\norm{\eta_\varepsilon*f-f}_{p;\Omega'}\to 0$。

{{begin|proof|display=''Proof.''|collapsible=1}}
(1)は明らか。

(2)を示す。任意の多重指数 $\alpha$ と $i=1,\ldots,n$ について $D_i(D^\alpha\eta_\varepsilon*f)=D_iD^\alpha\eta_\varepsilon*f$ on $\overline{\Omega'}$ を示せばよい。$x\in\overline{\Omega'}$ と $a\lt 0\lt b$ について
\begin{align*}
D^\alpha\eta_\varepsilon*f(x+be_i)-D^\alpha\eta_\varepsilon*f(x+ae_i)&=\int_{\R^n}(D^\alpha\eta_\varepsilon(x+ae_i-y)-D^\alpha\eta_\varepsilon(x+be_i-y))f(y)dy\\
&=\int_{\R^n}\left(\int_a^bD_iD^\alpha\eta_\varepsilon(x+te_i-y)dt\right)f(y)dy\\
&=\int_a^b\left(\int_{\R^n}D_iD^\alpha\eta_\varepsilon(x+te_i-y)f(y)dy\right)dt.
\end{align*}
Lebesgueの収束定理より $t\mapsto\int_{\Omega}D_iD^\alpha\eta_\varepsilon(x+te_i-y)f(y)dy$ は $(a,b)$ 上で連続であるから微積分基本公式より
$$D_i\left(D^\alpha\eta_\varepsilon*f\right)(x)=\int_{\R^n}D_iD^\alpha\eta_\varepsilon(x-y)f(y)dy=D_iD^\alpha\eta_\varepsilon*f(x).$$

(3)は(2)とYoungの不等式と
\begin{align*}
\left(\int_{B_\varepsilon(0)}|D^\alpha\eta_\varepsilon(x)|^{(1-p^{-1}+q^{-1})^{-1}}dx\right)^{1-p^{-1}+q^{-1}}&=\left(\int_{\R^n}|\varepsilon^{-|\alpha|-n}D^\alpha\eta(\varepsilon^{-1}x)|^{(1-p^{-1}+q^{-1})^{-1}}dx\right)^{1-p^{-1}+q^{-1}}\\
&=\varepsilon^{-|\alpha|-n}\left(\int_{\R^n}\varepsilon^n|D^\alpha\eta(y)|^{(1-p^{-1}+q^{-1})^{-1}}dy\right)^{1-p^{-1}+q^{-1}}\\
&\le C\varepsilon^{-|\alpha|-n(p^{-1}-q^{-1})}
\end{align*}
から従う。

(4)を示す。$x\in\Omega'$ を $f$ のLebesgue点とすれば
$$|\eta_\varepsilon*f(x)-f(x)|\le\int_{\Omega'}\eta_\varepsilon(x-y)|f(y)-f(x)|dy\le\int_{B_\varepsilon(x)}\varepsilon^{-n}\norm{\eta}_\infty|f(y)-f(x)|dy\to 0\ (\varepsilon\to +0).$$

(5)を示す。$x\in U$ について
\begin{align*}
|\eta_\varepsilon*f(x)-f(x)|&\le\int_{B_\varepsilon(x)}\eta_\varepsilon(x-y)|f(y)-f(x)|dy\\
&\le\int_{B_\varepsilon(x)}\eta_\varepsilon(x-y)dy\cdot\sup_{y\in B_\varepsilon(x)}|f(y)-f(x)|\\
&\le\sup_{\substack{y,z\in U+B_\varepsilon(0),|y-z|\lt\varepsilon}}|f(y)-f(z)|.
\end{align*}
ここで $U+B_\frac{d}{2}(0)$ は有界で $\dist(U+B_\frac{d}{2}(0),\pOm)\ge\dist(\Omega',\pOm)-\frac{d}{2}=\frac{d}{2}$ であるから $U+B_\frac{d}{2}(0)\rcpt\Omega$。これより
$$\sup_{\substack{y,z\in U+B_\varepsilon(0),|y-z|\lt\varepsilon}}|f(y)-f(z)|\le\sup_{\substack{y,z\in U+B_\frac{d}{2}(0),|y-z|\lt\varepsilon}}|f(y)-f(z)|\to 0\ (\varepsilon\to +0).$$
これより $\norm{\eta_\varepsilon*f-f}_{\infty;\Omega'}\to 0\ (\varepsilon\to +0)$。

(6)を示す。積分形のMinkowskiの不等式と平行移動の $L^p$ 連続性([[合成積とFourier変換]]の命題28.2)より
\begin{align*}
\norm{\eta_\varepsilon*f-f}_{p,\Omega'}&=\int_{\Omega'}\left|\int_{B_\varepsilon(y)}\eta_\varepsilon(x-y)(f(y)-f(x))dy\right|^pdx\\
&=\int_{\Omega'}\left|\int_{B_\varepsilon(0)}\eta_\varepsilon(z)(f(x-z)-f(x))dz\right|^pdx\\
&\le\int_{B_\varepsilon(0)}\eta_\varepsilon(z)\left(\int_{\Omega'}|f(x-z)-f(x)|^pdx\right)^{p^{-1}}dz\\
&\le\sup_{z\in B_\varepsilon(0)}\left(\int_{\Omega'}|f(x-z)-f(x)|^pdx\right)^{p^{-1}}\to 0.
\end{align*}
{{end|proof}}

なお積分形のMinkowskiの不等式とは次の主張である:

{{theorem|type=lem|name=積分形のMinkowskiの不等式|label=mink}}
$\sigma$ -有限測度空間 $X=(X,\mathfrak{M},\mu)$、$Y=(Y,\mathfrak{N},\nu)$ と $\mathfrak{M}\otimes\mathfrak{N}$ -可測関数 $f$ と $p\in[1,\infty]$ について
$$\norm{\int_Y |f(\cdot,y)|d\nu(y)}_{p;X}\le\int_Y\norm{f(\cdot,y)}_{p;X}d\nu(y).$$

{{begin|proof}}
$p=\infty$ の場合は明らか。

$p\in[1,\infty)$、$\int_X\left(\int_Y |f(x,y)|d\nu(y)\right)^pd\mu(x)\lt\infty$ の場合を示す。
\begin{align*}
\int_X\left(\int_Y |f(x,y)|d\nu(y)\right)^pd\mu(x)&=\int_Y\left(\int_X\left(\int_Y |f(x,y)|d\nu(y)\right)^{p-1}|f(x,y')|d\mu(x)\right)d\nu(y')\\
&\int_Y\left(\int_X\left(\int_Y |f(x,y)|d\nu(y)\right)^pd\mu(x)\right)^{1-p^{-1}}\left(\int_X|f(x,y')|^pd\mu(x)\right)^{p^{-1}}d\nu(y')\\
&=\left(\int_X\left(\int_Y |f(x,y)|d\nu(y)\right)^pd\mu(x)\right)^{1-p^{-1}}\int_Y\left(\int_X|f(x,y)|^pd\mu(x)\right)^{p^{-1}}d\nu(y)
\end{align*}
となり
$$\left(\int_X\left(\int_Y |f(x,y)|d\nu(y)\right)^pd\mu(x)\right)^{p^{-1}}\le\int_Y\left(\int_X|f(x,y)|^pd\mu(x)\right)^{p^{-1}}d\nu(y)$$
を得る。

$\int_X\left(\int_Y |f(x,y)|d\nu(y)\right)^pd\mu(x)=\infty$ の場合は $X_1\subset X_2\subset\ldots\subset X$、$Y_1\subset Y_2\subset\ldots\subset Y$ を $\mu(X_i),\nu(Y_i)\lt\infty$ かつ $\displaystyle\bigcup_{i=1}^\infty X_i=X,\bigcup_{i=1}^\infty Y_i=Y$ となるようにとると
$$\left(\int_{X_i}\left(\int_{Y_i} \min\{|f(x,y)|,i\}d\nu(y)\right)^pd\mu(x)\right)^{p^{-1}}\le\int_{Y_i}\left(\int_{X_i}\min\{|f(x,y)|,i\}^pd\mu(x)\right)^{p^{-1}}d\nu(y)$$
となるので $i\to\infty$ として $\int_Y\left(\int_X|f(x,y)|^pd\mu(x)\right)^{p^{-1}}d\nu(y)=\infty$ を得る。
{{end|proof}}

{{theorem|type=ex}}
$\nu$ -a.e. $y\in Y$ について $\int_X|f(x,y)|^pd\mu(x)\lt\infty$ のとき $y\mapsto f(\cdot,y)$ は $Y$ 上の $L^p(X)$ -値Bochner可測関数となる。これに[[測度と積分9：Bochner積分]]の命題44.2を適用することによっても積分形のMinkowskiの不等式を証明できる。

{{theorem|type=lem|name=$W^{k,p}$ 関数となめらかな関数の積|label=prod1}}
$u\in W^{k,p}_{\loc}(\Omega)$、$\zeta\in C^k(\Omega)$ について、
$$\zeta u\in W^{k,p}_{\loc}(\Omega),D^\alpha(\zeta u)=\sum_{\beta\le\alpha}\left(\begin{array}{c}\alpha\\ \beta\end{array}\right)D^{\alpha-\beta}\zeta D^\beta u.$$
とくに $u\in W^{k,p}(\Omega)$、$\zeta\in C^k(\Omega)\cap W^{k,\infty}(\Omega)$ のとき
$$\zeta u\in W^{k,p}(\Omega),\norm{D^k(\zeta u)}_{p;\Omega}\le C_{n,k}\sum_{j=0}^k\norm{D^{k-j}\zeta}_{\infty;\Omega}\norm{D^ju}_{p;\Omega},\norm{\zeta u}_{k,p;\Omega}\le C_{n,k}\norm{\zeta}_{k,\infty;\Omega}\norm{u}_{k,p;\Omega}.$$
また $\zeta\in C^k_c(\Omega)$ の場合は $\zeta u=0$ on $\R^n\backslash\Omega$ と定めると $\zeta u\in W^{k,p}(\R^n)$ となる。

{{begin|proof|display=''Proof.''|collapsible=1}}
$k=1$ のときのみ示す。一般の場合は帰納法により従う。

$\varphi\in C^\infty_c(\Omega)$、$i=1,\ldots ,n$ について
$$\int_\Omega D_iu\zeta\varphi=-\int_\Omega uD_i(\zeta\varphi)=-\int_\Omega u(D_i\zeta\varphi+\zeta D_i\varphi)$$
より
$$\int_\Omega \zeta uD_i\varphi=-\int_\Omega (\zeta D_iu+D_i\zeta u)\varphi.$$
$u,D_iu\in L^p_{\loc}(\Omega)$、$\zeta,D_i\zeta\in L^\infty_{\loc}(\Omega)$ より $\zeta u,\zeta D_iu+D_i\zeta u\in L^p_\loc(\Omega)$。従って $\zeta u\in W^{1,p}_{\loc}(\Omega)$、$D_i(\zeta u)=\zeta D_iu+D_i\zeta u$。

$\zeta\in C^\infty_c(\Omega)$ とすると $\varphi\in C^\infty_c(\R^n)$ について $\zeta\varphi\in C^\infty_c(\Omega)$ となるので同様の計算により $\int_\Omega \zeta uD_i\varphi=-\int_\Omega (\zeta D_iu+D_i\zeta u)\varphi$ となる。$\zeta u,\zeta D_iu,D_i\zeta u\in L^p(\R^n)$ となるので $\zeta u\in W^{1,p}(\R^n)$。
{{end|proof}}

{{theorem|type=pro|label=apx1}}
$k\in\Zp$ とする。以下が成り立つ:
*(1) $u\in W^{k,1}_{\loc}(\R^n)$ と $|\alpha|\le k$ なる多重指数 $\alpha$ について
$$D^\alpha(\eta_\varepsilon*u)=\eta_\varepsilon*D^\alpha u.$$
とくに $p\in[1,\infty)$、$u\in W^{k,p}(\R^n)$ のとき $\norm{\eta_\varepsilon*u-u}_{k,p;\R^n}\to 0\ (\varepsilon\to +0)$。
*(2) $p\in[1,\infty)$、$u\in L^p_{\loc}(\Omega)$ について次は同値:
**(i) $u\in W^{k,p}_{\loc}(\Omega)$。
**(ii) $\{u_m\}_{m=1}^\infty\subset C^\infty(\Omega)$ で $u_m\to u$ in $L^p_{\loc}(\Omega)(m\to\infty)$ かつ $|\alpha|\le k$ について $D^\alpha u_m$ が $L^p_{\loc}(\Omega)$ で収束するものが存在する。
*(3) $p\in[1,\infty)$ とすると $C^\infty_c(\R^n)$ は $W^{k,p}(\R^n)$ において稠密である。

{{begin|proof|display=''Proof.''|collapsible=1}}
(1)を示す。$x\in\R^n$ について
$$D^\alpha(\eta_\varepsilon*u)(x)=\int_{\R^n}D^\alpha\eta_\varepsilon(x-y)u(y)dy=(-1)^{|\alpha|}\int_{\R^n}(D^\alpha\eta_\varepsilon(x-\cdot))(y)u(y)dy=\int_{\R^n}\eta_\varepsilon(x-y)D^\alpha u(y)dy=D^\alpha\eta_\varepsilon*u(y).$$

(2)を示す。(i) $\implies$ (ii)は次のように従う: $\Omega_1\rcpt\Omega_2\rcpt\ldots\rcpt\Omega$ を $\displaystyle \bigcup_{m=1}^\infty \Omega_m=\Omega$ となるようにとり、$\varepsilon_m\in(0,\dist(\Omega_{m+1},\pOm))$ を $\varepsilon_m\to 0\ (m\to\infty)$ となるようにとる。また $\zeta_m\in C^\infty(\Omega_{m+1})$ を $\zeta_m=1$ in $\Omega_m$ となるようにとる。このとき $u_m\colon=\eta_{\varepsilon_m}*(\zeta_mu)$ は $\Omega$ 上で定義され、$m'\ge m$ について $u_{m'}=\eta_{\varepsilon_{m'}}*u$ in $\Omega_m$ となるので $|\alpha|\le k$ について $D^\alpha u_{m'}=\eta_{\varepsilon_{m'}}*D^\alpha u$ in $\Omega_m$。これより $\norm_{D^\alpha u_{m'}-D^\alpha u}_{p;\Omega'}\to 0\ (m'\to\infty)$。これよりこの $\{u_m\}_{m=1}^\infty$ は条件をみたす。

(ii) $\implies$ (i)は $|\alpha|\le k$ について $D^\alpha u_m\to v_\alpha$ in $L^1_{\loc}(\Omega)$ とすると任意の $\varepsilon\in C^\infty_c(\Omega)$ と $|\alpha|\le k$ について
$$\int_\Omega uD^\alpha\varphi=\lim_{m\to\infty}\int_\Omega u_mD^\alpha\varphi=(-1)^{|\alpha|}\int_\Omega v_\alpha\varphi$$
となり $D^\alpha u=v_\alpha$ となって従う。

(3)を示す。(1)より $u_m\in W^{k,p}(\Omega)\ (m\in\Zp)$ が存在して $\supp u_m$ が有界かつ $\norm{u_m-u}_{k,p;\R^n}\to 0 (m\to\infty)$ となることを示せばよい。

$\zeta\in C^\infty_c(B_2(0))$ を $\zeta=1$ on $\Bb_1(0)$ となるようにとる。$\zeta_m(x)\colon=\zeta(m^{-1}x)$ とすると $\supp\zeta_m\subset B_{2m}(0)$、$\zeta_m=1$ on $\Bb_m(0)$。また任意の多重指数 $\alpha$ について $D^\alpha \zeta_m(x)=m^{-|\alpha|}\zeta(m^{-1}x)$ であるから $\norm{\zeta_m}_{k,\infty}\le\norm{\zeta}_{k,\infty}$

$u_m\colon=\zeta_m u$ とすると $u_m\in W^{k,p}(\R^n)$、$\supp u_m\subset B_{2m}(0)$、$u_m=u$ on $\Bb_m(0)$ となり
$$\norm{u_m-u}_{k,p}=\norm{u_m-u}_{k,p;\R^n\backslash\Bb_m(0)}=\norm{(1-\zeta_m)u}_{k,p;\R^n\backslash\Bb_m(0)}\le C\norm{u}_{k,p;\R^n\backslash\Bb_m(0)}\to 0\ (m\to\infty).$$
{{end|proof}}

{{theorem|type=rmk}}
(2)の(ii)で $D^\alpha u$ を定義することもできる。このように定義された $u\in L^1_{\loc}(\Omega)$ の微分は強微分とよばれる。

{{theorem|type=cor|label=ck}}
$k\in\Zp$ とする。$u\in L^1_\loc(\Omega)$ について次は同値:
*(1) $u\in C^k(\Omega)$。
*(2) $|\alpha|\le k$ について $u$ は弱微分 $D^\alpha u$ をもち $D^\alpha u\in C(\Omega)$。

{{begin|proof|display=''Proof.''|collapsible=1}}
$u\in C^k(\Omega)$ とすると $v_\alpha\ (|\alpha|\le k)$ を各点での偏微分としての $D^\alpha u$ と定めれば部分積分により任意の $\varphi\in C^\infty_c(\Omega)$ について $\int_{\Omega}uD^\alpha\varphi=(-1)^{|\alpha|}\int_{\Omega}v_\alpha\varphi$ となる。これより $u$ は $k$ 階以下の弱微分をもち、各点微分と一致する。

$|\alpha|\le k$ について $u$ は弱微分 $D^\alpha u$ をもち $D^\alpha u\in C(\Omega)$ をみたすとする。$\Omega'\rcpt\Omega$ として $\zeta\in C^\infty_c(\Omega)$ を $\zeta=1$ in $\Omega'$ となるようにとると $|\alpha|\le k$ について $\norm{D^\alpha(\eta_\varepsilon*\zeta u)-D^\alpha(\zeta u)}_\infty=\norm{\eta_\varepsilon*D^\alpha(\zeta u)-D^\alpha(\zeta u)}_\infty\to 0\ (\varepsilon\to +0)$ であるから $\zeta u\in C^k(\R^n)$。これより $u\in C(\Omega)$。
{{end|proof}}

{{theorem|type=thm|name=なめらかな関数による近似|label=apx2}}
$k\in\Zp$、$p\in[1,\infty)$ とすると $C^\infty(\Omega)\cap W^{k,p}(\Omega)$ は $W^{k,p}(\Omega)$ において稠密である。

{{begin|proof|display=''Proof.''|collapsible=1}}
$u\in W^{k,p}(\Omega)$、$\delta\gt 0$ とする。各 $x\in\Omega$ について $x$ を中心とする球 $B(x)\rcpt\Omega$ をとり、$\Omega$ の開被覆 $\{B(x)\}_{x\in\Omega}$ の局所有限な細分 $\{U_i\}_{i=1}^\infty$ を $\displaystyle\bigcup_{i=1}^\infty U_i=\Omega$ となるようにとり、これに従属する $1$ の分割 $\{\zeta_i\}_{i=1}^\infty$、$\zeta_i\in C^\infty_c(U_i)$ をとる。

{{ref|type=lem|label=prod1}}より $\zeta_iu\in W^{k,p}(\Omega)$、$\supp\zeta_iu\subset U_i\rcpt\Omega$。{{ref|type=pro|label=apx1}}より十分小さい $\varepsilon_i\gt 0$ をとって $\norm{\eta_{\varepsilon_i}*(\zeta_iu)-\zeta_iu}_{k,p;\Omega}\lt 2^{-i}\delta$ かつ $\supp\eta_{\varepsilon_i}*(\zeta_iu)\subset U_i$ となるようにできる。

$$\sum_{i=1}^\infty\norm{\eta_{\varepsilon_i}*(\zeta_iu)-\zeta_iu}_{k,p;\Omega}\lt\delta$$
であるから $W^{k,p}(\Omega)$ の完備性より無限和
$$w\colon=\sum_{i=1}^\infty(\eta_{\varepsilon_i}*(\zeta_iu)-\zeta_iu)$$
は $W^{k,p}(\Omega)$ で収束し、$\norm{w}_{k,p;\Omega}\lt\delta$。
$$v\colon=\sum_{i=1}^\infty\eta_{\varepsilon_i}*(\zeta_iu)$$
とすると $\{U_i\}_{i=1}^\infty$ は局所有限よりこの無限和は各点で値が定まり $v\in C^\infty(\Omega)$。一方 $v=u+w\in W^{k,p}(\Omega)$ で $\norm{v-u}_{k,\alpha;\Omega}\lt\delta$ となる。
{{end|proof}}

{{theorem|type=rmk}}
これより $W^{k,p}(\Omega)$ を $\left\{u\in C^\infty(\Omega)\colon \norm{u}_{k,p;\Omega}\lt\infty\right\}$ のノルム $\norm{\cdot}_{k,p;\Omega}$ による完備化として定義し、$D^\alpha u$ を強微分で定義しても同値である。

一方、$v\in C^\infty(\Ombar)$ による近似をするには $\pOm$ に条件が必要である。

{{theorem|type=thm|name=線分条件をみたす領域における近似|label=apx3}}
相対開集合 $T\subset\pOm$ は線分条件をみたすとする。$k\in\Zp$、$p\in[1,\infty)$ とすると $C^\infty(\Omega\cup T)\cap W^{k,p}(\Omega)$ は $W^{k,p}(\Omega)$ において稠密である。

{{begin|proof|display=''Proof.''|collapsible=1}}
$\xi\in T$ について(\ref{segm})の $U_\xi$ と $y_\xi$ をとり、$\Omega_{d,r}\colon=\{x\in\Omega\colon |x|\lt d,\dist(x,\pOm)\gt r\}\ (d,r\gt 0)$ とする。$\{U_\xi\}_{\xi\in T}\cup\{\Omega_{d,r}\}_{d,r\gt 0}$ は $\Omega\cup T$ の開被覆となり、$\{U_\xi\}_{\xi\in\pOm}$、$\{\Omega_{d,r}\}_{d,r\gt 0}$ の局所有限な細分 $\{V_i\}_{i=1}^\infty$、$\{W_j\}_{j=1}^\infty$ を $\Omega\cup T\subset\bigcup_{i=1}^\infty V_i\cup\bigcup_{j=1}^\infty W_j$ となるようにとれる。各 $i\in\Zp$ について $y_i\in\R^n$ が存在し、
$$\{x+ty_i\colon x\in \overline{V_i\cap\Omega},t\in(0,1)\}\subset\Omega$$
が成り立つ。また各 $j\in\Zp$ について $W_j\rcpt\Omega$。

$\Omega\cup T$ の開被覆 $\{V_i\}_{i=1}^\infty\cup\{W_j\}_{j=1}^\infty$ に従属する $1$ の分割 $\{\zeta_i\}_{i=1}^\infty\cup\{\theta_j\}_{j=1}^\infty$、$\zeta_i\in C^\infty_c(V_i)$、$\theta_j\in C^\infty_c(W_j)$ をとる。

$i\in\Zp$ とする。{{ref|type=thm|label=apx2}}と{{ref|type=lem|label=prod1}}より $v_i\in C^\infty(\Omega)\cap W^{k,p}(\Omega)$ を $\norm{\zeta_iv_i-\zeta_iu}_{k,p;\Omega}\lt 2^{-i-2}\delta$ となるようにとれる。平行移動の $L^p$ 連続性([[合成積とFourier変換]]の命題28.2)より $|\alpha|\le k$ について
$$\norm{D^\alpha v_i(\cdot+ty_i)-D^\alpha v_i}_{p;V_i\cap\Omega}\to 0 (t\to +0).$$
{{ref|type=lem|label=prod1}}より十分小さい $t_i\in(0,1)$ をとって $\norm{\zeta_iv_i(\cdot+ty_i)-\zeta_iv_i}_{k,p;V_i\cap\Omega}\lt 2^{-i-2}\delta$ とできる。$V_i$ のとりかたより $\overline{V_i\cap\Omega+t_iy_i}\subset\Omega$ であるから $v_i\in C^\infty(\overline{V_i\cap\Omega+t_iy_i})$ であり、$v_i(\cdot+ty_i)\in C^\infty(\overline{V_i\cap\Omega})$。よって $\zeta_iv_i(\cdot+ty_i)\in C^\infty(\overline{\Omega})$、$\supp\zeta_iv_i\subset V_i\cap\Omega$。また $\norm{\zeta_iv_i(\cdot+ty_i)-\zeta_iu}_{k,p;\Omega}\lt 2^{-i-1}\delta$。

また $j\in\Zp$ について $\theta_ju\in W^{k,p}(\R^n)$、$\supp\theta_ju\subset W_j$ であるから十分小さい $\varepsilon_j$ をとって $\norm{\eta_{\varepsilon_j}*(\theta_ju)-\theta_ju}_{k,p;\Omega}\lt 2^{-j-1}\delta$、$\supp\eta_{\varepsilon_j}*(\theta_ju)\subset W_j$ とできる。

$$v\colon=\sum_{i=1}^\infty\zeta_iv_i(\cdot+ty_i)+\sum_{j=1}^\infty\eta_{\varepsilon_j}*(\theta_ju)$$
とすれば $\Omega\cup T$ の開被覆 $\{V_i\}_{i=1}^\infty\cup\{W_j\}_{j=1}^\infty$ は局所有限より $v\in C^\infty(\Omega\cup T)$ で、{{ref|type=thm|label=apx2}}と同様に $v\in W^{k,p}(\Omega)$ かつ
$$\norm{v-u}_{k,p;\Omega}\le\sum_{i=1}^\infty\norm{\zeta_iv_i(\cdot+ty_i)-\zeta_i u}_{k,p;\Omega}+\sum_{j=1}^\infty\norm{\eta_{\varepsilon_j}*(\theta_ju)-\theta_ju}_{k,p;\Omega}\lt\delta.$$
{{end|proof}}

{{theorem|type=rmk}}
とくに $\Omega$ が有界かつ線分条件をみたすとき $C^\infty(\Ombar)$ は $W^{k,p}(\Omega)$ において稠密である。

$p=\infty$ のときはこれらの近似定理は $W^{k,\infty}(\Omega)$ を $C^k(\Ombar)$ にとりかえた主張を同様に証明できる。また、近似列の構成のしかたが $k$ と $p$ によらないことから、 $u\in W^{j,p}(\Omega)\cap W^{k,q}(\Omega)$ と $\delta\gt 0$ について $v\in C^\infty(\Omega)\cap v\in W^{j,p}(\Omega)\cap W^{k,q}(\Omega)$ ( $\Omega$ が線分条件をみたすときは $v\in C^\infty(\Ombar)\cap W^{j,p}(\Omega)\cap W^{k,q}(\Omega)$ ) が存在して $\norm{u-v}_{j,p}\lt\delta$、$\norm{u-v}_{k,q}\lt\delta$ となる。( $p=\infty$ の場合は $W^{k,p}(\Omega)$ を $C^k(\Ombar)$ にとりかえる。$q=\infty$ の場合も同様。)

{{ref|type=pro|label=apx1}}で、(3)の証明の(1)を{{ref|type=thm|label=apx2}}にとりかえると、$\Omega$ が非有界の場合
$$\left\{u\in C^\infty(\Omega)\cap W^{k,p}(\Omega)\colon \supp u\ が有界\right\}$$
が $W^{k,p}(\Omega)$ において稠密であることが示される。( $\Omega$ が線分条件をみたすときは $C^\infty(\Omega)\cap W^{k,p}(\Omega)$ を $C^\infty(\Ombar)$ にとりかえてよい。)

$w\in C^\infty(\Omega)\cap W^{k,p}_c(\OmT)$ ( $T$ が線分条件をみたす場合は $C^\infty_c(\OmT)$ )は $W^{k,p}_c(\Omega)$ において稠密である。実際、$v\in C^\infty(\Omega)\cap W^{k,p}(\Omega)$ を $\norm{v-u}_{k,p}\lt\varepsilon$ をみたすようにとり、$\zeta\in C^\infty(\R^n\backslash(\pOm\backslash T))$ を $\zeta=1$ on $\supp u$ となるようにとると $\norm{\zeta v-u}_{k,p}=\norm{\zeta (v-u)}_{k,p}\le C_\zeta\varepsilon$ となる。

==$n=1$ の場合==
ここでは $n=1$ とし、$I=(a,b)$、$-\infty\le a\lt b\le +\infty$ を開区間とする。

{{theorem|type=thm|name=$W^{1,p}(I)$ の特徴づけ|label=1dim1}}
$p\in[1,\infty]$ とし、$u\in L^p(I)$ とする。次は同値:
*(1) $u\in W^{1,p}(I)$。
*(2) $u$ は絶対 $p$ -連続である。すなわち $u\in C(\overline{I})$ で $f\in L^p(I)$ が存在して $a\le x\lt y\le a$ について
$$u(y)-u(x)=\int_x^y f(t)dt.$$
またこのとき $u'=f$。

{{begin|proof|display=''Proof.''|collapsible=1}}
$p=1$ の場合を示せば十分。

(1) $\implies$ (2)を示す。$I$ は明らかに線分条件をみたすので $u_m\in C^\infty(\overline{I})\cap W^{1,1}(I)$ を $\norm{u_m-u}_{1,1}\to 0\ (m\to\infty)$ となるようにとれる。部分列に移って $u_m\to u,u_m'\to u'$ a.e. in $I$ としてよい。

$x_0\in I$ を $u_m(x_0)\to u(x_0)\ (m\to\infty)$ をみたす点とする。$x\in[x_0,b)$ について
$$u_m(x)=u_m(x_0)+\int_{x_0}^x u_m'(t)dt.$$
$\norm{u_m'-u'}_1\to 0\ (m\to\infty)$ より右辺は $m\to\infty$ とすると $x\in[x_0,b)$ について $u(x_0)+\int_{x_0}^x u'(t)dt$ に一様収束するので
$$u\in C([x_0,b]),u(x)=u(x_0)+\int_a^x u'(t)dt\ (x\in[x_0,b]).$$
任意の $x\in I$ について $x_0$ を $x_0\in(a,x)$ となるようにとれることから $u\in C((a,b])$。また $x,y\in (a,b]$、$x\lt y$ について $x_0$ を $x_0\lt x$ となるようにとれば
$$u(y)-u(x)=\left(u(x_0)+\int_{x_0}^yu'(t)dt\right)-\left(u(x_0)+\int_{x_0}^xu'(t)dt\right)=\int_x^yu'(t)dt\ (x,y\in(a,b]).$$
また $u'\in L^1(I)$ より $y\in I$ を固定すると
$$u(x)=u(y)-\int_x^y u'(t)dt$$
は $x\to a+0$ で収束する。とくに $a\gt -\infty$ の場合は $u\in C(\overline{I})$ で
$$u(y)-u(a)=\int_a^y u'(t)dt.$$
これより
$$u\in C(\overline{I}),u(y)-u(x)=\int_x^y u'(t)dt\ (x,y\in\overline{I},x\lt y).$$

(2) $\implies$ (1)を示す。$\varphi\in C^\infty_c(I)$ とする。$J=(a',b')\rcpt I$ を $\supp\varphi$ を含む開区間とする。 $y\in (b',b)$ とすると仮定より $x\in(a,y)$ について
$$u(y)-u(x)=\int_x^y f(t)dt.$$

$x\in (a,a')$ とする。$J\subset(x,y)$ で、$\varphi(x)=0$ より $t\in(x,b')$ について $\varphi(t)=\int_x^t\varphi'(s)ds$ であるから
\begin{align*}
\int_I f(t)\varphi(t)dt&=\int_x^y f(t)\varphi(t)dt\\
&=\int_x^y f(t)\left(\int_x^t \varphi'(s)ds\right)dt\\
&=\int_x^y \varphi'(s)\left(\int_s^yf(t)dt\right)ds\\
&=\int_x^y \varphi'(s)(u(y)-u(s))ds\\
&=u(y)\int_x^y \varphi'(s)ds-\int_x^y u(s)\varphi'(s)ds\\
&=-\int_I u(s)\varphi'(s)ds.
\end{align*}
よって $u\in W^{1,1}(I)$、$u'=f$。
{{end|proof}}

{{theorem|type=cor|name=$W^{1,p}_{\loc}(I)$ の特徴づけ|label=1dim2}}
$p\in[1,\infty]$ とし、$u\in L^p_{\loc}(I)$ とする。次は同値:
*(1) $u\in W^{1,p}_{\loc}(I)$。
*(2) $u$ は局所絶対 $p$ -連続である。すなわち $u\in C(I)$ で $f\in L^p_{\loc}(\Omega)$ が存在して $a\lt x\lt y\lt b$ について
$$u(y)-u(x)=\int_x^y f(t)dt.$$
またこのとき $u'=f$。

{{theorem|type=rmk}}
絶対 $1$ -連続と局所絶対 $1$ -連続は単に絶対連続、局所絶対連続という。

{{ref|type=cor|label=1dim2}}より $u\in W^{1,p}_{\loc}(I)$ は $u'$ のLebesgue点で(従ってa.e. in $I$ で)微分可能で、各点微分は弱微分とa.e.で一致する。

{{theorem|type=thm|name=$n=1$ のときのMorreyの不等式|label=dim1mor}}
$I$ は有界であるとする。
*(1) $u\in W^{1,1}(I)$ のとき
$$\norm{u}_\infty\le C_{|I|}\norm{u}_{1,1}.$$
また $u(y)=0$ なる $y\in \overline{I}$ が存在するとき
$$\norm{u}_\infty\le \norm{u'}_1.$$
*(2) $p\in(1,\infty]$ とする。 $\alpha=1-\frac{1}{p}$ とすると $u\in W^{1,p}(I)$ について
$$u\in C^{0,\alpha}(\overline{I}),[u]_{0,\alpha;I}\le \norm{u'}_p.$$

{{begin|proof|display=''Proof.''|collapsible=1}}
(1)を示す。{{ref|type=thm|label=1dim1}}より $x,y\in\overline{I}$、$x\lt y$ について
$$|u(x)-u(y)|\le\int_x^y|u'(t)|dt\le \norm{u'}_1.$$
対称性よりこれは任意の $x,y\in I$ について成り立つ。ここで $x,y\in\overline{I}$ を
$$|u(x)|=\sup_{I}|u|,|u(y)|=\inf_{I}|u|$$
となるようにとると
$$\sup_{I}|u|=|u(x)|\le|u(y)|+\norm{u'}_1=\inf_{I}|u|+\norm{u'}_1\le|I|^{-1}\int_I|u|+\norm{u'}_1\le C_{|I|}\norm{u}_{1,1}.$$
また $|u(y)|=0$ のとき
$$\sup_{I}|u|\le\norm{u'}_1.$$

(2)を示す。Hölderの不等式より $x,y\in I$、$x\lt y$ について
$$|u(x)-u(y)|\le\int_x^y|u'(t)|dt\le\norm{u'}_p|x-y|^{1-\frac{1}{p}}.$$
よって
$$u\in C^{0,\alpha}(\overline{I}),[u]_{0,\alpha;I}\le\norm{u'}_p.$$
{{end|proof}}

==合成関数の微分、積の微分==

{{theorem|type=thm|name=合成関数の微分|label=chain1}}
$p\in[1,\infty]$、$m\in\Zp$、$u\in W^{1,p}_{\loc}(\Omega)^m$ とする。
$G\in C^1(\R^m)$ が
$$G(u),\sum_{j=1}^m D_jG(u)D_iu_j\in L^p_{\loc}(\Omega)$$
をみたすとすると
$$G(u)\in W^{1,p}_{\loc}(\Omega),D_i(G(u))=\sum_{j=1}^m D_jG(u)D_iu_j\ (i=1,\ldots,n).$$

{{begin|proof|display=''Proof.''|collapsible=1}}
$|\Omega|\lt\infty$、$p\in[1,\infty)$、$u\in W^{1,p}(\Omega)^m$ の場合を示せば十分である。また $G$ を $G-G(0)$ にとりかえて $G(0)=0$ としてよい。<ref name="chainsuf">実際には $\Omega$ が有界かつ $p=1$ の場合のみで十分である。$\Omega$ が非有界の場合と $p\in(1,\infty)$ の場合を含めたのは{{ref|type=pro|label=chapro0}}の証明に使う都合によるものである。なお、{{ref|type=pro|label=chapro0}}では $|\Omega|\lt\infty$ を仮定できないが、実際には $G(0)=0$ でも十分であるため{{ref|type=pro|label=chapro0}}も問題なく証明できる。</ref>

$DG\in L^\infty(\R^m)^m$ の場合を示す。{{ref|type=thm|label=apx2}}より $u^{(k)}\in C^\infty(\Omega)^m\cap W^{1,p}(\Omega)^m$ を $\norm{u^{(k)}-u}_{1,p}\to 0\ (k\to\infty)$ となるようにとれる。部分列に移って $u^{(k)}\to u,D_iu^{(k)}\to D_iu$ a.e. in $\Omega$ かつ $v,v_1,\ldots,v_n\in L^p(\Omega)$ が存在して $|u^{(k)}|\le v,|D_iu^{(k)}|\le v_i\ (\forall k\in\Zp)$ としてよい。<ref name="dominant">一般に測度空間 $X=(X,\mu)$ 上の関数列 $\{f_m\}_{m=1}^\infty\subset L^p(X)$ と $f\in L^p(X)$ が $\int_X |f_m-f|^pd\mu\to 0\ (m\to\infty)$ をみたすとき、部分列 $\{f_{m_l}\}_{l=1}^\infty$ を $f_{m_l}\to f\ \mu-$ a.e. in $X$ かつ $g\in L^p(X)$ であって任意の $l$ について $|f_{m_l}|\le g$ in $X$ となるようなものが存在するようにとれる。実際、[[測度と積分5：$L%5Ep$_空間の完備性と双対性]]の定理21.4の証明のように部分列をとればよい。</ref>

各 $u^{(k)}$ は $G(u^{(k)})\in C^1(\Omega)$、$\displaystyle D_i(G(u^{(k)}))=\sum_{j=1}^m D_jG(u^{(k)})D_iu^{(k)}_i\ (i=1,\ldots,n)$ をみたす。また、$G(0)=0$ より $G(t)\le\norm{DG}_\infty|t|\ (t\in\R)$ となることから $|G(u^{(k)})|\le\norm{DG}_\infty v$、$\displaystyle \left|\sum_{j=1}^mD_jG(u^{(k)})D_iu^{(k)}_j\right|\le C\norm{DG}_\infty v_i$。$\displaystyle G(u^{(k)})\to G(u),\sum_{j=1}^m D_jG(u^{(k)})\cdot D_iu^{(k)}_j\to \sum_{j=1}^mD_jG(u)D_iu_j\ (k\to\infty)$ であるからLebesgueの収束定理より
$$\norm{G(u^{(k)})-G(u)}_p,\norm{D_i(G(u^{(k)}))-\sum_{j=1}^mD_jG(u)D_iu_j}_p\to 0\ (k\to\infty)$$
となる。これより
$$G(u)\in W^{1,p}(\Omega),D_i(G(u))=\sum_{j=1}^mD_jG(u)D_iu_j.$$

一般の場合を示す。$\xi\in C^1(\R)$ を
$$|\xi|\le 1,\xi(t)=1\ \jf t\ge 1,\xi(t)\le 1\ \jf t\le 1,\xi(t)=t\ \jf |t|\le\frac{1}{2}$$
となるようにとり、$M\gt 0$ について $\xi_M(t)\colon=M\xi(M^{-1}t)\ (t\in\R)$ とする。$\xi$、$\xi_M$ は
$$\xi'\in C_c(\R),|\xi_M'(t)|=|\xi'(M^{-1}t)|\le 1,\xi_M'(t)\to 1\ (M\to\infty)$$
をみたす。

$G_M\colon=\xi_M(G)$ とする。$\xi_M(G)\in C^1(\R^m)$、$D_j(\xi_M(G))=\xi_M'(G)D_jG\in C_c(\R^m)^m$ であるから $DG\in L^\infty(\R^m)^m$ の場合より
$$G_M(u)\in W^{1,p}(\Omega),D_i(G_M(u))=\xi_M'(G(u))\sum_{j=1}^mD_jG(u)D_iu_j.$$
$|G_M(u)|\le|G(u)|$、$|\xi_M'(u)DG(u)|\le|DG(u)|$で、$$G_M(u)\to G(u),\sum_{j=1}^m\xi_M'(u)D_jG(u)D_iu_j\to \sum_{j=1}^m D_jG(u)D_iu_j\ (M\to\infty)$$
であるからLebesgueの収束定理より
$$\norm{G_M(u)-G(u)}_p,\norm{D_i(G_M(u))-\sum_{j=1}^m D_jG(u)D_iu_j}_p\to 0\ (M\to\infty).$$
よって
$$G(u)\in W^{1,p}(\Omega),D_i(G(u))=\sum_{j=1}^mD_jG(u)D_iu_j.$$
{{end|proof}}

{{theorem|type=rmk}}
$G(0)=0$ かつ $DG\in L^\infty(\R^m)^m$ であれば十分である。とくに $|\Omega|\lt\infty$ のときは $DG\in L^\infty(\R^m)^m$ であれば十分である。

帰納法により高階の合成関数の微分公式も成り立つ。すなわち、$u\in W^{k,1}_{\loc}(\Omega)^m$、$G\in C^k(\R^m)$ とすると、$G(u)$ の形式的な $\alpha$ 階微分( $|\alpha|\le k$ )がすべて $L^1_{\loc}(\Omega)$ に属せば $G(u)\in W^{k,1}_{\loc}(\Omega)$ で $D^\alpha (G(u))$ は形式的な $\alpha$ 階微分と一致する。

{{theorem|type=cor|name=積の微分|label=prod2}}
$k\in\Zp$ とする。$u_1,\ldots ,u_m\in W^{k,1}_{\loc}(\Omega)$ が $|\alpha|\le k$ について
$$\sum_{\beta_1+\ldots +\beta_m=\alpha}\frac{\alpha!}{\beta_1!\ldots \beta_m!}D^{\beta_1}u_1\ldots D^{\beta_m}u_m\in L^1_{\loc}(\Omega)$$
をみたすとすると
$$u_1\ldots u_m\in W^{k,1}_{\loc}(\Omega),D^\alpha(u_1\ldots u_m)=\sum_{\beta_1+\ldots +\beta_m=\alpha}\frac{\alpha!}{\beta_1!\ldots \beta_m!}D^{\beta_1}u_1\ldots D^{\beta_m}u_m\ (|\alpha|\le k).$$

{{begin|proof|display=''Proof.''|collapsible=1}}
$G(t_1,\ldots ,t_m)=t_1\ldots t_m$ として $k$ 階の合成関数の微分公式を用いればよい。
{{end|proof}}

$m=1$ の場合はより正則性を欠いた関数との合成を考えることもできる:

{{theorem|type=lem|label=chainlem}}
$u\in W^{1,1}_{\loc}(\Omega)$ とし、$N\subset\R$ はBorel集合で $|N|=0$ をみたすとする。このとき
$$Du=0\ \ae\on\{x\in\Omega\colon u(x)\in N\}.$$

{{begin|proof|display=''Proof.''|collapsible=1}}
$\Omega$ が有界で $u\in W^{1,1}(\Omega)$ の場合を示せば十分。

$m\in\Zp$ について開集合 $U_m\subset\R$ を $N\subset U_m$、$|U_m|\lt 2^{-m}$ となるようにとる。また $W_m\colon=\{x\in\Omega\colon u(x)\in U_m\}$ として
$$N'\colon=\bigcup_{l=1}^\infty\bigcap_{m=l}^\infty U_m,W\colon=\bigcup_{l=1}^\infty\bigcap_{m=l}^\infty W_m$$
とする。$N'$ は $N\subset N'$、$|N'|=0$ をみたす。

$U'_{m,1}\rcpt U'_{m,2}\rcpt\ldots\rcpt U_m$ を $\displaystyle \bigcup_{l=1}^\infty U'_{m,l}=U_m$ となるようにとると $\displaystyle \left|W_m\backslash\bigcup_{l=1}^\infty \left\{x\in\Omega\colon u(x)\in U'_{m,l}\right\}\right|=0$ となるので十分大きい $l$ をとって $U'_m\colon=U'_{m,l}$、$W'_m\colon=\{x\in\Omega\colon u(x)\in U'_m\}$ とすれば $|W_m\backslash W'_m|\lt 2^{-m}$ となる。

$\varphi_m\in C_c(U_m)$ を $0\le\varphi_m\le 1$ かつ $\varphi_m=1$ in $U'_m$ となるようにとり
$$G_m(t)\colon=\int_{-\infty}^t \varphi_m$$
とする。$G_m\in C^1(\R)$、$0\le G_m'\le 1$ であるから{{ref|type=thm|label=chain1}}より
$$G_m(u)\in W^{1,1}(\Omega),D_i(G_m(u))=G_m'(u)D_iu.$$
$G_m'=1$ in $U'_m$、$G_m'=0$ on $\R\backslash U_m$ より
$$D_i(G_m(u))=D_iu\ \on\ W'_m,D_i(G_m(u))=0\ \on\ \Omega\backslash W_m.$$
また
$$\norm{G_m(u)}_\infty\le\int_\R\varphi_m\le|U_m|\lt 2^{-m}.$$

$W$ と $W_m$ の定義から $\displaystyle W=\bigcup_{l=1}^\infty\bigcap_{m=l}^\infty W_m$ であるからa.e. $x\in \Omega\backslash W$ について十分大きい $m$ をとれば $D_i(G_m(u))(x)=0$ となる。一方
\begin{align*}
\left|W\backslash\bigcup_{l=1}^\infty\bigcap_{m=l}^\infty W'_m\right|&=\lim_{k\to\infty}\left|\bigcap_{m=k}^\infty W_m\backslash\bigcup_{l=1}^\infty\bigcap_{m=l}^\infty W'_m\right|\\
&\le\liminf_{k\to\infty}\left|\bigcap_{m=k}^\infty W_m\backslash\bigcap_{m=k}^\infty W'_m\right|\\
&=\liminf_{k\to\infty}\left|\bigcup_{l=k}^\infty\left(\bigcap_{m=k}^\infty W_m\backslash W'_l\right)\right|\\
&\le\liminf_{k\to\infty}\left|\bigcup_{l=k}^\infty(W_l\backslash W'_l)\right|\\
&\le\liminf_{k\to\infty}\sum_{l=k}^\infty|W_l\backslash W'_l|\\
&\le\liminf_{k\to\infty}\sum_{l=k}^\infty 2^{-l}=0.
\end{align*}
よってa.e. $x\in W$ について十分大きい $m$ をとれば $D_i(G_m(u))(x)=D_iu(x)$ となる。従って
$$D_i(G_m(u))\to D_iu\chi_W\ \ae\inn\Omega\ (m\to\infty).$$
$|D_i(G_m(u))|\le |D_iu|$ であるからLebesgueの収束定理より
$$\norm{D_i(G_m(u))-D_iu\chi_W}_1\to 0\ (m\to\infty).$$
一方 $\norm{G_m(u)}_\infty\lt 2^{-m}\to 0\ (m\to\infty)$。よって $G_m(u)$ は $m\to\infty$ とすると $W^{1,1}(\Omega)$ において $0$ に収束し、
$$D_iu\chi_W=0\ \ae\inn \Omega.$$
よって $Du=0$ a.e. on $W$。$W$ の定義より $\{x\in\Omega\colon u(x)\in N\}\subset W$ となるので主張が示された。
{{end|proof}}

{{theorem|type=thm|name=局所絶対連続関数と $W^{1,p}$ 関数の合成|label=chain2}}
$p\in[1,\infty]$、$u\in W^{1,p}_{\loc}(\Omega)$ とする。
*(1) $\R$ 上の $\L^n$ -可測関数 $f$ について $f(u)D_iu\ (i=1,\ldots ,n)$ はwell-definedである。
*(2) $G\in W^{1,1}_{\loc}(\R)$ とする。$u$ が
$$G(u),G'(u)D_iu\in L^p_{\loc}(\Omega)\ (i=1,...n)$$
をみたすとすると
$$G(u)\in W^{1,p}_{\loc}(\Omega),D_i(G(u))=G'(u)D_iu\ (i=1,\ldots ,n).$$

{{begin|proof|display=''Proof.''|collapsible=1}}
(1)を示す。$f$ のBorel可測な代表元 $f_1$ をとると $f_1(u)D_iu$ は $\L^n$ -可測である。また $f_2$ を $f$ の別の代表元とすると{{ref|type=lem|label=chainlem}}より
$$D_iu=0\ \ae\on\{x\in\Omega\colon f_1(u(x))\neq f_2(u(x))\}$$
であるから $f_1(u)D_iu=f_2(u)D_iu$ a.e. in $\Omega$ となる。これより $f(u)D_iu$ はwell-definedである。

(2)を示す。{{ref|type=thm|label=chain1}}
と同様に $p\in[1,\infty)$、$u\in W^{1,p}(\Omega)$、$G(u),G'(u)D_iu\in L^p(\Omega)$、$G(0)=0$ の場合を示せば十分。<ref name="chainsuf" />

$G'\in L^\infty(\R)$ の場合を示す。$\varepsilon\gt 0$ について $G_\varepsilon\colon=\eta_\varepsilon*G-\eta_\varepsilon*G(0)$ とする。$G_\varepsilon\in C^\infty(\R)$、$|G_\varepsilon'|\le\norm{G'}_\infty$、$G_\varepsilon(0)=0$ であるから{{ref|type=thm|label=chain1}}より
$$G_\varepsilon(u)\in W^{1,p}(\Omega),D_i(G_\varepsilon(u))=G_\varepsilon'(u)D_iu.$$
また $G_\varepsilon\to G,G_\varepsilon'\to G'$ a.e. in $\R\ (\varepsilon\to +0)$ であり、{{ref|type=lem|label=chainlem}}より $G_\varepsilon(u(x))\to G(u(x)),G_\varepsilon'(u(x))\to G'(u(x))\ (\varepsilon\to +0)$ とならないほどんど全ての $x\in\Omega$ について $D_iu(x)=0$ であるから
$$G_\varepsilon(u)\to G(u),G_\varepsilon'(u)D_iu\to G'(u)D_iu\ \ae\inn\Omega\ (\varepsilon\to +0).$$
$|G(u)|\le\norm{G'}_\infty|u|$、$|G_\varepsilon'(u)D_iu|\le\norm{G'}_\infty|D_iu|$ であるからLebesgueの収束定理より
$$\norm{G_\varepsilon(u)-G(u)}_p,\norm{G_\varepsilon'(u)D_iu-G'(u)D_iu}_p\to 0\ (\varepsilon\to +0).$$
従って
$$G(u)\in W^{1,p}(\Omega),D_i(G(u))=G(u)D_iu.$$

$u\in L^\infty(\Omega)$ の場合を示す。$\zeta\in C^\infty(B_2(0))$、$\zeta=1$ in $B_1(0)$ をとり、$m\in\Zp$ として $\zeta_m(x)\colon=\zeta(m^{-1}x)\ (x\in\R^n)$ とする。

$M\gt 0$ について $G_M(t)\ (t\in\R)$ を
$$G_M(t)=
\begin{cases}
\int_0^t\min\{\max\{G'(s),-M\},M\}ds\ &\colon t\ge 0\\
-\int_0^{-t}\min\{\max\{G'(s),-M\},M\}ds\ &\colon t\lt 0\\
\end{cases}$$
と定める。このとき $|G_M'|\le M$、$G_M'=\min\{\max\{G',-M\},M\}$、$G_M(0)=0$。

$|G_M'|\le M$、$G_M(0)=0$ より $|G_M(t)|\le M|t|\ (t\in\R)$ であるから $G_M(\zeta_mu)\in L^p(\Omega)$ で $\supp G_M(u)\subset B_{2m}(0)$ より $\supp G_M(\zeta_mu)\in L^p(\Omega)$。$G'\in L^\infty(\R)$ の場合より
$$G_M(u)\in W^{1,p}(\Omega),D_i(G_M(u))=\min\{\max\{G'(u),-M\},M\}D_iu.$$
また
$$|G_M(t)|\le
\begin{cases}
\int_0^t|\min\{\max\{G'(s),-M\},M\}|ds\le\int_0^t|G'(s)|ds\ &\colon t\ge 0\\
\int_0^{-t}|\min\{\max\{G'(s),-M\},M\}|ds\le\int_0^{-t}|G'(s)|ds\ &\colon t\lt 0\\
\end{cases}$$
であるから
$$|G_M(u)|\le\int_{-\norm{u}_\infty}^{\norm{u}_\infty}|G'(s)|ds.$$
またLebesgueの収束定理より各 $t\in\R$ について $G_M(t)\to G(t)\ (M\to\infty)$ であるからLebesgueの収束定理より
$$\norm{\zeta_mG_M(u)-\zeta_mG(u)}_p\to 0\ (M\to\infty).$$
また $t\in\R$ について $\min\{\max\{G'(t),-M\},M\}\le |G'(t)|$、$\min\{\max\{G'(t),-M\},M\}\to G'(t)\ (M\to\infty)$ であるから $|D_i(\zeta_mG_M(u))|\le|D_i\zeta_m||G_M(u)|+|\zeta_m||G(u)D_iu|$、$D_i(\zeta_mG_M(u))\to D_i\zeta_mG(u)+\zeta_mG'(u)D_iu\ (M\to\infty)$。Lebesgueの収束定理より
$$\norm{D_i(\zeta_mG_M(u))-(D_i\zeta_mG_M(u)+\zeta_mG'(u)D_iu)}_p\to 0\ (M\to\infty).$$
よって
$$\zeta_mG(u)\in W^{1,p}(\Omega),D_i(\zeta_mG(u))=D_i\zeta_mG_M(u)+\zeta_mG'(u)D_iu.$$
$m\to\infty$ とすれば $\norm{\zeta_mG(u)-G(u)}_p,\norm{D_i\zeta_mG_M(u)+\zeta_mG'(u)D_iu-G'(u)D_iu}_p\to 0$ となるので
$$G(u)\in W^{1,p}(\Omega),D_i(G(u))=G'(u)D_iu.$$

一般の場合を示す。$M,N\ge 0$ について
$$u_{M,N}\colon=\min\{\max\{u,-N\},M\}$$
とする。$G'\in L^\infty(\R)$ の場合より
$$u_{M,N}\in W^{1,p}(\Omega),D_iu_{M,N}=D_iu\chi_{\{-N\lt u\lt M\}}.$$
また $|u_{M,N}|\le \max\{M,N\}$ で、
$$|G'(u_{M,N})D_iu_{M,N}|=|G'(u_{M,N})D_iu|\chi_{\{-N\lt u\lt M\}}=|G'(u)D_iu|\chi_{\{-N\lt u\lt M\}}\le|G'(u)D_iu|$$
となるので $u\in L^\infty(\Omega)$ の場合より
$$G(u_{M,N})\in W^{1,p}(\Omega),D_i(G(u_{M,N}))=G'(u_{M,N})D_iu_{M,N}.$$

a.e. $x\in\Omega$ について $M,N\gt|u(x)|$ とすれば $u_{M,N}(x)=u(x)$ となることから
$$G(u_{M,N})\to G(u),G'(u_{M,N})D_iu_{M,N}\to G'(u)D_iu\ \ae\inn\Omega\ (M,N\to\infty).$$
$|G'(u_{M,N})D_iu_{M,N}|\le|G'(u)D_iu|$ であるからLebesgueの収束定理より
$$\norm{G'(u_{M,N})D_iu_{M,N}-G'(u)D_iu}_p\to 0\ (M,N\to\infty).$$

また $j\in\Zz$ について次のように $L_j,M_j,N_j\ge 0$ をとる:

$L_0=M_0=N_0\colon=0$ とする。

$L_j,M_j,N_j$ がとれたとする。 $|\{|u|\gt L\}|\to 0\ (L\to\infty)$ に注意し、$L_{j+1}$ を
$$L_{j+1}\ge L_j+1,|G(L_j)|^p|\{u\gt L_{j+1}\}|\lt 2^{-(j+1)},|G(-L_j)|^p|\{u\lt -L_{j+1}\}|\lt 2^{-(j+1)}$$
となるようにとる。$M_{j+1},N_{j+1}$ を $M_{j+1},N_{j+1}\in [L_j,L_{j+1}]$ かつ
$$|G(M_{j+1})|=\inf_{[L_j,L_{j+1}]}|G|,|G(-N_{j+1})|=\inf_{[-L_{j+1},-L_j]}|G|$$
となるようにとる。

このとき $j\in\Zp$ とすると $M_j,N_j\le L_j$ で $t\in[M_j,L_j]$ について $|G(M_j)|\le|G(t)|$、$t\in[-L_j,-N_j]$ について $|G(-N_j)|\le|G(t)|$。これより
$$|G(u_{M_j,N_j})|\chi_{\{|u|\le L_j\}}=
\begin{cases}
|G(-N_j)|\le|G(u)|&\colon u\in [-L_j,-N_j]\\
|G(u)|&\colon u\in(-N_j,M_j)\\
|G(M_j)|\le|G(u)|&\colon u\in [M_j,N_j]\\
0&\colon |u|\gt L_j
.\end{cases}
$$
また $\chi_{\{|u|\le L_j\}}\to 1$ a.e. in $\Omega\ (j\to\infty)$ より
$$G(u_{M_j,N_j})\chi_{\{|u|\le L_j\}}\to G(u)\ \ae\inn\Omega\ (j\to\infty).$$
Lebesgueの収束定理より
$$\norm{G(u_{M_j,N_j})\chi_{\{|u|\le L_j\}}-G(u)}_p\to 0\ (j\to\infty).$$
また $M_j,N_j\ge L_{j-1}\ge j-1$ より $M_j,N_j\to\infty\ (j\to\infty)$ であり、
\begin{align*}
\int_\Omega|G(u_{M_j,N_j})|^p\chi_{\{|u|\gt L_j\}}&=\int_\Omega(|G(M_j)|^p\chi_{\{u\gt M_j\}}+|G(-N_j)|^p\chi_{\{u\lt -N_j\}})\\
&=|G(M_j)||\{u\gt M_j\}|+|G(-N_j)||\{u\gt -N_j\}|\\
&\le|G(L_j)||\{u\gt L_{j-1}\}|+|G(-L_j)||\{u\gt -L_{j-1}\}|\\
&\le 2^{1-j}\to 0\ (j\to\infty).
\end{align*}
従って
$$\norm{G(u_{M_j,N_j})-G(u)}_p\to 0\ (j\to\infty).$$
$M_j,N_j\ge L_{j-1}\ge j-1\to\infty\ (j\to\infty)$ より
$$\norm{G'(u_{M_j,N_j})D_iu_{M_j,N_j}-G'(u)D_iu}_p\to 0\ (j\to\infty)$$
となることとあわせて
$$G(u)\in W^{1,p}(\Omega),D_i(G(u))=G'(u)D_iu$$
が成り立つ。
{{end|proof}}

==差分商による特徴づけ==
{{theorem|type=def|name=差分商|label=difq}}
$f\colon\Omega\to\R$ と開集合 $\Omega'\rcpt\Omega$ と $0\lt|h|\lt\dist(\Omega',\pOm)$ なる $h\in\R$ と $z\in\partial B_1(0)$ について
$$\Delta^h_z f(x)\colon=\frac{f(x+hz)-f(x)}{h}\ (x\in\Omega',i=1,\ldots ,n)$$
により $f$ の $z$ 方向の差分商 $\Delta^h_z f\colon\Omega'\to\R$ を定める。$\Delta^h_{e_i} f$ は $\Delta^h_i f$ と書く。

{{theorem|type=pro|name=差分商の初等的性質|label=difq1}}
開集合 $\Omega'\rcpt\Omega$ と $0\lt|h|\lt\frac{1}{2}\dist(\Omega',\pOm)$ なる $h\in\R$ と $\partial B_1(0)$ について次が成り立つ:
*(1) $f\in C^1(\Omega)$ について
$$\Delta^h_z f(x)=\int_0^1 D_if(x+thz)dt\ (x\in\Omega').$$
*(2) $f\colon\Omega\to\R$ について
$$\Delta^h_z(fg)(x)=\Delta^h_zf(x)g(x)+f(x+hz)\Delta^h_zg(x)=\Delta^h_zf(x)g(x+hz)+f(x)\Delta^h_zg(x)\ (x\in\Omega').$$
*(3) $f\colon \Omega\to\R$ と $g\colon\R^n\to\R$ が $\L^n$ -可測で $\supp g\subset\Omega'$ かつ $f(\cdot+hz)g,fg\in L^1(\Omega)$ とすると
$$\int_{\Omega'}\Delta^h_zfg=-\int_{\Omega}f\Delta^{-h}_zg.$$

{{begin|proof|display=''Proof.''|collapsible=1}}
(1) は微積分基本公式から直ちに従う。

(2) は
$$f(x+hz)g(x+hz)-f(x)g(x)=(f(x+hz)-f(x))g(x)+f(x+hz)(g(x+hz)-g(x))$$
から従う。

(3) は
\begin{align*}
\int_{\Omega'} \Delta^h_zfg&=\frac{1}{h}\left(\int_{\Omega'} f(x+hz)g(x)dx-\int_{\Omega'} f(x)g(x)dx\right)\\
&=\frac{1}{h}\left(\int_{\Omega'+hz} f(x)g(x-hz)dx-\int_{\Omega'} f(x)g(x)dx\right)\\
&=-\frac{1}{-h}\left(\int_\Omega f(x)g(x-hz)dx-\int_\Omega f(x)g(x)dx\right)\\
&=-\int_\Omega f\Delta^{-h}_zg
\end{align*}
となり従う。
{{end|proof}}

$p\in(1,\infty]$ のとき、差分商を用いて $W^{1,p}(\Omega)$ を特徴づけることができる。差分商は微分可能性を仮定することなく定義できるため、この特徴づけは $u\in W^{1,p}(\Omega)$ を示す上でしばしば有用なものである。

{{theorem|type=lem|label=difqlem}}
*(1) $p,p'\in[1,\infty]$ とする。$u\in W^{1,p}(\Omega)$ とすると $z\in\partial B_1(0)$ について
$$\norm{D_zu}_p=\sup\left\{\int_\Omega uD_z\varphi\colon\varphi\in C^\infty_c(\Omega),\norm{\varphi}_{p'}\le 1\right\}.\tag{*}\label{difqlem1}$$
ここで $\displaystyle D_zu\colon=z\cdot Du$ である。
*(2) $p\in(1,\infty]$ の場合は逆に $u\in L^p(\Omega)$ で各 $i=1,\ldots ,n$ について(\ref{difqlem1})の右辺が有限であれば $u\in W^{1,p}(\Omega)$ である。

{{begin|proof|display=''Proof.''|collapsible=1}}
(1)を示す。(\ref{difqlem1})の右辺を $A_z$ とおく。$\varphi\in C^\infty(\Omega)$ について
$$\int_\Omega uD_z\varphi=-\int_\Omega D_zu\varphi$$
であるから
$$A_z=\sup\left\{-\int_\Omega D_zu\varphi\colon\varphi\in C^\infty_c(\Omega),\norm{\varphi}_{p'}\le 1\right\}=\norm{D_zu}_p.$$

(2)を示す。$A_i=A_{e_i}\lt\infty\ (i=1,\ldots ,n)$ とすると $\varphi\mapsto\int_\Omega uD_i\varphi$ は $L^{p'}(\Omega)$ 上の有界線型汎関数に拡張され、$p'\in[1,\infty)$ よりこの汎関数はある $v_i\in L^p(\Omega)$ を用いて $\varphi\mapsto-\int_\Omega v_i\varphi$ と表される。従って
$$\int_\Omega uD_i\varphi=-\int_\Omega v_i\varphi\ (\forall\varphi\in C^\infty_c(\Omega))$$
となり $u\in W^{1,p}(\Omega)$、$D_iu=v_i$ となる。
{{end|proof}}

{{theorem|type=rmk}}
(2)は $p=1$ の場合は成り立たない。<ref name="BV">(2)で $p=1$ とした仮定をみたす関数は有界変動関数と呼ばれる。$\Omega$ 上の有界変動関数の空間は $BV(\Omega)$ と書かれ、これも重要な関数空間のひとつである。</ref>例えば $n=1$、$\Omega=\R$、$u=\chi_{(0,\infty)}$ とすると $\varphi\in C^\infty_c(\R)$、$\norm{\varphi}_\infty\le 1$ について $\int_\R u\varphi'=\int_0^\infty \varphi'=-\varphi(0)\le 1$ となる。一方 $u\in W^{1,1}(\Omega)$ であったとして $v=u'$ とすると任意の $\varphi\in C^\infty_c(\R)$ について $\int_\R v\varphi=\varphi(0)$ となり、とくに $x\in\R\backslash\{0\}$ として $\varepsilon\gt 0$ を十分小さくとると $\eta_\varepsilon*v(x)=\eta_\varepsilon(x)=0$ となるので $\eta_\varepsilon*v\to 0$ a.e. in $\R$ であり $v=0$ となるがこれは $\int_\R v\varphi=\varphi(0)$ に矛盾する。

{{theorem|type=thm|name=$W^{1,p}(\Omega)$ の差分商による特徴づけ|label=difq1}}
*(1) $\Omega'\rcpt\Omega$ を開集合とする。$0\lt|h|\lt\frac{1}{2}\dist(\Omega',\pOm)$ なる $h\in\R$ と $z\in\partial B_1(0)$ と $p\in[1,\infty]$、$u\in W^{1,p}(\Omega)$ について
$$\norm{\Delta^h_z u}_{p;\Omega'}\le \norm{D_zu}_p.$$
*(2) $p\in(1,\infty]$ の場合は逆に $u\in L^p(\Omega)$ について、$C_i\ge 0$ が存在して任意の開集合 $\Omega'\rcpt\Omega$ と $0\lt|h|\lt\frac{1}{2}\dist(\Omega',\pOm)$ なる $h\in\R$ について $\norm{\Delta^h_i u}_{p;\Omega'}\le C_i$ が成り立てば
$$u\in W^{1,p}(\Omega),\norm{D_iu}_{p;\Omega}\le C_i\ (i=1,\ldots ,n).$$

{{begin|proof|display=''Proof.''|collapsible=1}}
(1)を示す。$\varphi\in C^\infty_c(\Omega')$、$\norm{\varphi}_{p'}\le 1$ について
$$\int_{\Omega'}\Delta^h_z u\varphi=-\int_\Omega u\Delta^{-h}_z\varphi=-\int_\Omega u(x)\left(\int_0^1 D_z\varphi(x-thz)dt\right)dx$$
で、{{ref|type=lem|label=difqlem}}より $t\in[0,1]$ について
$$-\int_\Omega u(x)\varphi(x-thz)dx\le\norm{D_zu}_p.$$
よって $\norm{\Delta^h_zu}_p\le\int_0^1\norm{D_zu}_pdt=\norm{D_zu}_p$。

(2)を示す。$\varphi\in C^\infty_c(\Omega)$、$\norm{\varphi}_{p'}\le 1$ として開集合 $\Omega'\rcpt\Omega$ を $\supp\varphi\subset\Omega'$ となるようにとると十分小さい $h\gt 0$ について
$$C_i\ge-\int_\Omega\Delta^h_i u(x)\varphi(x)dx=\int_\Omega u(x)\Delta^{-h}_i\varphi(x)dx=\int_\Omega u(x)\left(\int_0^1 D_i\varphi(x-the_i)dt\right)dx$$
で、$h\to +0$ とすれば
$$\int_\Omega uD_i\varphi\le C_i$$
となる。{{ref|type=lem|label=difqlem}}より $u\in W^{1,p}(\Omega)$、$\norm{D_iu}_p\le C_i$。
{{end|proof}}

{{theorem|type=rmk}}
$\Omega\subset\Rnp$ とし、$T\subset\pOm$ を $T\subset\pRnp$ なる相対開集合とする。$\Omega'\rcpt\OmT$ を開集合とし、$h\in\R$、$0\lt|h|\lt\frac{1}{2}\dist(\Omega',\pOm\backslash T)$ とすると、$z\in\partial B_1(0)\cap\pRnp$ については
$f\colon\Omega\to\R$ の差分商 $\Delta^h_i f\colon\Omega'\to\R$ を定義することができる。$p\in(1,\infty]$、$u\in L^p(\Omega)$、$i=1,\ldots ,n-1$ について、$C_i\ge 0$ が存在して任意の開集合 $\Omega'\rcpt\OmT$ と $h\in\R$、$0\lt|h|\lt\frac{1}{2}\dist(\Omega',\pOm)$ について $\norm{\Delta^h_i u}_{p;\Omega'}\le C_i$ が成り立てば $u$ の弱微分 $D_iu$ が存在し
$$\norm{D_iu}_p\le C_i\ (i=1,\ldots ,n-1)$$
となることが{{ref|type=thm|label=difq1}}と同様に示される。これは境界の近傍における $u$ の正則性を調べる上で重要となるが、法線微分 $D_nu$ が存在するかは別の方法で調べる必要がある。

==$p=\infty$ の場合==
$W^{k,\infty}(\Omega)$ は著しく特殊であり、Lipschitz連続性によって特徴づけることができる。
{{theorem|type=thm|name=$W^{k,\infty}(\Omega)$ の特徴づけ|label=lip}}
$k\in\Zp$ とする。
*(1) $C^{k-1,1}(\Ombar)\subset W^{k,\infty}(\Omega)$ で $u\in C^{k-1,1}(\Ombar)$ について
$$\norm{D^ku}_{\infty;\Omega}\le[u]_{k-1,1;\Omega}.$$
さらに $\Omega$ が[[Hölder空間の基本事項]]の補題14の($\dagger$)をみたすとすると $W^{k,\infty}(\Omega)=C^{k-1,1}(\Ombar)$ で $u\in W^{k,\infty}(\Omega)$ について
$$[u]_{k-1,1;\Omega}\le C_{k,\Omega}\norm{D^ku}_{k,\infty;\Omega}.$$
*(2) 任意の開集合 $\Omega\subset\R^n$ について
$$W^{k,\infty}_{\loc}(\Omega)=C^{k-1,1}(\Omega).$$

また $u\in W^{k,\infty}_{\loc}(\Omega)=C^{k-1,1}(\Omega)$ について、$k$ 階以下の各点での微分と弱微分は一致する。

{{begin|proof|display=''Proof.''|collapsible=1}}
$k=1$ の場合を示せば十分。

(2)は(1)と凸領域が($\dagger$)をみたすことから直ちに従う。

(1)を示す。$u\in C^{0,1}(\Ombar)$ とすると任意の $\Omega'\rcpt\Omega$ について $\Delta^h_iu$ は $h\to +0$ とすると $\Omega'$ 上で各点微分の意味の $D_iu$ に収束する。$\varphi\in C^\infty_c(\Omega')$ について
$$\int_\Omega D_iu\varphi=\lim_{h\to 0}\int_{\Omega'}\Delta^h_iu\varphi=-\lim_{h\to 0}\int_\Omega u\Delta^{-h}_i\varphi=-\int_\Omega uD_i\varphi.$$
これより $u\in W^{1,\infty}(\Omega)$ で、$u$ は弱微分は a.e. in $\Omega$ で $u$ の各点微分と一致する。また $\norm{D_iu}_\infty\le[u]_{0,1}$。

逆に $u\in W^{1,\infty}(\Omega)$ とする。$x,y\in\Omega$ とし、$x_0=x$、$x_N=y$、$l(p)\le L|x-y|$ となるように $\Omega$ 内の折れ線 $p=\{x_i\}_{i=0}^N$ をとる。$\displaystyle \bigcup_{i=0}^N\{(1-t)x_i+tx_{i+1}\colon t\in[0,1]\}$ はコンパクトより開集合 $\Omega'\rcpt\Omega$ をとって $\displaystyle\bigcup_{i=0}^N\{(1-t)x_i+tx_{i+1}\colon t\in[0,1]\}\subset\Omega'$ とできる。$\zeta\in C^\infty_c(\Omega)$ を $\zeta=1$ in $\Omega'$ となるようにとる。十分小さい $\varepsilon\gt 0$ をとると任意の $i=0,\ldots ,N-1$ と $t\in[0,1]$ について $B_\varepsilon((1-t)x_i+tx_{i+1})\subset\Omega'$ となり
$$|\eta_\varepsilon*D(\zeta u)((1-t)x_i+tx_{i+1})|\le C\norm{D(\zeta u)}_{\infty;\Omega'}=C\norm{Du}_{\infty;\Omega'}\ (j=1,\ldots ,n).$$
これより $i=0,\ldots ,N-1$ について
\begin{align*}
|\eta_\varepsilon*(\zeta u)(x_{i+1})-\eta_\varepsilon*(\zeta u)(x_i)|&=\left|\int_{\R^n}(\eta_\varepsilon(x_{i+1}-z)-\eta_\varepsilon(x_i-z))(\zeta u)(z)dz\right|\\
&=\left|\int_{\R^n}\left(\int_0^1 D\eta_\varepsilon((1-t)x_i+tx_{i+1}-z)\cdot(x_{i+1}-x_i)dt\right)(\zeta u)(z)dz\right|\\
&=\left|\int_0^1\eta_\varepsilon*D(\zeta u)((1-t)x_i+tx_{i+1})\cdot(x_{i+1}-x_i)dt\right|\\
&=\int_0^1|\eta_\varepsilon*D(\zeta u)((1-t)x_i+tx_{i+1})||x_{i+1}-x_i|dt\\
&\le C\norm{Du}_{\infty}|x_{i+1}-x_i|
\end{align*}
となり
$$|\eta_\varepsilon*(\zeta u)(y)-\eta_\varepsilon*(\zeta u)(x)|\le C\norm{Du}_\infty l(p)\le C\norm{Du}_\infty|x-y|.$$
$\varepsilon\to+0$ すれば、$u$ のLebesgue点 $x,y\in\Omega'$ について
$$|u(x)-u(y)|\le C\norm{Du}_\infty|x-y|$$
が成り立つ。$\Omega$ のほとんど全ての点が $u$ のLebesgue点であり、とくに $u$ のLebesgue点は $\Omega$ で稠密であるから、$u^*\colon\Omega\to\R$ を $u$ のLebesgue点で $u^*=u$ かつ $|u^*(x)-u^*(y)|\le C\norm{Du}_\infty|x-y|\ (\forall x,y\in\Omega)$ となるようにとれる。これより
$$u=u^*\in C^{0,1}(\Ombar),[u]_{0,1}\le C\norm{Du}_\infty.$$
{{end|proof}}

{{theorem|type=rmk}}
同様にして $T\subset\pOm$ が[[Hölder空間の基本事項]]の系16の($\dagger_\loc$)をみたすとき $W^{k,\infty}_\loc(\Omega)\subset C^{k-1,1}(\Omega\cup T)$ となることが証明できる。

$\gamma\colon [a,b]\to\Omega$ をLipschitz曲線とし、$u\in C^{0,1}(\Omega)$ とすると $u\circ\gamma\in C^{0,1}([a,b])=W^{1,\infty}(a,b)$ となるので $x\colon=\gamma(a)$、$y\colon=\gamma(b)$ とすれば
$$u(y)=u(x)+\int_a^b (u\circ\gamma)'(t)dt$$
が成り立つ。とくに a.e. $t\in(a,b)$ について $u$ が $\gamma(t)$ において微分可能であれば
$$u(y)=u(x)+\int_a^b Du(\gamma(t))\cdot\gamma'(t)dt$$
が成り立つ。

==変数変換公式==

{{theorem|type=thm|name=変数変換公式|label=chavar}}
$D,\widetilde{D}\subset\R^n$ を開集合とし、$\psi\colon \widetilde{D}\to D$ は全単射で $\psi,\psi^{-1}$ はともに $C^{0,1}$ 写像であるとする。$\widetilde{\Omega}\rcpt\widetilde{D}$ を開集合とし、$\Omega\colon=\psi(\widetilde{\Omega})$ とする。$u\in W^{1,p}(\Omega)$ について
$$u\circ\psi\in W^{1,p}(\widetilde{\Omega}),D_j(u\circ\psi)=\sum_{i=1}^n (D_iu\circ\psi)D_j\psi_i.$$
とくに
$$\norm{u\circ\psi}_{1,p;\widetilde{\Omega}}\le C_{\psi}\norm{u}_{1,p;\Omega}.$$

{{begin|proof|display=''Proof.''|collapsible=1}}
$u\in C^{0,1}(\Omega)\cap W^{1,p}(\Omega)$ とする。$u$ はa.e. in $\Omega$ で微分可能で、{{ref|type=thm|label=lip}}より各点微分は弱微分と一致する。また $\psi^{-1}$ がLipschitz写像であることから $|\{y\in\widetilde{\Omega}\colon\ u\ は\ \psi(y)\ で微分不可能\}|=|\psi^{-1}(\{x\in\Omega\colon u\ は\ x\ で微分不可能\})|=0$ となり、a.e. $y\in\widetilde{\Omega}$ について $u$ は $\psi(y)$ で微分可能である。 $\psi$ はa.e. in $\widetilde{\Omega'}$ で微分可能であるから $u\circ\psi$ もa.e. in $\widetilde{\Omega'}$ で微分可能で
$$D_j(u\circ\psi)=\sum_{i=1}^n (D_iu\circ\psi)D_j\psi_i.$$
$p=\infty$ の場合は $\norm{u\circ\psi}_\infty=\norm{u}_\infty$ と
$$\norm{D_j(u\circ\psi)}_\infty\le\sum_{i=1}^n \norm{D_iu\circ\psi}_\infty\norm{D_j\psi_i}_\infty\le C\sum_{i=1}^n\norm{D_iu}_\infty$$
より
$$u\circ\psi\in W^{1,\infty}(\Omega),\norm{u\circ\psi}_{1,\infty}\le C\norm{u}_{1,\infty}$$
が成り立つ。

$p\in[1,\infty)$ の場合はarea不等式([[Hausdorff測度とarea_coarea_formula]]の定理19)より
$$\int_{\Omega'}|u\circ\psi|^p\le C\int_\Omega |u|^p.$$
また $D\psi$ は $\Omega'$ 上で有界であるから $i,j\in\{1,\ldots ,n\}$ について
$$\int_{\Omega'}|(D_iu\circ\psi)D_j\psi_i|^p\le C\int_{\Omega'}|D_iu\circ\psi|^p\le C\int_\Omega |D_iu|^p$$
となるので
$$\norm{D_j(u\circ\psi)}_p\le \sum_{i=1}^n\norm{(D_iu\circ\psi)D_j\psi_i}_p\le C\sum_{i=1}^n\norm{D_iu}_p$$
となり
$$u\circ\psi\in W^{1,p}(\Omega),\norm{u\circ\psi}_{1;p}\le C\norm{u}_{1;p}$$
が成り立つ。

$p\in[1,\infty)$ の一般の場合は $u_m\in C^\infty(\Omega)\cap W^{1,p}(\Omega)$ を $\norm{u_m-u}_{1,p}\to 0\ (m\to\infty)$ となるようにとると
$$\norm{u_m-u}_p,\norm{\sum_{i=1}^n(D_iu_m\circ\psi)D_j\psi_i-\sum_{i=1}^n(D_iu\circ\psi)D_j\psi_i}_p\to 0\ (m\to\infty)$$
となることから従う。
{{end|proof}}

{{theorem|type=cor|label=kchavar}}
$D,\widetilde{D}\subset\R^n$ を開集合とし、$\psi\colon \widetilde{D}\to D$ は全単射で $\psi,\psi^{-1}$ はともに $C^{k-1,1}$ 写像であるとする。$\widetilde{\Omega}\rcpt\widetilde{D}$ を開集合とし、$\Omega\colon=\psi(\widetilde{\Omega})$ とする。$u\in W^{k,p}(\Omega)$ について
$$u\circ\psi\in W^{k,p}(\widetilde{\Omega}),\norm{u\circ\psi}_{k,p;\widetilde{\Omega}}\le C_{k,\psi}\norm{u}_{k,p;\Omega}.$$

{{begin|proof|display=''Proof.''|collapsible=1}}
{{ref|type=thm|label=chavar}}と積の微分を用いて $k$ に関する帰納法により証明できる。
{{end|proof}}

==Sobolev空間 $W^{k,p}_0(\OmT)$==

{{theorem|type=def|name=$W^{k,p}_c(\OmT),W^{k,p}_0(\OmT)$|label=defsob0}}
$k\in\Zp$、$p\in[1,\infty)$ とし、$T\subset\pOm$ を相対開集合とする。$W^{k,p}_c(\OmT)$ の $W^{k,p}(\Omega)$ のノルムでの閉包を $W^{k,p}_0(\OmT)$ と表す。$W^{k,p}_0(\Omega\cup\emptyset)$ は単に $W^{k,p}_0(\Omega)$ とかく。

{{theorem|type=rmk}}
{{ref|type=thm|label=apx3}}の注意より、$T$ が線分条件をみたす場合は $C^\infty_c(\OmT)\subset W^{k,p}_0(\OmT)$ は稠密である。とくに $C^\infty_c(\Omega)\subset W^{k,p}_0(\Omega)$ は稠密である。

$W^{1,p}_0(\OmT)$ は「弱い意味で $u=0$ on $\pOm\backslash T$ 」となる関数の空間としてよく用いられ、より高階の微分可能性と組み合わせて $W^{2,p}(\Omega)\cap W^{1,p}_0(\OmT)$ などの形で用いられることがある。なお、この空間を $W^{2,p}_0(\OmT)$ と混同しないように注意せよ。

$W^{k,2}_0(\OmT)$ は $H^k_0(\OmT)$ と書かれることが多い。

{{theorem|type=pro|name=$u\in W^{k,p}_0(\OmT)$ の拡張|label=ext0}}
$k\in\Zp$、$p\in[1,\infty)$ とし、$T\subset\pOm$ を相対開集合とする。$D\subset\R^n$ は開集合で $\Omega\subset D$、
$T\subset\partial D$ をみたすとする。このとき $u\in W^{k,p}_0(\OmT)$ について
$$v\colon=\begin{cases}
u&\ \inn\Omega\\
0&\ \on D\backslash\Omega
\end{cases}$$
とすると $v\in W^{k,p}_0(D\cup T)$ である。

{{begin|proof|display=''Proof.''|collapsible=1}}
$u\in W^{1,p}_c(\OmT)$ とする。$\dist(\supp u,\pOm\backslash T)\gt 0$ より $\zeta\in C^\infty(\Omega)$ を $\zeta=1$ on $\supp u$ かつ $\pOm\backslash T$ の近傍で $\zeta=0$ となるようにとれる。$\zeta=0$ on $D\backslash\Omega$ として $\zeta$ を $D$ 上に拡張すると $D\cap\pOm\subset\pOm\backslash T$ の近傍で $\zeta=0$ より $\zeta\in C^\infty(D)$。また $\supp\zeta\rcpt\OmT$。

