量子力学

2023-01-04T03:06:55Z

Maph1994: ページの作成:「==概要== 量子力学(量子論)とは, 空間$X$上を運動する粒子の状態を, $X$上の可積分関数全体の空間$\mathcal{H}(X)$によって捉えよう…」

SO(3)とSU(2)

2022-12-10T07:59:40Z

Maph1994:

$$
SO(3):=\{\text{実}3\times 3\text{行列}R| R^T=R^{-1},\det R=1\}.
$$

$$
SU(2):=\{\text{複素}2\times 2\text{ユニタリ行列}U| \det U=1\}.
$$

このふたつは二重被覆と呼ばれる関係にある.ここで群$G$が群$G^\prime$の二重被覆群であるとは, ある連続な準同型写像$f:G\rightarrow G^\prime$が存在して, $f$が全射であり,かつ全ての$g^\prime\in G^\prime$に対し, $f(g)=f^\prime$となる $g\in G$が必ずちょうど２つ存在することをいう.

本稿では次を証明する:
$SU(2)$は$SO(3)$の二重被覆群である.

==証明1==
行列による具体的な表示を用いて証明する.
方針:$SU(2)\rightarrow SO(3)$の準同型写像$U\in SU(2)\mapsto \Lambda_U\in SO(3)$を具体的に作る.次に, この写像の全射性と2:1対応を示す.
いくらか準備をする.

$SU(2)$の任意の元を

$$ U=\left(\begin{array}{ccc}
a& b\\
-b^\ast&a^\ast
\end{array}\right) $$

と表す. ここで$|a|^2+|b|^2=1$である.

3つのパウリ行列を次で与える:
$$\sigma_{1}=\left(\begin{array}{ll}
0 & 1 \\
1 & 0
\end{array}\right), \quad \sigma_{2}=\left(\begin{array}{cc}
0 & -i \\
i & 0
\end{array}\right), \quad \sigma_{3}=\left(\begin{array}{cc}
1 & 0 \\
0 & -1
\end{array}\right).$$
$(x^1,x^2,x^3)\in\mathbb{R}^3$と, $x\cdot\sigma\in \mathfrak{su}(2)$を次で対応させる:
$$x\cdot \sigma := i\sum_{k=1}^3 x^k\sigma^k=\left( \begin{array}{ccc}
ix^3 & ix^1+x^2\\
ix^1-x^2& -ix^3\\
\end{array}\right).$$
次のような関係になっていることがわかる:
$$ x^i x_i=1 \Leftrightarrow \det x\cdot \sigma=1. $$

これを使うと,$U\in SU(2)$ に対し, $\Lambda_U\in SO(3)$が次のように定まる:

$$ U(x\cdot \sigma)U^{-1}=(\Lambda_U x)\cdot \sigma.
$$
$\Lambda_U$を具体的に行列で表すと次のようになる:

$$\Lambda_U=\left(\begin{array}{ccc}
\mathrm{Re}\left(a^2-b^2\right) & \mathrm{Im}\left(a^2+b^2\right) & -2 \mathrm{Re}(ab) \\
-\mathrm{Im}\left(a^2-b^2\right) & \mathrm{Re}\left(a^2+b^2\right) & 2 \mathrm{Im}(ab) \\
2 \mathrm{Re}(a \bar{b}) & 2 \mathrm{Im}(a \bar{b}) & |a|^2-|b|^2
\end{array}\right)$$

$\Lambda:SU(2)\rightarrow SO(3)$が連続であることの証明は省略する.
$U\mapsto \Lambda_U$の全射性は次でわかる:
$$
\begin{aligned}
\Lambda_{U(a=\cos \frac{\theta}{2},b=-i \sin \frac{\theta}{2}) }&=\left(\begin{array}{ccc}
1 & 0 & 0 \\
0 & \cos \theta & -\sin \theta \\
0 & \sin \theta & \cos \theta
\end{array}\right)=R_x(\theta), \\
\Lambda_{U(a=\cos \frac{\theta}{2},b=-\sin \frac{\theta}{2})} &=\left(\begin{array}{ccc}
\cos \theta & 0 & \sin \theta \\
0 & 1 & 0 \\
-\sin \theta & 0 & \cos \theta
\end{array}\right)=R_y(\theta), \\
\Lambda_{U(a=e^{-i \frac{\theta}{2}}, b=0)} &=\left(\begin{array}{ccc}
\cos \theta & -\sin \theta & 0 \\
\sin \theta & \cos \theta & 0 \\
0 & 0 & 1
\end{array}\right)=R_z(\theta).
\end{aligned}
$$

$U\mapsto \Lambda_U$が2:1であることは
次のようにわかる.
$U(a,b),U^\prime(a^\prime,b^\prime)$に対し$\Lambda_U=\Lambda_{U^\prime}$が成り立つとする. 先ほどの$\lambda_U$の表式から, $(a^\prime,b^\prime)=(-a,-b)$となることがわかる. 従って同じ$\Lambda\in SO(3)$を与える$SU(2)$の元は $U(a,b)$と$U(-a,-b)$の2つのみ.

==証明2==

SO(3)とSU(2)

2022-12-09T21:34:30Z

Maph1994:

$$
SO(3):=\{\text{実}3\times 3\text{行列}R| R^T=R^{-1},\det R=1\}.
$$

$$
SU(2):=\{\text{複素}2\times 2\text{ユニタリ行列}U| \det U=1\}.
$$

本稿では,このふたつの群の関係について述べる.

群$G$が群$G^\prime$の二重被覆群であるとは, ある連続な準同型写像$f:G\rightarrow G^\prime$が存在して, $f$が全射であり,かつ全ての$g^\prime\in G^\prime$に対し, $f(g)=f^\prime$となる $g\in G$が必ずちょうど２つ存在することをいう.

$SU(2)$は$SO(3)$の二重被覆群である.

方針:$SU(2)\rightarrow SO(3)$の準同型写像$U\in SU(2)\mapsto \Lambda_U\in SO(3)$を具体的に作る.次に, この写像の全射性と2:1対応を示す.$SU(2)$の任意の元を

$$ U=\left(\begin{array}{ccc}
a& b\\
-b^\ast&a^\ast
\end{array}\right) $$

と表す.

$$x\cdot \sigma := i\sum_{k=1}^3 x^k\sigma^k=\left( \begin{array}{ccc}
ix^3 & ix^1+x^2\\
ix^1-x^2& -ix^3\\
\end{array}\right).$$

$$ x^i x_i=1 \leftrightarrow \det x\cdot \sigma=1. $$

これを使うと,$U\in SU(2)$ に対し, $\Lambda_U\in SO(3)$が次のように定まる:

$$ U(x\cdot \sigma)U^{-1}=(\Lambda_U x)\cdot \sigma.
$$
$\Lambda_U$を具体的に行列で表すと次のようになる:

$$\Lambda_U=\left(\begin{array}{ccc}
\mathrm{Re}\left(a^2-b^2\right) & \mathrm{Im}\left(a^2+b^2\right) & -2 \mathrm{Re}(ab) \\
-\mathrm{Im}\left(a^2-b^2\right) & \mathrm{Re}\left(a^2+b^2\right) & 2 \mathrm{Im}(ab) \\
2 \mathrm{Re}(a \bar{b}) & 2 \mathrm{Im}(a \bar{b}) & |a|^2-|b|^2
\end{array}\right)$$

