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局所コンパクト群のユニタリ表現

2026-07-12T00:26:47Z

Kataoka: /* 定理5.10（コンパクト可換群のFourier変換（Plancherelの定理）） */

本稿においては、局所コンパクト群のユニタリ表現論について初歩的なことを論じる。仮定する知識は、位相空間論（[[入門テキスト「位相空間論」]]、[[ネットによる位相空間論]]）、測度論（[[入門テキスト「測度と積分」]]、特に[[測度と積分7：局所コンパクトHausdorff空間上のRadon測度]]、[[測度と積分9：Bochner積分]]の内容）、位相線形空間論（[[入門テキスト「位相線形空間」]]）、Banach環と$C^*$ -環のスペクトル理論（[[Banach環とC*-環のスペクトル理論]]）、Hilbert空間上の作用素論（[[Hilbert空間上の作用素論]]）である。 
本稿ではHilbert空間と言えば、特に断ることのない限り $\mathbb{C}$ 上のものとする。また、Hilbert空間の内積は第二変数に関して線形とし、$\mathbb{N}=\{1,2,3,\ldots\}$、$\mathbb{Z}_+=\{0,1,2,3,\ldots\}$ とする。

==1. 局所コンパクト群のHaar測度、モジュラー関数、$L^1$ 群環、測度群環==

===定義1.1（局所コンパクト群）===
群 $G$ が局所コンパクト群であるとは、$G$ が局所コンパクトHausdorff空間であり、群演算
$$
G\times G\ni (x,y)\mapsto xy\in G,\quad G\ni x\mapsto x^{-1}\in G
$$
が（直積位相に関して）連続であることを言う。特に離散位相による局所コンパクト群を離散群と言い、コンパクトな局所コンパクト群をコンパクト群と言う。'''以後、局所コンパクト群と言えば、特に断らない限り、第二可算公理を満たすものとする。'''

===定義1.2===
$G$ を群とする。$A,B\subset G$, $y\in G$ に対し、
$$
A^{-1}\colon=\{x^{-1}:x\in A\},\quad AB\colon =\{xy:x\in A,y\in B\},
$$
$$
yA\colon =\{yx:x\in A\},\quad Ay\colon=\{xy:x\in A\}
$$
とおく。$A=A^{-1}$ であるとき $A$ は対称であると言う。$G$ 上で定義された関数 $f$ に対し $G$ 上で定義された関数 $L_yf, R_yf$ を、
$$
L_yf(x)\colon =f(y^{-1}x),\quad R_yf(x)\colon =f(xy)\quad(\forall x\in G)
$$
として定義する。
$$
L_{y_1}L_{y_2}f=L_{y_1y_2}f,\quad R_{y_1}R_{y_2}f=R_{y_1y_2}f\quad(\forall y_1,y_2\in G)
$$
であることに注意する。

===命題1.3（$C_0(G)$ の元の一様連続性）===
$G$ を局所コンパクト群とし、$f\in C_0(G)$（無限遠で消える連続関数）とする。このとき、
*$(1)$　任意の $\epsilon\in G$ に対し、単位元 $1\in G$ の対称な近傍 $V$ が存在し、
$$
yx^{-1}\in V\quad \text{or}\quad x^{-1}y\in V\quad\Rightarrow\quad \lvert f(y)-f(x)\rvert<\epsilon
$$
が成り立つ。
*$(2)$　$G\ni y\mapsto L_yf\in C_0(G)$ は（$\sup$ ノルムに関して）連続である。
*$(3)$　$G\ni y\mapsto R_yf\in C_0(G)$ は（$\sup$ ノルムに関して）連続である。
{{begin|proof}}
*$(1)$　任意の $\epsilon\in (0,\infty)$ を取り固定する。$f$ は無限遠で消える連続関数（[[測度と積分7：局所コンパクトHausdorff空間上のRadon測度]]の'''定義28.2'''）であるから $K\colon =(\lvert f\rvert\geq \frac{\epsilon}{2})$ はコンパクトである。$f$ は連続であるから、各 $x\in K$ に対し $1\in G$ の開近傍 $U_x$ で、
$$
\lvert f(y)-f(x)\rvert<\frac{\epsilon}{2}\quad(\forall y\in (U_x)x\cup x(U_x))
$$
を満たすものが取れる。$1\in G$ の対称開近傍 $V_x$ で $V_xV_x\subset U_x$ なるものを取る。<ref>$G\times G\ni (x,y)\mapsto xy\in G$ の連続性に注意。</ref>$K$ はコンパクトであるから有限個の $x_1,\ldots,x_n\in K$ が取れて、
$$
K\subset \bigcup_{j=1}^{n}((V_{x_j})x_j\cap x_j(V_{x_j}))
$$
となる。$1\in G$ の対称開近傍
$$
V\colon=\bigcap_{j=1}^{n}V_{x_j}
$$
を考える。今、$x,y\in G$ が $x^{-1}y\in V$ か $yx^{-1}\in V$ のいずれかを満たすとする。もし $x,y\notin K$ ならば $K$ の定義より、
$$
\lvert f(x)-f(y)\rvert\leq \lvert f(x)\rvert+\lvert f(y)\rvert<\epsilon
$$
である。またもし $x\in K$ ならば、$x\in (V_{x_j})x_j\cap x_j(V_{x_j})$ なる $j\in \{1,\ldots,n\}$ が取れて、
$$
y=(yx^{-1})x=x(x^{-1}y)\in (VV_{x_j})x_j\cup x_j(V_{x_j}V)\subset (U_{x_j})x_j\cup x_j(U_{x_j})
$$
となる。よって、
$$
x,y\in (U_{x_j})x_j\cup x_j(U_{x_j})
$$
であるから、
$$
\lvert f(y)-f(x)\rvert\leq \lvert f(y)-f(x_j)\rvert+\lvert f(x_j)-f(x)\rvert<\epsilon\quad\quad(*)
$$
が成り立つ。$V$ の対称性より $y^{-1}x=(x^{-1}y)^{-1}\in V$ か $xy^{-1}=(yx^{-1})^{-1}\in V$ のいずれかが成り立つので、$y\in K$ の場合も同様にして $(*)$ が成り立つことがわかる。これより $x,y\in G$
が $x^{-1}y\in V$ か $yx^{-1}\in V$ のいずれかを満たすとき $\lvert f(y)-f(x)\rvert<\epsilon$ が成り立つ。
*$(2)$　任意の $\epsilon\in (0,\infty)$ を取る。$(1)$ より $1\in G$ の近傍 $V$ で、
$$
y_1y_2^{-1}\in V\quad\Rightarrow\quad \lvert f(y_1)-f(y_2)\rvert\leq\epsilon
$$
を満たすものが取れる。よって任意の $y_0\in G$ に対し $y_0$ の近傍 $y_0V$ を考えれば、任意の $y\in y_0V$ に対し、
$$
(y_0^{-1}x)(y^{-1}x)^{-1}=y_0^{-1}y\in V\quad(\forall x\in G)
$$
であるから、
$$
\sup_{x\in G}\lvert L_{y_0}f(x)-L_yf(x)\rvert=\sup_{x\in G}\lvert f(y_0^{-1}x)-f(y^{-1}x)\rvert\leq\epsilon
$$
となる。よって $G\ni y\mapsto L_yf\in C_0(G)$ は連続である。
*$(3)$　任意の $\epsilon\in (0,\infty)$ を取る。$(1)$ より $1\in G$ の近傍 $V$ で、
$$
y_1^{-1}y_2\in V\quad\Rightarrow\quad \lvert f(y_1)-f(y_2)\rvert\leq\epsilon
$$
を満たすものが取れる。よって任意の $y_0\in G$ に対し $y_0$ の近傍 $y_0 V$ を考えれば、任意の $y\in y_0V$ に対し、
$$
(xy_0)^{-1}(xy)=y_0^{-1}y\in V\quad(\forall x\in G)
$$
であるから、
$$
\sup_{x\in G}\lvert R_{y_0}f(x)-R_yf(x)\rvert=\sup_{x\in G}\lvert f(xy_0)-f(xy)\rvert\leq\epsilon
$$
となる。よって $G\ni y\mapsto R_yf\in C_0(G)$ は連続である。
{{end|proof}}

===定義1.4（Haar測度）===
$G$ を局所コンパクト群とする。$G$ 上のRadon測度（[[測度と積分7：局所コンパクトHausdorff空間上のRadon測度]]の'''定義29.3'''）$\mu\colon \mathcal{B}_G\rightarrow [0,\infty]$ が、
$$
\mu(G)>0,\quad \mu(yB)=\mu(B)\quad(\forall y\in G,\forall B\in \mathcal{B}_G)
$$
を満たすとき、$\mu$ を $G$ 上の左Haar測度と言う。また $G$ 上のRadon測度 $\mu\colon \mathcal{B}_G\rightarrow [0,\infty]$ が、
$$
\mu(G)>0,\quad \mu(B)=\mu(By)\quad(\forall y\in G,\forall B\in \mathcal{B}_G)
$$
を満たすとき、$\mu$ を $G$ 上の右Haar測度と言う。以後、左Haar測度のことを単にHaar測度と言う。

===注意1.5（局所コンパクトHausdorff空間の第二可算性とRadon測度）===
本稿においては局所コンパクト群は特に断らない限り第二可算公理を満たすとしているが、第二可算公理を満たす局所コンパクトHausdorff空間においては、Borel測度がRadon測度であるための必要十分条件は、任意のコンパクト集合に対して有限測度を与えることである（[[測度と積分7：局所コンパクトHausdorff空間上のRadon測度]]の'''定理31.5'''）。また第二可算公理を満たす局所コンパクトHausdorff空間は $\sigma$-コンパクトである（[[測度と積分7：局所コンパクトHausdorff空間上のRadon測度]]の'''命題31.2'''）ので、Radon測度は $\sigma$-有限である。

===例1.6（Lebesgue測度、離散群の数え上げ測度はHaar測度）===
*　$\mathbb{R}^N$ は加法群として局所コンパクト群であり、Lebesgue測度の平行移動不変性より、$\mathbb{R}^N$ 上のLebesgue測度は $\mathbb{R}^N$ 上のHaar測度である。
*　離散群 $G$ の数え上げ測度（[[測度と積分6：数え上げ測度と $\ell^p$ 空間]]の'''定義24.1'''）はHaar測度である。

===命題1.7（Haar測度による積分の左不変性）===
$G$ を局所コンパクト群、$\mu\colon \mathcal{B}_G\rightarrow [0,\infty]$ を $G$ 上のHaar測度とする。このとき任意の非負値Borel関数 $f\colon G\rightarrow [0,\infty]$ と $y\in G$ に対し、
$$
\int_{G}L_yf(x)d\mu(x)=\int_{G}f(x)d\mu(x)
$$
が成り立つ。
{{begin|proof}}
非負値Borel関数の非負値Borel単関数による各点単調増加列による近似（[[測度と積分1：測度論の基礎用語]]の'''定理5.5'''）より、$f$ がある $B\in \mathcal{B}_G$ の指示関数である、すなわち $f=\chi_B$ である場合を示せば十分であるが、Haar測度の定義より、
$$
\int_{G}L_y\chi_B(x)d\mu(x)=\int_{G}\chi_B(y^{-1}x)d\mu(x)=\int_{G}\chi_{yB}(x)d\mu(x)=\mu(yB)=\mu(B)=\int_{G}\chi_B(x)d\mu(x)
$$
である。
{{end|proof}}

===命題1.8（空でない開集合のHaar測度は正）===
$G$ を局所コンパクト群、$\mu\colon\mathcal{B}_G\rightarrow [0,\infty]$ をHaar測度とする。このとき任意の空でない開集合 $U\subset G$ に対し $\mu(U)>0$ が成り立つ。
{{begin|proof}}
空でない開集合 $U\subset G$ で $\mu(U)=0$ なるものが存在すると仮定して矛盾を導く。任意のコンパクト集合 $K\subset G$ に対し、
$$
K\subset \bigcup_{x\in G}xU
$$
であるから、有限個の $x_1,\ldots,x_n\in G$ が取れて、
$$
K\subset \bigcup_{j=1}^{n}x_jU
$$
となる。よって、
$$
\mu(K)\leq \sum_{j=1}^{n}\mu(x_jU)=\sum_{j=1}^{n}\mu(U)=0
$$
となるので、Radon測度の内部正則性（[[測度と積分7：局所コンパクトHausdorff空間上のRadon測度]]の'''定義29.3'''）より、
$$
\mu(G)=\sup\{\mu(K):\text{$K\subset G$ はコンパクト}\}=0
$$
となる。これはHaar測度の定義と矛盾する。
{{end|proof}}

任意の局所コンパクト群がHaar測度を持つことと、それは正数倍を除いて一意的であること（'''定理1.13'''、'''定理1.14'''）を示すため、いくつか準備をする。

===定義1.9===
$G$ を局所コンパクト群とする。
$$
C_{c,+}(G)\colon =\{f\in C_c(G):\forall x\in G,f(x)\geq0\},\quad
C_{c,++}(G)\colon=C_{c,+}(G)\backslash \{0\}
$$
とおく。Urysohnの補題（[[測度と積分7：局所コンパクトHausdorff空間上のRadon測度]]の'''定理27.6'''）より $C_{c,++}(G)\neq \emptyset$ である。今、任意の $f,g\in C_{c,++}(G)$ に対し、
$$
(f,g)\colon=\inf\left\{\sum_{j=1}^{n}c_j:\begin{array}{l}&n\in \mathbb{N}, c_1,\ldots,c_n\in [0,\infty):\\&\exists x_1,\ldots,x_n\in G\text{ s.t. }\forall x\in G, f(x)\leq \sum_{j=1}^{n}c_jL_{x_j}g(x)\end{array}\right\}\quad\quad(*)
$$
と定義する。ここで $(*)$ の右辺の集合は空ではない。実際、$0<\lVert g\rVert=\sup_{x\in G}g(x)$ より $U\colon=\left(\frac{\lVert g\rVert}{2}<g\right)$ は空ではない開集合であり、${\rm supp}(f)$ はコンパクトであるから、有限個の $x_1,\ldots,x_n\in G$ が存在し、
$$
{\rm supp}(f)\subset \bigcup_{j=1}^{n}x_jU
$$
となる。そこで、
$$
c_j\colon=\frac{2\lVert f\rVert}{\lVert g\rVert}\quad(j=1,\ldots,n)
$$
とおく。任意の $x\in {\rm supp}(f)$ に対し $x\in x_iU$ なる $i\in\{1,\ldots,n\}$ が取れて、
$$
f(x)\leq \lVert f\rVert=c_i\frac{\lVert g\rVert}{2}<c_ig(x_i^{-1}x)=c_iL_{x_i}g(x)\leq \sum_{j=1}^{n}c_jL_{x_j}g(x)
$$
となる。よって $\sum_{j=1}^{n}c_j$ は $(*)$ の右辺の集合に属する。

===補題1.10===
'''定義1.9'''における $(f,g)$ について次が成り立つ。
*$(1)$　任意の $f,g\in C_{c,++}(G)$ に対し、$0<\frac{\lVert f\rVert}{\lVert g\rVert}<(f,g)$.
*$(2)$　任意の $f_1,f_2,g\in C_{c,++}(G)$ に対し、$(f_1+f_2,g)\leq (f_1,g)+(f_2,g)$.
*$(3)$　任意の $f,g\in C_{c,++}(G)$ と任意の $\alpha\in (0,\infty)$ に対し、$(\alpha f,g)=\alpha(f,g)$.
*$(4)$　任意の $f,g\in C_{c,++}(G)$ と任意の $y\in G$ に対し $(L_yf,g)=(f,g)$.
*$(5)$　任意の $f,g,h\in C_{c,++}(G)$ に対し、$(f,h)\leq (f,g)(g,h)$.
{{begin|proof}}
*$(1)$　$f(x)\leq \sum_{j=1}^{n}c_jL_{x_j}g(x)$ $(\forall x\in G)$ を満たす任意の有限個の $c_1,\ldots,c_n\in [0,\infty)$, $x_1,\ldots,x_n\in G$ を取る。このとき、
$$
f(x)\leq \sum_{j=1}^{n}c_jL_{x_j}g(x)\leq \sum_{j=1}^{n}c_j\lVert g\rVert\quad(\forall x\in G)
$$
であるから $\lVert f\rVert\leq \sum_{j=1}^{n}c_j\lVert g\rVert$ である。よって $\frac{\lVert f\rVert}{\lVert g\rVert}\leq \sum_{j=1}^{n}c_j$ であるから $\frac{\lVert g\rVert}{\lVert f\rVert}\leq (f,g)$ である。
*$(2)$　'''定義1.9'''より明らかである。
*$(3)$　'''定義1.9'''より明らかである。
*$(4)$　'''定義1.9'''より明らかである。
*$(5)$　$f(x)\leq \sum_{j=1}^{n}c_jL_{x_j}g(x)$ $(\forall x\in G)$ を満たす任意の有限個の $c_1,\ldots,c_n\in [0,\infty)$, $x_1,\ldots,x_n\in G$ と $g(x)\leq \sum_{k=1}^{m}d_kL_{y_k}h(x)$ $(\forall x\in G)$ を満たす任意の有限個の $d_1,\ldots,d_m\in [0,\infty)$ と $y_1,\ldots,y_m\in G$ を取る。このとき任意の $x\in G$ に対し、
$$
f(x)\leq \sum_{j=1}^{n}c_jL_{x_j}g(x)=\sum_{j=1}^{n}c_jg(x_j^{-1}x)
\leq \sum_{j=1}^{n}\sum_{k=1}^{m}c_jd_kL_{y_k}h(x_j^{-1}x)=\sum_{j=1}^{n}\sum_{k=1}^{m}c_jd_kL_{x_jy_k}h(x)
$$
であるから、$(f,h)\leq \sum_{j=1}^{n}c_j\sum_{k=1}^{m}d_k$ である。よって $(f,h)\leq (f,g)(g,h)$ が成り立つ。
{{end|proof}}

===定義1.11===
任意の $f_0\in C_{c,++}(G)$ を取り固定する。そして任意の $\varphi\in C_{c,++}(G)$ に対し $\Lambda_{\varphi}\colon C_{c,++}(G)\rightarrow (0,\infty)$ を、
$$
\Lambda_{\varphi}(f)\colon=\frac{(f,\varphi)}{(f_0,\varphi)}\quad(\forall f\in C_{c,++}(G))
$$
（'''補題1.10'''の $(1)$ より右辺の分母は正であることに注意）として定義する。'''補題1.10'''より $\Lambda_{\varphi}\colon C_{c,++}(G)\rightarrow(0,\infty)$ は次を満たすことが直ちに分かる。
*$(1)$　任意の $f_1,f_2\in C_{c,++}(G)$ に対し、$\Lambda_{\varphi}(f_1+f_2)\leq \Lambda_{\varphi}(f_1)+\Lambda_{\varphi}(f_2)$.
*$(2)$　任意の $f\in C_{c,++}(G)$ と任意の $\alpha\in (0,\infty)$ に対し、$\Lambda_{\varphi}(\alpha f)=\alpha\Lambda_{\varphi}(f)$.
*$(3)$　任意の $f\in C_{c,++}(G)$ と任意の $y\in G$ に対し、$\Lambda_{\varphi}(L_yf)=\Lambda_{\varphi}(f)$.
*$(4)$　任意の $f\in C_{c,++}(G)$ に対し、$\frac{1}{(f_0,f)}\leq \Lambda_{\varphi}(f)\leq (f,f_0)$.

===補題1.12===
'''定義1.11'''で定義したものについて考える。任意の $f_1,f_2\in C_{c,++}(G)$ と任意の $\epsilon\in (0,\infty)$ に対し、単位元 $1\in G$ の開近傍 $U$ が存在し、
$$
\Lambda_{\varphi}(f_1)+\Lambda_{\varphi}(f_2)\leq \Lambda_{\varphi}(f_1+f_2)+\epsilon\quad(\forall \varphi\in C_{c,++}(G):{\rm supp}(\varphi)\subset U)
$$
が成り立つ。
{{begin|proof}}
Urysohnの補題（[[測度と積分7：局所コンパクトHausdorff空間上のRadon測度]]の'''定義27.6'''）により ${\rm supp}(f_1+f_2)\subset (g>0)$ なる $g\in C_{c,++}(G)$ を取る。そして任意の $\delta\in (0,\infty)$ を取り固定する。
$$
h\colon =f_1+f_2+\delta g\in C_{c,++}(G)
$$
とおき、$h_1,h_2\colon G\rightarrow [0,\infty)$ を、
$$
h_k(x)\colon=\begin{cases}\frac{f_k(x)}{h(x)}\quad&(x\in (h>0))\\
0&(x\notin (h>0))\end{cases}\quad(k=1,2)
$$
と定義する。${\rm supp}(f_k)\subset {\rm supp}(f_1+f_2)\subset (g>0)\subset (h>0)$ より、
$$
G=(h>0)\cup (G\backslash {\rm supp}(f_k))\quad(k=1,2)
$$
であり、
$$
h_k(x)=0\quad(\forall x\in G\backslash {\rm supp}(f_k))\quad(k=1,2)
$$
であるから、$h_1,h_2\in C_{c,+}(G)$ である。また、
$$
0\leq h_1(x)+h_2(x)\leq 1,\quad f_1(x)=h_1(x)h(x),\quad f_2(x)=h_2(x)h(x)\quad(\forall x\in G)\quad\quad(*)
$$
である。'''命題1.3'''より $1\in G$ の開近傍 $U$ で、
$$
x^{-1}y\in U\quad\Rightarrow\quad \lvert h_k(x)-h_k(y)\rvert<\frac{\delta}{2}\quad(k=1,2)\quad\quad(**)
$$
を満たすものが取れる。${\rm supp}(\varphi)\subset U$ を満たす任意の $\varphi\in C_{c,++}(G)$ を取る。
$$
h(x)\leq \sum_{j=1}^{n}c_jL_{x_j}\varphi(x)\quad(\forall x\in G)
$$
を満たす任意の有限個の $c_1,\cdots,c_n\in [0,\infty)$ と $x_1,\ldots,x_n\in G$ に対し、${\rm supp}(\varphi)\subset U$ と $(*),(**)$ より、
$$
f_k(x)=h_k(x)h(x)\leq \sum_{j=1}^{n}c_jh_k(x)\varphi(x_j^{-1}x)\leq \sum_{j=1}^{n}c_j\left(h_k(x_j)+\frac{\delta}{2}\right)L_{x_j}\varphi(x)\quad(\forall x\in G,k=1,2)
$$
であるから、
$$
(f_k,\varphi)\leq \sum_{j=1}^{n}c_j\left(h_k(x_j)+\frac{\delta}{2}\right)\quad(k=1,2).
$$
よって $(*)$ より、
$$
(f_1,\varphi)+(f_2,\varphi)\leq \sum_{j=1}^{n}c_j(h_1(x_j)+h_2(x_j)+\delta)\leq (1+\delta)\sum_{j=1}^{n}c_j.
$$
ゆえに、
$$
(f_1,\varphi)+(f_2,\varphi)\leq (1+\delta)(h,\varphi).
$$
したがって、
$$
\Lambda_{\varphi}(f_1)+\Lambda_{\varphi}(f_2)\leq (1+\delta)\Lambda_{\varphi}(h)\quad\quad(***)
$$
が成り立つ。'''定義1.11'''における $(1)\sim(4)$ より、
$$
\begin{aligned}
(1+\delta)\Lambda_{\varphi}(h)&=(1+\delta)\Lambda_{\varphi}(f_1+f_2+\delta g)\leq (1+\delta)\Lambda_{\varphi}(f_1+f_2)+(1+\delta)\delta\Lambda_{\varphi}(g)\\
&\leq \Lambda_{\varphi}(f_1+f_2)+\delta(f_1+f_2,f_0)+(1+\delta)\delta(g,f_0)\quad\quad(****)
\end{aligned}
$$
であるから、
$$
\delta(f_1+f_2,f_0)+(1+\delta)\delta(g,f_0)\leq \epsilon
$$
となるように $\delta$ を取っておけば、$(***), (****)$ より、
$$
\Lambda_{\varphi}(f_1)+\Lambda_{\varphi}(f_2)\leq \Lambda_{\varphi}(f_1+f_2)+\epsilon
$$
となる。
{{end|proof}}

===定理1.13（Haar測度の存在）===
任意の局所コンパクト群はHaar測度を持つ。
{{begin|proof}}
$G$ を任意の局所コンパクト群とする。'''定義1.9'''、'''定義1.11'''における記号を用いる。各 $f\in C_{c,++}(G)$ に対し $\mathbb{R}$ の有界閉区間 $[(f_0,f)^{-1},(f,f_0)]$ はコンパクトであるから、Tychonoffの定理（[[ネットによる位相空間論]]の'''定理7.5'''）より直積位相空間
$$
X\colon =\prod_{f\in C_{c,++}(G)}[(f_0,f)^{-1},(f,f_0)]
$$
はコンパクトである。'''定義1.11'''の $(4)$ より、
$$
\Lambda_{\varphi}=(\Lambda_{\varphi}(f))_{f\in C_{c,++}(G)}\in X\quad(\forall\varphi\in C_{c,++}(G))
$$
である。単位元 $1\in G$ の任意の開近傍 $U$ に対し、
$$
K(U)\colon=\{\Lambda_{\varphi}:\varphi\in C_{c,++}(G),{\rm supp}(\varphi)\subset U\}\subset X
$$
と定義すると、Urysohnの補題（[[測度と積分7：局所コンパクトHausdorff空間上のRadon測度]]の'''定理27.6'''）より $K(U)\neq \emptyset$ である。$U_1\subset U_2$ ならば $K(U_1)\subset K(U_2)$ であるから、$X$ のコンパクト性より、
$$
\Lambda\in \bigcap_{\text{$U$ は $1\in G$ の開近傍}}\overline{K(U)}
$$
が存在する。$1\in G$ の任意の開近傍 $U$ に対し $\Lambda\in \overline{K(U)}$ であるから、直積位相の定義（[[ネットによる位相空間論]]の'''定義7.3'''）より、任意の $\epsilon\in (0,\infty)$ と任意の有限個の $f_1,\ldots,f_n\in C_{c,++}(G)$ に対し、${\rm supp}(\varphi)\subset U$ なる $\varphi\in C_{c,++}(G)$ が存在し、
$$
\lvert \Lambda(f_j)-\Lambda_{\varphi}(f_j)\rvert<\epsilon\quad(j=1,\ldots,n)
$$
が成り立つ。このことと'''定義1.11'''における $(1)\sim (4)$ より、
*$(1)$　任意の $f_1,f_2\in C_{c,++}(G)$ に対し、$\Lambda(f_1+f_2)\leq \Lambda(f_1)+\Lambda(f_2)$.
*$(2)$　任意の $f\in C_{c,++}(G)$ と任意の $\alpha\in(0,\infty)$ に対し、$\Lambda(\alpha f)=\alpha\Lambda(f)$.
*$(3)$　任意の $f\in C_{c,++}(G)$ と任意の $y\in G$ に対し、$\Lambda(L_yf)=\Lambda(f)$.
*$(4)$　任意の $f\in C_{c,++}(G)$ に対し、$\Lambda(f)>0$.
が成り立つことが分かる。さらに'''補題1.12'''より、
*$(5)$　任意の $f_1,f_2\in C_{c,++}(G)$ に対し、$\Lambda(f_1)+\Lambda(f_2)\leq\Lambda(f_1+f_2)$.
も成り立つことが分かる。$\Lambda(0)\colon=0$ とおいて $\Lambda$ を $C_{c,+}(G)=C_{c,++}(G)\cup \{0\}$ まで拡張し、さらに任意の $f\in C_{c,\mathbb{R}}(G)$（$G$ 上の台がコンパクトな実数値連続関数）に対し、
$$
\Lambda(f)\colon=\Lambda(f_+)-\Lambda(f_-)\quad(f_{\pm}={\rm max}(\pm f,0)\in C_{c,+}(G))
$$
として $\Lambda$ を $C_{c,\mathbb{R}}(G)$ まで拡張すると、$(1),(2),(5)$ より $\Lambda\colon C_{c,\mathbb{R}}(G)\rightarrow \mathbb{R}$ はRadon汎関数（[[測度と積分7：局所コンパクトHausdorff空間上のRadon測度]]の'''定義30.2'''）となる。<ref>任意の $f,g\in C_{c,\mathbb{R}}(G)$ に対し $(f+g)_+-(f+g)_-=f+g=(f_+-f_-)+(g_+-g_-)$ より $(f+g)_++f_-+g_-=(f+g)_-+f_++g_+$ であること、任意の $f\in C_{c,\mathbb{R}}(G)$ と任意の $\alpha\in \mathbb{R}$ に対し、$\alpha\geq0$ ならば $(\alpha f)_{\pm}=\alpha{\rm max}(\pm f,0)=\alpha f_{\pm}$ であり、$\alpha<0$ ならば $(\alpha f)_{\pm}=(-\alpha){\rm max}(\mp f,0)=-\alpha f_{\mp}$ であることに注意すればよい。</ref>よってRiesz-Markov-角谷の表現定理（[[測度と積分7：局所コンパクトHausdorff空間上のRadon測度]]の'''定理30.4'''）よりRadon測度（[[測度と積分7：局所コンパクトHausdorff空間上のRadon測度]]の'''定義29.3'''）$\mu\colon \mathcal{B}_G\rightarrow [0,\infty]$ で、
$$
\Lambda(f)=\int_{G}f(x)d\mu(x)\quad(\forall f\in C_{c,\mathbb{R}}(G))
$$
を満たすものが唯一つ存在する。$(3)$ と[[測度と積分7：局所コンパクトHausdorff空間上のRadon測度]]'''命題29.4'''より、任意の $y\in G$ と任意の開集合 $U\subset G$ に対し、
$$
\mu(yU)=\sup\{\Lambda(f):f\prec yU\}=\sup\{\Lambda(L_yf):f\prec U\}
=\sup\{\Lambda(f):f\prec U\}=\mu(U)
$$
が成り立つので、Radon測度 $\mu$ の外部正則性より、任意の $y\in G$ と任意の $B\in \mathcal{B}_G$ に対し、
$$
\mu(yB)=\inf\{\mu(yU):\text{$U\supset B$ は開集合}\}=\inf\{\mu(U):\text{$U\supset B$ は開集合}\}=\mu(B)
$$
が成り立つ。また $(4)$ より $\mu(G)>0$ である。よって $\mu$ は $G$ のHaar測度である。
{{end|proof}}

===定理1.14（Haar測度の一意性）===
局所コンパクト群のHaar測度は正数倍を除いて一意的である。すなわち $\mu_1,\mu_2\colon \mathcal{B}_G\rightarrow [0,\infty]$ がいずれも局所コンパクト群 $G$ のHaar測度であるならば、ある正数 $c$ が存在し、$\mu_1(B)=c\mu_2(B)$ $(\forall B\in\mathcal{B}_G)$ が成り立つ。
{{begin|proof}}
Radon測度の外部正則性（[[測度と積分7：局所コンパクトHausdorff空間上のRadon測度]]の'''定義29.3'''）よりある正数 $c$ が存在し、任意の開集合 $U\subset G$ に対して $\mu_1(U)=c\mu_2(U)$ が成り立つことを示せば十分である。さらにそのことを示すには、[[測度と積分7：局所コンパクトHausdorff空間上のRadon測度]]の'''命題29.4'''より、ある正数 $c$ に対し、
$$
\int_{G}f(x)d\mu_1(x)=c\int_{G}f(x)d\mu_2(x)\quad(\forall f\in C_{c,++}(G))
$$
が成り立つことを示せば十分である。そのためには任意の $f,g\in C_{c,++}(G)$ に対し、
$$
\frac{\int_{G}f(x)d\mu_1(x)}{\int_{G}f(y)d\mu_2(y)}=\frac{\int_{G}g(x)d\mu_1(x)}{\int_{G}g(y)d\mu_2(y)}\quad\quad(*)
$$
が成り立つことを示せばよい。<ref>任意の $f\in C_{c,++}(G)$ に対し $(f>0)$ は空でない開集合であるから、'''命題1.8'''より $\int_{G}f(x)d\mu_i(x)>0$ $(i=1,2)$ である。</ref>そこで任意の $f,g\in C_{c,++}(G)$ を取り固定する。また単位元 $1\in G$ のコンパクトな対称近傍 $V$ を取り固定する。このとき、
$$
A\colon=V{\rm supp}(f)\cup {\rm supp}(f)V,\quad B\colon=V{\rm supp}(g)\cup {\rm supp}(g)V
$$
はそれぞれコンパクトであり、
$$
{\rm supp}(R_yf-L_{y^{-1}}f)\subset A,\quad {\rm supp}(R_yg-L_{y^{-1}}g)\subset B\quad(\forall y\in V)\quad\quad(**)
$$
が成り立つ。'''命題1.3'''より任意の正数 $\epsilon$ に対し $1\in G$ の対称近傍 $V_0\subset V$ で、
$$
\lvert f(xy)-f(yx)\rvert<\epsilon,\quad \lvert g(xy)-g(yx)\rvert<\epsilon\quad(\forall y\in V_0,\forall x\in G)\quad\quad(***)
$$
を満たすものが取れる。Urysohnの補題（[[測度と積分7：局所コンパクトHausdorff空間上のRadon測度]]の'''定理27.6'''）により ${\rm supp}(h_0)\subset V_0$ なる $h_0\in C_{c,++}(G)$ を取り、
$$
h(x)\colon=\frac{1}{2}(h_0(x)+h_0(x^{-1}))\quad(\forall x\in G)
$$
とおく。このとき $h(x^{-1})=h(x)$ $(\forall x\in G)$ であり、$V_0$ の対称性より ${\rm supp}(h)\subset {\rm supp}(h_0)\cup {\rm supp}(h_0)^{-1}\subset V_0$ である。Haar測度による積分の性質（'''命題1.7'''）より、
$$
\begin{aligned}
\left(\int_{G}f(x)d\mu_1(x)\right)\left(\int_{G}h(y)d\mu_2(y)\right)
&=\int_{G}\left(\int_{G}f(x)h(y)d\mu_1(x)\right)d\mu_2(y)\\
&=\int_{G}\left(\int_{G}f(yx)h(y)d\mu_1(x)\right)d\mu_2(y)
\end{aligned}
$$
であり、$h(y^{-1}x)=h((x^{-1}y)^{-1})=h(x^{-1}y)$ $(\forall x,y\in G)$ であることとFubiniの定理より、
$$
\begin{aligned}
&\left(\int_{G}h(x)d\mu_1(x)\right)\left(\int_{G}f(y)d\mu_2(y)\right)=\int_{G}\left(\int_{G}h(x)f(y)d\mu_1(x)\right)d\mu_2(y)\\
&=\int_{G}\left(\int_{G}h(y^{-1}x)f(y)d\mu_1(x)\right)d\mu_2(y)=\int_{G}\left(\int_{G}h(x^{-1}y)f(y)d\mu_1(x)\right)d\mu_2(y)\\
&=\int_{G}\left(\int_{G}h(x^{-1}y)f(y)d\mu_2(y)\right)d\mu_1(x)=\int_{G}\left(\int_{G}h(y)f(xy)d\mu_2(y)\right)d\mu_1(x)\\
&=\int_{G}\left(\int_{G}h(y)f(xy)d\mu_1(x)\right)d\mu_2(y)
\end{aligned}
$$
であるから、
$$
\begin{aligned}
&\left(\int_{G}f(x)d\mu_1(x)\right)\left(\int_{G}h(y)d\mu_2(y)\right)-\left(\int_{G}h(x)d\mu_1(x)\right)\left(\int_{G}f(y)d\mu_2(y)\right)\\
&=\int_{G}h(y)\left(\int_{G}(f(yx)-f(xy))d\mu_1(x)\right)d\mu_2(y)
\end{aligned}
$$
が成り立つ。よって ${\rm supp}(h)\subset V_0\subset V$ であることと $(**),(***)$ より、
$$
\begin{aligned}
&\left\lvert \left(\int_{G}f(x)d\mu_1(x)\right)\left(\int_{G}h(y)d\mu_2(y)\right)-\left(\int_{G}h(x)d\mu_1(x)\right)\left(\int_{G}f(y)d\mu_2(y)\right)\right\rvert\\
&\leq \int_{G}h(y)\left(\int_{G}\lvert f(yx)-f(xy)\rvert d\mu_1(x)\right)d\mu_2(y)\\
&\leq \int_{G}h(y)\left(\int_{G}\epsilon\chi_A(x)d\mu_1(x)\right)d\mu_2(y)
=\epsilon\mu_1(A)\int_{G}h(y)d\mu_2(y)
\end{aligned}
$$
であるから、両辺を $\left(\int_{G}f(y)d\mu_2(y)\right)\left(\int_{G}h(y)d\mu_2(y)\right)$ で割って、
$$
\left\lvert \frac{\int_{G}f(x)d\mu_1(x)}{\int_{G}f(y)d\mu_2(y)}-\frac{\int_{G}h(x)d\mu_1(x)}{\int_{G}h(y)d\mu_2(y)}\right\rvert\leq \left(\frac{\mu_1(A)}{\int_{G}f(y)d\mu_2(y)}\right)\epsilon
$$
を得る。全く同様にして、
$$
\left\lvert \frac{\int_{G}g(x)d\mu_1(x)}{\int_{G}g(y)d\mu_2(y)}-\frac{\int_{G}h(x)d\mu_1(x)}{\int_{G}h(y)d\mu_2(y)}\right\rvert\leq \left(\frac{\mu_1(B)}{\int_{G}g(y)d\mu_2(y)}\right)\epsilon
$$
が成り立つことも示せる。よって、
$$
\left\lvert \frac{\int_{G}f(x)d\mu_1(x)}{\int_{G}f(y)d\mu_2(y)}-\frac{\int_{G}g(x)d\mu_1(x)}{\int_{G}g(y)d\mu_2(y)}\right\rvert\leq\left(\frac{\mu_1(A)}{\int_{G}f(y)d\mu_2(y)}+\frac{\mu_1(B)}{\int_{G}g(y)d\mu_2(y)}\right) \epsilon
$$
が成り立つ。ここで $\epsilon$ は $f,g,A,B$ によらない任意の正数であるから $(*)$ が成り立つ。
{{end|proof}}

===定義1.15（局所コンパクト群のモジュラー関数）===
$G$ を局所コンパクト群、$\mu\colon \mathcal{B}_G\rightarrow [0,\infty]$ を $G$ のHaar測度とする。任意の $x\in G$ に対し、
$$
\mathcal{B}_G\ni B\mapsto \mu(Bx)\in [0,\infty]
$$
も $G$ のHaar測度であるから、'''定理1.14'''より、$\Delta\colon G\rightarrow (0,\infty)$ で、
$$
\mu(Bx)=\Delta(x)\mu(B)\quad(\forall B\in \mathcal{B}_G,\forall x\in G)
$$
を満たすものが定まる。$\Delta\colon G\rightarrow (0,\infty)$ を $G$ のモジュラー関数と言う。 
'''定理1.14'''より、局所コンパクト群に対しそのモジュラー関数は一意的に定まる。

===命題1.16（モジュラー関数の基本性質）===
$G$ を局所コンパクト群、$\mu\colon \mathcal{B}_G\rightarrow [0,\infty]$ を $G$ のHaar測度、$\Delta\colon G\rightarrow (0,\infty)$ を $G$ のモジュラー関数とする。このとき、
*$(1)$　任意の非負値Borel関数 $f\colon G\rightarrow [0,\infty]$ と任意の $y\in G$ に対し、
$$
\Delta(y)\int_{G}f(x)d\mu(x)=\int_{G}f(xy^{-1})d\mu(x)
$$
が成り立つ。
*$(2)$　$\Delta\colon G\rightarrow (0,\infty)$ は $G$ から乗法群 $(0,\infty)$ への連続な群準同型写像である。
*$(3)$　任意の非負値Borel関数 $f\colon G\rightarrow [0,\infty]$ に対し、
$$
\int_{G}f(x)\Delta(x^{-1})d\mu(x)=\int_{G}f(x^{-1})d\mu(x)
$$
が成り立つ。
{{begin|proof}}
*$(1)$　非負値Borel関数の非負値Borel単関数の各点単調増加列による近似（[[測度と積分1：測度論の基礎用語]]の'''定理5.5'''）より、$f$ がある $B\in \mathcal{B}_G$ の指示関数である、すなわち $f=\chi_B$ である場合を示せば十分であるが、
$$
\int_{G}\chi_B(xy^{-1})d\mu(x)=\int_{G}\chi_{By}(x)d\mu(x)=\mu(By)=\Delta(y)\mu(B)=\Delta(y)\int_{G}\chi_B(x)d\mu(x)
$$
であるから成り立つ。
*$(2)$　閉包がコンパクトな空でない開集合 $U$ を取る。'''命題1.8'''より、
$$
0<\mu(U)\leq \mu(\overline{U})<\infty\quad\quad(*)
$$
である。任意の $x,y\in G$ に対し、
$$
\Delta(xy)\mu(U)=\mu(Uxy)=\Delta(y)\mu(Ux)=\Delta(x)\Delta(y)\mu(U)
$$
であるから $(*)$ より $\Delta(xy)=\Delta(x)\Delta(y)$ である。よって $\Delta\colon G\rightarrow (0,\infty)$ は $G$ から乗法群 $(0,\infty)$ への群準同型写像である。$\Delta\colon G\rightarrow(0,\infty)$ が連続であることを示す。群準同型性より単位元 $1\in G$ において連続であることを示せば十分である。任意の $f\in C_{c,+}(G)\backslash \{0\}$ と $1\in G$ の任意のコンパクト近傍 $V_0\subset G$ を取り固定する。'''命題1.3'''より、任意の正数 $\epsilon$ に対し、$1\in G$ の十分小さい近傍 $V\subset V_0$ を取れば、
$$
y\in V\quad\Rightarrow\quad\lvert f(xy^{-1})-f(x)\rvert\leq \epsilon\quad(\forall x\in G)
$$
となる。
$$
{\rm supp}(R_{y^{-1}}f)\subset {\rm supp}(f)V\subset {\rm supp}(f)V_0\quad(\forall y\in V)
$$
であるから、
$$
\lvert f(xy^{-1})-f(x)\rvert\leq\epsilon\chi_{{\rm supp}(f)V_0}(x)\quad(\forall x\in G,\forall y\in V)
$$
なので、$(1)$ より任意の $y\in V$ に対し、
$$
\begin{aligned}
&\lvert \Delta(y)-1\rvert\int_{G}f(x)d\mu(x)=\left\lvert\int_{G}f(xy^{-1})-f(x)d\mu(x)\right\rvert\\
&\leq \int_{G}\lvert f(xy^{-1})-f(x)\rvert d\mu(x)\leq\epsilon\mu({\rm supp}(f)V_0)\quad\quad(**)
\end{aligned}
$$
となる。$f\in C_{c,+}(G)\backslash \{0\}$ であるから'''命題1.8'''より $\int_{G}f(x)d\mu(x)\in (0,\infty)$ である。よって $(**)$ より、
$$
y\in V\quad\Rightarrow\quad \lvert \Delta(y)-1\rvert\leq \epsilon\mu({\rm supp}(f)V_0)\left(\int_{G}f(x)d\mu(x)\right)^{-1}
$$
が成り立つ。${\rm supp}(f)V_0$ はコンパクトなので $\mu({\rm supp}(f)V_0)<\infty$ であり、$\epsilon$ は $f,V_0$ によらない任意の正数なので、$\Delta\colon G\rightarrow(0,\infty)$ は $1\in G$ において連続である。
*$(3)$　非負値Borel関数の非負値Borel単関数の各点単調増加列による近似（[[測度と積分1：測度論の基礎用語]]の'''定理5.5'''）より、$f$ がある $B\in \mathcal{B}_G$ の指示関数である（$f=\chi_B$）場合を示せば十分である。すなわち、
$$
\int_{G}\chi_B(x)\Delta(x^{-1})d\mu(x)=\mu(B^{-1})\quad(\forall B\in\mathcal{B}_G)
$$
を示せばよい。Borel測度 $\nu\colon \mathcal{B}_G\rightarrow [0,\infty]$ を、
$$
\nu(B)\colon=\int_{G}\chi_{B^{-1}}(x)\Delta(x^{-1})d\mu(x)\quad(\forall B\in \mathcal{B}_G)
$$
として定義し、$\nu(B)=\mu(B)$ $(\forall B\in\mathcal{B}_G)$ が成り立つことを示せばよい。$(2)$ より $G\ni x\mapsto \Delta(x^{-1})\in (0,\infty)$ は連続であるから任意のコンパクト集合 $K\subset G$ に対し、
$$
\nu(K)=\int_{G}\chi_{K^{-1}}(x)\Delta(x^{-1})d\mu(x)<\infty
$$
である。よって $G$ の第二可算性と[[測度と積分7：局所コンパクトHausdorff空間上のRadon測度]]の'''定理35.1'''より $\nu\colon \mathcal{B}_G\rightarrow [0,\infty]$ はRadon測度である。$\Delta\colon G\rightarrow (0,\infty)$ の群準同型性と $(1)$ より、任意の $y\in G$, $B\in \mathcal{B}_G$ に対し、
$$
\begin{aligned}
\nu(yB)&=\int_{G}\chi_{(yB)^{-1}}(x)\Delta(x^{-1})d\mu(x)=\int_{G}\chi_{B^{-1}}(xy)\Delta(x)^{-1}d\mu(x)\\
&=\Delta(y)\int_{G}\chi_{B^{-1}}(xy)\Delta(xy)^{-1}d\mu(x)=\int_{G}\chi_{B^{-1}}(x)\Delta(x)^{-1}d\mu(x)=\nu(B)
\end{aligned}
$$
であるから $\nu$ は $G$ のHaar測度である。よって'''定理1.14'''よりある正数 $c$ が存在し $\nu(B)=c\mu(B)$ $(\forall B\in \mathcal{B}_G)$ が成り立つ。$c=1$ であることを示せばよい。そこで $c\neq 1$ であると仮定して矛盾を導く。このとき $\Delta\colon G\rightarrow (0,\infty)$ の連続性より単位元 $1\in G$ のコンパクト対称近傍 $V$ で、
$$
\lvert \Delta(x^{-1})-1\rvert<\frac{1}{2}\lvert c-1\rvert\quad(\forall x\in V)
$$
を満たすものが取れる。'''命題1.8'''と $V$ のコンパクト性より、
$$
0<\mu(V)<\infty
$$
であり、$V$ の対称性より、
$$
\lvert c-1\rvert \mu(V)=\lvert \nu(V)-\mu(V)\rvert=\left\lvert\int_{G}\chi_V(x)(\Delta(x^{-1})-1)d\mu(x)\right\rvert\leq \frac{1}{2}\lvert c-1\rvert\mu(V)
$$
である。よって、
$$
\lvert c-1\rvert\leq \frac{1}{2}\lvert c-1\rvert
$$
が結論され、$c\neq 1$ と言う仮定に矛盾する。ゆえに $c=1$ である。
{{end|proof}}

===定義1.17（ユニモジュラー）===
局所コンパクト群がユニモジュラーであるとは、そのモジュラー関数が恒等的に $1$ であること、すなわち、Haar測度が右Haar測度（'''定義1.4'''）でもあることを言う。

===命題1.18（局所コンパクト可換群、離散群、コンパクト群はユニモジュラー）===
局所コンパクト可換群、離散群、コンパクト群はいずれもユニモジュラーである。
{{begin|proof}}
局所コンパクト可換群のHaar測度は可換性より右Haar測度でもあり、離散群のHaar測度は数え上げ測度の正数倍であるから右Haar測度である。よって局所コンパクト可換群と離散群はユニモジュラーである。コンパクト群がユニモジュラーであることを示す。$G$ をコンパクト群、$\Delta\colon G\rightarrow(0,\infty)$ を $G$ のモジュラー関数とする。'''命題1.16'''の $(2)$ より $\Delta\colon G\rightarrow(0,\infty)$ は連続である('''命題1.16''')から、$G$ のコンパクト性よりある有界閉区間 $[a,b]\subset(0,\infty)$ が存在し、
$$
\Delta(x)\in [a,b]\quad(\forall x\in G)\quad\quad(*)
$$
が成り立つ。任意の $x\in G$ を取る。'''命題1.16'''の $(2)$ より $\Delta\colon G\rightarrow(0,\infty)$ は群準同型写像であるから、$(*)$ より、
$$
\Delta(x)^n=\Delta(x^n)\in [a,b]\quad(\forall n\in \mathbb{N})
$$
が成り立つ。これは $\Delta(x)=1$ を意味する。よってコンパクト群はユニモジュラーである。
{{end|proof}}

===命題1.19（平行移動の $L^p$ ノルムに関する連続性）===
$G$ を局所コンパクト群、$\mu\colon \mathcal{B}_G\rightarrow [0,\infty]$ をHaar測度、$p\in [1,\infty)$ とする。このとき任意の $[f]\in L^p(G,\mu)$ に対し、
$$
G\ni y\mapsto L_y[f]\colon=[L_yf]\in L^p(G,\mu)
$$
は $L^p$ ノルムで連続である。
{{begin|proof}}
Haar測度による積分の左不変性（'''命題1.7'''）より任意の $[f]\in L^p(G,\mu)$ に対し、
$$
\lVert L_y[f]\rVert_p=\lVert [f]\rVert_p\quad(\forall y\in G)
$$
である。また $\mu$ はRadon測度なので[[測度と積分7：局所コンパクトHausdorff空間上のRadon測度]]の'''命題32.1'''より $L^p(G,\mu)$ において $C_c(G)$ は稠密である。よって任意の $f\in C_c(G)$ に対し、
$$
G\ni y\mapsto L_yf\in L^p(G,\mu)\quad\quad(*)
$$
が $L^p$ ノルムで連続であることを示せば十分である。$L_{y_1}L_{y_2}f=L_{y_1y_2}f$ $(\forall y_1,y_2\in G)$ であるから、単位元 $1\in G$ における連続性を示せば十分である。$1\in G$ のコンパクト近傍 $V_0$ を取り固定する。任意の正数 $\epsilon$ に対し、'''命題1.3'''より、$1\in G$ の近傍 $V\subset V_0$ で、
$$
y\in V\quad\Rightarrow\quad\lvert L_yf(x)-f(x)\rvert\leq \epsilon\quad(\forall x\in G)
$$
なるものが取れる。
$$
{\rm supp}(L_yf-f)\subset V{\rm supp}(f)\subset V_0{\rm supp}(f)\quad(\forall y\in V)
$$
であるから、
$$
\lvert L_yf(x)-f(x)\rvert \leq \epsilon\chi_{V_0{\rm supp}(f)}(x)\quad(\forall y\in V,\forall x\in G)
$$
なので、任意の $y\in V$ に対し、
$$
\lVert L_yf-f\rVert_p=\left(\int_{G}\lvert L_yf(x)-f(x)\rvert^pd\mu(x)\right)^{\frac{1}{p}}\leq \epsilon\mu(V_0{\rm supp}(f))^{\frac{1}{p}}
$$
が成り立つ。$V_0{\rm supp}(f)$ はコンパクトであるから $\mu(V_0{\rm supp}(f))^{\frac{1}{p}}<\infty$ であり、$\epsilon$ は $f,V_0$ によらない任意の正数なので $(*)$ は $1\in G$ において $L^p$ ノルムで連続である。
{{end|proof}}

===定義1.20（局所コンパクト群における $L^1$ と $L^p$ の合成積）===
$G$ を局所コンパクト群、$\mu\colon\mathcal{B}_G\rightarrow [0,\infty]$ を $G$ のHaar測度、$p\in [1,\infty)$ とする。任意の $[g]\in L^p(G,\mu)$ に対し'''命題1.19'''より、
$$
G\ni y\mapsto L_y[g]\in L^p(G,\mu)
$$
はBanach空間 $L^p(G,\mu)$ 値の有界連続関数である。また $G$ の第二可算性よりBanach空間 $L^p(G,\mu)$ は可分である（[[測度と積分7：局所コンパクトHausdorff空間上のRadon測度]]の'''系35.7'''）から、任意の $[f]\in L^1(G,\mu)$ に対し $L^p(G,\mu)$ 値関数
$$
G\ni y\mapsto f(y)L_y[g]\in L^p(G,\mu)\quad\quad(*)
$$
はBanach空間 $L^p(G,\mu)$ 値Bocoher可測関数（[[測度と積分9：Bochner積分]]の'''定義41.1'''）である。そして、
$$
\int_{G}\lVert f(y)L_y[g]\rVert_p d\mu(y)=\lVert [g]\rVert_p\int_{G}\lvert f(y)\rvert d\mu(y)=\lVert [f]\rVert_1\lVert [g]\rVert_p<\infty
$$
であるから、$(*)$ は $\mu$ に関してBochner積分可能（[[測度と積分9：Bochner積分]]の'''定義44.1'''）である。そこで任意の $[f]\in L^1(G,\mu)$ と $[g]\in L^p(G,\mu)$ に対しBochner積分により、
$$
[f]*[g]\colon=\int_{G}f(y)L_y[g]d\mu(y)\in L^p(G,\mu)
$$
と定義する。これを $[f]\in L^1(G,\mu)$ と $[g]\in L^p(G,\mu)$ の合成積と言う。$\mu(B)<\infty$ となる任意の $B\in \mathcal{B}_G$ に対しHölderの不等式より、
$$
L^p(G,\mu)\ni [h]\mapsto \int_{B}h(x)d\mu(x)\in \mathbb{C}
$$
はBanach空間 $L^p(G,\mu)$ 上の有界線形汎関数であるから、Bochner積分の性質（[[測度と積分9：Bochner積分]]の'''命題44.2'''）とFubiniの定理より、
$$
\int_{B}([f]*[g])(x)d\mu(x)=\int_{G}\left(\int_{B}f(y)g(y^{-1}x)d\mu(x)\right)d\mu(y)=\int_{B}\left(\int_{G}f(y)g(y^{-1}x)d\mu(y)\right)d\mu(x)
$$
となる。よって $\mu$ の $\sigma$-有限性より $[f]*[g]$は $\mu$ - a.e. $x\in G$ で、
$$
\int_{G}f(y)g(y^{-1}x)d\mu(y)\in \mathbb{C}
$$
と一致する。

===定義1.21（局所コンパクト群における $L^1$ と $C_0$ の合成積）===
$G$ を局所コンパクト群、$\mu\colon\mathcal{B}_G\rightarrow [0,\infty]$ を $G$ のHaar測度とする。任意の $g\in C_0(G)$ に対し'''命題1.3'''より、
$$
G\ni y\mapsto L_yg\in C_0(G)
$$
は $\sup$ ノルムによるBanach空間 $C_0(G)$ 値の有界連続関数である。また $G$ の第二可算性よりBanach空間 $C_0(G)$ は可分である（[[測度と積分7：局所コンパクトHausdorff空間上のRadon測度]]の'''系35.6'''）から、任意の $[f]\in L^1(G,\mu)$ に対し $C_0(G)$ 値関数
$$
G\ni y\mapsto f(y)L_yg\in C_0(G)\quad\quad(*)
$$
はBanach空間 $C_0(G)$ 値のBochner可測関数（[[測度と積分9：Bochner積分]]の'''定義41.1'''）である。そして
$$
\int_{G}\lVert f(y)L_yg\rVert d\mu(y)=\lVert g\rVert\int_{G}\lvert f(y)\rvert d\mu(y)=\lVert [f]\rVert_1\lVert g\rVert<\infty
$$
であるから、$(*)$ は $\mu$ に関してBochner積分可能（[[測度と積分9：Bochner積分]]の'''定義44.1'''）である。そこで任意の $[f]\in L^1(G,\mu)$ と $g\in C_0(G)$ に対しBochner積分により、
$$
[f]*g\colon=\int_{G}f(y)L_yg d\mu(y)\in C_0(G)
$$
と定義する。これを $[f]\in L^1(G,\mu)$ と $g\in C_0(G)$ の合成積と言う。任意の $x\in G$ に対し、
$$
\delta_x\colon C_0(G)\ni h\mapsto h(x)\in \mathbb{C}
$$
はBanach空間 $C_0(G)$ 上の有界線形汎関数であるから、Bochner積分の性質（[[測度と積分9：Bochner積分]]の'''命題44.2'''）より、
$$
([f]*g)(x)=\delta_x([f]*g)=\int_{G}f(y)\delta_x(L_yg)d\mu(y)=\int_{G}f(y)g(y^{-1}x)d\mu(y)
$$
である。

===命題1.22（Youngの不等式）===
$G$ を局所コンパクト群、$\mu\colon\mathcal{B}_G\rightarrow [0,\infty]$ を $G$ のHaar測度、$p\in [1,\infty)$ とする。このとき、
*$(1)$　任意の $[f]\in L^1(G,\mu)$, $[g]\in L^p(G,\mu)$ に対し、
$$
\lVert [f]*[g]\rVert_p\leq \lVert [f]\rVert_1\lVert [g]\rVert_p
$$
が成り立つ。
*$(2)$　任意の $[f]\in L^1(G,\mu)$, $g\in C_0(G)$ に対し、
$$
\lVert [f]*g\rVert \leq \lVert [f]\rVert_1\lVert g\rVert
$$
が成り立つ。
{{begin|proof}}
*$(1)$　合成積の定義（'''定義1.20'''）とBochner積分の基本性質（[[測度と積分9：Bochner積分]]の'''命題44.2'''）より、
$$
\lVert [f]*[g]\rVert_p=\left\lVert \int_{G}f(y)L_y[g]d\mu(y)\right\rVert_p
\leq \int_{G}\lVert f(y)L_y[g]\rVert_pd\mu(y)=\lVert [f]\rVert_1\lVert [g]\rVert_p.
$$
*$(2)$　合成積の定義（'''定義1.21'''）とBochner積分の基本性質より、
$$
\lVert [f]*g\rVert=\left\lVert \int_{G}f(y)L_ygd\mu(y)\right\rVert\leq \int_{G}\lVert f(y)L_yg\rVert d\mu(y)=\lVert [f]\rVert_1\lVert g\rVert.
$$
{{end|proof}}

===定義1.23（$L^1$ 群環 $L^1(G,\mu)$）===
$G$ を局所コンパクト群、$\mu\colon \mathcal{B}_G\rightarrow [0,\infty]$ を $G$ のHaar測度、$\Delta\colon G\rightarrow (0,\infty)$ を $G$ のモジュラー関数とする。任意の $f\colon G\rightarrow \mathbb{C}$ に対し、$f^*\colon G\rightarrow \mathbb{C}$ を、
$$
f^*(x)\colon=\Delta(x^{-1})\overline{f(x^{-1})}\quad(\forall x\in G)
$$
として定義する。$f\in \mathcal{L}^1(G,\mu)$ ならば、'''命題1.16'''の $(3)$ より、
$$
\int_{G}\lvert f^*(x)\rvert d\mu(x)=\int_{G}\lvert f(x^{-1})\rvert \Delta(x^{-1})d\mu(x)=\int_{G}\lvert f(x)\rvert d\mu(x)<\infty
$$
であるので $f^*\in \mathcal{L}^1(G,\mu)$, $\lVert f^*\rVert_1=\lVert f\rVert_1$ である。そこで、
$$
L^1(G,\mu)\ni [f]\mapsto [f]^*\colon=[f^*]\in L^1(G,\mu)\quad\quad(*)
$$
なる等長反線形写像を定義する。このときBanach空間 $L^1(G,\mu)$ は、合成積
$$
L^1(G,\mu)\times L^1(G,\mu)\ni ([f],[g])\mapsto [f]*[g]\in L^1(G,\mu)\quad\quad(**)
$$
を乗法、$(*)$ を対合としてBanach $*$-環をなす（次の'''命題1.24'''）。このBanach $*$-環 $L^1(G,\mu)$ を $G$ の $L^1$ 群環と言う。

===命題1.24（$L^1$ 群環はBanach $*$-環）===
Banach空間 $L^1(G,\mu)$ は'''定義1.23'''における $(**)$ を乗法、$(*)$ を対合としてBanach $*$-環をなす。
{{begin|proof}}
任意の $x\in G$ と任意の $[f],[g]\in L^1(G,\mu)$ に対し、合成積の定義（'''定義1.20'''）とBochner積分の基本性質（[[測度と積分9：Bochner積分]]の'''命題44.2'''）<ref>$L^1(G,\mu)\ni [h]\mapsto L_x[h]\in L^1(G,\mu)$ は等長線形作用素であることに注意。</ref> 、Haar測度による積分の左不変性より、
$$
\begin{aligned}
L_x([f]*[g])&=L_x\left(\int_{G}f(y)L_y[g]d\mu(y)\right)
=\int_{G}L_x(f(y)L_y[g])d\mu(y)=\int_{G}f(y)L_{xy}[g]d\mu(y)\\
&=\int_{G}f(x^{-1}y)L_y[g]d\mu(y)=(L_x[f])*[g]\quad\quad(*)
\end{aligned}
$$
である。$(**)$ は合成積の定義より明らかに双線形写像であり、Youngの不等式（'''命題1.22'''）より有界（ノルムは $1$ 以下）である。よって任意の $[f],[g],[h]\in L^1(G,\mu)$ に対し、Bochner積分の基本性質（[[測度と積分9：Bochner積分]]の'''命題44.2'''）<ref>$L^1(G,\mu)\ni [w]\mapsto [w]*[h]\in L^1(G,\mu)$ が有界線形作用素であることに注意。</ref>より、
$$
\begin{aligned}
&([f]*[g])*[h]=\left(\int_{G}f(y)L_y[g]d\mu(y)\right)*[h]
=\int_{G}(f(y)L_y[g]*[h])d\mu(y)\\
&=\int_{G}f(y)((L_y[g])*[h])d\mu(y)=\int_{G}f(y)L_y([g]*[h])d\mu(y)=[f]*([g]*[h])
\end{aligned}
$$
となる。ただし $4$ 番目の等号で $(*)$ を用いた。これより $L^1(G,\mu)$ は'''定義1.23'''の $(**)$ を乗法としてBanach環である。任意の $[f]\in L^1(G,\mu)$ に対し、
$$
f^{**}(x)=\Delta(x^{-1})\overline{f^*(x^{-1})}=\Delta(x^{-1})\Delta(x)f(x)=f(x)\quad(\forall x\in G)
$$
であるから、$[f]^{**}=[f]$ である。また任意の $[f],[g]\in L^1(G,\mu)$ に対し $[f]*[g]$ の代表元 $h$ は $\mu$ -a.e. $x\in G$ で、
$$
h(x)=\int_{G}f(y)g(y^{-1}x)d\mu(y)
$$
（'''定義1.20'''を参照）であるので、$([f]*[g])^*$ の代表元 $h^*$ は $\mu$ -a.e. $x\in G$ で、
$$
\begin{aligned}
h^*(x)&=\Delta(x^{-1})\overline{h(x^{-1})}=\Delta(x^{-1})\int_{G}\overline{f(y)g(y^{-1}x^{-1})}d\mu(y)\\
&=\Delta(x^{-1})\int_{G}(\Delta(y^{-1})f^*(y^{-1}))(\Delta(xy)g^*(xy))d\mu(y)\\
&=\int_{G}f^*(y^{-1})g^*(xy)d\mu(y)=\int_{G}g^*(y)f^*(y^{-1}x)d\mu(y)
\end{aligned}
$$
である。よって $([f]*[g])^*$ の代表元 $h^*$ は $[g]^**[f]^*$ の代表元と $\mu$ -a.e. $x\in G$ で一致するので、
$$
([f]*[g])^*=[g]^**[f]^*
$$
が成り立つ。ゆえに $L^1(G,\mu)$ は'''定義1.23'''の $(*)$ を対合としてBanach $*$-環である。
{{end|proof}}

===定理1.25（$L^1(G,\mu)$ の近似単位元）===
$G$ を局所コンパクト群、$\mu\colon \mathcal{B}_G\rightarrow [0,\infty]$ を $G$ のHaar測度とする。このとき $C_{c,+}(G)$ の列 $(\varphi_n)_{n\in \mathbb{N}}$ で次を満たすものが存在する。
*$(1)$　$\int_{G}\varphi_n(x)d\mu(x)=1$ $(\forall n\in \mathbb{N})$.
*$(2)$　単位元 $1\in G$ の任意の近傍 $U$ に対し、${\rm supp}(\varphi_n)\subset U$ $(\forall n\geq n_0)$ を満たす $n_0\in \mathbb{N}$ が存在する。
*$(3)$　$\varphi_n^*=\varphi_n$ $(\forall n\in \mathbb{N})$.
そしてこの $(\varphi_n)_{n\in \mathbb{N}}$ はBanach $*$-環 $L^1(G,\mu)$ の近似単位元（[[Banach環とC*-環のスペクトル理論]]の'''定義9.1'''）である。
{{begin|proof}}
$G$ は第二可算公理を満たすので第一可算公理を満たす。よって単位元 $1\in G$ の可算基本近傍系 $\{U_n\}_{n\in \mathbb{N}}$ で、
$$
U_n^{-1}=U_n,\quad U_{n+1}\subset U_n\quad(\forall n\in \mathbb{N})
$$
を満たすものが取れる。Urysohnの補題（[[測度と積分7：局所コンパクトHausdorff空間上のRadon測度]]の'''定理27.6'''）より各 $n\in \mathbb{N}$ に対し $\psi_n\in C_{c,+}(G)$ で、
$$
{\rm supp}(\psi_n)\subset U_n,\quad \int_{G}\psi_n(x)d\mu(x)=1
$$
を満たすものが取れる。そして、
$$
\varphi_n\colon=\frac{1}{2}(\psi_n+\psi_n^*)\in C_{c,+}(G)\quad(\forall n\in \mathbb{N})
$$
とおくと、$\varphi_n^*=\varphi_n$ $(\forall n\in \mathbb{N})$ であり、
$$
{\rm supp}(\varphi_n)\subset {\rm supp}(\psi_n)\cup {\rm supp}(\psi_n)^{-1}\subset U_n\quad(\forall n\in \mathbb{N}).
$$
$$
\int_{G}\varphi_n(x)d\mu(x)=\frac{1}{2}\left(\int_{G}\psi_n(x)d\mu(x)+\int_{G}\psi_n^*(x)d\mu(x)\right)=1\quad(\forall n\in \mathbb{N})
$$
となる。よって $(\varphi_n)_{n\in \mathbb{N}}$ は $(1),(2),(3)$ を満たす。$(1),(2),(3)$ を満たす $C_{c,+}(G)$ の列 $(\varphi_n)_{n\in \mathbb{N}}$ がBanach $*$-環 $L^1(G,\mu)$ の近似単位元であることを示す。任意の $[f]\in L^1(G,\mu)$ に対し、$(1)$ と合成積の定義（'''定義1.20'''）より、
$$
[\varphi_n]*[f]-[f]=\int_{G}\varphi_n(y)(L_y[f]-[f])d\mu(y)\quad(\forall n\in \mathbb{N})
$$
であるから、
$$
\lVert [\varphi_n]*[f]-[f]\rVert_1\leq \int_{G}\varphi_n(y)\lVert L_y[f]-[f]\rVert_1d\mu(y)\quad(\forall n\in \mathbb{N})
$$
であり、'''命題1.19'''より $G\ni y\mapsto L_y[f]\in L^1(G,\mu)$ は連続であるから、$(1),(2)$ より、
$$
\lVert [\varphi_n]*[f]-[f]\rVert_1\leq \int_{G}\varphi_n(y)\lVert L_y[f]-[f]\rVert_1d\mu(y)\rightarrow0\quad(n\rightarrow\infty)
$$
となる。よって、
$$
\lim_{n\rightarrow \infty}[\varphi_n]*[f]=[f]\quad(\forall [f]\in L^1(G,\mu))
$$
が成り立つ。また $(3)$ より任意の $[f]\in L^1(G,\mu)$ に対し、
$$
[f]*[\varphi_n]=([\varphi_n]*[f]^*)^*\rightarrow [f]^{**}=[f]\quad(n\rightarrow\infty)
$$
であるから、$(\varphi_n)_{n\in \mathbb{N}}$ は $L^1(G,\mu)$ の近似単位元である。
{{end|proof}}

===命題1.26（$L^1$ 群環が単位元を持つことと群が離散であることは同値）===
$G$ を局所コンパクト群、$\mu\colon \mathcal{B}_G\rightarrow [0,\infty]$ を $G$ のHaar測度とする。このとき次は互いに同値である。
*$(1)$　$L^1$ 群環 $L^1(G,\mu)$ は単位元を持つ。
*$(2)$　$G$ は離散群である。
{{begin|proof}}
$(1)\Rightarrow(2)$ を示す。$L^1(G,\mu)$ が単位元を持つとし、それを $[f]\in L^1(G,\mu)$ とする。
'''定理1.25'''における $L^1(G,\mu)$ の近似単位元 $(\varphi_n)_{n\in \mathbb{N}}$ を取ると、
$$
[\varphi_n]=[\varphi_n]*[f]\rightarrow [f]\quad(n\rightarrow\infty)\quad\quad(*)
$$
となる。'''定理1.25'''の条件 $(2)$ より $G$ の単位元 $1\in G$ の任意の近傍 $U$ に対し $[\chi_U\varphi_n]=[\varphi_n]$ $(\forall n\geq n_0)$ なる $n_0\in \mathbb{N}$ が存在するので、$(*)$ より、
$$
[\chi_Uf]=\lim_{n\rightarrow\infty}[\chi_U\varphi_n]=\lim_{n\rightarrow\infty}[\varphi_n]=[f]\quad\quad(**)
$$
となる。そこで $G$ の単位元 $1\in G$ の可算基本近傍系 $\{U_n\}_{n\in \mathbb{N}}$ で、
$$
U_{n+1}\subset U_n\quad(\forall n\in \mathbb{N})
$$
を満たすものを取れば、$(**)$ とLebesgue優収束定理より、
$$
\lVert f\rVert_1=\int_{G}\lvert f(x)\rvert d\mu(x)=\int_{G}\lvert f(x)\rvert \chi_{U_n}(x)d\mu(x)\rightarrow \int_{G}\lvert f(x)\rvert \chi_{\{1\}}(x)d\mu(x)=\lvert f(1)\rvert \mu(\{1\})\quad(n\rightarrow\infty)
$$
となる。ゆえに $\mu(\{1\})>0$ であり、
$$
\mu(\{x\})=\mu(x\{1\})=\mu(\{1\})>0\quad(\forall x\in G)
$$
である。これより $\mu(B)<\infty$ を満たす任意の $B\in \mathcal{B}_G$ は有限集合である。任意の $x_0\in G$ に対し $x_0$ の開近傍 $U$ で $\overline{U}$ がコンパクトであるものを取れば、$\mu(U)\leq \mu(\overline{U})<\infty$ であるので、$U$ は有限集合である。そこで $U=\{x_0,x_1,\ldots,x_m\}$ とおけば、
$$
\{x_0\}=U\backslash \{x_1,\ldots,x_m\}
$$
であるから、$\{x_0\}$　は開集合である。ゆえに任意の一点集合が開集合であるので $G$ は離散群である。 
$(2)\Rightarrow(1)$ を示す。$G$ が離散群ならば $G$ のHaar測度 $\mu$ は数え上げ測度であり、$L^1(G,\mu)=\ell^1(G)$（[[測度と積分6：数え上げ測度と $\ell^p$ 空間]]の'''定義24.3'''を参照）である。任意の $f\in \ell^1(G)$, 任意の $x\in G$ に対し、
$$
(\chi_{\{1\}}*f)(x)=\sum_{y\in G}\chi_{\{1\}}(y)f(y^{-1}x)=f(x),
$$
$$
(f*\chi_{\{1\}})(x)=\sum_{y\in G}f(y)\chi_{\{1\}}(y^{-1}x)=f(x)
$$
であるから、$\chi_{\{1\}}$ は $L^1$ 群環 $\ell^1(G)$ の単位元である。
{{end|proof}}

===定義1.27（Dirac測度）===
$G$ を局所コンパクト群とする。任意の $x\in G$ に対しBorel測度
$$
\delta_x\colon \mathcal{B}_G\ni B\mapsto \chi_B(x)\in [0,1]
$$
を $x$ におけるDirac測度と言う。

===定義1.28（測度群環 $M(G)$）===
$G$ を局所コンパクト群、$M(G)$ を $G$ 上の複素数値Borel測度全体に全変動ノルムを入れたBanach空間とする（[[測度と積分7：局所コンパクトHausdorff空間上のRadon測度]]の'''33'''を参照）。任意の $\nu_1,\nu_2\in M(G)$ に対し、
$$
(\nu_1*\nu_2)(B)\colon=\int_{G}\left(\int_{G}\chi_B(xy)d\nu_1(x)\right)d\nu_2(y)\quad(\forall B\in \mathcal{B}_G)
$$
とおけば $\nu_1*\nu_2\in M(G)$ であることが分かる。これを $\nu_1,\nu_2\in M(G)$ の合成積と言う。また任意の $\nu\in M(G)$ に対し $\nu^*\in M(G)$ を、
$$
\nu^*(B)\colon=\overline{\nu(B^{-1})}\quad(\forall B\in \mathcal{B}_G)
$$
と定義する。このとき次の'''命題1.29'''よりBanach空間 $M(G)$ は、
$$
M(G)\times M(G)\ni (\nu_1,\nu_2)\mapsto \nu_1*\nu_2\in M(G)\quad\quad(*)
$$
を乗法、
$$
M(G)\ni \nu\mapsto \nu^*\in M(G)\quad\quad(**)
$$
を対合、$G$ の単位元 $1\in G$ におけるDirac測度 $\delta_1\in M(G)$ を単位元として単位的Banach $*$-環をなす。この単位的Banach $*$-環 $M(G)$ を $G$ の測度群環と言う。

===命題1.29（測度群環は単位的Banach $*$-環）===
Banach空間 $M(G)$ は'''定義1.28'''における $(*)$ を乗法、$(**)$ を対合、$\delta_1$ を単位元として単位的Banach $*$-環をなす。
{{begin|proof}}
'''定義1.28'''の $(*)$ がノルムが $1$ 以下の有界双線形写像であること、'''定義1.28'''の $(**)$ が全変動ノルムを保存する反線形写像であることは複素数値測度による積分の定義と全変動の定義より自明である（[[測度と積分4：測度論の基本定理(2)]]の'''定義19.1'''と'''定義19.5'''を参照）。また任意の $\nu\in M(G)$ に対し、
$$
\nu^{**}(B)=\overline{\nu^*(B^{-1})}=\nu(B)\quad(\forall B\in \mathcal{B}_G)
$$
であるので $\nu^{**}=\nu$ である。任意の有界Borel関数はBorel単関数の列によって一様近似できる（[[測度と積分5：$L^p$ 空間の完備性と双対性]]の'''命題22.2'''）ので、任意の有界Borel関数 $f\colon G\rightarrow \mathbb{C}$ と任意の $\nu_1,\nu_2,\nu\in M(G)$ に対し、
$$
\int_{G}f(x)d(\nu_1*\nu_2)(x)=\int_{G}\left(\int_{G}f(xy)d\nu_1(x)\right)d\nu_2(y),
$$
$$
\int_{G}f(x)d\nu^*(x)=\overline{\int_{G}\overline{f(x^{-1})}d\nu(x)}
$$
が成り立つ。このことに注意すると、Fubiniの定理より、任意の $\nu_1,\nu_2,\nu_3\in M(G)$ に対し、
$$
\begin{aligned}
(\nu_1*(\nu_2*\nu_3))(B)&=\int_{G}\left(\int_{G}\chi_B(xy)d\nu_1(x)\right)d(\nu_2*\nu_3)(y)=\int_{G}\left(\int_{G}\left(\int_{G}\chi_B(xyz)d\nu_1(x)\right)d\nu_2(y)\right)d\nu_3(z)\\
&=\int_{G}\left(\int_{G}\chi_B(xz)d(\nu_1*\nu_2)(x)\right)d\nu_3(z)=((\nu_1*\nu_2)*\nu_3)(B)\quad(\forall B\in\mathcal{B}_G)
\end{aligned}
$$
$$
\begin{aligned}
(\nu_1*\nu_2)^*(B)&=\overline{(\nu_1*\nu_2)(B^{-1})}=\overline{\int_{G}\left(\int_{G}\chi_{B^{-1}}(xy)d\nu_1(x)\right)d\nu_2(y)}=\overline{\int_{G}\left(\int_{G}\chi_B(y^{-1}x^{-1})d\nu_1(x)\right)d\nu_2(y)}\\
&=\overline{\int_{G}\left(\overline{\int_{G}\chi_B(y^{-1}x)d\nu_1^*(x)}\right)d\nu_2(y)}
=\int_{G}\left(\int_{G}\chi_B(yx)d\nu_1^*(x)\right)d\nu_2^*(y)\\
&=\int_{G}\left(\int_{G}\chi_B(yx)d\nu_2^*(y)\right)d\nu_1^*(x)=(\nu_2^**\nu_1^*)(B)\quad(\forall B\in\mathcal{B}_G)
\end{aligned}
$$
が成り立つことが分かる。よって $M(G)$ は'''定義1.28'''の $(*)$ を乗法、$(**)$ を対合としてBanach $*$-環をなす。任意の $\nu\in M(G)$ に対し、
$$
\begin{aligned}
&(\delta_1*\nu)(B)=\int_{G}\left(\int_{G}\chi_B(xy)d\delta_1(x)\right)d\nu(y)=\int_{G}\chi_B(y)d\nu(y)=\nu(B)\quad(\forall B\in \mathcal{B}_G),\\
&(\nu*\delta_1)(B)=\int_{G}\left(\int_{G}\chi_B(xy)d\nu(x)\right)d\delta_1(y)
=\int_{G}\chi_B(x)d\nu(x)=\nu(B)\quad(\forall B\in\mathcal{B}_G)
\end{aligned}
$$
であるから、$\delta_1$ はBanach $*$-環 $M(G)$ の単位元である。
{{end|proof}}

===命題1.30（$L^1$ 群環の測度群環への埋め込み）===
$G$ を局所コンパクト群、$\mu\colon \mathcal{B}_G\rightarrow [0,\infty]$ を $G$ のHaar測度とする。任意の $[f]\in L^1(G,\mu)$ に対し $\mu_{[f]}\in M(G)$ を、
$$
\mu_{[f]}\colon \mathcal{B}_G\ni B\mapsto \int_{B}f(x)d\mu(x)\in \mathbb{C}
$$
とすると、
$$
L^1(G,\mu)\ni [f]\mapsto \mu_{[f]}\in M(G)\quad\quad(*)
$$
は等長 $*$-環準同型写像である。
{{begin|proof}}
$(*)$ が線形写像であることは明らかであり、ノルムを保存することは[[測度と積分4：測度論の基本定理(2)]]の'''命題19.3'''による。'''命題1.16'''の $(3)$ より任意の $[f]\in L^1(G,\mu)$ に対し、
$$
\begin{aligned}
\mu_{[f]^*}(B)&=\int_{G}f^*(x)\chi_B(x)d\mu(x)=\int_{G}\overline{f(x^{-1})}\Delta(x^{-1})\chi_B(x)d\mu(x)\\
&=\int_{G}\overline{f(x)}\chi_{B^{-1}}(x)d\mu(x)=\overline{\mu_{[f]}(B^{-1})}
=\mu_{[f]}^*(B)\quad(\forall B\in \mathcal{B}_G)
\end{aligned}
$$
であるから $(*)$ は対合を保存する。また任意の $[f],[g]\in L^1(G,\mu)$ に対しHaar測度による積分の左不変性とFubiniの定理より、
$$
\begin{aligned}
\mu_{[f]*[g]}(B)&=\int_{G}\chi_B(x)([f]*[g])(x)d\mu(x)=\int_{G}\left(\int_{G}\chi_B(x)f(y)g(y^{-1}x)d\mu(x)\right)d\mu(y)\\
&=\int_{G}\left(\int_{G}\chi_B(yx)f(y)g(x)d\mu(x)\right)d\mu(y)=\int_{G}\left(\int_{G}\chi_B(yx)f(y)g(x)d\mu(y)\right)d\mu(x)\\
&=\int_{G}\left(\int_{G}\chi_B(yx)d\mu_{[f]}(y)\right)d\mu_{[g]}(x)
=(\mu_{[f]}*\mu_{[g]})(B)\quad(\forall B\in\mathcal{B}_G)
\end{aligned}
$$
であるから $(*)$ は乗法を保存する。
{{end|proof}}

===命題1.31（群が可換であることと $L^1$ 群環（測度群環）が可換であることは同値）===
$G$ を局所コンパクト群、$\mu\colon \mathcal{B}_G\rightarrow [0,\infty]$ を $G$ のHaar測度とする。このとき次は互いに同値である。
*$(1)$　$G$ は可換群である。
*$(2)$　測度群環 $M(G)$ は可換である。
*$(3)$　$L^1$ 群環 $L^1(G,\mu)$ は可換である。
{{begin|proof}}
$(1)\Rightarrow(2)$ を示す。$G$ が可換ならば、任意の $\nu_1,\nu_2\in M(G)$ に対しFubiniの定理より、
$$
\begin{aligned}
(\nu_1*\nu_2)(B)&=\int_{G}\left(\int_{G}\chi_B(xy)d\nu_1(x)\right)d\nu_2(y)=\int_{G}\left(\int_{G}\chi_B(yx)d\nu_1(x)\right)d\nu_2(y)\\
&=\int_{G}\left(\int_{G}\chi_B(yx)d\nu_2(y)\right)d\nu_1(x)=(\nu_2*\nu_1)(B)\quad(\forall B\in \mathcal{B}_G)
\end{aligned}
$$
であるから $\nu_1*\nu_2=\nu_2*\nu_1$ である。よって測度群環 $M(G)$ は可換である。 
$(2)\Rightarrow(3)$ は'''命題1.30'''による。 
$(3)\Rightarrow(1)$ を示す。$L^1(G,\mu)$ が可換であるとする。任意の $f,g\in C_c(G)$, 任意の $x\in G$ に対し'''命題1.16'''の $(3)$ より、
$$
\begin{aligned}
\int_{G}f(y)g(y^{-1}x)d\mu(y)&=(f*g)(x)=(g*f)(x)=\int_{G}g(y)f(y^{-1}x)d\mu(y)\\
&=\int_{G}g(xy)f(y^{-1})d\mu(y)=\int_{G}f(y)g(xy^{-1})\Delta(y^{-1})d\mu(y)
\end{aligned}
$$
であるから、
$$
\int_{G}f(y)(g(y^{-1}x)-g(xy^{-1})\Delta(y^{-1}))d\mu(y)=0
$$
である。$C_c(G)$ は $L^1(G,\mu)$ で稠密であること（[[測度と積分7：局所コンパクトHausdorff空間上のRadon測度]]の'''命題32.1'''）から、任意の $g\in C_c(G)$、任意の $x\in G$ に対し、有界連続関数
$$
G\ni y\mapsto g(y^{-1}x)-g(xy^{-1})\Delta(y^{-1})\in \mathbb{C}\quad\quad(*)
$$
は $\mu$- a.e. $y\in G$ で $0$ である。空でない開集合のHaar測度は正であること（'''命題1.8'''）から、連続関数 $(*)$ は恒等的に $0$ である。よって任意の $g\in C_c(G)$、任意の $x,y\in G$ に対し、
$$
g(y^{-1}x)-g(xy^{-1})\Delta(y^{-1})=0
$$
が成り立つ。Urysohnの補題（[[測度と積分7：局所コンパクトHausdorff空間上のRadon測度]]の'''定理27.6'''）より、これは $xy^{-1}=y^{-1}x$ $(\forall x,y\in G)$ を意味する。よって$G$ は可換である。
{{end|proof}}

==2. 局所コンパクト群のユニタリ表現、正定値連続関数に対するGNS表現、Gelfand-Raikovの定理==

===定義2.1（局所コンパクト群のユニタリ表現）===
$G$ を局所コンパクト群、$\mathcal{H}\neq \{0\}$ をHilbert空間、$\mathbb{U}(\cal{H})\subset \mathbb{B}(\mathcal{H})$ を $\mathcal{H}$ 上のユニタリ作用素全体のなす乗法群とする。群準同型写像 $\pi\colon G\rightarrow \mathbb{U}(\mathcal{H})$ で SOT（[[Hilbert空間上の作用素論]]の'''定義2.1'''）に関して連続なものを、$G$ の $\mathcal{H}$ 上へのユニタリ表現と言う。このとき $\mathcal{H}$ を $G$ のユニタリ表現 $\pi$ の表現空間と言い、$\mathcal{H}_{\pi}$ と表す。また ${\rm dim}(\mathcal{H}_{\pi})$ を $\pi$ の次元と言い、${\rm dim}(\pi)$ とも表す。

===例2.2（局所コンパクト群の正則表現）===
$G$ を局所コンパクト群、$\mu\colon \mathcal{B}_G\rightarrow [0,\infty]$ を $G$ のHaar測度とする。Hilbert空間 $L^2(G,\mu)$ を考える。
$$
\pi(x)[f]\colon =[L_xf]\quad(\forall x\in G,\forall [f]\in L^2(G,\mu))
$$
とおくと、明らかに $\pi(x)\in \mathbb{U}(L^2(G,\mu))$ $(\forall x\in G)$ であり、$\pi\colon G\rightarrow \mathbb{U}(L^2(G,\mu))$ は群準同型写像である。そして'''命題1.19'''より $\pi$ はSOTに関して連続である。よって $\pi$ は $G$ のHilbert空間 $L^2(G,\mu)$ 上へのユニタリ表現である。これを $G$ の正則表現と言う。

===定義2.3（ユニタリ表現の部分表現、既約性）===
$G$ を局所コンパクト群、$\pi$ を $G$ のユニタリ表現とする。$\mathcal{K}\subset \mathcal{H}_{\pi}$ が $\pi(x)\mathcal{K}\subset \mathcal{K}$ $(\forall x\in G)$ を満たすとき $\mathcal{K}$ は $\pi$ 不変であると言う。$\pi$ 不変な $\{0\}$ ではない閉部分空間 $\mathcal{K}\subset \mathcal{H}_{\pi}$ に対し、
$$
\pi|_{\mathcal{K}}(x)v\colon =\pi(x)v\in \mathcal{K}\quad(\forall x\in G,\forall v\in \mathcal{K})
$$
とおくと、$\pi|_{\mathcal{K}}(x)\in \mathbb{U}(\mathcal{K})$ であり、
$$
\pi|_{\mathcal{K}}\colon G\ni x\mapsto \pi|_{\mathcal{K}}(x)\in \mathbb{U}(\mathcal{K})
$$
は $G$ の $\mathcal{K}$ 上へのユニタリ表現である。<ref>$\mathcal{K}$ は $\mathcal{H}$ の閉部分空間なので $\mathcal{H}$ の内積によりHilbert空間である。</ref>$\pi|_{\mathcal{K}}$ を $\pi$ の $\mathcal{K}$ 上への制限と言い、このようなユニタリ表現を $\pi$ の部分表現と言う。$\pi$ 不変な閉部分空間が $\{0\}$ と $\mathcal{H}$ のみの場合、$\pi$ は既約であると言う。

===定義2.4（ユニタリ表現の巡回ベクトル）===
$G$ を局所コンパクト群、$\pi$ を $G$ のユニタリ表現とする。$v\in \mathcal{H}_{\pi}$ が $\pi$ の巡回ベクトルであるとは、
$$
{\rm span}(\pi(G)v)={\rm span}\{\pi(x)v:x\in G\}
$$
が $\mathcal{H}_{\pi}$ で稠密であることを言う。

===注意2.5（巡回ベクトルを持つ部分表現）===
$G$ を局所コンパクト群、$\pi$ を $G$ のユニタリ表現とする。任意の $v\in \mathcal{H}_{\pi}\backslash \{0\}$ に対し、
$$
\mathcal{K}_v\colon =\overline{{\rm span}(\pi(G)v)}\subset \mathcal{H}_{\pi}
$$
とおけば、$\mathcal{K}_v$ は $\pi$ 不変な $\{0\}$ ではない閉部分空間であり、$\pi$ の $\mathcal{K}_v$ 上への制限は $v$ を巡回ベクトルとして持つ。

===注意2.6（既約なユニタリ表現と巡回ベクトル）===
$G$ を局所コンパクト群、$\pi$ を $G$ の既約なユニタリ表現とする。このとき $\pi$ の既約性と'''注意2.5'''より、任意の $v\in \mathcal{H}_{\pi}\backslash \{0\}$ に対し $v$ は $\pi$ の巡回ベクトルである。

===定義2.7（繋絡作用素）===
$G$ を局所コンパクト群、$\pi_1,\pi_2$ を $G$ のユニタリ表現とする。$T\in \mathbb{B}(\mathcal{H}_{\pi_1},\mathcal{H}_{\pi_2})$ が、
$$
T\pi_1(x)=\pi_2(x)T\quad(\forall x\in G)
$$
を満たすとき $T$ を $\pi_1,\pi_2$ の繋絡作用素と言う。$\pi_1,\pi_2$ の繋絡作用素全体を $\mathcal{C}(\pi_1,\pi_2)$ と表す。また $\mathcal{C}(\pi)\colon =\mathcal{C}(\pi,\pi)$ と表す。

===命題2.8（繋絡作用素全体の基本性質）===
$G$ を局所コンパクト群、$\pi_1,\pi_2,\pi_3$ を $G$ のユニタリ表現とする。このとき、
*$(1)$　$\mathcal{C}(\pi_1,\pi_2)$ は $\mathbb{B}(\mathcal{H}_{\pi_1},\mathcal{H}_{\pi_2})$ の線形部分空間である。
*$(2)$　任意の $T\in \mathcal{C}(\pi_1,\pi_2)$, $S\in \mathcal{C}(\pi_2,\pi_3)$ に対し $ST\in \mathcal{C}(\pi_1,\pi_3)$ が成り立つ。
*$(3)$　任意の $T\in \mathcal{C}(\pi_1,\pi_2)$ に対し $T^*\in \mathcal{C}(\pi_2,\pi_1)$ が成り立つ。
{{begin|proof}}
全て定義から直ちに示せる。
{{end|proof}}

===定義2.9（ユニタリ表現のユニタリ同値）===
$G$ を局所コンパクト群、$\pi_1,\pi_2$ を $G$ のユニタリ表現とする。$\mathcal{C}(\pi_1,\pi_2)$ がユニタリ作用素を含むとき $\pi_1,\pi_2$ はユニタリ同値であると言い、$\pi_1\sim \pi_2$ と表す。'''命題2.8'''よりこの $\sim $ は $G$ のユニタリ表現全体における同値関係である。

===定理2.10（Schurの補題)===
$G$ を局所コンパクト群、$\pi$ を $G$ のユニタリ表現とする。このとき次は互いに同値である。
*$(1)$　$\pi$ は既約。
*$(2)$　$\mathcal{C}(\pi)=\mathbb{C}1$.
{{begin|proof}}
$\mathcal{C}(\pi)\subset \mathbb{B}(\mathcal{H}_{\pi})$ は $\pi(G)\subset \mathbb{B}(\mathcal{H}_{\pi})$ の可換子環 $\pi(G)'$（[[Hilbert空間上の作用素論]]の'''定義18.10'''）にほかならない。そして $\pi(G)'\subset \mathbb{B}(\mathcal{H}_{\pi})$ はvon Neumann環である（[[Hilbert空間上の作用素論]]の'''注意18.15'''）から射影によって生成される（[[Hilbert空間上の作用素論]]の'''定理19.7'''）、すなわち、
$$
\mathcal{C}(\pi)=\pi(G)'=\overline{{\rm spann}\mathbb{P}(\pi(G)')}^{\lVert \cdot\rVert}\quad\quad(*)
$$
である。ただし $\mathbb{P}(\pi(G)')$ はvon Neumann環 $\pi(G)'$ の射影全体である。$(1)\Rightarrow(2)$ を示す。$(1)$ が成り立つとする。任意の $P\in \mathbb{P}(\pi(G)')$ に対し ${\rm Ran}(P)\subset \mathcal{H}_{\pi}$ は $\pi$ 不変な閉部分空間であるから、${\rm Ran}(P)$ は $\mathcal{H}_{\pi}$ か $\{0\}$ である。よって $P$ は $1$ か $0$ なので、$(*)$ より $\mathcal{C}(\pi)=\mathbb{C}1$ である。 
$(2)\Rightarrow(1)$ を示す。$(2)$ が成り立つとする。$\mathcal{K}\subset \mathcal{H}_{\pi}$ を $\pi$ 不変な閉部分空間とし、$\mathcal{K}$ の上への射影作用素（[[Hilbert空間上の作用素論]]の'''定義1.6'''）を $P\in \mathbb{B}(\mathcal{H}_{\pi})$ とおくと、
$$
\pi(x)P=P\pi(x)P\quad(\forall x\in G)
$$
であるから、
$$
P\pi(x)=(\pi(x^{-1})P)^*=(P\pi(x^{-1})P)^*=P\pi(x)P=\pi(x)P\quad(\forall x\in G)
$$
である。よって $P\in \mathcal{C}(\pi)=\mathbb{C}1$ であるから $P=\alpha1$ なる $\alpha\in \mathbb{C}$ が存在し、$P^2=P$ であることから $\alpha$ は $1$ か $0$、したがって $P$ は $1$ か $0$ である。ゆえに $\mathcal{K}$ は $\mathcal{H}_{\pi}$ か $\{0\}$ であるので $\pi$ は既約である。
{{end|proof}}

===系2.11（Schurの補題の系）===
$G$ を局所コンパクト群、$\pi_1,\pi_2$ を $G$ の既約なユニタリ表現とする。このとき次は互いに同値である。
*$(1)$　$\pi_1,\pi_2$ はユニタリ同値。
*$(2)$　$\mathcal{C}(\pi_1,\pi_2)\neq \{0\}$.
{{begin|proof}}
$(1)\Rightarrow(2)$ はユニタリ同値の定義より自明である。$(2)\Rightarrow(1)$ を示す。$(2)$ が成り立つとし、ノルムが $1$ の任意の $T\in \mathcal{C}(\pi_1,\pi_2)$ を取る。このとき'''命題2.8'''より $T^*T\in \mathcal{C}(\pi_1)$, $TT^*\in \mathcal{C}(\pi_2)$ であり、$\pi_1,\pi_2$ は既約なのでSchurの補題（'''定理2.10'''）より $T^*T\in \mathbb{C}1$, $TT^*\in \mathbb{C}1$ である。ここで $\lVert T^*T\rVert=\lVert T\rVert^2=1$, $\lVert TT^*\rVert=\lVert T^*\rVert^2=\lVert T\rVert=1$ であり、$T^*T\in \mathbb{B}(\mathcal{H}_{\pi_1})$, $TT^*\in \mathbb{B}(\mathcal{H}_{\pi_2})$ は有界非負自己共役作用素であるので $T^*T=1$, $TT^*=1$ である。ゆえに $T\colon \mathcal{H}_{\pi_1}\rightarrow\mathcal{H}_{\pi_2}$ はユニタリ作用素であるから、$\pi_1,\pi_2$ はユニタリ同値である。
{{end|proof}}

===定義2.12（ユニタリ表現の直和とテンソル積）===
$G$ を局所コンパクト群、$J$ を空でない集合とし、各 $j\in J$ に対し $G$ のユニタリ表現 $\pi_j\colon G\rightarrow\mathbb{U}(\mathcal{H}_{\pi_j})$ が与えられているとする。このとき、
$$
(\oplus_{j\in J}\pi_j)(x)(v_j)_{j\in J}\colon =(\pi_j(x)v_j)_{j\in J}\quad(\forall x\in G,\forall (v_j)_{j\in J}\in \bigoplus_{j\in J}\mathcal{H}_{\pi_j})
$$
として、$G$ の直和Hilbert空間 $\bigoplus_{j\in J}\mathcal{H}_{\pi_j}$（[[測度と積分6：数え上げ測度と $\ell^p$ 空間]]の'''定義26.3'''）上へのユニタリ表現 $\oplus_{j\in J}\pi_j$ が定義できる。これを $(\pi_j)_{j\in J}$ の直和と言う。 
$\pi_j\colon G\rightarrow \mathbb{U}(\mathcal{H}_{\pi_j})$ $(j=1,\ldots,n)$ をそれぞれ $G$ のユニタリ表現とする。[[Hilbert空間上の作用素論]]の'''定理12.12'''より任意の $x\in G$ に対し $\pi_1(x)\otimes \cdots\otimes \pi_n(x)$ はテンソル積Hilbert空間 $\mathcal{H}_{\pi_1}\otimes\cdots\otimes \mathcal{H}_{\pi_n}$ 上のユニタリ作用素であり、
$$
\pi_1\otimes\cdots\otimes \pi_n\colon G\ni x\mapsto \pi_1(x)\otimes\cdots\otimes \pi_n(x)\in \mathbb{U}(\mathcal{H}_{\pi_1}\otimes\cdots\otimes \mathcal{H}_{\pi_n})
$$
は $G$ の $\mathcal{H}_{\pi_1}\otimes\cdots\otimes\mathcal{H}_{\pi_n}$ 上へのユニタリ表現である。$\pi_1\otimes\cdots\otimes\pi_n$ を $\pi_1,\ldots,\pi_n$ のテンソル積と言う。

===命題2.13（巡回ベクトルを持つユニタリ表現の巡回ベクトル込みのユニタリ同値条件）===
$G$ を局所コンパクト群、$(\pi_1,v_1)$, $(\pi_2,v_2)$ をそれぞれ $G$ のユニタリ表現とその巡回ベクトル（'''定義2.4'''）の組とする。このとき次は互いに同値である。
*$(1)$　任意の $x\in G$ に対し $(v_1\mid \pi_1(x)v_1)=(v_2\mid \pi_2(x)v_2)$.
*$(2)$　ユニタリ作用素 $U\in \mathcal{C}(\pi_1,\pi_2)$ で、$Uv_1=v_2$ なるものが存在する（特に $\pi_1,\pi_2$ はユニタリ同値）。
また $(1),(2)$ が成り立つとき、$(2)$ におけるユニタリ作用素 $U\in \mathcal{C}(\pi_1,\pi_2)$ は、
$$
U\pi_1(x)v_1=\pi_2(x)v_2\quad(\forall x\in G)\quad\quad(*)
$$
を満たすものとして特徴付けられる。
{{begin|proof}}
$(2)$ が成り立つとすると、
$$
(v_2\mid \pi_2(x)v_2)=(Uv_1\mid \pi_2(x)Uv_1)=(v_1\mid U^*\pi_2(x)Uv_1)=(v_1\mid \pi_1(x)v_1)\quad(\forall x\in G)
$$
であるから $(1)$ が成り立つ。
 
$(1)\Rightarrow(2)$ を示す。$(1)$ が成り立つとすると、
$$
(\pi_1(x)v_1\mid \pi_1(y)v_1)=(v_1\mid \pi_1(x^{-1}y)v_1)=(v_2\mid \pi_2(x^{-1}y)v_2)=(\pi_2(x)v_2\mid \pi_2(y)v_2)\quad(\forall x,y\in G)
$$
であるから、${\rm span}(\pi_1(G)v_1)$ から ${\rm span}(\pi_2(G)v_2)$ への等長線形同型写像 $U_0$ で、
$$
U_0\pi_1(x)v_1=\pi_2(x)v_2\quad(\forall x\in G)
$$
を満たすものが定義できる。$v_j$ は $\pi_j$ の巡回ベクトルなので、$\mathcal{H}_{\pi_j}=\overline{{\rm span}(\pi_j(G)v_j)}$ $(j=1,2)$ であるから、$U_0\colon {\rm span}(\pi_1(G)v_1)\rightarrow\mathcal{H}_{\pi_2}$ を $\mathcal{H}_{\pi_1}$ 上へ一意拡張したもの（[[位相線形空間1：ノルムと内積]]の'''命題3.6'''） $U\colon \mathcal{H}_{\pi_1}\rightarrow\mathcal{H}_{\pi_2}$ はユニタリ作用素である。$U$ は $(*)$ を満たすので、特に $Uv_1=v_2$ である。そして、
$$
(U\pi_1(x))\pi_1(y)v_1=U\pi_1(xy)v_1=\pi_2(xy)v_2=\pi_2(x)\pi_2(y)v_2=(\pi_2(x)U)\pi_1(y)v_1\quad(\forall x,y\in G)
$$
であるから、$\mathcal{H}_{\pi_1}=\overline{{\rm span}(\pi_1(G)v_1)}$ より、
$$
U\pi_1(x)=\pi_2(x)U\quad(\forall x\in G)
$$
が成り立つ。よって $U\in \mathcal{C}(\pi_1,\pi_2)$ であるので $(2)$ が成り立つ。
{{end|proof}}

===定義2.14（$L^1$ 群環の表現）===
$G$ を局所コンパクト群、$\mu\colon \mathcal{B}_G\rightarrow [0,\infty]$ を $G$ のHaar測度、$\mathcal{H}$ をHilbert空間とする。Banach $*$-環 $L^1(G,\mu)$ から $C^*$-環 $\mathbb{B}(\mathcal{H})$ への $*$-環準同型写像 $\pi\colon L^1(G,\mu)\rightarrow\mathbb{B}(\mathcal{H})$ （[[Banach環とC*-環のスペクトル理論]]の'''定理10.1'''より自動的にノルム減少であることに注意）で、
$$
\pi(L^1(G,\mu))\mathcal{H}={\rm span}\{\pi([f])v:[f]\in L^1(G,\mu),v\in \mathcal{H}\}
$$
が $\mathcal{H}$ で稠密であるものを $L^1(G,\mu)$ の $\mathcal{H}$ 上への表現と言う。

===注意2.15（$L^1$ 群環の表現と $L^1$ 群環の近似単位元）===
$\pi\colon L^1(G,\mu)\rightarrow \mathbb{B}(\mathcal{H})$ を $L^1(G,\mu)$ の表現（'''定義2.14'''）とし、$([h_{\lambda}])_{\lambda\in \Lambda}$ をBanach $*$-環 $L^1(G,\mu)$ の任意の近似単位元（'''定理1.25'''における $(\varphi_n)_{n\in \mathbb{N}}$ を考えればよい）とする。このとき、
$$
\pi([h_{\lambda}])\pi([f])v=\pi([h_{\lambda}]*[f])v\rightarrow \pi([f])v\quad(\forall [f]\in L^1(G,\mu),\forall v\in \mathcal{H}),
$$
$$
\lVert \pi([h_{\lambda}])\rVert\leq \lVert [h_{\lambda}]\rVert_1\leq 1\quad(\forall \lambda\in \Lambda)
$$
であり、$\pi(L^1(G,\mu))\mathcal{H}={\rm span}\{\pi([f])v:[f]\in L^1(G,\mu),v\in \mathcal{H}\}$ は $\mathcal{H}$ において稠密であるから、
$$
\pi([h_{\lambda}])v\rightarrow v\quad(\forall v\in \mathcal{H})
$$
が成り立つ。すなわち $(\pi([h_{\lambda}]))_{\lambda\in\Lambda}$ は恒等作用素 $1\in \mathbb{B}(\mathcal{H})$ にSOTで収束する。

===命題2.16（局所コンパクト群のユニタリ表現の $L^1$ 群環の表現への拡張）===
$G$ を局所コンパクト群、$\mu\colon \mathcal{B}_G\rightarrow [0,\infty]$ を $G$ のHaar測度とし、$\pi$ を $G$ のユニタリ表現とする。任意の $[f]\in L^1(G,\mu)$, 任意の $v\in \mathcal{H}_{\pi}$ に対し、
$$
\widetilde{\pi}([f])v\colon=\int_{G}f(x)\pi(x)vd\mu(x)\in \mathcal{H}_{\pi}
$$
と定義する。ただし右辺はHilbert空間 $\mathcal{H}_{\pi}$ 値関数 $G\ni x\mapsto f(x)\pi(x)v\in \mathcal{H}_{\pi}$ のBochner積分（[[測度と積分9：Bochner積分]]の'''定義44.1'''）である。<ref>ユニタリ表現の定義（'''定義2.1'''）より $\pi\colon G\rightarrow\mathbb{U}(\mathcal{H}_{\pi})$ はSOTに関して連続であるから、$G\ni x\mapsto\pi(x)v\in \mathcal{H}_{\pi}$ は連続である。$G$ は第二可算公理を満たすとしているので $\sigma$-コンパクトであるから、連続関数 $G\ni x\mapsto \pi(x)v\in \mathcal{H}_{\pi}$ の像は $\sigma$-コンパクト、したがって可分である（距離空間のコンパクト集合は可分であること（[[距離空間の位相の基本的性質]]の'''命題4.2'''）に注意）。よって関数 $G\ni x\mapsto f(x)\pi(x)v\in \mathcal{H}_{\pi}$ の像は可分であるからBochner可測（[[測度と積分9：Bochner積分]]の'''定義41.1'''）であり、$\int_{G}\lVert f(x)\pi(x)v\rVert d\mu(x)=\int_{G}\lvert f(x)\rvert d\mu(x)\lVert v\rVert<\infty$ であるから、$G\ni x\mapsto f(x)\pi(x)v\in \mathcal{H}_{\pi}$ はBochner可積分である。</ref>このとき任意の $[f]\in L^1(G,\mu)$ に対し、
$$
\widetilde{\pi}([f])\colon \mathcal{H}_{\pi}\ni v\mapsto \widetilde{\pi}([f])v\in \mathcal{H}_{\pi}
$$
は有界線形作用素であり、
$$
\widetilde{\pi}\colon L^1(G,\mu)\ni [f]\mapsto \widetilde{\pi}([f])\in \mathbb{B}(\mathcal{H}_{\pi})
$$
は $L^1(G,\mu)$ の $\mathcal{H}_{\pi}$ 上への表現（'''定義2.14'''）である。また、
$$
\pi(x)\widetilde{\pi}([f])=\widetilde{\pi}(L_x[f])\quad(\forall x\in G,\forall [f]\in L^1(G,\mu))
$$
が成り立つ。
{{begin|proof}}
任意の $[f]\in L^1(G,\mu)$ に対しBochner積分の基本性質（[[測度と積分9：Bochner積分]]の'''命題44.2'''）より、
$$
\lVert \widetilde{\pi}([f])v\rVert=\left\lVert\int_{G}f(x)\pi(x)vd\mu(x)\right\rVert\leq \int_{G}\lVert f(x)\pi(x)v\rVert d\mu(x)=\lVert [f]\rVert_1\lVert v\rVert\quad(\forall v\in \mathcal{H}_{\pi})
$$
であるから、$\widetilde{\pi}([f])$ は $\mathcal{H}_{\pi}$ 上のノルムが $\lVert [f]\rVert_1$ 以下の有界線形作用素である。よって $\widetilde{\pi}\colon L^1(G,\mu)\rightarrow \mathbb{B}(\mathcal{H}_{\pi})$ はノルム減少な線形写像である。任意の $x\in G$, $[f]\in L^1(G,\mu)$ に対し、Bocbner積分の基本性質（[[測度と積分9：Bochner積分]]の'''命題44.2'''）とHaar測度による積分の左不変性より、
$$
\begin{aligned}
(u\mid \pi(x)\widetilde{\pi}([f])v)&=\left(u\mid \pi(x)\left(\int_{G}f(y)\pi(y)vd\mu(y)\right)\right)
=\int_{G}f(y)(u\mid \pi(xy)v)d\mu(y)\\
&=\int_{G}f(x^{-1}y)(u\mid \pi(y)v)d\mu(y)=\left(u\mid \int_{G}f(x^{-1}y)\pi(y)vd\mu(y)\right)\\
&=(u\mid \widetilde{\pi}(L_x[f])v)\quad(\forall u,v\in \mathcal{H}_{\pi})
\end{aligned}
$$
であるから、
$$
\pi(x)\widetilde{\pi}([f])=\widetilde{\pi}(L_x[f])\quad(\forall x\in G,\forall [f]\in L^1(G,\mu))
$$
が成り立つ。よって任意の $[f],[g]\in L^1(G,\mu)$ に対し、合成積の定義（'''定義1.20'''）とBocbner積分の基本性質（[[測度と積分9：Bochner積分]]の'''命題44.2'''）より、
$$
\begin{aligned}
\widetilde{\pi}([f]*[g])v&=\widetilde{\pi}\left(\int_{G}f(y)L_y[g]d\mu(y)\right)v
=\int_{G}f(y)\widetilde{\pi}(L_y[g])vd\mu(y)\\
&=\int_{G}f(y)\pi(y)\widetilde{\pi}([g])vd\mu(y)=\widetilde{\pi}([f])\widetilde{\pi}([g])v\quad(\forall v\in \mathcal{H}_{\pi})
\end{aligned}
$$
が成り立つので、$\widetilde{\pi}\colon L^1(G,\mu)\rightarrow \mathbb{B}(\mathcal{H}_{\pi})$ は乗法を保存する。さらに任意の $[f]\in L^1(G,\mu)$ に対し、'''命題1.16'''の $(3)$ より、
$$
\begin{aligned}
(u\mid \widetilde{\pi}([f]^*)v)&=\int_{G}f^*(x)(u\mid \pi(x)v)d\mu(x)
=\int_{G}\overline{f(x^{-1})}\Delta(x^{-1})(u\mid \pi(x)v)d\mu(x)\\
&=\int_{G}\overline{f(x)}(u\mid \pi(x^{-1})v)=\int_{G}(f(x)\pi(x)u\mid v)d\mu(x)\\
&=(\widetilde{\pi}([f])u\mid v)=(u\mid \widetilde{\pi}([f])^*v)\quad(\forall u,v\in \mathcal{H}_{\pi})
\end{aligned}
$$
であるから、$\widetilde{\pi}\colon L^1(G,\mu)\rightarrow \mathbb{B}(\mathcal{H}_{\pi})$ は対合を保存する。よって $\widetilde{\pi}\colon L^1(G,\mu)\rightarrow \mathbb{B}(\mathcal{H}_{\pi})$ は $*$-環準同型写像である。'''定理1.25'''における $L^1(G,\mu)$ の近似単位元 $(\varphi_n)_{n\in \mathbb{N}}$ を取ると、任意の $v\in \mathcal{H}_{\pi}$ に対し、
$$
\begin{aligned}
&\lVert \widetilde{\pi}(\varphi_n)v-v\rVert=\left\lVert \int_{G}\varphi_n(x)\pi(x)vd\mu(x)-\int_{G}\varphi_n(x)vd\mu(x)\right\rVert\\
&=\left\lVert \int_{G}\varphi_n(x)(\pi(x)v-v)d\mu(x)\right\rVert\leq \int_{G}\varphi_n(x)\lVert \pi(x)v-v\rVert d\mu(x)\rightarrow0\quad(n\rightarrow\infty)
\end{aligned}
$$
<ref>$G\ni x\mapsto \pi(x)v\in \mathcal{H}_{\pi}$ の $1\in G$ における連続性による。</ref>であるから、
$$
v=\lim_{n\rightarrow\infty}\widetilde{\pi}(\varphi_n)v\in \overline{\widetilde{\pi}(L^1(G,\mu))\mathcal{H}_{\pi}}
$$
である。よって、
$$
\widetilde{\pi}(L^1(G,\mu))\mathcal{H}_{\pi}={\rm span}\{\widetilde{\pi}([f])v:[f]\in L^1(G,\mu),v\in \mathcal{H}_{\pi}\}
$$
は $\mathcal{H}_{\pi}$ で稠密であるので、$\widetilde{\pi}\colon L^1(G,\mu)\rightarrow \mathbb{B}(\mathcal{H}_{\pi})$ は $L^1(G,\mu)$ の $\mathcal{H}_{\pi}$ 上への表現である。
{{end|proof}}

===定理2.17（局所コンパクト群のユニタリ表現と $L^1$ 群環の表現の一対一対応）===
$G$ を局所コンパクト群、$\mu\colon \mathcal{B}_G\rightarrow [0,\infty]$ を $G$ のHaar測度とし、$\rho$ を $L^1$ 群環 $L^1(G,\mu)$ のHilbert空間 $\mathcal{H}$ 上への表現（'''定義2.14'''）とする。このとき $G$ の $\mathcal{H}$ 上へのユニタリ表現 $\pi$ で、
$$
\rho([f])=\widetilde{\pi}([f])\quad(\forall [f]\in L^1(G,\mu))
$$
（ただし $\widetilde{\pi}$ は'''命題2.16'''におけるもの）を満たすものが唯一つ存在する。
{{begin|proof}}
'''定理1.25'''における $L^1(G,\mu)$ の近似単位元 $(\varphi_n)_{n\in \mathbb{N}}$ を取る。まず一意性を示す。$\pi_1,\pi_2$ が $G$ の $\mathcal{H}$ 上へのユニタリ表現であり、
$$
\rho([f])=\widetilde{\pi_j}([f])\quad(\forall [f]\in L^1(G,\mu),j=1,2)
$$
を満たすとする。このとき'''注意2.15'''より、
$$
\begin{aligned}
\pi_1(x)v&=\lim_{n\rightarrow\infty}\pi_1(x)\widetilde{\pi_1}(\varphi_n)v=
\lim_{n\rightarrow\infty}\widetilde{\pi_1}(L_x\varphi_n)v=\lim_{n\rightarrow\infty}\widetilde{\pi_2}(L_x\varphi_n)v\\
&=\lim_{n\rightarrow\infty}\pi_2(x)\widetilde{\pi_2}(\varphi_n)v=\pi_2(x)v\quad(\forall x\in G,\forall v\in \mathcal{H})
\end{aligned}
$$
である。よって $\pi_1=\pi_2$ である。 
存在を示す。
$$
\mathcal{H}_0\colon=\rho(L^1(G,\mu))\mathcal{H}={\rm span}\{\rho([f])v:[f]\in L^1(G,\mu),v\in \mathcal{H}\}
$$
とおく。$L^1$ 群環の表現の定義（'''定義2.14'''）より $\mathcal{H}_0$ は $\mathcal{H}$ の稠密部分空間である。$\rho$ はノルム減少であるから任意の $x\in G$, $[f]\in L^1(G,\mu)$ に対し、
$$
\rho(L_x\varphi_n)\rho([f])=\rho(L_x\varphi_n*[f])=\rho(L_x(\varphi_n*[f]))\rightarrow \rho(L_x[f])\quad(n\rightarrow\infty)\quad\quad(*)
$$
である。よって任意の $x\in G$ に対し、線形作用素
$$
\pi_0(x)\colon \mathcal{H}_0\rightarrow\mathcal{H}_0,\quad \pi_0(x)v\colon=\lim_{n\rightarrow\infty}\rho(L_x\varphi_n)v\quad(\forall v\in \mathcal{H}_0)\quad\quad(**)
$$
が定義できる。$\rho$ がノルム減少であることと $\lVert L_x\varphi_n\rVert_1=\lVert \varphi_n\rVert_1=1$ $(\forall x\in G,\forall n\in \mathbb{N})$ であることから、
$$
\lVert \pi_0(x)v\rVert=\lim_{n\rightarrow\infty}\lVert \rho(L_x\varphi_n)v\rVert\leq \lVert v\rVert\quad(\forall x\in G,\forall v\in \mathcal{H}_0)
$$
である。よって任意の $x\in G$ に対し $\pi_0(x)\colon \mathcal{H}_0\rightarrow\mathcal{H}$ はノルムが $1$ 以下の有界線形作用素であり、その $\mathcal{H}=\overline{\mathcal{H}_0}$ 上への一意拡張を $\pi(x)\in \mathbb{B}(\mathcal{H})$ とおけば、$\lVert \pi(x)\rVert=\lVert \pi_0(x)\rVert\leq1$ である。$(*),(**)$ より、
$$
\begin{aligned}
&\pi(x)\pi(y)\rho([f])v=\pi(x)\rho(L_y[f])v=\rho(L_xL_y[f])v=\rho(L_{xy}[f])v\\
&=\pi(xy)\rho([f])v\quad(\forall x,y\in G,\forall [f]\in L^1(G,\mu),\forall v\in \mathcal{H}),
\end{aligned}
$$
$$
\pi(1)\rho([f])v=\rho(L_1[f]v)=\rho([f])v\quad(\forall [f]\in L^1(G,\mu),\forall v\in \mathcal{H})
$$
であるから、$\mathcal{H}_0$ の稠密性より、
$$
\pi(x)\pi(y)=\pi(xy)\quad(\forall x,y\in G),\quad \pi(1)=1
$$
が成り立つ。よって任意の $x\in G$ に対し $\pi(x)\in \mathbb{B}(\mathcal{H})$ は可逆で、$\pi(x)^{-1}=\pi(x^{-1})$ であり、
$$
\lVert v\rVert=\lVert \pi(x^{-1})\pi(x)v\rVert\leq \lVert \pi(x)v\rVert\leq \lVert v\rVert\quad(\forall x\in G,\forall v\in \mathcal{H})
$$
より、
$$
\lVert \pi(x)v\rVert=\lVert v\rVert\quad(\forall x\in G,\forall v\in \mathcal{H})
$$
であるから、$\pi(x)\in \mathbb{U}(\mathcal{H})$ $(\forall x\in G)$ である。任意の $[f]\in L^1(G,\mu)$ に対し、'''命題1.19'''より $G\ni x\mapsto L_x[f]\in L^1(G,\mu)$ は連続であるから、任意の $[f]\in L^1(G,\mu)$ と任意の $v\in \mathcal{H}$ に対し、
$$
G\ni x\mapsto \pi(x)\rho([f])v=\rho(L_x[f])v\in \mathcal{H}
$$
は連続である。よって、$\lVert \pi(x)\rVert=1$ $(\forall x\in G)$ と $\mathcal{H}_0$ の稠密性より、任意の $v\in \mathcal{H}$ に対し、
$$
G\ni x\mapsto \pi(x)v\in \mathcal{H}
$$
は連続である。ゆえに $\pi\colon G\ni x\mapsto \pi(x)\in \mathbb{U}(\mathcal{H})$ はSOT連続な群準同型写像であるので、$\pi$ は $G$ の $\mathcal{H}$ 上へのユニタリ表現である。合成積の定義（'''定義1.20'''）とBochner積分の基本性質（[[測度と積分9：Bochner積分]]の'''命題44.2'''）より、
$$
\begin{aligned}
\widetilde{\pi}([f])\rho([g])v&=\int_{G}f(x)\pi(x)\rho([g])vd\mu(x)=\int_{G}f(x)\rho(L_x[g])vd\mu(x)\\
&=\rho\left(\int_{G}f(x)L_x[g]d\mu(x)\right)v=\rho([f]*[g])v\\
&=\rho([f])\rho([g])v\quad(\forall [f],[g]\in L^1(G,\mu),\forall v\in \mathcal{H})
\end{aligned}
$$
であるから、$\mathcal{H}_0$ の稠密性より、
$$
\widetilde{\pi}([f])v=\rho([f])v\quad(\forall [f]\in L^1(G,\mu),\forall v\in \mathcal{H})
$$
である。よって存在が示せた。
{{end|proof}}

===定義2.18（局所コンパクト群のユニタリ表現とそれに対応する $L^1$ 群環の表現の同一視）===
$G$ を局所コンパクト群、$\mu\colon \mathcal{B}_G\rightarrow [0,\infty]$ を $G$ のHaar測度とする。$G$ のユニタリ表現と、$L^1$ 群環 $L^1(G,\mu)$ の表現は、'''命題2.16'''と'''定理2.17'''により一対一に対応する。そこで以後、$G$ のユニタリ表現 $\pi\colon G\rightarrow\mathbb{U}(\mathcal{H}_{\pi})$ と、それに対応する $L^1(G,\mu)$ の表現 $\widetilde{\pi}\colon L^1(G,\mu)\rightarrow \mathbb{B}(\mathcal{H}_{\pi})$ は同じ記号で表す。すなわち、$G$ のユニタリ表現 $\pi\colon G\rightarrow \mathbb{U}(\mathcal{H})$ に対し、
$$
\pi([f])v=\int_{G}f(x)\pi(x)vd\mu(x)\quad(\forall [f]\in L^1(G,\mu),\forall v\in \mathcal{H}_{\pi})
$$
と表す。

===命題2.19（局所コンパクト群の正則表現に対応する $L^1$ 群環の表現）===
$G$ を局所コンパクト群、$\mu\colon \mathcal{B}_G\rightarrow [0,\infty]$　を $G$ のHaar測度、$\pi\colon G\rightarrow\mathbb{U}(L^2(G,\mu))$ を $G$ の正則表現（'''例2.2'''）とする。このとき、
$$
\pi([f])[g]=[f]*[g]\quad(\forall [f]\in L^1(G,\mu), \forall [g]\in L^2(G,\mu))
$$
（右辺は $L^1(G,\mu)$ と $L^2(G,\mu)$ の合成積（'''定義1,20'''））が成り立つ。また、
$$
\pi\colon L^1(G,\mu)\ni [f]\mapsto \pi([f])\in \mathbb{B}(L^2(G,\mu))\quad\quad(*)
$$
は単射である。
{{begin|proof}}
正則表現の定義（'''例2.2'''）と合成積の定義（'''定義1,20'''）より任意の $[f]\in L^1(G,\mu)$, $[g]\in L^2(G,\mu)$ に対し、
$$
\pi([f])[g]=\int_{G}f(x)\pi(x)[g]d\mu(x)=\int_{G}f(x)L_x[g]d\mu(x)=[f]*[g]
$$
である。$(*)$ が単射であることを示す。$\pi([f])=0$ なる任意の $[f]\in L^1(G,\mu)$ を取る。'''定理1.25'''における $L^1(G,\mu)$ の近似単位元 $(\varphi_n)_{n\in \mathbb{N}}$ を取ると、$\varphi_n\in C_c(G)\subset L^2(G,\mu)$ $(\forall n\in \mathbb{N})$ より、
$$
0=\pi([f])[\varphi_n]=[f]*[\varphi_n]\rightarrow [f]\quad(n\rightarrow\infty)
$$
である。よって $[f]=0$ であるので $(*)$ は単射である。
{{end|proof}}

===定義2.20（群 $C^*$-環）===
$G$ を局所コンパクト群、$\mu\colon \mathcal{B}_G\rightarrow [0,\infty]$ を $G$ のHaar測度とする。
$$
\lVert [f]\rVert_*\colon=\sup\{\lVert \pi([f])\rVert:\text{$\pi$ は $G$ のユニタリ表現}\}\leq \lVert [f]\rVert_1\quad(\forall [f]\in L^1(G,\mu))
$$
とおく。このとき'''命題2.19'''における単射性より $\lVert \cdot\rVert_*\colon L^1(G,\mu)\ni [f]\mapsto \lVert [f]\rVert_*\in [0,\infty)$ は $L^1(G,\mu)$ のノルムであり、また明らかに、
$$
\lVert [f]*[g]\rVert_*\leq\lVert [f]\rVert_*\lVert [g]\rVert_*,\quad \lVert [f]^**[f]\rVert_*=\lVert [f]\rVert_*^2\quad(\forall [f],[g]\in L^1(G,\mu))
$$
である。よって $L^1(G,\mu)$ の $\lVert \cdot\rVert_*$ に関する完備化は $C^*$-環である（次の'''命題2.21'''を参照）。この $C^*$-環
$$
C^*(G,\mu)\colon=\overline{L^1(G,\mu)}^{\lVert \cdot\rVert_*}
$$
を $G$ の群 $C^*$-環と言う。

===命題2.21===
$X$ をノルム $*$-環で、
$$
\lVert x^*x\rVert=\lVert x\rVert^2\quad(\forall x\in X)
$$
を満たすものとする。このとき $C^*$-環 $\widetilde{X}$ と、等長 $*$-環準同型写像 $\iota\colon X\rightarrow \widetilde{X}$ で、$\iota(X)$ が $\widetilde{X}$ において稠密であるようなものが存在する。
{{begin|proof}}
直積 $*$-環 $\prod_{n\in \mathbb{N}}X$ の部分 $*$-環
$$
\mathcal{C}\colon=\left\{(x_n)_{n\in \mathbb{N}}\in \prod_{n\in \mathbb{N}}X:\text{$(x_n)_{n\in\mathbb{N}}$ はCauchy列}\right\}
$$
と、$\mathcal{C}$ 上のセミノルム
$$
p\colon \mathcal{C}\ni (x_n)_{n\in \mathbb{N}}\mapsto \lim_{n\rightarrow\infty}\lVert x_n\rVert\in[0,\infty)
$$
を考える。このとき明らかに、
$$
p(zw)\leq p(z)p(w),\quad p(z^*z)=p(z)^2\quad(\forall z,w\in \mathcal{C})
$$
が成り立つ。$\mathcal{C}$ の $*$-イデアル（[[位相線形空間1：ノルムと内積]]の'''定義2.4'''）
$$
\mathcal{N}\colon =\{z\in \mathcal{C}:p(z)=0\}
$$
に対し、商 $*$-環（[[位相線形空間1：ノルムと内積]]の'''命題2.5'''を参照）$\mathcal{C}/\mathcal{N}$ を考え、商写像を、
$$
\mathcal{C}\ni z\mapsto [z]\in \mathcal{C}/\mathcal{N}
$$
とおく。このとき、
$$
\lVert \cdot\rVert\colon \mathcal{C}/\mathcal{N}\ni [z]\mapsto\lVert [z]\rVert :=p(z)\in [0,\infty)
$$
は $\mathcal{C}/\mathcal{N}$ 上のノルムであり、
$$
\lVert [z][w]\rVert\leq \lVert [z][w]\rVert,\quad \lVert [z]^*[z]\rVert=\lVert [z]\rVert^2\quad(\forall [z],[w]\in \mathcal{C}/\mathcal{N})
$$
が成り立つ。このノルムによるノルム $*$-環を $\widetilde{X}$ とおく。
$$
\iota\colon X\ni x\mapsto [(x)_{n\in \mathbb{N}}]\in \widetilde{X}
$$
として等長$*$-環準同型写像を定義する。任意の $z=[(x_n)_{n\in \mathbb{N}}]\in \widetilde{X}$ と任意の $\epsilon\in (0,\infty)$ に対し、
$$
\lVert x_n-x_m\rVert\leq\epsilon\quad(\forall n,m\geq n_0)
$$
を満たす $n_0\in \mathbb{N}$ を取ると、
$$
\lVert z-\iota(x_{n_0})\rVert=\lim_{n\rightarrow\infty}\lVert x_n-x_{n_0}\rVert\leq\epsilon
$$
であるから、$\iota(X)$ は $\widetilde{X}$ において稠密である。後は $\widetilde{X}$ の完備性を示せばよい。そこで $\widetilde{X}$ の任意のCauchy列 $(z_n)_{n\in \mathbb{N}}$ を取る。$\iota(X)\subset \widetilde{X}$ の稠密性より、
$$
\lVert z_n-\iota(x_n)\rVert<\frac{1}{n}\quad(\forall n\in \mathbb{N})
$$
を満たす $(x_n)_{n\in\mathbb{N}}\in \prod_{n\in \mathbb{N}}X$ が取れて、任意の $n,m\in\mathbb{N}$ に対し、
$$
\lVert x_n-x_m\rVert\leq \lVert \iota(x_n)-z_n\rVert+\lVert z_n-z_m\rVert+\lVert z_m-\iota(x_m)\rVert <\frac{1}{n}+\lVert z_n-z_m\rVert+\frac{1}{m}
$$
であるから、$(x_n)_{n\in \mathbb{N}}\in \mathcal{C}$ である。そこで $z\colon=[(x_n)_{n\in\mathbb{N}}]\in \widetilde{X}$ とおけば、任意の $n\in \mathbb{N}$ に対し、
$$
\lVert z-z_n\rVert\leq \lVert z-\iota(x_n)\rVert+\lVert \iota(x_n)-z_n\rVert=\lim_{m\rightarrow\infty}\lVert x_m-x_n\rVert+\frac{1}{n}
$$
であるから、$\lim_{n\rightarrow\infty}z_n=z$ である。よって $\widetilde{X}$ は完備なので $C^*$-環である。
{{end|proof}}

===定義2.22（群 $C^*$-環の表現）===
$G$ を局所コンパクト群、$\mu\colon \mathcal{B}_G\rightarrow [0,\infty]$　を $G$ のHaar測度、$(C^*(G,\mu),\lVert \cdot\rVert_*)$ を $G$ の群 $C^*$-環、$\mathcal{H}$ をHilbert空間とする。$C^*$-環 $C^*(G,\mu)$ から $C^*$-環 $\mathbb{B}(\mathcal{H})$ への $*$-環準同型写像 $\pi\colon C^*(G,\mu)\rightarrow \mathbb{B}(\mathcal{H})$（[[Banach環とC*-環のスペクトル理論]]の'''定理10.1'''より自動的にノルム減少であることに注意）で、
$$
\pi(C^*(G,\mu))\mathcal{H}={\rm span}\{\pi(a)v:a\in C^*(G,\mu),v\in \mathcal{H}\}
$$
が $\mathcal{H}$ で稠密であるものを $C^*(G,\mu)$ の $\mathcal{H}$ 上への表現と言う。

===命題2.23（局所コンパクト群の $L^1$ 群環の表現と群 $C^*$-環の表現の一対一対応）===
$G$ を局所コンパクト群、$\mu\colon \mathcal{B}_G\rightarrow[0,\infty]$ を $G$ のHaar測度とする。このとき $L^1(G,\mu)$ の任意の表現 $\pi\colon L^1(G,\mu)\rightarrow \mathbb{B}(\mathcal{H}_{\pi})$ は群 $C^*$-環 $(C^*(G,\mu),\lVert \cdot\rVert_1)$ の $\mathcal{H}_{\pi}$ 上への表現に一意拡張できる。また群 $C^*$-環 $C^*(G,\mu)$ の表現の $L^1(G,\mu)$ 上への制限は $L^1(G,\mu)$ の表現である。
{{begin|proof}}
$L^1(G,\mu)$ の任意の表現 $\pi\colon L^1(G,\mu)\rightarrow \mathbb{B}(\mathcal{H}_{\pi})$ に対し、群 $C^*$-環のノルムの定義（'''定義2.20'''）より、
$$
\lVert \pi([f])\rVert\leq \lVert [f]\rVert_*\quad(\forall [f]\in L^1(G,\mu))
$$
であるから、$\pi$ は $C^*(G,\mu)=\overline{L^1(G,\mu)}^{\lVert\cdot\rVert_*}$ 上の $*$-環準同型写像 $\widetilde{\pi}\colon C^*(G,\mu)\rightarrow \mathbb{B}(\mathcal{H}_{\pi})$ に一意拡張できる（[[位相線形空間1：ノルムと内積]]の'''命題3.6'''）。そして、
$$
\widetilde{\pi}(C^*(G,\mu))\mathcal{H}_{\pi}\supset \pi(L^1(G,\mu))\mathcal{H}_{\pi}
$$
より $\widetilde{\pi}(C^*(G,\mu))\mathcal{H}_{\pi}$ も $\mathcal{H}_{\pi}$ で稠密であるから、 $\widetilde{\pi}\colon C^*(G,\mu)\rightarrow \mathbb{B}(\mathcal{H}_{\pi})$ は $C^*(G,\mu)$ の $\mathcal{H}_{\pi}$　上への表現である。$\rho \colon C^*(G,\mu)\rightarrow \mathbb{B}(\mathcal{H}_{\rho})$ を $C^*(G,\mu)$ の任意の表現とする。$\rho$ の $L^1(G,\mu)$ 上への制限は $L^1(G,\mu)$ から $\mathbb{B}(\mathcal{H}_{\rho})$ への $*$-環準同型写像であり、$\rho$ のノルム減少性より、
$$
\rho(C^*(G,\mu)\mathcal{H}_{\rho})\subset \overline{\rho(L^1(G,\mu))\mathcal{H}_{\rho}}
$$
であるから、$\rho(L^1(G,\mu))\mathcal{H}_{\rho}$ は $\mathcal{H}_{\rho}$ で稠密である。よって $\rho$ の $L^1(G,\mu)$ 上への制限は $L^1(G,\mu)$ の $\mathcal{H}_{\rho}$ 上への表現である。
{{end|proof}}

===定義2.24（局所コンパクト群のユニタリ表現とそれに対応する群 $C^*$-環の表現の同一視）===
$G$ を局所コンパクト群、$\mu\colon \mathcal{B}_G\rightarrow [0,\infty]$ を $G$ のHaar測度とする。$G$ のユニタリ表現は'''定義2.18'''において $L^1$ 群環 $L^1(G,\mu)$ の表現と同一視した。'''命題2.23'''より、さらに $L^1(G,\mu)$ の表現と群 $C^*$-環 $C^*(G,\mu)$ の表現は、拡張と制限により一対一に対応するので、これらも同一視する。

===定義2.25（$L^1$ 群環上の有界非負線形汎関数全体 $(L^1(G,\mu))^*_+$）===
$G$ を局所コンパクト群、$\mu\colon \mathcal{B}_G\rightarrow [0,\infty]$ を $G$ のHaar測度とする。有界線形汎関数 $\Phi\colon L^1(G,\mu)\rightarrow \mathbb{C}$ で、
$$
\Phi([f]^**[f])\geq0\quad(\forall [f]\in L^1(G,\mu))
$$
を満たすものを $L^1(G,\mu)$ 上の有界非負線形汎関数と言う。$L^1(G,\mu)$ 上の有界非負線形汎関数全体を $(L^1(G,\mu))^*_+\subset (L^1(G,\mu))^*$ と表す。

===定義2.26（局所コンパクト群上の正定値連続関数全体 $\mathcal{P}(G)$）===
$G$ を局所コンパクト群、$\mu\colon \mathcal{B}_G\rightarrow [0,\infty]$ を $G$ のHaar測度とする。有界連続関数 $p\colon G\rightarrow \mathbb{C}$ に対し、$\Phi_p\in (L^1(G,\mu))^*$ を、
$$
\Phi_p\colon L^1(G,\mu)\ni [f]\mapsto \int_{G}f(x)p(x)d\mu(x)\in \mathbb{C}
$$
として定義する。$\Phi_p\in (L^1(G,\mu))^*_+$ であるとき $p$ を $G$ 上の正定値連続関数と言う。$G$ 上の正定値連続関数全体を $\mathcal{P}(G)$ と表す。

===注意2.27（局所コンパクト群のユニタリ表現とベクトルから定まる正定値連続関数）===
$G$ を局所コンパクト群、$\mu\colon \mathcal{B}_G\rightarrow [0,\infty]$ を $G$ のHaar測度とする。$G$ の任意のユニタリ表現 $\pi$ と $v\in \mathcal{H}_{\pi}$ に対し、
$$
p(x)\colon=(v\mid \pi(x)v)\quad(\forall x\in G)
$$
として有界連続関数 $p\colon G\rightarrow \mathbb{C}$ を定義すれば、任意の $[f]\in L^1(G,\mu)$ に対し、
$$
\Phi_p([f])=\int_{G}f(x)(v\mid \pi(x)v)d\mu(x)=\int_{G}(v\mid f(x)\pi(x)v)d\mu(x)
=(v\mid \pi([f])v)
$$
であるから、
$$
\Phi_p([f]^**[f])=(v\mid \pi([f]^**[f])v)=(v\mid \pi([f])^*\pi([f])v)=\lVert \pi([f])v\rVert^2\geq0
$$
である。よって $\Phi_p\in (L^1(G,\mu))^*_+$ なので $p\in {\cal P}(G)$ である。

===命題2.28===
$G$ を局所コンパクト群、$\mu\colon \mathcal{B}_G\rightarrow [0,\infty]$ を $G$ のHaar測度、$p\colon G\rightarrow \mathbb{C}$ を有界連続関数とする。このとき任意の $[f],[g]\in L^1(G,\mu)$ に対し、
$$
\Phi_p([g]^**[f])=\int_{G}\left(\int_{G}\overline{g(y)}f(x)p(y^{-1}x)d\mu(x)\right)d\mu(y)
$$
が成り立つ。そして $p\colon G\rightarrow \mathbb{C}$ が正定値連続関数であるならば、$\overline{p}\colon G\ni x\mapsto \overline{p(x)}\in \mathbb{C}$ も正定値連続関数である。
{{begin|proof}}
任意の $[f],[g]\in L^1(G,\mu)$ に対し、合成積の定義（'''定義1.20'''）とFubiniの定理、モジュラー関数の基本性質（'''命題1.16'''）、Haar測度による積分の左不変性より、
$$
\begin{aligned}
&\Phi_p([g]^**[f])=\int_{G}([g]^**[f])(x)p(x)d\mu(x)=\int_{G}\left(\int_{G}g^*(y)f(y^{-1}x)p(x)d\mu(x)\right)d\mu(y)\\
&=\int_{G}\left(\int_{G}\overline{g(y^{-1})}\Delta(y^{-1})f(y^{-1}x)p(x)d\mu(y)\right)d\mu(x)
=\int_{G}\left(\int_{G}\overline{g(y)}f(yx)p(x)d\mu(y)\right)d\mu(x)\\
&=\int_{G}\left(\int_{G}\overline{g(y)}f(x)p(y^{-1}x)d\mu(x)\right)d\mu(y)
\end{aligned}
$$
である。よって任意の $[f]\in L^1(G,\mu)$ に対し、
$$
\begin{aligned}
&\overline{\Phi_p([f]^**[f])}=
\overline{\int_{G}\int_{G}\overline{f(y)}f(x)p(y^{-1}x)d\mu(x)d\mu(y)}\\
&=\int_{G}\int_{G}f(y)\overline{f(x)}\overline{p(y^{-1}x)}d\mu(x)d\mu(y)
=\Phi_{\overline{p}}([\overline{f}]^**[\overline{f}])
\end{aligned}
$$
であるから、$p$ が正定値連続関数であるならば、$\overline{p}$ も正定値連続関数である。
{{end|proof}}

===補題2.29（$C_c(G)*C_c(G)\subset C_c(G)$）===
$G$ を局所コンパクト群とする。任意の $f,g\in C_c(G)$ に対し $f*g\in C_c(G)$ が成り立つ。
{{begin|proof}}
任意の $f,g\in C_c(G)$ に対し合成積の定義（'''定義1.21'''）より $f*g\in C_0(G)$ であり、
$$
(f*g)(x)=\int_{G}f(y)g(y^{-1}x)d\mu(y)\quad(\forall x\in G)
$$
である。$(f*g)(x)\neq 0$ なる任意の $x\in G$ に対し、上式より、$G\ni y\mapsto g(y^{-1}x)\in \mathbb{C}$ の台 $x{\rm supp}(g)^{-1}$ と $f$ の台 ${\rm supp}(f)$ は交わる。よって $x\in {\rm supp}(f){\rm supp}(g)$ であり、$G$ の乗法の連続性より ${\rm supp}(f){\rm supp}(g)$ はコンパクトであるから、
$$
{\rm supp}(f*g)\subset {\rm supp}(f){\rm supp}(g)
$$
である。よって $f*g\in C_c(G)$ である。
{{end|proof}}

===定理2.30（${\rm span}(\mathcal{P}(G)\cap C_c(G))$ は、$C_0(G)$, $L^p(G,\mu)$ $(p\in [1,\infty))$ において稠密）===
$G$ を局所コンパクト群、$\mu\colon \mathcal{B}_G\rightarrow [0,\infty]$ を $G$ のHaar測度とする。このとき、
$$
{\rm span}(\mathcal{P}(G)\cap C_c(G))
$$
はBanach空間 $C_0(G)$, $L^p(G,\mu)$ $(p\in [1,\infty))$ それぞれにおいて稠密である。
{{begin|proof}}
任意の $f\colon G\rightarrow\mathbb{C}$ に対し、$\widetilde{f}(x)\colon=\overline{f(x^{-1})}$ $(\forall x\in G)$ と定義する。また $\pi\colon G\rightarrow \mathbb{U}(L^2(G,\mu))$ を $G$ の正則表現（'''例2.2'''）とする。任意の $f\in C_c(G)$ に対し $\widetilde{f}\in C_c(G)$ であるので、'''補題2.29'''より $f*\widetilde{f}\in C_c(G)$ であり、
$$
\begin{aligned}
(f*\widetilde{f})(x)&=\int_{G}f(y)\widetilde{f}(y^{-1}x)d\mu(y)=\int_{G}f(y)\overline{f(x^{-1}y)}d\mu(y)\\
&=(\pi(x)f\mid f)_2=\overline{(f\mid \pi(x)f)_2}\quad(\forall x\in G)
\end{aligned}
$$
であるから、'''注意2.27'''と'''命題2.28'''より、
$$
f*\widetilde{f}\in \mathcal{P}(G)\cap C_c(G)\quad(\forall f\in C_c(G))
$$
が成り立つ。よって、
任意の $f,g\in C_c(G)$ に対し、
$$
f*\widetilde{g}=\frac{1}{4}\sum_{k=0}^{3}i^k(f+i^kg)*(\widetilde{f+i^kg})\in {\rm span}(\mathcal{P}(G)\cap C_c(G))
$$
であり、$g=\widetilde{\widetilde{g}}$ であるから、
$$
f*g\in {\rm span}(\mathcal{P}(G)\cap C_c(G))\quad(\forall f,g\in C_c(G))
$$
が成り立つ。今、'''定理1.25'''における $L^1(G,\mu)$ の近似単位元 $(\varphi_n)_{n\in \mathbb{N}}$ を取る。$\varphi_n\in C_c(G)$ $(\forall n\in \mathbb{N})$ であるから、任意の $f\in C_c(G)$ に対し、
$$
\varphi_n*f\in {\rm span}(\mathcal{P}(G)\cap C_c(G))\quad(\forall n\in \mathbb{N})
$$
であり、'''命題1.3'''と合成積の定義（'''定義1.21'''）より、$\sup$ ノルムに関して、
$$
\begin{aligned}
&\lVert \varphi_n*f-f\rVert=\left\lVert \int_{G}\varphi_n(y)L_yfd\mu(y)-\int_{G}\varphi_n(y)fd\mu(y)\right\rVert\\
&=\left\lVert \int_{G}\varphi_n(y)(L_yf-f)d\mu(y)\right\rVert\leq \int_{G}\varphi_n(y)\lVert L_yf-f\rVert d\mu(y)\\
&\rightarrow0\quad(n\rightarrow\infty).
\end{aligned}
$$
よって、
$$
C_c(G)\subset \overline{{\rm span}(C_c(G)\cap \mathcal{P}(G))}\subset C_0(G)
$$
が成り立つ。ここで[[測度と積分7：局所コンパクトHausdorff空間上のRadon測度]]の'''命題28.3'''より $C_c(G)$ は $C_0(G)$ において稠密であるので、
$$
C_0(G)=\overline{{\rm span}(C_c(G)\cap \mathcal{P}(G))}
$$
が成り立つ。また任意の $p\in [1,\infty)$, 任意の $f\in C_c(G)$ に対し'''命題1.19'''と合成積の定義（'''定義1.21'''）より、
$$
\begin{aligned}
&\lVert \varphi_n*f-f\rVert_p=\left\lVert \int_{G}\varphi_n(y)L_yfd\mu(y)-\int_{G}\varphi_n(y)fd\mu(y)\right\rVert_p\\
&=\left\lVert \int_{G}\varphi_n(y)(L_yf-f)d\mu(y)\right\rVert_p\leq \int_{G}\varphi_n(y)\lVert L_yf-f\rVert_pd\mu(y)\\
&\rightarrow0\quad(n\rightarrow\infty)
\end{aligned}
$$
であるから、
$$
C_c(G)\subset \overline{{\rm span}(C_c(G)\cap \mathcal{P}(G))}^{\lVert \cdot\rVert_p}\subset L^p(G,\mu)
$$
が成り立つ。[[測度と積分7：局所コンパクトHausdorff空間上のRadon測度]]の'''命題32.1'''より $C_c(G)$ は $L^p(G,\mu)$ において稠密であるので、
$$
L^p(G,\mu)=\overline{{\rm span}(C_c(G)\cap \mathcal{P}(G))}^{\lVert \cdot\rVert_p}
$$
が成り立つ。
{{end|proof}}

===補題2.31（忠実性抜きの内積に関するSchwarzの不等式）===
$X$ を $\mathbb{C}$ 上の線形空間とし、
$$
[\cdot,\cdot]\colon X\times X\ni (x,y)\mapsto [x,y]\in \mathbb{C}
$$
が内積の忠実性以外の条件を満たすとする。すなわち、
*$(1)$　任意の $x,y\in X$ に対し、$\overline{[x,y]}=[y,x]$.
*$(2)$　任意の $x\in X$ に対し、$X\ni y\mapsto [x,y]\in \mathbb{C}$ は線形汎関数。
*$(3)$　任意の $x,\in X$ に対し、$[x,x]\geq0$.
このとき、
$$
\lvert [x,y]\rvert^2\leq [x,x][y,y]\quad(\forall x,y\in X)
$$
が成り立つ。
{{begin|proof}}
任意の $x,y\in X$ を取る。任意の $\alpha\in \mathbb{C}$ に対し、
$$
0\leq [x-\alpha y, x-\alpha y]=[x,x]-\alpha [x,y]-\overline{\alpha}[y,x]+\lvert\alpha\rvert^2[y,y]\quad\quad(*)
$$
である。もし $[y,y]>0$ ならば、$\alpha=\frac{[y,x]}{[y,y]}\in \mathbb{C}$ を $(*)$ に代入すれば、
$$
0\leq [x,x]-\frac{\lvert [x,y]\rvert^2}{[y,y]}
$$
となるので $\lvert [x,y]\rvert^2\leq [x,x][y,y]$ が成り立つ。またもし $[y,y]=0$ ならば、任意の $\epsilon\in (0,\infty)$ を取り、$\alpha\colon=\frac{1}{2\epsilon}[y,x]\in \mathbb{C}$ を $(*)$ に代入すれば、
$$
0\leq [x,x]-\frac{1}{\epsilon}\lvert [x,y]\rvert^2
$$
となる。よって $\lvert [x,y]\rvert^2\leq \epsilon[x,x]$ が任意の $\epsilon\in (0,\infty)$ に対して成り立つので、$\lvert [x,y]\rvert^2=0=[x,x][y,y]$ である。
{{end|proof}}

===命題2.32（$L^1$ 群環上の有界非負線形汎関数に関するSchwarzの不等式）===
$G$ を局所コンパクト群、$\mu\colon \mathcal{B}_G\rightarrow [0,\infty]$ を $G$ のHaar測度、$\Phi\in (L^1(G,\mu))^*_+$ とする。このとき次が成り立つ。
*$(1)$　任意の $[f],[g]\in L^1(G,\mu)$ に対し、$\overline{\Phi([f]^**[g])}=\Phi([g]^**[f])$.
*$(2)$　任意の $[f],[g]\in L^1(G,\mu)$ に対し、$\lvert \Phi([f]^**[g])\rvert^2\leq \Phi([f]^**[f])\Phi([g]^**[g])$.
*$(3)$　任意の $[f]\in L^1(G,\mu)$ に対し、$\lvert \Phi([f])\rvert^2\leq \lVert \Phi\rVert\Phi([f]^**[f])\rvert$.
*$(4)$　任意の $[f],[g]\in L^1(G,\mu)$ に対し、$\lvert \Phi([g]^**[f]*[g])\rvert\leq \Phi([g]^**[g])\lVert [f]\rVert_1$.
{{begin|proof}}
*$(1)$
$$
L^1(G,\mu)\times L^1(G,\mu)\ni ([f],[g])\mapsto \Phi\left([f]^**[g]\right)\in \mathbb{C}\quad\quad(*)
$$
は準双線形汎関数であるから、
$$
\Phi([f]^**[g])=\frac{1}{4}\sum_{k=0}^{3}i^k\Phi\left([i^k[f]+[g]]^**(i^k[f]+[g])\right)\quad\quad(**)
$$
が成り立ち、各 $k\in \{0,1,2,3\}$ に対し、
$$
\Phi\left((i^k[f]+[g])^**(i^k[f]+[g])\right)=\Phi\left(([f]+\overline{i}^k[g])^**([f]+\overline{i}^k[g])\right)
$$
は実数であるから、$(**)$ より、
$$
\begin{aligned}
&\overline{\Phi\left([f]^**[g]\right)}=\frac{1}{4}\sum_{k=0}^{3}\overline{i}^k\Phi\left(([f]+\overline{i}^k[g])^**([f]+\overline{i}^k[g])\right)\\
&=\frac{1}{4}\sum_{k=0}^{3}i^k\Phi\left((i^k[g]+[f])^**(i^k[g]+[f])\right)=\Phi\left([g]^**[f]\right)
\end{aligned}
$$
が成り立つ。
*$(2)$　$(*)$ は内積の忠実性以外の条件を満たすので、'''補題2.31'''より成り立つ。
*$(3)$　$(\varphi_n)_{n\in \mathbb{N}}$ を'''定理1.25'''における $L^1(G,\mu)$ の近似単位元とする。$(2)$ より任意の $[f]\in L^1(G,\mu)$ に対し、
$$
\lvert \Phi(\varphi_n*[f])\rvert^2\leq \Phi(\varphi_n*\varphi_n)\Phi([f]^**[f])\leq \lVert \Phi\rVert\Phi([f]^**[f])\quad(\forall n\in \mathbb{N})
$$
であるから、
$$
\lvert \Phi([f])\rvert^2=\lim_{n\rightarrow\infty}\lvert \Phi(\varphi_n*[f])\rvert\leq \lVert \Phi\rVert\Phi([f]^**[f])
$$
が成り立つ。
*$(4)$　任意の $[g]\in L^1(G,\mu)$ を取り固定する。
$$
\Psi\colon L^1(G,\mu)\ni [f]\mapsto \Phi([g]^**[f]*[g])\in \mathbb{C}
$$
とおくと、$\Psi\in (L^1(G,\mu))^*_+$ である。$(\varphi_n)_{n\in \mathbb{N}}$ を'''定理1.25'''における $L^1(G,\mu)$ の近似単位元とすると、任意の $[f]\in L^1(G,\mu)$ に対し $(2)$ より、
$$
\lvert \Psi(\varphi_n*[f])\rvert^2\leq \Psi(\varphi_n*\varphi_n)\Psi([f]^**[f])\quad(\forall n\in \mathbb{N})
$$
であり、
$$
\lim_{n\rightarrow\infty}\Psi(\varphi_n*\varphi_n)=\lim_{n\rightarrow\infty}\Phi([g]^**\varphi_n*\varphi_n*[g])=\Phi([g]^**[g])
$$
であるから、
$$
\lvert \Psi([f])\rvert^2=\lim_{n\rightarrow\infty}\lvert \Psi(\varphi_n*[f])\rvert^2\leq \Phi([g]^**[g])\Psi([f]^**[f])
$$
となる。よって、
$$
\lvert \Psi([f])\rvert^2\leq \Phi([g]^**[g])\lVert \Psi\rVert \lVert [f]\rVert_1^2\quad(\forall [f]\in L^1(G,\mu))
$$
であるから、
$$
\lVert \Psi\rVert\leq \Phi([g]^**[g])
$$
が成り立つ。ゆえに任意の $[f]\in L^1(G,\mu)$ に対し、
$$
\lvert \Phi([g]^**[f]*[g])\rvert=\lvert \Psi([f])\rvert\leq \Phi([g]^**[g])\lVert [f]\rVert_1
$$
が成り立つ。
{{end|proof}}

===定理2.33（GNS構成法）===
$G$ を局所コンパクト群、$\mu \colon \mathcal{B}_G\rightarrow [0,\infty]$ を $G$ のHaar測度とする。このとき、
$$
\mathcal{P}(G)\ni p\mapsto \Phi_p\in (L^1(G,\mu))^*_+\quad\quad(*)
$$
は全単射である。そして任意の $p\in \mathcal{P}(G)\backslash \{0\}$ に対し、巡回ベクトル $v$ を持つ $G$ のユニタリ表現 $\pi$ で、
$$
p(x)=(v\mid \pi(x)v)\quad(\forall x\in G)
$$
を満たすものが存在する。
{{begin|proof}}
$(*)$ が単射であることは $L^\infty(G,\mu)=(L^1(G,\mu))^*$ であること（[[測度と積分5：$L^p$ 空間の完備性と双対性]]の'''定理23.4'''）、および、空でない開集合のHaar測度が正であること（'''命題1.8'''）から $\mu$ -a.e. で一致する連続関数は全ての点で一致することによる。任意の $\Phi\in (L^1(G,\mu))^*_+\backslash \{0\}$ を取り固定する。
$$
\mathcal{N}_{\Phi}\colon=\{[f]\in L^1(G,\mu):\Phi([f]^**[f])=0\}
$$
とおくと、'''命題2.32'''の $(2)$ より $\mathcal{N}_{\Phi}$ は $L^1(G,\mu)$ の線形部分空間であり、'''命題2.32'''の $(3)$ と $\Phi\neq 0$ より $\mathcal{N}_{\Phi}\neq L^1(G,\mu)$ である。そこで商線形空間 $L^1(G,\mu)/\mathcal{N}_{\Phi}\neq \{0\}$ を考え、商写像を、
$$
q\colon L^1(G,\mu)\ni [f]\mapsto q([f])\in L^1(G,\mu)/\mathcal{N}_{\Phi}
$$
とおく。'''命題2.32'''の $(1),(2)$ より、
$$
(q([f]),q([g]))_{\Phi}\colon =\Phi([f]^**[g])\quad(\forall [f],[g]\in L^1(G,\mu))\quad\quad(**)
$$
として $L^1(G,\mu)/\mathcal{N}_{\Phi}$ の内積 $(\cdot \mid\cdot)_{\Phi}$ が定義できる。この内積空間 $(L^1(G,\mu)/\mathcal{N}_{\Phi},(\cdot\mid\cdot)_{\Phi})$ のHilbert空間への完備化（[[Hilbert空間上の作用素論]]の'''定義12.3'''）を $(\mathcal{H}_{\Phi},(\cdot\mid \cdot)_{\Phi})$ とおく。任意の $[f]\in L^1(G,\mu)$ に対し'''命題2.32'''の $(4)$ より、
$$
\pi_0([f])\colon L^1(G,\mu)/\mathcal{N}_{\Phi}\ni q([g])\mapsto q([f]*[g])\in \mathcal{H}_{\Phi}\quad\quad(***)
$$
はwell-definedな線形作用素である。そして'''命題2.32'''の $(4)$ より、
$$
\begin{aligned}
&\lVert \pi_0([f])q([g])\rVert_{\Phi}^2=(q([f]*[g])\mid q([f]*[g]))_{\Phi}=\Phi(([f]*[g])^**([f]*[g]))\\
&\leq \Phi([g]^**[g])\lVert [f]\rVert_1^2=\lVert q([g])\rVert_{\Phi}^2\lVert [f]\rVert_1^2\quad(\forall q([g])\in L^1(G,\mu)/\mathcal{N}_{\Phi})
\end{aligned}
$$
であるから、$(***)$ は有界線形作用素である。そこで $(***)$ を $\mathcal{H}_{\Phi}=\overline{L^1(G,\mu)/\mathcal{N}_{\Phi}}$ 上に一意拡張（[[位相線形空間1：ノルムと内積]]の'''命題3.6'''）したものを $\pi_{\Phi}([f])\in \mathbb{B}(\mathcal{H}_{\Phi})$ と表す。このとき $(**)$, $(***)$ と、$q(L^1(G,\mu))=L^1(G,\mu)/\mathcal{N}_{\Phi}$ の $\mathcal{H}_{\Phi}$ における稠密性より、
$$
\pi_{\Phi}\colon L^1(G,\mu)\ni [f]\mapsto \pi_{\Phi}([f])\in \mathbb{B}(\mathcal{H}_{\Phi})
$$
は $*$-環準同型写像であることが分かる。今、'''命題2.32'''の $(3)$ と $(**)$ より、
$$
L^1(G,\mu)/\mathcal{N}_{\Phi}\ni q([f])\mapsto \Phi([f])\in \mathbb{C}
$$
はwell-definedな有界線形汎関数である。これを $\mathcal{H}_{\Phi}=\overline{L^1(G,\mu)/\mathcal{N}_{\Phi}}$ 上の有界線形汎関数に一意拡張したものを考え、Rieszの定理（[[位相線形空間1：ノルムと内積]]の'''定理6.13'''）によりそれに対応するベクトルを $v_{\Phi}\in \mathcal{H}_{\Phi}$ とおくと、
$$
\Phi([f])=(v_{\Phi}\mid q([f]))_{\Phi}\quad(\forall [f]\in L^1(G,\mu))\quad\quad(****)
$$
となる。
$$
\begin{aligned}
(q([f])\mid q([g]))_{\Phi}&=\Phi([f]^**[g])=(v_{\Phi}\mid q([f]^**[g]))_{\Phi}=(v_{\Phi}\mid \pi_{\Phi}([f]^*)q([g]))_{\Phi}\\
&=(\pi_{\Phi}([f])v_{\Phi}\mid q([g]))_{\Phi}\quad(\forall [f],[g]\in L^1(G,\mu))
\end{aligned}
$$
であるから、$q(L^1(G,\mu))=L^1(G,\mu)/\mathcal{N}_{\Phi}$ の $\mathcal{H}_{\Phi}$ における稠密性より、
$$
q([f])=\pi_{\Phi}([f])v_{\Phi}\quad(\forall [f]\in L^1(G,\mu))\quad\quad(*****)
$$
が成り立つ。これより、
$$
\overline{\pi_{\Phi}(L^1(G,\mu))v_{\Phi}}=\overline{L^1(G,\mu)/\mathcal{N}_{\Phi}}=\mathcal{H}_{\Phi}
$$
であるから、$\pi_{\Phi}\colon L^1(G,\mu)\rightarrow \mathbb{B}(\mathcal{H}_{\Phi})$ は $L^1(G,\mu)$ の $\mathcal{H}_{\Phi}$ 上への表現、したがって $G$ の $\mathcal{H}_{\Phi}$ 上へのユニタリ表現（'''定義2.18'''を参照）であり、
$$
\mathcal{H}_{\Phi}=\overline{\pi_{\Phi}(L^1(G,\mu))v_{\Phi}}=\overline{{\rm span}(\pi(G)v_{\Phi})}
$$
([[測度と積分9：Bochner積分]]の'''命題44.2'''の$(3)$)より、$G$ のユニタリ表現 $\pi_{\Phi}\colon G\rightarrow \mathbb{U}(\mathcal{H}_{\Phi})$ は巡回ベクトル $v_{\Phi}$ を持つ。そして $(****),(*****)$ より、
$$
\Phi([f])=(v_{\Phi}\mid \pi_{\Phi}([f])v_{\Phi})_{\Phi}=\int_{G}f(x)(v_{\Phi}\mid \pi_{\Phi}(x)v_{\Phi})d\mu(x)\quad(\forall [f]\in L^1(G,\mu))
$$
である。そこで $p_{\Phi}\colon G\rightarrow\mathbb{C}$ を、
$$
p_{\Phi}(x)\colon=(v_{\Phi}\mid \pi_{\Phi}(x)v_{\Phi})_{\Phi}\quad(\forall x\in G)
$$
とおけば、
$$
\Phi([f])=\int_{G}f(x)p_{\Phi}(x)d\mu(x)=\Phi_{p_{\Phi}}([f])\quad(\forall [f]\in L^1(G,\mu))
$$
であるから、$p_{\Phi}$ が求める正定値連続関数である。以上で証明が終わる。
{{end|proof}}

===定義2.34（局所コンパクト群上の正定値連続関数に対するGNS表現）===
$G$ を局所コンパクト群とする。任意の正定値連続関数 $p\in \mathcal{P}(G)\backslash \{0\}$ に対し、'''定理2.33'''より、巡回ベクトル $v$ を持つ $G$ のユニタリ表現 $\pi \colon G\rightarrow\mathbb{U}(\mathcal{H}_{\pi})$ で、
$$
p(x)=(v\mid \pi(x)v)\quad(\forall x\in G)
$$
を満たすものが存在する。このユニタリ表現とその巡回ベクトルの組 $(\pi,v)$ を $p$ に対するGNS表現と言う。'''命題2.13'''より、$(\pi_1,v_1), (\pi_2,v_2)$ が共に $p$ に対するGNS表現であるならば、$\pi_1,\pi_2$ はユニタリ同値であり、ユニタリ作用素 $U\colon \mathcal{H}_{\pi_1}\rightarrow \mathcal{H}_{\pi_2}$ で、
$$
U\pi_1(x)=\pi_2(x)U\quad(\forall x\in G),\quad Uv_1=v_2
$$
を満たすものが定まる。

===系2.35（正定値連続関数 $p\colon G\rightarrow\mathbb{C}$ の $\sup$ ノルムは $p(1)$）===
$G$ を局所コンパクト群、$\mu\colon \mathcal{B}_G\rightarrow [0,\infty]$ を $G$ のHaar測度、$([h_{\lambda}])_{\lambda\in \Lambda}$ を $L^1(G,\mu)$ の近似単位元とする（'''定理1.25'''における $(\varphi_n)_{n\in \mathbb{N}}$ を考えればよい）。このとき任意の $p\in \mathcal{P}(G)\backslash \{0\}$ と $p$ のGNS表現 $(\pi,v)$ に対し、
$$
\lVert p\rVert=p(1)=\lVert v\rVert^2=\lim_{n\rightarrow\infty}\Phi_p([h_{\lambda}])=\lVert \Phi_p\rVert\quad\quad(*)
$$
が成り立つ。
{{begin|proof}}
$$
\lvert p(x)\rvert=\lvert (v\mid \pi(x)v)\rvert\leq \lVert v\rVert^2=p(1)\quad\forall x\in G)
$$
であるから、
$$
\lVert p\rVert=\lVert v\rVert^2=p(1)
$$
である。また、
$$
\Phi_p([f])=\int_{G}f(x)p(x)d\mu(x)=\int_{G}f(x)(v\mid \pi(x)v)d\mu(x)
=(v\mid \pi([f])v)\quad(\forall [f]\in L^1(G,\mu))
$$
より、
$$
\lvert \Phi_p([f])\rvert\leq \lVert v\rVert\lVert \pi([f])v\rVert\leq \lVert [f]\rVert_1\lVert v\rVert^2\quad(\forall [f]\in L^1(G,\mu))
$$
であるから $\lVert \Phi_p\rVert\leq \lVert v\rVert^2$ であり、'''注意2.15'''より、
$$
\lVert v\rVert^2=\lim_{\lambda\in\Lambda}(v\mid \pi([h_{\lambda}])v)=\lim_{\lambda\in\Lambda}\Phi_p([h_{\lambda}])\leq \lVert \Phi_p\rVert\leq v\rVert^2
$$
であるから、
$$
\lVert v\rVert^2=\lim_{\lambda\in\Lambda}\Phi_p([h_{\lambda}])=\lVert \Phi_p\rVert
$$
である。よって $(*)$ が成り立つ。
{{end|proof}}

===定義2.36（局所コンパクト群上のノルムが $1$ の正定値連続関数全体のなす凸集合 $\mathcal{P}_1(G)$）===
$G$ を局所コンパクト群とする。$G$ 上の $\sup$ ノルムが $1$ の正定値連続関数全体を $\mathcal{P}_1(G)$ とすると、'''系2.35'''より、
$$
\mathcal{P}_1(G)=\{p\in \mathcal{P}(G):\lVert p\rVert=1\}=\{p\in \mathcal{P}(G):p(1)=1\}
$$
である。よって $\mathcal{P}_1(G)$ は凸集合をなす。そこで $\mathcal{P}_1(G)$ の端点（'''定義14.1'''）全体を、
$$
{\rm ext}(\mathcal{P}_1(G))=\{p\in \mathcal{P}_1(G):\text{$p$ は凸集合 $\mathcal{P}_1(G)$ の端点}\}
$$
とおく。

===定理2.37（$\mathcal{P}_1(G)$ の端点とそれに対応するGNS表現の既約性）===
$G$ を局所コンパクト群、$p\in \mathcal{P}_1(G)$ とし、$p$ に対するGNS表現（'''定義2.34'''）を $(\pi,v)$ とする。このとき次は互いに同値である。
*$(1)$　$p$ は $\mathcal{P}_1(G)$ の端点である、すなわち、$p\in {\rm ext}(\mathcal{P}_1(G))$.
*$(2)$　$\pi$ は既約である。
{{begin|proof}}
$(1)\Rightarrow(2)$ を示す。$(1)$ が成り立つとする。$\pi$ が既約であることを示すには、Schurの補題（'''定理2.10'''）より、$\mathcal{C}(\pi)=\mathbb{C}1$ が成り立つことを示せばよい。$\mathcal{C}(\pi)=\pi(G)'$ はvon Neumann環であるから射影によって生成される（[[Hilbert空間上の作用素論]]の'''定理19.7'''）。よって $\pi(G)'$ に属する任意の射影作用素 $P$ を取り、$P$ が $1$ か $0$ であることを示せば十分である。
$$
p_1(x)=(v\mid P\pi(x)v),\quad p_2(x)=(v\mid (1-P)\pi(x)v)\quad(\forall x\in G)
$$
とおく。$P,1-P$ は $\pi(G)'$ に属する非負有界自己共役作用素であることと'''定義2.18'''より、
$$
\begin{aligned}
&\int_{G}([f]^**[f])(x)p_1(x)d\mu(x)=\int_{G}([f]^**[f])(v\mid P\pi(x)v)d\mu(x)\\
&=(v\mid P\pi([f]^**[f])v)=(v\mid P\pi([f])^*\pi([f])v)\\
&=(\pi([f])v\mid P\pi([f])v)\geq0\quad(\forall [f]\in L^1(G,\mu))
\end{aligned}
$$
であり、全く同様に、
$$
\int_{G}([f]^**[f])(x)p_2(x)d\mu(x)=(\pi([f])v\mid (1-P)\pi([f])v)\geq0\quad(\forall [f]\in L^1(G,\mu))
$$
である。よって $p_1,p_2\in \mathcal{P}(G)$ である。また $p_1,p_2$ の定義より、
$$
p_1+p_2=p
$$
であり、'''系2.35'''より、
$$
\lVert p_1\rVert+\lVert p_2\rVert=p_1(1)+p_2(1)=p(1)=\lVert p\rVert=1
$$
であるから、$p\in {\rm ext}(\mathcal{P}_1(G))$ より、ある $\alpha\in [0,1]$ が存在して、$p_1=\alpha p$ が成り立つ。よって、
$$
\alpha(\pi(y)v\mid \pi(x)v)=\alpha p(y^{-1}x)=p_1(y^{-1}x)=(v\mid P\pi(y^{-1}x)v)
=(\pi(y)v\mid P\pi(x)v)\quad(\forall x,y\in G)
$$
であるから、${\rm span}(\pi(G)v)$ の $\mathcal{H}_{\pi}$ における稠密性より、$P=\alpha 1$ を得る。ゆえに $\pi$ は既約である。 
$(2)\Rightarrow(1)$ を示す。$\pi$ が既約であるとする。$p\in {\rm ext}(\mathcal{P}_1(G))$ であることを示すには、$p_1\in \mathcal{P}(G)$ で、$p-p_1\in \mathcal{P}(G)$ なるものを取り、$p_1=\alpha p$ なる $\alpha\in [0,1]$ が存在することを示せば十分である。$p-p_1\in \mathcal{P}(G)$ より、
$$
\Phi_p([f]^**[f])-\Phi_{p_1}([f]^**[f])=\Phi_{p-p_1}([f]^**[f])\geq0\quad(\forall [f]\in L^1(G,\mu))
$$
であるから、
$$
0\leq \Phi_{p_1}([f]^**[f])\leq \Phi_p([f]^**[f])=\lVert \pi([f])v\rVert^2\quad(\forall [f]\in L^1(G,\mu))
$$
である。よって'''命題2.32'''より、
$$
\pi(L^1(G,\mu))v\times \pi(L^1(G,\mu))v\ni (\pi([f])v,\pi([g])v)\mapsto \Phi_{p_1}([f]^**[g])\in \mathbb{C}\quad\quad(*)
$$
はwell-definedな有界準双線形汎関数である。'''注意2.15'''と'''命題2.16'''より ${\rm span}(\pi(G)v)\subset \overline{\pi(L^1(G,\mu))v}$ であるから$\pi(L^1(G,\mu))v$ は $\mathcal{H}_{\pi}$ の稠密部分空間であるので、$(*)$ は $\mathcal{H}_{\pi}$ 上の有界準双線形汎関数に一意拡張できることが分かる。よって'''定理7.1'''より $T\in \mathbb{B}(\mathcal{H}_{\pi})$ で、
$$
(\pi([f])v\mid T\pi([g])v)=\Phi_{p_1}([f]^**[g])\quad(\forall [f],[g]\in L^1(G,\mu))
$$
を満たすものが存在する。$(\varphi_n)_{n\in \mathbb{N}}$ を'''定理1.25'''における $L^1(G,\mu)$ の近似単位元とすれば、任意の $x,y\in G$ に対し、'''注意2.15'''と'''命題2.16'''より、
$$
(\pi(y)v\mid T\pi(x)v)=\lim_{n\rightarrow\infty}(\pi(L_y\varphi_n)v\mid T\pi(L_x\varphi_n)v)=\lim_{n\rightarrow\infty}\Phi_{p_1}((L_y\varphi_n)^**(L_x\varphi_n))
$$
となり、$p_1\in \mathcal{P}(G)$ に対するGNS表現を $(\pi_1,v_1)$ とすれば、
$$
\lim_{n\rightarrow\infty}\Phi_{p_1}((L_y\varphi_n)^**(L_x\varphi_n))
=\lim_{n\rightarrow\infty}(\pi_1(L_y\varphi_n)v\mid \pi_1(L_x\varphi_n)v)=(\pi_1(y)v\mid \pi_1(x)v)=p_1(y^{-1}x)
$$
となるから、
$$
(\pi(y)v\mid T\pi(x)v)=p_1(y^{-1}x)\quad(\forall x,y\in G)\quad\quad(**)
$$
が成り立つ。よって任意の $x,y,z\in G$ に対し、
$$
(\pi(z)v\mid T\pi(x)\pi(y)v)=p_1(z^{-1}xy)=p_1((x^{-1}z)^{-1}y)=(\pi(x^{-1})\pi(z)v\mid T\pi(y)v)=(\pi(z)v\mid \pi(x)T\pi(y)v)
$$
であるから、${\rm span}(\pi(G)v)$ の $\mathcal{H}_{\pi}$ における稠密性より、
$$
T\pi(x)=\pi(x)T\quad(\forall x\in G)
$$
が成り立つ。ゆえに $T\in \mathcal{C}(\pi)$ であるから、Schurの補題（'''定理2.10'''）より、$T=\alpha1$ なる $\alpha\in \mathbb{C}$ が存在する。$(**)$ より、
$$
p_1(x)=(v\mid T\pi(x)v)=\alpha(v\mid \pi(x)v)=\alpha p(x)\quad(\forall x\in G)
$$
であるから、$p_1=\alpha p$ である。よって $p\in {\rm ext}(\mathcal{P}_1(G))$ が成り立つ。
{{end|proof}}

===定義2.38（コンパクト一様収束位相）===
$X$ を位相空間、$C(X)$ を $X$ 上の複素数値連続関数全体に各点ごとの演算を入れた $\mathbb{C}$ 上の線形空間とする。任意の空でないコンパクト集合 $K\subset X$ に対し、
$$
p_K\colon C(X)\ni f\mapsto \underset{x\in K}{\rm max}\lvert f(x)\rvert \in [0,\infty)
$$
とおくと、$p_K$ は線形空間 $C(X)$ 上のセミノルムである。そして一点集合がコンパクトであることから、セミノルムの集合
$$
\mathcal{P}\colon=\{p_K:\text{$K\subset X$ は空でないコンパクト集合}\}
$$
は $C(X)$ 上のセミノルムの分離族（[[位相線形空間2：セミノルム位相と汎弱位相]]の'''定義8.3'''）である。
そこで $\mathcal{P}$ から誘導される $C(X)$ 上のセミノルム位相（[[位相線形空間2：セミノルム位相と汎弱位相]]の'''定義8.4'''）を $C(X)$ 上のコンパクト一様収束位相と言う。[[位相線形空間2：セミノルム位相と汎弱位相]]の'''命題8.6'''の $(1)$ より、$C(X)$ のネット $(f_{\lambda})_{\lambda\in \Lambda}$ が $f\in C(X)$ にコンパクト一様収束位相で収束することは、任意の空でないコンパクト集合 $K\subset X$ に対し、
$$
\underset{x\in K}{\rm max}\lvert f_{\lambda}(x)-f(x)\rvert=p_K(f_{\lambda}-f)\rightarrow0
$$
が成り立つことと同値である。すなわち $(f_{\lambda})_{\lambda\in \Lambda}$ が $f$ にコンパクト一様収束することと同値である。

===定理2.39（$\mathcal{P}_1(G)$ と $(L^1(G,\mu))^*_{+,1}$ はコンパクト一様収束位相と弱 $*$-位相に関して同相）===
$G$ を局所コンパクト群、$\mu\colon \mathcal{B}_G\rightarrow [0,\infty]$ を $G$ のHaar測度とし、
$$
(L^1(G,\mu))^*_{+,1}\colon=\{\Phi\in (L^1(G,\mu))^*_+:\lVert \Phi\rVert=1\}
$$
とおく。このとき、
$$
(\mathcal{P}_1(G), \text{コンパクト一様収束位相})\ni p\mapsto \Phi_p\in (L^1(G,\mu))^*_{+,1}, \text{弱 $*$-位相})\quad\quad(*)
$$
は同相写像である。
{{begin|proof}}
$(*)$ が全単射であることは'''定理2.33'''と'''系2.35'''による。$\mathcal{P}_1(G)$ のネット $(p_{\lambda})_{\lambda\in \Lambda}$ が $p\in \mathcal{P}_1(G)$ にコンパクト一様収束位相で収束するならば、任意の $f\in C_c(G)$ に対し、
$$
\lvert \Phi_{p_{\lambda}}(f)-\Phi_p(f)\rvert
=\left\lvert \int_{G}f(x)(p_{\lambda}(x)-p(x))d\mu(x)\right\rvert\leq \lVert f\rVert_1 \underset{x\in {\rm supp}(f)}{\rm max}\lvert p_{\lambda}(x)-p(x)\rvert\rightarrow0
$$
である。そして $C_c(G)$ は $L^1(G,\mu)$ において稠密（[[測度と積分7：局所コンパクトHausdorff空間上のRadon測度]]の'''命題32.1'''）であり、$\lVert \Phi_{p_{\lambda}}\rVert=1$ $(\forall \lambda\in \Lambda)$, $\lVert \Phi_p\rVert=1$ であるから、
$$
\lvert \Phi_{p_{\lambda}}([f])-\Phi_p([f])\rvert\rightarrow0\quad(\forall [f]\in L^1(G,\mu))
$$
が成り立つ。よって $L^1(G,\mu)^*$ の弱 $*$-位相で $\lim_{\lambda\in \Lambda}\Phi_{p_{\lambda}}=\Phi_p$ が成り立つから、[[ネットによる位相空間論]]の'''定理3'''より、$(*)$ は連続である。 
$(*)$ の逆写像が連続であることを示す。$\mathcal{P}_1(G)$ のネット $(p_{\lambda})_{\lambda\in\Lambda}$ と $p\in \mathcal{P}_1(G)$ に対し、弱 $*$-位相で $\lim_{\lambda\in\Lambda}\Phi_{p_{\lambda}}=\Phi_p$ が成り立つと仮定し、コンパクト一様収束位相で $\lim_{\lambda\in\Lambda}p_{\lambda}=p$ が成り立つことを示せばよい。任意のコンパクト集合 $K\subset G$ と任意の $\epsilon\in (0,\infty)$ を取り固定する。$p$ のGNS表現（'''定義2.34'''）を $(\pi,v)$ とする。$(\varphi_n)_{n\in \mathbb{N}}$ を'''定理1.25'''における $L^1(G,\mu)$ の近似単位元とすると、'''注意2.15'''より、
$$
\lim_{n\rightarrow\infty}\Phi_p(\varphi_n)=\lim_{n\rightarrow\infty}(v\mid \pi(\varphi_n)v)=\lVert v\rVert^2=p(1)=1,
$$
$$
\lim_{n\rightarrow\infty}\Phi_p(\varphi_n*\varphi_n)=\lim_{n\rightarrow\infty}(\pi(\varphi_n)v\mid \pi(\varphi_n)v)=\lVert v\rVert^2=p(1)=1
$$
であるから、$\varphi\in C_c(G)$ で、
$$
\lVert \varphi\rVert_1=1,\quad \varphi^*=\varphi,\quad 1-\Phi_p(\varphi)-\Phi_p(\varphi)+\Phi_p(\varphi*\varphi)<\epsilon^2\quad\quad(**)
$$
を満たすものが取れる。弱 $*$-位相で $\lim_{\lambda\in\Lambda}\Phi_{p_{\lambda}}=\Phi_p$ が成り立つので、$\lambda_0\in \Lambda$ が存在し、
$$
1-\Phi_{p_{\lambda}}(\varphi)-\Phi_{p_{\lambda}}(\varphi)+\Phi_{p_{\lambda}}(\varphi*\varphi)<\epsilon\quad(\forall \lambda\geq\lambda_0)\quad\quad(***)
$$
が成り立つ。$(**)$ より任意の $x\in G$ に対し、
$$
\begin{aligned}
\lvert p(x)-\Phi_p(L_x\varphi)\rvert^2&=\lvert (v\mid \pi(x)v)-(v\mid \pi(x)\pi(\varphi)v)\rvert^2=\lvert (v\mid \pi(x)(1-\pi(\varphi))v)\rvert^2\\
&\leq \lVert \pi(x)(1-\pi(\varphi))v\rVert^2\lVert v\rVert^2=\lVert (1-\pi(\varphi))v\rVert^2\\
&=1-(v\mid \pi(\varphi)v)-(\pi(\varphi)v\mid v)+(\pi(\varphi)v\mid \pi(\varphi)v)\\
&=1-\Phi_p(\varphi)-\Phi_p(\varphi)+\Phi_p(\varphi*\varphi)<\epsilon^2
\end{aligned}
$$
であるから、
$$
\lvert p(x)-\Phi_p(L_x\varphi)\rvert<\epsilon\quad(\forall x\in G)\quad\quad(****)
$$
が成り立つ。同様にして、各 $p_{\lambda}$ のGNS表現と $(***)$ より、
$$
\lvert p_{\lambda}(x)-\Phi_{p_{\lambda}}(L_x\varphi)\rvert<\epsilon\quad(\forall \lambda\geq\lambda_0,\forall x\in G)\quad\quad(*****)
$$
が成り立つことが分かる。'''命題1.19'''より $G\ni x\mapsto L_x\varphi\in L^1(G,\mu)$ は連続であり、$K$ はコンパクトであるから、有限個の $x_1,\ldots,x_n\in K$ と $x_1,\ldots,x_n$ の近傍 $U_1,\ldots,U_n$ で、
$$
K\subset \bigcup_{j=1}^{n}U_j,\quad \lVert L_x\varphi-L_{x_j}\varphi\rVert_1<\epsilon\quad(\forall j\in \{1,\ldots,n\},\forall x\in U_j)\quad\quad(******)
$$
なるものが取れる。そして弱 $*$-位相で $\lim_{\lambda\in\Lambda}\Phi_{p_{\lambda}}=\Phi_p$ であるので、$\lambda_1\geq \lambda_0$ なる $\lambda_1\in \Lambda$ で、
$$
\lvert \Phi_{p_{\lambda}}(L_{x_j}\varphi)-\Phi_p(L_{x_j}\varphi)\rvert<\epsilon\quad(\forall j\in \{1,\ldots,n\},\forall \lambda\geq\lambda_1)\quad\quad(*******)
$$
なるものが取れる。よって任意の $x\in K$ と任意の $\lambda\geq \lambda_1$ に対し、$x\in U_j$ なる $j\in\{1,\ldots,n\}$ を取れば、$(****)$, $(*****)$, $(******)$, $(*******)$ より、
$$
\begin{aligned}
\lvert p(x)-p_{\lambda}(x)\rvert&\leq \lvert p(x)-\Phi_p(L_x\varphi)\rvert+\lvert \Phi_p(L_x\varphi)-\Phi_p(L_{x_j}\varphi)\rvert+\lvert \Phi_p(L_{x_j}\varphi)-\Phi_{p_{\lambda}}(L_{x_j}\varphi)\rvert\\
&+\lvert \Phi_{p_{\lambda}}(L_{x_j}\varphi)-\Phi_{p_{\lambda}}(L_x\varphi)\rvert+\lvert \Phi_{p_{\lambda}}(L_x\varphi)-p_{\lambda}(x)\rvert<5\epsilon
\end{aligned}
$$
となるので、
$$
\lvert p(x)-p_{\lambda}(x)\rvert<5\epsilon\quad(\forall x\in K,\forall \lambda\geq\lambda_1)
$$
が成り立つ。コンパクト集合 $K\subset G$ と $\epsilon\in (0,\infty)$ は任意なので、コンパクト一様収束位相で $\lim_{\lambda\in\Lambda}p_{\lambda}=p$ が成り立つ。
{{end|proof}}

===定理2.40（$\mathcal{P}_1(G)$ の端点全体の凸包は $\mathcal{P}_1(G)$ においてコンパクト一様収束位相で稠密）===
$G$ を局所コンパクト群とする。凸集合 $\mathcal{P}_1(G)$ において $\mathcal{P}_1(G)$ の端点全体 ${\rm ext}(\mathcal{P}_1(G))$ の凸包 ${\rm conv}({\rm ext}(\mathcal{P}_1(G)))$ はコンパクト一様収束位相で稠密である。
{{begin|proof}}
$\mu\colon \mathcal{B}_G\rightarrow [0,\infty]$ をHaar測度とする。'''定理2.39'''より凸集合
$$
S\colon=\{\Phi\in (L^1(G,\mu))^*_+:\lVert \Phi\rVert=1\}=\{\Phi_p:p\in \mathcal{P}_1(G)\}
$$
の端点全体
$$
{\rm ext}(S)=\{\Phi_p:p\in {\rm ext}(\mathcal{P}_1(G))\}
$$
の凸包
$$
{\rm conv}({\rm ext}(S))=\{\Phi_p:p\in {\rm conv}({\rm ext}(\mathcal{P}_1(G)))\}
$$
が $S$ において弱 $*$-位相で稠密であることを示せばよい。
$$
B\colon=\{\Phi\in (L^1(G,\mu))^*_+:\lVert \Phi\rVert\leq1\}
$$
とおく。Alaogluの定理（[[位相線形空間2：セミノルム位相と汎弱位相]]の'''定理10.3'''）より $B$ は弱 $*$-位相でコンパクトな凸集合であるから、Krein-Milmanの端点定理（[[位相線形空間3：Hahn-Banachの定理とKrein-Milmanの端点定理]]の'''定理14.3'''）より、
$$
B=\overline{{\rm conv}({\rm ext}(B))}^{w^*\text{-topology}}
$$
が成り立つ。よって[[ネットによる位相空間論]]の'''命題2.4'''より任意の $\Phi\in S\subset B$ に対し、${\rm conv}({\rm ext}(B))$ のネット $(\Phi_{\lambda})_{\lambda\in\Lambda}$ で、弱 $*$-位相で $\Phi_{\lambda}\rightarrow\Phi$ なるものが取れる。ここで任意の $\epsilon\in (0,1)$ に対し、$(1-\epsilon) B$ も弱 $*$-位相でコンパクトであるから、$(1-\epsilon)B\subset B$ は弱 $*$-位相で閉集合である。そして $\Phi\notin (1-\epsilon)B$ であるので、ある $\lambda_0\in \Lambda$ に対し、
$$
\Phi_{\lambda}\notin (1-\epsilon)B\quad(\forall \lambda\geq\lambda_0)
$$
となる。よって、
$$
0\leq 1-\lVert \Phi_{\lambda}\rVert<\epsilon\quad(\forall \lambda\geq\lambda_0)
$$
であるから、$\lVert \Phi_{\lambda}\rVert\rightarrow 1$ が成り立つ。ゆえに、
$$
\Phi=\lim_{\lambda\in\Lambda}\frac{1}{\lVert \Phi_{\lambda}\rVert}\Phi_{\lambda}\in \overline{{\rm conv}({\rm ext}(S))}^{w^*\text{-topology}}
$$
<ref>$\Psi\in {\rm conv}({\rm ext}(B))$に対し、$\frac{\Psi}{\lVert \Psi\rVert}\in {\rm conv}({\rm ext}(S))$ であることは次のようにして分かる。$t_1,\ldots,t_n\in [0,1]$ で $\sum_{j=1}^{n}t_j=1$ なるものと $\Psi_1,\ldots,\Psi_n\in {\rm ext}(B)$ に対し、$\Psi=\sum_{j=1}^{n}t_j\Psi_j$ と表せる。'''系2.35'''より $\lVert\Psi\rVert=\sum_{j=1}^{n}t_j\lVert \Psi_j\rVert$ である。各$j\in \{1,\ldots,n\}$ に対し $\Psi_j=\lVert \Psi_j\rVert \Phi_j$　なる$\Phi_j\in S$ を取ると、$\lVert \Psi_j\rVert>0$　ならば $\Phi_j\in {\rm ext}(S)$（容易に示せる）であることが分かる。そして $\frac{\Psi}{\lVert \Psi\rVert}=\sum_{j=1}^{n}t_j\frac{\lVert \Psi_j\rVert}{\lVert \Psi\rVert}\Phi_j$ であり、$\sum_{j=1}^{n}t_j\frac{\lVert \Psi_j\rVert}{\lVert \Psi\rVert}=1$ であるから、$\frac{\Psi}{\lVert \Psi\rVert}\in {\rm conv}({\rm ext}(S))$である。</ref>が成り立つ。これより ${\rm conv}({\rm ext}(S))$ は $S$ において弱 $*$-位相で稠密である。
{{end|proof}}

===定理2.41（Gelfand-Raikovの定理）===
$G$ を局所コンパクト群とする。$x,y\in G$ が $x\neq y$ ならば、$G$ の既約なユニタリ表現 $\pi$ で、$\pi(x)\neq \pi(y)$ なるものが存在する。
{{begin|proof}}
Urysohnの補題（[[測度と積分7：局所コンパクトHausdorff空間上のRadon測度]]の'''定理27.6'''）より $\varphi\in C_c(G)$ で $\varphi(x)\neq \varphi(y)$ なるものが存在する。よって'''定理2.30'''より $p\in \mathcal{P}_1(G)$ で $p(x)\neq p(y)$ なるものが存在する。よって'''定理2.40'''より $p\in {\rm ext}(\mathcal{P}_1(G))$ で $p(x)\neq p(y)$ なるものが存在する。この $p\in {\rm ext}(\mathcal{P}_1(G))$ に対するGNS表現 $(\pi,v)$ を取ると、'''定理2.37'''より $\pi$ は既約であり、
$$
(v\mid \pi(x))=p(x)\neq p(y)=(v\mid \pi(y)v)
$$
より、$\pi(x)\neq \pi(y)$ である。
{{end|proof}}

==3. 局所コンパクト群の等質空間上の不変測度==

===定義3.1（左剰余類、左剰余類空間）===
$G$ を群、$H$ を $G$ の部分群とする。$x,y\in G$ が $y^{-1}x\in H$ を満たすことを $x\sim y$ と表すと、$\sim$ は $G$ における同値関係であり、この同値関係に関する $x\in G$ の同値類は $xH\subset G$ である。$xH$ を $H$ に関する $x$ の左剰余類と言う。そして $H$ に関する左剰余類全体からなる集合（同値関係 $\sim$ に関する商集合）を、
$$
G/H\colon=G/\sim =\{xH:x\in G\}
$$
と表し、$H$ に関する左剰余類空間と言う。商写像は今後、大抵、
$$
q\colon G\ni x\mapsto q(x)\colon=xH\in G/H
$$
と表す。

===定義3.2（正規部分群、剰余類群）===
$G$ を群、$H$ を $G$ の部分群とする。任意の $x\in G$ に対し $xH=Hx$ が成り立つとき、$H$ を $G$ の正規部分群と言う。$H$ が $G$ の正規部分群であるとき、左剰余類空間 $G/H$ に対し、
$$
G/H\times G/H\ni (q(x),q(y))\mapsto q(xy)\in G/H
$$
はwell-definedであり、この二項演算により左剰余類空間 $G/H$ は群をなす。この群 $G/H$ を $H$ に関する剰余類群と言う。このとき商写像
$$
q\colon G\ni x\mapsto q(x)\in G/H
$$
は全射群準同型写像である。

===定義3.3（局所コンパクト群の左剰余類空間の商位相）===
$G$ を局所コンパクト群、$H$ を $G$ の閉部分群、$G/H$ を左剰余類空間、$q\colon G\rightarrow G/H$ を商写像とする。
$$
\{V\subset G/H:\text{$q^{-1}(V)$ は $G$ の開集合}\}
$$
は $G/H$ の位相をなす。これを左剰余類空間 $G/H$ の商位相と言う。局所コンパクト群 $G$ とその閉部分群 $H$ に対し、左剰余類空間 $G/H$ には、特に断らない限り、この商位相が入っているものとする。

===命題3.4（左剰余類空間の商位相の基本性質）===
$G$ を局所コンパクト群、$H$ を $G$ の閉部分群、$G/H$ を左剰余類空間、$q\colon G\rightarrow G/H$ を商写像とする。
*$(1)$　$q\colon G\rightarrow G/H$ は連続かつ開写像（開集合を開集合に写す写像）である。また $G/H$ の任意の開集合 $V$ は $G$ のある開集合 $U$ に対し $V=q(U)$ と表せる。
*$(2)$　$G/H$ は局所コンパクトHausdorff空間である。また $G$ の第二可算性により $G/H$ は第二可算である。
*$(3)$　$G/H$ の任意のコンパクト集合 $C$ は $G$ のあるコンパクト集合 $K$ に対し $C=q(K)$ と表せる。
*$(4)$　$H$ が正規部分群であるとき $G/H$ は局所コンパクト群である。
{{begin|proof}}
*$(1)$　$q\colon G\rightarrow G/H$ が連続であることは $G/H$ の商位相の定義より自明である。$G$ の任意の開集合 $U$ に対し、
$$
q^{-1}(q(U))=UH=\bigcup_{x\in H}Ux
$$
は $G$ の開集合であるから $q(U)$ は $G/H$ の開集合である。よって $q$ は開写像である。今、$G/H$ の任意の開集合 $V$ を取る。商位相の定義より $U=q^{-1}(V)$ は $G$ の開集合であり、$q\colon G\rightarrow G/H$ は全射であるから、$V=q(q^{-1}(V))=q(U)$ である。
*$(2)$　$q(x)\neq q(y)$ とすると、$y^{-1}x\notin H$ であり、$H$ は $G$ の閉集合であるから、$G$ の群演算の連続性より単位元 $1\in G$ の開近傍 $U$ で、
$$
(yU)^{-1}(xU)\cap H=\emptyset\quad\quad(*)
$$
なるものが取れる。$(1)$ より $q(xU)$, $q(yU)$ はそれぞれ $q(x),q(y)\in G/H$ の開近傍であり、$(*)$ より $q(xU)\cap q(yU)=\emptyset$ であるから、$G/H$ はHausdorff空間である。$G$ の局所コンパクト性より任意の $x\in G$ に対し $x\in U\subset K$ なる $G$ の開集合 $U$ とコンパクト集合 $K$ が取れる。$(1)$ より $q(U)$ は $G/H$ の開集合、$q(K)$ は $G/H$ のコンパクト集合であり、$q(x)\in q(U)\subset q(K)$ である。よって $G/H$ の任意の元はコンパクトな近傍を持つので、$G/H$ は局所コンパクトHausdorff空間である。$(1)$ より $G$ の開集合の可算基 $\{U_n\}_{n\in \mathbb{N}}$ に対し、$\{q(U_n)\}_{n\in \mathbb{N}}$ は $G/H$ の開集合の可算基である。よって$G/H$ は第二可算である。
*$(3)$　任意のコンパクト集合 $C\subset G/H$ を取る。$(1)$ と $G$ の局所コンパクト性より閉包がコンパクトな有限個の開集合 $U_1,\ldots,U_n\subset G$ で、
$$
C\subset \bigcup_{j=1}^{n}q(U_j)\quad\quad(**)
$$
なるものが取れる。$(2)$ より $G/H$ はHausdorff空間であるから、コンパクト集合 $C$ は $G/H$ の閉集合であり、$\bigcup_{j=1}^{n}\overline{U_j}$ は $G$ のコンパクト集合であるから、
$$
K\colon =q^{-1}(C)\cap \bigcup_{j=1}^{n}\overline{U_j}
$$
は $G$ のコンパクト集合である。そして $(**)$ より $q(K)=C$ である。
*$(4)$ 任意の $x,y\in G$ を取る。$q(x)q(y)=q(xy)\in G/H$ の任意の開近傍は $(1)$ より $xy$ のある開近傍 $U\subset G$ に対し $q(U)$ と表せる。$G$ の乗法の連続性より $x,y\in G$ の開近傍 $U_1,U_2$ で　$U_1U_2\subset U$ なるものが取れて、$q(U_1)q(U_2)=q(U_1U_2)\subset q(U)$ であり、$q(U_1),q(U_2)\subset G/H$ はそれぞれ $q(x), q(y)\in G/H$ の開近傍であるから、$G/H$ の乗法は連続である。任意の $x\in G$ に対し $q(x)^{-1}=q(x^{-1})\in G/H$ の任意の開近傍は $(1)$ より $x^{-1}\in G$ のある開近傍 $U$ によって $q(U)$ と表せる。$U^{-1}$ は $x\in G$　の開近傍であるので、$(1)$ より $q(U^{-1})\subset G/H$ は $q(x)\in G/H$ の開近傍であり、$q(U^{-1})^{-1}=q(U)$ であるから $G/H$ の逆元を取る演算は連続である。
{{end|proof}}

===定義3.5（局所コンパクト群の局所コンパクトHausdorff空間への作用）===
$G$ を局所コンパクト群、$S$ を局所コンパクトHausdorff空間とする。
$$
G\times S\ni (x,s)\mapsto xs\in S\quad\quad(*)
$$
が $G$ の $S$ への作用であるとは次が成り立つことを言う。
*$(1)$　$(*)$ は連続である。
*$(2)$　任意の $s\in S$ に対し $1s=s$.
*$(3)$　任意の $x,y\in G$ と任意の $s\in S$ に対し $(xy)s=x(ys)$.
$(*)$ が $G$ の $S$ への作用であるとき、任意の $s\in S$ に対し、$G$ の閉部分群
$$
H_s\colon=\{x\in G:xs=s\}
$$
を $s$ における固定部分群と言う。

===定義3.6（局所コンパクト群の推移的作用と等質空間）===
$G$ を局所コンパクト群、$S$ を局所コンパクトHausdorff空間とする。$G$ の $S$ への作用
$$
G\times S\ni (x,s)\mapsto xs\in S
$$
が推移的であるとは、任意の $s,t\in S$ に対し、$t=xs$ なる $x\in G$ が存在することを言う。またこのとき $S$ を $G$ の等質空間と言う。

===定義3.7（群準同型写像の核）===
$G,H$ を群とし、$\varphi\colon G\rightarrow H$ を群準同型写像とする。
$$
{\rm Ker}(\varphi)=\{x\in G:\varphi(x)=1\}
$$
を $\varphi$ の核と言う。

===命題3.8（群準同型写像の核の基本性質）===
$G,H$ を群とし、$\varphi\colon G\rightarrow H$ を群準同型写像とする。このとき、
*$(1)$　$\varphi\colon G\rightarrow H$ が単射であることと ${\rm Ker}(\varphi)=\{1\}$ であることは同値である。
*$(2)$　${\rm Ker}(\varphi)$ は $G$ の正規部分群である。そして剰余類群 $G/{\rm Ker}(\varphi)$ を考えると、
$$
\widehat{\varphi}\colon G/{\rm Ker}(\varphi)\ni q(x)\mapsto\varphi(x)\in H
$$
はwell-definedな単射群準同型写像である。
{{begin|proof}}
*$(1)$　$\varphi(x_1)=\varphi(x_2)$ $\Leftrightarrow$ ${x_1}^{-1}x_2\in {\rm Ker}(\varphi)$ であることに注意すればよい。
*$(2)$　${\rm Ker}(\phi)$ は明らかに $G$ の部分群である。任意の $x\in G$ に対し $x^{-1}{\rm Ker}(\varphi)x\subset {\rm Ker}(\varphi)$ であるから ${\rm Ker}(\varphi)$ は $G$ の正規部分群である。$q(x_1)=q(x_2)$ ならば $x_1^{-1}x_2\in {\rm Ker}(\varphi)$ であるから $\varphi(x_1)=\varphi(x_2)$ である。よって $\widehat{\varphi}$ はwell-definedである。$\widehat{\varphi}$ は明らかに群準同型写像であり、${\rm Ker}(\widehat{\varphi})=\{1\}$ であるので、$\widehat{\varphi}$ は単射である。
{{end|proof}}

===例3.9（連続群準同型写像による作用）===
$G,H$ を局所コンパクト群、$\varphi\colon G\rightarrow H$ を連続群準同型写像とする。このとき、
$$
G\times H\ni (x,y)\mapsto \varphi(x)y\in H
$$
は $G$ の $H$ への作用である。この作用について $H$ の任意の点に関する固定部分群は ${\rm Ker}(\varphi)$ である。またこの作用が推移的であるための必要十分条件は $\varphi$ が全射であることである。

===例3.10（左剰余類空間への推移的作用）===
$G$ を局所コンパクト群、$H$ を $G$ の閉部分群とする。このとき'''命題3.4'''より、
$$
G\times G/H\ni (x,q(y))\mapsto q(xy)\in G/H
$$
は局所コンパクト群 $G$ の局所コンパクトHausdorff空間 $G/H$ への推移的作用である。

===定理3.11（Baireのカテゴリ定理（局所コンパクトHausdorff空間版））===
$X$ を局所コンパクトHausdorff空間、$(V_n)_{n\in \mathbb{N}}$ を $X$ の稠密な開集合の列とする。このとき $\bigcap_{n\in \mathbb{N}}V_n$ は $X$ で稠密である。
{{begin|proof}}
$A\colon=\bigcap_{n\in \mathbb{N}}V_n$ とおく。$\overline{A}=X$ を示すには、$X$ の任意の空でない開集合 $U_0$ を取り、
$$
U_0\cap A\neq\emptyset\quad\quad(*)
$$
が成り立つことを示せばよい。$\overline{V_1}=X$ であるから、$U_0\cap V_1\neq \emptyset$ であるので、[[測度と積分7：局所コンパクトHausdorff空間上のRadon測度]]の'''命題27.4'''より閉包がコンパクトな空でない開集合 $U_1$ で、
$$
\overline{U_1}\subset U_0\cap V_1
$$
を満たすものが取れる。$\overline{V_2}=X$ であるから、$U_1\cap V_2\neq \emptyset$ であるので、同様に[[測度と積分7：局所コンパクトHausdorff空間上のRadon測度]]の'''命題27.4'''より閉包がコンパクトな空でない開集合 $U_2$ で、
$$
\overline{U_2}\subset U_1\cap V_2
$$
を満たすものが取れる。同様の操作を続けていけば、閉包がコンパクトな空でない開集合の列 $(U_n)_{n\in \mathbb{N}}$ で、
$$
\overline{U_n}\subset U_{n-1}\cap V_n\quad(\forall n\in \mathbb{N})\quad\quad(**)
$$
を満たすものが構成できる。$(\overline{U_n})_{n\in \mathbb{N}}$ は空でないコンパクト集合の単調減少列であるから、
$$
\bigcap_{n\in \mathbb{N}}\overline{U_n}\neq\emptyset
$$
であり、$(**)$ より、
$$
\bigcap_{n\in \mathbb{N}}\overline{U_n}\subset U_0\cap \bigcap_{n\in \mathbb{N}}V_n=U_0\cap A
$$
であるから、$(*)$ が成り立つ。
{{end|proof}}

===系3.12===
$X$ を（空ではない）局所コンパクトHausdorff空間、$(F_n)_{n\in \mathbb{N}}$ を $X$ の閉集合の列とし、$X=\bigcup_{n\in \mathbb{N}}F_n$ であるとする。このときある $n\in \mathbb{N}$ に対し $F_n^{\circ}\neq\emptyset$ が成り立つ。
{{begin|proof}}
もし任意の $n\in \mathbb{N}$ に対し $F_n^{\circ}=\emptyset$ であるならば、
$$
\overline{X\backslash F_n}=X\backslash F_n^{\circ}=X\quad(\forall n\in \mathbb{N})
$$
であるから、'''定理3.11'''より $\bigcap_{n\in\mathbb{N}}(X\backslash F_n)$ は $X$ で稠密である。しかし仮定より、
$$
\bigcap_{n\in \mathbb{N}}(X\backslash F_n)=X\backslash \bigcup_{n\in \mathbb{N}}F_n=\emptyset
$$
であるので、$X$ が空ではないことに矛盾する。
{{end|proof}}

===定理3.13（等質空間は固定部分群に関する左剰余類空間）===
$G$ を局所コンパクト群、$S$ を局所コンパクトHausdorff空間とし、
$$
G\times S\ni (x,s)\mapsto xs\in S\quad\quad(*)
$$
を $G$ の $S$ への推移的作用とする。このとき任意の $s_0\in S$ に対し、
$$
G\ni x\mapsto xs_0\in S\quad\quad(**)
$$
は全射な開写像（開集合を開集合に写す写像）である。そして $s_0$ における固定部分群 $H_{s_0}=\{x\in G:xs_0=s_0\}$ に対し、左剰余類空間 $G/H_{s_0}$ と商写像 $q\colon G\rightarrow G/H_{s_0}$ を考えると、
$$
G/H_{s_0}\ni q(x)\mapsto xs_0\in S\quad\quad(***)
$$
は同相写像である。
{{begin|proof}}
$(**)$ が全射であることは $(*)$ が推移的作用であることによる。$(**)$ が開写像であることを示す。$G$ の任意の空でない開集合 $U$ を取り、$Us_0$ が $S$ の開集合であることを示せばよい。任意の $x_0\in U$ を取り、$1\in G$ のコンパクト対称近傍 $V$ で、$x_0VV\subset U$ なるものを取る。
$$
G\subset \bigcup_{y\in G}yV^{\circ}
$$
であり、$G$ は第二可算なのでLindelöfであるから、$G$ の列 $(y_n)_{n\in \mathbb{N}}$ で、
$$
G=\bigcup_{n\in \mathbb{N}}y_nV^{\circ}
$$
なるものが取れる。$(**)$ が全射であることから、
$$
S=\bigcup_{n\in \mathbb{N}}y_n(V^{\circ}s_0)=\bigcup_{n\in \mathbb{N}}y_n(Vs_0)
$$
であり、$V$ のコンパクト性より $Vs_0$ は $S$ のコンパクト集合、したがって閉集合であるから、'''系3.12'''より、
$$
(Vs_0)^{\circ}\neq\emptyset
$$
である。そこで $x_1\in V$ で、$x_1s_0\in (Vs_0)^{\circ}$ なるものを取れば、
$$
x_0s_0=x_0x_1^{-1}x_1s_0\in x_0x_1^{-1}(Vs_0)^{\circ}\subset x_0VVs_0\subset Us_0
$$
であり、$x_0x_1^{-1}(Vs_0)^{\circ}$ は $S$ の開集合であるので、$x_0s_0\in Us_0$ は $Us_0$ の内点である。よって $x_0\in U$ の任意性より $Us_0$ は $S$ の開集合である。ゆえに $(**)$ は開写像である。 
$q(x_1)=q(x_2)$ ならば、$x_1^{-1}x_2\in H_{s_0}$ であるから、
$$
x_1s_0=x_1(x_1^{-1}x_2)s_0=x_2s_0
$$
である。よって $(***)$ はwell-definedである。$(**)$ が全射であることから $(***)$ も全射である。そしてて $x_1s_0=x_2s_0$ ならば、$x_2^{-1}x_1s_0=s_0$ であるから、$x_2^{-1}x_1\in H_{s_0}$ であるので $q(x_1)=q(x_2)$ である。よって $(***)$ は全単射である。$(**)$ は連続な開写像であるから、'''命題3.4'''より $(***)$ は同相写像である。
{{end|proof}}

===注意3.14（第二可算局所コンパクト群の等質空間は第二可算）===
局所コンパクト群 $G$ の等質空間 $S$ は $G$ の第二可算性より第二可算である。実際、'''定理3.13'''より $S$ はある固定部分群による左剰余類空間と同相であり、'''命題3.4'''より左剰余類空間は、$G$ の第二可算性により第二可算である。

===系3.15===
$G,H$ を局所コンパクト群、$\varphi\colon G\rightarrow H$ を全射連続群準同型写像とする。このとき、
$$
G/{\rm Ker}(\varphi)\ni q(x)\mapsto \varphi(x)\in H\quad\quad(*)
$$
は同型同相写像である。
{{begin|proof}}
$(*)$ が群同型写像であることは $\varphi$ が全射であることと'''命題3.8'''の $(2)$ による。$G$ の $H$ への作用
$$
G\times H\ni (x,y)\mapsto \varphi(x)y\in H
$$
は $\varphi$ が全射であることから推移的である。そこでこの作用の $1\in H$ に関する固定部分群 ${\rm Ker}(\varphi)$ を考えて、'''定理3.13'''を適用すれば、$(*)$ が同相写像であることが言える。
{{end|proof}}

===定義3.16（等質空間上の関数の平行移動）===
$G$ を局所コンパクト群、$S$ を $G$ の等質空間とし、$f$ を $S$ 上の関数とする。任意の $x\in G$ に対し、$S$ 上の関数 $L_xf$ を、
$$
L_xf(s)\colon= f(x^{-1}s)\quad(\forall s\in S)
$$
として定義する。このとき任意の $x,y\in G$ に対し $L_xL_yf=L_{xy}f$ が成り立つ。

===命題3.17（等質空間における平行移動の一様連続性）===
$G$ を局所コンパクト群、$S$ を $G$ の等質空間とし、$f\in C_0(S)$ とする。このとき、任意の $\epsilon\in (0,\infty)$ に対し、単位元 $1\in G$ の対称開近傍 $V$ で、
$$
y^{-1}x\in V\quad\Rightarrow \quad \lvert L_yf(s)-L_xf(s)\rvert<\epsilon\quad(\forall s\in S)
$$
なるものが存在する。すなわち、
$$
G\ni x\mapsto L_xf\in C_0(S)
$$
は $\sup$ ノルムに関して連続である。
{{begin|proof}}
任意の $\epsilon\in (0,\infty)$ を取り固定する。$f\in C_0(S)$ は無限遠で消える連続関数であるから、$K\colon=(\lvert f\rvert\geq \frac{\epsilon}{2})$ はコンパクト集合である。$f$ は連続であるから、各 $s\in K$ に対し $1\in G$ の開近傍 $U_s$ で、
$$
\lvert f(t)-f(s)\rvert<\frac{\epsilon}{2}\quad(\forall t\in (U_s)s)
$$
なるものが取れる。各 $s\in K$ に対し $1\in G$ の対称開近傍 $V_s$ で、$V_sV_s\subset U_s$ なるものを取る。
$$
K\subset \bigcup_{s\in K}(V_s)s
$$
であり、'''定理3.13'''より各 $(V_s)s$ は $S$ の開集合であるから、$K$ のコンパクト性より有限個の $s_1,\ldots,s_n\in K$ が取れて、
$$
K\subset \bigcup_{j=1}^{n}(V_{s_j})s_j
$$
が成り立つ。$1\in G$ の対称開近傍
$$
V\colon=\bigcap_{j=1}^{n}V_{s_j}
$$
を考える。$y^{-1}x\in V$ を満たす任意の $x,y\in G$ と任意の $s\in S$ を取り、
$$
\lvert f(y^{-1}s)-f(x^{-1}s)\rvert<\epsilon
$$
が成り立つことを示せばよい。もし $x^{-1}s,y^{-1}s\notin K$ ならば、$K$ の定義より、
$$
\lvert f(y^{-1}s)-f(x^{-1}s)\rvert\leq \lvert f(y^{-1}s)\rvert+\lvert f(x^{-1}s)\rvert<\epsilon
$$
である。またもし $x^{-1}s\in K$ ならば、$x^{-1}s\in (V_{s_j})s_j$ なる $j\in \{1,\ldots,n\}$ が取れて、
$$
y^{-1}s=y^{-1}x(x^{-1}s)\in V(V_{s_j})s_j\subset (V_{s_j}V_{s_j})s_j\subset U_{s_j}s_j
$$
となる。よって $x^{-1}s,y^{-1}s\in (U_{s_j})s_j$ であるから、
$$
\lvert f(y^{-1}s)-f(x^{-1}s)\rvert\leq \lvert f(y^{-1}s)-f(s_j)\rvert+\lvert f(s_j)-f(x^{-1}s_j)\rvert<\epsilon
$$
である。$V$ の対称性より $y^{-1}x\in V$ は $x^{-1}y\in V$ を意味するので、$y^{-1}s\in K$ であるとしても同様にして上式が成り立つことが分かる。よって $x,y\in G$ が $y^{-1}x\in V$ を満たす限り、
$$
\lvert f(y^{-1}s)-f(x^{-1}s)\rvert<\epsilon\quad(\forall s\in S)
$$
が成り立つ。
{{end|proof}}

===定義3.18（等質空間上の不変測度）===
$G$ を局所コンパクト群、$S$ を $G$ の等質空間とする。$S$ 上のRadon測度 $\nu\colon \mathcal{B}_S\rightarrow [0,\infty]$ が、
$$
\nu(S)>0,\quad \nu(xB)=\nu(B)\quad(\forall x\in G,\forall B\in \mathcal{B}_S)
$$
を満たすとき、$\nu$ を $S$ 上の $G$-不変測度と言う。 
'''注意3.14'''より、$S$ は第二可算局所コンパクトHausdorff空間である。よって'''注意1.5'''で述べたように、$S$ 上のBorel測度がRadon測度であるための必要十分条件は、任意のコンパクト集合に対して有限測度を与えることである。

===命題3.19（等質空間上の不変測度による積分の不変性）===
$G$ を局所コンパクト群、$S$ を $G$ の等質空間、$\nu\colon \mathcal{B}_S\rightarrow [0,\infty]$ を $S$ 上の $G$-不変測度とする。このとき任意の非負値Borel関数 $f\colon S\rightarrow [0,\infty]$ に対し、
$$
\int_{S}L_xf(s)d\nu(s)=\int_{S}f(s)d\nu(s)\quad(\forall x\in G)
$$
が成り立つ。
{{begin|proof}}
非負値Borel関数の非負値Borel単関数の各点単調増加列による近似（[[測度と積分1：測度論の基礎用語]]の'''定理5.5'''）より、$f$ がある $B\in \mathcal{B}_S$ の指示関数である、すなわち $f=\chi_B$ である場合を示せば十分であるが、$G$-不変測度の定義より、
$$
\int_{S}L_x\chi_B(s)d\nu(s)=\int_{S}\chi_B(x^{-1}s)d\nu(s)=\int_{S}\chi_{xB}(s)d\nu(s)=\nu(xB)=\nu(B)=\int_{S}\chi_B(s)d\nu(s)
$$
である。
{{end|proof}}

===命題3.20（空でない開集合の不変測度）===
$G$ を局所コンパクト群、$S$ を $G$ の等質空間、$\nu\colon \mathcal{B}_S\rightarrow [0,\infty]$ を $S$ 上の $G$-不変測度とする。このとき任意の空でない開集合 $U\subset S$ に対し $\nu(U)>0$ が成り立つ。
{{begin|proof}}
$\nu(U)=0$ なる空でない開集合 $U\subset S$ が存在すると仮定して矛盾を導く。任意のコンパクト集合 $K\subset S$ に対し、$G$ の $S$ への作用が推移的であることから、
$$
K\subset \bigcup_{x\in G}xU
$$
が成り立つ。各 $xU$ は $S$ の開集合なので、有限個の $x_1,\ldots,x_n\in G$ で、
$$
K\subset \bigcup_{j=1}^{n}x_jU
$$
なるものが取れる。よって、
$$
\nu(K)\leq \sum_{j=1}^{n}\nu(x_jU)=\sum_{j=1}^{n}\nu(U)=0
$$
となるので、Radon測度の内部正則性（[[測度と積分7：局所コンパクトHausdorff空間上のRadon測度]]の'''定義29.3'''）より、
$$
\nu(S)=\sup\{\nu(K):\text{$K\subset S$ はコンパクト}\}=0
$$
となる。しかし不変測度の定義より $\nu(S)>0$ であるので矛盾する。
{{end|proof}}

===定理3.21（等質空間における平行移動の $L^p$ 連続性）===
$G$ を局所コンパクト群、$S$ を $G$ の等質空間、$\nu\colon \mathcal{B}_S\rightarrow [0,\infty]$ を $S$ 上の $G$-不変測度とする。このとき任意の $p\in [1,\infty)$ と任意の $[f]\in L^p(S,\nu)$ に対し、
$$
G\ni x\mapsto L_x[f]\colon=[L_xf]\in L^p(S,\nu)
$$
は連続である。
{{begin|proof}}
'''命題3.19'''より、
$$
\lVert L_x[f]\rVert_p=\lVert [f]\rVert_p\quad(\forall x\in G)
$$
である。また $\nu$ はRadon測度なので[[測度と積分7：局所コンパクトHausdorff空間上のRadon測度]]の'''命題32.1'''より $L^p(S,\nu)$ において $C_c(S)$ は稠密である。よって任意の $f\in C_c(S)$ に対し、
$$
G\ni x\mapsto L_xf\in L^p(S,\nu)\quad\quad(*)
$$
が $L^p$ ノルムで連続であることを示せば十分である。$L_{x_1}L_{x_2}f=L_{x_1x_2}f$ $(\forall x_1,x_2\in G)$ であるから、単位元 $1\in G$ における連続性を示せば十分である。$1\in G$ のコンパクト近傍 $V_0$ を取り固定する。任意の $\epsilon\in (0,\infty)$ に対し、'''命題3.17'''より $1\in G$ の近傍 $V\subset V_0$ で、
$$
x\in V\quad\Rightarrow\quad \lvert L_xf(s)-f(s)\rvert\leq\epsilon\quad(\forall s\in S)
$$
なるものが取れる。
$$
{\rm supp}(L_xf-f)\subset V{\rm supp}(f)\subset V_0{\rm supp}(f)\quad(\forall x\in V)
$$
であるから、
$$
\lvert L_xf(s)-f(s)\rvert\leq \epsilon\chi_{V_0{\rm supp}(f)}(s)\quad(\forall x\in V,\forall s\in S)
$$
であるので、任意の $x\in V$ に対し、
$$
\lVert L_xf-f\rVert_p=\left(\int_{S}\lvert L_xf(s)-f(s)\rvert^pd\nu(s)\right)^{\frac{1}{p}}\leq \epsilon\nu(V_0{\rm supp}(f))^{\frac{1}{p}}
$$
が成り立つ。$V_0{\rm supp}(f)$ はコンパクトであるから $\nu(V_0{\rm supp}(f))<\infty$ であり、$\epsilon$ は $f,V_0$ によらない任意の正実数なので、$(*)$ は $1\in G$ において $L^p$ ノルムで連続である。
{{end|proof}}

===補題3.22===
$G$ を局所コンパクト群、$S$ を $G$ の等質空間、$s\in S$ とする。そして $s$ における固定部分群 $H_s=\{x\in G:xs=s\}$ 上のHaar測度を $\mu_{H_s}\colon \mathcal{B}_{H_s}\rightarrow [0,\infty]$ とする。このとき任意の $f\in C_c(G)$ に対し、
$$
Pf(xs)\colon=\int_{H_s}f(xy)d\mu_{H_s}(y)\quad(\forall x\in G)
$$
とおくと、$Pf\colon S\rightarrow \mathbb{C}$ はwell-definedであり、$Pf\in C_c(S)$ である。そして、
$$
C_{c,+}(G)\ni f\mapsto Pf\in C_{c,+}(S)\quad\quad(*)
$$
は全射であり、
$$
C_{c,\mathbb{R}}(G)\ni f\mapsto Pf\in C_{c,\mathbb{R}}(S)\quad\quad(**)
$$
は全射実線形写像である。ただし $C_{c,+}(G), C_{c,+}(S)$ は台がコンパクトな非負値連続関数全体、$C_{c,\mathbb{R}}(G), C_{c,\mathbb{R}}(S)$ は台がコンパクトな実数値連続関数全体である。
{{begin|proof}}
$x_1s=x_2s$ ならば $x_1^{-1}x_2\in H_s$ であるから、Haar測度による積分の左不変性より、任意の $f\in C_c(G)$ に対し、
$$
\int_{H_s}f(x_1y)d\mu_{H_s}(y)=\int_{H_s}f(x_1x_2^{-1}x_2y)d\mu_{H_s}(y)=\int_{H_s}f(x_2y)d\mu_{H_s}(y)
$$
である。よって $Pf\colon S\rightarrow\mathbb{C}$ はwell-definedである。任意の $x_0\in G$ と $x_0$ のコンパクト近傍 $V$ に対し、$H_s\cap (V^{-1}{\rm supp}(f))$ はコンパクトだから $\mu_{H_s}(H_s\cap V^{-1}{\rm supp}(f))<\infty$ であり、任意の $x\in V$ に対し、
$$
\begin{aligned}
&\left\lvert \int_{H_s}f(xy)d\mu_{H_s}(y)-\int_{H_s}f(x_0y)d\mu_{H_s}(y)\right\rvert
\leq \int_{H_s}\lvert f(xy)-f(x_0y)\rvert d\mu_{H_s}(y)\\
&\leq \sup_{y\in H_s}\lvert f(xy)-f(x_0y)\rvert \mu_{H_s}(H_s\cap V^{-1}{\rm supp}(f))
\end{aligned}
$$
であるから、'''命題1.3'''より、
$$
G\ni x\mapsto \int_{H_s}f(xy)d\mu_{H_s}(y)\in \mathbb{C}
$$
は連続である。このことと $x\in G$ の任意の開近傍 $U$ に対し　$Us$ は $xs\in S$ の開近傍であること('''定理3.13''')から、$Pf\colon S\rightarrow\mathbb{C}$ は連続である。任意の $f\in C_c(G)$ に対し ${\rm supp}(f)s\subset S$ はコンパクトであるから、Urysohnの補題（[[測度と積分7：局所コンパクトHausdorff空間上のRadon測度]]の'''定理27.6'''）より ${\rm supp}(f)s$ 上で常に $1$ を取る $h\in C_{c,+}(S)$ が取れる。このとき、
$$
f(x)=h(xs)f(x)\quad(\forall x\in G)
$$
であるので、
$$
Pf(xs)=\int_{H_s}h(xys)f(xy)d\mu_{H_s}(y)=h(xs)\int_{H_s}f(xy)d\mu_{H_s}(y)=h(xs)Pf(xs)\quad(\forall x\in G),
$$
よって $Pf=hPf\in C_c(S)$ である。今、$(*)$ が全射であることを示す。任意の $\varphi\in C_{c,+}(S)$ を取る。コンパクト集合 ${\rm supp}(\varphi)\subset S$ に対し'''命題3.4'''の $(3)$ と'''定理3.13'''より、コンパクト集合 $K\subset G$ で、
$$
Ks={\rm supp}(\varphi)
$$
なるものが取れる。Urysohnの補題より $K$ 上で常に $1$ を取る $g\in C_{c,+}(G)$ が取れて、任意の $x\in K$ に対し、
$$
Pg(xs)=\int_{H_s}g(xy)d\mu_{H_s}(y)>0
$$
<ref>任意の $x\in K$ に対し、非負値連続関数 $H_s\ni y\mapsto g(xy)\in [0,\infty)$ は $1\in H_s$ において $1$ であるから、'''命題1.8'''より $\int_{H_s}g(xy)d\mu_{H_s}(y)>0$ である。</ref>であるので、
$$
{\rm supp}(\varphi)=Ks\subset (Pg>0)
$$
である。そこで $\psi\colon S\rightarrow [0,\infty)$ を、
$$
\psi(t)\colon=\begin{cases}\frac{\varphi(t)}{Pg(t)}\quad&(t\in (Pg>0))\\
0&(t\notin (Pg>0))\end{cases}
$$
と定義すれば、$\psi$ は開集合 $(Pg>0)$ 上で連続で、開集合 $S\backslash {\rm supp}(\varphi)$ 上で $0$ であり、
$$
S=(Pg>0)\cup (S\backslash {\rm supp}(\varphi))
$$
であるから、$\psi\colon S\rightarrow [0,\infty)$ は連続である。そこで、
$$
f(x)\colon=\psi(xs)g(x)\quad(\forall x\in G)
$$
とおけば、$f\in C_{c,+}(G)$ であり、
$$
Pf(xs)=\int_{H_s}\psi(xys)g(xy)d\mu_{H_s}(y)=\psi(xs)\int_{H_s}g(xy)d\mu_{H_s}(y)
=\psi(xs)Pg(xs)=\varphi(xs)\quad(\forall x\in G)
$$
である。よって $(*)$ は全射である。任意の $\varphi\in C_{c,\mathbb{R}}(S)$ に対し、
$$
\varphi_{\pm}={\rm max}(\pm \varphi,0)\in C_{c,+}(S),\quad \varphi=\varphi_+-\varphi_-
$$
であるから、$(**)$ も全射である。$(**)$ が実線形写像であることは自明である。
{{end|proof}}

===定理3.23（等質空間上の不変測度の存在条件と一意性）===
$G$ を局所コンパクト群、$\Delta_G\colon G\rightarrow (0,\infty)$ を $G$ のモジュラー関数（'''定義1.15'''）、$S$ を $G$ の等質空間とし、任意の $s\in S$ に対し $s$ における固定部分群 $H_s=\{x\in G:xs=s\}$ 上のモジュラー関数を $\Delta_{H_s}\colon H_s\rightarrow (0,\infty)$ とする。このとき次は互いに同値である。
*$(1)$　$S$ は $G$-不変測度を持つ。
*$(2)$　任意の $s\in S$ に対し $\Delta_{H_s}(x)=\Delta_G(x)$ $(\forall x\in H_s) $が成り立つ。
*$(3)$　ある $s\in S$ に対し $\Delta_{H_s}(x)=\Delta_G(x)$ $(\forall x\in H_s)$ が成り立つ。
また$S$が$G$-不変測度を持つならば、それは正数倍を除いて一意的である。すなわち、$\nu_1,\nu_2:{\cal B}_S\rightarrow [0,\infty]$ が共に $G$-不変測度ならば、ある正数$c$ が存在し、$\nu_2(B)=c\nu_1(B)$ $(\forall B\in {\cal B}_S)$ が成り立つ。
{{begin|proof}}
$(1)\Rightarrow(2)$ を示す。$S$が$G$-不変測度 $\nu\colon \mathcal{B}_S\rightarrow [0,\infty]$ を持つとする。任意の $s\in S$ を取り、$\mu_{H_s}\colon \mathcal{B}_{H_s}\rightarrow[0,\infty]$ を $H_s$ 上のHaar測度とし、'''補題3.22'''における非負値性を保存する全射線形写像
$$
C_c(G)\ni f\mapsto Pf\in C_c(S),\quad Pf(xs)=\int_{H_s}f(xy)d\mu_{H_s}(y)\quad(\forall f\in C_c(G),\forall x\in G)\quad\quad(*)
$$
を考えると、
$$
\begin{aligned}
PL_zf(xs)&=\int_{H_s}L_zf(xy)d\mu_{H_s}(y)=\int_{H_s}f(z^{-1}xy)d\mu_{H_s}(y)\\
&=Pf(z^{-1}xs)=L_zPf(xs)\quad(\forall f\in C_c(G),\forall x,z\in G)
\end{aligned}
$$
であるから、
$$
PL_zf=L_zPf\quad(\forall f\in C_c(G),\forall z\in G)
$$
であるので、$G$-不変測度による積分の不変性より、
$$
\int_{S}PL_zf(t)d\nu(t)=\int_{S}L_zPf(t)d\nu(t)=\int_{S}Pf(t)d\nu(t)\quad(\forall f\in C_c(G))
$$
である。よってRiesz-Markov-角谷の表現定理（[[測度と積分7：局所コンパクトHausdorff空間上のRadon測度]]の'''定理30.4'''）により、Radon汎関数
$$
C_{c,\mathbb{R}}(G)\ni f\mapsto \int_{S}Pf(t)d\nu(t)\in \mathbb{R}
$$
に対応する $G$ のRadon測度 $\mu\colon \mathcal{B}_G\rightarrow [0,\infty]$ を考えると、$\mu$は、
$$
\begin{aligned}
\int_{G}f(x)d\mu(x)&=\int_{S}Pf(t)d\nu(t)=\int_{S}PL_zf(t)d\nu(t)\\
&=\int_{G}L_zf(x)d\mu(x)\quad(\forall f\in C_c(G),\forall z\in G)
\end{aligned}
$$
を満たすから、$\mu$ は $G$ のHaar測度である<ref>[[測度と積分7：局所コンパクトHausdorff空間上のRadon測度]]の'''命題29.4'''の $(2)$ とRadon測度の外部正則性による。</ref>。任意の $z\in H_s$ に対し、モジュラー関数の基本性質（'''命題1.16'''の $(1)$）より、
$$
\begin{aligned}
\Delta_G(z)\int_{G}f(x)d\mu(x)&=\int_{G}R_{z^{-1}}f(x)d\mu(x)=\int_{S}PR_{z^{-1}}f(t)d\nu(t)\\
&=\int_{S}\int_{H_s}R_{z^{-1}}f(xy)d\mu_{H_s}(y)d\nu(xs)
=\int_{S}\int_{H_s}f(xyz^{-1})d\mu_{H_s}(y)d\nu(xs)\\
&=\int_{S}\Delta_{H_s}(z)\int_{H_s}f(xy)d\mu_{H_s}(y)d\nu(xs)=\Delta_{H_s}(z)\int_{S}Pf(t)d\nu(t)\\
&=\Delta_{H_s}(z)\int_{G}f(x)d\mu(x)\quad(\forall f\in C_c(G))
\end{aligned}
$$
であるから $\Delta_G(z)=\Delta_{H_s}(z)$ である。よって $(2)$ が成り立つ。 
$(2)\Rightarrow(3)$ は自明である。$(3)\Rightarrow(1)$ を示す。$(3)$ が成り立つとし、非負性を保存する全射線形写像 $(*)$ を考える。$\mu\colon \mathcal{B}_G\rightarrow [0,\infty]$ を $G$ のHaar測度とする。今、
$$
Pf=0\quad\Rightarrow\quad \int_{G}f(x)d\mu(x)=0\quad\quad(**)
$$
が成り立つことを示す。そこで $Pf=0$ なる $f\in C_c(G)$ を取る。モジュラー関数の基本性質（'''命題1.16'''の $(3)$）より、
$$
\begin{aligned}
0&=Pf(xs)=\int_{H_s}f(xy)d\mu_{H_s}(y)=\int_{H_s}\Delta_{H_s}(y^{-1})f(xy^{-1})d\mu_{H_s}(y)\\
&=\int_{H_s}\Delta_G(y^{-1})f(xy^{-1})d\mu_{H_s}(y)\quad(\forall x\in G)\quad\quad(***)
\end{aligned}
$$
である。${\rm supp}(f)s\subset S$ のコンパクト性とUrysohnの補題（[[測度と積分7：局所コンパクトHausdorff空間上のRadon測度]]の'''定理27.6'''）、$(*)$ の全射性より、$g\in C_c(G)$ で、
$$
Pg(xs)=1\quad(\forall x\in {\rm supp}(f))
$$
なるものが取れる。よって $(***)$ とFubiniの定理、モジュラー関数の基本性質（'''命題1.16'''の $(1),(3)$）より、
$$
\begin{aligned}
0&=\int_{G}g(x)\int_{H_s}\Delta_{G}(y^{-1})f(xy^{-1})d\mu_{H_s}(y)d\mu(x)\\
&=\int_{H_s}\int_{G}\Delta_G(y^{-1})g(x)f(xy^{-1})d\mu(x)d\mu_{H_s}(y)\\
&=\int_{H_s}\int_{G}g(xy)f(x)d\mu(x)d\mu_{H_s}(y)\\
&=\int_{S}Pg(xs)f(x)d\mu(x)=\int_{G}f(x)d\mu(x)
\end{aligned}
$$
であるから $(**)$ が成り立つ。$(**)$ と、$(*)$ が非負性を保存する全射線形写像であることから、
$$
C_{c,\mathbb{R}}(S)\ni Pf\mapsto \int_{G}f(x)d\mu(x)\in \mathbb{R}
$$
はwell-definedなRadon汎関数である。よってRiesz-Markov-角谷の表現定理（[[測度と積分7：局所コンパクトHausdorff空間上のRadon測度]]の'''定理30.4'''）より、$S$ のRadon測度 $\nu\colon \mathcal{B}_S\rightarrow [0,\infty]$ で、
$$
\int_{S}Pf(t)d\nu(t)=\int_{G}f(x)d\mu(x)\quad(\forall Pf\in C_c(S))
$$
なるものが定まり、
$$
\begin{aligned}
&\int_{S}L_zPf(t)d\nu(t)=\int_{S}PL_zf(t)d\nu(t)=\int_{G}L_zf(x)d\mu(x)\\
&=\int_{G}f(x)d\mu(x)=\int_{S}Pf(t)d\nu(t)\quad(\forall Pf\in C_c(S),\forall z\in G)
\end{aligned}
$$
であるから、$\nu$ は $G$-不変測度である。よって $(1)$ が成り立つ。 
$\nu_1,\nu_2\colon \mathcal{B}_S\rightarrow [0,\infty]$ を $S$ の $G$-不変測度とする。任意の $s\in S$ を取り全射線形写像 $(*)$ を考えれば、$(1)\Rightarrow(2)$ で示したように、$G$ のHaar測度 $\mu_1,\mu_2\colon \mathcal{B}_G\rightarrow [0,\infty]$ で、
$$
\int_{S}Pf(t)d\nu_k(t)=\int_{G}f(x)d\mu_k(x)\quad(\forall f\in C_c(G),k=1,2)
$$
を満たすものが取れる。'''定理1.14'''よりある正数 $c$ に対し、
$$
\mu_2(B)=c\mu_1(B)\quad(\forall B\in \mathcal{B}_G)
$$
が成り立つから、
$$
\int_{S}Pf(t)d\nu_2(t)=\int_{G}f(x)d\mu_2(x)=c\int_{G}f(x)d\mu_1(x)=c\int_{S}Pf(t)d\nu(t)\quad(\forall Pf\in C_c(S))
$$
である。よって、
$$
\nu_2(B)=c\nu_1(B)\quad(\forall B\in\mathcal{B}_S)
$$
が成り立つ。ゆえに $S$ の $G$-不変測度は正数倍を除いて一意的である。
{{end|proof}}

===系3.24（局所コンパクト可換群、離散群、コンパクト群の等質空間における不変測度の存在と一意性）===
$G$ を局所コンパクト可換群、離散群、コンパクト群のいずれかとすると、$G$ の等質空間は $G$-不変測度を持ち、それは正数倍を除いて一意的である。
{{begin|proof}}
$G$ を局所コンパクト可換群（resp. 離散群、コンパクト群）とすると、$G$ の任意の閉部分群も局所コンパクト可換群（resp. 離散群、コンパクト群）である。そして局所コンパクト可換群（resp. 離散群、コンパクト群）はユニモジュラーである（'''命題1.18'''）から、'''定理3.23'''の条件 $(2)$ を満たす。
{{end|proof}}

===定義3.25（局所コンパクト群の等質空間の $L^2$ 空間上への正則表現）===
$G$ を局所コンパクト群、$S$ を $G$ の等質空間、$\nu\colon \mathcal{B}_S\rightarrow [0,\infty]$ を $G$-不変測度とする。任意の $x\in G$ に対し、
$$
\pi(x)\colon L^2(S,\nu)\rightarrow L^2(S,\nu),\quad \pi(x)[f]\colon=L_x[f]=[L_xf]\quad(\forall [f]\in L^2(S,\nu))
$$
とおくと、不変測度による積分の不変性より、$\pi(x)$ はHilbert空間 $L^2(S,\nu)$ 上のユニタリ作用素である。そして'''定理3.21'''より、
$$
G\ni x\mapsto \pi(x)\in \mathbb{U}(L^2(S,\nu))
$$
はSOT連続な群準同型写像である。よって $\pi$ は $G$ のHilbert空間 $L^2(S,\nu)$ 上へのユニタリ表現である。これを $G$ の $L^2(S,\nu)$ 上への正則表現と言う。

==4. コンパクト群のユニタリ表現、Peter-Weylの定理==

===定義4.1（確率測度）===
$(X,\frak{M},\mu)$ を測度空間とする。$\mu(X)=1$ であるとき、$\mu$ を $(X.\frak{M})$ 上の確率測度と言う。

===定義4.2（コンパクト群のHaar測度）===
$G$ をコンパクト群とする。$G$ はHaar測度 $\mu$ を持ち（'''定理1.13'''）、それは正数倍を除いて一意的である（'''定理1.14'''）。またHaar測度はRadon測度であるので、$G$ のコンパクト性より、$G$ のHaar測度は有限測度である。よって $G$ のHaar測度で確率測度であるものが唯一つ存在する。以後、特に断らない限り、コンパクト群のHaar測度と言えば、確率測度であることとする。

===定義4.3===
$G$ をコンパクト群、$\mu\colon \mathcal{B}_G\rightarrow [0,1]$ をHaar測度とする。$G$ のユニタリ表現 $\pi_1,\pi_2$ と任意の $v_1\in \mathcal{H}_{\pi_1}$, $v_2\in \mathcal{H}_{\pi_2}$ に対し、Schatten形式（[[Hilbert空間上の作用素論]]の'''定義13.5'''）により、Banach空間値連続関数
$$
G\ni x\mapsto \pi_1(x)v_1\odot \pi_2(x)v_2\in \mathbb{B}(\mathcal{H}_{\pi_2},\mathcal{H}_{\pi_1})
$$
を考える。そしてBochner積分（[[測度と積分9：Bochner積分]]の'''定義44.1'''）により、
$$
T^{\pi_1,\pi_2}_{v_1,v_2}\colon=\int_{G}(\pi_1(x)v_1\odot \pi_2(x)v_2)d\mu(x)\in \mathbb{B}(\mathcal{H}_{\pi_2},\mathcal{H}_{\pi_1})
$$
を定義する。このときBochner積分の基本性質（[[測度と積分9：Bochner積分]]の'''命題44.2'''）とSchatten形式の基本性質（[[Hilbert空間上の作用素論]]の'''命題13.6'''）、およびHaar測度による積分の左不変性より、
$$
\begin{aligned}
T^{\pi_1,\pi_2}_{v_1,v_2}\pi_2(y)&=\int_{G}(\pi_1(x)v_1\odot \pi_2(x)v_2)\pi_2(y)d\mu(x)=\int_{G}(\pi_1(x)v_1\odot \pi_2(y)^*\pi_2(x)v_2)d\mu(x)\\
&=\int_{G}(\pi_1(x)v_1\odot \pi_2(y^{-1}x)v_2)d\mu(x)=\int_{G}(\pi_1(yx)v_1\odot \pi_2(x)v_2)d\mu(x)\\
&=\int_{G}\pi_1(y)(\pi_1(x)v_1\odot \pi_2(x)v_2)d\mu(x)=\pi_1(y)T^{\pi_1,\pi_2}_{v_1,v_2}\quad(\forall y\in G)
\end{aligned}
$$
であるから、
$$
T^{\pi_1,\pi_2}_{v_1,v_2}\in \mathcal{C}(\pi_2,\pi_1)\quad\quad(*)
$$
（'''定義2.7'''）が成り立つ。また $G$ の任意のユニタリ表現 $\pi$ と任意の $u,v\in \mathcal{H}_{\pi}$ に対し、
$$
T^{\pi}_{u,v}\colon=T^{\pi,\pi}_{u,v}=\int_{G}(\pi(x)u\odot \pi(x)v)d\mu(x)\in \mathbb{B}(\mathcal{H}_{\pi})
$$
と定義する。[[Hilbert空間上の作用素論]]の'''命題16.15'''より、
$$
G\ni x\mapsto \pi(x)u\odot \pi(x)v\in \mathbb{B}^1(\mathcal{H}_{\pi})
$$
はBanach空間 $\mathbb{B}^1(\mathcal{H}_{\pi})$（$\mathcal{H}_{\pi}$ 上のトレースクラス）値連続関数であるから、
$$
T^{\pi}_{u,v}=\int_{G}(\pi(x)u\odot \pi(x)v)d\mu(x)\in \mathbb{B}^1(\mathcal{H}_{\pi})
$$
であり、トレース ${\rm Tr}\colon \mathbb{B}^1(\mathcal{H}_{\pi})\rightarrow\mathbb{C}$ は有界線形汎関数であるから、Bochner積分の基本性質（[[測度と積分9：Bochner積分]]の'''命題44.2'''）と[[Hilbert空間上の作用素論]]の'''命題16.15'''より、
$$
{\rm Tr}(T^{pi}_{u,v})=\int_{G}{\rm Tr}(\pi(x)u\odot \pi(x)v)d\mu(x)
=\int_{G}(\pi(x)v\mid \pi(x)u)d\mu(x)=\int_{G}(v\mid u)d\mu(x)=(v\mid u)\quad\quad(**)
$$
である。

===定理4.4（コンパクト群の既約なユニタリ表現は有限次元）===
コンパクト群の既約なユニタリ表現は有限次元である。
{{begin|proof}}
$\pi$ が $G$ の既約なユニタリ表現であるとする。任意の $v\in \mathcal{H}_{\pi}\backslash \{0\}$ に対し、'''定義4.3'''における $T^{\pi}_{v,v}\in \mathbb{B}^1(\mathcal{H}_{\pi})$ を考えると、'''定義4.3'''の $(*)$ より、$T^{\pi}_{v,v}\in \mathcal{C}(\pi)$ であるから、Schurの補題（'''定理2.10'''）より、$T^{\pi}_{v,v}=\alpha 1$ なる $\alpha\in \mathbb{C}$ が存在する。'''定義4.3'''の $(**)$ より、
$$
0<\lVert v\rVert^2={\rm Tr}(T^{\pi}_{v,v})={\rm Tr}(\alpha 1)=\alpha {\rm Tr}(1)
$$
であるから、${\rm Tr}(1)<\infty$ である。ゆえに $\mathcal{H}_{\pi}$ は有限次元である。
{{end|proof}}

===定義4.5（完全可約）===
$G$ を局所コンパクト群とする。$G$ のユニタリ表現 $\pi\colon G\rightarrow \mathbb{U}(\mathcal{H}_{\pi})$ が完全可約であるとは、$\pi$ の既約な部分表現（'''定義2.3'''）の族 $(\pi_j)_{j\in J}$ が存在して、$\pi=\oplus_{j\in J}\pi_j$ が成り立つこと、すなわち、各 $\pi_j$ の表現空間を $\mathcal{H}_{\pi_j}\subset \mathcal{H}_{\pi}$ とおくとき、$\mathcal{H}_{\pi}$ が $\mathcal{H}_{\pi}=\bigoplus_{j\in J}\mathcal{H}_{\pi_j}$ と直交分解されることを言う。

===定理4.6（コンパクト群のユニタリ表現は完全可約）===
コンパクト群の任意のユニタリ表現は完全可約である。
{{begin|proof}}
$G$ をコンパクト群、$\mu\colon \mathcal{B}_G\rightarrow [0,1]$ を $G$ のHaar測度とする。
まず、$G$ の任意のユニタリ表現 $\pi$ が既約な部分表現を持つことを示す。任意の $v\in \mathcal{H}_{\pi}\backslash \{0\}$ に対し、'''定義4.3'''における $T^{\pi}_{v,v}\in \mathbb{B}^1(\mathcal{H}_{\pi})$ を考えると、
$$
(u\mid T^{\pi}_{v,v}u)=\int_{G}(u\mid (\pi(x)v\odot \pi(x)v)u)d\mu(x)
=\int_{G}\lvert (u\mid \pi(x)v)\rvert^2d\mu(x)\geq0\quad(\forall u\in \mathcal{H}_{\pi})
$$
であるから $T^{\pi}_{v,v}\in \mathbb{B}^1(\mathcal{H}_{\pi})$ は有界非負自己共役作用素である（[[Hilbert空間上の作用素論]]の'''命題1.4'''）。また $G\ni x\mapsto \lvert (v\mid \pi(x)v)\rvert^2\in [0,\infty)$ は連続関数で、$\lvert (v\mid \pi(1)v)\rvert^2=\lVert v\rVert^4>0$ であるから、'''命題1.8'''より、
$$
(v\mid T^{\pi}_{v,v}v)=\int_{G}\lvert (v\mid \pi(x)v)\rvert^2d\mu(x)>0
$$
である。よって $T^{\pi}_{v,v}\in \mathbb{B}^1(\mathcal{H}_{\pi})$ は $0$ ではない有界非負自己共役作用素であるので $T^{\pi}_{v,v}$ のスペクトル $\sigma(T^{\pi}_{v,v})$ は $0$ ではない元 $\lambda$ を持つ。$T^{\pi}_{v,v}\in \mathbb{B}^1(\mathcal{H}_{\pi})$ はコンパクト作用素である（[[Hilbert空間上の作用素論]]の'''命題16.7'''）から、$\lambda$ は $T^{\pi}_{v,v}$ の固有値であり、${\rm Ker}(\lambda-T^{\pi}_{v,v})$ は有限次元である（[[Hilbert空間上の作用素論]]の'''定理13.7'''）。また'''定義4.3'''の $(*)$ より $T^{\pi}_{v,v}\in \mathcal{C}(\pi)$ であるから、$\mathcal{K}={\rm Ker}(\lambda-T^{\pi}_{v,v})$ は $\pi$ 不変である。よって $\pi$ の部分表現 $\pi|_{\mathcal{K}}\colon G\rightarrow \mathbb{U}(\mathcal{K})$ は $G$ の有限次元ユニタリ表現である。有限次元ユニタリ表現は明らかに既約な部分表現を持つので、$\pi$ は既約な部分表現を持つ。 
次に $G$ の任意のユニタリ表現 $\pi$ が完全可約であることを示す。Zornの補題より、$\pi$ の既約な部分表現の表現空間からなる直交族で、集合の包含関係による順序に関して極大なもの $\{\mathcal{K}_j\}_{j\in J}$ が取れることが分かる。そこで、
$$
\mathcal{K}\colon=\bigoplus_{j\in J}\mathcal{K}_j\subset \mathcal{H}_{\pi}
$$
とおく。$\mathcal{K}\neq \mathcal{H}_{\pi}$ であると仮定する。$\mathcal{K}$ は $\pi$ 不変であるから、$\mathcal{K}^{\perp}\neq\{0\}$ も $\pi$ 不変である。よって $\pi$ の部分表現 $\pi|_{\mathcal{K}^{\perp}}\colon G\rightarrow\mathbb{U}(\mathcal{K}^{\perp})$ を考えることができ、上段より、$\pi|_{\mathcal{K}^{\perp}}$ は既約な部分表現を持つ。したがって $\pi$ の既約な部分表現で、その表現空間が $\mathcal{K}^{\perp}$ に含まれるものが存在する。しかしこれは $\{\mathcal{K}_j\}_{j\in J}$ の極大性に反する。ゆえに $\mathcal{K}=\mathcal{H}_{\pi}$ であるから、$\pi$ は完全可約である。
{{end|proof}}

===定義4.7（コンパクト群 $G$ の双対空間 $\widehat{G}$）===
$G$ をコンパクト群とする。$G$ の既約なユニタリ表現 $\pi$ に対し、ユニタリ同値（'''定義2.9'''）に関する $\pi$ の同値類を $[\pi]$ と表す<ref>既約なユニタリ表現と同値なユニタリ表現は既約であることに注意する。</ref>。そしてその同値類全体を、
$$
\widehat{G}\colon=\{[\pi]:\text{$\pi$ は $G$ の既約なユニタリ表現}\}
$$
とおく。$\widehat{G}$ を $G$ の双対空間と言う。

===定義4.8（コンパクト群のユニタリ表現 $\rho$ の $[\pi]$ 成分 $\mathcal{H}_{\rho}([\pi])$）===
$G$ をコンパクト群、$\rho\colon G\rightarrow \mathbb{U}(\mathcal{H}_{\rho})$ を $G$ のユニタリ表現とする。任意の $[\pi]\in \widehat{G}$ に対し、$\rho$ 不変な閉部分空間
$$
\mathcal{H}_{\rho}([\pi])\colon=\overline{{\rm span}\bigcup_{[\rho|_{\mathcal{K}}]=[\pi]}\mathcal{K}}\subset \mathcal{H}_{\rho}
$$
（右辺は $\pi$ と同値な $\rho$ の部分表現の表現空間全体の合併が張る線形空間の閉包）を定義する。ただし $\rho$ の部分表現で $\pi$ と同値なものがない場合は $\mathcal{H}_{\rho}([\pi])\colon=\{0\}$ とする。$\mathcal{H}_{\rho}([\pi])$ を $\mathcal{H}_{\rho}$ の $[\pi]$ 成分と言う。

===命題4.9（コンパクト群のユニタリ表現の $[\pi]$ 成分の基本性質）===
$G$ をコンパクト群、$\rho\colon G\rightarrow \mathbb{U}(\mathcal{H}_{\rho})$ を $G$ のユニタリ表現とする。このとき、
*$(1)$　$\mathcal{H}_{\rho}([\pi])\neq \{0\}$ なる任意の $[\pi]\in \widehat{G}$ に対し、$\rho$ の既約な部分表現でその表現空間が $\mathcal{H}_{\rho}([\pi])$ に含まれるものは全て $\pi$ と同値である。
*$(2)$　$[\pi_1]\neq[\pi_2]$ ならば $\mathcal{H}_{\rho}([\pi_1])\perp \mathcal{H}_{\rho}([\pi_2])$ が成り立つ。
*$(3)$　$\mathcal{H}_{\rho}=\bigoplus_{[\pi]\in \widehat{G}}\mathcal{H}_{\rho}([\pi])$ が成り立つ。
{{begin|proof}}
*$(1)$　$\rho$ の既約な部分表現 $\rho|_{\mathcal{L}}\colon G\rightarrow\mathbb{U}(\mathcal{L})$ で $\mathcal{L}\subset \mathcal{H}_{\rho}$ を満たすものを取る。$\mathcal{L}\neq \{0\}$ であるから、$[\rho|_{\mathcal{K}}]=[\pi]$ なる $\mathcal{K}$ で $\mathcal{L}$ と $\mathcal{K}$ が直交しないようなものが取れる。その $\mathcal{K}$ に対し $P\in \mathbb{B}(\mathcal{H}_{\rho})$ を $\mathcal{K}$ の上への射影作用素とし、$T\colon \mathcal{L}\rightarrow\mathcal{K}$ を $Tv=Pv$ $(\forall v\in \mathcal{L})$ と定義すると、$T\neq 0$ である（なぜなら $T=0$ ならば $P(\mathcal{L})=0$ であり、$\mathcal{L}$ と $\mathcal{K}$ は直交することになる）。今、任意の $u\in \mathcal{L}$, $v\in \mathcal{K}$ に対し、
$$
\begin{aligned}
&(v\mid T\rho|_{\mathcal{L}}(x)u)=(v\mid P\rho(x)u)=(Pv\mid \rho(x)u)=(v\mid \rho(x)u)=(\rho(x^{-1})v\mid u)\\
&=(P\rho(x^{-1})v\mid u)=(v\mid\rho(x)Pu)=(v\mid \rho|_{\mathcal{K}}(x)Tu)\quad(\forall x\in G)\quad\quad(*)
\end{aligned}
$$
であるから、$T\in \mathcal{C}(\rho|_{\mathcal{L}},\rho|_{\mathcal{K}})$ である。よって $T\neq 0$ であることとSchurの補題（'''系2.11'''）より $\rho|_{\mathcal{L}}$ と $\rho|_{\mathcal{K}}$ はユニタリ同値である。ゆえに $\rho|_{\mathcal{L}}$ と $\pi$ はユニタリ同値である。
*$(2)$　$[\pi_1]\neq [\pi_2]$ であるとし、$[\rho|_{\mathcal{L}}]=[\pi_1]$, $[\rho|_{\mathcal{K}}]=[\pi_2]$ とする。$P\in \mathbb{B}(\mathcal{H}_{\rho})$ を $\mathcal{K}$ の上への射影作用素とし、$T\colon\mathcal{L}\rightarrow\mathcal{K}$ を $Tv=Pv$ $(\forall v\in \mathcal{L})$ と定義すると、$(*)$ が成り立つので、$T\in \mathcal{C}(\rho|_{\mathcal{L}},\rho|_{\mathcal{K}})$ である。$[\rho|_{\mathcal{L}}]=[\pi_1]\neq [\pi_2]=[\rho|_{\mathcal{K}}]$ であるから、Schurの補題（'''系2.11'''）より $T=0$ である。よって $P(\mathcal{L})=0$ であるので、$\mathcal{L}$ と $\mathcal{K}$ は互いに直交する。ゆえに $\mathcal{H}_{\rho}([\pi_1])\perp \mathcal{H}_{\rho}([\pi_2])$ が成り立つ。
*$(3)$　$\rho$ が完全可約である（'''定理4.6'''）ことと $(2)$ による。
{{end|proof}}

===定義4.10（コンパクト群のユニタリ表現における既約表現の重複度）===
$G$ をコンパクト群、$\rho\colon G\rightarrow\mathbb{U}(\mathcal{H}_{\rho})$ を $G$ のユニタリ表現とする。$[\pi]\in \widehat{G}$ に対し $\mathcal{H}_{\rho}$ の $[\pi]$ 成分が $\mathcal{H}_{\rho}([\pi])\neq \{0\}$ であるとき、$\rho$ の $\mathcal{H}_{\rho}([\pi])$ への制限は、'''定理4.6'''と'''命題4.9'''の $(1)$ より、$\pi$ と同値な既約な部分表現の直和に分解できる。そしてそれらの既約な部分表現の次元は ${\rm dim}(\pi)<\infty$（'''定理4.4'''）である。そこで $\rho$ における $[\pi]$ の重複度を、
$$
\frac{{\rm dim}(\mathcal{H}_{\rho}([\pi]))}{{\rm dim}(\pi)}\in \mathbb{N}\cup\{\infty\}
$$
と定義する。$\mathcal{H}_{\rho}([\pi])=0$ の場合は $\rho$ における $[\pi]$ の重複度は $0$ と定義する。

===定義4.11（コンパクト群の有限次元ユニタリ表現の行列成分）===
$G$ をコンパクト群、$\pi$ を $G$ の有限次元ユニタリ表現とする。任意の $u,v\in \mathcal{H}_{\pi}$ に対し、
$$
\pi_{u,v}\colon G\ni x\mapsto (u\mid \pi(x)v)\in \mathbb{C}
$$
なる連続関数を $\pi$ の行列成分と言う。$\pi$ の行列成分が張る $C(G)$ の部分空間を、
$$
\mathcal{E}(\pi)\colon={\rm span}\{\pi_{u,v}:u,v\in \mathcal{H}_{\pi}\}\}\subset C(G)
$$
と表す。もし $G$ のユニタリ表現 $\pi$ と $\rho$ がユニタリ同値ならば、あるユニタリ作用素 $U\colon \mathcal{H}_{\pi}\rightarrow \mathcal{H}_{\rho}$ に対し $U\pi(x)=U\rho(x)$ $(\forall x\in G)$ となるから、任意の $u,v\in \mathcal{H}_{\pi}$ に対し、
$$
\pi_{u,v}(x)=(u\mid \pi(x)v)=(Uu\mid U\pi(x)v)=(Uu\mid \rho(x)Uv)=\rho_{Uu,Uv}(x)\quad(\forall x\in G)
$$
となる。よって $\mathcal{E}(\pi)=\mathcal{E}(\rho)$ である。そこで任意の $[\pi]\in \widehat{G}$ に対し $\mathcal{E}([\pi])=\mathcal{E}(\pi)$ と表す。

===定理4.12（Peter-Weylの定理1）===
$G$ をコンパクト群とする。このとき、
$$
\mathcal{E}\colon={\rm span}\bigcup_{[\pi]\in \widehat{G}}\mathcal{E}([\pi])
$$
は（$\sup$ ノルムと各点ごとの演算による）単位的可換 $C^*$-環 $C(G)$ の稠密な部分 $*$-環である。
{{begin|proof}}
$G$ の既約なユニタリ表現は有限次元であり（'''定理4.4'''）、有限次元ユニタリ表現は有限個の既約なユニタリ表現の直和であるから、
$$
\mathcal{E}={\rm span}\{\pi_{u,v}:\text{$\pi$ は既約、$u,v\in \mathcal{H}_{\pi}$}\}={\rm span}\{\pi_{u,v}:\text{$\pi$ は有限次元、$u,v\in \mathcal{H}_{\pi}$}\}
$$
である。また任意の $u,v\in \mathcal{H}_{\pi}$ に対し、
$$
(u\mid \pi(x)v)=\frac{1}{4}\sum_{k=0}^{3}i^k(i^ku+v\mid \pi(x)(i^ku+v))\quad(\forall x\in G)
$$
であるから、
$$
\mathcal{E}={\rm span}\{\pi_{v,v}:\text{$\pi$ は既約、$v\in \mathcal{H}_{\pi}$}\}
={\rm span}\{\pi_{v,v}:\text{$\pi$ は有限次元、$v\in \mathcal{H}_{\pi}$}\}
$$
である。任意の既約なユニタリ表現 $\pi,\rho$ と $u\in \mathcal{H}_{\pi}$, $v\in \mathcal{H}_{\rho}$ に対し、
$$
\pi_{u,u}(x)\rho_{v,v}(x)=(u\mid \pi(x)u)(v\mid \rho(x)v)=(u\otimes v\mid (\pi\otimes \rho)(x)(u\otimes v))=(\pi\otimes \rho)_{u\otimes v,u\otimes v}(x)\quad(\forall x\in G)
$$
であり、$\pi\otimes \rho$ は有限次元であるから、$\pi_{u,u}\rho_{v,v}=(\pi\otimes \rho)_{u\otimes v,u\otimes v}\in \mathcal{E}$ である。よって $\mathcal{E}$ は乗法で閉じている。任意の既約なユニタリ表現 $\pi$ と任意の単位ベクトル $v\in \mathcal{H}_{\pi}$ に対し $v$ は $\pi$ の巡回ベクトルである（'''注意2.6'''）から、'''定理2.37'''より $\pi_{v,v}\in {\rm ext}(\mathcal{P}_1(G))$ であり、'''命題2.28'''より $\overline{\pi_{v,v}}\in {\rm ext}(\mathcal{P}_1(G))$ である。そこで $\overline{\pi_{v,v}}$ のGNS表現 $(\rho,u)$ を取ると、$\rho_{u,u}=\overline{\pi_{v,v}}\in {\rm ext}(\mathcal{P}_1(G))$ であるから'''定理2.37'''より $\rho$ は既約であるので、$\overline{\pi_{v,v}}=\rho_{u,u}\in \mathcal{E}$ である。よって $\mathcal{E}$ は対合演算で閉じている。これより $\mathcal{E}$ は $C(G)$ の部分 $*$-環である。$1$ 次元Hilbert空間上への単位表現（単位表現とは任意の $x\in G$ に対し恒等作用素を与えるユニタリ表現である）は既約であるから $1\in \mathcal{E}$ である。そして$x\neq y$ なる任意の$x,y\in G$に対し、Gelfand-Raikovの定理('''定理2.41''')より、$p\in {\cal E}$で $p(x)\neq p(y)$ なるものが存在する。よってStone-Weierstrassの定理（[[測度と積分7：局所コンパクトHausdorff空間上のRadon測度]]の'''定理35.4'''）より $\mathcal{E}$ は $C(G)$ の稠密な部分 $*$-環である。
{{end|proof}}

===定理4.13（Peter-Weylの定理2）===
$G$ をコンパクト群、$\mu\colon \mathcal{B}_G\rightarrow [0,1]$ を $G$ のHaar測度とする。このとき、
$$
[\pi_1],[\pi_2]\in \widehat{G},\quad [\pi_1]\neq[\pi_2]\quad\Rightarrow\quad \mathcal{E}([\pi_1])\perp \mathcal{E}([\pi_2])\quad(\text{in $L^2(G,\mu)$})\quad\quad(*),
$$
$$
L^2(G,\mu)=\bigoplus_{[\pi]\in \widehat{G}}\mathcal{E}([\pi])\quad\quad(**)
$$
が成り立つ。また任意の $[\pi]\in \widehat{G}$ と $\mathcal{H}_{\pi}$ のCONS $(e_1,\ldots,e_{\dim(\pi)})$ に対し、
$$
\pi_{i,j}\colon=\pi_{e_i,e_j}\quad(\forall i,j\in \{1,\ldots,\dim(\pi)\})
$$
とおくと、$\{\sqrt{\dim(\pi)}\pi_{i,j}\}_{i,j=1,\ldots,\dim(\pi)}$ は $\mathcal{E}([\pi])\subset L^2(G,\mu)$ のCONSである。
{{begin|proof}}
$[\pi_1],[\pi_2]\in \widehat{G}$ が $[\pi_1]\neq [\pi_2]$ であるとする。任意の $u_1\in \mathcal{H}_{\pi_1}$, $u_2\in \mathcal{H}_{\pi_2}$ に対し、'''定義4.3'''における $T^{\pi_1,\pi_2}_{u_1,u_2}\in \mathcal{C}(\pi_2,\pi_1)$ を考えれば、Schurの補題（'''系2.11'''）より、$T^{\pi_1,\pi_2}_{u_1,u_2}=0$ であるから、任意の $v_1\in \mathcal{H}_{\pi_1}$, $v_2\in \mathcal{H}_{\pi_2}$ に対し、
$$
0=(v_1\mid T^{\pi_1,\pi_2}_{u_1,u_2}v_2)=\int_{G}(v_1\mid(\pi_1(x)u_1\odot \pi_2(x)u_2)v_2)d\mu(x)=\int_{G}(v_1\mid \pi_1(x)u_1)\overline{(v_2\mid \pi_2(x)u_2)}d\mu(x)
$$
である。よって $\mathcal{E}([\pi_1])\perp \mathcal{E}([\pi_2])$ であるから $(*)$ が成り立つ。[[測度と積分7：局所コンパクトHausdorff空間上のRadon測度]]の'''命題32.1'''より、$L^2(G,\mu)$ において $C(G)$ は稠密であるから、'''定理4.12'''より $L^2(G,\mu)$ において ${\rm span}\bigcup_{[\pi]\in \widehat{G}}\mathcal{E}([\pi])$ は稠密である。このことと $(*)$ より $(**)$ が成り立つ。 
任意の $[\pi]\in \widehat{G}$ を取り、$\mathcal{H}_{\pi}$ のCONS $(e_1,\ldots,e_{\dim(\pi)})$ を取る。明らかに、
$$
\mathcal{E}([\pi])={\rm span}\{\pi_{i,j}:i,j\in \{1,\ldots,\dim(\pi)\}\}
$$
である。任意の $j,j'\in\{1,\ldots,\dim(\pi)\}$ に対し、'''定義4.3'''における $T^{\pi}_{e_j,e_{j'}}\in \mathcal{C}(\pi)$ を考えると、Schurの補題（'''定理2.10'''）より、$T^{\pi}_{e_j,e_{j'}}=\alpha_{j,j'}1$ なる $\alpha_{j,j'}\in \mathbb{C}$ が取れて、
$$
\alpha_{j,j'}\dim(\pi)={\rm Tr}(T^{\pi}_{e_j,e_{j'}})=(e_{j'}\mid e_j)=\delta_{j,j'}
$$
となる。よって任意の $i,j,i',j'\in \{1,\ldots,\dim(\pi)\}$ に対し、
$$
(\pi_{i,j}\mid \pi_{i',j'})_2=\int_{G}(e_i\mid \pi(x)e_j)\overline{(e_{i'}\mid \pi(x)e_{j'})}d\mu(x)=(e_i\mid T^{\pi}_{e_j,e_{j'}}e_{i'})=\alpha_{j,j'}\delta_{i,i'}=\delta_{i,i'}\delta_{j,j'}\frac{1}{\dim(\pi)}
$$
となる。これより $\{\sqrt{\dim(\pi)}\pi_{i,j}\}_{i,j=1,\ldots,\dim(\pi)}$ は $\mathcal{E}([\pi])\subset L^2(G,\mu)$ のCONSである。
{{end|proof}}

===定義4.14（コンパクト群上の類関数）===
$G$ をコンパクト群とする。$G$ 上の関数 $f$ で、$f(xy)=f(yx)$ $(\forall x,y\in G)$ を満たすものを $G$ 上の類関数と言う。連続な類関数全体を、
$$
ZC(G)\colon=\{f\in C(G):f(xy)=f(yx) \text{ }(\forall x,y\in G)\}
$$
とおく。また $L^2$ 類関数全体を、
$$
ZL^2(G,\mu)\colon=\{[f]\in L^2(G,\mu):L_y[f]=R_{y^{-1}}[f]\text{ }(\forall y\in G)\}
$$
とおく。

===定義4.15（コンパクト群の指標）===
$G$ をコンパクト群とする。$G$ の既約なユニタリ表現 $\pi_1,\pi_2$（'''定理4.4'''より有限次元）がユニタリ同値ならば、
$$
{\rm Tr}(\pi_1(x))={\rm Tr}(\pi_2(x))\quad(\forall x\in G)
$$
であるから、任意の $[\pi]\in \widehat{G}$ に対し、
$$
\gamma_{[\pi]}\colon G\ni x\mapsto {\rm Tr}(\pi(x))\in \mathbb{C}
$$
なる連続関数が定義できる。$\gamma_{[\pi]}$ を $[\pi]\in \widehat{G}$ に対する $G$ の指標と言う。

===命題4.16（コンパクト群の指標の基本性質）===
$G$ をコンパクト群、$\mu\colon \mathcal{B}_G\rightarrow [0,1]$ を $G$ のHaar測度とする。このとき、
*$(1)$　任意の $[\pi]\in \widehat{G}$ に対し $\gamma_{[\pi]}\in ZC(G)$ が成り立つ。
*$(2)$　$[\pi_1],[\pi_2]\in \widehat{G}$ が $[\pi_1]\neq [\pi_2]$ ならば、Hilbert空間 $L^2(G,\mu)$ において $\gamma_{[\pi_1]},\gamma_{[\pi_2]}$ は直交する。また任意の $[\pi]\in \widehat{G}$ に対し $\gamma_{[\pi]}$ はHilbert空間 $L^2(G,\mu)$ の単位ベクトルである。
*$(3)$　任意の $[\pi]\in \widehat{G}$ に対し有限次元部分空間 $\mathcal{E}([\pi])\subset L^2(G,\mu)$ の上への射影作用素を $P_{[\pi]}\in \mathbb{B}(L^2(G,\mu))$ とおくと、
$$
P_{[\pi]}([f])=\dim(\pi)[f]*\gamma_{[\pi]}\quad(\forall [f]\in L^2(G,\mu))
$$
が成り立つ。
*$(4)$　任意の $[\pi]\in \widehat{G}$ と $(3)$ における射影作用素 $P_{[\pi]}\in \mathbb{B}(L^2(G,\mu))$ に対し、
$$
P_{[\pi]}([f])=(\gamma_{[\pi]}\mid [f])_2\gamma_{[\pi]}\quad(\forall [f]\in ZL^2(G,\mu))
$$
が成り立つ。
{{begin|proof}}
*$(1)$　指標の定義とトレースの性質（[[Hilbert空間上の作用素論]]の'''命題16.9'''）より、
$$
\gamma_{[\pi]}(xy)={\rm Tr}(\pi(xy))={\rm Tr}(\pi(x)\pi(y))={\rm Tr}(\pi(y)\pi(x))={\rm Tr}(\pi(yx))=\gamma_{[\pi]}(yx)\quad(\forall x,y\in G)
$$
であるから $\gamma_{[\pi]}\in ZC(G)$ である。
*$(2)$　$[\pi_1],[\pi_2]\in \widehat{G}$ が $[\pi_1]\neq [\pi_2]$ であるならば、Peter-Weylの定理2（'''定理4.13'''）より $\mathcal{E}([\pi_1])\perp \mathcal{E}([\pi_2])$ であり、$\gamma_{[\pi_1]}\in \mathcal{E}([\pi_1])$, $\gamma_{[\pi_2]}\in \mathcal{E}([\pi_2])$ であるから $\gamma_{[\pi_1]}$ と $\gamma_{[\pi_2]}$ は直交する。また任意の $[\pi]\in \widehat{G}$ と $\mathcal{H}_{\pi}$ のCONS $(e_1,\ldots,e_{\dim(\pi)})$ に対し、$\pi$ の行列成分
$$
\pi_{i,j}\colon G\ni x\mapsto (e_i\mid \pi(x)e_j)\in \mathbb{C}\quad(\forall i,j\in \{1,\ldots,\dim(\pi)\})\quad\quad(*)
$$
を考えると、Peter-Weylの定理2（'''定理4.13'''）より、$(\sqrt{\dim(\pi)}\pi_{i,j})_{i,j=1,\ldots,\dim(\pi)}$ は $\mathcal{E}([\pi])\subset L^2(G,\mu)$ のCONSであるから、
$$
(\gamma_{[\pi]}\mid \gamma_{[\pi]})_2=\sum_{i,j=1}^{\dim(\pi)}(\pi_{i,i}\mid \pi_{j,j})_2
=\frac{1}{\dim(\pi)}\sum_{i,j=1}^{\dim(\pi)}(\sqrt{\dim(\pi)}\pi_{i,i}\mid \sqrt{\dim(\pi)}\pi_{j,j})_2=1
$$
である。
*$(3)$　$(*)$ に対しPeter-Weylの定理2（'''定理4.13'''）より、$(\sqrt{\dim(\pi)}\pi_{i,j})_{i,j=1,\ldots,\dim(\pi)}$ は $\mathcal{E}([\pi])\subset L^2(G,\mu)$ のCONSであるから、Schatten形式（[[Hilbert空間上の作用素論]]の'''定義13.5'''）$L^2(G,\mu)\times L^2(G,\mu)\ni ([f],[g])\mapsto [f]\odot [g]\in \mathbb{B}(L^2(G,\mu))$ に対し、[[Hilbert空間上の作用素論]]の'''命題13.7'''の $(2)$ より、
$$
P_{[\pi]}={\rm dim}(\pi)\sum_{i,j=1}^{\dim(\pi)}\pi_{i,j}\odot \pi_{i,j}
$$
が成り立つ。よって任意の $[f]\in L^2(G,\mu)$ に対し、
$$
\begin{aligned}
P_{[\pi]}([f])(x)&=\dim(\pi)\sum_{i,j=1}^{\dim(\pi)}(\pi_{i,j}\mid [f])_2\pi_{i,j}(x)\\
&=\dim(\pi)\sum_{i,j=1}^{\dim(\pi)}\int_{G}f(y)(\pi(y)e_j\mid e_i)(e_i\mid \pi(x)e_j)d\mu(y)\\
&=\dim(\pi)\sum_{j=1}^{\dim(\pi)}\int_{G}f(y)(\pi(y)e_j\mid \pi(x)e_j)d\mu(y)\\
&=\dim(\pi)\int_{G}f(y)\sum_{j=1}^{\dim(\pi)}(e_j\mid \pi(y^{-1}x)e_j)d\mu(y)\\
&=\dim(\pi)\int_{G}f(y)\gamma_{[\pi]}(y^{-1}x)d\mu(y)\\
&=\dim(\pi)([f]*\gamma_{[\pi]})(x)\quad(\forall x\in G)
\end{aligned}
$$
となる。
*$(4)$　任意の $[\pi]\in \widehat{G}$ に対し $\mathcal{H}_{\pi}$ は有限次元であるから $G\ni x\mapsto \pi(x)\in \mathbb{B}(\mathcal{H}_{\pi})$ は作用素ノルムで連続である。よって任意の $[f]\in ZL^2(G,\mu)\subset L^2(G,\mu)\subset L^1(G,\mu)$ に対し、Bochner積分
$$
\int_{G}f(y)\pi(y^{-1})d\mu(y)\in \mathbb{B}(\mathcal{H}_{\pi})
$$
が定義できる。$G$ はコンパクト群なのでユニモジュラーである（'''命題1.18'''）から、$\mu$ は右Haar測度でもある。このこととBochner積分の性質（[[測度と積分9：Bochner積分]]の'''命題44.2'''）と $f$ が類関数であることから、
$$
\begin{aligned}
&\left(\int_{G}f(y)\pi(y^{-1})d\mu(y)\right)\pi(x)=\int_{G}f(y)\pi(y^{-1})\pi(x)d\mu(y)
=\int_{G}f(y)\pi(y^{-1}x)d\mu(y)\\
&=\int_{G}f(xy)\pi(y^{-1})d\mu(y)=\int_{G}f(yx)\pi(y^{-1})d\mu(y)=\int_{G}f(y)\pi(xy^{-1})d\mu(y)\\
&=\int_{G}f(y)\pi(x)\pi(y^{-1})d\mu(y)=\pi(x)\left(\int_{G}f(y)\pi(y^{-1})d\mu(y)\right)\quad(\forall x\in G)
\end{aligned}
$$
となるので、
$$
\int_{G}f(y)\pi(y^{-1})d\mu(y)\in \mathcal{C}(\pi)
$$
が成り立つ。よってSchurの補題（'''定理2.10'''）よりある $\alpha\in \mathbb{C}$ に対し、
$$
\int_{G}f(y)\pi(y^{-1})d\mu(y)=\alpha1\quad\quad(*)
$$
となる。$(*)$ のトレースを取れば、
$$
\begin{aligned}
&\alpha \dim(\pi)={\rm Tr}(\alpha1)={\rm Tr}\left(\int_{G}f(y)\pi(y^{-1})d\mu(y)\right)
=\int_{G}f(y){\rm Tr}(\pi(y^{-1}))d\mu(y)\\
&=\sum_{j=1}^{\dim(\pi)}\int_{G}f(y)(e_j\mid \pi(y^{-1})e_j)d\mu(y)
=\int_{G}f(y)\overline{\gamma_{[\pi]}(y)}d\mu(y)=(\gamma_{[\pi]}\mid [f])_2\quad\quad(**)
\end{aligned}
$$
となり、一方、$(3)$ と $(*)$ より、
$$
\begin{aligned}
P_{[\pi]}([f])(x)&=\dim(\pi)([f]*\gamma_{[\pi]})(x)=\dim(\pi)\sum_{j=1}^{\dim(\pi)}\int_{G}f(y)(e_j\mid \pi(y^{-1}x)e_j)d\mu(y)\\
&=\dim(\pi)\sum_{j=1}^{\dim(\pi)}\left(e_j\mid \left(\int_{G}f(y)\pi(y^{-1})d\mu(y)\right)\pi(x)e_j\right)\\
&=\alpha \dim(\pi)\gamma_{[\pi]}(x)\quad(\forall x\in G)\quad\quad(***)
\end{aligned}
$$
となる。よって $(**),(***)$ より、
$$
P_{[\pi]}([f])=(\gamma_{[\pi]}\mid [f])_2\gamma_{[\pi]}
$$
が成り立つ。
{{end|proof}}

===定理4.17（Peter-Weylの定理3）===
$G$ をコンパクト群、$\mu\colon \mathcal{B}_G\rightarrow [0,1]$ をHaar測度とする。このとき $G$ の指標全体 $\{\gamma_{[\pi]}\}_{[\pi]\in \widehat{G}}$ は $L^2$ 類関数空間 $ZL^2(G,\mu)$ のCONSである。
{{begin|proof}}
'''命題4.16'''の $(1),(2)$ より $\{\gamma_{[\pi]}\}_{[\pi]\in \widehat{G}}$ は $ZL^2(G,\mu)$ のONSである。任意の $[\pi]\in \widehat{G}$ に対し $\mathcal{E}([\pi])\subset L^2(G,\mu)$（'''定義4.11'''）の上への射影作用素を $P_{[\pi]}\in \mathbb{B}(L^2(G,\mu))$ とおくと、Peter-Weylの定理2（'''定理4.13'''）より、
$$
[f]=\sum_{[\pi]\in \widehat{G}}P_{[\pi]}([f])\quad(\forall [f]\in L^2(G,\mu))
$$
が成り立つから、'''命題4.16'''の $(4)$ より、
$$
[f]=\sum_{[\pi]\in \widehat{G}}P_{[\pi]}([f])=\sum_{[\pi]\in \widehat{G}}(\gamma_{[\pi]}\mid [f])_2\gamma_{[\pi]}\quad(\forall [f]\in ZL^2(G,\mu))
$$
が成り立つ。よって $\{\gamma_{[\pi]}\}_{[\pi]\in \widehat{G}}$ は $ZL^2(G,\mu)$ のCONSである。
{{end|proof}}

===系4.18===
$G$ をコンパクト群、$\mu\colon \mathcal{B}_G\rightarrow [0,1]$ をHaar測度とする。このとき $ZL^2(G,\mu)$ において $ZC(G)$ は稠密である。
{{begin|proof}}
'''定理4.17'''より $\{\gamma_{[\pi]}\}_{[\pi]\in \widehat{G}}$ は $ZL^2(G,\mu)$ のCONSであるから、${\rm span}\{\gamma_{[\pi]}\}_{[\pi]\in \widehat{G}}$ は $ZL^2(G,\mu)$ において稠密である。${\rm span}\{\gamma_{[\pi]}\}_{[\pi]\in \widehat{G}}\subset ZC(G)$ であるから、$ZL^2(G,\mu)$ において $ZC(G)$ は稠密である。
{{end|proof}}

===定義4.19（単位表現）===
$G$ を局所コンパクト群、$\pi$ を $G$ のユニタリ表現とする。$\pi(x)=1$ $(\forall x\in G)$ のとき $\pi$ を $G$ の単位表現と言う。

===定理4.20（コンパクト群の等質空間の $L^2$ 空間上への正則表現に関するPeter-Weylの定理）===
$G$ をコンパクト群、$\mu\colon \mathcal{B}_G\rightarrow [0,1]$ を $G$ のHaar測度、$S$ を $G$ の等質空間、$\nu\colon \mathcal{B}_S\rightarrow [0,\infty]$ を $G$-不変測度、$\rho\colon G\rightarrow \mathbb{U}(L^2(S,\nu))$ を正則表現（'''定義3.35'''）とする。任意の $s\in S$ を取り $s$ における固定部分群 $H_s=\{x\in G:xs=s\}$ を考える。そして $G$ の既約なユニタリ表現 $\pi$ に対し、
$$
\mathcal{H}_{\pi,s}\colon=\{v\in \mathcal{H}_{\pi}:\pi(x)v=v\text{ }(\forall x\in H_s)\},\quad \dim(\pi)'\colon=\dim(\mathcal{H}_{\pi,s})
$$
のCONSを $(e_1,\ldots,e_{\dim(\pi)'})$ とおき、これを延長して $\mathcal{H}_{\pi}$ のCONS $(e_1,\ldots,e_{\dim(\pi)'},\ldots,e_{\dim(\pi)})$ を構成し、これに関する行列成分を $\pi_{i,j}(x)=(e_i\mid \pi(x)e_j)$ $(\forall x\in G, \forall i,j\in \{1,\ldots,\dim(\pi)\})$ とする。そして任意の $j\in \{1,\ldots,\dim(\pi)'\}$, 任意の $v\in \mathcal{H}_{\pi}$ に対し、
$$
T^{\pi}_jv\in C(S),\quad T^{\pi}_jv(xs)\colon=(\pi(x)e_j\mid v)\quad(\forall xs\in S)
$$
とおき<ref> $T^{\pi}_jv$ がwell-definedであることは $\mathcal{H}_{\pi,s}$ の定義により、連続性は $\mathcal{H}_{\pi,s}$ の定義により、連続性は'''定理3.13'''による。</ref>、線形作用素
$$
T^{\pi}_j\colon \mathcal{H}_{\pi}\ni v\mapsto T^{\pi}_jv\in C(S)\subset L^2(S,\nu)
$$
を定義する。このとき、
$$
T^{\pi}_j\in C(\pi,\rho)\quad(j=1,\ldots,\dim(\pi)')
$$
であり、$\rho$ の $[\pi]$ 成分（'''定義4.8'''）は直交和
$$
{\rm Ran}(T^{\pi}_1)\oplus \cdots \oplus {\rm Ran}(T^{\pi}_{\dim(\pi)'})
$$
で表され、$\rho$ における $[\pi]$ の重複度（'''定義4.10'''）は $\dim(\pi)'=\dim(\mathcal{H}_{\pi,s})$ である。
{{begin|proof}}
$\mu_{H_s}\colon \mathcal{B}_{H_s}\rightarrow [0,1]$ を $H_s$ のHaar測度とし、'''補題3.22'''における非負性を保存する全射線形写像
$$
P\colon C(G)\rightarrow C(S),\quad Pf(xs)=\int_{H_s}f(xy)d\mu_{H_s}(y)
$$
を考える。$\mu_{H_s}(H_s)=1$ なので、$P$ は $\sup$ ノルムに関して有界である。'''定理3.23'''の証明より（必要ならば $\nu$ を正数倍して）、
$$
\int_{S}Pf(t)d\nu(t)=\int_{G}f(x)d\mu(x)\quad(\forall f\in C(G))\quad\quad(*)
$$
が成り立つ。
$$
H_s\ni x\mapsto \pi(x)\in \mathbb{U}(\mathcal{H}_{\pi})\quad\quad(**)
$$
はコンパクト群 $H_s$ のユニタリ表現であり、$(**)$ の $\mathcal{H}_{\pi,s}\subset \mathcal{H}_{\pi}$ 上への制限は単位表現である。そして $\mathcal{H}_{\pi,s}^{\perp}={\rm span}\{e_{\dim(\pi)'+1},\ldots,e_{\dim(\pi)}\}\subset \mathcal{H}_{\pi}$ は $(**)$ の不変空間であり、$(**)$ の $\mathcal{H}_{\pi,s}^{\perp}$ への制限によって得られる $H_s$ のユニタリ表現は、$\mathcal{H}_{\pi,s}$ の定義より単位表現を部分表現として持たない。よって、$1$ 次元Hilbert空間への単位表現が既約であることに注意してPeter-Weylの定理（'''定理4.13'''）より、
$$
P\pi_{i,j}(xs)=\int_{H_s}(\pi(x^{-1})e_i\mid \pi(y)e_j)d\mu_{H_s}(y)=0\quad(\forall x\in G, \forall j\in \{\dim(\pi)'+1,\ldots,\dim(\pi)\})
$$
が成り立つ。また、
$$
P\pi_{i,j}(xs)=\int_{H_s}(e_i\mid \pi(x)\pi(y)e_j)d\mu_{H_s}(y)=\pi_{i,j}(x)=\overline{T^{\pi}_je_i(xs)}\quad(\forall x\in G, \forall j\in \{1,\ldots,\dim(\pi)'\})
$$
が成り立つ。よって $(*)$ とPeter-Weylの定理（'''定理4.12'''、'''定理4.13'''）より、
$$
C(S)=P(C(G))\subset \bigoplus_{[\pi]\in \widehat{G}}\left(\bigoplus_{j=1}^{\dim(\pi)'}{\rm Ran}(T^{\pi}_j)\right)\subset L^2(S,\nu)
$$
が成り立ち、$C(S)$ は $L^2(S,\nu)$ において稠密である（[[測度と積分7：局所コンパクトHausdorff空間上のRadon測度]]の'''命題32.1'''）から、
$$
L^2(S,\nu)=\bigoplus_{[\pi]\in \widehat{G}}\left(\bigoplus_{j=1}^{\dim(\pi)'}{\rm Ran}(T^{\pi}_j)\right)\quad\quad(***)
$$
が成り立つ。
$$
\rho(y)T^{\pi}_jv(xs)=(\pi(y^{-1}x)e_j\mid v)=(\pi(x)e_j\mid \pi(y)v)
=T^{\pi}_j\pi(y)v(xs)\quad(\forall y\in G,\forall v\in \mathcal{H}_{\pi},\forall xs\in S)
$$
であるから、$T^{\pi}_j\in \mathcal{C}(\pi,\rho|_{{\rm Ran}(T^{\pi}_j)})$ である。そして $T^{\pi}_je_j\neq 0$ より $T^{\pi}_j\neq 0$ であり、Schurの補題（'''定理2.10'''）より $\mathcal{C}(\pi)=\mathbb{C}1$ であるから、$T^{\pi}_j\colon \mathcal{H}_{\pi}\rightarrow {\rm Ran}(T^{\pi}_j)$ は有限次元Hilbert空間の間のユニタリ作用素のスカラー倍である。よって $\pi$ と $\rho|_{{\rm Ran}(T^{\pi}_j)}$ はユニタリ同値である。ゆえに $\rho$ における $[\pi]$ 成分を $\mathcal{K}([\pi])$ とおけば、
$$
\bigoplus_{j=1}^{\dim(\pi)'}{\rm Ran}(T^{\pi}_j)\subset \mathcal{K}([\pi])\quad\quad(****)
$$
が成り立つ。ここで'''命題4.9'''の $(3)$ より、
$$
L^2(S,\nu)=\bigoplus_{[\pi]\in \widehat{G}}\mathcal{K}([\pi])\quad\quad(*****)
$$
であるから、$(***), (****), (*****)$ より、
$$
\mathcal{K}([\pi])=\bigoplus_{j=1}^{\dim(\pi)'}{\rm Ran}(T^{\pi}_j)
$$
が従う。$\pi$ と $\rho|_{{\rm Ran}(T^{\pi}_j)}$ はユニタリ同値なので、$\rho$ における $[\pi]$ の重複度は $\dim(\pi)'$ である。
{{end|proof}}

==5. 局所コンパクト可換群におけるFourier変換、SNAGの定理、Bochnerの定理==
===命題5.1（局所コンパクト可換群の既約なユニタリ表現は $1$ 次元）===
$G$ を局所コンパクト可換群、$\pi$ を $G$ のユニタリ表現とする。このとき次は互いに同値である。
*$(1)$　$\pi$ は既約である。
*$(2)$　$\pi$ は $1$ 次元である。
{{begin|proof}}
$(2)\Rightarrow (1)$ は自明である。$(1)\Rightarrow(2)$ を示す。$\pi$ が既約であるとすると、Schurの補題（'''定理2.10'''）より $\mathcal{C}(\pi)=\mathbb{C}1$ であり、$G$ は可換であるから、任意の $x\in G$ に対し $\pi(x)\in \mathcal{C}(\pi)=\mathbb{C}1$ である。そして $\pi$ は既約であるから'''注意2.6'''より任意の $v\in \mathcal{H}_{\pi}\backslash \{0\}$ に対し $v$ は $\pi$ の巡回ベクトルである。よって $\mathcal{H}_{\pi}=\overline{{\rm span}(\pi(G)v)}=\mathbb{C}v$ であるから $\dim(\pi)=\dim(\mathcal{H}_{\pi})=1$ である。
{{end|proof}}

===定義5.2（局所コンパクト可換群の指標群）===
$G$ を局所コンパクト可換群とし、コンパクト可換乗法群 $\mathbb{T}\colon=\{z\in \mathbb{C}: \lvert z\rvert=1\}$ を考える。$\gamma\colon G\rightarrow \mathbb{T}$ が連続群準同型写像であるとき $\gamma$ を $G$ の指標と言う。この指標の定義はコンパクト群の指標の定義（'''定義4.15'''）と矛盾しない。実際、'''命題5.1'''より $G$ の任意の既約なユニタリ表現は $1$ 次元であるので、$G$の既約なユニタリ表現のトレースは $G\rightarrow \mathbb{T}$ の連続群準同型写像である。局所コンパクト可換群 $G$ の指標全体を $\widehat{G}$ と表す。$\widehat{G}$ は各点ごとの乗法により可換な乗法群をなす。また'''Gelfand-Raikovの定理'''（'''定理2.41'''）より $\widehat{G}$ は $G$ を分離する。(すなわち $x,y\in G$ が $x\neq y$ ならば $\gamma(x)\neq \gamma(y)$ なる $\gamma\in \widehat{G}$ が存在する。）$\widehat{G}$ を $G$ の指標群と言う。次の'''定理5.3'''で見るように $\widehat{G}$ はコンパクト一様収束位相（'''定義2.38'''）により局所コンパクト可換群である。
 
 
$G$ を局所コンパクト可換群、$\mu\colon \mathcal{B}_G\rightarrow [0,\infty]$ を $G$ のHaar測度とする。このとき $L^1$ 群環 $L^1(G,\mu)$ は'''命題1.31'''より可換Banach環であり、したがって群 $C^*$-環 $C^*(G,\mu)$（'''定義2.20'''）は可換 $C^*$-環である。

===定理5.3（局所コンパクト可換群の指標の性質）===
$G$ を局所コンパクト可換群、$\mu\colon \mathcal{B}_G\rightarrow [0,\infty]$ を $G$ のHaar測度、$\mathcal{P}_1(G)$ を $G$ 上の $\sup$ ノルム $1$ の正定値連続関数全体のなす凸集合、${\rm ext}(\mathcal{P}_1(G))$ をその端点全体とする（'''定義2.36'''）。また $\widehat{G}$ を $G$ の指標群、$\widehat{L^1(G,\mu)}$ を可換Banach環 $L^1(G,\mu)$ の指標空間、$\widehat{C^*(G,\mu)}$ を可換 $C^*$-環 $C^*(G,\mu)$ の指標空間とする（[[Banach環とC*-環のスペクトル理論]]の'''定義5.1'''、'''定義5.6'''を参照）。このとき、
*$(1)$　$\widehat{G}={\rm ext}(\mathcal{P}_1(G))$ が成り立つ。
*$(2)$　任意の $\gamma\in \widehat{G}$ に対し $\Phi_{\gamma}\colon L^1(G,\mu)\rightarrow\mathbb{C}$ を、
$$
\Phi_{\gamma}([f])\colon=\int_{G}f(x)\gamma(x)d\mu(x)\in \mathbb{C}\quad(\forall [f]\in L^1(G,\mu))
$$
とおけば、$\Phi_{\gamma}\in \widehat{L^1(G,\mu)}$ であり、
$$
\widehat{G}\ni \gamma\mapsto \Phi_{\gamma}\in \widehat{L^1(G,\mu)}\quad\quad(*)
$$
はコンパクト一様収束位相（'''定義2.38'''）と弱 $*$-位相に関して同相写像である。
*$(3)$　任意の $\gamma\in \widehat{G}$ に対し $(2)$ における $\Phi_{\gamma}\in \widehat{L^1(G,\mu)}$ は群 $C^*$-環 $C^*(G,\mu)$ の指標 $\widetilde{\Phi_{\gamma}}\in \widehat{C^*(G,\mu)}$ に一意拡張でき、
$$
\widehat{G}\ni \gamma\mapsto \widetilde{\Phi_{\gamma}}\in \widehat{C^*(G,\mu)}
$$
はコンパクト一様収束位相と弱 $*$-位相に関して同相写像である。
*$(4)$　$\widehat{G}$ はコンパクト一様収束位相により局所コンパクト可換群であり、$G$ の第二可算性より $\widehat{G}$ は第二可算である。
{{begin|proof}}
*$(1)$　任意の $p\in {\rm ext}(\mathcal{P}_1(G))$ に対し $p$ のGNS表現（'''定義2.34'''）を $(\pi,v)$ とすれば'''定理2.37'''より $\pi$ は既約であるので、'''命題5.1'''より $\pi$ は $1$ 次元である。よって各 $x\in G$ に対し $\alpha_x\in \mathbb{T}$ で $\pi(x)=\alpha_x1$ なるものが定まり、
$$
p(x)=(v\mid \pi(x)v)=\alpha_x(v\mid v)=\alpha_x\lVert v\rVert^2=\alpha_x\in \mathbb{T}\quad(\forall x\in G)
$$
であるから、
$$
p(xy)1=\alpha_{xy}1=\pi(xy)=\pi(x)\pi(y)=\alpha_x\alpha_y1=p(x)p(y)1\quad(\forall x,y\in G)
$$
である。よって $p\in \widehat{G}$ である。また任意の $\gamma\in \widehat{G}$ に対し $\gamma$ は $G$ の $1$ 次元Hilbert空間 $\mathbb{C}$ 上へのユニタリ表現のトレースとみなせて $1$ 次元Hilbert空間上へのユニタリ表現は既約であるから、'''定理2.37'''より $\gamma\in {\rm ext}(\mathcal{P}_1(G))$ である。よって $\widehat{G}={\rm ext}(\mathcal{P}_1(G))$ が成り立つ。
*$(2)$　任意の $\gamma\in \widehat{G}$ を取る。$\gamma$ を $G$ の $1$ 次元Hilbert空間 $\mathbb{C}$ 上へのユニタリ表現表現とみなせば、そのユニタリ表現の $L^1$ 群環の表現への拡張（'''定義2.18'''）は、
$$
L^1(G,\mu)\ni [f]\mapsto \int_{G}f(x)\gamma(x)d\mu(x)\in \mathbb{B}(\mathbb{C})=\mathbb{C}
$$
であるから $\Phi_{\gamma}$ に一致する。よって $\Phi_{\gamma}\colon L^1(G,\mu)\rightarrow\mathbb{C}$ は乗法を保存する $0$ ではない線形汎関数であるから $\Phi_{\gamma}\in \widehat{L^1(G,\mu)}$ である。任意の $\Phi\in \widehat{L^1(G,\mu)}$ と $\Phi([f_0])\neq 0$ なる $[f_0]\in L^1(G,\mu)$ を取り固定し、
$$
\gamma(x)\colon=\frac{\Phi(L_x[f_0])}{\Phi([f_0])}\quad(\forall x\in G)
$$
として $\gamma\colon G\rightarrow\mathbb{C}$ を定義する。'''命題1.19'''より $G\ni x\mapsto L_x[f_0]\in L^1(G,\mu)$ は連続であるので $\gamma$ は連続である。そして、
$$
\gamma(1)=1,\quad \gamma(x)\gamma(y)=\frac{\Phi(L_x[f_0]*L_y[f_0])}{\Phi([f_0])^2}
=\frac{\Phi(L_{xy}[f_0]*[f_0])}{\Phi([f_0])^2}=\gamma(xy)\quad(\forall x,y\in G),
$$
$$
\lvert \gamma(x)\rvert\leq \frac{\lVert [f_0]\rVert_1}{\lvert \Phi([f_0])\rvert}\quad(\forall x\in G)
$$
であるので $\gamma(x)\in \mathbb{T}$ $(\forall x\in G)$ であり<ref>任意の $x\in G$ と任意の $n\in \mathbb{N}$ に対し $\lvert \gamma(x)\rvert^n=\lvert \gamma(x^n)\rvert\leq \frac{\lVert [f_0]\rVert_1}{\lvert \Phi([f_0])\rvert}$ であるから、任意の $x\in G$ に対し $\lvert \gamma(x)\rvert\leq1$ でなければならない。任意の $x\in G$ に対し $\gamma(x^{-1})\gamma(x)=\gamma(1)=1$ より、$\lvert \gamma(x)\rvert^{-1}=\lvert \gamma(x^{-1})\rvert\leq 1$ であるから、$\lvert \gamma(x)\rvert\geq1$ である。よって任意の $x\in G$ に対し $\vert \gamma(x)\rvert=1$ である。</ref>$\gamma\colon G\rightarrow\mathbb{T}$ は群準同型写像である。よって $\gamma\in\widehat{G}$ である。そして合成積の定義（'''定義1.20'''）より、
$$
\begin{aligned}
\Phi_{\gamma}([f])&=\int_{G}f(x)\gamma(x)d\mu(x)=\frac{1}{\Phi([f_0])}\int_{G}f(x)\Phi(L_x[f_0])d\mu(x)=\frac{1}{\Phi([f_0])}\Phi\left(\int_{G}f(x)L_x[f_0]d\mu(x)\right)\\
&=\frac{1}{\Phi([f_0])}\Phi([f]*[f_0])=\Phi([f])\quad(\forall [f]\in L^1(G,\mu))
\end{aligned}
$$
であるから $\Phi=\Phi_{\gamma}$ である。よって $(*)$ は全射である。ゆえに $(1)$ と'''定理2.39'''より、$(*)$ はコンパクト一様収束位相と弱 $*$-位相に関して同相写像である。
*$(3)$　$(2)$ の証明の冒頭で述べたように、任意の $\gamma\in \widehat{G}$ に対し $\Phi_{\gamma}$ は $G$ の $1$ 次元Hilbert空間 $\mathbb{C}$ 上へのユニタリ表現としての $\gamma$ の $L^1(G,\mu)$ の表現への拡張である。よって'''命題2.23'''より $\Phi_{\gamma}$ は $C^*(G,\mu)$ の表現 $\widetilde{\Phi_{\gamma}}\colon C^*(G,\mu)\rightarrow\mathbb{C}$ に一意拡張でき、
$$
\widehat{L^1(G,\mu)}\ni\Phi_{\gamma}\mapsto \widetilde{\Phi_{\gamma}}\in \widehat{C^*(G,\mu)}\quad\quad(**)
$$
は全単射である。よって $(2)$ より $(**)$ が同相写像であることを示せばよい。そのためには、[[ネットによる位相空間論]]の'''定理3'''より、$\widehat{G}$ のネット $(\gamma_{\lambda})_{\lambda\in\Lambda}$ と $\gamma\in \widehat{G}$ に対し、
$$
\Phi_{\gamma_{\lambda}}\rightarrow \Phi_{\gamma}\quad\Leftrightarrow\quad \widetilde{\Phi_{\gamma_{\lambda}}}\rightarrow \widetilde{\Phi_{\gamma}}\quad\quad(***)
$$
が成り立つことを示せばよい。弱 $*$-位相に関する収束の特徴付け（[[位相線形空間2：セミノルム位相と汎弱位相]]の'''注意10.2'''）より、
$$
\Phi_{\gamma_{\lambda}}\rightarrow\Phi_{\gamma}\quad\Leftrightarrow\quad \Phi_{\gamma_{\lambda}}([f])\rightarrow\Phi_{\gamma}([f])\quad(\forall [f]\in L^1(G,\mu)),
$$
$$
\widetilde{\Phi_{\gamma_{\lambda}}}\rightarrow\widetilde{\Phi_{\gamma}}\quad\Leftrightarrow\quad \widetilde{\Phi_{\gamma_{\lambda}}}(\omega)\rightarrow\widetilde{\Phi_{\gamma}}(\omega)\quad(\forall \omega\in C^*(G,\mu))
$$
であるから、$(***)$ の $\Leftarrow$ は明らかに成り立つ。$(***)$ の $\Rightarrow$ が成り立つことを示す。任意の $[f]\in L^1(G,\mu)$ に対し $\Phi_{\gamma_{\lambda}}([f])\rightarrow\Phi_{\gamma}([f])$ が成り立つと仮定して、任意の $\omega\in C^*(G,\mu)$ に対し $\widetilde{\Phi_{\gamma_{\lambda}}}(\omega)\rightarrow\widetilde{\Phi_{\gamma}}(\omega)$ が成り立つことを示せばよい。群 $C^*$-環の定義（'''定義2.20'''）より $(C^*(G,\mu),\lVert \cdot\rVert_*)$ において $L^1(G,\mu)$ は稠密であるから、任意の $\epsilon\in (0,\infty)$ に対し、
$$
\lVert \omega-[f]\rVert_*<\frac{\epsilon}{3}
$$
なる $[f]\in L^1(G,\mu)$ が取れる。仮定より、
$$
\lvert \Phi_{\gamma_{\lambda}}([f])-\Phi_{\gamma}([f])\rvert<\frac{\epsilon}{3}\quad(\forall \lambda\geq \lambda_0)
$$
なる $\lambda_0\in \Lambda$ が取れる。そして $\widehat{C^*(G,\mu)}$ の元は $(C^*(G,\mu),\lVert \cdot\rVert_*)$ のノルムが $1$ 以下の有界線形汎関数であるから、任意の $\lambda\geq\lambda_0$ に対し、
$$
\begin{aligned}
\lvert \widetilde{\Phi_{\gamma_{\lambda}}}(\omega)-\widetilde{\Phi_{\gamma}}(\omega)\rvert&\leq \lvert \widetilde{\Phi_{\gamma_{\lambda}}}(\omega)-\Phi_{\gamma_{\lambda}}([f])\rvert+\lvert \Phi_{\gamma_{\lambda}}([f])-\Phi_{\gamma}([f])\rvert+\lvert \Phi_{\gamma}([f])-\widetilde{\Phi_{\gamma}}(\omega)\rvert\\
&\leq \lVert \omega-[f]\rVert_*+\lvert \Phi_{\gamma_{\lambda}}([f])-\Phi_{\gamma}([f])\rvert+\lVert [f]-\omega\rVert_*<\epsilon
\end{aligned}
$$
となる。よって $\widetilde{\Phi_{\gamma_{\lambda}}}(\omega)\rightarrow\widetilde{\Phi_{\gamma}}(\omega)$ が成り立つので、$(***)$ の $\Rightarrow$ が成り立つ。
*$(4)$　$\widehat{L^1(G,\mu)}$ は弱 $*$-位相により局所コンパクトHausdorff空間である（[[Banach環とC*-環のスペクトル理論]]の'''定義5.6'''を参照）。よって $(2)$ より $\widehat{G}$ はコンパクト一様収束位相により局所コンパクトHausdorff空間である。
$$
\widehat{G}\times \widehat{G}\ni (\gamma_1,\gamma_2)\mapsto \gamma_1\gamma_2\in \widehat{G},\quad \widehat{G}\ni \gamma\mapsto \gamma^{-1}\in \widehat{G}
$$
がコンパクト一様収束位相で連続であることは[[ネットによる位相空間論]]の'''定理3'''より明らかである。$G$ の第二可算性と[[測度と積分7：局所コンパクトHausdorff空間上のRadon測度]]の'''系35.7'''より $L^1(G,\mu)$ は可分である。よって $(L^1(G,\mu))^*_1=\{\Phi\in (L^1(G,\mu))^*:\lVert \Phi\rVert \leq 1\}$ は、次の'''補題5.4'''より、弱 $*$-位相により第二可算公理を満たす。ゆえに $\widehat{L^1(G,\mu)}\subset (L^1(G,\mu))^*_1$ も弱 $*$-位相により第二可算公理を満たすので、$(2)$ より $\widehat{G}$ はコンパクト一様収束位相により第二可算公理を満たす。
{{end|proof}}

===補題5.4===
$X$ を可分なノルム空間とすると、$X^*$ の単位ノルム閉球 $(X^*)_1=\{\varphi\in X^*:\lVert \varphi\rVert\leq1\}$ は弱 $*$-位相の相対位相により第二可算である。
{{begin|proof}}
任意の $x\in X$ に対し、
$$
\iota_x\colon X^*\ni \varphi\mapsto \varphi(x)\in \mathbb{C}
$$
とおく。$X$ の稠密な可算部分集合 $\{x_n\}_{n\in \mathbb{N}}$ を取り、$(\iota_{x_n}\colon X^*\rightarrow\mathbb{C})_{n\in\mathbb{N}}$ が定める $X^*$ 上の始位相（[[ネットによる位相空間論]]の'''定義7.1'''）を $\mathcal{O}$ とおく。$\mathbb{C}$ の開集合の可算基を $\{U_n\}_{n\in\mathbb{N}}$ とおけば、始位相の定義より、$(X^*,\mathcal{O})$ は開集合の基として、
$$
\{\iota_{x_1}^{-1}(U_{m_1})\cap \cdots\cap \iota_{x_n}^{-1}(U_{m_n}):n,m_1,\ldots,m_n\in \mathbb{N}\}
$$
を持ち、これは可算集合なので、$(X^*,\mathcal{O})$ は第二可算である。よって $(X^*)_1$ は $\mathcal{O}$ の相対位相で第二可算である。これより弱 $*$-位相の $(X^*)_1$ 上の相対位相と $\mathcal{O}$ の $(X^*)_1$ 上の相対位相が一致することを示せばよい。そのためには[[ネットによる位相空間論]]の'''定理3'''より、$(X^*)_1$ のネット $(\varphi_{\lambda})_{\lambda\in\Lambda}$ と $\varphi\in (X^*)_1$ に対し、
$$
\text{弱 $*$-位相に関して $\varphi_{\lambda}\rightarrow\varphi$}\quad\Leftrightarrow\quad \text{$\mathcal{O}$ に関して $\varphi_{\lambda}\rightarrow\varphi$}\quad\quad(*)
$$
が成り立つことを示せばよい。弱 $*$-位相に関する収束の特徴付け（[[位相線形空間2：セミノルム位相と汎弱位相]]の'''注意10.2'''）より、
$$
\text{弱 $*$-位相に関して $\varphi_{\lambda}\rightarrow\varphi$}\quad\Leftrightarrow\quad \text{任意の $x\in X$ に対し $\varphi_{\lambda}\rightarrow\varphi(x)$}
$$
であり、始位相による収束の特徴付け（[[ネットによる位相空間論]]の'''命題7.2'''）より、
$$
\text{$\mathcal{O}$ に関して $\varphi_{\lambda}\rightarrow\varphi$}\quad\Leftrightarrow\quad \text{任意の $n\in \mathbb{N}$ に対し $\varphi_{\lambda}(x_n)\rightarrow\varphi(x_n)$}
$$
である。よって $(*)$ の $\Rightarrow$ は明らかに成り立つ。$(*)$ の $\Leftarrow$ が成り立つことを示す。そのためには任意の $n\in \mathbb{N}$ に対し $\varphi_{\lambda}(x_n)\rightarrow \varphi(x_n)$ が成り立つと仮定して、任意の $x\in X$ に対し $\varphi_{\lambda}(x)\rightarrow\varphi(x)$ が成り立つことを示せばよい。任意の $x\in X$, 任意の $\epsilon\in (0,\infty)$ を取る。$\{x_n\}_{n\in \mathbb{N}}$ は $X$ で稠密であるから、
$$
\lVert x-x_n\rVert<\frac{\epsilon}{3}
$$
なる $n\in \mathbb{N}$ が取れ、仮定より $\varphi_{\lambda}(x_n)\rightarrow\varphi(x_n)$ であるので、
$$
\lvert \varphi_{\lambda}(x_n)-\varphi(x_n)\rvert<\frac{\epsilon}{3}\quad(\forall \lambda\geq\lambda_0)
$$
なる $\lambda_0\in \Lambda$ が取れる。ここで $\lVert \varphi_{\lambda}\rVert,\lVert \varphi\rVert\leq1$ $(\forall \lambda\in \Lambda)$ であるから、任意の $\lambda\geq\lambda_0$ に対し、
$$
\begin{aligned}
\lvert \varphi_{\lambda}(x)-\varphi(x)\rvert&\leq \lvert \varphi_{\lambda}(x)-\varphi_{\lambda}(x_n)\rvert+\lvert \varphi_{\lambda}(x_n)-\varphi(x_n)\rvert+\lvert \varphi(x_n)-\varphi(x)\rvert\\
&\leq \lVert x-x_n\rVert+\frac{\epsilon}{3}+\lVert x_n-x\rVert<\epsilon
\end{aligned}
$$
となる。よって $\varphi_{\lambda}(x)\rightarrow\varphi(x)$ が成り立つので、$(*)$ の $\Leftarrow$ が成り立つ。
{{end|proof}}

===定義5.5（局所コンパクト可換群の双対群）===
$G$ を局所コンパクト可換群とする。'''定理5.3'''より $G$ の指標群 $\widehat{G}$ はコンパクト一様収束位相により局所コンパクト可換群である。局所コンパクト可換群 $H$ で $\widehat{G}$ と同相かつ群同型であるものを $G$ の双対群と言う。$H$ と $\widehat{G}$ の群同型同相写像は、一般論を論じる文脈においては、
$$
H\ni \gamma\mapsto \langle \cdot,\gamma\rangle \in \widehat{G}
$$
によって表す。
$$
\langle\cdot,\cdot\rangle\colon G\times H\ni (x,\gamma)\mapsto \langle x,\gamma\rangle\in \mathbb{T}
$$
を $G$ とその双対群 $H$ のペアリングと言う。さらに以後、$G$ の双対群は指標群と同じ記号 $\widehat{G}$ で表す。

===命題5.6（局所コンパクト可換群の双対群の典型例）===
局所コンパクト可換群 $\mathbb{R}^N$（加法群）、$\mathbb{T}^N$（乗法群、コンパクト群）、$\mathbb{Z}^N$（加法群、離散群）を考える。
*$(1)$　$\mathbb{R}^N$ はペアリング $\langle x,k\rangle=e^{-ik\cdot x}$ $(\forall x,k\in \mathbb{R}^N)$ により $\mathbb{R}^N$ 自身を双対群として持つ。
*$(2)$　$\mathbb{T}^N$ はペアリング $\langle z,n\rangle=z^n=z_1^{n_1}\cdots z_N^{n_N}$ $(\forall z\in \mathbb{T}^N,\forall n\in \mathbb{Z}^N)$ により $\mathbb{Z}^N$ を双対群として持つ。
*$(3)$　$\mathbb{Z}^N$ はペアリング $\langle n,z\rangle =z^n=z_1^{n_1}\cdots z_N^{n_N}$ $(\forall n\in \mathbb{Z}^N,\forall z\in \mathbb{T}^N)$ により $\mathbb{T}^N$ を双対群として持つ。
{{begin|proof}}
*$(1)$　$\langle x,k\rangle=e^{-ik\cdot x}$ $(\forall x,k\in \mathbb{R}^N)$ とおけば、
$$
\mathbb{R}^N\ni k\mapsto \langle \cdot,k\rangle\in \widehat{\mathbb{R}^N}\quad\quad(*)
$$
は明らかに単射連続群準同型写像である。$(*)$ が全射であることを示す。$N=1$ として示せば十分である。$\gamma\in \widehat{\mathbb{R}}$ とすると $\gamma(0)=1$ であるから $0\in \mathbb{R}$ に十分近い $a\in \mathbb{R}$ を取れば、
$$
\alpha\colon=\int_{0}^{a}\gamma(s)ds\neq0
$$
である。
$$
\alpha\gamma(t)=\int_{0}^{a}\gamma(s+t)ds=\int_{0}^{a+t}\gamma(s)ds-\int_{0}^{t}\gamma(s)ds\quad(\forall t\in \mathbb{R})
$$
であるので、
$$
\alpha\frac{d\gamma}{dt}(t)=\gamma(a+t)-\gamma(t)=(\gamma(a)-1)\gamma(t)\quad(\forall t\in \mathbb{R})
$$
である。よって $\beta\colon =\alpha^{-1}(\gamma(a)-1)\in \mathbb{C}$ とおけば、
$$
\frac{d\gamma}{dt}(t)=\beta\gamma(t)\quad(\forall t\in \mathbb{R})
$$
であるので、
$$
\frac{d}{dt}(e^{-\beta t}\gamma(t))=0
$$
である。よって微積分学の基本定理より、
$$
e^{-\beta t}\gamma(t)=\gamma(0)=1\quad(\forall t\in \mathbb{R})
$$
であるから、
$$
\gamma(t)=e^{\beta t}\quad(\forall t\in \mathbb{R})
$$
である。
$$
\lvert e^{\beta }\rvert=\lvert \gamma(1)\rvert=1
$$
よりある $k\in \mathbb{R}$ に対し $\beta=-ik$ と表せる。よって $\gamma(t)=e^{-ikt}$ $(\forall t\in \mathbb{R})$ であるから $(*)$ は全射である。ゆえに $(*)$ は連続群同型写像であるので、'''系3.15'''より $(*)$ は同相写像である。
*$(2)$　$\langle z,n\rangle=z_1^{n_1}\cdots z_N^{n_N}$ $(\forall z\in \mathbb{T}^N,\forall n\in \mathbb{Z}^N)$ とおくと、
$$
\mathbb{Z}^N\ni n\mapsto \langle \cdot, n\rangle \in \widehat{\mathbb{T}^N}\quad\quad(**)
$$
は明らかに単射連続群準同型写像である（連続性は $\mathbb{Z}^N$ が離散群であることから自明である）。$(**)$ が全射であることを示す。$N=1$ であるとして示せば十分である。$\gamma\in \widehat{\mathbb{T}}$ とすると、
$$
\mathbb{R}\ni x\mapsto \gamma(e^{ix})\in \mathbb{T}
$$
は $\widehat{\mathbb{R}}$ に属すから、$(1)$ よりある $n\in \mathbb{R}$ に対し、
$$
\gamma(e^{ix})=e^{inx}\quad(\forall x\in \mathbb{R})
$$
が成り立つ。
$$
1=\gamma(e^{i2\pi})=e^{in 2\pi}
$$
であるから、$n\in \mathbb{Z}$ であり、
$$
\gamma(e^{ix})=e^{inx}=(e^{ix})^n\quad(\forall x\in \mathbb{R})
$$
であるので、$\gamma(z)=z^n$ $(\forall z\in \mathbb{T})$ である。ゆえに $(**)$ は全射である。よって $(**)$ は連続群同型写像であるので'''系3.15'''より $(**)$ は同相写像である。
*$(3)$　$\langle n,z\rangle=z^n=z_1^{n_1}\cdots z_N^{n_N}$ $(\forall z\in \mathbb{T}^N,\forall n\in \mathbb{Z}^N)$ とおくと、
$$
\mathbb{T}^N\ni z\mapsto \langle \cdot,z\rangle\in \widehat{\mathbb{Z}^N}\quad\quad(***)
$$
は明らかに連続群同型写像であるので、'''系3.15'''より $(***)$ は同相写像である。
{{end|proof}}

===定理5.7（局所コンパクト可換群のFourier変換）===
$G$ を局所コンパクト可換群、$\mu\colon \mathcal{B}_G\rightarrow [0,\infty]$ を $G$ のHaar測度とし、$\widehat{G}$ を $G$ の双対群、$C^*(G,\mu)$ を $G$ の群 $C^*$-環（'''定義2.20'''）とする。このとき等長$*$-環同型写像
$$
\mathcal{F}\colon C^*(G,\mu)\rightarrow C_0(\widehat{G})
$$
で、
$$
\mathcal{F}[f](\gamma)=\int_{G}f(x)\langle x,\gamma\rangle d\mu(x)\quad(\forall [f]\in L^1(G,\mu),\forall \gamma\in \widehat{G})
$$
を満たすものが唯一つ存在する。$\mathcal{F}$ を局所コンパクト可換群 $G$ におけるFourier変換と言う。<ref>任意の $[f]\in L^1(G,\mu)$ に対し $\lVert \mathcal{F}[f]\rVert=\lVert [f]\rVert_*\leq \lVert [f]\rVert_1$ である。</ref>
{{begin|proof}}
[[Banach環とC*-環のスペクトル理論]]の'''定理5.9'''より可換 $C^*$-環 $C^*(G,\mu)$ のGelfand変換
$$
\Gamma\colon C^*(G,\mu)\rightarrow C_0(\widehat{C^*(G,\mu)})\quad\quad(*)
$$
は等長$*$-環同型写像である。また'''定理5.3'''の $(3)$ より、
$$
\tau\colon \widehat{G}\ni \gamma\mapsto \widetilde{\Phi_{\gamma}}\in \widehat{C^*(G,\mu)}
$$
は同相写像であるから、
$$
\mathcal{T}\colon C_0(\widehat{C^*(G,\mu)})\ni h\mapsto h\circ \tau\in C_0(\widehat{G})\quad\quad(**)
$$
は等長$*$-環同型写像である。よって $(*),(**)$ の合成
$$
\mathcal{F}\colon=\mathcal{T}\circ\Gamma\colon C^*(G,\mu)\rightarrow C_0(\widehat{G})
$$
は等長$*$-環同型写像である。そして任意の $[f]\in L^1(G,\mu)\subset C^*(G,\mu)$, $\gamma\in \widehat{G}$ に対し、
$$
\mathcal{F}([f])(\gamma)=\mathcal{T}(\Gamma([f]))(\gamma)=\Gamma([f])(\tau(\gamma))
=\Gamma([f])(\widetilde{\Phi_{\gamma}})=\Phi_{\gamma}([f])=\int_{G}f(x)\gamma(x)d\mu(x)
$$
である。よって存在が示せた。一意性は $C^*(G,\mu)$ において $L^1(G,\mu)$ が稠密であることによる。
{{end|proof}}

===系5.8（$\mathcal{F}(L^1(G,\mu))$ は $C_0(\widehat{G})$ の稠密な部分 $*$-環）===
$G$ を局所コンパクト可換群、$\mu\colon \mathcal{B}_G\rightarrow [0,\infty]$ を $G$ のHaar測度、$\widehat{G}$ を $G$ の双対群、$\mathcal{F}\colon C^*(G,\mu)\rightarrow C_0(\widehat{G})$ を $G$ におけるFourier変換とする。このとき $\mathcal{F}(L^1(G,\mu))$ は $C_0(\widehat{G})$ の稠密な部分 $*$-環である。
{{begin|proof}}
群 $C^*$-環 $C^*(G,\mu)$ の定義（'''定義2.20'''）より $L^1(G,\mu)$ は $C^*(G,\mu)$ の稠密な部分 $*$-環である。そして $\mathcal{F}\colon C^*(G,\mu)\rightarrow C_0(\widehat{G})$ は等長$*$-環同型写像であるから、$\mathcal{F}(L^1(G,\mu))$ は $C_0(\widehat{G})=\mathcal{F}(C^*(G,\mu))$ の稠密な部分 $*$-環である。
{{end|proof}}

===命題5.9（Fourier変換の基本性質）===
$G$ を局所コンパクト可換群、$\mu\colon \mathcal{B}_G\rightarrow [0,\infty]$ を $G$ のHaar測度、$\widehat{G}$ を $G$ の双対群、$\mathcal{F}\colon C^*(G,\mu)\rightarrow C_0(\widehat{G})$ を $G$ におけるFourier変換とする。このとき、
*$(1)$　任意の $x\in G$ と任意の $[f]\in L^1(G,\mu)$ に対し、
$$
\mathcal{F}(L_x[f])(\gamma)=\langle x,\gamma\rangle \mathcal{F}([f])(\gamma)\quad(\forall \gamma\in \widehat{G})
$$
が成り立つ。
*$(2)$　$(\varphi_n)_{n\in \mathbb{N}}$ を'''定理1.25'''における $L^1(G,\mu)$ の近似単位元とすると、
$$
\lim_{n\rightarrow\infty}\mathcal{F}(L_x\varphi_n)(\gamma)=\langle x,\gamma\rangle\quad(\forall x\in G,\forall \gamma\in \widehat{G})
$$
が成り立つ。
{{begin|proof}}
*$(1)$　Haar測度による積分の不変性より、
$$
\begin{aligned}
&\mathcal{F}(L_x[f])(\gamma)=\int_{G}f(x^{-1}y)\langle y,\gamma\rangle d\mu(y)
=\int_{G}f(y)\langle xy,\gamma\rangle d\mu(y)\\
&=\langle x,\gamma\rangle\int_{G}f(y)\langle y,\gamma\rangle d\mu(y)
=\langle x,\gamma\rangle(\mathcal{F}[f])(\gamma).
\end{aligned}
$$
*$(2)$　$(1)$ より $x=1\in G$ の場合を示せば十分である。$G\ni y\mapsto \langle y,\gamma\rangle\in \mathbb{T}$ の $1\in G$ における連続性より、
$$
\begin{aligned}
\lvert (\mathcal{F}\varphi_n)(\gamma)-1\rvert&=\left\lvert\int_{G}\varphi_n(y)\langle y,\gamma\rangle d\mu(y)-\int_{G}\varphi_n(y)d\mu(y)\right\rvert
=\left\lvert\int_{G}\varphi_n(y)(\langle y,\gamma\rangle -1)d\mu(y)\right\rvert\\
&\leq \int_{G}\varphi_n(y)\lvert \langle y,\gamma\rangle -1\rvert d\mu(y)\rightarrow0\quad(n\rightarrow\infty).
\end{aligned}
$$
{{end|proof}}

===定理5.10（コンパクト可換群のFourier変換（Plancherelの定理））===
$G$ をコンパクト可換群、$\mu\colon \mathcal{B}_G\rightarrow [0,1]$ をHaar測度（$\mu(G)=1$）、$\widehat{G}$ を $G$ の双対群とする。このとき $\{\langle \cdot,\gamma\rangle:\gamma\in \widehat{G}\}$ はHilbert空間 $L^2(G,\mu)$ のCONSである。さらに双対群 $\widehat{G}$ は離散群である。
{{begin|proof}}
'''定義5.2'''で述べたように $G$ の局所コンパクト可換群としての指標はコンパクト群としての指標（'''定義4.15'''）と同じである。$G$ は可換であるから $G$ 上の任意の関数は類関数（'''定義4.14'''）であるので、Peter-Weylの定理3（'''定理4.17'''）より、$\{\langle\cdot,\gamma\rangle:\gamma\in \widehat{G}\}$ は $L^2(G,\mu)$ のCONSである。よって任意の $[f]\in L^2(G,\mu)$ に対し、
$$
[f]=\sum_{\gamma\in \widehat{G}}\left(\int_{G}f(x)\overline{\langle x,\gamma\rangle}d\mu(x)\right)\langle\cdot,\gamma\rangle=\sum_{\gamma\in\widehat{G}}\overline{\mathcal{F}([\overline{f}])(\gamma)}\langle \cdot,\gamma\rangle
$$
であるから、[[測度と積分6：数え上げ測度と $\ell^p$ 空間]]の'''系25.8'''より、
$$
L^2(G,\mu)\ni [f]\mapsto (\overline{\mathcal{F}([\overline{f}])(\gamma)})_{\gamma\in \widehat{G}}\in \ell^2(\widehat{G})
$$
はユニタリ作用素である。よって、
$$
\ell^2(\widehat{G})=\overline{\mathcal{F}(L^2(G,\mu))}\subset \overline{\mathcal{F}(L^1(G,\mu))}\subset C_0(\widehat{G})
$$
であるから、任意の $\gamma\in \widehat{G}$ に対し $\chi_{\{\gamma\}}\in \ell^2(\widehat{G})\subset C_0(\widehat{G})$ なので、$\{\gamma\}=(\chi_{\{\gamma\}}>0)$ は $\widehat{G}$ の開集合である。よって局所コンパクト群 $\widehat{G}$ の位相は離散位相なので $\widehat{G}$ は離散群である。
{{end|proof}}

===定理5.11（SNAGの定理）===
$G$ を局所コンパクト可換群、$\widehat{G}$ を $G$ の双対群とする。このとき $G$ の任意のユニタリ表現 $\pi\colon G\rightarrow \mathbb{U}(\mathcal{H}_{\pi})$ に対し、射影値測度 $E_{\pi}\colon \mathcal{B}_{\widehat{G}}\rightarrow \mathbb{P}(\mathcal{H}_{\pi})$ <ref>射影値測度に関しては[[Hilbert空間上の作用素論]]の $6$ を参照。</ref> で、
$$
\pi(x)=\int_{\widehat{G}}\langle x,\gamma\rangle dE_{\pi}(\gamma)\quad(\forall x\in G)\quad\quad(*)
$$
を満たすものが唯一つ存在する。そして $\mu\colon \mathcal{B}_G\rightarrow [0,\infty]$ を $G$ のHaar測度、$\mathcal{F}\colon C^*(G,\mu)\rightarrow C_0(\widehat{G})$ をFourier変換とすると、
$$
\pi([f])=\int_{\widehat{G}}\mathcal{F}([f])(\gamma)dE_{\pi}(\gamma)\quad(\forall [f]\in L^1(G,\mu))
$$
が成り立つ。
{{begin|proof}}
$G$ のユニタリ表現 $\pi$ の $C^*(G,\mu)$ の表現への拡張（'''命題2.23'''、'''定義2.24'''を参照）もそのまま $\pi\colon C^*(G,\mu)\rightarrow \mathbb{B}(\mathcal{H}_{\pi})$ と表す。Fourier変換 $\mathcal{F}\colon C^*(G,\mu)\rightarrow C_0(\widehat{G})$ は等長$*$-環同型写像であるから、
$$
\pi\circ\mathcal{F}^{-1}\colon C_0(\widehat{G})\rightarrow \mathbb{B}(\mathcal{H}_{\pi})
$$
なる $*$-環準同型写像が定義でき、
$$
(\pi\circ\mathcal{F}^{-1})(C_0(\widehat{G}))\mathcal{H}_{\pi}=
\pi(C^*(G,\mu))\mathcal{H}_{\pi}={\rm span}\{\pi(\omega)v:\omega\in C^*(G,\mu),v\in \mathcal{H}_{\pi}\}
$$
は $\mathcal{H}_{\pi}$ で稠密である。よって射影値測度版のRiesz-Markov-角谷の表現定理（[[Hilbert空間上の作用素論]]の'''定理7.3'''）より、射影値測度 $E_{\pi}\colon \mathcal{B}_{\widehat{G}}\rightarrow \mathbb{P}(\mathcal{H}_{\pi})$ で、
$$
(\pi\circ\mathcal{F}^{-1})(h)=\int_{\widehat{G}}h(\gamma)dE_{\pi}(\gamma)\quad(\forall h\in C_0(\widehat{G}))
$$
を満たすものが存在する。これより、
$$
\pi([f])=\int_{\widehat{G}}\mathcal{F}([f])(\gamma)dE_{\pi}(\gamma)\quad(\forall [f]\in L^1(G,\mu))\quad\quad(**)
$$
が成り立つ。'''定理1.25'''における $L^1(G,\mu)$ の近似単位元 $(\varphi_n)_{n\in \mathbb{N}}$ を取ると、'''注意2.15'''と'''命題2.16'''より、
$$
\pi(x)=\text{SOT-}\lim_{n\rightarrow\infty}\pi(L_x\varphi_n)\quad(\forall x\in G)\quad\quad(***)
$$
である。また'''命題5.9'''とLebesgue優収束定理より、任意の$x\in G$と$v\in {\cal H}_{\pi}$に対し、
$$
\begin{aligned}
&\left\lVert \left(\int_{\widehat{G}}\mathcal{F}(L_x\varphi_n)(\gamma)dE_{\pi}(\gamma)\right)v-\left(\int_{\widehat{G}}\langle x,\gamma\rangle dE_{\pi}(\gamma)\right)v\right\rVert^2\\
&=\int_{\widehat{G}}\lvert \mathcal{F}(L_x\varphi_n)(\gamma)-\langle x,\gamma\rangle \rvert^2dE_{\pi,v,v}(\gamma)\\
&\rightarrow0\quad(n\rightarrow\infty)
\end{aligned}
$$
であるから、
$$
\int_{\widehat{G}}\langle x,\gamma\rangle dE_{\pi}(\gamma)=\text{SOT-}\lim_{n\rightarrow\infty}\int_{\widehat{G}}\mathcal{F}(L_x\varphi_n)(\gamma)dE_{\pi}(\gamma)\quad(\forall x\in G)
$$
である。よって $(**)$ より、
$$
\int_{\widehat{G}}\langle x,\gamma\rangle dE_{\pi}(\gamma)=\text{SOT-}\lim_{n\rightarrow\infty}\pi(L_x\varphi_n)\quad(\forall x\in G)
$$
が成り立つ。これと $(***)$ より、
$$
\pi(x)=\int_{\widehat{G}}\langle x,\gamma\rangle dE_{\pi}(\gamma)\quad(\forall x\in G)
$$
を得る。これで $(*)$ を満たす射影値測度 $E_{\pi}\colon \mathcal{B}_{\widehat{G}}\rightarrow \mathbb{P}(\mathcal{H}_{\pi})$ の存在が示せた。 
一意性を示す。射影値測度 $E\colon \mathcal{B}_{\widehat{G}}\rightarrow \mathbb{P}(\mathcal{H}_{\pi})$ が $(*)$ を満たすならば、任意の $[f]\in L^1(G,\mu)$ と任意の $v\in \mathcal{H}_{\pi}$ に対し、Fubiniの定理より、
$$
\begin{aligned}
(v\mid \pi([f])v)&=\int_{G}f(x)(v\mid \pi(x)v)d\mu(x)=\int_{G}f(x)\left(\int_{\widehat{G}}\langle x,\gamma\rangle dE_{v,v}(\gamma)\right)d\mu(x)\\
&=\int_{\widehat{G}}\left(\int_{G}f(x)\langle x,\gamma\rangle d\mu(x)\right)dE(\gamma)
=\int_{\widehat{G}}\mathcal{F}([f])(\gamma)dE_{v,v}(\gamma)\\
&=\left(v\mid \left(\int_{\widehat{G}}\mathcal{F}([f])(\gamma)dE(\gamma)\right)v\right)
\end{aligned}
$$
となる。よって偏極恒等式より、
$$
\pi([f])=\int_{\widehat{G}}\mathcal{F}([f])(\gamma)dE(\gamma)\quad(\forall [f]\in L^1(G,\mu))
$$
が成り立つ。これより $2$ つの射影値測度 $E_1,E_2\colon \mathcal{B}_{\widehat{G}}\rightarrow \mathbb{P}(\mathcal{H}_{\pi})$ がそれぞれ $(*)$ を満たすならば、
$$
\int_{\widehat{G}}\mathcal{F}([f])(\gamma)dE_1(\gamma)=\pi([f])=\int_{\widehat{G}}\mathcal{F}([f])(\gamma)dE_2(\gamma)
$$
が成り立ち、'''系5.8'''より $\mathcal{F}(L^1(G,\mu))$ は $C_0(\widehat{G})$ において稠密であるので、
$$
\int_{\widehat{G}}h(\gamma)dE_1(\gamma)=\int_{\widehat{G}}h(\gamma)dE_2(\gamma)\quad(\forall h\in C_0(\widehat{G}))\quad\quad(****)
$$
が成り立つ。ここで $\widehat{G}$ は第二可算公理を満たす（'''定理5.3'''の $(4)$ を参照）ので、[[Hilbert空間上の作用素論]]の'''注意7.2'''より $E_1,E_2$ は自動的にRadon射影値測度であるから、$(****)$ とRiesz-Markov-角谷の表現定理（[[測度と積分7：局所コンパクトHausdorff空間上のRadon測度]]の'''定理30.4'''）より $E_1=E_2$ が成り立つ。これで一意性が示せた。
{{end|proof}}

===系5.12（Stoneの定理）===
$\mathbb{R}$ の任意のユニタリ表現 $\pi$ に対し $\mathcal{H}_{\pi}$ 上の自己共役作用素 $T$ で、
$$
\pi(x)=e^{ixT}\quad(\forall x\in \mathbb{R})
$$
を満たすものが唯一つ存在する。
{{begin|proof}}
SNAGの定理（'''定理5.11'''）と'''命題5.6'''の $(1)$ より、射影値測度 $E\colon \mathcal{B}_{\mathbb{R}}\rightarrow \mathbb{P}(\mathcal{H}_{\pi})$ で、
$$
\pi(x)=\int_{\mathbb{R}}e^{ix\lambda}dE(\lambda)\quad(\forall x\in \mathbb{R})
$$
を満たすものが存在する。
$$
T\colon=\int_{\mathbb{R}}\lambda dE(\lambda)\quad\quad(*)
$$
とおくと、[[Hilbert空間上の作用素論]]の'''命題6.8'''の $(2)$ より $T$ は $\mathcal{H}_{\pi}$ 上の自己共役作用素であり、[[Hilbert空間上の作用素論]]の'''命題8.6'''より、
$$
e^{ixT}=\int_{\mathbb{R}}e^{ix\lambda}dE(\lambda)=\pi(x)\quad(\forall x\in \mathbb{R})
$$
である。よって存在が示せた。一意性を示す。自己共役作用素 $S$ が $\pi(x)=e^{ixS}$ $(\forall x\in \mathbb{R})$ を満たすとすると、$(*)$ における自己共役作用素 $T$ に対し、
$$
e^{ixT}=\pi(x)=e^{ixS}\quad(\forall x\in \mathbb{R})
$$
であるから、[[Hilbert空間上の作用素論]]の'''補題21.3'''より $T=S$ である。よって一意性が示せた。
{{end|proof}}

===定義5.13（自己共役作用素の強可換性）===
$\mathcal{H}$ をHilbert空間、$S,T$ を $\mathcal{H}$ 上の自己共役作用素とする。
$$
e^{isS}e^{itT}=e^{itT}e^{isS}\quad(\forall s,t\in \mathbb{R})
$$
が成り立つとき、$S,T$ は互いに強可換であると言う。

===定理5.14（強可換な自己共役作用素の組に対する結合スペクトル測度）===
$\mathcal{H}$ をHilbert空間、$T\colon=(T_1,\ldots,T_N)$ を互いに強可換な自己共役作用素の組とする。そして $T_j$ のスペクトル測度（[[Hilbert空間上の作用素論]]の'''定義8.4'''）を $E^{T_j}\colon \mathcal{B}_{\sigma(T_j)}\rightarrow \mathbb{P}(\mathcal{H})$ $(j=1,\ldots,N)$ とする。このとき射影値測度
$$
E^T\colon \mathcal{B}_{\sigma(T_1)\times \cdots\times \sigma(T_N)}\rightarrow \mathbb{P}(\mathcal{H})
$$
で、
$$
E^T(B_1\times \cdots\times B_N)=E^{T_1}(B_1)\cdots E^{T_N}(B_N)\quad(\forall B_1\in \mathcal{B}_{\sigma(T_1)},\ldots,\forall B_N\in \mathcal{B}_{\sigma(T_N)})
$$
を満たすものが唯一つ存在する。
{{begin|proof}}
任意の $j\in \{1,\ldots,N\}$ に対し、$\mathbb{R}\ni t\mapsto e^{itT_j}\in \mathbb{U}({\cal H})$ は群準同型写像である。そして任意の $v\in {\cal H}$ に対し、Lebesgue優収束定理より、
$$
\lVert e^{itT_j}v-e^{isT_j}v\rVert^2=\left\lVert \left(\int_{\sigma(T_j)}(e^{it\lambda}-e^{is\lambda})dE^{T_j}(\lambda)\right)v\right\rVert^2
=\int_{\sigma(T_j)}\lvert e^{it\lambda}-e^{is\lambda}\rvert^2dE^{T_j}_{v,v}(\lambda)\rightarrow0\quad(t\rightarrow s)
$$
であるから、$\mathbb{R}\ni t\mapsto e^{itT_j}\in \mathbb{U}({\cal H})$ はSOT連続な群準同型写像である。よって強可換性より、
$$
\mathbb{R}^N\ni (x_1,\ldots,x_N)\mapsto e^{ix_1T_1}\cdots e^{ix_NT_N}\in \mathbb{U}(\mathcal{H})
$$
はSOT連続な群準同型写像であるから、局所コンパクト可換群 $\mathbb{R}^N$ の ${\cal H}$ 上へのユニタリ表現である。よってSNAGの定理（'''定理5.11'''）と'''命題5.6'''の $(1)$ より、射影値測度 $E\colon \mathcal{B}_{\mathbb{R}^N}\rightarrow \mathbb{P}(\mathcal{H})$ で、
$$
e^{ix_1T_1}\cdots e^{ix_NT_N}=\int_{\mathbb{R}^N}e^{ix_1\lambda_1}\cdots e^{ix_N\lambda_N}dE(\lambda_1,\ldots,\lambda_N)\quad(\forall (x_1,\ldots,x_N)\in \mathbb{R}^N)
$$
を満たすものが唯一つ存在する。各 $j\in \{1,\ldots,N\}$ に対し、
$$
\pi_j\colon \mathbb{R}^N\ni (x_1,\ldots,x_N)\mapsto x_j\in \mathbb{R}
$$
とおき、射影値測度 $E_j\colon \mathcal{B}_{\mathbb{R}}\rightarrow \mathbb{P}(\mathcal{H})$ を、
$$
E_j(B)\colon=E(\pi_j^{-1}(B))\quad(\forall B\in \mathcal{B}_{\mathbb{R}})
$$
として定義すると、単関数近似より、
$$
\int_{\mathbb{R}}e^{ix\lambda}dE_j(\lambda)=\int_{\mathbb{R}^N}e^{ix\lambda_j}dE(\lambda_1,\ldots,\lambda_N)=e^{ixT_j}=\int_{\sigma(T_j)}e^{ix\lambda}dE^{T_j}(\lambda)\quad(\forall x\in \mathbb{R})
$$
である。よって　$\mathbb{R}$ のユニタリ表現 $\mathbb{R}\ni x\mapsto e^{ixT_j}\in \mathbb{U}({\cal H})$ に対し、射影値測度$E_j:{\cal B}_{\mathbb{R}}\rightarrow \mathbb{P}({\cal H})$ と射影値測度 ${\cal B}_{\mathbb{R}}\ni B\mapsto E^{T_j}(B\cap \sigma(T_j))\in \mathbb{P}({\cal H})$ がSNAGの定理('''定理5.11''')の条件を満たすので、SNAGの定理の一意性より、
$$
E_j(B)=E^{T_j}(B\cap \sigma(T_j))\quad(\forall B\in\mathcal{B}_{\mathbb{R}})
$$
が成り立つ。よって、
$$
\begin{aligned}
&E(B_1\times \cdots\times B_N)=E(\pi_1^{-1}(B_1)\cap\cdots\cap\pi_N^{-1}(B_N))=E_1(B_1)\cdots E_N(B_N)\\
&=E^{T_1}(B_1\cap \sigma(T_1))\cdots E^{T_N}(B_N\cap \sigma(T_N))\quad(\forall B_1,\ldots,B_N\in \mathcal{B}_{\mathbb{R}})
\end{aligned}
$$
が成り立つ。これより、
$$
E(\sigma(T_1)\times \cdots\times \sigma(T_N))=E^{T_1}(\sigma(T_1))\cdots E^{T_N}(\sigma(T_N))=1
$$
であるから、$E$ を $\mathcal{B}_{\sigma(T_1)\times \cdots\times \sigma(T_N)}$ 上に制限したものは射影値測度であり、それを $E^T\colon \mathcal{B}_{\sigma(T_1)\times \cdots\times \sigma(T_N)}\rightarrow \mathbb{P}(\mathcal{H})$ と表すと、
$$
E^T(B_1\times \cdots\times B_N)=E(B_1\times \cdots\times B_N)=E^{T_1}(B_1)\cdots E^{T_N}(B_N)\quad(\forall B_1\in \mathcal{B}_{\sigma(T_1)},\ldots,B_N\in \mathcal{B}_{\sigma(T_N)})
$$
である。これで存在が示せた。一意性は $\sigma$-加法族 $\mathcal{B}_{\sigma(T_1)\times \cdots \times \sigma(T_N)}=\mathcal{B}_{\sigma(T_1)}\otimes\cdots\otimes \mathcal{B}_{\sigma(T_N)}$（[[測度と積分1：測度論の基礎用語]]の'''命題2.7'''）が半集合代数（[[測度と積分3：測度論の基本定理(1)]]の'''定義12.1'''）
$$
\mathcal{B}_{\sigma(T_1)}\times \cdots\times \mathcal{B}_{\sigma(T_N)}=\{B_1\times\cdots\times B_N:B_1\in \mathcal{B}_{\sigma(T_1)},\ldots, B_N\in \mathcal{B}_{\sigma(T_N)}\}
$$
によって生成されることと、[[測度と積分3：測度論の基本定理(1)]]の'''命題12.7'''と'''定理12.8'''（単調族定理）による。
{{end|proof}}

===定義5.15（結合スペクトル測度とそれによる積分の定義）===
$\mathcal{H}$ をHilbert空間、$T\colon =(T_1,\ldots,T_N)$ を互いに強可換な自己共役作用素の組とし、$T_j$ のスペクトル測度を $E^{T_j}\colon \mathcal{B}_{\sigma(T_j)}\rightarrow \mathbb{P}(\mathcal{H})$ $(j=1,\ldots,N)$ とおく。このとき'''定理5.14'''より、射影値測度
$$
E^T\colon \mathcal{B}_{\sigma(T_1)\times \cdots\times \sigma(T_N)}\rightarrow \mathbb{P}(\mathcal{H})
$$
で、
$$
E^{T}(B_1\times \cdots\times B_N)=E^{T_1}(B_1)\cdots E^{T_N}(B_N)\quad(\forall B_1\in \mathcal{B}_{\sigma(T_1)},\ldots,\forall B_N\in \mathcal{B}_{\sigma(T_N)})
$$
を満たすものが唯一つ存在する。この $E^T$ を強可換な自己共役作用素の組 $T=(T_1,\ldots,T_N)$ に付随する結合スペクトル測度と言う。そして任意のBorel関数
$$
f\colon \sigma(T_1)\times \cdots\times \sigma(T_N)\rightarrow \mathbb{C}
$$
に対し、
$$
f(T)\colon=\int_{\sigma(T_1)\times \cdots \times \sigma(T_N)}f(\lambda_1,\ldots,\lambda_N)dE^T(\lambda_1,\ldots,\lambda_N)
$$
と定義する。各 $j\in \{1,\ldots,N\}$ に対し、
$$
\pi_j\colon \sigma(T_1)\times \cdots\times \sigma(T_N)\ni (\lambda_1,\ldots,\lambda_N)\mapsto \lambda_j\in \sigma(T_j)
$$
とおくと、
$$
E^T(\pi_j^{-1}(B))=E^{T_j}(B)\quad(\forall B\in \mathcal{B}_{\sigma(T_j)})
$$
であるから、任意のBorel関数 $f_j\colon \sigma(T_j)\rightarrow \mathbb{C}$ に対し、単関数近似により、
$$
f_j(T_j)=\int_{\sigma(T_j}f_j(\lambda)dE^{T_j}(\lambda)
=\int_{\sigma(T_1)\times \cdots\times \sigma(T_N)}f_j(\lambda_j)dE^T(\lambda_1,\ldots,\lambda_N)=(f_j\circ \pi_j)(T)
$$
が成り立つことが分かる。よってBorel関数
$$
f_1\otimes \cdots\otimes f_N=(f_1\circ \pi_1)\cdots (f_N\circ \pi_N)\colon\sigma(T_1)\times \cdots\times \sigma(T_N)\rightarrow \mathbb{C}
$$
に対し、[[Hilbert空間上の作用素論]]の'''命題6.8'''の $(3)$ より、
$$
(f_1\otimes\cdots\otimes f_N)(T)=\overline{f_1(T_1)\cdots f_N(T_N)}
$$
が成り立つ。特に、
$$
e^{ix\cdot T}=e^{ix_1T_1}\cdots e^{ix_NT_N}\quad(\forall x\in \mathbb{R}^N)
$$
である。

===定理5.16（Stoneの定理（$N$ 次元版）)===
$\mathbb{R}^N$ の任意のユニタリ表現 $\pi$ に対し、$\mathcal{H}_{\pi}$ 上の $N$ 個の互いに強可換な自己共役作用素からなる組 $T=(T_1,\ldots,T_N)$ で、
$$
\pi(x)=e^{ix\cdot T}\quad(\forall x\in \mathbb{R}^N)
$$
（右辺については'''定義5.15'''を参照）を満たすものが唯一つ存在する。
{{begin|proof}}
SNAGの定理（'''定理5.11'''）と'''命題5.6'''の $(1)$ より、射影値測度 $E_{\pi}\colon \mathcal{B}_{\mathbb{R}^N}\rightarrow \mathbb{P}(\mathcal{H}_{\pi})$ で、
$$
\pi(x)=\int_{\mathbb{R}^N}e^{ix\cdot\lambda}dE_{\pi}(\lambda)\quad(\forall x\in \mathbb{R}^N)
$$
を満たすものが唯一つ存在する。各 $j\in \{1,\ldots,N\}$ に対し、
$$
T_j\colon=\int_{\mathbb{R}^N}\lambda_jdE_{\pi}(\lambda)
$$
とおくと、被積分関数が実数値であるから $T_j$ は自己共役作用素であり（[[Hilbert空間上の作用素論]]の'''命題6.8'''の $(2)$）、[[Hilbert空間上の作用素論]]の'''命題8.6'''より、任意のBorel関数 $f\colon \sigma(T_j)\rightarrow\mathbb{C}$ に対し、
$$
f(T_j)=\int_{\mathbb{R}^N}f(\lambda_j)dE_{\pi}(\lambda)
$$
が成り立つ。特に、
$$
e^{ixT_j}=\int_{\mathbb{R}^N}e^{ix\lambda_j}dE_{\pi}(\lambda)\quad(\forall x\in \mathbb{R}^N)
$$
が成り立つ。よって任意の $j,k\in\{1,\ldots,N\}$、任意の $x_j,x_k\in \mathbb{R}$ に対し、
$$
e^{ix_jT_j}e^{ix_kT_k}=\int_{\mathbb{R}^N}e^{ix_j\lambda_j}e^{ix_k\lambda_k}dE_{\pi}(\lambda)
=e^{ix_kT_k}e^{ix_jT_j}
$$
であるから、$T_1,\ldots,T_N$ は互いに強可換であり、$T=(T_1,\ldots,T_N)$ に対し、
$$
e^{ix\cdot T}=e^{ix_1T_1}\cdots e^{ix_NT_N}=\int_{\mathbb{R}^N}e^{ix_1\lambda_1}\cdots e^{ix_N\lambda_N}dE_{\pi}(\lambda)=\pi(x)\quad(\forall x\in \mathbb{R}^N)
$$
である。これで存在が示せた。一意性を示す。$T=(T_1,\ldots,T_N)$, $S=(S_1,\ldots,S_N)$ をそれぞれ互いに強可換な自己共役作用素の組とし、
$$
e^{ix\cdot T}=\pi(x)=e^{ix\cdot S}\quad(\forall x\in \mathbb{R}^N)
$$
が成り立つとする。このとき各 $j\in \{1,\ldots,N\}$ に対し、
$$
e^{ixT_j}=e^{ixS_j}\quad(\forall x\in \mathbb{R})
$$
であるから、[[Hilbert空間上の作用素論]]の'''補題21.3'''より、$T_j=S_j$ である。これで一意性が示せた。
{{end|proof}}

