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Sobolev空間の基本事項

2026-04-27T09:32:06Z

Kataoka: /* 定理38.3（Sobolevの埋め込み定理1） */

本稿は、[[超関数の定義と基本操作]]、[[緩増加超関数とFourier変換]]、[[合成積とFourier変換]]の続編であり、超関数の枠組みでEuclid空間の開集合上の $L^2$ 空間におけるSobolev空間の基本事項について述べる。特に滑らかでコンパクトな境界を持つ開集合上のSobolev空間について、その拡張作用素、トレース作用素、及び、Sobolev埋め込み定理、Rellich-Kondrachovの定理について述べる。 $\mathbb{N}=\{1,2,3,\ldots\}$、$\mathbb{Z}_+=\{0,1,2,\ldots\}$ とする。

'''[[超関数とFourier変換、Sobolev空間]]'''
* [[超関数の定義と基本操作]]
* [[緩増加超関数とFourier変換]]
* [[合成積とFourier変換]]
* '''Sobolev空間の基本事項'''

== 30. Sobolev空間 $H^m(\Omega)$ ==

=== 定義30.1（Sobolev空間 $H^m(\Omega)$） ===
$\Omega\subset \mathbb{R}^N$ を開集合とする。任意の $m\in \mathbb{Z}_+$ に対し $L^2(\Omega)$ の線形部分空間
$$
H^m(\Omega)\colon=\{[f]\in L^2(\Omega):\lvert\alpha\rvert\leq m\text{ を満たす任意の }\alpha\in \mathbb{Z}_+^N\text{ に対し }\partial^{\alpha}[f]\in L^2(\Omega)\}
$$
を定義する。ただし $\partial^{\alpha}[f]$ は超関数としての弱微分（'''定義6.2'''）である。そして $L^2(\Omega)$ の内積 $(\cdot \mid \cdot)_2$ に対し、
$$
([f]\mid [g])_{2,m}\colon=\sum_{\lvert\alpha\rvert\leq m}(\partial^{\alpha}[f]\mid \partial^{\alpha}[g])_2\quad(\forall [f],[g]\in H^m(\Omega))
$$
として $H^m(\Omega)$ の内積を定義する。この内積 $(\cdot\mid \cdot)_{2,m}$ による内積空間 $H^m(\Omega)$ を $\Omega$ 上の $m$ 階Sobolev空間と言う。次の'''命題30.2'''で見るようにSobolev空間 $H^m(\Omega)$ はHilbert空間である。Sobolev空間 $H^m(\Omega)$ のノルムは、
$$
\lVert [f]\rVert_{2,m}\colon=\sqrt{([f]\mid [f])_{2,m}}=\sqrt{\sum_{\lvert\alpha\rvert\leq m}\lVert \partial^{\alpha}[f]\rVert_2^2}\quad(\forall [f]\in H^m(\Omega))
$$
と表す。

=== 命題30.2（Sobolev空間 $H^m(\Omega)$ の完備性） ===
開集合 $\Omega\subset \mathbb{R}^N$ と $m\in \mathbb{Z}_+$ に対し $\Omega$ 上の $m$ 階Sobolev空間 $H^m(\Omega)$ を考える。このとき、
*$(1)$　任意の $[f]\in H^m(\Omega)$ と $\lvert\beta\rvert\leq m$ なる任意の多重指数 $\beta\in \mathbb{Z}_+^N$ に対し、
$$
\lVert \partial^{\beta}[f]\rVert_2\leq \lVert [f]\rVert_{2,m}\leq \sum_{\lvert\alpha\rvert\leq m}\lVert \partial^{\alpha}[f]\rVert_2\quad(\forall [f]\in H^m(\Omega))\quad\quad(*)
$$
が成り立つ。
*$(2)$　$H^m(\Omega)$ はHilbert空間である。
{{begin |proof }}
*$(1)$　直和Hilbert空間（[[測度と積分6：数え上げ測度と $\ell^p$ 空間]]の'''定義26.3'''）$\bigoplus_{\lvert\alpha\rvert\leq m}L^2(\Omega)$ の内積を $(\cdot\mid\cdot)_{\oplus}$、ノルムを $\lVert\cdot\rVert_{\oplus}$ と表す。このとき任意の $[f],[g]\in H^m(\Omega)$ に対し、
$$
([f]\mid [g])_{2,m}=\sum_{\lvert\alpha\rvert\leq m}(\partial^{\alpha}[f]\mid \partial^{\alpha}[g])_2=( (\partial^{\alpha}[f])_{\lvert\alpha\rvert\leq m}\mid (\partial^{\alpha}[g])_{\lvert\alpha\rvert\leq m})_{\oplus}
$$
であるから、
$$
H^m(\Omega)\ni [f]\mapsto (\partial^{\alpha}[f])_{\lvert\alpha\rvert\leq m}\in \bigoplus_{\lvert\alpha\rvert\leq m}L^2(\Omega)
$$
は内積を保存するのでノルムを保存する。よって、
$$
\lVert [f]\rVert_{2,m}=\lVert (\partial^{\alpha}[f])_{\lvert\alpha\rvert\leq m}\rVert_{\oplus}
\leq \sum_{\lvert\alpha\rvert\leq m}\lVert \partial^{\alpha}[f]\rVert_{\oplus}
=\sum_{\lvert\alpha\rvert\leq m}\lVert \partial^{\alpha}[f]\rVert_2
$$
であり、$\lvert\beta\rvert\leq m$ なる任意の $\beta\in\mathbb{Z}_+^N$ に対し、
$$
\lVert \partial^{\beta}[f]\rVert_{2}=\lVert \partial^{\beta}[f]\rVert_{\oplus}
\leq \lVert (\partial^{\alpha}[f])_{\lvert\alpha\rvert\leq m}\rVert_{\oplus}
=\lVert [f]\rVert_{2,m}
$$
である。よって $(*)$ が成り立つ。
*$(2)$　$([f_i])_{i\in\mathbb{N}}$ を $H^m(\Omega)$ のCauchy列とする。$(1)$ より $\lvert\alpha\rvert\leq m$ なる任意の $\alpha\in \mathbb{Z}_+^N$ に対し $(\partial^{\alpha}[f_i])_{i\in\mathbb{N}}$ はHilbert空間 $L^2(\Omega)$ のCauchy列であるから、$[f^{(\alpha)}]\in L^2(\Omega)$ で、
$$
\lim_{i\rightarrow\infty}\lVert [\partial^{\alpha}f_i]-[f^{(\alpha)}]\rVert_2=0\quad\quad(**)
$$
なるものが定まる。
$$
[f]:=[f^{(0)}]\in L^2(\Omega)
$$
とおく。$(**)$ と'''命題5.5'''より $\lvert\alpha\rvert\leq m$ なる任意の $\alpha\in \mathbb{Z}_+^N$ に対し、
$$
\lim_{i\rightarrow\infty}\partial^{\alpha}[f_i]=[f^{(\alpha)}]\quad(D'(\Omega)\text{ の位相 })\quad\quad(***)
$$
が成り立つ。特に、
$$
\lim_{i\rightarrow\infty}[f_i]=[f]\quad(D'(\Omega)\text{ の位相 })
$$
であるから、弱微分の連続性（'''命題6.3'''）より任意の $\alpha\in \mathbb{Z}_+^N$ に対し、
$$
\lim_{i\rightarrow\infty}\partial^{\alpha}[f_i]=\partial^{\alpha}[f]\quad(D'(\Omega)\text{ の位相 })\quad\quad(****)
$$
が成り立つ。よって $(***)$, $(****)$ より $\lvert\alpha\rvert\leq m$ なる任意の $\alpha\in \mathbb{Z}_+^N$ に対し、
$$
\partial^{\alpha}[f]=[f^{(\alpha)}]\in L^2(\Omega)
$$
であるから、$[f]\in H^m(\Omega)$ である。そして $(**)$ と $(1)$ より、
$$
\lVert [f_i]-[f]\rVert_{2,m}\leq \sum_{\lvert\alpha\rvert\leq m}\lVert \partial^{\alpha}[f_i]-\partial^{\alpha}[f]\rVert_2\rightarrow0\quad(i\rightarrow\infty)
$$
であるから $H^m(\Omega)$ のCauchy列 $([f_i])_{i\in\mathbb{N}}$ は $[f]\in H^m(\Omega)$ に収束する。ゆえに $H^m(\Omega)$ はHilbert空間である。
{{end|proof|}}

== 31. Sobolev空間の変数変換 ==

=== 命題31.2（Sobolev空間の変数変換） ===
$\Omega,\Omega'\subset \mathbb{R}^N$ を開集合とし、$\Phi\colon\Omega\rightarrow\Omega'$ を $C^\infty$ 級同相写像で $\Phi,\Phi^{-1}$ の $1$ 階以上の全ての偏導関数が有界であるものとする。このとき任意の $m\in\mathbb{N}$、任意の $u\in H^m(\Omega')$ に対し $u\circ\Phi\in H^m(\Omega)$ が成り立つ。ただし $u\circ\Phi$ は超関数としての変数変換（'''定義8.1'''）である。そして、
$$
H^m(\Omega')\ni u\mapsto u\circ\Phi\in H^m(\Omega)
$$
は有界線形作用素である。
{{begin |proof }}
超関数の変数変換に関するチェインルール（'''命題8.3'''）より、
$$
\partial_j(u\circ\Phi)=\sum_{i=1}^{N}\partial_j\Phi_i(( \partial_iu)\circ\Phi)\quad(j=1,\ldots,N)
$$
である。チェインルールとLiebnizルール（'''命題7.2'''）を繰り返し用いることにより $\lvert\alpha\rvert\leq m$ を満たす任意の $\alpha\in \mathbb{Z}_+^N$ に対し $\Phi$ の $1$ 階以上の偏導関数のみの和と積で表される有界な $\varphi_{\beta}\in C^\infty(\Omega)$ $(\beta\in \mathbb{Z}_+^N\colon\lvert\beta\rvert\leq \lvert\alpha\rvert)$ に対し、
$$
\partial^{\alpha}(u\circ\Phi)=\sum_{\lvert\beta\rvert\leq\lvert\alpha\rvert}\varphi_{\beta}((\partial^{\beta}u)\circ\Phi)
$$
と表されることが分かる。$\lvert\beta\rvert\leq\lvert\alpha\rvert$ なる各 $\beta\in \mathbb{Z}_+^N$ に対し変数変換公式（[[測度と積分8：Lebesgue測度の基本的性質]]の'''補題40.3'''）より、
$$
\begin{aligned}
\lVert(\partial^{\beta}u)\circ\Phi\rVert_2^2&=\int_{\Omega}\lvert(\partial^{\beta}u)\circ\Phi(x)\rvert^2dx=\int_{\Omega'}\lvert\partial^{\beta}u(x)\rvert^2\lvert {\rm det}{\Phi^{-1}}'(x)\rvert dx\\
&\leq \lVert {\rm det}{\Phi^{-1}}'\rVert_{\infty}\lVert \partial^{\beta}u\rVert_2^2
\end{aligned}
$$
であるから、
$$
\begin{aligned}
\lVert\partial^{\alpha}(u\circ\Phi)\rVert_2
&\leq \sum_{\lvert \beta\rvert\leq \lvert\alpha\rvert}\lVert\varphi_{\beta}\rVert_{\infty}\lVert(\partial^{\beta}u)\circ\Phi\rVert_2
\leq \sum_{\lvert\beta\rvert\leq\lvert\alpha\rvert}\lVert\varphi_{\beta}\rVert_{\infty}\lVert {\rm det}{\Phi^{-1}}'\rVert_{\infty}^{\frac{1}{2}}\lVert \partial^{\beta}u\rVert_2\\
&\leq \left(\sum_{\lvert\beta\rvert\leq\lvert\alpha\rvert}\lVert\varphi_{\beta}\rVert_{\infty}\lVert {\rm det}{\Phi^{-1}}'\rVert_{\infty}^{\frac{1}{2}}\right)\lVert u\rVert_{2,m}
\end{aligned}
$$
である。よって $\lvert\alpha\rvert\leq m$ を満たす任意の $\alpha\in \mathbb{Z}_+^N$ に対し $u$ によらない定数 $c_{\alpha}\in [0,\infty)$ が存在し、
$$
\lVert\partial^{\alpha}(u\circ\Phi)\rVert_2\leq c_{\alpha}\lVert u\rVert_{2,m}
$$
が成り立つので $u\circ\Phi\in H^m(\Omega)$ であり、
$$
\lVert u\circ\Phi\rVert_{2,m}\leq \sum_{\lvert\alpha\rvert\leq m}\lVert \partial^{\alpha}(u\circ\Phi)\rVert_2
\leq \left(\sum_{\lvert\alpha\rvert\leq m}c_{\alpha}\right)\lVert u\rVert_{2,m}
$$
であるから、
$$
H^m(\Omega')\ni u\mapsto u\circ\Phi\in H^m(\Omega)
$$
は有界線形作用素である。
{{end|proof|}}

== 32. Sobolev空間 $H^m_0(\Omega)$ ==

=== 定義32.1（Sobolev空間 $H^m_0(\Omega)$） ===
$\Omega\subset \mathbb{R}^N$ を開集合、$m\in \mathbb{Z}_+$ とする。明らかに $D(\Omega)\subset H^m(\Omega)$ である。そこで $D(\Omega)$ の $H^m(\Omega)$ における閉包を、
$$
H^m_0(\Omega)\colon=\overline{D(\Omega)}^{\lVert \cdot\rVert_{2,m}}\subset H^m(\Omega)
$$
と表す。

=== 定理32.2（$H^m(\mathbb{R}^N)=H^m_0(\mathbb{R}^N)$） ===
任意の $m\in \mathbb{Z}_+$ に対し $H^m(\mathbb{R}^N)=H^m_0(\mathbb{R}^N)$ が成り立つ。
{{begin |proof }}
Urysohnの補題（[[ベクトル解析4：Euclid空間内の多様体上の測度と積分]]の'''定理15.5'''）により $\omega\in D(\mathbb{R}^N)$ で、
$$
0\leq \omega(x)\leq 1\quad(\forall x\in \mathbb{R}^N),\quad \omega(x)=1\quad(\forall x\in\mathbb{R}^N:\lvert x\rvert\leq1)
$$
を満たすものを取り、任意の $n\in \mathbb{N}$ に対し $\omega_n\in D(\mathbb{R}^N)$ を、
$$
\omega_n(x)\colon=\omega(n^{-1}x)\quad(\forall x\in \mathbb{R}^N)
$$
として定義する。このとき、
$$
0\leq \omega_n(x)\leq 1\quad(\forall x\in \mathbb{R}^N),\quad \omega_n(x)=1\quad(\forall x\in \mathbb{R}^N:\lvert x\rvert\leq n)\quad\quad(*)
$$
である。$(\psi_{\epsilon})_{\epsilon>0}$ をFriedrichsの軟化子（'''定義26.1'''）とする。任意の $u\in H^m(\mathbb{R}^N)$ を取り、
$$
u_n\colon=\omega_n(\psi_{\frac{1}{n}}*u)\in D(\mathbb{R}^N)\quad(\forall n\in\mathbb{N})
$$
とおく。このとき $\lvert\alpha\rvert\leq m$ を満たす任意の $\alpha\in \mathbb{Z}_+^N$ に対しLeibnizルール（'''命題7.2'''）より、
$$
\partial^{\alpha}u_n-\partial^{\alpha}u=\left(\omega_n(\psi_{\frac{1}{n}}*\partial^{\alpha}u)-\partial^{\alpha}u\right)+\sum_{0<\beta\leq\alpha}\begin{pmatrix}\alpha\\\beta\end{pmatrix}\partial^{\beta}\omega_n(\psi_{\frac{1}{n}}*\partial^{\alpha-\beta}u)\quad(\forall n\in\mathbb{N})\quad\quad(**)
$$
である。$(**)$ の右辺の第一項の $L^2$ ノルムは、$(*)$ とLebesgue優収束定理、'''命題29.4'''より、
$$
\begin{aligned}
&\lVert\omega_n(\psi_{\frac{1}{n}}*\partial^{\alpha}u)-\partial^{\alpha}u\rVert_2
\leq \lVert \omega_n(\psi_{\frac{1}{n}}*\partial^{\alpha}u-\partial^{\alpha}u)\rVert_2+\lVert (\omega_n-1)\partial^{\alpha}u\rVert_2\\
&\leq\lVert \psi_{\frac{1}{n}}*\partial^{\alpha}u-\partial^{\alpha}u\rVert_2+\left(\int_{\mathbb{R}^N}\lvert (\omega_n(x)-1)\partial^{\alpha}u(x)\rvert^2dx\right)^{\frac{1}{2}}\\
&\rightarrow0\quad(n\rightarrow\infty)
\end{aligned}
$$
となる。また、
$$
\partial^{\beta}\omega_n(x)=n^{-\lvert\beta\rvert}(\partial^{\beta}\omega)(n^{-1}x)\quad(\forall x\in \mathbb{R}^N)
$$
より、
$$
\lVert \partial^{\beta}\omega_n\rVert_{\infty}\leq n^{-\lvert \beta\rvert}\lVert \partial^{\beta}\omega\rVert_{\infty}
$$
であり、Youngの不等式（'''命題29.3'''）より、
$$
\lVert \psi_{\frac{1}{n}}*\partial^{\alpha-\beta}u\rVert_2\leq \lVert \partial^{\alpha-\beta}u\rVert_2
$$
であるから、$(**)$ の右辺の第二項の $L^2$ ノルムは、
$$
\left\lVert\sum_{0<\beta\leq\alpha}\begin{pmatrix}\alpha\\\beta\end{pmatrix}\partial^{\beta}\omega_n(\psi_{\frac{1}{n}}*\partial^{\alpha-\beta}u)\right\rVert_2
\leq \sum_{0<\beta\leq\alpha}\begin{pmatrix}\alpha\\\beta\end{pmatrix}n^{-\lvert \beta\rvert}\lVert\partial^{\beta}\omega\rVert_{\infty}\lVert\partial^{\alpha-\beta}u\rVert_2\rightarrow0\quad(n\rightarrow\infty)
$$
となる。よって、
$$
\lim_{n\rightarrow\infty}\lVert\partial^{\alpha}u_n-\partial^{\alpha}u\rVert_2=0
$$
が成り立つ。これが $\lvert\alpha\rvert\leq m$ を満たす任意の $\alpha\in \mathbb{Z}_+^N$ に対して成り立つので、
$$
\lim_{n\rightarrow\infty}\lVert u_n-u\rVert_{2,m}=0
$$
が成り立つ。ゆえに $u\in H^m_0(\mathbb{R}^N)$ であるから $H^m(\mathbb{R}^N)=H^m_0(\mathbb{R}^N)$ が成り立つ。
{{end|proof|}}

=== 命題32.3（$H^m_0(\Omega)$ の $0$ 拡張） ===
$\Omega,\widetilde{\Omega}\subset \mathbb{R}^N$ を $\Omega\subset \widetilde{\Omega}$ を満たす開集合とし、$u\in H^m_0(\Omega)$ とする。このとき $u$ の $\widetilde{\Omega}$ 上への $0$ 拡張 $\widetilde{u}$(($\widetilde{\Omega}\backslash \Omega$ 上で $0$ として $\widetilde{\Omega}$ 上に拡張したもの。))は $H^m_0(\widetilde{\Omega})$ に属し、
$$
\partial^{\alpha}\widetilde{u}=\widetilde{\partial^{\alpha}u}\quad(\forall\alpha\in \mathbb{Z}_+^N:\lvert\alpha\rvert\leq m),\quad\lVert \widetilde{u}\rVert_{2,m}=\lVert u\rVert_{2,m}
$$
が成り立つ。
{{begin |proof}}
$D(\Omega)$ の列 $(u_i)_{i\in\mathbb{N}}$ で $\lim_{i\rightarrow\infty}\lVert u_i-u\rVert_{2,m}=0$ を満たすものを取る。このとき $\lvert\alpha\rvert\leq m$ を満たす任意の $\alpha\in \mathbb{Z}_+^N$ と任意の $\varphi\in D(\widetilde{\Omega})$ に対し、
$$
\begin{aligned}
\partial^{\alpha}\widetilde{u}(\varphi)&=(-1)^{\lvert\alpha\rvert}\widetilde{u}(\partial^{\alpha}\varphi)=(-1)^{\lvert\alpha\rvert}\int_{\Omega}u(x)\partial^{\alpha}\varphi(x)dx=
\lim_{i\rightarrow\infty}(-1)^{\lvert\alpha\rvert}\int_{\Omega}u_i(x)\partial^{\alpha}\varphi(x)dx\\
&=\lim_{i\rightarrow\infty}\int_{\Omega}\partial^{\alpha}u_i(x)\varphi(x)dx
=\int_{\Omega}\partial^{\alpha}u(x)\varphi(x)dx=\int_{\widetilde{\Omega}}\widetilde{\partial^{\alpha}u}(x)\varphi(x)dx
=\widetilde{\partial^{\alpha}u}(\varphi)
\end{aligned}
$$
であるから、
$$
\partial^{\alpha}\widetilde{u}=\widetilde{\partial^{\alpha}u}\in L^2(\widetilde{\Omega})
$$
であり、
$$
\lVert \partial^{\alpha}\widetilde{u}-\partial^{\alpha}u_i\rVert_2
=\lVert \widetilde{\partial^{\alpha}u}-\partial^{\alpha}u_i\rVert_2
=\lVert \partial^{\alpha}u-\partial^{\alpha}u_i\rVert_2\rightarrow0\quad(i\rightarrow\infty)
$$
である。よって $\widetilde{u}\in H^m(\widetilde{\Omega})$ であり、$\lim_{i\rightarrow\infty}\lVert \widetilde{u}-u_i\rVert_{2,m}=0$ であるので $\widetilde{u}\in H^m_0(\widetilde{\Omega})$ である。また、
$$
\lVert \widetilde{u}\rVert_{2,m}^2=\sum_{\lvert\alpha\rvert\leq m}\lVert \partial^{\alpha}\widetilde{u}\rVert_2^2=\sum_{\lvert\alpha\rvert\leq m}\lVert \widetilde{\partial^{\alpha}u}\rVert_2^2=\sum_{\lvert\alpha\rvert\leq m}\lVert \partial^{\alpha}u\rVert_2^2=\lVert u\rVert_{2,m}^2
$$
である。
{{end|proof|}}

== 33. Sobolev空間の元の台を保存する $0$ 拡張 ==

=== 補題33.1 ===
$S\subset \Omega\subset \widetilde{\Omega}\subset \mathbb{R}^N$ とし、$\Omega,\widetilde{\Omega}$ は $\mathbb{R}^N$ の開集合で、$\mathbb{R}^N$ の距離に関して、
$$
d(S,\text{ }\widetilde{\Omega}\backslash \Omega)>0
$$
が成り立つとする（'''定義2.1'''を参照）。このとき全ての偏導関数が有界な非負値関数 $h\in C^\infty(\mathbb{R}^N)$ で、
$$
h(x)=1\quad(\forall x\in S),\quad d(\text{supp}(h),\text{ }\widetilde{\Omega}\backslash \Omega)>0
$$
を満たすものが存在する。
{{begin |proof }}
$$
r\colon=d(S,\text{ }\widetilde{\Omega}\backslash \Omega)>0,\quad r_1:=\frac{r}{3}>0
$$
とおき、
$$
E\colon=\{x\in \mathbb{R}^N: d(x,S)<r_1\}
$$
とおく。（'''命題2.2'''より $E$ は $\mathbb{R}^N$ の開集合である。）そして $(\psi_{\epsilon})_{\epsilon\in (0,\infty)}$ をFriedrichsの軟化子（'''定義26.1'''）とし、$h:=\psi_{r_1}*[\chi_E]\in C^\infty(\mathbb{R}^N)$ とおく。このとき、
$$
h(x)=\frac{1}{(2\pi)^{\frac{N}{2}}}\int_{\lvert y\rvert<r_1}\psi_{r_1}(y)\chi_E(x-y)dy\geq0\quad(\forall x\in \mathbb{R}^N)
$$
であるから $h$ は非負値であり、任意の $\alpha\in \mathbb{Z}_+^N$ に対し、
$$
\begin{aligned}
\lvert\partial^{\alpha}h(x)\rvert&=\lvert(\partial^{\alpha}\psi_{r_1})*[\chi_E](x)\rvert
\leq \frac{1}{(2\pi)^{\frac{N}{2}}}\int_{\lvert y\rvert<r_1}\lvert\partial^{\alpha}\psi_{r_1}(y)\rvert\chi_E(x-y)dy\\
&\leq\frac{1}{(2\pi)^{\frac{N}{2}}}\lVert \partial^{\alpha}\psi_{r_1}\rVert_1<\infty\quad(\forall x\in \mathbb{R}^N)
\end{aligned}
$$
であるから $h$ の全ての偏導関数は有界である。また任意の $x\in S$ と $\lvert y\rvert<r_1$ なる任意の $y\in \mathbb{R}^N$ に対し、
$$
d(x-y,\text{ }S)\leq \lvert x-y-x\rvert=\lvert y\rvert<r_1
$$
であるから $x-y\in E$ である。よって、
$$
h(x)=\frac{1}{(2\pi)^{\frac{N}{2}}}\int_{\lvert y\rvert<r_1}\psi_{r_1}(y)E(x-y)dy
=\frac{1}{(2\pi)^{\frac{N}{2}}}\int_{\lvert y\rvert<r_1}\psi_{r_1}(y)dy=1\quad(\forall x\in S)
$$
である。後は $d(\text{supp}(h),\widetilde{\Omega}\backslash \Omega)>0$ が成り立つことを示せばよい。''命題23.5''より、
$$
\text{supp}(h)=\text{supp}(\psi_{r_1}*[\chi_E])\subset \overline{E+\text{supp}(\psi_{r_1})}=\overline{E+B(0,r_1)}
$$
であるから、
$$
d(\text{supp}(h),\text{ }\widetilde{\Omega}\backslash \Omega)
\geq d(E+B(0,r_1),\text{ }\widetilde{\Omega}\backslash \Omega)=\inf\{\lvert x+y-z\rvert:x\in E,y\in B(0,r_1),z\in \widetilde{\Omega}\backslash\Omega\}\quad\quad(*)
$$
である（'''命題2.2'''を参照）。今、任意の $x\in E$、$y\in B(0,r_1)$、$z\in \widetilde{\Omega}\backslash \Omega$ を取る。$x\in E$ より $\lvert x-s\rvert<r_1$ なる $s\in S$ が取れる。三角不等式より、
$$
\lvert s-z\rvert\geq d(S,\text{ }\widetilde{\Omega}\backslash \Omega)=r,\quad
\lvert x+y-s\rvert\leq \lvert x-s\rvert+\lvert y\rvert<2r_1
$$
であるから、
$$
\lvert x+y-z\rvert\geq \lvert s-z\rvert-\lvert x+y-s\rvert>r-2r_1=r_1
$$
である。よって $(*)$ より、
$$
d(\text{supp}(h),\text{ }\widetilde{\Omega}\backslash \Omega)
\geq \inf\{\lvert x+y-z\rvert:x\in E,y\in B(0,r_1),z\in \widetilde{\Omega}\backslash\Omega\}\geq r_1>0
$$
が成り立つ。
{{end|proof|}}

=== 注意33.2 ===
'''補題33.1'''おける $h\in C^\infty(\mathbb{R}^N)$ について、$d(\text{supp}(h),\text{ }\widetilde{\Omega}\backslash \Omega)>0$ より、
$$
\text{supp}(h)\subset \mathbb{R}^N\backslash(\widetilde{\Omega}\backslash \Omega)=(\mathbb{R}^N\backslash \widetilde{\Omega})\cup \Omega
$$
であるから $h$ を $\widetilde{\Omega}$ に制限したものを $h_0\in C^\infty(\widetilde{\Omega})$ とすると、
$$
\text{supp}(h_0)\subset \text{supp}(h)\cap \widetilde{\Omega}\subset \Omega
$$
である。

=== 定理33.3（Sobolev空間の元の台を保存する $0$ 拡張） ===
$\Omega,\widetilde{\Omega}\subset \mathbb{R}^N$ を開集合、$\Omega\subset \widetilde{\Omega}$ とし、$u\in H^m(\Omega)$ とする、そして $u$ の台 $\text{supp}(u)$（'''定義9.2'''）が、
$$
d(\text{supp}(u),\text{ }\widetilde{\Omega}\backslash \Omega)>0
$$
を満たすとする。このとき、$\partial^{\alpha}u\in L^2(\Omega)$ $(\lvert\alpha\rvert\leq m)$ の $\widetilde{\Omega}$ 上への $0$ 拡張を $\widetilde{\partial^{\alpha}u}\in L^2(\widetilde{\Omega})$ とすると、
$$
\widetilde{u}\in H^m(\widetilde{\Omega}),\quad \partial^{\alpha}\widetilde{u}=\widetilde{\partial^{\alpha}u},\quad \text{supp}(\partial^{\alpha}\widetilde{u})=\text{supp}(\partial^{\alpha}u)
\quad(\forall \lvert\alpha\rvert\leq m),\quad \lVert \widetilde{u}\rVert_{2,m}=\lVert u\rVert_{2,m}
$$
が成り立つ。またもし $\widetilde{u}\in H^m_0(\widetilde{\Omega})$ ならば $u\in H^m_0(\Omega)$ が成り立つ。
{{begin |proof }}
$\lvert\alpha\rvert\leq m$ を満たす任意の $\alpha\in \mathbb{Z}_+^N$ に対し $\text{supp}(\partial^{\alpha}u)\subset \text{supp}(u)$ である（'''命題9.3'''の$(1)$ ）から、
$$
d(\text{supp}(\partial^{\alpha}u),\text{ }\widetilde{\Omega}\backslash \Omega)
\geq d(\text{supp}(u),\text{ }\widetilde{\Omega}\backslash \Omega)>0
$$
である。よって $\text{supp}(\partial^{\alpha}u)$ は $\widetilde{\Omega}$ において閉である<ref>実際、$\text{supp}(\partial^{\alpha}u)$ の $\widetilde{\Omega}$ における閉包の任意の点 $x$ に対し $x$ に収束する $\text{supp}(\partial^{\alpha}u)$ の点列 $(x_n)_{n\in\mathbb{N}}$ を取れば、任意の $y\in \widetilde{\Omega}\backslash \Omega$ に対し $\lvert x-y\rvert=\lim_{n\rightarrow\infty}\lvert x_n-y\rvert\geq d(\text{supp}(\partial^{\alpha}u),\text{ }\widetilde{\Omega}\backslash \Omega)>0$ であるから $x\notin \widetilde{\Omega}\backslash\Omega$、すなわち $x\in \Omega$ である。$\partial^{\alpha}\Omega$ は $\Omega$ の閉集合であるから $x\in \text{supp}(\partial^{\alpha}u)$ であるので $\text{supp}(\partial^{\alpha}u)$ は $\widetilde{\Omega}$ において閉である。</ref>ので、
$$
\text{supp}(\widetilde{\partial^{\alpha}u})=\text{supp}(\partial^{\alpha}u)\quad\quad(*)
$$
が成り立つ。これより、
$$
\text{supp}(\widetilde{\partial^{\alpha}u})=\text{supp}(\partial^{\alpha}u)\subset \text{supp}(u)\quad(\forall \alpha\in \mathbb{Z}_+^N:\lvert\alpha\rvert\leq m)\quad\quad(**)
$$
である。また、
$$
\text{supp}(\partial^{\alpha}\widetilde{u})\subset \text{supp}(\widetilde{u})=\text{supp}(u)\quad(\forall \alpha\in \mathbb{Z}_+^N:\lvert\alpha\rvert\leq m)\quad\quad(***)
$$
である（'''命題9.3'''の $(1)$ ）。'''補題33.1'''と'''注意33.2'''より全ての偏導関数が有界な $h\in C^\infty(\widetilde{\Omega})$ で、
$$
h(x)=1\quad(\forall x\in \text{supp}(u)),\quad \text{supp}(h)\subset \Omega\quad\quad(****)
$$
を満たすものが取れる。$(****)$ の左の式と $(**), (***)$ より、
$$
\widetilde{\partial^{\alpha}u}=h(\widetilde{\partial^{\alpha}u}),\quad\partial^{\alpha}\widetilde{u}=h\partial^{\alpha}\widetilde{u}\quad(\forall \alpha\in \mathbb{Z}_+^N:\lvert\alpha\rvert\leq m)
$$
であり、$(****)$ の右の式より、
$$
h\varphi\in D(\Omega)\quad(\forall \varphi\in D(\widetilde{\Omega}))
$$
である。よって $\lvert\alpha\rvert\leq m$ を満たす任意の $\alpha\in \mathbb{Z}_+^N$ と任意の $\varphi\in D(\widetilde{\Omega})$ に対し、
$$
\begin{aligned}
&\widetilde{\partial^{\alpha}u}(\varphi)=h(\widetilde{\partial^{\alpha}u})(\varphi)
=\widetilde{\partial^{\alpha}u}(h\varphi)=\partial^{\alpha}u(h\varphi)
=(-1)^{\lvert\alpha\rvert}u(\partial^{\alpha}(h\varphi))\\
&=(-1)^{\lvert\alpha\rvert}\widetilde{u}(\partial^{\alpha}(h\varphi))
=\partial^{\alpha}\widetilde{u}(h\varphi)
=h(\partial^{\alpha}\widetilde{u})(\varphi)
=\partial^{\alpha}\widetilde{u}(\varphi)
\end{aligned}
$$
であるから、
$$
\partial^{\alpha}\widetilde{u}=\widetilde{\partial^{\alpha}u}\in L^2(\widetilde{\Omega})\quad(\forall \alpha\in \mathbb{Z}_+^N:\lvert\alpha\rvert\leq m)
$$
である。これより $\widetilde{u}\in H^m(\widetilde{\Omega})$ であり、
$$
\lVert \widetilde{u}\rVert_{2,m}^2=\sum_{\lvert\alpha\rvert\leq m}\lVert\partial^{\alpha}\widetilde{u}\rVert_2^2
=\sum_{\lvert\alpha\rvert\leq m}\lVert\widetilde{\partial^{\alpha}u}\rVert_2^2
=\sum_{\lvert\alpha\rvert\leq m}\lVert\partial^{\alpha}u\rVert_2^2
=\lVert u\rVert_{2,m}^2
$$
である。また $(*)$ より、
$$
\text{supp}(\partial^{\alpha}\widetilde{u})=\text{supp}(\widetilde{\partial^{\alpha}u})=\text{supp}(\partial^{\alpha}u)\quad(\forall \lvert\alpha\rvert\leq m)
$$
である。
 
後半を示す。$\widetilde{u}\in H^m_0(\widetilde{\Omega})$ ならば $D(\widetilde{\Omega})$ の列 $(u_i)_{i\in\mathbb{N}}$ で $\lim_{i\rightarrow\infty}\lVert \widetilde{u}-u_i\rVert_{2,m}=0$ なるものが取れる。全ての偏導関数が有界な $h\in C^\infty(\widetilde{\Omega})$ で $(****)$ を満たすものを取ると、$h\widetilde{u}=\widetilde{u}$ であり、$(hu_i)_{i\in\mathbb{N}}$ は $D(\Omega)$ の列である。$h$ の全ての偏導関数は有界なのでLiebnizルール（'''命題7.2'''）より $\lvert\alpha\rvert\leq m$ を満たす任意の $\alpha\in \mathbb{Z}_+^N$ に対し、
$$
\lVert \partial^{\alpha}(h\widetilde{u})-\partial^{\alpha}(hu_i)\rVert_2
\leq\sum_{\beta\leq\alpha}\begin{pmatrix}\alpha\\\beta\end{pmatrix}\lVert\partial^{\beta}h\rVert_{\infty}\lVert \partial^{\alpha-\beta}(\widetilde{u}-u_i)\rVert_2\rightarrow0\quad(i\rightarrow\infty)
$$
が成り立つ。よって $H^m(\widetilde{\Omega})$ において $h\widetilde{u}=\lim_{i\rightarrow\infty}hu_i$ であるから、その $\Omega$ 上への制限を考えれば、
$$
u=\widetilde{u}|_{\Omega}=(h\widetilde{u})|_{\Omega}=\lim_{i\rightarrow\infty}hu_i\in \overline{D(\Omega)}^{\lVert \cdot\rVert_{2,m}}=H^m_0(\Omega)
$$
となる。
{{end|proof|}}

=== 注意33.4（境界との距離） ===
$\Omega\subset \mathbb{R}^N$ を開集合、$E\subset \Omega$とする。このとき $\Omega$ の境界 $\partial\Omega=\overline{\Omega}\backslash \Omega$ に対し、
$$
d(E,\text{ }\mathbb{R}^N\backslash \Omega)=d(E,\text{ }\partial\Omega)
$$
である。実際、$\partial\Omega\subset \mathbb{R}^N\backslash \Omega$ より $\leq$ は自明である。任意の $x\in E$ と $y\in \mathbb{R}^N\backslash \Omega$ に対し、
$$
s\colon=\sup\{t\in [0,1]:x+t(y-x)\in\Omega\}
$$
とおけば $\Omega$ が開集合であることから $x+s(y-x)\notin \Omega$ であり、$x+s(y-x)$ に収束する $\Omega$ の点列 $(x+t_n(y-x))_{n\in\mathbb{N}}$ が取れるから $x+s(y-x)\in\overline{\Omega}$、よって $x+s(y-x)\in \partial\Omega$ である。ゆえに、
$$
\lvert x-y\rvert\geq s\lvert x-y\rvert=\lvert x-(x+s(y-x))\rvert\geq d(E,\text{ }\partial\Omega)
$$
であるから $d(E,\mathbb{R}^N\backslash \Omega)\geq d(E,\partial\Omega)$ である。

=== 系33.5（台と境界の距離が正ならば $H_0$ に属する） ===
$\Omega\subset \mathbb{R}^N$ を開集合、$u\in H^m(\Omega)$ とし、
$$
d(\text{supp}(u),\text{ }\partial\Omega)=d(\text{supp}(u),\text{ }\mathbb{R}^N\backslash \Omega)>0
$$
とする。このとき $u\in H^m_0(\Omega)$ が成り立つ。
{{begin |proof}}
'''定理33.3'''の前半より $u$ の $\mathbb{R}^N$ 上への $0$ 拡張 $\widetilde{u}$ は $H^m(\mathbb{R}^N)$ に属し、'''定理32.2'''より $H^m(\mathbb{R}^N)=H^m_0(\mathbb{R}^N)$ であるから、'''定理33.3'''の後半より $u\in H^m_0(\Omega)$ である。
{{end|proof|}}

=== 系33.6 ===
$\Omega\subset \widetilde{\Omega}\subset \mathbb{R}^N$ を開集合とし、
$$
d(\Omega,\text{ } \partial\widetilde{\Omega})=d(\Omega,\text{ }\mathbb{R}^N\backslash \widetilde{\Omega})>0
$$
が成り立つとする。このとき任意の $u\in H^m(\widetilde{\Omega})$ に対し $D(\widetilde{\Omega})$ の列 $(u_i)_{i\in\mathbb{N}}$ で、
$$
\lim_{i\rightarrow\infty}\lVert u|_{\Omega}-u_i|_{\Omega}\rVert_{2,m}=0
$$
を満たすものが存在する。ただし $u|_{\Omega},u_i|_{\Omega}$ は $u,u_i$ の $\Omega$ 上への制限である。
{{begin |proof }}
'''補題33.1'''より全ての偏導関数が有界な $h\in C^\infty(\mathbb{R}^N)$ で、
$$
h(x)=1\quad(\forall x\in \Omega),\quad d(\text{supp}(h),\text{ }\mathbb{R}^N\backslash\widetilde{\Omega})>0
$$
を満たすものが取れる。$h$ の全ての偏導関数は有界であるからLeibnizルール（'''命題7.2'''）より $hu\in H^m(\widetilde{\Omega})$ であり、$hu$ の台は $\text{supp}(hu)\subset \text{supp}(h)$ を満たす（'''命題9.3'''の $(2)$ ）ので、
$$
d(\text{supp}(hu),\text{ }\mathbb{R}^N\backslash \widetilde{\Omega})\geq d(\text{supp}(h),\text{ }\mathbb{R}^N\backslash \widetilde{\Omega})>0
$$
である。よって'''系33.5'''より $hu\in H^m_0(\widetilde{\Omega})$ であるから $D(\widetilde{\Omega})$ の列 $(u_i)_{i\in\mathbb{N}}$ で $\lim_{i\rightarrow\infty}\lVert hu-u_i\rVert_{2,m}=0$ を満たすものが取れる。$h(x)=1$ $(\forall x\in \Omega)$ より $(hu)|_{\Omega}=u|_{\Omega}$ であるから、
$$
\lVert u|_{\Omega}-u_i|_{\Omega}\rVert_{2,m}
=\lVert (hu)|_{\Omega}-u_i|_{\Omega}\rVert_{2,m}\leq \lVert hu-u_i\rVert_{2,m}\rightarrow0\quad(i\rightarrow\infty)
$$
である。
{{end|proof|}}

== 34. 半空間 $\mathbb{R}^N_+$ 上のSobolev空間 $H^m(\mathbb{R}^N_+)$ の拡張作用素 ==

=== 定義34.1（半空間） ===
$\mathbb{R}^N_+\colon=\mathbb{R}^{N-1}\times (0,\infty)$、$\mathbb{R}^N_-\colon=\mathbb{R}^{N-1}\times(-\infty,0)$ と定義する。これらを半空間と呼ぶ。

=== 命題34.2（半空間上の拡張作用素の補題） ===
$$
H^m(\mathbb{R}^N_+)=\overline{D(\mathbb{R}^N)|_{\mathbb{R}^N_+}}^{\lVert\cdot\rVert_{2,m}}=\overline{\{u|_{\mathbb{R}^N_+}:u\in D(\mathbb{R}^N)\}}^{\lVert \cdot\rVert_{2,m}}
$$
が成り立つ（ただし $u|_{\mathbb{R}^N_+}$ は $u$ の $\mathbb{R}^N_+$ 上への制限である)。すなわち任意の $u\in H^m(\mathbb{R}^N_+)$ に対し $D(\mathbb{R}^N)$ の列 $(u_i)_{i\in\mathbb{N}}$ で $\lim_{i\rightarrow\infty}\lVert u-u_i|_{\mathbb{R}^N_+}\rVert_{2,m}=0$ を満たすものが取れる。
{{begin |proof}}
任意の $u\in H^m(\mathbb{R}^N_+)$ を取る。任意の $t\in (0,\infty)$ に対し $\mathbb{R}^N_{+,-t}\colon=\mathbb{R}^{N-1}\times(-t,\infty)$ とおき、
$$
\Phi_t\colon\mathbb{R}^N_{+,-t}\ni x\mapsto x+te_N\in \mathbb{R}^N_+
$$
とおく。このとき'''命題31.2'''より $u\circ\Phi_t\in H^m(\mathbb{R}^N_{+,-t})$ である。そして、
$$
d(\mathbb{R}^N_+,\text{ }\mathbb{R}^N\backslash \mathbb{R}^N_{+,-t})=t>0
$$
であるから、'''系33.6'''より、
$$
(u\circ\Phi_t)|_{\mathbb{R}^N_+}\in \overline{D(\mathbb{R}^N_{+,-t})|_{\mathbb{R}^N_+}}^{\lVert \cdot\rVert_{2,m}}
\subset \overline{D(\mathbb{R}^N)|_{\mathbb{R}^N_+}}^{\lVert \cdot\rVert_{2,m}}\subset H^m(\mathbb{R}^N_+)\quad(\forall t\in (0,\infty))
$$
である。これより $u\in \overline{D(\mathbb{R}^N)|_{\mathbb{R}^N_+}}^{\lVert \cdot\rVert_{2,m}}$ が成り立つことを示すには、
$$
\lim_{t\rightarrow+0}\lVert u-(u\circ\Phi_t)|_{\mathbb{R}^N_+}\rVert_{2,m}=0
$$
が成り立つことを示せばよい。そのためには $\lvert\alpha\rvert\leq m$ を満たす任意の $\alpha\in \mathbb{Z}_+^N$ に対し $u_{\alpha}:=\partial^{\alpha}u\in L^2(\mathbb{R}^N_+)$ とおき、
$$
\lim_{t\rightarrow+0}\lVert u_{\alpha}-(u_{\alpha}\circ\Phi_t)|_{\mathbb{R}^N_+}\rVert_2=0\quad\quad(*)
$$
が成り立つことを示せばよい。（超関数の変数変換に関するチェインルール（'''命題8.3'''）より $\partial^{\alpha}(u\circ\Phi_t)=(\partial^{\alpha}u)\circ\Phi_t=u_{\alpha}\circ\Phi_t$ であることに注意。）$u_{\alpha},(u_{\alpha}\circ\Phi_t)|_{\mathbb{R}^N_+}\in L^2(\mathbb{R}^N_+)$ の $\mathbb{R}^N$ 上への $0$ 拡張を $\widetilde{u_{\alpha}},\widetilde{(u_{\alpha}\circ\Phi_t)|_{\mathbb{R}^N_+}}\in L^2(\mathbb{R}^N)$ とおくと、
$$
\begin{aligned}
&\lVert u_{\alpha}-(u_{\alpha}\circ\Phi_t)|_{\mathbb{R}^N_+}\rVert_2
=\lVert \widetilde{u_{\alpha}}-\widetilde{(u_{\alpha}\circ\Phi_t)|_{\mathbb{R}^N_+}}\rVert_2\\
&\leq \lVert \widetilde{u_{\alpha}}-T_{-te_N}\widetilde{u_{\alpha}}\rVert_2+\lVert T_{-te_N}\widetilde{u_{\alpha}}-\widetilde{(u_{\alpha}\circ\Phi_t)|_{\mathbb{R}^N_+}}\rVert_2\quad(\forall t\in(0,\infty))\quad\quad(**)
\end{aligned}
$$
である。$(**)$ の右辺の第一項については'''命題28.2'''より、
$$
\lim_{t\rightarrow+0}\lVert \widetilde{u_{\alpha}}-T_{-te_N}\widetilde{u_{\alpha}}\rVert_2=0
$$
であり、$(**)$ の右辺の第二項についてはLebesgue測度の平行移動不変性とLebesgue優収束定理より、
$$
\begin{aligned}
&\lVert T_{-te_N}\widetilde{u_{\alpha}}-\widetilde{(u_{\alpha}\circ\Phi_t)|_{\mathbb{R}^N_+}}\rVert_2^2
=\int_{\mathbb{R}^{N-1}\times(-t,0)}\lvert u_{\alpha}(x+te_N)\rvert^2dx\\
&=\int_{\mathbb{R}^{N-1}\times (0,t)}\lvert u_{\alpha}(x)\rvert^2dx\rightarrow0\quad(t\rightarrow+0)
\end{aligned}
$$
である。よって $(*)$ が成り立つ。
{{end|proof|}}

=== 命題34.3（$H^m_0(\mathbb{R}^N_+)$ の $0$ 拡張による特徴付け） ===
$u\in H^m(\mathbb{R}^N_+)$ に対し $u$ の $\mathbb{R}^N$ 上への $0$ 拡張を $\widetilde{u}\in L^2(\mathbb{R}^N)$とおく。このとき次は互いに同値である。
*$(1)$　$u\in H^m_0(\mathbb{R}^N)$.
*$(2)$　$\widetilde{u}\in H^m(\mathbb{R}^N)$.
{{begin |proof }}
$(1)\Rightarrow(2)$ は'''命題32.3'''による。$(2)\Rightarrow(1)$ を示す。$(2)$が成り立つとする。Urysohnの補題（[[ベクトル解析4：Euclid空間内の多様体上の測度と積分]]の'''定理15.5'''）により $\omega\in D(\mathbb{R}^N)$ で、
$$
0\leq \omega(x)\leq1\quad(\forall x\in \mathbb{R}^N),\quad \omega(x)=1\quad(\forall x\in \mathbb{R}^N:\lvert x\rvert\leq1)
$$
を満たすものを取り、任意の $n\in\mathbb{N}$ に対し $\omega_n\in D(\mathbb{R}^N)$ を、
$$
\omega_n(x)\colon=\omega(n^{-1}x)\quad(\forall x\in \mathbb{R}^N)
$$
として定義する。このとき、
$$
0\leq \omega_n(x)\leq1\quad(\forall x\in \mathbb{R}^N),\quad \omega_n(x)=1\quad(\forall x\in \mathbb{R}^N:\lvert x\rvert\leq n)\quad\quad(*)
$$
である。$(\psi_{\epsilon})_{\epsilon\in (0,\infty)}$ をFriedrichsの軟化子（'''定義26.1'''）とする。そして $\widetilde{u}\in H^m(\mathbb{R}^N)$ に対し、
$$
u_n\colon=\omega_n(\psi_{\frac{1}{2n}}*T_{\frac{1}{n}e_N}\widetilde{u})\in D(\mathbb{R}^N)\quad(\forall n\in\mathbb{N})
$$
と定義する。すると'''命題23.5'''より、
$$
\begin{aligned}
\text{supp}(u_n)&\subset \text{supp}(\psi_{\frac{1}{2n}}*T_{\frac{1}{n}e_N}\widetilde{u})\subset \text{supp}(\psi_{\frac{1}{2n}})+\text{supp}(T_{\frac{1}{n}e_N}\widetilde{u})\\
&\subset \overline{\{x\in \mathbb{R}^N:\lvert x\rvert\leq(2n)^{-1}\}+\mathbb{R}^{N-1}\times [n^{-1},\infty)}\\
&\subset \mathbb{R}^{N-1}\times [(2n)^{-1},\infty)\subset \mathbb{R}^N_+
\end{aligned}
$$
であるから $(u_n)_{n\in\mathbb{N}}$ は $D(\mathbb{R}^N_+)$ の列である。ゆえに $(1)$ が成り立つことを示すには $\lim_{n\rightarrow\infty}\lVert \widetilde{u}-u_n\rVert_{2,m}=0$ が成り立つことを示せばよい。$\lvert\alpha\rvert\leq m$ を満たす任意の $\alpha\in \mathbb{Z}_+^N$ を取る。Leibnizルール（'''命題7.2'''）より、
$$
\partial^{\alpha}u_n=\omega_n(\psi_{\frac{1}{2n}}*T_{\frac{1}{n}e_N}\partial^{\alpha}\widetilde{u})+
\sum_{0<\beta\leq\alpha}\begin{pmatrix}\alpha\\\beta\end{pmatrix}
\partial^{\beta}\omega_n(\psi_{\frac{1}{2n}}*T_{\frac{1}{n}e_N}\partial^{\alpha-\beta}\widetilde{u})
$$
であるから、
$$
\lVert \partial^{\alpha}\widetilde{u}-\partial^{\alpha}u_n\rVert_2
\leq \lVert \partial^{\alpha}\widetilde{u}-\omega_n(\psi_{\frac{1}{2n}}*T_{\frac{1}{n}e_N}\partial^{\alpha}\widetilde{u})\rVert_2+\sum_{0<\beta\leq\alpha}\begin{pmatrix}\alpha\\\beta\end{pmatrix}
\lVert\partial^{\beta}\omega_n(\psi_{\frac{1}{2n}}*T_{\frac{1}{n}e_N}\partial^{\alpha-\beta}\widetilde{u})\rVert_2\quad(\forall n\in\mathbb{N})\quad\quad(**)
$$
である。
$$
\partial^{\beta}\omega_n(x)=n^{-\lvert\beta\rvert}\partial^{\beta}\omega(n^{-1}x)\quad(\forall n\in\mathbb{N},\forall x\in\mathbb{R}^N)
$$
より、
$$
\lVert \partial^{\beta}\omega_n\rVert_{\infty}=n^{-\lvert\beta\rvert}\lVert \partial^{\beta}\omega\rVert_{\infty}\quad(\forall n\in\mathbb{N})
$$
であり、Youngの不等式（'''命題29.3'''）より、
$$
\lVert \psi_{\frac{1}{2n}}*T_{\frac{1}{n}e_N}\partial^{\alpha-\beta}\widetilde{u}\rVert_2
\leq \lVert T_{\frac{1}{n}e_N}\partial^{\alpha-\beta}\widetilde{u}\rVert_2
=\lVert \partial^{\alpha-\beta}\widetilde{u}\rVert_2\quad(\forall n\in\mathbb{N})
$$
であるから、$(**)$ の右辺の第二項は $n\rightarrow\infty$ で $0$ に収束する。$(**)$ の右辺の第一項を考える。$(*)$ の左の式とYoungの不等式（'''命題29.3'''）より、
$$
\begin{aligned}
&\lVert \partial^{\alpha}\widetilde{u}-\omega_n(\psi_{\frac{1}{2n}}*\partial^{\alpha}\widetilde{u})\rVert_2\leq \lVert \partial^{\alpha}\widetilde{u}-\omega_n\partial^{\alpha}\widetilde{u}\rVert_2+\lVert \omega_n(\partial^{\alpha}\widetilde{u}-\psi_{\frac{1}{2n}e_N}*\partial^{\alpha}\widetilde{u})\rVert_2\\
&+\lVert \omega_n(\psi_{\frac{1}{2n}e_N}*\partial^{\alpha}\widetilde{u}-\psi_{\frac{1}{2n}e_N}*T_{\frac{1}{n}e_N}\partial^{\alpha}\widetilde{u})\rVert_2\\
&\leq \lVert \partial^{\alpha}\widetilde{u}-\omega_n\partial^{\alpha}\widetilde{u}\rVert_2+\lVert\partial^{\alpha}\widetilde{u}-\psi_{\frac{1}{2n}e_N}*\partial^{\alpha}\widetilde{u}\rVert_2+\lVert \partial^{\alpha}\widetilde{u}-T_{\frac{1}{n}e_N}\partial^{\alpha}\widetilde{u}\rVert_2\quad\quad(***)
\end{aligned}
$$
であり、$(*)$ とLebesgue優収束定理より、
$$
\lim_{n\rightarrow\infty}\lVert \partial^{\alpha}\widetilde{u}-\omega_n\partial^{\alpha}\widetilde{u}\rVert_2=0,
$$
Friedrichsの軟化子の性質（'''命題29.4'''）より、
$$
\lim_{n\rightarrow\infty}\lVert\partial^{\alpha}\widetilde{u}-\psi_{\frac{1}{2n}e_N}*\partial^{\alpha}\widetilde{u}\rVert_2=0,
$$
$L^2(\mathbb{R}^N)$ における平行移動の連続性（'''命題28.2'''）より、
$$
\lim_{n\rightarrow\infty}\lVert \partial^{\alpha}\widetilde{u}-T_{\frac{1}{n}e_N}\partial^{\alpha}\widetilde{u}\rVert_2=0
$$
であるから、$(***)$ の右辺は $n\rightarrow\infty$ で $0$ に収束する。よって $(**)$ の右辺の第一項は $n\rightarrow\infty$ で $0$ に収束する。ゆえに $\lvert\alpha\rvert\leq m$ を満たす任意の $\alpha\in \mathbb{Z}_+^N$ に対し、
$$
\lim_{n\rightarrow\infty}\lVert \partial^{\alpha}\widetilde{u}-\partial^{\alpha}u_n\rVert_2=0
$$
が成り立つので $\lim_{n\rightarrow\infty}\lVert \widetilde{u}-u_n\rVert_{2,m}=0$ が成り立つ。
{{end|proof|}}

=== 補題34.4（Vandelmondeの行列式） ===
任意の $x_1,\ldots,x_N\in \mathbb{C}$ に対し、
$$
V_N(x_1,\ldots,x_N)\colon=\begin{pmatrix}x_1^0&x_2^0&\ldots&x_N^0\\x_1^1&x_2^1&\ldots&x_N^1\\\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\x_1^{N-1}&x_2^{N-1}&\ldots&x_N^{N-1}\end{pmatrix}\in \mathbb{M}_{N\times N}(\mathbb{C})
$$
とおく。このとき、
$$
{\rm det}V_N(x_1,\ldots,x_N)=\prod_{1\leq i<j\leq N}(x_j-x_i)
$$
が成り立つ。
{{begin |proof}}
$N$ に関する帰納法で示す。$N=2$ の場合は、
$$
{\rm det}\begin{pmatrix}1&1\\x_1&x_2\end{pmatrix}=x_2-x_1
$$
であるから成り立つ。ある $N-1\geq2$ に対して成り立つと仮定して $N$ の場合も成り立つことを示す。$x_1,\ldots,x_{N-1}\in \mathbb{C}$ のうち互いに等しいものがあれば ${\rm det}V_N(x_1,\ldots,x_N)$ は互いに等しい列を持つ行列の行列式であるので $0$ であるから $(*)$ は成り立つ。互いに異なる $x_1,\ldots,x_{N-1}\in \mathbb{C}$ を取り、
$$
p(x)\colon={\rm det}V_N(x_1,\ldots,x_{N-1},x)\in \mathbb{C}\quad(\forall x\in \mathbb{C})
$$
とおく。このとき $p(x)$ は $x$ の $N-1$ 次の多項式であり、$x^{N-1}$ の係数は、
$$
{\rm det}V_{N-1}(x_1,\ldots,x_{N-1})=\prod_{1\leq i<j\leq N-1}(x_j-x_i)\neq0
$$
である。そして $p(x_1)=\ldots=p(x_{N-1})=0$ であるから、
$$
p(x)=\left(\prod_{1\leq i<j\leq N-1}(x_j-x_i)\right)(x-x_1)\ldots(x-x_{N-1})
$$
である。よって任意の $x_N\in\mathbb{C}$ に対し、
$$
\begin{aligned}
{\rm det}V_N(x_1,\ldots,x_N)&=p(x_N)=\left(\prod_{1\leq i<j\leq N-1}(x_j-x_i)\right)(x_N-x_1)\ldots(x_N-x_{N-1})\\
&=\prod_{1\leq i<j\leq N}(x_j-x_i)
\end{aligned}
$$
であるから $N$ の場合も成り立つ。
{{end|proof|}}

=== 定理34.5（半空間上のSobolev空間の拡張作用素の構成） ===
$m\in \mathbb{N}$ に対し'''補題34.4'''より、
$$
\sum_{k=1}^{m}a_k(-k)^{j-1}=1\quad(j=1,\ldots,m)\quad\quad(*)
$$
として $a_1,\ldots,a_m\in\mathbb{R}$ が定まる。これに対し、
$$
\Phi_k\colon\mathbb{R}^N_-\ni (x_1,\ldots,x_{N-1},x_N)\mapsto (x_1,\ldots,x_{N-1},-kx_N)\in \mathbb{R}^N_+\quad(k=1,\ldots,m)
$$
とおき、
$$
u^{(k)}\colon=u\circ\Phi_k\in H^m(\mathbb{R}^N_-)\quad(\forall u\in H^m(\mathbb{R}^N_+), k=1,\ldots,m)
$$
とおく。（Sobolev空間の変数変換（'''命題31.2'''）より $u\in H^m(\mathbb{R}^N_+)$ に対し $u\circ\Phi_k\in H^m(\mathbb{R}^N_-)$である。）
そして任意の $u\in H^m(\mathbb{R}^N_+)$ に対し、
$$
Eu\colon=\widetilde{u}+\sum_{k=1}^{m}a_k\widetilde{u^{(k)}}\in L^2(\mathbb{R}^N)
$$
とおく。（ただし $v\in L^2(\mathbb{R}^N_{\pm})$ に対し $\widetilde{v}\in L^2(\mathbb{R}^N)$ を $v$ の $\mathbb{R}^N$ 上への $0$ 拡張とする。）このとき任意の $u\in H^m(\mathbb{R}^N_+)$ に対し $Eu\in H^m(\mathbb{R}^N)$ であり、
$$
\partial^{\alpha}Eu=\widetilde{\partial^{\alpha}u}+\sum_{k=1}^{m}a_k\widetilde{\partial^{\alpha}u^{(k)}}\quad(\forall \alpha\in \mathbb{Z}_+^N:\lvert\alpha\rvert\leq m)\quad\quad(**)
$$
が成り立つ。そして、
$$
E:H^m(\mathbb{R}^N_+)\ni u\mapsto Eu\in H^m(\mathbb{R}^N)
$$
は有界線形作用素である。
{{begin |proof }}
$\lvert\alpha\rvert\leq m$ を満たす任意の $\alpha\in \mathbb{Z}_+^N$ に対し、
$$
E_{\alpha}: H^m(\mathbb{R}^N_+)\ni u\mapsto \widetilde{\partial^{\alpha}u}+\sum_{k=1}^{m}a_k\widetilde{\partial^{\alpha}u^{(k)}}\in L^2(\mathbb{R}^N)\quad\quad(**)
$$
とおく。Sobolev空間の変数変換（'''命題31.2'''）より、
$$
H^m(\mathbb{R}^N_+)\ni u\mapsto u^{(k)}\in H^m(\mathbb{R}^N_-)\quad(k=1,\ldots,m)
$$
はそれぞれ有界線形作用素であるので $(**)$ は有界線形作用素である。今、
$$
\partial^{\alpha}Eu=E_{\alpha}u\quad(\forall u\in D(\mathbb{R}^N)|_{\mathbb{R}^N_+},\forall \alpha\in \mathbb{Z}_+:\lvert\alpha\rvert\leq m)\quad\quad(***)
$$
（$D(\mathbb{R}^N)|_{\mathbb{R}^N_+}$ は $D(\mathbb{R}^N)$ の元を $\mathbb{R}^N_+$ 上に制限したもの全体）が成り立つことを帰納法によって示す。そこである $n\in \{0,1\ldots,m-1\}$ に対し、
$$
\partial^{\alpha}Eu=E_{\alpha}u\quad(\forall u\in D(\mathbb{R}^N)|_{\mathbb{R}^N_+},\forall \alpha\in \mathbb{Z}_+:\lvert\alpha\rvert\leq n)\quad\quad(****)
$$
が成り立つと仮定する。（$n=0$の場合は自明に成り立つ。）$\lvert\alpha\rvert=n$ なる任意の $\alpha\in \mathbb{Z}_+^N$ と任意の $j\in \{1,\ldots,N\}$ を取り、
$$
\beta\colon=\alpha+e_j=\alpha+(0,\ldots,0,\overset{j\text{ 番目}}{1},0,\ldots,0)\in \mathbb{Z}_+^N
$$
とおく。任意の $u\in D(\mathbb{R}^N)|_{\mathbb{R}^N_+}$ を取る。任意の $\varphi\in D(\mathbb{R}^N)$ に対し帰納法の仮定 $(****)$ と部分積分より、
$$
\begin{aligned}
&\partial^{\beta}Eu(\varphi)=\partial_j\partial^{\alpha}Eu(\varphi)=\partial_jE_{\alpha}u(\varphi)
=-E_{\alpha}(\partial_j\varphi)\\
&=-\int_{\mathbb{R}^N_+}\partial^{\alpha}u(x)\partial_j\varphi(x)dx-\sum_{k=1}^{m}a_k\int_{\mathbb{R}^N_-}\partial^{\alpha}u^{(k)}(x)\partial_j\varphi(x)dx\\
&=E_{\beta}u(\varphi)-\left(\int_{\mathbb{R}^N_+}\partial_j(\partial^{\alpha}u\varphi)(x)dx+\sum_{k=1}^{m}a_k\int_{\mathbb{R}^N_-}\partial_j(\partial^{\alpha}u^{(k)}\varphi)(x)dx\right)\quad\quad(*****)
\end{aligned}
$$
であるから、$j\in \{1,\ldots,N-1\}$ の場合はFubiniの定理と微積分学の基本定理より $(*****)$ の右辺の第二項は $0$ である。$j=N$の場合、$(*****)$ の右辺の第二項は、Fubiniの定理と微積分学の基本定理より、
$$
\begin{aligned}
&\int_{\mathbb{R}^N_+}\partial_N(\partial^{\alpha}u\varphi)(x)dx+\sum_{k=1}^{m}a_k\int_{\mathbb{R}^N_-}\partial_N(\partial^{\alpha}u^{(k)}\varphi)(x)dx\\
&=-\int_{\mathbb{R}^{N-1}}\partial^{\alpha}u(x,0)\varphi(x,0)dx+\sum_{k=1}^{m}a_k\int_{\mathbb{R}^{N-1}}
\partial^{\alpha}u^{(k)}(x,0)\varphi(x,0)dx\\
&=-\int_{\mathbb{R}^{N-1}}\partial^{\alpha}u(x,0)\varphi(x,0)dx+\sum_{k=1}^{m}a_k(-k)^{\alpha_N}\int_{\mathbb{R}^{N-1}}\partial^{\alpha}u(x,0)\varphi(x,0)dx\\
&=\left(-1+\sum_{k=1}^{m}a_k(-k)^{\alpha_N}\right)\int_{\mathbb{R}^{N-1}}\partial^{\alpha}u(x,0)\varphi(x,0)dx
\end{aligned}
$$
であるから、$(*)$ より $0$ である。よって、
$$
\partial^{\beta}Eu(\varphi)=E_{\beta}u(\varphi)\quad(\forall \varphi\in D(\mathbb{R}^N))
$$
が成り立つ。ゆえに、
$$
\partial^{\alpha}Eu=E_{\alpha}u\quad(\forall u\in D(\mathbb{R}^N)|_{\mathbb{R}^N_+},\forall \alpha\in \mathbb{Z}_+:\lvert\alpha\rvert\leq n+1)
$$
が成り立つので、帰納法より $(***)$ が成り立つ。今、任意の $u\in H^m(\mathbb{R}^N_+)$ を取る。'''命題34.2'''より $D(\mathbb{R}^N)|_{\mathbb{R}^N_+}$ の列 $(u_i)_{i\in\mathbb{N}}$ で $\lim_{i\rightarrow\infty}\lVert u-u_i\rVert_{2,m}=0$ なるものが取れる。$\lvert\alpha\rvert\leq m$ を満たす任意の $\alpha\in \mathbb{Z}_+^N$ に対し $(**)$ が有界線形作用素であることと'''命題5.5'''より、
$$
\lim_{i\rightarrow\infty}E_{\alpha}u_i=E_{\alpha}u\quad(D'(\mathbb{R}^N)\text{ の位相})
$$
であり、'''命題6.3'''より、
$$
\lim_{i\rightarrow\infty}\partial^{\alpha}Eu_i=\partial^{\alpha}Eu\quad(D'(\mathbb{R}^N)\text{ の位相})
$$
である。よって $(***)$ より、
$$
E_{\alpha}u=\lim_{i\rightarrow\infty}E_{\alpha}u_i=\lim_{i\rightarrow\infty}\partial^{\alpha}Eu_i=\partial^{\alpha}Eu
$$
である。これで任意の $u\in H^m(\mathbb{R}^N_+)$ に対し $Eu\in H^m(\mathbb{R}^N)$ であることと $(**)$ が成り立つことが示された。そして $\lvert\alpha\rvert\leq m$ を満たす任意の $\alpha\in \mathbb{Z}_+^N$ に対し、
$$
H^m(\mathbb{R}^N_+)\ni u\mapsto \partial^{\alpha}Eu=E_{\alpha}u\in L^2(\mathbb{R}^N)
$$
は有界線形作用素であるので、
$$
E:H^m(\mathbb{R}^N_+)\ni u\mapsto Eu\in H^m(\mathbb{R}^N)
$$
は有界線形作用素である。
{{end|proof|}}