$\varphi\in C^\infty_c(D)$ とすると $\zeta\varphi\in C^\infty_c(\Omega)$。$D_i\zeta=0$ on $\supp u$ に注意すると
$$\int_D vD_i\varphi=\int_\Omega \zeta uD_i\varphi=\int_\Omega u(D_i(\zeta\varphi)-D_i\zeta\varphi)=-\int_\Omega D_iu\zeta\varphi=-\int_\Omega D_iu\varphi.$$
これより $v\in W^{1,p}(D)$。また $\supp v=\supp u\rcpt D\cup T$ で、$Dv=Du$ in $\Omega$、$Dv=0$ on $D\backslash\Omega$。

帰納法により $u\in W^{k,p}_c(\OmT)$ のとき $v\in W^{k,p}_c(D\cup T)$ となる。近似により主張が従う。
{{end|proof}}

{{theorem|type=rmk}}
以下では $\Omega\subset D$、
$T\subset\partial D$ のとき $u\in W^{k,p}_0(\OmT)$ とそのここで構成した $D$ 上への拡張を区別せず $W^{k,p}_0(\OmT)\subset W^{k,p}_0(D\cup T)$ と見做す。

{{theorem|type=pro|name=部分積分|label=intpart}}
$p\in[1,\infty)$ とする。$T_1,T_2\subset\pOm$ は $T_1\cap T_2=\emptyset$ をみたすとする。$u\in W^{1,p}_0(\OmT_1)$、$v\in W^{1,p'}_0(\OmT_2)$ とすると
$$\int_\Omega D_iuv=-\int_\Omega uD_iv\ (i=1,\ldots ,n)$$

{{begin|proof|display=''Proof.''|collapsible=1}}
近似により $u\in W^{1,p}_c(\OmT_1)$、$v\in W^{1,p'}_c(\OmT_2)$ としてよい。$uv,D_iuv+uD_iv\in L^1(\Omega)$ より $uv\in W^{1,1}(\Omega)$。$T_1\cap T_2=\emptyset$ より $\supp uv\rcpt\Omega$ であるから $uv\in W^{1,1}_c(\Omega)$。$C^\infty_c(\Omega)\subset W^{1,1}_0(\Omega)$ は稠密であるから近似により $\displaystyle \int_\Omega D_i(uv)=0$。これより主張が従う。
{{end|proof}}

{{theorem|type=pro|label=c0}}
$p\in[1,\infty)$ とし、$T\subset\pOm$ を相対開集合とする。$u\in W^{1,p}(\Omega)$ が任意の有界な $S\subset\pOm\backslash T$ について
$$\limsup_{x\to S}|u(x)|\colon=\lim_{\delta\to +0}\esssup_{\dist(x,S)\lt\delta}|u(x)|=0$$
をみたすとすると $u\in W^{1,p}_0(\OmT)$。

{{begin|proof|display=''Proof.''|collapsible=1}}
$\supp u$ が有界な場合を示す。$B=B_R(0)$ を $\supp u\rcpt B$ となるようにとる。

$G\in C^1(\R)$ を $G(t)=0$ if $|t|\lt 1$、$G(t)=t$ if $|t|\gt 2$ となるようにとる。$G'(t)=1$ if $|t|\gt 2$ より $G'\in L^\infty(\R)$。$\varepsilon\gt 0$ について $G_\varepsilon(t)\colon=\varepsilon G(\varepsilon^{-1}t)$ とする。このとき $G_\varepsilon(t)=0$ if $|t|\lt\varepsilon$、$G_\varepsilon(t)=t$ if $|t|\gt\varepsilon$、$|G'_\varepsilon|\le\norm{G'}_\infty$ であるから{{ref|type=thm|label=chain1}}より $G(u)\in W^{1,p}(\Omega)$。また仮定より十分小さい $\delta\gt 0$ をとると
$$|u|\lt\varepsilon\ \ae\inn\{x\in\Omega\colon\dist(x,(\pOm\cap B)\backslash T)\lt\delta\}\cup(\R^n\backslash B_{R-\delta}(0)).$$
これより
$$\dist(\supp G_\varepsilon(u),(\pOm\cap B)\backslash T),\dist(\supp G_\varepsilon(u),(\pOm\backslash B)\backslash T)\ge\delta$$
従って $\dist((\supp G_\varepsilon(u),\pOm\backslash T)\gt 0$ となり $G_\varepsilon(u)\in W^{1,p}_c(\OmT)$。

$u(x)\neq 0$ なる $x\in\Omega$ について $\varepsilon\lt \frac{1}{2}|u(x)|$ とすれば $G_\varepsilon(u(x))=u(x)$ となり、$u(x)=0$ なる $x\in\Omega$ については $G_\varepsilon(u(x))=u(x)=0$ となるのでLebesgueの収束定理より $\norm{G_\varepsilon(u)-u}_p\to 0\ (\varepsilon\to +0)$。また $u(x)\neq 0$ なる $x\in\Omega$ について $\varepsilon\lt \frac{1}{2}|u(x)|$ とすれば $D(G_\varepsilon(u(x)))=G'_\varepsilon(u(x))Du(x)=Du(x)$ となり、$G'_\varepsilon(0)=0$ と{{ref|type=lem|label=chainlem}}より $D(G_\varepsilon(u))=G'_\varepsilon(u)Du=0=Du$ a.e. on $\{u=0\}$ となるのでLebesgueの収束定理より $\norm{D(G_\varepsilon(u))-Du}_p\to 0\ (\varepsilon\to +0)$。これより $u\in W^{1,p}_0(\OmT)$。

$\Omega$ が有界でない場合は $\zeta\in C^\infty_c(\Omega)$ を $\zeta=1$ in $B_1(0)$ となるようにとり、 $\zeta_m(x)=\zeta(m^{-1}x)\ (m\in\Zp)$ とすると仮定より明らかに $\zeta_mu$ も同じ仮定をみたし $\supp\zeta_mu$ は有界であるから $\zeta_mu\in W^{1,p}_0(\OmT)$。$m\to\infty$ として主張を得る。
{{end|proof}}

{{theorem|type=rmk}}
とくに $u\in W^{1,p}(\Omega)\cap C(\Ombar\backslash T)$ で $u=0$ on $\pOm\backslash T$ であれば $u\in W^{1,p}_0(\OmT)$ となる。

{{theorem|type=pro|name=合成関数と積|label=chapro0}}
$p\in[1,\infty)$ とし、$T\subset\pOm$ を相対開集合とする。
*(1) $G\in C^1(\R^m)$ が
$$G(0,\ldots,0,t_{j+1},\ldots,t_m)=0\ (t_{j+1},\ldots,t_m\in\R)$$
をみたすとする。$u=(u_1,\ldots,u_m)\in W^{1,p}(\Omega)^m$ が
$$u_1,\ldots,u_j\in W^{1,p}_0(\OmT)$$
かつ
$$G(u),\sum_{j=1}^m D_jG(u)D_iu_j\in L^p(\Omega)\ (i=1,\ldots,n)$$
をみたすとすると $G(u)\in W^{1,p}_0(\OmT).$
*(2) $G\in W^{1,1}_{\loc}(\R)$、$G(0)=0$ とする。$u\in W^{1,p}_0(\OmT)$、$G(u),G'(u)D_iu\in L^p(\Omega)$ とすると $G(u)\in W^{1,p}_0(\OmT)$。
*(3) $u\in W^{1,p}_0(\OmT)$、$v\in W^{1,p}(\Omega)$ が $uv,D_iuv+uD_iv\in L^p(\Omega)$ をみたすとすると $uv\in W^{1,p}_0(\OmT)$。

{{begin|proof|display=''Proof.''|collapsible=1}}
(1)の $DG\in L^\infty(\R^m)$ の場合は{{ref|type=thm|label=apx3}}の注意より{{ref|type=thm|label=chain1}}の証明で $u^{(k)}=(u^{(k)}_1,\ldots ,u^{(k)}_m)$ を $u^{(k)}_1,\ldots,u^{(k)}_j\in W^{1,p}_c(\OmT)$ となるようにとれ、このとき $\supp G(u^{(k)})\rcpt\OmT$ となり $G(u)\in W^{1,p}_0(\OmT)$ が従う。一般の場合は{{ref|type=thm|label=chain1}}と同様である。

(2)は(1)より{{ref|type=thm|label=chain2}}の証明で $W^{1,p}(\OmT)$ を $W^{1,p}_0(\OmT)$ にとりかえられることから従う。
{{end|proof}}

==Sobolev空間 $W^{-k,p}(\Omega)$==

{{theorem|type=def|name=$W^{-k,p}(\Omega)$|label=0dual}}
$k\in\Zp$、$p\in(1,\infty]$ とする。$W^{k,p'}_0(\Omega)$ のノルム $\norm{\cdot}_{k,p';\Omega}$ に関する双対空間を $W^{-k,p}(\Omega)$ と表す。

{{theorem|type=pro|label=0dualrep}}
$k\in\Zp$、$p\in(1,\infty]$ とする。$\varphi\in W^{-k,p}(\Omega)$ について $g_\alpha\in L^p(\Omega)\ (|\alpha|\le k)$ が存在し
$$\langle \varphi,u\rangle=\sum_{|\alpha|\le k}(-1)^{|\alpha|}\int_\Omega g_\alpha D^\alpha u\ (\forall u\in W^{k,p}_0(\Omega))\tag{*}\label{rep}$$
かつ
$$\norm{\varphi} =\begin{cases}
\left(\sum_{|\alpha|\le k} \norm{g_\alpha}_{p;\Omega}^p\right)^\frac{1}{p}&\colon p\in(1,\infty)\\
\max_{|\alpha|\le k}\norm{g_\alpha}_{\infty;\Omega} &\colon p=\infty
\end{cases}.$$
ここで $\norm{\cdot}$ は $W^{k,p}_0(\Omega)$ のノルム $\norm{\cdot}_{k,p;\Omega}$ に関する双対ノルムである。

{{begin|proof|display=''Proof.''|collapsible=1}}
$|\alpha|\le k$ なる多重指数 $\alpha$ を $\alpha_1,\ldots ,\alpha_N$ と番号づけて $W^{k,p'}_0(\Omega)$ を $u\mapsto (D^{\alpha_1}u,\ldots ,D^{\alpha_N}u)$ により $L^{p'}(\Omega)^N$ の部分空間と見做す。Hahn-Banachの定理より $\varphi$ は $\varphi'\in(L^{p'}(\Omega)^N)^*$ に拡張でき、$\norm{\varphi'} =\norm{\varphi}$。ここで $\norm{\varphi'}$ は $L^p(\Omega)^N$ のノルム
$$\norm{(f_1,\ldots ,f_N)} =\left(\sum_{i=1}^N|f_i|^p\right)^\frac{1}{p}$$
に関する双対ノルムである。$\varphi'$ は $\varphi'_i\in (L^{p'}(\Omega))^*\ (i=1,\ldots ,N)$ を用いて
$$\langle \varphi',f\rangle=\sum_{i=1}^N\langle \varphi'_i,f_i\rangle\ (f=(f_1,\ldots ,f_N)\in L^{p'}(\Omega))$$
と表され、
$$\norm{\varphi} =\norm{\varphi'} =\begin{cases}
\left(\sum_{i=1}^N \norm{\varphi_i} ^p\right)^\frac{1}{p}&\colon p\in(1,\infty)\\
\max_{i=1,\ldots ,N}\norm{\varphi_i} &\colon p=\infty
\end{cases}.$$
各 $i=1,\ldots ,N$ について $g_i\in L^p(\Omega)$ が存在して $\langle \varphi'_i,f\rangle=(-1)^{|\alpha_i|}\int_\Omega g_if\ (f\in L^{p'}(\Omega))$、$\norm{\varphi'_i} =\norm{g_i}_p$。$g_i$ を $g_{\alpha_i}$ と書き直せば
$$\langle\varphi,u\rangle=\sum_{|\alpha|\le k}\int_\Omega g_\alpha D^\alpha u\ (u\in W^{k,p'}_0(\Omega))$$
かつ
$$\norm{\varphi} =\begin{cases}
\left(\sum_{|\alpha|\le k} \norm{g_\alpha}_p^p\right)^\frac{1}{p}&\colon p\in(1,\infty)\\
\max_{|\alpha|\le k}\norm{g_\alpha}_\infty &\colon p=\infty
\end{cases}$$
が成り立つ。
{{end|proof}}

{{theorem|type=def|name=$W^{-k,p}(\Omega)$ の元の表示|label=defdualrep}}
$\varphi\in W^{-k,p}(\Omega)$ を(\ref{rep})をみたす $g_\alpha\in L^1_\loc(\Omega)$ を用いて
$$\varphi=\sum_{|\alpha|\le k}D^\alpha g_\alpha$$
と表す。またこの表示により $\varphi=g$ と表される $\varphi\in W^{-k,p}(\Omega)$ を $g\in L^1_\loc(\Omega)$ と同一視し、$L^p(\Omega)\subset W^{-k,p}(\Omega)$ と見做す。

{{theorem|type=rmk}}
超関数の用語を用いて言い換えると、$\varphi\in W^{-k,p}(\Omega)$ を $\displaystyle\sum_{|\alpha|\le k}D^\alpha g_\alpha\in\D'(\Omega)$ と同一視して $W^{-k,p}(\Omega)\subset\D'(\Omega)$ と見做すということである。

$W^{-k,2}(\Omega)$ は $H^{-k}(\Omega)$ と書かれることが多い。$H^k_0(\Omega)$ の双対空間は $H^k_0(\Omega)$ の内積構造を用いてRieszの表現定理によって $H^k_0(\Omega)$ 自身と同一視することもできる。しかし、{{ref|type=def|label=defdualrep}}によれば $H^k_0(\Omega)$ は $H^{-k}(\Omega)$ の真部分空間となることから、Rieszの表現定理による同一視は{{ref|type=def|label=defdualrep}}で与えたものと一致せず、どちらを採用するか選ぶ必要がある。$H^{-k}(\Omega)$ と書いた場合は、{{ref|type=def|label=defdualrep}}の方を採用する。

==拡張作用素==
{{theorem|type=thm|name=$C^{0,1}$ 境界部分における局所拡張作用素|label=ext1}}
$p\in[1,\infty]$ とし、$T\subset\pOm$ を $C^{0,1}$ 境界部分([[Hölder空間の基本事項]]の定義28)とする。$\xi\in T$ について、$\xi$ の開近傍 $V\subset\R^n$ と有界線型作用素 $E\colon W^{1,p}(V\cap\Omega)\to W^{1,p}(V)$ であって $u\in W^{1,p}(V\cap\Omega)$ について $Eu=u$ in $V\cap\Omega$ をみたすものが存在する。

{{begin|proof|display=''Proof.''|collapsible=1}}
$u\in W^{1,\infty}(V\cap\Omega)\subset C^{0,1}(\Omega\cup T)$ について[[Hölder空間の基本事項]]の定理30より $\xi$ の開近傍 $V$ と $v=Eu\in C^{0,1}_c(V)$ が存在して $Eu=u$ in $V\cap\Omega$。<ref name="linty">構成から明らかに $E$ は線型である。</ref>また{{ref|type=cor|label=kchavar}}に注意すると、$Eu$ の構成から $p\in[1,\infty]$ について $\norm{Eu}_{1,p;V}\le C\norm{u}_{1,p;V\cap\Omega}$ も成り立つ。

$E$ は $W^{1,p}(V\cap\Omega)$ から $W^{1,p}(V)$ への有界線型作用素に一意的に拡張される。$u\in W^{1,p}(V\cap\Omega)$ とし、$u_m\in C^\infty(V\cap\Omega)\cap W^{1,p}(V\cap\Omega)$、$\norm{u_m-u}_{1,p;V\cap\Omega}\to 0,u_m\to u$ a.e. in $V\cap\Omega\ (m\to\infty)$ とすると $\norm{Eu_m-Eu}_{1,p;V}\to 0$ で $Eu_m=u_m$ in $V\cap\Omega$ であるから $Eu=u$ in $V\cap\Omega$。
{{end|proof}}

{{theorem|type=thm|name=$C^{0,1}$ 領域における拡張作用素|label=ext2}}
$p\in[1,\infty]$ とする。次が成り立つ:
*(1) $T\subset\pOm$ を $C^{0,1}$ 境界部分とする。$T'\rcpt T$ について、$\OmT\subset\Omega_0$ をみたす開集合 $\Omega_0\subset\R^n$ と有界線型作用素 $E\colon W^{1,p}(\Omega)\to W^{1,p}(\Omega_0)$ であって $u\in W^{1,p}(\Omega)$ について $Eu=u$ in $\Omega$ をみたすものが存在する。また $u\in W^{1,p}_0(\OmT')$ のとき $Eu\in W^{1,p}_0(\Omega_0)$。
*(2) $T\subset\pOm$ を次をみたす相対開集合とする:
$$開集合D\subset\R^nとC^{0,1}境界部分S\subset\partial Dが存在し\Omega\subset D,T\rcpt S. \tag{$\diamondsuit$}\label{D}$$
このとき $\OmT\subset\Omega_0$ をみたす開集合 $\Omega_0\subset\R^n$ と有界線型作用素 $E\colon W^{1,p}_0(\OmT)\to W^{1,p}_0(\Omega_0)$ であって $u\in W^{1,p}_0(\OmT)$ について $Eu=u$ in $\Omega$ をみたすものが存在する。
*(3) $\Omega$ を有界な $C^{0,1}$ 領域とする。$D\subset\R^n$ を $\Omega\rcpt D$ なる開集合とすると有界線型作用素 $E\colon W^{1,p}(\Omega)\to W^{1,p}_c(D)$ ( $p\in[1,\infty]$ )で $u\in W^{1,p}(\Omega)$ $Eu=u$ in $\Omega$ をみたすものが存在する。

{{begin|proof}}
(1)を示す。{{ref|type=thm|label=ext1}}の $V=V_\xi$ から $V_1,\ldots,V_N$ を選んで $\displaystyle T'\subset\bigcup_{i=1}^N V_i$ となるようにする。$\OmT$ の開被覆 $\Omega,V_1,\ldots, V_N$ に従属する $1$ の分割 $\zeta_0\in C^\infty(\Omega)$、$\zeta_i\in C^\infty_c(V_i)$ をとり、拡張作用素 $E_i\colon W^{1,p}(V_i\cap\Omega_i)\to W^{1,p}(V_i)$ を用いて
$$\Omega_0\colon=\Omega\cup\bigcup_{i=1}^N V_i,Eu\colon=\zeta_0u+\sum_{i=1}^N \zeta_iE_iu$$
とすればよい。またこのとき $u\in W^{1,p}_c(\OmT)$ とすると明らかに $Eu\in W^{1,p}_c(\Omega_0)$ となるので $u\in W^{1,p}_0(\OmT)$ について $Eu\in W^{1,p}_0(\Omega_0)$。

(2)は{{ref|type=pro|label=ext0}}と(1)から従う。(3)は(1)で $T=\pOm$ としたものから直ちに従う。
{{end|proof}}

{{theorem|type=rmk}}
構成より(1)、(2)の $\Omega_0$ は $\Omega_0\backslash\Omega$ が有界になるようにとれる。とくに $\Omega$ が有界であれば $\Omega_0$ も有界とでき、$|\Omega|\lt\infty$ であれば $|\Omega_0|\lt\infty$ とできる。

{{theorem|type=cor|label=apx4}}
$T\subset\pOm$ を $C^{0,1}$ 境界部分とすると $p\in[1,\infty)$ について $C^\infty(\Omega\cup T)\cap W^{1,p}(\Omega)$ は $W^{1,p}(\Omega)$ において稠密である。

{{begin|proof}}
{{ref|type=thm|label=apx3}}の証明で、$v_i(\cdot+t_iy_i)$ の代わりに局所拡張作用素 $E_i\colon W^{1,p}(V_i\cap\Omega)\to W^{1,p}(V_i)$ をとって $\norm{w_i-E_iu}_{1,p;V_i}\lt 2^{-i}\delta$ をみたす $w_i\in C^\infty(V_i)\cap W^{1,p}(V_i)$ を用いればよい。
{{end|proof}}

同様にして $\Omega$ が有界な $C^{k-1,1}$ 領域のとき $W^{k,p}(\Omega)$ から $W^{k,p}(\R^n)$ への有界な拡張作用素を構成できる。

一方で、別の方法により $\Omega$ が有界なLipschitz領域のときに任意の $k\in\Zz$ と $p\in[1,\infty]$ について $W^{k,p}(\Omega)$ から $W^{k,p}(\R^n)$ へ有界となる拡張作用素 $E\colon L^1(\Omega)\to L^1(\R^n)$ を構成できる。

{{theorem|type=lem|label=kernel}}
次をみたす $h\colon[1,\infty)\to\R$ が存在する:任意の多項式関数 $P$ について
$$Ph\in L^1(1,\infty),\int_1^\infty Ph=P(0).$$

{{begin|proof}}
$\C\backslash[1,\infty)$ 上の正則関数 $f=f(z)$ を
$$\exp\left(-\exp\left(-\frac{\pi\sqrt{-1}}{4}\right)(z-1)^\frac{1}{4}\right)$$
の $\arg\left((z-1)^\frac{1}{4}\right)\in\left(0,\frac{\pi}{2}\right)$ なる枝により定める。$0\lt\delta\lt 1\lt R\lt\infty$ とし、$\C\backslash[1,\infty)$ 上のなめらかな曲線 $\gamma_i$、$i=1,2,3,4$ を
\begin{align*}
\gamma_1(t)&\colon=t+\delta\sqrt{-1}\ (t\in[1,R]),\\
\gamma_2(t)&\colon=(R^2+\delta^2)^\frac{1}{2}\exp\left(\sqrt{-1}t\right)\ \left(t\in\left[\arctan\frac{\delta}{R},2\pi-\arctan\frac{\delta}{R}\right]\right)\\
\gamma_3(t)&\colon=R-t+\delta\sqrt{-1}\ (t\in[0,R-1])\\
\gamma_4(t)&\colon=\delta\exp\left(\pi\sqrt{-1}\left(\frac{3}{2}-t\right)\right)\ (t\in[0,1])
\end{align*}
により定め、この順につないで得られる区分的になめらかな曲線を $\gamma$ とすると $\gamma$ は単純閉曲線となる。留数定理により多項式関数 $P$ について
$$\int_\gamma P(z)z^{-1}f(z)dz=\frac{2\pi\sqrt{-1}}{e}P(0).$$
ここで $\arg\left(\exp\left(-\frac{\pi\sqrt{-1}}{4}\right)(z-1)^\frac{1}{4}\right)\in\left(-\frac{\pi}{4},\frac{\pi}{4}\right)$ であるから
$$\left|\exp\left(-\frac{\pi\sqrt{-1}}{4}\right)(z-1)^\frac{1}{4}\right|\le\exp\left(-\frac{1}{\sqrt{2}}(|z|+1)^\frac{1}{4}\right)$$
となり
$$\left|\int_{\gamma_2}P(z)z^{-1}f(z)dz\right|\le 2\pi\sup_{|z|=(R^2+\delta^2)^\frac{1}{2}}|P(z)|\exp\left(-\frac{1}{\sqrt{2}}(R+1)^\frac{1}{4}\right)\to 0\ (R\to+\infty).$$
また $P(z)z^{-1}f(z)\to P(1)\ (z\to 1)$ より
$$\left|\int_{\gamma_4}P(z)z^{-1}f(z)dz\right|\to 0\ (\delta\to +0).$$
一方 $\lambda\in[1,\infty)$ について
\begin{align*}
&\quad\lim_{\delta\to+0}P(\lambda+\delta\sqrt{-1})(x+\delta\sqrt{-1})f(\lambda+\delta\sqrt{-1})-\lim_{\delta\to+0}P(\lambda-\delta\sqrt{-1})(\lambda-\delta\sqrt{-1})f(\lambda-\delta\sqrt{-1})\\
&=P(\lambda)\lambda^{-1}\left(\exp\left(-\exp\left(-\frac{\pi\sqrt{-1}}{4}\right)(\lambda-1)^\frac{1}{4}\right)-\exp\left(-\exp\left(\frac{\pi\sqrt{-1}}{4}\right)(\lambda-1)^\frac{1}{4}\right)\right)\\
&=2\sqrt{-1}P(\lambda)\lambda^{-1}\Im\left(\exp\left(-\exp\left(-\frac{\pi\sqrt{-1}}{4}\right)(\lambda-1)^\frac{1}{4}\right)\right).
\end{align*}
従って $R\to +\infty,\delta\to +0$ とすると
$$2\sqrt{-1}\int_1^\infty P(\lambda)\lambda^{-1}\Im\left(\exp\left(-\exp\left(-\frac{\pi\sqrt{-1}}{4}\right)(\lambda-1)^\frac{1}{4}\right)\right)d\lambda=\frac{2\pi\sqrt{-1}}{e}P(0)$$
となる。これより
$$ h(\lambda)=\frac{e}{\pi}\lambda^{-1}\Im\left(\exp\left(-\exp\left(-\frac{\pi\sqrt{-1}}{4}\right)(\lambda-1)^\frac{1}{4}\right)\right)$$
ととればよい。
{{end|proof}}

{{theorem|type=thm|name=$n=1$ の場合|label=extn1}}
$I\subsetneq\R$ を開区間とする。線型作用素 $E\colon L^1(I)+L^\infty(I)\to L^1(\R)+L^\infty(\R)$ であって次をみたすものが存在する:
* $u\in L^1(I)+L^\infty(I)$ について
$$Eu=u\ \inn I.$$
* 任意の $k\in\Zz$ と $p\in[1,\infty]$ について $E(W^{k,p}(I))\subset W^{k,p}(\R)$ で $u\in W^{k,p}(I)$ について
$$\norm{Eu}_{k,p;\R}\le C_{k,|I|}\norm{u}_{k,p;\Omega}.$$

{{begin|proof|display=''Proof.''|collapsible=1}}
$I$ が非有界の場合を示す。$I=(0,\infty)$ としてよい。

{{ref|type=lem|label=kernel}}の $h$ をとる。$u\in L^p(I)$ について積分形のMinkowskiの不等式により
$$\norm{\int_1^\infty u((1-2\lambda)\cdot)h(\lambda)d\lambda}_{p;(-\infty,0)}\le\int_1^\infty\norm{u((1-2\lambda)\cdot)}_{p;(-\infty,0)}|h(\lambda)|d\lambda\le\int_1^\infty\norm{u}_{p;I}|h(\lambda)|d\lambda\le C\norm{u}_{p;I}.$$
$u\in L^1(I)+L^\infty(I)$ について
$$Eu(x)\colon=\begin{cases}
u(x)&\colon x\in\overline{I}\\
\int_1^\infty u((1-2\lambda)\cdot)h(\lambda)d\lambda&\colon x\in(-\infty,0)
\end{cases}$$
と定める。上で示したことより $E\colon L^1(I)+L^\infty(I)\to L^1(\R)+L^\infty(\R)$ はwell-definedで、$L^p(\R)$ から $L^p(\R)$ へ連続である。

$u\in W^{1,p}(I)$ とすると{{ref|type=thm|label=1dim1}}より $-\infty\lt x\lt y\le 0$ について
\begin{align*}
Eu(x)&=\int_1^\infty\left(u(y)-\int_{(1-2\lambda)y}^{(1-2\lambda)x}u'(t)dt\right)h(\lambda)d\lambda\\
&=Eu(y)-\int_0^\infty\left((1-2\lambda)\int_x^y u'((1-2\lambda)s)ds\right)h(\lambda)d\lambda\\
&=Eu(y)-\int_x^0\left(\int_0^\infty u'((1-2\lambda)s)h(\lambda)d\lambda\right)ds\\
&=Eu(y)-\int_x^0 Eu'(s)ds.
\end{align*}
また
$$\lim_{x\to +0}Eu(x)=\int_1^\infty u(0)h(\lambda)d\lambda=u(0).$$
これより $-\infty\lt x\lt 0\le y\lt\infty$ についても
$$u(y)=u(0)+\int_0^y u'(t)dt=u(x)+\int_x^y Eu'(t)dt.$$
これより
$$Eu\in W^{1,p}(\R),(Eu)'=Eu',\norm{(Eu)'}_{p;\R}\le C\norm{u'}_p.$$
帰納法により任意の $k\in\Zp$ と $p\in[1,\infty]$ について $E$ は $W^{k,p}(I)$ から $W^{k,p}(\R)$ へ連続で $u\in W^{k,p}(I)$ について $(Eu)^{(k)}=Eu^{(k)}$ となる。

$I=(a,b)$ が有界な場合を示す。$\zeta\in C^\infty([a,b])$ を $a$ の近傍で $1$ かつ $b$ の近傍で $1$ となるようにとると $u\in W^{k,p}(I)$ について $\zeta u\in W^{k,p}(a,\infty)$、$(1-\zeta)u\in W^{k,p}(-\infty,b)$ となるので、拡張作用素 $E_{a+}\colon L^1(a,\infty)+L^\infty(a,\infty)\to L^1(\R)+L^\infty(\R)$ と $E_{b-}\colon L^1(-\infty,b)+L^\infty(-\infty,b)\to L^1(\R)+L^\infty(\R)$ をとって $Eu\colon=E_{a+}(\zeta u)+E_{b-}((1-\zeta)u)$ とすればよい。
{{end|proof}}

{{theorem|type=lem|label=regdis}}
$\gamma\in C^{0,1}_c(\R^{n-1})$ とし、$\Omega\colon=\{(x',x_n)\in\R^{n-1}\times\R\colon x_n\lt\gamma(x')\}$ とする。次をみたす $\delta\in C^\infty(\Omega)\cap C^{0,1}(\Ombar)$ が存在する:
* $$\sup_{\Omega}D_n\delta\lt 0.$$
* 任意の多重指数 $\alpha$ について
$$|D^\alpha\delta(x',x_n)|\le C_{\alpha,\gamma}(\gamma(x')-x_n)^{1-|\alpha|}\ \inn\Omega.$$

{{begin|proof|display=''Proof.''|collapsible=1}}
$M\colon=\left(1+[\gamma]_{0,1}^2\right)^\frac{1}{2}$、$t\colon=1+(16M)^{-1}$ とする。また $m\in\Z$ について $\Omega_m\colon=\{(x',x_n)\in\R^{n-1}\times\R\colon x_n-\gamma(x')\lt -t^m\}\subset\Omega$ とする。

$(x',x_n),(y',y_n)\in\Omega$ について
$$|(x_n-\gamma(x'))-(y_n-\gamma(y'))|^2\le([\gamma]_{0,1}|x'-y'|)^2+|x_n-y_n|^2\le M^2|(x',x_n)-(y',y_n)|$$
であるから $l\lt m$ について $\dist(\Omega_m,\pOm_l)\ge M^{-1}(t^m-t^l)$。

$\delta_m\colon=\eta_{(4M)^{-1}t^m}*\chi_{\Omega_m}$ とする。$N\in\Zp$ を $t^N\gt 2$ となるようにとると $\dist(\Omega_m,\pOm_{m-N})\gt (2M)^{-1}t^m$ となるので $\supp\delta_m\subset\Omega_{m-N}$。また $\dist(\Omega_{m+N},\pOm_m)\gt (2M)^{-1}t^{m+N}$ となるので $\delta_m=1$ in $\Omega_{m+N}$。とくに $\supp D\delta_m\subset\Omega\backslash\Ombar_{m+N}$ であり、$\{\supp D\delta_m\}_{m\in\Z}$ は局所有限である。また多重指数 $\alpha$ について $\norm{D^\alpha\delta_m}_\infty\le Ct^{-m|\alpha|}$。

一方
\begin{align*}
D_n\delta_m(x',x_n)&=\int_{\Omega_m}D_n\eta_{(4M)^{-1}t^m}(x'-y',x_n-y_n)dy\\
&=\int_{\R^{n-1}}\left(\int_{-\infty}^{\gamma(z')-t^m}D_n\eta_{(4M)^{-1}t^m}(x'-z',x_n-z_n)dz'\right)\\
&=-\int_{\R^{n-1}}\eta_{(4M)^{-1}t^m}(x'-y',x_n+t^m-\gamma(y'))dy'\le 0.
\end{align*}
また $(x',x_n)\in\Omega_m\backslash\Omega_{m+1}$ とすると $|x_n+t^m-\gamma(x')|\lt t^{m+1}-t^m=(16M)^{-1}t^m$ であるから、$y'\in\R^n$ を $|y'-x'|\lt(16M^2)^{-1}t^m$ となるようにとれば
$$|(x'-y',x_n+t^m-\gamma(y')|\le|(x'-y',\gamma(x')-\gamma(y'))|+|x_n+t^m-\gamma(x')|\lt M|x'-y'|+|x_n+t^m-\gamma(x')|\lt(8M)^{-1}t^m$$
となり
\begin{align*}
D_n\delta(x',x_n)&\le -\int_{\{y'\in\R^{n-1}\colon|y'-x'|\lt(16M^2)^{-1}t^m\}}\eta_{(4M)^{-1}t^m}(x'-y',x_n+t^m-\gamma(y'))dy'\\
&\le -\omega_{n-1}\left((16M^2)^{-1}t^m\right)^{n-1}\cdot\left((4M)^{-1}t^m\right)^{-n}\inf_{B_\frac{1}{2}(0)}\eta\\
&=-ct^{-m},c=c_{n,M}\gt 0.
\end{align*}
$$\delta\colon=\sum_{l\in\Z}t^l\delta_l$$
とする。$x=(x',x_n)\in\Omega_{m-1}\backslash\Omega_m$ とすると $l\ge m+N$ について $\supp\delta_l\subset\Omega_{l-N}\subset\Omega_m$ となるので $\delta_l(x)=0$。これより
$$\delta(x)=\sum_{l=-\infty}^{m+N-1}t^l\delta_l\le\sum_{l=-\infty}^{m+N-1}t^l\le(t-1)^{-1}t^{m+N}\le C(\gamma(x')-x_n).$$
また $\{\supp D\delta_m\}_{m\in\Z}$ は局所有限であったから $\delta\in C^\infty(\Omega)$。$x=(x',x_n)\in\Omega_{m-1}\backslash\Omega_m$ とすると $l\ge m+N$ について $\supp D\delta_l\subset\Omega_m$ で、$l\le m-N-1$ について $\supp\delta_l\cap\Omega_{m-1}=\emptyset$ となるのでこれらの場合 $D^\alpha\delta(x)=0$。これより多重指数 $\alpha\gt 0$ について
$$|D^\alpha\delta(x)|\le\sum_{l=m-N}^{m+N-1}t^l|D^\alpha\delta_l(x)|\le C\sum_{l=m-N}^{m+N-1}t^{l(1-|\alpha|)}\le C\left(2Nt^{(m-N)(1-|\alpha|)}\right)\le C(\gamma(x')-x_n)^{1-|\alpha|}.$$
とくに $D\delta$ は有界であり $\delta\in C^{0,1}(\Ombar)$ となる。

一方 $l\in\Z$ について $D_n\delta_l(x)\le 0$ で、$D_n\delta_m(x)\le -ct^{-m}$ であるから
$$D_n\delta(x)\le -c.$$
以上よりこの $\delta$ は条件をみたす。
{{end|proof}}

{{theorem|type=rmk}}
$|\delta(x)|\le C(\gamma(x')-x_n)$ より $\delta=0$ on $\pOm$ である。

{{theorem|type=thm|name=Steinの拡張作用素|label=stext}}
$\gamma\in C^{0,1}_c(\R^{n-1})$、$\Omega\colon=\{(x',x_n)\in\R^{n-1}\times\R\colon x_n\gt\gamma(x')\}$ とする。線型作用素 $E\colon L^1(\Omega)+L^\infty(\Omega)\to L^1(\R^n)+L^\infty(\R^n)$ であって次をみたすものが存在する:
* $u\in L^1(\Omega)+L^\infty(\Omega)$ について
$$Eu=u \inn\Omega.$$
* 任意の $k\in\Zz$ と $p\in[1,\infty]$ について $E(W^{k,p}(\Omega))\subset W^{k,p}(\R^n)$ で $u\in W^{k,p}(\Omega)$ について
$$\norm{D^kEu}_{p;\R^n}\le C_{k,\gamma}\norm{D^ku}_{p;\Omega}.$$

{{begin|proof}}
{{ref|type=lem|label=regdis}}の $\delta\in C^\infty(\R^n\backslash\Ombar)$ と{{ref|type=lem|label=kernel}} の $h$ をとり、$\displaystyle M\colon=-2\left(\sup_{\R^n\backslash\Ombar}D_n\delta\right)^{-1}$ とする。

$\lambda\ge 1$ について $\psi_\lambda\colon\R^n\backslash\Ombar\to\R^n$ を
$$\psi_\lambda(x',x_n)=(x',x_n+M\lambda\delta(x))$$
により定める。$x'\in\R^{n-1}$、$t\in(-\infty,\gamma(x'))$ について
$$\frac{\partial}{\partial t}(t+M\lambda\delta(x',t))=1+M\lambda D_n\delta(x',t)\le 1-2\lambda\lt 0.$$
また $\delta(x',\gamma(x'))=0$ より $\gamma(x')+M\lambda\delta(x',\gamma(x'))=\gamma(x')$ で
$$\psi_\lambda(x',t)=\gamma(x')-\int_t^{\gamma(x')}(1+M\lambda D_n\delta(x',s))ds\le\gamma(x')+(2\lambda-1)(\gamma(x')-t)\to +\infty\ (t\to-\infty).$$
よって $(-\infty,\gamma(x'))\to(\gamma(x'),+\infty),t\mapsto t+M\lambda\delta(x',t)$ は全単射である。これより $\psi_\lambda$ は $\R^n\backslash\Ombar$ から $\Omega$ への全単射で $|\det D\psi_\lambda|=|D_n\psi_\lambda|=2\lambda-1\ge 1$ となるので $p\in[1,\infty)$ と $u\in L^p(\Omega)$ について
$$\int_\Omega |u|^p=\int_{\R^n\backslash\Ombar}|u\circ\psi_\lambda|^p|D_n\psi_\lambda|\ge\int_{\R^n\backslash\Ombar}|u\circ\psi_\lambda|^p.$$
積分形のMinkowskiの不等式により $p\in[1,\infty]$ と $u\in L^p(\Omega)$ について
$$\norm{\int_1^\infty |(u\circ\psi_\lambda)h(\lambda)|d\lambda}_{p;\R^n\backslash\Omega}\le\int_1^\infty\norm{u\circ\psi_\lambda}_{p;\R^n\backslash\Omega}|h(\lambda)|d\lambda\le C\norm{u}_p.\tag{*}\label{stext1}$$

また $L(\psi_\lambda)\le 1+M\lambda[\delta]_{0,1}$ であるから $u\in C^{0,1}(\Ombar)$ とすると $x,y\in \R^n\backslash\Ombar$ について
$$\left|\int_0^1 u(\psi_\lambda(x))h(\lambda)d\lambda-\int_0^1 u(\psi_\lambda(y))h(\lambda)d\lambda\right|\le\int_0^1 (1+M\lambda[\delta]_{0,1})[u]_{0,1}|x-y||h(\lambda)|d\lambda\le C[u]_{0,1}|x-y|$$
となるので $\displaystyle \int_0^1(u\circ\psi_\lambda)h(\lambda)d\lambda\in C^{0,1}(\R^n\backslash\Omega)$。

また各 $\lambda\in[1,\infty)$ について $u\circ\psi_\lambda$ は a.e. in $\R^n\backslash\Ombar$ で微分可能であるから、Fubiniの定理よりa.e. $ x\in\R^n\backslash\Ombar$ について、a.e. $\lambda\in[1,\infty)$ に対し $u\circ\psi_\lambda$ は $x$ で微分可能である。またそのような $x\in\R^n\backslash\Ombar$ と $|k|$ が十分小さい $k\in\R\backslash\{0\}$ について
$$\left|\frac{u(\psi_\lambda(x+ke_i))-u_\lambda(x)}{k}h(\lambda)\right|\le(1+M\lambda[\delta]_{0,1})|h(\lambda)|$$
であるからLebesgueの収束定理より
\begin{align*}
D_i\left(\int_1^\infty(u\circ\psi_\lambda)h(\lambda)d\lambda\right)&=\int_1^\infty D_i(u\circ\psi_\lambda)h(\lambda)d\lambda\\
&=\int_1^\infty(D_iu\circ\psi_\lambda)h(\lambda)d\lambda+D_i\delta\int_1^\infty(D_nu\circ\psi_\lambda)h(\lambda)d\lambda.\tag{**}\label{stext2}
\end{align*}

また部分積分による帰納法により $u\in C^{k-1,1}(\Ombar)$、$x\in\R^n\backslash\Ombar$、$\lambda\ge 1$ について
$$u(\psi_\lambda(x))=\sum_{j=0}^{k-1}\frac{(M\delta(x))^j}{j!}D_n^ju(\psi_1(x))(\lambda-1)^j+\frac{(M\delta(x))^k}{(k-1)!}\int_1^\lambda (\lambda-\mu)^{k-1}D_n^ku(\psi_\mu(x))d\mu.$$
となるので $l\in\Zp$ について
\begin{align*}
\int_1^\infty \lambda^lu(\psi_\lambda(x))h(\lambda)d\lambda&=\int_1^\infty\left(\sum_{j=0}^{k-1}\frac{(M\delta(x))^j}{j!}D_n^ju(\psi_1(x))(\lambda-1)^j\lambda^l+\frac{(M\delta(x))^k}{(k-1)!}\int_1^\lambda (\lambda-\mu)^{k-1}\lambda^lD_n^ku(\psi_\mu(x))d\mu\right)h(\lambda)d\lambda\\
&=\frac{(M\delta(x))^k}{(k-1)!}\int_1^\infty\left(\int_1^\lambda (\lambda-\mu)^{k-1}\lambda^lD_n^ku(\psi_\mu(x))d\mu\right)h(\lambda)d\lambda.\tag{***}\label{stext3}
\end{align*}
積分形のMinkowskiの不等式と $\delta(x)\le C(\gamma(x')-x_n)$ より
\begin{align*}
&\quad\norm{(\gamma(x')-x_n)^{-k}\int_1^\infty \lambda^lu(\psi_\lambda(x))h(\lambda)d\lambda}_{p;(\R^n\backslash\Omega)_x}\\
&=\norm{(\gamma(x')-x_n)^{-k}\frac{(M\delta(x))^k}{(k-1)!}\int_1^\infty\left(\int_1^\lambda (\lambda-\mu)^{k-1}\lambda^lD_n^ku(\psi_\mu(x))d\mu\right)h(\lambda)d\lambda}_{p;(\R^n\backslash\Omega)_x}\\
&\le C\int_1^\infty\left(\int_1^\lambda\norm{D_n^ku\circ\psi_\mu}_{p;\R^n\backslash\Omega}(\lambda-\mu)^kd\mu\right)\lambda^l|h(\lambda)|d\lambda\\
&\le C\left(\int_1^\infty\left(\int_1^\lambda(\lambda-\mu)^kd\mu\right)\lambda^l|h(\lambda)|d\lambda\right)\norm{D_n^ku}_p\\
&=C\left(\int_1^\infty \frac{1}{(k+1)!}(\lambda-1)^{k+1}\lambda^l|h(\lambda)| d\lambda\right)\norm{D_n^ku}_p\\
&\le C\norm{D_n^ku}_p.\tag{****}\label{stext4}
\end{align*}
が成り立つ。<ref name="x">$\norm{}_{p;(\Omega)_x}$ は $x$ を変数と見做したときの $L^p(\Omega)$ におけるノルムを表す。</ref>

$u\in L^1(\Omega)\cap L^\infty(\Omega)$ について
$$Eu(x)\colon=\begin{cases}
u(x)&\colon x\in\Ombar\\
\int_1^\infty u(\psi_\lambda(x))h(\lambda)d\lambda &\colon x\in\R^n\backslash\Ombar
\end{cases}$$
と定める。(\ref{stext1})より $E$ はwell-definedで、$p\in[1,\infty]$ について $L^p(\Omega)$ から $L^p(\R^n)$ へ有界である。

$u\in C^{k-1,1}(\Ombar)=W^{k,\infty}(\Omega)$ とする。(\ref{stext2})と $k$ に関する帰納法により $Eu\in C^{k-1,1}(\R^n\backslash\Ombar)$ で多重指数 $|\alpha|\le k$ と $x\in\R^n\backslash\Ombar$ について $D^\alpha Eu(x)$ は
$$D^\alpha Eu(x)=\int_1^\infty D^\alpha u(\psi_\lambda(x)) h(\lambda)d\lambda+\sum_{0\lt\beta\le\alpha}\sum_{l=1}^{|\beta|}\sum_{\beta'_1+\ldots+\beta'_l=\beta}C_{\alpha,\beta'_1,\ldots,\beta'_l}\prod_{j=1}^lD^{\beta'_j}\delta(x)\int_1^\infty \lambda^lD^l_nD^{\alpha-\beta} u(\psi_\lambda(x)) h(\lambda)d\lambda$$
と表される。ここで $C_{\alpha,\beta'_1,\ldots,\beta'_l}$ は定数である。

(\ref{stext4})と $0\lt\beta\le\alpha$、$l=1,\ldots,|\beta|$ と $\beta'_1+\ldots+\beta'_l=\beta$ なる多重指数 $\beta'_1,\ldots\beta'_l$ について
$$\left|\prod_{j=1}^lD^{\beta'_j}\delta(x)\right|\le C(\gamma(x')-x_n)^{-(|\beta|-l)}$$
となることから
$$\norm{D^\alpha Eu}_{p;\R^n\backslash\Omega}\le C\norm{D^{|\alpha|}u}_p.$$
また $|\alpha|\le l-1$ とすると $x_0=(x_0',\gamma(x_0'))\in\pOm$ について $\psi_\lambda(x)\to x_0\ (x\to x_0)$ であるからLebesgueの収束定理より
$$\lim_{\substack{x\to x_0,\\x\in\R^n\backslash\Ombar}}\int_1^\infty D^\alpha u(\psi_\lambda(x)) h(\lambda)d\lambda=\int_1^\infty D^\alpha u(x_0) h(\lambda)d\lambda=u(x_0).$$
また $0\lt\beta\le\alpha$、$l=1,\ldots,|\beta|$ と $\beta'_1+\ldots+\beta'_l=\beta$ なる多重指数 $\beta'_1,\ldots\beta'_l$ について $\prod_{j=1}^lD^{\beta'_j}\delta(x)\delta(x)^{|\beta|-l}$ は有界で、Lebesgueの収束定理より
\begin{align*}
\lim_{\substack{x\to x_0,\\x\in\R^n\backslash\Ombar}}\int_1^\infty\left(\int_1^\lambda (\lambda-\mu)^{k-1}D^{|\beta|}_nD^{\alpha-\beta}u(\psi_\mu(x))d\mu\right)h(\lambda)d\lambda&=\int_1^\infty\left(\int_1^\lambda (\lambda-\mu)^{k-1}D^{|\beta|}_nD^{\alpha-\beta}u(x_0)d\mu\right)h(\lambda)d\lambda\\
&=\frac{1}{k}\left(\int_1^\infty(\lambda-1)^k\lambda^lh(\lambda)d\lambda\right)D^{|\beta|}_nD^{\alpha-\beta}u(x_0)=0
\end{align*}
であるから(\ref{stext4})とあわせて
$$\lim_{\substack{x\to x_0,\\x\in\R^n\backslash\Ombar}}\prod_{j=1}^lD^{\beta'_j}\delta(x)\int_1^\infty \lambda^lD^l_nD^{\alpha-\beta} u(\psi_\lambda(x)) h(\lambda)d\lambda=0.$$
従って $\displaystyle \lim_{\substack{x\to x_0,\\x\in\R^n\backslash\Ombar}}D^\alpha Eu(x)=D^\alpha u(x_0)$ となり $Eu\in C^{k-1}(\R^n)$。

また $x\in\Ombar$、$y\in\R^n\backslash\Ombar$ とすると $t\in[0,1]$ で $z\colon=(1-t)x+ty\in\pOm$ となるものが存在するので $|\alpha|=k-1$ とすると
$$|D^\alpha u(x)-D^\alpha Eu(y)|\le|D^\alpha u(x)-D^\alpha u(z)|+|D^\alpha u(z)-D^\alpha u(y)|\le \left((1-t)[D^\alpha u]_{0,1}+t[D^\alpha Eu]_{0,1}\right)|x-y|\le C\norm{D^ku}_{\infty}|x-y|.$$
よって $Eu\in C^{k-1,1}(\R^n)=W^{k,\infty}(\R^n)$ となる。

$p\in[1,\infty)$ について $W^{k,\infty}(\Omega)\cap W^{k,p}(\Omega)\subset W^{k,p}(\Omega)$ は稠密であり、$E$ は $L^p(\Omega)$ から $L^p(\R^n)$ へ有界であるから近似により
$$E(W^{k,p}(\Omega))\subset E^{k,p}(\R^n),\norm{D^kEu}_{p;\R^n}\le C\norm{D^ku}_{\Omega;\R^n}$$
も成り立つ。
{{end|proof}}

{{ref|type=thm|label=ext2}}と同様に次を得る:

{{theorem|type=thm|label=stext2}}
*(1) $T\subset\pOm$ をLipschitz境界部分とする。$T'\rcpt T$ について、$\OmT\subset\Omega_0$ をみたす開集合 $\Omega_0\subset\R^n$ と線型作用素 $E\colon L^1(\Omega)+L^\infty(\Omega)\to L^1(\Omega_0)+L^\infty(\Omega_0)$ であって $u\in L^1(\Omega)+L^\infty(\Omega)$ について $Eu=u$ in $\Omega$ をみたし、任意の $k\in\Zz$ と $p\in[1,\infty]$ について
$$E(W^{k,p}(\Omega))\subset W^{k,p}(\Omega),\norm{Eu}_{k,p;\Omega_0}\le C_{k,p}\norm{u}_{k,p;\Omega}\ (u\in W^{k,p}(\Omega))$$
をみたすものが存在する。また $\supp u\rcpt\OmT$ のとき $\supp Eu\rcpt\Omega_0$。
*(2) $T\subset\pOm$ を次をみたす相対開集合とする:
$$開集合D\subset\R^nと{\rm Lipschitz}境界部分S\subset\partial Dが存在し\Omega\subset D,T\rcpt S. \tag{$\diamondsuit'$}\label{D'}$$
このとき $\OmT\subset\Omega_0$ をみたす開集合 $\Omega_0\subset\R^n$ と線型作用素 $E\colon L^1(\Omega)+L^\infty(\Omega)\to L^1(\Omega_0)+L^\infty(\Omega_0)$ であって $u\in L^1(\Omega)+L^\infty(\Omega)$ について $Eu=u$ in $\Omega$ をみたし、任意の $k\in\Zz$ と $p\in[1,\infty]$ について
$$E(W^{k,p}_0(\Omega))\subset W^{k,p}_0(\Omega_0),\norm{Eu}_{k,p;\Omega_0}\le C_{k,p}\norm{u}_{k,p;\Omega}\ (u\in W^{k,p}(\Omega_0))$$
をみたすものが存在する。
*(3) $\Omega$ を有界な $C^{0,1}$ 領域とする。$D\subset\R^n$ を $\Omega\rcpt D$ なる開集合とすると線型作用素 $E\colon L^1(\Omega)\to L^1_c(D)$ であって $u\in L^1(\Omega)$ について $Eu=u$ in $\Omega$ をみたし、任意の $k\in\Zz$ と $p\in[1,\infty]$ について
$$E(W^{k,p}(\Omega))\subset W^{k,p}_c(D),\norm{Eu}_{k,p;D}\le C_{k,p}\norm{u}_{k,p;\Omega}\ (u\in W^{k,p}(\Omega))$$
をみたすものが存在する。

==Gagliardo-Nirenberg-Sobolevの不等式==
{{theorem|type=def|name=Sobolev共役指数|label=pstar}}
$p\in[1,n)$ について
$$p^*\colon=\frac{np}{n-p}$$
と定め、$p$ のSobolev共役指数という。$p^*$ は $p^{*-1}=p^{-1}-n^{-1}$ をみたす。

{{theorem|type=lem|label=GNSlem}}
$n\ge 2$ とする。$-\infty\le a_i\lt b_i\le +\infty\ (i=1,\ldots ,n)$ とし、$R\colon=(a_1,b_1)\times\ldots \times(a_n,b_n)$ とする。$f_1,\ldots ,f_n\in L^1(R)$ とすると
$$\int_{R}\left(\prod_{i=1}^n\int_{a_i}^{x_i}|f_i(x_1,\ldots ,x_{i-1},t,x_{i+1},\ldots ,x_n)|dt\right)^\frac{1}{n-1}dx_1\ldots dx_n\le\prod_{i=1}^n\norm{f_i}_{1;R}^\frac{1}{n-1}.$$

{{begin|proof|display=''Proof.''|collapsible=1}}
$n$ に関する帰納法により示す。

$n=2$ の場合を示す。$f_1,f_2\in L^1(R)$ とすると
\begin{align*}
\int_{R}\left(\int_{a_1}^{x_1}|f_1(t,x_2)|dt\right)\left(\int_{a_2}^{x_2}|f_2(x_1,t)|dt\right)dx_1dx_2&\le\int_{R}\left(\int_{a_1}^{b_1}|f_1(t,x_2)|dt\right)\left(\int_{a_2}^{b_2}|f_2(x_1,t)|dt\right)dx_1dx_2\\
&=\left(\int_{a_2}^{b_2}\left(\int_{a_1}^{b_1}|f_1(t,x_2)|dt\right)dx_2\right)\left(\int_{a_1}^{b_1}\left(\int_{a_2}^{b_2}|f_1(x_1,t)|dt\right)dx_1\right)\\
&\le\norm{f_1}_1\norm{f_2}_1
\end{align*}
となり主張が成り立つ。

ある $n$ について主張が成り立ったとし、$-\infty\le a_i\lt b_i\le +\infty\ (i=1,\ldots ,n+1)$ 、$R\colon=(a_1,b_1)\times\ldots \times(a_{n+1},b_{n+1})$、$f_1,\ldots ,f_{n+1}\in L^1(R)$ とする。また $R'\colon=(a_1,b_1)\times\ldots\times(a_n,b_n)$ とする。$i=1,\ldots ,n+1$ について
$$g_i(x')\colon=\int_{a_i}^{b_i}|f_i(x',t)|dt\ (x'\in R')$$
とすると $g_i\in L^1(R')$、$\norm{g_i}_{1;R'}=\norm{f_i}_{1;R}$。
\begin{align*}
&\quad \int_R\left(\prod_{i=1}^{n+1}\int_{a_i}^{x_i}|f_i(x_1,\ldots ,x_{i-1},t,x_{i+1},\ldots ,x_{n+1})|dt\right)^\frac{1}{n}dx_1\ldots dx_{n+1}\\
&\le\int_{R'}\left(\int_{a_{n+1}}^{b_{n+1}}\left(\prod_{i=1}^n\int_{a_i}^{x_i}|f_i(x_1,\ldots ,x_{i-1},t,x_{i+1},\ldots ,x_{n+1})|dt\right)^\frac{1}{n}dx_{n+1}\right)\left(\int_{a_{n+1}}^{b_{n+1}}|f_{n+1}(x_1,\ldots ,x_n,t)|dt\right)^\frac{1}{n}dx_1\ldots dx_n\\
&\le\left(\int_{R'}\left(\int_{a_{n+1}}^{b_{n+1}}\left(\prod_{i=1}^n\int_{a_i}^{x_i}|f_i(x_1,\ldots ,x_{i-1},t,x_{i+1},\ldots ,x_{n+1})|dt\right)^\frac{1}{n}dx_{n+1}\right)^\frac{n}{n-1}dx_1\ldots dx_n\right)^\frac{n-1}{n}\left(\int_{R'}|g(x',t)|dx'\right)^\frac{1}{n}\\
&\le\left(\int_{R'}\prod_{i=1}^n\left(\int_{a_{n+1}}^{b_{n+1}}\left(\int_{a_i}^{x_i}|f_i(x_1,\ldots ,x_{i-1},t,x_{i+1},\ldots ,x_{n+1})|dt\right)dx_{n+1}\right)^\frac{1}{n-1}dx_1\ldots dx_n\right)^\frac{n-1}{n}\norm{f_{n+1}}_1^\frac{1}{n}\\
&=\left(\int_{R'}\prod_{i=1}^n\left(\int_{a_i}^{x_i}g_i(x_1,\ldots ,x_{i-1},t,x_{i+1},\ldots ,x_n)dt\right)^\frac{1}{n-1}dx_1\ldots dx_n\right)^\frac{n-1}{n}\norm{f_{n+1}}_1^\frac{1}{n}\\
&\le\prod_{i=1}^n\norm{g_i}_1^\frac{1}{n}\norm{f_{n+1}}_1^\frac{1}{n}\\
&=\prod_{i=1}^{n+1}\norm{f_i}_1^\frac{1}{n+1}
\end{align*}
となる。これより主張が成り立つ。
{{end|proof}}

{{theorem|type=thm|name=Gagliardo-Nirenberg-Sobolevの不等式|label=GNS}}
$p\in[1,n)$ とすると $W^{1,p}(\R^n)\subset L^{p^*}(\R^n)$ で $u\in W^{1,p}(\R^n)$ について
$$\norm{u}_{p^*;\R^n}\le C_{n,p}\norm{Du}_{p;\R^n}.$$
{{theorem|type=rmk}}
任意の $u\in W^{1,p}(\R^n)$ について $\norm{u}_{p^*}\le C\norm{Du}_p$ となる定数 $C=C_{n,p}$ が存在しうる $p^*$ は $p^*=\frac{np}{n-p}$ に限られる。実際 $u\in C^\infty_c(\R^n)\backslash\{0\}$ と $\lambda\gt 0$ について $u_\lambda(x)\colon=u(\lambda x)$ として $u_\lambda\in C^\infty_c(\R^n)$ を定めると、積分の変数変換により $\norm{u_\lambda}_{p^*}=\lambda^{-\frac{n}{p^*}}\norm{u}_p$ となり、また $Du_\lambda(x)=\lambda Du(\lambda x)$ に注意すると $\norm{Du_\lambda}_{p}=\lambda^{1-\frac{n}{p}}\norm{Du}_p$ となるので $\frac{\norm{u_\lambda}_{p^*}}{\norm{Du_\lambda}_p}$ が有界となるには $-\frac{n}{p^*}=1-\frac{n}{p}$ が必要であるが、これをみたす $p^*$ は $p^*=\frac{np}{n-p}$ のみである。

{{begin|proof|display=''Proof.''|collapsible=1}}
$u\in C^\infty_c(\R^n)$ について $\norm{u}_{p^*;\R^n}\le C_{n,p}\norm{Du}_{p;\R^n}$ を示す。

$p=1$ の場合を示す。$i=1,\ldots ,n$ と $(x_1,\ldots ,x_n)\in\R^n$ について
$$|u(x_1,\ldots ,x_n)|\le\int_{-\infty}^{x_i}|D_iu(x_1,\ldots ,x_{i-1},t,x_{i+1},\ldots ,x_n)|dt$$
であるから
$$|u(x_1,\ldots ,x_n)|\le\prod_{i=1}^n\left(\int_{-\infty}^{x_i}|D_iu(x_1,\ldots ,x_{i-1},t,x_{i+1},\ldots ,x_n)|dt\right)^\frac{1}{n}.$$
{{ref|type=lem|label=GNSlem}}より
\begin{align*}
\int_{\R^n}|u|^{1^*}&\le\int_{\R^n}\prod_{i=1}^n\left(\int_{-\infty}^{x_i}|D_iu(x_1,\ldots ,x_{i-1},t,x_{i+1},\ldots ,x_n)|dt\right)^\frac{1}{n-1}dx_1\ldots dx_n\\
&\le\prod_{i=1}^n\norm{D_iu}_1^\frac{1}{n-1}\\
&\le\norm{Du}_1^{1^*}
\end{align*}
となり $\norm{u}_{1^*}\le\norm{Du}_1$ が成り立つ。

$p\in(1,n)$ の場合を示す。$t\in(1,\infty)$ として $v\colon=|u|^t$ とすると $v\in C^1_c(\R^n)$、$D_iv=t|u|^{t-1}\sgn uD_iu$。$p=1$ の場合より
$$\left(\int_\Omega |u|^{\frac{n}{n-1}t}\right)^\frac{n-1}{n}\le\int_\Omega t|u|^{t-1}|Du|\le t\left(\int_\Omega|u|^{\frac{p}{p-1}(t-1)}\right)^\frac{p-1}{p}\norm{Du}_p.$$
ここで $t=\frac{(n-1)p}{n-p}$ とすると $\frac{n}{n-1}t=\frac{p}{p-1}(t-1)=\frac{np}{n-p}$ となり
$$\left(\int_\Omega |u|^{p^*}\right)^\frac{n}{n-1}\le \frac{(n-1)p}{n-p}\left(\int_\Omega|u|^{p^*}\right)^\frac{p}{p-1}\norm{Du}_p.$$
これより $\norm{u}_{p^*}=\left(\int_\Omega |u|^{p^*}\right)^{\frac{n-1}{n}-\frac{p-1}{p}}\le\frac{(n-1)p}{n-p}\norm{Du}_p$ が従う。

$u\in W^{1,p}(\R^n)$ とし、$u_m\in C^\infty_c(\R^n)$、$\norm{u_m-u}_{1,p}\to 0\ (m\to\infty)$ とする。部分列に移って $u_m\to u $ a.e. in $\R^n$ としてよい。Fatouの補題より
$$\norm{u}_{p^*}\le\liminf_{m\to\infty}\norm{u}_{p^*}\le C\liminf_{m\to\infty}\norm{Du_m}_p=C\norm{Du}_p.$$
{{end|proof}}

{{theorem|type=ex}}
$C_{n,p}=\frac{(n-1)p}{n-p}$ はGagliardo-Nirenberg-Sobolevの不等式の最良定数(すなわちこの不等式が任意の $u\in W^{1,p}(\R^n)$ について成り立つ最小の $C_{n,p}$)ではない。Gagliardo-Nirenberg-Sobolevの不等式の最良定数は
$$C_{n,p}=n^{-\frac{1}{p}}\pi^{-\frac{1}{2}}\left(\frac{p-1}{n-p}\right)^{1-\frac{1}{p}}\left(\frac{\Gamma(1+\frac{n}{2})\Gamma(n)}{\Gamma(\frac{n}{p})\Gamma(1+n-\frac{n}{p})}\right)^\frac{1}{n}$$
で与えられ、
$$u(x)=(a+b|x|^\frac{p}{p-1})^{1-\frac{n}{p}}$$
とすると $\norm{u}_{p^*;\R^n}=C_{n,p}\norm{Du}_{p;\R^n}$ が成り立つことが知られている。ここで $a,b$ は正の定数であり、$\Gamma$ は $\Gamma$ 関数である。$u$ はTalentiの関数と呼ばれる。

{{theorem|type=cor|label=locGNS}}
$p\in[1,n)$ について $W^{1,p}_{\loc}(\Omega)\subset L^{p^*}_{\loc}(\Omega)$。

{{begin|proof|display=''Proof.''|collapsible=1}}
$u\in W^{1,p}_\loc(\Omega)$、$\Omega'\rcpt\Omega$ とし、$\zeta\in C^\infty_c(\Omega)$ で $\zeta=1$ in $\Omega'$ となるものをとると $\zeta u\in W^{1,p}_0(\Omega)\subset L^{p^*}(\Omega)$。これより $u\in L^{p^*}(\Omega')$。
{{end|proof}}

$W^{1,p}(\Omega)\subset L^{p^*}(\Omega)$ を示すには $\pOm$ に条件が必要である:

{{theorem|type=cor|label=gGNS}}
$p\in[1,n)$ について次が成り立つ:
*(1) $T\subset\pOm$ が(\ref{D})をみたす相対開集合のとき $W^{1,p}_0(\OmT)\subset L^{p^*}(\Omega)$ で $u\in W^{1,p}_0(\OmT)$ について
$$\norm{u}_{p^*;\Omega}\le C_{p,\Omega,T}\norm{u}_{1,p;\Omega}.$$
*(2) $\Omega$ が有界な $C^{0,1}$ 領域のとき $W^{1,p}(\Omega)\subset L^{p^*}(\Omega)$ で $u\in W^{1,p}(\Omega)$ について
$$\norm{u}_{p^*;\Omega}\le C_{p,\Omega}\norm{u}_{1,p;\Omega}.$$

{{begin|proof|display=''Proof.''|collapsible=1}}
(1)は $E\colon W^{1,p}_0(\OmT)\to W^{1,p}(\R^n)$ を拡張作用素とすれば $u\in W^{1,p}_0(\OmT)$ について
$$\norm{u}_{p^*}\le\norm{Eu}_{p^*}\le C\norm{DEu}_{p}\le C\norm{Eu}_{1,p}\le C\norm{u}_p.$$
(2)も同様。
{{end|proof}}

{{theorem|type=cor|name=$p=n$ の場合|label=pn}}
$|\Omega|\lt\infty$ のとき任意の $q\in[1,\infty)$ について $W^{1,n}_0(\Omega)\subset L^q(\Omega)$ で $u\in W^{1,n}_0(\Omega)$ について
$$\norm{u}_{q;\Omega}\le C_{n,q}|\Omega|^{q^{-1}}\norm{Du}_{n;\Omega}.$$

{{begin|proof|display=''Proof.''|collapsible=1}}
$q\ge 1^*$ の場合を示せば十分。{{ref|type=thm|label=GNS}}より
$$\norm{u}_q\le C\norm{Du}_\frac{nq}{n+q}\le C|\Omega|^{q^{-1}}\norm{Du}_n.$$
{{end|proof}}

{{theorem|type=cor|label=gpn}}
*(1) $q\in[n,\infty)$ について $W^{1,n}_{\loc}(\Omega)\subset L^q_{\loc}(\Omega)$。
*(2) $|\Omega|\lt\infty$ で $T\subset\pOm$ が $T\subset\pOm$ を(\ref{D})をみたす相対開集合のとき任意の $q\in[n,\infty)$ について $W^{1,n}_0(\OmT)\subset L^q(\Omega)$ で $u\in W^{1,p}_0(\OmT)$ について
$$\norm{u}_{q;\Omega}\le C_{q,\Omega,T}\norm{u}_{n;\Omega}.$$
*(3) $\Omega$ を有界な $C^{0,1}$ 領域とすると任意の $q\in[n,\infty)$ について $W^{1,n}(\Omega)\subset L^q(\Omega)$ で $u\in W^{1,p}(\Omega)$ について
$$\norm{u}_{q;\Omega}\le C_{q,\Omega}\norm{u}_{n;\Omega}.$$
{{theorem|type=rmk}}
$n=1$ の場合は{{ref|type=thm|label=dim1mor}}より $W^{1,1}(I)\subset L^\infty(I)$ であるが、$n\ge 2$ の場合は $W^{1,n}(\Omega)\subset L^\infty(\Omega)$ は成り立たない。

たとえば $\Omega=B_1(0)$ とし、
$$u(x)=(-\log|x|)^\alpha,\alpha\in (0,1-n^{-1})$$
とすると、任意の $q\in[1,\infty)$ について $u\in L^q(\Omega)$ で、$x\in\Omega\backslash\{0\}$ について
$$Du(x)=\alpha|x|^{-2}(-\log|x|)^{\alpha-1}x$$
が各点の意味で成り立ち、$n(\alpha-1)\lt -1$ より
$$\int_\Omega |Du|^n=n\omega_n\int_0^1 r^{-n+(n-1)}(-\log r)^{n(\alpha-1)}dr\lt\infty.$$
また $\varphi\in C^\infty_c(\Omega)$ と $r\in(0,1)$ について
$$\int_{\Omega\backslash\Bb_r(0)}uD_i\varphi=-\int_{\Omega\backslash\Bb_r(0)}D_iu\varphi-\int_{\partial\Bb_r(0)}(-\log|x|)^\alpha\varphi(x)\frac{x_i}{r}d\H^{n-1}(x),$$
$$\left|\int_{\partial\Bb_r(0)}(-\log|x|)^\alpha\varphi(x)\frac{x_i}{r}d\H^{n-1}(x)\right|\le \norm{\varphi}_\infty(-\log r)^\alpha\cdot n\omega_n r^{n-1}\to 0\ (r\to 0)$$
より $u$ は弱微分をもち、各点微分と一致する。これより $u\in W^{1,n}(\Omega)$。一方、明らかに $u\notin L^\infty(\Omega)$ である。
==Rieszポテンシャル==
$p\in(n,\infty)$ の場合を扱う準備として、次のRieszポテンシャルを定義する:

{{theorem|type=def|name=Rieszポテンシャル|label=riep}}
$\mu\in(0,1]$ とする。$\L^n$ -可測関数 $f\colon\Omega\to\R$ について合成積 $|\cdot|^{-n(1-\mu)}*f$ がある開集合上で定義されるときこれを $V_\mu f$ とかきRieszポテンシャルという。

{{theorem|type=pro|label=riep1}}
$|\Omega|\lt\infty$、$p\in[1,\infty]$、$\mu\in(0,1]$ とする。$f\in L^p(\Omega)$ とすると $V_\mu f$ は $\Omega$ 上で定義され次が成り立つ:
*(1) $q\in[p,\infty]$ が $\delta\colon=p^{-1}-q^{-1}\lt\mu$ をみたすとすると
$$V_\mu f\in L^q(\Omega),\norm{V_\mu f}_{q;\Omega}\le\left(\frac{1-\delta}{\mu-\delta}\right)^{1-\delta}\omega_n^{1-\mu}|\Omega|^{\mu-\delta}\norm{f}_{p;\Omega}.$$
*(2) $p\in[1,\infty)$、$\mu=p^{-1}$、$f\not\equiv 0$ のとき、$\alpha\gt 0$ について
$$\int_\Omega\exp\left(\left(\frac{|V_{p^{-1}} f|}{C_{n,p,\alpha}\norm{f}_{p,\Omega}}\right)^{p'}\right)\le (1+\alpha)|\Omega|.$$

{{begin|proof|display=''Proof.''|collapsible=1}}
(1)を示す。$h\colon=|\cdot|^{-n(1-\mu)}$、$r\colon=(q^{-1}-p^{-1}+1)^{-1}=(1-\delta)^{-1}$ とする。
$$\norm{h}_{r;\Omega}\le\left(\frac{1-\delta}{\mu-\delta}\right)^{1-\delta}\omega_n^{1-\mu}|\Omega|^{\mu-\delta}\tag{*}\label{riep}$$
を示す。

$R\colon=(\omega_n^{-1}|\Omega|)^{n^{-1}}$ とする。$|\Omega|=\omega_nR^n=|B_R(0)|$ であるから $|\Omega\backslash B_R(0)|=|B_R(0)\backslash\Omega|$ で
$$\int_{\Omega}h^r\le R^{-n(1-\mu)}|\Omega\backslash B_R(0)|+\int_{B_R(0)\cap\Omega}h^r=R^{-n(1-\mu)}|B_R(0)\backslash\Omega|+\int_{B_R(0)\cap\Omega}h^r\le\int_{B_R(0)}h^r.$$
$1-(1-\mu)r=1-\frac{1-\mu}{1-\delta}=\frac{\mu-\delta}{1-\delta}\gt 0$ に注意すると
$$\int_\Omega h^r\le\int_{B_R(0)}h^r=n\omega_n\int_0^R t^{n-n(1-\mu)r-1}dx=\frac{1-\delta}{\mu-\delta}\omega_nR^{n-n(1-\mu)r}=\frac{1-\delta}{\mu-\delta}\omega_n^{(1-\mu)r}|\Omega|^{(\mu-\delta)r}$$
となり(\ref{riep})が従う。

$x,y\in\Omega$ について(\ref{riep})より
\begin{align*}
\norm{h(x-\cdot)}_{r;\Omega}&=\norm{h}_{r;x-\Omega}\le\left(\frac{1-\delta}{\mu-\delta}\right)^{1-\delta}\omega_n^{1-\mu}|\Omega|^{\mu-\delta},\\
\norm{h(\cdot-y)}_{r;\Omega}&=\norm{h}_{r;\Omega-y}\le\left(\frac{1-\delta}{\mu-\delta}\right)^{1-\delta}\omega_n^{1-\mu}|\Omega|^{\mu-\delta}.
\end{align*}
$q^{-1}=p^{-1}+r^{-1}-1$ であるからYoungの不等式より $V_\mu f$ は $\Omega$ 上で定義され
$$V_\mu f\in L^q(\Omega),\norm{V_\mu f}_q\le\left(\frac{1-\delta}{\mu-\delta}\right)^{1-\delta}\omega_n^{1-\mu}|\Omega|^{\mu-\delta}\norm{f}_p$$
が成り立つ。

(2)を示す。$\mu=p^{-1}$ のときは任意の $q\in[p,\infty)$ が $p^{-1}-q^{-1}\lt\mu$ をみたす。

$N\colon=\lceil p-1\rceil$ とする。$m\in\Z$、$m\ge N$ とすると $mp'\ge p$ となり、$q=mp'$ として(1)を用いると $\delta=p^{-1}-(mp')^{-1}=1-(1+m^{-1})p'^{-1}$ より
$$\int_\Omega|V_{p^{-1}}f|^{mp'}\le\left((m+1)^{(1+m^{-1})p'^{-1}}\omega_n^{p'^{-1}}|\Omega|^{(mp')^{-1}}\norm{f}_p\right)^{mp'}=(m+1)^{m+1}\omega_n^m|\Omega|\norm{f}_p^{mp'}.$$
$m=1,\ldots ,N-1$ については
$$\int_\Omega|V_{p^{-1}}f|^{mp'}\le|\Omega|^{1-\frac{m}{N}}\left(\int_\Omega|V_{p^{-1}}f|^{Np'}\right)^\frac{m}{N}\le N^m\omega_n^m|\Omega|\norm{f}_p^{mp'}.$$
$m!=O(m^{m+\frac{1}{2}}e^{-m})$ に注意すると $m\in\Zp$ について
$$\int_\Omega|V_{p^{-1}}f|^{mp'}\le C(m+1)^{-\frac{1}{2}}e^{-m}(m+1)!|\Omega|.$$
これより $M\gt (e\omega_n)^{p'^{-1}}$ について
\begin{align*}
\int_\Omega\exp\left(\left(\frac{|V_{p^{-1}}f|}{M\norm{f}_p}\right)^{p'}\right)&=|\Omega|+\sum_{m=1}^\infty\frac{1}{m!(M\norm{f}_p)^{mp'}}\int_\Omega|V_{p^{-1}}f|^{mp'}\\
&\le\left(1+C\sum_{m=1}^\infty\frac{(m+1)^\frac{1}{2}e^{m+1}\omega_n^m}{M^m}\right)|\Omega|.
\end{align*}
$\displaystyle \sum_{m=1}^\infty\frac{(m+1)^\frac{1}{2}e^{m+1}}{M^m}\to 0 (M\to\infty)$ であるから十分大きな $C=C_{n,p,\alpha}$ をとれば
$$\int_\Omega\exp\left(\left(\frac{|V_{p^{-1}}f|}{C\norm{f}_p}\right)^{p'}\right)\le(1+\alpha)|\Omega|.$$
{{end|proof}}

$\mu=\delta$ の場合は次の結果が重要である:

{{theorem|type=thm|name=Hardy-Littlewood-Sobolevの不等式|label=HLS}}
$p\in[1,\mu^{-1})$ とし、$f\in L^p(\R^n)$ とすると $V_\mu f$ は $\R^n$ 上で定義され、$q\colon=\frac{p}{1-\mu p}$ とすると次が成り立つ:
*(1) $p=1$ のとき
$$V_\mu f\in L^{q,w}(\R^n),[V_\mu f]_{q;\R^n}\le C_{n,\mu}\norm{f}_{1;\R^n}.$$
( $L^{q,w}$ と $[\cdot]_q$ の定義は[[Marcinkiewiczの補間定理]]を参照。)
*(2) $p\in(1,\mu^{-1})$ のとき
$$V_\mu f\in L^q(\R^n),\norm{V_\mu f}_{q;\R^n}\le C_{n,p,\mu}\norm{f}_{p;\R^n}.$$

{{begin|proof|display=''Proof.''|collapsible=1}}
$R\gt 0$ とし、$h_1\colon=|\cdot|^{-n(1-\mu)}\chi_{B_R(0)}$、$h_2\colon=|\cdot|^{-n(1-\mu)}\chi_{\R^n\backslash B_R(0)}$ とする。
$$\norm{h_1}_1=n\omega_n\int_0^R t^{n\mu-1}dt=\mu^{-1}\omega_nR^{n\mu}$$
であるからYoungの不等式より
$$h_1*f\in L^p(\R^n),\norm{h_1*f}_p\le CR^{n\mu}\norm{f}_p.$$
また $p'\colon=\frac{p}{p-1}$ とすると $((1-\mu)p'-1)^{-1}=p'((1-\mu)-(1-p^{-1}))^{-1}=p'q^{-1}$
$$\norm{h_2}_{p'}^{p'}=n\omega_n\int_R^\infty t^{n-n(1-\mu)p'-1}dt=p'q^{-1}\omega_nR^{-np'q^{-1}}$$
であるからHölderの不等式より
$$h_2*f\in L^\infty(\R^n),\norm{h_2*f}_\infty\le KR^{-nq^{-1}}\norm{f}_p,K\colon=(p'q^{-1}\omega_n)^{1-p^{-1}}.$$
よって $V_\mu f=h_1*f+h_2*f$ は $\R^n$ 上で定義される。

$t\gt 0$ とする。$R=(2K\norm{f}_pt^{-1})^{n^{-1}q}$ ととれば $\norm{h_2*f}_\infty\le\frac{t}{2}$ となり
$$\left|\left\{|h_2*f|\gt\frac{t}{2}\right\}\right|=0.$$
また $\mu pq+p=q(\mu p+p(p^{-1}-\mu))=q$ に注意すると
$$\left|\left\{|h_1*f|\gt\frac{t}{2}\right\}\right|=(\norm{h_1*f}_pt^{-1})^p\le C(R^{n\mu}\norm{f}_pt^{-1})^p=C(\norm{f}_pt^{-1})^{\mu pq+p}=C(\norm{f}_pt^{-1})^q.$$
$|V_\mu f|\gt t\implies|h_1*f|\gt\frac{t}{2}$ or $|h_2*f|\gt\frac{t}{2}$ より
$$|\{|V_\mu f|\gt t\}|\le\left|\left\{|h_1*f|\gt\frac{t}{2}\right\}\right|+\left|\left\{|h_2*f|\gt\frac{t}{2}\right\}\right|\le C(\norm{f}_pt^{-1})^q.$$
従って
$$V_\mu f\in L^{q,w}(\R^n),[V_\mu f]_q\le C\norm{f}_p.\tag{*}\label{HLS}$$
(1)はこれで示された。

(2)を示す。$p_0,p_1$ を $1\le p_0\lt p\lt p_1\lt\mu^{-1}$ となるようにとり、$q_i\colon=\frac{p_i}{1-\mu p_i}\ (i=0,1)$ とする。$\theta\in(0,1)$ を $p^{-1}=(1-\theta)p_0^{-1}+\theta p_1^{-1}$ となるようにとると
$$q^{-1}=p^{-1}-\mu=(1-\theta)(p_0^{-1}-\mu)+\theta(p_1^{-1}-\mu)=(1-\theta)q_0^{-1}+\theta q_1^{-1}.$$
(\ref{HLS})と[[Marcinkiewiczの補間定理]]より(2)が従う。
{{end|proof}}

{{theorem|type=pro|name=Rieszポテンシャルと微分の関係|label=riep2}}
*(1) $k=1,\ldots,n$ とする。$u\in C^\infty_c(\R^n)$ とすると $x\in\R^n$ について
$$u(x)=\frac{1}{(k-1)!n\omega_n}\int_{\R^n}\sum_{|\alpha|=k}|x-y|^{-n}(x-y)^\alpha D^\alpha u(y)dy.$$
とくに $u\in W^{k,1}(\Omega)$ について
$$|u|\le\frac{1}{(k-1)!n\omega_n}V_\frac{k}{n}|D^ku|.$$
*(2) $\Omega$ は凸であるとし、$S\subset\Omega$ は有界かつ $|S|\gt 0$ をみたすとする。$u\in W^{1,1}(\Omega)$ とすると
$$|u-u_S|\le\frac{(\diam\Omega)^n}{n|S|}|V_{n^{-1}}u|\ \inn\Omega.$$
ここで
$$u_S\colon=\frac{1}{|S|}\int_S u.$$

{{begin|proof|display=''Proof.''|collapsible=1}}
(1)を示す。$z\in\partial B_1(0)$ とする。十分大きい $t\gt 0$ について $u(x+tz)=0$ となることに注意すると部分積分による $k$ に関する帰納法により
$$u(x)=\frac{1}{(k-1)!}\int_0^\infty t^{k-1}D^k_z u(x+tz)dt=\frac{(-1)^k}{(k-1)!}\int_0^\infty\sum_{|\alpha|=k}t^{k-1}z^\alpha D^\alpha u(x+tz)dt.$$
よって
\begin{align*}
u(x)&=\frac{(-1)^k}{(k-1)!n\omega_n}\int_{\partial B_1(0)}\left(\int_0^\infty \sum_{|\alpha|=k}t^{k-1}z^\alpha D^\alpha u(x+tz)dt\right)d\H^{n-1}(z)\\
&=\frac{1}{(k-1)!n\omega_n}\int_0^\infty\left(\int_{B_t(x)} \sum_{|\alpha|=k}t^{k-n}(t^{-1}(x-y))^\alpha D^\alpha u(y)d\H^{n-1}(y)\right)dt\\
&=\frac{1}{(k-1)!n\omega_n}\int_{\R^n} \sum_{|\alpha|=k}|x-y|^{-n}(x-y)^\alpha D^\alpha u(y)dy.
\end{align*}