===定義5.17（$\nu\in M(\widehat{G})$ に対する特性関数 $\widehat{\nu}$）===
$G$ を局所コンパクト可換群、$\widehat{G}$ を $G$ の双対群、$M(\widehat{G})$ を $\widehat{G}$ 上の測度群環（'''定義1.28'''）とする。任意の $\nu\in M(\widehat{G})$ に対し、
$$
\widehat{\nu}\colon G\rightarrow\mathbb{C},\quad
\widehat{\nu}(x)\colon=\int_{\widehat{G}}\langle x,\gamma\rangle d\nu(\gamma)\quad(\forall x\in G)
$$
なる有界連続関数<ref> $G$ は第二可算と仮定しているので第一可算である。Lebesgue優収束定理より $\widehat{\nu}$ は $G$ の収束する点列を $\mathbb{C}$ の収束する点列に写す。よって $\widehat{\nu}$ は連続である。</ref>を定義する。これを $\nu\in M(\widehat{G})$ に対する特性関数と言う。

===命題5.18（特性関数の基本性質）===
$G$ を局所コンパクト可換群、$\widehat{G}$ を $G$ の双対群とし、
$$
M(\widehat{G})\ni \nu\mapsto \widehat{\nu}\in C_b(G)\quad\quad(*)
$$
を考える。
*$(1)$　$(*)$ は $*$-環準同型写像である。
*$(2)$　$(*)$ は単射である。
{{begin|proof}}
*$(1)$　$(*)$ が線形写像であることは明らかである。任意の $\nu_1,\nu_2\in M(\widehat{G})$ に対し'''命題1.29'''の証明より、
$$
\begin{aligned}
(\widehat{\nu_1*\nu_2})(x)&=\int_{\widehat{G}}\langle x,\gamma\rangle d(\nu_1*\nu_2)(\gamma)
=\int_{\widehat{G}}\left(\int_{\widehat{G}}\langle x,\gamma_1\gamma_2\rangle d\nu_1(\gamma_1)\right)d\nu_2(\gamma_2)\\
&=\int_{\widehat{G}}\left(\int_{\widehat{G}}\langle x,\gamma_1\rangle \langle x,\gamma_2\rangle d\nu_1(\gamma_1)\right)d\nu_2(\gamma_2)
=\int_{\widehat{G}}\langle x,\gamma_1\rangle d\nu_1(\gamma_1)\int_{\widehat{G}}\langle x,\gamma_2\rangle d\nu_2(\gamma_2)\\
&=\widehat{\nu_1}(x)\widehat{\nu_2}(x)\quad(\forall x\in G)
\end{aligned}
$$
であるから $(*)$ は乗法を保存する。また任意の $\nu\in M(\widehat{G})$ に対し'''命題1.29'''の証明より、
$$
\widehat{\nu^*}(x)=\int_{\widehat{G}}\langle x,\gamma\rangle d\nu^*(\gamma)=\overline{\int_{\widehat{G}}\overline{\langle x,\gamma^{-1}\rangle}d\nu(\gamma)}=\overline{\int_{\widehat{G}}\langle x,\gamma\rangle d\nu(\gamma)}=\overline{\widehat{\nu}(x)}
$$
であるから $(*)$ は $*$-演算を保存する。
*(2)　$\mu\colon \mathcal{B}_G\rightarrow [0,\infty]$ を $G$ のHaar測度とし、$\mathcal{F}\colon C^*(G,\mu)\rightarrow C_0(\widehat{G})$ をFourier変換（'''定理5.7'''）とすると、任意の $\nu\in M(\widehat{G})$ に対し、Fubiniの定理より、
$$
\begin{aligned}
\int_{G}f(x)\widehat{\nu}(x)d\mu(x)&=\int_{G}f(x)\left(\int_{\widehat{G}}\langle x,\gamma\rangle d\nu(\gamma)\right)d\mu(x)=\int_{\widehat{G}}\left(\int_{G}f(x)\langle x,\gamma\rangle d\mu(x)\right)d\nu(\gamma)\\
&=\int_{\widehat{G}}(\mathcal{F}[f])(\gamma)d\nu(\gamma)\quad(\forall [f]\in L^1(G,\mu))\quad\quad(**)
\end{aligned}
$$
が成り立つ。今、$\nu_1,\nu_2\in M(\widehat{G})$ が $\widehat{\nu_1}=\widehat{\nu_2}$ を満たすとする。このとき $(**)$ より、
$$
\int_{\widehat{G}}(\mathcal{F}[f])(\gamma)d\nu_1(\gamma)=
\int_{G}f(x)\widehat{\nu_1}(x)d\mu(x)
=\int_{G}f(x)\widehat{\nu_2}(x)d\mu(x)
=\int_{\widehat{G}}(\mathcal{F}[f])(\gamma)d\nu_2(\gamma)
$$
であり、'''系5.8'''より $\mathcal{F}(L^1(G,\mu))$ は $C_0(\widehat{G})$ で稠密であるので、
$$
\int_{\widehat{G}}h(\gamma)d\nu_1(\gamma)=\int_{\widehat{G}}h(\gamma)d\nu_2(\gamma)\quad(\forall h\in C_0(\widehat{G}))
$$
が成り立つ。よってRiesz-Markov-角谷の表現定理（[[測度と積分7：局所コンパクトHausdorff空間上のRadon測度]]の'''定理34.1'''）より $\nu_1=\nu_2$ である。ゆえに $(*)$ は単射である。
{{end|proof}}

===定理5.19（Bochnerの定理）===
$G$ を局所コンパクト可換群、$\widehat{G}$ を $G$ の双対群とし、
$$
M_+(\widehat{G})=\{\nu\in M(\widehat{G}):\nu(B)\geq0\quad(\forall B\in \mathcal{B}_{\widehat{G}})\}
$$
とおき、$\mathcal{P}(G)$ を $G$ 上の正定値連続関数全体（'''定義2.26'''）とする。このとき、
$$
M_+(\widehat{G})\ni \nu\mapsto \widehat{\nu}\in \mathcal{P}(G)
$$
は全単射であり、ノルムを保存する。
{{begin|proof}}
$\mu\colon \mathcal{B}_G\rightarrow [0,\infty]$ を $G$ のHaar測度、$\mathcal{F}\colon C^*(G,\mu)\rightarrow C_0(\widehat{G})$ をFourier変換（'''定理5.7'''）とする。任意の $\nu\in M_+(\widehat{G})$ に対し、'''命題5.18'''の証明の $(**)$ より、
$$
\int_{G}([f]^**[f])(x)\widehat{\nu}(x)d\mu(x)=\int_{\widehat{G}}\mathcal{F}([f]^**[f])(\gamma)d\nu(\gamma)=\int_{\widehat{G}}\lvert (\mathcal{F}[f])(\gamma)\rvert^2d\nu(\gamma)\geq0\quad(\forall [f]\in L^1(G,\mu))
$$
であるから $\widehat{\nu}\in \mathcal{P}(G)$ である。そして'''系2.35'''より、
$$
\lVert \widehat{\nu}\rVert=\widehat{\nu}(1)=\int_{\widehat{G}}\langle 1,\gamma\rangle d\nu(\gamma)=\nu(\widehat{G})=\lVert \nu\rVert
$$
である。$M_+(\widehat{G})\ni \nu \mapsto \widehat{\nu}\in \mathcal{P}(G)$ が単射であることは'''命題5.18'''の $(2)$ による。全射であることを示す。任意の $p\in \mathcal{P}(G)\backslash \{0\}$ を取り、$p$ に対するGNS表現（'''定義2.34'''）を $(\pi,v)$ とおく。$\pi$ の $C^*(G,\mu)$ の表現への一意拡張（'''定義2.24'''）もそのまま $\pi\colon C^*(G,\mu)\rightarrow \mathbb{B}(\mathcal{H}_{\pi})$ と表す。Fourier変換 $\mathcal{F}\colon C^*(G,\mu)\rightarrow C_0(\widehat{G})$ は等長$*$-環同型写像である（'''定理5.7'''）から、
$$
C_0(\widehat{G})\ni h\mapsto (v\mid \pi(\mathcal{F}^{-1}(h))v)\in \mathbb{C}
$$
は非負値性を保存する有界線形汎関数である。よってRiesz-Markov-角谷の表現定理（[[測度と積分7：局所コンパクトHausdorff空間上のRadon測度]]の'''定理34.1'''と'''定理30.4'''）より $\nu\in M_+(\widehat{G})$ で、
$$
(v\mid \pi(\mathcal{F}^{-1}(h))v)=\int_{\widehat{G}}h(\gamma)d\nu(\gamma)\quad(\forall h\in C_0(\widehat{G}))
$$
を満たすものが定まる。任意の $[f]\in L^1(G,\mu)$ に対しFubiniの定理より、
$$
\begin{aligned}
\int_{G}f(x)p(x)d\mu(x)&=\int_{G}f(x)(v\mid \pi(x)v)d\mu(x)=(v\mid \pi([f])v)
=\int_{\widehat{G}}(\mathcal{F}[f])(\gamma)d\nu(\gamma)\\
&=\int_{\widehat{G}}\left(\int_{G}f(x)\langle x,\gamma\rangle d\mu(x)\right)d\nu(\gamma)
=\int_{G}f(x)\left(\int_{\widehat{G}}\langle x,\gamma\rangle d\nu(\gamma)\right)d\mu(x)\\
&=\int_{G}f(x)\widehat{\nu}(x)d\mu(x)
\end{aligned}
$$
となるから、$L^\infty(G,\mu)=(L^1(G,\mu))^*$（[[測度と積分5：$L^p$ 空間の完備性と双対性]]の'''定理23.4'''）と $p,\widehat{\nu}$ の連続性より $p=\widehat{\nu}$ が成り立つ（'''命題1.8'''より$G$の空でない開集合のHaar測度は正であることに注意）。よって $M_+(\widehat{G})\ni \nu\mapsto \widehat{\nu}\in \mathcal{P}(G)$ は全射である。
{{end|proof}}

===定理5.20（確率測度の収束と特性関数の収束）===
$G$ を局所コンパクト可換群、$\widehat{G}$ を $G$ の双対群とし、$(\nu_n)_{n\in \mathbb{N}}$ を $\widehat{G}$ 上の確率Borel測度の列、$\nu$ を $\widehat{G}$ 上の確率Borel測度とする。このとき次は互いに同値である。
*$(1)$　$M(\widehat{G})=(C_0(\widehat{G}))^*$（[[測度と積分7：局所コンパクトHausdorff空間上のRadon測度]]の'''定理34.1'''）の弱 $*$-位相で $\lim_{n\rightarrow\infty}\nu_n=\nu$.
*$(2)$　任意の $h\in C_0(\widehat{G})$ に対し、$\lim_{n\rightarrow\infty}\int_{\widehat{G}}h(\gamma)d\nu_n(\gamma)=\int_{\widehat{G}}h(\gamma)d\nu(\gamma)$.
*$(3)$　コンパクト一様収束位相（'''定義2.38'''）で $\lim_{n\rightarrow\infty}\widehat{\nu_n}=\widehat{\nu}$.
*$(4)$　任意の $x\in G$ に対し $\lim_{n\rightarrow\infty}\widehat{\nu_n}(x)=\widehat{\nu}(x)$.
また $(1)\sim (4)$ が成り立つとき、$\nu(\partial B)=0$ を満たす任意の $B\in \mathcal{B}_{\widehat{G}}$ に対し、
$$
\lim_{n\rightarrow\infty}\nu_n(B)=\nu(B)
$$
が成り立つ（ただし $\partial B=\overline{B}\backslash B^{\circ}$ である）。
{{begin|proof}}
まずBochnerの定理（'''定理5.19'''）より $\widehat{\nu_n},\widehat{\nu}\in \mathcal{P}_1(G)$（'''定義2.36'''）である。$\mu\colon \mathcal{B}_G\rightarrow [0,\infty]$ を $G$ のHaar測度、$\mathcal{F}\colon C^*(G,\mu)\rightarrow C_0(\widehat{G})$ をFourier変換（'''定理5.7'''）とする。 
$(1)\Leftrightarrow (2)$ はRiesz-Markov-角谷の表現定理（[[測度と積分7：局所コンパクトHausdorff空間上のRadon測度]]の'''定理34.1'''）と弱 $*$-位相に関する収束の特徴付け（[[位相線形空間2：セミノルム位相と汎弱位相]]の'''注意10.2'''）による。 
$(2)\Rightarrow(3)$ を示す。
$(2)$ が成り立つとすると、'''命題5.18'''の証明の $(**)$ より、任意の $[f]\in L^1(G,\mu)$ に対し、
$$
\int_{G}f(x)\widehat{\nu_n}(x)d\mu(x)=\int_{\widehat{G}}(\mathcal{F}[f])(\gamma)d\nu_n(\gamma)\rightarrow\int_{\widehat{G}}(\mathcal{F}[f])(\gamma)d\nu(\gamma)=\int_{G}f(x)\widehat{\nu}(x)d\mu(x)
$$
が成り立つ。よって'''定理2.39'''より $(3)$ が成り立つ。 
$(3)\Rightarrow(4)$ は自明である。 
$(4)\Rightarrow(1)$ を示す。$(4)$ が成り立つとすると、'''命題5.18'''の証明の $(**)$ とLebesgue優収束定理より任意の $[f]\in L^1(G,\mu)$ に対し、
$$
\int_{\widehat{G}}(\mathcal{F}[f])(\gamma)d\nu_n(\gamma)=
\int_{G}f(x)\widehat{\nu_n}(x)d\mu(x)\rightarrow\int_{G}f(x)\widehat{\nu}(x)d\mu(x)
=\int_{\widehat{G}}(\mathcal{F}[f])(\gamma)d\nu(\gamma)
$$
が成り立つ。このことと $\mathcal{F}(L^1(G,\mu))$ が $C_0(\widehat{G})$ で稠密であること（'''系5.8'''）、各 $\nu_n,\nu\in M(\widehat{G})=(C_0(\widehat{G}))^*$ のノルムが $1$ であることから、任意の $h\in C_0(\widehat{G})$ に対し $\int_{\widehat{G}}h(\gamma)d\nu_n(\gamma)\rightarrow \int_{\widehat{G}}h(\gamma)d\nu(\gamma)$ が成り立つ。よって $(1)$ が成り立つ。 
$(1)\sim(4)$ が成り立つとする。任意の開集合 $V\subset \widehat{G}$ を取る。$f\prec V$（[[測度と積分7：局所コンパクトHausdorff空間上のRadon測度]]の'''定義29.1'''）なる任意の $f\in C_{c,+}(\widehat{G})$ に対し、$(2)$ と $0\leq f(\gamma)\leq \chi_V((\gamma)$ $(\forall \gamma\in \widehat{G})$ より、
$$
\int_{\widehat{G}}f(\gamma)d\nu(\gamma)=\lim_{n\rightarrow\infty}\int_{\widehat{G}}f(\gamma)d\nu_n(\gamma)=\sup_{n\in \mathbb{N}}\inf_{k\geq n}\int_{\widehat{G}}f(\gamma)d\nu_k(\gamma)\leq \sup_{n\in \mathbb{N}}\inf_{k\geq n}\nu_k(V)
$$
である。よって[[測度と積分7：局所コンパクトHausdorff空間上のRadon測度]]の'''命題29.4'''の $(2)$ より、
$$
\nu(V)=\sup\left\{\int_{\widehat{G}}f(\gamma)d\nu(\gamma):f\prec V\right\}
\leq \sup_{n\in \mathbb{N}}\inf_{k\geq n}\nu_k(V)
$$
が成り立つ。また任意の閉集合 $F\subset \widehat{G}$ に対し、
$$
1-\nu(F)=\nu(\widehat{G}\backslash F)\leq \sup_{n\in \mathbb{N}}\inf_{k\geq n}\nu_k(\widehat{G}\backslash F)=\sup_{n\in\mathbb{N}}\inf_{k\geq n}(1-\nu_k(F))
=1-\inf_{n\in \mathbb{N}}\sup_{k\geq n}\nu_k(F)
$$
であるから、
$$
\inf_{n\in \mathbb{N}}\sup_{k\geq n}\nu_k(F)\leq \nu(F)
$$
が成り立つ。今、$B\in \mathcal{B}_{\widehat{G}}$ が $\nu(\partial B)=0$ を満たすとする。$B\subset \overline{B}=B^{\circ}\cup \partial B$ であるから、
$$
\nu(B)\leq \nu(\overline{B})=\nu(B^{\circ})+\nu(\partial B)=\nu(B^{\circ})\leq \nu(B),
$$
よって、
$$
\nu(B)=\nu(\overline{B})=\nu(B^{\circ})
$$
である。開集合 $B^{\circ}$ と閉集合 $\overline{B}$ に対し、上で示した不等式を適用し、
$$
\begin{aligned}
\nu(B)&=\nu(B^{\circ})\leq \sup_{n\in \mathbb{N}}\inf_{k\geq n}\nu_k(B^{\circ})
\leq \sup_{n\in \mathbb{N}}\inf_{k\geq n}\nu_k(B)\leq \inf_{n\in \mathbb{N}}\sup_{k\geq n}\nu_k(B)\\
&\leq \inf_{n\in \mathbb{N}}\sup_{k\geq n}\nu_k(\overline{B})\leq \nu(\overline{B})=\nu(B)
\end{aligned}
$$
を得る。よって、
$$
\nu(B)=\sup_{n\in \mathbb{N}}\inf_{k\geq n}\nu_k(B)=\inf_{n\in \mathbb{N}}\sup_{k\geq n}\nu_k(B)
$$
であるから、$\nu(B)=\lim_{n\rightarrow\infty}\nu_n(B)$ が成り立つ。
{{end|proof}}

==6. 離散群のユニタリ表現==
これまで簡単のため、局所コンパクト群は断ることなく第二可算公理を満たすとしてきた。第二可算な離散群は可算であるが、離散群に対しては可算性を仮定しなくてもこれまで示した結果がほとんど自明に従う。非可算離散群に関する結果（'''定理6.6'''）を、後の記事（[[Fock空間、CCRとCARの表現]]）で使うところがあるので、一応、改めてまとめておく。

===命題6.1（離散群の表現の基本性質）===
$G$ を可算とは限らない離散群とする。
*$(1)$　$G$ のHaar測度は数え上げ測度の正数倍である。
*$(2)$　Banach空間 $\ell^1(G)$（[[測度と積分6：数え上げ測度と $\ell^p$ 空間]]を参照）は、
$$
f*g\colon=\sum_{y\in G}f(y)L_yg\in \ell^1(G),\quad f^*(x)\colon=\overline{f(x^{-1})}\quad(\forall x\in G,\forall f,g\in \ell^1(G))
$$
を乗法と対合としてBanach $*$-環である（'''命題1.24'''に相当）。また任意の $x\in G$ に対し $\delta_x\in \ell^1(G)$ を、
$$
\delta_x(y)\colon=\begin{cases}1\quad&(y= x)\\0&(y\neq x)\end{cases}
$$
とおくと、
$$
\delta_x*f=L_xf,\quad f*\delta_x=R_{x{-1}}f\quad(\forall x\in G,\forall f\in \ell^1(G))
$$
であり、$G$ の単位元 $1\in G$ に対し $\delta_1\in \ell^1(G)$ は $\ell^1(G)$ の単位元である。
*$(3)$　$\pi\colon G\rightarrow\mathbb{U}(\mathcal{H}_{\pi})$ を $G$ のユニタリ表現とする。任意の $f\in \ell^1(G)$ に対し $\pi(f)\in \mathbb{B}(\mathcal{H}_{\pi})$ を、
$$
\pi(f)v\colon=\sum_{x\in G}f(x)\pi(x)v\in \mathcal{H}_{\pi}\quad(\forall v\in \mathcal{H}_{\pi})
$$
として定義すると、
$$
\ell^1(G)\ni f\mapsto \pi(f)\in \mathbb{B}(\mathcal{H}_{\pi})
$$
は単位的（単位元を単位元に写す）$*$-環準同型写像である（'''命題2.16'''に相当）。
*$(4)$　与えられたHilbert空間 $\mathcal{H}$ と単位的 $*$-環準同型写像 $\rho\colon \ell^1(G)\rightarrow \mathbb{B}(\mathcal{H})$ に対し $G$ の $\mathcal{H}$ 上へのユニタリ表現 $\pi$ で、
$$
\pi(f)=\rho(f)\quad(\forall f\in \ell^1(G))
$$
を満たすものが唯一つ存在し、それは、
$$
\pi(x)=\rho(\delta_x)\quad(\forall x\in G)
$$
である（'''定理2.17'''に相当）。
*$(5)$　$G$ 上の正定値関数<ref>有界関数 $p\colon G\rightarrow\mathbb{C}$ が正定値関数であるとは、$\ell^1(G)$ 上の有界線形汎関数 $\Phi_p\colon \ell^1(G)\ni f\mapsto \sum_{x\in G}f(x)p(x)\in \mathbb{C}$ が任意の $f\in \ell^1(G)$ に対し $\Phi_p(f^**f)\geq0$ を満たすことを言う。</ref>全体 $\mathcal{P}(G)$ と $\ell^1(G)$ 上の有界非負線形汎関数全体 $\ell^1(G)^*_+$ に対し、
$$
\mathcal{P}(G)\ni p\mapsto \Phi_p\in \ell^1(G)^*_+
$$
は全単射である。また任意の $p\in \mathcal{P}(G)\backslash \{0\}$ に対し $G$ の巡回ベクトル付きユニタリ表現 $(\pi,v)$ で、
$$
p(x)=(v\mid \pi(x)v)\quad(\forall x\in G)
$$
を満たすもの（$p$ に対するGNS表現）がユニタリ同値を除いて一意的に定まる（'''定理2.33'''と'''定義2.34'''に書かれてあることに相当）。
*$(6)$　任意の $p\in \mathcal{P}(G)$ に対し $\lVert p\rVert=p(1)=\Phi_p(\delta_1)=\lVert\Phi_p\rVert$ が成り立つ（'''系2.35'''に相当）。よって $\mathcal{P}(G)$ のノルム $1$ の元全体
$$
\mathcal{P}_1(G)=\{p\in \mathcal{P}(G):\lVert p\rVert=1\}=\{p\in \mathcal{P}(G):p(1)=1\}
$$
は凸集合である。
*$(7)$　$p\in \mathcal{P}_1(G)$ に対するGNS表現を $(\pi,v)$ とすると、$p\in{\rm ext}(\mathcal{P}_1(G))$（凸集合 $\mathcal{P}_1(G)$ の端点）であることと、$\pi$ が既約であることは同値である（'''定理2.37'''に相当）。
*$(8)$　
$$
\mathcal{P}_1(G)\ni p\mapsto \Phi_p\in \{\Phi\in \ell^1(G)^*_+:\lVert \Phi\rVert=1\}
$$
は各点収束位相（$G$ は離散群であることからコンパクト一様収束位相に等しい）と弱 $*$-位相に関して同相写像である（'''定理2.39'''に相当）。
*$(9)$　台が有限集合である $G$ 上の複素数値関数全体 $c_c(G)$ に対し、
$$
c_c(G)={\rm span}(c_c(G)\cap \mathcal{P}(G))
$$
が成り立つ（'''定理2.30'''に相当）。
*$(10)$　凸集合 $\mathcal{P}_1(G)$ においてその端点全体の凸包 ${\rm conv}({\rm ext}(\mathcal{P}_1(G)))$ は各点収束位相で稠密である（'''定理2.40'''に相当）。
*$(11)$　$x\neq y$ なる任意の $x,y\in G$ に対し、$G$ の既約なユニタリ表現 $\pi$ で $\pi(x)\neq \pi(y)$ なるものが存在する（Gelfand-Raikovの定理（'''定理2.41'''）に相当）。
{{begin|proof}}
*$(1)$　容易に分かる。
*$(2)$　任意の $f,g\in \ell^1(G)$ に対し、
$$
\lVert f*g\rVert_1\leq \sum_{y\in G}\lVert f(y)L_yg\rVert_1=\sum_{y\in G}\lvert f(y)\rvert\lVert g\rVert_1=\lVert f\rVert_1\lVert g\rVert_1,
$$
$$
\lVert f^*\rVert_1=\sum_{x\in G}\lvert \overline{f(x^{-1})}\rvert=\sum_{x\in G}\lvert f(x)\rvert=\lVert f\rVert_1
$$
である。任意の $x\in G$ に対し $\ell^1(G)\ni f\mapsto f(x)\in \mathbb{C}$ は有界線形汎関数であるから、任意の $f,g\in \ell^1(G)$ に対し、
$$
(f*g)(x)=\left(\sum_{y\in G} f(y)L_yg\right)(x)=\sum_{y\in G}f(y)L_yg(x)
=\sum_{y\in G}f(y)g(y^{-1}x)\quad(\forall x\in G)
$$
である。これより任意の $f,g\in \ell^1(G)$ に対し、
$$
\begin{aligned}
(f*g)^*(x)&=\overline{(f*g)(x^{-1})}=\sum_{y\in G}\overline{f(y)g(y^{-1}x^{-1})}
=\sum_{y\in G}f^*(y^{-1})g^*(xy)\\
&=\sum_{y\in G}g^*(y)f^*(y^{-1}x)=(g^**f^*)(x)\quad(\forall x\in G)
\end{aligned}
$$
であるから、$(f*g)^*=g^**f^*$ である。また任意の $h\in \ell^1(G)$ に対し $\ell^1(G)\ni f\mapsto f*h\in \ell^1(G)$ は有界線形作用素であるから、
$$
\begin{aligned}
(f*g)*h&=\left(\sum_{y\in G}f(y)L_yg\right)*h=\sum_{y\in G}f(y)((L_yg)*h)\\
&=\sum_{y\in G}f(y)L_y(g*h)=f*(g*h)\quad(\forall f,g,h\in \ell^1()G)
\end{aligned}
$$
である。よって $\ell^1(G)$ はBanach $*$-環である。任意の $f\in \ell^1(G)$, $x,y\in G$ に対し、
$$
(\delta_x*f)(y)=\sum_{z\in G}\delta_x(z)f(z^{-1}y)=f(x^{-1}y)=L_xf(y),
$$
$$
(f*\delta_x)(y)=\sum_{z\in G}f(z)\delta_x(z^{-1}y)=f(yx^{-1})=R_{x^{-1}}f(y)
$$
であり、特に $\delta_1*f=f=f*\delta_1$ である。よって $\delta_1$ は $\ell^1(G)$ の単位元である。
*$(3)$　
$$
\begin{aligned}
\pi(x)\pi(f)v&=\sum_{y\in G}f(y)\pi(x)\pi(y)v=\sum_{y\in G}f(y)\pi(xy)v=\sum_{y\in G}f(x^{-1}y)\pi(y)v\\
&=\pi(L_xf)v\quad(\forall x\in G,\forall f\in \ell^1(G),\forall v\in \mathcal{H}_{\pi})
\end{aligned}
$$
であることと、任意の $v\in \mathcal{H}_{\pi}$ に対し、$\ell^1(G)\ni f\mapsto \pi(f)v\in \mathcal{H}_{\pi}$ が有界線形作用素であることから、
$$
\begin{aligned}
\pi(f*g)v&=\pi\left(\sum_{x\in G}f(x)L_xg\right)v
=\sum_{x\in G}f(x)\pi(L_xg)v=\sum_{x\in G}f(x)\pi(x)\pi(g)v\\
&=\pi(f)\pi(g)v\quad(\forall f,g\in \ell^1(G),\forall v\in \mathcal{H}_{\pi}),
\end{aligned}
$$
よって $\pi(f*g)=\pi(f)\pi(g)$ $(\forall f,g\in \ell^1(G))$ である。また、
$$
\begin{aligned}
(u\mid \pi(f^*)v)&=\sum_{x\in G}f^*(x)(u\mid \pi(x)v)=
\sum_{x\in G}\overline{f(x^{-1})}(\pi(x^{-1})u\mid v)\\
&=\sum_{x\in G}\overline{f(x)}(\pi(x)u\mid v)
=\sum_{x\in G}(f(x)\pi(x)u\mid v)\\
&=(\pi(f)u\mid v)=(u\mid \pi(f)^*v)\quad(\forall f\in \ell^1(G),\forall u,v\in \mathcal{H}_{\pi})
\end{aligned}
$$
であるから $\pi(f^*)=\pi(f)^*$ $(\forall f\in \ell^1(G))$ である。そして、
$$
\pi(\delta_1)v=\sum_{x\in G}\delta_1(x)\pi(x)v=v\quad(\forall v\in \mathcal{H}_{\pi})
$$
であるから $\pi(\delta_1)=1$ である。よって $\ell^1(G)\ni f\mapsto \pi(f)\in \mathbb{B}(\mathcal{H}_{\pi})$ は単位的な $*$-環準同型写像である。
*$(4)$
$$
\delta_x*\delta_y=\delta_{xy},\quad (\delta_x)^*=\delta_{x^{-1}}\quad(\forall x,y\in G)
$$
であることと $\rho\colon \ell^1(G)\rightarrow \mathbb{B}(\mathcal{H})$ が単位的な $*$-環準同型写像であることから、
$$
\pi(x)\colon =\rho(\delta_x)\quad(\forall x\in G)
$$
によって $G$ の $\mathcal{H}$ 上へのユニタリ表現 $\pi\colon G\rightarrow\mathbb{U}(\mathcal{H})$ が定まる。そして任意の $v\in \mathcal{H}$ に対し $\ell^1(G)\ni f\mapsto \rho(f)v\in \mathcal{H}$ が有界線形作用素であることから、
$$
\pi(f)v=\sum_{x\in G}f(x)\pi(x)v=\sum_{x\in G}f(x)\rho(\delta_x)v=\rho\left(\sum_{x\in G}f(x)\delta_x\right)v=\rho(f)v\quad(\forall f\in \ell^1(G),\forall v\in \mathcal{H})
$$
なので $\pi(f)=\rho(f)$ $(\forall f\in \ell^1(G))$ である。よって存在が示せた。$G$ のユニタリ表現 $\pi_1,\pi_2\colon G\rightarrow\mathbb{U}(\mathcal{H})$ が $\pi_1(f)=\rho(f)=\pi_2(f)$ $(\forall f\in \ell^1(G))$ を満たすならば、
$$
\rho(\delta_x)v=\pi_j(\delta_x)v=\sum_{y\in G}\delta_x(y)\pi_j(y)v
=\pi_j(x)v\quad(\forall x\in G,\forall v\in \mathcal{H},j=1,2)
$$
であるので $\pi_1(x)=\rho(\delta_x)=\pi_2(x)$ $(\forall x\in G)$ である。よって一意性が示せた。
*$(5)$　$p_1,p_2\in \mathcal{P}(G)$ が $\Phi_{p_1}=\Phi_{p_2}$ を満たすならば、
$$
p_1(x)=\Phi_{p_1}(\delta_x)=\Phi_{p_2}(\delta_x)=p_2(x)\quad(\forall x\in G)
$$
であるから、$\mathcal{P}(G)\ni p\mapsto \Phi_p\in \ell^1(G)^*_+$ は単射である。任意の $\Phi\in \ell^1(G)^*_+\backslash \{0\}$ に対し、'''定理2.33'''と全く同様にして $G$ の巡回ベクトル付きユニタリ表現 $(\pi,v)$ で、
$$
\Phi(f)=(v\mid \pi(f)v)=\sum_{x\in G}f(x)(v\mid \pi(x)v)\quad(\forall f\in \ell^1(G))
$$
を満たすものが存在することが分かる。そこで $p(x)\colon=(v\mid \pi(x)v)$ $(\forall x\in G)$ とおけば $p\in \mathcal{P}(G)$, $\Phi=\Phi_p$ である。
*$(6)$　$p\in \mathcal{P}(G)\backslash \{0\}$ に対するGNS表現 $(\pi,v)$ を取ると、
$$
p(x)=(v\mid \pi(x)v)\quad(\forall x\in G),\quad \Phi_p(f)=(v\mid \pi(f)v)\quad(\forall f\in \ell^1(G))
$$
であるから、
$$
\lVert p\rVert=\sup_{x\in G}\lvert (v\mid \pi(x)v)\rvert\leq \lVert v\rVert^2=p(1)\leq \lVert p\rVert
$$
であり、
$$
\lVert \Phi_p\rVert=\sup_{\lVert f\rVert_1\leq 1}\lvert (v\mid \pi(f)v)\rvert\leq \lVert v\rVert^2=\Phi_p(\delta_1)\leq \lVert \Phi_p\rVert
$$
である。
*$(7)$　'''定理2.37'''と全く同様にして証明できる。
*$(8)$　$\mathcal{P}_1(G)\ni p\mapsto \Phi_p\in \{\Phi\in \ell^1(G)^*_+:\lVert \Phi\rVert=1\}$ が全単射であることは $(5),(6)$ による。$\mathcal{P}_1(G)$ のネット $(p_{\lambda})_{\lambda\in\Lambda}$ と $p\in \mathcal{P}_1(G)$ を取る。もし各点収束位相で $p_{\lambda}\rightarrow p$ ならば任意の $f\in c_c(G)$（台が有限集合の関数）に対し、
$$
\Phi_{p_{\lambda}}(f)=\sum_{x\in {\rm supp}(f)}f(x)p_{\lambda}(x)\rightarrow \sum_{x\in {\rm supp}(f)}f(x)p(x)=\Phi_p(f)
$$
である。そして $\ell^1(G)$ において $c_c(G)$ は稠密であり、$\lVert \Phi_{p_{\lambda}}\rVert=1$ $(\forall \lambda\in\Lambda)$, $\lVert \Phi_p\rVert=1$ であるので、
$$
\Phi_{p_{\lambda}}(f)\rightarrow\Phi_p(f)\quad(\forall f\in \ell^1(G))
$$
が成り立つ。ゆえに $\ell^1(G)^*$ の弱 $*$-位相で $\Phi_{p_{\lambda}}\rightarrow\Phi_p$ が成り立つから、ネットの収束による連続性の特徴付け（[[ネットによる位相空間論]]の'''定理3'''）より、$\mathcal{P}_1(G)\ni p\mapsto \Phi_p\in \{\Phi\in \ell^1(G)^*_+:\lVert \Phi\rVert=1\}$ は連続である。逆に $\ell^1(G)^*$ の弱$*$-位相で $\Phi_{p_{\lambda}}\rightarrow\Phi_p$ が成り立つならば、任意の $x\in G$ に対し、
$$
p_{\lambda}(x)=\Phi_{p_{\lambda}}(\delta_x)\rightarrow\Phi_{p}(\delta_x)=p(x)
$$
であるから、各点収束位相で$p_{\lambda}\rightarrow p$である。よって $\mathcal{P}_1(G)\ni p\mapsto \Phi_p\in \{\Phi\in \ell^1(G)^*_+:\lVert \Phi\rVert=1\}$ は同相写像である。
*$(9)$　任意の $f,g\in \ell^1(G)$ を取る。$x\in {\rm supp}(f*g)$ ならば、
$$
(f*g)(x)=\sum_{y\in G}f(y)g(y^{-1}x)\neq0
$$
であるから、${\rm supp}(f)$ と $G\ni y\mapsto g(y^{-1}x)\in \mathbb{C}$ の台 $x({\rm supp}(g))^{-1}$ は交わるので、$x\in {\rm supp}(f){\rm supp}(g)$ である。よって ${\rm supp}(f*g)\subset {\rm supp}(f){\rm supp}(g)$ であるから、
$$
f*g\in c_c(G)\quad(\forall f,g\in c_c(G))
$$
が成り立つ。今、$G$ のHilbert空間 $\ell^2(G)$ 上への正則表現
$$
\pi\colon G\rightarrow \mathbb{U}(\ell^2(G)),\quad \pi(x)\colon \ell^2(G)\ni f\mapsto L_xf\in \ell^2(G)
$$
を考える。任意の $f\in c_c(G)$ に対し $f_{-1}\in c_c(G)$ を $f_{-1}(x)\colon =f(x^{-1})$ $(\forall x\in G)$ として定義すると、
$$
(\overline{f}*f_{-1})(x)=\sum_{y\in G}\overline{f(y)}f_{-1}(y^{-1}x)
=\sum_{y\in G}\overline{f(y)}f(x^{-1}y)=(f\mid \pi(x)f)\quad(\forall x\in G)
$$
であるから、$\overline{f}*f_{-1}\in c_c(G)\cap \mathcal{P}(G)$ である。
$$
c_c(G)\times c_c(G)\ni (f,g)\mapsto \overline{f}*g_{-1}\in c_c(G)
$$
は準双線形写像であるから、
$$
\overline{f}*g_{-1}=\frac{1}{4}\sum_{k=0}^{3}i^k\overline{(f+i^kg)}*(f+i^kg)_{-1}\in {\rm span}(c_c(G)\cap \mathcal{P}(G))\quad(\forall f,g\in c_c(G))
$$
である。よって、
$$
f=\delta_1*f=\overline{\delta_1}*(f_{-1})_{-1}\in {\rm span}(c_c(G)\cap \mathcal{P}(G))\quad(\forall f\in c_c(G))
$$
であるから、$c_c(G)={\rm span}(c_c(G)\cap \mathcal{P}(G))$ である。
*$(10)$　$\ell^1(G)$ 上のノルムが $1$ の有界非負線形汎関数全体は $(6)$ より、
$$
S(\ell^1(G))=\{\Phi\in \ell^1(G)^*_+:\Phi(\delta_1)=1\}
$$
であるから弱 $*$-閉凸集合であり、Alaogluの定理（[[位相線形空間2：セミノルム位相と汎弱位相]]の'''定理10.3'''）より、$S(\ell^1(G))$ は弱 $*$-コンパクトな凸集合である。よってKrein-Milmanの端点定理（[[位相線形空間3：Hahn-Banachの定理とKrein-Milmanの端点定理]]の'''定理14.3'''）より、
$$
S(\ell^1(G))=\overline{{\rm conv}({\rm ext}(S(\ell^1(G))))}^{w^*\text{-topology}}
$$
である。よって $(8)$ より ${\rm conv}({\rm ext}(\mathcal{P}_1(G)))$ は $\mathcal{P}_1(G)$ において各点収束位相で稠密である。
*$(11)$　$x\neq y$ なる $x,y\in G$ に対し $\varphi(x)\neq \varphi(y)$ を満たす $\varphi\in c_c(G)$ が取れるので、$(9)$ より $p(x)\neq p(y)$ なる $p\in \mathcal{P}_1(G)$ が取れる。よって $(10)$ より $p(x)\neq p(y)$ なる $p\in {\rm ext}(\mathcal{P}_1(G))$ が取れる。ゆえに $(7)$ より既約なユニタリ表現 $\pi$ で $\pi(x)\neq \pi(y)$ なるものが取れる。
{{end|proof}}

===定理6.2（離散可換群の表現の基本性質）===
$G$ を可算とは限らない離散可換群とし、$\widehat{G}$ を $G$ の指標群<ref>$G$ から $\mathbb{T}$ への群準同型写像全体に各点ごとの演算を入れた群。</ref>とする。
*$(1)$　$G$ のユニタリ表現が既約であることと $1$ 次元であることは同値である。
*$(2)$　$\widehat{G}={\rm ext}(\mathcal{P}_1(G))$ が成り立つ。
*$(3)$　任意の $\gamma\in \widehat{G}$ に対し $\Phi_{\gamma}\colon \ell^1(G)\rightarrow\mathbb{C}$ を、
$$
\Phi_{\gamma}(f)\colon=\sum_{x\in G}f(x)\gamma(x)\in \mathbb{C}\quad(\forall f\in \ell^1(G))
$$
とおけば、$\Phi_{\gamma}\in \widehat{\ell^1(G)}$（単位的可換Banach環 $\ell^1(G)$ の指標）であり、
$$
\widehat{G}\ni \gamma\mapsto \Phi_{\gamma}\in \widehat{\ell^1(G)}
$$
は各点収束位相と弱 $*$-位相で同相写像である。
*$(4)$　任意の $\gamma\in \widehat{G}$ に対し $(2)$ における $\Phi_{\gamma}\in \widehat{\ell^1(G)}$ は群 $C^*$-環 $C^*(G)$（'''定義2.20'''）の指標 $\widetilde{\Phi_{\gamma}}\in \widehat{C^*(G)}$ に一意拡張でき、
$$
\widehat{G}\ni \gamma\mapsto \widetilde{\Phi_{\gamma}}\in \widehat{C^*(G)}
$$
は各点収束位相と弱 $*$-位相で同相写像である。
*$(5)$　$\widehat{G}$ は各点収束位相によりコンパクト可換群である。
{{begin|proof}}
*$(1)$　'''命題5.1'''と全く同様にして示せる。
*$(2)$　'''定理5.3'''の $(1)$ と全く同様にして示せる。
*$(3)$　'''定理5.3'''の $(2)$ と全く同様にして示せる。
*$(4)$　'''定理5.3'''の $(3)$ と全く同様にして示せる。
*$(5)$　$\ell^1(G)$ は単位的可換Banach環であるから、その指標空間 $\widehat{\ell^1(G)}$ は弱 $*$-位相でコンパクトである（[[Banach環とC*-環のスペクトル理論]]の'''定義5.6'''を参照）。よって $(3)$ より $\widehat{G}$ は各点収束位相でコンパクト群である。
{{end|proof}}

===定義6.3（離散可換群の双対群）===
$G$ を可算とは限らない離散可換群とする。'''定理6.2'''より $G$ の指標群 $\widehat{G}$ は各点収束位相によりコンパクト可換群である。コンパクト可換群 $H$ で $\widehat{G}$ と同相かつ群同型であるものを $G$ の双対群と言う。そして $H$ と $\widehat{G}$ の群同型同相写像は、一般論を論じる文脈では、
$$
H\ni \gamma\mapsto \langle \cdot,\gamma\rangle\in\widehat{G}
$$
によって表す。さらに以後、$G$ の双対群は指標群と同じ記号 $\widehat{G}$ で表す。

===定理6.4（離散可換群のFourier変換）===
$G$ を離散可換群とし、$\widehat{G}$ を $G$ の双対群、$C^*(G)$ を $G$ の群 $C^*$-環（'''定義2.20'''）とする。このとき等長 $*$-環同型写像
$$
\mathcal{F}\colon C^*(G)\rightarrow C(\widehat{G})
$$
で、
$$
\mathcal{F}f(\gamma)=\sum_{x\in G}f(x)\langle x,\gamma\rangle \quad(\forall f\in \ell^1(G),\forall \gamma\in \widehat{G})
$$
を満たすものが唯一つ存在する。$\mathcal{F}$ を離散可換群 $G$ におけるFourier変換と言う。
{{begin|proof}}
[[Banach環とC*-環のスペクトル理論]]の'''定理5.9'''より可換 $C^*$-環 $C^*(G)$ のGelfand変換
$$
\Gamma\colon C^*(G)\rightarrow C(\widehat{C^*(G)})\quad\quad(*)
$$
は等長$*$-環同型写像である。また'''定理6.2'''の $(4)$ より、
$$
\tau\colon \widehat{G}\ni \gamma\mapsto \widetilde{\Phi_{\gamma}}\in \widehat{C^*(G)}
$$
は同相写像であるから、
$$
\mathcal{T}\colon C(\widehat{C^*(G)})\ni h\mapsto h\circ \tau\in C(\widehat{G})\quad\quad(**)
$$
は等長$*$-環同型写像である。よって $(*),(**)$ の合成
$$
\mathcal{F}\colon=\mathcal{T}\circ\Gamma\colon C^*(G)\rightarrow C(\widehat{G})
$$
は等長$*$-環同型写像である。そして任意の $f\in \ell^1(G)\subset C^*(G)$, $\gamma\in \widehat{G}$ に対し、
$$
\mathcal{F}(f)(\gamma)=\mathcal{T}(\Gamma(f))(\gamma)=\Gamma(f)(\tau(\gamma))
=\Gamma(f)(\widetilde{\Phi_{\gamma}})=\Phi_{\gamma}(f)=\sum_{x\in G}f(x)\langle x,\gamma\rangle
$$
である。よって存在が示せた。一意性は $C^*(G)$ において $\ell^1(G)$ が稠密であることによる。
{{end|proof}}

===定理6.5（離散可換群のFourier変換に関するPlancherelの定理）===
$G$ を可算とは限らない離散可換群とし、$\widehat{G}$ を $G$ の双対群とする。そしてコンパクト群 $\widehat{G}$ のHaar測度を $\mu\colon \mathcal{B}_{\widehat{G}}\rightarrow [0,1]$ $(\mu(\widehat{G})=1)$ とする。<ref>Haar測度の存在（'''定理1.13'''）と一意性（'''定理1.14'''）の証明で局所コンパクト群の第二可算性は用いていないことに注意。</ref>このとき、
*$(1)$　任意の $x\in G$ に対し、
$$
\int_{\widehat{G}}\langle x,\gamma\rangle d\mu(\gamma)=\delta_1(x)=\begin{cases}1\quad&(x=1)\\0&(x\neq 1)\end{cases}
$$
が成り立つ。
*$(2)$　$G$ のFourier変換 $\mathcal{F}\colon \ell^1(G)\rightarrow C(\widehat{G})$ はHilbert空間 $\ell^2(G)$ からHilbert空間 $L^2(\widehat{G},\mu)$ へのユニタリ作用素に一意拡張できる。
{{begin|proof}}
*$(1)$　任意の $x\in G\backslash\{1\}$ に対し、Gelfand-Raikovの定理（'''命題6.1'''の $(11)$）と'''定理6.2'''の $(1)$ より $\langle x,\gamma_0\rangle\neq 1$ を満たす $\gamma_0\in \widehat{G}$ が取れる。$\mu$ はHaar測度であるから、
$$
\langle x,\gamma_0\rangle \int_{\widehat{G}}\langle x,\gamma\rangle d\mu(\gamma)
=\int_{\widehat{G}}\langle x,\gamma_0\gamma\rangle d\mu(\gamma)=\int_{\widehat{G}}\langle x,\gamma\rangle d\mu(\gamma)
$$
であるので、$\langle x,\gamma_0\rangle \neq1$ より、
$$
\int_{\widehat{G}}\langle x,\gamma\rangle d\mu(\gamma)=0
$$
である。ゆえに成り立つ。
*$(2)$　$(1)$ より任意の $f,g\in c_c(G)$ に対し、
$$
\begin{aligned}
(\mathcal{F}f\mid \mathcal{F}g)_2&=\int_{\widehat{G}}\overline{\mathcal{F}f(\gamma)}\mathcal{F}g(\gamma)d\mu(\gamma)=\sum_{\substack{x\in {\rm supp}(f),\\y\in {\rm supp}(g)}}\overline{f(x)}g(y)\int_{\widehat{G}}\overline{\langle x,\gamma\rangle}\langle y,\gamma\rangle d\mu(\gamma)\\
&=\sum_{\substack{x\in {\rm supp}(f),\\y\in {\rm supp}(g)}}\overline{f(x)}g(y)\int_{\widehat{G}}\langle x^{-1}y,\gamma\rangle d\mu(\gamma)=\sum_{\substack{x\in {\rm supp}(f),\\y\in {\rm supp}(g)}}\overline{f(x)}g(y)\delta_1(x^{-1}y)\\
&=\sum_{x\in {\rm supp}(f)}\overline{f(x)}g(x)=\sum_{x\in G}\overline{f(x)}g(x)=(f\mid g)_2
\end{aligned}
$$
であるから、$\mathcal{F}\colon c_c(G)\rightarrow L^2(\widehat{G},\mu)$ は内積を保存する。$C^*(G)$ において $\ell^1(G)$ は稠密であり、$\ell^1(G)$ において $c_c(G)$ は稠密であるので、$C^*(G)$ において $c_c(G)$ は稠密である。よって $\mathcal{F}\colon C^*(G)\rightarrow C(\widehat{G})$ の等長同型性より $\mathcal{F}(c_c(G))$ は $C(\widehat{G})$ で稠密である。また $C(\widehat{G})$ は $L^2(\widehat{G},\mu)$ において稠密である（[[測度と積分7：局所コンパクトHausdorff空間上のRadon測度]]の'''命題32.1'''）から、$\mathcal{F}(c_c(G))$ は $L^2(\widehat{G},\mu)$ においても稠密である。<ref>$\mu(\widehat{G})=1$ より $\lVert h\rVert_2\leq \lVert h\rVert$ $(\forall h\in C(\widehat{G}))$ であることに注意。</ref>ゆえに $\mathcal{F}\colon c_c(G)\rightarrow L^2(\widehat{G},\mu)$ の $\ell^2(G)=\overline{c_c(G)}^{\lVert \cdot\rVert_2}$ 上への一意拡張（[[位相線形空間1：ノルムと内積]]の'''命題3.6'''）は内積を保存する全射線形写像なのでユニタリ作用素である。
{{end|proof}}

===定理6.6===
$G$ を可算とは限らない離散可換群、$\widehat{G}$ を $G$ の双対群、$H\subset \widehat{G}$ を $\widehat{G}$ の閉部分群とする。もし任意の $x\in G\backslash \{1\}$ に対し $\langle x,\gamma\rangle \neq 1$ なる $\gamma\in H$ が存在するならば、$H=\widehat{G}$ が成り立つ。
{{begin|proof}}
コンパクト群 $\widehat{G}$ のHaar測度を $\mu\colon \mathcal{B}_{\widehat{G}}\rightarrow [0,1]$ $(\mu(\widehat{G})=1)$ とおき、コンパクト群 $H$ のHaar測度を $\mu_H\colon \mathcal{B}_H\rightarrow [0,1]$ $(\mu_H(H)=1)$ とおく。仮定より任意の $x\in G\backslash \{1\}$ に対し $\langle x,\gamma_0\rangle \neq1$ なる $\gamma_0\in H$ が取れる。$\mu_H$ はHaar測度であるから、
$$
\langle x,\gamma_0\rangle \int_{H}\langle x,\gamma\rangle d\mu_H(\gamma)=
\int_{H}\langle x,\gamma_0\gamma\rangle d\mu_H(\gamma)=\int_{H}\langle x,\gamma\rangle d\mu_H(\gamma)
$$
である。よって $\langle x,\gamma_0\rangle \neq1$ より、
$$
\int_{H}\langle x,\gamma\rangle d\mu_H(\gamma)=0
$$
であり、$\int_{H}\langle 1,\gamma\rangle d\mu_H(\gamma)=\mu_H(H)=1$ であるから、
$$
\int_{H}\langle x,\gamma\rangle d\mu_H(\gamma)=\delta_1(x)\quad(\forall x\in H)
$$
が成り立つ。よって'''定理6.5'''の $(1)$ より、
$$
\int_{\widehat{G}}\langle x,\gamma\rangle d\mu(\gamma)=\delta_1(x)=\int_{H}\langle x,\gamma\rangle d\mu_H(\gamma)\quad(\forall x\in G)
$$
である。ゆえに任意の $f\in \ell^1(G)$ に対し、
$$
\int_{\widehat{G}}\mathcal{F}f(\gamma)d\mu(\gamma)=\sum_{x\in G}f(x)\int_{\widehat{G}}\langle x,\gamma\rangle d\mu(\gamma)=\sum_{x\in G}f(x)\int_{H}\langle x,\gamma\rangle d\mu_H(\gamma)=\int_{H}\mathcal{F}f(\gamma)d\mu_H(\gamma)
$$
であるから、$C(\widehat{G})=\mathcal{F}(C^*(G))=\overline{\mathcal{F}(\ell^1(G))}$ より、
$$
\int_{\widehat{G}}h(\gamma)d\mu(\gamma)=\int_{H}h(\gamma)d\mu_H(\gamma)\quad(\forall h\in C(\widehat{G}))
$$
が成り立つ。これより $H\prec h$（[[測度と積分7：局所コンパクトHausdorff空間上のRadon測度]]の'''定義29.1'''）なる任意の $h\in C_+(\widehat{G})$ に対し、
$$
1=\int_{H}1d\mu_H(\gamma)=\int_{H}h(\gamma)d\mu_H(\gamma)=\int_{\widehat{G}}h(\gamma)d\mu(\gamma)
$$
であるから、位相正則測度の性質（[[測度と積分7：局所コンパクトHausdorff空間上のRadon測度]]の'''命題29.4'''）より、
$$
\mu(H)=\inf\left\{\int_{\widehat{G}}h(\gamma)d\mu(\gamma):H\prec h\right\}=1=\mu(\widehat{G})
$$
となる。よって $\mu(\widehat{G}\backslash H)=0$ が成り立つ。$\widehat{G}\backslash H$ は $\widehat{G}$ の開集合であり、空でない開集合のHaar測度は正である（'''命題1.8'''）ので、$\widehat{G}\backslash H=\emptyset$ である。ゆえに $H=\widehat{G}$ である。
{{end|proof}}

==7. 線形Lie群とそれに付随するLie代数、指数写像定理==

===定義7.1（対数の主値）===
$\mathbb{C}$ の開集合 $\mathbb{R}+i(-\pi,\pi)=\{z\in \mathbb{C}:-\pi<{\rm Im}(z)<\pi\}$ と $\mathbb{C}\backslash (-\infty,0]=\{z\in\mathbb{C}:z\notin (-\infty,0]\}$ に対し、
$$
\mathbb{R}+i(-\pi,\pi)\ni x+i\theta\mapsto \exp(x+i\theta)=e^xe^{i\theta}\in \mathbb{C}\backslash (-\infty,0]
$$
は全単射正則関数であり、各点での微分は$0$ではない。よって[[複素解析の初歩]]の'''定理1.7'''より、この逆関数
$$
{\rm Log}\colon \mathbb{C}\backslash(-\infty,0]\ni z\mapsto \log(\lvert z\rvert)+i{\rm Arg}(z)\in \mathbb{R}+i(-\pi,\pi)
$$
は正則関数であり、
$$
{\rm Log}'(z)=\frac{1}{\exp'({\rm Log}(z))}=\frac{1}{z}
$$
が成り立つ。正則関数 ${\rm Log}\colon \mathbb{C}\backslash (-\infty,0]\rightarrow\mathbb{C}$ を対数の主値と言う。

===命題7.2（対数の主値に対する正則汎関数計算）===
${\rm Log}\colon \mathbb{C}\backslash (-\infty,0]\rightarrow \mathbb{C}$ を対数の主値とし、$\mathcal{A}$ を単位的Banach環とする。このとき $\lVert A-1\rVert<1$ なる任意の $A\in \mathcal{A}$ に対し、正則汎関数計算（[[Banach環とC*-環のスペクトル理論]]の'''定義2.6'''）${\rm Log}(A)\in \mathcal{A}$ が定義でき、
$$
{\rm Log}(A)=\sum_{n\in \mathbb{N}}\frac{(-1)^{n-1}}{n}(A-1)^n
$$
が成り立つ。
{{begin|proof}}
任意の$\lambda\in \sigma(A)$に対し、$\lambda-1\in \sigma(A-1)$ であるから、[[Banach環とC*-環のスペクトル理論]]の'''命題1.10'''より、
$$
\lvert \lambda-1\rvert\leq {\rm spr}(A-1)\leq \lVert A-1\rVert<1
$$
である。よって、
$$
\sigma(A)\subset \{\lambda\in \mathbb{C}:\lvert \lambda-1\rvert<1\}\subset \mathbb{C}\backslash (-\infty,0]
$$
であるから、正則汎関数計算 ${\rm Log}(A)\in \mathcal{A}$ が定義できる。[[複素解析の初歩]]の'''定理6.1'''より、
$$
{\rm Log}(\lambda)=\sum_{n\in \mathbb{N}}\frac{(-1)^{n-1}}{n}(\lambda-1)^n\quad (\lvert \lambda-1\rvert<1)
$$
であるから、[[Banach環とC*-環のスペクトル理論]]の'''定理2.8'''より、
$$
{\rm Log}(A)=\sum_{n\in \mathbb{N}}\frac{(-1)^{n-1}}{n}(A-1)^n
$$
が成り立つ。
{{end|proof}}

===補題7.3===
$\mathcal{A}$ を単位的Banach環とする。このとき、
*$(1)$ $A,B\in \mathcal{A}$ がある $r\in [0,\infty)$ に対し $\lVert A\rVert,\lVert B\rVert\leq r$ を満たすならば、
$$
\lVert A^n-B^n\rVert\leq nr^{n-1}\lVert A-B\rVert\quad(\forall n\in \mathbb{Z}_+)
$$
が成り立つ。
*$(2)$ $A,B\in \mathcal{A}$ がある $r\in [0,\infty)$ に対し $\lVert A\rVert,\lVert B\rVert\leq r$ を満たすならば、
$$
\lVert \exp(A)-\exp(B)\rVert\leq e^r\lVert A-B\rVert
$$
が成り立つ。特に ${\cal A}\ni A\mapsto \exp(A)\in {\cal A}$は連続である。
*$(3)$ $A,B\in \mathcal{A}$ がある $r\in [0,1)$ に対し $\lVert A-1\rVert,\lVert B-1\rVert\leq r$ を満たすならば、
$$
\lVert {\rm Log}(A)-{\rm Log}(B)\rVert\leq \frac{1}{1-r}\lVert A-B\rVert
$$
が成り立つ。特に $\{A\in {\cal A}:\lVert A-1\rVert<1\}\ni A\mapsto {\rm Log}(A)\in {\cal A}$は連続である。
{{begin|proof}}
*$(1)$ $n\in \mathbb{Z}_+$ に関する帰納法で示す。$n=0$ の場合に成り立つことは自明である。ある $n\in \mathbb{Z}_+$ に対して成り立つと仮定する。
$$
A^{n+1}-B^{n+1}=A(A^n-B^n)+(A-B)B^n
$$
であるから、
$$
\begin{aligned}
\lVert A^{n+1}-B^{n+1}\rVert&\leq \lVert A(A^n-B^n)\rVert+\lVert (A-B)B^n\rVert\leq
\lVert A\rVert\lVert A^n-B^n\rVert+\lVert A-B\rVert\lVert B\rVert^n\\
&\leq rnr^{n-1}\lVert A-B\rVert+r^n\lVert A-B\rVert=(n+1)r^{n}\lVert A-B\rVert
\end{aligned}
$$
となる。よって $n+1$ の場合も成り立つ。
*$(2)$ [[Banach環とC*-環のスペクトル理論]]の'''命題3.2'''より $\exp(A)=\sum_{n\in \mathbb{Z}_+}\frac{A^n}{n!}$, $\exp(B)=\sum_{n\in \mathbb{Z}_+}\frac{B^n}{n!}$ であるから、$(1)$ より、
$$
\begin{aligned}
&\lVert \exp(A)-\exp(B)\rVert=\left\lVert \sum_{n\in \mathbb{N}}\frac{1}{n!}(A^n-B^n)\right\rVert\leq \sum_{n\in \mathbb{N}}\frac{1}{n!}\lVert A^n-B^n\rVert\\
&\leq \sum_{n\in \mathbb{N}}\frac{1}{(n-1)!}r^{n-1}\lVert A-B\rVert=e^r\lVert A-B\rVert
\end{aligned}
$$
である。
*$(3)$ '''命題7.2'''より ${\rm Log}(A)=\sum_{n\in \mathbb{N}}\frac{(-1)^{n-1}}{n}(A-1)^n$, ${\rm Log}(B)=\sum_{n\in\mathbb{N}}\frac{(-1)^{n-1}}{n}(B-1)^n$ であるから、$(1)$ より、
$$
\begin{aligned}
&\lVert {\rm Log}(A)-{\rm Log}(B)\rVert=\left\lVert \sum_{n\in\mathbb{N}}\frac{(-1)^{n-1}}{n}((A-1)^n-(B-1)^n)\right\rVert\\
&\leq\sum_{n\in\mathbb{N}}\frac{1}{n}\lVert (A-1)^n-(B-1)^n\rVert
\leq\sum_{n\in \mathbb{N}}r^{n-1}\lVert (A-1)-(B-1)\rVert\\
&=\sum_{n\in \mathbb{N}}r^{n-1}\lVert A-B\rVert=\frac{1}{1-r}\lVert A-B\rVert
\end{aligned}
$$
である。
{{end|proof}}

===定理7.4（Lieの積公式）===
$\mathcal{A}$ を単位的Banach環とする。任意の $A,B\in \mathcal{A}$ に対し、
$$
\exp(A+B)=\lim_{n\rightarrow\infty}\left(\exp\left(\frac{A}{n}\right)\exp\left(\frac{B}{n}\right)\right)^n
$$
が成り立つ。
{{begin|proof}}
任意の $A,B\in \mathcal{A}$ と任意の $r\in (0,1)$ を取り固定する。
$$
A_n\colon=\frac{A}{n},\quad B_n\colon=\frac{B}{n}\quad(\forall n\in \mathbb{N})
$$
とおく。'''補題7.3'''の $(2)$ より十分大きい $n_0\in \mathbb{N}$ を取れば、
$$
\lVert \exp(A_n+B_n)-1\rVert\leq r,\quad \lVert \exp(A_n)\exp(B_n)-1\rVert\leq r\quad(\forall n\geq n_0)\quad\quad(*)
$$
となる。そこで、
$$
C_n\colon={\rm Log}(\exp(A_n)\exp(B_n))-(A_n+B_n)\quad(\forall n\geq n_0)
$$
とおく。正則汎関数計算の合成（[[Banach環とC*-環のスペクトル理論]]の'''定理2.8'''の $(4)$ ）より、
$$
A_n+B_n={\rm Log}(\exp(A_n+B_n))\quad(\forall n\geq n_0)
$$
であるので、'''補題7.3'''の $(3)$ と $(*)$ より、
$$
\begin{aligned}
&\lVert C_n\rVert=\lVert {\rm Log}(\exp(A_n)\exp(B_n))-{\rm Log}(\exp(A_n+B_n))\rVert\\
&\leq \frac{1}{1-r}\lVert \exp(A_n)\exp(B_n)-\exp(A_n+B_n)\rVert\quad(\forall n\geq n_0)\quad\quad(**)
\end{aligned}
$$
が成り立つ。ここで任意の $n\in \mathbb{N}$ に対し、
$$
\exp(A_n)\exp(B_n)=\lim_{N\rightarrow\infty}\sum_{p=0}^{N}\sum_{q=0}^{N}\frac{A_n^p}{p!}\frac{B_n^q}{q!}=\lim_{N\rightarrow\infty}\sum_{m=0}^{2N}\sum_{p+q=m}\frac{A_n^p}{p!}\frac{B_n^q}{q!}
$$
なので、
$$
\begin{aligned}
&\exp(A_n)\exp(B_n)-\exp(A_n+B_n)=\lim_{N\rightarrow\infty}\sum_{m=0}^{2N}\left(\sum_{p+q=m}\frac{A_n^p}{p!}\frac{B_n^q}{q!}-\frac{(A_n+B_n)^m}{m!}\right)\\
&=\lim_{N\rightarrow\infty}\sum_{m=2}^{2N}\left(\sum_{p+q=m}\frac{A_n^p}{p!}\frac{B_n^q}{q!}-\frac{(A_n+B_n)^m}{m!}\right)
\end{aligned}
$$
であり、
$$
\left\lVert \sum_{p+q=m}\frac{A_n^p}{p!}\frac{B_n^q}{q!}-\frac{(A_n+B_n)^m}{m!}\right\rVert\leq 2\sum_{\substack{p+q=m,\\p,q\geq1}}\frac{\lVert A_n\rVert^p}{p!}\frac{\lVert B_n\rVert^q}{q!}\quad(\forall m\geq 2)
$$
であるから、
$$
\begin{aligned}
&\lVert \exp(A_n)\exp(B_n)-\exp(A_n+B_n)\rVert\leq \lim_{N\rightarrow\infty}2\sum_{m=2}^{2N}\sum_{\substack{p+q=m,\\p,q\geq1}}\frac{\lVert A_n\rVert^p}{p!}\frac{\lVert B_n\rVert^q}{q!}\\
&=2(\exp(\lVert A_n\rVert)-1)(\exp(\lVert B_n\rVert)-1)
\end{aligned}
$$
である。よって $\{n(\exp(\lVert A_n\rVert)-1)\}_{n\in \mathbb{N}}$ が有界であることと $(**)$ より、
$$
\lVert nC_n\rVert\leq \frac{2n}{1-r}(\exp(\lVert A_n\rVert)-1)(\exp(\lVert B_n\rVert)-1)\rightarrow0\quad(n\rightarrow\infty)\quad\quad(***)
$$
が成り立つ。$(*)$ より、
$$
A_n+B_n+C_n={\rm Log}(\exp(A_n)\exp(B_n))\quad(\forall n\geq n_0)
$$
であるから、正則汎関数計算の合成（[[Banach環とC*-環のスペクトル理論]]の'''定理2.8'''の $(4)$ ）より、
$$
\exp(A_n)\exp(B_n)=\exp(A_n+B_n+C_n)\quad(\forall n\geq n_0)\quad\quad(****)
$$
である。$(***)$ より、
$$
n(A_n+B_n+C_n)=A+B+nC_n\rightarrow A+B\quad(n\rightarrow\infty)
$$
であるから、$(****)$ と[[Banach環とC*-環のスペクトル理論]]の'''命題3.2'''より、
$$
(\exp(A_n)\exp(B_n))^n=(\exp(A_n+B_n+C_n))^n=\exp(n(A_n+B_n+C_n))\rightarrow \exp(A+B)\quad(n\rightarrow\infty)
$$
である。
{{end|proof}}

===命題7.5===
$\mathcal{A}$ を単位的Banach環とし、加法群 $\mathbb{R}$ から $\mathcal{A}$ の可逆元全体のなす乗法群 ${\rm GL}(\mathcal{A})$ への連続な群準同型写像 $\alpha\colon \mathbb{R}\ni t\mapsto \alpha(t)\in {\rm GL}(\mathcal{A})$ を考える。このとき $\alpha$ は各点で微分可能である。そして、
$$
A\colon=\frac{d\alpha}{dt}(0)\in\mathcal{A}
$$
とおくと $\alpha(t)=\exp(tA)$ $(\forall t\in \mathbb{R})$ が成り立つ。
{{begin|proof}}
$\alpha(0)=1$ であるから $\alpha$ の連続性より任意の $\epsilon\in (0,1)$ に対し $\delta\in (0,\infty)$ が存在し、
$$
\lVert \alpha(t)-1\rVert\leq\epsilon\quad(\forall t\in [-\delta,\delta])\quad\quad(*)
$$
が成り立つ。Urysohnの補題より台がコンパクトで滑らかな非負値関数 $\varphi\colon \mathbb{R}\rightarrow[0,\infty)$ で、
$$
{\rm supp}(\varphi)\subset [-\delta,\delta],\quad \int_{\mathbb{R}}\varphi(t)dt=1\quad\quad(**)
$$
を満たすものが取れる。台がコンパクトなBanach空間値連続関数 $\mathbb{R}\ni t\mapsto \varphi(t)\alpha(t)\in \mathcal{A}$ のBochner積分（[[測度と積分9：Bochner積分]]の'''定義44.1'''）として、
$$
B\colon=\int_{\mathbb{R}}\varphi(t)\alpha(t)dt\in \mathcal{A}
$$
を定義すると、$(*),(**)$ より、
$$
\lVert B-1\rVert=\left\lVert \int_{\mathbb{R}}\varphi(t)(\alpha(t)-1)dt\right\rVert\leq \int_{-\delta}^{\delta}\varphi(t)\lVert \alpha(t)-1\rVert dt\leq \epsilon<1
$$
であるから、[[Banach環とC*-環のスペクトル理論]]の'''命題1.2'''より、
$$
B=1-(1-B)\in {\rm GL}(\mathcal{A})
$$
である。
$$
B\alpha(t)=\int_{\mathbb{R}}\varphi(s)\alpha(s)\alpha(t)ds=\int_{\mathbb{R}}\varphi(s)\alpha(s+t)ds=\int_{\mathbb{R}}\varphi(s-t)\alpha(s)ds\quad(\forall t\in \mathbb{R})
$$
であり、$\varphi$ は台がコンパクトな滑らかな関数なので、Lebesgue優収束定理より、
$$
\mathbb{R}\ni t\mapsto B\alpha(t)=\int_{\mathbb{R}}\varphi(s-t)\alpha(s)ds\in \mathcal{A}
$$
が各点で微分可能である。よって、
$$
\alpha\colon \mathbb{R}\ni t\mapsto \alpha(t)=B^{-1}B\alpha(t)\in \mathcal{A}
$$
も各点で微分可能である。今、
$$
A\colon=\frac{d\alpha}{dt}(0)\in \mathcal{A}
$$
とおく。
$$
\alpha(t+h)=\alpha(h)\alpha(t)\quad(\forall t,h\in \mathbb{R})
$$
より、
$$
\frac{d\alpha}{dt}(t)=A\alpha(t)\quad(\forall t\in \mathbb{R})
$$
であり、
$$
\frac{d}{dt}(\exp(tA))=\frac{d}{dt}\sum_{n\in \mathbb{Z}_+}\frac{(tA)^n}{n!}
=\sum_{n\in\mathbb{N}}\frac{t^{n-1}A^n}{(n-1)!}=\exp(tA)A\quad(\forall t\in\mathbb{R})
$$
より、
$$
\begin{aligned}
&\frac{d}{dt}(\exp(-tA)\alpha(t))=\left(\frac{d}{dt}(\exp(-tA))\right)\alpha(t)
+\exp(-tA)\frac{d\alpha}{dt}(t)\\
&=\exp(-tA)(-A)\alpha(t)+\exp(-tA)A\alpha(t)=0\quad(\forall \in t\in \mathbb{R})
\end{aligned}
$$
であるので、微積分学の基本定理より、
$$
\exp(-tA)\alpha(t)=1\quad(\forall t\in \mathbb{R})
$$
が成り立つ。ゆえに $\alpha(t)=\exp(tA)$ $(\forall t\in \mathbb{R})$ が成り立つ。
{{end|proof}}

===定義7.6（線形Lie群）===
$\mathcal{V}$ を $\mathbb{C}$ 上の有限次元Hilbert空間とする。$\dim(\mathcal{V})=N\in \mathbb{N}$ とすると、$\dim(\mathbb{B}({\cal V}))=N^2$であるから、[[位相線形空間1：ノルムと内積]]の'''命題4.1'''より、$\mathbb{B}(\mathcal{V})$ は $\mathbb{C}^{N^2}$ と同相である。よって $\mathbb{B}(\mathcal{V})$ は第二可算公理を満たす局所コンパクトHausdorff空間である。また[[Banach環とC*-環のスペクトル理論]]の'''命題1.3'''より ${\rm GL}(\mathbb{B}(\mathcal{V}))$ は $\mathbb{B}(\mathcal{V})$ の開集合であるから${\rm GL}(\mathbb{B}(\mathcal{V}))$ も第二可算公理を満たす局所コンパクトHausdorff空間である。乗法群${\rm GL}(\mathbb{B}({\cal V}))$において乗法と逆元を取る演算は連続である（[[Banach環とC*-環のスペクトル理論]]の'''命題1.4'''）から、${\rm GL}(\mathbb{B}({\cal V}))$は局所コンパクト群である。したがって ${\rm GL}(\mathbb{B}(\mathcal{V}))$ の閉部分群も第二可算公理を満たす局所コンパクト群である。${\rm GL}(\mathbb{B}(\mathcal{V}))$の閉部分群を${\cal V}$上の線形Lie群と言う。

===定義7.7（典型的な線形Lie群）===
$\mathbb{B}(\mathbb{C}^N)$ の元を $\mathbb{C}^N$ の標準基底に関する行列表現と同一視し、$\mathbb{B}(\mathbb{C}^N)={\rm M}_{N\times N}(\mathbb{C})$ とみなす。
*$(1)$
$$
{\rm GL}(N,\mathbb{C})\colon={\rm GL}(\mathbb{B}(\mathbb{C}^N))=\{A\in \mathbb{M}_{N\times N}(\mathbb{C}):\text{$A$ は可逆}\}
$$
を $N$ 次の一般線形群と言う。
$$
{\rm GL}(N,\mathbb{R})\colon=\{A\in \mathbb{M}_{N\times N}(\mathbb{R}):\text{$A$ は可逆}\}
$$
は ${\rm GL}(N,\mathbb{C})$ の閉部分群であるから $\mathbb{C}^N$ 上の線形Lie群である。${\rm GL}(N,\mathbb{R})$ を $N$ 次の実一般線形群と言う。
*$(2)$
$\mathbb{M}_{N\times N}(\mathbb{C})\ni A\mapsto {\rm det}(A)\in \mathbb{C}$ は連続であるから、
$$
\begin{aligned}
&{\rm SL}(N,\mathbb{C})\colon=\{A\in {\rm GL}(N,\mathbb{C}):{\rm det}(A)=1\},\\
&{\rm SL}(N,\mathbb{R})\colon=\{A\in {\rm GL}(N,\mathbb{R}):{\rm det}(A)=1\}
\end{aligned}
$$
はそれぞれ ${\rm GL}(N,\mathbb{C})$ の閉部分群である。よっていずれも$\mathbb{C}^N$ 上の線形Lie群である。${\rm SL}(N,\mathbb{C})$ を $N$ 次の特殊線形群、${\rm SL}(N,\mathbb{R})$ を $N$ 次の実特殊線形群と言う。
*$(3)$
$$
\begin{aligned}
&{\rm O}(N)\colon=\{A\in {\rm GL}(N,\mathbb{R}):A^{\top}A=1\},\\
&{\rm SO}((N)\colon=\{A\in {\rm O}(N):{\rm det}(A)=1\}
\end{aligned}
$$
とおく。$\mathbb{M}_{N\times N}(\mathbb{C})=\mathbb{C}^{N^2}$ とみなしたとき、${\rm O}(N), {\rm SO}(N)$ は $\mathbb{C}^{N^2}$ の有界閉集合であるからコンパクトである。よって${\rm O}(N), {\rm SO}(N)$はそれぞれ${\rm GL}(N,\mathbb{C})$のコンパクト部分群であるから $\mathbb{C}^N$ 上のコンパクト線形Lie群である。${\rm O}(N)$ を $N$ 次の直交群、${\rm SO}(N)$ を $N$ 次の特殊直交群と言う。
*$(4)$
$$
\begin{aligned}
&{\rm U}(N)\colon=\{A\in {\rm GL}(N,\mathbb{C}):A^*A=1\},\\
&{\rm SU}(N)\colon=\{A\in {\rm U}(N):{\rm det}(A)=1\}
\end{aligned}
$$
とおく。$\mathbb{M}_{N\times N}(\mathbb{C})=\mathbb{C}^{N^2}$ とみなしたとき、${\rm U}(N), {\rm SU}(N)$ は $\mathbb{C}^{N^2}$ の有界閉集合であるからコンパクトである。よって${\rm U}(N),{\rm SU}(N)$はそれぞれ${\rm GL}(N,\mathbb{C})$のコンパクト部分群であるから $\mathbb{C}^N$ 上のコンパクト線形Lie群である。${\rm U}(N)$ を $N$ 次のユニタリ群、${\rm SU}(N)$ を $N$ 次の特殊ユニタリ群と言う。

===定義7.7（交換子積）===
$\mathcal{H}$ をHilbert空間、$S,T$ を $\mathcal{H}$ 上の線形作用素とする。
$$
D([S,T])=D(ST)\cap D(TS),\quad [S,T]\colon D([S,T])\ni v\mapsto STv-TSv\in \mathcal{H}
$$
なる $\mathcal{H}$ 上の線形作用素を定義する。<ref>ここでは一般的に $S,T$ が $\mathcal{H}$ 上の非有界線形作用素である場合も想定しており、$D(ST), D(TS)$ は $\mathcal{H}$ 上の線形作用素 $ST, TS$ の定義域である。[[Hilbert空間上の作用素論]]の'''定義3.1'''を参照のこと。$S,T\in \mathbb{B}(\mathcal{H})$ の場合はもちろん $D(ST)=D(TS)=\mathcal{H}$ である。</ref>$[S,T]$ を $S,T$ の交換子積と言う。

===定義7.8（線形Lie群に付随するLie代数）===
$\mathcal{V}$ を有限次元Hilbert空間、$G$ を $\mathcal{V}$ 上の線形Lie群（'''定義7.6'''）とする。
$$
{\rm Lie}(G)\colon=\{A\in \mathbb{B}(\mathcal{V}):\forall t\in \mathbb{R}, \exp(tA)\in G\}
$$
を $G$ に付随する ${\rm Lie}$ 代数と言う。${\rm Lie}(G)$ は次の基本性質を持つ（次の'''定理7.9'''）。
*$(1)$　${\rm Lie}(G)$ は実線形空間である。
*$(2)$　任意の $A\in {\rm Lie}(G)$, $g\in G$ に対し $g^{-1}Ag\in {\rm Lie}(G)$ である。
*$(3)$　任意の $A,B\in {\rm Lie}(G)$ に対し、$[A,B]\in {\rm Lie}(G)$ である。

===定理7.9（Lie代数の基本性質）===
'''定義7.8'''における $(1),(2),(3)$ が成り立つ。
{{begin|proof}}
*$(1)$　任意の $A,B\in {\rm Lie}(G)$、任意の $t\in \mathbb{R}$ に対し、Lieの積公式（'''定理7.4'''）と $G$ が ${\rm GL}(\mathbb{B}(\mathcal{V}))$ の閉部分群であることから、
$$
\exp(t(A+B))=\lim_{n\rightarrow\infty}\left(\exp\left(\frac{tA}{n}\right)\exp\left(\frac{tB}{n}\right)\right)^n\in G.
$$
よって $A+B\in {\rm Lie}(G)$ である。${\rm Lie}(G)$ が実数倍で閉じていることは自明である。よって ${\rm Lie}(G)$ は実線形空間である。
*$(2)$　任意の $A\in {\rm Lie}(G),g\in G,t\in \mathbb{R}$ に対し、
$$
(tg^{-1}Ag)^n=g^{-1}(tA)^ng\quad(\forall n\in \mathbb{N})
$$
であるから、
$$
\exp(tg^{-1}Ag)=\sum_{n\in \mathbb{Z}_+}\frac{(tg^{-1}Ag)^n}{n!}=\sum_{n\in \mathbb{Z}_+}g^{-1}\frac{(tA)^n}{n!}g=g^{-1}\exp(tA)g\in G.
$$
よって $g^{-1}Ag\in {\rm Lie}(g)$ である。
*$(3)$　任意の $A,B\in {\rm Lie}(G)$ に対し $(2)$ より、
$$
\exp(tA)B\exp(-tA)\in{\rm Lie}(G)\quad(\forall t\in \mathbb{R})
$$
であり、$(1)$ より ${\rm Lie}(G)$ は有限次元実線形空間なので、[[位相線形空間1：ノルムと内積]]の'''系4.3'''より、${\rm Lie}(G)$ は $\mathbb{B}(\mathcal{V})$ の閉実線形部分空間である。よって、
$$
[A,B]=\frac{d}{dt}(\exp(tA)B\exp(-tA))\big|_{t=0}\in {\rm Lie}(G)
$$
である。
{{end|proof}}

===補題7.10（行列の指数関数の行列式）===
任意の $A\in \mathbb{M}_{N\times N}(\mathbb{C})$ に対し、
$$
{\rm det}(\exp(A))=\exp({\rm Tr}(A))
$$
が成り立つ。
{{begin|proof}}
$\lambda\in \mathbb{C}$ を $A$ の固有値、$u_1\in \mathbb{C}^N$ を固有値 $\lambda$ に対する $A$ の固有ベクトルとし、$u_2,\ldots,u_N\in \mathbb{C}^N$ を $(u_1,\ldots,u_N)$ が $\mathbb{C}^N$ の基底となるように取る。このとき $U=(u_1,\ldots,u_N)\in {\rm GL}(N,\mathbb{C})$（行列の縦ベクトル表記）であり、ある $A'\in \mathbb{M}_{N-1,N-1}(\mathbb{C})$ に対し、
$$
(Au_1,\ldots,Au_N)=(u_1,\ldots,u_N)\begin{pmatrix}\lambda&*\\0&A'\end{pmatrix}
$$
と表せるので、
$$
U^{-1}AU=\begin{pmatrix}\lambda&*\\0&A'\end{pmatrix}
$$
である。このことと $N$ に関する帰納法により、任意の $N\in \mathbb{N}$, $A\in \mathbb{M}_{N\times N}(\mathbb{C})$ に対し、$U\in {\rm GL}(N,\mathbb{C})$ で $U^{-1}AU$ が上三角行列（対角成分より下の成分が全て $0$ の行列）となるものが取れることが分かる。今、任意の $A\in \mathbb{M}_{N\times N}(\mathbb{C})$ を取り、$B\colon=U^{-1}AU$ が上三角行列となるような $U\in {\rm GL}(N,\mathbb{C})$ を取る。このときトレースの性質（[[Hilbert空間上の作用素論]]の'''命題16.9'''の $(3)$）より、
$$
{\rm Tr}(A)={\rm Tr}(U^{-1}AU)={\rm Tr}(B)
$$
である。そして、
$$
\exp(A)=\sum_{n\in\mathbb{Z}_+}\frac{A^n}{n!}=\sum_{n\in \mathbb{Z}_+}\frac{(UBU^{-1})^n}{n!}=\sum_{n\in \mathbb{Z}_+}U\frac{B^n}{n!}U^{-1}=U\exp(B)U^{-1}
$$
より、
$$
{\rm det}(\exp(A))={\rm det}(U\exp(B)U^{-1})={\rm det}(U){\rm det}(\exp(B)){\rm det}(U)^{-1}={\rm det}(\exp(B))
$$
である。各 $n\in \mathbb{Z}_+$ に対し $B^n$ は上三角行列であるから $\exp(B)=\sum_{n\in \mathbb{Z}_+}\frac{B^n}{n!}$ も上三角行列であり、$B$ の対角成分を上から $\lambda_1,\ldots,\lambda_N$ とおくと、各 $B^n$ の対角成分は上から $\lambda_1^n,\ldots,\lambda_N^n$、したがって $\exp(B)$ の対角成分は上から $\exp(\lambda_1),\ldots,\exp(\lambda_N)$ である。ゆえに、
$$
{\rm det}(B)=\exp(\lambda_1)\cdots\exp(\lambda_N)=\exp(\lambda_1+\cdots+\lambda_N)
=\exp({\rm Tr}(B))
$$
である。よって、
$$
{\rm det}(A)={\rm det}(B)=\exp({\rm Tr}(B))=\exp({\rm Tr}(A))
$$
である。
{{end|proof}}

===命題7.11（典型的な線形Lie群に対するLie代数）===
'''定義7.7'''における線形Lie群に付随するLie代数について次が成り立つ。
*$(1)$　一般線形群 ${\rm GL}(N,\mathbb{C})$、実一般線形群 ${\rm GL}(N,\mathbb{R})$ に付随するLie代数は、
$$
\begin{aligned}
&{\rm Lie}({\rm GL}(N,\mathbb{C}))=\mathbb{M}_{N\times N}(\mathbb{C}),\\
&{\rm Lie}({\rm GL}(N,\mathbb{R}))=\mathbb{M}_{N\times N}(\mathbb{R})
\end{aligned}
$$
である。
*$(2)$　特殊線形群 ${\rm SL}(N,\mathbb{C})$、実特殊線形群 ${\rm SL}(N,\mathbb{R})$ に付随するLie代数は、
$$
\begin{aligned}
&{\rm Lie}({\rm SL}(N,\mathbb{C}))=\{A\in \mathbb{M}_{N\times N}(\mathbb{C}):{\rm Tr}(A)=0\},\\
&{\rm Lie}({\rm SL}(N,\mathbb{R}))=\{A\in \mathbb{M}_{N\times N}(\mathbb{R}):{\rm Tr}(A)=0\}
\end{aligned}
$$　
である。
*$(3)$　直交群 ${\rm O}(N)$、特殊直交群 ${\rm SO}(N)$ に付随するLie代数は、
$$
\begin{aligned}
&{\rm Lie}({\rm O}(N))=\{A\in \mathbb{M}_{N\times N}(\mathbb{R}):A^{\top}+A=0\},\\
&{\rm Lie}({\rm SO}(N))=\{A\in \mathbb{M}_{N\times N}(\mathbb{R}):A^{\top}+A=0\}
\end{aligned}
$$
である。
*$(4)$　ユニタリ群 ${\rm U}(N)$、特殊ユニタリ群 ${\rm SU}(N)$ に付随するLie代数は、
$$
\begin{aligned}
&{\rm Lie}({\rm U}(N))=\{A\in \mathbb{M}_{N\times N}(\mathbb{C}):A^*+A=0\},\\
&{\rm Lie}({\rm SU}(N))=\{A\in \mathbb{M}_{N\times N}(\mathbb{C}):A^*+A=0, {\rm Tr}(A)=0\}
\end{aligned}
$$
である。
{{begin|proof}}
任意の $A\in \mathbb{M}_{N\times N}(\mathbb{C})$ に対し、$tA$ と $-tA$ が可換であることから、[[Banach環とC*-環のスペクトル理論]]の'''命題3.2'''より、
$$
\exp(-tA)=\exp(tA)^{-1}\quad(\forall t\in \mathbb{R})
$$
である。よって${\rm Lie}({\rm GL}(N,\mathbb{C}))=\mathbb{M}_{N\times N}(\mathbb{C})$が成り立つ。また$A\in \mathbb{M}_{N\times N}(\mathbb{C})$に対し $t=0$における微分を考えれば、
$$
\exp(tA)\in {\rm GL}(N,\mathbb{R})\quad \Leftrightarrow\quad A\in \mathbb{M}_{N\times N}(\mathbb{R})
$$
であることが分かる。よって${\rm Lie}({\rm GL}(N,\mathbb{R}))=\mathbb{M}_{N\times N}(\mathbb{R})$が成り立つ。
'''補題7.10'''より、任意の $A\in \mathbb{M}_{N\times N}(\mathbb{C})$ に対し、
$$
{\rm det}(\exp(tA))=\exp({\rm Tr}(tA))\quad(\forall t\in \mathbb{R})
$$
であるから、
$$
{\rm det}(\exp(tA))=1\quad(\forall t\in\mathbb{R})\quad\Leftrightarrow\quad {\rm Tr}(A)=0
$$
が成り立つ。これより $(2)$ が成り立つ。また任意の $A\in \mathbb{M}_{N\times N}(\mathbb{C})$ に対し、
$$
\frac{d}{dt}(\exp(tA)^*\exp(tA))\big|_{t=0}=A^*+A
$$
であるから、
$$
\exp(tA)^*\exp(tA)=1\quad(\forall t\in \mathbb{R})\quad\Rightarrow \quad A^*+A=0
$$
である。逆に $A^*+A=0$ ならば $A$ と $A^*$ は可換なので、[[Banach環とC*-環のスペクトル理論]]の'''命題3.2'''より、
$$
\exp(tA)^*\exp(tA)=\exp(tA^*)\exp(tA)=\exp(t(A^*+A))=1\quad(\forall t\in \mathbb{R})
$$
であるから、
$$
A^*+A=0\quad\Rightarrow \quad \exp(tA)^*\exp(tA)=1\quad(\forall t\in \mathbb{R})
$$
も成り立つ。これらのことから $(3),(4)$ が成り立つ。
{{end|proof}}

===定理7.12（指数写像定理）===
$\mathcal{V}$ を有限次元Hilbert空間、$G$ を $\mathcal{V}$ 上の線形Lie群とする。このとき $0\in {\rm Lie}(G)$ の開近傍 $U\subset {\rm Lie}(G)$ と $1\in G$ の開近傍 $V\subset G$ で、
$$
U\ni A\mapsto \exp(A)\in V
$$
が同相写像となるものが取れる。
{{begin|proof}}
$\dim(\mathcal{V})=N$ とすると、$\mathbb{B}(\mathcal{V})$ は実線形空間として $2N^2$ 次元である。実線形空間 ${\rm Lie}(G)\subset \mathbb{B}(\mathcal{V})$ の基底を $e_1,\ldots,e_n$ として、これを延長して実線形空間 $\mathbb{B}(\mathcal{V})$ の基底 $e_1,\ldots,e_n,\ldots,e_{2N^2}$ を構成する。そして、
$$
\mathcal{D}\colon={\rm span}\{e_{n+1},\ldots,e_{2N^2}\}\subset \mathbb{B}(\mathcal{V})
$$
とおく。すると、
$$
\mathbb{B}(\mathcal{V})={\rm Lie}(G)\oplus \mathcal{D}
$$
と直和分解される。そこで、
$$
\Phi\colon \mathbb{B}(\mathcal{V})={\rm Lie}(G)\oplus \mathcal{D}\ni A+B\mapsto \exp(A)\exp(B)=\left(\sum_{n\in \mathbb{Z}_+}\frac{A^n}{n!}\right)\left(\sum_{n\in \mathbb{Z}_+}\frac{B^n}{n!}\right)\in \mathbb{B}(\mathcal{V})
$$
なる写像を定義する。各 $j\in \{1,\ldots,2N^2\}$ に対し、数え上げ測度に関するLebesgue優収束定理により、 $e_j$ に対応する成分に関する $\Phi$ の微分 $\partial_j\Phi$が存在し、
$\partial_1\Phi,\ldots,\partial_{2N^2}\Phi$ はそれぞれ連続であることが分かる。そして、
$$
\partial_j\Phi(0)=e_j\quad(j=1,\ldots,2N^2)
$$
であるから、逆関数定理（[[Euclid空間における微積分1]]の'''定理7.1'''）より、$0\in \mathbb{B}(\mathcal{V})$ の開近傍 $U_0\subset \mathbb{B}(\mathcal{V})$ と $1\in \mathbb{B}(\mathcal{V})$ の開近傍 $V_0\subset \mathbb{B}(\mathcal{V})$ で、
$$
\Phi\colon U_0\rightarrow V_0\quad\quad(1)
$$
が同相写像となるものが取れる。今、
$$
\Phi(U_0\cap {\rm Lie}(G))=\exp(U_0\cap {\rm Lie}(G))\quad\quad(2)
$$
が $1\in G$ の $G$ における近傍であることを背理法で示す。そこで $(2)$ が $1\in G$ の $G$ における近傍ではないと仮定する。このとき $G$ の列 $(g_n)_{n\in \mathbb{N}}$ で、
$$
g_n\in V_0\cap G,\quad g_n\notin \Phi(U_0\cap {\rm Lie}(G))\quad(\forall n\in\mathbb{N}),\quad \lim_{n\rightarrow\infty}g_n=1\quad\quad(3)
$$
なるものが取れる。$(1)$ は同相写像であることと $(3)$ より、${\rm Lie}(G)$ の列 $(A_n)_{n\in \mathbb{N}}$ と $\mathcal{D}$ の列 $(B_n)_{n\in \mathbb{N}}$ で、
$$
g_n=\Phi(A_n+B_n)=\exp(A_n)\exp(B_n),\quad B_n\neq0\quad(\forall n\in\mathbb{N}),\quad\quad(4)
$$
$$
A_n\rightarrow0,\quad B_n\rightarrow0\quad(n\rightarrow\infty)\quad\quad(5)
$$
なるものが取れる。$A_n\in {\rm Lie}(G)$ より $\exp(A_n)\in G$ $(\forall n\in \mathbb{N})$ であるから、
$$
\exp(B_n)=\exp(A_n)^{-1}g_n\in G\quad(\forall n\in \mathbb{N})\quad\quad(6)
$$
である。$\mathcal{D}$ は有限次元ノルム空間であるから、[[位相線形空間1：ノルムと内積]]の'''命題4.1'''より、$\mathcal{D}$ の単位ノルム閉球は点列コンパクトである。よって $\left(\frac{B_n}{\lVert B_n\rVert}\right)_{n\in \mathbb{N}}$ のある部分列 $\left(\frac{B_{k(n)}}{\lVert B_{k(n)}\rVert}\right)_{n\in \mathbb{N}}$ は収束する。そこで、
$$
B\colon=\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{B_{k(n)}}{\lVert B_{k(n)}\rVert}\in \mathcal{D}\quad\quad(7)
$$
とおく。任意の $t\in \mathbb{R}$ を取り、各 $n\in \mathbb{N}$ について、
$$
m_n\leq \frac{t}{\lVert B_{k(n)}\rVert}<m_n+1
$$
なる $m_n\in \mathbb{Z}$ を取る。$(5)$ より $\lim_{n\rightarrow\infty}\lVert B_{k(n)}\rVert=0$ であるから、
$$
t=\lim_{n\rightarrow\infty}m_n\lVert B_{k(n)}\rVert\quad\quad(8)
$$
が成り立つ。よって $(7),(8)$ より、
$$
tB=\lim_{n\rightarrow\infty}m_n\lVert B_{k(n)}\rVert\left(\frac{B_{k(n)}}{\lVert B_{k(n)}\rVert}\right)=\lim_{n\rightarrow\infty}m_nB_{k(n)}
$$
であるから、$(6)$ と[[Banach環とC*-環のスペクトル理論]]の'''命題3.2'''より、
$$
\exp(tB)=\lim_{n\rightarrow\infty}\exp(m_nB_{k(n)})=\lim_{n\rightarrow\infty}\exp(B_{k(n)})^{m_n}\in G
$$
が成り立つ。これより任意の $t\in \mathbb{R}$ に対し $\exp(tB)\in G$ が成り立つので $B\in {\rm Lie}(G)$ である。しかし $(7)$ より $B\in \mathcal{D}$, $\lVert B\rVert=1$ であるから、${\rm Lie}(G)\cap \mathcal{D}=\{0\}$ であることに矛盾する。ゆえに $(2)$ は $1\in G$ の $G$ における近傍である。したがって $1\in \mathbb{B}(\mathcal{V})$ の開近傍 $V_1\subset V_0$ で、
$$
V_1\cap G\subset \Phi(U_0\cap {\rm Lie}(G))
$$
なるものが取れる。$(1)$ は同相写像であるから $\Phi(U_1)=V_1$ なる $0\in \mathbb{B}(\mathcal{V})$ の開近傍 $U_1\subset U_0$ が定まり、
$$
\Phi(U_1\cap {\rm Lie}(G))=V_1\cap G
$$
である。よって $U\colon=U_1\cap {\rm Lie}(G)$, $V\colon=V_1\cap G$ とおけば、$U\subset {\rm Lie}(G)$, $V\subset G$ が求める $0\in {\rm Lie}(G)$, $1\in G$ の開近傍である。
{{end|proof}}

===補題7.13（局所コンパクト群の開部分群は閉部分群）===
$G$ を局所コンパクト群とし、部分群 $H\subset G$ が $G$ の開集合であるとする。このとき $H$ は $G$ の閉部分群である。
{{begin|proof}}
任意の $x\in G\backslash H$ と任意の $y\in H$ に対し $xy\notin H$ であるので、
$$
G\backslash H=\bigcup_{x\in G\backslash H}xH
$$
である。各 $xH$ は $G$ の開集合であるから $G\backslash H$ は $G$ の開集合である。よって $H$ は $G$ の閉部分群である。
{{end|proof}}

===定理7.14（線形Lie群と連結性）===
$\mathcal{V}$ を有限次元Hilbert空間、$G$ を $\mathcal{V}$ 上の線形Lie群とする。このとき、
*$(1)$　$G$ の各元は弧状連結な開近傍からなる可算基本近傍系を持つ。
*$(2)$　$G$ の任意の連結成分は開集合である。
*$(3)$　$G$ の任意の連結開集合は弧状連結である。
*$(4)$　単位元 $1\in G$ を含む $G$ の連結成分 $G_1$ は、
$$
G_1=\{\exp(A_1)\cdots \exp(A_n):n\in \mathbb{N},A_1,\ldots,A_n\in{\rm Lie}(G)\}
$$
と表せて、$G_1$ は $\mathcal{V}$ 上の線形Lie群である。さらに ${\rm Lie}(G_1)={\rm Lie}(G)$ が成り立つ。
{{begin|proof}}
*$(1)$　実ノルム空間 ${\rm Lie}(G)$ における $0\in {\rm Lie}(G)$ の基本近傍系として$\{B(0,\frac{1}{n})\}_{n\in \mathbb{N}}$が取れる。ただし$B(0,\frac{1}{n})$は$0\in {\rm Lie}(G)$を中心とする半径$\frac{1}{n}$の開球である。指数写像定理（'''定理7.12'''）より十分大きい$N\in \mathbb{N}$を取れば、$\{\exp(B(0,\frac{1}{n}))\}_{n\geq N}$は$1\in G$ の基本近傍系であり、各元は$1\in G$の弧状連結な開近傍である。任意の $g\in G$ に対し $\{g\exp(B(0,\frac{1}{n}))\}_{n\geq N}$ は$g\in G$の弧状連結な開近傍からなる基本近傍系である。
*$(2)$　$C\subset G$ を $G$ の連結成分とする。任意の $g\in C$ に対し、$(1)$ より $g$ は弧状連結な開近傍 $U\subset G$ を持つ。$C$ は $G$ の連結成分なので、$g$ を含む最大の連結集合であるから、$U\subset C$ が成り立つ。よって $g$ は $C$ の内点であるから $C$ は $G$ の開集合である。
*$(3)$　$C\subset G$ を連結開集合とする。任意の $g_0\in C$ を取り、
$$
C_1\colon=\{g\in C:\text{$g_0$ と $g$ を結ぶ $C$ 内の連続曲線が存在する}\},\quad C_2\colon=C\backslash C_1
$$
とおくと、$(1)$ より $C_1,C_2$ は $C$ の開集合である。よって $C$ の連結性より $C=C_1$ であるから、$C$ は弧状連結である。
*$(4)$　
$$
G_1\colon=\{\exp(A_1)\cdots \exp(A_n):n\in \mathbb{N},A_1,\ldots,A_n\in {\rm Lie}(G)\}
$$
とおけば、$G_1$ は $G$ の部分群であり、指数写像定理（'''定理7.12'''）より、$G_1$ は $G$ の開集合である。よって'''補題7.13'''より、$G_1$ は $G$ の閉部分群であるので、$G_1$ は $\mathcal{V}$ 上の線形Lie群である。また $G_1$ の任意の元 $g=\exp(A_1)\cdots \exp(A_n)$ に対し、
$$
g(t)\colon=\exp(tA_1)\cdots \exp(tA_n)\in G_1\quad(\forall t\in [0,1])
$$
とおけば、$[0,1]\ni t\mapsto g(t)\in G_1$ は $1$ と $g$ を結ぶ $G_1$ 内の連続曲線であるので、$G_1$ は弧状連結である。よって $1\in G$ を含む $G$ の連結成分を $C_1$ とおくと、$G_1\subset C_1$ であり、$G_1$ は $C_1$ の開かつ閉の集合なので、$C_1$ の連結性より、$G_1=C_1$ である。任意の $A\in {\rm Lie}(G)$ と $t\in \mathbb{R}$ に対し、$G_1$ の定義より $\exp(tA)\in G_1$ であるから $A\in {\rm Lie}(G_1)$ である。ゆえに ${\rm Lie}(G_1)={\rm Lie}(G)$ である。
{{end|proof}}

===命題7.15（実行列の固有値と固有ベクトルについて）===
$A\in \mathbb{M}_{N\times N}(\mathbb{R})$ とする。このとき、
*$(1)$　$\lambda\in \mathbb{C}$ が $A$ の固有値ならば $\overline{\lambda}$ も $A$ の固有値であり、$u\in \mathbb{C}^N$ が $A$ の固有値 $\lambda$ に対する固有ベクトルならば、$\overline{u}\in \mathbb{C}^N$（$u$ の各成分を複素共役にしたもの）は $A$ の固有値 $\overline{\lambda}$ に対する固有ベクトルである。
*$(2)$　$\lambda\in \mathbb{R}$ が $A$ の固有値ならば、
$$
\dim\{u\in \mathbb{R}^N:Au=\lambda u\}=\dim\{u\in \mathbb{C}^N:Au=\lambda u\}
$$
が成り立つ。
{{begin|proof}}
*$(1)$　$\lambda\in \mathbb{C}$, $u\in \mathbb{C}^N$ に対し $Au=\lambda u$ ならば、$A$ が実行列であることから、$A\overline{u}=\overline{\lambda}\overline{u}$ である。
*$(2)$　$\mathbb{R}^N$ のベクトルについて、$\mathbb{R}^N$ において線形独立であることと$\mathbb{C}^N$ において線形独立であることは同値である。よって$\lambda\in \mathbb{R}$ に対し、$\lambda-A\in \mathbb{M}_{N\times N}(\mathbb{R})$の列ベクトルのうち、$\mathbb{R}^N$において線形独立であるものの本数と$\mathbb{C}^N$において線形独立であるものの本数は等しいから、
$$
\dim\{(\lambda-A)u\in \mathbb{R}^N:u\in\mathbb{R}^N\}=\dim\{(\lambda-A)u\in \mathbb{C}^N:u\in \mathbb{C}^N\}
$$
である。よって次元定理（[[速習「線形空間論」]]の'''命題4.8'''）より、
$$
\begin{aligned}
&\dim\{u\in \mathbb{R}^N:(\lambda-A)u=0\}=N-\dim\{(\lambda-A)u\in \mathbb{R}^N:u\in \mathbb{R}^N\}\\
&=N-\dim\{(\lambda-A)u\in \mathbb{C}^N:u\in \mathbb{C}^N\}=\dim\{u\in \mathbb{C}^N:(\lambda-A)u=0\}
\end{aligned}
$$
である。
{{end|proof}}

===命題7.16（実正規行列の直交行列による標準化）===
$A\in \mathbb{M}_{N\times N}(\mathbb{R})$ が正規であるとし、$A$ の固有値を重複度を込めて並べたものを、
$$
\lambda_1,\overline{\lambda}_1,\ldots,\lambda_n,\overline{\lambda}_n,\lambda_{2n+1},\ldots,\lambda_N\quad(\lambda_1,\ldots,\lambda_n\in \mathbb{C}\backslash \mathbb{R},\lambda_{2n+1},\ldots,\lambda_N\in \mathbb{R})\quad\quad(*)
$$
とおき、
$$
R(\lambda_j)\colon=\begin{pmatrix}{\rm Re}(\lambda_j)&{\rm Im}(\lambda_j)\\-{\rm Im}(\lambda_j)&{\rm Re}(\lambda_j)\end{pmatrix}\in \mathbb{M}_{2\times 2}(\mathbb{R})\quad(j=1,\ldots,n)
$$
とおく。このとき直交行列 $T\in {\rm O}(N)$ が存在し、
$$
T^{-1}AT=R(\lambda_1)\oplus \cdots \oplus R(\lambda_n)\oplus \lambda_{2n+1}\oplus\cdots \oplus \lambda_N
$$
が成り立つ。ただし右辺は $R(\lambda_1),\ldots,R(\lambda_n)\in \mathbb{M}_{2\times 2}(\mathbb{R})$ と $\lambda_{2n+1},\ldots,\lambda_N$ を左上から順に対角に並べてそれ以外の成分は $0$ とした $N\times N$ 行列である。
{{begin|proof}}
$A$ は正規行列なので、$\mathbb{C}^N$は$A$の固有空間の和に直交分解できる。このことと'''命題7.15'''より、$\mathbb{C}^N$ の正規直交基底
$$
u_1,\overline{u}_1,u_2,\overline{u}_2,\ldots,u_n,\overline{u}_n,u_{2n+1},\ldots,u_{N}\in \mathbb{C}^N\quad\quad(**)
$$
で、
$$
\begin{aligned}
&Au_j=\lambda_ju_j,\quad A\overline{u}_j=\overline{\lambda}_j\overline{u}_j\quad(j=1,\ldots,n),\\
&Au_k=\lambda_ku_k,\quad u_k\in \mathbb{R}^N\quad(k=2n+1,\ldots,N)
\end{aligned}
$$
なるものが取れる。$(**)$ を縦ベクトルとして並べてできるユニタリ行列を、
$$
U\colon=(u_1,\overline{u}_1,\ldots,u_n,\overline{u}_n,u_{2n+1},\ldots,u_{N})\in {\rm U}(N)
$$
とおき、$(*)$ を左上から対角に並べてできる対角行列を $\Lambda\in \mathbb{M}_{N\times N}(\mathbb{C})$ とおくと、
$$
AU=U\Lambda
$$
である。
$$
M\colon=\frac{1}{\sqrt{2}}\begin{pmatrix}1&\frac{1}{i}\\1&-\frac{1}{i}\end{pmatrix}\in {\rm U}(2)
$$
とおき、
$$
V\colon=\overbrace{M\oplus \cdots\oplus M}^{\text{$n$ 個}}\oplus 1_{N-2n}\in {\rm U}(N)
$$
とおくと、$T\colon =UV$ は成分が実数のユニタリ行列であるから、
$$
T=UV\in {\rm O}(N)
$$
である。そして、
$$
V^*\Lambda V=R(\lambda_1)\oplus \cdots\oplus R(\lambda_n)\oplus \lambda_{2n+1}\oplus\cdots \oplus \lambda_N
$$
であるので、
$$
T^{\top}AT=V^*U^*AUV=V^*\Lambda V=R(\lambda_1)\oplus \cdots \oplus R(\lambda_n)\oplus \lambda_{2n+1}\oplus \cdots\oplus \lambda_N
$$
である。
{{end|proof}}

===命題7.17（典型的な線形Lie群の弧状連結性）===
${\rm GL}(N,\mathbb{C}), {\rm SL}(N,\mathbb{C}), {\rm SO}(N),{\rm U}(N),{\rm SU}(N)$ は弧状連結である。
{{begin|proof}}
'''補題7.10'''の証明で述べたように、任意の $A\in {\rm GL}(N,\mathbb{C})$（もしくは任意の $A\in {\rm SL}(N,\mathbb{C})$）に対し上三角行列 $B$ と $U\in {\rm GL}(N,\mathbb{C})$ が存在して、$A=U^{-1}BU$ となる。上三角行列$B$の対角より上の成分を $1$ 個の径数により一斉に連続的に $0$ にすることができる。そしてできた対角行列は一個の径数によって連続的に単位行列にすることができる（ただし $A\in {\rm SL}(N,\mathbb{C})$ の場合は対角行列の対角成分の積は常に $1$ となる様にする）。このことから ${\rm GL}(N,\mathbb{C}), {\rm SL}(N,\mathbb{C})$ は弧状連結である。${\rm SU}(N),{\rm U}(N)$ が弧状連結であることは、これらの元がユニタリ行列により対角化できることと、その対角行列の対角成分は絶対値が $1$ の複素数であり、それらの偏角を一個の径数により一斉に連続的に $0$ にすることができることから分かる（ただし ${\rm SU}(N)$ の元の場合は対角成分の複素数の偏角の和が常に$0$であるようにする）。
$$
R(\theta)\colon=\begin{pmatrix}\cos(\theta)&-\sin(\theta)\\\sin(\theta)&\cos(\theta)\end{pmatrix}\in {\rm SO}(2)\quad(\forall \theta\in \mathbb{R})
$$
とおけば、任意の $A\in {\rm SO}(N)$ に対し、'''命題7.16'''より、ある $T\in {\rm O}(N)$ と $\theta_1,\ldots,\theta_n\in \mathbb{R}$ が存在し、
$$
T^{-1}AT=R(\theta_1)\oplus\cdots\oplus R(\theta_n)\oplus 1_{N-2n}
$$
となる。各 $\theta_j$ について $\theta_j\rightarrow0$ とすることによって、$A$ は ${\rm SO}(N)$ 内で連続的に単位行列にすることができる。よって${\rm SO}(N)$ は弧状連結である。
{{end|proof}}

===定義7.18（コンパクト線形Lie群のユニタリ表現の微分表現）===
$G$ をコンパクト線形Lie群、$\pi$ を $G$ のユニタリ表現とする。任意の $A\in {\rm Lie}(G)$ に対し、
$$
D(d\pi(A))\colon=\left\{v\in \mathcal{H}_{\pi}:\exists \lim_{t\rightarrow0}\frac{1}{t}(\pi(\exp(tA))-1)v\in \mathcal{H}_{\pi}\right\},
$$
$$
d\pi(A)\colon D(d\pi(A))\rightarrow\mathcal{H}_{\pi},\quad
d\pi(A)v\colon=\lim_{t\rightarrow0}\frac{1}{t}(\pi(\exp(tA))-1)v
$$
なる $\mathcal{H}_{\pi}$ 上の線形作用素を定義する。各 $A\in {\rm Lie}(G)$ に対し $\mathcal{H}_{\pi}$ 上の線形作用素 $d\pi(A)$ を与える対応 $d\pi$ を $\pi$ の微分表現と言う。

===定理7.19（コンパクト線形Lie群のユニタリ表現に対応する微分表現の基本性質）===
$G$ をコンパクト線形Lie群、$\pi$ を $G$ のユニタリ表現とする。このとき、
*$(1)$　任意の $A\in {\rm Lie}(G)$ に対し、$id\pi(A)$ は $\mathcal{H}_{\pi}$ 上の自己共役作用素であり、
$$
\pi(\exp(tA))=\exp(td\pi(A))(\colon=\exp(it(-id\pi(A))))\quad(\forall t\in \mathbb{R})
$$
が成り立つ。
*$(2)$　任意の $g\in G$, $A\in {\rm Lie}(G)$, $\alpha\in \mathbb{R}$ に対し、
$$
d\pi(g^{-1}Ag)=\pi(g)^{-1}d\pi(A)\pi(g),\quad d\pi(\alpha A)=\alpha d\pi(A)
$$
が成り立つ。
*$(3)$　任意の $A,B\in {\rm Lie}(G)$ に対し、
$$
d\pi(A+B)=\overline{d\pi(A)+d\pi(B)},\quad d\pi([A,B])=\overline{[d\pi(A),d\pi(B)]}
$$
が成り立つ。
{{begin|proof}}
*$(1)$　任意の $A\in {\rm Lie}(G)$ に対し、
$$
\mathbb{R}\ni t\mapsto \pi(\exp(tA))\in \mathbb{U}(\mathcal{H}_{\pi})
$$
は $\mathbb{R}$ のユニタリ表現であるので、Stoneの定理（'''系5.12'''）より、自己共役作用素 $S$ で、
$$
\pi(\exp(tA))=e^{itS}\quad(\forall t\in \mathbb{R})\quad\quad(*)
$$
を満たすものが唯一つ存在する。[[Hilbert空間上の作用素論]]の'''補題21.3'''より、
$$
\begin{aligned}
D(S)&=\left\{v\in \mathcal{H}_{\pi}:\exists \lim_{t\rightarrow0}\frac{1}{it}(e^{itS}-1)v\in \mathcal{H}_{\pi}\right\}\\
&=\left\{v\in \mathcal{H}_{\pi}:\exists \lim_{t\rightarrow0}\frac{1}{t}(\pi(\exp(tA))-1)v\in \mathcal{H}_{\pi}\right\}=D(d\pi(A))
\end{aligned}
$$
であり、任意の $v\in D(S)=D(d\pi(A))$ に対し、
$$
Sv=\lim_{t\rightarrow0}\frac{1}{it}(e^{itS}-1)v=\lim_{t\rightarrow0}\frac{1}{it}(\pi(\exp(tA))-1)v=-id\pi(A)v
$$
である。よって $id\pi(A)=-S$ は $\mathcal{H}_{\pi}$ 上の自己共役作用素であり、$(*)$ より、
$$
\pi(\exp(tA))=e^{itS}=\exp(it(-id\pi(A)))\quad(\forall t\in \mathbb{R})
$$
である。
*$(2)$　任意の $g\in G$, $A\in {\rm Lie}(G)$ に対し、'''定理7.9'''の $(2)$ の証明より、
$$
\exp(tg^{-1}Ag)=g^{-1}\exp(tA)g\quad(\forall t\in \mathbb{R})
$$
であるから、
$$
\pi(\exp(tg^{-1}Ag))=\pi(g)^{-1}\pi(\exp(tA))\pi(g)\quad(\forall t\in \mathbb{R}).
$$
よって、
$$
d\pi(g^{-1}Ag)=\pi(g)^{-1}d\pi(A)\pi(g)
$$
が成り立つ。また任意の $\alpha\in \mathbb{R}\backslash \{0\}$ に対し、
$$
\begin{aligned}
&D(d\pi(A))=\left\{v\in \mathcal{H}_{\pi}:\exists \lim_{t\rightarrow0}\frac{1}{t}(\pi(\exp(tA))-1)v\in \mathcal{H}_{\pi}\right\}\\
&=\left\{v\in \mathcal{H}_{\pi}:\exists \lim_{t\rightarrow0}\frac{1}{\alpha t}(\pi(\exp(\alpha tA))-1)v\in \mathcal{H}_{\pi}\right\}\\
&=\left\{v\in \mathcal{H}_{\pi}:\exists \lim_{t\rightarrow0}\frac{1}{t}(\pi(\exp(t\alpha A))-1)v\right\}=D(d\pi(\alpha A))
\end{aligned}
$$
であり、任意の $v\in D(d\pi(A))=D(d\pi(\alpha A))$ に対し、
$$
d\pi(\alpha A)v=\lim_{t\rightarrow0}\frac{1}{t}(\pi(\exp(t\alpha A))-1)v=
\alpha\lim_{t\rightarrow0}\frac{1}{\alpha t}(\pi(\exp(t\alpha A))-1)v=\alpha d\pi(A)v
$$
であるから $d\pi(\alpha A)=\alpha d\pi(A)$ が成り立つ。明らかに $d\pi(0A)=d\pi(0)=0d\pi(A)$ である。
*$(3)$　まず $\pi$ が有限次元である場合を示す。このとき $\mathbb{B}(\mathcal{H}_{\pi})$ のSOTとノルム位相は一致するので、任意の $A\in {\rm Lie}(G)$ に対し、
$$
\mathbb{R}\ni t\mapsto \pi(\exp(tA))\in \mathbb{U}(\mathcal{H}_{\pi})
$$
はノルムで連続な群準同型写像である。よって'''命題7.5'''より、任意の $A\in {\rm Lie}(G)$ に対し、
$$
\pi(\exp(tA))=\exp(td\pi(A))=\sum_{n\in \mathbb{Z}_+}\frac{(td\pi(A))^n}{n!}\quad(\forall t\in \mathbb{R})
$$
であり、任意の $A,B\in {\rm Lie}(G)$ に対し、Lieの積公式（'''定理7.4'''）より、
$$
\begin{aligned}
&\exp(td\pi(A+B))=\pi(\exp(t(A+B)))=\lim_{n\rightarrow\infty}\pi\left(\exp\left(\frac{t}{n}A\right)\exp\left(\frac{t}{n}B\right)\right)^n\\
&=\lim_{n\rightarrow\infty}\left(\exp\left(\frac{t}{n}d\pi(A)\right)\exp\left(\frac{t}{n}d\pi(B)\right)\right)^n=\exp(t(d\pi(A)+d\pi(B)))
\end{aligned}
$$
であるから、
$$
d\pi(A+B)=d\pi(A)+d\pi(B).
$$
これより $d\pi \colon {\rm Lie}(G)\ni A\mapsto d\pi(A)\in \mathbb{B}(\mathcal{H}_{\pi})$ は実線形写像であり、${\rm Lie}(G)$は有限次元であるので、[[位相線形空間1：ノルムと内積]]の'''系4.4'''より、有界実線形写像である。よって $(2)$ より任意の $A,B\in {\rm Lie}(G)$ に対し、
$$
\begin{aligned}
d\pi([A,B])&=\frac{d}{dt}d\pi(\exp(tA)B\exp(-tA))\big|_{t=0}=\frac{d}{dt}\pi(\exp(tA))d\pi(B)\pi(\exp(-tA))\big|_{t=0}\\
&=\frac{d}{dt}\exp(td\pi(A)d\pi(B)\exp(-td\pi(A)))\big|_{t=0}=[d\pi(A),d\pi(B)]
\end{aligned}
$$
である。これより $\pi$ が有限次元の場合は成り立つ。 
$\pi$ が無限次元の場合を示す。$\pi$ はコンパクト群 $G$ のユニタリ表現であるので、'''定理4.6'''より、$\pi$ は既約な部分表現の族 $(\pi_j)_{j\in J}$ の直和
$$
\pi=\oplus_{j\in J}\pi_j
$$
に分解でき、'''定理4.4'''より、各 $\pi_j:G\rightarrow \mathbb{U}(\mathcal{H}_{\pi_j})$ は有限次元である。上で示したことから、
$$
d\pi_j(A+B)=d\pi_j(A)+d\pi_j(B),\quad d\pi_j([A,B])=[d\pi_j(A),d\pi_j(B)]\quad(\forall j\in J,\forall A,B\in {\rm Lie}(G))\quad\quad(**)
$$
が成り立つ。各 $j\in J$ に対し $\mathcal{H}_{\pi_j}\subset \mathcal{H}_{\pi}$ の上への射影作用素を $P_j\colon \mathcal{H}_{\pi}\rightarrow\mathcal{H}_{\pi_j}$ とおくと、
$$
P_j\pi(g)v=\pi_j(g)P_jv\quad(\forall g\in G,\forall v\in \mathcal{H}_{\pi})
$$
であるから、
$$
P_jd\pi(A)v=d\pi_j(A)P_jv\quad(\forall A\in {\rm Lie}(G),\forall v\in D(d\pi(A)))
$$
である。よって、
$$
d\pi(A)v=\sum_{j\in J}P_jd\pi(A)v=\sum_{j\in J}d\pi_j(A)P_jv\quad(\forall A\in {\rm Lie}(G),\forall v\in D(d\pi(A)))
$$
であるから、
$$
d\pi(A)\subset \bigoplus_{j\in J}d\pi_j(A)\quad(\forall A\in {\rm Lie}(G))
$$
が成り立ち、各 $A\in {\rm Lie}(G)$ に対し、$d\pi(A)$ は閉作用素である（$id\pi(A)$ が自己共役作用素で、自己共役作用素は閉作用素であることによる）から、この逆の包含関係も成り立つので、
$$
d\pi(A)=\bigoplus_{j\in J}d\pi_j(A)\quad(\forall A\in {\rm Lie}(G))
$$
が成り立つ。よって $(**)$ と[[Hilbert空間上の作用素論]]の'''命題11.2'''の $(4),(5)$ より、任意の $A,B\in {\rm Lie}(G)$ に対し、
$$
d\pi(A+B)=\bigoplus_{j\in J}d\pi_j(A+B)=\bigoplus_{j\in J}(d\pi_j(A)+d\pi_j(B))=\overline{d\pi(A)+d\pi(B)},
$$
$$
d\pi([A,B])=\bigoplus_{j\in J}d\pi_j([A,B])=\bigoplus_{j\in J}[d\pi_j(A),d\pi_j(B)]=\overline{[d\pi(A),d\pi(B)]}
$$
が成り立つ。
{{end|proof}}

==8. ${\rm SO}(3)$, ${\rm SU}(2)$ の既約表現の完全分類、球面調和関数空間==

===定義8.1（${\rm SO}(3)$, ${\rm SU}(2)$ の生成子）===
'''命題7.11'''より、
$$
\begin{aligned}
&{\rm Lie}({\rm SO}(3))=\{A\in \mathbb{M}_{3\times 3}(\mathbb{R}):A^{\top}+A=0\},\\
&{\rm Lie}({\rm SU}(2))=\{A\in \mathbb{M}_{2\times 2}(\mathbb{C}):A^*+A=0,{\rm Tr}(A)=0\}
\end{aligned}
$$
である。よって実線形空間 ${\rm Lie}({\rm SO}(3))$ の基底として、
$$
F_1\colon=\begin{pmatrix}0&0&0\\0&0&-1\\0&1&0\end{pmatrix},\quad
F_2\colon=\begin{pmatrix}0&0&1\\0&0&0\\-1&0&0\end{pmatrix},\quad
F_3\colon=\begin{pmatrix}0&-1&0\\1&0&0\\0&0&0\end{pmatrix}\quad\quad(*)
$$
が取れて、実線形空間 ${\rm Lie}({\rm SU}(2))$ の基底として、
$$
E_1\colon=\frac{1}{2}\begin{pmatrix}0&-i\\-i&0\end{pmatrix},\quad
E_2\colon=\frac{1}{2}\begin{pmatrix}0&-1\\1&0\end{pmatrix},\quad
E_3\colon=\frac{1}{2}\begin{pmatrix}-i&0\\0&i\end{pmatrix}\quad\quad(**)
$$
が取れる。$(F_1,F_2,F_3)$ を ${\rm SO}(3)$ の生成子、$(E_1,E_2,E_3)$ を ${\rm SU}(2)$ の生成子と呼ぶこととする。これらは、交換子積（'''定義7.7'''）とLevi-Civitaの記号 $\epsilon_{j,k,l}$（[[ベクトル解析3：Euclid空間内の多様体の計量]]の'''定義13.9'''）に関して次の基本関係式を満たす。
$$
[F_j,F_k]=\sum_{l=1}^{3}\epsilon_{j,k,l}F_l,\quad [E_j,E_k]=\sum_{l=1}^{3}\epsilon_{j,k,l}E_l.\quad\quad(***)
$$

===命題8.2（${\rm SO}(3)$, ${\rm SU}(2)$ の生成子の基本性質）===
$(F_1,F_2,F_3)$ を ${\rm SO}(3)$ の生成子、$(E_1,E_2,E_3)$ を ${\rm SU}(2)$ の生成子とする。このとき、任意の $\theta\in \mathbb{R}$ に対し、
$$
\exp(\theta F_1)=\begin{pmatrix}1&0&0\\0&\cos(\theta)&-\sin(\theta)\\0&\sin(\theta)&\cos(\theta)\end{pmatrix},\quad
\exp(\theta F_2)=\begin{pmatrix}\cos(\theta)&0&\sin(\theta)\\0&1&0\\-\sin(\theta)&0&\cos(\theta)\end{pmatrix},\quad
\exp(\theta F_3)=\begin{pmatrix}\cos(\theta)&-\sin(\theta)&0\\\sin(\theta)&\cos(\theta)&0\\0&0&1\end{pmatrix},
$$
$$
\exp(\theta E_1)=\begin{pmatrix}\cos(\frac{\theta}{2})&-i\sin(\frac{\theta}{2})\\-i\sin(\frac{\theta}{2})&\cos(\frac{\theta}{2})\end{pmatrix},\quad
\exp(\theta E_2)=\begin{pmatrix}\cos(\frac{\theta}{2})&-\sin(\frac{\theta}{2})\\\sin(\frac{\theta}{2})&\cos(\frac{\theta}{2})\end{pmatrix},\quad
\exp(\theta E_3)=\begin{pmatrix}e^{-i\frac{\theta}{2}}&0\\0&e^{i\frac{\theta}{2}}\end{pmatrix}
$$
が成り立つ。
{{begin|proof}}
$$
\alpha(\theta)\colon=\begin{pmatrix}1&0&0\\0&\cos(\theta)&-\sin(\theta)\\0&\sin(\theta)&\cos(\theta)\end{pmatrix}\quad(\forall \theta\in \mathbb{R})
$$
とおくと、
$$
\mathbb{R}\ni \theta\mapsto \alpha(\theta)\in {\rm SO}(3)
$$
は連続群準同型写像である。よって、
$$
\alpha(\theta+h)=\alpha(h)\alpha(\theta)\quad(\forall \theta,h\in \mathbb{R})
$$
であるから、
$$
\frac{d\alpha}{d\theta}(\theta)=\frac{d\alpha}{d\theta}(0)\alpha(\theta)=F_1\alpha(\theta)\quad(\forall \theta\in \mathbb{R})
$$
である。これより、
$$
\frac{d}{d\theta}(\exp(-\theta F_1)\alpha(\theta))=\exp(-\theta F_1)(-F_1)\alpha(\theta)+\exp(-\theta F_1)F_1\alpha(\theta)=0\quad(\forall \theta\in \mathbb{R})
$$
であるから、微積分学の基本定理より、$\exp(-\theta F_1)\alpha(\theta)=1$ $(\forall \theta\in\mathbb{R})$ である。ゆえに $\alpha(\theta)=\exp(\theta F_1)$ $(\forall \theta\in \mathbb{R})$ が成り立つ。他も全く同様の仕方で証明できる。
{{end|proof}}

次の定理は有用である。

===定理8.3（角運動量代数）===
$G$ を ${\rm SO}(3)$ か ${\rm SU}(2)$ とし、$(A_1,A_2,A_2)$ を $G$ の生成子（'''定義8.1'''）とする。そして $\pi$ を $G$ の有限次元ユニタリ表現とし、その微分表現（'''定義7.18'''）$d\pi\colon {\rm Lie}(G)\rightarrow\mathbb{B}(\mathcal{H}_{\pi})$ に対し、
$$
L_{\pm}\colon=id\pi(A_1)\mp d\pi(A_2),\quad L_3\colon=id\pi(A_3)
$$
とおく。また $v_0\in \mathcal{H}_{\pi}$ を自己共役作用素 $L_3$ の固有値 $l\in \mathbb{R}$ に対する固有ベクトルとし、$L_+v_0=0$ が成り立つものとする。このとき、
$$
l\in \frac{1}{2}\mathbb{Z}_+=\left\{0,\frac{1}{2},1,\frac{3}{2},2,\ldots\right\}
$$
が成り立つ。そして、
$$
v_j\colon=L_-^jv_0\quad(\forall j\in \mathbb{N})
$$
とおくと、$v_0,v_1,\ldots,v_{2l}$ はそれぞれ $L_3$ の固有値 $l,l-1,\ldots,-l$ に対する固有ベクトルで、
$$
\mathcal{K}\colon={\rm span}\{v_0,v_1,\ldots,v_{2l}\}\subset \mathcal{H}_{\pi}
$$
は $\pi$ 不変であり、$\pi|_{\mathcal{K}}\colon G\rightarrow \mathbb{U}(\mathcal{K})$ は既約である。さらに、
$$
(d\pi(A_1)^2+d\pi(A_2)^2+d\pi(A_3)^2)v=-l(l+1)v\quad(\forall v\in \mathcal{K})
$$
が成り立つ。
{{begin|proof}}
'''定理7.19'''の $(3)$ と'''定義8.1'''の $(***)$ より、
$$
[d\pi(A_j),d\pi(A_k)]=d\pi([A_j,A_k])=\sum_{l=1}^{3}\epsilon_{j,k,l}d\pi(A_l)\quad(\forall j,k\in \{1,2,3\})
$$
である。これより、
$$
[L_3,L_{\pm}]=\pm L_{\pm},\quad [L_{\pm},L_{\mp}]=\pm 2L_3\quad\quad(*)
$$
が成り立つ。今、
$$
L_3v_j=(l-j)v_j,\quad L_+v_{j+1}=(2l-j)(j+1)v_j\quad(\forall j\in \mathbb{Z}_+)\quad\quad(**)
$$
が成り立つことを $j\in \mathbb{Z}_+$ に関する帰納法で示す。$(*)$ の右の式と $L_3v_0=lv_0$, $L_+v_0=0$ より、
$$
L_+v_1=L_+L_-v_0=2L_3v_0=2lv_0
$$
であるから $j=0$ の場合は成り立つ。ある $j-1\in \mathbb{Z}_+$ に対して成り立つと仮定すると、$(*)$ の左の式より、
$$
L_3v_j=L_3L_-v_{j-1}=L_-L_3v_{j-1}-L_-v_{j-1}=(l-(j-1))v_j-v_j=(l-j)v_j.
$$
$(*)$ の右の式より、
$$
L_+v_{j+1}=L_+L_-v_j=L_-L_+v_j+2L_3v_j=(2l-(j-1))jv_j+2(l-j)v_j=(2l-j)(j+1)v_j
$$
であるから $j$ の場合も成り立つ。よって帰納法より $(**)$ が成り立つ。$\mathcal{H}_{\pi}$ は有限次元であり、互いに異なる固有値に対する固有ベクトルは線形独立であるので $v_j=0$ なる $j\in \mathbb{N}$ が存在する。そのような $j\in \mathbb{N}$ で最小のものを $k+1\in \mathbb{N}$ とおけば、$(**)$ より、
$$
0=L_+v_{k+1}=(2l-k)(k+1)v_k
$$
であり、$v_{k}\neq 0$ であるから $k=2l$ である。よって $l=\frac{k}{2}\in \frac{1}{2}\mathbb{Z}_+$ であり、$v_0,v_1,\ldots,v_{2l}$ は $L_3$ の固有値 $l,l-1,\ldots,-l$ に対する固有ベクトルである。$L_+v_0=0$, $L_-v_{2l}=0$ であることから、
$$
\mathcal{K}={\rm span}\{v_0,v_1,\ldots,v_{2l}\}\subset \mathcal{H}_{\pi}
$$
は $L_{\pm},L_3$ の作用に対して不変であり、したがって、
$$
d\pi(A_1)=\frac{1}{2i}(L_++L_-),\quad d\pi(A_2)=\frac{1}{2}(L_--L_+),\quad d\pi(A_3)=\frac{1}{i}L_3
$$
の作用に対して不変である。$(A_1,A_2,A_3)$ は $G$ の生成子であるので、$\mathcal{K}$ は $d\pi({\rm Lie}(G))$ の任意の元の作用に対して不変である。ここで'''命題7.17'''より $G$ は連結であるから、'''定理7.14'''より、
$$
G=\{\exp(B_1)\cdots \exp(B_n):n\in \mathbb{N},B_1,\ldots,B_n\in {\rm Lie}(G)\}\quad\quad(***)
$$
であり、
$$
\pi(\exp(B_1)\cdots \exp(B_n))=\exp(d\pi(B_1))\cdots \exp(d\pi(B_n))\quad(\forall n\in \mathbb{N},\forall B_1,\ldots,B_n\in {\rm Lie}(G))\quad\quad(****)
$$
であるから、$\mathcal{K}$ は $\pi$ 不変である。今、$\pi$ の部分表現 $\pi|_{\mathcal{K}}\colon G\rightarrow \mathbb{U}(\mathcal{K})$ が既約であることを示す。$\pi$ 不変な $\{0\}$ でない部分空間 $\mathcal{L}\subset \mathcal{K}$ を取り、$\mathcal{L}=\mathcal{K}$ が成り立つことを示せばよい。任意の $v\in \mathcal{L}\backslash \{0\}$ を取り、
$$
v=\sum_{j=0}^{2l}\alpha_jv_j
$$
とおき、$\alpha_j\neq0$ なる最大の $j\in \{0,1,\ldots,2l\}$ を $j_0$ とおく。$\mathcal{L}$ は $\pi$ 不変であるから $L_{\pm}$ に対して不変であるので、
$$
L_+^{j_0}v\in \mathcal{L}
$$
であり、$(**)$ より $v_0$ は $L_+^{j_0}v$ のスカラー倍なので、$v_0\in \mathcal{L}$ である。よって、
$$
v_j=L_-^{j}v_0\in \mathcal{L}\quad(j=0,1,\ldots,2l)
$$
であるから、$\mathcal{L}=\mathcal{K}$ である。ゆえに $\pi|_{\mathcal{K}}$ は既約である。
$$
C\colon=d\pi(A_1)^2+d\pi(A_2)^2+d\pi(A_3)^2
$$
とおくと、任意の $k\in \{1,2,3\}$ に対し、
$$
\begin{aligned}
&Cd\pi(A_k)=\sum_{j=1}^{3}d\pi(A_j)^2d\pi(A_k)=\sum_{j=1}^{3}d\pi(A_j)d\pi(A_k)d\pi(A_j)+\sum_{j,l=1}^{3}\epsilon_{j,k,l}d\pi(A_j)d\pi(A_l),\\
&d\pi(A_k)C=\sum_{j=1}^{3}d\pi(A_k)d\pi(A_j)^2=\sum_{j=1}^{3}d\pi(A_j)d\pi(A_k)d\pi(A_j)+\sum_{j,l=1}^{3}\epsilon_{k,j,l}d\pi(A_l)d\pi(A_j)
\end{aligned}
$$
であるから $Cd\pi(A_k)=d\pi(A_k)C$ である。よって $C$ は $d\pi({\rm Lie}(G))$ の任意の元と可換であるので、
$$
C\pi(\exp(B))=C\exp(d\pi(B))=\exp(d\pi(B))C=\pi(\exp(B))C\quad(\forall B\in {\rm Lie}(G))
$$
である。したがって $(***),(****)$ より $C$ は $\pi(G)$ の任意の元と可換であるので、$\pi|_{\mathcal{K}}$ の既約性とSchurの補題（'''定理2.10'''）より、$C|_{\mathcal{K}}\in \mathcal{C}(\pi|_{\mathcal{K}})=\mathbb{C}1$ である。そこで $C|_{\mathcal{K}}=\alpha1$ とおく。
$$
L_-L_+=-d\pi(A_1)^2-d\pi(A_2)^2-L_3,\quad L_3^2=-d\pi(A_3)^2
$$
であるから、
$$
C=-L_-L_+-L_3^2-L_3
$$
である。よって $L_+v_0=0$, $L_3v_0=lv_0$ より、
$$
\alpha v_0=Cv_0=-L_-L_+v_0-L_3^2v_0-L_3v_0=-l(l+1)v_0
$$
であるから、$v_0\neq0$ より $\alpha=-l(l+1)$ である。ゆえに、
$$
(d\pi(A_1)^2+d\pi(A_2)^2+d\pi(A_3)^2)v=Cv=-l(l+1)v\quad(\forall v\in \mathcal{K})
$$
が成り立つ。
{{end|proof}}

===定義8.4（球面調和関数）===
任意の $l\in \mathbb{Z}_+$ に対し $\mathcal{P}_l(\mathbb{R}^N)$ を $\mathbb{R}^N$ 上の $l$ 次の多項式全体とし、
$$
\mathcal{H}_l(\mathbb{R}^N)\colon=\{p\in \mathcal{P}_l(\mathbb{R}^N):\text{$p$ は調和関数}\}
$$
とおく。そして $N-1$ 次元単位球面 $S_{N-1}=\{x\in \mathbb{R}^N:\lvert x\rvert=1\}$ に対し $\mathcal{P}_l(\mathbb{R}^N), \mathcal{H}_l(\mathbb{R}^N)$ を $S_{N-1}$ 上に制限したものを、
$$
\begin{aligned}
&\mathcal{P}_l(S_{N-1})\colon=\{p|_{S_{N-1}}:p\in \mathcal{P}_l(\mathbb{R}^N)\},\\
&\mathcal{H}_l(S_{N-1})\colon=\{p|_{S_{N-1}}:p\in \mathcal{H}_l(\mathbb{R}^N)\}
\end{aligned}
$$
とおく。$\mathcal{H}_l(S_{N-1})$ を $l$ 次の球面調和関数空間と言い、$\mathcal{H}_l(S_{N-1})$ の元を $l$ 次の球面調和関数と言う。

===定理8.5（球面調和関数空間の基本性質）===
球面調和関数空間 $\mathcal{H}_l(S_{N-1})$ $(\forall l\in \mathbb{Z}_+)$ に対し、
*$(1)$　$\dim(\mathcal{H}_0(S_{N-1}))=1$, $\dim(\mathcal{H}_1(S_{N-1}))=N$,
$$
\dim(\mathcal{H}_l(S_{N-1}))=\begin{pmatrix}N-1+l\\N-1\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}N-3+l\\N-1\end{pmatrix}\quad(\forall l\geq 2)
$$
であり、
$$
{\rm span}\bigcup_{l\in \mathbb{Z}_+}\mathcal{P}_l(S_{N-1})={\rm span}\bigcup_{l\in \mathbb{Z}_+}\mathcal{H}_l(S_{N-1})\quad\quad(*)
$$
が成り立つ。
*$(2)$　Hilbert空間 $L^2(S_{N-1},\mu_{S_{N-1}})$ は、
$$
L^2(S_{N-1},\mu_{S_{N-1}})=\bigoplus_{l\in \mathbb{Z}_+}\mathcal{H}_l(S_{N-1})\quad\quad(**)
$$
と直交分解できる。ただし $\mu_{S_{N-1}}\colon \mathcal{B}_{S_{N-1}}\rightarrow [0,\infty)$ は単位球面 $S_{N-1}$ 上の面積測度（[[ベクトル解析4：Euclid空間内の多様体上の測度と積分]]の'''定義16.8'''と'''命題18.2'''を参照）である。
{{begin|proof}}
*$(1)$　任意の $l\in \mathbb{Z}_+$ と任意の $p\in \mathcal{P}_l(\mathbb{R}^N)$ に対し、$p(r\omega)=r^lp(\omega)$ $(\forall r\in (0,\infty),\forall \omega\in S_{N-1})$ であるから、
$$
\mathcal{P}_l(\mathbb{R}^N)\ni p\mapsto p|_{S_{N-1}}\in \mathcal{P}_l(S_{N-1}),\quad
\mathcal{H}_l(\mathbb{R}^N)\ni p\mapsto p|_{S_{N-1}}\in \mathcal{H}_l(S_{N-1})
$$
はそれぞれ線形同型写像である。よって、
$$
\dim(\mathcal{P}_l(S_{N-1}))=\dim(\mathcal{P}_l(\mathbb{R}^N)),\quad
\dim(\mathcal{H}_l(S_{N-1}))=\dim(\mathcal{H}_l(\mathbb{R}^N))\quad(\forall l\in \mathbb{Z}_+)
$$
が成り立つ。$l=0,1$ ならば $\mathcal{H}_l(\mathbb{R}^N)=\mathcal{P}_l(\mathbb{R}^N)$ なので、
$$
\begin{aligned}
&\dim(\mathcal{H}_0(S_{N-1}))=\dim(\mathcal{H}_0(\mathbb{R}^N))=\dim(\mathcal{P}_0(\mathbb{R}^N))=1,\\
&\dim(\mathcal{H}_1(S_{N-1}))=\dim(\mathcal{H}_1(\mathbb{R}^N))=\dim(\mathcal{P}_1(\mathbb{R}^N))=N
\end{aligned}
$$
である。$l\geq 2$ とする。$\mathbb{R}^N$ 上の恒等写像を ${\rm id}=({\rm id}_1,\ldots,{\rm id}_N)\colon\mathbb{R}^N\rightarrow\mathbb{R}^N$ とおき、多重指数 $\alpha\in \mathbb{Z}_+^N$ の長さを $\lvert \alpha\rvert=\alpha_1+\cdots+\alpha_N$ とおく。任意の
$$
p=\sum_{\lvert \alpha\rvert=l}a_{\alpha}{\rm id}^{\alpha}=\sum_{\lvert \alpha\rvert=l}
a_{\alpha}{\rm id}_1^{\alpha_1}\cdots {\rm id}_N^{\alpha_N}\in \mathcal{P}_l(\mathbb{R}^N)
$$
に対し、微分作用素 $p(\partial)$ を、
$$
p(\partial)=\sum_{\lvert \alpha\rvert=l}a_{\alpha}\partial_1^{\alpha_1}\cdots\partial_N^{\alpha_N}
$$
と定義し、
$$
(p\mid q)_l\colon=q(\partial)\overline{p}\quad(\forall p,q\in \mathcal{P}_l(\mathbb{R}^N))
$$
と定義する。このとき任意の $p=\sum_{\lvert\alpha\rvert=l}a_{\alpha}{\rm id}^{\alpha}\in \mathcal{P}_l(\mathbb{R}^N)$, $q=\sum_{\lvert\beta\rvert=l}b_{\beta}{\rm id}^{\beta}\in \mathcal{P}_l(\mathbb{R}^N)$ に対し、
$$
(p\mid q)_l=\sum_{\lvert\alpha\rvert=l}\alpha!\overline{a_{\alpha}}b_{\alpha}
$$
($\alpha!=\alpha_1!\cdots \alpha_N!$)であるから、$(\cdot\mid \cdot)_l$ は有限次元線形空間 $\mathcal{P}_l(\mathbb{R}^N)$ の内積である。そしてこの内積に関する $\mathcal{H}_l(\mathbb{R}^N)\subset \mathcal{P}_l(\mathbb{R}^N)$ の直交補空間は、$\lvert {\rm id}\rvert^2\mathcal{P}_{l-2}(\mathbb{R}^N)$ である（任意の $p\in \mathcal{P}_{l-2}(\mathbb{R}^N)$ に対し $(\lvert {\rm id}\rvert^2p)(\partial)=\Delta p(\partial)$ であることによる）。よって、
$$
\mathcal{P}_l(\mathbb{R}^N)=\mathcal{H}_l(\mathbb{R}^{N})\oplus \lvert {\rm id}\rvert^2\mathcal{P}_{l-2}(\mathbb{R}^N)\quad\quad(***)
$$
が成り立つ。ゆえに、
$$
\begin{aligned}
\dim(\mathcal{H}_l(S_{N-1}))&=\dim(\mathcal{H}_l(\mathbb{R}^N))=\dim(\mathcal{P}_l(\mathbb{R}^N))-\dim(\mathcal{P}_{l-2}(\mathbb{R}^N))\\
&=\begin{pmatrix}N-1+l\\N-1\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}N-3+l\\N-1\end{pmatrix}
\end{aligned}
$$
が成り立つ。また $\lvert {\rm id}\rvert^2$ が $S_{N-1}$ 上で恒等的に $1$ であることから、$(***)$ より、任意の $p_l\in \mathcal{P}_l(S_{N-1})$ に対し $h_l\in \mathcal{H}_l(S_{N-1})$ と $p_{l-2}\in \mathcal{P}_{l-2}(S_{N-1})$ が取れて、$p_l=h_l+p_{l-2}$ と表せる。よって帰納法により、$l-2k\in \{0,1\}$ なる $k\in \mathbb{N}$ に対し、$h_{l-2j}\in \mathcal{H}_{l-2j}(S_{N-1})$ $(j=0,1,\ldots,k)$ が取れて、
$$
p_l=h_l+h_{l-2}+\cdots+h_{l-2k}
$$
と表せる。これより、
$$
{\rm span}\bigcup_{l\in \mathbb{Z}_+}\mathcal{P}_l(S_{N-1})={\rm span}\bigcup_{l\in \mathbb{Z}_+}\mathcal{H}_l(S_{N-1})
$$
が成り立つ。
*$(2)$　[[ベクトル解析4：Euclid空間内の多様体上の測度と積分]]の'''系16.2'''より $L^2(S_{N-1},\mu_{S_{N-1}})$ において $C(S_{N-1})$ は稠密であり、Stone-Weierstrassの定理（[[測度と積分7：局所コンパクトHausdorff空間上のRadon測度]]の'''定理35.4'''）より、$C(S_{N-1})$ において $(*)$ は稠密である。よって $L^2(S_{N-1},\mu_{S_{N-1}})$ において $(*)$ は稠密である。これより $(**)$ を示すには、$k\neq l$ なる任意の $k,l\in \mathbb{Z}_+$ に対し、$L^2(S_{N-1},\mu_{S_{N-1}})$ において $\mathcal{H}_k(S_{N-1})\perp \mathcal{H}_l(S_{N-1})$ が成り立つことを示せばよい。任意の $p\in \mathcal{H}_k(\mathbb{R}^N)$, $q\in \mathcal{H}_l(\mathbb{R}^N)$ を取る。
$$
p(r\omega)=r^kp(\omega),\quad q(r\omega)=r^lq(\omega)\quad(\forall r\in (0,\infty),\forall \omega\in S_{N-1})
$$
であるから、$0\in \mathbb{R}^N$ 中心の極座標（[[ベクトル解析4：Euclid空間内の多様体上の測度と積分]]の'''定義18.3'''）による勾配の表示（[[ベクトル解析3：Euclid空間内の多様体の計量]]の'''命題12.5'''）を考えると、極座標が直交座標であること（[[ベクトル解析4：Euclid空間内の多様体上の測度と積分]]の'''命題18.2'''）に注意して、
$$
(\nabla p)(\omega)\cdot \omega=\frac{\partial p}{\partial r}(\omega)=kp(\omega),\quad
(\nabla q)(\omega)\cdot \omega=\frac{\partial q}{\partial r}(\omega)=lq(\omega)\quad(\forall \omega\in S_{N-1})
$$
となる。そして $\{x\in \mathbb{R}^N:\lvert x\rvert<1\}\subset \mathbb{R}^N$ の境界 $S_{N-1}$ 上の外向き単位法線ベクトル場は $S_{N-1}\ni \omega\mapsto \omega\in \mathbb{R}^N$ である（[[ベクトル解析5：多様体の向き]]の'''命題22.2'''）から、Gaussの発散定理（[[微分方程式の初歩]]の'''定理2.3'''の $(4)$）より、
$$
\begin{aligned}
0&=\int_{\lvert x\rvert<1}(\Delta \overline{p}(x)q(x)-\overline{p}(x)\Delta q(x))dx\\
&=\int_{S_{N-1}}((\nabla \overline{p})(\omega)\cdot \omega)q(\omega)-\overline{p}(\omega)((\nabla q)(\omega)\cdot \omega))d\mu_{S_{N-1}}(\omega)\\
&=(k-l)\int_{S_{N-1}}\overline{p}(\omega)q(\omega)d\mu_{S_{N-1}}(\omega)
\end{aligned}
$$
となる。よって $k\neq l$ より、
$$
\int_{S_{N-1}}\overline{p}(\omega)q(\omega)d\mu_{S_{N-1}}(\omega)=0
$$
を得る。ゆえに $\mathcal{H}_k(S_{N-1})\perp \mathcal{H}_l(S_{N-1})$ であるので $(**)$ が成り立つ。
{{end|proof}}

===命題8.6（コンパクト群 ${\rm SO}(N)$ の等質空間としての単位球面 $S_{N-1}$）===
単位球面 $S_{N-1}=\{x\in \mathbb{R}^N:\lvert x\rvert=1\}$ は通常の作用
$$
{\rm SO}(N)\times S_{N-1}\ni (R,u)\mapsto Ru\in S_{N-1}
$$
によりコンパクト群 ${\rm SO}(N)$ の等質空間（'''定義3.6'''）である。そして $S_{N-1}$ の面積測度 $\mu_{S_{N-1}}\colon \mathcal{B}_{S_{N-1}}\rightarrow [0,\infty)$ は ${\rm SO}(N)$ 不変測度（'''定義3.18'''）である。
{{begin|proof}}
任意の $u\in S_{N-1}$ に対し、Schmidtの直交化より、$u_2,\ldots,u_N\in S_{N-1}$ で $u,u_2,\ldots,u_N$ が $\mathbb{R}^N$ の正規直交基底となるものが取れる。このとき $u,u_2,\ldots,u_N$ を縦ベクトルとして並べた行列 $R=(u,u_2,\ldots,u_N)$ は ${\rm O}(N)$ に属するが、必要ならば $u_2,\ldots,u_N$ のうちのいずれかを $-1$ 倍して $R\in {\rm SO}(N)$ とすることができる。そしてこのとき $Re_1=u$ である。ゆえに任意の $u\in S_{N-1}$ に対し $Re_1=u$ なる $R\in {\rm SO}(N)$ が存在するので、$S_{N-1}$ は ${\rm SO}(N)$ の等質空間である。任意の $R\in {\rm O}(N)$ に対し $C^\infty$ 級同相写像 $S_{N-1}\ni u\mapsto Ru\in S_{N-1}$ のヤコビアン（[[ベクトル解析4：Euclid空間内の多様体上の測度と積分]]の'''定義17.2'''）は $1$ なので変数変換公式（[[ベクトル解析4：Euclid空間内の多様体上の測度と積分]]の'''定理17.5'''）より、
$$
\mu_{S_{N-1}}(R(B))=\mu_{S_{N-1}}(B)\quad(\forall B\in \mathcal{B}_{S_{N-1}})
$$
が成り立つ。よって $\mu_{S_{N-1}}$ は ${\rm SO}(N)$ 不変測度である。
{{end|proof}}

===命題8.7（コンパクト群 ${\rm SU}(N)$ の等質空間としての単位球面 $S_{2N-1}$）===
$\mathbb{R}^{2N}$ と $\mathbb{C}^N$ を、
$$
(x_1,y_1,\ldots,x_N,y_N)=(x_1+iy_1,\ldots,x_N+iy_N)
$$
とみなすことにより同一視する。球面
$$
S_{2N-1}=\{x\in \mathbb{R}^{2N}:\lvert x\rvert=1\}=\{z\in \mathbb{C}^N:\lvert z\rvert=1\}\subset \mathbb{C}^N
$$
は、通常の作用
$$
{\rm SU}(N)\times S_{2N-1}\ni (U,v)\mapsto Uv\in S_{2N-1}
$$
によりコンパクト群 ${\rm SU}(N)$ の等質空間（'''定義3.6'''）である。そして $S_{2N-1}$ の面積測度 $\mu_{S_{2N-1}}\colon \mathcal{B}_{S_{2N-1}}\rightarrow [0,\infty)$ は ${\rm SU}(N)$ 不変測度（'''定義3.18'''）である。
{{begin|proof}}
任意の $v\in S_{2N-1}$ に対しSchmidtの直交化により $v_2,\ldots,v_N\in S_{2N-1}$ で $v,v_2,\ldots,v_N$ が $\mathbb{C}^N$ の正規直交基底となるものが取れる。このとき $v,v_2,\ldots,v_N$ を縦ベクトルとして並べたもの $U=(v,v_2,\ldots,v_N)$ は ${\rm U}(N)$ に属するが、必要ならば $v_2,\ldots,v_N$ のいずれかを $({\rm det}(U))^{-1}$ 倍して $U\in{\rm SU}(N)$ とすることができる。そしてこのとき $Ue_1=v$ である。ゆえに任意の $v\in S_{2N-1}$ に対し $Ue_1=v$ なる $U\in {\rm SU}(N)$ が存在するので、$S_{2N-1}$ は ${\rm SU}(N)$ の等質空間である。任意の $U\in {\rm SU}(N)$ に対し、$\mathbb{C}^N=\mathbb{R}^{2N}$ の同一視のもとで、$U\colon \mathbb{R}^{2N}\rightarrow \mathbb{R}^{2N}$ は等長実線形同型写像であるから $U\in {\rm O}(2N)$ とみなせて、$C^\infty$ 級同相写像 $S_{2N-1}\ni v\mapsto Uv\in S_{2N-1}$ のヤコビアン（[[ベクトル解析4：Euclid空間内の多様体上の測度と積分]]の'''定義17.2'''）は $1$ なので変数変換公式（[[ベクトル解析4：Euclid空間内の多様体上の測度と積分]]の'''定理17.5'''）より、
$$
\mu_{S_{2N-1}}(U(B))=\mu_{S_{2N-1}}(B)\quad(\forall B\in \mathcal{B}_{S_{2N-1}})
$$
が成り立つ。よって $\mu_{S_{2N-1}}$ は ${\rm SU}(N)$ 不変測度である。
{{end|proof}}

'''命題8.6'''より単位球面 $S_2=\{x\in \mathbb{R}^3:\lvert x\rvert=1\}$ はコンパクト群 ${\rm SO}(3)$ の等質空間であり、$S_2$ の面積測度 $\mu_{S_2}\colon \mathcal{B}_{S_2}\rightarrow [0,\infty)$ は ${\rm SO}(3)$ 不変測度である。そこで、
$$
\rho\colon {\rm SO}(3)\rightarrow \mathbb{U}(L^2(S_2,\mu_{S_2})),\quad
\rho(R)f(x)=f(R^{-1}x)\quad(\forall f\in L^2(S_2,\mu_{S_2}),\forall R\in {\rm SO}(3),\forall x\in S_2)
$$
を ${\rm SO}(3)$ の $L^2(S_2,\mu_{S_2})$ 上への正則表現（'''定義3.25'''）とする。また任意の $l\in \mathbb{Z}_+$ に対し $\mathcal{H}_l(S_2)$ を $l$ 次の球面調和関数空間（'''定義8.4'''）とする。このとき、

===定理8.8（${\rm SO}(3)$ の球面 $L^2$ 空間上への正則表現と既約表現の完全分類）===
次が成り立つ。
*$(1)$　任意の $l\in \mathbb{Z}_+$ に対し $\mathcal{H}_l(S_2)\subset L^2(S_2,\mu_{S_2})$ は $\rho$ 不変であり、$\rho$ の $\mathcal{H}_l(S_2)$ 上への制限 $\rho_l\colon {\rm SO}(3)\rightarrow \mathbb{U}(\mathcal{H}_l(S_2))$ は既約である。そして $\rho=\bigoplus_{l\in \mathbb{Z}_+}\rho_l$ が成り立つ。
*$(2)$　コンパクト群 ${\rm SO}(3)$ の任意の既約なユニタリ表現はある $l\in \mathbb{Z}_+$ に対し $\rho_l$ とユニタリ同値である。
{{begin|proof}}
*$(1)$　正の向きの直交座標によるラプラシアンの表示（[[ベクトル解析3：Euclid空間内の多様体の計量]]の'''命題13.10'''）より、任意の $u\in C^2(\mathbb{R}^3)$ と任意の $R\in {\rm SO}(3)$ に対し、
$$
(\Delta u)\circ R^{-1}=\Delta(u\circ R^{-1})
$$
が成り立つ。よって $u$ が調和関数ならば $u\circ R^{-1}$ も調和関数であるので、任意の $l\in \mathbb{Z}_+$ に対し $\mathcal{H}_l(S_2)$ は $\rho$ 不変である。'''定理8.5'''の $(2)$ より $L^2(S_2,\mu_{S_2})=\bigoplus_{l\in \mathbb{Z}_+}\mathcal{H}_l(S_2)$ であるので、$\rho=\bigoplus_{l\in \mathbb{Z}_+}\rho_l$ が成り立つ。任意の $l\in \mathbb{Z}_+$ を取り固定する。$(F_1,F_2,F_3)$ を ${\rm SO}(3)$ の生成子（'''定義8.1'''）とする。$\mathcal{H}_l(S_2)$ は有限次元であるから $\rho_l\colon {\rm SO}(3)\rightarrow \mathbb{U}(\mathcal{H}_l(S_2))$ の微分表現（'''定義7.18'''）$d\rho_l$ に対し、$d\rho_l(F)$ $(\forall F\in {\rm Lie}({\rm SO}(3)))$ は $\mathcal{H}_l(S_2)$ 上で定義され、任意の $u\in \mathcal{H}_l(S_2)$ に対し、'''命題8.2'''より、
$$
d\rho_l(F_1)u=\lim_{\theta\rightarrow0}\frac{1}{\theta}(\rho(\exp(\theta F_1))-1)u
=\lim_{\theta\rightarrow0}\frac{1}{\theta}(u\circ\exp(-\theta F_1)-u)=x_3\frac{\partial u}{\partial x_2}-x_2\frac{\partial u}{\partial x_3}
$$
が成り立つ。ただし $(x_1,x_2,x_3)$ は $\mathbb{R}^3$ の標準座標である。同様にして任意の $u\in \mathcal{H}_l(S_2)$ に対し、
$$
d\rho_l(F_2)u=x_1\frac{\partial u}{\partial x_3}-x_3\frac{\partial u}{\partial x_2},\quad
d\rho_l(F_3)=x_2\frac{\partial u}{\partial x_1}-x_1\frac{\partial u}{\partial x_2}
$$
が成り立つことが分かる。そこで $v^l_0\in \mathcal{H}_l(S_2)$ を、
$$
v^l_0(x_1,x_2,x_3)=(x_1+ix_2)^l
$$
と定義すると、
$$
(id\rho_l(F_1)-d\rho_l(F_2))v^{l}_0=0,\quad id\rho_l(F_3)v^{l}_0=lv_0^l
$$
が成り立つので、'''定理8.3'''より、
$$
v^l_j\colon=(id\pi_l(F_1)+d\rho_l(F_2))^jv_0^l\in \mathcal{H}_l(S_2)\quad(j=1,2,\ldots,2l)
$$
とおけば、$v^l_0,v^l_1,\ldots,v^l_{2l}$ はそれぞれ自己共役作用素 $id\rho_l(F_3)$ の固有値 $l,l-1,\ldots,-l$ に対する固有ベクトルである。ここで'''定理8.5'''の $(1)$ より、
$$
\dim(\mathcal{H}_l(S_2))=2l-1
$$
であるから、$v_0^l,v_1^l,\ldots,v_{2l}^l$ は $\mathcal{H}_l(S_2)$ の基底である。よって'''定理8.3'''より $\rho_l\colon {\rm SO}(3)\rightarrow \mathbb{U}(\mathcal{H}_l(S_2))$ は既約である。
*$(2)$　コンパクト群 ${\rm SO}(3)$ の双対空間 $\widehat{{\rm SO}(3)}$（既約なユニタリ表現の同値類全体（'''定義4.7'''））が $\{[\rho_l]\}_{l\in \mathbb{Z}_+}$ と一致することを示せばよく、そのためにはPeter-Weylの定理3（'''定理4.17'''）より、対応する ${\rm SO}(3)$ の指標の族 $\{\gamma_{[\rho_l]}\}_{l\in \mathbb{Z}_+}$ が $L^2$ 類関数空間 $ZL^2({\rm SO}(3))$ のCONSであることを示せばよい。そしてそのためには、$ZL^2({\rm SO}(3))$ において連続類関数空間 $ZC({\rm SO}(3))$ が稠密であること（'''系4.18'''）から、${\rm span}\{\gamma_{[\rho_l]}\}_{l\in \mathbb{Z}_+}\subset ZC({\rm SO}(3))$ が $ZC({\rm SO}(3))$ において $\sup$ ノルムで稠密であることを示せばよい。任意の $f\in ZC({\rm SO}(3))$ に対し、$\widehat{f}\in C([0,\pi])$ を、
$$
\widehat{f}(\theta)\colon=f(\exp(\theta F_3))\quad(\forall \theta\in [0,\pi])
$$
と定義する。任意の $R\in {\rm SO}(3)$ に対し、'''命題7.16'''と'''命題8.2'''より、$A\in {\rm O}(3)$ と $\theta\in [-\pi,\pi]$ で、
$$
R=A\exp(\theta F_3)A^{-1}\quad\quad(*)
$$
を満たすものが取れる。ここで必要ならば $\exp(\theta F_3)$に両側から、$A$に右から、
$$
\begin{pmatrix}0&1&0\\1&0&0\\0&0&1\end{pmatrix}
$$
を掛け、さらに必要ならば$A$に右から、
$$
\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&-1\end{pmatrix}
$$
を掛けることで、任意の $R\in {\rm SO}(3)$ に対し、$(*)$ を満たす $A\in {\rm SO}(3)$, $\theta\in [0,\pi]$ が取れることが分かる。よって類関数の定義（'''定義4.14'''）より、任意の $f\in ZC({\rm SO}(3))$、任意の $R\in {\rm SO}(3)$ に対し、$f(R)=\widehat{f}(\theta)$ を満たす $\theta\in [0,\pi]$ が取れるので、
$$
ZC({\rm SO}(3))\ni f\mapsto \widehat{f}\in C([0,\pi])\quad\quad(**)
$$
は $\sup$ ノルムに関して等長線形写像である。今、任意の $l\in \mathbb{Z}_+$ に対し $(1)$ の証明で構成した $\mathcal{H}_l(S_2)$ の基底 $v_0^l,v_1^l,\ldots,v_{2l}^l$ を考え、これを正規化したものを $u_0^l,u_1^l,\ldots,u_{2l}^l\in \mathcal{H}_l(S_2)$ とおく。これらは自己共役作用素 $id\rho_l(F_3)$ の相異なる固有値 $l,l-1,\ldots,-l$ に対する単位固有ベクトルであるので $\mathcal{H}_l(S_2)$ のCONSであり、したがって、指標の定義（'''定義4.15'''）より、
$$
\begin{aligned}
\widehat{\gamma_{[\rho_l]}}(\theta)&=\gamma_{[\rho_l]}(\exp(\theta F_3))={\rm Tr}(\rho_l(\exp(\theta F_3)))={\rm Tr}(\exp(\theta d\rho_l(F_3)))\\
&=\sum_{j=0}^{2l}(u_j^l\mid\exp(\theta d\rho_l(F_3))u_j^l)
=\sum_{j=0}^{2l}(u_j^l\mid \exp(i\theta (-id\rho_l(F_3)))u_j^l)\\
&=\sum_{j=0}^{2l}\exp(i\theta(-(l-j)))=\sum_{j=-l}^{l}\exp(ij\theta)
=1+2\sum_{j=1}^{l}\cos(j\theta)\quad(\forall \theta\in[0,\pi])
\end{aligned}
$$
が成り立つ。よって、
$$
\widehat{\gamma_{[\rho_l]}}(\theta)=1+2\sum_{j=1}^{l}\cos(j\theta)\quad(\forall l\in \mathbb{Z}_+,\forall \theta\in [0,\pi])\quad\quad(***)
$$
である。ここでStone-Weierstrassの定理（[[測度と積分7：局所コンパクトHausdorff空間上のRadon測度]]の'''定理35.4'''）より $C([0,\pi])$ において ${\rm span}\{\cos(j\theta)\}_{j\in \mathbb{Z}_+}$ は稠密であり、$(***)$ より、
$$
{\rm span}\{\widehat{\gamma_{[\rho_l]}}\}_{l\in \mathbb{Z}_+}={\rm span}\{\cos(j\theta)\}_{j\in \mathbb{Z}_+}
$$
であるから、$C([0,\pi])$ において ${\rm span}\{\widehat{\gamma_{[\rho_l]}}\}_{l\in \mathbb{Z}_+}$ は稠密である。よって $(**)$ が等長線形写像であることから、$ZC({\rm SO}(3))$ において ${\rm span}\{\gamma_{\rho_l}\}_{l\in \mathbb{Z}_+}$ は稠密である。ゆえに $\widehat{{\rm SO}(3)}=\{[\rho_l]\}_{l\in \mathbb{Z}_+}$ が成り立つ。
{{end|proof}}

===定義8.9===
任意の $l\in \mathbb{Z}_+$ に対し、$\mathbb{C}^2$ 上の $l$ 次の多項式を球面 $S_3=\{(z_1,z_2)\in \mathbb{C}^2:\lvert (z_1,z_2)\rvert=1\}\subset \mathbb{C}^2$ 上に制限したもの全体を $\mathcal{A}(S_3)$ と表す。

'''命題8.7'''より、球面 $S_3=\{z\in \mathbb{C}^2:\lvert z\rvert=1\}=\{x\in \mathbb{R}^4:\lvert x\rvert=1\}$ はコンパクト群 ${\rm SU}(2)$ の等質空間であり、$S_3$ の面積測度 $\mu_{S_3}\colon\mathcal{B}_{S_3}\rightarrow [0,\infty)$ は ${\rm SU}(2)$ 不変測度である。そこで、
$$
\rho\colon {\rm SU}(2)\rightarrow \mathbb{U}(L^2(S_3,\mu_{S_3})),\quad
\rho(U)f(z)=f(U^{-1}z)\quad(\forall f\in L^2(S_3,\mu_{S_3}),\forall U\in {\rm SU}(2),\forall z\in S_3)
$$
を ${\rm SU}(2)$ の $L^2(S_3,\mu_{S_3})$ 上への正則表現（'''定義3.25'''）とする。このとき、

===定理8.10（${\rm SU}(2)$ の球面 $L^2$ 空間上への正則表現と既約表現の完全分類）===
次が成り立つ。
*$(1)$　各 $l\in \mathbb{Z}_+$ に対し $\mathcal{A}_l(S_3)$ は $\rho$ 不変であり、$\rho$ の $\mathcal{A}_l(S_3)$ 上への制限 $\rho_l\colon {\rm SU}(2)\rightarrow \mathbb{U}(\mathcal{A}_l(S_3))$ は既約である。
*$(2)$　${\rm SU}(2)$ の任意の既約なユニタリ表現は、ある $l\in \mathbb{Z}_+$ に対し $\rho_l$ とユニタリ同値である。
*$(3)$　任意の $l\in \mathbb{Z}_+$ に対し $\rho$ における $[\rho_l]$ の重複度（'''定義4.10'''）は $l+1$ であり、$\rho$ における $[\rho_l]$ 成分（'''定義4.8'''）は $\mathcal{H}_l(S_3)$（$l$ 次の球面調和関数空間）である。
{{begin|proof}}
*$(1)$　各 $l\in \mathbb{Z}_+$ に対し $\mathcal{A}_l(S_3)$（'''定義8.9'''）が $\rho$ 不変であることは自明である。任意の $l\in \mathbb{Z}_+$ を取り固定し、$(E_1,E_2,E_3)$ を ${\rm SU}(2)$ の生成子（'''定義8.1'''）とする。$\mathcal{A}_l(S_3)$ は有限次元であるから、$\rho_l\colon {\rm SU}(2)\rightarrow \mathbb{U}(\mathcal{A}_l(S_3))$ の微分表現（'''定義7.18'''）$d\rho_l$ に対し、$d\rho_l(E)$ $(\forall E\in {\rm Lie}({\rm SU}(2)))$ は $\mathcal{A}_l(S_3)$ 上で定義され、任意の $u\in \mathcal{A}_l(S_3)$ に対し、'''命題8.2'''より、
$$
d\rho_l(E_1)u=\lim_{\theta\rightarrow0}\frac{1}{\theta}(\rho(\exp(\theta E_1))-1)u
=\lim_{\theta\rightarrow0}\frac{1}{\theta}(u\circ \exp(-\theta E_1)-u)=\frac{i}{2}\left(z_2\frac{\partial u}{\partial z_1}+z_1\frac{\partial u}{\partial z_2}\right)
$$
が成り立つ。ただし $(z_1,z_2)$ は $\mathbb{C}^2$ の標準座標である。同様にして任意の $u\in \mathcal{A}_l(S_3)$ に対し、
$$
d\rho_l(E_2)u=\frac{1}{2}\left(z_2\frac{\partial u}{\partial z_1}-z_1\frac{\partial u}{\partial z_2}\right),\quad
d\rho_l(E_3)u=\frac{i}{2}\left(z_1\frac{\partial u}{\partial z_1}-z_2\frac{\partial u}{\partial z_2}\right)
$$
が成り立つことが分かる。そこで $v^l_0\in \mathcal{A}_l(S_3)$ を、
$$
v^l_0(z_1,z_2)\colon =z_2^l
$$
と定義すると、
$$
(id\rho_l(E_1)-d\rho_l(E_2))v^l_0=0,\quad id\rho_l(E_3)v^l_0=\frac{l}{2}v^l_0
$$
が成り立つので、'''定理8.3'''より、
$$
v^l_j\colon=(id\rho_l(E_1)+d\rho_l(E_2))^jv^l_0\in \mathcal{A}_l(S_3)\quad(j=0,1,\ldots,l)
$$
とおけば、$v^l_0,v^l_1,\ldots,v^l_l$ はそれぞれ自己共役作用素 $id\rho_l(E_3)$ の固有値 $\frac{l}{2},\frac{l}{2}-1,\ldots,-\frac{l}{2}$ に対する固有ベクトルである。ここで $\mathcal{A}_l(S_3)$ の'''定義8.9'''より明らかに、
$$
\dim(\mathcal{A}_l(S_3))=l+1
$$
であるから、$v^l_0,v^l_1,\ldots,v^l_l$ は $\mathcal{A}(S_3)$ の基底である。よって'''定理8.3'''より $\rho_l$ は既約である。
*$(2)$　コンパクト群 ${\rm SU}(2)$ の双対空間 $\widehat{{\rm SU}(2)}$（既約なユニタリ表現の同値類全体（'''定義4.7'''））が $\{[\rho_l]\}_{l\in \mathbb{Z}_+}$ と一致することを示せばよく、そのためにはPeter-Weylの定理3（'''定理4.17'''）より、対応する ${\rm SU}(2)$ の指標の族 $\{\gamma_{[\rho_l]}\}_{l\in \mathbb{Z}_+}$ が $L^2$ 類関数空間 $ZL^2({\rm SU}(2))$ のCONSであることを示せばよい。そしてそのためには、$ZL^2({\rm SU}(2))$ において連続類関数空間 $ZC({\rm SU}(2))$ が稠密であること（'''系4.18'''）から、${\rm span}\{\gamma_{[\rho_l]}\}_{l\in \mathbb{Z}_+}\subset ZC({\rm SU}(2))$ が $ZC({\rm SU}(2))$ において $\sup$ ノルムで稠密であることを示せばよい。任意の $f\in ZC({\rm SU}(2))$ に対し、$\widehat{f}\in C([0,2\pi])$ を、
$$
\widehat{f}(\theta)\colon=f(\exp(\theta E_3))\quad(\forall \theta\in [0,2\pi])
$$
と定義する。任意の $U\in {\rm SU}(2)$ に対し、'''命題8.2'''より、$V\in {\rm U}(2)$ と $\theta\in [-2\pi,2\pi]$ で、
$$
U=V\exp(\theta E_3)V^{-1}\quad\quad(*)
$$
を満たすものが取れる。ここで必要ならば $\exp(\theta E_3)$ に両側から、Vに右から
$$
\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}
$$
を掛け、さらに必要ならば$V$に右から
$$
\begin{pmatrix}1&0\\0&{\rm det}(V)^{-1}\end{pmatrix}
$$
を掛けることで、任意の $U\in {\rm SU}(2)$ に対し、$(*)$ を満たす $V\in {\rm SU}(2)$, $\theta\in [0,2\pi]$ が取れることが分かる。よって類関数の定義（'''定義4.14'''）より、任意の $f\in ZC({\rm SU}(2))$、任意の $U\in {\rm SU}(2)$ に対し、$f(U)=\widehat{f}(\theta)$ を満たす $\theta\in [0,2\pi]$ が取れるので、
$$
ZC({\rm SU}(2))\ni f\mapsto \widehat{f}\in C([0,2\pi])\quad\quad(**)
$$
は $\sup$ ノルムに関して等長線形写像である。今、任意の $l\in \mathbb{Z}_+$ に対し $(1)$ の証明で構成した $\mathcal{A}_l(S_3)$ の基底 $v_0^l,v_1^l,\ldots,v_{l}^l$ を考え、これを正規化したものを $u_0^l,u_1^l,\ldots,u_{l}^l\in \mathcal{A}_l(S_3)$ とおく。これらは自己共役作用素 $id\rho_l(E_3)$ の相異なる固有値 $\frac{l}{2},\frac{l}{2}-1,\ldots,-\frac{l}{2}$ に対する単位固有ベクトルであるので $\mathcal{A}_l(S_3)$ のCONSであり、したがって、指標の定義（'''定義4.15'''）より、
$$
\begin{aligned}
\widehat{\gamma_{[\rho_l]}}(\theta)&=\gamma_{[\rho_l]}(\exp(\theta E_3))={\rm Tr}(\rho_l(\exp(\theta E_3)))={\rm Tr}(\exp(\theta d\rho_l(E_3)))\\
&=\sum_{j=0}^{l}(u_j^l\mid\exp(\theta d\rho_l(E_3))u_j^l)
=\sum_{j=0}^{l}(u_j^l\mid \exp(i\theta (-id\rho_l(E_3)))u_j^l)\\
&=\sum_{j=0}^{l}\exp\left(-i\theta\left(\frac{l}{2}-j\right)\right)
=\begin{cases}2\left(\cos\left(\frac{1}{2}\theta\right)+\cos\left(\frac{3}{2}\theta\right)+\cdots+\cos\left(\frac{l}{2}\theta\right)\right)\quad&(\text{$l$は奇数})\\
1+2\left(\cos(\theta)+\cos(2\theta)+\cdots+\cos\left(\frac{l}{2}\theta\right)\right)&(\text{$l$は偶数})
\end{cases}
\quad(\forall \theta\in[0,2\pi])
\end{aligned}
$$
が成り立つ。よって、
$$
\widehat{\gamma_{[\rho_l]}}(\theta)=\begin{cases}2\left(\cos\left(\frac{1}{2}\theta\right)+\cos\left(\frac{3}{2}\theta\right)+\cdots+\cos\left(\frac{l}{2}\theta\right)\right)\quad&(\text{$l$は奇数})\\
1+2\left(\cos(\theta)+\cos(2\theta)+\cdots+\cos\left(\frac{l}{2}\theta\right)\right)&(\text{$l$は偶数})
\end{cases}
\quad(\forall l\in \mathbb{Z}_+,\forall \theta\in [0,2\pi])\quad\quad(***)
$$
である。ここでStone-Weierstrassの定理（[[測度と積分7：局所コンパクトHausdorff空間上のRadon測度]]の'''定理35.4'''）より $C([0,2\pi])$ において ${\rm span}\{\cos(\frac{j}{2}\theta)\}_{j\in \mathbb{Z}_+}$ は稠密であり、$(***)$ より、
$$
{\rm span}\{\widehat{\gamma_{[\rho_l]}}\}_{l\in \mathbb{Z}_+}={\rm span}\left\{\cos\left(\frac{j}{2}\theta\right)\right\}_{j\in \mathbb{Z}_+}
$$
であるから、$C([0,2\pi])$ において ${\rm span}\{\widehat{\gamma_{[\rho_l]}}\}_{l\in \mathbb{Z}_+}$ は稠密である。よって $(**)$ が等長線形写像であることから、$ZC({\rm SU}(2))$ において ${\rm span}\{\gamma_{\rho_l}\}_{l\in \mathbb{Z}_+}$ は稠密である。ゆえに $\widehat{{\rm SU}(2)}=\{[\rho_l]\}_{l\in \mathbb{Z}_+}$ が成り立つ。
*$(3)$　$e_1=(1,0)\in \mathbb{C}^2$ とおく。任意の $l\in \mathbb{Z}_+$ を取る。$e_1\in S_3$ における ${\rm SU}(2)$ の固定部分群は $\{1\}$ であるから、'''定理4.20'''より、$\rho$ における $[\rho_l]$ の重複度は $\rho_l$ の表現空間そのものの次元 $\dim(\mathcal{A}_l(S_3))=l+1$ である。$(2)$ における $\mathcal{A}_l(S_3)$ のCONS $u^l_0,u^l_1,\ldots,u^l_l$ を取り、任意の $v\in \mathcal{A}_l(S_3)$ に対し $T_j^lv\in C(S_3)$ を、
$$
T_j^lv\colon S_3\ni Ue_1\mapsto (\rho_l(U)u_j^l\mid v)\in \mathbb{C}\quad\quad(****)
$$
と定義し、線形作用素
$$
T^l_j\colon\mathcal{A}_l(S_3)\ni v\mapsto T_j^lv\in L^2(S_3,\mu_{S_3})
$$
を定義する。このとき'''定理4.20'''より $\rho$ における $[\rho_l]$ 成分は、
$$
\bigoplus_{j=0}^{l}{\rm Ran}(T_j^l)
$$
である。$(1)$ の証明より各 $j\in \{0,1,\ldots,l\}$ に対し、$u_j^l$ はあるスカラー $c_j^l\in \mathbb{C}$ に対し、
$$
u_j^l(z_1,z_2)=c_j^lz_1^jz_2^{l-j}\quad(\forall (z_1,z_2)\in S_3\subset \mathbb{C}^2)
$$
と表せることが分かる。よって任意の $v\in \mathcal{A}_l(S_3)$、任意の $(a,b)\in S_3\subset \mathbb{C}^2$ に対し、$(****)$ より、
$$
\overline{T_j^lv(a,b)}=c_j^l\int_{S_3}(az_1+bz_2)^j(-\overline{b}z_1+\overline{a}z_2)^{l-j}\overline{v(z_1,z_2)}d\mu_{S_3}(z_1,z_2)\quad\quad(*****)
$$
である。ここで $a=x_1+ix_2$, $b=x_3+ix_4$ $(x_1,x_2,x_3,x_4\in \mathbb{R})$ とおけば、
$$
\begin{pmatrix}x_1\\x_2\\x_3\\x_4\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\frac{1}{2}&\frac{1}{2}&0&0\\\frac{1}{2i}&-\frac{1}{2i}&0&0\\0&0&\frac{1}{2}&\frac{1}{2}\\0&0&\frac{1}{2i}&-\frac{1}{2i}\end{pmatrix}\begin{pmatrix}a\\\overline{a}\\b\\\overline{b}\end{pmatrix}
$$
であるから、
$$
\begin{aligned}
&\frac{\partial}{\partial a}=\frac{1}{2}\left(\frac{\partial}{\partial x_1}-i\frac{\partial}{\partial x_2}\right),\quad
\frac{\partial}{\partial \overline{a}}=\frac{1}{2}\left(\frac{\partial}{\partial x_1}+i\frac{\partial}{\partial x_2}\right),\\
&\frac{\partial}{\partial b}=\frac{1}{2}\left(\frac{\partial}{\partial x_3}-i\frac{\partial}{\partial x_4}\right),\quad
\frac{\partial}{\partial \overline{b}}=\frac{1}{2}\left(\frac{\partial}{\partial x_3}+i\frac{\partial}{\partial x_4}\right).
\end{aligned}
$$
したがってラプラシアンは、
$$
\Delta=\sum_{j=1}^{4}\frac{\partial^2}{\partial x_j^2}=\frac{1}{4}\left(\frac{\partial^2}{\partial \overline{a}\partial a}+\frac{\partial^2}{\partial \overline{b}\partial b}\right)
$$
と表せる。よって $(*****)$ とLebesgue優収束定理より、
$$
\Delta T^l_jv=0\quad(\forall v\in \mathcal{A}_l(S_3),j=0,1,\ldots,l)
$$
であるから、
$$
\bigoplus_{j=0}^{l}{\rm Ran}(T_j^l)\subset \mathcal{H}_l(S_3)\quad(\forall l\in \mathbb{Z}_+)\quad\quad(******)
$$
が成り立つ。ここで'''定理4.20'''より、
$$
L^2(S_3,\mu_{S_3})=\bigoplus_{l\in\mathbb{Z}_+}\bigoplus_{j=0}^{l}{\rm Ran}(T_j^l)
$$
であり、'''定理8.5'''の $(2)$ より、
$$
L^2(S_3,\mu_{S_3})=\bigoplus_{l\in \mathbb{Z}_+}\mathcal{H}_l(S_3)
$$
であるから、$(******)$ より、
$$
\bigoplus_{j=0}^{l}{\rm Ran}(T^l_j)=\mathcal{H}_l(S_3)\quad(\forall l\in \mathbb{Z}_+)
$$
が成り立つ。ゆえに任意の $l\in \mathbb{Z}_+$ に対し $\rho$ における $[\rho_l]$ 成分は $\mathcal{H}_l(S_3)$ である。
{{end|proof}}

==関連記事==
*[[入門テキスト「位相空間論」]]
*[[ネットによる位相空間論]]
*[[入門テキスト「測度と積分」]]
*[[入門テキスト「位相線形空間」]]
*[[Banach環とC*-環のスペクトル理論]]
*[[Hilbert空間上の作用素論]]
*[[量子力学の数学的構造に関わる関数解析]]

==参考文献==
*[https://amzn.to/3duUDWL Walter Rudin「Real And Complex Analysis」]
*[https://amzn.to/32sboLW Walter Rudin「Functional Analysis」]
*[https://amzn.to/3sEpQLv Gerald Folland「A Course in Abstract Harmonic Analysis」]
* [https://www.amazon.co.jp/dp/0821842420 Dana P. Williams「Crossed Products of C*- Algebras」]
*[https://amzn.to/dp/0128141220 Gert Pedersen「$C^*$-Algebras and Their Automorphism Groups 」]
*[https://amzn.to/3sx3cEH Brian Hall「Quantum Theory for Mathematicians」]
*[https://amzn.to/dp/9812835229　Franco Strocchi「An Introduction to the Mathematical Structure of Quantum Mechanics: A Short Course for Mathematicians 」]
*[https://amzn.to/3giUIi1　新井仁之「新・フーリエ解析と関数解析学」]
*[https://amzn.to/dp/4563003298　杉浦光夫、山内恭彦「連続群論入門」 ]
*[https://amzn.to/2QdWrdK 新井朝雄「量子現象の数理」]

==脚注==

局所コンパクト群のユニタリ表現

2026-07-09T04:57:21Z

Kataoka: /* 定義4.7（コンパクト群 $G$ の双対空間 $\widehat{G}$） */

本稿においては、局所コンパクト群のユニタリ表現論について初歩的なことを論じる。仮定する知識は、位相空間論（[[入門テキスト「位相空間論」]]、[[ネットによる位相空間論]]）、測度論（[[入門テキスト「測度と積分」]]、特に[[測度と積分7：局所コンパクトHausdorff空間上のRadon測度]]、[[測度と積分9：Bochner積分]]の内容）、位相線形空間論（[[入門テキスト「位相線形空間」]]）、Banach環と$C^*$ -環のスペクトル理論（[[Banach環とC*-環のスペクトル理論]]）、Hilbert空間上の作用素論（[[Hilbert空間上の作用素論]]）である。 
本稿ではHilbert空間と言えば、特に断ることのない限り $\mathbb{C}$ 上のものとする。また、Hilbert空間の内積は第二変数に関して線形とし、$\mathbb{N}=\{1,2,3,\ldots\}$、$\mathbb{Z}_+=\{0,1,2,3,\ldots\}$ とする。

==1. 局所コンパクト群のHaar測度、モジュラー関数、$L^1$ 群環、測度群環==

===定義1.1（局所コンパクト群）===
群 $G$ が局所コンパクト群であるとは、$G$ が局所コンパクトHausdorff空間であり、群演算
$$
G\times G\ni (x,y)\mapsto xy\in G,\quad G\ni x\mapsto x^{-1}\in G
$$
が（直積位相に関して）連続であることを言う。特に離散位相による局所コンパクト群を離散群と言い、コンパクトな局所コンパクト群をコンパクト群と言う。'''以後、局所コンパクト群と言えば、特に断らない限り、第二可算公理を満たすものとする。'''

===定義1.2===
$G$ を群とする。$A,B\subset G$, $y\in G$ に対し、
$$
A^{-1}\colon=\{x^{-1}:x\in A\},\quad AB\colon =\{xy:x\in A,y\in B\},
$$
$$
yA\colon =\{yx:x\in A\},\quad Ay\colon=\{xy:x\in A\}
$$
とおく。$A=A^{-1}$ であるとき $A$ は対称であると言う。$G$ 上で定義された関数 $f$ に対し $G$ 上で定義された関数 $L_yf, R_yf$ を、
$$
L_yf(x)\colon =f(y^{-1}x),\quad R_yf(x)\colon =f(xy)\quad(\forall x\in G)
$$
として定義する。
$$
L_{y_1}L_{y_2}f=L_{y_1y_2}f,\quad R_{y_1}R_{y_2}f=R_{y_1y_2}f\quad(\forall y_1,y_2\in G)
$$
であることに注意する。

===命題1.3（$C_0(G)$ の元の一様連続性）===
$G$ を局所コンパクト群とし、$f\in C_0(G)$（無限遠で消える連続関数）とする。このとき、
*$(1)$　任意の $\epsilon\in G$ に対し、単位元 $1\in G$ の対称な近傍 $V$ が存在し、
$$
yx^{-1}\in V\quad \text{or}\quad x^{-1}y\in V\quad\Rightarrow\quad \lvert f(y)-f(x)\rvert<\epsilon
$$
が成り立つ。
*$(2)$　$G\ni y\mapsto L_yf\in C_0(G)$ は（$\sup$ ノルムに関して）連続である。
*$(3)$　$G\ni y\mapsto R_yf\in C_0(G)$ は（$\sup$ ノルムに関して）連続である。
{{begin|proof}}
*$(1)$　任意の $\epsilon\in (0,\infty)$ を取り固定する。$f$ は無限遠で消える連続関数（[[測度と積分7：局所コンパクトHausdorff空間上のRadon測度]]の'''定義28.2'''）であるから $K\colon =(\lvert f\rvert\geq \frac{\epsilon}{2})$ はコンパクトである。$f$ は連続であるから、各 $x\in K$ に対し $1\in G$ の開近傍 $U_x$ で、
$$
\lvert f(y)-f(x)\rvert<\frac{\epsilon}{2}\quad(\forall y\in (U_x)x\cup x(U_x))
$$
を満たすものが取れる。$1\in G$ の対称開近傍 $V_x$ で $V_xV_x\subset U_x$ なるものを取る。<ref>$G\times G\ni (x,y)\mapsto xy\in G$ の連続性に注意。</ref>$K$ はコンパクトであるから有限個の $x_1,\ldots,x_n\in K$ が取れて、
$$
K\subset \bigcup_{j=1}^{n}((V_{x_j})x_j\cap x_j(V_{x_j}))
$$
となる。$1\in G$ の対称開近傍
$$
V\colon=\bigcap_{j=1}^{n}V_{x_j}
$$
を考える。今、$x,y\in G$ が $x^{-1}y\in V$ か $yx^{-1}\in V$ のいずれかを満たすとする。もし $x,y\notin K$ ならば $K$ の定義より、
$$
\lvert f(x)-f(y)\rvert\leq \lvert f(x)\rvert+\lvert f(y)\rvert<\epsilon
$$
である。またもし $x\in K$ ならば、$x\in (V_{x_j})x_j\cap x_j(V_{x_j})$ なる $j\in \{1,\ldots,n\}$ が取れて、
$$
y=(yx^{-1})x=x(x^{-1}y)\in (VV_{x_j})x_j\cup x_j(V_{x_j}V)\subset (U_{x_j})x_j\cup x_j(U_{x_j})
$$
となる。よって、
$$
x,y\in (U_{x_j})x_j\cup x_j(U_{x_j})
$$
であるから、
$$
\lvert f(y)-f(x)\rvert\leq \lvert f(y)-f(x_j)\rvert+\lvert f(x_j)-f(x)\rvert<\epsilon\quad\quad(*)
$$
が成り立つ。$V$ の対称性より $y^{-1}x=(x^{-1}y)^{-1}\in V$ か $xy^{-1}=(yx^{-1})^{-1}\in V$ のいずれかが成り立つので、$y\in K$ の場合も同様にして $(*)$ が成り立つことがわかる。これより $x,y\in G$
が $x^{-1}y\in V$ か $yx^{-1}\in V$ のいずれかを満たすとき $\lvert f(y)-f(x)\rvert<\epsilon$ が成り立つ。
*$(2)$　任意の $\epsilon\in (0,\infty)$ を取る。$(1)$ より $1\in G$ の近傍 $V$ で、
$$
y_1y_2^{-1}\in V\quad\Rightarrow\quad \lvert f(y_1)-f(y_2)\rvert\leq\epsilon
$$
を満たすものが取れる。よって任意の $y_0\in G$ に対し $y_0$ の近傍 $y_0V$ を考えれば、任意の $y\in y_0V$ に対し、
$$
(y_0^{-1}x)(y^{-1}x)^{-1}=y_0^{-1}y\in V\quad(\forall x\in G)
$$
であるから、
$$
\sup_{x\in G}\lvert L_{y_0}f(x)-L_yf(x)\rvert=\sup_{x\in G}\lvert f(y_0^{-1}x)-f(y^{-1}x)\rvert\leq\epsilon
$$
となる。よって $G\ni y\mapsto L_yf\in C_0(G)$ は連続である。
*$(3)$　任意の $\epsilon\in (0,\infty)$ を取る。$(1)$ より $1\in G$ の近傍 $V$ で、
$$
y_1^{-1}y_2\in V\quad\Rightarrow\quad \lvert f(y_1)-f(y_2)\rvert\leq\epsilon
$$
を満たすものが取れる。よって任意の $y_0\in G$ に対し $y_0$ の近傍 $y_0 V$ を考えれば、任意の $y\in y_0V$ に対し、
$$
(xy_0)^{-1}(xy)=y_0^{-1}y\in V\quad(\forall x\in G)
$$
であるから、
$$
\sup_{x\in G}\lvert R_{y_0}f(x)-R_yf(x)\rvert=\sup_{x\in G}\lvert f(xy_0)-f(xy)\rvert\leq\epsilon
$$
となる。よって $G\ni y\mapsto R_yf\in C_0(G)$ は連続である。
{{end|proof}}

===定義1.4（Haar測度）===
$G$ を局所コンパクト群とする。$G$ 上のRadon測度（[[測度と積分7：局所コンパクトHausdorff空間上のRadon測度]]の'''定義29.3'''）$\mu\colon \mathcal{B}_G\rightarrow [0,\infty]$ が、
$$
\mu(G)>0,\quad \mu(yB)=\mu(B)\quad(\forall y\in G,\forall B\in \mathcal{B}_G)
$$
を満たすとき、$\mu$ を $G$ 上の左Haar測度と言う。また $G$ 上のRadon測度 $\mu\colon \mathcal{B}_G\rightarrow [0,\infty]$ が、
$$
\mu(G)>0,\quad \mu(B)=\mu(By)\quad(\forall y\in G,\forall B\in \mathcal{B}_G)
$$
を満たすとき、$\mu$ を $G$ 上の右Haar測度と言う。以後、左Haar測度のことを単にHaar測度と言う。

===注意1.5（局所コンパクトHausdorff空間の第二可算性とRadon測度）===
本稿においては局所コンパクト群は特に断らない限り第二可算公理を満たすとしているが、第二可算公理を満たす局所コンパクトHausdorff空間においては、Borel測度がRadon測度であるための必要十分条件は、任意のコンパクト集合に対して有限測度を与えることである（[[測度と積分7：局所コンパクトHausdorff空間上のRadon測度]]の'''定理31.5'''）。また第二可算公理を満たす局所コンパクトHausdorff空間は $\sigma$-コンパクトである（[[測度と積分7：局所コンパクトHausdorff空間上のRadon測度]]の'''命題31.2'''）ので、Radon測度は $\sigma$-有限である。

===例1.6（Lebesgue測度、離散群の数え上げ測度はHaar測度）===
*　$\mathbb{R}^N$ は加法群として局所コンパクト群であり、Lebesgue測度の平行移動不変性より、$\mathbb{R}^N$ 上のLebesgue測度は $\mathbb{R}^N$ 上のHaar測度である。
*　離散群 $G$ の数え上げ測度（[[測度と積分6：数え上げ測度と $\ell^p$ 空間]]の'''定義24.1'''）はHaar測度である。

===命題1.7（Haar測度による積分の左不変性）===
$G$ を局所コンパクト群、$\mu\colon \mathcal{B}_G\rightarrow [0,\infty]$ を $G$ 上のHaar測度とする。このとき任意の非負値Borel関数 $f\colon G\rightarrow [0,\infty]$ と $y\in G$ に対し、
$$
\int_{G}L_yf(x)d\mu(x)=\int_{G}f(x)d\mu(x)
$$
が成り立つ。
{{begin|proof}}
非負値Borel関数の非負値Borel単関数による各点単調増加列による近似（[[測度と積分1：測度論の基礎用語]]の'''定理5.5'''）より、$f$ がある $B\in \mathcal{B}_G$ の指示関数である、すなわち $f=\chi_B$ である場合を示せば十分であるが、Haar測度の定義より、
$$
\int_{G}L_y\chi_B(x)d\mu(x)=\int_{G}\chi_B(y^{-1}x)d\mu(x)=\int_{G}\chi_{yB}(x)d\mu(x)=\mu(yB)=\mu(B)=\int_{G}\chi_B(x)d\mu(x)
$$
である。
{{end|proof}}

===命題1.8（空でない開集合のHaar測度は正）===
$G$ を局所コンパクト群、$\mu\colon\mathcal{B}_G\rightarrow [0,\infty]$ をHaar測度とする。このとき任意の空でない開集合 $U\subset G$ に対し $\mu(U)>0$ が成り立つ。
{{begin|proof}}
空でない開集合 $U\subset G$ で $\mu(U)=0$ なるものが存在すると仮定して矛盾を導く。任意のコンパクト集合 $K\subset G$ に対し、
$$
K\subset \bigcup_{x\in G}xU
$$
であるから、有限個の $x_1,\ldots,x_n\in G$ が取れて、
$$
K\subset \bigcup_{j=1}^{n}x_jU
$$
となる。よって、
$$
\mu(K)\leq \sum_{j=1}^{n}\mu(x_jU)=\sum_{j=1}^{n}\mu(U)=0
$$
となるので、Radon測度の内部正則性（[[測度と積分7：局所コンパクトHausdorff空間上のRadon測度]]の'''定義29.3'''）より、
$$
\mu(G)=\sup\{\mu(K):\text{$K\subset G$ はコンパクト}\}=0
$$
となる。これはHaar測度の定義と矛盾する。
{{end|proof}}

任意の局所コンパクト群がHaar測度を持つことと、それは正数倍を除いて一意的であること（'''定理1.13'''、'''定理1.14'''）を示すため、いくつか準備をする。

===定義1.9===
$G$ を局所コンパクト群とする。
$$
C_{c,+}(G)\colon =\{f\in C_c(G):\forall x\in G,f(x)\geq0\},\quad
C_{c,++}(G)\colon=C_{c,+}(G)\backslash \{0\}
$$
とおく。Urysohnの補題（[[測度と積分7：局所コンパクトHausdorff空間上のRadon測度]]の'''定理27.6'''）より $C_{c,++}(G)\neq \emptyset$ である。今、任意の $f,g\in C_{c,++}(G)$ に対し、
$$
(f,g)\colon=\inf\left\{\sum_{j=1}^{n}c_j:\begin{array}{l}&n\in \mathbb{N}, c_1,\ldots,c_n\in [0,\infty):\\&\exists x_1,\ldots,x_n\in G\text{ s.t. }\forall x\in G, f(x)\leq \sum_{j=1}^{n}c_jL_{x_j}g(x)\end{array}\right\}\quad\quad(*)
$$
と定義する。ここで $(*)$ の右辺の集合は空ではない。実際、$0<\lVert g\rVert=\sup_{x\in G}g(x)$ より $U\colon=\left(\frac{\lVert g\rVert}{2}<g\right)$ は空ではない開集合であり、${\rm supp}(f)$ はコンパクトであるから、有限個の $x_1,\ldots,x_n\in G$ が存在し、
$$
{\rm supp}(f)\subset \bigcup_{j=1}^{n}x_jU
$$
となる。そこで、
$$
c_j\colon=\frac{2\lVert f\rVert}{\lVert g\rVert}\quad(j=1,\ldots,n)
$$
とおく。任意の $x\in {\rm supp}(f)$ に対し $x\in x_iU$ なる $i\in\{1,\ldots,n\}$ が取れて、
$$
f(x)\leq \lVert f\rVert=c_i\frac{\lVert g\rVert}{2}<c_ig(x_i^{-1}x)=c_iL_{x_i}g(x)\leq \sum_{j=1}^{n}c_jL_{x_j}g(x)
$$
となる。よって $\sum_{j=1}^{n}c_j$ は $(*)$ の右辺の集合に属する。

===補題1.10===
'''定義1.9'''における $(f,g)$ について次が成り立つ。
*$(1)$　任意の $f,g\in C_{c,++}(G)$ に対し、$0<\frac{\lVert f\rVert}{\lVert g\rVert}<(f,g)$.
*$(2)$　任意の $f_1,f_2,g\in C_{c,++}(G)$ に対し、$(f_1+f_2,g)\leq (f_1,g)+(f_2,g)$.
*$(3)$　任意の $f,g\in C_{c,++}(G)$ と任意の $\alpha\in (0,\infty)$ に対し、$(\alpha f,g)=\alpha(f,g)$.
*$(4)$　任意の $f,g\in C_{c,++}(G)$ と任意の $y\in G$ に対し $(L_yf,g)=(f,g)$.
*$(5)$　任意の $f,g,h\in C_{c,++}(G)$ に対し、$(f,h)\leq (f,g)(g,h)$.
{{begin|proof}}
*$(1)$　$f(x)\leq \sum_{j=1}^{n}c_jL_{x_j}g(x)$ $(\forall x\in G)$ を満たす任意の有限個の $c_1,\ldots,c_n\in [0,\infty)$, $x_1,\ldots,x_n\in G$ を取る。このとき、
$$
f(x)\leq \sum_{j=1}^{n}c_jL_{x_j}g(x)\leq \sum_{j=1}^{n}c_j\lVert g\rVert\quad(\forall x\in G)
$$
であるから $\lVert f\rVert\leq \sum_{j=1}^{n}c_j\lVert g\rVert$ である。よって $\frac{\lVert f\rVert}{\lVert g\rVert}\leq \sum_{j=1}^{n}c_j$ であるから $\frac{\lVert g\rVert}{\lVert f\rVert}\leq (f,g)$ である。
*$(2)$　'''定義1.9'''より明らかである。
*$(3)$　'''定義1.9'''より明らかである。
*$(4)$　'''定義1.9'''より明らかである。
*$(5)$　$f(x)\leq \sum_{j=1}^{n}c_jL_{x_j}g(x)$ $(\forall x\in G)$ を満たす任意の有限個の $c_1,\ldots,c_n\in [0,\infty)$, $x_1,\ldots,x_n\in G$ と $g(x)\leq \sum_{k=1}^{m}d_kL_{y_k}h(x)$ $(\forall x\in G)$ を満たす任意の有限個の $d_1,\ldots,d_m\in [0,\infty)$ と $y_1,\ldots,y_m\in G$ を取る。このとき任意の $x\in G$ に対し、
$$
f(x)\leq \sum_{j=1}^{n}c_jL_{x_j}g(x)=\sum_{j=1}^{n}c_jg(x_j^{-1}x)
\leq \sum_{j=1}^{n}\sum_{k=1}^{m}c_jd_kL_{y_k}h(x_j^{-1}x)=\sum_{j=1}^{n}\sum_{k=1}^{m}c_jd_kL_{x_jy_k}h(x)
$$
であるから、$(f,h)\leq \sum_{j=1}^{n}c_j\sum_{k=1}^{m}d_k$ である。よって $(f,h)\leq (f,g)(g,h)$ が成り立つ。
{{end|proof}}

===定義1.11===
任意の $f_0\in C_{c,++}(G)$ を取り固定する。そして任意の $\varphi\in C_{c,++}(G)$ に対し $\Lambda_{\varphi}\colon C_{c,++}(G)\rightarrow (0,\infty)$ を、
$$
\Lambda_{\varphi}(f)\colon=\frac{(f,\varphi)}{(f_0,\varphi)}\quad(\forall f\in C_{c,++}(G))
$$
（'''補題1.10'''の $(1)$ より右辺の分母は正であることに注意）として定義する。'''補題1.10'''より $\Lambda_{\varphi}\colon C_{c,++}(G)\rightarrow(0,\infty)$ は次を満たすことが直ちに分かる。
*$(1)$　任意の $f_1,f_2\in C_{c,++}(G)$ に対し、$\Lambda_{\varphi}(f_1+f_2)\leq \Lambda_{\varphi}(f_1)+\Lambda_{\varphi}(f_2)$.
*$(2)$　任意の $f\in C_{c,++}(G)$ と任意の $\alpha\in (0,\infty)$ に対し、$\Lambda_{\varphi}(\alpha f)=\alpha\Lambda_{\varphi}(f)$.
*$(3)$　任意の $f\in C_{c,++}(G)$ と任意の $y\in G$ に対し、$\Lambda_{\varphi}(L_yf)=\Lambda_{\varphi}(f)$.
*$(4)$　任意の $f\in C_{c,++}(G)$ に対し、$\frac{1}{(f_0,f)}\leq \Lambda_{\varphi}(f)\leq (f,f_0)$.

===補題1.12===
'''定義1.11'''で定義したものについて考える。任意の $f_1,f_2\in C_{c,++}(G)$ と任意の $\epsilon\in (0,\infty)$ に対し、単位元 $1\in G$ の開近傍 $U$ が存在し、
$$
\Lambda_{\varphi}(f_1)+\Lambda_{\varphi}(f_2)\leq \Lambda_{\varphi}(f_1+f_2)+\epsilon\quad(\forall \varphi\in C_{c,++}(G):{\rm supp}(\varphi)\subset U)
$$
が成り立つ。
{{begin|proof}}
Urysohnの補題（[[測度と積分7：局所コンパクトHausdorff空間上のRadon測度]]の'''定義27.6'''）により ${\rm supp}(f_1+f_2)\subset (g>0)$ なる $g\in C_{c,++}(G)$ を取る。そして任意の $\delta\in (0,\infty)$ を取り固定する。
$$
h\colon =f_1+f_2+\delta g\in C_{c,++}(G)
$$
とおき、$h_1,h_2\colon G\rightarrow [0,\infty)$ を、
$$
h_k(x)\colon=\begin{cases}\frac{f_k(x)}{h(x)}\quad&(x\in (h>0))\\
0&(x\notin (h>0))\end{cases}\quad(k=1,2)
$$
と定義する。${\rm supp}(f_k)\subset {\rm supp}(f_1+f_2)\subset (g>0)\subset (h>0)$ より、
$$
G=(h>0)\cup (G\backslash {\rm supp}(f_k))\quad(k=1,2)
$$
であり、
$$
h_k(x)=0\quad(\forall x\in G\backslash {\rm supp}(f_k))\quad(k=1,2)
$$
であるから、$h_1,h_2\in C_{c,+}(G)$ である。また、
$$
0\leq h_1(x)+h_2(x)\leq 1,\quad f_1(x)=h_1(x)h(x),\quad f_2(x)=h_2(x)h(x)\quad(\forall x\in G)\quad\quad(*)
$$
である。'''命題1.3'''より $1\in G$ の開近傍 $U$ で、
$$
x^{-1}y\in U\quad\Rightarrow\quad \lvert h_k(x)-h_k(y)\rvert<\frac{\delta}{2}\quad(k=1,2)\quad\quad(**)
$$
を満たすものが取れる。${\rm supp}(\varphi)\subset U$ を満たす任意の $\varphi\in C_{c,++}(G)$ を取る。
$$
h(x)\leq \sum_{j=1}^{n}c_jL_{x_j}\varphi(x)\quad(\forall x\in G)
$$
を満たす任意の有限個の $c_1,\cdots,c_n\in [0,\infty)$ と $x_1,\ldots,x_n\in G$ に対し、${\rm supp}(\varphi)\subset U$ と $(*),(**)$ より、
$$
f_k(x)=h_k(x)h(x)\leq \sum_{j=1}^{n}c_jh_k(x)\varphi(x_j^{-1}x)\leq \sum_{j=1}^{n}c_j\left(h_k(x_j)+\frac{\delta}{2}\right)L_{x_j}\varphi(x)\quad(\forall x\in G,k=1,2)
$$
であるから、
$$
(f_k,\varphi)\leq \sum_{j=1}^{n}c_j\left(h_k(x_j)+\frac{\delta}{2}\right)\quad(k=1,2).
$$
よって $(*)$ より、
$$
(f_1,\varphi)+(f_2,\varphi)\leq \sum_{j=1}^{n}c_j(h_1(x_j)+h_2(x_j)+\delta)\leq (1+\delta)\sum_{j=1}^{n}c_j.
$$
ゆえに、
$$
(f_1,\varphi)+(f_2,\varphi)\leq (1+\delta)(h,\varphi).
$$
したがって、
$$
\Lambda_{\varphi}(f_1)+\Lambda_{\varphi}(f_2)\leq (1+\delta)\Lambda_{\varphi}(h)\quad\quad(***)
$$
が成り立つ。'''定義1.11'''における $(1)\sim(4)$ より、
$$
\begin{aligned}
(1+\delta)\Lambda_{\varphi}(h)&=(1+\delta)\Lambda_{\varphi}(f_1+f_2+\delta g)\leq (1+\delta)\Lambda_{\varphi}(f_1+f_2)+(1+\delta)\delta\Lambda_{\varphi}(g)\\
&\leq \Lambda_{\varphi}(f_1+f_2)+\delta(f_1+f_2,f_0)+(1+\delta)\delta(g,f_0)\quad\quad(****)
\end{aligned}
$$
であるから、
$$
\delta(f_1+f_2,f_0)+(1+\delta)\delta(g,f_0)\leq \epsilon
$$
となるように $\delta$ を取っておけば、$(***), (****)$ より、
$$
\Lambda_{\varphi}(f_1)+\Lambda_{\varphi}(f_2)\leq \Lambda_{\varphi}(f_1+f_2)+\epsilon
$$
となる。
{{end|proof}}

===定理1.13（Haar測度の存在）===
任意の局所コンパクト群はHaar測度を持つ。
{{begin|proof}}
$G$ を任意の局所コンパクト群とする。'''定義1.9'''、'''定義1.11'''における記号を用いる。各 $f\in C_{c,++}(G)$ に対し $\mathbb{R}$ の有界閉区間 $[(f_0,f)^{-1},(f,f_0)]$ はコンパクトであるから、Tychonoffの定理（[[ネットによる位相空間論]]の'''定理7.5'''）より直積位相空間
$$
X\colon =\prod_{f\in C_{c,++}(G)}[(f_0,f)^{-1},(f,f_0)]
$$
はコンパクトである。'''定義1.11'''の $(4)$ より、
$$
\Lambda_{\varphi}=(\Lambda_{\varphi}(f))_{f\in C_{c,++}(G)}\in X\quad(\forall\varphi\in C_{c,++}(G))
$$
である。単位元 $1\in G$ の任意の開近傍 $U$ に対し、
$$
K(U)\colon=\{\Lambda_{\varphi}:\varphi\in C_{c,++}(G),{\rm supp}(\varphi)\subset U\}\subset X
$$
と定義すると、Urysohnの補題（[[測度と積分7：局所コンパクトHausdorff空間上のRadon測度]]の'''定理27.6'''）より $K(U)\neq \emptyset$ である。$U_1\subset U_2$ ならば $K(U_1)\subset K(U_2)$ であるから、$X$ のコンパクト性より、
$$
\Lambda\in \bigcap_{\text{$U$ は $1\in G$ の開近傍}}\overline{K(U)}
$$
が存在する。$1\in G$ の任意の開近傍 $U$ に対し $\Lambda\in \overline{K(U)}$ であるから、直積位相の定義（[[ネットによる位相空間論]]の'''定義7.3'''）より、任意の $\epsilon\in (0,\infty)$ と任意の有限個の $f_1,\ldots,f_n\in C_{c,++}(G)$ に対し、${\rm supp}(\varphi)\subset U$ なる $\varphi\in C_{c,++}(G)$ が存在し、
$$
\lvert \Lambda(f_j)-\Lambda_{\varphi}(f_j)\rvert<\epsilon\quad(j=1,\ldots,n)
$$
が成り立つ。このことと'''定義1.11'''における $(1)\sim (4)$ より、
*$(1)$　任意の $f_1,f_2\in C_{c,++}(G)$ に対し、$\Lambda(f_1+f_2)\leq \Lambda(f_1)+\Lambda(f_2)$.
*$(2)$　任意の $f\in C_{c,++}(G)$ と任意の $\alpha\in(0,\infty)$ に対し、$\Lambda(\alpha f)=\alpha\Lambda(f)$.
*$(3)$　任意の $f\in C_{c,++}(G)$ と任意の $y\in G$ に対し、$\Lambda(L_yf)=\Lambda(f)$.
*$(4)$　任意の $f\in C_{c,++}(G)$ に対し、$\Lambda(f)>0$.
が成り立つことが分かる。さらに'''補題1.12'''より、
*$(5)$　任意の $f_1,f_2\in C_{c,++}(G)$ に対し、$\Lambda(f_1)+\Lambda(f_2)\leq\Lambda(f_1+f_2)$.
も成り立つことが分かる。$\Lambda(0)\colon=0$ とおいて $\Lambda$ を $C_{c,+}(G)=C_{c,++}(G)\cup \{0\}$ まで拡張し、さらに任意の $f\in C_{c,\mathbb{R}}(G)$（$G$ 上の台がコンパクトな実数値連続関数）に対し、
$$
\Lambda(f)\colon=\Lambda(f_+)-\Lambda(f_-)\quad(f_{\pm}={\rm max}(\pm f,0)\in C_{c,+}(G))
$$
として $\Lambda$ を $C_{c,\mathbb{R}}(G)$ まで拡張すると、$(1),(2),(5)$ より $\Lambda\colon C_{c,\mathbb{R}}(G)\rightarrow \mathbb{R}$ はRadon汎関数（[[測度と積分7：局所コンパクトHausdorff空間上のRadon測度]]の'''定義30.2'''）となる。<ref>任意の $f,g\in C_{c,\mathbb{R}}(G)$ に対し $(f+g)_+-(f+g)_-=f+g=(f_+-f_-)+(g_+-g_-)$ より $(f+g)_++f_-+g_-=(f+g)_-+f_++g_+$ であること、任意の $f\in C_{c,\mathbb{R}}(G)$ と任意の $\alpha\in \mathbb{R}$ に対し、$\alpha\geq0$ ならば $(\alpha f)_{\pm}=\alpha{\rm max}(\pm f,0)=\alpha f_{\pm}$ であり、$\alpha<0$ ならば $(\alpha f)_{\pm}=(-\alpha){\rm max}(\mp f,0)=-\alpha f_{\mp}$ であることに注意すればよい。</ref>よってRiesz-Markov-角谷の表現定理（[[測度と積分7：局所コンパクトHausdorff空間上のRadon測度]]の'''定理30.4'''）よりRadon測度（[[測度と積分7：局所コンパクトHausdorff空間上のRadon測度]]の'''定義29.3'''）$\mu\colon \mathcal{B}_G\rightarrow [0,\infty]$ で、
$$
\Lambda(f)=\int_{G}f(x)d\mu(x)\quad(\forall f\in C_{c,\mathbb{R}}(G))
$$
を満たすものが唯一つ存在する。$(3)$ と[[測度と積分7：局所コンパクトHausdorff空間上のRadon測度]]'''命題29.4'''より、任意の $y\in G$ と任意の開集合 $U\subset G$ に対し、
$$
\mu(yU)=\sup\{\Lambda(f):f\prec yU\}=\sup\{\Lambda(L_yf):f\prec U\}
=\sup\{\Lambda(f):f\prec U\}=\mu(U)
$$
が成り立つので、Radon測度 $\mu$ の外部正則性より、任意の $y\in G$ と任意の $B\in \mathcal{B}_G$ に対し、
$$
\mu(yB)=\inf\{\mu(yU):\text{$U\supset B$ は開集合}\}=\inf\{\mu(U):\text{$U\supset B$ は開集合}\}=\mu(B)
$$
が成り立つ。また $(4)$ より $\mu(G)>0$ である。よって $\mu$ は $G$ のHaar測度である。
{{end|proof}}

===定理1.14（Haar測度の一意性）===
局所コンパクト群のHaar測度は正数倍を除いて一意的である。すなわち $\mu_1,\mu_2\colon \mathcal{B}_G\rightarrow [0,\infty]$ がいずれも局所コンパクト群 $G$ のHaar測度であるならば、ある正数 $c$ が存在し、$\mu_1(B)=c\mu_2(B)$ $(\forall B\in\mathcal{B}_G)$ が成り立つ。
{{begin|proof}}
Radon測度の外部正則性（[[測度と積分7：局所コンパクトHausdorff空間上のRadon測度]]の'''定義29.3'''）よりある正数 $c$ が存在し、任意の開集合 $U\subset G$ に対して $\mu_1(U)=c\mu_2(U)$ が成り立つことを示せば十分である。さらにそのことを示すには、[[測度と積分7：局所コンパクトHausdorff空間上のRadon測度]]の'''命題29.4'''より、ある正数 $c$ に対し、
$$
\int_{G}f(x)d\mu_1(x)=c\int_{G}f(x)d\mu_2(x)\quad(\forall f\in C_{c,++}(G))
$$
が成り立つことを示せば十分である。そのためには任意の $f,g\in C_{c,++}(G)$ に対し、
$$
\frac{\int_{G}f(x)d\mu_1(x)}{\int_{G}f(y)d\mu_2(y)}=\frac{\int_{G}g(x)d\mu_1(x)}{\int_{G}g(y)d\mu_2(y)}\quad\quad(*)
$$
が成り立つことを示せばよい。<ref>任意の $f\in C_{c,++}(G)$ に対し $(f>0)$ は空でない開集合であるから、'''命題1.8'''より $\int_{G}f(x)d\mu_i(x)>0$ $(i=1,2)$ である。</ref>そこで任意の $f,g\in C_{c,++}(G)$ を取り固定する。また単位元 $1\in G$ のコンパクトな対称近傍 $V$ を取り固定する。このとき、
$$
A\colon=V{\rm supp}(f)\cup {\rm supp}(f)V,\quad B\colon=V{\rm supp}(g)\cup {\rm supp}(g)V
$$
はそれぞれコンパクトであり、
$$
{\rm supp}(R_yf-L_{y^{-1}}f)\subset A,\quad {\rm supp}(R_yg-L_{y^{-1}}g)\subset B\quad(\forall y\in V)\quad\quad(**)
$$
が成り立つ。'''命題1.3'''より任意の正数 $\epsilon$ に対し $1\in G$ の対称近傍 $V_0\subset V$ で、
$$
\lvert f(xy)-f(yx)\rvert<\epsilon,\quad \lvert g(xy)-g(yx)\rvert<\epsilon\quad(\forall y\in V_0,\forall x\in G)\quad\quad(***)
$$
を満たすものが取れる。Urysohnの補題（[[測度と積分7：局所コンパクトHausdorff空間上のRadon測度]]の'''定理27.6'''）により ${\rm supp}(h_0)\subset V_0$ なる $h_0\in C_{c,++}(G)$ を取り、
$$
h(x)\colon=\frac{1}{2}(h_0(x)+h_0(x^{-1}))\quad(\forall x\in G)
$$
とおく。このとき $h(x^{-1})=h(x)$ $(\forall x\in G)$ であり、$V_0$ の対称性より ${\rm supp}(h)\subset {\rm supp}(h_0)\cup {\rm supp}(h_0)^{-1}\subset V_0$ である。Haar測度による積分の性質（'''命題1.7'''）より、
$$
\begin{aligned}
\left(\int_{G}f(x)d\mu_1(x)\right)\left(\int_{G}h(y)d\mu_2(y)\right)
&=\int_{G}\left(\int_{G}f(x)h(y)d\mu_1(x)\right)d\mu_2(y)\\
&=\int_{G}\left(\int_{G}f(yx)h(y)d\mu_1(x)\right)d\mu_2(y)
\end{aligned}
$$
であり、$h(y^{-1}x)=h((x^{-1}y)^{-1})=h(x^{-1}y)$ $(\forall x,y\in G)$ であることとFubiniの定理より、
$$
\begin{aligned}
&\left(\int_{G}h(x)d\mu_1(x)\right)\left(\int_{G}f(y)d\mu_2(y)\right)=\int_{G}\left(\int_{G}h(x)f(y)d\mu_1(x)\right)d\mu_2(y)\\
&=\int_{G}\left(\int_{G}h(y^{-1}x)f(y)d\mu_1(x)\right)d\mu_2(y)=\int_{G}\left(\int_{G}h(x^{-1}y)f(y)d\mu_1(x)\right)d\mu_2(y)\\
&=\int_{G}\left(\int_{G}h(x^{-1}y)f(y)d\mu_2(y)\right)d\mu_1(x)=\int_{G}\left(\int_{G}h(y)f(xy)d\mu_2(y)\right)d\mu_1(x)\\
&=\int_{G}\left(\int_{G}h(y)f(xy)d\mu_1(x)\right)d\mu_2(y)
\end{aligned}
$$
であるから、
$$
\begin{aligned}
&\left(\int_{G}f(x)d\mu_1(x)\right)\left(\int_{G}h(y)d\mu_2(y)\right)-\left(\int_{G}h(x)d\mu_1(x)\right)\left(\int_{G}f(y)d\mu_2(y)\right)\\
&=\int_{G}h(y)\left(\int_{G}(f(yx)-f(xy))d\mu_1(x)\right)d\mu_2(y)
\end{aligned}
$$
が成り立つ。よって ${\rm supp}(h)\subset V_0\subset V$ であることと $(**),(***)$ より、
$$
\begin{aligned}
&\left\lvert \left(\int_{G}f(x)d\mu_1(x)\right)\left(\int_{G}h(y)d\mu_2(y)\right)-\left(\int_{G}h(x)d\mu_1(x)\right)\left(\int_{G}f(y)d\mu_2(y)\right)\right\rvert\\
&\leq \int_{G}h(y)\left(\int_{G}\lvert f(yx)-f(xy)\rvert d\mu_1(x)\right)d\mu_2(y)\\
&\leq \int_{G}h(y)\left(\int_{G}\epsilon\chi_A(x)d\mu_1(x)\right)d\mu_2(y)
=\epsilon\mu_1(A)\int_{G}h(y)d\mu_2(y)
\end{aligned}
$$
であるから、両辺を $\left(\int_{G}f(y)d\mu_2(y)\right)\left(\int_{G}h(y)d\mu_2(y)\right)$ で割って、
$$
\left\lvert \frac{\int_{G}f(x)d\mu_1(x)}{\int_{G}f(y)d\mu_2(y)}-\frac{\int_{G}h(x)d\mu_1(x)}{\int_{G}h(y)d\mu_2(y)}\right\rvert\leq \left(\frac{\mu_1(A)}{\int_{G}f(y)d\mu_2(y)}\right)\epsilon
$$
を得る。全く同様にして、
$$
\left\lvert \frac{\int_{G}g(x)d\mu_1(x)}{\int_{G}g(y)d\mu_2(y)}-\frac{\int_{G}h(x)d\mu_1(x)}{\int_{G}h(y)d\mu_2(y)}\right\rvert\leq \left(\frac{\mu_1(B)}{\int_{G}g(y)d\mu_2(y)}\right)\epsilon
$$
が成り立つことも示せる。よって、
$$
\left\lvert \frac{\int_{G}f(x)d\mu_1(x)}{\int_{G}f(y)d\mu_2(y)}-\frac{\int_{G}g(x)d\mu_1(x)}{\int_{G}g(y)d\mu_2(y)}\right\rvert\leq\left(\frac{\mu_1(A)}{\int_{G}f(y)d\mu_2(y)}+\frac{\mu_1(B)}{\int_{G}g(y)d\mu_2(y)}\right) \epsilon
$$
が成り立つ。ここで $\epsilon$ は $f,g,A,B$ によらない任意の正数であるから $(*)$ が成り立つ。
{{end|proof}}

===定義1.15（局所コンパクト群のモジュラー関数）===
$G$ を局所コンパクト群、$\mu\colon \mathcal{B}_G\rightarrow [0,\infty]$ を $G$ のHaar測度とする。任意の $x\in G$ に対し、
$$
\mathcal{B}_G\ni B\mapsto \mu(Bx)\in [0,\infty]
$$
も $G$ のHaar測度であるから、'''定理1.14'''より、$\Delta\colon G\rightarrow (0,\infty)$ で、
$$
\mu(Bx)=\Delta(x)\mu(B)\quad(\forall B\in \mathcal{B}_G,\forall x\in G)
$$
を満たすものが定まる。$\Delta\colon G\rightarrow (0,\infty)$ を $G$ のモジュラー関数と言う。 
'''定理1.14'''より、局所コンパクト群に対しそのモジュラー関数は一意的に定まる。

===命題1.16（モジュラー関数の基本性質）===
$G$ を局所コンパクト群、$\mu\colon \mathcal{B}_G\rightarrow [0,\infty]$ を $G$ のHaar測度、$\Delta\colon G\rightarrow (0,\infty)$ を $G$ のモジュラー関数とする。このとき、
*$(1)$　任意の非負値Borel関数 $f\colon G\rightarrow [0,\infty]$ と任意の $y\in G$ に対し、
$$
\Delta(y)\int_{G}f(x)d\mu(x)=\int_{G}f(xy^{-1})d\mu(x)
$$
が成り立つ。
*$(2)$　$\Delta\colon G\rightarrow (0,\infty)$ は $G$ から乗法群 $(0,\infty)$ への連続な群準同型写像である。
*$(3)$　任意の非負値Borel関数 $f\colon G\rightarrow [0,\infty]$ に対し、
$$
\int_{G}f(x)\Delta(x^{-1})d\mu(x)=\int_{G}f(x^{-1})d\mu(x)
$$
が成り立つ。
{{begin|proof}}
*$(1)$　非負値Borel関数の非負値Borel単関数の各点単調増加列による近似（[[測度と積分1：測度論の基礎用語]]の'''定理5.5'''）より、$f$ がある $B\in \mathcal{B}_G$ の指示関数である、すなわち $f=\chi_B$ である場合を示せば十分であるが、
$$
\int_{G}\chi_B(xy^{-1})d\mu(x)=\int_{G}\chi_{By}(x)d\mu(x)=\mu(By)=\Delta(y)\mu(B)=\Delta(y)\int_{G}\chi_B(x)d\mu(x)
$$
であるから成り立つ。
*$(2)$　閉包がコンパクトな空でない開集合 $U$ を取る。'''命題1.8'''より、
$$
0<\mu(U)\leq \mu(\overline{U})<\infty\quad\quad(*)
$$
である。任意の $x,y\in G$ に対し、
$$
\Delta(xy)\mu(U)=\mu(Uxy)=\Delta(y)\mu(Ux)=\Delta(x)\Delta(y)\mu(U)
$$
であるから $(*)$ より $\Delta(xy)=\Delta(x)\Delta(y)$ である。よって $\Delta\colon G\rightarrow (0,\infty)$ は $G$ から乗法群 $(0,\infty)$ への群準同型写像である。$\Delta\colon G\rightarrow(0,\infty)$ が連続であることを示す。群準同型性より単位元 $1\in G$ において連続であることを示せば十分である。任意の $f\in C_{c,+}(G)\backslash \{0\}$ と $1\in G$ の任意のコンパクト近傍 $V_0\subset G$ を取り固定する。'''命題1.3'''より、任意の正数 $\epsilon$ に対し、$1\in G$ の十分小さい近傍 $V\subset V_0$ を取れば、
$$
y\in V\quad\Rightarrow\quad\lvert f(xy^{-1})-f(x)\rvert\leq \epsilon\quad(\forall x\in G)
$$
となる。
$$
{\rm supp}(R_{y^{-1}}f)\subset {\rm supp}(f)V\subset {\rm supp}(f)V_0\quad(\forall y\in V)
$$
であるから、
$$
\lvert f(xy^{-1})-f(x)\rvert\leq\epsilon\chi_{{\rm supp}(f)V_0}(x)\quad(\forall x\in G,\forall y\in V)
$$
なので、$(1)$ より任意の $y\in V$ に対し、
$$
\begin{aligned}
&\lvert \Delta(y)-1\rvert\int_{G}f(x)d\mu(x)=\left\lvert\int_{G}f(xy^{-1})-f(x)d\mu(x)\right\rvert\\
&\leq \int_{G}\lvert f(xy^{-1})-f(x)\rvert d\mu(x)\leq\epsilon\mu({\rm supp}(f)V_0)\quad\quad(**)
\end{aligned}
$$
となる。$f\in C_{c,+}(G)\backslash \{0\}$ であるから'''命題1.8'''より $\int_{G}f(x)d\mu(x)\in (0,\infty)$ である。よって $(**)$ より、
$$
y\in V\quad\Rightarrow\quad \lvert \Delta(y)-1\rvert\leq \epsilon\mu({\rm supp}(f)V_0)\left(\int_{G}f(x)d\mu(x)\right)^{-1}
$$
が成り立つ。${\rm supp}(f)V_0$ はコンパクトなので $\mu({\rm supp}(f)V_0)<\infty$ であり、$\epsilon$ は $f,V_0$ によらない任意の正数なので、$\Delta\colon G\rightarrow(0,\infty)$ は $1\in G$ において連続である。
*$(3)$　非負値Borel関数の非負値Borel単関数の各点単調増加列による近似（[[測度と積分1：測度論の基礎用語]]の'''定理5.5'''）より、$f$ がある $B\in \mathcal{B}_G$ の指示関数である（$f=\chi_B$）場合を示せば十分である。すなわち、
$$
\int_{G}\chi_B(x)\Delta(x^{-1})d\mu(x)=\mu(B^{-1})\quad(\forall B\in\mathcal{B}_G)
$$
を示せばよい。Borel測度 $\nu\colon \mathcal{B}_G\rightarrow [0,\infty]$ を、
$$
\nu(B)\colon=\int_{G}\chi_{B^{-1}}(x)\Delta(x^{-1})d\mu(x)\quad(\forall B\in \mathcal{B}_G)
$$
として定義し、$\nu(B)=\mu(B)$ $(\forall B\in\mathcal{B}_G)$ が成り立つことを示せばよい。$(2)$ より $G\ni x\mapsto \Delta(x^{-1})\in (0,\infty)$ は連続であるから任意のコンパクト集合 $K\subset G$ に対し、
$$
\nu(K)=\int_{G}\chi_{K^{-1}}(x)\Delta(x^{-1})d\mu(x)<\infty
$$
である。よって $G$ の第二可算性と[[測度と積分7：局所コンパクトHausdorff空間上のRadon測度]]の'''定理35.1'''より $\nu\colon \mathcal{B}_G\rightarrow [0,\infty]$ はRadon測度である。$\Delta\colon G\rightarrow (0,\infty)$ の群準同型性と $(1)$ より、任意の $y\in G$, $B\in \mathcal{B}_G$ に対し、
$$
\begin{aligned}
\nu(yB)&=\int_{G}\chi_{(yB)^{-1}}(x)\Delta(x^{-1})d\mu(x)=\int_{G}\chi_{B^{-1}}(xy)\Delta(x)^{-1}d\mu(x)\\
&=\Delta(y)\int_{G}\chi_{B^{-1}}(xy)\Delta(xy)^{-1}d\mu(x)=\int_{G}\chi_{B^{-1}}(x)\Delta(x)^{-1}d\mu(x)=\nu(B)
\end{aligned}
$$
であるから $\nu$ は $G$ のHaar測度である。よって'''定理1.14'''よりある正数 $c$ が存在し $\nu(B)=c\mu(B)$ $(\forall B\in \mathcal{B}_G)$ が成り立つ。$c=1$ であることを示せばよい。そこで $c\neq 1$ であると仮定して矛盾を導く。このとき $\Delta\colon G\rightarrow (0,\infty)$ の連続性より単位元 $1\in G$ のコンパクト対称近傍 $V$ で、
$$
\lvert \Delta(x^{-1})-1\rvert<\frac{1}{2}\lvert c-1\rvert\quad(\forall x\in V)
$$
を満たすものが取れる。'''命題1.8'''と $V$ のコンパクト性より、
$$
0<\mu(V)<\infty
$$
であり、$V$ の対称性より、
$$
\lvert c-1\rvert \mu(V)=\lvert \nu(V)-\mu(V)\rvert=\left\lvert\int_{G}\chi_V(x)(\Delta(x^{-1})-1)d\mu(x)\right\rvert\leq \frac{1}{2}\lvert c-1\rvert\mu(V)
$$
である。よって、
$$
\lvert c-1\rvert\leq \frac{1}{2}\lvert c-1\rvert
$$
が結論され、$c\neq 1$ と言う仮定に矛盾する。ゆえに $c=1$ である。
{{end|proof}}

===定義1.17（ユニモジュラー）===
局所コンパクト群がユニモジュラーであるとは、そのモジュラー関数が恒等的に $1$ であること、すなわち、Haar測度が右Haar測度（'''定義1.4'''）でもあることを言う。

===命題1.18（局所コンパクト可換群、離散群、コンパクト群はユニモジュラー）===
局所コンパクト可換群、離散群、コンパクト群はいずれもユニモジュラーである。
{{begin|proof}}
局所コンパクト可換群のHaar測度は可換性より右Haar測度でもあり、離散群のHaar測度は数え上げ測度の正数倍であるから右Haar測度である。よって局所コンパクト可換群と離散群はユニモジュラーである。コンパクト群がユニモジュラーであることを示す。$G$ をコンパクト群、$\Delta\colon G\rightarrow(0,\infty)$ を $G$ のモジュラー関数とする。'''命題1.16'''の $(2)$ より $\Delta\colon G\rightarrow(0,\infty)$ は連続である('''命題1.16''')から、$G$ のコンパクト性よりある有界閉区間 $[a,b]\subset(0,\infty)$ が存在し、
$$
\Delta(x)\in [a,b]\quad(\forall x\in G)\quad\quad(*)
$$
が成り立つ。任意の $x\in G$ を取る。'''命題1.16'''の $(2)$ より $\Delta\colon G\rightarrow(0,\infty)$ は群準同型写像であるから、$(*)$ より、
$$
\Delta(x)^n=\Delta(x^n)\in [a,b]\quad(\forall n\in \mathbb{N})
$$
が成り立つ。これは $\Delta(x)=1$ を意味する。よってコンパクト群はユニモジュラーである。
{{end|proof}}

===命題1.19（平行移動の $L^p$ ノルムに関する連続性）===
$G$ を局所コンパクト群、$\mu\colon \mathcal{B}_G\rightarrow [0,\infty]$ をHaar測度、$p\in [1,\infty)$ とする。このとき任意の $[f]\in L^p(G,\mu)$ に対し、
$$
G\ni y\mapsto L_y[f]\colon=[L_yf]\in L^p(G,\mu)
$$
は $L^p$ ノルムで連続である。
{{begin|proof}}
Haar測度による積分の左不変性（'''命題1.7'''）より任意の $[f]\in L^p(G,\mu)$ に対し、
$$
\lVert L_y[f]\rVert_p=\lVert [f]\rVert_p\quad(\forall y\in G)
$$
である。また $\mu$ はRadon測度なので[[測度と積分7：局所コンパクトHausdorff空間上のRadon測度]]の'''命題32.1'''より $L^p(G,\mu)$ において $C_c(G)$ は稠密である。よって任意の $f\in C_c(G)$ に対し、
$$
G\ni y\mapsto L_yf\in L^p(G,\mu)\quad\quad(*)
$$
が $L^p$ ノルムで連続であることを示せば十分である。$L_{y_1}L_{y_2}f=L_{y_1y_2}f$ $(\forall y_1,y_2\in G)$ であるから、単位元 $1\in G$ における連続性を示せば十分である。$1\in G$ のコンパクト近傍 $V_0$ を取り固定する。任意の正数 $\epsilon$ に対し、'''命題1.3'''より、$1\in G$ の近傍 $V\subset V_0$ で、
$$
y\in V\quad\Rightarrow\quad\lvert L_yf(x)-f(x)\rvert\leq \epsilon\quad(\forall x\in G)
$$
なるものが取れる。
$$
{\rm supp}(L_yf-f)\subset V{\rm supp}(f)\subset V_0{\rm supp}(f)\quad(\forall y\in V)
$$
であるから、
$$
\lvert L_yf(x)-f(x)\rvert \leq \epsilon\chi_{V_0{\rm supp}(f)}(x)\quad(\forall y\in V,\forall x\in G)
$$
なので、任意の $y\in V$ に対し、
$$
\lVert L_yf-f\rVert_p=\left(\int_{G}\lvert L_yf(x)-f(x)\rvert^pd\mu(x)\right)^{\frac{1}{p}}\leq \epsilon\mu(V_0{\rm supp}(f))^{\frac{1}{p}}
$$
が成り立つ。$V_0{\rm supp}(f)$ はコンパクトであるから $\mu(V_0{\rm supp}(f))^{\frac{1}{p}}<\infty$ であり、$\epsilon$ は $f,V_0$ によらない任意の正数なので $(*)$ は $1\in G$ において $L^p$ ノルムで連続である。
{{end|proof}}

===定義1.20（局所コンパクト群における $L^1$ と $L^p$ の合成積）===
$G$ を局所コンパクト群、$\mu\colon\mathcal{B}_G\rightarrow [0,\infty]$ を $G$ のHaar測度、$p\in [1,\infty)$ とする。任意の $[g]\in L^p(G,\mu)$ に対し'''命題1.19'''より、
$$
G\ni y\mapsto L_y[g]\in L^p(G,\mu)
$$
はBanach空間 $L^p(G,\mu)$ 値の有界連続関数である。また $G$ の第二可算性よりBanach空間 $L^p(G,\mu)$ は可分である（[[測度と積分7：局所コンパクトHausdorff空間上のRadon測度]]の'''系35.7'''）から、任意の $[f]\in L^1(G,\mu)$ に対し $L^p(G,\mu)$ 値関数
$$
G\ni y\mapsto f(y)L_y[g]\in L^p(G,\mu)\quad\quad(*)
$$
はBanach空間 $L^p(G,\mu)$ 値Bocoher可測関数（[[測度と積分9：Bochner積分]]の'''定義41.1'''）である。そして、
$$
\int_{G}\lVert f(y)L_y[g]\rVert_p d\mu(y)=\lVert [g]\rVert_p\int_{G}\lvert f(y)\rvert d\mu(y)=\lVert [f]\rVert_1\lVert [g]\rVert_p<\infty
$$
であるから、$(*)$ は $\mu$ に関してBochner積分可能（[[測度と積分9：Bochner積分]]の'''定義44.1'''）である。そこで任意の $[f]\in L^1(G,\mu)$ と $[g]\in L^p(G,\mu)$ に対しBochner積分により、
$$
[f]*[g]\colon=\int_{G}f(y)L_y[g]d\mu(y)\in L^p(G,\mu)
$$
と定義する。これを $[f]\in L^1(G,\mu)$ と $[g]\in L^p(G,\mu)$ の合成積と言う。$\mu(B)<\infty$ となる任意の $B\in \mathcal{B}_G$ に対しHölderの不等式より、
$$
L^p(G,\mu)\ni [h]\mapsto \int_{B}h(x)d\mu(x)\in \mathbb{C}
$$
はBanach空間 $L^p(G,\mu)$ 上の有界線形汎関数であるから、Bochner積分の性質（[[測度と積分9：Bochner積分]]の'''命題44.2'''）とFubiniの定理より、
$$
\int_{B}([f]*[g])(x)d\mu(x)=\int_{G}\left(\int_{B}f(y)g(y^{-1}x)d\mu(x)\right)d\mu(y)=\int_{B}\left(\int_{G}f(y)g(y^{-1}x)d\mu(y)\right)d\mu(x)
$$
となる。よって $\mu$ の $\sigma$-有限性より $[f]*[g]$は $\mu$ - a.e. $x\in G$ で、
$$
\int_{G}f(y)g(y^{-1}x)d\mu(y)\in \mathbb{C}
$$
と一致する。

===定義1.21（局所コンパクト群における $L^1$ と $C_0$ の合成積）===
$G$ を局所コンパクト群、$\mu\colon\mathcal{B}_G\rightarrow [0,\infty]$ を $G$ のHaar測度とする。任意の $g\in C_0(G)$ に対し'''命題1.3'''より、
$$
G\ni y\mapsto L_yg\in C_0(G)
$$
は $\sup$ ノルムによるBanach空間 $C_0(G)$ 値の有界連続関数である。また $G$ の第二可算性よりBanach空間 $C_0(G)$ は可分である（[[測度と積分7：局所コンパクトHausdorff空間上のRadon測度]]の'''系35.6'''）から、任意の $[f]\in L^1(G,\mu)$ に対し $C_0(G)$ 値関数
$$
G\ni y\mapsto f(y)L_yg\in C_0(G)\quad\quad(*)
$$
はBanach空間 $C_0(G)$ 値のBochner可測関数（[[測度と積分9：Bochner積分]]の'''定義41.1'''）である。そして
$$
\int_{G}\lVert f(y)L_yg\rVert d\mu(y)=\lVert g\rVert\int_{G}\lvert f(y)\rvert d\mu(y)=\lVert [f]\rVert_1\lVert g\rVert<\infty
$$
であるから、$(*)$ は $\mu$ に関してBochner積分可能（[[測度と積分9：Bochner積分]]の'''定義44.1'''）である。そこで任意の $[f]\in L^1(G,\mu)$ と $g\in C_0(G)$ に対しBochner積分により、
$$
[f]*g\colon=\int_{G}f(y)L_yg d\mu(y)\in C_0(G)
$$
と定義する。これを $[f]\in L^1(G,\mu)$ と $g\in C_0(G)$ の合成積と言う。任意の $x\in G$ に対し、
$$
\delta_x\colon C_0(G)\ni h\mapsto h(x)\in \mathbb{C}
$$
はBanach空間 $C_0(G)$ 上の有界線形汎関数であるから、Bochner積分の性質（[[測度と積分9：Bochner積分]]の'''命題44.2'''）より、
$$
([f]*g)(x)=\delta_x([f]*g)=\int_{G}f(y)\delta_x(L_yg)d\mu(y)=\int_{G}f(y)g(y^{-1}x)d\mu(y)
$$
である。

===命題1.22（Youngの不等式）===
$G$ を局所コンパクト群、$\mu\colon\mathcal{B}_G\rightarrow [0,\infty]$ を $G$ のHaar測度、$p\in [1,\infty)$ とする。このとき、
*$(1)$　任意の $[f]\in L^1(G,\mu)$, $[g]\in L^p(G,\mu)$ に対し、
$$
\lVert [f]*[g]\rVert_p\leq \lVert [f]\rVert_1\lVert [g]\rVert_p
$$
が成り立つ。
*$(2)$　任意の $[f]\in L^1(G,\mu)$, $g\in C_0(G)$ に対し、
$$
\lVert [f]*g\rVert \leq \lVert [f]\rVert_1\lVert g\rVert
$$
が成り立つ。
{{begin|proof}}
*$(1)$　合成積の定義（'''定義1.20'''）とBochner積分の基本性質（[[測度と積分9：Bochner積分]]の'''命題44.2'''）より、
$$
\lVert [f]*[g]\rVert_p=\left\lVert \int_{G}f(y)L_y[g]d\mu(y)\right\rVert_p
\leq \int_{G}\lVert f(y)L_y[g]\rVert_pd\mu(y)=\lVert [f]\rVert_1\lVert [g]\rVert_p.
$$
*$(2)$　合成積の定義（'''定義1.21'''）とBochner積分の基本性質より、
$$
\lVert [f]*g\rVert=\left\lVert \int_{G}f(y)L_ygd\mu(y)\right\rVert\leq \int_{G}\lVert f(y)L_yg\rVert d\mu(y)=\lVert [f]\rVert_1\lVert g\rVert.
$$
{{end|proof}}

===定義1.23（$L^1$ 群環 $L^1(G,\mu)$）===
$G$ を局所コンパクト群、$\mu\colon \mathcal{B}_G\rightarrow [0,\infty]$ を $G$ のHaar測度、$\Delta\colon G\rightarrow (0,\infty)$ を $G$ のモジュラー関数とする。任意の $f\colon G\rightarrow \mathbb{C}$ に対し、$f^*\colon G\rightarrow \mathbb{C}$ を、
$$
f^*(x)\colon=\Delta(x^{-1})\overline{f(x^{-1})}\quad(\forall x\in G)
$$
として定義する。$f\in \mathcal{L}^1(G,\mu)$ ならば、'''命題1.16'''の $(3)$ より、
$$
\int_{G}\lvert f^*(x)\rvert d\mu(x)=\int_{G}\lvert f(x^{-1})\rvert \Delta(x^{-1})d\mu(x)=\int_{G}\lvert f(x)\rvert d\mu(x)<\infty
$$
であるので $f^*\in \mathcal{L}^1(G,\mu)$, $\lVert f^*\rVert_1=\lVert f\rVert_1$ である。そこで、
$$
L^1(G,\mu)\ni [f]\mapsto [f]^*\colon=[f^*]\in L^1(G,\mu)\quad\quad(*)
$$
なる等長反線形写像を定義する。このときBanach空間 $L^1(G,\mu)$ は、合成積
$$
L^1(G,\mu)\times L^1(G,\mu)\ni ([f],[g])\mapsto [f]*[g]\in L^1(G,\mu)\quad\quad(**)
$$
を乗法、$(*)$ を対合としてBanach $*$-環をなす（次の'''命題1.24'''）。このBanach $*$-環 $L^1(G,\mu)$ を $G$ の $L^1$ 群環と言う。

===命題1.24（$L^1$ 群環はBanach $*$-環）===
Banach空間 $L^1(G,\mu)$ は'''定義1.23'''における $(**)$ を乗法、$(*)$ を対合としてBanach $*$-環をなす。
{{begin|proof}}
任意の $x\in G$ と任意の $[f],[g]\in L^1(G,\mu)$ に対し、合成積の定義（'''定義1.20'''）とBochner積分の基本性質（[[測度と積分9：Bochner積分]]の'''命題44.2'''）<ref>$L^1(G,\mu)\ni [h]\mapsto L_x[h]\in L^1(G,\mu)$ は等長線形作用素であることに注意。</ref> 、Haar測度による積分の左不変性より、
$$
\begin{aligned}
L_x([f]*[g])&=L_x\left(\int_{G}f(y)L_y[g]d\mu(y)\right)
=\int_{G}L_x(f(y)L_y[g])d\mu(y)=\int_{G}f(y)L_{xy}[g]d\mu(y)\\
&=\int_{G}f(x^{-1}y)L_y[g]d\mu(y)=(L_x[f])*[g]\quad\quad(*)
\end{aligned}
$$
である。$(**)$ は合成積の定義より明らかに双線形写像であり、Youngの不等式（'''命題1.22'''）より有界（ノルムは $1$ 以下）である。よって任意の $[f],[g],[h]\in L^1(G,\mu)$ に対し、Bochner積分の基本性質（[[測度と積分9：Bochner積分]]の'''命題44.2'''）<ref>$L^1(G,\mu)\ni [w]\mapsto [w]*[h]\in L^1(G,\mu)$ が有界線形作用素であることに注意。</ref>より、
$$
\begin{aligned}
&([f]*[g])*[h]=\left(\int_{G}f(y)L_y[g]d\mu(y)\right)*[h]
=\int_{G}(f(y)L_y[g]*[h])d\mu(y)\\
&=\int_{G}f(y)((L_y[g])*[h])d\mu(y)=\int_{G}f(y)L_y([g]*[h])d\mu(y)=[f]*([g]*[h])
\end{aligned}
$$
となる。ただし $4$ 番目の等号で $(*)$ を用いた。これより $L^1(G,\mu)$ は'''定義1.23'''の $(**)$ を乗法としてBanach環である。任意の $[f]\in L^1(G,\mu)$ に対し、
$$
f^{**}(x)=\Delta(x^{-1})\overline{f^*(x^{-1})}=\Delta(x^{-1})\Delta(x)f(x)=f(x)\quad(\forall x\in G)
$$
であるから、$[f]^{**}=[f]$ である。また任意の $[f],[g]\in L^1(G,\mu)$ に対し $[f]*[g]$ の代表元 $h$ は $\mu$ -a.e. $x\in G$ で、
$$
h(x)=\int_{G}f(y)g(y^{-1}x)d\mu(y)
$$
（'''定義1.20'''を参照）であるので、$([f]*[g])^*$ の代表元 $h^*$ は $\mu$ -a.e. $x\in G$ で、
$$
\begin{aligned}
h^*(x)&=\Delta(x^{-1})\overline{h(x^{-1})}=\Delta(x^{-1})\int_{G}\overline{f(y)g(y^{-1}x^{-1})}d\mu(y)\\
&=\Delta(x^{-1})\int_{G}(\Delta(y^{-1})f^*(y^{-1}))(\Delta(xy)g^*(xy))d\mu(y)\\
&=\int_{G}f^*(y^{-1})g^*(xy)d\mu(y)=\int_{G}g^*(y)f^*(y^{-1}x)d\mu(y)
\end{aligned}
$$
である。よって $([f]*[g])^*$ の代表元 $h^*$ は $[g]^**[f]^*$ の代表元と $\mu$ -a.e. $x\in G$ で一致するので、
$$
([f]*[g])^*=[g]^**[f]^*
$$
が成り立つ。ゆえに $L^1(G,\mu)$ は'''定義1.23'''の $(*)$ を対合としてBanach $*$-環である。
{{end|proof}}

===定理1.25（$L^1(G,\mu)$ の近似単位元）===
$G$ を局所コンパクト群、$\mu\colon \mathcal{B}_G\rightarrow [0,\infty]$ を $G$ のHaar測度とする。このとき $C_{c,+}(G)$ の列 $(\varphi_n)_{n\in \mathbb{N}}$ で次を満たすものが存在する。
*$(1)$　$\int_{G}\varphi_n(x)d\mu(x)=1$ $(\forall n\in \mathbb{N})$.
*$(2)$　単位元 $1\in G$ の任意の近傍 $U$ に対し、${\rm supp}(\varphi_n)\subset U$ $(\forall n\geq n_0)$ を満たす $n_0\in \mathbb{N}$ が存在する。
*$(3)$　$\varphi_n^*=\varphi_n$ $(\forall n\in \mathbb{N})$.
そしてこの $(\varphi_n)_{n\in \mathbb{N}}$ はBanach $*$-環 $L^1(G,\mu)$ の近似単位元（[[Banach環とC*-環のスペクトル理論]]の'''定義9.1'''）である。
{{begin|proof}}
$G$ は第二可算公理を満たすので第一可算公理を満たす。よって単位元 $1\in G$ の可算基本近傍系 $\{U_n\}_{n\in \mathbb{N}}$ で、
$$
U_n^{-1}=U_n,\quad U_{n+1}\subset U_n\quad(\forall n\in \mathbb{N})
$$
を満たすものが取れる。Urysohnの補題（[[測度と積分7：局所コンパクトHausdorff空間上のRadon測度]]の'''定理27.6'''）より各 $n\in \mathbb{N}$ に対し $\psi_n\in C_{c,+}(G)$ で、
$$
{\rm supp}(\psi_n)\subset U_n,\quad \int_{G}\psi_n(x)d\mu(x)=1
$$
を満たすものが取れる。そして、
$$
\varphi_n\colon=\frac{1}{2}(\psi_n+\psi_n^*)\in C_{c,+}(G)\quad(\forall n\in \mathbb{N})
$$
とおくと、$\varphi_n^*=\varphi_n$ $(\forall n\in \mathbb{N})$ であり、
$$
{\rm supp}(\varphi_n)\subset {\rm supp}(\psi_n)\cup {\rm supp}(\psi_n)^{-1}\subset U_n\quad(\forall n\in \mathbb{N}).
$$
$$
\int_{G}\varphi_n(x)d\mu(x)=\frac{1}{2}\left(\int_{G}\psi_n(x)d\mu(x)+\int_{G}\psi_n^*(x)d\mu(x)\right)=1\quad(\forall n\in \mathbb{N})
$$
となる。よって $(\varphi_n)_{n\in \mathbb{N}}$ は $(1),(2),(3)$ を満たす。$(1),(2),(3)$ を満たす $C_{c,+}(G)$ の列 $(\varphi_n)_{n\in \mathbb{N}}$ がBanach $*$-環 $L^1(G,\mu)$ の近似単位元であることを示す。任意の $[f]\in L^1(G,\mu)$ に対し、$(1)$ と合成積の定義（'''定義1.20'''）より、
$$
[\varphi_n]*[f]-[f]=\int_{G}\varphi_n(y)(L_y[f]-[f])d\mu(y)\quad(\forall n\in \mathbb{N})
$$
であるから、
$$
\lVert [\varphi_n]*[f]-[f]\rVert_1\leq \int_{G}\varphi_n(y)\lVert L_y[f]-[f]\rVert_1d\mu(y)\quad(\forall n\in \mathbb{N})
$$
であり、'''命題1.19'''より $G\ni y\mapsto L_y[f]\in L^1(G,\mu)$ は連続であるから、$(1),(2)$ より、
$$
\lVert [\varphi_n]*[f]-[f]\rVert_1\leq \int_{G}\varphi_n(y)\lVert L_y[f]-[f]\rVert_1d\mu(y)\rightarrow0\quad(n\rightarrow\infty)
$$
となる。よって、
$$
\lim_{n\rightarrow \infty}[\varphi_n]*[f]=[f]\quad(\forall [f]\in L^1(G,\mu))
$$
が成り立つ。また $(3)$ より任意の $[f]\in L^1(G,\mu)$ に対し、
$$
[f]*[\varphi_n]=([\varphi_n]*[f]^*)^*\rightarrow [f]^{**}=[f]\quad(n\rightarrow\infty)
$$
であるから、$(\varphi_n)_{n\in \mathbb{N}}$ は $L^1(G,\mu)$ の近似単位元である。
{{end|proof}}

===命題1.26（$L^1$ 群環が単位元を持つことと群が離散であることは同値）===
$G$ を局所コンパクト群、$\mu\colon \mathcal{B}_G\rightarrow [0,\infty]$ を $G$ のHaar測度とする。このとき次は互いに同値である。
*$(1)$　$L^1$ 群環 $L^1(G,\mu)$ は単位元を持つ。
*$(2)$　$G$ は離散群である。
{{begin|proof}}
$(1)\Rightarrow(2)$ を示す。$L^1(G,\mu)$ が単位元を持つとし、それを $[f]\in L^1(G,\mu)$ とする。
'''定理1.25'''における $L^1(G,\mu)$ の近似単位元 $(\varphi_n)_{n\in \mathbb{N}}$ を取ると、
$$
[\varphi_n]=[\varphi_n]*[f]\rightarrow [f]\quad(n\rightarrow\infty)\quad\quad(*)
$$
となる。'''定理1.25'''の条件 $(2)$ より $G$ の単位元 $1\in G$ の任意の近傍 $U$ に対し $[\chi_U\varphi_n]=[\varphi_n]$ $(\forall n\geq n_0)$ なる $n_0\in \mathbb{N}$ が存在するので、$(*)$ より、
$$
[\chi_Uf]=\lim_{n\rightarrow\infty}[\chi_U\varphi_n]=\lim_{n\rightarrow\infty}[\varphi_n]=[f]\quad\quad(**)
$$
となる。そこで $G$ の単位元 $1\in G$ の可算基本近傍系 $\{U_n\}_{n\in \mathbb{N}}$ で、
$$
U_{n+1}\subset U_n\quad(\forall n\in \mathbb{N})
$$
を満たすものを取れば、$(**)$ とLebesgue優収束定理より、
$$
\lVert f\rVert_1=\int_{G}\lvert f(x)\rvert d\mu(x)=\int_{G}\lvert f(x)\rvert \chi_{U_n}(x)d\mu(x)\rightarrow \int_{G}\lvert f(x)\rvert \chi_{\{1\}}(x)d\mu(x)=\lvert f(1)\rvert \mu(\{1\})\quad(n\rightarrow\infty)
$$
となる。ゆえに $\mu(\{1\})>0$ であり、
$$
\mu(\{x\})=\mu(x\{1\})=\mu(\{1\})>0\quad(\forall x\in G)
$$
である。これより $\mu(B)<\infty$ を満たす任意の $B\in \mathcal{B}_G$ は有限集合である。任意の $x_0\in G$ に対し $x_0$ の開近傍 $U$ で $\overline{U}$ がコンパクトであるものを取れば、$\mu(U)\leq \mu(\overline{U})<\infty$ であるので、$U$ は有限集合である。そこで $U=\{x_0,x_1,\ldots,x_m\}$ とおけば、
$$
\{x_0\}=U\backslash \{x_1,\ldots,x_m\}
$$
であるから、$\{x_0\}$　は開集合である。ゆえに任意の一点集合が開集合であるので $G$ は離散群である。 
$(2)\Rightarrow(1)$ を示す。$G$ が離散群ならば $G$ のHaar測度 $\mu$ は数え上げ測度であり、$L^1(G,\mu)=\ell^1(G)$（[[測度と積分6：数え上げ測度と $\ell^p$ 空間]]の'''定義24.3'''を参照）である。任意の $f\in \ell^1(G)$, 任意の $x\in G$ に対し、
$$
(\chi_{\{1\}}*f)(x)=\sum_{y\in G}\chi_{\{1\}}(y)f(y^{-1}x)=f(x),
$$
$$
(f*\chi_{\{1\}})(x)=\sum_{y\in G}f(y)\chi_{\{1\}}(y^{-1}x)=f(x)
$$
であるから、$\chi_{\{1\}}$ は $L^1$ 群環 $\ell^1(G)$ の単位元である。
{{end|proof}}

===定義1.27（Dirac測度）===
$G$ を局所コンパクト群とする。任意の $x\in G$ に対しBorel測度
$$
\delta_x\colon \mathcal{B}_G\ni B\mapsto \chi_B(x)\in [0,1]
$$
を $x$ におけるDirac測度と言う。

===定義1.28（測度群環 $M(G)$）===
$G$ を局所コンパクト群、$M(G)$ を $G$ 上の複素数値Borel測度全体に全変動ノルムを入れたBanach空間とする（[[測度と積分7：局所コンパクトHausdorff空間上のRadon測度]]の'''33'''を参照）。任意の $\nu_1,\nu_2\in M(G)$ に対し、
$$
(\nu_1*\nu_2)(B)\colon=\int_{G}\left(\int_{G}\chi_B(xy)d\nu_1(x)\right)d\nu_2(y)\quad(\forall B\in \mathcal{B}_G)
$$
とおけば $\nu_1*\nu_2\in M(G)$ であることが分かる。これを $\nu_1,\nu_2\in M(G)$ の合成積と言う。また任意の $\nu\in M(G)$ に対し $\nu^*\in M(G)$ を、
$$
\nu^*(B)\colon=\overline{\nu(B^{-1})}\quad(\forall B\in \mathcal{B}_G)
$$
と定義する。このとき次の'''命題1.29'''よりBanach空間 $M(G)$ は、
$$
M(G)\times M(G)\ni (\nu_1,\nu_2)\mapsto \nu_1*\nu_2\in M(G)\quad\quad(*)
$$
を乗法、
$$
M(G)\ni \nu\mapsto \nu^*\in M(G)\quad\quad(**)
$$
を対合、$G$ の単位元 $1\in G$ におけるDirac測度 $\delta_1\in M(G)$ を単位元として単位的Banach $*$-環をなす。この単位的Banach $*$-環 $M(G)$ を $G$ の測度群環と言う。

===命題1.29（測度群環は単位的Banach $*$-環）===
Banach空間 $M(G)$ は'''定義1.28'''における $(*)$ を乗法、$(**)$ を対合、$\delta_1$ を単位元として単位的Banach $*$-環をなす。
{{begin|proof}}
'''定義1.28'''の $(*)$ がノルムが $1$ 以下の有界双線形写像であること、'''定義1.28'''の $(**)$ が全変動ノルムを保存する反線形写像であることは複素数値測度による積分の定義と全変動の定義より自明である（[[測度と積分4：測度論の基本定理(2)]]の'''定義19.1'''と'''定義19.5'''を参照）。また任意の $\nu\in M(G)$ に対し、
$$
\nu^{**}(B)=\overline{\nu^*(B^{-1})}=\nu(B)\quad(\forall B\in \mathcal{B}_G)
$$
であるので $\nu^{**}=\nu$ である。任意の有界Borel関数はBorel単関数の列によって一様近似できる（[[測度と積分5：$L^p$ 空間の完備性と双対性]]の'''命題22.2'''）ので、任意の有界Borel関数 $f\colon G\rightarrow \mathbb{C}$ と任意の $\nu_1,\nu_2,\nu\in M(G)$ に対し、
$$
\int_{G}f(x)d(\nu_1*\nu_2)(x)=\int_{G}\left(\int_{G}f(xy)d\nu_1(x)\right)d\nu_2(y),
$$
$$
\int_{G}f(x)d\nu^*(x)=\overline{\int_{G}\overline{f(x^{-1})}d\nu(x)}
$$
が成り立つ。このことに注意すると、Fubiniの定理より、任意の $\nu_1,\nu_2,\nu_3\in M(G)$ に対し、
$$
\begin{aligned}
(\nu_1*(\nu_2*\nu_3))(B)&=\int_{G}\left(\int_{G}\chi_B(xy)d\nu_1(x)\right)d(\nu_2*\nu_3)(y)=\int_{G}\left(\int_{G}\left(\int_{G}\chi_B(xyz)d\nu_1(x)\right)d\nu_2(y)\right)d\nu_3(z)\\
&=\int_{G}\left(\int_{G}\chi_B(xz)d(\nu_1*\nu_2)(x)\right)d\nu_3(z)=((\nu_1*\nu_2)*\nu_3)(B)\quad(\forall B\in\mathcal{B}_G)
\end{aligned}
$$
$$
\begin{aligned}
(\nu_1*\nu_2)^*(B)&=\overline{(\nu_1*\nu_2)(B^{-1})}=\overline{\int_{G}\left(\int_{G}\chi_{B^{-1}}(xy)d\nu_1(x)\right)d\nu_2(y)}=\overline{\int_{G}\left(\int_{G}\chi_B(y^{-1}x^{-1})d\nu_1(x)\right)d\nu_2(y)}\\
&=\overline{\int_{G}\left(\overline{\int_{G}\chi_B(y^{-1}x)d\nu_1^*(x)}\right)d\nu_2(y)}
=\int_{G}\left(\int_{G}\chi_B(yx)d\nu_1^*(x)\right)d\nu_2^*(y)\\
&=\int_{G}\left(\int_{G}\chi_B(yx)d\nu_2^*(y)\right)d\nu_1^*(x)=(\nu_2^**\nu_1^*)(B)\quad(\forall B\in\mathcal{B}_G)
\end{aligned}
$$
が成り立つことが分かる。よって $M(G)$ は'''定義1.28'''の $(*)$ を乗法、$(**)$ を対合としてBanach $*$-環をなす。任意の $\nu\in M(G)$ に対し、
$$
\begin{aligned}
&(\delta_1*\nu)(B)=\int_{G}\left(\int_{G}\chi_B(xy)d\delta_1(x)\right)d\nu(y)=\int_{G}\chi_B(y)d\nu(y)=\nu(B)\quad(\forall B\in \mathcal{B}_G),\\
&(\nu*\delta_1)(B)=\int_{G}\left(\int_{G}\chi_B(xy)d\nu(x)\right)d\delta_1(y)
=\int_{G}\chi_B(x)d\nu(x)=\nu(B)\quad(\forall B\in\mathcal{B}_G)
\end{aligned}
$$
であるから、$\delta_1$ はBanach $*$-環 $M(G)$ の単位元である。
{{end|proof}}

===命題1.30（$L^1$ 群環の測度群環への埋め込み）===
$G$ を局所コンパクト群、$\mu\colon \mathcal{B}_G\rightarrow [0,\infty]$ を $G$ のHaar測度とする。任意の $[f]\in L^1(G,\mu)$ に対し $\mu_{[f]}\in M(G)$ を、
$$
\mu_{[f]}\colon \mathcal{B}_G\ni B\mapsto \int_{B}f(x)d\mu(x)\in \mathbb{C}
$$
とすると、
$$
L^1(G,\mu)\ni [f]\mapsto \mu_{[f]}\in M(G)\quad\quad(*)
$$
は等長 $*$-環準同型写像である。
{{begin|proof}}
$(*)$ が線形写像であることは明らかであり、ノルムを保存することは[[測度と積分4：測度論の基本定理(2)]]の'''命題19.3'''による。'''命題1.16'''の $(3)$ より任意の $[f]\in L^1(G,\mu)$ に対し、
$$
\begin{aligned}
\mu_{[f]^*}(B)&=\int_{G}f^*(x)\chi_B(x)d\mu(x)=\int_{G}\overline{f(x^{-1})}\Delta(x^{-1})\chi_B(x)d\mu(x)\\
&=\int_{G}\overline{f(x)}\chi_{B^{-1}}(x)d\mu(x)=\overline{\mu_{[f]}(B^{-1})}
=\mu_{[f]}^*(B)\quad(\forall B\in \mathcal{B}_G)
\end{aligned}
$$
であるから $(*)$ は対合を保存する。また任意の $[f],[g]\in L^1(G,\mu)$ に対しHaar測度による積分の左不変性とFubiniの定理より、
$$
\begin{aligned}
\mu_{[f]*[g]}(B)&=\int_{G}\chi_B(x)([f]*[g])(x)d\mu(x)=\int_{G}\left(\int_{G}\chi_B(x)f(y)g(y^{-1}x)d\mu(x)\right)d\mu(y)\\
&=\int_{G}\left(\int_{G}\chi_B(yx)f(y)g(x)d\mu(x)\right)d\mu(y)=\int_{G}\left(\int_{G}\chi_B(yx)f(y)g(x)d\mu(y)\right)d\mu(x)\\
&=\int_{G}\left(\int_{G}\chi_B(yx)d\mu_{[f]}(y)\right)d\mu_{[g]}(x)
=(\mu_{[f]}*\mu_{[g]})(B)\quad(\forall B\in\mathcal{B}_G)
\end{aligned}
$$
であるから $(*)$ は乗法を保存する。
{{end|proof}}

===命題1.31（群が可換であることと $L^1$ 群環（測度群環）が可換であることは同値）===
$G$ を局所コンパクト群、$\mu\colon \mathcal{B}_G\rightarrow [0,\infty]$ を $G$ のHaar測度とする。このとき次は互いに同値である。
*$(1)$　$G$ は可換群である。
*$(2)$　測度群環 $M(G)$ は可換である。
*$(3)$　$L^1$ 群環 $L^1(G,\mu)$ は可換である。
{{begin|proof}}
$(1)\Rightarrow(2)$ を示す。$G$ が可換ならば、任意の $\nu_1,\nu_2\in M(G)$ に対しFubiniの定理より、
$$
\begin{aligned}
(\nu_1*\nu_2)(B)&=\int_{G}\left(\int_{G}\chi_B(xy)d\nu_1(x)\right)d\nu_2(y)=\int_{G}\left(\int_{G}\chi_B(yx)d\nu_1(x)\right)d\nu_2(y)\\
&=\int_{G}\left(\int_{G}\chi_B(yx)d\nu_2(y)\right)d\nu_1(x)=(\nu_2*\nu_1)(B)\quad(\forall B\in \mathcal{B}_G)
\end{aligned}
$$
であるから $\nu_1*\nu_2=\nu_2*\nu_1$ である。よって測度群環 $M(G)$ は可換である。 
$(2)\Rightarrow(3)$ は'''命題1.30'''による。 
$(3)\Rightarrow(1)$ を示す。$L^1(G,\mu)$ が可換であるとする。任意の $f,g\in C_c(G)$, 任意の $x\in G$ に対し'''命題1.16'''の $(3)$ より、
$$
\begin{aligned}
\int_{G}f(y)g(y^{-1}x)d\mu(y)&=(f*g)(x)=(g*f)(x)=\int_{G}g(y)f(y^{-1}x)d\mu(y)\\
&=\int_{G}g(xy)f(y^{-1})d\mu(y)=\int_{G}f(y)g(xy^{-1})\Delta(y^{-1})d\mu(y)
\end{aligned}
$$
であるから、
$$
\int_{G}f(y)(g(y^{-1}x)-g(xy^{-1})\Delta(y^{-1}))d\mu(y)=0
$$
である。$C_c(G)$ は $L^1(G,\mu)$ で稠密であること（[[測度と積分7：局所コンパクトHausdorff空間上のRadon測度]]の'''命題32.1'''）から、任意の $g\in C_c(G)$、任意の $x\in G$ に対し、有界連続関数
$$
G\ni y\mapsto g(y^{-1}x)-g(xy^{-1})\Delta(y^{-1})\in \mathbb{C}\quad\quad(*)
$$
は $\mu$- a.e. $y\in G$ で $0$ である。空でない開集合のHaar測度は正であること（'''命題1.8'''）から、連続関数 $(*)$ は恒等的に $0$ である。よって任意の $g\in C_c(G)$、任意の $x,y\in G$ に対し、
$$
g(y^{-1}x)-g(xy^{-1})\Delta(y^{-1})=0
$$
が成り立つ。Urysohnの補題（[[測度と積分7：局所コンパクトHausdorff空間上のRadon測度]]の'''定理27.6'''）より、これは $xy^{-1}=y^{-1}x$ $(\forall x,y\in G)$ を意味する。よって$G$ は可換である。
{{end|proof}}

==2. 局所コンパクト群のユニタリ表現、正定値連続関数に対するGNS表現、Gelfand-Raikovの定理==

===定義2.1（局所コンパクト群のユニタリ表現）===
$G$ を局所コンパクト群、$\mathcal{H}\neq \{0\}$ をHilbert空間、$\mathbb{U}(\cal{H})\subset \mathbb{B}(\mathcal{H})$ を $\mathcal{H}$ 上のユニタリ作用素全体のなす乗法群とする。群準同型写像 $\pi\colon G\rightarrow \mathbb{U}(\mathcal{H})$ で SOT（[[Hilbert空間上の作用素論]]の'''定義2.1'''）に関して連続なものを、$G$ の $\mathcal{H}$ 上へのユニタリ表現と言う。このとき $\mathcal{H}$ を $G$ のユニタリ表現 $\pi$ の表現空間と言い、$\mathcal{H}_{\pi}$ と表す。また ${\rm dim}(\mathcal{H}_{\pi})$ を $\pi$ の次元と言い、${\rm dim}(\pi)$ とも表す。

===例2.2（局所コンパクト群の正則表現）===
$G$ を局所コンパクト群、$\mu\colon \mathcal{B}_G\rightarrow [0,\infty]$ を $G$ のHaar測度とする。Hilbert空間 $L^2(G,\mu)$ を考える。
$$
\pi(x)[f]\colon =[L_xf]\quad(\forall x\in G,\forall [f]\in L^2(G,\mu))
$$
とおくと、明らかに $\pi(x)\in \mathbb{U}(L^2(G,\mu))$ $(\forall x\in G)$ であり、$\pi\colon G\rightarrow \mathbb{U}(L^2(G,\mu))$ は群準同型写像である。そして'''命題1.19'''より $\pi$ はSOTに関して連続である。よって $\pi$ は $G$ のHilbert空間 $L^2(G,\mu)$ 上へのユニタリ表現である。これを $G$ の正則表現と言う。

===定義2.3（ユニタリ表現の部分表現、既約性）===
$G$ を局所コンパクト群、$\pi$ を $G$ のユニタリ表現とする。$\mathcal{K}\subset \mathcal{H}_{\pi}$ が $\pi(x)\mathcal{K}\subset \mathcal{K}$ $(\forall x\in G)$ を満たすとき $\mathcal{K}$ は $\pi$ 不変であると言う。$\pi$ 不変な $\{0\}$ ではない閉部分空間 $\mathcal{K}\subset \mathcal{H}_{\pi}$ に対し、
$$
\pi|_{\mathcal{K}}(x)v\colon =\pi(x)v\in \mathcal{K}\quad(\forall x\in G,\forall v\in \mathcal{K})
$$
とおくと、$\pi|_{\mathcal{K}}(x)\in \mathbb{U}(\mathcal{K})$ であり、
$$
\pi|_{\mathcal{K}}\colon G\ni x\mapsto \pi|_{\mathcal{K}}(x)\in \mathbb{U}(\mathcal{K})
$$
は $G$ の $\mathcal{K}$ 上へのユニタリ表現である。<ref>$\mathcal{K}$ は $\mathcal{H}$ の閉部分空間なので $\mathcal{H}$ の内積によりHilbert空間である。</ref>$\pi|_{\mathcal{K}}$ を $\pi$ の $\mathcal{K}$ 上への制限と言い、このようなユニタリ表現を $\pi$ の部分表現と言う。$\pi$ 不変な閉部分空間が $\{0\}$ と $\mathcal{H}$ のみの場合、$\pi$ は既約であると言う。

===定義2.4（ユニタリ表現の巡回ベクトル）===
$G$ を局所コンパクト群、$\pi$ を $G$ のユニタリ表現とする。$v\in \mathcal{H}_{\pi}$ が $\pi$ の巡回ベクトルであるとは、
$$
{\rm span}(\pi(G)v)={\rm span}\{\pi(x)v:x\in G\}
$$
が $\mathcal{H}_{\pi}$ で稠密であることを言う。

===注意2.5（巡回ベクトルを持つ部分表現）===
$G$ を局所コンパクト群、$\pi$ を $G$ のユニタリ表現とする。任意の $v\in \mathcal{H}_{\pi}\backslash \{0\}$ に対し、
$$
\mathcal{K}_v\colon =\overline{{\rm span}(\pi(G)v)}\subset \mathcal{H}_{\pi}
$$
とおけば、$\mathcal{K}_v$ は $\pi$ 不変な $\{0\}$ ではない閉部分空間であり、$\pi$ の $\mathcal{K}_v$ 上への制限は $v$ を巡回ベクトルとして持つ。

===注意2.6（既約なユニタリ表現と巡回ベクトル）===
$G$ を局所コンパクト群、$\pi$ を $G$ の既約なユニタリ表現とする。このとき $\pi$ の既約性と'''注意2.5'''より、任意の $v\in \mathcal{H}_{\pi}\backslash \{0\}$ に対し $v$ は $\pi$ の巡回ベクトルである。

===定義2.7（繋絡作用素）===
$G$ を局所コンパクト群、$\pi_1,\pi_2$ を $G$ のユニタリ表現とする。$T\in \mathbb{B}(\mathcal{H}_{\pi_1},\mathcal{H}_{\pi_2})$ が、
$$
T\pi_1(x)=\pi_2(x)T\quad(\forall x\in G)
$$
を満たすとき $T$ を $\pi_1,\pi_2$ の繋絡作用素と言う。$\pi_1,\pi_2$ の繋絡作用素全体を $\mathcal{C}(\pi_1,\pi_2)$ と表す。また $\mathcal{C}(\pi)\colon =\mathcal{C}(\pi,\pi)$ と表す。

===命題2.8（繋絡作用素全体の基本性質）===
$G$ を局所コンパクト群、$\pi_1,\pi_2,\pi_3$ を $G$ のユニタリ表現とする。このとき、
*$(1)$　$\mathcal{C}(\pi_1,\pi_2)$ は $\mathbb{B}(\mathcal{H}_{\pi_1},\mathcal{H}_{\pi_2})$ の線形部分空間である。
*$(2)$　任意の $T\in \mathcal{C}(\pi_1,\pi_2)$, $S\in \mathcal{C}(\pi_2,\pi_3)$ に対し $ST\in \mathcal{C}(\pi_1,\pi_3)$ が成り立つ。
*$(3)$　任意の $T\in \mathcal{C}(\pi_1,\pi_2)$ に対し $T^*\in \mathcal{C}(\pi_2,\pi_1)$ が成り立つ。
{{begin|proof}}
全て定義から直ちに示せる。
{{end|proof}}

===定義2.9（ユニタリ表現のユニタリ同値）===
$G$ を局所コンパクト群、$\pi_1,\pi_2$ を $G$ のユニタリ表現とする。$\mathcal{C}(\pi_1,\pi_2)$ がユニタリ作用素を含むとき $\pi_1,\pi_2$ はユニタリ同値であると言い、$\pi_1\sim \pi_2$ と表す。'''命題2.8'''よりこの $\sim $ は $G$ のユニタリ表現全体における同値関係である。

===定理2.10（Schurの補題)===
$G$ を局所コンパクト群、$\pi$ を $G$ のユニタリ表現とする。このとき次は互いに同値である。
*$(1)$　$\pi$ は既約。
*$(2)$　$\mathcal{C}(\pi)=\mathbb{C}1$.
{{begin|proof}}
$\mathcal{C}(\pi)\subset \mathbb{B}(\mathcal{H}_{\pi})$ は $\pi(G)\subset \mathbb{B}(\mathcal{H}_{\pi})$ の可換子環 $\pi(G)'$（[[Hilbert空間上の作用素論]]の'''定義18.10'''）にほかならない。そして $\pi(G)'\subset \mathbb{B}(\mathcal{H}_{\pi})$ はvon Neumann環である（[[Hilbert空間上の作用素論]]の'''注意18.15'''）から射影によって生成される（[[Hilbert空間上の作用素論]]の'''定理19.7'''）、すなわち、
$$
\mathcal{C}(\pi)=\pi(G)'=\overline{{\rm spann}\mathbb{P}(\pi(G)')}^{\lVert \cdot\rVert}\quad\quad(*)
$$
である。ただし $\mathbb{P}(\pi(G)')$ はvon Neumann環 $\pi(G)'$ の射影全体である。$(1)\Rightarrow(2)$ を示す。$(1)$ が成り立つとする。任意の $P\in \mathbb{P}(\pi(G)')$ に対し ${\rm Ran}(P)\subset \mathcal{H}_{\pi}$ は $\pi$ 不変な閉部分空間であるから、${\rm Ran}(P)$ は $\mathcal{H}_{\pi}$ か $\{0\}$ である。よって $P$ は $1$ か $0$ なので、$(*)$ より $\mathcal{C}(\pi)=\mathbb{C}1$ である。 
$(2)\Rightarrow(1)$ を示す。$(2)$ が成り立つとする。$\mathcal{K}\subset \mathcal{H}_{\pi}$ を $\pi$ 不変な閉部分空間とし、$\mathcal{K}$ の上への射影作用素（[[Hilbert空間上の作用素論]]の'''定義1.6'''）を $P\in \mathbb{B}(\mathcal{H}_{\pi})$ とおくと、
$$
\pi(x)P=P\pi(x)P\quad(\forall x\in G)
$$
であるから、
$$
P\pi(x)=(\pi(x^{-1})P)^*=(P\pi(x^{-1})P)^*=P\pi(x)P=\pi(x)P\quad(\forall x\in G)
$$
である。よって $P\in \mathcal{C}(\pi)=\mathbb{C}1$ であるから $P=\alpha1$ なる $\alpha\in \mathbb{C}$ が存在し、$P^2=P$ であることから $\alpha$ は $1$ か $0$、したがって $P$ は $1$ か $0$ である。ゆえに $\mathcal{K}$ は $\mathcal{H}_{\pi}$ か $\{0\}$ であるので $\pi$ は既約である。
{{end|proof}}

===系2.11（Schurの補題の系）===
$G$ を局所コンパクト群、$\pi_1,\pi_2$ を $G$ の既約なユニタリ表現とする。このとき次は互いに同値である。
*$(1)$　$\pi_1,\pi_2$ はユニタリ同値。
*$(2)$　$\mathcal{C}(\pi_1,\pi_2)\neq \{0\}$.
{{begin|proof}}
$(1)\Rightarrow(2)$ はユニタリ同値の定義より自明である。$(2)\Rightarrow(1)$ を示す。$(2)$ が成り立つとし、ノルムが $1$ の任意の $T\in \mathcal{C}(\pi_1,\pi_2)$ を取る。このとき'''命題2.8'''より $T^*T\in \mathcal{C}(\pi_1)$, $TT^*\in \mathcal{C}(\pi_2)$ であり、$\pi_1,\pi_2$ は既約なのでSchurの補題（'''定理2.10'''）より $T^*T\in \mathbb{C}1$, $TT^*\in \mathbb{C}1$ である。ここで $\lVert T^*T\rVert=\lVert T\rVert^2=1$, $\lVert TT^*\rVert=\lVert T^*\rVert^2=\lVert T\rVert=1$ であり、$T^*T\in \mathbb{B}(\mathcal{H}_{\pi_1})$, $TT^*\in \mathbb{B}(\mathcal{H}_{\pi_2})$ は有界非負自己共役作用素であるので $T^*T=1$, $TT^*=1$ である。ゆえに $T\colon \mathcal{H}_{\pi_1}\rightarrow\mathcal{H}_{\pi_2}$ はユニタリ作用素であるから、$\pi_1,\pi_2$ はユニタリ同値である。
{{end|proof}}

===定義2.12（ユニタリ表現の直和とテンソル積）===
$G$ を局所コンパクト群、$J$ を空でない集合とし、各 $j\in J$ に対し $G$ のユニタリ表現 $\pi_j\colon G\rightarrow\mathbb{U}(\mathcal{H}_{\pi_j})$ が与えられているとする。このとき、
$$
(\oplus_{j\in J}\pi_j)(x)(v_j)_{j\in J}\colon =(\pi_j(x)v_j)_{j\in J}\quad(\forall x\in G,\forall (v_j)_{j\in J}\in \bigoplus_{j\in J}\mathcal{H}_{\pi_j})
$$
として、$G$ の直和Hilbert空間 $\bigoplus_{j\in J}\mathcal{H}_{\pi_j}$（[[測度と積分6：数え上げ測度と $\ell^p$ 空間]]の'''定義26.3'''）上へのユニタリ表現 $\oplus_{j\in J}\pi_j$ が定義できる。これを $(\pi_j)_{j\in J}$ の直和と言う。 
$\pi_j\colon G\rightarrow \mathbb{U}(\mathcal{H}_{\pi_j})$ $(j=1,\ldots,n)$ をそれぞれ $G$ のユニタリ表現とする。[[Hilbert空間上の作用素論]]の'''定理12.12'''より任意の $x\in G$ に対し $\pi_1(x)\otimes \cdots\otimes \pi_n(x)$ はテンソル積Hilbert空間 $\mathcal{H}_{\pi_1}\otimes\cdots\otimes \mathcal{H}_{\pi_n}$ 上のユニタリ作用素であり、
$$
\pi_1\otimes\cdots\otimes \pi_n\colon G\ni x\mapsto \pi_1(x)\otimes\cdots\otimes \pi_n(x)\in \mathbb{U}(\mathcal{H}_{\pi_1}\otimes\cdots\otimes \mathcal{H}_{\pi_n})
$$
は $G$ の $\mathcal{H}_{\pi_1}\otimes\cdots\otimes\mathcal{H}_{\pi_n}$ 上へのユニタリ表現である。$\pi_1\otimes\cdots\otimes\pi_n$ を $\pi_1,\ldots,\pi_n$ のテンソル積と言う。

===命題2.13（巡回ベクトルを持つユニタリ表現の巡回ベクトル込みのユニタリ同値条件）===
$G$ を局所コンパクト群、$(\pi_1,v_1)$, $(\pi_2,v_2)$ をそれぞれ $G$ のユニタリ表現とその巡回ベクトル（'''定義2.4'''）の組とする。このとき次は互いに同値である。
*$(1)$　任意の $x\in G$ に対し $(v_1\mid \pi_1(x)v_1)=(v_2\mid \pi_2(x)v_2)$.
*$(2)$　ユニタリ作用素 $U\in \mathcal{C}(\pi_1,\pi_2)$ で、$Uv_1=v_2$ なるものが存在する（特に $\pi_1,\pi_2$ はユニタリ同値）。
また $(1),(2)$ が成り立つとき、$(2)$ におけるユニタリ作用素 $U\in \mathcal{C}(\pi_1,\pi_2)$ は、
$$
U\pi_1(x)v_1=\pi_2(x)v_2\quad(\forall x\in G)\quad\quad(*)
$$
を満たすものとして特徴付けられる。
{{begin|proof}}
$(2)$ が成り立つとすると、
$$
(v_2\mid \pi_2(x)v_2)=(Uv_1\mid \pi_2(x)Uv_1)=(v_1\mid U^*\pi_2(x)Uv_1)=(v_1\mid \pi_1(x)v_1)\quad(\forall x\in G)
$$
であるから $(1)$ が成り立つ。
 
$(1)\Rightarrow(2)$ を示す。$(1)$ が成り立つとすると、
$$
(\pi_1(x)v_1\mid \pi_1(y)v_1)=(v_1\mid \pi_1(x^{-1}y)v_1)=(v_2\mid \pi_2(x^{-1}y)v_2)=(\pi_2(x)v_2\mid \pi_2(y)v_2)\quad(\forall x,y\in G)
$$
であるから、${\rm span}(\pi_1(G)v_1)$ から ${\rm span}(\pi_2(G)v_2)$ への等長線形同型写像 $U_0$ で、
$$
U_0\pi_1(x)v_1=\pi_2(x)v_2\quad(\forall x\in G)
$$
を満たすものが定義できる。$v_j$ は $\pi_j$ の巡回ベクトルなので、$\mathcal{H}_{\pi_j}=\overline{{\rm span}(\pi_j(G)v_j)}$ $(j=1,2)$ であるから、$U_0\colon {\rm span}(\pi_1(G)v_1)\rightarrow\mathcal{H}_{\pi_2}$ を $\mathcal{H}_{\pi_1}$ 上へ一意拡張したもの（[[位相線形空間1：ノルムと内積]]の'''命題3.6'''） $U\colon \mathcal{H}_{\pi_1}\rightarrow\mathcal{H}_{\pi_2}$ はユニタリ作用素である。$U$ は $(*)$ を満たすので、特に $Uv_1=v_2$ である。そして、
$$
(U\pi_1(x))\pi_1(y)v_1=U\pi_1(xy)v_1=\pi_2(xy)v_2=\pi_2(x)\pi_2(y)v_2=(\pi_2(x)U)\pi_1(y)v_1\quad(\forall x,y\in G)
$$
であるから、$\mathcal{H}_{\pi_1}=\overline{{\rm span}(\pi_1(G)v_1)}$ より、
$$
U\pi_1(x)=\pi_2(x)U\quad(\forall x\in G)
$$
が成り立つ。よって $U\in \mathcal{C}(\pi_1,\pi_2)$ であるので $(2)$ が成り立つ。
{{end|proof}}

===定義2.14（$L^1$ 群環の表現）===
$G$ を局所コンパクト群、$\mu\colon \mathcal{B}_G\rightarrow [0,\infty]$ を $G$ のHaar測度、$\mathcal{H}$ をHilbert空間とする。Banach $*$-環 $L^1(G,\mu)$ から $C^*$-環 $\mathbb{B}(\mathcal{H})$ への $*$-環準同型写像 $\pi\colon L^1(G,\mu)\rightarrow\mathbb{B}(\mathcal{H})$ （[[Banach環とC*-環のスペクトル理論]]の'''定理10.1'''より自動的にノルム減少であることに注意）で、
$$
\pi(L^1(G,\mu))\mathcal{H}={\rm span}\{\pi([f])v:[f]\in L^1(G,\mu),v\in \mathcal{H}\}
$$
が $\mathcal{H}$ で稠密であるものを $L^1(G,\mu)$ の $\mathcal{H}$ 上への表現と言う。

===注意2.15（$L^1$ 群環の表現と $L^1$ 群環の近似単位元）===
$\pi\colon L^1(G,\mu)\rightarrow \mathbb{B}(\mathcal{H})$ を $L^1(G,\mu)$ の表現（'''定義2.14'''）とし、$([h_{\lambda}])_{\lambda\in \Lambda}$ をBanach $*$-環 $L^1(G,\mu)$ の任意の近似単位元（'''定理1.25'''における $(\varphi_n)_{n\in \mathbb{N}}$ を考えればよい）とする。このとき、
$$
\pi([h_{\lambda}])\pi([f])v=\pi([h_{\lambda}]*[f])v\rightarrow \pi([f])v\quad(\forall [f]\in L^1(G,\mu),\forall v\in \mathcal{H}),
$$
$$
\lVert \pi([h_{\lambda}])\rVert\leq \lVert [h_{\lambda}]\rVert_1\leq 1\quad(\forall \lambda\in \Lambda)
$$
であり、$\pi(L^1(G,\mu))\mathcal{H}={\rm span}\{\pi([f])v:[f]\in L^1(G,\mu),v\in \mathcal{H}\}$ は $\mathcal{H}$ において稠密であるから、
$$
\pi([h_{\lambda}])v\rightarrow v\quad(\forall v\in \mathcal{H})
$$
が成り立つ。すなわち $(\pi([h_{\lambda}]))_{\lambda\in\Lambda}$ は恒等作用素 $1\in \mathbb{B}(\mathcal{H})$ にSOTで収束する。

===命題2.16（局所コンパクト群のユニタリ表現の $L^1$ 群環の表現への拡張）===
$G$ を局所コンパクト群、$\mu\colon \mathcal{B}_G\rightarrow [0,\infty]$ を $G$ のHaar測度とし、$\pi$ を $G$ のユニタリ表現とする。任意の $[f]\in L^1(G,\mu)$, 任意の $v\in \mathcal{H}_{\pi}$ に対し、
$$
\widetilde{\pi}([f])v\colon=\int_{G}f(x)\pi(x)vd\mu(x)\in \mathcal{H}_{\pi}
$$
と定義する。ただし右辺はHilbert空間 $\mathcal{H}_{\pi}$ 値関数 $G\ni x\mapsto f(x)\pi(x)v\in \mathcal{H}_{\pi}$ のBochner積分（[[測度と積分9：Bochner積分]]の'''定義44.1'''）である。<ref>ユニタリ表現の定義（'''定義2.1'''）より $\pi\colon G\rightarrow\mathbb{U}(\mathcal{H}_{\pi})$ はSOTに関して連続であるから、$G\ni x\mapsto\pi(x)v\in \mathcal{H}_{\pi}$ は連続である。$G$ は第二可算公理を満たすとしているので $\sigma$-コンパクトであるから、連続関数 $G\ni x\mapsto \pi(x)v\in \mathcal{H}_{\pi}$ の像は $\sigma$-コンパクト、したがって可分である（距離空間のコンパクト集合は可分であること（[[距離空間の位相の基本的性質]]の'''命題4.2'''）に注意）。よって関数 $G\ni x\mapsto f(x)\pi(x)v\in \mathcal{H}_{\pi}$ の像は可分であるからBochner可測（[[測度と積分9：Bochner積分]]の'''定義41.1'''）であり、$\int_{G}\lVert f(x)\pi(x)v\rVert d\mu(x)=\int_{G}\lvert f(x)\rvert d\mu(x)\lVert v\rVert<\infty$ であるから、$G\ni x\mapsto f(x)\pi(x)v\in \mathcal{H}_{\pi}$ はBochner可積分である。</ref>このとき任意の $[f]\in L^1(G,\mu)$ に対し、
$$
\widetilde{\pi}([f])\colon \mathcal{H}_{\pi}\ni v\mapsto \widetilde{\pi}([f])v\in \mathcal{H}_{\pi}
$$
は有界線形作用素であり、
$$
\widetilde{\pi}\colon L^1(G,\mu)\ni [f]\mapsto \widetilde{\pi}([f])\in \mathbb{B}(\mathcal{H}_{\pi})
$$
は $L^1(G,\mu)$ の $\mathcal{H}_{\pi}$ 上への表現（'''定義2.14'''）である。また、
$$
\pi(x)\widetilde{\pi}([f])=\widetilde{\pi}(L_x[f])\quad(\forall x\in G,\forall [f]\in L^1(G,\mu))
$$
が成り立つ。
{{begin|proof}}
任意の $[f]\in L^1(G,\mu)$ に対しBochner積分の基本性質（[[測度と積分9：Bochner積分]]の'''命題44.2'''）より、
$$
\lVert \widetilde{\pi}([f])v\rVert=\left\lVert\int_{G}f(x)\pi(x)vd\mu(x)\right\rVert\leq \int_{G}\lVert f(x)\pi(x)v\rVert d\mu(x)=\lVert [f]\rVert_1\lVert v\rVert\quad(\forall v\in \mathcal{H}_{\pi})
$$
であるから、$\widetilde{\pi}([f])$ は $\mathcal{H}_{\pi}$ 上のノルムが $\lVert [f]\rVert_1$ 以下の有界線形作用素である。よって $\widetilde{\pi}\colon L^1(G,\mu)\rightarrow \mathbb{B}(\mathcal{H}_{\pi})$ はノルム減少な線形写像である。任意の $x\in G$, $[f]\in L^1(G,\mu)$ に対し、Bocbner積分の基本性質（[[測度と積分9：Bochner積分]]の'''命題44.2'''）とHaar測度による積分の左不変性より、
$$
\begin{aligned}
(u\mid \pi(x)\widetilde{\pi}([f])v)&=\left(u\mid \pi(x)\left(\int_{G}f(y)\pi(y)vd\mu(y)\right)\right)
=\int_{G}f(y)(u\mid \pi(xy)v)d\mu(y)\\
&=\int_{G}f(x^{-1}y)(u\mid \pi(y)v)d\mu(y)=\left(u\mid \int_{G}f(x^{-1}y)\pi(y)vd\mu(y)\right)\\
&=(u\mid \widetilde{\pi}(L_x[f])v)\quad(\forall u,v\in \mathcal{H}_{\pi})
\end{aligned}
$$
であるから、
$$
\pi(x)\widetilde{\pi}([f])=\widetilde{\pi}(L_x[f])\quad(\forall x\in G,\forall [f]\in L^1(G,\mu))
$$
が成り立つ。よって任意の $[f],[g]\in L^1(G,\mu)$ に対し、合成積の定義（'''定義1.20'''）とBocbner積分の基本性質（[[測度と積分9：Bochner積分]]の'''命題44.2'''）より、
$$
\begin{aligned}
\widetilde{\pi}([f]*[g])v&=\widetilde{\pi}\left(\int_{G}f(y)L_y[g]d\mu(y)\right)v
=\int_{G}f(y)\widetilde{\pi}(L_y[g])vd\mu(y)\\
&=\int_{G}f(y)\pi(y)\widetilde{\pi}([g])vd\mu(y)=\widetilde{\pi}([f])\widetilde{\pi}([g])v\quad(\forall v\in \mathcal{H}_{\pi})
\end{aligned}
$$
が成り立つので、$\widetilde{\pi}\colon L^1(G,\mu)\rightarrow \mathbb{B}(\mathcal{H}_{\pi})$ は乗法を保存する。さらに任意の $[f]\in L^1(G,\mu)$ に対し、'''命題1.16'''の $(3)$ より、
$$
\begin{aligned}
(u\mid \widetilde{\pi}([f]^*)v)&=\int_{G}f^*(x)(u\mid \pi(x)v)d\mu(x)
=\int_{G}\overline{f(x^{-1})}\Delta(x^{-1})(u\mid \pi(x)v)d\mu(x)\\
&=\int_{G}\overline{f(x)}(u\mid \pi(x^{-1})v)=\int_{G}(f(x)\pi(x)u\mid v)d\mu(x)\\
&=(\widetilde{\pi}([f])u\mid v)=(u\mid \widetilde{\pi}([f])^*v)\quad(\forall u,v\in \mathcal{H}_{\pi})
\end{aligned}
$$
であるから、$\widetilde{\pi}\colon L^1(G,\mu)\rightarrow \mathbb{B}(\mathcal{H}_{\pi})$ は対合を保存する。よって $\widetilde{\pi}\colon L^1(G,\mu)\rightarrow \mathbb{B}(\mathcal{H}_{\pi})$ は $*$-環準同型写像である。'''定理1.25'''における $L^1(G,\mu)$ の近似単位元 $(\varphi_n)_{n\in \mathbb{N}}$ を取ると、任意の $v\in \mathcal{H}_{\pi}$ に対し、
$$
\begin{aligned}
&\lVert \widetilde{\pi}(\varphi_n)v-v\rVert=\left\lVert \int_{G}\varphi_n(x)\pi(x)vd\mu(x)-\int_{G}\varphi_n(x)vd\mu(x)\right\rVert\\
&=\left\lVert \int_{G}\varphi_n(x)(\pi(x)v-v)d\mu(x)\right\rVert\leq \int_{G}\varphi_n(x)\lVert \pi(x)v-v\rVert d\mu(x)\rightarrow0\quad(n\rightarrow\infty)
\end{aligned}
$$
<ref>$G\ni x\mapsto \pi(x)v\in \mathcal{H}_{\pi}$ の $1\in G$ における連続性による。</ref>であるから、
$$
v=\lim_{n\rightarrow\infty}\widetilde{\pi}(\varphi_n)v\in \overline{\widetilde{\pi}(L^1(G,\mu))\mathcal{H}_{\pi}}
$$
である。よって、
$$
\widetilde{\pi}(L^1(G,\mu))\mathcal{H}_{\pi}={\rm span}\{\widetilde{\pi}([f])v:[f]\in L^1(G,\mu),v\in \mathcal{H}_{\pi}\}
$$
は $\mathcal{H}_{\pi}$ で稠密であるので、$\widetilde{\pi}\colon L^1(G,\mu)\rightarrow \mathbb{B}(\mathcal{H}_{\pi})$ は $L^1(G,\mu)$ の $\mathcal{H}_{\pi}$ 上への表現である。
{{end|proof}}

===定理2.17（局所コンパクト群のユニタリ表現と $L^1$ 群環の表現の一対一対応）===
$G$ を局所コンパクト群、$\mu\colon \mathcal{B}_G\rightarrow [0,\infty]$ を $G$ のHaar測度とし、$\rho$ を $L^1$ 群環 $L^1(G,\mu)$ のHilbert空間 $\mathcal{H}$ 上への表現（'''定義2.14'''）とする。このとき $G$ の $\mathcal{H}$ 上へのユニタリ表現 $\pi$ で、
$$
\rho([f])=\widetilde{\pi}([f])\quad(\forall [f]\in L^1(G,\mu))
$$
（ただし $\widetilde{\pi}$ は'''命題2.16'''におけるもの）を満たすものが唯一つ存在する。
{{begin|proof}}
'''定理1.25'''における $L^1(G,\mu)$ の近似単位元 $(\varphi_n)_{n\in \mathbb{N}}$ を取る。まず一意性を示す。$\pi_1,\pi_2$ が $G$ の $\mathcal{H}$ 上へのユニタリ表現であり、
$$
\rho([f])=\widetilde{\pi_j}([f])\quad(\forall [f]\in L^1(G,\mu),j=1,2)
$$
を満たすとする。このとき'''注意2.15'''より、
$$
\begin{aligned}
\pi_1(x)v&=\lim_{n\rightarrow\infty}\pi_1(x)\widetilde{\pi_1}(\varphi_n)v=
\lim_{n\rightarrow\infty}\widetilde{\pi_1}(L_x\varphi_n)v=\lim_{n\rightarrow\infty}\widetilde{\pi_2}(L_x\varphi_n)v\\
&=\lim_{n\rightarrow\infty}\pi_2(x)\widetilde{\pi_2}(\varphi_n)v=\pi_2(x)v\quad(\forall x\in G,\forall v\in \mathcal{H})
\end{aligned}
$$
である。よって $\pi_1=\pi_2$ である。 
存在を示す。
$$
\mathcal{H}_0\colon=\rho(L^1(G,\mu))\mathcal{H}={\rm span}\{\rho([f])v:[f]\in L^1(G,\mu),v\in \mathcal{H}\}
$$
とおく。$L^1$ 群環の表現の定義（'''定義2.14'''）より $\mathcal{H}_0$ は $\mathcal{H}$ の稠密部分空間である。$\rho$ はノルム減少であるから任意の $x\in G$, $[f]\in L^1(G,\mu)$ に対し、
$$
\rho(L_x\varphi_n)\rho([f])=\rho(L_x\varphi_n*[f])=\rho(L_x(\varphi_n*[f]))\rightarrow \rho(L_x[f])\quad(n\rightarrow\infty)\quad\quad(*)
$$
である。よって任意の $x\in G$ に対し、線形作用素
$$
\pi_0(x)\colon \mathcal{H}_0\rightarrow\mathcal{H}_0,\quad \pi_0(x)v\colon=\lim_{n\rightarrow\infty}\rho(L_x\varphi_n)v\quad(\forall v\in \mathcal{H}_0)\quad\quad(**)
$$
が定義できる。$\rho$ がノルム減少であることと $\lVert L_x\varphi_n\rVert_1=\lVert \varphi_n\rVert_1=1$ $(\forall x\in G,\forall n\in \mathbb{N})$ であることから、
$$
\lVert \pi_0(x)v\rVert=\lim_{n\rightarrow\infty}\lVert \rho(L_x\varphi_n)v\rVert\leq \lVert v\rVert\quad(\forall x\in G,\forall v\in \mathcal{H}_0)
$$
である。よって任意の $x\in G$ に対し $\pi_0(x)\colon \mathcal{H}_0\rightarrow\mathcal{H}$ はノルムが $1$ 以下の有界線形作用素であり、その $\mathcal{H}=\overline{\mathcal{H}_0}$ 上への一意拡張を $\pi(x)\in \mathbb{B}(\mathcal{H})$ とおけば、$\lVert \pi(x)\rVert=\lVert \pi_0(x)\rVert\leq1$ である。$(*),(**)$ より、
$$
\begin{aligned}
&\pi(x)\pi(y)\rho([f])v=\pi(x)\rho(L_y[f])v=\rho(L_xL_y[f])v=\rho(L_{xy}[f])v\\
&=\pi(xy)\rho([f])v\quad(\forall x,y\in G,\forall [f]\in L^1(G,\mu),\forall v\in \mathcal{H}),
\end{aligned}
$$
$$
\pi(1)\rho([f])v=\rho(L_1[f]v)=\rho([f])v\quad(\forall [f]\in L^1(G,\mu),\forall v\in \mathcal{H})
$$
であるから、$\mathcal{H}_0$ の稠密性より、
$$
\pi(x)\pi(y)=\pi(xy)\quad(\forall x,y\in G),\quad \pi(1)=1
$$
が成り立つ。よって任意の $x\in G$ に対し $\pi(x)\in \mathbb{B}(\mathcal{H})$ は可逆で、$\pi(x)^{-1}=\pi(x^{-1})$ であり、
$$
\lVert v\rVert=\lVert \pi(x^{-1})\pi(x)v\rVert\leq \lVert \pi(x)v\rVert\leq \lVert v\rVert\quad(\forall x\in G,\forall v\in \mathcal{H})
$$
より、
$$
\lVert \pi(x)v\rVert=\lVert v\rVert\quad(\forall x\in G,\forall v\in \mathcal{H})
$$
であるから、$\pi(x)\in \mathbb{U}(\mathcal{H})$ $(\forall x\in G)$ である。任意の $[f]\in L^1(G,\mu)$ に対し、'''命題1.19'''より $G\ni x\mapsto L_x[f]\in L^1(G,\mu)$ は連続であるから、任意の $[f]\in L^1(G,\mu)$ と任意の $v\in \mathcal{H}$ に対し、
$$
G\ni x\mapsto \pi(x)\rho([f])v=\rho(L_x[f])v\in \mathcal{H}
$$
は連続である。よって、$\lVert \pi(x)\rVert=1$ $(\forall x\in G)$ と $\mathcal{H}_0$ の稠密性より、任意の $v\in \mathcal{H}$ に対し、
$$
G\ni x\mapsto \pi(x)v\in \mathcal{H}
$$
は連続である。ゆえに $\pi\colon G\ni x\mapsto \pi(x)\in \mathbb{U}(\mathcal{H})$ はSOT連続な群準同型写像であるので、$\pi$ は $G$ の $\mathcal{H}$ 上へのユニタリ表現である。合成積の定義（'''定義1.20'''）とBochner積分の基本性質（[[測度と積分9：Bochner積分]]の'''命題44.2'''）より、
$$
\begin{aligned}
\widetilde{\pi}([f])\rho([g])v&=\int_{G}f(x)\pi(x)\rho([g])vd\mu(x)=\int_{G}f(x)\rho(L_x[g])vd\mu(x)\\
&=\rho\left(\int_{G}f(x)L_x[g]d\mu(x)\right)v=\rho([f]*[g])v\\
&=\rho([f])\rho([g])v\quad(\forall [f],[g]\in L^1(G,\mu),\forall v\in \mathcal{H})
\end{aligned}
$$
であるから、$\mathcal{H}_0$ の稠密性より、
$$
\widetilde{\pi}([f])v=\rho([f])v\quad(\forall [f]\in L^1(G,\mu),\forall v\in \mathcal{H})
$$
である。よって存在が示せた。
{{end|proof}}

===定義2.18（局所コンパクト群のユニタリ表現とそれに対応する $L^1$ 群環の表現の同一視）===
$G$ を局所コンパクト群、$\mu\colon \mathcal{B}_G\rightarrow [0,\infty]$ を $G$ のHaar測度とする。$G$ のユニタリ表現と、$L^1$ 群環 $L^1(G,\mu)$ の表現は、'''命題2.16'''と'''定理2.17'''により一対一に対応する。そこで以後、$G$ のユニタリ表現 $\pi\colon G\rightarrow\mathbb{U}(\mathcal{H}_{\pi})$ と、それに対応する $L^1(G,\mu)$ の表現 $\widetilde{\pi}\colon L^1(G,\mu)\rightarrow \mathbb{B}(\mathcal{H}_{\pi})$ は同じ記号で表す。すなわち、$G$ のユニタリ表現 $\pi\colon G\rightarrow \mathbb{U}(\mathcal{H})$ に対し、
$$
\pi([f])v=\int_{G}f(x)\pi(x)vd\mu(x)\quad(\forall [f]\in L^1(G,\mu),\forall v\in \mathcal{H}_{\pi})
$$
と表す。

===命題2.19（局所コンパクト群の正則表現に対応する $L^1$ 群環の表現）===
$G$ を局所コンパクト群、$\mu\colon \mathcal{B}_G\rightarrow [0,\infty]$　を $G$ のHaar測度、$\pi\colon G\rightarrow\mathbb{U}(L^2(G,\mu))$ を $G$ の正則表現（'''例2.2'''）とする。このとき、
$$
\pi([f])[g]=[f]*[g]\quad(\forall [f]\in L^1(G,\mu), \forall [g]\in L^2(G,\mu))
$$
（右辺は $L^1(G,\mu)$ と $L^2(G,\mu)$ の合成積（'''定義1,20'''））が成り立つ。また、
$$
\pi\colon L^1(G,\mu)\ni [f]\mapsto \pi([f])\in \mathbb{B}(L^2(G,\mu))\quad\quad(*)
$$
は単射である。
{{begin|proof}}
正則表現の定義（'''例2.2'''）と合成積の定義（'''定義1,20'''）より任意の $[f]\in L^1(G,\mu)$, $[g]\in L^2(G,\mu)$ に対し、
$$
\pi([f])[g]=\int_{G}f(x)\pi(x)[g]d\mu(x)=\int_{G}f(x)L_x[g]d\mu(x)=[f]*[g]
$$
である。$(*)$ が単射であることを示す。$\pi([f])=0$ なる任意の $[f]\in L^1(G,\mu)$ を取る。'''定理1.25'''における $L^1(G,\mu)$ の近似単位元 $(\varphi_n)_{n\in \mathbb{N}}$ を取ると、$\varphi_n\in C_c(G)\subset L^2(G,\mu)$ $(\forall n\in \mathbb{N})$ より、
$$
0=\pi([f])[\varphi_n]=[f]*[\varphi_n]\rightarrow [f]\quad(n\rightarrow\infty)
$$
である。よって $[f]=0$ であるので $(*)$ は単射である。
{{end|proof}}

===定義2.20（群 $C^*$-環）===
$G$ を局所コンパクト群、$\mu\colon \mathcal{B}_G\rightarrow [0,\infty]$ を $G$ のHaar測度とする。
$$
\lVert [f]\rVert_*\colon=\sup\{\lVert \pi([f])\rVert:\text{$\pi$ は $G$ のユニタリ表現}\}\leq \lVert [f]\rVert_1\quad(\forall [f]\in L^1(G,\mu))
$$
とおく。このとき'''命題2.19'''における単射性より $\lVert \cdot\rVert_*\colon L^1(G,\mu)\ni [f]\mapsto \lVert [f]\rVert_*\in [0,\infty)$ は $L^1(G,\mu)$ のノルムであり、また明らかに、
$$
\lVert [f]*[g]\rVert_*\leq\lVert [f]\rVert_*\lVert [g]\rVert_*,\quad \lVert [f]^**[f]\rVert_*=\lVert [f]\rVert_*^2\quad(\forall [f],[g]\in L^1(G,\mu))
$$
である。よって $L^1(G,\mu)$ の $\lVert \cdot\rVert_*$ に関する完備化は $C^*$-環である（次の'''命題2.21'''を参照）。この $C^*$-環
$$
C^*(G,\mu)\colon=\overline{L^1(G,\mu)}^{\lVert \cdot\rVert_*}
$$
を $G$ の群 $C^*$-環と言う。

===命題2.21===
$X$ をノルム $*$-環で、
$$
\lVert x^*x\rVert=\lVert x\rVert^2\quad(\forall x\in X)
$$
を満たすものとする。このとき $C^*$-環 $\widetilde{X}$ と、等長 $*$-環準同型写像 $\iota\colon X\rightarrow \widetilde{X}$ で、$\iota(X)$ が $\widetilde{X}$ において稠密であるようなものが存在する。
{{begin|proof}}
直積 $*$-環 $\prod_{n\in \mathbb{N}}X$ の部分 $*$-環
$$
\mathcal{C}\colon=\left\{(x_n)_{n\in \mathbb{N}}\in \prod_{n\in \mathbb{N}}X:\text{$(x_n)_{n\in\mathbb{N}}$ はCauchy列}\right\}
$$
と、$\mathcal{C}$ 上のセミノルム
$$
p\colon \mathcal{C}\ni (x_n)_{n\in \mathbb{N}}\mapsto \lim_{n\rightarrow\infty}\lVert x_n\rVert\in[0,\infty)
$$
を考える。このとき明らかに、
$$
p(zw)\leq p(z)p(w),\quad p(z^*z)=p(z)^2\quad(\forall z,w\in \mathcal{C})
$$
が成り立つ。$\mathcal{C}$ の $*$-イデアル（[[位相線形空間1：ノルムと内積]]の'''定義2.4'''）
$$
\mathcal{N}\colon =\{z\in \mathcal{C}:p(z)=0\}
$$
に対し、商 $*$-環（[[位相線形空間1：ノルムと内積]]の'''命題2.5'''を参照）$\mathcal{C}/\mathcal{N}$ を考え、商写像を、
$$
\mathcal{C}\ni z\mapsto [z]\in \mathcal{C}/\mathcal{N}
$$
とおく。このとき、
$$
\lVert \cdot\rVert\colon \mathcal{C}/\mathcal{N}\ni [z]\mapsto\lVert [z]\rVert :=p(z)\in [0,\infty)
$$
は $\mathcal{C}/\mathcal{N}$ 上のノルムであり、
$$
\lVert [z][w]\rVert\leq \lVert [z][w]\rVert,\quad \lVert [z]^*[z]\rVert=\lVert [z]\rVert^2\quad(\forall [z],[w]\in \mathcal{C}/\mathcal{N})
$$
が成り立つ。このノルムによるノルム $*$-環を $\widetilde{X}$ とおく。
$$
\iota\colon X\ni x\mapsto [(x)_{n\in \mathbb{N}}]\in \widetilde{X}
$$
として等長$*$-環準同型写像を定義する。任意の $z=[(x_n)_{n\in \mathbb{N}}]\in \widetilde{X}$ と任意の $\epsilon\in (0,\infty)$ に対し、
$$
\lVert x_n-x_m\rVert\leq\epsilon\quad(\forall n,m\geq n_0)
$$
を満たす $n_0\in \mathbb{N}$ を取ると、
$$
\lVert z-\iota(x_{n_0})\rVert=\lim_{n\rightarrow\infty}\lVert x_n-x_{n_0}\rVert\leq\epsilon
$$
であるから、$\iota(X)$ は $\widetilde{X}$ において稠密である。後は $\widetilde{X}$ の完備性を示せばよい。そこで $\widetilde{X}$ の任意のCauchy列 $(z_n)_{n\in \mathbb{N}}$ を取る。$\iota(X)\subset \widetilde{X}$ の稠密性より、
$$
\lVert z_n-\iota(x_n)\rVert<\frac{1}{n}\quad(\forall n\in \mathbb{N})
$$
を満たす $(x_n)_{n\in\mathbb{N}}\in \prod_{n\in \mathbb{N}}X$ が取れて、任意の $n,m\in\mathbb{N}$ に対し、
$$
\lVert x_n-x_m\rVert\leq \lVert \iota(x_n)-z_n\rVert+\lVert z_n-z_m\rVert+\lVert z_m-\iota(x_m)\rVert <\frac{1}{n}+\lVert z_n-z_m\rVert+\frac{1}{m}
$$
であるから、$(x_n)_{n\in \mathbb{N}}\in \mathcal{C}$ である。そこで $z\colon=[(x_n)_{n\in\mathbb{N}}]\in \widetilde{X}$ とおけば、任意の $n\in \mathbb{N}$ に対し、
$$
\lVert z-z_n\rVert\leq \lVert z-\iota(x_n)\rVert+\lVert \iota(x_n)-z_n\rVert=\lim_{m\rightarrow\infty}\lVert x_m-x_n\rVert+\frac{1}{n}
$$
であるから、$\lim_{n\rightarrow\infty}z_n=z$ である。よって $\widetilde{X}$ は完備なので $C^*$-環である。
{{end|proof}}

===定義2.22（群 $C^*$-環の表現）===
$G$ を局所コンパクト群、$\mu\colon \mathcal{B}_G\rightarrow [0,\infty]$　を $G$ のHaar測度、$(C^*(G,\mu),\lVert \cdot\rVert_*)$ を $G$ の群 $C^*$-環、$\mathcal{H}$ をHilbert空間とする。$C^*$-環 $C^*(G,\mu)$ から $C^*$-環 $\mathbb{B}(\mathcal{H})$ への $*$-環準同型写像 $\pi\colon C^*(G,\mu)\rightarrow \mathbb{B}(\mathcal{H})$（[[Banach環とC*-環のスペクトル理論]]の'''定理10.1'''より自動的にノルム減少であることに注意）で、
$$
\pi(C^*(G,\mu))\mathcal{H}={\rm span}\{\pi(a)v:a\in C^*(G,\mu),v\in \mathcal{H}\}
$$
が $\mathcal{H}$ で稠密であるものを $C^*(G,\mu)$ の $\mathcal{H}$ 上への表現と言う。

===命題2.23（局所コンパクト群の $L^1$ 群環の表現と群 $C^*$-環の表現の一対一対応）===
$G$ を局所コンパクト群、$\mu\colon \mathcal{B}_G\rightarrow[0,\infty]$ を $G$ のHaar測度とする。このとき $L^1(G,\mu)$ の任意の表現 $\pi\colon L^1(G,\mu)\rightarrow \mathbb{B}(\mathcal{H}_{\pi})$ は群 $C^*$-環 $(C^*(G,\mu),\lVert \cdot\rVert_1)$ の $\mathcal{H}_{\pi}$ 上への表現に一意拡張できる。また群 $C^*$-環 $C^*(G,\mu)$ の表現の $L^1(G,\mu)$ 上への制限は $L^1(G,\mu)$ の表現である。
{{begin|proof}}
$L^1(G,\mu)$ の任意の表現 $\pi\colon L^1(G,\mu)\rightarrow \mathbb{B}(\mathcal{H}_{\pi})$ に対し、群 $C^*$-環のノルムの定義（'''定義2.20'''）より、
$$
\lVert \pi([f])\rVert\leq \lVert [f]\rVert_*\quad(\forall [f]\in L^1(G,\mu))
$$
であるから、$\pi$ は $C^*(G,\mu)=\overline{L^1(G,\mu)}^{\lVert\cdot\rVert_*}$ 上の $*$-環準同型写像 $\widetilde{\pi}\colon C^*(G,\mu)\rightarrow \mathbb{B}(\mathcal{H}_{\pi})$ に一意拡張できる（[[位相線形空間1：ノルムと内積]]の'''命題3.6'''）。そして、
$$
\widetilde{\pi}(C^*(G,\mu))\mathcal{H}_{\pi}\supset \pi(L^1(G,\mu))\mathcal{H}_{\pi}
$$
より $\widetilde{\pi}(C^*(G,\mu))\mathcal{H}_{\pi}$ も $\mathcal{H}_{\pi}$ で稠密であるから、 $\widetilde{\pi}\colon C^*(G,\mu)\rightarrow \mathbb{B}(\mathcal{H}_{\pi})$ は $C^*(G,\mu)$ の $\mathcal{H}_{\pi}$　上への表現である。$\rho \colon C^*(G,\mu)\rightarrow \mathbb{B}(\mathcal{H}_{\rho})$ を $C^*(G,\mu)$ の任意の表現とする。$\rho$ の $L^1(G,\mu)$ 上への制限は $L^1(G,\mu)$ から $\mathbb{B}(\mathcal{H}_{\rho})$ への $*$-環準同型写像であり、$\rho$ のノルム減少性より、
$$
\rho(C^*(G,\mu)\mathcal{H}_{\rho})\subset \overline{\rho(L^1(G,\mu))\mathcal{H}_{\rho}}
$$
であるから、$\rho(L^1(G,\mu))\mathcal{H}_{\rho}$ は $\mathcal{H}_{\rho}$ で稠密である。よって $\rho$ の $L^1(G,\mu)$ 上への制限は $L^1(G,\mu)$ の $\mathcal{H}_{\rho}$ 上への表現である。
{{end|proof}}

===定義2.24（局所コンパクト群のユニタリ表現とそれに対応する群 $C^*$-環の表現の同一視）===
$G$ を局所コンパクト群、$\mu\colon \mathcal{B}_G\rightarrow [0,\infty]$ を $G$ のHaar測度とする。$G$ のユニタリ表現は'''定義2.18'''において $L^1$ 群環 $L^1(G,\mu)$ の表現と同一視した。'''命題2.23'''より、さらに $L^1(G,\mu)$ の表現と群 $C^*$-環 $C^*(G,\mu)$ の表現は、拡張と制限により一対一に対応するので、これらも同一視する。

===定義2.25（$L^1$ 群環上の有界非負線形汎関数全体 $(L^1(G,\mu))^*_+$）===
$G$ を局所コンパクト群、$\mu\colon \mathcal{B}_G\rightarrow [0,\infty]$ を $G$ のHaar測度とする。有界線形汎関数 $\Phi\colon L^1(G,\mu)\rightarrow \mathbb{C}$ で、
$$
\Phi([f]^**[f])\geq0\quad(\forall [f]\in L^1(G,\mu))
$$
を満たすものを $L^1(G,\mu)$ 上の有界非負線形汎関数と言う。$L^1(G,\mu)$ 上の有界非負線形汎関数全体を $(L^1(G,\mu))^*_+\subset (L^1(G,\mu))^*$ と表す。

===定義2.26（局所コンパクト群上の正定値連続関数全体 $\mathcal{P}(G)$）===
$G$ を局所コンパクト群、$\mu\colon \mathcal{B}_G\rightarrow [0,\infty]$ を $G$ のHaar測度とする。有界連続関数 $p\colon G\rightarrow \mathbb{C}$ に対し、$\Phi_p\in (L^1(G,\mu))^*$ を、
$$
\Phi_p\colon L^1(G,\mu)\ni [f]\mapsto \int_{G}f(x)p(x)d\mu(x)\in \mathbb{C}
$$
として定義する。$\Phi_p\in (L^1(G,\mu))^*_+$ であるとき $p$ を $G$ 上の正定値連続関数と言う。$G$ 上の正定値連続関数全体を $\mathcal{P}(G)$ と表す。

===注意2.27（局所コンパクト群のユニタリ表現とベクトルから定まる正定値連続関数）===
$G$ を局所コンパクト群、$\mu\colon \mathcal{B}_G\rightarrow [0,\infty]$ を $G$ のHaar測度とする。$G$ の任意のユニタリ表現 $\pi$ と $v\in \mathcal{H}_{\pi}$ に対し、
$$
p(x)\colon=(v\mid \pi(x)v)\quad(\forall x\in G)
$$
として有界連続関数 $p\colon G\rightarrow \mathbb{C}$ を定義すれば、任意の $[f]\in L^1(G,\mu)$ に対し、
$$
\Phi_p([f])=\int_{G}f(x)(v\mid \pi(x)v)d\mu(x)=\int_{G}(v\mid f(x)\pi(x)v)d\mu(x)
=(v\mid \pi([f])v)
$$
であるから、
$$
\Phi_p([f]^**[f])=(v\mid \pi([f]^**[f])v)=(v\mid \pi([f])^*\pi([f])v)=\lVert \pi([f])v\rVert^2\geq0
$$
である。よって $\Phi_p\in (L^1(G,\mu))^*_+$ なので $p\in {\cal P}(G)$ である。

===命題2.28===
$G$ を局所コンパクト群、$\mu\colon \mathcal{B}_G\rightarrow [0,\infty]$ を $G$ のHaar測度、$p\colon G\rightarrow \mathbb{C}$ を有界連続関数とする。このとき任意の $[f],[g]\in L^1(G,\mu)$ に対し、
$$
\Phi_p([g]^**[f])=\int_{G}\left(\int_{G}\overline{g(y)}f(x)p(y^{-1}x)d\mu(x)\right)d\mu(y)
$$
が成り立つ。そして $p\colon G\rightarrow \mathbb{C}$ が正定値連続関数であるならば、$\overline{p}\colon G\ni x\mapsto \overline{p(x)}\in \mathbb{C}$ も正定値連続関数である。
{{begin|proof}}
任意の $[f],[g]\in L^1(G,\mu)$ に対し、合成積の定義（'''定義1.20'''）とFubiniの定理、モジュラー関数の基本性質（'''命題1.16'''）、Haar測度による積分の左不変性より、
$$
\begin{aligned}
&\Phi_p([g]^**[f])=\int_{G}([g]^**[f])(x)p(x)d\mu(x)=\int_{G}\left(\int_{G}g^*(y)f(y^{-1}x)p(x)d\mu(x)\right)d\mu(y)\\
&=\int_{G}\left(\int_{G}\overline{g(y^{-1})}\Delta(y^{-1})f(y^{-1}x)p(x)d\mu(y)\right)d\mu(x)
=\int_{G}\left(\int_{G}\overline{g(y)}f(yx)p(x)d\mu(y)\right)d\mu(x)\\
&=\int_{G}\left(\int_{G}\overline{g(y)}f(x)p(y^{-1}x)d\mu(x)\right)d\mu(y)
\end{aligned}
$$
である。よって任意の $[f]\in L^1(G,\mu)$ に対し、
$$
\begin{aligned}
&\overline{\Phi_p([f]^**[f])}=
\overline{\int_{G}\int_{G}\overline{f(y)}f(x)p(y^{-1}x)d\mu(x)d\mu(y)}\\
&=\int_{G}\int_{G}f(y)\overline{f(x)}\overline{p(y^{-1}x)}d\mu(x)d\mu(y)
=\Phi_{\overline{p}}([\overline{f}]^**[\overline{f}])
\end{aligned}
$$
であるから、$p$ が正定値連続関数であるならば、$\overline{p}$ も正定値連続関数である。
{{end|proof}}

===補題2.29（$C_c(G)*C_c(G)\subset C_c(G)$）===
$G$ を局所コンパクト群とする。任意の $f,g\in C_c(G)$ に対し $f*g\in C_c(G)$ が成り立つ。
{{begin|proof}}
任意の $f,g\in C_c(G)$ に対し合成積の定義（'''定義1.21'''）より $f*g\in C_0(G)$ であり、
$$
(f*g)(x)=\int_{G}f(y)g(y^{-1}x)d\mu(y)\quad(\forall x\in G)
$$
である。$(f*g)(x)\neq 0$ なる任意の $x\in G$ に対し、上式より、$G\ni y\mapsto g(y^{-1}x)\in \mathbb{C}$ の台 $x{\rm supp}(g)^{-1}$ と $f$ の台 ${\rm supp}(f)$ は交わる。よって $x\in {\rm supp}(f){\rm supp}(g)$ であり、$G$ の乗法の連続性より ${\rm supp}(f){\rm supp}(g)$ はコンパクトであるから、
$$
{\rm supp}(f*g)\subset {\rm supp}(f){\rm supp}(g)
$$
である。よって $f*g\in C_c(G)$ である。
{{end|proof}}

===定理2.30（${\rm span}(\mathcal{P}(G)\cap C_c(G))$ は、$C_0(G)$, $L^p(G,\mu)$ $(p\in [1,\infty))$ において稠密）===
$G$ を局所コンパクト群、$\mu\colon \mathcal{B}_G\rightarrow [0,\infty]$ を $G$ のHaar測度とする。このとき、
$$
{\rm span}(\mathcal{P}(G)\cap C_c(G))
$$
はBanach空間 $C_0(G)$, $L^p(G,\mu)$ $(p\in [1,\infty))$ それぞれにおいて稠密である。
{{begin|proof}}
任意の $f\colon G\rightarrow\mathbb{C}$ に対し、$\widetilde{f}(x)\colon=\overline{f(x^{-1})}$ $(\forall x\in G)$ と定義する。また $\pi\colon G\rightarrow \mathbb{U}(L^2(G,\mu))$ を $G$ の正則表現（'''例2.2'''）とする。任意の $f\in C_c(G)$ に対し $\widetilde{f}\in C_c(G)$ であるので、'''補題2.29'''より $f*\widetilde{f}\in C_c(G)$ であり、
$$
\begin{aligned}
(f*\widetilde{f})(x)&=\int_{G}f(y)\widetilde{f}(y^{-1}x)d\mu(y)=\int_{G}f(y)\overline{f(x^{-1}y)}d\mu(y)\\
&=(\pi(x)f\mid f)_2=\overline{(f\mid \pi(x)f)_2}\quad(\forall x\in G)
\end{aligned}
$$
であるから、'''注意2.27'''と'''命題2.28'''より、
$$
f*\widetilde{f}\in \mathcal{P}(G)\cap C_c(G)\quad(\forall f\in C_c(G))
$$
が成り立つ。よって、
任意の $f,g\in C_c(G)$ に対し、
$$
f*\widetilde{g}=\frac{1}{4}\sum_{k=0}^{3}i^k(f+i^kg)*(\widetilde{f+i^kg})\in {\rm span}(\mathcal{P}(G)\cap C_c(G))
$$
であり、$g=\widetilde{\widetilde{g}}$ であるから、
$$
f*g\in {\rm span}(\mathcal{P}(G)\cap C_c(G))\quad(\forall f,g\in C_c(G))
$$
が成り立つ。今、'''定理1.25'''における $L^1(G,\mu)$ の近似単位元 $(\varphi_n)_{n\in \mathbb{N}}$ を取る。$\varphi_n\in C_c(G)$ $(\forall n\in \mathbb{N})$ であるから、任意の $f\in C_c(G)$ に対し、
$$
\varphi_n*f\in {\rm span}(\mathcal{P}(G)\cap C_c(G))\quad(\forall n\in \mathbb{N})
$$
であり、'''命題1.3'''と合成積の定義（'''定義1.21'''）より、$\sup$ ノルムに関して、
$$
\begin{aligned}
&\lVert \varphi_n*f-f\rVert=\left\lVert \int_{G}\varphi_n(y)L_yfd\mu(y)-\int_{G}\varphi_n(y)fd\mu(y)\right\rVert\\
&=\left\lVert \int_{G}\varphi_n(y)(L_yf-f)d\mu(y)\right\rVert\leq \int_{G}\varphi_n(y)\lVert L_yf-f\rVert d\mu(y)\\
&\rightarrow0\quad(n\rightarrow\infty).
\end{aligned}
$$
よって、
$$
C_c(G)\subset \overline{{\rm span}(C_c(G)\cap \mathcal{P}(G))}\subset C_0(G)
$$
が成り立つ。ここで[[測度と積分7：局所コンパクトHausdorff空間上のRadon測度]]の'''命題28.3'''より $C_c(G)$ は $C_0(G)$ において稠密であるので、
$$
C_0(G)=\overline{{\rm span}(C_c(G)\cap \mathcal{P}(G))}
$$
が成り立つ。また任意の $p\in [1,\infty)$, 任意の $f\in C_c(G)$ に対し'''命題1.19'''と合成積の定義（'''定義1.21'''）より、
$$
\begin{aligned}
&\lVert \varphi_n*f-f\rVert_p=\left\lVert \int_{G}\varphi_n(y)L_yfd\mu(y)-\int_{G}\varphi_n(y)fd\mu(y)\right\rVert_p\\
&=\left\lVert \int_{G}\varphi_n(y)(L_yf-f)d\mu(y)\right\rVert_p\leq \int_{G}\varphi_n(y)\lVert L_yf-f\rVert_pd\mu(y)\\
&\rightarrow0\quad(n\rightarrow\infty)
\end{aligned}
$$
であるから、
$$
C_c(G)\subset \overline{{\rm span}(C_c(G)\cap \mathcal{P}(G))}^{\lVert \cdot\rVert_p}\subset L^p(G,\mu)
$$
が成り立つ。[[測度と積分7：局所コンパクトHausdorff空間上のRadon測度]]の'''命題32.1'''より $C_c(G)$ は $L^p(G,\mu)$ において稠密であるので、
$$
L^p(G,\mu)=\overline{{\rm span}(C_c(G)\cap \mathcal{P}(G))}^{\lVert \cdot\rVert_p}
$$
が成り立つ。
{{end|proof}}

===補題2.31（忠実性抜きの内積に関するSchwarzの不等式）===
$X$ を $\mathbb{C}$ 上の線形空間とし、
$$
[\cdot,\cdot]\colon X\times X\ni (x,y)\mapsto [x,y]\in \mathbb{C}
$$
が内積の忠実性以外の条件を満たすとする。すなわち、
*$(1)$　任意の $x,y\in X$ に対し、$\overline{[x,y]}=[y,x]$.
*$(2)$　任意の $x\in X$ に対し、$X\ni y\mapsto [x,y]\in \mathbb{C}$ は線形汎関数。
*$(3)$　任意の $x,\in X$ に対し、$[x,x]\geq0$.
このとき、
$$
\lvert [x,y]\rvert^2\leq [x,x][y,y]\quad(\forall x,y\in X)
$$
が成り立つ。
{{begin|proof}}
任意の $x,y\in X$ を取る。任意の $\alpha\in \mathbb{C}$ に対し、
$$
0\leq [x-\alpha y, x-\alpha y]=[x,x]-\alpha [x,y]-\overline{\alpha}[y,x]+\lvert\alpha\rvert^2[y,y]\quad\quad(*)
$$
である。もし $[y,y]>0$ ならば、$\alpha=\frac{[y,x]}{[y,y]}\in \mathbb{C}$ を $(*)$ に代入すれば、
$$
0\leq [x,x]-\frac{\lvert [x,y]\rvert^2}{[y,y]}
$$
となるので $\lvert [x,y]\rvert^2\leq [x,x][y,y]$ が成り立つ。またもし $[y,y]=0$ ならば、任意の $\epsilon\in (0,\infty)$ を取り、$\alpha\colon=\frac{1}{2\epsilon}[y,x]\in \mathbb{C}$ を $(*)$ に代入すれば、
$$
0\leq [x,x]-\frac{1}{\epsilon}\lvert [x,y]\rvert^2
$$
となる。よって $\lvert [x,y]\rvert^2\leq \epsilon[x,x]$ が任意の $\epsilon\in (0,\infty)$ に対して成り立つので、$\lvert [x,y]\rvert^2=0=[x,x][y,y]$ である。
{{end|proof}}

===命題2.32（$L^1$ 群環上の有界非負線形汎関数に関するSchwarzの不等式）===
$G$ を局所コンパクト群、$\mu\colon \mathcal{B}_G\rightarrow [0,\infty]$ を $G$ のHaar測度、$\Phi\in (L^1(G,\mu))^*_+$ とする。このとき次が成り立つ。
*$(1)$　任意の $[f],[g]\in L^1(G,\mu)$ に対し、$\overline{\Phi([f]^**[g])}=\Phi([g]^**[f])$.
*$(2)$　任意の $[f],[g]\in L^1(G,\mu)$ に対し、$\lvert \Phi([f]^**[g])\rvert^2\leq \Phi([f]^**[f])\Phi([g]^**[g])$.
*$(3)$　任意の $[f]\in L^1(G,\mu)$ に対し、$\lvert \Phi([f])\rvert^2\leq \lVert \Phi\rVert\Phi([f]^**[f])\rvert$.
*$(4)$　任意の $[f],[g]\in L^1(G,\mu)$ に対し、$\lvert \Phi([g]^**[f]*[g])\rvert\leq \Phi([g]^**[g])\lVert [f]\rVert_1$.
{{begin|proof}}
*$(1)$
$$
L^1(G,\mu)\times L^1(G,\mu)\ni ([f],[g])\mapsto \Phi\left([f]^**[g]\right)\in \mathbb{C}\quad\quad(*)
$$
は準双線形汎関数であるから、
$$
\Phi([f]^**[g])=\frac{1}{4}\sum_{k=0}^{3}i^k\Phi\left([i^k[f]+[g]]^**(i^k[f]+[g])\right)\quad\quad(**)
$$
が成り立ち、各 $k\in \{0,1,2,3\}$ に対し、
$$
\Phi\left((i^k[f]+[g])^**(i^k[f]+[g])\right)=\Phi\left(([f]+\overline{i}^k[g])^**([f]+\overline{i}^k[g])\right)
$$
は実数であるから、$(**)$ より、
$$
\begin{aligned}
&\overline{\Phi\left([f]^**[g]\right)}=\frac{1}{4}\sum_{k=0}^{3}\overline{i}^k\Phi\left(([f]+\overline{i}^k[g])^**([f]+\overline{i}^k[g])\right)\\
&=\frac{1}{4}\sum_{k=0}^{3}i^k\Phi\left((i^k[g]+[f])^**(i^k[g]+[f])\right)=\Phi\left([g]^**[f]\right)
\end{aligned}
$$
が成り立つ。
*$(2)$　$(*)$ は内積の忠実性以外の条件を満たすので、'''補題2.31'''より成り立つ。
*$(3)$　$(\varphi_n)_{n\in \mathbb{N}}$ を'''定理1.25'''における $L^1(G,\mu)$ の近似単位元とする。$(2)$ より任意の $[f]\in L^1(G,\mu)$ に対し、
$$
\lvert \Phi(\varphi_n*[f])\rvert^2\leq \Phi(\varphi_n*\varphi_n)\Phi([f]^**[f])\leq \lVert \Phi\rVert\Phi([f]^**[f])\quad(\forall n\in \mathbb{N})
$$
であるから、
$$
\lvert \Phi([f])\rvert^2=\lim_{n\rightarrow\infty}\lvert \Phi(\varphi_n*[f])\rvert\leq \lVert \Phi\rVert\Phi([f]^**[f])
$$
が成り立つ。
*$(4)$　任意の $[g]\in L^1(G,\mu)$ を取り固定する。
$$
\Psi\colon L^1(G,\mu)\ni [f]\mapsto \Phi([g]^**[f]*[g])\in \mathbb{C}
$$
とおくと、$\Psi\in (L^1(G,\mu))^*_+$ である。$(\varphi_n)_{n\in \mathbb{N}}$ を'''定理1.25'''における $L^1(G,\mu)$ の近似単位元とすると、任意の $[f]\in L^1(G,\mu)$ に対し $(2)$ より、
$$
\lvert \Psi(\varphi_n*[f])\rvert^2\leq \Psi(\varphi_n*\varphi_n)\Psi([f]^**[f])\quad(\forall n\in \mathbb{N})
$$
であり、
$$
\lim_{n\rightarrow\infty}\Psi(\varphi_n*\varphi_n)=\lim_{n\rightarrow\infty}\Phi([g]^**\varphi_n*\varphi_n*[g])=\Phi([g]^**[g])
$$
であるから、
$$
\lvert \Psi([f])\rvert^2=\lim_{n\rightarrow\infty}\lvert \Psi(\varphi_n*[f])\rvert^2\leq \Phi([g]^**[g])\Psi([f]^**[f])
$$
となる。よって、
$$
\lvert \Psi([f])\rvert^2\leq \Phi([g]^**[g])\lVert \Psi\rVert \lVert [f]\rVert_1^2\quad(\forall [f]\in L^1(G,\mu))
$$
であるから、
$$
\lVert \Psi\rVert\leq \Phi([g]^**[g])
$$
が成り立つ。ゆえに任意の $[f]\in L^1(G,\mu)$ に対し、
$$
\lvert \Phi([g]^**[f]*[g])\rvert=\lvert \Psi([f])\rvert\leq \Phi([g]^**[g])\lVert [f]\rVert_1
$$
が成り立つ。
{{end|proof}}

===定理2.33（GNS構成法）===
$G$ を局所コンパクト群、$\mu \colon \mathcal{B}_G\rightarrow [0,\infty]$ を $G$ のHaar測度とする。このとき、
$$
\mathcal{P}(G)\ni p\mapsto \Phi_p\in (L^1(G,\mu))^*_+\quad\quad(*)
$$
は全単射である。そして任意の $p\in \mathcal{P}(G)\backslash \{0\}$ に対し、巡回ベクトル $v$ を持つ $G$ のユニタリ表現 $\pi$ で、
$$
p(x)=(v\mid \pi(x)v)\quad(\forall x\in G)
$$
を満たすものが存在する。
{{begin|proof}}
$(*)$ が単射であることは $L^\infty(G,\mu)=(L^1(G,\mu))^*$ であること（[[測度と積分5：$L^p$ 空間の完備性と双対性]]の'''定理23.4'''）、および、空でない開集合のHaar測度が正であること（'''命題1.8'''）から $\mu$ -a.e. で一致する連続関数は全ての点で一致することによる。任意の $\Phi\in (L^1(G,\mu))^*_+\backslash \{0\}$ を取り固定する。
$$
\mathcal{N}_{\Phi}\colon=\{[f]\in L^1(G,\mu):\Phi([f]^**[f])=0\}
$$
とおくと、'''命題2.32'''の $(2)$ より $\mathcal{N}_{\Phi}$ は $L^1(G,\mu)$ の線形部分空間であり、'''命題2.32'''の $(3)$ と $\Phi\neq 0$ より $\mathcal{N}_{\Phi}\neq L^1(G,\mu)$ である。そこで商線形空間 $L^1(G,\mu)/\mathcal{N}_{\Phi}\neq \{0\}$ を考え、商写像を、
$$
q\colon L^1(G,\mu)\ni [f]\mapsto q([f])\in L^1(G,\mu)/\mathcal{N}_{\Phi}
$$
とおく。'''命題2.32'''の $(1),(2)$ より、
$$
(q([f]),q([g]))_{\Phi}\colon =\Phi([f]^**[g])\quad(\forall [f],[g]\in L^1(G,\mu))\quad\quad(**)
$$
として $L^1(G,\mu)/\mathcal{N}_{\Phi}$ の内積 $(\cdot \mid\cdot)_{\Phi}$ が定義できる。この内積空間 $(L^1(G,\mu)/\mathcal{N}_{\Phi},(\cdot\mid\cdot)_{\Phi})$ のHilbert空間への完備化（[[Hilbert空間上の作用素論]]の'''定義12.3'''）を $(\mathcal{H}_{\Phi},(\cdot\mid \cdot)_{\Phi})$ とおく。任意の $[f]\in L^1(G,\mu)$ に対し'''命題2.32'''の $(4)$ より、
$$
\pi_0([f])\colon L^1(G,\mu)/\mathcal{N}_{\Phi}\ni q([g])\mapsto q([f]*[g])\in \mathcal{H}_{\Phi}\quad\quad(***)
$$
はwell-definedな線形作用素である。そして'''命題2.32'''の $(4)$ より、
$$
\begin{aligned}
&\lVert \pi_0([f])q([g])\rVert_{\Phi}^2=(q([f]*[g])\mid q([f]*[g]))_{\Phi}=\Phi(([f]*[g])^**([f]*[g]))\\
&\leq \Phi([g]^**[g])\lVert [f]\rVert_1^2=\lVert q([g])\rVert_{\Phi}^2\lVert [f]\rVert_1^2\quad(\forall q([g])\in L^1(G,\mu)/\mathcal{N}_{\Phi})
\end{aligned}
$$
であるから、$(***)$ は有界線形作用素である。そこで $(***)$ を $\mathcal{H}_{\Phi}=\overline{L^1(G,\mu)/\mathcal{N}_{\Phi}}$ 上に一意拡張（[[位相線形空間1：ノルムと内積]]の'''命題3.6'''）したものを $\pi_{\Phi}([f])\in \mathbb{B}(\mathcal{H}_{\Phi})$ と表す。このとき $(**)$, $(***)$ と、$q(L^1(G,\mu))=L^1(G,\mu)/\mathcal{N}_{\Phi}$ の $\mathcal{H}_{\Phi}$ における稠密性より、
$$
\pi_{\Phi}\colon L^1(G,\mu)\ni [f]\mapsto \pi_{\Phi}([f])\in \mathbb{B}(\mathcal{H}_{\Phi})
$$
は $*$-環準同型写像であることが分かる。今、'''命題2.32'''の $(3)$ と $(**)$ より、
$$
L^1(G,\mu)/\mathcal{N}_{\Phi}\ni q([f])\mapsto \Phi([f])\in \mathbb{C}
$$
はwell-definedな有界線形汎関数である。これを $\mathcal{H}_{\Phi}=\overline{L^1(G,\mu)/\mathcal{N}_{\Phi}}$ 上の有界線形汎関数に一意拡張したものを考え、Rieszの定理（[[位相線形空間1：ノルムと内積]]の'''定理6.13'''）によりそれに対応するベクトルを $v_{\Phi}\in \mathcal{H}_{\Phi}$ とおくと、
$$
\Phi([f])=(v_{\Phi}\mid q([f]))_{\Phi}\quad(\forall [f]\in L^1(G,\mu))\quad\quad(****)
$$
となる。
$$
\begin{aligned}
(q([f])\mid q([g]))_{\Phi}&=\Phi([f]^**[g])=(v_{\Phi}\mid q([f]^**[g]))_{\Phi}=(v_{\Phi}\mid \pi_{\Phi}([f]^*)q([g]))_{\Phi}\\
&=(\pi_{\Phi}([f])v_{\Phi}\mid q([g]))_{\Phi}\quad(\forall [f],[g]\in L^1(G,\mu))
\end{aligned}
$$
であるから、$q(L^1(G,\mu))=L^1(G,\mu)/\mathcal{N}_{\Phi}$ の $\mathcal{H}_{\Phi}$ における稠密性より、
$$
q([f])=\pi_{\Phi}([f])v_{\Phi}\quad(\forall [f]\in L^1(G,\mu))\quad\quad(*****)
$$
が成り立つ。これより、
$$
\overline{\pi_{\Phi}(L^1(G,\mu))v_{\Phi}}=\overline{L^1(G,\mu)/\mathcal{N}_{\Phi}}=\mathcal{H}_{\Phi}
$$
であるから、$\pi_{\Phi}\colon L^1(G,\mu)\rightarrow \mathbb{B}(\mathcal{H}_{\Phi})$ は $L^1(G,\mu)$ の $\mathcal{H}_{\Phi}$ 上への表現、したがって $G$ の $\mathcal{H}_{\Phi}$ 上へのユニタリ表現（'''定義2.18'''を参照）であり、
$$
\mathcal{H}_{\Phi}=\overline{\pi_{\Phi}(L^1(G,\mu))v_{\Phi}}=\overline{{\rm span}(\pi(G)v_{\Phi})}
$$
([[測度と積分9：Bochner積分]]の'''命題44.2'''の$(3)$)より、$G$ のユニタリ表現 $\pi_{\Phi}\colon G\rightarrow \mathbb{U}(\mathcal{H}_{\Phi})$ は巡回ベクトル $v_{\Phi}$ を持つ。そして $(****),(*****)$ より、
$$
\Phi([f])=(v_{\Phi}\mid \pi_{\Phi}([f])v_{\Phi})_{\Phi}=\int_{G}f(x)(v_{\Phi}\mid \pi_{\Phi}(x)v_{\Phi})d\mu(x)\quad(\forall [f]\in L^1(G,\mu))
$$
である。そこで $p_{\Phi}\colon G\rightarrow\mathbb{C}$ を、
$$
p_{\Phi}(x)\colon=(v_{\Phi}\mid \pi_{\Phi}(x)v_{\Phi})_{\Phi}\quad(\forall x\in G)
$$
とおけば、
$$
\Phi([f])=\int_{G}f(x)p_{\Phi}(x)d\mu(x)=\Phi_{p_{\Phi}}([f])\quad(\forall [f]\in L^1(G,\mu))
$$
であるから、$p_{\Phi}$ が求める正定値連続関数である。以上で証明が終わる。
{{end|proof}}

===定義2.34（局所コンパクト群上の正定値連続関数に対するGNS表現）===
$G$ を局所コンパクト群とする。任意の正定値連続関数 $p\in \mathcal{P}(G)\backslash \{0\}$ に対し、'''定理2.33'''より、巡回ベクトル $v$ を持つ $G$ のユニタリ表現 $\pi \colon G\rightarrow\mathbb{U}(\mathcal{H}_{\pi})$ で、
$$
p(x)=(v\mid \pi(x)v)\quad(\forall x\in G)
$$
を満たすものが存在する。このユニタリ表現とその巡回ベクトルの組 $(\pi,v)$ を $p$ に対するGNS表現と言う。'''命題2.13'''より、$(\pi_1,v_1), (\pi_2,v_2)$ が共に $p$ に対するGNS表現であるならば、$\pi_1,\pi_2$ はユニタリ同値であり、ユニタリ作用素 $U\colon \mathcal{H}_{\pi_1}\rightarrow \mathcal{H}_{\pi_2}$ で、
$$
U\pi_1(x)=\pi_2(x)U\quad(\forall x\in G),\quad Uv_1=v_2
$$
を満たすものが定まる。

===系2.35（正定値連続関数 $p\colon G\rightarrow\mathbb{C}$ の $\sup$ ノルムは $p(1)$）===
$G$ を局所コンパクト群、$\mu\colon \mathcal{B}_G\rightarrow [0,\infty]$ を $G$ のHaar測度、$([h_{\lambda}])_{\lambda\in \Lambda}$ を $L^1(G,\mu)$ の近似単位元とする（'''定理1.25'''における $(\varphi_n)_{n\in \mathbb{N}}$ を考えればよい）。このとき任意の $p\in \mathcal{P}(G)\backslash \{0\}$ と $p$ のGNS表現 $(\pi,v)$ に対し、
$$
\lVert p\rVert=p(1)=\lVert v\rVert^2=\lim_{n\rightarrow\infty}\Phi_p([h_{\lambda}])=\lVert \Phi_p\rVert\quad\quad(*)
$$
が成り立つ。
{{begin|proof}}
$$
\lvert p(x)\rvert=\lvert (v\mid \pi(x)v)\rvert\leq \lVert v\rVert^2=p(1)\quad\forall x\in G)
$$
であるから、
$$
\lVert p\rVert=\lVert v\rVert^2=p(1)
$$
である。また、
$$
\Phi_p([f])=\int_{G}f(x)p(x)d\mu(x)=\int_{G}f(x)(v\mid \pi(x)v)d\mu(x)
=(v\mid \pi([f])v)\quad(\forall [f]\in L^1(G,\mu))
$$
より、
$$
\lvert \Phi_p([f])\rvert\leq \lVert v\rVert\lVert \pi([f])v\rVert\leq \lVert [f]\rVert_1\lVert v\rVert^2\quad(\forall [f]\in L^1(G,\mu))
$$
であるから $\lVert \Phi_p\rVert\leq \lVert v\rVert^2$ であり、'''注意2.15'''より、
$$
\lVert v\rVert^2=\lim_{\lambda\in\Lambda}(v\mid \pi([h_{\lambda}])v)=\lim_{\lambda\in\Lambda}\Phi_p([h_{\lambda}])\leq \lVert \Phi_p\rVert\leq v\rVert^2
$$
であるから、
$$
\lVert v\rVert^2=\lim_{\lambda\in\Lambda}\Phi_p([h_{\lambda}])=\lVert \Phi_p\rVert
$$
である。よって $(*)$ が成り立つ。
{{end|proof}}

===定義2.36（局所コンパクト群上のノルムが $1$ の正定値連続関数全体のなす凸集合 $\mathcal{P}_1(G)$）===
$G$ を局所コンパクト群とする。$G$ 上の $\sup$ ノルムが $1$ の正定値連続関数全体を $\mathcal{P}_1(G)$ とすると、'''系2.35'''より、
$$
\mathcal{P}_1(G)=\{p\in \mathcal{P}(G):\lVert p\rVert=1\}=\{p\in \mathcal{P}(G):p(1)=1\}
$$
である。よって $\mathcal{P}_1(G)$ は凸集合をなす。そこで $\mathcal{P}_1(G)$ の端点（'''定義14.1'''）全体を、
$$
{\rm ext}(\mathcal{P}_1(G))=\{p\in \mathcal{P}_1(G):\text{$p$ は凸集合 $\mathcal{P}_1(G)$ の端点}\}
$$
とおく。