=== 定義34.6（半空間上のSobolev空間の拡張作用素） ===
'''定理34.5'''における有界線形作用素 $E\colon H^m(\mathbb{R}^N_+)\rightarrow H^m(\mathbb{R}^N)$ を $H^m(\mathbb{R}^N_+)$ の拡張作用素と言う。任意の $u\in H^m(\mathbb{R}^N_+)$ に対し $Eu|_{\mathbb{R}^N_+}=u$ であることに注意。

== 35. 滑らかでコンパクトな境界を持つ開集合 $\Omega$ 上のSobolev空間 $H^m(\Omega)$ の拡張作用素 ==

=== 定理35.1（滑らかでコンパクトな境界を持つ開集合上のSobolev空間の拡張作用素の存在） ===
$\Omega\subset \mathbb{R}^N$ を滑らかでコンパクトな境界を持つ開集合（[[ベクトル解析5：多様体の向き]]の'''定義21.3'''）、$m\in\mathbb{Z}_+$ とする。このとき有界線形作用素
$$
E\colon H^m(\Omega)\rightarrow H^m(\mathbb{R}^N)
$$
で、
$$
Eu|_{\Omega}=u\quad(\forall u\in H^m(\Omega))
$$
を満たすものが存在する。（これを $H^m(\Omega)$ の拡張作用素と言う。）
{{begin |proof }}
滑らかな境界を持つ開集合の定義（[[ベクトル解析5：多様体の向き]]の'''定義21.3'''）と $\partial\Omega$ のコンパクト性より、$\mathbb{R}^N$ の有限個の局所座標 $( (U_k,\Phi_k))_{k=1,\ldots,\ell}$ で次を満たすものが取れる。
*$(1)$　$\partial\Omega\subset \bigcup_{k=1}^{\ell}U_k$.
*$(2)$　各$k\in \{1,\ldots,\ell\}$ に対し、
$$
\Phi_k(U_k)=(-1,1)^N,\quad\Phi_k(U_k\cap\Omega)=(-1,1)^{N-1}\times (0,1),\quad
\Phi_k(U_k\cap\partial\Omega)=(-1,1)^{N-1}\times\{0\}.
$$
*$(3)$　各 $k\in \{1,\ldots,\ell\}$ に対し $\Phi_k,\Phi_k^{-1}$ の全ての偏導関数は有界。

$(1)$ の左辺はコンパクト集合、右辺は開集合であるから閉包がコンパクトな開集合 $D$ で、
$$
\partial\Omega\subset D\subset \overline{D}\subset \bigcup_{k=1}^{\ell}U_k
$$
を満たすものが取れる。このとき'''命題2.2'''の $(4)$ より、
$$
d(\partial\Omega,\text{ }\mathbb{R}^N\backslash D)>0\quad\quad(*)
$$
であり、$1$の分割（[[ベクトル解析4：Euclid空間内の多様体上の測度と積分]]の'''系15.6'''）より $h_k\in D(U_k)$ $(k=1,\ldots,\ell )$ で、
$$
\sum_{k=1}^{\ell}h_k(x)=1\quad(\forall x\in D)\quad\quad(**)
$$
を満たすものが取れる。今、
$$
h_0\colon=1-\sum_{k=1}^{\ell}h_k\in C^\infty(\mathbb{R}^N)
$$
とおく。このとき $h_0$ は全ての偏導関数が有界なのでLeibnizルール（'''命題7.2'''）より任意の $u\in H^m(\Omega)$ に対し $h_0u\in H^m(\Omega)$ であり、'''注意33.4'''と $(*), (**)$ より、
$$
d(\text{supp}(h_0u),\text{ }\mathbb{R}^N\backslash\Omega)
=d(\text{supp}(h_0u),\text{ }\partial\Omega)\geq d(\text{supp}(h_0),\text{ }\partial\Omega)\geq d(\mathbb{R}^N\backslash D,\text{ }\partial\Omega)>0
$$
である。よって'''系33.5'''より $h_0u\in H^m_0(\Omega)$ であるから、'''命題32.3'''より $h_0u$ の $\mathbb{R}^N$ 上への $0$ 拡張 $\widetilde{h_0u}$ は $H^m(\mathbb{R}^N)$ に属する。これより有界線形作用素
$$
E_0:H^m(\Omega)\ni u\mapsto \widetilde{h_0u}\in H^m(\mathbb{R}^N\quad\quad(***)
$$
が定義できる。任意の $k\in \{1,\ldots,\ell\}$ を取り固定する。$\text{supp}(h_k)\subset U_k$ はコンパクトであるので $\epsilon\in (0,1)$ で、
$$
\Phi_k(\text{supp}(h_k))\subset (-\epsilon,\epsilon)^N
$$
を満たすものが取れる。$\Phi_k$ の $U_k\cap\Omega$ 上への制限を $\Psi_k$ とおくと、$(2),(3)$ とSobolev空間の変数変換（'''命題31.2'''）より、任意の $u\in H^m(\Omega)$ に対し、
$$
(h_ku)\circ\Psi_k^{-1}\in H^m( (-1,1)^{N-1}\times (0,1)),\quad
\text{supp}((h_ku)\circ\Psi_k^{-1})\subset (-\epsilon,\epsilon)^{N-1}\times (0,\epsilon)
$$
であり、
$$
d(\text{supp}( (h_ku)\circ\Psi_k^{-1}),\text{ }\mathbb{R}^N_+\backslash (-1,1)^{N-1}\times(0,1))\geq1-\epsilon>0
$$
である。よって'''定理33.3'''より $(h_ku)\circ\Psi_k^{-1}\in H^m( (-1,1)^{N-1}\times (0,1))$ の $\mathbb{R}^N_+$ 上への $0$ 拡張 $\widetilde{(h_ku)\circ\Psi_k^{-1}}$ は、
$$
\begin{aligned}
&\widetilde{(h_ku)\circ\Psi_k^{-1}}\in H^m(\mathbb{R}^N_+),\quad \lVert \widetilde{(h_ku)\circ\Psi_k^{-1}}\rVert_{2,m}=\lVert (h_ku)\circ\Psi_k^{-1}\rVert_{2,m},\\
&\text{supp}(\widetilde{(h_ku)\circ\Psi_k^{-1}})=\text{supp}((h_ku)\circ\Psi_k^{-1})\subset (-\epsilon,\epsilon)^{N-1}\times (0,\epsilon)\quad\quad(****)
\end{aligned}
$$
を満たす。今、$H^m(\mathbb{R}^N_+)$ の拡張作用素（''定義34.6''）を、
$$
F\colon H^m(\mathbb{R}^N_+)\rightarrow H^m(\mathbb{R}^N)
$$
とすると、$(****)$ と $F$ の構成の仕方（''定理34.5''を参照）より、
$$
\text{supp}(F(\widetilde{(h_ku)\circ\Psi_k^{-1}}))
\subset [-\epsilon,\epsilon]^{N-1}\times [0,\epsilon]\cup\bigcup_{j=1}^{m}[-\epsilon,\epsilon]^{N-1}\times[-j^{-1}\epsilon,\epsilon]\subset [-\epsilon,\epsilon]^N
$$
であるから、'''系33.5'''より、
$$
(F(\widetilde{(h_ku)\circ\Psi_k^{-1}}))|_{(-1,1)^N}\in H^m_0((-1,1)^N)
$$
である。よって $(3)$ とSobolev空間の変数変換（'''命題31.2'''）より、
$$
(F(\widetilde{(h_ku)\circ\Psi_k^{-1}}))\circ\Phi_k\in H^m_0(U_k)\quad\quad(*****)
$$
である。$(*****)$ の $\mathbb{R}^N$ 上への $0$ 拡張を $E_ku$とすると'''命題32.3'''より $E_ku\in H^m(\mathbb{R}^N)$ であり、
$$
\lVert E_ku\rVert_{2,m}=\lVert (F(\widetilde{(h_ku)\circ\Psi_k^{-1}}))\circ\Phi_k\rVert_{2,m}
$$
である。よって $(****)$ より $\Phi_k,\Psi_k,h_k$ のみによる定数 $C_1,C_2,C_3\in [0,\infty)$ が存在し、任意の $u\in H^m(\Omega)$ に対し、
$$
\begin{aligned}
\lVert E^ku\rVert_{2,m}&\leq C_1\lVert F\left(\widetilde{(h_ku)\circ\Psi_k^{-1}}\right)\rVert_{2,m}
\leq C_1\lVert F\rVert\lVert (h_ku)\circ\Psi_k^{-1}\rVert_{2,m}\\
&\leq C_1\lVert F\rVert C_2\lVert h_ku\rVert_{2,m}\leq C_1\lVert F\rVert C_2C_3\lVert u\rVert_{2,m}
\end{aligned}
$$
となる。これより、
$$
E_k:H^m(\Omega)\ni u\mapsto E_ku\in H^m(\mathbb{R}^N)
$$
は有界線形作用素である。任意の $u\in H^m(\Omega)$、任意の $x\in \Omega$ を取る。$x\in U_k$ ならば、
$$
E_ku(x)=(F(\widetilde{(h_ku)\circ\Psi_k^{-1}}))(\Phi_k(x))
=(F(\widetilde{(h_ku)\circ\Psi_k^{-1}}))(\Psi_k(x))
=h_k(x)u(x)
$$
であり、$x\notin U_k$ ならば $E_ku(x)=0=h_k(x)u(x)$ であるから、
$$
E_ku|_{\Omega}=h_ku\quad(\forall u\in H^m(\Omega))\quad\quad(******)
$$
である。そこで有界線形作用素
$$
E\colon=E_0+\sum_{k=1}^{\ell}E_k:H^m(\Omega)\rightarrow H^m(\mathbb{R}^N)
$$
を考えると、$(***), (******)$ より、
$$
Eu|_{\Omega}=E_0u|_{\Omega}+\sum_{k=1}^{\ell}E_ku|_{\Omega}
=h_0u+\sum_{k=1}^{\ell}h_ku=u\quad(\forall u\in H^m(\Omega))
$$
であるから、$E$ は求める有界線形作用素である。
{{end|proof|}}

=== 系35.2（滑らかでコンパクトな境界を持つ開集合 $\Omega\subset \mathbb{R}^N$ に対し $H^m(\Omega)=\overline{D(\mathbb{R}^N)|_{\Omega}}^{\lVert\cdot\rVert_{2,m}}$） ===
$\Omega\subset \mathbb{R}^N$ を滑らかでコンパクトな境界を持つ開集合とする。このとき、
$$
H^m(\Omega)=\overline{D(\mathbb{R}^N)|_{\Omega}}^{\lVert\cdot\rVert_{2,m}}=\overline{\{u|_{\Omega}:u\in D(\mathbb{R}^N)\}}^{\lVert\cdot\rVert_{2,m}}
$$
が成り立つ。
{{begin |proof }}
$E\colon H^m(\Omega)\rightarrow H^m(\mathbb{R}^N)$ を拡張作用素（'''定理35.1'''）とする。任意の $u\in H^m(\Omega)$ に対し $Eu\in H^m(\mathbb{R}^N)$ であり、 $H^m(\mathbb{R}^N)=H^m_0(\mathbb{R}^N)$（'''定理32.2'''）であるから、$D(\mathbb{R}^N)$ の列 $(u_i)_{i\in\mathbb{N}}$ で、
$$
\lim_{i\rightarrow\infty}\lVert Eu-u_i\rVert_{2,m}=0
$$
を満たすものが取れる。$\Omega$ 上への制限を考えれば、
$$
\lVert u-u_i|_{\Omega}\rVert_{2,m}=\lVert Eu|_{\Omega}-u_i|_{\Omega}\rVert_{2,m}
\leq \lVert Eu-u_i\rVert_{2,m}\rightarrow0\quad(i\rightarrow\infty)
$$
であるから $u\in \overline{D(\mathbb{R}^N)|_{\Omega}}^{\lVert\cdot\rVert_{2,m}}$ である。
{{end|proof|}}

== 36. 半空間 $\mathbb{R}^N_+$ 上のSobolev空間 $H^1(\mathbb{R}^N_+)$ のトレース作用素 ==

=== 補題36.1 ===
有界線形作用素
$$
\Gamma\colon H^1(\mathbb{R}^N)\rightarrow L^2(\mathbb{R}^{N-1})
$$
で、任意の $f\in H^1(\mathbb{R}^N)\cap C(\mathbb{R}^N)$ に対し、
$$
\Gamma f=f(\cdot,0)\quad\quad(*)
$$
を満たすものが唯一つ存在する. ただし $N=1$ の場合は $L^2(\mathbb{R}^{N-1})=\mathbb{C}$、$f(\cdot,0)=f(0)$ とみなす。
{{begin |proof }}
一意性は $H^1(\mathbb{R}^N)$ における $D(\mathbb{R}^N)\subset H^1(\mathbb{R}^N)\cap C(\mathbb{R}^N)$ の稠密性（'''定理32.2'''）による。存在を示す。
$$
\Gamma_0\colon(D(\mathbb{R}^N),\lVert \cdot\rVert_{2,1})\ni f\mapsto f(\cdot,0)\in L^2(\mathbb{R}^{N-1})
$$
なる線形作用素を考え、これが有界線形作用素であることを示す。$h\in D(\mathbb{R})$ で $h(0)=1$、$h(1)=0$ なるものを取り、
$$
C^colon={\rm max}(\lVert h\rVert_2,\lVert h'\rVert_2)
$$
とおく。このとき任意の $f\in D(\mathbb{R}^N)$、任意の $x\in \mathbb{R}^{N-1}$ に対し微積分学の基本定理とHölderの不等式より、
$$
\begin{aligned}
\lvert \Gamma_0f(x)\rvert&=\lvert f(x,0)\rvert=\lvert h(1)f(x,1)-h(0)f(x,0)\rvert
=\left\lvert\int_{0}^{1}(h'(t)f(x,t)+h(t)\partial_Nf(x,t))dt\right\rvert\\
&\leq\int_{0}^{1}\lvert h'(t)f(x,t)\rvert dt+\int_{0}^{1}\lvert h(t)\partial_Nf(x,t)\rvert dt\\
&\leq \lVert h'\rVert_2\left(\int_{0}^{1}\lvert f(x,t)\rvert^2 dt\right)^{\frac{1}{2}}+\lVert h\rVert_2\left(\int_{0}^{1}\lvert \partial_Nf(x,t)\rvert^2 dt\right)^{\frac{1}{2}}\\
&\leq C\left(\left(\int_{\mathbb{R}}\lvert f(x,t)\rvert^2dt\right)^{\frac{1}{2}}+\left(\int_{\mathbb{R}}\lvert\partial_Nf(x,t)\rvert^2dt\right)^{\frac{1}{2}}\right)
\end{aligned}
$$
であるから、Minkowskiの不等式とTonelliの定理より、
$$
\begin{aligned}
\lVert \Gamma_0f\rVert_2&=\left(\int_{\mathbb{R}^{N-1}}\lvert f(x,0)\rvert^2dx\right)^{\frac{1}{2}}
\leq C\left(\left(\int_{\mathbb{R}^{N-1}}\int_{\mathbb{R}}\lvert f(x,t)\rvert^2dtdx\right)^{\frac{1}{2}}+\left(\int_{\mathbb{R}^{N-1}}\int_{\mathbb{R}}\lvert\partial_Nf(x,t)\rvert^2dt\right)^{\frac{1}{2}}\right)\\
&=C(\lVert f\rVert_2+\lVert \partial_Nf\rVert_{2})\leq 2C\lVert f\rVert_{2,1}
\end{aligned}
$$
である。よって $(**)$ は有界線形作用素である。$H^1(\mathbb{R}^N)$ において $D(\mathbb{R}^N)$ は稠密である（'''定理32.2'''）から、[[位相線形空間1：ノルムと内積]]の'''命題3.6'''より $(**)$ は有界線形作用素
$$
\Gamma\colon H^1(\mathbb{R}^N)\rightarrow L^2(\mathbb{R}^{N-1})
$$
に一意拡張できる。後はこの $\Gamma$ が任意の $f\in H^1(\mathbb{R}^N)\cap C(\mathbb{R}^N)$ に対し $(*)$ を満たすことを示せばよい。Urysohnの補題（[[ベクトル解析4：Euclid空間内の多様体上の測度と積分]]の'''定理15.5'''）より $\omega\in D(\mathbb{R}^N)$ で、
$$
0\leq \omega(x)\leq 1\quad(\forall x\in \mathbb{R}^N),\quad \omega(x)=1\quad(\forall x\in \mathbb{R}^N:\lvert x\rvert\leq 1)
$$
を満たすものを取り、各 $n\in\mathbb{N}$ に対し $\omega_n\in D(\mathbb{R}^N)$ を、
$$
\omega_n(x)\colon=\omega(n^{-1}x)\quad(\forall x\in \mathbb{R}^N)
$$
とおく。このとき、
$$
0\leq \omega_{n}(x)\leq1\quad(\forall x\in \mathbb{R}^N),\quad \omega_n(x)=1\quad(\forall x\in\mathbb{R}^N:\lvert x\rvert\leq n)
$$
である。$(\psi_{\epsilon})_{\epsilon\in(0,\infty)}$ をFriedrichsの軟化子（'''定義26.1'''）とする。今、任意の $f\in H^1(\mathbb{R}^N)\cap C(\mathbb{R}^N)$ を取り、
$$
f_n\colon=\omega_n(\psi_{\frac{1}{n}}*f)\in D(\mathbb{R}^N)\quad(\forall n\in\mathbb{N})
$$
とおく。このとき'''命題26.2'''の $(1)$ より $(f_n)_{n\in\mathbb{N}}$ は $f$ にコンパクト一様収束する<ref>任意のコンパクト集合 $K\subset \mathbb{R}^N$ に対し $K\subset \{x\in \mathbb{R}^N:\lvert x\rvert\leq n_0\}$ なる $n_0\in\mathbb{N}$ を取れば任意の $n\geq n_0$、任意の $x\in K$ に対し $\omega_n(x)=1$、$f_n(x)=(\psi_{\frac{1}{n}}*f)(x)$ であることに注意。</ref>ので、特に $(f_n(\cdot,0))_{n\in\mathbb{N}}$ は $f(\cdot,0)$ に各点収束する。また'''定理32.2'''の証明より、
$$
\lim_{n\rightarrow\infty}\lVert f-f_n\rVert_{2,1}=0
$$
であり、$\Gamma\colon H^1(\mathbb{R}^N)\rightarrow L^2(\mathbb{R}^{N-1})$ は有界線形作用素であるので $(\Gamma f_n)_{n\in\mathbb{N}}=(f_n(\cdot,0))_{n\in\mathbb{N}}$ は $L^2(\mathbb{R}^{N-1})$ において $\Gamma f$ に収束する。よって $(f_n(\cdot,0))_{n\in\mathbb{N}}$ のある部分列 $(f_{k(n)}(\cdot,0))_{n\in\mathbb{N}}$と、$\Gamma f\in L^2(\mathbb{R}^{N-1})$ のある代表元 $g:\mathbb{R}^{N-1}\rightarrow \mathbb{C}$ が存在し、
$$
g(x)=\lim_{n\rightarrow\infty}f_{k(n)}(x,0)\quad(\text{a.e. }x\in \mathbb{R}^{N-1})
$$
が成り立つ<ref>[[測度と積分5：$L^p$ 空間の完備性と双対性]]の''定理21.4''の証明を参照。</ref>。ゆえに、
$$
f(x,0)=\lim_{n\rightarrow\infty}f_{k(n)}(x,0)=g(x)\quad(\text{a.e. }x\in \mathbb{R}^{N-1})
$$
であるから $\Gamma f=[g]=f(\cdot,0)$ である。
{{end|proof|}}

=== 定理36.2（$H^1(\mathbb{R}^N_+)$ のトレース作用素の一意存在） ===
有界線形作用素
$$
\Gamma\colon H^1(\mathbb{R}^N_+)\rightarrow L^2(\mathbb{R}^{N-1})
$$
で、任意の $f\in H^1(\mathbb{R}^N_+)\cap C(\overline{\mathbb{R}^N_+})$ に対し、
$$
\Gamma f=f(\cdot,0)
$$
を満たすものが唯一つ存在する。（これを $H^1(\mathbb{R}^N_+)$ のトレース作用素と言う。）ただし $N=1$ の場合は $L^2(\mathbb{R}^{N-1})=\mathbb{C}$、$f(\cdot,0)=f(0)$ とみなす。
{{begin |proof }}
一意性は $H^1(\mathbb{R}^N_+)$ における $D(\mathbb{R}^N)|_{\mathbb{R}^N_+}\subset H^1(\mathbb{R}^N_+)\cap C(\overline{\mathbb{R}^N_+})$ が稠密であること（'''命題34.2'''）よる。存在を示す。$H^1(\mathbb{R}^N_+)$ 上の拡張作用素（'''定義34.6'''）
$$
E\colon H^1(\mathbb{R}^N_+)\rightarrow H^1(\mathbb{R}^N)
$$
と、'''補題36.1'''における有界線形作用素
$$
\Gamma_0:H^1(\mathbb{R}^N)\rightarrow L^2(\mathbb{R}^{N-1}),\quad \Gamma_0f=f(\cdot,0)\quad(\forall f\in H^1(\mathbb{R}^N)\cap C(\mathbb{R}^N))
$$
を考える。そしてこれらの合成によって有界線形作用素
$$
\Gamma\colon=\Gamma_0E\colon H^1(\mathbb{R}^N_+)\rightarrow L^2(\mathbb{R}^{N-1})
$$
を定義する。任意の $f\in H^1(\mathbb{R}^N_+)\cap C(\overline{\mathbb{R}^N_+})$ を取り、$\Gamma f$ が $(*)$ を満たすことを示せばよい。$E$ の定義（'''定理34.5'''を参照）より $Ef\in H^1(\mathbb{R}^N)$ の代表元 $\widetilde{f}\colon\mathbb{R}^N\rightarrow\mathbb{C}$ として、
$$
\widetilde{f}(x)=\left\{\begin{array}{cl}f(x_1,\ldots,x_{N-1},x_N)&(x_N\geq0)\\
f(x_1,\ldots,x_{N-1},-x_N)&(x_N<0)\end{array}\right.
$$
を満たすものが取れ、$f\in C(\overline{\mathbb{R}^N_+})$ であるから $\widetilde{f}\in C(\mathbb{R}^N)$ である。よって $Ef=\widetilde{f}\in H^1(\mathbb{R}^N)\cap C(\mathbb{R}^N)$ であるので、
$$
\Gamma f=\Gamma_0Ef=\Gamma_0\widetilde{f}=\widetilde{f}(\cdot,0)=f(\cdot,0)
$$
である。これで存在が示せた。
{{end|proof|}}

=== 命題36.3（$H^1(\mathbb{R}^N_+)$ のトレース作用素の基本性質） ===
$\Gamma:H^1(\mathbb{R}^N_+)\rightarrow L^2(\mathbb{R}^{N-1})$ をトレース作用素とし、$u\in H^1(\mathbb{R}^N_+)$ とする。また $\widetilde{u}\in L^2(\mathbb{R}^N)$ を $u$ の $\mathbb{R}^N$ 上への $0$ 拡張とする。このとき次は互いに同値である。
*$(1)$　$u\in H^1_0(\mathbb{R}^N_+)$.
*$(2)$　$\widetilde{u}\in H^1(\mathbb{R}^N)$.
*$(3)$　$\Gamma u=0$.
{{begin |proof }}
$(1)\Leftrightarrow(2)$ は'''命題34.3'''による。$(1)\Rightarrow(3)$ を示す。$(1)$ が成り立つならば $D(\mathbb{R}^N_+)\subset H^1(\mathbb{R}^N_+)\cap C(\overline{\mathbb{R}^N_+})$ の列 $(u_i)_{i\in\mathbb{N}}$ で、
$$
\lim_{i\rightarrow\infty}\lVert u-u_i\rVert_{2,1}=0
$$
を満たすものが取れる。よって、
$$
\Gamma u=\lim_{i\rightarrow\infty}\Gamma u_i=\lim_{i\rightarrow\infty}u_i(\cdot,0)=0
$$
であるから $(3)$ が成り立つ。 
$(3)\Rightarrow(2)$ を示す。$(3)$ が成り立つとする。'''命題34.2'''より $D(\mathbb{R}^N)$ の列 $(u_i)_{i\in\mathbb{N}}$ で、
$$
\lim_{i\rightarrow\infty}\lVert u-u_i|_{\mathbb{R}^N_+}\rVert_{2,1}=0\quad\quad(*)
$$
を満たすものが取れる。任意の $j\in \{1,\ldots,N\}$、任意の $\varphi\in D(\mathbb{R}^N)$ に対し部分積分より、
$$
\begin{aligned}
\partial_j\widetilde{u}(\varphi)&=-\widetilde{u}(\partial_j\varphi)=-\int_{\mathbb{R}^N_+}u(x)\partial_j\varphi(x)dx
=-\lim_{i\rightarrow\infty}\int_{\mathbb{R}^N_+}u_i(x)\partial_j\varphi(x)dx\\
&=\lim_{i\rightarrow\infty}\left(-\int_{\mathbb{R}^N_+}\partial_j(u_i\varphi)(x)dx+\int_{\mathbb{R}^N_+}\partial_ju_i(x)\varphi(x)dx\right)\quad\quad(**)
\end{aligned}
$$
である。$(**)$ の右辺の第一項について考える。$j\in \{1,\ldots,N-1\}$ の場合、Fubiniの定理と微積分学の基本定理より、
$$-\int_{\mathbb{R}^N_+}\partial_j(u_i\varphi)(x)dx=0\quad(\forall i\in \mathbb{N})
$$
であり、$j=N$の場合、$(*)$ より $\lim_{i\rightarrow\infty}\Gamma u_i=\Gamma u=0$ であることと、Fubiniの定理、微積分学の基本定理、Hölderの不等式より、
$$-\int_{\mathbb{R}^N_+}\partial_N(u_i\varphi)(x)dx
=\int_{\mathbb{R}^{N-1}}u_i(x,0)\varphi(x,0)dx=\int_{\mathbb{R}^{N-1}}(\Gamma u_i)(x)\varphi(x,0)dx\rightarrow0\quad(i\rightarrow\infty)
$$
である。また $(**)$ の右辺の第二項については $(*)$ より、
$$
\int_{\mathbb{R}^N_+}\partial_ju_i(x)\varphi(x)dx\rightarrow\int_{\mathbb{R}^N_+}\partial_ju(x)\varphi(x)dx\quad(i\rightarrow\infty)
$$
であるから $(**)$ の右辺は、
$$
\lim_{i\rightarrow\infty}\left(-\int_{\mathbb{R}^N_+}\partial_j(u_i\varphi)(x)dx+\int_{\mathbb{R}^N_+}\partial_ju_i(x)\varphi(x)dx\right)=\int_{\mathbb{R}^N_+}\partial_ju(x)\varphi(x)dx
$$
となる。ゆえに、
$$
\partial_j\widetilde{u}(\varphi)=\int_{\mathbb{R}^N_+}\partial_ju(x)\varphi(x)dx
=\int_{\mathbb{R}^N_+}\widetilde{\partial_ju}(x)\varphi(x)dx
=\widetilde{\partial_ju}(\varphi)
$$
であるから、
$$
\partial_j\widetilde{u}=\widetilde{\partial_ju}\in L^2(\mathbb{R}^N)\quad(j=1,\ldots,N)
$$
である。これより $\widetilde{u}\in H^1(\mathbb{R}^N)$ であるので $(2)$ が成り立つ。
{{end|proof|}}

== 37. 滑らかでコンパクトな境界を持つ開集合 $\Omega$ 上のSobolev空間 $H^1(\Omega)$のトレース作用素 ==

=== 定理37.1（滑らかでコンパクトな境界を持つ開集合 $\Omega$ 上のSobolev空間 $H^1(\Omega)$ のトレース作用素） ===
$\Omega\subset \mathbb{R}^N$ を滑らかでコンパクトな境界を持つ開集合（[[ベクトル解析5：多様体の向き]]の'''定義21.3'''）とする。このとき有界線形作用素
$$
\gamma\colon H^1(\Omega)\rightarrow L^2(\partial\Omega)
$$
で、
$$
\gamma u=u|_{\partial\Omega}\quad(\forall u\in H^1(\Omega)\cap C(\overline{\Omega}))
$$
を満たすものが唯一つ存在する。（これを $H^1(\Omega)$ のトレース作用素と言う。）ただし $L^2(\partial\Omega)$ はコンパクト超曲面 $\partial\Omega$ の面積測度（[[ベクトル解析4：Euclid空間内の多様体上の測度と積分]]の'''定義16.8'''）に関する $L^2$ 空間である。
{{begin |proof }}
一意性は'''系35.2'''より $H^1(\Omega)$ において $D(\mathbb{R}^N)|_{\Omega}\subset H^1(\Omega)\cap C(\overline{\Omega})$ が稠密であることによる。存在を示す。滑らかな境界を持つ開集合の定義（[[ベクトル解析5：多様体の向き]]の'''定義21.3'''）と $\partial\Omega$ のコンパクト性より、$\mathbb{R}^N$ の有限個の局所座標 $( (U_k,\Phi_k))_{k=1,\ldots,\ell}$ で次を満たすものが取れる。
*$(1)$　$\partial\Omega\subset \bigcup_{k=1}^{\ell}U_k$.
*$(2)$　各$k\in \{1,\ldots,\ell\}$ に対し、
$$
\Phi_k(U_k)=(-1,1)^N,\quad\Phi_k(U_k\cap\Omega)=(-1,1)^{N-1}\times (0,1),\quad
\Phi_k(U_k\cap\partial\Omega)=(-1,1)^{N-1}\times\{0\}.
$$
*$(3)$　各 $k\in \{1,\ldots,\ell\}$ に対し $\Phi_k,\Phi_k^{-1}$ の全ての偏導関数は有界。

$(1)$ の左辺はコンパクト集合、右辺は開集合であるから閉包がコンパクトな開集合 $D$ で、
$$
\partial\Omega\subset D\subset \overline{D}\subset \bigcup_{k=1}^{\ell}U_k
$$
を満たすものが取れる（[[測度と積分7：局所コンパクトHausdorff空間上のRadon測度]]の'''命題27.4'''などを参照）。このとき'''命題2.2'''の $(4)$ より、
$$
d(\partial\Omega,\text{ }\mathbb{R}^N\backslash D)>0
$$
であり、$1$ の分割（ベクトル解析4：Euclid空間内の多様体上の測度と積分]]の'''系15.6'''）より $h_k\in D(U_k)$ $(k=1,\ldots,\ell)$ で、
$$
\sum_{k=1}^{\ell}h_k(x)=1\quad(\forall x\in D)\quad\quad(*)
$$
を満たすものが取れる。任意の $k\in \{1,\ldots,\ell\}$ を取り固定する。$\text{supp}(h_k)\subset U_k$ はコンパクトであるので $\epsilon\in (0,1)$ で、
$$
\Phi_k(\text{supp}(h_k))\subset [-\epsilon,\epsilon]^N
$$
を満たすものが取れる。$\Phi_k$ の $U_k\cap \Omega$ 上への制限を $\Psi_k$ とおく。そして $(2)$ により、
$$
\Phi_k(x)=(\Theta_k(x),0)\quad(\forall x\in U_k\cap \partial\Omega)
$$
として $\partial\Omega$ の局所座標 $(U_k\cap\partial\Omega,\Theta_k)$ を定義する。$(2),(3)$ とSobolev空間の変数変換（''命題31.2''）より任意の $u\in H^1(\Omega)$ に対し、
$$
(h_ku)\circ\Psi_k^{-1}\in H^1( (-1,1)^{N-1}\times (0,1)),\quad
\text{supp}( (h_ku)\circ\Psi_k^{-1})\subset [-\epsilon,\epsilon]^{N-1}\times (0,\epsilon]
$$
であり（右の式に関しては'''命題9.3'''を参照）、
$$
d(\text{supp}( (h_ku)\circ\Psi_k^{-1}),\text{ }\mathbb{R}^N_+\backslash ( (-1,1)^{N-1}\times (0,1)))\geq 1-\epsilon>0\quad\quad(**)
$$
であるから、'''定理33.3'''より $(h_ku)\circ\Psi_k^{-1}\in H^1( (-1,1)^{N-1}\times (0,1))$ の $\mathbb{R}^N_+$ 上への $0$ 拡張 $\widetilde{(h_ku)\circ\Psi_k^{-1}}$ は、
$$
\begin{aligned}
&\widetilde{(h_ku)\circ\Psi_k^{-1}}\in H^1(\mathbb{R}^N_+),\quad \lVert \widetilde{(h_ku)\circ\Psi_k^{-1}}\rVert_{2,1}=\lVert (h_ku)\circ\Psi_k^{-1}\rVert_{2,1},\\
&\text{supp}(\widetilde{(h_ku)\circ\Psi_k^{-1}})=\text{supp}((h_ku)\circ\Psi_k^{-1})\subset [-\epsilon,\epsilon]^{N-1}\times (0,\epsilon]\quad\quad(***)
\end{aligned}
$$
を満たす。今、$H^1(\mathbb{R}^N_+)$ のトレース作用素（'''定理36.2'''）を、
$$
\Gamma:H^1(\mathbb{R}^N_+)\rightarrow L^2(\mathbb{R}^{N-1})
$$
とする。$(***)$ より、
$$
\Gamma\left(\widetilde{(h_ku)\circ\Psi_k^{-1}}\right)\in L^2(\mathbb{R}^{N-1}),\quad
\text{supp}\left(\Gamma\left(\widetilde{(h_ku)\circ\Psi_k^{-1}}\right)\right)\subset [-\epsilon,\epsilon]^{N-1}\quad\quad(****)
$$
である。$(3)$ より $\partial\Omega$ の局所座標 $(U_k\cap\partial\Omega,\Theta_k)$ に対する計量行列の行列式（[[ベクトル解析3：Euclid空間内の多様体の計量]]の'''定義12.2'''）は有界であるから面積測度の定義（[[ベクトル解析4：Euclid空間内の多様体上の測度と積分]]の'''定義16.8'''）より、
$$
\Gamma\left(\widetilde{(h_ku)\circ\Psi_k^{-1}}\right)\circ\Theta_k\in L^2(U_k\cap\partial\Omega)\quad\quad(*****)
$$
である。そこで $(*****)$ の $\partial\Omega$ 上への $0$ 拡張を $\gamma_ku\in L^2(\partial\Omega)$ とおく。このとき面積測度の定義と $(***)$ とSobolev空間の変数変換（'''命題31.2'''）より $\Theta_k,\Psi_k,h_k$ のみによる定数 $C_1,C_2,C_3\in [0,\infty)$ が存在し、任意の $u\in H^1(\Omega)$ に対し、
$$
\begin{aligned}
\lVert \gamma_ku\rVert_2&=\left\lVert \Gamma(\widetilde{(h_ku)\circ\Psi_k^{-1}})\circ\Theta_k\right\rVert_2\leq C_1\left\lVert \Gamma(\widetilde{(h_ku)\circ\Psi_k^{-1}})\right\rVert_2\\
&C_1\lVert \Gamma\rVert\left\lVert \widetilde{(h_ku)\circ\Psi_k^{-1}}\right\rVert_{2,1}
=C_1\lVert \Gamma\rVert\left\lVert (h_ku)\circ\Psi_k^{-1}\right\rVert_{2,1}\\
&\leq C_1\lVert \Gamma\rVert C_2\lVert h_ku\rVert_{2,1}
\leq C_1\lVert \Gamma\rVert C_2C_3\lVert u\rVert_{2,1}
\end{aligned}
$$
となる。これより、
$$
\gamma_k\colon H^1(\Omega)\ni u\mapsto\gamma_ku\in L^2(\partial\Omega)
$$
は有界線形作用素である。任意の $u\in H^1(\Omega)\cap C(\overline{\Omega})$ に対し $(h_ku)\circ\Psi_k^{-1}\in C((-1,1)^{N-1}\times[0,1) )$ であり、
$$
\text{supp}( (h_ku)\circ\Psi_k^{-1})\subset [-\epsilon,\epsilon]^{N-1}\times [0,\epsilon]
$$
であるから $\widetilde{(h_ku)\circ\Psi_k^{-1}}\in C(\overline{\mathbb{R}^N_+})$ である。よって任意の $x\in\partial\Omega$ に対し、$x\in U_k$ ならば、
$$
\begin{aligned}
(\gamma_ku)(x)&=\Gamma(\widetilde{(h_ku)\circ\Psi_k^{-1}})(\Theta_k(x))=(\widetilde{(h_ku)\circ\Psi_k^{-1}})(\Theta_k(x),0)\\
&=(\widetilde{(h_ku)\circ\Psi_k^{-1}})(\Psi_k(x))
=h_k(x)u(x)
\end{aligned}
$$
であり、$x\notin U_x$ ならば $(\gamma_ku)(x)=0=h_k(x)u(x)$ である。ゆえに、
$$
\gamma_ku=(h_ku)|_{\partial\Omega}\quad(\forall u\in H^k(\Omega)\cap C(\overline{\Omega}))\quad\quad(******)
$$
である。そこで有界線形作用素
$$
\gamma\colon=\sum_{k=1}^{\ell}\gamma_k:H^1(\Omega)\rightarrow L^2(\partial\Omega)
$$
を定義すれば、$(**)$, $(******)$ より任意の $u\in H^1(\Omega)\cap C(\overline{\Omega})$ に対し、
$$
\gamma u=\sum_{k=1}^{\ell}\gamma_ku=\sum_{k=1}^{\ell}(h_ku)|_{\partial\Omega}=u|_{\partial\Omega}
$$
である。これで存在が示せた。
{{end|proof|}}

=== 定理37.2（滑らかでコンパクトな境界を持つ開集合 $\Omega$ 上のSobolev空間 $H^1(\Omega)$ のトレース作用素の基本性質） ===
$\Omega\subset \mathbb{R}^N$ を滑らかでコンパクトな境界を持つ開集合とし、$\gamma\colon H^1(\Omega)\rightarrow L^2(\partial\Omega)$ をトレース作用素（'''定理37.1'''）とする。このとき $u\in H^1(\Omega)$ に対し次は互いに同値である。
*$(1)$　$u\in H^1_0(\Omega)$.
*$(2)$　$\gamma u=0$.
*$(3)$　$\widetilde{u}\in H^1(\mathbb{R}^N)$.（ただし $\widetilde{u}$ は $u$ の $\mathbb{R}^N$ 上への $0$ 拡張である。）
{{begin |proof }}
'''定理37.1'''の証明で用いた記号を踏襲する。$(1)\Rightarrow(2)$ を示す。$u\in H^1_0(\Omega)$ ならば、$D(\Omega)$ の列 $(u_i)_{i\in\mathbb{N}}$ で $\lim_{i\rightarrow\infty}\lVert u-u_i\rVert_{2,1}=0$ なるものが取れる。$u_i|_{\partial\Omega}=0$ $(\forall i\in \mathbb{N})$ より、
$$
\gamma u=\lim_{i\rightarrow\infty}\gamma u_i=\lim_{i\rightarrow\infty}u_i|_{\partial\Omega}=0
$$
である。よって $(1)\Rightarrow(2)$ が成り立つ。 
$(2)\Rightarrow(3)$ を示す。$\gamma u=0$ とする。'''系35.2'''より $D(\mathbb{R}^N)|_{\Omega}$ の列 $(u_i)_{i\in\mathbb{N}}$ で $\lim_{i\rightarrow\infty}\lVert u-u_i\rVert_{2,1}=0$ を満たすものが取れる。各 $k\in \{1,\ldots,\ell\}$ に対し、
$$
\gamma_ku=\lim_{i\rightarrow\infty}\gamma_ku_i=\lim_{i\rightarrow\infty}(h_ku_i)|_{\partial\Omega}=h_k|_{\partial\Omega}\gamma u=0
$$
であるから'''定理37.1'''の $(*****)$ が $0$ であるので、
$$
\Gamma(\widetilde{(h_ku)\circ\Psi_k^{-1}})|_{(-1,1)^{N-1}}=0
$$
であり、'''定理37.1'''の $(****)$ より $\text{supp}(\Gamma(\widetilde{(h_ku)\circ\Psi_k^{-1}}))\subset (-1,1)^{N-1}$ であるので、
$$
\Gamma\left(\widetilde{(h_ku)\circ\Psi_k^{-1}}\right)=0
$$
である。よって'''命題36.3'''より、
$$
\widetilde{(h_ku)\circ\Psi_k^{-1}}\in H^1(\mathbb{R}^N_+)\quad\quad(*)
$$
の $\mathbb{R}^N$ 上への $0$ 拡張は $H^1(\mathbb{R}^N)$ に属する。$(*)$ の $\mathbb{R}^N$ 上への $0$ 拡張は $(h_k\widetilde{u})\circ\Phi_k^{-1}\in L^2((-1,1)^N)$ の $\mathbb{R}^N$ 上への $0$ 拡張であり、それが $H^1(\mathbb{R}^N)$ に属するので、
$$
(h_k\widetilde{u})\circ\Phi_k^{-1}\in H^1((-1,1)^N)
$$
である。そして、
$$
\text{supp}( (h_k\widetilde{u})\circ\Phi_k^{-1})\subset [-\epsilon,\epsilon]^N\quad\quad(**)
$$
であるから、'''系33.5'''より、
$$
(h_k\widetilde{u})\circ\Phi_k^{-1}\in H^1_0((-1,1)^N)
$$
である。よってSobolev空間の変数変換（'''命題31.2'''）より、
$$
(h_k\widetilde{u})|_{U_k}\in H^1_0(U_k)
$$
であるから、'''命題32.3'''より $h_k\widetilde{u}\in H^1(\mathbb{R}^N)$ である。ここで、
$$
h_0\colon=1-\sum_{k=1}^{\ell}h_k
$$
に対し、'''定理37.1'''の $(*)$ より、
$$
d(\text{supp}(h_0u),\text{ }\mathbb{R}^N\backslash\Omega)
=d(\text{supp}(h_0u),\text{ }\partial\Omega)\geq d(\text{supp}(h_0),\text{ }\partial\Omega)\geq d(\mathbb{R}^N\backslash D,\text{ }\partial\Omega)>0
$$
であるから'''系33.5'''より $h_0u\in H^m_0(\Omega)$ であり、'''命題32.3'''より $\widetilde{h_0u}\in H^m(\mathbb{R}^N)$ である。これより、
$$
\widetilde{u}=h_0\widetilde{u}+\sum_{k=1}^{\ell}h_k\widetilde{u}\in H^1(\mathbb{R}^N)
$$
であるから $(2)\Rightarrow(3)$ が成り立つ。 
$(3)\Rightarrow(1)$ を示す。$\widetilde{u}\in H^1(\mathbb{R}^N)$ とする。このとき各 $k\in \{1,\ldots,\ell\}$ に対し、
$$
(h_k\widetilde{u})\circ\Phi_k^{-1}\in H^1((-1,1)^N),\quad
\text{supp}( (h_k\widetilde{u})\circ\Phi_k^{-1})\subset \Phi_k(\text{supp}(h_k))\subset [-\epsilon,\epsilon]^N
$$
であるから'''系33.5'''より $(h_k\widetilde{u})\circ\Phi_k^{-1}\in H^1_0((-1,1)^N)$、したがって'''命題32.3'''より $(h_k\widetilde{u})\circ\Phi_k^{-1}$ の $\mathbb{R}^N$ 上への $0$ 拡張は $H^1(\mathbb{R}^N)$ に属する。$(h_k\widetilde{u})\circ\Phi_k^{-1}$ の $\mathbb{R}^N$ 上への $0$ 拡張は $(*)$ の $\mathbb{R}^N$ 上への $0$ 拡張と等しいから $(*)$ の $\mathbb{R}^N$ 上への $0$ 拡張は $H^1(\mathbb{R}^N)$ に属する。よって'''命題36.3'''より $(*)$ は $H^1_0(\mathbb{R}^N_+)$ に属するので、'''定理33.3'''より、
$$
(h_ku)\circ\Psi_k^{-1}\in H^1_0( (-1,1)^{N-1}\times (0,1)),
$$
したがってSobolev空間の変数変換（'''命題31.2'''）より、
$$
(h_ku)|_{U_k\cap \Omega}\in H^1_0(U_k\cap \Omega)
$$
である。'''命題32.3'''より $(h_ku)|_{U_k\cap \Omega}$ の $\Omega$ 上への $0$ 拡張 $h_ku$ は $H^1_0(\Omega)$ に属し、$h_0u\in H^1_0(\Omega)$ であるから、
$$
u=h_0u+\sum_{k=1}^{\ell}h_ku\in H^1_0(\Omega)
$$
である。よって $(3)\Rightarrow(1)$ が成り立つ。
{{end|proof|}}

== 38. Sobolevの埋め込み定理 ==

=== 命題38.1（Fourier変換によるSobolev空間 $H^m(\mathbb{R}^N)$ のノルム） ===
${\cal F}$ をFourier変換とし $m\in \mathbb{Z}_+$とする。このとき任意の $u\in H^m(\mathbb{R}^N)$ に対し、
$$
(1+\lvert\text{id}\rvert^2)^{\frac{m}{2}}\mathcal{F}u\in L^2(\mathbb{R}^N)\quad\Leftrightarrow\quad u\in H^m(\mathbb{R}^N)\quad\quad(*)
$$
が成り立つ。そして $H^m(\mathbb{R}^N)$ のノルム $p_m\colon H^m(\mathbb{R}^N)\rightarrow [0,\infty)$ を、
$$
p_m(u)\colon=\lVert (1+\lvert \text{id}\rvert^2)^{\frac{m}{2}}\mathcal{F}u\rVert_2\quad(\forall u\in H^m(\mathbb{R}^N))
$$
として定義すると、ある定数 $C_m\in (0,\infty)$ が存在し、$H^m(\mathbb{R}^N)$ の通常のノルム $\lVert \cdot\rVert_{2,m}$ に対し、
$$
\lVert u\rVert_{2,m}\leq p_m(u)\leq C_m\lVert u\rVert_{2,m}\quad(\forall u\in H^m(\mathbb{R}^N))
$$
が成り立つ。
{{begin |proof}}
ある $C_{\alpha}\in \mathbb{N}$ $(\forall \alpha\in \mathbb{Z}_+^N:\lvert\alpha\rvert\leq m)$ に対し、
$$
(1+\lvert\text{id}\rvert^2)^{m}=(1+\text{id}_1^2+\ldots +\text{id}_N^2)^m=\sum_{\lvert\alpha\rvert\leq m}C_{\alpha}(\text{id}^{\alpha})^2
$$
と表せる。よって'''命題18.3'''より任意の $u\in H^m(\mathbb{R}^N)$ に対し、
$$
(1+\lvert\text{id}\rvert^2)^m\lvert\mathcal{F}u\rvert^2=\sum_{\lvert\alpha\rvert\leq m}C_{\alpha}\lvert \text{id}^{\alpha}\mathcal{F}u\rvert^2
=\sum_{\lvert\alpha\rvert\leq m}C_{\alpha}\lvert \mathcal{F}\partial^{\alpha}u\rvert^2\quad\quad(**)
$$
であるから、
$$
\begin{align*}
&(1+\lvert \text{id}\rvert^2)^{\frac{m}{2}}{\cal F}u\in L^2(\mathbb{R}^N)\quad \Leftrightarrow\quad
{\cal F}\partial^{\alpha}u\in L^2(\mathbb{R}^N)\quad(\forall \alpha\in \mathbb{Z}_+^N:\lvert\alpha\rvert\leq m)\\
&\Leftrightarrow\quad \partial^{\alpha}u\in L^2(\mathbb{R}^N)\quad(\forall \alpha\in \mathbb{Z}_+^N:\lvert\alpha\rvert\leq m)\quad\Leftrightarrow\quad
u\in H^m(\mathbb{R}^N)
\end{align*}
$$
である。ただし$2$番目の$\Leftrightarrow$でPlancherelの定理（'''定理19.1'''）を用いた。よって $(*)$ が成り立つ。また$(**)$とPlancherelの定理（'''定理19.1'''）より、
$$
p_m(u)^2=\lVert (1+\lvert \text{id}\rvert^2)^{\frac{m}{2}}\mathcal{F}u\rVert_2^2
=\sum_{\lvert\alpha\rvert\leq m}C_{\alpha}\lVert \mathcal{F}\partial^{\alpha}u\rVert_2^2
=\sum_{\lvert\alpha\rvert\leq m}C_{\alpha}\lVert \partial^{\alpha}u\rVert_2^2
$$
であり、$C_{\alpha}\geq1$ $(\forall\alpha\in \mathbb{Z}_+^N:\lvert\alpha\rvert\leq m)$ より任意の $u\in H^m(\mathbb{R}^N)$ に対し、
$$
p_m(u)^2=\sum_{\lvert\alpha\rvert\leq m}C_{\alpha}\lVert \partial^{\alpha}u\rVert_2^2
\geq \sum_{\lvert\alpha\rvert\leq m}\lVert \partial^{\alpha}u\rVert_2^2
=\lVert u\rVert_{2,m}^2
$$
である。また、
$$
C:=\sqrt{\sum_{\lvert\alpha\rvert\leq m}C_{\alpha}}
$$
とおけば、任意の $u\in H^m(\mathbb{R}^N)$ に対し、
$$
p_m(u)^2=\sum_{\lvert\alpha\rvert\leq m}C_{\alpha}\lVert \partial^{\alpha}u\rVert_2^2
\leq \sum_{\lvert\alpha\rvert\leq m}C_{\alpha}\lVert u\rVert_{2,m}^2
\leq C^2\lVert u\rVert_{2,m}^2
$$
であるから、
$$
\lVert u\rVert_{2,m}\leq p_m(u)\leq C\lVert u\rVert_{2,m}\quad(\forall u\in H^m(\mathbb{R}^N))
$$
である。
{{end|proof|}}

=== 命題38.2（Banach空間 $BC^k(\Omega)$） ===
$\Omega\subset \mathbb{R}^N$ を開集合、$k\in \mathbb{Z}_+$ とする。$\Omega$ 上の複素数値 $C^k$ 級関数で $k$ 階までの全ての偏導関数が有界であるもの全体のなす線形空間 $BC^k(\Omega)$ に対し、
$$
\lVert f\rVert_{\infty,k}\colon=\underset{\lvert\alpha\rvert\leq k}{\rm max}\lVert \partial^{\alpha}f\rVert_{\infty}\quad(\forall f\in BC^k(\Omega))
$$
なるノルム $\lVert \cdot\rVert_{\infty,k}:BC^k(\Omega)\rightarrow [0,\infty)$ を定義する。このときノルム $\lVert \cdot\rVert_{\infty,k}$ により $BC^k(\Omega)$ はBanach空間である。
{{begin |proof}}
$(f_i)_{i\in\mathbb{N}}$ を $(BC^k(\Omega),\lVert \cdot\rVert_{\infty,k})$ のCauchy列とすると、$\lvert\alpha\rvert\leq k$ なる任意の $\alpha\in \mathbb{Z}_+^N$ に対し、
$$
\lVert \partial^{\alpha}f_i-\partial^{\alpha} f_j\rVert_{\infty}\leq
\lVert f_i-f_j\rVert_{\infty,k}\quad(\forall i,j\in \mathbb{N})
$$
であるから $(\partial^{\alpha}f_i)_{i\in \mathbb{N}}$ は $\sup$ ノルムによるBanach空間 $C_b(\Omega)$（$\Omega$ 上の複素数値有界連続関数全体）のCauchy列である。よって $\lvert\alpha\rvert\leq k$ を満たす任意の $\alpha\in \mathbb{Z}_+^N$ に対し $f^{(\alpha)}\in C_b(\Omega)$ で、
$$
\lim_{i\rightarrow\infty}\lVert \partial^{\alpha}f_i-f^{(\alpha)}\rVert_{\infty}=0\quad\quad(*)
$$
なるものが定まる。今、$f\colon=f^{(0)}\in C_b(\Omega)$ とおく。
$$
f\in C^k(\Omega),\quad \partial^{\alpha}f=f^{(\alpha)}\quad(\forall \alpha\in \mathbb{Z}_+^N:\lvert\alpha\rvert\leq k)\quad\quad(**)
$$
が成り立つことを帰納法によって示す。そこである $m\in \{0,1,\ldots,k-1\}$ に対し、
$$
f\in C^m(\Omega),\quad \partial^{\alpha}f=f^{(\alpha)}\quad(\forall \alpha\in \mathbb{Z}_+^N:\lvert\alpha\rvert\leq m)
$$
が成り立つと仮定する。$\lvert\alpha\rvert=m$ なる任意の $\alpha\in \mathbb{Z}_+^N$ と任意の $j\in\{1,\ldots,N\}$ に対し、
$$
\beta\colon=\alpha+e_j=\alpha+(0,\ldots,0,\overset{j\text{ 番目}}{1},0,\ldots,0)\in \mathbb{Z}_+^N
$$
とおく。任意の $x\in \Omega$ と $\{y\in \mathbb{R}^N:\lvert y-x\rvert<\delta\}\subset \Omega$ なる任意の $\delta\in (0,\infty)$ を取る。$0<\lvert h\rvert<\delta$ なる任意の $h\in \mathbb{R}$ に対し微積分学の基本定理より、
$$
\frac{\partial^{\alpha}f_i(x+he_j)-\partial^{\alpha}f_i(x)}{h}
=\int_{\Omega}\partial^{\beta}f_i(x+\theta he_j)d\theta \quad(\forall i\in \mathbb{N})
$$
であり、$(\partial^{\alpha}f_i)_{i\in \mathbb{N}}$ は $f^{(\alpha)}=\partial^{\alpha}f$ に一様収束し、$(\partial^{\beta}f_i)_{i\in\mathbb{N}}$ は $f^{(\beta)}$ に一様収束するので、$i\rightarrow\infty$ とすれば、
$$
\frac{\partial^{\alpha}f(x+he_j)-\partial^{\alpha}f(x)}{h}=\int_{\Omega}f^{(\beta)}(x+\theta he_j)d\theta
$$
を得る。そして $f^{(\beta)}$ は有界連続関数であるので $h\rightarrow0$ とすれば、Lebesgue優収束定理より、
$$
\partial_j\partial^{\alpha}f(x)=f^{(\beta)}(x)
$$
となる。よって $\lvert\alpha\rvert=m$ なる任意の $\alpha\in \mathbb{Z}_+^N$ に対し $\partial^{\alpha}f\in C^1(\Omega)$ であり、
$$
\partial_j\partial^{\alpha}f=f^{(\alpha+e_j)}\quad(j=1,\ldots,N)
$$
が成り立つので、
$$
f\in C^{m+1}(\Omega),\quad \partial^{\alpha}f=f^{(\alpha)}\quad(\forall \alpha\in \mathbb{Z}_+^N:\lvert\alpha\rvert\leq m+1)
$$
が成り立つ。よって帰納法より $(**)$ が成り立つ。これより $f\in BC^k(\Omega)$ であり、$(*)$ より、
$$
\lVert f-f_i\rVert_{\infty,k}=\underset{\lvert\alpha\rvert\leq k}{\rm max}\lVert \partial^{\alpha}f-\partial^{\alpha}f_i\rVert_{\infty}\rightarrow0\quad(i\rightarrow\infty)
$$
であるから $BC^k(\Omega)$ はノルム $\lVert \cdot\rVert_{\infty,k}$ によりBanach空間である。
{{end|proof|}}

=== 定理38.3（Sobolevの埋め込み定理1） ===
$m,k\in \mathbb{Z}_+$ が $m>k+\frac{N}{2}$ を満たすとする。このとき $H^m(\mathbb{R}^N)\subset BC^k(\mathbb{R}^N)$ が成り立つ。そして、
$$
H^m(\mathbb{R}^N)\ni u\mapsto u\in BC^k(\mathbb{R}^N)
$$
は有界線形作用素である。ただし $BC^k(\mathbb{R}^N)$ は'''命題38.2'''におけるBanach空間である。
{{begin |proof }}
'''命題38.1'''における $H^m(\mathbb{R}^N)$ のノルム
$$
p_m\colon H^m(\mathbb{R}^N)\ni u\mapsto \lVert (1+\lvert \text{id}\rvert^2)^{\frac{m}{2}}\mathcal{F}u\rVert_2\in [0,\infty)
$$
を考える。$\lvert\alpha\rvert\leq k$ なる任意の $\alpha\in \mathbb{Z}_+^N$ と任意の $u\in D(\mathbb{R}^N)$ に対し'''命題18.3'''とHölderの不等式より、
$$
\begin{aligned}
(2\pi)^{\frac{N}{2}}\lvert\partial^{\alpha}u(x)\rvert&=
(2\pi)^{\frac{N}{2}}\lvert(\text{id}^{\alpha}u^{\wedge})^{\vee}(x)\rvert
\leq\int_{\mathbb{R}^N}\lvert y^{\alpha}u^{\wedge}(y)\rvert dy
=\int_{\mathbb{R}^N}\frac{\lvert y^{\alpha}\rvert}{(1+\lvert y\rvert^2)^{\frac{m}{2}}}(1+\lvert y\rvert^2)^{\frac{m}{2}}\lvert u^{\wedge}(y)\rvert dy\\
&\leq \left(\int_{\mathbb{R}^N}\frac{\lvert y^{\alpha}\rvert^2}{(1+\lvert y\rvert^2)^m}dy\right)^{\frac{1}{2}}\left(\int_{\mathbb{R}^N}(1+\lvert y\rvert^2)^{m}\lvert u^{\wedge}(y)\rvert^2dy\right)^{\frac{1}{2}}\\
&\leq \left(\int_{\mathbb{R}^N}\frac{\lvert y\rvert^{2\lvert\alpha\rvert}}{(1+\lvert y\rvert^2)^m}dy\right)^{\frac{1}{2}}p_m(u)
\quad(\forall x\in \mathbb{R}^N)\quad\quad(*)
\end{aligned}
$$
となる。ここで単位球面 $S_{N-1}\subset \mathbb{R}^N$ の面積測度を $\mu(S_{N-1})$ とおくと極座標変換（[[ベクトル解析4：Euclid空間内の多様体上の測度と積分]]の'''定理18.4'''）より、
$$
\begin{aligned}
\int_{\mathbb{R}^N}\frac{\lvert y\rvert^{2\lvert\alpha\rvert}}{(1+\lvert y\rvert^2)^m}dy
&\leq \mu(S_{N-1})\int_{[0,\infty)}r^{N-1}\frac{r^{2\lvert\alpha\rvert}}{(1+r^2)^m}dr
\leq\mu(S_{N-1})\left(1+\int_{[1,\infty)}r^{N-1}\frac{r^{2k}}{(1+r^2)^m}dr\right)\\
&\leq\mu(S_{N-1})\left(1+\int_{[1,\infty)}r^{N+2k-2m-1}dr\right)
\leq \mu(S_{N-1})\left(1+\frac{1}{2(m-(k+\frac{N}{2}))}\right)\quad\quad(**)
\end{aligned}
$$
であるから、
$$
C\colon=\frac{1}{(2\pi)^{\frac{N}{2}}}\left(\mu(S_{N-1})\left(1+\frac{1}{2(m-(k+\frac{N}{2}))}\right)\right)^{\frac{1}{2}}
$$
とおけば $(*)$, $(**)$ より、
$$
\lVert\partial^{\alpha}u\rVert_{\infty}\leq Cp_m(u)
$$
となる。$C$ は $m,k,N$ のみによる定数であるから、
$$
\lVert u\rVert_{\infty,k}=\underset{\lvert\alpha\rvert\leq k}{\rm max}\lVert \partial^{\alpha}u\rVert_{\infty}\leq Cp_m(u)\quad(\forall u\in D(\mathbb{R}^N))\quad\quad(***)
$$
が成り立つ。任意の $u\in H^m(\mathbb{R}^N)$ に対し'''定理32.2'''より $D(\mathbb{R}^N)$ の列 $(u_i)_{i\in\mathbb{N}}$ で $\lim_{i\rightarrow\infty}\lVert u_i-u\rVert_{2,m}=0$ を満たすものが取れる。'''命題38.1'''より $(u_i)_{i\in\mathbb{N}}$ はノルム $p_m$ に関してCauchy列であり、$(***)$ より、
$$
\lVert u_i-u_j\rVert_{\infty,k}\leq Cp_m(u_i-u_j)\quad(\forall i,j\in \mathbb{N})
$$
であるから $(u_i)_{i\in\mathbb{N}}$ はBanach空間 $BC^k(\mathbb{R}^N)$ のCauchy列である。よってある $v\in BC^k(\mathbb{R}^N)$ に対し、
$$
\lim_{i\rightarrow\infty}\lVert u_i-v\rVert_{\infty,k}=0\quad\quad(****)
$$
となる。ここで $(u_i)_{i\in\mathbb{N}}$ は $u$ に $L^2$ ノルムで収束するので $(u_i)_{i\in\mathbb{N}}$ のある部分列は $u$ のある代表元にa.e. で各点収束し、$(****)$ より $(u_i)_{i\in\mathbb{N}}$ は $v$ に一様収束する。よって $u=v\in BC^k(\mathbb{R}^N)$ であり、
$$
\lVert u\rVert_{\infty,k}=\lim_{i\rightarrow\infty}\lVert u_i\rVert_{\infty,k}
\leq \lim_{i\rightarrow\infty}Cp_m(u_i)=Cp_m(u)
$$
である。これより $H^m(\mathbb{R}^N)\subset BC^k(\mathbb{R}^N)$ であり、$H^m(\mathbb{R}^N)\ni u\mapsto u\in BC^k(\mathbb{R}^N)$ は有界線形作用素である。
{{end|proof|}}