$\Lambda:SU(2)\rightarrow SO(3)$が連続であることの証明は省略する.
$U\mapsto \Lambda_U$の全射性:
$$
\begin{aligned}
\Lambda_{U(a=\cos \frac{\theta}{2},b=-i \sin \frac{\theta}{2}) }&=\left(\begin{array}{ccc}
1 & 0 & 0 \\
0 & \cos \theta & -\sin \theta \\
0 & \sin \theta & \cos \theta
\end{array}\right)=R_x(\theta), \\
\Lambda_{U(a=\cos \frac{\theta}{2},b=-\sin \frac{\theta}{2})} &=\left(\begin{array}{ccc}
\cos \theta & 0 & \sin \theta \\
0 & 1 & 0 \\
-\sin \theta & 0 & \cos \theta
\end{array}\right)=R_y(\theta), \\
\Lambda_{U(a=e^{-i \frac{\theta}{2}}, b=0)} &=\left(\begin{array}{ccc}
\cos \theta & -\sin \theta & 0 \\
\sin \theta & \cos \theta & 0 \\
0 & 0 & 1
\end{array}\right)=R_z(\theta).
\end{aligned}
$$

$U\mapsto \Lambda_U$が2:1であること:
$U（a,b),U(a^\prime,b^\prime)$に対し$\Lambda_U=\Lambda_{U}$が成り立つとする. このとき $a^2-b^2=a^{\prime 2}-b^{\prime 2}, a^2+b^2=a^{\prime 2}+b^{\prime 2}$より $a^2=a^{\prime 2},b^2=b^{\prime
2}$となる. $a\bar{b}=a^\prime\bar{b^\prime}$も満たすものは, $(a^\prime,b^\prime)=(-a,-b)$しかない. 従って同じ$\Lambda\in SO(3)$を与える$SU(2)$の元は $U(a,b)$と$U(-a,-b)$の2つのみ.

SO(3)とSU(2)

2022-11-23T14:02:21Z

Maph1994: ページの作成:「$$ SO(3):=\{\text{実}3\times 3\text{行列}R| R^T=R^{-1},\det R=1\}. $$ $$ SU(2):=\{\text{複素}2\times 2\text{ユニタリ行列}U| \det U=1\}. $$ 群$G$が群$G^\pr…」

$$
SO(3):=\{\text{実}3\times 3\text{行列}R| R^T=R^{-1},\det R=1\}.
$$

$$
SU(2):=\{\text{複素}2\times 2\text{ユニタリ行列}U| \det U=1\}.
$$

群$G$が群$G^\prime$の二重被覆群であるとは, ある連続な準同型写像$f:G\rightarrow G^\prime$が存在して, $f$が全射であり,かつ全ての$g^\prime\in G^\prime$に対し, $f(g)=f^\prime$となる $g\in G$が必ずちょうど２つ存在することをいう.

$SU(2)$は$SO(3)$の二重被覆群である.

方針:$SU(2)\rightarrow SO(3)$の準同型写像$U\in SU(2)\mapsto \Lambda_U\in SO(3)$を具体的に作る.次に, この写像の全射性と2:1対応を示す.$SU(2)$の任意の元を

$$ U=\left(\begin{array}{ccc}
a& b\\
-b^\ast&a^\ast
\end{array}\right) $$

と表す.

$$x\cdot \sigma := i\sum_{k=1}^3 x^k\sigma^k=\left( \begin{array}{ccc}
ix^3 & ix^1+x^2\\
ix^1-x^2& -ix^3\\
\end{array}\right).$$

$$ x^i x_i=1 \leftrightarrow \det x\cdot \sigma=1. $$

これを使うと,$U\in SU(2)$ に対し, $\Lambda_U\in SO(3)$が次のように定まる:

$$ U(x\cdot \sigma)U^{-1}=(\Lambda_U x)\cdot \sigma.
$$
$\Lambda_U$を具体的に行列で表すと次のようになる:

$$\Lambda_U=\left(\begin{array}{ccc}
\mathrm{Re}\left(a^2-b^2\right) & \mathrm{Im}\left(a^2+b^2\right) & -2 \mathrm{Re}(ab) \\
-\mathrm{Im}\left(a^2-b^2\right) & \mathrm{Re}\left(a^2+b^2\right) & 2 \mathrm{Im}(ab) \\
2 \mathrm{Re}(a \bar{b}) & 2 \mathrm{Im}(a \bar{b}) & |a|^2-|b|^2
\end{array}\right)$$

$\Lambda:SU(2)\rightarrow SO(3)$が連続であることの証明は省略する.
$U\mapsto \Lambda_U$の全射性:
$$
\begin{aligned}
\Lambda_{U(a=\cos \frac{\theta}{2},b=-i \sin \frac{\theta}{2}) }&=\left(\begin{array}{ccc}
1 & 0 & 0 \\
0 & \cos \theta & -\sin \theta \\
0 & \sin \theta & \cos \theta
\end{array}\right)=R_x(\theta), \\
\Lambda_{U(a=\cos \frac{\theta}{2},b=-\sin \frac{\theta}{2})} &=\left(\begin{array}{ccc}
\cos \theta & 0 & \sin \theta \\
0 & 1 & 0 \\
-\sin \theta & 0 & \cos \theta
\end{array}\right)=R_y(\theta), \\
\Lambda_{U(a=e^{-i \frac{\theta}{2}}, b=0)} &=\left(\begin{array}{ccc}
\cos \theta & -\sin \theta & 0 \\
\sin \theta & \cos \theta & 0 \\
0 & 0 & 1
\end{array}\right)=R_z(\theta).
\end{aligned}
$$

$U\mapsto \Lambda_U$が2:1であること:
$U（a,b),U(a^\prime,b^\prime)$に対し$\Lambda_U=\Lambda_{U}$が成り立つとする. このとき $a^2-b^2=a^{\prime 2}-b^{\prime 2}, a^2+b^2=a^{\prime 2}+b^{\prime 2}$より $a^2=a^{\prime 2},b^2=b^{\prime
2}$となる. $a\bar{b}=a^\prime\bar{b^\prime}$も満たすものは, $(a^\prime,b^\prime)=(-a,-b)$しかない. 従って同じ$\Lambda\in SO(3)$を与える$SU(2)$の元は $U(a,b)$と$U(-a,-b)$の2つのみ.