(2)を示す。$x,z\in\Omega$ とすると
$$u(x)-u(z)=\int_0^1 Du(tx+(1-t)z)\cdot(x-z)dt.$$
$z\in S$ について積分すると
$$u(x)-u_S=\frac{1}{|S|}\int_S\left(\int_0^1 Du((1-t)x+tz)\cdot(x-z)dt\right)dz.$$
$t\in[0,1]$ について $x\in (1-t)x+t\Omega$、$\diam((1-t)x+t\Omega)=t\diam\Omega$ より $y\in\Omega$ について $y\in(1-t)x+t\Omega\implies |x-y|\le t\diam\Omega$ となることに注意すると
\begin{align*}
|u(x)-u_S|&\le\frac{1}{|S|}\int_S\left(\int_0^1 |Du((1-t)x+tz)||x-z|dt\right)dz\\
&=\frac{1}{|S|}\int_0^1\left(\int_{(1-t)x+tS} t^{-n}|Du(y)|t^{-1}|x-y|dy\right)dt\\
&=\frac{1}{|S|}\int_\Omega\left(\int_{\{t\in[0,1]\colon y\in(1-t)x+tS\}}t^{-n-1}|x-y||Du(y)|dt\right)dy\\
&\le\frac{1}{|S|}\int_\Omega\left(\int_{\{t\in[0,1]\colon y\in(1-t)x+t\Omega\}}t^{-n-1}|x-y||Du(y)|dt\right)dy\\
&\le\frac{1}{|S|}\int_\Omega\left(\int_\frac{|x-y|}{\diam\Omega}^\infty t^{-n-1}|x-y||Du(y)|dt\right)dy\\
&=\frac{(\diam\Omega)^n}{n|S|}\int_\Omega|x-y|^{1-n}|Du(y)|dt.
\end{align*}
{{end|proof}}

{{theorem|type=ex}}
$p\in(1,n)$ の場合は(1)とHardy-Littlewood-Sobolevの不等式を組み合わせてSobolevの不等式を証明することもできる。

==Poincaréの不等式==
実用上は以下に示すSobolevの不等式のより弱い形であるPoincaréの不等式で十分であることも多い。
{{theorem|type=thm|name=Poincaréの不等式|label=Poi0}}
*(1) $|\Omega|\lt\infty$ とする。$p\in[1,\infty)$ と $u\in W^{1,p}_0(\Omega)$ について
$$\norm{u}_{p;\Omega}\le C_n|\Omega|^{n^{-1}}\norm{Du}_{p;\Omega}.$$
*(2) $\Omega$ は一方向に有界であるとする。すなわち $z\in\partial B_1(0)$ が存在し $\displaystyle w\colon=\sup_{x\in\R^n}\diam(\{t\in\R\colon x+tz\in\Omega\})\lt\infty$ となるとする。$p\in[1,\infty)$ と $u\in W^{1,p}_0(\Omega)$ について
$$\norm{u}_{p;\Omega}\le C_nw\norm{D_zu}_{p;\Omega}.$$

{{begin|proof|display=''Proof.''|collapsible=1}}
(1)は{{ref|type=pro|label=riep2}}の(1)と{{ref|type=pro|label=riep1}}の(1)より
$$\norm{u}_p\le\frac{1}{n\omega_n}\norm{V_{n^{-1}}|Du|}_p\le C|\Omega|^{n^{-1}}\norm{Du}_p.$$

(2)を示す。$u\in C^\infty_c(\Omega)$ としてよい。

$\pi\colon=\{x\in\R^n\colon z\cdot x=0\}$ とする。$x\in\pi$ について
$$a_x\colon=\inf\{t\in\R\colon x+tz\in\Omega\},b_x\colon=\sup\{t\in\R\colon x+tz\in\Omega\},I_x\colon=(a_x,b_x)$$
とすると $|I_x|\le w$、$\displaystyle \Omega\subset\bigcup_{x\in\pi}\{x+tz\colon t\in I_x\}$。
$u\in C^\infty_c(\Omega)$ とすると{{ref|type=thm|label=dim1mor}}より $x\in\pi$ について
$$\left(\int_{I_x}|u(x+tz)|^pdt\right)^{p^{-1}}\le|I_x|^{p^{-1}}\sup_{t\in I_x}|D_zu(x+tz)|\le|I_x|\left(\int_{I_x}|D_zu(x+tz)|^pdt\right)^{p^{-1}}.$$
Lipschitz連続関数 $x\mapsto z\cdot x$ に対して[[Hausdorff測度とarea_coarea_formula|coarea formula]]を用いると
\begin{align*}
\norm{u}_p&=\left(\int_\R\left(\int_{\{x\in\Omega\colon z\cdot x=t\}}|u(x)|^pd\H^{n-1}(x)\right)dt\right)^{p^{-1}}\\
&=\left(\int_\R\left(\int_{\{x\in\pi\colon x+tz\in\Omega\}}|u(x+tz)|^pd\H^{n-1}(x)\right)dt\right)^{p^{-1}}\\
&=\left(\int_\pi\left(\int_{I_x}|u(x+tz)|^pdt\right)d\H^{n-1}(x)\right)^{p^{-1}}\\
&\le\left(\int_\pi |I_x|^p\left(\int_{I_x}|D_zu(x+tz)|^pdt\right)d\H^{n-1}\right)^{p^{-1}}\\
&\le w\norm{D_zu}_p.
\end{align*}
{{end|proof}}

{{theorem|type=thm|name=Poincaréの不等式|label=Poi}}
$\Omega$ は有界かつ凸であるとする。$p\in[1,\infty)$ と $u\in W^{1,p}(\Omega)$ と $|S|\gt 0$ なる $S\subset\Omega$ について
$$\norm{u-u_S}_{p;\Omega}\le C_n\frac{(\diam\Omega)^n}{|S|}|\Omega|^{n^{-1}}\norm{Du}_{p;\Omega}.$$

{{begin|proof|display=''Proof.''|collapsible=1}}
{{ref|type=pro|label=riep2}}の(2)と{{ref|type=pro|label=riep1}}の(1)より
$$\norm{u-u_\Omega}_p\le\frac{(\diam\Omega)^n}{n|\Omega|}\norm{V_{n^{-1}}|Du|}_p\le C\frac{(\diam\Omega)^n}{|S|}|\Omega|\norm{Du}_p.$$
{{end|proof}}

{{theorem|type=rmk}}
$|\Omega|\lt\infty$ または $\Omega$ が一方向に有界のとき、$\norm{Du}_{p;\Omega}$ は $W^{1,p}_0(\Omega)$ に $\norm{u}_{1,p;\Omega}$ と同値なノルムを定める。とくに $p=2$ のとき、
$$\int_\Omega Du\cdot Dv$$
は $W^{1,2}_0(\Omega)$ に $W^{1,2}(\Omega)$ における内積と同値な内積を定める。

また、$\Omega$ が有界かつ凸のとき、$\norm{Du}_{p;\Omega}$ は $W^{1,p}(\Omega)$ の閉部分空間 $\{u\in W^{1,p}(\Omega)\colon u_\Omega=0\}$ に $\norm{u}_{1,p;\Omega}$ と同値なノルムを定める。

==Morreyの不等式==
ここでは $p\in(n,\infty)$ の場合を取り扱う。

{{theorem|type=thm|name=Morreyの不等式|label=mor}}
$p\in(n,\infty)$ とする。$\alpha=1-\frac{n}{p}$ とすると次が成り立つ。
*(1) $|\Omega|\lt\infty$ のとき $W^{1,p}_0(\Omega)\subset L^\infty(\Omega)$ で $u\in W^{1,p}_0(\Omega)$ について
$$\norm{u}_{\infty;\Omega}\le C_{n,p}|\Omega|^{n^{-1}-p^{-1}}\norm{Du}_{p;\Omega}.$$
*(2) $W^{1,p}(\R^n)\subset C^{0,\alpha}(\R^n)$ で $u\in W^{1,p}(\R^n)$ について
$$[u]_{0,\alpha;\R^n}\le C_{n,p}\norm{Du}_{p;\R^n}.$$
とくに $|\Omega|\lt\infty$ のとき $W^{1,p}_0(\Omega)\subset C^{0,\alpha}(\Ombar)$ で $u\in W^{1,p}_0(\Omega)$ について
$$|u|_{0,\alpha;\Omega}\le C_{n,p,|\Omega|}\norm{Du}_{p;\Omega},u=0\ \on\pOm.$$

{{begin|proof|display=''Proof.''|collapsible=1}}
(1)を示す。{{ref|type=pro|label=riep2}}の(1)と{{ref|type=pro|label=riep1}}で $\mu=n^{-1}$、$q=\infty$ としたものより
$$\norm{u}_\infty\le CV_{n^{-1}}|Du|\le C|\Omega|^{n^{-1}-p^{-1}}\norm{Du}_p.$$

(2)を示す。$B=B_r\subset\R^n$ とする。{{ref|type=pro|label=riep2}}の(2)と{{ref|type=pro|label=riep1}}より
$$|u-u_B|\le\frac{(\diam B)^n}{n|B|}V_{n^{-1}}\left(\left(\left.|Du|\right)\right|_B\right)\le C|B|^{n^{-1}-p^{-1}}\norm{Du}_p\le Cr^\alpha\norm{Du}_p\ \inn B.$$
$x,y\in B$ とすると
$$|u(x)-u(y)|\le|u(x)-u_B|+|u(y)-u_B|\le Cr^\alpha\norm{Du}_p.\tag{*}\label{mor1}$$
$x,y\in\R^n$、$x\neq y$ について、$B=B_r$ を $x,y\in B$ かつ $r\le|x-y|$ となるようにとれるので
$$|u(x)-u(y)|\le C\norm{Du}_p|x-y|^\alpha$$
が成り立つ。$u=0$ on $\pOm$ は $u_m\in W^{1,p}_c(\Omega)$、$\norm{u_m-u}_{1,p;\Omega}\to 0\ (m\to\infty)$ とすると $u_m=0$ on $\pOm$、$\norm{u_m-u}_\infty\to 0\ (m\to\infty)$ となることから成り立つ。
{{end|proof}}

{{ref|type=cor|label=locGNS}}、{{ref|type=cor|label=gGNS}}と同様に次が成り立つ:

{{theorem|type=cor|label=locmor}}
$p\in(n,\infty)$ とする。$\alpha=1-\frac{n}{p}$ とすると $W^{1,p}_{\loc}(\Omega)\subset C^{0,\alpha}(\Omega)$。

{{theorem|type=cor|label=gmor}}
$p\in(n,\infty)$ とする。$\alpha=1-\frac{n}{p}$ とすると次が成り立つ:
*(1) $|\Omega|\lt\infty$ で $T\subset\pOm$ が(\ref{D})をみたす相対開集合のとき $W^{1,p}_0(\OmT)\subset C^{0,\alpha}(\Ombar)$ で $u\in W^{1,p}_0(\OmT)$ について
$$|u|_{0,\alpha;\Omega}\le C_{p,T,\Omega}\norm{u}_{1,p;\Omega}, u=0\ \on \Omega\backslash T.$$
*(2) $\Omega$ を有界な $C^{0,1}$ 領域とすると $W^{1,p}(\Omega)\subset C^{0,\alpha}(\Ombar)$ で $u\in W^{1,p}(\Omega)$ について
$$|u|_{0,\alpha;\Omega}\le C_{p,\Omega}\norm{u}_{1,p;\Omega}.$$

{{theorem|type=rmk}}
{{ref|type=thm|label=lip}}より、{{ref|type=cor|label=locmor}}と{{ref|type=cor|label=gmor}}の(2)は $p=\infty$ の場合にも成立する。

{{theorem|type=cor|name=a.e.微分可能性|label=difae}}
$p\in(n,\infty]$ とする。$u\in W^{1,p}_{\loc}(\Omega)$ は a.e. in $\Omega$ で微分可能で、各点微分と弱微分は一致する。

{{begin|proof|display=''Proof.''|collapsible=1}}
$p\in(n,\infty)$ としてよい。

$x_0\in\Omega$ は
$$r^{-n}\int_{B_r(x_0)}|Du-Du(x_0)|^p\to 0\ (r\to +0)$$
をみたすとする。Lebesgueの微分定理よりこれはa.e. $x_0\in\Omega$ で成り立つ。
$$v(x)\colon=u(x)-u(x_0)-Du(x_0)\cdot(x-x_0)\ (x\in\Omega)$$
と定め、$v(x)=o(|x-x_0|)\ (|x-x_0|\to +0)$ を示せばよい。

{{ref|type=thm|label=mor}}の証明の(\ref{mor1})より $B_r=B_r(x_0)\rcpt\Omega$ について
$$|v|_{\infty;B_r}=|v-v(x_0)|_{\infty;B_r}\le C\norm{Dv}_{p;B_r}r^{1-\frac{p}{n}}\le Cr\left(r^{-n}\int_{B_r}|Du-Du(x_0)|^p\right)^{p^{-1}}.$$
これより $v(x)=o(|x-x_0|)\ (|x-x_0|\to +0)$。
{{end|proof}}

{{theorem|type=ex}}
$p=\infty$ の場合を{{ref|type=thm|label=lip}}と組み合わせるとRademacherの定理([[Hausdorff測度とarea_coarea_formula]]の定理33)の別の証明が得られる。

==Trudinger-Moserの不等式==
{{ref|type=cor|label=gpn}}の注意で述べたように、$p=n\ge 2$ の場合のSobolevの不等式はその他の場合より繊細である。一方、Rieszポテンシャルを用いると{{ref|type=cor|label=pn}}と{{ref|type=cor|label=gpn}}の評価をより精密にすることができる。

{{theorem|type=thm|name=Trudinger-Moserの不等式|label=TM}}
$n\ge 2$ のとき次が成り立つ:
*(1) $|\Omega|\lt\infty$ のとき $u\in W^{1,n}_0(\Omega)\backslash\{0\}$ と $\alpha\gt 0$ について
$$\int_\Omega\exp\left(\left(\frac{|u|}{C_{n,\alpha}\norm{Du}_{n;\Omega}}\right)^\frac{n}{n-1}\right)\le (1+\alpha)|\Omega|.$$
*(2) $|\Omega|\lt\infty$ で $T\subset\pOm$ を $T\subset\pOm$ が(\ref{D})をみたす相対開集合のとき $u\in W^{1,n}_0(\OmT)\backslash\{0\}$ と $\alpha\gt 0$ について
$$\int_\Omega\exp\left(\left(\frac{|u|}{C_{\Omega,T,\alpha}\norm{u}_{1,n;\Omega}}\right)^\frac{n}{n-1}\right)\le (1+\alpha)|\Omega|.$$
*(3) $\Omega$ が有界な $C^{0,1}$ 領域のとき $u\in W^{1,n}(\Omega)\backslash\{0\}$ と $\alpha\gt 0$ について
$$\int_\Omega\exp\left(\left(\frac{|u|}{C_{\Omega,\alpha}\norm{u}_{1,n;\Omega}}\right)^\frac{n}{n-1}\right)\le (1+\alpha)|\Omega|.$$

{{begin|proof|display=''Proof.''|collapsible=1}}
(1)を示す。{{ref|type=pro|label=riep2}}の(1)より $u\in C^\infty_c(\R^n)$ について $|u|\le CV_{n^{-1}}|Du|$ となるので{{ref|type=pro|label=riep1}}より
$$\int_\Omega\left(\left(\frac{|u|}{C\norm{Du}_{n;\Omega}}\right)^\frac{n}{n-1}\right)\le(1+\alpha)|\Omega|.$$
一般の場合は近似により従う。

(2)と(3)は(1)と拡張作用素により示される。
{{end|proof}}

{{theorem|type=rmk}}
{{ref|type=cor|label=gpn}}の注意の $u$ は $\int_\Omega\exp\left(|u|^\frac{n}{n-1}\right)\lt\infty$ をみたしている。

==一般のSobolevの不等式==
{{theorem|type=thm|name=一般のSobolevの不等式|label=gsob}}
$k\in\Zp$、$p\in[1,\infty)$ とする。次が成り立つ:
*(1) $kp\lt n$ のとき $p_k\colon=\frac{np}{n-kp}$ とすると $W^{k,p}(\R^n)\subset L^{p_k}(\R^n)$ で $u\in W^{k,p}(\R^n)$ について
$$\norm{u}_{p_k;\R^n}\le C_{n,k,p}\norm{D^ku}_{p;\R^n}.$$
また $T\subset\pOm$ が $T\subset\pOm$ が(\ref{D})をみたす相対開集合のとき $W^{k,p}_0(\OmT)\subset L^{p_k}(\Omega)$ で $u\in W^{k,p}_0(\OmT)$ について
$$\norm{u}_{p_k;\Omega}\le C_{k,p,\Omega,T}\norm{u}_{k,p;\Omega}.$$
$\Omega$ が有界な $C^{0,1}$ 領域のとき $W^{k,p}(\Omega)\subset L^{p_k}(\Omega)$ で $u\in W^{k,p}(\Omega)$ について
$$\norm{u}_{p_k;\Omega}\le C_{k,p,\Omega}\norm{u}_{k,p;\Omega}.$$
*(2) $|\Omega|\lt\infty$、$kp=n$ のとき任意の $q\in[1,\infty)$ について $W^{k,p}_0(\Omega)\subset L^q(\Omega)$ で $u\in W^{k,p}_0(\Omega)$ について
$$\norm{u}_{q;\Omega}\le C_{n,k,q}|\Omega|^{q^{-1}}\norm{u}_{k,p;\Omega}.$$
また $|\Omega|\lt\infty$ で $T\subset\pOm$ が $T\subset\pOm$ が(\ref{D})をみたす相対開集合のとき任意の $q\in[p,\infty)$ について $W^{k,p}_0(\OmT)\subset L^q(\Omega)$ で $u\in W^{k,p}_0(\OmT)$ について
$$\norm{u}_{q;\Omega}\le C_{k,q,\Omega}\norm{u}_{k,p;\Omega}.$$
$\Omega$ が有界な $C^{0,1}$ 領域のとき任意の $q\in[p,\infty)$ について $W^{k,p}(\Omega)\subset L^q(\Omega)$ で $u\in W^{k,p}(\Omega)$ について
$$\norm{u}_{q;\Omega}\le C_{k,q,\Omega}\norm{D^ku}_{p;\Omega}.$$
*(3) $kp=n\ge k+1$、$|\Omega|\lt\infty$ のとき $u\in W^{k,p}_0(\Omega)\backslash\{0\}$ と $\alpha\gt 0$ について
$$\int_\Omega\exp\left(\left(\frac{|u|}{C_{n,k,\alpha}\norm{D^ku}_{p;\Omega}}\right)^\frac{n}{n-k}\right)\le (1+\alpha)|\Omega|.$$
また $|\Omega|\lt\infty$ で $T\subset\pOm$ が $T\subset\pOm$ が(\ref{D'})をみたす相対開集合のとき $u\in W^{k,p}_0(\OmT)\backslash\{0\}$ と $\alpha\gt 0$ について
$$\int_\Omega\exp\left(\left(\frac{|u|}{C_{k,\Omega,T,\alpha}\norm{u}_{k,p;\Omega}}\right)^\frac{n}{n-k}\right)\le (1+\alpha)|\Omega|.$$
$\Omega$ が有界なLipschitz領域のとき $u\in W^{k,p}(\Omega)\backslash\{0\}$ と $\alpha\gt 0$ について
$$\int_\Omega\exp\left(\left(\frac{|u|}{C_{k,\Omega,\alpha}\norm{u}_{k,p;\Omega}}\right)^\frac{n}{n-k}\right)\le (1+\alpha)|\Omega|.$$
*(4) $kp\gt n$、$\frac{n}{p}\notin\Z$ のとき $j\colon=\left\lfloor k-\frac{n}{p}\right\rfloor$、$\beta\colon= k-j-\frac{n}{p}$ とすると $W^{k,p}(\R^n)\subset C^{j,\beta}(\R^n)$ で $u\in W^{k,p}(\R^n)$ について
$$[u]_{j,\beta;\R^n}\le C_{n,k,p}\norm{D^ku}_{p;\R^n}.$$
また $|\Omega|\lt\infty$ のとき $u\in W^{k,p}_0(\Omega)$ について
$$|u|_{j,\beta;\Omega}\le C_{n,k,p,|\Omega|}\norm{u}_{k,p;\Omega},D^\alpha u=0\ \on\pOm\ (|\alpha|\le k-1).$$
$|\Omega|\lt\infty$ で $T\subset\pOm$ が(\ref{D})をみたす相対開集合のとき $W^{k,p}_0(\OmT)\subset C^{j,\beta}(\Ombar)$ で $u\in W^{k,p}_0(\OmT)$ について
$$|u|_{j,\beta;\Omega}\le C_{k,p,\Omega,T}\norm{u}_{k,p;\Omega},D^\alpha u=0\ \on\pOm\backslash T\ (|\alpha|\le k-1).$$
$\Omega$ が有界な $C^{0,1}$ 領域のとき $W^{k,p}(\Omega)\subset C^{j,\beta}(\Ombar)$ で $u\in W^{k,p}(\Omega)$ について
$$|u|_{j,\beta;\Omega}\le C_{k,p,\Omega}\norm{u}_{k,p;\Omega}.$$
*(5) $|\Omega|\lt\infty$、$kp\gt n$、$\frac{n}{p}\in\Z$ のとき $j\colon=k-\frac{n}{p}-1$ とすると任意の $\beta\in(0,1)$ について $W^{k,p}_0(\Omega)\subset C^{j,\beta}(\Ombar)$ で $u\in W^{k,p}_0(\Omega)$ について
$$|u|_{j,\beta;\Omega}\le C_{n,k,p,\beta,|\Omega|}\norm{u}_{k,p;\Omega},[u]_{j,\beta;\Omega}\le C_{n,k,p,\beta}|\Omega|^\frac{1-\beta}{n}\norm{D^ku}_{k,p;\Omega},D^\alpha u=0\ \on\pOm\ (|\alpha|\le k-1).$$
$|\Omega|\lt\infty$ で $T\subset\pOm$ が(\ref{D})をみたす相対開集合のとき $W^{k,p}_0(\OmT)\subset C^{j,\beta}(\Ombar)$ で $u\in W^{k,p}_0(\OmT)$ について
$$|u|_{j,\beta;\Omega}\le C_{k,p,\beta,\Omega,T}\norm{u}_{k,p;\Omega}.$$
$\Omega$ が有界な $C^{0,1}$ 領域のとき $W^{k,p}(\Omega)\subset C^{j,\beta}(\Ombar)$ で $u\in W^{k,p}(\Omega)$ について
$$|u|_{j,\beta;\Omega}\le C_{k,p,\beta,\Omega}\norm{u}_{k,p;\Omega}.$$
*(6) $k\gt n$、$p=1$ のとき $W^{k,1}(\R^n)\subset C^{k-n}(\R^n)\cap W^{k-n,\infty}(\R^n)$ で $u\in W^{k,1}(\R^n)$ について
$$[u]_{k-n;\R^n}\le C_{n,k}\norm{D^ku}_{1;\R^n},D^\alpha u=0\ \on\pOm\ (|\alpha|\le k-1).$$
$T\subset\pOm$ が(\ref{D})をみたす相対開集合のとき $W^{k,1}_0(\OmT)\subset C^{k-n}(\Ombar)\cap W^{k-n,\infty}(\Omega)$ で $u\in W^{k,1}(\Omega)$ について
$$[u]_{k-n;\Omega}\le C_{k,\Omega,T}\norm{u}_{k,1;\Omega},D^\alpha u=0\ \on\pOm\backslash T\ (|\alpha|\le k-1).$$
$\Omega$ が有界な $C^{0,1}$ 領域のとき $W^{k,1}(\Omega)\subset C^{k-n}(\Ombar)$ で $u\in W^{k,1}(\Omega)$ について
$$[u]_{k-n;\Omega}\le C_{k,\Omega}\norm{u}_{k,1;\Omega}.$$
{{begin|proof|display=''Proof.''}}
(1)、(2)、(4)、(5)は{{ref|type=thm|label=dim1mor}}、{{ref|type=thm|label=GNS}}、{{ref|type=cor|label=pn}}、{{ref|type=cor|label=gpn}}、{{ref|type=cor|label=gGNS}}、{{ref|type=thm|label=mor}}、{{ref|type=cor|label=gmor}}を用いて $k$ に関する帰納法により示される。

(3)は前半は{{ref|type=thm|label=TM}}と同様。拡張作用素により後半も従う。

(6)を示す。前半の $k=n$ の場合を示せば十分。$u\in C^\infty_c(\R^n)$ について{{ref|type=pro|label=riep2}}の(1)より
$$|u|\le V_1|D^nu|=\int_{\R^n}|D^nu|=\norm{D^nu}_1.$$
近似によりこれは任意の $u\in W^{n,1}(\R^n)$ に対して成り立つ。またこれより
$$W^{n,1}(\R^n)\subset\overline{C^\infty_c(\R^n)}^{L^\infty(\R^n)}\subset C(\R^n).$$
{{end|proof}}

==コンパクト埋め込み==
{{theorem|type=lem|label=cptlem}}
$p\in[1,\infty)$ とする。$u\in W^{1,p}(\R^n)$ と $\varepsilon\gt 0$ について
$$\norm{\eta_\varepsilon*u-u}_{p;\R^n}\le C_{n,p}\norm{Du}_{p;\R^n}\varepsilon.$$

{{begin|proof|display=''Proof.''}}
{{ref|type=thm|label=difq1}}に注意して
\begin{align*}
\int_{\R^n}|\eta_\varepsilon*u-u|^p&=\int_{\R^n}\left|\int_{B_\varepsilon(0)}\eta_\varepsilon(y)(u(x-y)-u(x))dy\right|^pdx\\
&=\int_{\R^n}\norm{\eta_\varepsilon}_{p'}^p\left(\int_{B_\varepsilon(0)}|u(x-y)-u(x)|^pdy\right)dx\\
&\le C\varepsilon^{-n}\int_{\R^n}\left(\int_{0}^\varepsilon\left(\int_{\partial B_1(0)}t^{n-1+p}|\Delta^t_z u(x)|^pd\H^{n-1}(z)\right)dt\right)dx\\
&\le C\varepsilon^{-n}\int_{0}^\varepsilon\left(\int_{\partial B_1(0)}t^{n-1+p}\norm{Du}_p^pd\H^{n-1}(z)\right)dt\\
&\le C\varepsilon^{-n}\norm{Du}_p^p\int_0^\varepsilon t^{n-1+p}dt\le C\norm{Du}_p^p\varepsilon^p.
\end{align*}
{{end|proof}}

{{theorem|type=thm|name=Rellich-Kondrachovの定理|label=cpt}}
$p\in[1,\infty)$ とし、
$$\begin{cases}
q\in[1,p^*)&\colon p\in(1,n)\\
q\in[1,\infty)&\colon p=n\\
q\in[1,\infty]&\colon p\in(n,\infty)
\end{cases}$$
とする。次が成り立つ:
*(1) $|\Omega|\lt\infty$ のとき埋め込み $W^{1,p}_0(\Omega)\subset L^q(\Omega)$ はコンパクトである。すなわち、$\{u_m\}_{m=1}^\infty\subset W^{1,p}_0(\Omega)$ が $\displaystyle \sup_{m}\norm{u_m}_{1,p;\Omega}\lt\infty$ をみたすとすると、$\{u_m\}_{m=1}^\infty$ の部分列で $L^q(\Omega)$ で収束するものが存在する。
*(2) $|\Omega|\lt\infty$ で $T\subset\pOm$ が(\ref{D})をみたす相対開集合のとき埋め込み $W^{1,p}_0(\OmT)\subset L^q(\Omega)$ はコンパクトである。
*(3) $\Omega$ を有界な $C^{0,1}$ 領域とすると、埋め込み $W^{1,p}(\Omega)\subset L^q(\Omega)$ はコンパクトである。

{{begin|proof|display=''Proof.''}}
(1)の $\Omega$ が有界かつ $q=p\in[1,n]$ の場合を示す。

開球 $B\subset\R^n$ を $\Omega\rcpt B$ となるようにとる。$\varepsilon\gt 0$ とすると $k=0,1$ について
$$\norm{D^k(\eta_\varepsilon*u_m)}_\infty\le C\varepsilon^{np^{-1}}\norm{D^ku_m}_p$$
であるから $\displaystyle\sup_m|\eta_\varepsilon*u_m|_{1;B}\lt\infty$。

[[Hölder空間の基本事項]]の定理62と対角線論法により、$\{u_m\}_{m=1}^\infty$ の部分列 $\{u_{m_j}\}_{j=1}^\infty$ で任意の $l\in\Zp$ について $\{\eta_{l^{-1}}*u_{m_j}\}_{j=1}^\infty$ が $C(\overline{B})$ において収束し、とくに $L^p(B)$ において収束するものがとれる。{{ref|type=lem|label=cptlem}}より
\begin{align*}
\limsup_{i,j\to\infty}\norm{u_{m_i}-u_{m_j}}_p&\le\limsup_{i,j\to\infty}\left(\norm{\eta_{l^{-1}}*u_{m_i}-\eta_{l^{-1}}*u_{m_j}}_p+C\left(\norm{Du_{m_i}}_p+\norm{Du_{m_j}}_p\right)l^{-1}\right)\\
&\le C\sup_m\norm{Du_m}_pl^{-1}.
\end{align*}
$l\to\infty$ として $\displaystyle\limsup_{i,j\to\infty}\norm{u_{m_i}-u_{m_j}}_p=0$ を得る。

(1)の $\Omega$ が非有界かつ $q=p\in[1,n]$ の場合を示す。$\zeta\in C^\infty_c(B_2(0))$ を $\zeta=1$ in $B_1(0)$ となるようにとり、$\zeta_l(x)\colon=\zeta(l^{-1}x)\ (l\in\Zp)$ とする。(1)の $\Omega$ が有界な場合と対角線論法により $\{u_{m_j}\}_{j=1}^\infty$ で任意の$l\in\Zp$ について $\{\zeta_lu_{m_j}\}_{j=1}^\infty$ が $L^p(\Omega)$ で収束するものがとれる。また
$$\norm{(1-\zeta_l)u_m}_p\le C|\Omega\backslash B_l(0)|^\frac{1}{n}\norm{D((1-\zeta_l)u_m)}_p\le C|\Omega\backslash B_l(0)|^\frac{1}{n}(1+l^{-1})\norm{u_m}_{1,p}.$$
これより
$$\limsup_{i,j\to\infty}\norm{u_{m_i}-u_{m_j}}_p\le\limsup_{i,j\to\infty}\norm{\zeta_l u_{m_i}-\zeta_l u_{m_j}}_p+C|\Omega\backslash B_l(0)|^\frac{1}{n}\sup_m\norm{u_m}_{1,p}.$$
$|\Omega\backslash B_l(0)|\to 0\ (l\to\infty)$ より $l\to\infty$ とすれば $\displaystyle\limsup_{i,j\to\infty}\norm{u_{m_i}-u_{m_j}}_p=0$ を得る。

(1)の $p\in[1,n]$ の場合は $L^p(\Omega)$ で収束する部分列 $\{u_{m_j}\}_{j=1}^\infty$ をとればHölderの不等式と{{ref|type=thm|label=GNS}}、{{ref|type=cor|label=pn}}より
$$\limsup_{i,j\to\infty}\norm{u_{m_i}-u_{m_j}}_q\le\begin{cases}
\limsup_{i,j\to\infty}|\Omega|^{p^{-1}-q^{-1}}\norm{u_{m_i}-u_{m_j}}_p=0\ &\colon q\in[1,p]\\
\limsup_{i,j\to\infty}\norm{u_{m_i}-u_{m_j}}_p^\frac{n}{q}\left(\norm{Du_{m_i}}_p+\norm{Du_{m_j}}_p\right)^{1-\frac{n}{q}}=0\ &\colon q\in(p,p^*)
\end{cases}$$
となり従う。

(1)の $p\in(n,\infty]$ の場合を示す。$q=\infty$ としてよい。$\Omega$ が有界な場合は{{ref|type=thm|label=mor}}と[[Hölder空間の基本事項]]の命題61から従う。$\Omega$ が非有界な場合は $\Omega$ が有界な場合と対角線論法により $l\in\Zp$ について $\{\zeta_lu_{m_j}\}_{j=1}^\infty$ が $L^\infty(\Omega)$ で収束する部分列 $\{u_{m_j}\}_{j=1}^\infty$ がとれ、{{ref|type=thm|label=mor}}より
$$\limsup_{i,j\to\infty}\norm{u_{m_i}-u_{m_j}}_\infty\le\limsup_{i,j\to\infty}\norm{\zeta_lu_{m_i}-\zeta_lu_{m_j}}_\infty+2\sup_m\norm{(1-\zeta_l)u_m}_\infty\le C|\Omega\backslash B_l(0)|^{n^{-1}-p^{-1}}\sup_m\norm{Du}_p.$$

$l\to\infty$ とすれば $\displaystyle\limsup_{i,j\to\infty}\norm{u_{m_i}-u_{m_j}}_\infty=0$ を得る。

(2)、(3)は拡張作用素 $E\colon W^{1,p}(\Omega)\to W^{1,p}_0(\Omega_0)\ (\Omega\rcpt\Omega_0,|\Omega_0|\lt\infty)$ をとって $\{Eu_{m_j}\}_{j=1}^\infty$ が $L^q(\Omega_0)$ で収束する部分列 $\{u_{m_j}\}_{j=1}^\infty$ をとればよい。
{{end|proof}}

{{theorem|type=rmk}}
とくに $q=p$ の場合が重要である。すなわち、$|\Omega|\lt\infty$ のとき埋め込み $W^{1,p}_0(\Omega)\subset L^p(\Omega)$ はコンパクトで、$\Omega$ が有界な $C^{0,1}$ 領域のときは埋め込み $W^{1,p}(\Omega)\subset L^p(\Omega)$ はコンパクトである。

$k\gt j$ なる $j,k\in\Zz$ と $p\in[1,\infty]$ について、帰納法により
$$\begin{cases}
q\in\left[1,\frac{np}{n-(k-j)p}\right)&\colon np\lt k-j\\
q\in[1,\infty)&\colon np=k-j\\
q\in[1,\infty]&\colon np\gt k-j
\end{cases}$$
とすると $|\Omega|\lt\infty$ のとき埋め込み $W^{k,p}_0(\Omega)\subset W^{j,q}(\Omega)$ はコンパクトで、$\Omega$ が有界な $C^{0,1}$ 領域のとき埋め込み $W^{k,p}(\Omega)\subset W^{j,q}(\Omega)$ はコンパクトである。

(1)の仮定「 $|\Omega|\lt\infty$ 」と(2)の仮定「有界」は外すことができない。例えば $\Omega=\R^n$ とし、$u\in C^\infty_c(\R^n)\backslash\{0\}$、$u_m(x)\colon=u(x-me_1)$ とすると $\{u_m\}_m$ は明らかに $W^{1,p}(\R^n)$ で有界である。一方、$u_m\to 0$ a.e. in $\R^n\ (m\to\infty)$ であるから、$\{u_m\}_m$ が $L^q(\R^n)$ で収束する部分列をもつとすればその極限は $0$ であるが、$\norm{u_m}_q=\norm{u}_q\gt 0$ より $\{u_m\}_m$ は $0$ に $L^q(\R^n)$ で収束する部分列をもたず、従って$L^q(\R^n)$ で収束する部分列をもたない。

また、$p\in[1,n)$ のとき $\Omega$ がいかなる開集合であっても $q=p^*$ を含めることはできない。実際、$0\in\Omega$ として一般性を失わない。$u\in C^\infty_c(\R^n)\backslash\{0\}$ として $\lambda\gt 0$ について $u_\lambda(x)\colon=\lambda^{\frac{n}{p}-1}u(\lambda x)$ とすると十分小さい $\lambda\gt 0$ について $u_\lambda\in C^\infty_c(\Omega)$ であり、また変数変換により $\norm{Du_\lambda}_p=\norm{Du}_p$ であるから $\displaystyle\sup_{\lambda\gt 0}\norm{Du_\lambda}_p\lt\infty$。一方、$u_\lambda\to 0$ a.e. in $\Omega\ (\lambda\to +0)$ であるから、$\{u_{m^{-1}}\}_m$ が $L^q(\Omega)$ で収束する部分列をもつとすればその極限は $0$ であるが、$\norm{u_\lambda}_{p^*}=\norm{u}_{p^*}\gt 0$ より $\{u_{m^{-1}}\}_m$ は $0$ に $L^{p^*}(\Omega)$ で収束する部分列をもたず、従って$L^{p^*}(\Omega)$ で収束する部分列をもたない。

{{theorem|type=cor|name=Poincaréの不等式|label=Poi2}}
$\Omega$ が $|\Omega|\lt\infty$ かつ連結で相対開集合 $T\subset\pOm$ が(\ref{D})をみたすとし、$p\in[1,\infty)$ とする。$\mathcal{W}\subset W^{1,p}_0(\OmT)$ はノルム閉集合で $u∈\mathcal{W},t\in\R\implies tu∈\mathcal{W}$ かつ $1\notin\mathcal{W}$ をみたすとする。$u\in \mathcal{W}$ について
$$\norm{u}_{p;\Omega}\le C_{p,\mathcal{W}}\norm{Du}_{p;\Omega}.$$

{{begin|proof|display=''Proof.''}}
主張が成り立たなかったとする。$(u_m)_S=1$ なる $\{u_m\}_{m=1}^\infty\subset \mathcal{W}$ が存在し、$\norm{u_m}_p=1$ かつ $\norm{Du_m}_p\to 0\ (m\to\infty)$ となる。{{ref|type=thm|label=cpt}}より部分列にとりかえてある $u\in L^p(\Omega)$ について $\norm{u_m-u}_p\to 0\ (m\to\infty)$ となるとしてよい。

$\norm{Du_m}_p\to 0\ (m\to\infty)$ であるから $u\in W^{1,p}(\Omega)$、$Du=0$ in $\Omega$ となり $v$ は定数関数である。<ref name="const">$\Omega'\rcpt\Omega$、$\varepsilon\gt 0$ とすると $D(\eta_\varepsilon*u)=\eta_\varepsilon*Du=0$ となり $\eta_\varepsilon*u$ は局所定数関数で、$\varepsilon\to +0$ とすれば $u$ も局所定数関数である。$\Omega$ は連結であるから $u$ は定数関数である。</ref>一方 $\norm{u_m-u}_{1,p}\to 0\ (m\to\infty)$ となるので $u\in\mathcal{W}$。$1\notin\mathcal{W}$ より $\mathcal{W}$ は $0$ 以外の定数関数を含まないので $u=0$。これは $\norm{u_m}_p=1$ より $\norm{u}_p=1$ となることに矛盾。
{{end|proof}}

{{theorem|type=rmk}}
たとえば次が成り立つ:
*(1) $1\notin W^{1,p}_0(\OmT)$ とすると任意の $u\in W^{1,p}_0(\OmT)$ について $\norm{u}\le C_{p,\Omega,T}\norm{Du}$。
*(2) $\delta\gt 0$ とすると $\{u\in L^p(\Omega)\colon |\{u=0\}|\ge\delta\}$ はノルム閉集合である。実際、$\{u_m\}_{m=1}^\infty\subset L^p(\Omega)$ と $u\in L^p(\Omega)$ が $|\{u_m\ge 0\}|\ge\delta$ かつ $\norm{u_m-u}_p\to 0\ (m\to\infty)$ をみたすとすると任意の $r\gt 0$ について $|\{|u_m-u|\gt r\}|\le r^{-p}\norm{u_m-u}_p^p$ であるから任意の $\varepsilon\gt 0$ について十分 $m$ を大きくとれば $|\{|u_m-u|\gt r\}|\le\varepsilon$ となり $\{u_m=0\}\backslash\{|u_m-u|\gt r\}\subset\{|u|\le r\}$ より $|\{|u|\le r\}|\ge\delta-\varepsilon$。$r\to +0$、$\varepsilon\to +0$ として $|\{u=0\}|\ge\delta$ を得る。

これより $\mathcal{W}=\{u\in W^{1,p}_0(\OmT)\colon |\{u=0\}|\ge\delta\}$ も $0$ 以外の定数関数を含まないノルム閉集合であり、$u\in\mathcal{W}$ について $\norm{u}_p\le C_{p,\Omega,T,\delta}\norm{Du}_p$ が成り立つ。
*(3) $\xi\in\pOm\backslash T$ と $r\gt 0$ が存在して $B=B_r(\xi)$ が $B\cap T=\emptyset$ かつ $|B\backslash\Omega|\gt 0$ をみたすとすると $\Omega$ を $\Omega\cup B$ にとりかえて $\mathcal{W}=W^{1,p}_0(\OmT)$ とすることにより任意の $u\in W^{1,p}_0(\OmT)$ について $\norm{u}\le C_{p,\Omega,T}\norm{Du}$。
*(4) $\Omega$ が有界かつ連結な $C^{0,1}$ 領域のとき、$T=\pOm$ として $\mathcal{W}=\{u\in W^{1,p}(\Omega)\colon u_\Omega=0\}$ ( $u_\Omega\colon=\frac{1}{|\Omega|}\int_\Omega u$ )とすると $\mathcal{W}$ は仮定をみたし、任意の $u\in W^{1,p}(\Omega)$ について
$$\norm{u-u_S}_p\le C_{p,\Omega}\norm{Du}_p.$$

(1)、(3)と{{ref|type=thm|label=Poi0}}の(1)、(4)と{{ref|type=thm|label=Poi}}を比較せよ。凸領域は連結かつ $C^{0,1}$ であるから{{ref|type=cor|label=Poi2}}の方がより一般的な不等式である。一方、{{ref|type=thm|label=Poi0}}と{{ref|type=thm|label=Poi}}では $C$ の具体的な表示まで得られているが、{{ref|type=cor|label=Poi2}}の証明は $C$ の具体的な表示を与えていない。

==補間不等式==
ここでは主に
$$\norm{D^ju}_{r;\Omega}\le C\norm{u}_{k,p;\Omega}^{1-\tau}\norm{u}_{q;\Omega}^\tau$$
の形の補間不等式を取り扱う。

{{theorem|type=lem|name=$n=1$、$j=1$、$k=2$ の場合|label=intp1}}
$p,q\in[1,\infty]$ とし、$r\colon=\left(\frac{1}{2}p^{-1}+\frac{1}{2}q^{-1}\right)^{-1}$ とすると $u\in W^{k,p}(\R)$ について
$$\norm{u'}_{1,r;\R}\le C\norm{u^{\prime\prime}}_{p;\R}^\frac{1}{2}\norm{u}_{q;\R}^\frac{1}{2}.$$

{{begin|proof|display=''Proof.''}}
$p,q\in[1,\infty)$ の場合を示す。

$u\in C^\infty_c(\R)\backslash\{0\}$ としてよい。$J=(a,b)\subset\R$ を開区間とする。$x\in J_1\colon=(a,a+\frac{1}{3}|J|)$、$y\in J_2\colon=(b-\frac{1}{3}|J|,b)$ とすると $z\in J$ について
$$\frac{1}{3}|J||u'(z)|\le(y-x)|u'(z)|=\left|u(y)-u(x)-\int_x^y(u'-u'(z))\right|\le|u(y)|+|u(x)|+|J|\int_J|u^{\prime\prime}|.$$
$x\in I_1$、$y\in I_2$ について積分しHölderの不等式を用いると
\begin{align*}
\frac{1}{27}|J|^3|u'(z)|&\le\frac{1}{3}|J|\left(\int_{J_1}|u|+\int_{J_2}|u|\right)+\frac{1}{9}|J|^3\int_J|u^{\prime\prime}|\\
&\le\frac{1}{3}|J|\int_J|u|+\frac{1}{9}|J|^3\int_J|u^{\prime\prime}|\\
&\le\frac{1}{9}|J|^{4-p^{-1}}\norm{u^{\prime\prime}}_{p;J}+\frac{1}{3}|J|^{2-q^{-1}}\norm{u}_{q;J}.
\end{align*}
これより
$$\norm{u'}_{r;J}\le|J|^{r^{-1}}\norm{u'}_{\infty;J}\le 3|J|^{1-\frac{1}{2}(p^{-1}-q^{-1})}\norm{u^{\prime\prime}}_{p;J}+9|J|^{-1+\frac{1}{2}(p^{-1}-q^{-1})}\norm{u}_{q;J}.$$
ここで $U\colon=\{u\neq 0\}$ とする。$x\in U$ について $t\mapsto\norm{u}_{q;(x-t,x+t)}$ と $t\mapsto\norm{u^{\prime\prime}}_{p;(x-t,x+t)}$ は $(0,+\infty)$ から $\R$ へ連続であって
$$(2t)^{-1+\frac{1}{2}(p^{-1}-q^{-1})}\norm{u}_{q;(x-t,x+t)}\to+\infty,(2t)^{1-\frac{1}{2}(p^{-1}-q^{-1})}\norm{u^{\prime\prime}}_{p;(x-t,x+t)}\to 0\ (t\to +0)$$
かつ
$$(2t)^{-1+\frac{1}{2}(p^{-1}-q^{-1})}\norm{u}_{q;(x-t,x+t)}\to 0,(2t)^{1-\frac{1}{2}(p^{-1}-q^{-1})}\norm{u^{\prime\prime}}_{p;(x-t,x+t)}\to +\infty\ (t\to +\infty)$$
であるから中間値の定理より $t_x\in(0,+\infty)$ が存在して
$$(2t_x)^{-1+\frac{1}{2}(p^{-1}-q^{-1})}\norm{u}_{q;(x-t_x,x+t_x)}=(2t_x)^{1-\frac{1}{2}(p^{-1}-q^{-1})}\norm{u^{\prime\prime}}_{p;(x-t_x,x+t_x)}=\norm{u}_{q;(x-t_x,x+t_x)}^\frac{1}{2}\norm{u^{\prime\prime}}_{p;(x-t_x,x+t_x)}^\frac{1}{2}.$$
また $t_x\ge\diam U$ を仮定すると $U\subset(x-t_x,x+t_x)$ より $\norm{u}_{q;(x-t_x,x+t_x)}=\norm{u}_{q;\R}$、$\norm{u^{\prime\prime}}_{p;(x-t_x,x+t_x)}=\norm{u^{\prime\prime}}_{p;\R}$ となり
$$(2t_x)^{2-p^{-1}+q^{-1}}=\frac{\norm{u}_{q;\R}}{\norm{u^{\prime\prime}}_{p;\R}}.$$
これより
$$t_x\le\max\left\{\diam U,\frac{1}{2}\left(\frac{\norm{u}_{q;\R}}{\norm{u^{\prime\prime}}_{p;\R}}\right)^{(2-p^{-1}+q^{-1})^{-1}}\right\}.$$
[[Besicovitchの被覆定理]]より $\{J_i\}_{i=1}^\infty=\{(x_i-t_{x_i},x_i+t_{x_i})\}_{i=1}^j$、$j\in\Zp\cup\{\infty\}$ が存在して
$$U\subset\bigcup_{i=1}^j J_i,\sum_{i=1}^j\chi_{J_i}\le C.$$
$u'=0$ a.e. on $\R\backslash U$ に注意すると
\begin{align*}
\norm{u'}_{r;\R}^r&=\norm{u'}_{r;U}^r\\
&\le\sum_{i=1}^j\norm{u'}_{r;J_i}^r\\
&\le C\sum_{i=1}^j\left(\norm{u}_{q;J_i}\norm{u^{\prime\prime}}_{p;J_i}\right)^\frac{r}{2}\\
&\le C\left(\sum_{i=1}^j\norm{u}_{q;J_i}^q\right)^\frac{r}{2q}\left(\sum_{i=1}^j\norm{u^{\prime\prime}}_{p;J_i}^p\right)^\frac{r}{2p}\\
&\le C\norm{u}_{q;\R}^\frac{r}{2}\norm{u^{\prime\prime}}_{p;\R}^\frac{r}{2}
\end{align*}
を得る。

この定数 $C$ は $p,q$ には依存しないので、$p=\infty$ あるいは $q=\infty$ で $\supp u$ が有界の場合も成り立つ。一般の場合は $\zeta\in C^\infty_c(-2,2)$ を $\zeta=1$ in $(-1,1)$ となるようにとり $\zeta_m(t)\colon=\zeta(m^{-1}t)\ (m\in\Zp)$ として $\zeta_mu$ に補間不等式を用いて $m\to\infty$ とすれば従う。
{{end|proof}}

{{theorem|type=thm|name=補間不等式|label=intp2}}
$j,k\in\Zp$、$j\lt k$、$p,q\in[1,\infty]$ とし、$r\colon=\left(\frac{j}{k}p^{-1}+\frac{k-j}{k}q^{-1}\right)^{-1}$ とする。次が成り立つ:
*(1) $W^{k,p}(\R^n)\cap L^q(\R^n)\subset W^{j,r}(\R^n)$ で $u\in W^{k,p}(\R^n)\cap L^q(\R^n)$ について
$$\norm{D^ju}_{r;\R^n}\le C_{n,j,k}\norm{D^ku}_{p;\R^n}^\frac{j}{k}\norm{u}_{q;\R^n}^\frac{k-j}{k}.$$
*(2) $T\subset\pOm$ が(\ref{D'})をみたす相対開集合のとき $W^{k,p}_0(\OmT)\cap L^q(\Omega)\subset W^{j,r}_0(\OmT)$ で $u\in W^{k,p}_0(\OmT)\cap L^q(\Omega)$ について
$$\norm{D^ju}_{r;\Omega}\le C_{j,k,\Omega,T}\norm{u}_{k,p;\Omega}^\frac{j}{k}\norm{u}_{q;\Omega}^\frac{k-j}{k}.$$
*(3) $\Omega$ が有界なLipschitz領域のとき $W^{k,p}(\Omega)\cap L^q(\Omega)\subset W^{j,r}(\Omega)$ で $u\in W^{k,p}(\Omega)\cap L^q(\Omega)$ について
$$\norm{D^ju}_{r;\Omega}\le C_{j,k,\Omega}\norm{u}_{k,p;\Omega}^\frac{j}{k}\norm{u}_{q;\Omega}^\frac{k-j}{k}.$$

{{begin|proof|display=''Proof.''}}
(1)を示す。(2)と(3)は(1)と拡張作用素により従う。

まず $j=1$、$k=2$、$p,q\in[1,\infty)$ の場合を示す。$u\in C^\infty_c(\R^n)$ としてよい。{{ref|type=lem|label=intp0}}より $i=1,\ldots,n$ について
\begin{align*}
\norm{D_iu}_r&=\left(\int_{\R^{n-1}}\left(\int_\R|D_iu(x_1,\ldots ,x_n)|^rdx_i\right)dx_1\ldots dx_{i-1}dx_{i+1}\ldots dx_n\right)^{r^{-1}}\\
&\le C\left(\int_{\R^{n-1}}\left(\int_\R|D_{ii}u(x_1,\ldots,x_n)|^pdx_i\right)^\frac{r}{2p}\left(\int_\R|u(x_1,\ldots ,x_n)|^qdx_i\right)^\frac{r}{2q}dx_1\ldots dx_{i-1}dx_{i+1}\ldots dx_n\right)^{r^{-1}}\\
&\le C\norm{D_{ii}u}_p^\frac{1}{2}\norm{u}_q^\frac{1}{2}.
\end{align*}
これより $\norm{Du}_r\le C\norm{u}_p^\frac{1}{2}\norm{D^2u}_q^\frac{1}{2}$ を得る。

$j=1$、$k=2$ で $p,q$ のいずれかが $\infty$ の場合を示す。$\supp u$ がコンパクトな場合は $p,q\in[1,\infty)$ の場合の定数 $C$ が $p,q$ に依存していないことから従う。$\supp u$ がコンパクトでない場合は $\zeta\in C^\infty_c(B_2(0))$ を $0\le\zeta\le 1$、$\zeta=1$ in $B_1(0)$ となるようにとり $\zeta_m(x)=\zeta(m^{-1}x)\ (m\in\Zp)$ として $\zeta_mu$ に補間不等式を用いて $m\to\infty$ とすれば従う。

$k=j+1$ の場合を $j$ に関する帰納法により示す。

$j=1$ の場合は既に示した。

ある $j$ について主張が成り立ったとし、$u\in W^{j+2,p}(\R^n)\cap L^q(\R^n)$、$r\colon=\left(\frac{j+1}{j+2}p^{-1}+\frac{1}{j+1}q^{-1}\right)^{-1}$ とする。$j=1$ の場合と仮定より
$$\norm{D^{j+1}u}_r\le C\norm{D^ju}_{\left(\frac{j}{j+2}p^{-1}+\frac{2}{j+1}q^{-1}\right)^{-1}}^\frac{1}{2}\norm{D^{j+2}u}_p^\frac{1}{2}\le C\norm{D^{j+1}u}_r^\frac{j}{2(j+1)}\norm{D^{j+2}u}_{p}^\frac{1}{2}\norm{u}_q^\frac{1}{2(j+1)}.$$
これより
$$\norm{D^{j+1}u}_r\le C\norm{D^{j+2}u}_p^\frac{j+1}{j+2}\norm{u}_q^\frac{1}{j+2}$$
を得る。

一般の場合を $j$ を固定し $k$ に関する帰納法により示す。

$k=j+1$ の場合は既に示した。

ある $k$ について主張が成り立ったとし、$u\in W^{k+1,p}(\R^n)\cap L^q(\R^n)$、$r\colon=\left(\frac{j}{k+1}p^{-1}+\frac{k-j+1}{k+1}q^{-1}\right)^{-1}$ とする。$k=j+1$ の場合と仮定より
$$\norm{D^ju}_r\le C\norm{D^ku}_{\left(\frac{k}{k+1}p^{-1}+\frac{1}{k+1}q^{-1}\right)^{-1}}^\frac{j}{k}\norm{u}_q^\frac{k-j}{k}\le C\norm{D^ju}_r^\frac{j}{k(k-j+1)}\norm{D^{k+1}u}_p^\frac{j(k-j)}{k(k-j+1)}\norm{u}_q^\frac{k-j}{k}.$$
これより
$$\norm{D^ju}_r\le C\norm{D^{k+1}u}_p^\frac{j}{k+1}\norm{u}_q^\frac{k-j+1}{k+1}$$
を得る。
{{end|proof}}

{{theorem|type=cor|label=equivnorm}}
$\Omega=\R^n$、あるいは $\Omega$ が有界なLipschitz領域のとき $p\in[1,\infty]$ とすると $u\in W^{k,p}(\Omega)$ について
$$\norm{u}_{k,p;\Omega}\le C_{k,\Omega}\left(\norm{u}_{p;\Omega}+\norm{D^ku}_{p;\Omega}\right).$$

{{begin|proof}}
{{ref|type=thm|label=intp2}}で $p=q$ とすると $j=1,\ldots,k-1$ について
$$\norm{D^ju}_{p}\le C\norm{u}_{k,p}^\frac{j}{k}\norm{u}_p^\frac{k-j}{k}\le\frac{1}{2(k-1)}\norm{u}_{k,p}+C\norm{u}_p$$
であるから
$$\norm{u}_{k,p}\le\sum_{j=0}^k\norm{D^ju}_p\le\frac{1}{2}\norm{u}_{k,p}+C(\norm{u}_p+\norm{D^ku}_p)$$
となり
$$\norm{u}_{k,p}\le C(\norm{u}_p+\norm{D^ku}_p)$$
となる。
{{end|proof}}

{{theorem|type=rmk}}
これより $\norm{u}_p+\norm{D^ku}_p$ や $\left(\norm{u}_p^p+\norm{D^ku}_p^p\right)^{p^{-1}}$ は $W^{k,p}(\Omega)$ に $\norm{u}_{k,p}$ と同値なノルムを定めることが従う。

一方Sobolevの不等式を用いるとこれとは異なる補間不等式を得られる。

{{theorem|type=pro|label=intp3}}
$p\in[1,n]$、$q\in[1,\infty)$、$\tau\in(0,1]$ とし、$r\colon=\left((1-\tau)p^{*-1}+\tau q^{-1}\right)^{-1}$ とすると次が成り立つ:
*(1) $W^{1,p}(\R^n)\cap L^q(\R^n)\subset L^r(\R^n)$ で $u\in W^{1,p}(\R^n)\cap L^q(\R^n)$ について
$$\norm{u}_{r;\R^n}\le C_{n,p,q,\tau}\norm{Du}_{p;\R^n}^{1-\tau}\norm{u}_{q;\R^n}^\tau.$$
*(2) $T\subset\pOm$ が(\ref{D})をみたす相対開集合のとき $W^{1,p}_0(\OmT)\cap L^q(\Omega)\subset L^r(\Omega)$ で $u\in W^{1,p}_0(\OmT)\cap L^q(\Omega)$ について
$$\norm{u}_{r;\Omega}\le C_{n,p,q,\tau,\Omega,T}\norm{u}_{1,p;\Omega}^{1-\tau}\norm{u}_{q;\Omega}^\tau.$$
*(3) $\Omega$ が有界な $C^{0,1}$ 領域のとき $W^{1,p}(\Omega)\cap L^q(\Omega)\subset L^r(\Omega)$ で $u\in W^{1,p}(\Omega)\cap L^q(\Omega)$ について
$$\norm{u}_{r;\Omega}\le C_{n,p,q,\tau,\Omega}\norm{u}_{1,p;\Omega}^{1-\tau}\norm{u}_{q;\Omega}^\tau.$$

{{begin|proof|display=''Proof.''}}
(1)を示す。(2)と(3)は(1)と拡張作用素により従う。

$p\in[1,n)$ のときは{{ref|type=thm|label=GNS}}より直ちに従う。以下 $p=n$ とする。

$m\in\Zp$ について{{ref|type=thm|label=GNS}}より
$$\norm{u}_{q+m1^*}^{1^{*-1}q+m}\le C\norm{|u|^{1^{*-1}q+m-1}Du}_1\le C\norm{Du}_n\norm{u}_{q+(m-1)1^*}^{1^{*-1}q+m-1}.$$
帰納法により $m\in\Zp$ について
$$\norm{u}_{q+m1^*}^{1^{*-1}q+m}\le C\norm{Du}_n^m\norm{u}_q^{1^{*-1}q}.$$
ここで $m=\left\lfloor 1^{*-1}(r-q)\right\rfloor$ ととる。このとき $q+m1^*\le r\lt q+(m+1)1^*$ となる。$\theta\in[0,1)$ を $r^{-1}=(1-\theta)(q+m1^*)^{-1}+\theta(q+(m+1)1^*)^{-1}$ となるようにとると
\begin{align*}
\norm{u}_r&\le\norm{u}_{q+m1^*}^{1-\theta}\norm{u}_{q+(m+1)1^*}^\theta\\
&\le C\norm{Du}_n^{m(1-\theta)(1^{*-1}q+m)^{-1}+(m+1)\theta(1^{*-1}q+m+1)^{-1}}\norm{u}_q^{((1-\theta)(1^{*-1}q+m)^{-1}+\theta(1^{*-1}q+m+1)^{-1})1^{*-1}q}\\
&=C\norm{Du}_n^{1-\frac{q}{r}}\norm{u}_q^{\frac{q}{r}}=C\norm{Du}_n^{1-\tau}\norm{u}_q^\tau.
\end{align*}
{{end|proof}}

{{theorem|type=rmk}}
$p=q=n$ の場合より、$|\Omega|=\infty$ の場合でも任意の $r\in[n,\infty)$
について $W^{1,n}_0(\Omega)\subset L^r(\Omega)$ で $u\in W^{1,n}_0(\Omega)$ について $\norm{u}_{r;\Omega}\le C_{n,r}\norm{u}_{1,n;\Omega}$ が成り立つ。{{ref|type=cor|label=pn}}と比較せよ。

{{ref|type=thm|label=intp2}}と{{ref|type=pro|label=intp3}}を組み合わせてより一般的な補間不等式を得る。

{{theorem|type=lem|label=intp4}}
$k\in\Zz$、$\alpha\in[0,1]$、$q\in[1,\infty]$ とする。$\theta\in[0,1]$ について次が成り立つ:
*(1) $\sigma\colon=(1-\theta)(k+\alpha)-\frac{\theta n}{q}\le 0$ のとき $r\colon=\frac{n}{\sigma}$ とすると $u\in C^{k,\alpha}(\R^n)\cap L^q(\R^n)$ について
$$\norm{u}_{r;\R^n}\le C_{p,k,\alpha,\tau}[u]_{k,\alpha;\R^n}^{1-\theta}\norm{u}_{q;\R^n}^\theta.$$
*(2) $\sigma\gt 0$ のとき $j\colon=\lceil \sigma\rceil-1$、$\beta\colon=\sigma-j$ とすると　$u\in C^{k,\alpha}(\R^n)\cap L^q(\R^n)$ について
$$[u]_{j,\beta;\R^n}\le C_{p,k,\alpha,\tau}[u]_{k,\alpha;\R^n}^{1-\theta}\norm{u}_{q;\R^n}^\theta.$$

{{begin|proof}}
$$\theta=\frac{(k+\alpha-\sigma)q}{(k+\alpha)q+n}=\left(1+\frac{\sigma q}{n}\right)\frac{(k+\alpha)q}{(k+\alpha)q+n}-\frac{\sigma q}{n}=\left(1-\frac{\sigma}{k+\alpha}\right)\frac{(k+\alpha)q}{(k+\alpha)q+n}$$
に注意する。

$q=\infty$ の場合は[[Hölder空間の基本事項]]の定理54で既に示されている。<ref name="kaintp">正確には $u|_{B_R(0)}$ に対し定理を適用して $R\to\infty$ とする必要がある。</ref>以下 $q\in[1,\infty)$ とする。

まず $k=0$、$\sigma=0$ の場合を示す。$\alpha=0$ のときは明らかであるから $\alpha\in(0,1]$ としてよい。

$[u]_{0,\alpha}=0$ のときは $u$ は定数関数であって $u\in L^q(\R^n)$ であるから $u\equiv 0$。この場合主張は明らかである。以下 $[u]_{0,\alpha}\neq 0$ とする。

$x\in\R^n$、$u(x)\neq 0$ として $R=\left(\frac{|u(x)|}{2[u]_{0,\alpha}}\right)^{\alpha^{-1}}$ とすると $|u|\ge \frac{1}{2}|u(x)|$ on $B_R(x)$ となり
$$\norm{u}_q\ge\frac{1}{2}|B_R(x)|^{q^{-1}}|u(x)|=\frac{1}{2}\omega_n^{q^{-1}}|u(x)|^{1+\frac{n\alpha^{-1}}{q}}[u]_{0,\alpha}^{-\frac{n\alpha^{-1}}{q}}.$$
$x$ について $\sup$ をとると $\norm{u}^{1+\frac{n\alpha^{-1}}{q}}[u]_{0,\alpha}^{-\frac{n\alpha^{-1}}{q}}\le C\norm{u}_q$。$\theta=\frac{\alpha q}{\alpha q+n}$ であるから
$$\norm{u}_\infty\le C[u]_{0,\alpha}^{1-\theta}\norm{u}_q^\theta$$
を得る。

$k\ge 1$、$\sigma=0$ の場合を示す。$k=0$ の場合と[[Hölder空間の基本事項]]の定理54<ref name=kaintp />より
$$\norm{u}_\infty\le C[u]_{0,1}^\frac{n}{q+n}\norm{u}_q^\frac{q}{q+n}\le C[u]_{k,\alpha}^\frac{n}{(k+\alpha)(q+n)}\norm{u}_\infty^\frac{(k-1+\alpha)n}{(k+\alpha)(q+n)}\norm{u}_q^\frac{q}{q+n}.$$
$\theta=\frac{(k+\alpha)q}{(k+\alpha)q+n}$ であるから
$$\norm{u}_\infty\le C[u]_{k,\alpha}^{1-\theta}\norm{u}_q^\theta$$
を得る。

(1)を示す。Hölderの不等式と $k\ge 1$、$\sigma=0$ の場合より
$$\norm{u}_r\le\norm{u}_\infty^{1+\frac{\sigma q}{n}}\norm{u}_q^{-\frac{\sigma q}{n}}\le[u]_{k,\alpha}^{1-\theta}\norm{u}_q^\theta$$
を得る。

(2)を示す。[[Hölder空間の基本事項]]の定理54<ref name=kaintp />と $k\ge 1$、$\sigma=0$ の場合より
$$[u]_{j,\beta}\le C[u]_{k,\alpha}^\frac{\sigma}{k+\alpha}\norm{u}_\infty^{1-\frac{\sigma}{k+\alpha}}\le C[u]_{k,\alpha}^{1-\theta}\norm{u}_q^\theta$$
を得る。
{{end|proof}}

{{theorem|type=thm|name=Gagliardo-Nirenbergの補間不等式|label=GN}}
$j\in\Zz$、$k\in\Zp$、$j\lt k$ とする。$p,q\in[1,\infty)$ とし、
$$\tau\in\begin{cases}
\left(0,\frac{k-j}{k}\right]&\colon p\in(1,\infty),k-j-\frac{n}{p}\in\Zz\\
\left[0,\frac{k-j}{k}\right]&\colon \rm{otherwise}
\end{cases}$$
をみたすとする。
$$\sigma\colon=(1-\tau)\left(k-\frac{n}{p}\right)-\frac{\tau n}{q}-j$$
とすると次が成り立つ:
*(1) $\sigma\le 0$ のとき $r\colon=-\frac{n}{\sigma}$ とすると $W^{k,p}(\R^n)\cap L^q(\R^n)\subset W^{j,r}(\R^n)$ で $u\in W^{k,p}(\R^n)\cap L^q(\R^n)$ について
$$\norm{D^ju}_{r;\R^n}\le C_{n,p,q,\tau}\norm{D^ku}_{p;\R^n}^{1-\tau}\norm{u}_{q;\R^n}^\tau.$$
また $T\subset\pOm$ が(\ref{D'})をみたす相対開集合のとき $W^{k,p}_0(\OmT)\cap L^q(\Omega)\subset W^{j,r}_0(\OmT)$ で $u\in W^{k,p}_0(\OmT)\cap L^q(\Omega)$ について
$$\norm{D^ju}_{r;\Omega}\le C_{p,q,\Omega,T,\tau}\norm{u}_{k,p;\Omega}^{1-\tau}\norm{u}_{q;\Omega}^\tau.$$
$\Omega$ が有界なLipschitz領域のとき $W^{k,p}(\Omega)\cap L^q(\Omega)\subset W^{j,r}(\Omega)$ で $u\in W^{k,p}(\Omega)\cap L^q(\Omega)$ について
$$\norm{D^ju}_{r;\Omega}\le C_{p,q,\Omega,\tau}\norm{u}_{k,p;\Omega}^{1-\tau}\norm{u}_{q;\Omega}^\tau.$$
*(2) $\sigma\gt 0$ のとき $j'\colon=j+\lceil\sigma\rceil-1$、$\alpha\colon=\sigma-(\lceil\sigma\rceil-1)$ とすると $W^{k,p}(\R^n)\cap L^q(\R^n)\subset C^{j',\alpha}(\R^n)$ で $u\in W^{k,p}(\R^n)\cap L^q(\R^n)$ について
$$[u]_{j',\alpha;\R^n}\le C_{n,p,q,\tau}\norm{D^ku}_{p;\R^n}^{1-\tau}\norm{u}_{q;\R^n}^\tau.$$
また $T\subset\pOm$ が(\ref{D'})をみたす相対開集合のとき $W^{k,p}_0(\OmT)\cap L^q(\Omega)\subset C^{j',\alpha}(\Ombar)$ で $u\in W^{k,p}_0(\OmT)\cap L^q(\Omega)$ について
$$[u]_{j',\alpha;\Omega}\le C_{p,q,\Omega,T,\tau}\norm{u}_{k,p;\Omega}^{1-\tau}\norm{u}_{q;\Omega}^\tau.$$
$\Omega$ が有界なLipschitz領域のとき $W^{k,p}(\Omega)\cap L^q(\Omega)\subset C^{j',\alpha}(\Ombar)$ で $u\in W^{k,p}(\Omega)\cap L^q(\Omega)$ について
$$[u]_{j',\alpha;\Omega}\le C_{p,q,\Omega,\tau}\norm{u}_{k,p;\Omega}^{1-\tau}\norm{u}_{q;\Omega}^\tau.$$

{{begin|proof|display=''Proof.''}}
$\Omega=\R^n$ の場合を示す。その他は拡張作用素により従う。

$u\in C^\infty(\R^n)$ としてよい。表記を簡単にするため次の記号を用いる: $k\in\Zz$、$\sigma\ge k-n$ について
$$\langle u\rangle_{k,\sigma}\colon=\begin{cases}
\norm{D^ku}_{\frac{n}{k-\sigma}}&\colon \sigma\in[k-n,k]\\
[u]_{\lceil\sigma\rceil-1,\sigma-(\lceil\sigma\rceil-1)}&\colon \sigma\gt k
\end{cases}.$$
{{ref|type=thm|label=gsob}}より $j,k\in\Zz$、$j\lt k$ で $\sigma\ge k-n$ が $\sigma-j\notin\Zz$、$\sigma=k-n$、$\sigma=k$ のいずれかをみたすとき
$$\langle u\rangle_{j,\sigma}\le C\langle u\rangle_{k,\sigma}.$$
{{ref|type=thm|label=intp2}}より $j,k\in\Zp$、$j\lt k$、$\sigma\in[k-n,0]$、$\sigma'\in[-n,0]$ について
$$\langle u\rangle_{j,\frac{k-j}{k}\sigma+\frac{j}{k}\sigma'}\le C\langle u\rangle_{k,\sigma}^\frac{k-j}{k}\langle u\rangle_{0,\sigma'}^\frac{j}{k}.$$
{{ref|type=pro|label=intp3}}より $k\in\Zp$、$\sigma\in[k-n,k-1]$、$\sigma\in[k-n,0]$、$\tau\in[0,1)$ について
$$\langle u\rangle_{k-1,(1-\tau)\sigma+\tau\sigma'}\le C\langle u\rangle_{k,\sigma}^{1-\tau}\langle u\rangle_{k-1,\sigma'}^\tau.$$
Hölderの不等式と{{ref|type=lem|label=intp4}}と[[Hölder空間の基本事項]]の定理54<ref name="kaintp" />より $k\in\Zz$、$\sigma,\sigma'\ge k-n$、$\theta\in[0,1]$ について
$$\langle u\rangle_{k,(1-\theta)\sigma+\theta\sigma'}\le C\langle u\rangle_{k,\sigma}^{1-\theta}\langle u\rangle_{k,\sigma'}^{\theta}.$$
また主張は次のように表される: $k\in\Zp$、$\sigma\in [k-n,k]$、$\sigma'\in [-n,0]$ とし、
$$\begin{cases}
\tau\in\left[\frac{j}{k},1\right)&\colon \sigma\in(k-n,k),\sigma-j\in\Zz\\
\tau\in\left[\frac{j}{k},1\right]&\colon \rm{otherwise}
\end{cases}$$
とすると
$$\langle u\rangle_{j,(1-\tau)\sigma+\tau\sigma'}\le C\langle u\rangle_{k,\sigma}^{1-\tau}\langle u\rangle_{\sigma'}^\tau.$$

$\tau=\frac{k-j}{k}$ の場合および $\sigma-j\notin\Zz$、$\sigma=k-n$ あるいは $\sigma=k$ で $\tau=0$ の場合は{{ref|type=thm|label=genSob}}、{{ref|type=thm|label=lip}}から直ちに従う。

$\sigma\in\left(k-n,k\right)$、$\sigma-j\in\Zz$、$\tau\in\left(0,\frac{1}{k}\right]$ とする。

$\sigma\in\Z$ より $\sigma\le k-1$ であるから
$$\langle u\rangle_{k-1,(1-\tau)\sigma+\tau\sigma'}\le C\langle u\rangle_{k,\sigma}^{1-k\tau}\langle u\rangle_{k-1,\frac{k-1}{k}\sigma+\frac{1}{k}\sigma'}^{k\tau}\le C\langle u\rangle_{k,\sigma}^{1-\tau}\langle u\rangle_{k,\sigma'}^\tau$$
となり $j=k-1$ の場合が従う。また $\sigma\ge j\gt 0\le\sigma'$ より十分小さく $\tau$ をとれば $(1-\tau)\sigma+\tau\sigma'\notin\Z$ となり $j=1,\ldots,k-2$ について $\langle u\rangle_{j,(1-\tau)\sigma+\tau\sigma'}\le C\langle u\rangle_{k-1,(1-\tau)\sigma+\tau\sigma'}$ となりこの場合も従う。

また $\tau=\tau_1,\tau_2$ について主張が成り立ったとして $\theta\in[0,1]$、$\tau=(1-\theta)\tau_1+\theta\tau_2$ とすると
$$(1-\tau)\sigma+\tau\sigma'=(1-\theta)((1-\tau_1)\sigma+\tau_1\sigma')+\theta((1-\tau_2)\sigma+\tau_2\sigma'),(1-\theta)(1-\tau_1)+\theta(1-\tau_2)=1-\tau$$
であるから
$$\langle u\rangle_{j,(1-\tau)\sigma+\tau\sigma'}\le C\langle u\rangle_{j,(1-\tau_1)\sigma+\tau_1\sigma'}^{1-\theta}\langle u\rangle_{j,(1-\tau_2)\sigma+\tau_2\sigma'}^\theta\le C\langle u\rangle_{k,\sigma}^{1-\tau}\langle u\rangle_{\sigma'}^\tau.$$
以上より主張が従う。
{{end|proof}}

==トレース作用素==
最後に $u\in W^{1,p}(\Omega)$ に「境界値」を定めるトレース作用素について述べる。$n=1$ の場合と $p\in(n,\infty]$ の場合は適切な仮定の下 $W^{1,p}(\Omega)\subset C^{0,1-\frac{n}{p}}(\Ombar)$ であったから $u\in W^{1,p}(\Omega)$ には境界値を定めることができるが、そうでない場合も $\Omega$ が $C^{0,1}$ 以上のなめらかさがある境界部分をもつとき $u\in W^{1,p}(\Omega)$ にその上の「弱い意味の境界値」を定めることができる。

{{theorem|type=lem|label=halfspcase}}
$\mu=(\mu_1,...,\mu_n)\in B_1(0)$、$\xi\in\R^n$ とし、$\Omega\colon=\{x\in\R^n\colon \mu\cdot(x-\xi)\gt 0\}$ を半空間とする。$u\in C^{0,1}(\Ombar)$ で $\supp u$ が有界なものについて
$$\int_\Omega D_iu=-\mu_i\int_\pOm ud\H^{n-1}.$$

{{begin|proof}}
$\xi=0$ としてよい。Lipschitz連続関数 $x\mapsto \mu\cdot x$ に対して[[Hausdorff測度とarea_coarea_formula|coarea formula]]を用いると
\begin{align*}
\int_\Omega D_\mu u&=\int_0^\infty\left(\int_{\{\mu\cdot y=t\}}D_\mu u(y)d\H^{n-1}(y)\right)dt\\
&=\int_0^\infty\left(\int_\pOm D_\mu u(x+t\mu)d\H^{n-1}(x)\right)dt\\
&=-\int_\pOm ud\H^{n-1}.
\end{align*}
一方 $\mu'\in\R^n\backslash\{0\}$、$\mu'\cdot\mu=0$ とするとcoarea formulaより
\begin{align*}
\int_\Omega D_{\mu'}u&=\int_\R\left(\int_{\{\mu\cdot y\gt 0,\mu'\cdot y=t\}}D_{\mu'}u(y)d\H^{n-1}(y)\right)|\mu'|^{-1}dt\\
&=\int_\R\left(\int_{\{\mu\cdot y\gt 0,\mu'\cdot y=0\}}D_{\mu'}u(x+t\mu')d\H^{n-1}(x)\right)|\mu'|^{-1}dt\\
&=0.
\end{align*}
$i=1,...,n$ について $(e_i-\mu_i\mu)\cdot\mu=0$ であるから
$$\int_\Omega D_iu=\mu_i\int_\Omega D_\mu u+\int_\Omega D_{e_i-\mu_i\mu}u=-\mu_i\int_\pOm ud\H^{n-1}.$$
{{end|proof}}

{{theorem|type=lem|label=tracelem}}
$S\subset\R^n$ が $|S|=0$ をみたすとすると $f\in L^1_\loc(\R^n)$ について
$$\lim_{r\to+0}\frac{1}{r^{n-1}}\int_{B_r(x)}|f|=0\ \H^{n-1}-\ae x\in S.$$

{{begin|proof|display=''Proof.''|collapsible=1}}
$S$ は有界であるとしてよい。$\sigma\gt 0$ とし、
$$A_\sigma\colon=\left\{x\in\R^n\colon\limsup_{r\to+0}\frac{1}{r^{n-1}}\int_{\Bb_r(x)}|f|\gt\sigma\right\}$$
として $\H^{n-1}(A_\sigma)=0$ を示せば十分。

$S$ は有界で $|S|$ をみたすので $S$ の有界な開近傍 $U_1\supset U_2\ldots\supset S$ で $\displaystyle \left|\bigcap_{i=1}^\infty U_i\right|=0$ となるものをとれ、$\displaystyle\int_{U_1}|f|\lt\infty$ より $\displaystyle \lim_{i\to\infty}\int_{U_i}|f|=0$ となる。これより $\varepsilon\gt 0$ とすると $S$ の有界な開近傍 $U$ で $\displaystyle\int_{U}|f|\lt\varepsilon$ となるものをとれる。

$\varepsilon\gt 0$、$\delta\gt 0$ とし、$S\subset U$
$$\B\colon=\left\{\Bb=\Bb_r(x)\colon x\in A_\sigma,r\lt\delta,\Bb\subset U,\int_{\Bb}|f|\ge\sigma r^{n-1}\right\}$$
とすると、任意の $x\in A_\sigma$ と $\varepsilon\gt 0$ について $r\in(0,\varepsilon)$ が存在して $B_r(x)\in\B$。

[[Vitaliの被覆定理]]より $\{\Bb_i\}_{i=1}^\infty=\{\Bb_{r_i}(x_i)\}_{i=1}^\infty\subset\B$ で $i\neq j\implies \Bb_i\cap\Bb_j=\emptyset$ かつ $\displaystyle A_\sigma\subset\bigcup_{i=1}^\infty\Bb_{5r_i}(x_i)$ となるものが存在する。これより
$$\H^{n-1}_{10\delta}(A_\sigma)\colon=\omega_{n-1}\sum_{i=1}^\infty(5r_i)^{n-1}\le 5^{n-1}\omega_m\sum_{i=1}^\infty\int_{\Bb_i}|f|=5^{n-1}\omega_n\int_{\bigcup_{i=1}^\infty\Bb_i}|f|\le 5^{n-1}\omega_n\int_U|f|\lt\varepsilon.$$
$\delta\to +0$ として $\H^{n-1}(A_\sigma)\lt\varepsilon$ を得る。
{{end|proof}}

{{theorem|type=thm|name=トレース作用素|label=trace}}
$S\subset\pOm$ を $C^{0,1}$ 境界部分とする。$p\in[1,\infty)$、$u\in W^{1,p}(\Omega)$ とすると $\H^{n-1}$ -a.e. $\xi\in S$ について
$$Tu(\xi)\colon=\lim_{r\to +0}\frac{1}{|B_r(\xi)\cap\Omega|}\int_{B_r(\xi)\cap\Omega}u$$
は収束する。また $Tu\in L^p_\loc(S,\H^{n-1})$ で相対開集合 $S'\rcpt S$ について
$$\int_{S'} |Tu|^pd\H^{n-1}\le C_{p,S'}\int_\Omega\left(|u|^p+|u|^{p-1}|Du|\right).$$

{{begin|proof|display=''Proof.''|collapsible=1}}
$\xi\in\overline{S'}$ について開集合 $U_\xi\subset\R^n$ と全単射 $\psi_\xi\colon 2Q\to U_\xi$ が存在して $U_\xi\cap\Omega=\psi_\xi(2Q_+)$、$U_\xi\cap\pOm=\psi_\xi(2Q_0)$ かつ $\psi_\xi$ と $\psi_\xi^{-1}$ はいずれも $C^{0,1}$ 写像となる。$\overline{S'}$ はコンパクトであるから $\xi_1,\ldots ,\xi_N\in\overline{S'}$ を $\displaystyle\overline{S'}\subset\bigcup_{i=1}^N\psi_\xi(Q)$ となるようにとれる。$U_{\xi_i}$、$\psi_{\xi_i}$ をそれぞれ $U_i$、$\psi_i$ と置きなおす。$V_i\colon=\psi_i(Q)$ とする。$i=1,\ldots ,N$ について $L_i\colon=\max\{L(\psi|_Q),L(\psi^{-1}|_{V_i})^{-1}\}$ とする。

$\chi\in C^\infty([0,1])$ を $\chi(0)=1$ かつ $\chi(1)=0$ となるようにとる。Area不等式([[Hausdorff測度とarea_coarea_formula]]の定理19)より $u\in C^{0,1}(\Omega\cup S')\cap W^{1,p}(\Omega)$ と $p\in[1,\infty)$ について
\begin{align*}
\int_{V_i\cap\pOm}|u|^pd\H^{n-1}&\le L_i^n\int_{Q_0}|u\circ\psi_i|^pd\H^{n-1}\\
&=-pL_i^n\int_{Q_+}\frac{\partial}{\partial x_n}\left(\chi(x_n)|u(\psi_i(x',x_n))|^p\right)dx\\
&\le C\int_{Q_+}\left(|u\circ\psi_i|^p+|u\circ\psi_i|^{p-1}|D_n(u\circ\psi)|\right)\\
&\le C\int_{V_i\cap\Omega}\left(|u|^p+|u|^{p-1}|Du|\right).
\end{align*}
$i$ について加えて
$$\int_{S'} |u|^pd\H^{n-1}\le C\int_\Omega\left(|u|^p+|u|^{p-1}|Du|\right)$$
を得る。

{{ref|type=cor|label=apx4}}より $u\mapsto u|_{S'}$ は $W^{1,p}(\Omega)$ から $L^p(S',\H^{n-1})$ への有界線型作用素 $T$ に一意的に拡張される。$u_m\in C^\infty(\Omega\cup S')\cap W^{1,p}(\Omega)$、$\norm{u_m-u}_{1,p}\to 0\ (m\to\infty)$ とすると $\int_\pOm|u_m-Tu|^pd\H^{n-1}\to 0\ (m\to\infty)$ であるから部分列に移って $u_m\to Tu\ \H^{n-1}$ -a.e. on $S'$ となるようにできてFatouの補題により
$$\int_{S'} |Tu|^pd\H^{n-1}\le\liminf_{m\to\infty}\int_{S'}|u_m|^pd\H^{n-1}\le C\liminf_{m\to\infty}\int_\Omega\left(|u_m|^p+|u_m|^{p-1}|Du_m|\right)=\int_\Omega\left(|u|^p+|u|^{p-1}|Du|\right).$$

$u\in W^{1,p}(\Omega)$ について
$$\lim_{r\to +0}\frac{1}{|B_r(\xi)\cap\Omega|}\int_{B_r(\xi)\cap\Omega}|u-Tu(\xi)|=0\ \H^{n-1}-\ae \xi\in S'\tag{*}\label{trace}$$
を示す。