=== 定理38.4（Sobolevの埋め込み定理2） ===
$\Omega\subset\mathbb{R}^N$ を滑らかでコンパクトな境界を持つ開集合（[[ベクトル解析5：多様体の向き]]の'''定義21.3'''）とし、$m,k\in\mathbb{Z}_+$ が $m>k+\frac{N}{2}$ を満たすとする。このとき $H^m(\Omega)\subset BC^k(\Omega)$ が成り立つ。そして、
$$
H^m(\Omega)\ni u\mapsto u\in BC^k(\Omega)
$$
は有界線形作用素である。ただし$BC^k(\Omega)$ は'''命題38.2'''におけるBanach空間である。
{{begin |proof }}
'''定理35.1'''より有界線形作用素
$$
E\colon H^m(\Omega)\rightarrow H^m(\mathbb{R}^N)
$$
で $Eu|_{\Omega}=u$ $(\forall u\in H^m(\Omega))$ を満たすものが取れる。'''定理38.3'''より定数 $C\in [0,\infty)$ が存在し、
$$
Eu\in BC^k(\mathbb{R}^N),\quad \lVert Eu\rVert_{\infty,k}\leq C\lVert Eu\rVert_{2,m}\quad(\forall u\in H^m(\Omega))
$$
が成り立つ。よって任意の $u\in H^m(\Omega)$ に対し $u=Eu|_{\Omega}\in BC^k(\Omega)$ であり、
$$
\lVert u\rVert_{\infty,k}\leq \lVert Eu\rVert_{\infty,k}\leq C\lVert Eu\rVert_{2,m}
\leq C\lVert E\rVert\lVert u\rVert_{2,m}
$$
であるので $H^m(\Omega)\ni u\mapsto u\in BC^k(\Omega)$ は有界線形作用素である。
{{end|proof|}}

== 39. Rellich-Kondrachovの定理 ==

=== 補題39.1（Ascoli-Arzelàの定理） ===
コンパクトHausdorff空間 $X$ 上の複素数値連続関数全体に各点ごとの演算と $\sup$ ノルムを入れたBanach空間 $C(X)$ を考える。そして $C(X)$ の部分集合 $\mathcal{F}\subset C(X)$ が次を満たすとする。
*$(1)$　$\mathcal{F}$ は有界、すなわち $\sup_{f\in \mathcal{F}}\lVert f\rVert<\infty$.
*$(2)$　任意の $x\in X$、任意の $\epsilon\in (0,\infty)$ に対し $x$ の開近傍 $U_x$ が存在し、
$$
\sup_{f\in \mathcal{F}}\lvert f(y)-f(x)\rvert\leq\epsilon\quad(\forall y\in U_x)
$$
が成り立つ。

このとき $\overline{\mathcal{F}}\subset C(X)$ は（点列）コンパクトである。
{{begin |proof }}
[[距離空間の位相の基本的性質]]の'''定理6.5'''より $\overline{\mathcal{F}}$ が全有界であることを示せばよく、そのためには $\mathcal{F}$ が全有界であることを示せばよい。任意の $\epsilon\in(0,\infty)$ を取り固定する。このとき $(2)$ より $x$ の開近傍 $U_x$ で、
$$
\sup_{f\in \mathcal{F}}\lvert f(y)-f(x)\rvert\leq\frac{\epsilon}{3}\quad\quad(*)
$$
を満たすものが取れる。$X$ のコンパクト性より有限個の $x_1,\ldots,x_n\in X$ で、
$$
X=\bigcup_{j=1}^{n}U_{x_j}\quad\quad(**)
$$
なるものが取れる。今、
$$
\Phi\colon\mathcal{F}\ni f\mapsto (f(x_1),\ldots,f(x_n))\in \mathbb{C}^n
$$
とおくと、$(1)$ より $\Phi(\mathcal{F})\subset \mathbb{C}^n$ は有界であり、$\mathbb{C}^n$ の有界閉集合はコンパクトであるから $\Phi(\mathcal{F})$ は全有界である。よって有限個の $f_1,\ldots,f_n\in \mathcal{F}$ が取れて、
$$
\Phi(\mathcal{F})\subset \bigcup_{k=1}^{m}B(\Phi(f_k),\text{ }\frac{\epsilon}{3})\quad\quad(***)
$$
が成り立つ。任意の $f\in \mathcal{F}$ に対し $(***)$ より、
$$
\lvert \Phi(f)-\Phi(f_k)\rvert<\frac{\epsilon}{3}\quad\quad(****)
$$
を満たす $k\in \{1,\ldots,m\}$ が取れる。そして任意の $x\in X$ に対し $(**)$ より $x\in U_{x_j}$ なる $j\in \{1,\ldots,n\}$ が取れ、$(*)$ より、
$$
\begin{aligned}
\lvert f(x)-f_k(x)\rvert&\leq \lvert f(x)-f(x_j)\rvert+\lvert f(x_j)-f_k(x_j)\rvert+\lvert f_k(x_j)-f_k(x)\rvert\leq\frac{2}{3}\epsilon+\lvert \Phi(f)-\Phi(f_k)\rvert
\end{aligned}
$$
である。よって $(****)$ より、
$$
\lVert f-f_k\rVert=\sup_{x\in X}\lvert f(x)-f_k(x)\rvert\leq\frac{2}{3}\epsilon+\lvert\Phi(f)-\Phi(f_k)\rvert<\epsilon
$$
であるので、
$$
\mathcal{F}\subset \bigcup_{k=1}^{m}B(f_k,\epsilon)
$$
が成り立つ。よって $\mathcal{F}$ は全有界である。
{{end|proof|}}

=== 補題39.2 ===
$\mathbb{R}^N$ 上の複素数値連続関数の列 $(f_n)_{n\in\mathbb{N}}$ が次の条件を満たすとする。
*$(1)$　任意のコンパクト集合 $K$ に対し $\sup_{n\in\mathbb{N}}\sup_{x\in K}\lvert f_n(x)\rvert<\infty$.
*$(2)$　任意の $x\in \mathbb{R}^N$、任意の $\epsilon\in (0,\infty)$ に対し $x$ の開近傍 $U_x$ が存在し、
$$
\sup_{n\in\mathbb{N}}\lvert f_n(y)-f_n(x)\rvert<\epsilon\quad(\forall y\in U_x).
$$

このとき $(f_n)_{n\in\mathbb{N}}$ のある部分列はコンパクト一様収束（'''定義3.2'''）する。
{{begin |proof }}
任意の $n\in\mathbb{N}$ に対しコンパクト集合 $K_n\colon=\{x\in \mathbb{R}^N:\lvert x\rvert\leq n\}$ を定義する。$(f_n)_{n\in\mathbb{N}}$ の $K_1$ 上への制限を考えてAscoli-Arzelàの定理（'''補題39.1'''）を適用すれば、$(f_n)_{n\in\mathbb{N}}$ のある部分列 $(f_{k_1(n)})_{n\in\mathbb{N}}$ で $K_1$ 上で一様収束するものが取れる。$(f_{k_1(n)})_{n\in\mathbb{N}}$ の $K_2$ 上への制限を考えてAscoli-Arzelàの定理を適用すれば、$(f_{k_1(n)})_{n\in\mathbb{N}}$ の部分列 $(f_{k_2(n)})_{n\in\mathbb{N}}$ で $K_2$ 上で一様収束するものが取れる。以下同様の操作を繰り返し、$(f_n)_{n\in\mathbb{N}}$ の部分列の列
$$
(f_{k_m(n)})_{n\in\mathbb{N}}\quad(m=1,2,3\ldots)
$$
で次の条件を満たすものができる。
*$(1)$　任意の $m\in\mathbb{N}$ に対し $(f_{k_m(n)})_{n\in\mathbb{N}}$ は $K_m$ 上で一様収束する。
*$(2)$　任意の $m\in\mathbb{N}$ に対し $(f_{k_{m+1}(n)})_{n\in\mathbb{N}}$ は $(f_{k_m(n)})_{n\in\mathbb{N}}$ の部分列である。

$(2)$ より、
$$
k_n(n)<k_{n+1}(n)<k_{n+1}(n+1)\quad(\forall n\in\mathbb{N})
$$
であるから $(f_{k_n(n)})_{n\in\mathbb{N}}$ は $(f_n)_{n\in\mathbb{N}}$ の部分列である。任意のコンパクト集合 $K\subset \mathbb{R}^N$ に対し $K\subset K_m$ なる $m\in\mathbb{N}$が取れ、$(1)$ より $(f_{k_m(n)})_{n\in\mathbb{N}}$ は $K$ 上で一様収束する。$(2)$ より $(f_{k_n(n)})_{n\geq m}$ は $(f_{k_m(n)})_{n\geq m}$ の部分列であるから $(f_{k_n(n)})_{n\in\mathbb{N}}$ は $K$ 上で一様収束する。ゆえに $(f_{k_n(n)})_{n\in\mathbb{N}}$ は $\mathbb{R}^N$ 上でコンパクト一様収束する。
{{end|proof|}}

=== 定理39.3（Rellich-Kondrachovの定理1） ===
$n,m\in \mathbb{Z}_+$ を $n<m$ とし、$(u_i)_{i\in\mathbb{N}}$ をSobolev空間 $H^m(\mathbb{R}^N)$ の列とする。そしてある $M\in (0,\infty)$ とコンパクト集合 $K\subset \mathbb{R}^N$ に対し次が成り立つと仮定する。
*$(1)$　$\sup_{i\in\mathbb{N}}\lVert u_i\rVert_{2,m}\leq M$.
*$(2)$　任意の $i\in \mathbb{N}$ に対し $\text{supp}(u_i)\subset K$.

このとき $(u_i)_{i\in\mathbb{N}}$ のある部分列は $H^n(\mathbb{R}^N)$ において収束する。
{{begin |proof }}
Urysohnの補題（[[ベクトル解析4：Euclid空間内の多様体上の測度と積分]]の'''定理15.5'''）より $h\in D(\mathbb{R}^N)$ で $h(x)=1$ $(\forall x\in K)$ を満たすものが取れる。$(2)$ より $u_i=hu_i$ $(\forall i\in \mathbb{N})$ であるから、'''定理24.3'''より、
$$
u_i^{\wedge}=h^{\wedge}*u_i^{\wedge}\in C^\infty(\mathbb{R}^N)\quad(\forall i\in \mathbb{N})
$$
であり、
$$
\partial_ju_i^{\wedge}=\partial_j(h^{\wedge}*u_i^{\wedge})
=h^{\wedge}*\partial_ju_i^{\wedge}\quad(\forall i\in\mathbb{N}, j\in \{1,\ldots,N\})
$$
である。よってHölderの不等式、Plancherelの定理（'''定理19.1'''）と $(1)$ より、
$$
\begin{aligned}
\lvert u_i^{\wedge}(x)\rvert&=\lvert (h^{\wedge}*u_i^{\wedge})(x)\rvert
\leq\frac{1}{(2\pi)^{\frac{N}{2}}}\int_{\mathbb{R}^N}\lvert h^{\wedge}(y)\rvert\lvert u_i^{\wedge}(x-y)\rvert dy\leq \frac{1}{(2\pi)^{\frac{N}{2}}}\lVert h^{\wedge}\rVert_2\lVert u_i^{\wedge}\rVert_2\\
&=\frac{1}{(2\pi)^{\frac{N}{2}}}\lVert h\rVert_2\lVert u_i\rVert_2
\leq \frac{1}{(2\pi)^{\frac{N}{2}}}\lVert h\rVert_2M\quad(\forall x\in \mathbb{R}^N,\forall i\in \mathbb{N})\quad\quad(*)
\end{aligned}
$$
であり、
$$
\begin{aligned}
\lvert \partial_ju_i^{\wedge}(x)\rvert&=\lvert (\partial_jh^{\wedge}*u_i^{\wedge})(x)\rvert
\leq\frac{1}{(2\pi)^{\frac{N}{2}}}\int_{\mathbb{R}^N}\lvert \partial_jh^{\wedge}(y)\rvert\lvert u_i^{\wedge}(x-y)\rvert dy\leq \frac{1}{(2\pi)^{\frac{N}{2}}}\lVert \partial_jh^{\wedge}\rVert_2\lVert u_i^{\wedge}\rVert_2\\
&\leq \frac{1}{(2\pi)^{\frac{N}{2}}}\lVert (\text{id}_jh)^{\wedge}\rVert_2\lVert u_i\rVert_2
\leq\frac{1}{(2\pi)^{\frac{N}{2}}}\lVert \text{id}_jh\rVert_2M\quad(\forall x\in \mathbb{R}^N,\forall i\in \mathbb{N},\forall j\in \{1,\ldots,N\})\quad\quad(**)
\end{aligned}
$$
である。$(*)$ より、
$$
\sup_{i\in\mathbb{N}}\sup_{x\in\mathbb{R}^N}\lvert u_i^{\wedge}(x)\rvert\leq \frac{1}{(2\pi)^{\frac{N}{2}}}\lVert h\rVert_2M\quad\quad(***)
$$
であり、$(**)$ と微積分学の基本定理より、任意の $i\in\mathbb{N}$ と任意の $x,y\in \mathbb{R}^N$ に対し、
$$
\begin{aligned}
\lvert u_i^{\wedge}(x)-u_i^{\wedge}(y)\rvert
&=\left\lvert \sum_{j=1}^{N}\left(\int_{0}^{1}\partial_ju_i^{\wedge}(x+\theta(y-x))d\theta\right)(y_j-x_j)\right\rvert\\
&\leq\frac{1}{(2\pi)^{\frac{N}{2}}}\sum_{j=1}^{N}\lVert \text{id}_jh\rVert_2M\lvert y-x\rvert
\end{aligned}
$$
であるから、
$$
\sup_{i\in\mathbb{N}}\lvert u_i^{\wedge}(x)-u_i^{\wedge}(y)\rvert
\leq \frac{1}{(2\pi)^{\frac{N}{2}}}\sum_{j=1}^{N}\lVert \text{id}_jh\rVert_2M\lvert y-x\rvert\quad(\forall x,y\in \mathbb{R}^N)\quad\quad(****)
$$
である。よって $(***)$, $(****)$ と'''補題39.2'''より、$(u_i)_{i\in\mathbb{N}}$ の部分列 $(u_{k(i)})_{i\in\mathbb{N}}$ で $(\widehat{u_{k(i)}})_{i\in\mathbb{N}}$ がコンパクト一様収束するようなものが取れる。$(u_{k(i)})_{i\in\mathbb{N}}$ が $H^n(\mathbb{R}^N)$ において収束することを示せばよい。そのためには $H^n(\mathbb{R}^N)$ の完備性と'''命題38.1'''より $(u_{k(i)})_{i\in\mathbb{N}}$ が $H^n(\mathbb{R}^N)$ のノルム
$$
p_n:H^n(\mathbb{R}^N)\ni v\mapsto \lVert (1+\lvert \text{id}\rvert^2)^{\frac{n}{2}}v^{\wedge}\rVert_2\in [0,\infty)
$$
に関してCauchy列であることを示せばよい。任意の $R\in (0,\infty)$ に対し閉球 $\{x\in \mathbb{R}^N:\lvert x\rvert\leq R\}$ のLebesgue測度を $L(R)$ とおく。このとき $m>n$ であることから任意の $i,j\in \mathbb{N}$ に対し、
$$
\begin{aligned}
&p_n(u_{k(i)}-u_{k(j)})^2=\int_{\mathbb{R}^N}(1+\lvert x\rvert^2)^n\lvert u_{k(i)}^{\wedge}(x)-u_{k(j)}^{\wedge}(x)\rvert^2dx\\
&=\int_{\lvert x\rvert\leq R}(1+\lvert x\rvert^2)^n\lvert u_{k(i)}^{\wedge}(x)-u_{k(j)}^{\wedge}(x)\rvert^2dx+\int_{R<\lvert x\rvert}\frac{(1+\lvert x\rvert^2)^m}{(1+\lvert x\rvert^2)^{m-n}}\lvert \widehat{u_{k(i)}}(x)-u_{k(j)}^{\wedge}(x)\rvert^2dx\\
&\leq L(R)(1+R^2)^n\sup_{x\in \mathbb{R}^N}\lvert u_{k(i)}^{\wedge}(x)-u_{k(j)}^{\wedge}(x)\rvert^2+\frac{1}{(1+R^2)^{m-n}}p_m(u_{k(i)}-u_{k(j)})^2\quad\quad(*****)
\end{aligned}
$$
となる。$(1)$ と'''命題38.1'''より $\sup_{i\in\mathbb{N}}p_m(u_i)\leq M'$ なる $M'\in (0,\infty)$ が取れる。よって $(*****)$ より任意の $R\in (0,\infty)$ と任意の $i,j\in \mathbb{N}$ に対し、
$$
p_n(u_{k(i)}-u_{k(j)})^2\leq L(R)(1+R^2)^n\sup_{x\in \mathbb{R}^N}\lvert u_{k(i)}^{\wedge}(x)-u_{k(j)}^{\wedge}(x)\rvert^2+\frac{4M'^2}{(1+R^2)^{m-n}}\quad\quad(******)
$$
となる。今、任意の $\epsilon\in (0,\infty)$ を取る。このとき十分大きい $R_0\in (0,\infty)$ を取れば、
$$
\frac{4M'^2}{(1+R_0^2)^{m-n}}<\frac{\epsilon^2}{2}
$$
となる。そして $(u_{k(i)}^{\wedge})_{i\in\mathbb{N}}$ はコンパクト集合 $\{x\in \mathbb{R}^N:\lvert x\rvert\leq R_0\}$ 上で一様収束するので、十分大きい $i_0\in\mathbb{N}$ を取れば、
$$
L(R_0)(1+R_0^2)^n\sup_{\lvert x\rvert\leq R_0}\lvert u_{k(i)}^{\wedge}(x)-u_{k(j)}^{\wedge}(x)\rvert^2<\frac{\epsilon^2}{2}\quad(\forall i,j\geq i_0)
$$
となる。よって $(******)$ より、
$$
p_n(u_{k(i)}-u_{k(j)})<\epsilon\quad(\forall i,j\geq i_0)
$$
であるから $(u_{k(i)})_{i\in\mathbb{N}}$ は $H^n(\mathbb{R}^N)$ のCauchy列である。
{{end|proof|}}

=== 定理39.4（Rellich-Kondrachovの定理2） ===
$\Omega\subset \mathbb{R}^N$ を滑らかな境界を持つ有界開集合（[[ベクトル解析5：多様体の向き]]の'''定義21.3'''）とし、$n,m\in\mathbb{Z}_+$ を $n<m$ とする。このときSobolev空間 $H^m(\Omega)$ の任意の有界列 $(u_i)_{i\in\mathbb{N}}$ はSobolev空間 $H^n(\Omega)$ において収束する部分列を持つ。
{{begin |proof }}
'''定理35.1'''より有界線形作用素 $E\colon H^m(\Omega)\rightarrow H^m(\mathbb{R}^N)$ で、
$$
Eu|_{\Omega}=u\quad(\forall u\in H^m(\Omega))
$$
を満たすものが取れる。$(u_i)_{i\in\mathbb{N}}$ は $H^m(\Omega)$ の有界列なので $E$ の有界性より $(Eu_i)_{i\in\mathbb{N}}$ は $H^m(\mathbb{R}^N)$ の有界列である。$\overline{\Omega}\subset \mathbb{R}^N$ はコンパクトであるのでUrysohnの補題（[[ベクトル解析4：Euclid空間内の多様体上の測度と積分]]の'''定理15.5'''）より $h\in D(\mathbb{R}^N)$ で $h(x)=1$ $(\forall x\in \overline{\Omega})$ を満たすものが取れる。$h$ の全ての偏導関数は有界なのでLeibnizルール（'''命題7.2'''）より $hEu_i\in H^m(\mathbb{R}^N)$ $(\forall i\in \mathbb{N})$ であり、$(hEu_i)_{i\in\mathbb{N}}$ は $H^m(\mathbb{R}^N)$ の有界列である。そして、
$$
\text{supp}(hEu_i)\subset \text{supp}(h)\quad(\forall i\in \mathbb{N})
$$
であり $\text{supp}(h)$ はコンパクトであるので、'''定理39.3'''より $(hEu_i)_{i\in\mathbb{N}}$ のある部分列 $(hEu_{k(i)})_{i\in\mathbb{N}}$ は $H^n(\mathbb{R}^N)$ において収束する。ここで、
$$
(hEu_i)|_{\Omega}=h|_{\Omega}u_i=u_i\quad(\forall i\in \mathbb{N})
$$
であるから $(u_{k(i)})_{i\in\mathbb{N}}$ は $H^n(\Omega)$ において収束する。
{{end|proof|}}

===命題39.5（Rellich-Kondrachovの定理3） ===
$\Omega\subset \mathbb{R}^N$ を有界開集合とし、$n,m\in\mathbb{Z}_+$ を $n<m$ とする。このときSobolev空間 $H^m_0(\Omega)$ の任意の有界列 $(u_i)_{i\in\mathbb{N}}$ はSobolev空間 $H^n(\Omega)$ において収束する部分列を持つ。
{{begin|proof}}
任意の $u\in H^m_0(\Omega)$ に対し $u$ の $\mathbb{R}^N$ 上の $0$ 拡張を $Eu$ とすると、'''命題32.3'''より $Eu\in H^m(\mathbb{R}^N)$ であり、$E\colon H^m_0(\Omega)\ni u\mapsto Eu\in H^m(\mathbb{R}^N)$ は有界線形作用素である。後は'''定理39.4'''の証明と全く同様である。
{{end|proof}}
== 参考文献 ==
* 新井仁之　「新・フーリエ解析と関数解析学」
* 宮島静雄　「ソボレフ空間の基礎と応用」

== 脚注 ==

超関数の定義と基本操作

2026-04-13T03:58:02Z

Kataoka: /* 命題3.1 */

本稿においては、Euclid空間の開集合上の超関数の定義と超関数の基本的操作について述べる。超関数の基本的操作は、具体的には、局所可積分関数の超関数としての同一視、超関数の弱微分、滑らかな関数と超関数の積、超関数の変数変換などである。これらの操作の超関数空間の位相に関する連続性についても述べる。
$\mathbb{N}=\{1,2,3,\ldots\}$、$\mathbb{Z}_+=\{0,1,2,\ldots\}$ とする。

'''[[超関数とFourier変換、Sobolev空間]]'''
* '''超関数の定義と基本操作'''
* [[緩増加超関数とFourier変換]]
* [[合成積とFourier変換]]
* [[Sobolev空間の基本事項]]

== 1. 多重指数、Leibnizルール ==

=== 定義1.1（多重指数、多重二項定理） ===
$N\in \mathbb{N}$ に対し $\mathbb{Z}_+^N$の元を $N$ 次の多重指数と呼ぶことがある。多重指数 $\alpha\in \mathbb{Z}_+^N$ に対し、
$$
\lvert\alpha\rvert\colon=\alpha_1+\ldots+\alpha_N\in \mathbb{Z}_+
$$
を $\alpha$ の長さと言う。 
多重指数 $\alpha\in \mathbb{Z}_+^N$ と $x=(x_1,\ldots,x_N)\in \mathbb{C}^N$ に対し、
$$
x^{\alpha}\colon=x_1^{\alpha_1}\ldots x_N^{\alpha_N}\in\mathbb{C}
$$
と定義する。また $\mathbb{C}^N$ 値関数 $f=(f_1,\ldots, f_N)\colon X\ni p\mapsto (f_1(p),\ldots,f_N(p))\in \mathbb{C}^N$ と多重指数 $\alpha\in \mathbb{Z}_+^N$ に対し $f^{\alpha}\colon X\rightarrow\mathbb{C}$ を、
$$
f^{\alpha}(x)\colon=f_1^{\alpha_1}(x)\ldots f_N^{\alpha_N}(x)\quad(\forall x\in X)
$$
と定義する。 
開集合 $\Omega\subset \mathbb{R}^N$ 上で定義された $C^n$ 級関数 $f\colon\Omega\rightarrow\mathbb{C}$ と長さが $n$ 以下の多重指数 $\alpha\in \mathbb{Z}_+^N$ に対し、
$$
\partial^{\alpha}f\colon=\partial_1^{\alpha_1}\ldots\partial_N^{\alpha_N}f
$$
と定義する<ref>$C^n$ 級関数に対する $n$ 階までの偏微分は順序によらないことに注意（[[Euclid空間における微積分1]]の5を参照）。</ref> 
多重指数 $\alpha,\beta\in \mathbb{Z}_+^N$ に対し多重指数 $\alpha+\beta\in \mathbb{Z}_+^N$ を、
$$
\alpha+\beta\colon=(\alpha_1+\beta_1,\ldots,\alpha_N+\beta_N)
$$
と定義する。多重指数 $\alpha,\beta\in \mathbb{Z}_+^N$ に対し、
$$
\beta_1\leq \alpha_1,\ldots,\beta_N\leq \alpha_N
$$
であることを $\beta\leq \alpha$ と表す。
$\beta\leq \alpha$ なる多重指数 $\alpha,\beta\in \mathbb{Z}_+^N$ に対し多重指数 $\alpha-\beta\in \mathbb{Z}_+^N$ を、
$$
\alpha-\beta\colon=(\alpha_1-\beta_1,\ldots,\alpha_N-\beta_N)
$$
と定義する。 
多重指数 $\alpha,\beta\in \mathbb{Z}_+^N$ で $\beta\leq\alpha$ なるものに対し、
$$
\begin{pmatrix}\alpha\\\beta\end{pmatrix}\colon=\begin{pmatrix}\alpha_1\\\beta_1\end{pmatrix}\ldots\begin{pmatrix}\alpha_N\\\beta_N\end{pmatrix}
$$
を多重二項係数と言う。ただし、
$$
\begin{pmatrix}\alpha_k\\\beta_k\end{pmatrix}=\frac{\alpha_k!}{\beta_k!(\alpha_k-\beta_k)!}\quad(k=1,\ldots,N)
$$
である。

=== 注意1.2（多重二項定理） ===
任意の$x,y\in \mathbb{C}^N$ と任意の多重指数 $\alpha\in \mathbb{Z}_+^N$ に対し、
$$
(x+y)^\alpha=(x_1+y_1)^{\alpha_1}\ldots(x_N+y_N)^{\alpha_N}=
\sum_{\beta\leq\alpha}\begin{pmatrix}\alpha\\\beta\end{pmatrix}x^{\beta}y^{\alpha-\beta}
$$
である。

=== 命題1.3（Leibnizルール） ===
$\Omega\subset \mathbb{R}^N$ を開集合とし、$f,g\colon\Omega\rightarrow\mathbb{C}$ を $C^n$ 級関数とする。このとき長さが $n$ の任意の多重指数 $\alpha\in \mathbb{Z}_+^N$ に対し、
$$
\partial^{\alpha}(fg)=\sum_{\beta\leq\alpha}\begin{pmatrix}\alpha\\\beta\end{pmatrix}\partial^{\beta}f\partial^{\alpha-\beta}g\quad\quad(*)
$$
が成り立つ。
{{begin |proof }}
*$(1)$　$N=1$の場合。$(*)$ は、
$$
(fg)^{(n)}=\sum_{k=0}^{n}\begin{pmatrix}n\\k\end{pmatrix}f^{(k)}g^{(n-k)}\quad\quad(**)
$$
である。これを $n$ に関する帰納法で示す。$n=1$ ならば明らかに成り立つ。 $(**)$ がある $n\in\mathbb{N}$ に対して成り立つとして $n+1$ の場合も成り立つことを示す。
$$
\begin{aligned}
(fg)^{(n+1)}&=\left(\sum_{k=0}^{n}\begin{pmatrix}n\\k\end{pmatrix}f^{(k)}g^{(n-k)}\right)'
=\sum_{k=0}^{n}\begin{pmatrix}n\\k\end{pmatrix}f^{(k+1)}g^{(n-k)}+
\sum_{k=0}^{n}\begin{pmatrix}n\\k\end{pmatrix}f^{(k)}g^{(n+1-k)}\\
&=\sum_{k=1}^{n+1}\begin{pmatrix}n\\k-1\end{pmatrix}f^{(k)}g^{(n+1-k)}+\sum_{k=0}^{n}\begin{pmatrix}n\\k\end{pmatrix}f^{(k)}g^{(n+1-k)}\\
&=\sum_{k=1}^{n}\left(\begin{pmatrix}n\\k\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}n\\k-1\end{pmatrix}\right)f^{(k)}g^{(n+1-k)}+f^{(n+1)}g^{(0)}+f^{(0)}g^{(n+1)}
\end{aligned}
$$
である。ここで $1\leq k\leq n$ なる $n,k\in\mathbb{N}$ に対し、
$$
\begin{pmatrix}n\\k\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}n\\k-1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}n+1\\k\end{pmatrix}
$$
であるから、
$$
\begin{aligned}
(fg)^{(n+1)}&=\sum_{k=1}^{n}\begin{pmatrix}n+1\\k\end{pmatrix}f^{(k)}g^{(n+1-k)}+f^{(n+1)}g^{(0)}+f^{(0)}g^{(n+1)}\\
&=\sum_{k=0}^{n+1}\begin{pmatrix}n+1\\k\end{pmatrix}f^{(k)}g^{(n+1-k)}
\end{aligned}
$$
である。よって $(**)$ は $n+1$ の場合も成り立つ。
*$(2)$　一般の場合。$(1)$ を繰り返し用いれば、
$$
\begin{aligned}
\partial^{\alpha}(fg)&=\partial_1^{\alpha_1}\ldots\partial_N^{\alpha_N}(fg)
=\sum_{\beta_N\leq\alpha_N}\begin{pmatrix}\alpha_N\\\beta_N\end{pmatrix}\partial_{1}^{\alpha_1}\ldots\partial_{N-1}^{\alpha_{N-1}}\left(\left(\partial_N^{\beta_N}f\right)\left(\partial_N^{\alpha_N-\beta_N}g\right)\right)\\
&=\sum_{\substack{\beta_N\leq\alpha_N,\\\beta_{N-1}\leq\alpha_{N-1}}}\begin{pmatrix}\alpha_{N-1}\\\beta_{N-1}\end{pmatrix}\begin{pmatrix}\alpha_N\\\beta_N\end{pmatrix}
\partial_{1}^{\alpha_1}\ldots\partial_{N-2}^{\alpha_{N-2}}\left(\left(\partial_{N-1}^{\beta_{N-1}}\partial_N^{\beta_N}f\right)\left(\partial_{N-1}^{\alpha_{N-1}-\beta_{N-1}}\partial_N^{\alpha_N-\beta_N}g\right)\right)\\
&=\ldots=\sum_{\beta\leq\alpha}\begin{pmatrix}\alpha\\\beta\end{pmatrix}\partial^{\beta}f\partial^{\alpha-\beta}g
\end{aligned}
$$
となる。
{{end|proof|}}

== 2. 距離空間の部分集合の間の距離に関する基本事項 ==

=== 定義2.1（距離空間の部分集合の間の距離） ===
$(X,d)$ を距離空間とする。任意の $E,F\subset X$ に対し $E$ と $F$ の距離を、
$$
d(E,F)\colon=\inf\{d(x,y):x\in E,y\in F\}
$$
と定義する。ただし $E, F$ のうちいずれかが空ならば $d(E,F)=\infty$ とする。また任意の $x\in X$ と任意の $E\subset X$ に対し、
$$
d(x,E)\colon=d(\{x\},E)
$$
と定義する。

=== 命題2.2（距離空間の部分集合の間の距離に関する基本事項） ===
$(X,d)$ を距離空間とする。次が成り立つ。
*$(1)$　任意の $x\in X$ と任意の $E\subset X$ に対し $d(x,E)=0$ であることと $x\in \overline{E}$ であることは同値である。
*$(2)$　任意の $E\subset X$ と任意の $r\in (0,\infty)$ に対し、
$$
\{x\in X:d(x,E)<r\},\quad \{x\in X:d(x,E)>r\}
$$
はそれぞれ $X$ の開集合である。
*$(3)$　任意の $E,F\subset X$ に対し $d(E,F)=d(\overline{E},F)$ である。
*$(4)$　$K\subset X$ を空でないコンパクト集合、$V\subset X$ を開集合とし、$K\subset V$ とすると $d(K,X\backslash V)>0$ である。
{{begin |proof }}
*$(1)$　
$$
d(x,E)=0\quad\Leftrightarrow\quad B(x,\epsilon)\cap E\neq\emptyset\quad(\forall \epsilon\in(0,\infty))\quad\Leftrightarrow\quad x\in\overline{E}.
$$
*$(2)$　任意の $x_0\in \{x\in X:d(x,E)<r\}$ を取る。$d(y,x_0)<r-d(x_0,E)$ なる任意の $y\in X$ に対し、
$$
d(y,z)\leq d(y,x_0)+d(x_0,z)\quad(\forall z\in E)
$$
であるから、
$$
d(y,E)\leq d(y,x_0)+d(x_0,E)<r-d(x_0,E)+d(x_0,E)=r
$$
である。よって $B(x_0,r-d(x_0,E))\subset\{x\in X:d(x,E)<r\}$ であるから $\{x\in X:d(x,E)<r\}$ は開集合である。 
任意の $x_0\in \{x\in X:d(x,E)>r\}$を取る。$d(y,x_0)<d(x_0,E)-r$ なる任意の $y\in X$ に対し、
$$
d(y,z)\geq d(x_0,z)-d(y,x_0)\quad(\forall z\in E)
$$
であるから、
$$
d(y,E)\geq d(x_0,E)-d(y,x_0)>d(x_0,E)-(d(x_0,E)-r)=r
$$
である。よって $B(x_0,d(x_0,E)-r)\subset\{x\in X:d(x,E)>r\}$ であるから $\{x\in X:d(x,E)>r\}$ は開集合である。

*$(3)$　任意の $x\in \overline{E}$ と任意の $y\in F$ を取り、$x$ に収束する $E$ の列 $(x_n)_{n\in\mathbb{N}}$ を取ると、
$$
\lvert d(x,y)-d(x_n,y)\rvert \leq d(x,x_n)\rightarrow0
$$
より、
$$
d(x,y)=\lim_{n\rightarrow\infty}d(x_n,y)\geq d(E,F)
$$
である。よって $d(\overline{E},F)\geq d(E,F)$ である。逆の不等式は自明である。
*$(4)$　$(2)$ より、
$$
U_n\colon=\left\{x\in X:d(x,X\backslash V)>\frac{1}{n}\right\}\quad(\forall n\in\mathbb{N})
$$
はそれぞれ開集合であり、$U_n\subset U_{n+1}$ $(\forall n\in\mathbb{N})$ である。また $K\subset V$ であり $X\backslash V$ は閉集合であるから $(1)$ より、
$$
K\subset \{x\in X:d(x,X\backslash V)>0\}=\bigcup_{n\in\mathbb{N}}U_n
$$
である。よって $K$ のコンパクト性より $K\subset U_{m}$ なる $m\in\mathbb{N}$ が取れ、
$$
d(x,y)>\frac{1}{m}\quad(\forall x\in K,\forall y\in X\backslash V)
$$
であるので、
$$
d(K,X\backslash V)\geq \frac{1}{m}>0
$$
である。
{{end|proof|}}

== 3. Fréchet空間 $\mathcal{E}(\Omega)$ とFréchet空間 $D_K(\Omega)$ ==

=== 命題3.1 ===
$\Omega\subset \mathbb{R}^N$ を開集合とし、任意の $n\in\mathbb{N}$ に対し、
$$
\Omega_n\colon=\left\{x\in \mathbb{R}^N:\lvert x\rvert<n,\text{ }d(x,\mathbb{R}^N\backslash \Omega)>\frac{1}{n}\right\}
$$
とおく。このとき $(\Omega_n)_{n\in\mathbb{N}}$ は $\Omega$ の開集合の単調増加列であり、
$$
\Omega=\bigcup_{n\in\mathbb{N}}\Omega_n
$$
が成り立つ。また任意の $n\in\mathbb{N}$ に対し、
$$
\overline{\Omega_n}\subset\left\{x\in\mathbb{R}^N:\lvert x\rvert\leq n, \text{ } d(x,\mathbb{R}^N\backslash \Omega)\geq\frac{1}{n}\right\}\subset \Omega_{n+1}
$$
が成り立ち $\overline{\Omega_n}$ はコンパクトである。
{{begin |proof }}
'''命題2.2'''の $(2)$ による。
{{end|proof}}

=== 定義3.2（コンパクト一様収束） ===
$X$ を位相空間、$Y$を距離空間とする。$X\rightarrow Y$ の写像からなるネット<ref>ネットについては[[ネットによる位相空間論]]を参照。</ref> $(f_{\lambda})_{\lambda\in\Lambda}$ が写像 $f\colon X\rightarrow Y$ にコンパクト一様収束するとは、任意のコンパクト集合 $K\subset X$ に対し $(f_{\lambda})_{\lambda\in\Lambda}$ が $K$ 上で $f$ に一様収束することを言う。

=== 定義3.3（$\mathcal{E}(\Omega)$ ） ===
$\Omega\subset \mathbb{R}^N$ を開集合とする。'''命題3.2'''における $\Omega$ の開集合の単調増加列 $(\Omega_n)_{n\in\mathbb{N}}$ を考える。$\Omega$ 上の $C^\infty$ 級複素数値関数全体に各点ごとの演算を入れた $\mathbb{C}$ 上の線形空間 $C^\infty(\Omega)$ に対し $C^\infty(\Omega)$ 上のセミノルムの列 $(p_n)_{n\in\mathbb{N}}$ を、
$$
p_n\colon C^\infty(\Omega)\ni f\mapsto \underset{\lvert\alpha\rvert\leq n}{\rm max}\sup_{x\in \overline{\Omega_n}}\lvert\partial^{\alpha}f(x)\rvert\in [0,\infty)\quad(\forall n\in\mathbb{N})
$$
として定義する。$\Omega=\bigcup_{n\in\mathbb{N}}\Omega_n$ であることから $\{p_n\}_{n\in\mathbb{N}}$ は $C^\infty(\Omega)$ 上のセミノルムの分離族である。そこで $C^\infty(\Omega)$ に $\{p_n\}_{n\in\mathbb{N}}$ から誘導されるセミノルム位相を入れたセミノルム空間を $\mathcal{E}(\Omega)$ とする（セミノルム空間については（[[位相線形空間2：セミノルム位相と汎弱位相]]）の8を参照）。次の'''命題3.4'''より $\mathcal{E}(\Omega)$ はFréchet空間（[[位相線形空間4：Fréchet空間と関数解析の基本定理]]）であり、 $\mathcal{E}(\Omega)$ の列 $(f_i)_{i\in\mathbb{N}}$ が $f\in \mathcal{E}(\Omega)$ に収束することは、任意の $\alpha\in \mathbb{Z}_+^N$ に対し $(\partial^{\alpha}f_i)_{i\in\mathbb{N}}$ が $\partial^{\alpha}f$ にコンパクト一様収束することと同値である。

=== 命題3.4（$\mathcal{E}(\Omega)$ はFréchet空間） ===
$\Omega\subset \mathbb{R}^N$ を開集合とする。'''定義3.3'''におけるセミノルム空間 $\mathcal{E}(\Omega)$ について次が成り立つ。
*$(1)$　$\mathcal{E}(\Omega)$ の列 $(f_i)_{i\in\mathbb{N}}$ が $f\in \mathcal{E}(\Omega)$ に収束することは、任意の多重指数 $\alpha\in \mathbb{Z}_+^N$ に対し $(\partial^{\alpha}f_i)_{i\in\mathbb{N}}$ が $\partial^{\alpha}f$ にコンパクト一様収束（'''定義3.2'''）することと同値である。
*$(2)$　$\mathcal{E}(\Omega)$ はFréchet空間（[[位相線形空間4：Fréchet空間と関数解析の基本定理]]）である。
{{begin |proof }}
*$(1)$　任意の$\alpha\in \mathbb{Z}_+^N$ に対し $(\partial^{\alpha}f_i)_{i\in\mathbb{N}}$ が $\partial^{\alpha}f$ にコンパクト一様収束するとする。任意の $n\in\mathbb{N}$ に対し $\overline{\Omega_n}$ はコンパクトであるから、
$$
p_n(f_i-f)=\underset{\lvert\alpha\rvert\leq n}{\rm max}\sup_{x\in \overline{\Omega_n}}\lvert\partial^{\alpha}f_i(x)-\partial^{\alpha}f(x)\rvert\rightarrow0\quad(i\rightarrow\infty)
$$
である。よってセミノルム位相による収束の特徴付け（[[位相線形空間2：セミノルム位相と汎弱位相]]の'''命題8.6'''の$(1)$）よりセミノルム空間 $\mathcal{E}(\Omega)$ の位相で $(f_i)_{i\in\mathbb{N}}$ は $f$ に収束する。 
逆にセミノルム空間 $\mathcal{E}(\Omega)$ の位相で $(f_i)_{i\in\mathbb{N}}$ が $f$ に収束するとする。'''命題3.1'''より任意の多重指数 $\alpha\in \mathbb{Z}_+^N$ と任意のコンパクト集合 $K\subset \Omega$ に対し $K\subset \Omega_n$ かつ $\lvert\alpha\rvert\leq n$ を満たす $n\in\mathbb{N}$ が取れる。セミノルム位相による収束の特徴付け（[[位相線形空間2：セミノルム位相と汎弱位相]]の'''命題8.6'''の$(1)$）より $\lim_{i\rightarrow\infty}p_n(f_i-f)=0$ であるから、
$$
\sup_{x\in K}\lvert\partial^{\alpha}f_i(x)-\partial^{\alpha}f(x)\rvert
\leq \underset{\lvert\beta\rvert\leq n}{\rm max}\sup_{x\in \overline{\Omega_n}}\lvert\partial^{\beta}f_i(x)-\partial^{\beta}f(x)\rvert=p_n(f_i-f)\rightarrow0\quad(i\rightarrow\infty)
$$
である。よって任意の $\alpha\in \mathbb{Z}_+^N$ に対し $(\partial^{\alpha}f_i)_{i\in\mathbb{N}}$ は $\partial^{\alpha}f$ にコンパクト一様収束する。
*$(2)$　$(f_i)_{i\in\mathbb{N}}$ を $\mathcal{E}(\Omega)$ のCauchy列（[[位相線形空間4：Fréchet空間と関数解析の基本定理]]の'''定義15.1'''）とする。このとき任意のコンパクト集合 $K\subset \Omega$ と任意の $\alpha\in \mathbb{Z}_+^N$ に対し $K\subset \Omega_n$ かつ $\lvert\alpha\rvert\leq n$ を満たす $n\in \mathbb{N}$ を取れば、
$$
\sup_{x\in K}\lvert\partial^{\alpha}f_i(x)-\partial^{\alpha}f_j(x)\rvert\leq p_n(f_i-f_j)\quad(\forall i,j\in \mathbb{N})
$$
であるから $(\partial^{\alpha}f_i)_{i\in\mathbb{N}}$ は $K$ 上で一様Cauchy条件を満たすので $K$ 上で一様収束する。連続関数列の一様収束極限は連続関数である（[[距離空間の位相の基本的性質]]の8を参照）ことと $K\subset \Omega$ の任意性から任意の $\alpha\in \mathbb{Z}_+^N$ に対し $(\partial^{\alpha}f_i)_{i\in\mathbb{N}}$ はある連続関数 $f_{\alpha}\in C(\Omega)$ にコンパクト一様収束することが分かる。$f\colon=f_0\in C(\Omega)$とおく。今、$f\in C^\infty(\Omega)=\mathcal{E}(\Omega)$ であることと任意の $\alpha\in \mathbb{Z}_+^N$ に対し $\partial^{\alpha}f=f_{\alpha}$ が成り立つことを示す。そこである $n\in \mathbb{Z}_+$ に対し、
$$
f\in C^n(\Omega),\quad \partial^{\alpha}f=f_{\alpha}\quad(\forall \alpha\in \mathbb{Z}_+^N:\lvert\alpha\rvert\leq n)
$$
が成り立つと仮定する。$\lvert\alpha\rvert=n$ なる任意の $\alpha\in \mathbb{Z}_+^N$ と任意の $j\in \{1,\ldots,N\}$ を取り、
$$
\beta\colon=\alpha+e_j=\alpha+(0,\ldots,0,\overset{j\text{ 番目}}{1},0,\ldots,0)\in \mathbb{Z}_+^N
$$
とおく。任意の $x\in \Omega$ と $\overline{B(x,\delta)}=\{y\in \mathbb{R}^N:\lvert y-x\rvert\leq \delta\}\subset \Omega$ なる任意の $\delta\in (0,\infty)$ を取る。このとき $0<\lvert h\rvert\leq\delta$ を満たす任意の $h\in \mathbb{R}$ に対し微積分学の基本定理より、
$$
\frac{\partial^{\alpha}f_i(x+he_j)-\partial^{\alpha}f_i(x)}{h}
=\int_{0}^{1}\partial^{\beta}f_i(x+\theta he_j)d\theta\quad(\forall i\in \mathbb{N})\quad\quad(*)
$$
である。コンパクト集合 $\overline{B(x,\delta)}$ 上で $(\partial^{\alpha}f_i)_{i\in\mathbb{N}}$ は $\partial^{\alpha}f$ に、 $(\partial^{\beta}f_i)_{i\in\mathbb{N}}$ は $f_{\beta}$ に一様収束するので、$(*)$ は $i\rightarrow\infty$ とすれば、
$$
\frac{\partial^{\alpha}f(x+he_j)-\partial^{\alpha}f(x)}{h}
=\int_{0}^{1}f_{\beta}(x+\theta he_j)d\theta\quad(\forall i\in \mathbb{N})\quad\quad(**)
$$
となる。よって $h\rightarrow0$ とすれば、優収束定理より、
$$
\partial_j\partial^{\alpha}f(x)=f_{\beta}(x)
$$
が成り立つ。これより $\lvert\alpha\rvert=n$ なる任意の $\alpha\in \mathbb{Z}_+^N$ に対し $\partial^{\alpha}f\in C^1(\Omega)$ であり、
$$
\partial_j\partial^{\alpha}f=f_{\alpha+e_j}\quad(\forall j\in \{1,\ldots,N\})
$$
が成り立つので、
$$
f\in C^{n+1}(\Omega),\quad \partial^{\beta}f=f_{\beta}\quad(\forall \beta\in \mathbb{Z}_+^N:\lvert\beta\rvert=n+1)
$$
が成り立つ。よって帰納法より $f\in C^\infty(\Omega)=\mathcal{E}(\Omega)$ であり、任意の多重指数 $\alpha\in \mathbb{Z}_+^N$ に対し $\partial^{\alpha}f=f_{\alpha}$ である。任意の $\alpha\in \mathbb{Z}_+^N$ に対し $(\partial^{\alpha}f_i)_{i\in\mathbb{N}}$ は $f_{\alpha}=\partial^{\alpha}f$ にコンパクト一様収束するので、$(1)$ より $\mathcal{E}(\Omega)$ の位相で $(f_i)_{i\in\mathbb{N}}$ は $f$ に収束する。ゆえに $\mathcal{E}(\Omega)$ はFréchet空間である。
{{end|proof}}

=== 注意3.5 ===
Fréchet空間の位相は[[位相線形空間4：Fréchet空間と関数解析の基本定理]]の15より距離位相であるので第一可算である。よって $\mathcal{E}(\Omega)$ 上で定義され、位相空間に値を取る写像の連続性を示すには、連続性の点列による特徴付け（[[ネットによる位相空間論]]の'''命題6.6'''）より、その写像が $\mathcal{E}(\Omega)$ の収束列を収束列に写すことを示せばよい。

=== 命題3.6（Fréchet空間 $\mathcal{E}(\Omega)$ 上の基本的な連続線形写像） ===
$\Omega,\Omega'\subset \mathbb{R}^N$ を開集合とし、Fréchet空間 $\mathcal{E}(\Omega)$, $\mathcal{E}(\Omega')$を考える。次が成り立つ。
*$(1)$　任意の $\alpha\in \mathbb{Z}_+^N$ に対し、
$$
\mathcal{E}(\Omega)\ni f\mapsto \partial^{\alpha}f\in \mathcal{E}(\Omega)
$$
は連続線形写像である。
*$(2)$　任意の $g\in \mathcal{E}(\Omega)$ に対し、
$$
\mathcal{E}(\Omega)\ni f\mapsto fg\in \mathcal{E}(\Omega)
$$
は連続線形写像である。
*$(3)$　$\Phi\colon\Omega\rightarrow\Omega'$ を $C^\infty$ 級同相写像とすると、
$$
\mathcal{E}(\Omega')\ni f\mapsto f\circ\Phi\in \mathcal{E}(\Omega)
$$
は連続線形写像である。
{{begin |proof }}
*$(1)$　'''命題3.4'''の$ (1)$ より自明である。
*$(2)$　Leibnizルール（'''命題1.3'''）と'''命題3.4'''の $(1)$ による。
*$(3)$　任意の $f\in \mathcal{E}(\Omega')$ と任意の $\alpha\in \mathbb{Z}_+^N$ に対しチェインルールより $c_{\beta}\in C^\infty(\Omega)$ $(\beta\in \mathbb{Z}_+^N:\lvert\beta\rvert\leq \lvert\alpha\rvert)$ で、
$$
\partial^{\alpha}(f\circ\Phi)=\sum_{\lvert\beta\rvert\leq\lvert\alpha\rvert}c_{\beta}(\partial^{\beta}f)\circ\Phi
$$
なるものが取れる。このことと'''命題3.4'''の $(1)$ による。
{{end|proof}}

=== 定義3.7（Fréchet空間 $D_K(\Omega)$） ===
$\Omega\subset \mathbb{R}^N$ を開集合とする。任意のコンパクト集合 $K\subset \Omega$ に対し、
$$
D_K(\Omega)\colon=\{f\in \mathcal{E}(\Omega):\text{supp}(f)\subset K\}
$$
とおく。このとき $D_K(\Omega)$ はFréchet空間 $\mathcal{E}(\Omega)$ の閉部分空間である<ref>実際、任意の $f\in \overline{D_K(\Omega)}\subset \mathcal{E}(\Omega)$ に対し $f_i\rightarrow f$ なる $D_K(\Omega)$ の列 $(f_i)_{i\in\mathbb{N}}$ を取れば、任意の $x\in \Omega\backslash K$ に対し $f(x)=\lim_{i\rightarrow\infty}f_i(x)=0$ であるから $\text{supp}(f)\subset K$ である。よって $f\in D_K(\Omega)$ である。</ref>から、$D_K(\Omega)$ は $\mathcal{E}(\Omega)$ の相対位相でFréchet空間である（[[位相線形空間4：Fréchet空間と関数解析の基本定理]]の'''注意19.1'''を参照）。また $D_K(\Omega)$ の列 $(f_i)_{i\in\mathbb{N}}$ が $f\in D_K(\Omega)$ に $D_K(\Omega)$ の位相で収束することは、$K$ がコンパクトであることと'''命題3.4'''より、任意の多重指数 $\alpha\in \mathbb{Z}_+^N$ に対し $(\partial^{\alpha}f_i)_{i\in\mathbb{N}}$ が $\partial^{\alpha} f$ に一様収束することと同値である。

== 4. 超関数空間 $D'(\Omega)$ ==

=== 定義4.1（超関数空間 $D'(\Omega)$） ===
$\Omega\subset \mathbb{R}^N$ を開集合とする。超関数論の文脈では $\Omega$ 上で定義された台がコンパクトな $C^\infty$ 級関数全体 $C_c^\infty(\Omega)$ を、
$$
D(\Omega)\colon=C_c^\infty(\Omega)=\bigcup_{K\subset \Omega:\text{コンパクト}}D_K(\Omega)
$$
と表し、これを $\Omega$ 上のテスト関数空間と言い、$D(\Omega)$ の元を $\Omega$ 上のテスト関数と言う。$D(\Omega)$ 上の線形汎関数
$$
u\colon D(\Omega)\rightarrow \mathbb{C}
$$
で任意のコンパクト集合 $K\subset\Omega$ に対し、
$$
D_K(\Omega)\ni \varphi\mapsto u(\varphi)\in \mathbb{C}
$$
がFréchet空間 $D_K(\Omega)$（'''定義3.7'''）上の連続線形汎関数であるようなものを $\Omega$ 上の超関数と言う。$\Omega$ 上の超関数全体を $D'(\Omega)$ と表す。$D'(\Omega)$ は各テスト関数ごとの演算で $\mathbb{C}$ 上の線形空間をなす。任意の $\varphi\in D(\Omega)$ に対し $D'(\Omega)$ 上の線形汎関数
$$
\iota(\varphi)\colon D'(\Omega)\ni u\mapsto u(\varphi)\in \mathbb{C}
$$
を定義する。そして $D'(\Omega)$ 上の線形汎関数の分離族 $\{\iota(\varphi)\}_{\varphi\in D(\Omega)}$ が誘導する汎弱位相（[[位相線形空間2：セミノルム位相と汎弱位相]]の9を参照）を $D'(\Omega)$ に入れ、$D'(\Omega)$ を位相線形空間とみなす。この位相線形空間 $D'(\Omega)$ を $\Omega$ 上の超関数空間と言う。

=== 注意4.2（超関数の収束） ===
$D'(\Omega)$ のネット $(u_{\lambda})_{\lambda\in\Lambda}$ が $u\in D'(\Omega)$ に収束することは、任意の $\varphi\in D(\Omega)$ に対し $(u_{\lambda}(\varphi))_{\lambda\in \Lambda}$ が $u(\varphi)$ に収束することと同値である（[[位相線形空間2：セミノルム位相と汎弱位相]]の'''命題9.3'''を参照）。

=== 命題4.3（超関数列の各点収束極限は超関数） ===
$\Omega\subset \mathbb{R}^N$ を開集合、$(u_i)_{i\in\mathbb{N}}$ を $D'(\Omega)$ の列とし、任意の $\varphi\in D(\Omega)$ に対し $(u_i(\varphi))_{i\in \mathbb{N}}$ が収束するとする。このとき、
$$
u(\varphi)\colon=\lim_{i\rightarrow\infty}u_i(\varphi)\quad(\forall \varphi\in D(\Omega))
$$
として定義される線形汎関数 $u\colon D(\Omega)\rightarrow\mathbb{C}$ は $D'(\Omega)$ に属する。
{{begin |proof }}
任意のコンパクト集合 $K\subset \Omega$を取る。各 $i\in \mathbb{N}$ に対し、
$$
D_K(\Omega)\ni \varphi\mapsto u_i(\varphi)\in \mathbb{C}
$$
はFréchet空間 $D_K(\Omega)$ 上の連続線形汎関数であるから、一様有界性定理（[[位相線形空間4：Fréchet空間と関数解析の基本定理]]の'''系17.4'''）よりその各点収束極限である
$$
D_K(\Omega)\ni \varphi\mapsto u(\varphi)\in\mathbb{C}
$$
もFréchet空間 $D_K(\Omega)$ 上の連続線形汎関数である。よって $u\in D'(\Omega)$ である。
{{end|proof|}}

=== 注意4.4（テスト関数空間の包含関係） ===
$\Omega_1,\Omega_2\subset \mathbb{R}^N$ を開集合とし、$\Omega_1\subset\Omega_2$ とする。$K\subset \Omega_1$ に対し $K$ が $\Omega_1$ においてコンパクトであることと $\Omega_2$ においてコンパクトであることは同値であるから、任意の $\varphi\in D(\Omega_1)$ に対し $\varphi$ を $\Omega_2$ 上に $0$拡張したもの $\widetilde{\varphi}\colon\Omega_2\rightarrow\mathbb{C}$ は $D(\Omega_2)$ に属し、$\text{supp}(\varphi)=\text{supp}(\widetilde{\varphi})$ である。そこで以後、$\varphi\in D(\Omega_1)$ と $\widetilde{\varphi}\in D(\Omega_2)$ を同一視して $D(\Omega_1)\subset D(\Omega_2)$ とみなす。

=== 定義4.5（超関数の制限） ===
$\Omega_1,\Omega_2\subset \mathbb{R}^N$ を開集合とし、$\Omega_1\subset\Omega_2$ とする。任意の $u\in D'(\Omega_2)$ に対し $u|_{\Omega_1}\in D'(\Omega_1)$ を、
$$
u|_{\Omega_1}\colon D(\Omega_1)\ni \varphi\mapsto u(\varphi)\in \mathbb{C}
$$
と定義する。

== 5. 変分学の基本補題、$L^1_{\rm loc}(\Omega)\subset D'(\Omega)$ ==

=== 定義5.1（$L^p_{\rm loc}(\Omega)$） ===
$\Omega\subset \mathbb{R}^N$ を開集合とする。$\Omega$ 上の複素数値Borel関数全体において、
$$
f\sim g\quad \Leftrightarrow\quad f,g\text{ はLebesgue測度に関してa.e.で等しい}
$$
なる同値関係 $\sim$ による $f$ の同値類を $[f]$ と表し、同値類全体を $L(\Omega)$ と表す。任意の $[f],[g]\in L(\Omega)$、任意の $\alpha\in \mathbb{C}$ に対し、
$$
[f]+[g]=[f+g],\quad \alpha[f]=[\alpha f],\quad [f][g]=[fg],\quad \overline{[f]}=[\overline{f}]
$$
とおく（well-definedである）。前の二つを加法、スカラー倍として $L(\Omega)$ は $\mathbb{C}$ 上の線形空間である。
$\Omega$ の空でない開集合のLebesgue測度は正であるから、$\Omega$ 上の複素数値連続関数全体 $C(\Omega)$ に対し、
$$
C(\Omega)\ni f\mapsto [f]\in L(\Omega)
$$
は単射である<ref>$f\in C(\Omega)$ とする。$[f]=0$ ならば $(\lvert f\rvert>0)$ のLebesgue測度は $0$ である。$f$ の連続性より $(\lvert f\rvert>0)$ は開集合であり、$\Omega$ の空でない開集合のLebesgue測度は正であるから $(\lvert f\rvert>0)=\emptyset$ でなければならない。</ref>。これより $f\in C(\Omega)$ に対しては、 $f$ と $[f]$ を同一視して、
$$
C(\Omega)\subset L(\Omega)
$$
とみなす. 
任意の $p\in [1,\infty]$ に対し $L(\Omega)$ の線形部分空間
$$
L^p_{\rm loc}(\Omega)\colon=\{[f]\in L(\Omega):\text{任意のコンパクト集合} K\subset \Omega\text{ に対し }[f\chi_K]\in L^p(\Omega)\}
$$
を定義する。これを $\Omega$ 上の $p$ 乗局所可積分関数空間と言う。コンパクト集合のLebesgue測度は有限であることとHölderの不等式より、
$$
C(\Omega),\quad L^p_{\rm loc}(\Omega)\subset L^1_{\rm loc}(\Omega)\quad(\forall p\in[1,\infty])
$$
である。

=== 補題5.2 ===
$\Omega\subset \mathbb{R}^N$ を開集合とする。このとき任意の $[f]\in L^1(\Omega)$ に対し、
$$
\lVert f\rVert_1=\sup\left\{\left\lvert\int_{\Omega}f(x)\varphi(x)dx\right\rvert:\varphi\in D(\Omega),\text{ }\sup_{x\in \Omega}\lvert\varphi(x)\rvert\leq1\right\}\quad\quad(*)
$$
が成り立つ。
{{begin |proof }}
$(*)$ の右辺を $s$とおく。$s\leq \lVert f\rVert_1$ は自明である。逆の不等式を示す。任意の $\epsilon\in (0,\infty)$ を取り固定する。[[ベクトル解析4：Euclid空間内の多様体上の測度と積分]]の'''系16.12'''の$(3)$ より、
$$
\lVert f-g\rVert_1<\frac{\epsilon}{3}\quad\quad(**)
$$
を満たす $g\in D(\Omega)$ が取れる。そして各 $n\in\mathbb{N}$ に対し $(\frac{1}{n}\leq \lvert g\rvert)\subset (0<\lvert g\rvert)$ であり、$(\frac{1}{n}\leq \lvert g\rvert)$ はコンパクト集合で $(0<\lvert g\rvert)$ は開集合であるから、Urysohnの補題（[[ベクトル解析4：Euclid空間内の多様体上の測度と積分]]の'''定理15.5'''）より、
$$
0\leq\omega_n(x)\leq1\quad(\forall x\in \Omega),\quad
\omega_n|_{(\frac{1}{n}\leq \lvert g\rvert)}=1,\quad
\text{supp}(\omega_n)\subset (0<\lvert g\rvert)\quad\quad(***)
$$
を満たす $\omega_n\in D(\Omega)$ が取れる。各 $n\in\mathbb{N}$ に対し $\varphi_n\colon\Omega\rightarrow\mathbb{C}$ を、
$$
\varphi_n(x)\colon=\left\{\begin{array}{cl}\frac{\lvert g(x)\rvert}{g(x)}\omega_n(x)&(x\in (0<\lvert g\rvert))\\
0&(x\notin (0<\lvert g\rvert))\end{array}\right.\quad\quad(****)
$$
と定義する。$(***)$ より $\text{supp}(\omega_n)\subset (0<\lvert g\rvert)$ であるから、
$$
\Omega=(0<\lvert g\rvert)\cup(\Omega\backslash \text{supp}(\omega_n))
$$
であり、$\varphi_n$ は $(0<\lvert g\rvert)$ 上で $C^\infty$ 級で $\Omega\backslash \text{supp}(\omega_n)$ 上で $0$ であるので $\varphi_n\in D(\Omega)$ である。また $\lvert\varphi_n(x)\rvert\leq1$ $(\forall x\in \Omega)$ である。そして $(***)$, $(****)$ より、
$$
\lim_{n\rightarrow\infty}g(x)\varphi_n(x)=\lim_{n\rightarrow\infty}\lvert g(x)\rvert\omega_n(x)
=\lvert g(x)\rvert\quad(\forall x\in \Omega)
$$
であるから、Lebesgue優収束定理より、
$$
\lVert g\rVert_1=\int_{\Omega}\lvert g(x)\rvert dx=\lim_{n\rightarrow\infty}\left\lvert\int_{\Omega}g(x)\varphi_n(x)dx\right\rvert
$$
である。よって、
$$
\lVert g\rVert_1-\frac{\epsilon}{3}<\left\lvert\int_{\Omega}g(x)\varphi_n(x)dx\right\rvert
$$
を満たす $n\in\mathbb{N}$ が取れる。これを $(**)$ と合わせて、
$$
\begin{aligned}
\lVert f\rVert_1&\leq \lVert f-g\rVert_1+\lVert g\rVert_1<\frac{2}{3}\epsilon+\left\lvert\int_{\Omega}g(x)\varphi_n(x)dx\right\rvert\\
&\leq\frac{2}{3}\epsilon+\left\lvert\int_{\Omega}(g(x)-f(x))\varphi_n(x)dx\right\rvert+\left\lvert\int_{\Omega}f(x)\varphi_n(x)dx\right\rvert\\
&\leq\frac{2}{3}\epsilon+\lVert f-g\rVert_1+s<\epsilon+s
\end{aligned}
$$
を得る。$\epsilon\in(0,\infty)$ は任意であるから $\lVert f\rVert_1\leq s$ が成り立つ。
{{end|proof|}}