対称多項式

2022-10-20T15:02:41Z

Maph1994:

= 完全対称多項式 =
$N$変数多項式環 $\mathbb{Z}[x_1,...,x_N] $の元として定まる, 次の多項式 $h_n(x_1,...,x_N)$を $n$次完全対称多項式という:
$$
\begin{gathered}
h_{n}\left(x_1,...,x_N\right):=\left\{\begin{array}{cc}
\displaystyle\sum_{1 \leq i_{1} \leq \ldots \leq i_{n} \leq N} x_{i_{1}} \cdots x_{i_{n}}, & n \geq 1 \\
1, & n=0 \\
0, & n \leq-1
\end{array}.\right.
\end{gathered}$$

例えば

$$ h_1(x_1,...,x_N)=x_1 +x_2+ ...+x_N$$

$$h_2(x_1,x_2,x_3)=x_1^2 +x_1 x_2 +x_2^2+x_2 x_3 + x_3^2 + x_3 x_1$$

==完全対称多項式の母関数==
$N$変数多項式環を係数にもつ, 不定元を $t$とした形式的冪級数 $H(x_1,...,x_N,t)$を次で定める:

$$ H(x_1,...,x_N,t):=\prod_{i=1}^N \frac{1}{1-x_i t}$$

これを $t$の冪に直すと, 各係数には完全対称多項式が並ぶ:

$$ H(x_1,...,x_N,t)=\sum_{n=0}^\infty h_n(x_1,...,x_N)t^n$$

= 基本対称多項式 =

$N$変数多項式環 $\mathbb{Z}[x_1,...,x_N] $の元として定まる, 次の多項式 $e_n(x_1,...,x_N)$を $n$次基本対称多項式という:
$$
\begin{gathered}
e_{n}\left(x_1,...,x_N\right):=\left\{\begin{array}{cc}
\displaystyle\sum_{1 < i_{1}<\ldots<i_{n} < N} x_{i_{1}} \cdots x_{i_{n}}, & n \geq 1 \\
1, & n=0 \\
0, & n \leq-1
\end{array}\right.
\end{gathered}
$$

==基本対称多項式の母関数==
$N$変数多項式環を係数にもつ, 不定元を $t$とした形式的冪級数 $E(x_1,...,x_N,t)$を次で定める:

$$ E(x_1,...,x_N,t):=\prod_{i=1}^N(1+x_i t)$$

これを $t$で展開すると, 各係数には基本対称多項式が並ぶ:

$$ E(x_1,...,x_N,t)=\sum_{n=N}^\infty e_n(x_1,...,x_N)t^n$$

=基本対称多項式と完全対称多項式の関係=
上で定義した２つの母関数$E(t),H(t)$に対して次が成り立つ:
$$E(t)H(t)=1.$$

ここから,任意の正の整数$n$について,

$$\sum_{k=0}^n h_{k}(\boldsymbol{x}_N)e_{n-k}(\boldsymbol{x}_N)=0$$

が成り立つ.

対称多項式

2022-10-20T14:56:42Z

Maph1994: /* 基本対称多項式の母関数 */

Schur多項式

2022-10-20T14:55:55Z

Maph1994: /* Schur多項式 */

== Schur多項式 ==
Schur多項式とは,2次元ヤング図$\lambda$ごとに定まる$N$変数多項式 $s_{\lambda}(x_1,...,x_N)$のことである. 2次元Young図については[[Young図形]]を参照.
Schur多項式には,同値な定義がいくつも知られている. 本稿では3通りの定義方法を述べる.

==対称多項式を用いた定義==
以下で用いる対称多項式については[[対称多項式]]を参照.
例えば, 完全対称多項式を用いると, Schur多項式は次のように定義できる:
$N$個の変数$x_1,...,x_N$ をまとめて$\boldsymbol{x}_N$と表す. 2次元Young図 $\lambda=(\lambda_1,...,\lambda_\ell)$ に対して, Schur多項式 $s_\lambda (\boldsymbol{x}_N)\in \mathbb{Z}[\boldsymbol{x}_N]$ を次で定義する:
$$
s_{\lambda}\left(\boldsymbol{x}_{N}\right):=
\displaystyle\det_{1 \leq i, j \leq \ell} h_{\lambda_{i}-i+j}\left(\boldsymbol{x}_{N}\right)$$

右辺は, $i,j$成分が $h_{\lambda_{i}-i+j}\left(\boldsymbol{x}_{N}\right)$であるような行列の行列式である.

例えば,$\lambda=(2,1),N=3$の場合,

$$s_{\lambda=(2,1)}(\boldsymbol{x}_3)=\displaystyle\det\left(\begin{array}{ll}
h_2(\boldsymbol{x}_3) & h_3(\boldsymbol{x}_3) \\
h_0(\boldsymbol{x}_3) & h_1(\boldsymbol{x}_3)
\end{array}\right)$$

これは, 基本対称多項式と完全対称多項式の関係を用いると,

$$s_{\lambda=(2,1)}(\boldsymbol{x}_3)=h_2(\boldsymbol{x}_3)e_1(\boldsymbol{x}_3)-h_3(\boldsymbol{x}_3)=h_1(\boldsymbol{x}_3)e_2(\boldsymbol{x}_3)-h_0(\boldsymbol{x}_3)e_3(\boldsymbol{x}_3)=x_1^2(x_2+x_3)+x_2^2(x_3+x_1)+x_3^2(x_1+x_2)+x_1x_2x_3$$

また, 基本対称多項式を用いても定義することができる:
$$s_{\lambda}\left(\boldsymbol{x}_{N}\right):=\displaystyle\det_{1 \leq i, j \leq \ell^{\mathrm{T}}} e_{\lambda_{i}^{\mathrm{T}}-i+j}
\left(\boldsymbol{x}_{N}\right)$$

$\lambda^{\mathrm{T}}$は2次元Young図の転置である. もちろんこの2つは等しい:

$$\displaystyle\det_{1 \leq i, j \leq \ell} h_{\lambda_{i}-i+j}\left(\boldsymbol{x}_{N}\right)=\displaystyle\det_{1 \leq i, j \leq \ell^{\mathrm{T}}} e_{\lambda_{i}^{\mathrm{T}}-i+j}
\left(\boldsymbol{x}_{N}\right)$$

この等式は, 2次元Young図の半標準盤を用いたSchur多項式の表示を媒介することで示すことができる.