===定理2.37（$\mathcal{P}_1(G)$ の端点とそれに対応するGNS表現の既約性）===
$G$ を局所コンパクト群、$p\in \mathcal{P}_1(G)$ とし、$p$ に対するGNS表現（'''定義2.34'''）を $(\pi,v)$ とする。このとき次は互いに同値である。
*$(1)$　$p$ は $\mathcal{P}_1(G)$ の端点である、すなわち、$p\in {\rm ext}(\mathcal{P}_1(G))$.
*$(2)$　$\pi$ は既約である。
{{begin|proof}}
$(1)\Rightarrow(2)$ を示す。$(1)$ が成り立つとする。$\pi$ が既約であることを示すには、Schurの補題（'''定理2.10'''）より、$\mathcal{C}(\pi)=\mathbb{C}1$ が成り立つことを示せばよい。$\mathcal{C}(\pi)=\pi(G)'$ はvon Neumann環であるから射影によって生成される（[[Hilbert空間上の作用素論]]の'''定理19.7'''）。よって $\pi(G)'$ に属する任意の射影作用素 $P$ を取り、$P$ が $1$ か $0$ であることを示せば十分である。
$$
p_1(x)=(v\mid P\pi(x)v),\quad p_2(x)=(v\mid (1-P)\pi(x)v)\quad(\forall x\in G)
$$
とおく。$P,1-P$ は $\pi(G)'$ に属する非負有界自己共役作用素であることと'''定義2.18'''より、
$$
\begin{aligned}
&\int_{G}([f]^**[f])(x)p_1(x)d\mu(x)=\int_{G}([f]^**[f])(v\mid P\pi(x)v)d\mu(x)\\
&=(v\mid P\pi([f]^**[f])v)=(v\mid P\pi([f])^*\pi([f])v)\\
&=(\pi([f])v\mid P\pi([f])v)\geq0\quad(\forall [f]\in L^1(G,\mu))
\end{aligned}
$$
であり、全く同様に、
$$
\int_{G}([f]^**[f])(x)p_2(x)d\mu(x)=(\pi([f])v\mid (1-P)\pi([f])v)\geq0\quad(\forall [f]\in L^1(G,\mu))
$$
である。よって $p_1,p_2\in \mathcal{P}(G)$ である。また $p_1,p_2$ の定義より、
$$
p_1+p_2=p
$$
であり、'''系2.35'''より、
$$
\lVert p_1\rVert+\lVert p_2\rVert=p_1(1)+p_2(1)=p(1)=\lVert p\rVert=1
$$
であるから、$p\in {\rm ext}(\mathcal{P}_1(G))$ より、ある $\alpha\in [0,1]$ が存在して、$p_1=\alpha p$ が成り立つ。よって、
$$
\alpha(\pi(y)v\mid \pi(x)v)=\alpha p(y^{-1}x)=p_1(y^{-1}x)=(v\mid P\pi(y^{-1}x)v)
=(\pi(y)v\mid P\pi(x)v)\quad(\forall x,y\in G)
$$
であるから、${\rm span}(\pi(G)v)$ の $\mathcal{H}_{\pi}$ における稠密性より、$P=\alpha 1$ を得る。ゆえに $\pi$ は既約である。 
$(2)\Rightarrow(1)$ を示す。$\pi$ が既約であるとする。$p\in {\rm ext}(\mathcal{P}_1(G))$ であることを示すには、$p_1\in \mathcal{P}(G)$ で、$p-p_1\in \mathcal{P}(G)$ なるものを取り、$p_1=\alpha p$ なる $\alpha\in [0,1]$ が存在することを示せば十分である。$p-p_1\in \mathcal{P}(G)$ より、
$$
\Phi_p([f]^**[f])-\Phi_{p_1}([f]^**[f])=\Phi_{p-p_1}([f]^**[f])\geq0\quad(\forall [f]\in L^1(G,\mu))
$$
であるから、
$$
0\leq \Phi_{p_1}([f]^**[f])\leq \Phi_p([f]^**[f])=\lVert \pi([f])v\rVert^2\quad(\forall [f]\in L^1(G,\mu))
$$
である。よって'''命題2.32'''より、
$$
\pi(L^1(G,\mu))v\times \pi(L^1(G,\mu))v\ni (\pi([f])v,\pi([g])v)\mapsto \Phi_{p_1}([f]^**[g])\in \mathbb{C}\quad\quad(*)
$$
はwell-definedな有界準双線形汎関数である。'''注意2.15'''と'''命題2.16'''より ${\rm span}(\pi(G)v)\subset \overline{\pi(L^1(G,\mu))v}$ であるから$\pi(L^1(G,\mu))v$ は $\mathcal{H}_{\pi}$ の稠密部分空間であるので、$(*)$ は $\mathcal{H}_{\pi}$ 上の有界準双線形汎関数に一意拡張できることが分かる。よって'''定理7.1'''より $T\in \mathbb{B}(\mathcal{H}_{\pi})$ で、
$$
(\pi([f])v\mid T\pi([g])v)=\Phi_{p_1}([f]^**[g])\quad(\forall [f],[g]\in L^1(G,\mu))
$$
を満たすものが存在する。$(\varphi_n)_{n\in \mathbb{N}}$ を'''定理1.25'''における $L^1(G,\mu)$ の近似単位元とすれば、任意の $x,y\in G$ に対し、'''注意2.15'''と'''命題2.16'''より、
$$
(\pi(y)v\mid T\pi(x)v)=\lim_{n\rightarrow\infty}(\pi(L_y\varphi_n)v\mid T\pi(L_x\varphi_n)v)=\lim_{n\rightarrow\infty}\Phi_{p_1}((L_y\varphi_n)^**(L_x\varphi_n))
$$
となり、$p_1\in \mathcal{P}(G)$ に対するGNS表現を $(\pi_1,v_1)$ とすれば、
$$
\lim_{n\rightarrow\infty}\Phi_{p_1}((L_y\varphi_n)^**(L_x\varphi_n))
=\lim_{n\rightarrow\infty}(\pi_1(L_y\varphi_n)v\mid \pi_1(L_x\varphi_n)v)=(\pi_1(y)v\mid \pi_1(x)v)=p_1(y^{-1}x)
$$
となるから、
$$
(\pi(y)v\mid T\pi(x)v)=p_1(y^{-1}x)\quad(\forall x,y\in G)\quad\quad(**)
$$
が成り立つ。よって任意の $x,y,z\in G$ に対し、
$$
(\pi(z)v\mid T\pi(x)\pi(y)v)=p_1(z^{-1}xy)=p_1((x^{-1}z)^{-1}y)=(\pi(x^{-1})\pi(z)v\mid T\pi(y)v)=(\pi(z)v\mid \pi(x)T\pi(y)v)
$$
であるから、${\rm span}(\pi(G)v)$ の $\mathcal{H}_{\pi}$ における稠密性より、
$$
T\pi(x)=\pi(x)T\quad(\forall x\in G)
$$
が成り立つ。ゆえに $T\in \mathcal{C}(\pi)$ であるから、Schurの補題（'''定理2.10'''）より、$T=\alpha1$ なる $\alpha\in \mathbb{C}$ が存在する。$(**)$ より、
$$
p_1(x)=(v\mid T\pi(x)v)=\alpha(v\mid \pi(x)v)=\alpha p(x)\quad(\forall x\in G)
$$
であるから、$p_1=\alpha p$ である。よって $p\in {\rm ext}(\mathcal{P}_1(G))$ が成り立つ。
{{end|proof}}

===定義2.38（コンパクト一様収束位相）===
$X$ を位相空間、$C(X)$ を $X$ 上の複素数値連続関数全体に各点ごとの演算を入れた $\mathbb{C}$ 上の線形空間とする。任意の空でないコンパクト集合 $K\subset X$ に対し、
$$
p_K\colon C(X)\ni f\mapsto \underset{x\in K}{\rm max}\lvert f(x)\rvert \in [0,\infty)
$$
とおくと、$p_K$ は線形空間 $C(X)$ 上のセミノルムである。そして一点集合がコンパクトであることから、セミノルムの集合
$$
\mathcal{P}\colon=\{p_K:\text{$K\subset X$ は空でないコンパクト集合}\}
$$
は $C(X)$ 上のセミノルムの分離族（[[位相線形空間2：セミノルム位相と汎弱位相]]の'''定義8.3'''）である。
そこで $\mathcal{P}$ から誘導される $C(X)$ 上のセミノルム位相（[[位相線形空間2：セミノルム位相と汎弱位相]]の'''定義8.4'''）を $C(X)$ 上のコンパクト一様収束位相と言う。[[位相線形空間2：セミノルム位相と汎弱位相]]の'''命題8.6'''の $(1)$ より、$C(X)$ のネット $(f_{\lambda})_{\lambda\in \Lambda}$ が $f\in C(X)$ にコンパクト一様収束位相で収束することは、任意の空でないコンパクト集合 $K\subset X$ に対し、
$$
\underset{x\in K}{\rm max}\lvert f_{\lambda}(x)-f(x)\rvert=p_K(f_{\lambda}-f)\rightarrow0
$$
が成り立つことと同値である。すなわち $(f_{\lambda})_{\lambda\in \Lambda}$ が $f$ にコンパクト一様収束することと同値である。

===定理2.39（$\mathcal{P}_1(G)$ と $(L^1(G,\mu))^*_{+,1}$ はコンパクト一様収束位相と弱 $*$-位相に関して同相）===
$G$ を局所コンパクト群、$\mu\colon \mathcal{B}_G\rightarrow [0,\infty]$ を $G$ のHaar測度とし、
$$
(L^1(G,\mu))^*_{+,1}\colon=\{\Phi\in (L^1(G,\mu))^*_+:\lVert \Phi\rVert=1\}
$$
とおく。このとき、
$$
(\mathcal{P}_1(G), \text{コンパクト一様収束位相})\ni p\mapsto \Phi_p\in (L^1(G,\mu))^*_{+,1}, \text{弱 $*$-位相})\quad\quad(*)
$$
は同相写像である。
{{begin|proof}}
$(*)$ が全単射であることは'''定理2.33'''と'''系2.35'''による。$\mathcal{P}_1(G)$ のネット $(p_{\lambda})_{\lambda\in \Lambda}$ が $p\in \mathcal{P}_1(G)$ にコンパクト一様収束位相で収束するならば、任意の $f\in C_c(G)$ に対し、
$$
\lvert \Phi_{p_{\lambda}}(f)-\Phi_p(f)\rvert
=\left\lvert \int_{G}f(x)(p_{\lambda}(x)-p(x))d\mu(x)\right\rvert\leq \lVert f\rVert_1 \underset{x\in {\rm supp}(f)}{\rm max}\lvert p_{\lambda}(x)-p(x)\rvert\rightarrow0
$$
である。そして $C_c(G)$ は $L^1(G,\mu)$ において稠密（[[測度と積分7：局所コンパクトHausdorff空間上のRadon測度]]の'''命題32.1'''）であり、$\lVert \Phi_{p_{\lambda}}\rVert=1$ $(\forall \lambda\in \Lambda)$, $\lVert \Phi_p\rVert=1$ であるから、
$$
\lvert \Phi_{p_{\lambda}}([f])-\Phi_p([f])\rvert\rightarrow0\quad(\forall [f]\in L^1(G,\mu))
$$
が成り立つ。よって $L^1(G,\mu)^*$ の弱 $*$-位相で $\lim_{\lambda\in \Lambda}\Phi_{p_{\lambda}}=\Phi_p$ が成り立つから、[[ネットによる位相空間論]]の'''定理3'''より、$(*)$ は連続である。 
$(*)$ の逆写像が連続であることを示す。$\mathcal{P}_1(G)$ のネット $(p_{\lambda})_{\lambda\in\Lambda}$ と $p\in \mathcal{P}_1(G)$ に対し、弱 $*$-位相で $\lim_{\lambda\in\Lambda}\Phi_{p_{\lambda}}=\Phi_p$ が成り立つと仮定し、コンパクト一様収束位相で $\lim_{\lambda\in\Lambda}p_{\lambda}=p$ が成り立つことを示せばよい。任意のコンパクト集合 $K\subset G$ と任意の $\epsilon\in (0,\infty)$ を取り固定する。$p$ のGNS表現（'''定義2.34'''）を $(\pi,v)$ とする。$(\varphi_n)_{n\in \mathbb{N}}$ を'''定理1.25'''における $L^1(G,\mu)$ の近似単位元とすると、'''注意2.15'''より、
$$
\lim_{n\rightarrow\infty}\Phi_p(\varphi_n)=\lim_{n\rightarrow\infty}(v\mid \pi(\varphi_n)v)=\lVert v\rVert^2=p(1)=1,
$$
$$
\lim_{n\rightarrow\infty}\Phi_p(\varphi_n*\varphi_n)=\lim_{n\rightarrow\infty}(\pi(\varphi_n)v\mid \pi(\varphi_n)v)=\lVert v\rVert^2=p(1)=1
$$
であるから、$\varphi\in C_c(G)$ で、
$$
\lVert \varphi\rVert_1=1,\quad \varphi^*=\varphi,\quad 1-\Phi_p(\varphi)-\Phi_p(\varphi)+\Phi_p(\varphi*\varphi)<\epsilon^2\quad\quad(**)
$$
を満たすものが取れる。弱 $*$-位相で $\lim_{\lambda\in\Lambda}\Phi_{p_{\lambda}}=\Phi_p$ が成り立つので、$\lambda_0\in \Lambda$ が存在し、
$$
1-\Phi_{p_{\lambda}}(\varphi)-\Phi_{p_{\lambda}}(\varphi)+\Phi_{p_{\lambda}}(\varphi*\varphi)<\epsilon\quad(\forall \lambda\geq\lambda_0)\quad\quad(***)
$$
が成り立つ。$(**)$ より任意の $x\in G$ に対し、
$$
\begin{aligned}
\lvert p(x)-\Phi_p(L_x\varphi)\rvert^2&=\lvert (v\mid \pi(x)v)-(v\mid \pi(x)\pi(\varphi)v)\rvert^2=\lvert (v\mid \pi(x)(1-\pi(\varphi))v)\rvert^2\\
&\leq \lVert \pi(x)(1-\pi(\varphi))v\rVert^2\lVert v\rVert^2=\lVert (1-\pi(\varphi))v\rVert^2\\
&=1-(v\mid \pi(\varphi)v)-(\pi(\varphi)v\mid v)+(\pi(\varphi)v\mid \pi(\varphi)v)\\
&=1-\Phi_p(\varphi)-\Phi_p(\varphi)+\Phi_p(\varphi*\varphi)<\epsilon^2
\end{aligned}
$$
であるから、
$$
\lvert p(x)-\Phi_p(L_x\varphi)\rvert<\epsilon\quad(\forall x\in G)\quad\quad(****)
$$
が成り立つ。同様にして、各 $p_{\lambda}$ のGNS表現と $(***)$ より、
$$
\lvert p_{\lambda}(x)-\Phi_{p_{\lambda}}(L_x\varphi)\rvert<\epsilon\quad(\forall \lambda\geq\lambda_0,\forall x\in G)\quad\quad(*****)
$$
が成り立つことが分かる。'''命題1.19'''より $G\ni x\mapsto L_x\varphi\in L^1(G,\mu)$ は連続であり、$K$ はコンパクトであるから、有限個の $x_1,\ldots,x_n\in K$ と $x_1,\ldots,x_n$ の近傍 $U_1,\ldots,U_n$ で、
$$
K\subset \bigcup_{j=1}^{n}U_j,\quad \lVert L_x\varphi-L_{x_j}\varphi\rVert_1<\epsilon\quad(\forall j\in \{1,\ldots,n\},\forall x\in U_j)\quad\quad(******)
$$
なるものが取れる。そして弱 $*$-位相で $\lim_{\lambda\in\Lambda}\Phi_{p_{\lambda}}=\Phi_p$ であるので、$\lambda_1\geq \lambda_0$ なる $\lambda_1\in \Lambda$ で、
$$
\lvert \Phi_{p_{\lambda}}(L_{x_j}\varphi)-\Phi_p(L_{x_j}\varphi)\rvert<\epsilon\quad(\forall j\in \{1,\ldots,n\},\forall \lambda\geq\lambda_1)\quad\quad(*******)
$$
なるものが取れる。よって任意の $x\in K$ と任意の $\lambda\geq \lambda_1$ に対し、$x\in U_j$ なる $j\in\{1,\ldots,n\}$ を取れば、$(****)$, $(*****)$, $(******)$, $(*******)$ より、
$$
\begin{aligned}
\lvert p(x)-p_{\lambda}(x)\rvert&\leq \lvert p(x)-\Phi_p(L_x\varphi)\rvert+\lvert \Phi_p(L_x\varphi)-\Phi_p(L_{x_j}\varphi)\rvert+\lvert \Phi_p(L_{x_j}\varphi)-\Phi_{p_{\lambda}}(L_{x_j}\varphi)\rvert\\
&+\lvert \Phi_{p_{\lambda}}(L_{x_j}\varphi)-\Phi_{p_{\lambda}}(L_x\varphi)\rvert+\lvert \Phi_{p_{\lambda}}(L_x\varphi)-p_{\lambda}(x)\rvert<5\epsilon
\end{aligned}
$$
となるので、
$$
\lvert p(x)-p_{\lambda}(x)\rvert<5\epsilon\quad(\forall x\in K,\forall \lambda\geq\lambda_1)
$$
が成り立つ。コンパクト集合 $K\subset G$ と $\epsilon\in (0,\infty)$ は任意なので、コンパクト一様収束位相で $\lim_{\lambda\in\Lambda}p_{\lambda}=p$ が成り立つ。
{{end|proof}}

===定理2.40（$\mathcal{P}_1(G)$ の端点全体の凸包は $\mathcal{P}_1(G)$ においてコンパクト一様収束位相で稠密）===
$G$ を局所コンパクト群とする。凸集合 $\mathcal{P}_1(G)$ において $\mathcal{P}_1(G)$ の端点全体 ${\rm ext}(\mathcal{P}_1(G))$ の凸包 ${\rm conv}({\rm ext}(\mathcal{P}_1(G)))$ はコンパクト一様収束位相で稠密である。
{{begin|proof}}
$\mu\colon \mathcal{B}_G\rightarrow [0,\infty]$ をHaar測度とする。'''定理2.39'''より凸集合
$$
S\colon=\{\Phi\in (L^1(G,\mu))^*_+:\lVert \Phi\rVert=1\}=\{\Phi_p:p\in \mathcal{P}_1(G)\}
$$
の端点全体
$$
{\rm ext}(S)=\{\Phi_p:p\in {\rm ext}(\mathcal{P}_1(G))\}
$$
の凸包
$$
{\rm conv}({\rm ext}(S))=\{\Phi_p:p\in {\rm conv}({\rm ext}(\mathcal{P}_1(G)))\}
$$
が $S$ において弱 $*$-位相で稠密であることを示せばよい。
$$
B\colon=\{\Phi\in (L^1(G,\mu))^*_+:\lVert \Phi\rVert\leq1\}
$$
とおく。Alaogluの定理（[[位相線形空間2：セミノルム位相と汎弱位相]]の'''定理10.3'''）より $B$ は弱 $*$-位相でコンパクトな凸集合であるから、Krein-Milmanの端点定理（[[位相線形空間3：Hahn-Banachの定理とKrein-Milmanの端点定理]]の'''定理14.3'''）より、
$$
B=\overline{{\rm conv}({\rm ext}(B))}^{w^*\text{-topology}}
$$
が成り立つ。よって[[ネットによる位相空間論]]の'''命題2.4'''より任意の $\Phi\in S\subset B$ に対し、${\rm conv}({\rm ext}(B))$ のネット $(\Phi_{\lambda})_{\lambda\in\Lambda}$ で、弱 $*$-位相で $\Phi_{\lambda}\rightarrow\Phi$ なるものが取れる。ここで任意の $\epsilon\in (0,1)$ に対し、$(1-\epsilon) B$ も弱 $*$-位相でコンパクトであるから、$(1-\epsilon)B\subset B$ は弱 $*$-位相で閉集合である。そして $\Phi\notin (1-\epsilon)B$ であるので、ある $\lambda_0\in \Lambda$ に対し、
$$
\Phi_{\lambda}\notin (1-\epsilon)B\quad(\forall \lambda\geq\lambda_0)
$$
となる。よって、
$$
0\leq 1-\lVert \Phi_{\lambda}\rVert<\epsilon\quad(\forall \lambda\geq\lambda_0)
$$
であるから、$\lVert \Phi_{\lambda}\rVert\rightarrow 1$ が成り立つ。ゆえに、
$$
\Phi=\lim_{\lambda\in\Lambda}\frac{1}{\lVert \Phi_{\lambda}\rVert}\Phi_{\lambda}\in \overline{{\rm conv}({\rm ext}(S))}^{w^*\text{-topology}}
$$
<ref>$\Psi\in {\rm conv}({\rm ext}(B))$に対し、$\frac{\Psi}{\lVert \Psi\rVert}\in {\rm conv}({\rm ext}(S))$ であることは次のようにして分かる。$t_1,\ldots,t_n\in [0,1]$ で $\sum_{j=1}^{n}t_j=1$ なるものと $\Psi_1,\ldots,\Psi_n\in {\rm ext}(B)$ に対し、$\Psi=\sum_{j=1}^{n}t_j\Psi_j$ と表せる。'''系2.35'''より $\lVert\Psi\rVert=\sum_{j=1}^{n}t_j\lVert \Psi_j\rVert$ である。各$j\in \{1,\ldots,n\}$ に対し $\Psi_j=\lVert \Psi_j\rVert \Phi_j$　なる$\Phi_j\in S$ を取ると、$\lVert \Psi_j\rVert>0$　ならば $\Phi_j\in {\rm ext}(S)$（容易に示せる）であることが分かる。そして $\frac{\Psi}{\lVert \Psi\rVert}=\sum_{j=1}^{n}t_j\frac{\lVert \Psi_j\rVert}{\lVert \Psi\rVert}\Phi_j$ であり、$\sum_{j=1}^{n}t_j\frac{\lVert \Psi_j\rVert}{\lVert \Psi\rVert}=1$ であるから、$\frac{\Psi}{\lVert \Psi\rVert}\in {\rm conv}({\rm ext}(S))$である。</ref>が成り立つ。これより ${\rm conv}({\rm ext}(S))$ は $S$ において弱 $*$-位相で稠密である。
{{end|proof}}

===定理2.41（Gelfand-Raikovの定理）===
$G$ を局所コンパクト群とする。$x,y\in G$ が $x\neq y$ ならば、$G$ の既約なユニタリ表現 $\pi$ で、$\pi(x)\neq \pi(y)$ なるものが存在する。
{{begin|proof}}
Urysohnの補題（[[測度と積分7：局所コンパクトHausdorff空間上のRadon測度]]の'''定理27.6'''）より $\varphi\in C_c(G)$ で $\varphi(x)\neq \varphi(y)$ なるものが存在する。よって'''定理2.30'''より $p\in \mathcal{P}_1(G)$ で $p(x)\neq p(y)$ なるものが存在する。よって'''定理2.40'''より $p\in {\rm ext}(\mathcal{P}_1(G))$ で $p(x)\neq p(y)$ なるものが存在する。この $p\in {\rm ext}(\mathcal{P}_1(G))$ に対するGNS表現 $(\pi,v)$ を取ると、'''定理2.37'''より $\pi$ は既約であり、
$$
(v\mid \pi(x))=p(x)\neq p(y)=(v\mid \pi(y)v)
$$
より、$\pi(x)\neq \pi(y)$ である。
{{end|proof}}

==3. 局所コンパクト群の等質空間上の不変測度==

===定義3.1（左剰余類、左剰余類空間）===
$G$ を群、$H$ を $G$ の部分群とする。$x,y\in G$ が $y^{-1}x\in H$ を満たすことを $x\sim y$ と表すと、$\sim$ は $G$ における同値関係であり、この同値関係に関する $x\in G$ の同値類は $xH\subset G$ である。$xH$ を $H$ に関する $x$ の左剰余類と言う。そして $H$ に関する左剰余類全体からなる集合（同値関係 $\sim$ に関する商集合）を、
$$
G/H\colon=G/\sim =\{xH:x\in G\}
$$
と表し、$H$ に関する左剰余類空間と言う。商写像は今後、大抵、
$$
q\colon G\ni x\mapsto q(x)\colon=xH\in G/H
$$
と表す。

===定義3.2（正規部分群、剰余類群）===
$G$ を群、$H$ を $G$ の部分群とする。任意の $x\in G$ に対し $xH=Hx$ が成り立つとき、$H$ を $G$ の正規部分群と言う。$H$ が $G$ の正規部分群であるとき、左剰余類空間 $G/H$ に対し、
$$
G/H\times G/H\ni (q(x),q(y))\mapsto q(xy)\in G/H
$$
はwell-definedであり、この二項演算により左剰余類空間 $G/H$ は群をなす。この群 $G/H$ を $H$ に関する剰余類群と言う。このとき商写像
$$
q\colon G\ni x\mapsto q(x)\in G/H
$$
は全射群準同型写像である。

===定義3.3（局所コンパクト群の左剰余類空間の商位相）===
$G$ を局所コンパクト群、$H$ を $G$ の閉部分群、$G/H$ を左剰余類空間、$q\colon G\rightarrow G/H$ を商写像とする。
$$
\{V\subset G/H:\text{$q^{-1}(V)$ は $G$ の開集合}\}
$$
は $G/H$ の位相をなす。これを左剰余類空間 $G/H$ の商位相と言う。局所コンパクト群 $G$ とその閉部分群 $H$ に対し、左剰余類空間 $G/H$ には、特に断らない限り、この商位相が入っているものとする。

===命題3.4（左剰余類空間の商位相の基本性質）===
$G$ を局所コンパクト群、$H$ を $G$ の閉部分群、$G/H$ を左剰余類空間、$q\colon G\rightarrow G/H$ を商写像とする。
*$(1)$　$q\colon G\rightarrow G/H$ は連続かつ開写像（開集合を開集合に写す写像）である。また $G/H$ の任意の開集合 $V$ は $G$ のある開集合 $U$ に対し $V=q(U)$ と表せる。
*$(2)$　$G/H$ は局所コンパクトHausdorff空間である。また $G$ の第二可算性により $G/H$ は第二可算である。
*$(3)$　$G/H$ の任意のコンパクト集合 $C$ は $G$ のあるコンパクト集合 $K$ に対し $C=q(K)$ と表せる。
*$(4)$　$H$ が正規部分群であるとき $G/H$ は局所コンパクト群である。
{{begin|proof}}
*$(1)$　$q\colon G\rightarrow G/H$ が連続であることは $G/H$ の商位相の定義より自明である。$G$ の任意の開集合 $U$ に対し、
$$
q^{-1}(q(U))=UH=\bigcup_{x\in H}Ux
$$
は $G$ の開集合であるから $q(U)$ は $G/H$ の開集合である。よって $q$ は開写像である。今、$G/H$ の任意の開集合 $V$ を取る。商位相の定義より $U=q^{-1}(V)$ は $G$ の開集合であり、$q\colon G\rightarrow G/H$ は全射であるから、$V=q(q^{-1}(V))=q(U)$ である。
*$(2)$　$q(x)\neq q(y)$ とすると、$y^{-1}x\notin H$ であり、$H$ は $G$ の閉集合であるから、$G$ の群演算の連続性より単位元 $1\in G$ の開近傍 $U$ で、
$$
(yU)^{-1}(xU)\cap H=\emptyset\quad\quad(*)
$$
なるものが取れる。$(1)$ より $q(xU)$, $q(yU)$ はそれぞれ $q(x),q(y)\in G/H$ の開近傍であり、$(*)$ より $q(xU)\cap q(yU)=\emptyset$ であるから、$G/H$ はHausdorff空間である。$G$ の局所コンパクト性より任意の $x\in G$ に対し $x\in U\subset K$ なる $G$ の開集合 $U$ とコンパクト集合 $K$ が取れる。$(1)$ より $q(U)$ は $G/H$ の開集合、$q(K)$ は $G/H$ のコンパクト集合であり、$q(x)\in q(U)\subset q(K)$ である。よって $G/H$ の任意の元はコンパクトな近傍を持つので、$G/H$ は局所コンパクトHausdorff空間である。$(1)$ より $G$ の開集合の可算基 $\{U_n\}_{n\in \mathbb{N}}$ に対し、$\{q(U_n)\}_{n\in \mathbb{N}}$ は $G/H$ の開集合の可算基である。よって$G/H$ は第二可算である。
*$(3)$　任意のコンパクト集合 $C\subset G/H$ を取る。$(1)$ と $G$ の局所コンパクト性より閉包がコンパクトな有限個の開集合 $U_1,\ldots,U_n\subset G$ で、
$$
C\subset \bigcup_{j=1}^{n}q(U_j)\quad\quad(**)
$$
なるものが取れる。$(2)$ より $G/H$ はHausdorff空間であるから、コンパクト集合 $C$ は $G/H$ の閉集合であり、$\bigcup_{j=1}^{n}\overline{U_j}$ は $G$ のコンパクト集合であるから、
$$
K\colon =q^{-1}(C)\cap \bigcup_{j=1}^{n}\overline{U_j}
$$
は $G$ のコンパクト集合である。そして $(**)$ より $q(K)=C$ である。
*$(4)$ 任意の $x,y\in G$ を取る。$q(x)q(y)=q(xy)\in G/H$ の任意の開近傍は $(1)$ より $xy$ のある開近傍 $U\subset G$ に対し $q(U)$ と表せる。$G$ の乗法の連続性より $x,y\in G$ の開近傍 $U_1,U_2$ で　$U_1U_2\subset U$ なるものが取れて、$q(U_1)q(U_2)=q(U_1U_2)\subset q(U)$ であり、$q(U_1),q(U_2)\subset G/H$ はそれぞれ $q(x), q(y)\in G/H$ の開近傍であるから、$G/H$ の乗法は連続である。任意の $x\in G$ に対し $q(x)^{-1}=q(x^{-1})\in G/H$ の任意の開近傍は $(1)$ より $x^{-1}\in G$ のある開近傍 $U$ によって $q(U)$ と表せる。$U^{-1}$ は $x\in G$　の開近傍であるので、$(1)$ より $q(U^{-1})\subset G/H$ は $q(x)\in G/H$ の開近傍であり、$q(U^{-1})^{-1}=q(U)$ であるから $G/H$ の逆元を取る演算は連続である。
{{end|proof}}

===定義3.5（局所コンパクト群の局所コンパクトHausdorff空間への作用）===
$G$ を局所コンパクト群、$S$ を局所コンパクトHausdorff空間とする。
$$
G\times S\ni (x,s)\mapsto xs\in S\quad\quad(*)
$$
が $G$ の $S$ への作用であるとは次が成り立つことを言う。
*$(1)$　$(*)$ は連続である。
*$(2)$　任意の $s\in S$ に対し $1s=s$.
*$(3)$　任意の $x,y\in G$ と任意の $s\in S$ に対し $(xy)s=x(ys)$.
$(*)$ が $G$ の $S$ への作用であるとき、任意の $s\in S$ に対し、$G$ の閉部分群
$$
H_s\colon=\{x\in G:xs=s\}
$$
を $s$ における固定部分群と言う。

===定義3.6（局所コンパクト群の推移的作用と等質空間）===
$G$ を局所コンパクト群、$S$ を局所コンパクトHausdorff空間とする。$G$ の $S$ への作用
$$
G\times S\ni (x,s)\mapsto xs\in S
$$
が推移的であるとは、任意の $s,t\in S$ に対し、$t=xs$ なる $x\in G$ が存在することを言う。またこのとき $S$ を $G$ の等質空間と言う。

===定義3.7（群準同型写像の核）===
$G,H$ を群とし、$\varphi\colon G\rightarrow H$ を群準同型写像とする。
$$
{\rm Ker}(\varphi)=\{x\in G:\varphi(x)=1\}
$$
を $\varphi$ の核と言う。

===命題3.8（群準同型写像の核の基本性質）===
$G,H$ を群とし、$\varphi\colon G\rightarrow H$ を群準同型写像とする。このとき、
*$(1)$　$\varphi\colon G\rightarrow H$ が単射であることと ${\rm Ker}(\varphi)=\{1\}$ であることは同値である。
*$(2)$　${\rm Ker}(\varphi)$ は $G$ の正規部分群である。そして剰余類群 $G/{\rm Ker}(\varphi)$ を考えると、
$$
\widehat{\varphi}\colon G/{\rm Ker}(\varphi)\ni q(x)\mapsto\varphi(x)\in H
$$
はwell-definedな単射群準同型写像である。
{{begin|proof}}
*$(1)$　$\varphi(x_1)=\varphi(x_2)$ $\Leftrightarrow$ ${x_1}^{-1}x_2\in {\rm Ker}(\varphi)$ であることに注意すればよい。
*$(2)$　${\rm Ker}(\phi)$ は明らかに $G$ の部分群である。任意の $x\in G$ に対し $x^{-1}{\rm Ker}(\varphi)x\subset {\rm Ker}(\varphi)$ であるから ${\rm Ker}(\varphi)$ は $G$ の正規部分群である。$q(x_1)=q(x_2)$ ならば $x_1^{-1}x_2\in {\rm Ker}(\varphi)$ であるから $\varphi(x_1)=\varphi(x_2)$ である。よって $\widehat{\varphi}$ はwell-definedである。$\widehat{\varphi}$ は明らかに群準同型写像であり、${\rm Ker}(\widehat{\varphi})=\{1\}$ であるので、$\widehat{\varphi}$ は単射である。
{{end|proof}}

===例3.9（連続群準同型写像による作用）===
$G,H$ を局所コンパクト群、$\varphi\colon G\rightarrow H$ を連続群準同型写像とする。このとき、
$$
G\times H\ni (x,y)\mapsto \varphi(x)y\in H
$$
は $G$ の $H$ への作用である。この作用について $H$ の任意の点に関する固定部分群は ${\rm Ker}(\varphi)$ である。またこの作用が推移的であるための必要十分条件は $\varphi$ が全射であることである。

===例3.10（左剰余類空間への推移的作用）===
$G$ を局所コンパクト群、$H$ を $G$ の閉部分群とする。このとき'''命題3.4'''より、
$$
G\times G/H\ni (x,q(y))\mapsto q(xy)\in G/H
$$
は局所コンパクト群 $G$ の局所コンパクトHausdorff空間 $G/H$ への推移的作用である。

===定理3.11（Baireのカテゴリ定理（局所コンパクトHausdorff空間版））===
$X$ を局所コンパクトHausdorff空間、$(V_n)_{n\in \mathbb{N}}$ を $X$ の稠密な開集合の列とする。このとき $\bigcap_{n\in \mathbb{N}}V_n$ は $X$ で稠密である。
{{begin|proof}}
$A\colon=\bigcap_{n\in \mathbb{N}}V_n$ とおく。$\overline{A}=X$ を示すには、$X$ の任意の空でない開集合 $U_0$ を取り、
$$
U_0\cap A\neq\emptyset\quad\quad(*)
$$
が成り立つことを示せばよい。$\overline{V_1}=X$ であるから、$U_0\cap V_1\neq \emptyset$ であるので、[[測度と積分7：局所コンパクトHausdorff空間上のRadon測度]]の'''命題27.4'''より閉包がコンパクトな空でない開集合 $U_1$ で、
$$
\overline{U_1}\subset U_0\cap V_1
$$
を満たすものが取れる。$\overline{V_2}=X$ であるから、$U_1\cap V_2\neq \emptyset$ であるので、同様に[[測度と積分7：局所コンパクトHausdorff空間上のRadon測度]]の'''命題27.4'''より閉包がコンパクトな空でない開集合 $U_2$ で、
$$
\overline{U_2}\subset U_1\cap V_2
$$
を満たすものが取れる。同様の操作を続けていけば、閉包がコンパクトな空でない開集合の列 $(U_n)_{n\in \mathbb{N}}$ で、
$$
\overline{U_n}\subset U_{n-1}\cap V_n\quad(\forall n\in \mathbb{N})\quad\quad(**)
$$
を満たすものが構成できる。$(\overline{U_n})_{n\in \mathbb{N}}$ は空でないコンパクト集合の単調減少列であるから、
$$
\bigcap_{n\in \mathbb{N}}\overline{U_n}\neq\emptyset
$$
であり、$(**)$ より、
$$
\bigcap_{n\in \mathbb{N}}\overline{U_n}\subset U_0\cap \bigcap_{n\in \mathbb{N}}V_n=U_0\cap A
$$
であるから、$(*)$ が成り立つ。
{{end|proof}}

===系3.12===
$X$ を（空ではない）局所コンパクトHausdorff空間、$(F_n)_{n\in \mathbb{N}}$ を $X$ の閉集合の列とし、$X=\bigcup_{n\in \mathbb{N}}F_n$ であるとする。このときある $n\in \mathbb{N}$ に対し $F_n^{\circ}\neq\emptyset$ が成り立つ。
{{begin|proof}}
もし任意の $n\in \mathbb{N}$ に対し $F_n^{\circ}=\emptyset$ であるならば、
$$
\overline{X\backslash F_n}=X\backslash F_n^{\circ}=X\quad(\forall n\in \mathbb{N})
$$
であるから、'''定理3.11'''より $\bigcap_{n\in\mathbb{N}}(X\backslash F_n)$ は $X$ で稠密である。しかし仮定より、
$$
\bigcap_{n\in \mathbb{N}}(X\backslash F_n)=X\backslash \bigcup_{n\in \mathbb{N}}F_n=\emptyset
$$
であるので、$X$ が空ではないことに矛盾する。
{{end|proof}}

===定理3.13（等質空間は固定部分群に関する左剰余類空間）===
$G$ を局所コンパクト群、$S$ を局所コンパクトHausdorff空間とし、
$$
G\times S\ni (x,s)\mapsto xs\in S\quad\quad(*)
$$
を $G$ の $S$ への推移的作用とする。このとき任意の $s_0\in S$ に対し、
$$
G\ni x\mapsto xs_0\in S\quad\quad(**)
$$
は全射な開写像（開集合を開集合に写す写像）である。そして $s_0$ における固定部分群 $H_{s_0}=\{x\in G:xs_0=s_0\}$ に対し、左剰余類空間 $G/H_{s_0}$ と商写像 $q\colon G\rightarrow G/H_{s_0}$ を考えると、
$$
G/H_{s_0}\ni q(x)\mapsto xs_0\in S\quad\quad(***)
$$
は同相写像である。
{{begin|proof}}
$(**)$ が全射であることは $(*)$ が推移的作用であることによる。$(**)$ が開写像であることを示す。$G$ の任意の空でない開集合 $U$ を取り、$Us_0$ が $S$ の開集合であることを示せばよい。任意の $x_0\in U$ を取り、$1\in G$ のコンパクト対称近傍 $V$ で、$x_0VV\subset U$ なるものを取る。
$$
G\subset \bigcup_{y\in G}yV^{\circ}
$$
であり、$G$ は第二可算なのでLindelöfであるから、$G$ の列 $(y_n)_{n\in \mathbb{N}}$ で、
$$
G=\bigcup_{n\in \mathbb{N}}y_nV^{\circ}
$$
なるものが取れる。$(**)$ が全射であることから、
$$
S=\bigcup_{n\in \mathbb{N}}y_n(V^{\circ}s_0)=\bigcup_{n\in \mathbb{N}}y_n(Vs_0)
$$
であり、$V$ のコンパクト性より $Vs_0$ は $S$ のコンパクト集合、したがって閉集合であるから、'''系3.12'''より、
$$
(Vs_0)^{\circ}\neq\emptyset
$$
である。そこで $x_1\in V$ で、$x_1s_0\in (Vs_0)^{\circ}$ なるものを取れば、
$$
x_0s_0=x_0x_1^{-1}x_1s_0\in x_0x_1^{-1}(Vs_0)^{\circ}\subset x_0VVs_0\subset Us_0
$$
であり、$x_0x_1^{-1}(Vs_0)^{\circ}$ は $S$ の開集合であるので、$x_0s_0\in Us_0$ は $Us_0$ の内点である。よって $x_0\in U$ の任意性より $Us_0$ は $S$ の開集合である。ゆえに $(**)$ は開写像である。 
$q(x_1)=q(x_2)$ ならば、$x_1^{-1}x_2\in H_{s_0}$ であるから、
$$
x_1s_0=x_1(x_1^{-1}x_2)s_0=x_2s_0
$$
である。よって $(***)$ はwell-definedである。$(**)$ が全射であることから $(***)$ も全射である。そしてて $x_1s_0=x_2s_0$ ならば、$x_2^{-1}x_1s_0=s_0$ であるから、$x_2^{-1}x_1\in H_{s_0}$ であるので $q(x_1)=q(x_2)$ である。よって $(***)$ は全単射である。$(**)$ は連続な開写像であるから、'''命題3.4'''より $(***)$ は同相写像である。
{{end|proof}}

===注意3.14（第二可算局所コンパクト群の等質空間は第二可算）===
局所コンパクト群 $G$ の等質空間 $S$ は $G$ の第二可算性より第二可算である。実際、'''定理3.13'''より $S$ はある固定部分群による左剰余類空間と同相であり、'''命題3.4'''より左剰余類空間は、$G$ の第二可算性により第二可算である。

===系3.15===
$G,H$ を局所コンパクト群、$\varphi\colon G\rightarrow H$ を全射連続群準同型写像とする。このとき、
$$
G/{\rm Ker}(\varphi)\ni q(x)\mapsto \varphi(x)\in H\quad\quad(*)
$$
は同型同相写像である。
{{begin|proof}}
$(*)$ が群同型写像であることは $\varphi$ が全射であることと'''命題3.8'''の $(2)$ による。$G$ の $H$ への作用
$$
G\times H\ni (x,y)\mapsto \varphi(x)y\in H
$$
は $\varphi$ が全射であることから推移的である。そこでこの作用の $1\in H$ に関する固定部分群 ${\rm Ker}(\varphi)$ を考えて、'''定理3.13'''を適用すれば、$(*)$ が同相写像であることが言える。
{{end|proof}}

===定義3.16（等質空間上の関数の平行移動）===
$G$ を局所コンパクト群、$S$ を $G$ の等質空間とし、$f$ を $S$ 上の関数とする。任意の $x\in G$ に対し、$S$ 上の関数 $L_xf$ を、
$$
L_xf(s)\colon= f(x^{-1}s)\quad(\forall s\in S)
$$
として定義する。このとき任意の $x,y\in G$ に対し $L_xL_yf=L_{xy}f$ が成り立つ。

===命題3.17（等質空間における平行移動の一様連続性）===
$G$ を局所コンパクト群、$S$ を $G$ の等質空間とし、$f\in C_0(S)$ とする。このとき、任意の $\epsilon\in (0,\infty)$ に対し、単位元 $1\in G$ の対称開近傍 $V$ で、
$$
y^{-1}x\in V\quad\Rightarrow \quad \lvert L_yf(s)-L_xf(s)\rvert<\epsilon\quad(\forall s\in S)
$$
なるものが存在する。すなわち、
$$
G\ni x\mapsto L_xf\in C_0(S)
$$
は $\sup$ ノルムに関して連続である。
{{begin|proof}}
任意の $\epsilon\in (0,\infty)$ を取り固定する。$f\in C_0(S)$ は無限遠で消える連続関数であるから、$K\colon=(\lvert f\rvert\geq \frac{\epsilon}{2})$ はコンパクト集合である。$f$ は連続であるから、各 $s\in K$ に対し $1\in G$ の開近傍 $U_s$ で、
$$
\lvert f(t)-f(s)\rvert<\frac{\epsilon}{2}\quad(\forall t\in (U_s)s)
$$
なるものが取れる。各 $s\in K$ に対し $1\in G$ の対称開近傍 $V_s$ で、$V_sV_s\subset U_s$ なるものを取る。
$$
K\subset \bigcup_{s\in K}(V_s)s
$$
であり、'''定理3.13'''より各 $(V_s)s$ は $S$ の開集合であるから、$K$ のコンパクト性より有限個の $s_1,\ldots,s_n\in K$ が取れて、
$$
K\subset \bigcup_{j=1}^{n}(V_{s_j})s_j
$$
が成り立つ。$1\in G$ の対称開近傍
$$
V\colon=\bigcap_{j=1}^{n}V_{s_j}
$$
を考える。$y^{-1}x\in V$ を満たす任意の $x,y\in G$ と任意の $s\in S$ を取り、
$$
\lvert f(y^{-1}s)-f(x^{-1}s)\rvert<\epsilon
$$
が成り立つことを示せばよい。もし $x^{-1}s,y^{-1}s\notin K$ ならば、$K$ の定義より、
$$
\lvert f(y^{-1}s)-f(x^{-1}s)\rvert\leq \lvert f(y^{-1}s)\rvert+\lvert f(x^{-1}s)\rvert<\epsilon
$$
である。またもし $x^{-1}s\in K$ ならば、$x^{-1}s\in (V_{s_j})s_j$ なる $j\in \{1,\ldots,n\}$ が取れて、
$$
y^{-1}s=y^{-1}x(x^{-1}s)\in V(V_{s_j})s_j\subset (V_{s_j}V_{s_j})s_j\subset U_{s_j}s_j
$$
となる。よって $x^{-1}s,y^{-1}s\in (U_{s_j})s_j$ であるから、
$$
\lvert f(y^{-1}s)-f(x^{-1}s)\rvert\leq \lvert f(y^{-1}s)-f(s_j)\rvert+\lvert f(s_j)-f(x^{-1}s_j)\rvert<\epsilon
$$
である。$V$ の対称性より $y^{-1}x\in V$ は $x^{-1}y\in V$ を意味するので、$y^{-1}s\in K$ であるとしても同様にして上式が成り立つことが分かる。よって $x,y\in G$ が $y^{-1}x\in V$ を満たす限り、
$$
\lvert f(y^{-1}s)-f(x^{-1}s)\rvert<\epsilon\quad(\forall s\in S)
$$
が成り立つ。
{{end|proof}}

===定義3.18（等質空間上の不変測度）===
$G$ を局所コンパクト群、$S$ を $G$ の等質空間とする。$S$ 上のRadon測度 $\nu\colon \mathcal{B}_S\rightarrow [0,\infty]$ が、
$$
\nu(S)>0,\quad \nu(xB)=\nu(B)\quad(\forall x\in G,\forall B\in \mathcal{B}_S)
$$
を満たすとき、$\nu$ を $S$ 上の $G$-不変測度と言う。 
'''注意3.14'''より、$S$ は第二可算局所コンパクトHausdorff空間である。よって'''注意1.5'''で述べたように、$S$ 上のBorel測度がRadon測度であるための必要十分条件は、任意のコンパクト集合に対して有限測度を与えることである。

===命題3.19（等質空間上の不変測度による積分の不変性）===
$G$ を局所コンパクト群、$S$ を $G$ の等質空間、$\nu\colon \mathcal{B}_S\rightarrow [0,\infty]$ を $S$ 上の $G$-不変測度とする。このとき任意の非負値Borel関数 $f\colon S\rightarrow [0,\infty]$ に対し、
$$
\int_{S}L_xf(s)d\nu(s)=\int_{S}f(s)d\nu(s)\quad(\forall x\in G)
$$
が成り立つ。
{{begin|proof}}
非負値Borel関数の非負値Borel単関数の各点単調増加列による近似（[[測度と積分1：測度論の基礎用語]]の'''定理5.5'''）より、$f$ がある $B\in \mathcal{B}_S$ の指示関数である、すなわち $f=\chi_B$ である場合を示せば十分であるが、$G$-不変測度の定義より、
$$
\int_{S}L_x\chi_B(s)d\nu(s)=\int_{S}\chi_B(x^{-1}s)d\nu(s)=\int_{S}\chi_{xB}(s)d\nu(s)=\nu(xB)=\nu(B)=\int_{S}\chi_B(s)d\nu(s)
$$
である。
{{end|proof}}

===命題3.20（空でない開集合の不変測度）===
$G$ を局所コンパクト群、$S$ を $G$ の等質空間、$\nu\colon \mathcal{B}_S\rightarrow [0,\infty]$ を $S$ 上の $G$-不変測度とする。このとき任意の空でない開集合 $U\subset S$ に対し $\nu(U)>0$ が成り立つ。
{{begin|proof}}
$\nu(U)=0$ なる空でない開集合 $U\subset S$ が存在すると仮定して矛盾を導く。任意のコンパクト集合 $K\subset S$ に対し、$G$ の $S$ への作用が推移的であることから、
$$
K\subset \bigcup_{x\in G}xU
$$
が成り立つ。各 $xU$ は $S$ の開集合なので、有限個の $x_1,\ldots,x_n\in G$ で、
$$
K\subset \bigcup_{j=1}^{n}x_jU
$$
なるものが取れる。よって、
$$
\nu(K)\leq \sum_{j=1}^{n}\nu(x_jU)=\sum_{j=1}^{n}\nu(U)=0
$$
となるので、Radon測度の内部正則性（[[測度と積分7：局所コンパクトHausdorff空間上のRadon測度]]の'''定義29.3'''）より、
$$
\nu(S)=\sup\{\nu(K):\text{$K\subset S$ はコンパクト}\}=0
$$
となる。しかし不変測度の定義より $\nu(S)>0$ であるので矛盾する。
{{end|proof}}

===定理3.21（等質空間における平行移動の $L^p$ 連続性）===
$G$ を局所コンパクト群、$S$ を $G$ の等質空間、$\nu\colon \mathcal{B}_S\rightarrow [0,\infty]$ を $S$ 上の $G$-不変測度とする。このとき任意の $p\in [1,\infty)$ と任意の $[f]\in L^p(S,\nu)$ に対し、
$$
G\ni x\mapsto L_x[f]\colon=[L_xf]\in L^p(S,\nu)
$$
は連続である。
{{begin|proof}}
'''命題3.19'''より、
$$
\lVert L_x[f]\rVert_p=\lVert [f]\rVert_p\quad(\forall x\in G)
$$
である。また $\nu$ はRadon測度なので[[測度と積分7：局所コンパクトHausdorff空間上のRadon測度]]の'''命題32.1'''より $L^p(S,\nu)$ において $C_c(S)$ は稠密である。よって任意の $f\in C_c(S)$ に対し、
$$
G\ni x\mapsto L_xf\in L^p(S,\nu)\quad\quad(*)
$$
が $L^p$ ノルムで連続であることを示せば十分である。$L_{x_1}L_{x_2}f=L_{x_1x_2}f$ $(\forall x_1,x_2\in G)$ であるから、単位元 $1\in G$ における連続性を示せば十分である。$1\in G$ のコンパクト近傍 $V_0$ を取り固定する。任意の $\epsilon\in (0,\infty)$ に対し、'''命題3.17'''より $1\in G$ の近傍 $V\subset V_0$ で、
$$
x\in V\quad\Rightarrow\quad \lvert L_xf(s)-f(s)\rvert\leq\epsilon\quad(\forall s\in S)
$$
なるものが取れる。
$$
{\rm supp}(L_xf-f)\subset V{\rm supp}(f)\subset V_0{\rm supp}(f)\quad(\forall x\in V)
$$
であるから、
$$
\lvert L_xf(s)-f(s)\rvert\leq \epsilon\chi_{V_0{\rm supp}(f)}(s)\quad(\forall x\in V,\forall s\in S)
$$
であるので、任意の $x\in V$ に対し、
$$
\lVert L_xf-f\rVert_p=\left(\int_{S}\lvert L_xf(s)-f(s)\rvert^pd\nu(s)\right)^{\frac{1}{p}}\leq \epsilon\nu(V_0{\rm supp}(f))^{\frac{1}{p}}
$$
が成り立つ。$V_0{\rm supp}(f)$ はコンパクトであるから $\nu(V_0{\rm supp}(f))<\infty$ であり、$\epsilon$ は $f,V_0$ によらない任意の正実数なので、$(*)$ は $1\in G$ において $L^p$ ノルムで連続である。
{{end|proof}}

===補題3.22===
$G$ を局所コンパクト群、$S$ を $G$ の等質空間、$s\in S$ とする。そして $s$ における固定部分群 $H_s=\{x\in G:xs=s\}$ 上のHaar測度を $\mu_{H_s}\colon \mathcal{B}_{H_s}\rightarrow [0,\infty]$ とする。このとき任意の $f\in C_c(G)$ に対し、
$$
Pf(xs)\colon=\int_{H_s}f(xy)d\mu_{H_s}(y)\quad(\forall x\in G)
$$
とおくと、$Pf\colon S\rightarrow \mathbb{C}$ はwell-definedであり、$Pf\in C_c(S)$ である。そして、
$$
C_{c,+}(G)\ni f\mapsto Pf\in C_{c,+}(S)\quad\quad(*)
$$
は全射であり、
$$
C_{c,\mathbb{R}}(G)\ni f\mapsto Pf\in C_{c,\mathbb{R}}(S)\quad\quad(**)
$$
は全射実線形写像である。ただし $C_{c,+}(G), C_{c,+}(S)$ は台がコンパクトな非負値連続関数全体、$C_{c,\mathbb{R}}(G), C_{c,\mathbb{R}}(S)$ は台がコンパクトな実数値連続関数全体である。
{{begin|proof}}
$x_1s=x_2s$ ならば $x_1^{-1}x_2\in H_s$ であるから、Haar測度による積分の左不変性より、任意の $f\in C_c(G)$ に対し、
$$
\int_{H_s}f(x_1y)d\mu_{H_s}(y)=\int_{H_s}f(x_1x_2^{-1}x_2y)d\mu_{H_s}(y)=\int_{H_s}f(x_2y)d\mu_{H_s}(y)
$$
である。よって $Pf\colon S\rightarrow\mathbb{C}$ はwell-definedである。任意の $x_0\in G$ と $x_0$ のコンパクト近傍 $V$ に対し、$H_s\cap (V^{-1}{\rm supp}(f))$ はコンパクトだから $\mu_{H_s}(H_s\cap V^{-1}{\rm supp}(f))<\infty$ であり、任意の $x\in V$ に対し、
$$
\begin{aligned}
&\left\lvert \int_{H_s}f(xy)d\mu_{H_s}(y)-\int_{H_s}f(x_0y)d\mu_{H_s}(y)\right\rvert
\leq \int_{H_s}\lvert f(xy)-f(x_0y)\rvert d\mu_{H_s}(y)\\
&\leq \sup_{y\in H_s}\lvert f(xy)-f(x_0y)\rvert \mu_{H_s}(H_s\cap V^{-1}{\rm supp}(f))
\end{aligned}
$$
であるから、'''命題1.3'''より、
$$
G\ni x\mapsto \int_{H_s}f(xy)d\mu_{H_s}(y)\in \mathbb{C}
$$
は連続である。このことと $x\in G$ の任意の開近傍 $U$ に対し　$Us$ は $xs\in S$ の開近傍であること('''定理3.13''')から、$Pf\colon S\rightarrow\mathbb{C}$ は連続である。任意の $f\in C_c(G)$ に対し ${\rm supp}(f)s\subset S$ はコンパクトであるから、Urysohnの補題（[[測度と積分7：局所コンパクトHausdorff空間上のRadon測度]]の'''定理27.6'''）より ${\rm supp}(f)s$ 上で常に $1$ を取る $h\in C_{c,+}(S)$ が取れる。このとき、
$$
f(x)=h(xs)f(x)\quad(\forall x\in G)
$$
であるので、
$$
Pf(xs)=\int_{H_s}h(xys)f(xy)d\mu_{H_s}(y)=h(xs)\int_{H_s}f(xy)d\mu_{H_s}(y)=h(xs)Pf(xs)\quad(\forall x\in G),
$$
よって $Pf=hPf\in C_c(S)$ である。今、$(*)$ が全射であることを示す。任意の $\varphi\in C_{c,+}(S)$ を取る。コンパクト集合 ${\rm supp}(\varphi)\subset S$ に対し'''命題3.4'''の $(3)$ と'''定理3.13'''より、コンパクト集合 $K\subset G$ で、
$$
Ks={\rm supp}(\varphi)
$$
なるものが取れる。Urysohnの補題より $K$ 上で常に $1$ を取る $g\in C_{c,+}(G)$ が取れて、任意の $x\in K$ に対し、
$$
Pg(xs)=\int_{H_s}g(xy)d\mu_{H_s}(y)>0
$$
<ref>任意の $x\in K$ に対し、非負値連続関数 $H_s\ni y\mapsto g(xy)\in [0,\infty)$ は $1\in H_s$ において $1$ であるから、'''命題1.8'''より $\int_{H_s}g(xy)d\mu_{H_s}(y)>0$ である。</ref>であるので、
$$
{\rm supp}(\varphi)=Ks\subset (Pg>0)
$$
である。そこで $\psi\colon S\rightarrow [0,\infty)$ を、
$$
\psi(t)\colon=\begin{cases}\frac{\varphi(t)}{Pg(t)}\quad&(t\in (Pg>0))\\
0&(t\notin (Pg>0))\end{cases}
$$
と定義すれば、$\psi$ は開集合 $(Pg>0)$ 上で連続で、開集合 $S\backslash {\rm supp}(\varphi)$ 上で $0$ であり、
$$
S=(Pg>0)\cup (S\backslash {\rm supp}(\varphi))
$$
であるから、$\psi\colon S\rightarrow [0,\infty)$ は連続である。そこで、
$$
f(x)\colon=\psi(xs)g(x)\quad(\forall x\in G)
$$
とおけば、$f\in C_{c,+}(G)$ であり、
$$
Pf(xs)=\int_{H_s}\psi(xys)g(xy)d\mu_{H_s}(y)=\psi(xs)\int_{H_s}g(xy)d\mu_{H_s}(y)
=\psi(xs)Pg(xs)=\varphi(xs)\quad(\forall x\in G)
$$
である。よって $(*)$ は全射である。任意の $\varphi\in C_{c,\mathbb{R}}(S)$ に対し、
$$
\varphi_{\pm}={\rm max}(\pm \varphi,0)\in C_{c,+}(S),\quad \varphi=\varphi_+-\varphi_-
$$
であるから、$(**)$ も全射である。$(**)$ が実線形写像であることは自明である。
{{end|proof}}

===定理3.23（等質空間上の不変測度の存在条件と一意性）===
$G$ を局所コンパクト群、$\Delta_G\colon G\rightarrow (0,\infty)$ を $G$ のモジュラー関数（'''定義1.15'''）、$S$ を $G$ の等質空間とし、任意の $s\in S$ に対し $s$ における固定部分群 $H_s=\{x\in G:xs=s\}$ 上のモジュラー関数を $\Delta_{H_s}\colon H_s\rightarrow (0,\infty)$ とする。このとき次は互いに同値である。
*$(1)$　$S$ は $G$-不変測度を持つ。
*$(2)$　任意の $s\in S$ に対し $\Delta_{H_s}(x)=\Delta_G(x)$ $(\forall x\in H_s) $が成り立つ。
*$(3)$　ある $s\in S$ に対し $\Delta_{H_s}(x)=\Delta_G(x)$ $(\forall x\in H_s)$ が成り立つ。
また$S$が$G$-不変測度を持つならば、それは正数倍を除いて一意的である。すなわち、$\nu_1,\nu_2:{\cal B}_S\rightarrow [0,\infty]$ が共に $G$-不変測度ならば、ある正数$c$ が存在し、$\nu_2(B)=c\nu_1(B)$ $(\forall B\in {\cal B}_S)$ が成り立つ。
{{begin|proof}}
$(1)\Rightarrow(2)$ を示す。$S$が$G$-不変測度 $\nu\colon \mathcal{B}_S\rightarrow [0,\infty]$ を持つとする。任意の $s\in S$ を取り、$\mu_{H_s}\colon \mathcal{B}_{H_s}\rightarrow[0,\infty]$ を $H_s$ 上のHaar測度とし、'''補題3.22'''における非負値性を保存する全射線形写像
$$
C_c(G)\ni f\mapsto Pf\in C_c(S),\quad Pf(xs)=\int_{H_s}f(xy)d\mu_{H_s}(y)\quad(\forall f\in C_c(G),\forall x\in G)\quad\quad(*)
$$
を考えると、
$$
\begin{aligned}
PL_zf(xs)&=\int_{H_s}L_zf(xy)d\mu_{H_s}(y)=\int_{H_s}f(z^{-1}xy)d\mu_{H_s}(y)\\
&=Pf(z^{-1}xs)=L_zPf(xs)\quad(\forall f\in C_c(G),\forall x,z\in G)
\end{aligned}
$$
であるから、
$$
PL_zf=L_zPf\quad(\forall f\in C_c(G),\forall z\in G)
$$
であるので、$G$-不変測度による積分の不変性より、
$$
\int_{S}PL_zf(t)d\nu(t)=\int_{S}L_zPf(t)d\nu(t)=\int_{S}Pf(t)d\nu(t)\quad(\forall f\in C_c(G))
$$
である。よってRiesz-Markov-角谷の表現定理（[[測度と積分7：局所コンパクトHausdorff空間上のRadon測度]]の'''定理30.4'''）により、Radon汎関数
$$
C_{c,\mathbb{R}}(G)\ni f\mapsto \int_{S}Pf(t)d\nu(t)\in \mathbb{R}
$$
に対応する $G$ のRadon測度 $\mu\colon \mathcal{B}_G\rightarrow [0,\infty]$ を考えると、$\mu$は、
$$
\begin{aligned}
\int_{G}f(x)d\mu(x)&=\int_{S}Pf(t)d\nu(t)=\int_{S}PL_zf(t)d\nu(t)\\
&=\int_{G}L_zf(x)d\mu(x)\quad(\forall f\in C_c(G),\forall z\in G)
\end{aligned}
$$
を満たすから、$\mu$ は $G$ のHaar測度である<ref>[[測度と積分7：局所コンパクトHausdorff空間上のRadon測度]]の'''命題29.4'''の $(2)$ とRadon測度の外部正則性による。</ref>。任意の $z\in H_s$ に対し、モジュラー関数の基本性質（'''命題1.16'''の $(1)$）より、
$$
\begin{aligned}
\Delta_G(z)\int_{G}f(x)d\mu(x)&=\int_{G}R_{z^{-1}}f(x)d\mu(x)=\int_{S}PR_{z^{-1}}f(t)d\nu(t)\\
&=\int_{S}\int_{H_s}R_{z^{-1}}f(xy)d\mu_{H_s}(y)d\nu(xs)
=\int_{S}\int_{H_s}f(xyz^{-1})d\mu_{H_s}(y)d\nu(xs)\\
&=\int_{S}\Delta_{H_s}(z)\int_{H_s}f(xy)d\mu_{H_s}(y)d\nu(xs)=\Delta_{H_s}(z)\int_{S}Pf(t)d\nu(t)\\
&=\Delta_{H_s}(z)\int_{G}f(x)d\mu(x)\quad(\forall f\in C_c(G))
\end{aligned}
$$
であるから $\Delta_G(z)=\Delta_{H_s}(z)$ である。よって $(2)$ が成り立つ。 
$(2)\Rightarrow(3)$ は自明である。$(3)\Rightarrow(1)$ を示す。$(3)$ が成り立つとし、非負性を保存する全射線形写像 $(*)$ を考える。$\mu\colon \mathcal{B}_G\rightarrow [0,\infty]$ を $G$ のHaar測度とする。今、
$$
Pf=0\quad\Rightarrow\quad \int_{G}f(x)d\mu(x)=0\quad\quad(**)
$$
が成り立つことを示す。そこで $Pf=0$ なる $f\in C_c(G)$ を取る。モジュラー関数の基本性質（'''命題1.16'''の $(3)$）より、
$$
\begin{aligned}
0&=Pf(xs)=\int_{H_s}f(xy)d\mu_{H_s}(y)=\int_{H_s}\Delta_{H_s}(y^{-1})f(xy^{-1})d\mu_{H_s}(y)\\
&=\int_{H_s}\Delta_G(y^{-1})f(xy^{-1})d\mu_{H_s}(y)\quad(\forall x\in G)\quad\quad(***)
\end{aligned}
$$
である。${\rm supp}(f)s\subset S$ のコンパクト性とUrysohnの補題（[[測度と積分7：局所コンパクトHausdorff空間上のRadon測度]]の'''定理27.6'''）、$(*)$ の全射性より、$g\in C_c(G)$ で、
$$
Pg(xs)=1\quad(\forall x\in {\rm supp}(f))
$$
なるものが取れる。よって $(***)$ とFubiniの定理、モジュラー関数の基本性質（'''命題1.16'''の $(1),(3)$）より、
$$
\begin{aligned}
0&=\int_{G}g(x)\int_{H_s}\Delta_{G}(y^{-1})f(xy^{-1})d\mu_{H_s}(y)d\mu(x)\\
&=\int_{H_s}\int_{G}\Delta_G(y^{-1})g(x)f(xy^{-1})d\mu(x)d\mu_{H_s}(y)\\
&=\int_{H_s}\int_{G}g(xy)f(x)d\mu(x)d\mu_{H_s}(y)\\
&=\int_{S}Pg(xs)f(x)d\mu(x)=\int_{G}f(x)d\mu(x)
\end{aligned}
$$
であるから $(**)$ が成り立つ。$(**)$ と、$(*)$ が非負性を保存する全射線形写像であることから、
$$
C_{c,\mathbb{R}}(S)\ni Pf\mapsto \int_{G}f(x)d\mu(x)\in \mathbb{R}
$$
はwell-definedなRadon汎関数である。よってRiesz-Markov-角谷の表現定理（[[測度と積分7：局所コンパクトHausdorff空間上のRadon測度]]の'''定理30.4'''）より、$S$ のRadon測度 $\nu\colon \mathcal{B}_S\rightarrow [0,\infty]$ で、
$$
\int_{S}Pf(t)d\nu(t)=\int_{G}f(x)d\mu(x)\quad(\forall Pf\in C_c(S))
$$
なるものが定まり、
$$
\begin{aligned}
&\int_{S}L_zPf(t)d\nu(t)=\int_{S}PL_zf(t)d\nu(t)=\int_{G}L_zf(x)d\mu(x)\\
&=\int_{G}f(x)d\mu(x)=\int_{S}Pf(t)d\nu(t)\quad(\forall Pf\in C_c(S),\forall z\in G)
\end{aligned}
$$
であるから、$\nu$ は $G$-不変測度である。よって $(1)$ が成り立つ。 
$\nu_1,\nu_2\colon \mathcal{B}_S\rightarrow [0,\infty]$ を $S$ の $G$-不変測度とする。任意の $s\in S$ を取り全射線形写像 $(*)$ を考えれば、$(1)\Rightarrow(2)$ で示したように、$G$ のHaar測度 $\mu_1,\mu_2\colon \mathcal{B}_G\rightarrow [0,\infty]$ で、
$$
\int_{S}Pf(t)d\nu_k(t)=\int_{G}f(x)d\mu_k(x)\quad(\forall f\in C_c(G),k=1,2)
$$
を満たすものが取れる。'''定理1.14'''よりある正数 $c$ に対し、
$$
\mu_2(B)=c\mu_1(B)\quad(\forall B\in \mathcal{B}_G)
$$
が成り立つから、
$$
\int_{S}Pf(t)d\nu_2(t)=\int_{G}f(x)d\mu_2(x)=c\int_{G}f(x)d\mu_1(x)=c\int_{S}Pf(t)d\nu(t)\quad(\forall Pf\in C_c(S))
$$
である。よって、
$$
\nu_2(B)=c\nu_1(B)\quad(\forall B\in\mathcal{B}_S)
$$
が成り立つ。ゆえに $S$ の $G$-不変測度は正数倍を除いて一意的である。
{{end|proof}}

===系3.24（局所コンパクト可換群、離散群、コンパクト群の等質空間における不変測度の存在と一意性）===
$G$ を局所コンパクト可換群、離散群、コンパクト群のいずれかとすると、$G$ の等質空間は $G$-不変測度を持ち、それは正数倍を除いて一意的である。
{{begin|proof}}
$G$ を局所コンパクト可換群（resp. 離散群、コンパクト群）とすると、$G$ の任意の閉部分群も局所コンパクト可換群（resp. 離散群、コンパクト群）である。そして局所コンパクト可換群（resp. 離散群、コンパクト群）はユニモジュラーである（'''命題1.18'''）から、'''定理3.23'''の条件 $(2)$ を満たす。
{{end|proof}}

===定義3.25（局所コンパクト群の等質空間の $L^2$ 空間上への正則表現）===
$G$ を局所コンパクト群、$S$ を $G$ の等質空間、$\nu\colon \mathcal{B}_S\rightarrow [0,\infty]$ を $G$-不変測度とする。任意の $x\in G$ に対し、
$$
\pi(x)\colon L^2(S,\nu)\rightarrow L^2(S,\nu),\quad \pi(x)[f]\colon=L_x[f]=[L_xf]\quad(\forall [f]\in L^2(S,\nu))
$$
とおくと、不変測度による積分の不変性より、$\pi(x)$ はHilbert空間 $L^2(S,\nu)$ 上のユニタリ作用素である。そして'''定理3.21'''より、
$$
G\ni x\mapsto \pi(x)\in \mathbb{U}(L^2(S,\nu))
$$
はSOT連続な群準同型写像である。よって $\pi$ は $G$ のHilbert空間 $L^2(S,\nu)$ 上へのユニタリ表現である。これを $G$ の $L^2(S,\nu)$ 上への正則表現と言う。

==4. コンパクト群のユニタリ表現、Peter-Weylの定理==

===定義4.1（確率測度）===
$(X,\frak{M},\mu)$ を測度空間とする。$\mu(X)=1$ であるとき、$\mu$ を $(X.\frak{M})$ 上の確率測度と言う。

===定義4.2（コンパクト群のHaar測度）===
$G$ をコンパクト群とする。$G$ はHaar測度 $\mu$ を持ち（'''定理1.13'''）、それは正数倍を除いて一意的である（'''定理1.14'''）。またHaar測度はRadon測度であるので、$G$ のコンパクト性より、$G$ のHaar測度は有限測度である。よって $G$ のHaar測度で確率測度であるものが唯一つ存在する。以後、特に断らない限り、コンパクト群のHaar測度と言えば、確率測度であることとする。

===定義4.3===
$G$ をコンパクト群、$\mu\colon \mathcal{B}_G\rightarrow [0,1]$ をHaar測度とする。$G$ のユニタリ表現 $\pi_1,\pi_2$ と任意の $v_1\in \mathcal{H}_{\pi_1}$, $v_2\in \mathcal{H}_{\pi_2}$ に対し、Schatten形式（[[Hilbert空間上の作用素論]]の'''定義13.5'''）により、Banach空間値連続関数
$$
G\ni x\mapsto \pi_1(x)v_1\odot \pi_2(x)v_2\in \mathbb{B}(\mathcal{H}_{\pi_2},\mathcal{H}_{\pi_1})
$$
を考える。そしてBochner積分（[[測度と積分9：Bochner積分]]の'''定義44.1'''）により、
$$
T^{\pi_1,\pi_2}_{v_1,v_2}\colon=\int_{G}(\pi_1(x)v_1\odot \pi_2(x)v_2)d\mu(x)\in \mathbb{B}(\mathcal{H}_{\pi_2},\mathcal{H}_{\pi_1})
$$
を定義する。このときBochner積分の基本性質（[[測度と積分9：Bochner積分]]の'''命題44.2'''）とSchatten形式の基本性質（[[Hilbert空間上の作用素論]]の'''命題13.6'''）、およびHaar測度による積分の左不変性より、
$$
\begin{aligned}
T^{\pi_1,\pi_2}_{v_1,v_2}\pi_2(y)&=\int_{G}(\pi_1(x)v_1\odot \pi_2(x)v_2)\pi_2(y)d\mu(x)=\int_{G}(\pi_1(x)v_1\odot \pi_2(y)^*\pi_2(x)v_2)d\mu(x)\\
&=\int_{G}(\pi_1(x)v_1\odot \pi_2(y^{-1}x)v_2)d\mu(x)=\int_{G}(\pi_1(yx)v_1\odot \pi_2(x)v_2)d\mu(x)\\
&=\int_{G}\pi_1(y)(\pi_1(x)v_1\odot \pi_2(x)v_2)d\mu(x)=\pi_1(y)T^{\pi_1,\pi_2}_{v_1,v_2}\quad(\forall y\in G)
\end{aligned}
$$
であるから、
$$
T^{\pi_1,\pi_2}_{v_1,v_2}\in \mathcal{C}(\pi_2,\pi_1)\quad\quad(*)
$$
（'''定義2.7'''）が成り立つ。また $G$ の任意のユニタリ表現 $\pi$ と任意の $u,v\in \mathcal{H}_{\pi}$ に対し、
$$
T^{\pi}_{u,v}\colon=T^{\pi,\pi}_{u,v}=\int_{G}(\pi(x)u\odot \pi(x)v)d\mu(x)\in \mathbb{B}(\mathcal{H}_{\pi})
$$
と定義する。[[Hilbert空間上の作用素論]]の'''命題16.15'''より、
$$
G\ni x\mapsto \pi(x)u\odot \pi(x)v\in \mathbb{B}^1(\mathcal{H}_{\pi})
$$
はBanach空間 $\mathbb{B}^1(\mathcal{H}_{\pi})$（$\mathcal{H}_{\pi}$ 上のトレースクラス）値連続関数であるから、
$$
T^{\pi}_{u,v}=\int_{G}(\pi(x)u\odot \pi(x)v)d\mu(x)\in \mathbb{B}^1(\mathcal{H}_{\pi})
$$
であり、トレース ${\rm Tr}\colon \mathbb{B}^1(\mathcal{H}_{\pi})\rightarrow\mathbb{C}$ は有界線形汎関数であるから、Bochner積分の基本性質（[[測度と積分9：Bochner積分]]の'''命題44.2'''）と[[Hilbert空間上の作用素論]]の'''命題16.15'''より、
$$
{\rm Tr}(T^{pi}_{u,v})=\int_{G}{\rm Tr}(\pi(x)u\odot \pi(x)v)d\mu(x)
=\int_{G}(\pi(x)v\mid \pi(x)u)d\mu(x)=\int_{G}(v\mid u)d\mu(x)=(v\mid u)\quad\quad(**)
$$
である。

===定理4.4（コンパクト群の既約なユニタリ表現は有限次元）===
コンパクト群の既約なユニタリ表現は有限次元である。
{{begin|proof}}
$\pi$ が $G$ の既約なユニタリ表現であるとする。任意の $v\in \mathcal{H}_{\pi}\backslash \{0\}$ に対し、'''定義4.3'''における $T^{\pi}_{v,v}\in \mathbb{B}^1(\mathcal{H}_{\pi})$ を考えると、'''定義4.3'''の $(*)$ より、$T^{\pi}_{v,v}\in \mathcal{C}(\pi)$ であるから、Schurの補題（'''定理2.10'''）より、$T^{\pi}_{v,v}=\alpha 1$ なる $\alpha\in \mathbb{C}$ が存在する。'''定義4.3'''の $(**)$ より、
$$
0<\lVert v\rVert^2={\rm Tr}(T^{\pi}_{v,v})={\rm Tr}(\alpha 1)=\alpha {\rm Tr}(1)
$$
であるから、${\rm Tr}(1)<\infty$ である。ゆえに $\mathcal{H}_{\pi}$ は有限次元である。
{{end|proof}}

===定義4.5（完全可約）===
$G$ を局所コンパクト群とする。$G$ のユニタリ表現 $\pi\colon G\rightarrow \mathbb{U}(\mathcal{H}_{\pi})$ が完全可約であるとは、$\pi$ の既約な部分表現（'''定義2.3'''）の族 $(\pi_j)_{j\in J}$ が存在して、$\pi=\oplus_{j\in J}\pi_j$ が成り立つこと、すなわち、各 $\pi_j$ の表現空間を $\mathcal{H}_{\pi_j}\subset \mathcal{H}_{\pi}$ とおくとき、$\mathcal{H}_{\pi}$ が $\mathcal{H}_{\pi}=\bigoplus_{j\in J}\mathcal{H}_{\pi_j}$ と直交分解されることを言う。

===定理4.6（コンパクト群のユニタリ表現は完全可約）===
コンパクト群の任意のユニタリ表現は完全可約である。
{{begin|proof}}
$G$ をコンパクト群、$\mu\colon \mathcal{B}_G\rightarrow [0,1]$ を $G$ のHaar測度とする。
まず、$G$ の任意のユニタリ表現 $\pi$ が既約な部分表現を持つことを示す。任意の $v\in \mathcal{H}_{\pi}\backslash \{0\}$ に対し、'''定義4.3'''における $T^{\pi}_{v,v}\in \mathbb{B}^1(\mathcal{H}_{\pi})$ を考えると、
$$
(u\mid T^{\pi}_{v,v}u)=\int_{G}(u\mid (\pi(x)v\odot \pi(x)v)u)d\mu(x)
=\int_{G}\lvert (u\mid \pi(x)v)\rvert^2d\mu(x)\geq0\quad(\forall u\in \mathcal{H}_{\pi})
$$
であるから $T^{\pi}_{v,v}\in \mathbb{B}^1(\mathcal{H}_{\pi})$ は有界非負自己共役作用素である（[[Hilbert空間上の作用素論]]の'''命題1.4'''）。また $G\ni x\mapsto \lvert (v\mid \pi(x)v)\rvert^2\in [0,\infty)$ は連続関数で、$\lvert (v\mid \pi(1)v)\rvert^2=\lVert v\rVert^4>0$ であるから、'''命題1.8'''より、
$$
(v\mid T^{\pi}_{v,v}v)=\int_{G}\lvert (v\mid \pi(x)v)\rvert^2d\mu(x)>0
$$
である。よって $T^{\pi}_{v,v}\in \mathbb{B}^1(\mathcal{H}_{\pi})$ は $0$ ではない有界非負自己共役作用素であるので $T^{\pi}_{v,v}$ のスペクトル $\sigma(T^{\pi}_{v,v})$ は $0$ ではない元 $\lambda$ を持つ。$T^{\pi}_{v,v}\in \mathbb{B}^1(\mathcal{H}_{\pi})$ はコンパクト作用素である（[[Hilbert空間上の作用素論]]の'''命題16.7'''）から、$\lambda$ は $T^{\pi}_{v,v}$ の固有値であり、${\rm Ker}(\lambda-T^{\pi}_{v,v})$ は有限次元である（[[Hilbert空間上の作用素論]]の'''定理13.7'''）。また'''定義4.3'''の $(*)$ より $T^{\pi}_{v,v}\in \mathcal{C}(\pi)$ であるから、$\mathcal{K}={\rm Ker}(\lambda-T^{\pi}_{v,v})$ は $\pi$ 不変である。よって $\pi$ の部分表現 $\pi|_{\mathcal{K}}\colon G\rightarrow \mathbb{U}(\mathcal{K})$ は $G$ の有限次元ユニタリ表現である。有限次元ユニタリ表現は明らかに既約な部分表現を持つので、$\pi$ は既約な部分表現を持つ。 
次に $G$ の任意のユニタリ表現 $\pi$ が完全可約であることを示す。Zornの補題より、$\pi$ の既約な部分表現の表現空間からなる直交族で、集合の包含関係による順序に関して極大なもの $\{\mathcal{K}_j\}_{j\in J}$ が取れることが分かる。そこで、
$$
\mathcal{K}\colon=\bigoplus_{j\in J}\mathcal{K}_j\subset \mathcal{H}_{\pi}
$$
とおく。$\mathcal{K}\neq \mathcal{H}_{\pi}$ であると仮定する。$\mathcal{K}$ は $\pi$ 不変であるから、$\mathcal{K}^{\perp}\neq\{0\}$ も $\pi$ 不変である。よって $\pi$ の部分表現 $\pi|_{\mathcal{K}^{\perp}}\colon G\rightarrow\mathbb{U}(\mathcal{K}^{\perp})$ を考えることができ、上段より、$\pi|_{\mathcal{K}^{\perp}}$ は既約な部分表現を持つ。したがって $\pi$ の既約な部分表現で、その表現空間が $\mathcal{K}^{\perp}$ に含まれるものが存在する。しかしこれは $\{\mathcal{K}_j\}_{j\in J}$ の極大性に反する。ゆえに $\mathcal{K}=\mathcal{H}_{\pi}$ であるから、$\pi$ は完全可約である。
{{end|proof}}

===定義4.7（コンパクト群 $G$ の双対空間 $\widehat{G}$）===
$G$ をコンパクト群とする。$G$ の既約なユニタリ表現 $\pi$ に対し、ユニタリ同値（'''定義2.9'''）に関する $\pi$ の同値類を $[\pi]$ と表す<ref>既約なユニタリ表現と同値なユニタリ表現は既約であることに注意する。</ref>。そしてその同値類全体を、
$$
\widehat{G}\colon=\{[\pi]:\text{$\pi$ は $G$ の既約なユニタリ表現}\}
$$
とおく。$\widehat{G}$ を $G$ の双対空間と言う。

===定義4.8（コンパクト群のユニタリ表現 $\rho$ の $[\pi]$ 成分 $\mathcal{H}_{\rho}([\pi])$）===
$G$ をコンパクト群、$\rho\colon G\rightarrow \mathbb{U}(\mathcal{H}_{\rho})$ を $G$ のユニタリ表現とする。任意の $[\pi]\in \widehat{G}$ に対し、$\rho$ 不変な閉部分空間
$$
\mathcal{H}_{\rho}([\pi])\colon=\overline{{\rm span}\bigcup_{[\rho|_{\mathcal{K}}]=[\pi]}\mathcal{K}}\subset \mathcal{H}_{\rho}
$$
（右辺は $\pi$ と同値な $\rho$ の部分表現の表現空間全体の合併が張る線形空間の閉包）を定義する。ただし $\rho$ の部分表現で $\pi$ と同値なものがない場合は $\mathcal{H}_{\rho}([\pi])\colon=\{0\}$ とする。$\mathcal{H}_{\rho}([\pi])$ を $\mathcal{H}_{\rho}$ の $[\pi]$ 成分と言う。

===命題4.9（コンパクト群のユニタリ表現の $[\pi]$ 成分の基本性質）===
$G$ をコンパクト群、$\rho\colon G\rightarrow \mathbb{U}(\mathcal{H}_{\rho})$ を $G$ のユニタリ表現とする。このとき、
*$(1)$　$\mathcal{H}_{\rho}([\pi])\neq \{0\}$ なる任意の $[\pi]\in \widehat{G}$ に対し、$\rho$ の既約な部分表現でその表現空間が $\mathcal{H}_{\rho}([\pi])$ に含まれるものは全て $\pi$ と同値である。
*$(2)$　$[\pi_1]\neq[\pi_2]$ ならば $\mathcal{H}_{\rho}([\pi_1])\perp \mathcal{H}_{\rho}([\pi_2])$ が成り立つ。
*$(3)$　$\mathcal{H}_{\rho}=\bigoplus_{[\pi]\in \widehat{G}}\mathcal{H}_{\rho}([\pi])$ が成り立つ。
{{begin|proof}}
*$(1)$　$\rho$ の既約な部分表現 $\rho|_{\mathcal{L}}\colon G\rightarrow\mathbb{U}(\mathcal{L})$ で $\mathcal{L}\subset \mathcal{H}_{\rho}$ を満たすものを取る。$\mathcal{L}\neq \{0\}$ であるから、$[\rho|_{\mathcal{K}}]=[\pi]$ なる $\mathcal{K}$ で $\mathcal{L}$ と $\mathcal{K}$ が直交しないようなものが取れる。その $\mathcal{K}$ に対し $P\in \mathbb{B}(\mathcal{H}_{\rho})$ を $\mathcal{K}$ の上への射影作用素とし、$T\colon \mathcal{L}\rightarrow\mathcal{K}$ を $Tv=Pv$ $(\forall v\in \mathcal{L})$ と定義すると、$T\neq 0$ である（なぜなら $T=0$ ならば $P(\mathcal{L})=0$ であり、$\mathcal{L}$ と $\mathcal{K}$ は直交することになる）。今、任意の $u\in \mathcal{L}$, $v\in \mathcal{K}$ に対し、
$$
\begin{aligned}
&(v\mid T\rho|_{\mathcal{L}}(x)u)=(v\mid P\rho(x)u)=(Pv\mid \rho(x)u)=(v\mid \rho(x)u)=(\rho(x^{-1})v\mid u)\\
&=(P\rho(x^{-1})v\mid u)=(v\mid\rho(x)Pu)=(v\mid \rho|_{\mathcal{K}}(x)Tu)\quad(\forall x\in G)\quad\quad(*)
\end{aligned}
$$
であるから、$T\in \mathcal{C}(\rho|_{\mathcal{L}},\rho|_{\mathcal{K}})$ である。よって $T\neq 0$ であることとSchurの補題（'''系2.11'''）より $\rho|_{\mathcal{L}}$ と $\rho|_{\mathcal{K}}$ はユニタリ同値である。ゆえに $\rho|_{\mathcal{L}}$ と $\pi$ はユニタリ同値である。
*$(2)$　$[\pi_1]\neq [\pi_2]$ であるとし、$[\rho|_{\mathcal{L}}]=[\pi_1]$, $[\rho|_{\mathcal{K}}]=[\pi_2]$ とする。$P\in \mathbb{B}(\mathcal{H}_{\rho})$ を $\mathcal{K}$ の上への射影作用素とし、$T\colon\mathcal{L}\rightarrow\mathcal{K}$ を $Tv=Pv$ $(\forall v\in \mathcal{L})$ と定義すると、$(*)$ が成り立つので、$T\in \mathcal{C}(\rho|_{\mathcal{L}},\rho|_{\mathcal{K}})$ である。$[\rho|_{\mathcal{L}}]=[\pi_1]\neq [\pi_2]=[\rho|_{\mathcal{K}}]$ であるから、Schurの補題（'''系2.11'''）より $T=0$ である。よって $P(\mathcal{L})=0$ であるので、$\mathcal{L}$ と $\mathcal{K}$ は互いに直交する。ゆえに $\mathcal{H}_{\rho}([\pi_1])\perp \mathcal{H}_{\rho}([\pi_2])$ が成り立つ。
*$(3)$　$\rho$ が完全可約である（'''定理4.6'''）ことと $(2)$ による。
{{end|proof}}

===定義4.10（コンパクト群のユニタリ表現における既約表現の重複度）===
$G$ をコンパクト群、$\rho\colon G\rightarrow\mathbb{U}(\mathcal{H}_{\rho})$ を $G$ のユニタリ表現とする。$[\pi]\in \widehat{G}$ に対し $\mathcal{H}_{\rho}$ の $[\pi]$ 成分が $\mathcal{H}_{\rho}([\pi])\neq \{0\}$ であるとき、$\rho$ の $\mathcal{H}_{\rho}([\pi])$ への制限は、'''定理4.6'''と'''命題4.9'''の $(1)$ より、$\pi$ と同値な既約な部分表現の直和に分解できる。そしてそれらの既約な部分表現の次元は ${\rm dim}(\pi)<\infty$（'''定理4.4'''）である。そこで $\rho$ における $[\pi]$ の重複度を、
$$
\frac{{\rm dim}(\mathcal{H}_{\rho}([\pi]))}{{\rm dim}(\pi)}\in \mathbb{N}\cup\{\infty\}
$$
と定義する。$\mathcal{H}_{\rho}([\pi])=0$ の場合は $\rho$ における $[\pi]$ の重複度は $0$ と定義する。

===定義4.11（コンパクト群の有限次元ユニタリ表現の行列成分）===
$G$ をコンパクト群、$\pi$ を $G$ の有限次元ユニタリ表現とする。任意の $u,v\in \mathcal{H}_{\pi}$ に対し、
$$
\pi_{u,v}\colon G\ni x\mapsto (u\mid \pi(x)v)\in \mathbb{C}
$$
なる連続関数を $\pi$ の行列成分と言う。$\pi$ の行列成分が張る $C(G)$ の部分空間を、
$$
\mathcal{E}(\pi)\colon={\rm span}\{\pi_{u,v}:u,v\in \mathcal{H}_{\pi}\}\}\subset C(G)
$$
と表す。もし $G$ のユニタリ表現 $\pi$ と $\rho$ がユニタリ同値ならば、あるユニタリ作用素 $U\colon \mathcal{H}_{\pi}\rightarrow \mathcal{H}_{\rho}$ に対し $U\pi(x)=U\rho(x)$ $(\forall x\in G)$ となるから、任意の $u,v\in \mathcal{H}_{\pi}$ に対し、
$$
\pi_{u,v}(x)=(u\mid \pi(x)v)=(Uu\mid U\pi(x)v)=(Uu\mid \rho(x)Uv)=\rho_{Uu,Uv}(x)\quad(\forall x\in G)
$$
となる。よって $\mathcal{E}(\pi)=\mathcal{E}(\rho)$ である。そこで任意の $[\pi]\in \widehat{G}$ に対し $\mathcal{E}([\pi])=\mathcal{E}(\pi)$ と表す。

===定理4.12（Peter-Weylの定理1）===
$G$ をコンパクト群とする。このとき、
$$
\mathcal{E}\colon={\rm span}\bigcup_{[\pi]\in \widehat{G}}\mathcal{E}([\pi])
$$
は（$\sup$ ノルムと各点ごとの演算による）単位的可換 $C^*$-環 $C(G)$ の稠密な部分 $*$-環である。
{{begin|proof}}
$G$ の既約なユニタリ表現は有限次元であり（'''定理4.4'''）、有限次元ユニタリ表現は有限個の既約なユニタリ表現の直和であるから、
$$
\mathcal{E}={\rm span}\{\pi_{u,v}:\text{$\pi$ は既約、$u,v\in \mathcal{H}_{\pi}$}\}={\rm span}\{\pi_{u,v}:\text{$\pi$ は有限次元、$u,v\in \mathcal{H}_{\pi}$}\}
$$
である。また任意の $u,v\in \mathcal{H}_{\pi}$ に対し、
$$
(u\mid \pi(x)v)=\frac{1}{4}\sum_{k=0}^{3}i^k(i^ku+v\mid \pi(x)(i^ku+v))\quad(\forall x\in G)
$$
であるから、
$$
\mathcal{E}={\rm span}\{\pi_{v,v}:\text{$\pi$ は既約、$v\in \mathcal{H}_{\pi}$}\}
={\rm span}\{\pi_{v,v}:\text{$\pi$ は有限次元、$v\in \mathcal{H}_{\pi}$}\}
$$
である。任意の既約なユニタリ表現 $\pi,\rho$ と $u\in \mathcal{H}_{\pi}$, $v\in \mathcal{H}_{\rho}$ に対し、
$$
\pi_{u,u}(x)\rho_{v,v}(x)=(u\mid \pi(x)u)(v\mid \rho(x)v)=(u\otimes v\mid (\pi\otimes \rho)(x)(u\otimes v))=(\pi\otimes \rho)_{u\otimes v,u\otimes v}(x)\quad(\forall x\in G)
$$
であり、$\pi\otimes \rho$ は有限次元であるから、$\pi_{u,u}\rho_{v,v}=(\pi\otimes \rho)_{u\otimes v,u\otimes v}\in \mathcal{E}$ である。よって $\mathcal{E}$ は乗法で閉じている。任意の既約なユニタリ表現 $\pi$ と任意の単位ベクトル $v\in \mathcal{H}_{\pi}$ に対し $v$ は $\pi$ の巡回ベクトルである（'''注意2.6'''）から、'''定理2.37'''より $\pi_{v,v}\in {\rm ext}(\mathcal{P}_1(G))$ であり、'''命題2.28'''より $\overline{\pi_{v,v}}\in {\rm ext}(\mathcal{P}_1(G))$ である。そこで $\overline{\pi_{v,v}}$ のGNS表現 $(\rho,u)$ を取ると、$\rho_{u,u}=\overline{\pi_{v,v}}\in {\rm ext}(\mathcal{P}_1(G))$ であるから'''定理2.37'''より $\rho$ は既約であるので、$\overline{\pi_{v,v}}=\rho_{u,u}\in \mathcal{E}$ である。よって $\mathcal{E}$ は対合演算で閉じている。これより $\mathcal{E}$ は $C(G)$ の部分 $*$-環である。$1$ 次元Hilbert空間上への単位表現（単位表現とは任意の $x\in G$ に対し恒等作用素を与えるユニタリ表現である）は既約であるから $1\in \mathcal{E}$ である。そして$x\neq y$ なる任意の$x,y\in G$に対し、Gelfand-Raikovの定理('''定理2.41''')より、$p\in {\cal E}$で $p(x)\neq p(y)$ なるものが存在する。よってStone-Weierstrassの定理（[[測度と積分7：局所コンパクトHausdorff空間上のRadon測度]]の'''定理35.4'''）より $\mathcal{E}$ は $C(G)$ の稠密な部分 $*$-環である。
{{end|proof}}

===定理4.13（Peter-Weylの定理2）===
$G$ をコンパクト群、$\mu\colon \mathcal{B}_G\rightarrow [0,1]$ を $G$ のHaar測度とする。このとき、
$$
[\pi_1],[\pi_2]\in \widehat{G},\quad [\pi_1]\neq[\pi_2]\quad\Rightarrow\quad \mathcal{E}([\pi_1])\perp \mathcal{E}([\pi_2])\quad(\text{in $L^2(G,\mu)$})\quad\quad(*),
$$
$$
L^2(G,\mu)=\bigoplus_{[\pi]\in \widehat{G}}\mathcal{E}([\pi])\quad\quad(**)
$$
が成り立つ。また任意の $[\pi]\in \widehat{G}$ と $\mathcal{H}_{\pi}$ のCONS $(e_1,\ldots,e_{\dim(\pi)})$ に対し、
$$
\pi_{i,j}\colon=\pi_{e_i,e_j}\quad(\forall i,j\in \{1,\ldots,\dim(\pi)\})
$$
とおくと、$\{\sqrt{\dim(\pi)}\pi_{i,j}\}_{i,j=1,\ldots,\dim(\pi)}$ は $\mathcal{E}([\pi])\subset L^2(G,\mu)$ のCONSである。
{{begin|proof}}
$[\pi_1],[\pi_2]\in \widehat{G}$ が $[\pi_1]\neq [\pi_2]$ であるとする。任意の $u_1\in \mathcal{H}_{\pi_1}$, $u_2\in \mathcal{H}_{\pi_2}$ に対し、'''定義4.3'''における $T^{\pi_1,\pi_2}_{u_1,u_2}\in \mathcal{C}(\pi_2,\pi_1)$ を考えれば、Schurの補題（'''系2.11'''）より、$T^{\pi_1,\pi_2}_{u_1,u_2}=0$ であるから、任意の $v_1\in \mathcal{H}_{\pi_1}$, $v_2\in \mathcal{H}_{\pi_2}$ に対し、
$$
0=(v_1\mid T^{\pi_1,\pi_2}_{u_1,u_2}v_2)=\int_{G}(v_1\mid(\pi_1(x)u_1\odot \pi_2(x)u_2)v_2)d\mu(x)=\int_{G}(v_1\mid \pi_1(x)u_1)\overline{(v_2\mid \pi_2(x)u_2)}d\mu(x)
$$
である。よって $\mathcal{E}([\pi_1])\perp \mathcal{E}([\pi_2])$ であるから $(*)$ が成り立つ。[[測度と積分7：局所コンパクトHausdorff空間上のRadon測度]]の'''命題32.1'''より、$L^2(G,\mu)$ において $C(G)$ は稠密であるから、'''定理4.12'''より $L^2(G,\mu)$ において ${\rm span}\bigcup_{[\pi]\in \widehat{G}}\mathcal{E}([\pi])$ は稠密である。このことと $(*)$ より $(**)$ が成り立つ。 
任意の $[\pi]\in \widehat{G}$ を取り、$\mathcal{H}_{\pi}$ のCONS $(e_1,\ldots,e_{\dim(\pi)})$ を取る。明らかに、
$$
\mathcal{E}([\pi])={\rm span}\{\pi_{i,j}:i,j\in \{1,\ldots,\dim(\pi)\}\}
$$
である。任意の $j,j'\in\{1,\ldots,\dim(\pi)\}$ に対し、'''定義4.3'''における $T^{\pi}_{e_j,e_{j'}}\in \mathcal{C}(\pi)$ を考えると、Schurの補題（'''定理2.10'''）より、$T^{\pi}_{e_j,e_{j'}}=\alpha_{j,j'}1$ なる $\alpha_{j,j'}\in \mathbb{C}$ が取れて、
$$
\alpha_{j,j'}\dim(\pi)={\rm Tr}(T^{\pi}_{e_j,e_{j'}})=(e_{j'}\mid e_j)=\delta_{j,j'}
$$
となる。よって任意の $i,j,i',j'\in \{1,\ldots,\dim(\pi)\}$ に対し、
$$
(\pi_{i,j}\mid \pi_{i',j'})_2=\int_{G}(e_i\mid \pi(x)e_j)\overline{(e_{i'}\mid \pi(x)e_{j'})}d\mu(x)=(e_i\mid T^{\pi}_{e_j,e_{j'}}e_{i'})=\alpha_{j,j'}\delta_{i,i'}=\delta_{i,i'}\delta_{j,j'}\frac{1}{\dim(\pi)}
$$
となる。これより $\{\sqrt{\dim(\pi)}\pi_{i,j}\}_{i,j=1,\ldots,\dim(\pi)}$ は $\mathcal{E}([\pi])\subset L^2(G,\mu)$ のCONSである。
{{end|proof}}

===定義4.14（コンパクト群上の類関数）===
$G$ をコンパクト群とする。$G$ 上の関数 $f$ で、$f(xy)=f(yx)$ $(\forall x,y\in G)$ を満たすものを $G$ 上の類関数と言う。連続な類関数全体を、
$$
ZC(G)\colon=\{f\in C(G):f(xy)=f(yx) \text{ }(\forall x,y\in G)\}
$$
とおく。また $L^2$ 類関数全体を、
$$
ZL^2(G,\mu)\colon=\{[f]\in L^2(G,\mu):L_y[f]=R_{y^{-1}}[f]\text{ }(\forall y\in G)\}
$$
とおく。

===定義4.15（コンパクト群の指標）===
$G$ をコンパクト群とする。$G$ の既約なユニタリ表現 $\pi_1,\pi_2$（'''定理4.4'''より有限次元）がユニタリ同値ならば、
$$
{\rm Tr}(\pi_1(x))={\rm Tr}(\pi_2(x))\quad(\forall x\in G)
$$
であるから、任意の $[\pi]\in \widehat{G}$ に対し、
$$
\gamma_{[\pi]}\colon G\ni x\mapsto {\rm Tr}(\pi(x))\in \mathbb{C}
$$
なる連続関数が定義できる。$\gamma_{[\pi]}$ を $[\pi]\in \widehat{G}$ に対する $G$ の指標と言う。

===命題4.16（コンパクト群の指標の基本性質）===
$G$ をコンパクト群、$\mu\colon \mathcal{B}_G\rightarrow [0,1]$ を $G$ のHaar測度とする。このとき、
*$(1)$　任意の $[\pi]\in \widehat{G}$ に対し $\gamma_{[\pi]}\in ZC(G)$ が成り立つ。
*$(2)$　$[\pi_1],[\pi_2]\in \widehat{G}$ が $[\pi_1]\neq [\pi_2]$ ならば、Hilbert空間 $L^2(G,\mu)$ において $\gamma_{[\pi_1]},\gamma_{[\pi_2]}$ は直交する。また任意の $[\pi]\in \widehat{G}$ に対し $\gamma_{[\pi]}$ はHilbert空間 $L^2(G,\mu)$ の単位ベクトルである。
*$(3)$　任意の $[\pi]\in \widehat{G}$ に対し有限次元部分空間 $\mathcal{E}([\pi])\subset L^2(G,\mu)$ の上への射影作用素を $P_{[\pi]}\in \mathbb{B}(L^2(G,\mu))$ とおくと、
$$
P_{[\pi]}([f])=\dim(\pi)[f]*\gamma_{[\pi]}\quad(\forall [f]\in L^2(G,\mu))
$$
が成り立つ。
*$(4)$　任意の $[\pi]\in \widehat{G}$ と $(3)$ における射影作用素 $P_{[\pi]}\in \mathbb{B}(L^2(G,\mu))$ に対し、
$$
P_{[\pi]}([f])=(\gamma_{[\pi]}\mid [f])_2\gamma_{[\pi]}\quad(\forall [f]\in ZL^2(G,\mu))
$$
が成り立つ。
{{begin|proof}}
*$(1)$　指標の定義とトレースの性質（[[Hilbert空間上の作用素論]]の'''命題16.9'''）より、
$$
\gamma_{[\pi]}(xy)={\rm Tr}(\pi(xy))={\rm Tr}(\pi(x)\pi(y))={\rm Tr}(\pi(y)\pi(x))={\rm Tr}(\pi(yx))=\gamma_{[\pi]}(yx)\quad(\forall x,y\in G)
$$
であるから $\gamma_{[\pi]}\in ZC(G)$ である。
*$(2)$　$[\pi_1],[\pi_2]\in \widehat{G}$ が $[\pi_1]\neq [\pi_2]$ であるならば、Peter-Weylの定理2（'''定理4.13'''）より $\mathcal{E}([\pi_1])\perp \mathcal{E}([\pi_2])$ であり、$\gamma_{[\pi_1]}\in \mathcal{E}([\pi_1])$, $\gamma_{[\pi_2]}\in \mathcal{E}([\pi_2])$ であるから $\gamma_{[\pi_1]}$ と $\gamma_{[\pi_2]}$ は直交する。また任意の $[\pi]\in \widehat{G}$ と $\mathcal{H}_{\pi}$ のCONS $(e_1,\ldots,e_{\dim(\pi)})$ に対し、$\pi$ の行列成分
$$
\pi_{i,j}\colon G\ni x\mapsto (e_i\mid \pi(x)e_j)\in \mathbb{C}\quad(\forall i,j\in \{1,\ldots,\dim(\pi)\})\quad\quad(*)
$$
を考えると、Peter-Weylの定理2（'''定理4.13'''）より、$(\sqrt{\dim(\pi)}\pi_{i,j})_{i,j=1,\ldots,\dim(\pi)}$ は $\mathcal{E}([\pi])\subset L^2(G,\mu)$ のCONSであるから、
$$
(\gamma_{[\pi]}\mid \gamma_{[\pi]})_2=\sum_{i,j=1}^{\dim(\pi)}(\pi_{i,i}\mid \pi_{j,j})_2
=\frac{1}{\dim(\pi)}\sum_{i,j=1}^{\dim(\pi)}(\sqrt{\dim(\pi)}\pi_{i,i}\mid \sqrt{\dim(\pi)}\pi_{j,j})_2=1
$$
である。
*$(3)$　$(*)$ に対しPeter-Weylの定理2（'''定理4.13'''）より、$(\sqrt{\dim(\pi)}\pi_{i,j})_{i,j=1,\ldots,\dim(\pi)}$ は $\mathcal{E}([\pi])\subset L^2(G,\mu)$ のCONSであるから、Schatten形式（[[Hilbert空間上の作用素論]]の'''定義13.5'''）$L^2(G,\mu)\times L^2(G,\mu)\ni ([f],[g])\mapsto [f]\odot [g]\in \mathbb{B}(L^2(G,\mu))$ に対し、[[Hilbert空間上の作用素論]]の'''命題13.7'''の $(2)$ より、
$$
P_{[\pi]}={\rm dim}(\pi)\sum_{i,j=1}^{\dim(\pi)}\pi_{i,j}\odot \pi_{i,j}
$$
が成り立つ。よって任意の $[f]\in L^2(G,\mu)$ に対し、
$$
\begin{aligned}
P_{[\pi]}([f])(x)&=\dim(\pi)\sum_{i,j=1}^{\dim(\pi)}(\pi_{i,j}\mid [f])_2\pi_{i,j}(x)\\
&=\dim(\pi)\sum_{i,j=1}^{\dim(\pi)}\int_{G}f(y)(\pi(y)e_j\mid e_i)(e_i\mid \pi(x)e_j)d\mu(y)\\
&=\dim(\pi)\sum_{j=1}^{\dim(\pi)}\int_{G}f(y)(\pi(y)e_j\mid \pi(x)e_j)d\mu(y)\\
&=\dim(\pi)\int_{G}f(y)\sum_{j=1}^{\dim(\pi)}(e_j\mid \pi(y^{-1}x)e_j)d\mu(y)\\
&=\dim(\pi)\int_{G}f(y)\gamma_{[\pi]}(y^{-1}x)d\mu(y)\\
&=\dim(\pi)([f]*\gamma_{[\pi]})(x)\quad(\forall x\in G)
\end{aligned}
$$
となる。
*$(4)$　任意の $[\pi]\in \widehat{G}$ に対し $\mathcal{H}_{\pi}$ は有限次元であるから $G\ni x\mapsto \pi(x)\in \mathbb{B}(\mathcal{H}_{\pi})$ は作用素ノルムで連続である。よって任意の $[f]\in ZL^2(G,\mu)\subset L^2(G,\mu)\subset L^1(G,\mu)$ に対し、Bochner積分
$$
\int_{G}f(y)\pi(y^{-1})d\mu(y)\in \mathbb{B}(\mathcal{H}_{\pi})
$$
が定義できる。$G$ はコンパクト群なのでユニモジュラーである（'''命題1.18'''）から、$\mu$ は右Haar測度でもある。このこととBochner積分の性質（[[測度と積分9：Bochner積分]]の'''命題44.2'''）と $f$ が類関数であることから、
$$
\begin{aligned}
&\left(\int_{G}f(y)\pi(y^{-1})d\mu(y)\right)\pi(x)=\int_{G}f(y)\pi(y^{-1})\pi(x)d\mu(y)
=\int_{G}f(y)\pi(y^{-1}x)d\mu(y)\\
&=\int_{G}f(xy)\pi(y^{-1})d\mu(y)=\int_{G}f(yx)\pi(y^{-1})d\mu(y)=\int_{G}f(y)\pi(xy^{-1})d\mu(y)\\
&=\int_{G}f(y)\pi(x)\pi(y^{-1})d\mu(y)=\pi(x)\left(\int_{G}f(y)\pi(y^{-1})d\mu(y)\right)\quad(\forall x\in G)
\end{aligned}
$$
となるので、
$$
\int_{G}f(y)\pi(y^{-1})d\mu(y)\in \mathcal{C}(\pi)
$$
が成り立つ。よってSchurの補題（'''定理2.10'''）よりある $\alpha\in \mathbb{C}$ に対し、
$$
\int_{G}f(y)\pi(y^{-1})d\mu(y)=\alpha1\quad\quad(*)
$$
となる。$(*)$ のトレースを取れば、
$$
\begin{aligned}
&\alpha \dim(\pi)={\rm Tr}(\alpha1)={\rm Tr}\left(\int_{G}f(y)\pi(y^{-1})d\mu(y)\right)
=\int_{G}f(y){\rm Tr}(\pi(y^{-1}))d\mu(y)\\
&=\sum_{j=1}^{\dim(\pi)}\int_{G}f(y)(e_j\mid \pi(y^{-1})e_j)d\mu(y)
=\int_{G}f(y)\overline{\gamma_{[\pi]}(y)}d\mu(y)=(\gamma_{[\pi]}\mid [f])_2\quad\quad(**)
\end{aligned}
$$
となり、一方、$(3)$ と $(*)$ より、
$$
\begin{aligned}
P_{[\pi]}([f])(x)&=\dim(\pi)([f]*\gamma_{[\pi]})(x)=\dim(\pi)\sum_{j=1}^{\dim(\pi)}\int_{G}f(y)(e_j\mid \pi(y^{-1}x)e_j)d\mu(y)\\
&=\dim(\pi)\sum_{j=1}^{\dim(\pi)}\left(e_j\mid \left(\int_{G}f(y)\pi(y^{-1})d\mu(y)\right)\pi(x)e_j\right)\\
&=\alpha \dim(\pi)\gamma_{[\pi]}(x)\quad(\forall x\in G)\quad\quad(***)
\end{aligned}
$$
となる。よって $(**),(***)$ より、
$$
P_{[\pi]}([f])=(\gamma_{[\pi]}\mid [f])_2\gamma_{[\pi]}
$$
が成り立つ。
{{end|proof}}

===定理4.17（Peter-Weylの定理3）===
$G$ をコンパクト群、$\mu\colon \mathcal{B}_G\rightarrow [0,1]$ をHaar測度とする。このとき $G$ の指標全体 $\{\gamma_{[\pi]}\}_{[\pi]\in \widehat{G}}$ は $L^2$ 類関数空間 $ZL^2(G,\mu)$ のCONSである。
{{begin|proof}}
'''命題4.16'''の $(1),(2)$ より $\{\gamma_{[\pi]}\}_{[\pi]\in \widehat{G}}$ は $ZL^2(G,\mu)$ のONSである。任意の $[\pi]\in \widehat{G}$ に対し $\mathcal{E}([\pi])\subset L^2(G,\mu)$（'''定義4.11'''）の上への射影作用素を $P_{[\pi]}\in \mathbb{B}(L^2(G,\mu))$ とおくと、Peter-Weylの定理2（'''定理4.13'''）より、
$$
[f]=\sum_{[\pi]\in \widehat{G}}P_{[\pi]}([f])\quad(\forall [f]\in L^2(G,\mu))
$$
が成り立つから、'''命題4.16'''の $(4)$ より、
$$
[f]=\sum_{[\pi]\in \widehat{G}}P_{[\pi]}([f])=\sum_{[\pi]\in \widehat{G}}(\gamma_{[\pi]}\mid [f])_2\gamma_{[\pi]}\quad(\forall [f]\in ZL^2(G,\mu))
$$
が成り立つ。よって $\{\gamma_{[\pi]}\}_{[\pi]\in \widehat{G}}$ は $ZL^2(G,\mu)$ のCONSである。
{{end|proof}}

===系4.18===
$G$ をコンパクト群、$\mu\colon \mathcal{B}_G\rightarrow [0,1]$ をHaar測度とする。このとき $ZL^2(G,\mu)$ において $ZC(G)$ は稠密である。
{{begin|proof}}
'''定理4.17'''より $\{\gamma_{[\pi]}\}_{[\pi]\in \widehat{G}}$ は $ZL^2(G,\mu)$ のCONSであるから、${\rm span}\{\gamma_{[\pi]}\}_{[\pi]\in \widehat{G}}$ は $ZL^2(G,\mu)$ において稠密である。${\rm span}\{\gamma_{[\pi]}\}_{[\pi]\in \widehat{G}}\subset ZC(G)$ であるから、$ZL^2(G,\mu)$ において $ZC(G)$ は稠密である。
{{end|proof}}

===定義4.19（単位表現）===
$G$ を局所コンパクト群、$\pi$ を $G$ のユニタリ表現とする。$\pi(x)=1$ $(\forall x\in G)$ のとき $\pi$ を $G$ の単位表現と言う。

===定理4.20（コンパクト群の等質空間の $L^2$ 空間上への正則表現に関するPeter-Weylの定理）===
$G$ をコンパクト群、$\mu\colon \mathcal{B}_G\rightarrow [0,1]$ を $G$ のHaar測度、$S$ を $G$ の等質空間、$\nu\colon \mathcal{B}_S\rightarrow [0,\infty]$ を $G$-不変測度、$\rho\colon G\rightarrow \mathbb{U}(L^2(S,\nu))$ を正則表現（'''定義3.35'''）とする。任意の $s\in S$ を取り $s$ における固定部分群 $H_s=\{x\in G:xs=s\}$ を考える。そして $G$ の既約なユニタリ表現 $\pi$ に対し、
$$
\mathcal{H}_{\pi,s}\colon=\{v\in \mathcal{H}_{\pi}:\pi(x)v=v\text{ }(\forall x\in H_s)\},\quad \dim(\pi)'\colon=\dim(\mathcal{H}_{\pi,s})
$$
のCONSを $(e_1,\ldots,e_{\dim(\pi)'})$ とおき、これを延長して $\mathcal{H}_{\pi}$ のCONS $(e_1,\ldots,e_{\dim(\pi)'},\ldots,e_{\dim(\pi)})$ を構成し、これに関する行列成分を $\pi_{i,j}(x)=(e_i\mid \pi(x)e_j)$ $(\forall x\in G, \forall i,j\in \{1,\ldots,\dim(\pi)\})$ とする。そして任意の $j\in \{1,\ldots,\dim(\pi)'\}$, 任意の $v\in \mathcal{H}_{\pi}$ に対し、
$$
T^{\pi}_jv\in C(S),\quad T^{\pi}_jv(xs)\colon=(\pi(x)e_j\mid v)\quad(\forall xs\in S)
$$
とおき<ref> $T^{\pi}_jv$ がwell-definedであることは $\mathcal{H}_{\pi,s}$ の定義により、連続性は $\mathcal{H}_{\pi,s}$ の定義により、連続性は'''定理3.13'''による。</ref>、線形作用素
$$
T^{\pi}_j\colon \mathcal{H}_{\pi}\ni v\mapsto T^{\pi}_jv\in C(S)\subset L^2(S,\nu)
$$
を定義する。このとき、
$$
T^{\pi}_j\in C(\pi,\rho)\quad(j=1,\ldots,\dim(\pi)')
$$
であり、$\rho$ の $[\pi]$ 成分（'''定義4.8'''）は直交和
$$
{\rm Ran}(T^{\pi}_1)\oplus \cdots \oplus {\rm Ran}(T^{\pi}_{\dim(\pi)'})
$$
で表され、$\rho$ における $[\pi]$ の重複度（'''定義4.10'''）は $\dim(\pi)'=\dim(\mathcal{H}_{\pi,s})$ である。
{{begin|proof}}
$\mu_{H_s}\colon \mathcal{B}_{H_s}\rightarrow [0,1]$ を $H_s$ のHaar測度とし、'''補題3.22'''における非負性を保存する全射線形写像
$$
P\colon C(G)\rightarrow C(S),\quad Pf(xs)=\int_{H_s}f(xy)d\mu_{H_s}(y)
$$
を考える。$\mu_{H_s}(H_s)=1$ なので、$P$ は $\sup$ ノルムに関して有界である。'''定理3.23'''の証明より（必要ならば $\nu$ を正数倍して）、
$$
\int_{S}Pf(t)d\nu(t)=\int_{G}f(x)d\mu(x)\quad(\forall f\in C(G))\quad\quad(*)
$$
が成り立つ。
$$
H_s\ni x\mapsto \pi(x)\in \mathbb{U}(\mathcal{H}_{\pi})\quad\quad(**)
$$
はコンパクト群 $H_s$ のユニタリ表現であり、$(**)$ の $\mathcal{H}_{\pi,s}\subset \mathcal{H}_{\pi}$ 上への制限は単位表現である。そして $\mathcal{H}_{\pi,s}^{\perp}={\rm span}\{e_{\dim(\pi)'+1},\ldots,e_{\dim(\pi)}\}\subset \mathcal{H}_{\pi}$ は $(**)$ の不変空間であり、$(**)$ の $\mathcal{H}_{\pi,s}^{\perp}$ への制限によって得られる $H_s$ のユニタリ表現は、$\mathcal{H}_{\pi,s}$ の定義より単位表現を部分表現として持たない。よって、$1$ 次元Hilbert空間への単位表現が既約であることに注意してPeter-Weylの定理（'''定理4.13'''）より、
$$
P\pi_{i,j}(xs)=\int_{H_s}(\pi(x^{-1})e_i\mid \pi(y)e_j)d\mu_{H_s}(y)=0\quad(\forall x\in G, \forall j\in \{\dim(\pi)'+1,\ldots,\dim(\pi)\})
$$
が成り立つ。また、
$$
P\pi_{i,j}(xs)=\int_{H_s}(e_i\mid \pi(x)\pi(y)e_j)d\mu_{H_s}(y)=\pi_{i,j}(x)=\overline{T^{\pi}_je_i(xs)}\quad(\forall x\in G, \forall j\in \{1,\ldots,\dim(\pi)'\})
$$
が成り立つ。よって $(*)$ とPeter-Weylの定理（'''定理4.12'''、'''定理4.13'''）より、
$$
C(S)=P(C(G))\subset \bigoplus_{[\pi]\in \widehat{G}}\left(\bigoplus_{j=1}^{\dim(\pi)'}{\rm Ran}(T^{\pi}_j)\right)\subset L^2(S,\nu)
$$
が成り立ち、$C(S)$ は $L^2(S,\nu)$ において稠密である（[[測度と積分7：局所コンパクトHausdorff空間上のRadon測度]]の'''命題32.1'''）から、
$$
L^2(S,\nu)=\bigoplus_{[\pi]\in \widehat{G}}\left(\bigoplus_{j=1}^{\dim(\pi)'}{\rm Ran}(T^{\pi}_j)\right)\quad\quad(***)
$$
が成り立つ。
$$
\rho(y)T^{\pi}_jv(xs)=(\pi(y^{-1}x)e_j\mid v)=(\pi(x)e_j\mid \pi(y)v)
=T^{\pi}_j\pi(y)v(xs)\quad(\forall y\in G,\forall v\in \mathcal{H}_{\pi},\forall xs\in S)
$$
であるから、$T^{\pi}_j\in \mathcal{C}(\pi,\rho|_{{\rm Ran}(T^{\pi}_j)})$ である。そして $T^{\pi}_je_j\neq 0$ より $T^{\pi}_j\neq 0$ であり、Schurの補題（'''定理2.10'''）より $\mathcal{C}(\pi)=\mathbb{C}1$ であるから、$T^{\pi}_j\colon \mathcal{H}_{\pi}\rightarrow {\rm Ran}(T^{\pi}_j)$ は有限次元Hilbert空間の間のユニタリ作用素のスカラー倍である。よって $\pi$ と $\rho|_{{\rm Ran}(T^{\pi}_j)}$ はユニタリ同値である。ゆえに $\rho$ における $[\pi]$ 成分を $\mathcal{K}([\pi])$ とおけば、
$$
\bigoplus_{j=1}^{\dim(\pi)'}{\rm Ran}(T^{\pi}_j)\subset \mathcal{K}([\pi])\quad\quad(****)
$$
が成り立つ。ここで'''命題4.9'''の $(3)$ より、
$$
L^2(S,\nu)=\bigoplus_{[\pi]\in \widehat{G}}\mathcal{K}([\pi])\quad\quad(*****)
$$
であるから、$(***), (****), (*****)$ より、
$$
\mathcal{K}([\pi])=\bigoplus_{j=1}^{\dim(\pi)'}{\rm Ran}(T^{\pi}_j)
$$
が従う。$\pi$ と $\rho|_{{\rm Ran}(T^{\pi}_j)}$ はユニタリ同値なので、$\rho$ における $[\pi]$ の重複度は $\dim(\pi)'$ である。
{{end|proof}}

==5. 局所コンパクト可換群におけるFourier変換、SNAGの定理、Bochnerの定理==
===命題5.1（局所コンパクト可換群の既約なユニタリ表現は $1$ 次元）===
$G$ を局所コンパクト可換群、$\pi$ を $G$ のユニタリ表現とする。このとき次は互いに同値である。
*$(1)$　$\pi$ は既約である。
*$(2)$　$\pi$ は $1$ 次元である。
{{begin|proof}}
$(2)\Rightarrow (1)$ は自明である。$(1)\Rightarrow(2)$ を示す。$\pi$ が既約であるとすると、Schurの補題（'''定理2.10'''）より $\mathcal{C}(\pi)=\mathbb{C}1$ であり、$G$ は可換であるから、任意の $x\in G$ に対し $\pi(x)\in \mathcal{C}(\pi)=\mathbb{C}1$ である。そして $\pi$ は既約であるから'''注意2.6'''より任意の $v\in \mathcal{H}_{\pi}\backslash \{0\}$ に対し $v$ は $\pi$ の巡回ベクトルである。よって $\mathcal{H}_{\pi}=\overline{{\rm span}(\pi(G)v)}=\mathbb{C}v$ であるから $\dim(\pi)=\dim(\mathcal{H}_{\pi})=1$ である。
{{end|proof}}

===定義5.2（局所コンパクト可換群の指標群）===
$G$ を局所コンパクト可換群とし、コンパクト可換乗法群 $\mathbb{T}\colon=\{z\in \mathbb{C}: \lvert z\rvert=1\}$ を考える。$\gamma\colon G\rightarrow \mathbb{T}$ が連続群準同型写像であるとき $\gamma$ を $G$ の指標と言う。この指標の定義はコンパクト群の指標の定義（'''定義4.15'''）と矛盾しない。実際、'''命題5.1'''より $G$ の任意の既約なユニタリ表現は $1$ 次元であるので、$G$の既約なユニタリ表現のトレースは $G\rightarrow \mathbb{T}$ の連続群準同型写像である。局所コンパクト可換群 $G$ の指標全体を $\widehat{G}$ と表す。$\widehat{G}$ は各点ごとの乗法により可換な乗法群をなす。また'''Gelfand-Raikovの定理'''（'''定理2.41'''）より $\widehat{G}$ は $G$ を分離する。(すなわち $x,y\in G$ が $x\neq y$ ならば $\gamma(x)\neq \gamma(y)$ なる $\gamma\in \widehat{G}$ が存在する。）$\widehat{G}$ を $G$ の指標群と言う。次の'''定理5.3'''で見るように $\widehat{G}$ はコンパクト一様収束位相（'''定義2.38'''）により局所コンパクト可換群である。
 
 
$G$ を局所コンパクト可換群、$\mu\colon \mathcal{B}_G\rightarrow [0,\infty]$ を $G$ のHaar測度とする。このとき $L^1$ 群環 $L^1(G,\mu)$ は'''命題1.31'''より可換Banach環であり、したがって群 $C^*$-環 $C^*(G,\mu)$（'''定義2.20'''）は可換 $C^*$-環である。

===定理5.3（局所コンパクト可換群の指標の性質）===
$G$ を局所コンパクト可換群、$\mu\colon \mathcal{B}_G\rightarrow [0,\infty]$ を $G$ のHaar測度、$\mathcal{P}_1(G)$ を $G$ 上の $\sup$ ノルム $1$ の正定値連続関数全体のなす凸集合、${\rm ext}(\mathcal{P}_1(G))$ をその端点全体とする（'''定義2.36'''）。また $\widehat{G}$ を $G$ の指標群、$\widehat{L^1(G,\mu)}$ を可換Banach環 $L^1(G,\mu)$ の指標空間、$\widehat{C^*(G,\mu)}$ を可換 $C^*$-環 $C^*(G,\mu)$ の指標空間とする（[[Banach環とC*-環のスペクトル理論]]の'''定義5.1'''、'''定義5.6'''を参照）。このとき、
*$(1)$　$\widehat{G}={\rm ext}(\mathcal{P}_1(G))$ が成り立つ。
*$(2)$　任意の $\gamma\in \widehat{G}$ に対し $\Phi_{\gamma}\colon L^1(G,\mu)\rightarrow\mathbb{C}$ を、
$$
\Phi_{\gamma}([f])\colon=\int_{G}f(x)\gamma(x)d\mu(x)\in \mathbb{C}\quad(\forall [f]\in L^1(G,\mu))
$$
とおけば、$\Phi_{\gamma}\in \widehat{L^1(G,\mu)}$ であり、
$$
\widehat{G}\ni \gamma\mapsto \Phi_{\gamma}\in \widehat{L^1(G,\mu)}\quad\quad(*)
$$
はコンパクト一様収束位相（'''定義2.38'''）と弱 $*$-位相に関して同相写像である。
*$(3)$　任意の $\gamma\in \widehat{G}$ に対し $(2)$ における $\Phi_{\gamma}\in \widehat{L^1(G,\mu)}$ は群 $C^*$-環 $C^*(G,\mu)$ の指標 $\widetilde{\Phi_{\gamma}}\in \widehat{C^*(G,\mu)}$ に一意拡張でき、
$$
\widehat{G}\ni \gamma\mapsto \widetilde{\Phi_{\gamma}}\in \widehat{C^*(G,\mu)}
$$
はコンパクト一様収束位相と弱 $*$-位相に関して同相写像である。
*$(4)$　$\widehat{G}$ はコンパクト一様収束位相により局所コンパクト可換群であり、$G$ の第二可算性より $\widehat{G}$ は第二可算である。
{{begin|proof}}
*$(1)$　任意の $p\in {\rm ext}(\mathcal{P}_1(G))$ に対し $p$ のGNS表現（'''定義2.34'''）を $(\pi,v)$ とすれば'''定理2.37'''より $\pi$ は既約であるので、'''命題5.1'''より $\pi$ は $1$ 次元である。よって各 $x\in G$ に対し $\alpha_x\in \mathbb{T}$ で $\pi(x)=\alpha_x1$ なるものが定まり、
$$
p(x)=(v\mid \pi(x)v)=\alpha_x(v\mid v)=\alpha_x\lVert v\rVert^2=\alpha_x\in \mathbb{T}\quad(\forall x\in G)
$$
であるから、
$$
p(xy)1=\alpha_{xy}1=\pi(xy)=\pi(x)\pi(y)=\alpha_x\alpha_y1=p(x)p(y)1\quad(\forall x,y\in G)
$$
である。よって $p\in \widehat{G}$ である。また任意の $\gamma\in \widehat{G}$ に対し $\gamma$ は $G$ の $1$ 次元Hilbert空間 $\mathbb{C}$ 上へのユニタリ表現のトレースとみなせて $1$ 次元Hilbert空間上へのユニタリ表現は既約であるから、'''定理2.37'''より $\gamma\in {\rm ext}(\mathcal{P}_1(G))$ である。よって $\widehat{G}={\rm ext}(\mathcal{P}_1(G))$ が成り立つ。
*$(2)$　任意の $\gamma\in \widehat{G}$ を取る。$\gamma$ を $G$ の $1$ 次元Hilbert空間 $\mathbb{C}$ 上へのユニタリ表現表現とみなせば、そのユニタリ表現の $L^1$ 群環の表現への拡張（'''定義2.18'''）は、
$$
L^1(G,\mu)\ni [f]\mapsto \int_{G}f(x)\gamma(x)d\mu(x)\in \mathbb{B}(\mathbb{C})=\mathbb{C}
$$
であるから $\Phi_{\gamma}$ に一致する。よって $\Phi_{\gamma}\colon L^1(G,\mu)\rightarrow\mathbb{C}$ は乗法を保存する $0$ ではない線形汎関数であるから $\Phi_{\gamma}\in \widehat{L^1(G,\mu)}$ である。任意の $\Phi\in \widehat{L^1(G,\mu)}$ と $\Phi([f_0])\neq 0$ なる $[f_0]\in L^1(G,\mu)$ を取り固定し、
$$
\gamma(x)\colon=\frac{\Phi(L_x[f_0])}{\Phi([f_0])}\quad(\forall x\in G)
$$
として $\gamma\colon G\rightarrow\mathbb{C}$ を定義する。'''命題1.19'''より $G\ni x\mapsto L_x[f_0]\in L^1(G,\mu)$ は連続であるので $\gamma$ は連続である。そして、
$$
\gamma(1)=1,\quad \gamma(x)\gamma(y)=\frac{\Phi(L_x[f_0]*L_y[f_0])}{\Phi([f_0])^2}
=\frac{\Phi(L_{xy}[f_0]*[f_0])}{\Phi([f_0])^2}=\gamma(xy)\quad(\forall x,y\in G),
$$
$$
\lvert \gamma(x)\rvert\leq \frac{\lVert [f_0]\rVert_1}{\lvert \Phi([f_0])\rvert}\quad(\forall x\in G)
$$
であるので $\gamma(x)\in \mathbb{T}$ $(\forall x\in G)$ であり<ref>任意の $x\in G$ と任意の $n\in \mathbb{N}$ に対し $\lvert \gamma(x)\rvert^n=\lvert \gamma(x^n)\rvert\leq \frac{\lVert [f_0]\rVert_1}{\lvert \Phi([f_0])\rvert}$ であるから、任意の $x\in G$ に対し $\lvert \gamma(x)\rvert\leq1$ でなければならない。任意の $x\in G$ に対し $\gamma(x^{-1})\gamma(x)=\gamma(1)=1$ より、$\lvert \gamma(x)\rvert^{-1}=\lvert \gamma(x^{-1})\rvert\leq 1$ であるから、$\lvert \gamma(x)\rvert\geq1$ である。よって任意の $x\in G$ に対し $\vert \gamma(x)\rvert=1$ である。</ref>$\gamma\colon G\rightarrow\mathbb{T}$ は群準同型写像である。よって $\gamma\in\widehat{G}$ である。そして合成積の定義（'''定義1.20'''）より、
$$
\begin{aligned}
\Phi_{\gamma}([f])&=\int_{G}f(x)\gamma(x)d\mu(x)=\frac{1}{\Phi([f_0])}\int_{G}f(x)\Phi(L_x[f_0])d\mu(x)=\frac{1}{\Phi([f_0])}\Phi\left(\int_{G}f(x)L_x[f_0]d\mu(x)\right)\\
&=\frac{1}{\Phi([f_0])}\Phi([f]*[f_0])=\Phi([f])\quad(\forall [f]\in L^1(G,\mu))
\end{aligned}
$$
であるから $\Phi=\Phi_{\gamma}$ である。よって $(*)$ は全射である。ゆえに $(1)$ と'''定理2.39'''より、$(*)$ はコンパクト一様収束位相と弱 $*$-位相に関して同相写像である。
*$(3)$　$(2)$ の証明の冒頭で述べたように、任意の $\gamma\in \widehat{G}$ に対し $\Phi_{\gamma}$ は $G$ の $1$ 次元Hilbert空間 $\mathbb{C}$ 上へのユニタリ表現としての $\gamma$ の $L^1(G,\mu)$ の表現への拡張である。よって'''命題2.23'''より $\Phi_{\gamma}$ は $C^*(G,\mu)$ の表現 $\widetilde{\Phi_{\gamma}}\colon C^*(G,\mu)\rightarrow\mathbb{C}$ に一意拡張でき、
$$
\widehat{L^1(G,\mu)}\ni\Phi_{\gamma}\mapsto \widetilde{\Phi_{\gamma}}\in \widehat{C^*(G,\mu)}\quad\quad(**)
$$
は全単射である。よって $(2)$ より $(**)$ が同相写像であることを示せばよい。そのためには、[[ネットによる位相空間論]]の'''定理3'''より、$\widehat{G}$ のネット $(\gamma_{\lambda})_{\lambda\in\Lambda}$ と $\gamma\in \widehat{G}$ に対し、
$$
\Phi_{\gamma_{\lambda}}\rightarrow \Phi_{\gamma}\quad\Leftrightarrow\quad \widetilde{\Phi_{\gamma_{\lambda}}}\rightarrow \widetilde{\Phi_{\gamma}}\quad\quad(***)
$$
が成り立つことを示せばよい。弱 $*$-位相に関する収束の特徴付け（[[位相線形空間2：セミノルム位相と汎弱位相]]の'''注意10.2'''）より、
$$
\Phi_{\gamma_{\lambda}}\rightarrow\Phi_{\gamma}\quad\Leftrightarrow\quad \Phi_{\gamma_{\lambda}}([f])\rightarrow\Phi_{\gamma}([f])\quad(\forall [f]\in L^1(G,\mu)),
$$
$$
\widetilde{\Phi_{\gamma_{\lambda}}}\rightarrow\widetilde{\Phi_{\gamma}}\quad\Leftrightarrow\quad \widetilde{\Phi_{\gamma_{\lambda}}}(\omega)\rightarrow\widetilde{\Phi_{\gamma}}(\omega)\quad(\forall \omega\in C^*(G,\mu))
$$
であるから、$(***)$ の $\Leftarrow$ は明らかに成り立つ。$(***)$ の $\Rightarrow$ が成り立つことを示す。任意の $[f]\in L^1(G,\mu)$ に対し $\Phi_{\gamma_{\lambda}}([f])\rightarrow\Phi_{\gamma}([f])$ が成り立つと仮定して、任意の $\omega\in C^*(G,\mu)$ に対し $\widetilde{\Phi_{\gamma_{\lambda}}}(\omega)\rightarrow\widetilde{\Phi_{\gamma}}(\omega)$ が成り立つことを示せばよい。群 $C^*$-環の定義（'''定義2.20'''）より $(C^*(G,\mu),\lVert \cdot\rVert_*)$ において $L^1(G,\mu)$ は稠密であるから、任意の $\epsilon\in (0,\infty)$ に対し、
$$
\lVert \omega-[f]\rVert_*<\frac{\epsilon}{3}
$$
なる $[f]\in L^1(G,\mu)$ が取れる。仮定より、
$$
\lvert \Phi_{\gamma_{\lambda}}([f])-\Phi_{\gamma}([f])\rvert<\frac{\epsilon}{3}\quad(\forall \lambda\geq \lambda_0)
$$
なる $\lambda_0\in \Lambda$ が取れる。そして $\widehat{C^*(G,\mu)}$ の元は $(C^*(G,\mu),\lVert \cdot\rVert_*)$ のノルムが $1$ 以下の有界線形汎関数であるから、任意の $\lambda\geq\lambda_0$ に対し、
$$
\begin{aligned}
\lvert \widetilde{\Phi_{\gamma_{\lambda}}}(\omega)-\widetilde{\Phi_{\gamma}}(\omega)\rvert&\leq \lvert \widetilde{\Phi_{\gamma_{\lambda}}}(\omega)-\Phi_{\gamma_{\lambda}}([f])\rvert+\lvert \Phi_{\gamma_{\lambda}}([f])-\Phi_{\gamma}([f])\rvert+\lvert \Phi_{\gamma}([f])-\widetilde{\Phi_{\gamma}}(\omega)\rvert\\
&\leq \lVert \omega-[f]\rVert_*+\lvert \Phi_{\gamma_{\lambda}}([f])-\Phi_{\gamma}([f])\rvert+\lVert [f]-\omega\rVert_*<\epsilon
\end{aligned}
$$
となる。よって $\widetilde{\Phi_{\gamma_{\lambda}}}(\omega)\rightarrow\widetilde{\Phi_{\gamma}}(\omega)$ が成り立つので、$(***)$ の $\Rightarrow$ が成り立つ。
*$(4)$　$\widehat{L^1(G,\mu)}$ は弱 $*$-位相により局所コンパクトHausdorff空間である（[[Banach環とC*-環のスペクトル理論]]の'''定義5.6'''を参照）。よって $(2)$ より $\widehat{G}$ はコンパクト一様収束位相により局所コンパクトHausdorff空間である。
$$
\widehat{G}\times \widehat{G}\ni (\gamma_1,\gamma_2)\mapsto \gamma_1\gamma_2\in \widehat{G},\quad \widehat{G}\ni \gamma\mapsto \gamma^{-1}\in \widehat{G}
$$
がコンパクト一様収束位相で連続であることは[[ネットによる位相空間論]]の'''定理3'''より明らかである。$G$ の第二可算性と[[測度と積分7：局所コンパクトHausdorff空間上のRadon測度]]の'''系35.7'''より $L^1(G,\mu)$ は可分である。よって $(L^1(G,\mu))^*_1=\{\Phi\in (L^1(G,\mu))^*:\lVert \Phi\rVert \leq 1\}$ は、次の'''補題5.4'''より、弱 $*$-位相により第二可算公理を満たす。ゆえに $\widehat{L^1(G,\mu)}\subset (L^1(G,\mu))^*_1$ も弱 $*$-位相により第二可算公理を満たすので、$(2)$ より $\widehat{G}$ はコンパクト一様収束位相により第二可算公理を満たす。
{{end|proof}}

===補題5.4===
$X$ を可分なノルム空間とすると、$X^*$ の単位ノルム閉球 $(X^*)_1=\{\varphi\in X^*:\lVert \varphi\rVert\leq1\}$ は弱 $*$-位相の相対位相により第二可算である。
{{begin|proof}}
任意の $x\in X$ に対し、
$$
\iota_x\colon X^*\ni \varphi\mapsto \varphi(x)\in \mathbb{C}
$$
とおく。$X$ の稠密な可算部分集合 $\{x_n\}_{n\in \mathbb{N}}$ を取り、$(\iota_{x_n}\colon X^*\rightarrow\mathbb{C})_{n\in\mathbb{N}}$ が定める $X^*$ 上の始位相（[[ネットによる位相空間論]]の'''定義7.1'''）を $\mathcal{O}$ とおく。$\mathbb{C}$ の開集合の可算基を $\{U_n\}_{n\in\mathbb{N}}$ とおけば、始位相の定義より、$(X^*,\mathcal{O})$ は開集合の基として、
$$
\{\iota_{x_1}^{-1}(U_{m_1})\cap \cdots\cap \iota_{x_n}^{-1}(U_{m_n}):n,m_1,\ldots,m_n\in \mathbb{N}\}
$$
を持ち、これは可算集合なので、$(X^*,\mathcal{O})$ は第二可算である。よって $(X^*)_1$ は $\mathcal{O}$ の相対位相で第二可算である。これより弱 $*$-位相の $(X^*)_1$ 上の相対位相と $\mathcal{O}$ の $(X^*)_1$ 上の相対位相が一致することを示せばよい。そのためには[[ネットによる位相空間論]]の'''定理3'''より、$(X^*)_1$ のネット $(\varphi_{\lambda})_{\lambda\in\Lambda}$ と $\varphi\in (X^*)_1$ に対し、
$$
\text{弱 $*$-位相に関して $\varphi_{\lambda}\rightarrow\varphi$}\quad\Leftrightarrow\quad \text{$\mathcal{O}$ に関して $\varphi_{\lambda}\rightarrow\varphi$}\quad\quad(*)
$$
が成り立つことを示せばよい。弱 $*$-位相に関する収束の特徴付け（[[位相線形空間2：セミノルム位相と汎弱位相]]の'''注意10.2'''）より、
$$
\text{弱 $*$-位相に関して $\varphi_{\lambda}\rightarrow\varphi$}\quad\Leftrightarrow\quad \text{任意の $x\in X$ に対し $\varphi_{\lambda}\rightarrow\varphi(x)$}
$$
であり、始位相による収束の特徴付け（[[ネットによる位相空間論]]の'''命題7.2'''）より、
$$
\text{$\mathcal{O}$ に関して $\varphi_{\lambda}\rightarrow\varphi$}\quad\Leftrightarrow\quad \text{任意の $n\in \mathbb{N}$ に対し $\varphi_{\lambda}(x_n)\rightarrow\varphi(x_n)$}
$$
である。よって $(*)$ の $\Rightarrow$ は明らかに成り立つ。$(*)$ の $\Leftarrow$ が成り立つことを示す。そのためには任意の $n\in \mathbb{N}$ に対し $\varphi_{\lambda}(x_n)\rightarrow \varphi(x_n)$ が成り立つと仮定して、任意の $x\in X$ に対し $\varphi_{\lambda}(x)\rightarrow\varphi(x)$ が成り立つことを示せばよい。任意の $x\in X$, 任意の $\epsilon\in (0,\infty)$ を取る。$\{x_n\}_{n\in \mathbb{N}}$ は $X$ で稠密であるから、
$$
\lVert x-x_n\rVert<\frac{\epsilon}{3}
$$
なる $n\in \mathbb{N}$ が取れ、仮定より $\varphi_{\lambda}(x_n)\rightarrow\varphi(x_n)$ であるので、
$$
\lvert \varphi_{\lambda}(x_n)-\varphi(x_n)\rvert<\frac{\epsilon}{3}\quad(\forall \lambda\geq\lambda_0)
$$
なる $\lambda_0\in \Lambda$ が取れる。ここで $\lVert \varphi_{\lambda}\rVert,\lVert \varphi\rVert\leq1$ $(\forall \lambda\in \Lambda)$ であるから、任意の $\lambda\geq\lambda_0$ に対し、
$$
\begin{aligned}
\lvert \varphi_{\lambda}(x)-\varphi(x)\rvert&\leq \lvert \varphi_{\lambda}(x)-\varphi_{\lambda}(x_n)\rvert+\lvert \varphi_{\lambda}(x_n)-\varphi(x_n)\rvert+\lvert \varphi(x_n)-\varphi(x)\rvert\\
&\leq \lVert x-x_n\rVert+\frac{\epsilon}{3}+\lVert x_n-x\rVert<\epsilon
\end{aligned}
$$
となる。よって $\varphi_{\lambda}(x)\rightarrow\varphi(x)$ が成り立つので、$(*)$ の $\Leftarrow$ が成り立つ。
{{end|proof}}

===定義5.5（局所コンパクト可換群の双対群）===
$G$ を局所コンパクト可換群とする。'''定理5.3'''より $G$ の指標群 $\widehat{G}$ はコンパクト一様収束位相により局所コンパクト可換群である。局所コンパクト可換群 $H$ で $\widehat{G}$ と同相かつ群同型であるものを $G$ の双対群と言う。$H$ と $\widehat{G}$ の群同型同相写像は、一般論を論じる文脈においては、
$$
H\ni \gamma\mapsto \langle \cdot,\gamma\rangle \in \widehat{G}
$$
によって表す。
$$
\langle\cdot,\cdot\rangle\colon G\times H\ni (x,\gamma)\mapsto \langle x,\gamma\rangle\in \mathbb{T}
$$
を $G$ とその双対群 $H$ のペアリングと言う。さらに以後、$G$ の双対群は指標群と同じ記号 $\widehat{G}$ で表す。

===命題5.6（局所コンパクト可換群の双対群の典型例）===
局所コンパクト可換群 $\mathbb{R}^N$（加法群）、$\mathbb{T}^N$（乗法群、コンパクト群）、$\mathbb{Z}^N$（加法群、離散群）を考える。
*$(1)$　$\mathbb{R}^N$ はペアリング $\langle x,k\rangle=e^{-ik\cdot x}$ $(\forall x,k\in \mathbb{R}^N)$ により $\mathbb{R}^N$ 自身を双対群として持つ。
*$(2)$　$\mathbb{T}^N$ はペアリング $\langle z,n\rangle=z^n=z_1^{n_1}\cdots z_N^{n_N}$ $(\forall z\in \mathbb{T}^N,\forall n\in \mathbb{Z}^N)$ により $\mathbb{Z}^N$ を双対群として持つ。
*$(3)$　$\mathbb{Z}^N$ はペアリング $\langle n,z\rangle =z^n=z_1^{n_1}\cdots z_N^{n_N}$ $(\forall n\in \mathbb{Z}^N,\forall z\in \mathbb{T}^N)$ により $\mathbb{T}^N$ を双対群として持つ。
{{begin|proof}}
*$(1)$　$\langle x,k\rangle=e^{-ik\cdot x}$ $(\forall x,k\in \mathbb{R}^N)$ とおけば、
$$
\mathbb{R}^N\ni k\mapsto \langle \cdot,k\rangle\in \widehat{\mathbb{R}^N}\quad\quad(*)
$$
は明らかに単射連続群準同型写像である。$(*)$ が全射であることを示す。$N=1$ として示せば十分である。$\gamma\in \widehat{\mathbb{R}}$ とすると $\gamma(0)=1$ であるから $0\in \mathbb{R}$ に十分近い $a\in \mathbb{R}$ を取れば、
$$
\alpha\colon=\int_{0}^{a}\gamma(s)ds\neq0
$$
である。
$$
\alpha\gamma(t)=\int_{0}^{a}\gamma(s+t)ds=\int_{0}^{a+t}\gamma(s)ds-\int_{0}^{t}\gamma(s)ds\quad(\forall t\in \mathbb{R})
$$
であるので、
$$
\alpha\frac{d\gamma}{dt}(t)=\gamma(a+t)-\gamma(t)=(\gamma(a)-1)\gamma(t)\quad(\forall t\in \mathbb{R})
$$
である。よって $\beta\colon =\alpha^{-1}(\gamma(a)-1)\in \mathbb{C}$ とおけば、
$$
\frac{d\gamma}{dt}(t)=\beta\gamma(t)\quad(\forall t\in \mathbb{R})
$$
であるので、
$$
\frac{d}{dt}(e^{-\beta t}\gamma(t))=0
$$
である。よって微積分学の基本定理より、
$$
e^{-\beta t}\gamma(t)=\gamma(0)=1\quad(\forall t\in \mathbb{R})
$$
であるから、
$$
\gamma(t)=e^{\beta t}\quad(\forall t\in \mathbb{R})
$$
である。
$$
\lvert e^{\beta }\rvert=\lvert \gamma(1)\rvert=1
$$
よりある $k\in \mathbb{R}$ に対し $\beta=-ik$ と表せる。よって $\gamma(t)=e^{-ikt}$ $(\forall t\in \mathbb{R})$ であるから $(*)$ は全射である。ゆえに $(*)$ は連続群同型写像であるので、'''系3.15'''より $(*)$ は同相写像である。
*$(2)$　$\langle z,n\rangle=z_1^{n_1}\cdots z_N^{n_N}$ $(\forall z\in \mathbb{T}^N,\forall n\in \mathbb{Z}^N)$ とおくと、
$$
\mathbb{Z}^N\ni n\mapsto \langle \cdot, n\rangle \in \widehat{\mathbb{T}^N}\quad\quad(**)
$$
は明らかに単射連続群準同型写像である（連続性は $\mathbb{Z}^N$ が離散群であることから自明である）。$(**)$ が全射であることを示す。$N=1$ であるとして示せば十分である。$\gamma\in \widehat{\mathbb{T}}$ とすると、
$$
\mathbb{R}\ni x\mapsto \gamma(e^{ix})\in \mathbb{T}
$$
は $\widehat{\mathbb{R}}$ に属すから、$(1)$ よりある $n\in \mathbb{R}$ に対し、
$$
\gamma(e^{ix})=e^{inx}\quad(\forall x\in \mathbb{R})
$$
が成り立つ。
$$
1=\gamma(e^{i2\pi})=e^{in 2\pi}
$$
であるから、$n\in \mathbb{Z}$ であり、
$$
\gamma(e^{ix})=e^{inx}=(e^{ix})^n\quad(\forall x\in \mathbb{R})
$$
であるので、$\gamma(z)=z^n$ $(\forall z\in \mathbb{T})$ である。ゆえに $(**)$ は全射である。よって $(**)$ は連続群同型写像であるので'''系3.15'''より $(**)$ は同相写像である。
*$(3)$　$\langle n,z\rangle=z^n=z_1^{n_1}\cdots z_N^{n_N}$ $(\forall z\in \mathbb{T}^N,\forall n\in \mathbb{Z}^N)$ とおくと、
$$
\mathbb{T}^N\ni z\mapsto \langle \cdot,z\rangle\in \widehat{\mathbb{Z}^N}\quad\quad(***)
$$
は明らかに連続群同型写像であるので、'''系3.15'''より $(***)$ は同相写像である。
{{end|proof}}

===定理5.7（局所コンパクト可換群のFourier変換）===
$G$ を局所コンパクト可換群、$\mu\colon \mathcal{B}_G\rightarrow [0,\infty]$ を $G$ のHaar測度とし、$\widehat{G}$ を $G$ の双対群、$C^*(G,\mu)$ を $G$ の群 $C^*$-環（'''定義2.20'''）とする。このとき等長$*$-環同型写像
$$
\mathcal{F}\colon C^*(G,\mu)\rightarrow C_0(\widehat{G})
$$
で、
$$
\mathcal{F}[f](\gamma)=\int_{G}f(x)\langle x,\gamma\rangle d\mu(x)\quad(\forall [f]\in L^1(G,\mu),\forall \gamma\in \widehat{G})
$$
を満たすものが唯一つ存在する。$\mathcal{F}$ を局所コンパクト可換群 $G$ におけるFourier変換と言う。<ref>任意の $[f]\in L^1(G,\mu)$ に対し $\lVert \mathcal{F}[f]\rVert=\lVert [f]\rVert_*\leq \lVert [f]\rVert_1$ である。</ref>
{{begin|proof}}
[[Banach環とC*-環のスペクトル理論]]の'''定理5.9'''より可換 $C^*$-環 $C^*(G,\mu)$ のGelfand変換
$$
\Gamma\colon C^*(G,\mu)\rightarrow C_0(\widehat{C^*(G,\mu)})\quad\quad(*)
$$
は等長$*$-環同型写像である。また'''定理5.3'''の $(3)$ より、
$$
\tau\colon \widehat{G}\ni \gamma\mapsto \widetilde{\Phi_{\gamma}}\in \widehat{C^*(G,\mu)}
$$
は同相写像であるから、
$$
\mathcal{T}\colon C_0(\widehat{C^*(G,\mu)})\ni h\mapsto h\circ \tau\in C_0(\widehat{G})\quad\quad(**)
$$
は等長$*$-環同型写像である。よって $(*),(**)$ の合成
$$
\mathcal{F}\colon=\mathcal{T}\circ\Gamma\colon C^*(G,\mu)\rightarrow C_0(\widehat{G})
$$
は等長$*$-環同型写像である。そして任意の $[f]\in L^1(G,\mu)\subset C^*(G,\mu)$, $\gamma\in \widehat{G}$ に対し、
$$
\mathcal{F}([f])(\gamma)=\mathcal{T}(\Gamma([f]))(\gamma)=\Gamma([f])(\tau(\gamma))
=\Gamma([f])(\widetilde{\Phi_{\gamma}})=\Phi_{\gamma}([f])=\int_{G}f(x)\gamma(x)d\mu(x)
$$
である。よって存在が示せた。一意性は $C^*(G,\mu)$ において $L^1(G,\mu)$ が稠密であることによる。
{{end|proof}}

===系5.8（$\mathcal{F}(L^1(G,\mu))$ は $C_0(\widehat{G})$ の稠密な部分 $*$-環）===
$G$ を局所コンパクト可換群、$\mu\colon \mathcal{B}_G\rightarrow [0,\infty]$ を $G$ のHaar測度、$\widehat{G}$ を $G$ の双対群、$\mathcal{F}\colon C^*(G,\mu)\rightarrow C_0(\widehat{G})$ を $G$ におけるFourier変換とする。このとき $\mathcal{F}(L^1(G,\mu))$ は $C_0(\widehat{G})$ の稠密な部分 $*$-環である。
{{begin|proof}}
群 $C^*$-環 $C^*(G,\mu)$ の定義（'''定義2.20'''）より $L^1(G,\mu)$ は $C^*(G,\mu)$ の稠密な部分 $*$-環である。そして $\mathcal{F}\colon C^*(G,\mu)\rightarrow C_0(\widehat{G})$ は等長$*$-環同型写像であるから、$\mathcal{F}(L^1(G,\mu))$ は $C_0(\widehat{G})=\mathcal{F}(C^*(G,\mu))$ の稠密な部分 $*$-環である。
{{end|proof}}

===命題5.9（Fourier変換の基本性質）===
$G$ を局所コンパクト可換群、$\mu\colon \mathcal{B}_G\rightarrow [0,\infty]$ を $G$ のHaar測度、$\widehat{G}$ を $G$ の双対群、$\mathcal{F}\colon C^*(G,\mu)\rightarrow C_0(\widehat{G})$ を $G$ におけるFourier変換とする。このとき、
*$(1)$　任意の $x\in G$ と任意の $[f]\in L^1(G,\mu)$ に対し、
$$
\mathcal{F}(L_x[f])(\gamma)=\langle x,\gamma\rangle \mathcal{F}([f])(\gamma)\quad(\forall \gamma\in \widehat{G})
$$
が成り立つ。
*$(2)$　$(\varphi_n)_{n\in \mathbb{N}}$ を'''定理1.25'''における $L^1(G,\mu)$ の近似単位元とすると、
$$
\lim_{n\rightarrow\infty}\mathcal{F}(L_x\varphi_n)(\gamma)=\langle x,\gamma\rangle\quad(\forall x\in G,\forall \gamma\in \widehat{G})
$$
が成り立つ。
{{begin|proof}}
*$(1)$　Haar測度による積分の不変性より、
$$
\begin{aligned}
&\mathcal{F}(L_x[f])(\gamma)=\int_{G}f(x^{-1}y)\langle y,\gamma\rangle d\mu(y)
=\int_{G}f(y)\langle xy,\gamma\rangle d\mu(y)\\
&=\langle x,\gamma\rangle\int_{G}f(y)\langle y,\gamma\rangle d\mu(y)
=\langle x,\gamma\rangle(\mathcal{F}[f])(\gamma).
\end{aligned}
$$
*$(2)$　$(1)$ より $x=1\in G$ の場合を示せば十分である。$G\ni y\mapsto \langle y,\gamma\rangle\in \mathbb{T}$ の $1\in G$ における連続性より、
$$
\begin{aligned}
\lvert (\mathcal{F}\varphi_n)(\gamma)-1\rvert&=\left\lvert\int_{G}\varphi_n(y)\langle y,\gamma\rangle d\mu(y)-\int_{G}\varphi_n(y)d\mu(y)\right\rvert
=\left\lvert\int_{G}\varphi_n(y)(\langle y,\gamma\rangle -1)d\mu(y)\right\rvert\\
&\leq \int_{G}\varphi_n(y)\lvert \langle y,\gamma\rangle -1\rvert d\mu(y)\rightarrow0\quad(n\rightarrow\infty).
\end{aligned}
$$
{{end|proof}}

===定理5.10（コンパクト可換群のFourier変換（Plancherelの定理））===
$G$ をコンパクト可換群、$\mu\colon \mathcal{B}_G\rightarrow [0,1]$ をHaar測度（$\mu(G)=1$）、$\widehat{G}$ を $G$ の双対群とする。このとき $\{\langle \cdot,\gamma\rangle:\gamma\in \widehat{G}\}$ はHilbert空間 $L^2(G,\mu)$ のCONSである。そしてFourier変換 $\mathcal{F}\colon L^1(G,\mu)\rightarrow C_0(\widehat{G})$ を $L^2(G,\mu)\subset L^1(G,\mu)$ に制限したものはHilbert空間 $L^2(G,\mu)$ からHilbert空間 $\ell^2(\widehat{G})$ へのユニタリ作用素である。さらに双対群 $\widehat{G}$ は離散群である。
{{begin|proof}}
'''定義5.2'''で述べたように $G$ の局所コンパクト可換群としての指標はコンパクト群としての指標（'''定義4.15'''）と同じである。$G$ は可換であるから $G$ 上の任意の関数は類関数（'''定義4.14'''）であるので、Peter-Weylの定理3（'''定理4.17'''）より、$\{\langle\cdot,\gamma\rangle:\gamma\in \widehat{G}\}$ は $L^2(G,\mu)$ のCONSである。よって任意の $[f]\in L^2(G,\mu)$ に対し、
$$
[f]=\sum_{\gamma\in \widehat{G}}\left(\int_{G}f(x)\overline{\langle x,\gamma\rangle}d\mu(x)\right)\langle\cdot,\gamma\rangle=\sum_{\gamma\in\widehat{G}}\overline{\mathcal{F}([\overline{f}])(\gamma)}\langle \cdot,\gamma\rangle
$$
であるから、[[測度と積分6：数え上げ測度と $\ell^p$ 空間]]の'''系25.8'''より、
$$
L^2(G,\mu)\ni [f]\mapsto (\overline{\mathcal{F}([\overline{f}])(\gamma)})_{\gamma\in \widehat{G}}\in \ell^2(\widehat{G})
$$
はユニタリ作用素である。よって、
$$
\ell^2(\widehat{G})=\overline{\mathcal{F}(L^2(G,\mu))}\subset \overline{\mathcal{F}(L^1(G,\mu))}\subset C_0(\widehat{G})
$$
であるから、任意の $\gamma\in \widehat{G}$ に対し $\chi_{\{\gamma\}}\in \ell^2(\widehat{G})\subset C_0(\widehat{G})$ なので、$\{\gamma\}=(\chi_{\{\gamma\}}>0)$ は $\widehat{G}$ の開集合である。よって局所コンパクト群 $\widehat{G}$ の位相は離散位相なので $\widehat{G}$ は離散群である。
{{end|proof}}

===定理5.11（SNAGの定理）===
$G$ を局所コンパクト可換群、$\widehat{G}$ を $G$ の双対群とする。このとき $G$ の任意のユニタリ表現 $\pi\colon G\rightarrow \mathbb{U}(\mathcal{H}_{\pi})$ に対し、射影値測度 $E_{\pi}\colon \mathcal{B}_{\widehat{G}}\rightarrow \mathbb{P}(\mathcal{H}_{\pi})$ <ref>射影値測度に関しては[[Hilbert空間上の作用素論]]の $6$ を参照。</ref> で、
$$
\pi(x)=\int_{\widehat{G}}\langle x,\gamma\rangle dE_{\pi}(\gamma)\quad(\forall x\in G)\quad\quad(*)
$$
を満たすものが唯一つ存在する。そして $\mu\colon \mathcal{B}_G\rightarrow [0,\infty]$ を $G$ のHaar測度、$\mathcal{F}\colon C^*(G,\mu)\rightarrow C_0(\widehat{G})$ をFourier変換とすると、
$$
\pi([f])=\int_{\widehat{G}}\mathcal{F}([f])(\gamma)dE_{\pi}(\gamma)\quad(\forall [f]\in L^1(G,\mu))
$$
が成り立つ。
{{begin|proof}}
$G$ のユニタリ表現 $\pi$ の $C^*(G,\mu)$ の表現への拡張（'''命題2.23'''、'''定義2.24'''を参照）もそのまま $\pi\colon C^*(G,\mu)\rightarrow \mathbb{B}(\mathcal{H}_{\pi})$ と表す。Fourier変換 $\mathcal{F}\colon C^*(G,\mu)\rightarrow C_0(\widehat{G})$ は等長$*$-環同型写像であるから、
$$
\pi\circ\mathcal{F}^{-1}\colon C_0(\widehat{G})\rightarrow \mathbb{B}(\mathcal{H}_{\pi})
$$
なる $*$-環準同型写像が定義でき、
$$
(\pi\circ\mathcal{F}^{-1})(C_0(\widehat{G}))\mathcal{H}_{\pi}=
\pi(C^*(G,\mu))\mathcal{H}_{\pi}={\rm span}\{\pi(\omega)v:\omega\in C^*(G,\mu),v\in \mathcal{H}_{\pi}\}
$$
は $\mathcal{H}_{\pi}$ で稠密である。よって射影値測度版のRiesz-Markov-角谷の表現定理（[[Hilbert空間上の作用素論]]の'''定理7.3'''）より、射影値測度 $E_{\pi}\colon \mathcal{B}_{\widehat{G}}\rightarrow \mathbb{P}(\mathcal{H}_{\pi})$ で、
$$
(\pi\circ\mathcal{F}^{-1})(h)=\int_{\widehat{G}}h(\gamma)dE_{\pi}(\gamma)\quad(\forall h\in C_0(\widehat{G}))
$$
を満たすものが存在する。これより、
$$
\pi([f])=\int_{\widehat{G}}\mathcal{F}([f])(\gamma)dE_{\pi}(\gamma)\quad(\forall [f]\in L^1(G,\mu))\quad\quad(**)
$$
が成り立つ。'''定理1.25'''における $L^1(G,\mu)$ の近似単位元 $(\varphi_n)_{n\in \mathbb{N}}$ を取ると、'''注意2.15'''と'''命題2.16'''より、
$$
\pi(x)=\text{SOT-}\lim_{n\rightarrow\infty}\pi(L_x\varphi_n)\quad(\forall x\in G)\quad\quad(***)
$$
である。また'''命題5.9'''とLebesgue優収束定理より、任意の$x\in G$と$v\in {\cal H}_{\pi}$に対し、
$$
\begin{aligned}
&\left\lVert \left(\int_{\widehat{G}}\mathcal{F}(L_x\varphi_n)(\gamma)dE_{\pi}(\gamma)\right)v-\left(\int_{\widehat{G}}\langle x,\gamma\rangle dE_{\pi}(\gamma)\right)v\right\rVert^2\\
&=\int_{\widehat{G}}\lvert \mathcal{F}(L_x\varphi_n)(\gamma)-\langle x,\gamma\rangle \rvert^2dE_{\pi,v,v}(\gamma)\\
&\rightarrow0\quad(n\rightarrow\infty)
\end{aligned}
$$
であるから、
$$
\int_{\widehat{G}}\langle x,\gamma\rangle dE_{\pi}(\gamma)=\text{SOT-}\lim_{n\rightarrow\infty}\int_{\widehat{G}}\mathcal{F}(L_x\varphi_n)(\gamma)dE_{\pi}(\gamma)\quad(\forall x\in G)
$$
である。よって $(**)$ より、
$$
\int_{\widehat{G}}\langle x,\gamma\rangle dE_{\pi}(\gamma)=\text{SOT-}\lim_{n\rightarrow\infty}\pi(L_x\varphi_n)\quad(\forall x\in G)
$$
が成り立つ。これと $(***)$ より、
$$
\pi(x)=\int_{\widehat{G}}\langle x,\gamma\rangle dE_{\pi}(\gamma)\quad(\forall x\in G)
$$
を得る。これで $(*)$ を満たす射影値測度 $E_{\pi}\colon \mathcal{B}_{\widehat{G}}\rightarrow \mathbb{P}(\mathcal{H}_{\pi})$ の存在が示せた。 
一意性を示す。射影値測度 $E\colon \mathcal{B}_{\widehat{G}}\rightarrow \mathbb{P}(\mathcal{H}_{\pi})$ が $(*)$ を満たすならば、任意の $[f]\in L^1(G,\mu)$ と任意の $v\in \mathcal{H}_{\pi}$ に対し、Fubiniの定理より、
$$
\begin{aligned}
(v\mid \pi([f])v)&=\int_{G}f(x)(v\mid \pi(x)v)d\mu(x)=\int_{G}f(x)\left(\int_{\widehat{G}}\langle x,\gamma\rangle dE_{v,v}(\gamma)\right)d\mu(x)\\
&=\int_{\widehat{G}}\left(\int_{G}f(x)\langle x,\gamma\rangle d\mu(x)\right)dE(\gamma)
=\int_{\widehat{G}}\mathcal{F}([f])(\gamma)dE_{v,v}(\gamma)\\
&=\left(v\mid \left(\int_{\widehat{G}}\mathcal{F}([f])(\gamma)dE(\gamma)\right)v\right)
\end{aligned}
$$
となる。よって偏極恒等式より、
$$
\pi([f])=\int_{\widehat{G}}\mathcal{F}([f])(\gamma)dE(\gamma)\quad(\forall [f]\in L^1(G,\mu))
$$
が成り立つ。これより $2$ つの射影値測度 $E_1,E_2\colon \mathcal{B}_{\widehat{G}}\rightarrow \mathbb{P}(\mathcal{H}_{\pi})$ がそれぞれ $(*)$ を満たすならば、
$$
\int_{\widehat{G}}\mathcal{F}([f])(\gamma)dE_1(\gamma)=\pi([f])=\int_{\widehat{G}}\mathcal{F}([f])(\gamma)dE_2(\gamma)
$$
が成り立ち、'''系5.8'''より $\mathcal{F}(L^1(G,\mu))$ は $C_0(\widehat{G})$ において稠密であるので、
$$
\int_{\widehat{G}}h(\gamma)dE_1(\gamma)=\int_{\widehat{G}}h(\gamma)dE_2(\gamma)\quad(\forall h\in C_0(\widehat{G}))\quad\quad(****)
$$
が成り立つ。ここで $\widehat{G}$ は第二可算公理を満たす（'''定理5.3'''の $(4)$ を参照）ので、[[Hilbert空間上の作用素論]]の'''注意7.2'''より $E_1,E_2$ は自動的にRadon射影値測度であるから、$(****)$ とRiesz-Markov-角谷の表現定理（[[測度と積分7：局所コンパクトHausdorff空間上のRadon測度]]の'''定理30.4'''）より $E_1=E_2$ が成り立つ。これで一意性が示せた。
{{end|proof}}

===系5.12（Stoneの定理）===
$\mathbb{R}$ の任意のユニタリ表現 $\pi$ に対し $\mathcal{H}_{\pi}$ 上の自己共役作用素 $T$ で、
$$
\pi(x)=e^{ixT}\quad(\forall x\in \mathbb{R})
$$
を満たすものが唯一つ存在する。
{{begin|proof}}
SNAGの定理（'''定理5.11'''）と'''命題5.6'''の $(1)$ より、射影値測度 $E\colon \mathcal{B}_{\mathbb{R}}\rightarrow \mathbb{P}(\mathcal{H}_{\pi})$ で、
$$
\pi(x)=\int_{\mathbb{R}}e^{ix\lambda}dE(\lambda)\quad(\forall x\in \mathbb{R})
$$
を満たすものが存在する。
$$
T\colon=\int_{\mathbb{R}}\lambda dE(\lambda)\quad\quad(*)
$$
とおくと、[[Hilbert空間上の作用素論]]の'''命題6.8'''の $(2)$ より $T$ は $\mathcal{H}_{\pi}$ 上の自己共役作用素であり、[[Hilbert空間上の作用素論]]の'''命題8.6'''より、
$$
e^{ixT}=\int_{\mathbb{R}}e^{ix\lambda}dE(\lambda)=\pi(x)\quad(\forall x\in \mathbb{R})
$$
である。よって存在が示せた。一意性を示す。自己共役作用素 $S$ が $\pi(x)=e^{ixS}$ $(\forall x\in \mathbb{R})$ を満たすとすると、$(*)$ における自己共役作用素 $T$ に対し、
$$
e^{ixT}=\pi(x)=e^{ixS}\quad(\forall x\in \mathbb{R})
$$
であるから、[[Hilbert空間上の作用素論]]の'''補題21.3'''より $T=S$ である。よって一意性が示せた。
{{end|proof}}

===定義5.13（自己共役作用素の強可換性）===
$\mathcal{H}$ をHilbert空間、$S,T$ を $\mathcal{H}$ 上の自己共役作用素とする。
$$
e^{isS}e^{itT}=e^{itT}e^{isS}\quad(\forall s,t\in \mathbb{R})
$$
が成り立つとき、$S,T$ は互いに強可換であると言う。

===定理5.14（強可換な自己共役作用素の組に対する結合スペクトル測度）===
$\mathcal{H}$ をHilbert空間、$T\colon=(T_1,\ldots,T_N)$ を互いに強可換な自己共役作用素の組とする。そして $T_j$ のスペクトル測度（[[Hilbert空間上の作用素論]]の'''定義8.4'''）を $E^{T_j}\colon \mathcal{B}_{\sigma(T_j)}\rightarrow \mathbb{P}(\mathcal{H})$ $(j=1,\ldots,N)$ とする。このとき射影値測度
$$
E^T\colon \mathcal{B}_{\sigma(T_1)\times \cdots\times \sigma(T_N)}\rightarrow \mathbb{P}(\mathcal{H})
$$
で、
$$
E^T(B_1\times \cdots\times B_N)=E^{T_1}(B_1)\cdots E^{T_N}(B_N)\quad(\forall B_1\in \mathcal{B}_{\sigma(T_1)},\ldots,\forall B_N\in \mathcal{B}_{\sigma(T_N)})
$$
を満たすものが唯一つ存在する。
{{begin|proof}}
任意の $j\in \{1,\ldots,N\}$ に対し、$\mathbb{R}\ni t\mapsto e^{itT_j}\in \mathbb{U}({\cal H})$ は群準同型写像である。そして任意の $v\in {\cal H}$ に対し、Lebesgue優収束定理より、
$$
\lVert e^{itT_j}v-e^{isT_j}v\rVert^2=\left\lVert \left(\int_{\sigma(T_j)}(e^{it\lambda}-e^{is\lambda})dE^{T_j}(\lambda)\right)v\right\rVert^2
=\int_{\sigma(T_j)}\lvert e^{it\lambda}-e^{is\lambda}\rvert^2dE^{T_j}_{v,v}(\lambda)\rightarrow0\quad(t\rightarrow s)
$$
であるから、$\mathbb{R}\ni t\mapsto e^{itT_j}\in \mathbb{U}({\cal H})$ はSOT連続な群準同型写像である。よって強可換性より、
$$
\mathbb{R}^N\ni (x_1,\ldots,x_N)\mapsto e^{ix_1T_1}\cdots e^{ix_NT_N}\in \mathbb{U}(\mathcal{H})
$$
はSOT連続な群準同型写像であるから、局所コンパクト可換群 $\mathbb{R}^N$ の ${\cal H}$ 上へのユニタリ表現である。よってSNAGの定理（'''定理5.11'''）と'''命題5.6'''の $(1)$ より、射影値測度 $E\colon \mathcal{B}_{\mathbb{R}^N}\rightarrow \mathbb{P}(\mathcal{H})$ で、
$$
e^{ix_1T_1}\cdots e^{ix_NT_N}=\int_{\mathbb{R}^N}e^{ix_1\lambda_1}\cdots e^{ix_N\lambda_N}dE(\lambda_1,\ldots,\lambda_N)\quad(\forall (x_1,\ldots,x_N)\in \mathbb{R}^N)
$$
を満たすものが唯一つ存在する。各 $j\in \{1,\ldots,N\}$ に対し、
$$
\pi_j\colon \mathbb{R}^N\ni (x_1,\ldots,x_N)\mapsto x_j\in \mathbb{R}
$$
とおき、射影値測度 $E_j\colon \mathcal{B}_{\mathbb{R}}\rightarrow \mathbb{P}(\mathcal{H})$ を、
$$
E_j(B)\colon=E(\pi_j^{-1}(B))\quad(\forall B\in \mathcal{B}_{\mathbb{R}})
$$
として定義すると、単関数近似より、
$$
\int_{\mathbb{R}}e^{ix\lambda}dE_j(\lambda)=\int_{\mathbb{R}^N}e^{ix\lambda_j}dE(\lambda_1,\ldots,\lambda_N)=e^{ixT_j}=\int_{\sigma(T_j)}e^{ix\lambda}dE^{T_j}(\lambda)\quad(\forall x\in \mathbb{R})
$$
である。よって　$\mathbb{R}$ のユニタリ表現 $\mathbb{R}\ni x\mapsto e^{ixT_j}\in \mathbb{U}({\cal H})$ に対し、射影値測度$E_j:{\cal B}_{\mathbb{R}}\rightarrow \mathbb{P}({\cal H})$ と射影値測度 ${\cal B}_{\mathbb{R}}\ni B\mapsto E^{T_j}(B\cap \sigma(T_j))\in \mathbb{P}({\cal H})$ がSNAGの定理('''定理5.11''')の条件を満たすので、SNAGの定理の一意性より、
$$
E_j(B)=E^{T_j}(B\cap \sigma(T_j))\quad(\forall B\in\mathcal{B}_{\mathbb{R}})
$$
が成り立つ。よって、
$$
\begin{aligned}
&E(B_1\times \cdots\times B_N)=E(\pi_1^{-1}(B_1)\cap\cdots\cap\pi_N^{-1}(B_N))=E_1(B_1)\cdots E_N(B_N)\\
&=E^{T_1}(B_1\cap \sigma(T_1))\cdots E^{T_N}(B_N\cap \sigma(T_N))\quad(\forall B_1,\ldots,B_N\in \mathcal{B}_{\mathbb{R}})
\end{aligned}
$$
が成り立つ。これより、
$$
E(\sigma(T_1)\times \cdots\times \sigma(T_N))=E^{T_1}(\sigma(T_1))\cdots E^{T_N}(\sigma(T_N))=1
$$
であるから、$E$ を $\mathcal{B}_{\sigma(T_1)\times \cdots\times \sigma(T_N)}$ 上に制限したものは射影値測度であり、それを $E^T\colon \mathcal{B}_{\sigma(T_1)\times \cdots\times \sigma(T_N)}\rightarrow \mathbb{P}(\mathcal{H})$ と表すと、
$$
E^T(B_1\times \cdots\times B_N)=E(B_1\times \cdots\times B_N)=E^{T_1}(B_1)\cdots E^{T_N}(B_N)\quad(\forall B_1\in \mathcal{B}_{\sigma(T_1)},\ldots,B_N\in \mathcal{B}_{\sigma(T_N)})
$$
である。これで存在が示せた。一意性は $\sigma$-加法族 $\mathcal{B}_{\sigma(T_1)\times \cdots \times \sigma(T_N)}=\mathcal{B}_{\sigma(T_1)}\otimes\cdots\otimes \mathcal{B}_{\sigma(T_N)}$（[[測度と積分1：測度論の基礎用語]]の'''命題2.7'''）が半集合代数（[[測度と積分3：測度論の基本定理(1)]]の'''定義12.1'''）
$$
\mathcal{B}_{\sigma(T_1)}\times \cdots\times \mathcal{B}_{\sigma(T_N)}=\{B_1\times\cdots\times B_N:B_1\in \mathcal{B}_{\sigma(T_1)},\ldots, B_N\in \mathcal{B}_{\sigma(T_N)}\}
$$
によって生成されることと、[[測度と積分3：測度論の基本定理(1)]]の'''命題12.7'''と'''定理12.8'''（単調族定理）による。
{{end|proof}}

===定義5.15（結合スペクトル測度とそれによる積分の定義）===
$\mathcal{H}$ をHilbert空間、$T\colon =(T_1,\ldots,T_N)$ を互いに強可換な自己共役作用素の組とし、$T_j$ のスペクトル測度を $E^{T_j}\colon \mathcal{B}_{\sigma(T_j)}\rightarrow \mathbb{P}(\mathcal{H})$ $(j=1,\ldots,N)$ とおく。このとき'''定理5.14'''より、射影値測度
$$
E^T\colon \mathcal{B}_{\sigma(T_1)\times \cdots\times \sigma(T_N)}\rightarrow \mathbb{P}(\mathcal{H})
$$
で、
$$
E^{T}(B_1\times \cdots\times B_N)=E^{T_1}(B_1)\cdots E^{T_N}(B_N)\quad(\forall B_1\in \mathcal{B}_{\sigma(T_1)},\ldots,\forall B_N\in \mathcal{B}_{\sigma(T_N)})
$$
を満たすものが唯一つ存在する。この $E^T$ を強可換な自己共役作用素の組 $T=(T_1,\ldots,T_N)$ に付随する結合スペクトル測度と言う。そして任意のBorel関数
$$
f\colon \sigma(T_1)\times \cdots\times \sigma(T_N)\rightarrow \mathbb{C}
$$
に対し、
$$
f(T)\colon=\int_{\sigma(T_1)\times \cdots \times \sigma(T_N)}f(\lambda_1,\ldots,\lambda_N)dE^T(\lambda_1,\ldots,\lambda_N)
$$
と定義する。各 $j\in \{1,\ldots,N\}$ に対し、
$$
\pi_j\colon \sigma(T_1)\times \cdots\times \sigma(T_N)\ni (\lambda_1,\ldots,\lambda_N)\mapsto \lambda_j\in \sigma(T_j)
$$
とおくと、
$$
E^T(\pi_j^{-1}(B))=E^{T_j}(B)\quad(\forall B\in \mathcal{B}_{\sigma(T_j)})
$$
であるから、任意のBorel関数 $f_j\colon \sigma(T_j)\rightarrow \mathbb{C}$ に対し、単関数近似により、
$$
f_j(T_j)=\int_{\sigma(T_j}f_j(\lambda)dE^{T_j}(\lambda)
=\int_{\sigma(T_1)\times \cdots\times \sigma(T_N)}f_j(\lambda_j)dE^T(\lambda_1,\ldots,\lambda_N)=(f_j\circ \pi_j)(T)
$$
が成り立つことが分かる。よってBorel関数
$$
f_1\otimes \cdots\otimes f_N=(f_1\circ \pi_1)\cdots (f_N\circ \pi_N)\colon\sigma(T_1)\times \cdots\times \sigma(T_N)\rightarrow \mathbb{C}
$$
に対し、[[Hilbert空間上の作用素論]]の'''命題6.8'''の $(3)$ より、
$$
(f_1\otimes\cdots\otimes f_N)(T)=\overline{f_1(T_1)\cdots f_N(T_N)}
$$
が成り立つ。特に、
$$
e^{ix\cdot T}=e^{ix_1T_1}\cdots e^{ix_NT_N}\quad(\forall x\in \mathbb{R}^N)
$$
である。

===定理5.16（Stoneの定理（$N$ 次元版）)===
$\mathbb{R}^N$ の任意のユニタリ表現 $\pi$ に対し、$\mathcal{H}_{\pi}$ 上の $N$ 個の互いに強可換な自己共役作用素からなる組 $T=(T_1,\ldots,T_N)$ で、
$$
\pi(x)=e^{ix\cdot T}\quad(\forall x\in \mathbb{R}^N)
$$
（右辺については'''定義5.15'''を参照）を満たすものが唯一つ存在する。
{{begin|proof}}
SNAGの定理（'''定理5.11'''）と'''命題5.6'''の $(1)$ より、射影値測度 $E_{\pi}\colon \mathcal{B}_{\mathbb{R}^N}\rightarrow \mathbb{P}(\mathcal{H}_{\pi})$ で、
$$
\pi(x)=\int_{\mathbb{R}^N}e^{ix\cdot\lambda}dE_{\pi}(\lambda)\quad(\forall x\in \mathbb{R}^N)
$$
を満たすものが唯一つ存在する。各 $j\in \{1,\ldots,N\}$ に対し、
$$
T_j\colon=\int_{\mathbb{R}^N}\lambda_jdE_{\pi}(\lambda)
$$
とおくと、被積分関数が実数値であるから $T_j$ は自己共役作用素であり（[[Hilbert空間上の作用素論]]の'''命題6.8'''の $(2)$）、[[Hilbert空間上の作用素論]]の'''命題8.6'''より、任意のBorel関数 $f\colon \sigma(T_j)\rightarrow\mathbb{C}$ に対し、
$$
f(T_j)=\int_{\mathbb{R}^N}f(\lambda_j)dE_{\pi}(\lambda)
$$
が成り立つ。特に、
$$
e^{ixT_j}=\int_{\mathbb{R}^N}e^{ix\lambda_j}dE_{\pi}(\lambda)\quad(\forall x\in \mathbb{R}^N)
$$
が成り立つ。よって任意の $j,k\in\{1,\ldots,N\}$、任意の $x_j,x_k\in \mathbb{R}$ に対し、
$$
e^{ix_jT_j}e^{ix_kT_k}=\int_{\mathbb{R}^N}e^{ix_j\lambda_j}e^{ix_k\lambda_k}dE_{\pi}(\lambda)
=e^{ix_kT_k}e^{ix_jT_j}
$$
であるから、$T_1,\ldots,T_N$ は互いに強可換であり、$T=(T_1,\ldots,T_N)$ に対し、
$$
e^{ix\cdot T}=e^{ix_1T_1}\cdots e^{ix_NT_N}=\int_{\mathbb{R}^N}e^{ix_1\lambda_1}\cdots e^{ix_N\lambda_N}dE_{\pi}(\lambda)=\pi(x)\quad(\forall x\in \mathbb{R}^N)
$$
である。これで存在が示せた。一意性を示す。$T=(T_1,\ldots,T_N)$, $S=(S_1,\ldots,S_N)$ をそれぞれ互いに強可換な自己共役作用素の組とし、
$$
e^{ix\cdot T}=\pi(x)=e^{ix\cdot S}\quad(\forall x\in \mathbb{R}^N)
$$
が成り立つとする。このとき各 $j\in \{1,\ldots,N\}$ に対し、
$$
e^{ixT_j}=e^{ixS_j}\quad(\forall x\in \mathbb{R})
$$
であるから、[[Hilbert空間上の作用素論]]の'''補題21.3'''より、$T_j=S_j$ である。これで一意性が示せた。
{{end|proof}}

===定義5.17（$\nu\in M(\widehat{G})$ に対する特性関数 $\widehat{\nu}$）===
$G$ を局所コンパクト可換群、$\widehat{G}$ を $G$ の双対群、$M(\widehat{G})$ を $\widehat{G}$ 上の測度群環（'''定義1.28'''）とする。任意の $\nu\in M(\widehat{G})$ に対し、
$$
\widehat{\nu}\colon G\rightarrow\mathbb{C},\quad
\widehat{\nu}(x)\colon=\int_{\widehat{G}}\langle x,\gamma\rangle d\nu(\gamma)\quad(\forall x\in G)
$$
なる有界連続関数<ref> $G$ は第二可算と仮定しているので第一可算である。Lebesgue優収束定理より $\widehat{\nu}$ は $G$ の収束する点列を $\mathbb{C}$ の収束する点列に写す。よって $\widehat{\nu}$ は連続である。</ref>を定義する。これを $\nu\in M(\widehat{G})$ に対する特性関数と言う。

===命題5.18（特性関数の基本性質）===
$G$ を局所コンパクト可換群、$\widehat{G}$ を $G$ の双対群とし、
$$
M(\widehat{G})\ni \nu\mapsto \widehat{\nu}\in C_b(G)\quad\quad(*)
$$
を考える。
*$(1)$　$(*)$ は $*$-環準同型写像である。
*$(2)$　$(*)$ は単射である。
{{begin|proof}}
*$(1)$　$(*)$ が線形写像であることは明らかである。任意の $\nu_1,\nu_2\in M(\widehat{G})$ に対し'''命題1.29'''の証明より、
$$
\begin{aligned}
(\widehat{\nu_1*\nu_2})(x)&=\int_{\widehat{G}}\langle x,\gamma\rangle d(\nu_1*\nu_2)(\gamma)
=\int_{\widehat{G}}\left(\int_{\widehat{G}}\langle x,\gamma_1\gamma_2\rangle d\nu_1(\gamma_1)\right)d\nu_2(\gamma_2)\\
&=\int_{\widehat{G}}\left(\int_{\widehat{G}}\langle x,\gamma_1\rangle \langle x,\gamma_2\rangle d\nu_1(\gamma_1)\right)d\nu_2(\gamma_2)
=\int_{\widehat{G}}\langle x,\gamma_1\rangle d\nu_1(\gamma_1)\int_{\widehat{G}}\langle x,\gamma_2\rangle d\nu_2(\gamma_2)\\
&=\widehat{\nu_1}(x)\widehat{\nu_2}(x)\quad(\forall x\in G)
\end{aligned}
$$
であるから $(*)$ は乗法を保存する。また任意の $\nu\in M(\widehat{G})$ に対し'''命題1.29'''の証明より、
$$
\widehat{\nu^*}(x)=\int_{\widehat{G}}\langle x,\gamma\rangle d\nu^*(\gamma)=\overline{\int_{\widehat{G}}\overline{\langle x,\gamma^{-1}\rangle}d\nu(\gamma)}=\overline{\int_{\widehat{G}}\langle x,\gamma\rangle d\nu(\gamma)}=\overline{\widehat{\nu}(x)}
$$
であるから $(*)$ は $*$-演算を保存する。
*(2)　$\mu\colon \mathcal{B}_G\rightarrow [0,\infty]$ を $G$ のHaar測度とし、$\mathcal{F}\colon C^*(G,\mu)\rightarrow C_0(\widehat{G})$ をFourier変換（'''定理5.7'''）とすると、任意の $\nu\in M(\widehat{G})$ に対し、Fubiniの定理より、
$$
\begin{aligned}
\int_{G}f(x)\widehat{\nu}(x)d\mu(x)&=\int_{G}f(x)\left(\int_{\widehat{G}}\langle x,\gamma\rangle d\nu(\gamma)\right)d\mu(x)=\int_{\widehat{G}}\left(\int_{G}f(x)\langle x,\gamma\rangle d\mu(x)\right)d\nu(\gamma)\\
&=\int_{\widehat{G}}(\mathcal{F}[f])(\gamma)d\nu(\gamma)\quad(\forall [f]\in L^1(G,\mu))\quad\quad(**)
\end{aligned}
$$
が成り立つ。今、$\nu_1,\nu_2\in M(\widehat{G})$ が $\widehat{\nu_1}=\widehat{\nu_2}$ を満たすとする。このとき $(**)$ より、
$$
\int_{\widehat{G}}(\mathcal{F}[f])(\gamma)d\nu_1(\gamma)=
\int_{G}f(x)\widehat{\nu_1}(x)d\mu(x)
=\int_{G}f(x)\widehat{\nu_2}(x)d\mu(x)
=\int_{\widehat{G}}(\mathcal{F}[f])(\gamma)d\nu_2(\gamma)
$$
であり、'''系5.8'''より $\mathcal{F}(L^1(G,\mu))$ は $C_0(\widehat{G})$ で稠密であるので、
$$
\int_{\widehat{G}}h(\gamma)d\nu_1(\gamma)=\int_{\widehat{G}}h(\gamma)d\nu_2(\gamma)\quad(\forall h\in C_0(\widehat{G}))
$$
が成り立つ。よってRiesz-Markov-角谷の表現定理（[[測度と積分7：局所コンパクトHausdorff空間上のRadon測度]]の'''定理34.1'''）より $\nu_1=\nu_2$ である。ゆえに $(*)$ は単射である。
{{end|proof}}

===定理5.19（Bochnerの定理）===
$G$ を局所コンパクト可換群、$\widehat{G}$ を $G$ の双対群とし、
$$
M_+(\widehat{G})=\{\nu\in M(\widehat{G}):\nu(B)\geq0\quad(\forall B\in \mathcal{B}_{\widehat{G}})\}
$$
とおき、$\mathcal{P}(G)$ を $G$ 上の正定値連続関数全体（'''定義2.26'''）とする。このとき、
$$
M_+(\widehat{G})\ni \nu\mapsto \widehat{\nu}\in \mathcal{P}(G)
$$
は全単射であり、ノルムを保存する。
{{begin|proof}}
$\mu\colon \mathcal{B}_G\rightarrow [0,\infty]$ を $G$ のHaar測度、$\mathcal{F}\colon C^*(G,\mu)\rightarrow C_0(\widehat{G})$ をFourier変換（'''定理5.7'''）とする。任意の $\nu\in M_+(\widehat{G})$ に対し、'''命題5.18'''の証明の $(**)$ より、
$$
\int_{G}([f]^**[f])(x)\widehat{\nu}(x)d\mu(x)=\int_{\widehat{G}}\mathcal{F}([f]^**[f])(\gamma)d\nu(\gamma)=\int_{\widehat{G}}\lvert (\mathcal{F}[f])(\gamma)\rvert^2d\nu(\gamma)\geq0\quad(\forall [f]\in L^1(G,\mu))
$$
であるから $\widehat{\nu}\in \mathcal{P}(G)$ である。そして'''系2.35'''より、
$$
\lVert \widehat{\nu}\rVert=\widehat{\nu}(1)=\int_{\widehat{G}}\langle 1,\gamma\rangle d\nu(\gamma)=\nu(\widehat{G})=\lVert \nu\rVert
$$
である。$M_+(\widehat{G})\ni \nu \mapsto \widehat{\nu}\in \mathcal{P}(G)$ が単射であることは'''命題5.18'''の $(2)$ による。全射であることを示す。任意の $p\in \mathcal{P}(G)\backslash \{0\}$ を取り、$p$ に対するGNS表現（'''定義2.34'''）を $(\pi,v)$ とおく。$\pi$ の $C^*(G,\mu)$ の表現への一意拡張（'''定義2.24'''）もそのまま $\pi\colon C^*(G,\mu)\rightarrow \mathbb{B}(\mathcal{H}_{\pi})$ と表す。Fourier変換 $\mathcal{F}\colon C^*(G,\mu)\rightarrow C_0(\widehat{G})$ は等長$*$-環同型写像である（'''定理5.7'''）から、
$$
C_0(\widehat{G})\ni h\mapsto (v\mid \pi(\mathcal{F}^{-1}(h))v)\in \mathbb{C}
$$
は非負値性を保存する有界線形汎関数である。よってRiesz-Markov-角谷の表現定理（[[測度と積分7：局所コンパクトHausdorff空間上のRadon測度]]の'''定理34.1'''と'''定理30.4'''）より $\nu\in M_+(\widehat{G})$ で、
$$
(v\mid \pi(\mathcal{F}^{-1}(h))v)=\int_{\widehat{G}}h(\gamma)d\nu(\gamma)\quad(\forall h\in C_0(\widehat{G}))
$$
を満たすものが定まる。任意の $[f]\in L^1(G,\mu)$ に対しFubiniの定理より、
$$
\begin{aligned}
\int_{G}f(x)p(x)d\mu(x)&=\int_{G}f(x)(v\mid \pi(x)v)d\mu(x)=(v\mid \pi([f])v)
=\int_{\widehat{G}}(\mathcal{F}[f])(\gamma)d\nu(\gamma)\\
&=\int_{\widehat{G}}\left(\int_{G}f(x)\langle x,\gamma\rangle d\mu(x)\right)d\nu(\gamma)
=\int_{G}f(x)\left(\int_{\widehat{G}}\langle x,\gamma\rangle d\nu(\gamma)\right)d\mu(x)\\
&=\int_{G}f(x)\widehat{\nu}(x)d\mu(x)
\end{aligned}
$$
となるから、$L^\infty(G,\mu)=(L^1(G,\mu))^*$（[[測度と積分5：$L^p$ 空間の完備性と双対性]]の'''定理23.4'''）と $p,\widehat{\nu}$ の連続性より $p=\widehat{\nu}$ が成り立つ（'''命題1.8'''より$G$の空でない開集合のHaar測度は正であることに注意）。よって $M_+(\widehat{G})\ni \nu\mapsto \widehat{\nu}\in \mathcal{P}(G)$ は全射である。
{{end|proof}}

===定理5.20（確率測度の収束と特性関数の収束）===
$G$ を局所コンパクト可換群、$\widehat{G}$ を $G$ の双対群とし、$(\nu_n)_{n\in \mathbb{N}}$ を $\widehat{G}$ 上の確率Borel測度の列、$\nu$ を $\widehat{G}$ 上の確率Borel測度とする。このとき次は互いに同値である。
*$(1)$　$M(\widehat{G})=(C_0(\widehat{G}))^*$（[[測度と積分7：局所コンパクトHausdorff空間上のRadon測度]]の'''定理34.1'''）の弱 $*$-位相で $\lim_{n\rightarrow\infty}\nu_n=\nu$.
*$(2)$　任意の $h\in C_0(\widehat{G})$ に対し、$\lim_{n\rightarrow\infty}\int_{\widehat{G}}h(\gamma)d\nu_n(\gamma)=\int_{\widehat{G}}h(\gamma)d\nu(\gamma)$.
*$(3)$　コンパクト一様収束位相（'''定義2.38'''）で $\lim_{n\rightarrow\infty}\widehat{\nu_n}=\widehat{\nu}$.
*$(4)$　任意の $x\in G$ に対し $\lim_{n\rightarrow\infty}\widehat{\nu_n}(x)=\widehat{\nu}(x)$.
また $(1)\sim (4)$ が成り立つとき、$\nu(\partial B)=0$ を満たす任意の $B\in \mathcal{B}_{\widehat{G}}$ に対し、
$$
\lim_{n\rightarrow\infty}\nu_n(B)=\nu(B)
$$
が成り立つ（ただし $\partial B=\overline{B}\backslash B^{\circ}$ である）。
{{begin|proof}}
まずBochnerの定理（'''定理5.19'''）より $\widehat{\nu_n},\widehat{\nu}\in \mathcal{P}_1(G)$（'''定義2.36'''）である。$\mu\colon \mathcal{B}_G\rightarrow [0,\infty]$ を $G$ のHaar測度、$\mathcal{F}\colon C^*(G,\mu)\rightarrow C_0(\widehat{G})$ をFourier変換（'''定理5.7'''）とする。 
$(1)\Leftrightarrow (2)$ はRiesz-Markov-角谷の表現定理（[[測度と積分7：局所コンパクトHausdorff空間上のRadon測度]]の'''定理34.1'''）と弱 $*$-位相に関する収束の特徴付け（[[位相線形空間2：セミノルム位相と汎弱位相]]の'''注意10.2'''）による。 
$(2)\Rightarrow(3)$ を示す。
$(2)$ が成り立つとすると、'''命題5.18'''の証明の $(**)$ より、任意の $[f]\in L^1(G,\mu)$ に対し、
$$
\int_{G}f(x)\widehat{\nu_n}(x)d\mu(x)=\int_{\widehat{G}}(\mathcal{F}[f])(\gamma)d\nu_n(\gamma)\rightarrow\int_{\widehat{G}}(\mathcal{F}[f])(\gamma)d\nu(\gamma)=\int_{G}f(x)\widehat{\nu}(x)d\mu(x)
$$
が成り立つ。よって'''定理2.39'''より $(3)$ が成り立つ。 
$(3)\Rightarrow(4)$ は自明である。 
$(4)\Rightarrow(1)$ を示す。$(4)$ が成り立つとすると、'''命題5.18'''の証明の $(**)$ とLebesgue優収束定理より任意の $[f]\in L^1(G,\mu)$ に対し、
$$
\int_{\widehat{G}}(\mathcal{F}[f])(\gamma)d\nu_n(\gamma)=
\int_{G}f(x)\widehat{\nu_n}(x)d\mu(x)\rightarrow\int_{G}f(x)\widehat{\nu}(x)d\mu(x)
=\int_{\widehat{G}}(\mathcal{F}[f])(\gamma)d\nu(\gamma)
$$
が成り立つ。このことと $\mathcal{F}(L^1(G,\mu))$ が $C_0(\widehat{G})$ で稠密であること（'''系5.8'''）、各 $\nu_n,\nu\in M(\widehat{G})=(C_0(\widehat{G}))^*$ のノルムが $1$ であることから、任意の $h\in C_0(\widehat{G})$ に対し $\int_{\widehat{G}}h(\gamma)d\nu_n(\gamma)\rightarrow \int_{\widehat{G}}h(\gamma)d\nu(\gamma)$ が成り立つ。よって $(1)$ が成り立つ。 
$(1)\sim(4)$ が成り立つとする。任意の開集合 $V\subset \widehat{G}$ を取る。$f\prec V$（[[測度と積分7：局所コンパクトHausdorff空間上のRadon測度]]の'''定義29.1'''）なる任意の $f\in C_{c,+}(\widehat{G})$ に対し、$(2)$ と $0\leq f(\gamma)\leq \chi_V((\gamma)$ $(\forall \gamma\in \widehat{G})$ より、
$$
\int_{\widehat{G}}f(\gamma)d\nu(\gamma)=\lim_{n\rightarrow\infty}\int_{\widehat{G}}f(\gamma)d\nu_n(\gamma)=\sup_{n\in \mathbb{N}}\inf_{k\geq n}\int_{\widehat{G}}f(\gamma)d\nu_k(\gamma)\leq \sup_{n\in \mathbb{N}}\inf_{k\geq n}\nu_k(V)
$$
である。よって[[測度と積分7：局所コンパクトHausdorff空間上のRadon測度]]の'''命題29.4'''の $(2)$ より、
$$
\nu(V)=\sup\left\{\int_{\widehat{G}}f(\gamma)d\nu(\gamma):f\prec V\right\}
\leq \sup_{n\in \mathbb{N}}\inf_{k\geq n}\nu_k(V)
$$
が成り立つ。また任意の閉集合 $F\subset \widehat{G}$ に対し、
$$
1-\nu(F)=\nu(\widehat{G}\backslash F)\leq \sup_{n\in \mathbb{N}}\inf_{k\geq n}\nu_k(\widehat{G}\backslash F)=\sup_{n\in\mathbb{N}}\inf_{k\geq n}(1-\nu_k(F))
=1-\inf_{n\in \mathbb{N}}\sup_{k\geq n}\nu_k(F)
$$
であるから、
$$
\inf_{n\in \mathbb{N}}\sup_{k\geq n}\nu_k(F)\leq \nu(F)
$$
が成り立つ。今、$B\in \mathcal{B}_{\widehat{G}}$ が $\nu(\partial B)=0$ を満たすとする。$B\subset \overline{B}=B^{\circ}\cup \partial B$ であるから、
$$
\nu(B)\leq \nu(\overline{B})=\nu(B^{\circ})+\nu(\partial B)=\nu(B^{\circ})\leq \nu(B),
$$
よって、
$$
\nu(B)=\nu(\overline{B})=\nu(B^{\circ})
$$
である。開集合 $B^{\circ}$ と閉集合 $\overline{B}$ に対し、上で示した不等式を適用し、
$$
\begin{aligned}
\nu(B)&=\nu(B^{\circ})\leq \sup_{n\in \mathbb{N}}\inf_{k\geq n}\nu_k(B^{\circ})
\leq \sup_{n\in \mathbb{N}}\inf_{k\geq n}\nu_k(B)\leq \inf_{n\in \mathbb{N}}\sup_{k\geq n}\nu_k(B)\\
&\leq \inf_{n\in \mathbb{N}}\sup_{k\geq n}\nu_k(\overline{B})\leq \nu(\overline{B})=\nu(B)
\end{aligned}
$$
を得る。よって、
$$
\nu(B)=\sup_{n\in \mathbb{N}}\inf_{k\geq n}\nu_k(B)=\inf_{n\in \mathbb{N}}\sup_{k\geq n}\nu_k(B)
$$
であるから、$\nu(B)=\lim_{n\rightarrow\infty}\nu_n(B)$ が成り立つ。
{{end|proof}}

==6. 離散群のユニタリ表現==
これまで簡単のため、局所コンパクト群は断ることなく第二可算公理を満たすとしてきた。第二可算な離散群は可算であるが、離散群に対しては可算性を仮定しなくてもこれまで示した結果がほとんど自明に従う。非可算離散群に関する結果（'''定理6.6'''）を、後の記事（[[Fock空間、CCRとCARの表現]]）で使うところがあるので、一応、改めてまとめておく。

===命題6.1（離散群の表現の基本性質）===
$G$ を可算とは限らない離散群とする。
*$(1)$　$G$ のHaar測度は数え上げ測度の正数倍である。
*$(2)$　Banach空間 $\ell^1(G)$（[[測度と積分6：数え上げ測度と $\ell^p$ 空間]]を参照）は、
$$
f*g\colon=\sum_{y\in G}f(y)L_yg\in \ell^1(G),\quad f^*(x)\colon=\overline{f(x^{-1})}\quad(\forall x\in G,\forall f,g\in \ell^1(G))
$$
を乗法と対合としてBanach $*$-環である（'''命題1.24'''に相当）。また任意の $x\in G$ に対し $\delta_x\in \ell^1(G)$ を、
$$
\delta_x(y)\colon=\begin{cases}1\quad&(y= x)\\0&(y\neq x)\end{cases}
$$
とおくと、
$$
\delta_x*f=L_xf,\quad f*\delta_x=R_{x{-1}}f\quad(\forall x\in G,\forall f\in \ell^1(G))
$$
であり、$G$ の単位元 $1\in G$ に対し $\delta_1\in \ell^1(G)$ は $\ell^1(G)$ の単位元である。
*$(3)$　$\pi\colon G\rightarrow\mathbb{U}(\mathcal{H}_{\pi})$ を $G$ のユニタリ表現とする。任意の $f\in \ell^1(G)$ に対し $\pi(f)\in \mathbb{B}(\mathcal{H}_{\pi})$ を、
$$
\pi(f)v\colon=\sum_{x\in G}f(x)\pi(x)v\in \mathcal{H}_{\pi}\quad(\forall v\in \mathcal{H}_{\pi})
$$
として定義すると、
$$
\ell^1(G)\ni f\mapsto \pi(f)\in \mathbb{B}(\mathcal{H}_{\pi})
$$
は単位的（単位元を単位元に写す）$*$-環準同型写像である（'''命題2.16'''に相当）。
*$(4)$　与えられたHilbert空間 $\mathcal{H}$ と単位的 $*$-環準同型写像 $\rho\colon \ell^1(G)\rightarrow \mathbb{B}(\mathcal{H})$ に対し $G$ の $\mathcal{H}$ 上へのユニタリ表現 $\pi$ で、
$$
\pi(f)=\rho(f)\quad(\forall f\in \ell^1(G))
$$
を満たすものが唯一つ存在し、それは、
$$
\pi(x)=\rho(\delta_x)\quad(\forall x\in G)
$$
である（'''定理2.17'''に相当）。
*$(5)$　$G$ 上の正定値関数<ref>有界関数 $p\colon G\rightarrow\mathbb{C}$ が正定値関数であるとは、$\ell^1(G)$ 上の有界線形汎関数 $\Phi_p\colon \ell^1(G)\ni f\mapsto \sum_{x\in G}f(x)p(x)\in \mathbb{C}$ が任意の $f\in \ell^1(G)$ に対し $\Phi_p(f^**f)\geq0$ を満たすことを言う。</ref>全体 $\mathcal{P}(G)$ と $\ell^1(G)$ 上の有界非負線形汎関数全体 $\ell^1(G)^*_+$ に対し、
$$
\mathcal{P}(G)\ni p\mapsto \Phi_p\in \ell^1(G)^*_+
$$
は全単射である。また任意の $p\in \mathcal{P}(G)\backslash \{0\}$ に対し $G$ の巡回ベクトル付きユニタリ表現 $(\pi,v)$ で、
$$
p(x)=(v\mid \pi(x)v)\quad(\forall x\in G)
$$
を満たすもの（$p$ に対するGNS表現）がユニタリ同値を除いて一意的に定まる（'''定理2.33'''と'''定義2.34'''に書かれてあることに相当）。
*$(6)$　任意の $p\in \mathcal{P}(G)$ に対し $\lVert p\rVert=p(1)=\Phi_p(\delta_1)=\lVert\Phi_p\rVert$ が成り立つ（'''系2.35'''に相当）。よって $\mathcal{P}(G)$ のノルム $1$ の元全体
$$
\mathcal{P}_1(G)=\{p\in \mathcal{P}(G):\lVert p\rVert=1\}=\{p\in \mathcal{P}(G):p(1)=1\}
$$
は凸集合である。
*$(7)$　$p\in \mathcal{P}_1(G)$ に対するGNS表現を $(\pi,v)$ とすると、$p\in{\rm ext}(\mathcal{P}_1(G))$（凸集合 $\mathcal{P}_1(G)$ の端点）であることと、$\pi$ が既約であることは同値である（'''定理2.37'''に相当）。
*$(8)$　
$$
\mathcal{P}_1(G)\ni p\mapsto \Phi_p\in \{\Phi\in \ell^1(G)^*_+:\lVert \Phi\rVert=1\}
$$
は各点収束位相（$G$ は離散群であることからコンパクト一様収束位相に等しい）と弱 $*$-位相に関して同相写像である（'''定理2.39'''に相当）。
*$(9)$　台が有限集合である $G$ 上の複素数値関数全体 $c_c(G)$ に対し、
$$
c_c(G)={\rm span}(c_c(G)\cap \mathcal{P}(G))
$$
が成り立つ（'''定理2.30'''に相当）。
*$(10)$　凸集合 $\mathcal{P}_1(G)$ においてその端点全体の凸包 ${\rm conv}({\rm ext}(\mathcal{P}_1(G)))$ は各点収束位相で稠密である（'''定理2.40'''に相当）。
*$(11)$　$x\neq y$ なる任意の $x,y\in G$ に対し、$G$ の既約なユニタリ表現 $\pi$ で $\pi(x)\neq \pi(y)$ なるものが存在する（Gelfand-Raikovの定理（'''定理2.41'''）に相当）。
{{begin|proof}}
*$(1)$　容易に分かる。
*$(2)$　任意の $f,g\in \ell^1(G)$ に対し、
$$
\lVert f*g\rVert_1\leq \sum_{y\in G}\lVert f(y)L_yg\rVert_1=\sum_{y\in G}\lvert f(y)\rvert\lVert g\rVert_1=\lVert f\rVert_1\lVert g\rVert_1,
$$
$$
\lVert f^*\rVert_1=\sum_{x\in G}\lvert \overline{f(x^{-1})}\rvert=\sum_{x\in G}\lvert f(x)\rvert=\lVert f\rVert_1
$$
である。任意の $x\in G$ に対し $\ell^1(G)\ni f\mapsto f(x)\in \mathbb{C}$ は有界線形汎関数であるから、任意の $f,g\in \ell^1(G)$ に対し、
$$
(f*g)(x)=\left(\sum_{y\in G} f(y)L_yg\right)(x)=\sum_{y\in G}f(y)L_yg(x)
=\sum_{y\in G}f(y)g(y^{-1}x)\quad(\forall x\in G)
$$
である。これより任意の $f,g\in \ell^1(G)$ に対し、
$$
\begin{aligned}
(f*g)^*(x)&=\overline{(f*g)(x^{-1})}=\sum_{y\in G}\overline{f(y)g(y^{-1}x^{-1})}
=\sum_{y\in G}f^*(y^{-1})g^*(xy)\\
&=\sum_{y\in G}g^*(y)f^*(y^{-1}x)=(g^**f^*)(x)\quad(\forall x\in G)
\end{aligned}
$$
であるから、$(f*g)^*=g^**f^*$ である。また任意の $h\in \ell^1(G)$ に対し $\ell^1(G)\ni f\mapsto f*h\in \ell^1(G)$ は有界線形作用素であるから、
$$
\begin{aligned}
(f*g)*h&=\left(\sum_{y\in G}f(y)L_yg\right)*h=\sum_{y\in G}f(y)((L_yg)*h)\\
&=\sum_{y\in G}f(y)L_y(g*h)=f*(g*h)\quad(\forall f,g,h\in \ell^1()G)
\end{aligned}
$$
である。よって $\ell^1(G)$ はBanach $*$-環である。任意の $f\in \ell^1(G)$, $x,y\in G$ に対し、
$$
(\delta_x*f)(y)=\sum_{z\in G}\delta_x(z)f(z^{-1}y)=f(x^{-1}y)=L_xf(y),
$$
$$
(f*\delta_x)(y)=\sum_{z\in G}f(z)\delta_x(z^{-1}y)=f(yx^{-1})=R_{x^{-1}}f(y)
$$
であり、特に $\delta_1*f=f=f*\delta_1$ である。よって $\delta_1$ は $\ell^1(G)$ の単位元である。
*$(3)$　
$$
\begin{aligned}
\pi(x)\pi(f)v&=\sum_{y\in G}f(y)\pi(x)\pi(y)v=\sum_{y\in G}f(y)\pi(xy)v=\sum_{y\in G}f(x^{-1}y)\pi(y)v\\
&=\pi(L_xf)v\quad(\forall x\in G,\forall f\in \ell^1(G),\forall v\in \mathcal{H}_{\pi})
\end{aligned}
$$
であることと、任意の $v\in \mathcal{H}_{\pi}$ に対し、$\ell^1(G)\ni f\mapsto \pi(f)v\in \mathcal{H}_{\pi}$ が有界線形作用素であることから、
$$
\begin{aligned}
\pi(f*g)v&=\pi\left(\sum_{x\in G}f(x)L_xg\right)v
=\sum_{x\in G}f(x)\pi(L_xg)v=\sum_{x\in G}f(x)\pi(x)\pi(g)v\\
&=\pi(f)\pi(g)v\quad(\forall f,g\in \ell^1(G),\forall v\in \mathcal{H}_{\pi}),
\end{aligned}
$$
よって $\pi(f*g)=\pi(f)\pi(g)$ $(\forall f,g\in \ell^1(G))$ である。また、
$$
\begin{aligned}
(u\mid \pi(f^*)v)&=\sum_{x\in G}f^*(x)(u\mid \pi(x)v)=
\sum_{x\in G}\overline{f(x^{-1})}(\pi(x^{-1})u\mid v)\\
&=\sum_{x\in G}\overline{f(x)}(\pi(x)u\mid v)
=\sum_{x\in G}(f(x)\pi(x)u\mid v)\\
&=(\pi(f)u\mid v)=(u\mid \pi(f)^*v)\quad(\forall f\in \ell^1(G),\forall u,v\in \mathcal{H}_{\pi})
\end{aligned}
$$
であるから $\pi(f^*)=\pi(f)^*$ $(\forall f\in \ell^1(G))$ である。そして、
$$
\pi(\delta_1)v=\sum_{x\in G}\delta_1(x)\pi(x)v=v\quad(\forall v\in \mathcal{H}_{\pi})
$$
であるから $\pi(\delta_1)=1$ である。よって $\ell^1(G)\ni f\mapsto \pi(f)\in \mathbb{B}(\mathcal{H}_{\pi})$ は単位的な $*$-環準同型写像である。
*$(4)$
$$
\delta_x*\delta_y=\delta_{xy},\quad (\delta_x)^*=\delta_{x^{-1}}\quad(\forall x,y\in G)
$$
であることと $\rho\colon \ell^1(G)\rightarrow \mathbb{B}(\mathcal{H})$ が単位的な $*$-環準同型写像であることから、
$$
\pi(x)\colon =\rho(\delta_x)\quad(\forall x\in G)
$$
によって $G$ の $\mathcal{H}$ 上へのユニタリ表現 $\pi\colon G\rightarrow\mathbb{U}(\mathcal{H})$ が定まる。そして任意の $v\in \mathcal{H}$ に対し $\ell^1(G)\ni f\mapsto \rho(f)v\in \mathcal{H}$ が有界線形作用素であることから、
$$
\pi(f)v=\sum_{x\in G}f(x)\pi(x)v=\sum_{x\in G}f(x)\rho(\delta_x)v=\rho\left(\sum_{x\in G}f(x)\delta_x\right)v=\rho(f)v\quad(\forall f\in \ell^1(G),\forall v\in \mathcal{H})
$$
なので $\pi(f)=\rho(f)$ $(\forall f\in \ell^1(G))$ である。よって存在が示せた。$G$ のユニタリ表現 $\pi_1,\pi_2\colon G\rightarrow\mathbb{U}(\mathcal{H})$ が $\pi_1(f)=\rho(f)=\pi_2(f)$ $(\forall f\in \ell^1(G))$ を満たすならば、
$$
\rho(\delta_x)v=\pi_j(\delta_x)v=\sum_{y\in G}\delta_x(y)\pi_j(y)v
=\pi_j(x)v\quad(\forall x\in G,\forall v\in \mathcal{H},j=1,2)
$$
であるので $\pi_1(x)=\rho(\delta_x)=\pi_2(x)$ $(\forall x\in G)$ である。よって一意性が示せた。
*$(5)$　$p_1,p_2\in \mathcal{P}(G)$ が $\Phi_{p_1}=\Phi_{p_2}$ を満たすならば、
$$
p_1(x)=\Phi_{p_1}(\delta_x)=\Phi_{p_2}(\delta_x)=p_2(x)\quad(\forall x\in G)
$$
であるから、$\mathcal{P}(G)\ni p\mapsto \Phi_p\in \ell^1(G)^*_+$ は単射である。任意の $\Phi\in \ell^1(G)^*_+\backslash \{0\}$ に対し、'''定理2.33'''と全く同様にして $G$ の巡回ベクトル付きユニタリ表現 $(\pi,v)$ で、
$$
\Phi(f)=(v\mid \pi(f)v)=\sum_{x\in G}f(x)(v\mid \pi(x)v)\quad(\forall f\in \ell^1(G))
$$
を満たすものが存在することが分かる。そこで $p(x)\colon=(v\mid \pi(x)v)$ $(\forall x\in G)$ とおけば $p\in \mathcal{P}(G)$, $\Phi=\Phi_p$ である。
*$(6)$　$p\in \mathcal{P}(G)\backslash \{0\}$ に対するGNS表現 $(\pi,v)$ を取ると、
$$
p(x)=(v\mid \pi(x)v)\quad(\forall x\in G),\quad \Phi_p(f)=(v\mid \pi(f)v)\quad(\forall f\in \ell^1(G))
$$
であるから、
$$
\lVert p\rVert=\sup_{x\in G}\lvert (v\mid \pi(x)v)\rvert\leq \lVert v\rVert^2=p(1)\leq \lVert p\rVert
$$
であり、
$$
\lVert \Phi_p\rVert=\sup_{\lVert f\rVert_1\leq 1}\lvert (v\mid \pi(f)v)\rvert\leq \lVert v\rVert^2=\Phi_p(\delta_1)\leq \lVert \Phi_p\rVert
$$
である。
*$(7)$　'''定理2.37'''と全く同様にして証明できる。
*$(8)$　$\mathcal{P}_1(G)\ni p\mapsto \Phi_p\in \{\Phi\in \ell^1(G)^*_+:\lVert \Phi\rVert=1\}$ が全単射であることは $(5),(6)$ による。$\mathcal{P}_1(G)$ のネット $(p_{\lambda})_{\lambda\in\Lambda}$ と $p\in \mathcal{P}_1(G)$ を取る。もし各点収束位相で $p_{\lambda}\rightarrow p$ ならば任意の $f\in c_c(G)$（台が有限集合の関数）に対し、
$$
\Phi_{p_{\lambda}}(f)=\sum_{x\in {\rm supp}(f)}f(x)p_{\lambda}(x)\rightarrow \sum_{x\in {\rm supp}(f)}f(x)p(x)=\Phi_p(f)
$$
である。そして $\ell^1(G)$ において $c_c(G)$ は稠密であり、$\lVert \Phi_{p_{\lambda}}\rVert=1$ $(\forall \lambda\in\Lambda)$, $\lVert \Phi_p\rVert=1$ であるので、
$$
\Phi_{p_{\lambda}}(f)\rightarrow\Phi_p(f)\quad(\forall f\in \ell^1(G))
$$
が成り立つ。ゆえに $\ell^1(G)^*$ の弱 $*$-位相で $\Phi_{p_{\lambda}}\rightarrow\Phi_p$ が成り立つから、ネットの収束による連続性の特徴付け（[[ネットによる位相空間論]]の'''定理3'''）より、$\mathcal{P}_1(G)\ni p\mapsto \Phi_p\in \{\Phi\in \ell^1(G)^*_+:\lVert \Phi\rVert=1\}$ は連続である。逆に $\ell^1(G)^*$ の弱$*$-位相で $\Phi_{p_{\lambda}}\rightarrow\Phi_p$ が成り立つならば、任意の $x\in G$ に対し、
$$
p_{\lambda}(x)=\Phi_{p_{\lambda}}(\delta_x)\rightarrow\Phi_{p}(\delta_x)=p(x)
$$
であるから、各点収束位相で$p_{\lambda}\rightarrow p$である。よって $\mathcal{P}_1(G)\ni p\mapsto \Phi_p\in \{\Phi\in \ell^1(G)^*_+:\lVert \Phi\rVert=1\}$ は同相写像である。
*$(9)$　任意の $f,g\in \ell^1(G)$ を取る。$x\in {\rm supp}(f*g)$ ならば、
$$
(f*g)(x)=\sum_{y\in G}f(y)g(y^{-1}x)\neq0
$$
であるから、${\rm supp}(f)$ と $G\ni y\mapsto g(y^{-1}x)\in \mathbb{C}$ の台 $x({\rm supp}(g))^{-1}$ は交わるので、$x\in {\rm supp}(f){\rm supp}(g)$ である。よって ${\rm supp}(f*g)\subset {\rm supp}(f){\rm supp}(g)$ であるから、
$$
f*g\in c_c(G)\quad(\forall f,g\in c_c(G))
$$
が成り立つ。今、$G$ のHilbert空間 $\ell^2(G)$ 上への正則表現
$$
\pi\colon G\rightarrow \mathbb{U}(\ell^2(G)),\quad \pi(x)\colon \ell^2(G)\ni f\mapsto L_xf\in \ell^2(G)
$$
を考える。任意の $f\in c_c(G)$ に対し $f_{-1}\in c_c(G)$ を $f_{-1}(x)\colon =f(x^{-1})$ $(\forall x\in G)$ として定義すると、
$$
(\overline{f}*f_{-1})(x)=\sum_{y\in G}\overline{f(y)}f_{-1}(y^{-1}x)
=\sum_{y\in G}\overline{f(y)}f(x^{-1}y)=(f\mid \pi(x)f)\quad(\forall x\in G)
$$
であるから、$\overline{f}*f_{-1}\in c_c(G)\cap \mathcal{P}(G)$ である。
$$
c_c(G)\times c_c(G)\ni (f,g)\mapsto \overline{f}*g_{-1}\in c_c(G)
$$
は準双線形写像であるから、
$$
\overline{f}*g_{-1}=\frac{1}{4}\sum_{k=0}^{3}i^k\overline{(f+i^kg)}*(f+i^kg)_{-1}\in {\rm span}(c_c(G)\cap \mathcal{P}(G))\quad(\forall f,g\in c_c(G))
$$
である。よって、
$$
f=\delta_1*f=\overline{\delta_1}*(f_{-1})_{-1}\in {\rm span}(c_c(G)\cap \mathcal{P}(G))\quad(\forall f\in c_c(G))
$$
であるから、$c_c(G)={\rm span}(c_c(G)\cap \mathcal{P}(G))$ である。
*$(10)$　$\ell^1(G)$ 上のノルムが $1$ の有界非負線形汎関数全体は $(6)$ より、
$$
S(\ell^1(G))=\{\Phi\in \ell^1(G)^*_+:\Phi(\delta_1)=1\}
$$
であるから弱 $*$-閉凸集合であり、Alaogluの定理（[[位相線形空間2：セミノルム位相と汎弱位相]]の'''定理10.3'''）より、$S(\ell^1(G))$ は弱 $*$-コンパクトな凸集合である。よってKrein-Milmanの端点定理（[[位相線形空間3：Hahn-Banachの定理とKrein-Milmanの端点定理]]の'''定理14.3'''）より、
$$
S(\ell^1(G))=\overline{{\rm conv}({\rm ext}(S(\ell^1(G))))}^{w^*\text{-topology}}
$$
である。よって $(8)$ より ${\rm conv}({\rm ext}(\mathcal{P}_1(G)))$ は $\mathcal{P}_1(G)$ において各点収束位相で稠密である。
*$(11)$　$x\neq y$ なる $x,y\in G$ に対し $\varphi(x)\neq \varphi(y)$ を満たす $\varphi\in c_c(G)$ が取れるので、$(9)$ より $p(x)\neq p(y)$ なる $p\in \mathcal{P}_1(G)$ が取れる。よって $(10)$ より $p(x)\neq p(y)$ なる $p\in {\rm ext}(\mathcal{P}_1(G))$ が取れる。ゆえに $(7)$ より既約なユニタリ表現 $\pi$ で $\pi(x)\neq \pi(y)$ なるものが取れる。
{{end|proof}}

===定理6.2（離散可換群の表現の基本性質）===
$G$ を可算とは限らない離散可換群とし、$\widehat{G}$ を $G$ の指標群<ref>$G$ から $\mathbb{T}$ への群準同型写像全体に各点ごとの演算を入れた群。</ref>とする。
*$(1)$　$G$ のユニタリ表現が既約であることと $1$ 次元であることは同値である。
*$(2)$　$\widehat{G}={\rm ext}(\mathcal{P}_1(G))$ が成り立つ。
*$(3)$　任意の $\gamma\in \widehat{G}$ に対し $\Phi_{\gamma}\colon \ell^1(G)\rightarrow\mathbb{C}$ を、
$$
\Phi_{\gamma}(f)\colon=\sum_{x\in G}f(x)\gamma(x)\in \mathbb{C}\quad(\forall f\in \ell^1(G))
$$
とおけば、$\Phi_{\gamma}\in \widehat{\ell^1(G)}$（単位的可換Banach環 $\ell^1(G)$ の指標）であり、
$$
\widehat{G}\ni \gamma\mapsto \Phi_{\gamma}\in \widehat{\ell^1(G)}
$$
は各点収束位相と弱 $*$-位相で同相写像である。
*$(4)$　任意の $\gamma\in \widehat{G}$ に対し $(2)$ における $\Phi_{\gamma}\in \widehat{\ell^1(G)}$ は群 $C^*$-環 $C^*(G)$（'''定義2.20'''）の指標 $\widetilde{\Phi_{\gamma}}\in \widehat{C^*(G)}$ に一意拡張でき、
$$
\widehat{G}\ni \gamma\mapsto \widetilde{\Phi_{\gamma}}\in \widehat{C^*(G)}
$$
は各点収束位相と弱 $*$-位相で同相写像である。
*$(5)$　$\widehat{G}$ は各点収束位相によりコンパクト可換群である。
{{begin|proof}}
*$(1)$　'''命題5.1'''と全く同様にして示せる。
*$(2)$　'''定理5.3'''の $(1)$ と全く同様にして示せる。
*$(3)$　'''定理5.3'''の $(2)$ と全く同様にして示せる。
*$(4)$　'''定理5.3'''の $(3)$ と全く同様にして示せる。
*$(5)$　$\ell^1(G)$ は単位的可換Banach環であるから、その指標空間 $\widehat{\ell^1(G)}$ は弱 $*$-位相でコンパクトである（[[Banach環とC*-環のスペクトル理論]]の'''定義5.6'''を参照）。よって $(3)$ より $\widehat{G}$ は各点収束位相でコンパクト群である。
{{end|proof}}

===定義6.3（離散可換群の双対群）===
$G$ を可算とは限らない離散可換群とする。'''定理6.2'''より $G$ の指標群 $\widehat{G}$ は各点収束位相によりコンパクト可換群である。コンパクト可換群 $H$ で $\widehat{G}$ と同相かつ群同型であるものを $G$ の双対群と言う。そして $H$ と $\widehat{G}$ の群同型同相写像は、一般論を論じる文脈では、
$$
H\ni \gamma\mapsto \langle \cdot,\gamma\rangle\in\widehat{G}
$$
によって表す。さらに以後、$G$ の双対群は指標群と同じ記号 $\widehat{G}$ で表す。

===定理6.4（離散可換群のFourier変換）===
$G$ を離散可換群とし、$\widehat{G}$ を $G$ の双対群、$C^*(G)$ を $G$ の群 $C^*$-環（'''定義2.20'''）とする。このとき等長 $*$-環同型写像
$$
\mathcal{F}\colon C^*(G)\rightarrow C(\widehat{G})
$$
で、
$$
\mathcal{F}f(\gamma)=\sum_{x\in G}f(x)\langle x,\gamma\rangle \quad(\forall f\in \ell^1(G),\forall \gamma\in \widehat{G})
$$
を満たすものが唯一つ存在する。$\mathcal{F}$ を離散可換群 $G$ におけるFourier変換と言う。
{{begin|proof}}
[[Banach環とC*-環のスペクトル理論]]の'''定理5.9'''より可換 $C^*$-環 $C^*(G)$ のGelfand変換
$$
\Gamma\colon C^*(G)\rightarrow C(\widehat{C^*(G)})\quad\quad(*)
$$
は等長$*$-環同型写像である。また'''定理6.2'''の $(4)$ より、
$$
\tau\colon \widehat{G}\ni \gamma\mapsto \widetilde{\Phi_{\gamma}}\in \widehat{C^*(G)}
$$
は同相写像であるから、
$$
\mathcal{T}\colon C(\widehat{C^*(G)})\ni h\mapsto h\circ \tau\in C(\widehat{G})\quad\quad(**)
$$
は等長$*$-環同型写像である。よって $(*),(**)$ の合成
$$
\mathcal{F}\colon=\mathcal{T}\circ\Gamma\colon C^*(G)\rightarrow C(\widehat{G})
$$
は等長$*$-環同型写像である。そして任意の $f\in \ell^1(G)\subset C^*(G)$, $\gamma\in \widehat{G}$ に対し、
$$
\mathcal{F}(f)(\gamma)=\mathcal{T}(\Gamma(f))(\gamma)=\Gamma(f)(\tau(\gamma))
=\Gamma(f)(\widetilde{\Phi_{\gamma}})=\Phi_{\gamma}(f)=\sum_{x\in G}f(x)\langle x,\gamma\rangle
$$
である。よって存在が示せた。一意性は $C^*(G)$ において $\ell^1(G)$ が稠密であることによる。
{{end|proof}}

===定理6.5（離散可換群のFourier変換に関するPlancherelの定理）===
$G$ を可算とは限らない離散可換群とし、$\widehat{G}$ を $G$ の双対群とする。そしてコンパクト群 $\widehat{G}$ のHaar測度を $\mu\colon \mathcal{B}_{\widehat{G}}\rightarrow [0,1]$ $(\mu(\widehat{G})=1)$ とする。<ref>Haar測度の存在（'''定理1.13'''）と一意性（'''定理1.14'''）の証明で局所コンパクト群の第二可算性は用いていないことに注意。</ref>このとき、
*$(1)$　任意の $x\in G$ に対し、
$$
\int_{\widehat{G}}\langle x,\gamma\rangle d\mu(\gamma)=\delta_1(x)=\begin{cases}1\quad&(x=1)\\0&(x\neq 1)\end{cases}
$$
が成り立つ。
*$(2)$　$G$ のFourier変換 $\mathcal{F}\colon \ell^1(G)\rightarrow C(\widehat{G})$ はHilbert空間 $\ell^2(G)$ からHilbert空間 $L^2(\widehat{G},\mu)$ へのユニタリ作用素に一意拡張できる。
{{begin|proof}}
*$(1)$　任意の $x\in G\backslash\{1\}$ に対し、Gelfand-Raikovの定理（'''命題6.1'''の $(11)$）と'''定理6.2'''の $(1)$ より $\langle x,\gamma_0\rangle\neq 1$ を満たす $\gamma_0\in \widehat{G}$ が取れる。$\mu$ はHaar測度であるから、
$$
\langle x,\gamma_0\rangle \int_{\widehat{G}}\langle x,\gamma\rangle d\mu(\gamma)
=\int_{\widehat{G}}\langle x,\gamma_0\gamma\rangle d\mu(\gamma)=\int_{\widehat{G}}\langle x,\gamma\rangle d\mu(\gamma)
$$
であるので、$\langle x,\gamma_0\rangle \neq1$ より、
$$
\int_{\widehat{G}}\langle x,\gamma\rangle d\mu(\gamma)=0
$$
である。ゆえに成り立つ。
*$(2)$　$(1)$ より任意の $f,g\in c_c(G)$ に対し、
$$
\begin{aligned}
(\mathcal{F}f\mid \mathcal{F}g)_2&=\int_{\widehat{G}}\overline{\mathcal{F}f(\gamma)}\mathcal{F}g(\gamma)d\mu(\gamma)=\sum_{\substack{x\in {\rm supp}(f),\\y\in {\rm supp}(g)}}\overline{f(x)}g(y)\int_{\widehat{G}}\overline{\langle x,\gamma\rangle}\langle y,\gamma\rangle d\mu(\gamma)\\
&=\sum_{\substack{x\in {\rm supp}(f),\\y\in {\rm supp}(g)}}\overline{f(x)}g(y)\int_{\widehat{G}}\langle x^{-1}y,\gamma\rangle d\mu(\gamma)=\sum_{\substack{x\in {\rm supp}(f),\\y\in {\rm supp}(g)}}\overline{f(x)}g(y)\delta_1(x^{-1}y)\\
&=\sum_{x\in {\rm supp}(f)}\overline{f(x)}g(x)=\sum_{x\in G}\overline{f(x)}g(x)=(f\mid g)_2
\end{aligned}
$$
であるから、$\mathcal{F}\colon c_c(G)\rightarrow L^2(\widehat{G},\mu)$ は内積を保存する。$C^*(G)$ において $\ell^1(G)$ は稠密であり、$\ell^1(G)$ において $c_c(G)$ は稠密であるので、$C^*(G)$ において $c_c(G)$ は稠密である。よって $\mathcal{F}\colon C^*(G)\rightarrow C(\widehat{G})$ の等長同型性より $\mathcal{F}(c_c(G))$ は $C(\widehat{G})$ で稠密である。また $C(\widehat{G})$ は $L^2(\widehat{G},\mu)$ において稠密である（[[測度と積分7：局所コンパクトHausdorff空間上のRadon測度]]の'''命題32.1'''）から、$\mathcal{F}(c_c(G))$ は $L^2(\widehat{G},\mu)$ においても稠密である。<ref>$\mu(\widehat{G})=1$ より $\lVert h\rVert_2\leq \lVert h\rVert$ $(\forall h\in C(\widehat{G}))$ であることに注意。</ref>ゆえに $\mathcal{F}\colon c_c(G)\rightarrow L^2(\widehat{G},\mu)$ の $\ell^2(G)=\overline{c_c(G)}^{\lVert \cdot\rVert_2}$ 上への一意拡張（[[位相線形空間1：ノルムと内積]]の'''命題3.6'''）は内積を保存する全射線形写像なのでユニタリ作用素である。
{{end|proof}}

===定理6.6===
$G$ を可算とは限らない離散可換群、$\widehat{G}$ を $G$ の双対群、$H\subset \widehat{G}$ を $\widehat{G}$ の閉部分群とする。もし任意の $x\in G\backslash \{1\}$ に対し $\langle x,\gamma\rangle \neq 1$ なる $\gamma\in H$ が存在するならば、$H=\widehat{G}$ が成り立つ。
{{begin|proof}}
コンパクト群 $\widehat{G}$ のHaar測度を $\mu\colon \mathcal{B}_{\widehat{G}}\rightarrow [0,1]$ $(\mu(\widehat{G})=1)$ とおき、コンパクト群 $H$ のHaar測度を $\mu_H\colon \mathcal{B}_H\rightarrow [0,1]$ $(\mu_H(H)=1)$ とおく。仮定より任意の $x\in G\backslash \{1\}$ に対し $\langle x,\gamma_0\rangle \neq1$ なる $\gamma_0\in H$ が取れる。$\mu_H$ はHaar測度であるから、
$$
\langle x,\gamma_0\rangle \int_{H}\langle x,\gamma\rangle d\mu_H(\gamma)=
\int_{H}\langle x,\gamma_0\gamma\rangle d\mu_H(\gamma)=\int_{H}\langle x,\gamma\rangle d\mu_H(\gamma)
$$
である。よって $\langle x,\gamma_0\rangle \neq1$ より、
$$
\int_{H}\langle x,\gamma\rangle d\mu_H(\gamma)=0
$$
であり、$\int_{H}\langle 1,\gamma\rangle d\mu_H(\gamma)=\mu_H(H)=1$ であるから、
$$
\int_{H}\langle x,\gamma\rangle d\mu_H(\gamma)=\delta_1(x)\quad(\forall x\in H)
$$
が成り立つ。よって'''定理6.5'''の $(1)$ より、
$$
\int_{\widehat{G}}\langle x,\gamma\rangle d\mu(\gamma)=\delta_1(x)=\int_{H}\langle x,\gamma\rangle d\mu_H(\gamma)\quad(\forall x\in G)
$$
である。ゆえに任意の $f\in \ell^1(G)$ に対し、
$$
\int_{\widehat{G}}\mathcal{F}f(\gamma)d\mu(\gamma)=\sum_{x\in G}f(x)\int_{\widehat{G}}\langle x,\gamma\rangle d\mu(\gamma)=\sum_{x\in G}f(x)\int_{H}\langle x,\gamma\rangle d\mu_H(\gamma)=\int_{H}\mathcal{F}f(\gamma)d\mu_H(\gamma)
$$
であるから、$C(\widehat{G})=\mathcal{F}(C^*(G))=\overline{\mathcal{F}(\ell^1(G))}$ より、
$$
\int_{\widehat{G}}h(\gamma)d\mu(\gamma)=\int_{H}h(\gamma)d\mu_H(\gamma)\quad(\forall h\in C(\widehat{G}))
$$
が成り立つ。これより $H\prec h$（[[測度と積分7：局所コンパクトHausdorff空間上のRadon測度]]の'''定義29.1'''）なる任意の $h\in C_+(\widehat{G})$ に対し、
$$
1=\int_{H}1d\mu_H(\gamma)=\int_{H}h(\gamma)d\mu_H(\gamma)=\int_{\widehat{G}}h(\gamma)d\mu(\gamma)
$$
であるから、位相正則測度の性質（[[測度と積分7：局所コンパクトHausdorff空間上のRadon測度]]の'''命題29.4'''）より、
$$
\mu(H)=\inf\left\{\int_{\widehat{G}}h(\gamma)d\mu(\gamma):H\prec h\right\}=1=\mu(\widehat{G})
$$
となる。よって $\mu(\widehat{G}\backslash H)=0$ が成り立つ。$\widehat{G}\backslash H$ は $\widehat{G}$ の開集合であり、空でない開集合のHaar測度は正である（'''命題1.8'''）ので、$\widehat{G}\backslash H=\emptyset$ である。ゆえに $H=\widehat{G}$ である。
{{end|proof}}

==7. 線形Lie群とそれに付随するLie代数、指数写像定理==

===定義7.1（対数の主値）===
$\mathbb{C}$ の開集合 $\mathbb{R}+i(-\pi,\pi)=\{z\in \mathbb{C}:-\pi<{\rm Im}(z)<\pi\}$ と $\mathbb{C}\backslash (-\infty,0]=\{z\in\mathbb{C}:z\notin (-\infty,0]\}$ に対し、
$$
\mathbb{R}+i(-\pi,\pi)\ni x+i\theta\mapsto \exp(x+i\theta)=e^xe^{i\theta}\in \mathbb{C}\backslash (-\infty,0]
$$
は全単射正則関数であり、各点での微分は$0$ではない。よって[[複素解析の初歩]]の'''定理1.7'''より、この逆関数
$$
{\rm Log}\colon \mathbb{C}\backslash(-\infty,0]\ni z\mapsto \log(\lvert z\rvert)+i{\rm Arg}(z)\in \mathbb{R}+i(-\pi,\pi)
$$
は正則関数であり、
$$
{\rm Log}'(z)=\frac{1}{\exp'({\rm Log}(z))}=\frac{1}{z}
$$
が成り立つ。正則関数 ${\rm Log}\colon \mathbb{C}\backslash (-\infty,0]\rightarrow\mathbb{C}$ を対数の主値と言う。

===命題7.2（対数の主値に対する正則汎関数計算）===
${\rm Log}\colon \mathbb{C}\backslash (-\infty,0]\rightarrow \mathbb{C}$ を対数の主値とし、$\mathcal{A}$ を単位的Banach環とする。このとき $\lVert A-1\rVert<1$ なる任意の $A\in \mathcal{A}$ に対し、正則汎関数計算（[[Banach環とC*-環のスペクトル理論]]の'''定義2.6'''）${\rm Log}(A)\in \mathcal{A}$ が定義でき、
$$
{\rm Log}(A)=\sum_{n\in \mathbb{N}}\frac{(-1)^{n-1}}{n}(A-1)^n
$$
が成り立つ。
{{begin|proof}}
任意の$\lambda\in \sigma(A)$に対し、$\lambda-1\in \sigma(A-1)$ であるから、[[Banach環とC*-環のスペクトル理論]]の'''命題1.10'''より、
$$
\lvert \lambda-1\rvert\leq {\rm spr}(A-1)\leq \lVert A-1\rVert<1
$$
である。よって、
$$
\sigma(A)\subset \{\lambda\in \mathbb{C}:\lvert \lambda-1\rvert<1\}\subset \mathbb{C}\backslash (-\infty,0]
$$
であるから、正則汎関数計算 ${\rm Log}(A)\in \mathcal{A}$ が定義できる。[[複素解析の初歩]]の'''定理6.1'''より、
$$
{\rm Log}(\lambda)=\sum_{n\in \mathbb{N}}\frac{(-1)^{n-1}}{n}(\lambda-1)^n\quad (\lvert \lambda-1\rvert<1)
$$
であるから、[[Banach環とC*-環のスペクトル理論]]の'''定理2.8'''より、
$$
{\rm Log}(A)=\sum_{n\in \mathbb{N}}\frac{(-1)^{n-1}}{n}(A-1)^n
$$
が成り立つ。
{{end|proof}}

===補題7.3===
$\mathcal{A}$ を単位的Banach環とする。このとき、
*$(1)$ $A,B\in \mathcal{A}$ がある $r\in [0,\infty)$ に対し $\lVert A\rVert,\lVert B\rVert\leq r$ を満たすならば、
$$
\lVert A^n-B^n\rVert\leq nr^{n-1}\lVert A-B\rVert\quad(\forall n\in \mathbb{Z}_+)
$$
が成り立つ。
*$(2)$ $A,B\in \mathcal{A}$ がある $r\in [0,\infty)$ に対し $\lVert A\rVert,\lVert B\rVert\leq r$ を満たすならば、
$$
\lVert \exp(A)-\exp(B)\rVert\leq e^r\lVert A-B\rVert
$$
が成り立つ。特に ${\cal A}\ni A\mapsto \exp(A)\in {\cal A}$は連続である。
*$(3)$ $A,B\in \mathcal{A}$ がある $r\in [0,1)$ に対し $\lVert A-1\rVert,\lVert B-1\rVert\leq r$ を満たすならば、
$$
\lVert {\rm Log}(A)-{\rm Log}(B)\rVert\leq \frac{1}{1-r}\lVert A-B\rVert
$$
が成り立つ。特に $\{A\in {\cal A}:\lVert A-1\rVert<1\}\ni A\mapsto {\rm Log}(A)\in {\cal A}$は連続である。
{{begin|proof}}
*$(1)$ $n\in \mathbb{Z}_+$ に関する帰納法で示す。$n=0$ の場合に成り立つことは自明である。ある $n\in \mathbb{Z}_+$ に対して成り立つと仮定する。
$$
A^{n+1}-B^{n+1}=A(A^n-B^n)+(A-B)B^n
$$
であるから、
$$
\begin{aligned}
\lVert A^{n+1}-B^{n+1}\rVert&\leq \lVert A(A^n-B^n)\rVert+\lVert (A-B)B^n\rVert\leq
\lVert A\rVert\lVert A^n-B^n\rVert+\lVert A-B\rVert\lVert B\rVert^n\\
&\leq rnr^{n-1}\lVert A-B\rVert+r^n\lVert A-B\rVert=(n+1)r^{n}\lVert A-B\rVert
\end{aligned}
$$
となる。よって $n+1$ の場合も成り立つ。
*$(2)$ [[Banach環とC*-環のスペクトル理論]]の'''命題3.2'''より $\exp(A)=\sum_{n\in \mathbb{Z}_+}\frac{A^n}{n!}$, $\exp(B)=\sum_{n\in \mathbb{Z}_+}\frac{B^n}{n!}$ であるから、$(1)$ より、
$$
\begin{aligned}
&\lVert \exp(A)-\exp(B)\rVert=\left\lVert \sum_{n\in \mathbb{N}}\frac{1}{n!}(A^n-B^n)\right\rVert\leq \sum_{n\in \mathbb{N}}\frac{1}{n!}\lVert A^n-B^n\rVert\\
&\leq \sum_{n\in \mathbb{N}}\frac{1}{(n-1)!}r^{n-1}\lVert A-B\rVert=e^r\lVert A-B\rVert
\end{aligned}
$$
である。
*$(3)$ '''命題7.2'''より ${\rm Log}(A)=\sum_{n\in \mathbb{N}}\frac{(-1)^{n-1}}{n}(A-1)^n$, ${\rm Log}(B)=\sum_{n\in\mathbb{N}}\frac{(-1)^{n-1}}{n}(B-1)^n$ であるから、$(1)$ より、
$$
\begin{aligned}
&\lVert {\rm Log}(A)-{\rm Log}(B)\rVert=\left\lVert \sum_{n\in\mathbb{N}}\frac{(-1)^{n-1}}{n}((A-1)^n-(B-1)^n)\right\rVert\\
&\leq\sum_{n\in\mathbb{N}}\frac{1}{n}\lVert (A-1)^n-(B-1)^n\rVert
\leq\sum_{n\in \mathbb{N}}r^{n-1}\lVert (A-1)-(B-1)\rVert\\
&=\sum_{n\in \mathbb{N}}r^{n-1}\lVert A-B\rVert=\frac{1}{1-r}\lVert A-B\rVert
\end{aligned}
$$
である。
{{end|proof}}

===定理7.4（Lieの積公式）===
$\mathcal{A}$ を単位的Banach環とする。任意の $A,B\in \mathcal{A}$ に対し、
$$
\exp(A+B)=\lim_{n\rightarrow\infty}\left(\exp\left(\frac{A}{n}\right)\exp\left(\frac{B}{n}\right)\right)^n
$$
が成り立つ。
{{begin|proof}}
任意の $A,B\in \mathcal{A}$ と任意の $r\in (0,1)$ を取り固定する。
$$
A_n\colon=\frac{A}{n},\quad B_n\colon=\frac{B}{n}\quad(\forall n\in \mathbb{N})
$$
とおく。'''補題7.3'''の $(2)$ より十分大きい $n_0\in \mathbb{N}$ を取れば、
$$
\lVert \exp(A_n+B_n)-1\rVert\leq r,\quad \lVert \exp(A_n)\exp(B_n)-1\rVert\leq r\quad(\forall n\geq n_0)\quad\quad(*)
$$
となる。そこで、
$$
C_n\colon={\rm Log}(\exp(A_n)\exp(B_n))-(A_n+B_n)\quad(\forall n\geq n_0)
$$
とおく。正則汎関数計算の合成（[[Banach環とC*-環のスペクトル理論]]の'''定理2.8'''の $(4)$ ）より、
$$
A_n+B_n={\rm Log}(\exp(A_n+B_n))\quad(\forall n\geq n_0)
$$
であるので、'''補題7.3'''の $(3)$ と $(*)$ より、
$$
\begin{aligned}
&\lVert C_n\rVert=\lVert {\rm Log}(\exp(A_n)\exp(B_n))-{\rm Log}(\exp(A_n+B_n))\rVert\\
&\leq \frac{1}{1-r}\lVert \exp(A_n)\exp(B_n)-\exp(A_n+B_n)\rVert\quad(\forall n\geq n_0)\quad\quad(**)
\end{aligned}
$$
が成り立つ。ここで任意の $n\in \mathbb{N}$ に対し、
$$
\exp(A_n)\exp(B_n)=\lim_{N\rightarrow\infty}\sum_{p=0}^{N}\sum_{q=0}^{N}\frac{A_n^p}{p!}\frac{B_n^q}{q!}=\lim_{N\rightarrow\infty}\sum_{m=0}^{2N}\sum_{p+q=m}\frac{A_n^p}{p!}\frac{B_n^q}{q!}
$$
なので、
$$
\begin{aligned}
&\exp(A_n)\exp(B_n)-\exp(A_n+B_n)=\lim_{N\rightarrow\infty}\sum_{m=0}^{2N}\left(\sum_{p+q=m}\frac{A_n^p}{p!}\frac{B_n^q}{q!}-\frac{(A_n+B_n)^m}{m!}\right)\\
&=\lim_{N\rightarrow\infty}\sum_{m=2}^{2N}\left(\sum_{p+q=m}\frac{A_n^p}{p!}\frac{B_n^q}{q!}-\frac{(A_n+B_n)^m}{m!}\right)
\end{aligned}
$$
であり、
$$
\left\lVert \sum_{p+q=m}\frac{A_n^p}{p!}\frac{B_n^q}{q!}-\frac{(A_n+B_n)^m}{m!}\right\rVert\leq 2\sum_{\substack{p+q=m,\\p,q\geq1}}\frac{\lVert A_n\rVert^p}{p!}\frac{\lVert B_n\rVert^q}{q!}\quad(\forall m\geq 2)
$$
であるから、
$$
\begin{aligned}
&\lVert \exp(A_n)\exp(B_n)-\exp(A_n+B_n)\rVert\leq \lim_{N\rightarrow\infty}2\sum_{m=2}^{2N}\sum_{\substack{p+q=m,\\p,q\geq1}}\frac{\lVert A_n\rVert^p}{p!}\frac{\lVert B_n\rVert^q}{q!}\\
&=2(\exp(\lVert A_n\rVert)-1)(\exp(\lVert B_n\rVert)-1)
\end{aligned}
$$
である。よって $\{n(\exp(\lVert A_n\rVert)-1)\}_{n\in \mathbb{N}}$ が有界であることと $(**)$ より、
$$
\lVert nC_n\rVert\leq \frac{2n}{1-r}(\exp(\lVert A_n\rVert)-1)(\exp(\lVert B_n\rVert)-1)\rightarrow0\quad(n\rightarrow\infty)\quad\quad(***)
$$
が成り立つ。$(*)$ より、
$$
A_n+B_n+C_n={\rm Log}(\exp(A_n)\exp(B_n))\quad(\forall n\geq n_0)
$$
であるから、正則汎関数計算の合成（[[Banach環とC*-環のスペクトル理論]]の'''定理2.8'''の $(4)$ ）より、
$$
\exp(A_n)\exp(B_n)=\exp(A_n+B_n+C_n)\quad(\forall n\geq n_0)\quad\quad(****)
$$
である。$(***)$ より、
$$
n(A_n+B_n+C_n)=A+B+nC_n\rightarrow A+B\quad(n\rightarrow\infty)
$$
であるから、$(****)$ と[[Banach環とC*-環のスペクトル理論]]の'''命題3.2'''より、
$$
(\exp(A_n)\exp(B_n))^n=(\exp(A_n+B_n+C_n))^n=\exp(n(A_n+B_n+C_n))\rightarrow \exp(A+B)\quad(n\rightarrow\infty)
$$
である。
{{end|proof}}

===命題7.5===
$\mathcal{A}$ を単位的Banach環とし、加法群 $\mathbb{R}$ から $\mathcal{A}$ の可逆元全体のなす乗法群 ${\rm GL}(\mathcal{A})$ への連続な群準同型写像 $\alpha\colon \mathbb{R}\ni t\mapsto \alpha(t)\in {\rm GL}(\mathcal{A})$ を考える。このとき $\alpha$ は各点で微分可能である。そして、
$$
A\colon=\frac{d\alpha}{dt}(0)\in\mathcal{A}
$$
とおくと $\alpha(t)=\exp(tA)$ $(\forall t\in \mathbb{R})$ が成り立つ。
{{begin|proof}}
$\alpha(0)=1$ であるから $\alpha$ の連続性より任意の $\epsilon\in (0,1)$ に対し $\delta\in (0,\infty)$ が存在し、
$$
\lVert \alpha(t)-1\rVert\leq\epsilon\quad(\forall t\in [-\delta,\delta])\quad\quad(*)
$$
が成り立つ。Urysohnの補題より台がコンパクトで滑らかな非負値関数 $\varphi\colon \mathbb{R}\rightarrow[0,\infty)$ で、
$$
{\rm supp}(\varphi)\subset [-\delta,\delta],\quad \int_{\mathbb{R}}\varphi(t)dt=1\quad\quad(**)
$$
を満たすものが取れる。台がコンパクトなBanach空間値連続関数 $\mathbb{R}\ni t\mapsto \varphi(t)\alpha(t)\in \mathcal{A}$ のBochner積分（[[測度と積分9：Bochner積分]]の'''定義44.1'''）として、
$$
B\colon=\int_{\mathbb{R}}\varphi(t)\alpha(t)dt\in \mathcal{A}
$$
を定義すると、$(*),(**)$ より、
$$
\lVert B-1\rVert=\left\lVert \int_{\mathbb{R}}\varphi(t)(\alpha(t)-1)dt\right\rVert\leq \int_{-\delta}^{\delta}\varphi(t)\lVert \alpha(t)-1\rVert dt\leq \epsilon<1
$$
であるから、[[Banach環とC*-環のスペクトル理論]]の'''命題1.2'''より、
$$
B=1-(1-B)\in {\rm GL}(\mathcal{A})
$$
である。
$$
B\alpha(t)=\int_{\mathbb{R}}\varphi(s)\alpha(s)\alpha(t)ds=\int_{\mathbb{R}}\varphi(s)\alpha(s+t)ds=\int_{\mathbb{R}}\varphi(s-t)\alpha(s)ds\quad(\forall t\in \mathbb{R})
$$
であり、$\varphi$ は台がコンパクトな滑らかな関数なので、Lebesgue優収束定理より、
$$
\mathbb{R}\ni t\mapsto B\alpha(t)=\int_{\mathbb{R}}\varphi(s-t)\alpha(s)ds\in \mathcal{A}
$$
が各点で微分可能である。よって、
$$
\alpha\colon \mathbb{R}\ni t\mapsto \alpha(t)=B^{-1}B\alpha(t)\in \mathcal{A}
$$
も各点で微分可能である。今、
$$
A\colon=\frac{d\alpha}{dt}(0)\in \mathcal{A}
$$
とおく。
$$
\alpha(t+h)=\alpha(h)\alpha(t)\quad(\forall t,h\in \mathbb{R})
$$
より、
$$
\frac{d\alpha}{dt}(t)=A\alpha(t)\quad(\forall t\in \mathbb{R})
$$
であり、
$$
\frac{d}{dt}(\exp(tA))=\frac{d}{dt}\sum_{n\in \mathbb{Z}_+}\frac{(tA)^n}{n!}
=\sum_{n\in\mathbb{N}}\frac{t^{n-1}A^n}{(n-1)!}=\exp(tA)A\quad(\forall t\in\mathbb{R})
$$
より、
$$
\begin{aligned}
&\frac{d}{dt}(\exp(-tA)\alpha(t))=\left(\frac{d}{dt}(\exp(-tA))\right)\alpha(t)
+\exp(-tA)\frac{d\alpha}{dt}(t)\\
&=\exp(-tA)(-A)\alpha(t)+\exp(-tA)A\alpha(t)=0\quad(\forall \in t\in \mathbb{R})
\end{aligned}
$$
であるので、微積分学の基本定理より、
$$
\exp(-tA)\alpha(t)=1\quad(\forall t\in \mathbb{R})
$$
が成り立つ。ゆえに $\alpha(t)=\exp(tA)$ $(\forall t\in \mathbb{R})$ が成り立つ。
{{end|proof}}

===定義7.6（線形Lie群）===
$\mathcal{V}$ を $\mathbb{C}$ 上の有限次元Hilbert空間とする。$\dim(\mathcal{V})=N\in \mathbb{N}$ とすると、$\dim(\mathbb{B}({\cal V}))=N^2$であるから、[[位相線形空間1：ノルムと内積]]の'''命題4.1'''より、$\mathbb{B}(\mathcal{V})$ は $\mathbb{C}^{N^2}$ と同相である。よって $\mathbb{B}(\mathcal{V})$ は第二可算公理を満たす局所コンパクトHausdorff空間である。また[[Banach環とC*-環のスペクトル理論]]の'''命題1.3'''より ${\rm GL}(\mathbb{B}(\mathcal{V}))$ は $\mathbb{B}(\mathcal{V})$ の開集合であるから${\rm GL}(\mathbb{B}(\mathcal{V}))$ も第二可算公理を満たす局所コンパクトHausdorff空間である。乗法群${\rm GL}(\mathbb{B}({\cal V}))$において乗法と逆元を取る演算は連続である（[[Banach環とC*-環のスペクトル理論]]の'''命題1.4'''）から、${\rm GL}(\mathbb{B}({\cal V}))$は局所コンパクト群である。したがって ${\rm GL}(\mathbb{B}(\mathcal{V}))$ の閉部分群も第二可算公理を満たす局所コンパクト群である。${\rm GL}(\mathbb{B}(\mathcal{V}))$の閉部分群を${\cal V}$上の線形Lie群と言う。

===定義7.7（典型的な線形Lie群）===
$\mathbb{B}(\mathbb{C}^N)$ の元を $\mathbb{C}^N$ の標準基底に関する行列表現と同一視し、$\mathbb{B}(\mathbb{C}^N)={\rm M}_{N\times N}(\mathbb{C})$ とみなす。
*$(1)$
$$
{\rm GL}(N,\mathbb{C})\colon={\rm GL}(\mathbb{B}(\mathbb{C}^N))=\{A\in \mathbb{M}_{N\times N}(\mathbb{C}):\text{$A$ は可逆}\}
$$
を $N$ 次の一般線形群と言う。
$$
{\rm GL}(N,\mathbb{R})\colon=\{A\in \mathbb{M}_{N\times N}(\mathbb{R}):\text{$A$ は可逆}\}
$$
は ${\rm GL}(N,\mathbb{C})$ の閉部分群であるから $\mathbb{C}^N$ 上の線形Lie群である。${\rm GL}(N,\mathbb{R})$ を $N$ 次の実一般線形群と言う。
*$(2)$
$\mathbb{M}_{N\times N}(\mathbb{C})\ni A\mapsto {\rm det}(A)\in \mathbb{C}$ は連続であるから、
$$
\begin{aligned}
&{\rm SL}(N,\mathbb{C})\colon=\{A\in {\rm GL}(N,\mathbb{C}):{\rm det}(A)=1\},\\
&{\rm SL}(N,\mathbb{R})\colon=\{A\in {\rm GL}(N,\mathbb{R}):{\rm det}(A)=1\}
\end{aligned}
$$
はそれぞれ ${\rm GL}(N,\mathbb{C})$ の閉部分群である。よっていずれも$\mathbb{C}^N$ 上の線形Lie群である。${\rm SL}(N,\mathbb{C})$ を $N$ 次の特殊線形群、${\rm SL}(N,\mathbb{R})$ を $N$ 次の実特殊線形群と言う。
*$(3)$
$$
\begin{aligned}
&{\rm O}(N)\colon=\{A\in {\rm GL}(N,\mathbb{R}):A^{\top}A=1\},\\
&{\rm SO}((N)\colon=\{A\in {\rm O}(N):{\rm det}(A)=1\}
\end{aligned}
$$
とおく。$\mathbb{M}_{N\times N}(\mathbb{C})=\mathbb{C}^{N^2}$ とみなしたとき、${\rm O}(N), {\rm SO}(N)$ は $\mathbb{C}^{N^2}$ の有界閉集合であるからコンパクトである。よって${\rm O}(N), {\rm SO}(N)$はそれぞれ${\rm GL}(N,\mathbb{C})$のコンパクト部分群であるから $\mathbb{C}^N$ 上のコンパクト線形Lie群である。${\rm O}(N)$ を $N$ 次の直交群、${\rm SO}(N)$ を $N$ 次の特殊直交群と言う。
*$(4)$
$$
\begin{aligned}
&{\rm U}(N)\colon=\{A\in {\rm GL}(N,\mathbb{C}):A^*A=1\},\\
&{\rm SU}(N)\colon=\{A\in {\rm U}(N):{\rm det}(A)=1\}
\end{aligned}
$$
とおく。$\mathbb{M}_{N\times N}(\mathbb{C})=\mathbb{C}^{N^2}$ とみなしたとき、${\rm U}(N), {\rm SU}(N)$ は $\mathbb{C}^{N^2}$ の有界閉集合であるからコンパクトである。よって${\rm U}(N),{\rm SU}(N)$はそれぞれ${\rm GL}(N,\mathbb{C})$のコンパクト部分群であるから $\mathbb{C}^N$ 上のコンパクト線形Lie群である。${\rm U}(N)$ を $N$ 次のユニタリ群、${\rm SU}(N)$ を $N$ 次の特殊ユニタリ群と言う。

===定義7.7（交換子積）===
$\mathcal{H}$ をHilbert空間、$S,T$ を $\mathcal{H}$ 上の線形作用素とする。
$$
D([S,T])=D(ST)\cap D(TS),\quad [S,T]\colon D([S,T])\ni v\mapsto STv-TSv\in \mathcal{H}
$$
なる $\mathcal{H}$ 上の線形作用素を定義する。<ref>ここでは一般的に $S,T$ が $\mathcal{H}$ 上の非有界線形作用素である場合も想定しており、$D(ST), D(TS)$ は $\mathcal{H}$ 上の線形作用素 $ST, TS$ の定義域である。[[Hilbert空間上の作用素論]]の'''定義3.1'''を参照のこと。$S,T\in \mathbb{B}(\mathcal{H})$ の場合はもちろん $D(ST)=D(TS)=\mathcal{H}$ である。</ref>$[S,T]$ を $S,T$ の交換子積と言う。

===定義7.8（線形Lie群に付随するLie代数）===
$\mathcal{V}$ を有限次元Hilbert空間、$G$ を $\mathcal{V}$ 上の線形Lie群（'''定義7.6'''）とする。
$$
{\rm Lie}(G)\colon=\{A\in \mathbb{B}(\mathcal{V}):\forall t\in \mathbb{R}, \exp(tA)\in G\}
$$
を $G$ に付随する ${\rm Lie}$ 代数と言う。${\rm Lie}(G)$ は次の基本性質を持つ（次の'''定理7.9'''）。
*$(1)$　${\rm Lie}(G)$ は実線形空間である。
*$(2)$　任意の $A\in {\rm Lie}(G)$, $g\in G$ に対し $g^{-1}Ag\in {\rm Lie}(G)$ である。
*$(3)$　任意の $A,B\in {\rm Lie}(G)$ に対し、$[A,B]\in {\rm Lie}(G)$ である。

===定理7.9（Lie代数の基本性質）===
'''定義7.8'''における $(1),(2),(3)$ が成り立つ。
{{begin|proof}}
*$(1)$　任意の $A,B\in {\rm Lie}(G)$、任意の $t\in \mathbb{R}$ に対し、Lieの積公式（'''定理7.4'''）と $G$ が ${\rm GL}(\mathbb{B}(\mathcal{V}))$ の閉部分群であることから、
$$
\exp(t(A+B))=\lim_{n\rightarrow\infty}\left(\exp\left(\frac{tA}{n}\right)\exp\left(\frac{tB}{n}\right)\right)^n\in G.
$$
よって $A+B\in {\rm Lie}(G)$ である。${\rm Lie}(G)$ が実数倍で閉じていることは自明である。よって ${\rm Lie}(G)$ は実線形空間である。
*$(2)$　任意の $A\in {\rm Lie}(G),g\in G,t\in \mathbb{R}$ に対し、
$$
(tg^{-1}Ag)^n=g^{-1}(tA)^ng\quad(\forall n\in \mathbb{N})
$$
であるから、
$$
\exp(tg^{-1}Ag)=\sum_{n\in \mathbb{Z}_+}\frac{(tg^{-1}Ag)^n}{n!}=\sum_{n\in \mathbb{Z}_+}g^{-1}\frac{(tA)^n}{n!}g=g^{-1}\exp(tA)g\in G.
$$
よって $g^{-1}Ag\in {\rm Lie}(g)$ である。
*$(3)$　任意の $A,B\in {\rm Lie}(G)$ に対し $(2)$ より、
$$
\exp(tA)B\exp(-tA)\in{\rm Lie}(G)\quad(\forall t\in \mathbb{R})
$$
であり、$(1)$ より ${\rm Lie}(G)$ は有限次元実線形空間なので、[[位相線形空間1：ノルムと内積]]の'''系4.3'''より、${\rm Lie}(G)$ は $\mathbb{B}(\mathcal{V})$ の閉実線形部分空間である。よって、
$$
[A,B]=\frac{d}{dt}(\exp(tA)B\exp(-tA))\big|_{t=0}\in {\rm Lie}(G)
$$
である。
{{end|proof}}

===補題7.10（行列の指数関数の行列式）===
任意の $A\in \mathbb{M}_{N\times N}(\mathbb{C})$ に対し、
$$
{\rm det}(\exp(A))=\exp({\rm Tr}(A))
$$
が成り立つ。
{{begin|proof}}
$\lambda\in \mathbb{C}$ を $A$ の固有値、$u_1\in \mathbb{C}^N$ を固有値 $\lambda$ に対する $A$ の固有ベクトルとし、$u_2,\ldots,u_N\in \mathbb{C}^N$ を $(u_1,\ldots,u_N)$ が $\mathbb{C}^N$ の基底となるように取る。このとき $U=(u_1,\ldots,u_N)\in {\rm GL}(N,\mathbb{C})$（行列の縦ベクトル表記）であり、ある $A'\in \mathbb{M}_{N-1,N-1}(\mathbb{C})$ に対し、
$$
(Au_1,\ldots,Au_N)=(u_1,\ldots,u_N)\begin{pmatrix}\lambda&*\\0&A'\end{pmatrix}
$$
と表せるので、
$$
U^{-1}AU=\begin{pmatrix}\lambda&*\\0&A'\end{pmatrix}
$$
である。このことと $N$ に関する帰納法により、任意の $N\in \mathbb{N}$, $A\in \mathbb{M}_{N\times N}(\mathbb{C})$ に対し、$U\in {\rm GL}(N,\mathbb{C})$ で $U^{-1}AU$ が上三角行列（対角成分より下の成分が全て $0$ の行列）となるものが取れることが分かる。今、任意の $A\in \mathbb{M}_{N\times N}(\mathbb{C})$ を取り、$B\colon=U^{-1}AU$ が上三角行列となるような $U\in {\rm GL}(N,\mathbb{C})$ を取る。このときトレースの性質（[[Hilbert空間上の作用素論]]の'''命題16.9'''の $(3)$）より、
$$
{\rm Tr}(A)={\rm Tr}(U^{-1}AU)={\rm Tr}(B)
$$
である。そして、
$$
\exp(A)=\sum_{n\in\mathbb{Z}_+}\frac{A^n}{n!}=\sum_{n\in \mathbb{Z}_+}\frac{(UBU^{-1})^n}{n!}=\sum_{n\in \mathbb{Z}_+}U\frac{B^n}{n!}U^{-1}=U\exp(B)U^{-1}
$$
より、
$$
{\rm det}(\exp(A))={\rm det}(U\exp(B)U^{-1})={\rm det}(U){\rm det}(\exp(B)){\rm det}(U)^{-1}={\rm det}(\exp(B))
$$
である。各 $n\in \mathbb{Z}_+$ に対し $B^n$ は上三角行列であるから $\exp(B)=\sum_{n\in \mathbb{Z}_+}\frac{B^n}{n!}$ も上三角行列であり、$B$ の対角成分を上から $\lambda_1,\ldots,\lambda_N$ とおくと、各 $B^n$ の対角成分は上から $\lambda_1^n,\ldots,\lambda_N^n$、したがって $\exp(B)$ の対角成分は上から $\exp(\lambda_1),\ldots,\exp(\lambda_N)$ である。ゆえに、
$$
{\rm det}(B)=\exp(\lambda_1)\cdots\exp(\lambda_N)=\exp(\lambda_1+\cdots+\lambda_N)
=\exp({\rm Tr}(B))
$$
である。よって、
$$
{\rm det}(A)={\rm det}(B)=\exp({\rm Tr}(B))=\exp({\rm Tr}(A))
$$
である。
{{end|proof}}

===命題7.11（典型的な線形Lie群に対するLie代数）===
'''定義7.7'''における線形Lie群に付随するLie代数について次が成り立つ。
*$(1)$　一般線形群 ${\rm GL}(N,\mathbb{C})$、実一般線形群 ${\rm GL}(N,\mathbb{R})$ に付随するLie代数は、
$$
\begin{aligned}
&{\rm Lie}({\rm GL}(N,\mathbb{C}))=\mathbb{M}_{N\times N}(\mathbb{C}),\\
&{\rm Lie}({\rm GL}(N,\mathbb{R}))=\mathbb{M}_{N\times N}(\mathbb{R})
\end{aligned}
$$
である。
*$(2)$　特殊線形群 ${\rm SL}(N,\mathbb{C})$、実特殊線形群 ${\rm SL}(N,\mathbb{R})$ に付随するLie代数は、
$$
\begin{aligned}
&{\rm Lie}({\rm SL}(N,\mathbb{C}))=\{A\in \mathbb{M}_{N\times N}(\mathbb{C}):{\rm Tr}(A)=0\},\\
&{\rm Lie}({\rm SL}(N,\mathbb{R}))=\{A\in \mathbb{M}_{N\times N}(\mathbb{R}):{\rm Tr}(A)=0\}
\end{aligned}
$$　
である。
*$(3)$　直交群 ${\rm O}(N)$、特殊直交群 ${\rm SO}(N)$ に付随するLie代数は、
$$
\begin{aligned}
&{\rm Lie}({\rm O}(N))=\{A\in \mathbb{M}_{N\times N}(\mathbb{R}):A^{\top}+A=0\},\\
&{\rm Lie}({\rm SO}(N))=\{A\in \mathbb{M}_{N\times N}(\mathbb{R}):A^{\top}+A=0\}
\end{aligned}
$$
である。
*$(4)$　ユニタリ群 ${\rm U}(N)$、特殊ユニタリ群 ${\rm SU}(N)$ に付随するLie代数は、
$$
\begin{aligned}
&{\rm Lie}({\rm U}(N))=\{A\in \mathbb{M}_{N\times N}(\mathbb{C}):A^*+A=0\},\\
&{\rm Lie}({\rm SU}(N))=\{A\in \mathbb{M}_{N\times N}(\mathbb{C}):A^*+A=0, {\rm Tr}(A)=0\}
\end{aligned}
$$
である。
{{begin|proof}}
任意の $A\in \mathbb{M}_{N\times N}(\mathbb{C})$ に対し、$tA$ と $-tA$ が可換であることから、[[Banach環とC*-環のスペクトル理論]]の'''命題3.2'''より、
$$
\exp(-tA)=\exp(tA)^{-1}\quad(\forall t\in \mathbb{R})
$$
である。よって${\rm Lie}({\rm GL}(N,\mathbb{C}))=\mathbb{M}_{N\times N}(\mathbb{C})$が成り立つ。また$A\in \mathbb{M}_{N\times N}(\mathbb{C})$に対し $t=0$における微分を考えれば、
$$
\exp(tA)\in {\rm GL}(N,\mathbb{R})\quad \Leftrightarrow\quad A\in \mathbb{M}_{N\times N}(\mathbb{R})
$$
であることが分かる。よって${\rm Lie}({\rm GL}(N,\mathbb{R}))=\mathbb{M}_{N\times N}(\mathbb{R})$が成り立つ。
'''補題7.10'''より、任意の $A\in \mathbb{M}_{N\times N}(\mathbb{C})$ に対し、
$$
{\rm det}(\exp(tA))=\exp({\rm Tr}(tA))\quad(\forall t\in \mathbb{R})
$$
であるから、
$$
{\rm det}(\exp(tA))=1\quad(\forall t\in\mathbb{R})\quad\Leftrightarrow\quad {\rm Tr}(A)=0
$$
が成り立つ。これより $(2)$ が成り立つ。また任意の $A\in \mathbb{M}_{N\times N}(\mathbb{C})$ に対し、
$$
\frac{d}{dt}(\exp(tA)^*\exp(tA))\big|_{t=0}=A^*+A
$$
であるから、
$$
\exp(tA)^*\exp(tA)=1\quad(\forall t\in \mathbb{R})\quad\Rightarrow \quad A^*+A=0
$$
である。逆に $A^*+A=0$ ならば $A$ と $A^*$ は可換なので、[[Banach環とC*-環のスペクトル理論]]の'''命題3.2'''より、
$$
\exp(tA)^*\exp(tA)=\exp(tA^*)\exp(tA)=\exp(t(A^*+A))=1\quad(\forall t\in \mathbb{R})
$$
であるから、
$$
A^*+A=0\quad\Rightarrow \quad \exp(tA)^*\exp(tA)=1\quad(\forall t\in \mathbb{R})
$$
も成り立つ。これらのことから $(3),(4)$ が成り立つ。
{{end|proof}}

===定理7.12（指数写像定理）===
$\mathcal{V}$ を有限次元Hilbert空間、$G$ を $\mathcal{V}$ 上の線形Lie群とする。このとき $0\in {\rm Lie}(G)$ の開近傍 $U\subset {\rm Lie}(G)$ と $1\in G$ の開近傍 $V\subset G$ で、
$$
U\ni A\mapsto \exp(A)\in V
$$
が同相写像となるものが取れる。
{{begin|proof}}
$\dim(\mathcal{V})=N$ とすると、$\mathbb{B}(\mathcal{V})$ は実線形空間として $2N^2$ 次元である。実線形空間 ${\rm Lie}(G)\subset \mathbb{B}(\mathcal{V})$ の基底を $e_1,\ldots,e_n$ として、これを延長して実線形空間 $\mathbb{B}(\mathcal{V})$ の基底 $e_1,\ldots,e_n,\ldots,e_{2N^2}$ を構成する。そして、
$$
\mathcal{D}\colon={\rm span}\{e_{n+1},\ldots,e_{2N^2}\}\subset \mathbb{B}(\mathcal{V})
$$
とおく。すると、
$$
\mathbb{B}(\mathcal{V})={\rm Lie}(G)\oplus \mathcal{D}
$$
と直和分解される。そこで、
$$
\Phi\colon \mathbb{B}(\mathcal{V})={\rm Lie}(G)\oplus \mathcal{D}\ni A+B\mapsto \exp(A)\exp(B)=\left(\sum_{n\in \mathbb{Z}_+}\frac{A^n}{n!}\right)\left(\sum_{n\in \mathbb{Z}_+}\frac{B^n}{n!}\right)\in \mathbb{B}(\mathcal{V})
$$
なる写像を定義する。各 $j\in \{1,\ldots,2N^2\}$ に対し、数え上げ測度に関するLebesgue優収束定理により、 $e_j$ に対応する成分に関する $\Phi$ の微分 $\partial_j\Phi$が存在し、
$\partial_1\Phi,\ldots,\partial_{2N^2}\Phi$ はそれぞれ連続であることが分かる。そして、
$$
\partial_j\Phi(0)=e_j\quad(j=1,\ldots,2N^2)
$$
であるから、逆関数定理（[[Euclid空間における微積分1]]の'''定理7.1'''）より、$0\in \mathbb{B}(\mathcal{V})$ の開近傍 $U_0\subset \mathbb{B}(\mathcal{V})$ と $1\in \mathbb{B}(\mathcal{V})$ の開近傍 $V_0\subset \mathbb{B}(\mathcal{V})$ で、
$$
\Phi\colon U_0\rightarrow V_0\quad\quad(1)
$$
が同相写像となるものが取れる。今、
$$
\Phi(U_0\cap {\rm Lie}(G))=\exp(U_0\cap {\rm Lie}(G))\quad\quad(2)
$$
が $1\in G$ の $G$ における近傍であることを背理法で示す。そこで $(2)$ が $1\in G$ の $G$ における近傍ではないと仮定する。このとき $G$ の列 $(g_n)_{n\in \mathbb{N}}$ で、
$$
g_n\in V_0\cap G,\quad g_n\notin \Phi(U_0\cap {\rm Lie}(G))\quad(\forall n\in\mathbb{N}),\quad \lim_{n\rightarrow\infty}g_n=1\quad\quad(3)
$$
なるものが取れる。$(1)$ は同相写像であることと $(3)$ より、${\rm Lie}(G)$ の列 $(A_n)_{n\in \mathbb{N}}$ と $\mathcal{D}$ の列 $(B_n)_{n\in \mathbb{N}}$ で、
$$
g_n=\Phi(A_n+B_n)=\exp(A_n)\exp(B_n),\quad B_n\neq0\quad(\forall n\in\mathbb{N}),\quad\quad(4)
$$
$$
A_n\rightarrow0,\quad B_n\rightarrow0\quad(n\rightarrow\infty)\quad\quad(5)
$$
なるものが取れる。$A_n\in {\rm Lie}(G)$ より $\exp(A_n)\in G$ $(\forall n\in \mathbb{N})$ であるから、
$$
\exp(B_n)=\exp(A_n)^{-1}g_n\in G\quad(\forall n\in \mathbb{N})\quad\quad(6)
$$
である。$\mathcal{D}$ は有限次元ノルム空間であるから、[[位相線形空間1：ノルムと内積]]の'''命題4.1'''より、$\mathcal{D}$ の単位ノルム閉球は点列コンパクトである。よって $\left(\frac{B_n}{\lVert B_n\rVert}\right)_{n\in \mathbb{N}}$ のある部分列 $\left(\frac{B_{k(n)}}{\lVert B_{k(n)}\rVert}\right)_{n\in \mathbb{N}}$ は収束する。そこで、
$$
B\colon=\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{B_{k(n)}}{\lVert B_{k(n)}\rVert}\in \mathcal{D}\quad\quad(7)
$$
とおく。任意の $t\in \mathbb{R}$ を取り、各 $n\in \mathbb{N}$ について、
$$
m_n\leq \frac{t}{\lVert B_{k(n)}\rVert}<m_n+1
$$
なる $m_n\in \mathbb{Z}$ を取る。$(5)$ より $\lim_{n\rightarrow\infty}\lVert B_{k(n)}\rVert=0$ であるから、
$$
t=\lim_{n\rightarrow\infty}m_n\lVert B_{k(n)}\rVert\quad\quad(8)
$$
が成り立つ。よって $(7),(8)$ より、
$$
tB=\lim_{n\rightarrow\infty}m_n\lVert B_{k(n)}\rVert\left(\frac{B_{k(n)}}{\lVert B_{k(n)}\rVert}\right)=\lim_{n\rightarrow\infty}m_nB_{k(n)}
$$
であるから、$(6)$ と[[Banach環とC*-環のスペクトル理論]]の'''命題3.2'''より、
$$
\exp(tB)=\lim_{n\rightarrow\infty}\exp(m_nB_{k(n)})=\lim_{n\rightarrow\infty}\exp(B_{k(n)})^{m_n}\in G
$$
が成り立つ。これより任意の $t\in \mathbb{R}$ に対し $\exp(tB)\in G$ が成り立つので $B\in {\rm Lie}(G)$ である。しかし $(7)$ より $B\in \mathcal{D}$, $\lVert B\rVert=1$ であるから、${\rm Lie}(G)\cap \mathcal{D}=\{0\}$ であることに矛盾する。ゆえに $(2)$ は $1\in G$ の $G$ における近傍である。したがって $1\in \mathbb{B}(\mathcal{V})$ の開近傍 $V_1\subset V_0$ で、
$$
V_1\cap G\subset \Phi(U_0\cap {\rm Lie}(G))
$$
なるものが取れる。$(1)$ は同相写像であるから $\Phi(U_1)=V_1$ なる $0\in \mathbb{B}(\mathcal{V})$ の開近傍 $U_1\subset U_0$ が定まり、
$$
\Phi(U_1\cap {\rm Lie}(G))=V_1\cap G
$$
である。よって $U\colon=U_1\cap {\rm Lie}(G)$, $V\colon=V_1\cap G$ とおけば、$U\subset {\rm Lie}(G)$, $V\subset G$ が求める $0\in {\rm Lie}(G)$, $1\in G$ の開近傍である。
{{end|proof}}

===補題7.13（局所コンパクト群の開部分群は閉部分群）===
$G$ を局所コンパクト群とし、部分群 $H\subset G$ が $G$ の開集合であるとする。このとき $H$ は $G$ の閉部分群である。
{{begin|proof}}
任意の $x\in G\backslash H$ と任意の $y\in H$ に対し $xy\notin H$ であるので、
$$
G\backslash H=\bigcup_{x\in G\backslash H}xH
$$
である。各 $xH$ は $G$ の開集合であるから $G\backslash H$ は $G$ の開集合である。よって $H$ は $G$ の閉部分群である。
{{end|proof}}

===定理7.14（線形Lie群と連結性）===
$\mathcal{V}$ を有限次元Hilbert空間、$G$ を $\mathcal{V}$ 上の線形Lie群とする。このとき、
*$(1)$　$G$ の各元は弧状連結な開近傍からなる可算基本近傍系を持つ。
*$(2)$　$G$ の任意の連結成分は開集合である。
*$(3)$　$G$ の任意の連結開集合は弧状連結である。
*$(4)$　単位元 $1\in G$ を含む $G$ の連結成分 $G_1$ は、
$$
G_1=\{\exp(A_1)\cdots \exp(A_n):n\in \mathbb{N},A_1,\ldots,A_n\in{\rm Lie}(G)\}
$$
と表せて、$G_1$ は $\mathcal{V}$ 上の線形Lie群である。さらに ${\rm Lie}(G_1)={\rm Lie}(G)$ が成り立つ。
{{begin|proof}}
*$(1)$　実ノルム空間 ${\rm Lie}(G)$ における $0\in {\rm Lie}(G)$ の基本近傍系として$\{B(0,\frac{1}{n})\}_{n\in \mathbb{N}}$が取れる。ただし$B(0,\frac{1}{n})$は$0\in {\rm Lie}(G)$を中心とする半径$\frac{1}{n}$の開球である。指数写像定理（'''定理7.12'''）より十分大きい$N\in \mathbb{N}$を取れば、$\{\exp(B(0,\frac{1}{n}))\}_{n\geq N}$は$1\in G$ の基本近傍系であり、各元は$1\in G$の弧状連結な開近傍である。任意の $g\in G$ に対し $\{g\exp(B(0,\frac{1}{n}))\}_{n\geq N}$ は$g\in G$の弧状連結な開近傍からなる基本近傍系である。
*$(2)$　$C\subset G$ を $G$ の連結成分とする。任意の $g\in C$ に対し、$(1)$ より $g$ は弧状連結な開近傍 $U\subset G$ を持つ。$C$ は $G$ の連結成分なので、$g$ を含む最大の連結集合であるから、$U\subset C$ が成り立つ。よって $g$ は $C$ の内点であるから $C$ は $G$ の開集合である。
*$(3)$　$C\subset G$ を連結開集合とする。任意の $g_0\in C$ を取り、
$$
C_1\colon=\{g\in C:\text{$g_0$ と $g$ を結ぶ $C$ 内の連続曲線が存在する}\},\quad C_2\colon=C\backslash C_1
$$
とおくと、$(1)$ より $C_1,C_2$ は $C$ の開集合である。よって $C$ の連結性より $C=C_1$ であるから、$C$ は弧状連結である。
*$(4)$　
$$
G_1\colon=\{\exp(A_1)\cdots \exp(A_n):n\in \mathbb{N},A_1,\ldots,A_n\in {\rm Lie}(G)\}
$$
とおけば、$G_1$ は $G$ の部分群であり、指数写像定理（'''定理7.12'''）より、$G_1$ は $G$ の開集合である。よって'''補題7.13'''より、$G_1$ は $G$ の閉部分群であるので、$G_1$ は $\mathcal{V}$ 上の線形Lie群である。また $G_1$ の任意の元 $g=\exp(A_1)\cdots \exp(A_n)$ に対し、
$$
g(t)\colon=\exp(tA_1)\cdots \exp(tA_n)\in G_1\quad(\forall t\in [0,1])
$$
とおけば、$[0,1]\ni t\mapsto g(t)\in G_1$ は $1$ と $g$ を結ぶ $G_1$ 内の連続曲線であるので、$G_1$ は弧状連結である。よって $1\in G$ を含む $G$ の連結成分を $C_1$ とおくと、$G_1\subset C_1$ であり、$G_1$ は $C_1$ の開かつ閉の集合なので、$C_1$ の連結性より、$G_1=C_1$ である。任意の $A\in {\rm Lie}(G)$ と $t\in \mathbb{R}$ に対し、$G_1$ の定義より $\exp(tA)\in G_1$ であるから $A\in {\rm Lie}(G_1)$ である。ゆえに ${\rm Lie}(G_1)={\rm Lie}(G)$ である。
{{end|proof}}

===命題7.15（実行列の固有値と固有ベクトルについて）===
$A\in \mathbb{M}_{N\times N}(\mathbb{R})$ とする。このとき、
*$(1)$　$\lambda\in \mathbb{C}$ が $A$ の固有値ならば $\overline{\lambda}$ も $A$ の固有値であり、$u\in \mathbb{C}^N$ が $A$ の固有値 $\lambda$ に対する固有ベクトルならば、$\overline{u}\in \mathbb{C}^N$（$u$ の各成分を複素共役にしたもの）は $A$ の固有値 $\overline{\lambda}$ に対する固有ベクトルである。
*$(2)$　$\lambda\in \mathbb{R}$ が $A$ の固有値ならば、
$$
\dim\{u\in \mathbb{R}^N:Au=\lambda u\}=\dim\{u\in \mathbb{C}^N:Au=\lambda u\}
$$
が成り立つ。
{{begin|proof}}
*$(1)$　$\lambda\in \mathbb{C}$, $u\in \mathbb{C}^N$ に対し $Au=\lambda u$ ならば、$A$ が実行列であることから、$A\overline{u}=\overline{\lambda}\overline{u}$ である。
*$(2)$　$\mathbb{R}^N$ のベクトルについて、$\mathbb{R}^N$ において線形独立であることと$\mathbb{C}^N$ において線形独立であることは同値である。よって$\lambda\in \mathbb{R}$ に対し、$\lambda-A\in \mathbb{M}_{N\times N}(\mathbb{R})$の列ベクトルのうち、$\mathbb{R}^N$において線形独立であるものの本数と$\mathbb{C}^N$において線形独立であるものの本数は等しいから、
$$
\dim\{(\lambda-A)u\in \mathbb{R}^N:u\in\mathbb{R}^N\}=\dim\{(\lambda-A)u\in \mathbb{C}^N:u\in \mathbb{C}^N\}
$$
である。よって次元定理（[[速習「線形空間論」]]の'''命題4.8'''）より、
$$
\begin{aligned}
&\dim\{u\in \mathbb{R}^N:(\lambda-A)u=0\}=N-\dim\{(\lambda-A)u\in \mathbb{R}^N:u\in \mathbb{R}^N\}\\
&=N-\dim\{(\lambda-A)u\in \mathbb{C}^N:u\in \mathbb{C}^N\}=\dim\{u\in \mathbb{C}^N:(\lambda-A)u=0\}
\end{aligned}
$$
である。
{{end|proof}}

===命題7.16（実正規行列の直交行列による標準化）===
$A\in \mathbb{M}_{N\times N}(\mathbb{R})$ が正規であるとし、$A$ の固有値を重複度を込めて並べたものを、
$$
\lambda_1,\overline{\lambda}_1,\ldots,\lambda_n,\overline{\lambda}_n,\lambda_{2n+1},\ldots,\lambda_N\quad(\lambda_1,\ldots,\lambda_n\in \mathbb{C}\backslash \mathbb{R},\lambda_{2n+1},\ldots,\lambda_N\in \mathbb{R})\quad\quad(*)
$$
とおき、
$$
R(\lambda_j)\colon=\begin{pmatrix}{\rm Re}(\lambda_j)&{\rm Im}(\lambda_j)\\-{\rm Im}(\lambda_j)&{\rm Re}(\lambda_j)\end{pmatrix}\in \mathbb{M}_{2\times 2}(\mathbb{R})\quad(j=1,\ldots,n)
$$
とおく。このとき直交行列 $T\in {\rm O}(N)$ が存在し、
$$
T^{-1}AT=R(\lambda_1)\oplus \cdots \oplus R(\lambda_n)\oplus \lambda_{2n+1}\oplus\cdots \oplus \lambda_N
$$
が成り立つ。ただし右辺は $R(\lambda_1),\ldots,R(\lambda_n)\in \mathbb{M}_{2\times 2}(\mathbb{R})$ と $\lambda_{2n+1},\ldots,\lambda_N$ を左上から順に対角に並べてそれ以外の成分は $0$ とした $N\times N$ 行列である。
{{begin|proof}}
$A$ は正規行列なので、$\mathbb{C}^N$は$A$の固有空間の和に直交分解できる。このことと'''命題7.15'''より、$\mathbb{C}^N$ の正規直交基底
$$
u_1,\overline{u}_1,u_2,\overline{u}_2,\ldots,u_n,\overline{u}_n,u_{2n+1},\ldots,u_{N}\in \mathbb{C}^N\quad\quad(**)
$$
で、
$$
\begin{aligned}
&Au_j=\lambda_ju_j,\quad A\overline{u}_j=\overline{\lambda}_j\overline{u}_j\quad(j=1,\ldots,n),\\
&Au_k=\lambda_ku_k,\quad u_k\in \mathbb{R}^N\quad(k=2n+1,\ldots,N)
\end{aligned}
$$
なるものが取れる。$(**)$ を縦ベクトルとして並べてできるユニタリ行列を、
$$
U\colon=(u_1,\overline{u}_1,\ldots,u_n,\overline{u}_n,u_{2n+1},\ldots,u_{N})\in {\rm U}(N)
$$
とおき、$(*)$ を左上から対角に並べてできる対角行列を $\Lambda\in \mathbb{M}_{N\times N}(\mathbb{C})$ とおくと、
$$
AU=U\Lambda
$$
である。
$$
M\colon=\frac{1}{\sqrt{2}}\begin{pmatrix}1&\frac{1}{i}\\1&-\frac{1}{i}\end{pmatrix}\in {\rm U}(2)
$$
とおき、
$$
V\colon=\overbrace{M\oplus \cdots\oplus M}^{\text{$n$ 個}}\oplus 1_{N-2n}\in {\rm U}(N)
$$
とおくと、$T\colon =UV$ は成分が実数のユニタリ行列であるから、
$$
T=UV\in {\rm O}(N)
$$
である。そして、
$$
V^*\Lambda V=R(\lambda_1)\oplus \cdots\oplus R(\lambda_n)\oplus \lambda_{2n+1}\oplus\cdots \oplus \lambda_N
$$
であるので、
$$
T^{\top}AT=V^*U^*AUV=V^*\Lambda V=R(\lambda_1)\oplus \cdots \oplus R(\lambda_n)\oplus \lambda_{2n+1}\oplus \cdots\oplus \lambda_N
$$
である。
{{end|proof}}

===命題7.17（典型的な線形Lie群の弧状連結性）===
${\rm GL}(N,\mathbb{C}), {\rm SL}(N,\mathbb{C}), {\rm SO}(N),{\rm U}(N),{\rm SU}(N)$ は弧状連結である。
{{begin|proof}}
'''補題7.10'''の証明で述べたように、任意の $A\in {\rm GL}(N,\mathbb{C})$（もしくは任意の $A\in {\rm SL}(N,\mathbb{C})$）に対し上三角行列 $B$ と $U\in {\rm GL}(N,\mathbb{C})$ が存在して、$A=U^{-1}BU$ となる。上三角行列$B$の対角より上の成分を $1$ 個の径数により一斉に連続的に $0$ にすることができる。そしてできた対角行列は一個の径数によって連続的に単位行列にすることができる（ただし $A\in {\rm SL}(N,\mathbb{C})$ の場合は対角行列の対角成分の積は常に $1$ となる様にする）。このことから ${\rm GL}(N,\mathbb{C}), {\rm SL}(N,\mathbb{C})$ は弧状連結である。${\rm SU}(N),{\rm U}(N)$ が弧状連結であることは、これらの元がユニタリ行列により対角化できることと、その対角行列の対角成分は絶対値が $1$ の複素数であり、それらの偏角を一個の径数により一斉に連続的に $0$ にすることができることから分かる（ただし ${\rm SU}(N)$ の元の場合は対角成分の複素数の偏角の和が常に$0$であるようにする）。
$$
R(\theta)\colon=\begin{pmatrix}\cos(\theta)&-\sin(\theta)\\\sin(\theta)&\cos(\theta)\end{pmatrix}\in {\rm SO}(2)\quad(\forall \theta\in \mathbb{R})
$$
とおけば、任意の $A\in {\rm SO}(N)$ に対し、'''命題7.16'''より、ある $T\in {\rm O}(N)$ と $\theta_1,\ldots,\theta_n\in \mathbb{R}$ が存在し、
$$
T^{-1}AT=R(\theta_1)\oplus\cdots\oplus R(\theta_n)\oplus 1_{N-2n}
$$
となる。各 $\theta_j$ について $\theta_j\rightarrow0$ とすることによって、$A$ は ${\rm SO}(N)$ 内で連続的に単位行列にすることができる。よって${\rm SO}(N)$ は弧状連結である。
{{end|proof}}

===定義7.18（コンパクト線形Lie群のユニタリ表現の微分表現）===
$G$ をコンパクト線形Lie群、$\pi$ を $G$ のユニタリ表現とする。任意の $A\in {\rm Lie}(G)$ に対し、
$$
D(d\pi(A))\colon=\left\{v\in \mathcal{H}_{\pi}:\exists \lim_{t\rightarrow0}\frac{1}{t}(\pi(\exp(tA))-1)v\in \mathcal{H}_{\pi}\right\},
$$
$$
d\pi(A)\colon D(d\pi(A))\rightarrow\mathcal{H}_{\pi},\quad
d\pi(A)v\colon=\lim_{t\rightarrow0}\frac{1}{t}(\pi(\exp(tA))-1)v
$$
なる $\mathcal{H}_{\pi}$ 上の線形作用素を定義する。各 $A\in {\rm Lie}(G)$ に対し $\mathcal{H}_{\pi}$ 上の線形作用素 $d\pi(A)$ を与える対応 $d\pi$ を $\pi$ の微分表現と言う。

===定理7.19（コンパクト線形Lie群のユニタリ表現に対応する微分表現の基本性質）===
$G$ をコンパクト線形Lie群、$\pi$ を $G$ のユニタリ表現とする。このとき、
*$(1)$　任意の $A\in {\rm Lie}(G)$ に対し、$id\pi(A)$ は $\mathcal{H}_{\pi}$ 上の自己共役作用素であり、
$$
\pi(\exp(tA))=\exp(td\pi(A))(\colon=\exp(it(-id\pi(A))))\quad(\forall t\in \mathbb{R})
$$
が成り立つ。
*$(2)$　任意の $g\in G$, $A\in {\rm Lie}(G)$, $\alpha\in \mathbb{R}$ に対し、
$$
d\pi(g^{-1}Ag)=\pi(g)^{-1}d\pi(A)\pi(g),\quad d\pi(\alpha A)=\alpha d\pi(A)
$$
が成り立つ。
*$(3)$　任意の $A,B\in {\rm Lie}(G)$ に対し、
$$
d\pi(A+B)=\overline{d\pi(A)+d\pi(B)},\quad d\pi([A,B])=\overline{[d\pi(A),d\pi(B)]}
$$
が成り立つ。
{{begin|proof}}
*$(1)$　任意の $A\in {\rm Lie}(G)$ に対し、
$$
\mathbb{R}\ni t\mapsto \pi(\exp(tA))\in \mathbb{U}(\mathcal{H}_{\pi})
$$
は $\mathbb{R}$ のユニタリ表現であるので、Stoneの定理（'''系5.12'''）より、自己共役作用素 $S$ で、
$$
\pi(\exp(tA))=e^{itS}\quad(\forall t\in \mathbb{R})\quad\quad(*)
$$
を満たすものが唯一つ存在する。[[Hilbert空間上の作用素論]]の'''補題21.3'''より、
$$
\begin{aligned}
D(S)&=\left\{v\in \mathcal{H}_{\pi}:\exists \lim_{t\rightarrow0}\frac{1}{it}(e^{itS}-1)v\in \mathcal{H}_{\pi}\right\}\\
&=\left\{v\in \mathcal{H}_{\pi}:\exists \lim_{t\rightarrow0}\frac{1}{t}(\pi(\exp(tA))-1)v\in \mathcal{H}_{\pi}\right\}=D(d\pi(A))
\end{aligned}
$$
であり、任意の $v\in D(S)=D(d\pi(A))$ に対し、
$$
Sv=\lim_{t\rightarrow0}\frac{1}{it}(e^{itS}-1)v=\lim_{t\rightarrow0}\frac{1}{it}(\pi(\exp(tA))-1)v=-id\pi(A)v
$$
である。よって $id\pi(A)=-S$ は $\mathcal{H}_{\pi}$ 上の自己共役作用素であり、$(*)$ より、
$$
\pi(\exp(tA))=e^{itS}=\exp(it(-id\pi(A)))\quad(\forall t\in \mathbb{R})
$$
である。
*$(2)$　任意の $g\in G$, $A\in {\rm Lie}(G)$ に対し、'''定理7.9'''の $(2)$ の証明より、
$$
\exp(tg^{-1}Ag)=g^{-1}\exp(tA)g\quad(\forall t\in \mathbb{R})
$$
であるから、
$$
\pi(\exp(tg^{-1}Ag))=\pi(g)^{-1}\pi(\exp(tA))\pi(g)\quad(\forall t\in \mathbb{R}).
$$
よって、
$$
d\pi(g^{-1}Ag)=\pi(g)^{-1}d\pi(A)\pi(g)
$$
が成り立つ。また任意の $\alpha\in \mathbb{R}\backslash \{0\}$ に対し、
$$
\begin{aligned}
&D(d\pi(A))=\left\{v\in \mathcal{H}_{\pi}:\exists \lim_{t\rightarrow0}\frac{1}{t}(\pi(\exp(tA))-1)v\in \mathcal{H}_{\pi}\right\}\\
&=\left\{v\in \mathcal{H}_{\pi}:\exists \lim_{t\rightarrow0}\frac{1}{\alpha t}(\pi(\exp(\alpha tA))-1)v\in \mathcal{H}_{\pi}\right\}\\
&=\left\{v\in \mathcal{H}_{\pi}:\exists \lim_{t\rightarrow0}\frac{1}{t}(\pi(\exp(t\alpha A))-1)v\right\}=D(d\pi(\alpha A))
\end{aligned}
$$
であり、任意の $v\in D(d\pi(A))=D(d\pi(\alpha A))$ に対し、
$$
d\pi(\alpha A)v=\lim_{t\rightarrow0}\frac{1}{t}(\pi(\exp(t\alpha A))-1)v=
\alpha\lim_{t\rightarrow0}\frac{1}{\alpha t}(\pi(\exp(t\alpha A))-1)v=\alpha d\pi(A)v
$$
であるから $d\pi(\alpha A)=\alpha d\pi(A)$ が成り立つ。明らかに $d\pi(0A)=d\pi(0)=0d\pi(A)$ である。
*$(3)$　まず $\pi$ が有限次元である場合を示す。このとき $\mathbb{B}(\mathcal{H}_{\pi})$ のSOTとノルム位相は一致するので、任意の $A\in {\rm Lie}(G)$ に対し、
$$
\mathbb{R}\ni t\mapsto \pi(\exp(tA))\in \mathbb{U}(\mathcal{H}_{\pi})
$$
はノルムで連続な群準同型写像である。よって'''命題7.5'''より、任意の $A\in {\rm Lie}(G)$ に対し、
$$
\pi(\exp(tA))=\exp(td\pi(A))=\sum_{n\in \mathbb{Z}_+}\frac{(td\pi(A))^n}{n!}\quad(\forall t\in \mathbb{R})
$$
であり、任意の $A,B\in {\rm Lie}(G)$ に対し、Lieの積公式（'''定理7.4'''）より、
$$
\begin{aligned}
&\exp(td\pi(A+B))=\pi(\exp(t(A+B)))=\lim_{n\rightarrow\infty}\pi\left(\exp\left(\frac{t}{n}A\right)\exp\left(\frac{t}{n}B\right)\right)^n\\
&=\lim_{n\rightarrow\infty}\left(\exp\left(\frac{t}{n}d\pi(A)\right)\exp\left(\frac{t}{n}d\pi(B)\right)\right)^n=\exp(t(d\pi(A)+d\pi(B)))
\end{aligned}
$$
であるから、
$$
d\pi(A+B)=d\pi(A)+d\pi(B).
$$
これより $d\pi \colon {\rm Lie}(G)\ni A\mapsto d\pi(A)\in \mathbb{B}(\mathcal{H}_{\pi})$ は実線形写像であり、${\rm Lie}(G)$は有限次元であるので、[[位相線形空間1：ノルムと内積]]の'''系4.4'''より、有界実線形写像である。よって $(2)$ より任意の $A,B\in {\rm Lie}(G)$ に対し、
$$
\begin{aligned}
d\pi([A,B])&=\frac{d}{dt}d\pi(\exp(tA)B\exp(-tA))\big|_{t=0}=\frac{d}{dt}\pi(\exp(tA))d\pi(B)\pi(\exp(-tA))\big|_{t=0}\\
&=\frac{d}{dt}\exp(td\pi(A)d\pi(B)\exp(-td\pi(A)))\big|_{t=0}=[d\pi(A),d\pi(B)]
\end{aligned}
$$
である。これより $\pi$ が有限次元の場合は成り立つ。 
$\pi$ が無限次元の場合を示す。$\pi$ はコンパクト群 $G$ のユニタリ表現であるので、'''定理4.6'''より、$\pi$ は既約な部分表現の族 $(\pi_j)_{j\in J}$ の直和
$$
\pi=\oplus_{j\in J}\pi_j
$$
に分解でき、'''定理4.4'''より、各 $\pi_j:G\rightarrow \mathbb{U}(\mathcal{H}_{\pi_j})$ は有限次元である。上で示したことから、
$$
d\pi_j(A+B)=d\pi_j(A)+d\pi_j(B),\quad d\pi_j([A,B])=[d\pi_j(A),d\pi_j(B)]\quad(\forall j\in J,\forall A,B\in {\rm Lie}(G))\quad\quad(**)
$$
が成り立つ。各 $j\in J$ に対し $\mathcal{H}_{\pi_j}\subset \mathcal{H}_{\pi}$ の上への射影作用素を $P_j\colon \mathcal{H}_{\pi}\rightarrow\mathcal{H}_{\pi_j}$ とおくと、
$$
P_j\pi(g)v=\pi_j(g)P_jv\quad(\forall g\in G,\forall v\in \mathcal{H}_{\pi})
$$
であるから、
$$
P_jd\pi(A)v=d\pi_j(A)P_jv\quad(\forall A\in {\rm Lie}(G),\forall v\in D(d\pi(A)))
$$
である。よって、
$$
d\pi(A)v=\sum_{j\in J}P_jd\pi(A)v=\sum_{j\in J}d\pi_j(A)P_jv\quad(\forall A\in {\rm Lie}(G),\forall v\in D(d\pi(A)))
$$
であるから、
$$
d\pi(A)\subset \bigoplus_{j\in J}d\pi_j(A)\quad(\forall A\in {\rm Lie}(G))
$$
が成り立ち、各 $A\in {\rm Lie}(G)$ に対し、$d\pi(A)$ は閉作用素である（$id\pi(A)$ が自己共役作用素で、自己共役作用素は閉作用素であることによる）から、この逆の包含関係も成り立つので、
$$
d\pi(A)=\bigoplus_{j\in J}d\pi_j(A)\quad(\forall A\in {\rm Lie}(G))
$$
が成り立つ。よって $(**)$ と[[Hilbert空間上の作用素論]]の'''命題11.2'''の $(4),(5)$ より、任意の $A,B\in {\rm Lie}(G)$ に対し、
$$
d\pi(A+B)=\bigoplus_{j\in J}d\pi_j(A+B)=\bigoplus_{j\in J}(d\pi_j(A)+d\pi_j(B))=\overline{d\pi(A)+d\pi(B)},
$$
$$
d\pi([A,B])=\bigoplus_{j\in J}d\pi_j([A,B])=\bigoplus_{j\in J}[d\pi_j(A),d\pi_j(B)]=\overline{[d\pi(A),d\pi(B)]}
$$
が成り立つ。
{{end|proof}}

==8. ${\rm SO}(3)$, ${\rm SU}(2)$ の既約表現の完全分類、球面調和関数空間==

===定義8.1（${\rm SO}(3)$, ${\rm SU}(2)$ の生成子）===
'''命題7.11'''より、
$$
\begin{aligned}
&{\rm Lie}({\rm SO}(3))=\{A\in \mathbb{M}_{3\times 3}(\mathbb{R}):A^{\top}+A=0\},\\
&{\rm Lie}({\rm SU}(2))=\{A\in \mathbb{M}_{2\times 2}(\mathbb{C}):A^*+A=0,{\rm Tr}(A)=0\}
\end{aligned}
$$
である。よって実線形空間 ${\rm Lie}({\rm SO}(3))$ の基底として、
$$
F_1\colon=\begin{pmatrix}0&0&0\\0&0&-1\\0&1&0\end{pmatrix},\quad
F_2\colon=\begin{pmatrix}0&0&1\\0&0&0\\-1&0&0\end{pmatrix},\quad
F_3\colon=\begin{pmatrix}0&-1&0\\1&0&0\\0&0&0\end{pmatrix}\quad\quad(*)
$$
が取れて、実線形空間 ${\rm Lie}({\rm SU}(2))$ の基底として、
$$
E_1\colon=\frac{1}{2}\begin{pmatrix}0&-i\\-i&0\end{pmatrix},\quad
E_2\colon=\frac{1}{2}\begin{pmatrix}0&-1\\1&0\end{pmatrix},\quad
E_3\colon=\frac{1}{2}\begin{pmatrix}-i&0\\0&i\end{pmatrix}\quad\quad(**)
$$
が取れる。$(F_1,F_2,F_3)$ を ${\rm SO}(3)$ の生成子、$(E_1,E_2,E_3)$ を ${\rm SU}(2)$ の生成子と呼ぶこととする。これらは、交換子積（'''定義7.7'''）とLevi-Civitaの記号 $\epsilon_{j,k,l}$（[[ベクトル解析3：Euclid空間内の多様体の計量]]の'''定義13.9'''）に関して次の基本関係式を満たす。
$$
[F_j,F_k]=\sum_{l=1}^{3}\epsilon_{j,k,l}F_l,\quad [E_j,E_k]=\sum_{l=1}^{3}\epsilon_{j,k,l}E_l.\quad\quad(***)
$$

===命題8.2（${\rm SO}(3)$, ${\rm SU}(2)$ の生成子の基本性質）===
$(F_1,F_2,F_3)$ を ${\rm SO}(3)$ の生成子、$(E_1,E_2,E_3)$ を ${\rm SU}(2)$ の生成子とする。このとき、任意の $\theta\in \mathbb{R}$ に対し、
$$
\exp(\theta F_1)=\begin{pmatrix}1&0&0\\0&\cos(\theta)&-\sin(\theta)\\0&\sin(\theta)&\cos(\theta)\end{pmatrix},\quad
\exp(\theta F_2)=\begin{pmatrix}\cos(\theta)&0&\sin(\theta)\\0&1&0\\-\sin(\theta)&0&\cos(\theta)\end{pmatrix},\quad
\exp(\theta F_3)=\begin{pmatrix}\cos(\theta)&-\sin(\theta)&0\\\sin(\theta)&\cos(\theta)&0\\0&0&1\end{pmatrix},
$$
$$
\exp(\theta E_1)=\begin{pmatrix}\cos(\frac{\theta}{2})&-i\sin(\frac{\theta}{2})\\-i\sin(\frac{\theta}{2})&\cos(\frac{\theta}{2})\end{pmatrix},\quad
\exp(\theta E_2)=\begin{pmatrix}\cos(\frac{\theta}{2})&-\sin(\frac{\theta}{2})\\\sin(\frac{\theta}{2})&\cos(\frac{\theta}{2})\end{pmatrix},\quad
\exp(\theta E_3)=\begin{pmatrix}e^{-i\frac{\theta}{2}}&0\\0&e^{i\frac{\theta}{2}}\end{pmatrix}
$$
が成り立つ。
{{begin|proof}}
$$
\alpha(\theta)\colon=\begin{pmatrix}1&0&0\\0&\cos(\theta)&-\sin(\theta)\\0&\sin(\theta)&\cos(\theta)\end{pmatrix}\quad(\forall \theta\in \mathbb{R})
$$
とおくと、
$$
\mathbb{R}\ni \theta\mapsto \alpha(\theta)\in {\rm SO}(3)
$$
は連続群準同型写像である。よって、
$$
\alpha(\theta+h)=\alpha(h)\alpha(\theta)\quad(\forall \theta,h\in \mathbb{R})
$$
であるから、
$$
\frac{d\alpha}{d\theta}(\theta)=\frac{d\alpha}{d\theta}(0)\alpha(\theta)=F_1\alpha(\theta)\quad(\forall \theta\in \mathbb{R})
$$
である。これより、
$$
\frac{d}{d\theta}(\exp(-\theta F_1)\alpha(\theta))=\exp(-\theta F_1)(-F_1)\alpha(\theta)+\exp(-\theta F_1)F_1\alpha(\theta)=0\quad(\forall \theta\in \mathbb{R})
$$
であるから、微積分学の基本定理より、$\exp(-\theta F_1)\alpha(\theta)=1$ $(\forall \theta\in\mathbb{R})$ である。ゆえに $\alpha(\theta)=\exp(\theta F_1)$ $(\forall \theta\in \mathbb{R})$ が成り立つ。他も全く同様の仕方で証明できる。
{{end|proof}}

次の定理は有用である。

===定理8.3（角運動量代数）===
$G$ を ${\rm SO}(3)$ か ${\rm SU}(2)$ とし、$(A_1,A_2,A_2)$ を $G$ の生成子（'''定義8.1'''）とする。そして $\pi$ を $G$ の有限次元ユニタリ表現とし、その微分表現（'''定義7.18'''）$d\pi\colon {\rm Lie}(G)\rightarrow\mathbb{B}(\mathcal{H}_{\pi})$ に対し、
$$
L_{\pm}\colon=id\pi(A_1)\mp d\pi(A_2),\quad L_3\colon=id\pi(A_3)
$$
とおく。また $v_0\in \mathcal{H}_{\pi}$ を自己共役作用素 $L_3$ の固有値 $l\in \mathbb{R}$ に対する固有ベクトルとし、$L_+v_0=0$ が成り立つものとする。このとき、
$$
l\in \frac{1}{2}\mathbb{Z}_+=\left\{0,\frac{1}{2},1,\frac{3}{2},2,\ldots\right\}
$$
が成り立つ。そして、
$$
v_j\colon=L_-^jv_0\quad(\forall j\in \mathbb{N})
$$
とおくと、$v_0,v_1,\ldots,v_{2l}$ はそれぞれ $L_3$ の固有値 $l,l-1,\ldots,-l$ に対する固有ベクトルで、
$$
\mathcal{K}\colon={\rm span}\{v_0,v_1,\ldots,v_{2l}\}\subset \mathcal{H}_{\pi}
$$
は $\pi$ 不変であり、$\pi|_{\mathcal{K}}\colon G\rightarrow \mathbb{U}(\mathcal{K})$ は既約である。さらに、
$$
(d\pi(A_1)^2+d\pi(A_2)^2+d\pi(A_3)^2)v=-l(l+1)v\quad(\forall v\in \mathcal{K})
$$
が成り立つ。
{{begin|proof}}
'''定理7.19'''の $(3)$ と'''定義8.1'''の $(***)$ より、
$$
[d\pi(A_j),d\pi(A_k)]=d\pi([A_j,A_k])=\sum_{l=1}^{3}\epsilon_{j,k,l}d\pi(A_l)\quad(\forall j,k\in \{1,2,3\})
$$
である。これより、
$$
[L_3,L_{\pm}]=\pm L_{\pm},\quad [L_{\pm},L_{\mp}]=\pm 2L_3\quad\quad(*)
$$
が成り立つ。今、
$$
L_3v_j=(l-j)v_j,\quad L_+v_{j+1}=(2l-j)(j+1)v_j\quad(\forall j\in \mathbb{Z}_+)\quad\quad(**)
$$
が成り立つことを $j\in \mathbb{Z}_+$ に関する帰納法で示す。$(*)$ の右の式と $L_3v_0=lv_0$, $L_+v_0=0$ より、
$$
L_+v_1=L_+L_-v_0=2L_3v_0=2lv_0
$$
であるから $j=0$ の場合は成り立つ。ある $j-1\in \mathbb{Z}_+$ に対して成り立つと仮定すると、$(*)$ の左の式より、
$$
L_3v_j=L_3L_-v_{j-1}=L_-L_3v_{j-1}-L_-v_{j-1}=(l-(j-1))v_j-v_j=(l-j)v_j.
$$
$(*)$ の右の式より、
$$
L_+v_{j+1}=L_+L_-v_j=L_-L_+v_j+2L_3v_j=(2l-(j-1))jv_j+2(l-j)v_j=(2l-j)(j+1)v_j
$$
であるから $j$ の場合も成り立つ。よって帰納法より $(**)$ が成り立つ。$\mathcal{H}_{\pi}$ は有限次元であり、互いに異なる固有値に対する固有ベクトルは線形独立であるので $v_j=0$ なる $j\in \mathbb{N}$ が存在する。そのような $j\in \mathbb{N}$ で最小のものを $k+1\in \mathbb{N}$ とおけば、$(**)$ より、
$$
0=L_+v_{k+1}=(2l-k)(k+1)v_k
$$
であり、$v_{k}\neq 0$ であるから $k=2l$ である。よって $l=\frac{k}{2}\in \frac{1}{2}\mathbb{Z}_+$ であり、$v_0,v_1,\ldots,v_{2l}$ は $L_3$ の固有値 $l,l-1,\ldots,-l$ に対する固有ベクトルである。$L_+v_0=0$, $L_-v_{2l}=0$ であることから、
$$
\mathcal{K}={\rm span}\{v_0,v_1,\ldots,v_{2l}\}\subset \mathcal{H}_{\pi}
$$
は $L_{\pm},L_3$ の作用に対して不変であり、したがって、
$$
d\pi(A_1)=\frac{1}{2i}(L_++L_-),\quad d\pi(A_2)=\frac{1}{2}(L_--L_+),\quad d\pi(A_3)=\frac{1}{i}L_3
$$
の作用に対して不変である。$(A_1,A_2,A_3)$ は $G$ の生成子であるので、$\mathcal{K}$ は $d\pi({\rm Lie}(G))$ の任意の元の作用に対して不変である。ここで'''命題7.17'''より $G$ は連結であるから、'''定理7.14'''より、
$$
G=\{\exp(B_1)\cdots \exp(B_n):n\in \mathbb{N},B_1,\ldots,B_n\in {\rm Lie}(G)\}\quad\quad(***)
$$
であり、
$$
\pi(\exp(B_1)\cdots \exp(B_n))=\exp(d\pi(B_1))\cdots \exp(d\pi(B_n))\quad(\forall n\in \mathbb{N},\forall B_1,\ldots,B_n\in {\rm Lie}(G))\quad\quad(****)
$$
であるから、$\mathcal{K}$ は $\pi$ 不変である。今、$\pi$ の部分表現 $\pi|_{\mathcal{K}}\colon G\rightarrow \mathbb{U}(\mathcal{K})$ が既約であることを示す。$\pi$ 不変な $\{0\}$ でない部分空間 $\mathcal{L}\subset \mathcal{K}$ を取り、$\mathcal{L}=\mathcal{K}$ が成り立つことを示せばよい。任意の $v\in \mathcal{L}\backslash \{0\}$ を取り、
$$
v=\sum_{j=0}^{2l}\alpha_jv_j
$$
とおき、$\alpha_j\neq0$ なる最大の $j\in \{0,1,\ldots,2l\}$ を $j_0$ とおく。$\mathcal{L}$ は $\pi$ 不変であるから $L_{\pm}$ に対して不変であるので、
$$
L_+^{j_0}v\in \mathcal{L}
$$
であり、$(**)$ より $v_0$ は $L_+^{j_0}v$ のスカラー倍なので、$v_0\in \mathcal{L}$ である。よって、
$$
v_j=L_-^{j}v_0\in \mathcal{L}\quad(j=0,1,\ldots,2l)
$$
であるから、$\mathcal{L}=\mathcal{K}$ である。ゆえに $\pi|_{\mathcal{K}}$ は既約である。
$$
C\colon=d\pi(A_1)^2+d\pi(A_2)^2+d\pi(A_3)^2
$$
とおくと、任意の $k\in \{1,2,3\}$ に対し、
$$
\begin{aligned}
&Cd\pi(A_k)=\sum_{j=1}^{3}d\pi(A_j)^2d\pi(A_k)=\sum_{j=1}^{3}d\pi(A_j)d\pi(A_k)d\pi(A_j)+\sum_{j,l=1}^{3}\epsilon_{j,k,l}d\pi(A_j)d\pi(A_l),\\
&d\pi(A_k)C=\sum_{j=1}^{3}d\pi(A_k)d\pi(A_j)^2=\sum_{j=1}^{3}d\pi(A_j)d\pi(A_k)d\pi(A_j)+\sum_{j,l=1}^{3}\epsilon_{k,j,l}d\pi(A_l)d\pi(A_j)
\end{aligned}
$$
であるから $Cd\pi(A_k)=d\pi(A_k)C$ である。よって $C$ は $d\pi({\rm Lie}(G))$ の任意の元と可換であるので、
$$
C\pi(\exp(B))=C\exp(d\pi(B))=\exp(d\pi(B))C=\pi(\exp(B))C\quad(\forall B\in {\rm Lie}(G))
$$
である。したがって $(***),(****)$ より $C$ は $\pi(G)$ の任意の元と可換であるので、$\pi|_{\mathcal{K}}$ の既約性とSchurの補題（'''定理2.10'''）より、$C|_{\mathcal{K}}\in \mathcal{C}(\pi|_{\mathcal{K}})=\mathbb{C}1$ である。そこで $C|_{\mathcal{K}}=\alpha1$ とおく。
$$
L_-L_+=-d\pi(A_1)^2-d\pi(A_2)^2-L_3,\quad L_3^2=-d\pi(A_3)^2
$$
であるから、
$$
C=-L_-L_+-L_3^2-L_3
$$
である。よって $L_+v_0=0$, $L_3v_0=lv_0$ より、
$$
\alpha v_0=Cv_0=-L_-L_+v_0-L_3^2v_0-L_3v_0=-l(l+1)v_0
$$
であるから、$v_0\neq0$ より $\alpha=-l(l+1)$ である。ゆえに、
$$
(d\pi(A_1)^2+d\pi(A_2)^2+d\pi(A_3)^2)v=Cv=-l(l+1)v\quad(\forall v\in \mathcal{K})
$$
が成り立つ。
{{end|proof}}

===定義8.4（球面調和関数）===
任意の $l\in \mathbb{Z}_+$ に対し $\mathcal{P}_l(\mathbb{R}^N)$ を $\mathbb{R}^N$ 上の $l$ 次の多項式全体とし、
$$
\mathcal{H}_l(\mathbb{R}^N)\colon=\{p\in \mathcal{P}_l(\mathbb{R}^N):\text{$p$ は調和関数}\}
$$
とおく。そして $N-1$ 次元単位球面 $S_{N-1}=\{x\in \mathbb{R}^N:\lvert x\rvert=1\}$ に対し $\mathcal{P}_l(\mathbb{R}^N), \mathcal{H}_l(\mathbb{R}^N)$ を $S_{N-1}$ 上に制限したものを、
$$
\begin{aligned}
&\mathcal{P}_l(S_{N-1})\colon=\{p|_{S_{N-1}}:p\in \mathcal{P}_l(\mathbb{R}^N)\},\\
&\mathcal{H}_l(S_{N-1})\colon=\{p|_{S_{N-1}}:p\in \mathcal{H}_l(\mathbb{R}^N)\}
\end{aligned}
$$
とおく。$\mathcal{H}_l(S_{N-1})$ を $l$ 次の球面調和関数空間と言い、$\mathcal{H}_l(S_{N-1})$ の元を $l$ 次の球面調和関数と言う。

===定理8.5（球面調和関数空間の基本性質）===
球面調和関数空間 $\mathcal{H}_l(S_{N-1})$ $(\forall l\in \mathbb{Z}_+)$ に対し、
*$(1)$　$\dim(\mathcal{H}_0(S_{N-1}))=1$, $\dim(\mathcal{H}_1(S_{N-1}))=N$,
$$
\dim(\mathcal{H}_l(S_{N-1}))=\begin{pmatrix}N-1+l\\N-1\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}N-3+l\\N-1\end{pmatrix}\quad(\forall l\geq 2)
$$
であり、
$$
{\rm span}\bigcup_{l\in \mathbb{Z}_+}\mathcal{P}_l(S_{N-1})={\rm span}\bigcup_{l\in \mathbb{Z}_+}\mathcal{H}_l(S_{N-1})\quad\quad(*)
$$
が成り立つ。
*$(2)$　Hilbert空間 $L^2(S_{N-1},\mu_{S_{N-1}})$ は、
$$
L^2(S_{N-1},\mu_{S_{N-1}})=\bigoplus_{l\in \mathbb{Z}_+}\mathcal{H}_l(S_{N-1})\quad\quad(**)
$$
と直交分解できる。ただし $\mu_{S_{N-1}}\colon \mathcal{B}_{S_{N-1}}\rightarrow [0,\infty)$ は単位球面 $S_{N-1}$ 上の面積測度（[[ベクトル解析4：Euclid空間内の多様体上の測度と積分]]の'''定義16.8'''と'''命題18.2'''を参照）である。
{{begin|proof}}
*$(1)$　任意の $l\in \mathbb{Z}_+$ と任意の $p\in \mathcal{P}_l(\mathbb{R}^N)$ に対し、$p(r\omega)=r^lp(\omega)$ $(\forall r\in (0,\infty),\forall \omega\in S_{N-1})$ であるから、
$$
\mathcal{P}_l(\mathbb{R}^N)\ni p\mapsto p|_{S_{N-1}}\in \mathcal{P}_l(S_{N-1}),\quad
\mathcal{H}_l(\mathbb{R}^N)\ni p\mapsto p|_{S_{N-1}}\in \mathcal{H}_l(S_{N-1})
$$
はそれぞれ線形同型写像である。よって、
$$
\dim(\mathcal{P}_l(S_{N-1}))=\dim(\mathcal{P}_l(\mathbb{R}^N)),\quad
\dim(\mathcal{H}_l(S_{N-1}))=\dim(\mathcal{H}_l(\mathbb{R}^N))\quad(\forall l\in \mathbb{Z}_+)
$$
が成り立つ。$l=0,1$ ならば $\mathcal{H}_l(\mathbb{R}^N)=\mathcal{P}_l(\mathbb{R}^N)$ なので、
$$
\begin{aligned}
&\dim(\mathcal{H}_0(S_{N-1}))=\dim(\mathcal{H}_0(\mathbb{R}^N))=\dim(\mathcal{P}_0(\mathbb{R}^N))=1,\\
&\dim(\mathcal{H}_1(S_{N-1}))=\dim(\mathcal{H}_1(\mathbb{R}^N))=\dim(\mathcal{P}_1(\mathbb{R}^N))=N
\end{aligned}
$$
である。$l\geq 2$ とする。$\mathbb{R}^N$ 上の恒等写像を ${\rm id}=({\rm id}_1,\ldots,{\rm id}_N)\colon\mathbb{R}^N\rightarrow\mathbb{R}^N$ とおき、多重指数 $\alpha\in \mathbb{Z}_+^N$ の長さを $\lvert \alpha\rvert=\alpha_1+\cdots+\alpha_N$ とおく。任意の
$$
p=\sum_{\lvert \alpha\rvert=l}a_{\alpha}{\rm id}^{\alpha}=\sum_{\lvert \alpha\rvert=l}
a_{\alpha}{\rm id}_1^{\alpha_1}\cdots {\rm id}_N^{\alpha_N}\in \mathcal{P}_l(\mathbb{R}^N)
$$
に対し、微分作用素 $p(\partial)$ を、
$$
p(\partial)=\sum_{\lvert \alpha\rvert=l}a_{\alpha}\partial_1^{\alpha_1}\cdots\partial_N^{\alpha_N}
$$
と定義し、
$$
(p\mid q)_l\colon=q(\partial)\overline{p}\quad(\forall p,q\in \mathcal{P}_l(\mathbb{R}^N))
$$
と定義する。このとき任意の $p=\sum_{\lvert\alpha\rvert=l}a_{\alpha}{\rm id}^{\alpha}\in \mathcal{P}_l(\mathbb{R}^N)$, $q=\sum_{\lvert\beta\rvert=l}b_{\beta}{\rm id}^{\beta}\in \mathcal{P}_l(\mathbb{R}^N)$ に対し、
$$
(p\mid q)_l=\sum_{\lvert\alpha\rvert=l}\alpha!\overline{a_{\alpha}}b_{\alpha}
$$
($\alpha!=\alpha_1!\cdots \alpha_N!$)であるから、$(\cdot\mid \cdot)_l$ は有限次元線形空間 $\mathcal{P}_l(\mathbb{R}^N)$ の内積である。そしてこの内積に関する $\mathcal{H}_l(\mathbb{R}^N)\subset \mathcal{P}_l(\mathbb{R}^N)$ の直交補空間は、$\lvert {\rm id}\rvert^2\mathcal{P}_{l-2}(\mathbb{R}^N)$ である（任意の $p\in \mathcal{P}_{l-2}(\mathbb{R}^N)$ に対し $(\lvert {\rm id}\rvert^2p)(\partial)=\Delta p(\partial)$ であることによる）。よって、
$$
\mathcal{P}_l(\mathbb{R}^N)=\mathcal{H}_l(\mathbb{R}^{N})\oplus \lvert {\rm id}\rvert^2\mathcal{P}_{l-2}(\mathbb{R}^N)\quad\quad(***)
$$
が成り立つ。ゆえに、
$$
\begin{aligned}
\dim(\mathcal{H}_l(S_{N-1}))&=\dim(\mathcal{H}_l(\mathbb{R}^N))=\dim(\mathcal{P}_l(\mathbb{R}^N))-\dim(\mathcal{P}_{l-2}(\mathbb{R}^N))\\
&=\begin{pmatrix}N-1+l\\N-1\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}N-3+l\\N-1\end{pmatrix}
\end{aligned}
$$
が成り立つ。また $\lvert {\rm id}\rvert^2$ が $S_{N-1}$ 上で恒等的に $1$ であることから、$(***)$ より、任意の $p_l\in \mathcal{P}_l(S_{N-1})$ に対し $h_l\in \mathcal{H}_l(S_{N-1})$ と $p_{l-2}\in \mathcal{P}_{l-2}(S_{N-1})$ が取れて、$p_l=h_l+p_{l-2}$ と表せる。よって帰納法により、$l-2k\in \{0,1\}$ なる $k\in \mathbb{N}$ に対し、$h_{l-2j}\in \mathcal{H}_{l-2j}(S_{N-1})$ $(j=0,1,\ldots,k)$ が取れて、
$$
p_l=h_l+h_{l-2}+\cdots+h_{l-2k}
$$
と表せる。これより、
$$
{\rm span}\bigcup_{l\in \mathbb{Z}_+}\mathcal{P}_l(S_{N-1})={\rm span}\bigcup_{l\in \mathbb{Z}_+}\mathcal{H}_l(S_{N-1})
$$
が成り立つ。
*$(2)$　[[ベクトル解析4：Euclid空間内の多様体上の測度と積分]]の'''系16.2'''より $L^2(S_{N-1},\mu_{S_{N-1}})$ において $C(S_{N-1})$ は稠密であり、Stone-Weierstrassの定理（[[測度と積分7：局所コンパクトHausdorff空間上のRadon測度]]の'''定理35.4'''）より、$C(S_{N-1})$ において $(*)$ は稠密である。よって $L^2(S_{N-1},\mu_{S_{N-1}})$ において $(*)$ は稠密である。これより $(**)$ を示すには、$k\neq l$ なる任意の $k,l\in \mathbb{Z}_+$ に対し、$L^2(S_{N-1},\mu_{S_{N-1}})$ において $\mathcal{H}_k(S_{N-1})\perp \mathcal{H}_l(S_{N-1})$ が成り立つことを示せばよい。任意の $p\in \mathcal{H}_k(\mathbb{R}^N)$, $q\in \mathcal{H}_l(\mathbb{R}^N)$ を取る。
$$
p(r\omega)=r^kp(\omega),\quad q(r\omega)=r^lq(\omega)\quad(\forall r\in (0,\infty),\forall \omega\in S_{N-1})
$$
であるから、$0\in \mathbb{R}^N$ 中心の極座標（[[ベクトル解析4：Euclid空間内の多様体上の測度と積分]]の'''定義18.3'''）による勾配の表示（[[ベクトル解析3：Euclid空間内の多様体の計量]]の'''命題12.5'''）を考えると、極座標が直交座標であること（[[ベクトル解析4：Euclid空間内の多様体上の測度と積分]]の'''命題18.2'''）に注意して、
$$
(\nabla p)(\omega)\cdot \omega=\frac{\partial p}{\partial r}(\omega)=kp(\omega),\quad
(\nabla q)(\omega)\cdot \omega=\frac{\partial q}{\partial r}(\omega)=lq(\omega)\quad(\forall \omega\in S_{N-1})
$$
となる。そして $\{x\in \mathbb{R}^N:\lvert x\rvert<1\}\subset \mathbb{R}^N$ の境界 $S_{N-1}$ 上の外向き単位法線ベクトル場は $S_{N-1}\ni \omega\mapsto \omega\in \mathbb{R}^N$ である（[[ベクトル解析5：多様体の向き]]の'''命題22.2'''）から、Gaussの発散定理（[[微分方程式の初歩]]の'''定理2.3'''の $(4)$）より、
$$
\begin{aligned}
0&=\int_{\lvert x\rvert<1}(\Delta \overline{p}(x)q(x)-\overline{p}(x)\Delta q(x))dx\\
&=\int_{S_{N-1}}((\nabla \overline{p})(\omega)\cdot \omega)q(\omega)-\overline{p}(\omega)((\nabla q)(\omega)\cdot \omega))d\mu_{S_{N-1}}(\omega)\\
&=(k-l)\int_{S_{N-1}}\overline{p}(\omega)q(\omega)d\mu_{S_{N-1}}(\omega)
\end{aligned}
$$
となる。よって $k\neq l$ より、
$$
\int_{S_{N-1}}\overline{p}(\omega)q(\omega)d\mu_{S_{N-1}}(\omega)=0
$$
を得る。ゆえに $\mathcal{H}_k(S_{N-1})\perp \mathcal{H}_l(S_{N-1})$ であるので $(**)$ が成り立つ。
{{end|proof}}

===命題8.6（コンパクト群 ${\rm SO}(N)$ の等質空間としての単位球面 $S_{N-1}$）===
単位球面 $S_{N-1}=\{x\in \mathbb{R}^N:\lvert x\rvert=1\}$ は通常の作用
$$
{\rm SO}(N)\times S_{N-1}\ni (R,u)\mapsto Ru\in S_{N-1}
$$
によりコンパクト群 ${\rm SO}(N)$ の等質空間（'''定義3.6'''）である。そして $S_{N-1}$ の面積測度 $\mu_{S_{N-1}}\colon \mathcal{B}_{S_{N-1}}\rightarrow [0,\infty)$ は ${\rm SO}(N)$ 不変測度（'''定義3.18'''）である。
{{begin|proof}}
任意の $u\in S_{N-1}$ に対し、Schmidtの直交化より、$u_2,\ldots,u_N\in S_{N-1}$ で $u,u_2,\ldots,u_N$ が $\mathbb{R}^N$ の正規直交基底となるものが取れる。このとき $u,u_2,\ldots,u_N$ を縦ベクトルとして並べた行列 $R=(u,u_2,\ldots,u_N)$ は ${\rm O}(N)$ に属するが、必要ならば $u_2,\ldots,u_N$ のうちのいずれかを $-1$ 倍して $R\in {\rm SO}(N)$ とすることができる。そしてこのとき $Re_1=u$ である。ゆえに任意の $u\in S_{N-1}$ に対し $Re_1=u$ なる $R\in {\rm SO}(N)$ が存在するので、$S_{N-1}$ は ${\rm SO}(N)$ の等質空間である。任意の $R\in {\rm O}(N)$ に対し $C^\infty$ 級同相写像 $S_{N-1}\ni u\mapsto Ru\in S_{N-1}$ のヤコビアン（[[ベクトル解析4：Euclid空間内の多様体上の測度と積分]]の'''定義17.2'''）は $1$ なので変数変換公式（[[ベクトル解析4：Euclid空間内の多様体上の測度と積分]]の'''定理17.5'''）より、
$$
\mu_{S_{N-1}}(R(B))=\mu_{S_{N-1}}(B)\quad(\forall B\in \mathcal{B}_{S_{N-1}})
$$
が成り立つ。よって $\mu_{S_{N-1}}$ は ${\rm SO}(N)$ 不変測度である。
{{end|proof}}

===命題8.7（コンパクト群 ${\rm SU}(N)$ の等質空間としての単位球面 $S_{2N-1}$）===
$\mathbb{R}^{2N}$ と $\mathbb{C}^N$ を、
$$
(x_1,y_1,\ldots,x_N,y_N)=(x_1+iy_1,\ldots,x_N+iy_N)
$$
とみなすことにより同一視する。球面
$$
S_{2N-1}=\{x\in \mathbb{R}^{2N}:\lvert x\rvert=1\}=\{z\in \mathbb{C}^N:\lvert z\rvert=1\}\subset \mathbb{C}^N
$$
は、通常の作用
$$
{\rm SU}(N)\times S_{2N-1}\ni (U,v)\mapsto Uv\in S_{2N-1}
$$
によりコンパクト群 ${\rm SU}(N)$ の等質空間（'''定義3.6'''）である。そして $S_{2N-1}$ の面積測度 $\mu_{S_{2N-1}}\colon \mathcal{B}_{S_{2N-1}}\rightarrow [0,\infty)$ は ${\rm SU}(N)$ 不変測度（'''定義3.18'''）である。
{{begin|proof}}
任意の $v\in S_{2N-1}$ に対しSchmidtの直交化により $v_2,\ldots,v_N\in S_{2N-1}$ で $v,v_2,\ldots,v_N$ が $\mathbb{C}^N$ の正規直交基底となるものが取れる。このとき $v,v_2,\ldots,v_N$ を縦ベクトルとして並べたもの $U=(v,v_2,\ldots,v_N)$ は ${\rm U}(N)$ に属するが、必要ならば $v_2,\ldots,v_N$ のいずれかを $({\rm det}(U))^{-1}$ 倍して $U\in{\rm SU}(N)$ とすることができる。そしてこのとき $Ue_1=v$ である。ゆえに任意の $v\in S_{2N-1}$ に対し $Ue_1=v$ なる $U\in {\rm SU}(N)$ が存在するので、$S_{2N-1}$ は ${\rm SU}(N)$ の等質空間である。任意の $U\in {\rm SU}(N)$ に対し、$\mathbb{C}^N=\mathbb{R}^{2N}$ の同一視のもとで、$U\colon \mathbb{R}^{2N}\rightarrow \mathbb{R}^{2N}$ は等長実線形同型写像であるから $U\in {\rm O}(2N)$ とみなせて、$C^\infty$ 級同相写像 $S_{2N-1}\ni v\mapsto Uv\in S_{2N-1}$ のヤコビアン（[[ベクトル解析4：Euclid空間内の多様体上の測度と積分]]の'''定義17.2'''）は $1$ なので変数変換公式（[[ベクトル解析4：Euclid空間内の多様体上の測度と積分]]の'''定理17.5'''）より、
$$
\mu_{S_{2N-1}}(U(B))=\mu_{S_{2N-1}}(B)\quad(\forall B\in \mathcal{B}_{S_{2N-1}})
$$
が成り立つ。よって $\mu_{S_{2N-1}}$ は ${\rm SU}(N)$ 不変測度である。
{{end|proof}}

'''命題8.6'''より単位球面 $S_2=\{x\in \mathbb{R}^3:\lvert x\rvert=1\}$ はコンパクト群 ${\rm SO}(3)$ の等質空間であり、$S_2$ の面積測度 $\mu_{S_2}\colon \mathcal{B}_{S_2}\rightarrow [0,\infty)$ は ${\rm SO}(3)$ 不変測度である。そこで、
$$
\rho\colon {\rm SO}(3)\rightarrow \mathbb{U}(L^2(S_2,\mu_{S_2})),\quad
\rho(R)f(x)=f(R^{-1}x)\quad(\forall f\in L^2(S_2,\mu_{S_2}),\forall R\in {\rm SO}(3),\forall x\in S_2)
$$
を ${\rm SO}(3)$ の $L^2(S_2,\mu_{S_2})$ 上への正則表現（'''定義3.25'''）とする。また任意の $l\in \mathbb{Z}_+$ に対し $\mathcal{H}_l(S_2)$ を $l$ 次の球面調和関数空間（'''定義8.4'''）とする。このとき、

===定理8.8（${\rm SO}(3)$ の球面 $L^2$ 空間上への正則表現と既約表現の完全分類）===
次が成り立つ。
*$(1)$　任意の $l\in \mathbb{Z}_+$ に対し $\mathcal{H}_l(S_2)\subset L^2(S_2,\mu_{S_2})$ は $\rho$ 不変であり、$\rho$ の $\mathcal{H}_l(S_2)$ 上への制限 $\rho_l\colon {\rm SO}(3)\rightarrow \mathbb{U}(\mathcal{H}_l(S_2))$ は既約である。そして $\rho=\bigoplus_{l\in \mathbb{Z}_+}\rho_l$ が成り立つ。
*$(2)$　コンパクト群 ${\rm SO}(3)$ の任意の既約なユニタリ表現はある $l\in \mathbb{Z}_+$ に対し $\rho_l$ とユニタリ同値である。
{{begin|proof}}
*$(1)$　正の向きの直交座標によるラプラシアンの表示（[[ベクトル解析3：Euclid空間内の多様体の計量]]の'''命題13.10'''）より、任意の $u\in C^2(\mathbb{R}^3)$ と任意の $R\in {\rm SO}(3)$ に対し、
$$
(\Delta u)\circ R^{-1}=\Delta(u\circ R^{-1})
$$
が成り立つ。よって $u$ が調和関数ならば $u\circ R^{-1}$ も調和関数であるので、任意の $l\in \mathbb{Z}_+$ に対し $\mathcal{H}_l(S_2)$ は $\rho$ 不変である。'''定理8.5'''の $(2)$ より $L^2(S_2,\mu_{S_2})=\bigoplus_{l\in \mathbb{Z}_+}\mathcal{H}_l(S_2)$ であるので、$\rho=\bigoplus_{l\in \mathbb{Z}_+}\rho_l$ が成り立つ。任意の $l\in \mathbb{Z}_+$ を取り固定する。$(F_1,F_2,F_3)$ を ${\rm SO}(3)$ の生成子（'''定義8.1'''）とする。$\mathcal{H}_l(S_2)$ は有限次元であるから $\rho_l\colon {\rm SO}(3)\rightarrow \mathbb{U}(\mathcal{H}_l(S_2))$ の微分表現（'''定義7.18'''）$d\rho_l$ に対し、$d\rho_l(F)$ $(\forall F\in {\rm Lie}({\rm SO}(3)))$ は $\mathcal{H}_l(S_2)$ 上で定義され、任意の $u\in \mathcal{H}_l(S_2)$ に対し、'''命題8.2'''より、
$$
d\rho_l(F_1)u=\lim_{\theta\rightarrow0}\frac{1}{\theta}(\rho(\exp(\theta F_1))-1)u
=\lim_{\theta\rightarrow0}\frac{1}{\theta}(u\circ\exp(-\theta F_1)-u)=x_3\frac{\partial u}{\partial x_2}-x_2\frac{\partial u}{\partial x_3}
$$
が成り立つ。ただし $(x_1,x_2,x_3)$ は $\mathbb{R}^3$ の標準座標である。同様にして任意の $u\in \mathcal{H}_l(S_2)$ に対し、
$$
d\rho_l(F_2)u=x_1\frac{\partial u}{\partial x_3}-x_3\frac{\partial u}{\partial x_2},\quad
d\rho_l(F_3)=x_2\frac{\partial u}{\partial x_1}-x_1\frac{\partial u}{\partial x_2}
$$
が成り立つことが分かる。そこで $v^l_0\in \mathcal{H}_l(S_2)$ を、
$$
v^l_0(x_1,x_2,x_3)=(x_1+ix_2)^l
$$
と定義すると、
$$
(id\rho_l(F_1)-d\rho_l(F_2))v^{l}_0=0,\quad id\rho_l(F_3)v^{l}_0=lv_0^l
$$
が成り立つので、'''定理8.3'''より、
$$
v^l_j\colon=(id\pi_l(F_1)+d\rho_l(F_2))^jv_0^l\in \mathcal{H}_l(S_2)\quad(j=1,2,\ldots,2l)
$$
とおけば、$v^l_0,v^l_1,\ldots,v^l_{2l}$ はそれぞれ自己共役作用素 $id\rho_l(F_3)$ の固有値 $l,l-1,\ldots,-l$ に対する固有ベクトルである。ここで'''定理8.5'''の $(1)$ より、
$$
\dim(\mathcal{H}_l(S_2))=2l-1
$$
であるから、$v_0^l,v_1^l,\ldots,v_{2l}^l$ は $\mathcal{H}_l(S_2)$ の基底である。よって'''定理8.3'''より $\rho_l\colon {\rm SO}(3)\rightarrow \mathbb{U}(\mathcal{H}_l(S_2))$ は既約である。
*$(2)$　コンパクト群 ${\rm SO}(3)$ の双対空間 $\widehat{{\rm SO}(3)}$（既約なユニタリ表現の同値類全体（'''定義4.7'''））が $\{[\rho_l]\}_{l\in \mathbb{Z}_+}$ と一致することを示せばよく、そのためにはPeter-Weylの定理3（'''定理4.17'''）より、対応する ${\rm SO}(3)$ の指標の族 $\{\gamma_{[\rho_l]}\}_{l\in \mathbb{Z}_+}$ が $L^2$ 類関数空間 $ZL^2({\rm SO}(3))$ のCONSであることを示せばよい。そしてそのためには、$ZL^2({\rm SO}(3))$ において連続類関数空間 $ZC({\rm SO}(3))$ が稠密であること（'''系4.18'''）から、${\rm span}\{\gamma_{[\rho_l]}\}_{l\in \mathbb{Z}_+}\subset ZC({\rm SO}(3))$ が $ZC({\rm SO}(3))$ において $\sup$ ノルムで稠密であることを示せばよい。任意の $f\in ZC({\rm SO}(3))$ に対し、$\widehat{f}\in C([0,\pi])$ を、
$$
\widehat{f}(\theta)\colon=f(\exp(\theta F_3))\quad(\forall \theta\in [0,\pi])
$$
と定義する。任意の $R\in {\rm SO}(3)$ に対し、'''命題7.16'''と'''命題8.2'''より、$A\in {\rm O}(3)$ と $\theta\in [-\pi,\pi]$ で、
$$
R=A\exp(\theta F_3)A^{-1}\quad\quad(*)
$$
を満たすものが取れる。ここで必要ならば $\exp(\theta F_3)$に両側から、$A$に右から、
$$
\begin{pmatrix}0&1&0\\1&0&0\\0&0&1\end{pmatrix}
$$
を掛け、さらに必要ならば$A$に右から、
$$
\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&-1\end{pmatrix}
$$
を掛けることで、任意の $R\in {\rm SO}(3)$ に対し、$(*)$ を満たす $A\in {\rm SO}(3)$, $\theta\in [0,\pi]$ が取れることが分かる。よって類関数の定義（'''定義4.14'''）より、任意の $f\in ZC({\rm SO}(3))$、任意の $R\in {\rm SO}(3)$ に対し、$f(R)=\widehat{f}(\theta)$ を満たす $\theta\in [0,\pi]$ が取れるので、
$$
ZC({\rm SO}(3))\ni f\mapsto \widehat{f}\in C([0,\pi])\quad\quad(**)
$$
は $\sup$ ノルムに関して等長線形写像である。今、任意の $l\in \mathbb{Z}_+$ に対し $(1)$ の証明で構成した $\mathcal{H}_l(S_2)$ の基底 $v_0^l,v_1^l,\ldots,v_{2l}^l$ を考え、これを正規化したものを $u_0^l,u_1^l,\ldots,u_{2l}^l\in \mathcal{H}_l(S_2)$ とおく。これらは自己共役作用素 $id\rho_l(F_3)$ の相異なる固有値 $l,l-1,\ldots,-l$ に対する単位固有ベクトルであるので $\mathcal{H}_l(S_2)$ のCONSであり、したがって、指標の定義（'''定義4.15'''）より、
$$
\begin{aligned}
\widehat{\gamma_{[\rho_l]}}(\theta)&=\gamma_{[\rho_l]}(\exp(\theta F_3))={\rm Tr}(\rho_l(\exp(\theta F_3)))={\rm Tr}(\exp(\theta d\rho_l(F_3)))\\
&=\sum_{j=0}^{2l}(u_j^l\mid\exp(\theta d\rho_l(F_3))u_j^l)
=\sum_{j=0}^{2l}(u_j^l\mid \exp(i\theta (-id\rho_l(F_3)))u_j^l)\\
&=\sum_{j=0}^{2l}\exp(i\theta(-(l-j)))=\sum_{j=-l}^{l}\exp(ij\theta)
=1+2\sum_{j=1}^{l}\cos(j\theta)\quad(\forall \theta\in[0,\pi])
\end{aligned}
$$
が成り立つ。よって、
$$
\widehat{\gamma_{[\rho_l]}}(\theta)=1+2\sum_{j=1}^{l}\cos(j\theta)\quad(\forall l\in \mathbb{Z}_+,\forall \theta\in [0,\pi])\quad\quad(***)
$$
である。ここでStone-Weierstrassの定理（[[測度と積分7：局所コンパクトHausdorff空間上のRadon測度]]の'''定理35.4'''）より $C([0,\pi])$ において ${\rm span}\{\cos(j\theta)\}_{j\in \mathbb{Z}_+}$ は稠密であり、$(***)$ より、
$$
{\rm span}\{\widehat{\gamma_{[\rho_l]}}\}_{l\in \mathbb{Z}_+}={\rm span}\{\cos(j\theta)\}_{j\in \mathbb{Z}_+}
$$
であるから、$C([0,\pi])$ において ${\rm span}\{\widehat{\gamma_{[\rho_l]}}\}_{l\in \mathbb{Z}_+}$ は稠密である。よって $(**)$ が等長線形写像であることから、$ZC({\rm SO}(3))$ において ${\rm span}\{\gamma_{\rho_l}\}_{l\in \mathbb{Z}_+}$ は稠密である。ゆえに $\widehat{{\rm SO}(3)}=\{[\rho_l]\}_{l\in \mathbb{Z}_+}$ が成り立つ。
{{end|proof}}

===定義8.9===
任意の $l\in \mathbb{Z}_+$ に対し、$\mathbb{C}^2$ 上の $l$ 次の多項式を球面 $S_3=\{(z_1,z_2)\in \mathbb{C}^2:\lvert (z_1,z_2)\rvert=1\}\subset \mathbb{C}^2$ 上に制限したもの全体を $\mathcal{A}(S_3)$ と表す。

'''命題8.7'''より、球面 $S_3=\{z\in \mathbb{C}^2:\lvert z\rvert=1\}=\{x\in \mathbb{R}^4:\lvert x\rvert=1\}$ はコンパクト群 ${\rm SU}(2)$ の等質空間であり、$S_3$ の面積測度 $\mu_{S_3}\colon\mathcal{B}_{S_3}\rightarrow [0,\infty)$ は ${\rm SU}(2)$ 不変測度である。そこで、
$$
\rho\colon {\rm SU}(2)\rightarrow \mathbb{U}(L^2(S_3,\mu_{S_3})),\quad
\rho(U)f(z)=f(U^{-1}z)\quad(\forall f\in L^2(S_3,\mu_{S_3}),\forall U\in {\rm SU}(2),\forall z\in S_3)
$$
を ${\rm SU}(2)$ の $L^2(S_3,\mu_{S_3})$ 上への正則表現（'''定義3.25'''）とする。このとき、