=== 命題5.3（変分学の基本補題） ===
$\Omega\subset \mathbb{R}^N$ を開集合、$[f]\in L^1_{\rm loc}(\Omega)$ とする。もし、
$$
\int_{\Omega}f(x)\varphi(x)dx=0\quad(\forall \varphi\in D(\Omega))\quad\quad(*)
$$
が成り立つならば $[f]=0$ である。
{{begin |proof }}
'''命題3.1'''における $(\Omega_n)_{n\in\mathbb{N}}$ を考える。任意の $n\in\mathbb{N}$ について $\overline{\Omega_n}$ はコンパクトであるから、
$$
[f|_{\Omega_n}]\in L^1(\Omega_n)\quad(\forall n\in\mathbb{N})
$$
である。そして任意の $n\in\mathbb{N}$ に対し $(*)$ と'''注意4.4'''より、
$$
\int_{\Omega_n}f(x)\varphi(x)dx=0\quad(\forall \varphi\in D(\Omega_n))
$$
であるから、'''補題5.2'''より、
$$
\lVert f|_{\Omega_n}\rVert_1=\sup\left\{\left\lvert\int_{\Omega_n}f(x)\varphi(x)dx\right\rvert:\varphi\in D(\Omega_n),\sup_{x\in \Omega_n}\lvert \varphi(x)\rvert\leq 1\right\}=0
$$
である。$(\Omega_n)_{n\in\mathbb{N}}$ は単調増加列であり $\Omega=\bigcup_{n\in\mathbb{N}}\Omega_n$ であるから単調収束定理より、
$$
\int_{\Omega}\lvert f(x)\rvert dx=\sup_{n\in\mathbb{N}}\lVert f|_{\Omega_n}\rVert_1=0
$$
である。よって $[f]=0$ である。
{{end|proof}}

=== 定義5.4（$L^1_{\rm loc}(\Omega)\subset D'(\Omega)$） ===
$\Omega\subset \mathbb{R}^N$ を開集合、$[f]\in L^1_{\rm loc}(\Omega)$ とし、線形汎関数
$$
u_{[f]}:D(\Omega)\ni \varphi\mapsto \int_{\Omega}f(x)\varphi(x)dx\in \mathbb{C}
$$
を定義する。任意のコンパクト集合 $K\subset \Omega$ に対し、
$$
\lvert u_{[f]}(\varphi)\rvert\leq \lVert f|_K\rVert_1\lVert \varphi\rVert\quad(\forall \varphi\in D_K(\Omega))
$$
であるから、
$$
D_K(\Omega)\ni \varphi\mapsto u_{[f]}(\varphi)\in \mathbb{C}
$$
はFréchet空間 $D_K(\Omega)$ 上の連続線形汎関数である。よって $u_{[f]}\in D'(\Omega)$ である。そして線形写像
$$
L^1_{\rm loc}(\Omega)\ni [f]\mapsto u_{[f]}\in D'(\Omega)
$$
は、変分学の基本補題（'''命題5.3'''）より単射である。そこで以後、局所可積分関数 $[f]\in L^1_{\rm loc}(\Omega)$ と超関数 $u_{[f]}\in D'(\Omega)$ を同一視し、 $L^1_{\rm loc}(\Omega)\subset D'(\Omega)$ とみなす。

=== 命題5.5（$L^p$ 収束するならば弱収束） ===
$\Omega\subset \mathbb{R}^N$ を開集合、$p\in [1,\infty]$ とする。このとき、
$$
L^p(\Omega)\ni [f]\mapsto [f]\in D'(\Omega)
$$
は $L^p$ ノルムと $D'(\Omega)$ の位相（'''定義4.1'''）に関して連続である。
{{begin |proof }}
$L^p(\Omega)$ の列 $([f_i])_{i\in \mathbb{N}}$ が $[f]\in L^p(\Omega)$ に $L^p$ ノルムで収束するとする。$q$ を $p$ の共役指数とすると $D(\Omega)\subset L^q(\Omega)$ であるから、任意の $\varphi\in D(\Omega)$ に対しHölderの不等式より、
$$
\lvert[f_i](\varphi)-[f](\varphi)\rvert=\left\lvert\int_{\Omega}\lvert f_i(x)-f(x)\rvert\lvert\varphi(x)\rvert dx\right\rvert\leq \lVert [f_i]-[f]\rVert_p\lVert \varphi\rVert_q\rightarrow0\quad(i\rightarrow\infty)
$$
である。よって $D'(\Omega)$ の位相で $([f_i])_{i\in\mathbb{N}}$ は $[f]$ に収束するから、連続性の点列による特徴付け（[[ネットによる位相空間論]]の'''命題6.6'''）より $(*)$ は連続である。
{{end|proof}}

== 6. 弱微分 ==

=== 命題6.1 ===
$\Omega\subset \mathbb{R}^N$ を開集合とし、連続関数 $f\in C(\Omega)$ が第 $j$ 座標に関する連続な偏導関数 $\partial_jf\in C(\Omega)$ を持つとする。このとき、
$$
\partial_jf(\varphi)=-f(\partial_j\varphi)\quad(\forall \varphi\in D(\Omega))
$$
が成り立つ。
{{begin |proof }}
任意の $\varphi\in D(\Omega)$ に対し $g\colon\mathbb{R}^N\rightarrow\mathbb{C}$ を、
$$
g(x)\colon=\left\{\begin{array}{cl}f(x)\varphi(x)&(x\in\Omega)\\0&(x\in \mathbb{R}^N\backslash \Omega)\end{array}\right.
$$
と定義する。
$$
\mathbb{R}^N=\Omega\cup (\mathbb{R}^N\backslash \text{supp}(\varphi))
$$
であり、$g$ は $\mathbb{R}^N\backslash \text{supp}(\varphi)$ 上で $0$ であるから $g$ は第 $j$ 座標に関して偏導関数を持ち、$g,\partial_jg\in C(\mathbb{R}^N)$ である。また $\text{supp}(g)\subset \text{supp}(\varphi)$ より $\text{supp}(g)$ は有界なのでFubiniの定理と微積分学の基本定理より、
$$
\int_{\Omega}\partial_j(f\varphi)(x)dx=\int_{\mathbb{R}^N}\partial_jg(x)dx=0
$$
である。よって、
$$
\begin{aligned}
\partial_jf(\varphi)&=\int_{\Omega}\partial_jf(x)\varphi(x)dx=\int_{\Omega}\partial_j(f\varphi)(x)dx-\int_{\Omega}f(x)\partial_j\varphi(x)dx\\
&=-\int_{\Omega}f(x)\partial_j\varphi(x)dx=-f(\partial_j\varphi)
\end{aligned}
$$
である。
{{end|proof|}}

=== 定義6.2（弱微分） ===
$\Omega\subset \mathbb{R}^N$ を開集合とし、$u\in D'(\Omega)$ とする。'''命題3.6'''の $(1)$ より任意の $j\in \{1,\ldots,N\}$ に対し、
$$
D(\Omega)\ni \varphi\mapsto -u(\partial_j\varphi)\in \mathbb{C}
$$
は $D'(\Omega)$ に属する。そこでこれを $\partial_ju\in D'(\Omega)$ と表し、$u$ の第 $j$ 座標に関する弱微分と言う。'''命題6.1'''より $f\in C(\Omega)$ で $\partial_jf\in C(\Omega)$ なるものに対し、$\partial_jf$ は $f$ の第 $j$ 座標に関する弱微分と一致する。 
任意の $u\in D'(\Omega)$ と任意の多重指数 $\alpha\in \mathbb{Z}_+^N$ に対し、
$$
\partial^{\alpha}u\colon=\partial_1^{\alpha_1}\ldots\partial_N^{\alpha_N}u\in D'(\Omega)
$$
と定義する。このとき、
$$
\partial^{\alpha}u(\varphi)=(-1)^{\lvert\alpha\rvert}u(\partial^{\alpha}\varphi)\quad(\forall \varphi\in D(\Omega))
$$
である。

=== 命題6.3（弱微分の連続性） ===
任意の多重指数 $\alpha\in \mathbb{Z}_+^N$ に対し線形写像
$$
D'(\Omega)\ni u\mapsto \partial^{\alpha}u\in D'(\Omega)\quad\quad(*)
$$
は連続である。
{{begin |proof}}
$D'(\Omega)$ のネット $(u_{\lambda})_{\lambda\in\Lambda}$ が $u\in D'(\Omega)$ に収束するとする。このとき任意の $\varphi\in D(\Omega)$ に対し、
$$
\partial^{\alpha}u_{\lambda}(\varphi)=(-1)^{\lvert\alpha\rvert}u_{\lambda}(\partial^{\alpha}\varphi)
\rightarrow (-1)^{\lvert\alpha\rvert}u(\partial^{\alpha}\varphi)=\partial^{\alpha}u(\varphi)
$$
であるから $(\partial^{\alpha}u_{\lambda})_{\lambda\in\Lambda}$ は $\partial^{\alpha}u$ に収束する（'''注意4.2'''）。よってネットによる連続性の特徴付け（[[ネットによる位相空間論]]の'''定理3'''）より $(*)$ は連続である。
{{end|proof|}}

== 7. $\mathcal{E}(\Omega)$ と $D'(\Omega)$ の積 ==

=== 定義7.1（$\mathcal{E}(\Omega)$ と $D'(\Omega)$ の積） ===
$\Omega\subset \mathbb{R}^N$ を開集合とする。'''命題3.6'''の $(2)$ より任意の $u\in D'(\Omega)$ と $f\in \mathcal{E}(\Omega)$ に対し、
$$
D(\Omega)\ni \varphi\mapsto u(f\varphi)\in \mathbb{C}
$$
は $D'(\Omega)$ に属する。そこでこれを $fu\in D'(\Omega)$ と表し、$f$ と $u$ の積と言う。任意の $f\in \mathcal{E}(\Omega)$ と $[g]\in L^1_{\rm loc}(\Omega)$ に対し、
$$
[g](f\varphi)=\int_{\Omega}g(x)f(x)\varphi(x)dx=[fg](\varphi)\quad(\forall \varphi\in D(\Omega))
$$
であるから、$f$ と $[g]$ の積は $[fg]$ である。

=== 命題7.2（$\mathcal{E}(\Omega)$ と $D'(\Omega)$ の積に関するLeibnizルール） ===
$\Omega\subset \mathbb{R}^N$ を開集合、$f\in \mathcal{E}(\Omega)$, $u\in D'(\Omega)$ とする。任意の $\alpha\in \mathbb{Z}_+^N$ に対し、
$$
\partial^{\alpha}(fu)=\sum_{\beta\leq\alpha}\begin{pmatrix}\alpha\\\beta\end{pmatrix}\partial^{\beta}f\partial^{\alpha-\beta}u
$$
が成り立つ。
{{begin |proof }}
任意の$j\in \{1,\ldots,N\}$ と任意の $\varphi\in D(\Omega)$ に対し、
$$
f\partial_j\varphi=\partial_j(f\varphi)-\partial_jf\varphi
$$
であるから、
$$
\begin{aligned}
\partial_j(fu)(\varphi)&=-fu(\partial_j\varphi)=-u(f\partial_j\varphi)=-u(\partial_j(f\varphi))+u(\partial_jf\varphi)\\
&=\partial_ju(f\varphi)+\partial_jfu(\varphi)=
f\partial_ju(\varphi)+\partial_jfu(\varphi)
\end{aligned}
$$
である。よって、
$$
\partial_j(fu)=\partial_jfu+f\partial_ju
$$
である。後は通常のLeibnizルール（'''命題1.3'''）と全く同様にして証明できる。
{{end|proof|}}

=== 命題7.3（$\mathcal{E}(\Omega)$ との積の連続性） ===
$\Omega\subset \mathbb{R}^N$ を開集合、$f\in \mathcal{E}(\Omega)$ とする。このとき線形写像
$$
D'(\Omega)\ni u\mapsto fu\in D'(\Omega)\quad\quad(*)
$$
は連続である。
{{begin |proof }}
$D'(\Omega)$ のネット $(u_{\lambda})_{\lambda\in\Lambda}$ が $u\in D'(\Omega)$ に収束するとする。このとき任意の $\varphi\in D(\Omega)$ に対し、
$$
fu_{\lambda}(\varphi)=u_{\lambda}(f\varphi)
\rightarrow u(f\varphi)=fu(\varphi)
$$
である（'''注意4.2'''）からネットによる連続性の特徴付け（[[ネットによる位相空間論]]の'''定理3'''）より $(*)$ は連続である。
{{end|proof|}}

== 8. 超関数の変数変換 ==

=== 定義8.1（超関数の変数変換） ===
$\Omega_1,\Omega_2\subset \mathbb{R}^N$ を開集合、$\Phi\colon\Omega_1\rightarrow \Omega_2$ を $C^\infty$ 級同相写像とする。このとき同相写像であることから $\Phi\colon\Omega_1\rightarrow\Omega_2$ と $\Phi^{-1}\colon\Omega_2\rightarrow \Omega_1$ はそれぞれBorel集合をBorel集合に写す。また変数変換公式（[[測度と積分8：Lebesgue測度の基本的性質]]の'''補題40.3'''）よりLebesgue測度 $0$ のBorel集合をLebesgue測度 $0$ のBorel集合に写す。よって $f,g\colon\Omega_2\rightarrow \mathbb{C}$ がLebesgue測度に関してa.e.で等しいBorel関数ならば $f\circ\Phi,g\circ\Phi\colon\Omega_1\rightarrow\mathbb{C}$ もLebesgue測度に関してa.e.で等しいBorel関数である。これより任意の $[f]\in L(\Omega_2)$ に対し $[f]\circ\Phi\colon=[f\circ\Phi]\in L(\Omega_1)$（'''定義5.1'''を参照）が定義できる。 
$[f]\in L^1_{\rm loc}(\Omega_2)$ とする。任意のコンパクト集合 $K\subset \Omega_1$ に対し $\Phi(K)\subset \Omega_2$ はコンパクト集合であり、$C^\infty$ 級関数
$$
\lvert {\rm det}{\Phi^{-1}}'\rvert\colon\Omega_2\ni x\mapsto \lvert {\rm det}{\Phi^{-1}}'(x)\rvert\in (0,\infty)
$$
はコンパクト集合 $\Phi(K)$ 上で有界であるから変数変換公式より、
$$
\int_{K}\lvert f\circ\Phi(x)\rvert dx=\int_{\Phi(K)}\lvert f(x)\rvert \lvert {\rm det}{\Phi^{-1}}'(x)\rvert dx<\infty
$$
である。よって $[f]\circ\Phi=[f\circ\Phi]\in L^1_{\rm loc}(\Omega_1)$ である。任意の $\varphi\in D(\Omega_1)$ に対し $\varphi\circ\Phi^{-1}\lvert {\rm det}{\Phi^{-1}}'\rvert\in D(\Omega_2)$ であるから変数変換公式より $[f]\circ\Phi\in L^1_{\rm loc}(\Omega_1)$ は $\Omega_1$ 上の超関数として、
$$
\begin{aligned}
([f]\circ\Phi)(\varphi)&=\int_{\Omega_1}(f\circ\Phi)(x)\varphi(x)dx=\int_{\Omega_2}f(x)(\varphi\circ\Phi^{-1})(x)\lvert {\rm det}{\Phi^{-1}}'(x)\rvert dx\\
&=[f]\left(\varphi\circ\Phi^{-1}\lvert {\rm det}{\Phi^{-1}}'\rvert\right)\quad(\forall \varphi\in D(\Omega_1))\quad\quad(*)
\end{aligned}
$$
を満たす。そこで今、$(*)$ と整合するように $\Omega'$ 上の超関数 $u\in D'(\Omega_2)$ に対し線形汎関数
$$
u\circ\Phi\colon D(\Omega_1)\rightarrow \mathbb{C}
$$
を、
$$
(u\circ\Phi)(\varphi)\colon=u\left(\varphi\circ\Phi^{-1}\lvert {\rm det}{\Phi^{-1}}'\rvert\right)\quad(\forall \varphi\in D(\Omega_1))
$$
として定義する。'''命題3.6'''の$(2),(3)$より $u\circ\Phi$ は $\Omega_1$ 上の超関数である。$u\circ\Phi\in D'(\Omega_1)$ を $u$ の $\Phi$ による変数変換と言う。

=== 注意8.2（超関数の変数変換の変数変換） ===
$\Omega_1,\Omega_2,\Omega_3 \subset \mathbb{R}^N$ を開集合、$\Phi\colon\Omega_1\rightarrow \Omega_2$、$\Psi\colon\Omega_2\rightarrow \Omega_3$ をそれぞれ $C^\infty$ 級同相写像とする。このとき任意の $u\in D'(\Omega_3)$ に対し、
$$
(u\circ\Psi)\circ\Phi=u\circ(\Psi\circ\Phi)
$$
が成り立つ。実際、チェインルールより、
$$
\lvert{\rm det}(\Phi^{-1}\circ\Psi^{-1})'(x)\rvert=\lvert{\rm det}{\Phi^{-1}}'(\Psi^{-1}(x))\rvert\lvert{\rm det}{\Psi^{-1}}'(x)\rvert\quad(\forall x\in \Omega_3)
$$
であるから、任意の $\varphi\in D(\Omega_1)$ に対し、
$$
\begin{aligned}
(u\circ(\Psi\circ\Phi))(\varphi)&=u((\varphi\circ\Phi^{-1})\circ\Psi^{-1}\lvert{\rm det}(\Phi^{-1}\circ\Psi^{-1})'\rvert)\\
&=u((\varphi\circ\Phi^{-1}\lvert {\rm det}{\Phi^{-1}}'\rvert)\circ\Psi^{-1}\lvert {\rm det}{\Psi^{-1}}'\rvert)\\
&=(u\circ\Psi)(\varphi\circ\Phi^{-1}\lvert {\rm det}{\Phi^{-1}}'\rvert)\\
&=((u\circ\Psi)\circ\Phi)(\varphi)
\end{aligned}
$$
である。

=== 命題8.3（超関数の変数変換に関するチェインルール） ===
$\Omega,\Omega'\subset \mathbb{R}^N$ を開集合、$\Phi=(\Phi_1,\ldots,\Phi_N)\colon\Omega\rightarrow\Omega'$ を $C^\infty$ 級同相写像とする。任意の $u\in D'(\Omega)$ に対し、
$$
\partial_j(u\circ\Phi)=\sum_{i=1}^{N}\partial_j\Phi_i\left((\partial_iu)\circ\Phi\right)\quad(j=1,\ldots,N)\quad\quad(*)
$$
が成り立つ。
{{begin |proof }}
任意の $j\in \{1,\ldots,N\}$ と任意の $\varphi\in D(\Omega)$ に対し、
$$
\partial_j(u\circ\Phi)(\varphi)=-(u\circ\Phi)(\partial_j\varphi)=-u( (\partial_j\varphi\circ\Phi^{-1})\lvert {\rm det}{\Phi^{-1}}'\rvert)\quad\quad(**)
$$
である。チェインルールより、
$$
\partial_j\varphi=\partial_j( (\varphi\circ\Phi^{-1})\circ\Phi)
=\sum_{i=1}^{N}(\partial_i(\varphi\circ\Phi^{-1})\circ\Phi)\partial_j\Phi_i
$$
であるので、
$$
\partial_j\varphi\circ\Phi^{-1}=\sum_{i=1}^{N}\partial_i(\varphi\circ\Phi^{-1})(\partial_j\Phi_i)\circ\Phi^{-1}
$$
である。よって $(**)$ より、
$$
\begin{aligned}
\partial_j(u\circ\Phi)(\varphi)&=-u( (\partial_j\varphi\circ\Phi^{-1})\lvert {\rm det}{\Phi^{-1}}'\rvert)
=-\sum_{i=1}^{N}u(\partial_i(\varphi\circ\Phi^{-1})( (\partial_j\Phi_i)\circ\Phi^{-1})\lvert {\rm det}{\Phi^{-1}}'\rvert)\\
&=\sum_{i=1}^{N}\partial_iu( (\varphi\circ\Phi^{-1})( (\partial_j\Phi_i)\circ\Phi^{-1})\lvert {\rm det}{\Phi^{-1}}'\rvert)\\
&+\sum_{i=1}^{N}u( (\varphi\circ\Phi^{-1})\partial_i( ( (\partial_j\Phi_i)\circ\Phi^{-1})\lvert {\rm det}{\Phi^{-1}}'\rvert))\\
&=\sum_{i=1}^{N}\partial_j\Phi_i( (\partial_iu)\circ\Phi)(\varphi)+\sum_{i=1}^{N}u( (\varphi\circ\Phi^{-1})\partial_i( ( (\partial_j\Phi_i)\circ\Phi^{-1})\lvert {\rm det}{\Phi^{-1}}'\rvert))\quad\quad(***)
\end{aligned}
$$
である。よって $(*)$ を示すにはこの右辺の第二項が $0$ であることを示せばよい。すなわち、
$$
\sum_{i=1}^{N}u\left( (\varphi\circ\Phi^{-1})\partial_i\left( ( (\partial_j\Phi_i)\circ\Phi^{-1})\lvert {\rm det}{\Phi^{-1}}'\rvert\right)\right)=0\quad\quad(****)
$$
が成り立つことを示せばよい。任意の $f\in D(\Omega')$ に対し $(***)$ において $u\in D'(\Omega')$ を $f\in D(\Omega')\subset D'(\Omega')$ に置き換えれば、
$$
\partial_j(f\circ\Phi)(\varphi)=\sum_{i=1}^{N}\partial_j\Phi_i( (\partial_if)\circ\Phi)(\varphi)+\sum_{i=1}^{N}f( (\varphi\circ\Phi^{-1})\partial_i( ( (\partial_j\Phi_i)\circ\Phi^{-1})\lvert {\rm det}{\Phi^{-1}}'\rvert) )\quad\quad(*****)
$$
となる。一方、$f\circ\Phi\in D(\Omega)\subset D'(\Omega)$ の弱微分と通常の意味での偏微分は一致する（'''命題6.1'''を参照）のでチェインルールより、
$$
\partial_j(f\circ\Phi)(\varphi)=\sum_{i=1}^{N}\partial_j\Phi_i\left((\partial_if)\circ\Phi\right)(\varphi)
$$
である。よって $(*****)$ より、
$$
\sum_{i=1}^{N}f\left((\varphi\circ\Phi^{-1})\partial_i\left(((\partial_j\Phi_i)\circ\Phi^{-1})\lvert {\rm det}{\Phi^{-1}}'\rvert\right)\right)=0
$$
である。これが任意の $f\in D(\Omega')$ に対して成り立つので変分学の基本補題（'''命題5.3'''）より $(****)$ が成り立つ。
{{end|proof|}}

=== 定義8.4（$\mathbb{R}^N$ 上の超関数の平行移動、スケール変換） ===
$u\in D'(\mathbb{R}^N)$ とする。任意の $y\in \mathbb{R}^N$ に対し $C^\infty$ 級同相写像
$$
\mathbb{R}^N\ni x\mapsto x-y\in \mathbb{R}^N
$$
を考え、これによる $u$ の変数変換を $T_yu\in D'(\mathbb{R}^N)$ と表す。また任意の $r\in \mathbb{R}\backslash \{0\}$ に対し $C^\infty$ 級同相写像
$$
\mathbb{R}^N\ni x\mapsto rx\in \mathbb{R}^N
$$
を考え、これによる $u$ の変数変換を $u_r\in D'(\mathbb{R}^N)$ と表す。'''命題8.3'''より任意の多重指数 $\alpha\in \mathbb{Z}_+^N$ に対し、
$$
\partial^{\alpha}T_yu=T_y\partial^{\alpha}u,\quad
\partial^{\alpha}u_r=r^{\lvert \alpha\rvert}(\partial^{\alpha}u)_r
$$
である。

=== 命題8.5（超関数の変数変換の連続性） ===
$\Omega,\Omega'\subset \mathbb{R}^N$ を開集合、$\Phi:\Omega\rightarrow \Omega'$ を $C^\infty$ 級同相写像とする。このとき線形写像
$$
D'(\Omega')\ni u\mapsto u\circ\Phi\in D'(\Omega)\quad\quad(*)
$$
は連続である。
{{begin |proof }}
$D'(\Omega)$ のネット $(u_{\lambda})_{\lambda\in\Lambda}$ が $u\in D'(\Omega)$ に収束するとする。このとき任意の $\varphi\in D(\Omega)$ に対し、
$$
(u_{\lambda}\circ\Phi)(\varphi)=u_{\lambda}\left(\varphi\circ\Phi^{-1}\lvert {\rm det}{\Phi^{-1}}'\rvert\right)
\rightarrow u\left(\varphi\circ\Phi^{-1}\lvert {\rm det}{\Phi^{-1}}'\rvert\right)
=(u\circ\Phi)(\varphi)
$$
である（'''注意4.2'''を参照）からネットによる連続性の特徴付け（[[ネットによる位相空間論]]の'''定理3'''）より $(*)$ は連続である。
{{end|proof}}

== 9. 超関数の台 ==

=== 命題9.1 ===
$\Omega\subset \mathbb{R}^N$を開集合、$u\in D'(\Omega)$ とする。このとき、
$$
\{U\subset \Omega:U\text{ は開集合で任意の } \varphi\in D(U) \text{ に対し } u(\varphi)=0\}\quad\quad(*)
$$
（'''注意4.4'''を参照）は集合の包含関係による順序に関して最大元を持つ。
{{begin |proof }}
$(*)$ の要素全ての合併を $U_0$ とおき、$U_0$が $(*)$ に属することを示せばよい。任意の $\varphi\in D(U_0)$ を取る。$\text{supp}(\varphi)$ のコンパクト性より $(*)$ の有限個の要素 $U_1,\ldots,U_n$ が取れて、
$$
\text{supp}(\varphi)\subset \bigcup_{i=1}^{n}U_i
$$
となる。そして $1$ の分割（[[ベクトル解析4：Euclid空間内の多様体上の測度と積分]]の'''系15.6'''）より $h_i\in D(U_i)$ $(i=1,\ldots,n)$ で、
$$
\sum_{i=1}^{n}h_i(x)=1\quad(\forall x\in \text{supp}(\varphi))
$$
なるものが取れる。よって、
$$
\varphi=\sum_{i=1}^{n}\varphi h_i,\quad \varphi h_i\in D(U_i)\quad(i=1,\ldots,n)
$$
であるから、
$$
u(\varphi)=\sum_{i=1}^{n}u(\varphi_i)=0
$$
である。ゆえに$U_0$は $(*)$ に属する。
{{end|proof|}}

=== 定義9.2（超関数の台） ===
$\Omega\subset \mathbb{R}^N$ を開集合、$u\in D'(\Omega)$ とする。'''命題9.1'''の $(*)$ の最大元を $\Omega\backslash \text{supp}(u)$ とおく。このとき $\Omega$ の閉集合 $\text{supp}(u)$ を $u$ の台と言う、

=== 命題9.3（超関数の台の基本性質） ===
$\Omega\subset \mathbb{R}^N$ を開集合とする。このとき、
*$(1)$　任意の $u\in D'(\Omega)$ と任意の $\alpha\in \mathbb{Z}_+^N$ に対し $\text{supp}(\partial^{\alpha}u)\subset \text{supp}(u)$ が成り立つ。
*$(2)$　任意の $u\in D'(\Omega)$ と任意の $f\in \mathcal{E}(\Omega)$ に対し $\text{supp}(fu)\subset \text{supp}(f)\cap \text{supp}(u)$ が成り立つ。
*$(3)$　$\Omega'\subset \mathbb{R}^N$ を開集合、$\Phi\colon\Omega\rightarrow\Omega'$ を $C^\infty$ 級同相写像とすると、任意の $u\in D'(\Omega')$ に対し $\text{supp}(u\circ\Phi)=\Phi^{-1}(\text{supp}(u))$ が成り立つ。
*$(4)$　任意の $[f]\in L^1_{\rm loc}(\Omega)$ とその任意の代表元 $f\colon\Omega\rightarrow\mathbb{C}$ に対し超関数 $[f]\in D'(\Omega)$ の台 $\text{supp}([f])$ は関数 $f$ の台 $\text{supp}(f)$（つまり $\{x\in\Omega:f(x)\neq0\}$ の $\Omega$ における閉包）に含まれる。
*$(5)$　任意の $f\in C(\Omega)\subset L^1_{\rm loc}(\Omega)$ に対し $f$ の超関数としての台と関数としての台は一致する。
{{begin |proof }}
*$(1)$　任意の $\varphi\in D(\Omega\backslash \text{supp}(u))$ に対し $\partial^{\alpha}\varphi\in D(\Omega\backslash\text{supp}(u))$ であるから、
$$
\partial^{\alpha}u(\varphi)=(-1)^{\lvert\alpha\rvert}u(\partial^{\alpha}\varphi)=0
$$
である。よって $\text{supp}(\partial^{\alpha}u)\subset \text{supp}(u)$ である。
*$(2)$　任意の$\varphi\in D(\Omega\backslash (\text{supp}(f)\cap\text{supp}(u)))$ に対し、
$$
\text{supp}(f\varphi)\subset \text{supp}(f)\cap (\Omega\backslash (\text{supp}(f)\cap\text{supp}(u)))\subset \Omega\backslash \text{supp}(u)
$$
であるから $fu(\varphi)=u(f\varphi)=0$ である。よって $\text{supp}(fu)\subset \text{supp}(f)\cap \text{supp}(u)$ である。
*$(3)$　任意の $\varphi\in D(\Omega\backslash \Phi^{-1}(\text{supp}(u)) )=D(\Phi^{-1}(\Omega'\backslash \text{supp}(u) ) )$ に対し $\text{supp}(\varphi\circ\Phi^{-1})=\Phi(\text{supp}(\varphi) )\subset \Omega'\backslash \text{supp}(u)$ であるから、
$$
(u\circ\Phi)(\varphi)=u(\varphi\circ\Phi^{-1}\lvert {\rm det}{\Phi^{-1}}'\rvert)=0
$$
である。よって $\text{supp}(u\circ\Phi)\subset \Phi^{-1}(\text{supp}(u))$ である。逆の包含関係は'''注意8.2'''による。
*$(4)$　任意の $\varphi\in D(\Omega\backslash \text{supp}(f))$ に対し $\text{supp}(f\varphi)=\emptyset$ であるから $[f](\varphi)=0$ である。よって $\text{supp}([f])\subset \text{supp}(f)$ である。
*$(5)$　$f$ の超関数としての台を $S$ とおくと変分学の基本補題（'''命題5.3'''）より $f$ は $\Omega\backslash S$ 上でLebesgue測度に関してa.e.で $0$ である。$\Omega\backslash S$ は開集合であり、$f$ は連続関数であるから $f$ は $\Omega\backslash S$ の任意の点で $0$ である。（実際、$\{x\in \Omega\backslash S: f(x)\neq0\}$ は $\Omega\backslash S$ の開集合であり $\Omega\backslash S$ の空でない開集合のLebesgue測度は正であるから、$\{x\in \Omega\backslash S\colon f(x)\neq0\}=\emptyset$ である。）よって $f$ の関数としての台は $S$ に含まれる。
{{end|proof|}}

== 次のページ ==
*[[緩増加超関数とFourier変換]]

== 参考文献 ==
* Walter Rudin　「Functional Analysis」
* 新井仁之　「新・フーリエ解析と関数解析学」

== 脚注 ==

距離空間の位相の基本的性質

2026-04-12T06:35:26Z

Kataoka: /* 補題6.3 （コンパクトな距離空間は点列コンパクト） */

本稿においては、[[距離空間]]の位相の基本的な性質について論じる。
== 1. 距離空間の定義 ==

=== 定義1.1 （距離空間の定義） ===
$X$ を空でない集合とする。$d\colon X\times X\rightarrow [0,\infty) \subset \mathbb{R}$ が次の条件を満たすとき、$d$ を $X$ 上の距離と言う。
*$(1)$ 任意の$x,y\in X$ に対し $d(x,y)=d(y,x)$.
*$(2)$ $d(x,y)=0$ $\Leftrightarrow$ $x=y$.
*$(3)$ 任意の$x,y,z\in X$ に対し $d(x,z)\leq d(x,y)+d(y,z)$.
$(3)$ の不等式を三角不等式と言う。距離が定義された集合のことを距離空間と言う。距離空間 $X$ に距離 $d$ が定義されていることを明示的に表す場合は距離空間 $(X,d)$ と表現する。$(X,d)$ を距離空間とする。任意の $x\in X$と任意の $r\in (0,\infty)$ に対し、
$$B(x,r)=\{y\in X: d(y,x)<r\}$$
を中心 $x$、半径 $r$ の開球と言い、
$$\overline{B}(x,r)=\{y\in X: d(y,x)\leq r\}$$
を中心 $x$、半径 $r$ の閉球と言う。
$$\mathcal{O}_{(X,d)}=\{U\subset X:\forall x\in U, \exists r\in (0,\infty) \text{ s.t. } B(x,r)\subset U\}$$
は距離空間 $(X,d)$ の位相である。これを距離 $d$ が誘導する位相と言う。距離空間 $(X,d)$ は、特に断らない限り、この $d$ が誘導する位相 $\mathcal{O}_{(X,d)}$ が備わった位相空間とみなす。

=== 注意1.2 （開球は開集合、閉球は閉集合） ===
距離空間 $(X,d)$ の開球 $B(x,r)$ は開集合であり、閉球 $\overline{B}(x,r)$ は閉集合である。実際、任意の $y\in B(x,r) $、任意の $z\in B(y, r-d(y,x))$ に対し、三角不等式より、
$$d(z,x)\leq d(z,y)+d(y,x)<r$$
であるから、
$$B(y,r-d(y,x))\subset B(x,r)$$
である。よって $B(x,r)$ は開集合である。また、任意の $y\in X\backslash\overline{B}(x,r)$、任意の $z\in B(y, d(y,x)-r)$ に対し三角不等式より、
$$d(z,x)\geq d(y,x)-d(z,y)>r$$
であるから、
$$B(y, d(y,x)-r)\subset X\backslash \overline{B}(x,r)$$
である。よって $\overline{B}(x,r)$ は閉集合である。

=== 注意1.3 （部分集合に制限された距離が誘導する位相は相対位相） ===
$(X,d)$ を距離空間、$A\subset X$ とする。
$$d_A\colon A\times A\ni (x,y)\mapsto d(x,y)\in[0,\infty)$$
は $A$ 上の距離であり、任意の $x\in A$、任意の $r\in (0,\infty)$ に対し、$d_A$ に関する中心 $x$、半径 $r$ の開球は、
$$\{y\in A:d_A(y,x)<r\}=B(x,r)\cap A$$
である。よって $d_A$ が誘導する $A$ の位相は $(X,d)$ の位相の相対位相である。

== 2. 距離空間の Hausdorff 性と第一可算性 ==

=== 命題2.1（距離空間は Hausdorff 空間） ===
距離空間はHausdorff 空間である。
{{begin |proof }}
$(X,d)$ を距離空間とする。$x,y\in X$ が $x\neq y$ ならば $d(x,y)>0$ であり、
$$r=\frac{1}{2}d(x,y)\in (0,\infty)$$
とおけば、三角不等式より $B(x,r)\cap B(y,r)=\emptyset$ である。よって $X$ は Hausdorff 空間である。
{{end |proof | }}

=== 命題2.2（距離空間は第一可算空間） ===
距離空間は[[第一可算空間]]である。
{{begin |proof }}
$(X,d)$ を距離空間とする。任意の $x\in X$ に対しArchimedes の原理より、
$$\left\{B\left(x,\text{ } \frac{1}{n}\right): n\in \mathbb{N}\right\}$$
は $x$ の基本近傍系であり、これは可算である。よって $X$ は第一可算空間である。
{{end |proof | }}

=== 注意2.3（距離空間と点列） ===
距離空間は[[第一可算空間]]であるから、閉包の点や連続性、コンパクト性などは点列を用いて表現できる。これに関しては[[ネットによる位相空間論]]の''' 6. 位相空間の可算性と点列'''を参照されたい。

=== 注意2.4（距離空間は完全正規空間） ===
距離空間は完全正規空間である。
{{begin |proof }}
互いに交わりを持たない二つの閉集合 $A,B\subseteq X$ に対し、$f(x)\colon =d(A,x)/(d(A,x)+d(x,B))$ を考えればよい。
{{end|proof|}}

== 3. 距離空間において可分であることと第二可算であることは同値 ==

=== 命題3 ===
距離空間 $(X,d)$ に対し次は互いに同値である。
* $(1)$ $X$ は可分である。
* $(2)$ $X$ は [[第二可算空間]]である。
{{begin |proof }}
$(2)\Rightarrow(1)$ を示す。$(2)$ が成り立つとして $\{U_n\}_{n\in \mathbb{N}}$ を可算な開基とする。そして各$n\in \mathbb{N}$ に対し $x_n\in U_n$ を取る。$A=\{x_n\}_{n\in \mathbb{N}}$ が $X$ で稠密であることを示せばよい。そのためには任意の $x\in X$ と $x$ の任意の開近傍 $U$ に対し $U\cap A\neq\emptyset$ であることを示せばよい。$\{U_n\}_{n\in \mathbb{N}}$ は開基なので、$x\in U_n\subset U$ なる $n\in \mathbb{N}$ が存在する。よって $x_n\in U_n\subset U$ なので、$x\in U\cap A$ である。よって $U\cap A\neq\emptyset$ である。\\
$(1)\Rightarrow(2)$ を示す。
$(X,d)$ を可分な距離空間とし、$A\subset X$ を稠密な可算部分集合とする。$(X,d)$ の開集合からなる可算族
$$\mathcal{B}=\left\{B\left(a,\text{ }\frac{1}{n}\right): a\in A, n\in \mathbb{N}\right\}$$
が$(X,d)$ の位相の基底であることを示せばよい。任意の開集合 $U\subset X$ と任意の $x\in U$ を取り、
$$B(x,\epsilon)\subset U$$
なる $\epsilon\in(0,\infty)$ を取る。
Archimedes の原理より
$$\frac{1}{n}<\frac{\epsilon}{2}$$
なる $n\in \mathbb{N}$ が取れる。$x\in X=\overline{A}$ なので、
$$a\in B\left(x,\text{ }\frac{1}{n}\right)\cap A$$
が取れる。任意の $y\in B(a,\frac{1}{n})$ に対し三角不等式より、
$$d(y,x)\leq d(y,a)+d(a,x)<\frac{1}{n}+\frac{1}{n}<\epsilon$$
であるから、
$$x\in B\left(a,\text{ }\frac{1}{n}\right)\subset B(x,\epsilon)\subset U$$
である。よって $\mathcal{B}$ は$(X,d)$ の位相の基底である。
{{end|proof|}}

== 4. 距離空間の全有界性 ==

=== 定義4.1 （距離空間の全有界性） ===
距離空間 $X$ が全有界であるとは、任意の $\epsilon\in (0,\infty)$ に対し有限個の $x_1,\ldots,x_n\in X$ が存在し、
$$X=B(x_1,\epsilon)\cup\ldots\cup B(x_n,\epsilon)$$
が成り立つことを言う。

=== 命題4.2 （全有界な距離空間は可分） ===
全有界な距離空間は可分である。
{{begin |proof }}
$X$ を全有界な距離空間とする。任意の $n\in \mathbb{N}$ に対し、有限個の $x_{n,1},\ldots,x_{n,m(n)}\in X$ が取れて、
$$X=B\left(x_{n,1},\text{ }\frac{1}{n}\right)\cup\ldots \cup B\left(x_{n,m(n)},\text{ }\frac{1}{n}\right)$$
となる。可算集合
$$A=\{x_{n,k}: n\in\mathbb{N}, k\in \{1,\ldots, m(n)\}\}$$
が $X$ において稠密であることを示せばよい。任意の $x\in X$、任意の $n\in\mathbb{N}$ に対し、$x\in B(x_{n,k},\frac{1}{n})$ なる $k\in\{1,\ldots,m(n)\}$ が取れる。$x_{n,k}\in B(x,\frac{1}{n})\cap A$ であるから、
$$B\left(x,\text{ }\frac{1}{n}\right)\cap A\neq\emptyset\quad(\forall n\in\mathbb{N})$$
が成り立ち、$\{B(x,\frac{1}{n})\}_{n\in\mathbb{N}}$ は $x$ の基本近傍系であるから $x\in\overline{A}$ である。よって $A$ は $X$ において稠密である。
{{end |proof | }}

== 5. Cauchy 列と距離空間の完備性 ==

=== 定義5.1 （Cauchy 列） ===
$(X,d)$ を距離空間とする。$X$ の点列 $(x_n)_{n\in\mathbb{N}}$ が Cauchy 列であるとは、
$$\forall \epsilon\in (0,\infty), \exists n_0\in\mathbb{N}\text{ s.t. }\forall n,m\geq n_0, d(x_n,x_m)<\epsilon$$
が成り立つことを言う。

距離空間の収束列は明らかに Cauchy 列である。

=== 定義5.2 （距離空間の完備性） ===
距離空間が完備であるとは、任意の Cauchy 列が収束列であることを言う。

== 6. 距離空間においてコンパクト、点列コンパクト、全有界かつ完備は同値 ==

=== 補題6.1 （点列コンパクトな距離空間の全有界性） ===
点列コンパクトな距離空間は全有界である。
{{begin |proof }}
距離空間 $X$ が全有界ではないとする。このときある $\epsilon\in(0,\infty)$ に対し、$X$ の点列 $(x_n)_{n\in\mathbb{N}}$ で、
$$x_{n+1}\in X\backslash \bigcup_{k=1}^{n}B(x_k,\epsilon)\quad(\forall n\in\mathbb{N})$$
を満たすものが帰納的に構成できる。これに対し、
$$d(x_n,x_m)\geq\epsilon\quad(n\neq m)$$
であるから $(x_n)_{n\in\mathbb{N}}$ は収束する部分列を持たない。よって $X$ は点列コンパクトではない。
{{end |proof | }}

=== 補題6.2 （点列コンパクトな距離空間の完備性） ===
点列コンパクトな距離空間は完備である。
{{begin |proof }}
$(X,d)$ を点列コンパクトな距離空間とし、$(x_n)_{n\in\mathbb{N}}$ を Cauchy 列とする。$X$ は点列コンパクトなので $(x_n)_{n\in \mathbb{N}}$ のある部分列 $(x_{k(n)})_{n\in\mathbb{N}}$ はある $x\in X$ に収束する。よって任意の $\epsilon\in(0,\infty)$ に対し $n_0\in\mathbb{N}$ が存在し、任意の $n,m\geq n_0$ に対し、
$$d(x_n,x_m)<\frac{\epsilon}{2},\quad d(x_{k(n)},x)<\frac{\epsilon}{2}$$
が成り立つ。よって任意の $n\geq n_0$ に対し、
$$d(x_n,x)\leq d(x_n,x_{k(n)})+d(x_{k(n)},x)<\epsilon$$
が成り立つので、 $(x_n)_{n\in \mathbb{N}}$ は収束する。ゆえに $(X,d)$ は完備である。
{{end|proof}}

=== 補題6.3 （コンパクトな距離空間は点列コンパクト） ===
コンパクトな距離空間は点列コンパクトである。
{{begin |proof }}
$X$ をコンパクトな距離空間とし、$(x_n)_{n\in \mathbb{N}}$ を $X$ の任意の点列とする。任意の $n\in \mathbb{N}$ に対し $F_n:=\{x_m:m\geq n\}$ とおく。このとき $\bigcap_{n\in \mathbb{N}}\overline{F_n}\neq\emptyset$ である。実際、$\bigcap_{n\in \mathbb{N}}\overline{F_n}=\emptyset$ であるとすると、$X$ のコンパクト性より、ある $n\in \mathbb{N}$ が存在し $\bigcap_{k=1}^{n}\overline{F_n}=\emptyset$ となる。したがって $\bigcap_{k=1}^{n}F_k=\emptyset$ となるが、$m\geq n$ なる $m\in \mathbb{N}$ を取れば $x_m\in \bigcap_{k=1}^{n}F_k$ なので矛盾する。よって $x\in \bigcap_{n\in \mathbb{N}}\overline{F_n}$ が存在する。これより任意の $\epsilon\in (0,\infty)$ と任意の $n\in \mathbb{N}$ に対し、$B(x,\epsilon)\cap F_n\neq\emptyset$ が成り立つ。
$B(x,1)\cap F_1\neq\emptyset$ なので、$k(1)\geq 1$ で、$x_{k(1)}\in B(x,1)$ なるものが取れる。
$B(x,\frac{1}{2})\cap F_{k(1)+1}\neq\emptyset$ なので、$k(2)\geq k(1)+1$ で $x_{k(2)}\in B(x,\frac{1}{2})$ なるものが取れる。$B(x,\frac{1}{3})\cap F_{k(2)+1}\neq\emptyset$ なので、$k(3)\geq k(2)+1$ で $x_{k(3)}\in B(x,\frac{1}{3})$ なるものが取れる。同様の操作を続けていけば $x$ に収束する部分列 $(x_{k(n)})_{n\in \mathbb{N}}$ が構成できる。
{{end|proof}}

=== 定義6.4 （距離空間の部分集合の直径） ===
$(X,d)$ を距離空間とする。$A\subset X$ に対し $\sup\{d(x,y): x,y\in A\}$ を $A$ の直径と呼ぶ。

=== 定理6.5 （距離空間においてコンパクト、点列コンパクト、全有界かつ完備は同値） ===
$(X,d)$ を距離空間とする。次は互いに同値である。
* $(1)$ $X$ はコンパクトである。
* $(2)$ $X$ は点列コンパクトである。
* $(3)$ $X$ は全有界かつ完備である。
{{begin |proof }}
$(1)\Rightarrow(2)$ は'''補題6.3'''、$(2)\Rightarrow(3)$ は'''補題6.1'''、'''補題6.2'''による。 $(3)\Rightarrow(1)$ を示す。$(X,d)$ が全有界かつ完備であるとし、$X$ がコンパクトではないと仮定して矛盾を導く。このとき $X$ の開被覆 $\{U_j\}_{j\in J}$ でそのいかなる有限部分族も $X$ の開被覆ではないものが存在する。$X$ は全有界であるので直径が $1$ 以下の有限個の閉集合の合併で表せる。それらの閉集合の中のいずれか（$X_1$とする）は $\{U_j\}_{j\in J}$ のいかなる有限部分族によっても被覆できない。$X_1$ は全有界なので、直径が $\frac{1}{2}$ 以下の有限個の閉集合の合併で表せて、それらの閉集合の中のいずれか（$X_2$とする）は $\{U_j\}_{j\in J}$ のいかなる有限部分族によっても被覆できない。同様のことを繰り返し、$X$ の部分集合の列 $(X_n)_{n\in\mathbb{N}}$ で次の条件を満たすものを構成する。
*(a) 任意の $n\in \mathbb{N}$ に対し $X_n$ は $\{U_j\}_{j\in J}$ のいかなる有限部分族によっても被覆できない。
*(b) 任意の $n\in \mathbb{N}$ に対し $X_n$ は $X$ の閉集合である。
*(c) 任意の $n\in \mathbb{N}$ に対し $X_{n+1}\subset X_n$.
*(d) 任意の $n\in \mathbb{N}$ に対し $X_n$ の直径は $\frac{1}{n}$ 以下。
各 $n\in \mathbb{N}$ に対し $x_n\in X_n$ を取り $X$ の点列 $(x_n)_{n\in\mathbb{N}}$ を構成すると、(c), (d) と Archimedes の原理より $(x_n)_{n\in\mathbb{N}}$ は Cauchy 列である。よって $X$ の完備性より $(x_n)_{n\in\mathbb{N}}$ はある $x\in X$ に収束する。任意の $\epsilon\in (0,\infty)$、任意の $n\in \mathbb{N}$ に対し、$m\geq n$、$d(x_m,x)<\epsilon$ を満たす $m\in\mathbb{N}$ が取れ、(c) より $x_m\in B(x,\epsilon)\cap X_n$ である。よって、
$$B(x,\epsilon)\cap X_n\neq\emptyset\quad(\forall n\in \mathbb{N}, \forall \epsilon\in (0,\infty))$$
であるから、(b)より、
$$x\in \bigcap_{n\in\mathbb{N}}\overline{X_n}=\bigcap_{n\in\mathbb{N}}X_n$$
である。$x\in U_j$ なる $j\in J$ を取り、$\overline{B}(x,\frac{1}{n})\subset U_j$ なる $n\in\mathbb{N}$ を取れば、$x\in X_n$ であることと (d) より $X_n\subset U_j$ となる。これは(a)に矛盾する。ゆえに $(3)\Rightarrow(1)$ が成り立つ。
{{end|proof}}

== 7. 一様連続性 ==

=== 注意7.1 （距離空間から距離空間への写像の連続性の$\epsilon-\delta$ 論法による特徴付け） ===
距離空間の任意の点 $x$ に対し $\{B(x,\epsilon)\}_{\epsilon\in (0,\infty)}$ は $x$ の基本近傍系である。よって距離空間 $(X,d_X)$ から距離空間 $(Y,d_Y)$ への写像 $f\colon X\rightarrow Y$ が $x_0\in X$ において連続であることは、次のように特徴付けられる。

「任意の $\epsilon\in(0,\infty)$ に対し $\delta\in (0,\infty)$ が存在し、$d_X(x,x_0)<\delta$ を満たす全ての $x\in X$ に対し $d_Y(f(x),f(x_0))<\epsilon$ が成り立つ。」

=== 定義7.2 （一様連続性） ===
$(X,d_X), (Y,d_Y)$ を距離空間とする。写像 $f\colon X\rightarrow Y$ が一様連続であるとは、

「任意の $\epsilon\in(0,\infty)$ に対し $\delta\in (0,\infty)$ が存在し、$d_X(x_1,x_2)<\delta$ を満たす全ての $x_1,x_2\in X$ に対して $d_Y(f(x_1),f(x_2))<\epsilon$ が成り立つ」

ことを言う。

一様連続ならば明らかに連続である。

=== 定理7.3 （コンパクト距離空間から距離空間への連続写像は一様連続） ===
$(X,d_X)$ をコンパクト距離空間、 $(Y,d_Y)$ を距離空間とし、$f\colon X\rightarrow Y$ を連続写像とする。このとき $f$ は一様連続である。
{{begin |proof }}
任意の $\epsilon\in (0,\infty)$ を取る。$f$ は連続なので、各 $x\in X$ に対し、 $\delta_x\in (0,\infty)$ で、
$$d_Y(f(x'),f(x))<\frac{\epsilon}{2}\quad(\forall x'\in B(x,\delta_x))$$
を満たすものが取れる。
$$X=\bigcup_{x\in X} B(x,2^{-1}\delta_x)$$
であり、$X$ はコンパクトであるので、有限個の $x_1,\ldots,x_n\in X$ が取れて、
$$X=\bigcup_{j=1}^{n}B(x_j,2^{-1}\delta_{x_j})$$
となる。
$$\delta=\text{ min }(2^{-1}\delta_{x_1},\ldots,2^{-1}\delta_{x_n})$$
とおき、$d_X(x',x)<\delta$ を満たす任意の $x,x'\in X$ を取る。 $x\in B(x_j,2^{-1}\delta_{x_j})$ なる $j\in \{1,\ldots,n\}$ に対し、
$$d_X(x',x_j)\leq d_X(x',x)+d_X(x,x_j)<\delta+\delta_{x_j}<\delta_{x_j}$$
であるから、
$$d_Y(f(x),f(x'))\leq d_Y(f(x),f(x_j))+d_Y(f(x_j),f(x'))<\frac{\epsilon}{2}+\frac{\epsilon}{2}=\epsilon$$
である。よって $f$ は一様連続である。
{{end |proof | }}

== 8. 一様収束 ==

=== 定義8.1（一様収束） ===
$X$ を集合、$(Y,d)$ を距離空間とする。$X\rightarrow Y$ の写像からなるネット $(f_{\lambda})_{\lambda\in\Lambda}$ が $f\colon X\rightarrow Y$ に一様収束するとは、次が成り立つことを言う。
$$\forall \epsilon\in (0,\infty), \exists \lambda_0\in\Lambda \text{ s.t. } \forall \lambda\geq\lambda_0, \forall x\in X, d(f_{\lambda}(x),f(x))<\epsilon$$.

=== 注意8.2　 ===
ネットについて知らなければネットを列に置き換えてよい。ネットについては[[ネットによる位相空間論]]を参照。

=== 命題8.3（連続写像の一様収束極限は連続） ===
$X$ を位相空間、$(Y,d)$ を距離空間とし、$X\rightarrow Y$ の連続写像からなるネット $(f_{\lambda})_{\lambda\in\Lambda}$ が $f\colon X\rightarrow Y$ に一様収束するとする。このとき $f$ は連続である。
{{begin |proof }}
任意の $x_0\in X$、任意の $\epsilon\in (0,\infty)$を取り固定する。$(f_{\lambda})_{\lambda\in\Lambda}$ は $f$ に一様収束するので、$\lambda_0\in \Lambda$ で、
$$d(f_{\lambda_0}(x),f_{\lambda}(x))<\frac{\epsilon}{3}\quad(\forall x\in X)$$
を満たすものが取れる。$f_{\lambda_0}\colon X\rightarrow Y$ は連続なので $x_0\in X$ の近傍 $U$ で、
$$d(f_{\lambda_0}(x),f_{\lambda_0}(x_0))<\frac{\epsilon}{3}\quad (\forall x\in U)$$
を満たすものが取れる。よって任意の $x\in U$ に対し、
$$d(f(x),f(x_0))\leq d(f(x),f_{\lambda_0}(x))+d(f_{\lambda_0}(x),f_{\lambda_0}(x_0))+d(f_{\lambda_0}(x_0),f(x_0))<\epsilon$$
であるから $f$ は連続である。
{{end|proof|}}

=== 定義8.4（一様 Cauchy 条件） ===
$X$ を集合、$(Y,d)$ を距離空間とする。$X\rightarrow Y$ の写像からなる列 $(f_n)_{n\in\mathbb{N}}$ が一様 Cauchy 条件を満たすとは、
$$\forall \epsilon\in (0,\infty),\exists n_0\in\mathbb{N}\text{ s.t. } \forall n,m\geq n_0, \forall x\in X, d(f_n(x),f_m(x))<\epsilon$$
が成り立つことを言う。

=== 命題8.5（一様 Cauchy 条件と一様収束） ===
$X$ を集合、$(Y,d)$ を完備距離空間とし、$X\rightarrow Y$ の写像からなる列 $(f_n)_{n\in\mathbb{N}}$ が一様 Cauchy 条件を満たすとする。このとき $(f_n)_{n\in \mathbb{N}}$ はある $f\colon X\rightarrow Y$ に一様収束する。
{{begin |proof }}
一様 Cauchy 条件より任意の $\epsilon\in(0,\infty)$ に対し $n_0\in\mathbb{N}$ が存在し、
$$d(f_n(x),f_m(x))<\frac{\epsilon}{2}\quad (\forall n,m\geq n_0, \forall x\in X)$$
が成り立つ。各 $x\in X$ に対し $(f_n(x))_{n\in \mathbb{N}}$ は完備距離空間 $(Y,d)$ の Cauchy 列であるので、
$$f(x)=\lim_{n\rightarrow\infty} f_n(x)\quad (\forall x\in X)$$
として $f\colon X\rightarrow Y$ が定義できる。各 $x\in X$ に対し、$n_x\geq n_0$ なる $n_x\in \mathbb{N}$ で、
$$d(f_{n_x}(x),f(x))<\frac{\epsilon}{2}$$
を満たすものを取れば、任意の $n\geq n_0$、任意の $x\in X$ に対し、
$$d(f_n(x),f(x))\leq d(f_n(x),f_{n_x}(x))+d(f_{n_x}(x),f(x))<\epsilon$$
であるので、$(f_n)_{n\in\mathbb{N}}$ は $f$ に一様収束する。
{{end |proof | }}

== 関連事項 ==
* [[入門テキスト「位相空間論」]]
* [[ネットによる位相空間論]]
* [[関数解析の基礎]]

距離空間の位相の基本的性質

2026-04-12T06:22:29Z

Kataoka: /* 命題3 */

本稿においては、[[距離空間]]の位相の基本的な性質について論じる。
== 1. 距離空間の定義 ==

=== 定義1.1 （距離空間の定義） ===
$X$ を空でない集合とする。$d\colon X\times X\rightarrow [0,\infty) \subset \mathbb{R}$ が次の条件を満たすとき、$d$ を $X$ 上の距離と言う。
*$(1)$ 任意の$x,y\in X$ に対し $d(x,y)=d(y,x)$.
*$(2)$ $d(x,y)=0$ $\Leftrightarrow$ $x=y$.
*$(3)$ 任意の$x,y,z\in X$ に対し $d(x,z)\leq d(x,y)+d(y,z)$.
$(3)$ の不等式を三角不等式と言う。距離が定義された集合のことを距離空間と言う。距離空間 $X$ に距離 $d$ が定義されていることを明示的に表す場合は距離空間 $(X,d)$ と表現する。$(X,d)$ を距離空間とする。任意の $x\in X$と任意の $r\in (0,\infty)$ に対し、
$$B(x,r)=\{y\in X: d(y,x)<r\}$$
を中心 $x$、半径 $r$ の開球と言い、
$$\overline{B}(x,r)=\{y\in X: d(y,x)\leq r\}$$
を中心 $x$、半径 $r$ の閉球と言う。
$$\mathcal{O}_{(X,d)}=\{U\subset X:\forall x\in U, \exists r\in (0,\infty) \text{ s.t. } B(x,r)\subset U\}$$
は距離空間 $(X,d)$ の位相である。これを距離 $d$ が誘導する位相と言う。距離空間 $(X,d)$ は、特に断らない限り、この $d$ が誘導する位相 $\mathcal{O}_{(X,d)}$ が備わった位相空間とみなす。

=== 注意1.2 （開球は開集合、閉球は閉集合） ===
距離空間 $(X,d)$ の開球 $B(x,r)$ は開集合であり、閉球 $\overline{B}(x,r)$ は閉集合である。実際、任意の $y\in B(x,r) $、任意の $z\in B(y, r-d(y,x))$ に対し、三角不等式より、
$$d(z,x)\leq d(z,y)+d(y,x)<r$$
であるから、
$$B(y,r-d(y,x))\subset B(x,r)$$
である。よって $B(x,r)$ は開集合である。また、任意の $y\in X\backslash\overline{B}(x,r)$、任意の $z\in B(y, d(y,x)-r)$ に対し三角不等式より、
$$d(z,x)\geq d(y,x)-d(z,y)>r$$
であるから、
$$B(y, d(y,x)-r)\subset X\backslash \overline{B}(x,r)$$
である。よって $\overline{B}(x,r)$ は閉集合である。

=== 注意1.3 （部分集合に制限された距離が誘導する位相は相対位相） ===
$(X,d)$ を距離空間、$A\subset X$ とする。
$$d_A\colon A\times A\ni (x,y)\mapsto d(x,y)\in[0,\infty)$$
は $A$ 上の距離であり、任意の $x\in A$、任意の $r\in (0,\infty)$ に対し、$d_A$ に関する中心 $x$、半径 $r$ の開球は、
$$\{y\in A:d_A(y,x)<r\}=B(x,r)\cap A$$
である。よって $d_A$ が誘導する $A$ の位相は $(X,d)$ の位相の相対位相である。

== 2. 距離空間の Hausdorff 性と第一可算性 ==

=== 命題2.1（距離空間は Hausdorff 空間） ===
距離空間はHausdorff 空間である。
{{begin |proof }}
$(X,d)$ を距離空間とする。$x,y\in X$ が $x\neq y$ ならば $d(x,y)>0$ であり、
$$r=\frac{1}{2}d(x,y)\in (0,\infty)$$
とおけば、三角不等式より $B(x,r)\cap B(y,r)=\emptyset$ である。よって $X$ は Hausdorff 空間である。
{{end |proof | }}

=== 命題2.2（距離空間は第一可算空間） ===
距離空間は[[第一可算空間]]である。
{{begin |proof }}
$(X,d)$ を距離空間とする。任意の $x\in X$ に対しArchimedes の原理より、
$$\left\{B\left(x,\text{ } \frac{1}{n}\right): n\in \mathbb{N}\right\}$$
は $x$ の基本近傍系であり、これは可算である。よって $X$ は第一可算空間である。
{{end |proof | }}

=== 注意2.3（距離空間と点列） ===
距離空間は[[第一可算空間]]であるから、閉包の点や連続性、コンパクト性などは点列を用いて表現できる。これに関しては[[ネットによる位相空間論]]の''' 6. 位相空間の可算性と点列'''を参照されたい。

=== 注意2.4（距離空間は完全正規空間） ===
距離空間は完全正規空間である。
{{begin |proof }}
互いに交わりを持たない二つの閉集合 $A,B\subseteq X$ に対し、$f(x)\colon =d(A,x)/(d(A,x)+d(x,B))$ を考えればよい。
{{end|proof|}}

== 3. 距離空間において可分であることと第二可算であることは同値 ==

=== 命題3 ===
距離空間 $(X,d)$ に対し次は互いに同値である。
* $(1)$ $X$ は可分である。
* $(2)$ $X$ は [[第二可算空間]]である。
{{begin |proof }}
$(2)\Rightarrow(1)$ を示す。$(2)$ が成り立つとして $\{U_n\}_{n\in \mathbb{N}}$ を可算な開基とする。そして各$n\in \mathbb{N}$ に対し $x_n\in U_n$ を取る。$A=\{x_n\}_{n\in \mathbb{N}}$ が $X$ で稠密であることを示せばよい。そのためには任意の $x\in X$ と $x$ の任意の開近傍 $U$ に対し $U\cap A\neq\emptyset$ であることを示せばよい。$\{U_n\}_{n\in \mathbb{N}}$ は開基なので、$x\in U_n\subset U$ なる $n\in \mathbb{N}$ が存在する。よって $x_n\in U_n\subset U$ なので、$x\in U\cap A$ である。よって $U\cap A\neq\emptyset$ である。\\
$(1)\Rightarrow(2)$ を示す。
$(X,d)$ を可分な距離空間とし、$A\subset X$ を稠密な可算部分集合とする。$(X,d)$ の開集合からなる可算族
$$\mathcal{B}=\left\{B\left(a,\text{ }\frac{1}{n}\right): a\in A, n\in \mathbb{N}\right\}$$
が$(X,d)$ の位相の基底であることを示せばよい。任意の開集合 $U\subset X$ と任意の $x\in U$ を取り、
$$B(x,\epsilon)\subset U$$
なる $\epsilon\in(0,\infty)$ を取る。
Archimedes の原理より
$$\frac{1}{n}<\frac{\epsilon}{2}$$
なる $n\in \mathbb{N}$ が取れる。$x\in X=\overline{A}$ なので、
$$a\in B\left(x,\text{ }\frac{1}{n}\right)\cap A$$
が取れる。任意の $y\in B(a,\frac{1}{n})$ に対し三角不等式より、
$$d(y,x)\leq d(y,a)+d(a,x)<\frac{1}{n}+\frac{1}{n}<\epsilon$$
であるから、
$$x\in B\left(a,\text{ }\frac{1}{n}\right)\subset B(x,\epsilon)\subset U$$
である。よって $\mathcal{B}$ は$(X,d)$ の位相の基底である。
{{end|proof|}}