$i=1,\ldots ,N$ とする。Lebesgueの微分定理より $\H^{n-1}$ -a.e. $\eta\in Q_0$ について
$$\lim_{r\to+0}\frac{1}{s^{n-1}}\int_{B_s(\eta)\cap Q_0}|Tu\circ\psi_i-Tu(\psi_i(\eta))|d\H^{n-1}=0.$$
また $y\in Q_+$ を $(y',y_n)\in(-1,1)^{n-1}\times(0,1)$ と表すと $v\in C^\infty(\Omega\cup S)$ と $\eta\in Q_0$、$(B_s(\eta)\cap Q_0)\times(0,s)\subset Q_+$ について
\begin{align*}
\int_{(B_s(\eta)\cap Q_0)\times(0,s)}|v(\psi_i(y))-v(\psi_i(y',0))|&=\int_{(B_s(\eta)\cap Q_0)\times(0,s)}\left(\int_0^{y_n}|D_n(v\circ\psi_i)(y',t)|dt\right)dy\\
&=\int_{(B_s(\eta)\cap Q_0)\times(0,s)}(s-y_n)|D_n(v\circ\psi_i)(y)|dy\\
&\le s\int_{(B_s(\eta)\cap Q_0)\times(0,s)}|D_n(v\circ\psi_i)v|.
\end{align*}
area不等式より $\varphi\mapsto\varphi\circ\psi_i$ は $L^1(V_i\cap\pOm,\H^{n-1})$ から $L^1(Q_0,\H^{n-1})$ へ有界であることに注意すると近似により
$$\int_{(B_s(\eta)\cap Q_0)\times(0,s)}|u(\psi(y))-Tu(\psi_i(y',0))|dy\le s\int_{(B_s(\eta)\cap Q_0)\times(0,s)}|D_n(u\circ\psi_i)|.\tag{**}\label{trace2}$$
$(B_s(\eta)\cap Q_0)\times(0,s)\subset B_{\sqrt{2}s}(\eta)\cap Q_+$ と{{ref|type=lem|label=tracelem}}より $\H^{n-1}$ -a.e. $\eta\in Q_+$ について
$$\frac{1}{s^n}\int_{(B_s(\eta)\cap Q_0)\times(0,s)}|u(\psi_i(y))-Tu(\psi_i(y',0))|dy\le \frac{1}{s^{n-1}}\int_{B_{\sqrt{2}s}(\eta)\cap Q_+}|D_n(u\circ\psi_i)|\to 0\ (s\to+0).$$
これより $\H^{n-1}$ -a.e. $\eta\in Q_+$ について
\begin{align*}
&\quad\frac{1}{s^n}\int_{(B_s(\eta)\cap Q_0)\times(0,s)}|u\circ\psi_i-Tu(\psi_i(\eta))|\\
&\le\frac{1}{s^n}\int_{(B_s(\eta)\cap Q_0)\times(0,s)}|u(\psi_i(y))-Tu(\psi_i(y'))|dy+\frac{1}{s^{n-1}}\int_{B_s(\eta)\cap Q_0}|Tu\circ\psi_i-Tu(\psi_i(\eta))|d\H^{n-1}\\
&\to 0\ (s\to +0).
\end{align*}
また $\xi\in V_i\cap\pOm$ と十分小さい $r\gt 0$ について $\psi_i^{-1}(B_r(\xi)\cap\Omega)\subset B_{Lr}(\psi_i^{-1}(\xi))\cap Q_+\subset (B_{Lr}(\psi_i^{-1}(\xi))\cap Q_0)\times(0,Lr)$ かつ
$|B_r(\xi)\cap\Omega|\ge L_i^{-1}|B_{L_i^{-1}r}(\psi_i^{-1}(\xi))\cap Q_+|\ge\frac{1}{2}\omega_nL_i^{-2n}r^n$ となることとArea不等式より $\H^{n-1}$ -a.e. $\xi\in V_i\cap\pOm$ について
$$\frac{1}{|B_r(\xi)\cap\Omega|}\int_{B_r(\xi)\cap\Omega}|u-Tu(\xi)|\le \frac{C}{r^n}\int_{(B_{Lr}(\psi_i^{-1}(\xi))\cap Q_0)\times(0,Lr)}|u\circ\psi_i-Tu(\xi)|\to 0\ (r\to+0).$$
これより(\ref{trace})が成り立ち、とくに
$$\lim_{r\to +0}\frac{1}{|B_r(\xi)\cap\Omega|}\int_{B_r(\xi)\cap\Omega}u=Tu(\xi)\ \H^{n-1}-\ae \xi\in S'.$$

$S'\rcpt S$ は任意であったから、これにより $T\colon W^{1,p}(\Omega)\to L^p_\loc(S,\H^{n-1})$ が定まる。
{{end|proof}}

{{theorem|type=def|label=deftrace}}
$T$ を $\Omega$ におけるトレース作用素という。

{{theorem|type=rmk}}
$T$ の表示から明らかに $u\in W^{1,p}(\Omega)\cap C(\Omega\cup S)$ については $Tu=u|_S$ である。この意味で $Tu$ は $u$ の「弱い意味の境界値」となっている。

$\Omega$ が $C^{0,1}$ 領域のときは $S=\pOm$ ととれる。とくに $\Omega$ が有界な場合は $\pOm$ はコンパクトであるから $S'=\pOm$ ととれ、このとき $T\colon W^{1,p}(\Omega)\to L^p_{\loc}(\pOm,\H^{n-1})=L^p(\pOm,\H^{n-1})$ は有界線型作用素である。

{{theorem|type=pro|name=合成関数と積|label=traceelm}}
$S\subset\pOm$ を $C^{0,1}$ 境界部分とし、$T$ を $\Omega$ におけるトレース作用素とする。次が成り立つ:
*(1) $u=(u_1,\ldots,u_m)\in W^{1,p}(\Omega)^m$ と $G\in C^1(\R^m)$ が $G(u)\in W^{1,p}(\Omega)$ をみたすとき $T(G(u))=G(Tu)$ on $S$。ここで $Tu\colon=(Tu_1,\ldots,Tu_m)\in L^p_{\loc}(S,\H^{n-1})^m$ である。

また $u\in W^{1,p}(\Omega)$ と $G\in W^{1,1}_{\loc}(\R)$ が{{ref|type=thm|label=chain2}}の仮定をみたすとき $T(G(u))=G(Tu)$ on $S$。
*(2) $u_1,\ldots,u_m\in W^{1,p}(\Omega)$ が $u_1\ldots u_m\in W^{1,p}(\Omega)$ をみたすとき $T(u_1\ldots u_m)=Tu_1\ldots Tu_m$ on $S$。

{{begin|proof}}
(1)を示す。(2)は(1)で $G(t_1,\ldots,t_m)=t_1\ldots t_m$ とすれば従う。

$G'\in L^\infty(\R^m)^m$ の場合を示す。一般の場合は{{ref|type=thm|label=chain1}}と{{ref|type=thm|label=chain2}}の証明で与えた近似により従う。

このとき $G\in C^{0,1}(\R^m)$ であるから $\H^{n-1}$-a.e.$\xi\in S$ について
$$\frac{1}{r^n}\int_{B_r(\xi)\cap\Omega}|G(u)-G(Tu(\xi))|\le\frac{[G]_{0,1}}{r^n}\int_{B_r(\xi)\cap\Omega}|u-Tu(\xi)|\to 0\ (r\to +0).$$
これより $T(G(u))=G(Tu)$ が従う。
{{end|proof}}

{{theorem|type=pro|name=変数変換|label=tracechavar}}
$D,\widetilde{D}\subset\R^n$ を開集合とし、$\psi\colon\widetilde{D}\to D$ は全単射で $\psi$ と $\psi^{-1}$ はともに $C^{0,1}$ 写像であるとする。$\widetilde{\Omega}\rcpt\widetilde{D}$ を開集合として $\widetilde{S}\subset\partial\widetilde{\Omega}$ を $C^{0,1}$ 境界部分とし、 $\Omega\colon=\psi(\widetilde{\Omega})$、$S\colon=\psi(\widetilde{S})$ とする。$T$、$\widetilde{T}$ をそれぞれ $\Omega$、$\widetilde{\Omega}$ におけるトレース作用素とする。 $u\in W^{1,p}(\Omega)$ について $\widetilde{T}(u\circ\psi)=Tu\circ\psi$ on $\widetilde{S}$。

{{begin|proof}}
$u\in C^\infty(\Omega\cup T)\cap W^{1,p}(\Omega)$ の場合は明らか。一般の場合は近似により従う。
{{end|proof}}

{{theorem|type=thm|name=トレースの核の特徴づけ|label=trace0}}
$S\subset\pOm$ を $C^{0,1}$ 境界部分とし、$T$ を $\Omega$ におけるトレース作用素とする。 $p\in[1,\infty)$、$u\in W^{1,p}(\Omega)$ について次は同値:
*(1) $Tu=0$ on $S$。
*(2) 任意の $\zeta\in C^\infty_c((\R^n\backslash\pOm)\cup S)$ について $\zeta u\in W^{1,p}_0(\Omega)$。

とくに $\Omega$ が $C^{0,1}$ 領域のとき
$$\left\{u\in W^{1,p}(\Omega)\colon Tu=0\ \on\pOm\right\}=W^{1,p}_0(\Omega).$$

{{begin|proof|display=''Proof.''|collapsible=1}}
(2) $\implies$ (1) を示す。$u\in C^\infty_c(\Omega)$ のときは $Tu=0$ であるから $u\in W^{1,p}_0(\Omega)$ についても $Tu=0$。

任意の $\zeta\in C^\infty_c((\R^n\backslash\pOm)\cup S)$ について $\zeta u\in W^{1,p}_0(\Omega)$ となるとする。$S'\rcpt S$ とし、$\zeta\in C^\infty_c((\R^n\backslash\pOm)\cup S)$ を $\zeta=1$ on $S'$ かつ $\supp\zeta\rcpt\Omega\cup S$ となるようにとると $\zeta u\in W^{1,p}_0(\Omega)$ より $\zeta Tu=T(\zeta u)=0$。これより $Tu=0$ on $S'$。$S'\rcpt S$ は任意より $Tu=0$ を得る。

(1) $\implies$ (2) を示す。 $u\in W^{1,p}(\Omega)$ が $Tu=0$ をみたすとし、$\zeta\in C^\infty_c((\R^n\backslash\pOm)\cup S)$ とする。$S'\colon=\{\xi\in S\colon \zeta(\xi)\neq 0\}$ とすると $S'\rcpt S$。

{{ref|type=thm|label=trace}}と同様に $U_\xi$、$\psi_\xi$ をとり、$V_\xi$ を定める。また $W_\xi\colon=\psi_\xi(\frac{1}{2}Q)$ とする。$\xi_1,\ldots ,\xi_N\in\pOm$ を $\displaystyle \pOm\subset\bigcup_{i=1}^N W_{\xi_i}$ となるようにとり、$U_{\xi_i}$、$\psi_{\xi_i}$、$V_{\xi_i}$、$W_{\xi_i}$ をそれぞれ $U_i$、$\psi_i$、$V_i$、$W_i$ と置きなおす。

{{ref|type=thm|label=trace}}の証明の(\ref{trace2})と同様の計算により $s\in(0,1)$ について
$$\int_{(-1,1)^{n-1}\times(0,s)}|u\circ\psi_i|\le s\int_{(-1,1)^{n-1}\times(0,s)}|D_n(u\circ\psi_i)|.$$
$u$ を $|u|^p$ にとりかえれば
\begin{align*}
\int_{(-1,1)^{n-1}\times(0,s)}|u\circ\psi_i|^p&\le s\int_{(-1,1)^{n-1}\times(0,s)}|u\circ\psi_i|^{p-1}|D_n(u\circ\psi_i)|\\
&\le s\left(\int_{(-1,1)^{n-1}\times(0,s)}|u\circ\psi_i|^p\right)^{1-p^{-1}}\left(\int_{(-1,1)^{n-1}\times(0,s)}|D_nu\circ\psi_i|^p\right)^{p^{-1}}.
\end{align*}
これより
$$\int_{(-1,1)^{n-1}\times(0,s)}|u\circ\psi_i|^p\le s^p\int_{(-1,1)^{n-1}\times(0,s)}|D_nu\circ\psi_i|^p.$$
$\chi\in C^\infty((0,\infty))$ を
$$0\le\chi\le 1,\chi(t)=0\ \jf t\in(0,1),\chi(t)=1\ \jf t\gt 2$$
となるようにとり、$\chi_s(t)\colon=\chi(s^{-1}t)\ (s\gt 1)$ とする。$v_{s,i}\in W^{1,1}(Q_+)$ を
$$v_{s,i}(y',y_n)\colon=\chi_s(y_n)u(\psi_i(y))$$
と定めると $\supp v_{s,i}\subset[-1,1]^{n-1}\times[s,1]$ で
$$\int_{Q_+}|u\circ\psi_i-v_{s,i}|^p\le\int_{Q_+}(1-\chi_s(y_n))^p|u\circ\psi_i|^p\le\int_{(-1,1)^{n-1}\times(0,s)}|u\circ\psi_i|^p$$
で、
\begin{align*}
\int_{Q_+}|D(u\circ\psi_i-v_{s,i})|^p&\le C\left(\int_{Q_+}(1-\chi_s(y_n))^p|D(u\circ\psi_i)(y)|^pdy+\int_{Q_+}s^{-p}\chi'(s^{-1}y_n)^p|u(\psi_i(y))|^pdy\right)\\
&\le C\left(\int_{(-1,1)^{n-1}\times(0,s)}|D(u\circ\psi_i)(y)|^pdy+s^{-p}\int_{(-1,1)^{n-1}\times(0,s)}|u\circ\psi_i|^p\right)\\
&\le C\int_{(-1,1)^{n-1}\times(0,s)}|D(u\circ\psi_i)(y)|^pdy.
\end{align*}
これより
$$\norm{u\circ\psi_i-v_{s,i}}_{1,p}\to 0\ (s\to +0).$$
$\R^n$ の開被覆 $\R^n\backslash\pOm,W_1,\ldots ,W_N$ に従属する $1$ の分割 $\varphi_0,\varphi_1,\ldots ,\varphi_N$ をとって
$$u_s\colon=\varphi_0\zeta u+\sum_{i=1}^N\varphi_i(\zeta v_{s,i}\circ\psi_i^{-1})$$
とすると
$$\supp u_s\subset\bigcup_{i=1}^N \psi_i([-1,1]^{n-1}\times[s,1])$$
となり $u_s\in C^\infty_c(\Omega)$。また $\norm{u_s-\zeta u}_{1,p}\to 0\ (s\to +0)$。これより $\zeta u\in W^{1,p}_0(\Omega)$。
{{end|proof}}

{{theorem|type=pro|name=トレースSobolev不等式|label=TSob}}
$S\subset\pOm$ を $C^{0,1}$ 境界部分とし、$T$ を $\Omega$ におけるトレース作用素とする。$p\in(1,n)$ とすると $T(W^{1,p}(\Omega))\subset L^\frac{(n-1)p}{n-p}_\loc(S,\H^{n-1})$ で $u\in W^{1,p}(\Omega)$ と相対開集合 $S'\rcpt S$ について
$$\norm{Tu}_{\frac{(n-1)p}{n-p};S'}\le C_{p,S'}\norm{u}_{1,p;\Omega}.$$

{{begin|proof|display=''Proof.''|collapsible=1}}
$q\in[1,\infty)$ について
$$\int_{S'}|Tu|^qd\H^{n-1}\le C\int_\Omega\left(|u|^q+|u|^{q-1}|Du|\right)\le C\norm{u}_{p'(q-1)}^{q-1}\left(\norm{u}_p+\norm{Du}_p\right).$$
ここで $q=\frac{(n-1)p}{n-p}$ とすると $p'(q-1)=p^*$ となり
$$\int_{S'}|Tu|^qd\H^{n-1}\le C \norm{u}_{p^*}^{q-1}\norm{u}_{1,p}\le C\norm{u}_{1,p}^q.$$
{{end|proof}}

{{theorem|type=rmk}}
$p=n$ のときは任意の $q\subset[1,\infty)$ について $\norm{u}_{q;S'}\le C_{q,S'}\norm{u}_{1,n;\Omega}$ が成り立つ。また $p\in(n,\infty]$ のときは $Tu\in C^{0,\alpha}(S)$ である。

{{theorem|type=pro|name=トレース作用素のコンパクト性|label=Tcpt}}
$S\subset\pOm$ を $C^{0,1}$ 境界部分とし、$p\in(1,\infty)$ とする。
$$\begin{cases}
r\in\left[1,\frac{(n-1)p}{n-p}\right)&\colon p\in[1,n)\\
r\in[1,\infty)&\colon p=n\\
r\in[1,\infty]&\colon p\in(n,\infty)
\end{cases}$$
とすると $\Omega$ におけるトレース作用素 $T$ は相対開集合 $S'\rcpt S$ について $W^{1,p}(\Omega)$ から $L^r(S',\H^{n-1})$ へのコンパクト作用素である。すなわち、$\{u_m\}_{m=1}^\infty\subset W^{1,p}(\Omega)$ が $\displaystyle\sup_m\norm{u_m}_{1,p;\Omega}\lt\infty$ をみたすとすると部分列 $\{u_{m_j}\}_{m=1}^\infty$ で $\{Tu_{m_j}\}_{m=1}^\infty$ が $L^r(S',\H^{n-1})$ において収束するものがとれる。

{{begin|proof|display=''Proof.''}}
$q\colon=p'(r-1)\ge 1$ の場合を示せば十分。$v\in W^{1,p}(\Omega)$ について $\int_{S'}|Tu|^rd\H^{n-1}\le C\norm{u}_q^{r-1}\left(\norm{u}_p+\norm{Du}_p\right)$ となり、また $q$ は{{ref|type=thm|label=cpt}}の仮定をみたす。これより $L^q(\Omega)$ において収束する部分列 $\{u_{m_j}\}_{m=1}^\infty$ をとれば
$$\limsup_{i,j\to\infty}\int_{S'}|Tu_{m_i}-Tu_{m_j}|^r\le C\limsup_{i,j\to\infty}\norm{u_{m_i}-u_{m_j}}_q^{r-1}\sup_m\norm{u_m}_{1,p}=0$$
となる。
{{end|proof}}

対照的に、$p=1$ の場合は $\varphi\in L^1(S,\H^{n-1})$ を拡張して $Tu=\varphi$ となる $u\in W^{1,1}(\Omega)$ を構成することができる。

{{theorem|type=lem|label=trlem1}}
$S$ を $C^{0,1}$ 境界部分とする。$\H^{n-1}$ -a.e. $\xi\in S$ について $\nu(\xi)\in\partial B_1(0)$ であって次をみたすものが一意的に存在する:任意の $\lambda\in(0,1)$ について十分小さい $r\gt 0$ をとると
$$\{x\in\R^n\colon |x-\xi|\lt r,(x-\xi)\cdot\nu\lt -\lambda|x|\}\subset\Omega,\{x\in\R^n\colon |x-\xi|\lt r,(x-\xi)\cdot\nu\gt \lambda|x|\}\cap\Omega=\emptyset.$$
とくに
$$\chi_{\xi+a(\Omega-\xi)}\to\chi_{\{x\in\R^n\colon (x-\xi)\cdot\nu\lt 0\}}\ (a\to+\infty)\ \ae\inn\R^n.$$

{{begin|proof|display=''Proof.''|collapsible=1}}
開集合 $U\subset\R^n$ と全単射 $\psi\colon Q\to U$ が存在し $U\cap\Omega=\psi(Q_+)$、$S=\psi(Q_0)$ かつ $\psi$ と $\psi^{-1}$ がともに $C^{0,1}$ 写像となるものが存在するものが存在するとしてよい。

$Q_0\subset\R^{n-1}$ と見做して $\psi'\colon=\psi|_{Q_0}$ とすると[[Hausdorff測度とarea_coarea_formula|area formula]]とarea不等式より $E\subset Q_0$ について $\H^{n-1}(E)\le C\H^{n-1}\psi(E)\le C\int_E J\psi'$ であるから $J\psi'\gt 0\ \H^{n-1}$ -a.e. on $ Q_0$ であり、$\H^{n-1}$ -a.e. $y'\in Q_0$ について $D_1\psi(y'),\ldots ,D_{n-1}\psi(y')$ は一次独立である。

$y_0\in Q_0$ を $\psi'$ が微分可能で $D_1\psi(y_0),\ldots ,D_{n-1}\psi(y_0)$ が一次独立となりかつ $\nu_{j,1}\circ\psi'J\psi',\ldots ,\nu_{j,n}\circ\psi'J\psi'$ のLebesgue点となるような点とし、$\xi\colon=\psi(y_0)\in U\cap\pOm$ とする。$\H^{n-1}$ -a.e. $y_0\in Q_0$ はこれらをみたす。

また $\pi\colon=\xi+\operatorname{span}\{D_1\psi(y_0),\ldots ,D_{n-1}\psi(y_0)\}$ とする。また $\mu$ を平面 $\pi$ の単位法線ベクトルの一つとし、半空間 $\pi_+$、$\pi_-$ を $\pi_+\colon=\{x\in\R^n,\mu\cdot(x-\xi)\gt 0\}$、$\pi_-\colon=\{x\in\R^n,\mu\cdot(x-\xi)\lt 0\}$ と定める。

$\eta\in U\cap\pOm$ について
$$\mu\cdot(\eta-\xi)=\mu\cdot D\psi'(\psi^{-1}(\eta))(\psi^{-1}(\eta)-\psi^{-1}(\xi))+o(|\psi^{-1}(\eta)-\psi^{-1}(\xi)|)$$
よって $\lambda\in(0,1)$ について $C^+_\lambda\colon=\{x\in\R^n\colon\mu\cdot(x-\xi)\gt \lambda|x-\xi|\}$、$C^-_\lambda\colon=\{x\in\R^n\colon\mu\cdot(x-\xi)\lt-\lambda|x-\xi|\}$ とすると十分小さい $r\gt 0$ について
$$C^+_\lambda\cap B_r(\xi)\cap\pOm,C^-_\lambda\cap B_r(\xi)\cap\pOm=\emptyset$$
となり、
$$C^+_\lambda\cap B_r(\xi),C^-_\lambda\cap B_r(\xi)\subset U\backslash\pOm.$$
とくに $r_0\gt 0$ を十分小さくとると線分 $s_+\colon=\{\xi+t\mu\colon t\in(0,r_0)\}$ と $s_-\colon=\{\xi-t\mu\colon t\in(0,r_0)\}$ はともに $U\backslash\pOm$ に含まれる。$U\backslash\pOm=\psi(2Q\backslash 2Q_0)$ は $U\cap\Omega=\psi(2Q_+)$ と $U\backslash\Omega=\psi(2Q_-)$ の2つの連結成分をもち、$s_+$、$s_-$ はいずれもそのいずれか一方に含まれる。また十分小さい $r\gt 0$ について $C^+_\lambda\cap B_r(\xi)$ と $C^-_\lambda\cap B_r(\xi)$ も $U\backslash\pOm$ に含まれるので $U\cap\Omega$ と $U\backslash\Omega$ のいずれか一方に含まれ、また $C^+_\lambda\cap B_r(\xi)\cap s_+\neq\emptyset$、$C^-_\lambda\cap B_r(\xi)\cap s_-\neq\emptyset$ であるから
$$C^+_\lambda\cap B_r(\xi)\subset U\cap\Omega\iff s_+\subset U\cap\Omega,C^-_\lambda\cap B_r(\xi)\subset U\cap\Omega\iff s_-\subset U\cap\Omega.$$

$I\colon=\{\sigma\in\{+,-\}\colon s_i\subset U\cap\Omega\}$ とする。$\lambda\in(0,1)$ とし、$r\gt 0$ を十分小さくとって $C^+_\lambda\cap B_r(\xi)\subset U\backslash\pOm$ が成り立つようにする。任意の $x\in C^+_\lambda$ について、$a\gt 0$ を十分大きくとれば
$$\xi+a^{-1}(x-\xi)\in C^+_\lambda\cap B_r(\xi)$$
となり
$$\xi+a^{-1}(x-\xi)\in U\cap\Omega\iff +\in I.$$
これより
$$\chi_{\xi+a(U\cap\Omega-\xi)}(x)=\chi_{U\cap\Omega}(\xi+a^{-1}(x-\xi))\to\begin{cases}
1&\colon +\in I\\
0&\colon +\notin I
\end{cases}\ (a\to+\infty).$$
$\displaystyle\pi_+=\bigcup_{\lambda\in(0,1)} C^+_\lambda$ であるからこれは任意の $x\in\pi_+$ について成り立つ。

同様に任意の $x\in\pi_-$ について
$$\chi_{\xi+a(U\cap\Omega-\xi)}(x)\to\begin{cases}
1&\colon -\in I\\
0&\colon -\notin I
\end{cases}\ (a\to+\infty).$$
従って
$$\chi_{\xi+a(U\cap\Omega-\xi)}\to\chi_{\bigcup_{\sigma\in I}\pi_\sigma}\ (a\to+\infty).$$

また $\xi$ の開近傍 $W\subset U$ をとって $L\colon=\max\{L(\psi|_W),L(\psi^{-1}|_{\psi(W)})\}$ とすると十分小さい $r\gt 0$ について $|B_r(\xi)\cap\Omega|\ge\frac{1}{2}L^{-2n}\omega_nr^n$。$\lambda\in(0,1)$ を十分小さくとると $r\gt 0$ について $|C^+_\lambda\cap B_r(\xi)|,|C^+_\lambda\cap B_r(\xi)|\gt\frac{1}{2}\left(1-\frac{1}{2}L^{-2n}\right)\omega_nr^n$ となり、十分小さい $r\gt 0$ について
$$|C^+_\lambda\cap B_r(\xi)|+|C^+_\lambda\cap B_r(\xi)|+|B_r(\xi)\cap\Omega|\gt\omega_nr^n.$$
よって $C^+_\lambda\cap B_r(\xi)\cap\Omega\neq\emptyset$ または $C^-_\lambda\cap B_r(\xi)\cap\Omega\neq\emptyset$ が成り立ち、$I\neq\emptyset$。

$B_r(\xi)\cap\Omega$ を $B_r(\xi)\backslash\Omega$ にとりかえると同様に $I\neq\{+,-\}$ も示される。これより $I=\{+\}$ または $I=\{-\}$。

$$\bigcup_{i\in I}\pi_i=\begin{cases}
\pi_+=\{x\in\R^n\colon\mu\cdot(x-\xi)\gt 0\}&\colon I=\{+\}\\
\pi_-=\{x\in\R^n\colon\mu\cdot(x-\xi)\lt 0\}&\colon I=\{-\}
\end{cases}$$
であるから
$$\nu=\begin{cases}
-\mu&\colon I=\{+\}\\
\mu&\colon I=\{-\}
\end{cases}$$
とすればこの $\nu=\nu(\xi)$ は条件をみたす。
{{end|proof}}

{{theorem|type=def|name=外向き単位法線ベクトル|label=outnorm}}
$\nu(\xi)$ を $\xi$ における $S$ の(測度論的)外向き単位法線ベクトルという。

{{theorem|type=rmk}}
$\Omega$ がLipschitz領域のときは(\ref{Lipdom})をみたす $V_\xi$、$h_\xi$、$O_\xi$、$\gamma_\xi$ をとって $\psi$ を $\psi(y',y_n)=\xi+O_\xi(y',y_n+\gamma_\xi(y'))$ (を適当に制限しスケール変換して $Q\to\R^n$ としたもの)ととって証明中に得られた $\nu(\xi)$ の特徴づけを用いると $\H^{n-1}$ -a.e. $y'\in V_\xi$ について
$$\nu_i(\xi+O_\xi(y',\gamma_\xi(y'))=O_\xi\frac{(D\gamma_\xi(y'),-1)}{(|D\gamma_\xi(y')|^2+1)^\frac{1}{2}}$$
なる表示を得る。

とくに $\Omega$ がなめらかな領域の場合、$\nu(\xi)$ は幾何学的な外向き単位法線ベクトル([[ベクトル解析5：多様体の向き]]の定義22.1)と一致する。

{{ref|type=lem|label=trlem1}}より $\H^{n-1}$ -a.e. $\xi\in S$ について
$$r^{-n}|B_r(\xi)\cap\Omega|=|B_1(\xi)\cap(\xi+r^{-1}(\Omega-\xi))|\to|\{x\in B_1(\xi)\colon x\cdot\nu(\xi)\lt 0\}|=\frac{1}{2}\omega_n$$
が成り立つ。

{{theorem|type=lem|label=trlem2}}
$S\subset\Omega$ を $C^{0,1}$ 境界部分として $\nu$ を $S$ の外向き単位法線ベクトルとする。$F_i\rcpt S\ (i\in\Zp)$ で次をみたすものが存在する:
* $$\H^{n-1}\left(S\backslash\bigcup_{i=1}^\infty F_i\right)=0.$$
* $j_i\in\{1,\ldots,n\}$ と $\sigma_i\in\{1,-1\}$ と $F_i\rcpt U_i$ なる開集合 $U_i\subset\R^n$ と $\gamma_i\in C^{0,1}(\R^{n-1})$ が存在して
$$F_i\subset\{(x_1,\ldots,x_n)\in\R^n\colon\sigma_i x_{j_i}=\gamma(x_1,\ldots,x_{j_i-i},x_{j_i+1},\ldots,x_n)\}$$
かつ
$$\{(x_1,\ldots,x_n)\in U_i\colon\sigma_i x_{j_i}\gt\gamma(x_1,\ldots,x_{j_i-i},x_{j_i+1},\ldots,x_n)\}\subset\Omega.$$

{{begin|proof}}
(1)の $\nu=(\nu_1,\ldots,\nu_n)$ をとる。$\xi\in S$ を $\nu(\xi)$ が定義される点とすると $j\in\{1,\ldots,n\}$ であって $|\nu_j(\xi)|\ge n^{-\frac{1}{2}}$ となるものが存在するので $\lambda\colon=(2n)^{-\frac{1}{2}}$ として
$$D_{j,+}\colon=\left\{\xi\in S\colon \nu_j(\xi)\lt -\lambda \right\},D_{j,-}\colon=\left\{\xi\in S\colon \nu_j(\xi)\gt \lambda\right\}$$
とすると
$$\H^{n-1}\left(S\backslash\left(\bigcup_{j=1}^n D_{j,+}\cup\bigcup_{j=1}^n D_{j,-}\right)\right)=0.$$
$\xi\in D_{n,+}$ と $x\in\R^n$ について、$x-\xi=(y',y_n)\in\R^{n-1}\times\R$ と表すと
$$(\xi-x)\cdot\nu(\xi)\le\nu_n(\xi)y_n+(1-\nu_n(\xi)^2)^\frac{1}{2}|y'|.$$
$\nu_n(\xi)\lt -\lambda$、$(1-\nu_n(\xi)^2)^\frac{1}{2}\lt(1-\lambda^2)^\frac{1}{2}=\colon\lambda'$ に注意すると $y_n\gt\lambda'|x-\xi|$ なる $x$ について
$$(\xi-x)\cdot\nu(\xi)\le\nu_n(\xi)\lambda'+(1-\nu_n(\xi)^2)^\frac{1}{2}\lambda\lt 0.$$
$\nu$ のとりかたより $r\gt 0$ を十分小さくとれば
$$\xi+rC\subset\Omega.$$
ここで
$$C\colon=\{y=(y',y_n)\in\R^{n-1}\times\R\colon |y|\lt 1,y_n\gt\lambda'|y'|\}.$$
これより $E_{n,+,k}\colon=\{\xi\in D_{n,+}\colon \xi+2^{-k}C\subset\Omega\}$ とすると $\displaystyle \bigcup_{k=1}^\infty E_{n,+,k}=D_{n,+}$。

$k\in\Zp$ に対し、$F_{n,+,k,l}\subset E_{n,+,k}$ を $F_{n,+,k,l}\rcpt S$、$\diam F_{n,+,k,l}\lt 2^{-(k+1)}$ かつ $\displaystyle\bigcup_{l=1}^\infty F_{n,+,k,l}=E_{n,+,k}$ となるようにとり、$x'\in\R^{n-1}$ について
$$\gamma_{n,+,k,l}(x')\colon=\inf_{(\xi',\xi_n)\in F_{n,+,k,l}}(\xi_n+\lambda'|x'-\xi'|)$$
と定める。

$\gamma_{n,+,k,l}\in C^{0,1}(\R^{n-1})$ を示す。$x',y'\in\R^{n-1}$、$\varepsilon\gt 0$ として $\xi_n+\lambda'|x'-\xi'|\lt\gamma_{n,+,k,l}(x')+\varepsilon$ となる $(\xi',\xi_n)\in F_{n,+,k,l}$ をとると
$$\gamma_{n,+,k,l}(y')\le\xi_n+\lambda'|y'-\xi'|\le\xi_n+\lambda'|x'-\xi'|+\lambda'|x'-y'|\lt\gamma_{n,+,k,l}(x')+\lambda'|x'-y'|+\varepsilon.$$
これより $\gamma_{n,+,k,l}(y')\le\gamma_{n,+,k,l}(x')+\lambda|x'-y'|$。同様に $\gamma_{n,+,k,l}(x')\le\gamma_{n,+,k,l}(y')+\lambda|x'-y'|$ も成り立ち、$[\gamma]_{0,1}\le\lambda'$ が従う。

$\xi=(\xi',\xi_n)\in F_{n,+,k,l}$ とすると $\gamma_{n,+,k,l}(\xi')=\xi_n$ となることを示す。$(x',x_n)\in\xi+2^{-k}C$ とすると $x_n-\xi_n\gt\lambda'|x'-\xi'|$ であるから
$$\gamma_{n,+,k,l}(x')\le\xi_n+\lambda'|x'-\xi'|\lt x_n.$$
$\xi\in\overline{\xi+2^{-k}C}$ であるから $\gamma_{n,+,k,l}(\xi)\le \xi_n$。

一方 $\gamma_{n,+,k,l}(\xi)\lt\xi_n$ であったとすると $\eta=(\eta',\eta_n)\in F_{n,+,k,l}$ であって $\eta_n+\lambda'|\eta'-\xi'|\lt\xi_n$ となるものが存在する。$\xi_n-\eta_n\gt\lambda'|\eta'-\xi'|$ で、$\diam F_{n,+,k,l}\lt 2^{-(k+1)}$ より $|\xi-\eta|\lt 2^{-(k+1)}$ となるので $\xi\in\eta+2^{-k}C$。$\eta\in F_{n,+,k,l}\subset E_{n,+,k}$ より $\eta+2^{-k}C\subset\Omega$ であるから $\xi\in\Omega$ であるが、これは $F_{n,+,k,l}\subset E_{n,+,k}\subset\pOm$ に矛盾。これより $\gamma_{n,+,k,l}(\xi')=\xi_n$。

$$U_{n,+,k,l}\colon=\{x\in\R^n\colon \dist(x,F_{n,+,k,l})\lt 2^{-(k+1)}\}$$
とする。$x=(x',x_n)\in U_{n,+,k,l}$ が $x_n\gt\gamma_{n,+,k,l}(x')$ をみたすとすると $\xi=(\xi',x_n)\in F_{n,+,k,l}$ であって $\xi_n+\lambda'|x'-\xi_n|\lt x_n$ をみたすものが存在する。$x_n-\xi_n\gt\lambda'|x'-x_n|$ で、$\dist(x,F_{n,+,k,l})\lt 2^{-(k+1)}$ と $\diam F_{n,+,k,l}\lt 2^{-(k+1)}$ より $F_{n,+,k,l}\subset B_{2^{-k}}(x)$ であるから $|x-\xi|\lt 2^{-k}$。これより $x\in\xi+2^{-k}C\subset\Omega$。

同様に $j\in\{1,\ldots,n\}$ と $\sigma\in\{+,-\}$ について $F_{j,\sigma,k,l}\rcpt S$ と $\gamma_{j,\sigma,k,l}\in C^{0,1}(\R^{n-1})$ と $F_{j,\sigma,k,l}\rcpt U_{j,\sigma,k,l}$ なる開集合 $U_{j,\sigma,k,l}$ を
$$\bigcup_{k,l=1}^\infty F_{j,\sigma,k,l}=D_{j,\sigma},$$
$$F_{j,\sigma,k,l}\subset\{(x_1,\ldots,x_n)\in\R^n\colon \sigma_jx_j=\gamma_{j,\sigma,k,l}(x_1,\ldots,x_{j-1},x_{j+1},\ldots,x_n)\}$$
かつ
$$\{(x_1,\ldots,x_n)\in U_{j,\sigma,k,l}\colon \sigma_jx_j\gt\gamma_{j,\sigma,k,l}(x_1,\ldots,x_{j-1},x_{j+1},\ldots,x_n)\}\subset\Omega$$
となるようにとれる。

$\{(F_{j,\sigma,k,l},\gamma_{j,\sigma,k,l},U_{j,\sigma,k,l})\}_{j,\sigma,k,l}$ を $\{(F_i,\gamma_i,U_i)\}_i$ とおき直せば主張が従う。
{{end|proof}}

{{theorem|type=thm|name=境界上の関数の拡張|label=Text}}
$S\subset\pOm$ を $C^{0,1}$ 境界部分とし、開集合 $V\subset\R^n$ は $S\cap V\neq\emptyset$ をみたすとする。$\varphi\in L^1(S\cap V,\H^{n-1})$ とし、$\varepsilon\gt 0$ とすると $u\in W^{1,1}(\Omega)$ で次をみたすものが存在する:
$$Tu=\varphi\ \on S\cap V,u=0\ \on \Omega\backslash V,\norm{u}_{1;\Omega}\lt\varepsilon,\int_\Omega|Du|\lt\int_\pOm|\varphi|d\H^{n-1}+\varepsilon.$$

{{begin|proof|display=''Proof.''|collapsible=1}}
$\Omega,S$ を $V\cap\Omega,V\cap S$ にとりかえた{{ref|type=lem|label=trlem2}}の $F_i,j_i,\sigma_i,U_i,\gamma_i$ をとる。$F_i$ を $\displaystyle \left(\overline{F_i}\backslash\bigcup_{i'=1}^i\overline{F_{i'}}\right)\cap S$ にとりかえることにより $F_i$ はBorel集合で $i\neq i'\implies F_i\cap F_{i'}$ となるとしてよい。また $F_i\rcpt V\cap S$ より $U_i$ を $U_i\cap V$ にとりかえて $U_i\subset V$ としてよい。

$j_i=n$、$\sigma=1$ となる $i$ をとってfixする。(それ以外の $i$ についても同様である。) $F_i\rcpt U_i$、$F_i\subset\{(x',\gamma_i(x'))\colon x'\in\R^{n-1}\}$ より開集合 $W\subset\R^{n-1}$ と $h\gt 0$ が存在して
$$U_i'\colon=\{(x',x_n)\in W\times\R\colon |x_n-\gamma_i(x')|\lt h\}$$
は $F_i\rcpt U_i'\rcpt U_i$ をみたす。また
$$U_{i,+}'\colon=\{(x',x_n)\in W\times\R\colon 0\lt x_n-\gamma_i(x')\lt h\}\subset\Omega.$$

$\varphi_i\in L^1(\R^{n-1})$ を $\varphi_i(x')\colon=(\varphi\chi_{F_i})(x',\gamma_i(x'))$ により定める。$F_i\rcpt U_i'$ より $\supp\varphi_i\subset W$。

$\eta'$ を $\R^{n-1}$ におけるmollifierとし、$r_k\gt 0\ (k\in\Zp)$ を単調減少かつ $r_1\lt h$、$\supp(\eta'_{r_k}*\varphi_i)\subset U_i'$ かつ $\norm{\eta'_{r_k}*\varphi_i-\varphi_i}\lt 2^{-k}$ となるようにとる。また $k\in\Zz$ について $\displaystyle t_k\colon=\sum_{l=k+1}^\infty 2^{-l}r_l$ とする。

$k\in\Zp$ について $ w_k\colon[0,\infty)\to\R$ を
$$ w_k(t)\colon=\begin{cases}
0&\colon t\in[0,t_{k+1})\\
2^{-(k+1)}r_{k+1}(t-t_{k+1})&\colon t\in[t_{k+1},t_k)\\
-2^{-k}r_k(t_{k-1}-t)&\colon t\in[t_k,t_{k-1})\\
0&\colon t\ge t_{k-1}
\end{cases}$$
と定める。$k_0\in\Zp$ とし、
$$v_i(x',x_n)\colon=\sum_{k=k_0}^\infty w_k(x_n)(\eta'_{r_k}*\varphi_i)(x')\ ((x',x_n)\in\R^{n-1}\times(0,\infty))$$
とする。$\supp w_k=[t_{k+1},t_{k-1}]$ より $\{\supp w_k\}_k$ は局所有限であるから $v_i$ はwell-definedで $v_i\in C^\infty(\Rnp)$。また $v_i=0$ on $\R^n\backslash(W\times(0,t_{k_0}))$。また
\begin{align*}
\int_{\R^n_+}|v_i|&=\sum_{k=k_0}^\infty\int_0^\infty w_k\left(\int_{\R^{n-1}}|\eta'_{r_k}*\varphi_i|\right)\\
&\le\sum_{k=k_0}^\infty 2^{-1}(2^{-k}r_k+2^{-(k+1)}r_{k+1})\int_{\R^{n-1}}|\varphi_i|\\
&\le C2^{-k_0}t_{k_0}\int_{\R^{n-1}}|\varphi_i|,\\
\int_{\R^n_+}|D_jv_i|&=\sum_{k=k_0}^\infty\int_0^\infty w_k\left(\int_{\R^{n-1}}|D_j(\eta'_{r_k}*\varphi_i)|\right)\\
&\le C\sum_{k=k_0}^\infty 2^{-1}(2^{-k}r_k+2^{-k+1}r_{k+1})r_k^{-1}\int_{\R^{n-1}}|\varphi_i|\\
&\le C2^{k_0}\int_{\R^{n-1}}|\varphi_i|\ (j=1,\ldots,n-1),\\
\int_{\R^{n-1}\times(0,t_{k_0})}|D_nv_i|&=\sum_{k=k_0}^\infty\int_{t_{k+1}}^{t_k}\left(2^{k+1}r_{k+1}\int_{\R^{n-1}}|\eta'_{r_k}*\varphi_i-\eta'_{r_{k+1}}*\varphi_i|\right)\\
&\le\sum_{k=k_0}^\infty\left(\int_{\R^{n-1}}|\eta'_{r_k}*\varphi_i-\varphi_i|+\int_{\R^{n-1}}|\eta'_{r_{k+1}}*\varphi_i-\varphi_i|\right)\\
&\le\sum_{k=k_0}^\infty (2^{-k}+2^{-(k+1)})=C2^{-k_0},\\
\int_{\R^{n-1}\times(t_{k_0},\infty)}|D_nv_i-2^{-k_0}r_k\chi_{\R^{n-1}\times(t_{k_0},t_{k_0-1})}\varphi_i|&=\int_{t_{k_0}}^{t_{k_0-1}}2^{k_0}r_k^{-1}\int_{\R^{n-1}}|\eta'_{r_{k_0}}*\varphi_i-\varphi_i|\\
&\le 2^{-k_0}.
\end{align*}
これより $v_i\in W^{1,1}(\Rnp)$。

$T_0$ を $\Rnp$ におけるトレース作用素とする。$l\ge k_0$ について $v_i(\cdot,2^{-l})=\eta'_{r_l}*\varphi_i$ であるから $T_0(v_i(\cdot-2^{-l}e_n))=\eta'_{r_l}*\varphi_i$ であり
$$\norm{T_0(v_i(\cdot-2^{-l}e_n))-\varphi'}_{1,\pRnp}\to 0\ (l\to\infty).$$
一方 $L^1$ ノルムの平行移動連続性より
$$\norm{v_i(\cdot-2^{-l}e_n)-v_i}_{1,1}\to 0\ (l\to\infty).$$
これより
$$T_0v_i=\varphi_i.$$

$\psi_i\colon\R^n\to\R^n$ を $\psi_i(x',x_n)\colon=(x',x_n-\gamma_i(x'))$ により定め、$u_i\colon=v_i\circ\psi_i\in W^{1,1}(\psi_i^{-1}(\Rnp))$ とする。$T_i$ を $\psi_i^{-1}(\Rnp)=\{(x',x_n)\colon x_n\gt\gamma_i(x')\}$ におけるトレース作用素とすると
$$T_iu_i=(T_0v_i)\circ\psi_i=\varphi_i\circ\psi_i=\varphi\chi_{F_i}.$$
とくに $T_iu_i=0$ on $\partial\psi_i^{-1}(\Rnp)\backslash\overline{F_i}$ であるから任意の $\zeta\in C^\infty_c(\R^n\backslash\overline{F_i})$ について $\zeta u_i\in W^{1,1}_0(\psi^{-1}(\Rnp))$ となり
$$\int_{\psi^{-1}(\Rnp)}(D_j\zeta u_i+\zeta D_ju_i)=\int_{\psi^{-1}(\Rnp)}D_j(\zeta u_i)=0.$$
これより $u_i=0$ on $\R^n\backslash\psi^{-1}(\Rnp)$ として $u_i$ を $R^n$ 上に拡張すると $u_i\in W^{1,1}(\R^n\backslash\overline{F_i})$ となり、とくに $u_i\in W^{1,1}(\Omega)$。

また $\displaystyle t_{k_0}\lt\sum_{k=k_0}^\infty 2^{-k}h=2^{-k_0}h\le h$ に注意すると $v_i=0$ on $\Rnp\backslash(W\times(0,h))$ で、$\psi^{-1}(W\times(0,h))=U_{i,+}'$ であるから $u_i=0$ on $\Omega\backslash U_{i,+}'$。とくに $u_i=0$ on $\Omega\backslash V$。

$Tu_i=\varphi\chi_{F_i}$ $\H^{n-1}$ -a.e. on $S$ を示す。$\xi\in S\backslash\overline{U_{i,+}'}$ については $\xi$ の近傍において $u_i=0$ となるので $Tu_i(\xi)=0$。

$\xi=(\xi',\xi_n)\in S\cap\overline{U_{i,+}'}$ とすると $U_i'\rcpt U_i$ より $\xi\in U_i$ で $\xi\notin\Omega$ であるから $U_i$ のとりかたより $\xi_n=\gamma_i(\xi')$ となり $\xi\in\partial\psi_i^{-1}(\Rnp)$。$r\gt 0$ を十分小さくとると $B_r(\xi)\cap\psi^{-1}(\Rnp)\subset\{x\in U_i\colon 0\lt\xi_n-\gamma_i(\xi')\lt h\}\subset\Omega$。$u_i=0$ on $\R^n\backslash\psi_i^{-1}(\Rnp)$ とあわせて
$$\int_{B_r(\xi)\cap\Omega}u_i=\int_{B_r(\xi)\cap\Omega\cap\psi_i^{-1}(\Rnp)}u_i=\int_{B_r(\xi)\cap\psi^{-1}(\Rnp)}u_i.$$
$\H^{n-1}$ -a.e. $\xi\in S\cap\psi_i^{-1}(\Rnp)$ について
$$\lim_{r\to +0}r^{-n}|B_r(\xi)\cap\Omega|=\lim_{r\to +0}r^{-n}|B_r(\xi)\cap\psi_i^{-1}(\Rnp)|=\frac{1}{2}\omega_n$$
となることから $\H^{n-1}$ -a.e. $\xi\in S\cap\overline{U_{i,+}'}$ について
$$Tu_i=\lim_{r\to+0}\frac{1}{B_r(\xi)\cap\Omega}\int_{B_r(\xi)\cap\Omega}u_i=\lim_{r\to+0}\frac{1}{B_r(\xi)\cap\psi_i^{-1}(\Rnp)}\int_{B_r(\xi)\cap\psi_i^{-1}(\Rnp)}u_i=T_iu_i=\varphi\chi_{F_i}.$$
$F_i\subset \overline{U_{i,+}'}$ とあわせて
$$Tu_i=\varphi\chi_{F_i}\ \H^{n-1}-\ae\on\ S.$$
また
$$\int_\Omega|u_i|\le C\int_{\R^n_+}|v_i|\le C2^{-k_0}t_{k_0}\le C4^{-k_0}h.$$
一方 $x=(x',x_n)\in\Omega\cap\psi_i^{-1}(\Rnp)$ とすると $j=1,\ldots,n-1$ については $D_ju_i(x)=(D_jv_i)(\psi_i(x))-D_nu_i(\psi_i(x))D_j\gamma_i(x')$ で、$D_nu_i(x)=D_nv_i(\psi_i(x))$ であるから
$$\int_{\Omega\cap\psi_i^{-1}(\Rnp)}|Du_i(x)-(-D\gamma_i(x'),1)D_nv_i(\psi_i(x))|dx=\int_{\Omega\cap\psi_i^{-1}(\Rnp)}|D'u_i\circ\psi_i|\le C\int_{\R^n_+}|D'v_i|\le C2^{-k_0}$$
となり
$$\int_{\Omega\cap\psi_i^{-1}(\Rnp)}|Du_i|\le\int_{\Omega\cap\psi_i^{-1}(\Rnp)}|D_nv_i(\psi_i(x))|(1+|D\gamma_i(x')|^2)^\frac{1}{2}dx+C2^{-k_0}.$$
$$\int_{\Omega\cap\psi_i^{-1}(\Rnp)}|D_nv_i(\psi_i(x))-2^{-k_0}r_k\chi_{\psi_i^{-1}(\R^{n-1}\times(t_{k_0},t_{k_0-1}))}(\chi_{F_i}\varphi)(x)|(1+|D\gamma_i(x')|^2)^\frac{1}{2}dx\le C\int_{\R^{n-1}\times(t_{k_0},\infty)}|D_nv_i-2^{-k_0}r_k\chi_{\R^{n-1}\times(t_{k_0},t_{k_0-1})}\varphi_i|\le C2^{-k_0}$$
で、$\psi_i^{-1}(\R^{n-1}\times(t_{k_0},t_{k_0-1}))\subset U_{i,+}'\subset\Omega$ に注意すると
\begin{align*}
\int_{\Omega\cap\psi_i^{-1}(\Rnp)}|2^{-k_0}r_k\chi_{\psi_i^{-1}(\R^{n-1}\times(t_{k_0},t_{k_0-1}))}(\chi_{F_i}\varphi)(x')|(1+|D\gamma_i(x')|^2)^\frac{1}{2}dx&=2^{-k_0}r_k\int_{\psi_i^{-1}(\R^{n-1}\times(t_{k_0},t_{k_0-1}))}|(\chi_{F_i}\varphi)(x')|(1+|D\gamma_i(x')|^2)^\frac{1}{2}dx\\
&=2^{-k_0}r_k\int_{\R^{n-1}\times(t_{k_0},t_{k_0-1})}|\psi_i(x')|(1+|D\gamma_i(x')|^2)^\frac{1}{2}dx\\
&=\int_{\partial\R^{n-1}}|\varphi_i(x')||(1+|D\gamma_i(x')|^2)^\frac{1}{2}d\H^{n-1}(x')\\
&=\int_{\partial\psi_i^{-1}(\Rnp)}\chi_{F_i}|\varphi| d\H^{n-1}\\
&=\int_{F_i}|\varphi| d\H^{n-1}
\end{align*}
となるので
$$\int_{\Omega\cap\psi_i^{-1}(\Rnp)}|D_nv_i(\psi_i(x))|(1+|D\gamma_i(x')|^2)^\frac{1}{2}dx\le\int_{F_i}|\varphi| d\H^{n-1}+C2^{-k_0}$$
となり $u_i=0$ on $\Omega\backslash\psi_i^{-1}(\Rnp)$ より $Du_i=0$ on $\Omega\backslash\psi_i^{-1}(\Rnp)$ となることとあわせて
$$\int_\Omega|Du_i|\le\int_{F_i}|\varphi| d\H^{n-1}+C2^{-k_0}.$$
従って $k_0$ を十分大きくとれば
$$\int_\Omega|u_i|\lt 2^{-i}\varepsilon,\int_\Omega|Du_i|\le\int_{F_i}|\varphi| d\H^{n-1}+2^{-i}\varepsilon.$$
最後に
$$u\colon=\sum_{i=1}^\infty u_i$$
とすると
$$\sum_{i=1}^\infty\int_\Omega|u_i|\lt \sum_{i=1}^\infty 2^{-i}\varepsilon=\varepsilon,\sum_{i=1}^\infty\int_\Omega|Du_i|\le\sum_{i=1}^\infty\left(\int_{F_i}|\varphi| d\H^{n-1}+2^{-i}\varepsilon\right)=\int_S|\varphi|d\H^{n-1}+\varepsilon$$
となることからこの無限和は $W^{1,1}(\Omega)$ において収束し
$$\int_\Omega|u|\lt\varepsilon,\int_\Omega|Du|\lt\int_S|\varphi|d\H^{n-1}+\varepsilon$$
が成り立つ。各 $u_i$ は $u_i=0$ on $\Omega\backslash V$ をみたすので $u=0$ on $\Omega\backslash V$。また
$$Tu=\sum_{i=1}^\infty Tu_i=\sum_{i=1}^\infty\chi_{F_i}\varphi=\varphi\ \on S\cap V.$$
{{end|proof}}

{{theorem|type=rmk}}
トレースSobolev不等式により、$p\in(1,\infty)$ の場合は一般には $\varphi\in L^p(S,\H^{n-1})$ を拡張して $u\in W^{1,p}(\Omega)$、$Tu=\varphi$ on $S$ とすることはできない。また、トレース作用素 $T$ は $W^{1,1}(\Omega)$ から $L^1(S',\H^{n-1})$ へのコンパクト作用素にはならない。

最後にトレース作用素の応用として次の $C^{0,1}$ 領域においても成り立つGaussの発散定理を示す。

{{theorem|type=thm|name=Gaussの発散定理|label=divthm}}
$S\subset\pOm$ を $C^{0,1}$ 境界部分とする。$\nu=(\nu_1,\ldots,\nu_n)$ を $S$ の外向き単位法線ベクトルとすると $u\in W^{1,1}_c(\Omega\cup S)$ について
$$\int_\Omega D_iu=\int_S Tu\nu_id\H^{n-1}.$$
とくに $\Omega$ が有界な $C^{0,1}$ 領域のとき任意の $u\in W^{1,1}(\Omega)$ について
$$\int_\Omega D_iu=\int_\pOm Tu\nu_id\H^{n-1}.$$

{{begin|proof}}
$\zeta\in C^\infty_c(\R^n\backslash(\pOm\backslash S))$ を任意にとる。$\varepsilon\gt 0$ とすると $\varphi\in L^1(S,\H^{n-1})$ について{{ref|type=thm|label=Text}}より $u\in W^{1,1}(\Omega)$ を $Tu=\varphi$ on $S$ となるようにとれる。また $v\in W^{1,1}(\Omega)$ が $Tv=0$ on $S$ をみたすとすると{{ref|type=thm|label=trace0}}より $\zeta v\in W^{1,1}_0(\Omega)$ となるので $i=1,\ldots,n$ について $\int_\Omega D_i(\zeta v)=0$。これより
$$\langle\tau_i,\varphi\rangle\colon=\int_\Omega D_i(\zeta u)$$
は $u$ の選択に依存せず、$\tau_i$ はwell-definedな $L^1(S,\H^{n-1})$ 上の線型汎関数である。また $\varepsilon\gt 0$ とすると $u$ は $\displaystyle\int_\Omega|u|\lt\varepsilon$ かつ $\displaystyle\int_\Omega|Du|\lt\int_S |\varphi|d\H^{n-1}+\varepsilon$ となるようにとれるので $\displaystyle|\langle\tau_i,\varphi\rangle|\le \norm{\zeta}_{1,\infty}\int_S |\varphi|d\H^{n-1}$。

[[測度と積分5：$L%5Ep$_空間の完備性と双対性]]の定理23.4より $\nu'_1,\ldots ,\nu'_n\in L^\infty(U_j\cap\pOm,\H^{n-1})$ であって任意の $\varphi\in L^1(S,\H^{n-1})$ について
$$\langle\tau_i,\varphi\rangle=\int_S\varphi\nu'_id\H^{n-1}$$
をみたすものが存在する。$\nu'_i$ は任意の $u\in W^{1,1}(\Omega)$ について
$$\int_S Tu\nu'_id\H^{n-1}=\langle\tau_i,Tu\rangle=\int_\Omega D_i(\zeta u)$$
をみたす。

$\nu'_i=\zeta\nu_i$ を示す。開集合 $U\subset\R^n$ と全単射 $\psi\colon 2Q\to U$ が $\psi$ と $\psi^{-1}$ がともに $C^{0,1}$ 写像で $\psi(Q_+)=U\cap\Omega$、$\psi(Q_0)=U\cap\pOm\subset S$ をみたすとして $\nu'_i=\zeta\nu_i$ on $U\cap\pOm$ を示せば十分。

{{ref|type=lem|label=trlem}}より $\H^{n-1}$ -a.e. $\xi\in U\cap\pOm$ と任意の $u\in C^\infty_c(\R^n)$ について
$$\lim_{a\to+\infty}\int_{\xi+a(U\cap\Omega-\xi)}D_i(\zeta u)=\int_{\{x\in\R^n\colon (x-\xi)\cdot\nu(\xi)\lt 0\}}D_i(\zeta u)=\int_{\{x\in\R^n\colon (x-\xi)\cdot\nu(\xi)=0\}}\zeta u\nu_id\H^{n-1}.\tag{$\dagger$}\label{divthm0}$$

一方、$a$ を十分大きくとって $\supp u\subset \xi+a(U-\xi)$ となるようにすると
\begin{align*}
\int_{\xi+a(U\cap\Omega-\xi)}D_i(\zeta u)&=a^n\int_\Omega D_i(\zeta u)(\xi+a(x-\xi))dx\\
&=a^{n-1}\int_\pOm u(\xi+a(x-\xi))\nu'_id\H^{n-1}(x)\\
&=a^{n-1}\int_{Q_0} u(\xi+a(\psi(y)-\xi))\nu'_i(\psi(y))J\psi(y)d\H^{n-1}(y).
\end{align*}
$Q_0\subset\R^{n-1}$ と見做して $\psi'\colon=\psi|_{Q_0}$ とする。$\H^{n-1}$ -a.e. $\xi\in U\cap\pOm$ について $\psi'$ は $y_0\colon=\psi^{-1}(\xi)$ において微分可能であり、なおかつLebesgueの微分定理より
$$\int_{B_r(y_0)\cap Q_0}|\nu'_i(\psi(y))J\psi'(y)-\nu'_i(\psi(y_0))J\psi'(y_0)|d\H^{n-1}=o(r^n)\ (r\to +0)$$
となることに注意する。$R\gt 0$ を十分大きくとると、十分大きい $a\gt 0$ について $\supp u(\xi+a(\psi(\cdot)-\xi))\subset B_{a^{-1}R}(y_0)\cap Q_0$ であるから
\begin{align*}
&\quad\int_{Q_0}\left|u(\xi+a(\psi(y)-\xi))\nu'_i(\psi(y))J\psi(y)-u\left(\xi+aD\psi'(y_0)(y-y_0)\right)\nu'_i(\psi(y_0))J\psi(y_0)\right|d\H^{n-1}(y)\\
&\le \int_{B_{a^{-1}R}(y_0)\cap Q_0}\left(\left|u(\xi+a(\psi(y)-\xi))-u\left(\xi+aD\psi'(y_0)(y-y_0)\right)\right||\nu'_i(\psi(y_0))J\psi(y_0)|+|u(\xi+a(\psi(y)-\xi))||\nu'_i(\psi(y))J\psi(y)-\nu'_i(\psi(y_0))J\psi(y_0)|\right)d\H^{n-1}(y)\\
&\le C\int_{B_{a^{-1}R}(y_0)\cap Q_0}\left(a\norm{Du}_\infty\left|\psi(y)-\psi(y_0)-D\psi'(y_0)(y-y_0)\right|+\norm{u}_\infty|\nu'_i(\psi(y))J\psi(y)-\nu'_i(\psi(y_0))J\psi(y_0)|\right)d\H^{n-1}(y)\\
&=o(a^{-(n-1)}).
\end{align*}
また
\begin{align*}
a^{n-1}\int_{Q_0}u\left(\xi+aD\psi'(y_0)(y-y_0)\right)\nu'_i(\psi(y_0))J\psi(y_0)d\H^{n-1}(y)&=\int_{\pRnp}u\left(\xi+D\psi'(y_0)(z-y_0)\right)\nu'_i(\xi)J\psi(y_0)d\H^{n-1}\\
&=\int_{\xi+D\psi'(y_0)\pRnp}u\nu'_i(\xi)d\H^{n-1}.
\end{align*}
従って
$$\lim_{a\to+\infty}\int_{\xi+a(U\cap\Omega-\xi)}D_i(\zeta u)=\int_{\xi+D\psi'(y_0)\pRnp}u\nu'_i(\xi)d\H^{n-1}\ \H^{n-1}-\ae\ \xi\in U\cap\pOm. \tag{$\ddagger$}\label{divthm1}$$
(\ref{divthm0})と(\ref{divthm1})より $\H^{n-1}-\ae\ \xi\in U\cap\pOm$ と任意の $u\in C^\infty_c(\R^n)$ について
$$\int_{\{x\in\R^n\colon (x-\xi)\cdot\nu(\xi)=0\}}\zeta u\nu_id\H^{n-1}=\int_{\xi+D\psi'(y_0)(\pRnp-y_0)}u\nu'_i(\xi)d\H^{n-1}\ \H^{n-1}-\ae\ \xi\in U\cap\pOm.$$
外向き単位法線ベクトルの構成より $\H^{n-1}$ -a.e. $\xi\in U\cap\pOm$ について
$$\{x\in\R^n\colon (x-\xi)\cdot\nu(\xi)=0\}=\xi+D\psi'(y_0)\pRnp$$
となるので
$$\nu'_i=\zeta\nu_i.$$
これより任意の $u\in W^{1,1}(\Omega)$ と $\zeta\in C^\infty_c(\R^n\backslash(\pOm\backslash S))$ について
$$\int_\Omega D_i(\zeta u)=\int_S \zeta u\nu_id\H^{n-1}.$$
とくに $u\in W^{1,1}_c(\Omega\cap S)$ のときは $\zeta\in C^\infty_c(\R^n\backslash(\pOm\backslash S))$ を $\zeta=1$ on $\supp u$ となるようにとれ、このときは $\zeta u=u$ であるから
$$\int_\Omega u=\int_S u\nu_id\H^{n-1}.$$
が成り立つ。
{{end|proof}}

{{theorem|type=cor|name=部分積分|label=trintpart}}
$S\subset\pOm$ を $C^{0,1}$ 境界部分とする。$u,v\in W^{1,1}(\Omega)$ が $uv\in W^{1,1}_c(\Omega\cup T)$ をみたすとき
$$\int_\Omega D_iuv=\int_S TuTv\nu_id\H^{n-1}-\int_\Omega uD_iv.$$

{{begin|proof}}
{{ref|type=thm|label=divthm}}より
$$\int_S TuTv\nu_id\H^{n-1}=\int_S T(uv)\nu_id\H^{n-1}=\int_\Omega D_i(uv)=\int_\Omega (D_iuv+uD_iv).$$
{{end|proof}}

{{theorem|type=rmk}}
$S\subset\pOm$ を(\ref{D})をみたす相対開集合とする。(\ref{D})における $S$ を $S'$ と表すと、$u\in W^{1,p}_0(\Omega\cup S)\subset W^{1,p}(D)$ の $\Omega$ におけるトレースを $D$ におけるトレース $Tu\in L^p_\loc(S',\H^{n-1})$ の $S$ への制限として定めることができる。また $\xi\in S$ における $S$ の外向き単位法線ベクトルを $S'$ の外向き単位法線ベクトルとして定めることができ、この節で挙げたトレースの性質は $W^{1,p}(\Omega)$ を $W^{1,p}_0(\Omega\cup S)$ にとりかえた上ですべて成り立つ。また $T$ は $W^{1,p}_0(\Omega\cup S)$ から $L^p(S,\H^{n-1})$ への有界線型作用素となり、$\displaystyle \int_S Tud\H^{n-1}\le C_{p,\Omega,T}\int_\Omega (|u|^p+|u|^{p-1}|Du|)$ が成り立つ。トレースSobolev不等式と $T$ のコンパクト性も $S$ を相対コンパクト部分集合にとりかえることなく成り立つ。Gaussの発散定理は $u\in W^{1,1}_0(\Omega\cup S)$ について成り立つ。

また、このようにして定めた $Tu\in L^p(S,\H^{n-1})$ と $\nu\in L^\infty(S,\H^{n-1})$ は $D$ と $S'$ の選択に依存しない。実際、$Tu$ は $\displaystyle r^{-n}\int_{B_r(\xi)\cap\Omega}|u-Tu(\xi)|\to 0\ (r\to +0)$ によって特徴づけられるので $D$ と $S'$ に依存しない。また $\varphi\in L^1_c(S,\H^{n-1})$ とすると $Tu=\varphi$ on $S$、$Tu=0$ on $S'\backslash S$ なる $u\in W^{1,1}(D)$ をとれ、$\eta\in C^\infty_c(\Omega\cup S)$ を $\eta=1$ on $\supp\varphi$ となるようにとって $v=\eta u$ とすることで $Tv=\varphi$ なる $v\in W^{1,1}_c(\Omega\cup S)$ をとれる。これより{{ref|type=thm|label=divthm}}の証明で定義した $\tau_i\in(L^1(S',\H^{n-1}))^*$ の $L^1_c(S,\H^{n-1})$ への制限は $D$ と $S'$ に依存せず、従って $\nu_i|_{S}$ も $D$ と $S'$ に依存しない。

==参考文献==
*Robert A. Adams「Sobolev Spaces」
*David Gilbarg, Neil S. Trudinger「Elliptic Partial Differential Equations of Second Order」
*Lawrence C. Evans, Ronald F. Gariepy「Measure Theory and Fine Properties of Functions,Revised Edition」
*Lawrence C. Evans「Partial Differential Equations,Second Edition」
*Gerald B. Folland「Real Analysis: Modern Techniques and Their Applications」
*Olga A. Ladyzhenskaya,Vsevolod A. Solonnikov,Nina N. Uraltseva「Linear and Quasilinear Equations of Parabolic Type」
*Haim Brezis「Functional Analysis, Sobolev Spaces and Partial Differential Equations」
*Michel Willem「Minimax Theorems」
*Luke G. Rogers「A Degree-Independent Sobolev Extension Operator」
*Giorgio Talenti「Best Constant in Sobolev Inequality」
*宮島静雄「ソボレフ空間の基礎と応用」
======脚注======

Sobolev空間とSobolevの不等式

2022-09-20T05:27:50Z

PSX: /* 一般のSobolevの不等式 */

{{begin|preamble}}
<math>
\newcommand{\R}{\mathbb{R}}
\newcommand{\C}{\mathbb{C}}
\newcommand{\K}{\mathbb{K}}
\newcommand{\Z}{\mathbb{Z}}
\newcommand{\Q}{\mathbb{Q}}
\newcommand{\Zp}{\mathbb{Z}_{\ge 1}}
\newcommand{\Zz}{\mathbb{Z}_{\ge 0}}
\newcommand{\M}{\mathbb{M}}
\newcommand{\B}{\mathcal{B}}
\newcommand{\D}{\mathcal{D}}
\newcommand{\F}{\mathcal{F}}
\newcommand{\G}{\mathcal{G}}
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\newcommand{\I}{\mathcal{I}}
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\newcommand{\n}{\mathbf{n}}
\newcommand{\Rnp}{\mathbb{R}^n_+}
\newcommand{\Rnn}{\mathbb{R}^n_-}
\newcommand{\pRnp}{\mathbb{\partial R}^n_+}
\newcommand{ae}{\mathrm{a.e.}}
\newcommand{\inn}{\ \mathrm{in}\ }
\newcommand{\on}{\ \mathrm{on}\ }
\newcommand{\for}{\ \mathrm{for}\ }
\newcommand{\jf}{\ \mathrm{if }\ }
\newcommand{\det}{\operatorname{det}}
\newcommand{\dim}{\operatorname{dim}}
\newcommand{\Ker}{\operatorname{Ker}}
\newcommand{\sgn}{\operatorname{sgn}}
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\newcommand{\avg}{\sout{\int}}
\newcommand{\rcpt}{\subset\subset}
\newcommand{\loc}{{\rm{loc}}}
\newcommand{\implies}{\ \Rightarrow\ }
\newcommand{\iff}{\ \Leftrightarrow\ }
\newcommand{\norm}[1]{\lVert #1\rVert}
\newcommand{\pardif}[2]{\frac{\partial{#1}}{\partial{#2}}}
\newcommand{\Bb}{\overline{B}}
\newcommand{\Ombar}{\overline{\Omega}}
\newcommand{\OmT}{\Omega\cup T}
\newcommand{\pOm}{{\partial\Omega}}
\renewcommand{\Re}{\operatorname{Re}}
\renewcommand{\Im}{\operatorname{Im}}
\DeclareMathOperator*{\osc}{osc}
\DeclareMathOperator*{\essosc}{ess\, osc}
\DeclareMathOperator*{\esssup}{ess\, sup}
\DeclareMathOperator*{\essinf}{ess\, inf}

</math>
{{newtheorem |type=def |display=定義 }}
{{newtheorem |type=pro |display=命題 |family=def }}
{{newtheorem |type=thm |display=定理 |family=def }}
{{newtheorem |type=lem |display=補題 |family=def }}
{{newtheorem |type=cor |display=系 |family=def }}
{{newtheorem |type=rmk |display=注意 |family=def }}
{{newtheorem |type=ex |display=参考 |family=def }}
{{end |preamble}}
{{TOC |align=right |noautonum=1 }}

ここでは $p\neq 2$ を含めた $L^p$ 空間におけるSobolev空間とSobolev空間に対する一般的な埋め込み定理であるSobolevの不等式について主に取り扱う。

==記法および注意==
ここではとくに断らない限り実数値関数のみを取り扱う。また断りなく次の記法を用いる:
* $n\in\Zp$ とし、$\Omega$ を $\R^n$ における開集合とする。
* $x\in\R^n$、$r>0$ について $B_r(x)$ で $\R^n$ の半径が $r$、中心が $x$ の開球を表す。中心や半径を具体的に指定しない場合は $B_r$ や $B(x)$ などと略すことがある。
* $\H^s$ で $s$ 次元Hausdorff測度、$\L^n$ で $n$ 次元Lebesgue外測度([[Hausdorff測度とarea_coarea_formula]]の定義30。命題31も参照。)を表し、$\L^n$ -a.e. を単にa.e.とかき、また誤解のおそれがなければ省略する。
* 多重指数 $\alpha$ について $\alpha$ 階偏微分を $D^\alpha$ で表す。また $\alpha=ke_i$ のときは $D^\alpha u$ を $D^k_i u$ と表す。$D^1_i u$ は $D_iu$ と表し、$\R^n$ 値関数 $(D_1u,\ldots D_nu)$ を $Du$ と表す。
* $n=1$ のときは $D^k_1 u$ を $u^{(k)}$ と表す。また $u^{(1)}$、$u^{(2)}$ はそれぞれ $u'$、$u^{\prime\prime}$ と表す。
* $\mu\in\R^n\backslash\{0\}$ について、$D_\mu$ で $\mu$ -方向微分を表す。とくに $u$ が微分可能であるとき $D_\mu u=\mu\cdot Du$ である。
* $p\in[1,\infty]$ について $p'$ でそのHölder共役指数、すなわち $p^{-1}+p'^{-1}=1$ をみたす $p'\in[1,\infty]$ を表す。
* $\norm{\cdot}_{p;\Omega}$ で $L^p(\Omega)=L^p(\Omega,\L^n)$ のノルムを表す。また、相対開集合 $T\subset\pOm$ について $\norm{\cdot}_{p;T}$ で $L^p(T,\H^{n-1})$ のノルムを表す。誤解のおそれがなければ $\Omega$ と $T$ は省略することがある。
* $C^k(\Ombar)$、$C^{k,\alpha}(\Ombar)$ のノルムには[[Hölder空間の基本事項]]で定義した記号を用いる。
* $Q\colon=(-1,1)^n$、$Q_+\colon=(-1,1)^{n-1}\times(0,1)$、$Q_0\colon=(-1,1)^{n-1}\times\{0\}$ とする。
* $\Omega,\Omega'\subset\R^n$ を開集合とし、$f\colon\Omega'-\Omega\to\R$ と $g\colon\Omega\to\R$ を $\L^n$ -可測関数とする。
$$f*g(x)\colon=\int_{\Omega}f(x-y)g(y)dy$$
が a.e. $x\in\Omega'$ で定義されるとき $f*g$ は $\Omega'$ 上で定義されるといい、これを $f$ と $g$ の合成積という。<ref name="defdifference">[[合成積とFourier変換]]で定義されているものとは $(2\pi)^\frac{n}{2}$ 倍の違いがある。</ref>

$f*g$ は次のYoungの不等式をみたす:

{{theorem|type=lem|name=Youngの不等式|label=young}}
$p,q\in[1,\infty]$ が $p^{-1}+q^{-1}\ge 1$ をみたすとする。$\L^n$ -可測関数 $f\colon\Omega'-\Omega\to\R$ は
$$M_1\colon=\sup_{x\in\Omega'}\norm{f(x-\cdot)}_{p;\Omega}\lt\infty,M_2\colon=\sup_{y\in\Omega}\norm{f(\cdot-y)}_{p;\Omega'}\lt\infty$$
をみたすとする。$g\in L^q(\Omega)$ とすると $f*g$ は $\Omega'$ 上で定義され、$r\colon=(p^{-1}+q^{-1}-1)^{-1}\in[1,\infty]$ とすると
$$f*g\in L^r(\Omega'),\norm{f*g}_{r;\Omega'}\le M_1^{1-\frac{p}{r}}M_2^\frac{p}{r}\norm{g}_{q;\Omega}.$$
ただし $p=\infty$、$q=1$、$r=\infty$ の場合は $\frac{p}{r}=0$ とする。

とくに $f\in L^p(\Omega'-\Omega)$ のとき
$$\norm{f*g}_{r;\Omega'}\le\norm{f}_{p;\Omega'-\Omega}\norm{g}_{q;\Omega}.$$

{{begin|proof|display=''Proof.''|collapsible=1}}
$p^{-1}+q^{-1}=1$ のときは $r=\infty$ で、Hölderの不等式より $x\in\Omega'$ について
$$\int_{\Omega}|f(x-y)||g(y)|dy\le M_1\norm{g}_q$$
となるので $f*g$ は $\Omega'$ 上で定義され、$\norm{f*g}_\infty\le M_1\norm{g}_q$。

$p^{-1}+q^{-1}\gt 1$ の場合を示す。このとき $p,q,r\in[1,\infty)$ で、Hölderの不等式より
\begin{align*}
\left(\int_{\Omega'}\left(\int_{\Omega}|f(x-y)||g(y)|dy\right)^rdx\right)^{r^{-1}}&=\left(\int_{\Omega'}\left(\int_{\Omega}|f(x-y)|^{p(1-q^{-1})}|g(y)|^{q(1-p^{-1})}(|f(x-y)|^p|g(y)|^q)^{p^{-1}+q^{-1}-1}dy\right)^rdx\right)^{r^{-1}}\\
&\le\left(\int_{\Omega'}\left(\left(\int_{\Omega}|f(x-y)|^pdy\right)^{1-q^{-1}}\left(\int_{\Omega}|g(y)|^qdy\right)^{1-p^{-1}}\left(\int_{\Omega}|f(x-y)|^p|g(y)|^qdy\right)^{p^{-1}+q^{-1}-1}\right)^rdx\right)^{r^{-1}}\\
&\le\left(\int_{\Omega'} M_1^{pr(1-q^{-1})}\norm{g}_q^{qr(1-p^{-1})}\left(\int_{\Omega}|f(x-y)|^p|g(y)|^qdy\right)dx\right)^{r^{-1}}\\
&=M_1^{p(1-q^{-1})}\norm{g}_q^{q(1-p^{-1})}\left(\int_{\Omega}\left(\int_{\Omega'} |f(x-y)|^p|g(y)|^qdx\right)dy\right)^{r^{-1}}\\
&\le M_1^{p(p^{-1}-r^{-1})}\norm{g}_q^{q(q^{-1}-r^{-1})}\left(M_2^p\norm{g}_q^q\right)^{r^{-1}}\\
&=M_1^{1-\frac{p}{r}}M_2^\frac{p}{r}\norm{g}_q.
\end{align*}
よって $f*g$ は $\Omega'$ 上で定義され
$$f*g\in L^r(\Omega'),\norm{f*g}_r\le M_1^{1-\frac{p}{r}}M_2^\frac{p}{r}\norm{g}_q.$$
{{end|proof}}

* 実数値関数からなる線形空間 $X$ に対し、各成分が $X$ に属する $\R^m$ 値関数の空間を $m$ 個の $X$ の直積と同一視して $X^m$ とかく。

==$\pOm$ への条件==
Sobolev空間の一部の性質は、$\Omega\subset\R^n$ が一般の開集合の場合は成立せず、(主に $\pOm$ に関する)適切な仮定の下で成立する。そのような性質はなめらかな領域ではすべて成立するが、以下に述べるようなより弱い仮定の下で考えることもある。

{{theorem|type=def|name=線分条件|label=segm}}
相対開集合 $T\subset\pOm$ について、各 $\xi\in T$ について次をみたす $\xi$ の開近傍 $U_\xi\subset\R^n$ と $y_\xi\in\R^n$ が存在するとき $T$ は線分条件をみたすという:
$$\{x+ty_\xi\colon x\in\overline{U_\xi\cap\Omega},t\in(0,1)\}\subset\Omega.\tag{$\dagger$}\label{segm}$$
$\pOm$ が線分条件をみたすとき $\Omega$ は線分条件をみたすという。

{{theorem|type=def|name=Lipschitz領域|label=Lipdom}}
$n\ge 2$ とする。相対開集合 $T\subset\pOm$ について、各 $\xi\in\pOm$ について $0\in V_\xi$ なる開集合 $V_\xi\subset\R^{n-1}$ と $h_\xi\gt 0$ と $O_\xi\in O_n$ と $\gamma_\xi\in C^{0,1}_c(\R^{n-1})$ であって次をみたすものが存在するとき $T$ はLipschitz境界部分であるという:
$$\gamma_\xi(0)=0,O_\xi(\Omega-\xi)\cap(V_\xi\times (-h_\xi,h_\xi))=\{(y',y_n)\in V_\xi\times (-h_\xi,h_\xi)\colon y_n\gt \gamma_\xi(y')\}.\tag{$\dagger\dagger$}\label{Lipdom}$$
$\pOm$ がLipschitz境界部分であるとき $\Omega$ はLipschitz領域であるという。

{{theorem|type=rmk}}
$O_\xi$ は $O_\xi\in SO_n$ ととってもよい。

明らかにLipschitz境界部分は線分条件をみたし、かつ $C^{0,1}$ 境界部分([[Hölder空間の基本事項]]の定義28)となる。一方、次が成り立つ:

{{theorem|type=pro|label=conv}}
任意の凸領域はLipschitz領域である。

{{begin|proof}}
$x\in\Omega$ をとり、$r\gt 0$ を $B_{6r}(x)\subset\Omega$ となるようにとる。$\xi\in\pOm$ とし、$h\colon=|x-\xi|$ とする。$z\colon=h^{-1}(x-\xi)\in \partial B_1(0)$ とし、$O\in O_n$ を $Oz=e_n$ となるようにとる。

$\R^{n-1}$ における開球を $B'$ で表す。$y'\in B'_{6r}(0)$ について $\gamma'(y')\colon=\inf\{t\in\R\colon (y',t)\in O(\Omega-\xi)\}$ と定める。

$(y',h)=(y',0)+hOz=O(O^{-1}(y',0)+(x-\xi))\in O(B_{6r}(x-\xi))\subset O(\Omega-\xi)$ であるから $\gamma'(y')\le h$。また $\Omega$ は開かつ凸であるから $\{t\in\R\colon (y',t)\in O(\Omega-\xi)\}$ は開区間である。これより $t\lt h$ について
$$(y',t)\in O(\Omega-\xi)\iff t\in(\gamma'(y'),h)$$
であり、
$$O(\Omega-\xi)\cap(B'_{2r}(0)\times(-h,h))=\{(y',t)\in B'_{2r}(0)\times(-h,h)\colon t\gt\gamma'(y')\}$$
が成り立つ。また $\gamma'(0)=0$。

$x',y'\in B'_{6r}(0)$ と $s,t\lt h$ と $\sigma\in[0,1]$ について、$O(\Omega-\xi)$ が凸であることから
$$s\in(\gamma'(x'),h),t\in(\gamma'(y'),h)\implies (1-\sigma)s+\sigma t\in(\gamma'((1-\sigma)x'+\sigma y'),h).$$
これより $\gamma'((1-\sigma)x'+\sigma y')\le(1-\sigma)\gamma'(x')+\sigma\gamma'(y')$ となり $\gamma'$ は凸である。

また $y'\in B_{6r}(0)$ について $\gamma(0)-\gamma'(y')\le\gamma'(-y')-\gamma'(0)$ となるので $\gamma'(y')\ge-\gamma'(-y')\ge -h$。

$x',y'\in B'_{2r}(0)$ とする。$|x'-y'|\lt 4r\lt 6r-|x'|$ であるから $\tau\colon=4|x'-y'|^{-1}r$ とすると $\tau\gt 1$ かつ $x'+\tau(x'-y')\in B_{6r}(0)$ で
$$\gamma'(x')-\gamma'(y')\le(1+\tau)^{-1}(\gamma'(x'+\tau(x'-y'))-\gamma'(y'))\le 2h\tau^{-1}\le\frac{1}{2}hr^{-1}|x'-y'|.$$
同様に $\gamma'(y')-\gamma'(x')\le\le\frac{1}{2}hr^{-1}|y'-x'|$ も示される。これより $\gamma'\in C^{0,1}(\overline{B'_{2r}(0)})$。

以上より $V=B'_r(0)$ ととって $\gamma\in C^{0,1}(\R^{n-1})$ を $\gamma=\gamma'$ in $B'_r(0)$ となるようにとればこの $V$、$h$、$O$、$\gamma$ は(\ref{Lipdom})をみたす。
{{end|proof}}