==半標準盤を用いた定義==
2次元Young図の半標準盤とは, 2次元Young図のなかに,次のように右には広義増加,下には狭義増加する正の整数を書き込んだものをいう:
例えば$\lambda=(2,1)$ ならば,次の3つはいずれも半標準盤の例になっている:
$$\mathrm{T}^\lambda =\begin{array}{ll}
1 & 2 \\
3 &
\end{array}\quad , \quad
\begin{array}{ll}
2& 2 \\
5 &
\end{array}\quad, \quad
\begin{array}{ll}
10^3 & 10^7 \\
10^9 &
\end{array}\quad, \quad etc.
$$
さらに, 各半標準盤$\mathrm{T}^\lambda$ごとに, $N$変数多項式$\boldsymbol{x}_N^{\mathrm{T}^\lambda}$を次のように定める:
$$\lambda=(2,1), \mathrm{T}^\lambda =\begin{array}{ll}
2 & 2 \\
5 &
\end{array}, \boldsymbol{x}_N^{\mathrm{T}^\lambda}:=\begin{cases}x_2^2x_5, N\geq5\\ 0, N<5\end{cases}$$

Schur多項式$s_{\lambda}\left(\boldsymbol{x}_{N}\right)$ は, 半標準盤 $\mathrm{T}^\lambda$ごとに定まる多項式$\boldsymbol{x}_N^{\mathrm{T}^\lambda}$を足し上げる形で定義することができる:

$$s_{\lambda}\left(\boldsymbol{x}_{N}\right):=\sum_{\mathrm{T}^\lambda}\boldsymbol{x}_N^{\mathrm{T}^\lambda}$$

例えば, $\lambda=(2,1), N=3$であれば,半標準盤は
$$\begin{array}{ll}
1 &1 \\
2 &
\end{array},\quad
\begin{array}{ll}
1 & 1 \\
3 &
\end{array},\quad
\begin{array}{ll}
1 & 2 \\
3 &
\end{array},\quad
\begin{array}{ll}
1 & 3 \\
2 &
\end{array},\quad
\begin{array}{ll}
1 & 3 \\
3 &
\end{array},\quad
\begin{array}{ll}
1 & 2 \\
2 &
\end{array},\quad
\begin{array}{ll}
2 & 2 \\
3 &
\end{array},\quad
\begin{array}{ll}
2 & 3 \\
3 &
\end{array},\quad
$$
の8つ.従ってこのときのSchur多項式は
$$s_{\lambda=(2,1)}(\boldsymbol{x}_3)=x_1^2(x_2+x_3)+2x_1x_2x_3+x_2^2(x_1+x_3)+(x_1+x_2)x_3^2$$

となって,確かに対称多項式を用いて計算したものと一致している.

==Jacobi-Trudi恒等式==

任意の2次元Young図 $\lambda$ と, 任意の正の整数 $N$ に対して, $N$ 変数多項式環 $\mathbb{Z}[x_1,...,x_N]$ 上で次が成立する:

$$\sum_{\mathrm{T}^\lambda}\boldsymbol{x}_N^{\mathrm{T}^\lambda}=\displaystyle\det_{1 \leq i, j \leq \ell} h_{\lambda_{i}-i+j}\left(\boldsymbol{x}_{N}\right)=\displaystyle\det_{1 \leq i, j \leq \ell^{\mathrm{T}}} e_{\lambda_{i}^{\mathrm{T}}-i+j}\left(\boldsymbol{x}_{N}\right)$$

これは,右辺を格子上の経路の足し上げとして表す手法により証明することができる.

==Giambelli表示==
任意の半整数 $\alpha,\beta\in\mathbb{Z}+1/2$ に対し, 多項式 $s_{(\alpha \mid \beta)}\left(\boldsymbol{x}_N\right)\in\mathbb{Z}[x_1,...,x_N]$ を次で定義する:
$$
s_{(\alpha \mid \beta)}\left(\boldsymbol{x}_N\right):=\sum_{k=1}^{\beta+1 / 2}(-1)^{k-1} h_{\alpha-1 / 2+k}\left(\boldsymbol{x}_N\right) e_{\beta+1 / 2-k}\left(\boldsymbol{x}_N\right)
$$

この多項式を用いると,Schur多項式は次のように表すことができる:

$$
s_{\lambda}\left(\boldsymbol{x}_{N}\right)=\displaystyle\det_{1 \leq i, j \leq d} s_\left(\alpha_i \mid \beta_j\right)\left(\boldsymbol{x}_N\right)
$$
Schur多項式には量子力学(場の量子論)的な表示もあるが,それはこの表示から導くことができる.

$\lambda=(2,1),N=3$のとき, $\alpha=3/2, \beta=3/2$だから,

$$s_{\lambda}\left(\boldsymbol{x}_{3}\right)=s_\left(3/2 \mid 3/2\right)\left(\boldsymbol{x}_3\right)$$

$$=\sum_{k=1}^{2}(-1)^{k-1} h_{1+k}\left(\boldsymbol{x}_3\right) e_{2-k}\left(\boldsymbol{x}_3\right)$$

$$=h_{2}\left(\boldsymbol{x}_3\right)e_{1}\left(\boldsymbol{x}_3\right)-h_{3}\left(\boldsymbol{x}_3\right)$$

となって, これもまた上で計算したものと等しい結果になる.

Schur多項式

2022-10-20T14:54:43Z

Maph1994: /* Giambelli表示 */

== Schur多項式 ==
Schur多項式とは,2次元ヤング図$\lambda$ごとに定まる$N$変数多項式 $s_{\lambda}(x_1,...,x_N)$のことである. 2次元Young図については[[Young図形]]を参照.
Schur多項式には,同値な定義がいくつも知られている.

==対称多項式を用いた定義==
以下で用いる対称多項式については[[対称多項式]]を参照.
例えば, 完全対称多項式を用いると, Schur多項式は次のように定義できる:
$N$個の変数$x_1,...,x_N$ をまとめて$\boldsymbol{x}_N$と表す. 2次元Young図 $\lambda=(\lambda_1,...,\lambda_\ell)$ に対して, Schur多項式 $s_\lambda (\boldsymbol{x}_N)\in \mathbb{Z}[\boldsymbol{x}_N]$ を次で定義する:
$$
s_{\lambda}\left(\boldsymbol{x}_{N}\right):=
\displaystyle\det_{1 \leq i, j \leq \ell} h_{\lambda_{i}-i+j}\left(\boldsymbol{x}_{N}\right)$$

右辺は, $i,j$成分が $h_{\lambda_{i}-i+j}\left(\boldsymbol{x}_{N}\right)$であるような行列の行列式である.

例えば,$\lambda=(2,1),N=3$の場合,

$$s_{\lambda=(2,1)}(\boldsymbol{x}_3)=\displaystyle\det\left(\begin{array}{ll}
h_2(\boldsymbol{x}_3) & h_3(\boldsymbol{x}_3) \\
h_0(\boldsymbol{x}_3) & h_1(\boldsymbol{x}_3)
\end{array}\right)$$

これは, 基本対称多項式と完全対称多項式の関係を用いると,

$$s_{\lambda=(2,1)}(\boldsymbol{x}_3)=h_2(\boldsymbol{x}_3)e_1(\boldsymbol{x}_3)-h_3(\boldsymbol{x}_3)=h_1(\boldsymbol{x}_3)e_2(\boldsymbol{x}_3)-h_0(\boldsymbol{x}_3)e_3(\boldsymbol{x}_3)=x_1^2(x_2+x_3)+x_2^2(x_3+x_1)+x_3^2(x_1+x_2)+x_1x_2x_3$$

また, 基本対称多項式を用いても定義することができる:
$$s_{\lambda}\left(\boldsymbol{x}_{N}\right):=\displaystyle\det_{1 \leq i, j \leq \ell^{\mathrm{T}}} e_{\lambda_{i}^{\mathrm{T}}-i+j}
\left(\boldsymbol{x}_{N}\right)$$

$\lambda^{\mathrm{T}}$は2次元Young図の転置である. もちろんこの2つは等しい:

$$\displaystyle\det_{1 \leq i, j \leq \ell} h_{\lambda_{i}-i+j}\left(\boldsymbol{x}_{N}\right)=\displaystyle\det_{1 \leq i, j \leq \ell^{\mathrm{T}}} e_{\lambda_{i}^{\mathrm{T}}-i+j}
\left(\boldsymbol{x}_{N}\right)$$

この等式は, 2次元Young図の半標準盤を用いたSchur多項式の表示を媒介することで示すことができる.