===定理8.10（${\rm SU}(2)$ の球面 $L^2$ 空間上への正則表現と既約表現の完全分類）===
次が成り立つ。
*$(1)$　各 $l\in \mathbb{Z}_+$ に対し $\mathcal{A}_l(S_3)$ は $\rho$ 不変であり、$\rho$ の $\mathcal{A}_l(S_3)$ 上への制限 $\rho_l\colon {\rm SU}(2)\rightarrow \mathbb{U}(\mathcal{A}_l(S_3))$ は既約である。
*$(2)$　${\rm SU}(2)$ の任意の既約なユニタリ表現は、ある $l\in \mathbb{Z}_+$ に対し $\rho_l$ とユニタリ同値である。
*$(3)$　任意の $l\in \mathbb{Z}_+$ に対し $\rho$ における $[\rho_l]$ の重複度（'''定義4.10'''）は $l+1$ であり、$\rho$ における $[\rho_l]$ 成分（'''定義4.8'''）は $\mathcal{H}_l(S_3)$（$l$ 次の球面調和関数空間）である。
{{begin|proof}}
*$(1)$　各 $l\in \mathbb{Z}_+$ に対し $\mathcal{A}_l(S_3)$（'''定義8.9'''）が $\rho$ 不変であることは自明である。任意の $l\in \mathbb{Z}_+$ を取り固定し、$(E_1,E_2,E_3)$ を ${\rm SU}(2)$ の生成子（'''定義8.1'''）とする。$\mathcal{A}_l(S_3)$ は有限次元であるから、$\rho_l\colon {\rm SU}(2)\rightarrow \mathbb{U}(\mathcal{A}_l(S_3))$ の微分表現（'''定義7.18'''）$d\rho_l$ に対し、$d\rho_l(E)$ $(\forall E\in {\rm Lie}({\rm SU}(2)))$ は $\mathcal{A}_l(S_3)$ 上で定義され、任意の $u\in \mathcal{A}_l(S_3)$ に対し、'''命題8.2'''より、
$$
d\rho_l(E_1)u=\lim_{\theta\rightarrow0}\frac{1}{\theta}(\rho(\exp(\theta E_1))-1)u
=\lim_{\theta\rightarrow0}\frac{1}{\theta}(u\circ \exp(-\theta E_1)-u)=\frac{i}{2}\left(z_2\frac{\partial u}{\partial z_1}+z_1\frac{\partial u}{\partial z_2}\right)
$$
が成り立つ。ただし $(z_1,z_2)$ は $\mathbb{C}^2$ の標準座標である。同様にして任意の $u\in \mathcal{A}_l(S_3)$ に対し、
$$
d\rho_l(E_2)u=\frac{1}{2}\left(z_2\frac{\partial u}{\partial z_1}-z_1\frac{\partial u}{\partial z_2}\right),\quad
d\rho_l(E_3)u=\frac{i}{2}\left(z_1\frac{\partial u}{\partial z_1}-z_2\frac{\partial u}{\partial z_2}\right)
$$
が成り立つことが分かる。そこで $v^l_0\in \mathcal{A}_l(S_3)$ を、
$$
v^l_0(z_1,z_2)\colon =z_2^l
$$
と定義すると、
$$
(id\rho_l(E_1)-d\rho_l(E_2))v^l_0=0,\quad id\rho_l(E_3)v^l_0=\frac{l}{2}v^l_0
$$
が成り立つので、'''定理8.3'''より、
$$
v^l_j\colon=(id\rho_l(E_1)+d\rho_l(E_2))^jv^l_0\in \mathcal{A}_l(S_3)\quad(j=0,1,\ldots,l)
$$
とおけば、$v^l_0,v^l_1,\ldots,v^l_l$ はそれぞれ自己共役作用素 $id\rho_l(E_3)$ の固有値 $\frac{l}{2},\frac{l}{2}-1,\ldots,-\frac{l}{2}$ に対する固有ベクトルである。ここで $\mathcal{A}_l(S_3)$ の'''定義8.9'''より明らかに、
$$
\dim(\mathcal{A}_l(S_3))=l+1
$$
であるから、$v^l_0,v^l_1,\ldots,v^l_l$ は $\mathcal{A}(S_3)$ の基底である。よって'''定理8.3'''より $\rho_l$ は既約である。
*$(2)$　コンパクト群 ${\rm SU}(2)$ の双対空間 $\widehat{{\rm SU}(2)}$（既約なユニタリ表現の同値類全体（'''定義4.7'''））が $\{[\rho_l]\}_{l\in \mathbb{Z}_+}$ と一致することを示せばよく、そのためにはPeter-Weylの定理3（'''定理4.17'''）より、対応する ${\rm SU}(2)$ の指標の族 $\{\gamma_{[\rho_l]}\}_{l\in \mathbb{Z}_+}$ が $L^2$ 類関数空間 $ZL^2({\rm SU}(2))$ のCONSであることを示せばよい。そしてそのためには、$ZL^2({\rm SU}(2))$ において連続類関数空間 $ZC({\rm SU}(2))$ が稠密であること（'''系4.18'''）から、${\rm span}\{\gamma_{[\rho_l]}\}_{l\in \mathbb{Z}_+}\subset ZC({\rm SU}(2))$ が $ZC({\rm SU}(2))$ において $\sup$ ノルムで稠密であることを示せばよい。任意の $f\in ZC({\rm SU}(2))$ に対し、$\widehat{f}\in C([0,2\pi])$ を、
$$
\widehat{f}(\theta)\colon=f(\exp(\theta E_3))\quad(\forall \theta\in [0,2\pi])
$$
と定義する。任意の $U\in {\rm SU}(2)$ に対し、'''命題8.2'''より、$V\in {\rm U}(2)$ と $\theta\in [-2\pi,2\pi]$ で、
$$
U=V\exp(\theta E_3)V^{-1}\quad\quad(*)
$$
を満たすものが取れる。ここで必要ならば $\exp(\theta E_3)$ に両側から、Vに右から
$$
\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}
$$
を掛け、さらに必要ならば$V$に右から
$$
\begin{pmatrix}1&0\\0&{\rm det}(V)^{-1}\end{pmatrix}
$$
を掛けることで、任意の $U\in {\rm SU}(2)$ に対し、$(*)$ を満たす $V\in {\rm SU}(2)$, $\theta\in [0,2\pi]$ が取れることが分かる。よって類関数の定義（'''定義4.14'''）より、任意の $f\in ZC({\rm SU}(2))$、任意の $U\in {\rm SU}(2)$ に対し、$f(U)=\widehat{f}(\theta)$ を満たす $\theta\in [0,2\pi]$ が取れるので、
$$
ZC({\rm SU}(2))\ni f\mapsto \widehat{f}\in C([0,2\pi])\quad\quad(**)
$$
は $\sup$ ノルムに関して等長線形写像である。今、任意の $l\in \mathbb{Z}_+$ に対し $(1)$ の証明で構成した $\mathcal{A}_l(S_3)$ の基底 $v_0^l,v_1^l,\ldots,v_{l}^l$ を考え、これを正規化したものを $u_0^l,u_1^l,\ldots,u_{l}^l\in \mathcal{A}_l(S_3)$ とおく。これらは自己共役作用素 $id\rho_l(E_3)$ の相異なる固有値 $\frac{l}{2},\frac{l}{2}-1,\ldots,-\frac{l}{2}$ に対する単位固有ベクトルであるので $\mathcal{A}_l(S_3)$ のCONSであり、したがって、指標の定義（'''定義4.15'''）より、
$$
\begin{aligned}
\widehat{\gamma_{[\rho_l]}}(\theta)&=\gamma_{[\rho_l]}(\exp(\theta E_3))={\rm Tr}(\rho_l(\exp(\theta E_3)))={\rm Tr}(\exp(\theta d\rho_l(E_3)))\\
&=\sum_{j=0}^{l}(u_j^l\mid\exp(\theta d\rho_l(E_3))u_j^l)
=\sum_{j=0}^{l}(u_j^l\mid \exp(i\theta (-id\rho_l(E_3)))u_j^l)\\
&=\sum_{j=0}^{l}\exp\left(-i\theta\left(\frac{l}{2}-j\right)\right)
=\begin{cases}2\left(\cos\left(\frac{1}{2}\theta\right)+\cos\left(\frac{3}{2}\theta\right)+\cdots+\cos\left(\frac{l}{2}\theta\right)\right)\quad&(\text{$l$は奇数})\\
1+2\left(\cos(\theta)+\cos(2\theta)+\cdots+\cos\left(\frac{l}{2}\theta\right)\right)&(\text{$l$は偶数})
\end{cases}
\quad(\forall \theta\in[0,2\pi])
\end{aligned}
$$
が成り立つ。よって、
$$
\widehat{\gamma_{[\rho_l]}}(\theta)=\begin{cases}2\left(\cos\left(\frac{1}{2}\theta\right)+\cos\left(\frac{3}{2}\theta\right)+\cdots+\cos\left(\frac{l}{2}\theta\right)\right)\quad&(\text{$l$は奇数})\\
1+2\left(\cos(\theta)+\cos(2\theta)+\cdots+\cos\left(\frac{l}{2}\theta\right)\right)&(\text{$l$は偶数})
\end{cases}
\quad(\forall l\in \mathbb{Z}_+,\forall \theta\in [0,2\pi])\quad\quad(***)
$$
である。ここでStone-Weierstrassの定理（[[測度と積分7：局所コンパクトHausdorff空間上のRadon測度]]の'''定理35.4'''）より $C([0,2\pi])$ において ${\rm span}\{\cos(\frac{j}{2}\theta)\}_{j\in \mathbb{Z}_+}$ は稠密であり、$(***)$ より、
$$
{\rm span}\{\widehat{\gamma_{[\rho_l]}}\}_{l\in \mathbb{Z}_+}={\rm span}\left\{\cos\left(\frac{j}{2}\theta\right)\right\}_{j\in \mathbb{Z}_+}
$$
であるから、$C([0,2\pi])$ において ${\rm span}\{\widehat{\gamma_{[\rho_l]}}\}_{l\in \mathbb{Z}_+}$ は稠密である。よって $(**)$ が等長線形写像であることから、$ZC({\rm SU}(2))$ において ${\rm span}\{\gamma_{\rho_l}\}_{l\in \mathbb{Z}_+}$ は稠密である。ゆえに $\widehat{{\rm SU}(2)}=\{[\rho_l]\}_{l\in \mathbb{Z}_+}$ が成り立つ。
*$(3)$　$e_1=(1,0)\in \mathbb{C}^2$ とおく。任意の $l\in \mathbb{Z}_+$ を取る。$e_1\in S_3$ における ${\rm SU}(2)$ の固定部分群は $\{1\}$ であるから、'''定理4.20'''より、$\rho$ における $[\rho_l]$ の重複度は $\rho_l$ の表現空間そのものの次元 $\dim(\mathcal{A}_l(S_3))=l+1$ である。$(2)$ における $\mathcal{A}_l(S_3)$ のCONS $u^l_0,u^l_1,\ldots,u^l_l$ を取り、任意の $v\in \mathcal{A}_l(S_3)$ に対し $T_j^lv\in C(S_3)$ を、
$$
T_j^lv\colon S_3\ni Ue_1\mapsto (\rho_l(U)u_j^l\mid v)\in \mathbb{C}\quad\quad(****)
$$
と定義し、線形作用素
$$
T^l_j\colon\mathcal{A}_l(S_3)\ni v\mapsto T_j^lv\in L^2(S_3,\mu_{S_3})
$$
を定義する。このとき'''定理4.20'''より $\rho$ における $[\rho_l]$ 成分は、
$$
\bigoplus_{j=0}^{l}{\rm Ran}(T_j^l)
$$
である。$(1)$ の証明より各 $j\in \{0,1,\ldots,l\}$ に対し、$u_j^l$ はあるスカラー $c_j^l\in \mathbb{C}$ に対し、
$$
u_j^l(z_1,z_2)=c_j^lz_1^jz_2^{l-j}\quad(\forall (z_1,z_2)\in S_3\subset \mathbb{C}^2)
$$
と表せることが分かる。よって任意の $v\in \mathcal{A}_l(S_3)$、任意の $(a,b)\in S_3\subset \mathbb{C}^2$ に対し、$(****)$ より、
$$
\overline{T_j^lv(a,b)}=c_j^l\int_{S_3}(az_1+bz_2)^j(-\overline{b}z_1+\overline{a}z_2)^{l-j}\overline{v(z_1,z_2)}d\mu_{S_3}(z_1,z_2)\quad\quad(*****)
$$
である。ここで $a=x_1+ix_2$, $b=x_3+ix_4$ $(x_1,x_2,x_3,x_4\in \mathbb{R})$ とおけば、
$$
\begin{pmatrix}x_1\\x_2\\x_3\\x_4\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\frac{1}{2}&\frac{1}{2}&0&0\\\frac{1}{2i}&-\frac{1}{2i}&0&0\\0&0&\frac{1}{2}&\frac{1}{2}\\0&0&\frac{1}{2i}&-\frac{1}{2i}\end{pmatrix}\begin{pmatrix}a\\\overline{a}\\b\\\overline{b}\end{pmatrix}
$$
であるから、
$$
\begin{aligned}
&\frac{\partial}{\partial a}=\frac{1}{2}\left(\frac{\partial}{\partial x_1}-i\frac{\partial}{\partial x_2}\right),\quad
\frac{\partial}{\partial \overline{a}}=\frac{1}{2}\left(\frac{\partial}{\partial x_1}+i\frac{\partial}{\partial x_2}\right),\\
&\frac{\partial}{\partial b}=\frac{1}{2}\left(\frac{\partial}{\partial x_3}-i\frac{\partial}{\partial x_4}\right),\quad
\frac{\partial}{\partial \overline{b}}=\frac{1}{2}\left(\frac{\partial}{\partial x_3}+i\frac{\partial}{\partial x_4}\right).
\end{aligned}
$$
したがってラプラシアンは、
$$
\Delta=\sum_{j=1}^{4}\frac{\partial^2}{\partial x_j^2}=\frac{1}{4}\left(\frac{\partial^2}{\partial \overline{a}\partial a}+\frac{\partial^2}{\partial \overline{b}\partial b}\right)
$$
と表せる。よって $(*****)$ とLebesgue優収束定理より、
$$
\Delta T^l_jv=0\quad(\forall v\in \mathcal{A}_l(S_3),j=0,1,\ldots,l)
$$
であるから、
$$
\bigoplus_{j=0}^{l}{\rm Ran}(T_j^l)\subset \mathcal{H}_l(S_3)\quad(\forall l\in \mathbb{Z}_+)\quad\quad(******)
$$
が成り立つ。ここで'''定理4.20'''より、
$$
L^2(S_3,\mu_{S_3})=\bigoplus_{l\in\mathbb{Z}_+}\bigoplus_{j=0}^{l}{\rm Ran}(T_j^l)
$$
であり、'''定理8.5'''の $(2)$ より、
$$
L^2(S_3,\mu_{S_3})=\bigoplus_{l\in \mathbb{Z}_+}\mathcal{H}_l(S_3)
$$
であるから、$(******)$ より、
$$
\bigoplus_{j=0}^{l}{\rm Ran}(T^l_j)=\mathcal{H}_l(S_3)\quad(\forall l\in \mathbb{Z}_+)
$$
が成り立つ。ゆえに任意の $l\in \mathbb{Z}_+$ に対し $\rho$ における $[\rho_l]$ 成分は $\mathcal{H}_l(S_3)$ である。
{{end|proof}}

==関連記事==
*[[入門テキスト「位相空間論」]]
*[[ネットによる位相空間論]]
*[[入門テキスト「測度と積分」]]
*[[入門テキスト「位相線形空間」]]
*[[Banach環とC*-環のスペクトル理論]]
*[[Hilbert空間上の作用素論]]
*[[量子力学の数学的構造に関わる関数解析]]

==参考文献==
*[https://amzn.to/3duUDWL Walter Rudin「Real And Complex Analysis」]
*[https://amzn.to/32sboLW Walter Rudin「Functional Analysis」]
*[https://amzn.to/3sEpQLv Gerald Folland「A Course in Abstract Harmonic Analysis」]
* [https://www.amazon.co.jp/dp/0821842420 Dana P. Williams「Crossed Products of C*- Algebras」]
*[https://amzn.to/dp/0128141220 Gert Pedersen「$C^*$-Algebras and Their Automorphism Groups 」]
*[https://amzn.to/3sx3cEH Brian Hall「Quantum Theory for Mathematicians」]
*[https://amzn.to/dp/9812835229　Franco Strocchi「An Introduction to the Mathematical Structure of Quantum Mechanics: A Short Course for Mathematicians 」]
*[https://amzn.to/3giUIi1　新井仁之「新・フーリエ解析と関数解析学」]
*[https://amzn.to/dp/4563003298　杉浦光夫、山内恭彦「連続群論入門」 ]
*[https://amzn.to/2QdWrdK 新井朝雄「量子現象の数理」]

==脚注==

微分方程式の初歩

2026-06-23T03:13:29Z

Kataoka: /* 命題4.7（最大値の原理） */

本稿においては、[[関数解析の基礎]]（主に[[入門テキスト「測度と積分」]]、[[超関数とFourier変換、Sobolev空間]]、[[Hilbert空間上の作用素論]]、[[ベクトル解析]]など）の内容を用いて、特に物理学の初歩的なところで現れる微分方程式の定性的側面について、数学的に厳密な裏付けを与えることを念頭に置き、微分方程式の初歩について論じる。（偏微分方程式論のより詳しい理論展開については[[Hölder空間の基本事項]]やこれに関連する記事を参照されたい。） 
具体的に扱う内容について述べる。まず第 $1$ 節では常微分方程式の初期値問題の解の一意性と解の初期値に対する滑らかさについて論じる。（なお、第 $1$ 節の内容は第 $2$ 節以降を読むのに特に必要ではない。） 
第 $2$ 節では、第 $3$ 節以降で境界条件を扱う上で重要な役割を演じるGaussの発散定理（Greenの積分公式）のSobolev空間版の証明を行う。 
第 $3$ 節ではEuclid空間の領域 $\Omega$ におけるDirichlet-Neumann混合境界条件付き一様楕円型偏微分作用素（主にラプラシアン）がHilbert空間 $L^2(\Omega)$ 上の非有界自己共役作用素として扱えることとそのスペクトル特性、及びそれに関する楕円型正則性定理を示す。 
第 $4$ 節では、調和関数の球面平均、球平均の性質や最大値の原理について述べる。 
第 $5$ 節では、第 $3$ 節、第 $4$ 節の内容を用いて、Laplace-Poisson方程式の境界値問題の解の一意性や正則性、Green関数による表現公式について述べる。 
第 $6$ 節では、第 $3$ 節の内容を用いて境界条件付き波動方程式をHilbert空間上の作用素論の枠組みで論じ、その一般解がラプラシアンのスペクトル測度による積分（Borel汎関数計算（[[Hilbert空間上の作用素論]]の第 $8$ 節を参照））で表せることを示す。そしてその系として有界領域における一般解がラプラシアンの各離散固有値（モード）ごとの解の重ね合わせであることの導出や、$\mathbb{R}^3$ における波動方程式の一般解が平面波の波数ベクトルに関する積分と非斉次項による遅延解の和であることの導出を行う。 
本稿を通して $\mathbb{N}=\{1,2,3,\ldots\}$, $\mathbb{Z}_+=\{0,1,2,3,\ldots\}$ とし、$\mathbb{C}$ 上のHilbert空間の内積は第二変数に関して線形とする。また $a\in \mathbb{R}^N$ と $r\in (0,\infty)$ に対し $B(a,r)=\{x\in \mathbb{R}^N:\lvert x-a\rvert<r\}$, $\overline{B(a,r)}=\{x\in \mathbb{R}^N:\lvert x-a\rvert\leq r\}$ とする。

==1. 常微分方程式の初期値問題の解の一意存在と初期値に対する滑らかさ==

===定義1.1（常微分方程式の初期値問題）===
$J\subset \mathbb{R}$ を開区間、$D\subset \mathbb{R}^N$ を開集合、
$$
f(t,x)\colon J\times D\ni (t,x)\mapsto f(t,x)\in \mathbb{R}^N
$$
を連続関数とする。$J$ に含まれる区間 $I$ 上で定義された $C^1$ 級関数 $x(t)\colon I\ni t\mapsto x(t)\in D$ で、
$$
\frac{d}{dt}x(t)=f(t,x(t))\quad(\forall t\in I)
$$
を満たすものを常微分方程式
$$
\frac{dx}{dt}=f(t,x)\quad\quad(*)
$$
の局所解と言う。また与えられた $(\tau,\xi)\in J\times D$ に対し、常微分方程式 $(*)$ の局所解 $x(t)\colon I\ni t\mapsto x(t)\in D$ で $\tau\in I$, $x(\tau)=\xi$ を満たすものを常微分方程式の初期値問題
$$
\frac{dx}{dt}=f(t,x),\quad x(\tau)=\xi
$$
の局所解と言う。

===定義1.2（Lipschitz連続性、局所Lipschitz連続性）===
$\mathbb{R}^M\times \mathbb{R}^N$ の任意の元を $(t,x)\in\mathbb{R}^M\times \mathbb{R}^N$ と表すこととする。$U\subset \mathbb{R}^M\times \mathbb{R}^N$ 上で定義された連続関数 $f(t,x)\colon U\ni (t,x)\mapsto f(t,x)\in \mathbb{R}^N$ が $x$ に関してLipschitz連続であるとは、ある $L\in [0,\infty)$ が存在し、
$$
\lvert f(t,x)-f(t,y)\rvert\leq L\lvert x-y\rvert\quad(\forall (t,x),(t,y)\in U)
$$
が成り立つことを言う。 
$U\subset \mathbb{R}^M\times \mathbb{R}^N$ を開集合とする。連続関数 $f(t,x)\colon U\ni (t,x)\mapsto f(t,x)\in \mathbb{R}^N$ が $x$ に関して局所Lipschitz連続であるとは、任意の $(t_0,x_0)\in U$ に対し $(t_0,x_0)$ の近傍 $U_0\subset U$ が存在し、$f$ の $U_0$ 上への制限 $f\colon U_0\ni (t,x)\mapsto f(t,x)\in \mathbb{R}^N$ がLipschitz連続であることを言う。

===命題1.3（局所Lipschitz連続な関数の典型例）===
$\mathbb{R}^M\times \mathbb{R}^N$ の任意の元を $(t,x)\in\mathbb{R}^M\times \mathbb{R}^N$ と表すこととする。開集合 $U\subset \mathbb{R}^M\times \mathbb{R}^N$ 上で定義された連続関数 $f(t,x)\colon U\ni (t,x)\mapsto f(t,x)\in\mathbb{R}^N$ が $x$ に関して $1$ 階の偏導関数
$$
\frac{\partial f}{\partial x}(t,x)\colon U\ni (t,x)\mapsto \left(\frac{\partial f}{\partial x_1}(t,x),\ldots,\frac{\partial f}{\partial x_N}(t,x)\right)\in \mathbb{M}_{N\times N}(\mathbb{R})\quad\quad(*)
$$
を持ち、これが連続であるとする。このとき $f(t,x)\colon U\ni (t,x)\mapsto f(t,x)\in \mathbb{R}^N$ は $x$ に関して局所Lipschitz連続である。
{{begin|proof}}
任意の $(t_0,x_0)\in U$ を取り、$(t_0,x_0)$ を中心とし $U$ に含まれる閉方体（有界閉区間の直積）$K$ を取る。$K$ はコンパクトであり $(*)$ は連続であるから、
$$
L\colon=\underset{(t,x)\in K}{\rm max}\left\lVert \frac{\partial f}{\partial x}(t,x)\right\rVert\in [0,\infty)
$$
が存在する。任意の $(t,x),(t,y)\in K$ に対し、微積分学の基本定理より、
$$
f(t,y)-f(t,x)=\int_{0}^{1}\left(\frac{\partial f}{\partial x}(t, x+\theta(y-x))\right)(y-x)d\theta
$$
であり、$(t,x+\theta(y-x))\in K$ $(\forall \theta\in [0,1])$ であるから、
$$
\begin{aligned}
\lvert f(t,y)-f(t,x)\rvert&\leq \int_{0}^{1}\left\lvert \left(\frac{\partial f}{\partial x}(t, x+\theta(y-x))\right)(y-x)\right\rvert d\theta\\
&\leq \int_{0}^{1}\left\lVert \frac{\partial f}{\partial x}(t, x+\theta(y-x))\right\rVert\lvert y-x\rvert d\theta\\
&\leq L\lvert y-x\rvert
\end{aligned}
$$
が成り立つ。よって $f(t,x)\colon U\ni (t,x)\mapsto f(t,x)\in \mathbb{R}^N$ は局所Lipschitz連続である。
{{end|proof}}

===命題1.4（Gronwallの不等式）===
$I\subset \mathbb{R}$ を区間、$u(t)\colon I\rightarrow [0,\infty)$ を連続関数とし、ある $C,L\in [0,\infty)$ と $\tau\in I$ に対し、
$$
u(t)\leq C+L\left\lvert \int_{\tau}^{t}u(s)ds\right\rvert\quad(\forall t\in I)
$$
が成り立つと仮定する。このとき、
$$
u(t)\leq Ce^{L\lvert t-\tau\rvert}\quad(\forall t\in I)
$$
が成り立つ。
{{begin|proof}}
連続関数 $v(t)\colon I\rightarrow [0,\infty)$ を、
$$
v(t)\colon=C+L\left\lvert \int_{\tau}^{t}u(s)ds\right\rvert\quad(\forall t\in I)
$$
として定義すると、$u(t)\leq v(t)$ $(\forall t\in I)$ であり、
$$
\frac{d}{dt}v(t)=Lu(t)\leq Lv(t)\quad(\forall t>\tau),
$$
$$
\frac{d}{dt}v(t)=-Lu(t)\geq -Lv(t)\quad(\forall t<\tau)
$$
である。よって連続関数 $w(t)\colon I\rightarrow [0,\infty)$ を、
$$
w(t)\colon=v(t)e^{-L\lvert t-\tau\rvert}\quad(\forall t\in I)
$$
として定義すると、
$$
\frac{d}{dt}w(t)=(Lu(t)-Lv(t))e^{-L(t-\tau)}\leq0\quad(\forall t>\tau),
$$
$$
\frac{d}{dt}w(t)=(-Lu(t)+Lv(t))e^{L(t-\tau)}\geq0\quad(\forall t<\tau)
$$
であるから、平均値の定理より $w(t)\colon I\rightarrow [0,\infty)$ は $I\cap (-\infty,\tau]$ において単調増加であり、$I\cap [\tau,\infty)$ において単調減少である。ゆえに、
$$
v(t)e^{-L\lvert t-\tau\rvert}=w(t)\leq w(\tau)=v(\tau)=C\quad(\forall t\in I)
$$
であるから、
$$
u(t)\leq v(t)\leq Ce^{L\lvert t-\tau\rvert}\quad(\forall t\in I)
$$
が成り立つ。
{{end|proof}}

===補題1.5（常微分方程式の初期値問題の局所解の存在と一意性）===
$J\subset \mathbb{R}$ を開区間、$D\subset \mathbb{R}^N$ を開集合とし、連続関数 $f(t,x)\colon J\times D\ni (t,x)\mapsto f(t,x)\in \mathbb{R}^N$ が $x$ に関して局所Lipschitz連続であるとする。このとき任意の $(\tau,\xi)\in J\times D$ に対し、常微分方程式の初期値問題
$$
\frac{dx}{dt}=f(t,x),\quad x(\tau)=\xi\quad\quad(*)
$$
の局所解（'''定義1.1'''）で $\tau$ を定義域区間の内部に含むものが存在する。また $\tau$ を定義域区間の内部に含む $(*)$ の任意の2つの局所解は $\tau$ を内部に含むある区間上で一致する。
{{begin|proof}}
$f(t,x)\colon J\times D\ni (t,x)\mapsto f(t,x)\in \mathbb{R}^N$ は $x$ に関して局所Lipischitz連続であるから、十分小さい $\delta\in (0,\infty)$ を取れば、ある $L\in [0,\infty)$ に対し、
$$
[\tau-\delta,\tau+\delta]\subset J,\quad \overline{B(\xi,\delta)}=\{x\in \mathbb{R}^N:\lvert x-\xi\rvert\leq\delta\}\subset D,
$$
$$
\lvert f(t,y)-f(t,x)\rvert\leq L\lvert x-y\rvert\quad(\forall (t,x),(t,y)\in [\tau-\delta,\tau+\delta]\times \overline{B(\xi,\delta)})\quad\quad(**)
$$
が成り立つ。$[\tau-\delta,\tau+\delta]\times \overline{B(\xi,\delta)}$ はコンパクト集合であり、$f$ は連続であるから、ある $M\in (0,\infty)$ に対し、
$$
\lvert f(t,x)\rvert\leq M\quad(\forall (t,x)\in [\tau-\delta,\tau+\delta]\times \overline{B(\xi,\delta)})\quad\quad(***)
$$
が成り立つ。
$$
\rho\colon={\rm min}\left(\delta,\frac{\delta}{M}\right),\quad I\colon=[\tau-\rho,\tau+\rho]\subset [\tau-\delta,\tau+\delta]\subset J\quad\quad(****)
$$
とおく。そして、
$$
x_0(t)\colon I\rightarrow\overline{B(\xi,\delta)},\quad x_0(t)\colon=\xi\quad(\forall t\in I)
$$
と定義する。今、ある $n\in \mathbb{Z}_+$ に対し連続関数 $x_n(t)\colon I\rightarrow \overline{B(\xi,\delta)}$ が定義されたとする。このとき連続関数
$$
x_{n+1}(t)\colon I\ni t\mapsto \xi+\int_{\tau}^{t}f(s,x_n(s))ds\in \mathbb{R}^N
$$
を定義すれば、$(***),(****)$ より $x_{n+1}(t)\in \overline{B(\xi,\delta)}$ $(\forall t\in I)$ である。よって帰納法より $I\rightarrow\overline{B(\xi,\delta)}$ の連続関数の列 $(x_n)_{n\in\mathbb{N}}$ で、
$$
x_{n+1}(t)=\xi+\int_{\tau}^{t}f(s,x_n(s))ds\quad(\forall t\in I,\forall n\in \mathbb{Z}_+)\quad\quad(*****)
$$
を満たすものが定義される。$(**)$ より、
$$
\begin{aligned}
&\lvert x_{n+1}(t)-x_n(t)\rvert\leq \left\lvert \int_{\tau}^{t}\lvert f(s,x_n(s))-f(s,x_{n-1}(s))\rvert ds\right\rvert\\
&\leq L\left\lvert\int_{\tau}^{t}\lvert x_n(s)-x_{n-1}(s)\rvert ds\right\rvert\quad(\forall n\in \mathbb{N},\forall t\in I)
\end{aligned}
$$
であり、
$$
\lvert x_1(t)-x_0(t)\rvert\leq M\lvert t-\tau\rvert\quad(\forall t\in I)
$$
であるから、帰納法より、
$$
\lvert x_n(t)-x_{n-1}(t)\rvert\leq \frac{M}{L}\frac{(L\lvert t-\tau\rvert)^n}{n!}\leq \frac{M}{L}\frac{(L\rho)^n}{n!}\quad(\forall n\in\mathbb{N},\forall t\in I)
$$
が成り立つことが分かる。よって $\sup$ ノルムに関して、
$$
\sum_{n\in\mathbb{N}}\lVert x_n-x_{n-1}\rVert\leq \sum_{n\in\mathbb{N}}\frac{M}{L}\frac{(L\rho)^n}{n!}\leq\frac{M}{L}e^{L\rho}<\infty
$$
となるから、連続関数の列 $(x_n)_{n\in\mathbb{N}}$ は一様Cauchy条件を満たすので、ある連続関数 $x(t)\colon I\rightarrow \overline{B(\xi,\delta)}$ に一様収束する。そして $(**)$ より、
$$
\lvert f(t,x(t))-f(t,x_n(t))\rvert \leq L\lvert x(t)-x_n(t)\rvert\quad(\forall n\in\mathbb{N},\forall t\in I)
$$
であるから、
$$
\int_{\tau}^{t}f(s,x(s))ds=\lim_{n\rightarrow\infty}\int_{\tau}^{t}f(s,x_n(s))ds\quad(\forall t\in I)
$$
が成り立つ。よって $(*****)$ で $n\rightarrow\infty$ とすれば、
$$
x(t)=\xi+\int_{\tau}^{t}f(s,x(s))ds\quad(\forall t\in I)
$$
を得る。$I\ni s\mapsto f(s,x(s))\in \mathbb{R}^N$ の連続性より $x(t)\colon I\rightarrow \overline{B(\xi,\delta)}\subset D$ は $C^1$ 級であり、
$$
\frac{d}{dt}x(t)=f(t,x(t))\quad(\forall t\in I),\quad x(\tau)=\xi
$$
であるから、$x(t)\colon I\rightarrow D$ は常微分方程式の初期値問題 $(*)$ の局所解である。 
今、$y_j\colon I_j\rightarrow D$ $(j=1,2)$ が常微分方程式の初期値問題 $(*)$ の局所解で $\tau$ が $I_1,I_2$ の内部に属するとする。このとき $y_1,y_2$ が $\tau$ を内部に含むある区間上で一致することを示す。$\tau$ を内部に含む十分小さい区間 $I_0\subset I_1\cap I_2$ を取れば、$y_1,y_2$ の連続性より、
$$
I_0\subset [\tau-\delta,\tau+\delta],\quad y_1(t),y_2(t)\in \overline{B(\xi,\delta)}\quad(\forall t\in I_0)\quad\quad(******)
$$
となる。微積分学の基本定理より、
$$
y_j(t)=\xi+\int_{\tau}^{t}f(s,y_j(s))ds\quad(\forall t\in I_0,j=1,2)
$$
であるから、$(******), (**)$ より、
$$
\lvert y_1(t)-y_2(t)\rvert\leq \left\lvert \int_{\tau}^{t}\lvert f(s,y_1(s))-f(s,y_2(s))\rvert ds\right\rvert
\leq L\left\lvert \int_{\tau}^{t}\lvert y_1(s)-y_2(s)\rvert ds\right\rvert\quad(\forall t\in I_0)
$$
となる。よってGronwallの不等式（'''命題1.4'''）より $y_1(t)=y_2(t)$ $(\forall t\in I_0)$ が成り立つ。
{{end|proof}}

===定理1.6（常微分方程式の初期値問題の解の一意存在）===
$J\subset \mathbb{R}$ を開区間、$D\subset \mathbb{R}^N$ を開集合とし、連続関数 $f(t,x)\colon J\times D\ni (t,x)\mapsto f(t,x)\in \mathbb{R}^N$ が $x$ に関して局所Lipschitz連続であるとする。このとき任意の $(\tau,\xi)\in J\times D$ に対し、常微分方程式の初期値問題
$$
\frac{dx}{dt}=f(t,x),\quad x(\tau)=\xi\quad\quad(*)
$$
の局所解で、$(*)$ の任意の局所解の拡張となっているものが唯一つ存在する。
{{begin|proof}}
'''補題1.5'''より $(*)$ は局所解を持ち、また $(*)$ の任意の局所解は定義域が開区間の局所解に拡張できる。<ref>$(*)$ の局所解で定義域が端点を持つものは、端点における値を初期値とした初期値問題の局所解を考え、それを繋ぎ合わせればよい。</ref>そこで $(*)$ の局所解で定義域が開区間であるようなもの全体からなる集合を $\Lambda$ とおく。そして $x_1,x_2\in\Lambda$ に対し $x_2$ が $x_1$ の拡張になっているとき $x_1\leq x_2$ と表し、$\Lambda$ に順序 $\leq$ を導入する。このとき $\Lambda$ は帰納的順序集合となっている。<ref>$\Lambda$ が $\leq$ により順序集合であることは自明である。$\Lambda$ が帰納的順序集合であることは次のようにして分かる。$\{x_j\colon (a_j,b_j)\rightarrow D\}_{j\in J}\subset \Lambda$ を $\Lambda$ の全順序部分集合とすると、全順序性より、$x(t)\colon (\inf_{j\in J}a_j,\sup_{j\in J}b_j)=\bigcup_{j\in J}(a_j,b_j)\rightarrow D$ を $x(t)=x_j(t)$ $(\forall j\in J,\forall t\in (a_j,b_j))$ となるように定義できる。このとき明らかに $x\in \Lambda$ であり、$x$ は $\{x_j\colon (a_j,b_j)\rightarrow D\}_{j\in J}$ の上界である。ゆえに $\Lambda$ は帰納的順序集合である。</ref>よってZornの補題より $\Lambda$ は極大元 $x_m(t)\colon (\alpha,\beta)\rightarrow D$ を持つ。この $x_m$ が $\Lambda$ の最大元であることを示せばよい。そこで $\Lambda$ の任意の元 $x(t)\colon (a,b)\rightarrow D$ を取り、$x\leq x_m$ が成り立つことを示す。
$$
s\colon=\sup\{t\in [\tau,{\rm min}(\beta,b)): \text{$x$ と $x_m$ は $[\tau,t]$ 上で一致する}\}
$$
とおくと、'''補題1.5'''より $\tau<s$ であり、上限の定義より $x_m$ と $x$ は $[\tau,s)$ 上で一致する。もし $s<{\rm min}(\beta,b)$ ならば、$x_m,x$ の連続性より $x_m(s)=x(s)$ となるが、$x_m,x$ を $x_m(s)=x(s)$ を初期値とする初期値問題の局所解とみなすと、'''補題1.5'''より $x_m$ と $x$ は $s$ を含むある開区間上で一致することになるので $s$ の定義に矛盾する。よって $s={\rm min}(\beta,b)$ でなければならない。もし $\beta<b$ ならば、
$$
\widetilde{x_m}(t)\colon=\begin{cases}x_m(t)\quad&(t\in (\alpha,\beta))\\x(t)&(t\in [\beta,b))\end{cases}
$$
とおけば、$x_m$ と $x$ が $[\tau,\beta)$ 上で一致することから $\widetilde{x_m}\in \Lambda$ であり、$x_m<\widetilde{x_m}$ である。しかしこれは $x_m$ の極大性に反する。よって $b\leq \beta$ であり、$x_m$ と $x$ は $[\tau,b)$ 上で一致する。全く同様の議論により $\alpha\leq a$ であることと $x_m$ と $x$ が $(a,\tau]$ 上で一致することが分かる。よって $x\leq x_m$ であるから、$x_m$ は $\Lambda$ の最大元である。
{{end|proof}}

===定義1.7（常微分方程式の初期値問題の一意解）===
$J\subset \mathbb{R}$ を開区間、$D\subset \mathbb{R}^N$ を開集合とし、連続関数 $f(t,x)\colon J\times D\ni (t,x)\mapsto f(t,x)\in \mathbb{R}^N$ が $x$ に関して局所Lipschitz連続（'''定義1.2'''）であるとする。このとき任意の $(\tau,\xi)\in J\times D$ に対し、常微分方程式の初期値問題
$$
\frac{dx}{dt}=f(t,x),\quad x(\tau)=\xi\quad\quad(*)
$$
の局所解 $x(t)\colon I\rightarrow D$ で、$(*)$ の任意の局所解の拡張となっているものが唯一つ存在する。この $x$ を $(*)$ の解と呼ぶ。（一意解、大域解とも呼ぶ。）

===命題1.8（線形常微分方程式の初期値問題の解の定義域）===
$J\subset \mathbb{R}$ を開区間、$A(t)\colon J\rightarrow\mathbb{M}_{N\times N}(\mathbb{R})$, $B(t)\colon J\rightarrow\mathbb{R}^N$ をそれぞれ連続関数とする。このとき、
$$
J\times \mathbb{R}^N\ni (t,x)\mapsto A(t)x+B(t)\in \mathbb{R}^N\quad\quad(*)
$$
は $x$ に関して局所Lipschitz連続な連続関数である。そして任意の $(\tau,\xi)\in J\times \mathbb{R}^N$ に対し、常微分方程式の初期値問題
$$
\frac{dx}{dt}=A(t)x+B(t),\quad x(\tau)=\xi\quad\quad(**)
$$
の一意解の定義域は $J$ である。
{{begin|proof}}
$(*)$ が連続関数であることは自明であり、$x$ に関して局所Lipschitz連続であることは'''命題1.3'''による。$J=(\alpha,\beta)$ とおき、$x(t)\colon (a,b)\rightarrow D$ を $(**)$ の一意解とする。このとき微積分学の基本定理より、
$$
x(t)=\xi+\int_{\tau}^{t}(A(s)x(s)+B(s))ds\quad(\forall t\in (a,b))\quad\quad(***)
$$
である。$b=\beta$ を示すため、$b<\beta$ と仮定して矛盾を導く。このとき $[\tau,b]\subset J$ であり、$A(t),B(t)$ は有界閉区間 $[\tau,b]$ 上で連続であるから、
$$
M_1\colon =\underset{t\in [\tau,b]}{\rm max}\lVert A(t)\rVert,\quad M_2\colon =\underset{t\in [\tau,b]}{\rm max}\lvert B(t)\rvert
$$
が存在する。$(***)$ より、
$$
\lvert x(t)\rvert\leq \lvert \xi\rvert+M_2(b-\tau)+M_1\int_{\tau}^{t}\lvert x(s)\rvert ds\quad(\forall t\in [\tau,b))
$$
であるから、Gronwallの不等式（'''命題1.4'''）より、
$$
\begin{aligned}
\lvert x(t)\rvert\leq (\lvert \xi\rvert+M_2(b-\tau))\exp(M_1(b-\tau))\quad(\forall t\in [\tau,b))
\end{aligned}
$$
が成り立つ。よって $x(t)\colon (a,b)\rightarrow\mathbb{R}^N$ は $[\tau,b)$ 上で有界である。ゆえに、
$$
\eta\colon=\xi+\int_{\tau}^{b}(A(s)x(s)+B(s))ds\in \mathbb{R}^N
$$
が存在する。そこで $\widetilde{x}(b)=\eta$とおいて$x(t):(a,b)\rightarrow \mathbb{R}^N$を$(a,b]$上に拡張したもの$\widetilde{x}(t):(a,b]\rightarrow \mathbb{R}^N$を考えれば、$\widetilde{x}$ は(**)の局所解となっている。しかし'''定理1.6'''より$x(t):(a,b)\rightarrow \mathbb{R}^N$ は(**)の任意の局所解の拡張であるので矛盾する。よって $b=\beta$ が成り立つ。全く同様の議論により $a=\alpha$ が成り立つことも示せる。
{{end|proof}}

===定理1.9（初期値とパラメータに関する解の連続性）===
$J\subset \mathbb{R}$ を開区間、$D\subset \mathbb{R}^N$ を開集合、$\Lambda\subset \mathbb{R}^M$ を開集合とし、
$$
f(t,x,\lambda)\colon J\times D\times \Lambda\ni (t,x,\lambda)\mapsto f(t,x,\lambda)\in \mathbb{R}^N
$$
を $x$ に関して局所Lpischitz連続な連続関数（'''定義1.2'''）とする。任意の $(\tau,\xi,\lambda)\in J\times D\times \Lambda$ に対し、常微分方程式の初期値問題
$$
\frac{dx}{dt}=f(t,x,\lambda),\quad x(\tau)=\xi
$$
の一意解を、
$$
x(\cdot,\tau,\xi,\lambda)\colon I_{\tau,\xi,\lambda}\ni t\mapsto x(t,\tau,\xi,\lambda)\in D
$$
と表す。また、
$$
\Omega\colon =\{(t,\tau,\xi,\lambda)\in J\times J\times D\times \Lambda: t\in I_{\tau,\xi,\lambda}\}
$$
とおく。このとき $\Omega$ は $J\times J\times D\times \Lambda$ の開集合であり、
$$
\Omega\ni (t,\tau,\xi,\lambda)\mapsto x(t,\tau,\xi,\lambda)\in D
$$
は連続である。
{{begin|proof}}
任意の $(t_0,\tau_0,\xi_0,\lambda_0)\in \Omega$ を取り固定する。そして、
$$
t_0,\tau_0\in (a,b)\subset [a,b]\subset I_{\tau_0,\xi_0,\lambda_0}
$$
を満たす有界閉区間 $I\colon=[a,b]$ を取り、
$$
x_0(t)\colon I=[a,b]\ni t\mapsto x(t,\tau_0,\xi_0,\lambda_0)\in D
$$
とおく。また任意の $\gamma\in (0,\infty)$ に対し $(\tau_0,\xi_0,\lambda_0)\in J\times \mathbb{R}^N\times \mathbb{R}^M$ の近傍
$$
U_{\gamma}\colon=\{(\tau,\xi,\lambda)\in J\times \mathbb{R}^N\times \mathbb{R}^M: \tau\in I,\lvert \xi-x_0(\tau)\rvert\leq \gamma, \lvert\lambda-\lambda_0\rvert\leq \gamma\}\quad\quad(*)
$$
を定義する。今、十分小さい $\gamma\in (0,\infty)$ を取れば、$U_{\gamma}\subset J\times D\times \Lambda$ となり、$f(t,x,\lambda)$ が $U_{\gamma}$ 上で $x$ に関してLipschitz連続（'''定義1.2'''）となることを示す。$f(t,x,\lambda)$ は $x$ に関して局所Lipschitz連続であることから、各 $\tau\in [a,b]$ に対し正実数 $\gamma_{\tau},L_{\tau}$ が存在し、
$$
[\tau-\gamma_{\tau},\tau+\gamma_{\tau}]\times \overline{B(x_0(\tau),\gamma_{\tau})}\times \overline{B(\lambda_0,\gamma_{\tau})}\subset J\times D\times \Lambda,
$$
$$
\lvert f(t,x,\lambda)-f(t,y,\lambda)\rvert\leq L_{\tau}\lvert x-y\rvert\quad(\forall (t,x,\lambda),(t,y,\lambda)\in [\tau-\gamma_{\tau},\tau+\gamma_{\tau}]\times \overline{B(x_0(\tau),\gamma_{\tau})}\times \overline{B(\lambda_0,\gamma_{\tau})})
$$
が成り立つ。
$$
G\colon=\{(\tau,x_0(\tau)):\tau\in I\}
$$
はコンパクトであるから、有限個の $\tau_1,\ldots,\tau_n\in I$ が取れて、
$$
G\subset \bigcup_{j=1}^{n}(\tau_j-\gamma_{\tau_j},\tau_j+\gamma_{\tau_j})\times B\left(x_0(\tau_j),\frac{\gamma_{\tau_j}}{2}\right)
$$
となる。よって、
$$
\gamma\colon={\rm min}\left(\frac{\gamma_{\tau_1}}{2},\ldots,\frac{\gamma_{\tau_n}}{2}\right),\quad
L\colon={\rm max}(L_{\tau_1},\ldots,L_{\tau_n})
$$
とおけば、
$$
U_{\gamma}\subset \bigcup_{j=1}^{n}[\tau_j-\gamma_{\tau_j},\tau_j+\gamma_{\tau_j}]\times \overline{B(x_0(\tau_j),\gamma_{\tau_j})}\times \overline{B(\lambda_0,\gamma_{\tau_j})}\subset J\times D\times \Lambda,\quad\quad(**)
$$
$$
\lvert f(t,x,\lambda)-f(t,y,\lambda)\rvert\leq L\lvert x-y\rvert\quad (\forall (t,x,\lambda),(t,y,\lambda)\in U_{\gamma})\quad\quad(***)
$$
が成り立つ。この正実数 $\gamma$ と $L$ を固定する。正実数 $\delta$ に対し、
$$
M_{\delta}\colon=\delta+\frac{1}{L}\sup_{t\in I,\lvert \lambda-\lambda_0\rvert\leq\delta}\lvert f(t,x_0(t),\lambda)-f(t,x_0(t),\lambda_0)\rvert\quad\quad(****)
$$
とおけば、コンパクト距離空間上の連続関数の一様連続性（[[距離空間の位相の基本的性質]]の'''定理7.3'''）より $\lim_{\delta\rightarrow0}M_{\delta}=0$ であるから、十分小さい正実数 $\delta$ を取れば、
$$
M_{\delta}e^{L(b-a)}\leq \gamma\quad\quad(*****)
$$
となる。この $\delta$ を固定する。このとき $\delta<\gamma$ であるから、$(*),(**)$ より、
$$
U_{\delta}\subset U_{\gamma}\subset J\times D\times \Lambda
$$
であり、$U_{\delta}$ は $(\tau_0,\xi_0,\lambda_0)\in J\times D\times \Lambda$ の近傍である。今、
$$
\begin{aligned}
&y_0(t,\tau,\xi,\lambda)\colon I\times U_{\delta}\rightarrow \overline{B(0,\gamma)},\\
&y_0(t,\tau,\xi,\lambda)\colon=\xi-x_0(\tau)
\end{aligned}
$$
とおき、
$$
\begin{aligned}
&y_1(t,\tau,\xi,\lambda)\colon I\times U_{\delta}\rightarrow\mathbb{R}^N,\\
&y_1(t,\tau,\xi,\lambda)\colon=\xi-x_0(\tau)+\int_{\tau}^{t}f(s,x_0(s)+y_0(s,\tau,\xi,\lambda),\lambda)-f(s,x_0(s),\lambda_0)ds
\end{aligned}
$$
とおく。Lebesgue優収束定理より $y_1$ は連続関数であり $(***),(****)$ より、
$$
\begin{aligned}
&\lvert y_1(t,\tau,\xi,\lambda)-y_0(t,\tau,\xi,\lambda)\rvert=\left\lvert \int_{\tau}^{t}f(s,x_0(s)+y_0(s,\tau,\xi,\lambda),\lambda)-f(s,x_0(s),\lambda_0)ds\right\rvert\\
&\leq \left\lvert \int_{\tau}^{t}f(s,x_0(s)+y_0(s,\tau,\xi,\lambda),\lambda)-f(s,x_0(s),\lambda)ds\right\rvert
+\left\lvert \int_{\tau}^{t}f(s,x_0(s),\lambda)-f(s,x_0(s),\lambda_0)ds\right\rvert\\
&\leq L\lvert t-\tau\rvert\left(\lvert \xi-x_0(\tau)\rvert+\frac{1}{L}\sup_{s\in I,\lvert\lambda-\lambda_0\rvert\leq\delta}\lvert f(s,x_0(s),\lambda)-f(s,x_0(s),\lambda_0)\right)\\
&\leq M_{\delta}L\lvert t-\tau\rvert\quad(\forall (t,\tau,\xi,\lambda)\in I\times U_{\delta})
\end{aligned}
$$
である。よって $(****), (*****)$ より、
$$
\begin{aligned}
\lvert y_1(t,\tau,\xi,\lambda)\rvert&\leq \lvert y_0(t,\tau,\xi,\lambda)\rvert+M_{\delta}L\lvert t-\tau\rvert
\leq M_{\delta}(1+L\lvert t-\tau\rvert)\leq M_{\delta}e^{L\lvert t-\tau\rvert}\\
&\leq M_{\delta}e^{L(b-a)}\leq \gamma\quad(\forall (t,\tau,\xi,\lambda)\in I\times U_{\delta})
\end{aligned}
$$
であるから、$y_1$ の値域は $\overline{B(0,\gamma)}$ に含まれる。そこで今、ある $n\in \mathbb{N}$ に対し連続関数 $y_0,y_1,\ldots,y_n\colon I\times U_{\delta}\rightarrow \overline{B(0,\gamma)}$ が定義されており、
$$
y_k(t,\tau,\xi,\lambda)=\xi-x_0(\tau)+\int_{\tau}^{t}f(s,x_0(s)+y_{k-1}(s,\tau,\xi,\lambda),\lambda)-f(s,x_0(s),\lambda_0)ds\quad(k=1,\ldots,n,\forall (t,\tau,\xi,\lambda)\in I\times U_{\delta}),
$$
$$
\lvert y_k(t,\tau,\xi,\lambda)-y_{k-1}(t,\tau,\xi,\lambda)\rvert\leq M_{\delta}\frac{(L\lvert t-\tau\rvert)^k}{k!}\quad(k=1,\ldots,n,\forall (t,\tau,\xi,\lambda)\in I\times U_{\delta})
$$
が成り立つとする。このとき $y_{n+1}(t,\tau,\xi,\lambda)\colon I\times U_{\delta}\rightarrow \mathbb{R}^N$ を、
$$
y_{n+1}(t,\tau,\xi,\lambda)\colon=\xi-x_0(\tau)+\int_{\tau}^{t}f(s,x_0(s)+y_n(s,\tau,\xi,\lambda),\lambda)-f(s,x_0(s),\lambda_0)ds
$$
とおけばLebesgue優収束定理より $y_{n+1}$ は連続関数である。そして $(***)$ より、
$$
\begin{aligned}
\lvert y_{n+1}(t,\tau,\xi,\lambda)-y_n(t,\tau,\xi,\lambda)\rvert&=\left\lvert \int_{\tau}^{t}f(s,x_0(s)+y_n(s,\tau,\xi,\lambda),\lambda)-f(s,x_0(s)+y_{n-1}(s,\tau,\xi,\lambda),\lambda)ds\right\rvert\\
&\leq L\left\lvert \int_{\tau}^{t}\lvert y_n(s,\tau,\xi,\lambda)-y_{n-1}(s,\tau,\xi,\lambda)\rvert ds\right\rvert
\leq L\left\lvert \int_{\tau}^{t}M_{\delta}\frac{(L\lvert t-\tau\rvert)^n}{n!}ds\right\rvert\\
&=M_{\delta}\frac{(L\lvert t-\tau\rvert)^{n+1}}{(n+1)!}\quad(\forall (t,\tau,\xi,\lambda)\in I\times U_{\delta})
\end{aligned}
$$
であり、$(*****)$ より、
$$
\begin{aligned}
\lvert y_{n+1}(t,\tau,\xi,\lambda)\rvert&\leq \sum_{k=1}^{n+1}\lvert y_k(t,\tau,\xi,\lambda)-y_{k-1}(t,\tau,\xi,\lambda)\rvert+\lvert y_0(t,\tau,\xi,\lambda)\rvert\\
&\leq M_{\delta}\sum_{k=1}^{n+1}\frac{(L\lvert t-\tau\rvert)^k}{k!}+\delta\leq M_{\delta}e^{L\lvert t-\tau\rvert}\\
&\leq M_{\delta}e^{L(b-a)}\leq \gamma\quad(\forall (t,\tau,\xi,\lambda)\in I\times U_{\delta})
\end{aligned}
$$
であるから、$y_{n+1}$ の値域は $\overline{B(0,\gamma)}$ に含まれる。よって帰納法より $I\times U_{\delta}\rightarrow \overline{B(0,\gamma)}$ の連続関数の列 $(y_n)_{n\in\mathbb{Z}_+}$ で、
$$
\begin{aligned}
&y_n(t,\tau,\xi,\lambda)=\xi-x_0(\tau)+\int_{\tau}^{t}f(s,x_0(s)+y_{n-1}(s,\tau,\xi,\lambda),\lambda)-f(s,x_0(s),\lambda_0)ds,\\
&\lvert y_n(t,\tau,\xi,\lambda)-y_{n-1}(t,\tau,\xi,\lambda)\rvert\leq M_{\delta}\frac{(L\lvert t-\tau\rvert)^n}{n!}\quad(\forall n\in\mathbb{N},\forall (t,\tau,\xi,\lambda)\in I\times U_{\delta})
\end{aligned}
$$
を満たすものが定義できる。
$$
\lVert y_n-y_{n-1}\rVert=\sup_{(t,\tau,\xi,\lambda)\in I\times U_{\delta}}\lvert y_{n}(t,\tau,\xi,\lambda)-y_{n-1}(t,\tau,\xi,\lambda)\rvert\leq M_{\delta}\frac{(L(b-a))^n}{n!}\quad(\forall n\in\mathbb{N})
$$
より、
$$
\sum_{n\in\mathbb{N}}\lVert y_n-y_{n-1}\rVert\leq \sum_{n\in\mathbb{N}}M_{\delta}\frac{(L(b-a))^n}{n!}\leq M_{\delta}e^{L(b-a)}<\infty
$$
であるから $(y_n)_{n\in\mathbb{N}}$ は一様Cauchy条件を満たす。ゆえに $(y_n)_{n\in\mathbb{Z}_+}$ はある連続関数 $y(t,\tau,\xi,\lambda)\colon I\times U_{\delta}\rightarrow \overline{B(0,\gamma)}$ に一様収束する。$(***)$ より、
$$
\begin{aligned}
\sup_{(t,\tau,\xi,\lambda)\in I\times U_{\delta}}&\lvert f(t,x_0(t)+y(t,\tau,\xi,\lambda),\lambda)-f(t,x_0(t)+y_n(t,\tau,\xi,\lambda),\lambda)\rvert\\
&\leq L\sup_{(t,\tau,\xi,\lambda)\in I\times U_{\delta}}\lvert y(t,\tau,\xi,\lambda)-y_n(t,\tau,\xi,\lambda)\rvert\rightarrow0\quad(n\rightarrow\infty)
\end{aligned}
$$
であるから、
$$
y_n(t,\tau,\xi,\lambda)=\xi-x_0(\tau)+\int_{\tau}^{t}f(s,x_0(s)+y_{n-1}(s,\tau,\xi,\lambda),\lambda)-f(s,x_0(s),\lambda_0)ds\quad(\forall (t,\tau,\xi,\lambda)\in I\times U_{\delta})
$$
の両辺について $n\rightarrow\infty$ とすれば、
$$
y(t,\tau,\xi,\lambda)=\xi-x_0(\tau)+\int_{\tau}^{t}f(s,x_0(s)+y(s,\tau,\xi,\lambda),\lambda)-f(s,x_0(s),\lambda_0)ds\quad(\forall (t,\tau,\xi,\lambda)\in I\times U_{\delta})\quad\quad(******)
$$
を得る。ここで微積分学の基本定理より、
$$
x_0(t)=x_0(\tau)+\int_{\tau}^{t}f(s,x_0(s),\lambda_0)ds
$$
であるから $(******)$ は、
$$
x_0(t)+y(t,\tau,\xi,\lambda)=\xi+\int_{\tau}^{t}f(s,x_0(s)+y(s,\tau,\xi,\lambda),\lambda)ds\quad(\forall (t,\tau,\xi,\lambda)\in I\times U_{\delta})
$$
となる。よって $(\tau,\xi,\lambda)\in U_{\delta}$ に対し、
$$
I\ni t\mapsto x_0(t)+y(t,\tau,\xi,\lambda)\in D
$$
は常微分方程式の初期値問題
$$
\frac{dx}{dt}=f(t,x,\lambda),\quad x(\tau)=\xi
$$
の局所解である。ゆえに $I\times U_{\delta}\subset \Omega$ であり、
$$
x(t,\tau,\xi,\lambda)=x_0(t)+y(t,\tau,\xi,\lambda)\quad(\forall (t,\tau,\xi,\lambda)\in I\times U_{\delta})
$$
である。$I\times U_{\delta}\subset \Omega$ は $(t_0,\tau_0,\xi_0,\lambda_0)$ の $J\times J\times D\times \Lambda$ における近傍であり、
$$
I\times U_{\delta}\ni (t,\tau,\xi,\lambda)\mapsto x(t,\tau,\xi,\lambda)=x_0(t)+y(t,\tau,\xi,\lambda)\in D
$$
は連続であるから、$(t_0,\tau_0,\xi_0,\lambda_0)\in \Omega$ の任意性より、$\Omega$ は開集合であり、$\Omega\ni (t,\tau,\xi,\lambda)\mapsto x(t,\tau,\xi,\lambda)\in D$ は連続関数である。
{{end|proof}}

===定理1.10（初期値に関する解の微分可能性）===
$J\subset \mathbb{R}$ を開区間、$D\subset \mathbb{R}^N$ を開集合、$f(t,x)\colon J\times D\ni (t,x)\mapsto f(t,x)\in \mathbb{R}^N$ を連続関数で、$x$ に関して $1$ 階の偏導関数
$$
\frac{\partial f}{\partial x}(t,x)\colon J\times D\ni (t,x)\mapsto \left(\frac{\partial f}{\partial x_1}(t,x),\ldots,\frac{\partial f}{\partial x_N}(t,x)\right)\in \mathbb{M}_{N\times N}(\mathbb{R})
$$
を持ち、これが連続であるとする。（したがって'''命題1.3'''より $f(t,x)$ は $x$ に関して局所Lipschitz連続である。）任意の $(\tau,\xi)\in J\times D$ に対し常微分方程式の初期値問題
$$
\frac{dx}{dt}=f(t,x),\quad x(\tau)=\xi
$$
の一意解を、
$$
x(\cdot,\tau,\xi)\colon I_{\tau,\xi}\ni t\mapsto x(t,\tau,\xi)\in D
$$
とおき、
$$
\Omega\colon=\{(t,\tau,\xi)\in J\times J\times D: t\in I_{\tau,\xi}\}
$$
とおく。このとき $\Omega$ は開集合であり、
$$
\Omega\ni (t,\tau,\xi)\mapsto x(t,\tau,\xi)\in D\quad\quad(*)
$$
は $\xi$ に関して $1$ 階の偏導関数
$$
\frac{\partial x}{\partial \xi}(t,\tau,\xi)\colon \Omega\ni (t,\tau,\xi)\mapsto \left(\frac{\partial x}{\partial \xi_1}(t,\tau,\xi),\ldots,\frac{\partial x}{\partial \xi_N}(t,\tau,\xi)\right)\in \mathbb{M}_{N\times N}(\mathbb{R})\quad\quad(**)
$$
を持ち、$(**)$ は $t$ に関する偏導関数
$$
\frac{\partial }{\partial t}\frac{\partial x}{\partial \xi}(t,\tau,\xi)\colon \Omega\ni (t,\tau,\xi)\mapsto \left(\frac{\partial}{\partial t}\frac{\partial x}{\partial \xi_1}(t,\tau,\xi),\ldots,\frac{\partial}{\partial t}\frac{\partial x}{\partial \xi_N}(t,\tau,\xi)\right)\in \mathbb{M}_{N\times N}(\mathbb{R})\quad\quad(***)
$$
を持つ。そして $(*),(**),(***)$ はそれぞれ連続である。さらに、
$$
\frac{\partial}{\partial t}\frac{\partial x}{\partial \xi}(t,\tau,\xi)=\frac{\partial f}{\partial x}(t,x(t,\tau,\xi))\frac{\partial x}{\partial \xi}(t,\tau,\xi)\quad(\forall (t,\tau,\xi)\in \Omega)\quad\quad(****)
$$
が成り立つ。
{{begin|proof}}
'''定理1.9'''より $\Omega$ は開集合であり、$(*)$ は連続である。任意の $(t_0,\tau_0,\xi_0)\in \Omega$ を取り固定し、
$$
t_0,\tau_0\in (a,b)\subset [a,b]\subset I_{\tau_0,\xi_0}
$$
を満たす有界閉区間 $I\colon=[a,b]$ を取る。
$$
\{(t,x(t,\tau_0,\xi_0)):t\in I\}
$$
は開集合 $J\times D$ に含まれるコンパクト集合であるから、[[超関数の定義と基本操作]]の'''命題2.2'''の $(4)$ より十分小さい $\gamma\in (0,\infty)$ を取れば、
$$
U_{\gamma}\colon=\{(t,\xi)\in J\times \mathbb{R}^N:t\in I,\lvert \xi-x(t,\tau_0,\xi_0)\rvert\leq \gamma\}\subset J\times D
$$
となる。また、
$$
I\times \{\tau_0\}\times \{\xi_0\}
$$
は開集合 $\Omega$ に含まれるコンパクト集合であるから、[[超関数の定義と基本操作]]の'''命題2.2'''の $(4)$ より十分小さい $\delta\in (0,\infty)$ を取れば、
$$
I\times (\tau_0-\delta,\tau_0+\delta)\times B(\xi_0,2\delta)\subset \Omega
$$
となる。そして $(*)$ の連続性とコンパクト距離空間上の連続関数の一様連続性（[[距離空間の位相の基本的性質]]の'''定理7.3'''）より $\delta\in (0,\infty)$ を十分小さく取っておけば、
$$
\lvert x(t,\tau,\xi)-x(t,\tau_0,\xi_0)\rvert\leq \gamma\quad(\forall (t,\tau,\xi)\in I\times (\tau_0-\delta,\tau_0+\delta)\times B(\xi_0,2\delta))
$$
となる。よってこのような $\delta$ に対し、
$$
(t,x(t,\tau,\xi))\in U_{\gamma}\subset J\times D\quad(\forall (t,\tau,\xi)\in I\times (\tau_0-\delta,\tau_0+\delta)\times B(\xi_0,2\delta))
$$
が成り立つ。今、$(e_1,\ldots,e_N)$ を $\mathbb{R}^N$ の標準基底とし、各 $j\in \{1,\ldots,N\}$ に対し、
$$
\varphi_j(t,\tau,\xi,h)=\frac{1}{h}(x(t,\tau,\xi+he_j)-x(t,\tau,\xi))
$$
として、
$$
\varphi_j(t,\tau,\xi,h)\colon (a,b)\times (\tau_0-\delta,\tau_0+\delta)\times B(\xi_0,\delta)\times (-\delta,\delta)\backslash \{0\}\rightarrow \mathbb{R}^N
$$
を定義する。このとき、
$$
\varphi_j(\tau,\tau,\xi,h)=e_j\quad(\forall (\tau,\xi,h)\in (\tau_0-\delta,\tau_0+\delta)\times B(\xi_0,\delta)\times (-\delta,\delta)\backslash \{0\})
$$
である。そして任意の $(t,\tau,\xi,h)\in (a,b)\times (\tau_0-\delta,\tau_0+\delta)\times B(\xi_0,\delta)\times (-\delta,\delta)\backslash \{0\}$ に対し、
$$
(t,x(t,\tau,\xi)+\theta(x(t,\tau,\xi+he_j)-x(t,\tau,\xi)))\in U_{\gamma}\subset J\times D\quad(\forall \theta\in [0,1])
$$
であることに注意して、微積分学の基本定理より、
$$
\begin{aligned}
&\frac{\partial\varphi_j}{\partial t}(t,\tau,\xi,h)=\frac{1}{h}(f(t,x(t,\tau,\xi+he_j))-f(t,x(t,\tau,\xi)))\\
&=\left(\int_{0}^{1}\frac{\partial f}{\partial x}(t,x(t,\tau,\xi)+\theta(x(t,\tau,\xi+he_j)-x(t,\tau,\xi)))d\theta\right)\varphi_j(t,\tau,\xi,h)
\end{aligned}
$$
となる。よって、
$$
A(t,\tau,\xi,h)=\int_{0}^{1}\frac{\partial f}{\partial x}(t,x(t,\tau,\xi)+\theta(x(t,\tau,\xi+he_j)-x(t,\tau,\xi)))d\theta
$$
として連続関数
$$
A(t,\tau,\xi,h)\colon (a,b)\times (\tau_0-\delta,\tau_0+\delta)\times B(\xi_0,\delta)\times (-\delta,\delta)\rightarrow \mathbb{M}_{N\times N}(\mathbb{R})
$$
を定義すると、任意の $(t,\tau,\xi,h)\in (a,b)\times (\tau_0-\delta,\tau_0+\delta)\times B(\xi_0,\delta)\times (-\delta,\delta)\backslash \{0\}$ に対し、
$$
\frac{\partial\varphi_j}{\partial t}(t,\tau,\xi,h)=A(t,\tau,\xi,h)\varphi_j(t,\tau,\xi,h)
$$
が成り立つ。そこで $(\tau,\xi,h)\in (\tau_0-\delta,\tau_0+\delta)\times B(\xi_0,\delta)\times (-\delta,\delta)$ をパラメータとする線形常微分方程式の初期値問題
$$
\frac{dy_j}{dt}=A(t,\tau,\xi,h)y_j,\quad y_j(\tau)=e_j
$$
の一意解を $y_j(\cdot,\tau,\xi,h)$ とおくと、'''命題1.8'''より $y_j(\cdot,\tau,\xi,h)$ は $(a,b)$ 上で定義され、解の一意性より、
$$
y_j(t,\tau,\xi,h)=\varphi_j(t,\tau,\xi,h)\quad(\forall (t,\tau,\xi,h)\in (a,b)\times (\tau_0-\delta,\tau_0+\delta)\times B(\xi_0,\delta)\times (-\delta,\delta)\backslash \{0\})
$$
である。そして'''定理1.9'''より、
$$
y_j(t,\tau,\xi,h)\colon (a,b)\times (\tau_0-\delta,\tau_0+\delta)\times B(\xi_0,\delta)\times (-\delta,\delta)\rightarrow \mathbb{R}^N
$$
は連続関数であるから、
$$
y_j(t,\tau,\xi,0)=\lim_{h\rightarrow0}\varphi_j(t,\tau,\xi,h)=\frac{\partial x}{\partial \xi_j}(t,\tau,\xi)\quad(\forall (t,\tau,\xi)\in (a,b)\times (\tau_0-\delta,\tau_0+\delta)\times B(\xi_0,\delta))
$$
である。よって $(t_0,\tau_0,\xi_0)$ の開近傍 $(a,b)\times (\tau_0-\delta,\tau_0+\delta)\times B(\xi_0,\delta)\subset \Omega$ 上で、
$$
\frac{\partial x}{\partial \xi_j}(t,\tau,\xi)\colon (a,b)\times (\tau_0-\delta,\tau_0+\delta)\times B(\xi_0,\delta)\rightarrow\mathbb{R}^N
$$
が定義でき、これは連続である。そして任意の $(t,\tau,\xi)\in (a,b)\times (\tau_0-\delta,\tau_0+\delta)\times B(\xi_0,\delta)$ に対し、
$$
\frac{\partial y_j}{\partial t}(t,\tau,\xi,0)=A(t,\tau,\xi,0)y_j(t,\tau,\xi,0)=\frac{\partial f}{\partial x}(t,x(t,\tau,\xi))y_j(t,\tau,\xi,0)
$$
であるから、
$$
\frac{\partial }{\partial t}\frac{\partial x}{\partial \xi_j}(t,\tau,\xi)=\frac{\partial f}{\partial x}(t,x(t,\tau,\xi))\frac{\partial x}{\partial \xi_j}(t,\tau,\xi)
$$
が成り立つ。よって $(**),(***)$ は連続関数であり、$(****)$ が成り立つ。
{{end|proof}}

===定理1.11（初期値に対する解の滑らかさ）===
$J\subset \mathbb{R}$ を開区間、$D\subset \mathbb{R}^N$ を開集合、$k\in \mathbb{N}$ とする。そして連続関数
$$
f(t,x)\colon J\times D\ni (t,x)\mapsto f(t,x)\in \mathbb{R}^N
$$
が $x$ に関して $k$ 階までの偏導関数を持ち、それらが全て連続であるとする。（特に'''命題1.3'''より $f(t,x)$ は $x$ に関して局所Lipschitz連続である。）任意の $(\tau,\xi)\in J\times D$ に対し常微分方程式の初期値問題
$$
\frac{dx}{dt}=f(t,x),\quad x(\tau)=\xi
$$
の一意解を、
$$
x(\cdot,\tau,\xi)\colon I_{\tau,\xi}\ni t\mapsto x(t,\tau,\xi)\in D
$$
とおき、
$$
\Omega\colon=\{(t,\tau,\xi)\in J\times J\times D: t\in I_{\tau,\xi}\}
$$
とおく。このとき $\Omega$ は開集合であり、
$$
\Omega\ni (t,\tau,\xi)\mapsto x(t,\tau,\xi)\in D
$$
は $\xi$ に関して $k$ 階までの偏導関数を持ち、それらは全て $\Omega$ 上で連続である。
{{begin|proof}}
$k\in \mathbb{N}$ に関する帰納法で示す。$k=1$ の場合は'''定理1.10'''より成り立つ。$k-1\in \mathbb{N}$ に対して成り立つと仮定して $k$ の場合も成り立つことを示す。
$$
F(t,z)=F(t,x,y_1,\ldots,y_N)\colon J\times D\times (\mathbb{R}^N)^N\rightarrow \mathbb{R}^N\times (\mathbb{R}^N)^N,
$$
を、
$$
F(t,z)=F(t,x,y_1,\ldots,y_N)=\left(f(t,x), \frac{\partial f}{\partial x}(t,x)y_1,\ldots,\frac{\partial f}{\partial x_N}(t,x)y_N\right)
$$
と定義すると、$F$ は $z=(x,y_1,\ldots,y_N)$ に関して $k-1$ 階までの偏導関数を持ち、それらは全て連続である。そして'''定理1.10'''より任意の $(\tau,\xi)\in J\times D$ に対し、常微分方程式の初期値問題
$$
\frac{dz}{dt}=F(t,z),\quad z(\tau)=(\xi,e_1,\ldots,e_N)
$$
の一意解は、
$$
I_{\tau,\xi}\ni t\mapsto \left(x(t,\tau,\xi),\frac{\partial x}{\partial \xi_1}(t,\tau,\xi),\ldots,\frac{\partial x}{\partial \xi_N}(t,\tau,\xi)\right)\in \mathbb{R}^N\times (\mathbb{R}^N)^N
$$
である。よって帰納法の仮定より、
$$
\Omega\ni (t,\tau,\xi)\mapsto \left(x(t,\tau,\xi),\frac{\partial x}{\partial \xi_1}(t,\tau,\xi),\ldots,\frac{\partial x}{\partial \xi_N}(t,\tau,\xi)\right)\in \mathbb{R}^N\times (\mathbb{R}^N)^N
$$
は $\xi$ に関して $k-1$ 階までの偏導関数を持ち、それらは全て $\Omega$ 上で連続である。ゆえに、
$$
\Omega\ni (t,\tau,\xi)\mapsto x(t,\tau,\xi)\in D
$$
は $\xi$ に関して $k$ 階までの偏導関数を持ち、それらは全て $\Omega$ 上で連続である。
{{end|proof}}

===定理1.12（線形常微分方程式の解空間）===
$J\subset \mathbb{R}$ を開区間、$A(t)\colon J\ni t\mapsto \mathbb{M}_{N\times N}(\mathbb{R})$ を連続関数とする。このとき、
$$
\left\{x\in C^1(J,\mathbb{R}^N):\frac{d}{dt}x(t)=A(t)x(t)\right\}\quad\quad(*)
$$
は各点ごとの演算で $\mathbb{R}$ 上の $N$ 次元線形空間である。そして任意の $\tau\in J$ と任意の $j\in \{1,\ldots,N\}$ に対し、常微分方程式の初期値問題
$$
\frac{dx}{dt}=A(t)x,\quad x(\tau)=e_j
$$
の一意解を、
$$
\varphi_j(\cdot,\tau)\colon J\ni t\mapsto \varphi_j(t,\tau)\in \mathbb{R}^N
$$
とおけば、$\varphi_1(\cdot,\tau),\ldots,\varphi_N(\cdot,\tau)$ は $(*)$ の基底である。また$(*)$の任意の有限個の元 $x_1,\ldots,x_M$ と任意の $\tau\in J$ に対し、$x_1,\ldots,x_M$ が線形独立であることと $x_1(\tau),\ldots,x_M(\tau)\in \mathbb{R}^N$ が線形独立であることは同値である。
{{begin|proof}}
$(*)$ が各点ごとの演算で $\mathbb{R}$ 上の線形空間であることは自明である。任意の $\xi=(\xi_1,\ldots,\xi_N)\in \mathbb{R}^N$ に対し、
$$
J\ni t\mapsto \sum_{j=1}^{N}\xi_j\varphi_j(t,\tau)\in \mathbb{R}^N
$$
は常微分方程式の初期値問題
$$
\frac{dx}{dt}=A(t)x,\quad x(\tau)=\xi
$$
の一意解である。よって $(*)$ の任意の元は $\varphi_1(\cdot,\tau),\ldots,\varphi_N(\cdot,\tau)$ の線形結合で表せる。また $\xi=(\xi_1,\ldots,\xi_N)\in \mathbb{R}^N$ が、
$$
\sum_{j=1}^{N}\xi_j\varphi_j(\cdot,\tau)=0
$$
を満たすならば、特に $\xi=\sum_{j=1}^{N}\xi_j\varphi_j(\tau,\tau)=0$ であるから $\varphi_1(\cdot,\tau),\ldots,\varphi_N(\cdot,\tau)$ は線形独立である。よって $\varphi_1(\cdot,\tau),\ldots,\varphi_N(\cdot,\tau)$ は $(*)$ の基底である。 
$(*)$の任意の有限個の元 $x_1,\ldots,x_M$ と任意の $\tau\in \mathbb{R}$ を取る。$\xi_1,\ldots,\xi_M\in \mathbb{R}$ に対し、常微分方程式の初期値問題の解の一意性より、
$$
\sum_{j=1}^{M}\xi_jx_j(\tau)=0\quad \Leftrightarrow\quad \sum_{j=1}^{M}\xi_jx_j(t)=0\quad(\forall t\in J)
$$
であるから、$x_1,\ldots,x_M$ が線形独立であることは $x_1(\tau),\ldots,x_M(\tau)\in \mathbb{R}^N$ が線形独立であることと同値である。
{{end|proof}}

===定理1.13（$N$ 階線形常微分方程式）===
$N\in \mathbb{N}$、$J\subset \mathbb{R}$ を開区間、$a_0(t),a_1(t),\ldots,a_{N-1}(t)\colon J\rightarrow\mathbb{R}$ をそれぞれ連続関数とし、
$$
V\colon =\left\{x(t)\in C^N(J,\mathbb{R}):\sum_{k=0}^{N-1}a_k(t)x^{(k)}(t)+x^{(N)}(t)=0\right\}
$$
（ただし $x^{(k)}(t)=\frac{d^kx}{dt^k}(t)$, $x^{(0)}(t)=x(t)$ ）とおく。このとき $V$ は各点ごとの演算で $\mathbb{R}$ 上の線形空間であり、任意の $\tau\in J$、任意の $\xi=(\xi_0,\xi_1,\ldots,\xi_{N-1})\in \mathbb{R}^N$ に対し $x(t)\in V$ で、
$$
(x^{(0)}(\tau),x^{(1)}(\tau),\ldots,x^{(N-1)}(\tau))=(\xi_0,\xi_1,\ldots,\xi_{N-1})
$$
を満たすものが唯一つ存在する。そして任意の有限個の $x_1(t),\ldots,x_N(t)\in V$ と任意の $\tau\in J$ に対し、$x_1(t),\ldots,x_M(t)\in V$ が線形独立であるための必要十分条件は、$\mathbb{R}^N$ の $M$ 本のベクトル
$$
(x_j^{(0)}(\tau),x_j^{(1)}(\tau,),\ldots,x_j^{(N-1)}(\tau))\in\mathbb{R}^N\quad(j=1,\ldots,M)\quad\quad(*)
$$
が線形独立であることである。
{{begin|proof}}
$V$ が各点ごとの演算で $\mathbb{R}$ 上の線形空間であることは自明である。
$$
A(t)\colon=\begin{pmatrix}0&1&0&\cdots &0\\0&0&1&\cdots &0\\\vdots&\vdots&\ddots&\ddots&\vdots\\0&0&0&\cdots&1\\-a_0(t)&-a_1(t)&-a_2(t)&\cdots& -a_{N-1}(t)\end{pmatrix}\in \mathbb{M}_{N\times N}(\mathbb{R})\quad(\forall t\in J)
$$
とおけば $A(t)\colon J\rightarrow \mathbb{M}_{N\times N}(\mathbb{R})$ は連続関数である。そこで $\mathbb{R}$ 上の $N$ 次元線形空間（'''定理1.12'''）
$$
W\colon=\left\{y(t)\in C^1(J,\mathbb{R}^N):\frac{dy}{dt}(t)=A(t)y(t)\quad(\forall t\in J)\right\}
$$
を考える。任意の $y(t)=(y_0(t),y_1(t),\ldots,y_{N-1}(t))\in W$ に対し、$x(t)\colon=y_0(t)\colon J\rightarrow\mathbb{R}$ とおけば、
$$
x^{(1)}(t)=\frac{dy_0}{dt}(t)=y_1(t),\ldots,x^{(N-1)}(t)=\frac{dy_{N-2}}{dt}(t)=y_{N-1}(t)\quad(\forall t\in J)
$$
であり、
$$
x^{(N)}(t)=\frac{dy_{N-1}}{dt}(t)=-\sum_{k=0}^{N-1}a_k(t)y_k(t)=-\sum_{k=0}^{N-1}a_k(t)x^{(k)}(t)
\quad(\forall t\in J)
$$
であるから $x(t)\in V$ である。逆に任意の $x(t)\in V$ に対し、
$$
y(t)=(y_0(t),y_1(t),\ldots,y_{N-1}(t))=(x^{(0)}(t),x^{(1)}(t),\ldots,x^{(N-1)}(t))\quad(\forall t\in J)
$$
とおけば $y(t)\in W$ である。よって線形写像
$$
W\ni (y_0(t),y_1(t),\ldots,y_{N-1}(t))\mapsto y_0(t)\in V
$$
と線形写像
$$
V\ni x(t)\mapsto (x^{(0)}(t),x^{(1)}(t),\ldots,x^{(N-1)}(t))\in W
$$
が定義でき、これらは互いに逆写像である。ゆえに $V$ と $W$ は線形同型なので $V$ は $N$ 次元である。任意の $\tau\in J$ と任意の $\xi=(\xi_0,\xi_1,\ldots,\xi_{N-1})\in \mathbb{R}^N$ に対し、常微分方程式の初期値問題の解の存在と一意性より、 $y(t)\in W$ で $y(\tau)=\xi$ を満たすものが唯一つ存在するので、上で述べたことから、任意の $\tau\in J$ と任意の $\xi=(\xi_0,\xi_1,\ldots,\xi_{N-1})\in \mathbb{R}^N$ に対し $x(t)\in V$ で、
$$
(x^{(0)}(\tau),x^{(1)}(\tau),\ldots,x^{(N-1)}(\tau))=(\xi_0,\xi_1,\ldots,\xi_{N-1})
$$
を満たすものが唯一つ存在する。また任意の有限個の $y_1(t),\ldots,y_M(t)\in W$ と $\tau\in J$ に対し $y_1(t),\ldots,y_M(t)\in W$ が線形独立であることは、$y_1(\tau),\ldots,y_N(\tau)\in \mathbb{R}^N$ が線形独立であることと同値である。よって任意の有限個の $x_1(t),\ldots,x_M(t)\in V$　と $\tau\in J$ に対し、$x_1(t),\ldots,x_M(t)\in V$ が線形独立であることは、$(*)$ が線形独立であることと同値である。
{{end|proof}}

===定理1.14（非斉次線形常微分方程式の解）===
$J\subset \mathbb{R}$ を開区間、$A(t)\colon J\rightarrow \mathbb{M}_{N\times N}(\mathbb{R})$, $b(t)\colon J\rightarrow \mathbb{R}^N$ を連続関数とする。任意の $\tau\in J$, $j\in \{1,\ldots,N\}$ に対し、常微分方程式の初期値問題
$$
\frac{dx}{dt}=A(t)x,\quad x(\tau)=e_j
$$
の一意解を $\varphi_j(\cdot,\tau)\colon J\ni t\mapsto \varphi_j(t,\tau)\in \mathbb{R}^N$ とおき、行列の列ベクトル表記により、
$$
\Phi(t,\tau)\colon=(\varphi_1(t,\tau),\cdots,\varphi_N(t,\tau))\in \mathbb{M}_{N\times N}(\mathbb{R})\quad(\forall t\in J)
$$
とおく。このとき任意の $(\tau,\xi)\in J\times \mathbb{R}^N$ に対し、常微分方程式の初期値問題
$$
\frac{dx}{dt}=A(t)x+b(t),\quad x(\tau)=\xi\quad\quad(*)
$$
の一意解 $x(t)\colon J\rightarrow \mathbb{R}^N$ は、
$$
x(t)=\Phi(t,\tau)\xi+\int_{\tau}^{t}\Phi(t,s)b(s)ds\quad(\forall t\in J)
$$
である。
{{begin|proof}}
初期値に関する解の連続性（'''定理1.9'''）より、
$$
J\times J\ni (t,\tau)\mapsto \Phi(t,\tau)=(\varphi_1(t,\tau),\ldots,\varphi_N(t,\tau))\in \mathbb{M}_{N\times N}(\mathbb{R})
$$
は連続である。また、
$$
\frac{\partial}{\partial t}\Phi(t,\tau)=A(t)\Phi(t,\tau)\quad(\forall (t,\tau)\in J\times J),
$$
$$
\Phi(\tau,\tau)=(e_1,\ldots,e_N)=1\in \mathbb{M}_{N\times N}(\mathbb{R})
$$
である。よって任意の $\tau\in J$ を取り固定し、
$$
x_0(t)\colon=\int_{\tau}^{t}\Phi(t,s)b(s)ds\quad(\forall t\in J)
$$
とおくと、Lebesgue優収束定理より任意の $t\in J$ に対し、
$$
\begin{aligned}
\frac{x_0(t+h)-x_0(t)}{h}&=\int_{\tau}^{t+h}\frac{\Phi(t+h,s)b(s)-\Phi(t,s)b(s)}{h}ds+\frac{1}{h}\int_{t}^{t+h}\Phi(t,s)b(s)ds\\
&\rightarrow\int_{\tau}^{t}A(t)\Phi(t,s)b(s)ds+\Phi(t,t)b(t)=A(t)x_0(t)+b(t)\quad(h\rightarrow0)
\end{aligned}
$$
となるので、
$$
\frac{d}{dt}x_0(t)=A(t)x_0(t)+b(t)\quad(\forall t\in J)
$$
が成り立つ。そこで任意の $\xi\in \mathbb{R}^N$ に対し、
$$
x(t)\colon=\Phi(t,\tau)\xi+x_0(t)\quad(\forall t\in J)\quad\quad(**)
$$
とおけば、
$$
x(\tau)=\Phi(\tau,\tau)\xi+x_0(\tau)=\xi
$$
であり、
$$
\frac{d}{dt}x(t)=A(t)\Phi(t,\tau)\xi+A(t)x_0(t)+b(t)=A(t)x(t)+b(t)\quad(\forall t\in J)
$$
である。ゆえに $(**)$ は $(*)$ の一意解である。
{{end|proof}}

=== 定理1.15 (非斉次線型常微分方程式の定数変化法) ===
$N\in \mathbb{N}$、$J\subset \mathbb{R}$を開区間、$a_0(t),a_1(t),\ldots,a_{N-1}(t),b(t):J\rightarrow\mathbb{R}$をそれぞれ連続関数とし、
$$
\left\{x(t)\in C^N(J,\mathbb{R}):\sum_{k=0}^{N-1}a_k(t)x^{(k)}(t)+x^{(N)}(t)=0\right\}
$$
の基底 $x_1(t),\ldots,x_N(t)\in C^N(J,\mathbb{R})$を取る（'''定理1.13'''を参照）。そして$W(t):J\rightarrow \mathbb{M}_{N\times N}(\mathbb{R})$ を、
$$
W(t):=\begin{pmatrix}x_1(t)&x_2(t)&\cdots&x_N(t)\\
x_1^{(1)}(t)&x_2^{(1)}(t)&\cdots &x_N^{(1)}(t)\\
\vdots&\vdots&\vdots&\vdots\\
x_1^{(N-1)}(t)&x_2^{(N-1)}(t)&\cdots &x_N^{(N-1)}(t)\end{pmatrix}
$$
とおき（'''定理1.13'''より$W(t)$は各点で可逆であることに注意）、
$$
\begin{pmatrix}\xi_1(t)\\\xi_2(t)\\\vdots\\\xi_N(t)\end{pmatrix}=\int W(t)^{-1}\begin{pmatrix}0\\\vdots\\0\\b(t)\end{pmatrix}dt
$$
とおく. このとき非斉次線型常微分方程式
$$
\sum_{k=0}^{N-1}a_k(t)x^{(k)}(t)+x^{(N)}(t)=b(t)\quad\quad(*)
$$
の解として、
$$
y_0(t)=\sum_{k=1}^{N}\xi_k(t)x_k(t)
$$
が取れる。また $(*)$ の任意の解は、定数$\zeta_1,\ldots,\zeta_N\in \mathbb{R}$に対し、
$$
x(t)=\sum_{k=1}^{N}\zeta_kx_k(t)+y_0(t)
$$
と表せる。
{{begin|proof}}
$$
A(t)=
\begin{pmatrix}0&1&0&\cdots &0\\0&0&1&\cdots&0\\\vdots&\vdots&\ddots&\ddots&\vdots\\0&0&0&\cdots&1\\-a_0(t)&-a_1(t)&-a_2(t)&\cdots &-a_{N-1}(t)\end{pmatrix}\in \mathbb{M}_{N\times N}(\mathbb{R})\quad(\forall t\in J)
$$
とおけば、
$$
\begin{aligned}
&\frac{d}{dt}\left(W(t)\begin{pmatrix}\xi_1(t)\\\xi_2(t)\\\vdots\\\xi_N(t)\end{pmatrix}\right)
=W'(t)\begin{pmatrix}\xi_1(t)\\\xi_2(t)\\\vdots\\\xi_N(t)\end{pmatrix}+W(t)\begin{pmatrix}\xi_1'(t)\\\xi_2'(t)\\\vdots\\\xi_N'(t)\end{pmatrix}\\
&=A(t)W(t)\begin{pmatrix}\xi_1(t)\\\xi_2(t)\\\vdots\\\xi_N(t)\end{pmatrix}+W(t)W(t)^{-1}\begin{pmatrix}0\\\vdots\\0\\b(t)\end{pmatrix}
=A(t)W(t)\begin{pmatrix}\xi_1(t)\\\xi_2(t)\\\vdots\\\xi_N(t)\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}0\\\vdots\\0\\b(t)\end{pmatrix}
\end{aligned}
$$
となる。これは、
$$
y_0(t)=\sum_{k=1}^{N}\xi_k(t)x_k(t)
$$
が $(*)$ を満たすことを意味する。$y(t)\in C^N(J,\mathbb{R})$ を $(*)$ の任意の解とすると, $y(t)-y_0(t)$は斉次線型常微分方程式
$$
\sum_{k=0}^{N-1}a_k(t)x^{(k)}(t)+x^{(N)}(t)=0
$$
の解であるので、ある$\zeta_1,\ldots,\zeta_N\in \mathbb{R}$ が存在して、
$$
y(t)-y_0(t)=\sum_{k=1}^{N}\zeta_kx_k(t)
$$
と表せる。
{{end|proof}}

==2. Gaussの発散定理のSobolev空間版==

===定義2.1（基本的な微分作用素の記号）===
$\Omega\subset \mathbb{R}^N$ を開集合とする。勾配、発散、ラプラシアン（[[ベクトル解析3：Euclid空間内の多様体の計量]]の'''12''','''13'''を参照）を $\Omega$ 上の超関数（[[超関数の定義と基本操作]]を参照）に対して作用するように拡張する。すなわち $\Omega$ 上の任意の超関数 $u\in D'(\Omega)$ に対し $u$ の勾配を、
$$
\nabla u\colon={\rm grad}(u)\colon=(\partial_1u,\ldots,\partial_Nu)\in (D'(\Omega))^N,
$$
$u$ のラプラシアンを、
$$
\Delta u\colon=\partial_1^2u+\cdots+\partial_N^2u\in D'(\Omega)
$$
と定義する。そして任意の $u=(u_1,\ldots,u_N)\in (D'(\Omega))^N$ に対し $u$ の発散を、
$$
{\rm div}(u)\colon=\partial_1u_1+\cdots+\partial_Nu_N\in D'(\Omega)
$$
と定義する。
 
任意の $u\in D'(\Omega)$ に対し、
$$
{\rm div}\nabla u=\Delta u
$$
であることに注意する。

===定義2.2（外向き法線微分）===
$\Omega\subset \mathbb{R}^N$ を滑らかでコンパクトな境界を持つ開集合とし、$\nu=(\nu_1,\ldots,\nu_N)\colon \partial\Omega\rightarrow \mathbb{R}^N$ を外向き単位法線ベクトル場（[[ベクトル解析5：多様体の向き]]の'''21''','''22'''を参照）、$\gamma\colon H^1(\Omega)\rightarrow L^2(\partial\Omega)$ をトレース作用素（[[Sobolev空間の基本事項]]の'''37'''を参照）とする。任意の $u=(u_1,\ldots,u_N)\in (H^1(\Omega))^N$ に対し、
$$
\gamma(u)\colon =(\gamma(u_1),\ldots,\gamma(u_N))\in (L^2(\partial\Omega))^N
$$
と定義する。そして任意の $u\in H^2(\Omega)$ に対し、その勾配 $\nabla u=(\partial_1u,\ldots,\partial_Nu)\in (H^1(\Omega))^N$ を考え、
$$
\frac{\partial u}{\partial \nu}\colon=\gamma(\nabla u)\cdot \nu=\gamma(\partial_1u)\nu_1+\cdots+\gamma(\partial_Nu)\nu_N\in L^2(\partial\Omega)
$$
を定義する。$\frac{\partial u}{\partial\nu}$ を $u$ の外向き法線微分と言う。

===定理2.3（Gaussの発散定理のSobolev空間版（内部領域））===
$\Omega\subset\mathbb{R}^N$ を滑らかな境界を持つ有界開集合とし、$\nu\colon \partial\Omega\rightarrow \mathbb{R}^N$ を外向き単位法線ベクトル場（[[ベクトル解析5：多様体の向き]]の'''21''','''22'''を参照）、$\gamma\colon H^1(\Omega)\rightarrow L^2(\partial\Omega)$ をトレース作用素（[[Sobolev空間の基本事項]]の'''37'''を参照）とする。このとき、
*$(1)$　任意の $u=(u_1,\ldots,u_N)\in (H^1(\Omega))^N$ に対し、
$$
\int_{\Omega}{\rm div}(u)(x)dx=\int_{\partial\Omega}\gamma(u)(x)\cdot \nu(x)d\mu_{\partial\Omega}(x)
$$
（ただし $\mu_{\partial\Omega}$ は $\partial\Omega$ の面積測度）が成り立つ。
*$(2)$　任意の $u=(u_1,\ldots,u_N)\in (H^1(\Omega))^N$ と任意の $v\in H^1(\Omega)$ に対し、
$$
\int_{\Omega} ({\rm div}(u)(x)v(x)+u(x)\cdot \nabla u(x))dx=\int_{\partial\Omega}(\gamma(u)(x)\cdot \nu(x))\gamma(v)(x)d\mu_{\partial\Omega}(x)
$$
が成り立つ。
*$(3)$　任意の $u\in H^2(\Omega)$, $v\in H^1(\Omega)$ に対し、
$$
\int_{\Omega}(\Delta u(x)v(x)+\nabla u(x)\cdot \nabla v(x))dx=\int_{\partial\Omega}\frac{\partial u}{\partial \nu}(x)\gamma(v)(x)d\mu_{\partial\Omega}(x)
$$
が成り立つ。
*$(4)$　任意の $u,v\in H^2(\Omega)$ に対し、
$$
\int_{\Omega}(\Delta u(x)v(x)-u(x)\Delta v(x))dx=\int_{\partial\Omega}\left(\frac{\partial u}{\partial \nu}(x)\gamma(v)(x)-\gamma(u)(x)\frac{\partial v}{\partial\nu}(x)\right)d\mu_{\partial\Omega}(x)
$$
が成り立つ。
{{begin|proof}}
*$(1)$　任意の $u=(u_1,\ldots,u_N)\in (H^1(\Omega))^N$ に対しSobolevの拡張作用素の存在定理（[[Sobolev空間の基本事項]]の'''系35.2'''）より、$(D(\mathbb{R}^N)|_{\Omega})^N$ の列 $(u^{(n)})_{n\in\mathbb{N}}$ で、
$$
\lim_{n\rightarrow\infty}\lVert u-u^{(n)}\rVert_{2,1}=0\quad\quad(*)
$$
<ref>ただし $v=(v_1,\ldots,v_N)\in (H^1(\Omega))^N$ に対し $\lVert v\rVert_{2,1}=\sqrt{\sum_{j=1}^{N}\lVert v_j\rVert_{2,1}^2}$ である。</ref> を満たすものが取れる。このとき、
$$
\lim_{n\rightarrow\infty}\lVert {\rm div}(u)-{\rm div}(u^{(n)})\rVert_2=0
$$
であるから、$\Omega$ が有界であることから、
$$
\int_{\Omega}{\rm div}(u)(x)dx=\lim_{n\rightarrow\infty}\int_{\Omega}{\rm div}(u^{(n)})(x)dx
$$
が成り立つ。また $\gamma\colon H^1(\Omega)\rightarrow L^2(\partial\Omega)$ は有界線形作用素であり、$\partial\Omega$ のコンパクト性より面積測度 $\mu_{\partial\Omega}$ は有限測度であるから、$(*)$ より、
$$
\int_{\partial\Omega}\gamma(u)(x)\cdot \nu(x)d\mu_{\partial\Omega}(x)=\lim_{n\rightarrow\infty}\int_{\partial\Omega}\gamma(u^{(n)})(x)\cdot\nu(x)d\mu_{\partial\Omega}(x)
=\lim_{n\rightarrow\infty}\int_{\partial\Omega}u^{(n)}(x)\cdot\nu(x)d\mu_{\partial\Omega}(x)
$$
が成り立つ。各 $n\in \mathbb{N}$ について $u^{(n)}\in D(\mathbb{R}^N)|_{\Omega}$ に対してGaussの発散定理（[[ベクトル解析6：Stokesの定理]]の'''定理24.2'''）を適用すれば、
$$
\int_{\Omega}{\rm div}(u^{(n)})(x)dx=\int_{\partial\Omega}u^{(n)}(x)\cdot \nu(x)d\mu_{\partial\Omega}(x)
$$
となるから、
$$
\begin{aligned}
\int_{\Omega}{\rm div}(u)(x)dx&=\lim_{n\rightarrow\infty}\int_{\Omega}{\rm div}(u^{(n)})(x)dx
=\lim_{n\rightarrow\infty}\int_{\partial\Omega}u^{(n)}(x)\cdot\nu(x)d\mu_{\partial\Omega}(x)
=\int_{\partial\Omega}\gamma(u)(x)\cdot\nu(x)d\mu_{\partial\Omega}(x)
\end{aligned}
$$
を得る。
*$(2)$　任意の $u=(u_1,\ldots,u_N)\in (H^1(\Omega))^N$, $v\in H^1(\Omega)$ に対しSobolev空間の拡張作用素の存在定理（[[Sobolev空間の基本事項]]の'''系35.2'''）より、$(D(\mathbb{R}^N)|_{\Omega})^N$ の列 $(u^{(n)})_{n\in\mathbb{N}}$　と $D(\mathbb{R}^N)|_{\Omega}$の列$(v^{(n)})_{n\in \mathbb{N}}$で、
$$
\lim_{n\rightarrow\infty}\lVert u-u^{(n)}\rVert_{2,1}=0,\quad \lim_{n\rightarrow\infty}\lVert v-v^{(n)}\rVert_{2,1}=0
$$
を満たすものが取れ、
$$
\int_{\Omega}({\rm div}(u)(x)v(x)+u(x)\cdot\nabla v(x))dx=\lim_{n\rightarrow\infty}\int_{\Omega}({\rm div}(u^{(n)})(x)v^{(n)}(x)+u^{(n)}(x)\cdot \nabla v^{(n)}(x))dx
$$
が成り立つ。またトレース作用素 $\gamma\colon H^1(\Omega)\rightarrow L^2(\partial\Omega)$ が有界線形作用素であることから、
$$
\lim_{n\rightarrow\infty}\lVert \gamma(u)\cdot \nu-u^{(n)}\cdot \nu\rVert_2=0,\quad
\lim_{n\rightarrow\infty}\lVert \gamma(v)-v^{(n)}\rVert_2=0
$$
となるので、
$$
\int_{\partial\Omega}(\gamma(u)(x)\cdot\nu(x))\gamma(v)(x)d\mu_{\partial\Omega}(x)
=\lim_{n\rightarrow\infty}\int_{\partial\Omega}(u^{(n)}(x)\cdot\nu(x))v^{(n)}(x)d\mu_{\partial\Omega}(x)
$$
が成り立つ。そして各 $n\in \mathbb{N}$ について $u^{(n)}v^{(n)}\in (D(\mathbb{R}^N)|_{\Omega})^N$ に対してGaussの発散定理（[[ベクトル解析6：Stokesの定理]]の'''定理24.2'''）を適用すれば、
$$
\int_{\Omega}({\rm div}(u^{(n)})(x)v^{(n)}(x)+u^{(n)}(x)\cdot \nabla v^{(n)}(x))dx
=\int_{\Omega}{\rm div}(u^{(n)}v^{(n)})(x)dx
=\int_{\partial\Omega}(u^{(n)}(x)\cdot\nu(x))v^{(n)}(x)d\mu_{\partial\Omega}(x)
$$
となるから、
$$
\begin{aligned}
&\int_{\Omega}({\rm div}(u)(x)v(x)+u(x)\cdot \nabla v(x))dx
=\lim_{n\rightarrow\infty}\int_{\Omega}({\rm div}(u^{(n)})(x)v^{(n)}(x)+u^{(n)}(x)\cdot \nabla v^{(n)}(x))dx\\
&=\lim_{n\rightarrow\infty}\int_{\partial\Omega}(u^{(n)}(x)\cdot\nu(x))v^{(n)}(x)d\mu_{\partial\Omega}(x)
=\int_{\partial\Omega}(\gamma(u)(x)\cdot\nu(x))\gamma(v)(x)d\mu_{\partial\Omega}(x)
\end{aligned}
$$
を得る。
*$(3)$　任意の $u\in H^2(\Omega)$ に対し $\nabla u=(\partial_1u,\ldots,\partial_Nu)\in (H^1(\Omega))^N$ であるから、$\nabla u\in (H^1(\Omega))^N$ と任意の $v\in H^1(\Omega)$ に対し $(2)$ を適用すれば、
$$
\int_{\Omega}(\Delta u(x) v(x)+\nabla u(x)\cdot \nabla v(x))dx=\int_{\partial\Omega}\frac{\partial u}{\partial \nu}(x)\gamma(v)(x)d\mu_{\partial\Omega}(x)
$$
を得る。
*$(4)$　任意の $u,v\in H^2(\Omega)$ に対し $(3)$ より、
$$
\int_{\Omega}(\Delta u(x)v(x)+\nabla u(x)\cdot \nabla v(x))dx=\int_{\partial\Omega}\frac{\partial u}{\partial \nu}(x)\gamma(v)(x)d\mu_{\partial\Omega}(x),
$$
$$
\int_{\Omega}(u(x)\Delta v(x)+\nabla u(x)\cdot \nabla v(x))dx=\int_{\partial\Omega}\gamma(u)(x)\frac{\partial v}{\partial \nu}(x)d\mu_{\partial\Omega}(x)
$$
である。これらを辺々引くと、
$$
\int_{\Omega}(\Delta u(x)v(x)-u(x)\Delta v(x))dx=\int_{\partial\Omega}\left(\frac{\partial u}{\partial \nu}(x)\gamma(v)(x)-\gamma(u)(x)\frac{\partial v}{\partial \nu}(x)\right)d\mu_{\partial\Omega}(x)
$$
を得る。
{{end|proof}}

===定理2.4（Gaussの発散定理のSobolev空間版（外部領域））===
$\Omega\subset \mathbb{R}^N$ を滑らかでコンパクトな境界を持つ開集合で、$\mathbb{R}^N\backslash \Omega$ が有界であるものとする（したがって $\Omega$ は有界ではない）。そして $\nu\colon \partial\Omega\rightarrow \mathbb{R}^N$ を $\Omega$ の外向き単位法線ベクトル場（[[ベクトル解析5：多様体の向き]]の'''21''','''22'''を参照）、$\gamma\colon H^1(\Omega)\rightarrow L^2(\partial\Omega)$ をトレース作用素（[[Sobolev空間の基本事項]]の'''37'''を参照）とする。このとき、
*$(1)$　任意の $u=(u_1,\ldots,u_N)\in (H^1(\Omega))^N$ と任意の $v\in H^1(\Omega)$ に対し、
$$
\int_{\Omega} ({\rm div}(u)(x)v(x)+u(x)\cdot \nabla u(x))dx=\int_{\partial\Omega}(\gamma(u)(x)\cdot \nu(x))\gamma(v)
(x)d\mu_{\partial\Omega}(x)
$$
（ただし $\mu_{\partial\Omega}$ は $\partial\Omega$ の面積測度）が成り立つ。
*$(2)$　任意の $u\in H^2(\Omega)$, $v\in H^1(\Omega)$ に対し、
$$
\int_{\Omega}(\Delta u(x)v(x)+\nabla u(x)\cdot \nabla v(x))dx=\int_{\partial\Omega}\frac{\partial u}{\partial \nu}(x)\gamma(v)(x)d\mu_{\partial\Omega}(x)
$$
が成り立つ。
*$(3)$　任意の $u,v\in H^2(\Omega)$ に対し、
$$
\int_{\Omega}(\Delta u(x)v(x)-u(x)\Delta v(x))dx=\int_{\partial\Omega}\left(\frac{\partial u}{\partial \nu}(x)\gamma(v)(x)-\gamma(u)(x)\frac{\partial v}{\partial\nu}(x)\right)d\mu_{\partial\Omega}(x)
$$
が成り立つ。
{{begin|proof}}
*$(1)$　任意の $u=(u_1,\ldots,u_N)\in (H^1(\Omega))^N$, $v\in H^1(\Omega)$ に対しSobolevの拡張作用素の存在定理（[[Sobolev空間の基本事項]]の'''系35.2'''）より、$(D(\mathbb{R}^N)|_{\Omega})^N$ の列 $(u^{(n)})_{n\in\mathbb{N}}$ と $D(\mathbb{R}^N)|_{\Omega}$の列$(v^{(n)})_{n\in \mathbb{N}}$で、
$$
\lim_{n\rightarrow\infty}\lVert u-u^{(n)}\rVert_{2,1}=0,\quad \lim_{n\rightarrow\infty}\lVert v-v^{(n)}\rVert_{2,1}=0
$$
を満たすものが取れ、Hölderの不等式より、
$$
\int_{\Omega}({\rm div}(u)(x)v(x)+u(x)\cdot\nabla v(x))dx=\lim_{n\rightarrow\infty}\int_{\Omega}({\rm div}(u^{(n)})(x)v^{(n)}(x)+u^{(n)}(x)\cdot \nabla v^{(n)}(x))dx
$$
が成り立つ。またトレース作用素 $\gamma\colon H^1(\Omega)\rightarrow L^2(\partial\Omega)$ が有界線形作用素であることから、
$$
\lim_{n\rightarrow\infty}\lVert \gamma(u)\cdot \nu-u^{(n)}\cdot \nu\rVert_2=0,\quad
\lim_{n\rightarrow\infty}\lVert \gamma(v)-v^{(n)}\rVert_2=0
$$
となるので、Hölderの不等式より、
$$
\int_{\partial\Omega}(\gamma(u)(x)\cdot\nu(x))\gamma(v)(x)d\mu_{\partial\Omega}(x)
=\lim_{n\rightarrow\infty}\int_{\partial\Omega}(u^{(n)}(x)\cdot\nu(x))v^{(n)}(x)d\mu_{\partial\Omega}(x)
$$
が成り立つ。今、任意の $n\in \mathbb{N}$ を取り固定する。$u^{(n)}v^{(n)}\in (D(\mathbb{R}^N)|_{\Omega})^N$ の台と $\mathbb{R}^N\backslash \Omega$ は有界であるから、十分大きい $R\in (0,\infty)$ を取れば、
$$
{\rm supp}(u^{(n)}v^{(n)}),\quad \mathbb{R}^N\backslash \Omega\subset B(0,R)=\{x\in \mathbb{R}^N:\lvert x\rvert<R\}
$$
となり、$\partial\Omega$ は滑らかでコンパクトな境界であることから $\Omega\cap B(0,R)$ も滑らかでコンパクトな境界を持ち、その境界は、
$$
\partial(\Omega\cap B(0,R))=\partial\Omega\cup \partial B(0,R)
$$
である。そこで $u^{(n)}v^{(n)}\in (D(\mathbb{R}^N)|_{\Omega})^N$ に対してGaussの発散定理（[[ベクトル解析6：Stokesの定理]]の'''定理24.2'''）を適用すれば、
$$
\begin{aligned}
&\int_{\Omega}({\rm div}(u^{(n)})(x)v^{(n)}(x)+u^{(n)}(x)\cdot \nabla v^{(n)}(x))dx\\
&=\int_{\Omega}{\rm div}(u^{(n)}v^{(n)})(x)dx=\int_{\Omega\cap B(0,R)}{\rm div}(u^{(n)}v^{(n)})(x)dx\\
&=\int_{\partial\Omega}(u^{(n)}(x)\cdot \nu(x))v^{(n)}(x)d\mu_{\partial\Omega}(x)
+\int_{\partial B(0,R)}(u^{(n)}(x)\cdot \nu(x))v^{(n)}(x)d\mu_{\partial B(0,R)}(x)\\
&=\int_{\partial\Omega}(u^{(n)}(x)\cdot \nu(x))v^{(n)}(x)d\mu_{\partial\Omega}(x)
\end{aligned}
$$
を得る。ゆえに、
$$
\int_{\Omega}({\rm div}(u^{(n)})(x)v^{(n)}(x)+u^{(n)}(x)\cdot \nabla v^{(n)}(x))dx=\int_{\partial\Omega}(u^{(n)}(x)\cdot \nu(x))v^{(n)}(x)d\mu_{\partial\Omega}(x)\quad(\forall n\in \mathbb{N})
$$
が成り立つ。よって、
$$
\begin{aligned}
&\int_{\Omega}({\rm div}(u)(x)v(x)+u(x)\cdot\nabla v(x))dx=\lim_{n\rightarrow\infty}\int_{\Omega}({\rm div}(u^{(n)})(x)v^{(n)}(x)+u^{(n)}(x)\cdot \nabla v^{(n)}(x))dx\\
&=\lim_{n\rightarrow\infty}\int_{\partial\Omega}(u^{(n)}(x)\cdot \nu(x))v^{(n)}(x)d\mu_{\partial\Omega}(x)
=\int_{\partial\Omega}(\gamma(u)(x)\cdot\nu(x))\gamma(v)(x)d\mu_{\partial\Omega}(x)
\end{aligned}
$$
を得る。
*$(2)$　任意の $u\in H^2(\Omega)$ に対し $\nabla u=(\partial_1u,\ldots,\partial_Nu)\in (H^1(\Omega))^N$ であるから、$\nabla u\in (H^1(\Omega))^N$ と任意の $v\in H^1(\Omega)$ に対し $(1)$ を適用すれば、
$$
\int_{\Omega}(\Delta u(x) v(x)+\nabla u(x)\cdot \nabla v(x))dx=\int_{\partial\Omega}\frac{\partial u}{\partial \nu}(x)\gamma(v)(x)d\mu_{\partial\Omega}(x)
$$
を得る。
*$(3)$　任意の $u,v\in H^2(\Omega)$ に対し $(2)$ より、
$$
\int_{\Omega}(\Delta u(x)v(x)+\nabla u(x)\cdot \nabla v(x))dx=\int_{\partial\Omega}\frac{\partial u}{\partial \nu}(x)\gamma(v)(x)d\mu_{\partial\Omega}(x),
$$
$$
\int_{\Omega}(u(x)\Delta v(x)+\nabla u(x)\cdot \nabla v(x))dx=\int_{\partial\Omega}\gamma(u)(x)\frac{\partial v}{\partial \nu}(x)d\mu_{\partial\Omega}(x)
$$
である。これらを辺々引くと、
$$
\int_{\Omega}(\Delta u(x)v(x)-u(x)\Delta v(x))dx=\int_{\partial\Omega}\left(\frac{\partial u}{\partial \nu}(x)\gamma(v)(x)-\gamma(u)(x)\frac{\partial v}{\partial \nu}(x)\right)d\mu_{\partial\Omega}(x)
$$
を得る。
{{end|proof}}

==3. 境界条件付き一様楕円型微分作用素、楕円型正則性==

===定義3.1（一様楕円型微分作用素）===
$\Omega\subset \mathbb{R}^N$ を開集合とし、$a_{i,j},b_j\in C^\infty(\Omega)$ $(i,j\in \{1,\ldots,N\})$ を全ての偏導関数が有界な複素数値関数とする。そして、
$$
b(x)\in \mathbb{R}\quad (\forall x\in \Omega)\quad\quad(*)
$$
であり、ある正実数 $C$ に対し、
$$
\sum_{i,j=1}^{N}a_{i,j}(x)\overline{\xi_i}\xi_j\geq C\sum_{j=1}^{N}\lvert \xi_j\rvert^2=C\lvert \xi\rvert^2\quad(\forall \xi=(\xi_1,\ldots,\xi_N)\in \mathbb{C}^N, \forall x\in \Omega)\quad\quad(**)
$$
が成り立つとする。<ref> $(**)$ は任意の $x\in \Omega$ に対し $C^*$-環 $\mathbb{M}_{N\times N}(\mathbb{C})$ の自己共役部分における順序に関して $(a_{i,j}(x))_{i,j}\geq C$ が成り立つと言うことである（[[Hilbert空間上の作用素論]]の'''命題1.4'''を参照）。</ref> このとき、
$$
\mathcal{A}\colon D'(\Omega)\ni v\mapsto -\sum_{i,j=1}^{N}\partial_i(a_{i,j}\partial_jv)+bv\in D'(\Omega)\quad\quad(***)
$$
と表される線形作用素は、$\Omega$ 上の $2$ 階の一様楕円型微分作用素と呼ばれるものの一種であり、$(**)$ を一様楕円性条件と言う。以後、$\Omega$ 上の一様楕円型微分作用素と言えば、上の $(*),(**)$ の条件を満たす $(***)$ を指すこととする。

===例3.2（ラプラシアン）===
開集合 $\Omega\subset \mathbb{R}^N$ 上のラプラシアン $-\Delta\colon D'(\Omega)\rightarrow D'(\Omega)$ は $\Omega$ 上の一様楕円型微分作用素である。実際、'''定義3.1'''において $a_{i,j}(x)=\delta_{i,j}$, $b(x)=0$ $(\forall i,j\in \{1,\ldots,N\},\forall x\in \Omega)$ として得られる $\mathcal{A}$ は $-\Delta$ である。

===補題3.3（Poincaréの不等式）===
$\Omega\subset \mathbb{R}^N$ を開集合とし、ある正実数 $C$ に対し、
$$
\Omega\subset \mathbb{R}^{N-1}\times [-C,C]
$$
が成り立つとする。このとき、
$$
\lVert u\rVert_2\leq 2C\lVert \partial_Nu\rVert_2\quad(\forall u\in H^1_0(\Omega))
$$
が成り立つ。
{{begin|proof}}
任意の $u\in D(\Omega)\subset D(\mathbb{R}^N)$ に対し微積分学の基本定理とHölderの不等式より、
$$
\lvert u(x)\rvert^2=\left\lvert\int_{-C}^{x_N}\partial_Nu(x_1,\ldots,x_{N-1},t)dt\right\rvert^2\leq
2C\int_{\mathbb{R}}\lvert \partial_Nu(x_1,\ldots,x_{N-1},t)\rvert^2dt\quad(\forall x\in \mathbb{R}^N)
$$
が成り立つので、任意の $(x_1,\ldots,x_{N-1})\in \mathbb{R}^{N-1}$ に対し、
$$
\begin{aligned}
&\int_{\mathbb{R}}\lvert u(x_1,\ldots,x_{N-1},x_N)\rvert^2dx_N=\int_{-C}^{C}\lvert u(x_1,\ldots,x_{N-1},x_N)\rvert^2dx_N\\
&\leq 2C\int_{-C}^{C}\left(\int_{\mathbb{R}}\lvert \partial_Nu(x_1,\ldots,x_{N-1},t)\rvert^2dt\right)dx_N
=(2C)^2\int_{\mathbb{R}}\lvert \partial_Nu(x_1,\ldots,x_{N-1},t)\rvert^2dt\\
&=(2C)^2\int_{\mathbb{R}}\lvert\partial_Nu(x_1,\ldots,x_{N-1},x_N)\rvert^2dx_N
\end{aligned}
$$
となる。よってTonelliの定理より、
$$
\begin{aligned}
\lVert u\rVert_2^2&=\int_{\mathbb{R}^{N-1}}\left(\int_{\mathbb{R}}\lvert u(x_1,\ldots,x_{N-1},x_N)\rvert^2dx_N\right)dx_1\cdots dx_{N-1}\\
&\leq(2C)^2\int_{\mathbb{R}^{N-1}}\left(\int_{\mathbb{R}}\lvert\partial_Nu(x_1,\ldots,x_{N-1},x_N)\rvert^2dx_N\right)dx_1\cdots dx_{N-1}\\
&=(2C)^2\lVert \partial_Nu\rVert_2^2
\end{aligned}
$$
が成り立つ。ゆえに、
$$
\lVert u\rVert_2\leq 2C\lVert \partial_Nu\rVert_2\quad(\forall u\in D(\Omega))
$$
が成り立つ。$H^1_0(\Omega)=\overline{D(\Omega)}^{\lVert \cdot\rVert_{2,1}}$ であるから、任意の $u\in H^1_0(\Omega)$ に対し $D(\Omega)$ の列 $(u_n)_{n\in \mathbb{N}}$ で $\lim_{n\rightarrow\infty}\lVert u-u_n\rVert_{2,1}=0$ を満たすものが取れるので、
$$
\lVert u\rVert_{2}=\lim_{n\rightarrow\infty}\lVert u_n\rVert_2\leq 2C\lim_{n\rightarrow\infty}\lVert \partial_Nu_n\rVert_2=2C\lVert \partial_Nu\rVert_2
$$
が成り立つ。
{{end|proof}}

===定理3.4（Lax-Milgramの定理）===
$\Omega\subset \mathbb{R}^N$ を開集合、
$$
\mathcal{A}\colon D'(\Omega)\ni v\mapsto -\sum_{i,j=1}^N\partial_i(a_{i,j}\partial_jv)+bv\in D'(\Omega)
$$
を一様楕円型微分作用素（'''定義3.1'''）とし、
$$
p_{\mathcal{A}}(u,v)\colon=\sum_{i,j=1}^{N}\int_{\Omega}a_{i,j}(x)\overline{\partial_iu(x)}\partial_jv(x)dx
+\int_{\Omega}b(x)\overline{u(x)}v(x)dx\quad(\forall u,v\in H^1(\Omega))
$$
とおく。そして $H^1_0(\Omega)\subset \mathcal{V}\subset H^1(\Omega)$ を満たす $H^1(\Omega)$ の閉部分空間 $\mathcal{V}$ に対し、
$$
D(A)\colon=\{v\in \mathcal{V}: \mathcal{A}v\in L^2(\Omega),p_{\mathcal{A}}(u,v)=(u\mid \mathcal{A}v)_2\text{ }(\forall u\in \mathcal{V})\},
$$
$$
A\colon D(A)\ni v\mapsto \mathcal{A}v\in L^2(\Omega)
$$
とおく。また、
$$
\lambda_0\colon=\inf_{x\in\Omega}b(x)\in \mathbb{R}
$$
とおく。このとき、
*$(1)$　$A\colon D(A)\rightarrow L^2(\Omega)$ はHilbert空間 $L^2(\Omega)$ 上の下に有界な自己共役作用素（[[Hilbert空間上の作用素論]]の'''定義4.1'''と'''定義14.7'''）であり、$A$ のスペクトル $\sigma(A)$ は $\sigma(A)\subset [\lambda_0,\infty)$ を満たす。また任意の $\lambda\in (-\infty,\lambda_0)$ に対し、
$$
(A-\lambda)^{-1}\in \mathbb{B}(L^2(\Omega),\mathcal{V})\subset \mathbb{B}(L^2(\Omega))
$$
が成り立つ。
*$(2)$　$\Omega\subset \mathbb{R}^N$ が有界で $\mathcal{V}=H^1_0(\Omega)$ ならば $\sigma(A)\subset (\lambda_0,\infty)$ であり、
$$
(A-\lambda_0)^{-1}\in \mathbb{B}(L^2(\Omega),H^1_0(\Omega))\subset \mathbb{B}(L^2(\Omega))
$$
が成り立つ。
*$(3)$　$\Omega\subset \mathbb{R}^N$ は有界開集合であるとし、$\Omega$ が滑らかな境界を持つか $\mathcal{V}=H^1_0(\Omega)$ のいずれかであるとすると、Hilbert空間 $L^2(\Omega)$ 上の自己共役作用素 $A\colon D(A)\rightarrow L^2(\Omega)$ のスペクトルは純粋に離散的（[[Hilbert空間上の作用素論]]の'''定義14.3'''）である。
*$(4)$　$\lambda_0\geq0$ ならば $A\colon D(A)\rightarrow L^2(\Omega)$ はHilbert空間 $L^2(\Omega)$ 上の非負自己共役作用素であり、
$$
\mathcal{V}=D(\sqrt{A}),\quad p_{\mathcal{A}}(u,v)=(\sqrt{A}u\mid \sqrt{A}v)_2\quad(\forall u,v\in \mathcal{V})
$$
が成り立つ。
{{begin|proof}}
*$(1)$　任意の $\lambda\in (-\infty,\lambda_0)$ を取り固定する。
$$
p_{\mathcal{A}-\lambda}(u,v)=p_{\mathcal{A}}(u,v)-\lambda(u\mid v)_2\quad(\forall u,v\in \mathcal{V})
$$
とおくと、一様楕円性条件よりある正実数 $C$ が存在し、
$$
\begin{aligned}
p_{\mathcal{A}-\lambda}(v,v)&=\sum_{i,j=1}^{N}\int_{\Omega}a_{i,j}(x)\overline{\partial_iv(x)}\partial_jv(x)dx+\int_{\Omega}(b(x)-\lambda)\lvert v(x)\rvert^2dx\\
&\geq C\sum_{j=1}^{N}\lVert \partial_jv\rVert_2^2+(\lambda_0-\lambda)\lVert v\rVert_2^2\geq C'\lVert v\rVert_{2,1}^2
\quad(\forall v\in \mathcal{V})\quad\quad(*)
\end{aligned}
$$
が成り立つ（ただし $C'\colon={\rm min}(C,\lambda_0-\lambda)>0$とおいた）。また $a_{i,j},b$ の有界性より、
$$
p_{\mathcal{A}-\lambda}\colon \mathcal{V}\times \mathcal{V}\ni (u,v)\mapsto p_{\mathcal{A}-\lambda}(u,v)\in \mathbb{C}
$$
はHilbert空間 $(\mathcal{V},(\cdot\mid \cdot)_{2,1})$ 上の有界準双線形汎関数であるから、[[位相線形空間1：ノルムと内積]]の'''定理7.1'''より $T\in \mathbb{B}(\mathcal{V})$ で、
$$
p_{\mathcal{A}-\lambda}(u,v)=(u\mid Tv)_{2,1}\quad(\forall u,v\in \mathcal{V})
$$
を満たすものが定まる。$(*)$ と[[Hilbert空間上の作用素論]]の'''命題1.3'''と'''命題1.4'''より $T^{-1}\in \mathbb{B}(\mathcal{V})$ が存在し、$T,T^{-1}\in \mathbb{B}(\mathcal{V})$ は $\mathcal{V}$ 上の有界非負自己共役作用素である。今、任意の $f\in L^2(\Omega)$ に対し、
$$
\mathcal{V}\ni u\mapsto (f\mid u)_2\in \mathbb{C}
$$
はHilbert空間 $(\mathcal{V},(\cdot\mid\cdot)_{2,1})$ 上の有界線形汎関数であるから、Rieszの表現定理より $Rf\in \mathcal{V}$ で、
$$
(Rf\mid u)_{2,1}=(f\mid u)_2\quad(\forall u\in \mathcal{V})
$$
を満たすものが定まる。こうして線形作用素 $R\colon L^2(\Omega)\ni f\mapsto Rf\in \mathcal{V}$ で、
$$
(Rf\mid u)_{2,1}=(f\mid u)_{2}\quad(\forall f\in L^2(\Omega),\forall u\in \mathcal{V})
$$
なるものが定義でき、
$$
\lVert Rf\rVert_{2,1}^2=(Rf\mid Rf)_{2,1}=(f\mid Rf)_2\leq\lVert f\rVert_2\lVert Rf\rVert_2\leq \lVert f\rVert_2\lVert Rf\rVert_{2,1}\quad(\forall f\in L^2(\Omega))
$$
より $R\in \mathbb{B}(L^2(\Omega),\mathcal{V})$ である。
$$
(u\mid f)_2=(u\mid Rf)_{2,1}=(u\mid TT^{-1}Rf)_{2,1}=p_{\mathcal{A}-\lambda}(u,T^{-1}Rf)\quad(\forall f\in L^2(\Omega),\forall u\in \mathcal{V})\quad\quad(**)
$$
であり、$D(\Omega)\subset H^1_0(\Omega)\subset \mathcal{V}$ であるから、$D'(\Omega)$ において、
$$
f=(\mathcal{A}-\lambda)T^{-1}Rf\quad(\forall f\in L^2(\Omega))
$$
が成り立つ。よって、
$$
\mathcal{A}T^{-1}Rf=f+\lambda T^{-1}Rf\in L^2(\Omega)\quad(\forall f\in L^2(\Omega))
$$
である。また $(**)$ より、
$$
\begin{aligned}
(u\mid \mathcal{A}T^{-1}Rf)_2&=(u\mid f)_2+\lambda(u\mid T^{-1}Rf)_2
=p_{\mathcal{A}-\lambda}(u,T^{-1}Rf)+\lambda(u\mid T^{-1}Rf)_2\\
&=p_{\cal A}(u,T^{-1}Rf)\quad(\forall f\in L^2(\Omega),\forall u\in \mathcal{V})
\end{aligned}
$$
である。これより、
$$
T^{-1}Rf\in D(A),\quad (A-\lambda)T^{-1}Rf=f\quad(\forall f\in L^2(\Omega))
$$
が成り立つ。また任意の $v\in D(A)$ に対し、
$$
\begin{aligned}
p_{\mathcal{A}-\lambda}(u,v)&=p_{\mathcal{A}}(u,v)-\lambda(u\mid v)_2=(u\mid Av)_2-\lambda(u\mid v)_2
=(u\mid (A-\lambda)v)_2
=(u\mid R(A-\lambda)v)_{2,1}\\
&=(u\mid TT^{-1}R(A-\lambda)v)_{2,1}=p_{\mathcal{A}-\lambda}(u,T^{-1}R(A-\lambda)v)\quad(\forall u\in \mathcal{V})
\end{aligned}
$$
であるから、$(*)$ より、
$$
v=T^{-1}R(A-\lambda)v\quad(\forall v\in D(A))
$$
が成り立つ。よって $A-\lambda\colon D(A)\rightarrow L^2(\Omega)$ は全単射であり、
$$
(A-\lambda)^{-1}=T^{-1}R\in \mathbb{B}(L^2(\Omega),\mathcal{V})\subset \mathbb{B}(L^2(\Omega))
$$
が成り立つ。$T\in \mathbb{B}(\mathcal{V})$ は $(\mathcal{V},(\cdot\mid \cdot)_{2,1})$ 上の非負自己共役作用素であるから、
$$
(f\mid (A-\lambda)^{-1}f)_2=(f\mid T^{-1}Rf)_2=(Rf\mid T^{-1}Rf)_{2,1}\geq0\quad(\forall f\in L^2(\Omega))
$$
である。よって $(A-\lambda)^{-1}\in \mathbb{B}(L^2(\Omega))$ は $L^2(\Omega)$ 上の非負自己共役作用素であるので、$A-\lambda\colon D(A)\rightarrow L^2(\Omega)$ も $L^2(\Omega)$ 上の非負自己共役作用素である。以上より $A\colon D(A)\rightarrow L^2(\Omega)$ はHilbert空間 $L^2(\Omega)$ 上の下に有界な自己共役作用素であり、$\sigma(A)\subset [\lambda_0,\infty)$ を満たし、任意の $\lambda\in (-\infty,\lambda_0)$ に対し $(A-\lambda)^{-1}\in \mathbb{B}(L^2(\Omega),\mathcal{V})$ が成り立つ。
*$(2)$　
$$
p_{\mathcal{A}-\lambda_0}(u,v)\colon=p_{\mathcal{A}}(u,v)-\lambda_0(u\mid v)_2\quad(\forall u,v\in H^1_0(\Omega))
$$
とおくと、一様楕円性条件よりある正実数 $C$ が存在し、
$$
\begin{aligned}
p_{\mathcal{A}-\lambda_0}(v,v)&=\sum_{i,j=1}^{N}\int_{\Omega}a_{i,j}(x)\overline{\partial_iv(x)}\partial_jv(x)dx+\int_{\Omega}(b(x)-\lambda_0)\lvert v(x)\rvert^2dx\\
&\geq \sum_{i,j=1}^{N}\int_{\Omega}a_{i,j}(x)\overline{\partial_iv(x)}\partial_jv(x)dx\geq
C\sum_{j=1}^{N}\lVert \partial_jv\rVert_2^2\quad(\forall v\in H^1_0(\Omega))
\end{aligned}
$$
が成り立つ。ここでPoincaréの不等式（'''補題3.3'''）よりある正実数 $C'$ が存在し、
$$
C\sum_{j=1}^{N}\lVert \partial_jv\rVert_2^2\geq C'\left(\sum_{j=1}^{N}\lVert \partial_jv\rVert_2^2+\lVert v\rVert_2^2\right)=C'\lVert v\rVert_{2,1}^2\quad(\forall v\in H^1_0(\Omega))
$$
が成り立つ。後は $(1)$ の証明と全く同様にして $A-\lambda_0\colon D(A)\rightarrow L^2(\Omega)$ が全単射であり、$(A-\lambda_0)^{-1}\in \mathbb{B}(L^2(\Omega),H^1_0(\Omega))$ が成り立つことを示せる。
*$(3)$　任意の $\lambda\in (-\infty,\lambda_0)$ を取る。$(1)$ より $(A-\lambda)^{-1}\in \mathbb{B}(L^2(\Omega),\mathcal{V})$ であるから、
$$
(L^2(\Omega))_1\colon=\{v\in L^2(\Omega):\lVert v\rVert_2\leq 1\}
$$
の任意の列 $(v_n)_{n\in\mathbb{N}}$ に対し $((A-\lambda)^{-1}v_n)_{n\in\mathbb{N}}$ は $\mathcal{V}$ の有界列である。よってRellich-Kondrachovの定理（[[Sobolev空間の基本事項]]の'''定理39.4'''と'''命題39.5'''）より $((A-\lambda)^{-1}v_n)_{n\in \mathbb{N}}$ は $L^2(\Omega)$ のノルムで収束する部分列を持つ。ゆえに $(A-\lambda)^{-1}((L^2(\Omega))_1)$ は $L^2(\Omega)$ のノルムで（点列）コンパクトであるから、[[Hilbert空間上の作用素論]]の'''定理13.10'''より $(A-\lambda)^{-1}\in \mathbb{B}(L^2(\Omega))$ は $L^2(\Omega)$ 上のコンパクト作用素である。ゆえに[[Hilbert空間上の作用素論]]の'''命題14.5'''より、$L^2(\Omega)$ 上の自己共役作用素 $A\colon D(A)\rightarrow L^2(\Omega)$ のスペクトルは純粋に離散的である。
*$(4)$　$(1)$ より $\sigma(A)\subset [\lambda_0,\infty)\subset [0,\infty)$ であるから $A\colon D(A)\rightarrow L^2(\Omega)$ は非負自己共役作用素である。$(1)$ における $T\in \mathbb{B}(\mathcal{V})$ と $R\in \mathbb{B}(L^2(\Omega),\mathcal{V})$ を考えると、
$$
D(A)={\rm Ran}((A-\lambda)^{-1})=T^{-1}R(L^2(\Omega))
$$
である。
$$
(u\mid Rf)_{2,1}=(u\mid f)_2\quad(\forall u\in \mathcal{V},\forall f\in L^2(\Omega))
$$
であるから、$R(L^2(\Omega))\subset \mathcal{V}$ のHilbert空間 $(\mathcal{V},(\cdot\mid\cdot)_{2,1})$ における直交補空間は $\{0\}$ である。よって $R(L^2(\Omega))$ は $(\mathcal{V},(\cdot\mid\cdot)_{2,1})$ において稠密であるから、$T^{-1}\in \mathbb{B}(\mathcal{V})$ より $D(A)=T^{-1}R(L^2(\Omega))$ も $(\mathcal{V},(\cdot\mid\cdot)_{2,1})$ において稠密である。ゆえに任意の $u,v\in \mathcal{V}$ に対し $D(A)$ の列 $(u_n)_{n\in \mathbb{N}}, (v_n)_{n\in \mathbb{N}}$ で、
$$
\lim_{n\rightarrow\infty}\lVert u-u_n\rVert_{2,1}=0,\quad \lim_{n\rightarrow\infty}\lVert v-v_n\rVert_{2,1}=0
$$
を満たすものが取れる。$p_{\mathcal{A}}\colon \mathcal{V}\times \mathcal{V}\rightarrow\mathbb{C}$ は有界準双線形汎関数であるから、
$$
\lVert \sqrt{A}u_n-\sqrt{A}u_m\rVert_2^2=(u_n-u_m\mid A(u_n-u_m))_2=p_{\mathcal{A}}(u_n-u_m,u_n-u_m)\rightarrow0\quad(n,m\rightarrow\infty)
$$
となり、$\sqrt{A}$ がHilbert空間 $L^2(\Omega)$ 上の閉線形作用素であることから、
$$
u\in D(\sqrt{A}),\quad \lim_{n\rightarrow\infty}\lVert \sqrt{A}u_n-\sqrt{A}u\rVert_2=0
$$
が成り立つ。同様に、
$$
v\in D(\sqrt{A}),\quad \lim_{n\rightarrow\infty}\lVert \sqrt{A}v_n-\sqrt{A}v\rVert_2=0
$$
も成り立つので、$p_{\mathcal{A}}\colon \mathcal{V}\times \mathcal{V}\rightarrow\mathbb{C}$ の有界準双線形性より、
$$
p_{\mathcal{A}}(u,v)=\lim_{n\rightarrow\infty}p_{\mathcal{A}}(u_n,v_n)=\lim_{n\rightarrow\infty}(u_n\mid Av_n)_2
=\lim_{n\rightarrow\infty}(\sqrt{A}u_n\mid \sqrt{A}v_n)_2=(\sqrt{A}u\mid \sqrt{A}v)_2
$$
が成り立つ。以上で、
$$
\mathcal{V}\subset D(\sqrt{A}),\quad p_{\mathcal{A}}(u,v)=(\sqrt{A}u\mid \sqrt{A}v)_2\quad(\forall u,v\in \mathcal{V})
$$
が示された。後は $D(\sqrt{A})\subset \mathcal{V}$ を示せばよい。任意の $u\in D(\sqrt{A})$ を取る。[[Hilbert空間上の作用素論]]の'''定理3.10'''より $D(A)$ は $\sqrt{A}$ の芯であるから、$D(A)$ の列 $(u_n)_{n\in \mathbb{N}}$ で、
$$
\lim_{n\rightarrow\infty}\lVert u-u_n\rVert_2=0,\quad \lim_{n\rightarrow\infty}\lVert \sqrt{A}u-\sqrt{A}u_n\rVert_2=0
$$
を満たすものが取れる。ここで一様楕円性条件よりある正実数 $C$ に対し、
$$
\lVert \sqrt{A}u_n-\sqrt{A}u_m\rVert_2^2=p_{\mathcal{A}}(u_n-u_m,u_n-u_m)\geq C\lVert \nabla(u_n-u_m)\rVert_{2}^2\quad(\forall n,m\in \mathbb{N})
$$
となるので、
$$
\lVert u_n-u_m\rVert_{2,1}^2=\lVert u_n-u_m\rVert_2^2+\lVert \nabla(u_n-u_m)\rVert_2^2\rightarrow0\quad(n,m\rightarrow\infty)
$$
が成り立つ。よって $(u_n)_{n\in \mathbb{N}}$ はHilbert空間 $(\mathcal{V},(\cdot\mid\cdot)_{2,1})$ において収束するので $u\in \mathcal{V}$ である。ゆえに $D(\sqrt{A})\subset \mathcal{V}$ が成り立つ。
{{end|proof}}

===定義3.5（差分商）===
任意の $h\in \mathbb{R}\backslash\{0\}$, $j\in \{1,\ldots,N\}$, $u\colon \mathbb{R}^N\rightarrow \mathbb{C}$ に対し、
$$
\tau_{j,h}u\colon \mathbb{R}^N\rightarrow\mathbb{C},\quad \partial_{j,h}u\colon \mathbb{R}^N\rightarrow\mathbb{C}
$$
を、
$$
\tau_{j,h}u(x)\colon=u(x+he_j),\quad \partial_{j,h}u(x)\colon=\frac{1}{h}(u(x+he_j)-u(x))\quad(\forall x\in \mathbb{R}^N)
$$
と定義する（ただし $(e_1,\ldots,e_N)$ は $\mathbb{R}^N$ の標準基底である）。また任意の多重指数 $\alpha\in \mathbb{Z}_+^N$ と任意の $h\in \mathbb{R}\backslash \{0\}$, $u\colon \mathbb{R}^N\rightarrow\mathbb{C}$ に対し、
$$
\tau_{h}^{\alpha}u\colon=\tau_{1,h}^{\alpha_1}\cdots\tau_{N,h}^{\alpha_N}u,\quad
\partial_h^{\alpha}u\colon=\partial_{1,h}^{\alpha_1}\cdots\partial_{N,h}^{\alpha_N}u
$$
と定義する。

===命題3.6（差分商に関するLeibnizルール）===
任意の $u,v\colon \mathbb{R}^N\rightarrow\mathbb{C}$、任意の多重指数 $\alpha\in \mathbb{Z}_+^N$、任意の $h\in \mathbb{R}\backslash\{0\}$ に対し、
$$
\partial_{h}^{\alpha}(uv)=\sum_{\beta\leq\alpha}\begin{pmatrix}\alpha\\\beta\end{pmatrix}(\partial_h^{\beta}u)(\tau_h^{\beta}\partial_{h}^{\alpha-\beta}v)
$$
が成り立つ。
{{begin|proof}}
任意の $j\in \{1,\ldots,N\}$ を取り固定する。任意の $n\in \mathbb{Z}_+$ に対し、
$$
\partial_{j,h}^n(uv)=\sum_{k=0}^{n}\begin{pmatrix}n\\k\end{pmatrix}(\partial_{j,h}^{k}u)(\tau_{j,h}^{k}\partial_{j,h}^{n-k}v)\quad\quad(*)
$$
が成り立つことを帰納法により示す。$n=0,1$ の場合に成り立つことは明らかである。$(*)$ がある $n\in \mathbb{N}$ について成り立つと仮定する。
$$
\begin{pmatrix}n\\k-1\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}n\\k\end{pmatrix}
=\frac{n!}{(k-1)!(n+1-k)!}+\frac{n!}{k!(n-k)!}=\frac{(n+1)!}{k!(n+1-k)!}=\begin{pmatrix}n+1\\k\end{pmatrix}
$$
であるから、
$$
\begin{aligned}
\partial_{j,h}^{n+1}(uv)&=\partial_{j,h}\partial_{j,h}^n(uv)=\partial_{j,h}\sum_{k=0}^{n}\begin{pmatrix}n\\k\end{pmatrix}(\partial_{j,h}^{k}u)(\tau_{j,h}^{k}\partial_{j,h}^{n-k}v)\\
&=\sum_{k=0}^{n}\begin{pmatrix}n\\k\end{pmatrix}(\partial_{j,h}^{k+1}u)(\tau_{j,h}^{k+1}\partial_{j,h}^{n-k}v)+\sum_{k=0}^{n}\begin{pmatrix}n\\k\end{pmatrix}(\partial_{j,h}^ku)(\tau_{j,h}\partial_{j,h}^{n+1-k}v)\\
&=(\partial_{j,h}^{n+1}u)(\tau_{j,h}^{n+1}v)+u(\partial_{j,h}^{n+1}v)+\sum_{k=1}^{n}\left(\begin{pmatrix}n\\k-1\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}n\\k\end{pmatrix}\right)
(\partial_{j,h}^{k}u)(\tau_{j,h}^k\partial_{j,h}^{n+1-k}v)\\
&=\sum_{k=0}^{n+1}\begin{pmatrix}n+1\\k\end{pmatrix}(\partial_{j,h}^{k}u)(\tau_{j,h}^k\partial_{j,h}^{n+1-k}v)
\end{aligned}
$$
となる。よって $(*)$ は $n+1$ の場合も成り立つので、帰納法より $(*)$ は任意の $n\in\mathbb{Z}_+$ に対して成り立つ。これより、
$$
\begin{aligned}
\partial_{h}^{\alpha}(uv)&=\partial_{1,h}^{\alpha_1}\cdots\partial_{N,h}^{\alpha_N}(uv)
=\partial_{1,h}^{\alpha_1}\cdots\partial_{N-1,h}^{\alpha_{N-1}}\sum_{\beta_N\leq \alpha_N}\begin{pmatrix}\alpha_N\\\beta_N\end{pmatrix}(\partial_{N,h}^{\beta_N}u)(\tau_{N,h}^{\beta_N}\partial_{N,h}^{\alpha_N-\beta_N}v)\\
&=\cdots=\sum_{\beta\leq \alpha}\begin{pmatrix}\alpha\\\beta\end{pmatrix}(\partial_h^{\beta}u)(\tau_h^{\beta}\partial_h^{\alpha-\beta}v)
\end{aligned}
$$
となる。
{{end|proof}}

===補題3.7===
任意の $u,v\in L^2(\mathbb{R}^N)$、任意の $h\in \mathbb{R}\backslash \{0\}$、任意の $j\in\{1,\ldots,N\}$ に対し、
$$
\int_{\mathbb{R}^N}\partial_{j,h}u(x)v(x)dx=-\int_{\mathbb{R}^N}u(x)\partial_{j,-h}v(x)dx
$$
が成り立つ。
{{begin|proof}}
Lebesgue測度の平行移動不変性より、
$$
\begin{aligned}
\int_{\mathbb{R}^N}\partial_{j,h}u(x)v(x)dx
&=\int_{\mathbb{R}^N}\frac{u(x+he_j)-u(x)}{h}v(x)dx=-\int_{\mathbb{R}^N}u(x)\frac{v(x-he_j)-v(x)}{-h}dx\\
&=-\int_{\mathbb{R}^N}u(x)\partial_{j,-h}v(x)dx.
\end{aligned}
$$
{{end|proof}}

===補題3.8===
$u\in L^2(\mathbb{R}^N)$ とする。
*$(1)$　ある $m\in \mathbb{N}$ に対し $u\in H^m(\mathbb{R}^N)$ ならば、$\lvert\alpha\rvert\leq m$ を満たす任意の $\alpha\in \mathbb{Z}_+^N$ に対し、
$$
\lVert \partial_h^{\alpha}u\rVert_2\leq \lVert \partial^{\alpha}u\rVert_2\quad(\forall h\in\mathbb{R}\backslash \{0\})
$$
が成り立つ。
*$(2)$　ある多重指数 $\alpha\in \mathbb{Z}_+^N$ に対し、$C\in [0,\infty)$ と $\delta\in (0,\infty)$ が存在し、
$$
\lVert \partial_h^{\alpha}u\rVert_2\leq C\quad(\forall h\in \mathbb{R}:0<\lvert h\rvert<\delta)
$$
が成り立つならば、$\partial^{\alpha}u\in L^2(\mathbb{R}^N), \lVert \partial^{\alpha}u\rVert_2\leq C$ が成り立つ。
{{begin|proof}}
*$(1)$　$\lvert \alpha\rvert\leq m$ なる多重指数 $\alpha\in \mathbb{Z}_+^N$ を取り、
$$
\partial^{\alpha}=\partial_{j_1}\cdots\partial_{j_{\lvert\alpha\rvert}}
$$
なる $j_1,\ldots,j_{\lvert\alpha\rvert}\in \{1,\ldots,N\}$ を取る。このとき任意の $h\in \mathbb{R}\backslash \{0\}$ と任意の $\varphi\in D(\mathbb{R}^N)$ に対し微積分学の基本定理より、
$$
\partial_{-h}^{\alpha}\varphi(x)=\partial_{j_1,-h}\cdots\partial_{j_{\lvert\alpha\rvert},-h}\varphi(x)
=\int_{[0,1]^{\lvert\alpha\rvert}}\partial^{\alpha}\varphi\left(x-\sum_{k=1}^{\lvert\alpha\rvert}t_khe_{j_k}\right)dt_{1}\cdots dt_{\lvert\alpha\rvert}\quad(\forall x\in \mathbb{R}^N)
$$
と表せるから、'''補題3.7'''とFubiniの定理より、
$$
\begin{aligned}
&\left\lvert\int_{\mathbb{R}^N}\partial_h^{\alpha}u(x)\varphi(x)dx\right\rvert=\left\lvert \int_{\mathbb{R}^N}u(x)\partial_{-h}^{\alpha}\varphi(x)dx\right\rvert\\
&=\left\lvert\int_{\mathbb{R}^N}u(x)\left(\int_{[0,1]^{\lvert\alpha\rvert}}\partial^{\alpha}\varphi\left(x-\sum_{k=1}^{\lvert\alpha\rvert}t_khe_{j_k}\right)dt_{1}\cdots dt_{\lvert\alpha\rvert}\right)dx\right\rvert\\
&=\left\lvert \int_{[0,1]^{\lvert\alpha\rvert}}\left(\int_{\mathbb{R}^N}u(x)\partial^{\alpha}\varphi\left(x-\sum_{k=1}^{\lvert\alpha\rvert}t_khe_{j_k}\right)dx\right)dt_1\cdots dt_{\lvert\alpha\rvert}\right\rvert\\
&=\left\lvert \int_{[0,1]^{\lvert\alpha\rvert}}\left(\int_{\mathbb{R}^N}\partial^{\alpha}u(x)\varphi\left(x-\sum_{k=1}^{\lvert\alpha\rvert}t_khe_{j_k}\right)dx\right)dt_1\cdots dt_{\lvert\alpha\rvert}\right\rvert\\
&\leq \lVert \partial^{\alpha}u\rVert_2\lVert\varphi\rVert_2\quad(\forall h\in \mathbb{R}\backslash \{0\},\forall \varphi\in D(\mathbb{R}^N))\quad\quad(*)
\end{aligned}
$$
となる。そしてRieszの定理と $D(\mathbb{R}^N)$ の $L^2(\mathbb{R}^N)$ における稠密性より、
$$
\lVert \partial^{\alpha}_hu\rVert_2=\sup\left\{\left\lvert\int_{\mathbb{R}^N}\partial_h^{\alpha}u(x)\varphi(x)dx\right\rvert:\varphi\in D(\mathbb{R}^N),\lVert \varphi\rVert_2\leq1\right\}\leq \lVert\partial^{\alpha}u\rVert_2
$$
が成り立つ。
*$(2)$　任意の $\varphi\in D(\mathbb{R}^N)$ に対し'''補題3.7'''と $(*)$、Lebesgue優収束定理より、
$$
\begin{aligned}
&\left\lvert \int_{\mathbb{R}^N}\partial_h^{\alpha}u(x)\varphi(x)dx\right\rvert=\left\lvert\int_{\mathbb{R}^N}u(x)\partial_{-h}^{\alpha}\varphi(x)dx\right\rvert\\
&=\left\lvert\int_{\mathbb{R}^N}u(x)\left(\int_{[0,1]^{\lvert\alpha\rvert}}\partial^{\alpha}\varphi\left(x-\sum_{k=1}^{\lvert\alpha\rvert}t_khe_{j_k}\right)dt_{1}\cdots dt_{\lvert\alpha\rvert}\right)dx\right\rvert\\
&\rightarrow \left\lvert\int_{\mathbb{R}^N}u(x)\partial^{\alpha}\varphi(x)dx\right\rvert\quad(\lvert h\rvert\rightarrow0)
\end{aligned}
$$
となる。よって仮定より、
$$
\left\lvert\int_{\mathbb{R}^N}u(x)\partial^{\alpha}\varphi(x)dx\right\rvert
=\lim_{\lvert h\rvert\rightarrow0}\left\lvert \int_{\mathbb{R}^N}\partial_h^{\alpha}u(x)\varphi(x)dx\right\rvert\leq C\lVert \varphi\rVert_2\quad(\forall \varphi\in D(\mathbb{R}^N))
$$
であるから、
$$
(D(\mathbb{R}^N),\lVert \cdot\rVert_2)\ni \varphi\mapsto (-1)^{\lvert\alpha\rvert}\int_{\mathbb{R}^N}u(x)\partial^{\alpha}\varphi(x)dx\in \mathbb{C}
$$
はノルムが $C$ 以下の有界線形汎関数である。$D(\mathbb{R}^N)$ の $L^2(\mathbb{R}^N)$ における稠密性よりこれはHilbert空間 $L^2(\mathbb{R}^N)$ 上のノルムが $C$ 以下の有界線形汎関数に一意拡張できるので、Rieszの定理より $f\in L^2(\mathbb{R}^N)$ で、
$$
(-1)^{\lvert\alpha\rvert}\int_{\mathbb{R}^N}u(x)\partial^{\alpha}\varphi(x)dx=
\int_{\mathbb{R}^N}f(x)\varphi(x)dx\quad(\forall \varphi\in D(\mathbb{R}^N)),\quad
\lVert f\rVert_2\leq C
$$
を満たすものが定まる。よって $\partial^{\alpha}u=f\in L^2(\mathbb{R}^N)$ であり、$\lVert \partial^{\alpha}u\rVert_2=\lVert f\rVert_2\leq C$ である。
{{end|proof}}

===定理3.9（全空間上の一様楕円型微分作用素の基本的性質）===
$\mathbb{R}^N$ 上の一様楕円型微分作用素（'''定義3.1'''）
$$
\mathcal{A}\colon D'(\mathbb{R}^N)\ni v\mapsto -\sum_{i,j=1}^{N}\partial_i(a_{i,j}\partial_jv)+bv\in D'(\mathbb{R}^N)
$$
に対し、
$$
p_{\mathcal{A}}(u,v)=\sum_{i,j=1}^{N}\int_{\mathbb{R}^N}a_{i,j}(x)\overline{\partial_iu(x)}\partial_jv(x)dx+\int_{\mathbb{R}^N}b(x)\overline{u(x)}v(x)dx\quad(\forall u,v\in H^1(\mathbb{R}^N))
$$
とおき、
$$
D(A)\colon=\{v\in H^1(\mathbb{R}^N):\mathcal{A}v\in L^2(\mathbb{R}^N), (u\mid Av)_2=p_{\mathcal{A}}(u,v)\text{ }(\forall u\in H^1(\mathbb{R}^N))\},
$$
$$
A\colon D(A)\ni v\mapsto \mathcal{A}v\in L^2(\mathbb{R}^N)
$$
とおく。また $\lambda_0\colon=\inf_{x\in \mathbb{R}^N}b(x)\in \mathbb{R}$ とおく。このとき、
*$(1)$　$A$ はHilbert空間 $L^2(\mathbb{R}^N)$ 上の下に有界な自己共役作用素であり、$\sigma(A)\subset [\lambda_0,\infty)$ が成り立つ。また任意の $\lambda\in (-\infty,\lambda_0)$ に対し、
$$
(A-\lambda)^{-1}\in \mathbb{B}(L^2(\mathbb{R}^N),H^1(\mathbb{R}^N))
$$
が成り立つ。
*$(2)$　$\lambda_0\geq0$ の場合は $A$ はHilbert空間 $L^2(\mathbb{R}^N)$ 上の非負自己共役作用素であり、
$$
D(\sqrt{A})=H^1(\mathbb{R^N}),\quad p_{\mathcal{A}}(u,v)=(\sqrt{A}u\mid\sqrt{A}v)_2\quad(\forall u,v\in H^1(\mathbb{R}^N))
$$
が成り立つ。
*$(3)$　$v\in D(A)$ がある $m\in \mathbb{Z}_+$ に対し $Av\in H^m(\mathbb{R}^N)$ を満たすならば、$v\in H^{m+2}(\mathbb{R}^N)$ が成り立つ。さらに $A,m$ のみによる正実数 $C$ が存在し、
$$
\lVert v\rVert_{2,m+2}\leq C(\lVert Av\rVert_{2,m}+\lVert v\rVert_2)
$$
が成り立つ。
*$(4)$　$D(A)=H^2(\mathbb{R}^N)$ が成り立つ。
{{begin|proof}}
*$(1),(2)$　'''定理3.4'''による。
*$(3)$　$m\in \mathbb{Z}_+$ に関する帰納法より $v\in D(A)$ が $m\in \mathbb{Z}_+$ に対し、
$$
Av\in H^m(\mathbb{R}^N),\quad v\in H^{m+1}(\mathbb{R}^N)
$$
を満たすと仮定して、$v\in H^{m+2}(\mathbb{R}^N)$ であることと、$a_{i,j},b,m$ のみによるある正実数 $C$ で、
$$
\lVert v\rVert_{2,m+2}\leq C(\lVert Av\rVert_{2,m}+\lVert v\rVert_{2,m+1})
$$
を満たすものが存在することを示せば十分である。<ref>一様楕円性条件よりある正実数$C_0$が存在し任意の$v\in D(A)$に対し$\lVert v\rVert_{2,1}\leq C_0(\lVert Av\rVert_2+\lVert v\rVert_2)$が成り立つことに注意。実際、'''定理3.4'''の$(1)$の証明の冒頭部分より、$\lambda<\lambda_0$ なる$\lambda$をとれば、$(v\mid (A-\lambda)v)_2=p_{{\cal A}-\lambda}(v,v)\geq C'\lVert v\rVert_{2,1}^2$ なる正実数$C'$が存在する。</ref>
$$
p(u,v)\colon=\sum_{i,j=1}^{N}\int_{\mathbb{R}^N}a_{i,j}(x)\overline{\partial_iu(x)}\partial_jv(x)dx\quad(\forall u,v\in H^1(\mathbb{R}^N))
$$
とおく。$\lvert\alpha\rvert\leq m+1$ なる任意の多重指数 $\alpha\in \mathbb{Z}_+^N$ を取り固定する。任意の $h\in \mathbb{R}\backslash \{0\}$ と任意の $u\in D(\mathbb{R}^N)$ に対し、'''補題3.7'''と'''命題3.6'''より、
$$
\begin{aligned}
p(u,\partial_h^{\alpha}v)&=\sum_{i,j=1}^{N}\int_{\mathbb{R}^N}a_{i,j}(x)
\partial_i \overline{u}(x)\partial_h^{\alpha}\partial_jv(x)dx=(-1)^{\lvert\alpha\rvert}\sum_{i,j=1}^{N}\int_{\mathbb{R}^N}\partial_{-h}^{\alpha}(a_{i,j}\partial_i\overline{u})(x)\partial_jv(x)dx\\
&=(-1)^{\lvert\alpha\rvert}p(\partial_{-h}^{\alpha}u,v)+(-1)^{\lvert\alpha\rvert}\sum_{0<\beta\leq\alpha}\begin{pmatrix}\alpha\\\beta\end{pmatrix}\int_{\mathbb{R}^N}\partial_{-h}^{\beta}a_{i,j}(x)\partial_{-h}^{\alpha-\beta}\tau_{-h}^{\beta}\partial_i\overline{u}(x)\partial_jv(x)dx\\
&=(-1)^{\lvert\alpha\rvert}\int_{\mathbb{R}^N}\partial_{-h}^{\alpha}\overline{u}(x)(Av-bv)(x)dx
+\sum_{0<\beta\leq\alpha}\begin{pmatrix}\alpha\\\beta\end{pmatrix}(-1)^{\lvert\beta\rvert}\int_{\mathbb{R}^N}\tau_{-h}^{\beta}\partial_i\overline{u}(x)\partial_h^{\alpha-\beta}(\partial_{-h}^{\beta}a_{i,j}\partial_jv)(x)dx
\end{aligned}
$$
となるから、'''補題3.7'''と'''補題3.8'''より、$a_{i,j},b,\alpha$ のみによる正実数 $C_1$ が存在し、
$$
\lvert p(u,\partial_h^{\alpha}v)\rvert\leq C_1(\lVert Av\rVert_{2,m}+\lVert v\rVert_{2,m+1})\lVert u\rVert_{2,1}\quad(\forall h\in \mathbb{R}\backslash\{0\},\forall u\in D(\mathbb{R}^N))
$$
が成り立つことが分かる。そして $\partial_h^{\alpha}v\in H^{m+1}(\mathbb{R}^N)\subset H^1(\mathbb{R}^N)=\overline{D(\mathbb{R}^N)}^{\lVert \cdot\rVert_{2,1}}$ である（[[Sobolev空間の基本事項]]の'''定理32.2'''）から、上式より、
$$
p(\partial_h^{\alpha}v,\partial_h^{\alpha}v)\leq C_1(\lVert Av\rVert_{2,m}+\lVert v\rVert_{2,m+1})\lVert \partial_h^{\alpha}v\rVert\quad(\forall h\in \mathbb{R}\backslash \{0\})
$$
が成り立つ。また'''補題3.8'''より、
$$
(\partial_h^{\alpha}v\mid \partial_h^{\alpha}v)_2=\lVert \partial_h^{\alpha}v\rVert_2^2\leq \lVert \partial^{\alpha}v\rVert_{2}\lVert \partial_h^{\alpha}v\rVert_2\leq \lVert v\rVert_{2,m+1}\lVert \partial_h^{\alpha}v\rVert_{2,1}\quad(\forall h\in \mathbb{R}\backslash \{0\})
$$
であるから、$a_{i,j},b,\alpha$ のみによる正実数 $C_2$ が存在し、
$$
p(\partial_h^{\alpha}v,\partial_h^{\alpha}v)+(\partial_h^{\alpha}v\mid \partial_h^{\alpha}v)_2
\leq C_2(\lVert Av\rVert_{2,m}+\lVert v\rVert_{2,m+1})\lVert \partial_h^{\alpha}v\rVert_{2,1}\quad(\forall h\in \mathbb{R}\backslash \{0\})
$$
が成り立つ。ここで一様楕円性条件（'''定義3.1'''）より $a_{i,j}$ のみによる正実数 $C_3$ が存在し、
$$
C_3\lVert \partial_h^{\alpha}v\rVert_{2,1}^2\leq p(\partial_h^{\alpha}v,\partial_h^{\alpha}v)+(\partial_h^{\alpha}v\mid \partial_h^{\alpha}v)_2
$$
が成り立つので、上式と合わせて、$a_{i,j},b,\alpha$ のみによる正実数 $C_4$ が存在し、
$$
\lVert \partial_h^{\alpha}v\rVert_{2,1}\leq C_4(\lVert Av\rVert_{2,m}+\lVert v\rVert_{2,m+1})\quad(\forall h\in \mathbb{R}\backslash \{0\})
$$
が成り立つことが分かる。これより、
$$
\lVert \partial_h^{\alpha}\partial_jv\rVert_2\leq C_4(\lVert Av\rVert_{2,m}+\lVert v\rVert_{2,m+1})\quad(\forall h\in \mathbb{R}\backslash \{0\}, \forall j\in \{1,\ldots,N\})
$$
であるから、'''補題3.8'''の $(2)$ より $\partial^{\alpha}\partial_jv\in L^2(\mathbb{R}^N)$ $(j=1,\ldots,N)$ であり、
$$
\lVert \partial^{\alpha}\partial_jv\rVert_2\leq C_4(\lVert Av\rVert_{2,m}+\lVert v\rVert_{2,m+1})\quad(\forall j\in \{1,\ldots,N\})
$$
が成り立つ。よって $\alpha$ の任意性より $v\in H^{m+2}(\mathbb{R}^N)$ であり、求める結果を得る。
*$(4)$　$(3)$ より $D(A)\subset H^2(\mathbb{R}^N)$ である。逆に $v\in H^2(\mathbb{R}^N)$ ならば、
$$
\mathcal{A}v=-\sum_{i,j=1}^{N}\partial_i(a_{i,j}\partial_jv)+bv\in L^2(\mathbb{R}^N)
$$
であり、任意の $u\in D(\mathbb{R}^N)$ に対し、
$$
\begin{aligned}
p_{\mathcal{A}}(u,v)&=\sum_{i,j=1}^{N}\int_{\mathbb{R}^N}a_{i,j}(x)\partial_i\overline{u}(x)\partial_jv(x)dx+\int_{\mathbb{R}^N}b(x)\overline{u}(x)v(x)dx\\
&=-\sum_{i,j=1}^{N}\int_{\mathbb{R}^N}\overline{u}(x)\partial_i(a_{i,j}\partial_jv)(x)dx+\int_{\mathbb{R}^N}b(x)\overline{u}(x)v(x)dx\\
&=(u\mid \mathcal{A}v)_2
\end{aligned}
$$
である。よって $H^1(\mathbb{R}^N)=\overline{D(\mathbb{R}^N)}^{\lVert \cdot\rVert_{2,1}}$（[[Sobolev空間の基本事項]]の'''定理32.2'''）より、
$$
p_{\mathcal{A}}(u,v)=(u\mid \mathcal{A}v)_{2}\quad(\forall u\in H^1(\mathbb{R}^N))
$$
であるから $v\in D(A)$ である。ゆえに $D(A)=H^2(\mathbb{R}^N)$ が成り立つ。
{{end|proof}}

===補題3.10（内部正則性）===
$\Omega\subset \mathbb{R}^N$ を開集合とし、$\Omega$ 上の一様楕円型微分作用素（'''定義3.1'''）
$$
\mathcal{A}\colon D'(\Omega)\ni v\mapsto -\sum_{i,j=1}^{N}\partial_i(a_{i,j}\partial_jv)+bv\in D'(\Omega)
$$
を考える。そして $v$ が $m\in \mathbb{Z}_+$ に対し、
$$
v\in H^{m+1}(\Omega),\quad \mathcal{A}v\in H^m(\Omega)
$$
を満たすとする。このとき、
$$
d(\Omega_0,\mathbb{R}^N\backslash \Omega)>0
$$
を満たす任意の開集合 $\Omega_0\subset \Omega$ に対し、$v$ の $\Omega_0$ 上への制限 $v|_{\Omega_0}$ は、 $$v|_{\Omega_0}\in H^{m+2}(\Omega_0)$$ を満たし、$a_{i,j},b,m,\Omega_0$ のみによる正実数 $C$ が存在し、
$$
\lVert v|_{\Omega_0}\rVert_{2,m+2}\leq C(\lVert \mathcal{A}v\rVert_{2,m}+\lVert v\rVert_{2,m+1})
$$
が成り立つ。
{{begin|proof}}
$$
r\colon=d(\Omega_0,\mathbb{R}^N\backslash \Omega)>0
$$
とおき、
$$
0\colon=r_0<r_1<r_2<r_3<r_4< r,\quad \Omega_k\colon=\{x\in \mathbb{R}^N:d(x,\Omega_0)<r_k\}\quad(k=1,2,3,4),
$$
$$
\delta\colon=\frac{1}{m+1}{\rm min}(r_1-r_0,r_2-r_1,r_3-r_2,r_4-r_3)>0\quad\quad(1)
$$
とおく。このとき $\Omega_1,\Omega_2,\Omega_3,\Omega_4$ は開集合であり（[[超関数の定義と基本操作]]の'''命題2.2'''）、
$$
\Omega_0\subset \Omega_1\subset \Omega_2\subset \Omega_3\subset \Omega_4\subset \Omega,
$$
$$
d(\Omega_{k-1},\mathbb{R}^N\backslash \Omega_k)\geq r_k-r_{k-1}>0\quad(k=1,2,3,4)\quad\quad(2)
$$
である。特に $d(\Omega_0,\mathbb{R}^N\backslash \Omega_1)>0$ であるから [[Sobolev空間の基本事項]]の'''補題33.1'''より全ての偏導関数が有界な $C^\infty$ 級関数 $\rho\colon\mathbb{R}^N\rightarrow [0,\infty)$ で、
$$
\rho|_{\Omega_0}=1,\quad {\rm supp}(\rho)\subset \Omega_1\quad\quad(3)
$$
を満たすものが取れる。$\rho v\in H^{m+1}(\Omega)$ に対し ${\rm supp}(\rho v)\subset {\rm supp}(\rho)\subset \Omega_1$ より、
$$
d({\rm supp}(\rho u), \mathbb{R}^N\backslash \Omega)\geq d(\Omega_1,\mathbb{R}^N\backslash \Omega)\geq r-r_1>0
$$
であるから、[[Sobolev空間の基本事項]]の'''定理33.3'''より $\rho v$ の $\mathbb{R}^N$ 上への $0$ 拡張を $w$ とおくと、
$$
w\in H^{m+1}(\mathbb{R}^N),\quad {\rm supp}(w)={\rm supp}(\rho v)\subset {\rm supp}(\rho)\subset \Omega_1,\quad \lVert w\rVert_{2,m+1}=\lVert\rho v\rVert_{2,m+1}\quad\quad(4)
$$
が成り立つ。今、
$$
p(u_1,u_2)\colon=\sum_{i,j=1}^{N}\int_{\Omega}a_{i,j}(x)\partial_i\overline{u_1}(x)\partial_ju_2(x)dx\quad(\forall u_1,u_2\in H^1(\Omega))
$$
とおき、$a_{i,j}\colon \Omega\rightarrow \mathbb{C}$ を $\mathbb{R}^N$ 上へ $0$ 拡張したものを $\widetilde{a_{i,j}}\colon \mathbb{R}^N\rightarrow\mathbb{C}$ とおく。そして $\lvert\alpha\rvert\leq m+1$ を満たす任意の多重指数 $\alpha\in \mathbb{Z}_+^N$ を取り固定する。$0<\lvert h\rvert <\delta$ を満たす任意の $h\in \mathbb{R}$ と任意の $u\in D(\Omega)\subset D(\mathbb{R}^N)$ に対し、'''補題3.7'''と'''命題3.6'''より、
$$
\begin{aligned}
&p(u,(\partial_h^{\alpha}w)|_{\Omega})=\sum_{i,j=1}^{N}\int_{\mathbb{R}^N}\widetilde{a_{i,j}}(x)\partial_i\overline{u}(x)\partial_h^{\alpha}\partial_jw(x)dx=(-1)^{\lvert\alpha\rvert}\sum_{i,j=1}^{N}\int_{\mathbb{R}^N}\partial_jw(x)\partial_{-h}^{\alpha}(\widetilde{a_{i,j}}\partial_i\overline{u})(x)dx\\
&=(-1)^{\lvert\alpha\rvert}\sum_{i,j=1}^{N}\left(\int_{\mathbb{R}^N}\partial_jw(x)\widetilde{a_{i,j}}(x)\partial_{-h}^{\alpha}\partial_i\overline{u}(x)dx+\sum_{0<\beta\leq\alpha}\begin{pmatrix}\alpha\\\beta\end{pmatrix}\int_{\mathbb{R}^N}\partial_jw(x)\partial_{-h}^{\beta}\widetilde{a_{i,j}}(x)\partial_{-h}^{\alpha-\beta}\tau_{-h}^{\beta}\partial_i\overline{u}(x)dx\right)\\
&=(-1)^{\lvert\alpha\rvert}p(\partial_{-h}^{\alpha}u,\rho v)+\sum_{i,j=1}^{N}\sum_{0<\beta\leq\alpha}\begin{pmatrix}\alpha\\\beta\end{pmatrix}(-1)^{\lvert\beta\rvert}\int_{\mathbb{R}^N}\partial_h^{\alpha-\beta}(\partial_jw\partial_{-h}^{\beta}\widetilde{a_{i,j}})(x)\tau_{-h}^{\beta}\partial_i\overline{u}(x)dx\quad\quad(5)
\end{aligned}
$$
となる。$(5)$ の右辺の第二項の評価を考える。$(4)$ より ${\rm supp}(w)\subset \Omega_1$ であるから、$0<\lvert h\rvert<\delta$ であることと $(1),(2)$ より $0<\beta\leq \alpha$ なる任意の多重指数 $\beta\in \mathbb{Z}_+^N$ に対し $\partial_{h}^{\alpha-\beta}(\partial_jw\partial_{-h}^{\beta}\widetilde{a_{i,j}})$ の台は $\Omega_2$ に含まれるので、'''命題3.6'''と'''補題3.8'''の $(1)$ より、
$$
\begin{aligned}
&\lVert \partial_{h}^{\alpha-\beta}(\partial_jw\partial_{-h}^{\beta}\widetilde{a_{i,j}})\rVert_2
=\lVert (\partial_{h}^{\alpha-\beta}(\partial_jw\partial_{-h}^{\beta}\widetilde{a_{i,j}}))|_{\Omega_2}\rVert_2\leq \sum_{\gamma\leq\alpha-\beta}\begin{pmatrix}\alpha-\beta\\\gamma\end{pmatrix}\lVert (\partial_h^{\alpha-\beta-\gamma}\partial_jw)|_{\Omega_2}(\tau_h^{\alpha-\beta-\gamma}\partial_h^{\gamma}\partial_{-h}^{\beta}\widetilde{a_{i,j}})|_{\Omega_2}\rVert_2\\
&\leq \sum_{\gamma\leq\alpha-\beta}\begin{pmatrix}\alpha-\beta\\\gamma\end{pmatrix}\lVert (\partial_h^{\alpha-\beta-\gamma}\partial_jw)|_{\Omega_2}\rVert_2\lVert (\partial_h^{\gamma}\partial_{-h}^{\beta}\widetilde{a_{i,j}})|_{\Omega_3}\rVert_{\infty}
\leq \sum_{\gamma\leq\alpha-\beta}\begin{pmatrix}\alpha-\beta\\\gamma\end{pmatrix}\lVert (\partial^{\alpha-\beta-\gamma}\partial_jw)\rVert_2\lVert (\partial^{\gamma}\partial^{\beta}a_{i,j})|_{\Omega_4}\rVert_{\infty}\\
&\leq \sum_{\gamma\leq\alpha-\beta}\begin{pmatrix}\alpha-\beta\\\gamma\end{pmatrix}\lVert w\rVert_{2,m+1}\lVert \partial^{\gamma}\partial^{\beta}a_{i,j}\rVert_{\infty}=
\sum_{\gamma\leq\alpha-\beta}\begin{pmatrix}\alpha-\beta\\\gamma\end{pmatrix}\lVert \rho v\rVert_{2,m+1}\lVert \partial^{\gamma}\partial^{\beta}a_{i,j}\rVert_{\infty}
\end{aligned}
$$
となる。よって $\rho,a_{i,j},\alpha$ のみによる正数 $C_1$ が存在し、
$$
\begin{aligned}
&\lvert\lvert p(u,(\partial_h^{\alpha}w)|_{\Omega})-(-1)^{\lvert\alpha\rvert}p(\partial_{-h}^{\alpha}u,\rho v)\rvert=(\text{$(5)$ の右辺の第二項})\\
&\leq C_1\lVert v\rVert_{2,m+1}\lVert u\rVert_{2,1}\quad(\forall h\in \mathbb{R}:0<\lvert h\rvert<\delta,\forall u\in D(\Omega))\quad\quad(6)
\end{aligned}
$$
が成り立つ。今、
$$
\begin{aligned}
p(u,(\partial_h^{\alpha}w)|_{\Omega})&=\{p(u,(\partial_h^{\alpha}w)|_{\Omega})-(-1)^{\lvert\alpha\rvert}p(\partial_{-h}^{\alpha}u,\rho v)\}\\
&+(-1)^{\lvert\alpha\rvert}(p(\partial_{-h}^{\alpha}u,\rho v)-p(\rho\partial_h^{\alpha}u,v))\\
&+(-1)^{\lvert\alpha\rvert}\int_{\Omega}(\mathcal{A}v-bv)(x)\rho(x)\partial_{-h}^{\alpha}\overline{u}(x)dx\\
&(\forall h\in \mathbb{R}:0<\lvert h\rvert<\delta,\forall u\in D(\Omega))\quad\quad(7)
\end{aligned}
$$
<ref>$\rho$ は滑らかで ${\rm supp}(\rho)\subset \Omega_1$ であるから、$\rho\partial_{-h}^{\alpha}\overline{u}\in D(\Omega)$ であること、任意の $\varphi\in D(\Omega)$ に対し $p(\varphi,v)=\int_{\Omega}(\mathcal{A}v-bv)(x)\overline{\varphi}(x)dx$ であることに注意。</ref>であり、$(6)$ は $(7)$ の右辺の第一項の評価を与えている。$(7)$ の右辺の第三項の評価を考える。$(\mathcal{A}v-bv)\rho\in H^m(\Omega)$ であり、$(3)$ より、
$$
d({\rm supp}((\mathcal{A}v-bv)\rho),\mathbb{R}^N\backslash \Omega)\geq d(\Omega_1,\mathbb{R}^N\backslash \Omega)\geq r-r_1>0
$$
であるから、[[Sobolev空間の基本事項]]の'''定理33.3'''より、$(\mathcal{A}v-bv)\rho\in H^m(\Omega)$ の $\mathbb{R}^N$ 上への $0$ 拡張 $\widetilde{(\mathcal{A}v-bv)\rho}$ は、
$$
\widetilde{(\mathcal{A}v-bv)\rho}\in H^m(\mathbb{R}^N),\quad \lVert \widetilde{(\mathcal{A}v-bv)\rho}\rVert_{2,m}=\lVert (\mathcal{A}v-bv)\rho\rVert_{2,m}
$$
を満たす。よって'''補題3.7'''と'''補題3.8'''の $(2)$ より、
$$
\begin{aligned}
&\lvert \text{$(7)$ の右辺の第三項}\rvert=\left\lvert \int_{\Omega}(\mathcal{A}v-bv)(x)\rho(x)\partial_{-h}^{\alpha}\overline{u}(x)dx\right\rvert
=\left\lvert\int_{\mathbb{R^N}}\widetilde{(\mathcal{A}v-bv)\rho}(x)\partial_{-h}^{\alpha}\overline{u}(x)dx\right\rvert\\
&\leq \lVert \widetilde{(\mathcal{A}v-bv)\rho}\rVert_{2,m}\lVert u\rVert_{2,1}=\lVert(\mathcal{A}v-bv)\rho\rVert_{2,m}\lVert u\rVert_{2,1}\leq C_3(\lVert \mathcal{A}v\rVert_{2,m}+\lVert v\rVert_{2,m})\lVert u\rVert_{2,1}\quad\quad(8)
\end{aligned}
$$
と評価できる（ただし $C_3$ は $\rho,b,m$ のみによる正実数である）。$(7)$ の右辺の第二項の評価を考える。
$$
\begin{aligned}
&\lvert \text{$(7)$ の右辺の第二項}\rvert=\lvert p(\partial_{-h}^{\alpha}u,\rho v)-p(\rho\partial_h^{\alpha}u,v)\rvert\\
&=\left\lvert \sum_{i,j=1}^{N}\left(\int_{\Omega}a_{i,j}(x)\partial_j(\rho v)(x)\partial_{-h}^{\alpha}\partial_i\overline{u}(x)dx-\int_{\Omega}a_{i,j}(x)\partial_jv(x)(\partial_i(\rho\partial_{-h}^{\alpha}\overline{u}))(x)dx\right)\right\rvert\\
&=\left\lvert \sum_{i,j=1}^{N}\left(\int_{\Omega}a_{i,j}(x)v(x)\partial_j\rho(x)\partial_{-h}^{\alpha}\partial_i\overline{u}(x)dx-\int_{\Omega}a_{i,j}(x)\partial_jv(x)\partial_i\rho(x)\partial_{-h}^{\alpha}\overline{u}(x)dx\right)\right\rvert\quad\quad(9)
\end{aligned}
$$
であり、$(3)$ より、
$$
a_{i,j}v\partial_j\rho \in H^{m+1}(\Omega),\quad d({\rm supp}(a_{i,j}v\partial_j\rho,\mathbb{R}^N\backslash \Omega)\geq d({\rm supp}(\rho),\mathbb{R}^N\backslash \Omega)>0,
$$
$$
a_{i,j}\partial_jv\partial_i\rho\in H^{m}(\Omega),\quad d({\rm supp}(a_{i,j}\partial_jv\partial_i\rho),\mathbb{R}^N\backslash \Omega)\geq d({\rm supp}(\rho),\mathbb{R}^N\backslash \Omega)>0
$$
であるから、$a_{i,j}v\partial_j\rho \in H^{m+1}(\Omega)$ の $\mathbb{R}^N$ 上への $0$ 拡張 $\widetilde{(a_{i,j}v)}\partial_j\rho $ と、$a_{i,j}\partial_jv\partial_i\rho\in H^m(\Omega)$ の $\mathbb{R}^N$ 上への $0$ 拡張 $\widetilde{(a_{i,j}\partial_jv)}\partial_i\rho$ は、[[Sobolev空間の基本事項]]の'''定理33.3'''より、
$$
\widetilde{(a_{i,j}v)}\partial_j\rho \in H^{m+1}(\mathbb{R}^N),\quad \lVert \widetilde{(a_{i,j}v)}\partial_j\rho \rVert_{2,m+1}=\lVert a_{i,j}v\partial_j\rho \rVert_{2,m+1},
$$
$$
\widetilde{(a_{i,j}\partial_jv)}\partial_i\rho\in H^m(\mathbb{R}^N),\quad \lVert \widetilde{(a_{i,j}\partial_jv)}\partial_i\rho\rVert_{2,m}=\lVert a_{i,j}\partial_jv\partial_i\rho\rVert_{2,m}
$$
を満たす。よって $(9)$ の右辺は'''補題3.7'''と'''補題3.8'''の $(1)$ より、
$$
\begin{aligned}
&\left\lvert \sum_{i,j=1}^{N}\left(\int_{\Omega}a_{i,j}(x)\partial_j(\rho v)(x)\partial_{-h}^{\alpha}\partial_i\overline{u}(x)dx-\int_{\Omega}a_{i,j}(x)\partial_jv(x)(\partial_i(\rho\partial_{-h}^{\alpha}\overline{u}))(x)dx\right)\right\rvert\\
&=\left\lvert \sum_{i,j=1}^{N}\left(\int_{\mathbb{R}^N}\widetilde{(a_{i,j}v)}(x)\partial_j\rho(x)\partial_{-h}^{\alpha}\partial_i\overline{u}(x)dx-\int_{\mathbb{R}^N}\widetilde{(a_{i,j}\partial_jv)}
(x)\partial_i\rho(x)\partial_{-h}^{\alpha}\overline{u}(x)dx\right)\right\rvert\\
&\leq \sum_{i,j=1}^{N}(\lVert\widetilde{(a_{i,j}v)}\partial_j\rho\rVert_{2,m+1}+\lVert \widetilde{(a_{i,j}\partial_jv)}\partial_i\rho\rVert_{2,m})\lVert u\rVert_{2,1}\\
&\leq \sum_{i,j=1}^{N}(\lVert a_{i,j}v\partial_j\rho\rVert_{2,m+1}+\lVert a_{i,j}\partial_jv\partial_i\rho\rVert_{2,m})\lVert u\rVert_{2,1}\\
&\leq C_2\lVert v\rVert_{2,m+1}\lVert u\rVert_{2,1}
\end{aligned}
$$
（ただし $C_2$ は $a_{i,j},\rho,m$ のみによる正実数である）となるので、
$$
\lVert (\text{$(7)$ の右辺の第二項})\rVert\leq C_2\lVert v\rVert_{2,m+1}\lVert u\rVert_{2,1}\quad\quad(10)
$$
と評価できる。こうして $(7)$ の右辺の第一項、第二項、第三項はそれぞれ $a_{i,j},b,\rho,\alpha,m$ のみによる正実数 $C_1,C_2,C_3$ により $(6),(10),(8)$ によって評価されるので、$a_{i,j},b,\rho,\alpha,m$ のみによる正実数 $C_4$ が存在し、
$$
\lvert p(u,(\partial_h^{\alpha}w)|_{\Omega})\rvert\leq C_4(\lVert \mathcal{A}v\rVert_{2,m}+\lVert v\rVert_{2,m+1})\lVert u\rVert_{2,1}\quad(\forall h\in \mathbb{R},0<\lvert h\rvert<\delta,\forall u\in D(\Omega))\quad\quad(11)
$$
が成り立つ。ここで ${\rm supp}(\omega)\subset \Omega_1$ であることと $(1)$ より、
$$
d({\rm supp}(\partial_h^{\alpha}w),\mathbb{R}^N\backslash \Omega)\geq d(\Omega_2,\mathbb{R}^N\backslash \Omega)\geq r-r_2>0\quad(\forall h\in \mathbb{R},0<\lvert h\rvert<\delta)
$$
であるので、[[Sobolev空間の基本事項]]の'''系33.5'''より、
$$
(\partial_h^{\alpha}w)|_{\Omega}\in H^1_0(\Omega)=\overline{D(\Omega)}^{\lVert \cdot\rVert_{2,1}},\quad \lVert \partial_h^{\alpha}w\rVert_{2,1}=\lVert (\partial_h^{\alpha}w)|_{\Omega}\rVert_{2,1}\quad(\forall h\in \mathbb{R},0<\lvert h\rvert<\delta)\quad\quad(12)
$$
が成り立つ。よって $(12)$ の左の式と $(11)$ より、
$$
p((\partial_h^{\alpha}w)|_{\Omega},(\partial_h^{\alpha}w)|_{\Omega})\leq C_4(\lVert \mathcal{A}v\rVert_{2,m}+\lVert v\rVert_{2,m+1})\lVert (\partial_h^{\alpha}w)|_{\Omega}\rVert_{2,1}\quad(\forall h\in\mathbb{R},0<\lvert h\rvert<\delta)
$$
が成り立つので、一様楕円性条件（'''定義3.1'''）より、$a_{i,j},b,\rho,\alpha,m$ のみによる正実数 $C_5$ が存在し、
$$
\lVert (\partial_h^{\alpha}w)|_{\Omega}\rVert_{2,1}^2\leq C_5(\lVert \mathcal{A}v\rVert_{2,m}+\lVert v\rVert_{2,m+1})\lVert (\partial_h^{\alpha}w)|_{\Omega}\rVert_{2,1}\quad(\forall h\in \mathbb{R},0<\lvert h\rvert<\delta)
$$
が成り立つ。よって $(12)$ の右の式より、
$$
\lVert \partial_h^{\alpha}w\rVert_{2,1}\leq C_5(\lVert \mathcal{A}v\rVert_{2,m}+\lVert v\rVert_{2,m+1})\quad(\forall h\in \mathbb{R},0<\lvert h\rvert<\delta)
$$
が成り立つ。これより、
$$
\lVert \partial_h^{\alpha}\partial_jw\rVert_{2}\leq C_5(\lVert \mathcal{A}v\rVert_{2,m}+\lVert v\rVert_{2,m+1})\quad(\forall h\in \mathbb{R},0<\lvert h\rvert<\delta,\forall j\in \{1,\ldots,N\})
$$
であるから、'''補題3.8'''の $(2)$ より $\partial^{\alpha}\partial_jw\in L^2(\mathbb{R}^N)$ $(j=1,\ldots,N)$ であり、
$$
\lVert \partial^{\alpha}\partial_jw\rVert_2\leq C_5(\lVert \mathcal{A}v\rVert_{2,m}+\lVert v\rVert_{2,m+1})\quad(\forall j\in \{1,\ldots,N\})
$$
が成り立つ。よって $\alpha$ の任意性より $w\in H^{m+2}(\mathbb{R}^N)$ であり、$a_{i,j},b,\rho,m$ のみによる正実数 $C$ が存在し、
$$
\lVert w\rVert_{2,m+2}\leq C(\lVert \mathcal{A}v\rVert_{2,m}+\lVert v\rVert_{2,m+1})
$$
が成り立つ。$(3)$ より $v|_{\Omega_0}=w|_{\Omega_0}$ であるから、
$$
v|_{\Omega_0}=w|_{\Omega_0}\in H^{m+2}(\Omega_0),\quad
\lVert v|_{\Omega_0}\rVert_{2,m+2}\leq \lVert w\rVert_{2,m+2}\leq C(\lVert \mathcal{A}v\rVert_{2,m}+\lVert v\rVert_{2,m+1})
$$
が成り立つ。
{{end|proof}}

===定義3.11===
$Q,Q_+\subset \mathbb{R}^N$ を、
$$
Q\colon=(-1,1)^N,\quad Q_+\colon =(-1,1)^{N-1}\times (0,1)
$$
と定義する。また任意の $\epsilon\in (0,1)$ に対し、
$$
Q_{\epsilon}\colon=(-\epsilon,\epsilon)^N,\quad Q_{\epsilon,+}\colon=(-\epsilon,\epsilon)^{N-1}\times (0,\epsilon)
$$
と定義する。

===補題3.12===
$Q_+\subset \mathbb{R}^N_+=\mathbb{R}^{N-1}\times (0,\infty)$ 上の一様楕円型微分作用素（'''定義3.1'''）
$$
\mathcal{A}\colon D'(Q_+)\ni v\mapsto -\sum_{i,j=1}^{N}-\partial_i(a_{i,j}\partial_jv)\in D'(Q_+)
$$
を考え、
$$
p(u,v)\colon=\sum_{i,j=1}^{N}\int_{Q_+}a_{i,j}(x)\overline{\partial_iu(x)}\partial_jv(x)dx\quad(\forall u,v\in H^1(Q_+))
$$
とおく。そして $m\in \mathbb{Z}_+$ に対し、
$$
v\in H^{m+1}(Q_+),\quad \mathcal{A}v\in H^{m}(Q_+)
$$
が成り立つとし、さらに次のうちのいずれかが成り立つと仮定する。
*$({\rm a})$　任意の $\rho\in D(Q)|_{Q_+}$ に対し $\rho v\in H^1_0(Q_+)$.
*$({\rm b})$　任意の $u\in D(Q)|_{Q_+}$ に対し $p(u,v)=(u\mid \mathcal{A}v)_2$.　
このとき任意の $\epsilon\in (0,1)$ に対し $v|_{Q_{\epsilon,+}}\in H^{m+2}(Q_{\epsilon,+})$ が成り立ち、$\epsilon,a_{i,j},m$ のみによる正実数 $C$ が存在し、
$$
\lVert v|_{Q_{\epsilon,+}}\rVert_{2,m+2}\leq C(\lVert \mathcal{A}v\rVert_{2,m}+\lVert v\rVert_{2,m+1})
$$
が成り立つ。
{{begin|proof}}
任意の $\epsilon\in (0,1)$ を取り固定する。
$$
\epsilon_0\colon=\epsilon<\epsilon_1<\epsilon_2<\epsilon_3<\epsilon_4<1
$$
とおき、
$$
\delta\colon=\frac{1}{m+1}{\rm min}(\epsilon_1-\epsilon_0,\epsilon_2-\epsilon_1,\epsilon_3-\epsilon_2,\epsilon_4-\epsilon_3)>0\quad\quad(1)
$$
とおく。Urysohnの補題（[[ベクトル解析4：Euclid空間内の多様体上の測度と積分]]の'''定理15.5'''）より非負値の $\rho\in D( \mathbb{R}^N)$ で、
$$
\rho|_{Q_{\epsilon}}=1,\quad {\rm supp}(\rho)\subset Q_{\epsilon_1}\quad\quad(2)
$$
を満たすものが取れる。$\rho v\in H^{m+1}(Q_+)$ に対し、
$$
{\rm supp}(\rho v)\subset {\rm supp}(\rho) \cap Q_+\subset Q_{\epsilon_1,+}
$$
より、
$$
d({\rm supp}(\rho v),\mathbb{R}^N_+\backslash Q_{+})\geq d(Q_{\epsilon_1,+},\mathbb{R}^N_+\backslash Q_+)\geq 1-\epsilon_1>0
$$
であるから、[[Sobolev空間の基本事項]]の'''定理33.3'''より $\rho v\in H^{m+1}(Q_+)$ の $\mathbb{R}^N_+$ 上への $0$ 拡張を $w$ とおくと、
$$
w\in H^{m+1}(\mathbb{R}^N_+),\quad {\rm supp}(w)={\rm supp}(\rho v)\subset Q_{\epsilon_1,+},\quad \lVert w\rVert_{2,m+1}=\lVert \rho v\rVert_{2,m+1}\quad\quad(3)
$$
が成り立つ。今、
$$
\lvert \alpha\rvert\leq m+1,\quad \alpha_N=0\quad\quad(4)
$$
を満たす任意の多重指数 $\alpha\in \mathbb{Z}_+^N$ を取り固定する。$a_{i,j}\colon Q_+\rightarrow\mathbb{C}$ の $\mathbb{R}^N$ 上への $0$ 拡張を $\widetilde{a_{i,j}}\colon \mathbb{R}^N\rightarrow\mathbb{C}$ とおく。$0<\lvert h\rvert<\delta$ を満たす任意の $h\in \mathbb{R}$ と任意の $u\in D(Q)|_{Q_+}$ に対し、'''補題3.7'''と'''命題3.6'''より、
$$
\begin{aligned}
&p(u,(\partial_h^{\alpha}w)|_{Q_+})=\sum_{i,j=1}^{N}\int_{\mathbb{R}^N_+}\widetilde{a_{i,j}}(x)\partial_i\overline{u}(x)\partial_h^{\alpha}\partial_jw(x)dx=(-1)^{\lvert\alpha\rvert}\sum_{i,j=1}^N\int_{\mathbb{R}^N_+}\partial_{-h}^{\alpha}(\widetilde{a_{i,j}}(x)\partial_i\overline{u})(x)\partial_jw(x)dx\\
&=(-1)^{\lvert\alpha\rvert}\left(\int_{\mathbb{R}^N_+}\widetilde{a_{i,j}}(x)\partial_{-h}^{\alpha}\partial_i\overline{u}(x)\partial_jw(x)dx+\sum_{0<\beta\leq\alpha}\begin{pmatrix}\alpha\\\beta\end{pmatrix}\int_{\mathbb{R}^N_+}\partial_{-h}^{\beta}\widetilde{a_{i,j}}(x)\partial_{-h}^{\alpha-\beta}\tau_{-h}^{\beta}\partial_i\overline{u}(x)\partial_jw(x)dx\right)\\
&=(-1)^{\lvert \alpha\rvert}p(\partial_{-h}^{\alpha}u,\rho v)+\sum_{i,j=1}^{N}\sum_{0<\beta\leq\alpha}\begin{pmatrix}\alpha\\\beta\end{pmatrix}(-1)^{\lvert\beta\rvert}\int_{\mathbb{R}^N_+}\partial_h^{\alpha-\beta}(\partial_jw\partial_{-h}^{\beta}\widetilde{a_{i,j}})\tau_{-h}^{\beta}\partial_i\overline{u}(x)dx\quad\quad(5)
\end{aligned}
$$
となる。$(5)$ の右辺の第二項の評価を考える。$(3)$ より ${\rm supp}(w)\subset Q_{\epsilon_1,+}$ であるから $(1),(4)$ より $0<\beta\leq \alpha$ なる任意の $\beta\in \mathbb{Z}_+^N$ に対し $\partial_h^{\alpha-\beta}(\partial_jw\partial_{-h}^{\beta}\widetilde{a_{i,j}})$ の台は $Q_{\epsilon_2,+}$ に含まれるので'''命題3.6'''と'''補題3.8'''の $(1)$ より、
$$
\begin{aligned}
&\lVert \partial_h^{\alpha-\beta}(\partial_jw\partial_{-h}^{\beta}\widetilde{a_{i,j}})\rVert_2
=\lVert (\partial_h^{\alpha-\beta}(\partial_jw\partial_{-h}^{\beta}\widetilde{a_{i,j}})|_{Q_{\epsilon_{2,+}}}\rVert_2\\
&\leq \sum_{\gamma\leq \alpha-\beta}\begin{pmatrix}\alpha-\beta\\\gamma\end{pmatrix}(\partial_h^{\alpha-\beta-\gamma}\partial_jw)|_{Q_{\epsilon_{2,+}}}(\tau_h^{\alpha-\beta-\gamma}\partial_h^{\gamma}\partial_{-h}^{\beta}\widetilde{a_{i,j}})|_{Q_{\epsilon_{2,+}}}\rVert_2\\
&\leq \sum_{\gamma\leq\alpha-\beta}\begin{pmatrix}\alpha-\beta\\\gamma\end{pmatrix}\lVert (\partial_h^{\alpha-\beta-\gamma}\partial_jw)|_{Q_{\epsilon_{2,+}}}\rVert_2\lVert (\partial_h^{\gamma}\partial_{-h}^{\beta}\widetilde{a_{i,j}})|_{Q_{\epsilon_{3,+}}}\rVert_{\infty}\\
&\leq \sum_{\gamma\leq\alpha-\beta}\begin{pmatrix}\alpha-\beta\\\gamma\end{pmatrix}\lVert (\partial^{\alpha-\beta-\gamma}\partial_jw)\rVert_2\lVert (\partial^{\gamma}\partial^{\beta}a_{i,j})|_{Q_{\epsilon_{4,+}}}\rVert_{\infty}\\
&\leq \sum_{\gamma\leq\alpha-\beta}\begin{pmatrix}\alpha-\beta\\\gamma\end{pmatrix}\lVert w\rVert_{2,m+1}\lVert \partial^{\gamma}\partial^{\beta}a_{i,j}\rVert_{\infty}=
\sum_{\gamma\leq\alpha-\beta}\begin{pmatrix}\alpha-\beta\\\gamma\end{pmatrix}\lVert \rho v\rVert_{2,m+1}\lVert \partial^{\gamma}\partial^{\beta}a_{i,j}\rVert_{\infty}
\end{aligned}
$$
となる。よって $\rho,a_{i,j},\alpha$ のみによる正数 $C_1$ が存在し、
$$
\begin{aligned}
&\lvert\lvert p(u,(\partial_h^{\alpha}w)|_{Q_+})-(-1)^{\lvert\alpha\rvert}p(\partial_{-h}^{\alpha}u,\rho v)\rvert=(\text{$(5)$ の右辺の第二項})\\
&\leq C_1\lVert v\rVert_{2,m+1}\lVert u\rVert_{2,1}\quad(\forall h\in \mathbb{R}:0<\lvert h\rvert<\delta,\forall u\in D(Q)|_{Q_+})\quad\quad(6)
\end{aligned}
$$
が成り立つ。今、$({\rm a})$ が成り立つ場合は任意の $u_{\rm a}\in D(Q_+)$ を取り、$({\rm b})$ が成り立つ場合は任意の $u_{\rm b}\in D(Q)|_{Q_+}$ を取る。このとき
$$
\begin{aligned}
p(u_k,(\partial_h^{\alpha}w)|_{Q_+})&=\{p(u_k,(\partial_h^{\alpha}w)|_{Q_+})-(-1)^{\lvert\alpha\rvert}p(\partial_{-h}^{\alpha}u_k,\rho v)\}\\
&+(-1)^{\lvert\alpha\rvert}(p(\partial_{-h}^{\alpha}u_k,\rho v)-p(\rho\partial_h^{\alpha}u_k,v))\\
&+(-1)^{\lvert\alpha\rvert}\int_{Q_+}\mathcal{A}v(x)\rho(x)\partial_{-h}^{\alpha}\overline{u_k}(x)dx\\
&(\forall h\in \mathbb{R}:0<\lvert h\rvert<\delta,k={\rm a}, {\rm b})\quad\quad(7)
\end{aligned}
$$
($k={\rm a}$ の場合、$\rho\partial_{-h}^{\alpha}u_{\rm a}\in D(Q_+)$ であることに注意）であり、$(6)$ は $(7)$ の右辺の第一項の評価を与えている。$(7)$ の右辺の第三項の評価を考える。$\mathcal{A}v\rho\in H^m(Q_+)$ であり、$(2)$ より、
$$
d({\rm supp}(\mathcal{A}v\rho),\mathbb{R}^N_+\backslash Q_+)\geq d(Q_{\epsilon_1,+},\mathbb{R}^N_+\backslash Q_+)\geq 1-\epsilon_1>0
$$
であるから、[[Sobolev空間の基本事項]]の'''定理33.3'''より、$\mathcal{A}v\rho\in H^m(Q_+)$ の $\mathbb{R}^N_+$ 上への $0$ 拡張 $\widetilde{\mathcal{A}v\rho}$ は、
$$
\widetilde{\mathcal{A}v\rho}\in H^m(\mathbb{R}^N_+),\quad \lVert \widetilde{\mathcal{A}v\rho}\rVert_{2,m}=\lVert \mathcal{A}v\rho\rVert_{2,m}
$$
を満たす。よって $(4)$ と'''補題3.7'''と'''補題3.8''' より、
$$
\begin{aligned}
&\lvert \text{$(7)$ の右辺の第三項}\rvert=\left\lvert \int_{Q_+}\mathcal{A}v(x)\rho(x)\partial_{-h}^{\alpha}\overline{u_k}(x)dx\right\rvert
=\left\lvert\int_{\mathbb{R^N}_+}\widetilde{\mathcal{A}v\rho}(x)\partial_{-h}^{\alpha}\overline{u_k}(x)dx\right\rvert\\
&\leq \lVert \widetilde{\mathcal{A}v\rho}\rVert_{2,m}\lVert u_k\rVert_{2,1}=\lVert\mathcal{A}v\rho\rVert_{2,m}\lVert u_k\rVert_{2,1}\leq C_3(\lVert \mathcal{A}v\rVert_{2,m}+\lVert v\rVert_{2,m})\lVert u_k\rVert_{2,1}\quad\quad(8)
\end{aligned}
$$
（ただし $C_3$ は $\rho,m$ のみによる正実数）と評価できる。$(7)$ の右辺の第二項の評価を考える。
$$
\begin{aligned}
&\lvert \text{$(7)$ の右辺の第二項}\rvert=\lvert p(\partial_{-h}^{\alpha}u_k,\rho v)-p(\rho\partial_h^{\alpha}u,v)\rvert\\
&=\left\lvert \sum_{i,j=1}^{N}\left(\int_{Q_+}a_{i,j}(x)\partial_j(\rho v)(x)\partial_{-h}^{\alpha}\partial_i\overline{u_k}(x)dx-\int_{Q_+}a_{i,j}(x)\partial_jv(x)(\partial_i(\rho\partial_{-h}^{\alpha}\overline{u_k}))(x)dx\right)\right\rvert\\
&=\left\lvert \sum_{i,j=1}^{N}\left(\int_{Q_+}a_{i,j}(x)v(x)\partial_j\rho(x)\partial_{-h}^{\alpha}\partial_i\overline{u_k}(x)dx-\int_{Q_+}a_{i,j}(x)\partial_jv(x)\partial_i\rho(x)\partial_{-h}^{\alpha}\overline{u_k}(x)dx\right)\right\rvert\quad\quad(9)
\end{aligned}
$$
であり、$(2)$ より、
$$
a_{i,j}v\partial_j\rho \in H^{m+1}(Q_+),\quad d({\rm supp}(a_{i,j}v\partial_j\rho,\mathbb{R}^N_+\backslash Q_+)\geq d(Q_{\epsilon_1,+},\mathbb{R}^N_+\backslash Q_+)\geq 1-\epsilon_1>0,
$$
$$
a_{i,j}\partial_jv\partial_i\rho\in H^{m}(Q_+),\quad d({\rm supp}(a_{i,j}\partial_jv\partial_i\rho),\mathbb{R}^N_+\backslash Q_+)\geq d(Q_{\epsilon_1,+},\mathbb{R}^N_+\backslash Q_{+})\geq1-\epsilon_1>0
$$
であるから、$a_{i,j}v\partial_j\rho \in H^{m+1}(Q_+)$ の $\mathbb{R}^N_+$ 上への $0$ 拡張 $\widetilde{(a_{i,j}v)}\partial_j\rho $ と、$a_{i,j}\partial_jv\partial_i\rho\in H^m(Q_+)$ の $\mathbb{R}^N_+$ 上への $0$ 拡張 $\widetilde{(a_{i,j}\partial_jv)}\partial_i\rho$ は、[[Sobolev空間の基本事項]]の'''定理33.3'''より、
$$
\widetilde{(a_{i,j}v)}\partial_j\rho \in H^{m+1}(\mathbb{R}^N_+),\quad \lVert \widetilde{(a_{i,j}v)}\partial_j\rho \rVert_{2,m+1}=\lVert a_{i,j}v\partial_j\rho \rVert_{2,m+1},
$$
$$
\widetilde{(a_{i,j}\partial_jv)}\partial_i\rho\in H^m(\mathbb{R}^N_+),\quad \lVert \widetilde{(a_{i,j}\partial_jv)}\partial_i\rho\rVert_{2,m}=\lVert a_{i,j}\partial_jv\partial_i\rho\rVert_{2,m}
$$
を満たす。よって $(9)$ の右辺は'''補題3.7'''と'''補題3.8'''の $(1)$ より、
$$
\begin{aligned}
&\left\lvert \sum_{i,j=1}^{N}\left(\int_{Q_+}a_{i,j}(x)\partial_j(\rho v)(x)\partial_{-h}^{\alpha}\partial_i\overline{u_k}(x)dx-\int_{Q_+}a_{i,j}(x)\partial_jv(x)(\partial_i(\rho\partial_{-h}^{\alpha}\overline{u_k}))(x)dx\right)\right\rvert\\
&=\left\lvert \sum_{i,j=1}^{N}\left(\int_{\mathbb{R}^N_+}\widetilde{(a_{i,j}v)}(x)\partial_j\rho(x)\partial_{-h}^{\alpha}\partial_i\overline{u_k}(x)dx-\int_{\mathbb{R}^N_+}\widetilde{(a_{i,j}\partial_jv)}
(x)\partial_i\rho(x)\partial_{-h}^{\alpha}\overline{u_k}(x)dx\right)\right\rvert\\
&\leq \sum_{i,j=1}^{N}(\lVert\widetilde{(a_{i,j}v)}\partial_j\rho\rVert_{2,m+1}+\lVert \widetilde{(a_{i,j}\partial_jv)}\partial_i\rho\rVert_{2,m})\lVert u_k\rVert_{2,1}\\
&\leq \sum_{i,j=1}^{N}(\lVert a_{i,j}v\partial_j\rho\rVert_{2,m+1}+\lVert a_{i,j}\partial_jv\partial_i\rho\rVert_{2,m})\lVert u_k\rVert_{2,1}\\
&\leq C_2\lVert v\rVert_{2,m+1}\lVert u_k\rVert_{2,1}
\end{aligned}
$$
（ただし $C_2$ は $a_{i,j},\rho,m$ のみによる正実数である）となるので、
$$
\lVert (\text{$(7)$ の右辺の第二項})\rVert\leq C_2\lVert v\rVert_{2,m+1}\lVert u_k\rVert_{2,1}\quad\quad(10)
$$
と評価できる。こうして $(7)$ の右辺の第一項、第二項、第三項はそれぞれ $a_{i,j},b,\rho,\alpha,m$ のみによる正実数 $C_1,C_2,C_3$ により $(6),(10),(8)$ によって評価されるので、$a_{i,j},b,\rho,\alpha,m$ のみによる正実数 $C_4$ が存在し、
$$
\lvert p(u_k,(\partial_h^{\alpha}w)|_{Q_+})\rvert\leq C_4(\lVert \mathcal{A}v\rVert_{2,m}+\lVert v\rVert_{2,m+1})\lVert u_k\rVert_{2,1}\quad(\forall h\in \mathbb{R},0<\lvert h\rvert<\delta,k={\rm a},{\rm b})\quad\quad(11)
$$
が成り立つ。ここで $(1),(3),(4)$ より $0<\lvert h\rvert<\delta$ なる任意の $h\in \mathbb{R}$ に対し、$\partial_h^{\alpha}w\in H^{m+1}(\mathbb{R}^N_+)$ の台は $Q_{\epsilon_2,+}$ に含まれる。そこでUrysohnの補題より $\varphi\in D(Q)$ で $\varphi|_{Q_{\epsilon_2,+}}=1$ なるものを取ると、$({\rm a})$ が成り立つ場合は $w\in H^1_0(\mathbb{R}^N_+)$（[[Sobolev空間の基本事項]]の'''命題32.3'''）より $\partial_h^{\alpha}w\in H^1_0(\mathbb{R}^N_+)$ であるから、
$$
(\partial_h^{\alpha}w)|_{Q_+}=(\varphi\partial_h^{\alpha}w)|_{Q_+}\in H^1_0(Q_+)
$$
が成り立ち、$({\rm b})$ が成り立つ場合は[[Sobolev空間の基本事項]]の'''命題34.3'''より $\partial_h^{\alpha}w\in H^1(\mathbb{R}^N_+)=\overline{D(\mathbb{R}^N)|_{\mathbb{R}^N_+}}^{\lVert \cdot\rVert_{2,1}}$ であるから、
$$
(\partial_h^{\alpha}w)|_{Q_+}=(\varphi\partial_h^{\alpha}w)|_{Q_+}\in \overline{D(Q)|_{Q_+}}^{\lVert \cdot\rVert_{2,1}}
$$
が成り立つ。よって $u_{\rm a}\in D(Q_+), u_{\rm b}\in D(Q)|_{Q_+}$ であることに注意して $(11)$ より、
$$
p((\partial_h^{\alpha}w)|_{Q_+},(\partial_h^{\alpha}w)|_{Q_+})\leq C_4(\lVert \mathcal{A}v\rVert_{2,m}+\lVert v\rVert_{2,m+1})\lVert (\partial_h^{\alpha}w)|_{Q_+}\rVert_{2,1}\quad(\forall h\in\mathbb{R},0<\lvert h\rvert<\delta)
$$
が成り立つ。よって一様楕円性条件（'''定義3.1'''）より、$a_{i,j},b,\rho,\alpha,m$ のみによる正実数 $C_5$ が存在し、
$$
\lVert \partial_h^{\alpha}w\rVert_{2,1}^2=\lVert (\partial_h^{\alpha}w)|_{Q_+}\rVert_{2,1}^2\leq C_5(\lVert \mathcal{A}v\rVert_{2,m}+\lVert v\rVert_{2,m+1})\lVert \partial_h^{\alpha}w\rVert_{2,1}\quad(\forall h\in \mathbb{R},0<\lvert h\rvert<\delta)
$$
が成り立つ。これより、
$$
\lVert \partial_h^{\alpha}\partial_jw\rVert_{2}\leq C_5(\lVert \mathcal{A}v\rVert_{2,m}+\lVert v\rVert_{2,m+1})\quad(\forall h\in \mathbb{R},0<\lvert h\rvert<\delta,\forall j\in \{1,\ldots,N\})
$$
が成り立つので、$(4)$ と'''補題3.8'''の $(2)$ より $\partial^{\alpha}\partial_jw\in L^2(\mathbb{R}^N_+)$ $(j=1,\ldots,N)$ であり、
$$
\lVert \partial^{\alpha}\partial_jw\rVert_2\leq C_5(\lVert \mathcal{A}v\rVert_{2,m}+\lVert v\rVert_{2,m+1})\quad(\forall j\in \{1,\ldots,N\})
$$
が成り立つ。$(2)$ より、
$$
\partial^{\alpha}\partial_jv|_{Q_{\epsilon,+}}=\partial^{\alpha}\partial_jw|_{Q_{\epsilon,+}}\in L^2(Q_{\epsilon,+})\quad(j=1,\ldots,N)
$$
であるから、
$$
\lVert \partial^{\alpha}\partial_jv|_{Q_{\epsilon,+}}\rVert_2\leq \lVert \partial^{\alpha}\partial_jw\rVert_2\leq C_5(\lVert \mathcal{A}v\rVert_{2,m}+\lVert v\rVert_{2,m+1})\quad(\forall j\in \{1,\ldots,N\})\quad\quad(12)
$$
が成り立つ。ここで $\alpha\in \mathbb{Z}_+^N$ は $(4)$ を満たす範囲で任意であるので、$(12)$ より、
$$
\lvert \alpha\rvert\leq m+2,\quad \alpha_N\leq 1
$$
を満たす任意の多重指数 $\alpha\in \mathbb{Z}^N_+$ に対し $\partial^{\alpha}v|_{Q_{\epsilon,+}}\in L^2(Q_{\epsilon,+})$ であり、$\epsilon,a_{i,j},\alpha,m$ のみによる正実数 $C^{(1)}$ が存在し、
$$
\lVert \partial^{\alpha}v|_{Q_{\epsilon,+}}\rVert_2\leq C^{(1)}(\lVert \mathcal{A}v\rVert_{2,m}+\lVert v\rVert_{2,m+1})
$$
が成り立つ。 
今、$n\in \{1,\ldots,m+1\}$ について、
$$
\lvert \alpha\rvert\leq m+2,\quad \alpha_N\leq n
$$
を満たす任意の多重指数 $\alpha\in\mathbb{Z}_+^N$ に対し $\partial^{\alpha}v|_{Q_{+,\epsilon}}\in L^2(Q_{\epsilon,+})$ であり、$\epsilon,a_{i,j},\alpha,m$ のみによるある正実数 $C^{(n)}$ が存在し、
$$
\lVert \partial^{\alpha}v|_{Q_{\epsilon,+}}\rVert_2\leq C^{(n)}(\lVert \mathcal{A}v\rVert_{2,m}+\lVert v\rVert_{2,m+1})
$$
が成り立つと仮定する。一様楕円性条件（'''定義3.1'''）よりある正実数 $c$ が存在し、
$$
a_{N,N}(x)\geq c\quad(\forall x\in Q_+)
$$
が成り立つから、$\frac{1}{a_{N,N}}\colon Q_+\rightarrow \mathbb{R}$ は全ての偏導関数が有界な $C^\infty$ 級関数である。そして $D'(Q_+)$ において、
$$
\partial_N^2v=-\frac{1}{a_{N,N}}\left(\mathcal{A}v+\sum_{(i,j)\neq (N,N)}\partial_i(a_{i,j}\partial_jv)+(\partial_Na_{N,N})\partial_Nv\right)
$$
であるから、仮定より、
$$
\lvert \beta\rvert\leq m,\quad \beta_N\leq n-1
$$
を満たす任意の多重指数 $\beta\in \mathbb{Z}_+^N$ に対し、
$$
\partial^{\beta}\partial_N^2v|_{Q_{\epsilon,+}}\in L^2(Q_{\epsilon,+})
$$
が成り立ち、$\epsilon,a_{i,j},\beta,m$ のみによる正実数 $C^{(n+1)}$ が存在し、
$$
\lVert \partial^{\beta}\partial_N^2v|_{Q_{\epsilon,+}}\rVert_2\leq C^{(n+1)}(\lVert \mathcal{A}v\rVert_{2,m}+\lVert v\rVert_{2,m+1})
$$
が成り立つ。よって帰納法より $v|_{Q_{\epsilon,+}}\in H^{m+2}(Q_{\epsilon,+})$ であり、$\epsilon,a_{i,j},m$ のみによる正実数 $C$ が存在し、
$$
\lVert \partial^{\alpha}v|_{Q_{\epsilon,+}}\rVert_2\leq C(\lVert \mathcal{A}v\rVert_{2,m}+\lVert v\rVert_{2,m+1})\quad(\forall \alpha\in \mathbb{Z}_+^N:\lvert \alpha\rvert\leq m+2)
$$
が成り立つ。
{{end|proof}}

===定義3.13（Dirichret-Neumann混合境界条件付き一様楕円型微分作用素）===
$\Omega\subset \mathbb{R}^N$ を滑らかでコンパクトな境界を持つ開集合で、$\Omega$ か $\mathbb{R}^N\backslash \Omega$ のうちのいずれかが有界であるものとする。そして $\partial\Omega$ は互いに交わらないコンパクト集合 $\partial\Omega_{\rm d}$ と $\partial\Omega_{\rm n}$ の合併（どちらかが空であってもよい）とする。
$$
\gamma\colon H^1(\Omega)\rightarrow L^2(\partial\Omega)
$$
をトレース作用素（[[Sobolev空間の基本事項]]の'''定理37.1'''）とし、
$$
\mathcal{V}\colon=\{v\in H^1(\Omega):\gamma(v)|_{\partial\Omega_{\rm d}}=0\}
$$
とおく。[[Sobolev空間の基本事項]]の'''定理37.2'''より $H^1_0(\Omega)\subset \mathcal{V}\subset H^1(\Omega)$ であり、$\gamma$ が有界線形作用素であることから $\mathcal{V}$ は $H^1(\Omega)$ の閉部分空間である。そこで今、$\Omega$ 上の一様楕円型微分作用素（'''定義3.1'''）
$$
\mathcal{A}\colon D'(\Omega)\ni v\mapsto -\sum_{i,j=1}^{N}\partial_i(a_{i,j}\partial_jv)+bv\in D'(\Omega)
$$
に対し、
$$
p_{\mathcal{A}}(u,v)\colon=\sum_{i,j=1}^{N}\int_{\Omega}a_{i,j}(x)\overline{\partial_iu(x)}\partial_jv(x)dx+\int_{\Omega}b(x)\overline{u(x)}v(x)dx\quad(\forall u,v\in \mathcal{V})
$$
とおき、
$$
D(A)\colon=\{v\in \mathcal{V}: \mathcal{A}v\in L^2(\Omega),p_{\mathcal{A}}(u,v)=(u\mid \mathcal{A}v)_2\text{ }(\forall u\in \mathcal{V})\},
$$
$$
A\colon D(A)\ni v\mapsto \mathcal{A}v\in L^2(\Omega)
$$
とおく。このとき'''定理3.4'''より $A$ はHilbert空間 $L^2(\Omega)$ 上の下に有界な自己共役作用素（[[Hilbert空間上の作用素論]]の'''定義4.1'''と'''定義14.7'''）である。$A$ をDirichlet-Neumann混合境界条件付き一様楕円型微分作用素と言う。特に $\partial\Omega=\partial\Omega_{\rm d}$, すなわち $\mathcal{V}=H^1_0(\Omega)$（[[Sobolev空間の基本事項]]の'''定理37.2'''）であるとき $A$ をDirichlet境界条件付き一様楕円型微分作用素と言い、$\partial\Omega=\partial\Omega_{\rm n}$, すなわち $\mathcal{V}=H^1(\Omega)$ であるとき $A$ をNeumann境界条件付き一様楕円型微分作用素と言う。

===定理3.14（Dirichret-Neumann混合境界条件付き一様楕円型微分作用素の基本性質）===
'''定義3.13'''におけるDirichret-Neumann混合境界条件付き一様楕円型微分作用素 $A\colon D(A)\rightarrow L^2(\Omega)$ を考える。$\lambda_0\colon=\inf_{x\in \Omega} b(x)\in \mathbb{R}$ とおく。このとき、
*$(1)$　$A$ はHilbert空間 $L^2(\Omega)$ 上の下に有界な自己共役作用素であり、そのスペクトル $\sigma(A)$ は $\sigma(A)\subset [\lambda_0,\infty)$ を満たす。また任意の $\lambda\in (-\infty,\lambda_0)$ に対し、
$$
(A-\lambda)^{-1}\in \mathbb{B}(L^2(\Omega),\mathcal{V})\subset \mathbb{B}(L^2(\Omega))
$$
が成り立つ。
*$(2)$　$\Omega$ が有界ならば、$A$ のスペクトル $\sigma(A)$ は純粋に離散的（[[Hilbert空間上の作用素論]]の'''定義14.3'''）である。また $\Omega$ が有界で $A$ がDirichlet境界条件付き一様楕円型微分作用素ならば、$\sigma(A)\subset (\lambda_0,\infty)$ である。
*$(3)$　$\lambda_0\geq0$ ならば $A$ はHilbert空間 $L^2(\Omega)$ 上の非負自己共役作用素であり、
$$
\mathcal{V}=D(\sqrt{A}),\quad p_{\mathcal{A}}(u,v)=(\sqrt{A}u\mid \sqrt{A}v)_2
$$
が成り立つ。
*$(4)$　$v\in D(A)$ が $m\in \mathbb{Z}_+$ に対し $Av\in H^m(\Omega)$ を満たすならば、$v\in H^{m+2}(\Omega)$ が成り立つ。さらに $A$ と $m$ のみによる正実数 $C$ が存在し、
$$
\lVert v\rVert_{2,m+2}\leq C(\lVert Av\rVert_{2,m}+\lVert v\rVert_2)
$$
が成り立つ。
*$(5)$　$\nu=(\nu_1,\ldots,\nu_N)\colon \partial\Omega\rightarrow\mathbb{R}^N$ を外向き単位法線ベクトル場とすると、
$$
D(A)=\left\{v\in H^2(\Omega):\gamma(v)|_{\partial\Omega_{\rm d}}=0,\left(\sum_{i,j=1}^{N}\nu_i\gamma(a_{i,j}\partial_jv)\right)\Big|_{\partial\Omega_{\rm n}}=0\right\}
$$
が成り立つ。特に $\mathcal{A}=-\Delta$（ラプラシアン）の場合は、
$$
D(A)=\left\{v\in H^2(\Omega):\gamma(v)|_{\partial\Omega_{\rm d}}=0, \frac{\partial v}{\partial\nu}\Big|_{\partial\Omega_{\rm n}}=0\right\}
$$
が成り立つ。ただし $\frac{\partial v}{\partial\nu}$ は外向き法線微分（'''定義3.2'''）である。
*$(6)$　$v\in D(A)$ が $A$ の固有ベクトルならば、
$$
v\in \bigcap_{m\in\mathbb{N}}H^m(\Omega)
$$
が成り立ち、$v$ は全ての偏導関数が有界な $C^\infty$ 級関数である。
{{begin|proof}}
$(1),(2),(3)$ は '''定理3.4'''による。 
$(4)$ を示す。$m\in \mathbb{Z}_+$ に関する帰納法より $v\in D(A)$ が $m\in \mathbb{Z}_+$ に対して、
$$
Av\in H^m(\Omega),\quad v\in H^{m+1}(\Omega)
$$
を満たすと仮定して $v\in H^{m+2}(\Omega)$ が成り立つことと、$A,m$ のみによる正実数 $C$ が存在し、
$$
\lVert v\rVert_{2,m+2}\leq C(\lVert Av\rVert_{2,m}+\lVert v\rVert_{2,m+1})\quad\quad(*)
$$
が成り立つことを示せば十分である。<ref>一様楕円性条件よりある正実数$c$が存在し任意の$v\in D(A)$に対し$\lVert v\rVert_{2,1}\leq c(\lVert Av\rVert_2+\lVert v\rVert_2)$が成り立つことに注意。実際、'''定理3.4'''の$(1)$の証明の冒頭部分より、$\lambda<\lambda_0$ なる$\lambda$をとれば、$(v\mid (A-\lambda)v)_2=p_{{\cal A}-\lambda}(v,v)\geq c'\lVert v\rVert_{2,1}^2$ なる正実数$c'$が存在する。</ref>
滑らかな境界を持つ開集合の定義（[[ベクトル解析5：多様体の向き]]の'''定義21.3'''）と $\partial\Omega$ のコンパクト性より、$\mathbb{R}^N$ の有限個の局所座標 $( (U_i,\Phi_i))_{i=1,\ldots,\ell}$ で次を満たすものが取れる。
*$({\rm a})$　$\partial\Omega\subset \bigcup_{i=1}^{\ell}U_i$.
*$({\rm b})$　各$i\in \{1,\ldots,\ell\}$ に対し、$U_i$ は $\partial\Omega_{\rm d}$ か $\partial\Omega_{\rm n}$ のうちのいずれか一方としか交わらず、
$$
\Phi_i(U_i)=Q,\quad\Phi_i(U_i\cap\Omega)=Q_+,\quad
\Phi_i(U_i\cap\partial\Omega)=(-1,1)^{N-1}\times\{0\}.
$$
*$({\rm c})$　各 $i\in \{1,\ldots,\ell\}$ に対し $\Phi_i,\Phi_i^{-1}$ の全ての偏導関数は有界。

$({\rm a})$ の左辺はコンパクト集合、右辺は開集合であるから閉包がコンパクトな開集合 $D$ で、
$$
\partial\Omega\subset D\subset \overline{D}\subset \bigcup_{i=1}^{\ell}U_i
$$
を満たすものが取れる。よって $1$ の分割（[[ベクトル解析4：Euclid空間内の多様体上の測度と積分]]の'''系15.6'''）より $h_i\in D(U_i)$ $(i=1,\ldots,\ell )$ で、
$$
\sum_{i=1}^{\ell}h_i(x)=1\quad(\forall x\in D)\quad\quad(**)
$$
を満たすものが取れる。
$$
h_0\colon=1-\sum_{i=1}^{\ell}h_i\in C^\infty(\mathbb{R}^N)
$$
とおく。
$\partial\Omega$ は開集合 $D$ に含まれるコンパクト集合なので[[超関数の定義と基本操作]]の'''命題2.2'''の $(4)$ より、
$$
d(\partial\Omega,\text{ }\mathbb{R}^N\backslash D)>0
$$
であり、${\rm supp}(h_0)\subset \mathbb{R}^N\backslash D$ であるから、
$$
d({\rm supp}(h_0),\text{ }\mathbb{R}^N\backslash\Omega)=d({\rm supp}(h_0),\text{ }\partial\Omega)\geq d(\mathbb{R}^N\backslash D,\text{ }\partial\Omega)>0
$$
である。よって'''補題3.10'''より $h_0v\in H^{m+2}(\Omega)$ であり、$h_0,\mathcal{A},m$ のみによる正実数 $C_0$ が存在して、
$$
\lVert h_0v\rVert_{2,m+2}\leq C_0(\lVert Av\rVert_{2,m}+\lVert v\rVert_{2,m+1})\quad\quad(***)
$$
が成り立つ。任意の $i\in \{1,\ldots,\ell\}$ を取り固定する。以後、しばらく $\Phi_i,U_i,h_i$ などは $\Phi,U,h$ と表す。$\Psi\colon U\cap\Omega\rightarrow Q_+$ を $\Phi$ の $U\cap\Omega$ 上への制限とし、$({\rm c})$ と[[Sobolev空間の基本事項]]の'''命題31.2'''に注意して、
$$
v^*\colon=v\circ\Psi^{-1}\in H^{m+1}(Q_+),
$$
$$
c_{k,l}\colon=\left(\sum_{i,j}(a_{i,j}\partial_j\Psi_l\partial_i\Psi_k)\circ\Psi^{-1}\right)\lvert {\rm det}{\Psi^{-1}}'\rvert \in C^\infty(Q_+)\quad(\forall k,l\in \{1,\ldots,N\}),
$$
$$
f\colon=(Av-bv)\circ\Psi^{-1}\lvert {\rm det}{\Psi^{-1}}'\rvert\in H^m(Q_+)
$$
と定義する。このとき $({\rm c})$ より $\Psi, \Psi^{-1}$ の全ての偏導関数は有界であるから、
$$
\mathcal{B}\colon D'(Q_+)\ni u\mapsto -\sum_{k,l}\partial_k(c_{k,l}\partial_lu)\in D'(Q_+)
$$
は一様楕円型作用素（'''定義3.1'''）であることが分かる。
$$
q(u,w)\colon=\sum_{k,l}\int_{Q_+}c_{k,l}(x)\partial_k\overline{u}(x)\partial_lw(x)dx\quad(\forall u,w\in H^1(Q_+))
$$
とおく。$U$ が $\partial\Omega_{\rm d}$ と交わらない場合、任意の $u\in D(Q)|_{Q_+}$ に対し $u\circ\Psi\in D(U)|_{\Omega}\subset \mathcal{V}$であるから、変数変換公式（[[測度と積分8：Lebesgue測度の基本的性質]]の'''補題40.3'''）より、
$$
\begin{aligned}
q(u,v^*)&=\sum_{i,j}\int_{U\cap \Omega}a_{i,j}(x)\partial_i(\overline{u}\circ\Psi)(x)\partial_jv(x)dx
=\sum_{i,j}\int_{\Omega}a_{i,j}(x)\partial_i(\overline{u}\circ\Psi)(x)\partial_jv(x)dx\\
&=p_{\mathcal{A}-b}(u\circ\Psi,v)=\int_{\Omega}(\overline{u}\circ\Psi)(x)(Av-bv)(x)dx=\int_{Q_+}\overline{u}(x)f(x)dx
\end{aligned}
$$
となる。よってこのとき $v^*$ は'''補題3.12'''の条件 $({\rm b})$ を満たす。一方、$U$ が $\partial\Omega_{\rm d}$ と交わるとき、任意の $\rho\in D(U)\subset D(\mathbb{R}^N)$ に対し $\gamma(\rho v)=\rho \gamma(v)=0$ であるので[[Sobolev空間の基本事項]]の'''定理37.2'''より $\rho v\in H^1_0(\Omega)$ であり、$\rho v$ は $(\rho v)|_{U\cap \Omega}$ の $\Omega$ 上への $0$ 拡張で、
$$
d({\rm supp}(\rho v),\text{ }\Omega\backslash (U\cap \Omega))\geq d({\rm supp}(\rho),\text{ }\Omega\backslash U)\geq d({\rm supp}(\rho),\text{ }\mathbb{R}^N\backslash U)>0
$$
であるから、[[Sobolev空間の基本事項]]の'''定理33.3'''より、$(\rho v)|_{U\cap \Omega}\in H^1_0(U\cap \Omega)$ である。よって任意の $\rho^*\in D(Q)$ に対し $\rho^*v^*\in H^1_0(Q_+)$ であるから、$v^*$ は'''補題3.12'''の条件 $({\rm a})$ を満たす。${\rm supp}(h)\subset U$ のコンパクト性よりある $\epsilon\in (0,1)$ に対し ${\rm supp}(h\circ \Psi^{-1})\subset Q_{\epsilon,+}$ となるから、'''補題3.12'''より $(h\circ\Psi^{-1})v^*\in H^{m+2}(Q_+)$ であり、$h,\Psi,c_{k,l},m$ のみによるある正実数 $C$ が存在して、
$$
\lVert (h\circ\Psi^{-1})v^*\rVert_{2,m+2}\leq C(\lVert f\rVert_{2,m}+\lVert v^*\rVert_{2,m+1})
$$
が成り立つ。よって[[Sobolev空間の基本事項]]の'''命題31.2'''より $hv\in H^{m+2}(U\cap\Omega)$ であり、$h,\Psi,a_{i,j},b,m$ のみによる正実数 $C'$ が存在して、
$$
\lVert (hv)|_{U\cap\Omega}\rVert_{2,m+2}\leq C'(\lVert Av\rVert_{2,m}+\lVert v\rVert_{2,m+1})
$$
が成り立つ。${\rm supp}(h)\subset U$ のコンパクト性より、
$$
d({\rm supp}((hv)|_{U\cap\Omega}),\text{ }\Omega\backslash (U\cap \Omega))\geq d({\rm supp}(h),\text{ }\mathbb{R}^N\backslash U)>0
$$
であるから、[[Sobolev空間の基本事項]]の'''定理33.3'''より $(hv)|_{U\cap\Omega}$ の $\Omega$ 上への $0$ 拡張である $hv$ は $H^{m+2}(\Omega)$ に属し、
$$
\lVert hv\rVert_{2,m+2}=\lVert (hv)|_{U\cap\Omega}\rVert_{2,m+2}\leq C'(\lVert Av\rVert_{2,m}+\lVert v\rVert_{2,m+1})
$$
が成り立つ。よって任意の $i\in \{1,\ldots,\ell\}$ に対し $h_iv\in H^{m+2}(\Omega)$ であり、$h_i,\Phi_i,\mathcal{A},m$ のみによる正実数 $C_i$ が存在し、
$$
\lVert h_iv\rVert_{2,m+2}=\leq C_i(\lVert Av\rVert_{2,m}+\lVert v\rVert_{2,m+1})\quad\quad(****)
$$
が成り立つ。以上より $h_0v, h_1v,\ldots,h_{\ell}v\in H^{m+2}(\Omega)$ であるから、$(**)$ より、
$$
v=\sum_{i=1}^{\ell}h_iv\in H^{m+2}(\Omega)
$$
であり、$(***),(****)$ より、$\Omega,\mathcal{A},m$ のみによる正実数 $C$ が存在し、$(*)$ が成り立つ。 
$(5)$ を示す。$(4)$ より $D(A)\subset H^2(\Omega)$ であるから、
$$
\begin{aligned}
D(A)&=\{v\in \mathcal{V}:\mathcal{A}v\in L^2(\Omega), \text{ }p(u,v)=(u\mid \mathcal{A}v)_2\text{ }(\forall u\in \mathcal{V})\}\\
&=\left\{v\in H^2(\Omega): \gamma(v)|_{\partial\Omega_{\rm d}}=0,\text{ }\sum_{i,j=1}^{N}\int_{\Omega}a_{i,j}(x)\partial_i\overline{u}(x)\partial_jv(x)+\overline{u}(x)\partial_i(a_{i,j}\partial_jv)(x)dx=0\text{ }(\forall u\in \mathcal{V})\right\}
\end{aligned}
$$
であり、$v\in H^2(\Omega)$ と $u\in\mathcal{V}$ に対しGaussの発散定理のSobolev空間版（'''定理2.3'''の $(2)$ と'''定理2.4'''の $(1)$）より、
$$
\begin{aligned}
\sum_{i,j=1}^{N}\int_{\Omega}a_{i,j}(x)\partial_i\overline{u}(x)\partial_jv(x)+\overline{u}(x)\partial_i(a_{i,j}\partial_jv)(x)dx=\sum_{i,j=1}^{N}\int_{\partial\Omega}\gamma(\overline{u})(x)\gamma(a_{i,j}\partial_jv)(x)\nu_i(x)d\mu_{\partial\Omega}(x)
\end{aligned}
$$
であるから、
$$
\begin{aligned}
D(A)&=\left\{v\in H^2(\Omega): \gamma(v)|_{\partial\Omega_{\rm d}}=0,\text{ }\sum_{i,j=1}^{N}\int_{\partial\Omega}\gamma(\overline{u})(x)\gamma(a_{i,j}\partial_jv)(x)\nu_i(x)d\mu_{\partial\Omega}(x)=0\text{ }(\forall u\in \mathcal{V})\right\}\\
&=\left\{v\in H^2(\Omega): \gamma(v)|_{\partial\Omega_{\rm d}}=0,\text{ }\sum_{i,j=1}^{N}\int_{\partial\Omega_{\rm n}}\gamma(\overline{u})(x)\gamma(a_{i,j}\partial_jv)(x)\nu_i(x)d\mu_{\partial\Omega}(x)=0\text{ }(\forall u\in \mathcal{V})\right\}
\end{aligned}
$$
である。$\partial\Omega_{\rm d}$ と $\partial\Omega_{\rm n}$ は互いに交わらないコンパクト集合であるから、Urysohnの補題（[[ベクトル解析4：Euclid空間内の多様体上の測度と積分]]の'''定理15.5'''）より、
$$
\{\gamma(u):u\in \mathcal{V}\}
$$
は $\partial\Omega_{\rm n}$ 上の全ての多項式を含む。よってStone-Weierstrassの定理（[[測度と積分7：局所コンパクトHausdorff空間上のRadon測度]]の'''定理35.4'''）と $L^2(\partial\Omega_{\rm n},\mu_{\partial\Omega})$ における $C(\partial\Omega_{\rm n})$ の稠密性（[[測度と積分7：局所コンパクトHausdorff空間上のRadon測度]]の'''定理31.5'''と定理'''32.1'''）より、
$$
\begin{aligned}
D(A)&=\left\{v\in H^2(\Omega): \gamma(v)|_{\partial\Omega_{\rm d}}=0,\text{ }\sum_{i,j=1}^{N}\int_{\partial\Omega}\gamma(\overline{u})(x)\gamma(a_{i,j}\partial_jv)(x)\nu_i(x)d\mu_{\partial\Omega_{\rm n}}(x)=0\text{ }(\forall u\in \mathcal{V})\right\}\\
&=\left\{v\in H^2(\Omega): \gamma(v)|_{\partial\Omega_{\rm d}}=0,\text{ }\sum_{i,j=1}^{N}\int_{\partial\Omega_{\rm n}}f(x)\gamma(a_{i,j}\partial_jv)(x)\nu_i(x)d\mu_{\partial\Omega}(x)=0\text{ }(\forall f\in C(\partial\Omega_{\rm n}))\right\}\\
&=\left\{v\in H^2(\Omega):\gamma(v)|_{\partial\Omega_{\rm d}}=0,\text{ }\left(\sum_{i,j=1}^{N}\gamma(a_{i,j}\partial_jv)\nu_i\right)\Big|_{\partial\Omega_{\rm n}}=0\right\}
\end{aligned}
$$
を得る。$\mathcal{A}=-\Delta$ の場合は $a_{i,j}=\delta_{i,j}$ であるから、
$$
\sum_{i,j=1}^{N}\gamma(a_{i,j}\partial_jv)\nu_i=\sum_{j=1}^{N}\gamma(\partial_jv)\nu_j=\gamma(\nabla v)\cdot \nu=\frac{\partial v}{\partial\nu}
$$
であるので、
$$
D(A)=\left\{v\in H^2(\Omega):\gamma(v)|_{\partial\Omega_{\rm d}}=0,\text{ }\left(\frac{\partial v}{\partial\nu}\right)\Big|_{\partial\Omega_{\rm n}}=0\right\}
$$
である。 
$(6)$ を示す。$v\in D(A)$ が固有値 $\lambda$ の固有ベクトルならば $(4)$ より、
$$
Av=\lambda v\in D(A)\subset H^2(\Omega)
$$
であるから、再び $(4)$ より $v\in H^4(\Omega)$ を得る。さらに $(4)$ より $v\in H^6(\Omega)$ を得る。同様に $(4)$ を繰り返し適用すれば、
$$
v\in \bigcap_{m\in \mathbb{N}}H^m(\Omega)
$$
を得る。Sobolevの埋め込み定理（[[Sobolev空間の基本事項]]の'''定理38.4'''）より $v$ は全ての偏導関数が有界な $C^\infty$ 級関数である。
{{end|proof}}

==4. 調和関数の球面平均、球平均の性質と最大値の原理==

===定義4.1（球面平均と球平均）===
$\Omega\subset \mathbb{R}^N$ を開集合、$u\colon\Omega\rightarrow\mathbb{R}^N$ を連続関数とする。$x\in \Omega$ と $r\in (0,\infty)$ で、
$$
\overline{B(x,r)}=\{y\in \mathbb{R}^N:\lvert y-x\rvert\leq r\}\subset \Omega
$$
を満たすものを対し、
$$
S(u,x,r)\colon=\frac{1}{\lvert\partial B(x,r)\rvert}\int_{\partial B(x,r)}u(y)d\mu_{\partial B(x,r)}(y)
$$
を $u$ の球面 $\partial B(x,r)$ における球面平均と言う。ただし $\mu_{\partial B(x,r)}$ は超曲面 $\partial B(x,r)=\{y\in \mathbb{R}^N:\lvert y-x\rvert=r\}$ の面積測度（[[ベクトル解析4：Euclid空間内の多様体上の測度と積分]]の'''定義16.8'''）であり、$\lvert \partial B(x,r)\rvert=\mu_{\partial B(x,r)}(\partial B(x,r))$ である。また、
$$
K(u,x,r)\colon=\frac{1}{\lvert B(x,r)\rvert}\int_{B(x,r)}u(y)dy
$$
を $u$ の球 $B(x,r)$ における球平均と言う。

===注意4.2===
任意の $x\in \mathbb{R}^N$ と $r\in (0,\infty)$ に対し [[測度と積分8：Lebesgue測度の基本的性質]]の'''命題7.3'''より、
$$
\lvert B(x,r)\rvert=r^{N}\lvert B(0,1)\rvert
$$
であり、
$$
K(u,x,r)=\frac{1}{\lvert B(x,r)\rvert}\int_{B(x,r)}u(y)dy=\frac{1}{\lvert B(0,1)\rvert}\int_{B(0,1)}u(x+ry)dy,
$$
である。また超曲面間の $C^\infty$ 級同相写像 $\partial B(0,1)\ni y\mapsto x+ry\in \partial B(x,r)$ に対する変数変換公式（[[ベクトル解析4：Euclid空間内の多様体上の測度と積分]]の'''補題17.4'''）より、
$$
\lvert \partial B(x,r)\rvert=r^{N-1}\lvert \partial B(0,1)\rvert
$$
であり、
$$
S(u,x,r)=\frac{1}{\lvert \partial B(x,r)\rvert}\int_{\partial B(x,r)}u(y)d\mu_{\partial B(x,r)}(y)
=\frac{1}{\lvert \partial B(0,1)\rvert}\int_{\partial B(0,1)}u(x+ry)d\mu_{\partial B(0,1)}(y)
$$
である。そして極座標変換（[[ベクトル解析4：Euclid空間内の多様体上の測度と積分]]の'''定理18.4'''）より、
$$
\lvert B(0,1)\rvert=\int_{0}^{1}\int_{\partial B(0,1)}r^{N-1}d\mu_{\partial B(0,1)}(y)dr=\frac{1}{N}\lvert \partial B(0,1)\rvert
$$
である。

===命題4.3（球面平均と球平均の基本性質）===
$\Omega\subset \mathbb{R}^N$ を開集合、$u\colon \Omega\rightarrow \mathbb{C}$ を連続関数とし、$x\in \Omega$ と $r\in (0,\infty)$ を $\overline{B(x,R)}=\{y\in \mathbb{R}^N:\lvert y-x\rvert\leq R\}\subset \Omega$ を満たすものとする。このとき、
*$(1)$　$(0,R]\ni r\mapsto S(u,x,r)\in \mathbb{C}$, $(0,R]\ni r\mapsto K(u,x,r)\in \mathbb{C}$ は連続関数であり、
$$
\lim_{r\rightarrow+0}S(u,x,r)=u(x),\quad \lim_{r\rightarrow+0}K(u,x,r)=u(x)
$$
が成り立つ。
*$(2)$　任意の $r_0\in (0,R]$ に対し、
$$
K(u,x,r_0)=\frac{N}{r_0^N}\int_{0}^{r_0}r^{N-1}S(u,x,r)dr
$$
が成り立つ。また、
$$
\frac{d}{dr}K(u,x,r)=\frac{N}{r}(S(u,x,r)-K(u,x,r))\quad(\forall r\in (0,R])
$$
が成り立つ。
*$(3)$　$u\in C^1(\Omega)$ ならば、任意の $r\in (0,R]$ に対し、
$$
\frac{d}{dr}S(u,x,r)=\frac{1}{\lvert \partial B(x,r)\rvert}\int_{\partial B(x,r)}\nabla u(y)\cdot\frac{y-x}{r}d\mu_{\partial B(x,r)}(y)
$$
が成り立つ。
*$(4)$　$u\in C^2(\Omega)$ ならば、
$$
\frac{d}{dr}S(u,x,r)=\frac{r}{N}K(\Delta u,x,r)\quad(\forall r\in (0,R])
$$
が成り立つ。
{{begin|proof}}
*$(1)$　
$$
K(u,x,r)=\frac{1}{\lvert B(0,1)\rvert}\int_{B(0,1)}u(x+ry)dy,
$$
$$
S(u,x,r)=\frac{1}{\lvert \partial B(0,1)\rvert}\int_{\partial B(0,1)}u(x+ry)d\mu_{\partial B(0,1)}(y)
$$
であることとLebesgue優収束定理による。
*$(2)$　極座標変換と'''注意4.2'''より、
$$
\begin{aligned}
K(u,x,r_0)&=\frac{1}{\lvert B(x,r_0)\rvert}\int_{0}^{r_0}\int_{\partial B(0,1)}r^{N-1}u(x+ry)d\mu_{\partial B(0,1)}(y)dr\\
&=\frac{N}{r_0^N}\int_{0}^{r_0}\frac{1}{\lvert \partial B(0,1)\rvert}\int_{\partial B(0,1)}r^{N-1}u(x+ry)d\mu_{\partial B(0,1)}(y)dr\\
&=\frac{N}{r_0^N}\int_{0}^{r_0}r^{N-1}S(u,x,r)dr
\end{aligned}
$$
である。右辺の被積分関数 $(0,R]\ni r\mapsto r^{N-1}S(u,x,r)\in \mathbb{C}$ は $(1)$ より連続なので、
$$
\begin{aligned}
\frac{d}{dr}K(u,x,r_0)&=\frac{N}{r_0^N}(r_0^{N-1}S(u,x,r_0))-\frac{N^2}{r_0^{N+1}}\int_{0}^{r_0}r^{N-1}S(u,x,r)dr\\
&=\frac{N}{r_0}(S(u,x,r_0)-K(u,x,r_0))
\end{aligned}
$$
となる。
*$(3)$　'''注意4.2'''とLebesgue優収束定理より、
$$
\frac{d}{dr}S(u,x,r)=\frac{1}{\lvert \partial B(0,1)\rvert}\int_{\partial B(0,1)}(\nabla u(x+ry)\cdot y)d\mu_{\partial B(0,1)}(y)
$$
であり、$C^\infty$ 級同相写像 $\partial B(x,r)\ni y\mapsto \frac{y-x}{r}\in\partial B(0,1)$ に関する変数変換公式（[[ベクトル解析4：Euclid空間内の多様体上の測度と積分]]の'''補題17.4'''）より、
$$
\frac{1}{\lvert \partial B(0,1)\rvert}\int_{\partial B(0,1)}(\nabla u(x+ry)\cdot y)d\mu_{\partial B(0,1)}(y)
=\frac{1}{\lvert \partial B(x,r)\rvert}\int_{\partial B(x,r)}\nabla u(y)\cdot \frac{y-x}{r}d\mu_{\partial B(x,r)}(y)
$$
であるから成り立つ。
*$(4)$　$\partial B(x,r)\ni y\mapsto \frac{y-x}{r}\in \mathbb{R}^N$ は $B(x,r)$ の境界上の外向き単位法線ベクトル場（[[ベクトル解析5：多様体の向き]]の'''定義22.1'''）であるから、Gaussの発散定理（'''定理2.3'''の $(1)$ ）と $(3)$、および'''注意4.2'''より、
$$
\begin{aligned}
K(\Delta u,x,r)&=\frac{1}{\lvert B(x,r)\rvert}\int_{B(x,r)}\Delta u(y)dy=\frac{1}{\lvert B(x,r)\rvert}\int_{\partial B(x,r)}\nabla u(y)\cdot \frac{y-x}{r}d\mu_{\partial B(0,1)}(y)\\
&=\frac{\lvert \partial B(x,r)\rvert}{\lvert B(x,r)\rvert}\frac{d}{dr}S(u,x,r)
=\frac{N}{r}\frac{d}{dr}S(u,x,r)
\end{aligned}
$$
となる。
{{end|proof}}

===定義4.4（調和関数）===
$\Omega\subset \mathbb{R}^N$ を開集合とする。$u\in C^\infty(\Omega)$ で $\Delta u=0$ を満たすものを $\Omega$ 上の調和関数と言う。

===注意4.5（正則関数の実部と虚部は調和関数）===
$\Omega\subset \mathbb{C}$ を開集合、$u\colon \Omega\rightarrow\mathbb{C}$ を正則関数とする。$u$ の実部と虚部 $u_1,u_2\colon \Omega\rightarrow\mathbb{R}$ は、$\mathbb{C}=\mathbb{R}^2$ とみなしたとき、それぞれ調和関数である。実際、Cauchy-Riemannの関係式（[[複素解析の初歩]]の'''定理1.6'''）より、
$$
\partial_1u_1=\partial_2u_2,\quad \partial_1 u_2=-\partial_2u_1
$$
であり、正則関数は何回でも複素微分可能である（[[複素解析の初歩]]の'''定理6.1'''）から $u\in C^\infty(\Omega)$ で、
$$
\Delta u_1=\partial_1^2u_1+\partial_2^2u_1=\partial_1\partial_2u_2-\partial_2\partial_1u_2=0,
$$
$$
\Delta u_2=\partial_1^2u_2+\partial_2^2u_2=-\partial_1\partial_2u_1+\partial_2\partial_1u_1=0
$$
である。

===定理4.6（調和関数の球面平均、球平均による特徴付け）===
$\Omega\subset \mathbb{R}^N$ を開集合、$u\colon \Omega\rightarrow\mathbb{C}$ を連続関数とする。このとき次は互いに同値である。
*$(1)$　$\overline{B(x,r)}=\{y\in \mathbb{R}^N:\lvert y-x\rvert\leq r\}\subset \Omega$ なる任意の $x\in \Omega$ と $r\in (0,\infty)$ に対し $u(x)=S(u,x,r)$ が成り立つ。
*$(2)$　$\overline{B(x,r)}=\{y\in \mathbb{R}^N:\lvert y-x\rvert\leq r\}\subset \Omega$ なる任意の $x\in \Omega$ と $r\in (0,\infty)$ に対し $u(x)=K(u,x,r)$ が成り立つ。
*$(3)$　$u$ は $\Omega$ 上の調和関数である。
*$(4)$　$\Omega$ 上の超関数（$D'(\Omega)$ の元）として $\Delta u=0$ が成り立つ。
{{begin|proof}}
$(1)\Leftrightarrow(2)$ を示す。$(1)$ が成り立つならば、任意の $\overline{B(x,r_0)}\subset \Omega$ に対し、'''命題4.3'''の $(2)$ の上の式より、
$$
K(u,x,r_0)=\frac{N}{r_0^N}\int_{0}^{r_0}r^{N-1}S(u,x,r)dr=\frac{N}{r_0^N}\int_{0}^{r_0}r^{N-1}u(x)dr=u(x)
$$
であるから $(2)$ が成り立つ。逆に $(2)$ が成り立つならば、任意の $\overline{B(x,r)}\subset \Omega$ に対し、'''命題4.3'''の $(2)$ の下の式より、
$$
0=\frac{d}{dr}K(u,x,r)=\frac{N}{r}(S(u,x,r)-K(u,x,r))=\frac{N}{r}(S(u,x,r)-u(x))
$$
であるから $(1)$ が成り立つ。 
$(1)\Rightarrow(3)$ を示す。$(1)$ が成り立つとする。
$$
\overline{B(x_0,r_0+\epsilon_0)}=\{y\in \mathbb{R}^N:\lvert y-x\rvert\leq r_0+\epsilon_0\}\subset \Omega\quad\quad(*)
$$
なる任意の $x_0\in\Omega$ と $r_0,\epsilon_0\in (0,\infty)$ を取り固定する。$(3)$ が成り立つことを示すには $B(x_0,r_0)$ 上で $u$ が $C^\infty$ 級であることと $\Delta u(x_0)=0$ が成り立つことを示せば十分である。Urysohnの補題より連続関数 $v\colon \mathbb{R}^N\rightarrow \mathbb{C}$ で、
$$
v(x)=u(x)\quad(\forall x\in \overline{B(x_0,r_0+\epsilon_0)})\quad\quad(**)
$$
を満たすものが取れる。$(\psi_{\epsilon})_{\epsilon\in (0,\infty)}$ をFriedrichsの軟化子（[[合成積とFourier変換]]の'''定義26.1'''）とし、
$$
\rho(r)\colon=\psi_{\epsilon_0}(r\omega)\quad(\forall r\in (0,\infty),\omega\in \partial B(0,1))
$$
と表すこととすると<ref>Friedrichsの軟化子の定義（[[合成積とFourier変換]]の'''定義26.1'''）より、$\lvert x\rvert=\lvert y\rvert$ ならば $\psi_{\epsilon_0}(x)=\psi_{\epsilon_0}(y)$ であることに注意。</ref>、任意の $x\in B(x_0,r_0)$ に対し、極座標変換（[[ベクトル解析4：Euclid空間内の多様体上の測度と積分]]の'''定理18.4'''）より、
$$
\begin{aligned}
(2\pi\epsilon)^{\frac{N}{2}}(\psi_{\epsilon_0}*v)(x)&=\int_{\mathbb{R}^N}\psi_{\epsilon_0}(y)v(x-y)dy
=\int_{\lvert y\rvert\leq\epsilon_0}\psi_{\epsilon_0}(y)u(x-y)dy\\
&=\int_{0}^{\epsilon_0}r^{N-1}\rho(r)\int_{\partial B(0,1)}u(x-r\omega)d\mu_{\partial B(0,1)}(\omega)dr\\
&=\int_{0}^{\epsilon_0}r^{N-1}\rho(r)u(x)\lvert \partial B(0,1)\rvert dr\\
&=\int_{0}^{\epsilon_0}r^{N-1}u(x)\int_{\partial B(0,1)}\psi_{\epsilon_0}(r\omega)d\mu_{\partial B(0,1)}(\omega)dr\\
&=\int_{\lvert y\rvert\leq\epsilon_0}\psi_{\epsilon_0}(y)u(x)dy=(2\pi)^{\frac{N}{2}}u(x)
\end{aligned}
$$
となる。ここで $4$ 番目の等号において $(1)$ が成り立つことを用いた。よって、
$$
u(x)=(\psi_{\epsilon_0}*v)(x)\quad(\forall x\in B(x_0,r_0))
$$
であり、$\psi_{\epsilon_0}*v\in C^\infty(\mathbb{R}^N)$ である（[[合成積とFourier変換]]の'''命題23.3'''）から、$u$ は $B(x_0,r_0)$ 上で $C^\infty$ 級である。$(1)$ が成り立つことと'''命題4.3'''の $(4)$ より、
$$
0=\frac{d}{dr}S(u,x_0,r)=\frac{r}{N}K(\Delta u,x_0,r)\quad(\forall r\in (0,r_0))
$$
であるから、'''命題4.3'''の $(1)$ より、
$$
\Delta u(x_0)=\lim_{r\rightarrow+0}K(\Delta u,x_0,r)=0.
$$
ゆえに $(3)$ が成り立つ。 
$(3)\Rightarrow(4)$ は自明である。 
$(4)\Rightarrow(1)$ を示す。$(4)$ が成り立つとする。$(*)$ を満たす任意の $x_0\in \Omega$ と $r_0,\epsilon_0\in (0,\infty)$ を取り、
$$
u(x_0)=S(u,x_0,r_0)
$$
が成り立つことを示せばよい。$(**)$ を満たす連続関数 $v\colon \mathbb{R}^N\rightarrow\mathbb{C}$ を取り、$(\psi_{\epsilon})_{\epsilon\in (0,\infty)}$ をFriedrichsの軟化子とすると、[[合成積とFourier変換]]の'''命題23.5 '''より、
$$
{\rm supp}(\psi_{\epsilon}*\varphi)\subset {\rm supp}(\psi_{\epsilon})+{\rm supp}(\varphi)\subset B(x_0,r_0+\epsilon_0)\quad(\forall \epsilon\in (0,\epsilon_0],\forall \varphi\in D(B(x_0,r_0)))
$$
であるから、任意の $\epsilon\in (0,\epsilon_0]$, 任意の $\varphi\in D(B(x_0,r_0))$ に対し、$v, \psi_{\epsilon}*\varphi$ を超関数とみなして、
$$
\begin{aligned}
&\Delta(\psi_{\epsilon}*v)(\varphi)=(\psi_{\epsilon}*v)(\Delta \varphi)=v(\psi_{\epsilon}*\Delta \varphi)=v(\Delta(\psi_{\epsilon}*\varphi))\\
&=u(\Delta (\psi_{\epsilon}*\varphi))=\Delta u(\psi_{\epsilon}*\varphi)=0
\end{aligned}
$$
となる。ただし $2$ 番目と $3$ 番目の等号でそれぞれ[[合成積とFourier変換]]の'''命題23.8'''と'''命題23.3'''を用いた。よって $\psi_{\epsilon}*v\in C^\infty(\mathbb{R}^N)$ は、
$$
\Delta(\psi_{\epsilon}*v)(x)=0\quad(\forall \epsilon\in (0,\epsilon_0],\forall x\in B(x_0,r_0))
$$
を満たすので、'''命題4.3'''の $(4)$ より、
$$
\frac{d}{dr}S((\psi_{\epsilon}*v),x_0,r)=\frac{r}{N}K(\Delta(\psi_{\epsilon}*v),x_0,r)=0\quad(\forall \epsilon\in (0,\epsilon_0],\forall r\in (0,r_0))
$$
となる。したがって'''命題4.3'''の $(1)$ と平均値の定理より、
$$
(\psi_{\epsilon}*v)(x_0)=S((\psi_{\epsilon}*v),x_0,r_0)\quad(\forall \epsilon\in (0,\epsilon_0])
$$
が成り立つ。そして $v\colon \mathbb{R}^N\rightarrow \mathbb{C}$ は連続関数であるから、[[合成積とFourier変換]]の'''命題26.2'''の $(1)$ より、コンパクト集合 $\overline{B(x_0,r_0)}$ 上で一様収束で、
$$
\lim_{\epsilon\rightarrow+0}(\psi_{\epsilon}*v)=v
$$
が成り立つ。よって、
$$
u(x_0)=v(x_0)=\lim_{\epsilon\rightarrow+0}(\psi_{\epsilon}*v)(x_0)=\lim_{\epsilon\rightarrow+0}S((\psi_{\epsilon}*v),x_0,r_0)=S(v,x_0,r_0)=S(u,x_0,r_0)
$$
を得る。
{{end|proof}}

===命題4.7（最大値の原理）===
$\Omega\subset \mathbb{R}^N$ を連結開集合、$u\colon \Omega\rightarrow\mathbb{C}$ を調和関数とする。このとき次は互いに同値である。
*$(1)$　$\lvert u\rvert\colon \Omega\ni x\mapsto \lvert u(x)\rvert \in [0,\infty)$ が $\Omega$ 上で最大値を取る。
*$(2)$　$\lvert u\rvert\colon \Omega\ni x\mapsto \lvert u(x)\rvert\in [0,\infty)$ は定数関数である。
*$(3)$　$u\colon\Omega\rightarrow \mathbb{C}$ は定数関数である。
{{begin|proof}}
$(2)\Rightarrow(1)$は自明である。 
$(1)\Rightarrow(2)$ を示す。$(1)$ が成り立つとする。
$$
M\colon =\underset{x\in \Omega}{\rm max}{\lvert u(x)\rvert}\in [0,\infty)
$$
とおき、
$$
\Omega_0\colon=\{x\in \Omega:\lvert u(x)\rvert=M\}
$$
とおくと、$\Omega_0$ は $\Omega$ の空でない閉集合である。任意の $x_0\in \Omega_0$ を取り、$\{x\in \mathbb{R}^N:\lvert x-x_0\rvert\leq r\}\subset \Omega$ 　なる正実数 $r$ を取る。このとき'''定理4.6'''の $(2)$ より、
$$
M=\lvert u(x_0)\rvert=\frac{1}{\lvert B(x_0,r)\rvert}\left\lvert\int_{B(x_0,r)}u(x)dx\right\rvert\leq \frac{1}{\lvert B(x_0,r)\rvert}\int_{B(x_0,r)}\lvert u(x)\rvert dx\leq M
$$
であるから、非負値連続関数 $B(x_0,r)\ni x\mapsto M-\lvert u(x)\rvert\in [0,\infty)$ は、
$$
\int_{B(x_0,r)}M-\lvert u(x)\rvert dx=0
$$
を満たす。よって $M-\lvert u(x)\rvert=0$ $(\forall x\in B(x_0,r))$ であるから、$B(x_0,r)\subset \Omega_0$ である。ゆえに $\Omega_0$ は $\Omega$ の開集合でもあるから、$\Omega$ の連結性より $\Omega=\Omega_0$ である。よって $\lvert u\rvert$ は定数関数である。 
$(3)\Rightarrow(2)$ は自明である。 
$(2)\Rightarrow(3)$ を示す。$(2)$ が成り立つとする。$a:={\rm Re}(u), b:={\rm Im}(u)\colon\Omega\rightarrow\mathbb{R}$も調和関数であり、$\lvert u\rvert^2=a^2+b^2$は定数関数である。そして、
$$
\Delta a^2=(\Delta a)a+2\lvert \nabla a\rvert^2+a(\Delta a)=\lvert \nabla a\rvert^2,
$$
$$
\Delta b^2=(\Delta b)b+2\lvert \nabla b\rvert^2+b(\Delta b)=\lvert \nabla b\rvert^2
$$
であるから、
$$
0=\Delta(a^2+b^2)=\lvert \nabla a\rvert^2+\lvert \nabla b\rvert^2
$$
である。よって $\nabla a, \nabla b\colon\Omega\rightarrow \mathbb{R}^N$ は恒等的に $0$ である。 $\Omega$ は連結なので任意の $2$ 点は $\Omega$ 内の折れ線で結ぶことができる。<ref> $x\in \Omega$ に対し、$x$ と $\Omega$ 内の折れ線で結ぶことができる点の集合を $\Omega_1$、$x$ と $\Omega$ 内の折れ線で結ぶことができない点の集合を $\Omega_2$ とすると、$\Omega_1,\Omega_2$ は明らかに開集合あるから、$\Omega$ の連結性より $\Omega=\Omega_1$ である。</ref> そして$x,y\in \Omega$ が $\Omega$ 内の線分で結べるとき、微積分学の基本定理より、
$$
a(y)-a(x)=\int_{0}^{1}\nabla a(x+t(y-x))\cdot (y-x) dt=0
$$
であるから $a\colon\Omega\rightarrow\mathbb{R}$ は定数関数である。同様に $b\colon\Omega\rightarrow\mathbb{R}$ も定数関数なので、$u\colon\Omega\rightarrow\mathbb{C}$ は定数関数である。
{{end|proof}}

===定理4.8（最大値の原理）===
$\Omega\subset \mathbb{R}^N$ を有界開集合とし、$u\colon \overline{\Omega}\rightarrow\mathbb{C}$ を連続関数で $\Omega$ 上で調和関数であるものとする。このとき、
$$
\underset{x\in \overline{\Omega}}{\rm max}\lvert u(x)\rvert=\underset{x\in \partial\Omega}{\rm max}\lvert u(x)\rvert\quad\quad(*)
$$
が成り立つ。
{{begin|proof}}
$M\colon ={\rm max}_{x\in \overline{\Omega}}\lvert u(x)\rvert$ とおく。もし $\lvert u(x)\rvert=M$ を満たす $x\in \Omega$ が存在しないならば、$\lvert u(x)\rvert=M$ を満たす $x\in \partial\Omega$ が存在するので $(*)$ が成り立つ。よって $\lvert u(x_0)\rvert=M$ を満たす $x_0\in \Omega$ が存在するとして $(*)$ が成り立つことを示せばよい。$x_0$ を含む $\Omega$ の連結成分を $U$ とおく。$\Omega$ の任意の点は連結な開近傍を持つので $U$ は開集合であり、$u$ は $U$ 上で調和関数であるから、'''命題4.7'''より、$\lvert u(x)\rvert=M$ $(\forall x\in U)$ が成り立つ。よって $U$ の $\mathbb{R}^N$ における閉包を $\overline{U}\subset \overline{\Omega}$ とおくと、$u\colon\overline{\Omega}\rightarrow\mathbb{C}$ の連続性より $\lvert u(x)\rvert=M$ $(\forall x\in \overline{U})$ が成り立つ。これよりもし $\overline{U}\cap \partial\Omega\neq\emptyset$ ならば $(*)$ は成り立つ。そこで今、$\overline{U}\cap \partial\Omega=\emptyset$ であると仮定して矛盾を導く。このとき $\overline{U}\subset \Omega$ であり、$\overline{U}$ は $x_0$ を含む $\Omega$ の連結集合であるから、$U$ が $\Omega$ の連結成分であることから $U=\overline{U}$ である。$U\subset \Omega$ で $U=\overline{U}$ はコンパクト、$\Omega$ は開集合であるから、[[超関数の定義と基本操作]]の'''命題2.2'''の $(4)$ と[[Sobolev空間の基本事項]]の'''注意33.4'''より、
$$
0<d(U,\mathbb{R}^N\backslash \Omega)=d(U,\partial\Omega)=\inf\{\lvert x-y\rvert :x\in U,y\in \partial\Omega\}\quad\quad(**)
$$
である。$U\times \partial\Omega\ni (x,y)\mapsto \lvert x-y\rvert\in [0,\infty)$ はコンパクト空間上の連続関数であるから $(**)$ の右辺の $\inf$ は実際は ${\rm min}$ であるので、
$$
\lvert a-b\rvert=d(U,\partial\Omega)>0
$$
を満たす $a\in U$, $b\in \partial\Omega$ が取れる。
$$
L\colon=\{a+t(b-a):t\in [0,1)\}
$$
とおくと、任意の $x\in L$ に対し、
$$
\lvert x-a\rvert =t\lvert b-a\rvert<\lvert b-a\rvert=d(U,\partial\Omega)=d(U,\mathbb{R}^N\backslash \Omega)
$$
であるので、$x\in \Omega$ である。よって $L\subset \Omega$ であり、$L$ は $a$ を含む $\Omega$ の連結集合で、$U$ は $a$ を含む $\Omega$ の連結成分であるので、$L\subset U$ である。これより、
$$
b\in \overline{L}\subset \overline{U}=U\subset \Omega
$$
となるが、これは $b\in \partial\Omega$ であることに矛盾する。よって $\overline{U}\cap \partial\Omega\neq\emptyset$ であるから $(*)$ が成り立つ。
{{end|proof}}

===命題4.9（調和関数に関するLiouvilleの定理）===
$\mathbb{R}^N$ 上で定義された有界な調和関数は定数関数である。
{{begin|proof}}
$u\colon\mathbb{R}^N\rightarrow\mathbb{C}$ を有界な調和関数とする。$x_1\neq x_2$ なる任意の $x_1,x_2\in \mathbb{R}^N$ を取り、$u(x_1)=u(x_2)$ が成り立つことを示せばよい。
$$
M\colon=\sup_{x\in \mathbb{R}^N}\lvert u(x)\rvert<\infty,\quad d\colon=\lvert x_1-x_2\rvert>0
$$
とおく。$r>d$ なる任意の正実数 $r$ に対し、'''定理4.6'''の $(2)$ より、
$$
\begin{aligned}
&\lvert u(x_1)-u(x_2)\rvert=\frac{1}{\lvert B(0,r)\rvert}\left\lvert\int_{B(x_1,r)}u(x)dx-\int_{B(x_2,r)}u(x)dx\right\rvert\\
&\leq \frac{1}{r^N\lvert B(0,1)\rvert}\left(\int_{B(x_1,r)\backslash B(x_2,r)}\lvert u(x)\rvert dx+\int_{B(x_2,r)\backslash B(x_1,r)}\lvert u(x)\rvert dx\right)\\
&\leq \frac{1}{r^N\lvert B(0,1)\rvert}\left(M\lvert B(x_1,r)\backslash B(x_1,r-d)\rvert +M\lvert B(x_2,r)\backslash B(x_2,r-d)\rvert\right)\\
&\leq \frac{2M}{r^N\lvert B(0,1)\rvert}(r^N-(r-d)^N)\lvert B(0,1)\rvert=2M\left(1-\left(1-\frac{d}{r}\right)^N\right)
\end{aligned}
$$
であり、$r\rightarrow\infty$ とすれば右辺は $0$ に収束する。よって $u(x_1)=u(x_2)$ が成り立つ。
{{end|proof}}

==5. Laplace-Poisson方程式の境界値問題の解の一意存在と正則性、Green関数による表現公式==

===定義5.1（Laplace方程式、Poisson方程式）===
$\Delta u=0$ を満たす関数 $u$ を求める微分方程式をLaplace方程式と言う。また、与えられた関数 $\rho$ に対し $\Delta u=\rho$ を満たす関数 $u$ を求める微分方程式をPoisson方程式と言う。

===定義5.2（$C^k(\overline{\Omega})$）===
$\Omega\subset \mathbb{R}^N$ を開集合、$k\in \mathbb{N}$ とする。$C^k(\overline{\Omega})$ を $\overline{\Omega}$ を含むある開集合上で定義された $C^k$ 級関数の $\overline{\Omega}$ 上への制限で表される関数全体とする。

===定理5.3（Laplace方程式の境界値問題の解の一意存在と解の正則性）===
$\Omega\subset \mathbb{R}^N$ を滑らかな境界を持つ有界開集合、$m\in \mathbb{N}$ を $m>\frac{N}{2}$ を満たすものとし、$f\colon\partial\Omega\rightarrow\mathbb{C}$ を $H^m(\mathbb{R}^N)\subset C_0(\mathbb{R}^N)$ <ref>$m>\frac{N}{2}$ であるから [[Sobolev空間の基本事項]]の'''Sobolevの埋め込み定理（定理38.3）'''より $H^m(\mathbb{R}^N)\subset C_0(\mathbb{R}^N)$ である。</ref>の元の $\partial\Omega$ 上への制限であるとする。また $\gamma\colon H^1(\Omega)\rightarrow L^2(\partial\Omega)$ をトレース作用素（[[Sobolev空間の基本事項]]の'''定理37.1'''）とする。このとき $v\in H^2(\Omega)$ で、
$$
\Delta v=0,\quad \gamma(v)=f
$$
を満たすものが唯一つ存在する。そして $v\in H^m(\Omega)$ が成り立つ。
{{begin|proof}}
$f\colon\partial\Omega\rightarrow \mathbb{C}$ の $H^m(\mathbb{R}^N)$ の元への拡張をそのまま $f$ で表す。[[Sobolev空間の基本事項]]の'''定理32.2'''より $H^m(\mathbb{R}^N)=\overline{D(\mathbb{R}^N)}^{\lVert \cdot\rVert_{2,m}}$ であるから $D(\mathbb{R}^N)$ の列 $(f_n)_{n\in\mathbb{N}}$ で、
$$
\lim_{n\rightarrow\infty}\lVert f-f_n\rVert_{2,m}=0\quad\quad(*)
$$
を満たすものが取れる。$m>\frac{N}{2}$ であるからSobolevの埋め込み定理（[[Sobolev空間の基本事項]]の'''定理38.3'''）より $(f_n)_{n\in\mathbb{N}}$ は $f$ に一様収束する。'''定理3.14'''の $(2),(5)$ より、
$$
\Delta\colon H^2(\Omega)\cap H^1_0(\Omega)=\{v\in H^2(\Omega):\gamma(v)=0\}\rightarrow L^2(\Omega)\quad\quad(**)
$$
は全単射であるから、各 $n\in \mathbb{N}$ について $\Delta u_n=\Delta f_n|_{\Omega}$ を満たす $u_n\in H^2(\Omega)\cap H^1_0(\Omega)$ が取れる。そして、
$$
\Delta u_n=\Delta f_n|_{\Omega}\in D(\mathbb{R}^N)|_{\Omega}\subset \bigcap_{m\in \mathbb{N}}H^m(\Omega)\quad(\forall n\in\mathbb{N})
$$
であるから、楕円型正則性（'''定理3.14'''の $(4)$）とSobolevの埋め込み定理（[[Sobolev空間の基本事項]]の'''定理38.4'''）より、
$$
u_n\in \bigcap_{k\in \mathbb{N}}H^k(\Omega)\subset \bigcap_{k\in \mathbb{N}}C^k(\overline{\Omega})\quad(\forall n\in\mathbb{N})
$$
が成り立つ。そこで、
$$
v_n\colon =f_n-u_n\in \bigcap_{k\in \mathbb{N}}C^k(\overline{\Omega})\subset C^\infty(\Omega)\quad(\forall n\in\mathbb{N})
$$
とおくと、
$$
\Delta v_n=\Delta f_n-\Delta u_n=0,\quad v_n|_{\partial\Omega}=f_n|_{\partial\Omega}-u_n|_{\partial\Omega}=f_n|_{\partial\Omega}\quad(\forall n\in\mathbb{N})
$$
であるから、最大値の原理（'''定理4.8'''）より、
$$
\underset{x\in \overline{\Omega}}{\rm max}\lvert v_n(x)-v_k(x)\rvert=\underset{x\in \partial\Omega}{\rm max}\lvert v_n(x)-v_k(x)\rvert=\underset{x\in \partial\Omega}{\rm max}\lvert f_n(x)-f_k(x)\rvert\quad(\forall n,k\in \mathbb{N})
$$
であり、$(f_n)_{n\in\mathbb{N}}$ は $f$ に一様収束するので、$(v_n)_{n\in \mathbb{N}}$ もある連続関数 $v\colon \overline{\Omega}\rightarrow\mathbb{C}$ に一様収束する。よって、
$$
v(x)=\lim_{n\rightarrow\infty}v_n(x)=\lim_{n\rightarrow\infty}f_n(x)=f(x)\quad(\forall x\in \partial\Omega)
$$
が成り立ち、$\{y\in \mathbb{R}^N:\lvert y-x\rvert\leq r\}\subset \Omega$ なる任意の $x\in \Omega$ と $r\in (0,\infty)$ に対し、'''定理4.6'''の $(1)$ より、
$$
S(v,x,r)=\lim_{n\rightarrow\infty}S(v_n,x,r)=\lim_{n\rightarrow\infty}v_n(x)=v(x)
$$
となるので、再び'''定理4.6'''より $v$ は $\Omega$ 上で $\Delta v=0$ を満たす。今、$v\in H^m(\Omega)$ が成り立つことを示す。
$$
u_n-u_k\in H^2(\Omega)\cap H^1_0(\Omega),\quad \Delta (u_n-u_k)=\Delta(f_n-f_k)|_{\Omega}\quad(\forall n,k\in \mathbb{N})
$$
であるから、'''定理3.14'''の $(4)$ より、$\Omega, m$ のみによる正実数 $C,C'$ が存在して、
$$
\lVert u_n-u_k\rVert_{2,m}\leq C(\lVert \Delta(f_n-f_k)\rVert_{2,m-2}+\lVert u_n-u_k\rVert_2)
\leq C'(\lVert f_n-f_k\rVert_{2,m}+\lVert u_n-u_k\rVert_{\infty})\quad(\forall n,k\in \mathbb{N})\quad\quad(***)
$$
が成り立つ。ここで $u_n=f_n-v_n$ $(\forall n\in\mathbb{N})$ であり、$(f_n)_{n\in \mathbb{N}}$, $(v_n)_{n\in\mathbb{N}}$ はそれぞれ一様収束するので $(u_n)_{n\in \mathbb{N}}$ も一様収束する。よって $(*),(***)$ より $(u_n)_{n\in \mathbb{N}}$ は $H^m(\Omega)$ において収束する。そして、
$$
\lVert v_n-v_k\rVert_{2,m}\leq \lVert u_n-u_k\rVert_{2,m}+\lVert f_n-f_k\rVert_{2,m}\quad(\forall n,k\in\mathbb{N})
$$
であるから $(v_n)_{n\in \mathbb{N}}$ も $H^m(\Omega)$ において収束する。ゆえに $v\in H^m(\Omega)$ である。 
一意性を示す。$v_1,v_2\in H^2(\Omega)$ が、
$$
\Delta v_k=0,\quad \gamma(v_k)=f\quad(k=1,2)
$$
を満たすとする。このとき、
$$
v_1-v_2\in \{v\in H^2(\Omega):\gamma(v)=0\}=H^2(\Omega)\cap H^1_0(\Omega)
$$
であり、$\Delta(v_1-v_2)=0$ であるから、$(**)$ の単射性より $v_1=v_2$ である。
{{end|proof}}

===定理5.4（Poisson方程式の境界値問題の解の一意存在と解の正則性）===
$\Omega\subset \mathbb{R}^N$ を滑らかな境界を持つ有界開集合、$m\in \mathbb{N}$ を $m>\frac{N}{2}$ を満たすものとし、$f\colon\partial\Omega\rightarrow\mathbb{C}$ を $H^m(\mathbb{R}^N)\subset C_0(\mathbb{R}^N)$ の元の $\partial\Omega$ 上への制限であるとする。また $\gamma\colon H^1(\Omega)\rightarrow L^2(\partial\Omega)$ をトレース作用素（[[Sobolev空間の基本事項]]の'''定理37.1'''）とする。このとき任意の $m'\in \mathbb{Z}_+$, $\rho\in H^{m'}(\Omega)$ に対し、$v\in H^2(\Omega)$ で、
$$
\Delta v=\rho,\quad \gamma(v)=f
$$
を満たすものが唯一つ存在する。そして $m' '\colon={\rm min}(m,m'+2)$ に対し $v\in H^{m' '}(\Omega)$ が成り立つ。
{{begin|proof}}
'''定理5.3'''より $v_0\in H^m(\Omega)$ で、
$$
\Delta v_0=0,\quad \gamma(v_0)=f
$$
を満たすものが取れる。そして'''定理3.14'''の $(2),(5)$ より、
$$
\Delta\colon H^2(\Omega)\cap H^1_0(\Omega)=\{v\in H^2(\Omega):\gamma(v)=0\}\rightarrow L^2(\Omega)\quad\quad(*)
$$
は全単射であるから、$\rho\in H^{m'}(\Omega)$ に対し $\Delta v_1=\rho$ を満たす $v_1\in H^2(\Omega)\cap H^1_0(\Omega)$ が取れて、楕円型正則性（'''定理3.14'''の $(4)$）より $v_1\in H^{m'+2}(\Omega)$ である。よって $v\colon=v_0+v_1\in H^{m' '}(\Omega)$ とおけば、
$$
\Delta v=\Delta v_0+\Delta v_1=\Delta v_1=\rho,\quad \gamma(v)=\gamma(v_0)+\gamma(v_1)=\gamma(v_0)=f
$$
である。これで存在が言えた。一意性を示す。今、$v,u\in H^2(\Omega)$ が、
$$
\Delta v=\Delta u=\rho,\quad \gamma(v)=\gamma(u)=f
$$
を満たすとすると、
$$
\Delta(v-u)=0,\quad \gamma(v-u)=0
$$
であるから、$(*)$ の単射性より $v-u=0$ である。これで一意性が言えた。
{{end|proof}}

===定義5.4（ラプラシアンの基本解）===
$N$ を $2$ 以上の自然数とし、$\lvert \partial B(0,1)\rvert$ を $N-1$ 次元単位球面の面積とする。$\mathbb{R}^N$ 上の関数 $G\colon\mathbb{R}^N\rightarrow\mathbb{R}$ で次を満たすものをラプラシアンの基本解と言う。$N\geq3$ の場合、
$$
G(x)=\frac{1}{\lvert \partial B(0,1)\rvert}\frac{\lvert x\rvert^{2-N}}{2-N}\quad(\forall x\in \mathbb{R}^N\backslash \{0\}),
$$
$N=2$ の場合、
$$
G(x)=\frac{1}{\lvert \partial B(0,1)\rvert}\log(\lvert x\rvert)=\frac{1}{2\pi}\log(\lvert x\rvert)\quad(\forall x\in \mathbb{R}^N\backslash\{0\}).
$$
便宜上、ラプラシアンの基本解 $G$ に対し、$G(x)$ は $G(\lvert x\rvert)$ とも表す。

===命題5.5（ラプラシアンの基本解の基本性質）===
$\mathbb{R}^N$ 上のラプラシアンの基本解 $G\colon \mathbb{R}^N\rightarrow\mathbb{R}$ に対し次が成り立つ。
*$(1)$　$G$ の勾配は、
$$
\nabla G(x)=\frac{1}{\lvert \partial B(0,1)\rvert}\frac{x}{\lvert x\rvert^N}\quad(\forall x\in \mathbb{R}^N\backslash \{0\})
$$
を満たし、$G$ のラプラシアンは、
$$
\Delta G(x)=0\quad(\forall x\in \mathbb{R}^N\backslash \{0\})
$$
を満たす。
*$(2)$　$G,\lvert \nabla G\rvert\in L^1_{\rm loc}(\mathbb{R}^N)$ であり、
$$
\int_{\lvert x\rvert\leq R}\lvert \nabla G(x)\rvert dx=R\quad(\forall R\in (0,\infty))
$$
が成り立つ。
{{begin|proof}}
*$(1)$　$G$ は $0\in \mathbb{R}^N$ 中心の極座標（[[ベクトル解析4：Euclid空間内の多様体上の測度と積分]]の'''定義18.3'''）$(r,\theta_1,\ldots,\theta_{N-1})$ の $r$ のみによることと、極座標は直交座標であること（[[ベクトル解析4：Euclid空間内の多様体上の測度と積分]]の'''命題18.2'''の $(3)$ ）に注意すれば、[[ベクトル解析3：Euclid空間内の多様体の計量]]の'''命題12.5'''より、
$$
\nabla G(x)=\frac{\partial G}{\partial r}(r)\frac{\partial}{\partial r}x=\frac{1}{\lvert\partial B(0,1)\rvert}\frac{1}{r^{N-1}}\frac{x}{r}=\frac{1}{\lvert\partial B(0,1)\rvert}\frac{x}{\lvert x\rvert^N}\quad(\forall x\in \mathbb{R}^N\backslash \{0\})
$$
であり、[[ベクトル解析3：Euclid空間内の多様体の計量]]の'''命題13.10'''より、
$$
\Delta G(x)=\frac{1}{r^{N-1}}\frac{\partial}{\partial r}\left(r^{N-1}\frac{\partial G}{\partial r}\right)(x)
=\frac{1}{r^{N-1}}\frac{\partial}{\partial r}\left(r^{N-1}\frac{1}{\lvert \partial B(0,1)\rvert}\frac{1}{r^{N-1}}\right)(x)=0
$$
である。
*$(2)$　$G,\lvert \nabla G\rvert$ は $\mathbb{R}^N\backslash \{0\}$ 上で連続であるから、$G,\lvert\nabla G\rvert$ が $\mathbb{R}^N$ 上で局所可積分であることを示すには、$0\in \mathbb{R}^N$ を中心とする任意の球 $\{x\in \mathbb{R}^N:\lvert x\rvert\leq R\}$ 上で $G,\lvert \nabla G\rvert$ が可積分であることを示せば十分である。極座標変換（[[ベクトル解析4：Euclid空間内の多様体上の測度と積分]]の'''定理18.4'''）より、
$$
\int_{\lvert x\rvert\leq R}\lvert G(x)\rvert dx=\lvert \partial B(0,1)\rvert \int_{0}^{R}r^{N-1}\lvert G(r)\rvert dr
=\begin{cases}\frac{1}{N-2}\int_{0}^{R}rdr<\infty&\quad(N\geq 3)\\
\int_{0}^{R}r\lvert \log(r)\rvert dr<\infty &(N=2)\end{cases}
$$
であり、
$$
\int_{\lvert x\rvert\leq R}\lvert \nabla G(x)\rvert dx=\int_{\lvert x\rvert \leq R}\frac{1}{\lvert \partial B(0,1)\rvert}\frac{1}{\lvert x\rvert^{N-1}}dx=\int_{0}^{R}1dr=R
$$
である。
{{end|proof}}

===定理5.6（Greenの表現公式）===
$\Omega\subset \mathbb{R}^N$ を滑らかな境界を持つ有界開集合、$G$ を $\mathbb{R}^N$ 上のラプラシアンの基本解、$u\in C^2(\overline{\Omega})$ とする。このとき任意の $x\in \Omega$ に対し、
$$
u(x)=\int_{\Omega}\Delta u(y)G(x-y)dy+\int_{\partial\Omega}\left(u(y)\frac{\partial G}{\partial \nu_y}(x-y)-\frac{\partial u}{\partial \nu}(y) G(x-y)\right)d\mu_{\partial\Omega}(y)
$$
が成り立つ。ただし $\mu_{\partial\Omega}$ は $\partial\Omega$ 上の面積測度（[[ベクトル解析4：Euclid空間内の多様体上の測度と積分]]の'''定義16.8'''）、$\frac{\partial}{\partial\nu}$ は外向き法線微分（'''定義2.2'''）
である。
{{begin|proof}}
任意の $x\in \Omega$ を取り固定する。十分小さい $\epsilon\in (0,\infty)$ を取り、
$$
\overline{B(x,\epsilon)}=\{y\in \mathbb{R}^N:\lvert y-x\rvert\leq \epsilon\}\subset \Omega
$$
となるようにする。このとき $\Omega\backslash \overline{B(x,\epsilon)}\subset \mathbb{R}^N$ は滑らかな境界 $\partial\Omega\cup \partial B(x,\epsilon)$ を持つ開集合であり、その境界上の外向き単位法線ベクトル場（[[ベクトル解析5：多様体の向き]]の'''定義22.1'''） $\widetilde{\nu}\colon \partial\Omega\cup \partial B(x,\epsilon)\rightarrow\mathbb{R}^N$ は、$\Omega$ の境界上の外向き単位法線ベクトル場 $\nu\colon \partial\Omega\rightarrow\mathbb{R}^N$ に対し、
$$
\widetilde{\nu}(y)=\nu(y)\quad(\forall y\in \partial\Omega),\quad \widetilde{\nu}(y)=-\frac{y-x}{\epsilon}\quad(\forall y\in \partial B(x,\epsilon))
$$
である。'''命題5.5'''の $(1)$ より任意の $y\in \partial B(x,\epsilon)$ に対し、
$$
\begin{aligned}
\frac{\partial G}{\partial \widetilde{\nu}_y}(x-y)&=-\frac{y-x}{\epsilon}\cdot \nabla_yG(x-y)=-\frac{1}{\lvert\partial B(0,1)\rvert}\frac{y-x}{\epsilon}\cdot \frac{y-x}{\epsilon^N}\\
&=-\frac{1}{\lvert \partial B(0,1)\rvert}\frac{1}{\epsilon^{N-1}}
=-\frac{1}{\lvert \partial B(x,\epsilon)\rvert}
\end{aligned}
$$
であることと、$\Omega\backslash \overline{B(x,\epsilon)}\ni y\mapsto G(x-y)\in \mathbb{R}$ は調和関数であることに注意して、Gaussの発散定理（'''定理2.3'''の $(4)$ ）を用いると、
$$
\begin{aligned}
\int_{\Omega\backslash \overline{B(x,\epsilon)}}\Delta u(y)G(x-y)dy&=\int_{\partial\Omega}\left(\frac{\partial u}{\partial \nu}(y)G(x-y)-u(y)\frac{\partial G}{\partial\nu_y}(x-y)\right)d\mu_{\partial \Omega}(y)\\
&-\int_{\partial B(x,\epsilon)}\left(\nabla u(y)\cdot \frac{y-x}{\epsilon}\right)G(x-y)d\mu_{\partial B(0,1)}(y)\\
&+\frac{1}{\lvert \partial B(x,\epsilon\rvert}\int_{\partial B(x,\epsilon)}u(y)d\mu_{\partial B(x,\epsilon)}(y)\quad\quad(*)
\end{aligned}
$$
となる。ここで'''命題5.5'''の $(2)$ より $G\in L^1_{\rm loc}(\mathbb{R}^N)$ であるから、Lebesgue優収束定理より、
$$
\lim_{\epsilon\rightarrow+0}\int_{\Omega\backslash \overline{B(x,\epsilon)}}\Delta u(y)G(x-y)dy=\int_{\Omega}\Delta u(y)G(x-y)dy\quad\quad(**)
$$
が成り立ち、'''命題4.3'''の $(1)$ より、
$$
\lim_{\epsilon\rightarrow+0}\frac{1}{\lvert \partial B(x,\epsilon)\rvert}\int_{\partial B(x,\epsilon)}u(y)d\mu_{\partial B(x,\epsilon)}(y)=u(x)\quad\quad(***)
$$
が成り立つ。そして、
$$
\begin{aligned}
&\left\lvert \int_{\partial B(x,\epsilon)}\left(\nabla u(y)\cdot \frac{y-x}{\epsilon}\right)G(x-y)d\mu_{\partial B(x,\epsilon)}(y)\right\rvert\\
&\leq \underset{x\in \overline{\Omega}}{\rm max}\lvert \nabla u(x)\rvert \begin{cases}\frac{1}{\lvert \partial B(0,1)\rvert}\int_{\partial B(x,\epsilon)}\frac{\epsilon^{2-N}}{N-2}d\mu_{\partial B(x,\epsilon)}(y)\quad&(N\geq 3)\\
\frac{1}{2\pi}\int_{\partial B(x,\epsilon)}\lvert \log(\epsilon)\rvert d\mu_{\partial B(x,\epsilon)}(y)&(N=2)\end{cases}\\
&=\underset{x\in\overline{\Omega}}{\rm max}\lvert \nabla u(x)\rvert\begin{cases}\frac{\epsilon}{N-2}\quad&(N\geq 3)\\\epsilon\lvert \log(\epsilon)\rvert&(N=2)\end{cases}\\
&\rightarrow0\quad(\epsilon\rightarrow+0)\quad\quad(****)
\end{aligned}
$$
である。よって $(*)$ の両辺について $\epsilon\rightarrow+0$ とすれば、$(**),(***),(****)$ より、
$$
\int_{\Omega}\Delta u(y)G(x-y)dy=\int_{\partial\Omega}\left(\frac{\partial u}{\partial \nu}(y)G(x-y)-u(y)\frac{\partial G}{\partial \nu_y}(x-y)\right)d\mu_{\partial\Omega}(y)+u(x)
$$
となる。これで求める等式が得られた。
{{end|proof}}

===命題5.7（滑らかな境界を持つ有界開集合上のラプラシアンのGreen関数の一意存在）===
$\Omega\subset \mathbb{R^N}$ を滑らかな境界を持つ有界開集合、$\gamma\colon H^1(\Omega)\rightarrow L^2(\partial\Omega)$　をトレース作用素（[[Sobolev空間の基本事項]]の'''定理37.1'''）、$G$ を $\mathbb{R}^N$ 上のラプラシアンの基本解とする。このとき任意の $x\in \Omega$ に対し $h_x\in H^2(\Omega)$ で、
$$
\Delta h_x=0,\quad \gamma(h_x)(y)=G(x-y)\quad(\forall y\in \partial\Omega)\quad\quad(1)
$$
を満たすものが唯一つ存在する。そして、
$$
h_x\in \bigcap_{m\in \mathbb{N}}H^m(\Omega)\subset \bigcap_{m\in \mathbb{N}}C^m(\overline{\Omega})\quad\quad(2)
$$
が成り立ち、任意の $u\in C^2(\overline{\Omega})$ に対し、
$$
\int_{\Omega}\Delta u(y)h_x(y)dy=\int_{\partial \Omega}\left(\frac{\partial u}{\partial \nu}(y)G(x-y)-u(y)\frac{\partial h_x}{\partial\nu}(y)\right)d\mu_{\partial\Omega}(y)\quad\quad(3)
$$
が成り立つ。ただし $\frac{\partial}{\partial\nu}$ は外向き法線微分（'''定義2.2'''）である。
{{begin|proof}}
任意の $x\in \Omega$ に対し、$\partial\Omega\ni y\mapsto G(x-y)\in \mathbb{R}$ はUrysohnの補題（[[ベクトル解析4：Euclid空間内の多様体上の測度と積分]]の'''定理15.5'''）より $D(\mathbb{R}^N)\subset \bigcap_{m\in \mathbb{N}}H^m(\mathbb{R}^N)$ の元に拡張できるので、'''定理5.3'''より、$(1)$ を満たす $h_x\in H^2(\Omega)$ が唯一つ存在し、$(2)$ が成り立つ。任意の $u\in C^2(\overline{\Omega})$ に対し、Gaussの発散定理（'''定理2.3'''の $(4)$ ）より、
$$
\begin{aligned}
\int_{\Omega}\Delta u(y)h_x(y)dy&=\int_{\Omega}(\Delta u(y)h_x(y)-u(y)\Delta h_x(y))dy
=\int_{\partial\Omega}\left(\frac{\partial u}{\partial \nu}(y)h_x(y)-u(y)\frac{\partial h_x}{\partial \nu}(y)\right)d\mu_{\partial\Omega}(y)\\
&=\int_{\partial\Omega}\left(\frac{\partial u}{\partial \nu}(y)G(x-y)-u(y)\frac{\partial h_x}{\partial \nu}(y)\right)d\mu_{\partial\Omega}(y)
\end{aligned}
$$
であるから、$(3)$ が成り立つ。
{{end|proof}}

===定義5.8（滑らかな境界を持つ有界開集合上のラプラシアンのGreen関数）===
$\Omega\subset \mathbb{R}^N$ を滑らかな境界を持つ有界開集合、$G$ を $\mathbb{R}^N$ 上のラプラシアンの基本解とする。任意の $x\in \Omega$ に対し'''命題5.7'''の $(1)$ によって一意的に定まる $h_x\in \bigcap_{m\in \mathbb{N}}H^m(\Omega)\subset \bigcap_{m\in \mathbb{N}}C^m(\overline{\Omega})$ を考え、
$$
G_{\Omega}(x,y)\colon =G(x-y)-h_x(y)\quad(\forall y\in \overline{\Omega})
$$
とおく。$G_{\Omega}(x,y)$ を $\Omega$ 上のラプラシアンのGreen関数と言う。

===定理5.9（Poisson方程式の境界値問題の一意解のGreen関数による表現）===
$\Omega\subset \mathbb{R}^N$ を滑らかな境界を持つ有界開集合、$m\in \mathbb{N}$ を $m>\frac{N}{2}+2$ を満たすものとし、$f\colon \partial\Omega\rightarrow\mathbb{C}$ を $H^m(\mathbb{R}^N)$ の元の $\partial\Omega$ 上への制限、また $\rho\in H^{m-2}(\Omega)$ とする。このとき'''定理5.4'''におけるPoisson方程式の境界値問題
$$
\Delta u=\rho,\quad \gamma(u)=f
$$
の一意解 $u\in H^2(\Omega)$ は、$\Omega$ 上のラプラシアンのGreen関数 $G_{\Omega}(x,y)$ $(x\in \Omega,y\in\overline{\Omega})$ を用いて、
$$
u(x)=\int_{\Omega}\rho(y)G_{\Omega}(x,y)dy+\int_{\partial\Omega}f(y)\frac{\partial G_{\Omega}}{\partial\nu_y}(x,y)d\mu_{\partial\Omega}(y)\quad(\forall x\in \Omega)
$$
と表される。
{{begin|proof}}
Sobolevの埋め込み定理（[[Sobolev空間の基本事項]]の'''定理38.4'''）より、$u\in H^m(\Omega)\subset C^2(\overline{\Omega})$ であるから、Greenの表現公式（'''定理5.6'''）より、任意の $x\in \Omega$ に対し、
$$
u(x)=\int_{\Omega}\rho(y)G(x-y)dy+\int_{\partial\Omega}\left(f(y)\frac{\partial G}{\partial \nu_y}(x-y)-\frac{\partial u}{\partial\nu}(y)G(x-y)\right)d\mu_{\partial\Omega}(y)\quad\quad(*)
$$
（$\Delta u=\rho$, $u|_{\partial\Omega}=f$ に注意）が成り立つ。また'''命題5.7'''より、
$$
0=-\int_{\Omega}\rho(y)h_x(y)dy+\int_{\partial\Omega}\left(\frac{\partial u}{\partial\nu}(y)G(x-y)-f(y)\frac{\partial h_x}{\partial\nu}(y)\right)d\mu_{\partial\Omega}(y)\quad\quad(**)
$$
であるから、$(*),(**)$ を足せば、
$$
u(x)=\int_{\Omega}\rho(y)G_{\Omega}(x,y)dy+\int_{\partial\Omega}f(y)\frac{\partial G_{\Omega}}{\partial\nu_y}(x,y)d\mu_{\partial\Omega}(y)
$$
を得る。
{{end|proof}}

===定理5.10（ラプラシアンの基本解の基本性質）===
$G$ を $\mathbb{R}^N$ 上のラプラシアンの基本解とし、$\delta_0$ を $\{0\}$ を台とするDiracのデルタ超関数（[[緩増加超関数とFourier変換]]の'''定義20.5'''）とする。このとき、
*$(1)$　$G\in L^1_{\rm loc}(\mathbb{R}^N)\subset D'(\mathbb{R}^N)$ として $\Delta G=\delta_0$ が成り立つ。
*$(2)$　任意の台がコンパクトな超関数 $v\in \mathcal{E}_N'$（[[緩増加超関数とFourier変換]]の'''定義20.3'''）に対し、$(2\pi)^{\frac{N}{2}}\Delta (v*G)=v$ が成り立つ。
{{begin|proof}}
*$(1)$　任意の $\varphi\in D(\mathbb{R}^N)$ に対し ${\rm supp}(\varphi)\in B(0,R)=\{x\in \mathbb{R}^N:\lvert x\rvert<R\}$ を満たす $R\in (0,\infty)$ を取れば、Greenの表現公式（'''定理5.6'''）より、
$$
\begin{aligned}
\delta_0(\varphi)&=\varphi(0)=\int_{B(0,R)}G(y)\Delta \varphi(y)dy+\int_{\partial B(0,R)} \left(\varphi(y)\frac{\partial G}{\partial \nu}(y)-\frac{\partial\varphi}{\partial\nu}(y)G(y)\right)d\mu_{\partial B(0,R)}(y)\\
&=\int_{\mathbb{R}^N}G(y)\Delta \varphi(y)dy=\Delta G(\varphi)
\end{aligned}
$$
となる。よって $\Delta G=\delta_0$ が成り立つ。
*$(2)$　$(1)$ と[[合成積とFourier変換]]の'''命題27.6'''と'''命題27.7'''より、
$$
\Delta(v*G)=v*\Delta G=v*\delta_0=\delta_0*v=\frac{1}{(2\pi)^{\frac{N}{2}}}v
$$
となる。
{{end|proof}}

===定義5.11（Newtonポテンシャル）===
$G$ を $\mathbb{R}^N$ 上のラプラシアンの基本解、$\rho\in L^\infty(\mathbb{R}^N)$ を ${\rm supp}(\rho)$ がコンパクトであるものとする。'''命題5.5'''の $(2)$ より $G\in L^1_{\rm loc}(\mathbb{R}^N)$ だから任意の $x\in \mathbb{R}^N$ に対し $\mathbb{R}^N\ni y\mapsto \rho(y)G(x-y)\in \mathbb{C}$ は可積分である。よって $\mathbb{R}^N$ 上の関数 $u\colon \mathbb{R}^N\rightarrow\mathbb{C}$ として、
$$
u(x)=\int_{\mathbb{R}^N}\rho(y)G(x-y)dy\quad(\forall x\in \mathbb{R}^N)
$$
なるものが定義できる。$u$ を $\rho$ を密度関数とするNewtonポテンシャルと言う。

===定理5.12（Newtonポテンシャルと全空間におけるPoisson方程式）===
$G$ を $\mathbb{R}^N$ 上のラプラシアンの基本解、$\rho\in L^\infty(\mathbb{R}^N)$ を ${\rm supp}(\rho)$ がコンパクトであるものとする。そして $u\colon \mathbb{R}^N\rightarrow\mathbb{C}$ を $\rho$ を密度関数とするNewtonポテンシャルとする。このとき、
*$(1)$　$u\in C^1(\mathbb{R}^N)$ であり、
$$
\nabla u(x)=\int_{\mathbb{R}^N}\rho(y)\nabla G(x-y)dy\quad(\forall x\in \mathbb{R}^N)\quad\quad(*)
$$
が成り立つ。
*$(2)$　$N\geq 3$ の場合、$\lim_{\lvert x\rvert\rightarrow\infty}u(x)=0$ が成り立つ。
*$(3)$　
$$
\Delta u=\rho
$$
が成り立つ。そして $N\geq 3$ の場合、$\Delta w=\rho$ を満たす任意の有界連続関数 $w\colon \mathbb{R}^N\rightarrow\mathbb{C}$ に対し $u-w$ は定数関数である。
{{begin|proof}}
*$(1)$　$v\colon\mathbb{R}^N\rightarrow\mathbb{C}^N$ を、
$$
v(x)\colon=\int_{\mathbb{R}^N}\rho(y)\nabla G(x-y)dy\quad(\forall x\in \mathbb{R}^N)
$$
として定義する('''命題5.5'''より$\lvert \nabla G\rvert \in L^1_{\rm loc}(\mathbb{R}^N)$であることに注意)。まず $v$ が連続であることを示す。任意の $a\in \mathbb{R}^N$ を取り $a$ において $v$ が連続であることを示せばよい。任意の $\epsilon\in (0,\infty)$ を取り、$B(a,\epsilon)=\{x\in \mathbb{R}^N:\lvert x-a\rvert<\epsilon\}$ に対し、
$$
\begin{aligned}
&v_1(x)\colon=\int_{B(a,\epsilon)}\rho(y)\nabla G(x-y)dy,\\
&v_2(x)\colon=\int_{{\rm supp}(\rho)\backslash B(a,\epsilon)}\rho(y)\nabla G(x-y)dy\quad(\forall x\in \mathbb{R}^N)\quad\quad(**)
\end{aligned}
$$
とおく。$v(x)=v_1(x)+v_2(x)$ $(\forall x\in \mathbb{R}^N)$ である。任意の $x\in B(a,\epsilon)$ に対し、変数変換と'''命題5.5'''の $(2)$ より、
$$
\lvert v_1(x)\rvert\leq \lVert \rho\rVert_{\infty}\int_{B(a,\epsilon)}\lvert \nabla G(x-y)\rvert dy\leq \lVert \rho\rVert_{\infty}\int_{B(0,2\epsilon)}\lvert \nabla G(y)\rvert dy=2\lVert \rho\rVert_{\infty}\epsilon\quad\quad(***)
$$
であり、
$$
\lvert v_1(a)\rvert\leq \lVert \rho\rVert_{\infty}\int_{B(a,\epsilon)}\lvert \nabla G(a-y)\rvert dy=\lVert \rho\rVert_{\infty}\int_{B(0,\epsilon)}\lvert \nabla G(y)\rvert dy=\lVert \rho\rVert_{\infty}\epsilon
$$
であるから、
$$
\lvert v_1(x)-v_1(a)\rvert\leq \lvert v_1(x)\rvert+\lvert v_1(a)\rvert\leq 3\lVert \rho\rVert_{\infty}\epsilon\quad(\forall x\in B(a,\epsilon))
$$
となる。またLebesgue優収束定理より $B(a,\epsilon)\ni x\mapsto v_2(x)\in \mathbb{C}^N$ は連続であるので、十分小さい $\delta\in (0,\epsilon)$ を取れば、
$$
\lvert v_2(x)-v_2(a)\rvert<\epsilon\quad(\forall x\in B(a,\delta))
$$
となる。よって任意の $x\in B(a,\delta)$ に対し、
$$
\lvert v(x)-v(a)\rvert \leq \lvert v_1(x)-v_1(a)\rvert+\lvert v_2(x)-v_2(a)\rvert\leq (3\lVert \rho\rVert_{\infty}+1)\epsilon
$$
となり、$\epsilon\in (0,\infty)$ は任意なので、$v\colon \mathbb{R}^N\rightarrow\mathbb{C}^N$ は連続である。 
次に $u$ が $a\in \mathbb{R}^N$ において微分可能であることと $\nabla u(a)=v(a)$ が成り立つことを示す。再び任意の $\epsilon\in (0,\infty)$ を取り、
$$
\begin{aligned}
&u_1(x)\colon=\int_{B(a,\epsilon)}\rho(y)G(x-y)dy,\\
&u_2(x)\colon=\int_{{\rm supp}(\rho)\backslash B(a,\epsilon)}\rho(y)G(x-y)dy\quad(\forall x\in \mathbb{R}^N)
\end{aligned}
$$
とおく。$u(x)=u_1(x)+u_2(x)$ $(\forall x\in \mathbb{R}^N)$ である。$0<\lvert h\rvert<\epsilon$ なる任意の $h\in \mathbb{R}^N$ に対し、線分
$$
L\colon=\{a+\theta h:\theta\in [0,1]\}\subset \mathbb{R}^N
$$
のLebesgue測度が $0$ であることに注意して微積分学の基本定理より、
$$
\begin{aligned}
u_1(a+h)-u_1(a)&=\int_{B(a,\epsilon)\backslash L}\rho(y)(G(a+h-y)-G(a-y))dy\\
&=h\cdot \int_{B(a,\epsilon)\backslash L}\rho(y)\left(\int_{0}^{1}\nabla G(a+\theta h-y)d\theta\right)dy
\end{aligned}
$$
となる。よって $(**)$ の $v_1$ に対しFubiniの定理より、
$$
\begin{aligned}
u_1(a+h)-u_1(a)-h\cdot v_1(a)&=h\cdot \int_{B(a,\epsilon)}\rho(y)\left(\int_{0}^{1}\nabla G(a+\theta h-y)-\nabla G(a-y)d\theta\right)dy\\
&=h\cdot \int_{0}^{1}\left(\int_{B(a,\epsilon)}\rho(y)(\nabla G(a+\theta h-y)-\nabla G(a-y))dy\right)d\theta
\end{aligned}
$$
となるので、$(***)$ と同様の評価により、
$$
\frac{\lvert u_1(a+h)-u_1(a)-h\cdot v_1(a)\rvert}{\lvert h\rvert}\leq 3\lVert \rho\rVert_{\infty}\epsilon\quad(\forall h\in \mathbb{R}^N:0<\lvert h\rvert<\epsilon)
$$
を得る。またLebesgue優収束定理より $B(a,\epsilon)\ni x\mapsto u_2(x)\in \mathbb{C}$ は微分可能であり、$(**)$ の $v_2$ に対し、
$$
\nabla u_2(x)=v_2(x)\quad(\forall x\in B(a,\epsilon))
$$
であるから、十分小さい $\delta\in (0,\epsilon)$ を取れば、
$$
\frac{\lvert u_2(a+h)-u_2(a)-h\cdot v_2(a)\rvert}{\lvert h\rvert}<\epsilon\quad(\forall h\in \mathbb{R}^N:0<\lvert h\rvert<\delta)
$$
となる。よって、
$$
\frac{\lvert u(a+h)-u(a)-h\cdot v(a)\rvert}{\lvert h\rvert}<(3\lVert \rho\rVert_{\infty}+1)\epsilon\quad(\forall h\in \mathbb{R}^N:0<\lvert h\rvert<\delta)
$$
が成り立つ。$\epsilon\in (0,\infty)$ は任意なので $u$ は $a$ において微分可能であり $\nabla u(a)=v(a)$ が成り立つ。$a\in \mathbb{R}^N$ は任意なので $(*)$ が成り立ち、前段より $v=\nabla u$ は連続であるから $u\in C^1(\mathbb{R}^N)$ が成り立つ。
*$(2)$　ラプラシアンの基本解 $G$ の定義（'''定義5.4'''）より $N\geq 3$ の場合、
$$
u(x)=\frac{1}{\lvert \partial B(0,1)\rvert}\frac{1}{2-N}\int_{\mathbb{R}^N}\frac{\rho(y)}{\lvert x-y\rvert^{N-2}}dy\quad(\forall x\in \mathbb{R}^N)
$$
であるから、${\rm supp}(\rho)\subset \{y\in \mathbb{R}^N:\lvert y\rvert\leq R\}$ なる $R\in (0,\infty)$ と $\lvert x\rvert>R$ なる任意の $x\in \mathbb{R}^N$ に対し、
$$
\lvert u(x)\rvert\leq \frac{1}{\lvert \partial B(0,1)\rvert}\frac{\lVert \rho\rVert_{\infty}}{N-2}\int_{{\rm supp}(\rho)}\frac{1}{(\lvert x\rvert-R)^{N-2}}dy
$$
となる。よって $\lim_{\lvert x\rvert\rightarrow\infty}\lvert u(x)\rvert=0$ が成り立つ。
*$(3)$　$\rho\in \mathcal{E}_N'$（台がコンパクトな超関数）であり、任意の $\varphi\in D(\mathbb{R}^N)$ に対しFubiniの定理より、
$$
\begin{aligned}
u(\varphi)&=\int_{\mathbb{R}^N}u(x)\varphi(x)dx=\int_{\mathbb{R}^N}\left(\int_{\mathbb{R}^N}\rho(y)G(x-y)dy\right)\varphi(x)dx=\int_{\mathbb{R}^N}\left(\int_{\mathbb{R}^N}\rho(x-y)G(y)\varphi(x)dy\right)dx\\
&=\int_{\mathbb{R}^N}\left(\int_{\mathbb{R}^N}\varphi(x)\rho_{-1}(y-x)dx\right)G(y)dy
=(2\pi)^{\frac{N}{2}}G(\varphi*\rho_{-1})
\end{aligned}
$$
であるから、$\rho*G$ の定義（[[合成積とFourier変換]]の'''定義27.2'''）より、
$$
u(\varphi)=(2\pi)^{\frac{N}{2}}G(\varphi*\rho_{-1})=(2\pi)^{\frac{N}{2}}(\rho*G)(\varphi)
$$
である。よって $u=(2\pi)^{\frac{N}{2}}(\rho*G)$ が成り立つので、'''定理5.10'''の $(2)$ より $\Delta u=\rho$ が成り立つ。$w\colon \mathbb{R}^N\rightarrow\mathbb{C}$ が有界連続関数で $\Delta w=\rho$ を満たすとする。$(1)$ より $u-w\colon\mathbb{R}^N\rightarrow\mathbb{C}$ は連続関数であり、$\Delta (u-w)=\rho-\rho=0$ であるから、'''定理4.6'''の $(4)$ より $u-w$ は調和関数である。$N\geq 3$ の場合、$(2)$ より $u-w$ は $\mathbb{R}^N$ 上の有界調和関数であるから、Liouvilleの定理（'''命題4.9'''）より $u-w$ は定数関数である。
{{end|proof}}

==6. 境界条件付き波動方程式の初期値問題の一意解==

===定義6.1（境界条件付きラプラシアンの設定）===
$\Omega\subset \mathbb{R}^N$ を、
*'''全空間'''：$\Omega=\mathbb{R}^N$.
*'''内部領域'''：$\Omega$ は滑らかな境界 $\partial\Omega$ を持つ開集合。
*'''外部領域'''：$\Omega$ は滑らかでコンパクトな境界 $\partial\Omega$ を持つ開集合で、$\mathbb{R}^N\backslash \Omega$ は有界。
のうちのいずれかであるとし、$\partial\Omega$ は互いに交わらないコンパクト集合 $\partial\Omega_{\rm d}$ と $\partial\Omega_{\rm n}$（どちらかが空であってもよい）の合併であるとする。そして'''定理3.9'''の $(4)$ と'''定理3.14'''の $(5)$ によりHilbert空間 $L^2(\Omega)$ 上の非負自己共役作用素としてのラプラシアン
$$
D(-\Delta)\colon=\left\{v\in H^2(\Omega):\gamma(v)|_{\partial\Omega_{\rm d}}=0,\frac{\partial v}{\partial \nu}\Big|_{\partial\Omega_{\rm n}}=0 \right\},
$$
$$
-\Delta \colon D(-\Delta)\ni v\mapsto -\Delta v\in L^2(\Omega)
$$
を考える。'''定理3.9'''の $(2)$　と'''定理3.14'''の $(3)$ より、
$$
D(\sqrt{-\Delta})=\{v\in H^1(\Omega):\gamma(v)|_{\partial\Omega_{\rm d}}=0\}
$$
であり、
$$
(\sqrt{-\Delta}u\mid \sqrt{-\Delta v})_2=\int_{\Omega}\nabla \overline{u}(x)\cdot\nabla v(x)dx=(u\mid v)_{2,1}-(u\mid v)_2\quad(\forall u,v\in D(\sqrt{-\Delta}))\quad\quad(*)
$$
が成り立つ。$\Omega$ が内部領域、外部領域の場合、$-\Delta$ をDirichlet-Neumann境界条件付きラプラシアンと言うこととする。$\Omega$ が内部領域である場合は'''定理3.14'''の $(2)$ より、Hilbert空間 $L^2(\Omega)$ 上の非負自己共役作用素 $-\Delta$ のスペクトルは純粋に離散的（[[Hilbert空間上の作用素論]]の'''定義14.3'''）である。

===定理6.2（波動方程式の初期値問題の一意解）===
$-\Delta \colon D(-\Delta)\rightarrow L^2(\Omega)$ を'''定義6.1'''におけるHilbert空間 $L^2(\Omega)$ 上の非負自己共役作用素とする。$I\subset \mathbb{R}$ を $0$ を含む区間とし、$f(t)\colon I\ni t\mapsto f(t)\in D(\sqrt{-\Delta})$ を $H^1(\Omega)$ のノルムで連続な関数とする。そして $c$ を正実数、$u\in D(-\Delta)$, $v\in D(\sqrt{-\Delta})$ とする。このとき次を満たす $u(t)\colon I\ni t\mapsto u(t)\in D(-\Delta)$ が唯一つ存在する。
*$(1)$　$u(t)\colon I\ni t\mapsto u(t)\in D(-\Delta)$ は $L^2(\Omega)$ のノルムで $C^2$ 級、$H^1(\Omega)$ のノルムで $C^1$ 級である。
*$(2)$　
$$
\frac{du}{dt}(t)\in D(\sqrt{-\Delta})\quad(\forall t\in I).
$$
*$(3)$　
$$
\frac{d^2u}{dt^2}(t)=c^2\Delta u(t)+f(t)\quad(\forall t\in I).
$$
*$(4)$　
$$
u(0)=u,\quad \frac{du}{dt}(0)=v.
$$
そしてこれは、
$$
\frac{c^2}{2}\lVert \nabla u(t)\rVert_2^2+\frac{1}{2}\left\lVert \frac{du}{dt}(t)\right\rVert_2^2=\frac{c^2}{2}\lVert \nabla u\rVert_2^2+\frac{1}{2}\lVert v\rVert_2^2+\int_{0}^{t}{\rm Re}\left(f(s)\mid \frac{du}{dt}(s)\right)ds\quad(\forall t\in I)\quad\quad(*)
$$
を満たし、
$$
u(t)=\cos(ct\sqrt{-\Delta})u+\frac{\sin(ct\sqrt{-\Delta})}{c\sqrt{-\Delta}}v+\int_{0}^{t}\frac{\sin(c(t-s)\sqrt{-\Delta})}{c\sqrt{-\Delta}}f(s)ds\quad(\forall t\in I)\quad\quad(**)
$$
によって表される。ただし $\cos(ct\sqrt{-\Delta})$, $\frac{\sin(ct\sqrt{-\Delta})}{c\sqrt{-\Delta}}$ はHilbert空間 $L^2(\Omega)$ 上の非負自己共役作用素 $-\Delta$ に関するBorel汎関数計算（[[Hilbert空間上の作用素論]]の'''定義8.5'''）である。すなわち $-\Delta$ のスペクトル測度 $E\colon \mathcal{B}_{\sigma(-\Delta)}\rightarrow \mathbb{P}(L^2(\Omega))$ に対し、
$$
\cos(ct\sqrt{-\Delta})=\int_{\sigma(-\Delta)}\cos(ct\sqrt{\lambda})dE(\lambda),\quad
\frac{\sin(ct\sqrt{-\Delta})}{c\sqrt{-\Delta}}=\int_{\sigma(-\Delta)}\frac{\sin(ct\sqrt{\lambda})}{c\sqrt{\lambda}}dE(\lambda)\quad(\forall t\in I)
$$
である。（射影値測度による積分の定義やその基本的性質については[[Hilbert空間上の作用素論]]の'''定義6.7'''、'''命題6.8'''などを参照。）
{{begin|proof}}
*　$u(t)\colon I\ni t\mapsto u(t)\in D(-\Delta)$ が $(1)\sim (4)$ を満たすとき $(*)$ が成り立つことを示す。まず $(1),(2)$ より、
$$
\left\lVert \frac{1}{h}(\nabla u(t+h)-\nabla u(t))-\nabla \frac{du}{dt}(t)\right\rVert_2^2\leq \left\lVert \frac{1}{h}(u(t+h)-u(t))-\frac{du}{dt}(t)\right\rVert_{2,1}^2\rightarrow0\quad(h\rightarrow0)
$$
であるから、
$$
\frac{d}{dt}\nabla u(t)=\nabla \frac{du}{dt}(t)\quad(\forall t\in I)
$$
が成り立つ。これと'''定義6.1'''の $(*)$ より、
$$
\begin{aligned}
&\frac{d}{dt}\left(\frac{1}{2}\lVert \nabla u(t)\rVert_2^2\right)={\rm Re}\left(\nabla u(t)\mid \frac{d}{dt}\nabla u(t)\right)_2={\rm Re}\left(\nabla u(t)\mid \nabla \frac{du}{dt}(t)\right)_2\\
&={\rm Re}\left(\sqrt{-\Delta}u(t)\mid \sqrt{-\Delta}\frac{du}{dt}(t)\right)_2
={\rm Re}\left(-\Delta u(t)\mid \frac{du}{dt}(t)\right)_2\quad(\forall t\in I)
\end{aligned}
$$
であるから、$(3)$ より、
$$
\begin{aligned}
\frac{d}{dt}\left(\frac{1}{2}\left\lVert \frac{du}{dt}(t)\right\rVert_2^2\right)
&={\rm Re}\left(\frac{d^2u}{dt^2}(t)\mid \frac{du}{dt}(t)\right)
=-c^2{\rm Re}\left(-\Delta u(t)\mid \frac{du}{dt}(t)\right)_2+{\rm Re}\left(f(t)\mid \frac{du}{dt}(t)\right)_2\\
&=-c^2\frac{d}{dt}\left(\frac{1}{2}\lVert \nabla u(t)\rVert_2^2\right)
+{\rm Re}\left(f(t)\mid \frac{du}{dt}(t)\right)_2\quad(\forall t\in I)
\end{aligned}
$$
となる。よって、
$$
\frac{d}{dt}\left(\frac{c^2}{2}\lVert \nabla u(t)\rVert_2^2+\frac{1}{2}\left\lVert \frac{du}{dt}(t)\right\rVert_2^2\right)={\rm Re}\left(f(t)\mid \frac{du}{dt}(t)\right)_2\quad(\forall t\in I)
$$
が成り立つので、これを積分すれば、$(4)$ より、$(*)$ を得る。
*　次に $(1)\sim(4)$ を満たす $u(t)\colon I\ni t\mapsto u(t)\in D(-\Delta)$ の一意性を示す。$u_1,u_2\colon I\rightarrow D(-\Delta)$ が共に $(1)\sim(4)$ を満たすとすると、
$$
u(t)\colon I\ni t\mapsto u_1(t)-u_2(t)\in D(-\Delta)
$$
は $u=0$, $v=0$, $f(t)=0$ $(\forall t\in I)$ とした場合の $(1)\sim (4)$ を満たす。よって前段の結果から、
$$
\frac{c^2}{2}\lVert \nabla u(t)\rVert_2^2+\frac{1}{2}\left\lVert \frac{du}{dt}(t)\right\rVert_2^2=0\quad(\forall t\in I)
$$
が成り立つので、特に、
$$
\frac{du}{dt}(t)=0\quad(\forall t\in I)
$$
である。よって微積分学の基本定理より $u(t)=u(0)=0$ $(\forall t\in I)$ であるから、$u_1(t)=u_2(t)$ $(\forall t\in I)$ が成り立つ。これで一意性が示せた。
*　後は $(**)$ が $(1)\sim(4)$ を満たすことを示せばよい。（以後の議論は長くなっているが、Lebesgue優収束定理による単純な議論である。）そのために、
$$
u_1(t)\colon=\frac{\sin(ct\sqrt{-\Delta})}{c\sqrt{-\Delta}}v,\quad
u_2(t)\colon=\cos(ct\sqrt{-\Delta})u,\quad u_3(t)\colon=\int_{0}^{t}\frac{\sin(c(t-s)\sqrt{-\Delta})}{c\sqrt{-\Delta}}f(s)ds\quad(\forall t\in I)
$$
と分解して考える。$u_1(t)$ について考える。Lebesgue優収束定理より、
$$
\begin{aligned}
&\left\lVert \frac{1}{h}(u_1(t+h)-u_1(t))-\cos(ct\sqrt{-\Delta})v\right\rVert_2^2\\
&=\left\lVert \frac{1}{h}\left(\frac{\sin(c(t+h)\sqrt{-\Delta})}{c\sqrt{-\Delta}}-\frac{\sin(ct\sqrt{-\Delta})}{c\sqrt{-\Delta}}\right)v-\cos(ct\sqrt{-\Delta})v\right\rVert_2^2\\
&=\int_{\sigma(-\Delta)}\left\lvert \frac{1}{h}\left(\frac{\sin(c(t+h)\sqrt{\lambda})}{c\sqrt{\lambda}}-\frac{\sin(ct\sqrt{\lambda})}{ch\sqrt{\lambda}}\right)-\cos(ct\sqrt{\lambda})\right\rvert^2dE_{v,v}(\lambda)\\
&\rightarrow0\quad(h\rightarrow0,\forall t\in I)
\end{aligned}
$$
であるから、
$$
\frac{du_1}{dt}(t)=\cos(ct\sqrt{-\Delta})v\in D(\sqrt{-\Delta})
$$
であり、Lebesgue優収束定理より、
$$
\begin{aligned}
&\left\lVert \frac{1}{h}\left(\frac{du_1}{dt}(t+h)-\frac{du_1}{dt}(t)\right)-(-c\sqrt{-\Delta}\sin(ct\sqrt{-\Delta}))v\right\rVert_2^2\\
&=\left\lVert \frac{1}{h}(\cos(c(t+h)\sqrt{-\Delta})-\cos(ct\sqrt{-\Delta}))v-(-c\sqrt{-\Delta}\sin(ct\sqrt{-\Delta})v)\right\rVert_2^2\\
&=\int_{\sigma(-\Delta)}\left\lvert \frac{\cos(c(t+h)\sqrt{\lambda})-\cos(ct\sqrt{\lambda})}{h}-(-c\sqrt{\lambda}\sin(ct\sqrt{\lambda}))\right\rvert^2dE_{v,v}(\lambda)\\
&\rightarrow0\quad(h\rightarrow0,\forall t\in I)
\end{aligned}
$$
であるから、$L^2(\Omega)$ のノルムで、
$$
\frac{d^2u_1}{dt^2}(t)=-c\sqrt{-\Delta}\sin(ct\sqrt{-\Delta})v=c^2\Delta u_1(t)\quad(\forall t\in I)
$$
が成り立つ。さらにLebesgue優収束定理より、
$$
\begin{aligned}
\left\lVert \frac{d^2u_1}{dt^2}(t+h)-\frac{d^2u_1}{dt^2}(t)\right\rVert_2
&=\left\lVert \sqrt{-\Delta}\sin(c(t+h)\sqrt{-\Delta})v-\sqrt{-\Delta}\sin(ct\sqrt{-\Delta})v\right\rVert_2^2\\
&=\int_{\sigma(-\Delta)}\left\lvert \sqrt{\lambda}\sin(c(t+h)\sqrt{\lambda})-\sqrt{\lambda}\sin(ct\sqrt{\lambda})\right\rvert^2dE_{v,v}(\lambda)\\
&\rightarrow0\quad(h\rightarrow0, \forall t\in I)
\end{aligned}
$$
であるから、
$$
I\ni t\mapsto \frac{d^2u_1}{dt^2}(t)\in L^2(\Omega)
$$
は $L^2(\Omega)$ のノルムで連続である。ゆえに $u_1(t)\colon I\ni t\mapsto u_1(t)\in D(-\Delta)$
は $L^2(\Omega)$ のノルムで $C^2$ 級である。また $v\in D(\sqrt{-\Delta})=D_E(\sqrt{\lambda})$ であることとLebesgue優収束定理より、
$$
\begin{aligned}
&\left\lVert \frac{1}{h}\left(\sqrt{-\Delta}u_1(t+h)-\sqrt{-\Delta}u_1(t)\right)-\sqrt
{-\Delta}\cos(ct\sqrt{-\Delta})v\right\rVert_2^2\\
&=\left\lVert \frac{\sin(c(t+h)\sqrt{-\Delta})-\sin(ct\sqrt{-\Delta})}{ch}v-\sqrt{-\Delta}\cos(ct\sqrt{-\Delta})v\right\rVert_2^2\\
&=\int_{\sigma(-\Delta)}\left\lvert \frac{\sin(c(t+h)\sqrt{\lambda})-\sin(ct\sqrt{\lambda})}{ch}-\sqrt{\lambda}\cos(ct\sqrt{\lambda})\right\rvert^2dE_{v,v}(\lambda)\\
&\rightarrow0\quad(h\rightarrow0,\forall t\in I)
\end{aligned}
$$
であるから、$L^2(\Omega)$ のノルムに関して、
$$
\frac{d}{dt}\sqrt{-\Delta}u_1(t)=\sqrt{-\Delta}\cos(ct\sqrt{-\Delta})v
=\sqrt{-\Delta}\frac{du_1}{dt}(t)\quad(\forall t\in I)
$$
が成り立つ。よって'''定義6.1'''の $(*)$ より $u_1(t)\colon I\ni t\mapsto u_1(t)\in D(-\Delta)$
は $H^1(\Omega)$ のノルムで微分可能である。そしてLebesgue優収束定理より、
$$
\begin{aligned}
&\left\lVert \sqrt{-\Delta}\frac{du_1}{dt}(t+h)-\sqrt{-\Delta}\frac{du_1}{dt}(t)\right\rVert_2^2\\
&=\left\lVert \sqrt{-\Delta}\cos(c(t+h)\sqrt{-\Delta})v-\sqrt{-\Delta}\cos(ct\sqrt{-\Delta})v\right\rVert_2^2\\
&=\int_{\sigma(-\Delta)}\lvert \sqrt{\lambda}\cos(c(t+h)\sqrt{\lambda})-\sqrt{\lambda}\cos(ct\sqrt{\lambda})\rvert^2dE_{v,v}(\lambda)\rightarrow0\quad(h\rightarrow0)
\end{aligned}
$$
であるから、
$$
I\ni t\mapsto \sqrt{-\Delta}\frac{du_1}{dt}(t)\in L^2(\Omega)
$$
は $L^2(\Omega)$ のノルムに関して連続なので、'''定義6.1'''の $(*)$ より $u_1(t)\colon I\ni t\mapsto u_1(t)\in D(-\Delta)$ は $H^1(\Omega)$ のノルムに関して $C^1$ 級である。全く同様にして $u_2(t)\colon I\ni t\mapsto u_2(t)\in D(-\Delta)$ が $L^2(\Omega)$ のノルムで $C^2$ 級、$H^1(\Omega)$ のノルムで $C^1$ 級であり、
$$
\frac{du_2}{dt}(t)=-c\sqrt{-\Delta}\sin(ct\sqrt{-\Delta})u\in D(\sqrt{-\Delta}),\quad
\frac{d^2u_2}{dt^2}(t)=c^2\Delta u_2(t)\quad(\forall t\in I)
$$
が成り立つことが分かる。よって、
$$
I\ni t\mapsto u_1(t)+u_2(t)\in D(-\Delta)
$$
は $L^2(\Omega)$ のノルムで $C^2$ 級、$H^1(\Omega)$ のノルムで $C^1$ 級であり、
$$
\frac{d}{dt}(u_1+u_2)(t)\in D(\sqrt{-\Delta}),\quad \frac{d^2}{dt^2}(u_1+u_2)(t)=c^2\Delta(u_1+u_2)(t)\quad(\forall t\in I),
$$
$$
(u_1+u_2)(0)=u,\quad \frac{d}{dt}(u_1+u_2)(0)=v
$$
が成り立つ。$u_3(t)\colon I\ni t\mapsto u_3(t)\in L^2(\Omega)$ について考える。'''定義6.1'''の $(*)$ より $I\ni t\mapsto \sqrt{-\Delta}f(t)\in L^2(\Omega)$ は連続であり、$\sqrt{-\Delta}$, $-\Delta$ は閉線形作用素であるから、
$$
-\Delta u_3(t)=\int_{0}^{1}\frac{1}{c}\sqrt{-\Delta}\sin(c(t-s)\sqrt{-\Delta})f(s)ds\quad(\forall t\in I),
$$
$$
\sqrt{-\Delta}u_3(t)=\int_{0}^{t}\frac{1}{c}\sin(c(t-s)\sqrt{-\Delta})f(s)ds\quad(\forall t\in I)
$$
である。
$$
\begin{aligned}
&\frac{1}{h}(u_3(t+h)-u_3(t))\\
&=\int_{0}^{t+h}\frac{1}{h}\left(\frac{\sin(c(t+h-s)\sqrt{-\Delta})}{c\sqrt{-\Delta}}-\frac{\sin(c(t-s)\sqrt{-\Delta})}{c\sqrt{-\Delta}}\right)f(s)ds\\
&+\frac{1}{h}\int_{t}^{t+h}\frac{\sin(c(t-s)\sqrt{-\Delta})}{c\sqrt{-\Delta}}f(s)ds
\end{aligned}
$$
であるから、$u_1(t)=\frac{\sin(ct\sqrt{-\Delta})}{c\sqrt{-\Delta}}v$ の微分可能性の議論により、$L^2(\Omega)$ のノルムに関して $u_3(t)$ は微分可能であり、
$$
\frac{du_3}{dt}(t)=\int_{0}^{t}\cos(c(t-s)\sqrt{-\Delta})f(s)ds\quad(\forall t\in I)
$$
が成り立つことが分かる。そして、
$$
\begin{aligned}
&\frac{1}{h}\left(\frac{du_3}{dt}(t+h)-\frac{du_3}{dt}(t)\right)\\
&=\int_{0}^{t+h}\frac{1}{h}\left(\cos(c(t+h-s)\sqrt{-\Delta})-\cos(c(t-s)\sqrt{-\Delta})\right)f(s)ds\\
&+\frac{1}{h}\int_{t}^{t+h}\cos(c(t-s)\sqrt{-\Delta})f(s)ds
\end{aligned}
$$
であるから、$\frac{du_1}{dt}(t)=\cos(ct\sqrt{-\Delta})v$ の微分可能性の議論より、$L^2(\Omega)$ のノルムに関して、
$$
\begin{aligned}
\frac{d^2u_3}{dt^2}(t)&=\int_{0}^{t}(-c\sqrt{-\Delta})\sin(c(t-s)\sqrt{-\Delta})f(s)ds+f(t)\\
&=\int_{0}^{t}c^2\Delta\frac{\sin(c(t-s)\sqrt{-\Delta})}{c\sqrt{-\Delta}}f(s)ds+f(t)\\
&=c^2\Delta u_3(t)+f(t)\quad(\forall t\in I)
\end{aligned}
$$
が成り立つことが分かる。Lebesgue優収束定理より、
$$
I\ni t\mapsto \frac{d^2u_3}{dt^2}(t)=\int_{0}^{t}(-c\sqrt{-\Delta})\sin(c(t-s)\sqrt{-\Delta})f(s)ds+f(t)\in L^2(\Omega)
$$
は $L^2(\Omega)$ のノルムに関して連続であるので、$u_3(t)\colon I\ni t\mapsto u_3(t)\in D(-\Delta)$ は $L^2(\Omega)$ のノルムで $C^2$ 級である。また、
$$
\begin{aligned}
&\frac{1}{h}(\sqrt{-\Delta}u_3(t+h)-\sqrt{-\Delta}u_3(t))\\
&=\int_{0}^{t+h}\frac{\sin(c(t+h-s)\sqrt{-\Delta})-\sin(c(t-s)\sqrt{-\Delta})}{ch}f(s)ds\\
&+\frac{1}{h}\int_{t}^{t+h}\frac{\sin(c(t-s)\sqrt{-\Delta})}{c}f(s)ds
\end{aligned}
$$
であるから $\sqrt{-\Delta}u_1(t)=\sin(ct\sqrt{-\Delta})v$ の微分可能性の議論より $L^2(\Omega)$ のノルムに関して、
$$
\frac{d}{dt}\sqrt{-\Delta}u_3(t)=\int_{0}^{t}\sqrt{-\Delta}\cos(c(t-s)\sqrt{-\Delta})f(s)ds=\sqrt{-\Delta}\frac{du_3}{dt}(t)\quad(\forall t\in I)
$$
が成り立つことが分かる。よって'''定義6.1'''の $(*)$ より $u_3(t)\colon I\ni t\mapsto u_3(t)\in D(-\Delta)$ は $H^1(\Omega)$ のノルムで微分可能である。そしてLebesgue優収束定理より、
$$
I\ni t\mapsto \sqrt{-\Delta}\frac{du_3}{dt}(t)=\int_{0}^{t}\sqrt{-\Delta}\cos(c(t-s)\sqrt{-\Delta})f(s)ds\in L^2(\Omega)
$$
は $L^2(\Omega)$ のノルムにより連続であるから、'''定義6.1'''の $(*)$ より $u_3(t)\colon I\ni t\mapsto u_3(t)\in D(-\Delta)$ は $H^1(\Omega)$ のノルムで $C^1$ 級である。以上より $u_3(t)\colon I\ni t\mapsto u_3(t)\in D(-\Delta)$ は $L^2(\Omega)$ のノルムで $C^2$ 級、$H^1(\Omega)$ のノルムで $C^1$ 級であり、
$$
\frac{du_3}{dt}(t)\in D(\sqrt{-\Delta}),\quad \frac{d^2u_3}{dt^2}(t)=c^2\Delta u_3(t)+f(t)\quad(\forall t\in I)
$$
が成り立つ。以上より、
$$
u(t)\colon I\ni t\mapsto u_1(t)+u_2(t)+u_3(t)\in D(-\Delta)
$$
は $(1)\sim (4)$ を満たす。
{{end|proof}}

===注意6.3（内部領域におけるDirichlet-Neumann境界条件付き波動方程式の初期値問題の一意解の形）===
$\Omega\subset \mathbb{R}^N$ を'''定義6.1'''における内部領域とし、Dirichlet-Neumann境界条件付きラプラシアン $-\Delta\colon D(-\Delta)\rightarrow L^2(\Omega)$ を考える。このとき $-\Delta$ のスペクトル $\sigma(-\Delta)$ は'''定理3.14'''の $(2)$ より純粋に離散的（[[Hilbert空間上の作用素論]]の'''定義14.3'''）である。そこで、
$$
\sigma(-\Delta)=\{\lambda_n\}_{n\in\mathbb{N}}
$$
とし、各離散固有値 $\lambda_n\in \sigma(-\Delta)$ の固有空間のCONSを $\{\varphi_{n,1},\ldots,\varphi_{n,m(n)}\}\subset \bigcap_{m\in \mathbb{N}}H^m(\Omega)\subset \bigcap_{m\in\mathbb{N}}C^m(\overline{\Omega})$（'''定理3.14'''の $(6)$ を参照）とおく。今、$I\subset \mathbb{R}$ を $0$ を含む区間、$f(t)\colon I\ni t\mapsto f(t)\in D(\sqrt{-\Delta})$ を $H^1(\Omega)$ のノルムに関する連続関数、$c\in (0,\infty)$, $u\in D(-\Delta)$, $v\in D(\sqrt{-\Delta})$ とし、'''定理6.2'''の $(1)\sim (4)$ を満たす一意解を $u(t)\colon I\ni t\mapsto u(t)\in D(-\Delta)$ とする。そして任意の $n\in \mathbb{N}$, $k\in \{1,\ldots,m(n)\}$ に対し $C^2$ 級関数
$$
u_{n,k}(t)\colon I\ni t\mapsto (\varphi_{n,k}\mid u(t))_2\in \mathbb{C}
$$
を定義する。また、
$$
u_{n,k}\colon =(\varphi_{n,k}\mid u)_{2}\in \mathbb{C},\quad
v_{n,k}\colon =(\varphi_{n,k}\mid v)_2\in \mathbb{C},\quad
f_{n,k}(t)\colon I\ni t\mapsto (\varphi_{n,k}\mid f(t))_2\in \mathbb{C}
$$
とおく。このとき、
$$
\begin{aligned}
&\frac{d^2u_{n,k}}{dt^2}(t)=\left(\varphi_{n,k}\mid \frac{d^2u}{dt^2}(t)\right)_2
=(\varphi_{n,k}\mid c^2\Delta u(t))_2+(\varphi_{n,k}\mid f(t))_2\\
&=c^2(\Delta \varphi_{n,k}\mid u(t))_2+(\varphi_{n,k}\mid f(t))_2
=-c^2\lambda_{n}u_{n,k}(t)+f_{n,k}(t)\quad(\forall t\in I)
\end{aligned}
$$
であり $u_{n,k}(0)=u_{n,k},\quad \frac{du_{n,k}}{dt}(0)=v_{n,k}$ であるから、$u_{n,k}(t)\colon I\ni t\mapsto u_{n,k}(t)\in\mathbb{C}$ は常微分方程式の初期値問題
$$
\frac{d^2u_{n,k}}{dt^2}(t)=-c^2\lambda_nu_{n,k}(t)+f(t),\quad
u_{n,k}(0)=u_{n,k},\quad \frac{du_{n,k}}{dt}(0)=v_{n,k}
$$
の一意解である。Hilbert空間 $L^2(\Omega)$ 上の非負自己共役作用素 $-\Delta\colon D(-\Delta)\rightarrow L^2(\Omega)$ のスペクトル測度を $E\colon \mathcal{B}_{\sigma(-\Delta)}\rightarrow \mathbb{P}(L^2(\Omega))$ とすると、[[Hilbert空間上の作用素論]]の'''命題8.7'''の $(6)$ より、
$$
{\rm Ran}E(\{\lambda_n\})={\rm Ker}(\lambda_n+\Delta)={\rm span}\{\varphi_{n,1},\ldots,\varphi_{n,m(n)}\}
$$
であるから、'''定理6.2'''より、$u_{n,k}(t)\colon I\ni t\mapsto u_{n,k}(t)\in \mathbb{C}$ は、
$$
\begin{aligned}
u_{n,k}(t)&=(\varphi_{n,k}\mid \cos(ct\sqrt{-\Delta})u)_2+\left(\varphi_{n,k}\mid \frac{\sin(ct\sqrt{-\Delta})}{c\sqrt{-\Delta}}v\right)_2
+\int_{0}^{t}\left(\varphi_{n,k}\mid \frac{\sin(c(t-s)\sqrt{-\Delta})}{c\sqrt{-\Delta}}f(s)\right)ds\\
&=\cos(ct\sqrt{\lambda_n})(\varphi_{n,k}\mid u)_2+\frac{\sin(ct\sqrt{\lambda_n})}{c\sqrt{\lambda_n}}(\varphi_{n,k}\mid v)_2+\int_{0}^{t}\frac{\sin(c(t-s)\sqrt{\lambda_n})}{c\sqrt{\lambda_n}}(\varphi_{n,k}\mid f(s))ds\\
&=\cos(ct\sqrt{\lambda_n})u_{n,k}+\frac{\sin(ct\sqrt{\lambda_n})}{c\sqrt{\lambda_n}}v_{n,k}+\int_{0}^{t}\frac{\sin(c(t-s)\sqrt{\lambda_n})}{c\sqrt{\lambda_n}}f_{n,k}(s)ds\quad(\forall t\in I)
\end{aligned}
$$
と表すことができる。[[Hilbert空間上の作用素論]]の'''命題14.4'''より、
$$
\{\varphi_{n,1},\ldots,\varphi_{n,m(n)}:n\in \mathbb{N}\}
$$
は $L^2(\Omega)$ のCONSであるから、
$$
u(t)=\sum_{n\in \mathbb{N}}\sum_{k=1}^{m(n)}(\varphi_{n,k}\mid u(t))_2\varphi_{n,k}=\sum_{n\in\mathbb{N}}\sum_{k=1}^{m(n)}u_{n,k}(t)\varphi_{n,k}\quad(\forall t\in I)
$$
となる。よって波動方程式の一意解 $u(t,x)$ は、$-\Delta$ の各離散固有値（モード）$\lambda_n$ ごとの波 $u_{n,k}(t)\varphi_{n,k}(x)\in C^2(I)\otimes C^\infty(\Omega)$ $(n\in \mathbb{N},k=1,\ldots,m(n))$（それぞれ時間変数 $t\in I$ と空間変数 $x\in \Omega$ で変数分離されている）の重ね合わせである。

===補題6.4===
'''定義6.1'''の $\Omega=\mathbb{R}^3$ の場合のラプラシアン $-\Delta\colon H^2(\mathbb{R}^3)\rightarrow L^2(\mathbb{R}^3)$ と任意の $u\in H^2(\mathbb{R}^3)\subset C_0(\mathbb{R}^3)$<ref>Sobolevの埋め込み定理（[[Sobolev空間の基本事項]]の'''定理38.3'''）を参照）</ref>, $c\in (0,\infty)$ に対し、
$$
\left(\frac{\sin(ct\sqrt{-\Delta})}{c\sqrt{-\Delta}}u\right)(x)=tS(u,x,c\lvert t\rvert)\quad(\forall x\in \mathbb{R}^3,\forall t\in \mathbb{R})
$$
が成り立つ。ただし右辺の $S(u,x,c\lvert t\rvert)$ は中心 $x\in\mathbb{R}^3$, 半径 $c\lvert t\rvert$ の球面 $\{y\in \mathbb{R}^3:\lvert y-x\rvert =c\lvert t\rvert\}$ における $u\colon \mathbb{R}^3\rightarrow\mathbb{C}$ の球面平均（'''定義4.1'''）である。
{{begin|proof}}
$t\in \mathbb{R}$ は固定する。まず $u\in D(\mathbb{R}^3)$ の場合を示す。[[Hilbert空間上の作用素論]]の'''命題17.1'''と合成積のFourier変換の性質（[[合成積とFourier変換]]の'''定理24.3'''）より、
$$
\frac{\sin(ct\sqrt{-\Delta})}{c\sqrt{-\Delta}}u=\mathcal{F}^{-1}\frac{\sin(ct\lvert {\rm id}\rvert)}{c\lvert {\rm id}\rvert}\mathcal{F}u=u*\left(\mathcal{F}^{-1}\frac{\sin(ct\lvert {\rm id}\rvert)}{c\lvert {\rm id\rvert}}\right)=u*v\in C^\infty(\mathbb{R}^3)\quad\quad(*)
$$
となる。ただし、
$$
v\colon=\mathcal{F}^{-1}\frac{\sin(ct\lvert {\rm id}\rvert)}{c\lvert {\rm id}\rvert}\in \mathcal{S}_3'
$$
とおいた。
$$
v_n(y)\colon=\frac{1}{(2\pi)^{\frac{3}{2}}}\int_{\lvert x\rvert<n}\frac{\sin(ct\lvert x\rvert)}{c\lvert x\rvert}e^{ix\cdot y}dx\quad(\forall y\in \mathbb{R}^3,\forall n\in \mathbb{N})
$$
とおけば、任意の $\varphi\in D(\mathbb{R}^3)$ に対しFubiniの定理とLebesgue優収束定理より、
$$
\begin{aligned}
\int_{\mathbb{R}^3}\varphi(y)v_n(y)dy&=\frac{1}{(2\pi)^{\frac{3}{2}}}\int_{\mathbb{R}^3}\int_{\lvert x\rvert<n}\varphi(y)\frac{\sin(ct\lvert x\rvert)}{c\lvert x\rvert}e^{ix\cdot y}dydx\\
&=\frac{1}{(2\pi)^{\frac{3}{2}}}\int_{\lvert x\rvert<n}\int_{\mathbb{R}^3}\varphi(y)\frac{\sin(ct\lvert x\rvert)}{c\lvert x\rvert}e^{ix\cdot y}dxdy\\
&=\int_{\lvert x\rvert<n}(\mathcal{F}^{-1}\varphi)(x)\frac{\sin(ct\lvert x\rvert)}{c\lvert x\rvert}dx\\
&\rightarrow \int_{\mathbb{R}^N}(\mathcal{F}^{-1}\varphi)(x)\frac{\sin(ct\lvert x\rvert)}{c\lvert x\rvert}dx=v(\varphi)\quad(n\rightarrow\infty)
\end{aligned}
$$
となるから、超関数空間 $D'(\mathbb{R}^3)$ の位相（[[超関数の定義と基本操作]]の'''定義4.1'''）で $\lim_{n\rightarrow\infty}v_n=v$ が成り立つ。よって $u\in D(\mathbb{R}^3)$ より、
$$
(u*v_n)(x)=\frac{1}{(2\pi)^{\frac{3}{2}}}v_n(T_xu_{-1})\rightarrow \frac{1}{(2\pi)^{\frac{3}{2}}}v(T_xu_{-1})=(u*v)(x)\quad(n\rightarrow\infty,\forall x\in \mathbb{R}^3)\quad\quad(**)
$$
が成り立つ。任意の $n\in \mathbb{N}$ と任意の $y\in \mathbb{R}^3\backslash \{0\}$ を取る。$\mathbb{R}^3$ の正規直交基底 $e_1,e_2,e_3$ で $y=\lvert y\rvert e_1$ を満たすものを取り、
$$
(0,n)\times (0,\pi)\times (0,2\pi)\ni (r,\theta,\theta')\mapsto r\cos(\theta)e_1+r\sin(\theta)\cos(\theta')e_2+r\sin(\theta)\sin(\theta')e_3\in \{x\in \mathbb{R}^3:\lvert x\rvert<n\}
$$
なる極座標変換（[[ベクトル解析4：Euclid空間内の多様体上の測度と積分]]の'''定理18.4'''）を考えれば、
$$
\begin{aligned}
v_n(y)&=\frac{1}{(2\pi)^{\frac{3}{2}}}\int_{\lvert x\rvert<n}\frac{\sin(ct\lvert x\rvert)}{c\lvert x\rvert}e^{ix\cdot y}dx=\frac{1}{(2\pi)^{\frac{3}{2}}}\int_{0}^{n}\int_{0}^{\pi}2\pi r^2\sin(\theta)\frac{\sin(ctr)}{cr}e^{ir\lvert y\rvert\cos(\theta)}d\theta dr\\
&=\frac{1}{c(2\pi)^{\frac{1}{2}}}\int_{0}^{n}\int_{0}^{\pi}r\sin(\theta)\sin(ctr)e^{ir\lvert y\rvert \cos(\theta)}d\theta dr=\frac{1}{c(2\pi)^{\frac{1}{2}}}\int_{0}^{n}r\int_{-1}^{1}\sin(ctr)e^{i\lvert y\rvert rs}dsdr\\
&=\frac{1}{c\lvert y\rvert (2\pi)^{\frac{1}{2}}}\int_{0}^{n}2\sin(ctr)\frac{e^{i\lvert y\rvert r}-e^{-i\lvert y\rvert r}}{2i}dr=\frac{1}{c\lvert y\rvert (2\pi)^{\frac{1}{2}}}\int_{0}^{n}2\sin(ctr)\sin(\lvert y\rvert r)dr\\
&=\frac{1}{c\lvert y\rvert (2\pi)^{\frac{1}{2}}}\int_{0}^{n}(\cos((ct-\lvert y\rvert)r)-\cos((ct+\lvert y\rvert)r))dr\\
&=\frac{1}{2c\lvert y\rvert(2\pi)^{\frac{1}{2}}}\int_{-n}^{n}(\cos((ct-\lvert y\rvert)r)-\cos((ct+\lvert y\rvert)r))dr
\end{aligned}
$$
となる。よって $u\in D(\mathbb{R}^3)$ であることに注意して、任意の $x\in \mathbb{R}^3$ に対し、さらに極座標変換（[[ベクトル解析4：Euclid空間内の多様体上の測度と積分]]の'''定理18.4'''）より、
$$
\begin{aligned}
(u*v_n)(x)&=\frac{1}{(2\pi)^{\frac{3}{2}}}\int_{\mathbb{R}^3}u(x-y)v_n(y)dy\\
&=\frac{1}{2c(2\pi)^2}\int_{\mathbb{R}^3}\int_{-n}^{n}\frac{u(x-y)}{\lvert y\rvert}(\cos((ct-\lvert y\rvert)r)-\cos((ct+\lvert y\rvert)r))drdy\\
&=\frac{1}{2c(2\pi)^2}\int_{0}^{\infty}\int_{S_2}\int_{-n}^{n}u(x-\rho \omega)\rho(\cos((ct-\rho)r)-\cos(ct+\rho)r))drd\mu_{S_2}(\omega)d\rho\\
&=\frac{1}{4c(2\pi)^2}\int_{-\infty}^{\infty}\int_{S_2}\int_{-n}^{n}u(x-\rho\omega)\rho(\cos((ct-\rho)r)-\cos((ct+\rho)r))dr d\mu_{S_2}(\omega)d\rho\\
&=\frac{1}{4c(2\pi)^2}\int_{-n}^{n}\int_{-\infty}^{\infty}\int_{S_2}u(x+\rho \omega)\rho(\cos((ct-\rho)r)-\cos((ct+\rho)r))d\mu_{S_2}(\omega)d\rho dr\\
&=\frac{1}{4c\pi}\left\{\int_{-n}^{n}\int_{-\infty}^{\infty}S(u,x,\lvert \rho+ct\rvert)(\rho+ct)\cos(\rho r)d\rho dr-\int_{-n}^{n}\int_{-\infty}^{\infty}S(u,x,\lvert \rho-ct\rvert)(\rho-ct)\cos(\rho r)d\rho dr\right\}\\
&\rightarrow \frac{1}{2c}(S(u,x,c\lvert t\rvert)ct+S(u,x,c\lvert t\rvert)ct)=tS(u,x,c\lvert t\rvert)\quad(n\rightarrow\infty)
\end{aligned}
$$
となる。最後はFourier変換とFourier逆変換による（$\cos(\rho r)=\frac{e^{i\rho r}+e^{-i\rho r}}{2}$ に注意）。ゆえに、
$$
\lim_{n\rightarrow\infty}(u*v_n)(x)=tS(u,x,c\lvert t\rvert)\quad(\forall u\in D(\mathbb{R}^3),\forall x\in \mathbb{R}^3)
$$
が成り立つ。これと $(*),(**)$ より、
$$
\left(\frac{\sin(ct\sqrt{-\Delta})}{c\sqrt{-\Delta}}u\right)(x)
=(u*v)(x)=\lim_{n\rightarrow\infty}(u*v_n)(x)=tS(u,x,c\lvert t\rvert)\quad(\forall u\in D(\mathbb{R}^3),\forall x\in \mathbb{R}^3)\quad\quad(***)
$$
を得る。任意の $u\in H^2(\mathbb{R}^3)\subset C_0(\mathbb{R}^3)$ を取る。[[Sobolev空間の基本事項]]の'''定理32.2'''より $D(\mathbb{R}^3)$ の列 $(u_n)_{n\in \mathbb{N}}$ で $\lim_{n\rightarrow\infty}\lVert u-u_n\rVert_{2,2}=0$ なるものが取れて、Sobolevの埋め込み定理（[[Sobolev空間の基本事項]]の'''定理38.3'''）より $(u_n)_{n\in \mathbb{N}}$ は $u$ に一様収束する。よって $(***)$ より、
$$
tS(u,x,c\lvert t\rvert)=\lim_{n\rightarrow\infty}tS(u_n,x,c\lvert t\rvert)=\lim_{n\rightarrow\infty}\left(\frac{\sin(ct\sqrt{-\Delta})}{c\sqrt{-\Delta}}u_n\right)(x)\quad(\forall x\in \mathbb{R}^3)\quad\quad(****)
$$
が成り立つ。一方、Plancherelの定理（[[緩増加超関数とFourier変換]]の'''定理19.1'''）より $L^2$ ノルムで、
$$
\left(\frac{\sin(ct\sqrt{-\Delta})}{c\sqrt{-\Delta}}u\right)=\mathcal{F}^{-1}\frac{\sin(ct\lvert {\rm id}\rvert)}{c\lvert {\rm id}\rvert}\mathcal{F}u=\lim_{n\rightarrow\infty}\mathcal{F}^{-1}\frac{\sin(ct\lvert {\rm id}\rvert)}{c\lvert {\rm id}\rvert}\mathcal{F}u_n=\lim_{n\rightarrow\infty}\left(\frac{\sin(ct\sqrt{-\Delta})}{c\sqrt{-\Delta}}u_n\right)
$$
であるから、$\left(\left(\frac{\sin(ct\sqrt{-\Delta})}{c\sqrt{-\Delta}}u_n\right)\right)_{n\in\mathbb{N}}$ のある部分列は a.e. $x\in \mathbb{R}^3$ で $\left(\frac{\sin(ct\sqrt{-\Delta})}{c\sqrt{-\Delta}}u\right)(x)$ に収束する。よって $(****)$ より、
$$
\left(\frac{\sin(ct\sqrt{-\Delta})}{c\sqrt{-\Delta}}u\right)(x)=tS(u,x,c\lvert t\rvert)\quad(\forall x\in \mathbb{R}^3)
$$
が成り立つ。
{{end|proof}}

===補題6.5===
$\mathcal{F}\colon L^2(\mathbb{R}^3)\rightarrow L^2(\mathbb{R}^3)$ をFourier変換とする。このとき、
*$(1)$　任意の $v\in H^1(\mathbb{R}^3)$ に対し、$\frac{1}{\lvert {\rm id}\rvert}\mathcal{F}v\in L^1(\mathbb{R}^3)$ が成り立つ。
*$(2)$　任意の $u\in H^2(\mathbb{R}^3)$ に対し、$\mathcal{F}u\in L^1(\mathbb{R}^3)$ が成り立つ。
{{begin|proof}}
*$(1)$　[[Sobolev空間の基本事項]]の'''命題38.1'''より $(1+\lvert {\rm id}\rvert^2)^{\frac{1}{2}}\mathcal{F}v\in L^2(\mathbb{R}^3)$ である。また極座標変換（[[ベクトル解析4：Euclid空間内の多様体上の測度と積分]]の'''定理18.4'''）より、
$$
\int_{\mathbb{R}^3}\frac{1}{\lvert x\rvert^2(1+\lvert x\rvert^2)}dx
=4\pi\int_{0}^{\infty}\frac{1}{1+r^2}dr\leq 4\pi \left(\int_{0}^{1}\frac{1}{1+r^2}dr+\int_{1}^{\infty}\frac{1}{r^2}dr\right)<\infty
$$
であるから、
$$
\frac{1}{\lvert {\rm id}\rvert (1+\lvert {\rm id}\rvert)^{\frac{1}{2}}}\in L^2(\mathbb{R}^3)
$$
である。よってHölderの不等式より、
$$
\frac{1}{\lvert {\rm id}\rvert}\mathcal{F}v=\frac{1}{\lvert {\rm id}\rvert (1+\lvert {\rm id}\rvert^2)^{\frac{1}{2}}}(1+\lvert {\rm id}\rvert)^{\frac{1}{2}}\mathcal{F}v\in L^1(\mathbb{R}^3)
$$
が成り立つ。
*$(2)$　[[Sobolev空間の基本事項]]の'''命題38.1'''より $(1+\lvert {\rm id}\rvert^2)\mathcal{F}u\in L^2(\mathbb{R}^3)$ である。また極座標変換より、
$$
\int_{\mathbb{R}^3}\frac{1}{(1+\lvert x\rvert^2)^2}dx=4\pi \int_{0}^{\infty}\frac{r^2}{(1+r^2)^2}dr\leq 4\pi \left(\int_{0}^{1}\frac{1}{(1+r^2)^2}dr+\int_{1}^{\infty}\frac{1}{r^2}dr\right)<\infty
$$
であるから、
$$
\frac{1}{1+\lvert {\rm id}\rvert^2}\in L^2(\mathbb{R}^3)
$$
である。よってHölderの不等式より、
$$
\mathcal{F}u=\frac{1}{(1+\lvert {\rm id}\rvert^2)}(1+\lvert {\rm id}\rvert^2)\mathcal{F}u\in L^1(\mathbb{R}^3)
$$
が成り立つ。
{{end|proof}}

===定理6.6（全空間における $3$ 次元波動方程式の初期値問題の一意解の形）===
$f(t)\colon \mathbb{R}\rightarrow H^2(\mathbb{R}^3)$ を $H^2(\mathbb{R}^3)$ のノルムで連続な関数、$c\in (0,\infty)$, $u\in H^2(\mathbb{R}^3)$, $v\in H^1(\mathbb{R}^3)$ とする。そして'''定理6.2'''で $\Omega=\mathbb{R}^3$ とした場合の $(1)\sim (4)$ を満たす一意解を $u(t)\colon \mathbb{R}\ni t\mapsto u(t)\in H^2(\mathbb{R}^3)$ とする。このとき、
$$
a\colon=\frac{1}{2}\mathcal{F}u+\frac{1}{2ic\lvert {\rm id}\rvert}\mathcal{F}v,\quad
b\colon=\frac{1}{2}\mathcal{F}u-\frac{1}{2ic\lvert {\rm id}\rvert}\mathcal{F}v
$$
とおけば、$a,b\in L^1(\mathbb{R}^3)$ であり、
$$
\begin{aligned}
u(t,x)&=\frac{1}{(2\pi)^{\frac{3}{2}}}\int_{\mathbb{R}^3}a(k)e^{i(k\cdot x+ct\lvert k\rvert)}dk+\frac{1}{(2\pi)^{\frac{3}{2}}}\int_{\mathbb{R}^3}b(k)e^{i(k\cdot x-ct\lvert k\rvert)}dk\\
&+\frac{1}{4\pi c^2}\int_{\lvert y-x\rvert\leq c\lvert x\rvert}\frac{f\left(t\pm \frac{\lvert y-x\rvert}{c}, y\right)}{\lvert y-x\rvert}dy\quad(\forall t\in \mathbb{R},\forall x\in \mathbb{R}^3)
\end{aligned}
$$
が成り立つ。ただし $\mp$ は $t>0$ のときは $-$ で、$t<0$ のときは $+$ である。すなわち $\mathbb{R}^3$ における波動方程式の一意解は、平面波の波数ベクトル $k$ に関する積分と非斉次項による遅延解の和である。
{{begin|proof}}
$a,b\in L^1(\mathbb{R}^3)$ であることは'''補題6.5'''による。'''定理6.2'''より、
$$
u(t)=\cos(ct\sqrt{-\Delta})u+\frac{\sin(ct\sqrt{-\Delta})}{c\sqrt{-\Delta}}v+\int_{0}^{t}\frac{\sin(c(t-s)\sqrt{-\Delta})}{c\sqrt{-\Delta}}f(s)ds\quad(\forall t\in \mathbb{R})
$$
であるから、[[Hilbert空間上の作用素論]]の'''命題17.1'''より、
$$
\begin{aligned}
u(t)&=\mathcal{F}^{-1}\cos(ct\lvert {\rm id}\rvert)\mathcal{F}u+\mathcal{F}^{-1}\frac{\sin(ct\lvert {\rm id}\rvert)}{c\lvert {\rm id}\rvert}\mathcal{F}v
+\int_{0}^{t}\frac{\sin(cs\sqrt{-\Delta})}{c\sqrt{-\Delta}}f(t-s)ds\\
&=\mathcal{F}^{-1}(ae^{ict\lvert {\rm id}\rvert}+be^{-ict\lvert {\rm id}\rvert})+\int_{0}^{t}\frac{\sin(cs\sqrt{-\Delta})}{c\sqrt{-\Delta}}f(t-s)ds\quad(\forall t\in \mathbb{R})\quad\quad(*)
\end{aligned}
$$
となる。$a,b\in L^1(\mathbb{R}^3)$ より $(*)$ の右辺の第一項は、任意の $t\in \mathbb{R}$, $x\in \mathbb{R}^3$ に対し、
$$
\begin{aligned}
&\mathcal{F}^{-1}\left(ae^{ict\lvert {\rm id}\rvert}+be^{-ict\lvert {\rm id}\rvert}\right)(x)=\frac{1}{(2\pi)^{\frac{3}{2}}}\int_{\mathbb{R}^3}\left(a(k)e^{ict\lvert k\rvert}+b(k)e^{-ict\lvert k\rvert}\right)e^{ik\cdot x}dk\\
&=\frac{1}{(2\pi)^{\frac{3}{2}}}\int_{\mathbb{R}^3}a(k)e^{i(k\cdot x+ct\lvert k\rvert)}dk+\frac{1}{(2\pi)^{\frac{3}{2}}}\int_{\mathbb{R}^3}b(k)e^{i(k\cdot x-ct\lvert k\rvert)}dk\quad\quad(**)
\end{aligned}
$$
と表される。今、$(*)$ の右辺の第二項を考える。[[Hilbert空間上の作用素論]]の'''命題17.1'''より、
$$
\frac{\sin(cs\sqrt{-\Delta})}{c\sqrt{-\Delta}}f(t-s)=\mathcal{F}^{-1}\frac{\sin(cs\lvert {\rm id}\rvert)}{c\lvert {\rm id}\rvert}\mathcal{F}f(t-s)\quad(\forall t,s\in \mathbb{R})
\quad\quad(***)
$$
である。$\mathbb{R}\ni t\mapsto f(t)\in H^2(\mathbb{R}^3)$ は $H^2(\mathbb{R}^3)$ のノルムで連続であるので、[[Sobolev空間の基本事項]]の'''命題38.1'''より、
$$
\mathbb{R}\ni t\mapsto (1+\lvert {\rm id}\rvert^2)\mathcal{F}f(t)\in L^2(\mathbb{R}^3)
$$
は $L^2(\mathbb{R}^3)$ のノルムで連続である。よって任意の $t\in \mathbb{R}$ に対し、
$$
\mathbb{R}\ni s\mapsto (1+\lvert {\rm id}\rvert^2)\frac{\sin(cs\lvert {\rm id}\rvert)}{c\lvert {\rm id}\rvert}\mathcal{F}f(t-s)=(1+\lvert {\rm id}\rvert^2)\mathcal{F}\frac{\sin(cs\sqrt{-\Delta})}{c\sqrt{-\Delta}}f(t-s)\in L^2(\mathbb{R}^3)
$$
は $L^2(\mathbb{R}^3)$ のノルムで連続であるから、[[Sobolev空間の基本事項]]の'''命題38.1'''より $(***)$ は $H^2(\mathbb{R}^3)$ に属し、
$$
\mathbb{R}\ni s\mapsto \frac{\sin(cs\sqrt{-\Delta})}{c\sqrt{-\Delta}}f(t-s)\in H^2(\mathbb{R}^3)\quad\quad(****)
$$
は $H^2(\mathbb{R}^3)$ のノルムで連続である。Sobolevの埋め込み定理（[[Sobolev空間の基本事項]]の'''定理38.3'''）より $(****)$ は $\sup$ ノルムによるBanach空間 $C_0(\mathbb{R}^3)$ 値の連続関数である。よって $(*)$ の右辺の第二項はBanach空間 $C_0(\mathbb{R}^3)$ 値のBochner積分（[[測度と積分9：Bochner積分]]の'''定義44.1'''）とみなせる。任意の $x\in \mathbb{R}^3$ に対し、
$$
\delta_x\colon C_0(\mathbb{R}^3)\ni h\mapsto h(x)\in \mathbb{C}
$$
は $C_0(\mathbb{R}^3)$ 上の連続線形汎関数であるから、Bochner積分の性質（[[測度と積分9：Bochner積分]]の'''命題44.2'''）より、任意の $t\in \mathbb{R}$, $x\in \mathbb{R}^3$ に対し、
$$
\left(\int_{0}^{t}\frac{\sin(cs\sqrt{-\Delta})}{c\sqrt{-\Delta}}f(t-s)ds\right)(x)
=\int_{0}^{t}\left(\frac{\sin(cs\sqrt{-\Delta})}{c\sqrt{-\Delta}}f(t-s)\right)(x)ds
$$
となる。'''補題6.4'''より、
$$
\left(\frac{\sin(cs\sqrt{-\Delta})}{c\sqrt{-\Delta}}f(t-s)\right)(x)
=sS(f(t-s,\cdot),x,c\lvert s\rvert)=\frac{s}{4\pi}\int_{S_2}f(t-s,x+cs\omega)d\mu_{S_2}(\omega)
$$
であるから、
$$
\begin{aligned}
&\left(\int_{0}^{t}\frac{\sin(cs\sqrt{-\Delta})}{c\sqrt{-\Delta}}f(t-s)ds\right)(x)
=\int_{0}^{t}\left(\frac{\sin(cs\sqrt{-\Delta})}{c\sqrt{-\Delta}}f(t-s)\right)(x)ds\\
&=\frac{1}{4\pi}\int_{0}^{t}s\int_{S_2}f(t-s, x+cs\omega)d\mu_{S_2}(\omega)ds
=\frac{1}{4\pi c^2}\int_{0}^{c\lvert t\rvert}\int_{S_2}s^2\frac{f\left(t\mp\frac{s}{c}, x+s\omega\right)}{\lvert s\rvert}d\mu_{S_2}(\omega)ds\\
&=\frac{1}{4\pi c^2}\int_{\lvert y-x\rvert\leq c\lvert t\rvert}\frac{f\left(t\mp\frac{\lvert y-x\rvert}{c}, y\right)}{\lvert y-x\rvert}dy\quad(\forall t\in \mathbb{R},\forall x\in \mathbb{R}^3)
\end{aligned}
$$
（$4$ 番目の等号で極座標変換を用いた）となる。よって $(*),(**)$ より、
$$
\begin{aligned}
u(t,x)&=\frac{1}{(2\pi)^{\frac{3}{2}}}\int_{\mathbb{R}^3}a(k)e^{i(k\cdot x+ct\lvert k\rvert)}dk+\frac{1}{(2\pi)^{\frac{3}{2}}}\int_{\mathbb{R}^3}b(k)e^{i(k\cdot x-ct\lvert k\rvert)}dk\\
&+\frac{1}{4\pi c^2}\int_{\lvert y-x\rvert\leq c\lvert t\rvert}\frac{f\left(t\mp \frac{y-x}{c},y\right)}{\lvert y-x\rvert}dy\quad(\forall t\in \mathbb{R},\forall x\in \mathbb{R}^3)
\end{aligned}
$$
が成り立つ。
{{end|proof}}

==参考文献==
* [https://www.amazon.co.jp/dp/4320015630　伊藤秀一「常微分方程式と解析力学」]
* [https://www.amazon.co.jp//dp/4320018281　宮島静雄「ソボレフ空間の基礎と応用」]
* [https://www.amazon.co.jp/dp/0486474437 Ralph E. Showalter「Hilbert Space Methods in Partial Differential Equations」]
* [https://www.amazon.co.jp/dp/0387493182　 Juergen Jost「Partial Differential Equations」]
* [http://www.math.ucsd.edu/~bdriver/231-02-03/Lecture_Notes/PDE-Anal-Book/analpde1.pdf　Bruce Driver 「Analysis Tools with Applications」]

==注釈==

距離空間の位相の基本的性質

2026-06-21T05:49:54Z

Kataoka: /* 命題8.3（連続写像の一様収束極限は連続） */

本稿においては、[[距離空間]]の位相の基本的な性質について論じる。
== 1. 距離空間の定義 ==

=== 定義1.1 （距離空間の定義） ===
$X$ を空でない集合とする。$d\colon X\times X\rightarrow [0,\infty) \subset \mathbb{R}$ が次の条件を満たすとき、$d$ を $X$ 上の距離と言う。
*$(1)$ 任意の$x,y\in X$ に対し $d(x,y)=d(y,x)$.
*$(2)$ $d(x,y)=0$ $\Leftrightarrow$ $x=y$.
*$(3)$ 任意の$x,y,z\in X$ に対し $d(x,z)\leq d(x,y)+d(y,z)$.
$(3)$ の不等式を三角不等式と言う。距離が定義された集合のことを距離空間と言う。距離空間 $X$ に距離 $d$ が定義されていることを明示的に表す場合は距離空間 $(X,d)$ と表現する。$(X,d)$ を距離空間とする。任意の $x\in X$と任意の $r\in (0,\infty)$ に対し、
$$B(x,r)=\{y\in X: d(y,x)<r\}$$
を中心 $x$、半径 $r$ の開球と言い、
$$\overline{B}(x,r)=\{y\in X: d(y,x)\leq r\}$$
を中心 $x$、半径 $r$ の閉球と言う。
$$\mathcal{O}_{(X,d)}=\{U\subset X:\forall x\in U, \exists r\in (0,\infty) \text{ s.t. } B(x,r)\subset U\}$$
は距離空間 $(X,d)$ の位相である。これを距離 $d$ が誘導する位相と言う。距離空間 $(X,d)$ は、特に断らない限り、この $d$ が誘導する位相 $\mathcal{O}_{(X,d)}$ が備わった位相空間とみなす。

=== 注意1.2 （開球は開集合、閉球は閉集合） ===
距離空間 $(X,d)$ の開球 $B(x,r)$ は開集合であり、閉球 $\overline{B}(x,r)$ は閉集合である。実際、任意の $y\in B(x,r) $、任意の $z\in B(y, r-d(y,x))$ に対し、三角不等式より、
$$d(z,x)\leq d(z,y)+d(y,x)<r$$
であるから、
$$B(y,r-d(y,x))\subset B(x,r)$$
である。よって $B(x,r)$ は開集合である。また、任意の $y\in X\backslash\overline{B}(x,r)$、任意の $z\in B(y, d(y,x)-r)$ に対し三角不等式より、
$$d(z,x)\geq d(y,x)-d(z,y)>r$$
であるから、
$$B(y, d(y,x)-r)\subset X\backslash \overline{B}(x,r)$$
である。よって $\overline{B}(x,r)$ は閉集合である。

=== 注意1.3 （部分集合に制限された距離が誘導する位相は相対位相） ===
$(X,d)$ を距離空間、$A\subset X$ とする。
$$d_A\colon A\times A\ni (x,y)\mapsto d(x,y)\in[0,\infty)$$
は $A$ 上の距離であり、任意の $x\in A$、任意の $r\in (0,\infty)$ に対し、$d_A$ に関する中心 $x$、半径 $r$ の開球は、
$$\{y\in A:d_A(y,x)<r\}=B(x,r)\cap A$$
である。よって $d_A$ が誘導する $A$ の位相は $(X,d)$ の位相の相対位相である。

== 2. 距離空間の Hausdorff 性と第一可算性 ==

=== 命題2.1（距離空間は Hausdorff 空間） ===
距離空間はHausdorff 空間である。
{{begin |proof }}
$(X,d)$ を距離空間とする。$x,y\in X$ が $x\neq y$ ならば $d(x,y)>0$ であり、
$$r=\frac{1}{2}d(x,y)\in (0,\infty)$$
とおけば、三角不等式より $B(x,r)\cap B(y,r)=\emptyset$ である。よって $X$ は Hausdorff 空間である。
{{end |proof | }}

=== 命題2.2（距離空間は第一可算空間） ===
距離空間は[[第一可算空間]]である。
{{begin |proof }}
$(X,d)$ を距離空間とする。任意の $x\in X$ に対しArchimedes の原理より、
$$\left\{B\left(x,\text{ } \frac{1}{n}\right): n\in \mathbb{N}\right\}$$
は $x$ の基本近傍系であり、これは可算である。よって $X$ は第一可算空間である。
{{end |proof | }}

=== 注意2.3（距離空間と点列） ===
距離空間は[[第一可算空間]]であるから、閉包の点や連続性、コンパクト性などは点列を用いて表現できる。これに関しては[[ネットによる位相空間論]]の''' 6. 位相空間の可算性と点列'''を参照されたい。

=== 注意2.4（距離空間は完全正規空間） ===
距離空間は完全正規空間である。
{{begin |proof }}
互いに交わりを持たない二つの閉集合 $A,B\subseteq X$ に対し、$f(x)\colon =d(A,x)/(d(A,x)+d(x,B))$ を考えればよい。
{{end|proof|}}

== 3. 距離空間において可分であることと第二可算であることは同値 ==

=== 命題3 ===
距離空間 $(X,d)$ に対し次は互いに同値である。
* $(1)$ $X$ は可分である。
* $(2)$ $X$ は [[第二可算空間]]である。
{{begin |proof }}
$(2)\Rightarrow(1)$ を示す。$(2)$ が成り立つとして $\{U_n\}_{n\in \mathbb{N}}$ を可算な開基とする。そして各$n\in \mathbb{N}$ に対し $x_n\in U_n$ を取る。$A=\{x_n\}_{n\in \mathbb{N}}$ が $X$ で稠密であることを示せばよい。そのためには任意の $x\in X$ と $x$ の任意の開近傍 $U$ に対し $U\cap A\neq\emptyset$ であることを示せばよい。$\{U_n\}_{n\in \mathbb{N}}$ は開基なので、$x\in U_n\subset U$ なる $n\in \mathbb{N}$ が存在する。よって $x_n\in U_n\subset U$ なので、$x\in U\cap A$ である。よって $U\cap A\neq\emptyset$ である。\\
$(1)\Rightarrow(2)$ を示す。
$(X,d)$ を可分な距離空間とし、$A\subset X$ を稠密な可算部分集合とする。$(X,d)$ の開集合からなる可算族
$$\mathcal{B}=\left\{B\left(a,\text{ }\frac{1}{n}\right): a\in A, n\in \mathbb{N}\right\}$$
が$(X,d)$ の位相の基底であることを示せばよい。任意の開集合 $U\subset X$ と任意の $x\in U$ を取り、
$$B(x,\epsilon)\subset U$$
なる $\epsilon\in(0,\infty)$ を取る。
Archimedes の原理より
$$\frac{1}{n}<\frac{\epsilon}{2}$$
なる $n\in \mathbb{N}$ が取れる。$x\in X=\overline{A}$ なので、
$$a\in B\left(x,\text{ }\frac{1}{n}\right)\cap A$$
が取れる。任意の $y\in B(a,\frac{1}{n})$ に対し三角不等式より、
$$d(y,x)\leq d(y,a)+d(a,x)<\frac{1}{n}+\frac{1}{n}<\epsilon$$
であるから、
$$x\in B\left(a,\text{ }\frac{1}{n}\right)\subset B(x,\epsilon)\subset U$$
である。よって $\mathcal{B}$ は$(X,d)$ の位相の基底である。
{{end|proof|}}

== 4. 距離空間の全有界性 ==

=== 定義4.1 （距離空間の全有界性） ===
距離空間 $X$ が全有界であるとは、任意の $\epsilon\in (0,\infty)$ に対し有限個の $x_1,\ldots,x_n\in X$ が存在し、
$$X=B(x_1,\epsilon)\cup\ldots\cup B(x_n,\epsilon)$$
が成り立つことを言う。

=== 命題4.2 （全有界な距離空間は可分） ===
全有界な距離空間は可分である。
{{begin |proof }}
$X$ を全有界な距離空間とする。任意の $n\in \mathbb{N}$ に対し、有限個の $x_{n,1},\ldots,x_{n,m(n)}\in X$ が取れて、
$$X=B\left(x_{n,1},\text{ }\frac{1}{n}\right)\cup\ldots \cup B\left(x_{n,m(n)},\text{ }\frac{1}{n}\right)$$
となる。可算集合
$$A=\{x_{n,k}: n\in\mathbb{N}, k\in \{1,\ldots, m(n)\}\}$$
が $X$ において稠密であることを示せばよい。任意の $x\in X$、任意の $n\in\mathbb{N}$ に対し、$x\in B(x_{n,k},\frac{1}{n})$ なる $k\in\{1,\ldots,m(n)\}$ が取れる。$x_{n,k}\in B(x,\frac{1}{n})\cap A$ であるから、
$$B\left(x,\text{ }\frac{1}{n}\right)\cap A\neq\emptyset\quad(\forall n\in\mathbb{N})$$
が成り立ち、$\{B(x,\frac{1}{n})\}_{n\in\mathbb{N}}$ は $x$ の基本近傍系であるから $x\in\overline{A}$ である。よって $A$ は $X$ において稠密である。
{{end |proof | }}

== 5. Cauchy 列と距離空間の完備性 ==

=== 定義5.1 （Cauchy 列） ===
$(X,d)$ を距離空間とする。$X$ の点列 $(x_n)_{n\in\mathbb{N}}$ が Cauchy 列であるとは、
$$\forall \epsilon\in (0,\infty), \exists n_0\in\mathbb{N}\text{ s.t. }\forall n,m\geq n_0, d(x_n,x_m)<\epsilon$$
が成り立つことを言う。

距離空間の収束列は明らかに Cauchy 列である。

=== 定義5.2 （距離空間の完備性） ===
距離空間が完備であるとは、任意の Cauchy 列が収束列であることを言う。

== 6. 距離空間においてコンパクト、点列コンパクト、全有界かつ完備は同値 ==

=== 補題6.1 （点列コンパクトな距離空間の全有界性） ===
点列コンパクトな距離空間は全有界である。
{{begin |proof }}
距離空間 $X$ が全有界ではないとする。このときある $\epsilon\in(0,\infty)$ に対し、$X$ の点列 $(x_n)_{n\in\mathbb{N}}$ で、
$$x_{n+1}\in X\backslash \bigcup_{k=1}^{n}B(x_k,\epsilon)\quad(\forall n\in\mathbb{N})$$
を満たすものが帰納的に構成できる。これに対し、
$$d(x_n,x_m)\geq\epsilon\quad(n\neq m)$$
であるから $(x_n)_{n\in\mathbb{N}}$ は収束する部分列を持たない。よって $X$ は点列コンパクトではない。
{{end |proof | }}

=== 補題6.2 （点列コンパクトな距離空間の完備性） ===
点列コンパクトな距離空間は完備である。
{{begin |proof }}
$(X,d)$ を点列コンパクトな距離空間とし、$(x_n)_{n\in\mathbb{N}}$ を Cauchy 列とする。$X$ は点列コンパクトなので $(x_n)_{n\in \mathbb{N}}$ のある部分列 $(x_{k(n)})_{n\in\mathbb{N}}$ はある $x\in X$ に収束する。よって任意の $\epsilon\in(0,\infty)$ に対し $n_0\in\mathbb{N}$ が存在し、任意の $n,m\geq n_0$ に対し、
$$d(x_n,x_m)<\frac{\epsilon}{2},\quad d(x_{k(n)},x)<\frac{\epsilon}{2}$$
が成り立つ。よって任意の $n\geq n_0$ に対し、
$$d(x_n,x)\leq d(x_n,x_{k(n)})+d(x_{k(n)},x)<\epsilon$$
が成り立つので、 $(x_n)_{n\in \mathbb{N}}$ は収束する。ゆえに $(X,d)$ は完備である。
{{end|proof}}

=== 補題6.3 （コンパクトな距離空間は点列コンパクト） ===
コンパクトな距離空間は点列コンパクトである。
{{begin |proof }}
$X$ をコンパクトな距離空間とし、$(x_n)_{n\in \mathbb{N}}$ を $X$ の任意の点列とする。任意の $n\in \mathbb{N}$ に対し $F_n:=\{x_m:m\geq n\}$ とおく。このとき $\bigcap_{n\in \mathbb{N}}\overline{F_n}\neq\emptyset$ である。実際、$\bigcap_{n\in \mathbb{N}}\overline{F_n}=\emptyset$ であるとすると、$X$ のコンパクト性より、ある $n\in \mathbb{N}$ が存在し $\bigcap_{k=1}^{n}\overline{F_n}=\emptyset$ となる。したがって $\bigcap_{k=1}^{n}F_k=\emptyset$ となるが、$m\geq n$ なる $m\in \mathbb{N}$ を取れば $x_m\in \bigcap_{k=1}^{n}F_k$ なので矛盾する。よって $x\in \bigcap_{n\in \mathbb{N}}\overline{F_n}$ が存在する。これより任意の $\epsilon\in (0,\infty)$ と任意の $n\in \mathbb{N}$ に対し、$B(x,\epsilon)\cap F_n\neq\emptyset$ が成り立つ。
$B(x,1)\cap F_1\neq\emptyset$ なので、$k(1)\geq 1$ で、$x_{k(1)}\in B(x,1)$ なるものが取れる。
$B(x,\frac{1}{2})\cap F_{k(1)+1}\neq\emptyset$ なので、$k(2)\geq k(1)+1$ で $x_{k(2)}\in B(x,\frac{1}{2})$ なるものが取れる。$B(x,\frac{1}{3})\cap F_{k(2)+1}\neq\emptyset$ なので、$k(3)\geq k(2)+1$ で $x_{k(3)}\in B(x,\frac{1}{3})$ なるものが取れる。同様の操作を続けていけば $x$ に収束する部分列 $(x_{k(n)})_{n\in \mathbb{N}}$ が構成できる。
{{end|proof}}

=== 定義6.4 （距離空間の部分集合の直径） ===
$(X,d)$ を距離空間とする。$A\subset X$ に対し $\sup\{d(x,y): x,y\in A\}$ を $A$ の直径と呼ぶ。

=== 定理6.5 （距離空間においてコンパクト、点列コンパクト、全有界かつ完備は同値） ===
$(X,d)$ を距離空間とする。次は互いに同値である。
* $(1)$ $X$ はコンパクトである。
* $(2)$ $X$ は点列コンパクトである。
* $(3)$ $X$ は全有界かつ完備である。
{{begin |proof }}
$(1)\Rightarrow(2)$ は'''補題6.3'''、$(2)\Rightarrow(3)$ は'''補題6.1'''、'''補題6.2'''による。 $(3)\Rightarrow(1)$ を示す。$(X,d)$ が全有界かつ完備であるとし、$X$ がコンパクトではないと仮定して矛盾を導く。このとき $X$ の開被覆 $\{U_j\}_{j\in J}$ でそのいかなる有限部分族も $X$ の開被覆ではないものが存在する。$X$ は全有界であるので直径が $1$ 以下の有限個の閉集合の合併で表せる。それらの閉集合の中のいずれか（$X_1$とする）は $\{U_j\}_{j\in J}$ のいかなる有限部分族によっても被覆できない。$X_1$ は全有界なので、直径が $\frac{1}{2}$ 以下の有限個の閉集合の合併で表せて、それらの閉集合の中のいずれか（$X_2$とする）は $\{U_j\}_{j\in J}$ のいかなる有限部分族によっても被覆できない。同様のことを繰り返し、$X$ の部分集合の列 $(X_n)_{n\in\mathbb{N}}$ で次の条件を満たすものを構成する。
*(a) 任意の $n\in \mathbb{N}$ に対し $X_n$ は $\{U_j\}_{j\in J}$ のいかなる有限部分族によっても被覆できない。
*(b) 任意の $n\in \mathbb{N}$ に対し $X_n$ は $X$ の閉集合である。
*(c) 任意の $n\in \mathbb{N}$ に対し $X_{n+1}\subset X_n$.
*(d) 任意の $n\in \mathbb{N}$ に対し $X_n$ の直径は $\frac{1}{n}$ 以下。
各 $n\in \mathbb{N}$ に対し $x_n\in X_n$ を取り $X$ の点列 $(x_n)_{n\in\mathbb{N}}$ を構成すると、(c), (d) と Archimedes の原理より $(x_n)_{n\in\mathbb{N}}$ は Cauchy 列である。よって $X$ の完備性より $(x_n)_{n\in\mathbb{N}}$ はある $x\in X$ に収束する。任意の $\epsilon\in (0,\infty)$、任意の $n\in \mathbb{N}$ に対し、$m\geq n$、$d(x_m,x)<\epsilon$ を満たす $m\in\mathbb{N}$ が取れ、(c) より $x_m\in B(x,\epsilon)\cap X_n$ である。よって、
$$B(x,\epsilon)\cap X_n\neq\emptyset\quad(\forall n\in \mathbb{N}, \forall \epsilon\in (0,\infty))$$
であるから、(b)より、
$$x\in \bigcap_{n\in\mathbb{N}}\overline{X_n}=\bigcap_{n\in\mathbb{N}}X_n$$
である。$x\in U_j$ なる $j\in J$ を取り、$\overline{B}(x,\frac{1}{n})\subset U_j$ なる $n\in\mathbb{N}$ を取れば、$x\in X_n$ であることと (d) より $X_n\subset U_j$ となる。これは(a)に矛盾する。ゆえに $(3)\Rightarrow(1)$ が成り立つ。
{{end|proof}}

== 7. 一様連続性 ==

=== 注意7.1 （距離空間から距離空間への写像の連続性の$\epsilon-\delta$ 論法による特徴付け） ===
距離空間の任意の点 $x$ に対し $\{B(x,\epsilon)\}_{\epsilon\in (0,\infty)}$ は $x$ の基本近傍系である。よって距離空間 $(X,d_X)$ から距離空間 $(Y,d_Y)$ への写像 $f\colon X\rightarrow Y$ が $x_0\in X$ において連続であることは、次のように特徴付けられる。

「任意の $\epsilon\in(0,\infty)$ に対し $\delta\in (0,\infty)$ が存在し、$d_X(x,x_0)<\delta$ を満たす全ての $x\in X$ に対し $d_Y(f(x),f(x_0))<\epsilon$ が成り立つ。」

=== 定義7.2 （一様連続性） ===
$(X,d_X), (Y,d_Y)$ を距離空間とする。写像 $f\colon X\rightarrow Y$ が一様連続であるとは、

「任意の $\epsilon\in(0,\infty)$ に対し $\delta\in (0,\infty)$ が存在し、$d_X(x_1,x_2)<\delta$ を満たす全ての $x_1,x_2\in X$ に対して $d_Y(f(x_1),f(x_2))<\epsilon$ が成り立つ」

ことを言う。

一様連続ならば明らかに連続である。

=== 定理7.3 （コンパクト距離空間から距離空間への連続写像は一様連続） ===
$(X,d_X)$ をコンパクト距離空間、 $(Y,d_Y)$ を距離空間とし、$f\colon X\rightarrow Y$ を連続写像とする。このとき $f$ は一様連続である。
{{begin |proof }}
任意の $\epsilon\in (0,\infty)$ を取る。$f$ は連続なので、各 $x\in X$ に対し、 $\delta_x\in (0,\infty)$ で、
$$d_Y(f(x'),f(x))<\frac{\epsilon}{2}\quad(\forall x'\in B(x,\delta_x))$$
を満たすものが取れる。
$$X=\bigcup_{x\in X} B(x,2^{-1}\delta_x)$$
であり、$X$ はコンパクトであるので、有限個の $x_1,\ldots,x_n\in X$ が取れて、
$$X=\bigcup_{j=1}^{n}B(x_j,2^{-1}\delta_{x_j})$$
となる。
$$\delta=\text{ min }(2^{-1}\delta_{x_1},\ldots,2^{-1}\delta_{x_n})$$
とおき、$d_X(x',x)<\delta$ を満たす任意の $x,x'\in X$ を取る。 $x\in B(x_j,2^{-1}\delta_{x_j})$ なる $j\in \{1,\ldots,n\}$ に対し、
$$d_X(x',x_j)\leq d_X(x',x)+d_X(x,x_j)<\delta+\delta_{x_j}<\delta_{x_j}$$
であるから、
$$d_Y(f(x),f(x'))\leq d_Y(f(x),f(x_j))+d_Y(f(x_j),f(x'))<\frac{\epsilon}{2}+\frac{\epsilon}{2}=\epsilon$$
である。よって $f$ は一様連続である。
{{end |proof | }}

== 8. 一様収束 ==

=== 定義8.1（一様収束） ===
$X$ を集合、$(Y,d)$ を距離空間とする。$X\rightarrow Y$ の写像からなるネット $(f_{\lambda})_{\lambda\in\Lambda}$ が $f\colon X\rightarrow Y$ に一様収束するとは、次が成り立つことを言う。
$$\forall \epsilon\in (0,\infty), \exists \lambda_0\in\Lambda \text{ s.t. } \forall \lambda\geq\lambda_0, \forall x\in X, d(f_{\lambda}(x),f(x))<\epsilon$$.