{{theorem|type=pro|label=Cka}}
$k\ge 1$、$\alpha\in[0,1]$ とする。$T\subset\pOm$ を $C^{k,\alpha}$ 境界部分とすると、各 $\xi\in T$ について $0\in V_\xi$ なる開集合 $V_\xi\subset\R^{n-1}$ と $h_\xi\gt 0$ と $O_\xi\in O_n$ と $\gamma_\xi\in C^{k,\alpha}_c(\R^{n-1})$ であって(\ref{Lipdom})をみたすものが存在する。とくに $C^1$ 領域はLipschitz領域である。

{{begin|proof}}
$\xi$ の開近傍 $U$ と全単射 $\psi\colon 2Q\to U$ で $\psi$ と $\psi^{-1}$ がともに $C^{k,\alpha}$ 写像で $\psi(2Q_+)=U\cap\Omega$、$\psi(2Q_0)=U\cap\pOm$ をみたすものが存在する。$\psi(\xi)=0$ としてよい。

$f\colon U\to 2Q$ を $\psi^{-1}$ の第 $n$ 成分として定める。$U\cap\Omega$ と $U\cap\pOm$ はそれぞれ $\{x\in U\colon f(x)\gt 0\}$、$\{x\in U\colon f(x)=0\}$ と表される。また $Df\neq 0$ in $U$。

$O\in O_n$ を $O^{-1}D_nf(\xi)\gt 0$ となるようにとる。$\widetilde{\Omega}\colon=O(\Omega-\xi)$、$\widetilde{U}\colon=O(U-\xi)$ とし、$\widetilde{f}\colon\widetilde{\Omega}\to\R$ を $\widetilde{f}(y)\colon=\widetilde{f}(O^{-1}y+\xi)$ により定める。$\widetilde{U}\cap\widetilde{\Omega}$ と $\widetilde{U}\cap\partial\widetilde{\Omega}$ はそれぞれ $\{y\in \widetilde{U}\colon \widetilde{f}(y)\gt 0\}$、$\{y\in \widetilde{U}\colon \widetilde{f}(y)=0\}$ と表される。また $D_n\widetilde{f}(0)\gt 0$。

陰関数定理([[ベクトル解析1：Euclid空間内の多様体上の関数の微分]])により十分小さい $h\gt 0$ をとると射影 $p\colon\R^{n-1}\times\R\to\R^{n-1},(y',y_n)\mapsto y'$ の $hQ\cap\partial\widetilde{\Omega}$ への制限はある開集合 $W\subset\R^{n-1}$ への全単射であり、$p^{-1}\colon V\to hQ\cap\partial\widetilde{\Omega}$ は $C^{k,\alpha}$ 写像である。<ref name="impfct">陰関数定理は $h_i\in C^\infty(U)$ の場合が証明されているが、$C^\infty$ を $C^k$ にとりかえても同様であり、また逆写像定理において逆写像の $k$ 階微分の表示によりもとの写像が $C^{k,\alpha}$ 写像の場合は逆写像も $C^{k,\alpha}$ 写像となることが示されることから、陰関数定理も $C^{k,\alpha}$ にとりかえても同様に成り立つ。</ref>

$p^{-1}$ はある $\gamma'\colon W\to hQ\cap\partial\widetilde{\Omega}$ を用いて $p^{-1}(y')=(y',\gamma'(y_n))$ と表され、$hQ\cap\widetilde{\Omega}=\{(y',\gamma'(y_n))\colon y'\in W\}$。また $p^{-1}$ が $C^{k,\alpha}$ 写像であることから $\gamma'\in C^{k,\alpha}(W)$。

一方、必要であれば $r$ を小さくとり直して $D_nh\gt 0$ in $hQ$ とできる。
$$\{y\in hQ\colon h(y)=0\}=hQ\cap\widetilde{\Omega}=\{(y',\gamma'(y'))\colon y'\in W\}$$
より $(y',y_n)\in W\times(-h,h)$ について $\widetilde{f}(y',y_n)=0\iff y_n=\gamma'(y')$。$\widetilde{f}$ は $hQ$ 上では $y_n$ について狭義単調増加であるから
$$hQ\cap\widetilde{\Omega}=\{y\in hQ\colon h(x)\gt 0\}=\{(y',y_n)\in W\times(-h,h)\colon y_n\gt\gamma'(y')\}.$$
従って $0$ の開近傍 $V\rcpt W$ をとって $\gamma\in C^{k,\alpha}_c(\R^n)$ を $\gamma=\gamma'$ in $V$ となるようにとればこの $V$、$h$、$O$、$\gamma$ は(\ref{Lipdom})をみたす。
{{end|proof}}

{{theorem|type=rmk}}
陰関数定理は $C^{0,1}$ 写像に対しては無効であり、$C^{0,1}$ 領域は一般にLipschitz領域とはならない。<ref name="Lipdom">混同を防ぐため「Lipschitz領域」を「強Lipschitz領域」といい、「$C^{0,1}$ 領域」を「弱Lipschitz領域」ということもある。</ref>実際、$n=2$ とし、$\psi\colon\R^2\to\R^2,(x,y)\mapsto(x+y\sin(\log|y|),y)$ は全単射で $\psi,\psi^{-1}$ ともに $C^{0,1}$ 写像であるから
$$\Omega\colon=\{\psi(x,y)\colon y\gt-|x|\}$$
とすると $\Omega$ は $C^{0,1}$ 領域となる。一方で、この $\Omega$ は線分条件をみたしていないので、Lipschitz領域ではない。

==Sobolev空間の定義==
{{theorem|type=def|name=弱微分|label=defweakder}}
$u\in L^1_{\loc}(\Omega)$ とし、$\alpha$ を多重指数とする。変分学の基本補題([[超関数の定義と基本操作]]の命題5.3)により任意の $\varphi\in C^\infty_c(\Omega)$ について
$$\int_{\Omega}uD^\alpha\varphi=(-1)^{|\alpha|}\int_{\Omega}v\varphi$$
をみたす $v\in L^1_{\loc}(\Omega)$ は存在すれば一意的である。$v$ を $D^\alpha u$ とかき、$u$ の $\alpha$ 階弱微分という。

{{theorem|type=def|name=Sobolev空間 $W^{k,p}(\Omega),W^{k,p}_{\loc}(\OmT),W^{k,p}_c(\OmT)$|label=defsob}}
$C^\infty_c(\Omega)$ で $\Omega$ 上のコンパクトな台をもつなめらかな関数からなる空間を表す。

$k\in\Zp$、$p\in[1,\infty]$ についてSobolev空間 $W^{k,p}(\Omega)$ を
$$W^{k,p}(\Omega)\colon=\left\{u\in L^p(\Omega)\colon |\alpha|\le k\ について\ D^\alpha u\in L^p(\Omega)\right\}$$
と定める。また相対開集合 $T\subset\pOm$ について $L^p_\loc(\OmT)$ と $W^{k,p}_{\loc}(\OmT)$ を
$$L^p_\loc(\OmT)\colon=\left\{f\in L^p_\loc(\Omega)\colon \Omega'\rcpt\OmT\ について\ f\in L^p(\Omega')\right\},$$
$$W^{k,p}_{\loc}(\OmT)\colon=\left\{u\in L^p_{\loc}(\OmT)\colon |\alpha|\le k\ について\ D^\alpha u\in L^p_{\loc}(\OmT)\right\}$$
と定める。また $W^{k,p}_c(\OmT)$ を
$$W^{k,p}_c(\OmT)\colon=\{u\in W^{k,p}(\Omega)\colon\supp u\rcpt\OmT\}$$
と定める。

{{theorem|type=def|name=$W^{k,p}(\Omega)$ のノルム|label=defnorm}}
$W^{k,p}(\Omega)$ に
$$\norm{u}_{k,p;\Omega}\colon=
\begin{cases}
\left(\sum_{|\alpha|\le k}\int_{\Omega}|D^\alpha u|^p\right)^\frac{1}{p}&\colon p\in[1,\infty)\\
\max_{|\alpha|\le k}\esssup_{\Omega} |D^\alpha u|&\colon p=\infty
\end{cases}$$
によりノルム $\norm{\cdot}_{k,p;\Omega}$ を定める。

{{theorem|type=rmk}}
便宜上 $\norm{u}_{0,p;\Omega}=\norm{u}_{p;\Omega}$ とすることがある。またどの領域におけるSobolev空間のノルムかが明らかな場合は「$;\Omega$」は省略されることが多い。

$W^{k,2}(\Omega)$ は $H^k(\Omega)$ と書かれることが多い。$H^k(\Omega)$ には
$$(u,v)_{H^k(\Omega)}=\sum_{|\alpha|\le k}\int_\Omega D^\alpha uD^\alpha v$$
により内積が定まる。

$\displaystyle \sum_{|\alpha|\le k}\norm{D^\alpha u}_{p;\Omega}$ や $\displaystyle \left(\sum_{|\alpha|\le k}\norm{D^\alpha u}_{p;\Omega}^2\right)^\frac{1}{2}$ も同値なノルムである。また
$$\norm{u}_{k,p;\Omega}\le\sum_{|\alpha|\le k}\norm{D^\alpha u}_{p;\Omega}$$
で、
$$\sum_{|\alpha|\le k}\norm{D^\alpha u}_{p;\Omega}\le C\norm{u}_{k,p;\Omega}$$
となる定数 $C$ は $n$ と $k$ のみに依存し $p$ には依存しないようにとれる。

{{theorem|type=def|name=$\norm{D^ku}_{p;\Omega}$|label=gradnorm}}
$W^{k,p}(\Omega)$ に
$$\norm{D^ku}_{p;\Omega}\colon=\begin{cases}
\left(\sum_{|\alpha|=k}\norm{D^\alpha u}_{p;\Omega}^p\right)^{p^{-1}}&\colon p\in[1,\infty)\\
\max_{|\alpha|}\norm{D^\alpha u}_{\infty;\Omega}&\colon p=\infty
\end{cases}$$
によりセミノルム $\norm{D^ku}_{p;\Omega}$ を定める。

{{theorem|type=rmk}}
$\displaystyle \sum_{|\alpha|=k}\norm{D^\alpha u}_{p;\Omega}$ や $\displaystyle \left(\sum_{|\alpha|=k}\norm{D^\alpha u}_{p;\Omega}^2\right)^\frac{1}{2}$ も同値なセミノルムである。また
$$\norm{D^ku}_{p;\Omega}\le\sum_{|\alpha|=k}\norm{D^\alpha u}_{p;\Omega}$$
で、
$$\sum_{|\alpha|=k}\norm{D^\alpha u}_{p;\Omega}\le C\norm{D^ku}_{p;\Omega}$$
となる定数 $C$ は $n$ と $k$ のみに依存し $p$ には依存しないようにとれる。

{{theorem|type=pro|name=$W^{k,p}(\Omega)$ の完備性|label=compl}}
$W^{k,p}(\Omega)$ はノルム $\norm{\cdot}_{k,p;\Omega}$ について完備である。

{{begin|proof|display=''Proof.''|collapsible=1}}
$\{u_m\}_{m=1}^\infty\subset W^{k,p}(\Omega)$ をCauchy列とすると各 $|\alpha|\le k$ について $\{D^\alpha u_m\}_{m=1}^\infty$ は $L^p(\Omega)$ におけるCauchy列であるから $v_\alpha\in L^p(\Omega)$ が存在して $\norm{u_m-v_\alpha}_{p;\Omega}\to 0\ (m\to\infty)$。$u\colon=v_0$ とすると $\varphi\in C^\infty_c(\Omega)$ について
$$\int_\Omega uD^\alpha\varphi=\lim_{m\to\infty}\int_\Omega u_mD^\alpha\varphi=(-1)^{|\alpha|}\lim_{m\to\infty}\int_\Omega D^\alpha u_m\varphi=(-1)^{|\alpha|}\int_\Omega v_\alpha\varphi$$
であるから $u\in W^{k,p}(\Omega)$、$D^\alpha u=v_\alpha\ (|\alpha|\le k)$、$\norm{D^\alpha u_m-D^\alpha u}_{p;\Omega}\to 0\ (m\to\infty,|\alpha|\le k)$。$\norm{\cdot}_{k,p;\Omega}$ の定義より
$$\norm{u_m-u}_{k,p;\Omega}\to 0\ (m\to\infty)$$
となる。
{{end|proof}}

{{theorem|type=rmk}}
この証明から $u_m\in W^{1,p}(\Omega)\ (m\in\Zp)$、$u,v_1,\ldots ,v_n\in L^p(\Omega)$ が $\norm{u_m-u}_p,\norm{D_iu_m-v_i}_p\to 0\ (m\to\infty)$ をみたすとき $u\in W^{1,p}(\Omega)$、$D_iu=v_i$ となることが従う。このことは作用素の用語を用いると
$$D\colon L^p(\Omega)\supset D(D)=W^{1,p}(\Omega)\to L^p(\Omega)^n,Du=(D_1u,\ldots,D_nu)$$
により定まる非有界作用素 $D$ は閉作用素であると言い換えられる。

==なめらかな関数による近似==
{{theorem|type=def|name=Friedrich's mollifier|label=mol}}
$$\eta(x)\colon=
\begin{cases}
A\exp\left(\frac{1}{|x|^2-1}\right)&\colon x\in B_1(0)\\
0&\colon x\in\R^n\backslash B_1(0)
\end{cases}
,A\colon=\left(\int_{B_1(0)}\exp\left(\frac{1}{|x|^2-1}\right)dx\right)^{-1}$$
として $\eta\colon \R^n\to\R$ を定める。$\eta$ は
$$\eta\in C^\infty(\R^n),\eta\ge 0,\eta=0\on\R^n\backslash B_1(0),\int_{\R^n} \eta=1\tag{*}\label{mol}$$
をみたす。
$\varepsilon\gt 0$ について
$$\eta_\varepsilon(x)\colon=\varepsilon^{-n}\eta(\varepsilon^{-1}x)$$
と定め、Friedrich's mollifier、または単にmollifierという。

{{theorem|type=rmk}}
(\ref{mol})をみたしていれば $\eta$ はこの関数でなくてもよい。

{{theorem|type=pro|name=mollifierの性質|label=promol}}
開集合 $\Omega'\subset\Omega\subset\R^n$ は $d\colon=\dist(\Omega',\pOm)\gt 0$ をみたすとする。$f\in L^1_{\loc}(\Omega)$、$p\in[1,\infty]$、$\varepsilon\in (0,d)$ について、$\eta_\varepsilon*f$ は $\Omega'$ 上で定義され次が成り立つ:
* (1) $\supp\eta_\varepsilon*f\subset\{x\in\R^n\colon\dist(x,\supp f)\le\varepsilon\}$。とくに $\dist(\supp f,\Omega\backslash\Omega')\gt 0$ のとき十分小さく$\varepsilon\gt 0$ をとれば $\supp\eta_\varepsilon*f\subset\Omega'$。
* (2) $\eta_\varepsilon*f\in C^\infty(\overline{\Omega'})$ で、多重指数 $\alpha$ について $D^\alpha(\eta_\varepsilon*f)=D^\alpha\eta_\varepsilon*f$ in $\Omega'$。
* (3) $f\in L^p(\R^n)$ のとき $q\in[p,\infty]$ と多重指数 $\alpha$ について $\norm{D^\alpha(\eta_\varepsilon*f)}_{q;\Omega'}\le C_{n,p,q,\alpha}\varepsilon^{-|\alpha|-n(p^{-1}-q^{-1})}\norm{f}_{p;\Omega}$。
また $\varepsilon\to 0$ とするとき、
* (4) $\eta_\varepsilon*f\to f$ a.e. in $\Omega'$。
* (5) $f\in C(\Omega)$ のとき有界な $U\subset\Omega'$ について $\norm{\eta_\varepsilon*u-u}_{\infty;U}\to 0$。
* (6) $f\in L^p(\Omega)$、$p\in[1,\infty)$ のとき $\norm{\eta_\varepsilon*f-f}_{p;\Omega'}\to 0$。

{{begin|proof|display=''Proof.''|collapsible=1}}
(1)は明らか。

(2)を示す。任意の多重指数 $\alpha$ と $i=1,\ldots,n$ について $D_i(D^\alpha\eta_\varepsilon*f)=D_iD^\alpha\eta_\varepsilon*f$ on $\overline{\Omega'}$ を示せばよい。$x\in\overline{\Omega'}$ と $a\lt 0\lt b$ について
\begin{align*}
D^\alpha\eta_\varepsilon*f(x+be_i)-D^\alpha\eta_\varepsilon*f(x+ae_i)&=\int_{\R^n}(D^\alpha\eta_\varepsilon(x+ae_i-y)-D^\alpha\eta_\varepsilon(x+be_i-y))f(y)dy\\
&=\int_{\R^n}\left(\int_a^bD_iD^\alpha\eta_\varepsilon(x+te_i-y)dt\right)f(y)dy\\
&=\int_a^b\left(\int_{\R^n}D_iD^\alpha\eta_\varepsilon(x+te_i-y)f(y)dy\right)dt.
\end{align*}
Lebesgueの収束定理より $t\mapsto\int_{\Omega}D_iD^\alpha\eta_\varepsilon(x+te_i-y)f(y)dy$ は $(a,b)$ 上で連続であるから微積分基本公式より
$$D_i\left(D^\alpha\eta_\varepsilon*f\right)(x)=\int_{\R^n}D_iD^\alpha\eta_\varepsilon(x-y)f(y)dy=D_iD^\alpha\eta_\varepsilon*f(x).$$

(3)は(2)とYoungの不等式と
\begin{align*}
\left(\int_{B_\varepsilon(0)}|D^\alpha\eta_\varepsilon(x)|^{(1-p^{-1}+q^{-1})^{-1}}dx\right)^{1-p^{-1}+q^{-1}}&=\left(\int_{\R^n}|\varepsilon^{-|\alpha|-n}D^\alpha\eta(\varepsilon^{-1}x)|^{(1-p^{-1}+q^{-1})^{-1}}dx\right)^{1-p^{-1}+q^{-1}}\\
&=\varepsilon^{-|\alpha|-n}\left(\int_{\R^n}\varepsilon^n|D^\alpha\eta(y)|^{(1-p^{-1}+q^{-1})^{-1}}dy\right)^{1-p^{-1}+q^{-1}}\\
&\le C\varepsilon^{-|\alpha|-n(p^{-1}-q^{-1})}
\end{align*}
から従う。

(4)を示す。$x\in\Omega'$ を $f$ のLebesgue点とすれば
$$|\eta_\varepsilon*f(x)-f(x)|\le\int_{\Omega'}\eta_\varepsilon(x-y)|f(y)-f(x)|dy\le\int_{B_\varepsilon(x)}\varepsilon^{-n}\norm{\eta}_\infty|f(y)-f(x)|dy\to 0\ (\varepsilon\to +0).$$

(5)を示す。$x\in U$ について
\begin{align*}
|\eta_\varepsilon*f(x)-f(x)|&\le\int_{B_\varepsilon(x)}\eta_\varepsilon(x-y)|f(y)-f(x)|dy\\
&\le\int_{B_\varepsilon(x)}\eta_\varepsilon(x-y)dy\cdot\sup_{y\in B_\varepsilon(x)}|f(y)-f(x)|\\
&\le\sup_{\substack{y,z\in U+B_\varepsilon(0),|y-z|\lt\varepsilon}}|f(y)-f(z)|.
\end{align*}
ここで $U+B_\frac{d}{2}(0)$ は有界で $\dist(U+B_\frac{d}{2}(0),\pOm)\ge\dist(\Omega',\pOm)-\frac{d}{2}=\frac{d}{2}$ であるから $U+B_\frac{d}{2}(0)\rcpt\Omega$。これより
$$\sup_{\substack{y,z\in U+B_\varepsilon(0),|y-z|\lt\varepsilon}}|f(y)-f(z)|\le\sup_{\substack{y,z\in U+B_\frac{d}{2}(0),|y-z|\lt\varepsilon}}|f(y)-f(z)|\to 0\ (\varepsilon\to +0).$$
これより $\norm{\eta_\varepsilon*f-f}_{\infty;\Omega'}\to 0\ (\varepsilon\to +0)$。

(6)を示す。積分形のMinkowskiの不等式と平行移動の $L^p$ 連続性([[合成積とFourier変換]]の命題28.2)より
\begin{align*}
\norm{\eta_\varepsilon*f-f}_{p,\Omega'}&=\int_{\Omega'}\left|\int_{B_\varepsilon(y)}\eta_\varepsilon(x-y)(f(y)-f(x))dy\right|^pdx\\
&=\int_{\Omega'}\left|\int_{B_\varepsilon(0)}\eta_\varepsilon(z)(f(x-z)-f(x))dz\right|^pdx\\
&\le\int_{B_\varepsilon(0)}\eta_\varepsilon(z)\left(\int_{\Omega'}|f(x-z)-f(x)|^pdx\right)^{p^{-1}}dz\\
&\le\sup_{z\in B_\varepsilon(0)}\left(\int_{\Omega'}|f(x-z)-f(x)|^pdx\right)^{p^{-1}}\to 0.
\end{align*}
{{end|proof}}

なお積分形のMinkowskiの不等式とは次の主張である:

{{theorem|type=lem|name=積分形のMinkowskiの不等式|label=mink}}
$\sigma$ -有限測度空間 $X=(X,\mathfrak{M},\mu)$、$Y=(Y,\mathfrak{N},\nu)$ と $\mathfrak{M}\otimes\mathfrak{N}$ -可測関数 $f$ と $p\in[1,\infty]$ について
$$\norm{\int_Y |f(\cdot,y)|d\nu(y)}_{p;X}\le\int_Y\norm{f(\cdot,y)}_{p;X}d\nu(y).$$

{{begin|proof}}
$p=\infty$ の場合は明らか。

$p\in[1,\infty)$、$\int_X\left(\int_Y |f(x,y)|d\nu(y)\right)^pd\mu(x)\lt\infty$ の場合を示す。
\begin{align*}
\int_X\left(\int_Y |f(x,y)|d\nu(y)\right)^pd\mu(x)&=\int_Y\left(\int_X\left(\int_Y |f(x,y)|d\nu(y)\right)^{p-1}|f(x,y')|d\mu(x)\right)d\nu(y')\\
&\int_Y\left(\int_X\left(\int_Y |f(x,y)|d\nu(y)\right)^pd\mu(x)\right)^{1-p^{-1}}\left(\int_X|f(x,y')|^pd\mu(x)\right)^{p^{-1}}d\nu(y')\\
&=\left(\int_X\left(\int_Y |f(x,y)|d\nu(y)\right)^pd\mu(x)\right)^{1-p^{-1}}\int_Y\left(\int_X|f(x,y)|^pd\mu(x)\right)^{p^{-1}}d\nu(y)
\end{align*}
となり
$$\left(\int_X\left(\int_Y |f(x,y)|d\nu(y)\right)^pd\mu(x)\right)^{p^{-1}}\le\int_Y\left(\int_X|f(x,y)|^pd\mu(x)\right)^{p^{-1}}d\nu(y)$$
を得る。

$\int_X\left(\int_Y |f(x,y)|d\nu(y)\right)^pd\mu(x)=\infty$ の場合は $X_1\subset X_2\subset\ldots\subset X$、$Y_1\subset Y_2\subset\ldots\subset Y$ を $\mu(X_i),\nu(Y_i)\lt\infty$ かつ $\displaystyle\bigcup_{i=1}^\infty X_i=X,\bigcup_{i=1}^\infty Y_i=Y$ となるようにとると
$$\left(\int_{X_i}\left(\int_{Y_i} \min\{|f(x,y)|,i\}d\nu(y)\right)^pd\mu(x)\right)^{p^{-1}}\le\int_{Y_i}\left(\int_{X_i}\min\{|f(x,y)|,i\}^pd\mu(x)\right)^{p^{-1}}d\nu(y)$$
となるので $i\to\infty$ として $\int_Y\left(\int_X|f(x,y)|^pd\mu(x)\right)^{p^{-1}}d\nu(y)=\infty$ を得る。
{{end|proof}}

{{theorem|type=ex}}
$\nu$ -a.e. $y\in Y$ について $\int_X|f(x,y)|^pd\mu(x)\lt\infty$ のとき $y\mapsto f(\cdot,y)$ は $Y$ 上の $L^p(X)$ -値Bochner可測関数となる。これに[[測度と積分9：Bochner積分]]の命題44.2を適用することによっても積分形のMinkowskiの不等式を証明できる。

{{theorem|type=lem|name=$W^{k,p}$ 関数となめらかな関数の積|label=prod1}}
$u\in W^{k,p}_{\loc}(\Omega)$、$\zeta\in C^k(\Omega)$ について、
$$\zeta u\in W^{k,p}_{\loc}(\Omega),D^\alpha(\zeta u)=\sum_{\beta\le\alpha}\left(\begin{array}{c}\alpha\\ \beta\end{array}\right)D^{\alpha-\beta}\zeta D^\beta u.$$
とくに $u\in W^{k,p}(\Omega)$、$\zeta\in C^k(\Omega)\cap W^{k,\infty}(\Omega)$ のとき
$$\zeta u\in W^{k,p}(\Omega),\norm{D^k(\zeta u)}_{p;\Omega}\le C_{n,k}\sum_{j=0}^k\norm{D^{k-j}\zeta}_{\infty;\Omega}\norm{D^ju}_{p;\Omega},\norm{\zeta u}_{k,p;\Omega}\le C_{n,k}\norm{\zeta}_{k,\infty;\Omega}\norm{u}_{k,p;\Omega}.$$
また $\zeta\in C^k_c(\Omega)$ の場合は $\zeta u=0$ on $\R^n\backslash\Omega$ と定めると $\zeta u\in W^{k,p}(\R^n)$ となる。

{{begin|proof|display=''Proof.''|collapsible=1}}
$k=1$ のときのみ示す。一般の場合は帰納法により従う。

$\varphi\in C^\infty_c(\Omega)$、$i=1,\ldots ,n$ について
$$\int_\Omega D_iu\zeta\varphi=-\int_\Omega uD_i(\zeta\varphi)=-\int_\Omega u(D_i\zeta\varphi+\zeta D_i\varphi)$$
より
$$\int_\Omega \zeta uD_i\varphi=-\int_\Omega (\zeta D_iu+D_i\zeta u)\varphi.$$
$u,D_iu\in L^p_{\loc}(\Omega)$、$\zeta,D_i\zeta\in L^\infty_{\loc}(\Omega)$ より $\zeta u,\zeta D_iu+D_i\zeta u\in L^p_\loc(\Omega)$。従って $\zeta u\in W^{1,p}_{\loc}(\Omega)$、$D_i(\zeta u)=\zeta D_iu+D_i\zeta u$。

$\zeta\in C^\infty_c(\Omega)$ とすると $\varphi\in C^\infty_c(\R^n)$ について $\zeta\varphi\in C^\infty_c(\Omega)$ となるので同様の計算により $\int_\Omega \zeta uD_i\varphi=-\int_\Omega (\zeta D_iu+D_i\zeta u)\varphi$ となる。$\zeta u,\zeta D_iu,D_i\zeta u\in L^p(\R^n)$ となるので $\zeta u\in W^{1,p}(\R^n)$。
{{end|proof}}

{{theorem|type=pro|label=apx1}}
$k\in\Zp$ とする。以下が成り立つ:
*(1) $u\in W^{k,1}_{\loc}(\R^n)$ と $|\alpha|\le k$ なる多重指数 $\alpha$ について
$$D^\alpha(\eta_\varepsilon*u)=\eta_\varepsilon*D^\alpha u.$$
とくに $p\in[1,\infty)$、$u\in W^{k,p}(\R^n)$ のとき $\norm{\eta_\varepsilon*u-u}_{k,p;\R^n}\to 0\ (\varepsilon\to +0)$。
*(2) $p\in[1,\infty)$、$u\in L^p_{\loc}(\Omega)$ について次は同値:
**(i) $u\in W^{k,p}_{\loc}(\Omega)$。
**(ii) $\{u_m\}_{m=1}^\infty\subset C^\infty(\Omega)$ で $u_m\to u$ in $L^p_{\loc}(\Omega)(m\to\infty)$ かつ $|\alpha|\le k$ について $D^\alpha u_m$ が $L^p_{\loc}(\Omega)$ で収束するものが存在する。
*(3) $p\in[1,\infty)$ とすると $C^\infty_c(\R^n)$ は $W^{k,p}(\R^n)$ において稠密である。

{{begin|proof|display=''Proof.''|collapsible=1}}
(1)を示す。$x\in\R^n$ について
$$D^\alpha(\eta_\varepsilon*u)(x)=\int_{\R^n}D^\alpha\eta_\varepsilon(x-y)u(y)dy=(-1)^{|\alpha|}\int_{\R^n}(D^\alpha\eta_\varepsilon(x-\cdot))(y)u(y)dy=\int_{\R^n}\eta_\varepsilon(x-y)D^\alpha u(y)dy=D^\alpha\eta_\varepsilon*u(y).$$

(2)を示す。(i) $\implies$ (ii)は次のように従う: $\Omega_1\rcpt\Omega_2\rcpt\ldots\rcpt\Omega$ を $\displaystyle \bigcup_{m=1}^\infty \Omega_m=\Omega$ となるようにとり、$\varepsilon_m\in(0,\dist(\Omega_{m+1},\pOm))$ を $\varepsilon_m\to 0\ (m\to\infty)$ となるようにとる。また $\zeta_m\in C^\infty(\Omega_{m+1})$ を $\zeta_m=1$ in $\Omega_m$ となるようにとる。このとき $u_m\colon=\eta_{\varepsilon_m}*(\zeta_mu)$ は $\Omega$ 上で定義され、$m'\ge m$ について $u_{m'}=\eta_{\varepsilon_{m'}}*u$ in $\Omega_m$ となるので $|\alpha|\le k$ について $D^\alpha u_{m'}=\eta_{\varepsilon_{m'}}*D^\alpha u$ in $\Omega_m$。これより $\norm_{D^\alpha u_{m'}-D^\alpha u}_{p;\Omega'}\to 0\ (m'\to\infty)$。これよりこの $\{u_m\}_{m=1}^\infty$ は条件をみたす。

(ii) $\implies$ (i)は $|\alpha|\le k$ について $D^\alpha u_m\to v_\alpha$ in $L^1_{\loc}(\Omega)$ とすると任意の $\varepsilon\in C^\infty_c(\Omega)$ と $|\alpha|\le k$ について
$$\int_\Omega uD^\alpha\varphi=\lim_{m\to\infty}\int_\Omega u_mD^\alpha\varphi=(-1)^{|\alpha|}\int_\Omega v_\alpha\varphi$$
となり $D^\alpha u=v_\alpha$ となって従う。

(3)を示す。(1)より $u_m\in W^{k,p}(\Omega)\ (m\in\Zp)$ が存在して $\supp u_m$ が有界かつ $\norm{u_m-u}_{k,p;\R^n}\to 0 (m\to\infty)$ となることを示せばよい。

$\zeta\in C^\infty_c(B_2(0))$ を $\zeta=1$ on $\Bb_1(0)$ となるようにとる。$\zeta_m(x)\colon=\zeta(m^{-1}x)$ とすると $\supp\zeta_m\subset B_{2m}(0)$、$\zeta_m=1$ on $\Bb_m(0)$。また任意の多重指数 $\alpha$ について $D^\alpha \zeta_m(x)=m^{-|\alpha|}\zeta(m^{-1}x)$ であるから $\norm{\zeta_m}_{k,\infty}\le\norm{\zeta}_{k,\infty}$

$u_m\colon=\zeta_m u$ とすると $u_m\in W^{k,p}(\R^n)$、$\supp u_m\subset B_{2m}(0)$、$u_m=u$ on $\Bb_m(0)$ となり
$$\norm{u_m-u}_{k,p}=\norm{u_m-u}_{k,p;\R^n\backslash\Bb_m(0)}=\norm{(1-\zeta_m)u}_{k,p;\R^n\backslash\Bb_m(0)}\le C\norm{u}_{k,p;\R^n\backslash\Bb_m(0)}\to 0\ (m\to\infty).$$
{{end|proof}}

{{theorem|type=rmk}}
(2)の(ii)で $D^\alpha u$ を定義することもできる。このように定義された $u\in L^1_{\loc}(\Omega)$ の微分は強微分とよばれる。

{{theorem|type=cor|label=ck}}
$k\in\Zp$ とする。$u\in L^1_\loc(\Omega)$ について次は同値:
*(1) $u\in C^k(\Omega)$。
*(2) $|\alpha|\le k$ について $u$ は弱微分 $D^\alpha u$ をもち $D^\alpha u\in C(\Omega)$。

{{begin|proof|display=''Proof.''|collapsible=1}}
$u\in C^k(\Omega)$ とすると $v_\alpha\ (|\alpha|\le k)$ を各点での偏微分としての $D^\alpha u$ と定めれば部分積分により任意の $\varphi\in C^\infty_c(\Omega)$ について $\int_{\Omega}uD^\alpha\varphi=(-1)^{|\alpha|}\int_{\Omega}v_\alpha\varphi$ となる。これより $u$ は $k$ 階以下の弱微分をもち、各点微分と一致する。

$|\alpha|\le k$ について $u$ は弱微分 $D^\alpha u$ をもち $D^\alpha u\in C(\Omega)$ をみたすとする。$\Omega'\rcpt\Omega$ として $\zeta\in C^\infty_c(\Omega)$ を $\zeta=1$ in $\Omega'$ となるようにとると $|\alpha|\le k$ について $\norm{D^\alpha(\eta_\varepsilon*\zeta u)-D^\alpha(\zeta u)}_\infty=\norm{\eta_\varepsilon*D^\alpha(\zeta u)-D^\alpha(\zeta u)}_\infty\to 0\ (\varepsilon\to +0)$ であるから $\zeta u\in C^k(\R^n)$。これより $u\in C(\Omega)$。
{{end|proof}}

{{theorem|type=thm|name=なめらかな関数による近似|label=apx2}}
$k\in\Zp$、$p\in[1,\infty)$ とすると $C^\infty(\Omega)\cap W^{k,p}(\Omega)$ は $W^{k,p}(\Omega)$ において稠密である。

{{begin|proof|display=''Proof.''|collapsible=1}}
$u\in W^{k,p}(\Omega)$、$\delta\gt 0$ とする。各 $x\in\Omega$ について $x$ を中心とする球 $B(x)\rcpt\Omega$ をとり、$\Omega$ の開被覆 $\{B(x)\}_{x\in\Omega}$ の局所有限な細分 $\{U_i\}_{i=1}^\infty$ を $\displaystyle\bigcup_{i=1}^\infty U_i=\Omega$ となるようにとり、これに従属する $1$ の分割 $\{\zeta_i\}_{i=1}^\infty$、$\zeta_i\in C^\infty_c(U_i)$ をとる。

{{ref|type=lem|label=prod1}}より $\zeta_iu\in W^{k,p}(\Omega)$、$\supp\zeta_iu\subset U_i\rcpt\Omega$。{{ref|type=pro|label=apx1}}より十分小さい $\varepsilon_i\gt 0$ をとって $\norm{\eta_{\varepsilon_i}*(\zeta_iu)-\zeta_iu}_{k,p;\Omega}\lt 2^{-i}\delta$ かつ $\supp\eta_{\varepsilon_i}*(\zeta_iu)\subset U_i$ となるようにできる。

$$\sum_{i=1}^\infty\norm{\eta_{\varepsilon_i}*(\zeta_iu)-\zeta_iu}_{k,p;\Omega}\lt\delta$$
であるから $W^{k,p}(\Omega)$ の完備性より無限和
$$w\colon=\sum_{i=1}^\infty(\eta_{\varepsilon_i}*(\zeta_iu)-\zeta_iu)$$
は $W^{k,p}(\Omega)$ で収束し、$\norm{w}_{k,p;\Omega}\lt\delta$。
$$v\colon=\sum_{i=1}^\infty\eta_{\varepsilon_i}*(\zeta_iu)$$
とすると $\{U_i\}_{i=1}^\infty$ は局所有限よりこの無限和は各点で値が定まり $v\in C^\infty(\Omega)$。一方 $v=u+w\in W^{k,p}(\Omega)$ で $\norm{v-u}_{k,\alpha;\Omega}\lt\delta$ となる。
{{end|proof}}

{{theorem|type=rmk}}
これより $W^{k,p}(\Omega)$ を $\left\{u\in C^\infty(\Omega)\colon \norm{u}_{k,p;\Omega}\lt\infty\right\}$ のノルム $\norm{\cdot}_{k,p;\Omega}$ による完備化として定義し、$D^\alpha u$ を強微分で定義しても同値である。

一方、$v\in C^\infty(\Ombar)$ による近似をするには $\pOm$ に条件が必要である。

{{theorem|type=thm|name=線分条件をみたす領域における近似|label=apx3}}
相対開集合 $T\subset\pOm$ は線分条件をみたすとする。$k\in\Zp$、$p\in[1,\infty)$ とすると $C^\infty(\Omega\cup T)\cap W^{k,p}(\Omega)$ は $W^{k,p}(\Omega)$ において稠密である。

{{begin|proof|display=''Proof.''|collapsible=1}}
$\xi\in T$ について(\ref{segm})の $U_\xi$ と $y_\xi$ をとり、$\Omega_{d,r}\colon=\{x\in\Omega\colon |x|\lt d,\dist(x,\pOm)\gt r\}\ (d,r\gt 0)$ とする。$\{U_\xi\}_{\xi\in T}\cup\{\Omega_{d,r}\}_{d,r\gt 0}$ は $\Omega\cup T$ の開被覆となり、$\{U_\xi\}_{\xi\in\pOm}$、$\{\Omega_{d,r}\}_{d,r\gt 0}$ の局所有限な細分 $\{V_i\}_{i=1}^\infty$、$\{W_j\}_{j=1}^\infty$ を $\Omega\cup T\subset\bigcup_{i=1}^\infty V_i\cup\bigcup_{j=1}^\infty W_j$ となるようにとれる。各 $i\in\Zp$ について $y_i\in\R^n$ が存在し、
$$\{x+ty_i\colon x\in \overline{V_i\cap\Omega},t\in(0,1)\}\subset\Omega$$
が成り立つ。また各 $j\in\Zp$ について $W_j\rcpt\Omega$。

$\Omega\cup T$ の開被覆 $\{V_i\}_{i=1}^\infty\cup\{W_j\}_{j=1}^\infty$ に従属する $1$ の分割 $\{\zeta_i\}_{i=1}^\infty\cup\{\theta_j\}_{j=1}^\infty$、$\zeta_i\in C^\infty_c(V_i)$、$\theta_j\in C^\infty_c(W_j)$ をとる。

$i\in\Zp$ とする。{{ref|type=thm|label=apx2}}と{{ref|type=lem|label=prod1}}より $v_i\in C^\infty(\Omega)\cap W^{k,p}(\Omega)$ を $\norm{\zeta_iv_i-\zeta_iu}_{k,p;\Omega}\lt 2^{-i-2}\delta$ となるようにとれる。平行移動の $L^p$ 連続性([[合成積とFourier変換]]の命題28.2)より $|\alpha|\le k$ について
$$\norm{D^\alpha v_i(\cdot+ty_i)-D^\alpha v_i}_{p;V_i\cap\Omega}\to 0 (t\to +0).$$
{{ref|type=lem|label=prod1}}より十分小さい $t_i\in(0,1)$ をとって $\norm{\zeta_iv_i(\cdot+ty_i)-\zeta_iv_i}_{k,p;V_i\cap\Omega}\lt 2^{-i-2}\delta$ とできる。$V_i$ のとりかたより $\overline{V_i\cap\Omega+t_iy_i}\subset\Omega$ であるから $v_i\in C^\infty(\overline{V_i\cap\Omega+t_iy_i})$ であり、$v_i(\cdot+ty_i)\in C^\infty(\overline{V_i\cap\Omega})$。よって $\zeta_iv_i(\cdot+ty_i)\in C^\infty(\overline{\Omega})$、$\supp\zeta_iv_i\subset V_i\cap\Omega$。また $\norm{\zeta_iv_i(\cdot+ty_i)-\zeta_iu}_{k,p;\Omega}\lt 2^{-i-1}\delta$。

また $j\in\Zp$ について $\theta_ju\in W^{k,p}(\R^n)$、$\supp\theta_ju\subset W_j$ であるから十分小さい $\varepsilon_j$ をとって $\norm{\eta_{\varepsilon_j}*(\theta_ju)-\theta_ju}_{k,p;\Omega}\lt 2^{-j-1}\delta$、$\supp\eta_{\varepsilon_j}*(\theta_ju)\subset W_j$ とできる。

$$v\colon=\sum_{i=1}^\infty\zeta_iv_i(\cdot+ty_i)+\sum_{j=1}^\infty\eta_{\varepsilon_j}*(\theta_ju)$$
とすれば $\Omega\cup T$ の開被覆 $\{V_i\}_{i=1}^\infty\cup\{W_j\}_{j=1}^\infty$ は局所有限より $v\in C^\infty(\Omega\cup T)$ で、{{ref|type=thm|label=apx2}}と同様に $v\in W^{k,p}(\Omega)$ かつ
$$\norm{v-u}_{k,p;\Omega}\le\sum_{i=1}^\infty\norm{\zeta_iv_i(\cdot+ty_i)-\zeta_i u}_{k,p;\Omega}+\sum_{j=1}^\infty\norm{\eta_{\varepsilon_j}*(\theta_ju)-\theta_ju}_{k,p;\Omega}\lt\delta.$$
{{end|proof}}

{{theorem|type=rmk}}
とくに $\Omega$ が有界かつ線分条件をみたすとき $C^\infty(\Ombar)$ は $W^{k,p}(\Omega)$ において稠密である。

$p=\infty$ のときはこれらの近似定理は $W^{k,\infty}(\Omega)$ を $C^k(\Ombar)$ にとりかえた主張を同様に証明できる。また、近似列の構成のしかたが $k$ と $p$ によらないことから、 $u\in W^{j,p}(\Omega)\cap W^{k,q}(\Omega)$ と $\delta\gt 0$ について $v\in C^\infty(\Omega)\cap v\in W^{j,p}(\Omega)\cap W^{k,q}(\Omega)$ ( $\Omega$ が線分条件をみたすときは $v\in C^\infty(\Ombar)\cap W^{j,p}(\Omega)\cap W^{k,q}(\Omega)$ ) が存在して $\norm{u-v}_{j,p}\lt\delta$、$\norm{u-v}_{k,q}\lt\delta$ となる。( $p=\infty$ の場合は $W^{k,p}(\Omega)$ を $C^k(\Ombar)$ にとりかえる。$q=\infty$ の場合も同様。)

{{ref|type=pro|label=apx1}}で、(3)の証明の(1)を{{ref|type=thm|label=apx2}}にとりかえると、$\Omega$ が非有界の場合
$$\left\{u\in C^\infty(\Omega)\cap W^{k,p}(\Omega)\colon \supp u\ が有界\right\}$$
が $W^{k,p}(\Omega)$ において稠密であることが示される。( $\Omega$ が線分条件をみたすときは $C^\infty(\Omega)\cap W^{k,p}(\Omega)$ を $C^\infty(\Ombar)$ にとりかえてよい。)

$w\in C^\infty(\Omega)\cap W^{k,p}_c(\OmT)$ ( $T$ が線分条件をみたす場合は $C^\infty_c(\OmT)$ )は $W^{k,p}_c(\Omega)$ において稠密である。実際、$v\in C^\infty(\Omega)\cap W^{k,p}(\Omega)$ を $\norm{v-u}_{k,p}\lt\varepsilon$ をみたすようにとり、$\zeta\in C^\infty(\R^n\backslash(\pOm\backslash T))$ を $\zeta=1$ on $\supp u$ となるようにとると $\norm{\zeta v-u}_{k,p}=\norm{\zeta (v-u)}_{k,p}\le C_\zeta\varepsilon$ となる。

==$n=1$ の場合==
ここでは $n=1$ とし、$I=(a,b)$、$-\infty\le a\lt b\le +\infty$ を開区間とする。

{{theorem|type=thm|name=$W^{1,p}(I)$ の特徴づけ|label=1dim1}}
$p\in[1,\infty]$ とし、$u\in L^p(I)$ とする。次は同値:
*(1) $u\in W^{1,p}(I)$。
*(2) $u$ は絶対 $p$ -連続である。すなわち $u\in C(\overline{I})$ で $f\in L^p(I)$ が存在して $a\le x\lt y\le a$ について
$$u(y)-u(x)=\int_x^y f(t)dt.$$
またこのとき $u'=f$。

{{begin|proof|display=''Proof.''|collapsible=1}}
$p=1$ の場合を示せば十分。

(1) $\implies$ (2)を示す。$I$ は明らかに線分条件をみたすので $u_m\in C^\infty(\overline{I})\cap W^{1,1}(I)$ を $\norm{u_m-u}_{1,1}\to 0\ (m\to\infty)$ となるようにとれる。部分列に移って $u_m\to u,u_m'\to u'$ a.e. in $I$ としてよい。

$x_0\in I$ を $u_m(x_0)\to u(x_0)\ (m\to\infty)$ をみたす点とする。$x\in[x_0,b)$ について
$$u_m(x)=u_m(x_0)+\int_{x_0}^x u_m'(t)dt.$$
$\norm{u_m'-u'}_1\to 0\ (m\to\infty)$ より右辺は $m\to\infty$ とすると $x\in[x_0,b)$ について $u(x_0)+\int_{x_0}^x u'(t)dt$ に一様収束するので
$$u\in C([x_0,b]),u(x)=u(x_0)+\int_a^x u'(t)dt\ (x\in[x_0,b]).$$
任意の $x\in I$ について $x_0$ を $x_0\in(a,x)$ となるようにとれることから $u\in C((a,b])$。また $x,y\in (a,b]$、$x\lt y$ について $x_0$ を $x_0\lt x$ となるようにとれば
$$u(y)-u(x)=\left(u(x_0)+\int_{x_0}^yu'(t)dt\right)-\left(u(x_0)+\int_{x_0}^xu'(t)dt\right)=\int_x^yu'(t)dt\ (x,y\in(a,b]).$$
また $u'\in L^1(I)$ より $y\in I$ を固定すると
$$u(x)=u(y)-\int_x^y u'(t)dt$$
は $x\to a+0$ で収束する。とくに $a\gt -\infty$ の場合は $u\in C(\overline{I})$ で
$$u(y)-u(a)=\int_a^y u'(t)dt.$$
これより
$$u\in C(\overline{I}),u(y)-u(x)=\int_x^y u'(t)dt\ (x,y\in\overline{I},x\lt y).$$

(2) $\implies$ (1)を示す。$\varphi\in C^\infty_c(I)$ とする。$J=(a',b')\rcpt I$ を $\supp\varphi$ を含む開区間とする。 $y\in (b',b)$ とすると仮定より $x\in(a,y)$ について
$$u(y)-u(x)=\int_x^y f(t)dt.$$

$x\in (a,a')$ とする。$J\subset(x,y)$ で、$\varphi(x)=0$ より $t\in(x,b')$ について $\varphi(t)=\int_x^t\varphi'(s)ds$ であるから
\begin{align*}
\int_I f(t)\varphi(t)dt&=\int_x^y f(t)\varphi(t)dt\\
&=\int_x^y f(t)\left(\int_x^t \varphi'(s)ds\right)dt\\
&=\int_x^y \varphi'(s)\left(\int_s^yf(t)dt\right)ds\\
&=\int_x^y \varphi'(s)(u(y)-u(s))ds\\
&=u(y)\int_x^y \varphi'(s)ds-\int_x^y u(s)\varphi'(s)ds\\
&=-\int_I u(s)\varphi'(s)ds.
\end{align*}
よって $u\in W^{1,1}(I)$、$u'=f$。
{{end|proof}}

{{theorem|type=cor|name=$W^{1,p}_{\loc}(I)$ の特徴づけ|label=1dim2}}
$p\in[1,\infty]$ とし、$u\in L^p_{\loc}(I)$ とする。次は同値:
*(1) $u\in W^{1,p}_{\loc}(I)$。
*(2) $u$ は局所絶対 $p$ -連続である。すなわち $u\in C(I)$ で $f\in L^p_{\loc}(\Omega)$ が存在して $a\lt x\lt y\lt b$ について
$$u(y)-u(x)=\int_x^y f(t)dt.$$
またこのとき $u'=f$。

{{theorem|type=rmk}}
絶対 $1$ -連続と局所絶対 $1$ -連続は単に絶対連続、局所絶対連続という。

{{ref|type=cor|label=1dim2}}より $u\in W^{1,p}_{\loc}(I)$ は $u'$ のLebesgue点で(従ってa.e. in $I$ で)微分可能で、各点微分は弱微分とa.e.で一致する。

{{theorem|type=thm|name=$n=1$ のときのMorreyの不等式|label=dim1mor}}
$I$ は有界であるとする。
*(1) $u\in W^{1,1}(I)$ のとき
$$\norm{u}_\infty\le C_{|I|}\norm{u}_{1,1}.$$
また $u(y)=0$ なる $y\in \overline{I}$ が存在するとき
$$\norm{u}_\infty\le \norm{u'}_1.$$
*(2) $p\in(1,\infty]$ とする。 $\alpha=1-\frac{1}{p}$ とすると $u\in W^{1,p}(I)$ について
$$u\in C^{0,\alpha}(\overline{I}),[u]_{0,\alpha;I}\le \norm{u'}_p.$$

{{begin|proof|display=''Proof.''|collapsible=1}}
(1)を示す。{{ref|type=thm|label=1dim1}}より $x,y\in\overline{I}$、$x\lt y$ について
$$|u(x)-u(y)|\le\int_x^y|u'(t)|dt\le \norm{u'}_1.$$
対称性よりこれは任意の $x,y\in I$ について成り立つ。ここで $x,y\in\overline{I}$ を
$$|u(x)|=\sup_{I}|u|,|u(y)|=\inf_{I}|u|$$
となるようにとると
$$\sup_{I}|u|=|u(x)|\le|u(y)|+\norm{u'}_1=\inf_{I}|u|+\norm{u'}_1\le|I|^{-1}\int_I|u|+\norm{u'}_1\le C_{|I|}\norm{u}_{1,1}.$$
また $|u(y)|=0$ のとき
$$\sup_{I}|u|\le\norm{u'}_1.$$

(2)を示す。Hölderの不等式より $x,y\in I$、$x\lt y$ について
$$|u(x)-u(y)|\le\int_x^y|u'(t)|dt\le\norm{u'}_p|x-y|^{1-\frac{1}{p}}.$$
よって
$$u\in C^{0,\alpha}(\overline{I}),[u]_{0,\alpha;I}\le\norm{u'}_p.$$
{{end|proof}}

==合成関数の微分、積の微分==

{{theorem|type=thm|name=合成関数の微分|label=chain1}}
$p\in[1,\infty]$、$m\in\Zp$、$u\in W^{1,p}_{\loc}(\Omega)^m$ とする。
$G\in C^1(\R^m)$ が
$$G(u),\sum_{j=1}^m D_jG(u)D_iu_j\in L^p_{\loc}(\Omega)$$
をみたすとすると
$$G(u)\in W^{1,p}_{\loc}(\Omega),D_i(G(u))=\sum_{j=1}^m D_jG(u)D_iu_j\ (i=1,\ldots,n).$$

{{begin|proof|display=''Proof.''|collapsible=1}}
$|\Omega|\lt\infty$、$p\in[1,\infty)$、$u\in W^{1,p}(\Omega)^m$ の場合を示せば十分である。また $G$ を $G-G(0)$ にとりかえて $G(0)=0$ としてよい。<ref name="chainsuf">実際には $\Omega$ が有界かつ $p=1$ の場合のみで十分である。$\Omega$ が非有界の場合と $p\in(1,\infty)$ の場合を含めたのは{{ref|type=pro|label=chapro0}}の証明に使う都合によるものである。なお、{{ref|type=pro|label=chapro0}}では $|\Omega|\lt\infty$ を仮定できないが、実際には $G(0)=0$ でも十分であるため{{ref|type=pro|label=chapro0}}も問題なく証明できる。</ref>

$DG\in L^\infty(\R^m)^m$ の場合を示す。{{ref|type=thm|label=apx2}}より $u^{(k)}\in C^\infty(\Omega)^m\cap W^{1,p}(\Omega)^m$ を $\norm{u^{(k)}-u}_{1,p}\to 0\ (k\to\infty)$ となるようにとれる。部分列に移って $u^{(k)}\to u,D_iu^{(k)}\to D_iu$ a.e. in $\Omega$ かつ $v,v_1,\ldots,v_n\in L^p(\Omega)$ が存在して $|u^{(k)}|\le v,|D_iu^{(k)}|\le v_i\ (\forall k\in\Zp)$ としてよい。<ref name="dominant">一般に測度空間 $X=(X,\mu)$ 上の関数列 $\{f_m\}_{m=1}^\infty\subset L^p(X)$ と $f\in L^p(X)$ が $\int_X |f_m-f|^pd\mu\to 0\ (m\to\infty)$ をみたすとき、部分列 $\{f_{m_l}\}_{l=1}^\infty$ を $f_{m_l}\to f\ \mu-$ a.e. in $X$ かつ $g\in L^p(X)$ であって任意の $l$ について $|f_{m_l}|\le g$ in $X$ となるようなものが存在するようにとれる。実際、[[測度と積分5：$L%5Ep$_空間の完備性と双対性]]の定理21.4の証明のように部分列をとればよい。</ref>

各 $u^{(k)}$ は $G(u^{(k)})\in C^1(\Omega)$、$\displaystyle D_i(G(u^{(k)}))=\sum_{j=1}^m D_jG(u^{(k)})D_iu^{(k)}_i\ (i=1,\ldots,n)$ をみたす。また、$G(0)=0$ より $G(t)\le\norm{DG}_\infty|t|\ (t\in\R)$ となることから $|G(u^{(k)})|\le\norm{DG}_\infty v$、$\displaystyle \left|\sum_{j=1}^mD_jG(u^{(k)})D_iu^{(k)}_j\right|\le C\norm{DG}_\infty v_i$。$\displaystyle G(u^{(k)})\to G(u),\sum_{j=1}^m D_jG(u^{(k)})\cdot D_iu^{(k)}_j\to \sum_{j=1}^mD_jG(u)D_iu_j\ (k\to\infty)$ であるからLebesgueの収束定理より
$$\norm{G(u^{(k)})-G(u)}_p,\norm{D_i(G(u^{(k)}))-\sum_{j=1}^mD_jG(u)D_iu_j}_p\to 0\ (k\to\infty)$$
となる。これより
$$G(u)\in W^{1,p}(\Omega),D_i(G(u))=\sum_{j=1}^mD_jG(u)D_iu_j.$$

一般の場合を示す。$\xi\in C^1(\R)$ を
$$|\xi|\le 1,\xi(t)=1\ \jf t\ge 1,\xi(t)\le 1\ \jf t\le 1,\xi(t)=t\ \jf |t|\le\frac{1}{2}$$
となるようにとり、$M\gt 0$ について $\xi_M(t)\colon=M\xi(M^{-1}t)\ (t\in\R)$ とする。$\xi$、$\xi_M$ は
$$\xi'\in C_c(\R),|\xi_M'(t)|=|\xi'(M^{-1}t)|\le 1,\xi_M'(t)\to 1\ (M\to\infty)$$
をみたす。

$G_M\colon=\xi_M(G)$ とする。$\xi_M(G)\in C^1(\R^m)$、$D_j(\xi_M(G))=\xi_M'(G)D_jG\in C_c(\R^m)^m$ であるから $DG\in L^\infty(\R^m)^m$ の場合より
$$G_M(u)\in W^{1,p}(\Omega),D_i(G_M(u))=\xi_M'(G(u))\sum_{j=1}^mD_jG(u)D_iu_j.$$
$|G_M(u)|\le|G(u)|$、$|\xi_M'(u)DG(u)|\le|DG(u)|$で、$$G_M(u)\to G(u),\sum_{j=1}^m\xi_M'(u)D_jG(u)D_iu_j\to \sum_{j=1}^m D_jG(u)D_iu_j\ (M\to\infty)$$
であるからLebesgueの収束定理より
$$\norm{G_M(u)-G(u)}_p,\norm{D_i(G_M(u))-\sum_{j=1}^m D_jG(u)D_iu_j}_p\to 0\ (M\to\infty).$$
よって
$$G(u)\in W^{1,p}(\Omega),D_i(G(u))=\sum_{j=1}^mD_jG(u)D_iu_j.$$
{{end|proof}}

{{theorem|type=rmk}}
$G(0)=0$ かつ $DG\in L^\infty(\R^m)^m$ であれば十分である。とくに $|\Omega|\lt\infty$ のときは $DG\in L^\infty(\R^m)^m$ であれば十分である。

帰納法により高階の合成関数の微分公式も成り立つ。すなわち、$u\in W^{k,1}_{\loc}(\Omega)^m$、$G\in C^k(\R^m)$ とすると、$G(u)$ の形式的な $\alpha$ 階微分( $|\alpha|\le k$ )がすべて $L^1_{\loc}(\Omega)$ に属せば $G(u)\in W^{k,1}_{\loc}(\Omega)$ で $D^\alpha (G(u))$ は形式的な $\alpha$ 階微分と一致する。

{{theorem|type=cor|name=積の微分|label=prod2}}
$k\in\Zp$ とする。$u_1,\ldots ,u_m\in W^{k,1}_{\loc}(\Omega)$ が $|\alpha|\le k$ について
$$\sum_{\beta_1+\ldots +\beta_m=\alpha}\frac{\alpha!}{\beta_1!\ldots \beta_m!}D^{\beta_1}u_1\ldots D^{\beta_m}u_m\in L^1_{\loc}(\Omega)$$
をみたすとすると
$$u_1\ldots u_m\in W^{k,1}_{\loc}(\Omega),D^\alpha(u_1\ldots u_m)=\sum_{\beta_1+\ldots +\beta_m=\alpha}\frac{\alpha!}{\beta_1!\ldots \beta_m!}D^{\beta_1}u_1\ldots D^{\beta_m}u_m\ (|\alpha|\le k).$$

{{begin|proof|display=''Proof.''|collapsible=1}}
$G(t_1,\ldots ,t_m)=t_1\ldots t_m$ として $k$ 階の合成関数の微分公式を用いればよい。
{{end|proof}}

$m=1$ の場合はより正則性を欠いた関数との合成を考えることもできる:

{{theorem|type=lem|label=chainlem}}
$u\in W^{1,1}_{\loc}(\Omega)$ とし、$N\subset\R$ はBorel集合で $|N|=0$ をみたすとする。このとき
$$Du=0\ \ae\on\{x\in\Omega\colon u(x)\in N\}.$$

{{begin|proof|display=''Proof.''|collapsible=1}}
$\Omega$ が有界で $u\in W^{1,1}(\Omega)$ の場合を示せば十分。

$m\in\Zp$ について開集合 $U_m\subset\R$ を $N\subset U_m$、$|U_m|\lt 2^{-m}$ となるようにとる。また $W_m\colon=\{x\in\Omega\colon u(x)\in U_m\}$ として
$$N'\colon=\bigcup_{l=1}^\infty\bigcap_{m=l}^\infty U_m,W\colon=\bigcup_{l=1}^\infty\bigcap_{m=l}^\infty W_m$$
とする。$N'$ は $N\subset N'$、$|N'|=0$ をみたす。

$U'_{m,1}\rcpt U'_{m,2}\rcpt\ldots\rcpt U_m$ を $\displaystyle \bigcup_{l=1}^\infty U'_{m,l}=U_m$ となるようにとると $\displaystyle \left|W_m\backslash\bigcup_{l=1}^\infty \left\{x\in\Omega\colon u(x)\in U'_{m,l}\right\}\right|=0$ となるので十分大きい $l$ をとって $U'_m\colon=U'_{m,l}$、$W'_m\colon=\{x\in\Omega\colon u(x)\in U'_m\}$ とすれば $|W_m\backslash W'_m|\lt 2^{-m}$ となる。

$\varphi_m\in C_c(U_m)$ を $0\le\varphi_m\le 1$ かつ $\varphi_m=1$ in $U'_m$ となるようにとり
$$G_m(t)\colon=\int_{-\infty}^t \varphi_m$$
とする。$G_m\in C^1(\R)$、$0\le G_m'\le 1$ であるから{{ref|type=thm|label=chain1}}より
$$G_m(u)\in W^{1,1}(\Omega),D_i(G_m(u))=G_m'(u)D_iu.$$
$G_m'=1$ in $U'_m$、$G_m'=0$ on $\R\backslash U_m$ より
$$D_i(G_m(u))=D_iu\ \on\ W'_m,D_i(G_m(u))=0\ \on\ \Omega\backslash W_m.$$
また
$$\norm{G_m(u)}_\infty\le\int_\R\varphi_m\le|U_m|\lt 2^{-m}.$$

$W$ と $W_m$ の定義から $\displaystyle W=\bigcup_{l=1}^\infty\bigcap_{m=l}^\infty W_m$ であるからa.e. $x\in \Omega\backslash W$ について十分大きい $m$ をとれば $D_i(G_m(u))(x)=0$ となる。一方
\begin{align*}
\left|W\backslash\bigcup_{l=1}^\infty\bigcap_{m=l}^\infty W'_m\right|&=\lim_{k\to\infty}\left|\bigcap_{m=k}^\infty W_m\backslash\bigcup_{l=1}^\infty\bigcap_{m=l}^\infty W'_m\right|\\
&\le\liminf_{k\to\infty}\left|\bigcap_{m=k}^\infty W_m\backslash\bigcap_{m=k}^\infty W'_m\right|\\
&=\liminf_{k\to\infty}\left|\bigcup_{l=k}^\infty\left(\bigcap_{m=k}^\infty W_m\backslash W'_l\right)\right|\\
&\le\liminf_{k\to\infty}\left|\bigcup_{l=k}^\infty(W_l\backslash W'_l)\right|\\
&\le\liminf_{k\to\infty}\sum_{l=k}^\infty|W_l\backslash W'_l|\\
&\le\liminf_{k\to\infty}\sum_{l=k}^\infty 2^{-l}=0.
\end{align*}
よってa.e. $x\in W$ について十分大きい $m$ をとれば $D_i(G_m(u))(x)=D_iu(x)$ となる。従って
$$D_i(G_m(u))\to D_iu\chi_W\ \ae\inn\Omega\ (m\to\infty).$$
$|D_i(G_m(u))|\le |D_iu|$ であるからLebesgueの収束定理より
$$\norm{D_i(G_m(u))-D_iu\chi_W}_1\to 0\ (m\to\infty).$$
一方 $\norm{G_m(u)}_\infty\lt 2^{-m}\to 0\ (m\to\infty)$。よって $G_m(u)$ は $m\to\infty$ とすると $W^{1,1}(\Omega)$ において $0$ に収束し、
$$D_iu\chi_W=0\ \ae\inn \Omega.$$
よって $Du=0$ a.e. on $W$。$W$ の定義より $\{x\in\Omega\colon u(x)\in N\}\subset W$ となるので主張が示された。
{{end|proof}}

{{theorem|type=thm|name=局所絶対連続関数と $W^{1,p}$ 関数の合成|label=chain2}}
$p\in[1,\infty]$、$u\in W^{1,p}_{\loc}(\Omega)$ とする。
*(1) $\R$ 上の $\L^n$ -可測関数 $f$ について $f(u)D_iu\ (i=1,\ldots ,n)$ はwell-definedである。
*(2) $G\in W^{1,1}_{\loc}(\R)$ とする。$u$ が
$$G(u),G'(u)D_iu\in L^p_{\loc}(\Omega)\ (i=1,...n)$$
をみたすとすると
$$G(u)\in W^{1,p}_{\loc}(\Omega),D_i(G(u))=G'(u)D_iu\ (i=1,\ldots ,n).$$

{{begin|proof|display=''Proof.''|collapsible=1}}
(1)を示す。$f$ のBorel可測な代表元 $f_1$ をとると $f_1(u)D_iu$ は $\L^n$ -可測である。また $f_2$ を $f$ の別の代表元とすると{{ref|type=lem|label=chainlem}}より
$$D_iu=0\ \ae\on\{x\in\Omega\colon f_1(u(x))\neq f_2(u(x))\}$$
であるから $f_1(u)D_iu=f_2(u)D_iu$ a.e. in $\Omega$ となる。これより $f(u)D_iu$ はwell-definedである。

(2)を示す。{{ref|type=thm|label=chain1}}
と同様に $p\in[1,\infty)$、$u\in W^{1,p}(\Omega)$、$G(u),G'(u)D_iu\in L^p(\Omega)$、$G(0)=0$ の場合を示せば十分。<ref name="chainsuf" />

$G'\in L^\infty(\R)$ の場合を示す。$\varepsilon\gt 0$ について $G_\varepsilon\colon=\eta_\varepsilon*G-\eta_\varepsilon*G(0)$ とする。$G_\varepsilon\in C^\infty(\R)$、$|G_\varepsilon'|\le\norm{G'}_\infty$、$G_\varepsilon(0)=0$ であるから{{ref|type=thm|label=chain1}}より
$$G_\varepsilon(u)\in W^{1,p}(\Omega),D_i(G_\varepsilon(u))=G_\varepsilon'(u)D_iu.$$
また $G_\varepsilon\to G,G_\varepsilon'\to G'$ a.e. in $\R\ (\varepsilon\to +0)$ であり、{{ref|type=lem|label=chainlem}}より $G_\varepsilon(u(x))\to G(u(x)),G_\varepsilon'(u(x))\to G'(u(x))\ (\varepsilon\to +0)$ とならないほどんど全ての $x\in\Omega$ について $D_iu(x)=0$ であるから
$$G_\varepsilon(u)\to G(u),G_\varepsilon'(u)D_iu\to G'(u)D_iu\ \ae\inn\Omega\ (\varepsilon\to +0).$$
$|G(u)|\le\norm{G'}_\infty|u|$、$|G_\varepsilon'(u)D_iu|\le\norm{G'}_\infty|D_iu|$ であるからLebesgueの収束定理より
$$\norm{G_\varepsilon(u)-G(u)}_p,\norm{G_\varepsilon'(u)D_iu-G'(u)D_iu}_p\to 0\ (\varepsilon\to +0).$$
従って
$$G(u)\in W^{1,p}(\Omega),D_i(G(u))=G(u)D_iu.$$

$u\in L^\infty(\Omega)$ の場合を示す。$\zeta\in C^\infty(B_2(0))$、$\zeta=1$ in $B_1(0)$ をとり、$m\in\Zp$ として $\zeta_m(x)\colon=\zeta(m^{-1}x)\ (x\in\R^n)$ とする。

$M\gt 0$ について $G_M(t)\ (t\in\R)$ を
$$G_M(t)=
\begin{cases}
\int_0^t\min\{\max\{G'(s),-M\},M\}ds\ &\colon t\ge 0\\
-\int_0^{-t}\min\{\max\{G'(s),-M\},M\}ds\ &\colon t\lt 0\\
\end{cases}$$
と定める。このとき $|G_M'|\le M$、$G_M'=\min\{\max\{G',-M\},M\}$、$G_M(0)=0$。

$|G_M'|\le M$、$G_M(0)=0$ より $|G_M(t)|\le M|t|\ (t\in\R)$ であるから $G_M(\zeta_mu)\in L^p(\Omega)$ で $\supp G_M(u)\subset B_{2m}(0)$ より $\supp G_M(\zeta_mu)\in L^p(\Omega)$。$G'\in L^\infty(\R)$ の場合より
$$G_M(u)\in W^{1,p}(\Omega),D_i(G_M(u))=\min\{\max\{G'(u),-M\},M\}D_iu.$$
また
$$|G_M(t)|\le
\begin{cases}
\int_0^t|\min\{\max\{G'(s),-M\},M\}|ds\le\int_0^t|G'(s)|ds\ &\colon t\ge 0\\
\int_0^{-t}|\min\{\max\{G'(s),-M\},M\}|ds\le\int_0^{-t}|G'(s)|ds\ &\colon t\lt 0\\
\end{cases}$$
であるから
$$|G_M(u)|\le\int_{-\norm{u}_\infty}^{\norm{u}_\infty}|G'(s)|ds.$$
またLebesgueの収束定理より各 $t\in\R$ について $G_M(t)\to G(t)\ (M\to\infty)$ であるからLebesgueの収束定理より
$$\norm{\zeta_mG_M(u)-\zeta_mG(u)}_p\to 0\ (M\to\infty).$$
また $t\in\R$ について $\min\{\max\{G'(t),-M\},M\}\le |G'(t)|$、$\min\{\max\{G'(t),-M\},M\}\to G'(t)\ (M\to\infty)$ であるから $|D_i(\zeta_mG_M(u))|\le|D_i\zeta_m||G_M(u)|+|\zeta_m||G(u)D_iu|$、$D_i(\zeta_mG_M(u))\to D_i\zeta_mG(u)+\zeta_mG'(u)D_iu\ (M\to\infty)$。Lebesgueの収束定理より
$$\norm{D_i(\zeta_mG_M(u))-(D_i\zeta_mG_M(u)+\zeta_mG'(u)D_iu)}_p\to 0\ (M\to\infty).$$
よって
$$\zeta_mG(u)\in W^{1,p}(\Omega),D_i(\zeta_mG(u))=D_i\zeta_mG_M(u)+\zeta_mG'(u)D_iu.$$
$m\to\infty$ とすれば $\norm{\zeta_mG(u)-G(u)}_p,\norm{D_i\zeta_mG_M(u)+\zeta_mG'(u)D_iu-G'(u)D_iu}_p\to 0$ となるので
$$G(u)\in W^{1,p}(\Omega),D_i(G(u))=G'(u)D_iu.$$

一般の場合を示す。$M,N\ge 0$ について
$$u_{M,N}\colon=\min\{\max\{u,-N\},M\}$$
とする。$G'\in L^\infty(\R)$ の場合より
$$u_{M,N}\in W^{1,p}(\Omega),D_iu_{M,N}=D_iu\chi_{\{-N\lt u\lt M\}}.$$
また $|u_{M,N}|\le \max\{M,N\}$ で、
$$|G'(u_{M,N})D_iu_{M,N}|=|G'(u_{M,N})D_iu|\chi_{\{-N\lt u\lt M\}}=|G'(u)D_iu|\chi_{\{-N\lt u\lt M\}}\le|G'(u)D_iu|$$
となるので $u\in L^\infty(\Omega)$ の場合より
$$G(u_{M,N})\in W^{1,p}(\Omega),D_i(G(u_{M,N}))=G'(u_{M,N})D_iu_{M,N}.$$

a.e. $x\in\Omega$ について $M,N\gt|u(x)|$ とすれば $u_{M,N}(x)=u(x)$ となることから
$$G(u_{M,N})\to G(u),G'(u_{M,N})D_iu_{M,N}\to G'(u)D_iu\ \ae\inn\Omega\ (M,N\to\infty).$$
$|G'(u_{M,N})D_iu_{M,N}|\le|G'(u)D_iu|$ であるからLebesgueの収束定理より
$$\norm{G'(u_{M,N})D_iu_{M,N}-G'(u)D_iu}_p\to 0\ (M,N\to\infty).$$

また $j\in\Zz$ について次のように $L_j,M_j,N_j\ge 0$ をとる:

$L_0=M_0=N_0\colon=0$ とする。

$L_j,M_j,N_j$ がとれたとする。 $|\{|u|\gt L\}|\to 0\ (L\to\infty)$ に注意し、$L_{j+1}$ を
$$L_{j+1}\ge L_j+1,|G(L_j)|^p|\{u\gt L_{j+1}\}|\lt 2^{-(j+1)},|G(-L_j)|^p|\{u\lt -L_{j+1}\}|\lt 2^{-(j+1)}$$
となるようにとる。$M_{j+1},N_{j+1}$ を $M_{j+1},N_{j+1}\in [L_j,L_{j+1}]$ かつ
$$|G(M_{j+1})|=\inf_{[L_j,L_{j+1}]}|G|,|G(-N_{j+1})|=\inf_{[-L_{j+1},-L_j]}|G|$$
となるようにとる。

このとき $j\in\Zp$ とすると $M_j,N_j\le L_j$ で $t\in[M_j,L_j]$ について $|G(M_j)|\le|G(t)|$、$t\in[-L_j,-N_j]$ について $|G(-N_j)|\le|G(t)|$。これより
$$|G(u_{M_j,N_j})|\chi_{\{|u|\le L_j\}}=
\begin{cases}
|G(-N_j)|\le|G(u)|&\colon u\in [-L_j,-N_j]\\
|G(u)|&\colon u\in(-N_j,M_j)\\
|G(M_j)|\le|G(u)|&\colon u\in [M_j,N_j]\\
0&\colon |u|\gt L_j
.\end{cases}
$$
また $\chi_{\{|u|\le L_j\}}\to 1$ a.e. in $\Omega\ (j\to\infty)$ より
$$G(u_{M_j,N_j})\chi_{\{|u|\le L_j\}}\to G(u)\ \ae\inn\Omega\ (j\to\infty).$$
Lebesgueの収束定理より
$$\norm{G(u_{M_j,N_j})\chi_{\{|u|\le L_j\}}-G(u)}_p\to 0\ (j\to\infty).$$
また $M_j,N_j\ge L_{j-1}\ge j-1$ より $M_j,N_j\to\infty\ (j\to\infty)$ であり、
\begin{align*}
\int_\Omega|G(u_{M_j,N_j})|^p\chi_{\{|u|\gt L_j\}}&=\int_\Omega(|G(M_j)|^p\chi_{\{u\gt M_j\}}+|G(-N_j)|^p\chi_{\{u\lt -N_j\}})\\
&=|G(M_j)||\{u\gt M_j\}|+|G(-N_j)||\{u\gt -N_j\}|\\
&\le|G(L_j)||\{u\gt L_{j-1}\}|+|G(-L_j)||\{u\gt -L_{j-1}\}|\\
&\le 2^{1-j}\to 0\ (j\to\infty).
\end{align*}
従って
$$\norm{G(u_{M_j,N_j})-G(u)}_p\to 0\ (j\to\infty).$$
$M_j,N_j\ge L_{j-1}\ge j-1\to\infty\ (j\to\infty)$ より
$$\norm{G'(u_{M_j,N_j})D_iu_{M_j,N_j}-G'(u)D_iu}_p\to 0\ (j\to\infty)$$
となることとあわせて
$$G(u)\in W^{1,p}(\Omega),D_i(G(u))=G'(u)D_iu$$
が成り立つ。
{{end|proof}}

==差分商による特徴づけ==
{{theorem|type=def|name=差分商|label=difq}}
$f\colon\Omega\to\R$ と開集合 $\Omega'\rcpt\Omega$ と $0\lt|h|\lt\dist(\Omega',\pOm)$ なる $h\in\R$ と $z\in\partial B_1(0)$ について
$$\Delta^h_z f(x)\colon=\frac{f(x+hz)-f(x)}{h}\ (x\in\Omega',i=1,\ldots ,n)$$
により $f$ の $z$ 方向の差分商 $\Delta^h_z f\colon\Omega'\to\R$ を定める。$\Delta^h_{e_i} f$ は $\Delta^h_i f$ と書く。

{{theorem|type=pro|name=差分商の初等的性質|label=difq1}}
開集合 $\Omega'\rcpt\Omega$ と $0\lt|h|\lt\frac{1}{2}\dist(\Omega',\pOm)$ なる $h\in\R$ と $\partial B_1(0)$ について次が成り立つ:
*(1) $f\in C^1(\Omega)$ について
$$\Delta^h_z f(x)=\int_0^1 D_if(x+thz)dt\ (x\in\Omega').$$
*(2) $f\colon\Omega\to\R$ について
$$\Delta^h_z(fg)(x)=\Delta^h_zf(x)g(x)+f(x+hz)\Delta^h_zg(x)=\Delta^h_zf(x)g(x+hz)+f(x)\Delta^h_zg(x)\ (x\in\Omega').$$
*(3) $f\colon \Omega\to\R$ と $g\colon\R^n\to\R$ が $\L^n$ -可測で $\supp g\subset\Omega'$ かつ $f(\cdot+hz)g,fg\in L^1(\Omega)$ とすると
$$\int_{\Omega'}\Delta^h_zfg=-\int_{\Omega}f\Delta^{-h}_zg.$$

{{begin|proof|display=''Proof.''|collapsible=1}}
(1) は微積分基本公式から直ちに従う。

(2) は
$$f(x+hz)g(x+hz)-f(x)g(x)=(f(x+hz)-f(x))g(x)+f(x+hz)(g(x+hz)-g(x))$$
から従う。

(3) は
\begin{align*}
\int_{\Omega'} \Delta^h_zfg&=\frac{1}{h}\left(\int_{\Omega'} f(x+hz)g(x)dx-\int_{\Omega'} f(x)g(x)dx\right)\\
&=\frac{1}{h}\left(\int_{\Omega'+hz} f(x)g(x-hz)dx-\int_{\Omega'} f(x)g(x)dx\right)\\
&=-\frac{1}{-h}\left(\int_\Omega f(x)g(x-hz)dx-\int_\Omega f(x)g(x)dx\right)\\
&=-\int_\Omega f\Delta^{-h}_zg
\end{align*}
となり従う。
{{end|proof}}

$p\in(1,\infty]$ のとき、差分商を用いて $W^{1,p}(\Omega)$ を特徴づけることができる。差分商は微分可能性を仮定することなく定義できるため、この特徴づけは $u\in W^{1,p}(\Omega)$ を示す上でしばしば有用なものである。

{{theorem|type=lem|label=difqlem}}
*(1) $p,p'\in[1,\infty]$ とする。$u\in W^{1,p}(\Omega)$ とすると $z\in\partial B_1(0)$ について
$$\norm{D_zu}_p=\sup\left\{\int_\Omega uD_z\varphi\colon\varphi\in C^\infty_c(\Omega),\norm{\varphi}_{p'}\le 1\right\}.\tag{*}\label{difqlem1}$$
ここで $\displaystyle D_zu\colon=z\cdot Du$ である。
*(2) $p\in(1,\infty]$ の場合は逆に $u\in L^p(\Omega)$ で各 $i=1,\ldots ,n$ について(\ref{difqlem1})の右辺が有限であれば $u\in W^{1,p}(\Omega)$ である。

{{begin|proof|display=''Proof.''|collapsible=1}}
(1)を示す。(\ref{difqlem1})の右辺を $A_z$ とおく。$\varphi\in C^\infty(\Omega)$ について
$$\int_\Omega uD_z\varphi=-\int_\Omega D_zu\varphi$$
であるから
$$A_z=\sup\left\{-\int_\Omega D_zu\varphi\colon\varphi\in C^\infty_c(\Omega),\norm{\varphi}_{p'}\le 1\right\}=\norm{D_zu}_p.$$

(2)を示す。$A_i=A_{e_i}\lt\infty\ (i=1,\ldots ,n)$ とすると $\varphi\mapsto\int_\Omega uD_i\varphi$ は $L^{p'}(\Omega)$ 上の有界線型汎関数に拡張され、$p'\in[1,\infty)$ よりこの汎関数はある $v_i\in L^p(\Omega)$ を用いて $\varphi\mapsto-\int_\Omega v_i\varphi$ と表される。従って
$$\int_\Omega uD_i\varphi=-\int_\Omega v_i\varphi\ (\forall\varphi\in C^\infty_c(\Omega))$$
となり $u\in W^{1,p}(\Omega)$、$D_iu=v_i$ となる。
{{end|proof}}

{{theorem|type=rmk}}
(2)は $p=1$ の場合は成り立たない。<ref name="BV">(2)で $p=1$ とした仮定をみたす関数は有界変動関数と呼ばれる。$\Omega$ 上の有界変動関数の空間は $BV(\Omega)$ と書かれ、これも重要な関数空間のひとつである。</ref>例えば $n=1$、$\Omega=\R$、$u=\chi_{(0,\infty)}$ とすると $\varphi\in C^\infty_c(\R)$、$\norm{\varphi}_\infty\le 1$ について $\int_\R u\varphi'=\int_0^\infty \varphi'=-\varphi(0)\le 1$ となる。一方 $u\in W^{1,1}(\Omega)$ であったとして $v=u'$ とすると任意の $\varphi\in C^\infty_c(\R)$ について $\int_\R v\varphi=\varphi(0)$ となり、とくに $x\in\R\backslash\{0\}$ として $\varepsilon\gt 0$ を十分小さくとると $\eta_\varepsilon*v(x)=\eta_\varepsilon(x)=0$ となるので $\eta_\varepsilon*v\to 0$ a.e. in $\R$ であり $v=0$ となるがこれは $\int_\R v\varphi=\varphi(0)$ に矛盾する。

{{theorem|type=thm|name=$W^{1,p}(\Omega)$ の差分商による特徴づけ|label=difq1}}
*(1) $\Omega'\rcpt\Omega$ を開集合とする。$0\lt|h|\lt\frac{1}{2}\dist(\Omega',\pOm)$ なる $h\in\R$ と $z\in\partial B_1(0)$ と $p\in[1,\infty]$、$u\in W^{1,p}(\Omega)$ について
$$\norm{\Delta^h_z u}_{p;\Omega'}\le \norm{D_zu}_p.$$
*(2) $p\in(1,\infty]$ の場合は逆に $u\in L^p(\Omega)$ について、$C_i\ge 0$ が存在して任意の開集合 $\Omega'\rcpt\Omega$ と $0\lt|h|\lt\frac{1}{2}\dist(\Omega',\pOm)$ なる $h\in\R$ について $\norm{\Delta^h_i u}_{p;\Omega'}\le C_i$ が成り立てば
$$u\in W^{1,p}(\Omega),\norm{D_iu}_{p;\Omega}\le C_i\ (i=1,\ldots ,n).$$

{{begin|proof|display=''Proof.''|collapsible=1}}
(1)を示す。$\varphi\in C^\infty_c(\Omega')$、$\norm{\varphi}_{p'}\le 1$ について
$$\int_{\Omega'}\Delta^h_z u\varphi=-\int_\Omega u\Delta^{-h}_z\varphi=-\int_\Omega u(x)\left(\int_0^1 D_z\varphi(x-thz)dt\right)dx$$
で、{{ref|type=lem|label=difqlem}}より $t\in[0,1]$ について
$$-\int_\Omega u(x)\varphi(x-thz)dx\le\norm{D_zu}_p.$$
よって $\norm{\Delta^h_zu}_p\le\int_0^1\norm{D_zu}_pdt=\norm{D_zu}_p$。