== 4. 距離空間の全有界性 ==

=== 定義4.1 （距離空間の全有界性） ===
距離空間 $X$ が全有界であるとは、任意の $\epsilon\in (0,\infty)$ に対し有限個の $x_1,\ldots,x_n\in X$ が存在し、
$$X=B(x_1,\epsilon)\cup\ldots\cup B(x_n,\epsilon)$$
が成り立つことを言う。

=== 命題4.2 （全有界な距離空間は可分） ===
全有界な距離空間は可分である。
{{begin |proof }}
$X$ を全有界な距離空間とする。任意の $n\in \mathbb{N}$ に対し、有限個の $x_{n,1},\ldots,x_{n,m(n)}\in X$ が取れて、
$$X=B\left(x_{n,1},\text{ }\frac{1}{n}\right)\cup\ldots \cup B\left(x_{n,m(n)},\text{ }\frac{1}{n}\right)$$
となる。可算集合
$$A=\{x_{n,k}: n\in\mathbb{N}, k\in \{1,\ldots, m(n)\}\}$$
が $X$ において稠密であることを示せばよい。任意の $x\in X$、任意の $n\in\mathbb{N}$ に対し、$x\in B(x_{n,k},\frac{1}{n})$ なる $k\in\{1,\ldots,m(n)\}$ が取れる。$x_{n,k}\in B(x,\frac{1}{n})\cap A$ であるから、
$$B\left(x,\text{ }\frac{1}{n}\right)\cap A\neq\emptyset\quad(\forall n\in\mathbb{N})$$
が成り立ち、$\{B(x,\frac{1}{n})\}_{n\in\mathbb{N}}$ は $x$ の基本近傍系であるから $x\in\overline{A}$ である。よって $A$ は $X$ において稠密である。
{{end |proof | }}

== 5. Cauchy 列と距離空間の完備性 ==

=== 定義5.1 （Cauchy 列） ===
$(X,d)$ を距離空間とする。$X$ の点列 $(x_n)_{n\in\mathbb{N}}$ が Cauchy 列であるとは、
$$\forall \epsilon\in (0,\infty), \exists n_0\in\mathbb{N}\text{ s.t. }\forall n,m\geq n_0, d(x_n,x_m)<\epsilon$$
が成り立つことを言う。

距離空間の収束列は明らかに Cauchy 列である。

=== 定義5.2 （距離空間の完備性） ===
距離空間が完備であるとは、任意の Cauchy 列が収束列であることを言う。

== 6. 距離空間においてコンパクト、点列コンパクト、全有界かつ完備は同値 ==

=== 補題6.1 （点列コンパクトな距離空間の全有界性） ===
点列コンパクトな距離空間は全有界である。
{{begin |proof }}
距離空間 $X$ が全有界ではないとする。このときある $\epsilon\in(0,\infty)$ に対し、$X$ の点列 $(x_n)_{n\in\mathbb{N}}$ で、
$$x_{n+1}\in X\backslash \bigcup_{k=1}^{n}B(x_k,\epsilon)\quad(\forall n\in\mathbb{N})$$
を満たすものが帰納的に構成できる。これに対し、
$$d(x_n,x_m)\geq\epsilon\quad(n\neq m)$$
であるから $(x_n)_{n\in\mathbb{N}}$ は収束する部分列を持たない。よって $X$ は点列コンパクトではない。
{{end |proof | }}

=== 補題6.2 （点列コンパクトな距離空間の完備性） ===
点列コンパクトな距離空間は完備である。
{{begin |proof }}
$(X,d)$ を点列コンパクトな距離空間とし、$(x_n)_{n\in\mathbb{N}}$ を Cauchy 列とする。$X$ は点列コンパクトなので $(x_n)_{n\in \mathbb{N}}$ のある部分列 $(x_{k(n)})_{n\in\mathbb{N}}$ はある $x\in X$ に収束する。よって任意の $\epsilon\in(0,\infty)$ に対し $n_0\in\mathbb{N}$ が存在し、任意の $n,m\geq n_0$ に対し、
$$d(x_n,x_m)<\frac{\epsilon}{2},\quad d(x_{k(n)},x)<\frac{\epsilon}{2}$$
が成り立つ。よって任意の $n\geq n_0$ に対し、
$$d(x_n,x)\leq d(x_n,x_{k(n)})+d(x_{k(n)},x)<\epsilon$$
が成り立つので、 $(x_n)_{n\in \mathbb{N}}$ は収束する。ゆえに $(X,d)$ は完備である。
{{end|proof}}

=== 補題6.3 （コンパクトな距離空間は点列コンパクト） ===
コンパクトな距離空間は点列コンパクトである。
{{begin |proof }}
'''命題2.2'''より距離空間は第一可算空間であり、一般にコンパクトな第一可算空間は点列コンパクトである。（例えば[[ネットによる位相空間論]]の'''命題6.3'''を参照。）
{{end|proof}}

=== 定義6.4 （距離空間の部分集合の直径） ===
$(X,d)$ を距離空間とする。$A\subset X$ に対し $\sup\{d(x,y): x,y\in A\}$ を $A$ の直径と呼ぶ。

=== 定理6.5 （距離空間においてコンパクト、点列コンパクト、全有界かつ完備は同値） ===
$(X,d)$ を距離空間とする。次は互いに同値である。
* $(1)$ $X$ はコンパクトである。
* $(2)$ $X$ は点列コンパクトである。
* $(3)$ $X$ は全有界かつ完備である。
{{begin |proof }}
$(1)\Rightarrow(2)$ は'''補題6.3'''、$(2)\Rightarrow(3)$ は'''補題6.1'''、'''補題6.2'''による。 $(3)\Rightarrow(1)$ を示す。$(X,d)$ が全有界かつ完備であるとし、$X$ がコンパクトではないと仮定して矛盾を導く。このとき $X$ の開被覆 $\{U_j\}_{j\in J}$ でそのいかなる有限部分族も $X$ の開被覆ではないものが存在する。$X$ は全有界であるので直径が $1$ 以下の有限個の閉集合の合併で表せる。それらの閉集合の中のいずれか（$X_1$とする）は $\{U_j\}_{j\in J}$ のいかなる有限部分族によっても被覆できない。$X_1$ は全有界なので、直径が $\frac{1}{2}$ 以下の有限個の閉集合の合併で表せて、それらの閉集合の中のいずれか（$X_2$とする）は $\{U_j\}_{j\in J}$ のいかなる有限部分族によっても被覆できない。同様のことを繰り返し、$X$ の部分集合の列 $(X_n)_{n\in\mathbb{N}}$ で次の条件を満たすものを構成する。
*(a) 任意の $n\in \mathbb{N}$ に対し $X_n$ は $\{U_j\}_{j\in J}$ のいかなる有限部分族によっても被覆できない。
*(b) 任意の $n\in \mathbb{N}$ に対し $X_n$ は $X$ の閉集合である。
*(c) 任意の $n\in \mathbb{N}$ に対し $X_{n+1}\subset X_n$.
*(d) 任意の $n\in \mathbb{N}$ に対し $X_n$ の直径は $\frac{1}{n}$ 以下。
各 $n\in \mathbb{N}$ に対し $x_n\in X_n$ を取り $X$ の点列 $(x_n)_{n\in\mathbb{N}}$ を構成すると、(c), (d) と Archimedes の原理より $(x_n)_{n\in\mathbb{N}}$ は Cauchy 列である。よって $X$ の完備性より $(x_n)_{n\in\mathbb{N}}$ はある $x\in X$ に収束する。任意の $\epsilon\in (0,\infty)$、任意の $n\in \mathbb{N}$ に対し、$m\geq n$、$d(x_m,x)<\epsilon$ を満たす $m\in\mathbb{N}$ が取れ、(c) より $x_m\in B(x,\epsilon)\cap X_n$ である。よって、
$$B(x,\epsilon)\cap X_n\neq\emptyset\quad(\forall n\in \mathbb{N}, \forall \epsilon\in (0,\infty))$$
であるから、(b)より、
$$x\in \bigcap_{n\in\mathbb{N}}\overline{X_n}=\bigcap_{n\in\mathbb{N}}X_n$$
である。$x\in U_j$ なる $j\in J$ を取り、$\overline{B}(x,\frac{1}{n})\subset U_j$ なる $n\in\mathbb{N}$ を取れば、$x\in X_n$ であることと (d) より $X_n\subset U_j$ となる。これは(a)に矛盾する。ゆえに $(3)\Rightarrow(1)$ が成り立つ。
{{end|proof}}

== 7. 一様連続性 ==

=== 注意7.1 （距離空間から距離空間への写像の連続性の$\epsilon-\delta$ 論法による特徴付け） ===
距離空間の任意の点 $x$ に対し $\{B(x,\epsilon)\}_{\epsilon\in (0,\infty)}$ は $x$ の基本近傍系である。よって距離空間 $(X,d_X)$ から距離空間 $(Y,d_Y)$ への写像 $f\colon X\rightarrow Y$ が $x_0\in X$ において連続であることは、次のように特徴付けられる。

「任意の $\epsilon\in(0,\infty)$ に対し $\delta\in (0,\infty)$ が存在し、$d_X(x,x_0)<\delta$ を満たす全ての $x\in X$ に対し $d_Y(f(x),f(x_0))<\epsilon$ が成り立つ。」

=== 定義7.2 （一様連続性） ===
$(X,d_X), (Y,d_Y)$ を距離空間とする。写像 $f\colon X\rightarrow Y$ が一様連続であるとは、

「任意の $\epsilon\in(0,\infty)$ に対し $\delta\in (0,\infty)$ が存在し、$d_X(x_1,x_2)<\delta$ を満たす全ての $x_1,x_2\in X$ に対して $d_Y(f(x_1),f(x_2))<\epsilon$ が成り立つ」

ことを言う。

一様連続ならば明らかに連続である。

=== 定理7.3 （コンパクト距離空間から距離空間への連続写像は一様連続） ===
$(X,d_X)$ をコンパクト距離空間、 $(Y,d_Y)$ を距離空間とし、$f\colon X\rightarrow Y$ を連続写像とする。このとき $f$ は一様連続である。
{{begin |proof }}
任意の $\epsilon\in (0,\infty)$ を取る。$f$ は連続なので、各 $x\in X$ に対し、 $\delta_x\in (0,\infty)$ で、
$$d_Y(f(x'),f(x))<\frac{\epsilon}{2}\quad(\forall x'\in B(x,\delta_x))$$
を満たすものが取れる。
$$X=\bigcup_{x\in X} B(x,2^{-1}\delta_x)$$
であり、$X$ はコンパクトであるので、有限個の $x_1,\ldots,x_n\in X$ が取れて、
$$X=\bigcup_{j=1}^{n}B(x_j,2^{-1}\delta_{x_j})$$
となる。
$$\delta=\text{ min }(2^{-1}\delta_{x_1},\ldots,2^{-1}\delta_{x_n})$$
とおき、$d_X(x',x)<\delta$ を満たす任意の $x,x'\in X$ を取る。 $x\in B(x_j,2^{-1}\delta_{x_j})$ なる $j\in \{1,\ldots,n\}$ に対し、
$$d_X(x',x_j)\leq d_X(x',x)+d_X(x,x_j)<\delta+\delta_{x_j}<\delta_{x_j}$$
であるから、
$$d_Y(f(x),f(x'))\leq d_Y(f(x),f(x_j))+d_Y(f(x_j),f(x'))<\frac{\epsilon}{2}+\frac{\epsilon}{2}=\epsilon$$
である。よって $f$ は一様連続である。
{{end |proof | }}

== 8. 一様収束 ==

=== 定義8.1（一様収束） ===
$X$ を集合、$(Y,d)$ を距離空間とする。$X\rightarrow Y$ の写像からなるネット $(f_{\lambda})_{\lambda\in\Lambda}$ が $f\colon X\rightarrow Y$ に一様収束するとは、次が成り立つことを言う。
$$\forall \epsilon\in (0,\infty), \exists \lambda_0\in\Lambda \text{ s.t. } \forall \lambda\geq\lambda_0, \forall x\in X, d(f_{\lambda}(x),f(x))<\epsilon$$.

=== 注意8.2　 ===
ネットについて知らなければネットを列に置き換えてよい。ネットについては[[ネットによる位相空間論]]を参照。

=== 命題8.3（連続写像の一様収束極限は連続） ===
$X$ を位相空間、$(Y,d)$ を距離空間とし、$X\rightarrow Y$ の連続写像からなるネット $(f_{\lambda})_{\lambda\in\Lambda}$ が $f\colon X\rightarrow Y$ に一様収束するとする。このとき $f$ は連続である。
{{begin |proof }}
任意の $x_0\in X$、任意の $\epsilon\in (0,\infty)$を取り固定する。$(f_{\lambda})_{\lambda\in\Lambda}$ は $f$ に一様収束するので、$\lambda_0\in \Lambda$ で、
$$d(f_{\lambda_0}(x),f_{\lambda}(x))<\frac{\epsilon}{3}\quad(\forall x\in X)$$
を満たすものが取れる。$f_{\lambda_0}\colon X\rightarrow Y$ は連続なので $x_0\in X$ の近傍 $U$ で、
$$d(f_{\lambda_0}(x),f_{\lambda_0}(x_0))<\frac{\epsilon}{3}\quad (\forall x\in U)$$
を満たすものが取れる。よって任意の $x\in U$ に対し、
$$d(f(x),f(x_0))\leq d(f(x),f_{\lambda_0}(x))+d(f_{\lambda_0}(x),f_{\lambda_0}(x_0))+d(f_{\lambda_0}(x_0),f(x_0))<\epsilon$$
であるから $f$ は連続である。
{{end|proof|}}

=== 定義8.4（一様 Cauchy 条件） ===
$X$ を集合、$(Y,d)$ を距離空間とする。$X\rightarrow Y$ の写像からなる列 $(f_n)_{n\in\mathbb{N}}$ が一様 Cauchy 条件を満たすとは、
$$\forall \epsilon\in (0,\infty),\exists n_0\in\mathbb{N}\text{ s.t. } \forall n,m\geq n_0, \forall x\in X, d(f_n(x),f_m(x))<\epsilon$$
が成り立つことを言う。

=== 命題8.5（一様 Cauchy 条件と一様収束） ===
$X$ を集合、$(Y,d)$ を完備距離空間とし、$X\rightarrow Y$ の写像からなる列 $(f_n)_{n\in\mathbb{N}}$ が一様 Cauchy 条件を満たすとする。このとき $(f_n)_{n\in \mathbb{N}}$ はある $f\colon X\rightarrow Y$ に一様収束する。
{{begin |proof }}
一様 Cauchy 条件より任意の $\epsilon\in(0,\infty)$ に対し $n_0\in\mathbb{N}$ が存在し、
$$d(f_n(x),f_m(x))<\frac{\epsilon}{2}\quad (\forall n,m\geq n_0, \forall x\in X)$$
が成り立つ。各 $x\in X$ に対し $(f_n(x))_{n\in \mathbb{N}}$ は完備距離空間 $(Y,d)$ の Cauchy 列であるので、
$$f(x)=\lim_{n\rightarrow\infty} f_n(x)\quad (\forall x\in X)$$
として $f\colon X\rightarrow Y$ が定義できる。各 $x\in X$ に対し、$n_x\geq n_0$ なる $n_x\in \mathbb{N}$ で、
$$d(f_{n_x}(x),f(x))<\frac{\epsilon}{2}$$
を満たすものを取れば、任意の $n\geq n_0$、任意の $x\in X$ に対し、
$$d(f_n(x),f(x))\leq d(f_n(x),f_{n_x}(x))+d(f_{n_x}(x),f(x))<\epsilon$$
であるので、$(f_n)_{n\in\mathbb{N}}$ は $f$ に一様収束する。
{{end |proof | }}

== 関連事項 ==
* [[入門テキスト「位相空間論」]]
* [[ネットによる位相空間論]]
* [[関数解析の基礎]]

関数解析の基礎

2026-04-07T05:09:54Z

Kataoka:

* [[選択公理とZornの補題]]
* [[ネットによる位相空間論]]
* [[距離空間の位相の基本的性質]]
* [[入門テキスト「測度と積分」]]
* [[入門テキスト「位相線形空間」]]
* [[速習「線形空間論」]]
* [[Euclid空間における微積分1]]
* [[Euclid空間における微積分2]]
* [[ベクトル解析]]
* [[複素解析の初歩]]
* [[超関数とFourier変換、Sobolev空間]]
* [[Banach環とC*-環のスペクトル理論]]
* [[Hilbert空間上の作用素論]]
* [[微分方程式の初歩]]
* [[局所コンパクト群のユニタリ表現]]
* [[量子力学の数学的構造に関わる関数解析]]
* [[無限量子系のための作用素環論]]
* [[確率論の初歩]]

複素解析の初歩

2026-04-07T03:40:36Z

Kataoka: /* 定義3.2（複素線積分） */

本稿においては、関数解析学への応用を念頭に、複素解析のごく初歩的なこと（正則関数の解析性、Liouvilleの定理、一致の定理、Cauchyの積分公式、Cauchyの積分定理、Laurant展開、留数定理）について述べる。そしてこれらのBanach空間値関数への拡張について述べる。$\mathbb{N}=\{1,2,3,\ldots\}$、$\mathbb{Z}_+=\{0,1,2,3,\ldots\}$ とする。

== 1. 複素微分、正則関数 ==

=== 定義1.1（複素微分、複素導関数） ===
$\Omega\subset \mathbb{C}$ を開集合、$X$ を $\mathbb{C}$ 上のBanach空間とする。関数 $f\colon\Omega\rightarrow X$ が $z_0\in \Omega$ において複素微分可能であるとは、ある $b\in X$ が存在し、
$$
\Omega\ni z\mapsto \left\{\begin{array}{cl}\frac{f(z)-f(z_0)}{z-z_0}&(z\neq z_0)\\b&(z=z_0)\end{array}\right\}\in X \text{ が } z_0\text{ において連続。}\quad\quad(*)
$$
が成り立つことを言う。 $f$ が $z_0$ において複素微分可能であるとき $(*)$ を満たす $b\in X$ は唯一つである（次の'''命題1.2'''を参照）。そこでこの $b$ を $f'(z_0)\in X$ と表し、$f$ の $z_0$ における複素微分と言う。 
各 $z\in \Omega$ に対し $f'(z)\in X$ が存在するとき $f'\colon\Omega\ni z\mapsto f'(z)\in X$ なる関数が定義できる。これを $f$ の複素導関数、または $1$ 階複素導関数と言う。$f'=f^{(1)}$ とも表す。ある $n\in \mathbb{N}$ に対し $f$ の $n$ 階複素導関数 $f^{(n)}:\Omega\rightarrow X$ が定義されており、$f^{(n)}$ が複素導関数 ${f^{(n)}}'\colon\Omega\rightarrow X$ を持つときそれを $f$ の $n+1$ 階複素導関数と言い、$f^{(n+1)}$ と表す。便宜上、$f$ 自体を $f$ の $0$ 階導関数と呼び、$f^{(0)}$と表す。

=== 命題1.2 ===
'''定義1.1'''における $(*)$ を満たす $b\in X$ は存在するならば唯一つである。
{{begin |proof }}
$b_1,b_2\in X$ が共に'''定義1.1'''の $(*)$ を満たすとすると、任意の $\epsilon\in(0,\infty)$ に対し $\delta\in (0,\infty)$ が存在し、
$$
\left\lVert \frac{f(z_0+h)-f(z_0)}{h}-b_1\right\rVert<\frac{\epsilon}{2},\quad
\left\lVert \frac{f(z_0+h)-f(z_0)}{h}-b_2\right\rVert<\frac{\epsilon}{2}
\quad(\forall h\in \mathbb{C}:0<\lvert h\rvert<\delta)
$$
が成り立つ。よって三角不等式より $\lVert b_1-b_2\rVert<\epsilon$ であり、$\epsilon\in (0,\infty)$ は任意であるから $b_1=b_2$ が成り立つ。
{{end|proof|}}

=== 命題1.3（複素微分可能な点における連続性） ===
$X$ を $\mathbb{C}$ 上のBanach空間、$\Omega\subset \mathbb{C}$ を開集合とする。$f\colon\Omega\rightarrow X$ が $z_0\in \Omega$ において複素微分可能ならば $f$ は $z_0$ において連続である。
{{begin |proof }}
十分小さい $\delta\in (0,\infty)$ を取れば、
$$
\left\lVert \frac{f(z)-f(z_0)}{z-z_0}-f'(z_0)\right\rVert\leq1\quad(\forall z\in \mathbb{C}:0<\lvert z-z_0\rvert<\delta)
$$
が成り立つ。よって、
$$
\lVert f(z)-f(z_0)\rVert\leq(1+\lVert f'(z_0)\rVert)\lvert z-z_0\rvert\quad(\forall z\in \mathbb{C}:0<\lvert z-z_0\rvert<\delta)
$$
であるので、$f$ は $z_0$ において連続である。
{{end|proof|}}

=== 定義1.4（複素Banach空間値正則関数） ===
$\Omega\subset \mathbb{C}$ を開集合、$X$ を $\mathbb{C}$ 上のBanach空間とする。関数 $f:\Omega\rightarrow X$ がBanach空間 $X$ 値正則関数であるとは $f$ が連続な複素導関数 $f'\colon\Omega\rightarrow X$ を持つことを言う。$X=\mathbb{C}$ の場合は単に正則関数と言う。

=== 注意1.5 ===
正則関数は、複素導関数が存在することとして定義されることが多い。本稿においては便宜上、複素導関数が存在し、さらにその複素導関数が連続であることにより正則関数を定義した。このような定義は小平邦彦著の複素解析などに見られる。

=== 定理1.6（Cauchy-Riemannの関係式） ===
$\Omega\subset\mathbb{C}$を開集合、$f\colon\Omega\rightarrow\mathbb{C}$ とする。同一視
$$
x_1+ix_2=(x_1,x_2),\quad\mathbb{C}=\mathbb{R}^2
$$
のもと、次は互いに同値である。
*$(1)$　$f\colon\Omega\rightarrow\mathbb{C}$ は正則関数である。
*$(2)$　$f\colon\Omega\ni (x_1,x_2)\mapsto (f_1(x_1,x_2),f_2(x_1,x_2))\in \mathbb{R}^2$ は $C^1$ 級であり、任意の $(x_1,x_2)\in \Omega$ に対し、
$$
\partial_1f_1(x_1,x_2)=\partial_2f_2(x_1,x_2),\quad
\partial_1f_2(x_1,x_2)=-\partial_2f_1(x_1,x_2)
$$
（これをCauchy-Riemannの関係式と言う）が成り立つ。

そして $(1),(2)$ が成り立つとき、$f\colon\Omega\rightarrow\mathbb{C}$ の複素導関数を $f'\colon\Omega\rightarrow\mathbb{C}$ とおくと、任意の $x_1+ix_2=(x_1,x_2)\in \Omega$ に対し、
$$
\begin{aligned}
&{\rm Re}(f'(x_1+ix_2))=\partial_1f_1(x_1,x_2)=\partial_2f_2(x_1,x_2),\quad\quad(*)\\
&{\rm Im}(f'(x_1+ix_2))=\partial_1f_2(x_1,x_2)=-\partial_2f_1(x_1,x_2)\quad\quad(**)
\end{aligned}
$$
が成り立つ。
{{begin |proof }}
$(1)\Rightarrow(2)$ を示す。$(1)$ が成り立つとする。$f\colon\Omega\rightarrow\mathbb{C}$ の複素導関数を $f'\colon\Omega\rightarrow\mathbb{C}$ とすると、任意の $z=x_1+ix_2=(x_1,x_2)\in \Omega$ に対し、
$$
\begin{aligned}
&f'(z)=\lim_{h\in\mathbb{R},h\rightarrow0}\frac{f(z+h)-f(z)}{h}=\partial_1f_1(x_1,x_2)+i\partial_1f_2(x_1,x_2),\\
&f'(z)=\lim_{h\in\mathbb{R},h\rightarrow0}\frac{f(z+ih)-f(z)}{ih}=\partial_2f_2(x_1,x_2)-i\partial_2f_1(x_1,x_2)
\end{aligned}
$$
であるから $(*),(**)$ が成り立つ。そして正則関数の定義（'''定義1.4'''）より複素導関数 $f'\colon\Omega\rightarrow\mathbb{C}$ は連続であるので、各 $i,j\in \{1,2\}$ に対し $\partial_if_j:\Omega\rightarrow\mathbb{R}$ は連続である。よって $f$ は $C^1$ 級であるので $(2)$ が成り立つ。 
$(2)\Rightarrow(1)$ を示す。$(2)$ が成り立つとする。
$$
\Omega\ni (x_1,x_2)\mapsto (f_1(x_1,x_2),\text{ }f_2(x_1,x_2))\in \mathbb{R}^2\quad\quad(***)
$$
は $C^1$ 級であるので、[[Euclid空間における微積分1]]の'''命題6.1'''より、$(***)$ は各点で微分可能である。そして任意の $(x_1,x_2)\in \Omega$ に対し、$(x_1,x_2)$ における $(***)$ の微分（[[Euclid空間における微積分1]]の'''定義1.1'''）を $m(x_1,x_2)\in \mathbb{M}_{2\times 2}(\mathbb{R})$ とおくと、[[Euclid空間における微積分1]]の'''命題1.3'''と'''命題1.6'''より、
$$
m(x_1,x_2)=\begin{pmatrix}\partial_1f_1(x_1,x_2)&\partial_2f_1(x_1,x_2)\\\partial_1f_2(x_1,x_2)&\partial_2f_2(x_1,x_2)\end{pmatrix}
$$
と表される。任意の $z=x_1+ix_2=(x_1,x_2)\in \Omega$ を取り固定する。
$$
a\colon=\partial_1f_1(x_1,x_2)=\partial_2f_2(x_1,x_2),\quad
b\colon=\partial_1f_2(x_1,x_2)=-\partial_2f_1(x_1,x_2)\quad\quad(****)
$$
とおくと、
$$
m(x_1,x_2)=\begin{pmatrix}a&-b\\b&a\end{pmatrix}
$$
であるから、$h\colon=h_1+ih_2\in \mathbb{C}$ に対し、
$$
m(x_1,x_2)\begin{pmatrix}h_1\\h_2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}ah_1-bh_2\\ah_2+bh_1\end{pmatrix}=(a+ib)(h_1+ih_2)=(a+ib)h
$$
である。よって、
$$
\begin{aligned}
&\left\lvert\frac{f(z+h)-f(z)}{h}-(a+ib)\right\rvert
=\left\lvert\frac{f(z+h)-f(z)-(a+ib)h}{h}\right\rvert\\
&=\frac{1}{\lvert h\rvert}
\left\lvert\begin{pmatrix}f_1(x_1+h_1,x_2+h_2)-f_1(x_1,x_2)\\f_2(x_1+h_1,x_2+h_2)-f_2(x_1,x_2)\end{pmatrix}-m(x_1,x_2)\begin{pmatrix}h_1\\h_2\end{pmatrix}\right\rvert\\
&\rightarrow0\quad(\lvert h\rvert\rightarrow0)
\end{aligned}
$$
であるから、$f\colon\Omega\rightarrow\mathbb{C}$ は $z=x_1+ix_2\in \Omega$ において複素微分可能であり、その複素微分は $f'(z)=a+ib$ である。$(****)$ より、
$$
f'(z)=\partial_1f_1(x_1,x_2)+i\partial_1f_2(x_1,x_2)
$$
であり、これが任意の $z=x_1+ix_2=(x_1,x_2)\in \Omega$ に対して成り立つ。$f$ は $C^1$ 級なので $\partial_1f_1,\partial_1f_2:\Omega\rightarrow\mathbb{C}$ は連続であるから、$f'\colon\Omega\rightarrow\mathbb{C}$ は連続である。ゆえに $f$ は正則関数なので $(1)$ が成り立つ。
{{end|proof}}

=== 定理1.7（正則関数に関する逆関数定理） ===
$\Omega\subset \mathbb{C}$ を開集合、$f\colon\Omega\rightarrow\mathbb{C}$ を正則関数とし、ある $a\in \Omega$ に対し $f'(a)\neq0$ が成り立つとする。
このとき $a\in \Omega$ の開近傍 $U\subset \Omega$ で次を満たすものが存在する。
*$(1)$　$f(U)\subset \mathbb{C}$ は開集合。
*$(2)$　$U\ni z\mapsto f(z)\in f(U)$ は全単射であり、この逆関数は正則関数である。

そして $U\ni z\mapsto f(z)\in f(U)$ の逆関数を $g\colon f(U)\rightarrow \mathbb{C}$ とおくと、
$$
g'(w)=f'(g(w))^{-1}\quad(\forall w\in f(U))
$$
が成り立つ。
{{begin |proof}}
'''定理1.6'''より同一視
$$
\mathbb{C}=\mathbb{R}^2,\quad x_1+ix_2=(x_1,x_2),\quad
f(x_1+ix_2)=(f_1(x_1,x_2),f_2(x_1,x_2))
$$
によって、
$$
\Omega\ni (x_1,x_2)\mapsto (f_1(x_1,x_2),f_2(x_1,x_2))\in \mathbb{R}^2\quad\quad(*)
$$
は $C^1$ 級であり、任意の $(x_1,x_2)\in \Omega$ における $(*)$ の微分を $m_f(x_1,x_2)\in\mathbb{M}_{2\times 2}(\mathbb{R})$ とおくと、
$$
m_f(x_1,x_2)=\begin{pmatrix}{\rm Re}(f'(x_1+ix_2))&-{\rm Im}(f'(x_1+ix_2))\\{\rm Im}(f'(x_1+ix_2))&{\rm Re}(f'(x_1+ix_2))\end{pmatrix}\quad\quad(**)
$$
が成り立つ。よって $a=a_1+ia_2=(a_1,a_2)\in \mathbb{R}^2$ と表すと、
$$
0<\lvert f'(a)\rvert={\rm Re}(f'(a))^2+{\rm Im}(f'(a))^2={\rm det}(m_f(a_1,a_2))
$$
が成り立つので、逆関数定理（[[Euclid空間における微積分1]]の'''定理7.1'''）より $a\in \Omega$ の開近傍 $U\subset \Omega$ で、$f(U)$ が $\mathbb{C}$ の開集合であり、
$$
U\ni (x_1,x_2)\mapsto (f_1(x_1,x_2),f_2(x_1,x_2))\in f(U)\quad\quad(***)
$$
が全単射で、$(***)$ の逆関数
$$
g\colon f(U)\rightarrow U
$$
が $C^1$ 級であるようなものが取れる。そして任意の $(y_1,y_2)=f(x_1,x_2)\in f(U)$ における $g$ の微分を $m_g(y_1,y_2)\in \mathbb{M}_{2\times 2}(\mathbb{R})$ とおくと、逆行列の余因子行列による表示（[[速習「線形空間論」]]の'''命題5.10'''）と $(**)$ より、
$$
\begin{aligned}
m_g(y_1,y_2)&=m_f(x_1,x_2)^{-1}=\frac{1}{{\rm det}(m_f(x_1,x_2))}{\rm Cof}(m_f(x_1,x_2))\\
&=\frac{1}{\lvert f'(x_1+ix_2)\rvert^2}\begin{pmatrix}{\rm Re}(f'(x_1+ix_2))&{\rm Im}(f'(x_1+ix_2))\\-{\rm Im}(f'(x_1+ix_2))&{\rm Re}(f'(x_1+ix_2))\end{pmatrix}
\end{aligned}
$$
となる。よって任意の $(y_1,y_2)=f(x_1,x_2)\in f(U)$ に対し、
$$
\begin{aligned}
&\partial_1g_1(y_1,y_2)=\partial_2g_2(y_1,y_2)=\frac{1}{\lvert f'(x_1+ix_2)\rvert^2}{\rm Re}(f'(x_1+ix_2)),\\
&\partial_1g_2(y_1,y_2)=-\partial_2g_1(y_1,y_2)=-\frac{1}{\lvert f'(x_1+ix_2)\rvert^2}{\rm Im}(f'(x_1+ix_2))
\end{aligned}
$$
であるから、'''定理1.6'''より $g:f(U)\ni f(z)\mapsto z\in \mathbb{C}$ は正則関数であり、任意の $w=f(z)\in f(U)$ における $g$ の複素微分は、
$$
g'(w)=\frac{1}{\lvert f'(z)\rvert^2}({\rm Re}(f('z))-i{\rm Im}(f'(z)))=\frac{1}{\lvert f'(z)\rvert^2}\overline{f'(z)}=f'(z)^{-1}=f'(g(w))^{-1}
$$
である。
{{end|proof|}}

== 2. 冪級数関数 ==

=== 定義2.1（冪級数の収束半径） ===
$X$ を $\mathbb{C}$ 上のBanach空間、$(c_n)_{n\in \mathbb{Z}_+}$ を $X$ の点列とする。
$$
R\colon=\frac{1}{\inf_{n\in \mathbb{N}}\sup_{k\geq n}\sqrt[k]{\lVert c_k\rVert}}\in [0,\infty]\quad\quad(*)
$$
（ただし右辺の分母が $0$ の場合は $R=\infty$とする。）を、$(c_n)_{n\in \mathbb{Z}_+}$ を係数とする冪級数の収束半径と言う。この名称の妥当性については次の'''命題2.2'''を参照。

=== 命題2.2（冪級数の収束半径に関する基本的事実） ===
$\mathbb{C}$ 上のBanach空間 $X$ の点列 $(c_n)_{n\in \mathbb{Z}_+}$ に対して、'''定義2.1'''の $(*)$ によって定まる $R\in [0,\infty]$ について、次が成り立つ。
*$(1)$　$\lvert \lambda\rvert<R$ を満たす任意の $\lambda\in \mathbb{C}$ に対し $\sum_{n\in \mathbb{Z}_+}c_n\lambda^n$ は絶対収束（[[位相線形空間1：ノルムと内積]]の'''定義5.5'''）する。
*$(2)$　$\lvert\lambda\rvert>R$ を満たす任意の $\lambda\in \mathbb{C}$ に対し $(c_n\lambda^n)_{n\in\mathbb{Z}_+}$ は $0$ に収束しない。（特に $\sum_{n\in \mathbb{Z}_+}c_n\lambda^n$ は収束しない。）
{{begin |proof}}
*$(1)$　
$$
\lvert \lambda\rvert<R=\frac{1}{\inf_{n\in\mathbb{N}}\sup_{k\geq n}\sqrt[k]{\lVert c_k\rVert}}\quad\iff\quad
\inf_{n\in\mathbb{N}}\sup_{k\geq n}\sqrt[k]{\lVert c_k\rVert}<\frac{1}{\lvert \lambda\rvert}
$$
より、$\lvert \lambda\rvert<R$ ならばある$\beta\in (0,1)$ に対し、
$$
\inf_{n\in\mathbb{N}}\sup_{k\geq n}\sqrt[k]{\lVert c_k\rVert}<\frac{\beta}{\lvert\lambda\rvert}
$$
が成り立つ。よって下限の定義より、
$$
\sup_{k\geq n_0}\sqrt[k]{\lVert c_k\rVert}<\frac{\beta}{\lvert \lambda\rvert}\quad(\forall k\geq n_0)
$$
を満たす $n_0\in \mathbb{N}$ が存在する。これより、
$$
\lVert c_k\lambda^k\rVert<\beta^k\quad(\forall k\geq n_0)
$$
であり、$\beta\in (0,1)$ より、
$$
\sum_{k\geq n_0}\lVert c_k\lambda^k\rVert\leq\sum_{k\geq n_0}\beta^k<\infty
$$
である。ゆえに $\sum_{n\in \mathbb{Z}_+}c_n\lambda^n$ は絶対収束する。
*$(2)$
$$
\lvert \lambda\rvert>R=\frac{1}{\inf_{n\in\mathbb{N}}\sup_{k\geq n}\sqrt[k]{\lVert c_k\rVert}}\quad\iff\quad
\inf_{n\in\mathbb{N}}\sup_{k\geq n}\sqrt[k]{\lVert c_k\rVert}>\frac{1}{\lvert \lambda\rvert}
$$
より、$\lvert \lambda\rvert>R$ ならば、
$$
\sup_{k\geq n}\sqrt[k]{\lVert c_k\rVert}>\frac{1}{\lvert\lambda\rvert}\quad(\forall n\in\mathbb{N})
$$
であるから、上限の定義より任意の $n\in \mathbb{N}$ に対し $k\geq n$ で、
$$
\sqrt[k]{\lVert c_{k}\rVert}>\frac{1}{\lvert\lambda\rvert},
$$
すなわち、
$$
\lVert c_k\lambda^k\rVert>1
$$
を満たすものが取れる。よって $(c_n\lambda^n)_{n\in\mathbb{Z}_+}$ は $0$ に収束しない。
{{end|proof|}}

=== 命題2.3（ratioテスト） ===
$(0,\infty)$ の点列 $(a_n)_{n\in \mathbb{Z}_+}$ に対し、
$$
\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{a_{n+1}}{a_n}\in [0,1)
$$
が存在するとする。このとき $\sum_{n\in \mathbb{Z}_+}a_n$ は収束する。
{{begin |proof }}
$$
\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{a_{n+1}}{a_n}<\alpha<1
$$
なる $\alpha$ を取る。十分大きい $n_0\in \mathbb{N}$ を取れば、
$$
\frac{a_{n+1}}{a_n}<\alpha\quad(\forall n\geq n_0)
$$
となるから、
$$
a_{n}<\alpha^{n-n_0}a_{n_0}\quad(\forall n\geq n_0)
$$
である。
$$
\sum_{n\geq n_0}a_n\leq \sum_{n\geq n_0}\alpha^{n-n_0}a_{n_0}<\infty
$$
であるから $\sum_{n\in \mathbb{Z}_+}a_n$ は収束する。
{{end|proof|}}

=== 命題2.4（冪級数の収束半径の保存） ===
$\mathbb{C}$ 上のBanach空間 $X$ の点列 $(c_n)_{n\in \mathbb{Z}_+}$ に対し、$(c_n)_{n\in \mathbb{Z}_+}$ を係数とする冪級数の収束半径 $R$ と $((n+1)c_{n+1})_{n\in \mathbb{Z}_+}$ を係数とする冪級数の収束半径 $R'$ は一致する。
{{begin |proof }}
$\lvert \lambda\rvert<R'$ なる任意の $\lambda\in \mathbb{C}$ に対し、
$$
\lVert c_{n+1}\lambda^{n+1}\rVert\leq \lvert\lambda\rvert\lVert (n+1)c_{n+1}\lambda^n\rVert
$$
であり'''命題2.3'''より右辺を第 $n$ 項とする級数は収束するので、$\sum_{n\in \mathbb{Z}_+}c_n\lambda^n$ は（絶対）収束する。よって'''命題2.2'''より $\lvert\lambda\rvert\leq R$ である。$\lambda$ の任意性より $R'\leq R$ が成り立つ。$\lvert\lambda\rvert<R$ なる任意の $\lambda\in \mathbb{C}$ を取り、$\lvert\lambda\rvert<r<R$ なる $r$ を取る。'''命題2.3'''より $(c_nr^n)_{n\in \mathbb{Z}_+}$ は収束するので、ある $M\in (0,\infty)$ に対し、
$$
\lVert c_n\rVert r^n\leq M\quad(\forall n\in \mathbb{Z}_+)
$$
となる。よって、
$$
\lVert (n+1)c_{n+1}\lambda^n\rVert
\leq M\frac{n+1}{r}\left(\frac{\lvert\lambda\rvert}{r}\right)^n\quad(\forall n\in \mathbb{Z}_+)
$$
であり、'''命題2.3'''より $\sum_{n\in \mathbb{Z}_+}M\frac{n+1}{r}\left(\frac{\lvert\lambda\rvert}{r}\right)^n<\infty$ であるから $\sum_{n\in \mathbb{Z}_+}(n+1)c_{n+1}\lambda^n$ は絶対収束する。ゆえに $\lvert\lambda\rvert\leq R'$ であるから $\lambda$ の任意性より $R\leq R'$ が成り立つ。
{{end|proof|}}

=== 定理2.5（冪級数関数の複素微分可能性） ===
$\mathbb{C}$ 上のBanach空間 $X$ の点列 $(c_n)_{n\in \mathbb{Z}_+}$ に対し、$(c_n)_{n\in \mathbb{Z}_+}$ を係数とする冪級数の収束半径を $R\in (0,\infty]$ とおく。このとき、
$$
f(\lambda)\colon=\sum_{n\in \mathbb{Z}_+}c_n\lambda^n\quad(\forall \lambda\in B(0,R)=\{\lambda\in\mathbb{C}:\lvert\lambda\rvert<R\})
$$
として定義される関数 $f\colon B(0,R)\rightarrow X$ は任意の $k\in \mathbb{Z}_+$ に対し $k$ 階複素導関数 $f^{(k)}\colon B(0,R)\rightarrow X$ を持ち、
$$
f^{(k)}(\lambda)=\sum_{n\in \mathbb{Z}_+}\frac{(n+k)!}{n!}c_{n+k}\lambda^n\quad(\forall \lambda\in B(0,R))
$$
が成り立つ。（'''命題2.4'''より $(\frac{(n+k)!}{n!}c_{n+k})_{n\in \mathbb{Z}_+}$ を係数とする冪級数の収束半径は $R$ であることに注意。）
{{begin |proof }}
$f$ が任意の点 $\lambda_0\in B(0,R)$ において複素微分可能であり、
$$
f'(\lambda_0)=\sum_{n\in \mathbb{Z}_+}(n+1)c_{n+1}\lambda_0^n
$$
が成り立つことを示せば十分である。$\lvert\lambda_0\rvert<r<R$ なる $r$ を取り、
$$
U\colon=B(\lambda_0,\text{ } r-\lvert \lambda_0\rvert)=\{\lambda\in \mathbb{C}: \lvert\lambda-\lambda_0\rvert<r-\lvert\lambda_0\rvert\}\subset B(0,r)
$$
とおき、$F\colon U\rightarrow X$ を、
$$
F(\lambda)\colon=\left\{\begin{array}{cl}\frac{f(\lambda)-f(\lambda_0)}{\lambda-\lambda_0}&(\lambda\neq\lambda_0)\\
\sum_{n\in \mathbb{Z}_+}(n+1)c_{n+1}\lambda_0^n&(\lambda=\lambda_0)\end{array}\right.
$$
として定義する。$F$ が連続であることを示せばよい。$\lambda\neq\lambda_0$ のとき、
$$
F(\lambda)=\frac{1}{\lambda-\lambda_0}\sum_{n\in \mathbb{Z}_+}c_{n+1}(\lambda^{n+1}-\lambda_0^{n+1})=\sum_{n\in\mathbb{Z}_+}c_{n+1}\sum_{k=0}^{n}\lambda^k\lambda_0^{n-k}
$$
であるから、
$$
F(\lambda)=\sum_{n\in \mathbb{Z}_+}c_{n+1}\sum_{k=0}^{n}\lambda^k\lambda_0^{n-k}\quad(\forall \lambda\in U)
$$
である。そこで任意の $N\in \mathbb{N}$ に対し連続関数 $F_N\colon U\rightarrow X$ を、
$$
F_N(\lambda)\colon=\sum_{n=0}^{N}c_{n+1}\sum_{k=0}^{n}\lambda^k\lambda_0^{n-k}\quad(\forall \lambda\in U)
$$
として定義する。$N<M$ なる任意の $N,M\in \mathbb{N}$ と任意の $\lambda\in U$ に対し $\lvert\lambda\rvert\leq \lvert\lambda-\lambda_0\rvert+\lvert\lambda_0\rvert<r$ より、
$$
\begin{aligned}
\sup_{\lambda\in U}\lvert F_M(\lambda)-F_N(\lambda)\rvert
\leq \sum_{n=N+1}^{M}(n+1)\lVert c_{n+1}\rVert r^n
\end{aligned}
$$
であり、'''命題2.4'''より $\sum_{n\in\mathbb{Z}_+}(n+1)c_{n+1}r^n$ は絶対収束するので $(F_N)_{N\in\mathbb{N}}$ は一様Cauchy条件を満たす。よって[[距離空間の位相の基本的性質]]の'''命題8.5'''より $(F_N)_{N\in \mathbb{N}}$ は $F$ に一様収束するので、[[距離空間の位相の基本的性質]]の'''命題8.3'''より $F$ は連続である。
{{end|proof|}}

== 3. $\mathbb{C}$ 内の（閉）路、サイクル、複素線積分の定義 ==

=== 定義3.1（$\mathbb{C}$ 内の曲線、路、閉路、サイクル, 跡） ===
$\mathbb{C}$ 内の曲線とは、ある有界閉区間 $I$ 上で定義された $\mathbb{C}$ 値連続関数 $c\colon I\rightarrow \mathbb{C}$ であって、$I$ を含む開区間上で定義された $C^1$ 級関数に拡張できるもののことを言う。$\mathbb{C}=\mathbb{R}^2$ とみなしたとき$\mathbb{C}$ 内の曲線は、[[ベクトル解析6：Stokesの定理]]の'''定義25.1'''における $\mathbb{R}^2$ 内の曲線（ $1$ 次の曲方体）である。$\mathbb{C}$ 内の曲線 $c\colon[a,b]\rightarrow\mathbb{C}$ に対し $c(a)$ を $c$ の始点、$c(b)$ を $c$ の終点と言う。 
$\mathbb{C}$ 内の曲線の形式的な和 $c=c_1+\ldots+c_n$ が $\mathbb{C}$ 内の路であるとは、各 $k\in\{1,\ldots,n-1\}$ に対し $c_k$ の終点と $c_{k+1}$ の始点が一致する場合を言う。そしてさらに $c_n$ の終点と $c_1$ の始点が一致するならば $c$ を $\mathbb{C}$ 内の閉路と言う。 
$\mathbb{C}$ 内の閉路の和のことをサイクルと言う。 
$\mathbb{C}$ 内の曲線 $c:I\rightarrow \mathbb{C}$ に対し $c^*=c(I)$ を $c$ の跡と言う。$\mathbb{C}$ 内の曲線の和 $c=c_1+\ldots+c_n$ に対し、
$$
c^*=c_1^*\cup\ldots\cup c_n^*
$$
を$c$の跡と言う。$\mathbb{C}$ の部分集合 $\Omega$ に対し $c^*\subset \Omega$ であるとき $c$ は $\Omega$ に含まれると言う。 
曲線 $c$ と逆の曲線（[[ベクトル解析6：Stokesの定理]]の'''定義25.4'''）を $-c$ と表すことがある。

=== 定義3.2（複素線積分） ===
$\mathbb{C}$ 内の曲線の和 $c=c_1+\ldots+c_n$と、その跡 $c^*$ 上で定義された連続関数 $f:c^*\rightarrow\mathbb{C}$ を考える。$f_1,f_2\colon c^*\rightarrow\mathbb{R}$ を $f$ の実部と虚部とし、$(x_1,x_2)$ を $\mathbb{R}^2$ の標準座標とする。$\mathbb{C}=\mathbb{R}^2$ とみなし、$c^*\subset \mathbb{R}^2$ 上で定義された $\mathbb{R}^2$ の $1$ 階連続微分形式
$$
f_1dx_1-f_2dx_2,\quad f_2dx_1+f_1dx_2
$$
の $c$ 上での積分（[[ベクトル解析6：Stokesの定理]]の'''定義25.2'''、'''定義25.5'''を参照）
$$
\begin{aligned}
&\int_{c}(f_1dx_1-f_2dx_2)=\sum_{k=1}^{n}\int_{c_k}(f_1dx_1-f_2dx_2),\\
&\int_{c}(f_2dx_1+f_1dx_2)=\sum_{k=1}^{n}\int_{c_k}f_2dx_1+f_1dx_2)
\end{aligned}
$$
を考え、$f$ の $c$ 上での複素線積分を、
$$
\int_{c}f(z)dz\colon=\int_{c}(f_1dx_1-f_2dx_2)+i\int_{c}(f_2dx_1+f_1dx_2)
$$
と定義する。
$$
\int_{c}f(z)dz=\sum_{k=1}^{n}\int_{c_k}f(z)dz
$$
である。

=== 注意3.3（複素線積分のパラメータ表示） ===
$\mathbb{C}$ 内の曲線 $c\colon I\rightarrow\mathbb{C}$ と連続関数 $f\colon c^*\rightarrow\mathbb{C}$ に対し、
$$
\int_{c}f(z)dz=\int_{I}f(c(t))c'(t)dt
$$
である。実際、$c^*\subset \mathbb{R}^2$ 上の $1$ 階微分形式 $f_1dx_1-f_2dx_2$ と $f_1dx_2+f_2dx_1$ の $c$ による引き戻し（[[ベクトル解析2：微分形式]]の'''定義9.8'''、[[ベクトル解析6：Stokesの定理]]の'''定義25.2'''を参照）は、
$$
\begin{aligned}
&(c^*(f_1dx_1-f_2dx_2))_t=f_1(c(t))c_1'(t)dt-f_2(c(t))c_2'(t)dt={\rm Re}(f(t)c'(t))dt,\\
&(c^*(f_1dx_2+f_2dx_1))_t=f_1(c(t))c_2'(t)dt+f_2(c(t))c_1'(t)dt={\rm Im}(f(t)c'(t))dt
\end{aligned}
$$
であるから、
$$
\begin{aligned}
\int_{c}f(z)dz&=\int_{c}(f_1dx_1-f_2dx_2)+i\int_{c}(f_2dx_1+f_1dx_2)\\
&=\int_{I}{\rm Re}(f(t)c'(t))dt+i\int_{I}{\rm Im}(f(t)c'(t))dt\\
&=\int_{I}f(t)c'(t)dt
\end{aligned}
$$
である。

=== 定義3.4（曲線の（和の）長さ） ===
$\mathbb{C}$ 内の曲線 $c\colon I\rightarrow\mathbb{C}$ に対し $c$ の長さを、
$$
\ell(c)\colon=\int_{I}\lvert c'(t)\rvert dt
$$
と定義する。また $\mathbb{C}$ 内の曲線の和 $c=c_1+\ldots+c_n$ に対し $c$ の長さを、
$$
\ell(c)\colon=\ell(c_1)+\ldots+\ell(c_n)
$$
と定義する。

=== 命題3.5（有界線形汎関数としての複素線積分） ===
$\mathbb{C}$ 内の曲線の和 $c$ に対し、
$$
C(c^*)\ni f\mapsto \int_{c}f(z)dz\in \mathbb{C}
$$
（ただし $C(c^*)$ はコンパクト空間 $c^*$ 上の複素数値連続関数全体に各点ごとの演算と $\sup$ ノルムを入れたBanach空間である。）は有界線形汎関数であり、そのノルムは $c$ の長さ $\ell(c)$ 以下である。
{{begin |proof }}
曲線 $c_k:I_k\rightarrow\mathbb{C}$ $(k=1,\ldots,n)$ に対し $c=c_1+\ldots+c_n$ とすると'''注意3.3'''より、
$$
\int_{c}f(z)dz=\sum_{k=1}^{n}\int_{c_k}f(z)dz=\sum_{k=1}^{n}\int_{I_k}f(c_k(t))c_k'(t)dt
$$
である。よって、
$$
\begin{aligned}
\left\lvert\int_{c}f(z)dz\right\rvert&\leq \sum_{k=1}^{n}\left\lvert\int_{I_k}f(c_k(t))c_k'(t)dt\right\rvert
\leq \sum_{k=1}^{n}\lVert f\rVert\int_{I_k}\lvert c_k'(t)\rvert dt=\lVert f\rVert\ell(c)
\end{aligned}
$$
である。これより $(*)$ は有界線形汎関数でノルムは $\ell(c)$ 以下である。
{{end|proof|}}

=== 命題3.6（正則関数の複素導関数の複素線積分） ===
$\Omega\subset \mathbb{C}$ を開集合、$f\colon\Omega\rightarrow\mathbb{C}$ を正則関数（'''定義1.4'''）とする。このとき $\Omega$ に含まれる任意のサイクル $c$ （'''定義3.1'''）に対し、
$$
\int_{c}f'(z)dz=0
$$
が成り立つ。
{{begin |proof }}
サイクルは閉路の和であるから、$c$ は閉路であるとして示せば十分である。曲線 $c_k\colon[a_k,b_k]\rightarrow\mathbb{C}$ に対し $c=c_1+\ldots+c_n$ とし、
$$
c_k(b_k)=c_{k+1}(a_{k+1})\quad(k=1,\ldots,n-1),\quad c_n(b_n)=c_1(a_1)
$$
とする。$(x_1,x_2)$ を $\mathbb{R}^2$ の標準座標、$f_1,f_2\colon\Omega\rightarrow\mathbb{R}$ を $f$ の実部と虚部とする。Cauchy-Riemannの関係式（'''定理1.6'''）より、
$$
\begin{aligned}
&(f')_1dx_1-(f')_2dx_2=\frac{\partial f_1}{\partial x_1}dx_1+\frac{\partial f_1}{\partial x_2}dx_2=df_1,\\
&(f')_2dx_1+(f')_1dx_2=\frac{\partial f_2}{\partial x_1}dx_1+\frac{\partial f_2}{\partial x_2}dx_2=df_2
\end{aligned}
$$
であるから、
$$
\begin{aligned}
\int_{c_k}f'(z)dz&=\int_{c_k}((f')_1dx_1-(f')_2dx_2)+i\int_{c_k}((f')_2dx_1+(f')_1dx_2)\\
&=\int_{c_k}df_1+i\int_{c_k}df_2\\
&=f(c_k(b_k))-f(c_k(a_k))\quad(k=1,\ldots,n)
\end{aligned}
$$
である。<ref>$c_k^*df_j=d(f_j\circ c_k)=\frac{d(f_j\circ c_k)}{dt}dt$であるから、[[ベクトル解析6：Stokesの定理]]の''定義25.2''より、$\int_{c_k}df_j=\int_{a_k}^{b_k}\frac{d(f_j\circ c_k)}{dt}(t)dt=f_j(c_k(b_k) )-f_j(c_k(a_k) )$ である。</ref>よって $(*)$ より、
$$
\int_{c}f(z)dz=\sum_{k=1}^{n}\int_{c_k}f(z)dz=\sum_{k=1}^{n}(f(c_k(b_k))-f(c_k(a_k)))
=0
$$
である。
{{end|proof|}}

== 4. 凸開集合におけるCauchyの積分定理 ==

=== 定義4.1（$\mathbb{C}$ における線分） ===
任意の $\alpha,\beta\in \mathbb{C}$ に対し、
$$
[0,1]\ni t\mapsto \alpha+t(\beta-\alpha)\in \mathbb{C}
$$
なる曲線を $\alpha$ を始点、$\beta$ を終点とする $\mathbb{C}$ の線分と言い、$[\alpha,\beta]$ と表す。

=== 注意4.2 ===
線分 $[\alpha,\beta]$ の長さ（'''定義3.4'''）は、
$$
\ell([\alpha,\beta])=\int_{[0,1]}\lvert \beta-\alpha\rvert dt=\lvert\beta-\alpha\rvert
$$
である。また $[\alpha,\beta]$ と逆の曲線は $-[\alpha,\beta]=[\beta,\alpha]$ であり、跡 $[\alpha,\beta]^*=[\beta,\alpha]^*=\{\alpha+t(\beta-\alpha):t\in [0,1]\}$ 上で定義された任意の連続関数 $f\colon[\alpha,\beta]^*\rightarrow\mathbb{C}$ に対し、
$$
\int_{[\beta,\alpha]}f(z)dz=\int_{-[\alpha,\beta]}f(z)dz=-\int_{[\alpha,\beta]}f(z)dz
$$
である。

=== 定義4.3（三角形閉路） ===
任意の $\alpha,\beta,\gamma\in \mathbb{C}$ に対し閉路
$$
\partial\Delta(\alpha,\beta,\gamma):=[\alpha,\beta]+[\beta,\gamma]+[\gamma,\alpha]
$$
を定義する。

=== 注意4.4 ===
三角形閉路 $\partial\Delta(\alpha,\beta,\gamma)$ の長さ（'''定義3.4'''）は、
$$
\ell(\partial\Delta(\alpha,\beta,\gamma))=\ell([\alpha,\beta])+\ell([\beta,\gamma])+\ell([\gamma,\alpha])=
\lvert\beta-\alpha\rvert+\lvert\gamma-\beta\rvert+\lvert \alpha-\gamma\rvert
$$
である。また跡 $\partial\Delta(\alpha,\beta,\gamma)=[\alpha,\beta]^*\cup[\beta,\gamma]^*\cup[\gamma,\alpha]^*$ 上で定義された任意の連続関数 $f\colon\partial\Delta(\alpha,\beta,\gamma)\rightarrow\mathbb{C}$ に対し、
$$
\int_{\partial\Delta(\alpha,\beta,\gamma)}f(z)dz=\int_{[\alpha,\beta]}f(z)dz+\int_{[\beta,\gamma]}f(z)dz+\int_{[\gamma,\alpha]}f(z)dz
$$
である。

=== 定義4.5（原始関数） ===
$\Omega\subset \mathbb{C}$ を開集合とする。$F\colon\Omega\rightarrow\mathbb{C}$ が $f\colon\Omega\rightarrow\mathbb{C}$ の原始関数であるとは $F'(z)=f(z)$ $(\forall z\in \Omega)$ が成り立つことを言う。

=== 命題4.6（凸開集合上の連続関数が原始関数を持つための条件） ===
$\Omega\subset \mathbb{C}$ を凸開集合、$f\colon\Omega\rightarrow\mathbb{C}$ を連続関数とする。このとき次は互いに同値である。
*$(1)$　$f$ は原始関数を持つ。
*$(2)$　$\Omega$ 内の任意のサイクル $c$（'''定義3.1'''）に対し、
$$
\int_{c}f(z)dz=0
$$
が成り立つ。
*$(3)$　任意の $\alpha,\beta,\gamma\in\Omega$ に対し、
$$
\int_{\partial\Delta(\alpha,\beta,\gamma)}f(z)dz=0\quad\quad(*)
$$
が成り立つ。
{{begin |proof}}
$(1)\Rightarrow(2)$ は'''命題3.6'''による。$(2)\Rightarrow(3)$ は自明である。$(3)\Rightarrow(1)$ を示す。$(3)$ が成り立つとする。
任意の $\alpha\in \Omega$ を取り固定し、
$$
F(z):=\int_{[\alpha,z]}f(w)dw\quad(\forall z\in \Omega)
$$
として $F:\Omega\rightarrow\mathbb{C}$ を定義する。$(*)$ より、
$$
\begin{aligned}
F(z)-F(z_0)&=\int_{[\alpha,z]}f(w)dw-\int_{[\alpha,z_0]}f(w)dw=\int_{[z_0,z]}f(w)dw\quad(\forall z_0,z\in \Omega)
\end{aligned}
$$
であるから、任意の $z_0,z\in\Omega$ に対し'''命題3.5'''より、
$$
\begin{aligned}
\left\lvert \frac{F(z)-F(z_0)}{z-z_0}-f(z_0)\right\rvert
=\frac{1}{\lvert z-z_0\rvert}\left\lvert\int_{[z_0,z]}f(w)-f(z_0)dw\right\rvert
\leq \underset{w\in[z_0,z]^*}{\rm max}\lvert f(w)-f(z_0)\rvert
\end{aligned}
$$
である。ここで $f$ は $z_0$ において連続であるから、
$$
\lim_{z\rightarrow z_0}\underset{w\in[z_0,z]^*}{\rm max}\lvert f(w)-f(z_0)\rvert=0
$$
である。よって $F'(z_0)=f(z_0)$ であるから $F$ は $f$ の原始関数である。
{{end|proof|}}

=== 定理4.7（凸開集合におけるCauchyの積分定理） ===
$\Omega\subset \mathbb{C}$ を凸開集合、$f\colon\Omega\rightarrow\mathbb{C}$ を連続関数とする。そしてある $p\in \Omega$ に対し $\Omega\backslash \{p\}$ 上で $f$ は正則関数（'''定義1.4'''）であるとする。このとき $\Omega$ に含まれる任意のサイクル $c$（'''定義3.1'''）に対し、
$$
\int_{c}f(z)dz=0
$$
が成り立つ。
{{begin |proof }}
'''命題4.6'''より、任意の $\alpha,\beta,\gamma\in\Omega$ に対し、
$$
\int_{\partial\Delta(\alpha,\beta,\gamma)}f(z)dz=0\quad\quad(*)
$$
が成り立つことを示せばよい。$\alpha,\beta,\gamma$ のうちのいずれかが等しい場合、もしくは $\alpha,\beta,\gamma$ のうちのいずれかが他の $2$ 点を端点とする線分上に乗っている場合、$(*)$ は明らかに成り立つので、それ以外の場合を考える。$\alpha,\beta,\gamma$ を頂点とする三角形を、
$$
K\colon=\{t_1\alpha+t_2\beta+t_3\gamma:t_1,t_2,t_3\geq0, t_1+t_2+t_3=1\}\subset \Omega
$$
とおく<ref>$K$ はコンパクト集合 $\{(t_1,t_2,t_3)\in [0,1]^3:t_1+t_2+t_3=1\}$ の連続写像による像であるからコンパクトである。</ref>。
*$(1)$　$p\in \Omega\backslash K$ の場合を示す。$\mathbb{C}=\mathbb{R}^2$ 内の $2$ 次の $C^\infty$ 級曲方体（[[ベクトル解析6：Stokesの定理]]の'''定義25.1'''）
$$
c\colon[0,1]\times [0,1]\ni (s,t)\mapsto (1-t)((1-s)\alpha+s\beta)+t\gamma\in \mathbb{C}
$$
を定義する。$c$ の跡は、
$$
c^*=c([0,1]\times [0,1])=K\subset \Omega\backslash \{p\}
$$
である。$c$ の境界（[[ベクトル解析6：Stokesの定理]]の'''定義25.6'''）$\partial c$ は、
$$
\partial c=[\alpha,\beta]+[\beta,\gamma]-[\alpha,\gamma]-[\gamma,\gamma]
$$
であるので、
$$
\int_{\partial c}f(z)dz=\int_{[\alpha,\beta]}f(z)dz+\int_{[\beta,\gamma]}f(z)dz+\int_{[\gamma,\alpha]}f(z)dz=\int_{\partial\Delta(\alpha,\beta,\gamma)}f(z)dz
$$
である。$c^*=K$ を含む開集合 $\Omega\backslash \{p\}$ 上で定義された $\mathbb{R}^2$ の $1$ 階微分形式
$$
f_1dx_1-f_2dx_2,\quad f_2dx_1+f_1dx_2
$$
は $C^1$ 級であり、外微分の定義（[[ベクトル解析2：微分形式]]の'''定義9.5'''）とCauchy-Riemannの関係式（'''定理1.6'''）より、
$$
d(f_1dx_1-f_2dx_2)=-\left(\frac{\partial f_2}{\partial x_1}+\frac{\partial f_1}{\partial x_2}\right)dx_1\wedge dx_2=0,
$$
$$
d(f_2dx_1+f_1dx_2)=\left(-\frac{\partial f_2}{\partial x_2}+\frac{\partial f_1}{\partial x_1}\right)dx_1\wedge dx_2=0
$$
であるから、Stokesの定理（[[ベクトル解析6：Stokesの定理]]の'''定理25.7'''）より、
$$
\int_{\partial c}(f_1dx_1-f_2dx_2)=\int_{c}d(f_1dx_1-f_2dx_2)=0,
$$
$$
\int_{\partial c}(f_2dx_1+f_1dx_2)=\int_{c}d(f_2dx_1+f_1dx_2)=0
$$
である。ゆえに、
$$
\int_{\partial\Delta(\alpha,\beta,\gamma)}f(z)dz=\int_{\partial c}f(z)dz=
\int_{\partial c}(f_1dx_1-f_2dx_2)+i\int_{\partial c}(f_2dx_1+f_1dx_2)=0
$$
であるから $(*)$ が成り立つ。
*$(2)$　$p$ が三角形 $K$ の頂点にある場合を示す。$p=\alpha$ であるとして示せば十分である。任意の $\epsilon\in (0,1)$ を取り、
$$
\beta'\colon=\alpha+\epsilon(\beta-\alpha),\quad \gamma'\colon=\alpha+\epsilon(\gamma-\alpha)
$$
を定義する。このとき、
$$
\partial\Delta(\alpha,\beta,\gamma)=\partial\Delta(\alpha,\beta',\gamma')+\partial\Delta(\beta',\beta,\gamma')+\partial\Delta(\beta,\gamma,\gamma')
$$
であるから、
$$
\int_{\partial\Delta(\alpha,\beta,\gamma)}f(z)dz=
\int_{\partial\Delta(\alpha,\beta',\gamma')}f(z)dz+\int_{\partial\Delta(\beta',\beta,\gamma)}f(z)dz+\int_{\partial\Delta(\beta,\gamma,\gamma')}f(z)dz
$$
である。$(1)$ より右辺の第二項と第三項は $0$ なので、
$$
\int_{\partial\Delta(\alpha,\beta,\gamma)}f(z)dz=\int_{\partial\Delta(\alpha,\beta',\gamma')}f(z)dz
$$
である。よって'''命題3.5'''より、
$$
\begin{aligned}
\left\lvert\int_{\partial\Delta(\alpha,\beta,\gamma)}f(z)dz\right\rvert
&=\left\lvert \int_{\partial\Delta(\alpha,\beta',\gamma')}f(z)dz\right\rvert
\leq \underset{z\in K}{\rm max}\lvert f(z)\rvert\ell(\partial\Delta(\alpha,\beta',\gamma'))\\
&=\underset{z\in K}{\rm max}\lvert f(z)\rvert\left(\lvert\alpha-\beta'\rvert+\lvert\beta'-\gamma'\rvert+\lvert \alpha-\gamma'\rvert\right)\\
&=\epsilon\text{ }\underset{z\in K}{\rm max}\lvert f(z)\rvert\left(\lvert\alpha-\beta\rvert+\lvert\beta-\gamma\rvert+\lvert \alpha-\gamma\rvert\right)
\end{aligned}
$$
である。ここで $\epsilon\in(0,\infty)$ は任意であるので $(*)$ が成り立つ。
*$(3)$　$p$ が三角形 $K$ の辺上にある場合を示す。$p\in [\alpha,\beta]^*$ の場合を示せば十分である。このとき、
$$
\partial\Delta(\alpha,\beta,\gamma)=\partial\Delta(\alpha,p,\gamma)+\partial\Delta(p,\beta,\gamma)
$$
であるから、
$$
\int_{\partial\Delta(\alpha,\beta,\gamma)}f(z)dz=\int_{\partial\Delta(\alpha,p,\gamma)}f(z)dz+\int_{\partial\Delta(p,\beta,\gamma)}f(z)dz
$$
であり、$(2)$ より右辺の項はいずれも $0$ である。よって $(*)$ が成り立つ。
*$(4)$　$p$ が三角形 $K$ の内部にある場合を示す。このとき、
$$
\partial\Delta(\alpha,\beta,\gamma)=
\partial\Delta(\alpha,\beta,p)+\partial\Delta(\beta,\gamma,p)+\partial(\gamma,\alpha,p)
$$
であるから、
$$
\int_{\partial\Delta(\alpha,\beta,\gamma)}f(z)dz=
\int_{\partial\Delta(\alpha,\beta,p)}f(z)dz+\int_{\partial¥Delta(\beta,\gamma,p)}f(z)dz+\int_{\partial(\gamma,\alpha,p)}f(z)dz
$$
である。$(2)$ より右辺の項はいずれも $0$ であるから $(*)$ が成り立つ。
{{end|proof|}}