=== 注意8.2　 ===
ネットについて知らなければネットを列に置き換えてよい。ネットについては[[ネットによる位相空間論]]を参照。

=== 命題8.3（連続写像の一様収束極限は連続） ===
$X$ を位相空間、$(Y,d)$ を距離空間とし、$X\rightarrow Y$ の連続写像からなるネット $(f_{\lambda})_{\lambda\in\Lambda}$ が $f\colon X\rightarrow Y$ に一様収束するとする。このとき $f$ は連続である。
{{begin |proof }}
任意の $x_0\in X$、任意の $\epsilon\in (0,\infty)$を取り固定する。$(f_{\lambda})_{\lambda\in\Lambda}$ は $f$ に一様収束するので、$\lambda_0\in \Lambda$ で、
$$d(f_{\lambda_0}(x),f(x))<\frac{\epsilon}{3}\quad(\forall x\in X)$$
を満たすものが取れる。$f_{\lambda_0}\colon X\rightarrow Y$ は連続なので $x_0\in X$ の近傍 $U$ で、
$$d(f_{\lambda_0}(x),f_{\lambda_0}(x_0))<\frac{\epsilon}{3}\quad (\forall x\in U)$$
を満たすものが取れる。よって任意の $x\in U$ に対し、
$$d(f(x),f(x_0))\leq d(f(x),f_{\lambda_0}(x))+d(f_{\lambda_0}(x),f_{\lambda_0}(x_0))+d(f_{\lambda_0}(x_0),f(x_0))<\epsilon$$
であるから $f$ は連続である。
{{end|proof|}}

=== 定義8.4（一様 Cauchy 条件） ===
$X$ を集合、$(Y,d)$ を距離空間とする。$X\rightarrow Y$ の写像からなる列 $(f_n)_{n\in\mathbb{N}}$ が一様 Cauchy 条件を満たすとは、
$$\forall \epsilon\in (0,\infty),\exists n_0\in\mathbb{N}\text{ s.t. } \forall n,m\geq n_0, \forall x\in X, d(f_n(x),f_m(x))<\epsilon$$
が成り立つことを言う。

=== 命題8.5（一様 Cauchy 条件と一様収束） ===
$X$ を集合、$(Y,d)$ を完備距離空間とし、$X\rightarrow Y$ の写像からなる列 $(f_n)_{n\in\mathbb{N}}$ が一様 Cauchy 条件を満たすとする。このとき $(f_n)_{n\in \mathbb{N}}$ はある $f\colon X\rightarrow Y$ に一様収束する。
{{begin |proof }}
一様 Cauchy 条件より任意の $\epsilon\in(0,\infty)$ に対し $n_0\in\mathbb{N}$ が存在し、
$$d(f_n(x),f_m(x))<\frac{\epsilon}{2}\quad (\forall n,m\geq n_0, \forall x\in X)$$
が成り立つ。各 $x\in X$ に対し $(f_n(x))_{n\in \mathbb{N}}$ は完備距離空間 $(Y,d)$ の Cauchy 列であるので、
$$f(x)=\lim_{n\rightarrow\infty} f_n(x)\quad (\forall x\in X)$$
として $f\colon X\rightarrow Y$ が定義できる。各 $x\in X$ に対し、$n_x\geq n_0$ なる $n_x\in \mathbb{N}$ で、
$$d(f_{n_x}(x),f(x))<\frac{\epsilon}{2}$$
を満たすものを取れば、任意の $n\geq n_0$、任意の $x\in X$ に対し、
$$d(f_n(x),f(x))\leq d(f_n(x),f_{n_x}(x))+d(f_{n_x}(x),f(x))<\epsilon$$
であるので、$(f_n)_{n\in\mathbb{N}}$ は $f$ に一様収束する。
{{end |proof | }}

== 関連事項 ==
* [[入門テキスト「位相空間論」]]
* [[ネットによる位相空間論]]
* [[関数解析の基礎]]

微分方程式の初歩

2026-06-13T10:20:35Z

Kataoka: /* 定理2.3（Gaussの発散定理のSobolev空間版（内部領域）） */

本稿においては、[[関数解析の基礎]]（主に[[入門テキスト「測度と積分」]]、[[超関数とFourier変換、Sobolev空間]]、[[Hilbert空間上の作用素論]]、[[ベクトル解析]]など）の内容を用いて、特に物理学の初歩的なところで現れる微分方程式の定性的側面について、数学的に厳密な裏付けを与えることを念頭に置き、微分方程式の初歩について論じる。（偏微分方程式論のより詳しい理論展開については[[Hölder空間の基本事項]]やこれに関連する記事を参照されたい。） 
具体的に扱う内容について述べる。まず第 $1$ 節では常微分方程式の初期値問題の解の一意性と解の初期値に対する滑らかさについて論じる。（なお、第 $1$ 節の内容は第 $2$ 節以降を読むのに特に必要ではない。） 
第 $2$ 節では、第 $3$ 節以降で境界条件を扱う上で重要な役割を演じるGaussの発散定理（Greenの積分公式）のSobolev空間版の証明を行う。 
第 $3$ 節ではEuclid空間の領域 $\Omega$ におけるDirichlet-Neumann混合境界条件付き一様楕円型偏微分作用素（主にラプラシアン）がHilbert空間 $L^2(\Omega)$ 上の非有界自己共役作用素として扱えることとそのスペクトル特性、及びそれに関する楕円型正則性定理を示す。 
第 $4$ 節では、調和関数の球面平均、球平均の性質や最大値の原理について述べる。 
第 $5$ 節では、第 $3$ 節、第 $4$ 節の内容を用いて、Laplace-Poisson方程式の境界値問題の解の一意性や正則性、Green関数による表現公式について述べる。 
第 $6$ 節では、第 $3$ 節の内容を用いて境界条件付き波動方程式をHilbert空間上の作用素論の枠組みで論じ、その一般解がラプラシアンのスペクトル測度による積分（Borel汎関数計算（[[Hilbert空間上の作用素論]]の第 $8$ 節を参照））で表せることを示す。そしてその系として有界領域における一般解がラプラシアンの各離散固有値（モード）ごとの解の重ね合わせであることの導出や、$\mathbb{R}^3$ における波動方程式の一般解が平面波の波数ベクトルに関する積分と非斉次項による遅延解の和であることの導出を行う。 
本稿を通して $\mathbb{N}=\{1,2,3,\ldots\}$, $\mathbb{Z}_+=\{0,1,2,3,\ldots\}$ とし、$\mathbb{C}$ 上のHilbert空間の内積は第二変数に関して線形とする。また $a\in \mathbb{R}^N$ と $r\in (0,\infty)$ に対し $B(a,r)=\{x\in \mathbb{R}^N:\lvert x-a\rvert<r\}$, $\overline{B(a,r)}=\{x\in \mathbb{R}^N:\lvert x-a\rvert\leq r\}$ とする。

==1. 常微分方程式の初期値問題の解の一意存在と初期値に対する滑らかさ==

===定義1.1（常微分方程式の初期値問題）===
$J\subset \mathbb{R}$ を開区間、$D\subset \mathbb{R}^N$ を開集合、
$$
f(t,x)\colon J\times D\ni (t,x)\mapsto f(t,x)\in \mathbb{R}^N
$$
を連続関数とする。$J$ に含まれる区間 $I$ 上で定義された $C^1$ 級関数 $x(t)\colon I\ni t\mapsto x(t)\in D$ で、
$$
\frac{d}{dt}x(t)=f(t,x(t))\quad(\forall t\in I)
$$
を満たすものを常微分方程式
$$
\frac{dx}{dt}=f(t,x)\quad\quad(*)
$$
の局所解と言う。また与えられた $(\tau,\xi)\in J\times D$ に対し、常微分方程式 $(*)$ の局所解 $x(t)\colon I\ni t\mapsto x(t)\in D$ で $\tau\in I$, $x(\tau)=\xi$ を満たすものを常微分方程式の初期値問題
$$
\frac{dx}{dt}=f(t,x),\quad x(\tau)=\xi
$$
の局所解と言う。

===定義1.2（Lipschitz連続性、局所Lipschitz連続性）===
$\mathbb{R}^M\times \mathbb{R}^N$ の任意の元を $(t,x)\in\mathbb{R}^M\times \mathbb{R}^N$ と表すこととする。$U\subset \mathbb{R}^M\times \mathbb{R}^N$ 上で定義された連続関数 $f(t,x)\colon U\ni (t,x)\mapsto f(t,x)\in \mathbb{R}^N$ が $x$ に関してLipschitz連続であるとは、ある $L\in [0,\infty)$ が存在し、
$$
\lvert f(t,x)-f(t,y)\rvert\leq L\lvert x-y\rvert\quad(\forall (t,x),(t,y)\in U)
$$
が成り立つことを言う。 
$U\subset \mathbb{R}^M\times \mathbb{R}^N$ を開集合とする。連続関数 $f(t,x)\colon U\ni (t,x)\mapsto f(t,x)\in \mathbb{R}^N$ が $x$ に関して局所Lipschitz連続であるとは、任意の $(t_0,x_0)\in U$ に対し $(t_0,x_0)$ の近傍 $U_0\subset U$ が存在し、$f$ の $U_0$ 上への制限 $f\colon U_0\ni (t,x)\mapsto f(t,x)\in \mathbb{R}^N$ がLipschitz連続であることを言う。

===命題1.3（局所Lipschitz連続な関数の典型例）===
$\mathbb{R}^M\times \mathbb{R}^N$ の任意の元を $(t,x)\in\mathbb{R}^M\times \mathbb{R}^N$ と表すこととする。開集合 $U\subset \mathbb{R}^M\times \mathbb{R}^N$ 上で定義された連続関数 $f(t,x)\colon U\ni (t,x)\mapsto f(t,x)\in\mathbb{R}^N$ が $x$ に関して $1$ 階の偏導関数
$$
\frac{\partial f}{\partial x}(t,x)\colon U\ni (t,x)\mapsto \left(\frac{\partial f}{\partial x_1}(t,x),\ldots,\frac{\partial f}{\partial x_N}(t,x)\right)\in \mathbb{M}_{N\times N}(\mathbb{R})\quad\quad(*)
$$
を持ち、これが連続であるとする。このとき $f(t,x)\colon U\ni (t,x)\mapsto f(t,x)\in \mathbb{R}^N$ は $x$ に関して局所Lipschitz連続である。
{{begin|proof}}
任意の $(t_0,x_0)\in U$ を取り、$(t_0,x_0)$ を中心とし $U$ に含まれる閉方体（有界閉区間の直積）$K$ を取る。$K$ はコンパクトであり $(*)$ は連続であるから、
$$
L\colon=\underset{(t,x)\in K}{\rm max}\left\lVert \frac{\partial f}{\partial x}(t,x)\right\rVert\in [0,\infty)
$$
が存在する。任意の $(t,x),(t,y)\in K$ に対し、微積分学の基本定理より、
$$
f(t,y)-f(t,x)=\int_{0}^{1}\left(\frac{\partial f}{\partial x}(t, x+\theta(y-x))\right)(y-x)d\theta
$$
であり、$(t,x+\theta(y-x))\in K$ $(\forall \theta\in [0,1])$ であるから、
$$
\begin{aligned}
\lvert f(t,y)-f(t,x)\rvert&\leq \int_{0}^{1}\left\lvert \left(\frac{\partial f}{\partial x}(t, x+\theta(y-x))\right)(y-x)\right\rvert d\theta\\
&\leq \int_{0}^{1}\left\lVert \frac{\partial f}{\partial x}(t, x+\theta(y-x))\right\rVert\lvert y-x\rvert d\theta\\
&\leq L\lvert y-x\rvert
\end{aligned}
$$
が成り立つ。よって $f(t,x)\colon U\ni (t,x)\mapsto f(t,x)\in \mathbb{R}^N$ は局所Lipschitz連続である。
{{end|proof}}

===命題1.4（Gronwallの不等式）===
$I\subset \mathbb{R}$ を区間、$u(t)\colon I\rightarrow [0,\infty)$ を連続関数とし、ある $C,L\in [0,\infty)$ と $\tau\in I$ に対し、
$$
u(t)\leq C+L\left\lvert \int_{\tau}^{t}u(s)ds\right\rvert\quad(\forall t\in I)
$$
が成り立つと仮定する。このとき、
$$
u(t)\leq Ce^{L\lvert t-\tau\rvert}\quad(\forall t\in I)
$$
が成り立つ。
{{begin|proof}}
連続関数 $v(t)\colon I\rightarrow [0,\infty)$ を、
$$
v(t)\colon=C+L\left\lvert \int_{\tau}^{t}u(s)ds\right\rvert\quad(\forall t\in I)
$$
として定義すると、$u(t)\leq v(t)$ $(\forall t\in I)$ であり、
$$
\frac{d}{dt}v(t)=Lu(t)\leq Lv(t)\quad(\forall t>\tau),
$$
$$
\frac{d}{dt}v(t)=-Lu(t)\geq -Lv(t)\quad(\forall t<\tau)
$$
である。よって連続関数 $w(t)\colon I\rightarrow [0,\infty)$ を、
$$
w(t)\colon=v(t)e^{-L\lvert t-\tau\rvert}\quad(\forall t\in I)
$$
として定義すると、
$$
\frac{d}{dt}w(t)=(Lu(t)-Lv(t))e^{-L(t-\tau)}\leq0\quad(\forall t>\tau),
$$
$$
\frac{d}{dt}w(t)=(-Lu(t)+Lv(t))e^{L(t-\tau)}\geq0\quad(\forall t<\tau)
$$
であるから、平均値の定理より $w(t)\colon I\rightarrow [0,\infty)$ は $I\cap (-\infty,\tau]$ において単調増加であり、$I\cap [\tau,\infty)$ において単調減少である。ゆえに、
$$
v(t)e^{-L\lvert t-\tau\rvert}=w(t)\leq w(\tau)=v(\tau)=C\quad(\forall t\in I)
$$
であるから、
$$
u(t)\leq v(t)\leq Ce^{L\lvert t-\tau\rvert}\quad(\forall t\in I)
$$
が成り立つ。
{{end|proof}}

===補題1.5（常微分方程式の初期値問題の局所解の存在と一意性）===
$J\subset \mathbb{R}$ を開区間、$D\subset \mathbb{R}^N$ を開集合とし、連続関数 $f(t,x)\colon J\times D\ni (t,x)\mapsto f(t,x)\in \mathbb{R}^N$ が $x$ に関して局所Lipschitz連続であるとする。このとき任意の $(\tau,\xi)\in J\times D$ に対し、常微分方程式の初期値問題
$$
\frac{dx}{dt}=f(t,x),\quad x(\tau)=\xi\quad\quad(*)
$$
の局所解（'''定義1.1'''）で $\tau$ を定義域区間の内部に含むものが存在する。また $\tau$ を定義域区間の内部に含む $(*)$ の任意の2つの局所解は $\tau$ を内部に含むある区間上で一致する。
{{begin|proof}}
$f(t,x)\colon J\times D\ni (t,x)\mapsto f(t,x)\in \mathbb{R}^N$ は $x$ に関して局所Lipischitz連続であるから、十分小さい $\delta\in (0,\infty)$ を取れば、ある $L\in [0,\infty)$ に対し、
$$
[\tau-\delta,\tau+\delta]\subset J,\quad \overline{B(\xi,\delta)}=\{x\in \mathbb{R}^N:\lvert x-\xi\rvert\leq\delta\}\subset D,
$$
$$
\lvert f(t,y)-f(t,x)\rvert\leq L\lvert x-y\rvert\quad(\forall (t,x),(t,y)\in [\tau-\delta,\tau+\delta]\times \overline{B(\xi,\delta)})\quad\quad(**)
$$
が成り立つ。$[\tau-\delta,\tau+\delta]\times \overline{B(\xi,\delta)}$ はコンパクト集合であり、$f$ は連続であるから、ある $M\in (0,\infty)$ に対し、
$$
\lvert f(t,x)\rvert\leq M\quad(\forall (t,x)\in [\tau-\delta,\tau+\delta]\times \overline{B(\xi,\delta)})\quad\quad(***)
$$
が成り立つ。
$$
\rho\colon={\rm min}\left(\delta,\frac{\delta}{M}\right),\quad I\colon=[\tau-\rho,\tau+\rho]\subset [\tau-\delta,\tau+\delta]\subset J\quad\quad(****)
$$
とおく。そして、
$$
x_0(t)\colon I\rightarrow\overline{B(\xi,\delta)},\quad x_0(t)\colon=\xi\quad(\forall t\in I)
$$
と定義する。今、ある $n\in \mathbb{Z}_+$ に対し連続関数 $x_n(t)\colon I\rightarrow \overline{B(\xi,\delta)}$ が定義されたとする。このとき連続関数
$$
x_{n+1}(t)\colon I\ni t\mapsto \xi+\int_{\tau}^{t}f(s,x_n(s))ds\in \mathbb{R}^N
$$
を定義すれば、$(***),(****)$ より $x_{n+1}(t)\in \overline{B(\xi,\delta)}$ $(\forall t\in I)$ である。よって帰納法より $I\rightarrow\overline{B(\xi,\delta)}$ の連続関数の列 $(x_n)_{n\in\mathbb{N}}$ で、
$$
x_{n+1}(t)=\xi+\int_{\tau}^{t}f(s,x_n(s))ds\quad(\forall t\in I,\forall n\in \mathbb{Z}_+)\quad\quad(*****)
$$
を満たすものが定義される。$(**)$ より、
$$
\begin{aligned}
&\lvert x_{n+1}(t)-x_n(t)\rvert\leq \left\lvert \int_{\tau}^{t}\lvert f(s,x_n(s))-f(s,x_{n-1}(s))\rvert ds\right\rvert\\
&\leq L\left\lvert\int_{\tau}^{t}\lvert x_n(s)-x_{n-1}(s)\rvert ds\right\rvert\quad(\forall n\in \mathbb{N},\forall t\in I)
\end{aligned}
$$
であり、
$$
\lvert x_1(t)-x_0(t)\rvert\leq M\lvert t-\tau\rvert\quad(\forall t\in I)
$$
であるから、帰納法より、
$$
\lvert x_n(t)-x_{n-1}(t)\rvert\leq \frac{M}{L}\frac{(L\lvert t-\tau\rvert)^n}{n!}\leq \frac{M}{L}\frac{(L\rho)^n}{n!}\quad(\forall n\in\mathbb{N},\forall t\in I)
$$
が成り立つことが分かる。よって $\sup$ ノルムに関して、
$$
\sum_{n\in\mathbb{N}}\lVert x_n-x_{n-1}\rVert\leq \sum_{n\in\mathbb{N}}\frac{M}{L}\frac{(L\rho)^n}{n!}\leq\frac{M}{L}e^{L\rho}<\infty
$$
となるから、連続関数の列 $(x_n)_{n\in\mathbb{N}}$ は一様Cauchy条件を満たすので、ある連続関数 $x(t)\colon I\rightarrow \overline{B(\xi,\delta)}$ に一様収束する。そして $(**)$ より、
$$
\lvert f(t,x(t))-f(t,x_n(t))\rvert \leq L\lvert x(t)-x_n(t)\rvert\quad(\forall n\in\mathbb{N},\forall t\in I)
$$
であるから、
$$
\int_{\tau}^{t}f(s,x(s))ds=\lim_{n\rightarrow\infty}\int_{\tau}^{t}f(s,x_n(s))ds\quad(\forall t\in I)
$$
が成り立つ。よって $(*****)$ で $n\rightarrow\infty$ とすれば、
$$
x(t)=\xi+\int_{\tau}^{t}f(s,x(s))ds\quad(\forall t\in I)
$$
を得る。$I\ni s\mapsto f(s,x(s))\in \mathbb{R}^N$ の連続性より $x(t)\colon I\rightarrow \overline{B(\xi,\delta)}\subset D$ は $C^1$ 級であり、
$$
\frac{d}{dt}x(t)=f(t,x(t))\quad(\forall t\in I),\quad x(\tau)=\xi
$$
であるから、$x(t)\colon I\rightarrow D$ は常微分方程式の初期値問題 $(*)$ の局所解である。 
今、$y_j\colon I_j\rightarrow D$ $(j=1,2)$ が常微分方程式の初期値問題 $(*)$ の局所解で $\tau$ が $I_1,I_2$ の内部に属するとする。このとき $y_1,y_2$ が $\tau$ を内部に含むある区間上で一致することを示す。$\tau$ を内部に含む十分小さい区間 $I_0\subset I_1\cap I_2$ を取れば、$y_1,y_2$ の連続性より、
$$
I_0\subset [\tau-\delta,\tau+\delta],\quad y_1(t),y_2(t)\in \overline{B(\xi,\delta)}\quad(\forall t\in I_0)\quad\quad(******)
$$
となる。微積分学の基本定理より、
$$
y_j(t)=\xi+\int_{\tau}^{t}f(s,y_j(s))ds\quad(\forall t\in I_0,j=1,2)
$$
であるから、$(******), (**)$ より、
$$
\lvert y_1(t)-y_2(t)\rvert\leq \left\lvert \int_{\tau}^{t}\lvert f(s,y_1(s))-f(s,y_2(s))\rvert ds\right\rvert
\leq L\left\lvert \int_{\tau}^{t}\lvert y_1(s)-y_2(s)\rvert ds\right\rvert\quad(\forall t\in I_0)
$$
となる。よってGronwallの不等式（'''命題1.4'''）より $y_1(t)=y_2(t)$ $(\forall t\in I_0)$ が成り立つ。
{{end|proof}}

===定理1.6（常微分方程式の初期値問題の解の一意存在）===
$J\subset \mathbb{R}$ を開区間、$D\subset \mathbb{R}^N$ を開集合とし、連続関数 $f(t,x)\colon J\times D\ni (t,x)\mapsto f(t,x)\in \mathbb{R}^N$ が $x$ に関して局所Lipschitz連続であるとする。このとき任意の $(\tau,\xi)\in J\times D$ に対し、常微分方程式の初期値問題
$$
\frac{dx}{dt}=f(t,x),\quad x(\tau)=\xi\quad\quad(*)
$$
の局所解で、$(*)$ の任意の局所解の拡張となっているものが唯一つ存在する。
{{begin|proof}}
'''補題1.5'''より $(*)$ は局所解を持ち、また $(*)$ の任意の局所解は定義域が開区間の局所解に拡張できる。<ref>$(*)$ の局所解で定義域が端点を持つものは、端点における値を初期値とした初期値問題の局所解を考え、それを繋ぎ合わせればよい。</ref>そこで $(*)$ の局所解で定義域が開区間であるようなもの全体からなる集合を $\Lambda$ とおく。そして $x_1,x_2\in\Lambda$ に対し $x_2$ が $x_1$ の拡張になっているとき $x_1\leq x_2$ と表し、$\Lambda$ に順序 $\leq$ を導入する。このとき $\Lambda$ は帰納的順序集合となっている。<ref>$\Lambda$ が $\leq$ により順序集合であることは自明である。$\Lambda$ が帰納的順序集合であることは次のようにして分かる。$\{x_j\colon (a_j,b_j)\rightarrow D\}_{j\in J}\subset \Lambda$ を $\Lambda$ の全順序部分集合とすると、全順序性より、$x(t)\colon (\inf_{j\in J}a_j,\sup_{j\in J}b_j)=\bigcup_{j\in J}(a_j,b_j)\rightarrow D$ を $x(t)=x_j(t)$ $(\forall j\in J,\forall t\in (a_j,b_j))$ となるように定義できる。このとき明らかに $x\in \Lambda$ であり、$x$ は $\{x_j\colon (a_j,b_j)\rightarrow D\}_{j\in J}$ の上界である。ゆえに $\Lambda$ は帰納的順序集合である。</ref>よってZornの補題より $\Lambda$ は極大元 $x_m(t)\colon (\alpha,\beta)\rightarrow D$ を持つ。この $x_m$ が $\Lambda$ の最大元であることを示せばよい。そこで $\Lambda$ の任意の元 $x(t)\colon (a,b)\rightarrow D$ を取り、$x\leq x_m$ が成り立つことを示す。
$$
s\colon=\sup\{t\in [\tau,{\rm min}(\beta,b)): \text{$x$ と $x_m$ は $[\tau,t]$ 上で一致する}\}
$$
とおくと、'''補題1.5'''より $\tau<s$ であり、上限の定義より $x_m$ と $x$ は $[\tau,s)$ 上で一致する。もし $s<{\rm min}(\beta,b)$ ならば、$x_m,x$ の連続性より $x_m(s)=x(s)$ となるが、$x_m,x$ を $x_m(s)=x(s)$ を初期値とする初期値問題の局所解とみなすと、'''補題1.5'''より $x_m$ と $x$ は $s$ を含むある開区間上で一致することになるので $s$ の定義に矛盾する。よって $s={\rm min}(\beta,b)$ でなければならない。もし $\beta<b$ ならば、
$$
\widetilde{x_m}(t)\colon=\begin{cases}x_m(t)\quad&(t\in (\alpha,\beta))\\x(t)&(t\in [\beta,b))\end{cases}
$$
とおけば、$x_m$ と $x$ が $[\tau,\beta)$ 上で一致することから $\widetilde{x_m}\in \Lambda$ であり、$x_m<\widetilde{x_m}$ である。しかしこれは $x_m$ の極大性に反する。よって $b\leq \beta$ であり、$x_m$ と $x$ は $[\tau,b)$ 上で一致する。全く同様の議論により $\alpha\leq a$ であることと $x_m$ と $x$ が $(a,\tau]$ 上で一致することが分かる。よって $x\leq x_m$ であるから、$x_m$ は $\Lambda$ の最大元である。
{{end|proof}}

===定義1.7（常微分方程式の初期値問題の一意解）===
$J\subset \mathbb{R}$ を開区間、$D\subset \mathbb{R}^N$ を開集合とし、連続関数 $f(t,x)\colon J\times D\ni (t,x)\mapsto f(t,x)\in \mathbb{R}^N$ が $x$ に関して局所Lipschitz連続（'''定義1.2'''）であるとする。このとき任意の $(\tau,\xi)\in J\times D$ に対し、常微分方程式の初期値問題
$$
\frac{dx}{dt}=f(t,x),\quad x(\tau)=\xi\quad\quad(*)
$$
の局所解 $x(t)\colon I\rightarrow D$ で、$(*)$ の任意の局所解の拡張となっているものが唯一つ存在する。この $x$ を $(*)$ の解と呼ぶ。（一意解、大域解とも呼ぶ。）

===命題1.8（線形常微分方程式の初期値問題の解の定義域）===
$J\subset \mathbb{R}$ を開区間、$A(t)\colon J\rightarrow\mathbb{M}_{N\times N}(\mathbb{R})$, $B(t)\colon J\rightarrow\mathbb{R}^N$ をそれぞれ連続関数とする。このとき、
$$
J\times \mathbb{R}^N\ni (t,x)\mapsto A(t)x+B(t)\in \mathbb{R}^N\quad\quad(*)
$$
は $x$ に関して局所Lipschitz連続な連続関数である。そして任意の $(\tau,\xi)\in J\times \mathbb{R}^N$ に対し、常微分方程式の初期値問題
$$
\frac{dx}{dt}=A(t)x+B(t),\quad x(\tau)=\xi\quad\quad(**)
$$
の一意解の定義域は $J$ である。
{{begin|proof}}
$(*)$ が連続関数であることは自明であり、$x$ に関して局所Lipschitz連続であることは'''命題1.3'''による。$J=(\alpha,\beta)$ とおき、$x(t)\colon (a,b)\rightarrow D$ を $(**)$ の一意解とする。このとき微積分学の基本定理より、
$$
x(t)=\xi+\int_{\tau}^{t}(A(s)x(s)+B(s))ds\quad(\forall t\in (a,b))\quad\quad(***)
$$
である。$b=\beta$ を示すため、$b<\beta$ と仮定して矛盾を導く。このとき $[\tau,b]\subset J$ であり、$A(t),B(t)$ は有界閉区間 $[\tau,b]$ 上で連続であるから、
$$
M_1\colon =\underset{t\in [\tau,b]}{\rm max}\lVert A(t)\rVert,\quad M_2\colon =\underset{t\in [\tau,b]}{\rm max}\lvert B(t)\rvert
$$
が存在する。$(***)$ より、
$$
\lvert x(t)\rvert\leq \lvert \xi\rvert+M_2(b-\tau)+M_1\int_{\tau}^{t}\lvert x(s)\rvert ds\quad(\forall t\in [\tau,b))
$$
であるから、Gronwallの不等式（'''命題1.4'''）より、
$$
\begin{aligned}
\lvert x(t)\rvert\leq (\lvert \xi\rvert+M_2(b-\tau))\exp(M_1(b-\tau))\quad(\forall t\in [\tau,b))
\end{aligned}
$$
が成り立つ。よって $x(t)\colon (a,b)\rightarrow\mathbb{R}^N$ は $[\tau,b)$ 上で有界である。ゆえに、
$$
\eta\colon=\xi+\int_{\tau}^{b}(A(s)x(s)+B(s))ds\in \mathbb{R}^N
$$
が存在する。そこで $\widetilde{x}(b)=\eta$とおいて$x(t):(a,b)\rightarrow \mathbb{R}^N$を$(a,b]$上に拡張したもの$\widetilde{x}(t):(a,b]\rightarrow \mathbb{R}^N$を考えれば、$\widetilde{x}$ は(**)の局所解となっている。しかし'''定理1.6'''より$x(t):(a,b)\rightarrow \mathbb{R}^N$ は(**)の任意の局所解の拡張であるので矛盾する。よって $b=\beta$ が成り立つ。全く同様の議論により $a=\alpha$ が成り立つことも示せる。
{{end|proof}}

===定理1.9（初期値とパラメータに関する解の連続性）===
$J\subset \mathbb{R}$ を開区間、$D\subset \mathbb{R}^N$ を開集合、$\Lambda\subset \mathbb{R}^M$ を開集合とし、
$$
f(t,x,\lambda)\colon J\times D\times \Lambda\ni (t,x,\lambda)\mapsto f(t,x,\lambda)\in \mathbb{R}^N
$$
を $x$ に関して局所Lpischitz連続な連続関数（'''定義1.2'''）とする。任意の $(\tau,\xi,\lambda)\in J\times D\times \Lambda$ に対し、常微分方程式の初期値問題
$$
\frac{dx}{dt}=f(t,x,\lambda),\quad x(\tau)=\xi
$$
の一意解を、
$$
x(\cdot,\tau,\xi,\lambda)\colon I_{\tau,\xi,\lambda}\ni t\mapsto x(t,\tau,\xi,\lambda)\in D
$$
と表す。また、
$$
\Omega\colon =\{(t,\tau,\xi,\lambda)\in J\times J\times D\times \Lambda: t\in I_{\tau,\xi,\lambda}\}
$$
とおく。このとき $\Omega$ は $J\times J\times D\times \Lambda$ の開集合であり、
$$
\Omega\ni (t,\tau,\xi,\lambda)\mapsto x(t,\tau,\xi,\lambda)\in D
$$
は連続である。
{{begin|proof}}
任意の $(t_0,\tau_0,\xi_0,\lambda_0)\in \Omega$ を取り固定する。そして、
$$
t_0,\tau_0\in (a,b)\subset [a,b]\subset I_{\tau_0,\xi_0,\lambda_0}
$$
を満たす有界閉区間 $I\colon=[a,b]$ を取り、
$$
x_0(t)\colon I=[a,b]\ni t\mapsto x(t,\tau_0,\xi_0,\lambda_0)\in D
$$
とおく。また任意の $\gamma\in (0,\infty)$ に対し $(\tau_0,\xi_0,\lambda_0)\in J\times \mathbb{R}^N\times \mathbb{R}^M$ の近傍
$$
U_{\gamma}\colon=\{(\tau,\xi,\lambda)\in J\times \mathbb{R}^N\times \mathbb{R}^M: \tau\in I,\lvert \xi-x_0(\tau)\rvert\leq \gamma, \lvert\lambda-\lambda_0\rvert\leq \gamma\}\quad\quad(*)
$$
を定義する。今、十分小さい $\gamma\in (0,\infty)$ を取れば、$U_{\gamma}\subset J\times D\times \Lambda$ となり、$f(t,x,\lambda)$ が $U_{\gamma}$ 上で $x$ に関してLipschitz連続（'''定義1.2'''）となることを示す。$f(t,x,\lambda)$ は $x$ に関して局所Lipschitz連続であることから、各 $\tau\in [a,b]$ に対し正実数 $\gamma_{\tau},L_{\tau}$ が存在し、
$$
[\tau-\gamma_{\tau},\tau+\gamma_{\tau}]\times \overline{B(x_0(\tau),\gamma_{\tau})}\times \overline{B(\lambda_0,\gamma_{\tau})}\subset J\times D\times \Lambda,
$$
$$
\lvert f(t,x,\lambda)-f(t,y,\lambda)\rvert\leq L_{\tau}\lvert x-y\rvert\quad(\forall (t,x,\lambda),(t,y,\lambda)\in [\tau-\gamma_{\tau},\tau+\gamma_{\tau}]\times \overline{B(x_0(\tau),\gamma_{\tau})}\times \overline{B(\lambda_0,\gamma_{\tau})})
$$
が成り立つ。
$$
G\colon=\{(\tau,x_0(\tau)):\tau\in I\}
$$
はコンパクトであるから、有限個の $\tau_1,\ldots,\tau_n\in I$ が取れて、
$$
G\subset \bigcup_{j=1}^{n}(\tau_j-\gamma_{\tau_j},\tau_j+\gamma_{\tau_j})\times B\left(x_0(\tau_j),\frac{\gamma_{\tau_j}}{2}\right)
$$
となる。よって、
$$
\gamma\colon={\rm min}\left(\frac{\gamma_{\tau_1}}{2},\ldots,\frac{\gamma_{\tau_n}}{2}\right),\quad
L\colon={\rm max}(L_{\tau_1},\ldots,L_{\tau_n})
$$
とおけば、
$$
U_{\gamma}\subset \bigcup_{j=1}^{n}[\tau_j-\gamma_{\tau_j},\tau_j+\gamma_{\tau_j}]\times \overline{B(x_0(\tau_j),\gamma_{\tau_j})}\times \overline{B(\lambda_0,\gamma_{\tau_j})}\subset J\times D\times \Lambda,\quad\quad(**)
$$
$$
\lvert f(t,x,\lambda)-f(t,y,\lambda)\rvert\leq L\lvert x-y\rvert\quad (\forall (t,x,\lambda),(t,y,\lambda)\in U_{\gamma})\quad\quad(***)
$$
が成り立つ。この正実数 $\gamma$ と $L$ を固定する。正実数 $\delta$ に対し、
$$
M_{\delta}\colon=\delta+\frac{1}{L}\sup_{t\in I,\lvert \lambda-\lambda_0\rvert\leq\delta}\lvert f(t,x_0(t),\lambda)-f(t,x_0(t),\lambda_0)\rvert\quad\quad(****)
$$
とおけば、コンパクト距離空間上の連続関数の一様連続性（[[距離空間の位相の基本的性質]]の'''定理7.3'''）より $\lim_{\delta\rightarrow0}M_{\delta}=0$ であるから、十分小さい正実数 $\delta$ を取れば、
$$
M_{\delta}e^{L(b-a)}\leq \gamma\quad\quad(*****)
$$
となる。この $\delta$ を固定する。このとき $\delta<\gamma$ であるから、$(*),(**)$ より、
$$
U_{\delta}\subset U_{\gamma}\subset J\times D\times \Lambda
$$
であり、$U_{\delta}$ は $(\tau_0,\xi_0,\lambda_0)\in J\times D\times \Lambda$ の近傍である。今、
$$
\begin{aligned}
&y_0(t,\tau,\xi,\lambda)\colon I\times U_{\delta}\rightarrow \overline{B(0,\gamma)},\\
&y_0(t,\tau,\xi,\lambda)\colon=\xi-x_0(\tau)
\end{aligned}
$$
とおき、
$$
\begin{aligned}
&y_1(t,\tau,\xi,\lambda)\colon I\times U_{\delta}\rightarrow\mathbb{R}^N,\\
&y_1(t,\tau,\xi,\lambda)\colon=\xi-x_0(\tau)+\int_{\tau}^{t}f(s,x_0(s)+y_0(s,\tau,\xi,\lambda),\lambda)-f(s,x_0(s),\lambda_0)ds
\end{aligned}
$$
とおく。Lebesgue優収束定理より $y_1$ は連続関数であり $(***),(****)$ より、
$$
\begin{aligned}
&\lvert y_1(t,\tau,\xi,\lambda)-y_0(t,\tau,\xi,\lambda)\rvert=\left\lvert \int_{\tau}^{t}f(s,x_0(s)+y_0(s,\tau,\xi,\lambda),\lambda)-f(s,x_0(s),\lambda_0)ds\right\rvert\\
&\leq \left\lvert \int_{\tau}^{t}f(s,x_0(s)+y_0(s,\tau,\xi,\lambda),\lambda)-f(s,x_0(s),\lambda)ds\right\rvert
+\left\lvert \int_{\tau}^{t}f(s,x_0(s),\lambda)-f(s,x_0(s),\lambda_0)ds\right\rvert\\
&\leq L\lvert t-\tau\rvert\left(\lvert \xi-x_0(\tau)\rvert+\frac{1}{L}\sup_{s\in I,\lvert\lambda-\lambda_0\rvert\leq\delta}\lvert f(s,x_0(s),\lambda)-f(s,x_0(s),\lambda_0)\right)\\
&\leq M_{\delta}L\lvert t-\tau\rvert\quad(\forall (t,\tau,\xi,\lambda)\in I\times U_{\delta})
\end{aligned}
$$
である。よって $(****), (*****)$ より、
$$
\begin{aligned}
\lvert y_1(t,\tau,\xi,\lambda)\rvert&\leq \lvert y_0(t,\tau,\xi,\lambda)\rvert+M_{\delta}L\lvert t-\tau\rvert
\leq M_{\delta}(1+L\lvert t-\tau\rvert)\leq M_{\delta}e^{L\lvert t-\tau\rvert}\\
&\leq M_{\delta}e^{L(b-a)}\leq \gamma\quad(\forall (t,\tau,\xi,\lambda)\in I\times U_{\delta})
\end{aligned}
$$
であるから、$y_1$ の値域は $\overline{B(0,\gamma)}$ に含まれる。そこで今、ある $n\in \mathbb{N}$ に対し連続関数 $y_0,y_1,\ldots,y_n\colon I\times U_{\delta}\rightarrow \overline{B(0,\gamma)}$ が定義されており、
$$
y_k(t,\tau,\xi,\lambda)=\xi-x_0(\tau)+\int_{\tau}^{t}f(s,x_0(s)+y_{k-1}(s,\tau,\xi,\lambda),\lambda)-f(s,x_0(s),\lambda_0)ds\quad(k=1,\ldots,n,\forall (t,\tau,\xi,\lambda)\in I\times U_{\delta}),
$$
$$
\lvert y_k(t,\tau,\xi,\lambda)-y_{k-1}(t,\tau,\xi,\lambda)\rvert\leq M_{\delta}\frac{(L\lvert t-\tau\rvert)^k}{k!}\quad(k=1,\ldots,n,\forall (t,\tau,\xi,\lambda)\in I\times U_{\delta})
$$
が成り立つとする。このとき $y_{n+1}(t,\tau,\xi,\lambda)\colon I\times U_{\delta}\rightarrow \mathbb{R}^N$ を、
$$
y_{n+1}(t,\tau,\xi,\lambda)\colon=\xi-x_0(\tau)+\int_{\tau}^{t}f(s,x_0(s)+y_n(s,\tau,\xi,\lambda),\lambda)-f(s,x_0(s),\lambda_0)ds
$$
とおけばLebesgue優収束定理より $y_{n+1}$ は連続関数である。そして $(***)$ より、
$$
\begin{aligned}
\lvert y_{n+1}(t,\tau,\xi,\lambda)-y_n(t,\tau,\xi,\lambda)\rvert&=\left\lvert \int_{\tau}^{t}f(s,x_0(s)+y_n(s,\tau,\xi,\lambda),\lambda)-f(s,x_0(s)+y_{n-1}(s,\tau,\xi,\lambda),\lambda)ds\right\rvert\\
&\leq L\left\lvert \int_{\tau}^{t}\lvert y_n(s,\tau,\xi,\lambda)-y_{n-1}(s,\tau,\xi,\lambda)\rvert ds\right\rvert
\leq L\left\lvert \int_{\tau}^{t}M_{\delta}\frac{(L\lvert t-\tau\rvert)^n}{n!}ds\right\rvert\\
&=M_{\delta}\frac{(L\lvert t-\tau\rvert)^{n+1}}{(n+1)!}\quad(\forall (t,\tau,\xi,\lambda)\in I\times U_{\delta})
\end{aligned}
$$
であり、$(*****)$ より、
$$
\begin{aligned}
\lvert y_{n+1}(t,\tau,\xi,\lambda)\rvert&\leq \sum_{k=1}^{n+1}\lvert y_k(t,\tau,\xi,\lambda)-y_{k-1}(t,\tau,\xi,\lambda)\rvert+\lvert y_0(t,\tau,\xi,\lambda)\rvert\\
&\leq M_{\delta}\sum_{k=1}^{n+1}\frac{(L\lvert t-\tau\rvert)^k}{k!}+\delta\leq M_{\delta}e^{L\lvert t-\tau\rvert}\\
&\leq M_{\delta}e^{L(b-a)}\leq \gamma\quad(\forall (t,\tau,\xi,\lambda)\in I\times U_{\delta})
\end{aligned}
$$
であるから、$y_{n+1}$ の値域は $\overline{B(0,\gamma)}$ に含まれる。よって帰納法より $I\times U_{\delta}\rightarrow \overline{B(0,\gamma)}$ の連続関数の列 $(y_n)_{n\in\mathbb{Z}_+}$ で、
$$
\begin{aligned}
&y_n(t,\tau,\xi,\lambda)=\xi-x_0(\tau)+\int_{\tau}^{t}f(s,x_0(s)+y_{n-1}(s,\tau,\xi,\lambda),\lambda)-f(s,x_0(s),\lambda_0)ds,\\
&\lvert y_n(t,\tau,\xi,\lambda)-y_{n-1}(t,\tau,\xi,\lambda)\rvert\leq M_{\delta}\frac{(L\lvert t-\tau\rvert)^n}{n!}\quad(\forall n\in\mathbb{N},\forall (t,\tau,\xi,\lambda)\in I\times U_{\delta})
\end{aligned}
$$
を満たすものが定義できる。
$$
\lVert y_n-y_{n-1}\rVert=\sup_{(t,\tau,\xi,\lambda)\in I\times U_{\delta}}\lvert y_{n}(t,\tau,\xi,\lambda)-y_{n-1}(t,\tau,\xi,\lambda)\rvert\leq M_{\delta}\frac{(L(b-a))^n}{n!}\quad(\forall n\in\mathbb{N})
$$
より、
$$
\sum_{n\in\mathbb{N}}\lVert y_n-y_{n-1}\rVert\leq \sum_{n\in\mathbb{N}}M_{\delta}\frac{(L(b-a))^n}{n!}\leq M_{\delta}e^{L(b-a)}<\infty
$$
であるから $(y_n)_{n\in\mathbb{N}}$ は一様Cauchy条件を満たす。ゆえに $(y_n)_{n\in\mathbb{Z}_+}$ はある連続関数 $y(t,\tau,\xi,\lambda)\colon I\times U_{\delta}\rightarrow \overline{B(0,\gamma)}$ に一様収束する。$(***)$ より、
$$
\begin{aligned}
\sup_{(t,\tau,\xi,\lambda)\in I\times U_{\delta}}&\lvert f(t,x_0(t)+y(t,\tau,\xi,\lambda),\lambda)-f(t,x_0(t)+y_n(t,\tau,\xi,\lambda),\lambda)\rvert\\
&\leq L\sup_{(t,\tau,\xi,\lambda)\in I\times U_{\delta}}\lvert y(t,\tau,\xi,\lambda)-y_n(t,\tau,\xi,\lambda)\rvert\rightarrow0\quad(n\rightarrow\infty)
\end{aligned}
$$
であるから、
$$
y_n(t,\tau,\xi,\lambda)=\xi-x_0(\tau)+\int_{\tau}^{t}f(s,x_0(s)+y_{n-1}(s,\tau,\xi,\lambda),\lambda)-f(s,x_0(s),\lambda_0)ds\quad(\forall (t,\tau,\xi,\lambda)\in I\times U_{\delta})
$$
の両辺について $n\rightarrow\infty$ とすれば、
$$
y(t,\tau,\xi,\lambda)=\xi-x_0(\tau)+\int_{\tau}^{t}f(s,x_0(s)+y(s,\tau,\xi,\lambda),\lambda)-f(s,x_0(s),\lambda_0)ds\quad(\forall (t,\tau,\xi,\lambda)\in I\times U_{\delta})\quad\quad(******)
$$
を得る。ここで微積分学の基本定理より、
$$
x_0(t)=x_0(\tau)+\int_{\tau}^{t}f(s,x_0(s),\lambda_0)ds
$$
であるから $(******)$ は、
$$
x_0(t)+y(t,\tau,\xi,\lambda)=\xi+\int_{\tau}^{t}f(s,x_0(s)+y(s,\tau,\xi,\lambda),\lambda)ds\quad(\forall (t,\tau,\xi,\lambda)\in I\times U_{\delta})
$$
となる。よって $(\tau,\xi,\lambda)\in U_{\delta}$ に対し、
$$
I\ni t\mapsto x_0(t)+y(t,\tau,\xi,\lambda)\in D
$$
は常微分方程式の初期値問題
$$
\frac{dx}{dt}=f(t,x,\lambda),\quad x(\tau)=\xi
$$
の局所解である。ゆえに $I\times U_{\delta}\subset \Omega$ であり、
$$
x(t,\tau,\xi,\lambda)=x_0(t)+y(t,\tau,\xi,\lambda)\quad(\forall (t,\tau,\xi,\lambda)\in I\times U_{\delta})
$$
である。$I\times U_{\delta}\subset \Omega$ は $(t_0,\tau_0,\xi_0,\lambda_0)$ の $J\times J\times D\times \Lambda$ における近傍であり、
$$
I\times U_{\delta}\ni (t,\tau,\xi,\lambda)\mapsto x(t,\tau,\xi,\lambda)=x_0(t)+y(t,\tau,\xi,\lambda)\in D
$$
は連続であるから、$(t_0,\tau_0,\xi_0,\lambda_0)\in \Omega$ の任意性より、$\Omega$ は開集合であり、$\Omega\ni (t,\tau,\xi,\lambda)\mapsto x(t,\tau,\xi,\lambda)\in D$ は連続関数である。
{{end|proof}}

===定理1.10（初期値に関する解の微分可能性）===
$J\subset \mathbb{R}$ を開区間、$D\subset \mathbb{R}^N$ を開集合、$f(t,x)\colon J\times D\ni (t,x)\mapsto f(t,x)\in \mathbb{R}^N$ を連続関数で、$x$ に関して $1$ 階の偏導関数
$$
\frac{\partial f}{\partial x}(t,x)\colon J\times D\ni (t,x)\mapsto \left(\frac{\partial f}{\partial x_1}(t,x),\ldots,\frac{\partial f}{\partial x_N}(t,x)\right)\in \mathbb{M}_{N\times N}(\mathbb{R})
$$
を持ち、これが連続であるとする。（したがって'''命題1.3'''より $f(t,x)$ は $x$ に関して局所Lipschitz連続である。）任意の $(\tau,\xi)\in J\times D$ に対し常微分方程式の初期値問題
$$
\frac{dx}{dt}=f(t,x),\quad x(\tau)=\xi
$$
の一意解を、
$$
x(\cdot,\tau,\xi)\colon I_{\tau,\xi}\ni t\mapsto x(t,\tau,\xi)\in D
$$
とおき、
$$
\Omega\colon=\{(t,\tau,\xi)\in J\times J\times D: t\in I_{\tau,\xi}\}
$$
とおく。このとき $\Omega$ は開集合であり、
$$
\Omega\ni (t,\tau,\xi)\mapsto x(t,\tau,\xi)\in D\quad\quad(*)
$$
は $\xi$ に関して $1$ 階の偏導関数
$$
\frac{\partial x}{\partial \xi}(t,\tau,\xi)\colon \Omega\ni (t,\tau,\xi)\mapsto \left(\frac{\partial x}{\partial \xi_1}(t,\tau,\xi),\ldots,\frac{\partial x}{\partial \xi_N}(t,\tau,\xi)\right)\in \mathbb{M}_{N\times N}(\mathbb{R})\quad\quad(**)
$$
を持ち、$(**)$ は $t$ に関する偏導関数
$$
\frac{\partial }{\partial t}\frac{\partial x}{\partial \xi}(t,\tau,\xi)\colon \Omega\ni (t,\tau,\xi)\mapsto \left(\frac{\partial}{\partial t}\frac{\partial x}{\partial \xi_1}(t,\tau,\xi),\ldots,\frac{\partial}{\partial t}\frac{\partial x}{\partial \xi_N}(t,\tau,\xi)\right)\in \mathbb{M}_{N\times N}(\mathbb{R})\quad\quad(***)
$$
を持つ。そして $(*),(**),(***)$ はそれぞれ連続である。さらに、
$$
\frac{\partial}{\partial t}\frac{\partial x}{\partial \xi}(t,\tau,\xi)=\frac{\partial f}{\partial x}(t,x(t,\tau,\xi))\frac{\partial x}{\partial \xi}(t,\tau,\xi)\quad(\forall (t,\tau,\xi)\in \Omega)\quad\quad(****)
$$
が成り立つ。
{{begin|proof}}
'''定理1.9'''より $\Omega$ は開集合であり、$(*)$ は連続である。任意の $(t_0,\tau_0,\xi_0)\in \Omega$ を取り固定し、
$$
t_0,\tau_0\in (a,b)\subset [a,b]\subset I_{\tau_0,\xi_0}
$$
を満たす有界閉区間 $I\colon=[a,b]$ を取る。
$$
\{(t,x(t,\tau_0,\xi_0)):t\in I\}
$$
は開集合 $J\times D$ に含まれるコンパクト集合であるから、[[超関数の定義と基本操作]]の'''命題2.2'''の $(4)$ より十分小さい $\gamma\in (0,\infty)$ を取れば、
$$
U_{\gamma}\colon=\{(t,\xi)\in J\times \mathbb{R}^N:t\in I,\lvert \xi-x(t,\tau_0,\xi_0)\rvert\leq \gamma\}\subset J\times D
$$
となる。また、
$$
I\times \{\tau_0\}\times \{\xi_0\}
$$
は開集合 $\Omega$ に含まれるコンパクト集合であるから、[[超関数の定義と基本操作]]の'''命題2.2'''の $(4)$ より十分小さい $\delta\in (0,\infty)$ を取れば、
$$
I\times (\tau_0-\delta,\tau_0+\delta)\times B(\xi_0,2\delta)\subset \Omega
$$
となる。そして $(*)$ の連続性とコンパクト距離空間上の連続関数の一様連続性（[[距離空間の位相の基本的性質]]の'''定理7.3'''）より $\delta\in (0,\infty)$ を十分小さく取っておけば、
$$
\lvert x(t,\tau,\xi)-x(t,\tau_0,\xi_0)\rvert\leq \gamma\quad(\forall (t,\tau,\xi)\in I\times (\tau_0-\delta,\tau_0+\delta)\times B(\xi_0,2\delta))
$$
となる。よってこのような $\delta$ に対し、
$$
(t,x(t,\tau,\xi))\in U_{\gamma}\subset J\times D\quad(\forall (t,\tau,\xi)\in I\times (\tau_0-\delta,\tau_0+\delta)\times B(\xi_0,2\delta))
$$
が成り立つ。今、$(e_1,\ldots,e_N)$ を $\mathbb{R}^N$ の標準基底とし、各 $j\in \{1,\ldots,N\}$ に対し、
$$
\varphi_j(t,\tau,\xi,h)=\frac{1}{h}(x(t,\tau,\xi+he_j)-x(t,\tau,\xi))
$$
として、
$$
\varphi_j(t,\tau,\xi,h)\colon (a,b)\times (\tau_0-\delta,\tau_0+\delta)\times B(\xi_0,\delta)\times (-\delta,\delta)\backslash \{0\}\rightarrow \mathbb{R}^N
$$
を定義する。このとき、
$$
\varphi_j(\tau,\tau,\xi,h)=e_j\quad(\forall (\tau,\xi,h)\in (\tau_0-\delta,\tau_0+\delta)\times B(\xi_0,\delta)\times (-\delta,\delta)\backslash \{0\})
$$
である。そして任意の $(t,\tau,\xi,h)\in (a,b)\times (\tau_0-\delta,\tau_0+\delta)\times B(\xi_0,\delta)\times (-\delta,\delta)\backslash \{0\}$ に対し、
$$
(t,x(t,\tau,\xi)+\theta(x(t,\tau,\xi+he_j)-x(t,\tau,\xi)))\in U_{\gamma}\subset J\times D\quad(\forall \theta\in [0,1])
$$
であることに注意して、微積分学の基本定理より、
$$
\begin{aligned}
&\frac{\partial\varphi_j}{\partial t}(t,\tau,\xi,h)=\frac{1}{h}(f(t,x(t,\tau,\xi+he_j))-f(t,x(t,\tau,\xi)))\\
&=\left(\int_{0}^{1}\frac{\partial f}{\partial x}(t,x(t,\tau,\xi)+\theta(x(t,\tau,\xi+he_j)-x(t,\tau,\xi)))d\theta\right)\varphi_j(t,\tau,\xi,h)
\end{aligned}
$$
となる。よって、
$$
A(t,\tau,\xi,h)=\int_{0}^{1}\frac{\partial f}{\partial x}(t,x(t,\tau,\xi)+\theta(x(t,\tau,\xi+he_j)-x(t,\tau,\xi)))d\theta
$$
として連続関数
$$
A(t,\tau,\xi,h)\colon (a,b)\times (\tau_0-\delta,\tau_0+\delta)\times B(\xi_0,\delta)\times (-\delta,\delta)\rightarrow \mathbb{M}_{N\times N}(\mathbb{R})
$$
を定義すると、任意の $(t,\tau,\xi,h)\in (a,b)\times (\tau_0-\delta,\tau_0+\delta)\times B(\xi_0,\delta)\times (-\delta,\delta)\backslash \{0\}$ に対し、
$$
\frac{\partial\varphi_j}{\partial t}(t,\tau,\xi,h)=A(t,\tau,\xi,h)\varphi_j(t,\tau,\xi,h)
$$
が成り立つ。そこで $(\tau,\xi,h)\in (\tau_0-\delta,\tau_0+\delta)\times B(\xi_0,\delta)\times (-\delta,\delta)$ をパラメータとする線形常微分方程式の初期値問題
$$
\frac{dy_j}{dt}=A(t,\tau,\xi,h)y_j,\quad y_j(\tau)=e_j
$$
の一意解を $y_j(\cdot,\tau,\xi,h)$ とおくと、'''命題1.8'''より $y_j(\cdot,\tau,\xi,h)$ は $(a,b)$ 上で定義され、解の一意性より、
$$
y_j(t,\tau,\xi,h)=\varphi_j(t,\tau,\xi,h)\quad(\forall (t,\tau,\xi,h)\in (a,b)\times (\tau_0-\delta,\tau_0+\delta)\times B(\xi_0,\delta)\times (-\delta,\delta)\backslash \{0\})
$$
である。そして'''定理1.9'''より、
$$
y_j(t,\tau,\xi,h)\colon (a,b)\times (\tau_0-\delta,\tau_0+\delta)\times B(\xi_0,\delta)\times (-\delta,\delta)\rightarrow \mathbb{R}^N
$$
は連続関数であるから、
$$
y_j(t,\tau,\xi,0)=\lim_{h\rightarrow0}\varphi_j(t,\tau,\xi,h)=\frac{\partial x}{\partial \xi_j}(t,\tau,\xi)\quad(\forall (t,\tau,\xi)\in (a,b)\times (\tau_0-\delta,\tau_0+\delta)\times B(\xi_0,\delta))
$$
である。よって $(t_0,\tau_0,\xi_0)$ の開近傍 $(a,b)\times (\tau_0-\delta,\tau_0+\delta)\times B(\xi_0,\delta)\subset \Omega$ 上で、
$$
\frac{\partial x}{\partial \xi_j}(t,\tau,\xi)\colon (a,b)\times (\tau_0-\delta,\tau_0+\delta)\times B(\xi_0,\delta)\rightarrow\mathbb{R}^N
$$
が定義でき、これは連続である。そして任意の $(t,\tau,\xi)\in (a,b)\times (\tau_0-\delta,\tau_0+\delta)\times B(\xi_0,\delta)$ に対し、
$$
\frac{\partial y_j}{\partial t}(t,\tau,\xi,0)=A(t,\tau,\xi,0)y_j(t,\tau,\xi,0)=\frac{\partial f}{\partial x}(t,x(t,\tau,\xi))y_j(t,\tau,\xi,0)
$$
であるから、
$$
\frac{\partial }{\partial t}\frac{\partial x}{\partial \xi_j}(t,\tau,\xi)=\frac{\partial f}{\partial x}(t,x(t,\tau,\xi))\frac{\partial x}{\partial \xi_j}(t,\tau,\xi)
$$
が成り立つ。よって $(**),(***)$ は連続関数であり、$(****)$ が成り立つ。
{{end|proof}}

===定理1.11（初期値に対する解の滑らかさ）===
$J\subset \mathbb{R}$ を開区間、$D\subset \mathbb{R}^N$ を開集合、$k\in \mathbb{N}$ とする。そして連続関数
$$
f(t,x)\colon J\times D\ni (t,x)\mapsto f(t,x)\in \mathbb{R}^N
$$
が $x$ に関して $k$ 階までの偏導関数を持ち、それらが全て連続であるとする。（特に'''命題1.3'''より $f(t,x)$ は $x$ に関して局所Lipschitz連続である。）任意の $(\tau,\xi)\in J\times D$ に対し常微分方程式の初期値問題
$$
\frac{dx}{dt}=f(t,x),\quad x(\tau)=\xi
$$
の一意解を、
$$
x(\cdot,\tau,\xi)\colon I_{\tau,\xi}\ni t\mapsto x(t,\tau,\xi)\in D
$$
とおき、
$$
\Omega\colon=\{(t,\tau,\xi)\in J\times J\times D: t\in I_{\tau,\xi}\}
$$
とおく。このとき $\Omega$ は開集合であり、
$$
\Omega\ni (t,\tau,\xi)\mapsto x(t,\tau,\xi)\in D
$$
は $\xi$ に関して $k$ 階までの偏導関数を持ち、それらは全て $\Omega$ 上で連続である。
{{begin|proof}}
$k\in \mathbb{N}$ に関する帰納法で示す。$k=1$ の場合は'''定理1.10'''より成り立つ。$k-1\in \mathbb{N}$ に対して成り立つと仮定して $k$ の場合も成り立つことを示す。
$$
F(t,z)=F(t,x,y_1,\ldots,y_N)\colon J\times D\times (\mathbb{R}^N)^N\rightarrow \mathbb{R}^N\times (\mathbb{R}^N)^N,
$$
を、
$$
F(t,z)=F(t,x,y_1,\ldots,y_N)=\left(f(t,x), \frac{\partial f}{\partial x}(t,x)y_1,\ldots,\frac{\partial f}{\partial x_N}(t,x)y_N\right)
$$
と定義すると、$F$ は $z=(x,y_1,\ldots,y_N)$ に関して $k-1$ 階までの偏導関数を持ち、それらは全て連続である。そして'''定理1.10'''より任意の $(\tau,\xi)\in J\times D$ に対し、常微分方程式の初期値問題
$$
\frac{dz}{dt}=F(t,z),\quad z(\tau)=(\xi,e_1,\ldots,e_N)
$$
の一意解は、
$$
I_{\tau,\xi}\ni t\mapsto \left(x(t,\tau,\xi),\frac{\partial x}{\partial \xi_1}(t,\tau,\xi),\ldots,\frac{\partial x}{\partial \xi_N}(t,\tau,\xi)\right)\in \mathbb{R}^N\times (\mathbb{R}^N)^N
$$
である。よって帰納法の仮定より、
$$
\Omega\ni (t,\tau,\xi)\mapsto \left(x(t,\tau,\xi),\frac{\partial x}{\partial \xi_1}(t,\tau,\xi),\ldots,\frac{\partial x}{\partial \xi_N}(t,\tau,\xi)\right)\in \mathbb{R}^N\times (\mathbb{R}^N)^N
$$
は $\xi$ に関して $k-1$ 階までの偏導関数を持ち、それらは全て $\Omega$ 上で連続である。ゆえに、
$$
\Omega\ni (t,\tau,\xi)\mapsto x(t,\tau,\xi)\in D
$$
は $\xi$ に関して $k$ 階までの偏導関数を持ち、それらは全て $\Omega$ 上で連続である。
{{end|proof}}

===定理1.12（線形常微分方程式の解空間）===
$J\subset \mathbb{R}$ を開区間、$A(t)\colon J\ni t\mapsto \mathbb{M}_{N\times N}(\mathbb{R})$ を連続関数とする。このとき、
$$
\left\{x\in C^1(J,\mathbb{R}^N):\frac{d}{dt}x(t)=A(t)x(t)\right\}\quad\quad(*)
$$
は各点ごとの演算で $\mathbb{R}$ 上の $N$ 次元線形空間である。そして任意の $\tau\in J$ と任意の $j\in \{1,\ldots,N\}$ に対し、常微分方程式の初期値問題
$$
\frac{dx}{dt}=A(t)x,\quad x(\tau)=e_j
$$
の一意解を、
$$
\varphi_j(\cdot,\tau)\colon J\ni t\mapsto \varphi_j(t,\tau)\in \mathbb{R}^N
$$
とおけば、$\varphi_1(\cdot,\tau),\ldots,\varphi_N(\cdot,\tau)$ は $(*)$ の基底である。また$(*)$の任意の有限個の元 $x_1,\ldots,x_M$ と任意の $\tau\in J$ に対し、$x_1,\ldots,x_M$ が線形独立であることと $x_1(\tau),\ldots,x_M(\tau)\in \mathbb{R}^N$ が線形独立であることは同値である。
{{begin|proof}}
$(*)$ が各点ごとの演算で $\mathbb{R}$ 上の線形空間であることは自明である。任意の $\xi=(\xi_1,\ldots,\xi_N)\in \mathbb{R}^N$ に対し、
$$
J\ni t\mapsto \sum_{j=1}^{N}\xi_j\varphi_j(t,\tau)\in \mathbb{R}^N
$$
は常微分方程式の初期値問題
$$
\frac{dx}{dt}=A(t)x,\quad x(\tau)=\xi
$$
の一意解である。よって $(*)$ の任意の元は $\varphi_1(\cdot,\tau),\ldots,\varphi_N(\cdot,\tau)$ の線形結合で表せる。また $\xi=(\xi_1,\ldots,\xi_N)\in \mathbb{R}^N$ が、
$$
\sum_{j=1}^{N}\xi_j\varphi_j(\cdot,\tau)=0
$$
を満たすならば、特に $\xi=\sum_{j=1}^{N}\xi_j\varphi_j(\tau,\tau)=0$ であるから $\varphi_1(\cdot,\tau),\ldots,\varphi_N(\cdot,\tau)$ は線形独立である。よって $\varphi_1(\cdot,\tau),\ldots,\varphi_N(\cdot,\tau)$ は $(*)$ の基底である。 
$(*)$の任意の有限個の元 $x_1,\ldots,x_M$ と任意の $\tau\in \mathbb{R}$ を取る。$\xi_1,\ldots,\xi_M\in \mathbb{R}$ に対し、常微分方程式の初期値問題の解の一意性より、
$$
\sum_{j=1}^{M}\xi_jx_j(\tau)=0\quad \Leftrightarrow\quad \sum_{j=1}^{M}\xi_jx_j(t)=0\quad(\forall t\in J)
$$
であるから、$x_1,\ldots,x_M$ が線形独立であることは $x_1(\tau),\ldots,x_M(\tau)\in \mathbb{R}^N$ が線形独立であることと同値である。
{{end|proof}}

===定理1.13（$N$ 階線形常微分方程式）===
$N\in \mathbb{N}$、$J\subset \mathbb{R}$ を開区間、$a_0(t),a_1(t),\ldots,a_{N-1}(t)\colon J\rightarrow\mathbb{R}$ をそれぞれ連続関数とし、
$$
V\colon =\left\{x(t)\in C^N(J,\mathbb{R}):\sum_{k=0}^{N-1}a_k(t)x^{(k)}(t)+x^{(N)}(t)=0\right\}
$$
（ただし $x^{(k)}(t)=\frac{d^kx}{dt^k}(t)$, $x^{(0)}(t)=x(t)$ ）とおく。このとき $V$ は各点ごとの演算で $\mathbb{R}$ 上の線形空間であり、任意の $\tau\in J$、任意の $\xi=(\xi_0,\xi_1,\ldots,\xi_{N-1})\in \mathbb{R}^N$ に対し $x(t)\in V$ で、
$$
(x^{(0)}(\tau),x^{(1)}(\tau),\ldots,x^{(N-1)}(\tau))=(\xi_0,\xi_1,\ldots,\xi_{N-1})
$$
を満たすものが唯一つ存在する。そして任意の有限個の $x_1(t),\ldots,x_N(t)\in V$ と任意の $\tau\in J$ に対し、$x_1(t),\ldots,x_M(t)\in V$ が線形独立であるための必要十分条件は、$\mathbb{R}^N$ の $M$ 本のベクトル
$$
(x_j^{(0)}(\tau),x_j^{(1)}(\tau,),\ldots,x_j^{(N-1)}(\tau))\in\mathbb{R}^N\quad(j=1,\ldots,M)\quad\quad(*)
$$
が線形独立であることである。
{{begin|proof}}
$V$ が各点ごとの演算で $\mathbb{R}$ 上の線形空間であることは自明である。
$$
A(t)\colon=\begin{pmatrix}0&1&0&\cdots &0\\0&0&1&\cdots &0\\\vdots&\vdots&\ddots&\ddots&\vdots\\0&0&0&\cdots&1\\-a_0(t)&-a_1(t)&-a_2(t)&\cdots& -a_{N-1}(t)\end{pmatrix}\in \mathbb{M}_{N\times N}(\mathbb{R})\quad(\forall t\in J)
$$
とおけば $A(t)\colon J\rightarrow \mathbb{M}_{N\times N}(\mathbb{R})$ は連続関数である。そこで $\mathbb{R}$ 上の $N$ 次元線形空間（'''定理1.12'''）
$$
W\colon=\left\{y(t)\in C^1(J,\mathbb{R}^N):\frac{dy}{dt}(t)=A(t)y(t)\quad(\forall t\in J)\right\}
$$
を考える。任意の $y(t)=(y_0(t),y_1(t),\ldots,y_{N-1}(t))\in W$ に対し、$x(t)\colon=y_0(t)\colon J\rightarrow\mathbb{R}$ とおけば、
$$
x^{(1)}(t)=\frac{dy_0}{dt}(t)=y_1(t),\ldots,x^{(N-1)}(t)=\frac{dy_{N-2}}{dt}(t)=y_{N-1}(t)\quad(\forall t\in J)
$$
であり、
$$
x^{(N)}(t)=\frac{dy_{N-1}}{dt}(t)=-\sum_{k=0}^{N-1}a_k(t)y_k(t)=-\sum_{k=0}^{N-1}a_k(t)x^{(k)}(t)
\quad(\forall t\in J)
$$
であるから $x(t)\in V$ である。逆に任意の $x(t)\in V$ に対し、
$$
y(t)=(y_0(t),y_1(t),\ldots,y_{N-1}(t))=(x^{(0)}(t),x^{(1)}(t),\ldots,x^{(N-1)}(t))\quad(\forall t\in J)
$$
とおけば $y(t)\in W$ である。よって線形写像
$$
W\ni (y_0(t),y_1(t),\ldots,y_{N-1}(t))\mapsto y_0(t)\in V
$$
と線形写像
$$
V\ni x(t)\mapsto (x^{(0)}(t),x^{(1)}(t),\ldots,x^{(N-1)}(t))\in W
$$
が定義でき、これらは互いに逆写像である。ゆえに $V$ と $W$ は線形同型なので $V$ は $N$ 次元である。任意の $\tau\in J$ と任意の $\xi=(\xi_0,\xi_1,\ldots,\xi_{N-1})\in \mathbb{R}^N$ に対し、常微分方程式の初期値問題の解の存在と一意性より、 $y(t)\in W$ で $y(\tau)=\xi$ を満たすものが唯一つ存在するので、上で述べたことから、任意の $\tau\in J$ と任意の $\xi=(\xi_0,\xi_1,\ldots,\xi_{N-1})\in \mathbb{R}^N$ に対し $x(t)\in V$ で、
$$
(x^{(0)}(\tau),x^{(1)}(\tau),\ldots,x^{(N-1)}(\tau))=(\xi_0,\xi_1,\ldots,\xi_{N-1})
$$
を満たすものが唯一つ存在する。また任意の有限個の $y_1(t),\ldots,y_M(t)\in W$ と $\tau\in J$ に対し $y_1(t),\ldots,y_M(t)\in W$ が線形独立であることは、$y_1(\tau),\ldots,y_N(\tau)\in \mathbb{R}^N$ が線形独立であることと同値である。よって任意の有限個の $x_1(t),\ldots,x_M(t)\in V$　と $\tau\in J$ に対し、$x_1(t),\ldots,x_M(t)\in V$ が線形独立であることは、$(*)$ が線形独立であることと同値である。
{{end|proof}}

===定理1.14（非斉次線形常微分方程式の解）===
$J\subset \mathbb{R}$ を開区間、$A(t)\colon J\rightarrow \mathbb{M}_{N\times N}(\mathbb{R})$, $b(t)\colon J\rightarrow \mathbb{R}^N$ を連続関数とする。任意の $\tau\in J$, $j\in \{1,\ldots,N\}$ に対し、常微分方程式の初期値問題
$$
\frac{dx}{dt}=A(t)x,\quad x(\tau)=e_j
$$
の一意解を $\varphi_j(\cdot,\tau)\colon J\ni t\mapsto \varphi_j(t,\tau)\in \mathbb{R}^N$ とおき、行列の列ベクトル表記により、
$$
\Phi(t,\tau)\colon=(\varphi_1(t,\tau),\cdots,\varphi_N(t,\tau))\in \mathbb{M}_{N\times N}(\mathbb{R})\quad(\forall t\in J)
$$
とおく。このとき任意の $(\tau,\xi)\in J\times \mathbb{R}^N$ に対し、常微分方程式の初期値問題
$$
\frac{dx}{dt}=A(t)x+b(t),\quad x(\tau)=\xi\quad\quad(*)
$$
の一意解 $x(t)\colon J\rightarrow \mathbb{R}^N$ は、
$$
x(t)=\Phi(t,\tau)\xi+\int_{\tau}^{t}\Phi(t,s)b(s)ds\quad(\forall t\in J)
$$
である。
{{begin|proof}}
初期値に関する解の連続性（'''定理1.9'''）より、
$$
J\times J\ni (t,\tau)\mapsto \Phi(t,\tau)=(\varphi_1(t,\tau),\ldots,\varphi_N(t,\tau))\in \mathbb{M}_{N\times N}(\mathbb{R})
$$
は連続である。また、
$$
\frac{\partial}{\partial t}\Phi(t,\tau)=A(t)\Phi(t,\tau)\quad(\forall (t,\tau)\in J\times J),
$$
$$
\Phi(\tau,\tau)=(e_1,\ldots,e_N)=1\in \mathbb{M}_{N\times N}(\mathbb{R})
$$
である。よって任意の $\tau\in J$ を取り固定し、
$$
x_0(t)\colon=\int_{\tau}^{t}\Phi(t,s)b(s)ds\quad(\forall t\in J)
$$
とおくと、Lebesgue優収束定理より任意の $t\in J$ に対し、
$$
\begin{aligned}
\frac{x_0(t+h)-x_0(t)}{h}&=\int_{\tau}^{t+h}\frac{\Phi(t+h,s)b(s)-\Phi(t,s)b(s)}{h}ds+\frac{1}{h}\int_{t}^{t+h}\Phi(t,s)b(s)ds\\
&\rightarrow\int_{\tau}^{t}A(t)\Phi(t,s)b(s)ds+\Phi(t,t)b(t)=A(t)x_0(t)+b(t)\quad(h\rightarrow0)
\end{aligned}
$$
となるので、
$$
\frac{d}{dt}x_0(t)=A(t)x_0(t)+b(t)\quad(\forall t\in J)
$$
が成り立つ。そこで任意の $\xi\in \mathbb{R}^N$ に対し、
$$
x(t)\colon=\Phi(t,\tau)\xi+x_0(t)\quad(\forall t\in J)\quad\quad(**)
$$
とおけば、
$$
x(\tau)=\Phi(\tau,\tau)\xi+x_0(\tau)=\xi
$$
であり、
$$
\frac{d}{dt}x(t)=A(t)\Phi(t,\tau)\xi+A(t)x_0(t)+b(t)=A(t)x(t)+b(t)\quad(\forall t\in J)
$$
である。ゆえに $(**)$ は $(*)$ の一意解である。
{{end|proof}}

=== 定理1.15 (非斉次線型常微分方程式の定数変化法) ===
$N\in \mathbb{N}$、$J\subset \mathbb{R}$を開区間、$a_0(t),a_1(t),\ldots,a_{N-1}(t),b(t):J\rightarrow\mathbb{R}$をそれぞれ連続関数とし、
$$
\left\{x(t)\in C^N(J,\mathbb{R}):\sum_{k=0}^{N-1}a_k(t)x^{(k)}(t)+x^{(N)}(t)=0\right\}
$$
の基底 $x_1(t),\ldots,x_N(t)\in C^N(J,\mathbb{R})$を取る（'''定理1.13'''を参照）。そして$W(t):J\rightarrow \mathbb{M}_{N\times N}(\mathbb{R})$ を、
$$
W(t):=\begin{pmatrix}x_1(t)&x_2(t)&\cdots&x_N(t)\\
x_1^{(1)}(t)&x_2^{(1)}(t)&\cdots &x_N^{(1)}(t)\\
\vdots&\vdots&\vdots&\vdots\\
x_1^{(N-1)}(t)&x_2^{(N-1)}(t)&\cdots &x_N^{(N-1)}(t)\end{pmatrix}
$$
とおき（'''定理1.13'''より$W(t)$は各点で可逆であることに注意）、
$$
\begin{pmatrix}\xi_1(t)\\\xi_2(t)\\\vdots\\\xi_N(t)\end{pmatrix}=\int W(t)^{-1}\begin{pmatrix}0\\\vdots\\0\\b(t)\end{pmatrix}dt
$$
とおく. このとき非斉次線型常微分方程式
$$
\sum_{k=0}^{N-1}a_k(t)x^{(k)}(t)+x^{(N)}(t)=b(t)\quad\quad(*)
$$
の解として、
$$
y_0(t)=\sum_{k=1}^{N}\xi_k(t)x_k(t)
$$
が取れる。また $(*)$ の任意の解は、定数$\zeta_1,\ldots,\zeta_N\in \mathbb{R}$に対し、
$$
x(t)=\sum_{k=1}^{N}\zeta_kx_k(t)+y_0(t)
$$
と表せる。
{{begin|proof}}
$$
A(t)=
\begin{pmatrix}0&1&0&\cdots &0\\0&0&1&\cdots&0\\\vdots&\vdots&\ddots&\ddots&\vdots\\0&0&0&\cdots&1\\-a_0(t)&-a_1(t)&-a_2(t)&\cdots &-a_{N-1}(t)\end{pmatrix}\in \mathbb{M}_{N\times N}(\mathbb{R})\quad(\forall t\in J)
$$
とおけば、
$$
\begin{aligned}
&\frac{d}{dt}\left(W(t)\begin{pmatrix}\xi_1(t)\\\xi_2(t)\\\vdots\\\xi_N(t)\end{pmatrix}\right)
=W'(t)\begin{pmatrix}\xi_1(t)\\\xi_2(t)\\\vdots\\\xi_N(t)\end{pmatrix}+W(t)\begin{pmatrix}\xi_1'(t)\\\xi_2'(t)\\\vdots\\\xi_N'(t)\end{pmatrix}\\
&=A(t)W(t)\begin{pmatrix}\xi_1(t)\\\xi_2(t)\\\vdots\\\xi_N(t)\end{pmatrix}+W(t)W(t)^{-1}\begin{pmatrix}0\\\vdots\\0\\b(t)\end{pmatrix}
=A(t)W(t)\begin{pmatrix}\xi_1(t)\\\xi_2(t)\\\vdots\\\xi_N(t)\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}0\\\vdots\\0\\b(t)\end{pmatrix}
\end{aligned}
$$
となる。これは、
$$
y_0(t)=\sum_{k=1}^{N}\xi_k(t)x_k(t)
$$
が $(*)$ を満たすことを意味する。$y(t)\in C^N(J,\mathbb{R})$ を $(*)$ の任意の解とすると, $y(t)-y_0(t)$は斉次線型常微分方程式
$$
\sum_{k=0}^{N-1}a_k(t)x^{(k)}(t)+x^{(N)}(t)=0
$$
の解であるので、ある$\zeta_1,\ldots,\zeta_N\in \mathbb{R}$ が存在して、
$$
y(t)-y_0(t)=\sum_{k=1}^{N}\zeta_kx_k(t)
$$
と表せる。
{{end|proof}}

==2. Gaussの発散定理のSobolev空間版==

===定義2.1（基本的な微分作用素の記号）===
$\Omega\subset \mathbb{R}^N$ を開集合とする。勾配、発散、ラプラシアン（[[ベクトル解析3：Euclid空間内の多様体の計量]]の'''12''','''13'''を参照）を $\Omega$ 上の超関数（[[超関数の定義と基本操作]]を参照）に対して作用するように拡張する。すなわち $\Omega$ 上の任意の超関数 $u\in D'(\Omega)$ に対し $u$ の勾配を、
$$
\nabla u\colon={\rm grad}(u)\colon=(\partial_1u,\ldots,\partial_Nu)\in (D'(\Omega))^N,
$$
$u$ のラプラシアンを、
$$
\Delta u\colon=\partial_1^2u+\cdots+\partial_N^2u\in D'(\Omega)
$$
と定義する。そして任意の $u=(u_1,\ldots,u_N)\in (D'(\Omega))^N$ に対し $u$ の発散を、
$$
{\rm div}(u)\colon=\partial_1u_1+\cdots+\partial_Nu_N\in D'(\Omega)
$$
と定義する。
 
任意の $u\in D'(\Omega)$ に対し、
$$
{\rm div}\nabla u=\Delta u
$$
であることに注意する。

===定義2.2（外向き法線微分）===
$\Omega\subset \mathbb{R}^N$ を滑らかでコンパクトな境界を持つ開集合とし、$\nu=(\nu_1,\ldots,\nu_N)\colon \partial\Omega\rightarrow \mathbb{R}^N$ を外向き単位法線ベクトル場（[[ベクトル解析5：多様体の向き]]の'''21''','''22'''を参照）、$\gamma\colon H^1(\Omega)\rightarrow L^2(\partial\Omega)$ をトレース作用素（[[Sobolev空間の基本事項]]の'''37'''を参照）とする。任意の $u=(u_1,\ldots,u_N)\in (H^1(\Omega))^N$ に対し、
$$
\gamma(u)\colon =(\gamma(u_1),\ldots,\gamma(u_N))\in (L^2(\partial\Omega))^N
$$
と定義する。そして任意の $u\in H^2(\Omega)$ に対し、その勾配 $\nabla u=(\partial_1u,\ldots,\partial_Nu)\in (H^1(\Omega))^N$ を考え、
$$
\frac{\partial u}{\partial \nu}\colon=\gamma(\nabla u)\cdot \nu=\gamma(\partial_1u)\nu_1+\cdots+\gamma(\partial_Nu)\nu_N\in L^2(\partial\Omega)
$$
を定義する。$\frac{\partial u}{\partial\nu}$ を $u$ の外向き法線微分と言う。

===定理2.3（Gaussの発散定理のSobolev空間版（内部領域））===
$\Omega\subset\mathbb{R}^N$ を滑らかな境界を持つ有界開集合とし、$\nu\colon \partial\Omega\rightarrow \mathbb{R}^N$ を外向き単位法線ベクトル場（[[ベクトル解析5：多様体の向き]]の'''21''','''22'''を参照）、$\gamma\colon H^1(\Omega)\rightarrow L^2(\partial\Omega)$ をトレース作用素（[[Sobolev空間の基本事項]]の'''37'''を参照）とする。このとき、
*$(1)$　任意の $u=(u_1,\ldots,u_N)\in (H^1(\Omega))^N$ に対し、
$$
\int_{\Omega}{\rm div}(u)(x)dx=\int_{\partial\Omega}\gamma(u)(x)\cdot \nu(x)d\mu_{\partial\Omega}(x)
$$
（ただし $\mu_{\partial\Omega}$ は $\partial\Omega$ の面積測度）が成り立つ。
*$(2)$　任意の $u=(u_1,\ldots,u_N)\in (H^1(\Omega))^N$ と任意の $v\in H^1(\Omega)$ に対し、
$$
\int_{\Omega} ({\rm div}(u)(x)v(x)+u(x)\cdot \nabla u(x))dx=\int_{\partial\Omega}(\gamma(u)(x)\cdot \nu(x))\gamma(v)(x)d\mu_{\partial\Omega}(x)
$$
が成り立つ。
*$(3)$　任意の $u\in H^2(\Omega)$, $v\in H^1(\Omega)$ に対し、
$$
\int_{\Omega}(\Delta u(x)v(x)+\nabla u(x)\cdot \nabla v(x))dx=\int_{\partial\Omega}\frac{\partial u}{\partial \nu}(x)\gamma(v)(x)d\mu_{\partial\Omega}(x)
$$
が成り立つ。
*$(4)$　任意の $u,v\in H^2(\Omega)$ に対し、
$$
\int_{\Omega}(\Delta u(x)v(x)-u(x)\Delta v(x))dx=\int_{\partial\Omega}\left(\frac{\partial u}{\partial \nu}(x)\gamma(v)(x)-\gamma(u)(x)\frac{\partial v}{\partial\nu}(x)\right)d\mu_{\partial\Omega}(x)
$$
が成り立つ。
{{begin|proof}}
*$(1)$　任意の $u=(u_1,\ldots,u_N)\in (H^1(\Omega))^N$ に対しSobolevの拡張作用素の存在定理（[[Sobolev空間の基本事項]]の'''系35.2'''）より、$(D(\mathbb{R}^N)|_{\Omega})^N$ の列 $(u^{(n)})_{n\in\mathbb{N}}$ で、
$$
\lim_{n\rightarrow\infty}\lVert u-u^{(n)}\rVert_{2,1}=0\quad\quad(*)
$$
<ref>ただし $v=(v_1,\ldots,v_N)\in (H^1(\Omega))^N$ に対し $\lVert v\rVert_{2,1}=\sqrt{\sum_{j=1}^{N}\lVert v_j\rVert_{2,1}^2}$ である。</ref> を満たすものが取れる。このとき、
$$
\lim_{n\rightarrow\infty}\lVert {\rm div}(u)-{\rm div}(u^{(n)})\rVert_2=0
$$
であるから、$\Omega$ が有界であることから、
$$
\int_{\Omega}{\rm div}(u)(x)dx=\lim_{n\rightarrow\infty}\int_{\Omega}{\rm div}(u^{(n)})(x)dx
$$
が成り立つ。また $\gamma\colon H^1(\Omega)\rightarrow L^2(\partial\Omega)$ は有界線形作用素であり、$\partial\Omega$ のコンパクト性より面積測度 $\mu_{\partial\Omega}$ は有限測度であるから、$(*)$ より、
$$
\int_{\partial\Omega}\gamma(u)(x)\cdot \nu(x)d\mu_{\partial\Omega}(x)=\lim_{n\rightarrow\infty}\int_{\partial\Omega}\gamma(u^{(n)})(x)\cdot\nu(x)d\mu_{\partial\Omega}(x)
=\lim_{n\rightarrow\infty}\int_{\partial\Omega}u^{(n)}(x)\cdot\nu(x)d\mu_{\partial\Omega}(x)
$$
が成り立つ。各 $n\in \mathbb{N}$ について $u^{(n)}\in D(\mathbb{R}^N)|_{\Omega}$ に対してGaussの発散定理（[[ベクトル解析6：Stokesの定理]]の'''定理24.2'''）を適用すれば、
$$
\int_{\Omega}{\rm div}(u^{(n)})(x)dx=\int_{\partial\Omega}u^{(n)}(x)\cdot \nu(x)d\mu_{\partial\Omega}(x)
$$
となるから、
$$
\begin{aligned}
\int_{\Omega}{\rm div}(u)(x)dx&=\lim_{n\rightarrow\infty}\int_{\Omega}{\rm div}(u^{(n)})(x)dx
=\lim_{n\rightarrow\infty}\int_{\partial\Omega}u^{(n)}(x)\cdot\nu(x)d\mu_{\partial\Omega}(x)
=\int_{\partial\Omega}\gamma(u)(x)\cdot\nu(x)d\mu_{\partial\Omega}(x)
\end{aligned}
$$
を得る。
*$(2)$　任意の $u=(u_1,\ldots,u_N)\in (H^1(\Omega))^N$, $v\in H^1(\Omega)$ に対しSobolev空間の拡張作用素の存在定理（[[Sobolev空間の基本事項]]の'''系35.2'''）より、$(D(\mathbb{R}^N)|_{\Omega})^N$ の列 $(u^{(n)})_{n\in\mathbb{N}}$　と $D(\mathbb{R}^N)|_{\Omega}$の列$(v^{(n)})_{n\in \mathbb{N}}$で、
$$
\lim_{n\rightarrow\infty}\lVert u-u^{(n)}\rVert_{2,1}=0,\quad \lim_{n\rightarrow\infty}\lVert v-v^{(n)}\rVert_{2,1}=0
$$
を満たすものが取れ、
$$
\int_{\Omega}({\rm div}(u)(x)v(x)+u(x)\cdot\nabla v(x))dx=\lim_{n\rightarrow\infty}\int_{\Omega}({\rm div}(u^{(n)})(x)v^{(n)}(x)+u^{(n)}(x)\cdot \nabla v^{(n)}(x))dx
$$
が成り立つ。またトレース作用素 $\gamma\colon H^1(\Omega)\rightarrow L^2(\partial\Omega)$ が有界線形作用素であることから、
$$
\lim_{n\rightarrow\infty}\lVert \gamma(u)\cdot \nu-u^{(n)}\cdot \nu\rVert_2=0,\quad
\lim_{n\rightarrow\infty}\lVert \gamma(v)-v^{(n)}\rVert_2=0
$$
となるので、
$$
\int_{\partial\Omega}(\gamma(u)(x)\cdot\nu(x))\gamma(v)(x)d\mu_{\partial\Omega}(x)
=\lim_{n\rightarrow\infty}\int_{\partial\Omega}(u^{(n)}(x)\cdot\nu(x))v^{(n)}(x)d\mu_{\partial\Omega}(x)
$$
が成り立つ。そして各 $n\in \mathbb{N}$ について $u^{(n)}v^{(n)}\in (D(\mathbb{R}^N)|_{\Omega})^N$ に対してGaussの発散定理（[[ベクトル解析6：Stokesの定理]]の'''定理24.2'''）を適用すれば、
$$
\int_{\Omega}({\rm div}(u^{(n)})(x)v^{(n)}(x)+u^{(n)}(x)\cdot \nabla v^{(n)}(x))dx
=\int_{\Omega}{\rm div}(u^{(n)}v^{(n)})(x)dx
=\int_{\partial\Omega}(u^{(n)}(x)\cdot\nu(x))v^{(n)}(x)d\mu_{\partial\Omega}(x)
$$
となるから、
$$
\begin{aligned}
&\int_{\Omega}({\rm div}(u)(x)v(x)+u(x)\cdot \nabla v(x))dx
=\lim_{n\rightarrow\infty}\int_{\Omega}({\rm div}(u^{(n)})(x)v^{(n)}(x)+u^{(n)}(x)\cdot \nabla v^{(n)}(x))dx\\
&=\lim_{n\rightarrow\infty}\int_{\partial\Omega}(u^{(n)}(x)\cdot\nu(x))v^{(n)}(x)d\mu_{\partial\Omega}(x)
=\int_{\partial\Omega}(\gamma(u)(x)\cdot\nu(x))\gamma(v)(x)d\mu_{\partial\Omega}(x)
\end{aligned}
$$
を得る。
*$(3)$　任意の $u\in H^2(\Omega)$ に対し $\nabla u=(\partial_1u,\ldots,\partial_Nu)\in (H^1(\Omega))^N$ であるから、$\nabla u\in (H^1(\Omega))^N$ と任意の $v\in H^1(\Omega)$ に対し $(2)$ を適用すれば、
$$
\int_{\Omega}(\Delta u(x) v(x)+\nabla u(x)\cdot \nabla v(x))dx=\int_{\partial\Omega}\frac{\partial u}{\partial \nu}(x)\gamma(v)(x)d\mu_{\partial\Omega}(x)
$$
を得る。
*$(4)$　任意の $u,v\in H^2(\Omega)$ に対し $(3)$ より、
$$
\int_{\Omega}(\Delta u(x)v(x)+\nabla u(x)\cdot \nabla v(x))dx=\int_{\partial\Omega}\frac{\partial u}{\partial \nu}(x)\gamma(v)(x)d\mu_{\partial\Omega}(x),
$$
$$
\int_{\Omega}(u(x)\Delta v(x)+\nabla u(x)\cdot \nabla v(x))dx=\int_{\partial\Omega}\gamma(u)(x)\frac{\partial v}{\partial \nu}(x)d\mu_{\partial\Omega}(x)
$$
である。これらを辺々引くと、
$$
\int_{\Omega}(\Delta u(x)v(x)-u(x)\Delta v(x))dx=\int_{\partial\Omega}\left(\frac{\partial u}{\partial \nu}(x)\gamma(v)(x)-\gamma(u)(x)\frac{\partial v}{\partial \nu}(x)\right)d\mu_{\partial\Omega}(x)
$$
を得る。
{{end|proof}}

===定理2.4（Gaussの発散定理のSobolev空間版（外部領域））===
$\Omega\subset \mathbb{R}^N$ を滑らかでコンパクトな境界を持つ開集合で、$\mathbb{R}^N\backslash \Omega$ が有界であるものとする（したがって $\Omega$ は有界ではない）。そして $\nu\colon \partial\Omega\rightarrow \mathbb{R}^N$ を $\Omega$ の外向き単位法線ベクトル場（[[ベクトル解析5：多様体の向き]]の'''21''','''22'''を参照）、$\gamma\colon H^1(\Omega)\rightarrow L^2(\partial\Omega)$ をトレース作用素（[[Sobolev空間の基本事項]]の'''37'''を参照）とする。このとき、
*$(1)$　任意の $u=(u_1,\ldots,u_N)\in (H^1(\Omega))^N$ と任意の $v\in H^1(\Omega)$ に対し、
$$
\int_{\Omega} ({\rm div}(u)(x)v(x)+u(x)\cdot \nabla u(x))dx=\int_{\partial\Omega}(\gamma(u)(x)\cdot \nu(x))\gamma(v)
(x)d\mu_{\partial\Omega}(x)
$$
（ただし $\mu_{\partial\Omega}$ は $\partial\Omega$ の面積測度）が成り立つ。
*$(2)$　任意の $u\in H^2(\Omega)$, $v\in H^1(\Omega)$ に対し、
$$
\int_{\Omega}(\Delta u(x)v(x)+\nabla u(x)\cdot \nabla v(x))dx=\int_{\partial\Omega}\frac{\partial u}{\partial \nu}(x)\gamma(v)(x)d\mu_{\partial\Omega}(x)
$$
が成り立つ。
*$(3)$　任意の $u,v\in H^2(\Omega)$ に対し、
$$
\int_{\Omega}(\Delta u(x)v(x)-u(x)\Delta v(x))dx=\int_{\partial\Omega}\left(\frac{\partial u}{\partial \nu}(x)\gamma(v)(x)-\gamma(u)(x)\frac{\partial v}{\partial\nu}(x)\right)d\mu_{\partial\Omega}(x)
$$
が成り立つ。
{{begin|proof}}
*$(1)$　任意の $u=(u_1,\ldots,u_N)\in (H^1(\Omega))^N$, $v\in H^1(\Omega)$ に対しSobolevの拡張作用素の存在定理（[[Sobolev空間の基本事項]]の'''系35.2'''）より、$(D(\mathbb{R}^N)|_{\Omega})^N$ の列 $(u^{(n)})_{n\in\mathbb{N}}$ と $D(\mathbb{R}^N)|_{\Omega}$の列$(v^{(n)})_{n\in \mathbb{N}}$で、
$$
\lim_{n\rightarrow\infty}\lVert u-u^{(n)}\rVert_{2,1}=0,\quad \lim_{n\rightarrow\infty}\lVert v-v^{(n)}\rVert_{2,1}=0
$$
を満たすものが取れ、Hölderの不等式より、
$$
\int_{\Omega}({\rm div}(u)(x)v(x)+u(x)\cdot\nabla v(x))dx=\lim_{n\rightarrow\infty}\int_{\Omega}({\rm div}(u^{(n)})(x)v^{(n)}(x)+u^{(n)}(x)\cdot \nabla v^{(n)}(x))dx
$$
が成り立つ。またトレース作用素 $\gamma\colon H^1(\Omega)\rightarrow L^2(\partial\Omega)$ が有界線形作用素であることから、
$$
\lim_{n\rightarrow\infty}\lVert \gamma(u)\cdot \nu-u^{(n)}\cdot \nu\rVert_2=0,\quad
\lim_{n\rightarrow\infty}\lVert \gamma(v)-v^{(n)}\rVert_2=0
$$
となるので、Hölderの不等式より、
$$
\int_{\partial\Omega}(\gamma(u)(x)\cdot\nu(x))\gamma(v)(x)d\mu_{\partial\Omega}(x)
=\lim_{n\rightarrow\infty}\int_{\partial\Omega}(u^{(n)}(x)\cdot\nu(x))v^{(n)}(x)d\mu_{\partial\Omega}(x)
$$
が成り立つ。今、任意の $n\in \mathbb{N}$ を取り固定する。$u^{(n)}v^{(n)}\in (D(\mathbb{R}^N)|_{\Omega})^N$ の台と $\mathbb{R}^N\backslash \Omega$ は有界であるから、十分大きい $R\in (0,\infty)$ を取れば、
$$
{\rm supp}(u^{(n)}v^{(n)}),\quad \mathbb{R}^N\backslash \Omega\subset B(0,R)=\{x\in \mathbb{R}^N:\lvert x\rvert<R\}
$$
となり、$\partial\Omega$ は滑らかでコンパクトな境界であることから $\Omega\cap B(0,R)$ も滑らかでコンパクトな境界を持ち、その境界は、
$$
\partial(\Omega\cap B(0,R))=\partial\Omega\cup \partial B(0,R)
$$
である。そこで $u^{(n)}v^{(n)}\in (D(\mathbb{R}^N)|_{\Omega})^N$ に対してGaussの発散定理（[[ベクトル解析6：Stokesの定理]]の'''定理24.2'''）を適用すれば、
$$
\begin{aligned}
&\int_{\Omega}({\rm div}(u^{(n)})(x)v^{(n)}(x)+u^{(n)}(x)\cdot \nabla v^{(n)}(x))dx\\
&=\int_{\Omega}{\rm div}(u^{(n)}v^{(n)})(x)dx=\int_{\Omega\cap B(0,R)}{\rm div}(u^{(n)}v^{(n)})(x)dx\\
&=\int_{\partial\Omega}(u^{(n)}(x)\cdot \nu(x))v^{(n)}(x)d\mu_{\partial\Omega}(x)
+\int_{\partial B(0,R)}(u^{(n)}(x)\cdot \nu(x))v^{(n)}(x)d\mu_{\partial B(0,R)}(x)\\
&=\int_{\partial\Omega}(u^{(n)}(x)\cdot \nu(x))v^{(n)}(x)d\mu_{\partial\Omega}(x)
\end{aligned}
$$
を得る。ゆえに、
$$
\int_{\Omega}({\rm div}(u^{(n)})(x)v^{(n)}(x)+u^{(n)}(x)\cdot \nabla v^{(n)}(x))dx=\int_{\partial\Omega}(u^{(n)}(x)\cdot \nu(x))v^{(n)}(x)d\mu_{\partial\Omega}(x)\quad(\forall n\in \mathbb{N})
$$
が成り立つ。よって、
$$
\begin{aligned}
&\int_{\Omega}({\rm div}(u)(x)v(x)+u(x)\cdot\nabla v(x))dx=\lim_{n\rightarrow\infty}\int_{\Omega}({\rm div}(u^{(n)})(x)v^{(n)}(x)+u^{(n)}(x)\cdot \nabla v^{(n)}(x))dx\\
&=\lim_{n\rightarrow\infty}\int_{\partial\Omega}(u^{(n)}(x)\cdot \nu(x))v^{(n)}(x)d\mu_{\partial\Omega}(x)
=\int_{\partial\Omega}(\gamma(u)(x)\cdot\nu(x))\gamma(v)(x)d\mu_{\partial\Omega}(x)
\end{aligned}
$$
を得る。
*$(2)$　任意の $u\in H^2(\Omega)$ に対し $\nabla u=(\partial_1u,\ldots,\partial_Nu)\in (H^1(\Omega))^N$ であるから、$\nabla u\in (H^1(\Omega))^N$ と任意の $v\in H^1(\Omega)$ に対し $(1)$ を適用すれば、
$$
\int_{\Omega}(\Delta u(x) v(x)+\nabla u(x)\cdot \nabla v(x))dx=\int_{\partial\Omega}\frac{\partial u}{\partial \nu}(x)\gamma(v)(x)d\mu_{\partial\Omega}(x)
$$
を得る。
*$(3)$　任意の $u,v\in H^2(\Omega)$ に対し $(2)$ より、
$$
\int_{\Omega}(\Delta u(x)v(x)+\nabla u(x)\cdot \nabla v(x))dx=\int_{\partial\Omega}\frac{\partial u}{\partial \nu}(x)\gamma(v)(x)d\mu_{\partial\Omega}(x),
$$
$$
\int_{\Omega}(u(x)\Delta v(x)+\nabla u(x)\cdot \nabla v(x))dx=\int_{\partial\Omega}\gamma(u)(x)\frac{\partial v}{\partial \nu}(x)d\mu_{\partial\Omega}(x)
$$
である。これらを辺々引くと、
$$
\int_{\Omega}(\Delta u(x)v(x)-u(x)\Delta v(x))dx=\int_{\partial\Omega}\left(\frac{\partial u}{\partial \nu}(x)\gamma(v)(x)-\gamma(u)(x)\frac{\partial v}{\partial \nu}(x)\right)d\mu_{\partial\Omega}(x)
$$
を得る。
{{end|proof}}

==3. 境界条件付き一様楕円型微分作用素、楕円型正則性==

===定義3.1（一様楕円型微分作用素）===
$\Omega\subset \mathbb{R}^N$ を開集合とし、$a_{i,j},b_j\in C^\infty(\Omega)$ $(i,j\in \{1,\ldots,N\})$ を全ての偏導関数が有界な複素数値関数とする。そして、
$$
b(x)\in \mathbb{R}\quad (\forall x\in \Omega)\quad\quad(*)
$$
であり、ある正実数 $C$ に対し、
$$
\sum_{i,j=1}^{N}a_{i,j}(x)\overline{\xi_i}\xi_j\geq C\sum_{j=1}^{N}\lvert \xi_j\rvert^2=C\lvert \xi\rvert^2\quad(\forall \xi=(\xi_1,\ldots,\xi_N)\in \mathbb{C}^N, \forall x\in \Omega)\quad\quad(**)
$$
が成り立つとする。<ref> $(**)$ は任意の $x\in \Omega$ に対し $C^*$-環 $\mathbb{M}_{N\times N}(\mathbb{C})$ の自己共役部分における順序に関して $(a_{i,j}(x))_{i,j}\geq C$ が成り立つと言うことである（[[Hilbert空間上の作用素論]]の'''命題1.4'''を参照）。</ref> このとき、
$$
\mathcal{A}\colon D'(\Omega)\ni v\mapsto -\sum_{i,j=1}^{N}\partial_i(a_{i,j}\partial_jv)+bv\in D'(\Omega)\quad\quad(***)
$$
と表される線形作用素は、$\Omega$ 上の $2$ 階の一様楕円型微分作用素と呼ばれるものの一種であり、$(**)$ を一様楕円性条件と言う。以後、$\Omega$ 上の一様楕円型微分作用素と言えば、上の $(*),(**)$ の条件を満たす $(***)$ を指すこととする。

===例3.2（ラプラシアン）===
開集合 $\Omega\subset \mathbb{R}^N$ 上のラプラシアン $-\Delta\colon D'(\Omega)\rightarrow D'(\Omega)$ は $\Omega$ 上の一様楕円型微分作用素である。実際、'''定義3.1'''において $a_{i,j}(x)=\delta_{i,j}$, $b(x)=0$ $(\forall i,j\in \{1,\ldots,N\},\forall x\in \Omega)$ として得られる $\mathcal{A}$ は $-\Delta$ である。

===補題3.3（Poincaréの不等式）===
$\Omega\subset \mathbb{R}^N$ を開集合とし、ある正実数 $C$ に対し、
$$
\Omega\subset \mathbb{R}^{N-1}\times [-C,C]
$$
が成り立つとする。このとき、
$$
\lVert u\rVert_2\leq 2C\lVert \partial_Nu\rVert_2\quad(\forall u\in H^1_0(\Omega))
$$
が成り立つ。
{{begin|proof}}
任意の $u\in D(\Omega)\subset D(\mathbb{R}^N)$ に対し微積分学の基本定理とHölderの不等式より、
$$
\lvert u(x)\rvert^2=\left\lvert\int_{-C}^{x_N}\partial_Nu(x_1,\ldots,x_{N-1},t)dt\right\rvert^2\leq
2C\int_{\mathbb{R}}\lvert \partial_Nu(x_1,\ldots,x_{N-1},t)\rvert^2dt\quad(\forall x\in \mathbb{R}^N)
$$
が成り立つので、任意の $(x_1,\ldots,x_{N-1})\in \mathbb{R}^{N-1}$ に対し、
$$
\begin{aligned}
&\int_{\mathbb{R}}\lvert u(x_1,\ldots,x_{N-1},x_N)\rvert^2dx_N=\int_{-C}^{C}\lvert u(x_1,\ldots,x_{N-1},x_N)\rvert^2dx_N\\
&\leq 2C\int_{-C}^{C}\left(\int_{\mathbb{R}}\lvert \partial_Nu(x_1,\ldots,x_{N-1},t)\rvert^2dt\right)dx_N
=(2C)^2\int_{\mathbb{R}}\lvert \partial_Nu(x_1,\ldots,x_{N-1},t)\rvert^2dt\\
&=(2C)^2\int_{\mathbb{R}}\lvert\partial_Nu(x_1,\ldots,x_{N-1},x_N)\rvert^2dx_N
\end{aligned}
$$
となる。よってTonelliの定理より、
$$
\begin{aligned}
\lVert u\rVert_2^2&=\int_{\mathbb{R}^{N-1}}\left(\int_{\mathbb{R}}\lvert u(x_1,\ldots,x_{N-1},x_N)\rvert^2dx_N\right)dx_1\cdots dx_{N-1}\\
&\leq(2C)^2\int_{\mathbb{R}^{N-1}}\left(\int_{\mathbb{R}}\lvert\partial_Nu(x_1,\ldots,x_{N-1},x_N)\rvert^2dx_N\right)dx_1\cdots dx_{N-1}\\
&=(2C)^2\lVert \partial_Nu\rVert_2^2
\end{aligned}
$$
が成り立つ。ゆえに、
$$
\lVert u\rVert_2\leq 2C\lVert \partial_Nu\rVert_2\quad(\forall u\in D(\Omega))
$$
が成り立つ。$H^1_0(\Omega)=\overline{D(\Omega)}^{\lVert \cdot\rVert_{2,1}}$ であるから、任意の $u\in H^1_0(\Omega)$ に対し $D(\Omega)$ の列 $(u_n)_{n\in \mathbb{N}}$ で $\lim_{n\rightarrow\infty}\lVert u-u_n\rVert_{2,1}=0$ を満たすものが取れるので、
$$
\lVert u\rVert_{2}=\lim_{n\rightarrow\infty}\lVert u_n\rVert_2\leq 2C\lim_{n\rightarrow\infty}\lVert \partial_Nu_n\rVert_2=2C\lVert \partial_Nu\rVert_2
$$
が成り立つ。
{{end|proof}}

===定理3.4（Lax-Milgramの定理）===
$\Omega\subset \mathbb{R}^N$ を開集合、
$$
\mathcal{A}\colon D'(\Omega)\ni v\mapsto -\sum_{i,j=1}^N\partial_i(a_{i,j}\partial_jv)+bv\in D'(\Omega)
$$
を一様楕円型微分作用素（'''定義3.1'''）とし、
$$
p_{\mathcal{A}}(u,v)\colon=\sum_{i,j=1}^{N}\int_{\Omega}a_{i,j}(x)\overline{\partial_iu(x)}\partial_jv(x)dx
+\int_{\Omega}b(x)\overline{u(x)}v(x)dx\quad(\forall u,v\in H^1(\Omega))
$$
とおく。そして $H^1_0(\Omega)\subset \mathcal{V}\subset H^1(\Omega)$ を満たす $H^1(\Omega)$ の閉部分空間 $\mathcal{V}$ に対し、
$$
D(A)\colon=\{v\in \mathcal{V}: \mathcal{A}v\in L^2(\Omega),p_{\mathcal{A}}(u,v)=(u\mid \mathcal{A}v)_2\text{ }(\forall u\in \mathcal{V})\},
$$
$$
A\colon D(A)\ni v\mapsto \mathcal{A}v\in L^2(\Omega)
$$
とおく。また、
$$
\lambda_0\colon=\inf_{x\in\Omega}b(x)\in \mathbb{R}
$$
とおく。このとき、
*$(1)$　$A\colon D(A)\rightarrow L^2(\Omega)$ はHilbert空間 $L^2(\Omega)$ 上の下に有界な自己共役作用素（[[Hilbert空間上の作用素論]]の'''定義4.1'''と'''定義14.7'''）であり、$A$ のスペクトル $\sigma(A)$ は $\sigma(A)\subset [\lambda_0,\infty)$ を満たす。また任意の $\lambda\in (-\infty,\lambda_0)$ に対し、
$$
(A-\lambda)^{-1}\in \mathbb{B}(L^2(\Omega),\mathcal{V})\subset \mathbb{B}(L^2(\Omega))
$$
が成り立つ。
*$(2)$　$\Omega\subset \mathbb{R}^N$ が有界で $\mathcal{V}=H^1_0(\Omega)$ ならば $\sigma(A)\subset (\lambda_0,\infty)$ であり、
$$
(A-\lambda_0)^{-1}\in \mathbb{B}(L^2(\Omega),H^1_0(\Omega))\subset \mathbb{B}(L^2(\Omega))
$$
が成り立つ。
*$(3)$　$\Omega\subset \mathbb{R}^N$ は有界開集合であるとし、$\Omega$ が滑らかな境界を持つか $\mathcal{V}=H^1_0(\Omega)$ のいずれかであるとすると、Hilbert空間 $L^2(\Omega)$ 上の自己共役作用素 $A\colon D(A)\rightarrow L^2(\Omega)$ のスペクトルは純粋に離散的（[[Hilbert空間上の作用素論]]の'''定義14.3'''）である。
*$(4)$　$\lambda_0\geq0$ ならば $A\colon D(A)\rightarrow L^2(\Omega)$ はHilbert空間 $L^2(\Omega)$ 上の非負自己共役作用素であり、
$$
\mathcal{V}=D(\sqrt{A}),\quad p_{\mathcal{A}}(u,v)=(\sqrt{A}u\mid \sqrt{A}v)_2\quad(\forall u,v\in \mathcal{V})
$$
が成り立つ。
{{begin|proof}}
*$(1)$　任意の $\lambda\in (-\infty,\lambda_0)$ を取り固定する。
$$
p_{\mathcal{A}-\lambda}(u,v)=p_{\mathcal{A}}(u,v)-\lambda(u\mid v)_2\quad(\forall u,v\in \mathcal{V})
$$
とおくと、一様楕円性条件よりある正実数 $C$ が存在し、
$$
\begin{aligned}
p_{\mathcal{A}-\lambda}(v,v)&=\sum_{i,j=1}^{N}\int_{\Omega}a_{i,j}(x)\overline{\partial_iv(x)}\partial_jv(x)dx+\int_{\Omega}(b(x)-\lambda)\lvert v(x)\rvert^2dx\\
&\geq C\sum_{j=1}^{N}\lVert \partial_jv\rVert_2^2+(\lambda_0-\lambda)\lVert v\rVert_2^2\geq C'\lVert v\rVert_{2,1}^2
\quad(\forall v\in \mathcal{V})\quad\quad(*)
\end{aligned}
$$
が成り立つ（ただし $C'\colon={\rm min}(C,\lambda_0-\lambda)>0$とおいた）。また $a_{i,j},b$ の有界性より、
$$
p_{\mathcal{A}-\lambda}\colon \mathcal{V}\times \mathcal{V}\ni (u,v)\mapsto p_{\mathcal{A}-\lambda}(u,v)\in \mathbb{C}
$$
はHilbert空間 $(\mathcal{V},(\cdot\mid \cdot)_{2,1})$ 上の有界準双線形汎関数であるから、[[位相線形空間1：ノルムと内積]]の'''定理7.1'''より $T\in \mathbb{B}(\mathcal{V})$ で、
$$
p_{\mathcal{A}-\lambda}(u,v)=(u\mid Tv)_{2,1}\quad(\forall u,v\in \mathcal{V})
$$
を満たすものが定まる。$(*)$ と[[Hilbert空間上の作用素論]]の'''命題1.3'''と'''命題1.4'''より $T^{-1}\in \mathbb{B}(\mathcal{V})$ が存在し、$T,T^{-1}\in \mathbb{B}(\mathcal{V})$ は $\mathcal{V}$ 上の有界非負自己共役作用素である。今、任意の $f\in L^2(\Omega)$ に対し、
$$
\mathcal{V}\ni u\mapsto (f\mid u)_2\in \mathbb{C}
$$
はHilbert空間 $(\mathcal{V},(\cdot\mid\cdot)_{2,1})$ 上の有界線形汎関数であるから、Rieszの表現定理より $Rf\in \mathcal{V}$ で、
$$
(Rf\mid u)_{2,1}=(f\mid u)_2\quad(\forall u\in \mathcal{V})
$$
を満たすものが定まる。こうして線形作用素 $R\colon L^2(\Omega)\ni f\mapsto Rf\in \mathcal{V}$ で、
$$
(Rf\mid u)_{2,1}=(f\mid u)_{2}\quad(\forall f\in L^2(\Omega),\forall u\in \mathcal{V})
$$
なるものが定義でき、
$$
\lVert Rf\rVert_{2,1}^2=(Rf\mid Rf)_{2,1}=(f\mid Rf)_2\leq\lVert f\rVert_2\lVert Rf\rVert_2\leq \lVert f\rVert_2\lVert Rf\rVert_{2,1}\quad(\forall f\in L^2(\Omega))
$$
より $R\in \mathbb{B}(L^2(\Omega),\mathcal{V})$ である。
$$
(u\mid f)_2=(u\mid Rf)_{2,1}=(u\mid TT^{-1}Rf)_{2,1}=p_{\mathcal{A}-\lambda}(u,T^{-1}Rf)\quad(\forall f\in L^2(\Omega),\forall u\in \mathcal{V})\quad\quad(**)
$$
であり、$D(\Omega)\subset H^1_0(\Omega)\subset \mathcal{V}$ であるから、$D'(\Omega)$ において、
$$
f=(\mathcal{A}-\lambda)T^{-1}Rf\quad(\forall f\in L^2(\Omega))
$$
が成り立つ。よって、
$$
\mathcal{A}T^{-1}Rf=f+\lambda T^{-1}Rf\in L^2(\Omega)\quad(\forall f\in L^2(\Omega))
$$
である。また $(**)$ より、
$$
\begin{aligned}
(u\mid \mathcal{A}T^{-1}Rf)_2&=(u\mid f)_2+\lambda(u\mid T^{-1}Rf)_2
=p_{\mathcal{A}-\lambda}(u,T^{-1}Rf)+\lambda(u\mid T^{-1}Rf)_2\\
&=p_{\cal A}(u,T^{-1}Rf)\quad(\forall f\in L^2(\Omega),\forall u\in \mathcal{V})
\end{aligned}
$$
である。これより、
$$
T^{-1}Rf\in D(A),\quad (A-\lambda)T^{-1}Rf=f\quad(\forall f\in L^2(\Omega))
$$
が成り立つ。また任意の $v\in D(A)$ に対し、
$$
\begin{aligned}
p_{\mathcal{A}-\lambda}(u,v)&=p_{\mathcal{A}}(u,v)-\lambda(u\mid v)_2=(u\mid Av)_2-\lambda(u\mid v)_2
=(u\mid (A-\lambda)v)_2
=(u\mid R(A-\lambda)v)_{2,1}\\
&=(u\mid TT^{-1}R(A-\lambda)v)_{2,1}=p_{\mathcal{A}-\lambda}(u,T^{-1}R(A-\lambda)v)\quad(\forall u\in \mathcal{V})
\end{aligned}
$$
であるから、$(*)$ より、
$$
v=T^{-1}R(A-\lambda)v\quad(\forall v\in D(A))
$$
が成り立つ。よって $A-\lambda\colon D(A)\rightarrow L^2(\Omega)$ は全単射であり、
$$
(A-\lambda)^{-1}=T^{-1}R\in \mathbb{B}(L^2(\Omega),\mathcal{V})\subset \mathbb{B}(L^2(\Omega))
$$
が成り立つ。$T\in \mathbb{B}(\mathcal{V})$ は $(\mathcal{V},(\cdot\mid \cdot)_{2,1})$ 上の非負自己共役作用素であるから、
$$
(f\mid (A-\lambda)^{-1}f)_2=(f\mid T^{-1}Rf)_2=(Rf\mid T^{-1}Rf)_{2,1}\geq0\quad(\forall f\in L^2(\Omega))
$$
である。よって $(A-\lambda)^{-1}\in \mathbb{B}(L^2(\Omega))$ は $L^2(\Omega)$ 上の非負自己共役作用素であるので、$A-\lambda\colon D(A)\rightarrow L^2(\Omega)$ も $L^2(\Omega)$ 上の非負自己共役作用素である。以上より $A\colon D(A)\rightarrow L^2(\Omega)$ はHilbert空間 $L^2(\Omega)$ 上の下に有界な自己共役作用素であり、$\sigma(A)\subset [\lambda_0,\infty)$ を満たし、任意の $\lambda\in (-\infty,\lambda_0)$ に対し $(A-\lambda)^{-1}\in \mathbb{B}(L^2(\Omega),\mathcal{V})$ が成り立つ。
*$(2)$　
$$
p_{\mathcal{A}-\lambda_0}(u,v)\colon=p_{\mathcal{A}}(u,v)-\lambda_0(u\mid v)_2\quad(\forall u,v\in H^1_0(\Omega))
$$
とおくと、一様楕円性条件よりある正実数 $C$ が存在し、
$$
\begin{aligned}
p_{\mathcal{A}-\lambda_0}(v,v)&=\sum_{i,j=1}^{N}\int_{\Omega}a_{i,j}(x)\overline{\partial_iv(x)}\partial_jv(x)dx+\int_{\Omega}(b(x)-\lambda_0)\lvert v(x)\rvert^2dx\\
&\geq \sum_{i,j=1}^{N}\int_{\Omega}a_{i,j}(x)\overline{\partial_iv(x)}\partial_jv(x)dx\geq
C\sum_{j=1}^{N}\lVert \partial_jv\rVert_2^2\quad(\forall v\in H^1_0(\Omega))
\end{aligned}
$$
が成り立つ。ここでPoincaréの不等式（'''補題3.3'''）よりある正実数 $C'$ が存在し、
$$
C\sum_{j=1}^{N}\lVert \partial_jv\rVert_2^2\geq C'\left(\sum_{j=1}^{N}\lVert \partial_jv\rVert_2^2+\lVert v\rVert_2^2\right)=C'\lVert v\rVert_{2,1}^2\quad(\forall v\in H^1_0(\Omega))
$$
が成り立つ。後は $(1)$ の証明と全く同様にして $A-\lambda_0\colon D(A)\rightarrow L^2(\Omega)$ が全単射であり、$(A-\lambda_0)^{-1}\in \mathbb{B}(L^2(\Omega),H^1_0(\Omega))$ が成り立つことを示せる。
*$(3)$　任意の $\lambda\in (-\infty,\lambda_0)$ を取る。$(1)$ より $(A-\lambda)^{-1}\in \mathbb{B}(L^2(\Omega),\mathcal{V})$ であるから、
$$
(L^2(\Omega))_1\colon=\{v\in L^2(\Omega):\lVert v\rVert_2\leq 1\}
$$
の任意の列 $(v_n)_{n\in\mathbb{N}}$ に対し $((A-\lambda)^{-1}v_n)_{n\in\mathbb{N}}$ は $\mathcal{V}$ の有界列である。よってRellich-Kondrachovの定理（[[Sobolev空間の基本事項]]の'''定理39.4'''と'''命題39.5'''）より $((A-\lambda)^{-1}v_n)_{n\in \mathbb{N}}$ は $L^2(\Omega)$ のノルムで収束する部分列を持つ。ゆえに $(A-\lambda)^{-1}((L^2(\Omega))_1)$ は $L^2(\Omega)$ のノルムで（点列）コンパクトであるから、[[Hilbert空間上の作用素論]]の'''定理13.10'''より $(A-\lambda)^{-1}\in \mathbb{B}(L^2(\Omega))$ は $L^2(\Omega)$ 上のコンパクト作用素である。ゆえに[[Hilbert空間上の作用素論]]の'''命題14.5'''より、$L^2(\Omega)$ 上の自己共役作用素 $A\colon D(A)\rightarrow L^2(\Omega)$ のスペクトルは純粋に離散的である。
*$(4)$　$(1)$ より $\sigma(A)\subset [\lambda_0,\infty)\subset [0,\infty)$ であるから $A\colon D(A)\rightarrow L^2(\Omega)$ は非負自己共役作用素である。$(1)$ における $T\in \mathbb{B}(\mathcal{V})$ と $R\in \mathbb{B}(L^2(\Omega),\mathcal{V})$ を考えると、
$$
D(A)={\rm Ran}((A-\lambda)^{-1})=T^{-1}R(L^2(\Omega))
$$
である。
$$
(u\mid Rf)_{2,1}=(u\mid f)_2\quad(\forall u\in \mathcal{V},\forall f\in L^2(\Omega))
$$
であるから、$R(L^2(\Omega))\subset \mathcal{V}$ のHilbert空間 $(\mathcal{V},(\cdot\mid\cdot)_{2,1})$ における直交補空間は $\{0\}$ である。よって $R(L^2(\Omega))$ は $(\mathcal{V},(\cdot\mid\cdot)_{2,1})$ において稠密であるから、$T^{-1}\in \mathbb{B}(\mathcal{V})$ より $D(A)=T^{-1}R(L^2(\Omega))$ も $(\mathcal{V},(\cdot\mid\cdot)_{2,1})$ において稠密である。ゆえに任意の $u,v\in \mathcal{V}$ に対し $D(A)$ の列 $(u_n)_{n\in \mathbb{N}}, (v_n)_{n\in \mathbb{N}}$ で、
$$
\lim_{n\rightarrow\infty}\lVert u-u_n\rVert_{2,1}=0,\quad \lim_{n\rightarrow\infty}\lVert v-v_n\rVert_{2,1}=0
$$
を満たすものが取れる。$p_{\mathcal{A}}\colon \mathcal{V}\times \mathcal{V}\rightarrow\mathbb{C}$ は有界準双線形汎関数であるから、
$$
\lVert \sqrt{A}u_n-\sqrt{A}u_m\rVert_2^2=(u_n-u_m\mid A(u_n-u_m))_2=p_{\mathcal{A}}(u_n-u_m,u_n-u_m)\rightarrow0\quad(n,m\rightarrow\infty)
$$
となり、$\sqrt{A}$ がHilbert空間 $L^2(\Omega)$ 上の閉線形作用素であることから、
$$
u\in D(\sqrt{A}),\quad \lim_{n\rightarrow\infty}\lVert \sqrt{A}u_n-\sqrt{A}u\rVert_2=0
$$
が成り立つ。同様に、
$$
v\in D(\sqrt{A}),\quad \lim_{n\rightarrow\infty}\lVert \sqrt{A}v_n-\sqrt{A}v\rVert_2=0
$$
も成り立つので、$p_{\mathcal{A}}\colon \mathcal{V}\times \mathcal{V}\rightarrow\mathbb{C}$ の有界準双線形性より、
$$
p_{\mathcal{A}}(u,v)=\lim_{n\rightarrow\infty}p_{\mathcal{A}}(u_n,v_n)=\lim_{n\rightarrow\infty}(u_n\mid Av_n)_2
=\lim_{n\rightarrow\infty}(\sqrt{A}u_n\mid \sqrt{A}v_n)_2=(\sqrt{A}u\mid \sqrt{A}v)_2
$$
が成り立つ。以上で、
$$
\mathcal{V}\subset D(\sqrt{A}),\quad p_{\mathcal{A}}(u,v)=(\sqrt{A}u\mid \sqrt{A}v)_2\quad(\forall u,v\in \mathcal{V})
$$
が示された。後は $D(\sqrt{A})\subset \mathcal{V}$ を示せばよい。任意の $u\in D(\sqrt{A})$ を取る。[[Hilbert空間上の作用素論]]の'''定理3.10'''より $D(A)$ は $\sqrt{A}$ の芯であるから、$D(A)$ の列 $(u_n)_{n\in \mathbb{N}}$ で、
$$
\lim_{n\rightarrow\infty}\lVert u-u_n\rVert_2=0,\quad \lim_{n\rightarrow\infty}\lVert \sqrt{A}u-\sqrt{A}u_n\rVert_2=0
$$
を満たすものが取れる。ここで一様楕円性条件よりある正実数 $C$ に対し、
$$
\lVert \sqrt{A}u_n-\sqrt{A}u_m\rVert_2^2=p_{\mathcal{A}}(u_n-u_m,u_n-u_m)\geq C\lVert \nabla(u_n-u_m)\rVert_{2}^2\quad(\forall n,m\in \mathbb{N})
$$
となるので、
$$
\lVert u_n-u_m\rVert_{2,1}^2=\lVert u_n-u_m\rVert_2^2+\lVert \nabla(u_n-u_m)\rVert_2^2\rightarrow0\quad(n,m\rightarrow\infty)
$$
が成り立つ。よって $(u_n)_{n\in \mathbb{N}}$ はHilbert空間 $(\mathcal{V},(\cdot\mid\cdot)_{2,1})$ において収束するので $u\in \mathcal{V}$ である。ゆえに $D(\sqrt{A})\subset \mathcal{V}$ が成り立つ。
{{end|proof}}

===定義3.5（差分商）===
任意の $h\in \mathbb{R}\backslash\{0\}$, $j\in \{1,\ldots,N\}$, $u\colon \mathbb{R}^N\rightarrow \mathbb{C}$ に対し、
$$
\tau_{j,h}u\colon \mathbb{R}^N\rightarrow\mathbb{C},\quad \partial_{j,h}u\colon \mathbb{R}^N\rightarrow\mathbb{C}
$$
を、
$$
\tau_{j,h}u(x)\colon=u(x+he_j),\quad \partial_{j,h}u(x)\colon=\frac{1}{h}(u(x+he_j)-u(x))\quad(\forall x\in \mathbb{R}^N)
$$
と定義する（ただし $(e_1,\ldots,e_N)$ は $\mathbb{R}^N$ の標準基底である）。また任意の多重指数 $\alpha\in \mathbb{Z}_+^N$ と任意の $h\in \mathbb{R}\backslash \{0\}$, $u\colon \mathbb{R}^N\rightarrow\mathbb{C}$ に対し、
$$
\tau_{h}^{\alpha}u\colon=\tau_{1,h}^{\alpha_1}\cdots\tau_{N,h}^{\alpha_N}u,\quad
\partial_h^{\alpha}u\colon=\partial_{1,h}^{\alpha_1}\cdots\partial_{N,h}^{\alpha_N}u
$$
と定義する。

===命題3.6（差分商に関するLeibnizルール）===
任意の $u,v\colon \mathbb{R}^N\rightarrow\mathbb{C}$、任意の多重指数 $\alpha\in \mathbb{Z}_+^N$、任意の $h\in \mathbb{R}\backslash\{0\}$ に対し、
$$
\partial_{h}^{\alpha}(uv)=\sum_{\beta\leq\alpha}\begin{pmatrix}\alpha\\\beta\end{pmatrix}(\partial_h^{\beta}u)(\tau_h^{\beta}\partial_{h}^{\alpha-\beta}v)
$$
が成り立つ。
{{begin|proof}}
任意の $j\in \{1,\ldots,N\}$ を取り固定する。任意の $n\in \mathbb{Z}_+$ に対し、
$$
\partial_{j,h}^n(uv)=\sum_{k=0}^{n}\begin{pmatrix}n\\k\end{pmatrix}(\partial_{j,h}^{k}u)(\tau_{j,h}^{k}\partial_{j,h}^{n-k}v)\quad\quad(*)
$$
が成り立つことを帰納法により示す。$n=0,1$ の場合に成り立つことは明らかである。$(*)$ がある $n\in \mathbb{N}$ について成り立つと仮定する。
$$
\begin{pmatrix}n\\k-1\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}n\\k\end{pmatrix}
=\frac{n!}{(k-1)!(n+1-k)!}+\frac{n!}{k!(n-k)!}=\frac{(n+1)!}{k!(n+1-k)!}=\begin{pmatrix}n+1\\k\end{pmatrix}
$$
であるから、
$$
\begin{aligned}
\partial_{j,h}^{n+1}(uv)&=\partial_{j,h}\partial_{j,h}^n(uv)=\partial_{j,h}\sum_{k=0}^{n}\begin{pmatrix}n\\k\end{pmatrix}(\partial_{j,h}^{k}u)(\tau_{j,h}^{k}\partial_{j,h}^{n-k}v)\\
&=\sum_{k=0}^{n}\begin{pmatrix}n\\k\end{pmatrix}(\partial_{j,h}^{k+1}u)(\tau_{j,h}^{k+1}\partial_{j,h}^{n-k}v)+\sum_{k=0}^{n}\begin{pmatrix}n\\k\end{pmatrix}(\partial_{j,h}^ku)(\tau_{j,h}\partial_{j,h}^{n+1-k}v)\\
&=(\partial_{j,h}^{n+1}u)(\tau_{j,h}^{n+1}v)+u(\partial_{j,h}^{n+1}v)+\sum_{k=1}^{n}\left(\begin{pmatrix}n\\k-1\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}n\\k\end{pmatrix}\right)
(\partial_{j,h}^{k}u)(\tau_{j,h}^k\partial_{j,h}^{n+1-k}v)\\
&=\sum_{k=0}^{n+1}\begin{pmatrix}n+1\\k\end{pmatrix}(\partial_{j,h}^{k}u)(\tau_{j,h}^k\partial_{j,h}^{n+1-k}v)
\end{aligned}
$$
となる。よって $(*)$ は $n+1$ の場合も成り立つので、帰納法より $(*)$ は任意の $n\in\mathbb{Z}_+$ に対して成り立つ。これより、
$$
\begin{aligned}
\partial_{h}^{\alpha}(uv)&=\partial_{1,h}^{\alpha_1}\cdots\partial_{N,h}^{\alpha_N}(uv)
=\partial_{1,h}^{\alpha_1}\cdots\partial_{N-1,h}^{\alpha_{N-1}}\sum_{\beta_N\leq \alpha_N}\begin{pmatrix}\alpha_N\\\beta_N\end{pmatrix}(\partial_{N,h}^{\beta_N}u)(\tau_{N,h}^{\beta_N}\partial_{N,h}^{\alpha_N-\beta_N}v)\\
&=\cdots=\sum_{\beta\leq \alpha}\begin{pmatrix}\alpha\\\beta\end{pmatrix}(\partial_h^{\beta}u)(\tau_h^{\beta}\partial_h^{\alpha-\beta}v)
\end{aligned}
$$
となる。
{{end|proof}}

===補題3.7===
任意の $u,v\in L^2(\mathbb{R}^N)$、任意の $h\in \mathbb{R}\backslash \{0\}$、任意の $j\in\{1,\ldots,N\}$ に対し、
$$
\int_{\mathbb{R}^N}\partial_{j,h}u(x)v(x)dx=-\int_{\mathbb{R}^N}u(x)\partial_{j,-h}v(x)dx
$$
が成り立つ。
{{begin|proof}}
Lebesgue測度の平行移動不変性より、
$$
\begin{aligned}
\int_{\mathbb{R}^N}\partial_{j,h}u(x)v(x)dx
&=\int_{\mathbb{R}^N}\frac{u(x+he_j)-u(x)}{h}v(x)dx=-\int_{\mathbb{R}^N}u(x)\frac{v(x-he_j)-v(x)}{-h}dx\\
&=-\int_{\mathbb{R}^N}u(x)\partial_{j,-h}v(x)dx.
\end{aligned}
$$
{{end|proof}}

===補題3.8===
$u\in L^2(\mathbb{R}^N)$ とする。
*$(1)$　ある $m\in \mathbb{N}$ に対し $u\in H^m(\mathbb{R}^N)$ ならば、$\lvert\alpha\rvert\leq m$ を満たす任意の $\alpha\in \mathbb{Z}_+^N$ に対し、
$$
\lVert \partial_h^{\alpha}u\rVert_2\leq \lVert \partial^{\alpha}u\rVert_2\quad(\forall h\in\mathbb{R}\backslash \{0\})
$$
が成り立つ。
*$(2)$　ある多重指数 $\alpha\in \mathbb{Z}_+^N$ に対し、$C\in [0,\infty)$ と $\delta\in (0,\infty)$ が存在し、
$$
\lVert \partial_h^{\alpha}u\rVert_2\leq C\quad(\forall h\in \mathbb{R}:0<\lvert h\rvert<\delta)
$$
が成り立つならば、$\partial^{\alpha}u\in L^2(\mathbb{R}^N), \lVert \partial^{\alpha}u\rVert_2\leq C$ が成り立つ。
{{begin|proof}}
*$(1)$　$\lvert \alpha\rvert\leq m$ なる多重指数 $\alpha\in \mathbb{Z}_+^N$ を取り、
$$
\partial^{\alpha}=\partial_{j_1}\cdots\partial_{j_{\lvert\alpha\rvert}}
$$
なる $j_1,\ldots,j_{\lvert\alpha\rvert}\in \{1,\ldots,N\}$ を取る。このとき任意の $h\in \mathbb{R}\backslash \{0\}$ と任意の $\varphi\in D(\mathbb{R}^N)$ に対し微積分学の基本定理より、
$$
\partial_{-h}^{\alpha}\varphi(x)=\partial_{j_1,-h}\cdots\partial_{j_{\lvert\alpha\rvert},-h}\varphi(x)
=\int_{[0,1]^{\lvert\alpha\rvert}}\partial^{\alpha}\varphi\left(x-\sum_{k=1}^{\lvert\alpha\rvert}t_khe_{j_k}\right)dt_{1}\cdots dt_{\lvert\alpha\rvert}\quad(\forall x\in \mathbb{R}^N)
$$
と表せるから、'''補題3.7'''とFubiniの定理より、
$$
\begin{aligned}
&\left\lvert\int_{\mathbb{R}^N}\partial_h^{\alpha}u(x)\varphi(x)dx\right\rvert=\left\lvert \int_{\mathbb{R}^N}u(x)\partial_{-h}^{\alpha}\varphi(x)dx\right\rvert\\
&=\left\lvert\int_{\mathbb{R}^N}u(x)\left(\int_{[0,1]^{\lvert\alpha\rvert}}\partial^{\alpha}\varphi\left(x-\sum_{k=1}^{\lvert\alpha\rvert}t_khe_{j_k}\right)dt_{1}\cdots dt_{\lvert\alpha\rvert}\right)dx\right\rvert\\
&=\left\lvert \int_{[0,1]^{\lvert\alpha\rvert}}\left(\int_{\mathbb{R}^N}u(x)\partial^{\alpha}\varphi\left(x-\sum_{k=1}^{\lvert\alpha\rvert}t_khe_{j_k}\right)dx\right)dt_1\cdots dt_{\lvert\alpha\rvert}\right\rvert\\
&=\left\lvert \int_{[0,1]^{\lvert\alpha\rvert}}\left(\int_{\mathbb{R}^N}\partial^{\alpha}u(x)\varphi\left(x-\sum_{k=1}^{\lvert\alpha\rvert}t_khe_{j_k}\right)dx\right)dt_1\cdots dt_{\lvert\alpha\rvert}\right\rvert\\
&\leq \lVert \partial^{\alpha}u\rVert_2\lVert\varphi\rVert_2\quad(\forall h\in \mathbb{R}\backslash \{0\},\forall \varphi\in D(\mathbb{R}^N))\quad\quad(*)
\end{aligned}
$$
となる。そしてRieszの定理と $D(\mathbb{R}^N)$ の $L^2(\mathbb{R}^N)$ における稠密性より、
$$
\lVert \partial^{\alpha}_hu\rVert_2=\sup\left\{\left\lvert\int_{\mathbb{R}^N}\partial_h^{\alpha}u(x)\varphi(x)dx\right\rvert:\varphi\in D(\mathbb{R}^N),\lVert \varphi\rVert_2\leq1\right\}\leq \lVert\partial^{\alpha}u\rVert_2
$$
が成り立つ。
*$(2)$　任意の $\varphi\in D(\mathbb{R}^N)$ に対し'''補題3.7'''と $(*)$、Lebesgue優収束定理より、
$$
\begin{aligned}
&\left\lvert \int_{\mathbb{R}^N}\partial_h^{\alpha}u(x)\varphi(x)dx\right\rvert=\left\lvert\int_{\mathbb{R}^N}u(x)\partial_{-h}^{\alpha}\varphi(x)dx\right\rvert\\
&=\left\lvert\int_{\mathbb{R}^N}u(x)\left(\int_{[0,1]^{\lvert\alpha\rvert}}\partial^{\alpha}\varphi\left(x-\sum_{k=1}^{\lvert\alpha\rvert}t_khe_{j_k}\right)dt_{1}\cdots dt_{\lvert\alpha\rvert}\right)dx\right\rvert\\
&\rightarrow \left\lvert\int_{\mathbb{R}^N}u(x)\partial^{\alpha}\varphi(x)dx\right\rvert\quad(\lvert h\rvert\rightarrow0)
\end{aligned}
$$
となる。よって仮定より、
$$
\left\lvert\int_{\mathbb{R}^N}u(x)\partial^{\alpha}\varphi(x)dx\right\rvert
=\lim_{\lvert h\rvert\rightarrow0}\left\lvert \int_{\mathbb{R}^N}\partial_h^{\alpha}u(x)\varphi(x)dx\right\rvert\leq C\lVert \varphi\rVert_2\quad(\forall \varphi\in D(\mathbb{R}^N))
$$
であるから、
$$
(D(\mathbb{R}^N),\lVert \cdot\rVert_2)\ni \varphi\mapsto (-1)^{\lvert\alpha\rvert}\int_{\mathbb{R}^N}u(x)\partial^{\alpha}\varphi(x)dx\in \mathbb{C}
$$
はノルムが $C$ 以下の有界線形汎関数である。$D(\mathbb{R}^N)$ の $L^2(\mathbb{R}^N)$ における稠密性よりこれはHilbert空間 $L^2(\mathbb{R}^N)$ 上のノルムが $C$ 以下の有界線形汎関数に一意拡張できるので、Rieszの定理より $f\in L^2(\mathbb{R}^N)$ で、
$$
(-1)^{\lvert\alpha\rvert}\int_{\mathbb{R}^N}u(x)\partial^{\alpha}\varphi(x)dx=
\int_{\mathbb{R}^N}f(x)\varphi(x)dx\quad(\forall \varphi\in D(\mathbb{R}^N)),\quad
\lVert f\rVert_2\leq C
$$
を満たすものが定まる。よって $\partial^{\alpha}u=f\in L^2(\mathbb{R}^N)$ であり、$\lVert \partial^{\alpha}u\rVert_2=\lVert f\rVert_2\leq C$ である。
{{end|proof}}

===定理3.9（全空間上の一様楕円型微分作用素の基本的性質）===
$\mathbb{R}^N$ 上の一様楕円型微分作用素（'''定義3.1'''）
$$
\mathcal{A}\colon D'(\mathbb{R}^N)\ni v\mapsto -\sum_{i,j=1}^{N}\partial_i(a_{i,j}\partial_jv)+bv\in D'(\mathbb{R}^N)
$$
に対し、
$$
p_{\mathcal{A}}(u,v)=\sum_{i,j=1}^{N}\int_{\mathbb{R}^N}a_{i,j}(x)\overline{\partial_iu(x)}\partial_jv(x)dx+\int_{\mathbb{R}^N}b(x)\overline{u(x)}v(x)dx\quad(\forall u,v\in H^1(\mathbb{R}^N))
$$
とおき、
$$
D(A)\colon=\{v\in H^1(\mathbb{R}^N):\mathcal{A}v\in L^2(\mathbb{R}^N), (u\mid Av)_2=p_{\mathcal{A}}(u,v)\text{ }(\forall u\in H^1(\mathbb{R}^N))\},
$$
$$
A\colon D(A)\ni v\mapsto \mathcal{A}v\in L^2(\mathbb{R}^N)
$$
とおく。また $\lambda_0\colon=\inf_{x\in \mathbb{R}^N}b(x)\in \mathbb{R}$ とおく。このとき、
*$(1)$　$A$ はHilbert空間 $L^2(\mathbb{R}^N)$ 上の下に有界な自己共役作用素であり、$\sigma(A)\subset [\lambda_0,\infty)$ が成り立つ。また任意の $\lambda\in (-\infty,\lambda_0)$ に対し、
$$
(A-\lambda)^{-1}\in \mathbb{B}(L^2(\mathbb{R}^N),H^1(\mathbb{R}^N))
$$
が成り立つ。
*$(2)$　$\lambda_0\geq0$ の場合は $A$ はHilbert空間 $L^2(\mathbb{R}^N)$ 上の非負自己共役作用素であり、
$$
D(\sqrt{A})=H^1(\mathbb{R^N}),\quad p_{\mathcal{A}}(u,v)=(\sqrt{A}u\mid\sqrt{A}v)_2\quad(\forall u,v\in H^1(\mathbb{R}^N))
$$
が成り立つ。
*$(3)$　$v\in D(A)$ がある $m\in \mathbb{Z}_+$ に対し $Av\in H^m(\mathbb{R}^N)$ を満たすならば、$v\in H^{m+2}(\mathbb{R}^N)$ が成り立つ。さらに $A,m$ のみによる正実数 $C$ が存在し、
$$
\lVert v\rVert_{2,m+2}\leq C(\lVert Av\rVert_{2,m}+\lVert v\rVert_2)
$$
が成り立つ。
*$(4)$　$D(A)=H^2(\mathbb{R}^N)$ が成り立つ。
{{begin|proof}}
*$(1),(2)$　'''定理3.4'''による。
*$(3)$　$m\in \mathbb{Z}_+$ に関する帰納法より $v\in D(A)$ が $m\in \mathbb{Z}_+$ に対し、
$$
Av\in H^m(\mathbb{R}^N),\quad v\in H^{m+1}(\mathbb{R}^N)
$$
を満たすと仮定して、$v\in H^{m+2}(\mathbb{R}^N)$ であることと、$a_{i,j},b,m$ のみによるある正実数 $C$ で、
$$
\lVert v\rVert_{2,m+2}\leq C(\lVert Av\rVert_{2,m}+\lVert v\rVert_{2,m+1})
$$
を満たすものが存在することを示せば十分である。<ref>一様楕円性条件よりある正実数$C_0$が存在し任意の$v\in D(A)$に対し$\lVert v\rVert_{2,1}\leq C_0(\lVert Av\rVert_2+\lVert v\rVert_2)$が成り立つことに注意。実際、'''定理3.4'''の$(1)$の証明の冒頭部分より、$\lambda<\lambda_0$ なる$\lambda$をとれば、$(v\mid (A-\lambda)v)_2=p_{{\cal A}-\lambda}(v,v)\geq C'\lVert v\rVert_{2,1}^2$ なる正実数$C'$が存在する。</ref>
$$
p(u,v)\colon=\sum_{i,j=1}^{N}\int_{\mathbb{R}^N}a_{i,j}(x)\overline{\partial_iu(x)}\partial_jv(x)dx\quad(\forall u,v\in H^1(\mathbb{R}^N))
$$
とおく。$\lvert\alpha\rvert\leq m+1$ なる任意の多重指数 $\alpha\in \mathbb{Z}_+^N$ を取り固定する。任意の $h\in \mathbb{R}\backslash \{0\}$ と任意の $u\in D(\mathbb{R}^N)$ に対し、'''補題3.7'''と'''命題3.6'''より、
$$
\begin{aligned}
p(u,\partial_h^{\alpha}v)&=\sum_{i,j=1}^{N}\int_{\mathbb{R}^N}a_{i,j}(x)
\partial_i \overline{u}(x)\partial_h^{\alpha}\partial_jv(x)dx=(-1)^{\lvert\alpha\rvert}\sum_{i,j=1}^{N}\int_{\mathbb{R}^N}\partial_{-h}^{\alpha}(a_{i,j}\partial_i\overline{u})(x)\partial_jv(x)dx\\
&=(-1)^{\lvert\alpha\rvert}p(\partial_{-h}^{\alpha}u,v)+(-1)^{\lvert\alpha\rvert}\sum_{0<\beta\leq\alpha}\begin{pmatrix}\alpha\\\beta\end{pmatrix}\int_{\mathbb{R}^N}\partial_{-h}^{\beta}a_{i,j}(x)\partial_{-h}^{\alpha-\beta}\tau_{-h}^{\beta}\partial_i\overline{u}(x)\partial_jv(x)dx\\
&=(-1)^{\lvert\alpha\rvert}\int_{\mathbb{R}^N}\partial_{-h}^{\alpha}\overline{u}(x)(Av-bv)(x)dx
+\sum_{0<\beta\leq\alpha}\begin{pmatrix}\alpha\\\beta\end{pmatrix}(-1)^{\lvert\beta\rvert}\int_{\mathbb{R}^N}\tau_{-h}^{\beta}\partial_i\overline{u}(x)\partial_h^{\alpha-\beta}(\partial_{-h}^{\beta}a_{i,j}\partial_jv)(x)dx
\end{aligned}
$$
となるから、'''補題3.7'''と'''補題3.8'''より、$a_{i,j},b,\alpha$ のみによる正実数 $C_1$ が存在し、
$$
\lvert p(u,\partial_h^{\alpha}v)\rvert\leq C_1(\lVert Av\rVert_{2,m}+\lVert v\rVert_{2,m+1})\lVert u\rVert_{2,1}\quad(\forall h\in \mathbb{R}\backslash\{0\},\forall u\in D(\mathbb{R}^N))
$$
が成り立つことが分かる。そして $\partial_h^{\alpha}v\in H^{m+1}(\mathbb{R}^N)\subset H^1(\mathbb{R}^N)=\overline{D(\mathbb{R}^N)}^{\lVert \cdot\rVert_{2,1}}$ である（[[Sobolev空間の基本事項]]の'''定理32.2'''）から、上式より、
$$
p(\partial_h^{\alpha}v,\partial_h^{\alpha}v)\leq C_1(\lVert Av\rVert_{2,m}+\lVert v\rVert_{2,m+1})\lVert \partial_h^{\alpha}v\rVert\quad(\forall h\in \mathbb{R}\backslash \{0\})
$$
が成り立つ。また'''補題3.8'''より、
$$
(\partial_h^{\alpha}v\mid \partial_h^{\alpha}v)_2=\lVert \partial_h^{\alpha}v\rVert_2^2\leq \lVert \partial^{\alpha}v\rVert_{2}\lVert \partial_h^{\alpha}v\rVert_2\leq \lVert v\rVert_{2,m+1}\lVert \partial_h^{\alpha}v\rVert_{2,1}\quad(\forall h\in \mathbb{R}\backslash \{0\})
$$
であるから、$a_{i,j},b,\alpha$ のみによる正実数 $C_2$ が存在し、
$$
p(\partial_h^{\alpha}v,\partial_h^{\alpha}v)+(\partial_h^{\alpha}v\mid \partial_h^{\alpha}v)_2
\leq C_2(\lVert Av\rVert_{2,m}+\lVert v\rVert_{2,m+1})\lVert \partial_h^{\alpha}v\rVert_{2,1}\quad(\forall h\in \mathbb{R}\backslash \{0\})
$$
が成り立つ。ここで一様楕円性条件（'''定義3.1'''）より $a_{i,j}$ のみによる正実数 $C_3$ が存在し、
$$
C_3\lVert \partial_h^{\alpha}v\rVert_{2,1}^2\leq p(\partial_h^{\alpha}v,\partial_h^{\alpha}v)+(\partial_h^{\alpha}v\mid \partial_h^{\alpha}v)_2
$$
が成り立つので、上式と合わせて、$a_{i,j},b,\alpha$ のみによる正実数 $C_4$ が存在し、
$$
\lVert \partial_h^{\alpha}v\rVert_{2,1}\leq C_4(\lVert Av\rVert_{2,m}+\lVert v\rVert_{2,m+1})\quad(\forall h\in \mathbb{R}\backslash \{0\})
$$
が成り立つことが分かる。これより、
$$
\lVert \partial_h^{\alpha}\partial_jv\rVert_2\leq C_4(\lVert Av\rVert_{2,m}+\lVert v\rVert_{2,m+1})\quad(\forall h\in \mathbb{R}\backslash \{0\}, \forall j\in \{1,\ldots,N\})
$$
であるから、'''補題3.8'''の $(2)$ より $\partial^{\alpha}\partial_jv\in L^2(\mathbb{R}^N)$ $(j=1,\ldots,N)$ であり、
$$
\lVert \partial^{\alpha}\partial_jv\rVert_2\leq C_4(\lVert Av\rVert_{2,m}+\lVert v\rVert_{2,m+1})\quad(\forall j\in \{1,\ldots,N\})
$$
が成り立つ。よって $\alpha$ の任意性より $v\in H^{m+2}(\mathbb{R}^N)$ であり、求める結果を得る。
*$(4)$　$(3)$ より $D(A)\subset H^2(\mathbb{R}^N)$ である。逆に $v\in H^2(\mathbb{R}^N)$ ならば、
$$
\mathcal{A}v=-\sum_{i,j=1}^{N}\partial_i(a_{i,j}\partial_jv)+bv\in L^2(\mathbb{R}^N)
$$
であり、任意の $u\in D(\mathbb{R}^N)$ に対し、
$$
\begin{aligned}
p_{\mathcal{A}}(u,v)&=\sum_{i,j=1}^{N}\int_{\mathbb{R}^N}a_{i,j}(x)\partial_i\overline{u}(x)\partial_jv(x)dx+\int_{\mathbb{R}^N}b(x)\overline{u}(x)v(x)dx\\
&=-\sum_{i,j=1}^{N}\int_{\mathbb{R}^N}\overline{u}(x)\partial_i(a_{i,j}\partial_jv)(x)dx+\int_{\mathbb{R}^N}b(x)\overline{u}(x)v(x)dx\\
&=(u\mid \mathcal{A}v)_2
\end{aligned}
$$
である。よって $H^1(\mathbb{R}^N)=\overline{D(\mathbb{R}^N)}^{\lVert \cdot\rVert_{2,1}}$（[[Sobolev空間の基本事項]]の'''定理32.2'''）より、
$$
p_{\mathcal{A}}(u,v)=(u\mid \mathcal{A}v)_{2}\quad(\forall u\in H^1(\mathbb{R}^N))
$$
であるから $v\in D(A)$ である。ゆえに $D(A)=H^2(\mathbb{R}^N)$ が成り立つ。
{{end|proof}}

===補題3.10（内部正則性）===
$\Omega\subset \mathbb{R}^N$ を開集合とし、$\Omega$ 上の一様楕円型微分作用素（'''定義3.1'''）
$$
\mathcal{A}\colon D'(\Omega)\ni v\mapsto -\sum_{i,j=1}^{N}\partial_i(a_{i,j}\partial_jv)+bv\in D'(\Omega)
$$
を考える。そして $v$ が $m\in \mathbb{Z}_+$ に対し、
$$
v\in H^{m+1}(\Omega),\quad \mathcal{A}v\in H^m(\Omega)
$$
を満たすとする。このとき、
$$
d(\Omega_0,\mathbb{R}^N\backslash \Omega)>0
$$
を満たす任意の開集合 $\Omega_0\subset \Omega$ に対し、$v$ の $\Omega_0$ 上への制限 $v|_{\Omega_0}$ は、 $$v|_{\Omega_0}\in H^{m+2}(\Omega_0)$$ を満たし、$a_{i,j},b,m,\Omega_0$ のみによる正実数 $C$ が存在し、
$$
\lVert v|_{\Omega_0}\rVert_{2,m+2}\leq C(\lVert \mathcal{A}v\rVert_{2,m}+\lVert v\rVert_{2,m+1})
$$
が成り立つ。
{{begin|proof}}
$$
r\colon=d(\Omega_0,\mathbb{R}^N\backslash \Omega)>0
$$
とおき、
$$
0\colon=r_0<r_1<r_2<r_3<r_4< r,\quad \Omega_k\colon=\{x\in \mathbb{R}^N:d(x,\Omega_0)<r_k\}\quad(k=1,2,3,4),
$$
$$
\delta\colon=\frac{1}{m+1}{\rm min}(r_1-r_0,r_2-r_1,r_3-r_2,r_4-r_3)>0\quad\quad(1)
$$
とおく。このとき $\Omega_1,\Omega_2,\Omega_3,\Omega_4$ は開集合であり（[[超関数の定義と基本操作]]の'''命題2.2'''）、
$$
\Omega_0\subset \Omega_1\subset \Omega_2\subset \Omega_3\subset \Omega_4\subset \Omega,
$$
$$
d(\Omega_{k-1},\mathbb{R}^N\backslash \Omega_k)\geq r_k-r_{k-1}>0\quad(k=1,2,3,4)\quad\quad(2)
$$
である。特に $d(\Omega_0,\mathbb{R}^N\backslash \Omega_1)>0$ であるから [[Sobolev空間の基本事項]]の'''補題33.1'''より全ての偏導関数が有界な $C^\infty$ 級関数 $\rho\colon\mathbb{R}^N\rightarrow [0,\infty)$ で、
$$
\rho|_{\Omega_0}=1,\quad {\rm supp}(\rho)\subset \Omega_1\quad\quad(3)
$$
を満たすものが取れる。$\rho v\in H^{m+1}(\Omega)$ に対し ${\rm supp}(\rho v)\subset {\rm supp}(\rho)\subset \Omega_1$ より、
$$
d({\rm supp}(\rho u), \mathbb{R}^N\backslash \Omega)\geq d(\Omega_1,\mathbb{R}^N\backslash \Omega)\geq r-r_1>0
$$
であるから、[[Sobolev空間の基本事項]]の'''定理33.3'''より $\rho v$ の $\mathbb{R}^N$ 上への $0$ 拡張を $w$ とおくと、
$$
w\in H^{m+1}(\mathbb{R}^N),\quad {\rm supp}(w)={\rm supp}(\rho v)\subset {\rm supp}(\rho)\subset \Omega_1,\quad \lVert w\rVert_{2,m+1}=\lVert\rho v\rVert_{2,m+1}\quad\quad(4)
$$
が成り立つ。今、
$$
p(u_1,u_2)\colon=\sum_{i,j=1}^{N}\int_{\Omega}a_{i,j}(x)\partial_i\overline{u_1}(x)\partial_ju_2(x)dx\quad(\forall u_1,u_2\in H^1(\Omega))
$$
とおき、$a_{i,j}\colon \Omega\rightarrow \mathbb{C}$ を $\mathbb{R}^N$ 上へ $0$ 拡張したものを $\widetilde{a_{i,j}}\colon \mathbb{R}^N\rightarrow\mathbb{C}$ とおく。そして $\lvert\alpha\rvert\leq m+1$ を満たす任意の多重指数 $\alpha\in \mathbb{Z}_+^N$ を取り固定する。$0<\lvert h\rvert <\delta$ を満たす任意の $h\in \mathbb{R}$ と任意の $u\in D(\Omega)\subset D(\mathbb{R}^N)$ に対し、'''補題3.7'''と'''命題3.6'''より、
$$
\begin{aligned}
&p(u,(\partial_h^{\alpha}w)|_{\Omega})=\sum_{i,j=1}^{N}\int_{\mathbb{R}^N}\widetilde{a_{i,j}}(x)\partial_i\overline{u}(x)\partial_h^{\alpha}\partial_jw(x)dx=(-1)^{\lvert\alpha\rvert}\sum_{i,j=1}^{N}\int_{\mathbb{R}^N}\partial_jw(x)\partial_{-h}^{\alpha}(\widetilde{a_{i,j}}\partial_i\overline{u})(x)dx\\
&=(-1)^{\lvert\alpha\rvert}\sum_{i,j=1}^{N}\left(\int_{\mathbb{R}^N}\partial_jw(x)\widetilde{a_{i,j}}(x)\partial_{-h}^{\alpha}\partial_i\overline{u}(x)dx+\sum_{0<\beta\leq\alpha}\begin{pmatrix}\alpha\\\beta\end{pmatrix}\int_{\mathbb{R}^N}\partial_jw(x)\partial_{-h}^{\beta}\widetilde{a_{i,j}}(x)\partial_{-h}^{\alpha-\beta}\tau_{-h}^{\beta}\partial_i\overline{u}(x)dx\right)\\
&=(-1)^{\lvert\alpha\rvert}p(\partial_{-h}^{\alpha}u,\rho v)+\sum_{i,j=1}^{N}\sum_{0<\beta\leq\alpha}\begin{pmatrix}\alpha\\\beta\end{pmatrix}(-1)^{\lvert\beta\rvert}\int_{\mathbb{R}^N}\partial_h^{\alpha-\beta}(\partial_jw\partial_{-h}^{\beta}\widetilde{a_{i,j}})(x)\tau_{-h}^{\beta}\partial_i\overline{u}(x)dx\quad\quad(5)
\end{aligned}
$$
となる。$(5)$ の右辺の第二項の評価を考える。$(4)$ より ${\rm supp}(w)\subset \Omega_1$ であるから、$0<\lvert h\rvert<\delta$ であることと $(1),(2)$ より $0<\beta\leq \alpha$ なる任意の多重指数 $\beta\in \mathbb{Z}_+^N$ に対し $\partial_{h}^{\alpha-\beta}(\partial_jw\partial_{-h}^{\beta}\widetilde{a_{i,j}})$ の台は $\Omega_2$ に含まれるので、'''命題3.6'''と'''補題3.8'''の $(1)$ より、
$$
\begin{aligned}
&\lVert \partial_{h}^{\alpha-\beta}(\partial_jw\partial_{-h}^{\beta}\widetilde{a_{i,j}})\rVert_2
=\lVert (\partial_{h}^{\alpha-\beta}(\partial_jw\partial_{-h}^{\beta}\widetilde{a_{i,j}}))|_{\Omega_2}\rVert_2\leq \sum_{\gamma\leq\alpha-\beta}\begin{pmatrix}\alpha-\beta\\\gamma\end{pmatrix}\lVert (\partial_h^{\alpha-\beta-\gamma}\partial_jw)|_{\Omega_2}(\tau_h^{\alpha-\beta-\gamma}\partial_h^{\gamma}\partial_{-h}^{\beta}\widetilde{a_{i,j}})|_{\Omega_2}\rVert_2\\
&\leq \sum_{\gamma\leq\alpha-\beta}\begin{pmatrix}\alpha-\beta\\\gamma\end{pmatrix}\lVert (\partial_h^{\alpha-\beta-\gamma}\partial_jw)|_{\Omega_2}\rVert_2\lVert (\partial_h^{\gamma}\partial_{-h}^{\beta}\widetilde{a_{i,j}})|_{\Omega_3}\rVert_{\infty}
\leq \sum_{\gamma\leq\alpha-\beta}\begin{pmatrix}\alpha-\beta\\\gamma\end{pmatrix}\lVert (\partial^{\alpha-\beta-\gamma}\partial_jw)\rVert_2\lVert (\partial^{\gamma}\partial^{\beta}a_{i,j})|_{\Omega_4}\rVert_{\infty}\\
&\leq \sum_{\gamma\leq\alpha-\beta}\begin{pmatrix}\alpha-\beta\\\gamma\end{pmatrix}\lVert w\rVert_{2,m+1}\lVert \partial^{\gamma}\partial^{\beta}a_{i,j}\rVert_{\infty}=
\sum_{\gamma\leq\alpha-\beta}\begin{pmatrix}\alpha-\beta\\\gamma\end{pmatrix}\lVert \rho v\rVert_{2,m+1}\lVert \partial^{\gamma}\partial^{\beta}a_{i,j}\rVert_{\infty}
\end{aligned}
$$
となる。よって $\rho,a_{i,j},\alpha$ のみによる正数 $C_1$ が存在し、
$$
\begin{aligned}
&\lvert\lvert p(u,(\partial_h^{\alpha}w)|_{\Omega})-(-1)^{\lvert\alpha\rvert}p(\partial_{-h}^{\alpha}u,\rho v)\rvert=(\text{$(5)$ の右辺の第二項})\\
&\leq C_1\lVert v\rVert_{2,m+1}\lVert u\rVert_{2,1}\quad(\forall h\in \mathbb{R}:0<\lvert h\rvert<\delta,\forall u\in D(\Omega))\quad\quad(6)
\end{aligned}
$$
が成り立つ。今、
$$
\begin{aligned}
p(u,(\partial_h^{\alpha}w)|_{\Omega})&=\{p(u,(\partial_h^{\alpha}w)|_{\Omega})-(-1)^{\lvert\alpha\rvert}p(\partial_{-h}^{\alpha}u,\rho v)\}\\
&+(-1)^{\lvert\alpha\rvert}(p(\partial_{-h}^{\alpha}u,\rho v)-p(\rho\partial_h^{\alpha}u,v))\\
&+(-1)^{\lvert\alpha\rvert}\int_{\Omega}(\mathcal{A}v-bv)(x)\rho(x)\partial_{-h}^{\alpha}\overline{u}(x)dx\\
&(\forall h\in \mathbb{R}:0<\lvert h\rvert<\delta,\forall u\in D(\Omega))\quad\quad(7)
\end{aligned}
$$
<ref>$\rho$ は滑らかで ${\rm supp}(\rho)\subset \Omega_1$ であるから、$\rho\partial_{-h}^{\alpha}\overline{u}\in D(\Omega)$ であること、任意の $\varphi\in D(\Omega)$ に対し $p(\varphi,v)=\int_{\Omega}(\mathcal{A}v-bv)(x)\overline{\varphi}(x)dx$ であることに注意。</ref>であり、$(6)$ は $(7)$ の右辺の第一項の評価を与えている。$(7)$ の右辺の第三項の評価を考える。$(\mathcal{A}v-bv)\rho\in H^m(\Omega)$ であり、$(3)$ より、
$$
d({\rm supp}((\mathcal{A}v-bv)\rho),\mathbb{R}^N\backslash \Omega)\geq d(\Omega_1,\mathbb{R}^N\backslash \Omega)\geq r-r_1>0
$$
であるから、[[Sobolev空間の基本事項]]の'''定理33.3'''より、$(\mathcal{A}v-bv)\rho\in H^m(\Omega)$ の $\mathbb{R}^N$ 上への $0$ 拡張 $\widetilde{(\mathcal{A}v-bv)\rho}$ は、
$$
\widetilde{(\mathcal{A}v-bv)\rho}\in H^m(\mathbb{R}^N),\quad \lVert \widetilde{(\mathcal{A}v-bv)\rho}\rVert_{2,m}=\lVert (\mathcal{A}v-bv)\rho\rVert_{2,m}
$$
を満たす。よって'''補題3.7'''と'''補題3.8'''の $(2)$ より、
$$
\begin{aligned}
&\lvert \text{$(7)$ の右辺の第三項}\rvert=\left\lvert \int_{\Omega}(\mathcal{A}v-bv)(x)\rho(x)\partial_{-h}^{\alpha}\overline{u}(x)dx\right\rvert
=\left\lvert\int_{\mathbb{R^N}}\widetilde{(\mathcal{A}v-bv)\rho}(x)\partial_{-h}^{\alpha}\overline{u}(x)dx\right\rvert\\
&\leq \lVert \widetilde{(\mathcal{A}v-bv)\rho}\rVert_{2,m}\lVert u\rVert_{2,1}=\lVert(\mathcal{A}v-bv)\rho\rVert_{2,m}\lVert u\rVert_{2,1}\leq C_3(\lVert \mathcal{A}v\rVert_{2,m}+\lVert v\rVert_{2,m})\lVert u\rVert_{2,1}\quad\quad(8)
\end{aligned}
$$
と評価できる（ただし $C_3$ は $\rho,b,m$ のみによる正実数である）。$(7)$ の右辺の第二項の評価を考える。
$$
\begin{aligned}
&\lvert \text{$(7)$ の右辺の第二項}\rvert=\lvert p(\partial_{-h}^{\alpha}u,\rho v)-p(\rho\partial_h^{\alpha}u,v)\rvert\\
&=\left\lvert \sum_{i,j=1}^{N}\left(\int_{\Omega}a_{i,j}(x)\partial_j(\rho v)(x)\partial_{-h}^{\alpha}\partial_i\overline{u}(x)dx-\int_{\Omega}a_{i,j}(x)\partial_jv(x)(\partial_i(\rho\partial_{-h}^{\alpha}\overline{u}))(x)dx\right)\right\rvert\\
&=\left\lvert \sum_{i,j=1}^{N}\left(\int_{\Omega}a_{i,j}(x)v(x)\partial_j\rho(x)\partial_{-h}^{\alpha}\partial_i\overline{u}(x)dx-\int_{\Omega}a_{i,j}(x)\partial_jv(x)\partial_i\rho(x)\partial_{-h}^{\alpha}\overline{u}(x)dx\right)\right\rvert\quad\quad(9)
\end{aligned}
$$
であり、$(3)$ より、
$$
a_{i,j}v\partial_j\rho \in H^{m+1}(\Omega),\quad d({\rm supp}(a_{i,j}v\partial_j\rho,\mathbb{R}^N\backslash \Omega)\geq d({\rm supp}(\rho),\mathbb{R}^N\backslash \Omega)>0,
$$
$$
a_{i,j}\partial_jv\partial_i\rho\in H^{m}(\Omega),\quad d({\rm supp}(a_{i,j}\partial_jv\partial_i\rho),\mathbb{R}^N\backslash \Omega)\geq d({\rm supp}(\rho),\mathbb{R}^N\backslash \Omega)>0
$$
であるから、$a_{i,j}v\partial_j\rho \in H^{m+1}(\Omega)$ の $\mathbb{R}^N$ 上への $0$ 拡張 $\widetilde{(a_{i,j}v)}\partial_j\rho $ と、$a_{i,j}\partial_jv\partial_i\rho\in H^m(\Omega)$ の $\mathbb{R}^N$ 上への $0$ 拡張 $\widetilde{(a_{i,j}\partial_jv)}\partial_i\rho$ は、[[Sobolev空間の基本事項]]の'''定理33.3'''より、
$$
\widetilde{(a_{i,j}v)}\partial_j\rho \in H^{m+1}(\mathbb{R}^N),\quad \lVert \widetilde{(a_{i,j}v)}\partial_j\rho \rVert_{2,m+1}=\lVert a_{i,j}v\partial_j\rho \rVert_{2,m+1},
$$
$$
\widetilde{(a_{i,j}\partial_jv)}\partial_i\rho\in H^m(\mathbb{R}^N),\quad \lVert \widetilde{(a_{i,j}\partial_jv)}\partial_i\rho\rVert_{2,m}=\lVert a_{i,j}\partial_jv\partial_i\rho\rVert_{2,m}
$$
を満たす。よって $(9)$ の右辺は'''補題3.7'''と'''補題3.8'''の $(1)$ より、
$$
\begin{aligned}
&\left\lvert \sum_{i,j=1}^{N}\left(\int_{\Omega}a_{i,j}(x)\partial_j(\rho v)(x)\partial_{-h}^{\alpha}\partial_i\overline{u}(x)dx-\int_{\Omega}a_{i,j}(x)\partial_jv(x)(\partial_i(\rho\partial_{-h}^{\alpha}\overline{u}))(x)dx\right)\right\rvert\\
&=\left\lvert \sum_{i,j=1}^{N}\left(\int_{\mathbb{R}^N}\widetilde{(a_{i,j}v)}(x)\partial_j\rho(x)\partial_{-h}^{\alpha}\partial_i\overline{u}(x)dx-\int_{\mathbb{R}^N}\widetilde{(a_{i,j}\partial_jv)}
(x)\partial_i\rho(x)\partial_{-h}^{\alpha}\overline{u}(x)dx\right)\right\rvert\\
&\leq \sum_{i,j=1}^{N}(\lVert\widetilde{(a_{i,j}v)}\partial_j\rho\rVert_{2,m+1}+\lVert \widetilde{(a_{i,j}\partial_jv)}\partial_i\rho\rVert_{2,m})\lVert u\rVert_{2,1}\\
&\leq \sum_{i,j=1}^{N}(\lVert a_{i,j}v\partial_j\rho\rVert_{2,m+1}+\lVert a_{i,j}\partial_jv\partial_i\rho\rVert_{2,m})\lVert u\rVert_{2,1}\\
&\leq C_2\lVert v\rVert_{2,m+1}\lVert u\rVert_{2,1}
\end{aligned}
$$
（ただし $C_2$ は $a_{i,j},\rho,m$ のみによる正実数である）となるので、
$$
\lVert (\text{$(7)$ の右辺の第二項})\rVert\leq C_2\lVert v\rVert_{2,m+1}\lVert u\rVert_{2,1}\quad\quad(10)
$$
と評価できる。こうして $(7)$ の右辺の第一項、第二項、第三項はそれぞれ $a_{i,j},b,\rho,\alpha,m$ のみによる正実数 $C_1,C_2,C_3$ により $(6),(10),(8)$ によって評価されるので、$a_{i,j},b,\rho,\alpha,m$ のみによる正実数 $C_4$ が存在し、
$$
\lvert p(u,(\partial_h^{\alpha}w)|_{\Omega})\rvert\leq C_4(\lVert \mathcal{A}v\rVert_{2,m}+\lVert v\rVert_{2,m+1})\lVert u\rVert_{2,1}\quad(\forall h\in \mathbb{R},0<\lvert h\rvert<\delta,\forall u\in D(\Omega))\quad\quad(11)
$$
が成り立つ。ここで ${\rm supp}(\omega)\subset \Omega_1$ であることと $(1)$ より、
$$
d({\rm supp}(\partial_h^{\alpha}w),\mathbb{R}^N\backslash \Omega)\geq d(\Omega_2,\mathbb{R}^N\backslash \Omega)\geq r-r_2>0\quad(\forall h\in \mathbb{R},0<\lvert h\rvert<\delta)
$$
であるので、[[Sobolev空間の基本事項]]の'''系33.5'''より、
$$
(\partial_h^{\alpha}w)|_{\Omega}\in H^1_0(\Omega)=\overline{D(\Omega)}^{\lVert \cdot\rVert_{2,1}},\quad \lVert \partial_h^{\alpha}w\rVert_{2,1}=\lVert (\partial_h^{\alpha}w)|_{\Omega}\rVert_{2,1}\quad(\forall h\in \mathbb{R},0<\lvert h\rvert<\delta)\quad\quad(12)
$$
が成り立つ。よって $(12)$ の左の式と $(11)$ より、
$$
p((\partial_h^{\alpha}w)|_{\Omega},(\partial_h^{\alpha}w)|_{\Omega})\leq C_4(\lVert \mathcal{A}v\rVert_{2,m}+\lVert v\rVert_{2,m+1})\lVert (\partial_h^{\alpha}w)|_{\Omega}\rVert_{2,1}\quad(\forall h\in\mathbb{R},0<\lvert h\rvert<\delta)
$$
が成り立つので、一様楕円性条件（'''定義3.1'''）より、$a_{i,j},b,\rho,\alpha,m$ のみによる正実数 $C_5$ が存在し、
$$
\lVert (\partial_h^{\alpha}w)|_{\Omega}\rVert_{2,1}^2\leq C_5(\lVert \mathcal{A}v\rVert_{2,m}+\lVert v\rVert_{2,m+1})\lVert (\partial_h^{\alpha}w)|_{\Omega}\rVert_{2,1}\quad(\forall h\in \mathbb{R},0<\lvert h\rvert<\delta)
$$
が成り立つ。よって $(12)$ の右の式より、
$$
\lVert \partial_h^{\alpha}w\rVert_{2,1}\leq C_5(\lVert \mathcal{A}v\rVert_{2,m}+\lVert v\rVert_{2,m+1})\quad(\forall h\in \mathbb{R},0<\lvert h\rvert<\delta)
$$
が成り立つ。これより、
$$
\lVert \partial_h^{\alpha}\partial_jw\rVert_{2}\leq C_5(\lVert \mathcal{A}v\rVert_{2,m}+\lVert v\rVert_{2,m+1})\quad(\forall h\in \mathbb{R},0<\lvert h\rvert<\delta,\forall j\in \{1,\ldots,N\})
$$
であるから、'''補題3.8'''の $(2)$ より $\partial^{\alpha}\partial_jw\in L^2(\mathbb{R}^N)$ $(j=1,\ldots,N)$ であり、
$$
\lVert \partial^{\alpha}\partial_jw\rVert_2\leq C_5(\lVert \mathcal{A}v\rVert_{2,m}+\lVert v\rVert_{2,m+1})\quad(\forall j\in \{1,\ldots,N\})
$$
が成り立つ。よって $\alpha$ の任意性より $w\in H^{m+2}(\mathbb{R}^N)$ であり、$a_{i,j},b,\rho,m$ のみによる正実数 $C$ が存在し、
$$
\lVert w\rVert_{2,m+2}\leq C(\lVert \mathcal{A}v\rVert_{2,m}+\lVert v\rVert_{2,m+1})
$$
が成り立つ。$(3)$ より $v|_{\Omega_0}=w|_{\Omega_0}$ であるから、
$$
v|_{\Omega_0}=w|_{\Omega_0}\in H^{m+2}(\Omega_0),\quad
\lVert v|_{\Omega_0}\rVert_{2,m+2}\leq \lVert w\rVert_{2,m+2}\leq C(\lVert \mathcal{A}v\rVert_{2,m}+\lVert v\rVert_{2,m+1})
$$
が成り立つ。
{{end|proof}}

===定義3.11===
$Q,Q_+\subset \mathbb{R}^N$ を、
$$
Q\colon=(-1,1)^N,\quad Q_+\colon =(-1,1)^{N-1}\times (0,1)
$$
と定義する。また任意の $\epsilon\in (0,1)$ に対し、
$$
Q_{\epsilon}\colon=(-\epsilon,\epsilon)^N,\quad Q_{\epsilon,+}\colon=(-\epsilon,\epsilon)^{N-1}\times (0,\epsilon)
$$
と定義する。

===補題3.12===
$Q_+\subset \mathbb{R}^N_+=\mathbb{R}^{N-1}\times (0,\infty)$ 上の一様楕円型微分作用素（'''定義3.1'''）
$$
\mathcal{A}\colon D'(Q_+)\ni v\mapsto -\sum_{i,j=1}^{N}-\partial_i(a_{i,j}\partial_jv)\in D'(Q_+)
$$
を考え、
$$
p(u,v)\colon=\sum_{i,j=1}^{N}\int_{Q_+}a_{i,j}(x)\overline{\partial_iu(x)}\partial_jv(x)dx\quad(\forall u,v\in H^1(Q_+))
$$
とおく。そして $m\in \mathbb{Z}_+$ に対し、
$$
v\in H^{m+1}(Q_+),\quad \mathcal{A}v\in H^{m}(Q_+)
$$
が成り立つとし、さらに次のうちのいずれかが成り立つと仮定する。
*$({\rm a})$　任意の $\rho\in D(Q)|_{Q_+}$ に対し $\rho v\in H^1_0(Q_+)$.
*$({\rm b})$　任意の $u\in D(Q)|_{Q_+}$ に対し $p(u,v)=(u\mid \mathcal{A}v)_2$.　
このとき任意の $\epsilon\in (0,1)$ に対し $v|_{Q_{\epsilon,+}}\in H^{m+2}(Q_{\epsilon,+})$ が成り立ち、$\epsilon,a_{i,j},m$ のみによる正実数 $C$ が存在し、
$$
\lVert v|_{Q_{\epsilon,+}}\rVert_{2,m+2}\leq C(\lVert \mathcal{A}v\rVert_{2,m}+\lVert v\rVert_{2,m+1})
$$
が成り立つ。
{{begin|proof}}
任意の $\epsilon\in (0,1)$ を取り固定する。
$$
\epsilon_0\colon=\epsilon<\epsilon_1<\epsilon_2<\epsilon_3<\epsilon_4<1
$$
とおき、
$$
\delta\colon=\frac{1}{m+1}{\rm min}(\epsilon_1-\epsilon_0,\epsilon_2-\epsilon_1,\epsilon_3-\epsilon_2,\epsilon_4-\epsilon_3)>0\quad\quad(1)
$$
とおく。Urysohnの補題（[[ベクトル解析4：Euclid空間内の多様体上の測度と積分]]の'''定理15.5'''）より非負値の $\rho\in D( \mathbb{R}^N)$ で、
$$
\rho|_{Q_{\epsilon}}=1,\quad {\rm supp}(\rho)\subset Q_{\epsilon_1}\quad\quad(2)
$$
を満たすものが取れる。$\rho v\in H^{m+1}(Q_+)$ に対し、
$$
{\rm supp}(\rho v)\subset {\rm supp}(\rho) \cap Q_+\subset Q_{\epsilon_1,+}
$$
より、
$$
d({\rm supp}(\rho v),\mathbb{R}^N_+\backslash Q_{+})\geq d(Q_{\epsilon_1,+},\mathbb{R}^N_+\backslash Q_+)\geq 1-\epsilon_1>0
$$
であるから、[[Sobolev空間の基本事項]]の'''定理33.3'''より $\rho v\in H^{m+1}(Q_+)$ の $\mathbb{R}^N_+$ 上への $0$ 拡張を $w$ とおくと、
$$
w\in H^{m+1}(\mathbb{R}^N_+),\quad {\rm supp}(w)={\rm supp}(\rho v)\subset Q_{\epsilon_1,+},\quad \lVert w\rVert_{2,m+1}=\lVert \rho v\rVert_{2,m+1}\quad\quad(3)
$$
が成り立つ。今、
$$
\lvert \alpha\rvert\leq m+1,\quad \alpha_N=0\quad\quad(4)
$$
を満たす任意の多重指数 $\alpha\in \mathbb{Z}_+^N$ を取り固定する。$a_{i,j}\colon Q_+\rightarrow\mathbb{C}$ の $\mathbb{R}^N$ 上への $0$ 拡張を $\widetilde{a_{i,j}}\colon \mathbb{R}^N\rightarrow\mathbb{C}$ とおく。$0<\lvert h\rvert<\delta$ を満たす任意の $h\in \mathbb{R}$ と任意の $u\in D(Q)|_{Q_+}$ に対し、'''補題3.7'''と'''命題3.6'''より、
$$
\begin{aligned}
&p(u,(\partial_h^{\alpha}w)|_{Q_+})=\sum_{i,j=1}^{N}\int_{\mathbb{R}^N_+}\widetilde{a_{i,j}}(x)\partial_i\overline{u}(x)\partial_h^{\alpha}\partial_jw(x)dx=(-1)^{\lvert\alpha\rvert}\sum_{i,j=1}^N\int_{\mathbb{R}^N_+}\partial_{-h}^{\alpha}(\widetilde{a_{i,j}}(x)\partial_i\overline{u})(x)\partial_jw(x)dx\\
&=(-1)^{\lvert\alpha\rvert}\left(\int_{\mathbb{R}^N_+}\widetilde{a_{i,j}}(x)\partial_{-h}^{\alpha}\partial_i\overline{u}(x)\partial_jw(x)dx+\sum_{0<\beta\leq\alpha}\begin{pmatrix}\alpha\\\beta\end{pmatrix}\int_{\mathbb{R}^N_+}\partial_{-h}^{\beta}\widetilde{a_{i,j}}(x)\partial_{-h}^{\alpha-\beta}\tau_{-h}^{\beta}\partial_i\overline{u}(x)\partial_jw(x)dx\right)\\
&=(-1)^{\lvert \alpha\rvert}p(\partial_{-h}^{\alpha}u,\rho v)+\sum_{i,j=1}^{N}\sum_{0<\beta\leq\alpha}\begin{pmatrix}\alpha\\\beta\end{pmatrix}(-1)^{\lvert\beta\rvert}\int_{\mathbb{R}^N_+}\partial_h^{\alpha-\beta}(\partial_jw\partial_{-h}^{\beta}\widetilde{a_{i,j}})\tau_{-h}^{\beta}\partial_i\overline{u}(x)dx\quad\quad(5)
\end{aligned}
$$
となる。$(5)$ の右辺の第二項の評価を考える。$(3)$ より ${\rm supp}(w)\subset Q_{\epsilon_1,+}$ であるから $(1),(4)$ より $0<\beta\leq \alpha$ なる任意の $\beta\in \mathbb{Z}_+^N$ に対し $\partial_h^{\alpha-\beta}(\partial_jw\partial_{-h}^{\beta}\widetilde{a_{i,j}})$ の台は $Q_{\epsilon_2,+}$ に含まれるので'''命題3.6'''と'''補題3.8'''の $(1)$ より、
$$
\begin{aligned}
&\lVert \partial_h^{\alpha-\beta}(\partial_jw\partial_{-h}^{\beta}\widetilde{a_{i,j}})\rVert_2
=\lVert (\partial_h^{\alpha-\beta}(\partial_jw\partial_{-h}^{\beta}\widetilde{a_{i,j}})|_{Q_{\epsilon_{2,+}}}\rVert_2\\
&\leq \sum_{\gamma\leq \alpha-\beta}\begin{pmatrix}\alpha-\beta\\\gamma\end{pmatrix}(\partial_h^{\alpha-\beta-\gamma}\partial_jw)|_{Q_{\epsilon_{2,+}}}(\tau_h^{\alpha-\beta-\gamma}\partial_h^{\gamma}\partial_{-h}^{\beta}\widetilde{a_{i,j}})|_{Q_{\epsilon_{2,+}}}\rVert_2\\
&\leq \sum_{\gamma\leq\alpha-\beta}\begin{pmatrix}\alpha-\beta\\\gamma\end{pmatrix}\lVert (\partial_h^{\alpha-\beta-\gamma}\partial_jw)|_{Q_{\epsilon_{2,+}}}\rVert_2\lVert (\partial_h^{\gamma}\partial_{-h}^{\beta}\widetilde{a_{i,j}})|_{Q_{\epsilon_{3,+}}}\rVert_{\infty}\\
&\leq \sum_{\gamma\leq\alpha-\beta}\begin{pmatrix}\alpha-\beta\\\gamma\end{pmatrix}\lVert (\partial^{\alpha-\beta-\gamma}\partial_jw)\rVert_2\lVert (\partial^{\gamma}\partial^{\beta}a_{i,j})|_{Q_{\epsilon_{4,+}}}\rVert_{\infty}\\
&\leq \sum_{\gamma\leq\alpha-\beta}\begin{pmatrix}\alpha-\beta\\\gamma\end{pmatrix}\lVert w\rVert_{2,m+1}\lVert \partial^{\gamma}\partial^{\beta}a_{i,j}\rVert_{\infty}=
\sum_{\gamma\leq\alpha-\beta}\begin{pmatrix}\alpha-\beta\\\gamma\end{pmatrix}\lVert \rho v\rVert_{2,m+1}\lVert \partial^{\gamma}\partial^{\beta}a_{i,j}\rVert_{\infty}
\end{aligned}
$$
となる。よって $\rho,a_{i,j},\alpha$ のみによる正数 $C_1$ が存在し、
$$
\begin{aligned}
&\lvert\lvert p(u,(\partial_h^{\alpha}w)|_{Q_+})-(-1)^{\lvert\alpha\rvert}p(\partial_{-h}^{\alpha}u,\rho v)\rvert=(\text{$(5)$ の右辺の第二項})\\
&\leq C_1\lVert v\rVert_{2,m+1}\lVert u\rVert_{2,1}\quad(\forall h\in \mathbb{R}:0<\lvert h\rvert<\delta,\forall u\in D(Q)|_{Q_+})\quad\quad(6)
\end{aligned}
$$
が成り立つ。今、$({\rm a})$ が成り立つ場合は任意の $u_{\rm a}\in D(Q_+)$ を取り、$({\rm b})$ が成り立つ場合は任意の $u_{\rm b}\in D(Q)|_{Q_+}$ を取る。このとき
$$
\begin{aligned}
p(u_k,(\partial_h^{\alpha}w)|_{Q_+})&=\{p(u_k,(\partial_h^{\alpha}w)|_{Q_+})-(-1)^{\lvert\alpha\rvert}p(\partial_{-h}^{\alpha}u_k,\rho v)\}\\
&+(-1)^{\lvert\alpha\rvert}(p(\partial_{-h}^{\alpha}u_k,\rho v)-p(\rho\partial_h^{\alpha}u_k,v))\\
&+(-1)^{\lvert\alpha\rvert}\int_{Q_+}\mathcal{A}v(x)\rho(x)\partial_{-h}^{\alpha}\overline{u_k}(x)dx\\
&(\forall h\in \mathbb{R}:0<\lvert h\rvert<\delta,k={\rm a}, {\rm b})\quad\quad(7)
\end{aligned}
$$
($k={\rm a}$ の場合、$\rho\partial_{-h}^{\alpha}u_{\rm a}\in D(Q_+)$ であることに注意）であり、$(6)$ は $(7)$ の右辺の第一項の評価を与えている。$(7)$ の右辺の第三項の評価を考える。$\mathcal{A}v\rho\in H^m(Q_+)$ であり、$(2)$ より、
$$
d({\rm supp}(\mathcal{A}v\rho),\mathbb{R}^N_+\backslash Q_+)\geq d(Q_{\epsilon_1,+},\mathbb{R}^N_+\backslash Q_+)\geq 1-\epsilon_1>0
$$
であるから、[[Sobolev空間の基本事項]]の'''定理33.3'''より、$\mathcal{A}v\rho\in H^m(Q_+)$ の $\mathbb{R}^N_+$ 上への $0$ 拡張 $\widetilde{\mathcal{A}v\rho}$ は、
$$
\widetilde{\mathcal{A}v\rho}\in H^m(\mathbb{R}^N_+),\quad \lVert \widetilde{\mathcal{A}v\rho}\rVert_{2,m}=\lVert \mathcal{A}v\rho\rVert_{2,m}
$$
を満たす。よって $(4)$ と'''補題3.7'''と'''補題3.8''' より、
$$
\begin{aligned}
&\lvert \text{$(7)$ の右辺の第三項}\rvert=\left\lvert \int_{Q_+}\mathcal{A}v(x)\rho(x)\partial_{-h}^{\alpha}\overline{u_k}(x)dx\right\rvert
=\left\lvert\int_{\mathbb{R^N}_+}\widetilde{\mathcal{A}v\rho}(x)\partial_{-h}^{\alpha}\overline{u_k}(x)dx\right\rvert\\
&\leq \lVert \widetilde{\mathcal{A}v\rho}\rVert_{2,m}\lVert u_k\rVert_{2,1}=\lVert\mathcal{A}v\rho\rVert_{2,m}\lVert u_k\rVert_{2,1}\leq C_3(\lVert \mathcal{A}v\rVert_{2,m}+\lVert v\rVert_{2,m})\lVert u_k\rVert_{2,1}\quad\quad(8)
\end{aligned}
$$
（ただし $C_3$ は $\rho,m$ のみによる正実数）と評価できる。$(7)$ の右辺の第二項の評価を考える。
$$
\begin{aligned}
&\lvert \text{$(7)$ の右辺の第二項}\rvert=\lvert p(\partial_{-h}^{\alpha}u_k,\rho v)-p(\rho\partial_h^{\alpha}u,v)\rvert\\
&=\left\lvert \sum_{i,j=1}^{N}\left(\int_{Q_+}a_{i,j}(x)\partial_j(\rho v)(x)\partial_{-h}^{\alpha}\partial_i\overline{u_k}(x)dx-\int_{Q_+}a_{i,j}(x)\partial_jv(x)(\partial_i(\rho\partial_{-h}^{\alpha}\overline{u_k}))(x)dx\right)\right\rvert\\
&=\left\lvert \sum_{i,j=1}^{N}\left(\int_{Q_+}a_{i,j}(x)v(x)\partial_j\rho(x)\partial_{-h}^{\alpha}\partial_i\overline{u_k}(x)dx-\int_{Q_+}a_{i,j}(x)\partial_jv(x)\partial_i\rho(x)\partial_{-h}^{\alpha}\overline{u_k}(x)dx\right)\right\rvert\quad\quad(9)
\end{aligned}
$$
であり、$(2)$ より、
$$
a_{i,j}v\partial_j\rho \in H^{m+1}(Q_+),\quad d({\rm supp}(a_{i,j}v\partial_j\rho,\mathbb{R}^N_+\backslash Q_+)\geq d(Q_{\epsilon_1,+},\mathbb{R}^N_+\backslash Q_+)\geq 1-\epsilon_1>0,
$$
$$
a_{i,j}\partial_jv\partial_i\rho\in H^{m}(Q_+),\quad d({\rm supp}(a_{i,j}\partial_jv\partial_i\rho),\mathbb{R}^N_+\backslash Q_+)\geq d(Q_{\epsilon_1,+},\mathbb{R}^N_+\backslash Q_{+})\geq1-\epsilon_1>0
$$
であるから、$a_{i,j}v\partial_j\rho \in H^{m+1}(Q_+)$ の $\mathbb{R}^N_+$ 上への $0$ 拡張 $\widetilde{(a_{i,j}v)}\partial_j\rho $ と、$a_{i,j}\partial_jv\partial_i\rho\in H^m(Q_+)$ の $\mathbb{R}^N_+$ 上への $0$ 拡張 $\widetilde{(a_{i,j}\partial_jv)}\partial_i\rho$ は、[[Sobolev空間の基本事項]]の'''定理33.3'''より、
$$
\widetilde{(a_{i,j}v)}\partial_j\rho \in H^{m+1}(\mathbb{R}^N_+),\quad \lVert \widetilde{(a_{i,j}v)}\partial_j\rho \rVert_{2,m+1}=\lVert a_{i,j}v\partial_j\rho \rVert_{2,m+1},
$$
$$
\widetilde{(a_{i,j}\partial_jv)}\partial_i\rho\in H^m(\mathbb{R}^N_+),\quad \lVert \widetilde{(a_{i,j}\partial_jv)}\partial_i\rho\rVert_{2,m}=\lVert a_{i,j}\partial_jv\partial_i\rho\rVert_{2,m}
$$
を満たす。よって $(9)$ の右辺は'''補題3.7'''と'''補題3.8'''の $(1)$ より、
$$
\begin{aligned}
&\left\lvert \sum_{i,j=1}^{N}\left(\int_{Q_+}a_{i,j}(x)\partial_j(\rho v)(x)\partial_{-h}^{\alpha}\partial_i\overline{u_k}(x)dx-\int_{Q_+}a_{i,j}(x)\partial_jv(x)(\partial_i(\rho\partial_{-h}^{\alpha}\overline{u_k}))(x)dx\right)\right\rvert\\
&=\left\lvert \sum_{i,j=1}^{N}\left(\int_{\mathbb{R}^N_+}\widetilde{(a_{i,j}v)}(x)\partial_j\rho(x)\partial_{-h}^{\alpha}\partial_i\overline{u_k}(x)dx-\int_{\mathbb{R}^N_+}\widetilde{(a_{i,j}\partial_jv)}
(x)\partial_i\rho(x)\partial_{-h}^{\alpha}\overline{u_k}(x)dx\right)\right\rvert\\
&\leq \sum_{i,j=1}^{N}(\lVert\widetilde{(a_{i,j}v)}\partial_j\rho\rVert_{2,m+1}+\lVert \widetilde{(a_{i,j}\partial_jv)}\partial_i\rho\rVert_{2,m})\lVert u_k\rVert_{2,1}\\
&\leq \sum_{i,j=1}^{N}(\lVert a_{i,j}v\partial_j\rho\rVert_{2,m+1}+\lVert a_{i,j}\partial_jv\partial_i\rho\rVert_{2,m})\lVert u_k\rVert_{2,1}\\
&\leq C_2\lVert v\rVert_{2,m+1}\lVert u_k\rVert_{2,1}
\end{aligned}
$$
（ただし $C_2$ は $a_{i,j},\rho,m$ のみによる正実数である）となるので、
$$
\lVert (\text{$(7)$ の右辺の第二項})\rVert\leq C_2\lVert v\rVert_{2,m+1}\lVert u_k\rVert_{2,1}\quad\quad(10)
$$
と評価できる。こうして $(7)$ の右辺の第一項、第二項、第三項はそれぞれ $a_{i,j},b,\rho,\alpha,m$ のみによる正実数 $C_1,C_2,C_3$ により $(6),(10),(8)$ によって評価されるので、$a_{i,j},b,\rho,\alpha,m$ のみによる正実数 $C_4$ が存在し、
$$
\lvert p(u_k,(\partial_h^{\alpha}w)|_{Q_+})\rvert\leq C_4(\lVert \mathcal{A}v\rVert_{2,m}+\lVert v\rVert_{2,m+1})\lVert u_k\rVert_{2,1}\quad(\forall h\in \mathbb{R},0<\lvert h\rvert<\delta,k={\rm a},{\rm b})\quad\quad(11)
$$
が成り立つ。ここで $(1),(3),(4)$ より $0<\lvert h\rvert<\delta$ なる任意の $h\in \mathbb{R}$ に対し、$\partial_h^{\alpha}w\in H^{m+1}(\mathbb{R}^N_+)$ の台は $Q_{\epsilon_2,+}$ に含まれる。そこでUrysohnの補題より $\varphi\in D(Q)$ で $\varphi|_{Q_{\epsilon_2,+}}=1$ なるものを取ると、$({\rm a})$ が成り立つ場合は $w\in H^1_0(\mathbb{R}^N_+)$（[[Sobolev空間の基本事項]]の'''命題32.3'''）より $\partial_h^{\alpha}w\in H^1_0(\mathbb{R}^N_+)$ であるから、
$$
(\partial_h^{\alpha}w)|_{Q_+}=(\varphi\partial_h^{\alpha}w)|_{Q_+}\in H^1_0(Q_+)
$$
が成り立ち、$({\rm b})$ が成り立つ場合は[[Sobolev空間の基本事項]]の'''命題34.3'''より $\partial_h^{\alpha}w\in H^1(\mathbb{R}^N_+)=\overline{D(\mathbb{R}^N)|_{\mathbb{R}^N_+}}^{\lVert \cdot\rVert_{2,1}}$ であるから、
$$
(\partial_h^{\alpha}w)|_{Q_+}=(\varphi\partial_h^{\alpha}w)|_{Q_+}\in \overline{D(Q)|_{Q_+}}^{\lVert \cdot\rVert_{2,1}}
$$
が成り立つ。よって $u_{\rm a}\in D(Q_+), u_{\rm b}\in D(Q)|_{Q_+}$ であることに注意して $(11)$ より、
$$
p((\partial_h^{\alpha}w)|_{Q_+},(\partial_h^{\alpha}w)|_{Q_+})\leq C_4(\lVert \mathcal{A}v\rVert_{2,m}+\lVert v\rVert_{2,m+1})\lVert (\partial_h^{\alpha}w)|_{Q_+}\rVert_{2,1}\quad(\forall h\in\mathbb{R},0<\lvert h\rvert<\delta)
$$
が成り立つ。よって一様楕円性条件（'''定義3.1'''）より、$a_{i,j},b,\rho,\alpha,m$ のみによる正実数 $C_5$ が存在し、
$$
\lVert \partial_h^{\alpha}w\rVert_{2,1}^2=\lVert (\partial_h^{\alpha}w)|_{Q_+}\rVert_{2,1}^2\leq C_5(\lVert \mathcal{A}v\rVert_{2,m}+\lVert v\rVert_{2,m+1})\lVert \partial_h^{\alpha}w\rVert_{2,1}\quad(\forall h\in \mathbb{R},0<\lvert h\rvert<\delta)
$$
が成り立つ。これより、
$$
\lVert \partial_h^{\alpha}\partial_jw\rVert_{2}\leq C_5(\lVert \mathcal{A}v\rVert_{2,m}+\lVert v\rVert_{2,m+1})\quad(\forall h\in \mathbb{R},0<\lvert h\rvert<\delta,\forall j\in \{1,\ldots,N\})
$$
が成り立つので、$(4)$ と'''補題3.8'''の $(2)$ より $\partial^{\alpha}\partial_jw\in L^2(\mathbb{R}^N_+)$ $(j=1,\ldots,N)$ であり、
$$
\lVert \partial^{\alpha}\partial_jw\rVert_2\leq C_5(\lVert \mathcal{A}v\rVert_{2,m}+\lVert v\rVert_{2,m+1})\quad(\forall j\in \{1,\ldots,N\})
$$
が成り立つ。$(2)$ より、
$$
\partial^{\alpha}\partial_jv|_{Q_{\epsilon,+}}=\partial^{\alpha}\partial_jw|_{Q_{\epsilon,+}}\in L^2(Q_{\epsilon,+})\quad(j=1,\ldots,N)
$$
であるから、
$$
\lVert \partial^{\alpha}\partial_jv|_{Q_{\epsilon,+}}\rVert_2\leq \lVert \partial^{\alpha}\partial_jw\rVert_2\leq C_5(\lVert \mathcal{A}v\rVert_{2,m}+\lVert v\rVert_{2,m+1})\quad(\forall j\in \{1,\ldots,N\})\quad\quad(12)
$$
が成り立つ。ここで $\alpha\in \mathbb{Z}_+^N$ は $(4)$ を満たす範囲で任意であるので、$(12)$ より、
$$
\lvert \alpha\rvert\leq m+2,\quad \alpha_N\leq 1
$$
を満たす任意の多重指数 $\alpha\in \mathbb{Z}^N_+$ に対し $\partial^{\alpha}v|_{Q_{\epsilon,+}}\in L^2(Q_{\epsilon,+})$ であり、$\epsilon,a_{i,j},\alpha,m$ のみによる正実数 $C^{(1)}$ が存在し、
$$
\lVert \partial^{\alpha}v|_{Q_{\epsilon,+}}\rVert_2\leq C^{(1)}(\lVert \mathcal{A}v\rVert_{2,m}+\lVert v\rVert_{2,m+1})
$$
が成り立つ。 
今、$n\in \{1,\ldots,m+1\}$ について、
$$
\lvert \alpha\rvert\leq m+2,\quad \alpha_N\leq n
$$
を満たす任意の多重指数 $\alpha\in\mathbb{Z}_+^N$ に対し $\partial^{\alpha}v|_{Q_{+,\epsilon}}\in L^2(Q_{\epsilon,+})$ であり、$\epsilon,a_{i,j},\alpha,m$ のみによるある正実数 $C^{(n)}$ が存在し、
$$
\lVert \partial^{\alpha}v|_{Q_{\epsilon,+}}\rVert_2\leq C^{(n)}(\lVert \mathcal{A}v\rVert_{2,m}+\lVert v\rVert_{2,m+1})
$$
が成り立つと仮定する。一様楕円性条件（'''定義3.1'''）よりある正実数 $c$ が存在し、
$$
a_{N,N}(x)\geq c\quad(\forall x\in Q_+)
$$
が成り立つから、$\frac{1}{a_{N,N}}\colon Q_+\rightarrow \mathbb{R}$ は全ての偏導関数が有界な $C^\infty$ 級関数である。そして $D'(Q_+)$ において、
$$
\partial_N^2v=-\frac{1}{a_{N,N}}\left(\mathcal{A}v+\sum_{(i,j)\neq (N,N)}\partial_i(a_{i,j}\partial_jv)+(\partial_Na_{N,N})\partial_Nv\right)
$$
であるから、仮定より、
$$
\lvert \beta\rvert\leq m,\quad \beta_N\leq n-1
$$
を満たす任意の多重指数 $\beta\in \mathbb{Z}_+^N$ に対し、
$$
\partial^{\beta}\partial_N^2v|_{Q_{\epsilon,+}}\in L^2(Q_{\epsilon,+})
$$
が成り立ち、$\epsilon,a_{i,j},\beta,m$ のみによる正実数 $C^{(n+1)}$ が存在し、
$$
\lVert \partial^{\beta}\partial_N^2v|_{Q_{\epsilon,+}}\rVert_2\leq C^{(n+1)}(\lVert \mathcal{A}v\rVert_{2,m}+\lVert v\rVert_{2,m+1})
$$
が成り立つ。よって帰納法より $v|_{Q_{\epsilon,+}}\in H^{m+2}(Q_{\epsilon,+})$ であり、$\epsilon,a_{i,j},m$ のみによる正実数 $C$ が存在し、
$$
\lVert \partial^{\alpha}v|_{Q_{\epsilon,+}}\rVert_2\leq C(\lVert \mathcal{A}v\rVert_{2,m}+\lVert v\rVert_{2,m+1})\quad(\forall \alpha\in \mathbb{Z}_+^N:\lvert \alpha\rvert\leq m+2)
$$
が成り立つ。
{{end|proof}}

===定義3.13（Dirichret-Neumann混合境界条件付き一様楕円型微分作用素）===
$\Omega\subset \mathbb{R}^N$ を滑らかでコンパクトな境界を持つ開集合で、$\Omega$ か $\mathbb{R}^N\backslash \Omega$ のうちのいずれかが有界であるものとする。そして $\partial\Omega$ は互いに交わらないコンパクト集合 $\partial\Omega_{\rm d}$ と $\partial\Omega_{\rm n}$ の合併（どちらかが空であってもよい）とする。
$$
\gamma\colon H^1(\Omega)\rightarrow L^2(\partial\Omega)
$$
をトレース作用素（[[Sobolev空間の基本事項]]の'''定理37.1'''）とし、
$$
\mathcal{V}\colon=\{v\in H^1(\Omega):\gamma(v)|_{\partial\Omega_{\rm d}}=0\}
$$
とおく。[[Sobolev空間の基本事項]]の'''定理37.2'''より $H^1_0(\Omega)\subset \mathcal{V}\subset H^1(\Omega)$ であり、$\gamma$ が有界線形作用素であることから $\mathcal{V}$ は $H^1(\Omega)$ の閉部分空間である。そこで今、$\Omega$ 上の一様楕円型微分作用素（'''定義3.1'''）
$$
\mathcal{A}\colon D'(\Omega)\ni v\mapsto -\sum_{i,j=1}^{N}\partial_i(a_{i,j}\partial_jv)+bv\in D'(\Omega)
$$
に対し、
$$
p_{\mathcal{A}}(u,v)\colon=\sum_{i,j=1}^{N}\int_{\Omega}a_{i,j}(x)\overline{\partial_iu(x)}\partial_jv(x)dx+\int_{\Omega}b(x)\overline{u(x)}v(x)dx\quad(\forall u,v\in \mathcal{V})
$$
とおき、
$$
D(A)\colon=\{v\in \mathcal{V}: \mathcal{A}v\in L^2(\Omega),p_{\mathcal{A}}(u,v)=(u\mid \mathcal{A}v)_2\text{ }(\forall u\in \mathcal{V})\},
$$
$$
A\colon D(A)\ni v\mapsto \mathcal{A}v\in L^2(\Omega)
$$
とおく。このとき'''定理3.4'''より $A$ はHilbert空間 $L^2(\Omega)$ 上の下に有界な自己共役作用素（[[Hilbert空間上の作用素論]]の'''定義4.1'''と'''定義14.7'''）である。$A$ をDirichlet-Neumann混合境界条件付き一様楕円型微分作用素と言う。特に $\partial\Omega=\partial\Omega_{\rm d}$, すなわち $\mathcal{V}=H^1_0(\Omega)$（[[Sobolev空間の基本事項]]の'''定理37.2'''）であるとき $A$ をDirichlet境界条件付き一様楕円型微分作用素と言い、$\partial\Omega=\partial\Omega_{\rm n}$, すなわち $\mathcal{V}=H^1(\Omega)$ であるとき $A$ をNeumann境界条件付き一様楕円型微分作用素と言う。

===定理3.14（Dirichret-Neumann混合境界条件付き一様楕円型微分作用素の基本性質）===
'''定義3.13'''におけるDirichret-Neumann混合境界条件付き一様楕円型微分作用素 $A\colon D(A)\rightarrow L^2(\Omega)$ を考える。$\lambda_0\colon=\inf_{x\in \Omega} b(x)\in \mathbb{R}$ とおく。このとき、
*$(1)$　$A$ はHilbert空間 $L^2(\Omega)$ 上の下に有界な自己共役作用素であり、そのスペクトル $\sigma(A)$ は $\sigma(A)\subset [\lambda_0,\infty)$ を満たす。また任意の $\lambda\in (-\infty,\lambda_0)$ に対し、
$$
(A-\lambda)^{-1}\in \mathbb{B}(L^2(\Omega),\mathcal{V})\subset \mathbb{B}(L^2(\Omega))
$$
が成り立つ。
*$(2)$　$\Omega$ が有界ならば、$A$ のスペクトル $\sigma(A)$ は純粋に離散的（[[Hilbert空間上の作用素論]]の'''定義14.3'''）である。また $\Omega$ が有界で $A$ がDirichlet境界条件付き一様楕円型微分作用素ならば、$\sigma(A)\subset (\lambda_0,\infty)$ である。
*$(3)$　$\lambda_0\geq0$ ならば $A$ はHilbert空間 $L^2(\Omega)$ 上の非負自己共役作用素であり、
$$
\mathcal{V}=D(\sqrt{A}),\quad p_{\mathcal{A}}(u,v)=(\sqrt{A}u\mid \sqrt{A}v)_2
$$
が成り立つ。
*$(4)$　$v\in D(A)$ が $m\in \mathbb{Z}_+$ に対し $Av\in H^m(\Omega)$ を満たすならば、$v\in H^{m+2}(\Omega)$ が成り立つ。さらに $A$ と $m$ のみによる正実数 $C$ が存在し、
$$
\lVert v\rVert_{2,m+2}\leq C(\lVert Av\rVert_{2,m}+\lVert v\rVert_2)
$$
が成り立つ。
*$(5)$　$\nu=(\nu_1,\ldots,\nu_N)\colon \partial\Omega\rightarrow\mathbb{R}^N$ を外向き単位法線ベクトル場とすると、
$$
D(A)=\left\{v\in H^2(\Omega):\gamma(v)|_{\partial\Omega_{\rm d}}=0,\left(\sum_{i,j=1}^{N}\nu_i\gamma(a_{i,j}\partial_jv)\right)\Big|_{\partial\Omega_{\rm n}}=0\right\}
$$
が成り立つ。特に $\mathcal{A}=-\Delta$（ラプラシアン）の場合は、
$$
D(A)=\left\{v\in H^2(\Omega):\gamma(v)|_{\partial\Omega_{\rm d}}=0, \frac{\partial v}{\partial\nu}\Big|_{\partial\Omega_{\rm n}}=0\right\}
$$
が成り立つ。ただし $\frac{\partial v}{\partial\nu}$ は外向き法線微分（'''定義3.2'''）である。
*$(6)$　$v\in D(A)$ が $A$ の固有ベクトルならば、
$$
v\in \bigcap_{m\in\mathbb{N}}H^m(\Omega)
$$
が成り立ち、$v$ は全ての偏導関数が有界な $C^\infty$ 級関数である。
{{begin|proof}}
$(1),(2),(3)$ は '''定理3.4'''による。 
$(4)$ を示す。$m\in \mathbb{Z}_+$ に関する帰納法より $v\in D(A)$ が $m\in \mathbb{Z}_+$ に対して、
$$
Av\in H^m(\Omega),\quad v\in H^{m+1}(\Omega)
$$
を満たすと仮定して $v\in H^{m+2}(\Omega)$ が成り立つことと、$A,m$ のみによる正実数 $C$ が存在し、
$$
\lVert v\rVert_{2,m+2}\leq C(\lVert Av\rVert_{2,m}+\lVert v\rVert_{2,m+1})\quad\quad(*)
$$
が成り立つことを示せば十分である。<ref>一様楕円性条件よりある正実数$c$が存在し任意の$v\in D(A)$に対し$\lVert v\rVert_{2,1}\leq c(\lVert Av\rVert_2+\lVert v\rVert_2)$が成り立つことに注意。実際、'''定理3.4'''の$(1)$の証明の冒頭部分より、$\lambda<\lambda_0$ なる$\lambda$をとれば、$(v\mid (A-\lambda)v)_2=p_{{\cal A}-\lambda}(v,v)\geq c'\lVert v\rVert_{2,1}^2$ なる正実数$c'$が存在する。</ref>
滑らかな境界を持つ開集合の定義（[[ベクトル解析5：多様体の向き]]の'''定義21.3'''）と $\partial\Omega$ のコンパクト性より、$\mathbb{R}^N$ の有限個の局所座標 $( (U_i,\Phi_i))_{i=1,\ldots,\ell}$ で次を満たすものが取れる。
*$({\rm a})$　$\partial\Omega\subset \bigcup_{i=1}^{\ell}U_i$.
*$({\rm b})$　各$i\in \{1,\ldots,\ell\}$ に対し、$U_i$ は $\partial\Omega_{\rm d}$ か $\partial\Omega_{\rm n}$ のうちのいずれか一方としか交わらず、
$$
\Phi_i(U_i)=Q,\quad\Phi_i(U_i\cap\Omega)=Q_+,\quad
\Phi_i(U_i\cap\partial\Omega)=(-1,1)^{N-1}\times\{0\}.
$$
*$({\rm c})$　各 $i\in \{1,\ldots,\ell\}$ に対し $\Phi_i,\Phi_i^{-1}$ の全ての偏導関数は有界。

$({\rm a})$ の左辺はコンパクト集合、右辺は開集合であるから閉包がコンパクトな開集合 $D$ で、
$$
\partial\Omega\subset D\subset \overline{D}\subset \bigcup_{i=1}^{\ell}U_i
$$
を満たすものが取れる。よって $1$ の分割（[[ベクトル解析4：Euclid空間内の多様体上の測度と積分]]の'''系15.6'''）より $h_i\in D(U_i)$ $(i=1,\ldots,\ell )$ で、
$$
\sum_{i=1}^{\ell}h_i(x)=1\quad(\forall x\in D)\quad\quad(**)
$$
を満たすものが取れる。
$$
h_0\colon=1-\sum_{i=1}^{\ell}h_i\in C^\infty(\mathbb{R}^N)
$$
とおく。
$\partial\Omega$ は開集合 $D$ に含まれるコンパクト集合なので[[超関数の定義と基本操作]]の'''命題2.2'''の $(4)$ より、
$$
d(\partial\Omega,\text{ }\mathbb{R}^N\backslash D)>0
$$
であり、${\rm supp}(h_0)\subset \mathbb{R}^N\backslash D$ であるから、
$$
d({\rm supp}(h_0),\text{ }\mathbb{R}^N\backslash\Omega)=d({\rm supp}(h_0),\text{ }\partial\Omega)\geq d(\mathbb{R}^N\backslash D,\text{ }\partial\Omega)>0
$$
である。よって'''補題3.10'''より $h_0v\in H^{m+2}(\Omega)$ であり、$h_0,\mathcal{A},m$ のみによる正実数 $C_0$ が存在して、
$$
\lVert h_0v\rVert_{2,m+2}\leq C_0(\lVert Av\rVert_{2,m}+\lVert v\rVert_{2,m+1})\quad\quad(***)
$$
が成り立つ。任意の $i\in \{1,\ldots,\ell\}$ を取り固定する。以後、しばらく $\Phi_i,U_i,h_i$ などは $\Phi,U,h$ と表す。$\Psi\colon U\cap\Omega\rightarrow Q_+$ を $\Phi$ の $U\cap\Omega$ 上への制限とし、$({\rm c})$ と[[Sobolev空間の基本事項]]の'''命題31.2'''に注意して、
$$
v^*\colon=v\circ\Psi^{-1}\in H^{m+1}(Q_+),
$$
$$
c_{k,l}\colon=\left(\sum_{i,j}(a_{i,j}\partial_j\Psi_l\partial_i\Psi_k)\circ\Psi^{-1}\right)\lvert {\rm det}{\Psi^{-1}}'\rvert \in C^\infty(Q_+)\quad(\forall k,l\in \{1,\ldots,N\}),
$$
$$
f\colon=(Av-bv)\circ\Psi^{-1}\lvert {\rm det}{\Psi^{-1}}'\rvert\in H^m(Q_+)
$$
と定義する。このとき $({\rm c})$ より $\Psi, \Psi^{-1}$ の全ての偏導関数は有界であるから、
$$
\mathcal{B}\colon D'(Q_+)\ni u\mapsto -\sum_{k,l}\partial_k(c_{k,l}\partial_lu)\in D'(Q_+)
$$
は一様楕円型作用素（'''定義3.1'''）であることが分かる。
$$
q(u,w)\colon=\sum_{k,l}\int_{Q_+}c_{k,l}(x)\partial_k\overline{u}(x)\partial_lw(x)dx\quad(\forall u,w\in H^1(Q_+))
$$
とおく。$U$ が $\partial\Omega_{\rm d}$ と交わらない場合、任意の $u\in D(Q)|_{Q_+}$ に対し $u\circ\Psi\in D(U)|_{\Omega}\subset \mathcal{V}$であるから、変数変換公式（[[測度と積分8：Lebesgue測度の基本的性質]]の'''補題40.3'''）より、
$$
\begin{aligned}
q(u,v^*)&=\sum_{i,j}\int_{U\cap \Omega}a_{i,j}(x)\partial_i(\overline{u}\circ\Psi)(x)\partial_jv(x)dx
=\sum_{i,j}\int_{\Omega}a_{i,j}(x)\partial_i(\overline{u}\circ\Psi)(x)\partial_jv(x)dx\\
&=p_{\mathcal{A}-b}(u\circ\Psi,v)=\int_{\Omega}(\overline{u}\circ\Psi)(x)(Av-bv)(x)dx=\int_{Q_+}\overline{u}(x)f(x)dx
\end{aligned}
$$
となる。よってこのとき $v^*$ は'''補題3.12'''の条件 $({\rm b})$ を満たす。一方、$U$ が $\partial\Omega_{\rm d}$ と交わるとき、任意の $\rho\in D(U)\subset D(\mathbb{R}^N)$ に対し $\gamma(\rho v)=\rho \gamma(v)=0$ であるので[[Sobolev空間の基本事項]]の'''定理37.2'''より $\rho v\in H^1_0(\Omega)$ であり、$\rho v$ は $(\rho v)|_{U\cap \Omega}$ の $\Omega$ 上への $0$ 拡張で、
$$
d({\rm supp}(\rho v),\text{ }\Omega\backslash (U\cap \Omega))\geq d({\rm supp}(\rho),\text{ }\Omega\backslash U)\geq d({\rm supp}(\rho),\text{ }\mathbb{R}^N\backslash U)>0
$$
であるから、[[Sobolev空間の基本事項]]の'''定理33.3'''より、$(\rho v)|_{U\cap \Omega}\in H^1_0(U\cap \Omega)$ である。よって任意の $\rho^*\in D(Q)$ に対し $\rho^*v^*\in H^1_0(Q_+)$ であるから、$v^*$ は'''補題3.12'''の条件 $({\rm a})$ を満たす。${\rm supp}(h)\subset U$ のコンパクト性よりある $\epsilon\in (0,1)$ に対し ${\rm supp}(h\circ \Psi^{-1})\subset Q_{\epsilon,+}$ となるから、'''補題3.12'''より $(h\circ\Psi^{-1})v^*\in H^{m+2}(Q_+)$ であり、$h,\Psi,c_{k,l},m$ のみによるある正実数 $C$ が存在して、
$$
\lVert (h\circ\Psi^{-1})v^*\rVert_{2,m+2}\leq C(\lVert f\rVert_{2,m}+\lVert v^*\rVert_{2,m+1})
$$
が成り立つ。よって[[Sobolev空間の基本事項]]の'''命題31.2'''より $hv\in H^{m+2}(U\cap\Omega)$ であり、$h,\Psi,a_{i,j},b,m$ のみによる正実数 $C'$ が存在して、
$$
\lVert (hv)|_{U\cap\Omega}\rVert_{2,m+2}\leq C'(\lVert Av\rVert_{2,m}+\lVert v\rVert_{2,m+1})
$$
が成り立つ。${\rm supp}(h)\subset U$ のコンパクト性より、
$$
d({\rm supp}((hv)|_{U\cap\Omega}),\text{ }\Omega\backslash (U\cap \Omega))\geq d({\rm supp}(h),\text{ }\mathbb{R}^N\backslash U)>0
$$
であるから、[[Sobolev空間の基本事項]]の'''定理33.3'''より $(hv)|_{U\cap\Omega}$ の $\Omega$ 上への $0$ 拡張である $hv$ は $H^{m+2}(\Omega)$ に属し、
$$
\lVert hv\rVert_{2,m+2}=\lVert (hv)|_{U\cap\Omega}\rVert_{2,m+2}\leq C'(\lVert Av\rVert_{2,m}+\lVert v\rVert_{2,m+1})
$$
が成り立つ。よって任意の $i\in \{1,\ldots,\ell\}$ に対し $h_iv\in H^{m+2}(\Omega)$ であり、$h_i,\Phi_i,\mathcal{A},m$ のみによる正実数 $C_i$ が存在し、
$$
\lVert h_iv\rVert_{2,m+2}=\leq C_i(\lVert Av\rVert_{2,m}+\lVert v\rVert_{2,m+1})\quad\quad(****)
$$
が成り立つ。以上より $h_0v, h_1v,\ldots,h_{\ell}v\in H^{m+2}(\Omega)$ であるから、$(**)$ より、
$$
v=\sum_{i=1}^{\ell}h_iv\in H^{m+2}(\Omega)
$$
であり、$(***),(****)$ より、$\Omega,\mathcal{A},m$ のみによる正実数 $C$ が存在し、$(*)$ が成り立つ。 
$(5)$ を示す。$(4)$ より $D(A)\subset H^2(\Omega)$ であるから、
$$
\begin{aligned}
D(A)&=\{v\in \mathcal{V}:\mathcal{A}v\in L^2(\Omega), \text{ }p(u,v)=(u\mid \mathcal{A}v)_2\text{ }(\forall u\in \mathcal{V})\}\\
&=\left\{v\in H^2(\Omega): \gamma(v)|_{\partial\Omega_{\rm d}}=0,\text{ }\sum_{i,j=1}^{N}\int_{\Omega}a_{i,j}(x)\partial_i\overline{u}(x)\partial_jv(x)+\overline{u}(x)\partial_i(a_{i,j}\partial_jv)(x)dx=0\text{ }(\forall u\in \mathcal{V})\right\}
\end{aligned}
$$
であり、$v\in H^2(\Omega)$ と $u\in\mathcal{V}$ に対しGaussの発散定理のSobolev空間版（'''定理2.3'''の $(2)$ と'''定理2.4'''の $(1)$）より、
$$
\begin{aligned}
\sum_{i,j=1}^{N}\int_{\Omega}a_{i,j}(x)\partial_i\overline{u}(x)\partial_jv(x)+\overline{u}(x)\partial_i(a_{i,j}\partial_jv)(x)dx=\sum_{i,j=1}^{N}\int_{\partial\Omega}\gamma(\overline{u})(x)\gamma(a_{i,j}\partial_jv)(x)\nu_i(x)d\mu_{\partial\Omega}(x)
\end{aligned}
$$
であるから、
$$
\begin{aligned}
D(A)&=\left\{v\in H^2(\Omega): \gamma(v)|_{\partial\Omega_{\rm d}}=0,\text{ }\sum_{i,j=1}^{N}\int_{\partial\Omega}\gamma(\overline{u})(x)\gamma(a_{i,j}\partial_jv)(x)\nu_i(x)d\mu_{\partial\Omega}(x)=0\text{ }(\forall u\in \mathcal{V})\right\}\\
&=\left\{v\in H^2(\Omega): \gamma(v)|_{\partial\Omega_{\rm d}}=0,\text{ }\sum_{i,j=1}^{N}\int_{\partial\Omega_{\rm n}}\gamma(\overline{u})(x)\gamma(a_{i,j}\partial_jv)(x)\nu_i(x)d\mu_{\partial\Omega}(x)=0\text{ }(\forall u\in \mathcal{V})\right\}
\end{aligned}
$$
である。$\partial\Omega_{\rm d}$ と $\partial\Omega_{\rm n}$ は互いに交わらないコンパクト集合であるから、Urysohnの補題（[[ベクトル解析4：Euclid空間内の多様体上の測度と積分]]の'''定理15.5'''）より、
$$
\{\gamma(u):u\in \mathcal{V}\}
$$
は $\partial\Omega_{\rm n}$ 上の全ての多項式を含む。よってStone-Weierstrassの定理（[[測度と積分7：局所コンパクトHausdorff空間上のRadon測度]]の'''定理35.4'''）と $L^2(\partial\Omega_{\rm n},\mu_{\partial\Omega})$ における $C(\partial\Omega_{\rm n})$ の稠密性（[[測度と積分7：局所コンパクトHausdorff空間上のRadon測度]]の'''定理31.5'''と定理'''32.1'''）より、
$$
\begin{aligned}
D(A)&=\left\{v\in H^2(\Omega): \gamma(v)|_{\partial\Omega_{\rm d}}=0,\text{ }\sum_{i,j=1}^{N}\int_{\partial\Omega}\gamma(\overline{u})(x)\gamma(a_{i,j}\partial_jv)(x)\nu_i(x)d\mu_{\partial\Omega_{\rm n}}(x)=0\text{ }(\forall u\in \mathcal{V})\right\}\\
&=\left\{v\in H^2(\Omega): \gamma(v)|_{\partial\Omega_{\rm d}}=0,\text{ }\sum_{i,j=1}^{N}\int_{\partial\Omega_{\rm n}}f(x)\gamma(a_{i,j}\partial_jv)(x)\nu_i(x)d\mu_{\partial\Omega}(x)=0\text{ }(\forall f\in C(\partial\Omega_{\rm n}))\right\}\\
&=\left\{v\in H^2(\Omega):\gamma(v)|_{\partial\Omega_{\rm d}}=0,\text{ }\left(\sum_{i,j=1}^{N}\gamma(a_{i,j}\partial_jv)\nu_i\right)\Big|_{\partial\Omega_{\rm n}}=0\right\}
\end{aligned}
$$
を得る。$\mathcal{A}=-\Delta$ の場合は $a_{i,j}=\delta_{i,j}$ であるから、
$$
\sum_{i,j=1}^{N}\gamma(a_{i,j}\partial_jv)\nu_i=\sum_{j=1}^{N}\gamma(\partial_jv)\nu_j=\gamma(\nabla v)\cdot \nu=\frac{\partial v}{\partial\nu}
$$
であるので、
$$
D(A)=\left\{v\in H^2(\Omega):\gamma(v)|_{\partial\Omega_{\rm d}}=0,\text{ }\left(\frac{\partial v}{\partial\nu}\right)\Big|_{\partial\Omega_{\rm n}}=0\right\}
$$
である。 
$(6)$ を示す。$v\in D(A)$ が固有値 $\lambda$ の固有ベクトルならば $(4)$ より、
$$
Av=\lambda v\in D(A)\subset H^2(\Omega)
$$
であるから、再び $(4)$ より $v\in H^4(\Omega)$ を得る。さらに $(4)$ より $v\in H^6(\Omega)$ を得る。同様に $(4)$ を繰り返し適用すれば、
$$
v\in \bigcap_{m\in \mathbb{N}}H^m(\Omega)
$$
を得る。Sobolevの埋め込み定理（[[Sobolev空間の基本事項]]の'''定理38.4'''）より $v$ は全ての偏導関数が有界な $C^\infty$ 級関数である。
{{end|proof}}

==4. 調和関数の球面平均、球平均の性質と最大値の原理==

===定義4.1（球面平均と球平均）===
$\Omega\subset \mathbb{R}^N$ を開集合、$u\colon\Omega\rightarrow\mathbb{R}^N$ を連続関数とする。$x\in \Omega$ と $r\in (0,\infty)$ で、
$$
\overline{B(x,r)}=\{y\in \mathbb{R}^N:\lvert y-x\rvert\leq r\}\subset \Omega
$$
を満たすものを対し、
$$
S(u,x,r)\colon=\frac{1}{\lvert\partial B(x,r)\rvert}\int_{\partial B(x,r)}u(y)d\mu_{\partial B(x,r)}(y)
$$
を $u$ の球面 $\partial B(x,r)$ における球面平均と言う。ただし $\mu_{\partial B(x,r)}$ は超曲面 $\partial B(x,r)=\{y\in \mathbb{R}^N:\lvert y-x\rvert=r\}$ の面積測度（[[ベクトル解析4：Euclid空間内の多様体上の測度と積分]]の'''定義16.8'''）であり、$\lvert \partial B(x,r)\rvert=\mu_{\partial B(x,r)}(\partial B(x,r))$ である。また、
$$
K(u,x,r)\colon=\frac{1}{\lvert B(x,r)\rvert}\int_{B(x,r)}u(y)dy
$$
を $u$ の球 $B(x,r)$ における球平均と言う。

===注意4.2===
任意の $x\in \mathbb{R}^N$ と $r\in (0,\infty)$ に対し [[測度と積分8：Lebesgue測度の基本的性質]]の'''命題7.3'''より、
$$
\lvert B(x,r)\rvert=r^{N}\lvert B(0,1)\rvert
$$
であり、
$$
K(u,x,r)=\frac{1}{\lvert B(x,r)\rvert}\int_{B(x,r)}u(y)dy=\frac{1}{\lvert B(0,1)\rvert}\int_{B(0,1)}u(x+ry)dy,
$$
である。また超曲面間の $C^\infty$ 級同相写像 $\partial B(0,1)\ni y\mapsto x+ry\in \partial B(x,r)$ に対する変数変換公式（[[ベクトル解析4：Euclid空間内の多様体上の測度と積分]]の'''補題17.4'''）より、
$$
\lvert \partial B(x,r)\rvert=r^{N-1}\lvert \partial B(0,1)\rvert
$$
であり、
$$
S(u,x,r)=\frac{1}{\lvert \partial B(x,r)\rvert}\int_{\partial B(x,r)}u(y)d\mu_{\partial B(x,r)}(y)
=\frac{1}{\lvert \partial B(0,1)\rvert}\int_{\partial B(0,1)}u(x+ry)d\mu_{\partial B(0,1)}(y)
$$
である。そして極座標変換（[[ベクトル解析4：Euclid空間内の多様体上の測度と積分]]の'''定理18.4'''）より、
$$
\lvert B(0,1)\rvert=\int_{0}^{1}\int_{\partial B(0,1)}r^{N-1}d\mu_{\partial B(0,1)}(y)dr=\frac{1}{N}\lvert \partial B(0,1)\rvert
$$
である。

===命題4.3（球面平均と球平均の基本性質）===
$\Omega\subset \mathbb{R}^N$ を開集合、$u\colon \Omega\rightarrow \mathbb{C}$ を連続関数とし、$x\in \Omega$ と $r\in (0,\infty)$ を $\overline{B(x,R)}=\{y\in \mathbb{R}^N:\lvert y-x\rvert\leq R\}\subset \Omega$ を満たすものとする。このとき、
*$(1)$　$(0,R]\ni r\mapsto S(u,x,r)\in \mathbb{C}$, $(0,R]\ni r\mapsto K(u,x,r)\in \mathbb{C}$ は連続関数であり、
$$
\lim_{r\rightarrow+0}S(u,x,r)=u(x),\quad \lim_{r\rightarrow+0}K(u,x,r)=u(x)
$$
が成り立つ。
*$(2)$　任意の $r_0\in (0,R]$ に対し、
$$
K(u,x,r_0)=\frac{N}{r_0^N}\int_{0}^{r_0}r^{N-1}S(u,x,r)dr
$$
が成り立つ。また、
$$
\frac{d}{dr}K(u,x,r)=\frac{N}{r}(S(u,x,r)-K(u,x,r))\quad(\forall r\in (0,R])
$$
が成り立つ。
*$(3)$　$u\in C^1(\Omega)$ ならば、任意の $r\in (0,R]$ に対し、
$$
\frac{d}{dr}S(u,x,r)=\frac{1}{\lvert \partial B(x,r)\rvert}\int_{\partial B(x,r)}\nabla u(y)\cdot\frac{y-x}{r}d\mu_{\partial B(x,r)}(y)
$$
が成り立つ。
*$(4)$　$u\in C^2(\Omega)$ ならば、
$$
\frac{d}{dr}S(u,x,r)=\frac{r}{N}K(\Delta u,x,r)\quad(\forall r\in (0,R])
$$
が成り立つ。
{{begin|proof}}
*$(1)$　
$$
K(u,x,r)=\frac{1}{\lvert B(0,1)\rvert}\int_{B(0,1)}u(x+ry)dy,
$$
$$
S(u,x,r)=\frac{1}{\lvert \partial B(0,1)\rvert}\int_{\partial B(0,1)}u(x+ry)d\mu_{\partial B(0,1)}(y)
$$
であることとLebesgue優収束定理による。
*$(2)$　極座標変換と'''注意4.2'''より、
$$
\begin{aligned}
K(u,x,r_0)&=\frac{1}{\lvert B(x,r_0)\rvert}\int_{0}^{r_0}\int_{\partial B(0,1)}r^{N-1}u(x+ry)d\mu_{\partial B(0,1)}(y)dr\\
&=\frac{N}{r_0^N}\int_{0}^{r_0}\frac{1}{\lvert \partial B(0,1)\rvert}\int_{\partial B(0,1)}r^{N-1}u(x+ry)d\mu_{\partial B(0,1)}(y)dr\\
&=\frac{N}{r_0^N}\int_{0}^{r_0}r^{N-1}S(u,x,r)dr
\end{aligned}
$$
である。右辺の被積分関数 $(0,R]\ni r\mapsto r^{N-1}S(u,x,r)\in \mathbb{C}$ は $(1)$ より連続なので、
$$
\begin{aligned}
\frac{d}{dr}K(u,x,r_0)&=\frac{N}{r_0^N}(r_0^{N-1}S(u,x,r_0))-\frac{N^2}{r_0^{N+1}}\int_{0}^{r_0}r^{N-1}S(u,x,r)dr\\
&=\frac{N}{r_0}(S(u,x,r_0)-K(u,x,r_0))
\end{aligned}
$$
となる。
*$(3)$　'''注意4.2'''とLebesgue優収束定理より、
$$
\frac{d}{dr}S(u,x,r)=\frac{1}{\lvert \partial B(0,1)\rvert}\int_{\partial B(0,1)}(\nabla u(x+ry)\cdot y)d\mu_{\partial B(0,1)}(y)
$$
であり、$C^\infty$ 級同相写像 $\partial B(x,r)\ni y\mapsto \frac{y-x}{r}\in\partial B(0,1)$ に関する変数変換公式（[[ベクトル解析4：Euclid空間内の多様体上の測度と積分]]の'''補題17.4'''）より、
$$
\frac{1}{\lvert \partial B(0,1)\rvert}\int_{\partial B(0,1)}(\nabla u(x+ry)\cdot y)d\mu_{\partial B(0,1)}(y)
=\frac{1}{\lvert \partial B(x,r)\rvert}\int_{\partial B(x,r)}\nabla u(y)\cdot \frac{y-x}{r}d\mu_{\partial B(x,r)}(y)
$$
であるから成り立つ。
*$(4)$　$\partial B(x,r)\ni y\mapsto \frac{y-x}{r}\in \mathbb{R}^N$ は $B(x,r)$ の境界上の外向き単位法線ベクトル場（[[ベクトル解析5：多様体の向き]]の'''定義22.1'''）であるから、Gaussの発散定理（'''定理2.3'''の $(1)$ ）と $(3)$、および'''注意4.2'''より、
$$
\begin{aligned}
K(\Delta u,x,r)&=\frac{1}{\lvert B(x,r)\rvert}\int_{B(x,r)}\Delta u(y)dy=\frac{1}{\lvert B(x,r)\rvert}\int_{\partial B(x,r)}\nabla u(y)\cdot \frac{y-x}{r}d\mu_{\partial B(0,1)}(y)\\
&=\frac{\lvert \partial B(x,r)\rvert}{\lvert B(x,r)\rvert}\frac{d}{dr}S(u,x,r)
=\frac{N}{r}\frac{d}{dr}S(u,x,r)
\end{aligned}
$$
となる。
{{end|proof}}

===定義4.4（調和関数）===
$\Omega\subset \mathbb{R}^N$ を開集合とする。$u\in C^\infty(\Omega)$ で $\Delta u=0$ を満たすものを $\Omega$ 上の調和関数と言う。

===注意4.5（正則関数の実部と虚部は調和関数）===
$\Omega\subset \mathbb{C}$ を開集合、$u\colon \Omega\rightarrow\mathbb{C}$ を正則関数とする。$u$ の実部と虚部 $u_1,u_2\colon \Omega\rightarrow\mathbb{R}$ は、$\mathbb{C}=\mathbb{R}^2$ とみなしたとき、それぞれ調和関数である。実際、Cauchy-Riemannの関係式（[[複素解析の初歩]]の'''定理1.6'''）より、
$$
\partial_1u_1=\partial_2u_2,\quad \partial_1 u_2=-\partial_2u_1
$$
であり、正則関数は何回でも複素微分可能である（[[複素解析の初歩]]の'''定理6.1'''）から $u\in C^\infty(\Omega)$ で、
$$
\Delta u_1=\partial_1^2u_1+\partial_2^2u_1=\partial_1\partial_2u_2-\partial_2\partial_1u_2=0,
$$
$$
\Delta u_2=\partial_1^2u_2+\partial_2^2u_2=-\partial_1\partial_2u_1+\partial_2\partial_1u_1=0
$$
である。

===定理4.6（調和関数の球面平均、球平均による特徴付け）===
$\Omega\subset \mathbb{R}^N$ を開集合、$u\colon \Omega\rightarrow\mathbb{C}$ を連続関数とする。このとき次は互いに同値である。
*$(1)$　$\overline{B(x,r)}=\{y\in \mathbb{R}^N:\lvert y-x\rvert\leq r\}\subset \Omega$ なる任意の $x\in \Omega$ と $r\in (0,\infty)$ に対し $u(x)=S(u,x,r)$ が成り立つ。
*$(2)$　$\overline{B(x,r)}=\{y\in \mathbb{R}^N:\lvert y-x\rvert\leq r\}\subset \Omega$ なる任意の $x\in \Omega$ と $r\in (0,\infty)$ に対し $u(x)=K(u,x,r)$ が成り立つ。
*$(3)$　$u$ は $\Omega$ 上の調和関数である。
*$(4)$　$\Omega$ 上の超関数（$D'(\Omega)$ の元）として $\Delta u=0$ が成り立つ。
{{begin|proof}}
$(1)\Leftrightarrow(2)$ を示す。$(1)$ が成り立つならば、任意の $\overline{B(x,r_0)}\subset \Omega$ に対し、'''命題4.3'''の $(2)$ の上の式より、
$$
K(u,x,r_0)=\frac{N}{r_0^N}\int_{0}^{r_0}r^{N-1}S(u,x,r)dr=\frac{N}{r_0^N}\int_{0}^{r_0}r^{N-1}u(x)dr=u(x)
$$
であるから $(2)$ が成り立つ。逆に $(2)$ が成り立つならば、任意の $\overline{B(x,r)}\subset \Omega$ に対し、'''命題4.3'''の $(2)$ の下の式より、
$$
0=\frac{d}{dr}K(u,x,r)=\frac{N}{r}(S(u,x,r)-K(u,x,r))=\frac{N}{r}(S(u,x,r)-u(x))
$$
であるから $(1)$ が成り立つ。 
$(1)\Rightarrow(3)$ を示す。$(1)$ が成り立つとする。
$$
\overline{B(x_0,r_0+\epsilon_0)}=\{y\in \mathbb{R}^N:\lvert y-x\rvert\leq r_0+\epsilon_0\}\subset \Omega\quad\quad(*)
$$
なる任意の $x_0\in\Omega$ と $r_0,\epsilon_0\in (0,\infty)$ を取り固定する。$(3)$ が成り立つことを示すには $B(x_0,r_0)$ 上で $u$ が $C^\infty$ 級であることと $\Delta u(x_0)=0$ が成り立つことを示せば十分である。Urysohnの補題より連続関数 $v\colon \mathbb{R}^N\rightarrow \mathbb{C}$ で、
$$
v(x)=u(x)\quad(\forall x\in \overline{B(x_0,r_0+\epsilon_0)})\quad\quad(**)
$$
を満たすものが取れる。$(\psi_{\epsilon})_{\epsilon\in (0,\infty)}$ をFriedrichsの軟化子（[[合成積とFourier変換]]の'''定義26.1'''）とし、
$$
\rho(r)\colon=\psi_{\epsilon_0}(r\omega)\quad(\forall r\in (0,\infty),\omega\in \partial B(0,1))
$$
と表すこととすると<ref>Friedrichsの軟化子の定義（[[合成積とFourier変換]]の'''定義26.1'''）より、$\lvert x\rvert=\lvert y\rvert$ ならば $\psi_{\epsilon_0}(x)=\psi_{\epsilon_0}(y)$ であることに注意。</ref>、任意の $x\in B(x_0,r_0)$ に対し、極座標変換（[[ベクトル解析4：Euclid空間内の多様体上の測度と積分]]の'''定理18.4'''）より、
$$
\begin{aligned}
(2\pi\epsilon)^{\frac{N}{2}}(\psi_{\epsilon_0}*v)(x)&=\int_{\mathbb{R}^N}\psi_{\epsilon_0}(y)v(x-y)dy
=\int_{\lvert y\rvert\leq\epsilon_0}\psi_{\epsilon_0}(y)u(x-y)dy\\
&=\int_{0}^{\epsilon_0}r^{N-1}\rho(r)\int_{\partial B(0,1)}u(x-r\omega)d\mu_{\partial B(0,1)}(\omega)dr\\
&=\int_{0}^{\epsilon_0}r^{N-1}\rho(r)u(x)\lvert \partial B(0,1)\rvert dr\\
&=\int_{0}^{\epsilon_0}r^{N-1}u(x)\int_{\partial B(0,1)}\psi_{\epsilon_0}(r\omega)d\mu_{\partial B(0,1)}(\omega)dr\\
&=\int_{\lvert y\rvert\leq\epsilon_0}\psi_{\epsilon_0}(y)u(x)dy=(2\pi)^{\frac{N}{2}}u(x)
\end{aligned}
$$
となる。ここで $4$ 番目の等号において $(1)$ が成り立つことを用いた。よって、
$$
u(x)=(\psi_{\epsilon_0}*v)(x)\quad(\forall x\in B(x_0,r_0))
$$
であり、$\psi_{\epsilon_0}*v\in C^\infty(\mathbb{R}^N)$ である（[[合成積とFourier変換]]の'''命題23.3'''）から、$u$ は $B(x_0,r_0)$ 上で $C^\infty$ 級である。$(1)$ が成り立つことと'''命題4.3'''の $(4)$ より、
$$
0=\frac{d}{dr}S(u,x_0,r)=\frac{r}{N}K(\Delta u,x_0,r)\quad(\forall r\in (0,r_0))
$$
であるから、'''命題4.3'''の $(1)$ より、
$$
\Delta u(x_0)=\lim_{r\rightarrow+0}K(\Delta u,x_0,r)=0.
$$
ゆえに $(3)$ が成り立つ。 
$(3)\Rightarrow(4)$ は自明である。 
$(4)\Rightarrow(1)$ を示す。$(4)$ が成り立つとする。$(*)$ を満たす任意の $x_0\in \Omega$ と $r_0,\epsilon_0\in (0,\infty)$ を取り、
$$
u(x_0)=S(u,x_0,r_0)
$$
が成り立つことを示せばよい。$(**)$ を満たす連続関数 $v\colon \mathbb{R}^N\rightarrow\mathbb{C}$ を取り、$(\psi_{\epsilon})_{\epsilon\in (0,\infty)}$ をFriedrichsの軟化子とすると、[[合成積とFourier変換]]の'''命題23.5 '''より、
$$
{\rm supp}(\psi_{\epsilon}*\varphi)\subset {\rm supp}(\psi_{\epsilon})+{\rm supp}(\varphi)\subset B(x_0,r_0+\epsilon_0)\quad(\forall \epsilon\in (0,\epsilon_0],\forall \varphi\in D(B(x_0,r_0)))
$$
であるから、任意の $\epsilon\in (0,\epsilon_0]$, 任意の $\varphi\in D(B(x_0,r_0))$ に対し、$v, \psi_{\epsilon}*\varphi$ を超関数とみなして、
$$
\begin{aligned}
&\Delta(\psi_{\epsilon}*v)(\varphi)=(\psi_{\epsilon}*v)(\Delta \varphi)=v(\psi_{\epsilon}*\Delta \varphi)=v(\Delta(\psi_{\epsilon}*\varphi))\\
&=u(\Delta (\psi_{\epsilon}*\varphi))=\Delta u(\psi_{\epsilon}*\varphi)=0
\end{aligned}
$$
となる。ただし $2$ 番目と $3$ 番目の等号でそれぞれ[[合成積とFourier変換]]の'''命題23.8'''と'''命題23.3'''を用いた。よって $\psi_{\epsilon}*v\in C^\infty(\mathbb{R}^N)$ は、
$$
\Delta(\psi_{\epsilon}*v)(x)=0\quad(\forall \epsilon\in (0,\epsilon_0],\forall x\in B(x_0,r_0))
$$
を満たすので、'''命題4.3'''の $(4)$ より、
$$
\frac{d}{dr}S((\psi_{\epsilon}*v),x_0,r)=\frac{r}{N}K(\Delta(\psi_{\epsilon}*v),x_0,r)=0\quad(\forall \epsilon\in (0,\epsilon_0],\forall r\in (0,r_0))
$$
となる。したがって'''命題4.3'''の $(1)$ と平均値の定理より、
$$
(\psi_{\epsilon}*v)(x_0)=S((\psi_{\epsilon}*v),x_0,r_0)\quad(\forall \epsilon\in (0,\epsilon_0])
$$
が成り立つ。そして $v\colon \mathbb{R}^N\rightarrow \mathbb{C}$ は連続関数であるから、[[合成積とFourier変換]]の'''命題26.2'''の $(1)$ より、コンパクト集合 $\overline{B(x_0,r_0)}$ 上で一様収束で、
$$
\lim_{\epsilon\rightarrow+0}(\psi_{\epsilon}*v)=v
$$
が成り立つ。よって、
$$
u(x_0)=v(x_0)=\lim_{\epsilon\rightarrow+0}(\psi_{\epsilon}*v)(x_0)=\lim_{\epsilon\rightarrow+0}S((\psi_{\epsilon}*v),x_0,r_0)=S(v,x_0,r_0)=S(u,x_0,r_0)
$$
を得る。
{{end|proof}}

===命題4.7（最大値の原理）===
$\Omega\subset \mathbb{R}^N$ を連結開集合、$u\colon \Omega\rightarrow\mathbb{C}$ を調和関数とする。このとき次は互いに同値である。
*$(1)$　$\lvert u\rvert\colon \Omega\ni x\mapsto \lvert u(x)\rvert\in [0,\infty)$ は定数関数である。
*$(2)$　$\lvert u\rvert\colon \Omega\ni x\mapsto \lvert u(x)\rvert \in [0,\infty)$ が $\Omega$ 上で最大値を取る。
{{begin|proof}}
$(1)\Rightarrow(2)$は自明である。 
$(2)\Rightarrow(1)$ を示す。$(2)$ が成り立つとする。
$$
M\colon =\underset{x\in \Omega}{\rm max}{\lvert u(x)\rvert}\in [0,\infty)
$$
とおき、
$$
\Omega_0\colon=\{x\in \Omega:\lvert u(x)\rvert=M\}
$$
とおくと、$\Omega_0$ は $\Omega$ の空でない閉集合である。任意の $x_0\in \Omega_0$ を取り、$\{x\in \mathbb{R}^N:\lvert x-x_0\rvert\leq r\}\subset \Omega$ 　なる正実数 $r$ を取る。このとき'''定理4.6'''の $(2)$ より、
$$
M=\lvert u(x_0)\rvert=\frac{1}{\lvert B(x_0,r)\rvert}\left\lvert\int_{B(x_0,r)}u(x)dx\right\rvert\leq \frac{1}{\lvert B(x_0,r)\rvert}\int_{B(x_0,r)}\lvert u(x)\rvert dx\leq M
$$
であるから、非負値連続関数 $B(x_0,r)\ni x\mapsto M-\lvert u(x)\rvert\in [0,\infty)$ は、
$$
\int_{B(x_0,r)}M-\lvert u(x)\rvert dx=0
$$
を満たす。よって $M-\lvert u(x)\rvert=0$ $(\forall x\in B(x_0,r))$ であるから、$B(x_0,r)\subset \Omega_0$ である。ゆえに $\Omega_0$ は $\Omega$ の開集合でもあるから、$\Omega$ の連結性より $\Omega=\Omega_0$ である。よって $\lvert u\rvert$ は定数関数である。
{{end|proof}}

===定理4.8（最大値の原理）===
$\Omega\subset \mathbb{R}^N$ を有界開集合とし、$u\colon \overline{\Omega}\rightarrow\mathbb{C}$ を連続関数で $\Omega$ 上で調和関数であるものとする。このとき、
$$
\underset{x\in \overline{\Omega}}{\rm max}\lvert u(x)\rvert=\underset{x\in \partial\Omega}{\rm max}\lvert u(x)\rvert\quad\quad(*)
$$
が成り立つ。
{{begin|proof}}
$M\colon ={\rm max}_{x\in \overline{\Omega}}\lvert u(x)\rvert$ とおく。もし $\lvert u(x)\rvert=M$ を満たす $x\in \Omega$ が存在しないならば、$\lvert u(x)\rvert=M$ を満たす $x\in \partial\Omega$ が存在するので $(*)$ が成り立つ。よって $\lvert u(x_0)\rvert=M$ を満たす $x_0\in \Omega$ が存在するとして $(*)$ が成り立つことを示せばよい。$x_0$ を含む $\Omega$ の連結成分を $U$ とおく。$\Omega$ の任意の点は連結な開近傍を持つので $U$ は開集合であり、$u$ は $U$ 上で調和関数であるから、'''命題4.7'''より、$\lvert u(x)\rvert=M$ $(\forall x\in U)$ が成り立つ。よって $U$ の $\mathbb{R}^N$ における閉包を $\overline{U}\subset \overline{\Omega}$ とおくと、$u\colon\overline{\Omega}\rightarrow\mathbb{C}$ の連続性より $\lvert u(x)\rvert=M$ $(\forall x\in \overline{U})$ が成り立つ。これよりもし $\overline{U}\cap \partial\Omega\neq\emptyset$ ならば $(*)$ は成り立つ。そこで今、$\overline{U}\cap \partial\Omega=\emptyset$ であると仮定して矛盾を導く。このとき $\overline{U}\subset \Omega$ であり、$\overline{U}$ は $x_0$ を含む $\Omega$ の連結集合であるから、$U$ が $\Omega$ の連結成分であることから $U=\overline{U}$ である。$U\subset \Omega$ で $U=\overline{U}$ はコンパクト、$\Omega$ は開集合であるから、[[超関数の定義と基本操作]]の'''命題2.2'''の $(4)$ と[[Sobolev空間の基本事項]]の'''注意33.4'''より、
$$
0<d(U,\mathbb{R}^N\backslash \Omega)=d(U,\partial\Omega)=\inf\{\lvert x-y\rvert :x\in U,y\in \partial\Omega\}\quad\quad(**)
$$
である。$U\times \partial\Omega\ni (x,y)\mapsto \lvert x-y\rvert\in [0,\infty)$ はコンパクト空間上の連続関数であるから $(**)$ の右辺の $\inf$ は実際は ${\rm min}$ であるので、
$$
\lvert a-b\rvert=d(U,\partial\Omega)>0
$$
を満たす $a\in U$, $b\in \partial\Omega$ が取れる。
$$
L\colon=\{a+t(b-a):t\in [0,1)\}
$$
とおくと、任意の $x\in L$ に対し、
$$
\lvert x-a\rvert =t\lvert b-a\rvert<\lvert b-a\rvert=d(U,\partial\Omega)=d(U,\mathbb{R}^N\backslash \Omega)
$$
であるので、$x\in \Omega$ である。よって $L\subset \Omega$ であり、$L$ は $a$ を含む $\Omega$ の連結集合で、$U$ は $a$ を含む $\Omega$ の連結成分であるので、$L\subset U$ である。これより、
$$
b\in \overline{L}\subset \overline{U}=U\subset \Omega
$$
となるが、これは $b\in \partial\Omega$ であることに矛盾する。よって $\overline{U}\cap \partial\Omega\neq\emptyset$ であるから $(*)$ が成り立つ。
{{end|proof}}

===命題4.9（調和関数に関するLiouvilleの定理）===
$\mathbb{R}^N$ 上で定義された有界な調和関数は定数関数である。
{{begin|proof}}
$u\colon\mathbb{R}^N\rightarrow\mathbb{C}$ を有界な調和関数とする。$x_1\neq x_2$ なる任意の $x_1,x_2\in \mathbb{R}^N$ を取り、$u(x_1)=u(x_2)$ が成り立つことを示せばよい。
$$
M\colon=\sup_{x\in \mathbb{R}^N}\lvert u(x)\rvert<\infty,\quad d\colon=\lvert x_1-x_2\rvert>0
$$
とおく。$r>d$ なる任意の正実数 $r$ に対し、'''定理4.6'''の $(2)$ より、
$$
\begin{aligned}
&\lvert u(x_1)-u(x_2)\rvert=\frac{1}{\lvert B(0,r)\rvert}\left\lvert\int_{B(x_1,r)}u(x)dx-\int_{B(x_2,r)}u(x)dx\right\rvert\\
&\leq \frac{1}{r^N\lvert B(0,1)\rvert}\left(\int_{B(x_1,r)\backslash B(x_2,r)}\lvert u(x)\rvert dx+\int_{B(x_2,r)\backslash B(x_1,r)}\lvert u(x)\rvert dx\right)\\
&\leq \frac{1}{r^N\lvert B(0,1)\rvert}\left(M\lvert B(x_1,r)\backslash B(x_1,r-d)\rvert +M\lvert B(x_2,r)\backslash B(x_2,r-d)\rvert\right)\\
&\leq \frac{2M}{r^N\lvert B(0,1)\rvert}(r^N-(r-d)^N)\lvert B(0,1)\rvert=2M\left(1-\left(1-\frac{d}{r}\right)^N\right)
\end{aligned}
$$
であり、$r\rightarrow\infty$ とすれば右辺は $0$ に収束する。よって $u(x_1)=u(x_2)$ が成り立つ。
{{end|proof}}

==5. Laplace-Poisson方程式の境界値問題の解の一意存在と正則性、Green関数による表現公式==

===定義5.1（Laplace方程式、Poisson方程式）===
$\Delta u=0$ を満たす関数 $u$ を求める微分方程式をLaplace方程式と言う。また、与えられた関数 $\rho$ に対し $\Delta u=\rho$ を満たす関数 $u$ を求める微分方程式をPoisson方程式と言う。

===定義5.2（$C^k(\overline{\Omega})$）===
$\Omega\subset \mathbb{R}^N$ を開集合、$k\in \mathbb{N}$ とする。$C^k(\overline{\Omega})$ を $\overline{\Omega}$ を含むある開集合上で定義された $C^k$ 級関数の $\overline{\Omega}$ 上への制限で表される関数全体とする。

===定理5.3（Laplace方程式の境界値問題の解の一意存在と解の正則性）===
$\Omega\subset \mathbb{R}^N$ を滑らかな境界を持つ有界開集合、$m\in \mathbb{N}$ を $m>\frac{N}{2}$ を満たすものとし、$f\colon\partial\Omega\rightarrow\mathbb{C}$ を $H^m(\mathbb{R}^N)\subset C_0(\mathbb{R}^N)$ <ref>$m>\frac{N}{2}$ であるから [[Sobolev空間の基本事項]]の'''Sobolevの埋め込み定理（定理38.3）'''より $H^m(\mathbb{R}^N)\subset C_0(\mathbb{R}^N)$ である。</ref>の元の $\partial\Omega$ 上への制限であるとする。また $\gamma\colon H^1(\Omega)\rightarrow L^2(\partial\Omega)$ をトレース作用素（[[Sobolev空間の基本事項]]の'''定理37.1'''）とする。このとき $v\in H^2(\Omega)$ で、
$$
\Delta v=0,\quad \gamma(v)=f
$$
を満たすものが唯一つ存在する。そして $v\in H^m(\Omega)$ が成り立つ。
{{begin|proof}}
$f\colon\partial\Omega\rightarrow \mathbb{C}$ の $H^m(\mathbb{R}^N)$ の元への拡張をそのまま $f$ で表す。[[Sobolev空間の基本事項]]の'''定理32.2'''より $H^m(\mathbb{R}^N)=\overline{D(\mathbb{R}^N)}^{\lVert \cdot\rVert_{2,m}}$ であるから $D(\mathbb{R}^N)$ の列 $(f_n)_{n\in\mathbb{N}}$ で、
$$
\lim_{n\rightarrow\infty}\lVert f-f_n\rVert_{2,m}=0\quad\quad(*)
$$
を満たすものが取れる。$m>\frac{N}{2}$ であるからSobolevの埋め込み定理（[[Sobolev空間の基本事項]]の'''定理38.3'''）より $(f_n)_{n\in\mathbb{N}}$ は $f$ に一様収束する。'''定理3.14'''の $(2),(5)$ より、
$$
\Delta\colon H^2(\Omega)\cap H^1_0(\Omega)=\{v\in H^2(\Omega):\gamma(v)=0\}\rightarrow L^2(\Omega)\quad\quad(**)
$$
は全単射であるから、各 $n\in \mathbb{N}$ について $\Delta u_n=\Delta f_n|_{\Omega}$ を満たす $u_n\in H^2(\Omega)\cap H^1_0(\Omega)$ が取れる。そして、
$$
\Delta u_n=\Delta f_n|_{\Omega}\in D(\mathbb{R}^N)|_{\Omega}\subset \bigcap_{m\in \mathbb{N}}H^m(\Omega)\quad(\forall n\in\mathbb{N})
$$
であるから、楕円型正則性（'''定理3.14'''の $(4)$）とSobolevの埋め込み定理（[[Sobolev空間の基本事項]]の'''定理38.4'''）より、
$$
u_n\in \bigcap_{k\in \mathbb{N}}H^k(\Omega)\subset \bigcap_{k\in \mathbb{N}}C^k(\overline{\Omega})\quad(\forall n\in\mathbb{N})
$$
が成り立つ。そこで、
$$
v_n\colon =f_n-u_n\in \bigcap_{k\in \mathbb{N}}C^k(\overline{\Omega})\subset C^\infty(\Omega)\quad(\forall n\in\mathbb{N})
$$
とおくと、
$$
\Delta v_n=\Delta f_n-\Delta u_n=0,\quad v_n|_{\partial\Omega}=f_n|_{\partial\Omega}-u_n|_{\partial\Omega}=f_n|_{\partial\Omega}\quad(\forall n\in\mathbb{N})
$$
であるから、最大値の原理（'''定理4.8'''）より、
$$
\underset{x\in \overline{\Omega}}{\rm max}\lvert v_n(x)-v_k(x)\rvert=\underset{x\in \partial\Omega}{\rm max}\lvert v_n(x)-v_k(x)\rvert=\underset{x\in \partial\Omega}{\rm max}\lvert f_n(x)-f_k(x)\rvert\quad(\forall n,k\in \mathbb{N})
$$
であり、$(f_n)_{n\in\mathbb{N}}$ は $f$ に一様収束するので、$(v_n)_{n\in \mathbb{N}}$ もある連続関数 $v\colon \overline{\Omega}\rightarrow\mathbb{C}$ に一様収束する。よって、
$$
v(x)=\lim_{n\rightarrow\infty}v_n(x)=\lim_{n\rightarrow\infty}f_n(x)=f(x)\quad(\forall x\in \partial\Omega)
$$
が成り立ち、$\{y\in \mathbb{R}^N:\lvert y-x\rvert\leq r\}\subset \Omega$ なる任意の $x\in \Omega$ と $r\in (0,\infty)$ に対し、'''定理4.6'''の $(1)$ より、
$$
S(v,x,r)=\lim_{n\rightarrow\infty}S(v_n,x,r)=\lim_{n\rightarrow\infty}v_n(x)=v(x)
$$
となるので、再び'''定理4.6'''より $v$ は $\Omega$ 上で $\Delta v=0$ を満たす。今、$v\in H^m(\Omega)$ が成り立つことを示す。
$$
u_n-u_k\in H^2(\Omega)\cap H^1_0(\Omega),\quad \Delta (u_n-u_k)=\Delta(f_n-f_k)|_{\Omega}\quad(\forall n,k\in \mathbb{N})
$$
であるから、'''定理3.14'''の $(4)$ より、$\Omega, m$ のみによる正実数 $C,C'$ が存在して、
$$
\lVert u_n-u_k\rVert_{2,m}\leq C(\lVert \Delta(f_n-f_k)\rVert_{2,m-2}+\lVert u_n-u_k\rVert_2)
\leq C'(\lVert f_n-f_k\rVert_{2,m}+\lVert u_n-u_k\rVert_{\infty})\quad(\forall n,k\in \mathbb{N})\quad\quad(***)
$$
が成り立つ。ここで $u_n=f_n-v_n$ $(\forall n\in\mathbb{N})$ であり、$(f_n)_{n\in \mathbb{N}}$, $(v_n)_{n\in\mathbb{N}}$ はそれぞれ一様収束するので $(u_n)_{n\in \mathbb{N}}$ も一様収束する。よって $(*),(***)$ より $(u_n)_{n\in \mathbb{N}}$ は $H^m(\Omega)$ において収束する。そして、
$$
\lVert v_n-v_k\rVert_{2,m}\leq \lVert u_n-u_k\rVert_{2,m}+\lVert f_n-f_k\rVert_{2,m}\quad(\forall n,k\in\mathbb{N})
$$
であるから $(v_n)_{n\in \mathbb{N}}$ も $H^m(\Omega)$ において収束する。ゆえに $v\in H^m(\Omega)$ である。 
一意性を示す。$v_1,v_2\in H^2(\Omega)$ が、
$$
\Delta v_k=0,\quad \gamma(v_k)=f\quad(k=1,2)
$$
を満たすとする。このとき、
$$
v_1-v_2\in \{v\in H^2(\Omega):\gamma(v)=0\}=H^2(\Omega)\cap H^1_0(\Omega)
$$
であり、$\Delta(v_1-v_2)=0$ であるから、$(**)$ の単射性より $v_1=v_2$ である。
{{end|proof}}

===定理5.4（Poisson方程式の境界値問題の解の一意存在と解の正則性）===
$\Omega\subset \mathbb{R}^N$ を滑らかな境界を持つ有界開集合、$m\in \mathbb{N}$ を $m>\frac{N}{2}$ を満たすものとし、$f\colon\partial\Omega\rightarrow\mathbb{C}$ を $H^m(\mathbb{R}^N)\subset C_0(\mathbb{R}^N)$ の元の $\partial\Omega$ 上への制限であるとする。また $\gamma\colon H^1(\Omega)\rightarrow L^2(\partial\Omega)$ をトレース作用素（[[Sobolev空間の基本事項]]の'''定理37.1'''）とする。このとき任意の $m'\in \mathbb{Z}_+$, $\rho\in H^{m'}(\Omega)$ に対し、$v\in H^2(\Omega)$ で、
$$
\Delta v=\rho,\quad \gamma(v)=f
$$
を満たすものが唯一つ存在する。そして $m' '\colon={\rm min}(m,m'+2)$ に対し $v\in H^{m' '}(\Omega)$ が成り立つ。
{{begin|proof}}
'''定理5.3'''より $v_0\in H^m(\Omega)$ で、
$$
\Delta v_0=0,\quad \gamma(v_0)=f
$$
を満たすものが取れる。そして'''定理3.14'''の $(2),(5)$ より、
$$
\Delta\colon H^2(\Omega)\cap H^1_0(\Omega)=\{v\in H^2(\Omega):\gamma(v)=0\}\rightarrow L^2(\Omega)\quad\quad(*)
$$
は全単射であるから、$\rho\in H^{m'}(\Omega)$ に対し $\Delta v_1=\rho$ を満たす $v_1\in H^2(\Omega)\cap H^1_0(\Omega)$ が取れて、楕円型正則性（'''定理3.14'''の $(4)$）より $v_1\in H^{m'+2}(\Omega)$ である。よって $v\colon=v_0+v_1\in H^{m' '}(\Omega)$ とおけば、
$$
\Delta v=\Delta v_0+\Delta v_1=\Delta v_1=\rho,\quad \gamma(v)=\gamma(v_0)+\gamma(v_1)=\gamma(v_0)=f
$$
である。これで存在が言えた。一意性を示す。今、$v,u\in H^2(\Omega)$ が、
$$
\Delta v=\Delta u=\rho,\quad \gamma(v)=\gamma(u)=f
$$
を満たすとすると、
$$
\Delta(v-u)=0,\quad \gamma(v-u)=0
$$
であるから、$(*)$ の単射性より $v-u=0$ である。これで一意性が言えた。
{{end|proof}}

===定義5.4（ラプラシアンの基本解）===
$N$ を $2$ 以上の自然数とし、$\lvert \partial B(0,1)\rvert$ を $N-1$ 次元単位球面の面積とする。$\mathbb{R}^N$ 上の関数 $G\colon\mathbb{R}^N\rightarrow\mathbb{R}$ で次を満たすものをラプラシアンの基本解と言う。$N\geq3$ の場合、
$$
G(x)=\frac{1}{\lvert \partial B(0,1)\rvert}\frac{\lvert x\rvert^{2-N}}{2-N}\quad(\forall x\in \mathbb{R}^N\backslash \{0\}),
$$
$N=2$ の場合、
$$
G(x)=\frac{1}{\lvert \partial B(0,1)\rvert}\log(\lvert x\rvert)=\frac{1}{2\pi}\log(\lvert x\rvert)\quad(\forall x\in \mathbb{R}^N\backslash\{0\}).
$$
便宜上、ラプラシアンの基本解 $G$ に対し、$G(x)$ は $G(\lvert x\rvert)$ とも表す。

===命題5.5（ラプラシアンの基本解の基本性質）===
$\mathbb{R}^N$ 上のラプラシアンの基本解 $G\colon \mathbb{R}^N\rightarrow\mathbb{R}$ に対し次が成り立つ。
*$(1)$　$G$ の勾配は、
$$
\nabla G(x)=\frac{1}{\lvert \partial B(0,1)\rvert}\frac{x}{\lvert x\rvert^N}\quad(\forall x\in \mathbb{R}^N\backslash \{0\})
$$
を満たし、$G$ のラプラシアンは、
$$
\Delta G(x)=0\quad(\forall x\in \mathbb{R}^N\backslash \{0\})
$$
を満たす。
*$(2)$　$G,\lvert \nabla G\rvert\in L^1_{\rm loc}(\mathbb{R}^N)$ であり、
$$
\int_{\lvert x\rvert\leq R}\lvert \nabla G(x)\rvert dx=R\quad(\forall R\in (0,\infty))
$$
が成り立つ。
{{begin|proof}}
*$(1)$　$G$ は $0\in \mathbb{R}^N$ 中心の極座標（[[ベクトル解析4：Euclid空間内の多様体上の測度と積分]]の'''定義18.3'''）$(r,\theta_1,\ldots,\theta_{N-1})$ の $r$ のみによることと、極座標は直交座標であること（[[ベクトル解析4：Euclid空間内の多様体上の測度と積分]]の'''命題18.2'''の $(3)$ ）に注意すれば、[[ベクトル解析3：Euclid空間内の多様体の計量]]の'''命題12.5'''より、
$$
\nabla G(x)=\frac{\partial G}{\partial r}(r)\frac{\partial}{\partial r}x=\frac{1}{\lvert\partial B(0,1)\rvert}\frac{1}{r^{N-1}}\frac{x}{r}=\frac{1}{\lvert\partial B(0,1)\rvert}\frac{x}{\lvert x\rvert^N}\quad(\forall x\in \mathbb{R}^N\backslash \{0\})
$$
であり、[[ベクトル解析3：Euclid空間内の多様体の計量]]の'''命題13.10'''より、
$$
\Delta G(x)=\frac{1}{r^{N-1}}\frac{\partial}{\partial r}\left(r^{N-1}\frac{\partial G}{\partial r}\right)(x)
=\frac{1}{r^{N-1}}\frac{\partial}{\partial r}\left(r^{N-1}\frac{1}{\lvert \partial B(0,1)\rvert}\frac{1}{r^{N-1}}\right)(x)=0
$$
である。
*$(2)$　$G,\lvert \nabla G\rvert$ は $\mathbb{R}^N\backslash \{0\}$ 上で連続であるから、$G,\lvert\nabla G\rvert$ が $\mathbb{R}^N$ 上で局所可積分であることを示すには、$0\in \mathbb{R}^N$ を中心とする任意の球 $\{x\in \mathbb{R}^N:\lvert x\rvert\leq R\}$ 上で $G,\lvert \nabla G\rvert$ が可積分であることを示せば十分である。極座標変換（[[ベクトル解析4：Euclid空間内の多様体上の測度と積分]]の'''定理18.4'''）より、
$$
\int_{\lvert x\rvert\leq R}\lvert G(x)\rvert dx=\lvert \partial B(0,1)\rvert \int_{0}^{R}r^{N-1}\lvert G(r)\rvert dr
=\begin{cases}\frac{1}{N-2}\int_{0}^{R}rdr<\infty&\quad(N\geq 3)\\
\int_{0}^{R}r\lvert \log(r)\rvert dr<\infty &(N=2)\end{cases}
$$
であり、
$$
\int_{\lvert x\rvert\leq R}\lvert \nabla G(x)\rvert dx=\int_{\lvert x\rvert \leq R}\frac{1}{\lvert \partial B(0,1)\rvert}\frac{1}{\lvert x\rvert^{N-1}}dx=\int_{0}^{R}1dr=R
$$
である。
{{end|proof}}

===定理5.6（Greenの表現公式）===
$\Omega\subset \mathbb{R}^N$ を滑らかな境界を持つ有界開集合、$G$ を $\mathbb{R}^N$ 上のラプラシアンの基本解、$u\in C^2(\overline{\Omega})$ とする。このとき任意の $x\in \Omega$ に対し、
$$
u(x)=\int_{\Omega}\Delta u(y)G(x-y)dy+\int_{\partial\Omega}\left(u(y)\frac{\partial G}{\partial \nu_y}(x-y)-\frac{\partial u}{\partial \nu}(y) G(x-y)\right)d\mu_{\partial\Omega}(y)
$$
が成り立つ。ただし $\mu_{\partial\Omega}$ は $\partial\Omega$ 上の面積測度（[[ベクトル解析4：Euclid空間内の多様体上の測度と積分]]の'''定義16.8'''）、$\frac{\partial}{\partial\nu}$ は外向き法線微分（'''定義2.2'''）
である。
{{begin|proof}}
任意の $x\in \Omega$ を取り固定する。十分小さい $\epsilon\in (0,\infty)$ を取り、
$$
\overline{B(x,\epsilon)}=\{y\in \mathbb{R}^N:\lvert y-x\rvert\leq \epsilon\}\subset \Omega
$$
となるようにする。このとき $\Omega\backslash \overline{B(x,\epsilon)}\subset \mathbb{R}^N$ は滑らかな境界 $\partial\Omega\cup \partial B(x,\epsilon)$ を持つ開集合であり、その境界上の外向き単位法線ベクトル場（[[ベクトル解析5：多様体の向き]]の'''定義22.1'''） $\widetilde{\nu}\colon \partial\Omega\cup \partial B(x,\epsilon)\rightarrow\mathbb{R}^N$ は、$\Omega$ の境界上の外向き単位法線ベクトル場 $\nu\colon \partial\Omega\rightarrow\mathbb{R}^N$ に対し、
$$
\widetilde{\nu}(y)=\nu(y)\quad(\forall y\in \partial\Omega),\quad \widetilde{\nu}(y)=-\frac{y-x}{\epsilon}\quad(\forall y\in \partial B(x,\epsilon))
$$
である。'''命題5.5'''の $(1)$ より任意の $y\in \partial B(x,\epsilon)$ に対し、
$$
\begin{aligned}
\frac{\partial G}{\partial \widetilde{\nu}_y}(x-y)&=-\frac{y-x}{\epsilon}\cdot \nabla_yG(x-y)=-\frac{1}{\lvert\partial B(0,1)\rvert}\frac{y-x}{\epsilon}\cdot \frac{y-x}{\epsilon^N}\\
&=-\frac{1}{\lvert \partial B(0,1)\rvert}\frac{1}{\epsilon^{N-1}}
=-\frac{1}{\lvert \partial B(x,\epsilon)\rvert}
\end{aligned}
$$
であることと、$\Omega\backslash \overline{B(x,\epsilon)}\ni y\mapsto G(x-y)\in \mathbb{R}$ は調和関数であることに注意して、Gaussの発散定理（'''定理2.3'''の $(4)$ ）を用いると、
$$
\begin{aligned}
\int_{\Omega\backslash \overline{B(x,\epsilon)}}\Delta u(y)G(x-y)dy&=\int_{\partial\Omega}\left(\frac{\partial u}{\partial \nu}(y)G(x-y)-u(y)\frac{\partial G}{\partial\nu_y}(x-y)\right)d\mu_{\partial \Omega}(y)\\
&-\int_{\partial B(x,\epsilon)}\left(\nabla u(y)\cdot \frac{y-x}{\epsilon}\right)G(x-y)d\mu_{\partial B(0,1)}(y)\\
&+\frac{1}{\lvert \partial B(x,\epsilon\rvert}\int_{\partial B(x,\epsilon)}u(y)d\mu_{\partial B(x,\epsilon)}(y)\quad\quad(*)
\end{aligned}
$$
となる。ここで'''命題5.5'''の $(2)$ より $G\in L^1_{\rm loc}(\mathbb{R}^N)$ であるから、Lebesgue優収束定理より、
$$
\lim_{\epsilon\rightarrow+0}\int_{\Omega\backslash \overline{B(x,\epsilon)}}\Delta u(y)G(x-y)dy=\int_{\Omega}\Delta u(y)G(x-y)dy\quad\quad(**)
$$
が成り立ち、'''命題4.3'''の $(1)$ より、
$$
\lim_{\epsilon\rightarrow+0}\frac{1}{\lvert \partial B(x,\epsilon)\rvert}\int_{\partial B(x,\epsilon)}u(y)d\mu_{\partial B(x,\epsilon)}(y)=u(x)\quad\quad(***)
$$
が成り立つ。そして、
$$
\begin{aligned}
&\left\lvert \int_{\partial B(x,\epsilon)}\left(\nabla u(y)\cdot \frac{y-x}{\epsilon}\right)G(x-y)d\mu_{\partial B(x,\epsilon)}(y)\right\rvert\\
&\leq \underset{x\in \overline{\Omega}}{\rm max}\lvert \nabla u(x)\rvert \begin{cases}\frac{1}{\lvert \partial B(0,1)\rvert}\int_{\partial B(x,\epsilon)}\frac{\epsilon^{2-N}}{N-2}d\mu_{\partial B(x,\epsilon)}(y)\quad&(N\geq 3)\\
\frac{1}{2\pi}\int_{\partial B(x,\epsilon)}\lvert \log(\epsilon)\rvert d\mu_{\partial B(x,\epsilon)}(y)&(N=2)\end{cases}\\
&=\underset{x\in\overline{\Omega}}{\rm max}\lvert \nabla u(x)\rvert\begin{cases}\frac{\epsilon}{N-2}\quad&(N\geq 3)\\\epsilon\lvert \log(\epsilon)\rvert&(N=2)\end{cases}\\
&\rightarrow0\quad(\epsilon\rightarrow+0)\quad\quad(****)
\end{aligned}
$$
である。よって $(*)$ の両辺について $\epsilon\rightarrow+0$ とすれば、$(**),(***),(****)$ より、
$$
\int_{\Omega}\Delta u(y)G(x-y)dy=\int_{\partial\Omega}\left(\frac{\partial u}{\partial \nu}(y)G(x-y)-u(y)\frac{\partial G}{\partial \nu_y}(x-y)\right)d\mu_{\partial\Omega}(y)+u(x)
$$
となる。これで求める等式が得られた。
{{end|proof}}

===命題5.7（滑らかな境界を持つ有界開集合上のラプラシアンのGreen関数の一意存在）===
$\Omega\subset \mathbb{R^N}$ を滑らかな境界を持つ有界開集合、$\gamma\colon H^1(\Omega)\rightarrow L^2(\partial\Omega)$　をトレース作用素（[[Sobolev空間の基本事項]]の'''定理37.1'''）、$G$ を $\mathbb{R}^N$ 上のラプラシアンの基本解とする。このとき任意の $x\in \Omega$ に対し $h_x\in H^2(\Omega)$ で、
$$
\Delta h_x=0,\quad \gamma(h_x)(y)=G(x-y)\quad(\forall y\in \partial\Omega)\quad\quad(1)
$$
を満たすものが唯一つ存在する。そして、
$$
h_x\in \bigcap_{m\in \mathbb{N}}H^m(\Omega)\subset \bigcap_{m\in \mathbb{N}}C^m(\overline{\Omega})\quad\quad(2)
$$
が成り立ち、任意の $u\in C^2(\overline{\Omega})$ に対し、
$$
\int_{\Omega}\Delta u(y)h_x(y)dy=\int_{\partial \Omega}\left(\frac{\partial u}{\partial \nu}(y)G(x-y)-u(y)\frac{\partial h_x}{\partial\nu}(y)\right)d\mu_{\partial\Omega}(y)\quad\quad(3)
$$
が成り立つ。ただし $\frac{\partial}{\partial\nu}$ は外向き法線微分（'''定義2.2'''）である。
{{begin|proof}}
任意の $x\in \Omega$ に対し、$\partial\Omega\ni y\mapsto G(x-y)\in \mathbb{R}$ はUrysohnの補題（[[ベクトル解析4：Euclid空間内の多様体上の測度と積分]]の'''定理15.5'''）より $D(\mathbb{R}^N)\subset \bigcap_{m\in \mathbb{N}}H^m(\mathbb{R}^N)$ の元に拡張できるので、'''定理5.3'''より、$(1)$ を満たす $h_x\in H^2(\Omega)$ が唯一つ存在し、$(2)$ が成り立つ。任意の $u\in C^2(\overline{\Omega})$ に対し、Gaussの発散定理（'''定理2.3'''の $(4)$ ）より、
$$
\begin{aligned}
\int_{\Omega}\Delta u(y)h_x(y)dy&=\int_{\Omega}(\Delta u(y)h_x(y)-u(y)\Delta h_x(y))dy
=\int_{\partial\Omega}\left(\frac{\partial u}{\partial \nu}(y)h_x(y)-u(y)\frac{\partial h_x}{\partial \nu}(y)\right)d\mu_{\partial\Omega}(y)\\
&=\int_{\partial\Omega}\left(\frac{\partial u}{\partial \nu}(y)G(x-y)-u(y)\frac{\partial h_x}{\partial \nu}(y)\right)d\mu_{\partial\Omega}(y)
\end{aligned}
$$
であるから、$(3)$ が成り立つ。
{{end|proof}}

===定義5.8（滑らかな境界を持つ有界開集合上のラプラシアンのGreen関数）===
$\Omega\subset \mathbb{R}^N$ を滑らかな境界を持つ有界開集合、$G$ を $\mathbb{R}^N$ 上のラプラシアンの基本解とする。任意の $x\in \Omega$ に対し'''命題5.7'''の $(1)$ によって一意的に定まる $h_x\in \bigcap_{m\in \mathbb{N}}H^m(\Omega)\subset \bigcap_{m\in \mathbb{N}}C^m(\overline{\Omega})$ を考え、
$$
G_{\Omega}(x,y)\colon =G(x-y)-h_x(y)\quad(\forall y\in \overline{\Omega})
$$
とおく。$G_{\Omega}(x,y)$ を $\Omega$ 上のラプラシアンのGreen関数と言う。

===定理5.9（Poisson方程式の境界値問題の一意解のGreen関数による表現）===
$\Omega\subset \mathbb{R}^N$ を滑らかな境界を持つ有界開集合、$m\in \mathbb{N}$ を $m>\frac{N}{2}+2$ を満たすものとし、$f\colon \partial\Omega\rightarrow\mathbb{C}$ を $H^m(\mathbb{R}^N)$ の元の $\partial\Omega$ 上への制限、また $\rho\in H^{m-2}(\Omega)$ とする。このとき'''定理5.4'''におけるPoisson方程式の境界値問題
$$
\Delta u=\rho,\quad \gamma(u)=f
$$
の一意解 $u\in H^2(\Omega)$ は、$\Omega$ 上のラプラシアンのGreen関数 $G_{\Omega}(x,y)$ $(x\in \Omega,y\in\overline{\Omega})$ を用いて、
$$
u(x)=\int_{\Omega}\rho(y)G_{\Omega}(x,y)dy+\int_{\partial\Omega}f(y)\frac{\partial G_{\Omega}}{\partial\nu_y}(x,y)d\mu_{\partial\Omega}(y)\quad(\forall x\in \Omega)
$$
と表される。
{{begin|proof}}
Sobolevの埋め込み定理（[[Sobolev空間の基本事項]]の'''定理38.4'''）より、$u\in H^m(\Omega)\subset C^2(\overline{\Omega})$ であるから、Greenの表現公式（'''定理5.6'''）より、任意の $x\in \Omega$ に対し、
$$
u(x)=\int_{\Omega}\rho(y)G(x-y)dy+\int_{\partial\Omega}\left(f(y)\frac{\partial G}{\partial \nu_y}(x-y)-\frac{\partial u}{\partial\nu}(y)G(x-y)\right)d\mu_{\partial\Omega}(y)\quad\quad(*)
$$
（$\Delta u=\rho$, $u|_{\partial\Omega}=f$ に注意）が成り立つ。また'''命題5.7'''より、
$$
0=-\int_{\Omega}\rho(y)h_x(y)dy+\int_{\partial\Omega}\left(\frac{\partial u}{\partial\nu}(y)G(x-y)-f(y)\frac{\partial h_x}{\partial\nu}(y)\right)d\mu_{\partial\Omega}(y)\quad\quad(**)
$$
であるから、$(*),(**)$ を足せば、
$$
u(x)=\int_{\Omega}\rho(y)G_{\Omega}(x,y)dy+\int_{\partial\Omega}f(y)\frac{\partial G_{\Omega}}{\partial\nu_y}(x,y)d\mu_{\partial\Omega}(y)
$$
を得る。
{{end|proof}}

===定理5.10（ラプラシアンの基本解の基本性質）===
$G$ を $\mathbb{R}^N$ 上のラプラシアンの基本解とし、$\delta_0$ を $\{0\}$ を台とするDiracのデルタ超関数（[[緩増加超関数とFourier変換]]の'''定義20.5'''）とする。このとき、
*$(1)$　$G\in L^1_{\rm loc}(\mathbb{R}^N)\subset D'(\mathbb{R}^N)$ として $\Delta G=\delta_0$ が成り立つ。
*$(2)$　任意の台がコンパクトな超関数 $v\in \mathcal{E}_N'$（[[緩増加超関数とFourier変換]]の'''定義20.3'''）に対し、$(2\pi)^{\frac{N}{2}}\Delta (v*G)=v$ が成り立つ。
{{begin|proof}}
*$(1)$　任意の $\varphi\in D(\mathbb{R}^N)$ に対し ${\rm supp}(\varphi)\in B(0,R)=\{x\in \mathbb{R}^N:\lvert x\rvert<R\}$ を満たす $R\in (0,\infty)$ を取れば、Greenの表現公式（'''定理5.6'''）より、
$$
\begin{aligned}
\delta_0(\varphi)&=\varphi(0)=\int_{B(0,R)}G(y)\Delta \varphi(y)dy+\int_{\partial B(0,R)} \left(\varphi(y)\frac{\partial G}{\partial \nu}(y)-\frac{\partial\varphi}{\partial\nu}(y)G(y)\right)d\mu_{\partial B(0,R)}(y)\\
&=\int_{\mathbb{R}^N}G(y)\Delta \varphi(y)dy=\Delta G(\varphi)
\end{aligned}
$$
となる。よって $\Delta G=\delta_0$ が成り立つ。
*$(2)$　$(1)$ と[[合成積とFourier変換]]の'''命題27.6'''と'''命題27.7'''より、
$$
\Delta(v*G)=v*\Delta G=v*\delta_0=\delta_0*v=\frac{1}{(2\pi)^{\frac{N}{2}}}v
$$
となる。
{{end|proof}}

===定義5.11（Newtonポテンシャル）===
$G$ を $\mathbb{R}^N$ 上のラプラシアンの基本解、$\rho\in L^\infty(\mathbb{R}^N)$ を ${\rm supp}(\rho)$ がコンパクトであるものとする。'''命題5.5'''の $(2)$ より $G\in L^1_{\rm loc}(\mathbb{R}^N)$ だから任意の $x\in \mathbb{R}^N$ に対し $\mathbb{R}^N\ni y\mapsto \rho(y)G(x-y)\in \mathbb{C}$ は可積分である。よって $\mathbb{R}^N$ 上の関数 $u\colon \mathbb{R}^N\rightarrow\mathbb{C}$ として、
$$
u(x)=\int_{\mathbb{R}^N}\rho(y)G(x-y)dy\quad(\forall x\in \mathbb{R}^N)
$$
なるものが定義できる。$u$ を $\rho$ を密度関数とするNewtonポテンシャルと言う。

===定理5.12（Newtonポテンシャルと全空間におけるPoisson方程式）===
$G$ を $\mathbb{R}^N$ 上のラプラシアンの基本解、$\rho\in L^\infty(\mathbb{R}^N)$ を ${\rm supp}(\rho)$ がコンパクトであるものとする。そして $u\colon \mathbb{R}^N\rightarrow\mathbb{C}$ を $\rho$ を密度関数とするNewtonポテンシャルとする。このとき、
*$(1)$　$u\in C^1(\mathbb{R}^N)$ であり、
$$
\nabla u(x)=\int_{\mathbb{R}^N}\rho(y)\nabla G(x-y)dy\quad(\forall x\in \mathbb{R}^N)\quad\quad(*)
$$
が成り立つ。
*$(2)$　$N\geq 3$ の場合、$\lim_{\lvert x\rvert\rightarrow\infty}u(x)=0$ が成り立つ。
*$(3)$　
$$
\Delta u=\rho
$$
が成り立つ。そして $N\geq 3$ の場合、$\Delta w=\rho$ を満たす任意の有界連続関数 $w\colon \mathbb{R}^N\rightarrow\mathbb{C}$ に対し $u-w$ は定数関数である。
{{begin|proof}}
*$(1)$　$v\colon\mathbb{R}^N\rightarrow\mathbb{C}^N$ を、
$$
v(x)\colon=\int_{\mathbb{R}^N}\rho(y)\nabla G(x-y)dy\quad(\forall x\in \mathbb{R}^N)
$$
として定義する('''命題5.5'''より$\lvert \nabla G\rvert \in L^1_{\rm loc}(\mathbb{R}^N)$であることに注意)。まず $v$ が連続であることを示す。任意の $a\in \mathbb{R}^N$ を取り $a$ において $v$ が連続であることを示せばよい。任意の $\epsilon\in (0,\infty)$ を取り、$B(a,\epsilon)=\{x\in \mathbb{R}^N:\lvert x-a\rvert<\epsilon\}$ に対し、
$$
\begin{aligned}
&v_1(x)\colon=\int_{B(a,\epsilon)}\rho(y)\nabla G(x-y)dy,\\
&v_2(x)\colon=\int_{{\rm supp}(\rho)\backslash B(a,\epsilon)}\rho(y)\nabla G(x-y)dy\quad(\forall x\in \mathbb{R}^N)\quad\quad(**)
\end{aligned}
$$
とおく。$v(x)=v_1(x)+v_2(x)$ $(\forall x\in \mathbb{R}^N)$ である。任意の $x\in B(a,\epsilon)$ に対し、変数変換と'''命題5.5'''の $(2)$ より、
$$
\lvert v_1(x)\rvert\leq \lVert \rho\rVert_{\infty}\int_{B(a,\epsilon)}\lvert \nabla G(x-y)\rvert dy\leq \lVert \rho\rVert_{\infty}\int_{B(0,2\epsilon)}\lvert \nabla G(y)\rvert dy=2\lVert \rho\rVert_{\infty}\epsilon\quad\quad(***)
$$
であり、
$$
\lvert v_1(a)\rvert\leq \lVert \rho\rVert_{\infty}\int_{B(a,\epsilon)}\lvert \nabla G(a-y)\rvert dy=\lVert \rho\rVert_{\infty}\int_{B(0,\epsilon)}\lvert \nabla G(y)\rvert dy=\lVert \rho\rVert_{\infty}\epsilon
$$
であるから、
$$
\lvert v_1(x)-v_1(a)\rvert\leq \lvert v_1(x)\rvert+\lvert v_1(a)\rvert\leq 3\lVert \rho\rVert_{\infty}\epsilon\quad(\forall x\in B(a,\epsilon))
$$
となる。またLebesgue優収束定理より $B(a,\epsilon)\ni x\mapsto v_2(x)\in \mathbb{C}^N$ は連続であるので、十分小さい $\delta\in (0,\epsilon)$ を取れば、
$$
\lvert v_2(x)-v_2(a)\rvert<\epsilon\quad(\forall x\in B(a,\delta))
$$
となる。よって任意の $x\in B(a,\delta)$ に対し、
$$
\lvert v(x)-v(a)\rvert \leq \lvert v_1(x)-v_1(a)\rvert+\lvert v_2(x)-v_2(a)\rvert\leq (3\lVert \rho\rVert_{\infty}+1)\epsilon
$$
となり、$\epsilon\in (0,\infty)$ は任意なので、$v\colon \mathbb{R}^N\rightarrow\mathbb{C}^N$ は連続である。 
次に $u$ が $a\in \mathbb{R}^N$ において微分可能であることと $\nabla u(a)=v(a)$ が成り立つことを示す。再び任意の $\epsilon\in (0,\infty)$ を取り、
$$
\begin{aligned}
&u_1(x)\colon=\int_{B(a,\epsilon)}\rho(y)G(x-y)dy,\\
&u_2(x)\colon=\int_{{\rm supp}(\rho)\backslash B(a,\epsilon)}\rho(y)G(x-y)dy\quad(\forall x\in \mathbb{R}^N)
\end{aligned}
$$
とおく。$u(x)=u_1(x)+u_2(x)$ $(\forall x\in \mathbb{R}^N)$ である。$0<\lvert h\rvert<\epsilon$ なる任意の $h\in \mathbb{R}^N$ に対し、線分
$$
L\colon=\{a+\theta h:\theta\in [0,1]\}\subset \mathbb{R}^N
$$
のLebesgue測度が $0$ であることに注意して微積分学の基本定理より、
$$
\begin{aligned}
u_1(a+h)-u_1(a)&=\int_{B(a,\epsilon)\backslash L}\rho(y)(G(a+h-y)-G(a-y))dy\\
&=h\cdot \int_{B(a,\epsilon)\backslash L}\rho(y)\left(\int_{0}^{1}\nabla G(a+\theta h-y)d\theta\right)dy
\end{aligned}
$$
となる。よって $(**)$ の $v_1$ に対しFubiniの定理より、
$$
\begin{aligned}
u_1(a+h)-u_1(a)-h\cdot v_1(a)&=h\cdot \int_{B(a,\epsilon)}\rho(y)\left(\int_{0}^{1}\nabla G(a+\theta h-y)-\nabla G(a-y)d\theta\right)dy\\
&=h\cdot \int_{0}^{1}\left(\int_{B(a,\epsilon)}\rho(y)(\nabla G(a+\theta h-y)-\nabla G(a-y))dy\right)d\theta
\end{aligned}
$$
となるので、$(***)$ と同様の評価により、
$$
\frac{\lvert u_1(a+h)-u_1(a)-h\cdot v_1(a)\rvert}{\lvert h\rvert}\leq 3\lVert \rho\rVert_{\infty}\epsilon\quad(\forall h\in \mathbb{R}^N:0<\lvert h\rvert<\epsilon)
$$
を得る。またLebesgue優収束定理より $B(a,\epsilon)\ni x\mapsto u_2(x)\in \mathbb{C}$ は微分可能であり、$(**)$ の $v_2$ に対し、
$$
\nabla u_2(x)=v_2(x)\quad(\forall x\in B(a,\epsilon))
$$
であるから、十分小さい $\delta\in (0,\epsilon)$ を取れば、
$$
\frac{\lvert u_2(a+h)-u_2(a)-h\cdot v_2(a)\rvert}{\lvert h\rvert}<\epsilon\quad(\forall h\in \mathbb{R}^N:0<\lvert h\rvert<\delta)
$$
となる。よって、
$$
\frac{\lvert u(a+h)-u(a)-h\cdot v(a)\rvert}{\lvert h\rvert}<(3\lVert \rho\rVert_{\infty}+1)\epsilon\quad(\forall h\in \mathbb{R}^N:0<\lvert h\rvert<\delta)
$$
が成り立つ。$\epsilon\in (0,\infty)$ は任意なので $u$ は $a$ において微分可能であり $\nabla u(a)=v(a)$ が成り立つ。$a\in \mathbb{R}^N$ は任意なので $(*)$ が成り立ち、前段より $v=\nabla u$ は連続であるから $u\in C^1(\mathbb{R}^N)$ が成り立つ。
*$(2)$　ラプラシアンの基本解 $G$ の定義（'''定義5.4'''）より $N\geq 3$ の場合、
$$
u(x)=\frac{1}{\lvert \partial B(0,1)\rvert}\frac{1}{2-N}\int_{\mathbb{R}^N}\frac{\rho(y)}{\lvert x-y\rvert^{N-2}}dy\quad(\forall x\in \mathbb{R}^N)
$$
であるから、${\rm supp}(\rho)\subset \{y\in \mathbb{R}^N:\lvert y\rvert\leq R\}$ なる $R\in (0,\infty)$ と $\lvert x\rvert>R$ なる任意の $x\in \mathbb{R}^N$ に対し、
$$
\lvert u(x)\rvert\leq \frac{1}{\lvert \partial B(0,1)\rvert}\frac{\lVert \rho\rVert_{\infty}}{N-2}\int_{{\rm supp}(\rho)}\frac{1}{(\lvert x\rvert-R)^{N-2}}dy
$$
となる。よって $\lim_{\lvert x\rvert\rightarrow\infty}\lvert u(x)\rvert=0$ が成り立つ。
*$(3)$　$\rho\in \mathcal{E}_N'$（台がコンパクトな超関数）であり、任意の $\varphi\in D(\mathbb{R}^N)$ に対しFubiniの定理より、
$$
\begin{aligned}
u(\varphi)&=\int_{\mathbb{R}^N}u(x)\varphi(x)dx=\int_{\mathbb{R}^N}\left(\int_{\mathbb{R}^N}\rho(y)G(x-y)dy\right)\varphi(x)dx=\int_{\mathbb{R}^N}\left(\int_{\mathbb{R}^N}\rho(x-y)G(y)\varphi(x)dy\right)dx\\
&=\int_{\mathbb{R}^N}\left(\int_{\mathbb{R}^N}\varphi(x)\rho_{-1}(y-x)dx\right)G(y)dy
=(2\pi)^{\frac{N}{2}}G(\varphi*\rho_{-1})
\end{aligned}
$$
であるから、$\rho*G$ の定義（[[合成積とFourier変換]]の'''定義27.2'''）より、
$$
u(\varphi)=(2\pi)^{\frac{N}{2}}G(\varphi*\rho_{-1})=(2\pi)^{\frac{N}{2}}(\rho*G)(\varphi)
$$
である。よって $u=(2\pi)^{\frac{N}{2}}(\rho*G)$ が成り立つので、'''定理5.10'''の $(2)$ より $\Delta u=\rho$ が成り立つ。$w\colon \mathbb{R}^N\rightarrow\mathbb{C}$ が有界連続関数で $\Delta w=\rho$ を満たすとする。$(1)$ より $u-w\colon\mathbb{R}^N\rightarrow\mathbb{C}$ は連続関数であり、$\Delta (u-w)=\rho-\rho=0$ であるから、'''定理4.6'''の $(4)$ より $u-w$ は調和関数である。$N\geq 3$ の場合、$(2)$ より $u-w$ は $\mathbb{R}^N$ 上の有界調和関数であるから、Liouvilleの定理（'''命題4.9'''）より $u-w$ は定数関数である。
{{end|proof}}

==6. 境界条件付き波動方程式の初期値問題の一意解==

===定義6.1（境界条件付きラプラシアンの設定）===
$\Omega\subset \mathbb{R}^N$ を、
*'''全空間'''：$\Omega=\mathbb{R}^N$.
*'''内部領域'''：$\Omega$ は滑らかな境界 $\partial\Omega$ を持つ開集合。
*'''外部領域'''：$\Omega$ は滑らかでコンパクトな境界 $\partial\Omega$ を持つ開集合で、$\mathbb{R}^N\backslash \Omega$ は有界。
のうちのいずれかであるとし、$\partial\Omega$ は互いに交わらないコンパクト集合 $\partial\Omega_{\rm d}$ と $\partial\Omega_{\rm n}$（どちらかが空であってもよい）の合併であるとする。そして'''定理3.9'''の $(4)$ と'''定理3.14'''の $(5)$ によりHilbert空間 $L^2(\Omega)$ 上の非負自己共役作用素としてのラプラシアン
$$
D(-\Delta)\colon=\left\{v\in H^2(\Omega):\gamma(v)|_{\partial\Omega_{\rm d}}=0,\frac{\partial v}{\partial \nu}\Big|_{\partial\Omega_{\rm n}}=0 \right\},
$$
$$
-\Delta \colon D(-\Delta)\ni v\mapsto -\Delta v\in L^2(\Omega)
$$
を考える。'''定理3.9'''の $(2)$　と'''定理3.14'''の $(3)$ より、
$$
D(\sqrt{-\Delta})=\{v\in H^1(\Omega):\gamma(v)|_{\partial\Omega_{\rm d}}=0\}
$$
であり、
$$
(\sqrt{-\Delta}u\mid \sqrt{-\Delta v})_2=\int_{\Omega}\nabla \overline{u}(x)\cdot\nabla v(x)dx=(u\mid v)_{2,1}-(u\mid v)_2\quad(\forall u,v\in D(\sqrt{-\Delta}))\quad\quad(*)
$$
が成り立つ。$\Omega$ が内部領域、外部領域の場合、$-\Delta$ をDirichlet-Neumann境界条件付きラプラシアンと言うこととする。$\Omega$ が内部領域である場合は'''定理3.14'''の $(2)$ より、Hilbert空間 $L^2(\Omega)$ 上の非負自己共役作用素 $-\Delta$ のスペクトルは純粋に離散的（[[Hilbert空間上の作用素論]]の'''定義14.3'''）である。