==半標準盤を用いた定義==
2次元Young図の半標準盤とは, 2次元Young図のなかに,次のように右には広義増加,下には狭義増加する正の整数を書き込んだものをいう:
例えば$\lambda=(2,1)$ ならば,次の3つはいずれも半標準盤の例になっている:
$$\mathrm{T}^\lambda =\begin{array}{ll}
1 & 2 \\
3 &
\end{array}\quad , \quad
\begin{array}{ll}
2& 2 \\
5 &
\end{array}\quad, \quad
\begin{array}{ll}
10^3 & 10^7 \\
10^9 &
\end{array}\quad, \quad etc.
$$
さらに, 各半標準盤$\mathrm{T}^\lambda$ごとに, $N$変数多項式$\boldsymbol{x}_N^{\mathrm{T}^\lambda}$を次のように定める:
$$\lambda=(2,1), \mathrm{T}^\lambda =\begin{array}{ll}
2 & 2 \\
5 &
\end{array}, \boldsymbol{x}_N^{\mathrm{T}^\lambda}:=\begin{cases}x_2^2x_5, N\geq5\\ 0, N<5\end{cases}$$

Schur多項式$s_{\lambda}\left(\boldsymbol{x}_{N}\right)$ は, 半標準盤 $\mathrm{T}^\lambda$ごとに定まる多項式$\boldsymbol{x}_N^{\mathrm{T}^\lambda}$を足し上げる形で定義することができる:

$$s_{\lambda}\left(\boldsymbol{x}_{N}\right):=\sum_{\mathrm{T}^\lambda}\boldsymbol{x}_N^{\mathrm{T}^\lambda}$$

例えば, $\lambda=(2,1), N=3$であれば,半標準盤は
$$\begin{array}{ll}
1 &1 \\
2 &
\end{array},\quad
\begin{array}{ll}
1 & 1 \\
3 &
\end{array},\quad
\begin{array}{ll}
1 & 2 \\
3 &
\end{array},\quad
\begin{array}{ll}
1 & 3 \\
2 &
\end{array},\quad
\begin{array}{ll}
1 & 3 \\
3 &
\end{array},\quad
\begin{array}{ll}
1 & 2 \\
2 &
\end{array},\quad
\begin{array}{ll}
2 & 2 \\
3 &
\end{array},\quad
\begin{array}{ll}
2 & 3 \\
3 &
\end{array},\quad
$$
の8つ.従ってこのときのSchur多項式は
$$s_{\lambda=(2,1)}(\boldsymbol{x}_3)=x_1^2(x_2+x_3)+2x_1x_2x_3+x_2^2(x_1+x_3)+(x_1+x_2)x_3^2$$

となって,確かに対称多項式を用いて計算したものと一致している.

==Jacobi-Trudi恒等式==

任意の2次元Young図 $\lambda$ と, 任意の正の整数 $N$ に対して, $N$ 変数多項式環 $\mathbb{Z}[x_1,...,x_N]$ 上で次が成立する:

$$\sum_{\mathrm{T}^\lambda}\boldsymbol{x}_N^{\mathrm{T}^\lambda}=\displaystyle\det_{1 \leq i, j \leq \ell} h_{\lambda_{i}-i+j}\left(\boldsymbol{x}_{N}\right)=\displaystyle\det_{1 \leq i, j \leq \ell^{\mathrm{T}}} e_{\lambda_{i}^{\mathrm{T}}-i+j}\left(\boldsymbol{x}_{N}\right)$$

これは,右辺を格子上の経路の足し上げとして表す手法により証明することができる.

==Giambelli表示==
任意の半整数 $\alpha,\beta\in\mathbb{Z}+1/2$ に対し, 多項式 $s_{(\alpha \mid \beta)}\left(\boldsymbol{x}_N\right)\in\mathbb{Z}[x_1,...,x_N]$ を次で定義する:
$$
s_{(\alpha \mid \beta)}\left(\boldsymbol{x}_N\right):=\sum_{k=1}^{\beta+1 / 2}(-1)^{k-1} h_{\alpha-1 / 2+k}\left(\boldsymbol{x}_N\right) e_{\beta+1 / 2-k}\left(\boldsymbol{x}_N\right)
$$

この多項式を用いると,Schur多項式は次のように表すことができる:

$$
s_{\lambda}\left(\boldsymbol{x}_{N}\right)=\displaystyle\det_{1 \leq i, j \leq d} s_\left(\alpha_i \mid \beta_j\right)\left(\boldsymbol{x}_N\right)
$$
Schur多項式には量子力学(場の量子論)的な表示もあるが,それはこの表示から導くことができる.

$\lambda=(2,1),N=3$のとき, $\alpha=3/2, \beta=3/2$だから,

$$s_{\lambda}\left(\boldsymbol{x}_{3}\right)=s_\left(3/2 \mid 3/2\right)\left(\boldsymbol{x}_3\right)$$

$$=\sum_{k=1}^{2}(-1)^{k-1} h_{1+k}\left(\boldsymbol{x}_3\right) e_{2-k}\left(\boldsymbol{x}_3\right)$$

$$=h_{2}\left(\boldsymbol{x}_3\right)e_{1}\left(\boldsymbol{x}_3\right)-h_{3}\left(\boldsymbol{x}_3\right)$$

となって, これもまた上で計算したものと等しい結果になる.

Schur多項式

2022-10-20T14:53:46Z

Maph1994: /* Giambelli表示 */

== Schur多項式 ==
Schur多項式とは,2次元ヤング図$\lambda$ごとに定まる$N$変数多項式 $s_{\lambda}(x_1,...,x_N)$のことである. 2次元Young図については[[Young図形]]を参照.
Schur多項式には,同値な定義がいくつも知られている.

==対称多項式を用いた定義==
以下で用いる対称多項式については[[対称多項式]]を参照.
例えば, 完全対称多項式を用いると, Schur多項式は次のように定義できる:
$N$個の変数$x_1,...,x_N$ をまとめて$\boldsymbol{x}_N$と表す. 2次元Young図 $\lambda=(\lambda_1,...,\lambda_\ell)$ に対して, Schur多項式 $s_\lambda (\boldsymbol{x}_N)\in \mathbb{Z}[\boldsymbol{x}_N]$ を次で定義する:
$$
s_{\lambda}\left(\boldsymbol{x}_{N}\right):=
\displaystyle\det_{1 \leq i, j \leq \ell} h_{\lambda_{i}-i+j}\left(\boldsymbol{x}_{N}\right)$$

右辺は, $i,j$成分が $h_{\lambda_{i}-i+j}\left(\boldsymbol{x}_{N}\right)$であるような行列の行列式である.