== 5. サイクルの回転数 ==

=== 命題5.1（複素線積分の基本命題） ===
$\mathbb{C}$ 内の曲線の和 $c$ と任意の連続関数 $f\colon c^*\rightarrow\mathbb{C}$ に対し、
$$
\mathbb{C}\backslash c^*\ni z\mapsto \int_{c}\frac{f(w)}{w-z}dw\in \mathbb{C}\quad\quad(*)
$$
は何回でも複素微分可能であり、任意の $a\in \mathbb{C}\backslash c^*$ と、
$$
B(a,r)=\{z\in \mathbb{C}:\lvert z-a\rvert<r\}\subset \mathbb{C}\backslash c^*\quad\quad(**)
$$
なる任意の $r\in (0,\infty)$ に対し、
$$
\int_{c}\frac{f(w)}{w-z}dw=\sum_{n\in\mathbb{Z}_+}\left(\int_{c}\frac{f(w)}{(w-a)^{n+1}}dw\right)(z-a)^n\quad(\forall z\in B(a,r))\quad\quad(***)
$$
が成り立つ。
{{begin |proof }}
'''定理2.5'''より冪級数関数は何回でも複素微分可能であるので $(**)$ を満たす任意の $a\in \mathbb{C}\backslash c^*$ と $r\in (0,\infty)$ に対し $(***)$ が成り立つことを示せば十分である。任意の $z\in B(a,r)$ を取り固定する。任意の $w\in c^*$ に対し $\lvert w-a\rvert\geq r$ であるから、
$$
\frac{\lvert z-a\rvert}{\lvert w-a\rvert}<1\quad(\forall w\in c^*)
$$
である。よって任意の $w\in c^*$ に対し $\sum_{n\in\mathbb{Z}_+}\frac{(z-a)^n}{(w-a)^{n+1}}$ は絶対収束し、
$$
\frac{1}{w-z}=\sum_{n\in\mathbb{Z}_+}\frac{(z-a)^n}{(w-a)^{n+1}}\quad(\forall w\in c^*)\quad\quad(****)
$$
である。$c^*$ はコンパクトであるから $\underset{w\in c^*}{\rm max}\frac{\lvert z-a\rvert}{\lvert w-a\rvert}$ が存在するので、$(****)$ の右辺は $c^*$ 上一様収束する（（[[距離空間の位相の基本的性質]])の'''命題8.5'''）。よって'''命題3.5'''より、
$$
\int_{c}\frac{f(w)}{w-z}dw=\int_{c}f(w)\sum_{n\in\mathbb{Z}_+}\frac{(z-a)^n}{(w-a)^{n+1}}dw
=\sum_{n\in\mathbb{Z}_+}\left(\int_{c}\frac{f(w)}{(w-a)^{n+1}}dw\right)(z-a)^n
$$
であるから $(***)$ が成り立つ。
{{end|proof|}}

=== 定義5.2（サイクルの回転数） ===
$\mathbb{C}$ の任意のサイクル（'''定義3.1'''）$c$ と任意の $z\in\mathbb{C}\backslash c^*$ に対し、
$$
{\rm Ind}_c(z)\colon=\frac{1}{2\pi i}\int_{c}\frac{dw}{w-z}
$$
を $c$ の $z$ における回転数と言う。次の'''命題5.3'''より ${\rm Ind}_c(z)$ は整数である。

=== 命題5.3（サイクルの回転数の基本性質） ===
$\mathbb{C}$ の任意のサイクル $c$ に対し次が成り立つ。
*$(1)$　任意の $z\in \mathbb{C}\backslash c^*$ に対し $c$ の $z$ における回転数 ${\rm Ind}_c(z)$ は整数である。
*$(2)$　任意の $n\in \mathbb{Z}$ に対し $\{z\in \mathbb{C}\backslash c^*\colon{\rm Ind}_c(z)=n\}$ は $\mathbb{C}\backslash c^*$ の開かつ閉の集合である。
*$(3)$　任意の連結集合 $C\subset \mathbb{C}\backslash c^*$ に対し ${\rm Ind}_c(C)$ は一点集合である。
*$(4)$　十分大きい $R\in (0,\infty)$ を取れば $\lvert z\rvert\geq R$ を満たす任意の $z\in \mathbb{C}$ に対し ${\rm Ind}_c(z)=0$ である。
{{begin |proof }}
*$(1)$　サイクルは閉路の和である（'''定義3.1'''）から $c$ は閉路であるとして示せば十分である。そして適当にパラメータ変換することにより　$c$　はある有界閉区間　$[a,b]$　上で定義された区分的に　$C^1$　級の連続関数<ref>$[a,b]$ を有限個の閉区間に分割すると各閉区間上で $C^1$ 級であるような連続関数。</ref>で $c(a)=c(b)$ なるものであるとしてよい。任意の $z\in \mathbb{C}\backslash c^*$ を取り固定する。ある $a=t_0<t_1<\ldots<t_n=b$ に対し $c$ は各 $[t_{k-1},t_k]$ $(k=1,\ldots,n)$ 上で $C^1$ 級であり、
$$
\int_{c}\frac{dw}{w-z}=\sum_{k=1}^{n}\int_{t_{k-1}}^{t_k}\frac{c'(t)}{c(t)-z}dt
=\int_{a}^{b}\frac{c'(t)}{c(t)-z}dt
$$
である。<ref>$\int_{a}^{b}\frac{c'(t)}{c(t)-z}dt$ の被積分関数における $c'(t)$ の $t=t_1,\ldots,t_n$ における値は積分に関係しないので、適当に定める</ref>。そこで、
$$
f(t)\colon=\int_{a}^{t}\frac{c'(s)}{c(s)-z}ds\quad(\forall t\in [a,b])
$$
とおく。このとき $f\colon[a,b]\ni t\mapsto f(t)\in \mathbb{C}$ は連続関数であり、各 $(t_{k-1},t_k)$ $(k=1,\ldots,n)$ 上で微分可能で、
$$
f'(t)=\frac{c'(t)}{c(t)-z}\quad(\forall t\in (t_{k-1},t_k),\text{ }k=1,\ldots,n)
$$
である。よって、
$$
g(t)\colon=\frac{\exp(f(t))}{c(t)-z}\quad(\forall t\in [a,b])
$$
とおくと、$g\colon[a,b]\rightarrow\mathbb{C}$ は連続関数であり、各 $(t_{k-1},t_k)$ $(k=1,\ldots,n)$ 上で微分可能で、
$$
g'(t)=\frac{c'(t)}{(c(t)-z)^2}\exp(f(t))-\frac{c'(t)}{(c(t)-z)^2}\exp(f(t))=0\quad(\forall t\in (t_{k-1},t_k),\text{ }k=1,\ldots,n)
$$
である。よって平均値の定理より、
$$
g(b)=g(t_n)=g(t_{n-1})=\ldots=g(t_0)=g(a)
$$
であり、$c(a)=c(b)$ であることと合わせると $\exp(f(a))=\exp(f(b))$ を得る。よって
$$
\exp\left(\int_{c}\frac{dw}{w-z}\right)=\exp(f(b))=\exp(f(a))=\exp(0)=1
$$
であるから、
$$
{\rm Ind}_c(z)=\frac{1}{2\pi i}\int_{c}\frac{dw}{w-z}\in \mathbb{Z}
$$
が成り立つ。
$(2)$　'''命題5.1'''より、
$$
{\rm Ind}_c\colon\mathbb{C}\backslash c^*\ni z\mapsto \frac{1}{2\pi i}\int_{c}\frac{dw}{w-z}\in \mathbb{C}\quad\quad(*)
$$
は連続関数であり、$(1)$ より任意の $n\in\mathbb{Z}$ に対し、
$$
\{z\in \mathbb{C}\backslash c^*:{\rm Ind}_c(z)=n\}=\{z\in \mathbb{C}\backslash c^*:n-1<{\rm Ind}_c(z)<n+1\}
$$
である。よって $\{z\in \mathbb{C}\backslash c^*:{\rm Ind}_c(z)=n\}$ は $\mathbb{C}\backslash c^*$ の開かつ閉の集合である。
*$(3)$　$(*)$ は連続関数であるから連結集合 $C\subset \mathbb{C}\backslash c^*$ に対し ${\rm Ind}_c(C)$ は連結である。よって $(1)$ より ${\rm Ind}_c(C)$ は一点集合である。
*$(4)$　$c$ の跡 $c^*$ はコンパクトであるから十分大きい $R_0\in (0,\infty)$ を取れば、
$$
z\in c^*\quad\Rightarrow\quad \lvert z\rvert\leq R_0
$$
となる。$\lvert z\rvert>R_0$ を満たす任意の $z\in \mathbb{C}$ と任意の $w\in c^*$ に対し、
$$
\lvert w-z\rvert\geq \lvert z\rvert-\lvert w\rvert\geq \lvert z\rvert-R_0
$$
であるから、
$$
\frac{1}{\lvert z-w\rvert}\leq\frac{1}{\lvert z\rvert-R_0}
$$
である。よって'''命題3.5'''より、
$$
z\in \mathbb{C},\quad \lvert z\rvert>R_0\quad\Rightarrow\quad \lvert {\rm Ind}_c(z)\rvert
=\left\lvert \frac{1}{2\pi i}\int_{c}\frac{dw}{w-z}\right\rvert
\leq\frac{\ell(c)}{2\pi}\frac{1}{\lvert z\rvert-R_0}
$$
である。これより十分大きい $R\in (R_0,\infty)$ を取れば、
$$
z\in \mathbb{C},\quad \lvert z\rvert>R\quad\Rightarrow\quad \lvert {\rm Ind}_c(z)\rvert<\frac{\ell(c)}{2\pi}\frac{1}{R-R_0}<1
$$
となる。$(1)$ よりこれは、
$$
z\in\mathbb{C},\quad \lvert z\rvert>R\quad\Rightarrow\quad \lvert {\rm Ind}_c(z)\rvert=0
$$
を意味する。
{{end|proof|}}

=== 命題5.4（反時計周りの円周閉路の回転数） ===
任意の $\alpha\in\mathbb{C}$ と $r\in (0,\infty)$ に対し、
$$
c:[0,2\pi]\ni \theta\mapsto \alpha+re^{i\theta}\in \{z\in \mathbb{C}:\lvert z-\alpha\rvert=r\}
$$
なる閉路の回転数は、
$$
{\rm Ind}_c(z)=\left\{\begin{array}{cl}1&(\lvert z-\alpha\rvert<r)\\
0&(\lvert z-\alpha\rvert>r)\end{array}\right.
$$
を満たす。
{{begin |proof }}
$B(a,r)=\{z\in \mathbb{C}:\lvert z-\alpha\rvert<r\}\subset \mathbb{C}\backslash c^*$ は連結であるから'''命題5.3'''の $(3)$ より任意の $z\in B(\alpha,r)$ に対し、
$$
{\rm Ind}_c(z)={\rm Ind}_c(\alpha)=\frac{1}{2\pi i}\int_{0}^{2\pi}\frac{c'(\theta)}{c(\theta)-\alpha}d\theta
=\frac{1}{2\pi i}\int_{0}^{2\pi}\frac{ire^{i\theta}}{re^{i\theta}}d\theta=1
$$
である。また $\{z\in \mathbb{C}:\lvert z-\alpha\rvert>r\}\subset \mathbb{C}\backslash c^*$ は非有界な連結集合であるから'''命題5.3'''の $(3),(4)$ より $\lvert z-a\rvert>r$ なる任意の $z\in \mathbb{C}$ に対し ${\rm Ind}_c(z)=0$ である。
{{end|proof|}}

=== 定義5.5（反時計周りの円周閉路に沿った複素線積分の表記） ===
任意の $\alpha\in \mathbb{C}$ と $r\in (0,\infty)$ に対し閉路
$$
c\colon[0,2\pi]\ni \theta\mapsto \alpha+re^{i\theta}\in \{z\in \mathbb{C}:\lvert z-\alpha\rvert=r\}
$$
なる閉路上の複素線積分を、
$$
\int_{\partial B(\alpha,r)}f(z)dz:=\int_{c}f(z)dz
$$
と表す。

=== 命題5.6（凸開集合におけるCauchyの積分公式） ===
$\Omega\subset \mathbb{C}$ を凸開集合、$f\colon\Omega\rightarrow\mathbb{C}$ を正則関数とする。このとき $\Omega$ に含まれる任意のサイクル $c$ と任意の $z\in \Omega\backslash c^*$ に対し、
$$
\frac{1}{2\pi i}\int_{c}\frac{f(w)}{w-z}dw=f(z){\rm Ind}_c(z)
$$
が成り立つ。
{{begin |proof }}
任意の $z\in \Omega\backslash c^*$ に対し $g\colon\Omega\rightarrow\mathbb{C}$ を、
$$
g(w)\colon=\left\{\begin{array}{cl}\frac{f(w)-f(z)}{w-z}&(w\neq z)\\
f'(w)&(w=z)\end{array}\right.
$$
と定義すると $g$ は連続関数であり $\Omega\backslash \{z\}$ 上で正則関数である。よって'''定理4.7'''より、
$$
\frac{1}{2\pi i}\int_{c}\frac{f(w)}{w-z}dw-f(z){\rm Ind}_c(z)=
\frac{1}{2\pi i}\int_{c}\frac{f(w)-f(z)}{w-z}dw=
\int_{c}g(w)dw=0
$$
である。
{{end|proof|}}

== 6. 正則関数の解析性、Liouvilleの定理、一致の定理 ==

=== 定理6.1（正則関数の解析性） ===
$\Omega\subset \mathbb{C}$ を開集合、$f\colon\Omega\rightarrow\mathbb{C}$ を正則関数とする。このとき $f$ は $\Omega$ 上で何回でも複素微分可能であり、$\Omega$ に含まれる $\mathbb{C}$ の任意の開球
$$
B(a,R)=\{z\in \mathbb{C}:\lvert z-a\rvert<R\}\subset \Omega
$$
に対し、
$$
f(z)=\sum_{n\in\mathbb{Z}_+}\frac{f^{(n)}(a)}{n!}(z-a)^n\quad(\forall z\in B(a,R))\quad\quad(*)
$$
が成り立つ。また、
$$
\lvert f^{(n)}(a)\rvert\leq \frac{n!}{R^n}\sup_{z\in B(a,R)}\lvert f(z)\rvert\quad(\forall n\in\mathbb{Z}_+)\quad\quad(**)
$$
が成り立つ。
{{begin |proof }}
$\Omega$ に含まれる $\mathbb{C}$ の任意の開球 $B(a,R)$ と任意の $r\in (0,R)$ を取る。$f$ が $\Omega$ 上で何回でも複素微分可能であることを示すには $B(a,r)$ 上で $f$ が何回でも複素微分可能であることを示せば十分である。$a$ を中心とする半径 $r$ の円周に沿った反時計回りの円周閉路は $B(a,R)$ に含まれるから、凸開集合におけるCauchyの積分公式（'''命題5.6'''）と'''命題5.4'''より、
$$
f(z)={\rm Ind}_{\partial B(a,r)}(z)f(z)=\frac{1}{2\pi i}\int_{\partial B(a,r)}\frac{f(w)}{w-z}dw\quad(\forall z\in B(a,r))\quad\quad(***)
$$
が成り立つ。任意の $z\in B(a,r)$ に対し、
$$
\frac{\lvert z-a\rvert}{\lvert w-a\rvert}<1\quad(\forall w\in \partial B(a,r))
$$
であるから、絶対収束で、
$$
\frac{1}{w-z}=\sum_{n\in\mathbb{Z}_+}\frac{(z-a)^n}{(w-a)^{n+1}}\quad(\forall w\in \partial B(a,r))
$$
であり、右辺は $\partial B(a,r)$ 上で一様収束する。よって'''命題3.5'''より、
$$
f(z)=\frac{1}{2\pi i}\int_{\partial B(a,r)}\frac{f(w)}{w-z}dw=
\sum_{n\in\mathbb{Z}_+}\left(\frac{1}{2\pi i}\int_{\partial B(a,r)}\frac{f(w)}{(w-a)^{n+1}}dw\right)(z-a)^n\quad(\forall z\in B(a,r))\quad\quad(****)
$$
が成り立つ。冪級数関数は何回でも複素微分可能である（'''定理2.5'''）から $f$ は $B(a,r)$ 上（したがって $\Omega$ 上）で何回でも複素微分可能である。そして'''定理2.5'''と $(****)$ より、
$$
\frac{f^{(n)}(a)}{n!}=\frac{1}{2\pi i}\int_{\partial B(a,r)}\frac{f(w)}{(w-a)^{n+1}}dw\quad(\forall n\in\mathbb{Z}_+)\quad\quad(*****)
$$
であり、
$$
f(z)=\sum_{n\in\mathbb{Z}_+}\frac{f^{(n)}(a)}{n!}(z-a)^n\quad(\forall z\in B(a,r))\quad\quad(******)
$$
である。ここで $(******)$ と $r\in (0,R)$ の任意性より $(*)$ が成り立つ。また $(*****)$ より任意の $n\in\mathbb{Z}_+$ に対し、
$$
\begin{aligned}
\lvert f^{(n)}(a)\rvert&=\frac{n!}{2\pi}\left\lvert \int_{\partial B(a,r)}\frac{f(w)}{(w-a)^{n+1}}dw\right\rvert\leq \frac{n!}{2\pi}\int_{0}^{2\pi}\left\lvert\frac{f(a+re^{i\theta})}{r^{n+1}}ire^{i\theta}\right\rvert d\theta\\
&\leq \frac{n!}{2\pi}\sup_{z\in B(a,R)}\lvert f(z)\rvert \frac{2\pi}{r^n}=\frac{n!}{r^n}\sup_{z\in B(a,R)}\lvert f(z)\rvert
\end{aligned}
$$
であり、$r\in (0,R)$ は任意であるから $(**)$ が成り立つ。
{{end|proof|}}

=== 系6.2（Moreraの定理） ===
$\Omega\subset \mathbb{C}$ を凸開集合、$f\colon\Omega\rightarrow\mathbb{C}$ を連続関数とする。もし任意の $\alpha,\beta,\gamma\in\Omega$ に対し、
$$
\int_{\partial\Delta(\alpha,\beta,\gamma)}f(z)dz=0
$$
が成り立つならば $f$ は正則関数である。
{{begin |proof }}
'''命題4.6'''より $f$ は原始関数 $F\colon\Omega\rightarrow\mathbb{C}$ を持つ。このとき $F$ は正則関数であるから'''定理6.1'''より何回でも複素微分可能である。よって $f=F'$ は何回でも複素微分可能であるので正則関数である。
{{end|proof|}}

=== 定義6.3（整関数） ===
$\mathbb{C}$ 上で定義された正則関数を整関数と言う。

=== 定理6.4（Liouvilleの定理） ===
有界な整関数は定数関数である。
{{begin |proof }}
$f\colon\mathbb{C}\rightarrow\mathbb{C}$ を有界な整関数とする。'''定理6.1'''の $(*)$ より、
$$
f(z)=\sum_{n\in\mathbb{Z}_+}\frac{f^{(n)}(0)}{n!}z^n\quad(\forall z\in \mathbb{C})
$$
が成り立つ。また'''定理6.1'''の $(**)$ より任意の $n\in\mathbb{N}$ に対し、
$$
\lvert f^{(n)}(0)\rvert\leq \frac{n!}{R^n}\sup_{z\in \mathbb{C}}\lvert f(z)\rvert\quad(\forall R\in (0,\infty))
$$
であり $f$ は有界であるから $f^{(n)}(0)=0$ である。よって $f(z)=f(0)$ $(\forall z\in \mathbb{C})$ であるから $f$ は定数関数である。
{{end|proof|}}

=== 補題6.5 ===
$\Omega\subset\mathbb{C}$ を連結開集合、$f\colon\Omega\rightarrow\mathbb{C}$ を正則関数とする。もしある $a\in \Omega$ に対し $f^{(n)}(a)=0$ $(\forall n\in\mathbb{Z}_+)$ が成り立つならば $f(z)=0$ $(\forall z\in \Omega)$ が成り立つ。
{{begin |proof }}
$$
U\colon=\bigcap_{n\in\mathbb{Z}_+}\{z\in \Omega:f^{(n)}(z)=0\}\neq\emptyset
$$
とおく。各 $f^{(n)}$ は連続であるから $U$ は $\Omega$ の閉集合である。また任意の $a\in U$ に対し $B(a,r)=\{z\in \mathbb{C}:\lvert z-a\rvert<r\}\subset\Omega$ なる $r\in (0,\infty)$ を取ると、'''定理6.1'''より、
$$
f(z)=\sum_{n\in\mathbb{Z}_+}\frac{f^{(n)}(a)}{n!}(z-a)^n=0\quad(\forall z\in B(a,r))
$$
であるから $B(a,r)\subset U$ である。よって $U$ は $\Omega$ の開集合でもある。ゆえに $\Omega$ の連結性より $\Omega=U$ であるから $f(z)=0$ $(\forall z\in \Omega)$ である。
{{end|proof|}}

=== 定理6.6（一致の定理） ===
$\Omega\subset \mathbb{C}$ を連結開集合、$f,g\colon\Omega\rightarrow\mathbb{C}$ を正則関数とする。そして次を満たすような $\Omega$ の点列 $(z_n)_{n\in\mathbb{N}}$ と $a\in \Omega$ が存在すると仮定する。
*$(1)$　任意の $n\in\mathbb{N}$ に対し $f(z_n)=g(z_n)$.
*$(2)$　$\lim_{n\rightarrow\infty}z_n=a$.
*$(3)$　任意の $n\in \mathbb{N}$ に対し $z_n\neq a$.

このとき $f(z)=g(z)$ $(\forall z\in \Omega)$ が成り立つ。
{{begin |proof }}
$h=f-g\colon\Omega\rightarrow\mathbb{C}$ とおく。'''補題6.5'''より $h^{(n)}(a)=0$ $(\forall n\in\mathbb{Z}_+)$ が成り立つことを示せばよい。そこで $h^{(n)}(a)\neq0$ なる $n\in\mathbb{Z}_+$ が存在すると仮定して矛盾を導く。$h^{(n)}(a)\neq0$ なる $n\in \mathbb{Z}_+$ で最小のものを $m$ とおく。$(1),(2)$ より $h^{(0)}(a)=h(a)=0$ であるから $m\geq1$ である。'''定理6.1'''より $B(a,r)=\{z\in \mathbb{C}:\lvert z-a\rvert<r\}\subset \Omega$ なる $r\in (0,\infty)$ を取れば、
$$
h(z)=\sum_{n\in \mathbb{Z}_+}\frac{h^{(n)}(a)}{n!}(z-a)^n=\sum_{n\geq m}\frac{h^{(n)}(a)}{n!}(z-a)^n\quad(\forall z\in B(a,r))
$$
と表される。そこで $k\colon\Omega\rightarrow\mathbb{C}$ を、
$$
k(z)\colon=\left\{\begin{array}{cl}\frac{h(z)}{(z-a)^m}&(z\neq a)\\
\frac{h^{(m)}(a)}{m!}&(z=a)\end{array}\right.
$$
として定義すると、
$$
k(z)=\sum_{n\geq m}\frac{h^{(n)}(a)}{n!}(z-a)^{n-m}\quad(\forall z\in B(a,r))
$$
であるから $k$ は正則関数である。$(1),(3)$ より、
$$
k(z_n)=\frac{h(z_n)}{(z_n-a)^m}=0\quad(\forall n\in\mathbb{N})
$$
であるから $(2)$ より、
$$
\frac{h^{(m)}(a)}{m!}=k(a)=\lim_{n\rightarrow\infty}k(z_n)=0
$$
である。よって $h^{(m)}(a)\neq0$ に矛盾する。
{{end|proof|}}

== 7. Cauchyの積分公式とCauchyの積分定理 ==

=== 補題7.1 ===
$c$ を $\mathbb{C}$ 内の曲線の和とし、$K\subset \mathbb{C}$ をコンパクト集合とする。そして $f\colon K\times c^*\rightarrow\mathbb{C}$ を連続関数とする。このとき、
$$
K\ni z\mapsto \int_{c}f(z,w)dw\in \mathbb{C}\quad\quad(*)
$$
は連続である。
{{begin |proof }}
$K\times c^*$ はコンパクトであるから $f\colon K\times c^*\rightarrow\mathbb{C}$ は一様連続（[[距離空間の位相の基本的性質]]の'''定理7.3'''）である。また'''命題3.5'''より任意の $z_1,z_2\in K$ に対し、
$$
\left\lvert \int_{c}f(z_1,w)dw-\int_{c}f(z_2,w)dw\right\rvert
=\left\lvert\int_{c}(f(z_1,w)-f(z_2,w))dw\right\rvert
\leq \ell(c)\underset{w\in c^*}{\rm max}\lvert f(z_1,w)-f(z_2,w)\rvert
$$
である。よって $(*)$ は連続である。
{{end|proof|}}

=== 補題7.2（二重複素線積分の順序の入れ替え） ===
$c_1,c_2$ をそれぞれ $\mathbb{C}$ 内の曲線の和とし、$f\colon c_1^*\times c_2^*\rightarrow\mathbb{C}$ を連続関数とする。このとき、
$$
c_1^*\ni z\mapsto\int_{c_2}f(z,w)dw\in \mathbb{C},\quad\quad(*)
$$
$$
c_2^*\ni w\mapsto \int_{c_1}f(z,w)dz\in \mathbb{C}\quad\quad(**)
$$
はそれぞれ連続関数であり、
$$
\int_{c_1}\left(\int_{c_2}f(z,w)dw\right)dz=\int_{c_2}\left(\int_{c_1}f(z,w)dz\right)dw\quad\quad(***)
$$
が成り立つ。
{{begin |proof }}
$(*), (**)$ が連続関数であることは'''補題7.1'''による。今、任意の連続関数 $\varphi_k\colon c_k^*\rightarrow\mathbb{C}$ $(k=1,2)$ に対し、
$$
\varphi_1\otimes\varphi_2\colon c_1^*\times c_2^*\ni (z,w)\mapsto \varphi_1(z)\varphi_2(w)\in\mathbb{C}
$$
なる連続関数を定義し、このような連続関数の線形結合全体
$$
\text{span}\{\varphi_1\otimes\varphi_2\colon \varphi_k:c_k^*\rightarrow\mathbb{C}\text{ } (k=1,2)\text{ は連続関数 }\}\subset C(c_1^*\times c_2^*)\quad\quad(****)
$$
を考える。$(***)$ は $(****)$ の元に対しては明らかに成り立つ。そしてUrysohnの補題（[[測度と積分7：局所コンパクトHausdorff空間上のRadon測度]]の'''定理27.6'''）とStone-Weierstrassの定理（[[測度と積分7：局所コンパクトHausdorff空間上のRadon測度]]の'''定理35.4'''）より $(****)$ は $C(c_1^*\times c_2^*)$ において稠密である。よって'''命題3.5'''より $(***)$ は任意の $f\in C(c_1^*\times c_2^*)$ に対して成り立つ。
{{end|proof|}}

=== 補題7.3 ===
$\Omega\subset \mathbb{C}$ を開集合、$f\colon\Omega\rightarrow\mathbb{C}$ を正則関数とする。そして $g\colon\Omega\times\Omega\rightarrow\mathbb{C}$ を、
$$
g(z,w)\colon=\left\{\begin{array}{cl}\frac{f(w)-f(z)}{w-z}&(z\neq w)\\f'(z)&(z=w)\end{array}\right.
$$
と定義する。このとき $g$ は連続関数である。
{{begin |proof }}
$z\neq w$ なる任意の $(z,w)\in \Omega\times \Omega$ において $g$ が連続であることは明らかである。そこで任意の $z_0\in\Omega$ を取り $(z_0,z_0)\in\Omega\times \Omega$ において $g$ が連続であることを示す。$f$ は正則なので $f$ の複素導関数 $f'\colon\Omega\rightarrow\mathbb{C}$ は連続である。よって任意の $\epsilon\in (0,\infty)$ に対し $z_0$ を中心とする $\mathbb{C}$ の開球
$$
B(z_0,\delta)\colon=\{z\in \mathbb{C}:\lvert z-z_0\rvert<\delta\}\subset \Omega
$$
が存在し、
$$
\lvert f'(z)-f'(z_0)\rvert\leq\epsilon\quad(\forall z\in B(z_0,\delta))\quad\quad(*)
$$
が成り立つ。任意の $z,w\in B(z_0,\delta)$ に対し微積分学の基本定理より、
$$
g(z,w)=\int_{0}^{1}f'(w+t(z-w))dt
$$
であるから、
$$
g(z,w)-g(z_0,z_0)=\int_{0}^{1}\left(f'(w+t(z-w))-f'(z_0)\right)dt
$$
である。そして $B(z_0,\delta)$ は凸集合なので $w+t(z-w)\in B(z_0,\delta)$ $(\forall t\in [0,1])$ であるから $(*)$ より、
$$
\lvert g(z,w)-g(z_0,z_0)\rvert\leq \int_{0}^{1}\lvert f'(w+t(z-w))-f'(z_0)\rvert dt\leq\epsilon
$$
である。よって $g$ は $(z_0,z_0)\in\Omega\times \Omega$において連続である。
{{end|proof|}}

=== 定理7.4（Cauchyの積分公式） ===
$\Omega\subset \mathbb{C}$ を開集合、$c$ を $\Omega$ に含まれるサイクルとし、回転数（'''定義5.2'''）について、
$$
{\rm Ind}_c(z)=0\quad(\forall z\in \mathbb{C}\backslash \Omega)\quad\quad(*)
$$
が成り立つと仮定する。このとき任意の正則関数 $f:\Omega\rightarrow\mathbb{C}$ に対し、
$$
\frac{1}{2\pi i}\int_{c}\frac{f(w)}{w-z}dw=f(z){\rm Ind}_c(z)\quad(\forall z\in \Omega\backslash c^*)\quad\quad(**)
$$
が成り立つ。
{{begin |proof }}
$g\colon\Omega\times \Omega\rightarrow\mathbb{C}$ を、
$$
g(z,w)\colon=\left\{\begin{array}{cl}\frac{f(w)-f(z)}{w-z}&(z\neq w)\\f'(z)&(z=w)\end{array}\right.
$$
と定義すると、'''補題7.3'''より $g$は連続関数である。よって $h\colon\Omega\rightarrow\mathbb{C}$ を、
$$
h(z):=\int_{c}g(z,w)dw\quad(\forall z\in \Omega)
$$
と定義すると、'''補題7.1'''より $h$ は連続関数である。
$$
h(z)=\int_{c}\frac{f(w)-f(z)}{w-z}dw=\int_{c}\frac{f(w)}{w-z}dw-2\pi if(z){\rm Ind}_c(z)\quad(\forall z\in \Omega\backslash c^*)
$$
であるから、$(**)$ を示すには $h(z)=0$ $(\forall z\in \Omega)$ であることを示せばよい。まず $h\colon\Omega\rightarrow\mathbb{C}$ が正則関数であることを示す。そのためにはMoreraの定理（'''系6.2'''）より $\Omega$ に含まれる任意の凸開集合 $U$ と任意の $\alpha,\beta,\gamma\in U$ を取り、
$$
\int_{\partial\Delta(\alpha,\beta,\gamma)}h(z)dz=0\quad\quad(***)
$$
が成り立つことを示せばよい。'''補題7.2'''より、
$$
\int_{\partial\Delta(\alpha,\beta,\gamma)}h(z)dz=\int_{\partial\Delta(\alpha,\beta,\gamma)}\left(\int_{c}g(z,w)dw\right)dz
=\int_{c}\left(\int_{\partial\Delta(\alpha,\beta,\gamma)}g(z,w)dz\right)dw\quad\quad(****)
$$
である。そして任意の $w\in c^*$ に対し連続関数 $U\ni z\mapsto g(z,w)\in \mathbb{C}$ は $U\backslash \{w\}$ において正則関数であるから、'''定理4.7'''より、
$$
\int_{\partial\Delta(\alpha,\beta,\gamma)}g(z,w)dz=0\quad(\forall w\in c^*)
$$
である。よって $(****)$ より $(***)$ は成り立つので、$h\colon\Omega\rightarrow\mathbb{C}$ は正則関数である。今、
$$
\Omega_1\colon=\{z\in \mathbb{C}\backslash c^*: {\rm Ind}_c(z)=0\}
$$
とおき、
$$
h_1\colon\Omega_1\ni z\mapsto \int_{c}\frac{f(w)}{w-z}dw\in \mathbb{C}
$$
とおく。'''命題5.3'''の $(2)$ より $\Omega_1$ は開集合であり、'''命題5.1'''より $h_1$ は正則関数である。そして $(*)$ より $\mathbb{C}=\Omega\cup\Omega_1$ であり、任意の $z\in \Omega\cap \Omega_1$ に対し、
$$
h(z)=\int_{c}\frac{f(w)-f(z)}{w-z}dw=\int_{c}\frac{f(w)}{w-z}dw-2\pi if(z){\rm Ind}_c(z)=h_1(z)
$$
であるから、
$$
\widetilde{h}(z)\colon=\left\{\begin{array}{cl}h(z)&(z\in \Omega)\\h_1(z)&(z\in \Omega_1)\end{array}\right.
$$
として整関数 $\widetilde{h}\colon\mathbb{C}\rightarrow\mathbb{C}$ が定義できる。'''命題5.3'''の $(4)$ より十分大きい $R\in (0,\infty)$ を取れば $\lvert z\rvert>R$ を満たす任意の $z\in \mathbb{C}$ に対し $z\in \Omega_1$ であり、'''命題3.5'''より、
$$
\lvert \widetilde{h}(z)\rvert=\lvert h_1(z)\rvert\leq \ell(c)\underset{w\in c^*}{\rm max}\left\lvert \frac{f(w)}{w-z}\right\rvert\leq \ell(c)\underset{w\in c^*}{\rm max}\lvert f(w)\rvert\frac{1}{\lvert z\rvert-R}
$$
である。よって $\lim_{\lvert z\rvert\rightarrow\infty}\lvert \widetilde{h}(z)\rvert=0$ であるからLiouvilleの定理（'''定理6.4'''）より $\widetilde{h}(z)=0$ $(\forall z\in \mathbb{C})$ が成り立つ。ゆえに $h(z)=\widetilde{h}(z)=0$ $(\forall z\in \Omega)$ であるから $(**)$ が成り立つ。
{{end|proof|}}

=== 系7.5（Cauchyの積分定理） ===
$\Omega\subset \mathbb{C}$ を開集合、$c$ を $\Omega$ に含まれるサイクルとし、回転数について、
$$
{\rm Ind}_c(z)=0\quad(\forall z\in \mathbb{C}\backslash \Omega)
$$
が成り立つと仮定する。このとき任意の正則関数 $f:\Omega\rightarrow\mathbb{C}$ に対し、
$$
\int_{c}f(z)dz=0\quad\quad(*)
$$
が成り立つ。
{{begin |proof }}
任意の $z\in \Omega\backslash c^*$ を取り固定する。$F\colon\Omega\ni w\mapsto f(w)(w-z)\in \mathbb{C}$ は正則関数であるからCauchyの積分公式より、
$$
\frac{1}{2\pi i}\int_{c}f(w)dw=\frac{1}{2\pi i}\int_{c}\frac{F(w)}{w-z}dw={\rm Ind}_c(z)F(z)=0
$$
である。よって $(*)$ が成り立つ。
{{end|proof|}}

=== 注意7.6 ===
凸開集合 $\Omega\subset \mathbb{C}$ と、$\Omega$ に含まれる任意のサイクル $c$ を取る。このとき任意の $z\in \mathbb{C}\backslash \Omega$ に対し、
$$
\Omega\ni w\mapsto \frac{1}{w-z}\in \mathbb{C}
$$
は正則関数であるから、'''定理4.7'''より、
$$
{\rm Ind}_c(z)=\frac{1}{2\pi i}\int_{c}\frac{dw}{w-z}=0
$$
である。ゆえに'''定理7.4'''のCauchyの積分公式は、凸開集合におけるCauchyの積分公式（'''命題4.7'''）の拡張である。

== 8. Laurant展開、留数定理 ==

=== 定理8.1（Laurant展開） ===
$\Omega\subset \mathbb{C}$ を開集合、$a\in \Omega$ とし、$f\colon\Omega\backslash\{a\}\rightarrow\mathbb{C}$ を正則関数とする。
$$
\overline{B(a,R)}=\{z\in\mathbb{C}:\lvert z-a\rvert\leq R\}\subset \Omega
$$
なる $R\in (0,\infty)$ を取る。このとき、
$$
f(z)=\sum_{n\in \mathbb{Z}_+}c_n(z-a)^n+\sum_{n\in \mathbb{N}}\frac{c_{-n}}{(z-a)^n}\quad(\forall z\in B(a,R)\backslash \{a\})\quad\quad(*)
$$
（ただし右辺の二項はそれぞれ収束し、$B(a,R)=\{z\in \mathbb{C}:\lvert z-a\rvert<R\}$ である）を満たす複素数列 $(c_n)_{n\in \mathbb{Z}}$ が唯一つ存在する。そしてそれは、
$$
c_n=\frac{1}{2\pi i}\int_{\partial B(a,R)}\frac{f(w)}{(w-a)^{n+1}}dw\quad(\forall n\in \mathbb{Z})\quad\quad(**)
$$
（ただし右辺は反時計周りの円周閉路に沿った複素線積分（'''定義5.5'''））と表される。
{{begin |proof }}
まず $(*)$ を満たす複素数列 $(c_n)_{n\in \mathbb{Z}}$ の一意性を示す。そのためには複素数列 $(d_n)_{n\in \mathbb{Z}}$ が、
$$
\sum_{n\in \mathbb{Z}_+}d_n(z-a)^n+\sum_{n\in \mathbb{N}}\frac{d_{-n}}{(z-a)^n}=0\quad(\forall B(a,R)\backslash \{a\})
$$
（左辺の二項はそれぞれ収束する）を満たすとして $d_n=0$ $(\forall n\in \mathbb{Z})$ が成り立つことを示せばよい。任意の $z\in B(a,R)\backslash \{a\}$ に対し、
$$
\sum_{n\in \mathbb{N}}\frac{d_{-n}}{(z-a)^n}
$$
は収束し、$\lim_{\lvert z-a\rvert\rightarrow +0}\frac{1}{\lvert z-a\rvert}=\infty$ であるから'''命題2.2'''より $(d_{-n})_{n\in \mathbb{N}}$ を係数とする冪級数の収束半径は $\infty$ である。そこで正則関数 $g:B(a,R)\rightarrow\mathbb{C}$ と整関数 $h:\mathbb{C}\rightarrow\mathbb{C}$ を、
$$
g(z)\colon=\sum_{n\in \mathbb{Z}_+}d_{n}(z-a)^n\quad(\forall z\in B(a,R)),
$$
$$
h(w)\colon=\sum_{n\in \mathbb{N}}d_{-n}w^n\quad(\forall w\in \mathbb{C})
$$
として定義する。$r\in (0,R)$ を取る。$\overline{B(a,r)}$、$\overline{CB(0,r^{-1})}$ はコンパクトであるから、
$$
\lvert g(z)\rvert\leq M\quad(\forall z\in \overline{B(a,r)}),\quad
\lvert h(w)\rvert\leq M\quad(\forall w\in \overline{B(0,r^{-1})})
$$
を満たす $M\in (0,\infty)$ が存在する。$\lvert w\rvert\geq r^{-1}$ を満たす任意の $w\in \mathbb{C}$ に対し、
$$
w=\frac{1}{z-a}
$$
なる $z\in \overline{B(a,r)}$ が取れ、$h(w)=-g(z)$ であるので、
$$
\lvert h(w)\rvert=\lvert g(z)\rvert\leq M
$$
である。よって $h\colon\mathbb{C}\rightarrow \mathbb{C}$ は有界な整関数であるからLiouvilleの定理（'''定理6.4'''）より $h(w)=h(0)=0$ $(\forall w\in \mathbb{C})$ である。ゆえに $d_{-n}=0$ $(\forall n\in \mathbb{N})$ が成り立ち、
$$
g(z)=h\left(\frac{1}{z-a}\right)=0\quad(\forall z\in B(a,R)\backslash \{a\})
$$
であるから $d_n=0$ $(\forall n\in \mathbb{Z}_+)$ が成り立つ。これで $(*)$ を満たす複素数列 $(c_n)_{n\in \mathbb{Z}}$ の一意性が示せた。~
$(**)$ なる $(c_n)_{n\in \mathbb{Z}}$ に対し $(*)$ が成り立つことを示す。任意の $z\in B(a,R)\backslash\{a\}$ を取り固定する。$0<r<\lvert z-a\rvert<R$ を満たす $r$ を取る。このとき反時計周りの円周閉路 $\partial B(a,R)$ と時計回りの円周閉路 $-\partial B(a,r)$ の和としてのサイクル $c:=\partial B(a,R)-\partial B(a,r)$ は $\Omega\backslash \{a\}$ に含まれ、'''命題5.4'''より、
$$
{\rm Ind}_c(w)=0\quad(\forall w\in \mathbb{C}\backslash(\Omega\backslash \{a\}) ),\quad {\rm Ind}_c(z)=1
$$
である。よってCauchyの積分公式（'''定理7.4'''）より、
$$
f(z)=\frac{1}{2\pi i}\int_{c}\frac{f(w)}{w-z}dw=\frac{1}{2\pi i}\int_{\partial B(a,R)}\frac{f(w)}{w-z}dw-\frac{1}{2\pi i}\int_{\partial B(a,r)}\frac{f(w)}{w-z}dw\quad\quad(***)
$$
が成り立つ。
$$
\frac{\lvert z-a\rvert}{\lvert w-a\rvert}=\frac{\lvert z-a\rvert}{R}<1\quad(w\in \partial B(a,r))
$$
であるから、
$$
\frac{1}{w-z}=\sum_{n\in \mathbb{Z}_+}\frac{(z-a)^n}{(w-a)^{n+1}}\quad(\forall w\in \partial B(a,r))
$$
であり、右辺は $w\in \partial B(a,r)$ に関して一様収束する。よって'''命題3.5'''より、
$$
\frac{1}{2\pi i}\int_{\partial B(a,R)}\frac{f(w)}{w-z}dw=
\sum_{n\in \mathbb{Z}_+}\left(\frac{1}{2\pi i}\int_{\partial B(a,R)}\frac{f(w)}{(w-a)^{n+1}}dw\right)(z-a)^n\quad\quad(****)
$$
である。また、
$$
\frac{\lvert w-a\rvert}{\lvert z-a\rvert}=\frac{r}{\lvert z-a\rvert}<1\quad(\forall w\in \partial B(a,r))
$$
であるから、
$$-\frac{1}{w-z}=\sum_{n\in \mathbb{Z}_+}\frac{(w-a)^n}{(z-a)^{n+1}}\quad(\forall w\in \partial B(a,r))
$$
であり、右辺は$w\in \partial B(a,r)$に関して一様収束する。よって、
$$
\begin{aligned}-\frac{1}{2\pi i}\int_{\partial B(a,r)}\frac{f(w)}{w-z}dw
&=\sum_{n\in \mathbb{Z}_+}\left(\frac{1}{2\pi i}\int_{\partial B(a,r)}f(w)(w-a)^ndw\right)\frac{1}{(z-a)^{n+1}}\\
&=\sum_{n\in\mathbb{N}}\left(\frac{1}{2\pi i}\int_{\partial B(a,r)}\frac{f(w)}{(w-a)^{-n+1}}dw\right)\frac{1}{(z-a)^n}\quad\quad(*****)
\end{aligned}
$$
である。任意の $n\in \mathbb{N}$ に対し正則関数 $\Omega\backslash \{a\}\ni w\mapsto \frac{f(w)}{(w-a)^{-n+1}}\in \mathbb{C}$ とサイクル $c=\partial B(a,R)-\partial B(a,r)$ に対しCauchyの積分定理（'''系7.5'''）を適用すると、
$$
0=\int_{c}\frac{f(w)}{(w-a)^{-n+1}}dw=\int_{\partial B(a,R)}\frac{f(w)}{(w-a)^{-n+1}}dw-\int_{\partial B(a,r)}\frac{f(w)}{(w-a)^{-n+1}}dw
$$
となるから $(*****)$ より、
$$-\frac{1}{2\pi i}\int_{\partial B(a,r)}\frac{f(w)}{w-z}dw=\sum_{n\in\mathbb{N}}\left(\frac{1}{2\pi i}\int_{\partial B(a,R)}\frac{f(w)}{(w-a)^{-n+1}}dw\right)\frac{1}{(z-a)^n}\quad\quad(******)
$$
である。よって $(***),(****), (*****)$ より、
$$
f(z)=\sum_{n\in\mathbb{Z}_+}\left(\frac{1}{2\pi i}\int_{\partial B(a,R)}\frac{f(w)}{(w-a)^{n+1}}dw\right)(z-a)^n+\sum_{n\in\mathbb{N}}\left(\frac{1}{2\pi i}\int_{\partial B(a,R)}\frac{f(w)}{(w-a)^{-n+1}}dw\right)\frac{1}{(z-a)^n}
$$
である。
{{end|proof|}}

=== 定義8.2（特異点の主要部、留数） ===
$\Omega\subset \mathbb{C}$ を開集合、$a\in \Omega$ とし、$f\colon\Omega\backslash \{a\}\rightarrow\mathbb{C}$ を正則関数とする。このとき複素数列 $(c_n)_{n\in \mathbb{Z}}$ で、
$$
\{z\in \mathbb{C}:\lvert z-a\rvert\leq R\}\subset \Omega
$$
なる任意の $R\in (0,\infty)$ に対し、
$$
f(z)=\sum_{n\in \mathbb{Z}_+}c_n(z-a)^n+\sum_{n\in \mathbb{N}}\frac{c_{-n}}{(z-a)^n}\quad(\forall z\in \mathbb{C}:0<\lvert z-a\rvert<R )
$$
を満たすようなものが定まる。任意の $z\in B(a,R)\backslash \{a\}$ に対し、
$$
\sum_{n\in \mathbb{N}}\frac{c_{-n}}{(z-a)^{n}}
$$
は収束し、$\lim_{\lvert z-a\rvert\rightarrow+0}\frac{1}{\lvert z-a\rvert}=\infty$ であるから、'''命題2.2'''より $(c_{-n})_{n\in \mathbb{N}}$ を係数とする冪級数の収束半径は $\infty$ である。
そこで正則関数
$$
\mathbb{C}\backslash \{a\}\ni z\mapsto \sum_{n\in \mathbb{N}}\frac{c_{-n}}{(z-a)^{n}}\in \mathbb{C}
$$
を $f$ の $a$ における主要部と言う。また $c_{-1}$ を $f$ の $a$ における留数と言い、
$$
{\rm Res}(f,a)\colon=c_{-1}
$$
と表す。'''定理8.1'''より、
$$
{\rm Res}(f,a)=\int_{\partial B(a,R)}f(z)dz
$$
である。

=== 補題8.3 ===
$\Omega\subset \mathbb{C}$ を開集合、$a\in \Omega$ とし、$f\colon\Omega\backslash \{a\}\rightarrow \mathbb{C}$ を正則関数とする。そして $f$ の $a$ における主要部を、
$$
p\colon\mathbb{C}\backslash\{a\}\ni z\mapsto \sum_{n\in \mathbb{N}}\frac{c_{-n}}{(z-a)^n}\in\mathbb{C}
$$
とする。このとき、
*$(1)$　$f-p\colon\Omega\backslash \{a\}\ni z\mapsto f(z)-p(z)\in \mathbb{C}$ は $\Omega$ 上の正則関数に拡張できる。
*$(2)$　$\Omega\backslash \{a\}$ に含まれる任意のサイクル $c$（'''定義3.1'''）に対し、
$$
\frac{1}{2\pi i}\int_{c}p(z)dz={\rm Res}(f,a){\rm Ind}_c(a)
$$
が成り立つ。
{{begin |proof}}
*$(1)$　$\overline{B(a,R)}=\{z\in \mathbb{C}:\lvert z-a\rvert\leq R\}\subset \Omega$ なる $R\in (0,\infty)$ を取れば、'''定理8.1'''よりある複素数列 $(c_n)_{n\in \mathbb{Z}_+}$ に対し、
$$
f(z)-p(z)=\sum_{n\in \mathbb{Z}_+}c_n(z-a)^n\quad(\forall z\in B(a,R)\backslash \{a\})
$$
と表せる。$B(a,R)\ni z\mapsto \sum_{n\in \mathbb{Z}_+}c_n(z-a)^n\in \mathbb{C}$ は正則関数であるから $f-p:\Omega\backslash \{a\}\rightarrow\mathbb{C}$ は $\Omega$ 上の正則関数に拡張できる。
*$(2)$
$$
\sum_{n\in \mathbb{N}}\frac{c_{-n}}{(z-a)^n}
$$
はコンパクト集合 $c^*\subset \Omega\backslash \{a\}$ 上で一様収束するから'''命題3.5'''より、
$$
\int_{c}p(z)dz=\sum_{n\in \mathbb{N}}c_{-n}\int_c\frac{dz}{(z-a)^n}
$$
が成り立つ。任意の $n\geq2$ に対し、
$$
\mathbb{C}\backslash \{a\}\ni z\mapsto \frac{1}{(z-a)^n}\in\mathbb{C}
$$
は原始関数を持つので、'''命題3.6'''より、
$$
\int_{c}\frac{dz}{(z-a)^n}=0\quad(\forall n\geq2)
$$
である。よって $(*)$ より、
$$
\frac{1}{2\pi i}\int_{c}p(z)dz=c_{-1}\frac{1}{2\pi i}\int_{c}\frac{dz}{z-a}={\rm Res}(f,a){\rm Ind}_c(a)
$$
である。
{{end|proof|}}

=== 定理8.4（留数定理） ===
$\Omega\subset \mathbb{C}$ を開集合、$a_1,\ldots,a_n\in \Omega$ を互いに異なる有限個の点とし、$f\colon\Omega\backslash \{a_1,\ldots,a_n\}\rightarrow \mathbb{C}$ を正則関数とする。そして $c$ を $\Omega\backslash\{a_1,\ldots,a_n\}$ に含まれるサイクル（'''定義3.1'''）で、
$$
{\rm Ind}_c(z)=0\quad(\forall z\in \mathbb{C}\backslash \Omega)
$$
を満たすものとする。このとき、
$$
\frac{1}{2\pi i}\int_{c}f(z)dz=\sum_{k=1}^{n}{\rm Res}(f,a_k){\rm Ind}_c(a_k)
$$
が成り立つ。
{{begin |proof }}
$f$ の $a_1,\ldots,a_n$ における主要部をそれぞれ、
$$
p_k\colon\mathbb{C}\backslash \{a_k\}\rightarrow\mathbb{C}\quad(k=1,\ldots,n)
$$
とおく。'''補題8.3'''の $(1)$ より、
$$
f-\sum_{k=1}^{n}p_k\colon\Omega\backslash \{a_1,\ldots,a_n\}\ni z\mapsto f(z)-\sum_{k=1}^{n}p_k(z)\in \mathbb{C}
$$
は $\Omega$ 上の正則関数に拡張できる。よってCauchyの積分定理（'''系7.5'''）より、
$$
\int_{c}f(z)dz-\sum_{k=1}^{n}\int_{c}p_k(z)dz=
\int_{c}f(z)-\sum_{k=1}^{n}p_k(z)dz=
0
$$
であるから、'''補題8.3'''の $(2)$ より、
$$
\frac{1}{2\pi i}\int_{c}f(z)dz=\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{2\pi i}\int_{c}p_k(z)dz
=\sum_{k=1}^{n}{\rm Res}(f,a_k){\rm Ind}_c(a_k)
$$
である。
{{end|proof|}}

== 9. 複素Banach空間値正則関数の特徴付け ==

=== 命題9.1 ===
$B$ を $\mathbb{C}$ 上のBanach空間とし、曲線 $c_k\colon I_k\rightarrow \mathbb{C}$ $(k=1,\ldots,n)$ の和、$c=c_1+\ldots+c_n$ と、その跡 $c^*=c_1(I_1)\cup\ldots\cup c_n(I_n)$（'''定義3.1'''）上で定義された $B$ 値連続関数 $f\colon c^*\rightarrow B$ を考える。このとき $I_c(f)\in B$ で、
$$
\varphi\left(I_c(f)\right)=\int_{c}\varphi(f(z))dz\quad(\forall \varphi\in B^*)
$$
を満たすものが唯一つ存在する。そして、
$$
I_c(f)=\sum_{k=1}^{n}\int_{I_k}f(c_k(t))c_k'(t)dt\quad\quad(*)
$$
であり<ref>ただし $\int_{I_k}f(c_k(t) )c_k'(t)dt$ は連続関数 $I_k\ni t\mapsto f(c_k(t) )c_k'(t)dt\in B$ のRiemann積分（[[合成積とFourier変換]]の21を参照）であり、Lebesgue測度に関するBochner積分（[[測度と積分9：Bochner積分]]の'''定義44.1'''）である。</ref>、
$$
\lVert I_c(f)\rVert\leq \ell(c)\underset{z\in c^*}{\rm max}\lVert f(z)\rVert\quad\quad(**)
$$
が成り立つ。ただし $\ell(c)$ は $c$ の長さ（'''定義3.4'''）である。
{{begin |proof}}
一意性はノルム空間の第二双対空間への埋め込みの単射性（[[位相線形空間3：Hahn-Banachの定理とKrein-Milmanの端点定理]]の'''定義12.1'''を参照）による。存在と $(*)$ は'''注意3.3'''より、
$$
\begin{aligned}
\int_c\varphi(f(z))dz=
\sum_{k=1}^{n}\int_{I_k}\varphi(f(c_k(t)))c_k'(t)dt=\varphi\left(\sum_{k=1}^{n}\int_{I_k}f(c_k(t))c_k'(t)dt\right)\quad(\forall \varphi\in B^*)
\end{aligned}
$$
であることによる。
$$
\left\lVert I_c(f)\right\rVert=\left\lVert \sum_{k=1}^{n}\int_{I_k}f(c_k(t))c_k'(t)dt\right\rVert
\leq \sum_{k=1}^{n}\int_{I_k}\lVert f(c_k(t))\lvert c_k'(t)\rvert dt
\leq {\rm max}_{z\in c^*}\lVert f(z)\rVert \ell(c)
$$
であるから $(**)$ が成り立つ。
{{end|proof|}}

=== 定義9.2（複素Banach空間値関数の複素線積分） ===
$B$ を $\mathbb{C}$ 上のBanach空間とする。$\mathbb{C}$ 内の曲線の和 $c$ と、その跡 $c^*$ 上で定義された連続関数 $f\colon c^*\rightarrow B$ に対し、'''命題9.1'''における $I_c(f)\in B$ を $f$ の $c$ 上での複素線積分と言い、
$$
I_c(f)\colon=\int_{c}f(z)dz
$$
と表す。

=== 注意9.3（有界線形作用素としてのBanach空間値複素線積分） ===
'''命題9.1'''より、
$$
\varphi\left(\int_{c}f(z)dz\right)=\int_{c}\varphi(f(z))dz\quad(\forall \varphi\in B^*)
$$
であり、
$$
C(c^*,B)\ni f\mapsto \int_{c}f(z)dz\in B
$$
は、作用素ノルムが $\ell(c)$ 以下の有界線形作用素である。ここで $C(c^*,B)$ はコンパクト空間 $c^*$ 上で定義された $B$ 値連続関数全体に $\sup$ ノルムを入れたBanach空間である。

=== 定理9.4（複素Banach空間値正則関数の特徴付け） ===
$\Omega\subset \mathbb{C}$ を開集合とし、$B$ を $\mathbb{C}$ 上のBanach空間とする。連続関数 $f\colon\Omega\rightarrow B$ に対し次は互いに同値である。
*$(1)$　$f$ はBanach空間値正則関数（'''定義1.4'''）である、
*$(2)$　任意の $\varphi\in B^*$ に対し $\varphi\circ f\colon\Omega\ni z\mapsto \varphi(f(z))\in \mathbb{C}$ は正則関数である。
*$(3)$　$\Omega$ に含まれるサイクル $c$（'''定義3.1'''）で ${\rm Ind}_c(z)=0$ $(\forall z\in \mathbb{C}\backslash \Omega)$ を満たすものに対し、
$$
{\rm Ind}_c(z)f(z)=\frac{1}{2\pi i}\int_{c}\frac{f(w)}{w-z}dw\quad(\forall z\in \Omega\backslash c^*)\quad\quad(*)
$$
が成り立つ。
*$(4)$　$f$ は（$B$ のノルムに関して）何回でも複素微分可能である。そして $\Omega$ に含まれる任意の $\mathbb{C}$ の開球 $B(a,R)=\{z\in \mathbb{C}:\lvert z-a\rvert<R\}\subset \Omega$ に対し、
$$
f(z)=\sum_{n\in\mathbb{Z}_+}\frac{f^{(n)}(a)}{n!}(z-a)^n\quad(\forall z\in B(a,R))\quad\quad(**)
$$
が成り立つ。
{{begin |proof }}
$(1)\Rightarrow(2)$、$(4)\Rightarrow(1)$ は自明である。 
$(2)$ が成り立つとするとCauchyの積分公式（'''定理7.4'''）より、
$$
{\rm Ind}_c(z)\varphi(f(z))=\frac{1}{2\pi i}\int_{c}\frac{\varphi(f(w))}{w-z}dw
=\varphi\left(\frac{1}{2\pi i}\int_{c}\frac{f(w)}{w-z}dw\right)\quad(\forall z\in \Omega\backslash c^*,\forall \varphi\in B^*)
$$
であるからノルム空間の第二双対空間への埋め込みの単射性（[[位相線形空間3：Hahn-Banachの定理とKrein-Milmanの端点定理]]の'''定義12.1'''を参照）よ
り $(*)$ が成り立つ。よって $(2)\Rightarrow(3)$ が成り立つ。 
$(3)$ が成り立つとして $(4)$ が成り立つことを示す。任意の $r\in (0,R)$ を取る。$f\colon\Omega\rightarrow B$ が何回でも複素微分可能であることを示すには $B(a,r)=\{z\in \mathbb{C}:\lvert z-a\rvert<r\}\subset\Omega$ 上で $f$ が何回でも複素微分可能であることを示せば十分である。任意の $z\in B(a,r)$ に対し反時計周りの円周閉路 $\partial B(a,r)$ に対し、
$$
f(z)={\rm Ind}_{\partial B(a,r)}(z)f(z)=\frac{1}{2\pi i}\int_{\partial B(a,r)}\frac{f(w)}{w-z}dw
$$
であり、
$$
\frac{\lvert z-a\rvert}{\lvert w-a\rvert}<1\quad(\forall w\in \partial B(a,r))
$$
であるから、
$$
\frac{f(w)}{w-z}=\sum_{n\in \mathbb{Z}_+}\frac{f(w)}{(w-a)^{n+1}}(z-a)^n\quad(\forall w\in \partial B(a,r))
$$
である。そして右辺は一様収束するから'''注意9.3'''より、
$$
f(z)=\frac{1}{2\pi i}\int_{\partial B(a,r)}\frac{f(w)}{w-z}dw
=\sum_{n\in \mathbb{Z}_+}\left(\frac{1}{2\pi i}\int_{\partial B(a,r)}\frac{f(w)}{(w-a)^{n+1}}dw\right)(z-a)^n
$$
が成り立つ。'''定理2.5'''より冪級数関数は何回でも複素微分可能であるから $f$ は何回でも複素微分可能であり、
$$
f(z)=\sum_{n\in \mathbb{Z}_+}\frac{f^{(n)}(a)}{n!}(z-a)^n\quad(\forall z\in B(a,r))
$$
が成り立つ。$r\in (0,R)$ は任意であるから $(**)$ が成り立つ。よって $(3)\Rightarrow(4)$ が成り立つ。
{{end|proof|}}

=== 注意9.5（複素Banach空間値正則関数の解析性、Liouvilleの定理、一致の定理、Cauchyの積分公式、Cauchyの積分定理、Laurant展開、留数定理） ===
'''定理9.4'''より複素Banach空間値正則関数は普通の正則関数と同様に解析性（'''定理6.1'''に相当）を持つ。したがって複素Banach空間値整関数（$\mathbb{C}$ 上で定義された複素Banach空間値正則関数）に対するLiouvilleの定理（'''定理6.4'''に相当）、連結開集合上で定義された複素Banach空間値正則関数に対する一致の定理（'''定理6.6'''に相当）が成り立つ。 
また'''定理9.4'''より複素Banach空間値正則関数に対してCauchyの積分公式（'''定理7.4'''に相当）が成り立つことから、Cauchyの積分定理（'''定理7.5'''に相当）も成り立ち、Laurant展開（'''定理8.1'''に相当）、留数定理（'''定理8.4'''に相当）も成り立つ。