===定理6.2（波動方程式の初期値問題の一意解）===
$-\Delta \colon D(-\Delta)\rightarrow L^2(\Omega)$ を'''定義6.1'''におけるHilbert空間 $L^2(\Omega)$ 上の非負自己共役作用素とする。$I\subset \mathbb{R}$ を $0$ を含む区間とし、$f(t)\colon I\ni t\mapsto f(t)\in D(\sqrt{-\Delta})$ を $H^1(\Omega)$ のノルムで連続な関数とする。そして $c$ を正実数、$u\in D(-\Delta)$, $v\in D(\sqrt{-\Delta})$ とする。このとき次を満たす $u(t)\colon I\ni t\mapsto u(t)\in D(-\Delta)$ が唯一つ存在する。
*$(1)$　$u(t)\colon I\ni t\mapsto u(t)\in D(-\Delta)$ は $L^2(\Omega)$ のノルムで $C^2$ 級、$H^1(\Omega)$ のノルムで $C^1$ 級である。
*$(2)$　
$$
\frac{du}{dt}(t)\in D(\sqrt{-\Delta})\quad(\forall t\in I).
$$
*$(3)$　
$$
\frac{d^2u}{dt^2}(t)=c^2\Delta u(t)+f(t)\quad(\forall t\in I).
$$
*$(4)$　
$$
u(0)=u,\quad \frac{du}{dt}(0)=v.
$$
そしてこれは、
$$
\frac{c^2}{2}\lVert \nabla u(t)\rVert_2^2+\frac{1}{2}\left\lVert \frac{du}{dt}(t)\right\rVert_2^2=\frac{c^2}{2}\lVert \nabla u\rVert_2^2+\frac{1}{2}\lVert v\rVert_2^2+\int_{0}^{t}{\rm Re}\left(f(s)\mid \frac{du}{dt}(s)\right)ds\quad(\forall t\in I)\quad\quad(*)
$$
を満たし、
$$
u(t)=\cos(ct\sqrt{-\Delta})u+\frac{\sin(ct\sqrt{-\Delta})}{c\sqrt{-\Delta}}v+\int_{0}^{t}\frac{\sin(c(t-s)\sqrt{-\Delta})}{c\sqrt{-\Delta}}f(s)ds\quad(\forall t\in I)\quad\quad(**)
$$
によって表される。ただし $\cos(ct\sqrt{-\Delta})$, $\frac{\sin(ct\sqrt{-\Delta})}{c\sqrt{-\Delta}}$ はHilbert空間 $L^2(\Omega)$ 上の非負自己共役作用素 $-\Delta$ に関するBorel汎関数計算（[[Hilbert空間上の作用素論]]の'''定義8.5'''）である。すなわち $-\Delta$ のスペクトル測度 $E\colon \mathcal{B}_{\sigma(-\Delta)}\rightarrow \mathbb{P}(L^2(\Omega))$ に対し、
$$
\cos(ct\sqrt{-\Delta})=\int_{\sigma(-\Delta)}\cos(ct\sqrt{\lambda})dE(\lambda),\quad
\frac{\sin(ct\sqrt{-\Delta})}{c\sqrt{-\Delta}}=\int_{\sigma(-\Delta)}\frac{\sin(ct\sqrt{\lambda})}{c\sqrt{\lambda}}dE(\lambda)\quad(\forall t\in I)
$$
である。（射影値測度による積分の定義やその基本的性質については[[Hilbert空間上の作用素論]]の'''定義6.7'''、'''命題6.8'''などを参照。）
{{begin|proof}}
*　$u(t)\colon I\ni t\mapsto u(t)\in D(-\Delta)$ が $(1)\sim (4)$ を満たすとき $(*)$ が成り立つことを示す。まず $(1),(2)$ より、
$$
\left\lVert \frac{1}{h}(\nabla u(t+h)-\nabla u(t))-\nabla \frac{du}{dt}(t)\right\rVert_2^2\leq \left\lVert \frac{1}{h}(u(t+h)-u(t))-\frac{du}{dt}(t)\right\rVert_{2,1}^2\rightarrow0\quad(h\rightarrow0)
$$
であるから、
$$
\frac{d}{dt}\nabla u(t)=\nabla \frac{du}{dt}(t)\quad(\forall t\in I)
$$
が成り立つ。これと'''定義6.1'''の $(*)$ より、
$$
\begin{aligned}
&\frac{d}{dt}\left(\frac{1}{2}\lVert \nabla u(t)\rVert_2^2\right)={\rm Re}\left(\nabla u(t)\mid \frac{d}{dt}\nabla u(t)\right)_2={\rm Re}\left(\nabla u(t)\mid \nabla \frac{du}{dt}(t)\right)_2\\
&={\rm Re}\left(\sqrt{-\Delta}u(t)\mid \sqrt{-\Delta}\frac{du}{dt}(t)\right)_2
={\rm Re}\left(-\Delta u(t)\mid \frac{du}{dt}(t)\right)_2\quad(\forall t\in I)
\end{aligned}
$$
であるから、$(3)$ より、
$$
\begin{aligned}
\frac{d}{dt}\left(\frac{1}{2}\left\lVert \frac{du}{dt}(t)\right\rVert_2^2\right)
&={\rm Re}\left(\frac{d^2u}{dt^2}(t)\mid \frac{du}{dt}(t)\right)
=-c^2{\rm Re}\left(-\Delta u(t)\mid \frac{du}{dt}(t)\right)_2+{\rm Re}\left(f(t)\mid \frac{du}{dt}(t)\right)_2\\
&=-c^2\frac{d}{dt}\left(\frac{1}{2}\lVert \nabla u(t)\rVert_2^2\right)
+{\rm Re}\left(f(t)\mid \frac{du}{dt}(t)\right)_2\quad(\forall t\in I)
\end{aligned}
$$
となる。よって、
$$
\frac{d}{dt}\left(\frac{c^2}{2}\lVert \nabla u(t)\rVert_2^2+\frac{1}{2}\left\lVert \frac{du}{dt}(t)\right\rVert_2^2\right)={\rm Re}\left(f(t)\mid \frac{du}{dt}(t)\right)_2\quad(\forall t\in I)
$$
が成り立つので、これを積分すれば、$(4)$ より、$(*)$ を得る。
*　次に $(1)\sim(4)$ を満たす $u(t)\colon I\ni t\mapsto u(t)\in D(-\Delta)$ の一意性を示す。$u_1,u_2\colon I\rightarrow D(-\Delta)$ が共に $(1)\sim(4)$ を満たすとすると、
$$
u(t)\colon I\ni t\mapsto u_1(t)-u_2(t)\in D(-\Delta)
$$
は $u=0$, $v=0$, $f(t)=0$ $(\forall t\in I)$ とした場合の $(1)\sim (4)$ を満たす。よって前段の結果から、
$$
\frac{c^2}{2}\lVert \nabla u(t)\rVert_2^2+\frac{1}{2}\left\lVert \frac{du}{dt}(t)\right\rVert_2^2=0\quad(\forall t\in I)
$$
が成り立つので、特に、
$$
\frac{du}{dt}(t)=0\quad(\forall t\in I)
$$
である。よって微積分学の基本定理より $u(t)=u(0)=0$ $(\forall t\in I)$ であるから、$u_1(t)=u_2(t)$ $(\forall t\in I)$ が成り立つ。これで一意性が示せた。
*　後は $(**)$ が $(1)\sim(4)$ を満たすことを示せばよい。（以後の議論は長くなっているが、Lebesgue優収束定理による単純な議論である。）そのために、
$$
u_1(t)\colon=\frac{\sin(ct\sqrt{-\Delta})}{c\sqrt{-\Delta}}v,\quad
u_2(t)\colon=\cos(ct\sqrt{-\Delta})u,\quad u_3(t)\colon=\int_{0}^{t}\frac{\sin(c(t-s)\sqrt{-\Delta})}{c\sqrt{-\Delta}}f(s)ds\quad(\forall t\in I)
$$
と分解して考える。$u_1(t)$ について考える。Lebesgue優収束定理より、
$$
\begin{aligned}
&\left\lVert \frac{1}{h}(u_1(t+h)-u_1(t))-\cos(ct\sqrt{-\Delta})v\right\rVert_2^2\\
&=\left\lVert \frac{1}{h}\left(\frac{\sin(c(t+h)\sqrt{-\Delta})}{c\sqrt{-\Delta}}-\frac{\sin(ct\sqrt{-\Delta})}{c\sqrt{-\Delta}}\right)v-\cos(ct\sqrt{-\Delta})v\right\rVert_2^2\\
&=\int_{\sigma(-\Delta)}\left\lvert \frac{1}{h}\left(\frac{\sin(c(t+h)\sqrt{\lambda})}{c\sqrt{\lambda}}-\frac{\sin(ct\sqrt{\lambda})}{ch\sqrt{\lambda}}\right)-\cos(ct\sqrt{\lambda})\right\rvert^2dE_{v,v}(\lambda)\\
&\rightarrow0\quad(h\rightarrow0,\forall t\in I)
\end{aligned}
$$
であるから、
$$
\frac{du_1}{dt}(t)=\cos(ct\sqrt{-\Delta})v\in D(\sqrt{-\Delta})
$$
であり、Lebesgue優収束定理より、
$$
\begin{aligned}
&\left\lVert \frac{1}{h}\left(\frac{du_1}{dt}(t+h)-\frac{du_1}{dt}(t)\right)-(-c\sqrt{-\Delta}\sin(ct\sqrt{-\Delta}))v\right\rVert_2^2\\
&=\left\lVert \frac{1}{h}(\cos(c(t+h)\sqrt{-\Delta})-\cos(ct\sqrt{-\Delta}))v-(-c\sqrt{-\Delta}\sin(ct\sqrt{-\Delta})v)\right\rVert_2^2\\
&=\int_{\sigma(-\Delta)}\left\lvert \frac{\cos(c(t+h)\sqrt{\lambda})-\cos(ct\sqrt{\lambda})}{h}-(-c\sqrt{\lambda}\sin(ct\sqrt{\lambda}))\right\rvert^2dE_{v,v}(\lambda)\\
&\rightarrow0\quad(h\rightarrow0,\forall t\in I)
\end{aligned}
$$
であるから、$L^2(\Omega)$ のノルムで、
$$
\frac{d^2u_1}{dt^2}(t)=-c\sqrt{-\Delta}\sin(ct\sqrt{-\Delta})v=c^2\Delta u_1(t)\quad(\forall t\in I)
$$
が成り立つ。さらにLebesgue優収束定理より、
$$
\begin{aligned}
\left\lVert \frac{d^2u_1}{dt^2}(t+h)-\frac{d^2u_1}{dt^2}(t)\right\rVert_2
&=\left\lVert \sqrt{-\Delta}\sin(c(t+h)\sqrt{-\Delta})v-\sqrt{-\Delta}\sin(ct\sqrt{-\Delta})v\right\rVert_2^2\\
&=\int_{\sigma(-\Delta)}\left\lvert \sqrt{\lambda}\sin(c(t+h)\sqrt{\lambda})-\sqrt{\lambda}\sin(ct\sqrt{\lambda})\right\rvert^2dE_{v,v}(\lambda)\\
&\rightarrow0\quad(h\rightarrow0, \forall t\in I)
\end{aligned}
$$
であるから、
$$
I\ni t\mapsto \frac{d^2u_1}{dt^2}(t)\in L^2(\Omega)
$$
は $L^2(\Omega)$ のノルムで連続である。ゆえに $u_1(t)\colon I\ni t\mapsto u_1(t)\in D(-\Delta)$
は $L^2(\Omega)$ のノルムで $C^2$ 級である。また $v\in D(\sqrt{-\Delta})=D_E(\sqrt{\lambda})$ であることとLebesgue優収束定理より、
$$
\begin{aligned}
&\left\lVert \frac{1}{h}\left(\sqrt{-\Delta}u_1(t+h)-\sqrt{-\Delta}u_1(t)\right)-\sqrt
{-\Delta}\cos(ct\sqrt{-\Delta})v\right\rVert_2^2\\
&=\left\lVert \frac{\sin(c(t+h)\sqrt{-\Delta})-\sin(ct\sqrt{-\Delta})}{ch}v-\sqrt{-\Delta}\cos(ct\sqrt{-\Delta})v\right\rVert_2^2\\
&=\int_{\sigma(-\Delta)}\left\lvert \frac{\sin(c(t+h)\sqrt{\lambda})-\sin(ct\sqrt{\lambda})}{ch}-\sqrt{\lambda}\cos(ct\sqrt{\lambda})\right\rvert^2dE_{v,v}(\lambda)\\
&\rightarrow0\quad(h\rightarrow0,\forall t\in I)
\end{aligned}
$$
であるから、$L^2(\Omega)$ のノルムに関して、
$$
\frac{d}{dt}\sqrt{-\Delta}u_1(t)=\sqrt{-\Delta}\cos(ct\sqrt{-\Delta})v
=\sqrt{-\Delta}\frac{du_1}{dt}(t)\quad(\forall t\in I)
$$
が成り立つ。よって'''定義6.1'''の $(*)$ より $u_1(t)\colon I\ni t\mapsto u_1(t)\in D(-\Delta)$
は $H^1(\Omega)$ のノルムで微分可能である。そしてLebesgue優収束定理より、
$$
\begin{aligned}
&\left\lVert \sqrt{-\Delta}\frac{du_1}{dt}(t+h)-\sqrt{-\Delta}\frac{du_1}{dt}(t)\right\rVert_2^2\\
&=\left\lVert \sqrt{-\Delta}\cos(c(t+h)\sqrt{-\Delta})v-\sqrt{-\Delta}\cos(ct\sqrt{-\Delta})v\right\rVert_2^2\\
&=\int_{\sigma(-\Delta)}\lvert \sqrt{\lambda}\cos(c(t+h)\sqrt{\lambda})-\sqrt{\lambda}\cos(ct\sqrt{\lambda})\rvert^2dE_{v,v}(\lambda)\rightarrow0\quad(h\rightarrow0)
\end{aligned}
$$
であるから、
$$
I\ni t\mapsto \sqrt{-\Delta}\frac{du_1}{dt}(t)\in L^2(\Omega)
$$
は $L^2(\Omega)$ のノルムに関して連続なので、'''定義6.1'''の $(*)$ より $u_1(t)\colon I\ni t\mapsto u_1(t)\in D(-\Delta)$ は $H^1(\Omega)$ のノルムに関して $C^1$ 級である。全く同様にして $u_2(t)\colon I\ni t\mapsto u_2(t)\in D(-\Delta)$ が $L^2(\Omega)$ のノルムで $C^2$ 級、$H^1(\Omega)$ のノルムで $C^1$ 級であり、
$$
\frac{du_2}{dt}(t)=-c\sqrt{-\Delta}\sin(ct\sqrt{-\Delta})u\in D(\sqrt{-\Delta}),\quad
\frac{d^2u_2}{dt^2}(t)=c^2\Delta u_2(t)\quad(\forall t\in I)
$$
が成り立つことが分かる。よって、
$$
I\ni t\mapsto u_1(t)+u_2(t)\in D(-\Delta)
$$
は $L^2(\Omega)$ のノルムで $C^2$ 級、$H^1(\Omega)$ のノルムで $C^1$ 級であり、
$$
\frac{d}{dt}(u_1+u_2)(t)\in D(\sqrt{-\Delta}),\quad \frac{d^2}{dt^2}(u_1+u_2)(t)=c^2\Delta(u_1+u_2)(t)\quad(\forall t\in I),
$$
$$
(u_1+u_2)(0)=u,\quad \frac{d}{dt}(u_1+u_2)(0)=v
$$
が成り立つ。$u_3(t)\colon I\ni t\mapsto u_3(t)\in L^2(\Omega)$ について考える。'''定義6.1'''の $(*)$ より $I\ni t\mapsto \sqrt{-\Delta}f(t)\in L^2(\Omega)$ は連続であり、$\sqrt{-\Delta}$, $-\Delta$ は閉線形作用素であるから、
$$
-\Delta u_3(t)=\int_{0}^{1}\frac{1}{c}\sqrt{-\Delta}\sin(c(t-s)\sqrt{-\Delta})f(s)ds\quad(\forall t\in I),
$$
$$
\sqrt{-\Delta}u_3(t)=\int_{0}^{t}\frac{1}{c}\sin(c(t-s)\sqrt{-\Delta})f(s)ds\quad(\forall t\in I)
$$
である。
$$
\begin{aligned}
&\frac{1}{h}(u_3(t+h)-u_3(t))\\
&=\int_{0}^{t+h}\frac{1}{h}\left(\frac{\sin(c(t+h-s)\sqrt{-\Delta})}{c\sqrt{-\Delta}}-\frac{\sin(c(t-s)\sqrt{-\Delta})}{c\sqrt{-\Delta}}\right)f(s)ds\\
&+\frac{1}{h}\int_{t}^{t+h}\frac{\sin(c(t-s)\sqrt{-\Delta})}{c\sqrt{-\Delta}}f(s)ds
\end{aligned}
$$
であるから、$u_1(t)=\frac{\sin(ct\sqrt{-\Delta})}{c\sqrt{-\Delta}}v$ の微分可能性の議論により、$L^2(\Omega)$ のノルムに関して $u_3(t)$ は微分可能であり、
$$
\frac{du_3}{dt}(t)=\int_{0}^{t}\cos(c(t-s)\sqrt{-\Delta})f(s)ds\quad(\forall t\in I)
$$
が成り立つことが分かる。そして、
$$
\begin{aligned}
&\frac{1}{h}\left(\frac{du_3}{dt}(t+h)-\frac{du_3}{dt}(t)\right)\\
&=\int_{0}^{t+h}\frac{1}{h}\left(\cos(c(t+h-s)\sqrt{-\Delta})-\cos(c(t-s)\sqrt{-\Delta})\right)f(s)ds\\
&+\frac{1}{h}\int_{t}^{t+h}\cos(c(t-s)\sqrt{-\Delta})f(s)ds
\end{aligned}
$$
であるから、$\frac{du_1}{dt}(t)=\cos(ct\sqrt{-\Delta})v$ の微分可能性の議論より、$L^2(\Omega)$ のノルムに関して、
$$
\begin{aligned}
\frac{d^2u_3}{dt^2}(t)&=\int_{0}^{t}(-c\sqrt{-\Delta})\sin(c(t-s)\sqrt{-\Delta})f(s)ds+f(t)\\
&=\int_{0}^{t}c^2\Delta\frac{\sin(c(t-s)\sqrt{-\Delta})}{c\sqrt{-\Delta}}f(s)ds+f(t)\\
&=c^2\Delta u_3(t)+f(t)\quad(\forall t\in I)
\end{aligned}
$$
が成り立つことが分かる。Lebesgue優収束定理より、
$$
I\ni t\mapsto \frac{d^2u_3}{dt^2}(t)=\int_{0}^{t}(-c\sqrt{-\Delta})\sin(c(t-s)\sqrt{-\Delta})f(s)ds+f(t)\in L^2(\Omega)
$$
は $L^2(\Omega)$ のノルムに関して連続であるので、$u_3(t)\colon I\ni t\mapsto u_3(t)\in D(-\Delta)$ は $L^2(\Omega)$ のノルムで $C^2$ 級である。また、
$$
\begin{aligned}
&\frac{1}{h}(\sqrt{-\Delta}u_3(t+h)-\sqrt{-\Delta}u_3(t))\\
&=\int_{0}^{t+h}\frac{\sin(c(t+h-s)\sqrt{-\Delta})-\sin(c(t-s)\sqrt{-\Delta})}{ch}f(s)ds\\
&+\frac{1}{h}\int_{t}^{t+h}\frac{\sin(c(t-s)\sqrt{-\Delta})}{c}f(s)ds
\end{aligned}
$$
であるから $\sqrt{-\Delta}u_1(t)=\sin(ct\sqrt{-\Delta})v$ の微分可能性の議論より $L^2(\Omega)$ のノルムに関して、
$$
\frac{d}{dt}\sqrt{-\Delta}u_3(t)=\int_{0}^{t}\sqrt{-\Delta}\cos(c(t-s)\sqrt{-\Delta})f(s)ds=\sqrt{-\Delta}\frac{du_3}{dt}(t)\quad(\forall t\in I)
$$
が成り立つことが分かる。よって'''定義6.1'''の $(*)$ より $u_3(t)\colon I\ni t\mapsto u_3(t)\in D(-\Delta)$ は $H^1(\Omega)$ のノルムで微分可能である。そしてLebesgue優収束定理より、
$$
I\ni t\mapsto \sqrt{-\Delta}\frac{du_3}{dt}(t)=\int_{0}^{t}\sqrt{-\Delta}\cos(c(t-s)\sqrt{-\Delta})f(s)ds\in L^2(\Omega)
$$
は $L^2(\Omega)$ のノルムにより連続であるから、'''定義6.1'''の $(*)$ より $u_3(t)\colon I\ni t\mapsto u_3(t)\in D(-\Delta)$ は $H^1(\Omega)$ のノルムで $C^1$ 級である。以上より $u_3(t)\colon I\ni t\mapsto u_3(t)\in D(-\Delta)$ は $L^2(\Omega)$ のノルムで $C^2$ 級、$H^1(\Omega)$ のノルムで $C^1$ 級であり、
$$
\frac{du_3}{dt}(t)\in D(\sqrt{-\Delta}),\quad \frac{d^2u_3}{dt^2}(t)=c^2\Delta u_3(t)+f(t)\quad(\forall t\in I)
$$
が成り立つ。以上より、
$$
u(t)\colon I\ni t\mapsto u_1(t)+u_2(t)+u_3(t)\in D(-\Delta)
$$
は $(1)\sim (4)$ を満たす。
{{end|proof}}

===注意6.3（内部領域におけるDirichlet-Neumann境界条件付き波動方程式の初期値問題の一意解の形）===
$\Omega\subset \mathbb{R}^N$ を'''定義6.1'''における内部領域とし、Dirichlet-Neumann境界条件付きラプラシアン $-\Delta\colon D(-\Delta)\rightarrow L^2(\Omega)$ を考える。このとき $-\Delta$ のスペクトル $\sigma(-\Delta)$ は'''定理3.14'''の $(2)$ より純粋に離散的（[[Hilbert空間上の作用素論]]の'''定義14.3'''）である。そこで、
$$
\sigma(-\Delta)=\{\lambda_n\}_{n\in\mathbb{N}}
$$
とし、各離散固有値 $\lambda_n\in \sigma(-\Delta)$ の固有空間のCONSを $\{\varphi_{n,1},\ldots,\varphi_{n,m(n)}\}\subset \bigcap_{m\in \mathbb{N}}H^m(\Omega)\subset \bigcap_{m\in\mathbb{N}}C^m(\overline{\Omega})$（'''定理3.14'''の $(6)$ を参照）とおく。今、$I\subset \mathbb{R}$ を $0$ を含む区間、$f(t)\colon I\ni t\mapsto f(t)\in D(\sqrt{-\Delta})$ を $H^1(\Omega)$ のノルムに関する連続関数、$c\in (0,\infty)$, $u\in D(-\Delta)$, $v\in D(\sqrt{-\Delta})$ とし、'''定理6.2'''の $(1)\sim (4)$ を満たす一意解を $u(t)\colon I\ni t\mapsto u(t)\in D(-\Delta)$ とする。そして任意の $n\in \mathbb{N}$, $k\in \{1,\ldots,m(n)\}$ に対し $C^2$ 級関数
$$
u_{n,k}(t)\colon I\ni t\mapsto (\varphi_{n,k}\mid u(t))_2\in \mathbb{C}
$$
を定義する。また、
$$
u_{n,k}\colon =(\varphi_{n,k}\mid u)_{2}\in \mathbb{C},\quad
v_{n,k}\colon =(\varphi_{n,k}\mid v)_2\in \mathbb{C},\quad
f_{n,k}(t)\colon I\ni t\mapsto (\varphi_{n,k}\mid f(t))_2\in \mathbb{C}
$$
とおく。このとき、
$$
\begin{aligned}
&\frac{d^2u_{n,k}}{dt^2}(t)=\left(\varphi_{n,k}\mid \frac{d^2u}{dt^2}(t)\right)_2
=(\varphi_{n,k}\mid c^2\Delta u(t))_2+(\varphi_{n,k}\mid f(t))_2\\
&=c^2(\Delta \varphi_{n,k}\mid u(t))_2+(\varphi_{n,k}\mid f(t))_2
=-c^2\lambda_{n}u_{n,k}(t)+f_{n,k}(t)\quad(\forall t\in I)
\end{aligned}
$$
であり $u_{n,k}(0)=u_{n,k},\quad \frac{du_{n,k}}{dt}(0)=v_{n,k}$ であるから、$u_{n,k}(t)\colon I\ni t\mapsto u_{n,k}(t)\in\mathbb{C}$ は常微分方程式の初期値問題
$$
\frac{d^2u_{n,k}}{dt^2}(t)=-c^2\lambda_nu_{n,k}(t)+f(t),\quad
u_{n,k}(0)=u_{n,k},\quad \frac{du_{n,k}}{dt}(0)=v_{n,k}
$$
の一意解である。Hilbert空間 $L^2(\Omega)$ 上の非負自己共役作用素 $-\Delta\colon D(-\Delta)\rightarrow L^2(\Omega)$ のスペクトル測度を $E\colon \mathcal{B}_{\sigma(-\Delta)}\rightarrow \mathbb{P}(L^2(\Omega))$ とすると、[[Hilbert空間上の作用素論]]の'''命題8.7'''の $(6)$ より、
$$
{\rm Ran}E(\{\lambda_n\})={\rm Ker}(\lambda_n+\Delta)={\rm span}\{\varphi_{n,1},\ldots,\varphi_{n,m(n)}\}
$$
であるから、'''定理6.2'''より、$u_{n,k}(t)\colon I\ni t\mapsto u_{n,k}(t)\in \mathbb{C}$ は、
$$
\begin{aligned}
u_{n,k}(t)&=(\varphi_{n,k}\mid \cos(ct\sqrt{-\Delta})u)_2+\left(\varphi_{n,k}\mid \frac{\sin(ct\sqrt{-\Delta})}{c\sqrt{-\Delta}}v\right)_2
+\int_{0}^{t}\left(\varphi_{n,k}\mid \frac{\sin(c(t-s)\sqrt{-\Delta})}{c\sqrt{-\Delta}}f(s)\right)ds\\
&=\cos(ct\sqrt{\lambda_n})(\varphi_{n,k}\mid u)_2+\frac{\sin(ct\sqrt{\lambda_n})}{c\sqrt{\lambda_n}}(\varphi_{n,k}\mid v)_2+\int_{0}^{t}\frac{\sin(c(t-s)\sqrt{\lambda_n})}{c\sqrt{\lambda_n}}(\varphi_{n,k}\mid f(s))ds\\
&=\cos(ct\sqrt{\lambda_n})u_{n,k}+\frac{\sin(ct\sqrt{\lambda_n})}{c\sqrt{\lambda_n}}v_{n,k}+\int_{0}^{t}\frac{\sin(c(t-s)\sqrt{\lambda_n})}{c\sqrt{\lambda_n}}f_{n,k}(s)ds\quad(\forall t\in I)
\end{aligned}
$$
と表すことができる。[[Hilbert空間上の作用素論]]の'''命題14.4'''より、
$$
\{\varphi_{n,1},\ldots,\varphi_{n,m(n)}:n\in \mathbb{N}\}
$$
は $L^2(\Omega)$ のCONSであるから、
$$
u(t)=\sum_{n\in \mathbb{N}}\sum_{k=1}^{m(n)}(\varphi_{n,k}\mid u(t))_2\varphi_{n,k}=\sum_{n\in\mathbb{N}}\sum_{k=1}^{m(n)}u_{n,k}(t)\varphi_{n,k}\quad(\forall t\in I)
$$
となる。よって波動方程式の一意解 $u(t,x)$ は、$-\Delta$ の各離散固有値（モード）$\lambda_n$ ごとの波 $u_{n,k}(t)\varphi_{n,k}(x)\in C^2(I)\otimes C^\infty(\Omega)$ $(n\in \mathbb{N},k=1,\ldots,m(n))$（それぞれ時間変数 $t\in I$ と空間変数 $x\in \Omega$ で変数分離されている）の重ね合わせである。

===補題6.4===
'''定義6.1'''の $\Omega=\mathbb{R}^3$ の場合のラプラシアン $-\Delta\colon H^2(\mathbb{R}^3)\rightarrow L^2(\mathbb{R}^3)$ と任意の $u\in H^2(\mathbb{R}^3)\subset C_0(\mathbb{R}^3)$<ref>Sobolevの埋め込み定理（[[Sobolev空間の基本事項]]の'''定理38.3'''）を参照）</ref>, $c\in (0,\infty)$ に対し、
$$
\left(\frac{\sin(ct\sqrt{-\Delta})}{c\sqrt{-\Delta}}u\right)(x)=tS(u,x,c\lvert t\rvert)\quad(\forall x\in \mathbb{R}^3,\forall t\in \mathbb{R})
$$
が成り立つ。ただし右辺の $S(u,x,c\lvert t\rvert)$ は中心 $x\in\mathbb{R}^3$, 半径 $c\lvert t\rvert$ の球面 $\{y\in \mathbb{R}^3:\lvert y-x\rvert =c\lvert t\rvert\}$ における $u\colon \mathbb{R}^3\rightarrow\mathbb{C}$ の球面平均（'''定義4.1'''）である。
{{begin|proof}}
$t\in \mathbb{R}$ は固定する。まず $u\in D(\mathbb{R}^3)$ の場合を示す。[[Hilbert空間上の作用素論]]の'''命題17.1'''と合成積のFourier変換の性質（[[合成積とFourier変換]]の'''定理24.3'''）より、
$$
\frac{\sin(ct\sqrt{-\Delta})}{c\sqrt{-\Delta}}u=\mathcal{F}^{-1}\frac{\sin(ct\lvert {\rm id}\rvert)}{c\lvert {\rm id}\rvert}\mathcal{F}u=u*\left(\mathcal{F}^{-1}\frac{\sin(ct\lvert {\rm id}\rvert)}{c\lvert {\rm id\rvert}}\right)=u*v\in C^\infty(\mathbb{R}^3)\quad\quad(*)
$$
となる。ただし、
$$
v\colon=\mathcal{F}^{-1}\frac{\sin(ct\lvert {\rm id}\rvert)}{c\lvert {\rm id}\rvert}\in \mathcal{S}_3'
$$
とおいた。
$$
v_n(y)\colon=\frac{1}{(2\pi)^{\frac{3}{2}}}\int_{\lvert x\rvert<n}\frac{\sin(ct\lvert x\rvert)}{c\lvert x\rvert}e^{ix\cdot y}dx\quad(\forall y\in \mathbb{R}^3,\forall n\in \mathbb{N})
$$
とおけば、任意の $\varphi\in D(\mathbb{R}^3)$ に対しFubiniの定理とLebesgue優収束定理より、
$$
\begin{aligned}
\int_{\mathbb{R}^3}\varphi(y)v_n(y)dy&=\frac{1}{(2\pi)^{\frac{3}{2}}}\int_{\mathbb{R}^3}\int_{\lvert x\rvert<n}\varphi(y)\frac{\sin(ct\lvert x\rvert)}{c\lvert x\rvert}e^{ix\cdot y}dydx\\
&=\frac{1}{(2\pi)^{\frac{3}{2}}}\int_{\lvert x\rvert<n}\int_{\mathbb{R}^3}\varphi(y)\frac{\sin(ct\lvert x\rvert)}{c\lvert x\rvert}e^{ix\cdot y}dxdy\\
&=\int_{\lvert x\rvert<n}(\mathcal{F}^{-1}\varphi)(x)\frac{\sin(ct\lvert x\rvert)}{c\lvert x\rvert}dx\\
&\rightarrow \int_{\mathbb{R}^N}(\mathcal{F}^{-1}\varphi)(x)\frac{\sin(ct\lvert x\rvert)}{c\lvert x\rvert}dx=v(\varphi)\quad(n\rightarrow\infty)
\end{aligned}
$$
となるから、超関数空間 $D'(\mathbb{R}^3)$ の位相（[[超関数の定義と基本操作]]の'''定義4.1'''）で $\lim_{n\rightarrow\infty}v_n=v$ が成り立つ。よって $u\in D(\mathbb{R}^3)$ より、
$$
(u*v_n)(x)=\frac{1}{(2\pi)^{\frac{3}{2}}}v_n(T_xu_{-1})\rightarrow \frac{1}{(2\pi)^{\frac{3}{2}}}v(T_xu_{-1})=(u*v)(x)\quad(n\rightarrow\infty,\forall x\in \mathbb{R}^3)\quad\quad(**)
$$
が成り立つ。任意の $n\in \mathbb{N}$ と任意の $y\in \mathbb{R}^3\backslash \{0\}$ を取る。$\mathbb{R}^3$ の正規直交基底 $e_1,e_2,e_3$ で $y=\lvert y\rvert e_1$ を満たすものを取り、
$$
(0,n)\times (0,\pi)\times (0,2\pi)\ni (r,\theta,\theta')\mapsto r\cos(\theta)e_1+r\sin(\theta)\cos(\theta')e_2+r\sin(\theta)\sin(\theta')e_3\in \{x\in \mathbb{R}^3:\lvert x\rvert<n\}
$$
なる極座標変換（[[ベクトル解析4：Euclid空間内の多様体上の測度と積分]]の'''定理18.4'''）を考えれば、
$$
\begin{aligned}
v_n(y)&=\frac{1}{(2\pi)^{\frac{3}{2}}}\int_{\lvert x\rvert<n}\frac{\sin(ct\lvert x\rvert)}{c\lvert x\rvert}e^{ix\cdot y}dx=\frac{1}{(2\pi)^{\frac{3}{2}}}\int_{0}^{n}\int_{0}^{\pi}2\pi r^2\sin(\theta)\frac{\sin(ctr)}{cr}e^{ir\lvert y\rvert\cos(\theta)}d\theta dr\\
&=\frac{1}{c(2\pi)^{\frac{1}{2}}}\int_{0}^{n}\int_{0}^{\pi}r\sin(\theta)\sin(ctr)e^{ir\lvert y\rvert \cos(\theta)}d\theta dr=\frac{1}{c(2\pi)^{\frac{1}{2}}}\int_{0}^{n}r\int_{-1}^{1}\sin(ctr)e^{i\lvert y\rvert rs}dsdr\\
&=\frac{1}{c\lvert y\rvert (2\pi)^{\frac{1}{2}}}\int_{0}^{n}2\sin(ctr)\frac{e^{i\lvert y\rvert r}-e^{-i\lvert y\rvert r}}{2i}dr=\frac{1}{c\lvert y\rvert (2\pi)^{\frac{1}{2}}}\int_{0}^{n}2\sin(ctr)\sin(\lvert y\rvert r)dr\\
&=\frac{1}{c\lvert y\rvert (2\pi)^{\frac{1}{2}}}\int_{0}^{n}(\cos((ct-\lvert y\rvert)r)-\cos((ct+\lvert y\rvert)r))dr\\
&=\frac{1}{2c\lvert y\rvert(2\pi)^{\frac{1}{2}}}\int_{-n}^{n}(\cos((ct-\lvert y\rvert)r)-\cos((ct+\lvert y\rvert)r))dr
\end{aligned}
$$
となる。よって $u\in D(\mathbb{R}^3)$ であることに注意して、任意の $x\in \mathbb{R}^3$ に対し、さらに極座標変換（[[ベクトル解析4：Euclid空間内の多様体上の測度と積分]]の'''定理18.4'''）より、
$$
\begin{aligned}
(u*v_n)(x)&=\frac{1}{(2\pi)^{\frac{3}{2}}}\int_{\mathbb{R}^3}u(x-y)v_n(y)dy\\
&=\frac{1}{2c(2\pi)^2}\int_{\mathbb{R}^3}\int_{-n}^{n}\frac{u(x-y)}{\lvert y\rvert}(\cos((ct-\lvert y\rvert)r)-\cos((ct+\lvert y\rvert)r))drdy\\
&=\frac{1}{2c(2\pi)^2}\int_{0}^{\infty}\int_{S_2}\int_{-n}^{n}u(x-\rho \omega)\rho(\cos((ct-\rho)r)-\cos(ct+\rho)r))drd\mu_{S_2}(\omega)d\rho\\
&=\frac{1}{4c(2\pi)^2}\int_{-\infty}^{\infty}\int_{S_2}\int_{-n}^{n}u(x-\rho\omega)\rho(\cos((ct-\rho)r)-\cos((ct+\rho)r))dr d\mu_{S_2}(\omega)d\rho\\
&=\frac{1}{4c(2\pi)^2}\int_{-n}^{n}\int_{-\infty}^{\infty}\int_{S_2}u(x+\rho \omega)\rho(\cos((ct-\rho)r)-\cos((ct+\rho)r))d\mu_{S_2}(\omega)d\rho dr\\
&=\frac{1}{4c\pi}\left\{\int_{-n}^{n}\int_{-\infty}^{\infty}S(u,x,\lvert \rho+ct\rvert)(\rho+ct)\cos(\rho r)d\rho dr-\int_{-n}^{n}\int_{-\infty}^{\infty}S(u,x,\lvert \rho-ct\rvert)(\rho-ct)\cos(\rho r)d\rho dr\right\}\\
&\rightarrow \frac{1}{2c}(S(u,x,c\lvert t\rvert)ct+S(u,x,c\lvert t\rvert)ct)=tS(u,x,c\lvert t\rvert)\quad(n\rightarrow\infty)
\end{aligned}
$$
となる。最後はFourier変換とFourier逆変換による（$\cos(\rho r)=\frac{e^{i\rho r}+e^{-i\rho r}}{2}$ に注意）。ゆえに、
$$
\lim_{n\rightarrow\infty}(u*v_n)(x)=tS(u,x,c\lvert t\rvert)\quad(\forall u\in D(\mathbb{R}^3),\forall x\in \mathbb{R}^3)
$$
が成り立つ。これと $(*),(**)$ より、
$$
\left(\frac{\sin(ct\sqrt{-\Delta})}{c\sqrt{-\Delta}}u\right)(x)
=(u*v)(x)=\lim_{n\rightarrow\infty}(u*v_n)(x)=tS(u,x,c\lvert t\rvert)\quad(\forall u\in D(\mathbb{R}^3),\forall x\in \mathbb{R}^3)\quad\quad(***)
$$
を得る。任意の $u\in H^2(\mathbb{R}^3)\subset C_0(\mathbb{R}^3)$ を取る。[[Sobolev空間の基本事項]]の'''定理32.2'''より $D(\mathbb{R}^3)$ の列 $(u_n)_{n\in \mathbb{N}}$ で $\lim_{n\rightarrow\infty}\lVert u-u_n\rVert_{2,2}=0$ なるものが取れて、Sobolevの埋め込み定理（[[Sobolev空間の基本事項]]の'''定理38.3'''）より $(u_n)_{n\in \mathbb{N}}$ は $u$ に一様収束する。よって $(***)$ より、
$$
tS(u,x,c\lvert t\rvert)=\lim_{n\rightarrow\infty}tS(u_n,x,c\lvert t\rvert)=\lim_{n\rightarrow\infty}\left(\frac{\sin(ct\sqrt{-\Delta})}{c\sqrt{-\Delta}}u_n\right)(x)\quad(\forall x\in \mathbb{R}^3)\quad\quad(****)
$$
が成り立つ。一方、Plancherelの定理（[[緩増加超関数とFourier変換]]の'''定理19.1'''）より $L^2$ ノルムで、
$$
\left(\frac{\sin(ct\sqrt{-\Delta})}{c\sqrt{-\Delta}}u\right)=\mathcal{F}^{-1}\frac{\sin(ct\lvert {\rm id}\rvert)}{c\lvert {\rm id}\rvert}\mathcal{F}u=\lim_{n\rightarrow\infty}\mathcal{F}^{-1}\frac{\sin(ct\lvert {\rm id}\rvert)}{c\lvert {\rm id}\rvert}\mathcal{F}u_n=\lim_{n\rightarrow\infty}\left(\frac{\sin(ct\sqrt{-\Delta})}{c\sqrt{-\Delta}}u_n\right)
$$
であるから、$\left(\left(\frac{\sin(ct\sqrt{-\Delta})}{c\sqrt{-\Delta}}u_n\right)\right)_{n\in\mathbb{N}}$ のある部分列は a.e. $x\in \mathbb{R}^3$ で $\left(\frac{\sin(ct\sqrt{-\Delta})}{c\sqrt{-\Delta}}u\right)(x)$ に収束する。よって $(****)$ より、
$$
\left(\frac{\sin(ct\sqrt{-\Delta})}{c\sqrt{-\Delta}}u\right)(x)=tS(u,x,c\lvert t\rvert)\quad(\forall x\in \mathbb{R}^3)
$$
が成り立つ。
{{end|proof}}

===補題6.5===
$\mathcal{F}\colon L^2(\mathbb{R}^3)\rightarrow L^2(\mathbb{R}^3)$ をFourier変換とする。このとき、
*$(1)$　任意の $v\in H^1(\mathbb{R}^3)$ に対し、$\frac{1}{\lvert {\rm id}\rvert}\mathcal{F}v\in L^1(\mathbb{R}^3)$ が成り立つ。
*$(2)$　任意の $u\in H^2(\mathbb{R}^3)$ に対し、$\mathcal{F}u\in L^1(\mathbb{R}^3)$ が成り立つ。
{{begin|proof}}
*$(1)$　[[Sobolev空間の基本事項]]の'''命題38.1'''より $(1+\lvert {\rm id}\rvert^2)^{\frac{1}{2}}\mathcal{F}v\in L^2(\mathbb{R}^3)$ である。また極座標変換（[[ベクトル解析4：Euclid空間内の多様体上の測度と積分]]の'''定理18.4'''）より、
$$
\int_{\mathbb{R}^3}\frac{1}{\lvert x\rvert^2(1+\lvert x\rvert^2)}dx
=4\pi\int_{0}^{\infty}\frac{1}{1+r^2}dr\leq 4\pi \left(\int_{0}^{1}\frac{1}{1+r^2}dr+\int_{1}^{\infty}\frac{1}{r^2}dr\right)<\infty
$$
であるから、
$$
\frac{1}{\lvert {\rm id}\rvert (1+\lvert {\rm id}\rvert)^{\frac{1}{2}}}\in L^2(\mathbb{R}^3)
$$
である。よってHölderの不等式より、
$$
\frac{1}{\lvert {\rm id}\rvert}\mathcal{F}v=\frac{1}{\lvert {\rm id}\rvert (1+\lvert {\rm id}\rvert^2)^{\frac{1}{2}}}(1+\lvert {\rm id}\rvert)^{\frac{1}{2}}\mathcal{F}v\in L^1(\mathbb{R}^3)
$$
が成り立つ。
*$(2)$　[[Sobolev空間の基本事項]]の'''命題38.1'''より $(1+\lvert {\rm id}\rvert^2)\mathcal{F}u\in L^2(\mathbb{R}^3)$ である。また極座標変換より、
$$
\int_{\mathbb{R}^3}\frac{1}{(1+\lvert x\rvert^2)^2}dx=4\pi \int_{0}^{\infty}\frac{r^2}{(1+r^2)^2}dr\leq 4\pi \left(\int_{0}^{1}\frac{1}{(1+r^2)^2}dr+\int_{1}^{\infty}\frac{1}{r^2}dr\right)<\infty
$$
であるから、
$$
\frac{1}{1+\lvert {\rm id}\rvert^2}\in L^2(\mathbb{R}^3)
$$
である。よってHölderの不等式より、
$$
\mathcal{F}u=\frac{1}{(1+\lvert {\rm id}\rvert^2)}(1+\lvert {\rm id}\rvert^2)\mathcal{F}u\in L^1(\mathbb{R}^3)
$$
が成り立つ。
{{end|proof}}

===定理6.6（全空間における $3$ 次元波動方程式の初期値問題の一意解の形）===
$f(t)\colon \mathbb{R}\rightarrow H^2(\mathbb{R}^3)$ を $H^2(\mathbb{R}^3)$ のノルムで連続な関数、$c\in (0,\infty)$, $u\in H^2(\mathbb{R}^3)$, $v\in H^1(\mathbb{R}^3)$ とする。そして'''定理6.2'''で $\Omega=\mathbb{R}^3$ とした場合の $(1)\sim (4)$ を満たす一意解を $u(t)\colon \mathbb{R}\ni t\mapsto u(t)\in H^2(\mathbb{R}^3)$ とする。このとき、
$$
a\colon=\frac{1}{2}\mathcal{F}u+\frac{1}{2ic\lvert {\rm id}\rvert}\mathcal{F}v,\quad
b\colon=\frac{1}{2}\mathcal{F}u-\frac{1}{2ic\lvert {\rm id}\rvert}\mathcal{F}v
$$
とおけば、$a,b\in L^1(\mathbb{R}^3)$ であり、
$$
\begin{aligned}
u(t,x)&=\frac{1}{(2\pi)^{\frac{3}{2}}}\int_{\mathbb{R}^3}a(k)e^{i(k\cdot x+ct\lvert k\rvert)}dk+\frac{1}{(2\pi)^{\frac{3}{2}}}\int_{\mathbb{R}^3}b(k)e^{i(k\cdot x-ct\lvert k\rvert)}dk\\
&+\frac{1}{4\pi c^2}\int_{\lvert y-x\rvert\leq c\lvert x\rvert}\frac{f\left(t\pm \frac{\lvert y-x\rvert}{c}, y\right)}{\lvert y-x\rvert}dy\quad(\forall t\in \mathbb{R},\forall x\in \mathbb{R}^3)
\end{aligned}
$$
が成り立つ。ただし $\mp$ は $t>0$ のときは $-$ で、$t<0$ のときは $+$ である。すなわち $\mathbb{R}^3$ における波動方程式の一意解は、平面波の波数ベクトル $k$ に関する積分と非斉次項による遅延解の和である。
{{begin|proof}}
$a,b\in L^1(\mathbb{R}^3)$ であることは'''補題6.5'''による。'''定理6.2'''より、
$$
u(t)=\cos(ct\sqrt{-\Delta})u+\frac{\sin(ct\sqrt{-\Delta})}{c\sqrt{-\Delta}}v+\int_{0}^{t}\frac{\sin(c(t-s)\sqrt{-\Delta})}{c\sqrt{-\Delta}}f(s)ds\quad(\forall t\in \mathbb{R})
$$
であるから、[[Hilbert空間上の作用素論]]の'''命題17.1'''より、
$$
\begin{aligned}
u(t)&=\mathcal{F}^{-1}\cos(ct\lvert {\rm id}\rvert)\mathcal{F}u+\mathcal{F}^{-1}\frac{\sin(ct\lvert {\rm id}\rvert)}{c\lvert {\rm id}\rvert}\mathcal{F}v
+\int_{0}^{t}\frac{\sin(cs\sqrt{-\Delta})}{c\sqrt{-\Delta}}f(t-s)ds\\
&=\mathcal{F}^{-1}(ae^{ict\lvert {\rm id}\rvert}+be^{-ict\lvert {\rm id}\rvert})+\int_{0}^{t}\frac{\sin(cs\sqrt{-\Delta})}{c\sqrt{-\Delta}}f(t-s)ds\quad(\forall t\in \mathbb{R})\quad\quad(*)
\end{aligned}
$$
となる。$a,b\in L^1(\mathbb{R}^3)$ より $(*)$ の右辺の第一項は、任意の $t\in \mathbb{R}$, $x\in \mathbb{R}^3$ に対し、
$$
\begin{aligned}
&\mathcal{F}^{-1}\left(ae^{ict\lvert {\rm id}\rvert}+be^{-ict\lvert {\rm id}\rvert}\right)(x)=\frac{1}{(2\pi)^{\frac{3}{2}}}\int_{\mathbb{R}^3}\left(a(k)e^{ict\lvert k\rvert}+b(k)e^{-ict\lvert k\rvert}\right)e^{ik\cdot x}dk\\
&=\frac{1}{(2\pi)^{\frac{3}{2}}}\int_{\mathbb{R}^3}a(k)e^{i(k\cdot x+ct\lvert k\rvert)}dk+\frac{1}{(2\pi)^{\frac{3}{2}}}\int_{\mathbb{R}^3}b(k)e^{i(k\cdot x-ct\lvert k\rvert)}dk\quad\quad(**)
\end{aligned}
$$
と表される。今、$(*)$ の右辺の第二項を考える。[[Hilbert空間上の作用素論]]の'''命題17.1'''より、
$$
\frac{\sin(cs\sqrt{-\Delta})}{c\sqrt{-\Delta}}f(t-s)=\mathcal{F}^{-1}\frac{\sin(cs\lvert {\rm id}\rvert)}{c\lvert {\rm id}\rvert}\mathcal{F}f(t-s)\quad(\forall t,s\in \mathbb{R})
\quad\quad(***)
$$
である。$\mathbb{R}\ni t\mapsto f(t)\in H^2(\mathbb{R}^3)$ は $H^2(\mathbb{R}^3)$ のノルムで連続であるので、[[Sobolev空間の基本事項]]の'''命題38.1'''より、
$$
\mathbb{R}\ni t\mapsto (1+\lvert {\rm id}\rvert^2)\mathcal{F}f(t)\in L^2(\mathbb{R}^3)
$$
は $L^2(\mathbb{R}^3)$ のノルムで連続である。よって任意の $t\in \mathbb{R}$ に対し、
$$
\mathbb{R}\ni s\mapsto (1+\lvert {\rm id}\rvert^2)\frac{\sin(cs\lvert {\rm id}\rvert)}{c\lvert {\rm id}\rvert}\mathcal{F}f(t-s)=(1+\lvert {\rm id}\rvert^2)\mathcal{F}\frac{\sin(cs\sqrt{-\Delta})}{c\sqrt{-\Delta}}f(t-s)\in L^2(\mathbb{R}^3)
$$
は $L^2(\mathbb{R}^3)$ のノルムで連続であるから、[[Sobolev空間の基本事項]]の'''命題38.1'''より $(***)$ は $H^2(\mathbb{R}^3)$ に属し、
$$
\mathbb{R}\ni s\mapsto \frac{\sin(cs\sqrt{-\Delta})}{c\sqrt{-\Delta}}f(t-s)\in H^2(\mathbb{R}^3)\quad\quad(****)
$$
は $H^2(\mathbb{R}^3)$ のノルムで連続である。Sobolevの埋め込み定理（[[Sobolev空間の基本事項]]の'''定理38.3'''）より $(****)$ は $\sup$ ノルムによるBanach空間 $C_0(\mathbb{R}^3)$ 値の連続関数である。よって $(*)$ の右辺の第二項はBanach空間 $C_0(\mathbb{R}^3)$ 値のBochner積分（[[測度と積分9：Bochner積分]]の'''定義44.1'''）とみなせる。任意の $x\in \mathbb{R}^3$ に対し、
$$
\delta_x\colon C_0(\mathbb{R}^3)\ni h\mapsto h(x)\in \mathbb{C}
$$
は $C_0(\mathbb{R}^3)$ 上の連続線形汎関数であるから、Bochner積分の性質（[[測度と積分9：Bochner積分]]の'''命題44.2'''）より、任意の $t\in \mathbb{R}$, $x\in \mathbb{R}^3$ に対し、
$$
\left(\int_{0}^{t}\frac{\sin(cs\sqrt{-\Delta})}{c\sqrt{-\Delta}}f(t-s)ds\right)(x)
=\int_{0}^{t}\left(\frac{\sin(cs\sqrt{-\Delta})}{c\sqrt{-\Delta}}f(t-s)\right)(x)ds
$$
となる。'''補題6.4'''より、
$$
\left(\frac{\sin(cs\sqrt{-\Delta})}{c\sqrt{-\Delta}}f(t-s)\right)(x)
=sS(f(t-s,\cdot),x,c\lvert s\rvert)=\frac{s}{4\pi}\int_{S_2}f(t-s,x+cs\omega)d\mu_{S_2}(\omega)
$$
であるから、
$$
\begin{aligned}
&\left(\int_{0}^{t}\frac{\sin(cs\sqrt{-\Delta})}{c\sqrt{-\Delta}}f(t-s)ds\right)(x)
=\int_{0}^{t}\left(\frac{\sin(cs\sqrt{-\Delta})}{c\sqrt{-\Delta}}f(t-s)\right)(x)ds\\
&=\frac{1}{4\pi}\int_{0}^{t}s\int_{S_2}f(t-s, x+cs\omega)d\mu_{S_2}(\omega)ds
=\frac{1}{4\pi c^2}\int_{0}^{c\lvert t\rvert}\int_{S_2}s^2\frac{f\left(t\mp\frac{s}{c}, x+s\omega\right)}{\lvert s\rvert}d\mu_{S_2}(\omega)ds\\
&=\frac{1}{4\pi c^2}\int_{\lvert y-x\rvert\leq c\lvert t\rvert}\frac{f\left(t\mp\frac{\lvert y-x\rvert}{c}, y\right)}{\lvert y-x\rvert}dy\quad(\forall t\in \mathbb{R},\forall x\in \mathbb{R}^3)
\end{aligned}
$$
（$4$ 番目の等号で極座標変換を用いた）となる。よって $(*),(**)$ より、
$$
\begin{aligned}
u(t,x)&=\frac{1}{(2\pi)^{\frac{3}{2}}}\int_{\mathbb{R}^3}a(k)e^{i(k\cdot x+ct\lvert k\rvert)}dk+\frac{1}{(2\pi)^{\frac{3}{2}}}\int_{\mathbb{R}^3}b(k)e^{i(k\cdot x-ct\lvert k\rvert)}dk\\
&+\frac{1}{4\pi c^2}\int_{\lvert y-x\rvert\leq c\lvert t\rvert}\frac{f\left(t\mp \frac{y-x}{c},y\right)}{\lvert y-x\rvert}dy\quad(\forall t\in \mathbb{R},\forall x\in \mathbb{R}^3)
\end{aligned}
$$
が成り立つ。
{{end|proof}}

==参考文献==
* [https://www.amazon.co.jp/dp/4320015630　伊藤秀一「常微分方程式と解析力学」]
* [https://www.amazon.co.jp//dp/4320018281　宮島静雄「ソボレフ空間の基礎と応用」]
* [https://www.amazon.co.jp/dp/0486474437 Ralph E. Showalter「Hilbert Space Methods in Partial Differential Equations」]
* [https://www.amazon.co.jp/dp/0387493182　 Juergen Jost「Partial Differential Equations」]
* [http://www.math.ucsd.edu/~bdriver/231-02-03/Lecture_Notes/PDE-Anal-Book/analpde1.pdf　Bruce Driver 「Analysis Tools with Applications」]

==注釈==

微分方程式の初歩

2026-06-11T04:46:43Z

Kataoka: /* 定理1.14（非斉次線形常微分方程式の解） */

本稿においては、[[関数解析の基礎]]（主に[[入門テキスト「測度と積分」]]、[[超関数とFourier変換、Sobolev空間]]、[[Hilbert空間上の作用素論]]、[[ベクトル解析]]など）の内容を用いて、特に物理学の初歩的なところで現れる微分方程式の定性的側面について、数学的に厳密な裏付けを与えることを念頭に置き、微分方程式の初歩について論じる。（偏微分方程式論のより詳しい理論展開については[[Hölder空間の基本事項]]やこれに関連する記事を参照されたい。） 
具体的に扱う内容について述べる。まず第 $1$ 節では常微分方程式の初期値問題の解の一意性と解の初期値に対する滑らかさについて論じる。（なお、第 $1$ 節の内容は第 $2$ 節以降を読むのに特に必要ではない。） 
第 $2$ 節では、第 $3$ 節以降で境界条件を扱う上で重要な役割を演じるGaussの発散定理（Greenの積分公式）のSobolev空間版の証明を行う。 
第 $3$ 節ではEuclid空間の領域 $\Omega$ におけるDirichlet-Neumann混合境界条件付き一様楕円型偏微分作用素（主にラプラシアン）がHilbert空間 $L^2(\Omega)$ 上の非有界自己共役作用素として扱えることとそのスペクトル特性、及びそれに関する楕円型正則性定理を示す。 
第 $4$ 節では、調和関数の球面平均、球平均の性質や最大値の原理について述べる。 
第 $5$ 節では、第 $3$ 節、第 $4$ 節の内容を用いて、Laplace-Poisson方程式の境界値問題の解の一意性や正則性、Green関数による表現公式について述べる。 
第 $6$ 節では、第 $3$ 節の内容を用いて境界条件付き波動方程式をHilbert空間上の作用素論の枠組みで論じ、その一般解がラプラシアンのスペクトル測度による積分（Borel汎関数計算（[[Hilbert空間上の作用素論]]の第 $8$ 節を参照））で表せることを示す。そしてその系として有界領域における一般解がラプラシアンの各離散固有値（モード）ごとの解の重ね合わせであることの導出や、$\mathbb{R}^3$ における波動方程式の一般解が平面波の波数ベクトルに関する積分と非斉次項による遅延解の和であることの導出を行う。 
本稿を通して $\mathbb{N}=\{1,2,3,\ldots\}$, $\mathbb{Z}_+=\{0,1,2,3,\ldots\}$ とし、$\mathbb{C}$ 上のHilbert空間の内積は第二変数に関して線形とする。また $a\in \mathbb{R}^N$ と $r\in (0,\infty)$ に対し $B(a,r)=\{x\in \mathbb{R}^N:\lvert x-a\rvert<r\}$, $\overline{B(a,r)}=\{x\in \mathbb{R}^N:\lvert x-a\rvert\leq r\}$ とする。

==1. 常微分方程式の初期値問題の解の一意存在と初期値に対する滑らかさ==

===定義1.1（常微分方程式の初期値問題）===
$J\subset \mathbb{R}$ を開区間、$D\subset \mathbb{R}^N$ を開集合、
$$
f(t,x)\colon J\times D\ni (t,x)\mapsto f(t,x)\in \mathbb{R}^N
$$
を連続関数とする。$J$ に含まれる区間 $I$ 上で定義された $C^1$ 級関数 $x(t)\colon I\ni t\mapsto x(t)\in D$ で、
$$
\frac{d}{dt}x(t)=f(t,x(t))\quad(\forall t\in I)
$$
を満たすものを常微分方程式
$$
\frac{dx}{dt}=f(t,x)\quad\quad(*)
$$
の局所解と言う。また与えられた $(\tau,\xi)\in J\times D$ に対し、常微分方程式 $(*)$ の局所解 $x(t)\colon I\ni t\mapsto x(t)\in D$ で $\tau\in I$, $x(\tau)=\xi$ を満たすものを常微分方程式の初期値問題
$$
\frac{dx}{dt}=f(t,x),\quad x(\tau)=\xi
$$
の局所解と言う。

===定義1.2（Lipschitz連続性、局所Lipschitz連続性）===
$\mathbb{R}^M\times \mathbb{R}^N$ の任意の元を $(t,x)\in\mathbb{R}^M\times \mathbb{R}^N$ と表すこととする。$U\subset \mathbb{R}^M\times \mathbb{R}^N$ 上で定義された連続関数 $f(t,x)\colon U\ni (t,x)\mapsto f(t,x)\in \mathbb{R}^N$ が $x$ に関してLipschitz連続であるとは、ある $L\in [0,\infty)$ が存在し、
$$
\lvert f(t,x)-f(t,y)\rvert\leq L\lvert x-y\rvert\quad(\forall (t,x),(t,y)\in U)
$$
が成り立つことを言う。 
$U\subset \mathbb{R}^M\times \mathbb{R}^N$ を開集合とする。連続関数 $f(t,x)\colon U\ni (t,x)\mapsto f(t,x)\in \mathbb{R}^N$ が $x$ に関して局所Lipschitz連続であるとは、任意の $(t_0,x_0)\in U$ に対し $(t_0,x_0)$ の近傍 $U_0\subset U$ が存在し、$f$ の $U_0$ 上への制限 $f\colon U_0\ni (t,x)\mapsto f(t,x)\in \mathbb{R}^N$ がLipschitz連続であることを言う。

===命題1.3（局所Lipschitz連続な関数の典型例）===
$\mathbb{R}^M\times \mathbb{R}^N$ の任意の元を $(t,x)\in\mathbb{R}^M\times \mathbb{R}^N$ と表すこととする。開集合 $U\subset \mathbb{R}^M\times \mathbb{R}^N$ 上で定義された連続関数 $f(t,x)\colon U\ni (t,x)\mapsto f(t,x)\in\mathbb{R}^N$ が $x$ に関して $1$ 階の偏導関数
$$
\frac{\partial f}{\partial x}(t,x)\colon U\ni (t,x)\mapsto \left(\frac{\partial f}{\partial x_1}(t,x),\ldots,\frac{\partial f}{\partial x_N}(t,x)\right)\in \mathbb{M}_{N\times N}(\mathbb{R})\quad\quad(*)
$$
を持ち、これが連続であるとする。このとき $f(t,x)\colon U\ni (t,x)\mapsto f(t,x)\in \mathbb{R}^N$ は $x$ に関して局所Lipschitz連続である。
{{begin|proof}}
任意の $(t_0,x_0)\in U$ を取り、$(t_0,x_0)$ を中心とし $U$ に含まれる閉方体（有界閉区間の直積）$K$ を取る。$K$ はコンパクトであり $(*)$ は連続であるから、
$$
L\colon=\underset{(t,x)\in K}{\rm max}\left\lVert \frac{\partial f}{\partial x}(t,x)\right\rVert\in [0,\infty)
$$
が存在する。任意の $(t,x),(t,y)\in K$ に対し、微積分学の基本定理より、
$$
f(t,y)-f(t,x)=\int_{0}^{1}\left(\frac{\partial f}{\partial x}(t, x+\theta(y-x))\right)(y-x)d\theta
$$
であり、$(t,x+\theta(y-x))\in K$ $(\forall \theta\in [0,1])$ であるから、
$$
\begin{aligned}
\lvert f(t,y)-f(t,x)\rvert&\leq \int_{0}^{1}\left\lvert \left(\frac{\partial f}{\partial x}(t, x+\theta(y-x))\right)(y-x)\right\rvert d\theta\\
&\leq \int_{0}^{1}\left\lVert \frac{\partial f}{\partial x}(t, x+\theta(y-x))\right\rVert\lvert y-x\rvert d\theta\\
&\leq L\lvert y-x\rvert
\end{aligned}
$$
が成り立つ。よって $f(t,x)\colon U\ni (t,x)\mapsto f(t,x)\in \mathbb{R}^N$ は局所Lipschitz連続である。
{{end|proof}}

===命題1.4（Gronwallの不等式）===
$I\subset \mathbb{R}$ を区間、$u(t)\colon I\rightarrow [0,\infty)$ を連続関数とし、ある $C,L\in [0,\infty)$ と $\tau\in I$ に対し、
$$
u(t)\leq C+L\left\lvert \int_{\tau}^{t}u(s)ds\right\rvert\quad(\forall t\in I)
$$
が成り立つと仮定する。このとき、
$$
u(t)\leq Ce^{L\lvert t-\tau\rvert}\quad(\forall t\in I)
$$
が成り立つ。
{{begin|proof}}
連続関数 $v(t)\colon I\rightarrow [0,\infty)$ を、
$$
v(t)\colon=C+L\left\lvert \int_{\tau}^{t}u(s)ds\right\rvert\quad(\forall t\in I)
$$
として定義すると、$u(t)\leq v(t)$ $(\forall t\in I)$ であり、
$$
\frac{d}{dt}v(t)=Lu(t)\leq Lv(t)\quad(\forall t>\tau),
$$
$$
\frac{d}{dt}v(t)=-Lu(t)\geq -Lv(t)\quad(\forall t<\tau)
$$
である。よって連続関数 $w(t)\colon I\rightarrow [0,\infty)$ を、
$$
w(t)\colon=v(t)e^{-L\lvert t-\tau\rvert}\quad(\forall t\in I)
$$
として定義すると、
$$
\frac{d}{dt}w(t)=(Lu(t)-Lv(t))e^{-L(t-\tau)}\leq0\quad(\forall t>\tau),
$$
$$
\frac{d}{dt}w(t)=(-Lu(t)+Lv(t))e^{L(t-\tau)}\geq0\quad(\forall t<\tau)
$$
であるから、平均値の定理より $w(t)\colon I\rightarrow [0,\infty)$ は $I\cap (-\infty,\tau]$ において単調増加であり、$I\cap [\tau,\infty)$ において単調減少である。ゆえに、
$$
v(t)e^{-L\lvert t-\tau\rvert}=w(t)\leq w(\tau)=v(\tau)=C\quad(\forall t\in I)
$$
であるから、
$$
u(t)\leq v(t)\leq Ce^{L\lvert t-\tau\rvert}\quad(\forall t\in I)
$$
が成り立つ。
{{end|proof}}

===補題1.5（常微分方程式の初期値問題の局所解の存在と一意性）===
$J\subset \mathbb{R}$ を開区間、$D\subset \mathbb{R}^N$ を開集合とし、連続関数 $f(t,x)\colon J\times D\ni (t,x)\mapsto f(t,x)\in \mathbb{R}^N$ が $x$ に関して局所Lipschitz連続であるとする。このとき任意の $(\tau,\xi)\in J\times D$ に対し、常微分方程式の初期値問題
$$
\frac{dx}{dt}=f(t,x),\quad x(\tau)=\xi\quad\quad(*)
$$
の局所解（'''定義1.1'''）で $\tau$ を定義域区間の内部に含むものが存在する。また $\tau$ を定義域区間の内部に含む $(*)$ の任意の2つの局所解は $\tau$ を内部に含むある区間上で一致する。
{{begin|proof}}
$f(t,x)\colon J\times D\ni (t,x)\mapsto f(t,x)\in \mathbb{R}^N$ は $x$ に関して局所Lipischitz連続であるから、十分小さい $\delta\in (0,\infty)$ を取れば、ある $L\in [0,\infty)$ に対し、
$$
[\tau-\delta,\tau+\delta]\subset J,\quad \overline{B(\xi,\delta)}=\{x\in \mathbb{R}^N:\lvert x-\xi\rvert\leq\delta\}\subset D,
$$
$$
\lvert f(t,y)-f(t,x)\rvert\leq L\lvert x-y\rvert\quad(\forall (t,x),(t,y)\in [\tau-\delta,\tau+\delta]\times \overline{B(\xi,\delta)})\quad\quad(**)
$$
が成り立つ。$[\tau-\delta,\tau+\delta]\times \overline{B(\xi,\delta)}$ はコンパクト集合であり、$f$ は連続であるから、ある $M\in (0,\infty)$ に対し、
$$
\lvert f(t,x)\rvert\leq M\quad(\forall (t,x)\in [\tau-\delta,\tau+\delta]\times \overline{B(\xi,\delta)})\quad\quad(***)
$$
が成り立つ。
$$
\rho\colon={\rm min}\left(\delta,\frac{\delta}{M}\right),\quad I\colon=[\tau-\rho,\tau+\rho]\subset [\tau-\delta,\tau+\delta]\subset J\quad\quad(****)
$$
とおく。そして、
$$
x_0(t)\colon I\rightarrow\overline{B(\xi,\delta)},\quad x_0(t)\colon=\xi\quad(\forall t\in I)
$$
と定義する。今、ある $n\in \mathbb{Z}_+$ に対し連続関数 $x_n(t)\colon I\rightarrow \overline{B(\xi,\delta)}$ が定義されたとする。このとき連続関数
$$
x_{n+1}(t)\colon I\ni t\mapsto \xi+\int_{\tau}^{t}f(s,x_n(s))ds\in \mathbb{R}^N
$$
を定義すれば、$(***),(****)$ より $x_{n+1}(t)\in \overline{B(\xi,\delta)}$ $(\forall t\in I)$ である。よって帰納法より $I\rightarrow\overline{B(\xi,\delta)}$ の連続関数の列 $(x_n)_{n\in\mathbb{N}}$ で、
$$
x_{n+1}(t)=\xi+\int_{\tau}^{t}f(s,x_n(s))ds\quad(\forall t\in I,\forall n\in \mathbb{Z}_+)\quad\quad(*****)
$$
を満たすものが定義される。$(**)$ より、
$$
\begin{aligned}
&\lvert x_{n+1}(t)-x_n(t)\rvert\leq \left\lvert \int_{\tau}^{t}\lvert f(s,x_n(s))-f(s,x_{n-1}(s))\rvert ds\right\rvert\\
&\leq L\left\lvert\int_{\tau}^{t}\lvert x_n(s)-x_{n-1}(s)\rvert ds\right\rvert\quad(\forall n\in \mathbb{N},\forall t\in I)
\end{aligned}
$$
であり、
$$
\lvert x_1(t)-x_0(t)\rvert\leq M\lvert t-\tau\rvert\quad(\forall t\in I)
$$
であるから、帰納法より、
$$
\lvert x_n(t)-x_{n-1}(t)\rvert\leq \frac{M}{L}\frac{(L\lvert t-\tau\rvert)^n}{n!}\leq \frac{M}{L}\frac{(L\rho)^n}{n!}\quad(\forall n\in\mathbb{N},\forall t\in I)
$$
が成り立つことが分かる。よって $\sup$ ノルムに関して、
$$
\sum_{n\in\mathbb{N}}\lVert x_n-x_{n-1}\rVert\leq \sum_{n\in\mathbb{N}}\frac{M}{L}\frac{(L\rho)^n}{n!}\leq\frac{M}{L}e^{L\rho}<\infty
$$
となるから、連続関数の列 $(x_n)_{n\in\mathbb{N}}$ は一様Cauchy条件を満たすので、ある連続関数 $x(t)\colon I\rightarrow \overline{B(\xi,\delta)}$ に一様収束する。そして $(**)$ より、
$$
\lvert f(t,x(t))-f(t,x_n(t))\rvert \leq L\lvert x(t)-x_n(t)\rvert\quad(\forall n\in\mathbb{N},\forall t\in I)
$$
であるから、
$$
\int_{\tau}^{t}f(s,x(s))ds=\lim_{n\rightarrow\infty}\int_{\tau}^{t}f(s,x_n(s))ds\quad(\forall t\in I)
$$
が成り立つ。よって $(*****)$ で $n\rightarrow\infty$ とすれば、
$$
x(t)=\xi+\int_{\tau}^{t}f(s,x(s))ds\quad(\forall t\in I)
$$
を得る。$I\ni s\mapsto f(s,x(s))\in \mathbb{R}^N$ の連続性より $x(t)\colon I\rightarrow \overline{B(\xi,\delta)}\subset D$ は $C^1$ 級であり、
$$
\frac{d}{dt}x(t)=f(t,x(t))\quad(\forall t\in I),\quad x(\tau)=\xi
$$
であるから、$x(t)\colon I\rightarrow D$ は常微分方程式の初期値問題 $(*)$ の局所解である。 
今、$y_j\colon I_j\rightarrow D$ $(j=1,2)$ が常微分方程式の初期値問題 $(*)$ の局所解で $\tau$ が $I_1,I_2$ の内部に属するとする。このとき $y_1,y_2$ が $\tau$ を内部に含むある区間上で一致することを示す。$\tau$ を内部に含む十分小さい区間 $I_0\subset I_1\cap I_2$ を取れば、$y_1,y_2$ の連続性より、
$$
I_0\subset [\tau-\delta,\tau+\delta],\quad y_1(t),y_2(t)\in \overline{B(\xi,\delta)}\quad(\forall t\in I_0)\quad\quad(******)
$$
となる。微積分学の基本定理より、
$$
y_j(t)=\xi+\int_{\tau}^{t}f(s,y_j(s))ds\quad(\forall t\in I_0,j=1,2)
$$
であるから、$(******), (**)$ より、
$$
\lvert y_1(t)-y_2(t)\rvert\leq \left\lvert \int_{\tau}^{t}\lvert f(s,y_1(s))-f(s,y_2(s))\rvert ds\right\rvert
\leq L\left\lvert \int_{\tau}^{t}\lvert y_1(s)-y_2(s)\rvert ds\right\rvert\quad(\forall t\in I_0)
$$
となる。よってGronwallの不等式（'''命題1.4'''）より $y_1(t)=y_2(t)$ $(\forall t\in I_0)$ が成り立つ。
{{end|proof}}

===定理1.6（常微分方程式の初期値問題の解の一意存在）===
$J\subset \mathbb{R}$ を開区間、$D\subset \mathbb{R}^N$ を開集合とし、連続関数 $f(t,x)\colon J\times D\ni (t,x)\mapsto f(t,x)\in \mathbb{R}^N$ が $x$ に関して局所Lipschitz連続であるとする。このとき任意の $(\tau,\xi)\in J\times D$ に対し、常微分方程式の初期値問題
$$
\frac{dx}{dt}=f(t,x),\quad x(\tau)=\xi\quad\quad(*)
$$
の局所解で、$(*)$ の任意の局所解の拡張となっているものが唯一つ存在する。
{{begin|proof}}
'''補題1.5'''より $(*)$ は局所解を持ち、また $(*)$ の任意の局所解は定義域が開区間の局所解に拡張できる。<ref>$(*)$ の局所解で定義域が端点を持つものは、端点における値を初期値とした初期値問題の局所解を考え、それを繋ぎ合わせればよい。</ref>そこで $(*)$ の局所解で定義域が開区間であるようなもの全体からなる集合を $\Lambda$ とおく。そして $x_1,x_2\in\Lambda$ に対し $x_2$ が $x_1$ の拡張になっているとき $x_1\leq x_2$ と表し、$\Lambda$ に順序 $\leq$ を導入する。このとき $\Lambda$ は帰納的順序集合となっている。<ref>$\Lambda$ が $\leq$ により順序集合であることは自明である。$\Lambda$ が帰納的順序集合であることは次のようにして分かる。$\{x_j\colon (a_j,b_j)\rightarrow D\}_{j\in J}\subset \Lambda$ を $\Lambda$ の全順序部分集合とすると、全順序性より、$x(t)\colon (\inf_{j\in J}a_j,\sup_{j\in J}b_j)=\bigcup_{j\in J}(a_j,b_j)\rightarrow D$ を $x(t)=x_j(t)$ $(\forall j\in J,\forall t\in (a_j,b_j))$ となるように定義できる。このとき明らかに $x\in \Lambda$ であり、$x$ は $\{x_j\colon (a_j,b_j)\rightarrow D\}_{j\in J}$ の上界である。ゆえに $\Lambda$ は帰納的順序集合である。</ref>よってZornの補題より $\Lambda$ は極大元 $x_m(t)\colon (\alpha,\beta)\rightarrow D$ を持つ。この $x_m$ が $\Lambda$ の最大元であることを示せばよい。そこで $\Lambda$ の任意の元 $x(t)\colon (a,b)\rightarrow D$ を取り、$x\leq x_m$ が成り立つことを示す。
$$
s\colon=\sup\{t\in [\tau,{\rm min}(\beta,b)): \text{$x$ と $x_m$ は $[\tau,t]$ 上で一致する}\}
$$
とおくと、'''補題1.5'''より $\tau<s$ であり、上限の定義より $x_m$ と $x$ は $[\tau,s)$ 上で一致する。もし $s<{\rm min}(\beta,b)$ ならば、$x_m,x$ の連続性より $x_m(s)=x(s)$ となるが、$x_m,x$ を $x_m(s)=x(s)$ を初期値とする初期値問題の局所解とみなすと、'''補題1.5'''より $x_m$ と $x$ は $s$ を含むある開区間上で一致することになるので $s$ の定義に矛盾する。よって $s={\rm min}(\beta,b)$ でなければならない。もし $\beta<b$ ならば、
$$
\widetilde{x_m}(t)\colon=\begin{cases}x_m(t)\quad&(t\in (\alpha,\beta))\\x(t)&(t\in [\beta,b))\end{cases}
$$
とおけば、$x_m$ と $x$ が $[\tau,\beta)$ 上で一致することから $\widetilde{x_m}\in \Lambda$ であり、$x_m<\widetilde{x_m}$ である。しかしこれは $x_m$ の極大性に反する。よって $b\leq \beta$ であり、$x_m$ と $x$ は $[\tau,b)$ 上で一致する。全く同様の議論により $\alpha\leq a$ であることと $x_m$ と $x$ が $(a,\tau]$ 上で一致することが分かる。よって $x\leq x_m$ であるから、$x_m$ は $\Lambda$ の最大元である。
{{end|proof}}

===定義1.7（常微分方程式の初期値問題の一意解）===
$J\subset \mathbb{R}$ を開区間、$D\subset \mathbb{R}^N$ を開集合とし、連続関数 $f(t,x)\colon J\times D\ni (t,x)\mapsto f(t,x)\in \mathbb{R}^N$ が $x$ に関して局所Lipschitz連続（'''定義1.2'''）であるとする。このとき任意の $(\tau,\xi)\in J\times D$ に対し、常微分方程式の初期値問題
$$
\frac{dx}{dt}=f(t,x),\quad x(\tau)=\xi\quad\quad(*)
$$
の局所解 $x(t)\colon I\rightarrow D$ で、$(*)$ の任意の局所解の拡張となっているものが唯一つ存在する。この $x$ を $(*)$ の解と呼ぶ。（一意解、大域解とも呼ぶ。）

===命題1.8（線形常微分方程式の初期値問題の解の定義域）===
$J\subset \mathbb{R}$ を開区間、$A(t)\colon J\rightarrow\mathbb{M}_{N\times N}(\mathbb{R})$, $B(t)\colon J\rightarrow\mathbb{R}^N$ をそれぞれ連続関数とする。このとき、
$$
J\times \mathbb{R}^N\ni (t,x)\mapsto A(t)x+B(t)\in \mathbb{R}^N\quad\quad(*)
$$
は $x$ に関して局所Lipschitz連続な連続関数である。そして任意の $(\tau,\xi)\in J\times \mathbb{R}^N$ に対し、常微分方程式の初期値問題
$$
\frac{dx}{dt}=A(t)x+B(t),\quad x(\tau)=\xi\quad\quad(**)
$$
の一意解の定義域は $J$ である。
{{begin|proof}}
$(*)$ が連続関数であることは自明であり、$x$ に関して局所Lipschitz連続であることは'''命題1.3'''による。$J=(\alpha,\beta)$ とおき、$x(t)\colon (a,b)\rightarrow D$ を $(**)$ の一意解とする。このとき微積分学の基本定理より、
$$
x(t)=\xi+\int_{\tau}^{t}(A(s)x(s)+B(s))ds\quad(\forall t\in (a,b))\quad\quad(***)
$$
である。$b=\beta$ を示すため、$b<\beta$ と仮定して矛盾を導く。このとき $[\tau,b]\subset J$ であり、$A(t),B(t)$ は有界閉区間 $[\tau,b]$ 上で連続であるから、
$$
M_1\colon =\underset{t\in [\tau,b]}{\rm max}\lVert A(t)\rVert,\quad M_2\colon =\underset{t\in [\tau,b]}{\rm max}\lvert B(t)\rvert
$$
が存在する。$(***)$ より、
$$
\lvert x(t)\rvert\leq \lvert \xi\rvert+M_2(b-\tau)+M_1\int_{\tau}^{t}\lvert x(s)\rvert ds\quad(\forall t\in [\tau,b))
$$
であるから、Gronwallの不等式（'''命題1.4'''）より、
$$
\begin{aligned}
\lvert x(t)\rvert\leq (\lvert \xi\rvert+M_2(b-\tau))\exp(M_1(b-\tau))\quad(\forall t\in [\tau,b))
\end{aligned}
$$
が成り立つ。よって $x(t)\colon (a,b)\rightarrow\mathbb{R}^N$ は $[\tau,b)$ 上で有界である。ゆえに、
$$
\eta\colon=\xi+\int_{\tau}^{b}(A(s)x(s)+B(s))ds\in \mathbb{R}^N
$$
が存在する。そこで $\widetilde{x}(b)=\eta$とおいて$x(t):(a,b)\rightarrow \mathbb{R}^N$を$(a,b]$上に拡張したもの$\widetilde{x}(t):(a,b]\rightarrow \mathbb{R}^N$を考えれば、$\widetilde{x}$ は(**)の局所解となっている。しかし'''定理1.6'''より$x(t):(a,b)\rightarrow \mathbb{R}^N$ は(**)の任意の局所解の拡張であるので矛盾する。よって $b=\beta$ が成り立つ。全く同様の議論により $a=\alpha$ が成り立つことも示せる。
{{end|proof}}

===定理1.9（初期値とパラメータに関する解の連続性）===
$J\subset \mathbb{R}$ を開区間、$D\subset \mathbb{R}^N$ を開集合、$\Lambda\subset \mathbb{R}^M$ を開集合とし、
$$
f(t,x,\lambda)\colon J\times D\times \Lambda\ni (t,x,\lambda)\mapsto f(t,x,\lambda)\in \mathbb{R}^N
$$
を $x$ に関して局所Lpischitz連続な連続関数（'''定義1.2'''）とする。任意の $(\tau,\xi,\lambda)\in J\times D\times \Lambda$ に対し、常微分方程式の初期値問題
$$
\frac{dx}{dt}=f(t,x,\lambda),\quad x(\tau)=\xi
$$
の一意解を、
$$
x(\cdot,\tau,\xi,\lambda)\colon I_{\tau,\xi,\lambda}\ni t\mapsto x(t,\tau,\xi,\lambda)\in D
$$
と表す。また、
$$
\Omega\colon =\{(t,\tau,\xi,\lambda)\in J\times J\times D\times \Lambda: t\in I_{\tau,\xi,\lambda}\}
$$
とおく。このとき $\Omega$ は $J\times J\times D\times \Lambda$ の開集合であり、
$$
\Omega\ni (t,\tau,\xi,\lambda)\mapsto x(t,\tau,\xi,\lambda)\in D
$$
は連続である。
{{begin|proof}}
任意の $(t_0,\tau_0,\xi_0,\lambda_0)\in \Omega$ を取り固定する。そして、
$$
t_0,\tau_0\in (a,b)\subset [a,b]\subset I_{\tau_0,\xi_0,\lambda_0}
$$
を満たす有界閉区間 $I\colon=[a,b]$ を取り、
$$
x_0(t)\colon I=[a,b]\ni t\mapsto x(t,\tau_0,\xi_0,\lambda_0)\in D
$$
とおく。また任意の $\gamma\in (0,\infty)$ に対し $(\tau_0,\xi_0,\lambda_0)\in J\times \mathbb{R}^N\times \mathbb{R}^M$ の近傍
$$
U_{\gamma}\colon=\{(\tau,\xi,\lambda)\in J\times \mathbb{R}^N\times \mathbb{R}^M: \tau\in I,\lvert \xi-x_0(\tau)\rvert\leq \gamma, \lvert\lambda-\lambda_0\rvert\leq \gamma\}\quad\quad(*)
$$
を定義する。今、十分小さい $\gamma\in (0,\infty)$ を取れば、$U_{\gamma}\subset J\times D\times \Lambda$ となり、$f(t,x,\lambda)$ が $U_{\gamma}$ 上で $x$ に関してLipschitz連続（'''定義1.2'''）となることを示す。$f(t,x,\lambda)$ は $x$ に関して局所Lipschitz連続であることから、各 $\tau\in [a,b]$ に対し正実数 $\gamma_{\tau},L_{\tau}$ が存在し、
$$
[\tau-\gamma_{\tau},\tau+\gamma_{\tau}]\times \overline{B(x_0(\tau),\gamma_{\tau})}\times \overline{B(\lambda_0,\gamma_{\tau})}\subset J\times D\times \Lambda,
$$
$$
\lvert f(t,x,\lambda)-f(t,y,\lambda)\rvert\leq L_{\tau}\lvert x-y\rvert\quad(\forall (t,x,\lambda),(t,y,\lambda)\in [\tau-\gamma_{\tau},\tau+\gamma_{\tau}]\times \overline{B(x_0(\tau),\gamma_{\tau})}\times \overline{B(\lambda_0,\gamma_{\tau})})
$$
が成り立つ。
$$
G\colon=\{(\tau,x_0(\tau)):\tau\in I\}
$$
はコンパクトであるから、有限個の $\tau_1,\ldots,\tau_n\in I$ が取れて、
$$
G\subset \bigcup_{j=1}^{n}(\tau_j-\gamma_{\tau_j},\tau_j+\gamma_{\tau_j})\times B\left(x_0(\tau_j),\frac{\gamma_{\tau_j}}{2}\right)
$$
となる。よって、
$$
\gamma\colon={\rm min}\left(\frac{\gamma_{\tau_1}}{2},\ldots,\frac{\gamma_{\tau_n}}{2}\right),\quad
L\colon={\rm max}(L_{\tau_1},\ldots,L_{\tau_n})
$$
とおけば、
$$
U_{\gamma}\subset \bigcup_{j=1}^{n}[\tau_j-\gamma_{\tau_j},\tau_j+\gamma_{\tau_j}]\times \overline{B(x_0(\tau_j),\gamma_{\tau_j})}\times \overline{B(\lambda_0,\gamma_{\tau_j})}\subset J\times D\times \Lambda,\quad\quad(**)
$$
$$
\lvert f(t,x,\lambda)-f(t,y,\lambda)\rvert\leq L\lvert x-y\rvert\quad (\forall (t,x,\lambda),(t,y,\lambda)\in U_{\gamma})\quad\quad(***)
$$
が成り立つ。この正実数 $\gamma$ と $L$ を固定する。正実数 $\delta$ に対し、
$$
M_{\delta}\colon=\delta+\frac{1}{L}\sup_{t\in I,\lvert \lambda-\lambda_0\rvert\leq\delta}\lvert f(t,x_0(t),\lambda)-f(t,x_0(t),\lambda_0)\rvert\quad\quad(****)
$$
とおけば、コンパクト距離空間上の連続関数の一様連続性（[[距離空間の位相の基本的性質]]の'''定理7.3'''）より $\lim_{\delta\rightarrow0}M_{\delta}=0$ であるから、十分小さい正実数 $\delta$ を取れば、
$$
M_{\delta}e^{L(b-a)}\leq \gamma\quad\quad(*****)
$$
となる。この $\delta$ を固定する。このとき $\delta<\gamma$ であるから、$(*),(**)$ より、
$$
U_{\delta}\subset U_{\gamma}\subset J\times D\times \Lambda
$$
であり、$U_{\delta}$ は $(\tau_0,\xi_0,\lambda_0)\in J\times D\times \Lambda$ の近傍である。今、
$$
\begin{aligned}
&y_0(t,\tau,\xi,\lambda)\colon I\times U_{\delta}\rightarrow \overline{B(0,\gamma)},\\
&y_0(t,\tau,\xi,\lambda)\colon=\xi-x_0(\tau)
\end{aligned}
$$
とおき、
$$
\begin{aligned}
&y_1(t,\tau,\xi,\lambda)\colon I\times U_{\delta}\rightarrow\mathbb{R}^N,\\
&y_1(t,\tau,\xi,\lambda)\colon=\xi-x_0(\tau)+\int_{\tau}^{t}f(s,x_0(s)+y_0(s,\tau,\xi,\lambda),\lambda)-f(s,x_0(s),\lambda_0)ds
\end{aligned}
$$
とおく。Lebesgue優収束定理より $y_1$ は連続関数であり $(***),(****)$ より、
$$
\begin{aligned}
&\lvert y_1(t,\tau,\xi,\lambda)-y_0(t,\tau,\xi,\lambda)\rvert=\left\lvert \int_{\tau}^{t}f(s,x_0(s)+y_0(s,\tau,\xi,\lambda),\lambda)-f(s,x_0(s),\lambda_0)ds\right\rvert\\
&\leq \left\lvert \int_{\tau}^{t}f(s,x_0(s)+y_0(s,\tau,\xi,\lambda),\lambda)-f(s,x_0(s),\lambda)ds\right\rvert
+\left\lvert \int_{\tau}^{t}f(s,x_0(s),\lambda)-f(s,x_0(s),\lambda_0)ds\right\rvert\\
&\leq L\lvert t-\tau\rvert\left(\lvert \xi-x_0(\tau)\rvert+\frac{1}{L}\sup_{s\in I,\lvert\lambda-\lambda_0\rvert\leq\delta}\lvert f(s,x_0(s),\lambda)-f(s,x_0(s),\lambda_0)\right)\\
&\leq M_{\delta}L\lvert t-\tau\rvert\quad(\forall (t,\tau,\xi,\lambda)\in I\times U_{\delta})
\end{aligned}
$$
である。よって $(****), (*****)$ より、
$$
\begin{aligned}
\lvert y_1(t,\tau,\xi,\lambda)\rvert&\leq \lvert y_0(t,\tau,\xi,\lambda)\rvert+M_{\delta}L\lvert t-\tau\rvert
\leq M_{\delta}(1+L\lvert t-\tau\rvert)\leq M_{\delta}e^{L\lvert t-\tau\rvert}\\
&\leq M_{\delta}e^{L(b-a)}\leq \gamma\quad(\forall (t,\tau,\xi,\lambda)\in I\times U_{\delta})
\end{aligned}
$$
であるから、$y_1$ の値域は $\overline{B(0,\gamma)}$ に含まれる。そこで今、ある $n\in \mathbb{N}$ に対し連続関数 $y_0,y_1,\ldots,y_n\colon I\times U_{\delta}\rightarrow \overline{B(0,\gamma)}$ が定義されており、
$$
y_k(t,\tau,\xi,\lambda)=\xi-x_0(\tau)+\int_{\tau}^{t}f(s,x_0(s)+y_{k-1}(s,\tau,\xi,\lambda),\lambda)-f(s,x_0(s),\lambda_0)ds\quad(k=1,\ldots,n,\forall (t,\tau,\xi,\lambda)\in I\times U_{\delta}),
$$
$$
\lvert y_k(t,\tau,\xi,\lambda)-y_{k-1}(t,\tau,\xi,\lambda)\rvert\leq M_{\delta}\frac{(L\lvert t-\tau\rvert)^k}{k!}\quad(k=1,\ldots,n,\forall (t,\tau,\xi,\lambda)\in I\times U_{\delta})
$$
が成り立つとする。このとき $y_{n+1}(t,\tau,\xi,\lambda)\colon I\times U_{\delta}\rightarrow \mathbb{R}^N$ を、
$$
y_{n+1}(t,\tau,\xi,\lambda)\colon=\xi-x_0(\tau)+\int_{\tau}^{t}f(s,x_0(s)+y_n(s,\tau,\xi,\lambda),\lambda)-f(s,x_0(s),\lambda_0)ds
$$
とおけばLebesgue優収束定理より $y_{n+1}$ は連続関数である。そして $(***)$ より、
$$
\begin{aligned}
\lvert y_{n+1}(t,\tau,\xi,\lambda)-y_n(t,\tau,\xi,\lambda)\rvert&=\left\lvert \int_{\tau}^{t}f(s,x_0(s)+y_n(s,\tau,\xi,\lambda),\lambda)-f(s,x_0(s)+y_{n-1}(s,\tau,\xi,\lambda),\lambda)ds\right\rvert\\
&\leq L\left\lvert \int_{\tau}^{t}\lvert y_n(s,\tau,\xi,\lambda)-y_{n-1}(s,\tau,\xi,\lambda)\rvert ds\right\rvert
\leq L\left\lvert \int_{\tau}^{t}M_{\delta}\frac{(L\lvert t-\tau\rvert)^n}{n!}ds\right\rvert\\
&=M_{\delta}\frac{(L\lvert t-\tau\rvert)^{n+1}}{(n+1)!}\quad(\forall (t,\tau,\xi,\lambda)\in I\times U_{\delta})
\end{aligned}
$$
であり、$(*****)$ より、
$$
\begin{aligned}
\lvert y_{n+1}(t,\tau,\xi,\lambda)\rvert&\leq \sum_{k=1}^{n+1}\lvert y_k(t,\tau,\xi,\lambda)-y_{k-1}(t,\tau,\xi,\lambda)\rvert+\lvert y_0(t,\tau,\xi,\lambda)\rvert\\
&\leq M_{\delta}\sum_{k=1}^{n+1}\frac{(L\lvert t-\tau\rvert)^k}{k!}+\delta\leq M_{\delta}e^{L\lvert t-\tau\rvert}\\
&\leq M_{\delta}e^{L(b-a)}\leq \gamma\quad(\forall (t,\tau,\xi,\lambda)\in I\times U_{\delta})
\end{aligned}
$$
であるから、$y_{n+1}$ の値域は $\overline{B(0,\gamma)}$ に含まれる。よって帰納法より $I\times U_{\delta}\rightarrow \overline{B(0,\gamma)}$ の連続関数の列 $(y_n)_{n\in\mathbb{Z}_+}$ で、
$$
\begin{aligned}
&y_n(t,\tau,\xi,\lambda)=\xi-x_0(\tau)+\int_{\tau}^{t}f(s,x_0(s)+y_{n-1}(s,\tau,\xi,\lambda),\lambda)-f(s,x_0(s),\lambda_0)ds,\\
&\lvert y_n(t,\tau,\xi,\lambda)-y_{n-1}(t,\tau,\xi,\lambda)\rvert\leq M_{\delta}\frac{(L\lvert t-\tau\rvert)^n}{n!}\quad(\forall n\in\mathbb{N},\forall (t,\tau,\xi,\lambda)\in I\times U_{\delta})
\end{aligned}
$$
を満たすものが定義できる。
$$
\lVert y_n-y_{n-1}\rVert=\sup_{(t,\tau,\xi,\lambda)\in I\times U_{\delta}}\lvert y_{n}(t,\tau,\xi,\lambda)-y_{n-1}(t,\tau,\xi,\lambda)\rvert\leq M_{\delta}\frac{(L(b-a))^n}{n!}\quad(\forall n\in\mathbb{N})
$$
より、
$$
\sum_{n\in\mathbb{N}}\lVert y_n-y_{n-1}\rVert\leq \sum_{n\in\mathbb{N}}M_{\delta}\frac{(L(b-a))^n}{n!}\leq M_{\delta}e^{L(b-a)}<\infty
$$
であるから $(y_n)_{n\in\mathbb{N}}$ は一様Cauchy条件を満たす。ゆえに $(y_n)_{n\in\mathbb{Z}_+}$ はある連続関数 $y(t,\tau,\xi,\lambda)\colon I\times U_{\delta}\rightarrow \overline{B(0,\gamma)}$ に一様収束する。$(***)$ より、
$$
\begin{aligned}
\sup_{(t,\tau,\xi,\lambda)\in I\times U_{\delta}}&\lvert f(t,x_0(t)+y(t,\tau,\xi,\lambda),\lambda)-f(t,x_0(t)+y_n(t,\tau,\xi,\lambda),\lambda)\rvert\\
&\leq L\sup_{(t,\tau,\xi,\lambda)\in I\times U_{\delta}}\lvert y(t,\tau,\xi,\lambda)-y_n(t,\tau,\xi,\lambda)\rvert\rightarrow0\quad(n\rightarrow\infty)
\end{aligned}
$$
であるから、
$$
y_n(t,\tau,\xi,\lambda)=\xi-x_0(\tau)+\int_{\tau}^{t}f(s,x_0(s)+y_{n-1}(s,\tau,\xi,\lambda),\lambda)-f(s,x_0(s),\lambda_0)ds\quad(\forall (t,\tau,\xi,\lambda)\in I\times U_{\delta})
$$
の両辺について $n\rightarrow\infty$ とすれば、
$$
y(t,\tau,\xi,\lambda)=\xi-x_0(\tau)+\int_{\tau}^{t}f(s,x_0(s)+y(s,\tau,\xi,\lambda),\lambda)-f(s,x_0(s),\lambda_0)ds\quad(\forall (t,\tau,\xi,\lambda)\in I\times U_{\delta})\quad\quad(******)
$$
を得る。ここで微積分学の基本定理より、
$$
x_0(t)=x_0(\tau)+\int_{\tau}^{t}f(s,x_0(s),\lambda_0)ds
$$
であるから $(******)$ は、
$$
x_0(t)+y(t,\tau,\xi,\lambda)=\xi+\int_{\tau}^{t}f(s,x_0(s)+y(s,\tau,\xi,\lambda),\lambda)ds\quad(\forall (t,\tau,\xi,\lambda)\in I\times U_{\delta})
$$
となる。よって $(\tau,\xi,\lambda)\in U_{\delta}$ に対し、
$$
I\ni t\mapsto x_0(t)+y(t,\tau,\xi,\lambda)\in D
$$
は常微分方程式の初期値問題
$$
\frac{dx}{dt}=f(t,x,\lambda),\quad x(\tau)=\xi
$$
の局所解である。ゆえに $I\times U_{\delta}\subset \Omega$ であり、
$$
x(t,\tau,\xi,\lambda)=x_0(t)+y(t,\tau,\xi,\lambda)\quad(\forall (t,\tau,\xi,\lambda)\in I\times U_{\delta})
$$
である。$I\times U_{\delta}\subset \Omega$ は $(t_0,\tau_0,\xi_0,\lambda_0)$ の $J\times J\times D\times \Lambda$ における近傍であり、
$$
I\times U_{\delta}\ni (t,\tau,\xi,\lambda)\mapsto x(t,\tau,\xi,\lambda)=x_0(t)+y(t,\tau,\xi,\lambda)\in D
$$
は連続であるから、$(t_0,\tau_0,\xi_0,\lambda_0)\in \Omega$ の任意性より、$\Omega$ は開集合であり、$\Omega\ni (t,\tau,\xi,\lambda)\mapsto x(t,\tau,\xi,\lambda)\in D$ は連続関数である。
{{end|proof}}

===定理1.10（初期値に関する解の微分可能性）===
$J\subset \mathbb{R}$ を開区間、$D\subset \mathbb{R}^N$ を開集合、$f(t,x)\colon J\times D\ni (t,x)\mapsto f(t,x)\in \mathbb{R}^N$ を連続関数で、$x$ に関して $1$ 階の偏導関数
$$
\frac{\partial f}{\partial x}(t,x)\colon J\times D\ni (t,x)\mapsto \left(\frac{\partial f}{\partial x_1}(t,x),\ldots,\frac{\partial f}{\partial x_N}(t,x)\right)\in \mathbb{M}_{N\times N}(\mathbb{R})
$$
を持ち、これが連続であるとする。（したがって'''命題1.3'''より $f(t,x)$ は $x$ に関して局所Lipschitz連続である。）任意の $(\tau,\xi)\in J\times D$ に対し常微分方程式の初期値問題
$$
\frac{dx}{dt}=f(t,x),\quad x(\tau)=\xi
$$
の一意解を、
$$
x(\cdot,\tau,\xi)\colon I_{\tau,\xi}\ni t\mapsto x(t,\tau,\xi)\in D
$$
とおき、
$$
\Omega\colon=\{(t,\tau,\xi)\in J\times J\times D: t\in I_{\tau,\xi}\}
$$
とおく。このとき $\Omega$ は開集合であり、
$$
\Omega\ni (t,\tau,\xi)\mapsto x(t,\tau,\xi)\in D\quad\quad(*)
$$
は $\xi$ に関して $1$ 階の偏導関数
$$
\frac{\partial x}{\partial \xi}(t,\tau,\xi)\colon \Omega\ni (t,\tau,\xi)\mapsto \left(\frac{\partial x}{\partial \xi_1}(t,\tau,\xi),\ldots,\frac{\partial x}{\partial \xi_N}(t,\tau,\xi)\right)\in \mathbb{M}_{N\times N}(\mathbb{R})\quad\quad(**)
$$
を持ち、$(**)$ は $t$ に関する偏導関数
$$
\frac{\partial }{\partial t}\frac{\partial x}{\partial \xi}(t,\tau,\xi)\colon \Omega\ni (t,\tau,\xi)\mapsto \left(\frac{\partial}{\partial t}\frac{\partial x}{\partial \xi_1}(t,\tau,\xi),\ldots,\frac{\partial}{\partial t}\frac{\partial x}{\partial \xi_N}(t,\tau,\xi)\right)\in \mathbb{M}_{N\times N}(\mathbb{R})\quad\quad(***)
$$
を持つ。そして $(*),(**),(***)$ はそれぞれ連続である。さらに、
$$
\frac{\partial}{\partial t}\frac{\partial x}{\partial \xi}(t,\tau,\xi)=\frac{\partial f}{\partial x}(t,x(t,\tau,\xi))\frac{\partial x}{\partial \xi}(t,\tau,\xi)\quad(\forall (t,\tau,\xi)\in \Omega)\quad\quad(****)
$$
が成り立つ。
{{begin|proof}}
'''定理1.9'''より $\Omega$ は開集合であり、$(*)$ は連続である。任意の $(t_0,\tau_0,\xi_0)\in \Omega$ を取り固定し、
$$
t_0,\tau_0\in (a,b)\subset [a,b]\subset I_{\tau_0,\xi_0}
$$
を満たす有界閉区間 $I\colon=[a,b]$ を取る。
$$
\{(t,x(t,\tau_0,\xi_0)):t\in I\}
$$
は開集合 $J\times D$ に含まれるコンパクト集合であるから、[[超関数の定義と基本操作]]の'''命題2.2'''の $(4)$ より十分小さい $\gamma\in (0,\infty)$ を取れば、
$$
U_{\gamma}\colon=\{(t,\xi)\in J\times \mathbb{R}^N:t\in I,\lvert \xi-x(t,\tau_0,\xi_0)\rvert\leq \gamma\}\subset J\times D
$$
となる。また、
$$
I\times \{\tau_0\}\times \{\xi_0\}
$$
は開集合 $\Omega$ に含まれるコンパクト集合であるから、[[超関数の定義と基本操作]]の'''命題2.2'''の $(4)$ より十分小さい $\delta\in (0,\infty)$ を取れば、
$$
I\times (\tau_0-\delta,\tau_0+\delta)\times B(\xi_0,2\delta)\subset \Omega
$$
となる。そして $(*)$ の連続性とコンパクト距離空間上の連続関数の一様連続性（[[距離空間の位相の基本的性質]]の'''定理7.3'''）より $\delta\in (0,\infty)$ を十分小さく取っておけば、
$$
\lvert x(t,\tau,\xi)-x(t,\tau_0,\xi_0)\rvert\leq \gamma\quad(\forall (t,\tau,\xi)\in I\times (\tau_0-\delta,\tau_0+\delta)\times B(\xi_0,2\delta))
$$
となる。よってこのような $\delta$ に対し、
$$
(t,x(t,\tau,\xi))\in U_{\gamma}\subset J\times D\quad(\forall (t,\tau,\xi)\in I\times (\tau_0-\delta,\tau_0+\delta)\times B(\xi_0,2\delta))
$$
が成り立つ。今、$(e_1,\ldots,e_N)$ を $\mathbb{R}^N$ の標準基底とし、各 $j\in \{1,\ldots,N\}$ に対し、
$$
\varphi_j(t,\tau,\xi,h)=\frac{1}{h}(x(t,\tau,\xi+he_j)-x(t,\tau,\xi))
$$
として、
$$
\varphi_j(t,\tau,\xi,h)\colon (a,b)\times (\tau_0-\delta,\tau_0+\delta)\times B(\xi_0,\delta)\times (-\delta,\delta)\backslash \{0\}\rightarrow \mathbb{R}^N
$$
を定義する。このとき、
$$
\varphi_j(\tau,\tau,\xi,h)=e_j\quad(\forall (\tau,\xi,h)\in (\tau_0-\delta,\tau_0+\delta)\times B(\xi_0,\delta)\times (-\delta,\delta)\backslash \{0\})
$$
である。そして任意の $(t,\tau,\xi,h)\in (a,b)\times (\tau_0-\delta,\tau_0+\delta)\times B(\xi_0,\delta)\times (-\delta,\delta)\backslash \{0\}$ に対し、
$$
(t,x(t,\tau,\xi)+\theta(x(t,\tau,\xi+he_j)-x(t,\tau,\xi)))\in U_{\gamma}\subset J\times D\quad(\forall \theta\in [0,1])
$$
であることに注意して、微積分学の基本定理より、
$$
\begin{aligned}
&\frac{\partial\varphi_j}{\partial t}(t,\tau,\xi,h)=\frac{1}{h}(f(t,x(t,\tau,\xi+he_j))-f(t,x(t,\tau,\xi)))\\
&=\left(\int_{0}^{1}\frac{\partial f}{\partial x}(t,x(t,\tau,\xi)+\theta(x(t,\tau,\xi+he_j)-x(t,\tau,\xi)))d\theta\right)\varphi_j(t,\tau,\xi,h)
\end{aligned}
$$
となる。よって、
$$
A(t,\tau,\xi,h)=\int_{0}^{1}\frac{\partial f}{\partial x}(t,x(t,\tau,\xi)+\theta(x(t,\tau,\xi+he_j)-x(t,\tau,\xi)))d\theta
$$
として連続関数
$$
A(t,\tau,\xi,h)\colon (a,b)\times (\tau_0-\delta,\tau_0+\delta)\times B(\xi_0,\delta)\times (-\delta,\delta)\rightarrow \mathbb{M}_{N\times N}(\mathbb{R})
$$
を定義すると、任意の $(t,\tau,\xi,h)\in (a,b)\times (\tau_0-\delta,\tau_0+\delta)\times B(\xi_0,\delta)\times (-\delta,\delta)\backslash \{0\}$ に対し、
$$
\frac{\partial\varphi_j}{\partial t}(t,\tau,\xi,h)=A(t,\tau,\xi,h)\varphi_j(t,\tau,\xi,h)
$$
が成り立つ。そこで $(\tau,\xi,h)\in (\tau_0-\delta,\tau_0+\delta)\times B(\xi_0,\delta)\times (-\delta,\delta)$ をパラメータとする線形常微分方程式の初期値問題
$$
\frac{dy_j}{dt}=A(t,\tau,\xi,h)y_j,\quad y_j(\tau)=e_j
$$
の一意解を $y_j(\cdot,\tau,\xi,h)$ とおくと、'''命題1.8'''より $y_j(\cdot,\tau,\xi,h)$ は $(a,b)$ 上で定義され、解の一意性より、
$$
y_j(t,\tau,\xi,h)=\varphi_j(t,\tau,\xi,h)\quad(\forall (t,\tau,\xi,h)\in (a,b)\times (\tau_0-\delta,\tau_0+\delta)\times B(\xi_0,\delta)\times (-\delta,\delta)\backslash \{0\})
$$
である。そして'''定理1.9'''より、
$$
y_j(t,\tau,\xi,h)\colon (a,b)\times (\tau_0-\delta,\tau_0+\delta)\times B(\xi_0,\delta)\times (-\delta,\delta)\rightarrow \mathbb{R}^N
$$
は連続関数であるから、
$$
y_j(t,\tau,\xi,0)=\lim_{h\rightarrow0}\varphi_j(t,\tau,\xi,h)=\frac{\partial x}{\partial \xi_j}(t,\tau,\xi)\quad(\forall (t,\tau,\xi)\in (a,b)\times (\tau_0-\delta,\tau_0+\delta)\times B(\xi_0,\delta))
$$
である。よって $(t_0,\tau_0,\xi_0)$ の開近傍 $(a,b)\times (\tau_0-\delta,\tau_0+\delta)\times B(\xi_0,\delta)\subset \Omega$ 上で、
$$
\frac{\partial x}{\partial \xi_j}(t,\tau,\xi)\colon (a,b)\times (\tau_0-\delta,\tau_0+\delta)\times B(\xi_0,\delta)\rightarrow\mathbb{R}^N
$$
が定義でき、これは連続である。そして任意の $(t,\tau,\xi)\in (a,b)\times (\tau_0-\delta,\tau_0+\delta)\times B(\xi_0,\delta)$ に対し、
$$
\frac{\partial y_j}{\partial t}(t,\tau,\xi,0)=A(t,\tau,\xi,0)y_j(t,\tau,\xi,0)=\frac{\partial f}{\partial x}(t,x(t,\tau,\xi))y_j(t,\tau,\xi,0)
$$
であるから、
$$
\frac{\partial }{\partial t}\frac{\partial x}{\partial \xi_j}(t,\tau,\xi)=\frac{\partial f}{\partial x}(t,x(t,\tau,\xi))\frac{\partial x}{\partial \xi_j}(t,\tau,\xi)
$$
が成り立つ。よって $(**),(***)$ は連続関数であり、$(****)$ が成り立つ。
{{end|proof}}

===定理1.11（初期値に対する解の滑らかさ）===
$J\subset \mathbb{R}$ を開区間、$D\subset \mathbb{R}^N$ を開集合、$k\in \mathbb{N}$ とする。そして連続関数
$$
f(t,x)\colon J\times D\ni (t,x)\mapsto f(t,x)\in \mathbb{R}^N
$$
が $x$ に関して $k$ 階までの偏導関数を持ち、それらが全て連続であるとする。（特に'''命題1.3'''より $f(t,x)$ は $x$ に関して局所Lipschitz連続である。）任意の $(\tau,\xi)\in J\times D$ に対し常微分方程式の初期値問題
$$
\frac{dx}{dt}=f(t,x),\quad x(\tau)=\xi
$$
の一意解を、
$$
x(\cdot,\tau,\xi)\colon I_{\tau,\xi}\ni t\mapsto x(t,\tau,\xi)\in D
$$
とおき、
$$
\Omega\colon=\{(t,\tau,\xi)\in J\times J\times D: t\in I_{\tau,\xi}\}
$$
とおく。このとき $\Omega$ は開集合であり、
$$
\Omega\ni (t,\tau,\xi)\mapsto x(t,\tau,\xi)\in D
$$
は $\xi$ に関して $k$ 階までの偏導関数を持ち、それらは全て $\Omega$ 上で連続である。
{{begin|proof}}
$k\in \mathbb{N}$ に関する帰納法で示す。$k=1$ の場合は'''定理1.10'''より成り立つ。$k-1\in \mathbb{N}$ に対して成り立つと仮定して $k$ の場合も成り立つことを示す。
$$
F(t,z)=F(t,x,y_1,\ldots,y_N)\colon J\times D\times (\mathbb{R}^N)^N\rightarrow \mathbb{R}^N\times (\mathbb{R}^N)^N,
$$
を、
$$
F(t,z)=F(t,x,y_1,\ldots,y_N)=\left(f(t,x), \frac{\partial f}{\partial x}(t,x)y_1,\ldots,\frac{\partial f}{\partial x_N}(t,x)y_N\right)
$$
と定義すると、$F$ は $z=(x,y_1,\ldots,y_N)$ に関して $k-1$ 階までの偏導関数を持ち、それらは全て連続である。そして'''定理1.10'''より任意の $(\tau,\xi)\in J\times D$ に対し、常微分方程式の初期値問題
$$
\frac{dz}{dt}=F(t,z),\quad z(\tau)=(\xi,e_1,\ldots,e_N)
$$
の一意解は、
$$
I_{\tau,\xi}\ni t\mapsto \left(x(t,\tau,\xi),\frac{\partial x}{\partial \xi_1}(t,\tau,\xi),\ldots,\frac{\partial x}{\partial \xi_N}(t,\tau,\xi)\right)\in \mathbb{R}^N\times (\mathbb{R}^N)^N
$$
である。よって帰納法の仮定より、
$$
\Omega\ni (t,\tau,\xi)\mapsto \left(x(t,\tau,\xi),\frac{\partial x}{\partial \xi_1}(t,\tau,\xi),\ldots,\frac{\partial x}{\partial \xi_N}(t,\tau,\xi)\right)\in \mathbb{R}^N\times (\mathbb{R}^N)^N
$$
は $\xi$ に関して $k-1$ 階までの偏導関数を持ち、それらは全て $\Omega$ 上で連続である。ゆえに、
$$
\Omega\ni (t,\tau,\xi)\mapsto x(t,\tau,\xi)\in D
$$
は $\xi$ に関して $k$ 階までの偏導関数を持ち、それらは全て $\Omega$ 上で連続である。
{{end|proof}}

===定理1.12（線形常微分方程式の解空間）===
$J\subset \mathbb{R}$ を開区間、$A(t)\colon J\ni t\mapsto \mathbb{M}_{N\times N}(\mathbb{R})$ を連続関数とする。このとき、
$$
\left\{x\in C^1(J,\mathbb{R}^N):\frac{d}{dt}x(t)=A(t)x(t)\right\}\quad\quad(*)
$$
は各点ごとの演算で $\mathbb{R}$ 上の $N$ 次元線形空間である。そして任意の $\tau\in J$ と任意の $j\in \{1,\ldots,N\}$ に対し、常微分方程式の初期値問題
$$
\frac{dx}{dt}=A(t)x,\quad x(\tau)=e_j
$$
の一意解を、
$$
\varphi_j(\cdot,\tau)\colon J\ni t\mapsto \varphi_j(t,\tau)\in \mathbb{R}^N
$$
とおけば、$\varphi_1(\cdot,\tau),\ldots,\varphi_N(\cdot,\tau)$ は $(*)$ の基底である。また$(*)$の任意の有限個の元 $x_1,\ldots,x_M$ と任意の $\tau\in J$ に対し、$x_1,\ldots,x_M$ が線形独立であることと $x_1(\tau),\ldots,x_M(\tau)\in \mathbb{R}^N$ が線形独立であることは同値である。
{{begin|proof}}
$(*)$ が各点ごとの演算で $\mathbb{R}$ 上の線形空間であることは自明である。任意の $\xi=(\xi_1,\ldots,\xi_N)\in \mathbb{R}^N$ に対し、
$$
J\ni t\mapsto \sum_{j=1}^{N}\xi_j\varphi_j(t,\tau)\in \mathbb{R}^N
$$
は常微分方程式の初期値問題
$$
\frac{dx}{dt}=A(t)x,\quad x(\tau)=\xi
$$
の一意解である。よって $(*)$ の任意の元は $\varphi_1(\cdot,\tau),\ldots,\varphi_N(\cdot,\tau)$ の線形結合で表せる。また $\xi=(\xi_1,\ldots,\xi_N)\in \mathbb{R}^N$ が、
$$
\sum_{j=1}^{N}\xi_j\varphi_j(\cdot,\tau)=0
$$
を満たすならば、特に $\xi=\sum_{j=1}^{N}\xi_j\varphi_j(\tau,\tau)=0$ であるから $\varphi_1(\cdot,\tau),\ldots,\varphi_N(\cdot,\tau)$ は線形独立である。よって $\varphi_1(\cdot,\tau),\ldots,\varphi_N(\cdot,\tau)$ は $(*)$ の基底である。 
$(*)$の任意の有限個の元 $x_1,\ldots,x_M$ と任意の $\tau\in \mathbb{R}$ を取る。$\xi_1,\ldots,\xi_M\in \mathbb{R}$ に対し、常微分方程式の初期値問題の解の一意性より、
$$
\sum_{j=1}^{M}\xi_jx_j(\tau)=0\quad \Leftrightarrow\quad \sum_{j=1}^{M}\xi_jx_j(t)=0\quad(\forall t\in J)
$$
であるから、$x_1,\ldots,x_M$ が線形独立であることは $x_1(\tau),\ldots,x_M(\tau)\in \mathbb{R}^N$ が線形独立であることと同値である。
{{end|proof}}

===定理1.13（$N$ 階線形常微分方程式）===
$N\in \mathbb{N}$、$J\subset \mathbb{R}$ を開区間、$a_0(t),a_1(t),\ldots,a_{N-1}(t)\colon J\rightarrow\mathbb{R}$ をそれぞれ連続関数とし、
$$
V\colon =\left\{x(t)\in C^N(J,\mathbb{R}):\sum_{k=0}^{N-1}a_k(t)x^{(k)}(t)+x^{(N)}(t)=0\right\}
$$
（ただし $x^{(k)}(t)=\frac{d^kx}{dt^k}(t)$, $x^{(0)}(t)=x(t)$ ）とおく。このとき $V$ は各点ごとの演算で $\mathbb{R}$ 上の線形空間であり、任意の $\tau\in J$、任意の $\xi=(\xi_0,\xi_1,\ldots,\xi_{N-1})\in \mathbb{R}^N$ に対し $x(t)\in V$ で、
$$
(x^{(0)}(\tau),x^{(1)}(\tau),\ldots,x^{(N-1)}(\tau))=(\xi_0,\xi_1,\ldots,\xi_{N-1})
$$
を満たすものが唯一つ存在する。そして任意の有限個の $x_1(t),\ldots,x_N(t)\in V$ と任意の $\tau\in J$ に対し、$x_1(t),\ldots,x_M(t)\in V$ が線形独立であるための必要十分条件は、$\mathbb{R}^N$ の $M$ 本のベクトル
$$
(x_j^{(0)}(\tau),x_j^{(1)}(\tau,),\ldots,x_j^{(N-1)}(\tau))\in\mathbb{R}^N\quad(j=1,\ldots,M)\quad\quad(*)
$$
が線形独立であることである。
{{begin|proof}}
$V$ が各点ごとの演算で $\mathbb{R}$ 上の線形空間であることは自明である。
$$
A(t)\colon=\begin{pmatrix}0&1&0&\cdots &0\\0&0&1&\cdots &0\\\vdots&\vdots&\ddots&\ddots&\vdots\\0&0&0&\cdots&1\\-a_0(t)&-a_1(t)&-a_2(t)&\cdots& -a_{N-1}(t)\end{pmatrix}\in \mathbb{M}_{N\times N}(\mathbb{R})\quad(\forall t\in J)
$$
とおけば $A(t)\colon J\rightarrow \mathbb{M}_{N\times N}(\mathbb{R})$ は連続関数である。そこで $\mathbb{R}$ 上の $N$ 次元線形空間（'''定理1.12'''）
$$
W\colon=\left\{y(t)\in C^1(J,\mathbb{R}^N):\frac{dy}{dt}(t)=A(t)y(t)\quad(\forall t\in J)\right\}
$$
を考える。任意の $y(t)=(y_0(t),y_1(t),\ldots,y_{N-1}(t))\in W$ に対し、$x(t)\colon=y_0(t)\colon J\rightarrow\mathbb{R}$ とおけば、
$$
x^{(1)}(t)=\frac{dy_0}{dt}(t)=y_1(t),\ldots,x^{(N-1)}(t)=\frac{dy_{N-2}}{dt}(t)=y_{N-1}(t)\quad(\forall t\in J)
$$
であり、
$$
x^{(N)}(t)=\frac{dy_{N-1}}{dt}(t)=-\sum_{k=0}^{N-1}a_k(t)y_k(t)=-\sum_{k=0}^{N-1}a_k(t)x^{(k)}(t)
\quad(\forall t\in J)
$$
であるから $x(t)\in V$ である。逆に任意の $x(t)\in V$ に対し、
$$
y(t)=(y_0(t),y_1(t),\ldots,y_{N-1}(t))=(x^{(0)}(t),x^{(1)}(t),\ldots,x^{(N-1)}(t))\quad(\forall t\in J)
$$
とおけば $y(t)\in W$ である。よって線形写像
$$
W\ni (y_0(t),y_1(t),\ldots,y_{N-1}(t))\mapsto y_0(t)\in V
$$
と線形写像
$$
V\ni x(t)\mapsto (x^{(0)}(t),x^{(1)}(t),\ldots,x^{(N-1)}(t))\in W
$$
が定義でき、これらは互いに逆写像である。ゆえに $V$ と $W$ は線形同型なので $V$ は $N$ 次元である。任意の $\tau\in J$ と任意の $\xi=(\xi_0,\xi_1,\ldots,\xi_{N-1})\in \mathbb{R}^N$ に対し、常微分方程式の初期値問題の解の存在と一意性より、 $y(t)\in W$ で $y(\tau)=\xi$ を満たすものが唯一つ存在するので、上で述べたことから、任意の $\tau\in J$ と任意の $\xi=(\xi_0,\xi_1,\ldots,\xi_{N-1})\in \mathbb{R}^N$ に対し $x(t)\in V$ で、
$$
(x^{(0)}(\tau),x^{(1)}(\tau),\ldots,x^{(N-1)}(\tau))=(\xi_0,\xi_1,\ldots,\xi_{N-1})
$$
を満たすものが唯一つ存在する。また任意の有限個の $y_1(t),\ldots,y_M(t)\in W$ と $\tau\in J$ に対し $y_1(t),\ldots,y_M(t)\in W$ が線形独立であることは、$y_1(\tau),\ldots,y_N(\tau)\in \mathbb{R}^N$ が線形独立であることと同値である。よって任意の有限個の $x_1(t),\ldots,x_M(t)\in V$　と $\tau\in J$ に対し、$x_1(t),\ldots,x_M(t)\in V$ が線形独立であることは、$(*)$ が線形独立であることと同値である。
{{end|proof}}

===定理1.14（非斉次線形常微分方程式の解）===
$J\subset \mathbb{R}$ を開区間、$A(t)\colon J\rightarrow \mathbb{M}_{N\times N}(\mathbb{R})$, $b(t)\colon J\rightarrow \mathbb{R}^N$ を連続関数とする。任意の $\tau\in J$, $j\in \{1,\ldots,N\}$ に対し、常微分方程式の初期値問題
$$
\frac{dx}{dt}=A(t)x,\quad x(\tau)=e_j
$$
の一意解を $\varphi_j(\cdot,\tau)\colon J\ni t\mapsto \varphi_j(t,\tau)\in \mathbb{R}^N$ とおき、行列の列ベクトル表記により、
$$
\Phi(t,\tau)\colon=(\varphi_1(t,\tau),\cdots,\varphi_N(t,\tau))\in \mathbb{M}_{N\times N}(\mathbb{R})\quad(\forall t\in J)
$$
とおく。このとき任意の $(\tau,\xi)\in J\times \mathbb{R}^N$ に対し、常微分方程式の初期値問題
$$
\frac{dx}{dt}=A(t)x+b(t),\quad x(\tau)=\xi\quad\quad(*)
$$
の一意解 $x(t)\colon J\rightarrow \mathbb{R}^N$ は、
$$
x(t)=\Phi(t,\tau)\xi+\int_{\tau}^{t}\Phi(t,s)b(s)ds\quad(\forall t\in J)
$$
である。
{{begin|proof}}
初期値に関する解の連続性（'''定理1.9'''）より、
$$
J\times J\ni (t,\tau)\mapsto \Phi(t,\tau)=(\varphi_1(t,\tau),\ldots,\varphi_N(t,\tau))\in \mathbb{M}_{N\times N}(\mathbb{R})
$$
は連続である。また、
$$
\frac{\partial}{\partial t}\Phi(t,\tau)=A(t)\Phi(t,\tau)\quad(\forall (t,\tau)\in J\times J),
$$
$$
\Phi(\tau,\tau)=(e_1,\ldots,e_N)=1\in \mathbb{M}_{N\times N}(\mathbb{R})
$$
である。よって任意の $\tau\in J$ を取り固定し、
$$
x_0(t)\colon=\int_{\tau}^{t}\Phi(t,s)b(s)ds\quad(\forall t\in J)
$$
とおくと、Lebesgue優収束定理より任意の $t\in J$ に対し、
$$
\begin{aligned}
\frac{x_0(t+h)-x_0(t)}{h}&=\int_{\tau}^{t+h}\frac{\Phi(t+h,s)b(s)-\Phi(t,s)b(s)}{h}ds+\frac{1}{h}\int_{t}^{t+h}\Phi(t,s)b(s)ds\\
&\rightarrow\int_{\tau}^{t}A(t)\Phi(t,s)b(s)ds+\Phi(t,t)b(t)=A(t)x_0(t)+b(t)\quad(h\rightarrow0)
\end{aligned}
$$
となるので、
$$
\frac{d}{dt}x_0(t)=A(t)x_0(t)+b(t)\quad(\forall t\in J)
$$
が成り立つ。そこで任意の $\xi\in \mathbb{R}^N$ に対し、
$$
x(t)\colon=\Phi(t,\tau)\xi+x_0(t)\quad(\forall t\in J)\quad\quad(**)
$$
とおけば、
$$
x(\tau)=\Phi(\tau,\tau)\xi+x_0(\tau)=\xi
$$
であり、
$$
\frac{d}{dt}x(t)=A(t)\Phi(t,\tau)\xi+A(t)x_0(t)+b(t)=A(t)x(t)+b(t)\quad(\forall t\in J)
$$
である。ゆえに $(**)$ は $(*)$ の一意解である。
{{end|proof}}

=== 定理1.15 (非斉次線型常微分方程式の定数変化法) ===
$N\in \mathbb{N}$、$J\subset \mathbb{R}$を開区間、$a_0(t),a_1(t),\ldots,a_{N-1}(t),b(t):J\rightarrow\mathbb{R}$をそれぞれ連続関数とし、
$$
\left\{x(t)\in C^N(J,\mathbb{R}):\sum_{k=0}^{N-1}a_k(t)x^{(k)}(t)+x^{(N)}(t)=0\right\}
$$
の基底 $x_1(t),\ldots,x_N(t)\in C^N(J,\mathbb{R})$を取る（'''定理1.13'''を参照）。そして$W(t):J\rightarrow \mathbb{M}_{N\times N}(\mathbb{R})$ を、
$$
W(t):=\begin{pmatrix}x_1(t)&x_2(t)&\cdots&x_N(t)\\
x_1^{(1)}(t)&x_2^{(1)}(t)&\cdots &x_N^{(1)}(t)\\
\vdots&\vdots&\vdots&\vdots\\
x_1^{(N-1)}(t)&x_2^{(N-1)}(t)&\cdots &x_N^{(N-1)}(t)\end{pmatrix}
$$
とおき（'''定理1.13'''より$W(t)$は各点で可逆であることに注意）、
$$
\begin{pmatrix}\xi_1(t)\\\xi_2(t)\\\vdots\\\xi_N(t)\end{pmatrix}=\int W(t)^{-1}\begin{pmatrix}0\\\vdots\\0\\b(t)\end{pmatrix}dt
$$
とおく. このとき非斉次線型常微分方程式
$$
\sum_{k=0}^{N-1}a_k(t)x^{(k)}(t)+x^{(N)}(t)=b(t)\quad\quad(*)
$$
の解として、
$$
y_0(t)=\sum_{k=1}^{N}\xi_k(t)x_k(t)
$$
が取れる。また $(*)$ の任意の解は、定数$\zeta_1,\ldots,\zeta_N\in \mathbb{R}$に対し、
$$
x(t)=\sum_{k=1}^{N}\zeta_kx_k(t)+y_0(t)
$$
と表せる。
{{begin|proof}}
$$
A(t)=
\begin{pmatrix}0&1&0&\cdots &0\\0&0&1&\cdots&0\\\vdots&\vdots&\ddots&\ddots&\vdots\\0&0&0&\cdots&1\\-a_0(t)&-a_1(t)&-a_2(t)&\cdots &-a_{N-1}(t)\end{pmatrix}\in \mathbb{M}_{N\times N}(\mathbb{R})\quad(\forall t\in J)
$$
とおけば、
$$
\begin{aligned}
&\frac{d}{dt}\left(W(t)\begin{pmatrix}\xi_1(t)\\\xi_2(t)\\\vdots\\\xi_N(t)\end{pmatrix}\right)
=W'(t)\begin{pmatrix}\xi_1(t)\\\xi_2(t)\\\vdots\\\xi_N(t)\end{pmatrix}+W(t)\begin{pmatrix}\xi_1'(t)\\\xi_2'(t)\\\vdots\\\xi_N'(t)\end{pmatrix}\\
&=A(t)W(t)\begin{pmatrix}\xi_1(t)\\\xi_2(t)\\\vdots\\\xi_N(t)\end{pmatrix}+W(t)W(t)^{-1}\begin{pmatrix}0\\\vdots\\0\\b(t)\end{pmatrix}
=A(t)W(t)\begin{pmatrix}\xi_1(t)\\\xi_2(t)\\\vdots\\\xi_N(t)\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}0\\\vdots\\0\\b(t)\end{pmatrix}
\end{aligned}
$$
となる。これは、
$$
y_0(t)=\sum_{k=1}^{N}\xi_k(t)x_k(t)
$$
が $(*)$ を満たすことを意味する。$y(t)\in C^N(J,\mathbb{R})$ を $(*)$ の任意の解とすると, $y(t)-y_0(t)$は斉次線型常微分方程式
$$
\sum_{k=0}^{N-1}a_k(t)x^{(k)}(t)+x^{(N)}(t)=0
$$
の解であるので、ある$\zeta_1,\ldots,\zeta_N\in \mathbb{R}$ が存在して、
$$
y(t)-y_0(t)=\sum_{k=1}^{N}\zeta_kx_k(t)
$$
と表せる。
{{end|proof}}

==2. Gaussの発散定理のSobolev空間版==

===定義2.1（基本的な微分作用素の記号）===
$\Omega\subset \mathbb{R}^N$ を開集合とする。勾配、発散、ラプラシアン（[[ベクトル解析3：Euclid空間内の多様体の計量]]の'''12''','''13'''を参照）を $\Omega$ 上の超関数（[[超関数の定義と基本操作]]を参照）に対して作用するように拡張する。すなわち $\Omega$ 上の任意の超関数 $u\in D'(\Omega)$ に対し $u$ の勾配を、
$$
\nabla u\colon={\rm grad}(u)\colon=(\partial_1u,\ldots,\partial_Nu)\in (D'(\Omega))^N,
$$
$u$ のラプラシアンを、
$$
\Delta u\colon=\partial_1^2u+\cdots+\partial_N^2u\in D'(\Omega)
$$
と定義する。そして任意の $u=(u_1,\ldots,u_N)\in (D'(\Omega))^N$ に対し $u$ の発散を、
$$
{\rm div}(u)\colon=\partial_1u_1+\cdots+\partial_Nu_N\in D'(\Omega)
$$
と定義する。
 
任意の $u\in D'(\Omega)$ に対し、
$$
{\rm div}\nabla u=\Delta u
$$
であることに注意する。

===定義2.2（外向き法線微分）===
$\Omega\subset \mathbb{R}^N$ を滑らかでコンパクトな境界を持つ開集合とし、$\nu=(\nu_1,\ldots,\nu_N)\colon \partial\Omega\rightarrow \mathbb{R}^N$ を外向き単位法線ベクトル場（[[ベクトル解析5：多様体の向き]]の'''21''','''22'''を参照）、$\gamma\colon H^1(\Omega)\rightarrow L^2(\partial\Omega)$ をトレース作用素（[[Sobolev空間の基本事項]]の'''37'''を参照）とする。任意の $u=(u_1,\ldots,u_N)\in (H^1(\Omega))^N$ に対し、
$$
\gamma(u)\colon =(\gamma(u_1),\ldots,\gamma(u_N))\in (L^2(\partial\Omega))^N
$$
と定義する。そして任意の $u\in H^2(\Omega)$ に対し、その勾配 $\nabla u=(\partial_1u,\ldots,\partial_Nu)\in (H^1(\Omega))^N$ を考え、
$$
\frac{\partial u}{\partial \nu}\colon=\gamma(\nabla u)\cdot \nu=\gamma(\partial_1u)\nu_1+\cdots+\gamma(\partial_Nu)\nu_N\in L^2(\partial\Omega)
$$
を定義する。$\frac{\partial u}{\partial\nu}$ を $u$ の外向き法線微分と言う。

===定理2.3（Gaussの発散定理のSobolev空間版（内部領域））===
$\Omega\subset\mathbb{R}^N$ を滑らかな境界を持つ有界開集合とし、$\nu\colon \partial\Omega\rightarrow \mathbb{R}^N$ を外向き単位法線ベクトル場（[[ベクトル解析5：多様体の向き]]の'''21''','''22'''を参照）、$\gamma\colon H^1(\Omega)\rightarrow L^2(\partial\Omega)$ をトレース作用素（[[Sobolev空間の基本事項]]の'''37'''を参照）とする。このとき、
*$(1)$　任意の $u=(u_1,\ldots,u_N)\in (H^1(\Omega))^N$ に対し、
$$
\int_{\Omega}{\rm div}(u)(x)dx=\int_{\partial\Omega}\gamma(u)(x)\cdot \nu(x)d\mu_{\partial\Omega}(x)
$$
（ただし $\mu_{\partial\Omega}$ は $\partial\Omega$ の面積測度）が成り立つ。
*$(2)$　任意の $u=(u_1,\ldots,u_N)\in (H^1(\Omega))^N$ と任意の $v\in H^1(\Omega)$ に対し、
$$
\int_{\Omega} ({\rm div}(u)(x)v(x)+u(x)\cdot \nabla u(x))dx=\int_{\partial\Omega}(\gamma(u)(x)\cdot \nu(x))\gamma(v)(x)d\mu_{\partial\Omega}(x)
$$
が成り立つ。
*$(3)$　任意の $u\in H^2(\Omega)$, $v\in H^1(\Omega)$ に対し、
$$
\int_{\Omega}(\Delta u(x)v(x)+\nabla u(x)\cdot \nabla v(x))dx=\int_{\partial\Omega}\frac{\partial u}{\partial \nu}(x)\gamma(v)(x)d\mu_{\partial\Omega}(x)
$$
が成り立つ。
*$(4)$　任意の $u,v\in H^2(\Omega)$ に対し、
$$
\int_{\Omega}(\Delta u(x)v(x)-u(x)\Delta v(x))dx=\int_{\partial\Omega}\left(\frac{\partial u}{\partial \nu}(x)\gamma(v)(x)-\gamma(u)(x)\frac{\partial v}{\partial\nu}(x)\right)d\mu_{\partial\Omega}(x)
$$
が成り立つ。
{{begin|proof}}
*$(1)$　任意の $u=(u_1,\ldots,u_N)\in (H^1(\Omega))^N$ に対しSobolevの拡張作用素の存在定理（[[Sobolev空間の基本事項]]の'''系35.2'''）より、$(D(\mathbb{R}^N)|_{\Omega})^N$ の列 $(u^{(n)})_{n\in\mathbb{N}}$ で、
$$
\lim_{n\rightarrow\infty}\lVert u-u^{(n)}\rVert_{2,1}=0\quad\quad(*)
$$
<ref>ただし $v=(v_1,\ldots,v_N)\in (H^1(\Omega))^N$ に対し $\lVert v\rVert_{2,1}=\sqrt{\sum_{j=1}^{N}\lVert v_j\rVert_{2,1}^2}$ である。</ref> を満たすものが取れる。このとき、
$$
\lim_{n\rightarrow\infty}\lVert {\rm div}(u)-{\rm div}(u^{(n)})\rVert_2=0
$$
であるから、$\Omega$ が有界であることとHölderの不等式より、
$$
\int_{\Omega}{\rm div}(u)(x)dx=\lim_{n\rightarrow\infty}\int_{\Omega}{\rm div}(u^{(n)})(x)dx
$$
が成り立つ。また $\gamma\colon H^1(\Omega)\rightarrow L^2(\partial\Omega)$ は有界線形作用素であり、$\partial\Omega$ のコンパクト性より面積測度 $\mu_{\partial\Omega}$ は有限測度であるから、$(*)$ とHölderの不等式より、
$$
\int_{\partial\Omega}\gamma(u)(x)\cdot \nu(x)d\mu_{\partial\Omega}(x)=\lim_{n\rightarrow\infty}\int_{\partial\Omega}\gamma(u^{(n)})(x)\cdot\nu(x)d\mu_{\partial\Omega}(x)
=\lim_{n\rightarrow\infty}\int_{\partial\Omega}u^{(n)}(x)\cdot\nu(x)d\mu_{\partial\Omega}(x)
$$
が成り立つ。各 $n\in \mathbb{N}$ について $u^{(n)}\in D(\mathbb{R}^N)|_{\Omega}$ に対してGaussの発散定理（[[ベクトル解析6：Stokesの定理]]の'''定理24.2'''）を適用すれば、
$$
\int_{\Omega}{\rm div}(u^{(n)})(x)dx=\int_{\partial\Omega}u^{(n)}(x)\cdot \nu(x)d\mu_{\partial\Omega}(x)
$$
となるから、
$$
\begin{aligned}
\int_{\Omega}{\rm div}(u)(x)dx&=\lim_{n\rightarrow\infty}\int_{\Omega}{\rm div}(u^{(n)})(x)dx
=\lim_{n\rightarrow\infty}\int_{\partial\Omega}u^{(n)}(x)\cdot\nu(x)d\mu_{\partial\Omega}(x)
=\int_{\partial\Omega}\gamma(u)(x)\cdot\nu(x)d\mu_{\partial\Omega}(x)
\end{aligned}
$$
を得る。
*$(2)$　任意の $u=(u_1,\ldots,u_N)\in (H^1(\Omega))^N$, $v\in H^1(\Omega)$ に対しSobolev空間の拡張作用素の存在定理（[[Sobolev空間の基本事項]]の'''系35.2'''）より、$(D(\mathbb{R}^N)|_{\Omega})^N$ の列 $(u^{(n)})_{n\in\mathbb{N}}$　と $D(\mathbb{R}^N)|_{\Omega}$の列$(v^{(n)})_{n\in \mathbb{N}}$で、
$$
\lim_{n\rightarrow\infty}\lVert u-u^{(n)}\rVert_{2,1}=0,\quad \lim_{n\rightarrow\infty}\lVert v-v^{(n)}\rVert_{2,1}=0
$$
を満たすものが取れ、Hölderの不等式より、
$$
\int_{\Omega}({\rm div}(u)(x)v(x)+u(x)\cdot\nabla v(x))dx=\lim_{n\rightarrow\infty}\int_{\Omega}({\rm div}(u^{(n)})(x)v^{(n)}(x)+u^{(n)}(x)\cdot \nabla v^{(n)}(x))dx
$$
が成り立つ。またトレース作用素 $\gamma\colon H^1(\Omega)\rightarrow L^2(\partial\Omega)$ が有界線形作用素であることから、
$$
\lim_{n\rightarrow\infty}\lVert \gamma(u)\cdot \nu-u^{(n)}\cdot \nu\rVert_2=0,\quad
\lim_{n\rightarrow\infty}\lVert \gamma(v)-v^{(n)}\rVert_2=0
$$
となるので、Hölderの不等式より、
$$
\int_{\partial\Omega}(\gamma(u)(x)\cdot\nu(x))\gamma(v)(x)d\mu_{\partial\Omega}(x)
=\lim_{n\rightarrow\infty}\int_{\partial\Omega}(u^{(n)}(x)\cdot\nu(x))v^{(n)}(x)d\mu_{\partial\Omega}(x)
$$
が成り立つ。そして各 $n\in \mathbb{N}$ について $u^{(n)}v^{(n)}\in (D(\mathbb{R}^N)|_{\Omega})^N$ に対してGaussの発散定理（[[ベクトル解析6：Stokesの定理]]の'''定理24.2'''）を適用すれば、
$$
\int_{\Omega}({\rm div}(u^{(n)})(x)v^{(n)}(x)+u^{(n)}(x)\cdot \nabla v^{(n)}(x))dx
=\int_{\Omega}{\rm div}(u^{(n)}v^{(n)})(x)dx
=\int_{\partial\Omega}(u^{(n)}(x)\cdot\nu(x))v^{(n)}(x)d\mu_{\partial\Omega}(x)
$$
となるから、
$$
\begin{aligned}
&\int_{\Omega}({\rm div}(u)(x)v(x)+u(x)\cdot \nabla v(x))dx
=\lim_{n\rightarrow\infty}\int_{\Omega}({\rm div}(u^{(n)})(x)v^{(n)}(x)+u^{(n)}(x)\cdot \nabla v^{(n)}(x))dx\\
&=\lim_{n\rightarrow\infty}\int_{\partial\Omega}(u^{(n)}(x)\cdot\nu(x))v^{(n)}(x)d\mu_{\partial\Omega}(x)
=\int_{\partial\Omega}(\gamma(u)(x)\cdot\nu(x))\gamma(v)(x)d\mu_{\partial\Omega}(x)
\end{aligned}
$$
を得る。
*$(3)$　任意の $u\in H^2(\Omega)$ に対し $\nabla u=(\partial_1u,\ldots,\partial_Nu)\in (H^1(\Omega))^N$ であるから、$\nabla u\in (H^1(\Omega))^N$ と任意の $v\in H^1(\Omega)$ に対し $(2)$ を適用すれば、
$$
\int_{\Omega}(\Delta u(x) v(x)+\nabla u(x)\cdot \nabla v(x))dx=\int_{\partial\Omega}\frac{\partial u}{\partial \nu}(x)\gamma(v)(x)d\mu_{\partial\Omega}(x)
$$
を得る。
*$(4)$　任意の $u,v\in H^2(\Omega)$ に対し $(3)$ より、
$$
\int_{\Omega}(\Delta u(x)v(x)+\nabla u(x)\cdot \nabla v(x))dx=\int_{\partial\Omega}\frac{\partial u}{\partial \nu}(x)\gamma(v)(x)d\mu_{\partial\Omega}(x),
$$
$$
\int_{\Omega}(u(x)\Delta v(x)+\nabla u(x)\cdot \nabla v(x))dx=\int_{\partial\Omega}\gamma(u)(x)\frac{\partial v}{\partial \nu}(x)d\mu_{\partial\Omega}(x)
$$
である。これらを辺々引くと、
$$
\int_{\Omega}(\Delta u(x)v(x)-u(x)\Delta v(x))dx=\int_{\partial\Omega}\left(\frac{\partial u}{\partial \nu}(x)\gamma(v)(x)-\gamma(u)(x)\frac{\partial v}{\partial \nu}(x)\right)d\mu_{\partial\Omega}(x)
$$
を得る。
{{end|proof}}

===定理2.4（Gaussの発散定理のSobolev空間版（外部領域））===
$\Omega\subset \mathbb{R}^N$ を滑らかでコンパクトな境界を持つ開集合で、$\mathbb{R}^N\backslash \Omega$ が有界であるものとする（したがって $\Omega$ は有界ではない）。そして $\nu\colon \partial\Omega\rightarrow \mathbb{R}^N$ を $\Omega$ の外向き単位法線ベクトル場（[[ベクトル解析5：多様体の向き]]の'''21''','''22'''を参照）、$\gamma\colon H^1(\Omega)\rightarrow L^2(\partial\Omega)$ をトレース作用素（[[Sobolev空間の基本事項]]の'''37'''を参照）とする。このとき、
*$(1)$　任意の $u=(u_1,\ldots,u_N)\in (H^1(\Omega))^N$ と任意の $v\in H^1(\Omega)$ に対し、
$$
\int_{\Omega} ({\rm div}(u)(x)v(x)+u(x)\cdot \nabla u(x))dx=\int_{\partial\Omega}(\gamma(u)(x)\cdot \nu(x))\gamma(v)
(x)d\mu_{\partial\Omega}(x)
$$
（ただし $\mu_{\partial\Omega}$ は $\partial\Omega$ の面積測度）が成り立つ。
*$(2)$　任意の $u\in H^2(\Omega)$, $v\in H^1(\Omega)$ に対し、
$$
\int_{\Omega}(\Delta u(x)v(x)+\nabla u(x)\cdot \nabla v(x))dx=\int_{\partial\Omega}\frac{\partial u}{\partial \nu}(x)\gamma(v)(x)d\mu_{\partial\Omega}(x)
$$
が成り立つ。
*$(3)$　任意の $u,v\in H^2(\Omega)$ に対し、
$$
\int_{\Omega}(\Delta u(x)v(x)-u(x)\Delta v(x))dx=\int_{\partial\Omega}\left(\frac{\partial u}{\partial \nu}(x)\gamma(v)(x)-\gamma(u)(x)\frac{\partial v}{\partial\nu}(x)\right)d\mu_{\partial\Omega}(x)
$$
が成り立つ。
{{begin|proof}}
*$(1)$　任意の $u=(u_1,\ldots,u_N)\in (H^1(\Omega))^N$, $v\in H^1(\Omega)$ に対しSobolevの拡張作用素の存在定理（[[Sobolev空間の基本事項]]の'''系35.2'''）より、$(D(\mathbb{R}^N)|_{\Omega})^N$ の列 $(u^{(n)})_{n\in\mathbb{N}}$ と $D(\mathbb{R}^N)|_{\Omega}$の列$(v^{(n)})_{n\in \mathbb{N}}$で、
$$
\lim_{n\rightarrow\infty}\lVert u-u^{(n)}\rVert_{2,1}=0,\quad \lim_{n\rightarrow\infty}\lVert v-v^{(n)}\rVert_{2,1}=0
$$
を満たすものが取れ、Hölderの不等式より、
$$
\int_{\Omega}({\rm div}(u)(x)v(x)+u(x)\cdot\nabla v(x))dx=\lim_{n\rightarrow\infty}\int_{\Omega}({\rm div}(u^{(n)})(x)v^{(n)}(x)+u^{(n)}(x)\cdot \nabla v^{(n)}(x))dx
$$
が成り立つ。またトレース作用素 $\gamma\colon H^1(\Omega)\rightarrow L^2(\partial\Omega)$ が有界線形作用素であることから、
$$
\lim_{n\rightarrow\infty}\lVert \gamma(u)\cdot \nu-u^{(n)}\cdot \nu\rVert_2=0,\quad
\lim_{n\rightarrow\infty}\lVert \gamma(v)-v^{(n)}\rVert_2=0
$$
となるので、Hölderの不等式より、
$$
\int_{\partial\Omega}(\gamma(u)(x)\cdot\nu(x))\gamma(v)(x)d\mu_{\partial\Omega}(x)
=\lim_{n\rightarrow\infty}\int_{\partial\Omega}(u^{(n)}(x)\cdot\nu(x))v^{(n)}(x)d\mu_{\partial\Omega}(x)
$$
が成り立つ。今、任意の $n\in \mathbb{N}$ を取り固定する。$u^{(n)}v^{(n)}\in (D(\mathbb{R}^N)|_{\Omega})^N$ の台と $\mathbb{R}^N\backslash \Omega$ は有界であるから、十分大きい $R\in (0,\infty)$ を取れば、
$$
{\rm supp}(u^{(n)}v^{(n)}),\quad \mathbb{R}^N\backslash \Omega\subset B(0,R)=\{x\in \mathbb{R}^N:\lvert x\rvert<R\}
$$
となり、$\partial\Omega$ は滑らかでコンパクトな境界であることから $\Omega\cap B(0,R)$ も滑らかでコンパクトな境界を持ち、その境界は、
$$
\partial(\Omega\cap B(0,R))=\partial\Omega\cup \partial B(0,R)
$$
である。そこで $u^{(n)}v^{(n)}\in (D(\mathbb{R}^N)|_{\Omega})^N$ に対してGaussの発散定理（[[ベクトル解析6：Stokesの定理]]の'''定理24.2'''）を適用すれば、
$$
\begin{aligned}
&\int_{\Omega}({\rm div}(u^{(n)})(x)v^{(n)}(x)+u^{(n)}(x)\cdot \nabla v^{(n)}(x))dx\\
&=\int_{\Omega}{\rm div}(u^{(n)}v^{(n)})(x)dx=\int_{\Omega\cap B(0,R)}{\rm div}(u^{(n)}v^{(n)})(x)dx\\
&=\int_{\partial\Omega}(u^{(n)}(x)\cdot \nu(x))v^{(n)}(x)d\mu_{\partial\Omega}(x)
+\int_{\partial B(0,R)}(u^{(n)}(x)\cdot \nu(x))v^{(n)}(x)d\mu_{\partial B(0,R)}(x)\\
&=\int_{\partial\Omega}(u^{(n)}(x)\cdot \nu(x))v^{(n)}(x)d\mu_{\partial\Omega}(x)
\end{aligned}
$$
を得る。ゆえに、
$$
\int_{\Omega}({\rm div}(u^{(n)})(x)v^{(n)}(x)+u^{(n)}(x)\cdot \nabla v^{(n)}(x))dx=\int_{\partial\Omega}(u^{(n)}(x)\cdot \nu(x))v^{(n)}(x)d\mu_{\partial\Omega}(x)\quad(\forall n\in \mathbb{N})
$$
が成り立つ。よって、
$$
\begin{aligned}
&\int_{\Omega}({\rm div}(u)(x)v(x)+u(x)\cdot\nabla v(x))dx=\lim_{n\rightarrow\infty}\int_{\Omega}({\rm div}(u^{(n)})(x)v^{(n)}(x)+u^{(n)}(x)\cdot \nabla v^{(n)}(x))dx\\
&=\lim_{n\rightarrow\infty}\int_{\partial\Omega}(u^{(n)}(x)\cdot \nu(x))v^{(n)}(x)d\mu_{\partial\Omega}(x)
=\int_{\partial\Omega}(\gamma(u)(x)\cdot\nu(x))\gamma(v)(x)d\mu_{\partial\Omega}(x)
\end{aligned}
$$
を得る。
*$(2)$　任意の $u\in H^2(\Omega)$ に対し $\nabla u=(\partial_1u,\ldots,\partial_Nu)\in (H^1(\Omega))^N$ であるから、$\nabla u\in (H^1(\Omega))^N$ と任意の $v\in H^1(\Omega)$ に対し $(1)$ を適用すれば、
$$
\int_{\Omega}(\Delta u(x) v(x)+\nabla u(x)\cdot \nabla v(x))dx=\int_{\partial\Omega}\frac{\partial u}{\partial \nu}(x)\gamma(v)(x)d\mu_{\partial\Omega}(x)
$$
を得る。
*$(3)$　任意の $u,v\in H^2(\Omega)$ に対し $(2)$ より、
$$
\int_{\Omega}(\Delta u(x)v(x)+\nabla u(x)\cdot \nabla v(x))dx=\int_{\partial\Omega}\frac{\partial u}{\partial \nu}(x)\gamma(v)(x)d\mu_{\partial\Omega}(x),
$$
$$
\int_{\Omega}(u(x)\Delta v(x)+\nabla u(x)\cdot \nabla v(x))dx=\int_{\partial\Omega}\gamma(u)(x)\frac{\partial v}{\partial \nu}(x)d\mu_{\partial\Omega}(x)
$$
である。これらを辺々引くと、
$$
\int_{\Omega}(\Delta u(x)v(x)-u(x)\Delta v(x))dx=\int_{\partial\Omega}\left(\frac{\partial u}{\partial \nu}(x)\gamma(v)(x)-\gamma(u)(x)\frac{\partial v}{\partial \nu}(x)\right)d\mu_{\partial\Omega}(x)
$$
を得る。
{{end|proof}}

==3. 境界条件付き一様楕円型微分作用素、楕円型正則性==

===定義3.1（一様楕円型微分作用素）===
$\Omega\subset \mathbb{R}^N$ を開集合とし、$a_{i,j},b_j\in C^\infty(\Omega)$ $(i,j\in \{1,\ldots,N\})$ を全ての偏導関数が有界な複素数値関数とする。そして、
$$
b(x)\in \mathbb{R}\quad (\forall x\in \Omega)\quad\quad(*)
$$
であり、ある正実数 $C$ に対し、
$$
\sum_{i,j=1}^{N}a_{i,j}(x)\overline{\xi_i}\xi_j\geq C\sum_{j=1}^{N}\lvert \xi_j\rvert^2=C\lvert \xi\rvert^2\quad(\forall \xi=(\xi_1,\ldots,\xi_N)\in \mathbb{C}^N, \forall x\in \Omega)\quad\quad(**)
$$
が成り立つとする。<ref> $(**)$ は任意の $x\in \Omega$ に対し $C^*$-環 $\mathbb{M}_{N\times N}(\mathbb{C})$ の自己共役部分における順序に関して $(a_{i,j}(x))_{i,j}\geq C$ が成り立つと言うことである（[[Hilbert空間上の作用素論]]の'''命題1.4'''を参照）。</ref> このとき、
$$
\mathcal{A}\colon D'(\Omega)\ni v\mapsto -\sum_{i,j=1}^{N}\partial_i(a_{i,j}\partial_jv)+bv\in D'(\Omega)\quad\quad(***)
$$
と表される線形作用素は、$\Omega$ 上の $2$ 階の一様楕円型微分作用素と呼ばれるものの一種であり、$(**)$ を一様楕円性条件と言う。以後、$\Omega$ 上の一様楕円型微分作用素と言えば、上の $(*),(**)$ の条件を満たす $(***)$ を指すこととする。

===例3.2（ラプラシアン）===
開集合 $\Omega\subset \mathbb{R}^N$ 上のラプラシアン $-\Delta\colon D'(\Omega)\rightarrow D'(\Omega)$ は $\Omega$ 上の一様楕円型微分作用素である。実際、'''定義3.1'''において $a_{i,j}(x)=\delta_{i,j}$, $b(x)=0$ $(\forall i,j\in \{1,\ldots,N\},\forall x\in \Omega)$ として得られる $\mathcal{A}$ は $-\Delta$ である。

===補題3.3（Poincaréの不等式）===
$\Omega\subset \mathbb{R}^N$ を開集合とし、ある正実数 $C$ に対し、
$$
\Omega\subset \mathbb{R}^{N-1}\times [-C,C]
$$
が成り立つとする。このとき、
$$
\lVert u\rVert_2\leq 2C\lVert \partial_Nu\rVert_2\quad(\forall u\in H^1_0(\Omega))
$$
が成り立つ。
{{begin|proof}}
任意の $u\in D(\Omega)\subset D(\mathbb{R}^N)$ に対し微積分学の基本定理とHölderの不等式より、
$$
\lvert u(x)\rvert^2=\left\lvert\int_{-C}^{x_N}\partial_Nu(x_1,\ldots,x_{N-1},t)dt\right\rvert^2\leq
2C\int_{\mathbb{R}}\lvert \partial_Nu(x_1,\ldots,x_{N-1},t)\rvert^2dt\quad(\forall x\in \mathbb{R}^N)
$$
が成り立つので、任意の $(x_1,\ldots,x_{N-1})\in \mathbb{R}^{N-1}$ に対し、
$$
\begin{aligned}
&\int_{\mathbb{R}}\lvert u(x_1,\ldots,x_{N-1},x_N)\rvert^2dx_N=\int_{-C}^{C}\lvert u(x_1,\ldots,x_{N-1},x_N)\rvert^2dx_N\\
&\leq 2C\int_{-C}^{C}\left(\int_{\mathbb{R}}\lvert \partial_Nu(x_1,\ldots,x_{N-1},t)\rvert^2dt\right)dx_N
=(2C)^2\int_{\mathbb{R}}\lvert \partial_Nu(x_1,\ldots,x_{N-1},t)\rvert^2dt\\
&=(2C)^2\int_{\mathbb{R}}\lvert\partial_Nu(x_1,\ldots,x_{N-1},x_N)\rvert^2dx_N
\end{aligned}
$$
となる。よってTonelliの定理より、
$$
\begin{aligned}
\lVert u\rVert_2^2&=\int_{\mathbb{R}^{N-1}}\left(\int_{\mathbb{R}}\lvert u(x_1,\ldots,x_{N-1},x_N)\rvert^2dx_N\right)dx_1\cdots dx_{N-1}\\
&\leq(2C)^2\int_{\mathbb{R}^{N-1}}\left(\int_{\mathbb{R}}\lvert\partial_Nu(x_1,\ldots,x_{N-1},x_N)\rvert^2dx_N\right)dx_1\cdots dx_{N-1}\\
&=(2C)^2\lVert \partial_Nu\rVert_2^2
\end{aligned}
$$
が成り立つ。ゆえに、
$$
\lVert u\rVert_2\leq 2C\lVert \partial_Nu\rVert_2\quad(\forall u\in D(\Omega))
$$
が成り立つ。$H^1_0(\Omega)=\overline{D(\Omega)}^{\lVert \cdot\rVert_{2,1}}$ であるから、任意の $u\in H^1_0(\Omega)$ に対し $D(\Omega)$ の列 $(u_n)_{n\in \mathbb{N}}$ で $\lim_{n\rightarrow\infty}\lVert u-u_n\rVert_{2,1}=0$ を満たすものが取れるので、
$$
\lVert u\rVert_{2}=\lim_{n\rightarrow\infty}\lVert u_n\rVert_2\leq 2C\lim_{n\rightarrow\infty}\lVert \partial_Nu_n\rVert_2=2C\lVert \partial_Nu\rVert_2
$$
が成り立つ。
{{end|proof}}

===定理3.4（Lax-Milgramの定理）===
$\Omega\subset \mathbb{R}^N$ を開集合、
$$
\mathcal{A}\colon D'(\Omega)\ni v\mapsto -\sum_{i,j=1}^N\partial_i(a_{i,j}\partial_jv)+bv\in D'(\Omega)
$$
を一様楕円型微分作用素（'''定義3.1'''）とし、
$$
p_{\mathcal{A}}(u,v)\colon=\sum_{i,j=1}^{N}\int_{\Omega}a_{i,j}(x)\overline{\partial_iu(x)}\partial_jv(x)dx
+\int_{\Omega}b(x)\overline{u(x)}v(x)dx\quad(\forall u,v\in H^1(\Omega))
$$
とおく。そして $H^1_0(\Omega)\subset \mathcal{V}\subset H^1(\Omega)$ を満たす $H^1(\Omega)$ の閉部分空間 $\mathcal{V}$ に対し、
$$
D(A)\colon=\{v\in \mathcal{V}: \mathcal{A}v\in L^2(\Omega),p_{\mathcal{A}}(u,v)=(u\mid \mathcal{A}v)_2\text{ }(\forall u\in \mathcal{V})\},
$$
$$
A\colon D(A)\ni v\mapsto \mathcal{A}v\in L^2(\Omega)
$$
とおく。また、
$$
\lambda_0\colon=\inf_{x\in\Omega}b(x)\in \mathbb{R}
$$
とおく。このとき、
*$(1)$　$A\colon D(A)\rightarrow L^2(\Omega)$ はHilbert空間 $L^2(\Omega)$ 上の下に有界な自己共役作用素（[[Hilbert空間上の作用素論]]の'''定義4.1'''と'''定義14.7'''）であり、$A$ のスペクトル $\sigma(A)$ は $\sigma(A)\subset [\lambda_0,\infty)$ を満たす。また任意の $\lambda\in (-\infty,\lambda_0)$ に対し、
$$
(A-\lambda)^{-1}\in \mathbb{B}(L^2(\Omega),\mathcal{V})\subset \mathbb{B}(L^2(\Omega))
$$
が成り立つ。
*$(2)$　$\Omega\subset \mathbb{R}^N$ が有界で $\mathcal{V}=H^1_0(\Omega)$ ならば $\sigma(A)\subset (\lambda_0,\infty)$ であり、
$$
(A-\lambda_0)^{-1}\in \mathbb{B}(L^2(\Omega),H^1_0(\Omega))\subset \mathbb{B}(L^2(\Omega))
$$
が成り立つ。
*$(3)$　$\Omega\subset \mathbb{R}^N$ は有界開集合であるとし、$\Omega$ が滑らかな境界を持つか $\mathcal{V}=H^1_0(\Omega)$ のいずれかであるとすると、Hilbert空間 $L^2(\Omega)$ 上の自己共役作用素 $A\colon D(A)\rightarrow L^2(\Omega)$ のスペクトルは純粋に離散的（[[Hilbert空間上の作用素論]]の'''定義14.3'''）である。
*$(4)$　$\lambda_0\geq0$ ならば $A\colon D(A)\rightarrow L^2(\Omega)$ はHilbert空間 $L^2(\Omega)$ 上の非負自己共役作用素であり、
$$
\mathcal{V}=D(\sqrt{A}),\quad p_{\mathcal{A}}(u,v)=(\sqrt{A}u\mid \sqrt{A}v)_2\quad(\forall u,v\in \mathcal{V})
$$
が成り立つ。
{{begin|proof}}
*$(1)$　任意の $\lambda\in (-\infty,\lambda_0)$ を取り固定する。
$$
p_{\mathcal{A}-\lambda}(u,v)=p_{\mathcal{A}}(u,v)-\lambda(u\mid v)_2\quad(\forall u,v\in \mathcal{V})
$$
とおくと、一様楕円性条件よりある正実数 $C$ が存在し、
$$
\begin{aligned}
p_{\mathcal{A}-\lambda}(v,v)&=\sum_{i,j=1}^{N}\int_{\Omega}a_{i,j}(x)\overline{\partial_iv(x)}\partial_jv(x)dx+\int_{\Omega}(b(x)-\lambda)\lvert v(x)\rvert^2dx\\
&\geq C\sum_{j=1}^{N}\lVert \partial_jv\rVert_2^2+(\lambda_0-\lambda)\lVert v\rVert_2^2\geq C'\lVert v\rVert_{2,1}^2
\quad(\forall v\in \mathcal{V})\quad\quad(*)
\end{aligned}
$$
が成り立つ（ただし $C'\colon={\rm min}(C,\lambda_0-\lambda)>0$とおいた）。また $a_{i,j},b$ の有界性より、
$$
p_{\mathcal{A}-\lambda}\colon \mathcal{V}\times \mathcal{V}\ni (u,v)\mapsto p_{\mathcal{A}-\lambda}(u,v)\in \mathbb{C}
$$
はHilbert空間 $(\mathcal{V},(\cdot\mid \cdot)_{2,1})$ 上の有界準双線形汎関数であるから、[[位相線形空間1：ノルムと内積]]の'''定理7.1'''より $T\in \mathbb{B}(\mathcal{V})$ で、
$$
p_{\mathcal{A}-\lambda}(u,v)=(u\mid Tv)_{2,1}\quad(\forall u,v\in \mathcal{V})
$$
を満たすものが定まる。$(*)$ と[[Hilbert空間上の作用素論]]の'''命題1.3'''と'''命題1.4'''より $T^{-1}\in \mathbb{B}(\mathcal{V})$ が存在し、$T,T^{-1}\in \mathbb{B}(\mathcal{V})$ は $\mathcal{V}$ 上の有界非負自己共役作用素である。今、任意の $f\in L^2(\Omega)$ に対し、
$$
\mathcal{V}\ni u\mapsto (f\mid u)_2\in \mathbb{C}
$$
はHilbert空間 $(\mathcal{V},(\cdot\mid\cdot)_{2,1})$ 上の有界線形汎関数であるから、Rieszの表現定理より $Rf\in \mathcal{V}$ で、
$$
(Rf\mid u)_{2,1}=(f\mid u)_2\quad(\forall u\in \mathcal{V})
$$
を満たすものが定まる。こうして線形作用素 $R\colon L^2(\Omega)\ni f\mapsto Rf\in \mathcal{V}$ で、
$$
(Rf\mid u)_{2,1}=(f\mid u)_{2}\quad(\forall f\in L^2(\Omega),\forall u\in \mathcal{V})
$$
なるものが定義でき、
$$
\lVert Rf\rVert_{2,1}^2=(Rf\mid Rf)_{2,1}=(f\mid Rf)_2\leq\lVert f\rVert_2\lVert Rf\rVert_2\leq \lVert f\rVert_2\lVert Rf\rVert_{2,1}\quad(\forall f\in L^2(\Omega))
$$
より $R\in \mathbb{B}(L^2(\Omega),\mathcal{V})$ である。
$$
(u\mid f)_2=(u\mid Rf)_{2,1}=(u\mid TT^{-1}Rf)_{2,1}=p_{\mathcal{A}-\lambda}(u,T^{-1}Rf)\quad(\forall f\in L^2(\Omega),\forall u\in \mathcal{V})\quad\quad(**)
$$
であり、$D(\Omega)\subset H^1_0(\Omega)\subset \mathcal{V}$ であるから、$D'(\Omega)$ において、
$$
f=(\mathcal{A}-\lambda)T^{-1}Rf\quad(\forall f\in L^2(\Omega))
$$
が成り立つ。よって、
$$
\mathcal{A}T^{-1}Rf=f+\lambda T^{-1}Rf\in L^2(\Omega)\quad(\forall f\in L^2(\Omega))
$$
である。また $(**)$ より、
$$
\begin{aligned}
(u\mid \mathcal{A}T^{-1}Rf)_2&=(u\mid f)_2+\lambda(u\mid T^{-1}Rf)_2
=p_{\mathcal{A}-\lambda}(u,T^{-1}Rf)+\lambda(u\mid T^{-1}Rf)_2\\
&=p_{\cal A}(u,T^{-1}Rf)\quad(\forall f\in L^2(\Omega),\forall u\in \mathcal{V})
\end{aligned}
$$
である。これより、
$$
T^{-1}Rf\in D(A),\quad (A-\lambda)T^{-1}Rf=f\quad(\forall f\in L^2(\Omega))
$$
が成り立つ。また任意の $v\in D(A)$ に対し、
$$
\begin{aligned}
p_{\mathcal{A}-\lambda}(u,v)&=p_{\mathcal{A}}(u,v)-\lambda(u\mid v)_2=(u\mid Av)_2-\lambda(u\mid v)_2
=(u\mid (A-\lambda)v)_2
=(u\mid R(A-\lambda)v)_{2,1}\\
&=(u\mid TT^{-1}R(A-\lambda)v)_{2,1}=p_{\mathcal{A}-\lambda}(u,T^{-1}R(A-\lambda)v)\quad(\forall u\in \mathcal{V})
\end{aligned}
$$
であるから、$(*)$ より、
$$
v=T^{-1}R(A-\lambda)v\quad(\forall v\in D(A))
$$
が成り立つ。よって $A-\lambda\colon D(A)\rightarrow L^2(\Omega)$ は全単射であり、
$$
(A-\lambda)^{-1}=T^{-1}R\in \mathbb{B}(L^2(\Omega),\mathcal{V})\subset \mathbb{B}(L^2(\Omega))
$$
が成り立つ。$T\in \mathbb{B}(\mathcal{V})$ は $(\mathcal{V},(\cdot\mid \cdot)_{2,1})$ 上の非負自己共役作用素であるから、
$$
(f\mid (A-\lambda)^{-1}f)_2=(f\mid T^{-1}Rf)_2=(Rf\mid T^{-1}Rf)_{2,1}\geq0\quad(\forall f\in L^2(\Omega))
$$
である。よって $(A-\lambda)^{-1}\in \mathbb{B}(L^2(\Omega))$ は $L^2(\Omega)$ 上の非負自己共役作用素であるので、$A-\lambda\colon D(A)\rightarrow L^2(\Omega)$ も $L^2(\Omega)$ 上の非負自己共役作用素である。以上より $A\colon D(A)\rightarrow L^2(\Omega)$ はHilbert空間 $L^2(\Omega)$ 上の下に有界な自己共役作用素であり、$\sigma(A)\subset [\lambda_0,\infty)$ を満たし、任意の $\lambda\in (-\infty,\lambda_0)$ に対し $(A-\lambda)^{-1}\in \mathbb{B}(L^2(\Omega),\mathcal{V})$ が成り立つ。
*$(2)$　
$$
p_{\mathcal{A}-\lambda_0}(u,v)\colon=p_{\mathcal{A}}(u,v)-\lambda_0(u\mid v)_2\quad(\forall u,v\in H^1_0(\Omega))
$$
とおくと、一様楕円性条件よりある正実数 $C$ が存在し、
$$
\begin{aligned}
p_{\mathcal{A}-\lambda_0}(v,v)&=\sum_{i,j=1}^{N}\int_{\Omega}a_{i,j}(x)\overline{\partial_iv(x)}\partial_jv(x)dx+\int_{\Omega}(b(x)-\lambda_0)\lvert v(x)\rvert^2dx\\
&\geq \sum_{i,j=1}^{N}\int_{\Omega}a_{i,j}(x)\overline{\partial_iv(x)}\partial_jv(x)dx\geq
C\sum_{j=1}^{N}\lVert \partial_jv\rVert_2^2\quad(\forall v\in H^1_0(\Omega))
\end{aligned}
$$
が成り立つ。ここでPoincaréの不等式（'''補題3.3'''）よりある正実数 $C'$ が存在し、
$$
C\sum_{j=1}^{N}\lVert \partial_jv\rVert_2^2\geq C'\left(\sum_{j=1}^{N}\lVert \partial_jv\rVert_2^2+\lVert v\rVert_2^2\right)=C'\lVert v\rVert_{2,1}^2\quad(\forall v\in H^1_0(\Omega))
$$
が成り立つ。後は $(1)$ の証明と全く同様にして $A-\lambda_0\colon D(A)\rightarrow L^2(\Omega)$ が全単射であり、$(A-\lambda_0)^{-1}\in \mathbb{B}(L^2(\Omega),H^1_0(\Omega))$ が成り立つことを示せる。
*$(3)$　任意の $\lambda\in (-\infty,\lambda_0)$ を取る。$(1)$ より $(A-\lambda)^{-1}\in \mathbb{B}(L^2(\Omega),\mathcal{V})$ であるから、
$$
(L^2(\Omega))_1\colon=\{v\in L^2(\Omega):\lVert v\rVert_2\leq 1\}
$$
の任意の列 $(v_n)_{n\in\mathbb{N}}$ に対し $((A-\lambda)^{-1}v_n)_{n\in\mathbb{N}}$ は $\mathcal{V}$ の有界列である。よってRellich-Kondrachovの定理（[[Sobolev空間の基本事項]]の'''定理39.4'''と'''命題39.5'''）より $((A-\lambda)^{-1}v_n)_{n\in \mathbb{N}}$ は $L^2(\Omega)$ のノルムで収束する部分列を持つ。ゆえに $(A-\lambda)^{-1}((L^2(\Omega))_1)$ は $L^2(\Omega)$ のノルムで（点列）コンパクトであるから、[[Hilbert空間上の作用素論]]の'''定理13.10'''より $(A-\lambda)^{-1}\in \mathbb{B}(L^2(\Omega))$ は $L^2(\Omega)$ 上のコンパクト作用素である。ゆえに[[Hilbert空間上の作用素論]]の'''命題14.5'''より、$L^2(\Omega)$ 上の自己共役作用素 $A\colon D(A)\rightarrow L^2(\Omega)$ のスペクトルは純粋に離散的である。
*$(4)$　$(1)$ より $\sigma(A)\subset [\lambda_0,\infty)\subset [0,\infty)$ であるから $A\colon D(A)\rightarrow L^2(\Omega)$ は非負自己共役作用素である。$(1)$ における $T\in \mathbb{B}(\mathcal{V})$ と $R\in \mathbb{B}(L^2(\Omega),\mathcal{V})$ を考えると、
$$
D(A)={\rm Ran}((A-\lambda)^{-1})=T^{-1}R(L^2(\Omega))
$$
である。
$$
(u\mid Rf)_{2,1}=(u\mid f)_2\quad(\forall u\in \mathcal{V},\forall f\in L^2(\Omega))
$$
であるから、$R(L^2(\Omega))\subset \mathcal{V}$ のHilbert空間 $(\mathcal{V},(\cdot\mid\cdot)_{2,1})$ における直交補空間は $\{0\}$ である。よって $R(L^2(\Omega))$ は $(\mathcal{V},(\cdot\mid\cdot)_{2,1})$ において稠密であるから、$T^{-1}\in \mathbb{B}(\mathcal{V})$ より $D(A)=T^{-1}R(L^2(\Omega))$ も $(\mathcal{V},(\cdot\mid\cdot)_{2,1})$ において稠密である。ゆえに任意の $u,v\in \mathcal{V}$ に対し $D(A)$ の列 $(u_n)_{n\in \mathbb{N}}, (v_n)_{n\in \mathbb{N}}$ で、
$$
\lim_{n\rightarrow\infty}\lVert u-u_n\rVert_{2,1}=0,\quad \lim_{n\rightarrow\infty}\lVert v-v_n\rVert_{2,1}=0
$$
を満たすものが取れる。$p_{\mathcal{A}}\colon \mathcal{V}\times \mathcal{V}\rightarrow\mathbb{C}$ は有界準双線形汎関数であるから、
$$
\lVert \sqrt{A}u_n-\sqrt{A}u_m\rVert_2^2=(u_n-u_m\mid A(u_n-u_m))_2=p_{\mathcal{A}}(u_n-u_m,u_n-u_m)\rightarrow0\quad(n,m\rightarrow\infty)
$$
となり、$\sqrt{A}$ がHilbert空間 $L^2(\Omega)$ 上の閉線形作用素であることから、
$$
u\in D(\sqrt{A}),\quad \lim_{n\rightarrow\infty}\lVert \sqrt{A}u_n-\sqrt{A}u\rVert_2=0
$$
が成り立つ。同様に、
$$
v\in D(\sqrt{A}),\quad \lim_{n\rightarrow\infty}\lVert \sqrt{A}v_n-\sqrt{A}v\rVert_2=0
$$
も成り立つので、$p_{\mathcal{A}}\colon \mathcal{V}\times \mathcal{V}\rightarrow\mathbb{C}$ の有界準双線形性より、
$$
p_{\mathcal{A}}(u,v)=\lim_{n\rightarrow\infty}p_{\mathcal{A}}(u_n,v_n)=\lim_{n\rightarrow\infty}(u_n\mid Av_n)_2
=\lim_{n\rightarrow\infty}(\sqrt{A}u_n\mid \sqrt{A}v_n)_2=(\sqrt{A}u\mid \sqrt{A}v)_2
$$
が成り立つ。以上で、
$$
\mathcal{V}\subset D(\sqrt{A}),\quad p_{\mathcal{A}}(u,v)=(\sqrt{A}u\mid \sqrt{A}v)_2\quad(\forall u,v\in \mathcal{V})
$$
が示された。後は $D(\sqrt{A})\subset \mathcal{V}$ を示せばよい。任意の $u\in D(\sqrt{A})$ を取る。[[Hilbert空間上の作用素論]]の'''定理3.10'''より $D(A)$ は $\sqrt{A}$ の芯であるから、$D(A)$ の列 $(u_n)_{n\in \mathbb{N}}$ で、
$$
\lim_{n\rightarrow\infty}\lVert u-u_n\rVert_2=0,\quad \lim_{n\rightarrow\infty}\lVert \sqrt{A}u-\sqrt{A}u_n\rVert_2=0
$$
を満たすものが取れる。ここで一様楕円性条件よりある正実数 $C$ に対し、
$$
\lVert \sqrt{A}u_n-\sqrt{A}u_m\rVert_2^2=p_{\mathcal{A}}(u_n-u_m,u_n-u_m)\geq C\lVert \nabla(u_n-u_m)\rVert_{2}^2\quad(\forall n,m\in \mathbb{N})
$$
となるので、
$$
\lVert u_n-u_m\rVert_{2,1}^2=\lVert u_n-u_m\rVert_2^2+\lVert \nabla(u_n-u_m)\rVert_2^2\rightarrow0\quad(n,m\rightarrow\infty)
$$
が成り立つ。よって $(u_n)_{n\in \mathbb{N}}$ はHilbert空間 $(\mathcal{V},(\cdot\mid\cdot)_{2,1})$ において収束するので $u\in \mathcal{V}$ である。ゆえに $D(\sqrt{A})\subset \mathcal{V}$ が成り立つ。
{{end|proof}}

===定義3.5（差分商）===
任意の $h\in \mathbb{R}\backslash\{0\}$, $j\in \{1,\ldots,N\}$, $u\colon \mathbb{R}^N\rightarrow \mathbb{C}$ に対し、
$$
\tau_{j,h}u\colon \mathbb{R}^N\rightarrow\mathbb{C},\quad \partial_{j,h}u\colon \mathbb{R}^N\rightarrow\mathbb{C}
$$
を、
$$
\tau_{j,h}u(x)\colon=u(x+he_j),\quad \partial_{j,h}u(x)\colon=\frac{1}{h}(u(x+he_j)-u(x))\quad(\forall x\in \mathbb{R}^N)
$$
と定義する（ただし $(e_1,\ldots,e_N)$ は $\mathbb{R}^N$ の標準基底である）。また任意の多重指数 $\alpha\in \mathbb{Z}_+^N$ と任意の $h\in \mathbb{R}\backslash \{0\}$, $u\colon \mathbb{R}^N\rightarrow\mathbb{C}$ に対し、
$$
\tau_{h}^{\alpha}u\colon=\tau_{1,h}^{\alpha_1}\cdots\tau_{N,h}^{\alpha_N}u,\quad
\partial_h^{\alpha}u\colon=\partial_{1,h}^{\alpha_1}\cdots\partial_{N,h}^{\alpha_N}u
$$
と定義する。

===命題3.6（差分商に関するLeibnizルール）===
任意の $u,v\colon \mathbb{R}^N\rightarrow\mathbb{C}$、任意の多重指数 $\alpha\in \mathbb{Z}_+^N$、任意の $h\in \mathbb{R}\backslash\{0\}$ に対し、
$$
\partial_{h}^{\alpha}(uv)=\sum_{\beta\leq\alpha}\begin{pmatrix}\alpha\\\beta\end{pmatrix}(\partial_h^{\beta}u)(\tau_h^{\beta}\partial_{h}^{\alpha-\beta}v)
$$
が成り立つ。
{{begin|proof}}
任意の $j\in \{1,\ldots,N\}$ を取り固定する。任意の $n\in \mathbb{Z}_+$ に対し、
$$
\partial_{j,h}^n(uv)=\sum_{k=0}^{n}\begin{pmatrix}n\\k\end{pmatrix}(\partial_{j,h}^{k}u)(\tau_{j,h}^{k}\partial_{j,h}^{n-k}v)\quad\quad(*)
$$
が成り立つことを帰納法により示す。$n=0,1$ の場合に成り立つことは明らかである。$(*)$ がある $n\in \mathbb{N}$ について成り立つと仮定する。
$$
\begin{pmatrix}n\\k-1\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}n\\k\end{pmatrix}
=\frac{n!}{(k-1)!(n+1-k)!}+\frac{n!}{k!(n-k)!}=\frac{(n+1)!}{k!(n+1-k)!}=\begin{pmatrix}n+1\\k\end{pmatrix}
$$
であるから、
$$
\begin{aligned}
\partial_{j,h}^{n+1}(uv)&=\partial_{j,h}\partial_{j,h}^n(uv)=\partial_{j,h}\sum_{k=0}^{n}\begin{pmatrix}n\\k\end{pmatrix}(\partial_{j,h}^{k}u)(\tau_{j,h}^{k}\partial_{j,h}^{n-k}v)\\
&=\sum_{k=0}^{n}\begin{pmatrix}n\\k\end{pmatrix}(\partial_{j,h}^{k+1}u)(\tau_{j,h}^{k+1}\partial_{j,h}^{n-k}v)+\sum_{k=0}^{n}\begin{pmatrix}n\\k\end{pmatrix}(\partial_{j,h}^ku)(\tau_{j,h}\partial_{j,h}^{n+1-k}v)\\
&=(\partial_{j,h}^{n+1}u)(\tau_{j,h}^{n+1}v)+u(\partial_{j,h}^{n+1}v)+\sum_{k=1}^{n}\left(\begin{pmatrix}n\\k-1\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}n\\k\end{pmatrix}\right)
(\partial_{j,h}^{k}u)(\tau_{j,h}^k\partial_{j,h}^{n+1-k}v)\\
&=\sum_{k=0}^{n+1}\begin{pmatrix}n+1\\k\end{pmatrix}(\partial_{j,h}^{k}u)(\tau_{j,h}^k\partial_{j,h}^{n+1-k}v)
\end{aligned}
$$
となる。よって $(*)$ は $n+1$ の場合も成り立つので、帰納法より $(*)$ は任意の $n\in\mathbb{Z}_+$ に対して成り立つ。これより、
$$
\begin{aligned}
\partial_{h}^{\alpha}(uv)&=\partial_{1,h}^{\alpha_1}\cdots\partial_{N,h}^{\alpha_N}(uv)
=\partial_{1,h}^{\alpha_1}\cdots\partial_{N-1,h}^{\alpha_{N-1}}\sum_{\beta_N\leq \alpha_N}\begin{pmatrix}\alpha_N\\\beta_N\end{pmatrix}(\partial_{N,h}^{\beta_N}u)(\tau_{N,h}^{\beta_N}\partial_{N,h}^{\alpha_N-\beta_N}v)\\
&=\cdots=\sum_{\beta\leq \alpha}\begin{pmatrix}\alpha\\\beta\end{pmatrix}(\partial_h^{\beta}u)(\tau_h^{\beta}\partial_h^{\alpha-\beta}v)
\end{aligned}
$$
となる。
{{end|proof}}

===補題3.7===
任意の $u,v\in L^2(\mathbb{R}^N)$、任意の $h\in \mathbb{R}\backslash \{0\}$、任意の $j\in\{1,\ldots,N\}$ に対し、
$$
\int_{\mathbb{R}^N}\partial_{j,h}u(x)v(x)dx=-\int_{\mathbb{R}^N}u(x)\partial_{j,-h}v(x)dx
$$
が成り立つ。
{{begin|proof}}
Lebesgue測度の平行移動不変性より、
$$
\begin{aligned}
\int_{\mathbb{R}^N}\partial_{j,h}u(x)v(x)dx
&=\int_{\mathbb{R}^N}\frac{u(x+he_j)-u(x)}{h}v(x)dx=-\int_{\mathbb{R}^N}u(x)\frac{v(x-he_j)-v(x)}{-h}dx\\
&=-\int_{\mathbb{R}^N}u(x)\partial_{j,-h}v(x)dx.
\end{aligned}
$$
{{end|proof}}

===補題3.8===
$u\in L^2(\mathbb{R}^N)$ とする。
*$(1)$　ある $m\in \mathbb{N}$ に対し $u\in H^m(\mathbb{R}^N)$ ならば、$\lvert\alpha\rvert\leq m$ を満たす任意の $\alpha\in \mathbb{Z}_+^N$ に対し、
$$
\lVert \partial_h^{\alpha}u\rVert_2\leq \lVert \partial^{\alpha}u\rVert_2\quad(\forall h\in\mathbb{R}\backslash \{0\})
$$
が成り立つ。
*$(2)$　ある多重指数 $\alpha\in \mathbb{Z}_+^N$ に対し、$C\in [0,\infty)$ と $\delta\in (0,\infty)$ が存在し、
$$
\lVert \partial_h^{\alpha}u\rVert_2\leq C\quad(\forall h\in \mathbb{R}:0<\lvert h\rvert<\delta)
$$
が成り立つならば、$\partial^{\alpha}u\in L^2(\mathbb{R}^N), \lVert \partial^{\alpha}u\rVert_2\leq C$ が成り立つ。
{{begin|proof}}
*$(1)$　$\lvert \alpha\rvert\leq m$ なる多重指数 $\alpha\in \mathbb{Z}_+^N$ を取り、
$$
\partial^{\alpha}=\partial_{j_1}\cdots\partial_{j_{\lvert\alpha\rvert}}
$$
なる $j_1,\ldots,j_{\lvert\alpha\rvert}\in \{1,\ldots,N\}$ を取る。このとき任意の $h\in \mathbb{R}\backslash \{0\}$ と任意の $\varphi\in D(\mathbb{R}^N)$ に対し微積分学の基本定理より、
$$
\partial_{-h}^{\alpha}\varphi(x)=\partial_{j_1,-h}\cdots\partial_{j_{\lvert\alpha\rvert},-h}\varphi(x)
=\int_{[0,1]^{\lvert\alpha\rvert}}\partial^{\alpha}\varphi\left(x-\sum_{k=1}^{\lvert\alpha\rvert}t_khe_{j_k}\right)dt_{1}\cdots dt_{\lvert\alpha\rvert}\quad(\forall x\in \mathbb{R}^N)
$$
と表せるから、'''補題3.7'''とFubiniの定理より、
$$
\begin{aligned}
&\left\lvert\int_{\mathbb{R}^N}\partial_h^{\alpha}u(x)\varphi(x)dx\right\rvert=\left\lvert \int_{\mathbb{R}^N}u(x)\partial_{-h}^{\alpha}\varphi(x)dx\right\rvert\\
&=\left\lvert\int_{\mathbb{R}^N}u(x)\left(\int_{[0,1]^{\lvert\alpha\rvert}}\partial^{\alpha}\varphi\left(x-\sum_{k=1}^{\lvert\alpha\rvert}t_khe_{j_k}\right)dt_{1}\cdots dt_{\lvert\alpha\rvert}\right)dx\right\rvert\\
&=\left\lvert \int_{[0,1]^{\lvert\alpha\rvert}}\left(\int_{\mathbb{R}^N}u(x)\partial^{\alpha}\varphi\left(x-\sum_{k=1}^{\lvert\alpha\rvert}t_khe_{j_k}\right)dx\right)dt_1\cdots dt_{\lvert\alpha\rvert}\right\rvert\\
&=\left\lvert \int_{[0,1]^{\lvert\alpha\rvert}}\left(\int_{\mathbb{R}^N}\partial^{\alpha}u(x)\varphi\left(x-\sum_{k=1}^{\lvert\alpha\rvert}t_khe_{j_k}\right)dx\right)dt_1\cdots dt_{\lvert\alpha\rvert}\right\rvert\\
&\leq \lVert \partial^{\alpha}u\rVert_2\lVert\varphi\rVert_2\quad(\forall h\in \mathbb{R}\backslash \{0\},\forall \varphi\in D(\mathbb{R}^N))\quad\quad(*)
\end{aligned}
$$
となる。そしてRieszの定理と $D(\mathbb{R}^N)$ の $L^2(\mathbb{R}^N)$ における稠密性より、
$$
\lVert \partial^{\alpha}_hu\rVert_2=\sup\left\{\left\lvert\int_{\mathbb{R}^N}\partial_h^{\alpha}u(x)\varphi(x)dx\right\rvert:\varphi\in D(\mathbb{R}^N),\lVert \varphi\rVert_2\leq1\right\}\leq \lVert\partial^{\alpha}u\rVert_2
$$
が成り立つ。
*$(2)$　任意の $\varphi\in D(\mathbb{R}^N)$ に対し'''補題3.7'''と $(*)$、Lebesgue優収束定理より、
$$
\begin{aligned}
&\left\lvert \int_{\mathbb{R}^N}\partial_h^{\alpha}u(x)\varphi(x)dx\right\rvert=\left\lvert\int_{\mathbb{R}^N}u(x)\partial_{-h}^{\alpha}\varphi(x)dx\right\rvert\\
&=\left\lvert\int_{\mathbb{R}^N}u(x)\left(\int_{[0,1]^{\lvert\alpha\rvert}}\partial^{\alpha}\varphi\left(x-\sum_{k=1}^{\lvert\alpha\rvert}t_khe_{j_k}\right)dt_{1}\cdots dt_{\lvert\alpha\rvert}\right)dx\right\rvert\\
&\rightarrow \left\lvert\int_{\mathbb{R}^N}u(x)\partial^{\alpha}\varphi(x)dx\right\rvert\quad(\lvert h\rvert\rightarrow0)
\end{aligned}
$$
となる。よって仮定より、
$$
\left\lvert\int_{\mathbb{R}^N}u(x)\partial^{\alpha}\varphi(x)dx\right\rvert
=\lim_{\lvert h\rvert\rightarrow0}\left\lvert \int_{\mathbb{R}^N}\partial_h^{\alpha}u(x)\varphi(x)dx\right\rvert\leq C\lVert \varphi\rVert_2\quad(\forall \varphi\in D(\mathbb{R}^N))
$$
であるから、
$$
(D(\mathbb{R}^N),\lVert \cdot\rVert_2)\ni \varphi\mapsto (-1)^{\lvert\alpha\rvert}\int_{\mathbb{R}^N}u(x)\partial^{\alpha}\varphi(x)dx\in \mathbb{C}
$$
はノルムが $C$ 以下の有界線形汎関数である。$D(\mathbb{R}^N)$ の $L^2(\mathbb{R}^N)$ における稠密性よりこれはHilbert空間 $L^2(\mathbb{R}^N)$ 上のノルムが $C$ 以下の有界線形汎関数に一意拡張できるので、Rieszの定理より $f\in L^2(\mathbb{R}^N)$ で、
$$
(-1)^{\lvert\alpha\rvert}\int_{\mathbb{R}^N}u(x)\partial^{\alpha}\varphi(x)dx=
\int_{\mathbb{R}^N}f(x)\varphi(x)dx\quad(\forall \varphi\in D(\mathbb{R}^N)),\quad
\lVert f\rVert_2\leq C
$$
を満たすものが定まる。よって $\partial^{\alpha}u=f\in L^2(\mathbb{R}^N)$ であり、$\lVert \partial^{\alpha}u\rVert_2=\lVert f\rVert_2\leq C$ である。
{{end|proof}}

===定理3.9（全空間上の一様楕円型微分作用素の基本的性質）===
$\mathbb{R}^N$ 上の一様楕円型微分作用素（'''定義3.1'''）
$$
\mathcal{A}\colon D'(\mathbb{R}^N)\ni v\mapsto -\sum_{i,j=1}^{N}\partial_i(a_{i,j}\partial_jv)+bv\in D'(\mathbb{R}^N)
$$
に対し、
$$
p_{\mathcal{A}}(u,v)=\sum_{i,j=1}^{N}\int_{\mathbb{R}^N}a_{i,j}(x)\overline{\partial_iu(x)}\partial_jv(x)dx+\int_{\mathbb{R}^N}b(x)\overline{u(x)}v(x)dx\quad(\forall u,v\in H^1(\mathbb{R}^N))
$$
とおき、
$$
D(A)\colon=\{v\in H^1(\mathbb{R}^N):\mathcal{A}v\in L^2(\mathbb{R}^N), (u\mid Av)_2=p_{\mathcal{A}}(u,v)\text{ }(\forall u\in H^1(\mathbb{R}^N))\},
$$
$$
A\colon D(A)\ni v\mapsto \mathcal{A}v\in L^2(\mathbb{R}^N)
$$
とおく。また $\lambda_0\colon=\inf_{x\in \mathbb{R}^N}b(x)\in \mathbb{R}$ とおく。このとき、
*$(1)$　$A$ はHilbert空間 $L^2(\mathbb{R}^N)$ 上の下に有界な自己共役作用素であり、$\sigma(A)\subset [\lambda_0,\infty)$ が成り立つ。また任意の $\lambda\in (-\infty,\lambda_0)$ に対し、
$$
(A-\lambda)^{-1}\in \mathbb{B}(L^2(\mathbb{R}^N),H^1(\mathbb{R}^N))
$$
が成り立つ。
*$(2)$　$\lambda_0\geq0$ の場合は $A$ はHilbert空間 $L^2(\mathbb{R}^N)$ 上の非負自己共役作用素であり、
$$
D(\sqrt{A})=H^1(\mathbb{R^N}),\quad p_{\mathcal{A}}(u,v)=(\sqrt{A}u\mid\sqrt{A}v)_2\quad(\forall u,v\in H^1(\mathbb{R}^N))
$$
が成り立つ。
*$(3)$　$v\in D(A)$ がある $m\in \mathbb{Z}_+$ に対し $Av\in H^m(\mathbb{R}^N)$ を満たすならば、$v\in H^{m+2}(\mathbb{R}^N)$ が成り立つ。さらに $A,m$ のみによる正実数 $C$ が存在し、
$$
\lVert v\rVert_{2,m+2}\leq C(\lVert Av\rVert_{2,m}+\lVert v\rVert_2)
$$
が成り立つ。
*$(4)$　$D(A)=H^2(\mathbb{R}^N)$ が成り立つ。
{{begin|proof}}
*$(1),(2)$　'''定理3.4'''による。
*$(3)$　$m\in \mathbb{Z}_+$ に関する帰納法より $v\in D(A)$ が $m\in \mathbb{Z}_+$ に対し、
$$
Av\in H^m(\mathbb{R}^N),\quad v\in H^{m+1}(\mathbb{R}^N)
$$
を満たすと仮定して、$v\in H^{m+2}(\mathbb{R}^N)$ であることと、$a_{i,j},b,m$ のみによるある正実数 $C$ で、
$$
\lVert v\rVert_{2,m+2}\leq C(\lVert Av\rVert_{2,m}+\lVert v\rVert_{2,m+1})
$$
を満たすものが存在することを示せば十分である。<ref>一様楕円性条件よりある正実数$C_0$が存在し任意の$v\in D(A)$に対し$\lVert v\rVert_{2,1}\leq C_0(\lVert Av\rVert_2+\lVert v\rVert_2)$が成り立つことに注意。実際、'''定理3.4'''の$(1)$の証明の冒頭部分より、$\lambda<\lambda_0$ なる$\lambda$をとれば、$(v\mid (A-\lambda)v)_2=p_{{\cal A}-\lambda}(v,v)\geq C'\lVert v\rVert_{2,1}^2$ なる正実数$C'$が存在する。</ref>
$$
p(u,v)\colon=\sum_{i,j=1}^{N}\int_{\mathbb{R}^N}a_{i,j}(x)\overline{\partial_iu(x)}\partial_jv(x)dx\quad(\forall u,v\in H^1(\mathbb{R}^N))
$$
とおく。$\lvert\alpha\rvert\leq m+1$ なる任意の多重指数 $\alpha\in \mathbb{Z}_+^N$ を取り固定する。任意の $h\in \mathbb{R}\backslash \{0\}$ と任意の $u\in D(\mathbb{R}^N)$ に対し、'''補題3.7'''と'''命題3.6'''より、
$$
\begin{aligned}
p(u,\partial_h^{\alpha}v)&=\sum_{i,j=1}^{N}\int_{\mathbb{R}^N}a_{i,j}(x)
\partial_i \overline{u}(x)\partial_h^{\alpha}\partial_jv(x)dx=(-1)^{\lvert\alpha\rvert}\sum_{i,j=1}^{N}\int_{\mathbb{R}^N}\partial_{-h}^{\alpha}(a_{i,j}\partial_i\overline{u})(x)\partial_jv(x)dx\\
&=(-1)^{\lvert\alpha\rvert}p(\partial_{-h}^{\alpha}u,v)+(-1)^{\lvert\alpha\rvert}\sum_{0<\beta\leq\alpha}\begin{pmatrix}\alpha\\\beta\end{pmatrix}\int_{\mathbb{R}^N}\partial_{-h}^{\beta}a_{i,j}(x)\partial_{-h}^{\alpha-\beta}\tau_{-h}^{\beta}\partial_i\overline{u}(x)\partial_jv(x)dx\\
&=(-1)^{\lvert\alpha\rvert}\int_{\mathbb{R}^N}\partial_{-h}^{\alpha}\overline{u}(x)(Av-bv)(x)dx
+\sum_{0<\beta\leq\alpha}\begin{pmatrix}\alpha\\\beta\end{pmatrix}(-1)^{\lvert\beta\rvert}\int_{\mathbb{R}^N}\tau_{-h}^{\beta}\partial_i\overline{u}(x)\partial_h^{\alpha-\beta}(\partial_{-h}^{\beta}a_{i,j}\partial_jv)(x)dx
\end{aligned}
$$
となるから、'''補題3.7'''と'''補題3.8'''より、$a_{i,j},b,\alpha$ のみによる正実数 $C_1$ が存在し、
$$
\lvert p(u,\partial_h^{\alpha}v)\rvert\leq C_1(\lVert Av\rVert_{2,m}+\lVert v\rVert_{2,m+1})\lVert u\rVert_{2,1}\quad(\forall h\in \mathbb{R}\backslash\{0\},\forall u\in D(\mathbb{R}^N))
$$
が成り立つことが分かる。そして $\partial_h^{\alpha}v\in H^{m+1}(\mathbb{R}^N)\subset H^1(\mathbb{R}^N)=\overline{D(\mathbb{R}^N)}^{\lVert \cdot\rVert_{2,1}}$ である（[[Sobolev空間の基本事項]]の'''定理32.2'''）から、上式より、
$$
p(\partial_h^{\alpha}v,\partial_h^{\alpha}v)\leq C_1(\lVert Av\rVert_{2,m}+\lVert v\rVert_{2,m+1})\lVert \partial_h^{\alpha}v\rVert\quad(\forall h\in \mathbb{R}\backslash \{0\})
$$
が成り立つ。また'''補題3.8'''より、
$$
(\partial_h^{\alpha}v\mid \partial_h^{\alpha}v)_2=\lVert \partial_h^{\alpha}v\rVert_2^2\leq \lVert \partial^{\alpha}v\rVert_{2}\lVert \partial_h^{\alpha}v\rVert_2\leq \lVert v\rVert_{2,m+1}\lVert \partial_h^{\alpha}v\rVert_{2,1}\quad(\forall h\in \mathbb{R}\backslash \{0\})
$$
であるから、$a_{i,j},b,\alpha$ のみによる正実数 $C_2$ が存在し、
$$
p(\partial_h^{\alpha}v,\partial_h^{\alpha}v)+(\partial_h^{\alpha}v\mid \partial_h^{\alpha}v)_2
\leq C_2(\lVert Av\rVert_{2,m}+\lVert v\rVert_{2,m+1})\lVert \partial_h^{\alpha}v\rVert_{2,1}\quad(\forall h\in \mathbb{R}\backslash \{0\})
$$
が成り立つ。ここで一様楕円性条件（'''定義3.1'''）より $a_{i,j}$ のみによる正実数 $C_3$ が存在し、
$$
C_3\lVert \partial_h^{\alpha}v\rVert_{2,1}^2\leq p(\partial_h^{\alpha}v,\partial_h^{\alpha}v)+(\partial_h^{\alpha}v\mid \partial_h^{\alpha}v)_2
$$
が成り立つので、上式と合わせて、$a_{i,j},b,\alpha$ のみによる正実数 $C_4$ が存在し、
$$
\lVert \partial_h^{\alpha}v\rVert_{2,1}\leq C_4(\lVert Av\rVert_{2,m}+\lVert v\rVert_{2,m+1})\quad(\forall h\in \mathbb{R}\backslash \{0\})
$$
が成り立つことが分かる。これより、
$$
\lVert \partial_h^{\alpha}\partial_jv\rVert_2\leq C_4(\lVert Av\rVert_{2,m}+\lVert v\rVert_{2,m+1})\quad(\forall h\in \mathbb{R}\backslash \{0\}, \forall j\in \{1,\ldots,N\})
$$
であるから、'''補題3.8'''の $(2)$ より $\partial^{\alpha}\partial_jv\in L^2(\mathbb{R}^N)$ $(j=1,\ldots,N)$ であり、
$$
\lVert \partial^{\alpha}\partial_jv\rVert_2\leq C_4(\lVert Av\rVert_{2,m}+\lVert v\rVert_{2,m+1})\quad(\forall j\in \{1,\ldots,N\})
$$
が成り立つ。よって $\alpha$ の任意性より $v\in H^{m+2}(\mathbb{R}^N)$ であり、求める結果を得る。
*$(4)$　$(3)$ より $D(A)\subset H^2(\mathbb{R}^N)$ である。逆に $v\in H^2(\mathbb{R}^N)$ ならば、
$$
\mathcal{A}v=-\sum_{i,j=1}^{N}\partial_i(a_{i,j}\partial_jv)+bv\in L^2(\mathbb{R}^N)
$$
であり、任意の $u\in D(\mathbb{R}^N)$ に対し、
$$
\begin{aligned}
p_{\mathcal{A}}(u,v)&=\sum_{i,j=1}^{N}\int_{\mathbb{R}^N}a_{i,j}(x)\partial_i\overline{u}(x)\partial_jv(x)dx+\int_{\mathbb{R}^N}b(x)\overline{u}(x)v(x)dx\\
&=-\sum_{i,j=1}^{N}\int_{\mathbb{R}^N}\overline{u}(x)\partial_i(a_{i,j}\partial_jv)(x)dx+\int_{\mathbb{R}^N}b(x)\overline{u}(x)v(x)dx\\
&=(u\mid \mathcal{A}v)_2
\end{aligned}
$$
である。よって $H^1(\mathbb{R}^N)=\overline{D(\mathbb{R}^N)}^{\lVert \cdot\rVert_{2,1}}$（[[Sobolev空間の基本事項]]の'''定理32.2'''）より、
$$
p_{\mathcal{A}}(u,v)=(u\mid \mathcal{A}v)_{2}\quad(\forall u\in H^1(\mathbb{R}^N))
$$
であるから $v\in D(A)$ である。ゆえに $D(A)=H^2(\mathbb{R}^N)$ が成り立つ。
{{end|proof}}

===補題3.10（内部正則性）===
$\Omega\subset \mathbb{R}^N$ を開集合とし、$\Omega$ 上の一様楕円型微分作用素（'''定義3.1'''）
$$
\mathcal{A}\colon D'(\Omega)\ni v\mapsto -\sum_{i,j=1}^{N}\partial_i(a_{i,j}\partial_jv)+bv\in D'(\Omega)
$$
を考える。そして $v$ が $m\in \mathbb{Z}_+$ に対し、
$$
v\in H^{m+1}(\Omega),\quad \mathcal{A}v\in H^m(\Omega)
$$
を満たすとする。このとき、
$$
d(\Omega_0,\mathbb{R}^N\backslash \Omega)>0
$$
を満たす任意の開集合 $\Omega_0\subset \Omega$ に対し、$v$ の $\Omega_0$ 上への制限 $v|_{\Omega_0}$ は、 $$v|_{\Omega_0}\in H^{m+2}(\Omega_0)$$ を満たし、$a_{i,j},b,m,\Omega_0$ のみによる正実数 $C$ が存在し、
$$
\lVert v|_{\Omega_0}\rVert_{2,m+2}\leq C(\lVert \mathcal{A}v\rVert_{2,m}+\lVert v\rVert_{2,m+1})
$$
が成り立つ。
{{begin|proof}}
$$
r\colon=d(\Omega_0,\mathbb{R}^N\backslash \Omega)>0
$$
とおき、
$$
0\colon=r_0<r_1<r_2<r_3<r_4< r,\quad \Omega_k\colon=\{x\in \mathbb{R}^N:d(x,\Omega_0)<r_k\}\quad(k=1,2,3,4),
$$
$$
\delta\colon=\frac{1}{m+1}{\rm min}(r_1-r_0,r_2-r_1,r_3-r_2,r_4-r_3)>0\quad\quad(1)
$$
とおく。このとき $\Omega_1,\Omega_2,\Omega_3,\Omega_4$ は開集合であり（[[超関数の定義と基本操作]]の'''命題2.2'''）、
$$
\Omega_0\subset \Omega_1\subset \Omega_2\subset \Omega_3\subset \Omega_4\subset \Omega,
$$
$$
d(\Omega_{k-1},\mathbb{R}^N\backslash \Omega_k)\geq r_k-r_{k-1}>0\quad(k=1,2,3,4)\quad\quad(2)
$$
である。特に $d(\Omega_0,\mathbb{R}^N\backslash \Omega_1)>0$ であるから [[Sobolev空間の基本事項]]の'''補題33.1'''より全ての偏導関数が有界な $C^\infty$ 級関数 $\rho\colon\mathbb{R}^N\rightarrow [0,\infty)$ で、
$$
\rho|_{\Omega_0}=1,\quad {\rm supp}(\rho)\subset \Omega_1\quad\quad(3)
$$
を満たすものが取れる。$\rho v\in H^{m+1}(\Omega)$ に対し ${\rm supp}(\rho v)\subset {\rm supp}(\rho)\subset \Omega_1$ より、
$$
d({\rm supp}(\rho u), \mathbb{R}^N\backslash \Omega)\geq d(\Omega_1,\mathbb{R}^N\backslash \Omega)\geq r-r_1>0
$$
であるから、[[Sobolev空間の基本事項]]の'''定理33.3'''より $\rho v$ の $\mathbb{R}^N$ 上への $0$ 拡張を $w$ とおくと、
$$
w\in H^{m+1}(\mathbb{R}^N),\quad {\rm supp}(w)={\rm supp}(\rho v)\subset {\rm supp}(\rho)\subset \Omega_1,\quad \lVert w\rVert_{2,m+1}=\lVert\rho v\rVert_{2,m+1}\quad\quad(4)
$$
が成り立つ。今、
$$
p(u_1,u_2)\colon=\sum_{i,j=1}^{N}\int_{\Omega}a_{i,j}(x)\partial_i\overline{u_1}(x)\partial_ju_2(x)dx\quad(\forall u_1,u_2\in H^1(\Omega))
$$
とおき、$a_{i,j}\colon \Omega\rightarrow \mathbb{C}$ を $\mathbb{R}^N$ 上へ $0$ 拡張したものを $\widetilde{a_{i,j}}\colon \mathbb{R}^N\rightarrow\mathbb{C}$ とおく。そして $\lvert\alpha\rvert\leq m+1$ を満たす任意の多重指数 $\alpha\in \mathbb{Z}_+^N$ を取り固定する。$0<\lvert h\rvert <\delta$ を満たす任意の $h\in \mathbb{R}$ と任意の $u\in D(\Omega)\subset D(\mathbb{R}^N)$ に対し、'''補題3.7'''と'''命題3.6'''より、
$$
\begin{aligned}
&p(u,(\partial_h^{\alpha}w)|_{\Omega})=\sum_{i,j=1}^{N}\int_{\mathbb{R}^N}\widetilde{a_{i,j}}(x)\partial_i\overline{u}(x)\partial_h^{\alpha}\partial_jw(x)dx=(-1)^{\lvert\alpha\rvert}\sum_{i,j=1}^{N}\int_{\mathbb{R}^N}\partial_jw(x)\partial_{-h}^{\alpha}(\widetilde{a_{i,j}}\partial_i\overline{u})(x)dx\\
&=(-1)^{\lvert\alpha\rvert}\sum_{i,j=1}^{N}\left(\int_{\mathbb{R}^N}\partial_jw(x)\widetilde{a_{i,j}}(x)\partial_{-h}^{\alpha}\partial_i\overline{u}(x)dx+\sum_{0<\beta\leq\alpha}\begin{pmatrix}\alpha\\\beta\end{pmatrix}\int_{\mathbb{R}^N}\partial_jw(x)\partial_{-h}^{\beta}\widetilde{a_{i,j}}(x)\partial_{-h}^{\alpha-\beta}\tau_{-h}^{\beta}\partial_i\overline{u}(x)dx\right)\\
&=(-1)^{\lvert\alpha\rvert}p(\partial_{-h}^{\alpha}u,\rho v)+\sum_{i,j=1}^{N}\sum_{0<\beta\leq\alpha}\begin{pmatrix}\alpha\\\beta\end{pmatrix}(-1)^{\lvert\beta\rvert}\int_{\mathbb{R}^N}\partial_h^{\alpha-\beta}(\partial_jw\partial_{-h}^{\beta}\widetilde{a_{i,j}})(x)\tau_{-h}^{\beta}\partial_i\overline{u}(x)dx\quad\quad(5)
\end{aligned}
$$
となる。$(5)$ の右辺の第二項の評価を考える。$(4)$ より ${\rm supp}(w)\subset \Omega_1$ であるから、$0<\lvert h\rvert<\delta$ であることと $(1),(2)$ より $0<\beta\leq \alpha$ なる任意の多重指数 $\beta\in \mathbb{Z}_+^N$ に対し $\partial_{h}^{\alpha-\beta}(\partial_jw\partial_{-h}^{\beta}\widetilde{a_{i,j}})$ の台は $\Omega_2$ に含まれるので、'''命題3.6'''と'''補題3.8'''の $(1)$ より、
$$
\begin{aligned}
&\lVert \partial_{h}^{\alpha-\beta}(\partial_jw\partial_{-h}^{\beta}\widetilde{a_{i,j}})\rVert_2
=\lVert (\partial_{h}^{\alpha-\beta}(\partial_jw\partial_{-h}^{\beta}\widetilde{a_{i,j}}))|_{\Omega_2}\rVert_2\leq \sum_{\gamma\leq\alpha-\beta}\begin{pmatrix}\alpha-\beta\\\gamma\end{pmatrix}\lVert (\partial_h^{\alpha-\beta-\gamma}\partial_jw)|_{\Omega_2}(\tau_h^{\alpha-\beta-\gamma}\partial_h^{\gamma}\partial_{-h}^{\beta}\widetilde{a_{i,j}})|_{\Omega_2}\rVert_2\\
&\leq \sum_{\gamma\leq\alpha-\beta}\begin{pmatrix}\alpha-\beta\\\gamma\end{pmatrix}\lVert (\partial_h^{\alpha-\beta-\gamma}\partial_jw)|_{\Omega_2}\rVert_2\lVert (\partial_h^{\gamma}\partial_{-h}^{\beta}\widetilde{a_{i,j}})|_{\Omega_3}\rVert_{\infty}
\leq \sum_{\gamma\leq\alpha-\beta}\begin{pmatrix}\alpha-\beta\\\gamma\end{pmatrix}\lVert (\partial^{\alpha-\beta-\gamma}\partial_jw)\rVert_2\lVert (\partial^{\gamma}\partial^{\beta}a_{i,j})|_{\Omega_4}\rVert_{\infty}\\
&\leq \sum_{\gamma\leq\alpha-\beta}\begin{pmatrix}\alpha-\beta\\\gamma\end{pmatrix}\lVert w\rVert_{2,m+1}\lVert \partial^{\gamma}\partial^{\beta}a_{i,j}\rVert_{\infty}=
\sum_{\gamma\leq\alpha-\beta}\begin{pmatrix}\alpha-\beta\\\gamma\end{pmatrix}\lVert \rho v\rVert_{2,m+1}\lVert \partial^{\gamma}\partial^{\beta}a_{i,j}\rVert_{\infty}
\end{aligned}
$$
となる。よって $\rho,a_{i,j},\alpha$ のみによる正数 $C_1$ が存在し、
$$
\begin{aligned}
&\lvert\lvert p(u,(\partial_h^{\alpha}w)|_{\Omega})-(-1)^{\lvert\alpha\rvert}p(\partial_{-h}^{\alpha}u,\rho v)\rvert=(\text{$(5)$ の右辺の第二項})\\
&\leq C_1\lVert v\rVert_{2,m+1}\lVert u\rVert_{2,1}\quad(\forall h\in \mathbb{R}:0<\lvert h\rvert<\delta,\forall u\in D(\Omega))\quad\quad(6)
\end{aligned}
$$
が成り立つ。今、
$$
\begin{aligned}
p(u,(\partial_h^{\alpha}w)|_{\Omega})&=\{p(u,(\partial_h^{\alpha}w)|_{\Omega})-(-1)^{\lvert\alpha\rvert}p(\partial_{-h}^{\alpha}u,\rho v)\}\\
&+(-1)^{\lvert\alpha\rvert}(p(\partial_{-h}^{\alpha}u,\rho v)-p(\rho\partial_h^{\alpha}u,v))\\
&+(-1)^{\lvert\alpha\rvert}\int_{\Omega}(\mathcal{A}v-bv)(x)\rho(x)\partial_{-h}^{\alpha}\overline{u}(x)dx\\
&(\forall h\in \mathbb{R}:0<\lvert h\rvert<\delta,\forall u\in D(\Omega))\quad\quad(7)
\end{aligned}
$$
<ref>$\rho$ は滑らかで ${\rm supp}(\rho)\subset \Omega_1$ であるから、$\rho\partial_{-h}^{\alpha}\overline{u}\in D(\Omega)$ であること、任意の $\varphi\in D(\Omega)$ に対し $p(\varphi,v)=\int_{\Omega}(\mathcal{A}v-bv)(x)\overline{\varphi}(x)dx$ であることに注意。</ref>であり、$(6)$ は $(7)$ の右辺の第一項の評価を与えている。$(7)$ の右辺の第三項の評価を考える。$(\mathcal{A}v-bv)\rho\in H^m(\Omega)$ であり、$(3)$ より、
$$
d({\rm supp}((\mathcal{A}v-bv)\rho),\mathbb{R}^N\backslash \Omega)\geq d(\Omega_1,\mathbb{R}^N\backslash \Omega)\geq r-r_1>0
$$
であるから、[[Sobolev空間の基本事項]]の'''定理33.3'''より、$(\mathcal{A}v-bv)\rho\in H^m(\Omega)$ の $\mathbb{R}^N$ 上への $0$ 拡張 $\widetilde{(\mathcal{A}v-bv)\rho}$ は、
$$
\widetilde{(\mathcal{A}v-bv)\rho}\in H^m(\mathbb{R}^N),\quad \lVert \widetilde{(\mathcal{A}v-bv)\rho}\rVert_{2,m}=\lVert (\mathcal{A}v-bv)\rho\rVert_{2,m}
$$
を満たす。よって'''補題3.7'''と'''補題3.8'''の $(2)$ より、
$$
\begin{aligned}
&\lvert \text{$(7)$ の右辺の第三項}\rvert=\left\lvert \int_{\Omega}(\mathcal{A}v-bv)(x)\rho(x)\partial_{-h}^{\alpha}\overline{u}(x)dx\right\rvert
=\left\lvert\int_{\mathbb{R^N}}\widetilde{(\mathcal{A}v-bv)\rho}(x)\partial_{-h}^{\alpha}\overline{u}(x)dx\right\rvert\\
&\leq \lVert \widetilde{(\mathcal{A}v-bv)\rho}\rVert_{2,m}\lVert u\rVert_{2,1}=\lVert(\mathcal{A}v-bv)\rho\rVert_{2,m}\lVert u\rVert_{2,1}\leq C_3(\lVert \mathcal{A}v\rVert_{2,m}+\lVert v\rVert_{2,m})\lVert u\rVert_{2,1}\quad\quad(8)
\end{aligned}
$$
と評価できる（ただし $C_3$ は $\rho,b,m$ のみによる正実数である）。$(7)$ の右辺の第二項の評価を考える。
$$
\begin{aligned}
&\lvert \text{$(7)$ の右辺の第二項}\rvert=\lvert p(\partial_{-h}^{\alpha}u,\rho v)-p(\rho\partial_h^{\alpha}u,v)\rvert\\
&=\left\lvert \sum_{i,j=1}^{N}\left(\int_{\Omega}a_{i,j}(x)\partial_j(\rho v)(x)\partial_{-h}^{\alpha}\partial_i\overline{u}(x)dx-\int_{\Omega}a_{i,j}(x)\partial_jv(x)(\partial_i(\rho\partial_{-h}^{\alpha}\overline{u}))(x)dx\right)\right\rvert\\
&=\left\lvert \sum_{i,j=1}^{N}\left(\int_{\Omega}a_{i,j}(x)v(x)\partial_j\rho(x)\partial_{-h}^{\alpha}\partial_i\overline{u}(x)dx-\int_{\Omega}a_{i,j}(x)\partial_jv(x)\partial_i\rho(x)\partial_{-h}^{\alpha}\overline{u}(x)dx\right)\right\rvert\quad\quad(9)
\end{aligned}
$$
であり、$(3)$ より、
$$
a_{i,j}v\partial_j\rho \in H^{m+1}(\Omega),\quad d({\rm supp}(a_{i,j}v\partial_j\rho,\mathbb{R}^N\backslash \Omega)\geq d({\rm supp}(\rho),\mathbb{R}^N\backslash \Omega)>0,
$$
$$
a_{i,j}\partial_jv\partial_i\rho\in H^{m}(\Omega),\quad d({\rm supp}(a_{i,j}\partial_jv\partial_i\rho),\mathbb{R}^N\backslash \Omega)\geq d({\rm supp}(\rho),\mathbb{R}^N\backslash \Omega)>0
$$
であるから、$a_{i,j}v\partial_j\rho \in H^{m+1}(\Omega)$ の $\mathbb{R}^N$ 上への $0$ 拡張 $\widetilde{(a_{i,j}v)}\partial_j\rho $ と、$a_{i,j}\partial_jv\partial_i\rho\in H^m(\Omega)$ の $\mathbb{R}^N$ 上への $0$ 拡張 $\widetilde{(a_{i,j}\partial_jv)}\partial_i\rho$ は、[[Sobolev空間の基本事項]]の'''定理33.3'''より、
$$
\widetilde{(a_{i,j}v)}\partial_j\rho \in H^{m+1}(\mathbb{R}^N),\quad \lVert \widetilde{(a_{i,j}v)}\partial_j\rho \rVert_{2,m+1}=\lVert a_{i,j}v\partial_j\rho \rVert_{2,m+1},
$$
$$
\widetilde{(a_{i,j}\partial_jv)}\partial_i\rho\in H^m(\mathbb{R}^N),\quad \lVert \widetilde{(a_{i,j}\partial_jv)}\partial_i\rho\rVert_{2,m}=\lVert a_{i,j}\partial_jv\partial_i\rho\rVert_{2,m}
$$
を満たす。よって $(9)$ の右辺は'''補題3.7'''と'''補題3.8'''の $(1)$ より、
$$
\begin{aligned}
&\left\lvert \sum_{i,j=1}^{N}\left(\int_{\Omega}a_{i,j}(x)\partial_j(\rho v)(x)\partial_{-h}^{\alpha}\partial_i\overline{u}(x)dx-\int_{\Omega}a_{i,j}(x)\partial_jv(x)(\partial_i(\rho\partial_{-h}^{\alpha}\overline{u}))(x)dx\right)\right\rvert\\
&=\left\lvert \sum_{i,j=1}^{N}\left(\int_{\mathbb{R}^N}\widetilde{(a_{i,j}v)}(x)\partial_j\rho(x)\partial_{-h}^{\alpha}\partial_i\overline{u}(x)dx-\int_{\mathbb{R}^N}\widetilde{(a_{i,j}\partial_jv)}
(x)\partial_i\rho(x)\partial_{-h}^{\alpha}\overline{u}(x)dx\right)\right\rvert\\
&\leq \sum_{i,j=1}^{N}(\lVert\widetilde{(a_{i,j}v)}\partial_j\rho\rVert_{2,m+1}+\lVert \widetilde{(a_{i,j}\partial_jv)}\partial_i\rho\rVert_{2,m})\lVert u\rVert_{2,1}\\
&\leq \sum_{i,j=1}^{N}(\lVert a_{i,j}v\partial_j\rho\rVert_{2,m+1}+\lVert a_{i,j}\partial_jv\partial_i\rho\rVert_{2,m})\lVert u\rVert_{2,1}\\
&\leq C_2\lVert v\rVert_{2,m+1}\lVert u\rVert_{2,1}
\end{aligned}
$$
（ただし $C_2$ は $a_{i,j},\rho,m$ のみによる正実数である）となるので、
$$
\lVert (\text{$(7)$ の右辺の第二項})\rVert\leq C_2\lVert v\rVert_{2,m+1}\lVert u\rVert_{2,1}\quad\quad(10)
$$
と評価できる。こうして $(7)$ の右辺の第一項、第二項、第三項はそれぞれ $a_{i,j},b,\rho,\alpha,m$ のみによる正実数 $C_1,C_2,C_3$ により $(6),(10),(8)$ によって評価されるので、$a_{i,j},b,\rho,\alpha,m$ のみによる正実数 $C_4$ が存在し、
$$
\lvert p(u,(\partial_h^{\alpha}w)|_{\Omega})\rvert\leq C_4(\lVert \mathcal{A}v\rVert_{2,m}+\lVert v\rVert_{2,m+1})\lVert u\rVert_{2,1}\quad(\forall h\in \mathbb{R},0<\lvert h\rvert<\delta,\forall u\in D(\Omega))\quad\quad(11)
$$
が成り立つ。ここで ${\rm supp}(\omega)\subset \Omega_1$ であることと $(1)$ より、
$$
d({\rm supp}(\partial_h^{\alpha}w),\mathbb{R}^N\backslash \Omega)\geq d(\Omega_2,\mathbb{R}^N\backslash \Omega)\geq r-r_2>0\quad(\forall h\in \mathbb{R},0<\lvert h\rvert<\delta)
$$
であるので、[[Sobolev空間の基本事項]]の'''系33.5'''より、
$$
(\partial_h^{\alpha}w)|_{\Omega}\in H^1_0(\Omega)=\overline{D(\Omega)}^{\lVert \cdot\rVert_{2,1}},\quad \lVert \partial_h^{\alpha}w\rVert_{2,1}=\lVert (\partial_h^{\alpha}w)|_{\Omega}\rVert_{2,1}\quad(\forall h\in \mathbb{R},0<\lvert h\rvert<\delta)\quad\quad(12)
$$
が成り立つ。よって $(12)$ の左の式と $(11)$ より、
$$
p((\partial_h^{\alpha}w)|_{\Omega},(\partial_h^{\alpha}w)|_{\Omega})\leq C_4(\lVert \mathcal{A}v\rVert_{2,m}+\lVert v\rVert_{2,m+1})\lVert (\partial_h^{\alpha}w)|_{\Omega}\rVert_{2,1}\quad(\forall h\in\mathbb{R},0<\lvert h\rvert<\delta)
$$
が成り立つので、一様楕円性条件（'''定義3.1'''）より、$a_{i,j},b,\rho,\alpha,m$ のみによる正実数 $C_5$ が存在し、
$$
\lVert (\partial_h^{\alpha}w)|_{\Omega}\rVert_{2,1}^2\leq C_5(\lVert \mathcal{A}v\rVert_{2,m}+\lVert v\rVert_{2,m+1})\lVert (\partial_h^{\alpha}w)|_{\Omega}\rVert_{2,1}\quad(\forall h\in \mathbb{R},0<\lvert h\rvert<\delta)
$$
が成り立つ。よって $(12)$ の右の式より、
$$
\lVert \partial_h^{\alpha}w\rVert_{2,1}\leq C_5(\lVert \mathcal{A}v\rVert_{2,m}+\lVert v\rVert_{2,m+1})\quad(\forall h\in \mathbb{R},0<\lvert h\rvert<\delta)
$$
が成り立つ。これより、
$$
\lVert \partial_h^{\alpha}\partial_jw\rVert_{2}\leq C_5(\lVert \mathcal{A}v\rVert_{2,m}+\lVert v\rVert_{2,m+1})\quad(\forall h\in \mathbb{R},0<\lvert h\rvert<\delta,\forall j\in \{1,\ldots,N\})
$$
であるから、'''補題3.8'''の $(2)$ より $\partial^{\alpha}\partial_jw\in L^2(\mathbb{R}^N)$ $(j=1,\ldots,N)$ であり、
$$
\lVert \partial^{\alpha}\partial_jw\rVert_2\leq C_5(\lVert \mathcal{A}v\rVert_{2,m}+\lVert v\rVert_{2,m+1})\quad(\forall j\in \{1,\ldots,N\})
$$
が成り立つ。よって $\alpha$ の任意性より $w\in H^{m+2}(\mathbb{R}^N)$ であり、$a_{i,j},b,\rho,m$ のみによる正実数 $C$ が存在し、
$$
\lVert w\rVert_{2,m+2}\leq C(\lVert \mathcal{A}v\rVert_{2,m}+\lVert v\rVert_{2,m+1})
$$
が成り立つ。$(3)$ より $v|_{\Omega_0}=w|_{\Omega_0}$ であるから、
$$
v|_{\Omega_0}=w|_{\Omega_0}\in H^{m+2}(\Omega_0),\quad
\lVert v|_{\Omega_0}\rVert_{2,m+2}\leq \lVert w\rVert_{2,m+2}\leq C(\lVert \mathcal{A}v\rVert_{2,m}+\lVert v\rVert_{2,m+1})
$$
が成り立つ。
{{end|proof}}

===定義3.11===
$Q,Q_+\subset \mathbb{R}^N$ を、
$$
Q\colon=(-1,1)^N,\quad Q_+\colon =(-1,1)^{N-1}\times (0,1)
$$
と定義する。また任意の $\epsilon\in (0,1)$ に対し、
$$
Q_{\epsilon}\colon=(-\epsilon,\epsilon)^N,\quad Q_{\epsilon,+}\colon=(-\epsilon,\epsilon)^{N-1}\times (0,\epsilon)
$$
と定義する。

===補題3.12===
$Q_+\subset \mathbb{R}^N_+=\mathbb{R}^{N-1}\times (0,\infty)$ 上の一様楕円型微分作用素（'''定義3.1'''）
$$
\mathcal{A}\colon D'(Q_+)\ni v\mapsto -\sum_{i,j=1}^{N}-\partial_i(a_{i,j}\partial_jv)\in D'(Q_+)
$$
を考え、
$$
p(u,v)\colon=\sum_{i,j=1}^{N}\int_{Q_+}a_{i,j}(x)\overline{\partial_iu(x)}\partial_jv(x)dx\quad(\forall u,v\in H^1(Q_+))
$$
とおく。そして $m\in \mathbb{Z}_+$ に対し、
$$
v\in H^{m+1}(Q_+),\quad \mathcal{A}v\in H^{m}(Q_+)
$$
が成り立つとし、さらに次のうちのいずれかが成り立つと仮定する。
*$({\rm a})$　任意の $\rho\in D(Q)|_{Q_+}$ に対し $\rho v\in H^1_0(Q_+)$.
*$({\rm b})$　任意の $u\in D(Q)|_{Q_+}$ に対し $p(u,v)=(u\mid \mathcal{A}v)_2$.　
このとき任意の $\epsilon\in (0,1)$ に対し $v|_{Q_{\epsilon,+}}\in H^{m+2}(Q_{\epsilon,+})$ が成り立ち、$\epsilon,a_{i,j},m$ のみによる正実数 $C$ が存在し、
$$
\lVert v|_{Q_{\epsilon,+}}\rVert_{2,m+2}\leq C(\lVert \mathcal{A}v\rVert_{2,m}+\lVert v\rVert_{2,m+1})
$$
が成り立つ。
{{begin|proof}}
任意の $\epsilon\in (0,1)$ を取り固定する。
$$
\epsilon_0\colon=\epsilon<\epsilon_1<\epsilon_2<\epsilon_3<\epsilon_4<1
$$
とおき、
$$
\delta\colon=\frac{1}{m+1}{\rm min}(\epsilon_1-\epsilon_0,\epsilon_2-\epsilon_1,\epsilon_3-\epsilon_2,\epsilon_4-\epsilon_3)>0\quad\quad(1)
$$
とおく。Urysohnの補題（[[ベクトル解析4：Euclid空間内の多様体上の測度と積分]]の'''定理15.5'''）より非負値の $\rho\in D( \mathbb{R}^N)$ で、
$$
\rho|_{Q_{\epsilon}}=1,\quad {\rm supp}(\rho)\subset Q_{\epsilon_1}\quad\quad(2)
$$
を満たすものが取れる。$\rho v\in H^{m+1}(Q_+)$ に対し、
$$
{\rm supp}(\rho v)\subset {\rm supp}(\rho) \cap Q_+\subset Q_{\epsilon_1,+}
$$
より、
$$
d({\rm supp}(\rho v),\mathbb{R}^N_+\backslash Q_{+})\geq d(Q_{\epsilon_1,+},\mathbb{R}^N_+\backslash Q_+)\geq 1-\epsilon_1>0
$$
であるから、[[Sobolev空間の基本事項]]の'''定理33.3'''より $\rho v\in H^{m+1}(Q_+)$ の $\mathbb{R}^N_+$ 上への $0$ 拡張を $w$ とおくと、
$$
w\in H^{m+1}(\mathbb{R}^N_+),\quad {\rm supp}(w)={\rm supp}(\rho v)\subset Q_{\epsilon_1,+},\quad \lVert w\rVert_{2,m+1}=\lVert \rho v\rVert_{2,m+1}\quad\quad(3)
$$
が成り立つ。今、
$$
\lvert \alpha\rvert\leq m+1,\quad \alpha_N=0\quad\quad(4)
$$
を満たす任意の多重指数 $\alpha\in \mathbb{Z}_+^N$ を取り固定する。$a_{i,j}\colon Q_+\rightarrow\mathbb{C}$ の $\mathbb{R}^N$ 上への $0$ 拡張を $\widetilde{a_{i,j}}\colon \mathbb{R}^N\rightarrow\mathbb{C}$ とおく。$0<\lvert h\rvert<\delta$ を満たす任意の $h\in \mathbb{R}$ と任意の $u\in D(Q)|_{Q_+}$ に対し、'''補題3.7'''と'''命題3.6'''より、
$$
\begin{aligned}
&p(u,(\partial_h^{\alpha}w)|_{Q_+})=\sum_{i,j=1}^{N}\int_{\mathbb{R}^N_+}\widetilde{a_{i,j}}(x)\partial_i\overline{u}(x)\partial_h^{\alpha}\partial_jw(x)dx=(-1)^{\lvert\alpha\rvert}\sum_{i,j=1}^N\int_{\mathbb{R}^N_+}\partial_{-h}^{\alpha}(\widetilde{a_{i,j}}(x)\partial_i\overline{u})(x)\partial_jw(x)dx\\
&=(-1)^{\lvert\alpha\rvert}\left(\int_{\mathbb{R}^N_+}\widetilde{a_{i,j}}(x)\partial_{-h}^{\alpha}\partial_i\overline{u}(x)\partial_jw(x)dx+\sum_{0<\beta\leq\alpha}\begin{pmatrix}\alpha\\\beta\end{pmatrix}\int_{\mathbb{R}^N_+}\partial_{-h}^{\beta}\widetilde{a_{i,j}}(x)\partial_{-h}^{\alpha-\beta}\tau_{-h}^{\beta}\partial_i\overline{u}(x)\partial_jw(x)dx\right)\\
&=(-1)^{\lvert \alpha\rvert}p(\partial_{-h}^{\alpha}u,\rho v)+\sum_{i,j=1}^{N}\sum_{0<\beta\leq\alpha}\begin{pmatrix}\alpha\\\beta\end{pmatrix}(-1)^{\lvert\beta\rvert}\int_{\mathbb{R}^N_+}\partial_h^{\alpha-\beta}(\partial_jw\partial_{-h}^{\beta}\widetilde{a_{i,j}})\tau_{-h}^{\beta}\partial_i\overline{u}(x)dx\quad\quad(5)
\end{aligned}
$$
となる。$(5)$ の右辺の第二項の評価を考える。$(3)$ より ${\rm supp}(w)\subset Q_{\epsilon_1,+}$ であるから $(1),(4)$ より $0<\beta\leq \alpha$ なる任意の $\beta\in \mathbb{Z}_+^N$ に対し $\partial_h^{\alpha-\beta}(\partial_jw\partial_{-h}^{\beta}\widetilde{a_{i,j}})$ の台は $Q_{\epsilon_2,+}$ に含まれるので'''命題3.6'''と'''補題3.8'''の $(1)$ より、
$$
\begin{aligned}
&\lVert \partial_h^{\alpha-\beta}(\partial_jw\partial_{-h}^{\beta}\widetilde{a_{i,j}})\rVert_2
=\lVert (\partial_h^{\alpha-\beta}(\partial_jw\partial_{-h}^{\beta}\widetilde{a_{i,j}})|_{Q_{\epsilon_{2,+}}}\rVert_2\\
&\leq \sum_{\gamma\leq \alpha-\beta}\begin{pmatrix}\alpha-\beta\\\gamma\end{pmatrix}(\partial_h^{\alpha-\beta-\gamma}\partial_jw)|_{Q_{\epsilon_{2,+}}}(\tau_h^{\alpha-\beta-\gamma}\partial_h^{\gamma}\partial_{-h}^{\beta}\widetilde{a_{i,j}})|_{Q_{\epsilon_{2,+}}}\rVert_2\\
&\leq \sum_{\gamma\leq\alpha-\beta}\begin{pmatrix}\alpha-\beta\\\gamma\end{pmatrix}\lVert (\partial_h^{\alpha-\beta-\gamma}\partial_jw)|_{Q_{\epsilon_{2,+}}}\rVert_2\lVert (\partial_h^{\gamma}\partial_{-h}^{\beta}\widetilde{a_{i,j}})|_{Q_{\epsilon_{3,+}}}\rVert_{\infty}\\
&\leq \sum_{\gamma\leq\alpha-\beta}\begin{pmatrix}\alpha-\beta\\\gamma\end{pmatrix}\lVert (\partial^{\alpha-\beta-\gamma}\partial_jw)\rVert_2\lVert (\partial^{\gamma}\partial^{\beta}a_{i,j})|_{Q_{\epsilon_{4,+}}}\rVert_{\infty}\\
&\leq \sum_{\gamma\leq\alpha-\beta}\begin{pmatrix}\alpha-\beta\\\gamma\end{pmatrix}\lVert w\rVert_{2,m+1}\lVert \partial^{\gamma}\partial^{\beta}a_{i,j}\rVert_{\infty}=
\sum_{\gamma\leq\alpha-\beta}\begin{pmatrix}\alpha-\beta\\\gamma\end{pmatrix}\lVert \rho v\rVert_{2,m+1}\lVert \partial^{\gamma}\partial^{\beta}a_{i,j}\rVert_{\infty}
\end{aligned}
$$
となる。よって $\rho,a_{i,j},\alpha$ のみによる正数 $C_1$ が存在し、
$$
\begin{aligned}
&\lvert\lvert p(u,(\partial_h^{\alpha}w)|_{Q_+})-(-1)^{\lvert\alpha\rvert}p(\partial_{-h}^{\alpha}u,\rho v)\rvert=(\text{$(5)$ の右辺の第二項})\\
&\leq C_1\lVert v\rVert_{2,m+1}\lVert u\rVert_{2,1}\quad(\forall h\in \mathbb{R}:0<\lvert h\rvert<\delta,\forall u\in D(Q)|_{Q_+})\quad\quad(6)
\end{aligned}
$$
が成り立つ。今、$({\rm a})$ が成り立つ場合は任意の $u_{\rm a}\in D(Q_+)$ を取り、$({\rm b})$ が成り立つ場合は任意の $u_{\rm b}\in D(Q)|_{Q_+}$ を取る。このとき
$$
\begin{aligned}
p(u_k,(\partial_h^{\alpha}w)|_{Q_+})&=\{p(u_k,(\partial_h^{\alpha}w)|_{Q_+})-(-1)^{\lvert\alpha\rvert}p(\partial_{-h}^{\alpha}u_k,\rho v)\}\\
&+(-1)^{\lvert\alpha\rvert}(p(\partial_{-h}^{\alpha}u_k,\rho v)-p(\rho\partial_h^{\alpha}u_k,v))\\
&+(-1)^{\lvert\alpha\rvert}\int_{Q_+}\mathcal{A}v(x)\rho(x)\partial_{-h}^{\alpha}\overline{u_k}(x)dx\\
&(\forall h\in \mathbb{R}:0<\lvert h\rvert<\delta,k={\rm a}, {\rm b})\quad\quad(7)
\end{aligned}
$$
($k={\rm a}$ の場合、$\rho\partial_{-h}^{\alpha}u_{\rm a}\in D(Q_+)$ であることに注意）であり、$(6)$ は $(7)$ の右辺の第一項の評価を与えている。$(7)$ の右辺の第三項の評価を考える。$\mathcal{A}v\rho\in H^m(Q_+)$ であり、$(2)$ より、
$$
d({\rm supp}(\mathcal{A}v\rho),\mathbb{R}^N_+\backslash Q_+)\geq d(Q_{\epsilon_1,+},\mathbb{R}^N_+\backslash Q_+)\geq 1-\epsilon_1>0
$$
であるから、[[Sobolev空間の基本事項]]の'''定理33.3'''より、$\mathcal{A}v\rho\in H^m(Q_+)$ の $\mathbb{R}^N_+$ 上への $0$ 拡張 $\widetilde{\mathcal{A}v\rho}$ は、
$$
\widetilde{\mathcal{A}v\rho}\in H^m(\mathbb{R}^N_+),\quad \lVert \widetilde{\mathcal{A}v\rho}\rVert_{2,m}=\lVert \mathcal{A}v\rho\rVert_{2,m}
$$
を満たす。よって $(4)$ と'''補題3.7'''と'''補題3.8''' より、
$$
\begin{aligned}
&\lvert \text{$(7)$ の右辺の第三項}\rvert=\left\lvert \int_{Q_+}\mathcal{A}v(x)\rho(x)\partial_{-h}^{\alpha}\overline{u_k}(x)dx\right\rvert
=\left\lvert\int_{\mathbb{R^N}_+}\widetilde{\mathcal{A}v\rho}(x)\partial_{-h}^{\alpha}\overline{u_k}(x)dx\right\rvert\\
&\leq \lVert \widetilde{\mathcal{A}v\rho}\rVert_{2,m}\lVert u_k\rVert_{2,1}=\lVert\mathcal{A}v\rho\rVert_{2,m}\lVert u_k\rVert_{2,1}\leq C_3(\lVert \mathcal{A}v\rVert_{2,m}+\lVert v\rVert_{2,m})\lVert u_k\rVert_{2,1}\quad\quad(8)
\end{aligned}
$$
（ただし $C_3$ は $\rho,m$ のみによる正実数）と評価できる。$(7)$ の右辺の第二項の評価を考える。
$$
\begin{aligned}
&\lvert \text{$(7)$ の右辺の第二項}\rvert=\lvert p(\partial_{-h}^{\alpha}u_k,\rho v)-p(\rho\partial_h^{\alpha}u,v)\rvert\\
&=\left\lvert \sum_{i,j=1}^{N}\left(\int_{Q_+}a_{i,j}(x)\partial_j(\rho v)(x)\partial_{-h}^{\alpha}\partial_i\overline{u_k}(x)dx-\int_{Q_+}a_{i,j}(x)\partial_jv(x)(\partial_i(\rho\partial_{-h}^{\alpha}\overline{u_k}))(x)dx\right)\right\rvert\\
&=\left\lvert \sum_{i,j=1}^{N}\left(\int_{Q_+}a_{i,j}(x)v(x)\partial_j\rho(x)\partial_{-h}^{\alpha}\partial_i\overline{u_k}(x)dx-\int_{Q_+}a_{i,j}(x)\partial_jv(x)\partial_i\rho(x)\partial_{-h}^{\alpha}\overline{u_k}(x)dx\right)\right\rvert\quad\quad(9)
\end{aligned}
$$
であり、$(2)$ より、
$$
a_{i,j}v\partial_j\rho \in H^{m+1}(Q_+),\quad d({\rm supp}(a_{i,j}v\partial_j\rho,\mathbb{R}^N_+\backslash Q_+)\geq d(Q_{\epsilon_1,+},\mathbb{R}^N_+\backslash Q_+)\geq 1-\epsilon_1>0,
$$
$$
a_{i,j}\partial_jv\partial_i\rho\in H^{m}(Q_+),\quad d({\rm supp}(a_{i,j}\partial_jv\partial_i\rho),\mathbb{R}^N_+\backslash Q_+)\geq d(Q_{\epsilon_1,+},\mathbb{R}^N_+\backslash Q_{+})\geq1-\epsilon_1>0
$$
であるから、$a_{i,j}v\partial_j\rho \in H^{m+1}(Q_+)$ の $\mathbb{R}^N_+$ 上への $0$ 拡張 $\widetilde{(a_{i,j}v)}\partial_j\rho $ と、$a_{i,j}\partial_jv\partial_i\rho\in H^m(Q_+)$ の $\mathbb{R}^N_+$ 上への $0$ 拡張 $\widetilde{(a_{i,j}\partial_jv)}\partial_i\rho$ は、[[Sobolev空間の基本事項]]の'''定理33.3'''より、
$$
\widetilde{(a_{i,j}v)}\partial_j\rho \in H^{m+1}(\mathbb{R}^N_+),\quad \lVert \widetilde{(a_{i,j}v)}\partial_j\rho \rVert_{2,m+1}=\lVert a_{i,j}v\partial_j\rho \rVert_{2,m+1},
$$
$$
\widetilde{(a_{i,j}\partial_jv)}\partial_i\rho\in H^m(\mathbb{R}^N_+),\quad \lVert \widetilde{(a_{i,j}\partial_jv)}\partial_i\rho\rVert_{2,m}=\lVert a_{i,j}\partial_jv\partial_i\rho\rVert_{2,m}
$$
を満たす。よって $(9)$ の右辺は'''補題3.7'''と'''補題3.8'''の $(1)$ より、
$$
\begin{aligned}
&\left\lvert \sum_{i,j=1}^{N}\left(\int_{Q_+}a_{i,j}(x)\partial_j(\rho v)(x)\partial_{-h}^{\alpha}\partial_i\overline{u_k}(x)dx-\int_{Q_+}a_{i,j}(x)\partial_jv(x)(\partial_i(\rho\partial_{-h}^{\alpha}\overline{u_k}))(x)dx\right)\right\rvert\\
&=\left\lvert \sum_{i,j=1}^{N}\left(\int_{\mathbb{R}^N_+}\widetilde{(a_{i,j}v)}(x)\partial_j\rho(x)\partial_{-h}^{\alpha}\partial_i\overline{u_k}(x)dx-\int_{\mathbb{R}^N_+}\widetilde{(a_{i,j}\partial_jv)}
(x)\partial_i\rho(x)\partial_{-h}^{\alpha}\overline{u_k}(x)dx\right)\right\rvert\\
&\leq \sum_{i,j=1}^{N}(\lVert\widetilde{(a_{i,j}v)}\partial_j\rho\rVert_{2,m+1}+\lVert \widetilde{(a_{i,j}\partial_jv)}\partial_i\rho\rVert_{2,m})\lVert u_k\rVert_{2,1}\\
&\leq \sum_{i,j=1}^{N}(\lVert a_{i,j}v\partial_j\rho\rVert_{2,m+1}+\lVert a_{i,j}\partial_jv\partial_i\rho\rVert_{2,m})\lVert u_k\rVert_{2,1}\\
&\leq C_2\lVert v\rVert_{2,m+1}\lVert u_k\rVert_{2,1}
\end{aligned}
$$
（ただし $C_2$ は $a_{i,j},\rho,m$ のみによる正実数である）となるので、
$$
\lVert (\text{$(7)$ の右辺の第二項})\rVert\leq C_2\lVert v\rVert_{2,m+1}\lVert u_k\rVert_{2,1}\quad\quad(10)
$$
と評価できる。こうして $(7)$ の右辺の第一項、第二項、第三項はそれぞれ $a_{i,j},b,\rho,\alpha,m$ のみによる正実数 $C_1,C_2,C_3$ により $(6),(10),(8)$ によって評価されるので、$a_{i,j},b,\rho,\alpha,m$ のみによる正実数 $C_4$ が存在し、
$$
\lvert p(u_k,(\partial_h^{\alpha}w)|_{Q_+})\rvert\leq C_4(\lVert \mathcal{A}v\rVert_{2,m}+\lVert v\rVert_{2,m+1})\lVert u_k\rVert_{2,1}\quad(\forall h\in \mathbb{R},0<\lvert h\rvert<\delta,k={\rm a},{\rm b})\quad\quad(11)
$$
が成り立つ。ここで $(1),(3),(4)$ より $0<\lvert h\rvert<\delta$ なる任意の $h\in \mathbb{R}$ に対し、$\partial_h^{\alpha}w\in H^{m+1}(\mathbb{R}^N_+)$ の台は $Q_{\epsilon_2,+}$ に含まれる。そこでUrysohnの補題より $\varphi\in D(Q)$ で $\varphi|_{Q_{\epsilon_2,+}}=1$ なるものを取ると、$({\rm a})$ が成り立つ場合は $w\in H^1_0(\mathbb{R}^N_+)$（[[Sobolev空間の基本事項]]の'''命題32.3'''）より $\partial_h^{\alpha}w\in H^1_0(\mathbb{R}^N_+)$ であるから、
$$
(\partial_h^{\alpha}w)|_{Q_+}=(\varphi\partial_h^{\alpha}w)|_{Q_+}\in H^1_0(Q_+)
$$
が成り立ち、$({\rm b})$ が成り立つ場合は[[Sobolev空間の基本事項]]の'''命題34.3'''より $\partial_h^{\alpha}w\in H^1(\mathbb{R}^N_+)=\overline{D(\mathbb{R}^N)|_{\mathbb{R}^N_+}}^{\lVert \cdot\rVert_{2,1}}$ であるから、
$$
(\partial_h^{\alpha}w)|_{Q_+}=(\varphi\partial_h^{\alpha}w)|_{Q_+}\in \overline{D(Q)|_{Q_+}}^{\lVert \cdot\rVert_{2,1}}
$$
が成り立つ。よって $u_{\rm a}\in D(Q_+), u_{\rm b}\in D(Q)|_{Q_+}$ であることに注意して $(11)$ より、
$$
p((\partial_h^{\alpha}w)|_{Q_+},(\partial_h^{\alpha}w)|_{Q_+})\leq C_4(\lVert \mathcal{A}v\rVert_{2,m}+\lVert v\rVert_{2,m+1})\lVert (\partial_h^{\alpha}w)|_{Q_+}\rVert_{2,1}\quad(\forall h\in\mathbb{R},0<\lvert h\rvert<\delta)
$$
が成り立つ。よって一様楕円性条件（'''定義3.1'''）より、$a_{i,j},b,\rho,\alpha,m$ のみによる正実数 $C_5$ が存在し、
$$
\lVert \partial_h^{\alpha}w\rVert_{2,1}^2=\lVert (\partial_h^{\alpha}w)|_{Q_+}\rVert_{2,1}^2\leq C_5(\lVert \mathcal{A}v\rVert_{2,m}+\lVert v\rVert_{2,m+1})\lVert \partial_h^{\alpha}w\rVert_{2,1}\quad(\forall h\in \mathbb{R},0<\lvert h\rvert<\delta)
$$
が成り立つ。これより、
$$
\lVert \partial_h^{\alpha}\partial_jw\rVert_{2}\leq C_5(\lVert \mathcal{A}v\rVert_{2,m}+\lVert v\rVert_{2,m+1})\quad(\forall h\in \mathbb{R},0<\lvert h\rvert<\delta,\forall j\in \{1,\ldots,N\})
$$
が成り立つので、$(4)$ と'''補題3.8'''の $(2)$ より $\partial^{\alpha}\partial_jw\in L^2(\mathbb{R}^N_+)$ $(j=1,\ldots,N)$ であり、
$$
\lVert \partial^{\alpha}\partial_jw\rVert_2\leq C_5(\lVert \mathcal{A}v\rVert_{2,m}+\lVert v\rVert_{2,m+1})\quad(\forall j\in \{1,\ldots,N\})
$$
が成り立つ。$(2)$ より、
$$
\partial^{\alpha}\partial_jv|_{Q_{\epsilon,+}}=\partial^{\alpha}\partial_jw|_{Q_{\epsilon,+}}\in L^2(Q_{\epsilon,+})\quad(j=1,\ldots,N)
$$
であるから、
$$
\lVert \partial^{\alpha}\partial_jv|_{Q_{\epsilon,+}}\rVert_2\leq \lVert \partial^{\alpha}\partial_jw\rVert_2\leq C_5(\lVert \mathcal{A}v\rVert_{2,m}+\lVert v\rVert_{2,m+1})\quad(\forall j\in \{1,\ldots,N\})\quad\quad(12)
$$
が成り立つ。ここで $\alpha\in \mathbb{Z}_+^N$ は $(4)$ を満たす範囲で任意であるので、$(12)$ より、
$$
\lvert \alpha\rvert\leq m+2,\quad \alpha_N\leq 1
$$
を満たす任意の多重指数 $\alpha\in \mathbb{Z}^N_+$ に対し $\partial^{\alpha}v|_{Q_{\epsilon,+}}\in L^2(Q_{\epsilon,+})$ であり、$\epsilon,a_{i,j},\alpha,m$ のみによる正実数 $C^{(1)}$ が存在し、
$$
\lVert \partial^{\alpha}v|_{Q_{\epsilon,+}}\rVert_2\leq C^{(1)}(\lVert \mathcal{A}v\rVert_{2,m}+\lVert v\rVert_{2,m+1})
$$
が成り立つ。 
今、$n\in \{1,\ldots,m+1\}$ について、
$$
\lvert \alpha\rvert\leq m+2,\quad \alpha_N\leq n
$$
を満たす任意の多重指数 $\alpha\in\mathbb{Z}_+^N$ に対し $\partial^{\alpha}v|_{Q_{+,\epsilon}}\in L^2(Q_{\epsilon,+})$ であり、$\epsilon,a_{i,j},\alpha,m$ のみによるある正実数 $C^{(n)}$ が存在し、
$$
\lVert \partial^{\alpha}v|_{Q_{\epsilon,+}}\rVert_2\leq C^{(n)}(\lVert \mathcal{A}v\rVert_{2,m}+\lVert v\rVert_{2,m+1})
$$
が成り立つと仮定する。一様楕円性条件（'''定義3.1'''）よりある正実数 $c$ が存在し、
$$
a_{N,N}(x)\geq c\quad(\forall x\in Q_+)
$$
が成り立つから、$\frac{1}{a_{N,N}}\colon Q_+\rightarrow \mathbb{R}$ は全ての偏導関数が有界な $C^\infty$ 級関数である。そして $D'(Q_+)$ において、
$$
\partial_N^2v=-\frac{1}{a_{N,N}}\left(\mathcal{A}v+\sum_{(i,j)\neq (N,N)}\partial_i(a_{i,j}\partial_jv)+(\partial_Na_{N,N})\partial_Nv\right)
$$
であるから、仮定より、
$$
\lvert \beta\rvert\leq m,\quad \beta_N\leq n-1
$$
を満たす任意の多重指数 $\beta\in \mathbb{Z}_+^N$ に対し、
$$
\partial^{\beta}\partial_N^2v|_{Q_{\epsilon,+}}\in L^2(Q_{\epsilon,+})
$$
が成り立ち、$\epsilon,a_{i,j},\beta,m$ のみによる正実数 $C^{(n+1)}$ が存在し、
$$
\lVert \partial^{\beta}\partial_N^2v|_{Q_{\epsilon,+}}\rVert_2\leq C^{(n+1)}(\lVert \mathcal{A}v\rVert_{2,m}+\lVert v\rVert_{2,m+1})
$$
が成り立つ。よって帰納法より $v|_{Q_{\epsilon,+}}\in H^{m+2}(Q_{\epsilon,+})$ であり、$\epsilon,a_{i,j},m$ のみによる正実数 $C$ が存在し、
$$
\lVert \partial^{\alpha}v|_{Q_{\epsilon,+}}\rVert_2\leq C(\lVert \mathcal{A}v\rVert_{2,m}+\lVert v\rVert_{2,m+1})\quad(\forall \alpha\in \mathbb{Z}_+^N:\lvert \alpha\rvert\leq m+2)
$$
が成り立つ。
{{end|proof}}

===定義3.13（Dirichret-Neumann混合境界条件付き一様楕円型微分作用素）===
$\Omega\subset \mathbb{R}^N$ を滑らかでコンパクトな境界を持つ開集合で、$\Omega$ か $\mathbb{R}^N\backslash \Omega$ のうちのいずれかが有界であるものとする。そして $\partial\Omega$ は互いに交わらないコンパクト集合 $\partial\Omega_{\rm d}$ と $\partial\Omega_{\rm n}$ の合併（どちらかが空であってもよい）とする。
$$
\gamma\colon H^1(\Omega)\rightarrow L^2(\partial\Omega)
$$
をトレース作用素（[[Sobolev空間の基本事項]]の'''定理37.1'''）とし、
$$
\mathcal{V}\colon=\{v\in H^1(\Omega):\gamma(v)|_{\partial\Omega_{\rm d}}=0\}
$$
とおく。[[Sobolev空間の基本事項]]の'''定理37.2'''より $H^1_0(\Omega)\subset \mathcal{V}\subset H^1(\Omega)$ であり、$\gamma$ が有界線形作用素であることから $\mathcal{V}$ は $H^1(\Omega)$ の閉部分空間である。そこで今、$\Omega$ 上の一様楕円型微分作用素（'''定義3.1'''）
$$
\mathcal{A}\colon D'(\Omega)\ni v\mapsto -\sum_{i,j=1}^{N}\partial_i(a_{i,j}\partial_jv)+bv\in D'(\Omega)
$$
に対し、
$$
p_{\mathcal{A}}(u,v)\colon=\sum_{i,j=1}^{N}\int_{\Omega}a_{i,j}(x)\overline{\partial_iu(x)}\partial_jv(x)dx+\int_{\Omega}b(x)\overline{u(x)}v(x)dx\quad(\forall u,v\in \mathcal{V})
$$
とおき、
$$
D(A)\colon=\{v\in \mathcal{V}: \mathcal{A}v\in L^2(\Omega),p_{\mathcal{A}}(u,v)=(u\mid \mathcal{A}v)_2\text{ }(\forall u\in \mathcal{V})\},
$$
$$
A\colon D(A)\ni v\mapsto \mathcal{A}v\in L^2(\Omega)
$$
とおく。このとき'''定理3.4'''より $A$ はHilbert空間 $L^2(\Omega)$ 上の下に有界な自己共役作用素（[[Hilbert空間上の作用素論]]の'''定義4.1'''と'''定義14.7'''）である。$A$ をDirichlet-Neumann混合境界条件付き一様楕円型微分作用素と言う。特に $\partial\Omega=\partial\Omega_{\rm d}$, すなわち $\mathcal{V}=H^1_0(\Omega)$（[[Sobolev空間の基本事項]]の'''定理37.2'''）であるとき $A$ をDirichlet境界条件付き一様楕円型微分作用素と言い、$\partial\Omega=\partial\Omega_{\rm n}$, すなわち $\mathcal{V}=H^1(\Omega)$ であるとき $A$ をNeumann境界条件付き一様楕円型微分作用素と言う。

===定理3.14（Dirichret-Neumann混合境界条件付き一様楕円型微分作用素の基本性質）===
'''定義3.13'''におけるDirichret-Neumann混合境界条件付き一様楕円型微分作用素 $A\colon D(A)\rightarrow L^2(\Omega)$ を考える。$\lambda_0\colon=\inf_{x\in \Omega} b(x)\in \mathbb{R}$ とおく。このとき、
*$(1)$　$A$ はHilbert空間 $L^2(\Omega)$ 上の下に有界な自己共役作用素であり、そのスペクトル $\sigma(A)$ は $\sigma(A)\subset [\lambda_0,\infty)$ を満たす。また任意の $\lambda\in (-\infty,\lambda_0)$ に対し、
$$
(A-\lambda)^{-1}\in \mathbb{B}(L^2(\Omega),\mathcal{V})\subset \mathbb{B}(L^2(\Omega))
$$
が成り立つ。
*$(2)$　$\Omega$ が有界ならば、$A$ のスペクトル $\sigma(A)$ は純粋に離散的（[[Hilbert空間上の作用素論]]の'''定義14.3'''）である。また $\Omega$ が有界で $A$ がDirichlet境界条件付き一様楕円型微分作用素ならば、$\sigma(A)\subset (\lambda_0,\infty)$ である。
*$(3)$　$\lambda_0\geq0$ ならば $A$ はHilbert空間 $L^2(\Omega)$ 上の非負自己共役作用素であり、
$$
\mathcal{V}=D(\sqrt{A}),\quad p_{\mathcal{A}}(u,v)=(\sqrt{A}u\mid \sqrt{A}v)_2
$$
が成り立つ。
*$(4)$　$v\in D(A)$ が $m\in \mathbb{Z}_+$ に対し $Av\in H^m(\Omega)$ を満たすならば、$v\in H^{m+2}(\Omega)$ が成り立つ。さらに $A$ と $m$ のみによる正実数 $C$ が存在し、
$$
\lVert v\rVert_{2,m+2}\leq C(\lVert Av\rVert_{2,m}+\lVert v\rVert_2)
$$
が成り立つ。
*$(5)$　$\nu=(\nu_1,\ldots,\nu_N)\colon \partial\Omega\rightarrow\mathbb{R}^N$ を外向き単位法線ベクトル場とすると、
$$
D(A)=\left\{v\in H^2(\Omega):\gamma(v)|_{\partial\Omega_{\rm d}}=0,\left(\sum_{i,j=1}^{N}\nu_i\gamma(a_{i,j}\partial_jv)\right)\Big|_{\partial\Omega_{\rm n}}=0\right\}
$$
が成り立つ。特に $\mathcal{A}=-\Delta$（ラプラシアン）の場合は、
$$
D(A)=\left\{v\in H^2(\Omega):\gamma(v)|_{\partial\Omega_{\rm d}}=0, \frac{\partial v}{\partial\nu}\Big|_{\partial\Omega_{\rm n}}=0\right\}
$$
が成り立つ。ただし $\frac{\partial v}{\partial\nu}$ は外向き法線微分（'''定義3.2'''）である。
*$(6)$　$v\in D(A)$ が $A$ の固有ベクトルならば、
$$
v\in \bigcap_{m\in\mathbb{N}}H^m(\Omega)
$$
が成り立ち、$v$ は全ての偏導関数が有界な $C^\infty$ 級関数である。
{{begin|proof}}
$(1),(2),(3)$ は '''定理3.4'''による。 
$(4)$ を示す。$m\in \mathbb{Z}_+$ に関する帰納法より $v\in D(A)$ が $m\in \mathbb{Z}_+$ に対して、
$$
Av\in H^m(\Omega),\quad v\in H^{m+1}(\Omega)
$$
を満たすと仮定して $v\in H^{m+2}(\Omega)$ が成り立つことと、$A,m$ のみによる正実数 $C$ が存在し、
$$
\lVert v\rVert_{2,m+2}\leq C(\lVert Av\rVert_{2,m}+\lVert v\rVert_{2,m+1})\quad\quad(*)
$$
が成り立つことを示せば十分である。<ref>一様楕円性条件よりある正実数$c$が存在し任意の$v\in D(A)$に対し$\lVert v\rVert_{2,1}\leq c(\lVert Av\rVert_2+\lVert v\rVert_2)$が成り立つことに注意。実際、'''定理3.4'''の$(1)$の証明の冒頭部分より、$\lambda<\lambda_0$ なる$\lambda$をとれば、$(v\mid (A-\lambda)v)_2=p_{{\cal A}-\lambda}(v,v)\geq c'\lVert v\rVert_{2,1}^2$ なる正実数$c'$が存在する。</ref>
滑らかな境界を持つ開集合の定義（[[ベクトル解析5：多様体の向き]]の'''定義21.3'''）と $\partial\Omega$ のコンパクト性より、$\mathbb{R}^N$ の有限個の局所座標 $( (U_i,\Phi_i))_{i=1,\ldots,\ell}$ で次を満たすものが取れる。
*$({\rm a})$　$\partial\Omega\subset \bigcup_{i=1}^{\ell}U_i$.
*$({\rm b})$　各$i\in \{1,\ldots,\ell\}$ に対し、$U_i$ は $\partial\Omega_{\rm d}$ か $\partial\Omega_{\rm n}$ のうちのいずれか一方としか交わらず、
$$
\Phi_i(U_i)=Q,\quad\Phi_i(U_i\cap\Omega)=Q_+,\quad
\Phi_i(U_i\cap\partial\Omega)=(-1,1)^{N-1}\times\{0\}.
$$
*$({\rm c})$　各 $i\in \{1,\ldots,\ell\}$ に対し $\Phi_i,\Phi_i^{-1}$ の全ての偏導関数は有界。

$({\rm a})$ の左辺はコンパクト集合、右辺は開集合であるから閉包がコンパクトな開集合 $D$ で、
$$
\partial\Omega\subset D\subset \overline{D}\subset \bigcup_{i=1}^{\ell}U_i
$$
を満たすものが取れる。よって $1$ の分割（[[ベクトル解析4：Euclid空間内の多様体上の測度と積分]]の'''系15.6'''）より $h_i\in D(U_i)$ $(i=1,\ldots,\ell )$ で、
$$
\sum_{i=1}^{\ell}h_i(x)=1\quad(\forall x\in D)\quad\quad(**)
$$
を満たすものが取れる。
$$
h_0\colon=1-\sum_{i=1}^{\ell}h_i\in C^\infty(\mathbb{R}^N)
$$
とおく。
$\partial\Omega$ は開集合 $D$ に含まれるコンパクト集合なので[[超関数の定義と基本操作]]の'''命題2.2'''の $(4)$ より、
$$
d(\partial\Omega,\text{ }\mathbb{R}^N\backslash D)>0
$$
であり、${\rm supp}(h_0)\subset \mathbb{R}^N\backslash D$ であるから、
$$
d({\rm supp}(h_0),\text{ }\mathbb{R}^N\backslash\Omega)=d({\rm supp}(h_0),\text{ }\partial\Omega)\geq d(\mathbb{R}^N\backslash D,\text{ }\partial\Omega)>0
$$
である。よって'''補題3.10'''より $h_0v\in H^{m+2}(\Omega)$ であり、$h_0,\mathcal{A},m$ のみによる正実数 $C_0$ が存在して、
$$
\lVert h_0v\rVert_{2,m+2}\leq C_0(\lVert Av\rVert_{2,m}+\lVert v\rVert_{2,m+1})\quad\quad(***)
$$
が成り立つ。任意の $i\in \{1,\ldots,\ell\}$ を取り固定する。以後、しばらく $\Phi_i,U_i,h_i$ などは $\Phi,U,h$ と表す。$\Psi\colon U\cap\Omega\rightarrow Q_+$ を $\Phi$ の $U\cap\Omega$ 上への制限とし、$({\rm c})$ と[[Sobolev空間の基本事項]]の'''命題31.2'''に注意して、
$$
v^*\colon=v\circ\Psi^{-1}\in H^{m+1}(Q_+),
$$
$$
c_{k,l}\colon=\left(\sum_{i,j}(a_{i,j}\partial_j\Psi_l\partial_i\Psi_k)\circ\Psi^{-1}\right)\lvert {\rm det}{\Psi^{-1}}'\rvert \in C^\infty(Q_+)\quad(\forall k,l\in \{1,\ldots,N\}),
$$
$$
f\colon=(Av-bv)\circ\Psi^{-1}\lvert {\rm det}{\Psi^{-1}}'\rvert\in H^m(Q_+)
$$
と定義する。このとき $({\rm c})$ より $\Psi, \Psi^{-1}$ の全ての偏導関数は有界であるから、
$$
\mathcal{B}\colon D'(Q_+)\ni u\mapsto -\sum_{k,l}\partial_k(c_{k,l}\partial_lu)\in D'(Q_+)
$$
は一様楕円型作用素（'''定義3.1'''）であることが分かる。
$$
q(u,w)\colon=\sum_{k,l}\int_{Q_+}c_{k,l}(x)\partial_k\overline{u}(x)\partial_lw(x)dx\quad(\forall u,w\in H^1(Q_+))
$$
とおく。$U$ が $\partial\Omega_{\rm d}$ と交わらない場合、任意の $u\in D(Q)|_{Q_+}$ に対し $u\circ\Psi\in D(U)|_{\Omega}\subset \mathcal{V}$であるから、変数変換公式（[[測度と積分8：Lebesgue測度の基本的性質]]の'''補題40.3'''）より、
$$
\begin{aligned}
q(u,v^*)&=\sum_{i,j}\int_{U\cap \Omega}a_{i,j}(x)\partial_i(\overline{u}\circ\Psi)(x)\partial_jv(x)dx
=\sum_{i,j}\int_{\Omega}a_{i,j}(x)\partial_i(\overline{u}\circ\Psi)(x)\partial_jv(x)dx\\
&=p_{\mathcal{A}-b}(u\circ\Psi,v)=\int_{\Omega}(\overline{u}\circ\Psi)(x)(Av-bv)(x)dx=\int_{Q_+}\overline{u}(x)f(x)dx
\end{aligned}
$$
となる。よってこのとき $v^*$ は'''補題3.12'''の条件 $({\rm b})$ を満たす。一方、$U$ が $\partial\Omega_{\rm d}$ と交わるとき、任意の $\rho\in D(U)\subset D(\mathbb{R}^N)$ に対し $\gamma(\rho v)=\rho \gamma(v)=0$ であるので[[Sobolev空間の基本事項]]の'''定理37.2'''より $\rho v\in H^1_0(\Omega)$ であり、$\rho v$ は $(\rho v)|_{U\cap \Omega}$ の $\Omega$ 上への $0$ 拡張で、
$$
d({\rm supp}(\rho v),\text{ }\Omega\backslash (U\cap \Omega))\geq d({\rm supp}(\rho),\text{ }\Omega\backslash U)\geq d({\rm supp}(\rho),\text{ }\mathbb{R}^N\backslash U)>0
$$
であるから、[[Sobolev空間の基本事項]]の'''定理33.3'''より、$(\rho v)|_{U\cap \Omega}\in H^1_0(U\cap \Omega)$ である。よって任意の $\rho^*\in D(Q)$ に対し $\rho^*v^*\in H^1_0(Q_+)$ であるから、$v^*$ は'''補題3.12'''の条件 $({\rm a})$ を満たす。${\rm supp}(h)\subset U$ のコンパクト性よりある $\epsilon\in (0,1)$ に対し ${\rm supp}(h\circ \Psi^{-1})\subset Q_{\epsilon,+}$ となるから、'''補題3.12'''より $(h\circ\Psi^{-1})v^*\in H^{m+2}(Q_+)$ であり、$h,\Psi,c_{k,l},m$ のみによるある正実数 $C$ が存在して、
$$
\lVert (h\circ\Psi^{-1})v^*\rVert_{2,m+2}\leq C(\lVert f\rVert_{2,m}+\lVert v^*\rVert_{2,m+1})
$$
が成り立つ。よって[[Sobolev空間の基本事項]]の'''命題31.2'''より $hv\in H^{m+2}(U\cap\Omega)$ であり、$h,\Psi,a_{i,j},b,m$ のみによる正実数 $C'$ が存在して、
$$
\lVert (hv)|_{U\cap\Omega}\rVert_{2,m+2}\leq C'(\lVert Av\rVert_{2,m}+\lVert v\rVert_{2,m+1})
$$
が成り立つ。${\rm supp}(h)\subset U$ のコンパクト性より、
$$
d({\rm supp}((hv)|_{U\cap\Omega}),\text{ }\Omega\backslash (U\cap \Omega))\geq d({\rm supp}(h),\text{ }\mathbb{R}^N\backslash U)>0
$$
であるから、[[Sobolev空間の基本事項]]の'''定理33.3'''より $(hv)|_{U\cap\Omega}$ の $\Omega$ 上への $0$ 拡張である $hv$ は $H^{m+2}(\Omega)$ に属し、
$$
\lVert hv\rVert_{2,m+2}=\lVert (hv)|_{U\cap\Omega}\rVert_{2,m+2}\leq C'(\lVert Av\rVert_{2,m}+\lVert v\rVert_{2,m+1})
$$
が成り立つ。よって任意の $i\in \{1,\ldots,\ell\}$ に対し $h_iv\in H^{m+2}(\Omega)$ であり、$h_i,\Phi_i,\mathcal{A},m$ のみによる正実数 $C_i$ が存在し、
$$
\lVert h_iv\rVert_{2,m+2}=\leq C_i(\lVert Av\rVert_{2,m}+\lVert v\rVert_{2,m+1})\quad\quad(****)
$$
が成り立つ。以上より $h_0v, h_1v,\ldots,h_{\ell}v\in H^{m+2}(\Omega)$ であるから、$(**)$ より、
$$
v=\sum_{i=1}^{\ell}h_iv\in H^{m+2}(\Omega)
$$
であり、$(***),(****)$ より、$\Omega,\mathcal{A},m$ のみによる正実数 $C$ が存在し、$(*)$ が成り立つ。 
$(5)$ を示す。$(4)$ より $D(A)\subset H^2(\Omega)$ であるから、
$$
\begin{aligned}
D(A)&=\{v\in \mathcal{V}:\mathcal{A}v\in L^2(\Omega), \text{ }p(u,v)=(u\mid \mathcal{A}v)_2\text{ }(\forall u\in \mathcal{V})\}\\
&=\left\{v\in H^2(\Omega): \gamma(v)|_{\partial\Omega_{\rm d}}=0,\text{ }\sum_{i,j=1}^{N}\int_{\Omega}a_{i,j}(x)\partial_i\overline{u}(x)\partial_jv(x)+\overline{u}(x)\partial_i(a_{i,j}\partial_jv)(x)dx=0\text{ }(\forall u\in \mathcal{V})\right\}
\end{aligned}
$$
であり、$v\in H^2(\Omega)$ と $u\in\mathcal{V}$ に対しGaussの発散定理のSobolev空間版（'''定理2.3'''の $(2)$ と'''定理2.4'''の $(1)$）より、
$$
\begin{aligned}
\sum_{i,j=1}^{N}\int_{\Omega}a_{i,j}(x)\partial_i\overline{u}(x)\partial_jv(x)+\overline{u}(x)\partial_i(a_{i,j}\partial_jv)(x)dx=\sum_{i,j=1}^{N}\int_{\partial\Omega}\gamma(\overline{u})(x)\gamma(a_{i,j}\partial_jv)(x)\nu_i(x)d\mu_{\partial\Omega}(x)
\end{aligned}
$$
であるから、
$$
\begin{aligned}
D(A)&=\left\{v\in H^2(\Omega): \gamma(v)|_{\partial\Omega_{\rm d}}=0,\text{ }\sum_{i,j=1}^{N}\int_{\partial\Omega}\gamma(\overline{u})(x)\gamma(a_{i,j}\partial_jv)(x)\nu_i(x)d\mu_{\partial\Omega}(x)=0\text{ }(\forall u\in \mathcal{V})\right\}\\
&=\left\{v\in H^2(\Omega): \gamma(v)|_{\partial\Omega_{\rm d}}=0,\text{ }\sum_{i,j=1}^{N}\int_{\partial\Omega_{\rm n}}\gamma(\overline{u})(x)\gamma(a_{i,j}\partial_jv)(x)\nu_i(x)d\mu_{\partial\Omega}(x)=0\text{ }(\forall u\in \mathcal{V})\right\}
\end{aligned}
$$
である。$\partial\Omega_{\rm d}$ と $\partial\Omega_{\rm n}$ は互いに交わらないコンパクト集合であるから、Urysohnの補題（[[ベクトル解析4：Euclid空間内の多様体上の測度と積分]]の'''定理15.5'''）より、
$$
\{\gamma(u):u\in \mathcal{V}\}
$$
は $\partial\Omega_{\rm n}$ 上の全ての多項式を含む。よってStone-Weierstrassの定理（[[測度と積分7：局所コンパクトHausdorff空間上のRadon測度]]の'''定理35.4'''）と $L^2(\partial\Omega_{\rm n},\mu_{\partial\Omega})$ における $C(\partial\Omega_{\rm n})$ の稠密性（[[測度と積分7：局所コンパクトHausdorff空間上のRadon測度]]の'''定理31.5'''と定理'''32.1'''）より、
$$
\begin{aligned}
D(A)&=\left\{v\in H^2(\Omega): \gamma(v)|_{\partial\Omega_{\rm d}}=0,\text{ }\sum_{i,j=1}^{N}\int_{\partial\Omega}\gamma(\overline{u})(x)\gamma(a_{i,j}\partial_jv)(x)\nu_i(x)d\mu_{\partial\Omega_{\rm n}}(x)=0\text{ }(\forall u\in \mathcal{V})\right\}\\
&=\left\{v\in H^2(\Omega): \gamma(v)|_{\partial\Omega_{\rm d}}=0,\text{ }\sum_{i,j=1}^{N}\int_{\partial\Omega_{\rm n}}f(x)\gamma(a_{i,j}\partial_jv)(x)\nu_i(x)d\mu_{\partial\Omega}(x)=0\text{ }(\forall f\in C(\partial\Omega_{\rm n}))\right\}\\
&=\left\{v\in H^2(\Omega):\gamma(v)|_{\partial\Omega_{\rm d}}=0,\text{ }\left(\sum_{i,j=1}^{N}\gamma(a_{i,j}\partial_jv)\nu_i\right)\Big|_{\partial\Omega_{\rm n}}=0\right\}
\end{aligned}
$$
を得る。$\mathcal{A}=-\Delta$ の場合は $a_{i,j}=\delta_{i,j}$ であるから、
$$
\sum_{i,j=1}^{N}\gamma(a_{i,j}\partial_jv)\nu_i=\sum_{j=1}^{N}\gamma(\partial_jv)\nu_j=\gamma(\nabla v)\cdot \nu=\frac{\partial v}{\partial\nu}
$$
であるので、
$$
D(A)=\left\{v\in H^2(\Omega):\gamma(v)|_{\partial\Omega_{\rm d}}=0,\text{ }\left(\frac{\partial v}{\partial\nu}\right)\Big|_{\partial\Omega_{\rm n}}=0\right\}
$$
である。 
$(6)$ を示す。$v\in D(A)$ が固有値 $\lambda$ の固有ベクトルならば $(4)$ より、
$$
Av=\lambda v\in D(A)\subset H^2(\Omega)
$$
であるから、再び $(4)$ より $v\in H^4(\Omega)$ を得る。さらに $(4)$ より $v\in H^6(\Omega)$ を得る。同様に $(4)$ を繰り返し適用すれば、
$$
v\in \bigcap_{m\in \mathbb{N}}H^m(\Omega)
$$
を得る。Sobolevの埋め込み定理（[[Sobolev空間の基本事項]]の'''定理38.4'''）より $v$ は全ての偏導関数が有界な $C^\infty$ 級関数である。
{{end|proof}}

==4. 調和関数の球面平均、球平均の性質と最大値の原理==

===定義4.1（球面平均と球平均）===
$\Omega\subset \mathbb{R}^N$ を開集合、$u\colon\Omega\rightarrow\mathbb{R}^N$ を連続関数とする。$x\in \Omega$ と $r\in (0,\infty)$ で、
$$
\overline{B(x,r)}=\{y\in \mathbb{R}^N:\lvert y-x\rvert\leq r\}\subset \Omega
$$
を満たすものを対し、
$$
S(u,x,r)\colon=\frac{1}{\lvert\partial B(x,r)\rvert}\int_{\partial B(x,r)}u(y)d\mu_{\partial B(x,r)}(y)
$$
を $u$ の球面 $\partial B(x,r)$ における球面平均と言う。ただし $\mu_{\partial B(x,r)}$ は超曲面 $\partial B(x,r)=\{y\in \mathbb{R}^N:\lvert y-x\rvert=r\}$ の面積測度（[[ベクトル解析4：Euclid空間内の多様体上の測度と積分]]の'''定義16.8'''）であり、$\lvert \partial B(x,r)\rvert=\mu_{\partial B(x,r)}(\partial B(x,r))$ である。また、
$$
K(u,x,r)\colon=\frac{1}{\lvert B(x,r)\rvert}\int_{B(x,r)}u(y)dy
$$
を $u$ の球 $B(x,r)$ における球平均と言う。

===注意4.2===
任意の $x\in \mathbb{R}^N$ と $r\in (0,\infty)$ に対し [[測度と積分8：Lebesgue測度の基本的性質]]の'''命題7.3'''より、
$$
\lvert B(x,r)\rvert=r^{N}\lvert B(0,1)\rvert
$$
であり、
$$
K(u,x,r)=\frac{1}{\lvert B(x,r)\rvert}\int_{B(x,r)}u(y)dy=\frac{1}{\lvert B(0,1)\rvert}\int_{B(0,1)}u(x+ry)dy,
$$
である。また超曲面間の $C^\infty$ 級同相写像 $\partial B(0,1)\ni y\mapsto x+ry\in \partial B(x,r)$ に対する変数変換公式（[[ベクトル解析4：Euclid空間内の多様体上の測度と積分]]の'''補題17.4'''）より、
$$
\lvert \partial B(x,r)\rvert=r^{N-1}\lvert \partial B(0,1)\rvert
$$
であり、
$$
S(u,x,r)=\frac{1}{\lvert \partial B(x,r)\rvert}\int_{\partial B(x,r)}u(y)d\mu_{\partial B(x,r)}(y)
=\frac{1}{\lvert \partial B(0,1)\rvert}\int_{\partial B(0,1)}u(x+ry)d\mu_{\partial B(0,1)}(y)
$$
である。そして極座標変換（[[ベクトル解析4：Euclid空間内の多様体上の測度と積分]]の'''定理18.4'''）より、
$$
\lvert B(0,1)\rvert=\int_{0}^{1}\int_{\partial B(0,1)}r^{N-1}d\mu_{\partial B(0,1)}(y)dr=\frac{1}{N}\lvert \partial B(0,1)\rvert
$$
である。

===命題4.3（球面平均と球平均の基本性質）===
$\Omega\subset \mathbb{R}^N$ を開集合、$u\colon \Omega\rightarrow \mathbb{C}$ を連続関数とし、$x\in \Omega$ と $r\in (0,\infty)$ を $\overline{B(x,R)}=\{y\in \mathbb{R}^N:\lvert y-x\rvert\leq R\}\subset \Omega$ を満たすものとする。このとき、
*$(1)$　$(0,R]\ni r\mapsto S(u,x,r)\in \mathbb{C}$, $(0,R]\ni r\mapsto K(u,x,r)\in \mathbb{C}$ は連続関数であり、
$$
\lim_{r\rightarrow+0}S(u,x,r)=u(x),\quad \lim_{r\rightarrow+0}K(u,x,r)=u(x)
$$
が成り立つ。
*$(2)$　任意の $r_0\in (0,R]$ に対し、
$$
K(u,x,r_0)=\frac{N}{r_0^N}\int_{0}^{r_0}r^{N-1}S(u,x,r)dr
$$
が成り立つ。また、
$$
\frac{d}{dr}K(u,x,r)=\frac{N}{r}(S(u,x,r)-K(u,x,r))\quad(\forall r\in (0,R])
$$
が成り立つ。
*$(3)$　$u\in C^1(\Omega)$ ならば、任意の $r\in (0,R]$ に対し、
$$
\frac{d}{dr}S(u,x,r)=\frac{1}{\lvert \partial B(x,r)\rvert}\int_{\partial B(x,r)}\nabla u(y)\cdot\frac{y-x}{r}d\mu_{\partial B(x,r)}(y)
$$
が成り立つ。
*$(4)$　$u\in C^2(\Omega)$ ならば、
$$
\frac{d}{dr}S(u,x,r)=\frac{r}{N}K(\Delta u,x,r)\quad(\forall r\in (0,R])
$$
が成り立つ。
{{begin|proof}}
*$(1)$　
$$
K(u,x,r)=\frac{1}{\lvert B(0,1)\rvert}\int_{B(0,1)}u(x+ry)dy,
$$
$$
S(u,x,r)=\frac{1}{\lvert \partial B(0,1)\rvert}\int_{\partial B(0,1)}u(x+ry)d\mu_{\partial B(0,1)}(y)
$$
であることとLebesgue優収束定理による。
*$(2)$　極座標変換と'''注意4.2'''より、
$$
\begin{aligned}
K(u,x,r_0)&=\frac{1}{\lvert B(x,r_0)\rvert}\int_{0}^{r_0}\int_{\partial B(0,1)}r^{N-1}u(x+ry)d\mu_{\partial B(0,1)}(y)dr\\
&=\frac{N}{r_0^N}\int_{0}^{r_0}\frac{1}{\lvert \partial B(0,1)\rvert}\int_{\partial B(0,1)}r^{N-1}u(x+ry)d\mu_{\partial B(0,1)}(y)dr\\
&=\frac{N}{r_0^N}\int_{0}^{r_0}r^{N-1}S(u,x,r)dr
\end{aligned}
$$
である。右辺の被積分関数 $(0,R]\ni r\mapsto r^{N-1}S(u,x,r)\in \mathbb{C}$ は $(1)$ より連続なので、
$$
\begin{aligned}
\frac{d}{dr}K(u,x,r_0)&=\frac{N}{r_0^N}(r_0^{N-1}S(u,x,r_0))-\frac{N^2}{r_0^{N+1}}\int_{0}^{r_0}r^{N-1}S(u,x,r)dr\\
&=\frac{N}{r_0}(S(u,x,r_0)-K(u,x,r_0))
\end{aligned}
$$
となる。
*$(3)$　'''注意4.2'''とLebesgue優収束定理より、
$$
\frac{d}{dr}S(u,x,r)=\frac{1}{\lvert \partial B(0,1)\rvert}\int_{\partial B(0,1)}(\nabla u(x+ry)\cdot y)d\mu_{\partial B(0,1)}(y)
$$
であり、$C^\infty$ 級同相写像 $\partial B(x,r)\ni y\mapsto \frac{y-x}{r}\in\partial B(0,1)$ に関する変数変換公式（[[ベクトル解析4：Euclid空間内の多様体上の測度と積分]]の'''補題17.4'''）より、
$$
\frac{1}{\lvert \partial B(0,1)\rvert}\int_{\partial B(0,1)}(\nabla u(x+ry)\cdot y)d\mu_{\partial B(0,1)}(y)
=\frac{1}{\lvert \partial B(x,r)\rvert}\int_{\partial B(x,r)}\nabla u(y)\cdot \frac{y-x}{r}d\mu_{\partial B(x,r)}(y)
$$
であるから成り立つ。
*$(4)$　$\partial B(x,r)\ni y\mapsto \frac{y-x}{r}\in \mathbb{R}^N$ は $B(x,r)$ の境界上の外向き単位法線ベクトル場（[[ベクトル解析5：多様体の向き]]の'''定義22.1'''）であるから、Gaussの発散定理（'''定理2.3'''の $(1)$ ）と $(3)$、および'''注意4.2'''より、
$$
\begin{aligned}
K(\Delta u,x,r)&=\frac{1}{\lvert B(x,r)\rvert}\int_{B(x,r)}\Delta u(y)dy=\frac{1}{\lvert B(x,r)\rvert}\int_{\partial B(x,r)}\nabla u(y)\cdot \frac{y-x}{r}d\mu_{\partial B(0,1)}(y)\\
&=\frac{\lvert \partial B(x,r)\rvert}{\lvert B(x,r)\rvert}\frac{d}{dr}S(u,x,r)
=\frac{N}{r}\frac{d}{dr}S(u,x,r)
\end{aligned}
$$
となる。
{{end|proof}}

===定義4.4（調和関数）===
$\Omega\subset \mathbb{R}^N$ を開集合とする。$u\in C^\infty(\Omega)$ で $\Delta u=0$ を満たすものを $\Omega$ 上の調和関数と言う。

===注意4.5（正則関数の実部と虚部は調和関数）===
$\Omega\subset \mathbb{C}$ を開集合、$u\colon \Omega\rightarrow\mathbb{C}$ を正則関数とする。$u$ の実部と虚部 $u_1,u_2\colon \Omega\rightarrow\mathbb{R}$ は、$\mathbb{C}=\mathbb{R}^2$ とみなしたとき、それぞれ調和関数である。実際、Cauchy-Riemannの関係式（[[複素解析の初歩]]の'''定理1.6'''）より、
$$
\partial_1u_1=\partial_2u_2,\quad \partial_1 u_2=-\partial_2u_1
$$
であり、正則関数は何回でも複素微分可能である（[[複素解析の初歩]]の'''定理6.1'''）から $u\in C^\infty(\Omega)$ で、
$$
\Delta u_1=\partial_1^2u_1+\partial_2^2u_1=\partial_1\partial_2u_2-\partial_2\partial_1u_2=0,
$$
$$
\Delta u_2=\partial_1^2u_2+\partial_2^2u_2=-\partial_1\partial_2u_1+\partial_2\partial_1u_1=0
$$
である。

===定理4.6（調和関数の球面平均、球平均による特徴付け）===
$\Omega\subset \mathbb{R}^N$ を開集合、$u\colon \Omega\rightarrow\mathbb{C}$ を連続関数とする。このとき次は互いに同値である。
*$(1)$　$\overline{B(x,r)}=\{y\in \mathbb{R}^N:\lvert y-x\rvert\leq r\}\subset \Omega$ なる任意の $x\in \Omega$ と $r\in (0,\infty)$ に対し $u(x)=S(u,x,r)$ が成り立つ。
*$(2)$　$\overline{B(x,r)}=\{y\in \mathbb{R}^N:\lvert y-x\rvert\leq r\}\subset \Omega$ なる任意の $x\in \Omega$ と $r\in (0,\infty)$ に対し $u(x)=K(u,x,r)$ が成り立つ。
*$(3)$　$u$ は $\Omega$ 上の調和関数である。
*$(4)$　$\Omega$ 上の超関数（$D'(\Omega)$ の元）として $\Delta u=0$ が成り立つ。
{{begin|proof}}
$(1)\Leftrightarrow(2)$ を示す。$(1)$ が成り立つならば、任意の $\overline{B(x,r_0)}\subset \Omega$ に対し、'''命題4.3'''の $(2)$ の上の式より、
$$
K(u,x,r_0)=\frac{N}{r_0^N}\int_{0}^{r_0}r^{N-1}S(u,x,r)dr=\frac{N}{r_0^N}\int_{0}^{r_0}r^{N-1}u(x)dr=u(x)
$$
であるから $(2)$ が成り立つ。逆に $(2)$ が成り立つならば、任意の $\overline{B(x,r)}\subset \Omega$ に対し、'''命題4.3'''の $(2)$ の下の式より、
$$
0=\frac{d}{dr}K(u,x,r)=\frac{N}{r}(S(u,x,r)-K(u,x,r))=\frac{N}{r}(S(u,x,r)-u(x))
$$
であるから $(1)$ が成り立つ。 
$(1)\Rightarrow(3)$ を示す。$(1)$ が成り立つとする。
$$
\overline{B(x_0,r_0+\epsilon_0)}=\{y\in \mathbb{R}^N:\lvert y-x\rvert\leq r_0+\epsilon_0\}\subset \Omega\quad\quad(*)
$$
なる任意の $x_0\in\Omega$ と $r_0,\epsilon_0\in (0,\infty)$ を取り固定する。$(3)$ が成り立つことを示すには $B(x_0,r_0)$ 上で $u$ が $C^\infty$ 級であることと $\Delta u(x_0)=0$ が成り立つことを示せば十分である。Urysohnの補題より連続関数 $v\colon \mathbb{R}^N\rightarrow \mathbb{C}$ で、
$$
v(x)=u(x)\quad(\forall x\in \overline{B(x_0,r_0+\epsilon_0)})\quad\quad(**)
$$
を満たすものが取れる。$(\psi_{\epsilon})_{\epsilon\in (0,\infty)}$ をFriedrichsの軟化子（[[合成積とFourier変換]]の'''定義26.1'''）とし、
$$
\rho(r)\colon=\psi_{\epsilon_0}(r\omega)\quad(\forall r\in (0,\infty),\omega\in \partial B(0,1))
$$
と表すこととすると<ref>Friedrichsの軟化子の定義（[[合成積とFourier変換]]の'''定義26.1'''）より、$\lvert x\rvert=\lvert y\rvert$ ならば $\psi_{\epsilon_0}(x)=\psi_{\epsilon_0}(y)$ であることに注意。</ref>、任意の $x\in B(x_0,r_0)$ に対し、極座標変換（[[ベクトル解析4：Euclid空間内の多様体上の測度と積分]]の'''定理18.4'''）より、
$$
\begin{aligned}
(2\pi\epsilon)^{\frac{N}{2}}(\psi_{\epsilon_0}*v)(x)&=\int_{\mathbb{R}^N}\psi_{\epsilon_0}(y)v(x-y)dy
=\int_{\lvert y\rvert\leq\epsilon_0}\psi_{\epsilon_0}(y)u(x-y)dy\\
&=\int_{0}^{\epsilon_0}r^{N-1}\rho(r)\int_{\partial B(0,1)}u(x-r\omega)d\mu_{\partial B(0,1)}(\omega)dr\\
&=\int_{0}^{\epsilon_0}r^{N-1}\rho(r)u(x)\lvert \partial B(0,1)\rvert dr\\
&=\int_{0}^{\epsilon_0}r^{N-1}u(x)\int_{\partial B(0,1)}\psi_{\epsilon_0}(r\omega)d\mu_{\partial B(0,1)}(\omega)dr\\
&=\int_{\lvert y\rvert\leq\epsilon_0}\psi_{\epsilon_0}(y)u(x)dy=(2\pi)^{\frac{N}{2}}u(x)
\end{aligned}
$$
となる。ここで $4$ 番目の等号において $(1)$ が成り立つことを用いた。よって、
$$
u(x)=(\psi_{\epsilon_0}*v)(x)\quad(\forall x\in B(x_0,r_0))
$$
であり、$\psi_{\epsilon_0}*v\in C^\infty(\mathbb{R}^N)$ である（[[合成積とFourier変換]]の'''命題23.3'''）から、$u$ は $B(x_0,r_0)$ 上で $C^\infty$ 級である。$(1)$ が成り立つことと'''命題4.3'''の $(4)$ より、
$$
0=\frac{d}{dr}S(u,x_0,r)=\frac{r}{N}K(\Delta u,x_0,r)\quad(\forall r\in (0,r_0))
$$
であるから、'''命題4.3'''の $(1)$ より、
$$
\Delta u(x_0)=\lim_{r\rightarrow+0}K(\Delta u,x_0,r)=0.
$$
ゆえに $(3)$ が成り立つ。 
$(3)\Rightarrow(4)$ は自明である。 
$(4)\Rightarrow(1)$ を示す。$(4)$ が成り立つとする。$(*)$ を満たす任意の $x_0\in \Omega$ と $r_0,\epsilon_0\in (0,\infty)$ を取り、
$$
u(x_0)=S(u,x_0,r_0)
$$
が成り立つことを示せばよい。$(**)$ を満たす連続関数 $v\colon \mathbb{R}^N\rightarrow\mathbb{C}$ を取り、$(\psi_{\epsilon})_{\epsilon\in (0,\infty)}$ をFriedrichsの軟化子とすると、[[合成積とFourier変換]]の'''命題23.5 '''より、
$$
{\rm supp}(\psi_{\epsilon}*\varphi)\subset {\rm supp}(\psi_{\epsilon})+{\rm supp}(\varphi)\subset B(x_0,r_0+\epsilon_0)\quad(\forall \epsilon\in (0,\epsilon_0],\forall \varphi\in D(B(x_0,r_0)))
$$
であるから、任意の $\epsilon\in (0,\epsilon_0]$, 任意の $\varphi\in D(B(x_0,r_0))$ に対し、$v, \psi_{\epsilon}*\varphi$ を超関数とみなして、
$$
\begin{aligned}
&\Delta(\psi_{\epsilon}*v)(\varphi)=(\psi_{\epsilon}*v)(\Delta \varphi)=v(\psi_{\epsilon}*\Delta \varphi)=v(\Delta(\psi_{\epsilon}*\varphi))\\
&=u(\Delta (\psi_{\epsilon}*\varphi))=\Delta u(\psi_{\epsilon}*\varphi)=0
\end{aligned}
$$
となる。ただし $2$ 番目と $3$ 番目の等号でそれぞれ[[合成積とFourier変換]]の'''命題23.8'''と'''命題23.3'''を用いた。よって $\psi_{\epsilon}*v\in C^\infty(\mathbb{R}^N)$ は、
$$
\Delta(\psi_{\epsilon}*v)(x)=0\quad(\forall \epsilon\in (0,\epsilon_0],\forall x\in B(x_0,r_0))
$$
を満たすので、'''命題4.3'''の $(4)$ より、
$$
\frac{d}{dr}S((\psi_{\epsilon}*v),x_0,r)=\frac{r}{N}K(\Delta(\psi_{\epsilon}*v),x_0,r)=0\quad(\forall \epsilon\in (0,\epsilon_0],\forall r\in (0,r_0))
$$
となる。したがって'''命題4.3'''の $(1)$ と平均値の定理より、
$$
(\psi_{\epsilon}*v)(x_0)=S((\psi_{\epsilon}*v),x_0,r_0)\quad(\forall \epsilon\in (0,\epsilon_0])
$$
が成り立つ。そして $v\colon \mathbb{R}^N\rightarrow \mathbb{C}$ は連続関数であるから、[[合成積とFourier変換]]の'''命題26.2'''の $(1)$ より、コンパクト集合 $\overline{B(x_0,r_0)}$ 上で一様収束で、
$$
\lim_{\epsilon\rightarrow+0}(\psi_{\epsilon}*v)=v
$$
が成り立つ。よって、
$$
u(x_0)=v(x_0)=\lim_{\epsilon\rightarrow+0}(\psi_{\epsilon}*v)(x_0)=\lim_{\epsilon\rightarrow+0}S((\psi_{\epsilon}*v),x_0,r_0)=S(v,x_0,r_0)=S(u,x_0,r_0)
$$
を得る。
{{end|proof}}

===命題4.7（最大値の原理）===
$\Omega\subset \mathbb{R}^N$ を連結開集合、$u\colon \Omega\rightarrow\mathbb{C}$ を調和関数とする。このとき次は互いに同値である。
*$(1)$　$\lvert u\rvert\colon \Omega\ni x\mapsto \lvert u(x)\rvert\in [0,\infty)$ は定数関数である。
*$(2)$　$\lvert u\rvert\colon \Omega\ni x\mapsto \lvert u(x)\rvert \in [0,\infty)$ が $\Omega$ 上で最大値を取る。
{{begin|proof}}
$(1)\Rightarrow(2)$は自明である。 
$(2)\Rightarrow(1)$ を示す。$(2)$ が成り立つとする。
$$
M\colon =\underset{x\in \Omega}{\rm max}{\lvert u(x)\rvert}\in [0,\infty)
$$
とおき、
$$
\Omega_0\colon=\{x\in \Omega:\lvert u(x)\rvert=M\}
$$
とおくと、$\Omega_0$ は $\Omega$ の空でない閉集合である。任意の $x_0\in \Omega_0$ を取り、$\{x\in \mathbb{R}^N:\lvert x-x_0\rvert\leq r\}\subset \Omega$ 　なる正実数 $r$ を取る。このとき'''定理4.6'''の $(2)$ より、
$$
M=\lvert u(x_0)\rvert=\frac{1}{\lvert B(x_0,r)\rvert}\left\lvert\int_{B(x_0,r)}u(x)dx\right\rvert\leq \frac{1}{\lvert B(x_0,r)\rvert}\int_{B(x_0,r)}\lvert u(x)\rvert dx\leq M
$$
であるから、非負値連続関数 $B(x_0,r)\ni x\mapsto M-\lvert u(x)\rvert\in [0,\infty)$ は、
$$
\int_{B(x_0,r)}M-\lvert u(x)\rvert dx=0
$$
を満たす。よって $M-\lvert u(x)\rvert=0$ $(\forall x\in B(x_0,r))$ であるから、$B(x_0,r)\subset \Omega_0$ である。ゆえに $\Omega_0$ は $\Omega$ の開集合でもあるから、$\Omega$ の連結性より $\Omega=\Omega_0$ である。よって $\lvert u\rvert$ は定数関数である。
{{end|proof}}

===定理4.8（最大値の原理）===
$\Omega\subset \mathbb{R}^N$ を有界開集合とし、$u\colon \overline{\Omega}\rightarrow\mathbb{C}$ を連続関数で $\Omega$ 上で調和関数であるものとする。このとき、
$$
\underset{x\in \overline{\Omega}}{\rm max}\lvert u(x)\rvert=\underset{x\in \partial\Omega}{\rm max}\lvert u(x)\rvert\quad\quad(*)
$$
が成り立つ。
{{begin|proof}}
$M\colon ={\rm max}_{x\in \overline{\Omega}}\lvert u(x)\rvert$ とおく。もし $\lvert u(x)\rvert=M$ を満たす $x\in \Omega$ が存在しないならば、$\lvert u(x)\rvert=M$ を満たす $x\in \partial\Omega$ が存在するので $(*)$ が成り立つ。よって $\lvert u(x_0)\rvert=M$ を満たす $x_0\in \Omega$ が存在するとして $(*)$ が成り立つことを示せばよい。$x_0$ を含む $\Omega$ の連結成分を $U$ とおく。$\Omega$ の任意の点は連結な開近傍を持つので $U$ は開集合であり、$u$ は $U$ 上で調和関数であるから、'''命題4.7'''より、$\lvert u(x)\rvert=M$ $(\forall x\in U)$ が成り立つ。よって $U$ の $\mathbb{R}^N$ における閉包を $\overline{U}\subset \overline{\Omega}$ とおくと、$u\colon\overline{\Omega}\rightarrow\mathbb{C}$ の連続性より $\lvert u(x)\rvert=M$ $(\forall x\in \overline{U})$ が成り立つ。これよりもし $\overline{U}\cap \partial\Omega\neq\emptyset$ ならば $(*)$ は成り立つ。そこで今、$\overline{U}\cap \partial\Omega=\emptyset$ であると仮定して矛盾を導く。このとき $\overline{U}\subset \Omega$ であり、$\overline{U}$ は $x_0$ を含む $\Omega$ の連結集合であるから、$U$ が $\Omega$ の連結成分であることから $U=\overline{U}$ である。$U\subset \Omega$ で $U=\overline{U}$ はコンパクト、$\Omega$ は開集合であるから、[[超関数の定義と基本操作]]の'''命題2.2'''の $(4)$ と[[Sobolev空間の基本事項]]の'''注意33.4'''より、
$$
0<d(U,\mathbb{R}^N\backslash \Omega)=d(U,\partial\Omega)=\inf\{\lvert x-y\rvert :x\in U,y\in \partial\Omega\}\quad\quad(**)
$$
である。$U\times \partial\Omega\ni (x,y)\mapsto \lvert x-y\rvert\in [0,\infty)$ はコンパクト空間上の連続関数であるから $(**)$ の右辺の $\inf$ は実際は ${\rm min}$ であるので、
$$
\lvert a-b\rvert=d(U,\partial\Omega)>0
$$
を満たす $a\in U$, $b\in \partial\Omega$ が取れる。
$$
L\colon=\{a+t(b-a):t\in [0,1)\}
$$
とおくと、任意の $x\in L$ に対し、
$$
\lvert x-a\rvert =t\lvert b-a\rvert<\lvert b-a\rvert=d(U,\partial\Omega)=d(U,\mathbb{R}^N\backslash \Omega)
$$
であるので、$x\in \Omega$ である。よって $L\subset \Omega$ であり、$L$ は $a$ を含む $\Omega$ の連結集合で、$U$ は $a$ を含む $\Omega$ の連結成分であるので、$L\subset U$ である。これより、
$$
b\in \overline{L}\subset \overline{U}=U\subset \Omega
$$
となるが、これは $b\in \partial\Omega$ であることに矛盾する。よって $\overline{U}\cap \partial\Omega\neq\emptyset$ であるから $(*)$ が成り立つ。
{{end|proof}}

===命題4.9（調和関数に関するLiouvilleの定理）===
$\mathbb{R}^N$ 上で定義された有界な調和関数は定数関数である。
{{begin|proof}}
$u\colon\mathbb{R}^N\rightarrow\mathbb{C}$ を有界な調和関数とする。$x_1\neq x_2$ なる任意の $x_1,x_2\in \mathbb{R}^N$ を取り、$u(x_1)=u(x_2)$ が成り立つことを示せばよい。
$$
M\colon=\sup_{x\in \mathbb{R}^N}\lvert u(x)\rvert<\infty,\quad d\colon=\lvert x_1-x_2\rvert>0
$$
とおく。$r>d$ なる任意の正実数 $r$ に対し、'''定理4.6'''の $(2)$ より、
$$
\begin{aligned}
&\lvert u(x_1)-u(x_2)\rvert=\frac{1}{\lvert B(0,r)\rvert}\left\lvert\int_{B(x_1,r)}u(x)dx-\int_{B(x_2,r)}u(x)dx\right\rvert\\
&\leq \frac{1}{r^N\lvert B(0,1)\rvert}\left(\int_{B(x_1,r)\backslash B(x_2,r)}\lvert u(x)\rvert dx+\int_{B(x_2,r)\backslash B(x_1,r)}\lvert u(x)\rvert dx\right)\\
&\leq \frac{1}{r^N\lvert B(0,1)\rvert}\left(M\lvert B(x_1,r)\backslash B(x_1,r-d)\rvert +M\lvert B(x_2,r)\backslash B(x_2,r-d)\rvert\right)\\
&\leq \frac{2M}{r^N\lvert B(0,1)\rvert}(r^N-(r-d)^N)\lvert B(0,1)\rvert=2M\left(1-\left(1-\frac{d}{r}\right)^N\right)
\end{aligned}
$$
であり、$r\rightarrow\infty$ とすれば右辺は $0$ に収束する。よって $u(x_1)=u(x_2)$ が成り立つ。
{{end|proof}}

==5. Laplace-Poisson方程式の境界値問題の解の一意存在と正則性、Green関数による表現公式==

===定義5.1（Laplace方程式、Poisson方程式）===
$\Delta u=0$ を満たす関数 $u$ を求める微分方程式をLaplace方程式と言う。また、与えられた関数 $\rho$ に対し $\Delta u=\rho$ を満たす関数 $u$ を求める微分方程式をPoisson方程式と言う。

===定義5.2（$C^k(\overline{\Omega})$）===
$\Omega\subset \mathbb{R}^N$ を開集合、$k\in \mathbb{N}$ とする。$C^k(\overline{\Omega})$ を $\overline{\Omega}$ を含むある開集合上で定義された $C^k$ 級関数の $\overline{\Omega}$ 上への制限で表される関数全体とする。

===定理5.3（Laplace方程式の境界値問題の解の一意存在と解の正則性）===
$\Omega\subset \mathbb{R}^N$ を滑らかな境界を持つ有界開集合、$m\in \mathbb{N}$ を $m>\frac{N}{2}$ を満たすものとし、$f\colon\partial\Omega\rightarrow\mathbb{C}$ を $H^m(\mathbb{R}^N)\subset C_0(\mathbb{R}^N)$ <ref>$m>\frac{N}{2}$ であるから [[Sobolev空間の基本事項]]の'''Sobolevの埋め込み定理（定理38.3）'''より $H^m(\mathbb{R}^N)\subset C_0(\mathbb{R}^N)$ である。</ref>の元の $\partial\Omega$ 上への制限であるとする。また $\gamma\colon H^1(\Omega)\rightarrow L^2(\partial\Omega)$ をトレース作用素（[[Sobolev空間の基本事項]]の'''定理37.1'''）とする。このとき $v\in H^2(\Omega)$ で、
$$
\Delta v=0,\quad \gamma(v)=f
$$
を満たすものが唯一つ存在する。そして $v\in H^m(\Omega)$ が成り立つ。
{{begin|proof}}
$f\colon\partial\Omega\rightarrow \mathbb{C}$ の $H^m(\mathbb{R}^N)$ の元への拡張をそのまま $f$ で表す。[[Sobolev空間の基本事項]]の'''定理32.2'''より $H^m(\mathbb{R}^N)=\overline{D(\mathbb{R}^N)}^{\lVert \cdot\rVert_{2,m}}$ であるから $D(\mathbb{R}^N)$ の列 $(f_n)_{n\in\mathbb{N}}$ で、
$$
\lim_{n\rightarrow\infty}\lVert f-f_n\rVert_{2,m}=0\quad\quad(*)
$$
を満たすものが取れる。$m>\frac{N}{2}$ であるからSobolevの埋め込み定理（[[Sobolev空間の基本事項]]の'''定理38.3'''）より $(f_n)_{n\in\mathbb{N}}$ は $f$ に一様収束する。'''定理3.14'''の $(2),(5)$ より、
$$
\Delta\colon H^2(\Omega)\cap H^1_0(\Omega)=\{v\in H^2(\Omega):\gamma(v)=0\}\rightarrow L^2(\Omega)\quad\quad(**)
$$
は全単射であるから、各 $n\in \mathbb{N}$ について $\Delta u_n=\Delta f_n|_{\Omega}$ を満たす $u_n\in H^2(\Omega)\cap H^1_0(\Omega)$ が取れる。そして、
$$
\Delta u_n=\Delta f_n|_{\Omega}\in D(\mathbb{R}^N)|_{\Omega}\subset \bigcap_{m\in \mathbb{N}}H^m(\Omega)\quad(\forall n\in\mathbb{N})
$$
であるから、楕円型正則性（'''定理3.14'''の $(4)$）とSobolevの埋め込み定理（[[Sobolev空間の基本事項]]の'''定理38.4'''）より、
$$
u_n\in \bigcap_{k\in \mathbb{N}}H^k(\Omega)\subset \bigcap_{k\in \mathbb{N}}C^k(\overline{\Omega})\quad(\forall n\in\mathbb{N})
$$
が成り立つ。そこで、
$$
v_n\colon =f_n-u_n\in \bigcap_{k\in \mathbb{N}}C^k(\overline{\Omega})\subset C^\infty(\Omega)\quad(\forall n\in\mathbb{N})
$$
とおくと、
$$
\Delta v_n=\Delta f_n-\Delta u_n=0,\quad v_n|_{\partial\Omega}=f_n|_{\partial\Omega}-u_n|_{\partial\Omega}=f_n|_{\partial\Omega}\quad(\forall n\in\mathbb{N})
$$
であるから、最大値の原理（'''定理4.8'''）より、
$$
\underset{x\in \overline{\Omega}}{\rm max}\lvert v_n(x)-v_k(x)\rvert=\underset{x\in \partial\Omega}{\rm max}\lvert v_n(x)-v_k(x)\rvert=\underset{x\in \partial\Omega}{\rm max}\lvert f_n(x)-f_k(x)\rvert\quad(\forall n,k\in \mathbb{N})
$$
であり、$(f_n)_{n\in\mathbb{N}}$ は $f$ に一様収束するので、$(v_n)_{n\in \mathbb{N}}$ もある連続関数 $v\colon \overline{\Omega}\rightarrow\mathbb{C}$ に一様収束する。よって、
$$
v(x)=\lim_{n\rightarrow\infty}v_n(x)=\lim_{n\rightarrow\infty}f_n(x)=f(x)\quad(\forall x\in \partial\Omega)
$$
が成り立ち、$\{y\in \mathbb{R}^N:\lvert y-x\rvert\leq r\}\subset \Omega$ なる任意の $x\in \Omega$ と $r\in (0,\infty)$ に対し、'''定理4.6'''の $(1)$ より、
$$
S(v,x,r)=\lim_{n\rightarrow\infty}S(v_n,x,r)=\lim_{n\rightarrow\infty}v_n(x)=v(x)
$$
となるので、再び'''定理4.6'''より $v$ は $\Omega$ 上で $\Delta v=0$ を満たす。今、$v\in H^m(\Omega)$ が成り立つことを示す。
$$
u_n-u_k\in H^2(\Omega)\cap H^1_0(\Omega),\quad \Delta (u_n-u_k)=\Delta(f_n-f_k)|_{\Omega}\quad(\forall n,k\in \mathbb{N})
$$
であるから、'''定理3.14'''の $(4)$ より、$\Omega, m$ のみによる正実数 $C,C'$ が存在して、
$$
\lVert u_n-u_k\rVert_{2,m}\leq C(\lVert \Delta(f_n-f_k)\rVert_{2,m-2}+\lVert u_n-u_k\rVert_2)
\leq C'(\lVert f_n-f_k\rVert_{2,m}+\lVert u_n-u_k\rVert_{\infty})\quad(\forall n,k\in \mathbb{N})\quad\quad(***)
$$
が成り立つ。ここで $u_n=f_n-v_n$ $(\forall n\in\mathbb{N})$ であり、$(f_n)_{n\in \mathbb{N}}$, $(v_n)_{n\in\mathbb{N}}$ はそれぞれ一様収束するので $(u_n)_{n\in \mathbb{N}}$ も一様収束する。よって $(*),(***)$ より $(u_n)_{n\in \mathbb{N}}$ は $H^m(\Omega)$ において収束する。そして、
$$
\lVert v_n-v_k\rVert_{2,m}\leq \lVert u_n-u_k\rVert_{2,m}+\lVert f_n-f_k\rVert_{2,m}\quad(\forall n,k\in\mathbb{N})
$$
であるから $(v_n)_{n\in \mathbb{N}}$ も $H^m(\Omega)$ において収束する。ゆえに $v\in H^m(\Omega)$ である。 
一意性を示す。$v_1,v_2\in H^2(\Omega)$ が、
$$
\Delta v_k=0,\quad \gamma(v_k)=f\quad(k=1,2)
$$
を満たすとする。このとき、
$$
v_1-v_2\in \{v\in H^2(\Omega):\gamma(v)=0\}=H^2(\Omega)\cap H^1_0(\Omega)
$$
であり、$\Delta(v_1-v_2)=0$ であるから、$(**)$ の単射性より $v_1=v_2$ である。
{{end|proof}}

===定理5.4（Poisson方程式の境界値問題の解の一意存在と解の正則性）===
$\Omega\subset \mathbb{R}^N$ を滑らかな境界を持つ有界開集合、$m\in \mathbb{N}$ を $m>\frac{N}{2}$ を満たすものとし、$f\colon\partial\Omega\rightarrow\mathbb{C}$ を $H^m(\mathbb{R}^N)\subset C_0(\mathbb{R}^N)$ の元の $\partial\Omega$ 上への制限であるとする。また $\gamma\colon H^1(\Omega)\rightarrow L^2(\partial\Omega)$ をトレース作用素（[[Sobolev空間の基本事項]]の'''定理37.1'''）とする。このとき任意の $m'\in \mathbb{Z}_+$, $\rho\in H^{m'}(\Omega)$ に対し、$v\in H^2(\Omega)$ で、
$$
\Delta v=\rho,\quad \gamma(v)=f
$$
を満たすものが唯一つ存在する。そして $m' '\colon={\rm min}(m,m'+2)$ に対し $v\in H^{m' '}(\Omega)$ が成り立つ。
{{begin|proof}}
'''定理5.3'''より $v_0\in H^m(\Omega)$ で、
$$
\Delta v_0=0,\quad \gamma(v_0)=f
$$
を満たすものが取れる。そして'''定理3.14'''の $(2),(5)$ より、
$$
\Delta\colon H^2(\Omega)\cap H^1_0(\Omega)=\{v\in H^2(\Omega):\gamma(v)=0\}\rightarrow L^2(\Omega)\quad\quad(*)
$$
は全単射であるから、$\rho\in H^{m'}(\Omega)$ に対し $\Delta v_1=\rho$ を満たす $v_1\in H^2(\Omega)\cap H^1_0(\Omega)$ が取れて、楕円型正則性（'''定理3.14'''の $(4)$）より $v_1\in H^{m'+2}(\Omega)$ である。よって $v\colon=v_0+v_1\in H^{m' '}(\Omega)$ とおけば、
$$
\Delta v=\Delta v_0+\Delta v_1=\Delta v_1=\rho,\quad \gamma(v)=\gamma(v_0)+\gamma(v_1)=\gamma(v_0)=f
$$
である。これで存在が言えた。一意性を示す。今、$v,u\in H^2(\Omega)$ が、
$$
\Delta v=\Delta u=\rho,\quad \gamma(v)=\gamma(u)=f
$$
を満たすとすると、
$$
\Delta(v-u)=0,\quad \gamma(v-u)=0
$$
であるから、$(*)$ の単射性より $v-u=0$ である。これで一意性が言えた。
{{end|proof}}

===定義5.4（ラプラシアンの基本解）===
$N$ を $2$ 以上の自然数とし、$\lvert \partial B(0,1)\rvert$ を $N-1$ 次元単位球面の面積とする。$\mathbb{R}^N$ 上の関数 $G\colon\mathbb{R}^N\rightarrow\mathbb{R}$ で次を満たすものをラプラシアンの基本解と言う。$N\geq3$ の場合、
$$
G(x)=\frac{1}{\lvert \partial B(0,1)\rvert}\frac{\lvert x\rvert^{2-N}}{2-N}\quad(\forall x\in \mathbb{R}^N\backslash \{0\}),
$$
$N=2$ の場合、
$$
G(x)=\frac{1}{\lvert \partial B(0,1)\rvert}\log(\lvert x\rvert)=\frac{1}{2\pi}\log(\lvert x\rvert)\quad(\forall x\in \mathbb{R}^N\backslash\{0\}).
$$
便宜上、ラプラシアンの基本解 $G$ に対し、$G(x)$ は $G(\lvert x\rvert)$ とも表す。

===命題5.5（ラプラシアンの基本解の基本性質）===
$\mathbb{R}^N$ 上のラプラシアンの基本解 $G\colon \mathbb{R}^N\rightarrow\mathbb{R}$ に対し次が成り立つ。
*$(1)$　$G$ の勾配は、
$$
\nabla G(x)=\frac{1}{\lvert \partial B(0,1)\rvert}\frac{x}{\lvert x\rvert^N}\quad(\forall x\in \mathbb{R}^N\backslash \{0\})
$$
を満たし、$G$ のラプラシアンは、
$$
\Delta G(x)=0\quad(\forall x\in \mathbb{R}^N\backslash \{0\})
$$
を満たす。
*$(2)$　$G,\lvert \nabla G\rvert\in L^1_{\rm loc}(\mathbb{R}^N)$ であり、
$$
\int_{\lvert x\rvert\leq R}\lvert \nabla G(x)\rvert dx=R\quad(\forall R\in (0,\infty))
$$
が成り立つ。
{{begin|proof}}
*$(1)$　$G$ は $0\in \mathbb{R}^N$ 中心の極座標（[[ベクトル解析4：Euclid空間内の多様体上の測度と積分]]の'''定義18.3'''）$(r,\theta_1,\ldots,\theta_{N-1})$ の $r$ のみによることと、極座標は直交座標であること（[[ベクトル解析4：Euclid空間内の多様体上の測度と積分]]の'''命題18.2'''の $(3)$ ）に注意すれば、[[ベクトル解析3：Euclid空間内の多様体の計量]]の'''命題12.5'''より、
$$
\nabla G(x)=\frac{\partial G}{\partial r}(r)\frac{\partial}{\partial r}x=\frac{1}{\lvert\partial B(0,1)\rvert}\frac{1}{r^{N-1}}\frac{x}{r}=\frac{1}{\lvert\partial B(0,1)\rvert}\frac{x}{\lvert x\rvert^N}\quad(\forall x\in \mathbb{R}^N\backslash \{0\})
$$
であり、[[ベクトル解析3：Euclid空間内の多様体の計量]]の'''命題13.10'''より、
$$
\Delta G(x)=\frac{1}{r^{N-1}}\frac{\partial}{\partial r}\left(r^{N-1}\frac{\partial G}{\partial r}\right)(x)
=\frac{1}{r^{N-1}}\frac{\partial}{\partial r}\left(r^{N-1}\frac{1}{\lvert \partial B(0,1)\rvert}\frac{1}{r^{N-1}}\right)(x)=0
$$
である。
*$(2)$　$G,\lvert \nabla G\rvert$ は $\mathbb{R}^N\backslash \{0\}$ 上で連続であるから、$G,\lvert\nabla G\rvert$ が $\mathbb{R}^N$ 上で局所可積分であることを示すには、$0\in \mathbb{R}^N$ を中心とする任意の球 $\{x\in \mathbb{R}^N:\lvert x\rvert\leq R\}$ 上で $G,\lvert \nabla G\rvert$ が可積分であることを示せば十分である。極座標変換（[[ベクトル解析4：Euclid空間内の多様体上の測度と積分]]の'''定理18.4'''）より、
$$
\int_{\lvert x\rvert\leq R}\lvert G(x)\rvert dx=\lvert \partial B(0,1)\rvert \int_{0}^{R}r^{N-1}\lvert G(r)\rvert dr
=\begin{cases}\frac{1}{N-2}\int_{0}^{R}rdr<\infty&\quad(N\geq 3)\\
\int_{0}^{R}r\lvert \log(r)\rvert dr<\infty &(N=2)\end{cases}
$$
であり、
$$
\int_{\lvert x\rvert\leq R}\lvert \nabla G(x)\rvert dx=\int_{\lvert x\rvert \leq R}\frac{1}{\lvert \partial B(0,1)\rvert}\frac{1}{\lvert x\rvert^{N-1}}dx=\int_{0}^{R}1dr=R
$$
である。
{{end|proof}}

===定理5.6（Greenの表現公式）===
$\Omega\subset \mathbb{R}^N$ を滑らかな境界を持つ有界開集合、$G$ を $\mathbb{R}^N$ 上のラプラシアンの基本解、$u\in C^2(\overline{\Omega})$ とする。このとき任意の $x\in \Omega$ に対し、
$$
u(x)=\int_{\Omega}\Delta u(y)G(x-y)dy+\int_{\partial\Omega}\left(u(y)\frac{\partial G}{\partial \nu_y}(x-y)-\frac{\partial u}{\partial \nu}(y) G(x-y)\right)d\mu_{\partial\Omega}(y)
$$
が成り立つ。ただし $\mu_{\partial\Omega}$ は $\partial\Omega$ 上の面積測度（[[ベクトル解析4：Euclid空間内の多様体上の測度と積分]]の'''定義16.8'''）、$\frac{\partial}{\partial\nu}$ は外向き法線微分（'''定義2.2'''）
である。
{{begin|proof}}
任意の $x\in \Omega$ を取り固定する。十分小さい $\epsilon\in (0,\infty)$ を取り、
$$
\overline{B(x,\epsilon)}=\{y\in \mathbb{R}^N:\lvert y-x\rvert\leq \epsilon\}\subset \Omega
$$
となるようにする。このとき $\Omega\backslash \overline{B(x,\epsilon)}\subset \mathbb{R}^N$ は滑らかな境界 $\partial\Omega\cup \partial B(x,\epsilon)$ を持つ開集合であり、その境界上の外向き単位法線ベクトル場（[[ベクトル解析5：多様体の向き]]の'''定義22.1'''） $\widetilde{\nu}\colon \partial\Omega\cup \partial B(x,\epsilon)\rightarrow\mathbb{R}^N$ は、$\Omega$ の境界上の外向き単位法線ベクトル場 $\nu\colon \partial\Omega\rightarrow\mathbb{R}^N$ に対し、
$$
\widetilde{\nu}(y)=\nu(y)\quad(\forall y\in \partial\Omega),\quad \widetilde{\nu}(y)=-\frac{y-x}{\epsilon}\quad(\forall y\in \partial B(x,\epsilon))
$$
である。'''命題5.5'''の $(1)$ より任意の $y\in \partial B(x,\epsilon)$ に対し、
$$
\begin{aligned}
\frac{\partial G}{\partial \widetilde{\nu}_y}(x-y)&=-\frac{y-x}{\epsilon}\cdot \nabla_yG(x-y)=-\frac{1}{\lvert\partial B(0,1)\rvert}\frac{y-x}{\epsilon}\cdot \frac{y-x}{\epsilon^N}\\
&=-\frac{1}{\lvert \partial B(0,1)\rvert}\frac{1}{\epsilon^{N-1}}
=-\frac{1}{\lvert \partial B(x,\epsilon)\rvert}
\end{aligned}
$$
であることと、$\Omega\backslash \overline{B(x,\epsilon)}\ni y\mapsto G(x-y)\in \mathbb{R}$ は調和関数であることに注意して、Gaussの発散定理（'''定理2.3'''の $(4)$ ）を用いると、
$$
\begin{aligned}
\int_{\Omega\backslash \overline{B(x,\epsilon)}}\Delta u(y)G(x-y)dy&=\int_{\partial\Omega}\left(\frac{\partial u}{\partial \nu}(y)G(x-y)-u(y)\frac{\partial G}{\partial\nu_y}(x-y)\right)d\mu_{\partial \Omega}(y)\\
&-\int_{\partial B(x,\epsilon)}\left(\nabla u(y)\cdot \frac{y-x}{\epsilon}\right)G(x-y)d\mu_{\partial B(0,1)}(y)\\
&+\frac{1}{\lvert \partial B(x,\epsilon\rvert}\int_{\partial B(x,\epsilon)}u(y)d\mu_{\partial B(x,\epsilon)}(y)\quad\quad(*)
\end{aligned}
$$
となる。ここで'''命題5.5'''の $(2)$ より $G\in L^1_{\rm loc}(\mathbb{R}^N)$ であるから、Lebesgue優収束定理より、
$$
\lim_{\epsilon\rightarrow+0}\int_{\Omega\backslash \overline{B(x,\epsilon)}}\Delta u(y)G(x-y)dy=\int_{\Omega}\Delta u(y)G(x-y)dy\quad\quad(**)
$$
が成り立ち、'''命題4.3'''の $(1)$ より、
$$
\lim_{\epsilon\rightarrow+0}\frac{1}{\lvert \partial B(x,\epsilon)\rvert}\int_{\partial B(x,\epsilon)}u(y)d\mu_{\partial B(x,\epsilon)}(y)=u(x)\quad\quad(***)
$$
が成り立つ。そして、
$$
\begin{aligned}
&\left\lvert \int_{\partial B(x,\epsilon)}\left(\nabla u(y)\cdot \frac{y-x}{\epsilon}\right)G(x-y)d\mu_{\partial B(x,\epsilon)}(y)\right\rvert\\
&\leq \underset{x\in \overline{\Omega}}{\rm max}\lvert \nabla u(x)\rvert \begin{cases}\frac{1}{\lvert \partial B(0,1)\rvert}\int_{\partial B(x,\epsilon)}\frac{\epsilon^{2-N}}{N-2}d\mu_{\partial B(x,\epsilon)}(y)\quad&(N\geq 3)\\
\frac{1}{2\pi}\int_{\partial B(x,\epsilon)}\lvert \log(\epsilon)\rvert d\mu_{\partial B(x,\epsilon)}(y)&(N=2)\end{cases}\\
&=\underset{x\in\overline{\Omega}}{\rm max}\lvert \nabla u(x)\rvert\begin{cases}\frac{\epsilon}{N-2}\quad&(N\geq 3)\\\epsilon\lvert \log(\epsilon)\rvert&(N=2)\end{cases}\\
&\rightarrow0\quad(\epsilon\rightarrow+0)\quad\quad(****)
\end{aligned}
$$
である。よって $(*)$ の両辺について $\epsilon\rightarrow+0$ とすれば、$(**),(***),(****)$ より、
$$
\int_{\Omega}\Delta u(y)G(x-y)dy=\int_{\partial\Omega}\left(\frac{\partial u}{\partial \nu}(y)G(x-y)-u(y)\frac{\partial G}{\partial \nu_y}(x-y)\right)d\mu_{\partial\Omega}(y)+u(x)
$$
となる。これで求める等式が得られた。
{{end|proof}}

===命題5.7（滑らかな境界を持つ有界開集合上のラプラシアンのGreen関数の一意存在）===
$\Omega\subset \mathbb{R^N}$ を滑らかな境界を持つ有界開集合、$\gamma\colon H^1(\Omega)\rightarrow L^2(\partial\Omega)$　をトレース作用素（[[Sobolev空間の基本事項]]の'''定理37.1'''）、$G$ を $\mathbb{R}^N$ 上のラプラシアンの基本解とする。このとき任意の $x\in \Omega$ に対し $h_x\in H^2(\Omega)$ で、
$$
\Delta h_x=0,\quad \gamma(h_x)(y)=G(x-y)\quad(\forall y\in \partial\Omega)\quad\quad(1)
$$
を満たすものが唯一つ存在する。そして、
$$
h_x\in \bigcap_{m\in \mathbb{N}}H^m(\Omega)\subset \bigcap_{m\in \mathbb{N}}C^m(\overline{\Omega})\quad\quad(2)
$$
が成り立ち、任意の $u\in C^2(\overline{\Omega})$ に対し、
$$
\int_{\Omega}\Delta u(y)h_x(y)dy=\int_{\partial \Omega}\left(\frac{\partial u}{\partial \nu}(y)G(x-y)-u(y)\frac{\partial h_x}{\partial\nu}(y)\right)d\mu_{\partial\Omega}(y)\quad\quad(3)
$$
が成り立つ。ただし $\frac{\partial}{\partial\nu}$ は外向き法線微分（'''定義2.2'''）である。
{{begin|proof}}
任意の $x\in \Omega$ に対し、$\partial\Omega\ni y\mapsto G(x-y)\in \mathbb{R}$ はUrysohnの補題（[[ベクトル解析4：Euclid空間内の多様体上の測度と積分]]の'''定理15.5'''）より $D(\mathbb{R}^N)\subset \bigcap_{m\in \mathbb{N}}H^m(\mathbb{R}^N)$ の元に拡張できるので、'''定理5.3'''より、$(1)$ を満たす $h_x\in H^2(\Omega)$ が唯一つ存在し、$(2)$ が成り立つ。任意の $u\in C^2(\overline{\Omega})$ に対し、Gaussの発散定理（'''定理2.3'''の $(4)$ ）より、
$$
\begin{aligned}
\int_{\Omega}\Delta u(y)h_x(y)dy&=\int_{\Omega}(\Delta u(y)h_x(y)-u(y)\Delta h_x(y))dy
=\int_{\partial\Omega}\left(\frac{\partial u}{\partial \nu}(y)h_x(y)-u(y)\frac{\partial h_x}{\partial \nu}(y)\right)d\mu_{\partial\Omega}(y)\\
&=\int_{\partial\Omega}\left(\frac{\partial u}{\partial \nu}(y)G(x-y)-u(y)\frac{\partial h_x}{\partial \nu}(y)\right)d\mu_{\partial\Omega}(y)
\end{aligned}
$$
であるから、$(3)$ が成り立つ。
{{end|proof}}

===定義5.8（滑らかな境界を持つ有界開集合上のラプラシアンのGreen関数）===
$\Omega\subset \mathbb{R}^N$ を滑らかな境界を持つ有界開集合、$G$ を $\mathbb{R}^N$ 上のラプラシアンの基本解とする。任意の $x\in \Omega$ に対し'''命題5.7'''の $(1)$ によって一意的に定まる $h_x\in \bigcap_{m\in \mathbb{N}}H^m(\Omega)\subset \bigcap_{m\in \mathbb{N}}C^m(\overline{\Omega})$ を考え、
$$
G_{\Omega}(x,y)\colon =G(x-y)-h_x(y)\quad(\forall y\in \overline{\Omega})
$$
とおく。$G_{\Omega}(x,y)$ を $\Omega$ 上のラプラシアンのGreen関数と言う。

===定理5.9（Poisson方程式の境界値問題の一意解のGreen関数による表現）===
$\Omega\subset \mathbb{R}^N$ を滑らかな境界を持つ有界開集合、$m\in \mathbb{N}$ を $m>\frac{N}{2}+2$ を満たすものとし、$f\colon \partial\Omega\rightarrow\mathbb{C}$ を $H^m(\mathbb{R}^N)$ の元の $\partial\Omega$ 上への制限、また $\rho\in H^{m-2}(\Omega)$ とする。このとき'''定理5.4'''におけるPoisson方程式の境界値問題
$$
\Delta u=\rho,\quad \gamma(u)=f
$$
の一意解 $u\in H^2(\Omega)$ は、$\Omega$ 上のラプラシアンのGreen関数 $G_{\Omega}(x,y)$ $(x\in \Omega,y\in\overline{\Omega})$ を用いて、
$$
u(x)=\int_{\Omega}\rho(y)G_{\Omega}(x,y)dy+\int_{\partial\Omega}f(y)\frac{\partial G_{\Omega}}{\partial\nu_y}(x,y)d\mu_{\partial\Omega}(y)\quad(\forall x\in \Omega)
$$
と表される。
{{begin|proof}}
Sobolevの埋め込み定理（[[Sobolev空間の基本事項]]の'''定理38.4'''）より、$u\in H^m(\Omega)\subset C^2(\overline{\Omega})$ であるから、Greenの表現公式（'''定理5.6'''）より、任意の $x\in \Omega$ に対し、
$$
u(x)=\int_{\Omega}\rho(y)G(x-y)dy+\int_{\partial\Omega}\left(f(y)\frac{\partial G}{\partial \nu_y}(x-y)-\frac{\partial u}{\partial\nu}(y)G(x-y)\right)d\mu_{\partial\Omega}(y)\quad\quad(*)
$$
（$\Delta u=\rho$, $u|_{\partial\Omega}=f$ に注意）が成り立つ。また'''命題5.7'''より、
$$
0=-\int_{\Omega}\rho(y)h_x(y)dy+\int_{\partial\Omega}\left(\frac{\partial u}{\partial\nu}(y)G(x-y)-f(y)\frac{\partial h_x}{\partial\nu}(y)\right)d\mu_{\partial\Omega}(y)\quad\quad(**)
$$
であるから、$(*),(**)$ を足せば、
$$
u(x)=\int_{\Omega}\rho(y)G_{\Omega}(x,y)dy+\int_{\partial\Omega}f(y)\frac{\partial G_{\Omega}}{\partial\nu_y}(x,y)d\mu_{\partial\Omega}(y)
$$
を得る。
{{end|proof}}

===定理5.10（ラプラシアンの基本解の基本性質）===
$G$ を $\mathbb{R}^N$ 上のラプラシアンの基本解とし、$\delta_0$ を $\{0\}$ を台とするDiracのデルタ超関数（[[緩増加超関数とFourier変換]]の'''定義20.5'''）とする。このとき、
*$(1)$　$G\in L^1_{\rm loc}(\mathbb{R}^N)\subset D'(\mathbb{R}^N)$ として $\Delta G=\delta_0$ が成り立つ。
*$(2)$　任意の台がコンパクトな超関数 $v\in \mathcal{E}_N'$（[[緩増加超関数とFourier変換]]の'''定義20.3'''）に対し、$(2\pi)^{\frac{N}{2}}\Delta (v*G)=v$ が成り立つ。
{{begin|proof}}
*$(1)$　任意の $\varphi\in D(\mathbb{R}^N)$ に対し ${\rm supp}(\varphi)\in B(0,R)=\{x\in \mathbb{R}^N:\lvert x\rvert<R\}$ を満たす $R\in (0,\infty)$ を取れば、Greenの表現公式（'''定理5.6'''）より、
$$
\begin{aligned}
\delta_0(\varphi)&=\varphi(0)=\int_{B(0,R)}G(y)\Delta \varphi(y)dy+\int_{\partial B(0,R)} \left(\varphi(y)\frac{\partial G}{\partial \nu}(y)-\frac{\partial\varphi}{\partial\nu}(y)G(y)\right)d\mu_{\partial B(0,R)}(y)\\
&=\int_{\mathbb{R}^N}G(y)\Delta \varphi(y)dy=\Delta G(\varphi)
\end{aligned}
$$
となる。よって $\Delta G=\delta_0$ が成り立つ。
*$(2)$　$(1)$ と[[合成積とFourier変換]]の'''命題27.6'''と'''命題27.7'''より、
$$
\Delta(v*G)=v*\Delta G=v*\delta_0=\delta_0*v=\frac{1}{(2\pi)^{\frac{N}{2}}}v
$$
となる。
{{end|proof}}

===定義5.11（Newtonポテンシャル）===
$G$ を $\mathbb{R}^N$ 上のラプラシアンの基本解、$\rho\in L^\infty(\mathbb{R}^N)$ を ${\rm supp}(\rho)$ がコンパクトであるものとする。'''命題5.5'''の $(2)$ より $G\in L^1_{\rm loc}(\mathbb{R}^N)$ だから任意の $x\in \mathbb{R}^N$ に対し $\mathbb{R}^N\ni y\mapsto \rho(y)G(x-y)\in \mathbb{C}$ は可積分である。よって $\mathbb{R}^N$ 上の関数 $u\colon \mathbb{R}^N\rightarrow\mathbb{C}$ として、
$$
u(x)=\int_{\mathbb{R}^N}\rho(y)G(x-y)dy\quad(\forall x\in \mathbb{R}^N)
$$
なるものが定義できる。$u$ を $\rho$ を密度関数とするNewtonポテンシャルと言う。

===定理5.12（Newtonポテンシャルと全空間におけるPoisson方程式）===
$G$ を $\mathbb{R}^N$ 上のラプラシアンの基本解、$\rho\in L^\infty(\mathbb{R}^N)$ を ${\rm supp}(\rho)$ がコンパクトであるものとする。そして $u\colon \mathbb{R}^N\rightarrow\mathbb{C}$ を $\rho$ を密度関数とするNewtonポテンシャルとする。このとき、
*$(1)$　$u\in C^1(\mathbb{R}^N)$ であり、
$$
\nabla u(x)=\int_{\mathbb{R}^N}\rho(y)\nabla G(x-y)dy\quad(\forall x\in \mathbb{R}^N)\quad\quad(*)
$$
が成り立つ。
*$(2)$　$N\geq 3$ の場合、$\lim_{\lvert x\rvert\rightarrow\infty}u(x)=0$ が成り立つ。
*$(3)$　
$$
\Delta u=\rho
$$
が成り立つ。そして $N\geq 3$ の場合、$\Delta w=\rho$ を満たす任意の有界連続関数 $w\colon \mathbb{R}^N\rightarrow\mathbb{C}$ に対し $u-w$ は定数関数である。
{{begin|proof}}
*$(1)$　$v\colon\mathbb{R}^N\rightarrow\mathbb{C}^N$ を、
$$
v(x)\colon=\int_{\mathbb{R}^N}\rho(y)\nabla G(x-y)dy\quad(\forall x\in \mathbb{R}^N)
$$
として定義する('''命題5.5'''より$\lvert \nabla G\rvert \in L^1_{\rm loc}(\mathbb{R}^N)$であることに注意)。まず $v$ が連続であることを示す。任意の $a\in \mathbb{R}^N$ を取り $a$ において $v$ が連続であることを示せばよい。任意の $\epsilon\in (0,\infty)$ を取り、$B(a,\epsilon)=\{x\in \mathbb{R}^N:\lvert x-a\rvert<\epsilon\}$ に対し、
$$
\begin{aligned}
&v_1(x)\colon=\int_{B(a,\epsilon)}\rho(y)\nabla G(x-y)dy,\\
&v_2(x)\colon=\int_{{\rm supp}(\rho)\backslash B(a,\epsilon)}\rho(y)\nabla G(x-y)dy\quad(\forall x\in \mathbb{R}^N)\quad\quad(**)
\end{aligned}
$$
とおく。$v(x)=v_1(x)+v_2(x)$ $(\forall x\in \mathbb{R}^N)$ である。任意の $x\in B(a,\epsilon)$ に対し、変数変換と'''命題5.5'''の $(2)$ より、
$$
\lvert v_1(x)\rvert\leq \lVert \rho\rVert_{\infty}\int_{B(a,\epsilon)}\lvert \nabla G(x-y)\rvert dy\leq \lVert \rho\rVert_{\infty}\int_{B(0,2\epsilon)}\lvert \nabla G(y)\rvert dy=2\lVert \rho\rVert_{\infty}\epsilon\quad\quad(***)
$$
であり、
$$
\lvert v_1(a)\rvert\leq \lVert \rho\rVert_{\infty}\int_{B(a,\epsilon)}\lvert \nabla G(a-y)\rvert dy=\lVert \rho\rVert_{\infty}\int_{B(0,\epsilon)}\lvert \nabla G(y)\rvert dy=\lVert \rho\rVert_{\infty}\epsilon
$$
であるから、
$$
\lvert v_1(x)-v_1(a)\rvert\leq \lvert v_1(x)\rvert+\lvert v_1(a)\rvert\leq 3\lVert \rho\rVert_{\infty}\epsilon\quad(\forall x\in B(a,\epsilon))
$$
となる。またLebesgue優収束定理より $B(a,\epsilon)\ni x\mapsto v_2(x)\in \mathbb{C}^N$ は連続であるので、十分小さい $\delta\in (0,\epsilon)$ を取れば、
$$
\lvert v_2(x)-v_2(a)\rvert<\epsilon\quad(\forall x\in B(a,\delta))
$$
となる。よって任意の $x\in B(a,\delta)$ に対し、
$$
\lvert v(x)-v(a)\rvert \leq \lvert v_1(x)-v_1(a)\rvert+\lvert v_2(x)-v_2(a)\rvert\leq (3\lVert \rho\rVert_{\infty}+1)\epsilon
$$
となり、$\epsilon\in (0,\infty)$ は任意なので、$v\colon \mathbb{R}^N\rightarrow\mathbb{C}^N$ は連続である。 
次に $u$ が $a\in \mathbb{R}^N$ において微分可能であることと $\nabla u(a)=v(a)$ が成り立つことを示す。再び任意の $\epsilon\in (0,\infty)$ を取り、
$$
\begin{aligned}
&u_1(x)\colon=\int_{B(a,\epsilon)}\rho(y)G(x-y)dy,\\
&u_2(x)\colon=\int_{{\rm supp}(\rho)\backslash B(a,\epsilon)}\rho(y)G(x-y)dy\quad(\forall x\in \mathbb{R}^N)
\end{aligned}
$$
とおく。$u(x)=u_1(x)+u_2(x)$ $(\forall x\in \mathbb{R}^N)$ である。$0<\lvert h\rvert<\epsilon$ なる任意の $h\in \mathbb{R}^N$ に対し、線分
$$
L\colon=\{a+\theta h:\theta\in [0,1]\}\subset \mathbb{R}^N
$$
のLebesgue測度が $0$ であることに注意して微積分学の基本定理より、
$$
\begin{aligned}
u_1(a+h)-u_1(a)&=\int_{B(a,\epsilon)\backslash L}\rho(y)(G(a+h-y)-G(a-y))dy\\
&=h\cdot \int_{B(a,\epsilon)\backslash L}\rho(y)\left(\int_{0}^{1}\nabla G(a+\theta h-y)d\theta\right)dy
\end{aligned}
$$
となる。よって $(**)$ の $v_1$ に対しFubiniの定理より、
$$
\begin{aligned}
u_1(a+h)-u_1(a)-h\cdot v_1(a)&=h\cdot \int_{B(a,\epsilon)}\rho(y)\left(\int_{0}^{1}\nabla G(a+\theta h-y)-\nabla G(a-y)d\theta\right)dy\\
&=h\cdot \int_{0}^{1}\left(\int_{B(a,\epsilon)}\rho(y)(\nabla G(a+\theta h-y)-\nabla G(a-y))dy\right)d\theta
\end{aligned}
$$
となるので、$(***)$ と同様の評価により、
$$
\frac{\lvert u_1(a+h)-u_1(a)-h\cdot v_1(a)\rvert}{\lvert h\rvert}\leq 3\lVert \rho\rVert_{\infty}\epsilon\quad(\forall h\in \mathbb{R}^N:0<\lvert h\rvert<\epsilon)
$$
を得る。またLebesgue優収束定理より $B(a,\epsilon)\ni x\mapsto u_2(x)\in \mathbb{C}$ は微分可能であり、$(**)$ の $v_2$ に対し、
$$
\nabla u_2(x)=v_2(x)\quad(\forall x\in B(a,\epsilon))
$$
であるから、十分小さい $\delta\in (0,\epsilon)$ を取れば、
$$
\frac{\lvert u_2(a+h)-u_2(a)-h\cdot v_2(a)\rvert}{\lvert h\rvert}<\epsilon\quad(\forall h\in \mathbb{R}^N:0<\lvert h\rvert<\delta)
$$
となる。よって、
$$
\frac{\lvert u(a+h)-u(a)-h\cdot v(a)\rvert}{\lvert h\rvert}<(3\lVert \rho\rVert_{\infty}+1)\epsilon\quad(\forall h\in \mathbb{R}^N:0<\lvert h\rvert<\delta)
$$
が成り立つ。$\epsilon\in (0,\infty)$ は任意なので $u$ は $a$ において微分可能であり $\nabla u(a)=v(a)$ が成り立つ。$a\in \mathbb{R}^N$ は任意なので $(*)$ が成り立ち、前段より $v=\nabla u$ は連続であるから $u\in C^1(\mathbb{R}^N)$ が成り立つ。
*$(2)$　ラプラシアンの基本解 $G$ の定義（'''定義5.4'''）より $N\geq 3$ の場合、
$$
u(x)=\frac{1}{\lvert \partial B(0,1)\rvert}\frac{1}{2-N}\int_{\mathbb{R}^N}\frac{\rho(y)}{\lvert x-y\rvert^{N-2}}dy\quad(\forall x\in \mathbb{R}^N)
$$
であるから、${\rm supp}(\rho)\subset \{y\in \mathbb{R}^N:\lvert y\rvert\leq R\}$ なる $R\in (0,\infty)$ と $\lvert x\rvert>R$ なる任意の $x\in \mathbb{R}^N$ に対し、
$$
\lvert u(x)\rvert\leq \frac{1}{\lvert \partial B(0,1)\rvert}\frac{\lVert \rho\rVert_{\infty}}{N-2}\int_{{\rm supp}(\rho)}\frac{1}{(\lvert x\rvert-R)^{N-2}}dy
$$
となる。よって $\lim_{\lvert x\rvert\rightarrow\infty}\lvert u(x)\rvert=0$ が成り立つ。
*$(3)$　$\rho\in \mathcal{E}_N'$（台がコンパクトな超関数）であり、任意の $\varphi\in D(\mathbb{R}^N)$ に対しFubiniの定理より、
$$
\begin{aligned}
u(\varphi)&=\int_{\mathbb{R}^N}u(x)\varphi(x)dx=\int_{\mathbb{R}^N}\left(\int_{\mathbb{R}^N}\rho(y)G(x-y)dy\right)\varphi(x)dx=\int_{\mathbb{R}^N}\left(\int_{\mathbb{R}^N}\rho(x-y)G(y)\varphi(x)dy\right)dx\\
&=\int_{\mathbb{R}^N}\left(\int_{\mathbb{R}^N}\varphi(x)\rho_{-1}(y-x)dx\right)G(y)dy
=(2\pi)^{\frac{N}{2}}G(\varphi*\rho_{-1})
\end{aligned}
$$
であるから、$\rho*G$ の定義（[[合成積とFourier変換]]の'''定義27.2'''）より、
$$
u(\varphi)=(2\pi)^{\frac{N}{2}}G(\varphi*\rho_{-1})=(2\pi)^{\frac{N}{2}}(\rho*G)(\varphi)
$$
である。よって $u=(2\pi)^{\frac{N}{2}}(\rho*G)$ が成り立つので、'''定理5.10'''の $(2)$ より $\Delta u=\rho$ が成り立つ。$w\colon \mathbb{R}^N\rightarrow\mathbb{C}$ が有界連続関数で $\Delta w=\rho$ を満たすとする。$(1)$ より $u-w\colon\mathbb{R}^N\rightarrow\mathbb{C}$ は連続関数であり、$\Delta (u-w)=\rho-\rho=0$ であるから、'''定理4.6'''の $(4)$ より $u-w$ は調和関数である。$N\geq 3$ の場合、$(2)$ より $u-w$ は $\mathbb{R}^N$ 上の有界調和関数であるから、Liouvilleの定理（'''命題4.9'''）より $u-w$ は定数関数である。
{{end|proof}}

==6. 境界条件付き波動方程式の初期値問題の一意解==

===定義6.1（境界条件付きラプラシアンの設定）===
$\Omega\subset \mathbb{R}^N$ を、
*'''全空間'''：$\Omega=\mathbb{R}^N$.
*'''内部領域'''：$\Omega$ は滑らかな境界 $\partial\Omega$ を持つ開集合。
*'''外部領域'''：$\Omega$ は滑らかでコンパクトな境界 $\partial\Omega$ を持つ開集合で、$\mathbb{R}^N\backslash \Omega$ は有界。
のうちのいずれかであるとし、$\partial\Omega$ は互いに交わらないコンパクト集合 $\partial\Omega_{\rm d}$ と $\partial\Omega_{\rm n}$（どちらかが空であってもよい）の合併であるとする。そして'''定理3.9'''の $(4)$ と'''定理3.14'''の $(5)$ によりHilbert空間 $L^2(\Omega)$ 上の非負自己共役作用素としてのラプラシアン
$$
D(-\Delta)\colon=\left\{v\in H^2(\Omega):\gamma(v)|_{\partial\Omega_{\rm d}}=0,\frac{\partial v}{\partial \nu}\Big|_{\partial\Omega_{\rm n}}=0 \right\},
$$
$$
-\Delta \colon D(-\Delta)\ni v\mapsto -\Delta v\in L^2(\Omega)
$$
を考える。'''定理3.9'''の $(2)$　と'''定理3.14'''の $(3)$ より、
$$
D(\sqrt{-\Delta})=\{v\in H^1(\Omega):\gamma(v)|_{\partial\Omega_{\rm d}}=0\}
$$
であり、
$$
(\sqrt{-\Delta}u\mid \sqrt{-\Delta v})_2=\int_{\Omega}\nabla \overline{u}(x)\cdot\nabla v(x)dx=(u\mid v)_{2,1}-(u\mid v)_2\quad(\forall u,v\in D(\sqrt{-\Delta}))\quad\quad(*)
$$
が成り立つ。$\Omega$ が内部領域、外部領域の場合、$-\Delta$ をDirichlet-Neumann境界条件付きラプラシアンと言うこととする。$\Omega$ が内部領域である場合は'''定理3.14'''の $(2)$ より、Hilbert空間 $L^2(\Omega)$ 上の非負自己共役作用素 $-\Delta$ のスペクトルは純粋に離散的（[[Hilbert空間上の作用素論]]の'''定義14.3'''）である。