例えば,$\lambda=(2,1),N=3$の場合,

$$s_{\lambda=(2,1)}(\boldsymbol{x}_3)=\displaystyle\det\left(\begin{array}{ll}
h_2(\boldsymbol{x}_3) & h_3(\boldsymbol{x}_3) \\
h_0(\boldsymbol{x}_3) & h_1(\boldsymbol{x}_3)
\end{array}\right)$$

これは, 基本対称多項式と完全対称多項式の関係を用いると,

$$s_{\lambda=(2,1)}(\boldsymbol{x}_3)=h_2(\boldsymbol{x}_3)e_1(\boldsymbol{x}_3)-h_3(\boldsymbol{x}_3)=h_1(\boldsymbol{x}_3)e_2(\boldsymbol{x}_3)-h_0(\boldsymbol{x}_3)e_3(\boldsymbol{x}_3)=x_1^2(x_2+x_3)+x_2^2(x_3+x_1)+x_3^2(x_1+x_2)+x_1x_2x_3$$

また, 基本対称多項式を用いても定義することができる:
$$s_{\lambda}\left(\boldsymbol{x}_{N}\right):=\displaystyle\det_{1 \leq i, j \leq \ell^{\mathrm{T}}} e_{\lambda_{i}^{\mathrm{T}}-i+j}
\left(\boldsymbol{x}_{N}\right)$$

$\lambda^{\mathrm{T}}$は2次元Young図の転置である. もちろんこの2つは等しい:

$$\displaystyle\det_{1 \leq i, j \leq \ell} h_{\lambda_{i}-i+j}\left(\boldsymbol{x}_{N}\right)=\displaystyle\det_{1 \leq i, j \leq \ell^{\mathrm{T}}} e_{\lambda_{i}^{\mathrm{T}}-i+j}
\left(\boldsymbol{x}_{N}\right)$$

この等式は, 2次元Young図の半標準盤を用いたSchur多項式の表示を媒介することで示すことができる.

==半標準盤を用いた定義==
2次元Young図の半標準盤とは, 2次元Young図のなかに,次のように右には広義増加,下には狭義増加する正の整数を書き込んだものをいう:
例えば$\lambda=(2,1)$ ならば,次の3つはいずれも半標準盤の例になっている:
$$\mathrm{T}^\lambda =\begin{array}{ll}
1 & 2 \\
3 &
\end{array}\quad , \quad
\begin{array}{ll}
2& 2 \\
5 &
\end{array}\quad, \quad
\begin{array}{ll}
10^3 & 10^7 \\
10^9 &
\end{array}\quad, \quad etc.
$$
さらに, 各半標準盤$\mathrm{T}^\lambda$ごとに, $N$変数多項式$\boldsymbol{x}_N^{\mathrm{T}^\lambda}$を次のように定める:
$$\lambda=(2,1), \mathrm{T}^\lambda =\begin{array}{ll}
2 & 2 \\
5 &
\end{array}, \boldsymbol{x}_N^{\mathrm{T}^\lambda}:=\begin{cases}x_2^2x_5, N\geq5\\ 0, N<5\end{cases}$$

Schur多項式$s_{\lambda}\left(\boldsymbol{x}_{N}\right)$ は, 半標準盤 $\mathrm{T}^\lambda$ごとに定まる多項式$\boldsymbol{x}_N^{\mathrm{T}^\lambda}$を足し上げる形で定義することができる:

$$s_{\lambda}\left(\boldsymbol{x}_{N}\right):=\sum_{\mathrm{T}^\lambda}\boldsymbol{x}_N^{\mathrm{T}^\lambda}$$

例えば, $\lambda=(2,1), N=3$であれば,半標準盤は
$$\begin{array}{ll}
1 &1 \\
2 &
\end{array},\quad
\begin{array}{ll}
1 & 1 \\
3 &
\end{array},\quad
\begin{array}{ll}
1 & 2 \\
3 &
\end{array},\quad
\begin{array}{ll}
1 & 3 \\
2 &
\end{array},\quad
\begin{array}{ll}
1 & 3 \\
3 &
\end{array},\quad
\begin{array}{ll}
1 & 2 \\
2 &
\end{array},\quad
\begin{array}{ll}
2 & 2 \\
3 &
\end{array},\quad
\begin{array}{ll}
2 & 3 \\
3 &
\end{array},\quad
$$
の8つ.従ってこのときのSchur多項式は
$$s_{\lambda=(2,1)}(\boldsymbol{x}_3)=x_1^2(x_2+x_3)+2x_1x_2x_3+x_2^2(x_1+x_3)+(x_1+x_2)x_3^2$$

となって,確かに対称多項式を用いて計算したものと一致している.

==Jacobi-Trudi恒等式==

任意の2次元Young図 $\lambda$ と, 任意の正の整数 $N$ に対して, $N$ 変数多項式環 $\mathbb{Z}[x_1,...,x_N]$ 上で次が成立する:

$$\sum_{\mathrm{T}^\lambda}\boldsymbol{x}_N^{\mathrm{T}^\lambda}=\displaystyle\det_{1 \leq i, j \leq \ell} h_{\lambda_{i}-i+j}\left(\boldsymbol{x}_{N}\right)=\displaystyle\det_{1 \leq i, j \leq \ell^{\mathrm{T}}} e_{\lambda_{i}^{\mathrm{T}}-i+j}\left(\boldsymbol{x}_{N}\right)$$

これは,右辺を格子上の経路の足し上げとして表す手法により証明することができる.

==Giambelli表示==
任意の半整数 $\alpha,\beta\in\mathbb{Z}+1/2$ に対し, 多項式 $s_{(\alpha \mid \beta)}\left(\boldsymbol{x}_N\right)\in\mathbb{Z}[x_1,...,x_N]$ を次で定義する:
$$
s_{(\alpha \mid \beta)}\left(\boldsymbol{x}_N\right):=\sum_{k=1}^{\beta+1 / 2}(-1)^{k-1} h_{\alpha-1 / 2+k}\left(\boldsymbol{x}_N\right) e_{\beta+1 / 2-k}\left(\boldsymbol{x}_N\right)
$$

この多項式を用いると,Schur多項式は次のように表すことができる:

$$
s_{\lambda}\left(\boldsymbol{x}_{N}\right)=\displaystyle\det_{1 \leq i, j \leq d} s_\left(\alpha_i \mid \beta_j\right)\left(\boldsymbol{x}_N\right)
$$
Schur多項式には量子力学(場の量子論)的な表示もあるが,それはこの表示から導くことができる.