== 関連項目 ==
* [[Banach環とC*-環のスペクトル理論]]
* [[Hilbert空間上の作用素論]]

== 脚注 ==

ベクトル解析6：Stokesの定理

2026-04-04T12:00:46Z

Kataoka: /* 定理23.3（Stokesの定理） */

この章では、微分形式によるStokesの定理について述べる。またStokesの定理の系として、Gaussの発散定理や古典的なStokesの定理について述べる。
<noinclude>
{{TOC |align=right |noautonum=1 }}
'''[[ベクトル解析]]'''
* [[ベクトル解析1：Euclid空間内の多様体上の関数の微分]]
* [[ベクトル解析2：微分形式]]
* [[ベクトル解析3：Euclid空間内の多様体の計量]]
* [[ベクトル解析4：Euclid空間内の多様体上の測度と積分]]
* [[ベクトル解析5：多様体の向き]]
* '''ベクトル解析6：Stokesの定理'''
</noinclude>
== 23. Stokesの定理 ==

=== 定義23.1（向き付けられた $n$ 次元多様体上の $n$ 階微分形式の積分） ===
$M$ をEuclid空間内の向き付けられた $n$ 次元多様体とし、$E\subset M$ をBorel集合、$\omega=(\omega_p)_{p\in E}$ を $E$ 上で定義された $M$ の $n$ 階微分形式とする。このとき $M$ の体積要素 $\Omega_M$（'''定義19.8'''）に対し、
$$
\omega_p=f(p)\Omega_{M,p}\quad(\forall p\in E)
$$
なる関数 $f\colon E\rightarrow \mathbb{R}$が定まる。$f$ が $M$ のRiemann測度 $\mu_M\colon \mathcal{B}_M\rightarrow [0,\infty]$（'''定義16.6'''）に関して可積分であるとき $\omega$ の積分を、
$$
\int_{E}\omega\colon=\int_{E}f(p)d\mu_M(p)
$$
として定義する。

=== 注意23.2 ===
$E\subset \mathbb{R}^N$ をBorel集合、$f\colon E\rightarrow \mathbb{R}$ をBorel関数とする。$E$ 上で定義された $\mathbb{R}^N$ の $N$ 階微分形式 $\star f\colon=(\star f(p))_{p\in E}$ は $\mathbb{R}^N$ の標準座標 $(x_1,\ldots,x_N)$ に対し、
$$
\star f=fdx_1\wedge \ldots\wedge dx_N
$$
と表される。標準座標 $(x_1,\ldots,x_N)$ は $\mathbb{R}^N$ の正の向きの局所座標であるから $dx_1\wedge \ldots\wedge dx_N$ は $\mathbb{R}^N$ の体積要素である。よって $f:E\rightarrow \mathbb{R}$ がLebesgue測度（$\mathbb{R}^N$ のRiemann測度はLebesgue測度である）に関して可積分であるとき、
$$
\int_{E}\star f=\int_{E}f(x)dx
$$
である。

=== 定理23.3（Stokesの定理） ===
$M$ をEuclid空間内の向き付けられた $n$ 次元多様体、$D\subset M$ を滑らかな境界を持つ開集合（'''定義21.3'''）とし、$\overline{D}\subset M$ はコンパクトであるとする。このとき $M$ の $n-1$ 階 $C^1$ 級微分形式 $\omega$ に対し、
$$
\int_{D}d\omega=\int_{\partial D}\iota_{\partial D}^*\omega\quad\quad(*)
$$
が成り立つ。ただし $\iota_{\partial D}^*\omega$ は $C^\infty$ 級関数 $\iota_{\partial D}\colon \partial D\ni p\mapsto p\in M$ による $\omega$ の引き戻し（'''定義9.8'''）であり、$\partial D$ には $M$ の向きに整合する向き（'''定義21.6'''）が入っているものとする。
{{begin |proof }}
'''補題21.4'''より正の向きの直方体局所座標からなる $M$ のアトラス $\mathcal{A}$ で、$U\cap\partial D\neq\emptyset$ なる任意の $(U,\varphi)\in\mathcal{A}$ に対し、
$$
\varphi(U\cap\partial D)=\varphi(U)\cap (\mathbb{R}^{n-1}\times \{0\}),\quad
\varphi(U\cap D)=\varphi(U)\cap (\mathbb{R}^{n-1}\times(0,\infty))\quad\quad(**)
$$
を満たすものが取れる。$\overline{D}$ はコンパクトであるから有限個の $(U_1,\varphi_1),\ldots,(U_m,\varphi_m)\in \mathcal{A}$で、
$$
\overline{D}\subset \bigcup_{i=1}^{m}U_i
$$
なるものが取れ、$1$ の有限分割（'''系15.6'''）より $h_1,\ldots,h_m\in C_{c,+}^{\infty}(M)$ で、
$$
\text{supp}(h_i)\subset U_i\quad(i=1,\ldots,m),\quad \sum_{i=1}^{m}h_i(p)=1\quad(\forall p\in \overline{D})
$$
を満たすものが取れる。このとき、
$$
\int_{D}d\omega=\int_{D}d\left(\sum_{i=1}^{m}h_i\omega\right)
=\sum_{i=1}^{m}\int_{D}d(h_i\omega),
$$
$$
\int_{\partial D}\iota_{\partial D}^*\omega=\int_{\partial D}\iota_{\partial D}^*\left(\sum_{i=1}^{m}h_i\omega\right)=\sum_{i=1}^{m}\int_{\partial D}\iota_{\partial D}^*(h_i\omega)
$$
であるから $(*)$ を示すには任意の $i\in \{1,\ldots,m\}$ に対し、
$$
\int_{D}d(h_i\omega)=\int_{\partial D}\iota_{\partial D}^*(h_i\omega)
$$
が成り立つことを示せばよい。よって最初から $\omega$ はある $(U,\varphi;x_1,\ldots,x_n)\in \mathcal{A}$ に対し、
$$
\text{supp}(\omega)=\overline{\{p\in M:\omega_p\neq0\}}\subset U
$$
を満たし、$\text{supp}(\omega)$ はコンパクトであると仮定して $(*)$ を示せば十分である。
$$
\omega_p=\sum_{k=1}^{n}(-1)^{k-1}f_k(p)(dx_{1,p}\wedge \ldots\wedge \widehat{dx_{k,p}}\wedge\ldots\wedge dx_{n,p})\quad(\forall p\in U)\quad\quad(***)
$$
（$\widehat{dx_{k,p}}$ は $dx_{k,p}$ を飛ばすことを意味する）として $f_1,\ldots,f_n\in C^1_{c,\mathbb{R}}(U)$ を定義する。このとき外微分の定義（'''定義9.5'''）と体積要素の定義（'''定義19.8'''）より、
$$
d\omega_p=\sum_{k=1}^{m}\frac{\partial f_k}{\partial x_k}(p)(dx_{1,p}\wedge \ldots\wedge dx_{n,p})=\left(\sum_{k=1}^{n}\frac{\partial f_k}{\partial x_k}(p)\frac{1}{\sqrt{G_{(U,x_1,\ldots,x_n)}(p)}}\right)\Omega_{M,p}
$$
である。$\varphi(U)\subset \mathbb{R}^n$ は開直方体であり $\varphi(\text{supp}(\omega))$ は $\varphi(U)$ のコンパクト集合であるから、
$$
\varphi(\text{supp}(f_k))\subset\varphi(\text{supp}(\omega))\subset \prod_{i=1}^{n}(a_i,b_i)\subset \prod_{i=1}^{n}[a_i,b_i]\subset \varphi(U)\quad(k=1,\ldots,n)\quad\quad(****)
$$
なる閉直方体 $\prod_{i=1}^{n}[a_i,b_i]$ が取れる。 $\varphi(U)$ は連結ゆえ $U$ も連結であるから、
$$
U\subset D,\quad U\subset M\backslash \overline{D},\quad U\cap \partial D\neq\emptyset
$$
のうちのいずれかが成り立つ。
*$(1)$　$U\subset D$ の場合。 $\text{supp}(\omega)\subset U$であることと $(***)$、および微分形式の積分の定義（''定義23.1''）より、
$$
\int_{D}d\omega=\int_{U}d\omega=\sum_{k=1}^{n}\int_{U}\frac{\partial f_k}{\partial x_k}(p)\frac{1}{\sqrt{G_{(U,x_1,\ldots,x_n)}(p)}}d\mu_M(p)
$$
であり、Riemann測度の定義（'''定義16.6'''）と $(****)$ より各 $k\in\{1,\ldots,n\}$ に対し、
$$
\begin{aligned}
&\int_{U}\frac{\partial f_k}{\partial x_k}(p)\frac{1}{\sqrt{G_{(U,x_1,\ldots,x_n)}(p)}}d\mu_M(p)
=\int_{\varphi(U)}\partial_k(f_k\circ\varphi^{-1})(x)dx\\
&=\int_{\prod_{i=1}^{n}[a_i,b_i]}\partial_k(f_k\circ\varphi^{-1})(x_1,\ldots,x_n)dx_1\ldots dx_n
\end{aligned}
$$
である。$(****)$ より、
$$
\begin{aligned}
&(f_k\circ\varphi^{-1})(x_1,\ldots,a_k,\ldots,x_n)=0,\\
&(f_k\circ\varphi^{-1})(x_1,\ldots,b_k,\ldots,x_n)=0
\end{aligned}
$$
であるからFubiniの定理（[[測度と積分3：測度論の基本定理(1)]]の'''定理14.5'''）と微積分学の基本定理より、
$$
\int_{\prod_{i=1}^{n}[a_i,b_i]}\partial_k(f_k\circ\varphi^{-1})(x_1,\ldots,x_n)dx_1\ldots dx_n=0
$$
である。よって、
$$
\int_{D}d\omega=\sum_{k=1}^{n}\int_{\prod_{i=1}^{n}[a_i,b_i]}\partial_k(f_k\circ\varphi^{-1})(x_1,\ldots,x_n)dx_1\ldots dx_n=0
$$
である。一方、$\text{supp}(\omega)\subset U\subset D$ より、
$$
(\iota_{\partial D}^*\omega)_p=0\quad(\forall p\in \partial D)
$$
である。よって、
$$
\int_{D}d\omega=0=\int_{\partial D}\iota_{\partial D}^*\omega
$$
である。
*$(2)$　$U\subset M\backslash \overline{D}$ の場合。$\text{supp}(\omega)\subset U$ より $\text{supp}(\omega)\cap D=\emptyset$, $\text{supp}(\omega)\cap \partial D=\emptyset$ であるから、
$$
\omega_p=0\quad(\forall p\in D),\quad (\iota_{\partial D}^*\omega)_p=0\quad(\forall p\in \partial D)
$$
である。よって、
$$
\int_{D}d\omega=0=\int_{\partial D}\iota_{\partial D}^*\omega
$$
である。
*$(3)$　$U\cap\partial D\neq\emptyset$ の場合。このとき $(U,\varphi;x_1,\ldots,x_n)$ は $(**)$ を満たす。$\text{supp}(\omega)\subset U$ であることと微分形式の積分の定義（'''定義23.1'''）より、
$$
\int_{D}d\omega=\int_{U\cap D}d\omega=\sum_{k=1}^{n}\int_{U\cap D}\frac{\partial f_k}{\partial x_k}(p)\frac{1}{\sqrt{G_{(U,x_1,\ldots,x_n)}(p)}}d\mu_M(p)
$$
であり、Riemann測度の定義（'''定義16.6'''）と $(**)$, $(****)$ より各 $k\in \{1,\ldots,n \}$ に対し、
$$
\begin{aligned}
&\int_{U\cap D}\frac{\partial f_k}{\partial x_k}(p)\frac{1}{\sqrt{G_{(U,x_1,\ldots,x_n)}(p)}}d\mu_M(p)
=\int_{\varphi(U\cap D)}\partial_k(f_k\circ\varphi^{-1})(x_1,\ldots,x_n)dx_1\ldots dx_n\\
&=\int_{\prod_{i=1}^{n-1}[a_i,b_i]\times [0,b_n]}\partial_k(f_k\circ\varphi^{-1})(x_1,\ldots,x_n)dx_1\ldots dx_n
\end{aligned}
$$
である。Fubiniの定理、微積分学の基本定理より上式の右辺は $k=1\ldots,n-1$ の場合は $0$ であり、$k=n$ の場合、
$$-\int_{\prod_{i=1}^{n-1}[a_i,b_i]}(f_n\circ\varphi^{-1})(x_1,\ldots,x_{n-1},0)dx_\ldots dx_{n-1}
$$
である。よって、
$$
\begin{aligned}
\int_{D}d\omega&=\sum_{k=1}^{n}\int_{\prod_{i=1}^{n-1}[a_i,b_i]\times [0,b_n]}\partial_k(f_k\circ\varphi^{-1})(x_1,\ldots,x_n)dx_1\ldots dx_n\\
&=-\int_{\prod_{i=1}^{n-1}[a_i,b_i]}(f_n\circ\varphi^{-1})(x_1,\ldots,x_{n-1},0)dx_1\ldots dx_{n-1}
\end{aligned}
$$
である。一方、$\text{supp}(\omega)\subset U$ より、
$$
\int_{\partial D}\iota_{\partial D}^*\omega=\int_{U\cap\partial D}\iota_{\partial D}^*\omega
$$
であり、$(**)$ より $\iota_{\partial D}^*dx_n=0$ であるから $(***)$ より、
$$
(\iota_{\partial D}^*\omega)_p=(-1)^{n-1}f_n(p)(dx_{1,p}\wedge\ldots\wedge dx_{n-1,p})\quad(\forall p\in U\cap\partial D)
$$
である。ここで $(U\cap\partial D, (-1)^nx_1,x_2,\ldots,x_{n-1})$ は $\partial D$ の正の向きの局所座標であるから $\partial D$ の体積要素は、
$$
\Omega_{\partial D,p}=(-1)^n\sqrt{G_{(U\cap\partial D,x_1,\ldots,x_{n-1})}(p)}dx_{1,p}\wedge\ldots\wedge dx_{n-1,p}\quad(\forall p\in U\cap\partial D)
$$
である。よって、
$$
(\iota_{\partial D}^*\omega)_p=-f_n(p)\frac{1}{\sqrt{G_{(U\cap\partial D,x_1,\ldots,x_{n-1})}(p)}}\Omega_{\partial D,p}\quad(\forall p\in U\cap\partial D)
$$
であるから、微分形式の積分の定義（'''定義23.1'''）より、
$$
\int_{\partial D}\iota_{\partial D}^*\omega=\int_{U\cap\partial D}\iota_{\partial D}^*\omega
=-\int_{U\cap\partial D}f_n(p)\frac{1}{\sqrt{G_{(U\cap\partial D,x_1,\ldots,x_{n-1})}(p)}}d\mu_{\partial D}(p)
$$
である。Riemann測度の定義（'''定義16.6'''）と $(**)$, $(****)$ より、
$$
\begin{aligned}
&\int_{U\cap\partial D}f_n(p)\frac{1}{\sqrt{G_{(U\cap\partial D,x_1,\ldots,x_{n-1})}(p)}}d\mu_{\partial D}(p)\\
&=\int_{(x_1,\ldots,x_{n-1})(U\cap\partial D)}(f_n\circ\varphi^{-1})(x_1,\ldots,x_{n-1},0)dx_1\ldots dx_{n-1}\\
&=\int_{\prod_{i=1}^{n-1}[a_i,b_i]}(f_n\circ\varphi^{-1})(x_1,\ldots,x_{n-1},0)dx_1\ldots dx_{n-1}
\end{aligned}
$$
であるから、
$$
\int_{\partial D}\iota_{\partial D}^*\omega=-\int_{\prod_{i=1}^{n-1}[a_i,b_i]}(f_n\circ\varphi^{-1})(x_1,\ldots,x_{n-1},0)dx_1\ldots dx_{n-1}
$$
である。よって、
$$
\int_{D}d\omega=-\int_{\prod_{i=1}^{n-1}[a_i,b_i]}(f_n\circ\varphi^{-1})(x_1,\ldots,x_{n-1},0)dx_1\ldots dx_{n-1}=\int_{\partial D}\iota_{\partial D}^*\omega
$$
である。
{{end|proof|}}

== 24. Gaussの発散定理、古典的なStokesの定理 ==

=== 補題24.1 ===
$M$ をEuclid空間 $\mathbb{R}^N$ の向き付けられた超曲面、$\nu\colon M\rightarrow \mathbb{R}^N$ を正の向きの単位法線ベクトル場（'''定義20.2'''）、 $\Omega_M$ を $M$ の体積要素（'''定義19.8'''）とし、$M$ 上で定義された $\mathbb{R}^N$ のベクトル場 $u\colon M\rightarrow \mathbb{R}^N$ を考える。$u$ に対応する $\mathbb{R}^N$ の $1$ 階微分形式を $j(u)=(j(u(p)))_{p\in M}$（'''定義13.2'''）とし、それにHodgeの $\star$ 作用素を各点ごとに作用させて得られる $\mathbb{R}^N$ の $N-1$ 階微分形式を $\star j(u)=(\star j(u(p)))_{p\in M}$ とする。そして $C^\infty$ 級関数 $\iota_M\colon M\ni p\mapsto p\in \mathbb{R}^N$ によって $\star j(u)$ を引き戻すことによって得られる $M$ の $N-1$ 階微分形式 $\iota_M^*\star j(u)$ を考える。このとき、
$$
(\iota_M^*\star j(u))_p=(u(p)\cdot\nu(p))\Omega_{M,p}\quad(\forall p\in M)
$$
が成り立つ。
{{begin |proof }}
$u(p)=(u_1(p),\ldots,u_N(p))$ $(\forall p\in M)$ とすると、$\mathbb{R}^N$ の標準座標 $(t_1,\ldots,t_N)$ に対し、
$$
j(u)=\sum_{k=1}^{N}u_kdt_{k},
$$
$$
\star j(u)=\sum_{k=1}^{N}(-1)^{k-1}u_k(dt_1\wedge\ldots\wedge\widehat{dt_k}\wedge\ldots\wedge dt_N)
$$
である（$\widehat{dt_k}$ は $dt_k$ を飛ばすことを意味する）。$M$ の任意の正の向きの局所座標 $(U,x_1,\ldots,x_{N-1})$ に対し外積の反対称性より、
$$
\begin{aligned}
&(\iota_M^*\star j(u))_p=\sum_{k=1}^{N}(-1)^{k-1}u_k(p)(dt_{1,p}\wedge\ldots\wedge\widehat{dt_{k,p}}\wedge\ldots\wedge dt_{N,p}\\
&={\rm det}\left(u(p),\frac{\partial}{\partial x_1}p,\ldots,\frac{\partial}{\partial x_{N-1}}p\right)(dx_{1,p}\wedge\ldots\wedge dx_{N-1,p})\quad(\forall p\in U)
\end{aligned}
$$
である。ここで体積要素の定義と正の向きの単位法線ベクトル場の定義より、
$$
\Omega_{M,p}=\sqrt{G_{(U,x_1,\ldots,x_{N-1})}(p)}(dx_{1,p}\wedge\ldots\wedge dx_{N-1,p})\quad(\forall p\in U),
$$
$$
\nu(p)=\frac{(-1)^{N-1}}{\sqrt{G_{(U,x_1,\ldots,x_{N-1})}(p)}}\left(\frac{\partial}{\partial x_1}p\times\ldots\times\frac{\partial}{\partial x_{N-1}}p\right)\quad(\forall p\in U)
$$
であり、ベクトル積の性質（'''命題11.2'''）より、
$$
\begin{aligned}
u(p)\cdot\nu(p)&=\frac{(-1)^{N-1}}{\sqrt{G_{(U,x_1,\ldots,x_{N-1})}(p)}}{\rm det}\left(\frac{\partial}{\partial x_1}p,\ldots,\frac{\partial}{\partial x_{N-1}}p,u(p)\right)\\
&=\frac{1}{\sqrt{G_{(U,x_1,\ldots,x_{N-1})}(p)}}{\rm det}\left(u(p),\frac{\partial}{\partial x_1}p,\ldots,\frac{\partial}{\partial x_{N-1}}p\right)\quad(\forall p\in U)
\end{aligned}
$$
であるから、
$$
(\iota_M^*\star j(u))_p=(u(p)\cdot\nu(p))\Omega_{M,p}\quad(\forall p\in U)
$$
である。よって $(*)$ が成り立つ。
{{end|proof|}}

=== 定理24.2（Gaussの発散定理） ===
$D\subset \mathbb{R}^N$ を滑らかな境界を持つ有界開集合、$\nu\colon\partial D\rightarrow \mathbb{R}^N$ を外向き単位法線ベクトル場（'''定義22.1'''）、$\mu_{\partial D}\colon\mathcal{B}_{\partial D}\rightarrow [0,\infty)$を面積測度（'''定義16.8'''）とする。このとき $\overline{D}$ を含む $\mathbb{R}^N$ の開集合 $M$ 上で定義された $C^1$ 級ベクトル場 $u\colon M\rightarrow \mathbb{R}^N$ に対し、
$$
\int_{D}{\rm div}(u)(x)dx=\int_{\partial D}(u(p)\cdot\nu(p))d\mu_{\partial D}(p)
$$
が成り立つ。
{{begin |proof}}
発散の定義（'''定義13.3'''）より、
$$
{\rm div}(u)=\star d\star j(u)
$$
であるから、
$$
\star {\rm div}(u)=d\star j(u)
$$
である。よって'''注意23.2'''より、
$$
\int_{D}{\rm div}(u)(x)dx=\int_{D}\star {\rm div}(u)=\int_{D}d\star j(u)
$$
である。また'''補題24.1'''より、
$$
(\iota_{\partial D}^*\star j(u))_p=(u(p)\cdot\nu(p))\Omega_{\partial D,p}\quad(\forall p\in \partial D)
$$
である。そして向き付けられた $N$ 次元多様体 $M$ の $N-1$ 階 $C^1$ 級微分形式 $\star j(u)$ と、$M$ の滑らかな境界を持つ開集合 $D$ に対しStokesの定理（'''定理23.3'''）を適用すると、
$$
\int_{D}d\star j(u)=\int_{\partial D}\iota_{\partial D}^*\star j(u)
$$
となる。ゆえに、
$$
\int_{D}{\rm div}(u)(x)=\int_{D}d\star j(u)
=\int_{\partial D}\iota_{\partial D}^*\star j(u)
=\int_{\partial D}(u(p)\cdot\nu(p))d\mu_{\partial D}(p)
$$
である。
{{end|proof|}}

=== 定義24.3（向き付けられた $1$ 次元多様体上の正の向きの単位接ベクトル場） ===
$M$ をEuclid空間 $\mathbb{R}^N$ 内の向き付けられた $1$ 次元多様体とする。このときベクトル場 $\ell\colon M\rightarrow \mathbb{R}^N$ で任意の正の向きの局所座標 $(U,x)$ に対し、
$$
\ell(p)=\left\lvert\frac{\partial}{\partial x}p\right\rvert^{-1}\frac{\partial}{\partial x}p\quad(\forall p\in U)
$$
を満たすものが一意的に定まる<ref>実際、任意の $p\in M$ と $p$ の周りの任意の正の向きの局所座標 $(U,x),(V,y)$ に対し $\frac{\partial}{\partial x}p=\frac{\partial y}{\partial x}(p)\frac{\partial}{\partial y}p=\left\lvert \frac{\partial y}{\partial x}(p)\right\rvert\frac{\partial}{\partial y}p$ であるから $\left\lvert\frac{\partial}{\partial x}p\right\rvert^{-1}\frac{\partial}{\partial x}p=\left\lvert\frac{\partial}{\partial y}p\right\rvert^{-1}\frac{\partial}{\partial y}p$ である。</ref>。 $\ell$ は $C^\infty$ 級であり、
$$
\ell(p)\in T_p(M),\quad \lvert \ell(p)\rvert=1\quad(\forall p\in M)
$$
を満たす。この $\ell\colon M\rightarrow\mathbb{R}^N$ を $M$ の正の向きの単位接ベクトル場と言う。

=== 定義24.4（右手系） ===
$\mathbb{R}^3$ の正規直交基底 $(u_1,u_2,u_3)$ が右手系をなすとは、
$$
{\rm det}(u_1,u_2,u_3)=1
$$
が成り立つことを言う。ただし左辺は行列の縦ベクトル表記である。

=== 注意24.5（向き付けられた曲面の滑らかな境界の正の向きの単位接ベクトル場の直観的意味） ===
$M$ を $\mathbb{R}^3$ 内の向き付けられた曲面、$D\subset M$ を滑らかな境界を持つ開集合とし、$\partial D$ には $M$ の向きに整合する向き（'''定義21.6'''）が入っているものとする。$M$ の正の向きの単位法線ベクトル場 $\nu\colon M\rightarrow\mathbb{R}^3$（'''定義20.2'''）と $\partial D$ の正の向きの単位接ベクトル場 $\ell\colon\partial D\rightarrow\mathbb{R}^3$（'''定義24.3'''）を考える。任意の $p\in \partial D$ に対し $p$ の周りの $M$ の正の向きの直方体局所座標 $(U,\varphi;x_1,x_2)$ で、
$$
\varphi(U\cap D)=\varphi(U)\cap (\mathbb{R}\times(0,\infty)),\quad
\varphi(U\cap\partial D)=\varphi(U)\cap (\mathbb{R}\times \{0\})\quad\quad(*)
$$
なるものを取ると、
$$
\nu(p)=\frac{1}{\sqrt{G_{(U,x_1,x_2)}(p)}}\left(\frac{\partial}{\partial x_1}p\times\frac{\partial}{\partial x_2}p\right)\in (T_p(M))^{\perp}
$$
であり、'''定義21.6'''より $(U\cap\partial D, x_1)$ は $\partial D$ の正の向きの局所座標であるから、
$$
\ell(p)=\left\lvert \frac{\partial}{\partial x_1}p\right\rvert^{-1}\frac{\partial}{\partial x_1}p
$$
である。ベクトル積の性質（'''命題11.2'''）より、
$$
{\rm det}\left(\frac{\partial}{\partial x_1}p,\frac{\partial}{\partial x_2}p,\frac{\partial}{\partial x_1}p\times\frac{\partial}{\partial x_2}p\right)=
\left\lvert\frac{\partial}{\partial x_1}p\times\frac{\partial}{\partial x_2}p\right\rvert^2>0
$$
であるから、
$$
{\rm det}\left(\ell(p),\frac{\partial}{\partial x_2}p,\nu(p)\right)>0\quad\quad(**)
$$
である。ここで $(*)$ より $\frac{\partial}{\partial x_2}p\in T_p(M)$ は $p\in\partial D$ から $D$ の'''内側'''を向いているから、
$$
\frac{\partial}{\partial x_2}p-\left(\frac{\partial}{\partial x_2}p\cdot\ell(p)\right)\ell(p)\in T_p(M)
$$
を正規化したもの $\ell(p)^{\perp}\in T_p(M)$ は $p\in \partial D$ から $D$の''内側''を向き $\ell(p)$ と直交する単位ベクトルである。そして $(**)$ より、
$$
{\rm det}(\ell(p),\ell(p)^{\perp},\nu(p))=1
$$
である。よって $p\in\partial D$ における $\partial D$ の正の向きの単位接ベクトル $\ell(p)\in T_p(M)$ と $p$ から $D$ の'''内側'''を向き $\ell(p)$ と直交する単位ベクトル $\ell(p)^{\perp}\in T_p(M)$ と $p$ における $M$ の正の向きの単位法線ベクトル $\nu(p)$ に対し $(\ell(p),\ell(p)^{\perp},\nu(p))$ は右手系をなす。

=== 補題24.6 ===
$M$をEuclid空間 $\mathbb{R}^N$ の向き付けられた $1$ 次元多様体とし、$\ell\colon M\rightarrow \mathbb{R}^N$ を正の向きの単位接ベクトル場（'''定義24.3'''）、$\Omega_M$ を $M$ の体積要素とし、$M$ 上で定義された $\mathbb{R}^N$ のベクトル場 $u\colon M\rightarrow \mathbb{R}^N$ を考える。$u$ に対応する $\mathbb{R}^N$ の $1$ 階微分形式を $j(u)=(j(u(p)))_{p\in M}$（'''定義13.2'''）とする。そして $C^\infty$ 級関数 $\iota_M\colon M\ni p\mapsto p\in \mathbb{R}^N$ によって $j(u)$ を引き戻すことによって得られる $M$ の $1$ 階微分形式 $\iota_M^*j(u)$ を考える。このとき、
$$
(\iota_M^*j(u))_p=(u(p)\cdot\ell(p))\Omega_{M,p}\quad(\forall p\in M)
$$
が成り立つ。
{{begin |proof }}
$u(p)=(u_1(p),\ldots,u_N(p))$ $(\forall p\in M)$ とすると、$\mathbb{R}^N$ の標準座標 $(t_1,\ldots,t_N)$ に対し、
$$
j(u(p))=\sum_{k=1}^{N}u_k(p)dt_{k,p}\quad(\forall p\in M)
$$
である。$M$ の任意の正の向きの局所座標 $(U,x)$ に対し体積要素の定義（'''定義19.8'''）より、
$$
\Omega_{M,p}=\sqrt{G_{(U,x)}(p)}dx_{p}=\left\lvert\frac{\partial}{\partial x}p\right\rvert dx_p\quad(\forall p\in U)
$$
であり、正の向きの単位接ベクトル場の定義より、
$$
\ell(p)=\left\lvert\frac{\partial}{\partial x}p\right\rvert^{-1}\frac{\partial}{\partial x}p\quad(\forall p\in U)
$$
であるから、任意の $p\in U$ に対し、
$$
(\iota_M^*j(u))_p=\sum_{k=1}^{N}u_k(p)\frac{\partial t_k}{\partial x}(p)dx_p
=\left(u(p)\cdot\frac{\partial}{\partial x}p\right)dx_p
=(u(p)\cdot\ell(p))\Omega_{M,p}
$$
である。
{{end|proof|}}

=== 定理24.7（古典的なStokesの定理） ===
$M$ を $\mathbb{R}^3$ 内の向き付けられた曲面、$D\subset M$ を滑らかな境界を持つ開集合で $\overline{D}\subset M$ がコンパクトであるものとし、$\partial D$ には $M$ の向きに整合する向き（'''定義21.6'''）が入っているものとする。$M$ の正の向きの単位法線ベクトル場を $\nu\colon M\rightarrow\mathbb{R}^3$（'''定義20.2'''）、$\partial D$ の正の向きの単位接ベクトル場を $\ell\colon \partial D\rightarrow\mathbb{R}^3$（'''定義24.3'''）とする。また $u\colon M\rightarrow\mathbb{R}^3$ を $M$ を含む $\mathbb{R}^3$ の開集合上の $C^1$ 級ベクトル場を $M$ 上に制限したものとする。このとき、
$$
\int_{D}({\rm rot}(u)(p)\cdot \nu(p))d\mu_D(p)=\int_{\partial D}(u(p)\cdot \ell(p))d\mu_{\partial D}(p)\quad\quad(*)
$$
が成り立つ。ただし $\mu_D\colon\mathcal{B}_{D}\rightarrow [0,\infty)$ は $D$ の面積測度（'''定義16.8'''）、$\mu_{\partial D}\colon\mathcal{B}_{\partial D}\rightarrow [0,\infty)$ は $\partial D$ の線測度（'''定義16.9'''）である。
{{begin |proof }}
回転の定義（'''定義13.5'''）より、
$$
j({\rm rot}(u))=\star dj(u)
$$
であるから、
$$
\star j({\rm rot}(u))=(-1)^{1\cdot (3-1)}dj(u)=dj(u)
$$
である。よって'''補題24.1'''より、
$$
({\rm rot}(u)(p)\cdot \nu(p))\Omega_{M,p}=(\iota_{M}^*\star j({\rm rot}(u)))_p
=(\iota_M^*dj(u))_p=(d\iota_M^*j(u))_p\quad(\forall p\in M)
$$
である。ここで $3$ 番目の等号で引き戻しと外微分の可換性（'''命題9.12'''）を用いた。よってStokesの定理（'''定理23.3'''）より、
$$
\int_{D}({\rm rot}(u)(p)\cdot \nu(p))d\mu_D(p)
=\int_{ D}d\iota_M^*j(u)
=\int_{\partial D}\iota_{\partial D}^*\iota_M^*j(u)
=\int_{\partial D}\iota_{\partial D}^*j(u)\quad\quad(**)
$$
である。ここで $3$ 番目の等号は $\iota_{\partial D}^*\iota_M^*=(\iota_M\circ\iota_{\partial D})^*=\iota_{\partial D}^*$（'''注意9.11'''）による。そして'''補題24.6'''より、
$$
\int_{\partial D}\iota_{\partial D}^*j(u)=\int_{\partial D}(u(p)\cdot \ell(p))d\mu_{\partial D}(p)
$$
であるから $(**)$ と合わせて $(*)$ を得る。
{{end|proof|}}

== 25. 曲方体上の微分形式に関するStokesの定理 ==

=== 定義25.1（Euclid空間内の $n$ 次の曲方体、曲方体の $C^k$ 級性、曲方体の跡） ===
Euclid空間 $\mathbb{R}^N$ 内の $n$ 次の曲方体 $(n=1,2,\ldots,N)$ とは $\mathbb{R}^n$ のある閉直方体 $I$（$n$ 個の有界閉区間の直積）上で定義された連続関数 $c\colon I\rightarrow \mathbb{R}^N$ であって、$I$ を含むある
開直方体（$n$個の開区間の直積）上で定義された $C^1$ 級関数に拡張できるもののことを言う。特に $1$ 次の曲方体を曲線と言う。曲方体 $c\colon I\rightarrow\mathbb{R}^N$ が $I$ を含む開直方体上で定義された $C^k$ 級関数に拡張できるとき $c$ は $C^k$ 級であると言う。曲方体 $c\colon I\rightarrow\mathbb{R}^N$ に対し $c^*=c(I)$ を $c$ の跡と言う。

=== 定義25.2（$n$ 次の曲方体上で定義された$n$階連続微分形式の積分） ===
$c\colon I\rightarrow\mathbb{R}^N$ を $\mathbb{R}^N$ 内の $n$ 次の曲方体とし、$\omega=(\omega_p)_{p\in c^*}$ を $c^*\subset \mathbb{R}^N$ 上で定義された $\mathbb{R}^N$ の $n$ 階連続微分形式（'''定義9.1'''）とする。曲方体の定義より $c$ は $I$ を含む開直方体上の $C^1$ 級関数に拡張できるから $c$ による引き戻し（'''定義9.8'''）により $I$ 上で定義された $\mathbb{R}^n$ の $n$ 階連続微分形式 $c^*\omega=((c^*\omega)_x)_{x\in I}$ が定義できる。そしてこれに対し各点ごとにHodgeの $\star$ 作用素（'''定義10.4'''）を作用させることで連続関数
$$
\star c^*\omega\colon I\ni x\mapsto \star(c^*\omega)_x\in\mathbb{R}
$$
が得られる。そこで $\omega$ の $c$ 上での積分を、
$$
\int_{c}\omega\colon=\int_{I}\star(c^*\omega)_xdx_1\ldots dx_n
$$
として定義する。

=== 命題25.3 ===
$c_k\colon I_k\rightarrow\mathbb{R}^N$ $(k=1,2)$ をそれぞれ $\mathbb{R}^N$ 内の $n$ 次の曲方体とし、$c_1^*=c_2^*$ が成り立ち、$C^1$ 級同相写像 $\Phi\colon I_1^{\circ}\rightarrow I_2^{\circ}$ で $c_2(\Phi(x))=c_1(x)$ $(\forall x\in I_1^{\circ})$ を満たすものが存在するとする。そして $\omega$ を $c_1^*=c_2^*$ 上で定義された $\mathbb{R}^N$ の $n$ 階連続微分形式とする。このとき、
*$(1)$　${\rm det}\Phi'(x)>0$ $(\forall x\in I_1^{\circ})$ ならば、
$$
\int_{c_1}\omega=\int_{c_2}\omega
$$
が成り立つ。
*$(2)$　${\rm det}\Phi'(x)<0$ $(\forall x\in I_1^{\circ})$ ならば、
$$
\int_{c_1}\omega=-\int_{c_2}\omega
$$
が成り立つ<ref>${\rm det}\Phi'(x)\neq0$ $(\forall x\in I_1^{\circ})$ であり、$I_1^{\circ}$ は連結であるから ${\rm det}\Phi'(x)>0$ $(\forall x\in I_1^{\circ})$ か ${\rm det}\Phi'(x)<0$ $(\forall x\in I_1^{\circ})$ のうちいずれかが成り立つことに注意。</ref>。
{{begin |proof }}
$$
f\colon=\star c_1^*\omega\colon I_1\rightarrow\mathbb{R},\quad g\colon=\star c_2^*\omega\colon I_2\rightarrow\mathbb{R}
$$
とおき $\mathbb{R}^n$ の標準座標を $(x_1,\ldots,x_n)$ とおくと、
$$
c_1^*\omega=fdx_1\wedge\ldots \wedge dx_n,\quad c_2^*\omega=gdx_1\wedge\ldots\wedge dx_n
$$
である。$c_2(\Phi(x))=c_1(x)$ $(\forall x\in I_1^{\circ})$ であることと引き戻しの基本性質（'''注意9.9'''、'''注意9.11'''）と外積の反対称性より $I_1^{\circ}$ 上で、
$$
\begin{aligned}
&fdx_1\wedge\ldots\wedge dx_n=c_1^*\omega=(c_2\circ\Phi)^*\omega=\Phi^*c_2^*\omega=\Phi^*(gdx_1\wedge\ldots\wedge dx_n)\\
&=(g\circ\Phi)d\Phi_1\wedge\ldots\wedge d\Phi_n=(g\circ\Phi)({\rm det}\Phi')dx_1\wedge\ldots\wedge dx_n
\end{aligned}
$$
である。よって、
$$
f(x)=g(\Phi(x)){\rm det}\Phi'(x)\quad(\forall x\in I_1^{\circ})
$$
である。ここで変数変換公式（[[測度と積分8：Lebesgue測度の基本的性質]]の'''補題40.3'''）より、
$$
\int_{c_2}\omega=\int_{I_2^{\circ}}g(x)dx=\int_{I_1^{\circ}}g(\Phi(x))\lvert {\rm det}\Phi'(x)\rvert dx
$$
であるから、$(1)$ が成り立つとき、
$$
\int_{c_2}\omega=\int_{I_1^{\circ}}g(\Phi(x)) {\rm det}\Phi'(x) dx
=\int_{I_1^{\circ}}f(x)dx=\int_{c_1}\omega
$$
であり、$(2)$ が成り立つとき、
$$
\int_{c_2}\omega=-\int_{I_1^{\circ}}g(\Phi(x)) {\rm det}\Phi'(x) dx
=-\int_{I_1^{\circ}}f(x)dx=-\int_{c_1}\omega
$$
である。
{{end|proof|}}

=== 定義25.4（互いに同値な曲方体、互いに逆な曲方体） ===
$c_k\colon I_k\rightarrow \mathbb{R}^N$ $(k=1,2)$ をそれぞれ $\mathbb{R}^N$ 内の $n$ 次の曲方体とし、$c_1^*=c_2^*$ が成り立ち、$C^1$ 級同相写像 $\Phi\colon I_1^{\circ}\rightarrow I_2^{\circ}$ で $c_2(\Phi(x))=c_1(x)$ $(\forall x\in I_1^{\circ})$ を満たすものが存在するとする。'''命題25.3'''の$(1)$ が成り立つとき
$c_1,c_2$ は互いに同値であると言い、'''命題25.3'''の $(2)$ が成り立つとき
$c_1,c_2$ は互いに逆であると言う。そしてこのような $\Phi$ をパラメータ変換と言う。~
曲方体 $c$ と逆である曲方体を $-c$ と表す。

=== 定義25.5（曲方体の和とその上の連続微分形式の積分） ===
$c_1,\ldots,c_m$ をそれぞれ $\mathbb{R}^N$ 内の $n$ 次の曲方体とする。このとき曲方体の形式的な和
$$
c\colon=c_1+\ldots+c_m
$$
に対し、その跡を、
$$
c^*\colon=c_1^*\cup\ldots\cup c_n^*
$$
と定義し、$c^*$ 上で定義された $\mathbb{R}^N$ の $n$ 階連続微分形式 $\omega$ に対し $c$ 上での $\omega$ の積分を、
$$
\int_{c}\omega\colon=\sum_{k=1}^{m}\int_{c_k}\omega
$$
と定義する。

=== 定義25.6（曲方体の境界） ===
$\mathbb{R}^N$ 内の $n$ 次 $(n\geq2)$ の曲方体 $c\colon I=\prod_{k=1}^{n}[a_{k,0},a_{k,1}]\rightarrow\mathbb{R}^N$ を考える。任意の $k\in \{1,\ldots,n\}$ に対し $I$ から $k$ 番目の区間 $[a_{k,0},a_{k,1}]$ を飛ばして得られる $\mathbb{R}^{n-1}$ の閉直方体を、
$$
I^{(k)}\colon=[a_{1,0},a_{1,1}]\times\ldots\times\widehat{[a_{k,0},a_{k,1}]}\times\ldots\times [a_{n,0},a_{n,1}]
$$
とおき、任意の $k\in \{1,\ldots,n\}$ と $\alpha\in \{0,1\}$ に対し、
$$
\iota^{(k,\alpha)}:I^{(k)}\ni (t_1,\ldots,t_{k-1},t_{k+1},\ldots,t_n)\mapsto
(t_1,\ldots,t_{k-1},a_{k,\alpha},t_{k+1},\ldots,t_n)\in I\quad\quad(*)
$$
とおく。そして任意の $k\in \{1,\ldots,n\}$ と $\alpha\in \{0,1\}$ に対し $\mathbb{R}^N$ 内の $n-1$ 次の曲方体 $c^{(k,\alpha)}$ を、
$$
c^{(k,\alpha)}\colon c\circ\iota^{(k,\alpha)}\colon I^{(k)}\rightarrow \mathbb{R}^N
$$
と定義する。このとき $\mathbb{R}^N$ 内の $n-1$ 次の曲方体の和
$$
\partial c\colon=\sum_{k=1}^{n}\sum_{\alpha=0,1}(-1)^{k+\alpha}c^{(k,\alpha)}
$$
を $c$ の境界と言う。
$$
(\partial c)^*=\bigcup_{k=1}^{n}\bigcup_{\alpha=0,1}(c^{(k,\alpha)})^*\subset c^*
$$
である。

=== 定理25.7（曲方体上の微分形式の積分に関するStokesの定理） ===
$\mathbb{R}^N$ 内の $n$次 $(n\geq2)$ の $C^2$ 級曲方体 $c\colon I=\prod_{k=1}^{n}[a_{k,0},a_{k,1}]\rightarrow\mathbb{R}^N$ と、跡 $c^*=c(I)$ を含む $\mathbb{R}^N$ の開集合上の $n-1$ 階 $C^1$ 級微分形式 $\omega$ に対し、
$$
\int_{\partial c}\omega=\int_{c}d\omega
$$
が成り立つ。
{{begin |proof }}
引き戻しと外微分の可換性（'''命題9.12'''）より、
$$
\int_{c}d\omega=\int_{I}\star c^*d\omega=\int_{I}\star dc^*\omega\quad\quad(*)
$$
であり、'''定義25.6'''における記号により、
$$
\int_{\partial c}\omega=\sum_{k=1}^{n}\sum_{\alpha=0,1}(-1)^{k+\alpha}\int_{c^{(k,\alpha)}}\omega,\quad\quad(**)
$$
$$
\int_{c^{(k,\alpha)}}\omega=\int_{I^{(k)}}\star (c\circ\iota^{(k,\alpha)})^*\omega
=\int_{I^{(k)}}\star (\iota^{(k,\alpha)})^*c^*\omega\quad(\forall k\in\{1,\ldots,n\},\forall\alpha\in\{0,1\})\quad\quad(***)
$$
である。$\mathbb{R}^n$ の標準座標 $(x_1,\ldots,x_n)$ に対し、$I$ を含む $\mathbb{R}^n$ の開集合上の $n-1$ 階微分形式 $c^*\omega$ を、
$$
c^*\omega=\sum_{k=1}^{n}(-1)^{k-1}f_kdx_1\wedge\ldots\wedge\widehat{dx_k}\wedge \ldots\wedge dx_n\quad\quad(****)
$$
と表す（ただし $\widehat{dx_k}$ は $dx_k$ を飛ばすことを意味する）。このとき、
$$
dc^*\omega=\sum_{k=1}^{n}\partial_kf_kdx_1\wedge\ldots\wedge dx_n
$$
であるからFubiniの定理と微積分学の基本定理より、
$$
\begin{aligned}
&\int_{I}\star dc^*\omega=\int_{I}\sum_{k=1}^{n}\partial_kf_k(x_1,\ldots,x_n)dx_1\ldots dx_n\\
&=\sum_{k=1}^{n}\sum_{\alpha=0,1}(-1)^{\alpha+1}\int_{I^{(k)}}f_k(\iota^{(k,\alpha)}(x_1,\ldots,\widehat{x_k},\ldots,x_n))dx_1\ldots\widehat{dx_k}\ldots dx_n\quad\quad(*****)
\end{aligned}
$$
である。また $(****)$と'''定義25.6'''の $(*)$ より、任意の $k\in \{1,\ldots,n\}$ と $\alpha\in \{0,1\}$ に対し、
$$
\int_{I^{(k)}}\star (\iota^{(k,\alpha)})^*c^*\omega=(-1)^{k-1}\int_{I^{(k)}}f_k(\iota^{(k,\alpha)}(x_1,\ldots,\widehat{x_k},\ldots,x_n))dx_1\ldots\widehat{dx_k}\ldots dx_n
$$
であるから、
$$
\begin{aligned}
&\sum_{k=1}^{n}\sum_{\alpha=0,1}(-1)^{k+\alpha}\int_{I^{(k)}}\star (\iota^{(k,\alpha)})^*c^*\omega\\
&=\sum_{k=1}^{n}\sum_{\alpha=0,1}(-1)^{\alpha+1}\int_{I^{(k)}}f_k(\iota^{(k,\alpha)}(x_1,\ldots,\widehat{x_k},\ldots,x_n))dx_1\ldots\widehat{dx_k}\ldots dx_n
\end{aligned}
$$
である。よって $(*****)$ より、
$$
\int_{I}\star dc^*\omega=\sum_{k=1}^{n}\sum_{\alpha=0,1}(-1)^{k+\alpha}\int_{I^{(k)}}\star (\iota^{(k,\alpha)})^*c^*\omega
$$
であるから $(*),(**),(***)$ より、
$$
\int_{c}d\omega=\int_{\partial c}\omega
$$
が成り立つ。
{{end|proof|}}

== 26. 曲方体上のGaussの発散定理と古典的なStokesの定理 ==

=== 定義26.1（$\mathbb{R}^N$ のベクトル場の曲線に沿った線積分） ===
曲線 $c\colon [\alpha,\beta]\rightarrow \mathbb{R}^N$ と $c$ の跡 $c^*=c([\alpha,\beta])\subset\mathbb{R}^N$ 上で定義された $\mathbb{R}^N$ のベクトル場 $u=(u_1,\ldots,u_N)\colon c^*\rightarrow \mathbb{R}^N$ を考える。$u$ に対応する $\mathbb{R}^N$ の $1$ 階微分形式 $j(u)=(j(u(p)))_{p\in c^*}$（'''定義13.2'''）の $c$ 上での積分
$$
\int_{c}j(u)=\int_{[\alpha,\beta]}\star c^*j(u)
$$
を $u$ の $c$ に沿った線積分と言う。$(x_1,\ldots,x_N)$ を $\mathbb{R}^N$ の標準座標とすると、
$$
j(u)=\sum_{k=1}^{N}u_kdx_k
$$
であるから、
$$
(c^*j(u))_t=\sum_{k=1}^{N}(u_k(c(t)))(dc_k)_t
=\sum_{k=1}^{N}u_k(c(t))\frac{dc_k}{dt}(t)dt
=\left(u(t)\cdot c'(t)\right)dt
$$
である。よって $u$ の $c$ に沿った線積分は、
$$
\int_{c}j(u)=\int_{[\alpha,\beta]}\star c^*j(u)=\int_{[\alpha,\beta]}\left(u(t)\cdot c'(t)\right)dt
$$
である。

=== 定義26.2（$\mathbb{R}^N$ のベクトル場の $N-1$ 次曲方体上での面積分） ===
$\mathbb{R}^N$ 内の $N-1$ 次の曲方体 $c\colon I\rightarrow \mathbb{R}^N$ と $c$ の跡 $c^*=c(I)\subset \mathbb{R}^N$ 上で定義された $\mathbb{R}^N$ のベクトル場 $u=(u_1,\ldots,u_N)\colon c^*\rightarrow \mathbb{R}^N$ を考える。そして $u$ に対応する $\mathbb{R}^N$ の $1$ 階微分形式 $j(u)=(j(u(p)))_{p\in c^*}$（'''定義13.2'''）に各点ごとにHodgeの $\star$ 作用素を作用させて得られる $\mathbb{R}^N$ の $N-1$ 階微分形式 $\star j(u)=(\star j(u(p)))_{p\in c^*}$ を考える。このとき $\star j(u)$ の $c$ 上での積分
$$
\int_{c}\star j(u)=\int_{I}\star c^*\star j(u)
$$
を $u$ の $c$ 上での面積分と言う。$(x_1,\ldots,x_N)$ を $\mathbb{R}^N$ の標準座標とすると、
$$
\star j(u)=\sum_{k=1}^{N}(-1)^{k-1}u_kdx_1\wedge\ldots\wedge \widehat{dx_k}\wedge \ldots\wedge dx_N
$$
であるから、
$$
\begin{aligned}
(c^*\star j(u))_t&=\sum_{k=1}^{N}(-1)^{k-1}u_k(c(t))dc_{1,t}\wedge\ldots\wedge \widehat{dc_{k,t}}\wedge \ldots\wedge dc_{N,t}\\
&={\rm det}\left(u(c(t)),\frac{\partial c}{\partial t_1}(t),\ldots,\frac{\partial c}{\partial t_{N-1}}(t)\right)dt_1\wedge\ldots\wedge dt_{N-1}\\
&=(-1)^{N-1}\left(u(t)\cdot \left(\frac{\partial c}{\partial t_1}(t)\times \ldots\times\frac{\partial c}{\partial t_{N-1}}(t)\right)\right)dt_1\wedge\ldots\wedge dt_{N-1}
\end{aligned}
$$
である。ただし $(t_1,\ldots,t_{N-1})$ は $\mathbb{R}^{N-1}$ の標準座標であり、右辺はベクトル積（'''定義11.1'''）である。よって $u$ の $c$ 上での面積分は、
$$
\int_{c}\star j(u)=\int_{I}\star c^*\star j(u)
=\int_{I}(-1)^{N-1}\left(u(t)\cdot \left(\frac{\partial c}{\partial t_1}(t)\times \ldots\times\frac{\partial c}{\partial t_{N-1}}(t)\right)\right)dt_1\ldots dt_{N-1}
$$
と表される。

=== 定義26.3（$\mathbb{R}^N$ の $N$ 次の曲方体上での体積分） ===
$\mathbb{R}^N$ 内の $N$ 次の曲方体 $c\colon I\rightarrow \mathbb{R}^N$ と $c$ の跡 $c^*=c(I)\subset \mathbb{R}^N$ 上で定義された連続関数 $u\colon c^*\rightarrow\mathbb{R}$ を考える。$\mathbb{R}^N$ の $N$ 階連続微分形式 $\star u=(\star u(p))_{p\in c^*}$ の $c$ 上での積分
$$
\int_{c}\star u=\int_{I}\star c^*\star u
$$
を $u$ の $c$ 上での体積分と言う。$\mathbb{R}^N$ の標準座標を $(x_1,\ldots,x_N)$ とすると、
$$
\begin{aligned}
c^*\star u&=c^*(udx_1\wedge\ldots\wedge dx_N)
=(u\circ c)dc_1\wedge\ldots\wedge dc_N\\
&=(u\circ c)({\rm det}(c'))dx_1\wedge\ldots\wedge dx_N
\end{aligned}
$$
であるから $u$ の $c$ 上での体積分は、
$$
\int_{c}\star u=\int_{I}\star c^*\star u=\int_{I}u(c(x)){\rm det}(c')(x)dx
$$
である。

=== 命題26.4（曲方体上のGaussの発散定理） ===
$\mathbb{R}^N$ の $N$ 次の曲方体 $c\colon I\rightarrow\mathbb{R}^N$ と、跡 $c^*=c(I)\subset \mathbb{R}^N$ を含む $\mathbb{R}^N$ の開集合上で定義された $\mathbb{R}^N$ の $C^1$ 級ベクトル場 $u$ に対し、
$$
\int_{c}\star {\rm div}(u)=\int_{\partial c}\star j(u)
$$
が成り立つ。左辺は ${\rm div}(u)$ の $c$ 上での体積分（'''定義26.3'''）、右辺は $u$ の $\partial c$ 上での面積分（'''定義26.2'''）である。
{{begin |proof }}
発散の定義（'''定義13.3'''）より $\star{\rm div}(u)=d\star j(u)$ である。よってStokesの定理（'''定理25.7'''）より、
$$
\int_{c}\star {\rm div}(u)=\int_{c}d\star j(u)=\int_{\partial c}\star j(u)
$$
である。
{{end|proof|}}

=== 命題26.5（曲方体上の古典的なStokesの定理） ===
$\mathbb{R}^3$ の $2$ 次の $c\colon I\rightarrow \mathbb{R}^3$と、跡 $c^*=c(I)\subset \mathbb{R}^3$ を含む $\mathbb{R}^3$ の開集合上で定義された $\mathbb{R}^3$ の $C^1$ 級ベクトル場 $u$ に対し、
$$
\int_{c}\star j({\rm rot}(u))=\int_{\partial c}j(u)
$$
が成り立つ。左辺は ${\rm rot}(u)$ の $c$ 上での面積分（'''定義26.2'''）であり、右辺は $u$ の $\partial c$ 上での線積分（'''定義26.1'''）である。
{{begin |proof}}
回転の定義（'''定義13.5'''）より $j({\rm rot}(u))=\star dj(u)$ であるから $\star j({\rm rot}(u))=dj(u)$ である。よってStokesの定理（'''定理25.7'''）より、
$$
\int_{c}\star j({\rm rot}(u))=\int_{c}dj(u)=\int_{\partial c}j(u)
$$
である。
{{end|proof|}}

== 脚注 ==

ベクトル解析5：多様体の向き

2026-04-03T07:45:30Z

Kataoka: /* 定義21.6（滑らかな境界の向き） */

この章では多様体の向きと、向き付けられた超曲面上の単位法線ベクトル場、向き付けられた多様体内の滑らかな境界を持つ開集合の境界上の外向き単位法線ベクトル場について述べる。
<noinclude>
{{TOC |align=right |noautonum=1 }}
'''[[ベクトル解析]]'''
* [[ベクトル解析1：Euclid空間内の多様体上の関数の微分]]
* [[ベクトル解析2：微分形式]]
* [[ベクトル解析3：Euclid空間内の多様体の計量]]
* [[ベクトル解析4：Euclid空間内の多様体上の測度と積分]]
* '''ベクトル解析5：多様体の向き'''
*[[ベクトル解析6：Stokesの定理]]
</noinclude>
== 19. 多様体の向きと体積要素 ==

=== 定義19.1（互いに同じ向きの局所座標） ===
$M$ をEuclid空間内の $n$ 次元多様体とする。$M$ の局所座標 $(U,x_1,\ldots,x_n)$ と $(V,y_1,\ldots,y_n)$ が互いに同じ向きであるとは、$U\cap V\neq \emptyset$ であり、
$$
{\rm det}\left(\frac{\partial y_i}{\partial x_j}(p)\right)_{i,j}>0\quad(\forall p\in U\cap V)
$$
が成り立つことを言う。

=== 定義19.2（互いに同じ向きの局所座標からなるアトラス、向き付け可能性） ===
$M$ をEuclid空間内の多様体とする。$M$ のアトラス（'''定義2.1'''）が互いに同じ向きの局所座標からなるアトラスであるとは、そのアトラスに属するどの $2$ つの局所座標もそれらが交わる限り互いに同じ向きであることを言う。
$M$ が向き付け可能であるとは、互いに同じ向きの局所座標からなるアトラスが取れることを言う。

=== 定義19.3（多様体の向き、向き付けられた多様体の正の向きの局所座標） ===
$M$ をEuclid空間内の向き付け可能な多様体とし、$\mathcal{A}_1$ と $\mathcal{A}_2$ がそれぞれ互いに同じ向きの局所座標からなる $M$ のアトラスとする。$\mathcal{A}_1\cup \mathcal{A}_2$ が互いに同じ向きの局所座標からなるアトラスであるとき、$\mathcal{A}_1\sim \mathcal{A}_2$ と表すこととする。$U\cap V\cap W\neq \emptyset$ なる任意の $M$ の局所座標 $(U,x_1,\ldots,x_n)$, $(V,y_1,\ldots,y_n)$, $(W,z_1,\ldots,z_n)$ に対し、
$$
\left(\frac{\partial z_i}{\partial x_j}(p)\right)_{i,j}=\left(\sum_{k=1}^{n}\frac{\partial z_i}{\partial y_k}(p)\frac{\partial y_k}{\partial x_j}(p)\right)_{i,j}\quad(\forall p\in U\cap V\cap W)
$$
であるから、
$$
{\rm det}\left(\frac{\partial z_i}{\partial x_j}(p)\right)_{i,j}=
{\rm det}\left(\frac{\partial z_i}{\partial y_j}(p)\right)_{i,j}{\rm det}\left(\frac{\partial y_i}{\partial x_j}(p)\right)_{i,j}
$$
である。よって $\sim$ は互いに同じ向きの局所座標からなるアトラス全体における同値関係である。この同値関係による同値類のそれぞれを $M$ の向きと言う。そして $M$ の向きが $1$ つ指定されているとき $M$ は向き付けられていると言う。$M$ が向き付けられているとき、$M$ の向きに属するアトラス全ての合併は $M$ の向きに属する最大のアトラスである。このアトラスに属する局所座標を $M$ の正の向きの局所座標と言う。

=== 定義19.4（向き付けられた多様体の開集合の向き） ===
$M$ をEuclid空間内の向き付けられた多様体とし、$D\subset M$ を空でない開集合とする。$D$ の局所座標は定義域が $D$ に含まれる $M$ の局所座標である。よって $D$ には、その正の向きの局所座標が $M$ の正の向きの局所座標となるような自然な向きが定まる（定義域が $D$ に含まれるような $M$ の正の向きの局所座標全体からなる $D$ のアトラスを考え、その同値類を $D$ の向きと定めればよい)。以後、特に断らない限り向き付けられた多様体の開集合はこうして向き付けられているものとする。

=== 定義19.5（Euclid空間の向き） ===
Euclid空間 $\mathbb{R}^N$ の向きを標準座標 $(x_1,\ldots,x_N)$ が正の向きとなるように定義する。

=== 注意19.6 ===
'''定義13.6'''で述べた正の向きの直交座標はEuclid空間の正の向きの局所座標である。

=== 命題19.7（向き付けられた多様体の体積要素の一意存在） ===
$M$ をEuclid空間内の向き付けられた $n$ 次元多様体とする。このとき $M$ の $n$ 階微分形式 $\Omega_M$ で $M$ の任意の正の向きの局所座標 $(U,x_1,\ldots,x_n)$ に対し、
$$
\Omega_{M,p}=\sqrt{G_{(U,x_1,\ldots,x_n)}(p)} dx_{1,p}\wedge\ldots\wedge dx_{n,p}\quad(\forall p\in U)
$$
を満たすものが唯一つ存在する。ただし $G_{(U,x_1,\ldots,x_n)}(p)$ は $(U,x_1,\ldots,x_n)$ に対する計量行列の行列式（'''定義12.2'''）である。
{{begin |proof }}
$U\cap V\neq\emptyset$ を満たす $M$ の任意の正の向きの局所座標 $(U,x_1,\ldots,x_n)$, $(V,y_1,\ldots,y_n)$ と任意の $p\in U\cap V$ に対し、
$$
\sqrt{G_{(U,x_1,\ldots,x_n)}(p)} dx_{1,p}\wedge\ldots\wedge dx_{n,p}
=\sqrt{G_{(V,y_1,\ldots,y_n)}(p)} dy_{1,p}\wedge \ldots \wedge dy_{n,p}
$$
が成り立つことを示せばよい。$(U,x_1,\ldots,x_n)$, $(V,y_1,\ldots,y_n)$ が互いに同じ向きであることと'''命題12.3'''より、
$$
\begin{aligned}
\sqrt{G_{(U,x_1,\ldots,x_n)}(p)}&=\sqrt{G_{(V,y_1,\ldots,y_n)}(p)}\left\lvert{\rm det}\left(\frac{\partial y_i}{\partial x_j}(p)\right)_{i,j}\right\rvert\\
&=\sqrt{G_{(V,y_1,\ldots,y_n)}(p)}{\rm det}\left(\frac{\partial y_i}{\partial x_j}(p)\right)_{i,j}
\end{aligned}
$$
である。また、
$$
dy_{i,p}=\sum_{j=1}^{n}\frac{\partial y_i}{\partial x_j}(p)dx_{j,p}
$$
であることと外積の反対称性より、
$$
dy_{1,p}\wedge \ldots\wedge dy_{n,p}={\rm det}\left(\frac{\partial y_i}{\partial x_j}(p)\right)_{i,j}dx_{1,p}\wedge \ldots\wedge dx_{n,p}
$$
である。よって、
$$
\begin{aligned}
\sqrt{G_{(U,x_1,\ldots,x_n)}(p)}dx_{1,p}\wedge\ldots\wedge dx_{n,p}
&=\sqrt{G_{(V,y_1,\ldots,y_n)}(p)}{\rm det}\left(\frac{\partial y_i}{\partial x_j}(p)\right)_{i,j}dx_{1,p}\wedge\ldots\wedge dx_{n,p}\\
&=\sqrt{G_{(V,y_1,\ldots,y_n)}(p)}dy_{1,p}\wedge\ldots\wedge dy_{n,p}
\end{aligned}
$$
である。
{{end|proof|}}

=== 定義19.8（向き付けられた多様体の体積要素） ===
$M$ をEuclid空間内の向き付けられた$n$次元多様体とする。'''命題19.7'''における $M$ の$n$ 階微分形式 $\Omega_M$ を $M$ の体積要素と呼ぶ。

$U\ni p\mapsto \sqrt{G_{(U,x_1,\ldots,x_n)}(p)}\in(0,\infty)$ は $C^\infty$ 級であるから体積要素 $\Omega_M$ は $C^\infty$級である。