(2)を示す。$\varphi\in C^\infty_c(\Omega)$、$\norm{\varphi}_{p'}\le 1$ として開集合 $\Omega'\rcpt\Omega$ を $\supp\varphi\subset\Omega'$ となるようにとると十分小さい $h\gt 0$ について
$$C_i\ge-\int_\Omega\Delta^h_i u(x)\varphi(x)dx=\int_\Omega u(x)\Delta^{-h}_i\varphi(x)dx=\int_\Omega u(x)\left(\int_0^1 D_i\varphi(x-the_i)dt\right)dx$$
で、$h\to +0$ とすれば
$$\int_\Omega uD_i\varphi\le C_i$$
となる。{{ref|type=lem|label=difqlem}}より $u\in W^{1,p}(\Omega)$、$\norm{D_iu}_p\le C_i$。
{{end|proof}}

{{theorem|type=rmk}}
$\Omega\subset\Rnp$ とし、$T\subset\pOm$ を $T\subset\pRnp$ なる相対開集合とする。$\Omega'\rcpt\OmT$ を開集合とし、$h\in\R$、$0\lt|h|\lt\frac{1}{2}\dist(\Omega',\pOm\backslash T)$ とすると、$z\in\partial B_1(0)\cap\pRnp$ については
$f\colon\Omega\to\R$ の差分商 $\Delta^h_i f\colon\Omega'\to\R$ を定義することができる。$p\in(1,\infty]$、$u\in L^p(\Omega)$、$i=1,\ldots ,n-1$ について、$C_i\ge 0$ が存在して任意の開集合 $\Omega'\rcpt\OmT$ と $h\in\R$、$0\lt|h|\lt\frac{1}{2}\dist(\Omega',\pOm)$ について $\norm{\Delta^h_i u}_{p;\Omega'}\le C_i$ が成り立てば $u$ の弱微分 $D_iu$ が存在し
$$\norm{D_iu}_p\le C_i\ (i=1,\ldots ,n-1)$$
となることが{{ref|type=thm|label=difq1}}と同様に示される。これは境界の近傍における $u$ の正則性を調べる上で重要となるが、法線微分 $D_nu$ が存在するかは別の方法で調べる必要がある。

==$p=\infty$ の場合==
$W^{k,\infty}(\Omega)$ は著しく特殊であり、Lipschitz連続性によって特徴づけることができる。
{{theorem|type=thm|name=$W^{k,\infty}(\Omega)$ の特徴づけ|label=lip}}
$k\in\Zp$ とする。
*(1) $C^{k-1,1}(\Ombar)\subset W^{k,\infty}(\Omega)$ で $u\in C^{k-1,1}(\Ombar)$ について
$$\norm{D^ku}_{\infty;\Omega}\le[u]_{k-1,1;\Omega}.$$
さらに $\Omega$ が[[Hölder空間の基本事項]]の補題14の($\dagger$)をみたすとすると $W^{k,\infty}(\Omega)=C^{k-1,1}(\Ombar)$ で $u\in W^{k,\infty}(\Omega)$ について
$$[u]_{k-1,1;\Omega}\le C_{k,\Omega}\norm{D^ku}_{k,\infty;\Omega}.$$
*(2) 任意の開集合 $\Omega\subset\R^n$ について
$$W^{k,\infty}_{\loc}(\Omega)=C^{k-1,1}(\Omega).$$

また $u\in W^{k,\infty}_{\loc}(\Omega)=C^{k-1,1}(\Omega)$ について、$k$ 階以下の各点での微分と弱微分は一致する。

{{begin|proof|display=''Proof.''|collapsible=1}}
$k=1$ の場合を示せば十分。

(2)は(1)と凸領域が($\dagger$)をみたすことから直ちに従う。

(1)を示す。$u\in C^{0,1}(\Ombar)$ とすると任意の $\Omega'\rcpt\Omega$ について $\Delta^h_iu$ は $h\to +0$ とすると $\Omega'$ 上で各点微分の意味の $D_iu$ に収束する。$\varphi\in C^\infty_c(\Omega')$ について
$$\int_\Omega D_iu\varphi=\lim_{h\to 0}\int_{\Omega'}\Delta^h_iu\varphi=-\lim_{h\to 0}\int_\Omega u\Delta^{-h}_i\varphi=-\int_\Omega uD_i\varphi.$$
これより $u\in W^{1,\infty}(\Omega)$ で、$u$ は弱微分は a.e. in $\Omega$ で $u$ の各点微分と一致する。また $\norm{D_iu}_\infty\le[u]_{0,1}$。

逆に $u\in W^{1,\infty}(\Omega)$ とする。$x,y\in\Omega$ とし、$x_0=x$、$x_N=y$、$l(p)\le L|x-y|$ となるように $\Omega$ 内の折れ線 $p=\{x_i\}_{i=0}^N$ をとる。$\displaystyle \bigcup_{i=0}^N\{(1-t)x_i+tx_{i+1}\colon t\in[0,1]\}$ はコンパクトより開集合 $\Omega'\rcpt\Omega$ をとって $\displaystyle\bigcup_{i=0}^N\{(1-t)x_i+tx_{i+1}\colon t\in[0,1]\}\subset\Omega'$ とできる。$\zeta\in C^\infty_c(\Omega)$ を $\zeta=1$ in $\Omega'$ となるようにとる。十分小さい $\varepsilon\gt 0$ をとると任意の $i=0,\ldots ,N-1$ と $t\in[0,1]$ について $B_\varepsilon((1-t)x_i+tx_{i+1})\subset\Omega'$ となり
$$|\eta_\varepsilon*D(\zeta u)((1-t)x_i+tx_{i+1})|\le C\norm{D(\zeta u)}_{\infty;\Omega'}=C\norm{Du}_{\infty;\Omega'}\ (j=1,\ldots ,n).$$
これより $i=0,\ldots ,N-1$ について
\begin{align*}
|\eta_\varepsilon*(\zeta u)(x_{i+1})-\eta_\varepsilon*(\zeta u)(x_i)|&=\left|\int_{\R^n}(\eta_\varepsilon(x_{i+1}-z)-\eta_\varepsilon(x_i-z))(\zeta u)(z)dz\right|\\
&=\left|\int_{\R^n}\left(\int_0^1 D\eta_\varepsilon((1-t)x_i+tx_{i+1}-z)\cdot(x_{i+1}-x_i)dt\right)(\zeta u)(z)dz\right|\\
&=\left|\int_0^1\eta_\varepsilon*D(\zeta u)((1-t)x_i+tx_{i+1})\cdot(x_{i+1}-x_i)dt\right|\\
&=\int_0^1|\eta_\varepsilon*D(\zeta u)((1-t)x_i+tx_{i+1})||x_{i+1}-x_i|dt\\
&\le C\norm{Du}_{\infty}|x_{i+1}-x_i|
\end{align*}
となり
$$|\eta_\varepsilon*(\zeta u)(y)-\eta_\varepsilon*(\zeta u)(x)|\le C\norm{Du}_\infty l(p)\le C\norm{Du}_\infty|x-y|.$$
$\varepsilon\to+0$ すれば、$u$ のLebesgue点 $x,y\in\Omega'$ について
$$|u(x)-u(y)|\le C\norm{Du}_\infty|x-y|$$
が成り立つ。$\Omega$ のほとんど全ての点が $u$ のLebesgue点であり、とくに $u$ のLebesgue点は $\Omega$ で稠密であるから、$u^*\colon\Omega\to\R$ を $u$ のLebesgue点で $u^*=u$ かつ $|u^*(x)-u^*(y)|\le C\norm{Du}_\infty|x-y|\ (\forall x,y\in\Omega)$ となるようにとれる。これより
$$u=u^*\in C^{0,1}(\Ombar),[u]_{0,1}\le C\norm{Du}_\infty.$$
{{end|proof}}

{{theorem|type=rmk}}
同様にして $T\subset\pOm$ が[[Hölder空間の基本事項]]の系16の($\dagger_\loc$)をみたすとき $W^{k,\infty}_\loc(\Omega)\subset C^{k-1,1}(\Omega\cup T)$ となることが証明できる。

$\gamma\colon [a,b]\to\Omega$ をLipschitz曲線とし、$u\in C^{0,1}(\Omega)$ とすると $u\circ\gamma\in C^{0,1}([a,b])=W^{1,\infty}(a,b)$ となるので $x\colon=\gamma(a)$、$y\colon=\gamma(b)$ とすれば
$$u(y)=u(x)+\int_a^b (u\circ\gamma)'(t)dt$$
が成り立つ。とくに a.e. $t\in(a,b)$ について $u$ が $\gamma(t)$ において微分可能であれば
$$u(y)=u(x)+\int_a^b Du(\gamma(t))\cdot\gamma'(t)dt$$
が成り立つ。

==変数変換公式==

{{theorem|type=thm|name=変数変換公式|label=chavar}}
$D,\widetilde{D}\subset\R^n$ を開集合とし、$\psi\colon \widetilde{D}\to D$ は全単射で $\psi,\psi^{-1}$ はともに $C^{0,1}$ 写像であるとする。$\widetilde{\Omega}\rcpt\widetilde{D}$ を開集合とし、$\Omega\colon=\psi(\widetilde{\Omega})$ とする。$u\in W^{1,p}(\Omega)$ について
$$u\circ\psi\in W^{1,p}(\widetilde{\Omega}),D_j(u\circ\psi)=\sum_{i=1}^n (D_iu\circ\psi)D_j\psi_i.$$
とくに
$$\norm{u\circ\psi}_{1,p;\widetilde{\Omega}}\le C_{\psi}\norm{u}_{1,p;\Omega}.$$

{{begin|proof|display=''Proof.''|collapsible=1}}
$u\in C^{0,1}(\Omega)\cap W^{1,p}(\Omega)$ とする。$u$ はa.e. in $\Omega$ で微分可能で、{{ref|type=thm|label=lip}}より各点微分は弱微分と一致する。また $\psi^{-1}$ がLipschitz写像であることから $|\{y\in\widetilde{\Omega}\colon\ u\ は\ \psi(y)\ で微分不可能\}|=|\psi^{-1}(\{x\in\Omega\colon u\ は\ x\ で微分不可能\})|=0$ となり、a.e. $y\in\widetilde{\Omega}$ について $u$ は $\psi(y)$ で微分可能である。 $\psi$ はa.e. in $\widetilde{\Omega'}$ で微分可能であるから $u\circ\psi$ もa.e. in $\widetilde{\Omega'}$ で微分可能で
$$D_j(u\circ\psi)=\sum_{i=1}^n (D_iu\circ\psi)D_j\psi_i.$$
$p=\infty$ の場合は $\norm{u\circ\psi}_\infty=\norm{u}_\infty$ と
$$\norm{D_j(u\circ\psi)}_\infty\le\sum_{i=1}^n \norm{D_iu\circ\psi}_\infty\norm{D_j\psi_i}_\infty\le C\sum_{i=1}^n\norm{D_iu}_\infty$$
より
$$u\circ\psi\in W^{1,\infty}(\Omega),\norm{u\circ\psi}_{1,\infty}\le C\norm{u}_{1,\infty}$$
が成り立つ。

$p\in[1,\infty)$ の場合はarea不等式([[Hausdorff測度とarea_coarea_formula]]の定理19)より
$$\int_{\Omega'}|u\circ\psi|^p\le C\int_\Omega |u|^p.$$
また $D\psi$ は $\Omega'$ 上で有界であるから $i,j\in\{1,\ldots ,n\}$ について
$$\int_{\Omega'}|(D_iu\circ\psi)D_j\psi_i|^p\le C\int_{\Omega'}|D_iu\circ\psi|^p\le C\int_\Omega |D_iu|^p$$
となるので
$$\norm{D_j(u\circ\psi)}_p\le \sum_{i=1}^n\norm{(D_iu\circ\psi)D_j\psi_i}_p\le C\sum_{i=1}^n\norm{D_iu}_p$$
となり
$$u\circ\psi\in W^{1,p}(\Omega),\norm{u\circ\psi}_{1;p}\le C\norm{u}_{1;p}$$
が成り立つ。

$p\in[1,\infty)$ の一般の場合は $u_m\in C^\infty(\Omega)\cap W^{1,p}(\Omega)$ を $\norm{u_m-u}_{1,p}\to 0\ (m\to\infty)$ となるようにとると
$$\norm{u_m-u}_p,\norm{\sum_{i=1}^n(D_iu_m\circ\psi)D_j\psi_i-\sum_{i=1}^n(D_iu\circ\psi)D_j\psi_i}_p\to 0\ (m\to\infty)$$
となることから従う。
{{end|proof}}

{{theorem|type=cor|label=kchavar}}
$D,\widetilde{D}\subset\R^n$ を開集合とし、$\psi\colon \widetilde{D}\to D$ は全単射で $\psi,\psi^{-1}$ はともに $C^{k-1,1}$ 写像であるとする。$\widetilde{\Omega}\rcpt\widetilde{D}$ を開集合とし、$\Omega\colon=\psi(\widetilde{\Omega})$ とする。$u\in W^{k,p}(\Omega)$ について
$$u\circ\psi\in W^{k,p}(\widetilde{\Omega}),\norm{u\circ\psi}_{k,p;\widetilde{\Omega}}\le C_{k,\psi}\norm{u}_{k,p;\Omega}.$$

{{begin|proof|display=''Proof.''|collapsible=1}}
{{ref|type=thm|label=chavar}}と積の微分を用いて $k$ に関する帰納法により証明できる。
{{end|proof}}

==Sobolev空間 $W^{k,p}_0(\OmT)$==

{{theorem|type=def|name=$W^{k,p}_c(\OmT),W^{k,p}_0(\OmT)$|label=defsob0}}
$k\in\Zp$、$p\in[1,\infty)$ とし、$T\subset\pOm$ を相対開集合とする。$W^{k,p}_c(\OmT)$ の $W^{k,p}(\Omega)$ のノルムでの閉包を $W^{k,p}_0(\OmT)$ と表す。$W^{k,p}_0(\Omega\cup\emptyset)$ は単に $W^{k,p}_0(\Omega)$ とかく。

{{theorem|type=rmk}}
{{ref|type=thm|label=apx3}}の注意より、$T$ が線分条件をみたす場合は $C^\infty_c(\OmT)\subset W^{k,p}_0(\OmT)$ は稠密である。とくに $C^\infty_c(\Omega)\subset W^{k,p}_0(\Omega)$ は稠密である。

$W^{1,p}_0(\OmT)$ は「弱い意味で $u=0$ on $\pOm\backslash T$ 」となる関数の空間としてよく用いられ、より高階の微分可能性と組み合わせて $W^{2,p}(\Omega)\cap W^{1,p}_0(\OmT)$ などの形で用いられることがある。なお、この空間を $W^{2,p}_0(\OmT)$ と混同しないように注意せよ。

$W^{k,2}_0(\OmT)$ は $H^k_0(\OmT)$ と書かれることが多い。

{{theorem|type=pro|name=$u\in W^{k,p}_0(\OmT)$ の拡張|label=ext0}}
$k\in\Zp$、$p\in[1,\infty)$ とし、$T\subset\pOm$ を相対開集合とする。$D\subset\R^n$ は開集合で $\Omega\subset D$、
$T\subset\partial D$ をみたすとする。このとき $u\in W^{k,p}_0(\OmT)$ について
$$v\colon=\begin{cases}
u&\ \inn\Omega\\
0&\ \on D\backslash\Omega
\end{cases}$$
とすると $v\in W^{k,p}_0(D\cup T)$ である。

{{begin|proof|display=''Proof.''|collapsible=1}}
$u\in W^{1,p}_c(\OmT)$ とする。$\dist(\supp u,\pOm\backslash T)\gt 0$ より $\zeta\in C^\infty(\Omega)$ を $\zeta=1$ on $\supp u$ かつ $\pOm\backslash T$ の近傍で $\zeta=0$ となるようにとれる。$\zeta=0$ on $D\backslash\Omega$ として $\zeta$ を $D$ 上に拡張すると $D\cap\pOm\subset\pOm\backslash T$ の近傍で $\zeta=0$ より $\zeta\in C^\infty(D)$。また $\supp\zeta\rcpt\OmT$。

$\varphi\in C^\infty_c(D)$ とすると $\zeta\varphi\in C^\infty_c(\Omega)$。$D_i\zeta=0$ on $\supp u$ に注意すると
$$\int_D vD_i\varphi=\int_\Omega \zeta uD_i\varphi=\int_\Omega u(D_i(\zeta\varphi)-D_i\zeta\varphi)=-\int_\Omega D_iu\zeta\varphi=-\int_\Omega D_iu\varphi.$$
これより $v\in W^{1,p}(D)$。また $\supp v=\supp u\rcpt D\cup T$ で、$Dv=Du$ in $\Omega$、$Dv=0$ on $D\backslash\Omega$。

帰納法により $u\in W^{k,p}_c(\OmT)$ のとき $v\in W^{k,p}_c(D\cup T)$ となる。近似により主張が従う。
{{end|proof}}

{{theorem|type=rmk}}
以下では $\Omega\subset D$、
$T\subset\partial D$ のとき $u\in W^{k,p}_0(\OmT)$ とそのここで構成した $D$ 上への拡張を区別せず $W^{k,p}_0(\OmT)\subset W^{k,p}_0(D\cup T)$ と見做す。

{{theorem|type=pro|name=部分積分|label=intpart}}
$p\in[1,\infty)$ とする。$T_1,T_2\subset\pOm$ は $T_1\cap T_2=\emptyset$ をみたすとする。$u\in W^{1,p}_0(\OmT_1)$、$v\in W^{1,p'}_0(\OmT_2)$ とすると
$$\int_\Omega D_iuv=-\int_\Omega uD_iv\ (i=1,\ldots ,n)$$

{{begin|proof|display=''Proof.''|collapsible=1}}
近似により $u\in W^{1,p}_c(\OmT_1)$、$v\in W^{1,p'}_c(\OmT_2)$ としてよい。$uv,D_iuv+uD_iv\in L^1(\Omega)$ より $uv\in W^{1,1}(\Omega)$。$T_1\cap T_2=\emptyset$ より $\supp uv\rcpt\Omega$ であるから $uv\in W^{1,1}_c(\Omega)$。$C^\infty_c(\Omega)\subset W^{1,1}_0(\Omega)$ は稠密であるから近似により $\displaystyle \int_\Omega D_i(uv)=0$。これより主張が従う。
{{end|proof}}

{{theorem|type=pro|label=c0}}
$p\in[1,\infty)$ とし、$T\subset\pOm$ を相対開集合とする。$u\in W^{1,p}(\Omega)$ が任意の有界な $S\subset\pOm\backslash T$ について
$$\limsup_{x\to S}|u(x)|\colon=\lim_{\delta\to +0}\esssup_{\dist(x,S)\lt\delta}|u(x)|=0$$
をみたすとすると $u\in W^{1,p}_0(\OmT)$。

{{begin|proof|display=''Proof.''|collapsible=1}}
$\supp u$ が有界な場合を示す。$B=B_R(0)$ を $\supp u\rcpt B$ となるようにとる。

$G\in C^1(\R)$ を $G(t)=0$ if $|t|\lt 1$、$G(t)=t$ if $|t|\gt 2$ となるようにとる。$G'(t)=1$ if $|t|\gt 2$ より $G'\in L^\infty(\R)$。$\varepsilon\gt 0$ について $G_\varepsilon(t)\colon=\varepsilon G(\varepsilon^{-1}t)$ とする。このとき $G_\varepsilon(t)=0$ if $|t|\lt\varepsilon$、$G_\varepsilon(t)=t$ if $|t|\gt\varepsilon$、$|G'_\varepsilon|\le\norm{G'}_\infty$ であるから{{ref|type=thm|label=chain1}}より $G(u)\in W^{1,p}(\Omega)$。また仮定より十分小さい $\delta\gt 0$ をとると
$$|u|\lt\varepsilon\ \ae\inn\{x\in\Omega\colon\dist(x,(\pOm\cap B)\backslash T)\lt\delta\}\cup(\R^n\backslash B_{R-\delta}(0)).$$
これより
$$\dist(\supp G_\varepsilon(u),(\pOm\cap B)\backslash T),\dist(\supp G_\varepsilon(u),(\pOm\backslash B)\backslash T)\ge\delta$$
従って $\dist((\supp G_\varepsilon(u),\pOm\backslash T)\gt 0$ となり $G_\varepsilon(u)\in W^{1,p}_c(\OmT)$。

$u(x)\neq 0$ なる $x\in\Omega$ について $\varepsilon\lt \frac{1}{2}|u(x)|$ とすれば $G_\varepsilon(u(x))=u(x)$ となり、$u(x)=0$ なる $x\in\Omega$ については $G_\varepsilon(u(x))=u(x)=0$ となるのでLebesgueの収束定理より $\norm{G_\varepsilon(u)-u}_p\to 0\ (\varepsilon\to +0)$。また $u(x)\neq 0$ なる $x\in\Omega$ について $\varepsilon\lt \frac{1}{2}|u(x)|$ とすれば $D(G_\varepsilon(u(x)))=G'_\varepsilon(u(x))Du(x)=Du(x)$ となり、$G'_\varepsilon(0)=0$ と{{ref|type=lem|label=chainlem}}より $D(G_\varepsilon(u))=G'_\varepsilon(u)Du=0=Du$ a.e. on $\{u=0\}$ となるのでLebesgueの収束定理より $\norm{D(G_\varepsilon(u))-Du}_p\to 0\ (\varepsilon\to +0)$。これより $u\in W^{1,p}_0(\OmT)$。

$\Omega$ が有界でない場合は $\zeta\in C^\infty_c(\Omega)$ を $\zeta=1$ in $B_1(0)$ となるようにとり、 $\zeta_m(x)=\zeta(m^{-1}x)\ (m\in\Zp)$ とすると仮定より明らかに $\zeta_mu$ も同じ仮定をみたし $\supp\zeta_mu$ は有界であるから $\zeta_mu\in W^{1,p}_0(\OmT)$。$m\to\infty$ として主張を得る。
{{end|proof}}

{{theorem|type=rmk}}
とくに $u\in W^{1,p}(\Omega)\cap C(\Ombar\backslash T)$ で $u=0$ on $\pOm\backslash T$ であれば $u\in W^{1,p}_0(\OmT)$ となる。

{{theorem|type=pro|name=合成関数と積|label=chapro0}}
$p\in[1,\infty)$ とし、$T\subset\pOm$ を相対開集合とする。
*(1) $G\in C^1(\R^m)$ が
$$G(0,\ldots,0,t_{j+1},\ldots,t_m)=0\ (t_{j+1},\ldots,t_m\in\R)$$
をみたすとする。$u=(u_1,\ldots,u_m)\in W^{1,p}(\Omega)^m$ が
$$u_1,\ldots,u_j\in W^{1,p}_0(\OmT)$$
かつ
$$G(u),\sum_{j=1}^m D_jG(u)D_iu_j\in L^p(\Omega)\ (i=1,\ldots,n)$$
をみたすとすると $G(u)\in W^{1,p}_0(\OmT).$
*(2) $G\in W^{1,1}_{\loc}(\R)$、$G(0)=0$ とする。$u\in W^{1,p}_0(\OmT)$、$G(u),G'(u)D_iu\in L^p(\Omega)$ とすると $G(u)\in W^{1,p}_0(\OmT)$。
*(3) $u\in W^{1,p}_0(\OmT)$、$v\in W^{1,p}(\Omega)$ が $uv,D_iuv+uD_iv\in L^p(\Omega)$ をみたすとすると $uv\in W^{1,p}_0(\OmT)$。

{{begin|proof|display=''Proof.''|collapsible=1}}
(1)の $DG\in L^\infty(\R^m)$ の場合は{{ref|type=thm|label=apx3}}の注意より{{ref|type=thm|label=chain1}}の証明で $u^{(k)}=(u^{(k)}_1,\ldots ,u^{(k)}_m)$ を $u^{(k)}_1,\ldots,u^{(k)}_j\in W^{1,p}_c(\OmT)$ となるようにとれ、このとき $\supp G(u^{(k)})\rcpt\OmT$ となり $G(u)\in W^{1,p}_0(\OmT)$ が従う。一般の場合は{{ref|type=thm|label=chain1}}と同様である。

(2)は(1)より{{ref|type=thm|label=chain2}}の証明で $W^{1,p}(\OmT)$ を $W^{1,p}_0(\OmT)$ にとりかえられることから従う。
{{end|proof}}

==Sobolev空間 $W^{-k,p}(\Omega)$==

{{theorem|type=def|name=$W^{-k,p}(\Omega)$|label=0dual}}
$k\in\Zp$、$p\in(1,\infty]$ とする。$W^{k,p'}_0(\Omega)$ のノルム $\norm{\cdot}_{k,p';\Omega}$ に関する双対空間を $W^{-k,p}(\Omega)$ と表す。

{{theorem|type=pro|label=0dualrep}}
$k\in\Zp$、$p\in(1,\infty]$ とする。$\varphi\in W^{-k,p}(\Omega)$ について $g_\alpha\in L^p(\Omega)\ (|\alpha|\le k)$ が存在し
$$\langle \varphi,u\rangle=\sum_{|\alpha|\le k}(-1)^{|\alpha|}\int_\Omega g_\alpha D^\alpha u\ (\forall u\in W^{k,p}_0(\Omega))\tag{*}\label{rep}$$
かつ
$$\norm{\varphi} =\begin{cases}
\left(\sum_{|\alpha|\le k} \norm{g_\alpha}_{p;\Omega}^p\right)^\frac{1}{p}&\colon p\in(1,\infty)\\
\max_{|\alpha|\le k}\norm{g_\alpha}_{\infty;\Omega} &\colon p=\infty
\end{cases}.$$
ここで $\norm{\cdot}$ は $W^{k,p}_0(\Omega)$ のノルム $\norm{\cdot}_{k,p;\Omega}$ に関する双対ノルムである。

{{begin|proof|display=''Proof.''|collapsible=1}}
$|\alpha|\le k$ なる多重指数 $\alpha$ を $\alpha_1,\ldots ,\alpha_N$ と番号づけて $W^{k,p'}_0(\Omega)$ を $u\mapsto (D^{\alpha_1}u,\ldots ,D^{\alpha_N}u)$ により $L^{p'}(\Omega)^N$ の部分空間と見做す。Hahn-Banachの定理より $\varphi$ は $\varphi'\in(L^{p'}(\Omega)^N)^*$ に拡張でき、$\norm{\varphi'} =\norm{\varphi}$。ここで $\norm{\varphi'}$ は $L^p(\Omega)^N$ のノルム
$$\norm{(f_1,\ldots ,f_N)} =\left(\sum_{i=1}^N|f_i|^p\right)^\frac{1}{p}$$
に関する双対ノルムである。$\varphi'$ は $\varphi'_i\in (L^{p'}(\Omega))^*\ (i=1,\ldots ,N)$ を用いて
$$\langle \varphi',f\rangle=\sum_{i=1}^N\langle \varphi'_i,f_i\rangle\ (f=(f_1,\ldots ,f_N)\in L^{p'}(\Omega))$$
と表され、
$$\norm{\varphi} =\norm{\varphi'} =\begin{cases}
\left(\sum_{i=1}^N \norm{\varphi_i} ^p\right)^\frac{1}{p}&\colon p\in(1,\infty)\\
\max_{i=1,\ldots ,N}\norm{\varphi_i} &\colon p=\infty
\end{cases}.$$
各 $i=1,\ldots ,N$ について $g_i\in L^p(\Omega)$ が存在して $\langle \varphi'_i,f\rangle=(-1)^{|\alpha_i|}\int_\Omega g_if\ (f\in L^{p'}(\Omega))$、$\norm{\varphi'_i} =\norm{g_i}_p$。$g_i$ を $g_{\alpha_i}$ と書き直せば
$$\langle\varphi,u\rangle=\sum_{|\alpha|\le k}\int_\Omega g_\alpha D^\alpha u\ (u\in W^{k,p'}_0(\Omega))$$
かつ
$$\norm{\varphi} =\begin{cases}
\left(\sum_{|\alpha|\le k} \norm{g_\alpha}_p^p\right)^\frac{1}{p}&\colon p\in(1,\infty)\\
\max_{|\alpha|\le k}\norm{g_\alpha}_\infty &\colon p=\infty
\end{cases}$$
が成り立つ。
{{end|proof}}

{{theorem|type=def|name=$W^{-k,p}(\Omega)$ の元の表示|label=defdualrep}}
$\varphi\in W^{-k,p}(\Omega)$ を(\ref{rep})をみたす $g_\alpha\in L^1_\loc(\Omega)$ を用いて
$$\varphi=\sum_{|\alpha|\le k}D^\alpha g_\alpha$$
と表す。またこの表示により $\varphi=g$ と表される $\varphi\in W^{-k,p}(\Omega)$ を $g\in L^1_\loc(\Omega)$ と同一視し、$L^p(\Omega)\subset W^{-k,p}(\Omega)$ と見做す。

{{theorem|type=rmk}}
超関数の用語を用いて言い換えると、$\varphi\in W^{-k,p}(\Omega)$ を $\displaystyle\sum_{|\alpha|\le k}D^\alpha g_\alpha\in\D'(\Omega)$ と同一視して $W^{-k,p}(\Omega)\subset\D'(\Omega)$ と見做すということである。

$W^{-k,2}(\Omega)$ は $H^{-k}(\Omega)$ と書かれることが多い。$H^k_0(\Omega)$ の双対空間は $H^k_0(\Omega)$ の内積構造を用いてRieszの表現定理によって $H^k_0(\Omega)$ 自身と同一視することもできる。しかし、{{ref|type=def|label=defdualrep}}によれば $H^k_0(\Omega)$ は $H^{-k}(\Omega)$ の真部分空間となることから、Rieszの表現定理による同一視は{{ref|type=def|label=defdualrep}}で与えたものと一致せず、どちらを採用するか選ぶ必要がある。$H^{-k}(\Omega)$ と書いた場合は、{{ref|type=def|label=defdualrep}}の方を採用する。

==拡張作用素==
{{theorem|type=thm|name=$C^{0,1}$ 境界部分における局所拡張作用素|label=ext1}}
$p\in[1,\infty]$ とし、$T\subset\pOm$ を $C^{0,1}$ 境界部分([[Hölder空間の基本事項]]の定義28)とする。$\xi\in T$ について、$\xi$ の開近傍 $V\subset\R^n$ と有界線型作用素 $E\colon W^{1,p}(V\cap\Omega)\to W^{1,p}(V)$ であって $u\in W^{1,p}(V\cap\Omega)$ について $Eu=u$ in $V\cap\Omega$ をみたすものが存在する。

{{begin|proof|display=''Proof.''|collapsible=1}}
$u\in W^{1,\infty}(V\cap\Omega)\subset C^{0,1}(\Omega\cup T)$ について[[Hölder空間の基本事項]]の定理30より $\xi$ の開近傍 $V$ と $v=Eu\in C^{0,1}_c(V)$ が存在して $Eu=u$ in $V\cap\Omega$。<ref name="linty">構成から明らかに $E$ は線型である。</ref>また{{ref|type=cor|label=kchavar}}に注意すると、$Eu$ の構成から $p\in[1,\infty]$ について $\norm{Eu}_{1,p;V}\le C\norm{u}_{1,p;V\cap\Omega}$ も成り立つ。

$E$ は $W^{1,p}(V\cap\Omega)$ から $W^{1,p}(V)$ への有界線型作用素に一意的に拡張される。$u\in W^{1,p}(V\cap\Omega)$ とし、$u_m\in C^\infty(V\cap\Omega)\cap W^{1,p}(V\cap\Omega)$、$\norm{u_m-u}_{1,p;V\cap\Omega}\to 0,u_m\to u$ a.e. in $V\cap\Omega\ (m\to\infty)$ とすると $\norm{Eu_m-Eu}_{1,p;V}\to 0$ で $Eu_m=u_m$ in $V\cap\Omega$ であるから $Eu=u$ in $V\cap\Omega$。
{{end|proof}}

{{theorem|type=thm|name=$C^{0,1}$ 領域における拡張作用素|label=ext2}}
$p\in[1,\infty]$ とする。次が成り立つ:
*(1) $T\subset\pOm$ を $C^{0,1}$ 境界部分とする。$T'\rcpt T$ について、$\OmT\subset\Omega_0$ をみたす開集合 $\Omega_0\subset\R^n$ と有界線型作用素 $E\colon W^{1,p}(\Omega)\to W^{1,p}(\Omega_0)$ であって $u\in W^{1,p}(\Omega)$ について $Eu=u$ in $\Omega$ をみたすものが存在する。また $u\in W^{1,p}_0(\OmT')$ のとき $Eu\in W^{1,p}_0(\Omega_0)$。
*(2) $T\subset\pOm$ を次をみたす相対開集合とする:
$$開集合D\subset\R^nとC^{0,1}境界部分S\subset\partial Dが存在し\Omega\subset D,T\rcpt S. \tag{$\diamondsuit$}\label{D}$$
このとき $\OmT\subset\Omega_0$ をみたす開集合 $\Omega_0\subset\R^n$ と有界線型作用素 $E\colon W^{1,p}_0(\OmT)\to W^{1,p}_0(\Omega_0)$ であって $u\in W^{1,p}_0(\OmT)$ について $Eu=u$ in $\Omega$ をみたすものが存在する。
*(3) $\Omega$ を有界な $C^{0,1}$ 領域とする。$D\subset\R^n$ を $\Omega\rcpt D$ なる開集合とすると有界線型作用素 $E\colon W^{1,p}(\Omega)\to W^{1,p}_c(D)$ ( $p\in[1,\infty]$ )で $u\in W^{1,p}(\Omega)$ $Eu=u$ in $\Omega$ をみたすものが存在する。

{{begin|proof}}
(1)を示す。{{ref|type=thm|label=ext1}}の $V=V_\xi$ から $V_1,\ldots,V_N$ を選んで $\displaystyle T'\subset\bigcup_{i=1}^N V_i$ となるようにする。$\OmT$ の開被覆 $\Omega,V_1,\ldots, V_N$ に従属する $1$ の分割 $\zeta_0\in C^\infty(\Omega)$、$\zeta_i\in C^\infty_c(V_i)$ をとり、拡張作用素 $E_i\colon W^{1,p}(V_i\cap\Omega_i)\to W^{1,p}(V_i)$ を用いて
$$\Omega_0\colon=\Omega\cup\bigcup_{i=1}^N V_i,Eu\colon=\zeta_0u+\sum_{i=1}^N \zeta_iE_iu$$
とすればよい。またこのとき $u\in W^{1,p}_c(\OmT)$ とすると明らかに $Eu\in W^{1,p}_c(\Omega_0)$ となるので $u\in W^{1,p}_0(\OmT)$ について $Eu\in W^{1,p}_0(\Omega_0)$。

(2)は{{ref|type=pro|label=ext0}}と(1)から従う。(3)は(1)で $T=\pOm$ としたものから直ちに従う。
{{end|proof}}

{{theorem|type=rmk}}
構成より(1)、(2)の $\Omega_0$ は $\Omega_0\backslash\Omega$ が有界になるようにとれる。とくに $\Omega$ が有界であれば $\Omega_0$ も有界とでき、$|\Omega|\lt\infty$ であれば $|\Omega_0|\lt\infty$ とできる。

{{theorem|type=cor|label=apx4}}
$T\subset\pOm$ を $C^{0,1}$ 境界部分とすると $p\in[1,\infty)$ について $C^\infty(\Omega\cup T)\cap W^{1,p}(\Omega)$ は $W^{1,p}(\Omega)$ において稠密である。

{{begin|proof}}
{{ref|type=thm|label=apx3}}の証明で、$v_i(\cdot+t_iy_i)$ の代わりに局所拡張作用素 $E_i\colon W^{1,p}(V_i\cap\Omega)\to W^{1,p}(V_i)$ をとって $\norm{w_i-E_iu}_{1,p;V_i}\lt 2^{-i}\delta$ をみたす $w_i\in C^\infty(V_i)\cap W^{1,p}(V_i)$ を用いればよい。
{{end|proof}}

同様にして $\Omega$ が有界な $C^{k-1,1}$ 領域のとき $W^{k,p}(\Omega)$ から $W^{k,p}(\R^n)$ への有界な拡張作用素を構成できる。

一方で、別の方法により $\Omega$ が有界なLipschitz領域のときに任意の $k\in\Zz$ と $p\in[1,\infty]$ について $W^{k,p}(\Omega)$ から $W^{k,p}(\R^n)$ へ有界となる拡張作用素 $E\colon L^1(\Omega)\to L^1(\R^n)$ を構成できる。

{{theorem|type=lem|label=kernel}}
次をみたす $h\colon[1,\infty)\to\R$ が存在する:任意の多項式関数 $P$ について
$$Ph\in L^1(1,\infty),\int_1^\infty Ph=P(0).$$

{{begin|proof}}
$\C\backslash[1,\infty)$ 上の正則関数 $f=f(z)$ を
$$\exp\left(-\exp\left(-\frac{\pi\sqrt{-1}}{4}\right)(z-1)^\frac{1}{4}\right)$$
の $\arg\left((z-1)^\frac{1}{4}\right)\in\left(0,\frac{\pi}{2}\right)$ なる枝により定める。$0\lt\delta\lt 1\lt R\lt\infty$ とし、$\C\backslash[1,\infty)$ 上のなめらかな曲線 $\gamma_i$、$i=1,2,3,4$ を
\begin{align*}
\gamma_1(t)&\colon=t+\delta\sqrt{-1}\ (t\in[1,R]),\\
\gamma_2(t)&\colon=(R^2+\delta^2)^\frac{1}{2}\exp\left(\sqrt{-1}t\right)\ \left(t\in\left[\arctan\frac{\delta}{R},2\pi-\arctan\frac{\delta}{R}\right]\right)\\
\gamma_3(t)&\colon=R-t+\delta\sqrt{-1}\ (t\in[0,R-1])\\
\gamma_4(t)&\colon=\delta\exp\left(\pi\sqrt{-1}\left(\frac{3}{2}-t\right)\right)\ (t\in[0,1])
\end{align*}
により定め、この順につないで得られる区分的になめらかな曲線を $\gamma$ とすると $\gamma$ は単純閉曲線となる。留数定理により多項式関数 $P$ について
$$\int_\gamma P(z)z^{-1}f(z)dz=\frac{2\pi\sqrt{-1}}{e}P(0).$$
ここで $\arg\left(\exp\left(-\frac{\pi\sqrt{-1}}{4}\right)(z-1)^\frac{1}{4}\right)\in\left(-\frac{\pi}{4},\frac{\pi}{4}\right)$ であるから
$$\left|\exp\left(-\frac{\pi\sqrt{-1}}{4}\right)(z-1)^\frac{1}{4}\right|\le\exp\left(-\frac{1}{\sqrt{2}}(|z|+1)^\frac{1}{4}\right)$$
となり
$$\left|\int_{\gamma_2}P(z)z^{-1}f(z)dz\right|\le 2\pi\sup_{|z|=(R^2+\delta^2)^\frac{1}{2}}|P(z)|\exp\left(-\frac{1}{\sqrt{2}}(R+1)^\frac{1}{4}\right)\to 0\ (R\to+\infty).$$
また $P(z)z^{-1}f(z)\to P(1)\ (z\to 1)$ より
$$\left|\int_{\gamma_4}P(z)z^{-1}f(z)dz\right|\to 0\ (\delta\to +0).$$
一方 $\lambda\in[1,\infty)$ について
\begin{align*}
&\quad\lim_{\delta\to+0}P(\lambda+\delta\sqrt{-1})(x+\delta\sqrt{-1})f(\lambda+\delta\sqrt{-1})-\lim_{\delta\to+0}P(\lambda-\delta\sqrt{-1})(\lambda-\delta\sqrt{-1})f(\lambda-\delta\sqrt{-1})\\
&=P(\lambda)\lambda^{-1}\left(\exp\left(-\exp\left(-\frac{\pi\sqrt{-1}}{4}\right)(\lambda-1)^\frac{1}{4}\right)-\exp\left(-\exp\left(\frac{\pi\sqrt{-1}}{4}\right)(\lambda-1)^\frac{1}{4}\right)\right)\\
&=2\sqrt{-1}P(\lambda)\lambda^{-1}\Im\left(\exp\left(-\exp\left(-\frac{\pi\sqrt{-1}}{4}\right)(\lambda-1)^\frac{1}{4}\right)\right).
\end{align*}
従って $R\to +\infty,\delta\to +0$ とすると
$$2\sqrt{-1}\int_1^\infty P(\lambda)\lambda^{-1}\Im\left(\exp\left(-\exp\left(-\frac{\pi\sqrt{-1}}{4}\right)(\lambda-1)^\frac{1}{4}\right)\right)d\lambda=\frac{2\pi\sqrt{-1}}{e}P(0)$$
となる。これより
$$ h(\lambda)=\frac{e}{\pi}\lambda^{-1}\Im\left(\exp\left(-\exp\left(-\frac{\pi\sqrt{-1}}{4}\right)(\lambda-1)^\frac{1}{4}\right)\right)$$
ととればよい。
{{end|proof}}

{{theorem|type=thm|name=$n=1$ の場合|label=extn1}}
$I\subsetneq\R$ を開区間とする。線型作用素 $E\colon L^1(I)+L^\infty(I)\to L^1(\R)+L^\infty(\R)$ であって次をみたすものが存在する:
* $u\in L^1(I)+L^\infty(I)$ について
$$Eu=u\ \inn I.$$
* 任意の $k\in\Zz$ と $p\in[1,\infty]$ について $E(W^{k,p}(I))\subset W^{k,p}(\R)$ で $u\in W^{k,p}(I)$ について
$$\norm{Eu}_{k,p;\R}\le C_{k,|I|}\norm{u}_{k,p;\Omega}.$$

{{begin|proof|display=''Proof.''|collapsible=1}}
$I$ が非有界の場合を示す。$I=(0,\infty)$ としてよい。

{{ref|type=lem|label=kernel}}の $h$ をとる。$u\in L^p(I)$ について積分形のMinkowskiの不等式により
$$\norm{\int_1^\infty u((1-2\lambda)\cdot)h(\lambda)d\lambda}_{p;(-\infty,0)}\le\int_1^\infty\norm{u((1-2\lambda)\cdot)}_{p;(-\infty,0)}|h(\lambda)|d\lambda\le\int_1^\infty\norm{u}_{p;I}|h(\lambda)|d\lambda\le C\norm{u}_{p;I}.$$
$u\in L^1(I)+L^\infty(I)$ について
$$Eu(x)\colon=\begin{cases}
u(x)&\colon x\in\overline{I}\\
\int_1^\infty u((1-2\lambda)\cdot)h(\lambda)d\lambda&\colon x\in(-\infty,0)
\end{cases}$$
と定める。上で示したことより $E\colon L^1(I)+L^\infty(I)\to L^1(\R)+L^\infty(\R)$ はwell-definedで、$L^p(\R)$ から $L^p(\R)$ へ連続である。

$u\in W^{1,p}(I)$ とすると{{ref|type=thm|label=1dim1}}より $-\infty\lt x\lt y\le 0$ について
\begin{align*}
Eu(x)&=\int_1^\infty\left(u(y)-\int_{(1-2\lambda)y}^{(1-2\lambda)x}u'(t)dt\right)h(\lambda)d\lambda\\
&=Eu(y)-\int_0^\infty\left((1-2\lambda)\int_x^y u'((1-2\lambda)s)ds\right)h(\lambda)d\lambda\\
&=Eu(y)-\int_x^0\left(\int_0^\infty u'((1-2\lambda)s)h(\lambda)d\lambda\right)ds\\
&=Eu(y)-\int_x^0 Eu'(s)ds.
\end{align*}
また
$$\lim_{x\to +0}Eu(x)=\int_1^\infty u(0)h(\lambda)d\lambda=u(0).$$
これより $-\infty\lt x\lt 0\le y\lt\infty$ についても
$$u(y)=u(0)+\int_0^y u'(t)dt=u(x)+\int_x^y Eu'(t)dt.$$
これより
$$Eu\in W^{1,p}(\R),(Eu)'=Eu',\norm{(Eu)'}_{p;\R}\le C\norm{u'}_p.$$
帰納法により任意の $k\in\Zp$ と $p\in[1,\infty]$ について $E$ は $W^{k,p}(I)$ から $W^{k,p}(\R)$ へ連続で $u\in W^{k,p}(I)$ について $(Eu)^{(k)}=Eu^{(k)}$ となる。

$I=(a,b)$ が有界な場合を示す。$\zeta\in C^\infty([a,b])$ を $a$ の近傍で $1$ かつ $b$ の近傍で $1$ となるようにとると $u\in W^{k,p}(I)$ について $\zeta u\in W^{k,p}(a,\infty)$、$(1-\zeta)u\in W^{k,p}(-\infty,b)$ となるので、拡張作用素 $E_{a+}\colon L^1(a,\infty)+L^\infty(a,\infty)\to L^1(\R)+L^\infty(\R)$ と $E_{b-}\colon L^1(-\infty,b)+L^\infty(-\infty,b)\to L^1(\R)+L^\infty(\R)$ をとって $Eu\colon=E_{a+}(\zeta u)+E_{b-}((1-\zeta)u)$ とすればよい。
{{end|proof}}

{{theorem|type=lem|label=regdis}}
$\gamma\in C^{0,1}_c(\R^{n-1})$ とし、$\Omega\colon=\{(x',x_n)\in\R^{n-1}\times\R\colon x_n\lt\gamma(x')\}$ とする。次をみたす $\delta\in C^\infty(\Omega)\cap C^{0,1}(\Ombar)$ が存在する:
* $$\sup_{\Omega}D_n\delta\lt 0.$$
* 任意の多重指数 $\alpha$ について
$$|D^\alpha\delta(x',x_n)|\le C_{\alpha,\gamma}(\gamma(x')-x_n)^{1-|\alpha|}\ \inn\Omega.$$

{{begin|proof|display=''Proof.''|collapsible=1}}
$M\colon=\left(1+[\gamma]_{0,1}^2\right)^\frac{1}{2}$、$t\colon=1+(16M)^{-1}$ とする。また $m\in\Z$ について $\Omega_m\colon=\{(x',x_n)\in\R^{n-1}\times\R\colon x_n-\gamma(x')\lt -t^m\}\subset\Omega$ とする。

$(x',x_n),(y',y_n)\in\Omega$ について
$$|(x_n-\gamma(x'))-(y_n-\gamma(y'))|^2\le([\gamma]_{0,1}|x'-y'|)^2+|x_n-y_n|^2\le M^2|(x',x_n)-(y',y_n)|$$
であるから $l\lt m$ について $\dist(\Omega_m,\pOm_l)\ge M^{-1}(t^m-t^l)$。

$\delta_m\colon=\eta_{(4M)^{-1}t^m}*\chi_{\Omega_m}$ とする。$N\in\Zp$ を $t^N\gt 2$ となるようにとると $\dist(\Omega_m,\pOm_{m-N})\gt (2M)^{-1}t^m$ となるので $\supp\delta_m\subset\Omega_{m-N}$。また $\dist(\Omega_{m+N},\pOm_m)\gt (2M)^{-1}t^{m+N}$ となるので $\delta_m=1$ in $\Omega_{m+N}$。とくに $\supp D\delta_m\subset\Omega\backslash\Ombar_{m+N}$ であり、$\{\supp D\delta_m\}_{m\in\Z}$ は局所有限である。また多重指数 $\alpha$ について $\norm{D^\alpha\delta_m}_\infty\le Ct^{-m|\alpha|}$。

一方
\begin{align*}
D_n\delta_m(x',x_n)&=\int_{\Omega_m}D_n\eta_{(4M)^{-1}t^m}(x'-y',x_n-y_n)dy\\
&=\int_{\R^{n-1}}\left(\int_{-\infty}^{\gamma(z')-t^m}D_n\eta_{(4M)^{-1}t^m}(x'-z',x_n-z_n)dz'\right)\\
&=-\int_{\R^{n-1}}\eta_{(4M)^{-1}t^m}(x'-y',x_n+t^m-\gamma(y'))dy'\le 0.
\end{align*}
また $(x',x_n)\in\Omega_m\backslash\Omega_{m+1}$ とすると $|x_n+t^m-\gamma(x')|\lt t^{m+1}-t^m=(16M)^{-1}t^m$ であるから、$y'\in\R^n$ を $|y'-x'|\lt(16M^2)^{-1}t^m$ となるようにとれば
$$|(x'-y',x_n+t^m-\gamma(y')|\le|(x'-y',\gamma(x')-\gamma(y'))|+|x_n+t^m-\gamma(x')|\lt M|x'-y'|+|x_n+t^m-\gamma(x')|\lt(8M)^{-1}t^m$$
となり
\begin{align*}
D_n\delta(x',x_n)&\le -\int_{\{y'\in\R^{n-1}\colon|y'-x'|\lt(16M^2)^{-1}t^m\}}\eta_{(4M)^{-1}t^m}(x'-y',x_n+t^m-\gamma(y'))dy'\\
&\le -\omega_{n-1}\left((16M^2)^{-1}t^m\right)^{n-1}\cdot\left((4M)^{-1}t^m\right)^{-n}\inf_{B_\frac{1}{2}(0)}\eta\\
&=-ct^{-m},c=c_{n,M}\gt 0.
\end{align*}
$$\delta\colon=\sum_{l\in\Z}t^l\delta_l$$
とする。$x=(x',x_n)\in\Omega_{m-1}\backslash\Omega_m$ とすると $l\ge m+N$ について $\supp\delta_l\subset\Omega_{l-N}\subset\Omega_m$ となるので $\delta_l(x)=0$。これより
$$\delta(x)=\sum_{l=-\infty}^{m+N-1}t^l\delta_l\le\sum_{l=-\infty}^{m+N-1}t^l\le(t-1)^{-1}t^{m+N}\le C(\gamma(x')-x_n).$$
また $\{\supp D\delta_m\}_{m\in\Z}$ は局所有限であったから $\delta\in C^\infty(\Omega)$。$x=(x',x_n)\in\Omega_{m-1}\backslash\Omega_m$ とすると $l\ge m+N$ について $\supp D\delta_l\subset\Omega_m$ で、$l\le m-N-1$ について $\supp\delta_l\cap\Omega_{m-1}=\emptyset$ となるのでこれらの場合 $D^\alpha\delta(x)=0$。これより多重指数 $\alpha\gt 0$ について
$$|D^\alpha\delta(x)|\le\sum_{l=m-N}^{m+N-1}t^l|D^\alpha\delta_l(x)|\le C\sum_{l=m-N}^{m+N-1}t^{l(1-|\alpha|)}\le C\left(2Nt^{(m-N)(1-|\alpha|)}\right)\le C(\gamma(x')-x_n)^{1-|\alpha|}.$$
とくに $D\delta$ は有界であり $\delta\in C^{0,1}(\Ombar)$ となる。

一方 $l\in\Z$ について $D_n\delta_l(x)\le 0$ で、$D_n\delta_m(x)\le -ct^{-m}$ であるから
$$D_n\delta(x)\le -c.$$
以上よりこの $\delta$ は条件をみたす。
{{end|proof}}

{{theorem|type=rmk}}
$|\delta(x)|\le C(\gamma(x')-x_n)$ より $\delta=0$ on $\pOm$ である。

{{theorem|type=thm|name=Steinの拡張作用素|label=stext}}
$\gamma\in C^{0,1}_c(\R^{n-1})$、$\Omega\colon=\{(x',x_n)\in\R^{n-1}\times\R\colon x_n\gt\gamma(x')\}$ とする。線型作用素 $E\colon L^1(\Omega)+L^\infty(\Omega)\to L^1(\R^n)+L^\infty(\R^n)$ であって次をみたすものが存在する:
* $u\in L^1(\Omega)+L^\infty(\Omega)$ について
$$Eu=u \inn\Omega.$$
* 任意の $k\in\Zz$ と $p\in[1,\infty]$ について $E(W^{k,p}(\Omega))\subset W^{k,p}(\R^n)$ で $u\in W^{k,p}(\Omega)$ について
$$\norm{D^kEu}_{p;\R^n}\le C_{k,\gamma}\norm{D^ku}_{p;\Omega}.$$

{{begin|proof}}
{{ref|type=lem|label=regdis}}の $\delta\in C^\infty(\R^n\backslash\Ombar)$ と{{ref|type=lem|label=kernel}} の $h$ をとり、$\displaystyle M\colon=-2\left(\sup_{\R^n\backslash\Ombar}D_n\delta\right)^{-1}$ とする。

$\lambda\ge 1$ について $\psi_\lambda\colon\R^n\backslash\Ombar\to\R^n$ を
$$\psi_\lambda(x',x_n)=(x',x_n+M\lambda\delta(x))$$
により定める。$x'\in\R^{n-1}$、$t\in(-\infty,\gamma(x'))$ について
$$\frac{\partial}{\partial t}(t+M\lambda\delta(x',t))=1+M\lambda D_n\delta(x',t)\le 1-2\lambda\lt 0.$$
また $\delta(x',\gamma(x'))=0$ より $\gamma(x')+M\lambda\delta(x',\gamma(x'))=\gamma(x')$ で
$$\psi_\lambda(x',t)=\gamma(x')-\int_t^{\gamma(x')}(1+M\lambda D_n\delta(x',s))ds\le\gamma(x')+(2\lambda-1)(\gamma(x')-t)\to +\infty\ (t\to-\infty).$$
よって $(-\infty,\gamma(x'))\to(\gamma(x'),+\infty),t\mapsto t+M\lambda\delta(x',t)$ は全単射である。これより $\psi_\lambda$ は $\R^n\backslash\Ombar$ から $\Omega$ への全単射で $|\det D\psi_\lambda|=|D_n\psi_\lambda|=2\lambda-1\ge 1$ となるので $p\in[1,\infty)$ と $u\in L^p(\Omega)$ について
$$\int_\Omega |u|^p=\int_{\R^n\backslash\Ombar}|u\circ\psi_\lambda|^p|D_n\psi_\lambda|\ge\int_{\R^n\backslash\Ombar}|u\circ\psi_\lambda|^p.$$
積分形のMinkowskiの不等式により $p\in[1,\infty]$ と $u\in L^p(\Omega)$ について
$$\norm{\int_1^\infty |(u\circ\psi_\lambda)h(\lambda)|d\lambda}_{p;\R^n\backslash\Omega}\le\int_1^\infty\norm{u\circ\psi_\lambda}_{p;\R^n\backslash\Omega}|h(\lambda)|d\lambda\le C\norm{u}_p.\tag{*}\label{stext1}$$

また $L(\psi_\lambda)\le 1+M\lambda[\delta]_{0,1}$ であるから $u\in C^{0,1}(\Ombar)$ とすると $x,y\in \R^n\backslash\Ombar$ について
$$\left|\int_0^1 u(\psi_\lambda(x))h(\lambda)d\lambda-\int_0^1 u(\psi_\lambda(y))h(\lambda)d\lambda\right|\le\int_0^1 (1+M\lambda[\delta]_{0,1})[u]_{0,1}|x-y||h(\lambda)|d\lambda\le C[u]_{0,1}|x-y|$$
となるので $\displaystyle \int_0^1(u\circ\psi_\lambda)h(\lambda)d\lambda\in C^{0,1}(\R^n\backslash\Omega)$。

また各 $\lambda\in[1,\infty)$ について $u\circ\psi_\lambda$ は a.e. in $\R^n\backslash\Ombar$ で微分可能であるから、Fubiniの定理よりa.e. $ x\in\R^n\backslash\Ombar$ について、a.e. $\lambda\in[1,\infty)$ に対し $u\circ\psi_\lambda$ は $x$ で微分可能である。またそのような $x\in\R^n\backslash\Ombar$ と $|k|$ が十分小さい $k\in\R\backslash\{0\}$ について
$$\left|\frac{u(\psi_\lambda(x+ke_i))-u_\lambda(x)}{k}h(\lambda)\right|\le(1+M\lambda[\delta]_{0,1})|h(\lambda)|$$
であるからLebesgueの収束定理より
\begin{align*}
D_i\left(\int_1^\infty(u\circ\psi_\lambda)h(\lambda)d\lambda\right)&=\int_1^\infty D_i(u\circ\psi_\lambda)h(\lambda)d\lambda\\
&=\int_1^\infty(D_iu\circ\psi_\lambda)h(\lambda)d\lambda+D_i\delta\int_1^\infty(D_nu\circ\psi_\lambda)h(\lambda)d\lambda.\tag{**}\label{stext2}
\end{align*}

また部分積分による帰納法により $u\in C^{k-1,1}(\Ombar)$、$x\in\R^n\backslash\Ombar$、$\lambda\ge 1$ について
$$u(\psi_\lambda(x))=\sum_{j=0}^{k-1}\frac{(M\delta(x))^j}{j!}D_n^ju(\psi_1(x))(\lambda-1)^j+\frac{(M\delta(x))^k}{(k-1)!}\int_1^\lambda (\lambda-\mu)^{k-1}D_n^ku(\psi_\mu(x))d\mu.$$
となるので $l\in\Zp$ について
\begin{align*}
\int_1^\infty \lambda^lu(\psi_\lambda(x))h(\lambda)d\lambda&=\int_1^\infty\left(\sum_{j=0}^{k-1}\frac{(M\delta(x))^j}{j!}D_n^ju(\psi_1(x))(\lambda-1)^j\lambda^l+\frac{(M\delta(x))^k}{(k-1)!}\int_1^\lambda (\lambda-\mu)^{k-1}\lambda^lD_n^ku(\psi_\mu(x))d\mu\right)h(\lambda)d\lambda\\
&=\frac{(M\delta(x))^k}{(k-1)!}\int_1^\infty\left(\int_1^\lambda (\lambda-\mu)^{k-1}\lambda^lD_n^ku(\psi_\mu(x))d\mu\right)h(\lambda)d\lambda.\tag{***}\label{stext3}
\end{align*}
積分形のMinkowskiの不等式と $\delta(x)\le C(\gamma(x')-x_n)$ より
\begin{align*}
&\quad\norm{(\gamma(x')-x_n)^{-k}\int_1^\infty \lambda^lu(\psi_\lambda(x))h(\lambda)d\lambda}_{p;(\R^n\backslash\Omega)_x}\\
&=\norm{(\gamma(x')-x_n)^{-k}\frac{(M\delta(x))^k}{(k-1)!}\int_1^\infty\left(\int_1^\lambda (\lambda-\mu)^{k-1}\lambda^lD_n^ku(\psi_\mu(x))d\mu\right)h(\lambda)d\lambda}_{p;(\R^n\backslash\Omega)_x}\\
&\le C\int_1^\infty\left(\int_1^\lambda\norm{D_n^ku\circ\psi_\mu}_{p;\R^n\backslash\Omega}(\lambda-\mu)^kd\mu\right)\lambda^l|h(\lambda)|d\lambda\\
&\le C\left(\int_1^\infty\left(\int_1^\lambda(\lambda-\mu)^kd\mu\right)\lambda^l|h(\lambda)|d\lambda\right)\norm{D_n^ku}_p\\
&=C\left(\int_1^\infty \frac{1}{(k+1)!}(\lambda-1)^{k+1}\lambda^l|h(\lambda)| d\lambda\right)\norm{D_n^ku}_p\\
&\le C\norm{D_n^ku}_p.\tag{****}\label{stext4}
\end{align*}
が成り立つ。<ref name="x">$\norm{}_{p;(\Omega)_x}$ は $x$ を変数と見做したときの $L^p(\Omega)$ におけるノルムを表す。</ref>

$u\in L^1(\Omega)\cap L^\infty(\Omega)$ について
$$Eu(x)\colon=\begin{cases}
u(x)&\colon x\in\Ombar\\
\int_1^\infty u(\psi_\lambda(x))h(\lambda)d\lambda &\colon x\in\R^n\backslash\Ombar
\end{cases}$$
と定める。(\ref{stext1})より $E$ はwell-definedで、$p\in[1,\infty]$ について $L^p(\Omega)$ から $L^p(\R^n)$ へ有界である。

$u\in C^{k-1,1}(\Ombar)=W^{k,\infty}(\Omega)$ とする。(\ref{stext2})と $k$ に関する帰納法により $Eu\in C^{k-1,1}(\R^n\backslash\Ombar)$ で多重指数 $|\alpha|\le k$ と $x\in\R^n\backslash\Ombar$ について $D^\alpha Eu(x)$ は
$$D^\alpha Eu(x)=\int_1^\infty D^\alpha u(\psi_\lambda(x)) h(\lambda)d\lambda+\sum_{0\lt\beta\le\alpha}\sum_{l=1}^{|\beta|}\sum_{\beta'_1+\ldots+\beta'_l=\beta}C_{\alpha,\beta'_1,\ldots,\beta'_l}\prod_{j=1}^lD^{\beta'_j}\delta(x)\int_1^\infty \lambda^lD^l_nD^{\alpha-\beta} u(\psi_\lambda(x)) h(\lambda)d\lambda$$
と表される。ここで $C_{\alpha,\beta'_1,\ldots,\beta'_l}$ は定数である。

(\ref{stext4})と $0\lt\beta\le\alpha$、$l=1,\ldots,|\beta|$ と $\beta'_1+\ldots+\beta'_l=\beta$ なる多重指数 $\beta'_1,\ldots\beta'_l$ について
$$\left|\prod_{j=1}^lD^{\beta'_j}\delta(x)\right|\le C(\gamma(x')-x_n)^{-(|\beta|-l)}$$
となることから
$$\norm{D^\alpha Eu}_{p;\R^n\backslash\Omega}\le C\norm{D^{|\alpha|}u}_p.$$
また $|\alpha|\le l-1$ とすると $x_0=(x_0',\gamma(x_0'))\in\pOm$ について $\psi_\lambda(x)\to x_0\ (x\to x_0)$ であるからLebesgueの収束定理より
$$\lim_{\substack{x\to x_0,\\x\in\R^n\backslash\Ombar}}\int_1^\infty D^\alpha u(\psi_\lambda(x)) h(\lambda)d\lambda=\int_1^\infty D^\alpha u(x_0) h(\lambda)d\lambda=u(x_0).$$
また $0\lt\beta\le\alpha$、$l=1,\ldots,|\beta|$ と $\beta'_1+\ldots+\beta'_l=\beta$ なる多重指数 $\beta'_1,\ldots\beta'_l$ について $\prod_{j=1}^lD^{\beta'_j}\delta(x)\delta(x)^{|\beta|-l}$ は有界で、Lebesgueの収束定理より
\begin{align*}
\lim_{\substack{x\to x_0,\\x\in\R^n\backslash\Ombar}}\int_1^\infty\left(\int_1^\lambda (\lambda-\mu)^{k-1}D^{|\beta|}_nD^{\alpha-\beta}u(\psi_\mu(x))d\mu\right)h(\lambda)d\lambda&=\int_1^\infty\left(\int_1^\lambda (\lambda-\mu)^{k-1}D^{|\beta|}_nD^{\alpha-\beta}u(x_0)d\mu\right)h(\lambda)d\lambda\\
&=\frac{1}{k}\left(\int_1^\infty(\lambda-1)^k\lambda^lh(\lambda)d\lambda\right)D^{|\beta|}_nD^{\alpha-\beta}u(x_0)=0
\end{align*}
であるから(\ref{stext4})とあわせて
$$\lim_{\substack{x\to x_0,\\x\in\R^n\backslash\Ombar}}\prod_{j=1}^lD^{\beta'_j}\delta(x)\int_1^\infty \lambda^lD^l_nD^{\alpha-\beta} u(\psi_\lambda(x)) h(\lambda)d\lambda=0.$$
従って $\displaystyle \lim_{\substack{x\to x_0,\\x\in\R^n\backslash\Ombar}}D^\alpha Eu(x)=D^\alpha u(x_0)$ となり $Eu\in C^{k-1}(\R^n)$。

また $x\in\Ombar$、$y\in\R^n\backslash\Ombar$ とすると $t\in[0,1]$ で $z\colon=(1-t)x+ty\in\pOm$ となるものが存在するので $|\alpha|=k-1$ とすると
$$|D^\alpha u(x)-D^\alpha Eu(y)|\le|D^\alpha u(x)-D^\alpha u(z)|+|D^\alpha u(z)-D^\alpha u(y)|\le \left((1-t)[D^\alpha u]_{0,1}+t[D^\alpha Eu]_{0,1}\right)|x-y|\le C\norm{D^ku}_{\infty}|x-y|.$$
よって $Eu\in C^{k-1,1}(\R^n)=W^{k,\infty}(\R^n)$ となる。

$p\in[1,\infty)$ について $W^{k,\infty}(\Omega)\cap W^{k,p}(\Omega)\subset W^{k,p}(\Omega)$ は稠密であり、$E$ は $L^p(\Omega)$ から $L^p(\R^n)$ へ有界であるから近似により
$$E(W^{k,p}(\Omega))\subset E^{k,p}(\R^n),\norm{D^kEu}_{p;\R^n}\le C\norm{D^ku}_{\Omega;\R^n}$$
も成り立つ。
{{end|proof}}

{{ref|type=thm|label=ext2}}と同様に次を得る:

{{theorem|type=thm|label=stext2}}
*(1) $T\subset\pOm$ をLipschitz境界部分とする。$T'\rcpt T$ について、$\OmT\subset\Omega_0$ をみたす開集合 $\Omega_0\subset\R^n$ と線型作用素 $E\colon L^1(\Omega)+L^\infty(\Omega)\to L^1(\Omega_0)+L^\infty(\Omega_0)$ であって $u\in L^1(\Omega)+L^\infty(\Omega)$ について $Eu=u$ in $\Omega$ をみたし、任意の $k\in\Zz$ と $p\in[1,\infty]$ について
$$E(W^{k,p}(\Omega))\subset W^{k,p}(\Omega),\norm{Eu}_{k,p;\Omega_0}\le C_{k,p}\norm{u}_{k,p;\Omega}\ (u\in W^{k,p}(\Omega))$$
をみたすものが存在する。また $\supp u\rcpt\OmT$ のとき $\supp Eu\rcpt\Omega_0$。
*(2) $T\subset\pOm$ を次をみたす相対開集合とする:
$$開集合D\subset\R^nと{\rm Lipschitz}境界部分S\subset\partial Dが存在し\Omega\subset D,T\rcpt S. \tag{$\diamondsuit'$}\label{D'}$$
このとき $\OmT\subset\Omega_0$ をみたす開集合 $\Omega_0\subset\R^n$ と線型作用素 $E\colon L^1(\Omega)+L^\infty(\Omega)\to L^1(\Omega_0)+L^\infty(\Omega_0)$ であって $u\in L^1(\Omega)+L^\infty(\Omega)$ について $Eu=u$ in $\Omega$ をみたし、任意の $k\in\Zz$ と $p\in[1,\infty]$ について
$$E(W^{k,p}_0(\Omega))\subset W^{k,p}_0(\Omega_0),\norm{Eu}_{k,p;\Omega_0}\le C_{k,p}\norm{u}_{k,p;\Omega}\ (u\in W^{k,p}(\Omega_0))$$
をみたすものが存在する。
*(3) $\Omega$ を有界な $C^{0,1}$ 領域とする。$D\subset\R^n$ を $\Omega\rcpt D$ なる開集合とすると線型作用素 $E\colon L^1(\Omega)\to L^1_c(D)$ であって $u\in L^1(\Omega)$ について $Eu=u$ in $\Omega$ をみたし、任意の $k\in\Zz$ と $p\in[1,\infty]$ について
$$E(W^{k,p}(\Omega))\subset W^{k,p}_c(D),\norm{Eu}_{k,p;D}\le C_{k,p}\norm{u}_{k,p;\Omega}\ (u\in W^{k,p}(\Omega))$$
をみたすものが存在する。

==Gagliardo-Nirenberg-Sobolevの不等式==
{{theorem|type=def|name=Sobolev共役指数|label=pstar}}
$p\in[1,n)$ について
$$p^*\colon=\frac{np}{n-p}$$
と定め、$p$ のSobolev共役指数という。$p^*$ は $p^{*-1}=p^{-1}-n^{-1}$ をみたす。

{{theorem|type=lem|label=GNSlem}}
$n\ge 2$ とする。$-\infty\le a_i\lt b_i\le +\infty\ (i=1,\ldots ,n)$ とし、$R\colon=(a_1,b_1)\times\ldots \times(a_n,b_n)$ とする。$f_1,\ldots ,f_n\in L^1(R)$ とすると
$$\int_{R}\left(\prod_{i=1}^n\int_{a_i}^{x_i}|f_i(x_1,\ldots ,x_{i-1},t,x_{i+1},\ldots ,x_n)|dt\right)^\frac{1}{n-1}dx_1\ldots dx_n\le\prod_{i=1}^n\norm{f_i}_{1;R}^\frac{1}{n-1}.$$

{{begin|proof|display=''Proof.''|collapsible=1}}
$n$ に関する帰納法により示す。

$n=2$ の場合を示す。$f_1,f_2\in L^1(R)$ とすると
\begin{align*}
\int_{R}\left(\int_{a_1}^{x_1}|f_1(t,x_2)|dt\right)\left(\int_{a_2}^{x_2}|f_2(x_1,t)|dt\right)dx_1dx_2&\le\int_{R}\left(\int_{a_1}^{b_1}|f_1(t,x_2)|dt\right)\left(\int_{a_2}^{b_2}|f_2(x_1,t)|dt\right)dx_1dx_2\\
&=\left(\int_{a_2}^{b_2}\left(\int_{a_1}^{b_1}|f_1(t,x_2)|dt\right)dx_2\right)\left(\int_{a_1}^{b_1}\left(\int_{a_2}^{b_2}|f_1(x_1,t)|dt\right)dx_1\right)\\
&\le\norm{f_1}_1\norm{f_2}_1
\end{align*}
となり主張が成り立つ。

ある $n$ について主張が成り立ったとし、$-\infty\le a_i\lt b_i\le +\infty\ (i=1,\ldots ,n+1)$ 、$R\colon=(a_1,b_1)\times\ldots \times(a_{n+1},b_{n+1})$、$f_1,\ldots ,f_{n+1}\in L^1(R)$ とする。また $R'\colon=(a_1,b_1)\times\ldots\times(a_n,b_n)$ とする。$i=1,\ldots ,n+1$ について
$$g_i(x')\colon=\int_{a_i}^{b_i}|f_i(x',t)|dt\ (x'\in R')$$
とすると $g_i\in L^1(R')$、$\norm{g_i}_{1;R'}=\norm{f_i}_{1;R}$。
\begin{align*}
&\quad \int_R\left(\prod_{i=1}^{n+1}\int_{a_i}^{x_i}|f_i(x_1,\ldots ,x_{i-1},t,x_{i+1},\ldots ,x_{n+1})|dt\right)^\frac{1}{n}dx_1\ldots dx_{n+1}\\
&\le\int_{R'}\left(\int_{a_{n+1}}^{b_{n+1}}\left(\prod_{i=1}^n\int_{a_i}^{x_i}|f_i(x_1,\ldots ,x_{i-1},t,x_{i+1},\ldots ,x_{n+1})|dt\right)^\frac{1}{n}dx_{n+1}\right)\left(\int_{a_{n+1}}^{b_{n+1}}|f_{n+1}(x_1,\ldots ,x_n,t)|dt\right)^\frac{1}{n}dx_1\ldots dx_n\\
&\le\left(\int_{R'}\left(\int_{a_{n+1}}^{b_{n+1}}\left(\prod_{i=1}^n\int_{a_i}^{x_i}|f_i(x_1,\ldots ,x_{i-1},t,x_{i+1},\ldots ,x_{n+1})|dt\right)^\frac{1}{n}dx_{n+1}\right)^\frac{n}{n-1}dx_1\ldots dx_n\right)^\frac{n-1}{n}\left(\int_{R'}|g(x',t)|dx'\right)^\frac{1}{n}\\
&\le\left(\int_{R'}\prod_{i=1}^n\left(\int_{a_{n+1}}^{b_{n+1}}\left(\int_{a_i}^{x_i}|f_i(x_1,\ldots ,x_{i-1},t,x_{i+1},\ldots ,x_{n+1})|dt\right)dx_{n+1}\right)^\frac{1}{n-1}dx_1\ldots dx_n\right)^\frac{n-1}{n}\norm{f_{n+1}}_1^\frac{1}{n}\\
&=\left(\int_{R'}\prod_{i=1}^n\left(\int_{a_i}^{x_i}g_i(x_1,\ldots ,x_{i-1},t,x_{i+1},\ldots ,x_n)dt\right)^\frac{1}{n-1}dx_1\ldots dx_n\right)^\frac{n-1}{n}\norm{f_{n+1}}_1^\frac{1}{n}\\
&\le\prod_{i=1}^n\norm{g_i}_1^\frac{1}{n}\norm{f_{n+1}}_1^\frac{1}{n}\\
&=\prod_{i=1}^{n+1}\norm{f_i}_1^\frac{1}{n+1}
\end{align*}
となる。これより主張が成り立つ。
{{end|proof}}

{{theorem|type=thm|name=Gagliardo-Nirenberg-Sobolevの不等式|label=GNS}}
$p\in[1,n)$ とすると $W^{1,p}(\R^n)\subset L^{p^*}(\R^n)$ で $u\in W^{1,p}(\R^n)$ について
$$\norm{u}_{p^*;\R^n}\le C_{n,p}\norm{Du}_{p;\R^n}.$$
{{theorem|type=rmk}}
任意の $u\in W^{1,p}(\R^n)$ について $\norm{u}_{p^*}\le C\norm{Du}_p$ となる定数 $C=C_{n,p}$ が存在しうる $p^*$ は $p^*=\frac{np}{n-p}$ に限られる。実際 $u\in C^\infty_c(\R^n)\backslash\{0\}$ と $\lambda\gt 0$ について $u_\lambda(x)\colon=u(\lambda x)$ として $u_\lambda\in C^\infty_c(\R^n)$ を定めると、積分の変数変換により $\norm{u_\lambda}_{p^*}=\lambda^{-\frac{n}{p^*}}\norm{u}_p$ となり、また $Du_\lambda(x)=\lambda Du(\lambda x)$ に注意すると $\norm{Du_\lambda}_{p}=\lambda^{1-\frac{n}{p}}\norm{Du}_p$ となるので $\frac{\norm{u_\lambda}_{p^*}}{\norm{Du_\lambda}_p}$ が有界となるには $-\frac{n}{p^*}=1-\frac{n}{p}$ が必要であるが、これをみたす $p^*$ は $p^*=\frac{np}{n-p}$ のみである。

{{begin|proof|display=''Proof.''|collapsible=1}}
$u\in C^\infty_c(\R^n)$ について $\norm{u}_{p^*;\R^n}\le C_{n,p}\norm{Du}_{p;\R^n}$ を示す。

$p=1$ の場合を示す。$i=1,\ldots ,n$ と $(x_1,\ldots ,x_n)\in\R^n$ について
$$|u(x_1,\ldots ,x_n)|\le\int_{-\infty}^{x_i}|D_iu(x_1,\ldots ,x_{i-1},t,x_{i+1},\ldots ,x_n)|dt$$
であるから
$$|u(x_1,\ldots ,x_n)|\le\prod_{i=1}^n\left(\int_{-\infty}^{x_i}|D_iu(x_1,\ldots ,x_{i-1},t,x_{i+1},\ldots ,x_n)|dt\right)^\frac{1}{n}.$$
{{ref|type=lem|label=GNSlem}}より
\begin{align*}
\int_{\R^n}|u|^{1^*}&\le\int_{\R^n}\prod_{i=1}^n\left(\int_{-\infty}^{x_i}|D_iu(x_1,\ldots ,x_{i-1},t,x_{i+1},\ldots ,x_n)|dt\right)^\frac{1}{n-1}dx_1\ldots dx_n\\
&\le\prod_{i=1}^n\norm{D_iu}_1^\frac{1}{n-1}\\
&\le\norm{Du}_1^{1^*}
\end{align*}
となり $\norm{u}_{1^*}\le\norm{Du}_1$ が成り立つ。

$p\in(1,n)$ の場合を示す。$t\in(1,\infty)$ として $v\colon=|u|^t$ とすると $v\in C^1_c(\R^n)$、$D_iv=t|u|^{t-1}\sgn uD_iu$。$p=1$ の場合より
$$\left(\int_\Omega |u|^{\frac{n}{n-1}t}\right)^\frac{n-1}{n}\le\int_\Omega t|u|^{t-1}|Du|\le t\left(\int_\Omega|u|^{\frac{p}{p-1}(t-1)}\right)^\frac{p-1}{p}\norm{Du}_p.$$
ここで $t=\frac{(n-1)p}{n-p}$ とすると $\frac{n}{n-1}t=\frac{p}{p-1}(t-1)=\frac{np}{n-p}$ となり
$$\left(\int_\Omega |u|^{p^*}\right)^\frac{n}{n-1}\le \frac{(n-1)p}{n-p}\left(\int_\Omega|u|^{p^*}\right)^\frac{p}{p-1}\norm{Du}_p.$$
これより $\norm{u}_{p^*}=\left(\int_\Omega |u|^{p^*}\right)^{\frac{n-1}{n}-\frac{p-1}{p}}\le\frac{(n-1)p}{n-p}\norm{Du}_p$ が従う。

$u\in W^{1,p}(\R^n)$ とし、$u_m\in C^\infty_c(\R^n)$、$\norm{u_m-u}_{1,p}\to 0\ (m\to\infty)$ とする。部分列に移って $u_m\to u $ a.e. in $\R^n$ としてよい。Fatouの補題より
$$\norm{u}_{p^*}\le\liminf_{m\to\infty}\norm{u}_{p^*}\le C\liminf_{m\to\infty}\norm{Du_m}_p=C\norm{Du}_p.$$
{{end|proof}}

{{theorem|type=ex}}
$C_{n,p}=\frac{(n-1)p}{n-p}$ はGagliardo-Nirenberg-Sobolevの不等式の最良定数(すなわちこの不等式が任意の $u\in W^{1,p}(\R^n)$ について成り立つ最小の $C_{n,p}$)ではない。Gagliardo-Nirenberg-Sobolevの不等式の最良定数は
$$C_{n,p}=n^{-\frac{1}{p}}\pi^{-\frac{1}{2}}\left(\frac{p-1}{n-p}\right)^{1-\frac{1}{p}}\left(\frac{\Gamma(1+\frac{n}{2})\Gamma(n)}{\Gamma(\frac{n}{p})\Gamma(1+n-\frac{n}{p})}\right)^\frac{1}{n}$$
で与えられ、
$$u(x)=(a+b|x|^\frac{p}{p-1})^{1-\frac{n}{p}}$$
とすると $\norm{u}_{p^*;\R^n}=C_{n,p}\norm{Du}_{p;\R^n}$ が成り立つことが知られている。ここで $a,b$ は正の定数であり、$\Gamma$ は $\Gamma$ 関数である。$u$ はTalentiの関数と呼ばれる。

{{theorem|type=cor|label=locGNS}}
$p\in[1,n)$ について $W^{1,p}_{\loc}(\Omega)\subset L^{p^*}_{\loc}(\Omega)$。

{{begin|proof|display=''Proof.''|collapsible=1}}
$u\in W^{1,p}_\loc(\Omega)$、$\Omega'\rcpt\Omega$ とし、$\zeta\in C^\infty_c(\Omega)$ で $\zeta=1$ in $\Omega'$ となるものをとると $\zeta u\in W^{1,p}_0(\Omega)\subset L^{p^*}(\Omega)$。これより $u\in L^{p^*}(\Omega')$。
{{end|proof}}

$W^{1,p}(\Omega)\subset L^{p^*}(\Omega)$ を示すには $\pOm$ に条件が必要である:

{{theorem|type=cor|label=gGNS}}
$p\in[1,n)$ について次が成り立つ:
*(1) $T\subset\pOm$ が(\ref{D})をみたす相対開集合のとき $W^{1,p}_0(\OmT)\subset L^{p^*}(\Omega)$ で $u\in W^{1,p}_0(\OmT)$ について
$$\norm{u}_{p^*;\Omega}\le C_{p,\Omega,T}\norm{u}_{1,p;\Omega}.$$
*(2) $\Omega$ が有界な $C^{0,1}$ 領域のとき $W^{1,p}(\Omega)\subset L^{p^*}(\Omega)$ で $u\in W^{1,p}(\Omega)$ について
$$\norm{u}_{p^*;\Omega}\le C_{p,\Omega}\norm{u}_{1,p;\Omega}.$$

{{begin|proof|display=''Proof.''|collapsible=1}}
(1)は $E\colon W^{1,p}_0(\OmT)\to W^{1,p}(\R^n)$ を拡張作用素とすれば $u\in W^{1,p}_0(\OmT)$ について
$$\norm{u}_{p^*}\le\norm{Eu}_{p^*}\le C\norm{DEu}_{p}\le C\norm{Eu}_{1,p}\le C\norm{u}_p.$$
(2)も同様。
{{end|proof}}

{{theorem|type=cor|name=$p=n$ の場合|label=pn}}
$|\Omega|\lt\infty$ のとき任意の $q\in[1,\infty)$ について $W^{1,n}_0(\Omega)\subset L^q(\Omega)$ で $u\in W^{1,n}_0(\Omega)$ について
$$\norm{u}_{q;\Omega}\le C_{n,q}|\Omega|^{q^{-1}}\norm{Du}_{n;\Omega}.$$

{{begin|proof|display=''Proof.''|collapsible=1}}
$q\ge 1^*$ の場合を示せば十分。{{ref|type=thm|label=GNS}}より
$$\norm{u}_q\le C\norm{Du}_\frac{nq}{n+q}\le C|\Omega|^{q^{-1}}\norm{Du}_n.$$
{{end|proof}}

{{theorem|type=cor|label=gpn}}
*(1) $q\in[n,\infty)$ について $W^{1,n}_{\loc}(\Omega)\subset L^q_{\loc}(\Omega)$。
*(2) $|\Omega|\lt\infty$ で $T\subset\pOm$ が $T\subset\pOm$ を(\ref{D})をみたす相対開集合のとき任意の $q\in[n,\infty)$ について $W^{1,n}_0(\OmT)\subset L^q(\Omega)$ で $u\in W^{1,p}_0(\OmT)$ について
$$\norm{u}_{q;\Omega}\le C_{q,\Omega,T}\norm{u}_{n;\Omega}.$$
*(3) $\Omega$ を有界な $C^{0,1}$ 領域とすると任意の $q\in[n,\infty)$ について $W^{1,n}(\Omega)\subset L^q(\Omega)$ で $u\in W^{1,p}(\Omega)$ について
$$\norm{u}_{q;\Omega}\le C_{q,\Omega}\norm{u}_{n;\Omega}.$$
{{theorem|type=rmk}}
$n=1$ の場合は{{ref|type=thm|label=dim1mor}}より $W^{1,1}(I)\subset L^\infty(I)$ であるが、$n\ge 2$ の場合は $W^{1,n}(\Omega)\subset L^\infty(\Omega)$ は成り立たない。