$\lambda=(2,1)$のとき, $\alpha=3/2, \beta=3/2$だから,

$$s_{\lambda}\left(\boldsymbol{x}_{N}\right)=s_\left(3/2 \mid 3/2\right)\left(\boldsymbol{x}_N\right)$$

$$=\sum_{k=1}^{2}(-1)^{k-1} h_{1+k}\left(\boldsymbol{x}_N\right) e_{2-k}\left(\boldsymbol{x}_N\right)$$

$$=h_{2}\left(\boldsymbol{x}_N\right)e_{1}\left(\boldsymbol{x}_N\right)-h_{3}\left(\boldsymbol{x}_N\right)$$

となって, これもまた上で計算したものと等しい結果になる.

2022-09-30T12:08:06Z

Maph1994:

Schur多項式

2022-09-30T12:00:07Z

Maph1994:

Schur多項式

2022-09-30T11:55:20Z

Maph1994: /* Jacobi-Trudi恒等式 */

2022-09-07T11:27:05Z

Maph1994: /* 基本対称多項式 */

対称多項式

2022-09-07T11:25:52Z

Maph1994: /* 基本対称多項式 */

対称多項式

2022-09-07T11:24:25Z

Maph1994: /* 完全対称多項式 */

対称多項式

2022-09-07T10:21:22Z

Maph1994:

Young図形

2022-09-04T02:14:24Z

Maph1994:

正の整数列 $ \lambda=(\lambda_1,...,\lambda_\ell) $ が 2次元Young図形であるとは,
$$ \lambda_{i}\geq \lambda_{i+1},\quad{}i=1,...,\ell-1
$$
が満たされることをいう.
また, 次の記号をよく用いる:
$$ |\lambda|:=\sum_{i=1}^{\ell}\lambda_i
$$
2次元Young図 $\lambda$ は, $|\lambda |$という数の分割である, ともいう.
[[ファイル:2次元ヤング図.png|サムネイル|(4,3,1,1)という2次元Young図の例]]

例右の画像は, $\lambda=(4,3,1,1)$という2次元Young図である. $|\lambda|=4+3+1+1=9$ である.

=== 分割の母関数 ===

次の等式が知られている:

$$
\sum_\lambda q^{|\lambda|}=\prod_{n=1}^{\infty} \frac{1}{1-q^n}
$$

2次元Young図は, 表現論においてしばしば用いられる図形であり, 弦理論においても弦の励起状態を指定する役割を持つ.

Theta関数

2022-08-28T13:23:11Z

Maph1994: /* Theta関数 */

==Theta関数==
テータ関数とは, $\nu\in \mathbb{C}, \tau \in \mathbb{C},Im\tau >0$ について, $q=e^{2\pi i\tau}, z=e^{2\pi i \nu}$として定まる次の関数をいう:
$$\vartheta_{00}(\nu, \tau):=\prod_{m=1}^{\infty}\left(1-q^{m}\right)\left(1+z q^{m-1 / 2}\right)\left(1+z^{-1} q^{m-1 / 2}\right)$$
$$\vartheta_{01}(\nu, \tau):=\prod_{m=1}^{\infty}\left(1-q^{m}\right)\left(1-z q^{m-1 / 2}\right)\left(1-z^{-1} q^{m-1 / 2}\right)$$
$$\vartheta_{10}(\nu, \tau):=2 q^{\frac{1}{8}} \cos \pi \nu \prod_{m=1}^{\infty}\left(1-q^{m}\right)\left(1+z q^{m}\right)\left(1+z^{-1} q^{m}\right)$$
$$\vartheta_{11}(\nu, \tau):=-2 q^{\frac{1}{8}} \sin \pi \nu \prod_{m=1}^{\infty}\left(1-q^{m}\right)\left(1-z q^{m}\right)\left(1-z^{-1} q^{m}\right)$$

$\theta_{00}(\tau,\nu)$を用いると, 他の3つは次のように表せる:

$$
\begin{aligned}
&\theta_{01}(\tau, \nu)=\theta_{00}\left(\tau, \nu+\frac{1}{2}\right) \\
&\theta_{10}(\tau, \nu)=q^{\frac{1}{8}} z^{\frac{1}{2}} \theta_{00}\left(\tau, \nu+\frac{1}{2} \tau\right) \\
&\vartheta_{11}(\tau, \nu)=iq^{\frac{1}{8}} z^{\frac{1}{2}} \vartheta_{00}\left(\tau, \nu-\frac{1}{2}+\frac{1}{2} \tau\right)
\end{aligned}
$$

== Jacobiの三重積公式 ==
Theta関数には, 次の恒等式が知られている:

$$\prod_{m=1}^{\infty}\left(1-q^{m}\right)\left(1+z q^{m-1 / 2}\right)\left(1+z^{-1} q^{m-1 / 2}\right)=\sum_{m=-\infty}^{\infty}z^m q^{\frac{1}{2}m^2}$$
$$\prod_{m=1}^{\infty}\left(1-q^{m}\right)\left(1-z q^{m-1 / 2}\right)\left(1-z^{-1} q^{m-1 / 2}\right)=\sum_{m=-\infty}^{\infty}(-1)^m z^m q^{\frac{1}{2}m^2}$$
$$2 q^{\frac{1}{8}} \cos \pi \nu \prod_{m=1}^{\infty}\left(1-q^{m}\right)\left(1+z q^{m}\right)\left(1+z^{-1} q^{m}\right)=\sum_{m=-\infty}^{\infty}z^{m-\frac{1}{2}} q^{\frac{1}{2}(m-\frac{1}{2})^2}$$
$$-2 q^{\frac{1}{8}} \sin \pi \nu \prod_{m=1}^{\infty}\left(1-q^{m}\right)\left(1-z q^{m}\right)\left(1-z^{-1} q^{m}\right)=\sum_{m=-\infty}^{\infty}(-1)^m z^{m-\frac{1}{2}} q^{\frac{1}{2}(m-\frac{1}{2})^2}$$

以下では, この恒等式に量子統計物理学的な証明を与える. 物理の用語としてはボソンやフェルミオン, 数学の用語としてはマヤ図形やヤング図形である.

==母関数==
無限個のパラメータの組 $\{\epsilon_i\}_{i=1}^\infty$ を固定する.

分配関数を次で定義する:

$$ Z(\beta):=\prod_{i=1}^\infty \sum_{n_i} e^{-\beta \epsilon_i n_i} $$

各 $i$ について, $ n_i=0,1,2,...$ とするものをボソンといい, $n_i =0,1$ とするものをフェルミオンという.

$$ Z_{\mathrm{Boson}}(\beta)=\prod_{i=1}^\infty \frac{1}{1-e^{-\beta\epsilon_i}}$$

$$ Z_{\mathrm{Fermion}}(\beta)=\prod_{i=1}^\infty (1+e^{-\beta\epsilon_i}) $$
== マヤ図形 ==

マヤ図形の分配関数は
$$\circ$$
$$ Z_{\mathrm{Fermion}}(q)=\prod_{n=1}^\infty (1-zq^{n-1/2})(1-z^{-1}q^{n-1/2})$$