===定理6.2（波動方程式の初期値問題の一意解）===
$-\Delta \colon D(-\Delta)\rightarrow L^2(\Omega)$ を'''定義6.1'''におけるHilbert空間 $L^2(\Omega)$ 上の非負自己共役作用素とする。$I\subset \mathbb{R}$ を $0$ を含む区間とし、$f(t)\colon I\ni t\mapsto f(t)\in D(\sqrt{-\Delta})$ を $H^1(\Omega)$ のノルムで連続な関数とする。そして $c$ を正実数、$u\in D(-\Delta)$, $v\in D(\sqrt{-\Delta})$ とする。このとき次を満たす $u(t)\colon I\ni t\mapsto u(t)\in D(-\Delta)$ が唯一つ存在する。
*$(1)$　$u(t)\colon I\ni t\mapsto u(t)\in D(-\Delta)$ は $L^2(\Omega)$ のノルムで $C^2$ 級、$H^1(\Omega)$ のノルムで $C^1$ 級である。
*$(2)$　
$$
\frac{du}{dt}(t)\in D(\sqrt{-\Delta})\quad(\forall t\in I).
$$
*$(3)$　
$$
\frac{d^2u}{dt^2}(t)=c^2\Delta u(t)+f(t)\quad(\forall t\in I).
$$
*$(4)$　
$$
u(0)=u,\quad \frac{du}{dt}(0)=v.
$$
そしてこれは、
$$
\frac{c^2}{2}\lVert \nabla u(t)\rVert_2^2+\frac{1}{2}\left\lVert \frac{du}{dt}(t)\right\rVert_2^2=\frac{c^2}{2}\lVert \nabla u\rVert_2^2+\frac{1}{2}\lVert v\rVert_2^2+\int_{0}^{t}{\rm Re}\left(f(s)\mid \frac{du}{dt}(s)\right)ds\quad(\forall t\in I)\quad\quad(*)
$$
を満たし、
$$
u(t)=\cos(ct\sqrt{-\Delta})u+\frac{\sin(ct\sqrt{-\Delta})}{c\sqrt{-\Delta}}v+\int_{0}^{t}\frac{\sin(c(t-s)\sqrt{-\Delta})}{c\sqrt{-\Delta}}f(s)ds\quad(\forall t\in I)\quad\quad(**)
$$
によって表される。ただし $\cos(ct\sqrt{-\Delta})$, $\frac{\sin(ct\sqrt{-\Delta})}{c\sqrt{-\Delta}}$ はHilbert空間 $L^2(\Omega)$ 上の非負自己共役作用素 $-\Delta$ に関するBorel汎関数計算（[[Hilbert空間上の作用素論]]の'''定義8.5'''）である。すなわち $-\Delta$ のスペクトル測度 $E\colon \mathcal{B}_{\sigma(-\Delta)}\rightarrow \mathbb{P}(L^2(\Omega))$ に対し、
$$
\cos(ct\sqrt{-\Delta})=\int_{\sigma(-\Delta)}\cos(ct\sqrt{\lambda})dE(\lambda),\quad
\frac{\sin(ct\sqrt{-\Delta})}{c\sqrt{-\Delta}}=\int_{\sigma(-\Delta)}\frac{\sin(ct\sqrt{\lambda})}{c\sqrt{\lambda}}dE(\lambda)\quad(\forall t\in I)
$$
である。（射影値測度による積分の定義やその基本的性質については[[Hilbert空間上の作用素論]]の'''定義6.7'''、'''命題6.8'''などを参照。）
{{begin|proof}}
*　$u(t)\colon I\ni t\mapsto u(t)\in D(-\Delta)$ が $(1)\sim (4)$ を満たすとき $(*)$ が成り立つことを示す。まず $(1),(2)$ より、
$$
\left\lVert \frac{1}{h}(\nabla u(t+h)-\nabla u(t))-\nabla \frac{du}{dt}(t)\right\rVert_2^2\leq \left\lVert \frac{1}{h}(u(t+h)-u(t))-\frac{du}{dt}(t)\right\rVert_{2,1}^2\rightarrow0\quad(h\rightarrow0)
$$
であるから、
$$
\frac{d}{dt}\nabla u(t)=\nabla \frac{du}{dt}(t)\quad(\forall t\in I)
$$
が成り立つ。これと'''定義6.1'''の $(*)$ より、
$$
\begin{aligned}
&\frac{d}{dt}\left(\frac{1}{2}\lVert \nabla u(t)\rVert_2^2\right)={\rm Re}\left(\nabla u(t)\mid \frac{d}{dt}\nabla u(t)\right)_2={\rm Re}\left(\nabla u(t)\mid \nabla \frac{du}{dt}(t)\right)_2\\
&={\rm Re}\left(\sqrt{-\Delta}u(t)\mid \sqrt{-\Delta}\frac{du}{dt}(t)\right)_2
={\rm Re}\left(-\Delta u(t)\mid \frac{du}{dt}(t)\right)_2\quad(\forall t\in I)
\end{aligned}
$$
であるから、$(3)$ より、
$$
\begin{aligned}
\frac{d}{dt}\left(\frac{1}{2}\left\lVert \frac{du}{dt}(t)\right\rVert_2^2\right)
&={\rm Re}\left(\frac{d^2u}{dt^2}(t)\mid \frac{du}{dt}(t)\right)
=-c^2{\rm Re}\left(-\Delta u(t)\mid \frac{du}{dt}(t)\right)_2+{\rm Re}\left(f(t)\mid \frac{du}{dt}(t)\right)_2\\
&=-c^2\frac{d}{dt}\left(\frac{1}{2}\lVert \nabla u(t)\rVert_2^2\right)
+{\rm Re}\left(f(t)\mid \frac{du}{dt}(t)\right)_2\quad(\forall t\in I)
\end{aligned}
$$
となる。よって、
$$
\frac{d}{dt}\left(\frac{c^2}{2}\lVert \nabla u(t)\rVert_2^2+\frac{1}{2}\left\lVert \frac{du}{dt}(t)\right\rVert_2^2\right)={\rm Re}\left(f(t)\mid \frac{du}{dt}(t)\right)_2\quad(\forall t\in I)
$$
が成り立つので、これを積分すれば、$(4)$ より、$(*)$ を得る。
*　次に $(1)\sim(4)$ を満たす $u(t)\colon I\ni t\mapsto u(t)\in D(-\Delta)$ の一意性を示す。$u_1,u_2\colon I\rightarrow D(-\Delta)$ が共に $(1)\sim(4)$ を満たすとすると、
$$
u(t)\colon I\ni t\mapsto u_1(t)-u_2(t)\in D(-\Delta)
$$
は $u=0$, $v=0$, $f(t)=0$ $(\forall t\in I)$ とした場合の $(1)\sim (4)$ を満たす。よって前段の結果から、
$$
\frac{c^2}{2}\lVert \nabla u(t)\rVert_2^2+\frac{1}{2}\left\lVert \frac{du}{dt}(t)\right\rVert_2^2=0\quad(\forall t\in I)
$$
が成り立つので、特に、
$$
\frac{du}{dt}(t)=0\quad(\forall t\in I)
$$
である。よって微積分学の基本定理より $u(t)=u(0)=0$ $(\forall t\in I)$ であるから、$u_1(t)=u_2(t)$ $(\forall t\in I)$ が成り立つ。これで一意性が示せた。
*　後は $(**)$ が $(1)\sim(4)$ を満たすことを示せばよい。（以後の議論は長くなっているが、Lebesgue優収束定理による単純な議論である。）そのために、
$$
u_1(t)\colon=\frac{\sin(ct\sqrt{-\Delta})}{c\sqrt{-\Delta}}v,\quad
u_2(t)\colon=\cos(ct\sqrt{-\Delta})u,\quad u_3(t)\colon=\int_{0}^{t}\frac{\sin(c(t-s)\sqrt{-\Delta})}{c\sqrt{-\Delta}}f(s)ds\quad(\forall t\in I)
$$
と分解して考える。$u_1(t)$ について考える。Lebesgue優収束定理より、
$$
\begin{aligned}
&\left\lVert \frac{1}{h}(u_1(t+h)-u_1(t))-\cos(ct\sqrt{-\Delta})v\right\rVert_2^2\\
&=\left\lVert \frac{1}{h}\left(\frac{\sin(c(t+h)\sqrt{-\Delta})}{c\sqrt{-\Delta}}-\frac{\sin(ct\sqrt{-\Delta})}{c\sqrt{-\Delta}}\right)v-\cos(ct\sqrt{-\Delta})v\right\rVert_2^2\\
&=\int_{\sigma(-\Delta)}\left\lvert \frac{1}{h}\left(\frac{\sin(c(t+h)\sqrt{\lambda})}{c\sqrt{\lambda}}-\frac{\sin(ct\sqrt{\lambda})}{ch\sqrt{\lambda}}\right)-\cos(ct\sqrt{\lambda})\right\rvert^2dE_{v,v}(\lambda)\\
&\rightarrow0\quad(h\rightarrow0,\forall t\in I)
\end{aligned}
$$
であるから、
$$
\frac{du_1}{dt}(t)=\cos(ct\sqrt{-\Delta})v\in D(\sqrt{-\Delta})
$$
であり、Lebesgue優収束定理より、
$$
\begin{aligned}
&\left\lVert \frac{1}{h}\left(\frac{du_1}{dt}(t+h)-\frac{du_1}{dt}(t)\right)-(-c\sqrt{-\Delta}\sin(ct\sqrt{-\Delta}))v\right\rVert_2^2\\
&=\left\lVert \frac{1}{h}(\cos(c(t+h)\sqrt{-\Delta})-\cos(ct\sqrt{-\Delta}))v-(-c\sqrt{-\Delta}\sin(ct\sqrt{-\Delta})v)\right\rVert_2^2\\
&=\int_{\sigma(-\Delta)}\left\lvert \frac{\cos(c(t+h)\sqrt{\lambda})-\cos(ct\sqrt{\lambda})}{h}-(-c\sqrt{\lambda}\sin(ct\sqrt{\lambda}))\right\rvert^2dE_{v,v}(\lambda)\\
&\rightarrow0\quad(h\rightarrow0,\forall t\in I)
\end{aligned}
$$
であるから、$L^2(\Omega)$ のノルムで、
$$
\frac{d^2u_1}{dt^2}(t)=-c\sqrt{-\Delta}\sin(ct\sqrt{-\Delta})v=c^2\Delta u_1(t)\quad(\forall t\in I)
$$
が成り立つ。さらにLebesgue優収束定理より、
$$
\begin{aligned}
\left\lVert \frac{d^2u_1}{dt^2}(t+h)-\frac{d^2u_1}{dt^2}(t)\right\rVert_2
&=\left\lVert \sqrt{-\Delta}\sin(c(t+h)\sqrt{-\Delta})v-\sqrt{-\Delta}\sin(ct\sqrt{-\Delta})v\right\rVert_2^2\\
&=\int_{\sigma(-\Delta)}\left\lvert \sqrt{\lambda}\sin(c(t+h)\sqrt{\lambda})-\sqrt{\lambda}\sin(ct\sqrt{\lambda})\right\rvert^2dE_{v,v}(\lambda)\\
&\rightarrow0\quad(h\rightarrow0, \forall t\in I)
\end{aligned}
$$
であるから、
$$
I\ni t\mapsto \frac{d^2u_1}{dt^2}(t)\in L^2(\Omega)
$$
は $L^2(\Omega)$ のノルムで連続である。ゆえに $u_1(t)\colon I\ni t\mapsto u_1(t)\in D(-\Delta)$
は $L^2(\Omega)$ のノルムで $C^2$ 級である。また $v\in D(\sqrt{-\Delta})=D_E(\sqrt{\lambda})$ であることとLebesgue優収束定理より、
$$
\begin{aligned}
&\left\lVert \frac{1}{h}\left(\sqrt{-\Delta}u_1(t+h)-\sqrt{-\Delta}u_1(t)\right)-\sqrt
{-\Delta}\cos(ct\sqrt{-\Delta})v\right\rVert_2^2\\
&=\left\lVert \frac{\sin(c(t+h)\sqrt{-\Delta})-\sin(ct\sqrt{-\Delta})}{ch}v-\sqrt{-\Delta}\cos(ct\sqrt{-\Delta})v\right\rVert_2^2\\
&=\int_{\sigma(-\Delta)}\left\lvert \frac{\sin(c(t+h)\sqrt{\lambda})-\sin(ct\sqrt{\lambda})}{ch}-\sqrt{\lambda}\cos(ct\sqrt{\lambda})\right\rvert^2dE_{v,v}(\lambda)\\
&\rightarrow0\quad(h\rightarrow0,\forall t\in I)
\end{aligned}
$$
であるから、$L^2(\Omega)$ のノルムに関して、
$$
\frac{d}{dt}\sqrt{-\Delta}u_1(t)=\sqrt{-\Delta}\cos(ct\sqrt{-\Delta})v
=\sqrt{-\Delta}\frac{du_1}{dt}(t)\quad(\forall t\in I)
$$
が成り立つ。よって'''定義6.1'''の $(*)$ より $u_1(t)\colon I\ni t\mapsto u_1(t)\in D(-\Delta)$
は $H^1(\Omega)$ のノルムで微分可能である。そしてLebesgue優収束定理より、
$$
\begin{aligned}
&\left\lVert \sqrt{-\Delta}\frac{du_1}{dt}(t+h)-\sqrt{-\Delta}\frac{du_1}{dt}(t)\right\rVert_2^2\\
&=\left\lVert \sqrt{-\Delta}\cos(c(t+h)\sqrt{-\Delta})v-\sqrt{-\Delta}\cos(ct\sqrt{-\Delta})v\right\rVert_2^2\\
&=\int_{\sigma(-\Delta)}\lvert \sqrt{\lambda}\cos(c(t+h)\sqrt{\lambda})-\sqrt{\lambda}\cos(ct\sqrt{\lambda})\rvert^2dE_{v,v}(\lambda)\rightarrow0\quad(h\rightarrow0)
\end{aligned}
$$
であるから、
$$
I\ni t\mapsto \sqrt{-\Delta}\frac{du_1}{dt}(t)\in L^2(\Omega)
$$
は $L^2(\Omega)$ のノルムに関して連続なので、'''定義6.1'''の $(*)$ より $u_1(t)\colon I\ni t\mapsto u_1(t)\in D(-\Delta)$ は $H^1(\Omega)$ のノルムに関して $C^1$ 級である。全く同様にして $u_2(t)\colon I\ni t\mapsto u_2(t)\in D(-\Delta)$ が $L^2(\Omega)$ のノルムで $C^2$ 級、$H^1(\Omega)$ のノルムで $C^1$ 級であり、
$$
\frac{du_2}{dt}(t)=-c\sqrt{-\Delta}\sin(ct\sqrt{-\Delta})u\in D(\sqrt{-\Delta}),\quad
\frac{d^2u_2}{dt^2}(t)=c^2\Delta u_2(t)\quad(\forall t\in I)
$$
が成り立つことが分かる。よって、
$$
I\ni t\mapsto u_1(t)+u_2(t)\in D(-\Delta)
$$
は $L^2(\Omega)$ のノルムで $C^2$ 級、$H^1(\Omega)$ のノルムで $C^1$ 級であり、
$$
\frac{d}{dt}(u_1+u_2)(t)\in D(\sqrt{-\Delta}),\quad \frac{d^2}{dt^2}(u_1+u_2)(t)=c^2\Delta(u_1+u_2)(t)\quad(\forall t\in I),
$$
$$
(u_1+u_2)(0)=u,\quad \frac{d}{dt}(u_1+u_2)(0)=v
$$
が成り立つ。$u_3(t)\colon I\ni t\mapsto u_3(t)\in L^2(\Omega)$ について考える。'''定義6.1'''の $(*)$ より $I\ni t\mapsto \sqrt{-\Delta}f(t)\in L^2(\Omega)$ は連続であり、$\sqrt{-\Delta}$, $-\Delta$ は閉線形作用素であるから、
$$
-\Delta u_3(t)=\int_{0}^{1}\frac{1}{c}\sqrt{-\Delta}\sin(c(t-s)\sqrt{-\Delta})f(s)ds\quad(\forall t\in I),
$$
$$
\sqrt{-\Delta}u_3(t)=\int_{0}^{t}\frac{1}{c}\sin(c(t-s)\sqrt{-\Delta})f(s)ds\quad(\forall t\in I)
$$
である。
$$
\begin{aligned}
&\frac{1}{h}(u_3(t+h)-u_3(t))\\
&=\int_{0}^{t+h}\frac{1}{h}\left(\frac{\sin(c(t+h-s)\sqrt{-\Delta})}{c\sqrt{-\Delta}}-\frac{\sin(c(t-s)\sqrt{-\Delta})}{c\sqrt{-\Delta}}\right)f(s)ds\\
&+\frac{1}{h}\int_{t}^{t+h}\frac{\sin(c(t-s)\sqrt{-\Delta})}{c\sqrt{-\Delta}}f(s)ds
\end{aligned}
$$
であるから、$u_1(t)=\frac{\sin(ct\sqrt{-\Delta})}{c\sqrt{-\Delta}}v$ の微分可能性の議論により、$L^2(\Omega)$ のノルムに関して $u_3(t)$ は微分可能であり、
$$
\frac{du_3}{dt}(t)=\int_{0}^{t}\cos(c(t-s)\sqrt{-\Delta})f(s)ds\quad(\forall t\in I)
$$
が成り立つことが分かる。そして、
$$
\begin{aligned}
&\frac{1}{h}\left(\frac{du_3}{dt}(t+h)-\frac{du_3}{dt}(t)\right)\\
&=\int_{0}^{t+h}\frac{1}{h}\left(\cos(c(t+h-s)\sqrt{-\Delta})-\cos(c(t-s)\sqrt{-\Delta})\right)f(s)ds\\
&+\frac{1}{h}\int_{t}^{t+h}\cos(c(t-s)\sqrt{-\Delta})f(s)ds
\end{aligned}
$$
であるから、$\frac{du_1}{dt}(t)=\cos(ct\sqrt{-\Delta})v$ の微分可能性の議論より、$L^2(\Omega)$ のノルムに関して、
$$
\begin{aligned}
\frac{d^2u_3}{dt^2}(t)&=\int_{0}^{t}(-c\sqrt{-\Delta})\sin(c(t-s)\sqrt{-\Delta})f(s)ds+f(t)\\
&=\int_{0}^{t}c^2\Delta\frac{\sin(c(t-s)\sqrt{-\Delta})}{c\sqrt{-\Delta}}f(s)ds+f(t)\\
&=c^2\Delta u_3(t)+f(t)\quad(\forall t\in I)
\end{aligned}
$$
が成り立つことが分かる。Lebesgue優収束定理より、
$$
I\ni t\mapsto \frac{d^2u_3}{dt^2}(t)=\int_{0}^{t}(-c\sqrt{-\Delta})\sin(c(t-s)\sqrt{-\Delta})f(s)ds+f(t)\in L^2(\Omega)
$$
は $L^2(\Omega)$ のノルムに関して連続であるので、$u_3(t)\colon I\ni t\mapsto u_3(t)\in D(-\Delta)$ は $L^2(\Omega)$ のノルムで $C^2$ 級である。また、
$$
\begin{aligned}
&\frac{1}{h}(\sqrt{-\Delta}u_3(t+h)-\sqrt{-\Delta}u_3(t))\\
&=\int_{0}^{t+h}\frac{\sin(c(t+h-s)\sqrt{-\Delta})-\sin(c(t-s)\sqrt{-\Delta})}{ch}f(s)ds\\
&+\frac{1}{h}\int_{t}^{t+h}\frac{\sin(c(t-s)\sqrt{-\Delta})}{c}f(s)ds
\end{aligned}
$$
であるから $\sqrt{-\Delta}u_1(t)=\sin(ct\sqrt{-\Delta})v$ の微分可能性の議論より $L^2(\Omega)$ のノルムに関して、
$$
\frac{d}{dt}\sqrt{-\Delta}u_3(t)=\int_{0}^{t}\sqrt{-\Delta}\cos(c(t-s)\sqrt{-\Delta})f(s)ds=\sqrt{-\Delta}\frac{du_3}{dt}(t)\quad(\forall t\in I)
$$
が成り立つことが分かる。よって'''定義6.1'''の $(*)$ より $u_3(t)\colon I\ni t\mapsto u_3(t)\in D(-\Delta)$ は $H^1(\Omega)$ のノルムで微分可能である。そしてLebesgue優収束定理より、
$$
I\ni t\mapsto \sqrt{-\Delta}\frac{du_3}{dt}(t)=\int_{0}^{t}\sqrt{-\Delta}\cos(c(t-s)\sqrt{-\Delta})f(s)ds\in L^2(\Omega)
$$
は $L^2(\Omega)$ のノルムにより連続であるから、'''定義6.1'''の $(*)$ より $u_3(t)\colon I\ni t\mapsto u_3(t)\in D(-\Delta)$ は $H^1(\Omega)$ のノルムで $C^1$ 級である。以上より $u_3(t)\colon I\ni t\mapsto u_3(t)\in D(-\Delta)$ は $L^2(\Omega)$ のノルムで $C^2$ 級、$H^1(\Omega)$ のノルムで $C^1$ 級であり、
$$
\frac{du_3}{dt}(t)\in D(\sqrt{-\Delta}),\quad \frac{d^2u_3}{dt^2}(t)=c^2\Delta u_3(t)+f(t)\quad(\forall t\in I)
$$
が成り立つ。以上より、
$$
u(t)\colon I\ni t\mapsto u_1(t)+u_2(t)+u_3(t)\in D(-\Delta)
$$
は $(1)\sim (4)$ を満たす。
{{end|proof}}

===注意6.3（内部領域におけるDirichlet-Neumann境界条件付き波動方程式の初期値問題の一意解の形）===
$\Omega\subset \mathbb{R}^N$ を'''定義6.1'''における内部領域とし、Dirichlet-Neumann境界条件付きラプラシアン $-\Delta\colon D(-\Delta)\rightarrow L^2(\Omega)$ を考える。このとき $-\Delta$ のスペクトル $\sigma(-\Delta)$ は'''定理3.14'''の $(2)$ より純粋に離散的（[[Hilbert空間上の作用素論]]の'''定義14.3'''）である。そこで、
$$
\sigma(-\Delta)=\{\lambda_n\}_{n\in\mathbb{N}}
$$
とし、各離散固有値 $\lambda_n\in \sigma(-\Delta)$ の固有空間のCONSを $\{\varphi_{n,1},\ldots,\varphi_{n,m(n)}\}\subset \bigcap_{m\in \mathbb{N}}H^m(\Omega)\subset \bigcap_{m\in\mathbb{N}}C^m(\overline{\Omega})$（'''定理3.14'''の $(6)$ を参照）とおく。今、$I\subset \mathbb{R}$ を $0$ を含む区間、$f(t)\colon I\ni t\mapsto f(t)\in D(\sqrt{-\Delta})$ を $H^1(\Omega)$ のノルムに関する連続関数、$c\in (0,\infty)$, $u\in D(-\Delta)$, $v\in D(\sqrt{-\Delta})$ とし、'''定理6.2'''の $(1)\sim (4)$ を満たす一意解を $u(t)\colon I\ni t\mapsto u(t)\in D(-\Delta)$ とする。そして任意の $n\in \mathbb{N}$, $k\in \{1,\ldots,m(n)\}$ に対し $C^2$ 級関数
$$
u_{n,k}(t)\colon I\ni t\mapsto (\varphi_{n,k}\mid u(t))_2\in \mathbb{C}
$$
を定義する。また、
$$
u_{n,k}\colon =(\varphi_{n,k}\mid u)_{2}\in \mathbb{C},\quad
v_{n,k}\colon =(\varphi_{n,k}\mid v)_2\in \mathbb{C},\quad
f_{n,k}(t)\colon I\ni t\mapsto (\varphi_{n,k}\mid f(t))_2\in \mathbb{C}
$$
とおく。このとき、
$$
\begin{aligned}
&\frac{d^2u_{n,k}}{dt^2}(t)=\left(\varphi_{n,k}\mid \frac{d^2u}{dt^2}(t)\right)_2
=(\varphi_{n,k}\mid c^2\Delta u(t))_2+(\varphi_{n,k}\mid f(t))_2\\
&=c^2(\Delta \varphi_{n,k}\mid u(t))_2+(\varphi_{n,k}\mid f(t))_2
=-c^2\lambda_{n}u_{n,k}(t)+f_{n,k}(t)\quad(\forall t\in I)
\end{aligned}
$$
であり $u_{n,k}(0)=u_{n,k},\quad \frac{du_{n,k}}{dt}(0)=v_{n,k}$ であるから、$u_{n,k}(t)\colon I\ni t\mapsto u_{n,k}(t)\in\mathbb{C}$ は常微分方程式の初期値問題
$$
\frac{d^2u_{n,k}}{dt^2}(t)=-c^2\lambda_nu_{n,k}(t)+f(t),\quad
u_{n,k}(0)=u_{n,k},\quad \frac{du_{n,k}}{dt}(0)=v_{n,k}
$$
の一意解である。Hilbert空間 $L^2(\Omega)$ 上の非負自己共役作用素 $-\Delta\colon D(-\Delta)\rightarrow L^2(\Omega)$ のスペクトル測度を $E\colon \mathcal{B}_{\sigma(-\Delta)}\rightarrow \mathbb{P}(L^2(\Omega))$ とすると、[[Hilbert空間上の作用素論]]の'''命題8.7'''の $(6)$ より、
$$
{\rm Ran}E(\{\lambda_n\})={\rm Ker}(\lambda_n+\Delta)={\rm span}\{\varphi_{n,1},\ldots,\varphi_{n,m(n)}\}
$$
であるから、'''定理6.2'''より、$u_{n,k}(t)\colon I\ni t\mapsto u_{n,k}(t)\in \mathbb{C}$ は、
$$
\begin{aligned}
u_{n,k}(t)&=(\varphi_{n,k}\mid \cos(ct\sqrt{-\Delta})u)_2+\left(\varphi_{n,k}\mid \frac{\sin(ct\sqrt{-\Delta})}{c\sqrt{-\Delta}}v\right)_2
+\int_{0}^{t}\left(\varphi_{n,k}\mid \frac{\sin(c(t-s)\sqrt{-\Delta})}{c\sqrt{-\Delta}}f(s)\right)ds\\
&=\cos(ct\sqrt{\lambda_n})(\varphi_{n,k}\mid u)_2+\frac{\sin(ct\sqrt{\lambda_n})}{c\sqrt{\lambda_n}}(\varphi_{n,k}\mid v)_2+\int_{0}^{t}\frac{\sin(c(t-s)\sqrt{\lambda_n})}{c\sqrt{\lambda_n}}(\varphi_{n,k}\mid f(s))ds\\
&=\cos(ct\sqrt{\lambda_n})u_{n,k}+\frac{\sin(ct\sqrt{\lambda_n})}{c\sqrt{\lambda_n}}v_{n,k}+\int_{0}^{t}\frac{\sin(c(t-s)\sqrt{\lambda_n})}{c\sqrt{\lambda_n}}f_{n,k}(s)ds\quad(\forall t\in I)
\end{aligned}
$$
と表すことができる。[[Hilbert空間上の作用素論]]の'''命題14.4'''より、
$$
\{\varphi_{n,1},\ldots,\varphi_{n,m(n)}:n\in \mathbb{N}\}
$$
は $L^2(\Omega)$ のCONSであるから、
$$
u(t)=\sum_{n\in \mathbb{N}}\sum_{k=1}^{m(n)}(\varphi_{n,k}\mid u(t))_2\varphi_{n,k}=\sum_{n\in\mathbb{N}}\sum_{k=1}^{m(n)}u_{n,k}(t)\varphi_{n,k}\quad(\forall t\in I)
$$
となる。よって波動方程式の一意解 $u(t,x)$ は、$-\Delta$ の各離散固有値（モード）$\lambda_n$ ごとの波 $u_{n,k}(t)\varphi_{n,k}(x)\in C^2(I)\otimes C^\infty(\Omega)$ $(n\in \mathbb{N},k=1,\ldots,m(n))$（それぞれ時間変数 $t\in I$ と空間変数 $x\in \Omega$ で変数分離されている）の重ね合わせである。

===補題6.4===
'''定義6.1'''の $\Omega=\mathbb{R}^3$ の場合のラプラシアン $-\Delta\colon H^2(\mathbb{R}^3)\rightarrow L^2(\mathbb{R}^3)$ と任意の $u\in H^2(\mathbb{R}^3)\subset C_0(\mathbb{R}^3)$<ref>Sobolevの埋め込み定理（[[Sobolev空間の基本事項]]の'''定理38.3'''）を参照）</ref>, $c\in (0,\infty)$ に対し、
$$
\left(\frac{\sin(ct\sqrt{-\Delta})}{c\sqrt{-\Delta}}u\right)(x)=tS(u,x,c\lvert t\rvert)\quad(\forall x\in \mathbb{R}^3,\forall t\in \mathbb{R})
$$
が成り立つ。ただし右辺の $S(u,x,c\lvert t\rvert)$ は中心 $x\in\mathbb{R}^3$, 半径 $c\lvert t\rvert$ の球面 $\{y\in \mathbb{R}^3:\lvert y-x\rvert =c\lvert t\rvert\}$ における $u\colon \mathbb{R}^3\rightarrow\mathbb{C}$ の球面平均（'''定義4.1'''）である。
{{begin|proof}}
$t\in \mathbb{R}$ は固定する。まず $u\in D(\mathbb{R}^3)$ の場合を示す。[[Hilbert空間上の作用素論]]の'''命題17.1'''と合成積のFourier変換の性質（[[合成積とFourier変換]]の'''定理24.3'''）より、
$$
\frac{\sin(ct\sqrt{-\Delta})}{c\sqrt{-\Delta}}u=\mathcal{F}^{-1}\frac{\sin(ct\lvert {\rm id}\rvert)}{c\lvert {\rm id}\rvert}\mathcal{F}u=u*\left(\mathcal{F}^{-1}\frac{\sin(ct\lvert {\rm id}\rvert)}{c\lvert {\rm id\rvert}}\right)=u*v\in C^\infty(\mathbb{R}^3)\quad\quad(*)
$$
となる。ただし、
$$
v\colon=\mathcal{F}^{-1}\frac{\sin(ct\lvert {\rm id}\rvert)}{c\lvert {\rm id}\rvert}\in \mathcal{S}_3'
$$
とおいた。
$$
v_n(y)\colon=\frac{1}{(2\pi)^{\frac{3}{2}}}\int_{\lvert x\rvert<n}\frac{\sin(ct\lvert x\rvert)}{c\lvert x\rvert}e^{ix\cdot y}dx\quad(\forall y\in \mathbb{R}^3,\forall n\in \mathbb{N})
$$
とおけば、任意の $\varphi\in D(\mathbb{R}^3)$ に対しFubiniの定理とLebesgue優収束定理より、
$$
\begin{aligned}
\int_{\mathbb{R}^3}\varphi(y)v_n(y)dy&=\frac{1}{(2\pi)^{\frac{3}{2}}}\int_{\mathbb{R}^3}\int_{\lvert x\rvert<n}\varphi(y)\frac{\sin(ct\lvert x\rvert)}{c\lvert x\rvert}e^{ix\cdot y}dydx\\
&=\frac{1}{(2\pi)^{\frac{3}{2}}}\int_{\lvert x\rvert<n}\int_{\mathbb{R}^3}\varphi(y)\frac{\sin(ct\lvert x\rvert)}{c\lvert x\rvert}e^{ix\cdot y}dxdy\\
&=\int_{\lvert x\rvert<n}(\mathcal{F}^{-1}\varphi)(x)\frac{\sin(ct\lvert x\rvert)}{c\lvert x\rvert}dx\\
&\rightarrow \int_{\mathbb{R}^N}(\mathcal{F}^{-1}\varphi)(x)\frac{\sin(ct\lvert x\rvert)}{c\lvert x\rvert}dx=v(\varphi)\quad(n\rightarrow\infty)
\end{aligned}
$$
となるから、超関数空間 $D'(\mathbb{R}^3)$ の位相（[[超関数の定義と基本操作]]の'''定義4.1'''）で $\lim_{n\rightarrow\infty}v_n=v$ が成り立つ。よって $u\in D(\mathbb{R}^3)$ より、
$$
(u*v_n)(x)=\frac{1}{(2\pi)^{\frac{3}{2}}}v_n(T_xu_{-1})\rightarrow \frac{1}{(2\pi)^{\frac{3}{2}}}v(T_xu_{-1})=(u*v)(x)\quad(n\rightarrow\infty,\forall x\in \mathbb{R}^3)\quad\quad(**)
$$
が成り立つ。任意の $n\in \mathbb{N}$ と任意の $y\in \mathbb{R}^3\backslash \{0\}$ を取る。$\mathbb{R}^3$ の正規直交基底 $e_1,e_2,e_3$ で $y=\lvert y\rvert e_1$ を満たすものを取り、
$$
(0,n)\times (0,\pi)\times (0,2\pi)\ni (r,\theta,\theta')\mapsto r\cos(\theta)e_1+r\sin(\theta)\cos(\theta')e_2+r\sin(\theta)\sin(\theta')e_3\in \{x\in \mathbb{R}^3:\lvert x\rvert<n\}
$$
なる極座標変換（[[ベクトル解析4：Euclid空間内の多様体上の測度と積分]]の'''定理18.4'''）を考えれば、
$$
\begin{aligned}
v_n(y)&=\frac{1}{(2\pi)^{\frac{3}{2}}}\int_{\lvert x\rvert<n}\frac{\sin(ct\lvert x\rvert)}{c\lvert x\rvert}e^{ix\cdot y}dx=\frac{1}{(2\pi)^{\frac{3}{2}}}\int_{0}^{n}\int_{0}^{\pi}2\pi r^2\sin(\theta)\frac{\sin(ctr)}{cr}e^{ir\lvert y\rvert\cos(\theta)}d\theta dr\\
&=\frac{1}{c(2\pi)^{\frac{1}{2}}}\int_{0}^{n}\int_{0}^{\pi}r\sin(\theta)\sin(ctr)e^{ir\lvert y\rvert \cos(\theta)}d\theta dr=\frac{1}{c(2\pi)^{\frac{1}{2}}}\int_{0}^{n}r\int_{-1}^{1}\sin(ctr)e^{i\lvert y\rvert rs}dsdr\\
&=\frac{1}{c\lvert y\rvert (2\pi)^{\frac{1}{2}}}\int_{0}^{n}2\sin(ctr)\frac{e^{i\lvert y\rvert r}-e^{-i\lvert y\rvert r}}{2i}dr=\frac{1}{c\lvert y\rvert (2\pi)^{\frac{1}{2}}}\int_{0}^{n}2\sin(ctr)\sin(\lvert y\rvert r)dr\\
&=\frac{1}{c\lvert y\rvert (2\pi)^{\frac{1}{2}}}\int_{0}^{n}(\cos((ct-\lvert y\rvert)r)-\cos((ct+\lvert y\rvert)r))dr\\
&=\frac{1}{2c\lvert y\rvert(2\pi)^{\frac{1}{2}}}\int_{-n}^{n}(\cos((ct-\lvert y\rvert)r)-\cos((ct+\lvert y\rvert)r))dr
\end{aligned}
$$
となる。よって $u\in D(\mathbb{R}^3)$ であることに注意して、任意の $x\in \mathbb{R}^3$ に対し、さらに極座標変換（[[ベクトル解析4：Euclid空間内の多様体上の測度と積分]]の'''定理18.4'''）より、
$$
\begin{aligned}
(u*v_n)(x)&=\frac{1}{(2\pi)^{\frac{3}{2}}}\int_{\mathbb{R}^3}u(x-y)v_n(y)dy\\
&=\frac{1}{2c(2\pi)^2}\int_{\mathbb{R}^3}\int_{-n}^{n}\frac{u(x-y)}{\lvert y\rvert}(\cos((ct-\lvert y\rvert)r)-\cos((ct+\lvert y\rvert)r))drdy\\
&=\frac{1}{2c(2\pi)^2}\int_{0}^{\infty}\int_{S_2}\int_{-n}^{n}u(x-\rho \omega)\rho(\cos((ct-\rho)r)-\cos(ct+\rho)r))drd\mu_{S_2}(\omega)d\rho\\
&=\frac{1}{4c(2\pi)^2}\int_{-\infty}^{\infty}\int_{S_2}\int_{-n}^{n}u(x-\rho\omega)\rho(\cos((ct-\rho)r)-\cos((ct+\rho)r))dr d\mu_{S_2}(\omega)d\rho\\
&=\frac{1}{4c(2\pi)^2}\int_{-n}^{n}\int_{-\infty}^{\infty}\int_{S_2}u(x+\rho \omega)\rho(\cos((ct-\rho)r)-\cos((ct+\rho)r))d\mu_{S_2}(\omega)d\rho dr\\
&=\frac{1}{4c\pi}\left\{\int_{-n}^{n}\int_{-\infty}^{\infty}S(u,x,\lvert \rho+ct\rvert)(\rho+ct)\cos(\rho r)d\rho dr-\int_{-n}^{n}\int_{-\infty}^{\infty}S(u,x,\lvert \rho-ct\rvert)(\rho-ct)\cos(\rho r)d\rho dr\right\}\\
&\rightarrow \frac{1}{2c}(S(u,x,c\lvert t\rvert)ct+S(u,x,c\lvert t\rvert)ct)=tS(u,x,c\lvert t\rvert)\quad(n\rightarrow\infty)
\end{aligned}
$$
となる。最後はFourier変換とFourier逆変換による（$\cos(\rho r)=\frac{e^{i\rho r}+e^{-i\rho r}}{2}$ に注意）。ゆえに、
$$
\lim_{n\rightarrow\infty}(u*v_n)(x)=tS(u,x,c\lvert t\rvert)\quad(\forall u\in D(\mathbb{R}^3),\forall x\in \mathbb{R}^3)
$$
が成り立つ。これと $(*),(**)$ より、
$$
\left(\frac{\sin(ct\sqrt{-\Delta})}{c\sqrt{-\Delta}}u\right)(x)
=(u*v)(x)=\lim_{n\rightarrow\infty}(u*v_n)(x)=tS(u,x,c\lvert t\rvert)\quad(\forall u\in D(\mathbb{R}^3),\forall x\in \mathbb{R}^3)\quad\quad(***)
$$
を得る。任意の $u\in H^2(\mathbb{R}^3)\subset C_0(\mathbb{R}^3)$ を取る。[[Sobolev空間の基本事項]]の'''定理32.2'''より $D(\mathbb{R}^3)$ の列 $(u_n)_{n\in \mathbb{N}}$ で $\lim_{n\rightarrow\infty}\lVert u-u_n\rVert_{2,2}=0$ なるものが取れて、Sobolevの埋め込み定理（[[Sobolev空間の基本事項]]の'''定理38.3'''）より $(u_n)_{n\in \mathbb{N}}$ は $u$ に一様収束する。よって $(***)$ より、
$$
tS(u,x,c\lvert t\rvert)=\lim_{n\rightarrow\infty}tS(u_n,x,c\lvert t\rvert)=\lim_{n\rightarrow\infty}\left(\frac{\sin(ct\sqrt{-\Delta})}{c\sqrt{-\Delta}}u_n\right)(x)\quad(\forall x\in \mathbb{R}^3)\quad\quad(****)
$$
が成り立つ。一方、Plancherelの定理（[[緩増加超関数とFourier変換]]の'''定理19.1'''）より $L^2$ ノルムで、
$$
\left(\frac{\sin(ct\sqrt{-\Delta})}{c\sqrt{-\Delta}}u\right)=\mathcal{F}^{-1}\frac{\sin(ct\lvert {\rm id}\rvert)}{c\lvert {\rm id}\rvert}\mathcal{F}u=\lim_{n\rightarrow\infty}\mathcal{F}^{-1}\frac{\sin(ct\lvert {\rm id}\rvert)}{c\lvert {\rm id}\rvert}\mathcal{F}u_n=\lim_{n\rightarrow\infty}\left(\frac{\sin(ct\sqrt{-\Delta})}{c\sqrt{-\Delta}}u_n\right)
$$
であるから、$\left(\left(\frac{\sin(ct\sqrt{-\Delta})}{c\sqrt{-\Delta}}u_n\right)\right)_{n\in\mathbb{N}}$ のある部分列は a.e. $x\in \mathbb{R}^3$ で $\left(\frac{\sin(ct\sqrt{-\Delta})}{c\sqrt{-\Delta}}u\right)(x)$ に収束する。よって $(****)$ より、
$$
\left(\frac{\sin(ct\sqrt{-\Delta})}{c\sqrt{-\Delta}}u\right)(x)=tS(u,x,c\lvert t\rvert)\quad(\forall x\in \mathbb{R}^3)
$$
が成り立つ。
{{end|proof}}

===補題6.5===
$\mathcal{F}\colon L^2(\mathbb{R}^3)\rightarrow L^2(\mathbb{R}^3)$ をFourier変換とする。このとき、
*$(1)$　任意の $v\in H^1(\mathbb{R}^3)$ に対し、$\frac{1}{\lvert {\rm id}\rvert}\mathcal{F}v\in L^1(\mathbb{R}^3)$ が成り立つ。
*$(2)$　任意の $u\in H^2(\mathbb{R}^3)$ に対し、$\mathcal{F}u\in L^1(\mathbb{R}^3)$ が成り立つ。
{{begin|proof}}
*$(1)$　[[Sobolev空間の基本事項]]の'''命題38.1'''より $(1+\lvert {\rm id}\rvert^2)^{\frac{1}{2}}\mathcal{F}v\in L^2(\mathbb{R}^3)$ である。また極座標変換（[[ベクトル解析4：Euclid空間内の多様体上の測度と積分]]の'''定理18.4'''）より、
$$
\int_{\mathbb{R}^3}\frac{1}{\lvert x\rvert^2(1+\lvert x\rvert^2)}dx
=4\pi\int_{0}^{\infty}\frac{1}{1+r^2}dr\leq 4\pi \left(\int_{0}^{1}\frac{1}{1+r^2}dr+\int_{1}^{\infty}\frac{1}{r^2}dr\right)<\infty
$$
であるから、
$$
\frac{1}{\lvert {\rm id}\rvert (1+\lvert {\rm id}\rvert)^{\frac{1}{2}}}\in L^2(\mathbb{R}^3)
$$
である。よってHölderの不等式より、
$$
\frac{1}{\lvert {\rm id}\rvert}\mathcal{F}v=\frac{1}{\lvert {\rm id}\rvert (1+\lvert {\rm id}\rvert^2)^{\frac{1}{2}}}(1+\lvert {\rm id}\rvert)^{\frac{1}{2}}\mathcal{F}v\in L^1(\mathbb{R}^3)
$$
が成り立つ。
*$(2)$　[[Sobolev空間の基本事項]]の'''命題38.1'''より $(1+\lvert {\rm id}\rvert^2)\mathcal{F}u\in L^2(\mathbb{R}^3)$ である。また極座標変換より、
$$
\int_{\mathbb{R}^3}\frac{1}{(1+\lvert x\rvert^2)^2}dx=4\pi \int_{0}^{\infty}\frac{r^2}{(1+r^2)^2}dr\leq 4\pi \left(\int_{0}^{1}\frac{1}{(1+r^2)^2}dr+\int_{1}^{\infty}\frac{1}{r^2}dr\right)<\infty
$$
であるから、
$$
\frac{1}{1+\lvert {\rm id}\rvert^2}\in L^2(\mathbb{R}^3)
$$
である。よってHölderの不等式より、
$$
\mathcal{F}u=\frac{1}{(1+\lvert {\rm id}\rvert^2)}(1+\lvert {\rm id}\rvert^2)\mathcal{F}u\in L^1(\mathbb{R}^3)
$$
が成り立つ。
{{end|proof}}

===定理6.6（全空間における $3$ 次元波動方程式の初期値問題の一意解の形）===
$f(t)\colon \mathbb{R}\rightarrow H^2(\mathbb{R}^3)$ を $H^2(\mathbb{R}^3)$ のノルムで連続な関数、$c\in (0,\infty)$, $u\in H^2(\mathbb{R}^3)$, $v\in H^1(\mathbb{R}^3)$ とする。そして'''定理6.2'''で $\Omega=\mathbb{R}^3$ とした場合の $(1)\sim (4)$ を満たす一意解を $u(t)\colon \mathbb{R}\ni t\mapsto u(t)\in H^2(\mathbb{R}^3)$ とする。このとき、
$$
a\colon=\frac{1}{2}\mathcal{F}u+\frac{1}{2ic\lvert {\rm id}\rvert}\mathcal{F}v,\quad
b\colon=\frac{1}{2}\mathcal{F}u-\frac{1}{2ic\lvert {\rm id}\rvert}\mathcal{F}v
$$
とおけば、$a,b\in L^1(\mathbb{R}^3)$ であり、
$$
\begin{aligned}
u(t,x)&=\frac{1}{(2\pi)^{\frac{3}{2}}}\int_{\mathbb{R}^3}a(k)e^{i(k\cdot x+ct\lvert k\rvert)}dk+\frac{1}{(2\pi)^{\frac{3}{2}}}\int_{\mathbb{R}^3}b(k)e^{i(k\cdot x-ct\lvert k\rvert)}dk\\
&+\frac{1}{4\pi c^2}\int_{\lvert y-x\rvert\leq c\lvert x\rvert}\frac{f\left(t\pm \frac{\lvert y-x\rvert}{c}, y\right)}{\lvert y-x\rvert}dy\quad(\forall t\in \mathbb{R},\forall x\in \mathbb{R}^3)
\end{aligned}
$$
が成り立つ。ただし $\mp$ は $t>0$ のときは $-$ で、$t<0$ のときは $+$ である。すなわち $\mathbb{R}^3$ における波動方程式の一意解は、平面波の波数ベクトル $k$ に関する積分と非斉次項による遅延解の和である。
{{begin|proof}}
$a,b\in L^1(\mathbb{R}^3)$ であることは'''補題6.5'''による。'''定理6.2'''より、
$$
u(t)=\cos(ct\sqrt{-\Delta})u+\frac{\sin(ct\sqrt{-\Delta})}{c\sqrt{-\Delta}}v+\int_{0}^{t}\frac{\sin(c(t-s)\sqrt{-\Delta})}{c\sqrt{-\Delta}}f(s)ds\quad(\forall t\in \mathbb{R})
$$
であるから、[[Hilbert空間上の作用素論]]の'''命題17.1'''より、
$$
\begin{aligned}
u(t)&=\mathcal{F}^{-1}\cos(ct\lvert {\rm id}\rvert)\mathcal{F}u+\mathcal{F}^{-1}\frac{\sin(ct\lvert {\rm id}\rvert)}{c\lvert {\rm id}\rvert}\mathcal{F}v
+\int_{0}^{t}\frac{\sin(cs\sqrt{-\Delta})}{c\sqrt{-\Delta}}f(t-s)ds\\
&=\mathcal{F}^{-1}(ae^{ict\lvert {\rm id}\rvert}+be^{-ict\lvert {\rm id}\rvert})+\int_{0}^{t}\frac{\sin(cs\sqrt{-\Delta})}{c\sqrt{-\Delta}}f(t-s)ds\quad(\forall t\in \mathbb{R})\quad\quad(*)
\end{aligned}
$$
となる。$a,b\in L^1(\mathbb{R}^3)$ より $(*)$ の右辺の第一項は、任意の $t\in \mathbb{R}$, $x\in \mathbb{R}^3$ に対し、
$$
\begin{aligned}
&\mathcal{F}^{-1}\left(ae^{ict\lvert {\rm id}\rvert}+be^{-ict\lvert {\rm id}\rvert}\right)(x)=\frac{1}{(2\pi)^{\frac{3}{2}}}\int_{\mathbb{R}^3}\left(a(k)e^{ict\lvert k\rvert}+b(k)e^{-ict\lvert k\rvert}\right)e^{ik\cdot x}dk\\
&=\frac{1}{(2\pi)^{\frac{3}{2}}}\int_{\mathbb{R}^3}a(k)e^{i(k\cdot x+ct\lvert k\rvert)}dk+\frac{1}{(2\pi)^{\frac{3}{2}}}\int_{\mathbb{R}^3}b(k)e^{i(k\cdot x-ct\lvert k\rvert)}dk\quad\quad(**)
\end{aligned}
$$
と表される。今、$(*)$ の右辺の第二項を考える。[[Hilbert空間上の作用素論]]の'''命題17.1'''より、
$$
\frac{\sin(cs\sqrt{-\Delta})}{c\sqrt{-\Delta}}f(t-s)=\mathcal{F}^{-1}\frac{\sin(cs\lvert {\rm id}\rvert)}{c\lvert {\rm id}\rvert}\mathcal{F}f(t-s)\quad(\forall t,s\in \mathbb{R})
\quad\quad(***)
$$
である。$\mathbb{R}\ni t\mapsto f(t)\in H^2(\mathbb{R}^3)$ は $H^2(\mathbb{R}^3)$ のノルムで連続であるので、[[Sobolev空間の基本事項]]の'''命題38.1'''より、
$$
\mathbb{R}\ni t\mapsto (1+\lvert {\rm id}\rvert^2)\mathcal{F}f(t)\in L^2(\mathbb{R}^3)
$$
は $L^2(\mathbb{R}^3)$ のノルムで連続である。よって任意の $t\in \mathbb{R}$ に対し、
$$
\mathbb{R}\ni s\mapsto (1+\lvert {\rm id}\rvert^2)\frac{\sin(cs\lvert {\rm id}\rvert)}{c\lvert {\rm id}\rvert}\mathcal{F}f(t-s)=(1+\lvert {\rm id}\rvert^2)\mathcal{F}\frac{\sin(cs\sqrt{-\Delta})}{c\sqrt{-\Delta}}f(t-s)\in L^2(\mathbb{R}^3)
$$
は $L^2(\mathbb{R}^3)$ のノルムで連続であるから、[[Sobolev空間の基本事項]]の'''命題38.1'''より $(***)$ は $H^2(\mathbb{R}^3)$ に属し、
$$
\mathbb{R}\ni s\mapsto \frac{\sin(cs\sqrt{-\Delta})}{c\sqrt{-\Delta}}f(t-s)\in H^2(\mathbb{R}^3)\quad\quad(****)
$$
は $H^2(\mathbb{R}^3)$ のノルムで連続である。Sobolevの埋め込み定理（[[Sobolev空間の基本事項]]の'''定理38.3'''）より $(****)$ は $\sup$ ノルムによるBanach空間 $C_0(\mathbb{R}^3)$ 値の連続関数である。よって $(*)$ の右辺の第二項はBanach空間 $C_0(\mathbb{R}^3)$ 値のBochner積分（[[測度と積分9：Bochner積分]]の'''定義44.1'''）とみなせる。任意の $x\in \mathbb{R}^3$ に対し、
$$
\delta_x\colon C_0(\mathbb{R}^3)\ni h\mapsto h(x)\in \mathbb{C}
$$
は $C_0(\mathbb{R}^3)$ 上の連続線形汎関数であるから、Bochner積分の性質（[[測度と積分9：Bochner積分]]の'''命題44.2'''）より、任意の $t\in \mathbb{R}$, $x\in \mathbb{R}^3$ に対し、
$$
\left(\int_{0}^{t}\frac{\sin(cs\sqrt{-\Delta})}{c\sqrt{-\Delta}}f(t-s)ds\right)(x)
=\int_{0}^{t}\left(\frac{\sin(cs\sqrt{-\Delta})}{c\sqrt{-\Delta}}f(t-s)\right)(x)ds
$$
となる。'''補題6.4'''より、
$$
\left(\frac{\sin(cs\sqrt{-\Delta})}{c\sqrt{-\Delta}}f(t-s)\right)(x)
=sS(f(t-s,\cdot),x,c\lvert s\rvert)=\frac{s}{4\pi}\int_{S_2}f(t-s,x+cs\omega)d\mu_{S_2}(\omega)
$$
であるから、
$$
\begin{aligned}
&\left(\int_{0}^{t}\frac{\sin(cs\sqrt{-\Delta})}{c\sqrt{-\Delta}}f(t-s)ds\right)(x)
=\int_{0}^{t}\left(\frac{\sin(cs\sqrt{-\Delta})}{c\sqrt{-\Delta}}f(t-s)\right)(x)ds\\
&=\frac{1}{4\pi}\int_{0}^{t}s\int_{S_2}f(t-s, x+cs\omega)d\mu_{S_2}(\omega)ds
=\frac{1}{4\pi c^2}\int_{0}^{c\lvert t\rvert}\int_{S_2}s^2\frac{f\left(t\mp\frac{s}{c}, x+s\omega\right)}{\lvert s\rvert}d\mu_{S_2}(\omega)ds\\
&=\frac{1}{4\pi c^2}\int_{\lvert y-x\rvert\leq c\lvert t\rvert}\frac{f\left(t\mp\frac{\lvert y-x\rvert}{c}, y\right)}{\lvert y-x\rvert}dy\quad(\forall t\in \mathbb{R},\forall x\in \mathbb{R}^3)
\end{aligned}
$$
（$4$ 番目の等号で極座標変換を用いた）となる。よって $(*),(**)$ より、
$$
\begin{aligned}
u(t,x)&=\frac{1}{(2\pi)^{\frac{3}{2}}}\int_{\mathbb{R}^3}a(k)e^{i(k\cdot x+ct\lvert k\rvert)}dk+\frac{1}{(2\pi)^{\frac{3}{2}}}\int_{\mathbb{R}^3}b(k)e^{i(k\cdot x-ct\lvert k\rvert)}dk\\
&+\frac{1}{4\pi c^2}\int_{\lvert y-x\rvert\leq c\lvert t\rvert}\frac{f\left(t\mp \frac{y-x}{c},y\right)}{\lvert y-x\rvert}dy\quad(\forall t\in \mathbb{R},\forall x\in \mathbb{R}^3)
\end{aligned}
$$
が成り立つ。
{{end|proof}}

==参考文献==
* [https://www.amazon.co.jp/dp/4320015630　伊藤秀一「常微分方程式と解析力学」]
* [https://www.amazon.co.jp//dp/4320018281　宮島静雄「ソボレフ空間の基礎と応用」]
* [https://www.amazon.co.jp/dp/0486474437 Ralph E. Showalter「Hilbert Space Methods in Partial Differential Equations」]
* [https://www.amazon.co.jp/dp/0387493182　 Juergen Jost「Partial Differential Equations」]
* [http://www.math.ucsd.edu/~bdriver/231-02-03/Lecture_Notes/PDE-Anal-Book/analpde1.pdf　Bruce Driver 「Analysis Tools with Applications」]

==注釈==

Hilbert空間上の作用素論

2026-05-20T07:12:39Z

Kataoka: /* 定理14.12（min-max原理） */

本稿においては、Hilbert空間上の作用素論を展開する。特に量子力学の数学的構造に関わる関数解析学と相性の良い、Hilbert空間上の非有界線形作用素（非有界反線形作用素）の理論、Hilbert空間上の射影値測度（projection-valued measure、PVM）による積分の一般論について詳しく論じる。射影値測度の典型例として、Hilbert空間上の（有界とは限らない）自己共役作用素に付随するスペクトル測度がある。このスペクトル測度による積分（Borel汎関数計算、Borel functional calculus）により、自己共役作用素 $T$ と $T$ のスペクトル $\sigma(T)$ 上で定義されたBorel関数 $f\colon\sigma(T)\rightarrow\mathbb{C}$ に対し $f(T)$ と表すに相応しい作用素が定義できる。こうして、例えば量子力学において基本的な物理量を表す自己共役作用素に対し、その関数で表される作用素が定義できる。（[[量子力学の数学的構造に関わる関数解析]]、[[Stone-von Neumannの一意性定理]]、[[水素様原子の離散スペクトルの決定]]などを参照。）また、境界条件の付いたラプラシアン（より一般には楕円型偏微分作用素）は自己共役作用素であるが、境界条件付きの波動方程式、熱方程式などの一般解を、そのラプラシアンの関数として表すことが可能である。（[[微分方程式の初歩]]を参照。）さらに射影値測度は[[局所コンパクト群のユニタリ表現]]の理論を展開する上でも重要な役割を演じる。 
本稿では、直和Hilbert空間、テンソル積Hilbert空間上の作用素の一般論、トレースクラスとHilbert-Schmidtクラスについても展開している。直和Hilbert空間、テンソル積Hilbert空間上の作用素の一般論はFock空間上の作用素論（[[Fock空間、CCRとCARの表現]]）を展開する上で基礎となり、Fock空間上の作用素論は、トレースクラスとHilbert-Schmidtクラス、von Neumann環と共に量子統計力学の数理の基礎となる（[[無限量子系のための作用素環論]]）。 
本稿で仮定する知識は、Hilbert空間と有界線形作用素の初歩的な知識（[[位相線形空間1：ノルムと内積]]の内容）、セミノルム位相、汎弱位相の初歩的な知識（[[位相線形空間2：セミノルム位相と汎弱位相]]の内容）、測度論（[[入門テキスト「測度と積分」]]の程度の内容）、$C^*$-環のスペクトルの初歩的な知識（[[Banach環とC*-環のスペクトル理論]]の程度の内容）である。本稿では
Hilbert空間と言えば、特に断ることのない限り $\mathbb{C}$ 上のものとする。また、Hilbert空間の内積は第二変数に関して線形とし、$\mathbb{N}=\{1,2,3,\ldots\}$、$\mathbb{Z}_+=\{0,1,2,3,\ldots\}$ とする。

== 1. $C^*$-環 $\mathbb{B}(\mathcal{H})$ の元の作用素としての特徴付け ==

=== 定義1.1（Hilbert空間 $\mathcal{H}$ 上の正規作用素、有界（非負）自己共役作用素、射影作用素、部分等長作用素） ===
$\mathcal{H}$ をHilbert空間とする。[[位相線形空間1：ノルムと内積]]の'''系7.5'''より $\mathcal{H}$ 上の有界線形作用素全体 $\mathbb{B}(\mathcal{H})$ は単位的 $C^*$-環をなす。$C^*$-環 $\mathbb{B}(\mathcal{H})$ の正規元、自己共役元、非負元、射影、部分等長元（[[Banach環とC*-環のスペクトル理論]]の'''定義3.3'''、'''定義7.2'''、'''定義8.1'''、'''定義8.4'''）をそれぞれ $\mathcal{H}$ 上の正規作用素、有界自己共役作用素、有界非負自己共役作用素、射影作用素、部分等長作用素と言う。すなわち、$T\in \mathbb{B}(\mathcal{H})$ が正規作用素であるとは $T^*T=TT^*$ が成り立つこと、$T\in \mathbb{B}(\mathcal{H})$ が有界自己共役作用素であるとは $T^*=T$ が成り立つこと、$T\in \mathbb{B}(\mathcal{H})$ が有界非負自己共役作用素であるとは $T^*=T$ かつ $\sigma(T)\subset [0,\infty)$ が成り立つこと、$P\in \mathbb{B}(\mathcal{H})$ が射影作用素であるとは $P^2=P$ かつ $P^*=P$ が成り立つこと、$V\in \mathbb{B}(\mathcal{H})$ が部分等長作用素であるとは $V^*V$ が射影作用素であることを言う。

=== 注意1.2（$C^*$-環 $\mathbb{B}(\mathcal{H})$ のユニタリ元はユニタリ作用素） ===
$\mathcal{H}$ をHilbert空間とする。共役作用素の定義（[[位相線形空間1：ノルムと内積]]の'''定義7.3'''）より、$U\colon\mathcal{H}\rightarrow\mathcal{H}$ に対し次は互いに同値である。
*$(1)$　$U\colon\mathcal{H}\rightarrow\mathcal{H}$ はユニタリ作用素（[[測度と積分6：数え上げ測度と $\ell^p$ 空間]]の'''定義25.3'''）、すなわちノルムを保存する線形同型写像である（偏極恒等式より内積も保存する）。
*$(2)$　$U$ は $C^*$-環 $\mathbb{B}(\mathcal{H})$ のユニタリ元（[[Banach環とC*-環のスペクトル理論]]の'''定義3.3'''）、すなわち $U^*U=UU^*=1$ である。

=== 命題1.3（$C^*$-環 $\mathbb{B}(\mathcal{H})$ の可逆元の作用素としての特徴付け） ===
$\mathcal{H}$ をHilbert空間、$T\in \mathbb{B}(\mathcal{H})$ とする。このとき次は互いに同値である。
*$(1)$　$T$ は単位的 $C^*$-環 $\mathbb{B}(\mathcal{H})$ の可逆元である。
*$(2)$　$T\colon\mathcal{H}\rightarrow\mathcal{H}$ は全単射である。
*$(3)$　ある $\epsilon\in(0,\infty)$ に対し、
$$
\lVert Tv\rVert\geq\epsilon\lVert v\rVert,\quad\lVert T^*v\rVert\geq \epsilon\lVert v\rVert\quad(\forall v\in\mathcal{H})\quad\quad(*)
$$
が成り立つ。
{{begin |proof }}
$(1)\Rightarrow(2)$ は自明である。$(2)\Rightarrow(1)$ は開写像定理（[[位相線形空間4：Fréchet空間と関数解析の基本定理]]の'''定理18.2'''）による。$(1)$ が成り立つならば $T^*$ も $\mathbb{B}(\mathcal{H})$ の可逆元であり、任意の $v\in \mathcal{H}$ に対し、
$$
\begin{aligned}
&\lVert v\rVert=\lVert T^{-1}Tv\rVert\leq \lVert T^{-1}\rVert\lVert Tv\rVert,\\
&\lVert v\rVert=\lVert {T^*}^{-1}T^*v\rVert\leq \lVert {T^*}^{-1}\rVert\lVert T^*v\rVert
\end{aligned}
$$
となる。よって $(3)$ が成り立つ。$(3)\Rightarrow(2)$ を示す。$(3)$ が成り立つとする。このとき明らかに ${\rm Ker}(T)={\rm Ker}(T^*)=\{0\}$ であり、${\rm Ran}(T), {\rm Ran}(T^*)$ は閉である<ref>任意の $v\in\overline{{\rm Ran}(T)}$ に対し $v$ に収束する ${\rm Ran}(T)$ の列 $(Tu_n)_{n\in\mathbb{N}}$ が取れる。$(*)$ より $(u_n)_{n\in\mathbb{N}}$ はCauchy列であるから $u=\lim_{n\rightarrow\infty}u_n\in \mathcal{H}$ が存在する。よって $v=\lim_{n\rightarrow\infty}Tu_n=Tu$ であるから $v\in{\rm Ran}(T)$ である。ゆえに ${\rm Ran}(T)$ は閉である。同様に ${\rm Ran}(T^*)$ も閉である。</ref>。よって[[位相線形空間1：ノルムと内積]]の'''命題6.12'''と'''命題7.4'''の $(6)$ より、
$$
\begin{aligned}
&{\rm Ran}(T)=\overline{{\rm Ran}(T)}=({\rm Ran}(T))^{\perp\perp}=({\rm Ker}(T^*))^{\perp}=\{0\}^{\perp}=\mathcal{H},\\
&{\rm Ran}(T^*)=\overline{{\rm Ran}(T^*)}=({\rm Ran}(T^*))^{\perp\perp}=({\rm Ker}(T))^{\perp}=\{0\}^{\perp}=\mathcal{H}
\end{aligned}
$$
である。ゆえに $(2)$ が成り立つ。
{{end|proof|}}

=== 命題1.4（Hilbert空間上の有界（非負）自己共役作用素の特徴付け） ===
$\mathcal{H}$ をHilbert空間、$T\in \mathbb{B}(\mathcal{H})$ とする。このとき、
*$(1)$　$T$ が有界自己共役作用素であるための必要十分条件は任意の $v\in \mathcal{H}$ に対し $(v\mid Tv)\in \mathbb{R}$ が成り立つことである。
*$(2)$　$T$ が有界非負自己共役作用素であるための必要十分条件は任意の $v\in\mathcal{H}$ に対し $(v\mid Tv)\geq0$ が成り立つことである。
{{begin |proof }}
*$(1)$　$T$ が有界自己共役作用素ならば $T^*=T$ より任意の $v\in \mathcal{H}$ に対し $(v\mid Tv)=(T^*v\mid v)=(Tv\mid v)=\overline{(v\mid Tv)}$ であるから $(v\mid Tv)\in\mathbb{R}$ である。逆に任意の $v\in \mathcal{H}$ に対し $(v\mid Tv)\in \mathbb{R}$、したがって $(v\mid Tv)=\overline{(v\mid Tv)}=(Tv\mid v)$ ならば、偏極恒等式（[[測度と積分6：数え上げ測度と $\ell^p$ 空間]]の'''定義25.2'''）より任意の $u,v\in \mathcal{H}$ に対し、
$$
(u\mid Tv)=\frac{1}{4}\sum_{k=0}^{3}i^k(i^ku+v\mid T(i^ku+v))=\frac{1}{4}\sum_{k=0}^{3}i^k(T(i^ku+v)\mid i^ku+v)=(Tu\mid v)
$$
である。よって $T=T^*$ であるから $T$ は有界自己共役作用素である。
*$(2)$　$T$ が有界非負自己共役作用素ならば [[Banach環とC*-環のスペクトル理論]]の'''命題7.5'''より $T=\sqrt{T}^2$ なる有界非負自己共役作用素 $\sqrt{T}$ が取れるので、任意の $v\in \mathcal{H}$ に対し $(v\mid Tv)=(v\mid \sqrt{T}^2v)=(\sqrt{T}v\mid \sqrt{T}v)=\lVert \sqrt{T}v\rVert^2\geq0$ である。逆に任意の $v\in \mathcal{H}$ に対し $(v\mid Tv)\geq0$ が成り立つとして $T$ が有界非負自己共役作用素であることを示す。$(1)$ より $T$ は有界自己共役作用素であるので $\sigma(T)\subset [0,\infty)$ が成り立つことを示せばよい。 $T$ は自己共役であるので $\sigma(T)\subset \mathbb{R}$ （[[Banach環とC*-環のスペクトル理論]]の'''命題3.6'''）である。そこで今、$\lambda\in \sigma(T)$ で $\lambda<0$ なるものが存在すると仮定して矛盾を導く。$\lambda-T$ は自己共役であり、可逆ではないので'''命題1.3'''より任意の $\epsilon\in (0,\infty)$ に対し $v_{\epsilon}\in \mathcal{H}$ で、
$$
\lVert (\lambda-T)v_{\epsilon}\rVert<\epsilon\lVert v_{\epsilon}\rVert
$$
を満たすものが取れる。$-\lambda(v_{\epsilon}\mid Tv_{\epsilon})\geq0$ より、
$$
\begin{aligned}
\epsilon^2\lVert v_{\epsilon}\rVert^2>\lVert (\lambda-T)v_{\epsilon}\rVert^2
=\lvert\lambda\rvert^2\lVert v_{\epsilon}\rVert^2-2\lambda(v_{\epsilon}\mid Tv_{\epsilon})+\lVert Tv_{\epsilon}\rVert^2\geq\lvert\lambda\rvert^2\lVert v_{\epsilon}\rVert^2
\end{aligned}
$$
となり $\epsilon>\lvert\lambda\rvert$ を得る。$\epsilon\in (0,\infty)$ は任意であるからこれは $\lambda=0$ を意味し、$\lambda<0$ に矛盾する。よって $\sigma(T)\subset [0,\infty)$ が成り立つ。
{{end|proof|}}

=== 命題1.5（Hilbert空間上の射影作用素の特徴付け） ===
$\mathcal{H}$ をHilbert空間、$P\in \mathbb{B}(\mathcal{H})$ とする。このとき次は互いに同値である。
*$(1)$　$P$ は $\mathcal{H}$ 上の射影作用素である。
*$(2)$　$\mathcal{H}$ の閉部分空間 $\mathcal{K}$ が存在し、直交分解 $\mathcal{H}=\mathcal{K}\oplus \mathcal{K}^{\perp}$（[[位相線形空間1：ノルムと内積]]の'''定理6.11'''）に対し、
$$
Pv=v_1\quad(\forall v=v_1+v_2\in \mathcal{K}\oplus \mathcal{K}^{\perp}=\mathcal{H})
$$
が成り立つ。

そして $(1),(2)$ が成り立つとき $\mathcal{K}={\rm Ran}(P)$、$\mathcal{K}^{\perp}={\rm Ran}(1-P)$ である。
{{begin |proof }}
$(1)\Rightarrow(2)$ を示す。$(1)$ が成り立つとすると $P^2=P$ より ${\rm Ran}(P)={\rm Ker}(1-P)$ であるから ${\rm Ran}(P)$ は $\mathcal{H}$ の閉部分空間である。そして $1-P$ も射影作用素であるから $\Ran(1-P)=\Ker(1-(1-P))=\Ker(P)$ であるので、[[位相線形空間1：ノルムと内積]]の'''命題7.4'''の $(6)$ より、
$$
{\rm Ran}(P)^{\perp}={\rm Ker}(P^*)={\rm Ker}(P)={\rm Ran}(1-P)
$$
である。よって任意の $v\in \mathcal{H}$ に対し、
$$
v=Pv+(1-P)v\in {\rm Ran}(P)\oplus {\rm Ran}(P)^{\perp}=\mathcal{H}
$$
であるから、$\mathcal{K}={\rm Ran}(P)$ とおけば $(2)$ が成り立つ。 
$(2)\Rightarrow(1)$ を示す。$(2)$ が成り立つとする。任意の $u,v\in \mathcal{H}$ に対し、
$$
u=u_1+u_2,\quad v=v_1+v_2\quad(u_1,v_1\in\mathcal{K}, u_2,v_2\in\mathcal{K}^{\perp})
$$
と直交分解すると、
$$
(u\mid Pv)=(u\mid v_1)=(u_1\mid v_1)=(u_1\mid v)=(Pu\mid v)
$$
であるから $P^*=P$ が成り立つ。また $P^2v=Pv_1=v_1=Pv$ であるから $P^2=P$ が成り立つ。よって $P$ は射影作用素である。
{{end|proof|}}

=== 定義1.6（閉部分空間の上への射影作用素） ===
$\mathcal{H}$ をHilbert空間、$\mathcal{K}\subset \mathcal{H}$ を閉部分空間とする。'''命題1.5'''の $(2)\Rightarrow(1)$ の証明より、直交分解 $\mathcal{H}=\mathcal{K}\oplus \mathcal{K}^{\perp}$ に対し、
$$
Pv\colon=v_1\quad(\forall v=v_1+v_2\in \mathcal{K}\oplus \mathcal{K}^{\perp}=\mathcal{H})
$$
として射影作用素 $P\in \mathbb{B}(\mathcal{H})$ が定まる。この $P$ を閉部分空間 $\mathcal{K}$ の上への射影作用素と言う。 $1-P$ は $\mathcal{K}^{\perp}$ の上への射影作用素である。

=== 命題1.7（Hilbert空間上の部分等長作用素の特徴付け） ===
$\mathcal{H}$ をHilbert空間、$V\in \mathbb{B}(\mathcal{H})$ とする。このとき次は互いに同値である。
*$(1)$　$V$ は $\mathcal{H}$ 上の部分等長作用素である。
*$(2)$　$\mathcal{H}$ の閉部分空間 $\mathcal{K}$ が存在し、
$$
\lVert Vv\rVert=\lVert v\rVert\quad(\forall v\in \mathcal{K}),\quad {\rm Ker}(V)=\mathcal{K}^{\perp}
$$
が成り立つ。

そして $(1),(2)$ が成り立つとき $V^*V$ は $\mathcal{K}$ の上への射影作用素である。
{{begin |proof }}
$(1)\Rightarrow(2)$ を示す。$(1)$ が成り立つとする。$V^*V\in\mathbb{B}(\mathcal{H})$ は'''命題1.5'''より $\mathcal{H}$ の閉部分空間 $\mathcal{K}={\rm Ran}(V^*V)$ の上への射影作用素であるから、任意の $v\in \mathcal{K}$ に対し、
$$
\lVert Vv\rVert^2=(Vv\mid Vv)=(v\mid V^*Vv)=(v\mid v)=\lVert v\rVert^2
$$
であり、任意の $v\in \mathcal{K}^{\perp}$ に対し、
$$
\lVert Vv\rVert^2=(Vv\mid Vv)=(v\mid V^*Vv)=0
$$
である。よって、
$$
\lVert Vv\rVert=\lVert v\rVert\quad(\forall v\in \mathcal{K}),\quad \mathcal{K}^{\perp}\subset {\rm Ker}(V)
$$
である。任意の $v\in {\rm Ker}(V)$ に対し、
$$
v=v_1+v_2\in \mathcal{K}\oplus \mathcal{K}^{\perp}=\mathcal{H}
$$
と直交分解すると、$\lVert Vv_1\rVert=\lVert v_1\rVert$、$Vv_2=0$ であるから、
$$
0=\lVert Vv\rVert=\lVert Vv_1\rVert=\lVert v_1\rVert,
$$
よって $v=v_2\in \mathcal{K}^{\perp}$ であるから ${\rm Ker}(V)=\mathcal{K}^{\perp}$ である。ゆえに $(2)$ が成り立つ。 
$(2)\Rightarrow(1)$ を示す。$(2)$ が成り立つとする。任意の $v\in \mathcal{K}$ に対し、
$$
(v\mid v)=\lVert v\rVert^2=\lVert Vv\rVert^2=(Vv\mid Vv)
$$
であるから、偏極恒等式（[[測度と積分6：数え上げ測度と $\ell^p$ 空間]]の'''定義25.2'''）より任意の $u,v\in \mathcal{K}$ に対し、
$$
(u\mid v)=\frac{1}{4}\sum_{k=0}^{3}i^k(i^ku+v\mid i^ku+v)=\frac{1}{4}\sum_{k=0}^{3}i^k(V(i^ku+v)\mid V(i^ku+v))=(Vu\mid Vv)
$$
である。よって任意の $u,v\in \mathcal{H}$ に対し、
$$
u=u_1+u_2,\quad v=v_1+v_2\quad(u_1,v_1\in\mathcal{K}, u_2,v_2\in\mathcal{K}^{\perp})
$$
と直交分解すると、
$$
(u\mid V^*Vv)=(Vu\mid Vv)=(Vu_1\mid Vv_1)=(u_1\mid v_1)=(u\mid v_1)
$$
となる。ゆえに $V^*Vv=v_1$ であるから、$V^*V$ は $\mathcal{K}$ の上への射影作用素であり、したがって $V$ は部分等長作用素である。
{{end|proof|}}

== 2. $\mathbb{B}(\mathcal{H})$ のWOT（weak operator topology）とSOT（strong operator topology）、射影作用素の直交族の（無限）和 ==
この節ではセミノルム位相と汎弱位相の基本的な知識を自由に用いる。これらについては[[位相線形空間2：セミノルム位相と汎弱位相]]の8,9を参照されたい。

=== 定義2.1（$\mathbb{B}(\mathcal{H})$ のWOT（weak operator topology）とSOT（strong operator topology）） ===
$\mathcal{H}$ をHilbert空間とする。任意の $u,v\in\mathcal{H}$ に対し線形空間 $\mathbb{B}(\mathcal{H})$ 上の線形汎関数 $\varphi_{u,v}\colon\mathbb{B}(\mathcal{H})\rightarrow\mathbb{C}$ とセミノルム $p_v\colon\mathbb{B}(\mathcal{H})\rightarrow [0,\infty)$ を、
$$
\varphi_{u,v}(T)\colon=(u\mid Tv),\quad p_v(T):=\lVert Tv\rVert\quad(\forall T\in\mathbb{B}(\mathcal{H}))
$$
として定義する。このとき $\{\varphi_{u,v}\}_{u,v\in\mathcal{H}}$ は $\mathbb{B}(\mathcal{H})$ 上の線形汎関数の分離族、$\{p_v\}_{v\in\mathcal{H}}$ は $\mathbb{B}(\mathcal{H})$ 上のセミノルムの分離族である。$\{\varphi_{u,v}\}_{u,v\in\mathcal{H}}$ が誘導する $\mathbb{B}(\mathcal{H})$ 上の汎弱位相を $\mathbb{B}(\mathcal{H})$ のWOT（weak operator topology）と言い、$\{p_v\}_{v\in \mathcal{H}}$ が誘導する $\mathbb{B}(\mathcal{H})$ 上のセミノルム位相を $\mathbb{B}(\mathcal{H})$ 上のSOT（strong operator topology）と言う。セミノルム位相、汎弱位相による収束の特徴付け（[[位相線形空間2：セミノルム位相と汎弱位相]]の'''命題8.6'''の $(1)$、'''命題9.3'''の $(1)$）より、$\mathbb{B}(\mathcal{H})$ のネット $(T_{\lambda})_{\lambda\in\Lambda}$ と $T\in \mathbb{B}(\mathcal{H})$ に対し、
$$
\begin{aligned}
T_{\lambda}\rightarrow T\quad(\text{ w.r.t. WOT })\quad&\iff\quad (u\mid T_{\lambda}v)\rightarrow (u\mid Tv)\quad(\forall u,v\in \mathcal{H}),\quad\quad(*)\\
T_{\lambda}\rightarrow T\quad(\text{ w.r.t. SOT })\quad&\iff\quad \lVert T_{\lambda}v-Tv\rVert\rightarrow0\quad(\forall v\in\mathcal{H})\quad\quad(**)
\end{aligned}
$$
である。

=== 注意2.2（$\mathbb{B}(\mathcal{H})$ のノルム位相、SOT、WOTの強弱） ===
$\mathbb{B}(\mathcal{H})$ のネット $(T_{\lambda})_{\lambda\in\Lambda}$ と $T\in \mathbb{B}(\mathcal{H})$ に対し、$T_{\lambda}\rightarrow T$ がSOTに関して成り立つならばWOTに関して成り立つ（'''定義2.1'''の $(*),(**)$を参照）。よってネットの収束による連続性の特徴付け（[[ネットによる位相空間論]]の'''定理3'''）よりSOTはWOTより強い。また $\mathbb{B}(\mathcal{H})$ のノルムに関して収束する列はSOTに関して収束するので、ノルム位相はSOTより強い。

=== 命題2.3（$\mathbb{B}(\mathcal{H})_{\rm sa}, \mathbb{B}(\mathcal{H})_+$ はWOT閉） ===
$\mathcal{H}$ をHilbert空間とする。有界自己共役作用素全体 $\mathbb{B}(\mathcal{H})_{\rm sa}$ と有界非負自己共役作用素全体 $\mathbb{B}(\mathcal{H})_+$ はそれぞれ $\mathbb{B}(\mathcal{H})$ においてWOT閉（したがってSOT閉、ノルム閉）である。
{{begin |proof}}
$T$ を $\mathbb{B}(\mathcal{H})_{\rm sa}$（resp. $\mathbb{B}(\mathcal{H})_+$）のWOT閉包の元とすると、$\mathbb{B}(\mathcal{H})_{\rm sa}$（resp. $\mathbb{B}(\mathcal{H})_+$）のネット $(T_{\lambda})_{\lambda\in\Lambda}$ でWOTで $T$ に収束するものが取れる（[[ネットによる位相空間論]]の'''命題2.4'''）。'''命題1.4'''より任意の $v\in \mathcal{H}$、任意の $\lambda\in \Lambda$ に対し $(v\mid T_{\lambda}v)\in\mathbb{R}$（resp. $(v\mid T_{\lambda}v)\in [0,\infty)$）であるから、$(v\mid Tv)=\lim_{\lambda\in\Lambda}(v\mid T_{\lambda}v)\in \mathbb{R}$（resp. $(v\mid Tv)=\lim_{\lambda\in\Lambda}(v\mid T_{\lambda}v)\in [0,\infty)$）である。よって'''命題1.4'''より $T\in \mathbb{B}(\mathcal{H})_{\rm sa}$（resp. $T\in \mathbb{B}(\mathcal{H})_+$）であるから $\mathbb{B}(\mathcal{H})_{\rm sa}$（rsep. $\mathbb{B}(\mathcal{H})_+$）はWOTに関して閉である。SOTとノルム位相はWOTより強いので、WOTに関して閉であることは、SOTとノルム位相に関しても閉であることを意味する。
{{end|proof|}}

=== 定理2.4（$\mathbb{B}(\mathcal{H})_{\rm sa}$ の有界単調増加ネットの上限へのSOT収束） ===
$\mathcal{H}$ をHilbert空間、$(T_{\lambda})_{\lambda\in\Lambda}$ を $\mathbb{B}(\mathcal{H})_{\rm sa}$ の単調増加ネットとし（$\mathbb{B}(\mathcal{H})_{\rm sa}$ の順序に関しては[[Banach環とC*-環のスペクトル理論]]の'''定義7.8'''を参照)、ある $M\in [0,\infty)$ に対し $\lVert T_{\lambda}\rVert\leq M$ $(\forall \lambda\in \Lambda)$ が成り立つとする。このとき $\sup_{\lambda\in\Lambda}T_{\lambda}\in \mathbb{B}(\mathcal{H})_{\rm sa}$ が存在し、$(T_{\lambda})_{\lambda\in\Lambda}$ は $\sup_{\lambda\in\Lambda}T_{\lambda}$ にSOTで収束する。（WOTはSOTより弱いのでWOTでも収束する。）
{{begin |proof }}
任意の $v\in\mathcal{H}$ に対し、$( (v\mid T_{\lambda}v))_{\lambda\in\Lambda}$ は $\mathbb{R}$ の上に有界な単調増加ネットであるから上限に収束する。すなわち、
$$
\lim_{\lambda\in\Lambda}(v\mid T_{\lambda}v)=\sup_{\lambda\in\Lambda}(v\mid T_{\lambda}v)
$$
が成り立つ。偏極恒等式より任意の $u,v\in\mathcal{H}$ に対し、
$$
(u\mid T_{\lambda}v)=\frac{1}{4}\sum_{k=0}^{3}i^k(i^ku+v\mid T_{\lambda}(i^ku+v))\quad(\forall \lambda\in\Lambda)
$$
であるから、$\mathbb{C}$ のネット $( (u\mid T_{\lambda}v))_{\lambda\in\Lambda}$ は収束する。そこで、
$$
\Phi\colon\mathcal{H}\times \mathcal{H}\ni (u,v)\mapsto \lim_{\lambda\in\Lambda}(u\mid T_{\lambda}v)\in \mathbb{C}
$$
とおくと、$\Phi$ は準双線形汎関数（[[位相線形空間1：ノルムと内積]]の'''定義6.4'''）であり、
$$
\lvert\Phi(u,v)\rvert=\lim_{\lambda\in\Lambda}\lvert (u\mid T_{\lambda}v)\rvert\leq M\lVert u\rVert\lVert v\rVert\quad(\forall u,v\in \mathcal{H})
$$
より $\Phi$ は有界であり、そのノルムは $\lVert\Phi\rVert\leq M$ を満たす。よって[[位相線形空間1：ノルムと内積]]の'''定理7.1'''より $T\in \mathbb{B}(\mathcal{H})$ で、
$$
(u\mid Tv)=\Phi(u,v)\quad(\forall u,v\in\mathcal{H}),\quad \lVert T\rVert=\lVert\Phi\rVert\leq M
$$
を満たすものが定まる。
$$
(v\mid Tv)=\Phi(v,v)=\lim_{\lambda\in\Lambda}(v\mid T_{\lambda}v)=\sup_{\lambda\in\Lambda}(v\mid T_{\lambda}v)\quad(\forall v\in\mathcal{H})
$$
であるから、'''命題1.4'''より $T\in \mathbb{B}(\mathcal{H})_{\rm sa}$ であり、$T\geq T_{\lambda}$ $(\forall \lambda\in\Lambda)$ である。また $S\geq T_{\lambda}$ $(\forall \lambda\in\Lambda)$ なる任意の $S\in \mathbb{B}(\mathcal{H})_{\rm sa}$ に対し、
$$
(v\mid Sv)\geq\sup_{\lambda}(v\mid T_{\lambda}v)=(v\mid Tv)\quad(\forall v\in\mathcal{H})
$$
であるから、$S\geq T$ である。よって $T=\sup_{\lambda\in\Lambda}T_{\lambda}$ である。後は $(T_{\lambda})_{\lambda\in\Lambda}$ が $T$ にSOTで収束することを示せばよい。 [[Banach環とC*-環のスペクトル理論]]の'''命題7.12'''より、
$$
0\leq T-T_{\lambda}\leq \lVert T-T_{\lambda}\rVert\leq 2M\quad(\forall\lambda\in\Lambda)
$$
であり、
$$
0\leq (T-T_{\lambda})^2\leq \sqrt{T-T_{\lambda}}(T-T_{\lambda})\sqrt{T-T_{\lambda}}\leq 2M(T-T_{\lambda})\quad(\forall \lambda\in\Lambda)
$$
である。よって任意の $v\in \mathcal{H}$ に対し、
$$
\lVert Tv-T_{\lambda}v\rVert^2=(v\mid(T-T_{\lambda})^2v)\leq 2M(v\mid(T-T_{\lambda})v)=2M( (v\mid Tv)-(v\mid T_{\lambda}v))\rightarrow0
$$
であるから、$(T_{\lambda})_{\lambda\in\Lambda}$ は $T$ にSOTで収束する。
{{end|proof|}}

=== 命題2.5（射影作用素からなる単調増加ネットの上限（SOT（WOT）極限）は射影作用素） ===
$\mathcal{H}$ をHilbert空間、$(P_{\lambda})_{\lambda\in\Lambda}$ を $\mathcal{H}$ 上の射影作用素からなる単調増加ネットとする。このとき $P\colon=\sup_{\lambda\in\Lambda}P_{\lambda}\in \mathbb(B)(\mathcal{H})_+$（'''定理2.4'''を参照）は射影作用素である。
{{begin |proof }}
$P^2=P$ が成り立つことを示せばよい。任意の $\lambda_0\in\Lambda$ を取り固定する。任意の $\lambda\geq\lambda_0$ に対し $P_{\lambda}\geq P_{\lambda_0}$ であるから、[[Banach環とC*-環のスペクトル理論]]の'''命題8.2'''の $(3)$ より、
$$
P_{\lambda_0}=P_{\lambda_0}P_{\lambda}\quad(\forall \lambda\geq\lambda_0)
$$
である。$(P_{\lambda})_{\lambda\in\Lambda}$ は $P$ にSOT収束するから、
$$
P_{\lambda_0}v=\lim_{\lambda\in\Lambda}P_{\lambda_0}P_{\lambda}v=P_{\lambda_0}Pv\quad(\forall v\in\mathcal{H})
$$
である。$\lambda_0\in\Lambda$ は任意であるから $P_{\lambda}v=P_{\lambda}Pv$ $(\forall\lambda\in\Lambda,\forall v\in\mathcal{H})$ であるので、
$$
Pv=\lim_{\lambda\in\Lambda}P_{\lambda}v=\lim_{\lambda\in\Lambda}P_{\lambda}Pv=P^2v\quad(\forall v\in\mathcal{H})
$$
である。ゆえに $P=P^2$ であるから $P$ は射影作用素である。
{{end|proof|}}

=== 定義2.6（射影作用素の直交族の和） ===
$\mathcal{H}$ をHilbert空間とする。$\mathcal{H}$ 上の射影作用素の族 $(P_j)_{j\in J}$ が直交族であるとは、$P_iP_j=0$ $(\forall i,j\in J:i\neq j)$ が成り立つことを言う。$(P_j)_{j\in J}$ を射影作用素の直交族とし、$\mathcal{F}_J$ を $J$ の有限部分集合全体に集合の包含関係による順序を入れた有向集合とする。このとき $(\sum_{j\in F}P_j)_{F\in \mathcal{F}_J}$ は $\mathcal{H}$ 上の射影作用素からなる単調増加ネットであるから、'''命題2.5'''よりその上限（SOT極限）は射影作用素である。そこでこの射影作用素を射影作用素の直交族 $(P_j)_{j\in J}$ の和と言い、
$$
\sum_{j\in J}P_j\colon=\sup_{F\in \mathcal{F}_J}\sum_{j\in F}P_j=\text{SOT-}\lim_{F\in\mathcal{F}_J}\sum_{j\in J}P_j
$$
と表す。

== 3. Hilbert空間上の有界とは限らない線形作用素の定義と基本的性質 ==

=== 定義3.1（Hilbert空間上の有界とは限らない線形作用素） ===
$\mathcal{H},\mathcal{K}$ をHilbert空間とする。$T$ が $\mathcal{H}$ から $\mathcal{K}$ への線形作用素であると言うとき、$T$ は $\mathcal{H}$ 全体で定義されているとは限らず、$\mathcal{H}$ のある線形部分空間 $D(T)$ 上で定義され、$\mathcal{K}$ に値を取る線形作用素であることを意味することとする。$D(T)\subset \mathcal{H}$ を $T$ の定義域、${\rm Ran}(T)=T(D(T))\subset \mathcal{K}$ を $T$ の値域と言う。そして直和Hilbert空間 $\mathcal{H}\oplus \mathcal{K}$（[[測度と積分6：数え上げ測度と $\ell^p$ 空間]]の'''定義26.3'''）の線形部分空間
$$
G(T)\colon=\{(v,Tv)\in \mathcal{H}\oplus \mathcal{K}:v\in D(T)\}
$$
を $T$ のグラフと言う。 
Hilbert空間 $\mathcal{H}$ からHilbert空間 $\mathcal{H}$ への線形作用素のことを単にHilbert空間 $\mathcal{H}$ 上の線形作用素と言う。 
$T$ がHilbert空間 $\mathcal{H}$ からHilbert空間 $\mathcal{K}$ への'''有界'''線形作用素であると言うとき、それは $T\in \mathbb{B}(\mathcal{H},\mathcal{K})$ を意味することとする。すなわち $D(T)=\mathcal{H}$ かつ $G(T)\subset \mathcal{H}\oplus \mathcal{K}$ が閉であることを言う。（閉グラフ定理（[[位相線形空間4：Fréchet空間と関数解析の基本定理]]の'''定理19.3'''）を参照。）

=== 定義3.2（稠密に定義された線形作用素、閉線形作用素） ===
$T$ をHilbert空間 $\mathcal{H}$ からHilbert空間 $\mathcal{K}$ への線形作用素とする。$T$ が稠密に定義されているとは、$D(T)$ が $\mathcal{H}$ で稠密であることを言う。また $T$ が閉であるとは $T$ のグラフ $G(T)$ が $\mathcal{H}\oplus \mathcal{K}$ において閉であることを言う。

=== 定義3.3（線形作用素の包含関係） ===
$S,T$ をそれぞれHilbert空間 $\mathcal{H}$ から $\mathcal{K}$ への線形作用素とする。
$$
S\subset T\quad \iff\quad G(S)\subset G(T)
$$
と定義する。これを $T$ は $S$ を包含する（$S$ は $T$ に包含される）と言う。明らかにこの包含関係は $\mathcal{H}$ から $\mathcal{K}$ への線形作用素全体における順序である。

=== 定義3.4（単射線形作用素の逆作用素） ===
$T$ をHilbert空間 $\mathcal{H}$ からHilbert空間 $\mathcal{K}$ への単射線形作用素とする。このとき線形同型写像 $D(T)\ni v\mapsto Tv\in {\rm Ran}(T)$ の逆写像として定義される $\mathcal{K}$ から $\mathcal{H}$ への線形作用素を、
$$
T^{-1}:D(T^{-1})\colon={\rm Ran}(T)\ni Tv\mapsto v\in \mathcal{H}
$$
と表す。

=== 定義3.5（線形作用素の和、スカラー倍、積） ===
$S,T$ をHilbert空間 $\mathcal{H}$ から $\mathcal{K}$ への線形作用素とする。このとき $\mathcal{H}$ から $\mathcal{K}$ への線形作用素 $S+T$ を、
$$
S+T\colon D(S+T)\colon=D(S)\cap D(T)\ni v\mapsto Sv+Tv\in \mathcal{K}
$$
と定義する。また $\alpha\in \mathbb{C}$ に対し $\mathcal{H}$ から $\mathcal{K}$ への線形作用素 $\alpha T$ を、
$$
\begin{aligned}
&\alpha T\colon D(\alpha T)\colon=D(T)\ni v\mapsto \alpha Tv\in \mathcal{K}\quad(\alpha\neq0\text{ の場合 }),\\
&\alpha T:D(\alpha T):=\mathcal{H}\ni v\mapsto 0\in \mathcal{K}\quad(\alpha=0\text{ の場合 })
\end{aligned}
$$
と定義する。 
$\mathcal{H},\mathcal{K},\mathcal{L}$ をそれぞれHilbert空間とし、$T$ を $\mathcal{H}$ から $\mathcal{K}$ への線形作用素、$S$ を $\mathcal{K}$ から $\mathcal{L}$ への線形作用素とする。このとき $\mathcal{H}$ から $\mathcal{L}$ への線形作用素 $ST$ を、
$$
ST:D(ST)\colon=\{v\in D(T):Tv\in D(S)\}\ni v\mapsto STv\in \mathcal{L}
$$
と定義する。

=== 定義3.6（稠密に定義された線形作用素の共役作用素） ===
$T$ をHilbert空間 $\mathcal{H}$ からHilbert空間 $\mathcal{K}$ への稠密に定義された線形作用素とする。$\mathcal{K}$ の線形部分空間
$$
D\colon=\{v\in \mathcal{K}: D(T)\ni u\mapsto (v\mid Tu)\in \mathbb{C}\text{ は有界線形汎関数 }\}
$$
を考える。任意の $v\in D$ に対し、有界線形汎関数 $D(T)\ni u\mapsto (v\mid Tu)\in \mathbb{C}$ は $\mathcal{H}=\overline{D(T)}$ 上の有界線形汎関数に一意拡張できる（[[位相線形空間1：ノルムと内積]]の'''命題3.6'''）から、Rieszの定理（[[位相線形空間1：ノルムと内積]]の'''定理6.13'''）より、$T^*v\in \mathcal{H}$ で、
$$
(v\mid Tu)=(T^*v\mid u)\quad(\forall u\in D(T))
$$
を満たすものが定まる。こうして定義される $\mathcal{K}$ から $\mathcal{H}$ への線形作用素
$$
T^*:D(T^*)\colon=D\ni v\mapsto T^*v\in \mathcal{H}
$$
を $T$ の共役作用素と言う。この共役作用素の定義は有界線形作用素 $T\in \mathbb{B}(\mathcal{H},\mathcal{K})$ の共役作用素 $T^*\in \mathbb{B}(\mathcal{K},\mathcal{H})$ の定義（[[位相線形空間1：ノルムと内積]]の'''定義7.3'''）と矛盾しない。

=== 定義3.7（可閉線形作用素とその閉包） ===
$T$ をHilbert空間 $\mathcal{H}$ からHilbert空間 $\mathcal{K}$ への線形作用素とする。$T$ を包含する閉線形作用素が存在するとき、$T$ は可閉であると言う。
$T$ を $\mathcal{H}$ から $\mathcal{K}$ への可閉線形作用素とする。
$$
\pi\colon\mathcal{H}\oplus \mathcal{K}\ni (v,w)\mapsto v\in \mathcal{H}
$$
に対し、線形部分空間
$$
D\colon=\pi(\overline{G(T)})\subset \mathcal{H}
$$
を定義する。このとき任意の $v\in D$ に対し $(v,w)\in \overline{G(T)}$ を満たす $w\in \mathcal{K}$ は唯一つである。実際、$T$ が可閉であることから $T\subset S$ を満たす閉線形作用素が存在し、$\overline{G(T)}\subset G(S)$ であるから、 $(v,w_1),(v,w_2)\in \overline{G(T)}$ ならば $w_1=Sv=w_2$ である。そこで任意の $v\in D$ に対し $(v,w)\in \overline{G(T)}$ として定まる $w$ に対し $w:=\overline{T}v$ とおき、線形作用素
$$
\overline{T}\colon D(\overline{T}):=D\ni v\mapsto \overline{T}v\in \mathcal{K}
$$
を定義する。このとき明らかに $G(\overline{T})=\overline{G(T)}$ である。閉線形作用素 $\overline{T}$ を可閉線形作用素 $T$ の閉包と言う。$\overline{T}$ は $T$ を包含する閉線形作用素の中で最小のものとして特徴付けられる。

=== 定義3.8（閉線形作用素の芯） ===
$T$ をHilbert空間 $\mathcal{H}$ から Hilbert空間 $\mathcal{K}$ への閉線形作用素とする。線形部分空間 $D\subset D(T)$ で、
$$
\overline{T|_D}=T
$$
を満たすものを $T$ の芯と言う。ただし $T|_D$ は $T$ の $D$ 上への制限である。

=== 命題3.9（Hilbert空間上の有界とは限らない線形作用素の基本的性質） ===
$\mathcal{H},\mathcal{K},\mathcal{L}$ をそれぞれHilbert空間とする。
*$(1)$　$T_1,T_2$ を $\mathcal{H}$ から $\mathcal{K}$ への線形作用素、$S$ を $\mathcal{K}$ から $\mathcal{L}$ への線形作用素とする。このとき、
$$
S(T_1+T_2)\supset ST_1+ST_2
$$
が成り立つ。また、$T$ を $\mathcal{H}$ から $\mathcal{K}$ への線形作用素、$S_1,S_2$ を $\mathcal{K}$ から $\mathcal{L}$ への線形作用素とすると、
$$
(S_1+S_2)T=S_1T+S_2T
$$
が成り立つ。
*$(2)$　$T$ を $\mathcal{H}$ から $\mathcal{K}$ への線形作用素、$S$ を $\mathcal{K}$ から $\mathcal{L}$ への線形作用素とし、$\alpha\in \mathbb{C}\backslash \{0\}$ とすると、
$$
S(\alpha T)=(\alpha S)T=\alpha(ST)
$$
が成り立つ。
*$(3)$　$T$ を $\mathcal{H}$ から $\mathcal{K}$ への単射線形作用素とし、$S$ を $\mathcal{K}$ から $\mathcal{L}$ への単射線形作用素とすると、$ST$ は $\mathcal{H}$ から $\mathcal{L}$ への単射線形作用素であり、
$$
(ST)^{-1}=T^{-1}S^{-1}
$$
が成り立つ。
*$(4)$　$T$ を $\mathcal{H}$ から $\mathcal{K}$ への稠密に定義された線形作用素とし、$\alpha\in \mathbb{C}\backslash \{0\}$ とすると、
$$
(\alpha T)^*=\overline{\alpha}T^*
$$
が成り立つ。
*$(5)$　$T$ を $\mathcal{H}$ から $\mathcal{K}$ への稠密に定義された線形作用素とすると、
$$
({\rm Ran}(T))^{\perp}={\rm Ker}(T^*)
$$
が成り立つ。
*$(6)$　$T$ を $\mathcal{H}$ から $\mathcal{K}$ への稠密に定義された線形作用素とすると、$T^*$ は $\mathcal{K}$ から $\mathcal{H}$ への閉線形作用素である。
*$(7)$　$S,T$ を $\mathcal{H}$ から $\mathcal{K}$ への稠密に定義された線形作用素とし、$S\subset T$ であるとすると、$T^*\subset S^*$ が成り立つ。
*$(8)$　$T$ を $\mathcal{H}$ から $\mathcal{K}$ への稠密に定義された可閉線形作用素とすると、$(\overline{T})^*=T^*$ が成り立つ。
*$(9)$　$T$ を $\mathcal{H}$ から $\mathcal{K}$ への稠密に定義された線形作用素、$S$ を $\mathcal{K}$ から $\mathcal{L}$ への稠密に定義された線形作用素とし、$ST$ が $\mathcal{H}$ から $\mathcal{L}$ への稠密に定義された線形作用素であるとすると、
$$
(ST)^*\supset T^*S^*
$$
が成り立つ。またもし $S\in \mathbb{B}(\mathcal{K},\mathcal{L})$ であれば、
$$
(ST)^*=T^*S^*
$$
が成り立つ。
*$(10)$　$S,T$ を $\mathcal{H}$ から $\mathcal{K}$ への稠密に定義された線形作用素とし、$S+T$ も $\mathcal{H}$ から $\mathcal{K}$ への稠密に定義された線形作用素であるとすると、
$$
(S+T)^*\supset S^*+T^*
$$
が成り立つ。またもし $S\in \mathbb{B}(\mathcal{H},\mathcal{K})$ であれば、
$$
(S+T)^*=S^*+T^*
$$
が成り立つ。
*$(11)$ $T\in \mathbb{B}({\cal H},{\cal K})$、$S$ を ${\cal K}$ から ${\cal L}$ への閉線型作用素とすると、$ST$ は ${\cal H}$ から ${\cal L}$ への閉線型作用素である。
*$(12)$ $T\in \mathbb{B}({\cal H},{\cal K})$、$S$ を ${\cal H}$ から ${\cal K}$ への閉線型作用素とすると、$S+T$ は ${\cal H}$ から ${\cal K}$ への閉線型作用素である。
{{begin |proof }}
$(1),(2)$ は線形作用素の和、スカラー倍、積の定義（'''定義3.5'''）より明らかである。$(3)$ は単射線形作用素の逆作用素の定義（'''定義3.4'''）より明らかである。$(4)$ は稠密に定義された線形作用素の共役作用素の定義（'''定義3.6'''）より明らかである。 
$(5)$ を示す。任意の $v\in ({\rm Ran}(T))^{\perp}$ に対し、
$$
(v\mid Tu)=0\quad(\forall u\in D(T))
$$
であるから、$v\in D(T^*)$ であり、
$$
(T^*v\mid u)=(v\mid Tu)=0\quad(\forall u\in D(T))
$$
である。$\overline{D(T)}=\mathcal{H}$ であるからこれは $v\in {\rm Ker}(T^*)$ を意味する。逆に $v\in {\rm Ker}(T^*)$ ならば、
$$
(v\mid Tu)=(T^*v\mid u)=0\quad(\forall u\in D(T))
$$
であるから $v\in ({\rm Ran}(T))^{\perp}$ である。 
$(6)$ を示す。$\mathcal{K}\oplus \mathcal{H}$ において、
$$
(v_n,T^*v_n)\rightarrow (v,w)\quad(n\rightarrow\infty)
$$
であるとすると、任意の $u\in D(T)$ に対し、
$$
(w\mid u)=\lim_{n\rightarrow\infty}(T^*v_n\mid u)=\lim_{n\rightarrow\infty}(v_n\mid Tu)=(v\mid Tu)
$$
であるから $v\in D(T^*)$ であり、$w=T^*v$ である。よって $G(T^*)$ は $\mathcal{K}\oplus \mathcal{H}$ の閉部分空間なので $T^*$ は閉である。 
$(7)$ を示す。任意の $v\in D(T^*)$ を取る。任意の $u\in D(S)$ に対し $Su=Tu$ であるから、
$$
(v\mid Su)=(v\mid Tu)=(T^*v\mid u)
$$
である。よって $v\in D(S^*)$ であり、$S^*v=T^*v$ である。ゆえに $T^*\subset S^*$ である。 
$(8)$ を示す。$(7)$ より $(\overline{T})^*\subset T^*$ であるから逆の包含関係を示す。任意の $u\in D(\overline{T})$ と任意の $v\in D(T^*)$ を取る。$(u,\overline{T}u)\in G(\overline{T})=\overline{G(T)}$ より $D(T)$ の列 $(u_n)_{n\in\mathbb{N}}$ で、
$$
(u_n,Tu_n)\rightarrow (u,\overline{T}u)\quad(n\rightarrow\infty)
$$
なるものが取れる。これより、
$$
(T^*v\mid u)=\lim_{n\rightarrow\infty}(T^*v\mid u_n)=\lim_{n\rightarrow\infty}(v\mid Tu_n)=(v\mid \overline{T}u)
$$
であるから、$v\in D((\overline{T})^*)$ であり、$(\overline{T})^*v=T^*v$ である。よって $T^*\subset (\overline{T})^*$ が成り立つ。 
$(9)$ を示す。任意の $v\in D(T^*S^*)$、任意の $u\in D(ST)$ に対し、
$$
(v\mid STu)=(S^*v\mid Tu)=(T^*S^*v\mid u)
$$
であるから $v\in D((ST)^*)$ であり、$T^*S^*v=(ST)^*v$ である。よって $T^*S^*\subset (ST)^*$ が成り立つ。$S\in \mathbb{B}(\mathcal{K},\mathcal{L})$ であるとき逆の包含関係 $(ST)^*\subset T^*S^*$ が成り立つことを示す。任意の $v\in D(ST)^*$、任意の $u\in D(T)$ に対し、
$$
(S^*v\mid Tu)=(v\mid STu)=( (ST)^*v\mid u)
$$
であるから、$S^*v\in D(T^*)$ であり、$T^*S^*v=(ST)^*v$ である。よって$(ST)^*\subset T^*S^*$ が成り立つ。 
$(10)$ を示す。任意の $v\in D(S^*+T^*)=D(S^*)\cap D(T^*)$、任意の $u\in D(S+T)=D(S)\cap D(T)$ に対し、
$$
(v\mid (S+T)u)=(v\mid Su)+(v\mid Tu)=(S^*v\mid u)+(T^*v\mid u)=((S^*+T^*)v\mid u)
$$
であるから、$v\in D( (S+T)^*)$ であり、$(S+T)^*v=(S^*+T^*)v$ である。よって $S^*+T^*\subset (S+T)^*$ が成り立つ。$S\in \mathbb{B}(\mathcal{H},\mathcal{K})$ であるとき逆の包含関係 $(S+T)^*\subset S^*+T^*$ が成り立つことを示す。任意の $v\in D( (S+T)^*)$、任意の $u\in D(T)$ に対し、
$$
(v\mid Tu)=(v\mid (S+T)u)-(v\mid Su)=( (S+T)^*v\mid u)-(S^*v\mid u)
$$
であるから、$v\in D(T^*)=D(S^*)\cap D(T^*)=D(S^*+T^*)$ であり、$(S+T)^*v=S^*v+T^*v$ である。よって $(S+T)^*\subset S^*+T^*$ が成り立つ。 
$(11)$ を示す。任意の $(v,w)\in \overline{G(ST)}$ に対し $\lim_{n\rightarrow\infty}(v_n,STv_n)=(v,w)$ なる $D(ST)$ の列 $(v_n)_{n\in \mathbb{N}}$ を取る。 $T\in \mathbb{B}({\cal H},{\cal K})$ より $\lim_{n\rightarrow\infty}Tv_n=Tv$ であるので、
$$
(Tv,w)=\lim_{n\rightarrow\infty}(Tv_n,STv_n)\in \overline{G(S)}=G(S)
$$
である。よって $w=STv$ であるから $(v,w)=(v,STv)\in G(ST)$ である。これより　$\overline{G(ST)}=G(ST)$　なので　$ST$　は閉である。 
$(12)$を示す。任意の $(v,w)\in \overline{G(S+T)}$ に対し $\lim_{n\rightarrow\infty}(v_n,(S+T)v_n)=(v,w)$ なる $D(S+T)$ の列 $(v_n)_{n\in\mathbb{N}}$ を取る。$T\in \mathbb{B}({\cal H},{\cal K})$ より $\lim_{n\rightarrow\infty}Tv_n=Tv$ であるので、
$$
(v,w-Tv)=\lim_{n\rightarrow\infty}(v_n,(S+T)v_n-Tv_n)=\lim_{n\rightarrow\infty}(v_n,Sv_n)\in \overline{G(S)}=G(S)
$$
である。よって $w-Tv=Sv$ であるから $(v,w)=(v,(S+T)v)\in G(S+T)$ である。これより $\overline{G(S+T)}=G(S+T)$ なので $S+T$ は閉である。
{{end|proof|}}

=== 定理3.10（稠密に定義された閉線形作用素の性質） ===
$T$ をHilbert空間 $\mathcal{H}$ からHilbert空間 $\mathcal{K}$ への稠密に定義された閉線形作用素とする。このとき、
*$(1)$　$D(T^*T)$ は $T$ の芯であり、$1+T^*T\colon D(T^*T)\rightarrow\mathcal{H}$ は全単射である。
*$(2)$　$T^*$ は $\mathcal{K}$ から $\mathcal{H}$ への稠密に定義された閉線形作用素である。
*$(3)$　$T^{**}=T$ が成り立つ。
*$(4)$　$(T^*T)^*=T^*T$ が成り立つ。
{{begin |proof }}
*$(1)$　$T$ は閉線形作用素であるから $G(T)$ はHilbert空間 $\mathcal{H}\oplus \mathcal{K}$ の閉部分空間である。よって $G(T)$ は $\mathcal{H}\oplus \mathcal{K}$ の内積によりHilbert空間である。Hilbert空間 $G(T)$ からHilbert空間 $\mathcal{H}$ への有界線形作用素
$$
\pi\colon G(T)\ni (v,Tv)\mapsto v\in \mathcal{H}
$$
を考える。$\pi$ は単射であるから'''命題3.9'''の $(5)$ より、
$$
(\pi^*(\mathcal{H}))^{\perp}={\rm Ker}(\pi)=\{0\}
$$
である。よって、
$$
\overline{\pi^*(\mathcal{H})}=( (\pi^*(\mathcal{H}))^{\perp})^{\perp}=\{0\}^{\perp}=G(T)
$$
である（[[位相線形空間1：ノルムと内積]]の'''命題6.12'''）。そこで、
$$
D\colon=\pi(\pi^*(\mathcal{H}))\subset D(T)
$$
とおけば $G(T|_D)=\pi^*(\mathcal{H})$ であるから、
$$
\overline{G(T|_D)}=\overline{\pi^*(\mathcal{H})}=G(T)
$$
である。よって $D$ は $T$ の芯である。今、任意の $v=\pi(\pi^*(w))\in \pi(\pi^*(\mathcal{H}))=D$ を取る。このとき $\pi^*(w)=(v,Tv)$ であるから、任意の $u\in D(T)$ に対し、
$$
(v\mid u)+(Tv\mid Tu)=( (v,Tv)\mid (u,Tu))=(\pi^*(w)\mid (u,Tu))=(w\mid u)
$$
である。よって、
$$
(w-v\mid u)=(Tv\mid Tu)\quad(\forall u\in D(T))
$$
であるから、$v\in D(T^*T)$、$w=v+T^*Tv$ である。これより $D\subset D(T^*T)$ であるから $D(T^*T)$ も $T$ の芯であり、また $w\in {\cal H}$ の任意性より $\mathcal{H}={\rm Ran}(1+T^*T)$ である。後は $1+T^*T$ が単射であることを示せばよい。そこで任意の $v\in {\rm Ker}(1+T^*T)$ を取る。
$$
0=(v\mid (1+T^*T)v)=(v\mid v)+(v\mid T^*Tv)=\lVert v\rVert^2+\lVert Tv\rVert^2
$$
であるから $v=0$ である。ゆえに $1+T^*T$ は単射である。
*$(2)$　$(1)$ より $D(T^*T)$ は $T$ の芯であるから任意の $v\in D(T)$ に対し $D(T^*T)$ の列 $(v_n)_{n\in \mathbb{N}}$ で、
$$
(v_n,Tv_n)\rightarrow (v,Tv)\quad(n\rightarrow\infty)
$$
なるものが取れる。よって、
$$
Tv=\lim_{n\rightarrow\infty}Tv_n\in \overline{D(T^*)}
$$
であるから、
$$
{\rm Ran}(T)\subset \overline{D(T^*)}
$$
が成り立つ。これと'''命題3.9'''の $(5)$ より、
$$
(D(T^*))^{\perp}=(\overline{D(T^*)})^{\perp}\subset ({\rm Ran}(T))^{\perp}={\rm Ker}(T^*)\subset D(T^*)
$$
であるから $(D(T^*))^{\perp}=\{0\}$ である。よって
$$
\overline{D(T^*)}=( (D(T^*))^{\perp})^{\perp}=\{0\}^{\perp}=\mathcal{K}
$$
であるから $T^*$ は稠密に定義された線形作用素である。$T^*$ が閉であることは'''命題3.9'''の $(6)$ による。
*$(3)$　
$$
(u\mid T^*v)=(Tu\mid v)\quad(\forall v\in D(T^*),\forall u\in D(T))
$$
であるから $T\subset T^{**}$ である。同様に $T^*\subset T^{***}$ である。ここで $T\subset T^{**}$ と'''命題3.9'''の $(7)$ より $T^{***}\subset T^*$ であるので $T^*=T^{***}$ である。$T=T^{**}$ を示すにはHilbert空間 $G(T^{**})$ における閉部分空間 $G(T)$ の直交補空間 $G(T^{**})\cap (G(T))^{\perp}$ が $\{0\}$ であることを示せばよい。そこで任意の $(v,T^{**}v)\in G(T^{**})\cap (G(T))^{\perp}$ を取る。
$$
0=( (u,Tu)\mid (v,T^{**}v))=(u\mid v)+(Tu\mid T^{**}v)\quad(\forall u\in D(T))
$$
であるから $v\in D(T^*T^{**})=D(T^{***}T^{**})$ であり、
$$
0=(1+T^*T^{**})v=(1+T^{***}T^{**})v
$$
である。$T^{**}$ は稠密に定義された閉線形作用素であるので $(1)$ より $1+T^{***}T^{**}$ は単射である。よって $v=0$、したがって $(v,T^{**}v)=0$ であるので $G(T^{**})\cap (G(T))^{\perp}=\{0\}$ である。ゆえに $T=T^{**}$ である。
*$(4)$　$(1)$ より $T^*T$ は稠密に定義された線形作用素であり、
$$
(u\mid T^*Tv)=(Tu\mid Tv)=(T^*Tu\mid v)\quad(\forall u,v\in D(T^*T))
$$
であるから $T^*T\subset (T^*T)^*$ である。$T^*T=(T^*T)^*$ を示すには $D( (T^*T)^*)\subset D(T^*T)$ を示せばよい。任意の $w\in D( (T^*T)^*)=D(1+(T^*T)^*)=D( (1+T^*T)^*)$ を取る。$(1)$ より ${\rm Ran}(1+T^*T)=\mathcal{H}$ であるから、
$$
(1+T^*T)^*w=(1+T^*T)v
$$
なる $v\in D(T^*T)$ が取れる。 $1+T^*T\subset 1+(T^*T)^*=(1+T^*T)^*$ なので、
$$
(1+T^*T)^*(w-v)=0
$$
である。よって'''命題3.9'''の $(5)$ より、
$$
w-v\in {\rm Ker}( (1+T^*T)^*)=({\rm Ran}(1+T^*T))^{\perp}=\mathcal{H}^{\perp}=\{0\}
$$
である。ゆえに $w=v\in D(T^*T)$ であるので $D( (T^*T)^*)\subset D(T^*T)$ である。よって $T^*T=(T^*T)^*$ である。
{{end|proof|}}

== 4. 対称作用素、自己共役作用素、Cayley変換 ==

=== 定義4.1（対称作用素、自己共役作用素） ===
$\mathcal{H}$ をHilbert空間、$T$ を $\mathcal{H}$ 上の稠密に定義された線形作用素とする。$T\subset T^*$ が成り立つとき $T$ を $\mathcal{H}$ 上の対称作用素と言う。また $T=T^*$ が成り立つとき $T$ を $\mathcal{H}$ 上の自己共役作用素と言う。

=== 命題4.2（対称作用素の特徴付け） ===
$T$ をHilbert空間 $\mathcal{H}$ 上の稠密に定義された線形作用素とする。このとき次は互いに同値である。
*$(1)$　$T$ は $\mathcal{H}$ 上の対称作用素（つまり $T\subset T^*$）である。
*$(2)$　任意の $u,v\in D(T)$ に対し $(u\mid Tv)=(Tu\mid v)$ が成り立つ。
*$(3)$　任意の $v\in D(T)$ に対し $(v\mid Tv)\in\mathbb{R}$ が成り立つ。
*$(4)$　$G(T)\ni (v,Tv)\mapsto (T\pm i)v\in {\rm Ran}(T\pm i)$ は等長線形同型写像である。
{{begin |proof }}
$(1)\Leftrightarrow(2)\Rightarrow(3)$ は自明である。$(3)\Rightarrow(2)$ は偏極恒等式
$$
(u\mid Tv)=\frac{1}{4}\sum_{k=0}^{3}i^k(i^ku+v\mid T(i^ku+v))\quad(\forall u,v\in D(T))
$$
による。$(3)\Leftrightarrow(4)$ は、
$$
\lVert (T\pm i)v\rVert^2=\lVert Tv\rVert^2 \pm 2{\rm Im}(v\mid Tv)+\lVert v\rVert^2\quad(\forall v\in D(T))
$$
による。
{{end|proof|}}

=== 命題4.3（対称作用素の閉包は対称作用素） ===
$T$ がHilbert空間 $\mathcal{H}$ 上の対称作用素ならば $T$ は可閉であり、$\overline{T}$ も $\mathcal{H}$ 上の対称作用素である。また、
$$
{\rm Ran}(\overline{T}\pm i)=\overline{{\rm Ran}(T\pm i)}\quad\quad(*)
$$
が成り立つ。
{{begin |proof }}
'''命題3.9'''の $(6)$ より $T^*$ は閉である。よって $T\subset T^*$ より $T$ は可閉であり、$\overline{T}\subset T^*$ である。また'''命題3.9'''の $(8)$ より $(\overline{T})^*=T^*$ である。ゆえに $\overline{T}\subset (\overline{T})^*$ であるから $\overline{T}$ は対称作用素である。'''命題4.2'''より、
$$
\begin{aligned}
U:G(\overline{T})\ni (v,\overline{T}v)\mapsto (\overline{T}\pm i)v\in {\rm Ran}(\overline{T}\pm i)
\end{aligned}
$$
は等長線形同型写像であり、$T$ の閉包 $\overline{T}$ の定義より $G(\overline{T})=\overline{G(T)}$ であるから、
$$
{\rm Ran}(\overline{T}\pm i)=U(G(\overline{T}))=U(\overline{G(T)})=\overline{U(G(T))}=\overline{{\rm Ran}(T\pm i)}
$$
であるから $(*)$ が成り立つ。
{{end|proof|}}

=== 定義4.4（対称作用素のCayley変換） ===
$T$ をHilbert空間 $\mathcal{H}$ 上の対称作用素とする。このとき'''命題4.2'''より、
$$
C(T)\colon=(T-i)(T+i)^{-1}:{\rm Ran}(T+i)\ni (T+i)v\mapsto (T-i)v\in \mathcal{H}
$$
なる等長線形作用素が定義できる。$C(T)$ を $T$ のCayley変換と言う。$C(T)$ は定義域が $D(C(T))={\rm Ran}(T+i)$、値域が ${\rm Ran}(C(T))={\rm Ran}(T-i)$ である ${\cal H}$ 上の線型作用素である。

=== 命題4.5（対称作用素のCayley変換からの再現） ===
$T$ をHilbert空間 $\mathcal{H}$ 上の対称作用素とする。$T$ のCayley変換 $C(T)=(T-i)(T+i)^{-1}$ に対し $1-C(T)$ は単射であり、${\rm Ran}(1-C(T))=D(T)$ である。そして、
$$
T=i(1+C(T))(1-C(T))^{-1}
$$
が成り立つ。
{{begin |proof }}
任意の $(T+i)v\in {\rm Ran}(T+i)=D(C(T))$ に対し、
$$
(1-C(T))(T+i)v=(T+i)v-(T-i)v=2iv
$$
であるから、${\rm Ran}(1-C(T))=D(T)$ であり、$1-C(T)$ は単射である。そして任意の $v\in D(T)$ に対し、
$$
(1+C(T))(1-C(T))^{-1}2iv=(1+C(T))(T+i)v=(T+i)v+(T-i)v=2Tv
$$
であるから、
$$
i(1+C(T))(1-C(T))^{-1}=T
$$
である。
{{end|proof|}}

=== 定理4.6（自己共役作用素のCayley変換） ===
$T$ をHilbert空間 $\mathcal{H}$ 上の対称作用素、$C(T)$ を $T$ のCayley変換とする。このとき次は互いに同値である。
*$(1)$　$T$ は $\mathcal{H}$ 上の自己共役作用素である。
*$(2)$　$C(T)$ は $\mathcal{H}$ 上のユニタリ作用素である。
{{begin |proof }}
$(1)\Rightarrow(2)$ を示す。$(1)$ が成り立つならば $T=T^*$ であるから、'''命題3.9'''の $(5)$ より、
$$
({\rm Ran}(T\pm i))^{\perp}={\rm Ker}(T^*\mp i)={\rm Ker}(T\mp i)=\{0\}
$$
であり、'''命題3.9'''の $(6)$ より $T=T^*$ は閉なので、'''命題4.3'''より、
$$
{\rm Ran}(T\pm i)={\rm Ran}(\overline{T}\pm i)=\overline{{\rm Ran}(T\pm i)}
=( ({\rm Ran}(T\pm i))^{\perp\perp}=\{0\}^{\perp}=\mathcal{H}
$$
である。よって $D(C(T))={\rm Ran}(T+i)=\mathcal{H}$、${\rm Ran}(C(T))={\rm Ran}(T-i)=\mathcal{H}$ であり、$C(T)$ は等長であるから、$C(T)$ は $\mathcal{H}$ 上のユニタリ作用素である。 
$(2)\Rightarrow(1)$ を示す。$(2)$ が成り立つならば ${\rm Ran}(T\pm i)=\mathcal{H}$ であるから、任意の $v\in D(T^*)$ に対し、
$$
(T^*+i)v=(T+i)u
$$
を満たす $u\in D(T)$ が取れる。$T\subset T^*$ より $T+i\subset T^*+i$ であるから、
$$
(T^*+i)(v-u)=0
$$
である。'''命題3.9'''の $(5)$ より、
$$
{\rm Ker}(T^*+i)=({\rm Ran}(T-i))^{\perp}=\mathcal{H}^{\perp}=\{0\}
$$
であるから、$v=u\in D(T)$ である。よって $D(T^*)=D(T)$ であるので $T=T^*$ である。
{{end|proof|}}

=== 定義4.7（対称作用素の自己共役拡張） ===
$T$ をHilbert空間 $\mathcal{H}$ 上の対称作用素とする。$\mathcal{H}$ 上の自己共役作用素 $S$ で、$T\subset S$ なるものを $T$ の自己共役拡張と言う。そして対称作用素 $T$ が自己共役拡張を持つとき、$T$ は自己共役拡張可能と言う。

=== 定義4.8（対称作用素の本質的自己共役性） ===
Hilbert空間上の対称作用素 $T$ が本質的に自己共役であるとは、$T$ の閉包 $\overline{T}$ が自己共役作用素であることを言う。$T$ が本質的に自己共役であるならば、$T$ の自己共役拡張は $\overline{T}$ のみである。実際 $S$ が $T$ の自己共役拡張ならば、'''命題3.9'''の $(6),(7)$ より、
$$
\overline{T}\subset S=S^*\subset \overline{T}^*=\overline{T}
$$
であるから、$S=\overline{T}$ である。

=== 定理4.9（対称作用素が自己共役拡張可能であるための条件） ===
$T$ をHilbert空間 $\mathcal{H}$ 上の対称作用素とする。このとき次は互いに同値である。
*$(1)$　$T$ は自己共役拡張可能である。
*$(2)$　$({\rm Ran}(T+i))^{\perp}\rightarrow ({\rm Ran}(T-i))^{\perp}$ の等長線形同型写像が存在する。

そして $(2)$ が成り立つとき、各等長線形同型写像 $V\colon({\rm Ran}(T+i))^{\perp}\rightarrow ({\rm Ran}(T-i))^{\perp}$ に対し、ユニタリ作用素
$$
\begin{aligned}
U\colon=C(\overline{T})\oplus V\colon\mathcal{H}={\rm Ran}(\overline{T}+i)\oplus ({\rm Ran}(T+i))^{\perp}&\rightarrow
{\rm Ran}(\overline{T}-i)\oplus ({\rm Ran}(T-i))^{\perp}=\mathcal{H}\\
(\overline{T}+i)v+u&\mapsto (\overline{T}-i)v+Vu\quad\quad(*)
\end{aligned}
$$
（'''命題4.3'''より $({\rm Ran}(T\pm i) )^{\perp}=(\overline{{\rm Ran}(T\pm i)})^{\perp}=({\rm Ran}(\overline{T}\pm i) )^{\perp}$ であることに注意）をCayley変換とする $T$ の自己共役拡張が存在する。
{{begin |proof }}
$(1)\Rightarrow(2)$ を示す。$(1)$ が成り立つとし、$S$ を $T$ の自己共役拡張とする。'''定理4.6'''より $S$ のCayley変換 $C(S)=(S-i)(S+i)^{-1}$ は $\mathcal{H}$ 上のユニタリ作用素であり、
$$
C(S)^*=C(S)^{-1}=(S+i)(S-i)^{-1}
$$
である。よって任意の $v\in ({\rm Ran}(T+i))^{\perp}$ と任意の $(T-i)u\in {\rm Ran}(T-i)$ に対し、
$$
(C(S)v\mid (T-i)u)=(v\mid C(S)^*(S-i)u)=(v\mid (S+i)u)=(v\mid (T+i)u)=0
$$
であるから、
$$
C(S)({\rm Ran}(T+i))^{\perp}\subset ({\rm Ran}(T-i))^{\perp}
$$
である。また任意の $v\in ({\rm Ran}(T-i))^{\perp}$ と任意の $(T+i)u\in {\rm Ran}(T+i)$ に対し、
$$
(C(S)^*v\mid (T+i)u)=(v\mid C(S)(S+i)u)=(v\mid (S-i)u)=(v\mid (T-i)u)=0
$$
であるから、
$$
C(S)^*({\rm Ran}(T-i))^{\perp}\subset ({\rm Ran}(T+i))^{\perp},
$$
すなわち、
$$
({\rm Ran}(T-i))^{\perp}\subset C(S)({\rm Ran}(T+i))^{\perp}
$$
である。よって、
$$
({\rm Ran}(T+i))^{\perp}\ni v\mapsto C(S)v\in ({\rm Ran}(T-i))^{\perp}
$$
は等長線形同型写像であるから、$(2)$ が成り立つ。 
$(2)\Rightarrow(1)$ を示す。$(2)$ が成り立つとする。$V:({\rm Ran}(T+i))^{\perp}\rightarrow({\rm Ran}(T-i))^{\perp}$ を等長線形同型写像とし、$(*)$ におけるユニタリ作用素 $U=C(\overline{T})\oplus V$ を考える。まず $1-U$ が単射であることを示す。そこで $(\overline{T}+i)u\in {\rm Ran}(\overline{T}+i)$ と $v\in ({\rm Ran}(T+i))^{\perp}$ が $(1-U)( (\overline{T}+i)u+v)=0$ を満たすとする。このとき、
$$
0=(1-U)( (\overline{T}+i)u+v)=(\overline{T}+i)u+v-(\overline{T}-i)u-Vv=2iu+(1-V)v
$$
であり、$v\in ({\rm Ran}(T+i))^{\perp}={\rm Ker}(T^*-i)$、$Vv\in ({\rm Ran}(T-i))^{\perp}={\rm Ker}(T^*+i)$（'''命題3.9'''の $(5)$ ）であるから、
$$
0=(T^*+i)(2iu+(1-V)v)=2i(\overline{T}+i)u+(T^*-i)v+2iv-(T^*+i)Vv=2i(\overline{T}+i)u+2iv
$$
である。よって、
$$
v=-(\overline{T}+i)u\in {\rm Ran}(\overline{T}+i)\cap ({\rm Ran}(\overline{T}+i))^{\perp}=\{0\}
$$
であるから $(\overline{T}+i)u+v=0$ である。ゆえに $1-U$ は単射である。
$$
S\colon=i(1+U)(1-U)^{-1}
$$
とおく。$C(\overline{T})\subset U$ であるから、
$$
S(1-C(\overline{T}))=i(1+C(\overline{T}))
$$
であるので、'''命題4.5'''より、
$$
\overline{T}=i(1+C(\overline{T}))(1-C(\overline{T}))^{-1}\subset S\quad\quad(**)
$$
である。任意の $u=(1-U)v\in {\rm Ran}(1-U)=D(S)$ に対し、
$$
(u\mid Su)=( (1-U)v\mid i(1+U)v)=i( (v\mid Uv)-(Uv\mid v) )\in \mathbb{R}
$$
であるから、'''命題4.2'''より $S$ は対称作用素である。そして、
$$
\begin{aligned}
&(S+i)(1-U)v=i(1+U)v+i(1-U)v=2iv\quad(\forall v\in \mathcal{H}),\\
&(S-i)(1-U)v=i(1+U)v-i(1-U)v=2iUv\quad(\forall v\in\mathcal{H})
\end{aligned}
$$
であるから、$S$ のCayley変換は $C(S)=(S-i)(S+i)^{-1}=U$ である。よって $C(S)$ はユニタリ作用素であるから'''定理4.6'''より $S$ は自己共役作用素であり、$(**)$ より $S$ は $T$ の自己共役拡張である。
{{end|proof|}}

=== 系4.10（対称作用素が本質的に自己共役であるための条件） ===
$T$ をHilbert空間 $\mathcal{H}$ 上の対称作用素とする。このとき次は互いに同値である。
*$(1)$　$T$ は本質的に自己共役である。
*$(2)$　$T$ の自己共役拡張が唯一つ存在する。

また、$T$ が自己共役拡張可能であり、本質的に自己共役ではないならば、$T$ の自己共役拡張は非可算無限個存在する。
{{begin |proof }}
$(1)\Rightarrow(2)$ は'''定義4.8'''で述べてある。$(2)\Rightarrow(1)$ を示す。$(2)$ が成り立つとする。このとき'''定理4.9'''より $({\rm Ran}(T+i))^{\perp}\rightarrow({\rm Ran}(T-i))^{\perp}$ の等長線形同型写像が存在する。 $({\rm Ran}(T\pm i))^{\perp}\neq\{0\}$ であると仮定し、等長線形同型写像 $V_0\colon({\rm Ran}(T+i))^{\perp}\rightarrow({\rm Ran}(T-i))^{\perp}$ と $\theta\in [0,2\pi)$ に対し、等長線形同型写像 $V_{\theta}\colon=e^{i\theta}V_0:({\rm Ran}(T+i) )^{\perp}\rightarrow({\rm Ran}(T-i) )^{\perp}$ を定義する。'''定理4.9'''より、各 $\theta\in [0,2\pi)$ に対し、$T$ の自己共役拡張 $S_{\theta}$ で、Cayley変換が $C(S_{\theta})=C(\overline{T})\oplus V_{\theta}$ であるものが取れる。
$\theta_1,\theta_2\in [0,2\pi)$ が $\theta_1\neq\theta_2$ である限り、$V_{\theta_1}\neq V_{\theta_2}$ であるから $C(S_{\theta_1})\neq C(S_{\theta_2})$、したがって $S_{\theta_1}\neq S_{\theta_2}$ である。よって $T$ の自己共役拡張は非可算無限個存在することになり、$(2)$ が成り立つことに矛盾する。ゆえに $({\rm Ran}(T\pm i))^{\perp}=\{0\}$ であるから、
$$
{\rm Ran}(\overline{T}\pm i)=\overline{{\rm Ran}(T\pm i)}=( ({\rm Ran}(T\pm i))^{\perp})^{\perp}=\{0\}^{\perp}=\mathcal{H}
$$
である。これより $\overline{T}$ のCayley変換 $C(\overline{T})$ はユニタリ作用素であるから、'''定理4.6'''より $\overline{T}$ は自己共役作用素、すなわち $T$ は本質的に自己共役である。
{{end|proof|}}

== 5. Hilbert空間上の閉線形作用素のスペクトルとレゾルベント集合 ==

=== 定義5.1（Hilbert空間上の閉線形作用素のスペクトル、レゾルベント集合、点スペクトル、固有値、固有ベクトル） ===
$T$ をHilbert空間 $\mathcal{H}$ 上の閉線形作用素とする。このとき、
$$
\rho(T)\colon=\{\lambda\in \mathbb{C}: \lambda-T:D(T)\rightarrow\mathcal{H}\text{ は全単射}\}
$$
を $T$ のレゾルベント集合と言い、
$$
\sigma(T)\colon=\mathbb{C}\backslash\rho(T)
$$
を $T$ のスペクトルと言う。そして $T$ のスペクトルの部分集合
$$
\sigma_{\rm p}(T)\colon=\{\lambda\in \mathbb{C}:{\rm Ker}(\lambda-T)\neq\{0\}\}
$$
を $T$ の点スペクトルと言い、$\sigma_{\rm p}(T)$ の元を $T$ の固有値と言う。$T$ の固有値 $\lambda\in \sigma_{\rm p}(T)$ に対し、${\rm Ker}(\lambda-T)$ を $T$ の固有値 $\lambda$ に対する固有空間と言い、${\rm Ker}(\lambda-T)$ の $0$ ではない元を $T$ の固有値 $\lambda$ に対する固有ベクトルと言う。

=== 定義5.2（Hilbert空間上の閉線形作用素のレゾルベント） ===
$T$ をHilbert空間 $\mathcal{H}$ 上の閉線形作用素、$\rho(T)$ を $T$ のレゾルベント集合とする。任意の $\lambda\in \rho(T)$ に対し閉線形作用素 $\lambda-T$ のグラフ $G(\lambda-T)$ は $(\lambda-T)^{-1}$ のグラフ $G( (\lambda-T)^{-1})$ と等長線形同型であるから $G( (\lambda-T)^{-1})$ は閉である。よって $(\lambda-T)^{-1}\colon\mathcal{H}\rightarrow\mathcal{H}$ は閉線形作用素であるので、閉グラフ定理（[[位相線形空間4：Fréchet空間と関数解析の基本定理]]の'''定理19.3'''）より $(\lambda-T)^{-1}\in \mathbb{B}(\mathcal{H})$ である。
$$
\rho(T)\ni \lambda-\mapsto (\lambda-T)^{-1}\in \mathbb{B}(\mathcal{H})
$$
を $T$ のレゾルベントと言う。

=== 注意5.3 ===
Hilbert空間 $\mathcal{H}$ 上の閉線形作用素のスペクトルとレゾルベント集合の定義は $C^*$-環 $\mathbb{B}(\mathcal{H})$ の元のスペクトルとレゾルベント集合の定義（[[Banach環とC*-環のスペクトル理論]]の'''定義1.5'''）と矛盾しない。

=== 命題5.4（レゾルベント等式） ===
$T$ をHilbert空間 $\mathcal{H}$ 上の閉線形作用素、$\rho(T)$ を $T$ のレゾルベント集合とする。このとき、
*$(1)$　任意の $\lambda_1,\lambda_2\in \rho(T)$ に対し、
$$
(\lambda_1-T)^{-1}-(\lambda_2-T)^{-1}=(\lambda_2-\lambda_1)(\lambda_1-T)^{-1}(\lambda_2-T)^{-1}
$$
が成り立つ。
*$(2)$　$\rho(T)$ は $\mathbb{C}$ の開集合であり、レゾルベント
$$
\rho(T)\ni \lambda\mapsto (\lambda-T)^{-1}\in \mathbb{B}(\mathcal{H})
$$
はBanach空間 $\mathbb{B}(\mathcal{H})$ 値正則関数である。
{{begin |proof }}
*$(1)$　任意の $\lambda_1,\lambda_2\in \rho(\mathbb{C})$ に対し、
$$
\begin{aligned}
(\lambda_1-T)^{-1}-(\lambda_2-T)^{-1}&=(\lambda_1-T)^{-1}( (\lambda_2-T)-(\lambda_1-T))(\lambda_2-T)^{-1}\\
&=(\lambda_2-\lambda_1)(\lambda_1-T)^{-1}(\lambda_2-T)^{-1}.
\end{aligned}
$$
*$(2)$　任意の $\lambda_0\in \rho(T)$ と $\lvert \lambda-\lambda_0\rvert<\lVert (\lambda_0-T)^{-1}\rVert^{-1}$ なる任意の $\lambda\in \mathbb{C}$ を取る。このとき、
$$
\lambda-T=(\lambda_0-T)-(\lambda_0-\lambda)=(1-(\lambda_0-\lambda)(\lambda_0-T)^{-1})(\lambda_0-T)\quad\quad(*)
$$
であり、$\lVert(\lambda_0-\lambda)(\lambda_0-T)^{-1}\rVert<1$ であるから、[[Banach環とC*-環のスペクトル理論]]の'''命題1.2'''より、$1-(\lambda_0-\lambda)(\lambda_0-T)^{-1}\in \mathbb{B}(\mathcal{H})$ は可逆であり、
$$
\{1-(\lambda_0-\lambda)(\lambda_0-T)^{-1}\}^{-1}=\sum_{m\in\mathbb{Z}_+}(\lambda_0-\lambda)^n(\lambda_0-T)^{-n}\quad\quad(**)
$$
が成り立つ。よって $(*)$ より $\lambda-T:D(T)\rightarrow \mathcal{H}$ は全単射であるから $\lambda\in \rho(T)$ であり、$(*),(**)$ より、
$$
\begin{aligned}
(\lambda-T)^{-1}&=\{1-(\lambda_0-\lambda)(\lambda_0-T)^{-1}\}^{-1}(\lambda_0-T)^{-1}\\
&=\sum_{m\in\mathbb{Z}_+}(\lambda_0-\lambda)^n(\lambda_0-T)^{-(n+1)}\quad\quad(***)
\end{aligned}
$$
である。これより任意の $\lambda_0\in \rho(T)$ に対し $\lambda_0$ を中心とする半径 $\lVert (\lambda_0-T)^{-1}\rVert^{-1}$ の $\mathbb{C}$ の開球は $\rho(T)$ に含まれるから $\rho(T)$ は $\mathbb{C}$ の開集合であり、その開球の任意の元 $\lambda$ に対し $(***)$ が成り立つから、冪級数関数の複素微分可能性（[[複素解析の初歩]]の'''定理2.5'''）より、$\rho(T)\ni \lambda\mapsto (\lambda-T)^{-1}\in \mathbb{B}(\mathcal{H})$ はBanach空間 $\mathbb{B}(\mathcal{H})$ 値正則関数である。
{{end|proof|}}

=== 系5.5（スペクトルは $\mathbb{C}$ の閉集合） ===
Hilbert空間上の閉線形作用素のスペクトルは $\mathbb{C}$ の閉集合である。
{{begin |proof }}
Hilbert空間上の閉線形作用素のレゾルベント集合は、'''命題5.4'''より $\mathbb{C}$ の開集合であるから、レゾルベント集合の $\mathbb{C}$ における補集合であるスペクトルは $\mathbb{C}$ の閉集合である。
{{end|proof|}}

=== 命題5.6（自己共役作用素のスペクトルは $\mathbb{R}$ の部分集合） ===
$T$ をHilbert空間 $\mathcal{H}$ 上の自己共役作用素とする。このとき $T$ のスペクトル $\sigma(T)$ は $\mathbb{R}$ の部分集合である。
{{begin |proof }}
$T$ のレゾルベント集合 $\rho(T)=\mathbb{C}\backslash \sigma(T)$ に対し $\mathbb{C}\backslash \mathbb{R}\subset \rho(T)$ であることを示せばよい。そこで $\alpha,\beta\in \mathbb{R}$、$\beta\neq0$ とし、$\lambda\colon=\alpha+i\beta\in \mathbb{C}\backslash \mathbb{R}$ とおく。このとき $(v\mid (\alpha-T)v)\in \mathbb{R}$ $(\forall v\in D(T))$ であることから、
$$
\begin{aligned}
&\lVert(\lambda-T)v\rVert^2=\lVert (\alpha-T)v+i\beta v\rVert^2=\lVert (\alpha-T)v\rVert^2+\beta^2\lVert v\rVert^2\geq \beta^2\lVert v\rVert^2\quad(\forall v\in D(T)),\quad\quad(*)\\
&\lVert (\overline{\lambda}-T)v\rVert^2=\lVert(\alpha-T)v-i\beta v\rVert^2
=\lVert (\alpha-T)v\rVert^2+\beta^2\lVert v\rVert^2\geq \beta^2\lVert v\rVert^2\quad(\forall v\in D(T))\quad\quad(**)
\end{aligned}
$$
である。よって $(*)$ と $\beta\neq0$ より ${\rm Ker}(\lambda-T)=\{0\}$、$\overline{{\rm Ran}(\lambda-T)}={\rm Ran}(\lambda-T)$（$\lambda-T$ が閉線形作用素であることに注意）である。そして $(**)$ より ${\rm Ker}(\overline{\lambda}-T)=\{0\}$ であるから、''命題3.9''の $(5)$ より、
$$
{\rm Ran}(\lambda-T)=\overline{{\rm Ran}(\lambda-T)}=( ({\rm Ran}(\lambda-T))^{\perp})^{\perp}=({\rm Ker}(\overline{\lambda}-T))^{\perp}=\{0\}^{\perp}=\mathcal{H}
$$
である。よって $\lambda-T\colon D(T)\rightarrow \mathcal{H}$ は全単射であるから $\lambda\in \rho(T)$ である。ゆえに $\mathbb{C}\backslash \mathbb{R}\subset \rho(T)$ であるから、$\sigma(T)\subset \mathbb{R}$ が成り立つ。
{{end|proof|}}

=== 定理5.7（自己共役作用素のスペクトルとそのCayley変換のスペクトルの関係） ===
$T$ をHilbert空間 $\mathcal{H}$ 上の自己共役作用素とする。このとき $T$ のスペクトル $\sigma(T)$ は $\mathbb{R}$ の空でない閉集合であり、同相写像
$$
C\colon\mathbb{R}\ni t\mapsto (t-i)(t+i)^{-1}\in \mathbb{T}\backslash \{1\}
$$
（逆写像は $\mathbb{T}\backslash \{1\}\ni \lambda\mapsto i(1+\lambda)(1-\lambda)^{-1}\in \mathbb{R}$ である。）に対し、
$$
C(\sigma(T))=\sigma(C(T))\backslash \{1\}
$$
が成り立つ。ただし $C(T)$ は $T$ のCayley変換である。
{{begin |proof }}
'''系5.5'''と'''命題5.6'''より $\sigma(T)$ は $\mathbb{R}$ の閉集合である。また'''定理4.6'''より $C(T)$ は $\mathcal{H}$ 上のユニタリ作用素である。任意の $t\in \mathbb{R}$ に対し、
$$
\begin{aligned}
C(t)-C(T)&=(t-i)(t+i)^{-1}-(T-i)(T+i)^{-1}\\
&=(t+i)^{-1}\{(t-i)(T+i)-(t+i)(T-i)\}(T+i)^{-1}\\
&=2i(t+i)^{-1}(t-T)(T+i)^{-1}
\end{aligned}
$$
であるから、$C(t)-C(T)\colon \mathcal{H}\rightarrow\mathcal{H}$ が全単射であることと、$t-T\colon D(T)\rightarrow\mathcal{H}$ が全単射であることは同値である。よって $t\in \mathbb{R}$ に対し、
$$
C(t)\in \sigma(C(T))\backslash \{1\}\quad\Leftrightarrow\quad t\in\sigma(T)\quad\quad(*)
$$
が成り立つ。$C(T)$ は $\mathcal{H}$ 上のユニタリ作用素であるから、[[Banach環とC*-環のスペクトル理論]]の'''命題3.5'''より、$\sigma(C(T))\backslash\{1\}\subset \mathbb{T}\backslash \{1\}=C(\mathbb{R})$ である。よって $(*)$ より、
$$
C(\sigma(T))=\sigma(C(T))\backslash \{1\}\quad\quad(**)
$$
が成り立つ。また $\sigma(C(T))\neq\emptyset$（[[Banach環とC*-環のスペクトル理論]]の'''命題1.8'''）であるから、もし $\sigma(C(T))\backslash \{1\}=\emptyset$ ならば $\sigma(C(T))=\{1\}$ となり、連続汎関数計算（[[Banach環とC*-環のスペクトル理論]]の'''定義6.6'''）より $C(T)=1$ となる。よって $1-C(T)$ が単射であること（'''命題4.5'''）に矛盾する。ゆえに $\sigma(C(T))\backslash \{1\}\neq\emptyset$ であるので、$(**)$ より $\sigma(T)\neq\emptyset$ である。
{{end|proof|}}

== 6. 射影値測度による積分 ==

=== 定義6.1（Hilbert空間 $\mathcal{H}$ 上の射影作用素全体 $\mathbb{P}(\mathcal{H})$） ===
Hilbert空間 $\mathcal{H}$ 上の射影作用素全体を $\mathbb{P}(\mathcal{H})$ と表す。

=== 定義6.2（射影値測度） ===
$\mathcal{H}$ をHilbert空間、$(X,\mathfrak{M})$ を可測空間とする。$E\colon\mathfrak{M}\rightarrow \mathbb{P}(\mathcal{H})$ が次の条件を満たすとき、$E$ を射影値測度と言う。
*$(1)$　$E(X)=1$.
*$(2)$　任意の $u,v\in \mathcal{H}$ に対し $E_{u,v}:\mathfrak{M}\ni B\mapsto (u\mid E(B)v)\in \mathbb{C}$ は複素数値測度（[[測度と積分4：測度論の基本定理(2)]]の'''定義15.1'''）。

=== 命題6.3（射影値測度の基本的性質） ===
$\mathcal{H}$ をHilbert空間、$(X,\mathfrak{M})$ を可測空間、$E\colon\mathfrak{M}\rightarrow \mathcal{P}(\mathcal{H})$ を射影値測度とする。このとき、
*$(1)$　$E(\emptyset)=0$.
*$(2)$（'''単調性'''）$A\subset B$ なる任意の $A,B\in \mathfrak{M}$ に対し $E(A)\leq E(B)$.
*$(3)$　任意の $A,B\in \mathfrak{M}$ に対し $E(A\cap B)=E(A)E(B)$ が成り立つ。特に $A\cap B=\emptyset$ ならば $E(A)$ と $E(B)$ は直交する。
*$(4)$（'''$\sigma$-加法性'''）$(B_n)_{n\in \mathbb{N}}$ が $\mathfrak{M}$ の非交叉列であるならば、$(E(B_n))_{n\in \mathbb{N}}$ は射影作用素の直交族であり、
$$
E\left(\bigcup_{n\in \mathbb{N}}B_n\right)=\sum_{n\in \mathbb{N}}E(B_n)
$$
が成り立つ。（射影作用素の直交族の和の定義（'''定義2.6'''）を参照。）
*$(5)$（'''単調収束性'''）$(B_n)_{n\in \mathbb{N}}$ が $\mathfrak{M}$ の単調増加列であるならば、$(E(B_n))_{n\in \mathbb{N}}$ は $\mathbb{B}(\mathcal{H})_{\rm sa}$ の単調増加列であり、
$$
E\left(\bigcup_{n\in \mathbb{N}}B_n\right)=\text{SOT -}\lim_{n\rightarrow\infty} E(B_n)=\sup_{n\in \mathbb{N}}E(B_n)
$$
が成り立つ。
*$(6)$（'''単調収束性'''）$(B_n)_{n\in \mathbb{N}}$ が $\mathfrak{M}$ の単調減少列であるならば、$(E(B_n))_{n\in \mathbb{N}}$ は $\mathbb{B}(\mathcal{H})_{\rm sa}$ の単調減少列であり、
$$
E\left(\bigcap_{n\in \mathbb{N}}B_n\right)=\text{SOT -}\lim_{n\rightarrow\infty} E(B_n)=\inf_{n\in \mathbb{N}}E(B_n)
$$
が成り立つ。
{{begin |proof }}
*$(1)$　任意の $u,v\in \mathcal{H}$ に対し $(u\mid E(\emptyset)v)=E_{u,v}(\emptyset)=0$ であるから $E(\emptyset)=0$ である。
*$(2)$　$\mathbb{P}(\mathcal{H})\subset \mathbb{B}_+(\mathcal{H})$ であるから任意の $v\in \mathcal{H}$ に対し $E_{v,v}$ は非負値測度である。よって非負値測度の単調性より $A,B\in \mathfrak{M}$ が $A\subset B$ を満たすならば、
$$
(v\mid E(A)v)=E_{v,v}(A)\leq E_{v,v}(B)=(v\mid E(B)v)\quad(\forall v\in \mathcal{H})
$$
であるから、'''命題1.4'''より $E(A)\leq E(B)$ が成り立つ。
*$(3)$　$A,B\in \mathfrak{M}$ が $A\cap B=\emptyset$ を満たすとすると、任意の $u,v\in \mathcal{H}$ に対し、
$$
(u\mid E(A\cup B)v)=E_{u,v}(A\cup B)=E_{u,v}(A)+E_{u,v}(B)=(u\mid (E(A)+E(B))v)
$$
であるから、$E(A)+E(B)=E(A\cup B)\in \mathbb{P}(\mathcal{H})$ である。よって[[Banach環とC*-環のスペクトル理論]]の'''命題8.3'''より $E(A)$ と $E(B)$ は直交するので $E(A)E(B)=0=E(A\cap B)$ である。 
任意の $A,B\in \mathfrak{M}$ を取る。$A=(A\backslash B)\cup (A\cap B)$ であり、$(A\backslash B)\cap (A\cap B)=\emptyset$ であるから上段の結果より、
$$
E(A)=E(A\backslash B)+E(A\cap B)
$$
である。そして $(A\backslash B)\cap B=\emptyset$ であるので、再び上段の結果より、
$$
E(A\backslash B) E(B)=0
$$
である。$(2)$ より $E(A\cap B)\leq E(B)$ であるから[[Banach環とC*-環のスペクトル理論]]の'''命題8.2'''より、
$$
E(A\cap B)=E(A\cap B)E(B)
$$
である。よって、
$$
E(A)E(B)=(E(A\backslash B)+E(B))E(B)=E(A\backslash B)E(B)+E(A\cap B)E(B)=E(A\cap B)
$$
である。
*$(4)$　$(B_n)_{n\in \mathbb{N}}$ が $\mathfrak{M}$ の非交叉列ならば $(3)$ より $(E(B_n))_{n\in \mathbb{N}}$ は射影作用素の直交族であるから $\sum_{n\in\mathbb{N}}E(B_n)$ はSOTで収束する（'''定義2.6'''を参照）。よって任意の $u,v\in \mathcal{H}$ に対し、
$$
\left(u\mid E\left(\bigcup_{n\in \mathbb{N}}B_n\right)v\right)
=E_{u,v}\left(\bigcup_{n\in\mathbb{N}}B_n\right)
=\sum_{n\in\mathbb{N}}E_{u,v}(B_n)
=\sum_{n\in \mathbb{N}}(u\mid E(B_n)v)
=(u\mid \sum_{n\in \mathbb{N}}E(B_n)v)
$$
であるから $E(\bigcup_{n\in \mathbb{N}}B_n)=\sum_{n\in \mathbb{N}}E(B_n)$ が成り立つ。
*$(5)$　$(B_n)_{n\in \mathbb{N}}$ が $\mathfrak{M}$ の単調増加列ならば[[測度と積分4：測度論の基本定理(2)]]の'''命題15.2'''の $(3)$ より任意の $u,v\in \mathcal{H}$ に対し、
$$
\left(u\mid E\left(\bigcup_{n\in \mathbb{N}}B_n\right)v\right)
=E_{u,v}\left(\bigcup_{n\in\mathbb{N}}B_n\right)
=\lim_{n\rightarrow\infty}E_{u,v}(B_n)=\lim_{n\rightarrow\infty}(u\mid E(B_n)v)
$$
である。そして $(2)$ より $(E(B_n))_{n\in \mathbb{N}}$ は射影作用素の単調増加列であるから'''定理2.4'''より、
$$
\text{SOT-}\lim_{n\rightarrow\infty}E(B_n)=\sup_{n\in \mathbb{N}}E(B_n)
$$
である。よって任意の $u,v\in \mathcal{H}$ に対し、
$$
\left(u\mid E\left(\bigcup_{n\in \mathbb{N}}B_n\right)v\right)
=\lim_{n\rightarrow\infty}(u\mid E(B_n)v)
=(u\mid \text{SOT-}\lim_{n\rightarrow\infty}E(B_n)v)
=(u\mid \sup_{n\in\mathbb{N}}E(B_n)v)
$$
であるから、
$$
E\left(\bigcup_{n\in \mathbb{N}}B_n\right)=\text{SOT-}\lim_{n\rightarrow\infty}E(B_n)=\sup_{n\in \mathbb{N}}E(B_n)
$$
である。
*$(6)$　$(B_n)_{n\in \mathbb{N}}$ が $\mathfrak{M}$ の単調減少列ならば $(X\backslash B_n)_{n\in \mathbb{N}}$ は $\mathfrak{M}$ の単調増加列であり、$X\backslash \bigcap_{n\in \mathbb{N}}B_n=\bigcup_{n\in\mathbb{N}}(X\backslash B_n)$ である。このことと $(5)$ より分かる。
{{end|proof|}}

=== 命題6.4 ===
$\mathcal{H}$ をHilbert空間、$(X,\mathfrak{M})$ を可測空間とし、$E\colon\mathfrak{M}\rightarrow \mathbb{P}(\mathcal{H})$ を射影値測度とする。また $\mathcal{L}_{\rm b}(X,\mathfrak{M})$ を $X\rightarrow \mathbb{C}$ の有界可測関数全体に各点ごとの演算と $\sup$ ノルムを入れた単位的可換 $C^*$-環とする。このとき $*$-環準同型写像
$$
\Phi_E\colon\mathcal{L}_{\rm b}(X,\mathfrak{M})\rightarrow \mathbb{B}(\mathcal{H})
$$
で、
$$
(u\mid \Phi_E(f)v)=\int_{X}f(x)dE_{u,v}(x)\quad(\forall f\in \mathcal{L}_{\rm b}(X,\mathfrak{M}), \forall u,v\in \mathcal{H})
$$
を満たすものが唯一つ存在する。そして、
$$
\Phi_E(\chi_B)=E(B)\quad(\forall B\in \mathfrak{M})
$$
である。
{{begin |proof }}
一意性は自明である。存在を示す。まず任意の $u,v\in \mathcal{H}$ に対し複素数値測度 $E_{u,v}\colon\mathfrak{M}\ni B\mapsto (u\mid E(B)v)\in \mathbb{C}$ の全変動（[[測度と積分4：測度論の基本定理(2)]]の'''定義19.1'''）$\lvert E_{u,v}\rvert\colon\mathfrak{M}\rightarrow \mathbb{C}$ が $\lvert E_{u,v}\rvert(X)\leq \lVert u\rVert\lVert v\rVert$ を満たすことを示す。そのためには
$\mathfrak{M}$ の有限非交叉列 $B_1,\ldots,B_n$ で $X=\bigcup_{j=1}^{n}B_j$ なるものを取り、
$$
\sum_{j=1}^{n}\lvert E_{u,v}(B_j)\rvert\leq \lVert u\rVert\lVert v\rVert\quad\quad(*)
$$
が成り立つことを示せばよい。そこで各 $j\in \{1,\ldots,n\}$ に対し $\lvert E_{u,v}(B_j)\rvert=\alpha_jE_{u,v}(B_j)$、$\lvert\alpha_j\rvert=1$ を満たす $\alpha_j\in \mathbb{C}$ を取る。このとき、
$$
\sum_{j=1}^{n}\lvert E_{u,v}(B_j)\rvert=\sum_{j=1}^{n}\alpha_jE_{u,v}(B_j)
=\sum_{j=1}^{n}(u\mid \alpha_jE(B_j)v)\leq \lVert u\rVert\left\lVert\sum_{j=1}^{n}\alpha_jE(B_j)v\right\rVert
$$
であり、$B_1,\ldots,B_n$ が非交叉であることから $E(B_1)v,\ldots,E(B_n)v$ は互いに直交する（'''命題6.3'''）ので、
$$
\left\lVert\sum_{j=1}^{n}\alpha_jE(B_j)v\right\rVert^2=\sum_{j=1}^{n}\lVert \alpha_jE(B_j)v\rVert^2=\sum_{j=1}^{n}\lVert E(B_j)v\rVert^2
=\left\lVert \sum_{j=1}^{n}E(B_j)v\right\rVert^2=\lVert E(X)v\rVert^2=\lVert v\rVert^2
$$
である。よって、
$$
\sum_{j=1}^{n}\lvert E_{u,v}(B_j)\rvert\leq\lVert u\rVert\left\lVert\sum_{j=1}^{n}\alpha_jE(B_j)v\right\rVert=\lVert u\rVert\lVert v\rVert
$$
より $(*)$ が成り立つので、
$$
\lvert E_{u,v}\rvert(X)\leq \lVert u\rVert\lVert v\rVert\quad(\forall u,v\in \mathcal{H})\quad\quad(**)
$$
が成り立つ。任意の $f\in \mathcal{L}_{\rm b}(X,\mathfrak{M})$ を取り固定する。$f$ は可測単関数によって一様近似できる（[[測度と積分5：$L^p$ 空間の完備性と双対性]]の'''命題22.2'''）から、
$$
\mathcal{H}\times \mathcal{H}\ni (u,v)\mapsto \int_{X}f(x)dE_{u,v}(x)\in \mathbb{C}\quad\quad(***)
$$
は準双線形汎関数であり、$(**)$ より、
$$
\left\lvert \int_{X}f(x)dE_{u,v}(x)\right\rvert\leq\lVert f\rVert\lvert E_{u,v}\rvert (X)\leq \lVert f\rVert\lVert u\rVert\lVert v\rVert\quad(\forall u,v\in \mathcal{H})
$$
であるから、$(***)$ はノルムが $\lVert f\rVert$ 以下の有界準双線形汎関数である。よって[[位相線形空間1：ノルムと内積]]の'''定理7.1'''より任意の $f\in \mathcal{L}_{\rm b}(X,\mathfrak{M})$ に対し $\Phi_E(f)\in \mathbb{B}(\mathcal{H})$ で、
$$
(u\mid \Phi_E(f)v)=\int_{X}f(x)dE_{u,v}(x)\quad(\forall u,v\in \mathcal{H})
$$
を満たすものが定まり、$\lVert \Phi_E(f)\rVert\leq \lVert f\rVert$ である。こうしてノルム減少な有界線形作用素
$$
\Phi_E:\mathcal{L}_{\rm b}(X,\mathfrak{M})\ni f\mapsto \Phi_E(f)\in \mathbb{B}(\mathcal{H})
$$
が定義される。$\Phi_E$ が $*$-環準同型写像であることを示す。任意の $f\in \mathcal{L}_{\rm b}(X,\mathfrak{M})$ に対し、
$$(v\mid \Phi_E(\overline{f})v)=\int_{X}\overline{f(x)}dE_{v,v}(x)=\overline{\int_{X}f(x)dE_{v,v}(x)}=\overline{(v\mid \Phi_E(f)v)}=(\Phi_E(f)v\mid v)=(v\mid \Phi_E(f)^*v)
\quad(\forall v\in \mathcal{H})
$$
であるから、偏極恒等式（[[測度と積分6：数え上げ測度と $\ell^p$ 空間]]の'''定義25.2'''）より、
$$
\Phi_E(\overline{f})=\Phi_E(f)^*\quad(\forall f\in \mathcal{L}_{\rm b}(X,\mathfrak{M}))
$$
である。よって $\Phi_E$ は対合を保存する。後は任意の $f,g\in \mathcal{L}_{\rm b}(X,\mathfrak{M})$ に対し、
$$
\Phi_E(fg)=\Phi_E(f)\Phi_E(g)\quad\quad(****)
$$
が成り立つことを示せばよい。任意の $B\in \mathfrak{M}$、任意の $u,v\in \mathcal{H}$ に対し、
$$
(u\mid \Phi_E(\chi_B)v)=\int_{X}\chi_B(x)dE_{u,v}(x)=E_{u,v}(B)=(u\mid E(B)v)
$$
であるから、
$$
\Phi_E(\chi_B)=E(B)\quad(\forall B\in \mathfrak{M})
$$
である。よって任意の $A,B\in \mathfrak{M}$ に対し'''命題6.3'''より、
$$
\Phi_E(\chi_A\chi_B)=\Phi_E(\chi_{A\cap B})=E(A\cap B)=E(A)E(B)=\Phi_E(\chi_A)\Phi_E(\chi_B)
$$
であるから、$\Phi_E$ の線形性より $(****)$ は任意の可測単関数 $f,g$ に対して成り立つ。任意の有界可測関数は可測単関数によって一様近似できること（[[測度と積分5：$L^p$ 空間の完備性と双対性]]の'''命題22.2'''）と、$\Phi_E$ が有界線形作用素であることから、$(****)$ は任意の $f,g\in \mathcal{L}_{\rm b}(X,\mathfrak{M})$ に対して成り立つ。よって $\Phi_E$ は*-環準同型写像である。
{{end|proof|}}

=== 定義6.5（射影値測度による有界可測関数の積分） ===
$\mathcal{H}$ をHilbert空間、$(X,\mathfrak{M})$ を可測空間、$E\colon\mathfrak{M}\rightarrow \mathbb{P}(\mathcal{H})$ を射影値測度とする。'''命題6.4'''より $*$-環準同型写像
$$
\mathcal{L}_{\rm b}(X,\mathfrak{M})\ni f\mapsto \int_{X}f(x)dE(x)\in \mathbb{B}(\mathcal{H})
$$
で、
$$
\left(u\mid \left(\int_{X}f(x)dE(x)\right)v\right)=\int_{X}f(x)dE_{u,v}(x)\quad(\forall f\in \mathcal{L}_{\rm b}(X,\mathfrak{M}),\forall u,v\in \mathcal{H})
$$
を満たすものが唯一つ存在する。任意の有界可測関数 $f\in \mathcal{L}_{\rm b}(X,\mathfrak{M})$ に対し、
$$
\int_{X}f(x)dE(x)\in \mathbb{B}(\mathcal{H})
$$
を $f$ の $E$ による積分と言う。
$$
\int_{X}\chi_B(x)dE(x)=E(B)\quad(\forall B\in \mathfrak{M})
$$
である。

=== 命題6.6 ===
$\mathcal{H}$ をHilbert空間、$(X,\mathfrak{M})$ を可測空間、$E\colon\mathfrak{M}\rightarrow\mathbb{P}(\mathcal{H})$ を射影値測度、$f\colon X\rightarrow\mathbb{C}$ を任意の可測関数とする。そして、
$$
D_E(f)\colon=\left\{v\in \mathcal{H}:\int_{X}\lvert f(x)\rvert^2dE_{v,v}(x)<\infty\right\}
$$
とおく。このとき、
*$(1)$　$D_E(f)$ は $\mathcal{H}$ の稠密な線形部分空間である。そして任意の $v\in \mathcal{H}$ に対し、
$$
v_n\colon=E( (\lvert f\rvert\leq n))v\quad(\forall n\in \mathbb{N})
$$
とおくと、
$$
v_n\in D_E(f)\quad(\forall n\in \mathbb{N}),\quad \lim_{n\rightarrow\infty}\lVert v_n-v\rVert=0
$$
が成り立つ。
*$(2)$　任意の $u\in \mathcal{H}$、$v\in D_E(f)$ に対し $f\in \mathcal{L}^1(X,\mathfrak{M},\lvert E_{u,v}\rvert)$ であり、
$$
\left\lvert \int_{X}f(x)dE_{u,v}(x)\right\rvert\leq \lVert u\rVert\left(\int_{X}\lvert f(x)\rvert^2dE_{v,v}(x)\right)^{\frac{1}{2}}
$$
が成り立つ。
*$(3)$
$$
\mathcal{H}\times D_E(f)\ni (u,v)\mapsto \int_{X}f(x)dE_{u,v}(x)\in \mathbb{C}
$$
は準双線形汎関数である。
*$(4)$　線形作用素 $\Phi_E(f):D_E(f)\rightarrow \mathcal{H}$ で、
$$
(u\mid \Phi_E(f)v)=\int_{X}f(x)dE_{u,v}(x)\quad(\forall u\in \mathcal{H},\forall v\in D_E(f))
$$
を満たすものが唯一つ存在する。そして、
$$
\lVert \Phi_E(f)v\rVert^2=\int_{X}\lvert f(x)\rvert^2dE_{v,v}(x)\quad(\forall v\in D_E(f))
$$
が成り立つ。
{{begin |proof }}
*$(1)$　任意の $v\in D_E(f)$、任意の $\alpha\in \mathbb{C}$ に対し、
$$
E_{\alpha v,\alpha v}(B)=\lVert E(B)\alpha v\rVert^2=\lvert\alpha\rvert^2\lVert E(B)v\rVert^2=\lvert \alpha\rvert^2E_{v,v}(B)\quad(\forall B\in \mathfrak{M})
$$
であるから、非負値可測関数の非負値可測単関数の各点単調増加列による近似より、
$$
\int_{X}\lvert f(x)\rvert^2dE_{\alpha v,\alpha v}(x)=\lvert\alpha\rvert^2\int_{X}\lvert f(x)\rvert^2dE_{v,v}(x)<\infty
$$
である。よって $\alpha v\in D_E(f)$ である。また任意の $u,v\in D_E(f)$ に対し、
$$
E_{u+v,u+v}(B)=\lVert E(B)u+E(B)v\rVert^2
\leq 2(\lVert E(B)u\rVert^2+\lVert E(B)v\rVert^2)=2(E_{u,u}(B)+E_{v,v}(B))\quad(\forall B\in\mathfrak{M})
$$
であるから、非負値可測関数の非負値可測単関数の各点単調増加列による近似より、
$$
\int_{X}\lvert f(x)\rvert^2dE_{u+v,u+v}(x)\leq 2\left(\int_{X}\lvert f(x)\rvert^2dE_{u,u}(x)+\int_{X}\lvert f(x)\rvert^2dE_{v,v}(x)\right)<\infty
$$
である。よって $u+v\in D_E(f)$ であるので $D_E(f)$ は $\mathcal{H}$ の線形部分空間である。任意の $v\in \mathcal{H}$ に対し $v_n=E( (\lvert f\rvert\leq n))v$ $(\forall n\in \mathbb{N})$ とおくと、
$$
E_{v_n,v_n}(B)=\lVert E(B)v_n\rVert^2=\lVert E(B\cap (\lvert f\rvert\leq n))v\rVert^2
=E_{v,v}(B\cap (\lvert f\rvert\leq n))\quad(\forall n\in\mathbb{N},\forall B\in \mathfrak{M})
$$
であるから、
$$
\int_{X}\lvert f(x)\rvert^2dE_{v_n,v_n}(x)=\int_{(\lvert f\rvert\leq n)}\lvert f(x)\rvert^2dE_{v,v}(x)\leq n^2\lVert v\rVert^2<\infty\quad(\forall n\in\mathbb{N})
$$
である。よって $v_n\in D_E(f)$ $(\forall n\in\mathbb{N})$ である。また'''命題6.3'''より、
$$
\text{SOT-}\lim_{n\rightarrow\infty}E( (\lvert f\rvert\leq n))=E(X)=1
$$
であるから、
$$
\lim_{n\rightarrow\infty}v_n=\lim_{n\rightarrow\infty}E( (\lvert f\rvert\leq n))v=v
$$
である。よって $D_E(f)$ は $\mathcal{H}$ の稠密部分空間である。
*$(2)$　$f_n\colon=f\chi_{(\lvert f\rvert\leq n)}$ $(\forall n\in \mathbb{N})$ として有界可測関数の列 $(f_n)_{n\in\mathbb{N}}$ を定義する。任意の $u\in \mathcal{H}$、任意の $v\in D_E(f)$ を取り固定する。複素数値測度 $E_{u,v}\colon\mathfrak{M}\rightarrow \mathbb{C}$ の全変動 $\lvert E_{u,v}\rvert\colon\mathfrak{M}\rightarrow [0,\infty)$ に対するRadon-Nikodym微分を $h\in\mathcal{L}(X,\mathfrak{M},\lvert E_{u,v}\rvert)$ とする（複素数値測度による積分の定義（[[測度と積分4：測度論の基本定理(2)]]の'''定義19.5'''）を参照）と、射影値測度による有界可測関数の積分の定義（'''定義6.5'''）より、
$$
\begin{aligned}
\int_{X}\lvert f_n(x)\rvert d\lvert E_{u,v}\rvert(x)&=\int_{X}\lvert f_n(x)\rvert\overline{h(x)}dE_{u,v}(x)=\left(u\mid \left(\int_{X}\lvert f_n(x)\rvert\overline{h(x)}dE(x)\right)v\right)\\
&\leq \lVert u\rVert\left\lVert\left(\int_{X}\lvert f_n(x)\rvert \overline{h(x)}dE(x)\right)v\right\rVert
\end{aligned}
$$
であり、
$$
\begin{aligned}
\left\lVert\int_{X}\lvert f_n(x)\rvert\overline{h(x)}dE(x)v\right\rVert^2
&=\left(\int_{X}\lvert f_n(x)\rvert\overline{h(x)}dE(x)v\mid \int_{X}\lvert f_n(x)\rvert \overline{h(x)}dE(x)v\right)\\
&=\left(v\mid \left(\int_{X}\lvert f_n(x)\rvert^2dE(x)\right)v\right)=\int_{X}\lvert f_n(x)\rvert^2dE_{v,v}\\
&\leq \int_{X}\lvert f(x)\rvert^2dE_{v,v}(x)\quad(\forall n\in\mathbb{N})
\end{aligned}
$$
であるから、
$$
\int_{X}\lvert f_n(x)\rvert d\lvert E_{u,v}\rvert(x)\leq \lVert u\rVert\left(\int_{X}\lvert f(x)\rvert^2dE_{v,v}(x)\right)^{\frac{1}{2}}\quad(\forall n\in\mathbb{N})
$$
が成り立つ。よって単調収束定理より、
$$
\int_{X}\lvert f(x)\rvert d\lvert E_{u,v}\rvert(x)
=\sup_{n\in \mathbb{N}}\int_{X}\lvert f_n(x)\rvert d\lvert E_{u,v}\rvert(x)
\leq\lVert u\rVert\left(\int_{X}\lvert f(x)\rvert^2dE_{v,v}(x)\right)^{\frac{1}{2}}<\infty
$$
であるから $f\in \mathcal{L}^1(X,\mathfrak{M},\lvert E_{u,v}\rvert)$ であり、
$$
\left\lvert\int_{X}f(x)dE_{u,v}(x)\right\rvert
\leq\int_{X}\lvert f(x)\rvert d\lvert E_{u,v}\rvert(x)\leq \lVert u\rVert\left(\int_{X}\lvert f(x)\rvert^2dE_{v,v}(x)\right)^{\frac{1}{2}}
$$
が成り立つ。
*$(3)$　$f_n\colon=f\chi_{(\lvert f\rvert\leq n)}$ $(\forall n\in \mathbb{N})$ として有界可測関数の列 $(f_n)_{n\in\mathbb{N}}$ を定義する。有界可測関数は可測単関数により一様近似できるから、任意の $n\in \mathbb{N}$ に対し、
$$
\mathcal{H}\times D_E(f)\ni (u,v)\mapsto \int_{X}f_n(x)dE_{u,v}(x)\in \mathbb{C}
$$
は準双線形汎関数である。そしてLebesgue優収束定理より、
$$
\int_{X}f(x)dE_{u,v}(x)=\lim_{n\rightarrow\infty}\int_{X}f_n(x)dE_{u,v}(x)
$$
であるから、
$$
\mathcal{H}\times D_E(f)\ni (u,v)\mapsto \int_{X}f(x)dE_{u,v}(x)\in \mathbb{C}
$$
は準双線形汎関数である。
*$(4)$　任意の $v\in D_E(f)$ に対し $(2),(3)$ より、
$$
\mathcal{H}\ni u\mapsto \int_{X}f(x)dE_{u,v}(x)\in \mathbb{C}
$$
は有界反線形汎関数であるから、Rieszの定理（[[位相線形空間1：ノルムと内積]]の'''定理6.13'''）より $\Phi_E(f)v\in \mathcal{H}$ で、
$$
(u\mid \Phi_E(f)v)=\int_{X}f(x)dE_{u,v}(x)\quad(\forall u\in \mathcal{H})
$$
を満たすものが一意的に定まる。そして $(3)$ より、
$$
\Phi_E(f)\colon D_E(f)\ni v\mapsto \Phi_E(f)v\in \mathcal{H}
$$
は線形作用素であり、$(2)$ より、
$$
\lVert\Phi_E(f)v\rVert\leq \left(\int_{X}\lvert f(x)\rvert^2dE_{v,v}(x)\right)^{\frac{1}{2}}\quad(\forall v\in D_E(f))
$$
である。よって任意の $v\in D_E(f)$ に対し、
$$
\lVert \Phi_E(f)v-\Phi_E(f_n)v\rVert=\lVert\Phi_E(f-f_n)v\rVert\leq\left(\int_{X}\lvert f(x)-f_n(x)\rvert^2dE_{v,v}(x)\right)^{\frac{1}{2}}\quad(\forall n\in\mathbb{N})
$$
であり、右辺はLebesgue優収束定理より $n\rightarrow\infty$ で $0$ に収束するので、
$$
\lVert\Phi_E(f)v\rVert=\lim_{n\rightarrow\infty}\lVert\Phi_E(f_n)v\rVert
$$
が成り立つ。ここで射影値測度による有界可測関数の積分の性質（'''定義6.5'''）より、任意の $n\in \mathbb{N}$ に対し、
$$
\lVert\Phi_E(f_n)v\rVert^2=\left(\int_{X}f_n(x)dE(x)v\mid \int_{X}f_n(x)dE(x)v\right)
=\left(v\mid \int_{X}\lvert f_n(x)\rvert^2dE(x)v\right)
=\int_{X}\lvert f_n(x)\rvert^2dE_{v,v}(x)
$$
であるから、単調収束定理より、
$$
\lVert\Phi_E(f)v\rVert^2=\lim_{n\rightarrow\infty}\lVert\Phi_E(f_n)v\rVert^2
=\lim_{n\rightarrow\infty}\int_{X}\lvert f_n(x)\rvert^2dE_{v,v}(x)
=\int_{X}\lvert f(x)\rvert^2dE_{v,v}(x)
$$
となる。
{{end|proof|}}

=== 定義6.7（射影値測度による可測関数の積分） ===
$\mathcal{H}$ をHilbert空間、$(X,\mathfrak{M})$ を可測空間、$E\colon\mathfrak{M}\rightarrow \mathbb{P}(\mathcal{H})$ を射影値測度、$f\colon X\rightarrow\mathbb{C}$ を任意の可測関数とする。このとき'''命題6.6'''より、
$$
D_E(f)\colon=\left\{v\in \mathcal{H}:\int_{X}\lvert f(x)\rvert^2dE_{v,v}(x)<\infty\right\}
$$
は $\mathcal{H}$ の稠密な線形部分空間である。そして、
$$
\left(u\mid \int_{X}f(x)dE(x)v\right)=\int_{X}f(x)dE_{u,v}(x)\quad(\forall u\in \mathcal{H},\forall v\in D_E(f))
$$
を満たす稠密に定義された線形作用素
$$
\int_{X}f(x)dE(x)\colon D_E(f) \ni v\mapsto \int_{X}f(x)dE(x)v\in\mathcal{H}
$$
が定まる。これを $f$ の $E$ による積分と言う。'''命題6.6'''の $(4)$ より、
$$
\left\lVert \int_{X}f(x)dE(x)v\right\rVert^2=\int_{X}\lvert f(x)\rvert^2dE_{v,v}(x)\quad(\forall v\in D_E(f))
$$
である。

=== 命題6.8（射影値測度による積分の基本性質） ===
$\mathcal{H}$ をHilbert空間、$(X,\mathfrak{M})$ を可測空間、$E\colon\mathfrak{M}\rightarrow \mathbb{P}(\mathcal{H})$ を射影値測度とする。このとき、
*$(1)$　任意の可測関数$f,g\colon X\rightarrow\mathbb{C}$ に対し、
$$
D\left(\int_{X}f(x)dE(x)\int_{X}g(x)dE(x)\right)=D_E(fg)\cap D_E(g),
$$
$$
\int_{X}f(x)dE(x)\int_{X}g(x)dE(x)\subset \int_{X}f(x)g(x)dE(x)
$$
が成り立つ。
*$(2)$　任意の可測関数 $f\colon X\rightarrow \mathbb{C}$ に対し、
$$
\int_{X}\overline{f(x)}dE(x)=\left(\int_{X}f(x)dE(x)\right)^*
$$
が成り立つ。
*$(3)$　任意の可測関数 $f\colon X\rightarrow\mathbb{C}$ に対し、
$$
\int_{X}f(x)dE(x)\colon D_E(f)\rightarrow \mathcal{H}
$$
は稠密に定義された閉線形作用素である。そして任意の可測関数 $f,g\colon X\rightarrow\mathbb{C}$ に対し、
$$
\overline{\int_{X}f(x)dE(x)+\int_{X}g(x)dE(x)}=\int_{X}f(x)+g(x)dE(x),
$$
$$
\overline{\int_{X}f(x)dE(x)\int_{X}g(x)dE(x)}=\int_{X}f(x)g(x)dE(x)
$$
が成り立つ。
*$(4)$　任意の可測関数 $f\colon X\rightarrow\mathbb{C}$ に対し、
$$
\left(\int_{X}f(x)dE(x)\right)^n=\int_{X}f(x)^ndE(x)\quad(\forall n\in\mathbb{N}),
$$
$$
\left(\int_{X}f(x)dE(x)\right)^*\left(\int_{X}f(x)dE(x)\right)=\int_{X}\lvert f(x)\rvert^2dE(x)
$$
が成り立つ。
*$(5)$　任意の可測関数 $f\colon X\rightarrow\mathbb{C}$ に対し、
$$
{\rm Ker}\left(\int_{X}f(x)dE(x)\right)={\rm Ran}E( (f=0))
$$
が成り立つ。そして、
$$
\int_{X}f(x)dE(x)\colon D_E(f)\rightarrow \mathcal{H}
$$
が単射、すなわち $E((f=0))=0$ であるとき、
$$
f^{-1}(x)=f(x)^{-1}\quad(\forall x\in X\backslash (f=0))
$$
なる任意の可測関数 $f^{-1}\colon X\rightarrow\mathbb{C}$ に対し、
$$
\left(\int_{X}f(x)dE(x)\right)^{-1}=\int_{X}f^{-1}(x)dE(x)
$$
が成り立つ。
{{begin |proof }}
*$(1)$　任意の $n\in \mathbb{N}$ に対し $f_n=f\chi_{(\lvert f\rvert\leq n)}$、$g_n=g\chi_{\lvert g\rvert\leq n}$ として有界可測関数の列 $(f_n)_{n\in\mathbb{N}}$、$(g_n)_{n\in\mathbb{N}}$ を定義する。任意の $u\in\mathcal{H}$ と任意の $v\in D_E(g)$ に対し、Lebesgue優収束定理より、
$$
\begin{aligned}
&\left(u\mid \int_{X}f_n(x)dE(x)\int_{X}g(x)dE(x)v\right)=\lim_{m\rightarrow\infty}\left(u\mid \int_{X}f_n(x)dE(x)\int_{X}g_m(x)dE(x)v\right)\\
&=\lim_{m\rightarrow\infty}\left(u\mid \int_{X}f_n(x)g_m(x)dE(x)v\right)
=\left(u\mid \int_{X}f_n(x)g(x)dE(x)v\right)
\end{aligned}
$$
であるから、
$$
\int_{X}f_n(x)dE(x)\int_{X}g(x)dE(x)v=\int_{X}f_n(x)g(x)dE(x)v\quad(\forall v\in D_E(g),\forall n\in\mathbb{N})
$$
である。よって任意の $v\in D_E(g)$ に対し、
$$
w:=\int_{X}g(x)dE(x)v\in \mathcal{H}
$$
とおけば、
$$
\int_{X}f_n(x)dE(x)w=\int_{X}f_n(x)g(x)dE(x)v\quad(\forall n\in\mathbb{N})
$$
であるから、ノルムの二乗を取れば、
$$
\int_{X}\lvert f_n(x)\rvert^2dE_{w,w}(x)=\int_{X}\lvert f_n(x)g(x)\rvert^2dE_{v,v}(x)\quad(\forall n\in \mathbb{N})
$$
となる。よって単調収束定理より、
$$
\int_{X}\lvert f(x)\rvert^2dE_{w,w}(x)=\int_{X}\lvert f(x)g(x)\rvert^2dE_{v,v}(x)
$$
となる。これが任意の $v\in D_E(g)$ に対して成り立つので、
$$
D\left(\int_{X}f(x)dE(x)\int_{X}g(x)dE(x)\right)=D_E(fg)\cap D_E(g)
$$
が成り立つ。そして任意の $v\in D_E(fg)\cap D_E(g)=D(\int_{X}f(x)dE(x)\int_{X}g(x)dE(x))$ と任意の $u\in \mathcal{H}$ に対し、Lebesgue優収束定理より、
$$
\begin{aligned}
&\left(u\mid \int_{X}f(x)dE(x)\int_{X}g(x)dE(x)v\right)=
\lim_{n\rightarrow\infty}\left(u\mid \int_{X}f_n(x)dE(x)\int_{X}g(x)dE(x)v\right)\\
&=\lim_{n\rightarrow\infty}\left(u\mid \int_{X}f_n(x)g(x)dE(x)v\right)=
\left(u\mid\int_{X}f(x)g(x)dE(x)v\right)
\end{aligned}
$$
となる。よって、
$$
\int_{X}f(x)dE(x)\int_{X}g(x)dE(x)\subset \int_Xf(x)g(x)dE(x)
$$
が成り立つ。
*$(2)$　有界可測関数の列 $f_n=f\chi_{(\lvert f\rvert\leq n)}$ $(\forall n\in \mathbb{N})$ を考える。任意の $u,v\in D_E(f)=D_E(\overline{f})$ に対し Lebesgue優収束定理より、
$$
\begin{aligned}
&\left(u\mid \int_{X}f(x)dE(x)v\right)=\lim_{n\rightarrow\infty}\left(u\mid \int_{X}f_n(x)dE(x)\right)\\
&=\lim_{n\rightarrow\infty}\left(\int_{X}\overline{f_n(x)}dE(x)u\mid v\right)
=\left(\int_{X}\overline{f(x)}dE(x)u\mid v\right)
\end{aligned}
$$
となるので、
$$
\int_{X}\overline{f(x)}dE(x)\subset \left(\int_{X}f(x)dE(x)\right)^*
$$
が成り立つ。逆の包含関係を示す。任意の
$$
v\in D\left(\left(\int_{X}f(x)dE(x)\right)^*\right)
$$
を取り、$v\in D_E(\overline{f})$ を示せばよい。まず $(1)$ より、
$$
\int_{X}f_n(x)dE(x)=\left(\int_{X}f(x)dE(x)\right)E( (\lvert f\rvert\leq n))\quad(\forall n\in\mathbb{N})
$$
であるから、'''命題3.9'''の $(9)$ より、
$$
E( (\lvert f\rvert\leq n))\left(\int_{X}f(x)dE(x)\right)^*\subset \left(\int_{X}f_n(x)dE(x)\right)^*=\int_{X}\overline{f_n(x)}dE(x)\quad(\forall n\in \mathbb{N})
$$
である。よって単調収束定理より、
$$
\begin{aligned}
&\int_{X}\lvert f(x)\rvert^2dE_{v,v}(x)=\sup_{n\in \mathbb{N}}\int_{X}\lvert f_n(x)\rvert^2dE_{v,v}(x)=\sup_{n\in\mathbb{N}}\left\lVert\int_{X}\overline{f_n(x)}dE(x)v\right\rVert^2\\
&=\sup_{n\in\mathbb{N}}\left\lVert E( (\lvert f\rvert\leq n))\left(\int_{X}f(x)dE(x)\right)^*v\right\rVert^2\leq \left\lVert \left(\int_{X}f(x)dE(x)\right)^*v\right\rVert^2<\infty
\end{aligned}
$$
であるから、$v\in D_E(\overline{f})$ である。
*$(3)$　任意の可測関数 $f\colon X\Rightarrow \mathbb{C}$ に対し $(2)$ より、
$$
\int_{X}f(x)dE(x)=\left(\int_{X}\overline{f(x)}dE(x)\right)^*
$$
であるから、'''命題3.9'''の $(6)$ より $\int_{X}f(x)dE(x)$ は閉線形作用素である。
任意の可測関数 $f,g\colon X\rightarrow\mathbb{C}$ に対し $D_E(f)\cap D_E(g)\subset D_E(f+g)$ であることと射影値測度による積分が閉線形作用素であることから、
$$
\overline{\int_{X}f(x)dE(x)+\int_{X}g(x)dE(x)}\subset \int_{X}f(x)+g(x)dE(x)
$$
が成り立つ。逆の包含関係を示す。
$$
B_n\colon=(\lvert f\rvert\leq n)\cap (\lvert g\rvert\leq n)\in \mathfrak{M}\quad(\forall n\in\mathbb{N})
$$
とおくと、SOTで $\lim_{n\rightarrow\infty}E(B_n)=1$ であるから、任意の $v\in D_E(f+g)$ に対しLebesgue優収束定理と $(1)$ より、
$$
\begin{aligned}
&\int_{X}f(x)+g(x)dE(x)v=\lim_{n\rightarrow\infty}\int_{X}(f(x)+g(x))\chi_{B_n}(x)dE(x)v\\
&=\lim_{n\rightarrow\infty}\left(\int_{X}f(x)\chi_{B_n}(x)dE(x)v+\int_{X}g(x)\chi_{B_n}(x)dE(x)v\right)\\
&=\lim_{n\rightarrow\infty}\left(\int_{X}f(x)dE(x)+\int_{X}g(x)dE(x)\right)E(B_n)v\\
&=\left(\overline{\int_{X}f(x)dE(x)+\int_{X}g(x)dE(x)}\right)v
\end{aligned}
$$
である。よって逆の包含関係が成り立つ。$(1)$ と射影値測度による積分が閉線形作用素であることから、
$$
\overline{\int_{X}f(x)dE(x)\int_{X}g(x)dE(x)}\subset \int_{X}f(x)g(x)dE(x)
$$
である。この逆の包含関係を示す。任意の $v\in D_E(fg)$ に対しLebesgue優収束定理と $(1)$ より、
$$
\begin{aligned}
&\int_{X}f(x)g(x)dE(x)v=\lim_{n\rightarrow\infty}\int_{X}f(x)g(x)\chi_{B_n}(x)dE(x)v\\
&=\lim_{n\rightarrow\infty}\int_{X}f(x)dE(x)\int_{X}g(x)\chi_{B_n}(x)dE(x)v\\
&=\lim_{n\rightarrow\infty}\int_{X}f(x)dE(x)\int_{X}g(x)dE(x)E(B_n)v\\
&=\left(\overline{\int_{X}f(x)dE(x)\int_{X}g(x)dE(x)}\right)v
\end{aligned}
$$
である。よって逆の包含関係が成り立つ。
*$(4)$　任意の $n\in \mathbb{N}$、$v\in D_E(f^n)$ に対し $E_{v,v}$ が有限測度であることから、Hölderの不等式より、
$$
\lvert f\rvert^2\in \mathcal{L}^n(X,\mathfrak{M},E_{v,v})\subset \mathcal{L}^1(X,\mathfrak{M},E_{v,v})
$$
である。よって、
$$
D_E(f^n)\subset D_E(f)\quad(\forall n\in\mathbb{N})
$$
が成り立つ。今、ある $n\in\mathbb{N}$ に対し、
$$
\left(\int_{X}f(x)dE(x)\right)^n=\int_{X}f(x)^ndE(x)\quad\quad(*)
$$
が成り立つと仮定すると、$(1)$ より、
$$
\left(\int_{X}f(x)dE(x)\right)^{n+1}=\int_{X}f(x)^ndE(x)\int_{X}f(x)dE(x)\subset \int_{X}f(x)^{n+1}dE(x)
$$
であり、$(1)$ と $D_E(f^{n+1})\subset D_E(f)$ より、
$$
D_E\left(\left(\int_{X}f(x)dE(x)\right)^{n+1}\right)=D_E(f^{n+1})\cap D_E(f)=D_E(f^{n+1})
$$
である。よって $(*)$ は $n+1$ の場合も成り立つので、帰納法より $(*)$ は任意の $n\in \mathbb{N}$ に対して成り立つ。また $(1),(2)$ より、
$$
\left(\int_{X}f(x)dE(x)\right)^*\left(\int_{X}f(x)dE(x)\right)
=\int_{X}\overline{f(x)}dE(x)\int_{X}f(x)dE(x)\subset \int_{X}\lvert f(x)\rvert^2dE(x)
$$
であり、$(1)$ と $D_E(\lvert f\rvert^2)\subset D_E(f)$ より、
$$
D_E\left(\left(\int_{X}f(x)dE(x)\right)^*\left(\int_{X}f(x)dE(x)\right)\right)
=D_E(\lvert f\rvert^2)\cap D_E(f)=D_E(\lvert f\rvert^2)
$$
であるから、$(\int_{X}f(x)dE(x))^*(\int_{X}f(x)dE(x))=\int_{X}\lvert f(x)\rvert^2dE(x)$ が成り立つ。

*$(5)$　任意の $v\in {\rm Ker}(\int_{X}f(x)dE(x))$ に対し、
$$
\int_{X}\lvert f(x)\rvert^2dE_{v,v}(x)=\left\lVert \int_{X}f(x)dE(x)v\right\rVert^2=0
$$
であるから、
$$
\lVert E( (\lvert f\rvert>0))v\rVert^2=E_{v,v}( (\lvert f\rvert>0))=0
$$
である。よって、
$$
v=E( (f=0))v+E( (\lvert f\rvert>0))v=E( (f=0))v\in {\rm Ran} E( (f=0))
$$
であるから ${\rm Ker}(\int_{X}f(x)dE(x))\subset {\rm Ran}E( (f=0))$ が成り立つ。また $(1)$ より、
$$
\int_{X}f(x)dE(x)E( (f=0))=\int_{X}f(x)\chi_{(f=0)}(x)dE(x)=0
$$
であるから ${\rm Ran}E( (f=0))\subset {\rm Ker}(\int_{X}f(x)dE(x))$ も成り立つ。
$\int_{X}f(x)dE(x)$ が単射、すなわち $E( (f=0))=0$ であるとし、$f^{-1}(x)=f(x)^{-1}$ $(\forall x\in X\backslash (f=0))$ なる可測関数 $f^{-1}:X\rightarrow \mathbb{C}$ を考えると、$(1)$ より、
$$
\int_{X}f(x)dE(x)\int_{X}f^{-1}(x)dE(x)\subset \int_{X}f(x)f^{-1}(x)dE(x)=E( (f\neq0))=E(X)=1,
$$
$$
D\left(\int_{X}f(x)dE(x)\int_{X}f^{-1}(x)dE(x)\right)=D_E(f^{-1})
$$
であるから、
$$
\int_{X}f(x)\int_{X}f^{-1}(x)dE(x)v=v\quad(\forall v\in D_E(f^{-1}))
$$
である。よって $\int_{X}f^{-1}(x)dE(x)\subset (\int_{X}f(x)dE(x))^{-1}$ が成り立つ。また $(1)$ より、
$$
\int_{X}f^{-1}(x)dE(x)\int_{X}f(x)dE(x)\subset \int_{X}f^{-1}(x)f(x)dE(x)=E( (f\neq0))=E(X)=1,
$$
$$
D\left(\int_{X}f^{-1}(x)dE(x)\int_{X}f(x)dE(x)\right)=D_E(f)
$$
であるから、
$$
\int_{X}f^{-1}(x)dE(x)\int_{X}f(x)dE(x)v=v\quad(\forall v\in D_E(f))
$$
が成り立つ。よって $(\int_{X}f(x)dE(x))^{-1}\subset \int_{X}f^{-1}(x)dE(x)$ も成り立つ。
{{end|proof|}}

=== 命題6.9（射影値測度のユニタリ作用素による変換） ===
$\mathcal{H},\mathcal{K}$ をHilbert空間、$U\colon\mathcal{H}\rightarrow \mathcal{K}$ をユニタリ作用素、$(X,\mathfrak{M})$ を可測空間、$E\colon\mathfrak{M}\rightarrow \mathbb{P}(\mathcal{H})$ を射影値測度とする。このとき、
$$
UEU^*\colon\mathfrak{M}\ni B\mapsto UE(B)U^*\in \mathbb{P}(\mathcal{K})
$$
は射影値測度であり、任意の可測関数 $f\colon X\rightarrow\mathbb{C}$ に対し、
$$
\int_{X}f(x)d(UEU^*)(x)=U\left(\int_{X}f(x)dE(x)\right)U^*\quad\quad(*)
$$
が成り立つ。
{{begin |proof }}
$UEU^*$ が射影値測度の定義('''定義6.2''')の条件を満たすことは容易に分かる。$(*)$ は $f\colon X\rightarrow \mathbb{C}$ が可測単関数である場合は明らかに成り立ち、有界可測関数は可測単関数により一様近似できること（[[測度と積分5：$L^p$ 空間の完備性と双対性]]の'''命題22.2'''）から、$f\colon X\rightarrow \mathbb{C}$ が有界可測関数の場合も $(*)$ は成り立つ。今、任意の可測関数 $f\colon X\rightarrow\mathbb{C}$ に対し、有界可測関数の列 $f_n\colon=f\chi_{(\lvert f\rvert\leq n)}$ $(\forall n\in \mathbb{N})$ を考えると、任意の $v\in \mathcal{K}$ に対し単調収束定理より、
$$
\begin{aligned}
\int_{X}\lvert f(x)\rvert^2d(UEU^*)_{v,v}(x)&=\sup_{n\in \mathbb{N}}\int_{X}\lvert f_n(x)\rvert^2d(UEU^*)_{v,v}(x)=\sup_{n\in\mathbb{N}}\left\lVert \int_{X}f_n(x)d(UEU^*)(x)v\right\rVert^2\\
&=\sup_{n\in\mathbb{N}}\left\lVert \left(\int_{X}f_n(x)dE(x)\right)U^*v\right\rVert^2
=\sup_{n\in\mathbb{N}}\int_{X}\lvert f_n(x)\rvert^2dE_{U^*v,U^*v}(x)\\
&=\int_{X}\lvert f(x)\rvert^2dE_{U^*v,U^*v}(x)
\end{aligned}
$$
であるから $D_{UEU^*}(f)=UD_E(f)$ が成り立つ。そして任意の $u\in \mathcal{H}$ と任意の $v\in D_{UEU^*}(f)$ に対しLebesgue優収束定理より、
$$
\begin{aligned}
&\left(u\mid \int_{X}f(x)d(UEU^*)(x)v\right)=\lim_{n\rightarrow\infty}\left(u\mid \left(\int_{X}f_n(x)d(UEU^*)(x)\right)v\right)\\
&=\lim_{n\rightarrow\infty}\left(u\mid U\left(\int_{X}f_n(x)dE(x)\right)U^*v\right)
=\left(u\mid U\left(\int_{X}f(x)dE(x)\right)U^*v\right)
\end{aligned}
$$
である。よって $(*)$ は任意の可測関数 $f:X\rightarrow \mathbb{C}$ に対して成り立つ。
{{end|proof|}}

=== 命題6.10 ===
$\mathcal{H}$ をHilbert空間、$(X,\mathfrak{M})$ を可測空間、$E\colon\mathfrak{M}\rightarrow \mathbb{P}(\mathcal{H})$ を射影値測度、$f\colon X\rightarrow\mathbb{C}$ を可測関数とする。このとき $\mathbb{C}$ の開集合 $U$ で $E(f^{-1}(U))=0$ を満たすもの全ての合併を $U_0$ とおけば $E(f^{-1}(U_0))=0$ が成り立つ。
{{begin |proof }}
任意の $v\in \mathcal{H}$ を取り、$\mathbb{C}$ 上の有限Borel測度
$$
\mathcal{B}_{\mathbb{C}}\ni B\mapsto E_{v,v}(f^{-1}(B))\in \mathbb{C}\quad\quad(*)
$$
を考える。$\mathbb{C}$ は第二可算局所コンパクトHausdorff空間であるから、[[測度と積分7：局所コンパクトHausdorff空間上のRadon測度]]の'''定理31.5'''より $(*)$ はRadon測度である。よって、
$$
E_{v,v}(f^{-1}(U_0))=\sup\{E_{v,v}(K):K\subset U_0\text{ はコンパクト}\}\quad\quad(**)
$$
が成り立つ。任意のコンパクト集合 $K\subset U_0$ を取る。$U_0$ の定義より $\mathbb{C}$ の有限個の開集合 $U_1,\ldots,U_n$ で、
$$
K\subset \bigcup_{k=1}^{n}U_k,\quad E_{v,v}(f^{-1}(U_k))=0\quad(k=1,\ldots,n)
$$
を満たすものが取れる。よって、
$$
E_{v,v}(f^{-1}(K))\leq \sum_{k=1}^{n}E_{v,v}(f^{-1}(U_k))=0
$$
より $E_{v,v}(f^{-1}(K))=0$ であるから、$K$ の任意性と $(**)$ より $E_{v,v}(f^{-1}(U_0))=0$ である。$v\in \mathcal{H}$ の任意性と偏極恒等式より、任意の $u,v\in \mathcal{H}$ に対し $E_{u,v}(U_0)=\frac{1}{4}\sum_{k=0}^{3}i^kE_{i^ku+v,i^ku+v}(U_0)=0$ であるから、$E(U_0)=0$ である。
{{end|proof|}}

=== 定義6.11（可測関数の射影値測度に関する本質的値域） ===
$\mathcal{H}$ をHilbert空間、$(X,\mathfrak{M})$ を可測空間、$E\colon\mathfrak{M}\rightarrow \mathbb{P}(\mathcal{H})$ を射影値測度、$f\colon X\rightarrow\mathbb{C}$ を可測関数とする。'''命題6.10'''より $E(f^{-1}(U))=0$ を満たす $\mathbb{C}$ の開集合 $U$ のうち最大のもの $U_0$ が存在する。そこで $\mathbb{C}$ の閉集合
$$
{\rm ess.Ran}_E(f)\colon=\mathbb{C}\backslash U_0
$$
を $f$ の $E$ に関する本質的値域と言う。${\rm ess.Ran}_E(f)$ は明らかに次のように特徴付けられる。
$$
{\rm ess.Ran}_E(f)=\{\lambda\in \mathbb{C}:\forall \epsilon\in(0,\infty),\text{ }E( (\lvert\lambda-f\rvert)<\epsilon)>0\}.
$$
ただし　$(\lvert \lambda-f\rvert<\epsilon)=\{x\in X:\lvert\lambda-f(x)\rvert<\epsilon \}=f^{-1}(B(\lambda,\epsilon))$ である。

=== 命題6.12（射影値測度による積分のスペクトルと本質的値域） ===
$\mathcal{H}$ をHilbert空間、$(X,\mathfrak{M})$ を可測空間、$E\colon \mathfrak{M}\rightarrow \mathbb{P}(\mathcal{H})$ を射影値測度、$f\colon X\rightarrow\mathbb{C}$ を可測関数とする。このとき $f$ の $E$ による積分 $\int_{X}f(x)dE(x)$ のスペクトルと、$f$ の $E$ に関する本質的値域は一致する。すなわち、
$$
\sigma\left(\int_{X}f(x)dE(x)\right)={\rm ess.Ran}_E(f)
$$
が成り立つ。
{{begin |proof }}
本質的値域の定義より、
$$
{\rm ess.Ran}_E(f)=\{\lambda\in \mathbb{C}:\forall \epsilon\in(0,\infty),\text{ }E( (\lvert\lambda-f\rvert)<\epsilon)>0\}\quad\quad(*)
$$
である。任意の $\lambda\in {\rm ess.Ran}_E(f)$ を取る。$(*)$ より各 $n\in \mathbb{N}$ に対し $E( (\lvert\lambda-f\rvert<\frac{1}{n}))>0$ であるので、単位ベクトル
$$
v_n\in {\rm Ran}E\left(\left(\lvert\lambda-f\rvert<\frac{1}{n}\right)\right)
$$
が取れる。そして'''命題6.8'''の $(1)$ より、
$$
\left(\lambda-\int_{X}f(x)dE(x)\right)E\left(\left(\lvert\lambda-f\rvert<\frac{1}{n}\right)\right)=\int_{X}(\lambda-f(x))\chi_{(\lvert\lambda-f\rvert<\frac{1}{n})}(x)dE(x)\in\mathbb{B}(\mathcal{H})
$$
であるから、$v_n\in D_E(\lambda-f)=D_E(f)$ であり、
$$
\left\lVert \left(\lambda-\int_{X}f(x)dE(x)\right)v_n\right\rVert
=\left\lVert\int_{X}(\lambda-f(x))\chi_{(\lvert\lambda-f\rvert<\frac{1}{n})}(x)dE(x)v_n\right\rVert\leq\frac{1}{n}
$$
である。よってもし $\lambda\notin \sigma(\int_{X}f(x)dE(x))$ ならば、任意の $n\in \mathbb{N}$ に対し、
$$
1=\lVert v_n\rVert=\left\lVert \left(\lambda-\int_{X}f(x)dE(x)\right)^{-1}\left(\lambda-\int_{X}f(x)dE(x)\right)v_n\right\rVert\leq \frac{1}{n}\left\lVert\left(\lambda-\int_{X}f(x)dE(x)\right)^{-1}\right\rVert
$$
となり矛盾する。ゆえに $\lambda\in \sigma(\int_{X}f(x)dE(x))$ である。これより、
$$
{\rm ess.Ran}_E(f)\subset \sigma\left(\int_{X}f(x)dE(x)\right)\quad\quad(**)
$$
が成り立つ。逆の包含関係を示す。そのためには $\lambda\notin {\rm ess.Ran}_E(f)$ なる任意の $\lambda\in \mathbb{C}$ を取り、$\lambda\notin \sigma(\int_{X}f(x)dE(x))$ が成り立つことを示せばよい。$(*)$ よりある $\epsilon\in(0,\infty)$ に対し、
$$
E( (\lvert\lambda-f\rvert<\epsilon))=0
$$
である。特に、
$$
E( (\lambda-f=0))\leq E( (\lvert\lambda-f\rvert<\epsilon))=0
$$
であるから、'''命題6.8'''の $(5)$ より、
$$
\lambda-\int_{X}f(x)dE(x)=\int_{X}\lambda-f(x)dE(x):D_E(f)\rightarrow\mathcal{H}\quad\quad(***)
$$
は単射である。今、可測関数 $g\colon X\rightarrow\mathbb{C}$ を、
$$
g(x)=\begin{cases}(\lambda-f(x))^{-1}&(\lvert\lambda-f(x)\rvert\geq\epsilon)\\
0&(\lvert\lambda-f(x)\rvert<\epsilon)\end{cases}
$$
とおくと $g$ は有界であり、'''命題6.8'''の $(1)$ より、
$$
\left(\lambda-\int_{X}f(x)dE(x)\right)\int_{X}g(x)dE(x)=\int_{X}(\lambda-f(x))g(x)dE(x)=E( (\lvert\lambda-f\rvert\geq\epsilon) )=1
$$
であるから $(***)$ は全射でもある。ゆえに $\lambda\notin \sigma(\int_{X}f(x)dE(x))$ であるから $(**)$ の逆の包含関係が成り立つ。
{{end|proof|}}

=== 系6.13 ===
$\mathcal{H}$ をHilbert空間、$X$ を位相空間、$E\colon\mathcal{B}_X\rightarrow \mathbb{P}(\mathcal{H})$ を射影値測度とし、任意の空でない開集合 $U\subset X$ に対し $E(U)>0$ が成り立つと仮定する。このとき任意の連続関数 $f\colon X\rightarrow\mathbb{C}$ に対し、
$$
\sigma\left(\int_{X}f(x)dE(x)\right)=\overline{f(X)}
$$
が成り立つ。
{{begin |proof }}
$f^{-1}(\mathbb{C}\backslash \overline{f(X)})=\emptyset$ であるから本質的値域の定義（'''定義6.10'''）より、
$$
{\rm ess.Ran}_E(f)\subset \overline{f(X)}
$$
である。逆の包含関係を示す。${\rm ess.Ran}_E(f)$ は閉集合であるので $f(X)\subset {\rm ess.Ran}_E(f)$ が成り立つことを示せばよい。そのためには、'''定義6.10'''の最後における ${\rm ess.Ran}_E(f)$ の特徴付けより、任意の $x_0\in X$ と任意の $\epsilon\in (0,\infty)$ に対し、
$$
E(\lvert f-f(x_0)\rvert<\epsilon)>0\quad\quad(*)
$$
が成り立つことを示せばよい。$f$ の $x_0\in X$ における連続性より、$x_0$ の開近傍 $U\subset X$ が存在し、
$$
U\subset (\lvert f-f(x_0)\rvert<\epsilon)
$$
となる。よって仮定より、
$$
0<E(U)\leq E( (\lvert f-f(x_0)\rvert<\epsilon))
$$
であるから、$(*)$ が成り立つ。
{{end|proof|}}

== 7. Radon射影値測度とRiesz-Markov-角谷の表現定理 ==

=== 定義7.1（局所コンパクトHausdorff空間上のRadon射影値測度） ===
$\mathcal{H}$ をHilbert空間、$X$ を局所コンパクトHausdorff空間、$E\colon\mathcal{B}_X\rightarrow\mathbb{P}(\mathcal{H})$ を射影値測度とする。任意の $u,v\in \mathcal{H}$ に対し複素数値Borel測度 $E_{u,v}\colon\mathcal{B}_X\ni B\mapsto (u\mid E(B)v)\in\mathbb{C}$ が複素数値Radon測度（[[測度と積分7：局所コンパクトHausdorff空間上のRadon測度]]の'''定義33.1'''）であるとき、$E$ をRadon射影値測度と言う。

=== 注意7.2（第二可算局所コンパクトHausdorff空間上の射影値Borel測度は自動的にRadon射影値測度） ===
$\mathcal{H}$ をHilbert空間、$X$ を第二可算局所コンパクトHausdorff空間、$E\colon\mathcal{B}_X\rightarrow\mathbb{P}(\mathcal{H})$ を射影値測度とする。このとき[[測度と積分7：局所コンパクトHausdorff空間上のRadon測度]]の'''注意33.2'''より、 $E$ は自動的にRadon射影値測度である。

=== 定理7.3（射影値測度に関するRiesz-Markov-角谷の表現定理） ===
$\mathcal{H}$ をHilbert空間、$X$ を局所コンパクトHausdorff空間、$\Phi\colon C_0(X)\rightarrow \mathbb{B}(\mathcal{H})$ を $*$-環準同型写像とし、
$$
\Phi(C_0(X))\mathcal{H}={\rm span}\{\Phi(f)v:f\in C_0(X),v\in \mathcal{H}\}\quad\quad(*)
$$
が $\mathcal{H}$ において稠密であるとする。（ただし $C_0(X)$ は $X$ 上の無限遠で消える連続関数全体に各点ごとの演算と $\sup$ ノルムを入れた可換 $C^*$-環である。）このときRadon射影値測度 $E\colon\mathcal{B}_X\rightarrow\mathbb{P}(\mathcal{H})$ で、
$$
\Phi(f)=\int_{X}f(x)dE(x)\quad(\forall f\in C_0(X))
$$
を満たすものが唯一つ存在する。
{{begin |proof }}
[[Banach環とC*-環のスペクトル理論]]の'''定理10.1'''より $\Phi$ はノルム減少であるから任意の $u,v\in \mathcal{H}$ に対し、
$$
C_0(X)\ni f\mapsto (u\mid \Phi(f)v)\in \mathbb{C}
$$
はノルムが $\lVert u\rVert\lVert v\rVert$ 以下の有界線形汎関数である。よってRiesz-Markov-角谷の表現定理（[[測度と積分7：局所コンパクトHausdorff空間上のRadon測度]]の'''定理30.4'''）より、任意の $u,v\in \mathcal{H}$ に対し複素数値Radon測度 $\nu_{u,v}\in M(X)$ で、
$$
\int_{X}f(x)d\nu_{u,v}(x)=(u\mid \Phi(f)v)\quad(\forall f\in C_0(X))\quad\quad(*)
$$
を満たすものが定まり、
$$
\mathcal{H}\times \mathcal{H}\ni (u,v)\mapsto \nu_{u,v}\in M(X)
$$
はノルムが $1$ 以下の有界準双線形写像である。今、$X\rightarrow\mathbb{C}$ の有界Borel関数全体に各点ごとの演算と $\sup$ ノルムを入れた可換 $C^*$-環を $\mathcal{L}_{\rm b}(X,{\cal B}_X)$ とおくと、任意の $f\in \mathcal{L}_{\rm b}(X,{\cal B}_X)$ に対し、
$$
\mathcal{H}\times \mathcal{H}\ni (u,v)\mapsto \int_{X}f(x)d\nu_{u,v}(x)\in \mathbb{C}
$$
はノルムが $f$ 以下の有界準双線形汎関数であるから、[[位相線形空間1：ノルムと内積]]の'''定理7.1'''より $\Psi(f)\in \mathbb{B}(\mathcal{H})$ で、
$$
\int_{X}f(x)d\nu_{u,v}(x)=(u\mid \Psi(f)v)\quad(\forall u,v\in \mathcal{H})\quad\quad(**)
$$
を満たすものが定まり、$\lVert \Psi(f)\rVert\leq \lVert f\rVert$ が成り立つ。こうしてノルム減少な線形写像
$$
\Psi:\mathcal{L}_{\rm b}(X,{\cal B}_X)\ni f\mapsto \Psi(f)\in \mathbb{B}(\mathcal{H})
$$
が定義できる。$(*),(**)$ より、
$$
\Psi(f)=\Phi(f)\quad(\forall f\in C_0(X))
$$
である。今、$\Psi$ が $*$-環準同型写像であることを示す。任意の $v\in \mathcal{H}$ に対し、
$$
(v\mid \Phi(f)v)=(\Phi(\sqrt{f})v\mid \Phi(\sqrt{f})v)\geq0\quad(\forall f\in C_{c,+}(X))
$$
であるから、Riesz-Markov-角谷の表現定理（[[測度と積分7：局所コンパクトHausdorff空間上のRadon測度]]の'''定理34.1'''）より $\nu_{v,v}$ は非負値測度である。よって任意の $f\in \mathcal{L}_{\rm b}(X,\mathcal{B}_X)$、任意の $v\in \mathcal{H}$ に対し、
$$
(v\mid \Psi(\overline{f})v)=\int_{X}\overline{f(x)}d\nu_{v,v}(x)=\overline{\int_{X}f(x)d\nu_{v,v}(x)}=\overline{(v\mid \Psi(f)v)}=(v\mid \Psi(f)^*v)
$$
であるから、偏極恒等式より、
$$
\Psi(\overline{f})=\Psi(f)^*\quad(\forall f\in \mathcal{L}_{\rm b}(X,\mathcal{B}_X))
$$
が成り立つ。ゆえに $\Psi$ は対合を保存する。$\Psi$ が乗法を保存すること、すなわち、
$$
\Psi(fg)=\Psi(f)\Psi(g)\quad(\forall f,g\in \mathcal{L}_{\rm b}(X,\mathcal{B}_X))\quad\quad(***)
$$
が成り立つことを示す。まず $\Phi\colon C_0(X)\rightarrow \mathbb{B}(\mathcal{H})$ は $*$-環準同型写像であるので任意の $f,g\in C_0(X)$、$u,v\in \mathcal{H}$ に対し、
$$
\int_{X}f(x)g(x)d\nu_{u,v}(x)=(u\mid \Phi(fg)v)=(u\mid \Phi(f)\Phi(g)v)=\int_{X}f(x)d\nu_{u,\Phi(g)v}(x)
$$
である。よって任意の $g\in C_0(X)$、$u,v\in \mathcal{H}$ に対し、
$$
(\nu_{u,v})_g\colon \mathcal{B}_X\ni B\mapsto \int_{B}g(x)d\nu_{u,v}(x)\in \mathbb{C}
$$
なる $(\nu_{u,v})_g\in M(X)$（$(\nu_{u,v})_g$ が複素数値Radon測度であることについては[[測度と積分7：局所コンパクトHausdorff空間上のRadon測度]]の'''命題33.4'''の $(3)$ を参照）を考えれば、任意の $f\in C_0(X)$ に対し、[[測度と積分4：測度論の基本定理(2)]]の'''命題19.6'''より、
$$
\int_{X}f(x)d(\nu_{u,v})_g(x)=\int_{X}f(x)g(x)d\nu_{u,v}(x)=\int_{X}f(x)d\nu_{u,\Phi(g)v}(x)
$$
である。よってRiesz-Markov-角谷の表現定理（[[測度と積分7：局所コンパクトHausdorff空間上のRadon測度]]の'''定理34.1'''）より、
$$
(\nu_{u,v})_g=\nu_{u,\Phi(g)v}\quad(\forall g\in C_0(X),\forall u,v\in \mathcal{H})\quad\quad(****)
$$
が成り立つ。次に任意の $f\in \mathcal{L}_{\rm b}(X,\mathcal{B}_X)$, $u,v\in {\cal H}$ に対し、
$$
(\nu_{u,v})_f:\mathcal{B}_X\ni B\mapsto \int_{B}f(x)d\nu_{u,v}(x)\in \mathbb{C}
$$
なる $(\nu_{u,v})_f\in M(X)$ を考えると、[[測度と積分4：測度論の基本定理(2)]]の'''命題19.6'''と $(****)$ より、任意の $g\in C_0(X)$ に対し、
$$
\begin{aligned}
\int_{X}g(x)d(\nu_{u,v})_f(x)&=\int_{X}f(x)g(x)d\nu_{u,v}(x)=\int_{X}f(x)d(\nu_{u,v})_g(x)
=\int_{X}f(x)d\nu_{u,\Phi(g)v}(x)
=(u\mid \Psi(f)\Phi(g)v)\\
&=(\Psi(f)^*u\mid \Phi(g)v)=\int_{X}g(x)d\nu_{\Psi(f)^*u,v}(x)
\end{aligned}
$$
が成り立つ。よってRiesz-Markov-角谷の表現定理（[[測度と積分7：局所コンパクトHausdorff空間上のRadon測度]]の'''定理34.1'''）より、
$$
(\nu_{u,v})_f=\nu_{\Psi(f)^*u,v}\quad(\forall f\in \mathcal{L}_{\rm b}(X,\mathfrak{M}),\forall u,v\in \mathcal{H})
$$
が成り立つ。ゆえに任意の $f,g\in \mathcal{L}_{\rm b}(X,\mathcal{B}_X)$、任意の $u,v\in \mathcal{H}$ に対し、[[測度と積分4：測度論の基本定理(2)]]の'''命題19.6'''より、
$$
\begin{aligned}
(u\mid \Psi(fg)v)&=\int_{X}f(x)g(x)d\nu_{u,v}(x)=\int_{X}g(x)d(\nu_{u,v})_f(x)=\int_{X}g(x)d\nu_{\Psi(f)^*u,v}(x)\\
&=(\Psi(f)^*u\mid\Psi(g)v)=(u\mid\Psi(f)\Psi(g)v)
\end{aligned}
$$
が成り立つので $(***)$ が成り立つ。これより $\Psi\colon\mathcal{L}_{\rm b}(X,\mathcal{B}_X)\rightarrow \mathbb{B}(\mathcal{H})$ は*-環準同型写像である。そして、
$$
\Psi(1)\Phi(f)v=\Psi(1)\Psi(f)v=\Psi(f)v=\Phi(f)v\quad(\forall f\in C_0(X),\forall v\in \mathcal{H})
$$
であり、$\Phi(C_0(X)){\cal H}$ は $\mathcal{H}$ で稠密であるので、$\Psi(1)=1$ である。任意の $B\in \mathcal{B}_X$ に対し $E(B)\colon=\Psi(\chi_B)$ とおけば、
$$
E(B)=\Psi(\chi_B)\in \mathbb{P}(\mathcal{H})\quad(\forall B\in\mathcal{B}_X),\quad
E(X)=1
$$
であり、
$$
(u\mid E(B)v)=(u\mid \Psi(\chi_B)v)=\nu_{u,v}(B)\quad(\forall B\in \mathcal{B}_X,\forall u,v\in \mathcal{H})
$$
であるから $E\colon\mathcal{B}_X\ni B\mapsto E(B)\in \mathbb{P}(\mathcal{H})$ はRadon射影値測度であり、任意の $f\in C_0(X)$、$u,v\in \mathcal{H}$ に対し、
$$
\left(u\mid \int_{X}f(x)dE(x)v\right)=\int_{X}f(x)dE_{u,v}(x)=\int_{X}f(x)d\nu_{u,v}(x)=(u\mid \Phi(f)v)
$$
であるので、
$$
\int_{X}f(x)dE(x)=\Phi(f)\quad(\forall f\in C_0(X))
$$
が成り立つ。これで存在が示せた。一意性を示す。$E'\colon\mathcal{B}_X\rightarrow\mathbb{P}(\mathcal{H})$ もRadon射影値測度であり、
$$
\int_{X}f(x)dE'(x)=\Phi(f)\quad(\forall f\in C_0(X))
$$
を満たすならば、任意の $u,v\in \mathcal{H}$ に対し、
$$
\int_{X}f(x)dE_{u,v}(x)=(u\mid \Phi(f)v)=\int_{X}f(x)dE'_{u,v}(x)\quad(\forall f\in C_0(X))
$$
であるから、Riesz-Markov-角谷の表現定理（[[測度と積分7：局所コンパクトHausdorff空間上のRadon測度]]の'''定理34.1'''）より $E_{u,v}=E'_{u,v}$ である。よって $E=E'$ である。これで一意性が示せた。
{{end|proof|}}

== 8. スペクトル測度、Borel汎関数計算 ==

=== 命題8.1（正規作用素に付随するスペクトル測度の一意存在） ===
$\mathcal{H}$ をHilbert空間とし、$T\in \mathbb{B}(\mathcal{H})$ を正規作用素とする。このとき射影値測度 $E^T\colon\mathcal{B}_{\sigma(T)}\rightarrow\mathbb{P}(\mathcal{H})$ で、
$$
T=\int_{\sigma(T)}\lambda dE^T(\lambda)
$$
を満たすものが唯一つ存在する。（'''注意7.2'''より$E^T$ は必然的にRadon射影値測度である。）そして、
$$
f(T)=\int_{\sigma(T)}f(\lambda)dE^T(\lambda)\quad(\forall f\in C(\sigma(T)))
$$
が成り立つ。ただし左辺は $T$ に関する連続汎関数計算（[[Banach環とC*-環のスペクトル理論]]の'''定義6.6'''）である。
{{begin |proof }}
連続汎関数計算
$$
C(\sigma(T))\ni f\mapsto f(T)\ni C^*(\{1,T\})\subset\mathbb{B}(\mathcal{H})
$$
は単位元を単位元に写す $*$-環準同型写像であるから、射影値測度に関するRiesz-Markov-角谷の表現定理（'''定理7.3'''）より、射影値測度 $E^T\colon \mathcal{B}_{\sigma(T)}\rightarrow \mathbb{P}(\mathcal{H})$ で、
$$
f(T)=\int_{\sigma(T)}f(\lambda)dE^T(\lambda)\quad(\forall f\in C(\sigma(T)))
$$
を満たすものが存在する。特に、
$$
T=\int_{\sigma(T)}\lambda dE^T(\lambda)
$$
である。よって存在が示せた。射影値測度 $E,F\colon\mathcal{B}_{\sigma(T)}\rightarrow\mathbb{P}(\mathcal{H})$ が、
$$
\int_{\sigma(T)}\lambda dE(\lambda)=T=\int_{\sigma(T)}\lambda dF(\lambda)
$$
を満たすとする。恒等写像 ${\rm id}\colon\sigma(T)\ni \lambda\mapsto \lambda\in \mathbb{C}$ に対し、Stone-Weierstrassの定理（[[測度と積分7：局所コンパクトHausdorff空間上のRadon測度]]の'''定理35.4'''）より、
$$
C(\sigma(T))=\overline{\text{span}\left\{\overline{\rm id}^n{\rm id}^m:n,m\in\mathbb{Z}_+\right\}}
$$
であるから、任意の $f\in C(\sigma(T))$ に対し、
$$
\int_{\sigma(T)}f(\lambda)dE(\lambda)=\int_{\sigma(T)}f(\lambda)dF(\lambda)
$$
が成り立つ。ここで $\sigma(T)$ は第二可算コンパクトHausdorff空間であるから'''注意7.2'''より $E,F\colon\mathcal{B}_{\sigma(T)}\rightarrow\mathbb{P}(\mathcal{H})$ は自動的にRadon射影値測度である。ゆえに'''定理7.3'''より $E=F$ である。これで一意性が示せた。
{{end|proof|}}

=== 定義8.2（正規作用素に付随するスペクトル測度） ===
Hilbert空間 $\mathcal{H}$ 上の正規作用素 $T\in \mathbb{B}(\mathcal{H})$ に対し、'''命題8.1'''における射影値測度 $E^T\colon \mathcal{B}_X\rightarrow \mathbb{P}(\mathcal{H})$ を、$T$ に付随するスペクトル測度と言う。

=== 定理8.3（自己共役作用素に付随するスペクトル測度の一意存在） ===
$\mathcal{H}$ をHilbert空間、$T$ を $\mathcal{H}$ 上の自己共役作用素とする。このとき射影値測度 $E^T\colon\mathcal{B}_{\sigma(T)}\rightarrow \mathbb{P}(\mathcal{H})$（'''定理5.7'''より $\sigma(T)$ は $\mathbb{R}$ の空でない閉集合であることに注意）で、
$$
T=\int_{\sigma(T)}\lambda dE^T(\lambda)
$$
を満たすものが唯一つ存在する。
{{begin |proof }}
$$
C\colon\mathbb{R}\ni t\mapsto (t-i)(t+i)^{-1}\in \mathbb{T}\backslash \{1\}\quad\quad(*)
$$
は同相写像であり、逆写像は、
$$
C^{-1}\colon\mathbb{T}\backslash \{1\}\ni \lambda\mapsto i(1+\lambda)(1-\lambda)^{-1}\in\mathbb{R}
$$
である。'''定理4.6'''より $T$ のCayley変換 $C(T)=(T-i)(T+i)^{-1}$ は $\mathcal{H}$ 上のユニタリ作用素であり、'''定理5.7'''より、
$$
C(\sigma(T))=\sigma(C(T))\backslash\{1\}\quad\quad(**)
$$
が成り立つ。$C(T)\in \mathbb{B}(\mathcal{H})$ はユニタリ作用素であるから正規作用素である。そこで $C(T)$ に付随するスペクトル測度（'''定義8.2'''）を、
$$
F\colon\mathcal{B}_{\sigma(C(T))}\rightarrow\mathbb{P}(\mathcal{H}),\quad
C(T)=\int_{\sigma(C(T))}\lambda dF(\lambda)
$$
とおく。'''命題4.5'''より、
$$
1-C(T)=\int_{\sigma(C(T))}(1-\lambda)dF(\lambda)
$$
は単射であるから、'''命題6.8'''の $(5)$ より、
$$
\{0\}={\rm Ker}(1-C(T))={\rm Ran} F(\{\lambda\in \sigma(C(T)):1-\lambda=0\})={\rm Ran}F(\sigma(C(T))\cap \{1\})
$$
である。よって $(**)$ より、
$$
F(C(\sigma(T)))=F(\sigma(C(T))\backslash\{1\})=F(\sigma(C(T)))=1
$$
である。これと $(*)$ が同相写像であることから、
$$
E\colon\mathcal{B}_{\sigma(T)}\ni B\mapsto F(C(B))\in \mathbb{P}(\mathcal{H})\quad\quad(***)
$$
は射影値測度である。今、任意のBorel関数 $f\colon\sigma(T)\rightarrow\mathbb{C}$ に対し、
$$
\int_{\sigma(T)}f(t)dE(t)=\int_{\sigma(C(T))\backslash \{1\}}f(C^{-1}(\lambda))dF(\lambda)\quad\quad(****)
$$
が成り立つことを示す。$E$ の定義より $f\colon\sigma(T)\rightarrow\mathbb{C}$ がBorel単関数である場合は明らかに成り立つ。また任意の有界Borel関数はBorel単関数の列により一様近似できる（[[測度と積分5：$L^p$ 空間の完備性と双対性]]の'''命題22.2'''）ので、$(****)$ は $f\colon\sigma(T)\rightarrow\mathbb{C}$ が有界Borel関数の場合も成り立つ。任意のBorel関数 $f\colon\sigma(T)\rightarrow\mathbb{C}$ に対し $f_n:=f\chi_{(\lvert f\rvert\leq n)}$ $(\forall n\in\mathbb{N})$ として有界Borel関数の列 $(f_n)_{n\in\mathbb{N}}$ を定義すると、単調収束定理より、任意の $v\in\mathcal{H}$ に対して、
$$
\begin{aligned}
\int_{\sigma(T)}\lvert f(t)\rvert^2dE_{v,v}(t)&=\sup_{n\in\mathbb{N}}\int_{\sigma(T)}\lvert f_n(t)\rvert^2dE_{v,v}(t)=\sup_{n\in\mathbb{N}}\int_{\sigma(C(T))\backslash\{1\}}\lvert f_n(C^{-1}(\lambda))\rvert^2dF_{v,v}(\lambda)\\
&=\int_{\sigma(C(T))\backslash\{1\}}\lvert f(C^{-1}(\lambda))\rvert^2dF_{v,v}(\lambda)
\end{aligned}
$$
となるから、$D_E(f)=D_F(f\circ C^{-1})$ である。よって任意の $v\in D_E(f)=D_F(f\circ C^{-1})$、任意の $u\in\mathcal{H}$ に対し、Lebesgue優収束定理より、
$$
\begin{aligned}
\left(u\mid \int_{\sigma(T)}f(t)dE(t)v\right)&=\lim_{n\rightarrow\infty}\left(u\mid \int_{\sigma(T)}f_n(t)dE(t)v\right)
=\lim_{n\rightarrow\infty}\left(u\mid \int_{\sigma(C(T))\backslash \{1\}}f_n(C^{-1}(\lambda))dF(\lambda)v\right)\\
&=\left(u\mid \int_{\sigma(C(T))\backslash \{1\}}f(C^{-1}(\lambda))dF(\lambda)v\right)
\end{aligned}
$$
となる。これより $(****)$ は任意のBorel関数 $f\colon\sigma(T)\rightarrow\mathbb{C}$ に対して成り立つ。'''命題4.5'''と'''命題6.8'''の $(1),(5)$ より、
$$
\begin{aligned}
T&=i(1+C(T))(1-C(T))^{-1}=i\int_{\sigma(\sigma(T))}(1+\lambda)dF(\lambda)\int_{\sigma(C(T))\backslash\{1\}}(1-\lambda)^{-1}dF(\lambda)\\
&\subset \int_{\sigma(C(T))\backslash\{1\}}i(1+\lambda)(1-\lambda)^{-1}dF(\lambda)
=\int_{\sigma(C(T))\backslash\{1\}}C^{-1}(\lambda)dF(\lambda)
=\int_{\sigma(T)}tdE(t)
\end{aligned}
$$
であるので、'''命題6.8'''の $(2)$ より、
$$
T\subset \int_{\sigma(T)}tdE(t)=\left(\int_{\sigma(T)}tdE(t)\right)^*\subset T^*=T
$$
である。ゆえに、
$$
T=\int_{\sigma(T)}tdE(t)
$$
が成り立つ。これで存在が示せた。一意性を示す。射影値測度 $E'\colon\mathcal{B}_{\sigma(T)}\rightarrow\mathbb{P}(\mathcal{H})$ も、
$$
T=\int_{\sigma(T)}tdE'(t)
$$
を満たすとし、$E'=E$（ただし $E$ は $(***)$ によって定義したもの）が成り立つことを示す。射影値測度
$$
F'\colon\mathcal{B}_{\sigma(C(T))}\ni B\mapsto E'(C^{-1}(B))\in\mathbb{P}(\mathcal{H})
$$
を考えると、$(****)$ を示したのと全く同様にして、任意のBorel関数 $g\colon\sigma(C(T))\rightarrow\mathbb{C}$ に対し、
$$
\int_{\sigma(C(T))}g(\lambda)dF'(\lambda)=\int_{\sigma(T)}g(C(t))dE'(t)
$$
が成り立つことが分かる。よって'''命題6.8'''の $(1),(5)$ より、
$$
\begin{aligned}
\int_{\sigma(C(T))}\lambda dF'(\lambda)&=\int_{\sigma(T)}C(t)dE'(t)
=\int_{\sigma(T)}(t-i)(t+i)^{-1}dE'(t)\\
&=\int_{\sigma(T)}(t-i)dE'(t)\int_{\sigma(T)}(t+i)^{-1}dE'(t)\\
&=(T-i)(T+i)^{-1}=C(T)
\end{aligned}
$$
となるので、$C(T)$ のスペクトル測度の一意性（'''命題8.1'''）より $F'=F$ である。ゆえに任意の $B\in \mathcal{B}_{\sigma(T)}$ に対し、
$$
E'(B)=E'(C^{-1}(C(B)))=F'(C(B))=F(C(B))=E(B)
$$
である。よって $E'=E$ であるので一意性が示せた。
{{end|proof|}}

=== 定義8.4（自己共役作用素に付随するスペクトル測度） ===
Hilbert空間 $\mathcal{H}$ 上の自己共役作用素 $T$ に対し、'''定理8.3'''における射影値測度 $E^T\colon\mathcal{B}_{\sigma(T)}\rightarrow\mathbb{P}(\mathcal{H})$ を、$T$ に付随するスペクトル測度と言う。

=== 定義8.5（Borel汎関数計算） ===
$T$ をHilbert空間 $\mathcal{H}$ 上の自己共役作用素か正規作用素とし、$E^T\colon\mathcal{B}_{\sigma(T)}\rightarrow\mathbb{P}(\mathcal{H})$ を $T$ に付随するスペクトル測度とする。このとき任意のBorel関数 $f\colon\sigma(T)\rightarrow\mathbb{C}$ に対し $f$ の $E^T$ による積分を、
$$
f(T)\colon=\int_{\sigma(T)}f(\lambda)dE^T(\lambda)
$$
と表す。$f\mapsto f(T)$ を $T$ に関するBorel汎関数計算と言う。'''命題8.1'''より、Borel汎関数計算は連続汎関数計算と矛盾しない。

=== 命題8.6 ===
$\mathcal{H}$ をHilbert空間、$(X,\mathfrak{M})$ を可測空間、$E\colon\mathfrak{M}\rightarrow\mathbb{P}(\mathcal{H})$ を射影値測度、$f\colon X\rightarrow\mathbb{R}$ を実数値可測関数とし、$\mathcal{H}$ 上の自己共役作用素
$$
T\colon=\int_{X}f(x)dE(x)\colon D_E(f)\rightarrow\mathcal{H}
$$
（自己共役作用素であることは'''命題6.8'''の $(2)$ による）を考える。このとき任意のBorel関数 $g\colon\sigma(T)\rightarrow\mathbb{C}$ に対し、
$$
g(T)=\int_{X}g(f(x))dE(x)
$$
が成り立つ。ただし右辺の被積分関数は $g\circ f\colon f^{-1}(\sigma(T))=f^{-1}({\rm ess.Ran}_E(f))\rightarrow\mathbb{C}$ である。（'''命題6.12'''より $\sigma(T)={\rm ess.Ran}_E(f)$ であること、および本質的値域の定義より $E(f^{-1}({\rm ess.Ran}_E(f)))=1$ であることに注意。）
{{begin |proof }}
$$
F\colon\mathcal{B}_{\sigma(T)}\ni B\mapsto E(f^{-1}(B))\in \mathbb{P}(\mathcal{H})\quad\quad(*)
$$
とおく。'''命題6.12'''より $\sigma(T)={\rm ess.Ran}_E(f)$ であるから、
$$
F(\sigma(T))=E(f^{-1}(\sigma(T)))=E(f^{-1}({\rm ess.Ran}_E(f)))=1
$$
である。よって $F$ は射影値測度である。任意のBorel関数 $g\colon\sigma(T)\rightarrow\mathbb{C}$ に対し、
$$
\int_{\sigma(T)}g(\lambda)dF(\lambda)=\int_{X}g(f(x))dE(x)\quad\quad(**)
$$
が成り立つことを示す。$(*)$ より $g$ がBorel単関数である場合は成り立つ。有界Borel関数はBorel単関数の列により一様近似できる（[[測度と積分5：$L^p$ 空間の完備性と双対性]]の'''命題22.2'''）ので、$(**)$ は $g$ が有界Borel関数の場合も成り立つ。任意のBorel関数 $g\colon\sigma(T)\rightarrow\mathbb{C}$ に対し、$g_n\colon=g\chi_{(\lvert g\rvert\leq n)}$ $(\forall n\in\mathbb{N})$ として $\sigma(T)$ 上の有界Borel関数の列 $(g_n)_{n\in\mathbb{N}}$ を定義すると、任意の $v\in\mathcal{H}$ に対し、単調収束定理より、
$$
\begin{aligned}
\int_{\sigma(T)}\lvert g(\lambda)\rvert^2dF_{v,v}(\lambda)
&=\sup_{n\in\mathbb{N}}\int_{\sigma(T)}\lvert g_n(\lambda)\rvert^2dF_{v,v}(\lambda)
=\sup_{n\in\mathbb{N}}\int_{X}\lvert g_n(f(x))\rvert^2dE_{v,v}(x)\\
&=\int_{X}\lvert g(f(x))\rvert^2dE_{v,v}(x)
\end{aligned}
$$
であるから、$D_F(g)=D_E(g\circ f)$ であり、任意の $v\in D_F(g)=D_E(g\circ f)$、任意の $u\in \mathcal{H}$ に対し、Lebesgue優収束定理より、
$$
\begin{aligned}
\left(u\mid \int_{\sigma(T)}g(\lambda)dF(\lambda)v\right)
&=\lim_{n\rightarrow\infty}\left(u\mid \int_{\sigma(T)}g_n(\lambda)dF(\lambda)v\right)
=\lim_{n\rightarrow\infty}\left(u\mid \int_{X}g_n(f(x))dE(x)v\right)\\
&=\left(u\mid \int_{X}g(f(x))dE(x)v\right)
\end{aligned}
$$
である。これより $(**)$ は任意のBorel関数 $g\colon\sigma(T)\rightarrow\mathbb{C}$ に対して成り立つ。よって特に、
$$
\int_{\sigma(T)}\lambda dF(\lambda)=\int_{X}f(x)dE(x)=T
$$
であるから、$F$ は $T$ のスペクトル測度である。よって任意のBorel関数 $g\colon\sigma(T)\rightarrow\mathbb{C}$ に対し、$(**)$ より、
$$
g(f(T))=\int_{\sigma(T)}g(\lambda)dF(\lambda)=\int_{X}g(f(x))dE(x)
$$
である。
{{end|proof|}}

=== 命題8.7（スペクトル測度とBorel汎関数計算の基本的性質） ===
$T$ をHilbert空間 $\mathcal{H}$ 上の自己共役作用素か正規作用素とし、$E^T\colon\mathcal{B}_\sigma(T)\rightarrow\mathbb{P}(\mathcal{H})$ を $T$ のスペクトル測度とする。このとき、
*$(1)$　任意のBorel関数 $f,g\colon\sigma(T)\rightarrow\mathbb{C}$ に対し、
$$
\overline{f}(T)=f(T)^*,\quad (f+g)(T)=\overline{f(T)+g(T)},\quad
(fg)(T)=\overline{f(T)g(T)}
$$
が成り立つ。
*$(2)$　任意のBorel関数 $f\colon\sigma(T)\rightarrow\mathbb{C}$ に対し、
$$
f(T)^*f(T)=\lvert f\rvert^2(T),\quad (f(T))^n=f^n(T)\quad(\forall n\in\mathbb{N})
$$
が成り立つ。
*$(3)$　任意のBorel関数 $f\colon\sigma(T)\rightarrow\mathbb{C}$ に対し、
$$
{\rm Ker}(f(T))={\rm Ran} E^T( (f=0))
$$
が成り立つ。また $f(T)$ が単射、すなわち $E^T( (f=0))=0$ であるとき、
$$
f^{-1}(\lambda)=f(\lambda)^{-1}\quad(\lambda\notin (f=0))
$$
を満たす任意のBorel関数 $f^{-1}:\sigma(T)\rightarrow\mathbb{C}$ に対し $f(T)^{-1}=f^{-1}(T)$ が成り立つ。
*$(4)$　$\sigma(T)$ の任意の空でない開集合 $U$ に対し $E^T(U)>0$ が成り立つ。
*$(5)$　$T$ の点スペクトル $\sigma_{\rm p}(T)$（$T$ の固有値全体）は、
$$
\sigma_{\rm p}(T)=\{\lambda\in \sigma(T):E^T(\{\lambda\})>0\}
$$
と表せる。そして $\lambda\in \sigma_{\rm p}(T)$ に対する固有空間は ${\rm Ker}(\lambda-T)={\rm Ran}E^T(\{\lambda\})$ である。
*$(6)$　$\sigma(T)$ の任意の孤立点<ref>$X$ を位相空間とする。$x\in X$ が $X$ の孤立点であるとは $\{x\}$ が $X$ の開集合であることを言う。</ref>は $T$ の固有値である。
*$(7)$　任意のBorel関数 $f\colon\sigma(T)\rightarrow\mathbb{C}$ に対し、
$$
\sigma(f(T))={\rm ess.Ran}_{E^T}(f)=\{\lambda\in\mathbb{C}:\forall\epsilon\in(0,\infty), E^T( (\lvert \lambda-f\rvert<\epsilon))>0\},
$$
$$
\sigma_{\rm p}(f(T))=\{\lambda\in \mathbb{C}:E^T( (f=\lambda))>0\}
$$
が成り立つ。
*$(8)$　任意の連続関数 $f\colon\sigma(T)\rightarrow\mathbb{C}$ に対し、
$$
\sigma(f(T))=\overline{f(\sigma(T))}
$$
が成り立つ。
*$(9)$　任意の実数値Borel関数 $f\colon\sigma(T)\rightarrow\mathbb{R}$ と複素数値Borel関数 $g\colon\sigma(f(T))\rightarrow\mathbb{C}$ に対し、
$$
g(f(T))=(g\circ f)(T)
$$
が成り立つ。ただし右辺の $g\circ f$ の定義域は $f^{-1}(\sigma(f(T)))=f^{-1}({\rm ess.Ran}_{E^T}(f))$ である。
{{begin |proof }}
*$(1)$　'''命題6.8'''の $(1),(2),(3)$ による。
*$(2)$　'''命題6.8'''の $(4)$ による。
*$(3)$　'''命題6.8'''の $(5)$ による。
*$(4)$　恒等写像 ${\rm id}\colon\sigma(T)\rightarrow\mathbb{C}$ に対し '''定理6.12'''より、
$$
\sigma(T)=\sigma\left(\int_{\sigma(T)}\lambda dE^T(\lambda)\right)
={\rm ess.Ran}_{E^T}({\rm id})=\{\lambda\in\mathbb{C}:\forall\epsilon\in(0,\infty),E^T( (\lvert\lambda-{\rm id}\rvert<\epsilon))>0\}
$$
である。$\sigma(T)$ の任意の空でない開集合 $U$ を取り、任意の $\lambda_0\in U$ を取る。$U$ が $\sigma(T)$ の開集合であることから、ある $\epsilon\in (0,\infty)$ に対し $(\lvert \lambda_0-{\rm id}\rvert<\epsilon)\subset U$ となる。よって、
$$
E^T(U)\geq E^T( (\lvert \lambda_0-{\rm id}\rvert<\epsilon))>0
$$
である。
*$(5)$　$\lambda\in\sigma(T)$ に対し'''命題6.8'''の $(5)$ より、
$$
{\rm Ker}(\lambda-T)={\rm Ran}E^T( (\lambda-{\rm id}=0))={\rm Ran}E^T(\{\lambda\})
$$
であるから、
$$
\sigma_{\rm p}(T)=\{\lambda\in\sigma(T):{\rm Ker}(\lambda-T)\neq\{0\}\}
=\{\lambda\in\sigma(T):E^T(\{\lambda\})>0\}
$$
である。
*$(6)$　$\lambda\in\sigma(T)$ が $\sigma(T)$ の孤立点であるならば、$\{\lambda\}$ は $\sigma(T)$ の開集合であるから、$(4)$ より $E^T(\{\lambda\})>0$ である。よって $(5)$ より $\lambda$ は $T$ の固有値である。
*$(7)$　'''定理6.12'''より、
$$
\sigma(f(T))=\sigma\left(\int_{\sigma(T)}f(\lambda)dE^T(\lambda)\right)
={\rm ess.Ran}_{E^T}(f)=\{\lambda\in\mathbb{C}:\forall\epsilon\in(0,\infty), E^T( (\lvert \lambda-f\rvert<\epsilon))>0\}
$$
である。また'''命題6.8'''の $(5)$ より、任意の $\lambda\in \mathbb{C}$ に対し ${\rm Ker}(\lambda-f(T))={\rm Ran}E^T( (f=\lambda))$ であるから、
$$
\sigma_{\rm p}(f(T))=\{\lambda\in \mathbb{C}:E^T( (f=\lambda))>0\}
$$
である。
*$(8)$　$(4)$ と'''系6.13'''による。
*$(9)$　'''命題8.6'''による。
{{end|proof|}}

=== 定義8.8（非負自己共役作用素） ===
$T$ をHilbert空間 $\mathcal{H}$ 上の自己共役作用素とする。$\sigma(T)\subset[0,\infty)$ であるとき $T$ を $\mathcal{H}$ 上の非負自己共役作用素と言う。この定義は有界非負自己共役作用素の定義（'''定義1.1'''）と矛盾しない。

=== 命題8.9（非負自己共役作用素の冪乗根の一意存在） ===
$T$ をHilbert空間 $\mathcal{H}$ 上の非負自己共役作用素とする。このとき任意の $n\in\mathbb{N}$ に対し $\mathcal{H}$ 上の非負自己共役作用素 $S$ で $S^n=T$ を満たすものが唯一つ存在し、
$$
S=\sqrt[n]{T}=\int_{\sigma(T)}\sqrt[n]{\lambda}dE^T(\lambda)
$$
である。
{{begin |proof }}
Borel汎関数計算により、
$$
\sqrt[n]{T}=\int_{\sigma(T)}\sqrt[n]{\lambda}dE^T(\lambda)
$$
を考えると、'''命題8.7'''の $(1),(8)$ より $\sqrt[n]{T}$ は非負自己共役作用素であり、'''命題8.7'''の $(2)$ より、
$$
(\sqrt[n]{T}))^n=\int_{\sigma(T)}(\sqrt[n]{\lambda})^ndE^T(\lambda)=\int_{\sigma(T)}\lambda dE^T(\lambda)=T
$$
である。また非負自己共役作用素 $S$ が $S^n=T$ を満たすとすると、'''命題8.7'''の $(2), (9)$ より、
$$
\sqrt[n]{T}=\sqrt[n]{S^n}=\int_{\sigma(S)}\sqrt[n]{\lambda^n}dE^S(\lambda)=\int_{\sigma(S)}\lambda dE^S(\lambda)=S
$$
である。
{{end|proof|}}

=== 命題8.10（非負自己共役作用素の特徴付け） ===
$T$ をHilbert空間 $\mathcal{H}$ 上の自己共役作用素とする。このとき次は互いに同値である。
*$(1)$　$T$ は $\mathcal{H}$ 上の非負自己共役作用素である。
*$(2)$　任意の $v\in D(T)$ に対し $(v\mid Tv)\geq0$ が成り立つ。
{{begin |proof }}
$(1)\Rightarrow(2)$ を示す。$(1)$ が成り立つとすると、$T=\sqrt{T}^2$ であるから、任意の $v\in D(T)$ に対し、
$$
(v\mid Tv)=(\sqrt{T}v\mid \sqrt{T}v)=\lVert \sqrt{T}v\rVert^2\geq0
$$
である。よって $(2)$ が成り立つ。 
$(2)\Rightarrow(1)$ を示す。$(2)$ が成り立つとする。任意の $\lambda\in \sigma(T)$ を取る。このとき任意の $\epsilon\in (0,\infty)$ に対し $v_{\epsilon}\in D(T)$ で、$\lVert (\lambda-T)v_{\epsilon}\rVert<\epsilon\lVert v_{\epsilon}\rVert$ を満たすものが存在する。実際、もしある $\epsilon_0\in (0,\infty)$ に対し、
$$
\lVert (\lambda-T)v\rVert\geq\epsilon_0\lVert v\rVert\quad(\forall v\in D(T))\quad\quad(*)
$$
が成り立つとすると、${\rm Ker}(\lambda-T)=\{0\}$ であり、$\lambda-T$ が閉線形作用素であることと $(*)$ より ${\rm Ran}(\lambda-T)$ は $\mathcal{H}$ の閉部分空間である。よって'''命題3.9'''の $(5)$ より、
$$
{\rm Ran}(\lambda-T)=( ({\rm Ran}(\lambda-T))^{\perp})^{\perp}=({\rm Ker}(\lambda-T))^{\perp}=\mathcal{H}
$$
であるから、$\lambda-T\colon D(T)\rightarrow\mathcal{H}$ は全単射であることになる。これは $\lambda\in \sigma(T)$ であることに矛盾する。ゆえに任意の $\epsilon\in (0,\infty)$ に対し $v_{\epsilon}\in D(T)$ で、$\lVert (\lambda-T)v_{\epsilon}\rVert<\epsilon\lVert v_{\epsilon}\rVert$ を満たすものが取れる。今、$\lambda\geq0$ であることを示す。もし $\lambda<0$ ならば、任意の $\epsilon\in (0,\infty)$ に対し $-\lambda(v_{\epsilon}\mid Tv_{\epsilon})\geq0$ であるから、
$$
\epsilon^2\lVert v_{\epsilon}\rVert^2>\lVert (\lambda-T)v_{\epsilon}\rVert^2
=\lambda^2\lVert v_{\epsilon}\rVert^2-2\lambda(v_{\epsilon}\mid Tv_{\epsilon})+\lVert Tv_{\epsilon}\rVert^2\geq \lambda^2\lVert v_{\epsilon}\rVert^2
$$
となる。よって任意の $\epsilon\in (0,\infty)$ に対し $\epsilon>\lvert\lambda\rvert$ となる。これは $\lambda=0$ を意味するので、$\lambda<0$ であることに矛盾する。ゆえに $\lambda\geq0$ である。こうして任意の $\lambda\in \sigma(T)$ に対し $\lambda\geq0$ であるから $\sigma(T)\subset [0,\infty)$ であるので、$T$ は非負自己共役作用素である。
{{end|proof|}}

== 9. 稠密に定義された閉線形作用素の極分解 ==

=== 定義9.1（稠密に定義された閉線形作用素の絶対値作用素） ===
$T$ をHilbert空間 $\mathcal{H}$ 上の稠密に定義された閉線形作用素とする。このとき'''定理3.10'''より $T^*T$ は $\mathcal{H}$ 上の自己共役作用素であり、任意の $v\in D(T^*T)$ に対し、
$$
(v\mid T^*Tv)=(Tv\mid Tv)=\lVert Tv\rVert^2\geq0
$$
であるから、'''命題8.10'''より $T^*T$ は非負自己共役作用素である。そこで $\mathcal{H}$ 上の非負自己共役作用素 $\lvert T\rvert$ を、
$$
\lvert T\rvert\colon=\sqrt{T^*T}
$$
として定義する。これを $T$ の絶対値作用素と呼ぶ。

=== 定義9.2（自己共役作用素の台射影作用素） ===
$T$ を $\mathcal{H}$ 上の自己共役作用素とする。$\mathcal{H}$ の閉部分空間 $\overline{{\rm Ran}(T)}$ の上への射影作用素（'''定義1.6'''）を $S(T)$ と表す。$S(T)$ を $T$ の台射影作用素と呼ぶ。

=== 命題9.3（台射影作用素の特徴付け） ===
Hilbert空間 $\mathcal{H}$ 上の自己共役作用素 $T$ に対し、$T$ の台射影作用素 $S(T)$ は、$\{P\in \mathbb{P}(\mathcal{H}):PT=T\}$ の最小元である。
{{begin |proof }}
${\rm Ran}(S(T))=\overline{{\rm Ran}(T)}$ なので、$S(T)Tv=Tv$ $(\forall v\in D(T))$、よって $S(T)T=T$ である。$PT=T$ なる任意の射影作用素 $P$ に対し、
$$
{\rm Ran}(S(T))=\overline{{\rm Ran}(T)}\subset {\rm Ran}(P)
$$
であるから、$S(T)=PS(T)=PS(T)P\leq P$ である。
{{end|proof|}}

=== 定理9.4（稠密に定義された閉線形作用素の極分解） ===
$T$ をHilbert空間 $\mathcal{H}$ 上の稠密に定義された閉線形作用素とする。このとき $T$ の絶対値作用素 $\lvert T\rvert$ と $\lvert T\rvert$ の台射影作用素 $S(\lvert T\rvert)$ に対し、部分等長作用素 $V\in \mathbb{B}(\mathcal{H})$（'''定義1.1'''）で、
$$
V^*V=S(\lvert T\rvert),\quad T=V\lvert T\rvert
$$
を満たすものが唯一つ存在する。この $T=V\lvert T\rvert$ なる分解を $T$ の極分解と言う。
{{begin |proof}}
$T^*T=\lvert T\rvert^2$ であるから、'''定理3.10'''の $(1)$ より $D(T^*T)=D(\lvert T\rvert^2)$ は、$T,\lvert T\rvert$ の共通の芯である。
$$
D\colon=D(T^*T)=D(\lvert T\rvert^2)
$$
とおく。任意の $v\in D$ に対し、
$$
\lVert Tv\rVert^2=(Tv\mid Tv)=(v\mid T^*Tv)=(v\mid \lvert T\rvert^2v)=(\lvert T\rvert v\mid \lvert T\rvert v)=\lVert \lvert T\rvert v\rVert^2
$$
であるから、
$$
V_0\colon\lvert T\rvert(D)\ni \lvert T\rvert v\mapsto Tv\in \mathcal{H}
$$
なる等長線形作用素が定義できる。[[位相線形空間1：ノルムと内積]]の'''命題3.6'''より $V_0$ は等長線形作用素
$$
V_1\colon\overline{{\rm Ran}(\lvert T\rvert)}=\overline{\lvert T\rvert(D)}\rightarrow\mathcal{H}
$$
に一意拡張できる。（$\overline{{\rm Ran}(\lvert T\rvert)}=\overline{\lvert T\rvert(D)}$ であることは $D$ が $\lvert T\rvert$ の芯であることによる。）そこでHilbert空間 $\mathcal{H}$ の直交分解
$$
\mathcal{H}=\overline{{\rm Ran}(\lvert T\rvert)}\oplus ({\rm Ran}(\lvert T\rvert))^{\perp}\quad\quad(*)
$$
を考えて、
$$
V\colon\mathcal{H}=\overline{{\rm Ran}(\lvert T\rvert)}\oplus ({\rm Ran}(\lvert T\rvert))^{\perp}\ni v+u\mapsto V_1v\in \mathcal{H}
$$
として $V\in \mathbb{B}(\mathcal{H})$ を定義する。このとき、
$$
\lVert Vv\rVert=\lVert v\rVert\quad(\forall v\in \overline{{\rm Ran}(\lvert T\rvert)}),\quad Vu=0\quad(\forall u\in ({\rm Ran}(\lvert T\rvert))^{\perp})
$$
であるから、'''命題1.7'''より $V$ は部分等長作用素で、$V^*V$ は $\overline{{\rm Ran}(\lvert T\rvert)}$ の上への射影作用素、すなわち $V^*V=S(\lvert T\rvert)$ である。そして、
$$
V\lvert T\rvert v=V_1\lvert T\rvert v=V_0\lvert T\rvert v=Tv\quad(\forall v\in D)\quad\quad(**)
$$
である。任意の $v\in D(\lvert T\rvert)$ を取る。$D$ は $\lvert T\rvert$ の芯であるので $D$ の点列 $(v_n)_{n\in \mathbb{N}}$ で、
$$
(v_n,\lvert T\rvert v_n)\rightarrow (v,\lvert T\rvert v)\quad(n\rightarrow\infty)
$$
なるものが取れる。$(**)$ と $V_0$ が等長線形作用素であることから、
$$
\lVert Tv_n-Tv_m\rVert=\lVert V_0\lvert T\rvert v_n-V_0\lvert T\rvert v_m\rVert
=\lVert \lvert T\rvert v_n-\lvert T\rvert v_m\rVert\rightarrow0\quad(n,m\rightarrow\infty)
$$
である。よって $(T v_n)_{n\in \mathbb{N}}$ は収束するので、$T$ が閉であることから、
$$
(v_n,T v_n)\rightarrow (v,T v)\quad(n\rightarrow\infty)
$$
である。これより、
$$
V\lvert T\rvert v=\lim_{n\rightarrow\infty}V\lvert T\rvert v_n=\lim_{n\rightarrow\infty} Tv_n=Tv
$$
であるから $V\lvert T\rvert\subset T$ が成り立つ。逆の包含関係を示す。任意の $v\in D(T)$ を取り、$v\in D(\lvert T\rvert)$ が成り立つことを示せばよい。$D$ は $T$ の芯であるので、$D$ の点列 $(v_n)_{n\in \mathbb{N}}$ で、
$$
(v_n,Tv_n)\rightarrow (v,Tv)\quad(n\rightarrow\infty)
$$
なるものが取れる。$(**)$ と $V_0$ が等長線形作用素であることから、
$$
\lVert \lvert T\rvert v_n-\lvert T\rvert v_m\rVert
=\lVert V_0\lvert T\rvert v_n-V_0\lvert T\rvert v_m\rVert
=\lVert Tv_n-Tv_m\rVert\rightarrow0\quad(n,m\rightarrow\infty)
$$
である。よって $(\lvert T\rvert v_n)_{n\in \mathbb{N}}$ は収束するので、$\lvert T\rvert$ が閉であることから、
$$
(v_n,\lvert T\rvert v_n)\rightarrow (v,\lvert T\rvert v)\quad(n\rightarrow\infty)
$$
である。これより $v\in D(\lvert T\rvert)$ であるから $V\lvert T\rvert=T$ が成り立つ。以上で存在が示せた。~
一意性を示す。$V,W\in \mathbb{B}(\mathcal{H})$ がそれぞれ部分等長作用素であり、
$$
V^*V=S(\lvert T\rvert)=W^*W,\quad V\lvert T\rvert=T=W\lvert T\rvert
$$
を満たすとする。'''命題1.7'''より、
$$
Vu=Wu=0\quad(\forall u\in ({\rm Ran}(\lvert T\rvert))^{\perp})
$$
である。また、
$$
V\lvert T\rvert v=Tv=W\lvert T\rvert v\quad(\forall v\in \mathcal{H})
$$
であるから、$V$ と $W$ は ${\rm Ran}(\lvert T\rvert)$ 上で一致する。$V,W$ の連続性より $V,W$ は $\overline{{\rm Ran}(\lvert T\rvert)}$ 上でも一致するから、$(*)$ より $V=W$ である。
{{end|proof|}}

=== 定理9.5（稠密に定義された閉線形作用素の共役作用素の極分解） ===
$T$ をHilbert空間 $\mathcal{H}$ 上の稠密に定義された閉線形作用素とし、$T$ の極分解
$$
T=V\lvert T\rvert,\quad V^*V=S(\lvert T\rvert)
$$
を考える。このとき $T^*$（'''定理3.10'''より $T^*$ も稠密に定義された閉線形作用素である）の極分解は、
$$
T^*=V^*\lvert T^*\rvert,\quad VV^*=S(\lvert T^*\rvert)
$$
である。（[[Banach環とC*-環のスペクトル理論]]の'''命題8.5'''より $V^*$ は部分等長作用素であることに注意。）
{{begin |proof }}
'''定理3.10'''の $(3)$ より $T=T^{**}$ であるから、
$$
\lvert T^*\rvert=\sqrt{TT^*}
$$
である。$V^*V=S(\lvert T\rvert)$ より $V^*V\lvert T\rvert=\lvert T\rvert$ であり、'''命題3.9'''の $(9)$ より、$T^*=(V\lvert T\rvert)^*=\lvert T\rvert V^*$ であるから、
$$
(V\lvert T\rvert V^*)(V\lvert T\rvert V^*)=(V\lvert T\rvert)(V^*V\lvert T\rvert V^*)
=(V\lvert T\rvert)(\lvert T\rvert V^*)=TT^*=\lvert T^*\rvert^2\quad\quad(*)
$$
である。そして'''命題3.9'''の $(9)$ より、
$$
(V\lvert T\rvert V^*)^*=(VT^*)^*=T^{**}V^*=TV^*=V\lvert T\rvert V^*
$$
であるから $V\lvert T\rvert V^*$ は自己共役作用素であり、
$$
(v\mid V\lvert T\rvert V^*v)=(V^*v\mid \lvert T\rvert V^*v)\geq0\quad(\forall v\in D(V\lvert T\rvert V^*))
$$
であるから、'''命題8.10'''より $V\lvert T\rvert V^*$ は非負自己共役作用素である。よって $(*)$ と'''命題8.9'''より、
$$
\lvert T^*\rvert=V\lvert T\rvert V^*\quad\quad(**)
$$
が成り立つ。これより、
$$
V^*\lvert T^*\rvert=V^*V\lvert T\rvert V^*=\lvert T\rvert V^*=(V\lvert T\rvert)^*=T^*
$$
であり、
$$
VV^*\lvert T^*\rvert=VT^*=V\lvert T\rvert V^*=\lvert T^*\rvert
$$
である。よって'''命題9.3'''より、
$$
S(\lvert T^*\rvert)\leq VV^*
$$
が成り立つ。この逆の不等式を示す。
$$
\lvert T^*\rvert=S(\lvert T^*\rvert)\lvert T^*\rvert
$$
であるから、$(**)$ より、
$$
V\lvert T\rvert V^*=S(\lvert T^*\rvert)V\lvert T\rvert V^*\quad\quad(***)
$$
である。
$$
\lvert T\rvert=\lvert T\rvert^*=(V^*V\lvert T\rvert)^*=\lvert T\rvert V^*V
$$
であるから $(***)$ の両辺に右から $V$ を掛ければ、
$$
V\lvert T\rvert=S(\lvert T^*\rvert)V\lvert T\rvert
$$
を得る。ゆえに、
$$
VS(\lvert T\rvert)=S(\lvert T^*\rvert)VS(\lvert T\rvert)
$$
が成り立つ。$VS(\lvert T\rvert)=VV^*V=V$ より、
$$
V=S(\lvert T^*\rvert)V
$$
であり、両辺に右から $V^*$ を掛けて、
$$
VV^*=S(\lvert T^*\rvert)VV^*
$$
を得る。これより、
$$
VV^*=S(\lvert T^*\rvert)VV^*=S(\lvert T^*\rvert)VV^*S(\lvert T^*\rvert)\leq S(\lvert T^*\rvert)
$$
であるから、$VV^*=S(\lvert T^*\rvert)$ が成り立つ。
{{end|proof|}}

=== 命題9.6（射影値測度による積分の極分解） ===
$\mathcal{H}$ をHilbert空間、$(X,\mathfrak{M})$ を可測空間、$E\colon\mathfrak{M}\rightarrow \mathbb{P}(\mathcal{H})$ を射影値測度、$f\colon X\rightarrow\mathbb{C}$ を可測関数とし、$\mathcal{H}$ 上の稠密に定義された閉線形作用素
$$
T\colon=\int_{X}f(x)dE(x):D_E(f)\rightarrow\mathcal{H}
$$
を考える。このとき、
$$
\lvert T\rvert=\int_{X}\lvert f(x)\rvert dE(x)
$$
である。そして、
$$
\omega(x)\colon=\left\{\begin{array}{cl}\frac{f(x)}{\lvert f(x)\rvert}&(f(x)\neq0)\\0&(f(x)=0)\end{array}\right.
$$
なる有界可測関数 $\omega\colon X\rightarrow\mathbb{C}$ に対し、
$$
V\colon=\int_{X}\omega(x)dE(x)\in \mathbb{B}(\mathcal{H})
$$
を定義すると、
$$
T=V\lvert T\rvert,\quad V^*V=S(\lvert T\rvert)
$$
が成り立つ。すなわち $T=V\lvert T\rvert$ は $T$ の極分解である。
{{begin |proof }}
'''命題6.8'''の $(4)$ より、
$$
T^*T=\int_{X}\lvert f(x)\rvert^2dE(x)
$$
であるから、'''命題8.6'''より、
$$
\lvert T\rvert=\sqrt{T^*T}=\int_{X}\sqrt{\lvert f(x)\rvert^2}dE(x)=\int_{X}\lvert f(x)\rvert dE(x)
$$
である。また'''命題6.8'''の $(1)$ より、
$$
V\lvert T\rvert=\int_{X}\omega(x)\lvert f(x)\rvert dE(x)=\int_{X}f(x)dE(x)=T
$$
であり、
$$
V^*V=\int_{X}\lvert \omega(x)\rvert^2dE(x)=E( (f\neq 0))
$$
である。台射影作用素 $S(\lvert T\rvert)$ は閉部分空間 $\overline{{\rm Ran}(\lvert T\rvert)}$ の上への射影作用素であるから、$1-S(\lvert T\rvert)$ は、
$$
({\rm Ran}(\lvert T\rvert))^{\perp}={\rm Ker}(\lvert T\rvert)={\rm Ker}\left(\int_{X}\lvert f(x)\rvert dE(x)\right)={\rm Ran}E( (f=0))
$$
（三番目の等号は'''命題6.8'''の $(5)$ による）の上への射影作用素である。よって $1-S(\lvert T\rvert)=E( (f=0))$ であるから、
$$
S(\lvert T\rvert)=1-E( (f=0))=E( (f\neq 0)),
$$
ゆえに $V^*V=S(\lvert T\rvert)$ である。
{{end|proof|}}

=== 系9.7（Borel汎関数計算の極分解） ===
$T$ をHilbert空間 $\mathcal{H}$ 上の自己共役作用素か正規作用素とする。そしてBorel関数 $f\colon\sigma(T)\rightarrow\mathbb{C}$ に対し、
$$
\omega(\lambda)\colon=\left\{\begin{array}{cl}\frac{ f(\lambda)}{\lvert f(\lambda)\rvert}&(f(\lambda)\neq0)\\0&(f(\lambda)=0)\end{array}\right.
$$
なる有界Borel関数 $\omega\colon\sigma(T)\rightarrow\mathbb{C}$ を定義する。このときBorel汎関数計算 $f(T)$ の極分解を $f(T)=V\lvert f(T)\rvert$ とすると、
$$
\lvert f(T)\rvert=\lvert f\rvert(T),\quad V=\omega(T)
$$
が成り立つ。

== 10. 掛け算作用素 ==

=== 命題10.1（掛け算作用素の定義の前） ===
$(X,\mathfrak{M},\mu)$ を測度空間とし、任意の $B\in \mathfrak{M}$ に対しHilbert空間 $L^2(X,{\frak M},\mu)$ 上の射影作用素
$$
E^{\mu}(B)\colon L^2(X,\mathfrak{M},\mu)\ni [f]\mapsto [\chi_Bf]\in L^2(X,{\frak M},\mu)
$$
を考える。このとき、
$$
E^{\mu}:{\frak M}\ni B\mapsto E^{\mu}(B)\in \mathbb{P}(L^2(X,{\frak M},\mu))
$$
は射影値測度（'''定義6.2'''）である。そして任意の可測関数 $f\colon X\rightarrow\mathbb{C}$ に対し、$f$ の $E_{\mu}$ による積分（'''定義6.7'''）の定義域は、
$$
D_{E^{\mu}}(f)=\{[g]\in L^2(X,\mathfrak{M},\mu):[fg]\in L^2(X,\mathfrak{M},\mu)\}
$$
であり、
$$
\int_{X}f(x)dE^{\mu}(x)[g]=[fg]\quad(\forall [g]\in D_{E_{\mu}}(f))\quad\quad(*)
$$
が成り立つ。
{{begin |proof }}
任意の $[f],[g]\in L^2(X,\mathfrak{M},\mu)$ に対し $[\overline{f}g]\in L^1(X,\mathfrak{M},\mu)$ であるから、
$$
\mathfrak{M}\ni B\mapsto E^{\mu}_{[f],[g]}(B)=([f]\mid E^{\mu}(B)[g])=\int_{B}\overline{f(x)}g(x)d\mu(x)\in\mathbb{C}
$$
は複素数値測度である。よって $E^{\mu}$ は射影値測度である。任意の可測単関数 $f\colon X\rightarrow\mathbb{C}$ に対し明らかに、
$$
\int_{X}f(x)dE^{\mu}(x)[g]=[fg]\quad(\forall [g]\in L^2(X,\mathfrak{M},\mu))\quad\quad(**)
$$
が成り立つ。有界可測関数は可測単関数列によって一様近似できる（[[測度と積分5：$L^p$ 空間の完備性と双対性]]の'''命題22.2'''）ので、$(**)$ は $f\colon X\rightarrow \mathbb{C}$が有界可測関数の場合も成り立つ。今、任意の可測関数 $f\colon X\rightarrow\mathbb{C}$ を取り、有界可測関数の列 $f_n=f\chi_{(\lvert f\rvert\leq n)}$ $(\forall n\in\mathbb{N})$ を定義すると、任意の $[g]\in L^2(X,\mathfrak{M},\mu)$ に対し、単調収束定理より、
$$
\begin{aligned}
\int_{X}\lvert f(x)\rvert^2dE^{\mu}_{[g],[g]}(x)&=\sup_{n\in\mathbb{N}}\int_{X}\lvert f_n(x)\rvert^2dE^{\mu}_{[g],[g]}(x)=\sup_{n\in\mathbb{N}}\left\lVert\int_{X}f_n(x)dE^{\mu}(x)[g]\right\rVert_2^2\\
&=\sup_{n\in\mathbb{N}}\int_{X}\lvert f_n(x)g(x)\rvert^2d\mu(x)=\int_{X}\lvert f(x)g(x)\rvert^2d\mu(x)
\end{aligned}
$$
であるから、
$$
\begin{aligned}
D_E(f)&=\left\{[g]\in L^2(X,\mathfrak{M},\mu):\int_{X}\lvert f(x)\rvert^2dE^{\mu}_{[g],[g]}(x)<\infty\right\}\\
&=\{[g]\in L^2(X,\mathfrak{M},\mu):[fg]\in L^2(X,\mathfrak{M},\mu)\}
\end{aligned}
$$
であり、任意の $[g]\in D_{E^{\mu}}(f)$ と任意の $[h]\in L^2(X,\mathfrak{M},\mu)$ に対し、Lebesgue優収束定理より、
$$
\begin{aligned}
\left([h]\mid \int_{X}f(x)dE^{\mu}(x)[g]\right)
&=\lim_{n\rightarrow\infty}\left([h]\mid \int_{X}f_n(x)dE^{\mu}(x)[g]\right)
=\lim_{n\rightarrow\infty}\int_{X}\overline{h(x)}f_n(x)g(x)d\mu(x)\\
&=\int_{X}\overline{h(x)}f(x)g(x)d\mu(x)
=([h]\mid [fg])
\end{aligned}
$$
である。よって $(*)$ が成り立つ。
{{end|proof|}}

=== 定義10.2（掛け算作用素） ===
$(X,\mathfrak{M},\mu)$ を測度空間とする。可測関数 $f\colon X\rightarrow\mathbb{C}$ に対し、'''命題10.1'''における
$$
\int_{X}f(x)dE^{\mu}(x)\colon D_{E^{\mu}}([f])\ni [g]\mapsto [fg]\in L^2(X,\mathfrak{M,\mu})
$$
を $f$ による $L^2(X,\mathfrak{M},\mu)$ 上の掛け算作用素と言う。混乱の恐れがない場合は、$\int_{X}f(x)dE^{\mu}(x)$ はそのまま $f$ と表す。また、射影値測度 $E^{\mu}\colon\mathfrak{M}\rightarrow\mathbb{P}(L^2(X,\mathfrak{M},\mu))$ を掛け算作用素を表す射影値測度と呼ぶこととする。

=== 命題10.3（$L^\infty(X,\mathfrak{M},\mu)$ の $\mathbb{B}(L^2(X,\mathfrak{M},\mu))$ への埋め込み） ===
$(X,\mathfrak{M},\mu)$ を $\sigma$-有限測度空間とし、$E^{\mu}\colon\mathfrak{M}\rightarrow\mathbb{P}(L^2(X,\mathfrak{M},\mu))$ を掛け算作用素を表す射影値測度とする。このとき、
$$
L^\infty(X,\mathfrak{M},\mu)\ni [f]\mapsto \int_{X}f(x)dE^{\mu}(x)\in \mathbb{B}(L^2(X,\mathfrak{M},\mu))\quad\quad(*)
$$
は等長 $*$-環準同型写像である。
{{begin |proof }}
$(*)$ が $*$-環準同型写像であることは明らかである。$L^\infty(X,\mathfrak{M},\mu)$ は $C^*$-環であるから、[[Banach環とC*-環のスペクトル理論]]の'''定理10.2'''より、 $(*)$ が単射であることを示せば等長性も示せたことになる。そこで $[f]\in L^\infty(X,\mathfrak{M},\mu)$ に対し $\int_{X}f(x)dE^{\mu}(x)=0$ であるとして、$[f]=0$ が成り立つことを示す。$\sigma$-有限性より $\mathfrak{M}$ の単調増加列 $(X_n)_{n\in\mathbb{N}}$ で、
$$
X=\bigcup_{n\in \mathbb{N}}X_n,\quad \mu(X_n)<\infty\quad(\forall n\in \mathbb{N})
$$
なるものが取れる。任意の $n\in\mathbb{N}$ に対し、$[\chi_{X_n}]\in L^2(X,\mathfrak{M},\mu)$ であるから、
$$
0=\int_{X}f(x)dE^{\mu}(x)[\chi_{X_n}]=[\chi_{X_n}f]\quad(\forall n\in\mathbb{N},\forall B\in\mathfrak{M})
$$
である。よって単調収束定理より、
$$
\int_{X}\lvert f(x)\rvert d\mu(x)=\sup_{n\in \mathbb{N}}\int_{X_n}\lvert f(x)\rvert d\mu(x)=0
$$
であるので、$[f]=0$ である。
{{end|proof|}}

=== 命題10.4（連続関数による掛け算作用素に関するスペクトル写像定理） ===
$X$ を位相空間、$\mu\colon\mathcal{B}_X\rightarrow [0,\infty]$ を $\sigma$-有限なBorel測度とし、任意の空でない開集合 $U\subset X$ に対し $\mu(U)>0$ が成り立つとする。そして $E^{\mu}\colon\mathfrak{M}\rightarrow \mathbb{P}(L^2(X,\mathcal{B}_X,\mu))$ を掛け算作用素を表す射影値測度とする。このとき任意の連続関数 $f\colon X\rightarrow\mathbb{C}$ に対し、
$$
\sigma\left(\int_{X}f(x)dE^{\mu}(x)\right)=\overline{f(X)}\quad\quad(*)
$$
が成り立つ。
{{begin |proof }}
任意の空でない開集合 $U\subset X$ に対し $\mu(U)>0$ であるから、'''命題10.3'''より、
$$
E^{\mu}(U)=\int_{X}\chi_U(x)dE^{\mu}(x)>0
$$
である。よって'''系6.13'''より $(*)$ が成り立つ。
{{end|proof|}}

== 11. 直和Hilbert空間上の線形作用素 ==

=== 定義11.1（Hilbert空間上の線形作用素の直和） ===
$J$ を空でない集合とし、各 $j\in J$ に対しHilbert空間 $\mathcal{H}_j$ からHilbert空間 $\mathcal{K}_j$ への線形作用素 $T_j$ が与えられているとする。このとき直和Hilbert空間（[[測度と積分6：数え上げ測度と $\ell^p$ 空間]]の'''定義26.3'''）$\bigoplus_{j\in J}\mathcal{H}_j$ から直和Hilbert空間 $\bigoplus_{j\in J}\mathcal{K}_j$ への線形作用素 $\bigoplus_{j\in J}T_j$ を、
$$
D\left(\bigoplus_{j\in J}T_j\right)\colon=\left\{(v_j)_{j\in J}\in \bigoplus_{j\in J}\mathcal{H}_j: v_j\in D(T_j)\text{ }(\forall j\in J),\text{ } (T_jv_j)_{j\in J}\in \bigoplus_{j\in J}\mathcal{K}_j \right\},
$$
$$
\bigoplus_{j\in J}T_j\colon D\left(\bigoplus_{j\in J}T_j\right)\ni (v_j)_{j\in J}\mapsto (T_jv_j)_{j\in J}\in \bigoplus_{j\in J}\mathcal{K}_j
$$
と定義する。$\bigoplus_{j\in J}T_j$ を $(T_j)_{j\in J}$ の直和と言う。

=== 命題11.2（Hilbert空間上の線形作用素の直和の基本的性質） ===
$J$ を空でない集合とし、各 $j\in J$ に対しHilbert空間 $\mathcal{H}_j$ からHilbert空間 $\mathcal{K}_j$ への線形作用素 $T_j,S_j$ と、Hilbert空間 $\mathcal{K}_j$ からHilbert空間 $\mathcal{L}_j$ への線形作用素 $R_j$ が与えられているとする。このとき、
*$(1)$　$(T_j)_{j\in J}\in \bigoplus_{j\in J}^{(\infty)}\mathbb{B}(\mathcal{H}_j,\mathcal{K}_j)$<ref>$\bigoplus_{j\in J}^{(\infty)}\mathbb{B}(\mathcal{H}_j,\mathcal{K}_j)$ はBanach空間の族 $(\mathbb{B}(\mathcal{H}_j,\mathcal{K}_j) )_{j\in J}$ の $\ell^\infty$ 直和Banach空間（[[測度と積分6：数え上げ測度と $\ell^p$ 空間]]の'''定義26.1'''）である。</ref> ならば、
$$
\bigoplus_{j\in J}T_j\in \mathbb{B}\left(\bigoplus_{j\in J}\mathcal{H}_j,\text{ }\bigoplus_{j\in J}\mathcal{K}_j\right),\quad \left\lVert \bigoplus_{j\in J}T_j\right\rVert=\sup_{j\in J}\lVert T_j\rVert=\lVert (T_j)_{j\in J}\rVert_{\infty}
$$
が成り立つ。
*$(2)$　各 $j\in J$ に対し $T_j$ が可閉ならば $\oplus_{j\in J}T_j$ も可閉であり、
$$
\overline{\bigoplus_{j\in J}T_j}=\bigoplus_{j\in J}\overline{T_j}
$$
が成り立つ。そして、
$$
D\colon=\text{span}\bigcup_{j\in J}D_j(T_j)\subset \bigoplus_{j\in J}\mathcal{H}_j
$$
は $\bigoplus_{j\in J}\overline{T_j}$ の芯である。
*$(3)$　各 $j\in J$ に対し $T_j$ が稠密に定義された線形作用素ならば $\oplus_{j\in J}T_j$ も稠密に定義された線形作用素であり、
$$
\left(\bigoplus_{j\in J}T_j\right)^*=\bigoplus_{j\in J}T_j^*
$$
が成り立つ。
*$(4)$　
$$
\bigoplus_{j\in J}S_j+\bigoplus_{j\in J}T_j\subset \bigoplus_{j\in J}(S_j+T_j)
$$
であり、もし各 $j\in J$ に対し $S_j+T_j$ が可閉ならば、
$$
\overline{\bigoplus_{j\in J}S_j+\bigoplus_{j\in J}T_j}=\bigoplus_{j\in J}\overline{S_j+T_j}
$$
が成り立つ。
*$(5)$
$$
\bigoplus_{j\in J}R_j\bigoplus_{j\in J}T_j\subset \bigoplus_{j\in J}R_jT_j
$$
であり、もし各 $j\in J$ に対し $R_jT_j$ が可閉ならば、
$$
\overline{\bigoplus_{j\in J}R_j\bigoplus_{j\in J}T_j}=\bigoplus_{j\in J}\overline{R_jT_j}
$$
が成り立つ。
{{begin |proof }}
$$
\mathcal{H}\colon=\bigoplus_{j\in J}\mathcal{H}_j,\quad
\mathcal{K}\colon=\bigoplus_{j\in J}\mathcal{K}_j,\quad
\mathcal{L}\colon=\bigoplus_{j\in J}\mathcal{L}_j
$$
とおき、自然に、
$$
\mathcal{H}_j\subset \mathcal{H},\quad \mathcal{K}_j\subset \mathcal{K},\quad
\mathcal{L}_j\subset \mathcal{L}\quad(\forall j\in J)
$$
とみなす。
*$(1)$　$T=\bigoplus_{j\in J}T_j$ とおく。任意の $v=(v_j)_{j\in J}\in \mathcal{H}$ に対し、
$$
\sum_{j\in J}\lVert T_jv_j\rVert^2\leq (\sup_{j\in J}\lVert T_j\rVert)^2\sum_{j\in J}\lVert v_j\rVert^2=(\sup_{j\in J}\lVert T_j\rVert)^2 \lVert v\rVert^2
$$
であるから $T\in \mathbb{B}(\mathcal{H},\mathcal{K})$ であり、$\lVert T\rVert\leq \sup_{j\in J}\lVert T_j\rVert$ である。また任意の $j\in J$、任意の $v_j\in \mathcal{H}_j$ に対し、
$$
\lVert T_jv_j\rVert=\lVert Tv_j\rVert\leq\lVert T\rVert\lVert v_j\rVert
$$
であるから $\lVert T_j\rVert\leq \lVert T\rVert$ である。よって $\lVert T\rVert=\sup_{j\in J}\lVert T_j\rVert$ が成り立つ。
*$(2)$
$$
U\colon\mathcal{H}\oplus \mathcal{K}\ni ( (u_j)_{j\in J},(v_j)_{j\in J})\mapsto (u_j,v_j)_{j\in J}\in \bigoplus_{j\in J}(\mathcal{H}_j\oplus \mathcal{K}_j)
$$
は明らかにユニタリ作用素である。そして、
$$
U\left(G\left(\bigoplus_{j\in J}\overline{T_j}\right)\right)
=\bigoplus_{j\in J}G(\overline{T_j})=\bigoplus_{j\in J}\overline{G(T_j)}
$$
である。右辺は $\bigoplus_{j\in J}(\mathcal{H}_j\oplus \mathcal{K}_j)$ の閉部分空間であるから、$G(\bigoplus_{j\in J}\overline{T_j})$ は $\mathcal{H}\oplus \mathcal{K}$ の閉部分空間である。よって $\bigoplus_{j\in J}\overline{T_j}$ は閉線形作用素である。また、
$$
U\left(\overline{G\left(\bigoplus_{j\in J}T_j\right)}\right)
=\overline{\bigoplus_{j\in J}G(T_j)}=\bigoplus_{j\in J}\overline{G(T_j)}=\bigoplus_{j\in J}G(\overline{T_j})=U\left(G\left(\bigoplus_{j\in J}\overline{T_j}\right)\right)
$$
であるから、
$$
\overline{\bigoplus_{j\in J}T_j}=\bigoplus_{j\in J}\overline{T_j}
$$
である。$T=\bigoplus_{j\in J}T_j$ とおく。任意の $v=(v_j)_{j\in J}\in D(T)$ を取り、$\mathcal{F}_J$ を $J$ の有限部分集合全体に集合の包含関係を入れた有向集合とする。
$$
v_F\colon=\sum_{j\in F}v_j\in D=\text{span}\bigcup_{j\in J}D(T_j)\quad(\forall F\in \mathcal{F}_J)
$$
とおけば、
$$
Tv_F=\sum_{j\in F}T_jv_j\quad(\forall F\in \mathcal{F}_J)
$$
なので、
$$
(v_F,Tv_F)\rightarrow(v,Tv)\quad(F\rightarrow J)
$$
である。よって $G(T)\subset \overline{G(T|_D)}$ であるから、
$$
G(\overline{T})=\overline{G(T)}\subset \overline{G(T|_D)}\subset G(\overline{T})
$$
である。ゆえに $D$ は $\overline{T}$ の芯である。
*$(3)$　$T\colon=\bigoplus_{j\in J}T_j$、$T'\colon=\bigoplus_{j\in J}T_j^*$ とおく。
$\text{span}\bigcup_{j\in J}D(T_j)\subset D(T)$ であり、左辺は $\mathcal{H}$ において稠密であるので $T$ は稠密に定義された線形作用素である。任意の $u=(u_j)_{j\in J}\in D(T)$、任意の $v=(v_j)_{j\in J}\in D(T')$ に対し、
$$
(v\mid Tu)=\sum_{j\in J}(v_j\mid T_ju_j)=\sum_{j\in J}(T_j^*v_j\mid u_j)
=(T'v\mid u)
$$
であるから、$T'\subset T^*$ である。逆の包含関係を示す。任意の $v=(v_j)_{j\in J}\in D(T^*)$ を取り、$v\in D(T')$ であることを示せばよい。
$$
w=(w_j)_{j\in J}=T^*v\in \mathcal{H}
$$
とおく。このとき任意の $j\in J$、任意の $u_j\in D(T_j)$ に対し、
$$
(v_j\mid T_ju_j)=(v\mid Tu_j)=(T^*v\mid u_j)=(w_j\mid u_j)
$$
であるから $v_j\in D(T_j^*)$ であり、$w_j=T_j^*v_j$ である。よって、
$$
(T_j^*v_j)_{j\in J}=(w_j)_{j\in J}=w\in \mathcal{H}
$$
であるから、$v\in D(T')$ である。
*$(4)$　
$$
\bigoplus_{j\in J}S_j+\bigoplus_{j\in J}T_j\subset \bigoplus_{j\in J}(S_j+T_j)
$$
は自明である。各 $j\in J$ に対し $S_j+T_j$ が可閉であるとすると、$(2)$ より $\bigoplus_{j\in J}\overline{S_j+T_j}$ は閉線形作用素であり、
$$
D\colon=\text{span}\bigcup_{j\in J}D(S_j+T_j)
$$
は $\bigoplus_{j\in J}(\overline{S_j+T_j})$ の芯である。そして $D$ 上で、
$$
\bigoplus_{j\in J}S_j+\bigoplus_{j\in J}T_j= \bigoplus_{j\in J}(\overline{S_j+T_j})
$$
であるから、
$$
\overline{\bigoplus_{j\in J}S_j+\bigoplus_{j\in J}T_j}= \bigoplus_{j\in J}(\overline{S_j+T_j})
$$
が成り立つ。
*$(5)$　
$$
\bigoplus_{j\in J}R_j\bigoplus_{j\in J}T_j\subset\bigoplus_{j\in J}R_jT_j
$$
は自明である。各 $j\in J$ に対し $R_jT_j$ が可閉であるとすると、$(2)$ より $\bigoplus_{j\in J}\overline{R_jT_j}$ は閉線形作用素であり、
$$
D\colon=\text{span}\bigcup_{j\in J}D(R_jT_j)
$$
は $\bigoplus_{j\in J}\overline{R_jT_j}$ の芯である。そして $D$ 上で、
$$
\bigoplus_{j\in J}R_j\bigoplus_{j\in J}T_j=\bigoplus_{j\in J}\overline{R_jT_j}
$$
であるから、
$$
\overline{\bigoplus_{j\in J}R_j\bigoplus_{j\in J}T_j}=\bigoplus_{j\in J}\overline{R_jT_j}
$$
が成り立つ。
{{end|proof|}}

=== 定理11.3（射影値測度の直和） ===
$(X,\mathfrak{M})$ を可測空間、$J$ を空でない集合とし、各 $j\in J$ に対しHilbert空間 $\mathcal{H}_j$ と射影値測度 $E_j\colon\mathfrak{M}\rightarrow\mathbb{P}(\mathcal{H})$ が与えられているとする。このとき、
$$
\bigoplus_{j\in J}E_j\colon\mathfrak{M}\ni B\mapsto \bigoplus_{j\in J}E_j(B_j)\in \mathbb{P}\left(\bigoplus_{j\in J}\mathcal{H}_j\right)
$$
は射影値測度であり、任意の可測関数 $f\colon X\rightarrow\mathbb{C}$ に対し、
$$
\int_{X}f(x)d\left(\bigoplus_{j\in J}E_j\right)(x)=\bigoplus_{j\in J}\int_{X}f(x)dE_j(x)\quad\quad(*)
$$
が成り立つ。そして点スペクトル（'''定義5.1'''）に関して、
$$
\sigma_{\rm p}\left(\int_{X}f(x)d\left(\bigoplus_{j\in J}E_j\right)(x)\right)
=\bigcup_{j\in J}\sigma_{\rm p}\left(\int_{X}f(x)dE_j(x)\right),\quad\quad(**)
$$
スペクトルに関して、
$$
\sigma\left(\int_{X}f(x)d\left(\bigoplus_{j\in J}E_j\right)(x)\right)
=\overline{\bigcup_{j\in J}\sigma\left(\int_{X}f(x)dE_j(x)\right)}\quad\quad(***)
$$
が成り立つ。
{{begin |proof }}
$\mathcal{H}\colon=\bigoplus_{j\in J}\mathcal{H}_j$、$E\colon=\bigoplus_{j\in J}E_j\colon\mathfrak{M}\rightarrow\mathbb{P}(\mathcal{H})$ とおく。$\mathfrak{M}$ の任意の非交叉列 $(B_n)_{n\in \mathbb{N}}$ を取り $B=\bigcup_{n\in \mathbb{N}}B_n$ とおく。任意の $v=(v_j)_{j\in J}\in \mathcal{H}$ に対し、
$$
\begin{aligned}
(v\mid E(B)v)=\sum_{j\in J}E_{j,v_j,v_j}(B)=\sum_{j\in J}\sum_{n\in\mathbb{N}}E_{j,v_j,v_j}(B_n)
=\sum_{n\in\mathbb{N}}\sum_{j\in J}E_{j,v_j,v_j}(B_n)
=\sum_{n\in\mathbb{N}}(v\mid E(B_n)v)
\end{aligned}
$$
であり、偏極恒等式より任意の $u,v\in \mathcal{H}$ に対し、
$$
(u\mid E(B)v)=\frac{1}{4}\sum_{k=0}^{3}i^k(i^ku+v\mid E(B)(i^ku+v))
$$
であるから、任意の $u,v\in {\cal H}$ に対し
$E_{u,v}\colon\mathfrak{M}\in B\mapsto (u\mid E(B)v)\in \mathbb{C}$ は複素数値測度である。よって $E\colon\mathfrak{M}\rightarrow\mathbb{P}(\mathcal{H})$ は射影値測度である。今、任意の可測関数 $f\colon X\rightarrow\mathbb{C}$ に対し $(*)$ が成り立つこと、すなわち、
$$
\int_{X}f(x)dE(x)=\bigoplus_{j\in J}\int_{X}f(x)dE_j(x)
$$
が成り立つことを示す。$f$ が可測単関数である場合は明らかに成り立つ。また有界可測関数は可測単関数の列によって一様近似できる（[[測度と積分5：$L^p$ 空間の完備性と双対性]]の'''命題22.2'''）ので、$f$ が有界可測関数の場合も成り立つ。そこで任意の可測関数 $f\colon X\rightarrow\mathbb{C}$ に対し $f_n=f\chi_{(\lvert f\rvert\leq n)}$ $(\forall n\in \mathbb{N})$ として有界可測関数の列を定義すると、任意の $v=(v_j)_{j\in J}\in \mathcal{H}$ に対し単調収束定理より、
$$
\begin{aligned}
&\int_{X}\lvert f(x)\rvert^2dE_{v,v}(x)=\sup_{n\in \mathbb{N}}\int_{X}\lvert f_n(x)\rvert^2dE_{v,v}(x)=\sup_{n\in\mathbb{N}}\left\lVert\int_{X}f_n(x)dE(x)v\right\rVert^2\\
&=\sup_{n\in\mathbb{N}}\sum_{j\in J}\left\lVert\int_{X}f_n(x)dE_j(x)v_j\right\rVert^2
=\sup_{n\in \mathbb{N}}\sum_{j\in J}\int_{X}\lvert f_n(x)\rvert^2dE_{j,v_j,v_j}(x)\\
&=\sum_{j\in J}\sup_{n\in\mathbb{N}}\int_{X}\lvert f_n(x)\rvert^2dE_{j,v_j,v_j}(x)
=\sum_{j\in J}\int_{X}\lvert f(x)\rvert^2dE_{j,v_j,v_j}(x)
\quad\quad(****)
\end{aligned}
$$
であるから、
$$
\begin{aligned}
D_E(f)&=\left\{v\in \mathcal{H}: \int_{X}\lvert f(x)\rvert^2dE_{v,v}(x)<\infty\right\}\\
&=\left\{(v_j)_{j\in J}\in \mathcal{H}:\sum_{j\in J} \int_{X}\lvert f(x)\rvert^2dE_{j,v_j,v_j}(x)<\infty\right\}\\
&=\left\{(v_j)_{j\in J}\in \mathcal{H}:v_j\in D_{E_j}(f)\text{ }(\forall j\in J),\text{ }\sum_{j\in J}\left\lVert \int_{X}f(x)dE_{j}(x)v_j\right\rVert^2<\infty\right\}\\
&=D\left(\bigoplus_{j\in J}\int_{X}f(x)dE_j(x)\right)
\end{aligned}
$$
である。そして任意の $v=(v_j)_{j\in J}\in \mathcal{H}$、任意の $n\in \mathbb{N}$ に対し $(****)$ で $f$ を $f-f_n$ に置き換えたものを考えると、
$$
\int_{X}\lvert f(x)-f_n(x)\rvert^2dE_{v,v}(x)=\sum_{j\in J}\int_{X}\lvert f(x)-f_n(x)\rvert^2dE_{j,v_j,v_j}(x)
$$
であるから、任意の $v=(v_j)_{j\in J}\in D_E(f)=D(\bigoplus_{j\in J}\int_{X}f(x)dE_j(x))$ に対し、
$$
\begin{aligned}
&\left\lVert\int_{X}f(x)dE(x)v-\int_{X}f_n(x)dE(x)v\right\rVert^2=\left\lVert \int_{X}(f(x)-f_n(x) )dE(x)v\right\rVert^2\\
&=\int_{X}\lvert f(x)-f_n(x)\rvert^2dE_{v,v}(x)=\sum_{j\in J}\int_{X}\lvert f(x)-f_n(x)\rvert^2dE_{j,v_j,v_j}(x)\\
&=\left\lVert\left(\bigoplus_{j\in J}\int_{X}(f(x)-f_n(x))dE_j(x)\right)v\right\rVert^2\\
&=\left\lVert\left(\bigoplus_{j\in J}\int_{X}f(x)dE_j(x)\right)v-\left(\bigoplus_{j\in J}\int_{X}f_n(x)dE_j(x)\right)v\right\rVert^2\quad(\forall n\in\mathbb{N})\quad\quad(*****)
\end{aligned}
$$
であり、Lebesgue優収束定理より $(*****)$ の左から$3$ 番目の式は $n\rightarrow\infty$ で $0$ に収束するので、
$$
\int_{X}f(x)dE(x)v=\lim_{n\rightarrow\infty}\int_{X}f_n(x)dE(x)v=\lim_{n\rightarrow\infty}\left(\bigoplus_{j\in J}\int_{X}f_n(x)dE_j(x)\right)v=\left(\bigoplus_{j\in J}\int_{X}f(x)dE_j(x)\right)v
$$
である。よって $(*)$ が成り立つ。 
$(**)$ が成り立つことを示す。任意の可測関数 $f\colon X\rightarrow\mathbb{C}$ を取る。任意の $\lambda\in\mathbb{C}$ に対し、
$$
\lambda-\int_{X}f(x)dE(x)=\int_{X}(\lambda-f(x))dE(x)=\bigoplus_{j\in J}\int_{X}(\lambda-f(x))dE_j(x)\quad\quad(******)
$$
であり、明らかに $\bigoplus_{j\in J}\int_{X}(\lambda-f(x))dE_j(x)$ が単射であることと全ての $j\in J$ に対し $\int_{X}(\lambda-f(x))dE_j(x)=\lambda-\int_{X}f(x)dE_j(x)$ が単射であることは同値である。よって $(**)$ が成り立つ。 
$(***)$ が成り立つことを示す。$\lambda\in \mathbb{C}$ に対し、$\bigoplus_{j\in J}\int_{X}(\lambda-f(x))dE_j(x)$ が単射かつ値域が $\mathcal{H}$ ならば、明らかに全ての $j\in J$ に対し $\int_{X}(\lambda-f(x))dE_j(x)$ は単射で値域は $\mathcal{H}_j$ である。よって $(******)$ よりレゾルベント集合に関して、
$$
\rho\left(\int_{X}f(x)dE(x)\right)\subset \bigcap_{j\in J}\rho\left(\int_{X}f(x)dE_j(x)\right)
$$
が成り立つ。これより、
$$
\overline{\bigcup_{j\in J}\sigma\left(\int_{X}f(x)dE_j(x)\right)}\subset \sigma\left(\int_{X}f(x)dE(x)\right)
$$
が成り立つ。逆の包含関係を示す。任意の
$$
\lambda_0\in \mathbb{C}\backslash \overline{\bigcup_{j\in J}\sigma\left(\int_{X}f(x)dE_j(x)\right)}\quad\quad(*******)
$$
を取り、
$$
\lambda_0-\int_{X}f(x)dE(x)=\bigoplus_{j\in J}\int_{X}(\lambda_0-f(x))dE_j(x)\colon D_E(f)\rightarrow\mathcal{H}
$$
が全単射であることを示せばよい。各 $j\in J$ に対し $\lambda_0\in \mathbb{C}\backslash \sigma(\int_{X}f(x)dE_j(x))$ であるから $\lambda_0-\int_{X}f(x)dE_j(x)\colon D_{E_j}(f)\rightarrow\mathcal{\mathcal{H}}$ は全単射である。よって $\lambda_0-\int_{X}f(x)dE(x)$ は単射であり、任意の $u=(u_j)_{j\in J}\in \mathcal{H}$ に対し、$v_j\in D_{E_j}(f)$ $(\forall j\in J)$ で、
$$
u_j=\int_{X}(\lambda_0-f(x))dE_j(x)v_j\quad(\forall j\in J)
$$
を満たすものが取れる。$(v_j)_{j\in J}\in {\cal H}$ であることを示す。$(*******)$ よりある $\epsilon\in (0,\infty)$ に対し、
$$
\{\lambda\in \mathbb{C}:\lvert\lambda-\lambda_0\rvert<\epsilon\}\cap \sigma\left(\int_{X}f(x)dE_j(x)\right)=\emptyset\quad(\forall j\in J)
$$
が成り立つから、'''命題6.12'''より、
$$
\{\lambda\in \mathbb{C}:\lvert\lambda-\lambda_0\rvert<\epsilon\}\cap {\rm ess.Ran}_{E_j}(f)=\emptyset\quad(\forall j\in J),
$$
よって本質的値域の定義（'''定義6.11'''）より、
$$
E_j( (\lvert\lambda_0-f\rvert<\epsilon) )=0\quad(\forall j\in J)
$$
である。これより、
$$
\begin{aligned}
\lVert u_j\rVert^2&=\left\lVert \int_{X}(\lambda_0-f(x))dE_j(x)v_j\right\rVert^2
=\left\lVert \int_{(\lvert\lambda_0-f\rvert\geq\epsilon)}(\lambda_0-f(x))dE_j(x)v_j\right\rVert^2\\
&=\int_{(\lvert \lambda_0-f\rvert\geq\epsilon)}\lvert\lambda_0-f(x)\rvert^2dE_{j,v_j,v_j}(x)\geq \epsilon^2\lVert v_j\rVert^2\quad(\forall j\in J),
\end{aligned}
$$
したがって、
$$
\sum_{j\in J}\lVert v_j\rVert^2\leq \sum_{j\in J}\frac{1}{\epsilon^2}\lVert u_j\rVert^2=\frac{1}{\epsilon^2}\lVert u\rVert^2<\infty
$$
である。よって $v:=(v_j)_{j\in J}\in \bigoplus_{j\in J}\mathcal{H}_j=\mathcal{H}$ であり、
$$
u=(u_j)_{j\in J}=\left(\int_{X}(\lambda_0-f(x))dE_j(x)v_j\right)_{j\in J}
$$
であるから、$v=(v_j)_{j\in J}\in D(\bigoplus_{j\in J}(\lambda_0-f(x))dE_j(x))=D(\lambda_0-\int_{X}f(x)dE(x))$ である。これより、
$$
u=\left(\int_{X}(\lambda_0-f(x))dE_j(x)v_j\right)_{j\in J}=\left(\bigoplus_{j\in J}\int_{X}(\lambda_0-f(x))dE_j(x)\right)v=\left(\lambda_0-\int_{X}f(x)dE(x)\right)v
$$
であり、$u\in \mathcal{H}$ は任意なので、$\lambda_0-\int_{X}f(x)dE(x)$ は全射である。ゆえに $\lambda_0\in \mathbb{C}\backslash \sigma(\int_{X}f(x)dE(x))$ であるから $(***)$ が成り立つ。
{{end|proof|}}

=== 定理11.4（自己共役作用素の直和とBorel汎関数計算） ===
$J$ を空でない集合とし、各 $j\in J$ に対しHilbert空間 $\mathcal{H}_j$ 上の自己共役作用素 $T_j$ が与えられているとする。このとき直和Hilbert空間 $\bigoplus_{j\in J}\mathcal{H}_j$ 上の線形作用素 $T\colon=\bigoplus_{j\in J}T_j$ は自己共役作用素であり、
$$
\sigma(T)=\overline{\bigcup_{j\in J}\sigma(T_j)}
$$
が成り立つ。さらに任意のBorel関数 $f\colon\sigma(T)\rightarrow\mathbb{C}$ に対し、
$$
f(T)=\bigoplus_{j\in J}f(T_j)
$$
であり、
$$
\sigma_{\rm p}(f(T))=\bigcup_{j\in J}\sigma_{\rm p}(f(T_j)),\quad
\sigma(f(T))=\overline{\bigcup_{j\in J}\sigma(f(T))}
$$
が成り立つ。
{{begin |proof }}
$T$ が自己共役作用素であることは'''命題11.2'''による。各 $j\in J$ に対し自己共役作用素 $T_j$ のスペクトル測度を $E^{T_j}\colon\mathcal{B}_{\sigma(T_j)}\rightarrow\mathbb{P}(\mathcal{H}_j)$ とおき、射影値測度
$$
E_j\colon\mathcal{B}_{\mathbb{R}}\ni B\mapsto E^{T_j}(B\cap \sigma(T_j))\in \mathbb{P}(\mathcal{H}_j)
$$
を定義する。このとき明らかに任意のBorel関数 $f\colon\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{C}$ に対し、
$$
\int_{\mathbb{R}}f(\lambda)dE_j(\lambda)=\int_{\sigma(T_j)}f(\lambda)dE^{T_j}(\lambda)=f(T_j)
$$
である。'''定理11.3'''により射影値測度
$$
E\colon=\bigoplus_{j\in J}E_j\colon\mathcal{B}_{\mathbb{R}}\ni B\mapsto \bigoplus_{j\in J}E_j(B)\in \mathbb{P}\left(\bigoplus_{j\in J}\mathcal{H}_j\right)
$$
を定義すると、
$$
\int_{\mathbb{R}}\lambda dE(\lambda)=\bigoplus_{j\in J}\int_{\mathbb{R}}\lambda dE_j(\lambda)=\bigoplus_{j\in J}T_j=T
$$
である。そして'''命題8.6'''より任意のBorel関数 $f\colon\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{C}$ に対し、
$$
f(T)=f\left(\int_{\mathbb{R}}\lambda dE(\lambda)\right)=\int_{\mathbb{R}}f(\lambda)dE(\lambda)
$$
であるから、'''定理11.3'''より、
$$
f(T)=\int_{\mathbb{R}}f(\lambda)dE(\lambda)=\bigoplus_{j\in J}\int_{\mathbb{R}}f(\lambda)dE_j(\lambda)=\bigoplus_{j\in J}f(T_j)
$$
である。さらに'''定理11.3'''より、
$$
\sigma_{\rm p}(f(T))=\sigma_{\rm p}\left(\int_{\mathbb{R}}f(\lambda)dE(\lambda)\right)=\bigcup_{j\in J}\sigma_{\rm p}\left(\int_{\mathbb{R}}f(\lambda)dE_j(\lambda)\right)=
\bigcup_{j\in J}\sigma_{\rm p}(f(T_j)),
$$
$$
\sigma(f(T))=\sigma\left(\int_{\mathbb{R}}f(\lambda)dE(\lambda)\right)=\overline{\bigcup_{j\in J}\sigma\left(\int_{\mathbb{R}}f(\lambda)dE_j(\lambda)\right)}=
\overline{\bigcup_{j\in J}\sigma(f(T_j))}
$$
である。
{{end|proof|}}

== 12. 完備化、テンソル積Hilbert空間上の線形作用素 ==

=== 命題12.1 ===
任意のノルム空間 $X$ に対しBanach空間 $\widetilde{X}$ と等長線形写像 $\iota\colon X\rightarrow\widetilde{X}$ で、$\iota(X)$ が $\widetilde{X}$ において稠密であるようなものが存在する。
{{begin |proof }}
直積線形空間 $\prod_{n\in \mathbb{N}}X$ の線形部分空間
$$
\mathcal{C}\colon=\left\{(x_n)_{n\in \mathbb{N}}\in \prod_{n\in \mathbb{N}}X: (x_n)_{n\in \mathbb{N}}\text{ はCauchy列}\right\}
$$
と、$\mathcal{C}$ 上のセミノルム
$$
p\colon\mathcal{C}\ni (x_n)_{n\in \mathbb{N}}\mapsto \lim_{n\rightarrow\infty}\lVert x_n\rVert\in [0,\infty)
$$
を考える。そして $\mathcal{C}$ の線形部分空間
$$
\mathcal{N}\colon=\{(x_n)_{n\in\mathbb{N}}\in \mathcal{C}: p( (x_n)_{n\in\mathbb{N}})=0\}
$$
に対し、商線形空間（[[速習「線形空間論」]]の'''定義3.2'''）$\mathcal{C}/\mathcal{N}$ を考え、商写像を、
$$
\mathcal{C}\ni z\mapsto [z]\in \mathcal{C}/\mathcal{N}
$$
とおく。このとき、
$$
\lVert \cdot\rVert\colon\mathcal{C}/\mathcal{N}\ni [z]\mapsto \lVert [z]\rVert:=p(z)\in [0,\infty)
$$
は $\mathcal{C}/\mathcal{N}$ 上のノルムである。$\mathcal{C}/\mathcal{N}$ にこのノルムを入れたノルム空間を $\widetilde{X}$ とおく。
$$
\iota\colon X\ni x\mapsto [(x)_{n\in\mathbb{N}}]\in \widetilde{X}
$$
として等長線形写像を定義する。任意の $\omega=[(x_n)_{n\in\mathbb{N}}]\in \widetilde{X}$、任意の $\epsilon\in (0,\infty)$ に対し、
$$
\lVert x_n-x_m\rVert\leq\epsilon\quad(\forall n,m\geq n_0)
$$
なる $n_0\in \mathbb{N}$ を取ると、
$$
\lVert \omega-\iota(x_{n_0})\rVert=\lim_{n\rightarrow\infty}\lVert x_n-x_{n_0}\rVert\leq\epsilon
$$
であるから、$\iota(X)$ は $\widetilde{X}$ において稠密である。$\widetilde{X}$ の任意のCauchy列 $(\omega_n)_{n\in \mathbb{N}}$ に対し、
$$
\lVert \omega_n-\iota(x_n)\rVert<\frac{1}{n}\quad(\forall n\in\mathbb{N})
$$
なる $(x_n)_{n\in\mathbb{N}}\in \prod_{n\in\mathbb{N}}X$ を取ると、
$$
\lVert x_n-x_m\rVert\leq \lVert \iota(x_n)-\omega_n\rVert+\lVert \omega_n-\omega_m\rVert+\lVert \omega_m-\iota(x_m)\rVert<\frac{1}{n}+\lVert \omega_n-\omega_m\rVert+\frac{1}{m}\quad(\forall n,m\in\mathbb{N})
$$
であるから $(x_n)_{n\in\mathbb{N}}\in \mathcal{C}$ である。そこで $\omega\colon=[(x_n)_{n\in\mathbb{N}}]\in \widetilde{X}$ とおけば、任意の $n\in\mathbb{N}$ に対し、
$$
\lVert \omega-\omega_n\rVert\leq \lVert \omega-\iota(x_n)\rVert+\lVert \iota(x_n)-\omega_n\rVert<\lim_{m\rightarrow\infty}\lVert x_m-x_n\rVert+\frac{1}{n}
$$
であるから $\lim_{n\rightarrow\infty}\omega_n=\omega$ である。よって $\widetilde{X}$ はBanach空間である。
{{end|proof|}}

=== 命題12.2 ===
任意の内積空間 $X$ に対し、Hilbert空間 $\widetilde{X}$ と内積を保存する線形写像 $\iota\colon X\rightarrow\widetilde{X}$ で $\iota(X)$ が $\widetilde{X}$ で稠密であるようなものが存在する。
{{begin |proof }}
'''命題12.1'''の証明における $\mathcal{C},p,\mathcal{N},\widetilde{X},\iota$ をそのまま用いる。
$$
[\cdot,\cdot]\colon\mathcal{C}\times \mathcal{C}\ni ( (x_n)_{n\in\mathbb{N}}, (y_n)_{n\in\mathbb{N}})\mapsto [(x_n)_{n\in\mathbb{N}},(y_n)_{n\in\mathbb{N}}]\colon=\lim_{n\rightarrow\infty}(x_n\mid y_n)\in \mathbb{C}
$$
は準双線形汎関数であり、任意の $z,w\in \mathcal{C}$ に対し、
$$
\overline{[z,w]}=[w,z],\quad [z,z]=p(z)^2\geq0\quad(*),
$$
$$
\lvert [z,w]\rvert\leq p(z)p(w)\quad\quad(**)
$$
である。$[\cdot,\cdot]$ の準双線形性と $(**)$ より、
$$
(\cdot\mid \cdot)\colon\widetilde{X}\times \widetilde{X}\ni ([z],[w])\mapsto ([z]\mid [w]):=[z,w]\in \mathbb{C}
$$
はwell-definedであり、$(*)$ よりこれは $\widetilde{X}$ 上の内積で、この内積が定めるノルムはBanach空間 $\widetilde{X}$ のノルムである。よって $\widetilde{X}$ はHilbert空間である。そして、
$$
(\iota(x)\mid \iota(y))=([(x)_{n\in\mathbb{N}}]\mid [(y)_{n\in\mathbb{N}}])=(x\mid y)\quad(\forall x,y\in X)
$$
であるから、$\iota\colon X\rightarrow \widetilde{X}$ は内積を保存する。
{{end|proof|}}

=== 定義12.3（完備化Banach空間、完備化Hilbert空間） ===
'''命題12.1'''においてノルム空間 $X$ と $\iota(X)$ を同一視することにより、$X$ をBanach空間 $\widetilde{X}$ の稠密部分空間とみなす。このとき $\widetilde{X}$ を $X$ の完備化Banach空間と言う。 
'''命題12.2'''において内積空間 $X$ と $\iota(X)$ を同一視することにより、$X$ をHilbert空間 $\widetilde{X}$ の稠密部分空間とみなす。このとき $\widetilde{X}$ を $X$ の完備化Hilbert空間と言う。

=== 命題12.4（内積空間のテンソル積） ===
$\mathcal{H}_1,\ldots,\mathcal{H}_N$ をそれぞれHilbert空間とし、
$$
\bigodot_{j=1}^{N}\mathcal{H}_j=\mathcal{H}_1\odot \cdots\odot\mathcal{H}_N
$$
をテンソル積線形空間（[[速習「線形空間論」]]の'''定義8.1'''）とする。このとき $\bigodot_{j=1}^{N}\mathcal{H}_j$ 上の内積で、任意の $u_j,v_j\in \mathcal{H}_j$ $(j=1,\ldots,N)$ に対し、
$$
(u_1\otimes\cdots\otimes u_N\mid v_1\otimes\cdots\otimes v_N)=(u_1\mid v_1)\cdots (u_N\mid v_N)
$$
を満たすものが唯一つ存在する。
{{begin |proof }}
一意性はテンソル積線形空間 $\bigodot_{j=1}^{N}\mathcal{H}_j$ の任意の元が $v_1\otimes\cdots\otimes v_N$ なる形の元の線形結合全体であることによる。存在を示す。任意の $v_j\in \mathcal{H}_j$ $(j=1,\ldots,N)$ に対し、
$$
\mathcal{H}_1\times\cdots\times \mathcal{H}_N\ni (u_1,\ldots,u_N)\mapsto (v_1\mid u_1)\cdots (v_N\mid u_N)\in \mathbb{C}
$$
は多重線形写像であるから、[[速習「線形空間論」]]の'''定理8.4'''より線形汎関数
$$
\bigodot_{j=1}^{N}\mathcal{H}_j\ni u_1\otimes\cdots\otimes u_N\mapsto (v_1\mid u_1)\cdots (v_N\mid u_N)\in \mathbb{C}
$$
が定まる。この線形汎関数の各点ごとの複素共役を取ることで反線形汎関数
$$
(\cdot\mid v_1)\otimes\cdots\otimes (\cdot\mid v_N):\bigodot_{j=1}^{N}\mathcal{H}_j\ni u_1\otimes\cdots\otimes u_N\mapsto (u_1\mid v_1)\cdots (u_N\mid v_N)\in \mathbb{C}
$$
が定まる。 $\bigodot_{j=1}^{N}\mathcal{H}_j$ 上の反線形汎関数全体 $AL(\bigodot_{j=1}^{N}\mathcal{H}_j,\mathbb{C})$ は各点ごとの演算で $\mathbb{C}$ 上の線形空間をなし、
$$
\mathcal{H}_1\times \cdots\times \mathcal{H}\ni (v_1,\ldots,v_N)\mapsto (\cdot \mid v_1)\otimes \cdots \otimes (\cdot \mid v_N)\in AL\left(\bigodot_{jh=1}^{N}\mathcal{H}_j,\mathbb{C}\right)
$$
は多重線形写像である。よって[[速習「線形空間論」]]の'''定理8.4'''より線形写像
$$
M\colon\bigodot_{j=1}^{N}\mathcal{H}_j\ni v_1\otimes \cdots\otimes v_N\mapsto (\cdot \mid v_1)\otimes \cdots \otimes (\cdot \mid v_N)\in AL\left(\bigodot_{jh=1}^{N}\mathcal{H}_j,\mathbb{C}\right)
$$
が定まる。そこで準双線形汎関数
$$
(\cdot \mid \cdot)\colon\bigodot_{j=1}^{N}\mathcal{H}_j\times \bigodot_{j=1}^{N}\mathcal{H}_j\rightarrow\mathbb{C},\quad (T\mid S)\colon=M(S)(T)\quad(\forall S,T\in \bigodot_{j=1}^{N}\mathcal{H}_j)\quad\quad(*)
$$
を定義する。このとき任意の $u_j,v_j\in \mathcal{H}_j$ $(j=1,\ldots,N)$ に対し、
$$
(u_1\otimes\cdots \otimes u_N\mid v_1\otimes\cdots\otimes v_N)
=(u_1\mid v_1)\cdots (u_N\mid v_N)
$$
であるので、$(*)$ が $\bigodot_{j=1}^{N}\mathcal{H}_j$ 上の内積であることを示せばよい。明らかに任意の $S,T\in \bigodot_{j=1}^{N}\mathcal{H}_j$ に対し $\overline{(S\mid T)}=(T\mid S)$ が成り立つ。任意の
$$
T=\sum_{l=1}^{n}v_{1,l}\otimes\cdots\otimes v_{N,l}\in \bigodot_{j=1}^{N}\mathcal{H}_j
$$
を取る。各 $j\in \{1,\ldots,N\}$ に対し $\mathcal{H}_j$ の有限次元部分空間 $\text{span}\{v_{j,1},\ldots,v_{j,n}\}$ のCONS $\{e_{j,1},\ldots,e_{j,m(j)}\}$ を取れば、ある $\alpha_{k_1,\ldots,k_N}\in \mathbb{C}$ に対し、
$$
T=\sum_{k_1,\ldots,k_N}\alpha_{k_1,\ldots,k_N}e_{1,k_1}\otimes \cdots\otimes e_{N,k_N}
$$
と表せる。よって、
$$
(T\mid T)=\sum_{k_1,\ldots,k_N}\lvert \alpha_{k_1,\ldots,k_N}\rvert^2\geq0
$$
であり、$(T\mid T)=0$ であるならば $T=0$ であるから $(*)$ は $\bigodot_{j=1}^{N}\mathcal{H}_j$ 上の内積である。
{{end|proof|}}

=== 定義12.5（テンソル積Hilbert空間） ===
$\mathcal{H}_1,\ldots,\mathcal{H}_N$ をそれぞれHilbert空間とする。'''命題12.4'''における内積による内積空間 $\bigodot_{j=1}^{N}\mathcal{H}_j$ の完備化Hilbert空間（'''定義12.3'''）を、
$$
\bigotimes_{j=1}^{N}\mathcal{H}_j=\mathcal{H}_1\otimes\cdots\otimes\mathcal{H}_N
$$
と表し、これを $\mathcal{H}_1,\ldots,\mathcal{H}_N$ のテンソル積Hilbert空間と言う。
$$
\bigotimes_{j=1}^{N}\mathcal{H}_j=\overline{\text{span}\{v_1\otimes\cdots\otimes v_N:v_1\in \mathcal{H}_1,\ldots,v_N\in \mathcal{H}_N\}}
$$
である。

=== 定義12.6（線形部分空間のテンソル積線形空間の表記） ===
$\mathcal{H}_1,\ldots,\mathcal{H}_N$ をそれぞれHilbert空間とし、$D_j\subset \mathcal{H}_j$ $(j=1,\ldots,N)$ をそれぞれ線形部分空間とする。これに対しテンソル積Hilbert空間 $\bigotimes_{j=1}^{N}\mathcal{H}_j$ の線形部分空間
$$
\bigodot_{j=1}^{N}D_j=D_1\odot\cdots\odot D_N:=\text{span}\{v_1\otimes\cdots\otimes v_N:v_1\in D_1,\ldots,v_N\in D_N\}
$$
を定義する。

=== 命題12.7（テンソル積Hilbert空間の典型的な稠密部分空間とCONS） ===
$\mathcal{H}_1,\ldots,\mathcal{H}_N$ をそれぞれHilbert空間とする。
*$(1)$　$D_1\subset \mathcal{H}_1,\cdots,D_N\subset \mathcal{H}_N$ がそれぞれ稠密部分空間であるならば、
$$
D_1\odot \cdots\odot D_N\subset \mathcal{H}_1\otimes\cdots\otimes \mathcal{H}_N
$$
も稠密部分空間である。
*$(2)$　各 $\mathcal{H}_j$ のCONSを $(e_{j,i})_{i\in I_j}$（[[測度と積分6：数え上げ測度と $\ell^p$ 空間 ]]の'''定義25.7'''）とすると、
$$
(e_{1,i_1}\otimes\cdots\otimes e_{N,i_N})_{(i_1,\ldots,i_N)\in I_1\times\cdots\times I_N}\quad\quad(*)
$$
は $\mathcal{H}_1\otimes\cdots\otimes \mathcal{H}_N$ のCONSである。
{{begin |proof }}
*$(1)$
$$
\lVert v_1\otimes\cdots\otimes v_N\rVert=\lVert v_1\rVert\cdots\lVert v_N\rVert\quad(\forall v_1\in \mathcal{H}_1,\ldots,v_N\in \mathcal{H}_N)
$$
であるから、
$$
\mathcal{H}_1\times\cdots\times \mathcal{H}_N\ni (v_1,\ldots,v_N)\mapsto v_1\otimes\cdots\otimes v_N\in \mathcal{H}_1\otimes\cdots\otimes \mathcal{H}_N
$$
は有界多重線形写像である。よって任意の $j\in \{1,\ldots,N\}$、任意の $v_j\in \mathcal{H}_j$ に対し $v_j$ に収束する $D_j$ の列 $(v_{j,n})_{n\in \mathbb{N}}$ を取れば、
$$
v_1\otimes\cdots\otimes v_N=\lim_{n\rightarrow\infty}v_{1,n}\otimes\cdots\otimes v_{N,n}\in \overline{D_1\odot\cdots \odot D_N}
$$
である。ゆえに、
$$
\mathcal{H}_1\otimes\cdots\otimes \mathcal{H}_N=\overline{\mathcal{H}_1\odot \cdots \odot\mathcal{H}_N}=\overline{D_1\odot \cdots\odot D_N}
$$
である。
*$(2)$　$(*)$ は明らかに $\mathcal{H}_1\otimes \cdots\otimes \mathcal{H}_N$ のONSである。CONSの定義より各 $j\in\{1,\ldots,N\}$ に対し $D_j:=\text{span}\{e_{j,i}\}_{i\in I_j}$ は $\mathcal{H}_j$ の稠密部分空間であるから、$(1)$ より、
$$
D_1\odot \cdots\odot D_N=\text{span}\{e_{1,i_1}\otimes\cdots\otimes e_{N,i_N}:(i_1,\ldots,i_N)\in I_1\times\cdots\times I_N\}
$$
は $\mathcal{H}_1\otimes\cdots\otimes \mathcal{H}_N$ の稠密部分空間である。よって $(*)$ は $\mathcal{H}_1\otimes\cdots\otimes \mathcal{H}_N$ のCONSである。
{{end|proof|}}

=== 命題12.8 ===
$X_j$ を第二可算局所コンパクトHausdorff空間、$\mu_j\colon\mathcal{B}_{X_j}\rightarrow[0,\infty]$ をコンパクト集合に対して有限測度を与えるBorel測度（[[測度と積分7：局所コンパクトHausdorff空間上のRadon測度]]の'''定理31.5'''よりRadon測度）とする $(j=1,\ldots,N)$。そして$f_j\colon X_j\rightarrow\mathbb{C}$（$j=1,\ldots,N$）に対し、
$$
f_1\times\cdots\times f_N\colon X_1\times \cdots\times X_N\ni (x_1,\ldots,x_N)\mapsto f_1(x_1)\ldots f_N(x_N)\in \mathbb{C}
$$
と定義する。このときユニタリ作用素
$$
U\colon\bigotimes_{j=1}^{N}L^2(X_j,\mu_j)\rightarrow L^2(X_1\times\cdots\times X_N,\mu_1\otimes\cdots \otimes \mu_N)
$$
で、
$$
U([f_1]\otimes\cdots\otimes [f_N])=[f_1\times\cdots\times f_N]\quad(\forall [f_1]\in L^2(X_1,\mu_1),\ldots,[f_N]\in L^2(X_N,\mu_N))
$$
を満たすものが唯一つ存在する。
{{begin |proof }}
まず各 $X_j$ は第二可算局所コンパクトHausdorff空間であるから、[[測度と積分1：測度論の基礎用語]]の'''命題2.8'''より、
$$
X\colon=X_1\times \cdots\times X_N
$$
も第二可算局所コンパクトHausdorff空間であり、
$$
\mathcal{B}_X=\mathcal{B}_{X_1}\otimes\cdots\otimes \mathcal{B}_{X_N}
$$
である。また各 $\mu_j$ は $\sigma$-有限であるので、直積測度
$$
\mu=\mu_1\otimes\cdots\otimes \mu_N
$$
が定義でき、$X$ の任意のコンパクト集合はコンパクト集合の直積に含まれる<ref>$K\subset X$ をコンパクト集合、$\pi_j\colon X\rightarrow X_j$ を自然な射影 $(j=1,\ldots,N)$ とすると、各 $\pi_j(K)$ はコンパクトであり、$K\subset \pi_1(K)\times \cdots\times \pi_N(K)$ である。</ref>から、[[測度と積分7：局所コンパクトHausdorff空間上のRadon測度]]の'''定理31.5'''より、$\mu$ は自動的にRadon測度である。任意の $[f_1]\in L^2(X_1,\mu_1),\ldots,[f_N]\in L^2(X_N,\mu_N)$ に対しTonelliの定理より $[f_1\times\cdots\times f_N]\in L^2(X,\mu)$ であり、
$$
\prod_{j=1}^{N}L^2(X_j,\mu_j)\ni ([f_1],\ldots,[f_N])\mapsto [f_1\times\cdots\times f_N]\in L^2(X,\mu)
$$
はwell-definedな多重線形写像である。よって[[速習「線形空間論」]]の'''定理8.4'''より線形作用素
$$
U_0:\bigodot_{j=1}^{N}L^2(X_j,\mu_j)\ni [f_1]\otimes\cdots\otimes [f_N]\mapsto [f_1\times\cdots\times f_N]\in L^2(X,\mu)
$$
が定まり、Fubiniの定理より $U_0$ は内積を保存する。よって $U_0$ は内積を保存する線形作用素
$$
U:\bigotimes_{j=1}^{N}L^2(X_j,\mu_j)\rightarrow L^2(X,\mu)
$$
に一意拡張できる。$\mu$ はRadon測度なので[[測度と積分7：局所コンパクトHausdorff空間上のRadon測度]]の'''定理32'''より、
$$
L^2(X,\mu)=\overline{[C_c(X)]}^{\lVert \cdot\rVert_2}
$$
が成り立つ。任意の $f\in C_c(X)$ を取る。各 $j\in\{1,\ldots,N\}$ に対し $\text{supp}(f)$ の $X_j$ 上への自然な射影 $\pi_j(\text{supp}(f))\subset X_j$ はコンパクトであるから、[[測度と積分7：局所コンパクトHausdorff空間上のRadon測度]]の'''命題27.4'''より、閉包がコンパクトな開集合 $V_j\supset \pi_j(\text{supp}(f))$ が取れる。
$$
\text{supp}(f)\subset \pi_1(\text{supp}(f))\times\cdots\times \pi_N(\text{supp}(f))\subset V_1\times\cdots\times V_N
$$
より、
$$
f\in C_c(V_1\times\cdots\times V_N)\subset C_0(V_1\times\cdots\times V_N)
$$
であり、Urysohnの補題とStone-Weierstrassの定理（[[測度と積分7：局所コンパクトHausdorff空間上のRadon測度]]の'''定理27.6'''と'''定理35.5'''）より、
$$
C_0(V_1\times\cdots\times V_N)=\overline{\text{span}\{\varphi_1\times\cdots\times\varphi_N:\varphi_1\in C_0(V_1),\ldots,\varphi_N\in C_0(V_N)\}}^{\sup\text{ノルム}}
$$
であるから、
$$
\mu(V_1\times\cdots\times V_N)\leq \mu_1(\overline{V_1})\cdots\mu_N(\overline{V_N})<\infty
$$
より、
$$
[f]\in \overline{U(L^2(X_1,\mu_1)\odot \cdots\odot L^2(X_N,\mu_N))}^{\lVert \cdot\rVert_2}
$$
である。よって、
$$
\begin{aligned}
&L^2(X,\mu)=\overline{[C_c(X)]}^{\lVert \cdot\rVert_2}\subset \overline{U(L^2(X_1,\mu_1)\odot \cdots\odot L^2(X_N,\mu_N))}^{\lVert \cdot\rVert_2}\\
&=U(\overline{L^2(X_1,\mu_1)\odot \cdots \odot L^2(X_N,\mu_N)}^{\lVert \cdot\rVert_2})=U(L^2(X_1,\mu_1)\otimes\cdots\otimes L^2(X_N,\mu_N))\subset L^2(X,\mu)
\end{aligned}
$$
であるから、$U$ はユニタリ作用素である。
{{end|proof|}}

=== 定義12.9（$L^2$ 空間のテンソル積） ===
$X_j$ を第二可算局所コンパクトHausdorff空間、$\mu_j\colon\mathcal{B}_{X_j}\rightarrow[0,\infty]$ をコンパクト集合に対して有限測度を与えるBorel測度（[[測度と積分7：局所コンパクトHausdorff空間上のRadon測度]]の'''定理31.5'''よりRadon測度）とする $(j=1,\ldots,N)$。このとき'''命題12.8'''より、ユニタリ作用素
$$
U\colon\bigotimes_{j=1}^{N}L^2(X_j,\mu_j)\rightarrow L^2(X_1\times\cdots\times X_N,\mu_1\otimes\cdots \otimes \mu_N)
$$
で、
$$
U([f_1]\otimes\cdots\otimes [f_N])=[f_1\times\cdots\times f_N]\quad(\forall [f_1]\in L^2(X_1,\mu_1),\ldots,[f_N]\in L^2(X_N,\mu_N))
$$
を満たすものが唯一つ存在する。そこで以後、
$$
[f_1]\otimes\cdots\otimes [f_N]=[f_1\times\cdots\times f_N]\quad(\forall [f_1]\in L^2(X_1,\mu_1),\ldots,[f_N]\in L^2(X_N,\mu_N))
$$
なる同一視により、
$$
\bigotimes_{j=1}^{N}L^2(X_j,\mu_j)=L^2(X_1\times\cdots\times X_N,\mu_1\otimes\cdots\otimes \mu_N)
$$
とみなす。

=== 定義12.10（Hilbert空間上の線形作用素のテンソル積） ===
各 $j\in \{1,\ldots,N\}$ に対しHilbert空間 $\mathcal{H}_j$ からHilbert空間 $\mathcal{K}_j$ への線形作用素 $T_j$ が与えられているとする。このとき、
$$
\prod_{j=1}^{N}D(T_j)\ni (v_1,\ldots,v_N)\mapsto T_1v_1\otimes \cdots\otimes T_Nv_N\in \bigotimes_{j=1}\mathcal{K}_j
$$
は多重線形写像であるから、[[速習「線形空間論」]]の'''定理8.4'''より線形作用素
$$
T_1\odot \cdots\odot T_N\colon\bigodot_{j=1}^{N}D(T_j)\ni v_1\otimes\cdots\otimes v_N\mapsto T_1v_1\otimes\cdots\otimes T_Nv_N\in \bigotimes_{j=1}^{N}\mathcal{K}_j
$$
が定まる。もし $T_1,\ldots,T_N$ がそれぞれ稠密に定義された線形作用素であるならば、'''命題12.7'''より $\bigodot_{j=1}^{N}D(T_j)$ は $\bigotimes_{j=1}^{N}\mathcal{H}_j$ において稠密であるから、$T_1\odot \cdots\odot T_N$ はHilbert空間 $\bigotimes_{j=1}^{N}\mathcal{H}_j$ からHilbert空間 $\bigotimes_{j=1}^{N}\mathcal{K}_j$ への稠密に定義された線形作用素である。よって $T_1\odot \cdots\odot T_N$ は共役作用素を持ち、明らかに、
$$
T_1^*\odot \cdots\odot T_N^*\subset (T_1\odot \cdots\odot T_N)^*
$$
である。これよりもし $T_1,\ldots,T_N$ が稠密に定義された閉線形作用素ならば、'''定理3.10'''より $T_j=T_j^{**}$ であるから、
$$
T_1\odot \cdots\odot T_N=T_1^{**}\odot \cdots\odot T_N^{**}\subset (T_1^*\odot \cdots\odot T_N^*)^*
$$
であり、右辺は閉線形作用素である（'''命題3.9'''の $(6)$ より共役作用素は閉である）から、$T_1\odot \cdots\odot T_N$ は稠密に定義された可閉線形作用素である。そこで $\mathcal{H}_j$ から $\mathcal{K}_j$ への稠密に定義された閉線形作用素 $T_j$ $(j=1,\ldots,N)$ に対し、$\bigotimes_{j=1}^{N}\mathcal{H}_j$ から $\bigotimes_{j=1}^{N}\mathcal{K}_j$ への稠密に定義された閉線形作用素 $T_1\otimes\cdots\otimes T_N$ を、
$$
T_1\otimes\cdots\otimes T_N\colon=\overline{T_1\odot \cdots \odot T_N}
$$
と定義する。$T_1\otimes\cdots\otimes T_N$ を $T_1,\ldots,T_N$ のテンソル積と言う。

=== 補題12.11（Russo-Dyeの定理） ===
$\mathcal{A}$ を単位的 $C^*$-環とし、$A\in \mathcal{A}$ と $n\in \mathbb{N}$ が、
$$
\lVert A\rVert<1-\frac{2}{n}
$$
を満たすとする。このとき $n$ 個のユニタリ元 $U_1,\ldots,U_n\in \mathcal{A}$ で、
$$
A=\frac{1}{n}(U_1+\cdots+U_n)
$$
を満たすものが取れる。特に $\mathcal{A}$ の任意の元はユニタリ元の線形結合である。
{{begin |proof }}
*$(1)$　$A\in {\rm GL}(\mathcal{A})$ かつ $\lVert A\rVert<1$ を満たす任意の $A$ に対し、ユニタリ元 $U_+,U_-\in \mathcal{A}$ で、
$$
A=\frac{1}{2}(U_++U_-)
$$
を満たすものが取れることを示す。$A^*A\in {\rm GL}(\mathcal{A})\cap \mathcal{A}_+$ であるから連続汎関数計算（[[Banach環とC*-環のスペクトル理論]]の'''定義6.6'''）より $\lvert A\rvert=\sqrt{A^*A}\in {\rm GL}(\mathcal{A})\cap \mathcal{A}_+$ である。そこで、
$$
W\colon=A\lvert A\rvert^{-1}\in {\rm GL}(\mathcal{A})
$$
とおくと、$W^*W=\lvert A\rvert^{-1}A^*A\lvert A\rvert^{-1}=\lvert A\rvert^{-1}\lvert A\rvert^2\lvert A\rvert^{-1}=1$ であるから $W$ はユニタリであり、$A=W\lvert A\rvert$ である。$\lVert \lvert A\rvert\rVert^2=\lVert A^*A\rVert=\lVert A\rVert^2<1$ であるから $1-\lvert A\rvert^2\in \mathcal{A}_+$ である。そこで、
$$
V_{\pm}\colon=\lvert A\rvert\pm i\sqrt{1-\lvert A\rvert^2}
$$
とおけば連続汎関数計算より、
$$
V_{\pm}V_{\mp}=\lvert A\rvert^2+(1-\lvert A\rvert^2)=1
$$
であるから $V_{\pm}$ はユニタリである。そして $\lvert A\rvert=\frac{1}{2}(V_++V_-)$ であるから、
$$
A=W\lvert A\rvert=\frac{1}{2}(WV_++WV_-)
$$
である。$U_{\pm}=WV_{\pm}$ とおけば $U_{\pm}$ はユニタリであり、$A=\frac{1}{2}(U_++U_-)$ である。

*$(2)$　$\lVert A\rVert<1$ を満たす任意の $A\in \mathcal{A}$ に対し、ユニタリ元 $U,V$ で、
$$
1+A=U+V
$$
を満たすものが取れることを示す。[[Banach環とC*-環のスペクトル理論]]の'''命題1.2'''より $1+A\in {\rm GL}(\mathcal{A})$ であるから、
$$
\frac{1}{2}(1+A)\in {\rm GL}(\mathcal{A}),\quad \left\lVert \frac{1}{2}(1+A)\right\rVert<1
$$
である。よって $(1)$ よりユニタリ元 $U,V\in \mathcal{A}$ で、
$$
\frac{1}{2}(1+A)=\frac{1}{2}(U+V)
$$
なるものが取れる。
*$(3)$　$\lVert A\rVert<1$ を満たす任意の $A\in \mathcal{A}$ と任意の $n\in \mathbb{N}$ に対し、$n+1$ 個のユニタリ $U_1,\ldots,U_n,V_n\in \mathcal{A}$ で、
$$
1+nA=U_1+\cdots+U_n+V_n
$$
を満たすものが取れることを示す。$n\in \mathbb{N}$ に関する帰納法で示す。$n=1$ の場合は $(2)$ より成り立つ。ある $n-1\in \mathbb{N}$ に対して成り立つと仮定する。すなわち $n$ 個のユニタリ元 $U_1,\ldots,U_{n-1},V_{n-1}\in \mathcal{A}$ で、
$$
1+(n-1)A=U_1+\cdots+U_{n-1}+V_{n-1}
$$
を満たすものが取れるとする。このとき $V_{n-1}+A=V_{n-1}(1+V_{n-1}^*A)$ であり、$\lVert V_{n-1}^*A\rVert<1$ であるから、$(2)$ よりユニタリ元 $U_n,V_n$ で、
$$
V_{n-1}+A=U_n+V_n
$$
なるものが取れる。よって、
$$
1+nA=1+(n-1)A+A=U_1+\cdots+U_{n-1}+V_{n-1}+A=U_1+\cdots+U_n+V_n
$$
であるから $n$ の場合も成り立つ。
*$(4)$　$A\in \mathcal{A}$ と $n\in \mathbb{N}$ が $\lVert A\rVert<1-\frac{2}{n}$ を満たすとき、$n$ 個のユニタリ元 $U_1,\ldots,U_n$ で、
$$
A=\frac{1}{n}(U_1+\cdots+U_n)
$$
を満たすものが取れることを示す。
$$
B\colon=\frac{1}{n-1}(1-nA)\in\mathcal{A}
$$
とおくと、
$$
\lVert B\rVert\leq \frac{1}{n-1}(1+n\lVert A\rVert)<\frac{1}{n-1}(1+n-2)=1
$$
であるから、$(3)$ より $n$ 個のユニタリ元 $U_1,\ldots,U_n$ で、
$$
nA=1+(n-1)B=U_1+\cdots+U_n
$$
を満たすものが取れる。よって $A=\frac{1}{n}(U_1+\cdots+U_n)$ である。
{{end|proof|}}

=== 定理12.12（有界線形作用素のテンソル積） ===
$\mathcal{H}_j,\mathcal{K}_j$ をそれぞれHilbert空間とし、$T_j\in \mathbb{B}(\mathcal{H}_j,\mathcal{K}_j)$ $(j=1,\ldots,N)$ とする。このとき $T_1,\ldots,T_N$ のテンソル積は、
$$
T_1\otimes\cdots\otimes T_N\in \mathbb{B}\left(\bigotimes_{j=1}^{N}\mathcal{H}_j,\text{ }\bigotimes_{j=1}^{N}\mathcal{K}_j\right)
$$
を満たし、作用素ノルムに関して、
$$
\lVert T_1\otimes\cdots\otimes T_N\rVert=\lVert T_1\rVert\cdots\lVert T_N\rVert
$$
が成り立つ。
{{begin |proof }}
*$(1)$　まず $\mathcal{H}_j=\mathcal{K}_j$ $(j=1,\ldots,N)$ の場合に成り立つことを示す。このときRusso-Dyeの定理（'''補題12.11'''）より各 $j\in \{1,\ldots,N\}$ に対し $T_j\in \mathbb{B}(\mathcal{H}_j)$ は $\mathcal{H}_j$ 上のユニタリ作用素の線形結合で表せる。ここで $U_j\in \mathbb{B}(\mathcal{H}_j)$ $(j=1,\ldots,N)$ をユニタリ作用素とすると、
$$
U_1\odot\cdots\odot U_N\colon\bigodot_{j=1}^{N}\mathcal{H}_j\ni v_1\otimes\cdots\otimes v_N\mapsto U_1v_1\otimes\cdots\otimes U_Nv_N\in \bigotimes_{j=1}^{N}\mathcal{H}_j
$$
は内積を保存するので有界作用素であり、
$$
T_1\odot \cdots\odot T_N\colon\bigodot_{j=1}^{N}\mathcal{H}_j\rightarrow\bigotimes_{j=1}^{N}\mathcal{H}_j
$$
はこのタイプの線形作用素の線形結合であるから有界線形作用素である。よって、
$$
T_1\otimes\cdots\otimes T_N=\overline{T_1\odot \cdots\odot T_N}\in \mathbb{B}\left(\bigotimes\mathcal{H}_j\right)
$$
が成り立つ。任意の $k\in \{1,\ldots,N\}$ に対し、
$$
\mathbb{B}(\mathcal{H}_k)\ni T_k\mapsto 1\otimes\cdots\otimes 1\otimes \overset{k\text{番目}}{T_k}\otimes1\otimes\cdots\otimes 1
$$
は $C^*$-環から $C^*$-環への単射 $*$-環準同型写像であるので、[[Banach環とC*-環のスペクトル理論]]の'''定理10.2'''よりノルムを保存する。よって、
$$
\lVert T_1\otimes\cdots\otimes T_N\rVert\leq \lVert T_1\rVert\cdots\lVert T_N\rVert
$$
が成り立つ。逆の不等式を示す。任意の $v_j\in \mathcal{H}_j$ $(j=1,\ldots,N)$ に対し、
$$
\lVert T_1v_1\rVert\cdots\lVert T_Nv_N\rVert=\lVert T_1v_1\otimes\cdots\otimes T_Nv_N\rVert\leq \lVert T_1\otimes\cdots\otimes T_N\rVert\lVert v_1\rVert\cdot\lVert v_N\rVert
$$
であるから、
$$
\lVert T_1\rVert\cdots\lVert T_N\rVert=\sup\{(\lVert T_1v_1\rVert\cdots\lVert T_Nv_N\rVert:v_j\in \mathcal{H}_j,\text{ }\lVert v_j\rVert\leq 1\text{ }(j=1,\ldots,N)\}\leq\lVert T_1\otimes\cdots\otimes T_N\rVert
$$
である。よって $\lVert T_1\otimes\cdots\otimes T_N\rVert=\lVert T_1\rVert\cdots\lVert T_N\rVert$ が成り立つ。
*$(2)$　一般の場合を示す。$T_j^*T_j\in \mathbb{B}(\mathcal{H}_j)$、$\lVert T_j^*T_j\rVert=\lVert T_j\rVert^2$ $(j=1,\ldots,N)$ であるから $(1)$ より、
$$
\lVert T_1^*T_1\otimes\cdots\otimes T_N^*T_N\rVert=\lVert T_1^*T_1\rVert\cdots\lVert T_N^*T_N\rVert=(\lVert T_1\rVert\cdots\lVert T_N\rVert)^2
$$
である。よって、
$$
T_1\odot\cdots\odot T_N\colon\bigodot_{j=1}^{N}\mathcal{H}_j\ni v_1\otimes\cdots\otimes v_N\mapsto T_1v_1\otimes\cdots\otimes T_Nv_N\in \bigotimes_{j=1}^{N}\mathcal{K}_j
$$
は任意の $v\in \bigodot_{j=1}^{N}\mathcal{H}_j$ に対し、
$$
\lVert (T_1\odot \cdots\odot T_N)v\rVert^2=(v\mid (T_1^*T_1\odot \cdots\odot T_N^*T_N)v)\leq \lVert (\lVert T_1\rVert\cdots\lVert T_N\rVert\lVert v\rVert)^2
$$
を満たすので有界線形作用素であり、
$$
\lVert T_1\odot \cdots\odot T_N\rVert\leq \lVert T_1\rVert\cdots\lVert T_N\rVert
$$
が成り立つ。ゆえに、
$$
T_1\otimes\cdots\otimes T_N=\overline{T_1\odot \cdots \odot T_N}\in \mathbb{B}\left(\bigotimes_{j=1}^{N}\mathcal{H}_j,\text{ }\bigotimes_{j=1}^{N}\mathcal{K}_j\right)
$$
であり、
$$
\lVert T_1\otimes\cdots\otimes T_N\rVert=\lVert T_1\odot \cdots\odot T_N\rVert\leq \lVert T_1\rVert\cdots\lVert T_N\rVert
$$
が成り立つ。逆の不等式が成り立つことは $(1)$ と全く同様にして示せる。
{{end|proof|}}

=== 定理12.13（テンソル積射影値測度の一意存在） ===
$\mathcal{H}_j$ をHilbert空間、$X_j$ を第二可算局所コンパクトHausdorff空間、$E_j\colon\mathcal{B}_{X_j}\rightarrow \mathbb{P}(\mathcal{H}_j)$ を射影値測度とする $(j=1,\ldots,N)$。このとき射影値測度
$$
E\colon\mathcal{B}_{X_1\times\cdots\times X_N}\rightarrow\mathbb{P}(\mathcal{H}_1\otimes\cdots\otimes \mathcal{H}_N)
$$
で、
$$
E(B_1\times\cdots\times B_N)=E_1(B_1)\otimes\cdots\otimes E_N(B_N)\quad(\forall B_1\in\mathcal{B}_{X_1},\ldots,B_N\in\mathcal{B}_{X_N})
$$
を満たすものが唯一つ存在する。
{{begin |proof }}
存在を示す。$\mathcal{H}\colon=\mathcal{H}_1\otimes\cdots\otimes \mathcal{H}_N$ とおく。
各 $X_j$ は第二可算局所コンパクトHausdorff空間であるから、[[測度と積分1：測度論の基礎用語]]の'''命題2.8'''より、
$$
X\colon=X_1\times \cdots\times X_N
$$
も第二可算局所コンパクトHausdorff空間であり、
$$
\mathcal{B}_X=\mathcal{B}_{X_1}\otimes\cdots\otimes \mathcal{B}_{X_N}=\sigma(\mathcal{C})
$$
である。ただし $\mathcal{C}$ は半集合代数（[[測度と積分3：測度論の基本定理(1)]]の'''定義12.1'''）
$$
\mathcal{C}=\mathcal{B}_{X_1}\times\cdots\times \mathcal{B}_{X_N}=\{B_1\times\cdots\times B_N:B_1\in \mathcal{B}_{X_1},\ldots,B_N\in \mathcal{B}_{X_N}\}
$$
である。今、
$$
E^{(0)}\colon\mathcal{C}\ni B_1\times\cdots\times B_N\mapsto E_1(B_1)\otimes\cdots\otimes E_N(B_N)\in \mathbb{P}(\mathcal{H})
$$
とおく。$C_1,C_2\in\mathcal{C}$ が互いに交わらないならば、$E^{(0)}(C_1),E^{(0)}(C_2)\in \mathbb{P}(\mathcal{H})$ は明らかに直交する。$E^{(0)}$ が $\mathcal{C}$ 上で $\sigma$-加法的であること、すなわち $\mathcal{C}$ の非交叉列 $(C_n)_{n\in \mathbb{N}}$ で $\bigcup_{n\in\mathbb{N}}C_n\in\mathcal{C}$ なるものに対し、
$$
E^{(0)}\left(\bigcup_{n\in\mathbb{N}}C_n\right)=\sum_{n\in \mathbb{N}}E^{(0)}(C_n)\quad\quad(*)
$$
が成り立つことを示す。そのためには $\mathcal{H}$ における
$$
\bigodot_{j=1}^{N}\mathcal{H}_j=\text{span}\{v_1\otimes\cdots\otimes v_N:v_1\in\mathcal{H}_1,\ldots,v_N\in\mathcal{H}_N\}
$$
の稠密性より、任意の $u_1,v_1\in\mathcal{H}_1,\ldots,u_N,v_N\in\mathcal{H}_N$ に対し、
$$
u=u_1\otimes\cdots\otimes u_N,\quad v=v_1\otimes\cdots\otimes v_N
$$
とおいて、
$$
\left(u\mid E^{(0)}\left(\bigcup_{n\in\mathbb{N}}C_n\right)v\right)
=\left(u\mid \sum_{n\in \mathbb{N}}E^{(0)}(C_n)v\right)
$$
が成り立つことを示せば十分である。しかし任意の $B_1\in\mathcal{B}_{X_1},\ldots,B_N\in\mathcal{B}_{X_N}$ に対し、
$$
\begin{aligned}
(u\mid E^{(0)}(B_1\times\cdots\times B_N)v)&=(u_1\mid E_1(B_1)v_1)\cdots(u_N\mid E_N(B_N)v_N)\\
&=E_{1,u_1,v_1}(B_1)\cdots E_{N,u_N,v_N}(B_N)\quad\quad(**)
\end{aligned}
$$
であり、偏極恒等式より各 $j\in \{1,\ldots,N\}$ に対し複素数値Borel測度 $E_{j,u_j,v_j}\colon\mathcal{B}_{X_j}\rightarrow\mathbb{C}$ は有限Borel測度の線形結合であるから、有限Borel測度の直積測度を考えることにより、
$$
\mathcal{C}\ni B_1\times\cdots\times B_N\mapsto E_{1,u_1,v_1}(B_1)\cdots E_{N,u_N,v_N}(B_N)\in \mathbb{C}
$$
は $\mathcal{B}_X=\sigma(\mathcal{C})$ 上のある複素数値Borel測度
$$
E^{(0)}_{u,v}\colon\mathcal{B}_X\rightarrow \mathbb{C}
$$
に拡張できることが分かる。$(**)$ より、
$$
(u\mid E^{(0)}(C)v)=E^{(0)}_{u,v}(C)\quad(\forall C\in\mathcal{C})
$$
であるから、
$$
\left(u\mid E^{(0)}\left(\bigcup_{n\in\mathbb{N}}C_n\right)v\right)
=E^{(0)}_{u,v}\left(\bigcup_{n\in\mathbb{N}}C_n\right)=\sum_{n\in\mathbb{N}}E^{(0)}_{u,v}(C_n)=\sum_{n\in\mathbb{N}}(u\mid E^{(0)}(C_n)v)
=\left(u\mid \sum_{n\in\mathbb{N}}E^{(0)}(C_n)v\right)
$$
である。（$(E^{(0)}(C_n))_{n\in\mathbb{N}}$ は射影作用素の直交族であることに注意。）ゆえに $(*)$ が成り立つ。$\mathcal{A}(\mathcal{C})$ を半集合代数 $\mathcal{C}$ から生成される有限加法族とすると、[[測度と積分3：測度論の基本定理(1)]]の'''命題13.2'''と全く同様にして、$E^{(0)}\colon\mathcal{C}\rightarrow\mathbb{P}(\mathcal{H})$ は、$\sigma$-加法的な
$$
E^{(1)}\colon\mathcal{A}(\mathcal{C})\rightarrow\mathbb{P}(\mathcal{H})
$$
に一意拡張できる。任意の $v\in\mathcal{H}$ に対し、
$$
\mathcal{A}(\mathcal{C})\ni A\mapsto (v\mid E^{(1)}(A)v)\in [0,\infty)
$$
は有限加法族 $\mathcal{A}(\mathcal{C})$ 上の $\sigma$-加法的測度であるからCarathéodoryの拡張定理（[[測度と積分3：測度論の基本定理(1)]]の'''定理13.7'''）より $\mathcal{B}_X=\sigma(\mathcal{A}(\mathcal{C}))$ 上の有限Borel測度に一意拡張できる。よって偏極恒等式より任意の $u,v\in\mathcal{H}$ に対し複素数値Borel測度 $\mu_{u,v}\colon\mathcal{B}_X\rightarrow\mathbb{C}$ で、
$$
\mu_{u,v}(A)=(u\mid E^{(1)}(A)v)\quad(\forall A\in\mathcal{A}(\mathcal{C}))\quad\quad(***)
$$
を満たすものが存在する。そして単調族定理（[[測度と積分3：測度論の基本定理(1)]]の'''定理12.8'''）により $(***)$ を満たす複素数値Borel測度は $\mu_{u,v}$ は唯一つである。<ref>複素数値Borel測度 $\mu_1,\mu_2:{\cal B}_X\rightarrow \mathbb{C}$ が ${\cal A}({\cal C})$ 上で一致するとする。$\{B\in {\cal B}_X: \mu_1(B)=\mu_2(B)\}$ は ${\cal A}({\cal C})$ を含む単調族であるから、${\cal A}({\cal C})$ から生成される単調族 ${\cal M}({\cal A}({\cal C}))$ を含む。単調族定理（[[測度と積分3：測度論の基本定理(1)]]の'''定理12.8'''）より ${\cal B}_X=\sigma({\cal A}({\cal C}))={\cal M}({\cal A}({\cal C}))$ であるから、任意の $B\in {\cal B}_X$ に対し $\mu_1(B)=\mu_2(B)$ である。</ref>
この一意性より任意の $B\in \mathcal{B}_X$ に対し、
$$
\mathcal{H}\times \mathcal{H}\ni (u,v)\mapsto \mu_{u,v}(B)\in \mathbb{C}
$$
は準双線形汎関数である。今、任意の $B\in\mathcal{B}_X$ に対し、
$$
\lvert \mu_{u,v}(B)\rvert\leq \lVert u\rVert\lVert v\rVert\quad(\forall u,v\in\mathcal{H})\quad\quad(****)
$$
が成り立つことを示す。$X$ は第二可算局所コンパクトHausdorff空間であるから、[[測度と積分7：局所コンパクトHausdorff空間上のRadon測度]]の'''定理31.5'''より任意の $u,v\in\mathcal{H}$ に対し $\mu_{u,v}\colon\mathcal{B}_X\rightarrow\mathbb{C}$ は複素数値Radon測度である。よって $B$ を含む開集合の列 $(U_n)_{n\in\mathbb{N}}$ で $\lim_{n\rightarrow\infty}\mu_{u,v}(U_n)=\mu_{u,v}(B)$ を満たすものが取れるので、$(****)$ を示すには任意の開集合 $U\subset X$ に対し、
$$
\lvert \mu_{u,v}(U)\rvert\leq \lVert u\rVert\lVert v\rVert\quad(\forall u,v\in\mathcal{H})
$$
が成り立つことを示せばよい。$X$ の開集合の可算基底として $\mathcal{C}$ の元からなるものが取れるから、$U$ は $\mathcal{A}(\mathcal{C})$ の非交叉列の合併で表される。そこで $(A_n)_{n\in \mathbb{N}}$ を $\mathcal{A}(\mathcal{C})$ の非交叉列で $U=\bigcup_{n\in\mathbb{N}}A_n$ なるものとすると、$(E^{(1)}(A_n))_{n\in\mathbb{N}}$ は射影作用素の直交族であるので、その和 $\sum_{n\in\mathbb{N}}E^{(0)}(A_n)$ も射影作用素であるから、
$$
\begin{aligned}
\lvert \mu_{u,v}(U)\rvert&=\left\lvert \sum_{n\in\mathbb{N}}\mu_{u,v}(A_n)\right\rvert=\left\lvert\sum_{n\in\mathbb{N}}(u\mid E^{(1)}(A_n)v)\right\rvert
=\left\lvert \left(u\mid \sum_{n\in\mathbb{N}}E^{(1)}(A_n)v\right)\right\rvert\\
&\leq\lVert u\rVert \left\lVert \sum_{n\in\mathbb{N}}E^{(1)}(A_n)v\right\rVert\leq \lVert u\rVert\lVert v\rVert
\end{aligned}
$$
となる。よって $(****)$ が成り立つ。これより任意の $B\in\mathcal{B}_X$ に対し、$\mathcal{H}\times \mathcal{H}\ni (u,v)\mapsto \mu_{u,v}(B)\in\mathbb{C}$ はノルムが $1$ 以下の有界準双線形汎関数であるから、[[位相線形空間1：ノルムと内積]]の'''定理7.1'''より作用素ノルムが $1$ 以下の $E(B)\in\mathbb{B}(\mathcal{H})$ で、
$$
(u\mid E(B)v)=\mu_{u,v}(B)\quad(\forall u,v\in\mathcal{H})
$$
を満たすものが一意的に定まる。これにより $E\colon\mathcal{B}_X\ni B\mapsto E(B)\in\mathbb{B}(\mathcal{H})$ を定義する。$(***)$ より、
$$
E(A)=E^{(1)}(A)\quad(\forall A\in {\cal A}({\cal C})$
$$
であり、特に $E(X)=E^{(1)}(A)=1$ である。任意の $u,v\in\mathcal{H}$ に対し、
$$
\mathcal{B}_X\ni B\mapsto (u\mid E(B)v)=\mu_{u,v}(B)\in\mathbb{C}
$$
は複素数値測度であるから、$E(B)\in\mathbb{P}(\mathcal{H})$ $(\forall B\in\mathcal{B}_X)$ が成り立つことを示せば $E$ が求める射影値測度であることになる。任意の $v\in\mathcal{H}$ に対し $\mu_{v,v}$ は $\mathcal{A}(\mathcal{C})$ 上の $\sigma$-加法的測度 $\mathcal{A}(\mathcal{C})\ni A\mapsto (v\mid E^{(1)}(A)v)\in [0,\infty)$ をCarathéodoryの拡張定理により $\mathcal{B}_X=\sigma(\mathcal{A}(\mathcal{C}))$ 上に拡張した非負値測度であるから、
$$
(v\mid E(B)v)=\mu_{v,v}(B)\geq0\quad(\forall B\in\mathcal{B}_X)
$$
である。よって $E(B)=E(B)^*$ $(\forall B\in\mathcal{B}_X)$ である。$E(A)=E^{(1)}(A)$ $(\forall A\in\mathcal{A}(\mathcal{C}))$ であるから、$E$ の $\mathcal{A}(\mathcal{C})$ 上への制限 $\mathcal{A}(\mathcal{C})\ni A\mapsto E(A)\in \mathbb{P}(\mathcal{H})$ は加法的である。よって、
$$
E(A\cap B)=E(A)E(B)\quad(\forall A,B\in\mathcal{A}(\mathcal{C}))
$$
が成り立つ<ref>$\mathcal{A}(\mathcal{C})\ni A\mapsto E(A)\in\mathbb{P}(\mathcal{H})$ の加法性より、$A\subset B$ ならば $E(B)=E(A)+E(B\backslash A)\geq E(A)$ であるから、$E(A)=E(A)E(B)$ である。また $A\cap B=\emptyset$ ならば $E(A)$ と $E(B)$ は直交する。よって任意の $A,B\in\mathcal{A}(\mathcal{C})$ に対し $E(A)E(B)=E(A\cap B)E(B)+E(A\backslash B)E(B)=E(A\cap B)$ である。</ref>。今、
$$
E(A\cap B)=E(A)E(B)\quad(\forall A,B\in\mathcal{B}_X)\quad\quad(*****)
$$
が成り立つことを示す。これが成り立てば任意の $B\in\mathcal{B}_X$ に対し $E(B)^2=E(B)$ であるので、$E(B)\in \mathbb{P}(\mathcal{H})$ を示せたことになる。任意の $u,v\in\mathcal{H}$ を取り固定する。任意の $A\in \mathcal{A}(\mathcal{C})$ に対し、
$$
\begin{aligned}
&\mathcal{B}_X\ni B\mapsto (u\mid E(A)E(B)v)\in \mathbb{C},\\
&\mathcal{B}_X\ni B\mapsto (u\mid E(A\cap B)v)\in \mathbb{C}
\end{aligned}
$$
はそれぞれ複素数値Borel測度であり、$\mathcal{A}(\mathcal{C})$ 上で一致する。よって単調族定理より、
$$
(u\mid E(A)E(B)v)=(u\mid E(A\cap B)v)\quad(\forall A\in\mathcal{A}(\mathcal{C}),\forall B\in\mathcal{B}_X)
$$
が成り立つ。次に任意の $B\in\mathcal{B}_X$ に対し、
$$
\begin{aligned}
&\mathcal{B}_X\ni A\mapsto (u\mid E(A)E(B)v)\in \mathbb{C},\\
&\mathcal{B}_X\ni A\mapsto (u\mid E(A\cap B)v)\in \mathbb{C}
\end{aligned}
$$
はそれぞれ複素数値Borel測度であり、$\mathcal{A}(\mathcal{C})$ 上で一致する。よって単調族定理より、
$$
(u\mid E(A)E(B)v)=(u\mid E(A\cap B)v)\quad(\forall A, B\in\mathcal{B}_X)
$$
が成り立つ。$u,v\in\mathcal{H}$ は任意であるので、$(*****)$ が成り立つ。 
一意性を示す。$E,F:{\cal B}_X\rightarrow \mathbb{P}({\cal H})$ が条件を満たす射影値測度であるとすると、$E,F$ は ${\cal A}({\cal C})$ 上で　一致する。$\{B\in {\cal B}_X:E(B)=F(B)\}$ は ${\cal A}({\cal C})$　を含む単調族であるから、${\cal A}({\cal C})$ から生成される単調族 ${\cal M}({\cal A}({\cal C}))$ を含む。単調族定理（[[測度と積分3：測度論の基本定理(1)]]の'''定理12.8'''）より ${\cal B}_X=\sigma({\cal A}({\cal C}))={\cal M}({\cal A}({\cal C}))$ であるから、任意の $B\in {\cal B}_X$ に対し $E(B)=F(B)$ である。
{{end|proof|}}