たとえば $\Omega=B_1(0)$ とし、
$$u(x)=(-\log|x|)^\alpha,\alpha\in (0,1-n^{-1})$$
とすると、任意の $q\in[1,\infty)$ について $u\in L^q(\Omega)$ で、$x\in\Omega\backslash\{0\}$ について
$$Du(x)=\alpha|x|^{-2}(-\log|x|)^{\alpha-1}x$$
が各点の意味で成り立ち、$n(\alpha-1)\lt -1$ より
$$\int_\Omega |Du|^n=n\omega_n\int_0^1 r^{-n+(n-1)}(-\log r)^{n(\alpha-1)}dr\lt\infty.$$
また $\varphi\in C^\infty_c(\Omega)$ と $r\in(0,1)$ について
$$\int_{\Omega\backslash\Bb_r(0)}uD_i\varphi=-\int_{\Omega\backslash\Bb_r(0)}D_iu\varphi-\int_{\partial\Bb_r(0)}(-\log|x|)^\alpha\varphi(x)\frac{x_i}{r}d\H^{n-1}(x),$$
$$\left|\int_{\partial\Bb_r(0)}(-\log|x|)^\alpha\varphi(x)\frac{x_i}{r}d\H^{n-1}(x)\right|\le \norm{\varphi}_\infty(-\log r)^\alpha\cdot n\omega_n r^{n-1}\to 0\ (r\to 0)$$
より $u$ は弱微分をもち、各点微分と一致する。これより $u\in W^{1,n}(\Omega)$。一方、明らかに $u\notin L^\infty(\Omega)$ である。
==Rieszポテンシャル==
$p\in(n,\infty)$ の場合を扱う準備として、次のRieszポテンシャルを定義する:

{{theorem|type=def|name=Rieszポテンシャル|label=riep}}
$\mu\in(0,1]$ とする。$\L^n$ -可測関数 $f\colon\Omega\to\R$ について合成積 $|\cdot|^{-n(1-\mu)}*f$ がある開集合上で定義されるときこれを $V_\mu f$ とかきRieszポテンシャルという。

{{theorem|type=pro|label=riep1}}
$|\Omega|\lt\infty$、$p\in[1,\infty]$、$\mu\in(0,1]$ とする。$f\in L^p(\Omega)$ とすると $V_\mu f$ は $\Omega$ 上で定義され次が成り立つ:
*(1) $q\in[p,\infty]$ が $\delta\colon=p^{-1}-q^{-1}\lt\mu$ をみたすとすると
$$V_\mu f\in L^q(\Omega),\norm{V_\mu f}_{q;\Omega}\le\left(\frac{1-\delta}{\mu-\delta}\right)^{1-\delta}\omega_n^{1-\mu}|\Omega|^{\mu-\delta}\norm{f}_{p;\Omega}.$$
*(2) $p\in[1,\infty)$、$\mu=p^{-1}$、$f\not\equiv 0$ のとき、$\alpha\gt 0$ について
$$\int_\Omega\exp\left(\left(\frac{|V_{p^{-1}} f|}{C_{n,p,\alpha}\norm{f}_{p,\Omega}}\right)^{p'}\right)\le (1+\alpha)|\Omega|.$$

{{begin|proof|display=''Proof.''|collapsible=1}}
(1)を示す。$h\colon=|\cdot|^{-n(1-\mu)}$、$r\colon=(q^{-1}-p^{-1}+1)^{-1}=(1-\delta)^{-1}$ とする。
$$\norm{h}_{r;\Omega}\le\left(\frac{1-\delta}{\mu-\delta}\right)^{1-\delta}\omega_n^{1-\mu}|\Omega|^{\mu-\delta}\tag{*}\label{riep}$$
を示す。

$R\colon=(\omega_n^{-1}|\Omega|)^{n^{-1}}$ とする。$|\Omega|=\omega_nR^n=|B_R(0)|$ であるから $|\Omega\backslash B_R(0)|=|B_R(0)\backslash\Omega|$ で
$$\int_{\Omega}h^r\le R^{-n(1-\mu)}|\Omega\backslash B_R(0)|+\int_{B_R(0)\cap\Omega}h^r=R^{-n(1-\mu)}|B_R(0)\backslash\Omega|+\int_{B_R(0)\cap\Omega}h^r\le\int_{B_R(0)}h^r.$$
$1-(1-\mu)r=1-\frac{1-\mu}{1-\delta}=\frac{\mu-\delta}{1-\delta}\gt 0$ に注意すると
$$\int_\Omega h^r\le\int_{B_R(0)}h^r=n\omega_n\int_0^R t^{n-n(1-\mu)r-1}dx=\frac{1-\delta}{\mu-\delta}\omega_nR^{n-n(1-\mu)r}=\frac{1-\delta}{\mu-\delta}\omega_n^{(1-\mu)r}|\Omega|^{(\mu-\delta)r}$$
となり(\ref{riep})が従う。

$x,y\in\Omega$ について(\ref{riep})より
\begin{align*}
\norm{h(x-\cdot)}_{r;\Omega}&=\norm{h}_{r;x-\Omega}\le\left(\frac{1-\delta}{\mu-\delta}\right)^{1-\delta}\omega_n^{1-\mu}|\Omega|^{\mu-\delta},\\
\norm{h(\cdot-y)}_{r;\Omega}&=\norm{h}_{r;\Omega-y}\le\left(\frac{1-\delta}{\mu-\delta}\right)^{1-\delta}\omega_n^{1-\mu}|\Omega|^{\mu-\delta}.
\end{align*}
$q^{-1}=p^{-1}+r^{-1}-1$ であるからYoungの不等式より $V_\mu f$ は $\Omega$ 上で定義され
$$V_\mu f\in L^q(\Omega),\norm{V_\mu f}_q\le\left(\frac{1-\delta}{\mu-\delta}\right)^{1-\delta}\omega_n^{1-\mu}|\Omega|^{\mu-\delta}\norm{f}_p$$
が成り立つ。

(2)を示す。$\mu=p^{-1}$ のときは任意の $q\in[p,\infty)$ が $p^{-1}-q^{-1}\lt\mu$ をみたす。

$N\colon=\lceil p-1\rceil$ とする。$m\in\Z$、$m\ge N$ とすると $mp'\ge p$ となり、$q=mp'$ として(1)を用いると $\delta=p^{-1}-(mp')^{-1}=1-(1+m^{-1})p'^{-1}$ より
$$\int_\Omega|V_{p^{-1}}f|^{mp'}\le\left((m+1)^{(1+m^{-1})p'^{-1}}\omega_n^{p'^{-1}}|\Omega|^{(mp')^{-1}}\norm{f}_p\right)^{mp'}=(m+1)^{m+1}\omega_n^m|\Omega|\norm{f}_p^{mp'}.$$
$m=1,\ldots ,N-1$ については
$$\int_\Omega|V_{p^{-1}}f|^{mp'}\le|\Omega|^{1-\frac{m}{N}}\left(\int_\Omega|V_{p^{-1}}f|^{Np'}\right)^\frac{m}{N}\le N^m\omega_n^m|\Omega|\norm{f}_p^{mp'}.$$
$m!=O(m^{m+\frac{1}{2}}e^{-m})$ に注意すると $m\in\Zp$ について
$$\int_\Omega|V_{p^{-1}}f|^{mp'}\le C(m+1)^{-\frac{1}{2}}e^{-m}(m+1)!|\Omega|.$$
これより $M\gt (e\omega_n)^{p'^{-1}}$ について
\begin{align*}
\int_\Omega\exp\left(\left(\frac{|V_{p^{-1}}f|}{M\norm{f}_p}\right)^{p'}\right)&=|\Omega|+\sum_{m=1}^\infty\frac{1}{m!(M\norm{f}_p)^{mp'}}\int_\Omega|V_{p^{-1}}f|^{mp'}\\
&\le\left(1+C\sum_{m=1}^\infty\frac{(m+1)^\frac{1}{2}e^{m+1}\omega_n^m}{M^m}\right)|\Omega|.
\end{align*}
$\displaystyle \sum_{m=1}^\infty\frac{(m+1)^\frac{1}{2}e^{m+1}}{M^m}\to 0 (M\to\infty)$ であるから十分大きな $C=C_{n,p,\alpha}$ をとれば
$$\int_\Omega\exp\left(\left(\frac{|V_{p^{-1}}f|}{C\norm{f}_p}\right)^{p'}\right)\le(1+\alpha)|\Omega|.$$
{{end|proof}}

$\mu=\delta$ の場合は次の結果が重要である:

{{theorem|type=thm|name=Hardy-Littlewood-Sobolevの不等式|label=HLS}}
$p\in[1,\mu^{-1})$ とし、$f\in L^p(\R^n)$ とすると $V_\mu f$ は $\R^n$ 上で定義され、$q\colon=\frac{p}{1-\mu p}$ とすると次が成り立つ:
*(1) $p=1$ のとき
$$V_\mu f\in L^{q,w}(\R^n),[V_\mu f]_{q;\R^n}\le C_{n,\mu}\norm{f}_{1;\R^n}.$$
( $L^{q,w}$ と $[\cdot]_q$ の定義は[[Marcinkiewiczの補間定理]]を参照。)
*(2) $p\in(1,\mu^{-1})$ のとき
$$V_\mu f\in L^q(\R^n),\norm{V_\mu f}_{q;\R^n}\le C_{n,p,\mu}\norm{f}_{p;\R^n}.$$

{{begin|proof|display=''Proof.''|collapsible=1}}
$R\gt 0$ とし、$h_1\colon=|\cdot|^{-n(1-\mu)}\chi_{B_R(0)}$、$h_2\colon=|\cdot|^{-n(1-\mu)}\chi_{\R^n\backslash B_R(0)}$ とする。
$$\norm{h_1}_1=n\omega_n\int_0^R t^{n\mu-1}dt=\mu^{-1}\omega_nR^{n\mu}$$
であるからYoungの不等式より
$$h_1*f\in L^p(\R^n),\norm{h_1*f}_p\le CR^{n\mu}\norm{f}_p.$$
また $p'\colon=\frac{p}{p-1}$ とすると $((1-\mu)p'-1)^{-1}=p'((1-\mu)-(1-p^{-1}))^{-1}=p'q^{-1}$
$$\norm{h_2}_{p'}^{p'}=n\omega_n\int_R^\infty t^{n-n(1-\mu)p'-1}dt=p'q^{-1}\omega_nR^{-np'q^{-1}}$$
であるからHölderの不等式より
$$h_2*f\in L^\infty(\R^n),\norm{h_2*f}_\infty\le KR^{-nq^{-1}}\norm{f}_p,K\colon=(p'q^{-1}\omega_n)^{1-p^{-1}}.$$
よって $V_\mu f=h_1*f+h_2*f$ は $\R^n$ 上で定義される。

$t\gt 0$ とする。$R=(2K\norm{f}_pt^{-1})^{n^{-1}q}$ ととれば $\norm{h_2*f}_\infty\le\frac{t}{2}$ となり
$$\left|\left\{|h_2*f|\gt\frac{t}{2}\right\}\right|=0.$$
また $\mu pq+p=q(\mu p+p(p^{-1}-\mu))=q$ に注意すると
$$\left|\left\{|h_1*f|\gt\frac{t}{2}\right\}\right|=(\norm{h_1*f}_pt^{-1})^p\le C(R^{n\mu}\norm{f}_pt^{-1})^p=C(\norm{f}_pt^{-1})^{\mu pq+p}=C(\norm{f}_pt^{-1})^q.$$
$|V_\mu f|\gt t\implies|h_1*f|\gt\frac{t}{2}$ or $|h_2*f|\gt\frac{t}{2}$ より
$$|\{|V_\mu f|\gt t\}|\le\left|\left\{|h_1*f|\gt\frac{t}{2}\right\}\right|+\left|\left\{|h_2*f|\gt\frac{t}{2}\right\}\right|\le C(\norm{f}_pt^{-1})^q.$$
従って
$$V_\mu f\in L^{q,w}(\R^n),[V_\mu f]_q\le C\norm{f}_p.\tag{*}\label{HLS}$$
(1)はこれで示された。

(2)を示す。$p_0,p_1$ を $1\le p_0\lt p\lt p_1\lt\mu^{-1}$ となるようにとり、$q_i\colon=\frac{p_i}{1-\mu p_i}\ (i=0,1)$ とする。$\theta\in(0,1)$ を $p^{-1}=(1-\theta)p_0^{-1}+\theta p_1^{-1}$ となるようにとると
$$q^{-1}=p^{-1}-\mu=(1-\theta)(p_0^{-1}-\mu)+\theta(p_1^{-1}-\mu)=(1-\theta)q_0^{-1}+\theta q_1^{-1}.$$
(\ref{HLS})と[[Marcinkiewiczの補間定理]]より(2)が従う。
{{end|proof}}

{{theorem|type=pro|name=Rieszポテンシャルと微分の関係|label=riep2}}
*(1) $k=1,\ldots,n$ とする。$u\in C^\infty_c(\R^n)$ とすると $x\in\R^n$ について
$$u(x)=\frac{1}{(k-1)!n\omega_n}\int_{\R^n}\sum_{|\alpha|=k}|x-y|^{-n}(x-y)^\alpha D^\alpha u(y)dy.$$
とくに $u\in W^{k,1}(\Omega)$ について
$$|u|\le\frac{1}{(k-1)!n\omega_n}V_\frac{k}{n}|D^ku|.$$
*(2) $\Omega$ は凸であるとし、$S\subset\Omega$ は有界かつ $|S|\gt 0$ をみたすとする。$u\in W^{1,1}(\Omega)$ とすると
$$|u-u_S|\le\frac{(\diam\Omega)^n}{n|S|}|V_{n^{-1}}u|\ \inn\Omega.$$
ここで
$$u_S\colon=\frac{1}{|S|}\int_S u.$$

{{begin|proof|display=''Proof.''|collapsible=1}}
(1)を示す。$z\in\partial B_1(0)$ とする。十分大きい $t\gt 0$ について $u(x+tz)=0$ となることに注意すると部分積分による $k$ に関する帰納法により
$$u(x)=\frac{1}{(k-1)!}\int_0^\infty t^{k-1}D^k_z u(x+tz)dt=\frac{(-1)^k}{(k-1)!}\int_0^\infty\sum_{|\alpha|=k}t^{k-1}z^\alpha D^\alpha u(x+tz)dt.$$
よって
\begin{align*}
u(x)&=\frac{(-1)^k}{(k-1)!n\omega_n}\int_{\partial B_1(0)}\left(\int_0^\infty \sum_{|\alpha|=k}t^{k-1}z^\alpha D^\alpha u(x+tz)dt\right)d\H^{n-1}(z)\\
&=\frac{1}{(k-1)!n\omega_n}\int_0^\infty\left(\int_{B_t(x)} \sum_{|\alpha|=k}t^{k-n}(t^{-1}(x-y))^\alpha D^\alpha u(y)d\H^{n-1}(y)\right)dt\\
&=\frac{1}{(k-1)!n\omega_n}\int_{\R^n} \sum_{|\alpha|=k}|x-y|^{-n}(x-y)^\alpha D^\alpha u(y)dy.
\end{align*}

(2)を示す。$x,z\in\Omega$ とすると
$$u(x)-u(z)=\int_0^1 Du(tx+(1-t)z)\cdot(x-z)dt.$$
$z\in S$ について積分すると
$$u(x)-u_S=\frac{1}{|S|}\int_S\left(\int_0^1 Du((1-t)x+tz)\cdot(x-z)dt\right)dz.$$
$t\in[0,1]$ について $x\in (1-t)x+t\Omega$、$\diam((1-t)x+t\Omega)=t\diam\Omega$ より $y\in\Omega$ について $y\in(1-t)x+t\Omega\implies |x-y|\le t\diam\Omega$ となることに注意すると
\begin{align*}
|u(x)-u_S|&\le\frac{1}{|S|}\int_S\left(\int_0^1 |Du((1-t)x+tz)||x-z|dt\right)dz\\
&=\frac{1}{|S|}\int_0^1\left(\int_{(1-t)x+tS} t^{-n}|Du(y)|t^{-1}|x-y|dy\right)dt\\
&=\frac{1}{|S|}\int_\Omega\left(\int_{\{t\in[0,1]\colon y\in(1-t)x+tS\}}t^{-n-1}|x-y||Du(y)|dt\right)dy\\
&\le\frac{1}{|S|}\int_\Omega\left(\int_{\{t\in[0,1]\colon y\in(1-t)x+t\Omega\}}t^{-n-1}|x-y||Du(y)|dt\right)dy\\
&\le\frac{1}{|S|}\int_\Omega\left(\int_\frac{|x-y|}{\diam\Omega}^\infty t^{-n-1}|x-y||Du(y)|dt\right)dy\\
&=\frac{(\diam\Omega)^n}{n|S|}\int_\Omega|x-y|^{1-n}|Du(y)|dt.
\end{align*}
{{end|proof}}

{{theorem|type=ex}}
$p\in(1,n)$ の場合は(1)とHardy-Littlewood-Sobolevの不等式を組み合わせてSobolevの不等式を証明することもできる。

==Poincaréの不等式==
実用上は以下に示すSobolevの不等式のより弱い形であるPoincaréの不等式で十分であることも多い。
{{theorem|type=thm|name=Poincaréの不等式|label=Poi0}}
*(1) $|\Omega|\lt\infty$ とする。$p\in[1,\infty)$ と $u\in W^{1,p}_0(\Omega)$ について
$$\norm{u}_{p;\Omega}\le C_n|\Omega|^{n^{-1}}\norm{Du}_{p;\Omega}.$$
*(2) $\Omega$ は一方向に有界であるとする。すなわち $z\in\partial B_1(0)$ が存在し $\displaystyle w\colon=\sup_{x\in\R^n}\diam(\{t\in\R\colon x+tz\in\Omega\})\lt\infty$ となるとする。$p\in[1,\infty)$ と $u\in W^{1,p}_0(\Omega)$ について
$$\norm{u}_{p;\Omega}\le C_nw\norm{D_zu}_{p;\Omega}.$$

{{begin|proof|display=''Proof.''|collapsible=1}}
(1)は{{ref|type=pro|label=riep2}}の(1)と{{ref|type=pro|label=riep1}}の(1)より
$$\norm{u}_p\le\frac{1}{n\omega_n}\norm{V_{n^{-1}}|Du|}_p\le C|\Omega|^{n^{-1}}\norm{Du}_p.$$

(2)を示す。$u\in C^\infty_c(\Omega)$ としてよい。

$\pi\colon=\{x\in\R^n\colon z\cdot x=0\}$ とする。$x\in\pi$ について
$$a_x\colon=\inf\{t\in\R\colon x+tz\in\Omega\},b_x\colon=\sup\{t\in\R\colon x+tz\in\Omega\},I_x\colon=(a_x,b_x)$$
とすると $|I_x|\le w$、$\displaystyle \Omega\subset\bigcup_{x\in\pi}\{x+tz\colon t\in I_x\}$。
$u\in C^\infty_c(\Omega)$ とすると{{ref|type=thm|label=dim1mor}}より $x\in\pi$ について
$$\left(\int_{I_x}|u(x+tz)|^pdt\right)^{p^{-1}}\le|I_x|^{p^{-1}}\sup_{t\in I_x}|D_zu(x+tz)|\le|I_x|\left(\int_{I_x}|D_zu(x+tz)|^pdt\right)^{p^{-1}}.$$
Lipschitz連続関数 $x\mapsto z\cdot x$ に対して[[Hausdorff測度とarea_coarea_formula|coarea formula]]を用いると
\begin{align*}
\norm{u}_p&=\left(\int_\R\left(\int_{\{x\in\Omega\colon z\cdot x=t\}}|u(x)|^pd\H^{n-1}(x)\right)dt\right)^{p^{-1}}\\
&=\left(\int_\R\left(\int_{\{x\in\pi\colon x+tz\in\Omega\}}|u(x+tz)|^pd\H^{n-1}(x)\right)dt\right)^{p^{-1}}\\
&=\left(\int_\pi\left(\int_{I_x}|u(x+tz)|^pdt\right)d\H^{n-1}(x)\right)^{p^{-1}}\\
&\le\left(\int_\pi |I_x|^p\left(\int_{I_x}|D_zu(x+tz)|^pdt\right)d\H^{n-1}\right)^{p^{-1}}\\
&\le w\norm{D_zu}_p.
\end{align*}
{{end|proof}}

{{theorem|type=thm|name=Poincaréの不等式|label=Poi}}
$\Omega$ は有界かつ凸であるとする。$p\in[1,\infty)$ と $u\in W^{1,p}(\Omega)$ と $|S|\gt 0$ なる $S\subset\Omega$ について
$$\norm{u-u_S}_{p;\Omega}\le C_n\frac{(\diam\Omega)^n}{|S|}|\Omega|^{n^{-1}}\norm{Du}_{p;\Omega}.$$

{{begin|proof|display=''Proof.''|collapsible=1}}
{{ref|type=pro|label=riep2}}の(2)と{{ref|type=pro|label=riep1}}の(1)より
$$\norm{u-u_\Omega}_p\le\frac{(\diam\Omega)^n}{n|\Omega|}\norm{V_{n^{-1}}|Du|}_p\le C\frac{(\diam\Omega)^n}{|S|}|\Omega|\norm{Du}_p.$$
{{end|proof}}

{{theorem|type=rmk}}
$|\Omega|\lt\infty$ または $\Omega$ が一方向に有界のとき、$\norm{Du}_{p;\Omega}$ は $W^{1,p}_0(\Omega)$ に $\norm{u}_{1,p;\Omega}$ と同値なノルムを定める。とくに $p=2$ のとき、
$$\int_\Omega Du\cdot Dv$$
は $W^{1,2}_0(\Omega)$ に $W^{1,2}(\Omega)$ における内積と同値な内積を定める。

また、$\Omega$ が有界かつ凸のとき、$\norm{Du}_{p;\Omega}$ は $W^{1,p}(\Omega)$ の閉部分空間 $\{u\in W^{1,p}(\Omega)\colon u_\Omega=0\}$ に $\norm{u}_{1,p;\Omega}$ と同値なノルムを定める。

==Morreyの不等式==
ここでは $p\in(n,\infty)$ の場合を取り扱う。

{{theorem|type=thm|name=Morreyの不等式|label=mor}}
$p\in(n,\infty)$ とする。$\alpha=1-\frac{n}{p}$ とすると次が成り立つ。
*(1) $|\Omega|\lt\infty$ のとき $W^{1,p}_0(\Omega)\subset L^\infty(\Omega)$ で $u\in W^{1,p}_0(\Omega)$ について
$$\norm{u}_{\infty;\Omega}\le C_{n,p}|\Omega|^{n^{-1}-p^{-1}}\norm{Du}_{p;\Omega}.$$
*(2) $W^{1,p}(\R^n)\subset C^{0,\alpha}(\R^n)$ で $u\in W^{1,p}(\R^n)$ について
$$[u]_{0,\alpha;\R^n}\le C_{n,p}\norm{Du}_{p;\R^n}.$$
とくに $|\Omega|\lt\infty$ のとき $W^{1,p}_0(\Omega)\subset C^{0,\alpha}(\Ombar)$ で $u\in W^{1,p}_0(\Omega)$ について
$$|u|_{0,\alpha;\Omega}\le C_{n,p,|\Omega|}\norm{Du}_{p;\Omega},u=0\ \on\pOm.$$

{{begin|proof|display=''Proof.''|collapsible=1}}
(1)を示す。{{ref|type=pro|label=riep2}}の(1)と{{ref|type=pro|label=riep1}}で $\mu=n^{-1}$、$q=\infty$ としたものより
$$\norm{u}_\infty\le CV_{n^{-1}}|Du|\le C|\Omega|^{n^{-1}-p^{-1}}\norm{Du}_p.$$

(2)を示す。$B=B_r\subset\R^n$ とする。{{ref|type=pro|label=riep2}}の(2)と{{ref|type=pro|label=riep1}}より
$$|u-u_B|\le\frac{(\diam B)^n}{n|B|}V_{n^{-1}}\left(\left(\left.|Du|\right)\right|_B\right)\le C|B|^{n^{-1}-p^{-1}}\norm{Du}_p\le Cr^\alpha\norm{Du}_p\ \inn B.$$
$x,y\in B$ とすると
$$|u(x)-u(y)|\le|u(x)-u_B|+|u(y)-u_B|\le Cr^\alpha\norm{Du}_p.\tag{*}\label{mor1}$$
$x,y\in\R^n$、$x\neq y$ について、$B=B_r$ を $x,y\in B$ かつ $r\le|x-y|$ となるようにとれるので
$$|u(x)-u(y)|\le C\norm{Du}_p|x-y|^\alpha$$
が成り立つ。$u=0$ on $\pOm$ は $u_m\in W^{1,p}_c(\Omega)$、$\norm{u_m-u}_{1,p;\Omega}\to 0\ (m\to\infty)$ とすると $u_m=0$ on $\pOm$、$\norm{u_m-u}_\infty\to 0\ (m\to\infty)$ となることから成り立つ。
{{end|proof}}

{{ref|type=cor|label=locGNS}}、{{ref|type=cor|label=gGNS}}と同様に次が成り立つ:

{{theorem|type=cor|label=locmor}}
$p\in(n,\infty)$ とする。$\alpha=1-\frac{n}{p}$ とすると $W^{1,p}_{\loc}(\Omega)\subset C^{0,\alpha}(\Omega)$。

{{theorem|type=cor|label=gmor}}
$p\in(n,\infty)$ とする。$\alpha=1-\frac{n}{p}$ とすると次が成り立つ:
*(1) $|\Omega|\lt\infty$ で $T\subset\pOm$ が(\ref{D})をみたす相対開集合のとき $W^{1,p}_0(\OmT)\subset C^{0,\alpha}(\Ombar)$ で $u\in W^{1,p}_0(\OmT)$ について
$$|u|_{0,\alpha;\Omega}\le C_{p,T,\Omega}\norm{u}_{1,p;\Omega}, u=0\ \on \Omega\backslash T.$$
*(2) $\Omega$ を有界な $C^{0,1}$ 領域とすると $W^{1,p}(\Omega)\subset C^{0,\alpha}(\Ombar)$ で $u\in W^{1,p}(\Omega)$ について
$$|u|_{0,\alpha;\Omega}\le C_{p,\Omega}\norm{u}_{1,p;\Omega}.$$

{{theorem|type=rmk}}
{{ref|type=thm|label=lip}}より、{{ref|type=cor|label=locmor}}と{{ref|type=cor|label=gmor}}の(2)は $p=\infty$ の場合にも成立する。

{{theorem|type=cor|name=a.e.微分可能性|label=difae}}
$p\in(n,\infty]$ とする。$u\in W^{1,p}_{\loc}(\Omega)$ は a.e. in $\Omega$ で微分可能で、各点微分と弱微分は一致する。

{{begin|proof|display=''Proof.''|collapsible=1}}
$p\in(n,\infty)$ としてよい。

$x_0\in\Omega$ は
$$r^{-n}\int_{B_r(x_0)}|Du-Du(x_0)|^p\to 0\ (r\to +0)$$
をみたすとする。Lebesgueの微分定理よりこれはa.e. $x_0\in\Omega$ で成り立つ。
$$v(x)\colon=u(x)-u(x_0)-Du(x_0)\cdot(x-x_0)\ (x\in\Omega)$$
と定め、$v(x)=o(|x-x_0|)\ (|x-x_0|\to +0)$ を示せばよい。

{{ref|type=thm|label=mor}}の証明の(\ref{mor1})より $B_r=B_r(x_0)\rcpt\Omega$ について
$$|v|_{\infty;B_r}=|v-v(x_0)|_{\infty;B_r}\le C\norm{Dv}_{p;B_r}r^{1-\frac{p}{n}}\le Cr\left(r^{-n}\int_{B_r}|Du-Du(x_0)|^p\right)^{p^{-1}}.$$
これより $v(x)=o(|x-x_0|)\ (|x-x_0|\to +0)$。
{{end|proof}}

{{theorem|type=ex}}
$p=\infty$ の場合を{{ref|type=thm|label=lip}}と組み合わせるとRademacherの定理([[Hausdorff測度とarea_coarea_formula]]の定理33)の別の証明が得られる。

==Trudinger-Moserの不等式==
{{ref|type=cor|label=gpn}}の注意で述べたように、$p=n\ge 2$ の場合のSobolevの不等式はその他の場合より繊細である。一方、Rieszポテンシャルを用いると{{ref|type=cor|label=pn}}と{{ref|type=cor|label=gpn}}の評価をより精密にすることができる。

{{theorem|type=thm|name=Trudinger-Moserの不等式|label=TM}}
$n\ge 2$ のとき次が成り立つ:
*(1) $|\Omega|\lt\infty$ のとき $u\in W^{1,n}_0(\Omega)\backslash\{0\}$ と $\alpha\gt 0$ について
$$\int_\Omega\exp\left(\left(\frac{|u|}{C_{n,\alpha}\norm{Du}_{n;\Omega}}\right)^\frac{n}{n-1}\right)\le (1+\alpha)|\Omega|.$$
*(2) $|\Omega|\lt\infty$ で $T\subset\pOm$ を $T\subset\pOm$ が(\ref{D})をみたす相対開集合のとき $u\in W^{1,n}_0(\OmT)\backslash\{0\}$ と $\alpha\gt 0$ について
$$\int_\Omega\exp\left(\left(\frac{|u|}{C_{\Omega,T,\alpha}\norm{u}_{1,n;\Omega}}\right)^\frac{n}{n-1}\right)\le (1+\alpha)|\Omega|.$$
*(3) $\Omega$ が有界な $C^{0,1}$ 領域のとき $u\in W^{1,n}(\Omega)\backslash\{0\}$ と $\alpha\gt 0$ について
$$\int_\Omega\exp\left(\left(\frac{|u|}{C_{\Omega,\alpha}\norm{u}_{1,n;\Omega}}\right)^\frac{n}{n-1}\right)\le (1+\alpha)|\Omega|.$$

{{begin|proof|display=''Proof.''|collapsible=1}}
(1)を示す。{{ref|type=pro|label=riep2}}の(1)より $u\in C^\infty_c(\R^n)$ について $|u|\le CV_{n^{-1}}|Du|$ となるので{{ref|type=pro|label=riep1}}より
$$\int_\Omega\left(\left(\frac{|u|}{C\norm{Du}_{n;\Omega}}\right)^\frac{n}{n-1}\right)\le(1+\alpha)|\Omega|.$$
一般の場合は近似により従う。

(2)と(3)は(1)と拡張作用素により示される。
{{end|proof}}

{{theorem|type=rmk}}
{{ref|type=cor|label=gpn}}の注意の $u$ は $\int_\Omega\exp\left(|u|^\frac{n}{n-1}\right)\lt\infty$ をみたしている。

==一般のSobolevの不等式==
{{theorem|type=thm|name=一般のSobolevの不等式|label=gsob}}
$k\in\Zp$、$p\in[1,\infty)$ とする。次が成り立つ:
*(1) $kp\lt n$ のとき $p_k\colon=\frac{np}{n-kp}$ とすると $W^{k,p}(\R^n)\subset L^{p_k}(\R^n)$ で $u\in W^{k,p}(\R^n)$ について
$$\norm{u}_{p_k;\R^n}\le C_{n,k,p}\norm{D^ku}_{p;\R^n}.$$
また $T\subset\pOm$ が $T\subset\pOm$ が(\ref{D})をみたす相対開集合のとき $W^{k,p}_0(\OmT)\subset L^{p_k}(\Omega)$ で $u\in W^{k,p}_0(\OmT)$ について
$$\norm{u}_{p_k;\Omega}\le C_{k,p,\Omega,T}\norm{u}_{k,p;\Omega}.$$
$\Omega$ が有界な $C^{0,1}$ 領域のとき $W^{k,p}(\Omega)\subset L^{p_k}(\Omega)$ で $u\in W^{k,p}(\Omega)$ について
$$\norm{u}_{p_k;\Omega}\le C_{k,p,\Omega}\norm{u}_{k,p;\Omega}.$$
*(2) $|\Omega|\lt\infty$、$kp=n$ のとき任意の $q\in[1,\infty)$ について $W^{k,p}_0(\Omega)\subset L^q(\Omega)$ で $u\in W^{k,p}_0(\Omega)$ について
$$\norm{u}_{q;\Omega}\le C_{n,k,q}|\Omega|^{q^{-1}}\norm{u}_{k,p;\Omega}.$$
また $|\Omega|\lt\infty$ で $T\subset\pOm$ が $T\subset\pOm$ が(\ref{D})をみたす相対開集合のとき任意の $q\in[p,\infty)$ について $W^{k,p}_0(\OmT)\subset L^q(\Omega)$ で $u\in W^{k,p}_0(\OmT)$ について
$$\norm{u}_{q;\Omega}\le C_{k,q,\Omega}\norm{u}_{k,p;\Omega}.$$
$\Omega$ が有界な $C^{0,1}$ 領域のとき任意の $q\in[p,\infty)$ について $W^{k,p}(\Omega)\subset L^q(\Omega)$ で $u\in W^{k,p}(\Omega)$ について
$$\norm{u}_{q;\Omega}\le C_{k,q,\Omega}\norm{D^ku}_{p;\Omega}.$$
*(3) $kp=n\ge k+1$、$|\Omega|\lt\infty$ のとき $u\in W^{k,p}_0(\Omega)\backslash\{0\}$ と $\alpha\gt 0$ について
$$\int_\Omega\exp\left(\left(\frac{|u|}{C_{n,k,\alpha}\norm{D^ku}_{p;\Omega}}\right)^\frac{n}{n-k}\right)\le (1+\alpha)|\Omega|.$$
また $|\Omega|\lt\infty$ で $T\subset\pOm$ が $T\subset\pOm$ が(\ref{D'})をみたす相対開集合のとき $u\in W^{k,p}_0(\OmT)\backslash\{0\}$ と $\alpha\gt 0$ について
$$\int_\Omega\exp\left(\left(\frac{|u|}{C_{k,\Omega,T,\alpha}\norm{u}_{k,p;\Omega}}\right)^\frac{n}{n-k}\right)\le (1+\alpha)|\Omega|.$$
$\Omega$ が有界なLipschitz領域のとき $u\in W^{k,p}(\Omega)\backslash\{0\}$ と $\alpha\gt 0$ について
$$\int_\Omega\exp\left(\left(\frac{|u|}{C_{k,\Omega,\alpha}\norm{u}_{k,p;\Omega}}\right)^\frac{n}{n-k}\right)\le (1+\alpha)|\Omega|.$$
*(4) $kp\gt n$、$\frac{n}{p}\notin\Z$ のとき $j\colon=\left\lfloor k-\frac{n}{p}\right\rfloor$、$\beta\colon= k-j-\frac{n}{p}$ とすると $W^{k,p}(\R^n)\subset C^{j,\beta}(\R^n)$ で $u\in W^{k,p}(\R^n)$ について
$$[u]_{j,\beta;\R^n}\le C_{n,k,p}\norm{D^ku}_{p;\R^n}.$$
また $|\Omega|\lt\infty$ のとき $u\in W^{k,p}_0(\Omega)$ について
$$|u|_{j,\beta;\Omega}\le C_{n,k,p,|\Omega|}\norm{u}_{k,p;\Omega},D^\alpha u=0\ \on\pOm\ (|\alpha|\le k-1).$$
$|\Omega|\lt\infty$ で $T\subset\pOm$ が(\ref{D})をみたす相対開集合のとき $W^{k,p}_0(\OmT)\subset C^{j,\beta}(\Ombar)$ で $u\in W^{k,p}_0(\OmT)$ について
$$|u|_{j,\beta;\Omega}\le C_{k,p,\Omega,T}\norm{u}_{k,p;\Omega},D^\alpha u=0\ \on\pOm\backslash T\ (|\alpha|\le k-1).$$
$\Omega$ が有界な $C^{0,1}$ 領域のとき $W^{k,p}(\Omega)\subset C^{j,\beta}(\Ombar)$ で $u\in W^{k,p}(\Omega)$ について
$$|u|_{j,\beta;\Omega}\le C_{k,p,\Omega}\norm{u}_{k,p;\Omega}.$$
*(5) $|\Omega|\lt\infty$、$kp\gt n$、$\frac{n}{p}\in\Z$ のとき $j\colon=k-\frac{n}{p}-1$ とすると任意の $\beta\in(0,1)$ について $W^{k,p}_0(\Omega)\subset C^{j,\beta}(\Ombar)$ で $u\in W^{k,p}_0(\Omega)$ について
$$|u|_{j,\beta;\Omega}\le C_{n,k,p,\beta,|\Omega|}\norm{u}_{k,p;\Omega},[u]_{j,\beta;\Omega}\le C_{n,k,p,\beta}|\Omega|^\frac{1-\beta}{n}\norm{D^ku}_{k,p;\Omega},D^\alpha u=0\ \on\pOm\ (|\alpha|\le k-1).$$
$|\Omega|\lt\infty$ で $T\subset\pOm$ が(\ref{D})をみたす相対開集合のとき $W^{k,p}_0(\OmT)\subset C^{j,\beta}(\Ombar)$ で $u\in W^{k,p}_0(\OmT)$ について
$$|u|_{j,\beta;\Omega}\le C_{k,p,\beta,\Omega,T}\norm{u}_{k,p;\Omega}.$$
$\Omega$ が有界な $C^{0,1}$ 領域のとき $W^{k,p}(\Omega)\subset C^{j,\beta}(\Ombar)$ で $u\in W^{k,p}(\Omega)$ について
$$|u|_{j,\beta;\Omega}\le C_{k,p,\beta,\Omega}\norm{u}_{k,p;\Omega}.$$
*(6) $k\gt n$、$p=1$ のとき $W^{k,1}(\R^n)\subset C^{k-n}(\R^n)\cap W^{k-n,\infty}(\R^n)$ で $u\in W^{k,1}(\R^n)$ について
$$[u]_{k-n;\R^n}\le C_{n,k}\norm{D^ku}_{1;\R^n},D^\alpha u=0\ \on\pOm\ (|\alpha|\le k-1).$$
$T\subset\pOm$ が(\ref{D})をみたす相対開集合のとき $W^{k,1}_0(\OmT)\subset C^{k-n}(\Ombar)\cap W^{k-n,\infty}(\Omega)$ で $u\in W^{k,1}(\Omega)$ について
$$[u]_{k-n;\Omega}\le C_{k,\Omega,T}\norm{u}_{k,1;\Omega},D^\alpha u=0\ \on\pOm\backslash T\ (|\alpha|\le k-1).$$
$\Omega$ が有界な $C^{0,1}$ 領域のとき $W^{k,1}(\Omega)\subset C^{k-n}(\Ombar)$ で $u\in W^{k,1}(\Omega)$ について
$$[u]_{k-n;\Omega}\le C_{k,\Omega}\norm{u}_{k,1;\Omega}.$$
{{begin|proof|display=''Proof.''}}
(1)、(2)、(4)、(5)は{{ref|type=thm|label=dim1mor}}、{{ref|type=thm|label=GNS}}、{{ref|type=cor|label=pn}}、{{ref|type=cor|label=gpn}}、{{ref|type=cor|label=gGNS}}、{{ref|type=thm|label=mor}}、{{ref|type=cor|label=gmor}}を用いて $k$ に関する帰納法により示される。

(3)は前半は{{ref|type=thm|label=TM}}と同様。拡張作用素により後半も従う。

(6)を示す。前半の $k=n$ の場合を示せば十分。$u\in C^\infty_c(\R^n)$ について{{ref|type=pro|label=riep2}}の(1)より
$$|u|\le V_1|D^nu|=\int_{\R^n}|D^nu|=\norm{D^nu}_1.$$
近似によりこれは任意の $u\in W^{n,1}(\R^n)$ に対して成り立つ。またこれより
$$W^{n-1}(\R^n)\subset\overline{C^\infty_c(\R^n)}^{L^\infty(\R^n)}\subset C(\R^n).$$
{{end|proof}}

==コンパクト埋め込み==
{{theorem|type=lem|label=cptlem}}
$p\in[1,\infty)$ とする。$u\in W^{1,p}(\R^n)$ と $\varepsilon\gt 0$ について
$$\norm{\eta_\varepsilon*u-u}_{p;\R^n}\le C_{n,p}\norm{Du}_{p;\R^n}\varepsilon.$$

{{begin|proof|display=''Proof.''}}
{{ref|type=thm|label=difq1}}に注意して
\begin{align*}
\int_{\R^n}|\eta_\varepsilon*u-u|^p&=\int_{\R^n}\left|\int_{B_\varepsilon(0)}\eta_\varepsilon(y)(u(x-y)-u(x))dy\right|^pdx\\
&=\int_{\R^n}\norm{\eta_\varepsilon}_{p'}^p\left(\int_{B_\varepsilon(0)}|u(x-y)-u(x)|^pdy\right)dx\\
&\le C\varepsilon^{-n}\int_{\R^n}\left(\int_{0}^\varepsilon\left(\int_{\partial B_1(0)}t^{n-1+p}|\Delta^t_z u(x)|^pd\H^{n-1}(z)\right)dt\right)dx\\
&\le C\varepsilon^{-n}\int_{0}^\varepsilon\left(\int_{\partial B_1(0)}t^{n-1+p}\norm{Du}_p^pd\H^{n-1}(z)\right)dt\\
&\le C\varepsilon^{-n}\norm{Du}_p^p\int_0^\varepsilon t^{n-1+p}dt\le C\norm{Du}_p^p\varepsilon^p.
\end{align*}
{{end|proof}}

{{theorem|type=thm|name=Rellich-Kondrachovの定理|label=cpt}}
$p\in[1,\infty)$ とし、
$$\begin{cases}
q\in[1,p^*)&\colon p\in(1,n)\\
q\in[1,\infty)&\colon p=n\\
q\in[1,\infty]&\colon p\in(n,\infty)
\end{cases}$$
とする。次が成り立つ:
*(1) $|\Omega|\lt\infty$ のとき埋め込み $W^{1,p}_0(\Omega)\subset L^q(\Omega)$ はコンパクトである。すなわち、$\{u_m\}_{m=1}^\infty\subset W^{1,p}_0(\Omega)$ が $\displaystyle \sup_{m}\norm{u_m}_{1,p;\Omega}\lt\infty$ をみたすとすると、$\{u_m\}_{m=1}^\infty$ の部分列で $L^q(\Omega)$ で収束するものが存在する。
*(2) $|\Omega|\lt\infty$ で $T\subset\pOm$ が(\ref{D})をみたす相対開集合のとき埋め込み $W^{1,p}_0(\OmT)\subset L^q(\Omega)$ はコンパクトである。
*(3) $\Omega$ を有界な $C^{0,1}$ 領域とすると、埋め込み $W^{1,p}(\Omega)\subset L^q(\Omega)$ はコンパクトである。

{{begin|proof|display=''Proof.''}}
(1)の $\Omega$ が有界かつ $q=p\in[1,n]$ の場合を示す。

開球 $B\subset\R^n$ を $\Omega\rcpt B$ となるようにとる。$\varepsilon\gt 0$ とすると $k=0,1$ について
$$\norm{D^k(\eta_\varepsilon*u_m)}_\infty\le C\varepsilon^{np^{-1}}\norm{D^ku_m}_p$$
であるから $\displaystyle\sup_m|\eta_\varepsilon*u_m|_{1;B}\lt\infty$。

[[Hölder空間の基本事項]]の定理62と対角線論法により、$\{u_m\}_{m=1}^\infty$ の部分列 $\{u_{m_j}\}_{j=1}^\infty$ で任意の $l\in\Zp$ について $\{\eta_{l^{-1}}*u_{m_j}\}_{j=1}^\infty$ が $C(\overline{B})$ において収束し、とくに $L^p(B)$ において収束するものがとれる。{{ref|type=lem|label=cptlem}}より
\begin{align*}
\limsup_{i,j\to\infty}\norm{u_{m_i}-u_{m_j}}_p&\le\limsup_{i,j\to\infty}\left(\norm{\eta_{l^{-1}}*u_{m_i}-\eta_{l^{-1}}*u_{m_j}}_p+C\left(\norm{Du_{m_i}}_p+\norm{Du_{m_j}}_p\right)l^{-1}\right)\\
&\le C\sup_m\norm{Du_m}_pl^{-1}.
\end{align*}
$l\to\infty$ として $\displaystyle\limsup_{i,j\to\infty}\norm{u_{m_i}-u_{m_j}}_p=0$ を得る。

(1)の $\Omega$ が非有界かつ $q=p\in[1,n]$ の場合を示す。$\zeta\in C^\infty_c(B_2(0))$ を $\zeta=1$ in $B_1(0)$ となるようにとり、$\zeta_l(x)\colon=\zeta(l^{-1}x)\ (l\in\Zp)$ とする。(1)の $\Omega$ が有界な場合と対角線論法により $\{u_{m_j}\}_{j=1}^\infty$ で任意の$l\in\Zp$ について $\{\zeta_lu_{m_j}\}_{j=1}^\infty$ が $L^p(\Omega)$ で収束するものがとれる。また
$$\norm{(1-\zeta_l)u_m}_p\le C|\Omega\backslash B_l(0)|^\frac{1}{n}\norm{D((1-\zeta_l)u_m)}_p\le C|\Omega\backslash B_l(0)|^\frac{1}{n}(1+l^{-1})\norm{u_m}_{1,p}.$$
これより
$$\limsup_{i,j\to\infty}\norm{u_{m_i}-u_{m_j}}_p\le\limsup_{i,j\to\infty}\norm{\zeta_l u_{m_i}-\zeta_l u_{m_j}}_p+C|\Omega\backslash B_l(0)|^\frac{1}{n}\sup_m\norm{u_m}_{1,p}.$$
$|\Omega\backslash B_l(0)|\to 0\ (l\to\infty)$ より $l\to\infty$ とすれば $\displaystyle\limsup_{i,j\to\infty}\norm{u_{m_i}-u_{m_j}}_p=0$ を得る。

(1)の $p\in[1,n]$ の場合は $L^p(\Omega)$ で収束する部分列 $\{u_{m_j}\}_{j=1}^\infty$ をとればHölderの不等式と{{ref|type=thm|label=GNS}}、{{ref|type=cor|label=pn}}より
$$\limsup_{i,j\to\infty}\norm{u_{m_i}-u_{m_j}}_q\le\begin{cases}
\limsup_{i,j\to\infty}|\Omega|^{p^{-1}-q^{-1}}\norm{u_{m_i}-u_{m_j}}_p=0\ &\colon q\in[1,p]\\
\limsup_{i,j\to\infty}\norm{u_{m_i}-u_{m_j}}_p^\frac{n}{q}\left(\norm{Du_{m_i}}_p+\norm{Du_{m_j}}_p\right)^{1-\frac{n}{q}}=0\ &\colon q\in(p,p^*)
\end{cases}$$
となり従う。

(1)の $p\in(n,\infty]$ の場合を示す。$q=\infty$ としてよい。$\Omega$ が有界な場合は{{ref|type=thm|label=mor}}と[[Hölder空間の基本事項]]の命題61から従う。$\Omega$ が非有界な場合は $\Omega$ が有界な場合と対角線論法により $l\in\Zp$ について $\{\zeta_lu_{m_j}\}_{j=1}^\infty$ が $L^\infty(\Omega)$ で収束する部分列 $\{u_{m_j}\}_{j=1}^\infty$ がとれ、{{ref|type=thm|label=mor}}より
$$\limsup_{i,j\to\infty}\norm{u_{m_i}-u_{m_j}}_\infty\le\limsup_{i,j\to\infty}\norm{\zeta_lu_{m_i}-\zeta_lu_{m_j}}_\infty+2\sup_m\norm{(1-\zeta_l)u_m}_\infty\le C|\Omega\backslash B_l(0)|^{n^{-1}-p^{-1}}\sup_m\norm{Du}_p.$$

$l\to\infty$ とすれば $\displaystyle\limsup_{i,j\to\infty}\norm{u_{m_i}-u_{m_j}}_\infty=0$ を得る。

(2)、(3)は拡張作用素 $E\colon W^{1,p}(\Omega)\to W^{1,p}_0(\Omega_0)\ (\Omega\rcpt\Omega_0,|\Omega_0|\lt\infty)$ をとって $\{Eu_{m_j}\}_{j=1}^\infty$ が $L^q(\Omega_0)$ で収束する部分列 $\{u_{m_j}\}_{j=1}^\infty$ をとればよい。
{{end|proof}}

{{theorem|type=rmk}}
とくに $q=p$ の場合が重要である。すなわち、$|\Omega|\lt\infty$ のとき埋め込み $W^{1,p}_0(\Omega)\subset L^p(\Omega)$ はコンパクトで、$\Omega$ が有界な $C^{0,1}$ 領域のときは埋め込み $W^{1,p}(\Omega)\subset L^p(\Omega)$ はコンパクトである。

$k\gt j$ なる $j,k\in\Zz$ と $p\in[1,\infty]$ について、帰納法により
$$\begin{cases}
q\in\left[1,\frac{np}{n-(k-j)p}\right)&\colon np\lt k-j\\
q\in[1,\infty)&\colon np=k-j\\
q\in[1,\infty]&\colon np\gt k-j
\end{cases}$$
とすると $|\Omega|\lt\infty$ のとき埋め込み $W^{k,p}_0(\Omega)\subset W^{j,q}(\Omega)$ はコンパクトで、$\Omega$ が有界な $C^{0,1}$ 領域のとき埋め込み $W^{k,p}(\Omega)\subset W^{j,q}(\Omega)$ はコンパクトである。

(1)の仮定「 $|\Omega|\lt\infty$ 」と(2)の仮定「有界」は外すことができない。例えば $\Omega=\R^n$ とし、$u\in C^\infty_c(\R^n)\backslash\{0\}$、$u_m(x)\colon=u(x-me_1)$ とすると $\{u_m\}_m$ は明らかに $W^{1,p}(\R^n)$ で有界である。一方、$u_m\to 0$ a.e. in $\R^n\ (m\to\infty)$ であるから、$\{u_m\}_m$ が $L^q(\R^n)$ で収束する部分列をもつとすればその極限は $0$ であるが、$\norm{u_m}_q=\norm{u}_q\gt 0$ より $\{u_m\}_m$ は $0$ に $L^q(\R^n)$ で収束する部分列をもたず、従って$L^q(\R^n)$ で収束する部分列をもたない。

また、$p\in[1,n)$ のとき $\Omega$ がいかなる開集合であっても $q=p^*$ を含めることはできない。実際、$0\in\Omega$ として一般性を失わない。$u\in C^\infty_c(\R^n)\backslash\{0\}$ として $\lambda\gt 0$ について $u_\lambda(x)\colon=\lambda^{\frac{n}{p}-1}u(\lambda x)$ とすると十分小さい $\lambda\gt 0$ について $u_\lambda\in C^\infty_c(\Omega)$ であり、また変数変換により $\norm{Du_\lambda}_p=\norm{Du}_p$ であるから $\displaystyle\sup_{\lambda\gt 0}\norm{Du_\lambda}_p\lt\infty$。一方、$u_\lambda\to 0$ a.e. in $\Omega\ (\lambda\to +0)$ であるから、$\{u_{m^{-1}}\}_m$ が $L^q(\Omega)$ で収束する部分列をもつとすればその極限は $0$ であるが、$\norm{u_\lambda}_{p^*}=\norm{u}_{p^*}\gt 0$ より $\{u_{m^{-1}}\}_m$ は $0$ に $L^{p^*}(\Omega)$ で収束する部分列をもたず、従って$L^{p^*}(\Omega)$ で収束する部分列をもたない。

{{theorem|type=cor|name=Poincaréの不等式|label=Poi2}}
$\Omega$ が $|\Omega|\lt\infty$ かつ連結で相対開集合 $T\subset\pOm$ が(\ref{D})をみたすとし、$p\in[1,\infty)$ とする。$\mathcal{W}\subset W^{1,p}_0(\OmT)$ はノルム閉集合で $u∈\mathcal{W},t\in\R\implies tu∈\mathcal{W}$ かつ $1\notin\mathcal{W}$ をみたすとする。$u\in \mathcal{W}$ について
$$\norm{u}_{p;\Omega}\le C_{p,\mathcal{W}}\norm{Du}_{p;\Omega}.$$

{{begin|proof|display=''Proof.''}}
主張が成り立たなかったとする。$(u_m)_S=1$ なる $\{u_m\}_{m=1}^\infty\subset \mathcal{W}$ が存在し、$\norm{u_m}_p=1$ かつ $\norm{Du_m}_p\to 0\ (m\to\infty)$ となる。{{ref|type=thm|label=cpt}}より部分列にとりかえてある $u\in L^p(\Omega)$ について $\norm{u_m-u}_p\to 0\ (m\to\infty)$ となるとしてよい。

$\norm{Du_m}_p\to 0\ (m\to\infty)$ であるから $u\in W^{1,p}(\Omega)$、$Du=0$ in $\Omega$ となり $v$ は定数関数である。<ref name="const">$\Omega'\rcpt\Omega$、$\varepsilon\gt 0$ とすると $D(\eta_\varepsilon*u)=\eta_\varepsilon*Du=0$ となり $\eta_\varepsilon*u$ は局所定数関数で、$\varepsilon\to +0$ とすれば $u$ も局所定数関数である。$\Omega$ は連結であるから $u$ は定数関数である。</ref>一方 $\norm{u_m-u}_{1,p}\to 0\ (m\to\infty)$ となるので $u\in\mathcal{W}$。$1\notin\mathcal{W}$ より $\mathcal{W}$ は $0$ 以外の定数関数を含まないので $u=0$。これは $\norm{u_m}_p=1$ より $\norm{u}_p=1$ となることに矛盾。
{{end|proof}}

{{theorem|type=rmk}}
たとえば次が成り立つ:
*(1) $1\notin W^{1,p}_0(\OmT)$ とすると任意の $u\in W^{1,p}_0(\OmT)$ について $\norm{u}\le C_{p,\Omega,T}\norm{Du}$。
*(2) $\delta\gt 0$ とすると $\{u\in L^p(\Omega)\colon |\{u=0\}|\ge\delta\}$ はノルム閉集合である。実際、$\{u_m\}_{m=1}^\infty\subset L^p(\Omega)$ と $u\in L^p(\Omega)$ が $|\{u_m\ge 0\}|\ge\delta$ かつ $\norm{u_m-u}_p\to 0\ (m\to\infty)$ をみたすとすると任意の $r\gt 0$ について $|\{|u_m-u|\gt r\}|\le r^{-p}\norm{u_m-u}_p^p$ であるから任意の $\varepsilon\gt 0$ について十分 $m$ を大きくとれば $|\{|u_m-u|\gt r\}|\le\varepsilon$ となり $\{u_m=0\}\backslash\{|u_m-u|\gt r\}\subset\{|u|\le r\}$ より $|\{|u|\le r\}|\ge\delta-\varepsilon$。$r\to +0$、$\varepsilon\to +0$ として $|\{u=0\}|\ge\delta$ を得る。

これより $\mathcal{W}=\{u\in W^{1,p}_0(\OmT)\colon |\{u=0\}|\ge\delta\}$ も $0$ 以外の定数関数を含まないノルム閉集合であり、$u\in\mathcal{W}$ について $\norm{u}_p\le C_{p,\Omega,T,\delta}\norm{Du}_p$ が成り立つ。
*(3) $\xi\in\pOm\backslash T$ と $r\gt 0$ が存在して $B=B_r(\xi)$ が $B\cap T=\emptyset$ かつ $|B\backslash\Omega|\gt 0$ をみたすとすると $\Omega$ を $\Omega\cup B$ にとりかえて $\mathcal{W}=W^{1,p}_0(\OmT)$ とすることにより任意の $u\in W^{1,p}_0(\OmT)$ について $\norm{u}\le C_{p,\Omega,T}\norm{Du}$。
*(4) $\Omega$ が有界かつ連結な $C^{0,1}$ 領域のとき、$T=\pOm$ として $\mathcal{W}=\{u\in W^{1,p}(\Omega)\colon u_\Omega=0\}$ ( $u_\Omega\colon=\frac{1}{|\Omega|}\int_\Omega u$ )とすると $\mathcal{W}$ は仮定をみたし、任意の $u\in W^{1,p}(\Omega)$ について
$$\norm{u-u_S}_p\le C_{p,\Omega}\norm{Du}_p.$$

(1)、(3)と{{ref|type=thm|label=Poi0}}の(1)、(4)と{{ref|type=thm|label=Poi}}を比較せよ。凸領域は連結かつ $C^{0,1}$ であるから{{ref|type=cor|label=Poi2}}の方がより一般的な不等式である。一方、{{ref|type=thm|label=Poi0}}と{{ref|type=thm|label=Poi}}では $C$ の具体的な表示まで得られているが、{{ref|type=cor|label=Poi2}}の証明は $C$ の具体的な表示を与えていない。

==補間不等式==
ここでは主に
$$\norm{D^ju}_{r;\Omega}\le C\norm{u}_{k,p;\Omega}^{1-\tau}\norm{u}_{q;\Omega}^\tau$$
の形の補間不等式を取り扱う。

{{theorem|type=lem|name=$n=1$、$j=1$、$k=2$ の場合|label=intp1}}
$p,q\in[1,\infty]$ とし、$r\colon=\left(\frac{1}{2}p^{-1}+\frac{1}{2}q^{-1}\right)^{-1}$ とすると $u\in W^{k,p}(\R)$ について
$$\norm{u'}_{1,r;\R}\le C\norm{u^{\prime\prime}}_{p;\R}^\frac{1}{2}\norm{u}_{q;\R}^\frac{1}{2}.$$

{{begin|proof|display=''Proof.''}}
$p,q\in[1,\infty)$ の場合を示す。

$u\in C^\infty_c(\R)\backslash\{0\}$ としてよい。$J=(a,b)\subset\R$ を開区間とする。$x\in J_1\colon=(a,a+\frac{1}{3}|J|)$、$y\in J_2\colon=(b-\frac{1}{3}|J|,b)$ とすると $z\in J$ について
$$\frac{1}{3}|J||u'(z)|\le(y-x)|u'(z)|=\left|u(y)-u(x)-\int_x^y(u'-u'(z))\right|\le|u(y)|+|u(x)|+|J|\int_J|u^{\prime\prime}|.$$
$x\in I_1$、$y\in I_2$ について積分しHölderの不等式を用いると
\begin{align*}
\frac{1}{27}|J|^3|u'(z)|&\le\frac{1}{3}|J|\left(\int_{J_1}|u|+\int_{J_2}|u|\right)+\frac{1}{9}|J|^3\int_J|u^{\prime\prime}|\\
&\le\frac{1}{3}|J|\int_J|u|+\frac{1}{9}|J|^3\int_J|u^{\prime\prime}|\\
&\le\frac{1}{9}|J|^{4-p^{-1}}\norm{u^{\prime\prime}}_{p;J}+\frac{1}{3}|J|^{2-q^{-1}}\norm{u}_{q;J}.
\end{align*}
これより
$$\norm{u'}_{r;J}\le|J|^{r^{-1}}\norm{u'}_{\infty;J}\le 3|J|^{1-\frac{1}{2}(p^{-1}-q^{-1})}\norm{u^{\prime\prime}}_{p;J}+9|J|^{-1+\frac{1}{2}(p^{-1}-q^{-1})}\norm{u}_{q;J}.$$
ここで $U\colon=\{u\neq 0\}$ とする。$x\in U$ について $t\mapsto\norm{u}_{q;(x-t,x+t)}$ と $t\mapsto\norm{u^{\prime\prime}}_{p;(x-t,x+t)}$ は $(0,+\infty)$ から $\R$ へ連続であって
$$(2t)^{-1+\frac{1}{2}(p^{-1}-q^{-1})}\norm{u}_{q;(x-t,x+t)}\to+\infty,(2t)^{1-\frac{1}{2}(p^{-1}-q^{-1})}\norm{u^{\prime\prime}}_{p;(x-t,x+t)}\to 0\ (t\to +0)$$
かつ
$$(2t)^{-1+\frac{1}{2}(p^{-1}-q^{-1})}\norm{u}_{q;(x-t,x+t)}\to 0,(2t)^{1-\frac{1}{2}(p^{-1}-q^{-1})}\norm{u^{\prime\prime}}_{p;(x-t,x+t)}\to +\infty\ (t\to +\infty)$$
であるから中間値の定理より $t_x\in(0,+\infty)$ が存在して
$$(2t_x)^{-1+\frac{1}{2}(p^{-1}-q^{-1})}\norm{u}_{q;(x-t_x,x+t_x)}=(2t_x)^{1-\frac{1}{2}(p^{-1}-q^{-1})}\norm{u^{\prime\prime}}_{p;(x-t_x,x+t_x)}=\norm{u}_{q;(x-t_x,x+t_x)}^\frac{1}{2}\norm{u^{\prime\prime}}_{p;(x-t_x,x+t_x)}^\frac{1}{2}.$$
また $t_x\ge\diam U$ を仮定すると $U\subset(x-t_x,x+t_x)$ より $\norm{u}_{q;(x-t_x,x+t_x)}=\norm{u}_{q;\R}$、$\norm{u^{\prime\prime}}_{p;(x-t_x,x+t_x)}=\norm{u^{\prime\prime}}_{p;\R}$ となり
$$(2t_x)^{2-p^{-1}+q^{-1}}=\frac{\norm{u}_{q;\R}}{\norm{u^{\prime\prime}}_{p;\R}}.$$
これより
$$t_x\le\max\left\{\diam U,\frac{1}{2}\left(\frac{\norm{u}_{q;\R}}{\norm{u^{\prime\prime}}_{p;\R}}\right)^{(2-p^{-1}+q^{-1})^{-1}}\right\}.$$
[[Besicovitchの被覆定理]]より $\{J_i\}_{i=1}^\infty=\{(x_i-t_{x_i},x_i+t_{x_i})\}_{i=1}^j$、$j\in\Zp\cup\{\infty\}$ が存在して
$$U\subset\bigcup_{i=1}^j J_i,\sum_{i=1}^j\chi_{J_i}\le C.$$
$u'=0$ a.e. on $\R\backslash U$ に注意すると
\begin{align*}
\norm{u'}_{r;\R}^r&=\norm{u'}_{r;U}^r\\
&\le\sum_{i=1}^j\norm{u'}_{r;J_i}^r\\
&\le C\sum_{i=1}^j\left(\norm{u}_{q;J_i}\norm{u^{\prime\prime}}_{p;J_i}\right)^\frac{r}{2}\\
&\le C\left(\sum_{i=1}^j\norm{u}_{q;J_i}^q\right)^\frac{r}{2q}\left(\sum_{i=1}^j\norm{u^{\prime\prime}}_{p;J_i}^p\right)^\frac{r}{2p}\\
&\le C\norm{u}_{q;\R}^\frac{r}{2}\norm{u^{\prime\prime}}_{p;\R}^\frac{r}{2}
\end{align*}
を得る。

この定数 $C$ は $p,q$ には依存しないので、$p=\infty$ あるいは $q=\infty$ で $\supp u$ が有界の場合も成り立つ。一般の場合は $\zeta\in C^\infty_c(-2,2)$ を $\zeta=1$ in $(-1,1)$ となるようにとり $\zeta_m(t)\colon=\zeta(m^{-1}t)\ (m\in\Zp)$ として $\zeta_mu$ に補間不等式を用いて $m\to\infty$ とすれば従う。
{{end|proof}}

{{theorem|type=thm|name=補間不等式|label=intp2}}
$j,k\in\Zp$、$j\lt k$、$p,q\in[1,\infty]$ とし、$r\colon=\left(\frac{j}{k}p^{-1}+\frac{k-j}{k}q^{-1}\right)^{-1}$ とする。次が成り立つ:
*(1) $W^{k,p}(\R^n)\cap L^q(\R^n)\subset W^{j,r}(\R^n)$ で $u\in W^{k,p}(\R^n)\cap L^q(\R^n)$ について
$$\norm{D^ju}_{r;\R^n}\le C_{n,j,k}\norm{D^ku}_{p;\R^n}^\frac{j}{k}\norm{u}_{q;\R^n}^\frac{k-j}{k}.$$
*(2) $T\subset\pOm$ が(\ref{D'})をみたす相対開集合のとき $W^{k,p}_0(\OmT)\cap L^q(\Omega)\subset W^{j,r}_0(\OmT)$ で $u\in W^{k,p}_0(\OmT)\cap L^q(\Omega)$ について
$$\norm{D^ju}_{r;\Omega}\le C_{j,k,\Omega,T}\norm{u}_{k,p;\Omega}^\frac{j}{k}\norm{u}_{q;\Omega}^\frac{k-j}{k}.$$
*(3) $\Omega$ が有界なLipschitz領域のとき $W^{k,p}(\Omega)\cap L^q(\Omega)\subset W^{j,r}(\Omega)$ で $u\in W^{k,p}(\Omega)\cap L^q(\Omega)$ について
$$\norm{D^ju}_{r;\Omega}\le C_{j,k,\Omega}\norm{u}_{k,p;\Omega}^\frac{j}{k}\norm{u}_{q;\Omega}^\frac{k-j}{k}.$$

{{begin|proof|display=''Proof.''}}
(1)を示す。(2)と(3)は(1)と拡張作用素により従う。

まず $j=1$、$k=2$、$p,q\in[1,\infty)$ の場合を示す。$u\in C^\infty_c(\R^n)$ としてよい。{{ref|type=lem|label=intp0}}より $i=1,\ldots,n$ について
\begin{align*}
\norm{D_iu}_r&=\left(\int_{\R^{n-1}}\left(\int_\R|D_iu(x_1,\ldots ,x_n)|^rdx_i\right)dx_1\ldots dx_{i-1}dx_{i+1}\ldots dx_n\right)^{r^{-1}}\\
&\le C\left(\int_{\R^{n-1}}\left(\int_\R|D_{ii}u(x_1,\ldots,x_n)|^pdx_i\right)^\frac{r}{2p}\left(\int_\R|u(x_1,\ldots ,x_n)|^qdx_i\right)^\frac{r}{2q}dx_1\ldots dx_{i-1}dx_{i+1}\ldots dx_n\right)^{r^{-1}}\\
&\le C\norm{D_{ii}u}_p^\frac{1}{2}\norm{u}_q^\frac{1}{2}.
\end{align*}
これより $\norm{Du}_r\le C\norm{u}_p^\frac{1}{2}\norm{D^2u}_q^\frac{1}{2}$ を得る。

$j=1$、$k=2$ で $p,q$ のいずれかが $\infty$ の場合を示す。$\supp u$ がコンパクトな場合は $p,q\in[1,\infty)$ の場合の定数 $C$ が $p,q$ に依存していないことから従う。$\supp u$ がコンパクトでない場合は $\zeta\in C^\infty_c(B_2(0))$ を $0\le\zeta\le 1$、$\zeta=1$ in $B_1(0)$ となるようにとり $\zeta_m(x)=\zeta(m^{-1}x)\ (m\in\Zp)$ として $\zeta_mu$ に補間不等式を用いて $m\to\infty$ とすれば従う。

$k=j+1$ の場合を $j$ に関する帰納法により示す。

$j=1$ の場合は既に示した。

ある $j$ について主張が成り立ったとし、$u\in W^{j+2,p}(\R^n)\cap L^q(\R^n)$、$r\colon=\left(\frac{j+1}{j+2}p^{-1}+\frac{1}{j+1}q^{-1}\right)^{-1}$ とする。$j=1$ の場合と仮定より
$$\norm{D^{j+1}u}_r\le C\norm{D^ju}_{\left(\frac{j}{j+2}p^{-1}+\frac{2}{j+1}q^{-1}\right)^{-1}}^\frac{1}{2}\norm{D^{j+2}u}_p^\frac{1}{2}\le C\norm{D^{j+1}u}_r^\frac{j}{2(j+1)}\norm{D^{j+2}u}_{p}^\frac{1}{2}\norm{u}_q^\frac{1}{2(j+1)}.$$
これより
$$\norm{D^{j+1}u}_r\le C\norm{D^{j+2}u}_p^\frac{j+1}{j+2}\norm{u}_q^\frac{1}{j+2}$$
を得る。

一般の場合を $j$ を固定し $k$ に関する帰納法により示す。

$k=j+1$ の場合は既に示した。

ある $k$ について主張が成り立ったとし、$u\in W^{k+1,p}(\R^n)\cap L^q(\R^n)$、$r\colon=\left(\frac{j}{k+1}p^{-1}+\frac{k-j+1}{k+1}q^{-1}\right)^{-1}$ とする。$k=j+1$ の場合と仮定より
$$\norm{D^ju}_r\le C\norm{D^ku}_{\left(\frac{k}{k+1}p^{-1}+\frac{1}{k+1}q^{-1}\right)^{-1}}^\frac{j}{k}\norm{u}_q^\frac{k-j}{k}\le C\norm{D^ju}_r^\frac{j}{k(k-j+1)}\norm{D^{k+1}u}_p^\frac{j(k-j)}{k(k-j+1)}\norm{u}_q^\frac{k-j}{k}.$$
これより
$$\norm{D^ju}_r\le C\norm{D^{k+1}u}_p^\frac{j}{k+1}\norm{u}_q^\frac{k-j+1}{k+1}$$
を得る。
{{end|proof}}

{{theorem|type=cor|label=equivnorm}}
$\Omega=\R^n$、あるいは $\Omega$ が有界なLipschitz領域のとき $p\in[1,\infty]$ とすると $u\in W^{k,p}(\Omega)$ について
$$\norm{u}_{k,p;\Omega}\le C_{k,\Omega}\left(\norm{u}_{p;\Omega}+\norm{D^ku}_{p;\Omega}\right).$$

{{begin|proof}}
{{ref|type=thm|label=intp2}}で $p=q$ とすると $j=1,\ldots,k-1$ について
$$\norm{D^ju}_{p}\le C\norm{u}_{k,p}^\frac{j}{k}\norm{u}_p^\frac{k-j}{k}\le\frac{1}{2(k-1)}\norm{u}_{k,p}+C\norm{u}_p$$
であるから
$$\norm{u}_{k,p}\le\sum_{j=0}^k\norm{D^ju}_p\le\frac{1}{2}\norm{u}_{k,p}+C(\norm{u}_p+\norm{D^ku}_p)$$
となり
$$\norm{u}_{k,p}\le C(\norm{u}_p+\norm{D^ku}_p)$$
となる。
{{end|proof}}

{{theorem|type=rmk}}
これより $\norm{u}_p+\norm{D^ku}_p$ や $\left(\norm{u}_p^p+\norm{D^ku}_p^p\right)^{p^{-1}}$ は $W^{k,p}(\Omega)$ に $\norm{u}_{k,p}$ と同値なノルムを定めることが従う。

一方Sobolevの不等式を用いるとこれとは異なる補間不等式を得られる。

{{theorem|type=pro|label=intp3}}
$p\in[1,n]$、$q\in[1,\infty)$、$\tau\in(0,1]$ とし、$r\colon=\left((1-\tau)p^{*-1}+\tau q^{-1}\right)^{-1}$ とすると次が成り立つ:
*(1) $W^{1,p}(\R^n)\cap L^q(\R^n)\subset L^r(\R^n)$ で $u\in W^{1,p}(\R^n)\cap L^q(\R^n)$ について
$$\norm{u}_{r;\R^n}\le C_{n,p,q,\tau}\norm{Du}_{p;\R^n}^{1-\tau}\norm{u}_{q;\R^n}^\tau.$$
*(2) $T\subset\pOm$ が(\ref{D})をみたす相対開集合のとき $W^{1,p}_0(\OmT)\cap L^q(\Omega)\subset L^r(\Omega)$ で $u\in W^{1,p}_0(\OmT)\cap L^q(\Omega)$ について
$$\norm{u}_{r;\Omega}\le C_{n,p,q,\tau,\Omega,T}\norm{u}_{1,p;\Omega}^{1-\tau}\norm{u}_{q;\Omega}^\tau.$$
*(3) $\Omega$ が有界な $C^{0,1}$ 領域のとき $W^{1,p}(\Omega)\cap L^q(\Omega)\subset L^r(\Omega)$ で $u\in W^{1,p}(\Omega)\cap L^q(\Omega)$ について
$$\norm{u}_{r;\Omega}\le C_{n,p,q,\tau,\Omega}\norm{u}_{1,p;\Omega}^{1-\tau}\norm{u}_{q;\Omega}^\tau.$$

{{begin|proof|display=''Proof.''}}
(1)を示す。(2)と(3)は(1)と拡張作用素により従う。

$p\in[1,n)$ のときは{{ref|type=thm|label=GNS}}より直ちに従う。以下 $p=n$ とする。

$m\in\Zp$ について{{ref|type=thm|label=GNS}}より
$$\norm{u}_{q+m1^*}^{1^{*-1}q+m}\le C\norm{|u|^{1^{*-1}q+m-1}Du}_1\le C\norm{Du}_n\norm{u}_{q+(m-1)1^*}^{1^{*-1}q+m-1}.$$
帰納法により $m\in\Zp$ について
$$\norm{u}_{q+m1^*}^{1^{*-1}q+m}\le C\norm{Du}_n^m\norm{u}_q^{1^{*-1}q}.$$
ここで $m=\left\lfloor 1^{*-1}(r-q)\right\rfloor$ ととる。このとき $q+m1^*\le r\lt q+(m+1)1^*$ となる。$\theta\in[0,1)$ を $r^{-1}=(1-\theta)(q+m1^*)^{-1}+\theta(q+(m+1)1^*)^{-1}$ となるようにとると
\begin{align*}
\norm{u}_r&\le\norm{u}_{q+m1^*}^{1-\theta}\norm{u}_{q+(m+1)1^*}^\theta\\
&\le C\norm{Du}_n^{m(1-\theta)(1^{*-1}q+m)^{-1}+(m+1)\theta(1^{*-1}q+m+1)^{-1}}\norm{u}_q^{((1-\theta)(1^{*-1}q+m)^{-1}+\theta(1^{*-1}q+m+1)^{-1})1^{*-1}q}\\
&=C\norm{Du}_n^{1-\frac{q}{r}}\norm{u}_q^{\frac{q}{r}}=C\norm{Du}_n^{1-\tau}\norm{u}_q^\tau.
\end{align*}
{{end|proof}}

{{theorem|type=rmk}}
$p=q=n$ の場合より、$|\Omega|=\infty$ の場合でも任意の $r\in[n,\infty)$
について $W^{1,n}_0(\Omega)\subset L^r(\Omega)$ で $u\in W^{1,n}_0(\Omega)$ について $\norm{u}_{r;\Omega}\le C_{n,r}\norm{u}_{1,n;\Omega}$ が成り立つ。{{ref|type=cor|label=pn}}と比較せよ。

{{ref|type=thm|label=intp2}}と{{ref|type=pro|label=intp3}}を組み合わせてより一般的な補間不等式を得る。

{{theorem|type=lem|label=intp4}}
$k\in\Zz$、$\alpha\in[0,1]$、$q\in[1,\infty]$ とする。$\theta\in[0,1]$ について次が成り立つ:
*(1) $\sigma\colon=(1-\theta)(k+\alpha)-\frac{\theta n}{q}\le 0$ のとき $r\colon=\frac{n}{\sigma}$ とすると $u\in C^{k,\alpha}(\R^n)\cap L^q(\R^n)$ について
$$\norm{u}_{r;\R^n}\le C_{p,k,\alpha,\tau}[u]_{k,\alpha;\R^n}^{1-\theta}\norm{u}_{q;\R^n}^\theta.$$
*(2) $\sigma\gt 0$ のとき $j\colon=\lceil \sigma\rceil-1$、$\beta\colon=\sigma-j$ とすると　$u\in C^{k,\alpha}(\R^n)\cap L^q(\R^n)$ について
$$[u]_{j,\beta;\R^n}\le C_{p,k,\alpha,\tau}[u]_{k,\alpha;\R^n}^{1-\theta}\norm{u}_{q;\R^n}^\theta.$$

{{begin|proof}}
$$\theta=\frac{(k+\alpha-\sigma)q}{(k+\alpha)q+n}=\left(1+\frac{\sigma q}{n}\right)\frac{(k+\alpha)q}{(k+\alpha)q+n}-\frac{\sigma q}{n}=\left(1-\frac{\sigma}{k+\alpha}\right)\frac{(k+\alpha)q}{(k+\alpha)q+n}$$
に注意する。

$q=\infty$ の場合は[[Hölder空間の基本事項]]の定理54で既に示されている。<ref name="kaintp">正確には $u|_{B_R(0)}$ に対し定理を適用して $R\to\infty$ とする必要がある。</ref>以下 $q\in[1,\infty)$ とする。

まず $k=0$、$\sigma=0$ の場合を示す。$\alpha=0$ のときは明らかであるから $\alpha\in(0,1]$ としてよい。

$[u]_{0,\alpha}=0$ のときは $u$ は定数関数であって $u\in L^q(\R^n)$ であるから $u\equiv 0$。この場合主張は明らかである。以下 $[u]_{0,\alpha}\neq 0$ とする。

$x\in\R^n$、$u(x)\neq 0$ として $R=\left(\frac{|u(x)|}{2[u]_{0,\alpha}}\right)^{\alpha^{-1}}$ とすると $|u|\ge \frac{1}{2}|u(x)|$ on $B_R(x)$ となり
$$\norm{u}_q\ge\frac{1}{2}|B_R(x)|^{q^{-1}}|u(x)|=\frac{1}{2}\omega_n^{q^{-1}}|u(x)|^{1+\frac{n\alpha^{-1}}{q}}[u]_{0,\alpha}^{-\frac{n\alpha^{-1}}{q}}.$$
$x$ について $\sup$ をとると $\norm{u}^{1+\frac{n\alpha^{-1}}{q}}[u]_{0,\alpha}^{-\frac{n\alpha^{-1}}{q}}\le C\norm{u}_q$。$\theta=\frac{\alpha q}{\alpha q+n}$ であるから
$$\norm{u}_\infty\le C[u]_{0,\alpha}^{1-\theta}\norm{u}_q^\theta$$
を得る。

$k\ge 1$、$\sigma=0$ の場合を示す。$k=0$ の場合と[[Hölder空間の基本事項]]の定理54<ref name=kaintp />より
$$\norm{u}_\infty\le C[u]_{0,1}^\frac{n}{q+n}\norm{u}_q^\frac{q}{q+n}\le C[u]_{k,\alpha}^\frac{n}{(k+\alpha)(q+n)}\norm{u}_\infty^\frac{(k-1+\alpha)n}{(k+\alpha)(q+n)}\norm{u}_q^\frac{q}{q+n}.$$
$\theta=\frac{(k+\alpha)q}{(k+\alpha)q+n}$ であるから
$$\norm{u}_\infty\le C[u]_{k,\alpha}^{1-\theta}\norm{u}_q^\theta$$
を得る。

(1)を示す。Hölderの不等式と $k\ge 1$、$\sigma=0$ の場合より
$$\norm{u}_r\le\norm{u}_\infty^{1+\frac{\sigma q}{n}}\norm{u}_q^{-\frac{\sigma q}{n}}\le[u]_{k,\alpha}^{1-\theta}\norm{u}_q^\theta$$
を得る。

(2)を示す。[[Hölder空間の基本事項]]の定理54<ref name=kaintp />と $k\ge 1$、$\sigma=0$ の場合より
$$[u]_{j,\beta}\le C[u]_{k,\alpha}^\frac{\sigma}{k+\alpha}\norm{u}_\infty^{1-\frac{\sigma}{k+\alpha}}\le C[u]_{k,\alpha}^{1-\theta}\norm{u}_q^\theta$$
を得る。
{{end|proof}}

{{theorem|type=thm|name=Gagliardo-Nirenbergの補間不等式|label=GN}}
$j\in\Zz$、$k\in\Zp$、$j\lt k$ とする。$p,q\in[1,\infty)$ とし、
$$\tau\in\begin{cases}
\left(0,\frac{k-j}{k}\right]&\colon p\in(1,\infty),k-j-\frac{n}{p}\in\Zz\\
\left[0,\frac{k-j}{k}\right]&\colon \rm{otherwise}
\end{cases}$$
をみたすとする。
$$\sigma\colon=(1-\tau)\left(k-\frac{n}{p}\right)-\frac{\tau n}{q}-j$$
とすると次が成り立つ:
*(1) $\sigma\le 0$ のとき $r\colon=-\frac{n}{\sigma}$ とすると $W^{k,p}(\R^n)\cap L^q(\R^n)\subset W^{j,r}(\R^n)$ で $u\in W^{k,p}(\R^n)\cap L^q(\R^n)$ について
$$\norm{D^ju}_{r;\R^n}\le C_{n,p,q,\tau}\norm{D^ku}_{p;\R^n}^{1-\tau}\norm{u}_{q;\R^n}^\tau.$$
また $T\subset\pOm$ が(\ref{D'})をみたす相対開集合のとき $W^{k,p}_0(\OmT)\cap L^q(\Omega)\subset W^{j,r}_0(\OmT)$ で $u\in W^{k,p}_0(\OmT)\cap L^q(\Omega)$ について
$$\norm{D^ju}_{r;\Omega}\le C_{p,q,\Omega,T,\tau}\norm{u}_{k,p;\Omega}^{1-\tau}\norm{u}_{q;\Omega}^\tau.$$
$\Omega$ が有界なLipschitz領域のとき $W^{k,p}(\Omega)\cap L^q(\Omega)\subset W^{j,r}(\Omega)$ で $u\in W^{k,p}(\Omega)\cap L^q(\Omega)$ について
$$\norm{D^ju}_{r;\Omega}\le C_{p,q,\Omega,\tau}\norm{u}_{k,p;\Omega}^{1-\tau}\norm{u}_{q;\Omega}^\tau.$$
*(2) $\sigma\gt 0$ のとき $j'\colon=j+\lceil\sigma\rceil-1$、$\alpha\colon=\sigma-(\lceil\sigma\rceil-1)$ とすると $W^{k,p}(\R^n)\cap L^q(\R^n)\subset C^{j',\alpha}(\R^n)$ で $u\in W^{k,p}(\R^n)\cap L^q(\R^n)$ について
$$[u]_{j',\alpha;\R^n}\le C_{n,p,q,\tau}\norm{D^ku}_{p;\R^n}^{1-\tau}\norm{u}_{q;\R^n}^\tau.$$
また $T\subset\pOm$ が(\ref{D'})をみたす相対開集合のとき $W^{k,p}_0(\OmT)\cap L^q(\Omega)\subset C^{j',\alpha}(\Ombar)$ で $u\in W^{k,p}_0(\OmT)\cap L^q(\Omega)$ について
$$[u]_{j',\alpha;\Omega}\le C_{p,q,\Omega,T,\tau}\norm{u}_{k,p;\Omega}^{1-\tau}\norm{u}_{q;\Omega}^\tau.$$
$\Omega$ が有界なLipschitz領域のとき $W^{k,p}(\Omega)\cap L^q(\Omega)\subset C^{j',\alpha}(\Ombar)$ で $u\in W^{k,p}(\Omega)\cap L^q(\Omega)$ について
$$[u]_{j',\alpha;\Omega}\le C_{p,q,\Omega,\tau}\norm{u}_{k,p;\Omega}^{1-\tau}\norm{u}_{q;\Omega}^\tau.$$