== ヤング図形 ==

$$ \sum_{\lambda}q^{|\lambda|}=\prod_{n=1}^\infty \frac{1}{1-q^n}$$

ヤング図形として分配関数を計算すると

Theta関数

2022-08-28T13:22:49Z

Maph1994: /* Theta関数 */

==Theta関数==
テータ関数とは, $\nu\in \mathbb{C}, \tau \in \mathbb{C},Im\tau >0$ について, $q=e^{2\pi i\tau}, z=e^{2\pi i \nu}$として定まる次の関数をいう:
$$\vartheta_{00}(\nu, \tau):=\prod_{m=1}^{\infty}\left(1-q^{m}\right)\left(1+z q^{m-1 / 2}\right)\left(1+z^{-1} q^{m-1 / 2}\right)$$
$$\vartheta_{01}(\nu, \tau):=\prod_{m=1}^{\infty}\left(1-q^{m}\right)\left(1-z q^{m-1 / 2}\right)\left(1-z^{-1} q^{m-1 / 2}\right)$$
$$\vartheta_{10}(\nu, \tau):=2 q^{\frac{1}{8}} \cos \pi \nu \prod_{m=1}^{\infty}\left(1-q^{m}\right)\left(1+z q^{m}\right)\left(1+z^{-1} q^{m}\right)$$
$$\vartheta_{11}(\nu, \tau):=-2 q^{\frac{1}{8}} \sin \pi \nu \prod_{m=1}^{\infty}\left(1-q^{m}\right)\left(1-z q^{m}\right)\left(1-z^{-1} q^{m}\right)$$

$\theta_{00}(\tau,\nu)$を用いると, 他の3つは次のように表せる:

$$
\begin{aligned}
&\theta_{01}(\tau, \nu)=\theta_{00}\left(\tau, v+\frac{1}{2}\right) \\
&\theta_{10}(\tau, \nu)=q^{\frac{1}{8}} z^{\frac{1}{2}} \theta_{00}\left(\tau, \nu+\frac{1}{2} \tau\right) \\
&\vartheta_{11}(\tau, \nu)=iq^{\frac{1}{8}} z^{\frac{1}{2}} \vartheta_{00}\left(\tau, \nu-\frac{1}{2}+\frac{1}{2} \tau\right)
\end{aligned}
$$

== Jacobiの三重積公式 ==
Theta関数には, 次の恒等式が知られている:

$$\prod_{m=1}^{\infty}\left(1-q^{m}\right)\left(1+z q^{m-1 / 2}\right)\left(1+z^{-1} q^{m-1 / 2}\right)=\sum_{m=-\infty}^{\infty}z^m q^{\frac{1}{2}m^2}$$
$$\prod_{m=1}^{\infty}\left(1-q^{m}\right)\left(1-z q^{m-1 / 2}\right)\left(1-z^{-1} q^{m-1 / 2}\right)=\sum_{m=-\infty}^{\infty}(-1)^m z^m q^{\frac{1}{2}m^2}$$
$$2 q^{\frac{1}{8}} \cos \pi \nu \prod_{m=1}^{\infty}\left(1-q^{m}\right)\left(1+z q^{m}\right)\left(1+z^{-1} q^{m}\right)=\sum_{m=-\infty}^{\infty}z^{m-\frac{1}{2}} q^{\frac{1}{2}(m-\frac{1}{2})^2}$$
$$-2 q^{\frac{1}{8}} \sin \pi \nu \prod_{m=1}^{\infty}\left(1-q^{m}\right)\left(1-z q^{m}\right)\left(1-z^{-1} q^{m}\right)=\sum_{m=-\infty}^{\infty}(-1)^m z^{m-\frac{1}{2}} q^{\frac{1}{2}(m-\frac{1}{2})^2}$$

以下では, この恒等式に量子統計物理学的な証明を与える. 物理の用語としてはボソンやフェルミオン, 数学の用語としてはマヤ図形やヤング図形である.

==母関数==
無限個のパラメータの組 $\{\epsilon_i\}_{i=1}^\infty$ を固定する.

分配関数を次で定義する:

$$ Z(\beta):=\prod_{i=1}^\infty \sum_{n_i} e^{-\beta \epsilon_i n_i} $$

各 $i$ について, $ n_i=0,1,2,...$ とするものをボソンといい, $n_i =0,1$ とするものをフェルミオンという.

$$ Z_{\mathrm{Boson}}(\beta)=\prod_{i=1}^\infty \frac{1}{1-e^{-\beta\epsilon_i}}$$

$$ Z_{\mathrm{Fermion}}(\beta)=\prod_{i=1}^\infty (1+e^{-\beta\epsilon_i}) $$
== マヤ図形 ==

マヤ図形の分配関数は
$$\circ$$
$$ Z_{\mathrm{Fermion}}(q)=\prod_{n=1}^\infty (1-zq^{n-1/2})(1-z^{-1}q^{n-1/2})$$

== ヤング図形 ==

$$ \sum_{\lambda}q^{|\lambda|}=\prod_{n=1}^\infty \frac{1}{1-q^n}$$

ヤング図形として分配関数を計算すると

対称多項式

2022-08-13T09:49:59Z

Maph1994: /* 基本対称多項式 */

対称多項式

2022-08-13T09:35:58Z

Maph1994: /* 完全対称多項式 */

Schur多項式

2022-08-13T05:34:47Z

Maph1994: ページの作成:「== Schur多項式 == Schur多項式とは,2次元ヤング図$\lambda$ごとに定まる多項式 $s_{\lambda}$のことである. Schur多項式には,同値な定義…」

== Schur多項式 ==
Schur多項式とは,2次元ヤング図$\lambda$ごとに定まる多項式 $s_{\lambda}$のことである.
Schur多項式には,同値な定義がいくつも知られている.

===対称多項式を用いた定義===
例えば, 完全対称多項式を用いて次のように定義できる.
2次元Young図 $\lambda=(\lambda_1,...,\lambda_\ell)$ に対して, Schur多項式 $s_\lambda (\boldsymbol{x}_N)\in \mathbb{Z}[\boldsymbol{x}_N]$ を次で定義する:
$$
s_{\lambda}\left(\boldsymbol{x}_{N}\right):=
\displaystyle\det_{1 \leq i, j \leq \ell} h_{\lambda_{i}-i+j}\left(\boldsymbol{x}_{N}\right)$$

右辺は, $i,j$成分が $h_{\lambda_{i}-i+j}\left(\boldsymbol{x}_{N}\right)$であるような行列の行列式である.

また, 基本対称式を用いても定義することができる:
$$s_{\lambda}\left(\boldsymbol{x}_{N}\right):=\displaystyle\det_{1 \leq i, j \leq \ell^{\mathrm{T}}} e_{\lambda_{i}^{\mathrm{T}}-i+j}
\left(\boldsymbol{x}_{N}\right)$$

もちろんこの2つは等しい:
$$\displaystyle\det_{1 \leq i, j \leq \ell} h_{\lambda_{i}-i+j}\left(\boldsymbol{x}_{N}\right)=\displaystyle\det_{1 \leq i, j \leq \ell^{\mathrm{T}}} e_{\lambda_{i}^{\mathrm{T}}-i+j}
\left(\boldsymbol{x}_{N}\right)$$

===半標準盤を用いた定義===