=== 定義12.14（テンソル積射影値測度） ===
$\mathcal{H}_j$ をHilbert空間、$X_j$ を第二可算局所コンパクトHausdorff空間、$E_j\colon\mathcal{B}_{X_j}\rightarrow \mathbb{P}(\mathcal{H}_j)$ を射影値測度とする $(j=1,\ldots,N)$。このとき'''定理12.13'''より、射影値測度
$$
E_1\otimes\cdots\otimes E_N\colon\mathcal{B}_{X_1\times\cdots\times X_N}\rightarrow\mathbb{P}(\mathcal{H}_1\otimes\cdots\otimes \mathcal{H}_N)
$$
で、
$$
(E_1\otimes\cdots\otimes E_N)(B_1\times\cdots\times B_N)=E_1(B_1)\otimes\cdots\otimes E_N(B_N)\quad(\forall B_1\in\mathcal{B}_{X_1},\ldots,B_N\in\mathcal{B}_{X_N})
$$
を満たすものが唯一つ存在する。これを $E_1,\ldots,E_N$ のテンソル積射影値測度と言う。$E_1\otimes\cdots\otimes E_N$ は $\bigotimes_{j=1}^{N}E_j$ とも表す。

=== 命題12.15（掛け算作用素を表す射影値測度のテンソル積は掛け算作用素を表す） ===
$X_j$ を第二可算局所コンパクトHausdorff空間、$\mu_j:\mathcal{B}_{X_j}\rightarrow[0,\infty]$ をRadon測度とする（$j=1,\ldots,N$）。各 $j\in \{1,\ldots,N\}$ に対し $L^2(X_j,\mu_j)$ 上の掛け算作用素を表す射影値測度（'''定義10.2'''）を、
$$
E_{\mu_j}\colon\mathcal{B}_{X_j}\rightarrow \mathbb{P}(L^2(X_j,\mu_j))
$$
とおく。このとき、
$$
L^2(X_1\times \cdots\times X_N,\mu_1\otimes\cdots\otimes \mu_N)=\bigotimes_{j=1}^{N}L^2(X_j,\mu_j)
$$
（'''定義12.9'''を参照）上の掛け算作用素を表す射影値測度
$$
E_{\mu_1\otimes\cdots\otimes \mu_N}\colon\mathcal{B}_{X_1\times\cdots\times X_N}\rightarrow \mathbb{P}(L^2(X_1\times\cdots\times X_N,\mu_1\otimes\cdots\otimes\mu_N))
$$
は、テンソル積射影値測度
$$
E_{\mu_1}\otimes\cdots\otimes E_{\mu_N}\colon\mathcal{B}_{X_1\times\cdots\times X_N}\rightarrow \mathbb{P}\left(\bigotimes_{j=1}^{N}L^2(X_j,\mu_j)\right)
$$
に等しい。
{{begin |proof }}
任意の $B_1\in\mathcal{B}_{X_1},\ldots,B_N\in\mathcal{B}_{X_N}$ に対し、
$$
E_{\mu_1\otimes\cdots\otimes \mu_N}(B_1\times\cdots\times B_N)=E_{\mu_1}(B_1)\cdots E_{\mu_N}(B_N)
$$
が成り立つことを示せばよい。そのためには、
$$
\bigodot_{j=1}^{N}L^2(X_j,\mu_j)=\text{span}\left\{[f_1]\otimes\cdots\otimes [f_N]:[f_1]\in L^2(X_1,\mu_1),\ldots,[f_N]\in L^2(X_N,\mu_N)\right\}
$$
の $\bigotimes_{j=1}^{N}L^2(X_j,\mu_j)$ における稠密性より、任意の $[f_1]\in L^2(X_1,\mu_1),\ldots,[f_N]\in L^2(X_N,\mu_N)$ に対し、
$$
E_{\mu_1\otimes\cdots\otimes \mu_N}(B_1\times\cdots\times B_N)([f_1]\otimes\cdots\otimes [f_N])=(E_{\mu_1}(B_1)\otimes\cdots\otimes E_{\mu_N}(B_N))([f_1]\otimes\cdots\otimes [f_N])
$$
が成り立つことを示せば十分であるが、
$$
\begin{aligned}
&E_{\mu_1\otimes\cdots\otimes \mu_N}(B_1\times\cdots\times B_N)([f_1]\otimes\cdots\otimes [f_N])=[\chi_{B_1}f_1]\otimes\cdots\otimes [\chi_{B_N}f_N]\\
&=E_{\mu_1}(B_1)[f_1]\otimes\cdots\otimes E_{\mu_N}(B_N)[f_N]=(E_{\mu_1}(B_1)\otimes\cdots\otimes E_{\mu_N}(B_N))([f_1]\otimes\cdots\otimes [f_N])
\end{aligned}
$$
である。よって成り立つ。
{{end|proof|}}

=== 定理12.16（テンソル積射影値測度による積分） ===
$\mathcal{H}_j$ をHilbert空間、$X_j$ を第二可算局所コンパクトHausdorff空間、$E_j\colon\mathcal{B}_{X_j}\rightarrow \mathbb{P}(\mathcal{H}_j)$ を射影値測度とする $(j=1,\ldots,N)$。このとき任意のBorel関数 $f_j\colon X_j\rightarrow\mathbb{C}$ $(j=1,\ldots,N)$ に対し、
$$
\begin{aligned}
&\int_{X_1\times\cdots\times X_N}f_1(x_1)\cdots f_N(x_N)d(E_1\otimes\cdots\otimes E_N)(x_1,\ldots,x_N)\\
&=\left(\int_{X_1}f_1(x_1)dE_1(x_1)\right)\otimes\cdots \otimes \left(\int_{X_N}f_N(x_N)dE_N(x_N)\right)\quad\quad(*)
\end{aligned}
$$
が成り立つ。
{{begin |proof }}
$$
\mathcal{H}\colon=\mathcal{H}_1\otimes\cdots\otimes \mathcal{H}_N,\quad
X\colon=X_1\times \cdots\times X_N,\quad
E\colon=E_1\otimes \cdots\otimes E_N\colon\mathcal{B}_X\rightarrow\mathbb{P}(\mathcal{H})
$$
とおく。各 $f_j\colon X_j\rightarrow\mathbb{C}$ がBorel単関数である場合は $(*)$ は明らかに成り立つ。また、
$$
\mathbb{B}(\mathcal{H_1})\times \cdots\times \mathbb{B}(\mathcal{H}_N)
\ni (T_1,\ldots,T_N)\mapsto T_1\otimes\cdots\otimes T_N\in \mathbb{B}(\mathcal{H})
$$
は有界多重線形写像であり（'''定理12.12'''）、任意の有界Borel関数はBorel単関数の列により一様近似できる（[[測度と積分5：$L^p$ 空間の完備性と双対性]]の'''命題22.2'''）ので、$(*)$ は各 $f_j\colon X_j\rightarrow\mathbb{C}$ が有界Borel関数の場合も成り立つ。各 $f_j\colon X_j\rightarrow\mathbb{C}$ が一般のBorel関数の場合に $(*)$ が成り立つことを示す。各 $j\in\{1,\ldots,N\}$ について有界Borel関数の列 $f_{j,n}\colon=f_{j}\chi_{(\lvert f_j\rvert\leq n)}$ $(\forall n\in\mathbb{N})$ を定義する。任意の $v_j\in D_{E_j}(f_j)$ $(j=1,\ldots,N)$ に対しLebesgue優収束定理より、
$$
\int_{X_j}f_j(x_j)dE_j(x_j)v_j=\lim_{n\rightarrow\infty}\int_{X_j}f_{j,n}(x_j)dE_j(x_j)v_j\quad(j=1,\ldots,N)
$$
であるから、
$$
B_n\colon=(\lvert f_1\rvert\leq n)\times \cdots\times (\lvert f_N\rvert\leq n)\in \mathcal{B}_X\quad(\forall n\in\mathbb{N})
$$
とおけば、
$$
\begin{aligned}
&\left\{\left(\int_{X_1}f_1(x_1)dE_1(x_1)\right)\otimes \cdots\otimes \left(\int_{X_N}f_N(x_N)dE_N(x_N)\right)\right\}(v_1\otimes\cdots\otimes v_N)\\
&=\left(\int_{X_1}f_1(x_1)dE_1(x_1)\right)v_1\otimes \cdots\otimes \left(\int_{X_N}f_N(x_N)dE_N(x_N)\right)v_N\\
&=\lim_{n\rightarrow\infty}\left(\int_{X_1}f_{1,n}(x_1)dE_1(x_1)\right)v_1\otimes \cdots\otimes \left(\int_{X_N}f_{N,n}(x_N)dE_N(x_N)\right)v_N\\
&=\lim_{n\rightarrow\infty}\left\{\left(\int_{X_1}f_{1,n}(x_1)dE_1(x_1)\right)\otimes \cdots\otimes \left(\int_{X_N}f_{N,n}(x_N)dE_N(x_N)\right)\right\}(v_1\otimes\cdots\otimes v_N)\\
&=\lim_{n\rightarrow\infty}\int_{X}f_{1,n}(x_1)\cdots f_{N,n}(x_N)dE(x_1,\ldots,x_N)(v_1\otimes\cdots\otimes v_N)\\
&=\lim_{n\rightarrow\infty}\int_{X}f_1(x_1)\cdots f_N(x_N)dE(x_1,\ldots,x_N)E(B_n)(v_1\otimes\cdots\otimes v_N)\\
&=\int_{X}f_1(x_1)\cdots f_N(x_N)dE(x_1,\ldots,x_N)(v_1\otimes\cdots\otimes v_N)
\end{aligned}
$$
となる。ただし $4$ 番目の等号で有界Borel関数に対して $(*)$ が成り立つことを用い、最後の等号で $\lim_{n\rightarrow\infty}E(B_n)(v_1\otimes\cdots\otimes v_N)=v_1\otimes\cdots\otimes v_N$ であること射影値測度による積分が閉線形作用素であることを用いた。よって、
$$
\bigotimes_{j=1}^{N}\int_{X_j}f_j(x_j)dE_j(x_j)=\overline{\bigodot_{j=1}^{N}\int_{X_j}f_j(x_j)dE_j(x_j)}\subset \int_{X}f_1(x_1)\cdots f_N(x_N)dE(x_1,\ldots,x_N)\quad\quad(**)
$$
が成り立つ。逆の包含関係を示す。任意の $v\in D_E(f_1\times\cdots\times f_N)$ を取り、
$$
v_m\in \bigodot_{j=1}^{N}\mathcal{H}_j\quad(\forall m\in\mathbb{N}),\quad
\lim_{m\rightarrow\infty}\lVert v-v_m\rVert=0
$$
なるものを取る。このとき、$v=\lim_{n\rightarrow\infty}E(B_n)v=\lim_{n\rightarrow\infty}\lim_{m\rightarrow\infty}E(B_n)v_m$ であるから、
$$
\begin{aligned}
&\left(\int_{X}f_1(x_1)\cdots f_N(x_N)dE(x_1,\ldots,x_N)\right)v
=\lim_{n\rightarrow\infty}\left(\int_{X}f_{1,n}(x_1)\cdots f_{N,n}(x_N)dE(x_1,\ldots,x_N)\right)v\\
&=\lim_{n\rightarrow\infty}\left(\bigotimes_{j=1}^{N}\int_{X_j}f_{j,n}(x_j)dE_j(x_j)\right)v
=\lim_{n\rightarrow\infty}\lim_{m\rightarrow\infty}\left(\bigodot_{j=1}^{N}\int_{X_j}f_{j,n}(x_j)dE_j(x_j)\right)v_m\\
&=\lim_{n\rightarrow\infty}\lim_{m\rightarrow\infty}\left(\bigodot_{j=1}^{N}\int_{X_j}f_{j}(x_j)dE_j(x_j)\right)E(B_n)v_m
=\lim_{n\rightarrow\infty}\left(\bigotimes_{j=1}^{N}\int_{X_j}f_{j}(x_j)dE_j(x_j)\right)E(B_n)v\\
&=\left(\bigotimes_{j=1}^{N}\int_{X_j}f_j(x_j)dE_j(x_j)\right)v
\end{aligned}
$$
となる。ただし $1$ 番目の等号でLebesgue優収束定理を用い、$2$ 番目の等号で有界Borel関数に対して $(*)$ が成り立つことを用い、
$3$ 番目の等号で、
$$
\bigotimes_{j=1}^{N}\int_{X_j}f_{j,n}(x_j)dE_j(x_j)\in \mathbb{B}({\cal H})\quad(\forall n\in \mathbb{N})
$$
であることを用いた。よって $(**)$ の逆の包含関係が成り立つ。
{{end|proof|}}

=== 定理12.17（自己共役作用素のテンソル積のBorel汎関数計算） ===
各 $j\in \{1,\ldots,N\}$ に対しHilbert空間 $\mathcal{H}_j$ 上の自己共役作用素 $T_j$ が与えられているとする。このとき $T_1\otimes\cdots\otimes T_N$ は $\mathcal{H}_1\otimes\cdots\otimes \mathcal{H}_N$ 上の自己共役作用素であり、
$$
\sigma(T_1\otimes\cdots\otimes T_N)=\overline{\{\lambda_1\cdots\lambda_N:\lambda_1\in \sigma(T_1),\ldots,\lambda_N\in \sigma(T_N)\}}\quad\quad(*)
$$
が成り立つ。また各 $T_j$ のスペクトル測度を $E^{T_j}\colon\mathcal{B}_{\sigma(T_j)}\rightarrow\mathbb{P}(\mathcal{H}_j)$ とすると、任意のBorel関数 $f_j\colon\sigma(T_j)\rightarrow\mathbb{C}$ $(j=1,\ldots,N)$ に対し、
$$
f_1(T_1)\otimes\cdots\otimes f_N(T_N)=\int_{\sigma(T_1)\times\cdots\times \sigma(T_N)}f_1(\lambda_1)\cdots f_N(\lambda_N)d(E^{T_1}\otimes\cdots\otimes E^{T_N})(\lambda_1,\ldots,\lambda_N)\quad\quad(**)
$$
が成り立ち、連続関数 $f_j\colon\sigma(T_j)\rightarrow\mathbb{C}$ $(j=1,\ldots,N)$ に対し、
$$
\sigma(f_1(T_1)\otimes\cdots\otimes f_N(T_N))=\overline{\{f_1(\lambda_1)\cdots f_N(\lambda_N):\lambda_1\in\sigma(T_1),\ldots,\lambda_N\in \sigma(T_N)\}}\quad\quad(***)
$$
が成り立つ。また、任意のBorel関数 $f:\sigma(T_1\otimes \cdots\otimes T_N)\rightarrow\mathbb{C}$ に対し、
$$
f(T_1\otimes \cdots\otimes T_N)=\int_{\sigma(T_1)\times\cdots\times \sigma(T_N)}f(\lambda_1\cdots \lambda_N)d(E^{T_1}\otimes\cdots\otimes E^{T_N})(\lambda_1,\ldots,\lambda_N)
$$
が成り立ち、連続関数 $f\colon\sigma(T_1\otimes\cdots\otimes T_N)\rightarrow\mathbb{C}$ に対し、
$$
\sigma(f(T_1\otimes\cdots\otimes T_N))=\overline{\{f(\lambda_1\cdots\lambda_N):\lambda_1\in \sigma(T_1),\ldots,\lambda_N\in\sigma(T_N)\}}\quad\quad(****)
$$
が成り立つ。
{{begin |proof }}
Borel汎関数計算の定義（'''定義8.5'''）より、任意のBorel関数 $f_j\colon\sigma(T_j)\rightarrow\mathbb{C}$ に対し、
$$
f_j(T_j)=\int_{\sigma(T_j)}f_j(\lambda_j)dE^{T_j}(\lambda_j)\quad(j=1,\ldots,N)
$$
であるから、'''定理12.16'''より $(**)$ が成り立つ。特に、
$$
T_1\otimes\cdots\otimes T_N=\int_{\sigma(T_1)\times\cdots\times \sigma(T_N)}\lambda_1\cdots \lambda_Nd(E^{T_1}\otimes\cdots\otimes E^{T_N})(\lambda_1,\ldots,\lambda_N)\quad\quad(*****)
$$
であり、右辺の被積分関数は実数値であるから $T_1\otimes\cdots\otimes T_N$ は $\mathcal{H}_1\otimes\cdots\otimes \mathcal{H}_N$ 上の自己共役作用素である（'''命題6.8'''の $(2)$ を参照）。そして任意のBorel関数 $f\colon\sigma(T_1\otimes\cdots\otimes T_N)\rightarrow \mathbb{C}$ に対し $(*****)$ と'''命題8.6'''より、
$$
f(T_1\otimes\cdots\otimes T_N)=\int_{\sigma(T_1)\times\cdots\times \sigma(T_N)}f(\lambda_1\cdots\lambda_N)d(E^{T_1}\otimes\cdots\otimes E^{T_N})(\lambda_1,\ldots,\lambda_N)
$$
が成り立つ。$\sigma(T_1)\times\cdots\times \sigma(T_N)$ の任意の空でない開集合 $U$ に対し、$U_1\times\cdots\times U_N\subset U$ を満たす空でない開集合 $U_j\subset \sigma(T_j)$ $(j=1,\ldots,N)$ が取れる。'''命題8.7'''の $(4)$ より $E^{T_j}(U_j)>0$ であるので、'''定理12.12'''より、
$$
(E^{T_1}\otimes\cdots\otimes E^{T_N})(U)\geq E^{T_1}(U_1)\otimes\cdots\otimes E^{T_N}(U_N)>0
$$
である。よって'''系6.13'''より連続関数 $f_j\colon\sigma(T_j)\rightarrow\mathbb{C}$ $(j=1,\ldots,N)$ に対し $(***)$
が成り立つ。特に $(*)$ が成り立つ。また'''系6.13'''より連続関数 $f:\sigma(T_1\otimes\cdots\otimes T_N)\rightarrow\mathbb{C}$ に対し $(****)$ が成り立つ。
{{end|proof|}}

== 13. コンパクト作用素 ==

=== 定義13.1（有限階作用素）===
$\mathcal{H}$ をHilbert空間とする。$T\in \mathbb{B}(\mathcal{H})$ が有限階作用素であるとは ${\rm dim}{\rm Ran}(T)<\infty$ が成り立つことを言う。有限階作用素全体を $\mathbb{B}_{\rm f}(\mathcal{H})$ と表すこととする。

=== 命題13.2 ===
Hilbert空間 $\mathcal{H}$ 上の有限階作用素全体 $\mathbb{B}_{\rm f}(\mathcal{H})$ は $C^*$-環 $\mathbb{B}(\mathcal{H})$ の $*$-イデアル（[[速習「線形空間論」]]の'''定義2.2'''）である。
{{begin |proof}}
$\mathbb{B}_{\rm f}(\mathcal{H})$ が対合演算で閉じていることのみを示す。（それ以外は自明である。）任意の $T\in \mathbb{B}_{\rm f}(\mathcal{H})$ を取る。${\rm Ran}(T)$ は有限次元であるので $\mathcal{H}$ の閉部分空間である（[[位相線形空間1：ノルムと内積]]の'''系4.3'''）から、$\mathcal{H}$ は、
$$
\mathcal{H}={\rm Ran}(T)\oplus ({\rm Ran}(T))^{\perp}={\rm Ran}(T)\oplus {\rm Ker}(T^*)
$$
と直交分解される。よって、
$$
{\rm Ran}(T^*)=T^*(\mathcal{H})=T^*({\rm Ran}(T))
$$
であるので、${\rm Ran}(T^*)$ は有限次元である。ゆえに $T^*\in \mathbb{B}_{\rm f}(\mathcal{H})$ であるから $\mathbb{B}_{\rm f}(\mathcal{H})$ は対合演算で閉じている。
{{end|proof|}}

=== 定義13.3（コンパクト作用素環 $\mathbb{B}_0(\mathcal{H})$）===
$\mathcal{H}$ をHilbert空間とする。$\mathcal{H}$ 上の有限階作用素全体 $\mathbb{B}_{\rm f}(\mathcal{H})$ の作用素ノルムによる閉包を、
$$
\mathbb{B}_0(\mathcal{H})\colon=\overline{\mathbb{B}_{\rm f}(\mathcal{H})}^{\lVert \cdot\rVert}
$$
と表し、$\mathbb{B}_0(\mathcal{H})$ の元を $\mathcal{H}$ 上のコンパクト作用素と言う。'''命題13.2 '''より $\mathbb{B}_0(\mathcal{H})$ は $C^*$-環 $\mathbb{B}(\mathcal{H})$ の閉 $*$ -イデアルである。$\mathbb{B}_0(\mathcal{H})$ を $\mathcal{H}$ 上のコンパクト作用素環と言う。

=== 命題13.4（Hilbert空間が無限次元であることと恒等作用素がコンパクト作用素であることは同値） ===
$\mathcal{H}$ をHilbert空間とする。次は互いに同値である。
*$(1)$　$\mathcal{H}$ は有限次元である。
*$(2)$　$\mathbb{B}_{\rm f}(\mathcal{H})=\mathbb{B}_0(\mathcal{H})=\mathbb{B}(\mathcal{H})$ が成り立つ。
*$(3)$　コンパクト作用素環 $\mathbb{B}_0(\mathcal{H})$ は $\mathbb{B}(\mathcal{H})$ の単位元 $1$（恒等作用素）を含む。
{{begin|proof}}
$(1)\Leftrightarrow(2)\Rightarrow(3)$ は自明である。 
$(3)$ が成り立つとすると $\lVert 1-T\rVert<1$ を満たす $T\in \mathbb{B}_{\rm f}(\mathcal{H})$ が取れる。よって[[Banach環とC*-環のスペクトル理論]]の'''命題1.2'''より $T=1-(1-T)$ は $\mathbb{B}(\mathcal{H})$ の可逆元であるから $1=TT^{-1}\in \mathbb{B}_{\rm f}(\mathcal{H})$ である。ゆえに $\mathcal{H}={\rm Ran}(1)$ は有限次元なので $(1)$ が成り立つ。
{{end|proof|}}

=== 定義13.5（Schatten形式） ===
$\mathcal{H},\mathcal{K}$ をHilbert空間、$u\in \mathcal{H},v\in \mathcal{K}$ とする。このとき $u\odot v\in\mathbb{B}(\mathcal{K},\mathcal{H})$ を、
$$
u\odot v\colon \mathcal{K}\ni w\mapsto (v\mid w)u\in \mathcal{H}
$$
と定義する。
$$
\mathcal{H}\times \mathcal{K}\ni (u,v)\mapsto u\odot v\in \mathbb{B}(\mathcal{K},\mathcal{H})
$$
をSchatten形式と言う。

=== 命題13.6（Schattten形式の基本的性質）===
$\mathcal{H},\mathcal{K}$ をHilbert空間とする。Schatten形式に関して次が成り立つ。
*$(1)$　$\mathcal{H}\times \mathcal{K}\ni (u,v)\mapsto u\odot v\in \mathbb{B}(\mathcal{K},\mathcal{H})$ は第一成分に関して線形、第二成分に関して反線形である。
*$(2)$　任意の $u\in \mathcal{H},v\in \mathcal{K}$ に対し $\lVert u\odot v\rVert=\lVert u\rVert\lVert v\rVert$.
*$(3)$　任意の $u\in \mathcal{H}, v\in \mathcal{K}$ に対し $(u\odot v)^*=v\odot u$.
*$(4)$　任意の $u\in \mathcal{H},v\in \mathcal{K},T\in \mathbb{B}(\mathcal{H}),S\in \mathbb{B}(\mathcal{K})$ に対し、
$$
T(u\odot v)=(Tu) \odot v,\quad (u\odot v)T=(u\odot T^*v)
$$
が成り立つ。
{{begin|proof}}
全て'''定義13.5'''より直接的に示せる。
{{end|proof|}}

=== 命題13.7（Schatten形式と射影作用素）===
$\mathcal{H}$ をHilbert空間とする。
*$(1)$　任意の単位ベクトル $e\in \mathcal{H}$ に対し $e\odot e\in \mathbb{B}_{\rm f}(\mathcal{H})$ は $1$ 次元部分空間 $\mathbb{C}e\subset \mathcal{H}$ の上への射影作用素である。また $e_1,e_2\in\mathcal{H}$ が互いに直交する単位ベクトルであるならば射影作用素 $e_1\odot e_1$ と $e_2\odot e_2$ は直交する。
*$(2)$　$\mathcal{K}\subset \mathcal{H}$ を $\{0\}$ ではない閉部分空間、$P\in\mathbb{B}(\mathcal{H})$ を $\mathcal{K}$ の上への射影作用素とし、$\mathcal{K}$ の添字付けられたCONSを $(e_j)_{j\in J}$ とすると、
$$
P=\sum_{j\in J}e_j\odot e_j
$$
が成り立つ。（右辺は射影作用素の直交族 $(e_j\odot e_j)_{j\in J}$ の和（'''定義2.6'''）である。）
{{begin|proof}}
$(1)$ は '''命題13.6'''の $(3),(4)$ より自明である。$(2)$ を示す。$(1)$ より $(e_j\odot e_j)_{j\in J}$ は射影作用素の直交族である。そして $(e_j)_{j\in J}$ が $\mathcal{K}$ のCONSであることから、任意の $v\in \mathcal{H}$ に対し、
$$
Pv=\sum_{j\in J}(e_j\mid Pv)e_j=\sum_{j\in J}(Pe_j\mid v)e_j=\sum_{j\in J}(e_j\mid v)e_j=\left(\sum_{j\in J}e_j\odot e_j\right)v
$$
が成り立つ。よって $P=\sum_{j\in J}e_j\odot e_j$ が成り立つ。
{{end|proof|}}

=== 補題13.8（Hilbert空間上の単位ノルム閉球の弱コンパクト性）===
$\mathcal{H}$ をHilbert空間とする。このとき単位ノルム閉球 $(\mathcal{H})_1=\{v\in\mathcal{H}:\lVert v\rVert\leq 1\}$ は弱位相（[[位相線形空間3：Hahn-Banachの定理とKrein-Milmanの端点定理]]の'''定義12.2'''）に関してコンパクトである。
{{begin|proof}}
$\mathcal{H}^*$ の単位ノルム閉球 $(\mathcal{H}^*)_1=\{\varphi\in \mathcal{H}^*:\lVert\varphi\rVert\leq1\}$ はAlaogluの定理（[[位相線形空間2：セミノルム位相と汎弱位相]]の'''定理10.3'''）より弱 $*$-位相でコンパクトである。Rieszの定理より $\mathcal{H}\ni v\mapsto (v\mid \cdot)\in \mathcal{H}^*$ はノルムを保存する全単射であり、$\mathcal{H}$ のネット $(v_{\lambda})_{\lambda\in\Lambda}$ と $v\in \mathcal{H}$ に対し、
$$
\begin{aligned}
v_{\lambda}\rightarrow v\quad(\text{w.r.t.弱位相})\quad\Leftrightarrow\quad (u\mid v_{\lambda})\rightarrow(u\mid v)\quad(\forall u\in\mathcal{H})\quad\Leftrightarrow\quad \Leftrightarrow\quad (v_{\lambda}\mid \cdot)\rightarrow(v\mid \cdot)\quad(\text{w.r.t.弱 $*$-位相})
\end{aligned}
$$
であるから、$\mathcal{H}\ni v\mapsto (v\mid \cdot)\in \mathcal{H}^*$ は弱位相と弱 $*$-位相に関して同相写像である（[[ネットによる位相空間論]]の'''定理3'''）。よって $({\cal H}^*)_1$の弱$*$-位相に関するコンパクト性より　$(\mathcal{H})_1$ は弱位相でコンパクトである。
{{end|proof|}}

=== 補題13.9（有限階作用素の弱位相 - ノルム位相に関する連続性）===
$\mathcal{H}$ をHilbert空間、$T\in \mathbb{B}_{\rm f}(\mathcal{H})$ とする。このとき $T\colon\mathcal{H}\rightarrow\mathcal{H}$ は弱位相とノルム位相に関して連続である。
{{begin|proof}}
有限次元部分空間 ${\rm Ran}(T)\subset \mathcal{H}$ のCONSを $e_1,\ldots,e_N$ とすると、'''命題13.7'''の $(2)$ より、
$$
P\colon=\sum_{j=1}^{N}e_j\odot e_j
$$
は ${\rm Ran}(T)$ の上への射影作用素である。よって、
$$
Tv=PTv=\sum_{j=1}^{N}(e_j\odot e_j)Tv=\sum_{j=1}^{N}(e_j\mid Tv)e_j=\sum_{j=1}^{N}(T^*e_j\mid v)e_j\quad(\forall v\in\mathcal{H})
$$
である。$\mathcal{H}$ のネット $(v_{\lambda})_{\lambda\in\Lambda}$ が $v\in \mathcal{H}$ に弱位相で収束するならば、
$$
(T^*e_j\mid v_{\lambda})\rightarrow(T^*e_j\mid v)\quad(j=1,\ldots,N)
$$
であるから、ノルム位相で、
$$
Tv_{\lambda}=\sum_{j=1}^{N}(T^*e_j\mid v_{\lambda})\rightarrow\sum_{j=1}^{N}(T^*e_j\mid v)=Tv
$$
が成り立つ。よって[[ネットによる位相空間論]]の'''定理3'''より $T:\mathcal{H}\rightarrow\mathcal{H}$ は弱位相とノルム位相に関して連続である。
{{end|proof|}}

=== 定理13.10（コンパクト作用素の特徴付け）===
$\mathcal{H}$ をHilbert空間、$(e_j)_{j\in J}$ を $\mathcal{H}$ の添字付けられたCONS、$\mathcal{F}_J$ を $J$ の有限部分集合全体に集合の包含関係による順序を入れた有向集合とし、
$$
P_F\colon =\sum_{j\in F}e_j\odot e_j\quad(\forall F\in\mathcal{F}_J)
$$
として有限階射影作用素からなる単調増加ネット $(P_F)_{F\in \mathcal{F}_J}$ を定義する。また $(\mathcal{H})_1=\{v\in \mathcal{H}:\lVert v\rVert\leq1\}$ とおく。このとき $T\in \mathbb{B}(\mathcal{H})$ に対し次は互いに同値である。
*$(1)$　$T\in \mathbb{B}_0(\mathcal{H})$.
*$(2)$　$(\mathcal{H})_1\ni v\mapsto Tv\in \mathcal{H}$ は弱位相とノルム位相に関して連続である。
*$(3)$　$T((\mathcal{H})_1)$ はノルム位相に関してコンパクトである。
*$(4)$　$T((\mathcal{H})_1)$ はノルム位相に関してコンパクトな集合に含まれる。
*$(5)$　$\lVert P_FT-T\rVert\rightarrow0$ が成り立つ。
{{begin|proof}}
$(1)\Rightarrow(2)$ を示す。$(1)$ が成り立つとして $(2)$ が成り立つことを示す。そのためには $(\mathcal{H})_1$ のネット $(v_{\lambda})_{\lambda\in\Lambda}$ が弱位相で $v\in (\mathcal{H})_1$ に収束すると仮定して $\lVert Tv_{\lambda}-Tv\rVert\rightarrow0$ が成り立つことを示せばよい。任意の $\epsilon\in (0,\infty)$ に対しコンパクト作用素の定義より、
$$
\lVert T-S\rVert<\frac{\epsilon}{3}
$$
を満たす $S\in \mathbb{B}_{\rm f}(\mathcal{H})$ が取れる。そして'''補題13.9'''より、
$$
\lVert Sv_{\lambda}-Sv\rVert<\frac{\epsilon}{3}\quad(\forall \lambda\geq\lambda_0)
$$
を満たす $\lambda_0\in\Lambda$ が取れる。よって任意の $\lambda\geq\lambda_0$ に対し、
$$
\lVert Tv_{\lambda}-Tv\rVert\leq \lVert Tv_{\lambda}-Sv_{\lambda}\rVert+\lVert Sv_{\lambda}-Sv\rVert+\lVert Sv-Tv\rVert
\leq 2\lVert T-S\rVert+\lVert Sv_{\lambda}-Sv\rVert<\epsilon
$$
が成り立つので、$\lVert Tv_{\lambda}-Tv\rVert\rightarrow0$ が成り立つ。 
$(2)\Rightarrow(3)$ は '''補題13.8'''による。$(3)\Rightarrow(4)$ は自明である。 
$(4)\Rightarrow(5)$ を示す。$(4)$ が成り立ち、$(5)$ が成り立たないと仮定して矛盾を導く。このときある $\epsilon\in(0,\infty)$ が存在し、任意の $F\in \mathcal{F}_J$ に対し $F'\in \mathcal{F}_J$ で、
$$
F'\supset F,\quad \lVert P_{F'}T-T\rVert>\epsilon
$$
を満たすものが取れる。よって作用素ノルムの定義より任意の $F\in \mathcal{F}_J$ に対し $v_F\in (\mathcal{H})_1$ で、
$$
\lVert P_{F'}Tv_F-Tv_F\rVert>\epsilon
$$
を満たすものが取れる。$(Tv_F)_{F\in \mathcal{F}_J}$ はノルム位相でコンパクトな集合のネットであるから、[[ネットによる位相空間論]]の'''定理5'''より、$(Tv_F)_{F\in\mathcal{F}_J}$ はノルム位相に関する堆積点 $u$ を持つ。
$$
\begin{aligned}
\epsilon&<\lVert P_{F'}Tv_F-Tv_F\rVert=\lVert (1-P_{F'})Tv_F\rVert\leq \lVert (1-P_{F'})(Tv_F-u)\rVert+\lVert (1-P_{F'})u\rVert\\
&\leq \lVert Tv_F-u\rVert+\lVert u-P_{F'}u\rVert\quad(\forall F\in\mathcal{F}_J)\quad\quad(*)
\end{aligned}
$$
であり、$(e_j)_{j\in J}$ は $\mathcal{H}$ のCONSなので $\lVert u-P_Fu\rVert\rightarrow0$ であるから、十分大きい $F_0\in \mathcal{F}_J$ を取れば、
$$
\lVert u-P_{F'}u\rVert<\frac{\epsilon}{2}\quad (\forall F\supset F_0)
$$
となる。よって $(*)$ より、
$$
\frac{\epsilon}{2}<\lVert Tv_F-u\rVert\quad(\forall F\supset F_0)
$$
となる。しかしこれは $u$ が $(Tv_F)_{F\in\mathcal{F}_J}$ の堆積点であることに矛盾する。ゆえに $(4)\Rightarrow(5)$ が成り立つ。 
$(5)\Rightarrow(1)$ は自明である。
{{end|proof|}}

=== 命題13.11 ===
$\mathcal{H}$ をHilbert空間、$T\in \mathbb{B}_0(\mathcal{H})$ とする。このとき ${\rm Ran}(1-T)$ は $\mathcal{H}$ の閉部分空間である。
{{begin|proof}}
$\mathcal{H}$ の直交分解 $\mathcal{H}={\rm Ker}(1-T)\oplus ({\rm Ker}(1-T))^{\perp}$ より、
$$
{\rm Ran}(1-T)=(1-T)(({\rm Ker}(1-T))^{\perp})
$$
である。これが $\mathcal{H}$ の閉部分空間であることを示すには、ある $\epsilon\in (0,\infty)$ に対し、
$$
\lVert (1-T)v\rVert\geq\epsilon\lVert v\rVert\quad(\forall v\in ({\rm Ker}(1-T))^{\perp})
$$
が成り立つことを示せば十分である。そこでこれが成り立たないと仮定して矛盾を導く。このとき $({\rm Ker}(1-T))^{\perp}$ の列 $(v_n)_{n\in\mathbb{N}}$ で、
$$
\lVert v_n\rVert=1,\quad \lVert (1-T)v_n\rVert<\frac{1}{n}\quad(\forall n\in\mathbb{N})\quad\quad(*)
$$
を満たすものが取れる。$Tv_n\in T((\mathcal{H})_1)$ であるから、'''定理13.10'''より $(Tv_n)_{n\in\mathbb{N}}$ はノルム位相で収束する部分列 $(Tv_{k(n)})_{n\in\mathbb{N}}$ を持つ。そこでその収束点を、
$$
u=\lim_{n\rightarrow\infty}Tv_{k(n)}
$$
とおく。$(*)$ より $\lim_{n\rightarrow\infty}(1-T)v_{k(n)}=0$ であるから、
$$
v_{k(n)}=(1-T)v_{k(n)}+Tv_{k(n)}\rightarrow u\quad\quad(**)
$$
である。よって、
$$
u=\lim_{n\rightarrow\infty}v_{k(n)}\in ({\rm Ker}(1-T))^{\perp}
$$
であり、
$$
(1-T)u=\lim_{n\rightarrow\infty}(1-T)v_{k(n)}=0
$$
であるから、$u\in {\rm Ker}(1-T)\cap ({\rm Ker}(1-T))^{\perp}=\{0\}$ である。しかし $(*),(**)$ より、
$$
\lVert u\rVert=\lim_{n\rightarrow\infty}\lVert v_{k(n)}\rVert=1
$$
であるから矛盾する。ゆえに ${\rm Ran}(1-T)$ は閉部部分空間である。
{{end|proof|}}

=== 補題13.12（互いに直交する単位ベクトルの列は弱位相で $0$ に収束する）===
$\mathcal{H}$ をHilbert空間、$(e_n)_{n\in \mathbb{N}}$ をONSとする。このとき弱位相で $\lim_{n\rightarrow\infty}e_n=0$ が成り立つ。
{{begin|proof}}
任意の $v\in \mathcal{H}$ に対し、Besselの不等式より
$$
\sum_{n\in\mathbb{N}}\lvert (e_n\mid v)\rvert^2\leq \lVert v\rVert^2<\infty
$$
であるから $\lim_{n\rightarrow\infty}(e_n\mid v)=0$ が成り立つ。よってRieszの定理より弱位相で $\lim_{n\rightarrow\infty}e_n\rightarrow 0$ が成り立つ。
{{end|proof|}}

=== 定理13.13（Fredholmの択一性定理）===
$\mathcal{H}$ をHilbert空間、$T\in \mathbb{B}_0(\mathcal{H})$ とする。このとき次は互いに同値である。
*$(1)$　${\rm Ran}(1-T)=\mathcal{H}$.
*$(2)$　${\rm Ker}(1-T)=\{0\}$.
{{begin|proof}}
$(1)\Rightarrow(2)$ を示す。$(1)$ が成り立ち、$(2)$ が成り立たないと仮定して矛盾を導く。
$$
\mathcal{K}_n\colon={\rm Ker}((1-T)^n)\quad(\forall n\in\mathbb{Z}_+)
$$
（ただし $(1-T)^0=1$）とおくと、
$$
\mathcal{K}_n\supset \mathcal{K}_{n-1}\quad(\forall n\in \mathbb{N})
$$
であり、$(2)$ が成り立たないと言う仮定より、
$$
\mathcal{K}_1={\rm Ker}(1-T)\supsetneq \{0\}=\mathcal{K}_0
$$
である。今、ある $n\in \mathbb{N}$ に対し $\mathcal{K}_n\supsetneq \mathcal{K}_{n-1}$ が成り立つと仮定すると、$(1)$ が成り立つことから $(1-T)v\in \mathcal{K}_n\backslash \mathcal{K}_{n-1}$ を満たす $v\in {\cal H}$ が取れ、$v\in \mathcal{K}_{n+1}\backslash \mathcal{K}_n$ である。よって $\mathcal{K}_{n+1}\supsetneq \mathcal{K}_n$ が成り立つので、帰納法より、
$$
\mathcal{K}_n\supsetneq \mathcal{K}_{n-1}\quad(\forall n\in\mathbb{N})\quad\quad(*)
$$
が成り立つ。各 $n\in\mathbb{N}$ についてHilbert空間 $\mathcal{K}_n$ の直交分解
$$
\mathcal{K}_n=\mathcal{K}_{n-1}\oplus (\mathcal{K}_n\cap \mathcal{K}_{n-1}^{\perp})
$$
を考えると、$(*)$ より、単位ベクトル
$$
e_n\in \mathcal{K}_n\cap \mathcal{K}_{n-1}^{\perp}\quad(\forall n\in\mathbb{N})\quad\quad(**)
$$
が取れる。このとき $(e_n)_{n\in\mathbb{N}}$ は $\mathcal{H}$ のONSであるから'''補題13.12'''より弱位相に関して $\lim_{n\rightarrow\infty}e_n=0$ が成り立つ。よって'''定理13.10'''より、
$$
\lim_{n\rightarrow\infty}\lVert Te_n\rVert=0\quad\quad(***)
$$
が成り立つ。しかし $(**)$ より、
$$
(1-T)e_n\perp e_n\quad(\forall n\in\mathbb{N})
$$
であるから、
$$
\lVert Te_n\rVert^2=\lVert e_n-(1-T)e_n\rVert^2=\lVert e_n\rVert^2+\lVert (1-T)e_n\rVert^2\geq1\quad(\forall n\in\mathbb{N})
$$
である。これは $(***)$ と矛盾する。よって $(1)\Rightarrow(2)$ が成り立つ。 
$(2)\Rightarrow(1)$ を示す。$(2)$ が成り立つとする。$T^*\in\mathbb{B}_0(\mathcal{H})$ であるから'''命題13.11'''より ${\rm Ran}(1-T^*)$ は $\mathcal{H}$ の閉部分空間である。よって、
$$
{\rm Ran}(1-T^*)=\overline{{\rm Ran}(1-T^*)}=({\rm Ker}(1-T))^{\perp}=\{0\}^{\perp}=\mathcal{H}
$$
であるから、上段の結果より ${\rm Ker}(1-T^*)=\{0\}$ である。さらに'''命題13.11'''より ${\rm Ran}(1-T)$ は $\mathcal{H}$ の閉部分空間であるから、
$$
{\rm Ran}(1-T)=\overline{{\rm Ran}(1-T)}=({\rm Ker}(1-T^*))^{\perp}=\{0\}^{\perp}=\mathcal{H}
$$
である。
{{end|proof|}}

=== 命題13.14 ===
$\mathcal{H}$ をHilbert空間、$T\in \mathbb{B}_0(\mathcal{H})$ とする。このとき、
$$
{\rm dim}{\rm Ker}(1-T)={\rm dim}{\rm Ker}(1-T^*)<\infty
$$
が成り立つ。
{{begin|proof}}
まず ${\rm dim}{\rm Ker}(1-T)<\infty$ が成り立つことを示す。もし ${\rm dim}{\rm Ker}(1-T)=\infty$ ならばSchmidtの直行化により ${\rm Ker}(1-T)$ の元からなるONS $(e_n)_{n\in\mathbb{N}}$ が取れる。'''補題13.12'''より $\mathcal{H}$ の弱位相で $\lim_{n\rightarrow\infty}e_n=0$ が成り立つので、'''定理13.10'''より、$\lim_{n\rightarrow\infty}\lVert Te_n\rVert=0$ である。しかし、
$$
1=\lVert e_n\rVert=\lVert Te_n+(1-T)e_n\rVert=\lVert Te_n\rVert\quad(\forall n\in \mathbb{N})
$$
であるので矛盾する。よって ${\rm dim}{\rm Ker}(1-T)<\infty$ が成り立つ。$T^*\in \mathbb{B}_0(\mathcal{H})$ であることから ${\rm dim}{\rm Ker}(1-T^*)<\infty$ も成り立つ。次に ${\rm dim}{\rm Ker}(1-T)={\rm dim}{\rm Ker}(1-T^*)$ が成り立つことを示す。${\rm dim}{\rm Ker}(1-T^*)\leq {\rm dim}{\rm Ker}(1-T)$ を示せば十分である。そこで ${\rm dim}{\rm Ker}(1-T)<{\rm dim}{\rm Ker}(1-T^*)$ であると仮定して矛盾を導く。${\rm Ker}(1-T)$ のCONS $(e_1,\ldots,e_n)$と ${\rm Ker}(1-T^*)$ のCONS $(f_1,\ldots,f_m)$ $(n<m)$ を取り、
$$
V_1\colon {\rm Ker}(1-T)\ni \sum_{j=1}^{n}\alpha_je_j\mapsto \sum_{j=1}^{n}\alpha_jf_j\in {\rm Ker}(1-T^*)
$$
とおくと、$V_1$ は等長線型作用素であり、
$$
{\rm Ran}(V_1)\subsetneq {\rm Ker}(1-T^*)
$$
である。これに対し、
$$
V\colon \mathcal{H}={\rm Ker}(1-T)\oplus ({\rm Ker}(1-T))^{\perp}\ni v_1+v_2\mapsto V_1v_1\in \mathcal{H}
$$
とおくと、$V$ は部分等長作用素であり、
$$
{\rm Ker}(V)=({\rm Ker}(1-T))^{\perp},\quad
{\rm Ran}(V)={\rm Ran}(V_1)\subsetneq {\rm Ker}(1-T^*)=({\rm Ran}(1-T))^{\perp}\quad\quad(*)
$$
である。任意の $v\in {\rm Ker}(1-(T+V))$ に対し $(*)$ の右の式より、
$$
(1-T)v=Vv\in {\rm Ran}(1-T)\cap {\rm Ran}(V)\subset {\rm Ran}(1-T)\cap ({\rm Ran}(1-T))^{\perp}=\{0\}
$$
であるから、$(*)$ の左の式より、
$$
v\in {\rm Ker}(1-T)={\rm Ker}(V)={\rm Ker}(1-T)\cap ({\rm Ker}(1-T))^{\perp}=\{0\}
$$
である。よって、
$$
{\rm Ker}(1-(T+V))=\{0\}
$$
が成り立つ。$V$ は有限階作用素なので $T+V\in \mathbb{B}_0(\mathcal{H})$ であるから'''定理13.13'''より、
$$
\mathcal{H}={\rm Ran}(1-(T+V))={\rm Ran}(1-T)+{\rm Ran}(V)
$$
となる。しかし $(*)$ より、
$$
{\rm Ran}(1-T)+{\rm Ran}(V)\subsetneq {\rm Ran}(1-T)\oplus ({\rm Ran}(1-T))^{\perp}=\mathcal{H}
$$
であるから矛盾する。
{{end|proof|}}

=== 補題13.15（互いに異なる固有値に対する固有ベクトルの線形独立性）===
$\mathcal{H}$ をHilbert空間、$T$ を $\mathcal{H}$ 上の線形作用素とし、$\lambda_1,\ldots,\lambda_n\in \mathbb{C}$ を互いに異なる $T$ の固有値とする。そしてそれぞれの固有値に対する固有ベクトルを $v_j\in {\rm Ker}(\lambda_j-T)\backslash\{0\}$ $(j=1,\ldots,n)$ を取る。このとき $v_1,\ldots,v_n$ は線形独立である。
{{begin|proof}}
帰納法よりある $k\in\{1,\ldots,n-1\}$ に対し $v_1,\ldots,v_k$ が線形独立であると仮定して $v_1,\ldots,v_{k+1}$ も線形独立であることを示せばよい。そこで $\alpha_1,\ldots,\alpha_{k+1}\in \mathbb{C}$ が、
$$
\sum_{j=1}^{k+1}\alpha_jv_j=0\quad\quad(*)
$$
を満たすとする。$(*)$　に $T$ を作用させたものから $(*)$ に $\lambda_{k+1}$ を掛けたものを引けば、
$$
\sum_{j=1}^{k}\alpha_j(\lambda_j-\lambda_{k+1})v_j=0
$$
となる。よって $v_1,\ldots,v_k$ の線形独立性より $\alpha_j(\lambda_j-\lambda_{k+1})=0$ $(j=1,\ldots,k)$ であり、$\lambda_j\neq\lambda_{k+1}$ $(j=1,\ldots,k)$ であるから、$\alpha_1=\ldots=\alpha_{k}=0$ である。よって (*)より $\alpha_{k+1}v_{k+1}=0$ より $\alpha_{k+1}=0$ である。
ゆえに $v_1,\ldots,v_{k+1}$ は線形独立である。
{{end|proof|}}

=== 定義13.16（固有値の重複度）===
$T$ をHilbert空間上の線形作用素、$\lambda\in\mathbb{C}$ を $T$ の固有値とする。このとき ${\rm dim}{\rm Ker}(\lambda-T)$ を $T$ の固有値 $\lambda$ の重複度と言う。

=== 定理13.17（コンパクト作用素のスペクトル特性）===
$\mathcal{H}$ をHilbert空間、$T\in \mathbb{B}_0(\mathcal{H})$ とする。このとき、
*$(1)$　任意の $\lambda\in\sigma(T)\backslash \{0\}$ に対し $\lambda$ は $T$ の重複度有限の固有値であり、$\overline{\lambda}$ は $T^*$ の重複度有限の固有値である。そしてこれらの重複度は一致する。
*$(2)$　任意の $\lambda\in\sigma(T)\backslash \{0\}$ に対し $\lambda$ は $\sigma(T)$ の孤立点（$\{\lambda\}$ は $\sigma(T)$ の開集合）である。また $\sigma(T)$ は可算集合である。
*$(3)$　$T$ が正規作用素であるとすると、$T$ の固有ベクトルからなる $\mathcal{H}$ のCONSが存在する。また $T$ のスペクトル測度を $E^T\colon\mathcal{B}_{\sigma(T)}\rightarrow\mathbb{P}(\mathcal{H})$ とし、各 $\lambda\in\sigma(T)\backslash \{0\}$ に対し、${\rm Ker}(\lambda-T)$ のCONSを $\{e_{\lambda,1},\ldots,e_{\lambda,n(\lambda)}\}$ とすると、
$$
1=\sum_{\lambda\in\sigma(T)}E^T(\{\lambda\}),
$$
$$
E^T(\{\lambda\})=\sum_{j=1}^{n(\lambda)}e_{\lambda,j}\odot e_{\lambda,j}\quad(\forall \lambda\in \sigma(T)\backslash \{0\}),
$$
$$
T=\sum_{\lambda\in \sigma(T)\backslash\{0\}}\lambda\sum_{j=1}^{n(\lambda)}e_{\lambda,j}\odot e_{\lambda,j}
$$
が成り立つ。（ただし $\odot$ はSchatten形式を表す。）
{{begin|proof}}
*$(1)$　任意の $\lambda\in\sigma(T)\backslash \{0\}$ に対し $\lambda^{-1}T\in \mathbb{B}_0(\mathcal{H})$ であり、
$$
{\rm Ran}(\lambda-T)={\rm Ran}(1-\lambda^{-1}T),\quad {\rm Ker}(\lambda-T)={\rm Ker}(1-\lambda^{-1}T)
$$
である。$\lambda\in \sigma(T)$ より $\lambda-T:{\cal H}\rightarrow {\cal H}$ は全単射ではないから、'''定理13.13'''より ${\rm Ker}(\lambda-T)\neq \{0\}$ である。よって $\lambda$ は $T$ の固有値であり、'''命題13.15'''より、
$$
0<{\rm dim}{\rm Ker}(\lambda-T)={\rm dim}{\rm Ker}(1-\lambda^{-1}T)={\rm dim}{\rm Ker}(1-\overline{\lambda}^{-1}T^*)={\rm dim}{\rm Ker}(\overline{\lambda}-T^*)<\infty
$$
であるから、$\overline{\lambda}$ は $T^*$ の固有値である。そして $T$ の固有値 $\lambda$ の重複度と $T^*$ の固有値 $\overline{\lambda}$ の重複度は一致する。
*$(2)$　任意の $\lambda\in \sigma(T)\backslash\{0\}$ を取り、$\lambda$ が $\sigma(T)$ の孤立点ではないと仮定して矛盾を導く。このとき任意の $\epsilon\in (0,\infty)$ に対し $\{\lambda\}\neq B(\lambda,\epsilon)\cap \sigma(T)$ であるから、$\sigma(T)$ の点列 $(\lambda_n)_{n\in\mathbb{N}}$ で、
$$
0<\lvert \lambda-\lambda_{n+1}\rvert<\lvert\lambda-\lambda_n\rvert<\lvert\lambda\rvert,\frac{1}{n}\quad(\forall n\in\mathbb{N})\quad\quad(*)
$$
を満たすものが取れる。$(*)$ と $(1)$ より各 $n\in\mathbb{N}$ に対し $\lambda_n$ は $T$ の固有値であるから固有ベクトル $v_n\in {\rm Ker}(\lambda-T)\backslash\{0\}$ が取れる。また $(*)$ より $(\lambda_n)_{n\in\mathbb{N}}$ は互いに異なるので'''補題13.15'''より $(v_n)_{n\in\mathbb{N}}$ は線形独立であり、Schmidtの直交化より ONS $(e_n)_{n\in\mathbb{N}}$ で、
$$
{\rm span}\{v_1,\ldots,v_n\}={\rm span}\{e_1,\ldots,e_n\}\quad(\forall n\in\mathbb{N})
$$
を満たすものが取れる。このとき、
$$
\lambda_ne_n-Te_n\in {\rm span}\{v_1,\ldots,v_{n-1}\}={\rm span}\{e_1,\ldots,e_{n-1}\}\quad(\forall n\geq 2)
$$
であるから $\lambda_ne_n-Te_n$ と $\lambda_n e_n$ は互いに直交する。よって、
$$
\lVert Te_n\rVert^2=\lVert \lambda_ne_n-(\lambda_ne_n-Te_n)\rVert^2=\lvert\lambda_n\rvert^2+\lVert \lambda_ne_n-Te_n\rvert^2\geq\lvert\lambda_n\rvert^2\quad(\forall n\in\mathbb{N})\quad\quad(**)
$$
となる。ここで'''補題13.12'''と'''定理13.10'''より $\lim_{n\rightarrow\infty}\lVert Te_n\rVert=0$ であるから $(**)$ より $\lim_{n\rightarrow\infty}\lambda_n=0$ となる。しかし $(*)$ より $\lim_{n\rightarrow\infty}\lambda_n=\lambda$ であるから、$\lambda\neq0$ であることに矛盾する。よって任意の $\lambda\in\sigma(T)\backslash \{0\}$ に対し $\lambda$ は $\sigma(T)$ の孤立点である。$\{\{\lambda\}\}_{\lambda\in\sigma(T)\backslash\{0\}}$ は $\sigma(T)\backslash \{0\}$ の開被覆であり、$\sigma(T)\backslash \{0\}$ はLindelöfであるから可算部分開被覆が取れる。よって $\sigma(T)\backslash\{0\}$ は可算集合であり、したがって $\sigma(T)$ も可算集合である。
*$(3)$　$(2)$ より $\sigma(T)$ は可算集合であるから、
$$
1=E^T(\sigma(T))=\sum_{\lambda\in\sigma(T)}E^T(\{\lambda\})
$$
である。'''命題8.7'''の $(3)$ より、
$$
{\rm Ran}E^T(\{\lambda\})={\rm Ker}(\lambda-T)\quad(\forall \lambda\in\sigma(T))\quad\quad(***)
$$
であるから、'''命題13.7'''より、
$$
E^T(\{\lambda\})=\sum_{j=1}^{n(\lambda)}e_{\lambda,j}\odot e_{\lambda,j}\quad(\forall \lambda\in\sigma(T)\backslash \{0\})
$$
である。よって、
$$
1=E^T(\{0\})+\sum_{\lambda\in\sigma(T)\backslash \{0\}}E^T(\{\lambda\})
=E^T(\{0\})+\sum_{\lambda\in\sigma(T)\backslash\{0\}}\sum_{j=1}^{n(\lambda)}e_{\lambda,j}\odot e_{\lambda,j}\quad\quad(****)
$$
が成り立ち、
$$
T=TE^T(\{0\})+\sum_{\lambda\in\sigma(T)\backslash \{0\}}TE^T(\{\lambda\})=\sum_{\lambda\in\sigma(T)\backslash \{0\}}TE^T(\{\lambda\})
=\sum_{\lambda\in\sigma(T)}\lambda\sum_{j=1}^{n(\lambda)}e_{\lambda,j}\odot e_{\lambda,j}
$$
が成り立つ。$E^T(\{0\})=0$ の場合、$(****)$ より、
$$
1=\sum_{\lambda\in\sigma(T)\backslash \{0\}}\sum_{j=1}^{n(\lambda)}e_{\lambda,j}\odot e_{\lambda,j}
$$
であるから、$\{e_{\lambda,j}:\lambda\in\sigma(T)\backslash \{0\},j=1,\ldots,n(\lambda)\}$ は $\mathcal{H}$ のCONSである。また $E^T(\{0\})\neq0$ の場合、$(***)$ より $0$ は $T$ の固有値であり、$\{e_{0,j}:j\in J_0\}$ を固有空間 ${\rm Ran}E^T(\{0\})={\rm Ker}(T)$ のCONSとすると、'''命題13.7'''より、
$$
E^T(\{0\})=\sum_{j\in J_0}e_{0,j}\odot e_{0,j}
$$
であるから、$(****)$ より、
$$
1=\sum_{j\in J_0}e_{0,j}\odot e_{0,j}+\sum_{\lambda\in\sigma(T)\backslash \{0\}}\sum_{j=1}^{n(\lambda)}e_{\lambda,j}\odot e_{\lambda,j}
$$
である。よって $\{e_{0,j}:j\in J_0\}\cup\{e_{\lambda,j}:\lambda\in\sigma(T)\backslash\{0\},j=1,\ldots,n(\lambda)\}$ は $\mathcal{H}$ のCONSである。よって $T$ の固有ベクトルからなるCONSが取れる。
{{end|proof|}}

== 14. 自己共役作用素の離散スペクトルと真性スペクトル、min-max原理、Reyleigh-Ritzの原理 ==

=== 定義14.1（自己共役作用素の離散固有値、離散スペクトル、真性スペクトル）===
$T$ をHilbert空間 $\mathcal{H}$ 上の自己共役作用素とする。$\lambda\in \sigma(T)$ が $\sigma(T)$ の孤立点（'''命題8.7'''の $(6)$ より $T$ の固有値）であり、重複度が有限、すなわち、
$$
{\rm dim}{\rm Ker}(\lambda-T)={\rm dim}{\rm Ran}E^T(\{\lambda\})<\infty
$$
であるとき、$\lambda$ を $T$ の離散固有値と言う。そして $T$ の離散固有値全体を、
$$
\sigma_{\rm d}(T)\colon=\{\lambda\in \sigma(T):\text{$\lambda$ は $T$ の離散固有値}\}
$$
と表し、これを $T$ の離散スペクトルと言う。また、$\sigma(T)$ における $T$ の離散スペクトルの補集合
$$
\sigma_{\rm ess}(T)\colon=\sigma(T)\backslash \sigma_{\rm d}(T)=\{\lambda\in\sigma(T):\text{$\lambda$ は $\sigma(T)$ の非孤立点であるか、重複度無限の孤立点}\}
$$
と表し、これを $T$ の真性スペクトルと言う。

=== 定理14.2（自己共役作用素の真性スペクトルの元の特徴付け）===
$T$ をHilbert空間 $\mathcal{H}$ 上の自己共役作用素とし、$E^T\colon\mathcal{B}_{\sigma(T)}\rightarrow \mathbb{P}(\mathcal{H})$ を $T$ のスペクトル測度とする。このとき $\lambda\in\sigma(T)$ に対し次は互いに同値である。
*$(1)$　$\lambda\in \sigma_{\rm ess}(T)$.
*$(2)$　$D(T)$ の単位ベクトルの列 $(u_n)_{n\in\mathbb{N}}$ で $\lim_{n\rightarrow\infty}\lVert (\lambda-T)u_n\rVert=0$ かつ $\mathcal{H}$ の弱位相で $\lim_{n\rightarrow\infty}u_n=0$ を満たすものが存在する。
*$(3)$　$\lambda$ を含む $\sigma(T)$ の任意の開集合 $U$ に対し ${\rm dim}{\rm Ran}E^T(U)=\infty$.
{{begin|proof}}
任意の $t\in \sigma(T)$ と $\delta\in (0,\infty)$ に対し $\sigma(T)$ における中心 $t$、半径 $\delta$ の開球を、
$$
B_{\sigma(T)}(t,\delta)=\{s\in \sigma(T):\lvert s-t\rvert<\delta\}
$$
と表す。$(1)\Rightarrow(2)$ を示す。$(1)$ が成り立つとする。もし $\lambda$ が $\sigma(T)$ の孤立点ならば ${\rm dim}{\rm Ker}(\lambda-T)=\infty$ であるので ${\rm Ker}(\lambda-T)$ のONS $(e_n)_{n\in \mathbb{N}}$ が取れる。このとき'''補題13.12'''より $\mathcal{H}$ の弱位相で $\lim_{n\rightarrow\infty}e_n=0$ であり、$(\lambda-T)e_n=0$ $(\forall n\in\mathbb{N})$ であるから $(2)$ が成り立つ。$\lambda$ が $\sigma(T)$ の孤立点ではないとすると、$\sigma(T)$ の点列 $(\lambda_n)_{n\in\mathbb{N}}$ で、
$$
0<\lvert \lambda_{n+1}-\lambda\rvert<\frac{1}{3}\lvert\lambda_n-\lambda\rvert\quad(\forall n\in\mathbb{N})\quad\quad(*)
$$
なるものが取れる。
$$
\epsilon_{n}\colon=\frac{1}{3}\lvert\lambda_n-\lambda\rvert\quad(\forall n\in\mathbb{N})
$$
とおく。このとき、
$$
B_{\sigma(T)}(\lambda_n,\epsilon_n)\cap B_{\sigma(T)}(\lambda_m,\epsilon_m)=\emptyset\quad(n\neq m)\quad\quad(**)
$$
が成り立つ。実際、$n<m$ で $t\in B_{\sigma(T)}(\lambda_n,\epsilon_n)\cap B_{\sigma(T)}(\lambda_m,\epsilon_m)$ が存在するとすると、
$$
2\epsilon_n\geq \lvert t-\lambda_n\rvert+\lvert t-\lambda_m\rvert\geq \lvert\lambda_n-\lambda_m\rvert\geq \lvert\lambda_n-\lambda\rvert-\lvert \lambda_m-\lambda\rvert>\lvert\lambda_n-\lambda\rvert-\epsilon_n=2\epsilon_n
$$
となり、矛盾する。よって $(**)$ が成り立つ。'''命題8.7'''の $(7)$ より単位ベクトル
$$
e_n\in {\rm Ran}E^T(B_{\sigma(T)}(\lambda_n,\epsilon_n))\quad(\forall n\in\mathbb{N})
$$
が取れて、$(**)$ より $(e_n)_{n\in\mathbb{N}}$ はONSなので、'''補題13.12'''より $\mathcal{H}$ の弱位相で $\lim_{n\rightarrow\infty}e_n=0$ である。そして $(*)$ より、
$$
\begin{aligned}
\lVert (\lambda-T)e_n\rVert&\leq \lVert (\lambda-T)E^T(B_{\sigma(T)}(\lambda_n,\epsilon_n))\rVert\leq \sup_{t\in B_{\sigma(T)}(\lambda_n,\epsilon_n)}\lvert \lambda-t\rvert\leq \lvert \lambda-\lambda_n\rvert+\epsilon_n\\
&=\frac{4}{3}\lvert\lambda-\lambda_n\rvert<\frac{4}{3^n}\lvert\lambda-\lambda_1\rvert\rightarrow0\quad(n\rightarrow\infty)
\end{aligned}
$$
である。よって $(2)$ が成り立つ。 
$(2)\Rightarrow(3)$ を示す。$(2)$ が成り立つとし、$(2)$ の条件を満たす単位ベクトルの列 $(u_n)_{n\in\mathbb{N}}$ を取る。任意の $\epsilon\in (0,\infty)$ に対し、
$$
\begin{aligned}
\lVert (\lambda-T)u_n\rVert^2&=\int_{\sigma(T)}\lvert \lambda-t\rvert^2dE^T_{u_n,u_n}(t)\geq \int_{\sigma(T)\backslash B_{\sigma(T)}(\lambda,\epsilon)}\lvert\lambda-t\rvert^2dE^T_{u_n,u_n}(t)\\
&\geq \epsilon^2\lVert E^T(\sigma(T)\backslash B_{\sigma(T)}(\lambda,\epsilon))u_n\rVert^2\\
&=\epsilon^2\lVert u_n-E^T(B_{\sigma(T)}(\lambda,\epsilon))u_n\rVert^2\quad(\forall n\in\mathbb{N})
\end{aligned}
$$
であるから、$\lim_{n\rightarrow\infty}\lVert (\lambda-T)u_n\rVert=0$ より、
$$
\lim_{n\rightarrow\infty}\lVert u_n-E^T(B_{\sigma(T)}(\lambda,\epsilon))u_n\rVert=0\quad(\forall \epsilon\in (0,\infty))\quad\quad(***)
$$
である。もしある $\epsilon_0\in (0,\infty)$ に対し ${\rm dim}{\rm Ran}E^T(B_{\sigma(T)}(\lambda,\epsilon_0))<\infty$ が成り立つならば、$E^T(B_{\sigma(T)}(\lambda,\epsilon_0))$ は有限階作用素なので、$\mathcal{H}$ の弱位相で $\lim_{n\rightarrow\infty}e_n=0$ であることと、'''補題13.9'''より、
$$
\lim_{n\rightarrow\infty}\lVert E^T(B_{\sigma(T)}(\lambda,\epsilon_0))u_n\rVert=0
$$
が成り立つ。これを $(***)$ と合わせると、
$$
1=\lVert u_n\rVert\leq \lVert u_n-E^T(B_{\sigma(T)}(\lambda,\epsilon_0))u_n\rVert+\lVert E^T(B_{\sigma(T)}(\lambda,\epsilon_0))u_n\rVert\rightarrow0\quad(n\rightarrow\infty)
$$
となるので矛盾する。よって任意の $\epsilon\in (0,\infty)$ に対し ${\rm dim}{\rm Ran}E^T(B_{\sigma(T)}(\lambda,\epsilon))=\infty$
であるから $(3)$ が成り立つ。 
$(3)\Rightarrow(1)$ を示す。$(3)$ が成り立つとする。もし $(1)$ が成り立たないならば、$\lambda$ は $T$ の離散固有値であるから、$\lambda$ は $\sigma(T)$ の孤立点であり、
$$
{\rm dim}E^T(\{\lambda\})=\dim {\rm Ker}(\lambda-T)<\infty\quad\quad(****)
$$である。$\lambda$ は $\sigma(T)$ の孤立点なので、$\{\lambda\}$ は $\lambda$ を含む開集合であるから、$(****)$ は $(3)$ が成り立つことに矛盾する。よって $(1)$ が成り立つ。
{{end|proof|}}

=== 定義14.3（純粋に離散的なスペクトルを持つ自己共役作用素）===
$T$ をHilbert空間 $\mathcal{H}$ 上の自己共役作用素とする。$T$ のスペクトルが $T$ の離散スペクトル $\sigma_{\rm d}(T)$（'''定義14.1'''）と一致するとき、$T$ のスペクトルは純粋に離散的であると言う。

=== 命題14.4（純粋に離散的なスペクトルを持つ自己共役作用素の対角化）===
$T$ をHilbert空間 $\mathcal{H}$ 上の自己共役作用素で、純粋に離散的なスペクトルを持つとする。このとき $\sigma(T)$ は可算集合であり、各 $\lambda\in \sigma(T)=\sigma_{\rm d}(T)$ に対し ${\rm Ker}(\lambda-T)$ のCONSを $e_{\lambda,1},\ldots,e_{\lambda,n(\lambda)}$ とおけば、
$$
1=\sum_{\lambda\in \sigma(T)}\sum_{j=1}^{n(\lambda)}e_{\lambda,j}\odot e_{\lambda,j}
$$
（ただし $\odot$ はSchatten形式を表す）が成り立つ。
{{begin|proof}}
$\sigma(T)=\sigma_{\rm d}(T)$ は孤立点のみからなるLindelöf空間であるから可算集合である。よって $T$ のスペクトル測度 $E^T\colon\mathcal{B}_{\sigma(T)}\rightarrow\mathbb{P}(\mathcal{H})$ に対し、
$$
1=E^T(\sigma(T))=\sum_{\lambda\in\sigma(T)}E^T(\{\lambda\})
$$
が成り立つ。そして'''命題8.7'''の $(5)$ より ${\rm Ran}E^T(\{\lambda\})={\rm Ker}(\lambda-T)$ であるから、'''命題13.7'''より、
$$
E^T(\{\lambda\})=\sum_{j=1}^{n(\lambda)}e_{\lambda,j}\odot e_{\lambda,j}\quad(\forall \lambda\in \sigma(T))
$$
である。よって、
$$
1=\sum_{\lambda\in\sigma(T)}E^T(\{\lambda\})=\sum_{\lambda\in \sigma(T)}\sum_{j=1}^{n(\lambda)}e_{\lambda,j}\odot e_{\lambda,j},\quad
$$
が成り立つ。
{{end|proof|}}

=== 命題14.5（自己共役作用素が純粋に離散的なスペクトルを持つための十分条件）===
$T$ をHilbert空間 $\mathcal{H}$ 上の自己共役作用素とする。
*$(1)$　ある $\lambda_0\in \rho(T)$ に対し $(\lambda_0-T)^{-1}\in \mathbb{B}_0(\mathcal{H})$ ならば $T$ は純粋に離散的なスペクトルを持つ。
*$(2)$　ある $\alpha\in \mathbb{R}\backslash \{0\}$ に対し $e^{\alpha T}\in \mathbb{B}_0(\mathcal{H})$ ならば $T$ は純粋に離散的なスペクトルを持つ。
{{begin|proof}}
*$(1)$　$\lambda\in \sigma_{\rm ess}(T)$ が存在すると仮定して矛盾を導く。このとき'''定理14.2'''より $D(T)$ の単位ベクトルの列 $(u_n)_{n\in\mathbb{N}}$ で $\mathcal{H}$ の弱位相で $\lim_{n\rightarrow\infty}u_n=0$ であり、$\lim_{n\rightarrow\infty}\lVert (\lambda-T)u_n\rVert=0$ を満たすものが取れる。$(\lambda_0-T)^{-1}\in \mathbb{B}_0(\mathcal{H})$ であるから'''定理13.10'''の $(2)$ より、
$$
\lim_{n\rightarrow\infty}\lVert (\lambda_0-T)^{-1}u_n\rVert=0\quad\quad(*)
$$
である。ここで、
$$
(\lambda_0-T)u_n=(\lambda_0-\lambda)u_n+(\lambda-T)u_n\quad(\forall n\in\mathbb{N})
$$
であるから、
$$
u_n=(\lambda_0-\lambda)(\lambda_0-T)^{-1}u_n+(\lambda_0-T)^{-1}(\lambda-T)u_n\quad(\forall n\in\mathbb{N})
$$
である。よって $(*)$ より、
$$
1=\lVert u_n\rVert\leq \lvert\lambda_0-\lambda\rvert\lVert (\lambda_0-T)^{-1}u_n\rVert+\lVert (\lambda_0-T)^{-1}(\lambda-T)u_n\rVert\rightarrow0\quad(n\rightarrow\infty)
$$
となり矛盾する。ゆえに $\sigma_{\rm ess}(T)=\emptyset$　であるから $T$ は純粋に離散的なスペクトルを持つ。
*$(2)$　任意の $\lambda\in \sigma(T)$ に対し、'''定理8.7'''の $(8)$ より、
$$
e^{\alpha \lambda}\in \sigma(e^{\alpha T})\backslash \{0\}
$$
であり、$e^{\alpha T}\in \mathbb{B}_0(\mathcal{H})$ であるから、'''定理13.17'''の $(2)$ より $e^{\alpha\lambda}$ は $\sigma(e^{\alpha T})$ の孤立点である。よって $\sigma(T)\ni \lambda\mapsto e^{\alpha \lambda}\in \sigma(e^{\alpha T})\backslash \{0\}$ の連続性より、任意の $\lambda\in \sigma(T)$ に対し、十分小さい $\epsilon\in (0,\infty)$ を取れば、$\lambda'\in \sigma(T)$ について、
$$
\lvert\lambda'-\lambda\rvert<\epsilon\quad\Leftrightarrow\quad e^{\alpha\lambda'}=e^{\alpha\lambda}\quad\Leftrightarrow\quad \lambda'=\lambda
$$
である。よって任意の $\lambda\in \sigma(T)$ に対し $\lambda$ は $\sigma(T)$ の孤立点である。$E^T\colon\mathcal{B}_{\sigma(T)}\rightarrow\mathbb{P}(\mathcal{H})$ を $T$ のスペクトル測度とする。'''定理8.7'''の $(3)$ より、任意の $\lambda\in \sigma(T)$ に対し、
$$
{\rm Ker}(\lambda-T)={\rm Ran}E^T(\{\lambda\})={\rm Ran}E^T(\{t\in \sigma(T):e^{\alpha \lambda}-e^{\alpha t}=0\})={\rm Ker}(e^{\alpha \lambda}-e^{\alpha T})
$$
であるから、'''定理13.17'''の $(1)$ より、
$$
{\rm dim}{\rm Ker}(\lambda-T)={\rm dim}{\rm Ker}(e^{\alpha\lambda}-e^{\alpha T})<\infty
$$
である。よって $\lambda$ は $T$ の離散固有値なので $\sigma(T)=\sigma_{\rm d}(T)$ である。
{{end|proof|}}

=== 命題14.6（有限次元の場合のmin-max原理）===
$\mathcal{H}$ を有限次元Hilbert空間、$N={\rm dim}(\mathcal{H})$ とし、$T$ を $\mathcal{H}$ 上の自己共役作用素とする。このとき $T$ の固有値を重複度を込めて下から並べたものを $\lambda_1,\ldots,\lambda_N$（重複度だけ同じ値が続く）とおくと、
$$
\lambda_1=\inf\{(u\mid Tu):u\in \mathcal{H},\lVert u\rVert=1\},
$$
$$
\lambda_n=\sup_{v_1,\ldots,v_{n-1}\in \mathcal{H}}\inf\{(u\mid Tu):u\in \{v_1,\ldots,v_{n-1}\}^{\perp},\lVert u\rVert=1\}\quad(n=2,\ldots,N)
$$
が成り立つ。
{{begin|proof}}
$$
\mu_1(T)\colon=\inf\{(u\mid Tu):u\in \mathcal{H},\lVert u\rVert=1\},
$$
$$
\mu_n(T)\colon=\sup_{v_1,\ldots,v_{n-1}\in \mathcal{H}}\inf\{(u\mid Tu):u\in \{v_1,\ldots,v_{n-1}\}^{\perp},\lVert u\rVert=1\}\quad(n=2,\ldots,N)
$$
とおく。'''定理13.17'''より $T$ の固有ベクトルからなる $\mathcal{H}$ のCONS $(e_1,\ldots,e_n)$ で、
$$
Te_j=\lambda_je_j\quad(j=1,\ldots,N)
$$
なるものが取れる。$\lambda_1=(e_1\mid Te_1)$ であり、任意の単位ベクトル $u=\sum_{j=1}^{N}\alpha_je_j\in \mathcal{H}$ に対し、
$$
(u\mid Tu)=\sum_{j=1}^{N}\lambda_j\lvert\alpha_j\rvert^2\geq\lambda_1\sum_{j=1}^{N}\lvert\alpha_j\rvert^2=\lambda_1\lVert u\rVert^2=\lambda_1
$$
であるから $\lambda_1=\mu_1(T)$ が成り立つ。任意の $n\in \{2,\ldots,N\}$ を取る。任意の単位ベクトル $u=\sum_{j=n}^{N}\alpha_je_j\in\{e_1,\ldots,e_{n-1}\}^{\perp}$ に対し、
$$
(u\mid Tu)=\sum_{j=n}^{N}\lambda_j\lvert\alpha_j\rvert^2\geq\lambda_n\sum_{j=n}^{N}\lvert\alpha_j\rvert^2=\lambda_n\lVert u\rVert^2=\lambda_n
$$
であるから、
$$
\mu_n(T)\geq \inf\{(u\mid Tu):u\in \{e_1,\ldots,e_{n-1}\}^{\perp},\lVert u\rVert=1\}\geq\lambda_n
$$
である。また任意の $v_1,\ldots,v_{n-1}\in \mathcal{H}$ に対し、$v_1,\ldots,v_{n-1},e_{n+1},\ldots,e_N$ が張る部分空間は $N-1$ 次元以下であるから、単位ベクトル $u=\sum_{j=1}^{n-1}\alpha_je_j\in \{v_1,\ldots,v_{n-1},e_{n+1},\ldots,e_N\}^{\perp}$ が取れ、
$$
(u\mid Tu)=\sum_{j=1}^{n}\lambda_j\lvert\alpha_j\rvert^2\leq \lambda_n\sum_{j=1}^{n}\lvert\alpha_j\rvert^2=\lambda_n\lVert u\rVert^2=\lambda_n
$$
である。よって任意の $v_1,\ldots,v_{n-1}\in \mathcal{H}$ に対し $\inf\{(u\mid Tu):u\in \{v_1,\ldots,v_{n-1}\}^{\perp},\lVert u\rVert=1\}\leq \lambda_n$ であるから $\mu_n(T)\leq \lambda_n$、よって $\lambda_n=\mu_n(T)$ である。
{{end|proof|}}

=== 定義14.7（下に有界な対称作用素）===
$T$ をHilbert空間上の対称作用素とする。
$$
\inf\{(u\mid Tu):u\in D(T),\lVert u\rVert=1\}>-\infty
$$
であるとき、$T$ は下に有界であると言う。

=== 命題14.8（下に有界な自己共役作用素のスペクトルによる特徴付け）===
$T$ をHilbert空間 $\mathcal{H}$ 上の自己共役作用素とする。このとき次は互いに同値である。
*$(1)$　$T$ は下に有界である。
*$(2)$　$T$ のスペクトル $\sigma(T)\subset \mathbb{R}$ は下に有界である。
また $(1),(2)$ が成り立つとき、
$$
\inf\{(u\mid Tu):u\in D(T),\lVert u\rVert=1\}={\rm min}(\sigma(T))\quad\quad(*)
$$
が成り立つ。
{{begin|proof}}
$E^T\colon\mathcal{B}_{\sigma(T)}\rightarrow\mathbb{P}(\mathcal{H})$ を $T$ のスペクトル測度とする。$(2)$ が成り立つならば $\sigma(T)\subset \mathbb{R}$ は閉集合であることから最小値 ${\rm min}(\sigma(T))\in\mathbb{R}$ が存在し、任意の単位ベクトル $u\in D(T)$ に対し、
$$
(u\mid Tu)=\int_{\sigma(T)}\lambda dE^T_{u,u}(\lambda)\geq {\rm min}(\sigma(T))E^T_{u,u}(\sigma(T))={\rm min}(\sigma(T))\lVert E^T(\sigma(T))u\rVert^2={\rm min}(\sigma(T))
$$
である。よって $(1)$ が成り立ち、
$$
\inf\{(u\mid Tu):u\in D(T),\lVert u\rVert=1\}\geq {\rm min}(\sigma(T))
$$
である。逆に $(1)$ が成り立つとし、$\lambda_0\colon=\inf\{(u\mid Tu):u\in D(T),\lVert u\rVert=1\}$ とおけば、任意の単位ベクトル $u\in D(T)$ に対し、
$$
(u\mid (T-\lambda_0)u)=(u\mid Tu)-\lambda_0\geq 0
$$
であるから'''命題8.10'''より $T-\lambda_0$ は非負自己共役作用素である。よって、
$$
\{\lambda-\lambda_0:\lambda\in \sigma(T)\}=\sigma(T-\lambda_0)\subset [0,\infty)
$$
であるから $(2)$ が成り立ち、
$$
{\rm min}(\sigma(T))\geq\lambda_0=\inf\{(u\mid Tu):u\in D(T),\lVert u\rVert=1\}
$$
である。ゆえに $(1)\Leftrightarrow(2)$ であり、$(1),(2)$ が成り立つとき $(*)$ が成り立つ。
{{end|proof|}}

=== 補題14.9 ===
$\mathcal{H}$ をHilbert空間、$D\subset \mathcal{H}$ を部分空間とし、$n\in \mathbb{N}$ に対し ${\rm dim}(D)>n$ であるとする。このとき $n$ 個の任意の $v_1,\ldots,v_n\in \mathcal{H}$ に対し、
$$
D\cap\{v_1,\ldots,v_n\}^{\perp}\neq \{0\}\quad\quad(*)
$$
が成り立つ。
{{begin|proof}}
$\mathcal{H}$ の有限次元部分空間 ${\rm span}\{v_1,\ldots,v_n\}$ の上への射影作用素を $P\in \mathbb{P}(\mathcal{H})$ とおく。もし、
$$
D\ni v\mapsto Pv\in {\rm span}\{v_1,\ldots,v_n\}\quad\quad(**)
$$
が単射ならば ${\rm dim}(D)\leq n$ となるので $(**)$ は単射ではない。よって $v\in D\backslash \{0\}$ で $Pv=0$ を満たすものが存在する。$Pv=0$ は $v\in \{v_1,\ldots,v_n\}^{\perp}$ であることと同値であるので $(*)$ が成り立つ。
{{end|proof|}}

=== 定義14.10（下に有界な自己共役作用素の特性レベル）===
$T$ を無限次元Hilbert空間 $\mathcal{H}$ 上の下に有界な自己共役作用素とする。
$$
\mu_1(T)\colon=\inf\{(u\mid Tu):u\in D(T),\lVert u\rVert=1\}={\rm min}(\sigma(T)),
$$
（'''命題14.8'''を参照）とおき、$2$ 以上の任意の $n\in\mathbb{N}$ に対し、
$$
\mu_n(T)\colon=\sup_{v_1,\ldots,v_{n-1}\in \mathcal{H}}\inf\{(u\mid Tu):u\in D(T)\cap \{v_1,\ldots,v_{n-1}\}^{\perp},\lVert u\rVert=1\}
$$
とおく。（$D(T)\subset {\cal H}$ は稠密であるから${\rm dim}(D(T))=\infty$ である。よって'''補題14.9'''より任意の $n\in \mathbb{N}$ と任意の $v_1,\ldots,v_{n-1}\in {\cal H}$ に対し$D(T)\cap \{v_1,\ldots,v_{n-1}\}^{\perp}\neq \{0\}$ である。）各 $n\in \mathbb{N}$ に対し $\mu_n(T)$ を $T$ の $n$ 番目の特性レベルと言う。

=== 補題14.11 ===
$T$ を無限次元Hilbert空間 $\mathcal{H}$ 上の下に有界な自己共役作用素、$(\mu_n(T))_{n\in\mathbb{N}}$ を $T$ の特性レベル、$E^T\colon\mathcal{B}_{\sigma(T)}\rightarrow\mathbb{P}(\mathcal{H})$ を $T$ のスペクトル測度とする。このとき、
*$(1)$　$(\mu_n(T))_{n\in\mathbb{N}}$ は単調増加列である。
*$(2)$　$\alpha\in\mathbb{R}$ と $n\in \mathbb{N}$ が $\alpha<\mu_n(T)$ を満たすならば、
$$
{\rm dim}{\rm Ran}E^T((-\infty,\alpha]\cap\sigma(T))\leq n-1
$$
が成り立つ。
*$(3)$　$\alpha\in\mathbb{R}$ と $n\in \mathbb{N}$ が $\mu_n(T)<\alpha$ を満たすならば、
$$
{\rm dim}{\rm Ran}E^T((-\infty,\alpha]\cap\sigma(T))\geq n
$$
が成り立つ。
*$(4)$　任意の $n\in\mathbb{N}$ に対し $\mu_n(T)<\infty$ である。
*$(5)$　任意の $n\in\mathbb{N}$ に対し $\mu_n(T)\in \sigma(T)$ である。
{{begin|proof}}
*$(1)$　
$$
\mu_1(T)=\inf\{(u\mid Tu):u\in D(T)\cap \{0\}^{\perp},\lVert u\rVert=1\}\leq \mu_2(T)
$$
であり、$2$ 以上の任意の自然数 $n$ と任意の $v_1,\ldots,v_{n-1}\in {\cal H}$ に対し、
$$
\begin{aligned}
&\inf\{(u\mid Tu): u\in D(T)\cap \{v_1,\ldots,v_{n-1}\}^{\perp},\lVert u\rVert=1\}\\
&=\inf\{(u\mid Tu):u\in D(T)\cap \{v_1,\ldots,v_{n-1},0\}^{\perp},\lVert u\rVert=1\}\leq \mu_{n+1}(T)
\end{aligned}
$$
であるから $\mu_n(T)\leq \mu_{n+1}(T)$ である。
*$(2)$　対偶を示す。もし、
$$
{\rm dim}{\rm Ran}E^T((-\infty,\alpha]\cap \sigma(T))> n-1
$$
ならば、任意の $v_1,\ldots,v_{n-1}\in \mathcal{H}$ に対し '''補題14.9'''より単位ベクトル
$$
u_0\in {\rm Ran}E^T((-\infty,\alpha]\cap \sigma(T))\cap \{v_1,\ldots,v_{n-1}\}^{\perp}
$$
が取れる。$(-\infty,\alpha]\cap \sigma(T)$ は有界であるから $u_0\in D(T)\cap \{v_1,\ldots,v_{n-1}\}^{\perp}$ であり、
$$
\inf\{(u\mid Tu):u\in D(T)\cap \{v_1,\ldots,v_{n-1}\}^{\perp}\}\leq (u_0\mid Tu_0)=\int_{(-\infty,\alpha]\cap\sigma(T)}\lambda dE^T_{u_0,u_0}(\lambda)\leq\alpha
$$
である。$v_1,\ldots,v_{n-1}\in \mathcal{H}$ は任意であるので $\mu_n(T)\leq \alpha$ である。よって対偶が成り立つ。
*$(3)$　対偶を示す。もし、
$$
{\rm dim}{\rm Ran}E^T((-\infty,\alpha]\cap \sigma(T))<n
$$
ならば、ある $v_1,\ldots,v_{n-1}\in \mathcal{H}$ に対し、
$$
{\rm Ran}E^T((-\infty,\alpha]\cap \sigma(T))={\rm span}\{v_1,\ldots,v_{n-1}\}
$$
と表せる。このとき、
$$
\{v_1,\ldots,v_{n-1}\}^{\perp}={\rm Ran}E^T((\alpha,\infty)\cap \sigma(T))
$$
であるから、任意の単位ベクトル
$$
u\in D(T)\cap\{v_1,\ldots,v_{n-1}\}^{\perp}=D(T)\cap {\rm Ran}E^T((\alpha,\infty)\cap \sigma(T))
$$
に対し、
$$
(u\mid Tu)=\int_{(\alpha,\infty)\cap\sigma(T)}\lambda dE^T_{u,u}(\lambda)\geq \alpha
$$
である。よって $\mu_n(T)\geq \alpha$ であるので対偶が成り立つ。
*$(4)$　背理法で示す。もしある $n\in \mathbb{N}$ に対し $\mu_n(T)=\infty$ であるならば、任意の $m\in \mathbb{N}$ に対し $m<\mu_n(T)$ であるから、$(2)$ より、
$$
{\rm dim}{\rm Ran}E^T((-\infty,m]\cap \sigma(T))\leq n-1\quad(\forall m\in\mathbb{N})
$$
である。これより十分大きい $m_0\in\mathbb{N}$ を取れば、
$$
{\rm Ran}E^T((-\infty,m]\cap \sigma(T))={\rm Ran}E^T((-\infty,m_0]\cap \sigma(T))\quad(\forall m\geq m_0)
$$
が成り立つので、
$$
E^T((-\infty,m]\cap \sigma(T))=E^T((-\infty,m_0]\cap \sigma(T))\quad(\forall m\geq m_0)
$$
が成り立つ。よって、
$$
1=E^T(\sigma(T))={\rm SOT-}\lim_{m\rightarrow\infty}E^T((-\infty,m]\cap \sigma(T))=E^T((-\infty,m_0]\cap \sigma(T))
$$
であるから、
$$
{\rm Ran}E^T((-\infty,m_0]\cap \sigma(T))=\mathcal{H}
$$
を得るが、左辺は有限次元で右辺は無限次元であるので矛盾する。よって任意の $n\in \mathbb{N}$ に対し $\mu_n(T)<\infty$ である。
*$(5)$　任意の $n\in \mathbb{N}$ と任意の正数 $\epsilon\in (0,\infty)$ を取る。$(4)$ より $\mu_n(T)-\epsilon<\mu_n(T)<\mu_n(T)+\epsilon$ であるから $(2)$ より、
$$
{\rm dim}{\rm Ran}E^T((-\infty,\mu_n(T)-\epsilon]\cap \sigma(T))\leq n-1,
$$
$(3)$ より、
$$
{\rm dim}{\rm Ran}E^T((-\infty,\mu_n(T)+\epsilon)\cap \sigma(T))\geq n
$$
である。よって、
$$
\begin{aligned}
&{\rm dim}{\rm Ran}E^T((\mu_n(T)-\epsilon,\mu_n(T)+\epsilon)\cap \sigma(T))\\
&={\rm dim}{\rm Ran}E^T((-\infty,\mu_n(T)+\epsilon)\cap \sigma(T))
-{\rm dim}{\rm Ran}E^T((-\infty,\mu_n(T)-\epsilon]\cap \sigma(T))\\
&\geq n-(n-1)=1
\end{aligned}
$$
であるから、
$$
E^T((\mu_n(T)-\epsilon,\mu_n(T)+\epsilon)\cap \sigma(T))>0\quad(\forall n\in\mathbb{N},\forall \epsilon\in (0,\infty)),
$$
したがって、
$$\mu_n(T)\in {\rm ess.Ran}_{E^T}({\rm id})=\sigma(T)\quad(\forall n\in\mathbb{N})
$$
（'''命題8.7'''の $(7)$ を参照）である。
{{end|proof|}}

=== 定理14.12（min-max原理）===
$\mathcal{H}$ を無限次元Hilbert空間、$T$ を $\mathcal{H}$ 上の下に有界な自己共役作用素、$(\mu_n(T))_{n\in \mathbb{N}}$ を $T$ の特性レベルとする。そして、
$$
s\colon=\sup_{n\in \mathbb{N}}\mu_n(T)
$$
とおく。このとき、
*$(1)$　
$$
\{\lambda\in \sigma(T):\lambda<s\}=\{\lambda\in \sigma_{\rm d}(T):\lambda<s\}=\{\mu_n(T):\mu_n(T)<s\}
$$
が成り立つ。
*$(2)$　$s=\infty$ ならば $\sigma(T)=\sigma_{\rm d}(T)$（$T$ のスペクトルは純粋に離散的）であり、$s<\infty$ ならば、$s={\rm min}(\sigma_{\rm ess}(T))$ である。
*$(3)$　もし任意の $n\in \mathbb{N}$ に対し $\mu_n(T)<s$ ならば、$s$ より小さい $T$ の離散固有値は無限個存在する。また $(\mu_n(T))_{n\in\mathbb{N}}$ は $s$ より小さい $T$ の離散固有値を重複度を込めて下から並べたもの（重複度だけ同じ値が続く）である。
{{begin|proof}}
*$(1)$　$\lambda\in \sigma(T)$ が $\lambda<s$ を満たすならば、ある $n\in \mathbb{N}$ と $\epsilon\in (0,\infty)$ に対し、
$$
\lambda<\lambda+\epsilon<\mu_n(T)
$$
となる。よって'''補題14.11'''の $(2)$ より、
$$
{\rm dim}{\rm Ran}E^T((\lambda-\epsilon,\lambda+\epsilon)\cap \sigma(T))\leq n-1<\infty
$$
であるから、'''定理14.2'''より $\lambda\in\sigma_{\rm d}(T)$ である。よって、
$$
\{\lambda\in\sigma(T):\lambda<s\}=\{\lambda\in \sigma_{\rm d}(T):\lambda<s\}\quad\quad(*)
$$
が成り立つ。$\lambda<s$ なる任意の $\lambda\in \sigma_{\rm d}(T)$ を取る。'''命題14.8'''より、
$$
\mu_1(T)={\rm min}(\sigma(T))\leq \lambda<s=\sup_{n\in\mathbb{N}}\mu_n(T)
$$
であるから、
$$
\mu_{n_0}(T)\leq \lambda<\mu_{n_0+1}(T)\quad\quad(**)
$$
を満たす $n_0\in\mathbb{N}$ が存在する。'''補題14.11'''の $(5)$ と $(*)$ より $\mu_{n_0}(T)\in \sigma_{\rm d}(T)$ であるから $\mu_{n_0}(T)$ は $\sigma(T)$ の孤立点である。よってある $\delta\in (0,\infty)$ が存在し、
$$
(-\infty,\mu_{n_0}(T)]\cap\sigma(T)=(-\infty,\mu_{n_0}(T)+\delta)\cap \sigma(T)
$$
となるので、'''補題14.11'''の $(3)$ より、
$$
\begin{aligned}
n_0&\leq {\rm dim}{\rm Ran}E^T((-\infty,\mu_{n_0}(T)+\delta)\cap \sigma(T))\\
&={\rm dim}{\rm Ran}E^T((-\infty,\mu_{n_0}(T)]\cap \sigma(T))
\end{aligned}
$$
であり、$(**)$ と'''補題14.11'''の $(2)$ より、
$$
{\rm dim}{\rm Ran}E^T((-\infty,\lambda]\cap \sigma(T))\leq n_0
$$
であるから、
$$
n_0\leq {\rm dim}{\rm Ran}E^T((-\infty,\mu_{n_0}(T)]\cap \sigma(T))
\leq {\rm dim}{\rm Ran}E^T((-\infty,\lambda]\cap \sigma(T))\leq n_0
$$
である。よって、
$$
{\rm Ran}E^T((-\infty,\mu_{n_0}(T)]\cap \sigma(T))={\rm Ran}E^T((-\infty,\lambda]\cap \sigma(T))
$$
であるから、
$$
E^T((\mu_{n_0}(T),\lambda]\cap \sigma(T))=0
$$
である。もし $\mu_{n_0}(T)<\lambda$ ならば $\lambda\in (\mu_{n_0}(T),\lambda]\cap \sigma(T)$ であり、$\lambda\in \sigma_{\rm d}(T)$ であるから、
$$
0<E^T(\{\lambda\})\leq E^T((\mu_{n_0}(T),\lambda]\cap \sigma(T))=0
$$
となり矛盾する。よって $\mu_{n_0}(T)=\lambda$ である。これより、
$$
\{\lambda\in \sigma_{\rm d}(T):\lambda<s\}\subset\{\mu_n(T):\mu_n(T)<s\}
$$
が成り立つ。ゆえに'''補題14.11'''の $(5)$ と $(*)$ より、
$$
\{\lambda\in \sigma(T):\lambda<s\}=\{\lambda\in \sigma_{\rm d}(T):\lambda<s\}=\{\mu_n(T):\mu_n(T)<s\}
$$
が成り立つ。
*$(2)$　$s=\infty$ ならば、$(1)$ より $\sigma(T)=\sigma_{\rm d}(T)$ である。$s<\infty$ であるとする。$\sigma(T)$ が閉であることと'''補題14.11'''の $(5)$ より $s=\sup_{n\in\mathbb{N}}\mu_n(T)\in \sigma(T)$ である。任意の $\epsilon\in(0,\infty)$ を取る。
$$
\mu_n(T)<s+\epsilon\quad(\forall n\in\mathbb{N})
$$
であるから、'''補題14.11'''の $(3)$ より、
$$
{\rm dim}{\rm Ran}E^T((-\infty,s+\epsilon)\cap \sigma(T))=\infty
$$
である。また $s-\epsilon<\mu_{n_0}(T)$ なる $n_0\in \mathbb{N}$ が存在するので'''補題14.11'''の $(2)$ より、
$$
{\rm dim}{\rm Ran}E^T((-\infty,s-\epsilon]\cap \sigma(T))\leq n_0-1<\infty
$$
である。よって、
$$
{\rm dim}{\rm Ran}E^T((s-\epsilon,s+\epsilon)\cap \sigma(T))=\infty\quad(\forall \epsilon\in(0,\infty))
$$
であるから、'''定理14.2'''より $s\in \sigma_{\rm ess}(T)$ である。$(1)$ より、
$$
\{\lambda\in \sigma_{\rm ess}(T):\lambda<s\}\subset \sigma_{\rm ess}(T)\cap \sigma_{\rm d}(T)=\emptyset
$$
であるから $s={\rm min}(\sigma_{\rm ess}(T))$ である。
*$(3)$　'''補題14.11'''の $(1)$ より $(\mu_n(T))_{n\in \mathbb{N}}$ は単調増加列であり $\mu_n(T)<s$ $(\forall n\in\mathbb{N})$、$s=\sup_{n\in \mathbb{N}}\mu_n(T)$ であるから、任意の $n\in \mathbb{N}$ に対し、$n<k$、$\mu_{n}(T)<\mu_{k}(T)$ なる $k\in\mathbb{N}$ が取れる。そこで $k(1)=1$ とし、$k(n)\in \mathbb{N}$ が定まったとき、$k(n)<k$、$\mu_{k(n)}(T)<\mu_k(T)$ を満たす最小の $k\in \mathbb{N}$ を $k(n+1)$ と定義する。こうして$(\mu_n(T))_{n\in \mathbb{N}}$ の部分列 $(\mu_{k(n)}(T))_{n\in \mathbb{N}}$ を帰納的に定義する。このとき、
$$
\mu_{k(n)}(T)<\mu_{k(n+1)}(T)\quad(\forall n\in \mathbb{N}),\quad \{\mu_n(T):n\in \mathbb{N}\}=\{\mu_{k(n)}(T):n\in \mathbb{N}\}
$$
である。$(1)$ より、
$$
\{\lambda\in \sigma(T):\lambda<s\}=\{\lambda\in \sigma_{\rm d}(T):\lambda<s\}=\{\mu_n(T):n\in\mathbb{N}\}=\{\mu_{k(n)}(T):n\in\mathbb{N}\}
$$
であるから、$s$ より小さい離散固有値は無限個存在する。$(\mu_n(T))_{n\in\mathbb{N}}$ が $s$ より小さい $T$ の離散固有値を重複度を込めて下から並べたものであることを示すには、
$$
{\rm dim}{\rm Ran}E^T(\{\mu_{k(n)}(T)\})=k(n+1)-k(n)\quad(\forall n\in\mathbb{N})\quad\quad(****)
$$
が成り立つことを示せばよい。任意の $n\in \mathbb{N}$ を取る。
$$
\mu_{k(n)}(T)=\mu_{k(n+1)-1}(T)<\mu_{k(n+1)}(T)
$$
であることと、$\mu_{k(n)}(T)=\mu_{k(n+1)-1}(T)\in \sigma_{\rm d}(T)$ が $\sigma(T)$ の孤立点であることに注意して、'''補題14.11'''の $(2),(3)$ を用いれば、
$$
{\rm dim}{\rm Ran}E^T((-\infty,\mu_{k(n)}(T)]\cap \sigma(T))=k(n+1)-1
$$
であることが分かる。ここで、
$$
(-\infty,\mu_{k(n)}(T)]\cap \sigma(T)=\bigcup_{j=1}^{n}\{\mu_{k(j)}(T)\}
$$
であるから、
$$
E^T((-\infty,\mu_{k(n)}(T)]\cap \sigma(T))=\sum_{j=1}^{n}E^T(\{\mu_{k(j)}(T)\})
$$
なので、
$$
\sum_{j=1}^{n}{\rm dim}{\rm Ran}E^T(\{\mu_{k(j)}(T)\})={\rm dim}{\rm Ran}E^T((-\infty,\mu_{k(n)}(T)]\cap \sigma(T))=k(n+1)-1
$$
である。よって、
$$
{\rm dim}{\rm Ran}E^T(\{\mu_{k(1)}(T)\})=k(2)-1=k(2)-k(1)
$$
であり、任意の $n\geq 2$ に対し、
$$
\begin{aligned}
&{\rm dim}{\rm Ran}E^T(\{\mu_{k(n)}(T)\})\\
&=\sum_{j=1}^{n}{\rm dim}E^T(\{\mu_{k(j)}(T)\})-\sum_{j=1}^{n-1}{\rm dim}{\rm Ran}E^T(\{\mu_{k(j)}(T)\})\\
&=(k(n+1)-1)-(k(n)-1)=k(n+1)-k(n)
\end{aligned}
$$
であるから、$(****)$ が成り立つ。
{{end|proof|}}

===命題14.13（Reyleigh-Ritzの原理）===
$\mathcal{H}$ を無限次元Hilbert空間、$T$ を $\mathcal{H}$ 上の下に有界な自己共役作用素、$(\mu_n(T))_{n\in\mathbb{N}}$ を $T$ の特性レベルとする。任意の $N\in \mathbb{N}$ と $D(T)$ の任意の $N$ 次元部分空間 $\mathcal{K}$ に対し、$\mathcal{K}$ の上への射影作用素を $P_{\mathcal{K}}\in \mathbb{B}(\mathcal{H})$ として、
$$
T_{\mathcal{K}}:\mathcal{K}\ni v\mapsto P_{\mathcal{K}}Tv\in \mathcal{K}
$$
なる $\mathcal{K}$ 上の自己共役作用素を定義する。そして $T_{\mathcal{K}}$ の固有値を重複度を込めて下から並べたものを $\lambda_1,\ldots,\lambda_N$（重複度の数だけ同じ値が続く）とする。このとき、
$$
\mu_n(T)\leq \lambda_n\quad(n=1,\ldots,N)
$$
が成り立つ。
{{begin|proof}}
'''命題14.6'''より、
$$
\begin{aligned}
\mu_1(T)&=\inf\{(u\mid Tu):u\in D(T),\lVert u\rVert=1\}\leq \inf\{(u\mid Tu):u\in \mathcal{K},\lVert u\rVert=1\}\\
&=\inf\{(u\mid T_{\mathcal{K}}u):u\in\mathcal{K},\lVert u\rVert=1\}=\lambda_1
\end{aligned}
$$
であり、任意の $n\in\{2,\ldots,N\}$、任意の $v_1,\ldots,v_{n-1}\in \mathcal{H}$ に対し、
$$
\begin{aligned}
&\inf\{(u\mid Tu):u\in D(T)\cap \{v_1,\ldots,v_{N-1}\}^{\perp},\lVert u\rVert=1\}\\
&\leq\inf\{(u\mid Tu):u\in \mathcal{K}\cap \{v_1,\ldots,v_{N-1}\}^{\perp},\lVert u\rVert=1\}\\
&=\inf\{(u\mid T_{\mathcal{K}}u):u\in \mathcal{K}\cap \{P_{\mathcal{K}}v_1,\ldots,P_{\mathcal{K}}v_{N-1}\}^{\perp},\lVert u\rVert=1\}\leq \lambda_n
\end{aligned}
$$
であるから、$\mu_{n}(T)\leq \lambda_n$ である。
{{end|proof|}}

== 15. 加藤-Rellichの定理、相対コンパクトな摂動に対する真性スペクトルの安定性 ==

=== 定理15.1（加藤-Rellichの定理1）===
$\mathcal{H}$ をHilbert空間、$T$ を $\mathcal{H}$ 上の自己共役作用素、$S$ を $\mathcal{H}$ 上の対称作用素とする。そして $D(T)\subset D(S)$ であり、ある $a\in [0,1)$ と $b\in [0,\infty)$ に対し、
$$
\lVert Sv\rVert\leq a\lVert Tv\rVert+b\lVert v\rVert\quad(\forall v\in D(T))\quad\quad(*)
$$
が成り立つとする。このとき次が成り立つ。
*$(1)$　$T+S\colon D(T)\rightarrow\mathcal{H}$ は $\mathcal{H}$ 上の自己共役作用素である。
*$(2)$　$T$ の芯は $T+S$ の芯でもある。
*$(3)$　$T$ が下に有界ならば $T+S$ も下に有界であり、$\gamma\colon ={\rm min}(\sigma(T))$ とおくと、
$$
{\rm min}(\sigma(T+S))\geq \gamma-{\rm max}\left(\frac{b}{1-a},a\lvert \gamma\rvert+b\right)
$$
が成り立つ。
{{begin|proof}}
*$(1)$　$E^T\colon \mathcal{B}_{\sigma(T)}\rightarrow\mathbb{P}(\mathcal{H})$ を $T$ のスペクトル測度とする。任意の $n\in \mathbb{N}$ に対し、
$$
\begin{aligned}
&\lVert T(T\pm in)^{-1}\rVert=\left\lVert \int_{\sigma(T)}\frac{t}{t\pm in}dE^T(t)\right\rVert
\leq\sup_{t\in \sigma(T)}\left\lvert \frac{t}{t\pm in}\right\rvert\leq 1,\\
&\lVert (T\pm in)^{-1}\rVert=\left\lVert \int_{\sigma(T)}\frac{1}{t\pm in}dE^T(t)\right\rVert
\leq\sup_{t\in \sigma(T)}\left\lvert \frac{1}{t\pm in}\right\rvert\leq \frac{1}{n}
\end{aligned}
$$
である。そこで、
$$
a+\frac{b}{n_0}<1
$$
を満たす $n_0\in \mathbb{N}$ を取れば $(*)$ より、
$$
\lVert S(T\pm in_0)^{-1}\rVert\leq a\lVert T(T\pm in_0)^{-1}\rVert+b\lVert (T\pm in_0)^{-1}\rVert
\leq a+\frac{b}{n_0}<1
$$
であるから、[[Banach環とC*-環のスペクトル理論]]の'''命題1.2'''より、
$$
(T+S\pm in_0)(T\pm in_0)^{-1}=1+S(T\pm in_0)^{-1}\in {\rm GL}(\mathbb{B}(\mathcal{H}))
$$
である。特に、
$$
{\rm Ran}(T+S\pm in_0)=\mathcal{H}
$$
であり、$T+S$ は対称作用素であるので、'''定理4.6'''より $T+S$ は自己共役作用素である。
*$(2)$　$D\subset D(T)$ が $T$ の芯であるとすると、任意の $v\in D(T)=D(T+S)$ に対し、$D$ の点列 $(v_n)_{n\in \mathbb{N}}$ で、
$$
\lim_{n\rightarrow\infty}\lVert v_n-v\rVert=0,\quad \lim_{n\rightarrow\infty}\lVert Tv_n-Tv\rVert=0
$$
を満たすものが取れる。$(*)$ より、
$$
\lVert Sv_n-Sv\rVert\leq a\lVert Tv_n-Tv\rVert+b\lVert v_n-v\rVert\rightarrow0\quad(n\rightarrow\infty)
$$
であるから、$D$ は $S+T$ の芯である。
*$(3)$　任意の $\lambda\in (-\infty,\gamma)$ に対し、
$$
\begin{aligned}
\lVert T(T-\lambda)^{-1}\rVert&=\left\lVert \int_{\sigma(T)}\frac{t}{t-\lambda}dE^T(t)\right\rVert\leq \sup_{t\in \sigma(T)}\left\lvert \frac{t}{t-\lambda}\right\rvert\\
&=\sup_{t\in \sigma(T)}\left\lvert 1+\frac{\lambda}{t-\lambda}\right\rvert
\leq {\rm max}\left(1,\frac{\lvert \gamma\rvert}{\gamma-\lambda}\right),
\end{aligned}
$$
$$
\begin{aligned}
\lVert (T-\lambda)^{-1}\rVert=\left\lVert \int_{\sigma(T)}\frac{1}{t-\lambda}dE^T(t)\right\rVert
\leq \sup_{t\in \sigma(T)}\frac{1}{t-\lambda}\leq \frac{1}{\gamma-\lambda}
\end{aligned}
$$
であるから、$(*)$ より、
$$
\begin{aligned}
\lVert S(T-\lambda)^{-1}\rVert &\leq a\lVert T(T-\lambda)^{-1}\rVert+b\lVert (T-\lambda)^{-1}\rVert\\
&\leq{\rm max}\left(a+\frac{b}{\gamma-\lambda}, \frac{a\lvert \gamma\rvert+b}{\gamma-\lambda}\right)
\end{aligned}
$$
である。よって、
$$
\lambda<\gamma-{\rm max}\left(\frac{b}{1-a},a\lvert \gamma\rvert+b\right)
$$
を満たす任意の $\lambda\in \mathbb{R}$ に対し $\lVert S(T-\lambda)^{-1}\rVert<1$ であるから、[[Banach環とC*-環のスペクトル理論]]の'''命題1.2'''より、
$$
(T+S-\lambda)(T-\lambda)^{-1}=1+S(T-\lambda)^{-1}\in {\rm GL}(\mathbb{B}(\mathcal{H})),
$$
したがって、$\lambda\notin \sigma(T+S)$ である。ゆえに $\lambda\in \sigma(T+S)$ ならば $\lambda\geq \gamma-{\rm max}\left(\frac{b}{1-a},a\lvert \gamma\rvert+b\right)$ であるから、$T+S$ は下に有界であり、
$$
{\rm min}(\sigma(T+S))\geq \gamma-{\rm max}\left(\frac{b}{1-a},a\lvert \gamma\rvert+b\right)
$$
が成り立つ。
{{end|proof|}}

===定義15.2（自己共役作用素に対して無限小な対称作用素）===
$\mathcal{H}$ をHilbert空間、$T$ を $\mathcal{H}$ 上の自己共役作用素、$S$ を $\mathcal{H}$ 上の対称作用素とする。もし $D(T)\subset D(S)$ であり、任意の $\epsilon\in (0,1)$ に対し $\delta\in [0,\infty)$ が存在し、
$$
\lVert Sv\rVert\leq \epsilon\lVert Tv\rVert +\delta\lVert v\rVert\quad(\forall v\in D(T))
$$
が成り立つならば、$S$ は $T$ に対して無限小であると言う。 

加藤-Rellichの定理（'''定理15.1'''）より、$S$ が $T$ に対して無限小であるならば、$T+S$ は自己共役作用素であり、$T$ の芯は $T+S$ の芯である。また $T$ が下に有界ならば $T+S$ も下に有界である。

===定義15.3（自己共役作用素に対して相対コンパクトな対称作用素）===
$\mathcal{H}$ をHilbert空間、$T$ を $\mathcal{H}$ 上の自己共役作用素、$S$ を $\mathcal{H}$ 上の対称作用素とする。もし $D(T)\subset D(S)$ であり、ある $\lambda_0\in \rho(T)$ に対し、
$$
S(T-\lambda_0)^{-1}\in \mathbb{B}_0(\mathcal{H})
$$
が成り立つならば、$S$ は $T$ に対して相対コンパクトであると言う。 
このとき任意の $\lambda\in \rho(T)$ に対し $S(T-\lambda)^{-1}\in \mathbb{B}_0(\mathcal{H})$ であることに注意する。実際、
$$
\begin{aligned}
S(T-\lambda_0)^{-1}-S(T-\lambda)^{-1}&=S(T-\lambda_0)^{-1}((T-\lambda)-(T-\lambda_0))(T-\lambda)^{-1}\\
&=(\lambda_0-\lambda)S(T-\lambda_0)^{-1}(T-\lambda)^{-1}
\end{aligned}
$$
であるから、
$$
S(T-\lambda)^{-1}=S(T-\lambda_0)^{-1}+(\lambda-\lambda_0)S(T-\lambda_0)^{-1}(T-\lambda)^{-1}\in \mathbb{B}_0(\mathcal{H})
$$
である。

===補題15.4===
$\mathcal{H}$ をHilbert空間、$T$ を $\mathcal{H}$ 上の自己共役作用素とし、$S$ を $T$ に対して相対コンパクトな対称作用素とする。このとき、
$$
\lim_{n\rightarrow\infty}\lVert S(T+in)^{-1}\rVert=0
$$
が成り立つ。
{{begin|proof}}
'''定義15.3'''の注意で述べた様に $S(T+in)^{-1} \in \mathbb{B}_0(\mathcal{H})$ である。$E^T\colon\mathcal{B}_{\sigma(T)}\rightarrow\mathbb{P}(\mathcal{H})$ を $T$ のスペクトル測度とする。今、
$$
A\colon=S(T+i)^{-1}\in \mathbb{B}_0(\mathcal{H}),
$$
$$
B_n\colon=(T+i)(T+in)^{-1}=\int_{\sigma(T)}\frac{t+i}{t+in}dE^T(t)\in \mathbb{B}(\mathcal{H})\quad(\forall n\in \mathbb{N})
$$
とおく。このとき、
$$
S(T+in)^{-1}=AB_n\quad(\forall n\in \mathbb{N})
$$
である。そして、
$$
\lVert B_n\rVert=\sup_{t\in \sigma(T)}\left\lvert \frac{t+i}{t+in}\right\rvert\leq1\quad(\forall n\in \mathbb{N})\quad\quad(*)
$$
であり、任意の $v\in \mathcal{H}$ に対しLebesgue優収束定理より、
$$
\lVert B_n^*v\rVert^2=\int_{\sigma(T)}\left\lvert \frac{t-i}{t-in}\right\rvert^2dE^T_{v,v}(t)\rightarrow0\quad(n\rightarrow\infty)\quad\quad(**)
$$
である。任意の $\epsilon\in (0,\infty)$ に対し、コンパクト作用素の定義（'''定義13.3'''）より有限階作用素 $A_0\in\mathbb{B}_{\rm f}(\mathcal{H})$ で、
$$
\lVert A-A_0\rVert<\frac{\epsilon}{2}\quad\quad(***)
$$
を満たすものが取れる。有限次元部分空間 ${\rm Ran}(A_0)\subset \mathcal{H}$ のCONSを $e_1,\ldots,e_m$ とおけば、'''命題13.6'''より、
$$
A_0=\left(\sum_{j=1}^{m}e_j\odot e_j\right)A_0=\sum_{j=1}^{m}e_j\odot A_0^*e_j
$$
であるから、$(**)$ と'''命題13.6'''より作用素ノルムで、
$$
A_0B_n=\left(\sum_{j=1}^{m}e_j\odot A_0^*e_j\right)B_n=\sum_{j=1}^{m}e_j\odot B_n^*A_0^*e_j\rightarrow0\quad(n\rightarrow\infty)
$$
となる。よって十分大きい $n_0\in \mathbb{N}$ を取れば、
$$
\lVert A_0B_n\rVert<\frac{\epsilon}{2}\quad(\forall n\geq n_0)
$$
となるので、$(*)$, $(***)$ より任意の $n\geq n_0$ に対し、
$$
\begin{aligned}
\lVert S(T+in)^{-1}\rVert&=\lVert AB_n\rVert\leq \lVert (A-A_0)B_n\rVert+\lVert A_0B_n\rVert\\
&<\lVert A-A_0\rVert+\frac{\epsilon}{2}<\epsilon
\end{aligned}
$$
となる。ゆえに $\lim_{n\rightarrow\infty}\lVert S(T+in)^{-1}\rVert=0$ が成り立つ。
{{end|proof|}}

===定理15.5（相対コンパクトな摂動に対する真性スペクトルの安定性）===
$\mathcal{H}$ をHilbert空間、$T$ を $\mathcal{H}$ 上の自己共役作用素、$S$ を $T$ に対して相対コンパクトな対称作用素（'''定義15.3'''）とする。このとき、
*$(1)$　$S$ は $T$ に対して無限小（'''定義15.2'''）である。（したがって $T+S\colon D(T)\rightarrow\mathcal{H}$ は自己共役作用素である。）
*$(2)$　$S$ は $T+S$ に対しても相対コンパクトである。
*$(3)$　$\sigma_{\rm ess}(T+S)=\sigma_{\rm ess}(T)$ が成り立つ。
{{begin|proof}}
*$(1)$　'''補題15.4'''より任意の $\epsilon\in (0,1)$ に対し $\lVert S(T+in)^{-1}\rVert<\epsilon$ なる $n\in \mathbb{N}$ が取れる。よって任意の $v\in D(T)$ に対し、
$$
\lVert Sv\rVert\leq\lVert S(T+in)^{-1}(T+in)v\rVert
\leq \epsilon\lVert Tv\rVert+n\lVert (S+in)^{-1}\rVert\lVert v\rVert
$$
であるので、$\epsilon\in (0,1)$ の任意性より $S$ は $T$ に対して無限小である。
*$(2)$　任意の $n\in \mathbb{N}$ に対し、
$$
\begin{aligned}
S(T+S+in)^{-1}-S(T+in)^{-1}&=S(T+S+in)^{-1}((T+in)-(T+S+in))(T+in)^{-1}\\
&=-S(T+S+in)^{-1}S(T+in)^{-1}
\end{aligned}
$$
であるから、
$$
S(T+S+in)^{-1}(1+S(T+in)^{-1})=S(T+in)^{-1}\quad\quad(*)
$$
である。'''補題15.4'''より十分大きい $n_0\in \mathbb{N}$ を取れば、
$$
\lVert S(T+in_0)^{-1}\rVert<1
$$
となるので、[[Banach環とC*-環のスペクトル理論]]の'''命題1.2'''より、
$$
1+S(T+in_0)^{-1}\in {\rm GL}(\mathbb{B}(\mathcal{H}))
$$
である。よって $(*)$ より、
$$
S(T+S+in_0)^{-1}=S(T+in_0)^{-1}(1+S(T+in_0)^{-1})^{-1}\in \mathbb{B}_0(\mathcal{H})
$$
であるから、$S$ は $T+S$ に対して相対コンパクトである。
*$(3)$　任意の $\lambda\in \sigma_{\rm ess}(T)$ を取る。'''定理14.2'''より $D(T)$ の単位ベクトルの列 $(u_n)_{n\in\mathbb{N}}$ で、$\lim_{n\rightarrow\infty}\lVert (T-\lambda)u_n\rVert=0$ かつ $\mathcal{H}$ の弱位相で $\lim_{n\rightarrow\infty}u_n=0$ となるものが取れる。任意の $n\in \mathbb{N}$ に対し、
$$
\begin{aligned}
&(\lambda-(T+S))u_n=(\lambda-T)u_n-S(T-i)^{-1}(T-i)u_n\\
&=(\lambda-T)u_n-S(T-i)^{-1}((T-\lambda)u_n+(\lambda-i)u_n)\quad\quad(**)
\end{aligned}
$$
であり、$S$ は $T$ に対して相対コンパクトであるので $S(T-i)^{-1}\in \mathbb{B}_0(\mathcal{H})$ であるから、'''定理13.10'''より、
$$
\lim_{n\rightarrow\infty}\lVert S(T-i)^{-1}u_n\rVert=0
$$
である。よって $(**)$ より、
$$
\lim_{n\rightarrow\infty}\lVert (\lambda-(T+S))u_n\rVert=0
$$
であるから、'''定理14.2'''より $\lambda\in \sigma_{\rm ess}(T+S)$ である。ゆえに、
$$
\sigma_{\rm ess}(T)\subset \sigma_{\rm ess}(T+S)
$$
が成り立つ。$(2)$ より $-S$ は $T+S$ に対して相対コンパクトであるので、上の結果より、
$$
\sigma_{\rm ess}(T+S)\subset \sigma_{\rm ess}(T+S-S)=\sigma_{\rm ess}(T)
$$
も成り立つ。よって $\sigma_{\rm ess}(T)=\sigma_{\rm ess}(T+S)$ が成り立つ。
{{end|proof|}}

== 16. トレースクラス、Hilbert-Schmidtクラス、積分作用素 ==

===命題16.1===
$\mathcal{H}$ をHilbert空間、$(e_j)_{j\in J}$, $(f_i)_{i\in I}$ をそれぞれ $\mathcal{H}$ の添字付けられたCONSとする。このとき、
*$(1)$　任意の $T\in \mathbb{B}(\mathcal{H})$ に対し、
$$
\sum_{j\in J}(e_j\mid T^*Te_j)=\sum_{j\in J}(e_j\mid TT^*e_j)
$$
が成り立つ。
*$(2)$　任意の非負有界自己共役作用素 $T\in \mathbb{B}(\mathcal{H})_+$ に対し、
$$
\sum_{j\in J}(e_j\mid Te_j)=\sum_{i\in I}(f_i\mid Tf_i)
$$
が成り立つ。
{{begin|proof}}
*$(1)$　$\mathcal{F}_J$ を $J$ の有限部分集合全体とする。また任意の $j,j'\in J$ に対し、
$$
\alpha_{j,j'}\colon=(e_{j'}\mid Te_j)(Te_j\mid e_{j'})=(T^*e_{j'}\mid e_j)(e_j\mid T^*e_{j'})\geq0
$$
とおく。すると、
$$
\begin{aligned}
\sum_{j\in J}(e_j\mid T^*Te_j)&=\sum_{j\in J}(Te_j\mid Te_j)
=\sum_{j\in J}\sum_{j'\in J}(e_{j'}\mid Te_j)(Te_j\mid e_{j'})\\
&=\sum_{j\in J}\sum_{j'\in J}\alpha_{j,j'}=\sum_{j'\in J}\sum_{j\in J}\alpha_{j,j'}=\sum_{j'\in J}\sum_{j\in J}(T^*e_{j'}\mid e_j)(e_j\mid T^*e_{j'})\\
&=\sum_{j'\in J}(T^*e_{j'}\mid T^*e_{j'})=\sum_{j'\in J}(e_{j'}\mid TT^*e_{j'})
\end{aligned}
$$
（非負数の総和については[[位相線形空間1：ノルムと内積]]の'''定義5.4'''を参照）となる。
*$(2)$　[[測度と積分6：数え上げ測度と $\ell^p$ 空間]]の'''定理25.10'''より全単射 $\gamma\colon J\rightarrow I$ が取れ、[[測度と積分6：数え上げ測度と $\ell^p$ 空間]]の'''定理25.6'''より $\mathcal{H}$ 上のユニタリ作用素 $U$ で、
$$
Ue_j=f_{\gamma(j)}\quad(\forall j\in J)
$$
を満たすものが取れる。任意の $T\in \mathbb{B}(\mathcal{H})_+$ に対し、
$$
\sum_{i\in I}(f_i\mid Tf_i)=\sum_{j\in J}(f_{\gamma(j)}\mid Tf_{\gamma(j)})
=\sum_{j\in J}(e_j\mid U^*TUe_j)
$$
であり、$U^*TU=(\sqrt{T}U)^*(\sqrt{T}U)$ であることと $(1)$ より、
$$
\sum_{j\in J}(e_j\mid U^*TUe_j)=\sum_{j\in J}\left(e_j\mid (\sqrt{T}U)^*(\sqrt{T}U)e_j\right)
=\sum_{j\in J}\left(e_j\mid (\sqrt{T}U)(\sqrt{T}U)^*e_j\right)
=\sum_{j\in J}(e_j\mid Te_j)
$$
であるから、
$$
\sum_{i\in I}(f_i\mid Tf_i)=\sum_{j\in J}(e_j\mid U^*TUe_j)=\sum_{j\in J}(e_j\mid Te_j)
$$
である。
{{end|proof|}}

===定義16.2（$\mathbb{B}(\mathcal{H})_+$ 上のトレース）===
$\mathcal{H}$ をHilbert空間とする。$\mathcal{H}$ 上の非負有界自己共役作用素に対するトレース
$$
{\rm Tr}\colon \mathbb{B}(\mathcal{H})_+\rightarrow [0,\infty]
$$
を、$\mathcal{H}$ のCONS $(e_j)_{j\in J}$ に対し、
$$
{\rm Tr}(T)\colon =\sum_{j\in J}(e_j\mid Te_j)
$$
として定義する。'''命題16.1'''の $(2)$ よりこの定義は $\mathcal{H}$ のCONSの取り方によらない。

===命題16.3（$\mathbb{B}(\mathcal{H})_+$ 上のトレースの基本的性質）===
トレース ${\rm Tr}\colon \mathbb{B}(\mathcal{H})_+\rightarrow[0,\infty]$ に対し次が成り立つ。
*$(1)$　$S,T\in \mathbb{B}(\mathcal{H})_+$ が $S\leq T$ を満たすならば ${\rm Tr}(S)\leq {\rm Tr}(T)$.
*$(2)$　任意の $S,T\in \mathbb{B}(\mathcal{H})_+$ に対し ${\rm Tr}(S+T)={\rm Tr}(S)+{\rm Tr}(T)$.
*$(3)$　任意の $T\in \mathbb{B}(\mathcal{H})_+$ と $\alpha\in [0,\infty)$ に対し ${\rm Tr}(\alpha T)=\alpha {\rm Tr}(T)$.
*$(4)$　任意の $T\in \mathbb{B}(\mathcal{H})_+$ と $V\in \mathbb{B}(\mathcal{H})$ に対し ${\rm Tr}(V^*TV)\leq \lVert V\rVert^2{\rm Tr}(T)$.
*$(5)$　任意の $T\in \mathbb{B}(\mathcal{H})$ に対し $\lVert T\rVert\leq {\rm Tr}(\lvert T\rvert)$.
{{begin|proof}}
$(1),(2),(3)$ は自明である。$(4)$ を示す。$\mathcal{H}$ のCONS $(e_j)_{j\in J}$ に対し'''命題16.1'''の $(1)$ より、
$$
\begin{aligned}
{\rm Tr}(V^*TV)&={\rm Tr}\left(\left(\sqrt{T}V\right)\left(\sqrt{T}V\right)^*\right)
={\rm Tr}\left(\sqrt{T}VV^*\sqrt{T}\right)=\sum_{j\in J}\left(e_j\mid \sqrt{T}VV^*\sqrt{T}e_j\right)\\
&=\sum_{j\in J}\lVert V^*\sqrt{T}e_j\rVert^2
\leq\lVert V\rVert^2\sum_{j\in J}\lVert \sqrt{T}e_j\rVert^2=\lVert V\rVert^2\sum_{j\in J}(e_j\mid Te_j)
=\lVert V\rVert^2{\rm Tr}(T)
\end{aligned}
$$
である。$(5)$ を示す。
$$
\lVert T\rVert^2=\lVert T^*T\rVert=\lVert \lvert T\rvert^2\rVert=\lVert \lvert T\rvert\rVert^2
$$
より、
$$
\lVert T\rVert=\lVert \lvert T\rvert\rVert=\lVert \sqrt{\lvert T\rvert}^2\rVert=\lVert \sqrt{\lvert T\rvert}\rVert^2
$$
である。そして、
$$
\lVert \sqrt{\lvert T\rvert}\rVert^2=\sup\{\lVert \sqrt{T}e\rVert^2:e\in \mathcal{H},\lVert e\rVert=1\}
=\sup\{(e\mid \lvert T\rvert e):e\in \mathcal{H},\lVert e\rVert=1\}
$$
であるから、
$$
\lVert T\rVert=\lVert \sqrt{\lvert T\rvert}\rVert^2=\sup\{(e\mid \lvert T\rvert e):e\in \mathcal{H},\lVert e\rVert=1\}\quad\quad(*)
$$
が成り立つ。任意の単位ベクトル $e\in \mathcal{H}$ に対し[[測度と積分6：数え上げ測度と $\ell^p$ 空間]]の'''命題25.9'''より $e$ を含む $\mathcal{H}$ のCONSが存在するので、
$$
(e\mid \lvert T\rvert e)\leq {\rm Tr}(\lvert T\rvert)
$$
が成り立つ。よって $(*)$ より $\lVert T\rVert\leq {\rm Tr}(\lvert T\rvert)$ が成り立つ。
{{end|proof|}}

===定義16.4（トレースクラス $\mathbb{B}^1(\mathcal{H})$、Hilbert-Schmidtクラス $\mathbb{B}^2(\mathcal{H})$）===
$\mathcal{H}$ をHilbert空間とする。
$$
\mathbb{B}^1(\mathcal{H})\colon=\{T\in \mathbb{B}(\mathcal{H}):{\rm Tr}(\lvert T\rvert)<\infty\}
$$
を $\mathcal{H}$ 上のトレースクラス、
$$
\mathbb{B}^2(\mathcal{H})\colon=\{T\in \mathbb{B}(\mathcal{H}):{\rm Tr}(T^*T)<\infty\}
$$
を $\mathcal{H}$ 上のHilbert-Schmidtクラスと言う。

===命題16.5（トレースクラス $\mathbb{B}^1(\mathcal{H})$ は $\mathbb{B}(\mathcal{H})$ の $*$-イデアル）===
トレースクラス $\mathbb{B}^1(\mathcal{H})$ は、
$$
\mathbb{B}^1(\mathcal{H})={\rm span}(\mathbb{B}^1(\mathcal{H})\cap \mathbb{B}(\mathcal{H})_+)={\rm span}\{T\in \mathbb{B}(\mathcal{H})_+: {\rm Tr}(T)<\infty\}
$$
と表せる。そして $\mathbb{B}^1(\mathcal{H})$ は $\mathbb{B}(\mathcal{H})$ の $*$-イデアルである。
{{begin|proof}}
$$
\mathcal{T}\colon={\rm span}(\mathbb{B}^1(\mathcal{H})\cap \mathbb{B}(\mathcal{H})_+)={\rm span}\{T\in \mathbb{B}(\mathcal{H})_+: {\rm Tr}(T)<\infty\}
$$
とおく。まず $\mathcal{T}$ が $\mathbb{B}(\mathcal{H})$ の $*$-イデアルであることを示す。任意の $T\in \mathbb{B}^1(\mathcal{H})\cap \mathbb{B}(\mathcal{H})_+$、任意の $S\in \mathbb{B}(\mathcal{H})$ に対し、偏極恒等式（[[測度と積分6：数え上げ測度と $\ell^p$ 空間]]の'''定義25.2'''）と'''命題16.3'''の $(4)$ より、
$$
\begin{aligned}
ST&=(\sqrt{T}S^*)^*\sqrt{T}=\frac{1}{4}\sum_{k=0}^{3}i^k\left(i^k\sqrt{T}S^*+\sqrt{T}\right)^*\left(i^k\sqrt{T}S^*+\sqrt{T}\right)\\
&=\frac{1}{4}\sum_{k=0}^{3}i^k(i^kS^*+1)^*T(i^kS^*+1)\in \mathcal{T},
\end{aligned}
$$
よって、
$$
ST\in \mathcal{T}\quad(\forall S\in \mathbb{B}(\mathcal{H}),\forall T\in \mathcal{T})
$$
が成り立つ。また $\mathcal{T}$ は明らかに $*$-演算で閉じているので、
$$
TS=(S^*T^*)^*\in \mathcal{T}\quad(\forall S\in \mathbb{B}(\mathcal{H}),\forall T\in \mathcal{T})
$$
も成り立つ。これより $\mathcal{T}$ は $\mathbb{B}(\mathcal{H})$ の $*$-イデアルである。次に $\mathbb{B}^1(\mathcal{H})=\mathcal{T}$ が成り立つことを示す。任意の $T\in \mathbb{B}^1(\mathcal{H})$ に対し $T=V\lvert T\rvert$ を $T$ の極分解（'''定理9.4'''）とすると、$\lvert T\rvert\in \mathcal{T}$ であり $\mathcal{T}$ はイデアルであるから $T=V\lvert T\rvert\in \mathcal{T}$ である。よって $\mathbb{B}^1(\mathcal{H})\subset \mathcal{T}$ が成り立つ。任意の $T\in \mathcal{T}$ に対し $T=V\lvert T\rvert$ を $T$ の極分解とすると、$\lvert T\rvert=V^*V\lvert T\rvert=V^*T$ であり $\mathcal{T}$ はイデアルであるから、$\lvert T\rvert\in\mathcal{T}$ である。よって ${\rm Tr}(\lvert T\rvert)<\infty$ であるから $T\in \mathbb{B}^1(\mathcal{H})$ である。ゆえに $\mathbb{B}^1(\mathcal{H})=\mathcal{T}$ が成り立つ。
{{end|proof|}}

===命題16.6（Hilbert-Schmidtクラス $\mathbb{B}^2(\mathcal{H})$ は $\mathbb{B}(\mathcal{H})$ の $*$-イデアル）===
Hilbert-Schmidtクラス $\mathbb{B}^2(\mathcal{H})$ は $\mathbb{B}(\mathcal{H})$ の $*$-イデアルである。
{{begin|proof}}
任意の $T\in \mathbb{B}^2(\mathcal{H})$ に対し'''命題16.1'''の $(1)$ より ${\rm Tr}(TT^*)={\rm Tr}(T^*T)<\infty$ であるから $T^*\in \mathbb{B}^2(\mathcal{H})$ である。任意の $T\in \mathbb{B}^2(\mathcal{H})$ と任意の $S\in \mathbb{B}(\mathcal{H})$ に対し'''命題16.3'''の $(4)$ より、
$$
{\rm Tr}((TS)^*TS)={\rm Tr}(S^*T^*TS)\leq \lVert S\rVert^2{\rm Tr}(T^*T)<\infty
$$
であるから、$TS\in \mathbb{B}^2(\mathcal{H})$ が成り立ち、$\mathbb{B}^2(\mathcal{H})$ は $*$-演算で閉じているから $ST=(T^*S^*)^*\in \mathbb{B}^2(\mathcal{H})$ が成り立つ。任意の $T\in \mathbb{B}^2(\mathcal{H})$ と任意の $\alpha\in \mathbb{C}$ に対し、
$$
{\rm Tr}((\alpha T)^*\alpha T)={\rm Tr}(\lvert\alpha\rvert^2T^*T)=\lvert\alpha\rvert^2{\rm Tr}(T^*T)<\infty
$$
であるから $\alpha T\in \mathbb{B}^2(\mathcal{H})$ であり、任意の $S,T\in \mathbb{B}^2(\mathcal{H})$ に対し、
$$
(S+T)^*(S+T)\leq (S+T)^*(S+T)+(S-T)^*(S-T)=2(S^*S+T^*T)
$$
であることと'''命題16.3'''の $(1),(2)$ より、
$$
{\rm Tr}((S+T)^*(S+T))\leq 2({\rm Tr}(S^*S)+{\rm Tr}(T^*T))<\infty
$$
であるから $S+T\in \mathbb{B}^2(\mathcal{H})$ である。ゆえに $\mathbb{B}^2(\mathcal{H})$ は $\mathbb{B}(\mathcal{H})$ の $*$-イデアルである。
{{end|proof|}}

===命題16.7（$\mathbb{B}^1(\mathcal{H})\subset \mathbb{B}^2(\mathcal{H})\subset \mathbb{B}_0(\mathcal{H})$, $\mathbb{B}^2(\mathcal{H})\mathbb{B}^2(\mathcal{H})\subset \mathbb{B}^1(\mathcal{H})$）===
$\mathcal{H}$ をHilbert空間とする。次が成り立つ。
*$(1)$　$\mathbb{B}_{\rm f}(\mathcal{H})\subset \mathbb{B}^1(\mathcal{H})\subset \mathbb{B}^2(\mathcal{H})\subset \mathbb{B}_0(\mathcal{H})$.
*$(2)$　任意の $S,T\in \mathbb{B}^2(\mathcal{H})$ に対し $ST\in \mathbb{B}^1(\mathcal{H})$.
{{begin|proof}}
*$(1)$　$\mathbb{B}_{\rm f}(\mathcal{H})\subset \mathbb{B}^1(\mathcal{H})$ を示す。任意の $T\in \mathbb{B}_{\rm f}(\mathcal{H})$ を取る。有限次元部分空間 ${\rm Ran}(T)\subset \mathcal{H}$ の上への射影作用素を $P\in\mathbb{B}(\mathcal{H})_+$ とおき、${\rm Ran}(T)$ のCONSを $(e_1,\ldots,e_n)$ とおく。[[測度と積分6：数え上げ測度と $\ell^p$ 空間]]の'''命題25.9'''より $\{e_1,\ldots,e_n\}$ を含む $\mathcal{H}$ のCONSが取れるので、
$$
{\rm Tr}(P)=\sum_{j=1}^{n}(e_j\mid Pe_j)=n<\infty
$$
である。よって $P\in \mathbb{B}^1(\mathcal{H})$ であり、$\mathbb{B}^1(\mathcal{H})\subset \mathbb{B}(\mathcal{H})$ はイデアルである（'''命題16.5'''）から、$T=PT\in \mathbb{B}^1(\mathcal{H})$ である。ゆえに $\mathbb{B}_{\rm f}(\mathcal{H})\subset \mathbb{B}^1(\mathcal{H})$ が成り立つ。 
$\mathbb{B}^1(\mathcal{H})\subset \mathbb{B}^2(\mathcal{H})$ を示す。任意の $T\in \mathbb{B}^1(\mathcal{H})$ を取り、$T=V\lvert T\rvert$ を $T$ の極分解（'''定理9.4'''）とする。このとき、
$$
{\rm Tr}(\sqrt{\lvert T\rvert}^2)={\rm Tr}(\lvert T\rvert)<\infty
$$
であるから $\sqrt{\lvert T\rvert}\in \mathbb{B}^2(\mathcal{H})$ であり、$\mathbb{B}^2(\mathcal{H})$ は $\mathbb{B}(\mathcal{H})$ のイデアルである（'''命題16.6'''）から、$T=V\lvert T\rvert=V\sqrt{\lvert T\rvert}\sqrt{\lvert T\rvert}\in \mathbb{B}^2(\mathcal{H})$ である。ゆえに $\mathbb{B}^1(\mathcal{H})\subset \mathbb{B}^2(\mathcal{H})$ が成り立つ。 
$\mathbb{B}^2(\mathcal{H})\subset \mathbb{B}_0(\mathcal{H})$ を示す。$(e_j)_{j\in J}$ を $\mathcal{H}$ のCONSとし、$\mathcal{F}_J$ を $J$ の有限部分集合全体とする。そして、
$$
P_F\colon=\sum_{j\in F}e_j\odot e_j\quad(\forall F\in \mathcal{F}_J)
$$
とおく。'''命題16.3'''の $(5)$ より任意の $F\in\mathcal{F}_J$ に対し、
$$
\begin{aligned}
\lVert T-TP_F\rVert^2&=\lVert(1-P_F)T^*T(1-P_F)\rVert\leq {\rm Tr}((1-P_F)T^*T(1-P_F))\\
&=\sum_{j\in J}(e_j\mid (1-P_F)T^*T(1-P_F)e_j)=\sum_{j\in J\backslash F}(e_j\mid T^*Te_j)\\
&={\rm Tr}(T^*T)-\sum_{j\in F}(e_j\mid T^*Te_j)
\end{aligned}
$$
であり、右辺は $F\rightarrow J$ で $0$ に収束するので $\lim_{F\rightarrow J}\lVert T-P_FT\rVert=0$ が成り立つ。よって、
$$
T=\lim_{F\rightarrow J}P_FT\in \overline{\mathbb{B}_{\rm f}(\mathcal{H})}=\mathbb{B}_0(\mathcal{H})
$$
である。ゆえに $\mathbb{B}^2(\mathcal{H})\subset \mathbb{B}_0(\mathcal{H})$ が成り立つ。
*$(2)$　任意の $S,T\in \mathbb{B}^2(\mathcal{H})$ に対し、偏極恒等式（[[測度と積分6：数え上げ測度と $\ell^p$ 空間]]の'''定義25.2'''）より、
$$
ST=S^{**}T=\frac{1}{4}\sum_{k=0}^{3}i^k(i^kS^*+T)^*(i^kS^*+T)
$$
であり、'''命題16.6'''より、
$$
{\rm Tr}((i^kS^*+T)^*(i^kS^*+T))<\infty\quad(k=0,1,2,3)
$$
であるから $ST\in \mathbb{B}^1(\mathcal{H})$ である。
{{end|proof|}}

===定義16.8（トレースクラス $\mathbb{B}^1(\mathcal{H})$ 上のトレース）===
$\mathcal{H}$ をHilbert空間とする。任意の $T\in \mathbb{B}^1(\mathcal{H})$ に対し、'''命題16.5'''より、
$$
T=T_{1,+}-T_{1,-}+i(T_{2,+}-T_{2,-})
$$
を満たす $T_{1,\pm},T_{2,\pm}\in \mathbb{B}^1(\mathcal{H})\cap \mathbb{B}(\mathcal{H})_+$ が取れる。そこで $T$ のトレースを、
$$
{\rm Tr}(T)\colon={\rm Tr}(T_{1,+})-{\rm Tr}(T_{1,-})+i({\rm Tr}(T_{2,+})-{\rm Tr}(T_{2,-}))
$$
として定義する。 
この定義はwell-definedである。実際、$S_{1,\pm},S_{2,\pm}\in \mathbb{B}^1(\mathcal{H})\cap \mathbb{B}(\mathcal{H})_+$ も、
$$
T=S_{1,+}-S_{1,-}+i(S_{2,+}-S_{2,-})
$$
を満たすならば、
$$
\begin{aligned}
&T_{1,+}-T_{1,-}=\frac{1}{2}(T+T^*)=S_{1,+}-S_{1,-},\\
&T_{2,+}-T_{2,-}=\frac{1}{2i}(T-T^*)=S_{2,+}-S_{2,-}
\end{aligned}
$$
であるから、
$$
T_{1,+}+S_{1,-}=S_{1,+}+T_{1,-},\quad
T_{2,+}+S_{2,-}=S_{2,+}+T_{2,-}
$$
である。よって非負有界自己共役作用素に対するトレースの加法性より、
$$
\begin{aligned}
&{\rm Tr}(T_{1,+})+{\rm Tr}(S_{1,-})={\rm Tr}(S_{1,+})+{\rm Tr}(T_{1,-}),\\
&{\rm Tr}(T_{2,+})+{\rm Tr}(S_{2,-})={\rm Tr}(S_{2,+})+{\rm Tr}(T_{2,-})
\end{aligned}
$$
であり、
$$
\begin{aligned}
&{\rm Tr}(T_{1,+})-{\rm Tr}(T_{1,-})={\rm Tr}(S_{1,+})-{\rm Tr}(S_{1,-}),\\
&{\rm Tr}(T_{2,+})-{\rm Tr}(T_{2,-})={\rm Tr}(S_{2,+})-{\rm Tr}(S_{2,-})
\end{aligned}
$$
である。ゆえにwell-definedである。

===命題16.9（トレースクラス $\mathbb{B}^1(\mathcal{H})$ 上のトレースの基本的性質）===
トレースクラス上のトレース ${\rm Tr}\colon\mathbb{B}^1(\mathcal{H})\ni T\mapsto {\rm Tr}(T)\in \mathbb{C}$ に対し次が成り立つ。
*$(1)$　$\mathcal{H}$ の任意のCONS $(e_j)_{j\in J}$ と任意の $T\in \mathbb{B}^1(\mathcal{H})$ に対し、
$$
{\rm Tr}(T)=\sum_{j\in J}(e_j\mid Te_j).
$$
*$(2)$　${\rm Tr}\colon\mathbb{B}^1(\mathcal{H})\rightarrow\mathbb{C}$ は線形汎関数である。
*$(3)$　任意の $S,T\in \mathbb{B}^2(\mathcal{H})$ に対し ${\rm Tr}(ST)={\rm Tr}(TS)$.
*$(4)$　任意の $S\in \mathbb{B}(\mathcal{H})$ と任意の $T\in \mathbb{B}^1(\mathcal{H})$ に対し ${\rm Tr}(ST)={\rm Tr}(TS)$.
{{begin|proof}}
*$(1)$　'''定義16.8'''より $T_0,T_1,T_2,T_3\in \mathbb{B}^1(\mathcal{H})\cap \mathbb{B}(\mathcal{H})_+$ で $T=\sum_{k=0}^{3}i^kT_k$ なるものに対し、${\rm Tr}(T)=\sum_{k=0}^{3}i^k{\rm Tr}(T_k)$ であるから、
$$
{\rm Tr}(T)=\sum_{k=0}^{3}i^k{\rm Tr}(T_k)=\sum_{k=0}^{3}i^k\sum_{j\in J}(e_j\mid T_ke_j)
=\sum_{j\in J}\sum_{k=0}^{3}i^k(e_j\mid T_ke_j)=\sum_{j\in J}(e_j\mid Te_j).
$$
*$(2)$　$(1)$ より明らかである。
*$(3)$　'''命題16.7'''の $(2)$ より任意の $S,T\in \mathbb{B}^2(\mathcal{H})$ である。$(2)$ と偏極恒等式（[[測度と積分6：数え上げ測度と $\ell^p$ 空間]]の'''定義25.2'''）、および'''命題16.1'''の $(1)$ より、
$$
\begin{aligned}
{\rm Tr}(ST)&={\rm Tr}(S^{**}T)=\frac{1}{4}\sum_{k=0}^{3}i^k{\rm Tr}((i^kS^*+T)^*(i^kS^*+T))\\
&=\frac{1}{4}\sum_{k=0}^{3}i^k{\rm Tr}((i^kS^*+T)(i^kS^*+T)^*)
=\frac{1}{4}\sum_{k=0}^{3}i^k{\rm Tr}((S+i^kT^*)^*(S+i^kT^*))\\
&={\rm Tr}(T^{**}S)={\rm Tr}(TS).
\end{aligned}
$$
*$(4)$　$T\in \mathbb{B}^1(\mathcal{H})$ の極分解（'''定理9.4'''）を $T=V\lvert T\rvert$ とすると、$\sqrt{\lvert T\rvert},SV\sqrt{\lvert T\rvert}, \sqrt{\lvert T\rvert}S, V\sqrt{\lvert T\rvert}\in \mathbb{B}^2(\mathcal{H})$ であるから、$(3)$ より、
$$
\begin{aligned}
{\rm Tr}(ST)={\rm Tr}(SV\sqrt{\lvert T\rvert}\sqrt{\lvert T\rvert})
={\rm Tr}(\sqrt{\lvert T\rvert}SV\sqrt{\lvert T\rvert})
={\rm Tr}(V\sqrt{\lvert T\rvert}\sqrt{\lvert T\rvert}S)={\rm Tr}(TS).
\end{aligned}
$$
{{end|proof|}}

===定義16.10（Hilbert-Schmidtクラス $\mathbb{B}^2(\mathcal{H})$ の内積）===
Hilbert-Schmidtクラス $\mathbb{B}^2(\mathcal{H})$ に対し、'''命題16.9'''より、
$$
(S\mid T)_{\rm HS}={\rm Tr}(S^*T)\quad(\forall S,T\in \mathbb{B}^2(\mathcal{H}))
$$
として準双線形汎関数
$$
(\cdot\mid \cdot)_{\rm HS}\colon \mathbb{B}^2(\mathcal{H})\times \mathbb{B}^2(\mathcal{H})\rightarrow\mathbb{C}
$$
が定義できる。'''命題16.9'''の$(1)$より、
$$
\overline{(S\mid T)_{\rm HS}}=\sum_{j\in J}\overline{(e_j\mid S^*T e_j)}=\sum_{j\in J}(S^*Te_j\mid e_j)=\sum_{j\in J}(e_j\mid T^*Se_j)=(T\mid S)_{\rm HS}\quad(\forall S,T\in \mathbb{B}({\cal H})({\cal H}))
$$
であり、'''命題16.3'''の $(5)$ より、
$$
(T\mid T)_{\rm HS}={\rm Tr}(T^*T)\geq\lVert T^*T\rVert=\lVert T\rVert^2\quad(\forall T\in \mathbb{B}^2(\mathcal{H}))\quad\quad(*)
$$
であるから、$(\cdot\mid \cdot)_{\rm HS}$ は $\mathbb{B}^2(\mathcal{H})$ の内積である。この内積をHilbert-Schmidt内積と呼び、Hilbert-Schmidt内積の定めるノルム
$$
\lVert T\rVert_{\rm HS}\colon=\sqrt{(T\mid T)_{\rm HS}}=\sqrt{{\rm Tr}(T^*T)}\quad(\forall T\in\mathbb{B}^2(\mathcal{H}))
$$
をHilbert-Schmidtノルムと言う。以後、Hilbert-Schmidtクラス $\mathbb{B}^2(\mathcal{H})$ にはこのHilbert-Schmidt内積が標準的に備わっているものとする。次の命題で見るようにHilbert-SchmidtクラスはHilbert空間である。

===命題16.11（Hilbert-Schmidtクラス $\mathbb{B}^2(\mathcal{H})$ はHilbert空間）===
Hilbert-Schmidtクラス $\mathbb{B}^2(\mathcal{H})$ はHilbert-Schmidt内積によりHilbert空間である。
{{begin|proof}}
$\mathbb{B}^2(\mathcal{H})$ の任意のCauchy列 $(T_n)_{n\in \mathbb{N}}$ を取る。'''定義16.10''' の $(*)$ より $(T_n)_{n\in \mathbb{N}}$ は作用素ノルムによるBanach空間 $\mathbb{B}(\mathcal{H})$ のCauchy列であるから、$T\in \mathbb{B}(\mathcal{H})$ で $\lim_{n\rightarrow\infty}\lVert T-T_n\rVert=0$ を満たすものが定まる。$(e_j)_{j\in J}$ を $\mathcal{H}$ のCONSとし、$\mathcal{F}_J$ を $J$ の有限部分集合全体とする。このとき任意の $m\in\mathbb{N}$、任意の $F\in\mathcal{F}_J$ に対し、
$$
\begin{aligned}
&\sum_{j\in F}(e_j\mid (T-T_m)^*(T-T_m)e_j)=\sum_{j\in F}\lVert (T-T_m)e_j\rVert^2
=\lim_{n\rightarrow\infty}\sum_{j\in F}\lVert (T_n-T_m)e_j\rVert^2\\
&=\lim_{n\rightarrow\infty}\sum_{j\in F}(e_j\mid (T_n-T_m)^*(T_n-T_m)e_j)
=\inf_{n\in\mathbb{N}}\sup_{k\geq n}\sum_{j\in F}(e_j\mid (T_k-T_m)^*(T_n-T_m)e_j)\\
&\leq \inf_{n\in \mathbb{N}}\sup_{k\geq n}\sum_{j\in J}(e_j\mid (T_k-T_m)^*(T_k-T_m)e_j)
=\inf_{n\in \mathbb{N}}\sup_{k\geq n}\lVert T_k-T_m\rVert_{\rm HS}^2
\end{aligned}
$$
であるから、
$$
{\rm Tr}((T-T_m)^*(T-T_m))\leq \inf_{n\in \mathbb{N}}\sup_{k\geq n}\lVert T_k-T_m\rVert_{\rm HS}^2\quad(\forall m\in\mathbb{N})\quad\quad(*)
$$
が成り立つ。$(T_n)_{n\in\mathbb{N}}$ は $\mathbb{B}^2(\mathcal{H})$ のCauchy列であるから、任意の $\epsilon\in (0,\infty)$ に対し $n_0\in\mathbb{N}$ で、
$$
\lVert T_n-T_m\rVert_{\rm HS}\leq \epsilon\quad(\forall n,m\geq n_0)
$$
を満たすものが取れるので、$(*)$ より任意の $m\geq n_0$ に対し、
$$
{\rm Tr}((T-T_m)^*(T-T_m))\leq \inf_{n\in\mathbb{N}}\sup_{k\geq n}\lVert T_k-T_m\rVert_{\rm HS}^2\leq\sup_{k\geq n_0}\lVert T_k-T_m\rVert_{\rm HS}^2\leq\epsilon^2
$$
となる。よって $T=T-T_m+T_m\in \mathbb{B}^2(\mathcal{H})$ であり、
$$
\lVert T-T_m\rVert_{\rm HS}\leq\epsilon\quad(\forall m\geq n_0)
$$
である。ゆえに $(T_n)_{n\in \mathbb{N}}$ は $\mathbb{B}^2({\cal H})$ において $T$ に収束するので、$\mathbb{B}^2(\mathcal{H})$ はHilbert空間である。
{{end|proof|}}

===命題16.12===
$\mathcal{H}$ をHilbert空間とする。次が成り立つ。
*$(1)$　任意の $S\in \mathbb{B}(\mathcal{H})$ と任意の $T\in \mathbb{B}^1(\mathcal{H})$ に対し $\lvert {\rm Tr}(ST)\rvert\leq \lVert S\rVert{\rm Tr}(\lvert T\rvert)$.
*$(2)$　$\mathbb{B}^1(\mathcal{H})\ni T\mapsto {\rm Tr}(\lvert T\rvert)\in [0,\infty)$ は $\mathbb{B}^1(\mathcal{H})$ 上のノルムである。
{{begin|proof}}
*$(1)$　$T$ の極分解（'''定理9.4'''）を $T=V\lvert T\rvert$ とおくと、$\sqrt{\lvert T\rvert},SV\sqrt{\lvert T\rvert}\in \mathbb{B}^2(\mathcal{H})$ であるから、Hilbert-Schmidt内積に関するSchwarzの不等式と'''命題16.3'''の $(4)$ より、
$$
\begin{aligned}
\lvert {\rm Tr}(ST)\rvert^2&=\lvert {\rm Tr}(SV\sqrt{\lvert T\rvert}\sqrt{\lvert T\rvert})\rvert^2
=(\sqrt{\lvert T\rvert}\mid SV\sqrt{\lvert T\rvert})_{\rm HS}^2
\leq \lVert \sqrt{\lvert T\rvert}\rVert_{\rm HS}^2\lVert SV\sqrt{\lvert T\rvert}\rVert_{\rm HS}^2\\
&={\rm Tr}(\lvert T\rvert){\rm Tr}(SV\lvert T\rvert V^*S^*)\leq \lVert SV\rVert^2{\rm Tr}(\lvert T\rvert)^2\leq\lVert S\rVert^2{\rm Tr}(\lvert T\rvert)^2
\end{aligned}
$$
である。よって $\lvert {\rm Tr}(ST)\rvert\leq \lVert S\rVert{\rm Tr}(\lvert T\rvert)$ が成り立つ。
*$(2)$　任意の $T\in \mathbb{B}^1(\mathcal{H})$, $\alpha\in \mathbb{C}$ に対し $\lvert\alpha T\rvert=\sqrt{(\alpha T)^*(\alpha T)}=\sqrt{\lvert \alpha\rvert^2T^*T}=\lvert \alpha\rvert\lvert T\rvert$ であるから、
$$
{\rm Tr}(\lvert \alpha T\rvert)={\rm Tr}(\lvert \alpha\rvert\lvert T\rvert)=\lvert\alpha\rvert{\rm Tr}(\lvert T\rvert)\quad(\forall T\in \mathbb{B}^1(\mathcal{H}),\forall \alpha\in \mathbb{C})
$$
である。また'''命題16.3'''の $(5)$ より $\lVert T\rVert\leq {\rm Tr}(\lvert T\rvert)$ であるから、$T\in \mathbb{B}^1(\mathcal{H})$ が ${\rm Tr}(\lvert T\rvert)=0$ を満たすならば $T=0$ である。任意の $S,T\in \mathbb{B}^1(\mathcal{H})$ に対し $S+T$ の極分解（'''定理9.4'''）を $S+T=W\lvert S+T\rvert$ とおくと、$\lvert S+T\rvert=W^*(S+T)=W^*S+W^*T$ であるから $(1)$ より、
$$
{\rm Tr}(\lvert S+T\rvert)={\rm Tr}(W^*S)+{\rm Tr}(W^*T)\leq\lVert W^*\rVert{\rm Tr}(\lvert S\rvert)+\lVert W^*\rVert{\rm Tr}(\lvert T\rvert)\leq {\rm Tr}(\lvert S\rvert)+{\rm Tr}(\lvert T\rvert)
$$
となる。よって $\mathbb{B}^1(\mathcal{H})\ni T\mapsto {\rm Tr}(\lvert T\rvert)\in [0,\infty)$ はノルムである。
{{end|proof|}}

===定義16.13（トレースクラス $\mathbb{B}^1(\mathcal{H})$ のトレースノルム）===
トレースクラス $\mathbb{B}^1(\mathcal{H})$ に対し、'''命題16.12'''より、
$$
\lVert T\rVert_{\rm Tr}\colon={\rm Tr}(\lvert T\rvert)\quad(\forall T\in\mathbb{B}^1(\mathcal{H}))
$$
とおけば、$\lVert \cdot\rVert_{\rm Tr}\colon \mathbb{B}^1(\mathcal{H})\rightarrow[0,\infty)$ はノルムである。これをトレースノルムと言う。トレースクラス $\mathbb{B}^1(\mathcal{H})$ にはこのトレースノルムが標準的に備わっているものとする。次の命題で見るようにトレースクラス $\mathbb{B}^1(\mathcal{H})$ はこのトレースノルムによりBanach空間である。

===命題16.14（トレースクラス $\mathbb{B}^1(\mathcal{H})$ はBanach空間）===
トレースクラス $\mathbb{B}^1(\mathcal{H})$ はトレースノルムによりBanach空間である。
{{begin|proof}}
$\mathbb{B}^1(\mathcal{H})$ の任意のCauchy列 $(T_n)_{n\in \mathbb{N}}$ を取る。'''命題16.3'''の $(5)$ より、
$$
\lVert T_n-T_m\rVert_{\rm Tr}\leq \lVert T_n-T_m\rVert\quad(\forall n,m\in\mathbb{N})
$$
であるから $T\in \mathbb{B}(\mathcal{H})$ で $\lim_{n\rightarrow\infty}\lVert T-T_n\rVert=0$ を満たすものが存在する。$\mathcal{H}$ のCONS $\{e_j\}_{j\in J}$ に対し $\mathcal{F}_J$ を $J$ の有限部分集合全体とし、
$$
P_F\colon=\sum_{j\in F}e_j\odot e_j\quad(\forall F\in \mathcal{F}_J)
$$
とおく（'''命題13.7'''を参照）。任意の $m\in \mathbb{N}$, 任意の $F\in \mathcal{F}_J$ を取る。$T-T_m$ の極分解（'''定理9.4'''）を $T-T_m=V_m\lvert T-T_m\rvert$（したがって $\lvert T-T_m\rvert=V_m^*(T-T_m)$）とすると、'''命題16.12'''の $(1)$ より、
$$
\begin{aligned}
&\sum_{j\in F}(e_j\mid \lvert T-T_m\rvert e_j)=\sum_{j\in F}(V_me_j\mid (T-T_m)e_j)
=\lim_{n\rightarrow\infty}\left\lvert\sum_{j\in F}(V_me_j\mid (T_n-T_m)e_j)\right\rvert\\
&=\inf_{n\in \mathbb{N}}\sup_{k\geq n}\left\lvert \sum_{j\in F}(V_me_j\mid (T_k-T_m)e_j)\right\rvert
=\inf_{n\in \mathbb{N}}\sup_{k\geq n}\left\lvert \sum_{j\in J}(V_mP_Fe_j\mid (T_k-T_m)e_j)\right\rvert\\
&=\inf_{n\in \mathbb{N}}\sup_{k\geq n}\left\lvert {\rm Tr}(P_FV_m^*(T_k-T_m))\right\rvert
\leq \inf_{n\in\mathbb{N}}\sup_{k\geq n}\lVert T_k-T_m\rVert_{\rm Tr}
\end{aligned}
$$
となるから、
$$
{\rm Tr}(\lvert T-T_m\rvert)\leq \inf_{n\in \mathbb{N}}\sup_{k\geq n}\lVert T_k-T_m\rVert_{\rm Tr}\quad(\forall m\in \mathbb{N})\quad\quad(*)
$$
が成り立つ。$(T_n)_{n\in\mathbb{N}}$ は $\mathbb{B}^1(\mathcal{H})$ のCauchy列であるから、任意の $\epsilon\in(0,\infty)$ に対し $n_0\in \mathbb{N}$ で、
$$
\lVert T_n-T_m\rVert_{\rm Tr}\leq \epsilon\quad(\forall n,m\geq n_0)
$$
を満たすものが取れ、$(*)$ より、任意の $m\geq n_0$ に対し、
$$
{\rm Tr}(\lvert T-T_m\rvert)\leq \inf_{n\in \mathbb{N}}\sup_{k\geq n}\lVert T_k-T_m\rVert_{\rm Tr}
\leq \sup_{k\geq n_0}\lVert T_k-T_m\rVert_{\rm Tr}\leq \epsilon
$$
となる。よって $T=T-T_m+T_m\in \mathbb{B}^1(\mathcal{H})$ であり、
$$
\lVert T-T_m\rVert_{\rm Tr}\leq \epsilon\quad(\forall m\geq n_0)
$$
である。ゆえに $(T_n)_{n\in \mathbb{N}}$ は $\mathbb{B}^1({\cal H})$ において $T$ に収束するから、$\mathbb{B}^1(\mathcal{H})$ はBanach空間である。
{{end|proof|}}

===命題16.15（Schatten形式とトレース）===
Hilbert空間 $\mathcal{H}$ 上のSchatten形式（'''定義13.5'''）$\mathcal{H}\times \mathcal{H}\ni (u,v)\mapsto u\odot v\in \mathbb{B}_{\rm f}(\mathcal{H})$ とトレースについて次が成り立つ。
*$(1)$　任意の $u,v\in\mathcal{H}$ に対し ${\rm Tr}(u\odot v)=(v\mid u)$.
*$(2)$　任意の $u,v\in \mathcal{H}$ に対し $\lVert u\odot v\rVert_{\rm Tr}=\lVert u\odot v\rVert=\lVert u\rVert\lVert v\rVert$.
*$(3)$　空でない任意の集合 $J$ と任意の $(u_j)_{j\in J}, (v_j)_{j\in J}\in \bigoplus_{j\in J}\mathcal{H}$ に対し $\sum_{j\in J}u_j\odot v_j$ はBanach空間 $\mathbb{B}^1(\mathcal{H})$ において絶対収束する。
*$(4)$　$\mathbb{B}^1(\mathcal{H})=\left\{\sum_{n\in \mathbb{N}}u_n\odot v_n: (u_n)_{n\in \mathbb{N}},(v_n)_{n\in \mathbb{N}}\in \bigoplus_{n\in \mathbb{N}}\mathcal{H}\right\}$、$\mathbb{B}^1(\mathcal{H})\cap \mathbb{B}(\mathcal{H})_+=\left\{\sum_{n\in \mathbb{N}}v_n\odot v_n:(v_n)_{n\in \mathbb{N}}\in \bigoplus_{n\in \mathbb{N}}\mathcal{H}\right\}$ が成り立つ。
{{begin|proof}}
*$(1)$　$v=\lVert v\rVert e$ を満たす単位ベクトル $e\in \mathcal{H}$ を取る。$e$ を含む ${\cal H}$ のCONS $(e_j)_{j\in J}$ を取れば、
$$
{\rm Tr}(u\odot v)=\sum_{j\in J}(e_j\mid (u\odot v)e_j)=(e\mid (u\odot v)e)=\lVert v\rVert(e\mid u)=(v\mid u).
$$
*$(2)$　'''命題16.3'''の $(5)$ より $\lVert u\odot v\rVert\leq \lVert u\odot v\rVert_{\rm Tr}$ である。逆の不等式を示す。$u\odot v=V\lvert u\odot v\rvert$ を $u\odot v$ の極分解（'''定理9.4'''）とすると、
$$
\lvert u\odot v\rvert =V^*(u\odot v)=(V^*u)\odot v
$$
であるから、$(1)$ より、
$$
\lVert u\odot v\rVert_{\rm Tr}={\rm Tr}(\lvert u\odot v\rvert)={\rm Tr}((V^*u)\odot v)
=(v\mid V^*u)\leq\lVert u\rVert\lVert v\rVert=\lVert u\odot v\rVert.
$$
*$(3)$　任意の $(u_j)_{j\in J},(v_j)_{j\in J}\in \bigoplus_{j\in J}\mathcal{H}$ に対し $(2)$ とHölderの不等式より、
$$
\sum_{j\in J}\lVert u_j\odot v_j\rVert_{\rm Tr}=\sum_{j\in J}\lVert u_j\rVert\lVert v_j\rVert
\leq \lVert (u_j)_{j\in J}\rVert\lVert (v_j)_{j\in J}\rVert<\infty
$$
であるから、$\sum_{j\in J}u_j\odot v_j$ は $\mathbb{B}^1(\mathcal{H})$ において絶対収束する。
*$(4)$　任意の $T\in \mathbb{B}^1(\mathcal{H})$ を取り、$T$ の極分解を $T=V\lvert T\rvert$ とおく。'''命題16.7'''より $\lvert T\rvert\in\mathbb{B}_0(\mathcal{H})$ であるから'''定理13.7'''の $(3)$ より $\lvert T\rvert$ の固有ベクトルからなる $\mathcal{H}$ のCONS $(e_j)_{j\in J}$ が取れる。そこで $\lvert T\rvert e_j=\lambda_je_j$ $(\forall j\in J)$ とおくと、
$$
\{\lambda_j\}_{j\in J}\subset \sigma(\lvert T\rvert)\subset [0,\infty),\quad
\sum_{j\in J}\lambda_j=\sum_{j\in J}(e_j\mid \lvert T\rvert e_j)={\rm Tr}(\lvert T\rvert)<\infty
$$
である。よって、
$$
v_j\colon=\sqrt{\lambda_j}e_j,\quad u_j\colon=\sqrt{\lambda_j}V e_j\quad (\forall j\in J)
$$
とおけば $\sum_{j\in J}\lVert v_j\rVert^2=\sum_{j\in J}\lambda_j<\infty$、$\sum_{j\in J}\lVert u_j\rVert^2\leq\sum_{j\in J}\lambda_j<\infty$より $(u_j)_{j\in J},(v_j)_{j\in J}\in \bigoplus_{j\in J}{\cal H}$ であるから、$(3)$ より $\sum_{j\in J}u_j\odot v_j\in \mathbb{B}^1(\mathcal{H})$ はトレースノルムで収束する。'''命題13.7'''より $1=\sum_{j\in J}e_j\odot e_j$ (SOT収束)であるから、任意の $v\in {\cal H}$ に対し、
$$
Tv=T\sum_{j\in J}(e_j\odot e_j)v
=\sum_{j\in J}((V\lvert T\rvert e_j)\odot e_j)v=\sum_{j\in J}(\lambda_j(Ve_j)\odot e_j)v
=\sum_{j\in J}(u_j\odot v_j)v
$$
である。よって、
$$
T=\sum_{j\in J}u_j\odot v_j\quad(\text{トレースノルムで収束})
$$
が成り立つ。ここで[[位相線形空間1：ノルムと内積]]の'''命題5.3'''より、
$$
J_0\colon=\{j\in J:\lVert u_j\odot v_j\rVert_{\rm Tr}>0\}
$$
は可算集合であり、
$$
T=\sum_{j\in J}u_j\odot v_j=\sum_{j\in J_0}u_j\odot v_j\quad(\text{トレースノルムで収束})
$$
となる。よって$\mathbb{B}^1(\mathcal{H})=\left\{\sum_{n\in \mathbb{N}}u_n\odot v_n: (u_n)_{n\in \mathbb{N}},(v_n)_{n\in \mathbb{N}}\in \bigoplus_{n\in \mathbb{N}}\mathcal{H}\right\}$が成り立つ。$T\in \mathbb{B}^1({\cal H})\cap \mathbb{B}({\cal H})_+$の場合は、
$$
T=\sum_{j\in J}v_j\odot v_j\quad\text{(トレースノルムで収束)}
$$
と表されるので、ある可算集合 $J_1\subset J$に対し、
$$
T=\sum_{j\in J_1}v_j\odot v_j\quad\text{(トレースノルムで収束)}
$$
となる。よって$\mathbb{B}^1(\mathcal{H})\cap \mathbb{B}(\mathcal{H})_+=\left\{\sum_{n\in \mathbb{N}}v_n\odot v_n:(v_n)_{n\in \mathbb{N}}\in \bigoplus_{n\in \mathbb{N}}\mathcal{H}\right\}$ が成り立つ。
{{end|proof|}}

===定理16.16（$(\mathbb{B}^1(\mathcal{H}))^*=\mathbb{B}(\mathcal{H})$）===
任意の $A\in \mathbb{B}(\mathcal{H})$ に対し $\varphi_A\colon\mathbb{B}^1(\mathcal{H})\ni T\mapsto {\rm Tr}(AT)\in \mathbb{C}$ はBanach空間 $\mathbb{B}^1(\mathcal{H})$ 上の有界線形汎関数であり、
$$
\mathbb{B}(\mathcal{H})\ni A\mapsto \varphi_A\in (\mathbb{B}^1(\mathcal{H}))^*\quad\quad(*)
$$
は等長線形同型写像である。
{{begin|proof}}
'''命題16.12'''の $(1)$ より、$\varphi_A\colon \mathbb{B}^1(\mathcal{H})\ni T\mapsto {\rm Tr}(AT)\in \mathbb{C}$ は有界線型汎関数であり、
$(*)$ はノルム減少な線形写像である。$A_1,A_2\in \mathbb{B}(\mathcal{H})$ が $\varphi_{A_1}=\varphi_{A_2}$ を満たすならば、'''命題16.15'''の $(1)$ より、任意の $u,v\in \mathcal{H}$ に対し、
$$
(u\mid A_1v)={\rm Tr}(A_1v\odot u)=\varphi_{A_1}(v\odot u)=\varphi_{A_2}(v\odot u)={\rm Tr}(A_2v\odot u)=(u\mid A_2v)
$$
であるから $A_1=A_2$ である。よって $(*)$ は単射である。$(*)$ が全射かつ等長であることを示す。任意の $\varphi\in (\mathbb{B}^1(\mathcal{H}))^*$ に対し'''命題16.15'''の $(2)$ より、
$$
\mathcal{H}\times \mathcal{H}\ni (u,v)\mapsto \varphi(v\odot u)\in \mathbb{C}
$$
はノルムが $\lVert \varphi\rVert$ 以下の有界準双線形汎関数である。よって[[位相線形空間1：ノルムと内積]]の'''定理7.1'''より $A\in \mathbb{B}(\mathcal{H})$ で、
$$
\varphi(v\odot u)=(u\mid Av)\quad(\forall u,v\in \mathcal{H})
$$
を満たすものが定まり、$\lVert A\rVert\leq\lVert \varphi\rVert$ である。'''命題16.15'''の $(1)$ より、
$$
\varphi(v\odot u)=(u\mid Av)={\rm Tr}(Av\odot u)=\varphi_{A}(v\odot u)\quad(\forall u,v\in \mathcal{H})
$$
であるから、'''命題16.15'''の $(4)$ より $\varphi=\varphi_{A}$ である。そして、
$$
\lVert A\rVert\leq \lVert \varphi\rVert=\lVert \varphi_A\rVert\leq \lVert A\rVert
$$
であるから、$(*)$ は全射かつ等長である。
{{end|proof}}

===命題16.17（Hilbert-Schmidtクラス $\mathbb{B}^2(\mathcal{H})$ のCONS）===
$\mathcal{H}$ をHilbert空間、$(e_j)_{j\in J}$ を $\mathcal{H}$ のCONSとする。このとき $(e_i\odot e_j)_{(i,j)\in J\times J}$ は $\mathbb{B}^2(\mathcal{H})$ のCONSである。
{{begin|proof}}
任意の $(i,j),(i',j')\in J\times J$ に対し'''命題16.15'''の $(1)$ より、
$$
\begin{aligned}
(e_i\odot e_j\mid e_{i'}\odot e_{j'})_{\rm HS}&={\rm Tr}((e_i\odot e_j)^*(e_{i'}\odot e_{j'}))
={\rm Tr}((e_j\odot e_i)(e_{i'}\odot e_{j'}))\\
&=(e_i\mid e_{i'}){\rm Tr}(e_j\odot e_{j'})
=(e_i\mid e_{i'})(e_{j'}\mid e_j)
\end{aligned}
$$
であるから $(e_i\odot e_j)_{(i,j)\in J\times J}$ は $\mathbb{B}^2(\mathcal{H})$ のONSである。$\{e_i\odot e_j\}_{(i,j)\in J\times J}\subset \mathbb{B}^2(\mathcal{H})$ の直交補空間の任意の元 $T$ に対し、
$$
\begin{aligned}
(e_i\mid Te_j)={\rm Tr}(Te_j\odot e_i)={\rm Tr}((e_j\odot e_i)T)={\rm Tr}((e_i\odot e_j)^*T)
=((e_i\odot e_j)\mid T)_{\rm Tr}=0
\end{aligned}
$$
であるから、任意の $u,v\in \mathcal{H}$ に対し、
$$
(u\mid Tv)=\sum_{i\in J}(u\mid (e_i\mid Tv)e_i)=\sum_{i\in J}(e_i\mid Tv)(u\mid e_i)=
\sum_{i\in J}\sum_{j\in J}(e_i\mid Te_j)(e_j\mid v)(u\mid e_i)=0
$$
である。よって $T=0$ であるから $(e_i\odot e_j)_{(i,j)\in J\times J}$ は $\mathbb{B}^2(\mathcal{H})$ のCONSである。
{{end|proof}}

===定理16.18（Hilbert-Schmidt積分作用素）===
$X$ を第二可算局所コンパクトHausdorff空間、$\mu\colon\mathcal{B}_X\rightarrow[0,\infty]$ をRadon測度とする。このとき任意の $K\in L^2(X\times X,\mu\otimes \mu)=L^2(X,\mu)\otimes L^2(X,\mu)$（$L^2$ 空間のテンソル積については'''定義12.9'''を参照）に対し、$\widehat{K}\in \mathbb{B}^2(L^2(X,\mu))$ で、
$$
([f]\mid \widehat{K}[g])_2=\int_{X\times X}\overline{f(x)}K(x,y)g(y)d(\mu\otimes\mu)(x,y)\quad(\forall [f],[g]\in L^2(X,\mu))
$$
を満たすものが一意的に定まり、
$$
L^2(X\times X,\mu\otimes \mu)\ni K\mapsto \widehat{K}\in \mathbb{B}^2(L^2(X,\mu))
$$
はユニタリ作用素である。また任意の $[\varphi],[\psi]\in L^2(X,\mu)$ に対し、
$$
\widehat{[\varphi]\otimes [\overline{\psi}]}=[\varphi]\odot [\psi]
$$
（左辺はテンソル積、右辺はSchatten形式）が成り立つ。
{{begin|proof}}
任意の $K\in L^2(X\times X,\mu\otimes\mu)$ に対しHölderの不等式とFubiniの定理より、
$$
L^2(X,\mu)\times L^2(X,\mu)\ni ([f],[g])\mapsto \int_{X\times X}\overline{f(x)}g(y)K(x,y)d(\mu\otimes\mu)(x,y)\in \mathbb{C}
$$
はノルムが $\lVert K\rVert_2$ 以下の有界準双線形汎関数であるから、[[位相線形空間1：ノルムと内積]]の'''定理7.1'''より、$\widehat{K}\in \mathbb{B}(L^2(X,\mu))$ で、
$$
([f]\mid \widehat{K}[g])_2=\int_{X\times X}\overline{f(x)}g(y)K(x,y)d(\mu\otimes\mu)(x,y)\quad(\forall [f],[g]\in L^2(X,\mu))
$$
を満たすものが定まり、
$$
L^2(X\times X,\mu\otimes\mu)\ni K\mapsto \widehat{K}\in \mathbb{B}(L^2(X,\mu))\quad\quad(*)
$$
はノルム減少な有界線形作用素である。'''定義12.9'''より、
$$
L^2(X\times X,\mu\otimes \mu)=L^2(X,\mu)\otimes L^2(X,\mu)=\overline{{\rm span}\{[\varphi]\otimes [\psi]:[\varphi],[\psi]\in L^2(X,\mu)\}}
$$
であり、任意の $[\varphi],[\psi]\in L^2(X,\mu)$ に対し、Fubiniの定理より、
$$
\begin{aligned}
&\left([f]\mid (\widehat{[\varphi]\otimes [\overline{\psi}]})[g]\right)_2
=\int_{X\times X}\overline{f(x)}\varphi(x)\overline{\psi(y)}g(y)d(\mu\otimes\mu)(x,y)\\
&=\int_{X}\overline{f(x)}\varphi(x)d\mu(x)\int_{X}\overline{\psi(y)}g(y)d\mu(y)
=([f]\mid [\varphi])_2([\psi]\mid [g])_2\\
&=\left([f]\mid \left([\varphi]\odot [\psi]\right)[g]\right)\quad(\forall [f],[g]\in L^2(X,\mu))
\end{aligned}
$$
であるから、
$$
\widehat{[\varphi]\otimes [\overline{\psi}]}=[\varphi]\odot [\psi]\quad(\forall [\varphi],[\psi]\in L^2(X,\mu))
$$
が成り立つ。任意の $[\varphi_1],[\psi_1],[\varphi_2],[\psi_2]\in L^2(X,\mu)$ に対し、
$$
\begin{aligned}
&\left(\widehat{[\varphi_1]\otimes [\overline{\psi_1}]}\mid \widehat{[\varphi_2]\otimes [\overline{\psi_2}]}\right)_{\rm HS}=([\varphi_1]\odot [\psi_1]\mid [\varphi_2]\odot [\psi_2])_{\rm HS}
={\rm Tr}\left(([\varphi_1]\odot [\psi_1])^*([\varphi_2]\odot [\psi_2])\right)\\
&={\rm Tr}\left(([\psi_1]\odot [\varphi_1])([\varphi_2]\odot [\psi_2])\right)
=([\varphi_1]\mid [\varphi_2])_2{\rm Tr}([\psi_1]\odot [\psi_2])
=([\varphi_1]\mid [\varphi_2])_2([\psi_2]\mid [\psi_1])_2\\
&=([\varphi_1]\mid [\varphi_2])_2([\overline{\psi_1}]\mid [\overline{\psi_2}])_2
=([\varphi_1]\otimes [\overline{\psi_1}]\mid [\varphi_2]\otimes [\overline{\psi_2}])_2
\end{aligned}
$$
であるから、
$$
{\rm span}\{[\varphi]\otimes [\psi]:[\varphi],[\psi]\in L^2(X,\mu)\}\ni K\mapsto \widehat{K}\in \mathbb{B}^2(L^2(X,\mu))\quad\quad(**)
$$
は内積を保存する線形作用素であり、その値域
$$
{\rm span}\{[\varphi]\odot [\psi]:[\varphi],[\psi]\in L^2(X,\mu)\}\subset \mathbb{B}^2(L^2(X,\mu))
$$
は'''定理16.17'''より $\mathbb{B}^2(L^2(X,\mu))$ において稠密である。よって $(**)$ を $L^2(X\times X,\mu\otimes \mu)$ 上に一意拡張したもの
$$
U\colon L^2(X\times X,\mu\otimes\mu)\rightarrow \mathbb{B}^2(L^2(X,\mu))
$$
はユニタリ作用素である。後は任意の $K\in L^2(X\times X,\mu\otimes \mu)$ に対し $UK=\widehat{K}$ が成り立つことを示せばよい。そこで ${\rm span}\{[\varphi]\otimes [\psi]:[\varphi],[\psi]\in L^2(X,\mu)\}$ の列 $(K_n)_{n\in \mathbb{N}}$ で $\lim_{n\rightarrow\infty}\lVert K_n-K\rVert_2=0$ を満たすものを取る。すると $(*)$ がノルム減少であることから、
$$
\lVert \widehat{K}-\widehat{K_n}\rVert\leq \lVert K-K_n\rVert_2\rightarrow0\quad(n\rightarrow\infty)
$$
が成り立ち、作用素ノルムがHilbert-Shcmidtノルム以下であることから、
$$
\lVert UK-\widehat{K_n}\rVert\leq \lVert UK-\widehat{K_n}\rVert_{\rm HS}=\lVert K-K_n\rVert_2\rightarrow0\quad(n\rightarrow\infty)
$$
が成り立つ。よって、
$$
\lVert \widehat{K}-UK\rVert\leq \lVert \widehat{K}-\widehat{K_n}\rVert+\lVert \widehat{K_n}-UK\rVert\rightarrow0\quad(n\rightarrow\infty)
$$
であるから $\widehat{K}=UK$ が成り立つ。
{{end|proof}}

'''定理16.18'''における $\widehat{K}\in \mathbb{B}^2(L^2(X,\mu))$ を $K\in L^2(X\times X,\mu\otimes\mu)$ を積分核とするHilbert-Schmidt積分作用素と言う。Fubiniの定理より、
$$
\int_{X}\overline{f(x)}(\widehat{K}[g])(x)d\mu(x)=
([f]\mid \widehat{K}[g])_2=\int_{X}\overline{f(x)}\int_{X}K(x,y)g(y)d\mu(y)d\mu(x)\quad(\forall [f],[g]\in L^2(X,\mu))
$$
であるから、任意の$[g]\in L^2(X,\mu)$に対し $\widehat{K}[g]\in L^2(X,\mu)$ の代表元は、$\mu$ -a.e. $x\in X$ で、
$$
\int_{X}K(x,y)g(y)d\mu(y)
$$
である。

==17.加藤-Rellichの定理と中心力ポテンシャルを持つSchrödinger作用素==

===命題17.1（$L^2(\mathbb{R}^N)$ 上のラプラシアンのFourier変換による対角化）===
$\mathbb{R}^N$ 上のラプラシアン $-\Delta$ は、定義域をSobolev空間 $H^2(\mathbb{R}^N)$<ref>[[Sobolev空間の基本事項]]を参照。</ref>とする $L^2(\mathbb{R}^N)$ 上の非負自己共役作用素である。そしてそのスペクトル $\sigma(-\Delta)$ と点スペクトル（固有値全体） $\sigma_{\rm p}(-\Delta)$ は、
$$
\sigma(-\Delta)=[0,\infty),\quad \sigma_{\rm p}(-\Delta)=\emptyset
$$
であり、任意のBorel関数 $f\colon[0,\infty)\rightarrow \mathbb{C}$ に対し、
$$
f(-\Delta)=\mathcal{F}^{-1}f(\lvert {\rm id}\rvert^2)\mathcal{F}
$$
が成り立つ。ただし $\mathcal{F}\colon L^2(\mathbb{R}^N)\rightarrow L^2(\mathbb{R}^N)$ はFourier変換<ref>Plancherelの定理（（[[緩増加超関数とFourier変換]]の'''定理19.1'''）よりユニタリ作用素である。</ref>であり、
左辺の $f(-\Delta)$ は自己共役作用素 $-\Delta$ に関するBorel汎関数計算（'''定義8.5'''）、右辺の $f(\lvert {\rm id}\rvert^2)$ は、Borel関数 $f(\lvert {\rm id}\rvert^2)\colon\mathbb{R}^N\ni x\mapsto f(\lvert x\rvert^2)\in \mathbb{C}$ による掛け算作用素（'''定義10.2'''）である。また、$f$ が連続関数の場合は $f(-\Delta)$ のスペクトルは、
$$
\sigma(f(-\Delta))=\overline{f([0,\infty))}
$$
である。
{{begin|proof}}
[[Sobolev空間の基本事項]]の'''命題38.1'''と[[緩増加超関数とFourier変換]]の'''命題18.3'''より、
$$
\begin{aligned}
H^2(\mathbb{R}^N)&=\{u\in L^2(\mathbb{R}^N):(1+\lvert {\rm id}\rvert^2)\mathcal{F}u\in L^2(\mathbb{R}^N)\}
=\{u\in L^2(\mathbb{R}^N):\lvert {\rm id}\rvert^2\mathcal{F}u\in L^2(\mathbb{R}^N)\}\\
&=\{u\in L^2(\mathbb{R}^N):-\mathcal{F}\Delta u\in L^2(\mathbb{R}^N)\}=\{u\in L^2(\mathbb{R}^N):-\Delta u\in L^2(\mathbb{R}^N)\}
\end{aligned}
$$
であり、
$$
-\Delta\colon H^2(\mathbb{R}^N)\ni u\mapsto -\Delta u\in L^2(\mathbb{R}^N)\quad\quad(*)
$$
は、$\lvert{\rm id}\rvert^2\colon \mathbb{R}^N\ni x\mapsto \lvert x\rvert^2\in [0,\infty)$ による掛け算作用素により、
$$
-\Delta =\mathcal{F}^{-1}\lvert {\rm id}\rvert^2\mathcal{F}
$$
と表せる。$\lvert {\rm id}\rvert^2$ による掛け算作用素は $L^2(\mathbb{R}^N)$ 上の非負自己共役作用素である<ref>非負値可測関数の射影値測度による積分は'''命題6.8'''の $(2)$ と'''命題6.12'''より非負自己共役作用素である。</ref>ので、$(*)$ も $L^2(\mathbb{R}^N)$ 上の非負自己共役作用素である。そして $\sigma(-\Delta)=\sigma(\lvert {\rm id}\rvert^2)$, $\sigma_{\rm p}(-\Delta)=\sigma_{\rm p}(\lvert {\rm id}\rvert^2)$ である。
'''命題10.4'''より $\sigma(\lvert {\rm id}\rvert^2)=[0,\infty)$ であるから $\sigma(-\Delta)=\sigma(\lvert {\rm id}\rvert^2)=[0,\infty)$ である。$\sigma_{\rm p}(-\Delta)=\emptyset$ を示せすためには $\sigma_{\rm p}(\lvert {\rm id}\rvert^2)=\emptyset$ を示せばよい。そこで $\lambda\in \sigma_{\rm p}(\lvert {\rm id}\rvert^2)$ が存在すると仮定して矛盾を導く。$L^2(\mathbb{R}^N)$ 上の掛け算作用素 $\lvert {\rm id}\rvert^2$ の固有値 $\lambda$ に対する固有ベクトル $[g]\in L^2(\mathbb{R}^N)$ を取る（固有ベクトルなので $[g]\neq0$ である）。このとき、
$$
0=\lVert (\lambda-\lvert{\rm id}\rvert^2)[g]\rVert_2^2=\int_{\mathbb{R}^N}\lvert (\lambda-\lvert x\rvert^2)g(x)\rvert^2 dx
$$
であるから、
$$
(\lambda-\lvert x\rvert^2)g(x)=0\quad(\text{Lebesgue測度に関して a.e. $x\in \mathbb{R}^N$})\quad\quad(**)
$$
である。ここで、
$$
\{x\in \mathbb{R}^N:\lambda-\lvert x\rvert^2=0\}\quad\quad(***)
$$
は $\lambda=0$ の場合は $\{0\}$ であり、$\lambda>0$ の場合は $\mathbb{R}^N$ 内の $N-1$ 次元多様体（球面）である<ref>$h\colon\mathbb{R}^N\rightarrow \mathbb{R}$ を $h(x)=\lambda-\lvert x\rvert^2$ とおけば $(***)$ の任意の元 $x$ に対し $dh_x=-\sum_{j=1}^{N}2x_jdx_j\neq0$ であるから[[ベクトル解析1：Euclid空間内の多様体上の関数の微分]]の'''定理8.2'''（陰関数定理）より $(**)$ は $\mathbb{R^N}$ 内の $N-1$ 次元多様体である。</ref>ので、[[ベクトル解析4：Euclid空間内の多様体上の測度と積分]]の'''命題16.10'''より $(***)$ のLebesgue測度は $0$ である。ゆえにLebesgue測度に関して a.e. $x\in \mathbb{R}^N$ で、$\lvert x\rvert^2\neq\lambda$ であるから、$(**)$ よりLebesgue測度に関して a.e. $x\in \mathbb{R}^N$ で $g(x)=0$ である。これは $[g]\in L^2(\mathbb{R}^N)$ が $0$ であることを意味するので矛盾する。ゆえに $\sigma_{\rm p}(-\Delta)=\emptyset$ である。 
今、$E\colon \mathcal{B}_{\mathbb{R}^N}\rightarrow \mathbb{P}(L^2(\mathbb{R}^N))$ を $L^2(\mathbb{R}^N)$ 上の掛け算作用素を表す射影値測度（'''定義10.2'''）とすると、
$$
-\Delta=\mathcal{F}^{-1}\lvert {\rm id}\rvert^2\mathcal{F}=\mathcal{F}^{-1}\int_{\mathbb{R}^N}\lvert x\rvert^2dE(x)\mathcal{F}
$$
であるから、'''命題6.9'''より、射影値測度 $\mathcal{F}^{-1}E\mathcal{F}\colon \mathcal{B}_{\mathbb{R}^N}\rightarrow \mathbb{P}(L^2(\mathbb{R}^N))$ に対し、
$$
-\Delta=\int_{\mathbb{R}^N}\lvert x\rvert^2d(\mathcal{F}^{-1}E\mathcal{F})(x)
$$
である。よって'''命題8.6'''と'''命題6.9'''より、
$$
f(-\Delta)=\int_{\mathbb{R}^N}f(\lvert x\rvert^2)d(\mathcal{F}^{-1}E\mathcal{F})(x)
=\mathcal{F}^{-1}\left(\int_{\mathbb{R}^N}f(\lvert x\rvert^2)dE(x)\right)\mathcal{F}
=\mathcal{F}^{-1}f(\lvert {\rm id}\rvert^2)\mathcal{F}
$$
である。 
$f$ が連続関数の場合は'''命題8.7'''の $(8)$ より $f(-\Delta)=\overline{f(\sigma(-\Delta))}=\overline{f([0,\infty))}$ である。
{{end|proof}}

===補題17.2===
任意の $V\in L^2(\mathbb{R}^3)$ に対し、
$$
V(-\Delta+1)^{-1}f\in L^2(\mathbb{R}^3)\quad(\forall f\in L^2(\mathbb{R}^3))
$$
であり、
$$
L^2(\mathbb{R}^3)\ni f\mapsto V(-\Delta+1)^{-1}f\in L^2(\mathbb{R}^3)
$$
はHilbert-Schmidtクラス $\mathbb{B}(L^2(\mathbb{R}^3))$ に属する。特に $L^2(\mathbb{R}^3)$ 上のコンパクト作用素である（'''命題16.7'''）。
{{begin|proof}}
Fourier変換 $\mathcal{F}\colon L^2(\mathbb{R}^3)\rightarrow L^2(\mathbb{R}^3)$ に対し、'''命題17.1'''より、
$$
(-\Delta+1)^{-1}=\mathcal{F}^{-1}(\lvert {\rm id}\rvert^2+1)^{-1}\mathcal{F}
$$
である。$(\lvert {\rm id}\rvert^2+1)^{-1}\in L^2(\mathbb{R}^3)$ であるから、Hölderの不等式より、
$$
(\lvert {\rm id}\rvert^2+1)^{-1}\mathcal{F}f\in L^1(\mathbb{R}^3)\quad(\forall f\in L^2(\mathbb{R}^3))
$$
であり、[[緩増加超関数とFourier変換]]の'''命題15.3'''の $(5)$ より $\mathcal{F}^{-1}(L^1(\mathbb{R}^3))\subset C_0(\mathbb{R}^3)$ であるので、
$$
(-\Delta+1)^{-1}f=\mathcal{F}^{-1}(\lvert {\rm id}\rvert^2+1)^{-1}\mathcal{F}f\in C_0(\mathbb{R}^3)\quad(\forall f\in L^2(\mathbb{R}^3))
$$
である。今、急減少関数空間 $\mathcal{S}_3$ の列 $(V_n)_{n\in \mathbb{N}}$ で $\lim_{n\rightarrow\infty}\lVert V-V_n\rVert_2=0$ なるものを取る。すると[[合成積とFourier変換]]の'''定理24.3'''と'''命題29.3'''（Youngの不等式）より $L^2(\mathbb{R}^3)$ において、
$$
\begin{aligned}
V(-\Delta+1)^{-1}f&=\lim_{n\rightarrow\infty}V_n(-\Delta+1)^{-1}f
=\lim_{n\rightarrow\infty}(\mathcal{F}^{-1}\mathcal{F}V_n)\mathcal{F}^{-1}(\lvert {\rm id}\rvert^2+1)\mathcal{F}f\\
&=\lim_{n\rightarrow\infty}\mathcal{F}^{-1}\left(\left((\lvert {\rm id}\rvert^2+1)^{-1}\mathcal{F}f\right)*\mathcal{F}V_n\right)\\
&=\mathcal{F}^{-1}\left(\left((\lvert {\rm id}\rvert^2+1)^{-1}\mathcal{F}f\right)*\mathcal{F}V\right)\quad(\forall f\in L^2(\mathbb{R}^3))
\end{aligned}
$$
となる。そこで $K\in L^2(\mathbb{R}^3\times \mathbb{R}^3)$ を、
$$
K(x,y)=\frac{1}{(2\pi)^{\frac{3}{2}}}\frac{\mathcal{F}V(x-y)}{\lvert y\rvert^2+1}\quad(\forall (x,y)\in \mathbb{R}^3\times \mathbb{R}^3)
$$
と定義し、$K$ を積分核とするHilbert-Schmidt積分作用素（'''定理16.18'''）を $\widehat{K}\in \mathbb{B}^2(L^2(\mathbb{R}^3))$ とおけば、
$$
V(-\Delta+1)^{-1}f=\mathcal{F}^{-1}\left(\left((\lvert {\rm id}\rvert^2+1)^{-1}\mathcal{F}f\right)*\mathcal{F}V\right)=\mathcal{F}^{-1}\widehat{K}\mathcal{F}f\quad(\forall f\in L^2(\mathbb{R}^3))
$$
である。Hilbert-Schmidtクラス $\mathbb{B}^2(L^2(\mathbb{R}^3))$ は $\mathbb{B}(L^2(\mathbb{R}^3))$ のイデアル（'''命題16.6'''）であるから、
$$
\mathcal{F}^{-1}\widehat{K}\mathcal{F}\in \mathbb{B}^2(L^2(\mathbb{R}^3))
$$
である。よって、
$$
L^2(\mathbb{R}^3)\ni f\mapsto V(-\Delta+1)^{-1}f\in L^2(\mathbb{R}^3)
$$
はHilbert-Schmidtクラス $\mathbb{B}^2(L^2(\mathbb{R}^3))$ に属する。
{{end|proof}}

===定理17.3（加藤-Rellichの定理2）===
実数値の $V\in L^2_{\rm loc}(\mathbb{R}^3)$ に対し $L^2(\mathbb{R}^3)$ の列 $(V_n)_{n\in \mathbb{N}}$ で、
$$
V-V_n\in L^\infty(\mathbb{R}^3)\quad(\forall n\in \mathbb{N}),\quad \lim_{n\rightarrow\infty}\lVert V-V_n\rVert_{\infty}=0
$$
を満たすものが取れるとする。このとき $V$ による $L^2(\mathbb{R}^3)$ 上の掛け算作用素（'''定義10.2'''）は、自己共役作用素 $-\Delta\colon H^2(\mathbb{R}^3)\rightarrow L^2(\mathbb{R}^3)$ に対して相対コンパクト（'''定義15.3'''）である。
{{begin|proof}}
'''補題17.2'''より任意の $n\in \mathbb{N}$ に対し、
$$
V_n(-\Delta+1)^{-1}\colon L^2(\mathbb{R}^3)\ni f\mapsto V_n(-\Delta+1)^{-1}f\in L^2(\mathbb{R}^3)
$$
は $L^2(\mathbb{R}^3)$ 上のコンパクト作用素である。
$$
V(-\Delta+1)^{-1}=(V-V_n)(-\Delta+1)^{-1}+V_n(-\Delta+1)^{-1}\in \mathbb{B}(L^2(\mathbb{R}^3))
$$
であり、
$$
\lVert V(-\Delta+1)^{-1}-V_n(-\Delta+1)^{-1}\rVert\leq \lVert V-V_n\rVert_{\infty}\lVert (-\Delta+1)^{-1}\rVert\rightarrow0\quad(n\rightarrow\infty)
$$
であるから $V(-\Delta+1)^{-1}$ は $L^2(\mathbb{R}^3)$ 上のコンパクト作用素である<ref>コンパクト作用素環 $\mathbb{B}_0(L^2(\mathbb{R}^3))$ は作用素ノルムで閉であることによる。</ref>よって $V$ は $-\Delta$ に対して相対コンパクトである。
{{end|proof}}

===定理17.4（加藤-Rellichの定理3（中心力ポテンシャルを持つSchrödinger作用素））===
$\alpha\in (0,\frac{3}{2})$ と $k\in (0,\infty)$ に対し、
$$
V(x)\colon=-\frac{k}{\lvert x\rvert^\alpha}\quad(\forall x\in \mathbb{R}^3)
$$
として $V\in L^2_{\rm loc}(\mathbb{R}^3)$ を定義する。このとき、
*$(1)$　$V$ による $L^2(\mathbb{R}^3)$ 上の掛け算作用素は自己共役作用素 $-\Delta\colon H^2(\mathbb{R}^3)\rightarrow L^2(\mathbb{R}^3)$ に対して相対コンパクト（'''定義15.3'''）である。そして $H_V\colon=-\Delta+V$ は $H^2(\mathbb{R}^3)$ を定義域とする $L^2(\mathbb{R}^3)$ 上の下に有界な自己共役作用素であり、$D(\mathbb{R}^3)$ は $H_V$ の芯である。また $H_V$ の真性スペクトル（'''定義14.1'''）は $\sigma_{\rm ess}(H_V)=[0,\infty)$ である。
*$(2)$　$H_V$ は可算無限個の離散固有値（'''定義14.1'''）を持つ。そしてこれらを下から並べたものを $(\lambda_n)_{n\in\mathbb{N}}$ とおくと、$\lim_{n\rightarrow\infty}\lambda_n=\sup_{n\in\mathbb{N}}\lambda_n=0$ が成り立つ。
{{begin|proof}}
$(1)$　各 $n\in \mathbb{N}$ に対し $V_n\colon \mathbb{R}^3\rightarrow\mathbb{R}$ を、
$$
V_n(x)\colon=\begin{cases}V(x)\quad&(\lvert x\rvert\leq n)\\0&(n<\lvert x\rvert)\end{cases}
$$
とおくと、極座標変換（[[ベクトル解析4：Euclid空間内の多様体上の測度と積分]]の'''定理18.4'''）と $2\alpha<3$ より、
$$
\int_{\mathbb{R}^3}\lvert V_n(x)\rvert^2 dx=\mu_{S_2}(S_2)\int_{0}^{n}r^2\frac{k^2}{r^{2\alpha}}dr=\mu_{S_2}(S_2)\frac{k^2}{3-2\alpha}n^{3-2\alpha}<\infty
$$
であるから $V_n\in L^2(\mathbb{R}^3)$ であり、$0<\alpha$ より、
$$
\lVert V-V_n\rVert_{\infty}\leq \frac{k}{n^{\alpha}}\rightarrow0\quad(n\rightarrow\infty)
$$
である。よって'''定理17.3'''より $V$ は掛け算作用素として $-\Delta$ に対して相対コンパクトである。ここで'''命題17.1'''より $-\Delta\colon H^2(\mathbb{R}^3)\rightarrow L^2(\mathbb{R}^3)$ は $L^2(\mathbb{R}^3)$ 上の下に有界な自己共役作用素であり $\sigma_{\rm ess}(-\Delta)=\sigma(-\Delta)=[0,\infty)$ である。よって'''定理15.5'''と'''定理15.1'''より $H_V=-\Delta+V\colon H^2(\mathbb{R}^3)\rightarrow L^2(\mathbb{R}^3)$ も $L^2(\mathbb{R}^3)$ 上の下に有界な自己共役作用素であり、$-\Delta$ の芯 $D(\mathbb{R}^3)$<ref>[[Sobolev空間の基本事項]]の'''定理32.2'''を参照。</ref> は $H_V$ の芯でもあり、$\sigma_{\rm ess}(H_V)=\sigma_{\rm ess}(-\Delta)=[0,\infty)$ である。
*$(2)$　$(1)$ より $H_V$ は下に有界な自己共役作用素である。そこで $H_V$ の特性レベル（'''定義14.10'''）を $(\mu_n(H_V))_{n\in \mathbb{N}}$ とおく。$(1)$ より $\sigma_{\rm ess}(H_V)=[0,\infty)$ であるから'''定理14.12'''の $(2)$ より、
$$
\sup_{n\in \mathbb{N}}\mu_n(H_V)={\rm min}(\sigma_{\rm ess}(H_V))=0
$$
である。よって'''定理14.12'''の $(3)$ より、
$$
\mu_n(H_V)<0\quad(\forall n\in \mathbb{N})\quad\quad(*)
$$
が成り立つことを示せばよい。今、Urysohnの補題（[[ベクトル解析4：Euclid空間内の多様体上の測度と積分]]の'''定理15.5'''）により非負値の $\psi\in D(\mathbb{R}^3)$ で、
$$
\lVert \psi\rVert_2=1,\quad {\rm supp}(\psi)\subset \{x\in \mathbb{R}^2:1<\lvert x\rvert<2\}
$$
を満たすものを取る。そして任意の $R\in (0,\infty)$ に対し $\psi_R\in D(\mathbb{R}^3)$ を、
$$
\psi_R(x)\colon=R^{-\frac{3}{2}}\psi(R^{-1}x)\quad(\forall x\in \mathbb{R}^3)
$$
として定義する。このとき変数変換より、
$$
\lVert \psi_R\rVert_2=1,\quad {\rm supp}(\psi_R)\subset \{x\in \mathbb{R}^3:R<\lvert x\rvert<2R\}\quad\quad(**)
$$
であり、
$$
(\psi_R\mid -\Delta\psi_R)_2=R^{-2}(\psi\mid -\Delta\psi)_2,\quad
(\psi_R\mid V\psi_R)_2=R^{-\alpha}(\psi\mid V\psi)_2\quad(\forall R\in (0,\infty))\quad\quad(***)
$$
である。
$$
2-\alpha>0,\quad(\psi\mid V\psi)_2<0
$$
であるから、$(***)$ より、十分大きい $R_0\in (0,\infty)$ を取れば、
$$
\begin{aligned}
(\psi_R\mid H_V\psi_R)_2&=(\psi_R\mid -\Delta \psi_R)_2+(\psi_R\mid V\psi_R)_2=R^{-2}(\psi\mid -\Delta \psi)_2+R^{-\alpha}(\psi\mid V\psi)_2\\
&=R^{-2}\left((\psi\mid -\Delta\psi)_2+R^{2-\alpha}(\psi\mid V\psi)_2\right)<0\quad(\forall R\in [R_0,\infty))\quad\quad(****)
\end{aligned}
$$
となる。そこで、
$$
\varphi_n\colon=\psi_{2^nR_0}\in D(\mathbb{R}^3)\quad(\forall n\in \mathbb{N})
$$
とおくと、$(**)$, $(****)$ より、
$$
\lVert \varphi_n\rVert_2=1,\quad {\rm supp}(\varphi_n), {\rm supp}(H_V\varphi_n)\subset \{x\in \mathbb{R}^3:2^nR_0<\lvert x\rvert<2^{n+1}R_0\}\quad(\forall n\in\mathbb{N}),\quad\quad(*****)
$$
$$
(\varphi_n\mid H_V\varphi_n)<0\quad(\forall n\in \mathbb{N})\quad\quad(******)
$$
が成り立つ。$(*****)$ より特に $(\varphi_n)_{n\in \mathbb{N}}$ はHilbert空間 $L^2(\mathbb{R}^3)$ のONSである。各 $n\in \mathbb{N}$ に対し $\varphi_1,\ldots,\varphi_n$ によって張られる $L^2(\mathbb{R}^3)$ の $n$ 次元部分空間の上への射影作用素を $P_n$ とおき、
$$
H_{V,n}\colon {\rm Ran}(P_n)\ni f\mapsto P_nH_Vf\in {\rm Ran}(P_n)
$$
なる ${\rm Ran}(P_n)$ 上の自己共役作用素を定義する。このとき $(*****)$ より $\varphi_1,\ldots,\varphi_n\in {\rm Ran}(P_n)$ は $H_{V,n}$ の単位固有ベクトルからなるCONSである。よって $H_{V,n}$ の固有値は $(\varphi_j\mid H_{V}\varphi_j)_2$ ($j=1,\ldots,n$) であるから、Reyleigh-Ritzの原理（'''命題14.13'''）と $(******)$ より、
$$
\mu_n(H_V)\leq \mu_n(H_{V,n})={\rm max}\{(\varphi_j\mid H_{V}\varphi_j)_2:j=1,\ldots,n\}<0
$$
である。よって $(*)$ が成り立つ。
{{end|proof}}

===定理17.5（加藤-Rellichの定理4（中心力ポテンシャルを持つSchrödinger作用素））===
$\alpha\in (0,\frac{3}{2}), k_j,K_{j,k}\in [0,\infty)$ $(j,k\in \{1,\ldots,N\}, j\neq k)$ とし、
$$
V(x_1,\ldots,x_N)\colon=-\sum_{j=1}^{N}\frac{k_j}{\lvert x_j\rvert^{\alpha}}-\sum_{j\neq k}\frac{K_{j,k}}{\lvert x_j-x_k\rvert^{\alpha}}
$$
として $V\in L^2_{\rm loc}(\mathbb{R}^{3N})$ を定義する。このとき $V$ による $L^2(\mathbb{R}^{3N})$ 上の掛け算作用素は自己共役作用素 $-\Delta \colon H^2(\mathbb{R}^{3N})\rightarrow L^2(\mathbb{R}^{3N})$ に対して無限小（'''定義15.2'''）である。そして $H_V\colon =-\Delta+V$ は $H^2(\mathbb{R}^{3N})$ を定義域とする下に有界な自己共役作用素であり、$D(\mathbb{R}^{3N})$ を芯として持つ。
{{begin|proof}}
'''定理15.1'''より、掛け算作用素 $V$ が $-\Delta$ に対して無限小であることを示せば十分である。
任意の $j,k\in \{1,\ldots,N\}$ $(j\neq k)$ に対し $V_j,V_{j,k}\in L^2_{\rm loc}(\mathbb{R}^{3N})$ を、
$$
V_j(x_1,\ldots,x_N)\colon=-\frac{k_j}{\lvert x_j\rvert^{\alpha}},\quad V_{j,k}(x_1,\ldots,x_N)\colon=-\frac{K_{j,k}}{\lvert x_j-x_k\rvert^{\alpha}}
$$
と定義する。掛け算作用素 $V$ が $-\Delta$ に対して無限小であることを示すには、掛け算作用素 $V_j,V_{j,k}$ がそれぞれ $-\Delta$ に対して無限小であることを示せばよい。
*$(1)$　各 $j\in \{1,\ldots,N\}$ に対し $V_j$ が $-\Delta$ に対して無限小であることを示す。'''定理17.4'''より $L^2(\mathbb{R}^3)$ 上の掛け算作用素 $-\frac{k_j}{\lvert {\rm id}\rvert^{\alpha}}$ は自己共役作用素 $-\Delta\colon H^2(\mathbb{R}^3)\rightarrow L^2(\mathbb{R}^3)$ に対して相対コンパクトであるので特に無限小である。よって任意の $\epsilon\in (0,1)$ に対し $b_{\epsilon}\in [0,\infty)$ が存在し、任意の $\varphi\in D(\mathbb{R}^{3N})$ に対し、
$$
\begin{aligned}
&\left(\int_{\mathbb{R}^3}\lvert V_j(x_1,\ldots,x_N)\varphi(x_1,\ldots,x_N)\rvert^2dx_j\right)^{\frac{1}{2}}\\
&\leq \epsilon\left(\int_{\mathbb{R}^3}\lvert\Delta_{x_j}\varphi(x_1,\ldots,x_N)\rvert^2dx_j\right)^{\frac{1}{2}}+b_{\epsilon}\left(\int_{\mathbb{R}^3}\lvert \varphi(x_1,\ldots,x_N)\rvert^2dx_j\right)^{\frac{1}{2}}
\end{aligned}
$$
が成り立つ。よってMinkowskiの不等式とTonelliの定理より、
$$
\lVert V_j\varphi\rVert_2\leq \epsilon\lVert -\Delta_{x_j}\varphi\rVert_2+b_{\epsilon}\lVert\varphi\rVert_2\quad(\forall \varphi\in D(\mathbb{R}^{3N}))\quad\quad(*)
$$
が成り立つ。'''命題17.1'''より、
$$
-\Delta_{x_j}=\mathcal{F}^{-1}\lvert {\rm id}_j\rvert^2\mathcal{F},\quad
-\Delta=\mathcal{F}^{-1}\lvert {\rm id}\rvert^2\mathcal{F}
$$
であるから、
$$
\lVert V_j\varphi\rVert_2=\lVert \lvert {\rm id}_j\rvert^2\mathcal{F}\varphi\rVert_2
\leq \lVert \lvert {\rm id}\rvert^2\mathcal{F}\varphi\rVert_2=\lVert-\Delta\varphi\rVert_2\quad(\forall \varphi\in D(\mathbb{R}^{3N}))\quad\quad(**)
$$
である。よって $(*),(**)$ より、
$$
\lVert V_j\varphi\rVert_2\leq\epsilon\lVert -\Delta \varphi\rVert_2+b_{\epsilon}\lVert \varphi\rVert_2\quad(\forall \varphi\in D(\mathbb{R}^{3N}))\quad\quad(***)
$$
が成り立つ。ここで $D(\mathbb{R}^{3N})$ は $-\Delta\colon H^2(\mathbb{R}^{3N})\rightarrow L^2(\mathbb{R}^{3N})$ の芯であり<ref>[[Sobolev空間の基本事項]]の'''定理32.2'''を参照。</ref>、掛け算作用素は閉作用素であるから、$(***)$ より、
$$
\lVert V_jf\rVert_2\leq \epsilon\lVert -\Delta f\rVert_2+b_{\epsilon}\lVert f\rVert_2\quad(\forall f\in H^2(\mathbb{R}^{3N}))
$$
が成り立つ。よって掛け算作用素 $V_j$ は $-\Delta$ に対して無限小である。
*$(2)$　$j\neq k$ なる任意の $j,k\in \{1,\ldots,N\}$ に対し $V_{j,k}$ が $-\Delta$ に対して無限小であることを示す。'''定理17.4'''より $L^2(\mathbb{R}^3)$ 上の掛け算作用素 $-\frac{K_{j,k}}{\lvert {\rm id}\rvert^{\alpha}}$ は自己共役作用素 $-\Delta\colon H^2(\mathbb{R}^3)\rightarrow L^2(\mathbb{R}^3)$ に対して相対コンパクトであるので特に無限小である。よって任意の $\epsilon\in (0,1)$ に対し $b_{\epsilon}\in [0,\infty)$ が存在し、任意の $\varphi\in D(\mathbb{R}^{3N})$ に対し、
$$
\begin{aligned}
&\left(\int_{\mathbb{R}^3}\lvert V_{j,k}(x_1,\ldots,x_N)\varphi(x_1,\ldots,x_N)\rvert^2dx_j\right)^{\frac{1}{2}}
=\left(\int_{\mathbb{R}^3}\left\lvert\frac{K_{j,k}}{\lvert x_j\rvert}\varphi(x_1,\ldots,x_j+x_k,\ldots,x_N)\right\rvert^2\right)^{\frac{1}{2}}\\
&\leq \epsilon\left(\int_{\mathbb{R}^3}\lvert\Delta_{x_j}\varphi(x_1,\ldots,x_j+x_k,\ldots,x_N)\rvert^2dx_j\right)^{\frac{1}{2}}+b_{\epsilon}\left(\int_{\mathbb{R}^3}\lvert \varphi(x_1,\ldots,x_j+x_k,\ldots,x_N)\rvert^2dx_j\right)^{\frac{1}{2}}\\
&=\epsilon\left(\int_{\mathbb{R}^3}\lvert\Delta_{x_j}\varphi(x_1,\ldots,x_N)\rvert^2dx_j\right)^{\frac{1}{2}}+b_{\epsilon}\left(\int_{\mathbb{R}^3}\lvert \varphi(x_1,\ldots,x_N)\rvert^2dx_j\right)^{\frac{1}{2}}
\end{aligned}
$$
が成り立つ。よってMinkowskiの不等式とTonelliの定理より、
$$
\lVert V_{j,k}\varphi\rVert_2\leq \epsilon\lVert -\Delta_{x_j}\varphi\rVert_2+b_{\epsilon}\lVert\varphi\rVert_2\quad(\forall \varphi\in D(\mathbb{R}^{3N}))
$$
であるから、後は $(1)$ と同様にすれば $V_{j,k}$ が $-\Delta$ に対して無限小であることが分かる。
{{end|proof}}

== 18. $\sigma$-WOT、$\sigma$-SOT、von Neumann環、二重可換子環定理 ==

===定義18.1（$\mathbb{B}(\mathcal{H})$ の $\sigma$-WOTと $\sigma$-SOT）===
$\mathcal{H}$ をHilbert空間とする。任意の $u=(u_n)_{n\in \mathbb{N}}, v=(v_n)_{n\in \mathbb{N}}\in \bigoplus_{n\in \mathbb{N}}\mathcal{H}$ に対し線形汎関数 $\varphi_{u,v}\colon \mathbb{B}(\mathcal{H})\rightarrow \mathbb{C}$ とセミノルム $p_v\colon \mathbb{B}(\mathcal{H})\rightarrow [0,\infty)$ を、
$$
\varphi_{u,v}(A)\colon=((u_n)_{n\in\mathbb{N}}\mid (Av_n)_{n\in \mathbb{N}})=\sum_{n\in \mathbb{N}}(u_n\mid Av_n)\quad(\forall A\in\mathbb{B}(\mathcal{H})),
$$
$$
p_v(A)\colon=\lVert (Av_n)_{n\in \mathbb{N}}\rVert=\sqrt{\sum_{n\in \mathbb{N}}\lVert Av_n\rVert^2}\quad(\forall A\in \mathbb{B}(\mathcal{H}))
$$
として定義する。このとき $\{\varphi_{u,v}:u,v\in \bigoplus_{n\in \mathbb{N}}\mathcal{H}\}, \{p_v:v\in \bigoplus_{n\in \mathbb{N}}\mathcal{H}\}$ はそれぞれ $\mathbb{B}(\mathcal{H})$ 上の線形汎関数の分離族とセミノルムの分離族である（[[位相線形空間2：セミノルム位相と汎弱位相]]を参照）。$\{\varphi_{u,v}:u,v\in \bigoplus_{n\in \mathbb{N}}\mathcal{H}\}$ が誘導する汎弱位相を $\mathbb{B}(\mathcal{H})$ 上の $\sigma$-WOTと言い、$\{p_v\}_{v\in \bigoplus_{n\in\mathbb{N}}\mathcal{H}}$ が誘導するセミノルム位相を $\mathbb{B}(\mathcal{H})$ 上の $\sigma$-SOTと言う。

===注意18.2（$\sigma$-WOTと $\sigma$-SOTに関する収束の特徴付け）===
[[位相線形空間2：セミノルム位相と汎弱位相]]の'''命題9.3'''より $\mathbb{B}(\mathcal{H})$ のネット $(A_{\lambda})_{\lambda\in \Lambda}$ が $A\in \mathbb{B}(\mathcal{H})$ に$\sigma$-WOTに関して収束することは、任意の $(u_n)_{n\in\mathbb{N}},(v_n)_{n\in \mathbb{N}}\in \bigoplus_{n\in \mathbb{N}}\mathcal{H}$ に対し、
$$
((u_n)_{n\in\mathbb{N}}\mid (A_{\lambda}v_n)_{n\in\mathbb{N}})\rightarrow((u_n)_{n\in\mathbb{N}}\mid (Av_n)_{n\in\mathbb{N}}),
$$
すなわち、
$$
\sum_{n\in \mathbb{N}}(u_n\mid A_{\lambda}v_n)\rightarrow \sum_{n\in \mathbb{N}}(u_n\mid Av_n)
$$
が成り立つことと同値である。また[[位相線形空間2：セミノルム位相と汎弱位相]]の'''命題8.6'''より $\mathbb{B}(\mathcal{H})$ のネット $(A_{\lambda})_{\lambda\in \Lambda}$ が $A\in \mathbb{B}(\mathcal{H})$ に $\sigma$-SOTに関して収束することは、任意の $(v_n)_{n\in \mathbb{N}}\in \bigoplus_{n\in \mathbb{N}}\mathcal{H}$ に対し、
$$
\lVert ((A_{\lambda}-A)v_n)_{n\in \mathbb{N}}\rVert\rightarrow0,
$$
すなわち、
$$
\sum_{n\in\mathbb{N}}\lVert (A_{\lambda}-A)v_n\rVert^2\rightarrow0
$$
が成り立つことと同値である。

===注意18.3（$\mathbb{B}(\mathcal{H})$ の位相の強弱）===
'''注意18.2'''より、$\mathbb{B}(\mathcal{H})$ のネットが $\sigma$-WOT（resp. $\sigma$-SOT）に関して収束するならば、WOT（resp. SOT）に関しても収束するので、ネットによる連続性の特徴付け（[[ネットによる位相空間論]]の'''定理3'''）より $\sigma$-WOTはWOTより強い。（resp. $\sigma$-SOT）はSOTより強い。）また'''注意18.2'''より $\mathbb{B}(\mathcal{H})$ のネットが $\sigma$-SOTに関して収束するならば $\sigma$-WOTに関しても収束するので、$\sigma$-SOTは $\sigma$-WOTより強い。さらに作用素ノルムで収束するネットは明らかに $\sigma$-SOTに関して収束するので作用素ノルム位相は $\sigma$-SOTより強い。

===注意18.4（$\sigma$-WOT、$\sigma$-SOTとトレース）===
'''命題16.15'''よりトレースクラス $\mathbb{B}^1(\mathcal{H})$ は、
$$
\mathbb{B}^1(\mathcal{H})=\left\{\sum_{n\in \mathbb{N}}v_n\odot u_n:(u_n)_{n\in\mathbb{N}},(v_n)_{n\in\mathbb{N}}\in \bigoplus_{n\in \mathbb{N}}\mathcal{H}\right\}
$$
であり、任意の $u=(u_n)_{n\in \mathbb{N}},v=(v_n)_{n\in \mathbb{N}}\in \bigoplus_{n\in \mathbb{N}}\mathcal{H}$ に対し $T=\sum_{n\in \mathbb{N}}v_n\odot u_n\in \mathbb{B}^1(\mathcal{H})$ とおけば、
$$
{\rm Tr}(AT)=\sum_{n\in \mathbb{N}}{\rm Tr}(A(v_n\odot u_n))=\sum_{n\in \mathbb{N}}(u_n\mid Av_n)=\varphi_{u,v}(A)\quad(\forall A\in \mathbb{B}(\mathcal{H}))
$$
である。よって、
$$
\{\varphi_{u,v}:u,v\in \bigoplus_{n\in \mathbb{N}}\mathcal{H}\}=\{{\rm Tr}(\cdot T):T\in \mathbb{B}^1(\mathcal{H})\}
$$
であるから、$\sigma$-WOTは $\mathbb{B}(\mathcal{H})$ 上の線形汎関数の分離族 $\{{\rm Tr}(\cdot T):T\in \mathbb{B}^1(\mathcal{H})\}$ が誘導する汎弱位相と一致し、[[位相線形空間2：セミノルム位相と汎弱位相]]の'''命題9.5'''より、
$$
\{\text{$\mathbb{B}(\mathcal{H})$ 上の $\sigma$-WOT連続な線形汎関数}\}=\{{\rm Tr}(\cdot T):T\in \mathbb{B}^1(\mathcal{H})\}
$$
が成り立つ。
また'''命題16.15'''より、
$$
\mathbb{B}^1(\mathcal{H})\cap\mathbb{B}(\mathcal{H})_+=\left\{\sum_{n\in \mathbb{N}}v_n\odot v_n:(v_n)_{n\in\mathbb{N}}\in \bigoplus_{n\in \mathbb{N}}\mathcal{H}\right\}
$$
であり、任意の $v=(v_n)_{n\in \mathbb{N}}\in \bigoplus_{n\in \mathbb{N}}\mathcal{H}$ に対し $T=\sum_{n\in \mathbb{N}}v_n\odot v_n\in \mathbb{B}^1(\mathcal{H})\cap \mathbb{B}(\mathcal{H})_+$ とおけば、
$$
{\rm Tr}(A^*AT)=\sum_{n\in \mathbb{N}}{\rm Tr}(A^*A(v_n\odot v_n))=\sum_{n\in \mathbb{N}}(v_n\mid A^*Av_n)
=\sum_{n\in \mathbb{N}}\lVert Av_n\rVert^2\quad(\forall A\in \mathbb{B}(\mathcal{H}))
$$
である。よって'''注意18.2'''より $\mathbb{B}(\mathcal{H})$ のネット $(A_{\lambda})_{\lambda\in \Lambda}$ が $A\in \mathbb{B}(\mathcal{H})$ に $\sigma$-SOTに関して収束することは、任意の $T\in \mathbb{B}^1(\mathcal{H})$ に関して、
$$
{\rm Tr}((A_{\lambda}-A)^*(A_{\lambda}-A)T)\rightarrow0
$$
となることと同値である。そして'''命題16.5'''より $\mathbb{B}^1(\mathcal{H})={\rm span}(\mathbb{B}^1(\mathcal{H})\cap \mathbb{B}(\mathcal{H})_+)$ であるから、$\sigma$-SOTに関して $(A_{\lambda})_{\lambda\in\Lambda}$ が $A$ に収束することは、$\sigma$-WOTに関して $(A_{\lambda}-A)^*(A_{\lambda}-A)\rightarrow0$ が成り立つことと同値である。

===命題18.5（弱 $*$-位相としての $\sigma$-WOT）===
$\mathcal{H}$ をHilbert空間とする。このとき、
$$
\mathbb{B}(\mathcal{H})\ni A\mapsto {\rm Tr}(A\cdot )\in (\mathbb{B}^1(\mathcal{H}))^*\quad\quad(*)
$$
は等長線形同型写像であり、$\sigma$-WOTと弱 $*$-位相に関して同相写像である。そして $\mathbb{B}(\mathcal{H})$ の単位ノルム閉球 $(\mathbb{B}(\mathcal{H}))_1=\{A\in \mathbb{B}(\mathcal{H}):\lVert A\rVert\leq 1\}$ は $\sigma$-WOTに関してコンパクトである。
{{begin|proof}}
'''定理16.16'''より $(*)$ は等長線形同型写像であり、'''注意18.4'''より、$\mathbb{B}(\mathcal{H})$ のネット $(A_{\lambda})_{\lambda\in\Lambda}$ が $A\in \mathbb{B}(\mathcal{H})$ に $\sigma$-WOTに関して収束することは、任意の $T\in \mathbb{B}^1(\mathcal{H})$ に対し ${\rm Tr}(A_{\lambda}T)\rightarrow {\rm Tr}(AT)$ となること、すなわち $(\mathbb{B}^1(\mathcal{H}))^*$ の弱 $*$-位相に関して ${\rm Tr}( A_{\lambda}\cdot)\rightarrow {\rm Tr}(A\cdot )$ となることと同値である。よってネットによる連続性の特徴付け（[[ネットによる位相空間論]]の'''定理3'''）より、 $(*)$ は $\sigma$-WOTと弱 $*$-位相に関して同相写像である。そしてAlaogluの定理（[[位相線形空間2：セミノルム位相と汎弱位相]]の'''定理10.3'''）より $(\mathbb{B}^1(\mathcal{H}))^*$ の単位ノルム閉球は弱 $*$-位相でコンパクトであるので $(\mathbb{B}(\mathcal{H}))_1$ は $\sigma$-WOTコンパクトである。
{{end|proof}}

===命題18.6（ノルム有界集合上での $\sigma$-WOTとWOT（resp. $\sigma$-SOTとSOT）の一致）===
$\mathbb{B}(\mathcal{H})$ の単位ノルム閉球 $(\mathbb{B}(\mathcal{H}))_1=\{A\in\mathbb{B}(\mathcal{H}):\lVert A\rVert\leq 1\}$ において $\sigma$-WOTとWOTは一致する。また $\sigma$-SOTとSOTも一致する。
{{begin|proof}}
$$
(\mathbb{B}(\mathcal{H}))_1\ni A\mapsto A\in (\mathbb{B}(\mathcal{H}))_1\quad\quad(*)
$$
が $\sigma$-WOTとWOTに関して同相写像であること（resp. $\sigma$-SOTとSOTに関して同相写像であること）を示せばよい。'''注意18.3'''より $(*)$ は $\sigma$-WOTとWOT（resp. $\sigma$-SOTとSOT）に関して連続である。そして'''命題18.5'''より $(\mathbb{B}(\mathcal{H}))_1$ は $\sigma$-WOTによりコンパクト空間であるから $(*)$ は $\sigma$-WOTとWOTに関して同相写像である。<ref>コンパクト空間からHausdorff空間への全単射連続写像は同相写像である。[[Banach環とC*-環のスペクトル理論]]の'''補題6.4'''を参照。</ref>後は$(*)$ がSOTと $\sigma$-SOTに関して連続であることを示せばよい。
$(\mathbb{B}(\mathcal{H}))_1$ のネット $(A_{\lambda})_{\lambda\in\Lambda}$ がSOTに関して $A\in (\mathbb{B}(\mathcal{H}))_1$ に収束するとする。任意の $\epsilon\in (0,\infty)$ と任意の $v=(v_n)_{n\in \mathbb{N}}\in \bigoplus_{n\in \mathbb{N}}\mathcal{H}$ を取る。十分大きい $N\in \mathbb{N}$ を取れば、
$$
\sum_{n\geq N+1}4\lVert v_n\rVert^2<\frac{\epsilon}{2}
$$
となり、SOTに関して $A_{\lambda}\rightarrow A$ であることから、$\lambda_0\in \Lambda$ が存在し、
$$
\sum_{n=1}^{N}\lVert(A_{\lambda}-A)v_n\rVert^2<\frac{\epsilon}{2}\quad(\forall \lambda\geq \lambda_0)
$$
となる。よって任意の $\lambda\geq\lambda_0$ に対し、
$$
\sum_{n\in \mathbb{N}}\lVert (A_{\lambda}-A)v_n\rVert^2
\leq\sum_{n=1}^{N}\lVert (A_{\lambda}-A)v_n\rVert^2+\sum_{n\geq N+1}4\lVert v_n\rVert^2<\epsilon
$$
となるので、$\sigma$-SOTに関して $A_{\lambda}\rightarrow A$ が成り立つ。ゆえに $(*)$ はSOTと $\sigma$-SOTに関して連続である。
{{end|proof}}

===命題18.7===
$\mathbb{B}(\mathcal{H})$ 上の線形汎関数 $\varphi\colon \mathbb{B}(\mathcal{H})\rightarrow \mathbb{C}$ に対し次は互いに同値である。
*$(1)$　$\varphi$ はWOTに関して連続である。
*$(2)$　$\varphi$ はSOTに関して連続である。
そして凸集合 $\mathcal{C}\subset \mathbb{B}(\mathcal{H})$ に対し $\mathcal{C}$ がWOTに関して閉であることとSOTに関して閉であることは同値である。
{{begin|proof}}
SOTはWOTより強いので、$(1)\Rightarrow(2)$ は自明である。$(2)\Rightarrow(1)$ を示す。$(2)$ が成り立つとすると $\{A\in \mathbb{B}(\mathcal{H}):\lvert \varphi(A)\rvert<1\}$ はSOTに関する $0\in \mathbb{B}(\mathcal{H})$ の近傍であるから、[[位相線形空間2：セミノルム位相と汎弱位相]]の'''命題8.6'''より有限個の $v_1,\ldots,v_n\in \mathcal{H}$ が取れて、
$$
\bigcap_{j=1}^{n}\{A\in \mathbb{B}(\mathcal{H}):\lVert Av_j\rVert<1\}\subset \{A\in \mathbb{B}(\mathcal{H}):\lvert\varphi(A)\rvert<1\}
$$
となる。よって、
$$
\lvert\varphi(A)\rvert\leq \sqrt{\sum_{j=1}^{n}\lVert Av_j\rVert^2}\quad(\forall A\in \mathbb{B}(\mathcal{H}))
$$
が成り立つので、直和Hilbert空間 $\mathcal{H}^n=\bigoplus_{j=1}^{n}\mathcal{H}$ の部分空間
$$
\mathcal{K}\colon=\{(Av_j)_{j=1,\ldots,n}:A\in \mathbb{B}(\mathcal{H})\}
$$
を考えると、
$$
\psi\colon \mathcal{K}\ni (Av_j)_{j=1,\ldots,n}\mapsto \varphi(A)\in \mathbb{C}
$$
はwell-definedな有界線形汎関数である。Hahn-Banachの拡張定理（[[位相線形空間3：Hahn-Banachの定理とKrein-Milmanの端点定理]]の'''定理11.4'''）より $\psi$ は $\mathcal{H}^n$ 上のある有界線形汎関数 $\widetilde{\psi}$ に拡張でき、Rieszの定理により $\widetilde{\psi}$ に対応する $(u_j)_{j=1,\ldots,n}\in \mathcal{H}^n$ を取れば、
$$
\varphi(A)=\psi((Av_j)_{j=1,\ldots,n})=((u_j)_{j=1,\ldots,n}\mid (Av_j)_{j=1,\ldots,n})=\sum_{j=1}^{n}(u_j\mid Av_j)\quad(\forall A\in \mathbb{B}(\mathcal{H}))
$$
となる。これより $\varphi$ はWOT連続であるので $(2)\Rightarrow(1)$ が成り立つ。 
凸集合 $\mathcal{C}\subset \mathbb{B}(\mathcal{H})$ についてWOT閉であることとSOT閉であることが同値であることはHahn-Banachの分離定理の系（[[位相線形空間3：Hahn-Banachの定理とKrein-Milmanの端点定理]]の'''系13.4'''）による。
{{end|proof}}

===補題18.8（$\sigma$-SOTに関する $0\in \mathbb{B}(\mathcal{H})$ の基本近傍系）===
'''定義18.1'''における $\mathbb{B}(\mathcal{H})$ の $\sigma$-SOTを誘導するセミノルムの族 $\{p_v\}_{v\in \bigoplus_{n\in\mathbb{N}}\mathcal{H}}$ に対し、$\{(p_v<1)\}_{v\in \bigoplus_{n\in\mathbb{N}}\mathcal{H}}$ は $\sigma$-SOTに関する $0\in\mathbb{B}(\mathcal{H})$ の基本近傍系である。ただし $(p_v<1)=\{A\in \mathbb{B}(\mathcal{H}):p_v(A)<1\}$ である。
{{begin|proof}}
有限個の $v^j=(v^j_n)_{n\in \mathbb{N}}\in \bigoplus_{n\in \mathbb{N}}\mathcal{H}$ $(j=1,\ldots,m)$ に対し、
$$
v\colon=(v^1_1,\ldots,v^m_1,v^1_2,\ldots,v^m_2,v^1_3,\ldots,v^m_3,\ldots)\in \bigoplus_{n\in \mathbb{N}}\mathcal{H}
$$
とおけば、$(p_v<1)\subset \bigcap_{j=1}^{m}(p_{v^j}<1)$ となる。このことと[[位相線形空間2：セミノルム位相と汎弱位相]]の'''命題8.6'''による。
{{end|proof}}

===命題18.9===
$\mathbb{B}(\mathcal{H})$ 上の線形汎関数 $\varphi\colon \mathbb{B}(\mathcal{H})\rightarrow \mathbb{C}$ に対しは互いに同値である。
*$(1)$　$\varphi$ は $\sigma$-WOTに関して連続である。
*$(2)$　$\varphi$ は $\sigma$-SOTに関して連続である。
そして凸集合 $\mathcal{C}\subset \mathbb{B}(\mathcal{H})$ に対し $\mathcal{C}$ が $\sigma$-WOTに関して閉であることと $\sigma$-SOTに関して閉であることは同値である。
{{begin|proof}}
$\sigma$-SOTは $\sigma$-WOTより強いので、$(1)\Rightarrow(2)$ は自明である。$(2)\Rightarrow(1)$ を示す。$(2)$ が成り立つとすると $\{A\in \mathbb{B}(\mathcal{H}):\lvert \varphi(A)\rvert<1\}$ は $\sigma$-SOTに関する $0\in \mathbb{B}(\mathcal{H})$ の近傍であるから、'''補題18.9'''より $v=(v_n)_{n\in \mathbb{N}}\in \bigoplus_{n\in \mathbb{N}}\mathcal{H}$ が取れて、
$$
\{A\in \mathbb{B}(\mathcal{H}):\lVert (Av_n)_{n\in \mathbb{N}}\rVert<1\}\subset \{A\in \mathbb{B}(\mathcal{H}):\lvert\varphi(A)\rvert<1\}
$$
となる。よって、
$$
\lvert\varphi(A)\rvert\leq \lVert (Av_n)_{n\in \mathbb{N}}\rVert\quad(\forall A\in \mathbb{B}(\mathcal{H}))
$$
が成り立つので、$\bigoplus_{n\in \mathbb{N}}\mathcal{H}$ の部分空間
$$
\mathcal{K}\colon=\{(Av_n)_{n\in\mathbb{N}}:A\in \mathbb{B}(\mathcal{H})\}
$$
を考えると、
$$
\psi\colon \mathcal{K}\ni (Av_n)_{n\in\mathbb{N}}\mapsto \varphi(A)\in \mathbb{C}
$$
はwell-definedな有界線形汎関数である。Hahn-Banachの拡張定理（[[位相線形空間3：Hahn-Banachの定理とKrein-Milmanの端点定理]]の'''定理11.4'''）より $\psi$ は $\bigoplus_{n\in\mathbb{N}}\mathcal{H}$ 上のある有界線形汎関数 $\widetilde{\psi}$ に拡張でき、Rieszの定理により $\widetilde{\psi}$ に対応する $(u_n)_{n\in\mathbb{N}}\in \bigoplus_{n\in\mathbb{N}}\mathcal{H}$ を取れば、
$$
\varphi(A)=\psi((Av_n)_{n\in\mathbb{N}})=((u_n)_{n\in\mathbb{N}}\mid (Av_n)_{n\in\mathbb{N}})=\sum_{n\in\mathbb{N}}(u_n\mid Av_n)\quad(\forall A\in \mathbb{B}(\mathcal{H}))
$$
となる。これより $\varphi$ は $\sigma$-WOT連続であるので $(2)\Rightarrow(1)$ が成り立つ。 
凸集合 $\mathcal{C}\subset \mathbb{B}(\mathcal{H})$ について $\sigma$-WOT閉であることと $\sigma$-SOT閉であることが同値であることはHahn-Banachの分離定理の系（[[位相線形空間3：Hahn-Banachの定理とKrein-Milmanの端点定理]]の'''系13.4'''）による。
{{end|proof}}

===定義18.10（可換子環）===
$\mathcal{H}$ をHilbert空間とする。空でない $\mathcal{M}\subset \mathbb{B}(\mathcal{H})$ に対し、
$$
\mathcal{M}'=\{A\in\mathbb{B}(\mathcal{H}):\forall B\in\mathcal{M},AB=BA\}
$$
を $\mathcal{M}$ の可換子環と呼ぶ。

===命題18.11（可換子環の基本性質）===
$\mathcal{M}\subset \mathbb{B}(\mathcal{H})$ の可換子環 $\mathcal{M}'$ について次が成り立つ。
*$(1)$　$\mathcal{M}'$ は $\mathbb{B}(\mathcal{H})$ の単位元を含む部分多元環であり、WOTに関して閉である。（したがってSOT, $\sigma$-SOT, $\sigma$-WOTに関して閉である。）
*$(2)$　$\mathcal{M}$ が対合で閉じているならば $\mathcal{M}'$ も対合で閉じている。
*$(3)$　$\mathcal{M}\subset \mathcal{M}' '$.
*$(4)$　もし $\mathcal{M}$ が $\mathbb{B}(\mathcal{H})$ の部分 $*$-環であり、$\mathcal{M}\mathcal{H}={\rm span}\{Av:A\in \mathcal{M},v\in \mathcal{H}\}$ が $\mathcal{H}$ で稠密ならば、任意の $v\in \mathcal{H}$ に対し $\mathcal{M}' 'v\subset \overline{\mathcal{M}v}$ が成り立つ。
{{begin|proof}}
*$(1)$　$\mathcal{M}'$ が $\mathbb{B}(\mathcal{H})$ の単位元を含み、加法、スカラー倍、乗法で閉じていることは自明である。任意の $A\in \overline{\mathcal{M}'}^{\rm WOT}$ に対し、WOTに関して $A$ に収束する $\mathcal{M}'$ のネット $(A_{\lambda})_{\lambda\in \Lambda}$ が取れる（[[ネットによる位相空間論]]の'''命題2.4'''）。任意の $B\in \mathcal{M}$、任意の $u,v\in \mathcal{H}$ に対し、
$$
(u\mid ABv)=\lim_{\lambda\in\Lambda}(u\mid A_{\lambda}Bv)=\lim_{\lambda\in\Lambda}(u\mid BA_{\lambda}v)=(u\mid BAv)
$$
であるから $A\in \mathcal{M}'$ である。よって $\mathcal{M}'$ はWOT閉である。
*$(2)$　任意の $A\in \mathcal{M}'$ と任意の $B\in\mathcal{M}$ に対し、
$$
A^*B=(B^*A)^*=(AB^*)^*=BA^*
$$
であるから、$A^*\in\mathcal{M}'$ である。
*$(3)$　自明である。
*$(4)$　任意の $v\in\mathcal{H}$ に対し閉部分空間 $\overline{\mathcal{M}v}$ の上への射影作用素を $P_v\in \mathbb{B}(\mathcal{H})$ とおく。すると、
$$
A\overline{\mathcal{M}v}\subset \overline{\mathcal{M}v}={\rm Ran}(P_v)\quad(\forall A\in\mathcal{M})
$$
であるから、
$$
AP_v=P_vAP_v\quad(\forall A\in \mathcal{M})
$$
である。よって、
$$
AP_v=P_vAP_v=(P_vA^*P_v)^*=(A^*P_v)^*=P_vA\quad(\forall A\in\mathcal{M})
$$
であるから $P_v\in \mathcal{M}'$ である。任意の $A\in \mathcal{M}$、$u\in \mathcal{H}$ に対し、
$$
(Au\mid (1-P_v)v)=(u\mid (1-P_v)A^*v)=(u\mid A^*v-A^*v)=0
$$
であり、$\mathcal{M}\mathcal{H}={\rm span}\{Au:A\in \mathcal{M},u\in \mathcal{H}\}$ は $\mathcal{H}$ で稠密であるから $(1-P_v)v=0$、したがって $v=P_vv$ である。よって、
$$
\mathcal{M}' 'v=\mathcal{M}' 'P_vv=P_v\mathcal{M}' 'v\subset {\rm Ran}(P_v)=\overline{{\mathcal{M}}v}
$$
である。
{{end|proof}}

===補題18.12===
$\mathcal{H}$ をHilbert空間とし、任意の $j\in \mathbb{N}$ に対し、
$$
P_j\colon\bigoplus_{n\in \mathbb{N}}\mathcal{H}\ni (v_n)_{n\in \mathbb{N}}\mapsto v_j\in \mathcal{H},
$$
$$
Q_j\colon\mathcal{H}\ni v\mapsto (0,\ldots,0,\overset{\text{$j$ 番}}{ v },0,\ldots)\in\bigoplus_{n\in \mathbb{N}}\mathcal{H}
$$
とおく。そして任意の $T\in \mathbb{B}(\bigoplus_{n\in \mathbb{N}}\mathcal{H})$ に対し、
$$
T_{i,j}=P_iTQ_j\in \mathbb{B}(\mathcal{H})\quad(\forall i,j\in \mathbb{N})
$$
とおく。このとき $S,T\in \mathbb{B}(\bigoplus_{n\in \mathbb{N}}\mathcal{H})$ に対し、
$$
S=T\quad\Leftrightarrow\quad S_{i,j}=T_{i,j}\quad(\forall i,j\in\mathbb{N})
$$
が成り立つ。
{{begin|proof}}
任意の $v=(v_n)_{n\in \mathbb{N}}\in \bigoplus_{n\in \mathbb{N}}\mathcal{H}$, 任意の $i\in \mathbb{N}$ に対し、
$$
P_i(T-S)v=P_i(T-S)\sum_{j\in \mathbb{N}}Q_jv_j=\sum_{j\in \mathbb{N}}P_i(T-S)Q_jv_j=\sum_{j\in \mathbb{N}}(T_{i,j}-S_{i,j})v_j
$$
であることによる。
{{end|proof}}

===定理18.13（二重可換子環定理）===
$\mathcal{H}$ をHilbert空間とし、$\mathcal{M}\subset \mathbb{B}(\mathcal{H})$ を部分 $*$-環で、
$$
\mathcal{M}\mathcal{H}={\rm span}\{Av:A\in \mathcal{M},v\in \mathcal{H}\}
$$
が $\mathcal{H}$ で稠密であるものとする。このとき、
$$
\mathcal{M}' '=\overline{\mathcal{M}}^{\text{$\sigma$-SOT}}=\overline{\mathcal{M}}^{\text{$\sigma$-WOT}}=\overline{\mathcal{M}}^{\text{SOT}}=\overline{\mathcal{M}}^{\text{WOT}}
$$
が成り立つ。
{{begin|proof}}
$\mathcal{M}$ は凸集合であるから'''命題18.7'''と'''命題18.9'''より $\overline{\mathcal{M}}^{\text{$\sigma$-SOT}}=\overline{\mathcal{M}}^{\text{$\sigma$-WOT}}$, $\overline{\mathcal{M}}^{\text{SOT}}=\overline{\mathcal{M}}^{\text{WOT}}$ である。また $\sigma$-WOTはWOTより強く、'''命題18.11'''より $\mathcal{M}' '$ は $\mathcal{M}$ を含み、WOT閉であるから、
$$
\overline{\mathcal{M}}^{\text{$\sigma$-SOT}}=\overline{\mathcal{M}}^{\text{$\sigma$-WOT}}\subset\overline{\mathcal{M}}^{\text{SOT}}=\overline{\mathcal{M}}^{\text{WOT}}\subset \mathcal{M}' '
$$
である。よって、
$$
\mathcal{M}' '\subset \overline{\mathcal{M}}^{\text{$\sigma$-SOT}}\quad\quad(*)
$$
が成り立つことを示せばよい。そのためには'''補題18.8'''における $\sigma$-SOTに関する $0\in\mathbb{B}(\mathcal{H})$ の基本近傍系 $\{(p_v<1)\}_{v\in \bigoplus_{n\in\mathcal{H}}\mathcal{H}}$ を考え、任意の $A\in\mathcal{M}' '$ と任意の $v=(v_n)_{n\in\mathbb{N}}\in \bigoplus_{n\in\mathbb{N}}\mathcal{H}$ に対し、
$$
(A+(p_v<1))\cap \mathcal{M}\neq\emptyset\quad\quad(**)
$$
が成り立つことを示せばよい。今、$\pi\colon \mathbb{B}(\mathcal{H})\rightarrow \mathbb{B}\left(\bigoplus_{n\in\mathbb{N}}\mathcal{H}\right)$ を、
$$
\pi(A)(v_n)_{n\in\mathbb{N}}\colon=(Av_n)_{n\in\mathbb{N}} \quad\left(\forall A\in \mathbb{B}(\mathcal{H}),\forall (v_n)_{n\in\mathbb{N}}\in \bigoplus_{n\in\mathbb{N}}\mathcal{H}\right)
$$
として定義する。すると $\pi$ は $*$-環準同型写像であるから $\pi(\mathcal{M})$ は $\mathbb{B}\left(\bigoplus_{n\in\mathbb{N}}\mathcal{H}\right)$ の部分 $*$-環である。そして $\mathcal{M}\mathcal{H}$ が $\mathcal{H}$ で稠密であることから、
$$
\pi(\mathcal{M})\bigoplus_{n\in\mathbb{N}}\mathcal{H}={\rm span}\left\{(Av_n)_{n\in\mathbb{N}}:A\in \mathcal{M},(v_n)_{n\in\mathbb{N}}\in \bigoplus_{n\in\mathbb{N}}\mathcal{H}\right\}
$$
は $\bigoplus_{n\in\mathbb{N}}\mathcal{H}$ において稠密である。よって'''命題18.11'''の $(4)$ より、
$$
\pi(\mathcal{M})' 'v\subset \overline{\pi(\mathcal{M})v}\quad\left(\forall v\in \bigoplus_{n\in\mathbb{N}}\mathcal{H}\right)\quad\quad(***)
$$
が成り立つ。今、
$$
\pi(\mathcal{M}' ')\subset \pi(\mathcal{M})' '\quad\quad(****)
$$
が成り立つことを示す。$R\in \mathbb{B}\left(\bigoplus_{n\in\mathbb{N}}\mathcal{H}\right)$ に対し、'''補題18.12'''より、
$$
\begin{aligned}
R\in \pi(\mathcal{M})' \quad&\Leftrightarrow\quad R\pi(A)=\pi(A)R\quad(\forall A\in \mathcal{M})\\
&\Leftrightarrow\quad R_{i,j}A=AR_{i,j}\quad(\forall i,j\in \mathbb{N},\forall A\in \mathcal{M})\\
&\Leftrightarrow\quad R_{i,j}\in \mathcal{M}' \quad(\forall i,j\in \mathbb{N})
\end{aligned}
$$
であるから、任意の $A\in \mathcal{M}' '$, 任意の $R\in \pi(\mathcal{M})'$ に対し、
$$
AR_{i,j}=R_{i,j}A\quad(\forall i,j\in \mathbb{N}),
$$
したがって'''補題18.12'''より $\pi(A)R=R\pi(A)$ である。よって $(****)$ が成り立つので、$(***)$ より、
$$
\pi(\mathcal{M}' ')v\subset \pi(\mathcal{M})' 'v\subset \overline{\pi(\mathcal{M})v}\quad\left(\forall v\in \bigoplus_{n\in\mathbb{N}}\mathcal{H}\right)
$$
であるから、任意の $A\in \mathcal{M}' '$ と任意の $v\in \bigoplus_{n\in\mathbb{N}}\mathcal{H}$ に対し、$B\in \mathcal{M}$ で、
$$
1>\lVert \pi(A)v-\pi(B)v\rVert=p_v(A-B)
$$
を満たすものが存在する。$B\in A+(p_v<1)$ であるから $(**)$ が成り立つ。よって $(*)$ が成り立つ。
{{end|proof}}

===定義18.14（von Neumann環）===
$\mathcal{H}$ をHilbert空間とする。$\mathbb{B}(\mathcal{H})$ の部分 $*$-環 $\mathcal{M}$ で、$\mathcal{M}=\mathcal{M}' '$ を満たすものを $\mathcal{H}$ 上のvon Neumann環と言う。二重可換子環定理（'''定理18.13'''）より、$\mathbb{B}(\mathcal{H})$ の部分 $*$-環 $\mathcal{M}$ がvon Neumann環であることは、
$$
\mathcal{M}\mathcal{H}={\rm span}\{Av :A\in \mathcal{M},v\in \mathcal{H}\}
$$
が $\mathcal{H}$ において稠密であり<ref>$\mathcal{M}$ が $\mathbb{B}(\mathcal{H})$ の単位元（恒等作用素）を含むならばこの条件は満たされる。</ref>、$\mathcal{M}$ が $\sigma$-WOT、$\sigma$-SOT、WOT、SOTのうちのいずれかで閉であることと同値である。

===注意18.15===
$\sigma$-WOT、$\sigma$-SOT、WOT、SOTはいずれも作用素ノルム位相よりも弱いので、$\mathcal{H}$ 上のvon Neumann環 $\mathcal{M}$ は作用素ノルム位相で閉である。よって $\mathcal{M}$ は $\mathbb{B}(\mathcal{H})$ の部分 $C^*$-環である。 

対合演算で閉じた任意の空でない部分集合 $\mathcal{S}\subset \mathbb{B}(\mathcal{H})$ に対し、'''命題18.11'''より $\mathcal{S}'\subset \mathbb{B}(\mathcal{H})$ は $\mathcal{H}$ 上のvon Neumann環である。 

$\mathbb{B}(\mathcal{H})$ と $\mathbb{C}1$ はいずれも $\mathcal{H}$ 上のvon Neumann環であり、
$(\mathbb{C}1)'=\mathbb{B}(\mathcal{H})$、$\mathbb{B}(\mathcal{H})'=\mathbb{C}1$ である。

== 19. von Neumann環とBorel汎関数計算 ==

===定義19.1（von Neumann環にアフィリエイトする線形作用素）===
$\mathcal{H}$ をHilbert空間、$\mathcal{M}\subset \mathbb{B}(\mathcal{H})$ をvon Neumann環とする。$\mathcal{H}$ 上の（有界とは限らない）線形作用素 $T\colon D(T)\rightarrow\mathcal{H}$ が $\mathcal{M}$ にアフィリエイトするとは、
$$
ST\subset TS\quad(\forall S\in \mathcal{M}')
$$
が成り立つことを言う。$\mathcal{M}$ にアフィリエイトする線形作用素全体を $\widetilde{\mathcal{M}}$ と表す。 

===注意19.2===
$\widetilde{\mathcal{M}}$ は、次の命題で見るように、von Neumann環 $\mathcal{M}$ を非有界作用素を含む様に自然に拡張したものである。

===命題19.3（von Neumann環 $\mathcal{M}$ にアフィリエイトする線形作用素全体 $\widetilde{\mathcal{M}}$ の基本性質）===
Hilbert空間 $\mathcal{H}$ 上のvon Neumann環 $\mathcal{M}$ と $\mathcal{M}$ にアフィリエイトする線形作用素全体 $\widetilde{\mathcal{M}}$ に対し次が成り立つ。
*$(1)$　$\widetilde{\mathcal{M}}\cap \mathbb{B}(\mathcal{H})=\mathcal{M}$.
*$(2)$　任意の $T,T_1,T_2\in \widetilde{\mathcal{M}}$、任意の $\alpha\in \mathbb{C}$ に対し、$\alpha T,T_1+T_2,T_1T_2\in \widetilde{\mathcal{M}}$.
*$(3)$　$T\in \widetilde{\mathcal{M}}$ が稠密に定義されているならば、$T^*\in \widetilde{\mathcal{M}}$.
*$(4)$　$T\in \widetilde{\mathcal{M}}$ が可閉であるならば、$\overline{T}\in\widetilde{\mathcal{M}}$.
*$(5)$　$T\in\widetilde{\mathcal{M}}$ が単射であるならば、$T^{-1}\in \widetilde{\mathcal{M}}$.
{{begin|proof}}
*$(1)$　$\mathcal{M}=\mathcal{M}' '$ であることと $\widetilde{\mathcal{M}}$ の定義より明らかである。
*$(2)$　任意の $S\in \mathcal{M}'$ に対し、
$$
S(\alpha T)=\alpha ST\subset \alpha TS=(\alpha T)S,
$$
$$
S(T_1+T_2)=ST_1+ST_2\subset T_1S+T_2S=(T_1+T_2)S,
$$
$$
S(T_1T_2)\subset T_1ST_2\subset (T_1T_2)S
$$
であるから成り立つ。
*$(3)$　任意の $S\in \mathcal{M}', u\in D(T),v\in D(T^*)$ を取る。$S^*T\subset TS^*$ より$S^*Tu=TS^*u$ なので、
$$
(u\mid ST^*v)=(S^*u\mid T^*v)=(TS^*u\mid v)=(S^*Tu\mid v)=(Tu\mid Sv),
$$
よって $Sv\in D(T^*)$ であり、$(u\mid ST^*v)=(u\mid T^*Sv)$ である。これより $ST^*v=T^*Sv$ であるから $ST^*\subset T^*S$ である。ゆえに $T^*\in \widetilde{\mathcal{M}}$ である。
*$(4)$　任意の $S\in \mathcal{M}', v\in D(\overline{T})$ を取る。$D(T)$ の点列 $(v_n)_{n\in \mathbb{N}}$ で $\lim_{n\rightarrow\infty}(v_n,Tv_n)=(v,\overline{T}v)$ なるものを取ると、$ST\subset TS$と$\lim_{n\rightarrow\infty}Sv_n=Sv$　より、
$$
S\overline{T}v=\lim_{n\rightarrow\infty}STv_n
=\lim_{n\rightarrow\infty}TSv_n=\overline{T}Sv
$$
である。よって $S\overline{T}\subset \overline{T}S$ であるから $\overline{T}\in \widetilde{\mathcal{M}}$ である。
*$(5)$　任意の $S\in \mathcal{M}'$ を取る。任意の $v\in D(T^{-1})={\rm Ran}(T)$ に対し、$u=T^{-1}v\in D(T)$ とおけば $STu=TSu$ であるから、
$$
ST^{-1}v=Su=T^{-1}TSu=T^{-1}STu=T^{-1}Sv
$$
である。よって $ST^{-1}\subset T^{-1}S$ であるから $T^{-1}\in \widetilde{\mathcal{M}}$ である。
{{end|proof}}

===定理19.4（von Neumann環とBorel汎関数計算、極分解）===
Hilbert空間 $\mathcal{H}$ 上のvon Neumann環 $\mathcal{M}\subset \mathbb{B}(\mathcal{H})$ にアフィリエイトする線形作用素全体 $\widetilde{\mathcal{M}}$ について次が成り立つ。
*$(1)$　$T\in {\cal M}$ が正規作用素ならば任意のBorel関数 $f\colon \sigma(T)\rightarrow\mathbb{C}$ に対し $f(T)\in \widetilde{\mathcal{M}}$.
*$(2)$　$T\in \widetilde{\mathcal{M}}$ が自己共役作用素ならば任意のBorel関数 $f\colon \sigma(T)\rightarrow\mathbb{C}$ に対し $f(T)\in \widetilde{\mathcal{M}}$.
*$(3)$　$T\in \widetilde{\mathcal{M}}$ が稠密に定義された閉線形作用素ならば $T$ の極分解（'''定理9.4'''） $T=V\lvert T\rvert$ に対し $V\in \mathcal{M}, \lvert T\rvert\in \widetilde{\mathcal{M}}$.
{{begin|proof}}
*$(1)$　$T$ のスペクトル測度を $E^T\colon \mathcal{B}_{\sigma(T)}\rightarrow \mathbb{P}(\mathcal{H})$ とする。任意の連続関数 $f\in C(\sigma(T))$ に対し、
$$
f(T)=\int_{\sigma(T)}f(\lambda)dE^T(\lambda)\in C^*(\{1,T\})\subset \mathcal{M}
$$
であるから、任意の $S\in \mathcal{M}', u,v\in \mathcal{H}$ に対し、
$$
\int_{\sigma(T)}f(\lambda)dE^T_{S^*u,v}(\lambda)=\left(S^*u\mid f(T)v\right)
=(u\mid f(T)Sv)=\int_{\sigma(T)}f(\lambda)dE^T_{u,Sv}(\lambda)
$$
である。よってRiesz-Markov-角谷の表現定理（[[測度と積分7：局所コンパクトHausdorff空間上のRadon測度]]の'''定理34.1'''）より、
$$
(u\mid SE^T(B)v)=(S^*u\mid E^T(B)v)=E^T_{S^*u,v}(B)=E^T_{u,Sv}(B)=(u\mid E^T(B)Sv)\quad(\forall B\in \mathcal{B}_{\sigma(T)})
$$
である。これより任意の $B\in \mathcal{B}_{\sigma(T)}$ に対し $E^T(B)\in \mathcal{M}' '=\mathcal{M}$ であるから、任意のBorel単関数 $f\colon \sigma(T)\rightarrow\mathbb{C}$ に対し、
$$
f(T)=\int_{\sigma(T)}f(\lambda)dE^T(\lambda)\in \mathcal{M}\quad\quad(*)
$$
が成り立つ。有界Borel関数はBorel単関数の列によって一様近似できる（[[測度と積分5：$L^p$ 空間の完備性と双対性]]の'''命題22.2'''）ので、$(*)$ は任意の有界Borel関数 $f\colon \sigma(T)\rightarrow\mathbb{C}$ に対しても成り立つ。そこで今、任意のBorel関数 $f\colon \sigma(T)\rightarrow\mathbb{C}$ に対し $f_n\colon=f\chi_{(\lvert f\rvert\leq n)}$ として有界Borel関数の列 $(f_n)_{n\in \mathbb{N}}$ を定義すると、$f_n(T)\in \mathcal{M}$ $(\forall n\in\mathbb{N})$ であり、任意の $v\in D(f(T))$ に対しLebesgue優収束定理より、
$$
\lVert f(T)v-f_n(T)v\rVert^2=\int_{\sigma(T)}\lvert f(\lambda)-f_n(\lambda)\rvert^2dE^T_{v,v}(\lambda)\rightarrow0\quad(n\rightarrow\infty)
$$
であるから、任意の $S\in \mathcal{M}'$ に対し、
$$
Sf(T)v=\lim_{n\rightarrow\infty}Sf_n(T)v=\lim_{n\rightarrow\infty}f_n(T)Sv=\lim_{n\rightarrow\infty}f(T)E^T((\lvert f\rvert\leq n))Sv=f(T)Sv
$$
である。ただし最後の等号において $f(T)$ が閉線形作用素であることと、$\lim_{n\rightarrow\infty}E^T((\lvert f\rvert\leq n))v=v$ であることを用いた。よって任意の $S\in \mathcal{M}'$ に対し $Sf(T)\subset f(T)S$ であるから $f(T)\in \widetilde{\mathcal{M}}$ である。
*$(2)$　$T$ のCayley変換 $C(T)=(T-i)(T+i)^{-1}$ はユニタリ作用素であり（'''定理4.6'''）、'''命題19.3'''より $C(T)\in\mathcal{M}$ である。'''定理8.3'''の証明より任意のBorel関数 $f\colon \sigma(T)\rightarrow\mathbb{C}$ に対し、
$$
f(T)=\int_{\sigma(C(T))\backslash \{1\}}f(C^{-1}(\lambda))dF^{C(T)}(\lambda)
$$
であるから、$(1)$ より $f(T)\in \widetilde{\mathcal{M}}$ である。
*$(3)$　'''命題19.3'''より $T^*T\in \widetilde{\mathcal{M}}$ であるから、$(2)$ より $\lvert T\rvert=\sqrt{T^*T}\in \widetilde{\mathcal{M}}$ である。よって任意の $S\in \mathcal{M}'$ に対し、
$$
S\lvert T\rvert v=\lvert T\rvert Sv\quad(\forall v\in D(\lvert T\rvert))
$$
であるから、
$$
S(\overline{{\rm Ran}(\lvert T\rvert)})\subset \overline{{\rm Ran}(\lvert T\rvert)}
$$
である。そして $V^*V$ は $\overline{{\rm Ran}(\lvert T\rvert)}$ の上への射影作用素であるから、
$$
SV^*V=V^*VSV^*V\quad(\forall S\in \mathcal{M}')
$$
である。これより、
$$
SV^*V=V^*VSV^*V=(V^*VS^*V^*V)^*=(S^*V^*V)^*=V^*VS\quad(\forall S\in \mathcal{M}')
$$
であるので $V^*V\in \mathcal{M}' '=\mathcal{M}$ である。また任意の $S\in \mathcal{M}'$ に対し、
$$
SV\lvert T\rvert v=STv=TSv=V\lvert T\rvert Sv=VS\lvert T\rvert v\quad(\forall v\in D(\lvert T\rvert))
$$
であるから、${\rm Ran}(V^*V)=\overline{{\rm Ran}(\lvert T\rvert)}$ 上で $SV=VS$ が成り立つので、
$$
SV=SVV^*V=VSV^*V=VV^*VS=VS
$$
である。よって $V\in \mathcal{M}' '=\mathcal{M}$ である。
{{end|proof}}

===定義19.5（von Neumann環 $\mathcal{M}$ の射影全体 $\mathbb{P}(\mathcal{M})$）===
von Neumann環 $\mathcal{M}$ の射影全体を $\mathbb{P}(\mathcal{M})$ と表す。

===定義19.6（非負値係数の線形結合全体）===
線形空間 $V$ の空でない部分集合 $D$ に対し、
$$
{\rm span}_+(D)\colon=\left\{\sum_{j=1}^{n}\alpha_jv_j:n\in\mathbb{N},\alpha_1,\ldots,\alpha_n\in [0,\infty),v_1,\ldots,v_n\in D\right\}
$$
と定義する。

===定理19.7（von Neumann環は射影によって生成される）===
$\mathcal{M}\subset \mathbb{B}(\mathcal{H})$ をvon Neumann環とする。このとき次が成り立つ。
*$(1)$　$\mathcal{M}_+=\overline{{\rm span}_+(\mathbb{P}(\mathcal{M}))}^{\lVert \cdot\rVert}$.
*$(2)$　任意の $P\in \mathbb{P}(\mathcal{M})$ に対し $P\mathcal{M}_+P=\overline{{\rm span}_+\{Q\in \mathbb{P}(\mathcal{M}):Q\leq P\}}^{\lVert \cdot\rVert}$.
{{begin|proof}}
*$(1)$　任意の $T\in \mathbb{B}(\mathcal{H})_+$ を取る。${\rm id}\colon \sigma(T)\ni \lambda\mapsto \lambda\in [0,\infty)$ は非負値有界Borel関数なので、$\sigma(T)$ 上の非負値Borel単関数の列 $(s_n)_{n\in \mathbb{N}}$ で ${\rm id}$ に一様収束するものが取れる（[[測度と積分5：$L^p$ 空間の完備性と双対性]]の'''命題22.2'''）。'''定理19.4'''より、
$$
s_n(T)\in {\rm span}_+\mathbb{P}(\mathcal{M})\quad(\forall n\in \mathbb{N})
$$
であり、
$$
\lVert T-s_n(T)\rVert\leq \sup_{\lambda\in \sigma(T)}\lvert \lambda-s_n(\lambda)\rvert\rightarrow0\quad(n\rightarrow\infty)
$$
であるから、$T=\lim_{n\rightarrow\infty}s_n(T)\in \overline{{\rm span}_+\mathbb{P}(\mathcal{M})}^{\lVert \cdot\rVert}$ である。
*$(2)$　$P=0$ ならば自明なので $P>0$ とする。
$$
\Phi\colon P\mathbb{B}(\mathcal{H})P\ni PTP\mapsto PTP|_{{\rm Ran}(P)}\in \mathbb{B}({\rm Ran}(P))
$$
は等長 $*$-環同型写像である。そしてネットによる連続性の特徴付け（[[ネットによる位相空間論]]の'''定理3'''）により $\Phi$ はWOTに関して同相写像であることが分かる。$P\in \mathbb{P}(\mathcal{M})$ であることとネットによる閉包の特徴付け（[[ネットによる位相空間論]]の'''命題2.4'''）より、$P\mathcal{M}P$ は $P\mathbb{B}(\mathcal{H})P$ のWOT閉部分 $*$-環なので、 $\Phi(P\mathcal{M}P)$ は $\mathbb{B}({\rm Ran}(P))$ のWOT閉部分 $*$-環である。また $\Phi(P)\in \Phi(P\mathcal{M}P)$ は ${\rm Ran}(P)$ 上の恒等作用素なので、$\Phi(P\mathcal{M}P)$ は ${\rm Ran}(P)$ 上のvon Neumann環である。そして $\Phi$ が $*$-環同型写像であることから、
$$
\Phi(P\mathcal{M}_+P)=\Phi((P\mathcal{M}P)_+)=\Phi(P\mathcal{M}P)_+
$$
であり、
$$
\mathbb{P}(\Phi(P\mathcal{M}P))=\{\Phi(Q):Q\in \mathbb{P}(\mathcal{M}),Q\leq P\}
$$
であるので、$(1)$ より、
$$
\Phi(P\mathcal{M}_+P)=\overline{{\rm span}_+\{\Phi(Q):Q\leq \mathbb{P}(\mathcal{M}),Q\leq P\}}^{\Vert \cdot\rVert}
$$
である。よって $\Phi$ の等長性より、
$$
P\mathcal{M}_+P=\overline{{\rm span}_+\{Q\in \mathbb{P}(\mathbb{M}):Q\leq P\}}^{\lVert \cdot\rVert}
$$
が成り立つ。
{{end|proof}}

== 20. Hilbert空間上の有界とは限らない反線形作用素の基本的性質 ==

=== 定義20.1（Hilbert空間上の有界とは限らない反線形作用素） ===
$\mathcal{H},\mathcal{K}$ をHilbert空間とする。$T$ が $\mathcal{H}$ から $\mathcal{K}$ への反線形作用素<ref>反線形写像については[[位相線形空間1：ノルムと内積]]の'''定義6.3'''を参照。</ref>であると言うとき、$T$ は $\mathcal{H}$ 全体で定義されているとは限らず、$\mathcal{H}$ のある線形部分空間 $D(T)$ 上で定義され、$\mathcal{K}$ に値を取る反線形作用素であることを意味することとする。$D(T)\subset \mathcal{H}$ を $T$ の定義域、${\rm Ran}(T)=T(D(T))\subset \mathcal{K}$ を $T$ の値域と言う。そして直和Hilbert空間の部分集合
$$
G(T)\colon=\{(v,Tv)\in \mathcal{H}\oplus \mathcal{K}:v\in D(T)\}
$$
を $T$ のグラフと言う。 
Hilbert空間 $\mathcal{H}$ からHilbert空間 $\mathcal{H}$ への反線形作用素のことを単にHilbert空間 $\mathcal{H}$ 上の反線形作用素と言う。

=== 定義20.2（稠密に定義された反線形作用素、閉反線形作用素） ===
$T$ をHilbert空間 $\mathcal{H}$ からHilbert空間 $\mathcal{K}$ への反線形作用素とする。$T$ が稠密に定義されているとは、$D(T)$ が $\mathcal{H}$ で稠密であることを言う。また $T$ が閉であるとは $T$ のグラフ $G(T)$ が $\mathcal{H}\oplus \mathcal{K}$ において閉であることを言う。

=== 定義20.3（反線形作用素の包含関係） ===
$S,T$ をそれぞれHilbert空間 $\mathcal{H}$ から $\mathcal{K}$ への反線形作用素とする。
$$
S\subset T\quad \iff\quad G(S)\subset G(T)
$$
と定義する。これを $T$ は $S$ を包含する（$S$ は $T$ に包含される）と言う。明らかにこの包含関係は $\mathcal{H}$ から $\mathcal{K}$ への反線形作用素全体における順序である。

=== 定義20.4（単射反線形作用素の逆作用素） ===
$T$ をHilbert空間 $\mathcal{H}$ からHilbert空間 $\mathcal{K}$ への単射反線形作用素とする。このとき $D(T)\ni v\mapsto Tv\in {\rm Ran}(T)$ の逆写像として定義される $\mathcal{K}$ から $\mathcal{H}$ への反線形作用素を、
$$
T^{-1}\colon D(T^{-1})\colon={\rm Ran}(T)\ni Tv\mapsto v\in \mathcal{H}
$$
と表す。

=== 定義20.5（反線形作用素の和、スカラー倍、積） ===
$S,T$ をHilbert空間 $\mathcal{H}$ から $\mathcal{K}$ への反線形作用素とする。このとき $\mathcal{H}$ から $\mathcal{K}$ への反線形作用素 $S+T$ を、
$$
S+T\colon D(S+T)\colon=D(S)\cap D(T)\ni v\mapsto Sv+Tv\in \mathcal{K}
$$
と定義する。また $\alpha\in \mathbb{C}$ に対し $\mathcal{H}$ から $\mathcal{K}$ への反線形作用素 $\alpha T$ を、
$$
\begin{aligned}
&\alpha T\colon D(\alpha T)\colon=D(T)\ni v\mapsto \alpha Tv\in \mathcal{K}\quad(\alpha\neq0\text{ の場合 }),\\
&\alpha T\colon D(\alpha T)\colon=\mathcal{H}\ni v\mapsto 0\in \mathcal{K}\quad(\alpha=0\text{ の場合 })
\end{aligned}
$$
と定義する。 
$\mathcal{H},\mathcal{K},\mathcal{L}$ をそれぞれHilbert空間とし、$T$ を $\mathcal{H}$ から $\mathcal{K}$ への（反）線形作用素、$S$ を $\mathcal{K}$ から $\mathcal{L}$ への（反）線形作用素とする。このとき $\mathcal{H}$ から $\mathcal{L}$ への（反）線形作用素 $ST$ を、
$$
ST\colon D(ST)\colon=\{v\in D(T):Tv\in D(S)\}\ni v\mapsto STv\in \mathcal{L}
$$
と定義する（$S,T$ が共に反線形作用素ならば $ST$ は線形作用素であり、$S,T$ のうち一方が反線形作用素でもう一方が線形作用素ならば $ST$ は反線形作用素である）。

=== 定義20.6（稠密に定義された反線形作用素の共役作用素） ===
$T$ をHilbert空間 $\mathcal{H}$ からHilbert空間 $\mathcal{K}$ への稠密に定義された反線形作用素とする。$\mathcal{K}$ の線形部分空間
$$
D\colon=\{v\in \mathcal{K}: D(T)\ni u\mapsto (v\mid Tu)\in \mathbb{C}\text{ は有界反線形汎関数 }\}
$$
を考える。任意の $v\in D$ に対し、有界反線形汎関数 $D(T)\ni u\mapsto (v\mid Tu)\in \mathbb{C}$ は $\mathcal{H}=\overline{D(T)}$ 上の有界線形汎関数に一意拡張できる<ref>[[位相線形空間1：ノルムと内積]]の'''命題3.6'''と全く同様にして示すことができる。</ref>から、Rieszの定理（[[位相線形空間1：ノルムと内積]]の'''定理6.13'''）より、$T^*v\in \mathcal{H}$ で、
$$
(v\mid Tu)=(u\mid T^*v)\quad(\forall u\in D(T))
$$
を満たすものが定まる。こうして定義される $\mathcal{K}$ から $\mathcal{H}$ への反線形作用素
$$
T^*\colon D(T^*)\colon=D\ni v\mapsto T^*v\in \mathcal{H}
$$
を $T$ の共役作用素と言う。

=== 定義20.7（可閉反線形作用素とその閉包） ===
$T$ をHilbert空間 $\mathcal{H}$ からHilbert空間 $\mathcal{K}$ への反線形作用素とする。$T$ を包含する閉反線形作用素が存在するとき、$T$ は可閉であると言う。
$T$ を $\mathcal{H}$ から $\mathcal{K}$ への可閉反線形作用素とする。
$$
\pi\colon\mathcal{H}\oplus \mathcal{K}\ni (v,w)\mapsto v\in \mathcal{H}
$$
に対し、線形部分空間
$$
D\colon=\pi(\overline{G(T)})\subset \mathcal{H}
$$
を定義する。このとき任意の $v\in D$ に対し $(v,w)\in \overline{G(T)}$ を満たす $w\in \mathcal{K}$ は唯一つである。実際、$T$ が可閉であることから $T\subset S$ を満たす閉反線形作用素が存在し、$\overline{G(T)}\subset G(S)$ であるから、 $(v,w_1),(v,w_2)\in \overline{G(T)}$ ならば $w_1=Sv=w_2$ である。そこで任意の $v\in D$ に対し $(v,w)\in \overline{G(T)}$ として定まる $w$ に対し $w\colon=\overline{T}v$ とおき、反線形作用素
$$
\overline{T}\colon D(\overline{T})\colon=D\ni v\mapsto \overline{T}\in \mathcal{K}
$$
を定義する。このとき明らかに $G(\overline{T})=\overline{G(T)}$ である。閉反線形作用素 $\overline{T}$ を可閉反線形作用素 $T$ の閉包と言う。$\overline{T}$ は $T$ を包含する反閉線形作用素の中で最小のものとして特徴付けられる。

=== 定義20.8（閉反線形作用素の芯） ===
$T$ をHilbert空間 $\mathcal{H}$ から Hilbert空間 $\mathcal{K}$ への閉反線形作用素とする。線形部分空間 $D\subset D(T)$ で、
$$
\overline{T|_D}=T
$$
を満たすものを $T$ の芯と言う。ただし $T|_D$ は $T$ の $D$ 上への制限である。

=== 命題20.9（Hilbert空間上の有界とは限らない反線形作用素の基本的性質） ===
$\mathcal{H},\mathcal{K},\mathcal{L}$ をそれぞれHilbert空間とする。
*$(1)$　$T_1,T_2$ を $\mathcal{H}$ から $\mathcal{K}$ への（反）線形作用素、$S$ を $\mathcal{K}$ から $\mathcal{L}$ への（反）線形作用素とする。このとき、
$$
S(T_1+T_2)\supset ST_1+ST_2
$$
が成り立つ。また、$T$ を $\mathcal{H}$ から $\mathcal{K}$ への（反）線形作用素、$S_1,S_2$ を $\mathcal{K}$ から $\mathcal{L}$ への（反）線形作用素とすると、
$$
(S_1+S_2)T=S_1T+S_2T
$$
が成り立つ。
*$(2)$　$T$ を $\mathcal{H}$ から $\mathcal{K}$ への(反)線形作用素、$S$ を $\mathcal{K}$ から $\mathcal{L}$ への反線形作用素とし、$\alpha\in \mathbb{C}\backslash \{0\}$ とすると、
$$
S(\alpha T)=(\overline{\alpha} S)T=\overline{\alpha}(ST)
$$
が成り立つ。
*$(3)$　$T$ を $\mathcal{H}$ から $\mathcal{K}$ への単射（反）線形作用素とし、$S$ を $\mathcal{K}$ から $\mathcal{L}$ への単射（反）線形作用素とすると、$ST$ は $\mathcal{H}$ から $\mathcal{L}$ への単射（反）線形作用素であり、
$$
(ST)^{-1}=T^{-1}S^{-1}
$$
が成り立つ。
*$(4)$　$T$ を $\mathcal{H}$ から $\mathcal{K}$ への稠密に定義された反線形作用素とし、$\alpha\in \mathbb{C}\backslash \{0\}$ とすると、
$$
(\alpha T)^*=\alpha T^*
$$
が成り立つ。
*$(5)$　$T$ を $\mathcal{H}$ から $\mathcal{K}$ への稠密に定義された反線形作用素とすると、
$$
({\rm Ran}(T))^{\perp}={\rm Ker}(T^*)
$$
が成り立つ。
*$(6)$　$T$ を $\mathcal{H}$ から $\mathcal{K}$ への稠密に定義された反線形作用素とすると、$T^*$ は $\mathcal{K}$ から $\mathcal{H}$ への閉反線形作用素である。
*$(7)$　$S,T$ を $\mathcal{H}$ から $\mathcal{K}$ への稠密に定義された反線形作用素とし、$S\subset T$ であるとすると、$T^*\subset S^*$ が成り立つ。
*$(8)$　$T$ を $\mathcal{H}$ から $\mathcal{K}$ への稠密に定義された可閉反線形作用素とすると、$(\overline{T})^*=T^*$ が成り立つ。
*$(9)$　$T$ を $\mathcal{H}$ から $\mathcal{K}$ への稠密に定義された（反）線形作用素、$S$ を $\mathcal{K}$ から $\mathcal{L}$ への稠密に定義された（反）線形作用素とし、$ST$ が $\mathcal{H}$ から $\mathcal{L}$ への稠密に定義された（反）線形作用素であるとすると、
$$
(ST)^*\supset T^*S^*
$$
が成り立つ。またもし $S\colon \mathcal{K}\rightarrow \mathcal{L}$ が有界ならば、
$$
(ST)^*=T^*S^*
$$
が成り立つ。
*$(10)$　$S,T$ を $\mathcal{H}$ から $\mathcal{K}$ への稠密に定義された反線形作用素とし、$S+T$ も $\mathcal{H}$ から $\mathcal{K}$ への稠密に定義された反線形作用素であるとすると、
$$
(S+T)^*\supset S^*+T^*
$$
が成り立つ。またもし $S\colon \mathcal{K}\rightarrow \mathcal{L}$ が有界反線形作用素であれば、
$$
(S+T)^*=S^*+T^*
$$
が成り立つ。
{{begin|proof}}
'''命題3.9'''の証明と全く同様である。
{{end|proof}}

=== 定義20.10（実化Hilbert空間）===
$\mathcal{H}$ を $\mathbb{C}$ 上のHilbert空間とする。$\mathcal{H}$ を $\mathbb{R}$ 上の線形空間とみなしたものを $\mathcal{H}_{\mathbb{R}}$ と表すと、
$$
\mathcal{H}_{\mathbb{R}}\times \mathcal{H}_{\mathbb{R}}\ni (u,v)\mapsto {\rm Re}(u\mid v)\in \mathbb{R}
$$
は $\mathcal{H}_{\mathbb{R}}$ 上の内積であり、この内積により $\mathcal{H}_{\mathbb{R}}$ は $\mathbb{R}$ 上のHilbert空間となる。この $\mathbb{R}$ 上のHilbert空間 $\mathcal{H}_{\mathbb{R}}$ を $\mathcal{H}$ の実化Hilbert空間と言う。任意の $E\subset \mathcal{H}=\mathcal{H}_{\mathbb{R}}$ に対し、$E$ の実化Hilbert空間 $\mathcal{H}_{\mathbb{R}}$ における直交補空間を、
$$
E_{\mathbb{R}}^{\perp}\colon=\{v\in \mathcal{H}:\forall u\in E, {\rm Re}(u\mid v)=0\}
$$
と表す。

=== 定理20.11（稠密に定義された閉反線形作用素の性質） ===
$T$ をHilbert空間 $\mathcal{H}$ からHilbert空間 $\mathcal{K}$ への稠密に定義された閉反線形作用素とする。このとき、
*$(1)$　$D(T^*T)$ は $T$ の芯であり、$1+T^*T\colon D(T^*T)\rightarrow\mathcal{H}$ は全単射である。
*$(2)$　$T^*$ は $\mathcal{K}$ から $\mathcal{H}$ への稠密に定義された閉反線形作用素である。
*$(3)$　$T^{**}=T$ が成り立つ。
*$(4)$　$T^*T$ は自己共役作用素である。
{{begin|proof}}
*$(1)$　$G(T)$ は実化Hilbert空間 $(\mathcal{H}\oplus \mathcal{K})_{\mathbb{R}}$ の閉部分空間であるので $(\mathcal{H}\oplus \mathcal{K})_{\mathbb{R}}$ の内積により $\mathbb{R}$ 上のHilbert空間である。$\mathbb{R}$上のHilbert空間 $G(T)$ から $\mathbb{R}$ 上のHilbert空間 $\mathcal{H}_{\mathbb{R}}$ への有界線形作用素
$$
\pi\colon G(T)\ni (v,Tv)\mapsto v\in \mathcal{H}_{\mathbb{R}}
$$
を考える。$\pi$ は単射であるから [[位相線形空間1：ノルムと内積]]の'''命題7.4'''より、
$$
(\pi^*(\mathcal{H}_{\mathbb{R}}))^{\perp}={\rm Ker}(\pi)=\{0\}
$$
である。よって、
$$
\overline{\pi^*(\mathcal{H}_{\mathbb{R}})}=( (\pi^*(\mathcal{H}_{\mathbb{R}}))^{\perp})^{\perp}=\{0\}^{\perp}=G(T)
$$
である（[[位相線形空間1：ノルムと内積]]の'''命題6.12'''）。そこで、
$$
D\colon=\pi(\pi^*(\mathcal{H}_{\mathbb{R}}))\subset D(T)
$$
とおけば $G(T|_D)=\pi^*(\mathcal{H}_{\mathbb{R}})$ であるから、
$$
\overline{G(T|_D)}=\overline{\pi^*(\mathcal{H})}=G(T)
$$
である。今、任意の $v=\pi(\pi^*(w))\in \pi(\pi^*(\mathcal{H}_{\mathbb{R}}))=D$ を取る。このとき $\pi^*(w)=(v,Tv)$ であるから、任意の $u\in D(T)$ に対し、
$$
{\rm Re}(u\mid v)+{\rm Re}(Tu\mid Tv)={\rm Re}( (u,Tu)\mid (v,Tv))={\rm Re}((u,Tu)\mid \pi^*(w))={\rm Re}(u\mid w)\quad\quad(*)
$$
である。そして $T$ の反線形性より任意の $u\in D(T)$ に対し $(*)$ において $u$ を $iu$ に置き換えたものを考えれば、
$$
{\rm Im}(u\mid v)+{\rm Im}(Tv\mid Tu)={\rm Im}(u\mid w)\quad\quad(**)
$$
を得る。よって $(*),(**)$ を合わせると、
$$
(u\mid v)+(Tv\mid Tu)=(u\mid w)\quad(\forall u\in D(T))
$$
となるから、$v\in D(T^*T)$, $w=(1+T^*T)v$ である。これより $D\subset D(T^*T)$ であるから $G(T)=\overline{G(T|_{D})}=\overline{G(T|_{D(T^*T)})}$ より $D(T^*T)$ は $T$ の芯であり、また $w\in {\cal H}$ の任意性より $\mathcal{H}={\rm Ran}(1+T^*T)$ である。後は $1+T^*T$ が単射であることを示せばよい。そこで任意の $v\in {\rm Ker}(1+T^*T)$ を取る。
$$
0=(v\mid (1+T^*T)v)=(v\mid v)+(v\mid T^*Tv)=\lVert v\rVert^2+\lVert Tv\rVert^2
$$
であるから $v=0$ である。ゆえに $1+T^*T$ は単射である。
*$(2)$　$(1)$ より $D(T^*T)$ は $T$ の芯であるから任意の $v\in D(T)$ に対し $D(T^*T)$ の列 $(v_n)_{n\in \mathbb{N}}$ で、
$$
(v_n,Tv_n)\rightarrow (v,Tv)\quad(n\rightarrow\infty)
$$
なるものが取れる。よって、
$$
Tv=\lim_{n\rightarrow\infty}Tv_n\in \overline{D(T^*)}
$$
であるから、
$$
{\rm Ran}(T)\subset \overline{D(T^*)}
$$
が成り立つ。これと'''命題20.9'''の $(5)$ より、
$$
(D(T^*))^{\perp}=(\overline{D(T^*)})^{\perp}\subset ({\rm Ran}(T))^{\perp}={\rm Ker}(T^*)\subset D(T^*)
$$
であるから $(D(T^*))^{\perp}=\{0\}$ である。よって
$$
\overline{D(T^*)}=( (D(T^*))^{\perp})^{\perp}=\{0\}^{\perp}=\mathcal{K}
$$
であるから $T^*$ は稠密に定義された反線形作用素である。$T^*$ が閉であることは'''命題10.9'''の $(6)$ による。
*$(3)$　
$$
(u\mid T^*v)=(v\mid Tu)\quad(\forall v\in D(T^*),\forall u\in D(T))
$$
であるから $T\subset T^{**}$ である。同様に $T^*\subset T^{***}$ である。ここで $T\subset T^{**}$ と'''命題20.9'''の $(7)$ より $T^{***}\subset T^*$ であるので $T^*=T^{***}$ である。$T=T^{**}$ を示すには $\mathbb{R}$ 上のHilbert空間 $G(T^{**})\subset (\mathcal{H}\oplus \mathcal{K})_{\mathbb{R}}$ における閉部分空間 $G(T)$ の直交補空間 $G(T^{**})\cap (G(T))_{\mathbb{R}}^{\perp}$ が $\{0\}$ であることを示せばよい。そこで任意の $(v,T^{**}v)\in G(T^{**})\cap (G(T))_{\mathbb{R}}^{\perp}$ を取る。
$$
0={\rm Re}( (u,Tu)\mid (v,T^{**}v))={\rm Re}(u\mid v)+{\rm Re}(Tu\mid T^{**}v)\quad(\forall u\in D(T))
$$
であり、$T$ の反線形性より、
$$
0={\rm Im}(u\mid v)+{\rm Im}(T^{**}v\mid Tu)\quad(\forall u\in D(T))
$$
であるから、
$$
0=(u\mid v)+(T^{**}v\mid Tu)\quad(\forall u\in D(T))
$$
である。よって、
$$
v\in D(T^*T^{**})=D(T^{***}T^{**})
$$
であり、
$$
0=(1+T^*T^{**})v=(1+T^{***}T^{**})v
$$
である。$T^{**}$ は稠密に定義された閉線形作用素であるので $(1)$ より $1+T^{***}T^{**}$ は単射である。よって $v=0$、したがって $(v,T^{**}v)=0$ であるので $G(T^{**})\cap (G(T))_{\mathbb{R}}^{\perp}=\{0\}$ である。ゆえに $T=T^{**}$ である。
*$(4)$　$(1)$ より $T^*T$ は稠密に定義された線形作用素であり、
$$
(u\mid T^*Tv)=(Tv\mid Tu)=(T^*Tu\mid v)\quad(\forall u,v\in D(T^*T))
$$
であるから $T^*T\subset (T^*T)^*$ である。$T^*T=(T^*T)^*$ を示すには $D( (T^*T)^*)\subset D(T^*T)$ を示せばよい。任意の $w\in D( (T^*T)^*)=D( (1+T^*T)^*)$ を取る。$(1)$ より ${\rm Ran}(1+T^*T)=\mathcal{H}$ であるから、
$$
(1+T^*T)^*w=(1+T^*T)v
$$
なる $v\in D(T^*T)$ が取れる。 $1+T^*T\subset (1+T^*T)^*$ なので、
$$
(1+T^*T)^*(w-v)=0
$$
である。よって'''命題20.9'''の $(5)$ より、
$$
w-v\in {\rm Ker}( (1+T^*T)^*)=({\rm Ran}(1+T^*T))^{\perp}=\mathcal{H}^{\perp}=\{0\}
$$
である。ゆえに $w=v\in D(T^*T)$ であるので $D( (T^*T)^*)\subset D(T^*T)$ である。よって $T^*T=(T^*T)^*$ である。
{{end|proof|}}

===定義20.12（稠密に定義された閉反線形作用素の絶対値作用素）===
$T$ をHilbert空間 $\mathcal{H}$ 上の閉反線形作用素とする。このとき'''定理20.11'''より $T^*T$ は $\mathcal{H}$ 上の自己共役作用素であり、
$$
(v\mid T^*Tv)=(Tv\mid Tv)=\lVert Tv\rVert^2\geq0\quad(\forall v\in D(T^*T))
$$
であるから、'''命題8.10'''より $T^*T$ は非負自己共役作用素である。そこで $\mathcal{H}$ 上の非負自己共役作用素
$$
\lvert T\rvert\colon=\sqrt{T^*T}
$$
を定義する。これを $T$ の絶対値作用素と言う。

===定義20.13（反線形部分等長作用素、反線形ユニタリ作用素、共役子）===
$\mathcal{H}$ をHilbert空間とする。有界反線形作用素 $V\colon\mathcal{H}\rightarrow \mathcal{H}$ で $V^*V$ が射影作用素であるものを $\mathcal{H}$ 上の反線形部分等長作用素と言う。 
有界反線形作用素 $U\colon \mathcal{H}\rightarrow\mathcal{H}$ で $U^*U=UU^*=1$ を満たすものを $\mathcal{H}$ 上の反線形ユニタリ作用素と言う。 
有界反線形作用素 $J\colon\mathcal{H}\rightarrow\mathcal{H}$ で $J^*=J$, $J^2=1$ を満たすものを $\mathcal{H}$ 上の共役子と言う。

===命題20.14（反線形部分等長作用素の基本性質）===
$\mathcal{H}$ をHilbert空間、$V\colon\mathcal{H}\rightarrow\mathcal{H}$ を反線形部分等長作用素とする。このとき $V=VV^*V$ が成り立ち、$V^*\colon\mathcal{H}\rightarrow\mathcal{H}$ も反線形部分等長作用素である
{{begin|proof}}
まず任意の有界反線形作用素 $T\colon\mathcal{H}\rightarrow\mathcal{H}$ に対し、
$$
\lVert T\rVert^2=\sup\{\lVert Tv\rVert^2:v\in \mathcal{H},\lVert v\rVert\leq1\}
=\sup\{(v\mid T^*Tv):v\in \mathcal{H},\lVert v\rVert\leq1\}\leq \lVert T^*T\rVert\leq\lVert T^*\rVert\lVert T\rVert
$$
であるから、$\lVert T\rVert\leq \lVert T^*\rVert\leq \lVert T\rVert$であり、$\lVert T\rVert^2=\lVert T^*T\rVert$ が成り立つ。よって、
$$
\lVert V(1-V^*V)\rVert^2=\lVert (1-V^*V)V^*V(1-V^*V)\rVert=0
$$
であるから、$V=VV^*V$ が成り立ち、$VV^*=VV^*VV^*$ であるから、$VV^*$ は射影作用素である。ゆえに $V^*$ は反線形部分等長作用素である。
{{end|proof}}

===命題20.15（反線形部分等長作用素の特徴付け）===
$\mathcal{H}$ をHilbert空間、$V\colon\mathcal{H}\rightarrow\mathcal{H}$ を有界反線形作用素とする。このとき次は互いに同値である。
*$(1)$　$V$ は反線形部分等長作用素である。
*$(2)$　$\mathcal{H}$ の閉部分空間 $\mathcal{K}$ が存在し、
$$
\lVert Vv\rVert=\lVert v\rVert\quad(\forall v\in \mathcal{K}),\quad {\rm Ker}(V)=\mathcal{K}^{\perp}
$$
が成り立つ。 
そして $(1),(2)$ が成り立つとき $V^*V$ は $\mathcal{K}$ の上への射影作用素（${\rm Ran}(V^*V)=\mathcal{K}$）である。
{{begin|proof}}
$(1)\Rightarrow(2)$ を示す。$(1)$ が成り立つとする。$V^*V$ は射影作用素であるから $\mathcal{K}={\rm Ran}(V^*V)$ は $\mathcal{H}$ の閉部分空間であり、任意の $v\in \mathcal{K}$ に対し、
$$
\lVert Vv\rVert^2=(Vv\mid Vv)=(v\mid V^*Vv)=(v\mid v)=\lVert v\rVert^2
$$
であり、任意の $v\in \mathcal{K}^{\perp}$ に対し、
$$
\lVert Vv\rVert^2=(Vv\mid Vv)=(v\mid V^*Vv)=0
$$
である。よって、
$$
\lVert Vv\rVert=\lVert v\rVert\quad(\forall v\in \mathcal{K}),\quad \mathcal{K}^{\perp}\subset {\rm Ker}(V)
$$
である。任意の $v\in {\rm Ker}(V)$ に対し、
$$
v=v_1+v_2\in \mathcal{K}\oplus \mathcal{K}^{\perp}=\mathcal{H}
$$
と直交分解すると、$\lVert Vv_1\rVert=\lVert v_1\rVert$, $Vv_2=0$ であるから、
$$
0=\lVert Vv\rVert=\lVert Vv_1+Vv_2\rVert=\lVert Vv_1\rVert=\lVert v_1\rVert.
$$
よって $v=v_2\in \mathcal{K}^{\perp}$ であるから ${\rm Ker}(V)=\mathcal{K}^{\perp}$ である。ゆえに $(2)$ が成り立つ。 
$(2)\Rightarrow(1)$ を示す。$(2)$ が成り立つとする。任意の $v\in \mathcal{K}$ に対し、
$$
(v\mid v)=\lVert v\rVert^2=\lVert Vv\rVert^2=(Vv\mid Vv)=(v\mid V^*Vv)
$$
であるから任意の $u,v\in \mathcal{K}$ に対し、
$$
(u\mid v)=\frac{1}{4}\sum_{k=0}^{3}i^k(i^ku+v\mid i^ku+v)=\frac{1}{4}\sum_{k=0}^{3}i^k(V(i^ku+v)\mid V(i^ku+v))=
(Vv\mid Vu)
$$
である。よって任意の $u,v\in \mathcal{H}$ に対し、
$$
u=u_1+u_2,\quad v=v_1+v_2\in \mathcal{K}\oplus \mathcal{K}^{\perp}=\mathcal{H}
$$
と直交分解すると、
$$
(u\mid V^*Vv)=(Vv\mid Vu)=(Vv_1\mid Vu_1)=(u_1\mid v_1)=(u\mid v_1)
$$
である。ゆえに $V^*Vv=v_1$ であるから $V^*V$ は $\mathcal{K}$ の上の射影作用素であり、$V$ は反線形部分等長作用素である。
{{end|proof}}

=== 定理20.16（稠密に定義された閉反線形作用素の極分解） ===
$T$ をHilbert空間 $\mathcal{H}$ 上の稠密に定義された閉反線形作用素とする。このとき $T$ の絶対値作用素 $\lvert T\rvert$ と $\lvert T\rvert$ の台射影作用素 $S(\lvert T\rvert)$（'''定義9.2'''）に対し、反線形部分等長作用素 $V\colon \mathcal{H}\rightarrow\mathcal{H}$ で、
$$
V^*V=S(\lvert T\rvert),\quad T=V\lvert T\rvert
$$
を満たすものが唯一つ存在する。この $T=V\lvert T\rvert$ なる分解を $T$ の極分解と言う。
{{begin |proof}}
$T^*T=\lvert T\rvert^2$ であるから、'''定理20.11'''と'''定理3.10'''の $(1)$ より $D(T^*T)=D(\lvert T\rvert^2)$ は、$T,\lvert T\rvert$ の共通の芯である。
$$
D\colon=D(T^*T)=D(\lvert T\rvert^2)
$$
とおく。任意の $v\in D$ に対し、
$$
\lVert Tv\rVert^2=(Tv\mid Tv)=(v\mid T^*Tv)=(v\mid \lvert T\rvert^2v)=(\lvert T\rvert v\mid \lvert T\rvert v)=\lVert \lvert T\rvert v\rVert^2
$$
であるから、
$$
V_0\colon\lvert T\rvert(D)\ni \lvert T\rvert v\mapsto Tv\in \mathcal{H}
$$
なる等長反線形作用素が定義できる。[[位相線形空間1：ノルムと内積]]の'''命題3.6'''と同様にして $V_0$ は等長反線形作用素
$$
V_1\colon\overline{{\rm Ran}(\lvert T\rvert)}=\overline{\lvert T\rvert(D)}\rightarrow\mathcal{H}
$$
に一意拡張できる。（$\overline{{\rm Ran}(\lvert T\rvert)}=\overline{\lvert T\rvert(D)}$ であることは $D$ が $\lvert T\rvert$ の芯であることによる。）そこでHilbert空間 $\mathcal{H}$ の直交分解
$$
\mathcal{H}=\overline{{\rm Ran}(\lvert T\rvert)}\oplus ({\rm Ran}(\lvert T\rvert))^{\perp}\quad\quad(*)
$$
を考えて、
$$
V\colon\mathcal{H}=\overline{{\rm Ran}(\lvert T\rvert)}\oplus ({\rm Ran}(\lvert T\rvert))^{\perp}\ni v+u\mapsto V_1v\in \mathcal{H}
$$
として有界反線形作用素 $V\colon \mathcal{H}\rightarrow\mathcal{H}$ を定義する。このとき、
$$
\lVert Vv\rVert=\lVert v\rVert\quad(\forall v\in \overline{{\rm Ran}(\lvert T\rvert)}),\quad Vu=0\quad(\forall u\in ({\rm Ran}(\lvert T\rvert))^{\perp})
$$
であるから、'''命題20.15'''より $V$ は反線形部分等長作用素で、$V^*V$ は $\overline{{\rm Ran}(\lvert T\rvert)}$ の上への射影作用素、すなわち $V^*V=S(\lvert T\rvert)$ である。そして、
$$
V\lvert T\rvert v=V_1\lvert T\rvert v=V_0\lvert T\rvert v=Tv\quad(\forall v\in D)\quad\quad(**)
$$
である。任意の $v\in D(\lvert T\rvert)$ を取る。$D$ は $\lvert T\rvert$ の芯であるので $D$ の点列 $(v_n)_{n\in \mathbb{N}}$ で、
$$
(v_n,\lvert T\rvert v_n)\rightarrow (v,\lvert T\rvert v)\quad(n\rightarrow\infty)
$$
なるものが取れる。$(**)$ と $V_0$ が等長反線形作用素であることから、
$$
\lVert Tv_n-Tv_m\rVert=\lVert V_0\lvert T\rvert v_n-V_0\lvert T\rvert v_m\rVert
=\lVert \lvert T\rvert v_n-\lvert T\rvert v_m\rVert\rightarrow0\quad(n,m\rightarrow\infty)
$$
である。よって $(T v_n)_{n\in \mathbb{N}}$ は収束するので、$T$ が閉であることから、
$$
(v_n,T v_n)\rightarrow (v,T v)\quad(n\rightarrow\infty)
$$
である。これより、
$$
V\lvert T\rvert v=\lim_{n\rightarrow\infty}V\lvert T\rvert v_n=\lim_{n\rightarrow\infty} Tv_n=Tv
$$
であるから $V\lvert T\rvert\subset T$ が成り立つ。逆の包含関係を示す。任意の $v\in D(T)$ を取り、$v\in D(\lvert T\rvert)$ が成り立つことを示せばよい。$D$ は $T$ の芯であるので、$D$ の点列 $(v_n)_{n\in \mathbb{N}}$ で、
$$
(v_n,Tv_n)\rightarrow (v,Tv)\quad(n\rightarrow\infty)
$$
なるものが取れる。$(**)$ と $V_0$ が等長線形作用素であることから、
$$
\lVert \lvert T\rvert v_n-\lvert T\rvert v_m\rVert
=\lVert V_0\lvert T\rvert v_n-V_0\lvert T\rvert v_m\rVert
=\lVert Tv_n-Tv_m\rVert\rightarrow0\quad(n,m\rightarrow\infty)
$$
である。よって $(\lvert T\rvert v_n)_{n\in \mathbb{N}}$ は収束するので、$\lvert T\rvert$ が閉であることから、
$$
(v_n,\lvert T\rvert v_n)\rightarrow (v,\lvert T\rvert v)\quad(n\rightarrow\infty)
$$
である。これより $v\in D(\lvert T\rvert)$ であるから $V\lvert T\rvert=T$ が成り立つ。以上で存在が示せた。 
一意性を示す。$V,W\in \mathbb{B}(\mathcal{H})$ がそれぞれ反線形部分等長作用素であり、
$$
V^*V=S(\lvert T\rvert)=W^*W,\quad V\lvert T\rvert=T=W\lvert T\rvert
$$
を満たすとする。'''命題20.15'''より、
$$
Vu=Wu=0\quad(\forall u\in ({\rm Ran}(\lvert T\rvert))^{\perp})
$$
である。また、
$$
V\lvert T\rvert v=Tv=W\lvert T\rvert v\quad(\forall v\in \mathcal{H})
$$
であるから、$V$ と $W$ は ${\rm Ran}(\lvert T\rvert)$ 上で一致する。$V,W$ の連続性より $V,W$ は $\overline{{\rm Ran}(\lvert T\rvert)}$ 上でも一致するから、$(*)$ より $V=W$ である。
{{end|proof|}}

=== 定理20.17（稠密に定義された閉反線形作用素の共役作用素の極分解） ===
$T$ をHilbert空間 $\mathcal{H}$ 上の稠密に定義された閉反線形作用素とし、$T$ の極分解
$$
T=V\lvert T\rvert,\quad V^*V=S(\lvert T\rvert)
$$
を考える。このとき $T^*$（'''定理20.11'''より $T^*$ も稠密に定義された閉反線形作用素である）の極分解は、
$$
T^*=V^*\lvert T^*\rvert,\quad VV^*=S(\lvert T^*\rvert)
$$
である。（'''命題20.14'''より $V^*$ も反線形部分等長作用素であることに注意。）
{{begin |proof }}
'''定理20.11'''の $(3)$ より $T=T^{**}$ であるから、
$$
\lvert T^*\rvert=\sqrt{TT^*}
$$
である。$V^*V=S(\lvert T\rvert)$ より $V^*V\lvert T\rvert=\lvert T\rvert$ であり、'''命題20.9'''の $(9)$ より、$T^*=(V\lvert T\rvert)^*=\lvert T\rvert V^*$ であるから、
$$
(V\lvert T\rvert V^*)(V\lvert T\rvert V^*)=(V\lvert T\rvert)(V^*V\lvert T\rvert V^*)
=(V\lvert T\rvert)(\lvert T\rvert V^*)=TT^*=\lvert T^*\rvert^2\quad\quad(*)
$$
である。そして'''命題20.9'''の $(9)$ より、
$$
(V\lvert T\rvert V^*)^*=(VT^*)^*=T^{**}V^*=TV^*=V\lvert T\rvert V^*
$$
であるから $V\lvert T\rvert V^*$ は自己共役作用素であり、
$$
(v\mid V\lvert T\rvert V^*v)=(\lvert T\rvert V^*v\mid V^*v)\geq0\quad(\forall v\in D(V\lvert T\rvert V^*))
$$
であるから、'''命題8.10'''より $V\lvert T\rvert V^*$ は非負自己共役作用素である。よって $(*)$ と'''命題8.9'''より、
$$
\lvert T^*\rvert=V\lvert T\rvert V^*\quad\quad(**)
$$
が成り立つ。これより、
$$
V^*\lvert T^*\rvert=V^*V\lvert T\rvert V^*=\lvert T\rvert V^*=(V\lvert T\rvert)^*=T^*
$$
であり、
$$
VV^*\lvert T^*\rvert=VT^*=V\lvert T\rvert V^*=\lvert T^*\rvert
$$
である。よって'''命題9.3'''より、
$$
S(\lvert T^*\rvert)\leq VV^*
$$
が成り立つ。この逆の不等式を示す。
$$
\lvert T^*\rvert=S(\lvert T^*\rvert)\lvert T^*\rvert
$$
であるから、$(**)$ より、
$$
V\lvert T\rvert V^*=S(\lvert T^*\rvert)V\lvert T\rvert V^*\quad\quad(***)
$$
である。
$$
\lvert T\rvert=\lvert T\rvert^*=(V^*V\lvert T\rvert)^*=\lvert T\rvert V^*V
$$
であるから $(***)$ の両辺に右から $V$ を掛ければ、
$$
V\lvert T\rvert=S(\lvert T^*\rvert)V\lvert T\rvert
$$
を得る。ゆえに、
$$
VS(\lvert T\rvert)=S(\lvert T^*\rvert)VS(\lvert T\rvert)
$$
が成り立つ。$VS(\lvert T\rvert)=VV^*V=V$ より、
$$
V=S(\lvert T^*\rvert)V
$$
であり、両辺に右から $V^*$ を掛けて、
$$
VV^*=S(\lvert T^*\rvert)VV^*
$$
を得る。これより、
$$
VV^*=S(\lvert T^*\rvert)VV^*=S(\lvert T^*\rvert)VV^*S(\lvert T^*\rvert)\leq S(\lvert T^*\rvert)
$$
であるから、$VV^*=S(\lvert T^*\rvert)$ が成り立つ。
{{end|proof|}}

===命題20.18（反線形ユニタリ作用素による射影値測度の変換）===
$\mathcal{H},\mathcal{K}$ をHilbert空間、$U\colon\mathcal{H}\rightarrow \mathcal{K}$ を反線形ユニタリ作用素、$(X,\mathfrak{M})$ を可測空間、$E\colon\mathfrak{M}\rightarrow \mathbb{P}(\mathcal{H})$ を射影値測度とする。このとき、
$$
UEU^*\colon\mathfrak{M}\ni B\mapsto UE(B)U^*\in \mathbb{P}(\mathcal{K})
$$
は射影値測度であり、任意の可測関数 $f\colon X\rightarrow\mathbb{C}$ に対し、
$$
\int_{X}f(x)d(UEU^*)(x)=U\left(\int_{X}\overline{f(x)}dE(x)\right)U^*\quad\quad(*)
$$
が成り立つ。
{{begin |proof }}
$UEU^*$ が射影値測度の'''定義6.2'''を満たすことは自明である。$(*)$ は $f\colon X\rightarrow \mathbb{C}$ が可測単関数である場合は明らかに成り立ち、有界可測関数は可測単関数により一様近似できること（[[測度と積分5：$L^p$ 空間の完備性と双対性]]の'''命題22.2'''）から、$f\colon X\rightarrow \mathbb{C}$ が有界可測関数の場合も $(*)$ は成り立つ。今、任意の可測関数 $f\colon X\rightarrow\mathbb{C}$ に対し、有界可測関数の列 $f_n\colon=f\chi_{(\lvert f\rvert\leq n)}$ $(\forall n\in \mathbb{N})$ を考えると、任意の $v\in \mathcal{K}$ に対し単調収束定理より、
$$
\begin{aligned}
\int_{X}\lvert f(x)\rvert^2d(UEU^*)_{v,v}(x)&=\sup_{n\in \mathbb{N}}\int_{X}\lvert f_n(x)\rvert^2d(UEU^*)_{v,v}(x)=\sup_{n\in\mathbb{N}}\left\lVert \int_{X}f_n(x)d(UEU^*)(x)v\right\rVert^2\\
&=\sup_{n\in\mathbb{N}}\left\lVert \left(\int_{X}\overline{f_n(x)}dE(x)\right)U^*v\right\rVert^2
=\sup_{n\in\mathbb{N}}\int_{X}\lvert f_n(x)\rvert^2dE_{U^*v,U^*v}(x)\\
&=\int_{X}\lvert f(x)\rvert^2dE_{U^*v,U^*v}(x)
\end{aligned}
$$
であるから $D_{UEU^*}(f)=UD_E(f)$ が成り立つ。そして任意の $u\in \mathcal{H}$ と任意の $v\in D_{UEU^*}(f)$ に対しLebesgue優収束定理より、
$$
\begin{aligned}
&\left(u\mid \int_{X}f(x)d(UEU^*)(x)v\right)=\lim_{n\rightarrow\infty}\left(u\mid \left(\int_{X}f_n(x)d(UEU^*)(x)\right)v\right)\\
&=\lim_{n\rightarrow\infty}\left(u\mid U\left(\int_{X}\overline{f_n(x)}dE(x)\right)U^*v\right)
=\left(u\mid U\left(\int_{X}\overline{f(x)}dE(x)\right)U^*v\right)
\end{aligned}
$$
である。よって $(*)$ は任意の可測関数 $f:X\rightarrow \mathbb{C}$ に対して成り立つ。
{{end|proof|}}

===定義20.19（共役子に関して実な線形作用素）===
$\mathcal{H}$ をHilbert空間、$J\colon\mathcal{H}\rightarrow\mathcal{H}$ を共役子（'''定義20.13'''）とする。$\mathcal{H}$ 上の線形作用素 $T$ が $J$ に関して実であるとは、
$$
JT\subset TJ\quad\quad(*)
$$
が成り立つことを言う。$J^2=1$ であるから $(*)$ は $JT=TJ$ であること、また $JTJ=T$ であることと同値である。

===命題20.20（共役子に関して実な線形作用素の基本性質）===
$\mathcal{H}$ をHilbert空間、$J\colon\mathcal{H}\rightarrow\mathcal{H}$ を共役子とする。このとき、
*$(1)$　$T_1,T_2$ が $J$ に関して実な線形作用素ならば、$T_1+T_2, T_1T_2$ も $J$ に関して実である。
*$(2)$　$T$ が $J$ に関して実な線形作用素ならば、任意の $\alpha\in \mathbb{R}$ に対し $\alpha T$ も $J$ に関して実である。
*$(3)$　$T$ が $J$ に関して実な稠密に定義された線形作用素ならば、$T^*$ も $J$ に関して実である。
*$(4)$　$T$ が $J$ に関して実な可閉線形作用素ならば、$\overline{T}$ も $J$ に関して実である。
*$(5)$　$T$ が $J$ に関して実な単射線形作用素ならば、$T^{-1}$ も $J$ に関して実である。
{{begin|proof}}
'''命題19.3'''と同様にして示せる。
{{end|proof}}

===定理20.21（共役子に関して実な対称作用素の自己共役拡張可能性）===
$\mathcal{H}$ をHilbert空間、$J\colon\mathcal{H}\rightarrow\mathcal{H}$ を共役子、$T$ を $J$ に関して実な対称作用素とする。このとき $T$ は $J$ に関して実な自己共役拡張（'''定義4.7'''）を持つ。
{{begin|proof}}
任意の $v_{\pm}\in ({\rm Ran}(T\pm i))^{\perp}$ に対し、
$$
(Jv_{\pm}\mid (T\mp i)u)=(J(T\mp i)u\mid v_{\pm})=((T\pm i)Ju\mid v_{\pm})=0\quad(\forall u\in D(T))
$$
であるから、
$$
J({\rm Ran}(T+i))^{\perp}=({\rm Ran}(T-i))^{\perp}
$$
である。これより $({\rm Ran}(T+i))^{\perp}$ のCONSを $(e_k)_{k\in K}$ とすると、$(Je_k)_{k\in K}$ は $({\rm Ran}(T-i))^{\perp}$ のCONSなので、ユニタリ作用素
$$
V\colon ({\rm Ran}(T+i))^{\perp}\rightarrow ({\rm Ran}(T-i))^{\perp},\quad Ve_k=Je_k\quad(\forall k\in K)
$$
が取れる。よって'''定理4.9'''より $T$ は自己共役拡張 $S$ で、そのCayley変換 $C(S)$ が、
$$
C(S)=C(\overline{T})\oplus V\colon {\rm Ran}(\overline{T}+i)\oplus ({\rm Ran}(T+i))^{\perp}\rightarrow {\rm Ran}(\overline{T}-i)\oplus ({\rm Ran}(T-i))^{\perp}
$$
である様なものが取れる。今、$S$ が $J$ に関して実であることを示す。まず、
$$
JV^*Je_k=Je_k=Ve_k\quad(\forall k\in K)
$$
であるから、
$$
JV^*J=V
$$
である。またHilbert空間 ${\rm Ran}(\overline{T}+i)$ からHilbert空間 ${\rm Ran}(\overline{T}-i)$ へのユニタリ作用素
$$
C(\overline{T})=(\overline{T}-i)(\overline{T}+i)^{-1}\colon {\rm Ran}(\overline{T}+i)\rightarrow {\rm Ran}(\overline{T}-i)
$$
の共役作用素
$$
C(\overline{T})^*=(\overline{T}+i)(\overline{T}-i)^{-1}\colon {\rm Ran}(\overline{T}-i)\rightarrow {\rm Ran}(\overline{T}+i)
$$
に対し、'''命題20.20'''より、
$$
JC(\overline{T})^*J=J(\overline{T}+i)(\overline{T}-i)^{-1}J=(\overline{T}-i)(\overline{T}+i)^{-1}=C(\overline{T})
$$
である。よって、
$$
JC(S)^*J=(JC(\overline{T})^*J)\oplus(JV^*J)=C(\overline{T})\oplus V=C(S)
$$
が成り立つ。ここで $S$ のスペクトル測度を $E_S\colon \mathcal{B}_{\sigma(S)}\rightarrow \mathbb{P}(\mathcal{H})$ とすると、'''命題20.18'''より、
$$
C(S)=JC(S)^*J=J\left(\int_{\sigma(S)}(s+i)(s-i)^{-1}dE_S(s)\right)J=\int_{\sigma(S)}(s-i)(s+i)^{-1}d(JE_SJ)(s)
$$
であり、右辺は自己共役作用素
$$
\int_{\sigma(S)}sd(JE_SJ)(s)=J\left(\int_{\sigma(S)}sdE_S(s)\right)J=JSJ
$$
のCayley変換 $C(JSJ)$ である。よって $C(S)=C(JSJ)$ なので'''命題4.5'''より $S=JSJ$ である。ゆえに $S$ は $J$ に関して実である。
{{end|proof}}

==21. 対称作用素の解析ベクトル、Nelsonの解析ベクトル定理==

===定義21.1（対称作用素の解析ベクトル、全解析ベクトル）===
$T$ をHilbert空間 $\mathcal{H}$ 上の対称作用素とする。$v\in \bigcap_{n\in \mathbb{N}}D(T^n)$ に対し $\mathcal{H}$ の列 $(\frac{1}{n!}T^nv)_{n\in\mathbb{N}}$ を係数とする冪級数の収束半径（[[複素解析の初歩]]の'''定義2.1'''）を、
$$
R_T(v)\colon=\frac{1}{\inf_{n\in \mathbb{N}}\sup_{k\geq n}\sqrt[k]{\frac{1}{k!}\lVert T^kv\rVert}}\in [0,\infty]
$$
とおく。$R_T(v)>0$ であるとき $v$ を $T$ の解析ベクトルと言う。また $R_T(v)=\infty$ のとき $v$ を $T$ の全解析ベクトルと言う。

===命題21.2（対称作用素の解析ベクトルの基本性質）===
$T$ をHilbert空間 $\mathcal{H}$ 上の対称作用素とする。次が成り立つ。
*$(1)$　任意の $u,v\in \bigcap_{n\in\mathbb{N}}D(T^n)$ に対し ${\rm min}(R_T(u), R_T(v))\leq R_T(u+v)$.
*$(2)$　任意の $v\in \bigcap_{n\in \mathbb{N}}D(T^n)$ と任意の $\alpha\in \mathbb{C}\backslash\{0\}$ に対し $R_T(\alpha v)=R_T(v)$.
*$(3)$　任意の $v\in \bigcap_{n\in \mathbb{N}}D(T^n)$ と任意の $k\in\mathbb{N}$ に対し $R_T(T^kv)=R_T(v)$.
*$(4)$　$T$ の解析ベクトル全体、$T$ の全解析ベクトル全体はそれぞれ $T$ の作用に対して不変な $\mathcal{H}$ の線形部分空間である。
{{begin|proof}}
*$(1)$　$\lvert z\rvert<{\rm min}(R_T(u),R_T(v))$ を満たす任意の $z\in \mathbb{C}$ に対し、
$$
\sum_{n\in\mathbb{Z}_+}\frac{1}{n!}\lVert T^n(u+v)\rVert\lvert z\rvert^n
\leq \sum_{n\in\mathbb{Z}_+}\frac{1}{n!}\lVert T^nu\rVert \lvert z\rvert^n+\sum_{n\in\mathbb{Z}_+}\frac{1}{n!}\lVert T^nv\rVert\lvert z\rvert^n<\infty
$$
であるから、[[複素解析の初歩]]の'''命題2.2'''より $\lvert z\rvert\leq R_T(u+v)$ である。よって ${\rm min}(R_T(u),R_T(v))\leq R_T(u+v)$ が成り立つ。
*$(2)$　$\lvert z\rvert<R_T(v)$ を満たす任意の $z\in \mathbb{C}$ に対し[[複素解析の初歩]]の'''命題2.2'''より、
$$
\sum_{n\in\mathbb{Z}_+}\frac{1}{n!}\lVert T^n\alpha v\rVert\lvert z\rvert^n
=\lvert \alpha\rvert\sum_{n\in\mathbb{Z}_+}\frac{1}{n!}\lVert T^nv\rVert \lvert z\rvert^n<\infty
$$
であるから、$\lvert z\rvert\leq R_T(\alpha v)$ である。よって $R_T(v)\leq R_T(\alpha v)$ が成り立つ。またこれより $R_T(\alpha v)\leq R_T(\alpha^{-1}\alpha v)=R_T(v)$ も成り立つので $R_T(\alpha v)=R_T(v)$ が成り立つ。
*$(3)$　[[複素解析の初歩]]の'''命題2.4'''より $\mathcal{H}$ の列 $(\frac{1}{n!}T^nv)_{n\in\mathbb{Z}_+}$ を係数とする冪級数の収束半径 $R_T(v)$ は $((n+1)\frac{1}{(n+1)!}T^{n+1}v)_{n\in\mathbb{Z}_+}=(\frac{1}{n!}T^{n+1}v)_{n\in\mathbb{Z}_+}$ を係数とする冪級数の収束半径 $R_T(Tv)$ と等しい。よって $R_T(v)=R_T(Tv)=R_T(T^2v)=\cdots$ であるから任意の $k\in \mathbb{N}$ に対し $R_T(v)=R_T(T^kv)$ が成り立つ。
*$(4)$　$T$ の解析ベクトル全体を、
$$
\mathcal{A}_T\colon=\left\{v\in \bigcap_{n\in\mathbb{N}}D(T^n):R_T(v)>0\right\}
$$　
とおく。任意の $u,v\in \mathcal{A}_T$ と任意の $\alpha\in\mathbb{C}$ に対し $(1),(2),(3)$ より、
$$
0<{\rm min}(R_T(u),R_T(v))\leq R_T(u+v),\quad 0<R_T(v)\leq R_T(\alpha v),\quad 0<R_T(v)=R_T(Tv)
$$
であるから $u+v,\alpha v,Tv\in \mathcal{A}_T$ である。よって $\mathcal{A}_T$ は $T$ の作用に対して不変な $\mathcal{H}$ の線形部分空間である。また $T$ の全解析ベクトル全体を、
$$
\mathcal{TA}_T\colon=\left\{v\in \bigcap_{n\in\mathbb{N}}D(T^n):R_T(v)=\infty\right\}
$$
とおくと、任意の $u,v\in \mathcal{TA}_T$ と任意の $\alpha\in\mathbb{C}$ に対し $(1),(2),(3)$ より、
$$
\infty={\rm min}(R_T(u),R_T(v))\leq R_T(u+v),\quad \infty=R_T(v)\leq R_T(\alpha v),\quad \infty=R_T(v)=R_T(Tv)
$$
であるから $u+v,\alpha v, Tv\in \mathcal{TA}_T$ である。よって $\mathcal{TA}_T$ は $T$ の作用に対して不変な $\mathcal{H}$ の線形部分空間である。
{{end|proof}}

===補題21.3（自己共役作用素の定義域の微分による特徴付け）===
$T$ をHilbert空間 $\mathcal{H}$ 上の自己共役作用素とする。このとき、
$$
D(T)=\left\{v\in \mathcal{H}:\exists\lim_{t\in\mathbb{R}, t\rightarrow 0}\frac{1}{t}(e^{itT}-1)v\in \mathcal{H}\right\},\quad
Tv=\lim_{t\in\mathbb{R}, t\rightarrow0}\frac{1}{it}(e^{itT}-1)v\quad(\forall v\in D(T))
$$
が成り立つ。
{{begin|proof}}
$$
D\colon=\left\{v\in \mathcal{H}:\exists\lim_{t\in\mathbb{R}, t\rightarrow 0}\frac{1}{t}(e^{itT}-1)v\in \mathcal{H}\right\},\quad
Sv\colon=\lim_{t\in\mathbb{R}, t\rightarrow0}\frac{1}{it}(e^{itT}-1)v\quad(\forall v\in D)
$$
とおく。このとき $S\colon D\ni v\mapsto Sv\in \mathcal{H}$ は $\mathcal{H}$ 上の線形作用素である。$E^T\colon \mathcal{B}_{\sigma(T)}\rightarrow\mathbb{P}(\mathcal{H})$ を $T$ のスペクトル測度とすると、任意の $v\in D(T)$ に対し微積分学の基本定理とLebesgue優収束定理より、
$$
\begin{aligned}
&\left\lVert\frac{1}{it}(e^{itT}-1)v-Tv\right\rVert^2
=\int_{\sigma(T)}\left\lvert \frac{1}{it}(e^{it\lambda}-1)-\lambda \right\rvert^2dE^T_{v,v}(\lambda)\\
&=\int_{\sigma(T)}\left\lvert \lambda\int_{0}^{1}(e^{i\theta t\lambda}-1)d\theta \right\rvert^2dE^T_{v,v}(\lambda)\rightarrow0\quad(t\rightarrow0)
\end{aligned}
$$
であるから $v\in D$ であり、$Tv=Sv$ である。よって $T\subset S$である。Borel汎関数計算の基本性質（'''命題8.7'''）より $(e^{itT})^*=e^{-itT}$ $(\forall t\in \mathbb{R})$ であるので、任意の $u,v\in D$ に対し、
$$
(u\mid Sv)=\lim_{t\in \mathbb{R}, t\rightarrow0}\left(u\mid \frac{1}{it}(e^{itT}-1)v\right)
=\lim_{t\in\mathbb{R}, t\rightarrow\infty}\left(\frac{1}{-it}(e^{-itT}-1)u\mid v\right)
=(Su\mid v)
$$
である。よって $S$ は $\mathcal{H}$ 上の対称作用素である。$T$ が自己共役作用素で $S$ が対称作用素であるから、$T\subset S\subset S^*\subset T^*=T$ である。ゆえに $T=S$ が成り立つ。
{{end|proof}}

===定理21.4（自己共役作用素の解析ベクトルの基本性質）===
$T$ をHilbert空間 $\mathcal{H}$ 上の自己共役作用素とする。このとき次が成り立つ。
*$(1)$　$T$ の全解析ベクトル全体は $T$ の芯である。
*$(2)$　$v$ が $T$ の解析ベクトルならば、
$$
e^{zT}v=\sum_{n\in\mathbb{Z}_+}\frac{1}{n!}(zT)^nv\quad\left(\forall z\in \mathbb{C}: \lvert z\rvert<\frac{R_T(v)}{2}\right)\quad\quad(*)
$$
が成り立つ。
*$(3)$　$v\in \mathcal{H}$ に対し、$v$ が $T$ の全解析ベクトルであることと、
$$
\mathbb{R}\ni t\mapsto e^{itT}v\in \mathcal{H}
$$
がBanach空間 $\mathcal{H}$ 値整関数に拡張できることは同値である。またその整関数としての拡張は、
$$
\mathbb{C}\ni z\mapsto e^{izT}v\in \mathcal{H}
$$
である。
*$(4)$　$v\in \mathcal{H}$ が $T$ の全解析ベクトルであるならば、任意の $z\in \mathbb{C}$ に対し $e^{izT}v$ も $T$ の全解析ベクトルであり、
$$
e^{iwT}e^{izT}v=e^{i(w+z)T}v\quad(\forall w,z\in\mathbb{C})
$$
が成り立つ。
{{begin|proof}}
*$(1)$　'''命題21.2'''より $T$ の全解析ベクトル全体は $D(T)$ の線形部分空間である。$T$ のスペクトル測度 $E^T\colon \mathcal{B}_{\sigma(T)}\rightarrow\mathbb{P}(\mathcal{H})$ と任意の $v\in D(T)$ に対し、
$$
v_m\colon =E^T([-m,m]\cap \sigma(T))v\in \bigcap_{n\in\mathbb{N}}D(T^n)\quad(\forall m\in \mathbb{N})
$$
とおくと、任意の $m\in \mathbb{N}$ に対し、
$$
\sum_{n\in\mathbb{Z}_+}\frac{1}{n!}\lVert T^nv_m\rVert \lvert z\rvert^n\leq \sum_{n\in\mathbb{Z}_+}\frac{1}{n!}m^n\lVert v\rVert \lvert z\rvert^n<\infty\quad(\forall z\in \mathbb{C})
$$
であるから、[[複素解析の初歩]]の'''命題2.2'''より $(\frac{1}{n!}\lVert T^nv_m)_{n\in\mathbb{Z}_+}$ を係数とする冪級数の収束半径は $\infty$ なので、$v_m$ は $T$ の全解析ベクトルである。そして $v_m=E^T([-m,m]\cap \sigma(T))v\rightarrow v$ $(m\rightarrow\infty)$ であり、Lebesgue優収束定理より、
$$
\lVert Tv-Tv_m\rVert^2=\int_{\sigma(T)}\lvert \lambda-\lambda\chi_{\lvert {\rm id}\rvert\leq m}(\lambda)\rvert^2dE^T_{v,v}(\lambda)\rightarrow0\quad(m\rightarrow\infty)
$$
であるから、$(v,Tv)=\lim_{m\rightarrow\infty}(v_m,Tv_m)$ が成り立つ。よって $T$ の全解析ベクトル全体は $T$ の芯である。
*$(2)$　$\lvert z\rvert<\frac{R_T(v)}{2}$ なる任意の $z\in \mathbb{C}$ に対しHölderの不等式より、
$$
\begin{aligned}
&\int_{\sigma(T)}\lvert e^{z\lambda}\rvert^2dE^T_{v,v}(\lambda)\leq \int_{\sigma(T)}e^{2\lvert z\lambda\rvert}dE^T_{v,v}(\lambda)=\sum_{n\in \mathbb{Z}_+}\frac{(2\lvert z\rvert)^n}{n!}\int_{\sigma(T)}\lvert \lambda\rvert^ndE^T_{v,v}(\lambda)\\
&\leq \sum_{n\in\mathbb{Z}_+}\frac{(2\lvert z\rvert)^n}{n!}\left(\int_{\sigma(T)}\lvert \lambda^n\rvert^2dE^T_{v,v}(\lambda)\right)^{\frac{1}{2}}\left(\int_{\sigma(T)}1dE^T_{v,v}(\lambda)\right)^{\frac{1}{2}}\\
&=\sum_{n\in\mathbb{Z}_+}\frac{(2\lvert z\rvert)^n}{n!}\lVert T^nv\rVert\lVert v\rVert<\infty
\end{aligned}
$$
となるから $v\in D(e^{zT})$ であり、Lebesgue優収束定理より、
$$
\begin{aligned}
&\left\lVert e^{zT}v-\sum_{n=0}^{N}\frac{1}{n!}(zT)^nv\right\rVert^2
=\left\lVert \left(\int_{\sigma(T)}\left(e^{z\lambda}-\sum_{n=0}^{N}\frac{1}{n!}(z\lambda)^n\right)dE^T_{v,v}(\lambda)\right)v\right\rVert^2\\
&=\int_{\sigma(T)}\left\lvert e^{z\lambda}-\sum_{n=0}^{N}\frac{1}{n!}(z\lambda)^n\right\rvert^2dE^T_{v,v}(\lambda)\rightarrow0\quad(N\rightarrow\infty)
\end{aligned}
$$
であるから $(*)$ が成り立つ。
*$(3)$　$v$ が $T$ の全解析ベクトルならば $(2)$ より $e^{izT}v=\sum_{n\in \mathbb{Z}_+}\frac{1}{n!}(izT)^nv$ $(\forall z\in \mathbb{C})$ であるから、冪級数関数の複素微分可能性（[[複素解析の初歩]]の'''定理2.5'''）より $\mathbb{C}\ni z\mapsto e^{izT}v\in \mathcal{H}$ はBanach空間値整関数である。逆に $v\in \mathcal{H}$ に対し $\mathbb{R}\ni t\mapsto e^{itT}v\in \mathcal{H}$ がBanach空間 $\mathcal{H}$ 値整関数 $U\colon \mathbb{C}\ni z\mapsto U(z)\in \mathcal{H}$ に拡張できるとし、$v$ が $T$ の全解析ベクトルであることを示す。
$$
e^{isT}U(t)=e^{isT}e^{itT}v=e^{i(s+t)T}v=U(s+t)\quad(\forall s,t\in\mathbb{R})
$$
であるから、任意の $s\in \mathbb{R}$ に対しBanach空間値整関数
$$
\mathbb{C}\ni z\mapsto e^{isT}U(z)\in \mathcal{H},\quad \mathbb{C}\ni z\mapsto U(s+z)\in \mathcal{H}
$$
は $\mathbb{R}$ 上で一致する。よって一致の定理（[[複素解析の初歩]]の'''注意9.5'''、'''定理6.6'''）より、
$$
e^{isT}U(z)=U(s+z)\quad(\forall s\in\mathbb{R},\forall z\in \mathbb{C})
$$
が成り立つ。任意の $z\in \mathbb{C}$ に対し'''補題21.3'''より、
$$
\frac{d}{dz}U(z)=\lim_{s\in\mathbb{R},s\rightarrow0}\frac{1}{s}(U(s+z)-U(z))=\lim_{s\in\mathbb{R},s\rightarrow0}\frac{1}{s}(e^{isT}-1)U(z)=iTU(z)
$$
が成り立つ。今、ある $n\in \mathbb{N}$ に対し、
$$
\frac{d^n}{dz^n}U(z)=(iT)^nU(z)\quad(\forall z\in \mathbb{C})\quad\quad(**)
$$
が成り立つと仮定する。このとき任意の $z\in \mathbb{C}$ に対し $(iT)^n=\int_{\sigma(T)}(i\lambda)^ndE^T(\lambda)$ が閉線形作用素であることと'''補題21.3'''より、
$$
\frac{d^{n+1}}{dz^{n+1}}U(z)=\lim_{s\in \mathbb{R}, s\rightarrow0}\frac{1}{s}(iT)^n(U(s+z)-U(z))=\lim_{s\in\mathbb{R}, s\rightarrow0}\frac{1}{s}(iT)^n(e^{isT}-1)U(z)=(iT)^{n+1}U(z)
$$
となるので帰納法より $(**)$ は任意の $n\in \mathbb{N}$ に対して成り立つ。よって[[複素解析の初歩]]の'''定理9.4'''より、
$$
U(z)=\sum_{n\in\mathbb{Z}_+}\frac{1}{n!}\left(\frac{d^n}{dz^n}U(z)\right)\big|_{z=0}z^n
=\sum_{n\in\mathbb{Z}_+}\frac{1}{n!}(izT)^nv\quad(\forall z\in \mathbb{C})\quad\quad(***)
$$
が成り立つので、[[複素解析の初歩]]の'''命題2.2'''より $(\frac{1}{n!}T^nv)_{n\in\mathbb{Z}_+}$ を係数とする冪級数の収束半径 $R_T(v)$ は $\infty$ であるから $v$ は $T$ の全解析ベクトルである。そして $(***)$ と $(2)$ より、
$$
U(z)=\sum_{n\in\mathbb{Z}_+}\frac{1}{n!}(izT)^nv=e^{izT}v\quad(\forall z\in\mathbb{C})
$$
が成り立つ。
*$(4)$　$v$ が $T$ の全解析ベクトルならば $(3)$ より任意の $s\in \mathbb{R}$ に対し、
$$
\mathbb{C}\ni z\mapsto e^{isT}e^{izT}v\in \mathcal{H},\quad
\mathbb{C}\ni z\mapsto e^{i(s+z)T}v\in \mathcal{H}
$$
はそれぞれBanach空間 $\mathcal{H}$ 値整関数である。そしてこれらは $\mathbb{R}$ 上で一致するので一致の定理より、
$$
e^{isT}e^{izT}v=e^{i(s+z)T}v\quad(\forall s\in\mathbb{R},\forall z\in \mathbb{C})
$$
が成り立つ。よって任意の $z\in \mathbb{C}$ に対し、$\mathbb{R}\ni s\mapsto e^{isT}e^{izT}v\in \mathcal{H}$ はBanach空間 $\mathcal{H}$ 値整関数 $\mathbb{C}\ni w\mapsto e^{i(w+z)T}v\in \mathcal{H}$ に拡張できるので $(3)$ より $e^{izT}v$ は $T$ の全解析ベクトルであり、任意の $w\in \mathbb{C}$ に対し $e^{iwT}e^{izT}v=e^{i(w+z)T}v$ が成り立つ。
{{end|proof}}

===補題21.5（Nelsonの解析ベクトル定理の補題）===
$T$ をHilbert空間 $\mathcal{H}$ 上の対称作用素とし、$v\in \bigcap_{n\in\mathbb{N}}D(T^n)$ を $0$ ではない $T$ の解析ベクトルとする。
$$
D_T(v)\colon={\rm span}\{T^nv\}_{n\in\mathbb{Z}_+},\quad \mathcal{H}_T(v)\colon=\overline{D_T(v)}
$$
とおき、Hilbert空間 $\mathcal{H}_T(v)$ 上の対称作用素
$$
T_v\colon D_T(v)\ni u\mapsto Tu\in \mathcal{H}_T(v)
$$
を定義する。このとき $T_v$ は本質的に自己共役（'''定義4.8'''）である。
{{begin|proof}}
$T$ は対称作用素で $v\in \bigcap_{n\in\mathbb{N}}D(T^n)$ であるから、
$$
(T^nv\mid T^mv)=(T^mv\mid T^nv)\quad(\forall n,m\in\mathbb{Z}_+)
$$
が成り立つ。よって、
$$
J_0\colon D_T(v)\ni \sum_{n=0}^{N}\alpha_nT^nv\mapsto \sum_{n=0}^{N}\overline{\alpha_n}T_nv\in \mathcal{H}_T(v)
$$
はwell-definedな等長反線形作用素であり、
$$
(J_0u\mid J_0w)=(w\mid u),\quad (u\mid J_0w)=(w\mid J_0u)\quad(\forall u,w\in D_T(v))
$$
が成り立つ。$J_0$ の $\mathcal{H}_T(v)=\overline{D_T(v)}$ 上の等長反線形作用素への拡張を $J\colon \mathcal{H}_T(v)\rightarrow\mathcal{H}_T(v)$ とおくと、
$$
(Ju\mid Jw)=(w\mid u),\quad (u\mid Jw)=(w\mid Ju)\quad(\forall u,v\in \mathcal{H}_T(v))
$$
より $J^*=J, J^2=1$ であるから、$J$ はHilbert空間 $\mathcal{H}_T(v)$ 上の共役子（'''定義20.13'''）である。$T_v$ は明らかに $J$ に関して実（'''定義20.19'''）であるから'''定理20.21'''より $T_v$ は自己共役拡張を持つ。$T_v$ が本質的に自己共役であることを示すには、'''系4.10'''より $T_v$ の自己共役拡張が唯一つであることを示せばよい。そこで $S_1,S_2$ をそれぞれ $T_v$ の自己共役拡張とし、$S_1=S_2$ が成り立つことを示す。任意の $u\in D_T(v)=D(T_v)\subset D(S_1)\cap D(S_2)$ に対し、
$$
S_j^nu=T_v^nu=T^nu\quad(\forall n\in\mathbb{Z}_+,j=1,2)
$$
であることと'''命題21.2'''より、
$$
R_{S_j}(u)=R_T(u)\geq R_T(v)>0\quad(j=1,2)
$$
であるから、'''定理21.4'''の $(2)$ より、
$$
e^{itS_j}u=\sum_{n\in\mathbb{Z}_+}\frac{1}{n!}(itS_j)^nu=\sum_{n\in\mathbb{Z}_+}\frac{1}{n!}(itT)^nu\quad(\forall t\in (-2^{-1}R_T(v),2^{-1}R_T(v)), j=1,2),
$$
よって、
$$
e^{itS_1}u=e^{itS_2}u\quad(\forall u\in D_T(v), \forall t\in (-2^{-1}R_T(v),2^{-1}R_T(v)))\quad\quad(*)
$$
が成り立つ。$t\in \mathbb{R}$ に対し $e^{itS_1}, e^{itS_2}$ はHilbert空間 $\mathcal{H}_T(v)$ 上のユニタリ作用素であり、$D_T(v)$ は $\mathcal{H}_T(v)$ の稠密部分空間であるから $(*)$ より、
$$
e^{itS_1}=e^{itS_2}\quad( \forall t\in (-2^{-1}R_T(v),2^{-1}R_T(v)))
$$
が成り立つ。よって'''補題21.3'''より $S_1=S_2$ が成り立つ。ゆえに $T_v$ は本質的に自己共役である。
{{end|proof}}

===定理21.6（Nelsonの解析ベクトル定理）===
$T$ をHilbert空間 $\mathcal{H}$ 上の対称作用素とする。もし $T$ の解析ベクトル全体が $\mathcal{H}$ で稠密であるならば $T$ は本質的に自己共役である。
{{begin|proof}}
'''命題4.3'''と'''定理4.6'''より ${\rm Ran}(T\pm i)$ が $\mathcal{H}$ で稠密であることを示せばよい。$0$ ではない任意の $u\in \mathcal{H}$ と任意の $\epsilon\in (0,2\lVert u\rVert)$ を取る。仮定より $T$ の解析ベクトル $v$ で、
$$
\lVert u-v\rVert<\frac{\epsilon}{2}\quad\quad(*)
$$
なるものが取れる。$\epsilon<2\lVert u\rVert$ より $v\neq0$ である。よって'''補題21.5'''より、
$$
T_v\colon D_T(v)\ni w\mapsto Tw\in \mathcal{H}_T(v)
$$
はHilbert空間 $\mathcal{H}_T(v)$ 上の本質的に自己共役な対称作用素である。ゆえに'''命題4.3'''と'''定理4.6'''より、
$$
\mathcal{H}_T(v)={\rm Ran}(\overline{T_v}\pm i)=\overline{{\rm Ran}(T_v\pm i)}
$$
であるから、$v\in \mathcal{H}_T(v)$ に対し $w_{\pm}\in D_T(v)$ で、
$$
\lVert v-(T_v\pm i)w_{\pm}\rVert<\frac{\epsilon}{2}\quad\quad(**)
$$
を満たすものが取れる。よって $(*),(**)$ より、
$$
\lVert u-(T\pm i)w_{\pm}\rVert\leq \lVert u-v\rVert+\lVert v-(T_v\pm i)w_{\pm}\rVert<\epsilon
$$
であるから、${\rm Ran}(T\pm i)$ は $\mathcal{H}$ で稠密である。
{{end|proof}}

===系21.7（Nelsonの解析ベクトル定理の系）===
$T$ をHilbert空間 $\mathcal{H}$ 上の対称作用素とし、$D\subset D(T)$ が次を満たすとする。
*$(1)$　$D$ は稠密な線形部分空間である。
*$(2)$　$D$ は $T$ の作用に対して不変（すなわち $T(D)\subset D$）である。
*$(3)$　$D$ の任意の元は $T$ の解析ベクトルである。 
このとき $T$ は本質的に自己共役であり、$D$ は $\overline{T}$ の芯である。
{{begin|proof}}
$(1)$ より $T|_D\colon D\ni v\mapsto Tv\in \mathcal{H}$ は $\mathcal{H}$ 上の対称作用素であり、$(2)$ より、
$$
(T|_D)^nv=T^nv\quad(\forall v\in D,\forall n\in \mathbb{Z}_+)\quad\quad(*)
$$
である。$(*)$ と $(3)$ より、
$$
R_{T|_D}(v)=R_T(v)>0\quad(\forall v\in D)
$$
であるから、$D$ の任意の元は対称作用素 $T|_D$ の解析ベクトルである。よってNelsonの解析ベクトル定理（'''定理21.6'''）より $T|_D$ は本質的に自己共役である。ゆえに、
$$
\overline{T|_D}\subset \overline{T}\subset (\overline{T})^*\subset (\overline{T|_D})^*=\overline{T|_D}
$$
であるから $\overline{T}=\overline{T|_D}$ である。よって $T$ は本質的に自己共役であり、$D$ は $\overline{T}$ の芯である。
{{end|proof}}

== 参考文献 ==
* [https://amzn.to/3uDz7Vl Walter Rudin「Functional Analysis」]
* [https://amzn.to/3d66SIX Gert K. Pedersen「Analysis Now」]
* [https://amzn.to/2PVx3ct 日合、柳「ヒルベルト空間と線型作用素」]
* [https://amzn.to/2QdWrdK 新井朝雄「量子現象の数理」]
* [https://amzn.to/3txHNMX 新井朝雄「フォック空間と量子場（上）」]

== 脚注 ==