{{begin|proof|display=''Proof.''}}
$\Omega=\R^n$ の場合を示す。その他は拡張作用素により従う。

$u\in C^\infty(\R^n)$ としてよい。表記を簡単にするため次の記号を用いる: $k\in\Zz$、$\sigma\ge k-n$ について
$$\langle u\rangle_{k,\sigma}\colon=\begin{cases}
\norm{D^ku}_{\frac{n}{k-\sigma}}&\colon \sigma\in[k-n,k]\\
[u]_{\lceil\sigma\rceil-1,\sigma-(\lceil\sigma\rceil-1)}&\colon \sigma\gt k
\end{cases}.$$
{{ref|type=thm|label=gsob}}より $j,k\in\Zz$、$j\lt k$ で $\sigma\ge k-n$ が $\sigma-j\notin\Zz$、$\sigma=k-n$、$\sigma=k$ のいずれかをみたすとき
$$\langle u\rangle_{j,\sigma}\le C\langle u\rangle_{k,\sigma}.$$
{{ref|type=thm|label=intp2}}より $j,k\in\Zp$、$j\lt k$、$\sigma\in[k-n,0]$、$\sigma'\in[-n,0]$ について
$$\langle u\rangle_{j,\frac{k-j}{k}\sigma+\frac{j}{k}\sigma'}\le C\langle u\rangle_{k,\sigma}^\frac{k-j}{k}\langle u\rangle_{0,\sigma'}^\frac{j}{k}.$$
{{ref|type=pro|label=intp3}}より $k\in\Zp$、$\sigma\in[k-n,k-1]$、$\sigma\in[k-n,0]$、$\tau\in[0,1)$ について
$$\langle u\rangle_{k-1,(1-\tau)\sigma+\tau\sigma'}\le C\langle u\rangle_{k,\sigma}^{1-\tau}\langle u\rangle_{k-1,\sigma'}^\tau.$$
Hölderの不等式と{{ref|type=lem|label=intp4}}と[[Hölder空間の基本事項]]の定理54<ref name="kaintp" />より $k\in\Zz$、$\sigma,\sigma'\ge k-n$、$\theta\in[0,1]$ について
$$\langle u\rangle_{k,(1-\theta)\sigma+\theta\sigma'}\le C\langle u\rangle_{k,\sigma}^{1-\theta}\langle u\rangle_{k,\sigma'}^{\theta}.$$
また主張は次のように表される: $k\in\Zp$、$\sigma\in [k-n,k]$、$\sigma'\in [-n,0]$ とし、
$$\begin{cases}
\tau\in\left[\frac{j}{k},1\right)&\colon \sigma\in(k-n,k),\sigma-j\in\Zz\\
\tau\in\left[\frac{j}{k},1\right]&\colon \rm{otherwise}
\end{cases}$$
とすると
$$\langle u\rangle_{j,(1-\tau)\sigma+\tau\sigma'}\le C\langle u\rangle_{k,\sigma}^{1-\tau}\langle u\rangle_{\sigma'}^\tau.$$

$\tau=\frac{k-j}{k}$ の場合および $\sigma-j\notin\Zz$、$\sigma=k-n$ あるいは $\sigma=k$ で $\tau=0$ の場合は{{ref|type=thm|label=genSob}}、{{ref|type=thm|label=lip}}から直ちに従う。

$\sigma\in\left(k-n,k\right)$、$\sigma-j\in\Zz$、$\tau\in\left(0,\frac{1}{k}\right]$ とする。

$\sigma\in\Z$ より $\sigma\le k-1$ であるから
$$\langle u\rangle_{k-1,(1-\tau)\sigma+\tau\sigma'}\le C\langle u\rangle_{k,\sigma}^{1-k\tau}\langle u\rangle_{k-1,\frac{k-1}{k}\sigma+\frac{1}{k}\sigma'}^{k\tau}\le C\langle u\rangle_{k,\sigma}^{1-\tau}\langle u\rangle_{k,\sigma'}^\tau$$
となり $j=k-1$ の場合が従う。また $\sigma\ge j\gt 0\le\sigma'$ より十分小さく $\tau$ をとれば $(1-\tau)\sigma+\tau\sigma'\notin\Z$ となり $j=1,\ldots,k-2$ について $\langle u\rangle_{j,(1-\tau)\sigma+\tau\sigma'}\le C\langle u\rangle_{k-1,(1-\tau)\sigma+\tau\sigma'}$ となりこの場合も従う。

また $\tau=\tau_1,\tau_2$ について主張が成り立ったとして $\theta\in[0,1]$、$\tau=(1-\theta)\tau_1+\theta\tau_2$ とすると
$$(1-\tau)\sigma+\tau\sigma'=(1-\theta)((1-\tau_1)\sigma+\tau_1\sigma')+\theta((1-\tau_2)\sigma+\tau_2\sigma'),(1-\theta)(1-\tau_1)+\theta(1-\tau_2)=1-\tau$$
であるから
$$\langle u\rangle_{j,(1-\tau)\sigma+\tau\sigma'}\le C\langle u\rangle_{j,(1-\tau_1)\sigma+\tau_1\sigma'}^{1-\theta}\langle u\rangle_{j,(1-\tau_2)\sigma+\tau_2\sigma'}^\theta\le C\langle u\rangle_{k,\sigma}^{1-\tau}\langle u\rangle_{\sigma'}^\tau.$$
以上より主張が従う。
{{end|proof}}

==トレース作用素==
最後に $u\in W^{1,p}(\Omega)$ に「境界値」を定めるトレース作用素について述べる。$n=1$ の場合と $p\in(n,\infty]$ の場合は適切な仮定の下 $W^{1,p}(\Omega)\subset C^{0,1-\frac{n}{p}}(\Ombar)$ であったから $u\in W^{1,p}(\Omega)$ には境界値を定めることができるが、そうでない場合も $\Omega$ が $C^{0,1}$ 以上のなめらかさがある境界部分をもつとき $u\in W^{1,p}(\Omega)$ にその上の「弱い意味の境界値」を定めることができる。

{{theorem|type=lem|label=halfspcase}}
$\mu=(\mu_1,...,\mu_n)\in B_1(0)$、$\xi\in\R^n$ とし、$\Omega\colon=\{x\in\R^n\colon \mu\cdot(x-\xi)\gt 0\}$ を半空間とする。$u\in C^{0,1}(\Ombar)$ で $\supp u$ が有界なものについて
$$\int_\Omega D_iu=-\mu_i\int_\pOm ud\H^{n-1}.$$

{{begin|proof}}
$\xi=0$ としてよい。Lipschitz連続関数 $x\mapsto \mu\cdot x$ に対して[[Hausdorff測度とarea_coarea_formula|coarea formula]]を用いると
\begin{align*}
\int_\Omega D_\mu u&=\int_0^\infty\left(\int_{\{\mu\cdot y=t\}}D_\mu u(y)d\H^{n-1}(y)\right)dt\\
&=\int_0^\infty\left(\int_\pOm D_\mu u(x+t\mu)d\H^{n-1}(x)\right)dt\\
&=-\int_\pOm ud\H^{n-1}.
\end{align*}
一方 $\mu'\in\R^n\backslash\{0\}$、$\mu'\cdot\mu=0$ とするとcoarea formulaより
\begin{align*}
\int_\Omega D_{\mu'}u&=\int_\R\left(\int_{\{\mu\cdot y\gt 0,\mu'\cdot y=t\}}D_{\mu'}u(y)d\H^{n-1}(y)\right)|\mu'|^{-1}dt\\
&=\int_\R\left(\int_{\{\mu\cdot y\gt 0,\mu'\cdot y=0\}}D_{\mu'}u(x+t\mu')d\H^{n-1}(x)\right)|\mu'|^{-1}dt\\
&=0.
\end{align*}
$i=1,...,n$ について $(e_i-\mu_i\mu)\cdot\mu=0$ であるから
$$\int_\Omega D_iu=\mu_i\int_\Omega D_\mu u+\int_\Omega D_{e_i-\mu_i\mu}u=-\mu_i\int_\pOm ud\H^{n-1}.$$
{{end|proof}}

{{theorem|type=lem|label=tracelem}}
$S\subset\R^n$ が $|S|=0$ をみたすとすると $f\in L^1_\loc(\R^n)$ について
$$\lim_{r\to+0}\frac{1}{r^{n-1}}\int_{B_r(x)}|f|=0\ \H^{n-1}-\ae x\in S.$$

{{begin|proof|display=''Proof.''|collapsible=1}}
$S$ は有界であるとしてよい。$\sigma\gt 0$ とし、
$$A_\sigma\colon=\left\{x\in\R^n\colon\limsup_{r\to+0}\frac{1}{r^{n-1}}\int_{\Bb_r(x)}|f|\gt\sigma\right\}$$
として $\H^{n-1}(A_\sigma)=0$ を示せば十分。

$S$ は有界で $|S|$ をみたすので $S$ の有界な開近傍 $U_1\supset U_2\ldots\supset S$ で $\displaystyle \left|\bigcap_{i=1}^\infty U_i\right|=0$ となるものをとれ、$\displaystyle\int_{U_1}|f|\lt\infty$ より $\displaystyle \lim_{i\to\infty}\int_{U_i}|f|=0$ となる。これより $\varepsilon\gt 0$ とすると $S$ の有界な開近傍 $U$ で $\displaystyle\int_{U}|f|\lt\varepsilon$ となるものをとれる。

$\varepsilon\gt 0$、$\delta\gt 0$ とし、$S\subset U$
$$\B\colon=\left\{\Bb=\Bb_r(x)\colon x\in A_\sigma,r\lt\delta,\Bb\subset U,\int_{\Bb}|f|\ge\sigma r^{n-1}\right\}$$
とすると、任意の $x\in A_\sigma$ と $\varepsilon\gt 0$ について $r\in(0,\varepsilon)$ が存在して $B_r(x)\in\B$。

[[Vitaliの被覆定理]]より $\{\Bb_i\}_{i=1}^\infty=\{\Bb_{r_i}(x_i)\}_{i=1}^\infty\subset\B$ で $i\neq j\implies \Bb_i\cap\Bb_j=\emptyset$ かつ $\displaystyle A_\sigma\subset\bigcup_{i=1}^\infty\Bb_{5r_i}(x_i)$ となるものが存在する。これより
$$\H^{n-1}_{10\delta}(A_\sigma)\colon=\omega_{n-1}\sum_{i=1}^\infty(5r_i)^{n-1}\le 5^{n-1}\omega_m\sum_{i=1}^\infty\int_{\Bb_i}|f|=5^{n-1}\omega_n\int_{\bigcup_{i=1}^\infty\Bb_i}|f|\le 5^{n-1}\omega_n\int_U|f|\lt\varepsilon.$$
$\delta\to +0$ として $\H^{n-1}(A_\sigma)\lt\varepsilon$ を得る。
{{end|proof}}

{{theorem|type=thm|name=トレース作用素|label=trace}}
$S\subset\pOm$ を $C^{0,1}$ 境界部分とする。$p\in[1,\infty)$、$u\in W^{1,p}(\Omega)$ とすると $\H^{n-1}$ -a.e. $\xi\in S$ について
$$Tu(\xi)\colon=\lim_{r\to +0}\frac{1}{|B_r(\xi)\cap\Omega|}\int_{B_r(\xi)\cap\Omega}u$$
は収束する。また $Tu\in L^p_\loc(S,\H^{n-1})$ で相対開集合 $S'\rcpt S$ について
$$\int_{S'} |Tu|^pd\H^{n-1}\le C_{p,S'}\int_\Omega\left(|u|^p+|u|^{p-1}|Du|\right).$$

{{begin|proof|display=''Proof.''|collapsible=1}}
$\xi\in\overline{S'}$ について開集合 $U_\xi\subset\R^n$ と全単射 $\psi_\xi\colon 2Q\to U_\xi$ が存在して $U_\xi\cap\Omega=\psi_\xi(2Q_+)$、$U_\xi\cap\pOm=\psi_\xi(2Q_0)$ かつ $\psi_\xi$ と $\psi_\xi^{-1}$ はいずれも $C^{0,1}$ 写像となる。$\overline{S'}$ はコンパクトであるから $\xi_1,\ldots ,\xi_N\in\overline{S'}$ を $\displaystyle\overline{S'}\subset\bigcup_{i=1}^N\psi_\xi(Q)$ となるようにとれる。$U_{\xi_i}$、$\psi_{\xi_i}$ をそれぞれ $U_i$、$\psi_i$ と置きなおす。$V_i\colon=\psi_i(Q)$ とする。$i=1,\ldots ,N$ について $L_i\colon=\max\{L(\psi|_Q),L(\psi^{-1}|_{V_i})^{-1}\}$ とする。

$\chi\in C^\infty([0,1])$ を $\chi(0)=1$ かつ $\chi(1)=0$ となるようにとる。Area不等式([[Hausdorff測度とarea_coarea_formula]]の定理19)より $u\in C^{0,1}(\Omega\cup S')\cap W^{1,p}(\Omega)$ と $p\in[1,\infty)$ について
\begin{align*}
\int_{V_i\cap\pOm}|u|^pd\H^{n-1}&\le L_i^n\int_{Q_0}|u\circ\psi_i|^pd\H^{n-1}\\
&=-pL_i^n\int_{Q_+}\frac{\partial}{\partial x_n}\left(\chi(x_n)|u(\psi_i(x',x_n))|^p\right)dx\\
&\le C\int_{Q_+}\left(|u\circ\psi_i|^p+|u\circ\psi_i|^{p-1}|D_n(u\circ\psi)|\right)\\
&\le C\int_{V_i\cap\Omega}\left(|u|^p+|u|^{p-1}|Du|\right).
\end{align*}
$i$ について加えて
$$\int_{S'} |u|^pd\H^{n-1}\le C\int_\Omega\left(|u|^p+|u|^{p-1}|Du|\right)$$
を得る。

{{ref|type=cor|label=apx4}}より $u\mapsto u|_{S'}$ は $W^{1,p}(\Omega)$ から $L^p(S',\H^{n-1})$ への有界線型作用素 $T$ に一意的に拡張される。$u_m\in C^\infty(\Omega\cup S')\cap W^{1,p}(\Omega)$、$\norm{u_m-u}_{1,p}\to 0\ (m\to\infty)$ とすると $\int_\pOm|u_m-Tu|^pd\H^{n-1}\to 0\ (m\to\infty)$ であるから部分列に移って $u_m\to Tu\ \H^{n-1}$ -a.e. on $S'$ となるようにできてFatouの補題により
$$\int_{S'} |Tu|^pd\H^{n-1}\le\liminf_{m\to\infty}\int_{S'}|u_m|^pd\H^{n-1}\le C\liminf_{m\to\infty}\int_\Omega\left(|u_m|^p+|u_m|^{p-1}|Du_m|\right)=\int_\Omega\left(|u|^p+|u|^{p-1}|Du|\right).$$

$u\in W^{1,p}(\Omega)$ について
$$\lim_{r\to +0}\frac{1}{|B_r(\xi)\cap\Omega|}\int_{B_r(\xi)\cap\Omega}|u-Tu(\xi)|=0\ \H^{n-1}-\ae \xi\in S'\tag{*}\label{trace}$$
を示す。

$i=1,\ldots ,N$ とする。Lebesgueの微分定理より $\H^{n-1}$ -a.e. $\eta\in Q_0$ について
$$\lim_{r\to+0}\frac{1}{s^{n-1}}\int_{B_s(\eta)\cap Q_0}|Tu\circ\psi_i-Tu(\psi_i(\eta))|d\H^{n-1}=0.$$
また $y\in Q_+$ を $(y',y_n)\in(-1,1)^{n-1}\times(0,1)$ と表すと $v\in C^\infty(\Omega\cup S)$ と $\eta\in Q_0$、$(B_s(\eta)\cap Q_0)\times(0,s)\subset Q_+$ について
\begin{align*}
\int_{(B_s(\eta)\cap Q_0)\times(0,s)}|v(\psi_i(y))-v(\psi_i(y',0))|&=\int_{(B_s(\eta)\cap Q_0)\times(0,s)}\left(\int_0^{y_n}|D_n(v\circ\psi_i)(y',t)|dt\right)dy\\
&=\int_{(B_s(\eta)\cap Q_0)\times(0,s)}(s-y_n)|D_n(v\circ\psi_i)(y)|dy\\
&\le s\int_{(B_s(\eta)\cap Q_0)\times(0,s)}|D_n(v\circ\psi_i)v|.
\end{align*}
area不等式より $\varphi\mapsto\varphi\circ\psi_i$ は $L^1(V_i\cap\pOm,\H^{n-1})$ から $L^1(Q_0,\H^{n-1})$ へ有界であることに注意すると近似により
$$\int_{(B_s(\eta)\cap Q_0)\times(0,s)}|u(\psi(y))-Tu(\psi_i(y',0))|dy\le s\int_{(B_s(\eta)\cap Q_0)\times(0,s)}|D_n(u\circ\psi_i)|.\tag{**}\label{trace2}$$
$(B_s(\eta)\cap Q_0)\times(0,s)\subset B_{\sqrt{2}s}(\eta)\cap Q_+$ と{{ref|type=lem|label=tracelem}}より $\H^{n-1}$ -a.e. $\eta\in Q_+$ について
$$\frac{1}{s^n}\int_{(B_s(\eta)\cap Q_0)\times(0,s)}|u(\psi_i(y))-Tu(\psi_i(y',0))|dy\le \frac{1}{s^{n-1}}\int_{B_{\sqrt{2}s}(\eta)\cap Q_+}|D_n(u\circ\psi_i)|\to 0\ (s\to+0).$$
これより $\H^{n-1}$ -a.e. $\eta\in Q_+$ について
\begin{align*}
&\quad\frac{1}{s^n}\int_{(B_s(\eta)\cap Q_0)\times(0,s)}|u\circ\psi_i-Tu(\psi_i(\eta))|\\
&\le\frac{1}{s^n}\int_{(B_s(\eta)\cap Q_0)\times(0,s)}|u(\psi_i(y))-Tu(\psi_i(y'))|dy+\frac{1}{s^{n-1}}\int_{B_s(\eta)\cap Q_0}|Tu\circ\psi_i-Tu(\psi_i(\eta))|d\H^{n-1}\\
&\to 0\ (s\to +0).
\end{align*}
また $\xi\in V_i\cap\pOm$ と十分小さい $r\gt 0$ について $\psi_i^{-1}(B_r(\xi)\cap\Omega)\subset B_{Lr}(\psi_i^{-1}(\xi))\cap Q_+\subset (B_{Lr}(\psi_i^{-1}(\xi))\cap Q_0)\times(0,Lr)$ かつ
$|B_r(\xi)\cap\Omega|\ge L_i^{-1}|B_{L_i^{-1}r}(\psi_i^{-1}(\xi))\cap Q_+|\ge\frac{1}{2}\omega_nL_i^{-2n}r^n$ となることとArea不等式より $\H^{n-1}$ -a.e. $\xi\in V_i\cap\pOm$ について
$$\frac{1}{|B_r(\xi)\cap\Omega|}\int_{B_r(\xi)\cap\Omega}|u-Tu(\xi)|\le \frac{C}{r^n}\int_{(B_{Lr}(\psi_i^{-1}(\xi))\cap Q_0)\times(0,Lr)}|u\circ\psi_i-Tu(\xi)|\to 0\ (r\to+0).$$
これより(\ref{trace})が成り立ち、とくに
$$\lim_{r\to +0}\frac{1}{|B_r(\xi)\cap\Omega|}\int_{B_r(\xi)\cap\Omega}u=Tu(\xi)\ \H^{n-1}-\ae \xi\in S'.$$

$S'\rcpt S$ は任意であったから、これにより $T\colon W^{1,p}(\Omega)\to L^p_\loc(S,\H^{n-1})$ が定まる。
{{end|proof}}

{{theorem|type=def|label=deftrace}}
$T$ を $\Omega$ におけるトレース作用素という。

{{theorem|type=rmk}}
$T$ の表示から明らかに $u\in W^{1,p}(\Omega)\cap C(\Omega\cup S)$ については $Tu=u|_S$ である。この意味で $Tu$ は $u$ の「弱い意味の境界値」となっている。

$\Omega$ が $C^{0,1}$ 領域のときは $S=\pOm$ ととれる。とくに $\Omega$ が有界な場合は $\pOm$ はコンパクトであるから $S'=\pOm$ ととれ、このとき $T\colon W^{1,p}(\Omega)\to L^p_{\loc}(\pOm,\H^{n-1})=L^p(\pOm,\H^{n-1})$ は有界線型作用素である。

{{theorem|type=pro|name=合成関数と積|label=traceelm}}
$S\subset\pOm$ を $C^{0,1}$ 境界部分とし、$T$ を $\Omega$ におけるトレース作用素とする。次が成り立つ:
*(1) $u=(u_1,\ldots,u_m)\in W^{1,p}(\Omega)^m$ と $G\in C^1(\R^m)$ が $G(u)\in W^{1,p}(\Omega)$ をみたすとき $T(G(u))=G(Tu)$ on $S$。ここで $Tu\colon=(Tu_1,\ldots,Tu_m)\in L^p_{\loc}(S,\H^{n-1})^m$ である。

また $u\in W^{1,p}(\Omega)$ と $G\in W^{1,1}_{\loc}(\R)$ が{{ref|type=thm|label=chain2}}の仮定をみたすとき $T(G(u))=G(Tu)$ on $S$。
*(2) $u_1,\ldots,u_m\in W^{1,p}(\Omega)$ が $u_1\ldots u_m\in W^{1,p}(\Omega)$ をみたすとき $T(u_1\ldots u_m)=Tu_1\ldots Tu_m$ on $S$。

{{begin|proof}}
(1)を示す。(2)は(1)で $G(t_1,\ldots,t_m)=t_1\ldots t_m$ とすれば従う。

$G'\in L^\infty(\R^m)^m$ の場合を示す。一般の場合は{{ref|type=thm|label=chain1}}と{{ref|type=thm|label=chain2}}の証明で与えた近似により従う。

このとき $G\in C^{0,1}(\R^m)$ であるから $\H^{n-1}$-a.e.$\xi\in S$ について
$$\frac{1}{r^n}\int_{B_r(\xi)\cap\Omega}|G(u)-G(Tu(\xi))|\le\frac{[G]_{0,1}}{r^n}\int_{B_r(\xi)\cap\Omega}|u-Tu(\xi)|\to 0\ (r\to +0).$$
これより $T(G(u))=G(Tu)$ が従う。
{{end|proof}}

{{theorem|type=pro|name=変数変換|label=tracechavar}}
$D,\widetilde{D}\subset\R^n$ を開集合とし、$\psi\colon\widetilde{D}\to D$ は全単射で $\psi$ と $\psi^{-1}$ はともに $C^{0,1}$ 写像であるとする。$\widetilde{\Omega}\rcpt\widetilde{D}$ を開集合として $\widetilde{S}\subset\partial\widetilde{\Omega}$ を $C^{0,1}$ 境界部分とし、 $\Omega\colon=\psi(\widetilde{\Omega})$、$S\colon=\psi(\widetilde{S})$ とする。$T$、$\widetilde{T}$ をそれぞれ $\Omega$、$\widetilde{\Omega}$ におけるトレース作用素とする。 $u\in W^{1,p}(\Omega)$ について $\widetilde{T}(u\circ\psi)=Tu\circ\psi$ on $\widetilde{S}$。

{{begin|proof}}
$u\in C^\infty(\Omega\cup T)\cap W^{1,p}(\Omega)$ の場合は明らか。一般の場合は近似により従う。
{{end|proof}}

{{theorem|type=thm|name=トレースの核の特徴づけ|label=trace0}}
$S\subset\pOm$ を $C^{0,1}$ 境界部分とし、$T$ を $\Omega$ におけるトレース作用素とする。 $p\in[1,\infty)$、$u\in W^{1,p}(\Omega)$ について次は同値:
*(1) $Tu=0$ on $S$。
*(2) 任意の $\zeta\in C^\infty_c((\R^n\backslash\pOm)\cup S)$ について $\zeta u\in W^{1,p}_0(\Omega)$。

とくに $\Omega$ が $C^{0,1}$ 領域のとき
$$\left\{u\in W^{1,p}(\Omega)\colon Tu=0\ \on\pOm\right\}=W^{1,p}_0(\Omega).$$

{{begin|proof|display=''Proof.''|collapsible=1}}
(2) $\implies$ (1) を示す。$u\in C^\infty_c(\Omega)$ のときは $Tu=0$ であるから $u\in W^{1,p}_0(\Omega)$ についても $Tu=0$。

任意の $\zeta\in C^\infty_c((\R^n\backslash\pOm)\cup S)$ について $\zeta u\in W^{1,p}_0(\Omega)$ となるとする。$S'\rcpt S$ とし、$\zeta\in C^\infty_c((\R^n\backslash\pOm)\cup S)$ を $\zeta=1$ on $S'$ かつ $\supp\zeta\rcpt\Omega\cup S$ となるようにとると $\zeta u\in W^{1,p}_0(\Omega)$ より $\zeta Tu=T(\zeta u)=0$。これより $Tu=0$ on $S'$。$S'\rcpt S$ は任意より $Tu=0$ を得る。

(1) $\implies$ (2) を示す。 $u\in W^{1,p}(\Omega)$ が $Tu=0$ をみたすとし、$\zeta\in C^\infty_c((\R^n\backslash\pOm)\cup S)$ とする。$S'\colon=\{\xi\in S\colon \zeta(\xi)\neq 0\}$ とすると $S'\rcpt S$。

{{ref|type=thm|label=trace}}と同様に $U_\xi$、$\psi_\xi$ をとり、$V_\xi$ を定める。また $W_\xi\colon=\psi_\xi(\frac{1}{2}Q)$ とする。$\xi_1,\ldots ,\xi_N\in\pOm$ を $\displaystyle \pOm\subset\bigcup_{i=1}^N W_{\xi_i}$ となるようにとり、$U_{\xi_i}$、$\psi_{\xi_i}$、$V_{\xi_i}$、$W_{\xi_i}$ をそれぞれ $U_i$、$\psi_i$、$V_i$、$W_i$ と置きなおす。

{{ref|type=thm|label=trace}}の証明の(\ref{trace2})と同様の計算により $s\in(0,1)$ について
$$\int_{(-1,1)^{n-1}\times(0,s)}|u\circ\psi_i|\le s\int_{(-1,1)^{n-1}\times(0,s)}|D_n(u\circ\psi_i)|.$$
$u$ を $|u|^p$ にとりかえれば
\begin{align*}
\int_{(-1,1)^{n-1}\times(0,s)}|u\circ\psi_i|^p&\le s\int_{(-1,1)^{n-1}\times(0,s)}|u\circ\psi_i|^{p-1}|D_n(u\circ\psi_i)|\\
&\le s\left(\int_{(-1,1)^{n-1}\times(0,s)}|u\circ\psi_i|^p\right)^{1-p^{-1}}\left(\int_{(-1,1)^{n-1}\times(0,s)}|D_nu\circ\psi_i|^p\right)^{p^{-1}}.
\end{align*}
これより
$$\int_{(-1,1)^{n-1}\times(0,s)}|u\circ\psi_i|^p\le s^p\int_{(-1,1)^{n-1}\times(0,s)}|D_nu\circ\psi_i|^p.$$
$\chi\in C^\infty((0,\infty))$ を
$$0\le\chi\le 1,\chi(t)=0\ \jf t\in(0,1),\chi(t)=1\ \jf t\gt 2$$
となるようにとり、$\chi_s(t)\colon=\chi(s^{-1}t)\ (s\gt 1)$ とする。$v_{s,i}\in W^{1,1}(Q_+)$ を
$$v_{s,i}(y',y_n)\colon=\chi_s(y_n)u(\psi_i(y))$$
と定めると $\supp v_{s,i}\subset[-1,1]^{n-1}\times[s,1]$ で
$$\int_{Q_+}|u\circ\psi_i-v_{s,i}|^p\le\int_{Q_+}(1-\chi_s(y_n))^p|u\circ\psi_i|^p\le\int_{(-1,1)^{n-1}\times(0,s)}|u\circ\psi_i|^p$$
で、
\begin{align*}
\int_{Q_+}|D(u\circ\psi_i-v_{s,i})|^p&\le C\left(\int_{Q_+}(1-\chi_s(y_n))^p|D(u\circ\psi_i)(y)|^pdy+\int_{Q_+}s^{-p}\chi'(s^{-1}y_n)^p|u(\psi_i(y))|^pdy\right)\\
&\le C\left(\int_{(-1,1)^{n-1}\times(0,s)}|D(u\circ\psi_i)(y)|^pdy+s^{-p}\int_{(-1,1)^{n-1}\times(0,s)}|u\circ\psi_i|^p\right)\\
&\le C\int_{(-1,1)^{n-1}\times(0,s)}|D(u\circ\psi_i)(y)|^pdy.
\end{align*}
これより
$$\norm{u\circ\psi_i-v_{s,i}}_{1,p}\to 0\ (s\to +0).$$
$\R^n$ の開被覆 $\R^n\backslash\pOm,W_1,\ldots ,W_N$ に従属する $1$ の分割 $\varphi_0,\varphi_1,\ldots ,\varphi_N$ をとって
$$u_s\colon=\varphi_0\zeta u+\sum_{i=1}^N\varphi_i(\zeta v_{s,i}\circ\psi_i^{-1})$$
とすると
$$\supp u_s\subset\bigcup_{i=1}^N \psi_i([-1,1]^{n-1}\times[s,1])$$
となり $u_s\in C^\infty_c(\Omega)$。また $\norm{u_s-\zeta u}_{1,p}\to 0\ (s\to +0)$。これより $\zeta u\in W^{1,p}_0(\Omega)$。
{{end|proof}}

{{theorem|type=pro|name=トレースSobolev不等式|label=TSob}}
$S\subset\pOm$ を $C^{0,1}$ 境界部分とし、$T$ を $\Omega$ におけるトレース作用素とする。$p\in(1,n)$ とすると $T(W^{1,p}(\Omega))\subset L^\frac{(n-1)p}{n-p}_\loc(S,\H^{n-1})$ で $u\in W^{1,p}(\Omega)$ と相対開集合 $S'\rcpt S$ について
$$\norm{Tu}_{\frac{(n-1)p}{n-p};S'}\le C_{p,S'}\norm{u}_{1,p;\Omega}.$$

{{begin|proof|display=''Proof.''|collapsible=1}}
$q\in[1,\infty)$ について
$$\int_{S'}|Tu|^qd\H^{n-1}\le C\int_\Omega\left(|u|^q+|u|^{q-1}|Du|\right)\le C\norm{u}_{p'(q-1)}^{q-1}\left(\norm{u}_p+\norm{Du}_p\right).$$
ここで $q=\frac{(n-1)p}{n-p}$ とすると $p'(q-1)=p^*$ となり
$$\int_{S'}|Tu|^qd\H^{n-1}\le C \norm{u}_{p^*}^{q-1}\norm{u}_{1,p}\le C\norm{u}_{1,p}^q.$$
{{end|proof}}

{{theorem|type=rmk}}
$p=n$ のときは任意の $q\subset[1,\infty)$ について $\norm{u}_{q;S'}\le C_{q,S'}\norm{u}_{1,n;\Omega}$ が成り立つ。また $p\in(n,\infty]$ のときは $Tu\in C^{0,\alpha}(S)$ である。

{{theorem|type=pro|name=トレース作用素のコンパクト性|label=Tcpt}}
$S\subset\pOm$ を $C^{0,1}$ 境界部分とし、$p\in(1,\infty)$ とする。
$$\begin{cases}
r\in\left[1,\frac{(n-1)p}{n-p}\right)&\colon p\in[1,n)\\
r\in[1,\infty)&\colon p=n\\
r\in[1,\infty]&\colon p\in(n,\infty)
\end{cases}$$
とすると $\Omega$ におけるトレース作用素 $T$ は相対開集合 $S'\rcpt S$ について $W^{1,p}(\Omega)$ から $L^r(S',\H^{n-1})$ へのコンパクト作用素である。すなわち、$\{u_m\}_{m=1}^\infty\subset W^{1,p}(\Omega)$ が $\displaystyle\sup_m\norm{u_m}_{1,p;\Omega}\lt\infty$ をみたすとすると部分列 $\{u_{m_j}\}_{m=1}^\infty$ で $\{Tu_{m_j}\}_{m=1}^\infty$ が $L^r(S',\H^{n-1})$ において収束するものがとれる。

{{begin|proof|display=''Proof.''}}
$q\colon=p'(r-1)\ge 1$ の場合を示せば十分。$v\in W^{1,p}(\Omega)$ について $\int_{S'}|Tu|^rd\H^{n-1}\le C\norm{u}_q^{r-1}\left(\norm{u}_p+\norm{Du}_p\right)$ となり、また $q$ は{{ref|type=thm|label=cpt}}の仮定をみたす。これより $L^q(\Omega)$ において収束する部分列 $\{u_{m_j}\}_{m=1}^\infty$ をとれば
$$\limsup_{i,j\to\infty}\int_{S'}|Tu_{m_i}-Tu_{m_j}|^r\le C\limsup_{i,j\to\infty}\norm{u_{m_i}-u_{m_j}}_q^{r-1}\sup_m\norm{u_m}_{1,p}=0$$
となる。
{{end|proof}}

対照的に、$p=1$ の場合は $\varphi\in L^1(S,\H^{n-1})$ を拡張して $Tu=\varphi$ となる $u\in W^{1,1}(\Omega)$ を構成することができる。

{{theorem|type=lem|label=trlem1}}
$S$ を $C^{0,1}$ 境界部分とする。$\H^{n-1}$ -a.e. $\xi\in S$ について $\nu(\xi)\in\partial B_1(0)$ であって次をみたすものが一意的に存在する:任意の $\lambda\in(0,1)$ について十分小さい $r\gt 0$ をとると
$$\{x\in\R^n\colon |x-\xi|\lt r,(x-\xi)\cdot\nu\lt -\lambda|x|\}\subset\Omega,\{x\in\R^n\colon |x-\xi|\lt r,(x-\xi)\cdot\nu\gt \lambda|x|\}\cap\Omega=\emptyset.$$
とくに
$$\chi_{\xi+a(\Omega-\xi)}\to\chi_{\{x\in\R^n\colon (x-\xi)\cdot\nu\lt 0\}}\ (a\to+\infty)\ \ae\inn\R^n.$$

{{begin|proof|display=''Proof.''|collapsible=1}}
開集合 $U\subset\R^n$ と全単射 $\psi\colon Q\to U$ が存在し $U\cap\Omega=\psi(Q_+)$、$S=\psi(Q_0)$ かつ $\psi$ と $\psi^{-1}$ がともに $C^{0,1}$ 写像となるものが存在するものが存在するとしてよい。

$Q_0\subset\R^{n-1}$ と見做して $\psi'\colon=\psi|_{Q_0}$ とすると[[Hausdorff測度とarea_coarea_formula|area formula]]とarea不等式より $E\subset Q_0$ について $\H^{n-1}(E)\le C\H^{n-1}\psi(E)\le C\int_E J\psi'$ であるから $J\psi'\gt 0\ \H^{n-1}$ -a.e. on $ Q_0$ であり、$\H^{n-1}$ -a.e. $y'\in Q_0$ について $D_1\psi(y'),\ldots ,D_{n-1}\psi(y')$ は一次独立である。

$y_0\in Q_0$ を $\psi'$ が微分可能で $D_1\psi(y_0),\ldots ,D_{n-1}\psi(y_0)$ が一次独立となりかつ $\nu_{j,1}\circ\psi'J\psi',\ldots ,\nu_{j,n}\circ\psi'J\psi'$ のLebesgue点となるような点とし、$\xi\colon=\psi(y_0)\in U\cap\pOm$ とする。$\H^{n-1}$ -a.e. $y_0\in Q_0$ はこれらをみたす。

また $\pi\colon=\xi+\operatorname{span}\{D_1\psi(y_0),\ldots ,D_{n-1}\psi(y_0)\}$ とする。また $\mu$ を平面 $\pi$ の単位法線ベクトルの一つとし、半空間 $\pi_+$、$\pi_-$ を $\pi_+\colon=\{x\in\R^n,\mu\cdot(x-\xi)\gt 0\}$、$\pi_-\colon=\{x\in\R^n,\mu\cdot(x-\xi)\lt 0\}$ と定める。

$\eta\in U\cap\pOm$ について
$$\mu\cdot(\eta-\xi)=\mu\cdot D\psi'(\psi^{-1}(\eta))(\psi^{-1}(\eta)-\psi^{-1}(\xi))+o(|\psi^{-1}(\eta)-\psi^{-1}(\xi)|)$$
よって $\lambda\in(0,1)$ について $C^+_\lambda\colon=\{x\in\R^n\colon\mu\cdot(x-\xi)\gt \lambda|x-\xi|\}$、$C^-_\lambda\colon=\{x\in\R^n\colon\mu\cdot(x-\xi)\lt-\lambda|x-\xi|\}$ とすると十分小さい $r\gt 0$ について
$$C^+_\lambda\cap B_r(\xi)\cap\pOm,C^-_\lambda\cap B_r(\xi)\cap\pOm=\emptyset$$
となり、
$$C^+_\lambda\cap B_r(\xi),C^-_\lambda\cap B_r(\xi)\subset U\backslash\pOm.$$
とくに $r_0\gt 0$ を十分小さくとると線分 $s_+\colon=\{\xi+t\mu\colon t\in(0,r_0)\}$ と $s_-\colon=\{\xi-t\mu\colon t\in(0,r_0)\}$ はともに $U\backslash\pOm$ に含まれる。$U\backslash\pOm=\psi(2Q\backslash 2Q_0)$ は $U\cap\Omega=\psi(2Q_+)$ と $U\backslash\Omega=\psi(2Q_-)$ の2つの連結成分をもち、$s_+$、$s_-$ はいずれもそのいずれか一方に含まれる。また十分小さい $r\gt 0$ について $C^+_\lambda\cap B_r(\xi)$ と $C^-_\lambda\cap B_r(\xi)$ も $U\backslash\pOm$ に含まれるので $U\cap\Omega$ と $U\backslash\Omega$ のいずれか一方に含まれ、また $C^+_\lambda\cap B_r(\xi)\cap s_+\neq\emptyset$、$C^-_\lambda\cap B_r(\xi)\cap s_-\neq\emptyset$ であるから
$$C^+_\lambda\cap B_r(\xi)\subset U\cap\Omega\iff s_+\subset U\cap\Omega,C^-_\lambda\cap B_r(\xi)\subset U\cap\Omega\iff s_-\subset U\cap\Omega.$$

$I\colon=\{\sigma\in\{+,-\}\colon s_i\subset U\cap\Omega\}$ とする。$\lambda\in(0,1)$ とし、$r\gt 0$ を十分小さくとって $C^+_\lambda\cap B_r(\xi)\subset U\backslash\pOm$ が成り立つようにする。任意の $x\in C^+_\lambda$ について、$a\gt 0$ を十分大きくとれば
$$\xi+a^{-1}(x-\xi)\in C^+_\lambda\cap B_r(\xi)$$
となり
$$\xi+a^{-1}(x-\xi)\in U\cap\Omega\iff +\in I.$$
これより
$$\chi_{\xi+a(U\cap\Omega-\xi)}(x)=\chi_{U\cap\Omega}(\xi+a^{-1}(x-\xi))\to\begin{cases}
1&\colon +\in I\\
0&\colon +\notin I
\end{cases}\ (a\to+\infty).$$
$\displaystyle\pi_+=\bigcup_{\lambda\in(0,1)} C^+_\lambda$ であるからこれは任意の $x\in\pi_+$ について成り立つ。

同様に任意の $x\in\pi_-$ について
$$\chi_{\xi+a(U\cap\Omega-\xi)}(x)\to\begin{cases}
1&\colon -\in I\\
0&\colon -\notin I
\end{cases}\ (a\to+\infty).$$
従って
$$\chi_{\xi+a(U\cap\Omega-\xi)}\to\chi_{\bigcup_{\sigma\in I}\pi_\sigma}\ (a\to+\infty).$$

また $\xi$ の開近傍 $W\subset U$ をとって $L\colon=\max\{L(\psi|_W),L(\psi^{-1}|_{\psi(W)})\}$ とすると十分小さい $r\gt 0$ について $|B_r(\xi)\cap\Omega|\ge\frac{1}{2}L^{-2n}\omega_nr^n$。$\lambda\in(0,1)$ を十分小さくとると $r\gt 0$ について $|C^+_\lambda\cap B_r(\xi)|,|C^+_\lambda\cap B_r(\xi)|\gt\frac{1}{2}\left(1-\frac{1}{2}L^{-2n}\right)\omega_nr^n$ となり、十分小さい $r\gt 0$ について
$$|C^+_\lambda\cap B_r(\xi)|+|C^+_\lambda\cap B_r(\xi)|+|B_r(\xi)\cap\Omega|\gt\omega_nr^n.$$
よって $C^+_\lambda\cap B_r(\xi)\cap\Omega\neq\emptyset$ または $C^-_\lambda\cap B_r(\xi)\cap\Omega\neq\emptyset$ が成り立ち、$I\neq\emptyset$。

$B_r(\xi)\cap\Omega$ を $B_r(\xi)\backslash\Omega$ にとりかえると同様に $I\neq\{+,-\}$ も示される。これより $I=\{+\}$ または $I=\{-\}$。

$$\bigcup_{i\in I}\pi_i=\begin{cases}
\pi_+=\{x\in\R^n\colon\mu\cdot(x-\xi)\gt 0\}&\colon I=\{+\}\\
\pi_-=\{x\in\R^n\colon\mu\cdot(x-\xi)\lt 0\}&\colon I=\{-\}
\end{cases}$$
であるから
$$\nu=\begin{cases}
-\mu&\colon I=\{+\}\\
\mu&\colon I=\{-\}
\end{cases}$$
とすればこの $\nu=\nu(\xi)$ は条件をみたす。
{{end|proof}}

{{theorem|type=def|name=外向き単位法線ベクトル|label=outnorm}}
$\nu(\xi)$ を $\xi$ における $S$ の(測度論的)外向き単位法線ベクトルという。

{{theorem|type=rmk}}
$\Omega$ がLipschitz領域のときは(\ref{Lipdom})をみたす $V_\xi$、$h_\xi$、$O_\xi$、$\gamma_\xi$ をとって $\psi$ を $\psi(y',y_n)=\xi+O_\xi(y',y_n+\gamma_\xi(y'))$ (を適当に制限しスケール変換して $Q\to\R^n$ としたもの)ととって証明中に得られた $\nu(\xi)$ の特徴づけを用いると $\H^{n-1}$ -a.e. $y'\in V_\xi$ について
$$\nu_i(\xi+O_\xi(y',\gamma_\xi(y'))=O_\xi\frac{(D\gamma_\xi(y'),-1)}{(|D\gamma_\xi(y')|^2+1)^\frac{1}{2}}$$
なる表示を得る。

とくに $\Omega$ がなめらかな領域の場合、$\nu(\xi)$ は幾何学的な外向き単位法線ベクトル([[ベクトル解析5：多様体の向き]]の定義22.1)と一致する。

{{ref|type=lem|label=trlem1}}より $\H^{n-1}$ -a.e. $\xi\in S$ について
$$r^{-n}|B_r(\xi)\cap\Omega|=|B_1(\xi)\cap(\xi+r^{-1}(\Omega-\xi))|\to|\{x\in B_1(\xi)\colon x\cdot\nu(\xi)\lt 0\}|=\frac{1}{2}\omega_n$$
が成り立つ。

{{theorem|type=lem|label=trlem2}}
$S\subset\Omega$ を $C^{0,1}$ 境界部分として $\nu$ を $S$ の外向き単位法線ベクトルとする。$F_i\rcpt S\ (i\in\Zp)$ で次をみたすものが存在する:
* $$\H^{n-1}\left(S\backslash\bigcup_{i=1}^\infty F_i\right)=0.$$
* $j_i\in\{1,\ldots,n\}$ と $\sigma_i\in\{1,-1\}$ と $F_i\rcpt U_i$ なる開集合 $U_i\subset\R^n$ と $\gamma_i\in C^{0,1}(\R^{n-1})$ が存在して
$$F_i\subset\{(x_1,\ldots,x_n)\in\R^n\colon\sigma_i x_{j_i}=\gamma(x_1,\ldots,x_{j_i-i},x_{j_i+1},\ldots,x_n)\}$$
かつ
$$\{(x_1,\ldots,x_n)\in U_i\colon\sigma_i x_{j_i}\gt\gamma(x_1,\ldots,x_{j_i-i},x_{j_i+1},\ldots,x_n)\}\subset\Omega.$$

{{begin|proof}}
(1)の $\nu=(\nu_1,\ldots,\nu_n)$ をとる。$\xi\in S$ を $\nu(\xi)$ が定義される点とすると $j\in\{1,\ldots,n\}$ であって $|\nu_j(\xi)|\ge n^{-\frac{1}{2}}$ となるものが存在するので $\lambda\colon=(2n)^{-\frac{1}{2}}$ として
$$D_{j,+}\colon=\left\{\xi\in S\colon \nu_j(\xi)\lt -\lambda \right\},D_{j,-}\colon=\left\{\xi\in S\colon \nu_j(\xi)\gt \lambda\right\}$$
とすると
$$\H^{n-1}\left(S\backslash\left(\bigcup_{j=1}^n D_{j,+}\cup\bigcup_{j=1}^n D_{j,-}\right)\right)=0.$$
$\xi\in D_{n,+}$ と $x\in\R^n$ について、$x-\xi=(y',y_n)\in\R^{n-1}\times\R$ と表すと
$$(\xi-x)\cdot\nu(\xi)\le\nu_n(\xi)y_n+(1-\nu_n(\xi)^2)^\frac{1}{2}|y'|.$$
$\nu_n(\xi)\lt -\lambda$、$(1-\nu_n(\xi)^2)^\frac{1}{2}\lt(1-\lambda^2)^\frac{1}{2}=\colon\lambda'$ に注意すると $y_n\gt\lambda'|x-\xi|$ なる $x$ について
$$(\xi-x)\cdot\nu(\xi)\le\nu_n(\xi)\lambda'+(1-\nu_n(\xi)^2)^\frac{1}{2}\lambda\lt 0.$$
$\nu$ のとりかたより $r\gt 0$ を十分小さくとれば
$$\xi+rC\subset\Omega.$$
ここで
$$C\colon=\{y=(y',y_n)\in\R^{n-1}\times\R\colon |y|\lt 1,y_n\gt\lambda'|y'|\}.$$
これより $E_{n,+,k}\colon=\{\xi\in D_{n,+}\colon \xi+2^{-k}C\subset\Omega\}$ とすると $\displaystyle \bigcup_{k=1}^\infty E_{n,+,k}=D_{n,+}$。

$k\in\Zp$ に対し、$F_{n,+,k,l}\subset E_{n,+,k}$ を $F_{n,+,k,l}\rcpt S$、$\diam F_{n,+,k,l}\lt 2^{-(k+1)}$ かつ $\displaystyle\bigcup_{l=1}^\infty F_{n,+,k,l}=E_{n,+,k}$ となるようにとり、$x'\in\R^{n-1}$ について
$$\gamma_{n,+,k,l}(x')\colon=\inf_{(\xi',\xi_n)\in F_{n,+,k,l}}(\xi_n+\lambda'|x'-\xi'|)$$
と定める。

$\gamma_{n,+,k,l}\in C^{0,1}(\R^{n-1})$ を示す。$x',y'\in\R^{n-1}$、$\varepsilon\gt 0$ として $\xi_n+\lambda'|x'-\xi'|\lt\gamma_{n,+,k,l}(x')+\varepsilon$ となる $(\xi',\xi_n)\in F_{n,+,k,l}$ をとると
$$\gamma_{n,+,k,l}(y')\le\xi_n+\lambda'|y'-\xi'|\le\xi_n+\lambda'|x'-\xi'|+\lambda'|x'-y'|\lt\gamma_{n,+,k,l}(x')+\lambda'|x'-y'|+\varepsilon.$$
これより $\gamma_{n,+,k,l}(y')\le\gamma_{n,+,k,l}(x')+\lambda|x'-y'|$。同様に $\gamma_{n,+,k,l}(x')\le\gamma_{n,+,k,l}(y')+\lambda|x'-y'|$ も成り立ち、$[\gamma]_{0,1}\le\lambda'$ が従う。

$\xi=(\xi',\xi_n)\in F_{n,+,k,l}$ とすると $\gamma_{n,+,k,l}(\xi')=\xi_n$ となることを示す。$(x',x_n)\in\xi+2^{-k}C$ とすると $x_n-\xi_n\gt\lambda'|x'-\xi'|$ であるから
$$\gamma_{n,+,k,l}(x')\le\xi_n+\lambda'|x'-\xi'|\lt x_n.$$
$\xi\in\overline{\xi+2^{-k}C}$ であるから $\gamma_{n,+,k,l}(\xi)\le \xi_n$。

一方 $\gamma_{n,+,k,l}(\xi)\lt\xi_n$ であったとすると $\eta=(\eta',\eta_n)\in F_{n,+,k,l}$ であって $\eta_n+\lambda'|\eta'-\xi'|\lt\xi_n$ となるものが存在する。$\xi_n-\eta_n\gt\lambda'|\eta'-\xi'|$ で、$\diam F_{n,+,k,l}\lt 2^{-(k+1)}$ より $|\xi-\eta|\lt 2^{-(k+1)}$ となるので $\xi\in\eta+2^{-k}C$。$\eta\in F_{n,+,k,l}\subset E_{n,+,k}$ より $\eta+2^{-k}C\subset\Omega$ であるから $\xi\in\Omega$ であるが、これは $F_{n,+,k,l}\subset E_{n,+,k}\subset\pOm$ に矛盾。これより $\gamma_{n,+,k,l}(\xi')=\xi_n$。

$$U_{n,+,k,l}\colon=\{x\in\R^n\colon \dist(x,F_{n,+,k,l})\lt 2^{-(k+1)}\}$$
とする。$x=(x',x_n)\in U_{n,+,k,l}$ が $x_n\gt\gamma_{n,+,k,l}(x')$ をみたすとすると $\xi=(\xi',x_n)\in F_{n,+,k,l}$ であって $\xi_n+\lambda'|x'-\xi_n|\lt x_n$ をみたすものが存在する。$x_n-\xi_n\gt\lambda'|x'-x_n|$ で、$\dist(x,F_{n,+,k,l})\lt 2^{-(k+1)}$ と $\diam F_{n,+,k,l}\lt 2^{-(k+1)}$ より $F_{n,+,k,l}\subset B_{2^{-k}}(x)$ であるから $|x-\xi|\lt 2^{-k}$。これより $x\in\xi+2^{-k}C\subset\Omega$。

同様に $j\in\{1,\ldots,n\}$ と $\sigma\in\{+,-\}$ について $F_{j,\sigma,k,l}\rcpt S$ と $\gamma_{j,\sigma,k,l}\in C^{0,1}(\R^{n-1})$ と $F_{j,\sigma,k,l}\rcpt U_{j,\sigma,k,l}$ なる開集合 $U_{j,\sigma,k,l}$ を
$$\bigcup_{k,l=1}^\infty F_{j,\sigma,k,l}=D_{j,\sigma},$$
$$F_{j,\sigma,k,l}\subset\{(x_1,\ldots,x_n)\in\R^n\colon \sigma_jx_j=\gamma_{j,\sigma,k,l}(x_1,\ldots,x_{j-1},x_{j+1},\ldots,x_n)\}$$
かつ
$$\{(x_1,\ldots,x_n)\in U_{j,\sigma,k,l}\colon \sigma_jx_j\gt\gamma_{j,\sigma,k,l}(x_1,\ldots,x_{j-1},x_{j+1},\ldots,x_n)\}\subset\Omega$$
となるようにとれる。

$\{(F_{j,\sigma,k,l},\gamma_{j,\sigma,k,l},U_{j,\sigma,k,l})\}_{j,\sigma,k,l}$ を $\{(F_i,\gamma_i,U_i)\}_i$ とおき直せば主張が従う。
{{end|proof}}

{{theorem|type=thm|name=境界上の関数の拡張|label=Text}}
$S\subset\pOm$ を $C^{0,1}$ 境界部分とし、開集合 $V\subset\R^n$ は $S\cap V\neq\emptyset$ をみたすとする。$\varphi\in L^1(S\cap V,\H^{n-1})$ とし、$\varepsilon\gt 0$ とすると $u\in W^{1,1}(\Omega)$ で次をみたすものが存在する:
$$Tu=\varphi\ \on S\cap V,u=0\ \on \Omega\backslash V,\norm{u}_{1;\Omega}\lt\varepsilon,\int_\Omega|Du|\lt\int_\pOm|\varphi|d\H^{n-1}+\varepsilon.$$

{{begin|proof|display=''Proof.''|collapsible=1}}
$\Omega,S$ を $V\cap\Omega,V\cap S$ にとりかえた{{ref|type=lem|label=trlem2}}の $F_i,j_i,\sigma_i,U_i,\gamma_i$ をとる。$F_i$ を $\displaystyle \left(\overline{F_i}\backslash\bigcup_{i'=1}^i\overline{F_{i'}}\right)\cap S$ にとりかえることにより $F_i$ はBorel集合で $i\neq i'\implies F_i\cap F_{i'}$ となるとしてよい。また $F_i\rcpt V\cap S$ より $U_i$ を $U_i\cap V$ にとりかえて $U_i\subset V$ としてよい。

$j_i=n$、$\sigma=1$ となる $i$ をとってfixする。(それ以外の $i$ についても同様である。) $F_i\rcpt U_i$、$F_i\subset\{(x',\gamma_i(x'))\colon x'\in\R^{n-1}\}$ より開集合 $W\subset\R^{n-1}$ と $h\gt 0$ が存在して
$$U_i'\colon=\{(x',x_n)\in W\times\R\colon |x_n-\gamma_i(x')|\lt h\}$$
は $F_i\rcpt U_i'\rcpt U_i$ をみたす。また
$$U_{i,+}'\colon=\{(x',x_n)\in W\times\R\colon 0\lt x_n-\gamma_i(x')\lt h\}\subset\Omega.$$

$\varphi_i\in L^1(\R^{n-1})$ を $\varphi_i(x')\colon=(\varphi\chi_{F_i})(x',\gamma_i(x'))$ により定める。$F_i\rcpt U_i'$ より $\supp\varphi_i\subset W$。

$\eta'$ を $\R^{n-1}$ におけるmollifierとし、$r_k\gt 0\ (k\in\Zp)$ を単調減少かつ $r_1\lt h$、$\supp(\eta'_{r_k}*\varphi_i)\subset U_i'$ かつ $\norm{\eta'_{r_k}*\varphi_i-\varphi_i}\lt 2^{-k}$ となるようにとる。また $k\in\Zz$ について $\displaystyle t_k\colon=\sum_{l=k+1}^\infty 2^{-l}r_l$ とする。

$k\in\Zp$ について $ w_k\colon[0,\infty)\to\R$ を
$$ w_k(t)\colon=\begin{cases}
0&\colon t\in[0,t_{k+1})\\
2^{-(k+1)}r_{k+1}(t-t_{k+1})&\colon t\in[t_{k+1},t_k)\\
-2^{-k}r_k(t_{k-1}-t)&\colon t\in[t_k,t_{k-1})\\
0&\colon t\ge t_{k-1}
\end{cases}$$
と定める。$k_0\in\Zp$ とし、
$$v_i(x',x_n)\colon=\sum_{k=k_0}^\infty w_k(x_n)(\eta'_{r_k}*\varphi_i)(x')\ ((x',x_n)\in\R^{n-1}\times(0,\infty))$$
とする。$\supp w_k=[t_{k+1},t_{k-1}]$ より $\{\supp w_k\}_k$ は局所有限であるから $v_i$ はwell-definedで $v_i\in C^\infty(\Rnp)$。また $v_i=0$ on $\R^n\backslash(W\times(0,t_{k_0}))$。また
\begin{align*}
\int_{\R^n_+}|v_i|&=\sum_{k=k_0}^\infty\int_0^\infty w_k\left(\int_{\R^{n-1}}|\eta'_{r_k}*\varphi_i|\right)\\
&\le\sum_{k=k_0}^\infty 2^{-1}(2^{-k}r_k+2^{-(k+1)}r_{k+1})\int_{\R^{n-1}}|\varphi_i|\\
&\le C2^{-k_0}t_{k_0}\int_{\R^{n-1}}|\varphi_i|,\\
\int_{\R^n_+}|D_jv_i|&=\sum_{k=k_0}^\infty\int_0^\infty w_k\left(\int_{\R^{n-1}}|D_j(\eta'_{r_k}*\varphi_i)|\right)\\
&\le C\sum_{k=k_0}^\infty 2^{-1}(2^{-k}r_k+2^{-k+1}r_{k+1})r_k^{-1}\int_{\R^{n-1}}|\varphi_i|\\
&\le C2^{k_0}\int_{\R^{n-1}}|\varphi_i|\ (j=1,\ldots,n-1),\\
\int_{\R^{n-1}\times(0,t_{k_0})}|D_nv_i|&=\sum_{k=k_0}^\infty\int_{t_{k+1}}^{t_k}\left(2^{k+1}r_{k+1}\int_{\R^{n-1}}|\eta'_{r_k}*\varphi_i-\eta'_{r_{k+1}}*\varphi_i|\right)\\
&\le\sum_{k=k_0}^\infty\left(\int_{\R^{n-1}}|\eta'_{r_k}*\varphi_i-\varphi_i|+\int_{\R^{n-1}}|\eta'_{r_{k+1}}*\varphi_i-\varphi_i|\right)\\
&\le\sum_{k=k_0}^\infty (2^{-k}+2^{-(k+1)})=C2^{-k_0},\\
\int_{\R^{n-1}\times(t_{k_0},\infty)}|D_nv_i-2^{-k_0}r_k\chi_{\R^{n-1}\times(t_{k_0},t_{k_0-1})}\varphi_i|&=\int_{t_{k_0}}^{t_{k_0-1}}2^{k_0}r_k^{-1}\int_{\R^{n-1}}|\eta'_{r_{k_0}}*\varphi_i-\varphi_i|\\
&\le 2^{-k_0}.
\end{align*}
これより $v_i\in W^{1,1}(\Rnp)$。

$T_0$ を $\Rnp$ におけるトレース作用素とする。$l\ge k_0$ について $v_i(\cdot,2^{-l})=\eta'_{r_l}*\varphi_i$ であるから $T_0(v_i(\cdot-2^{-l}e_n))=\eta'_{r_l}*\varphi_i$ であり
$$\norm{T_0(v_i(\cdot-2^{-l}e_n))-\varphi'}_{1,\pRnp}\to 0\ (l\to\infty).$$
一方 $L^1$ ノルムの平行移動連続性より
$$\norm{v_i(\cdot-2^{-l}e_n)-v_i}_{1,1}\to 0\ (l\to\infty).$$
これより
$$T_0v_i=\varphi_i.$$

$\psi_i\colon\R^n\to\R^n$ を $\psi_i(x',x_n)\colon=(x',x_n-\gamma_i(x'))$ により定め、$u_i\colon=v_i\circ\psi_i\in W^{1,1}(\psi_i^{-1}(\Rnp))$ とする。$T_i$ を $\psi_i^{-1}(\Rnp)=\{(x',x_n)\colon x_n\gt\gamma_i(x')\}$ におけるトレース作用素とすると
$$T_iu_i=(T_0v_i)\circ\psi_i=\varphi_i\circ\psi_i=\varphi\chi_{F_i}.$$
とくに $T_iu_i=0$ on $\partial\psi_i^{-1}(\Rnp)\backslash\overline{F_i}$ であるから任意の $\zeta\in C^\infty_c(\R^n\backslash\overline{F_i})$ について $\zeta u_i\in W^{1,1}_0(\psi^{-1}(\Rnp))$ となり
$$\int_{\psi^{-1}(\Rnp)}(D_j\zeta u_i+\zeta D_ju_i)=\int_{\psi^{-1}(\Rnp)}D_j(\zeta u_i)=0.$$
これより $u_i=0$ on $\R^n\backslash\psi^{-1}(\Rnp)$ として $u_i$ を $R^n$ 上に拡張すると $u_i\in W^{1,1}(\R^n\backslash\overline{F_i})$ となり、とくに $u_i\in W^{1,1}(\Omega)$。

また $\displaystyle t_{k_0}\lt\sum_{k=k_0}^\infty 2^{-k}h=2^{-k_0}h\le h$ に注意すると $v_i=0$ on $\Rnp\backslash(W\times(0,h))$ で、$\psi^{-1}(W\times(0,h))=U_{i,+}'$ であるから $u_i=0$ on $\Omega\backslash U_{i,+}'$。とくに $u_i=0$ on $\Omega\backslash V$。

$Tu_i=\varphi\chi_{F_i}$ $\H^{n-1}$ -a.e. on $S$ を示す。$\xi\in S\backslash\overline{U_{i,+}'}$ については $\xi$ の近傍において $u_i=0$ となるので $Tu_i(\xi)=0$。

$\xi=(\xi',\xi_n)\in S\cap\overline{U_{i,+}'}$ とすると $U_i'\rcpt U_i$ より $\xi\in U_i$ で $\xi\notin\Omega$ であるから $U_i$ のとりかたより $\xi_n=\gamma_i(\xi')$ となり $\xi\in\partial\psi_i^{-1}(\Rnp)$。$r\gt 0$ を十分小さくとると $B_r(\xi)\cap\psi^{-1}(\Rnp)\subset\{x\in U_i\colon 0\lt\xi_n-\gamma_i(\xi')\lt h\}\subset\Omega$。$u_i=0$ on $\R^n\backslash\psi_i^{-1}(\Rnp)$ とあわせて
$$\int_{B_r(\xi)\cap\Omega}u_i=\int_{B_r(\xi)\cap\Omega\cap\psi_i^{-1}(\Rnp)}u_i=\int_{B_r(\xi)\cap\psi^{-1}(\Rnp)}u_i.$$
$\H^{n-1}$ -a.e. $\xi\in S\cap\psi_i^{-1}(\Rnp)$ について
$$\lim_{r\to +0}r^{-n}|B_r(\xi)\cap\Omega|=\lim_{r\to +0}r^{-n}|B_r(\xi)\cap\psi_i^{-1}(\Rnp)|=\frac{1}{2}\omega_n$$
となることから $\H^{n-1}$ -a.e. $\xi\in S\cap\overline{U_{i,+}'}$ について
$$Tu_i=\lim_{r\to+0}\frac{1}{B_r(\xi)\cap\Omega}\int_{B_r(\xi)\cap\Omega}u_i=\lim_{r\to+0}\frac{1}{B_r(\xi)\cap\psi_i^{-1}(\Rnp)}\int_{B_r(\xi)\cap\psi_i^{-1}(\Rnp)}u_i=T_iu_i=\varphi\chi_{F_i}.$$
$F_i\subset \overline{U_{i,+}'}$ とあわせて
$$Tu_i=\varphi\chi_{F_i}\ \H^{n-1}-\ae\on\ S.$$
また
$$\int_\Omega|u_i|\le C\int_{\R^n_+}|v_i|\le C2^{-k_0}t_{k_0}\le C4^{-k_0}h.$$
一方 $x=(x',x_n)\in\Omega\cap\psi_i^{-1}(\Rnp)$ とすると $j=1,\ldots,n-1$ については $D_ju_i(x)=(D_jv_i)(\psi_i(x))-D_nu_i(\psi_i(x))D_j\gamma_i(x')$ で、$D_nu_i(x)=D_nv_i(\psi_i(x))$ であるから
$$\int_{\Omega\cap\psi_i^{-1}(\Rnp)}|Du_i(x)-(-D\gamma_i(x'),1)D_nv_i(\psi_i(x))|dx=\int_{\Omega\cap\psi_i^{-1}(\Rnp)}|D'u_i\circ\psi_i|\le C\int_{\R^n_+}|D'v_i|\le C2^{-k_0}$$
となり
$$\int_{\Omega\cap\psi_i^{-1}(\Rnp)}|Du_i|\le\int_{\Omega\cap\psi_i^{-1}(\Rnp)}|D_nv_i(\psi_i(x))|(1+|D\gamma_i(x')|^2)^\frac{1}{2}dx+C2^{-k_0}.$$
$$\int_{\Omega\cap\psi_i^{-1}(\Rnp)}|D_nv_i(\psi_i(x))-2^{-k_0}r_k\chi_{\psi_i^{-1}(\R^{n-1}\times(t_{k_0},t_{k_0-1}))}(\chi_{F_i}\varphi)(x)|(1+|D\gamma_i(x')|^2)^\frac{1}{2}dx\le C\int_{\R^{n-1}\times(t_{k_0},\infty)}|D_nv_i-2^{-k_0}r_k\chi_{\R^{n-1}\times(t_{k_0},t_{k_0-1})}\varphi_i|\le C2^{-k_0}$$
で、$\psi_i^{-1}(\R^{n-1}\times(t_{k_0},t_{k_0-1}))\subset U_{i,+}'\subset\Omega$ に注意すると
\begin{align*}
\int_{\Omega\cap\psi_i^{-1}(\Rnp)}|2^{-k_0}r_k\chi_{\psi_i^{-1}(\R^{n-1}\times(t_{k_0},t_{k_0-1}))}(\chi_{F_i}\varphi)(x')|(1+|D\gamma_i(x')|^2)^\frac{1}{2}dx&=2^{-k_0}r_k\int_{\psi_i^{-1}(\R^{n-1}\times(t_{k_0},t_{k_0-1}))}|(\chi_{F_i}\varphi)(x')|(1+|D\gamma_i(x')|^2)^\frac{1}{2}dx\\
&=2^{-k_0}r_k\int_{\R^{n-1}\times(t_{k_0},t_{k_0-1})}|\psi_i(x')|(1+|D\gamma_i(x')|^2)^\frac{1}{2}dx\\
&=\int_{\partial\R^{n-1}}|\varphi_i(x')||(1+|D\gamma_i(x')|^2)^\frac{1}{2}d\H^{n-1}(x')\\
&=\int_{\partial\psi_i^{-1}(\Rnp)}\chi_{F_i}|\varphi| d\H^{n-1}\\
&=\int_{F_i}|\varphi| d\H^{n-1}
\end{align*}
となるので
$$\int_{\Omega\cap\psi_i^{-1}(\Rnp)}|D_nv_i(\psi_i(x))|(1+|D\gamma_i(x')|^2)^\frac{1}{2}dx\le\int_{F_i}|\varphi| d\H^{n-1}+C2^{-k_0}$$
となり $u_i=0$ on $\Omega\backslash\psi_i^{-1}(\Rnp)$ より $Du_i=0$ on $\Omega\backslash\psi_i^{-1}(\Rnp)$ となることとあわせて
$$\int_\Omega|Du_i|\le\int_{F_i}|\varphi| d\H^{n-1}+C2^{-k_0}.$$
従って $k_0$ を十分大きくとれば
$$\int_\Omega|u_i|\lt 2^{-i}\varepsilon,\int_\Omega|Du_i|\le\int_{F_i}|\varphi| d\H^{n-1}+2^{-i}\varepsilon.$$
最後に
$$u\colon=\sum_{i=1}^\infty u_i$$
とすると
$$\sum_{i=1}^\infty\int_\Omega|u_i|\lt \sum_{i=1}^\infty 2^{-i}\varepsilon=\varepsilon,\sum_{i=1}^\infty\int_\Omega|Du_i|\le\sum_{i=1}^\infty\left(\int_{F_i}|\varphi| d\H^{n-1}+2^{-i}\varepsilon\right)=\int_S|\varphi|d\H^{n-1}+\varepsilon$$
となることからこの無限和は $W^{1,1}(\Omega)$ において収束し
$$\int_\Omega|u|\lt\varepsilon,\int_\Omega|Du|\lt\int_S|\varphi|d\H^{n-1}+\varepsilon$$
が成り立つ。各 $u_i$ は $u_i=0$ on $\Omega\backslash V$ をみたすので $u=0$ on $\Omega\backslash V$。また
$$Tu=\sum_{i=1}^\infty Tu_i=\sum_{i=1}^\infty\chi_{F_i}\varphi=\varphi\ \on S\cap V.$$
{{end|proof}}

{{theorem|type=rmk}}
トレースSobolev不等式により、$p\in(1,\infty)$ の場合は一般には $\varphi\in L^p(S,\H^{n-1})$ を拡張して $u\in W^{1,p}(\Omega)$、$Tu=\varphi$ on $S$ とすることはできない。また、トレース作用素 $T$ は $W^{1,1}(\Omega)$ から $L^1(S',\H^{n-1})$ へのコンパクト作用素にはならない。

最後にトレース作用素の応用として次の $C^{0,1}$ 領域においても成り立つGaussの発散定理を示す。

{{theorem|type=thm|name=Gaussの発散定理|label=divthm}}
$S\subset\pOm$ を $C^{0,1}$ 境界部分とする。$\nu=(\nu_1,\ldots,\nu_n)$ を $S$ の外向き単位法線ベクトルとすると $u\in W^{1,1}_c(\Omega\cup S)$ について
$$\int_\Omega D_iu=\int_S Tu\nu_id\H^{n-1}.$$
とくに $\Omega$ が有界な $C^{0,1}$ 領域のとき任意の $u\in W^{1,1}(\Omega)$ について
$$\int_\Omega D_iu=\int_\pOm Tu\nu_id\H^{n-1}.$$

{{begin|proof}}
$\zeta\in C^\infty_c(\R^n\backslash(\pOm\backslash S))$ を任意にとる。$\varepsilon\gt 0$ とすると $\varphi\in L^1(S,\H^{n-1})$ について{{ref|type=thm|label=Text}}より $u\in W^{1,1}(\Omega)$ を $Tu=\varphi$ on $S$ となるようにとれる。また $v\in W^{1,1}(\Omega)$ が $Tv=0$ on $S$ をみたすとすると{{ref|type=thm|label=trace0}}より $\zeta v\in W^{1,1}_0(\Omega)$ となるので $i=1,\ldots,n$ について $\int_\Omega D_i(\zeta v)=0$。これより
$$\langle\tau_i,\varphi\rangle\colon=\int_\Omega D_i(\zeta u)$$
は $u$ の選択に依存せず、$\tau_i$ はwell-definedな $L^1(S,\H^{n-1})$ 上の線型汎関数である。また $\varepsilon\gt 0$ とすると $u$ は $\displaystyle\int_\Omega|u|\lt\varepsilon$ かつ $\displaystyle\int_\Omega|Du|\lt\int_S |\varphi|d\H^{n-1}+\varepsilon$ となるようにとれるので $\displaystyle|\langle\tau_i,\varphi\rangle|\le \norm{\zeta}_{1,\infty}\int_S |\varphi|d\H^{n-1}$。

[[測度と積分5：$L%5Ep$_空間の完備性と双対性]]の定理23.4より $\nu'_1,\ldots ,\nu'_n\in L^\infty(U_j\cap\pOm,\H^{n-1})$ であって任意の $\varphi\in L^1(S,\H^{n-1})$ について
$$\langle\tau_i,\varphi\rangle=\int_S\varphi\nu'_id\H^{n-1}$$
をみたすものが存在する。$\nu'_i$ は任意の $u\in W^{1,1}(\Omega)$ について
$$\int_S Tu\nu'_id\H^{n-1}=\langle\tau_i,Tu\rangle=\int_\Omega D_i(\zeta u)$$
をみたす。

$\nu'_i=\zeta\nu_i$ を示す。開集合 $U\subset\R^n$ と全単射 $\psi\colon 2Q\to U$ が $\psi$ と $\psi^{-1}$ がともに $C^{0,1}$ 写像で $\psi(Q_+)=U\cap\Omega$、$\psi(Q_0)=U\cap\pOm\subset S$ をみたすとして $\nu'_i=\zeta\nu_i$ on $U\cap\pOm$ を示せば十分。

{{ref|type=lem|label=trlem}}より $\H^{n-1}$ -a.e. $\xi\in U\cap\pOm$ と任意の $u\in C^\infty_c(\R^n)$ について
$$\lim_{a\to+\infty}\int_{\xi+a(U\cap\Omega-\xi)}D_i(\zeta u)=\int_{\{x\in\R^n\colon (x-\xi)\cdot\nu(\xi)\lt 0\}}D_i(\zeta u)=\int_{\{x\in\R^n\colon (x-\xi)\cdot\nu(\xi)=0\}}\zeta u\nu_id\H^{n-1}.\tag{$\dagger$}\label{divthm0}$$

一方、$a$ を十分大きくとって $\supp u\subset \xi+a(U-\xi)$ となるようにすると
\begin{align*}
\int_{\xi+a(U\cap\Omega-\xi)}D_i(\zeta u)&=a^n\int_\Omega D_i(\zeta u)(\xi+a(x-\xi))dx\\
&=a^{n-1}\int_\pOm u(\xi+a(x-\xi))\nu'_id\H^{n-1}(x)\\
&=a^{n-1}\int_{Q_0} u(\xi+a(\psi(y)-\xi))\nu'_i(\psi(y))J\psi(y)d\H^{n-1}(y).
\end{align*}
$Q_0\subset\R^{n-1}$ と見做して $\psi'\colon=\psi|_{Q_0}$ とする。$\H^{n-1}$ -a.e. $\xi\in U\cap\pOm$ について $\psi'$ は $y_0\colon=\psi^{-1}(\xi)$ において微分可能であり、なおかつLebesgueの微分定理より
$$\int_{B_r(y_0)\cap Q_0}|\nu'_i(\psi(y))J\psi'(y)-\nu'_i(\psi(y_0))J\psi'(y_0)|d\H^{n-1}=o(r^n)\ (r\to +0)$$
となることに注意する。$R\gt 0$ を十分大きくとると、十分大きい $a\gt 0$ について $\supp u(\xi+a(\psi(\cdot)-\xi))\subset B_{a^{-1}R}(y_0)\cap Q_0$ であるから
\begin{align*}
&\quad\int_{Q_0}\left|u(\xi+a(\psi(y)-\xi))\nu'_i(\psi(y))J\psi(y)-u\left(\xi+aD\psi'(y_0)(y-y_0)\right)\nu'_i(\psi(y_0))J\psi(y_0)\right|d\H^{n-1}(y)\\
&\le \int_{B_{a^{-1}R}(y_0)\cap Q_0}\left(\left|u(\xi+a(\psi(y)-\xi))-u\left(\xi+aD\psi'(y_0)(y-y_0)\right)\right||\nu'_i(\psi(y_0))J\psi(y_0)|+|u(\xi+a(\psi(y)-\xi))||\nu'_i(\psi(y))J\psi(y)-\nu'_i(\psi(y_0))J\psi(y_0)|\right)d\H^{n-1}(y)\\
&\le C\int_{B_{a^{-1}R}(y_0)\cap Q_0}\left(a\norm{Du}_\infty\left|\psi(y)-\psi(y_0)-D\psi'(y_0)(y-y_0)\right|+\norm{u}_\infty|\nu'_i(\psi(y))J\psi(y)-\nu'_i(\psi(y_0))J\psi(y_0)|\right)d\H^{n-1}(y)\\
&=o(a^{-(n-1)}).
\end{align*}
また
\begin{align*}
a^{n-1}\int_{Q_0}u\left(\xi+aD\psi'(y_0)(y-y_0)\right)\nu'_i(\psi(y_0))J\psi(y_0)d\H^{n-1}(y)&=\int_{\pRnp}u\left(\xi+D\psi'(y_0)(z-y_0)\right)\nu'_i(\xi)J\psi(y_0)d\H^{n-1}\\
&=\int_{\xi+D\psi'(y_0)\pRnp}u\nu'_i(\xi)d\H^{n-1}.
\end{align*}
従って
$$\lim_{a\to+\infty}\int_{\xi+a(U\cap\Omega-\xi)}D_i(\zeta u)=\int_{\xi+D\psi'(y_0)\pRnp}u\nu'_i(\xi)d\H^{n-1}\ \H^{n-1}-\ae\ \xi\in U\cap\pOm. \tag{$\ddagger$}\label{divthm1}$$
(\ref{divthm0})と(\ref{divthm1})より $\H^{n-1}-\ae\ \xi\in U\cap\pOm$ と任意の $u\in C^\infty_c(\R^n)$ について
$$\int_{\{x\in\R^n\colon (x-\xi)\cdot\nu(\xi)=0\}}\zeta u\nu_id\H^{n-1}=\int_{\xi+D\psi'(y_0)(\pRnp-y_0)}u\nu'_i(\xi)d\H^{n-1}\ \H^{n-1}-\ae\ \xi\in U\cap\pOm.$$
外向き単位法線ベクトルの構成より $\H^{n-1}$ -a.e. $\xi\in U\cap\pOm$ について
$$\{x\in\R^n\colon (x-\xi)\cdot\nu(\xi)=0\}=\xi+D\psi'(y_0)\pRnp$$
となるので
$$\nu'_i=\zeta\nu_i.$$
これより任意の $u\in W^{1,1}(\Omega)$ と $\zeta\in C^\infty_c(\R^n\backslash(\pOm\backslash S))$ について
$$\int_\Omega D_i(\zeta u)=\int_S \zeta u\nu_id\H^{n-1}.$$
とくに $u\in W^{1,1}_c(\Omega\cap S)$ のときは $\zeta\in C^\infty_c(\R^n\backslash(\pOm\backslash S))$ を $\zeta=1$ on $\supp u$ となるようにとれ、このときは $\zeta u=u$ であるから
$$\int_\Omega u=\int_S u\nu_id\H^{n-1}.$$
が成り立つ。
{{end|proof}}

{{theorem|type=cor|name=部分積分|label=trintpart}}
$S\subset\pOm$ を $C^{0,1}$ 境界部分とする。$u,v\in W^{1,1}(\Omega)$ が $uv\in W^{1,1}_c(\Omega\cup T)$ をみたすとき
$$\int_\Omega D_iuv=\int_S TuTv\nu_id\H^{n-1}-\int_\Omega uD_iv.$$

{{begin|proof}}
{{ref|type=thm|label=divthm}}より
$$\int_S TuTv\nu_id\H^{n-1}=\int_S T(uv)\nu_id\H^{n-1}=\int_\Omega D_i(uv)=\int_\Omega (D_iuv+uD_iv).$$
{{end|proof}}

{{theorem|type=rmk}}
$S\subset\pOm$ を(\ref{D})をみたす相対開集合とする。(\ref{D})における $S$ を $S'$ と表すと、$u\in W^{1,p}_0(\Omega\cup S)\subset W^{1,p}(D)$ の $\Omega$ におけるトレースを $D$ におけるトレース $Tu\in L^p_\loc(S',\H^{n-1})$ の $S$ への制限として定めることができる。また $\xi\in S$ における $S$ の外向き単位法線ベクトルを $S'$ の外向き単位法線ベクトルとして定めることができ、この節で挙げたトレースの性質は $W^{1,p}(\Omega)$ を $W^{1,p}_0(\Omega\cup S)$ にとりかえた上ですべて成り立つ。また $T$ は $W^{1,p}_0(\Omega\cup S)$ から $L^p(S,\H^{n-1})$ への有界線型作用素となり、$\displaystyle \int_S Tud\H^{n-1}\le C_{p,\Omega,T}\int_\Omega (|u|^p+|u|^{p-1}|Du|)$ が成り立つ。トレースSobolev不等式と $T$ のコンパクト性も $S$ を相対コンパクト部分集合にとりかえることなく成り立つ。Gaussの発散定理は $u\in W^{1,1}_0(\Omega\cup S)$ について成り立つ。

また、このようにして定めた $Tu\in L^p(S,\H^{n-1})$ と $\nu\in L^\infty(S,\H^{n-1})$ は $D$ と $S'$ の選択に依存しない。実際、$Tu$ は $\displaystyle r^{-n}\int_{B_r(\xi)\cap\Omega}|u-Tu(\xi)|\to 0\ (r\to +0)$ によって特徴づけられるので $D$ と $S'$ に依存しない。また $\varphi\in L^1_c(S,\H^{n-1})$ とすると $Tu=\varphi$ on $S$、$Tu=0$ on $S'\backslash S$ なる $u\in W^{1,1}(D)$ をとれ、$\eta\in C^\infty_c(\Omega\cup S)$ を $\eta=1$ on $\supp\varphi$ となるようにとって $v=\eta u$ とすることで $Tv=\varphi$ なる $v\in W^{1,1}_c(\Omega\cup S)$ をとれる。これより{{ref|type=thm|label=divthm}}の証明で定義した $\tau_i\in(L^1(S',\H^{n-1}))^*$ の $L^1_c(S,\H^{n-1})$ への制限は $D$ と $S'$ に依存せず、従って $\nu_i|_{S}$ も $D$ と $S'$ に依存しない。

==参考文献==
*Robert A. Adams「Sobolev Spaces」
*David Gilbarg, Neil S. Trudinger「Elliptic Partial Differential Equations of Second Order」
*Lawrence C. Evans, Ronald F. Gariepy「Measure Theory and Fine Properties of Functions,Revised Edition」
*Lawrence C. Evans「Partial Differential Equations,Second Edition」
*Gerald B. Folland「Real Analysis: Modern Techniques and Their Applications」
*Olga A. Ladyzhenskaya,Vsevolod A. Solonnikov,Nina N. Uraltseva「Linear and Quasilinear Equations of Parabolic Type」
*Haim Brezis「Functional Analysis, Sobolev Spaces and Partial Differential Equations」
*Michel Willem「Minimax Theorems」
*Luke G. Rogers「A Degree-Independent Sobolev Extension Operator」
*Giorgio Talenti「Best Constant in Sobolev Inequality」
*宮島静雄「ソボレフ空間の基礎と応用」
======脚注======