=== 命題19.9（正の向きの局所座標であるための条件） ===
$M$ をEuclid空間内の向き付けられた $n$ 次元多様体とし、$\Omega_M$ をその体積要素とする。このとき $M$ の局所座標 $(U,x_1,\ldots,x_n)$ に対し次は互いに同値である。
*$(1)$　$(U,x_1,\ldots,x_n)$ は $M$ の正の向きの局所座標である。
*$(2)$　任意の $p\in U$ に対し $\Omega_{M,p}\left(\frac{\partial}{\partial x_1}p,\ldots,\frac{\partial}{\partial x_n}p\right)>0$.
{{begin |proof }}
$(1)\Rightarrow(2)$ を示す。$(1)$ が成り立つならば、
$$
\Omega_{M,p}=\sqrt{G_{(U,x_1,\ldots,x_n)}(p)}dx_{1,p}\wedge \ldots\wedge dx_{n,p}\quad(\forall p\in U)
$$
であるから、
$$
\Omega_{M,p}\left(\frac{\partial}{\partial x_1}p,\ldots,\frac{\partial}{\partial x_n}p\right)=\sqrt{G_{(U,x_1,\ldots,x_n)}(p)}>0\quad(\forall p\in U)
$$
である。よって $(2)$ が成り立つ。 
$(2)\Rightarrow(1)$ を示す。$(2)$ が成り立つとする。$U\cap V\neq\emptyset$ なる $M$ の任意の正の向きの局所座標 $(V,y_1,\ldots,y_n)$ を取る。任意の $p\in U\cap V$ に対し、
$$
dy_{i,p}=\sum_{j=1}^{n}\frac{\partial y_i}{\partial x_j}(p)dx_{j,p}
$$
であることと外積の反対称性より、
$$
\begin{aligned}
\Omega_{M,p}&=\sqrt{G_{(V,y_1,\ldots,y_n)}(p)}dy_{1,p}\wedge\ldots\wedge dy_{n,p}\\
&=\sqrt{G_{(V,y_1,\ldots,y_n)}(p)}{\rm det}\left(\frac{\partial y_i}{\partial x_j}(p)\right)_{i,j}dx_{1,p}\wedge\ldots\wedge dx_{n,p}
\end{aligned}
$$
であるから、
$$
0<\Omega_{M,p}\left(\frac{\partial}{\partial x_1}p,\ldots,\frac{\partial}{\partial x_n}p\right)
=\sqrt{G_{(V,y_1,\ldots,y_n)}(p)}{\rm det}\left(\frac{\partial y_i}{\partial x_j}(p)\right)_{i,j}
$$
である。よって、
$$
{\rm det}\left(\frac{\partial y_i}{\partial x_j}(p)\right)_{i,j}\quad(\forall p\in U\cap V)
$$
である。ゆえに $(U,x_1,\ldots,x_n)$ は $M$ の任意の正の向きの局所座標と（交わる限り）同じ向きであるから正の向きの局所座標である。
{{end|proof|}}

== 20. 向き付けられた超曲面上の正の向きの単位法線ベクトル場 ==

=== 命題20.1（向き付けられた超曲面上の単位法線ベクトル場の存在） ===
$M$をEuclid空間 $\mathbb{R}^N$ 内の向き付けられた超曲面（向き付けられた $N-1$ 次元多様体）とする。このときベクトル場 $\nu\colon M\rightarrow \mathbb{R}^N$ で $M$ の任意の正の向きの局所座標 $(U,x_1,\ldots,x_{N-1})$ に対し、
$$
\nu(p)=\frac{1}{\sqrt{G_{(U,x_1,\ldots,x_{N-1})}(p)}}\left(\frac{\partial}{\partial x_1}p\times\ldots\times \frac{\partial}{\partial x_{N-1}}p\right)\quad(\forall p\in U)
$$
を満たすものが唯一つ存在する（右辺はベクトル積（'''定義11.1'''）である)。そしてこの $\nu\colon M\rightarrow\mathbb{R}^N$ は $C^\infty$ 級であり、
$$
\nu(p)\in (T_p(M))^{\perp},\quad\lvert\nu(p)\rvert=1\quad(\forall p\in M)
$$
を満たす。
{{begin |proof }}
条件を満たす $\nu\colon M\rightarrow\mathbb{R}^N$ が一意存在することを示すためには $U\cap V\neq\emptyset$ なる $M$ の任意の正の向きの局所座標 $(U,x_1,\ldots,x_{N-1})$, $(V,y_1,\ldots,y_{N-1})$ と任意の $p\in U\cap V$ を取り、
$$
\frac{1}{\sqrt{G_{(U,x_1,\ldots,x_{N-1})}(p)}}\left(\frac{\partial}{\partial x_1}p\times\ldots\times \frac{\partial}{\partial x_{N-1}}p\right)
=\frac{1}{\sqrt{G_{(V,y_1,\ldots,y_{N-1})}(p)}}\left(\frac{\partial}{\partial y_1}p\times\ldots\times \frac{\partial}{\partial y_{N-1}}p\right)\quad\quad(*)
$$
が成り立つことを示せばよい。$(U,x_1,\ldots,x_{N-1})$, $(V,y_1,\ldots,y_{N-1})$ が互いに同じ向きであることと'''命題12.3'''より、
$$
\sqrt{G_{(U,x_1,\ldots,x_{N-1})}(p)}={\rm det}\left(\frac{\partial y_i}{\partial x_j}(p)\right)_{i,j}
\sqrt{G_{(V,y_1,\ldots,y_{N-1})}(p)}
$$
である。また、
$$
\frac{\partial }{\partial x_j}p=\sum_{i=1}^{N-1}\frac{\partial y_i}{\partial x_j}(p)\frac{\partial}{\partial y_i}p
$$
であることとベクトル積の反対称性より,
$$
\left(\frac{\partial}{\partial x_1}p\times\ldots\times \frac{\partial}{\partial x_{N-1}}p\right)
={\rm det}\left(\frac{\partial y_i}{\partial x_j}(p)\right)_{i,j}
\left(\frac{\partial}{\partial y_1}p\times\ldots\times \frac{\partial}{\partial y_{N-1}}p\right)
$$
である。よって $(*)$ が成り立つ。
$\nu(p)\in (T_p(M))^{\perp}$ であることは'''命題11.2'''の $(3)$ による。$\lvert \nu(p)\rvert=1$ であることについては'''定義12.2'''を参照。
$\nu:M\rightarrow \mathbb{R}^N$ が $C^\infty$ 級であることは $U\ni p\mapsto \frac{\partial }{\partial x_j}p\in \mathbb{R}^N$ や $U\ni p\mapsto G_{U,x_1,\ldots,x_{N-1}}(p)\in (0,\infty)$ が $C^\infty$ 級であることによる。
{{end|proof|}}

=== 定義20.2（向き付けられた超曲面上の正の向きの単位法線ベクトル場） ===
$M$ をEuclid空間 $\mathbb{R}^N$ 内の向き付けられた超曲面とする。このとき'''命題20.1'''よりベクトル場 $\nu\colon M\rightarrow \mathbb{R}^N$ で $M$ の任意の正の向きの局所座標 $(U,x_1,\ldots,x_{N-1})$ に対し、
$$
\nu_M(p)=\frac{(-1)^{N-1}}{\sqrt{G_{(U,x_1,\ldots,x_{N-1})}(p)}}\left(\frac{\partial}{\partial x_1}p\times\ldots\times \frac{\partial}{\partial x_{N-1}}p\right)\quad(\forall p\in U)
$$
を満たすものが一意的に定まる。そしてこの $\nu_M\colon M\rightarrow\mathbb{R}^N$ は $C^\infty$ 級であり、
$$
\nu_M(p)\in (T_p(M))^{\perp},\quad\lvert\nu_M(p)\rvert=1\quad(\forall p\in M)
$$
を満たす。$\nu:M\rightarrow \mathbb{R}^N$ を向き付けられた超曲面 $M$ 上の正の向きの単位法線ベクトル場と呼ぶ。

== 21. 多様体内の滑らかな境界を持つ開集合 ==

=== 定義21.1（直方体局所座標） ===
$M$ をEuclid空間内の $n$ 次元多様体とする。$M$ の局所座標 $(U,\varphi)$ が直方体局所座標であるとは $\mathbb{R}^n$ の開集合 $\varphi(U)$ が $n$個の有界開区間の直積であることを言う。

=== 注意21.2（直方体局所座標と向き） ===
$M$ をEuclid空間内の向き付けられた $n$ 次元多様体とし、$(U,\varphi,x_1,\ldots,x_n)$ を $M$ の任意の直方体局所座標とする。このとき $(U,x_1,\ldots,x_n)$ か $(U,-x_1,x_2,\ldots,x_n)$ のいずれか一方は $M$ の正の向きの局所座標である。実際、直方体 $\varphi(U)$ の連結性ゆえ $U$ は連結であるから、$M$ の体積要素 $\Omega_M$ に対し連続関数
$$
U\ni p\mapsto \Omega_{M,p}\left(\frac{\partial}{\partial x_1}p,\ldots,\frac{\partial}{\partial x_n}p\right)\in \mathbb{R}\backslash \{0\}\quad\quad(*)
$$
は常に正か常に負である。もし $(*)$ が常に正ならば'''命題19.9'''より $(U,x_1,\ldots,x_n)$ は正の向きであり、$(*)$ が常に負ならば、
$$
\Omega_{M,p}\left(\frac{\partial}{\partial (-x_1)}p,\ldots,\frac{\partial}{\partial x_n}p\right)
=-\Omega_{M,p}\left(\frac{\partial}{\partial x_1}p,\ldots,\frac{\partial}{\partial x_n}p\right)>0
$$
であるから $(U,-x_1,x_2\ldots,x_n)$ は正の向きである。

=== 定義21.3（多様体内の滑らかな境界を持つ開集合） ===
$M$ をEuclid空間内の $n$ 次元多様体とする。開集合 $D\subset M$ が滑らかな境界を持つとは、任意の $p\in \partial D=\overline{D}\backslash D$ に対し $p$ の周りの $M$ の直方体局所座標 $(U,\varphi)$ で、
$$
\begin{aligned}
&\varphi(U\cap \partial D)=\varphi(U)\cap (\mathbb{R}^{n-1}\times \{0\}),\\
&\varphi(U\cap D)=\varphi(U)\cap (\mathbb{R}^{n-1}\times (0,\infty))\quad\quad(*)
\end{aligned}
$$
を満たすものが取れることを言う。このとき'''命題2.5'''より $\partial D$ は $M$ の $n-1$ 次元部分多様体である。

=== 補題21.4 ===
$M$ をEuclid空間内の向き付けられた $n$ 次元多様体とし、$D\subset M$ を滑らかな境界を持つ開集合とする。このとき任意の $p\in \partial D$ に対し $p$ の周りの $M$ の'''正の向きの'''直方体局所座標 $(U,\varphi)$ で'''定義21.3'''の $(*)$ を満たすものが取れる。
{{begin |proof }}
'''定義21.3'''より任意の $p\in \partial D$ に対し $p$ の周りの $M$ の直方体局所座標 $(U,\varphi,x_1,\ldots,x_n)$ で'''定義21.3'''の $(*)$ を満たすものが取れる。$(U,x_1,\ldots,x_n)$ が $M$ の正の向きの局所座標ではないとすると、'''注意21.2'''より $(U,-x_1,x_2\ldots,x_n)$ は正の向きの直方体局所座標である。そしてこれは'''定義21.3'''の $(*)$ を満たす。
{{end|proof|}}

=== 命題21.5（滑らかな境界の向き付け可能性） ===
$M$ をEuclid空間内の向き付けられた $n$ 次元多様体とし、$D\subset M$ を滑らかな境界を持つ開集合とする。そして $M$ の正の向きの直方体局所座標 $(U,\varphi,x_1,\ldots,x_n)$ で、$U\cap \partial D\neq\emptyset$、
$$
\varphi(U\cap \partial D)=\varphi(U)\cap (\mathbb{R}^{n-1}\times \{0\}),\quad
\varphi(U\cap D)=\varphi(U)\cap (\mathbb{R}^{n-1}\times (0,\infty))\quad\quad(*)
$$
を満たすもの全体を $\mathcal{A}$ とおく。このとき、
$$
\{(U\cap \partial D, x_1,\ldots,x_{n-1}): (U,x_1,\ldots,x_n)\in \mathcal{A}\}\quad\quad(**)
$$
は $n-1$ 次元部分多様体 $\partial D\subset M$ の互いに同じ向きの局所座標からなるアトラスである。
{{begin |proof }}
$(**)$ が $\partial D$ のアトラスであることは'''補題21.4'''と'''命題2.5'''による。$(**)$ が互いに同じ向きの局所座標からなることを示す。任意の $(U,x_1,\ldots,x_n), (V,y_1,\ldots,y_n)\in \mathcal{A}$ と任意の $p\in U\cap V\cap\partial D$ を取る。$(*)$ より、
$$
\frac{\partial y_n}{\partial x_j}(p)=0\quad(j=1,\ldots,n-1),\quad
\frac{\partial y_n}{\partial x_n}(p)>0
$$
であるから、
$$
{\rm det}\left(\frac{\partial y_i}{\partial x_j}(p)\right)_{i,j=1,\ldots,n-1}=\left(\frac{\partial y_n}{\partial x_n}(p)\right)^{-1}{\rm det}\left(\frac{\partial y_i}{\partial x_j}(p)\right)_{i,j=1,\ldots,n}>0
$$
である。よって $(U\cap\partial D,x_1,\ldots,x_{n-1})$, $(V\cap\partial D,y_1,\ldots,y_{n-1})$ は互いに同じ向きであるので $(**)$ は $\partial D$ の互いに同じ向きの局所座標からなるアトラスである。
{{end|proof|}}

=== 定義21.6（滑らかな境界の向き） ===
$M$ をEuclid空間内の向き付けられた $n$ 次元多様体とし、$D\subset M$ を滑らかな境界を持つ開集合とする。このとき'''命題21.5'''より $n-1$ 次元部分多様体 $\partial D\subset M$ は向き付け可能である。'''命題21.5'''における $\mathcal{A}$ に対し、
$$
\{(U\cap \partial D, (-1)^{n}x_1,x_2,\ldots,x_{n-1}): (U,x_1,\ldots,x_n)\in \mathcal{A}\}
$$
は互いに同じ向きの局所座標からなる $\partial D$ のアトラスであり、この同値類を $\partial D$ の向きと定める。この $\partial D$ の向きを $M$ の向きに整合する $\partial D$ の向きと言う。

== 22. 外向き単位法線ベクトル場 ==

=== 定義22.1（外向き単位法線ベクトル場） ===
$D\subset \mathbb{R}^N$ を滑らかな境界を持つ開集合（'''定義21.3'''）とする。そして $\partial D$ に $\mathbb{R}^N$ の向き（'''定義19.5'''）に整合する向き（'''定義21.6'''）を入れる。このとき超曲面 $\partial D$ の正の向きの単位法線ベクトル場（'''定義20.2'''） $\nu\colon\partial D\rightarrow \mathbb{R}^N$ を $D$ の境界 $\partial D$ 上の外向き単位法線ベクトル場と言う。この名称の妥当性は次による。任意の $p\in \partial D$ に対し $p$ の周りの $\mathbb{R}^N$ の正の向きの直方体局所座標 $(U,\varphi,x_1,\ldots,x_N)$ で、
$$
\varphi(U\cap \partial D)=\varphi(U)\cap (\mathbb{R}^{N-1}\times\{0\}),\quad
\varphi(U\cap D)=\varphi(U)\cap (\mathbb{R}^{N-1}\times(0,\infty))\quad\quad(*)
$$
を満たすものが取れる。'''定義21.6'''より $(U\cap\partial D,(-1)^Nx_1,x_2,\ldots,x_{N-1})$ は $\partial D$ の正の向きの局所座標であるから、正の向きの単位法線ベクトル場の定義（'''定義20.2'''）より、
$$
\begin{aligned}
\nu(p)&=\frac{(-1)^{N-1}}{\sqrt{G_{(U\cap\partial D,(-1)^Nx_1,\ldots,x_{N-1})}(p)}}\left(\frac{\partial}{\partial(-1)^{N}x_1}p\times\ldots\times\frac{\partial}{\partial x_{N-1}}p\right)\\
&=\frac{-1}{\sqrt{G_{(U\cap\partial D,x_1,\ldots,x_{N-1})}(p)}}\left(\frac{\partial}{\partial x_1}p\times\ldots\times\frac{\partial}{\partial x_{N-1}}p\right)
\end{aligned}
$$
である。$(*)$ より $\frac{\partial}{\partial x_N}p\in\mathbb{R}^N$ は $p\in \partial D$ から $D$の'''内側'''を向いており、ベクトル積の性質（'''命題11.2'''）より、
$$
\nu(p)\cdot\frac{\partial}{\partial x_N}p=\frac{-1}{\sqrt{G_{(U\cap\partial D,x_1,\ldots,x_{N-1})}(p)}}{\rm det}\left(\frac{\partial}{\partial x_1}p,\ldots,\frac{\partial}{\partial x_N}p\right)<0
$$
である<ref>$(U,x_1,\ldots,x_N)$ は $\mathbb{R}^N$ の正の向きの局所座標なので ${\rm det}\left(\frac{\partial}{\partial x_1}p,\ldots,\frac{\partial}{\partial x_N}p\right)>0$である。</ref>。よって $\nu(p)$ は $p\in \partial D$ から $D$ の'''外側'''を向いている。

=== 命題22.2（外向き単位法線ベクトル場と勾配） ===
$f\colon\mathbb{R}^N\rightarrow \mathbb{R}$ を $C^\infty$ 級関数とする。$\mathbb{R}^N$ の開集合 $D=\{p\in \mathbb{R}^N:f(p)>0\}$ に対し、
$$
\partial D=\{p\in \mathbb{R}^N:f(p)=0\},\quad df_p\neq0\quad(\forall p\in\partial D)\quad\quad(*)
$$
が成り立つと仮定する。このとき $D$ は滑らかな境界を持つ開集合であり、$\partial D$ 上の外向き単位法線ベクトル場（'''定義22.1'''）$\nu\colon \partial D\rightarrow \mathbb{R}^N$ に対し、
$$
{\rm grad}_p(f)=-\lvert {\rm grad}_p(f)\rvert \nu(p)\quad(\forall p\in\partial D)
$$
が成り立つ。
{{begin |proof }}
$(*)$ と'''定理8.2'''より任意の $p_0\in\partial D$ に対し $p_0$ の周りの $\mathbb{R}^N$ の局所座標 $(U,\varphi;x_1,\ldots,x_N)$ で、
$$
x_N(p)=f(p)\quad(\forall p\in U)\quad\quad(**)
$$
なるものが取れる。必要ならば $p_0$ の開近傍 $U$ を小さく取り直し $(U,\varphi)$ は $\mathbb{R}^N$ の直方体局所座標であるとしてよい。$(**)$ より、
$$
\begin{aligned}
&\varphi(U\cap D)=\varphi(U)\cap (\mathbb{R}^{N-1}\times(0,\infty)),\\
&\varphi(U\cap\partial D)=\varphi(U)\cap (\mathbb{R}^{N-1}\times\{0\})
\end{aligned}
$$
である。$p_0\in\partial D$ は任意であるから $D$ は滑らかな境界を持つ開集合である。上述した $p_0\in\partial D$ の周りの局所座標 $(U,x_1,\ldots,x_N)$ について必要ならば $x_1$ を $-x_1$ に置き換えることにより $(U,x_1,\ldots,x_N)$ は $\mathbb{R}^N$ の正の向きの直方体局所座標であるとする。$(U,x_1,\ldots,x_N)$ に対する計量行列（'''定義12.2'''）
$$
\left(\frac{\partial }{\partial x_i}p\cdot\frac{\partial }{\partial x_j}p\right)_{i,j}\in\mathbb{M}_{N\times N}(\mathbb{R})\quad(\forall p\in U)\quad\quad(***)
$$
の逆行列を $(g^{i,j}(p))_{i,j}$ $(\forall p\in U)$ とおくと'''命題12.5'''より、
$$
{\rm grad}_p(f)=\sum_{i,j=1}^{N}g^{i,j}(p)\frac{\partial f}{\partial x_j}(p)\frac{\partial}{\partial x_i}p\quad(\forall p\in U)
$$
である。ここで $(**)$ より任意の $p\in U$ に対し、
$$
\frac{\partial f}{\partial x_j}(p)=0\quad(j=1,\ldots,N-1),\quad \frac{\partial f}{\partial x_N}(p)=1
$$
であるから、
$$
{\rm grad}_p(f)=\sum_{i=1}^{N}g^{i,N}(p)\frac{\partial}{\partial x_i}p\quad(\forall p\in U)\quad\quad(****)
$$
である。また $(U\cap\partial D,x_1,\ldots,x_{N-1})$ は $\partial D$ の局所座標であるから、
$$
T_p(\partial D)=\text{span}\left\{\frac{\partial}{\partial x_1}p,\ldots,\frac{\partial}{\partial x_{N-1}}p\right\}\quad(\forall p\in U\cap\partial D)
$$
であり、勾配の定義（'''定義12.4'''）と $(****)$ より、
$$
{\rm grad}_p(f)\cdot\frac{\partial}{\partial x_j}p=\frac{\partial f}{\partial x_j}(p)=0\quad(\forall p\in U,j=1,\ldots,N-1)
$$
であるから、
$$
{\rm grad}_p(f)\in (T_p(\partial D))^{\perp}=\text{span}\{\nu(p)\}\quad(\forall p\in U\cap\partial D)\quad\quad(*****)
$$
である。外向き単位法線ベクトル場の定義（'''定義22.1'''）より、
$$
\nu(p)=\frac{-1}{\sqrt{G_{(U\cap\partial D,x_1,\ldots,x_{N-1})}(p)}}\left(\frac{\partial}{\partial x_1}p\times\ldots\times\frac{\partial}{\partial x_{N-1}}p\right)\quad(\forall p\in U\cap\partial D)
$$
であるから、任意の $p\in U\cap\partial D$ に対し $(****)$ とベクトル積の性質（''命題11.2''）より、
$$
{\rm grad}_p(f)\cdot\nu(p)=-\frac{g^{N,N}(p)}{\sqrt{G_{(U\cap\partial D,x_1,\ldots,x_{N-1})}(p)}}{\rm det}\left(\frac{\partial}{\partial x_1}p,\ldots,\frac{\partial}{\partial x_N}p\right)
$$
となる。ここで計量行列 $(***)$ の逆行列 $(g^{i,j}(p))_{i,j}$ の $(N,N)$ 成分 $g^{N,N}(p)$ を余因子展開で表すと、
$$
G_{(U\cap\partial D,x_1,\ldots,x_{N-1})}(p)={\rm det}\left(\frac{\partial}{\partial x_i}p\cdot\frac{\partial}{\partial x_j}p\right)_{i,j=1,\ldots,N-1}\quad(\forall p\in U\cap\partial D)
$$
より、
$$
g^{N,N}(p)=\frac{G_{(U\cap\partial D,x_1,\ldots,x_{N-1})}(p)}{G_{(U,x_1,\ldots,x_N)}(p)}\quad(\forall p\in U\cap\partial D)
$$
となる。また $(U,x_1,\ldots,x_N)$ は $\mathbb{R}^N$ の正の向きの局所座標であるので計量行列 $(***)$ の行列式は、
$$
\sqrt{G_{(U,x_1,\ldots,x_N)}(p)}=\left\lvert{\rm det}\left(\frac{\partial}{\partial x_1}p,\ldots,\frac{\partial}{\partial x_N}p\right)\right\rvert
={\rm det}\left(\frac{\partial}{\partial x_1}p,\ldots,\frac{\partial}{\partial x_N}p\right)
$$
である。よって、
$$
{\rm grad}_p(f)\cdot\nu(p)=-\frac{g^{N,N}(p)}{\sqrt{G_{(U\cap\partial D,x_1,\ldots,x_{N-1})}(p)}}\sqrt{G_{(U,x_1,\ldots,x_N)}(p)}=-\frac{\sqrt{G_{(U\cap\partial D,x_1,\ldots,x_{N-1})}(p)}}{\sqrt{G_{(U,x_1,\ldots,x_N)}(p)}}<0
$$
である。これと $(*****)$ より、
$$
{\rm grad}_p(f)=-\lvert {\rm grad}_p(f)\rvert\nu(p)\quad(\forall p\in U\cap\partial D)
$$
を得る。
{{end|proof|}}

== 次のページ ==
*[[ベクトル解析6：Stokesの定理]]

== 脚注 ==

ベクトル解析5：多様体の向き

2026-04-03T06:50:20Z

Kataoka: /* 命題21.5（滑らかな境界の向き付け可能性） */

この章では多様体の向きと、向き付けられた超曲面上の単位法線ベクトル場、向き付けられた多様体内の滑らかな境界を持つ開集合の境界上の外向き単位法線ベクトル場について述べる。
<noinclude>
{{TOC |align=right |noautonum=1 }}
'''[[ベクトル解析]]'''
* [[ベクトル解析1：Euclid空間内の多様体上の関数の微分]]
* [[ベクトル解析2：微分形式]]
* [[ベクトル解析3：Euclid空間内の多様体の計量]]
* [[ベクトル解析4：Euclid空間内の多様体上の測度と積分]]
* '''ベクトル解析5：多様体の向き'''
*[[ベクトル解析6：Stokesの定理]]
</noinclude>
== 19. 多様体の向きと体積要素 ==

=== 定義19.1（互いに同じ向きの局所座標） ===
$M$ をEuclid空間内の $n$ 次元多様体とする。$M$ の局所座標 $(U,x_1,\ldots,x_n)$ と $(V,y_1,\ldots,y_n)$ が互いに同じ向きであるとは、$U\cap V\neq \emptyset$ であり、
$$
{\rm det}\left(\frac{\partial y_i}{\partial x_j}(p)\right)_{i,j}>0\quad(\forall p\in U\cap V)
$$
が成り立つことを言う。

=== 定義19.2（互いに同じ向きの局所座標からなるアトラス、向き付け可能性） ===
$M$ をEuclid空間内の多様体とする。$M$ のアトラス（'''定義2.1'''）が互いに同じ向きの局所座標からなるアトラスであるとは、そのアトラスに属するどの $2$ つの局所座標もそれらが交わる限り互いに同じ向きであることを言う。
$M$ が向き付け可能であるとは、互いに同じ向きの局所座標からなるアトラスが取れることを言う。

=== 定義19.3（多様体の向き、向き付けられた多様体の正の向きの局所座標） ===
$M$ をEuclid空間内の向き付け可能な多様体とし、$\mathcal{A}_1$ と $\mathcal{A}_2$ がそれぞれ互いに同じ向きの局所座標からなる $M$ のアトラスとする。$\mathcal{A}_1\cup \mathcal{A}_2$ が互いに同じ向きの局所座標からなるアトラスであるとき、$\mathcal{A}_1\sim \mathcal{A}_2$ と表すこととする。$U\cap V\cap W\neq \emptyset$ なる任意の $M$ の局所座標 $(U,x_1,\ldots,x_n)$, $(V,y_1,\ldots,y_n)$, $(W,z_1,\ldots,z_n)$ に対し、
$$
\left(\frac{\partial z_i}{\partial x_j}(p)\right)_{i,j}=\left(\sum_{k=1}^{n}\frac{\partial z_i}{\partial y_k}(p)\frac{\partial y_k}{\partial x_j}(p)\right)_{i,j}\quad(\forall p\in U\cap V\cap W)
$$
であるから、
$$
{\rm det}\left(\frac{\partial z_i}{\partial x_j}(p)\right)_{i,j}=
{\rm det}\left(\frac{\partial z_i}{\partial y_j}(p)\right)_{i,j}{\rm det}\left(\frac{\partial y_i}{\partial x_j}(p)\right)_{i,j}
$$
である。よって $\sim$ は互いに同じ向きの局所座標からなるアトラス全体における同値関係である。この同値関係による同値類のそれぞれを $M$ の向きと言う。そして $M$ の向きが $1$ つ指定されているとき $M$ は向き付けられていると言う。$M$ が向き付けられているとき、$M$ の向きに属するアトラス全ての合併は $M$ の向きに属する最大のアトラスである。このアトラスに属する局所座標を $M$ の正の向きの局所座標と言う。

=== 定義19.4（向き付けられた多様体の開集合の向き） ===
$M$ をEuclid空間内の向き付けられた多様体とし、$D\subset M$ を空でない開集合とする。$D$ の局所座標は定義域が $D$ に含まれる $M$ の局所座標である。よって $D$ には、その正の向きの局所座標が $M$ の正の向きの局所座標となるような自然な向きが定まる（定義域が $D$ に含まれるような $M$ の正の向きの局所座標全体からなる $D$ のアトラスを考え、その同値類を $D$ の向きと定めればよい)。以後、特に断らない限り向き付けられた多様体の開集合はこうして向き付けられているものとする。

=== 定義19.5（Euclid空間の向き） ===
Euclid空間 $\mathbb{R}^N$ の向きを標準座標 $(x_1,\ldots,x_N)$ が正の向きとなるように定義する。

=== 注意19.6 ===
'''定義13.6'''で述べた正の向きの直交座標はEuclid空間の正の向きの局所座標である。

=== 命題19.7（向き付けられた多様体の体積要素の一意存在） ===
$M$ をEuclid空間内の向き付けられた $n$ 次元多様体とする。このとき $M$ の $n$ 階微分形式 $\Omega_M$ で $M$ の任意の正の向きの局所座標 $(U,x_1,\ldots,x_n)$ に対し、
$$
\Omega_{M,p}=\sqrt{G_{(U,x_1,\ldots,x_n)}(p)} dx_{1,p}\wedge\ldots\wedge dx_{n,p}\quad(\forall p\in U)
$$
を満たすものが唯一つ存在する。ただし $G_{(U,x_1,\ldots,x_n)}(p)$ は $(U,x_1,\ldots,x_n)$ に対する計量行列の行列式（'''定義12.2'''）である。
{{begin |proof }}
$U\cap V\neq\emptyset$ を満たす $M$ の任意の正の向きの局所座標 $(U,x_1,\ldots,x_n)$, $(V,y_1,\ldots,y_n)$ と任意の $p\in U\cap V$ に対し、
$$
\sqrt{G_{(U,x_1,\ldots,x_n)}(p)} dx_{1,p}\wedge\ldots\wedge dx_{n,p}
=\sqrt{G_{(V,y_1,\ldots,y_n)}(p)} dy_{1,p}\wedge \ldots \wedge dy_{n,p}
$$
が成り立つことを示せばよい。$(U,x_1,\ldots,x_n)$, $(V,y_1,\ldots,y_n)$ が互いに同じ向きであることと'''命題12.3'''より、
$$
\begin{aligned}
\sqrt{G_{(U,x_1,\ldots,x_n)}(p)}&=\sqrt{G_{(V,y_1,\ldots,y_n)}(p)}\left\lvert{\rm det}\left(\frac{\partial y_i}{\partial x_j}(p)\right)_{i,j}\right\rvert\\
&=\sqrt{G_{(V,y_1,\ldots,y_n)}(p)}{\rm det}\left(\frac{\partial y_i}{\partial x_j}(p)\right)_{i,j}
\end{aligned}
$$
である。また、
$$
dy_{i,p}=\sum_{j=1}^{n}\frac{\partial y_i}{\partial x_j}(p)dx_{j,p}
$$
であることと外積の反対称性より、
$$
dy_{1,p}\wedge \ldots\wedge dy_{n,p}={\rm det}\left(\frac{\partial y_i}{\partial x_j}(p)\right)_{i,j}dx_{1,p}\wedge \ldots\wedge dx_{n,p}
$$
である。よって、
$$
\begin{aligned}
\sqrt{G_{(U,x_1,\ldots,x_n)}(p)}dx_{1,p}\wedge\ldots\wedge dx_{n,p}
&=\sqrt{G_{(V,y_1,\ldots,y_n)}(p)}{\rm det}\left(\frac{\partial y_i}{\partial x_j}(p)\right)_{i,j}dx_{1,p}\wedge\ldots\wedge dx_{n,p}\\
&=\sqrt{G_{(V,y_1,\ldots,y_n)}(p)}dy_{1,p}\wedge\ldots\wedge dy_{n,p}
\end{aligned}
$$
である。
{{end|proof|}}

=== 定義19.8（向き付けられた多様体の体積要素） ===
$M$ をEuclid空間内の向き付けられた$n$次元多様体とする。'''命題19.7'''における $M$ の$n$ 階微分形式 $\Omega_M$ を $M$ の体積要素と呼ぶ。

$U\ni p\mapsto \sqrt{G_{(U,x_1,\ldots,x_n)}(p)}\in(0,\infty)$ は $C^\infty$ 級であるから体積要素 $\Omega_M$ は $C^\infty$級である。

=== 命題19.9（正の向きの局所座標であるための条件） ===
$M$ をEuclid空間内の向き付けられた $n$ 次元多様体とし、$\Omega_M$ をその体積要素とする。このとき $M$ の局所座標 $(U,x_1,\ldots,x_n)$ に対し次は互いに同値である。
*$(1)$　$(U,x_1,\ldots,x_n)$ は $M$ の正の向きの局所座標である。
*$(2)$　任意の $p\in U$ に対し $\Omega_{M,p}\left(\frac{\partial}{\partial x_1}p,\ldots,\frac{\partial}{\partial x_n}p\right)>0$.
{{begin |proof }}
$(1)\Rightarrow(2)$ を示す。$(1)$ が成り立つならば、
$$
\Omega_{M,p}=\sqrt{G_{(U,x_1,\ldots,x_n)}(p)}dx_{1,p}\wedge \ldots\wedge dx_{n,p}\quad(\forall p\in U)
$$
であるから、
$$
\Omega_{M,p}\left(\frac{\partial}{\partial x_1}p,\ldots,\frac{\partial}{\partial x_n}p\right)=\sqrt{G_{(U,x_1,\ldots,x_n)}(p)}>0\quad(\forall p\in U)
$$
である。よって $(2)$ が成り立つ。 
$(2)\Rightarrow(1)$ を示す。$(2)$ が成り立つとする。$U\cap V\neq\emptyset$ なる $M$ の任意の正の向きの局所座標 $(V,y_1,\ldots,y_n)$ を取る。任意の $p\in U\cap V$ に対し、
$$
dy_{i,p}=\sum_{j=1}^{n}\frac{\partial y_i}{\partial x_j}(p)dx_{j,p}
$$
であることと外積の反対称性より、
$$
\begin{aligned}
\Omega_{M,p}&=\sqrt{G_{(V,y_1,\ldots,y_n)}(p)}dy_{1,p}\wedge\ldots\wedge dy_{n,p}\\
&=\sqrt{G_{(V,y_1,\ldots,y_n)}(p)}{\rm det}\left(\frac{\partial y_i}{\partial x_j}(p)\right)_{i,j}dx_{1,p}\wedge\ldots\wedge dx_{n,p}
\end{aligned}
$$
であるから、
$$
0<\Omega_{M,p}\left(\frac{\partial}{\partial x_1}p,\ldots,\frac{\partial}{\partial x_n}p\right)
=\sqrt{G_{(V,y_1,\ldots,y_n)}(p)}{\rm det}\left(\frac{\partial y_i}{\partial x_j}(p)\right)_{i,j}
$$
である。よって、
$$
{\rm det}\left(\frac{\partial y_i}{\partial x_j}(p)\right)_{i,j}\quad(\forall p\in U\cap V)
$$
である。ゆえに $(U,x_1,\ldots,x_n)$ は $M$ の任意の正の向きの局所座標と（交わる限り）同じ向きであるから正の向きの局所座標である。
{{end|proof|}}

== 20. 向き付けられた超曲面上の正の向きの単位法線ベクトル場 ==

=== 命題20.1（向き付けられた超曲面上の単位法線ベクトル場の存在） ===
$M$をEuclid空間 $\mathbb{R}^N$ 内の向き付けられた超曲面（向き付けられた $N-1$ 次元多様体）とする。このときベクトル場 $\nu\colon M\rightarrow \mathbb{R}^N$ で $M$ の任意の正の向きの局所座標 $(U,x_1,\ldots,x_{N-1})$ に対し、
$$
\nu(p)=\frac{1}{\sqrt{G_{(U,x_1,\ldots,x_{N-1})}(p)}}\left(\frac{\partial}{\partial x_1}p\times\ldots\times \frac{\partial}{\partial x_{N-1}}p\right)\quad(\forall p\in U)
$$
を満たすものが唯一つ存在する（右辺はベクトル積（'''定義11.1'''）である)。そしてこの $\nu\colon M\rightarrow\mathbb{R}^N$ は $C^\infty$ 級であり、
$$
\nu(p)\in (T_p(M))^{\perp},\quad\lvert\nu(p)\rvert=1\quad(\forall p\in M)
$$
を満たす。
{{begin |proof }}
条件を満たす $\nu\colon M\rightarrow\mathbb{R}^N$ が一意存在することを示すためには $U\cap V\neq\emptyset$ なる $M$ の任意の正の向きの局所座標 $(U,x_1,\ldots,x_{N-1})$, $(V,y_1,\ldots,y_{N-1})$ と任意の $p\in U\cap V$ を取り、
$$
\frac{1}{\sqrt{G_{(U,x_1,\ldots,x_{N-1})}(p)}}\left(\frac{\partial}{\partial x_1}p\times\ldots\times \frac{\partial}{\partial x_{N-1}}p\right)
=\frac{1}{\sqrt{G_{(V,y_1,\ldots,y_{N-1})}(p)}}\left(\frac{\partial}{\partial y_1}p\times\ldots\times \frac{\partial}{\partial y_{N-1}}p\right)\quad\quad(*)
$$
が成り立つことを示せばよい。$(U,x_1,\ldots,x_{N-1})$, $(V,y_1,\ldots,y_{N-1})$ が互いに同じ向きであることと'''命題12.3'''より、
$$
\sqrt{G_{(U,x_1,\ldots,x_{N-1})}(p)}={\rm det}\left(\frac{\partial y_i}{\partial x_j}(p)\right)_{i,j}
\sqrt{G_{(V,y_1,\ldots,y_{N-1})}(p)}
$$
である。また、
$$
\frac{\partial }{\partial x_j}p=\sum_{i=1}^{N-1}\frac{\partial y_i}{\partial x_j}(p)\frac{\partial}{\partial y_i}p
$$
であることとベクトル積の反対称性より,
$$
\left(\frac{\partial}{\partial x_1}p\times\ldots\times \frac{\partial}{\partial x_{N-1}}p\right)
={\rm det}\left(\frac{\partial y_i}{\partial x_j}(p)\right)_{i,j}
\left(\frac{\partial}{\partial y_1}p\times\ldots\times \frac{\partial}{\partial y_{N-1}}p\right)
$$
である。よって $(*)$ が成り立つ。
$\nu(p)\in (T_p(M))^{\perp}$ であることは'''命題11.2'''の $(3)$ による。$\lvert \nu(p)\rvert=1$ であることについては'''定義12.2'''を参照。
$\nu:M\rightarrow \mathbb{R}^N$ が $C^\infty$ 級であることは $U\ni p\mapsto \frac{\partial }{\partial x_j}p\in \mathbb{R}^N$ や $U\ni p\mapsto G_{U,x_1,\ldots,x_{N-1}}(p)\in (0,\infty)$ が $C^\infty$ 級であることによる。
{{end|proof|}}

=== 定義20.2（向き付けられた超曲面上の正の向きの単位法線ベクトル場） ===
$M$ をEuclid空間 $\mathbb{R}^N$ 内の向き付けられた超曲面とする。このとき'''命題20.1'''よりベクトル場 $\nu\colon M\rightarrow \mathbb{R}^N$ で $M$ の任意の正の向きの局所座標 $(U,x_1,\ldots,x_{N-1})$ に対し、
$$
\nu_M(p)=\frac{(-1)^{N-1}}{\sqrt{G_{(U,x_1,\ldots,x_{N-1})}(p)}}\left(\frac{\partial}{\partial x_1}p\times\ldots\times \frac{\partial}{\partial x_{N-1}}p\right)\quad(\forall p\in U)
$$
を満たすものが一意的に定まる。そしてこの $\nu_M\colon M\rightarrow\mathbb{R}^N$ は $C^\infty$ 級であり、
$$
\nu_M(p)\in (T_p(M))^{\perp},\quad\lvert\nu_M(p)\rvert=1\quad(\forall p\in M)
$$
を満たす。$\nu:M\rightarrow \mathbb{R}^N$ を向き付けられた超曲面 $M$ 上の正の向きの単位法線ベクトル場と呼ぶ。

== 21. 多様体内の滑らかな境界を持つ開集合 ==

=== 定義21.1（直方体局所座標） ===
$M$ をEuclid空間内の $n$ 次元多様体とする。$M$ の局所座標 $(U,\varphi)$ が直方体局所座標であるとは $\mathbb{R}^n$ の開集合 $\varphi(U)$ が $n$個の有界開区間の直積であることを言う。

=== 注意21.2（直方体局所座標と向き） ===
$M$ をEuclid空間内の向き付けられた $n$ 次元多様体とし、$(U,\varphi,x_1,\ldots,x_n)$ を $M$ の任意の直方体局所座標とする。このとき $(U,x_1,\ldots,x_n)$ か $(U,-x_1,x_2,\ldots,x_n)$ のいずれか一方は $M$ の正の向きの局所座標である。実際、直方体 $\varphi(U)$ の連結性ゆえ $U$ は連結であるから、$M$ の体積要素 $\Omega_M$ に対し連続関数
$$
U\ni p\mapsto \Omega_{M,p}\left(\frac{\partial}{\partial x_1}p,\ldots,\frac{\partial}{\partial x_n}p\right)\in \mathbb{R}\backslash \{0\}\quad\quad(*)
$$
は常に正か常に負である。もし $(*)$ が常に正ならば'''命題19.9'''より $(U,x_1,\ldots,x_n)$ は正の向きであり、$(*)$ が常に負ならば、
$$
\Omega_{M,p}\left(\frac{\partial}{\partial (-x_1)}p,\ldots,\frac{\partial}{\partial x_n}p\right)
=-\Omega_{M,p}\left(\frac{\partial}{\partial x_1}p,\ldots,\frac{\partial}{\partial x_n}p\right)>0
$$
であるから $(U,-x_1,x_2\ldots,x_n)$ は正の向きである。

=== 定義21.3（多様体内の滑らかな境界を持つ開集合） ===
$M$ をEuclid空間内の $n$ 次元多様体とする。開集合 $D\subset M$ が滑らかな境界を持つとは、任意の $p\in \partial D=\overline{D}\backslash D$ に対し $p$ の周りの $M$ の直方体局所座標 $(U,\varphi)$ で、
$$
\begin{aligned}
&\varphi(U\cap \partial D)=\varphi(U)\cap (\mathbb{R}^{n-1}\times \{0\}),\\
&\varphi(U\cap D)=\varphi(U)\cap (\mathbb{R}^{n-1}\times (0,\infty))\quad\quad(*)
\end{aligned}
$$
を満たすものが取れることを言う。このとき'''命題2.5'''より $\partial D$ は $M$ の $n-1$ 次元部分多様体である。

=== 補題21.4 ===
$M$ をEuclid空間内の向き付けられた $n$ 次元多様体とし、$D\subset M$ を滑らかな境界を持つ開集合とする。このとき任意の $p\in \partial D$ に対し $p$ の周りの $M$ の'''正の向きの'''直方体局所座標 $(U,\varphi)$ で'''定義21.3'''の $(*)$ を満たすものが取れる。
{{begin |proof }}
'''定義21.3'''より任意の $p\in \partial D$ に対し $p$ の周りの $M$ の直方体局所座標 $(U,\varphi,x_1,\ldots,x_n)$ で'''定義21.3'''の $(*)$ を満たすものが取れる。$(U,x_1,\ldots,x_n)$ が $M$ の正の向きの局所座標ではないとすると、'''注意21.2'''より $(U,-x_1,x_2\ldots,x_n)$ は正の向きの直方体局所座標である。そしてこれは'''定義21.3'''の $(*)$ を満たす。
{{end|proof|}}

=== 命題21.5（滑らかな境界の向き付け可能性） ===
$M$ をEuclid空間内の向き付けられた $n$ 次元多様体とし、$D\subset M$ を滑らかな境界を持つ開集合とする。そして $M$ の正の向きの直方体局所座標 $(U,\varphi,x_1,\ldots,x_n)$ で、$U\cap \partial D\neq\emptyset$、
$$
\varphi(U\cap \partial D)=\varphi(U)\cap (\mathbb{R}^{n-1}\times \{0\}),\quad
\varphi(U\cap D)=\varphi(U)\cap (\mathbb{R}^{n-1}\times (0,\infty))\quad\quad(*)
$$
を満たすもの全体を $\mathcal{A}$ とおく。このとき、
$$
\{(U\cap \partial D, x_1,\ldots,x_{n-1}): (U,x_1,\ldots,x_n)\in \mathcal{A}\}\quad\quad(**)
$$
は $n-1$ 次元部分多様体 $\partial D\subset M$ の互いに同じ向きの局所座標からなるアトラスである。
{{begin |proof }}
$(**)$ が $\partial D$ のアトラスであることは'''補題21.4'''と'''命題2.5'''による。$(**)$ が互いに同じ向きの局所座標からなることを示す。任意の $(U,x_1,\ldots,x_n), (V,y_1,\ldots,y_n)\in \mathcal{A}$ と任意の $p\in U\cap V\cap\partial D$ を取る。$(*)$ より、
$$
\frac{\partial y_n}{\partial x_j}(p)=0\quad(j=1,\ldots,n-1),\quad
\frac{\partial y_n}{\partial x_n}(p)>0
$$
であるから、
$$
{\rm det}\left(\frac{\partial y_i}{\partial x_j}(p)\right)_{i,j=1,\ldots,n-1}=\left(\frac{\partial y_n}{\partial x_n}(p)\right)^{-1}{\rm det}\left(\frac{\partial y_i}{\partial x_j}(p)\right)_{i,j=1,\ldots,n}>0
$$
である。よって $(U\cap\partial D,x_1,\ldots,x_{n-1})$, $(V\cap\partial D,y_1,\ldots,y_{n-1})$ は互いに同じ向きであるので $(**)$ は $\partial D$ の互いに同じ向きの局所座標からなるアトラスである。
{{end|proof|}}

=== 定義21.6（滑らかな境界の向き） ===
$M$ をEuclid空間内の向き付けられた $n$ 次元多様体とし、$D\subset M$ を滑らかな境界を持つ開集合とする。このとき'''命題21.5'''より $n-1$ 次元部分多様体 $\partial D\subset M$ は向き付け可能であり、'''命題21.5'''における $\mathcal{A}$ に対し、
$$
\{(U\cap \partial D, (-1)^{n}x_1,\ldots,x_{n-1}): (U,x_1,\ldots,x_n)\in \mathcal{A}\}
$$
の要素が $\partial D$ の正の向きの局所座標となるような $\partial D$ の向きが定義できる。この $\partial D$ の向きを $M$ の向きに整合する $\partial D$ の向きと言う。

== 22. 外向き単位法線ベクトル場 ==

=== 定義22.1（外向き単位法線ベクトル場） ===
$D\subset \mathbb{R}^N$ を滑らかな境界を持つ開集合（'''定義21.3'''）とする。そして $\partial D$ に $\mathbb{R}^N$ の向き（'''定義19.5'''）に整合する向き（'''定義21.6'''）を入れる。このとき超曲面 $\partial D$ の正の向きの単位法線ベクトル場（'''定義20.2'''） $\nu\colon\partial D\rightarrow \mathbb{R}^N$ を $D$ の境界 $\partial D$ 上の外向き単位法線ベクトル場と言う。この名称の妥当性は次による。任意の $p\in \partial D$ に対し $p$ の周りの $\mathbb{R}^N$ の正の向きの直方体局所座標 $(U,\varphi,x_1,\ldots,x_N)$ で、
$$
\varphi(U\cap \partial D)=\varphi(U)\cap (\mathbb{R}^{N-1}\times\{0\}),\quad
\varphi(U\cap D)=\varphi(U)\cap (\mathbb{R}^{N-1}\times(0,\infty))\quad\quad(*)
$$
を満たすものが取れる。'''定義21.6'''より $(U\cap\partial D,(-1)^Nx_1,x_2,\ldots,x_{N-1})$ は $\partial D$ の正の向きの局所座標であるから、正の向きの単位法線ベクトル場の定義（'''定義20.2'''）より、
$$
\begin{aligned}
\nu(p)&=\frac{(-1)^{N-1}}{\sqrt{G_{(U\cap\partial D,(-1)^Nx_1,\ldots,x_{N-1})}(p)}}\left(\frac{\partial}{\partial(-1)^{N}x_1}p\times\ldots\times\frac{\partial}{\partial x_{N-1}}p\right)\\
&=\frac{-1}{\sqrt{G_{(U\cap\partial D,x_1,\ldots,x_{N-1})}(p)}}\left(\frac{\partial}{\partial x_1}p\times\ldots\times\frac{\partial}{\partial x_{N-1}}p\right)
\end{aligned}
$$
である。$(*)$ より $\frac{\partial}{\partial x_N}p\in\mathbb{R}^N$ は $p\in \partial D$ から $D$の'''内側'''を向いており、ベクトル積の性質（'''命題11.2'''）より、
$$
\nu(p)\cdot\frac{\partial}{\partial x_N}p=\frac{-1}{\sqrt{G_{(U\cap\partial D,x_1,\ldots,x_{N-1})}(p)}}{\rm det}\left(\frac{\partial}{\partial x_1}p,\ldots,\frac{\partial}{\partial x_N}p\right)<0
$$
である<ref>$(U,x_1,\ldots,x_N)$ は $\mathbb{R}^N$ の正の向きの局所座標なので ${\rm det}\left(\frac{\partial}{\partial x_1}p,\ldots,\frac{\partial}{\partial x_N}p\right)>0$である。</ref>。よって $\nu(p)$ は $p\in \partial D$ から $D$ の'''外側'''を向いている。

=== 命題22.2（外向き単位法線ベクトル場と勾配） ===
$f\colon\mathbb{R}^N\rightarrow \mathbb{R}$ を $C^\infty$ 級関数とする。$\mathbb{R}^N$ の開集合 $D=\{p\in \mathbb{R}^N:f(p)>0\}$ に対し、
$$
\partial D=\{p\in \mathbb{R}^N:f(p)=0\},\quad df_p\neq0\quad(\forall p\in\partial D)\quad\quad(*)
$$
が成り立つと仮定する。このとき $D$ は滑らかな境界を持つ開集合であり、$\partial D$ 上の外向き単位法線ベクトル場（'''定義22.1'''）$\nu\colon \partial D\rightarrow \mathbb{R}^N$ に対し、
$$
{\rm grad}_p(f)=-\lvert {\rm grad}_p(f)\rvert \nu(p)\quad(\forall p\in\partial D)
$$
が成り立つ。
{{begin |proof }}
$(*)$ と'''定理8.2'''より任意の $p_0\in\partial D$ に対し $p_0$ の周りの $\mathbb{R}^N$ の局所座標 $(U,\varphi;x_1,\ldots,x_N)$ で、
$$
x_N(p)=f(p)\quad(\forall p\in U)\quad\quad(**)
$$
なるものが取れる。必要ならば $p_0$ の開近傍 $U$ を小さく取り直し $(U,\varphi)$ は $\mathbb{R}^N$ の直方体局所座標であるとしてよい。$(**)$ より、
$$
\begin{aligned}
&\varphi(U\cap D)=\varphi(U)\cap (\mathbb{R}^{N-1}\times(0,\infty)),\\
&\varphi(U\cap\partial D)=\varphi(U)\cap (\mathbb{R}^{N-1}\times\{0\})
\end{aligned}
$$
である。$p_0\in\partial D$ は任意であるから $D$ は滑らかな境界を持つ開集合である。上述した $p_0\in\partial D$ の周りの局所座標 $(U,x_1,\ldots,x_N)$ について必要ならば $x_1$ を $-x_1$ に置き換えることにより $(U,x_1,\ldots,x_N)$ は $\mathbb{R}^N$ の正の向きの直方体局所座標であるとする。$(U,x_1,\ldots,x_N)$ に対する計量行列（'''定義12.2'''）
$$
\left(\frac{\partial }{\partial x_i}p\cdot\frac{\partial }{\partial x_j}p\right)_{i,j}\in\mathbb{M}_{N\times N}(\mathbb{R})\quad(\forall p\in U)\quad\quad(***)
$$
の逆行列を $(g^{i,j}(p))_{i,j}$ $(\forall p\in U)$ とおくと'''命題12.5'''より、
$$
{\rm grad}_p(f)=\sum_{i,j=1}^{N}g^{i,j}(p)\frac{\partial f}{\partial x_j}(p)\frac{\partial}{\partial x_i}p\quad(\forall p\in U)
$$
である。ここで $(**)$ より任意の $p\in U$ に対し、
$$
\frac{\partial f}{\partial x_j}(p)=0\quad(j=1,\ldots,N-1),\quad \frac{\partial f}{\partial x_N}(p)=1
$$
であるから、
$$
{\rm grad}_p(f)=\sum_{i=1}^{N}g^{i,N}(p)\frac{\partial}{\partial x_i}p\quad(\forall p\in U)\quad\quad(****)
$$
である。また $(U\cap\partial D,x_1,\ldots,x_{N-1})$ は $\partial D$ の局所座標であるから、
$$
T_p(\partial D)=\text{span}\left\{\frac{\partial}{\partial x_1}p,\ldots,\frac{\partial}{\partial x_{N-1}}p\right\}\quad(\forall p\in U\cap\partial D)
$$
であり、勾配の定義（'''定義12.4'''）と $(****)$ より、
$$
{\rm grad}_p(f)\cdot\frac{\partial}{\partial x_j}p=\frac{\partial f}{\partial x_j}(p)=0\quad(\forall p\in U,j=1,\ldots,N-1)
$$
であるから、
$$
{\rm grad}_p(f)\in (T_p(\partial D))^{\perp}=\text{span}\{\nu(p)\}\quad(\forall p\in U\cap\partial D)\quad\quad(*****)
$$
である。外向き単位法線ベクトル場の定義（'''定義22.1'''）より、
$$
\nu(p)=\frac{-1}{\sqrt{G_{(U\cap\partial D,x_1,\ldots,x_{N-1})}(p)}}\left(\frac{\partial}{\partial x_1}p\times\ldots\times\frac{\partial}{\partial x_{N-1}}p\right)\quad(\forall p\in U\cap\partial D)
$$
であるから、任意の $p\in U\cap\partial D$ に対し $(****)$ とベクトル積の性質（''命題11.2''）より、
$$
{\rm grad}_p(f)\cdot\nu(p)=-\frac{g^{N,N}(p)}{\sqrt{G_{(U\cap\partial D,x_1,\ldots,x_{N-1})}(p)}}{\rm det}\left(\frac{\partial}{\partial x_1}p,\ldots,\frac{\partial}{\partial x_N}p\right)
$$
となる。ここで計量行列 $(***)$ の逆行列 $(g^{i,j}(p))_{i,j}$ の $(N,N)$ 成分 $g^{N,N}(p)$ を余因子展開で表すと、
$$
G_{(U\cap\partial D,x_1,\ldots,x_{N-1})}(p)={\rm det}\left(\frac{\partial}{\partial x_i}p\cdot\frac{\partial}{\partial x_j}p\right)_{i,j=1,\ldots,N-1}\quad(\forall p\in U\cap\partial D)
$$
より、
$$
g^{N,N}(p)=\frac{G_{(U\cap\partial D,x_1,\ldots,x_{N-1})}(p)}{G_{(U,x_1,\ldots,x_N)}(p)}\quad(\forall p\in U\cap\partial D)
$$
となる。また $(U,x_1,\ldots,x_N)$ は $\mathbb{R}^N$ の正の向きの局所座標であるので計量行列 $(***)$ の行列式は、
$$
\sqrt{G_{(U,x_1,\ldots,x_N)}(p)}=\left\lvert{\rm det}\left(\frac{\partial}{\partial x_1}p,\ldots,\frac{\partial}{\partial x_N}p\right)\right\rvert
={\rm det}\left(\frac{\partial}{\partial x_1}p,\ldots,\frac{\partial}{\partial x_N}p\right)
$$
である。よって、
$$
{\rm grad}_p(f)\cdot\nu(p)=-\frac{g^{N,N}(p)}{\sqrt{G_{(U\cap\partial D,x_1,\ldots,x_{N-1})}(p)}}\sqrt{G_{(U,x_1,\ldots,x_N)}(p)}=-\frac{\sqrt{G_{(U\cap\partial D,x_1,\ldots,x_{N-1})}(p)}}{\sqrt{G_{(U,x_1,\ldots,x_N)}(p)}}<0
$$
である。これと $(*****)$ より、
$$
{\rm grad}_p(f)=-\lvert {\rm grad}_p(f)\rvert\nu(p)\quad(\forall p\in U\cap\partial D)
$$
を得る。
{{end|proof|}}

== 次のページ ==
*[[ベクトル解析6：Stokesの定理]]

== 脚注 ==

ベクトル解析5：多様体の向き

2026-04-03T06:37:51Z

Kataoka: /* 命題21.5（滑らかな境界の向き付け可能性） */

この章では多様体の向きと、向き付けられた超曲面上の単位法線ベクトル場、向き付けられた多様体内の滑らかな境界を持つ開集合の境界上の外向き単位法線ベクトル場について述べる。
<noinclude>
{{TOC |align=right |noautonum=1 }}
'''[[ベクトル解析]]'''
* [[ベクトル解析1：Euclid空間内の多様体上の関数の微分]]
* [[ベクトル解析2：微分形式]]
* [[ベクトル解析3：Euclid空間内の多様体の計量]]
* [[ベクトル解析4：Euclid空間内の多様体上の測度と積分]]
* '''ベクトル解析5：多様体の向き'''
*[[ベクトル解析6：Stokesの定理]]
</noinclude>
== 19. 多様体の向きと体積要素 ==

=== 定義19.1（互いに同じ向きの局所座標） ===
$M$ をEuclid空間内の $n$ 次元多様体とする。$M$ の局所座標 $(U,x_1,\ldots,x_n)$ と $(V,y_1,\ldots,y_n)$ が互いに同じ向きであるとは、$U\cap V\neq \emptyset$ であり、
$$
{\rm det}\left(\frac{\partial y_i}{\partial x_j}(p)\right)_{i,j}>0\quad(\forall p\in U\cap V)
$$
が成り立つことを言う。

=== 定義19.2（互いに同じ向きの局所座標からなるアトラス、向き付け可能性） ===
$M$ をEuclid空間内の多様体とする。$M$ のアトラス（'''定義2.1'''）が互いに同じ向きの局所座標からなるアトラスであるとは、そのアトラスに属するどの $2$ つの局所座標もそれらが交わる限り互いに同じ向きであることを言う。
$M$ が向き付け可能であるとは、互いに同じ向きの局所座標からなるアトラスが取れることを言う。

=== 定義19.3（多様体の向き、向き付けられた多様体の正の向きの局所座標） ===
$M$ をEuclid空間内の向き付け可能な多様体とし、$\mathcal{A}_1$ と $\mathcal{A}_2$ がそれぞれ互いに同じ向きの局所座標からなる $M$ のアトラスとする。$\mathcal{A}_1\cup \mathcal{A}_2$ が互いに同じ向きの局所座標からなるアトラスであるとき、$\mathcal{A}_1\sim \mathcal{A}_2$ と表すこととする。$U\cap V\cap W\neq \emptyset$ なる任意の $M$ の局所座標 $(U,x_1,\ldots,x_n)$, $(V,y_1,\ldots,y_n)$, $(W,z_1,\ldots,z_n)$ に対し、
$$
\left(\frac{\partial z_i}{\partial x_j}(p)\right)_{i,j}=\left(\sum_{k=1}^{n}\frac{\partial z_i}{\partial y_k}(p)\frac{\partial y_k}{\partial x_j}(p)\right)_{i,j}\quad(\forall p\in U\cap V\cap W)
$$
であるから、
$$
{\rm det}\left(\frac{\partial z_i}{\partial x_j}(p)\right)_{i,j}=
{\rm det}\left(\frac{\partial z_i}{\partial y_j}(p)\right)_{i,j}{\rm det}\left(\frac{\partial y_i}{\partial x_j}(p)\right)_{i,j}
$$
である。よって $\sim$ は互いに同じ向きの局所座標からなるアトラス全体における同値関係である。この同値関係による同値類のそれぞれを $M$ の向きと言う。そして $M$ の向きが $1$ つ指定されているとき $M$ は向き付けられていると言う。$M$ が向き付けられているとき、$M$ の向きに属するアトラス全ての合併は $M$ の向きに属する最大のアトラスである。このアトラスに属する局所座標を $M$ の正の向きの局所座標と言う。

=== 定義19.4（向き付けられた多様体の開集合の向き） ===
$M$ をEuclid空間内の向き付けられた多様体とし、$D\subset M$ を空でない開集合とする。$D$ の局所座標は定義域が $D$ に含まれる $M$ の局所座標である。よって $D$ には、その正の向きの局所座標が $M$ の正の向きの局所座標となるような自然な向きが定まる（定義域が $D$ に含まれるような $M$ の正の向きの局所座標全体からなる $D$ のアトラスを考え、その同値類を $D$ の向きと定めればよい)。以後、特に断らない限り向き付けられた多様体の開集合はこうして向き付けられているものとする。

=== 定義19.5（Euclid空間の向き） ===
Euclid空間 $\mathbb{R}^N$ の向きを標準座標 $(x_1,\ldots,x_N)$ が正の向きとなるように定義する。

=== 注意19.6 ===
'''定義13.6'''で述べた正の向きの直交座標はEuclid空間の正の向きの局所座標である。

=== 命題19.7（向き付けられた多様体の体積要素の一意存在） ===
$M$ をEuclid空間内の向き付けられた $n$ 次元多様体とする。このとき $M$ の $n$ 階微分形式 $\Omega_M$ で $M$ の任意の正の向きの局所座標 $(U,x_1,\ldots,x_n)$ に対し、
$$
\Omega_{M,p}=\sqrt{G_{(U,x_1,\ldots,x_n)}(p)} dx_{1,p}\wedge\ldots\wedge dx_{n,p}\quad(\forall p\in U)
$$
を満たすものが唯一つ存在する。ただし $G_{(U,x_1,\ldots,x_n)}(p)$ は $(U,x_1,\ldots,x_n)$ に対する計量行列の行列式（'''定義12.2'''）である。
{{begin |proof }}
$U\cap V\neq\emptyset$ を満たす $M$ の任意の正の向きの局所座標 $(U,x_1,\ldots,x_n)$, $(V,y_1,\ldots,y_n)$ と任意の $p\in U\cap V$ に対し、
$$
\sqrt{G_{(U,x_1,\ldots,x_n)}(p)} dx_{1,p}\wedge\ldots\wedge dx_{n,p}
=\sqrt{G_{(V,y_1,\ldots,y_n)}(p)} dy_{1,p}\wedge \ldots \wedge dy_{n,p}
$$
が成り立つことを示せばよい。$(U,x_1,\ldots,x_n)$, $(V,y_1,\ldots,y_n)$ が互いに同じ向きであることと'''命題12.3'''より、
$$
\begin{aligned}
\sqrt{G_{(U,x_1,\ldots,x_n)}(p)}&=\sqrt{G_{(V,y_1,\ldots,y_n)}(p)}\left\lvert{\rm det}\left(\frac{\partial y_i}{\partial x_j}(p)\right)_{i,j}\right\rvert\\
&=\sqrt{G_{(V,y_1,\ldots,y_n)}(p)}{\rm det}\left(\frac{\partial y_i}{\partial x_j}(p)\right)_{i,j}
\end{aligned}
$$
である。また、
$$
dy_{i,p}=\sum_{j=1}^{n}\frac{\partial y_i}{\partial x_j}(p)dx_{j,p}
$$
であることと外積の反対称性より、
$$
dy_{1,p}\wedge \ldots\wedge dy_{n,p}={\rm det}\left(\frac{\partial y_i}{\partial x_j}(p)\right)_{i,j}dx_{1,p}\wedge \ldots\wedge dx_{n,p}
$$
である。よって、
$$
\begin{aligned}
\sqrt{G_{(U,x_1,\ldots,x_n)}(p)}dx_{1,p}\wedge\ldots\wedge dx_{n,p}
&=\sqrt{G_{(V,y_1,\ldots,y_n)}(p)}{\rm det}\left(\frac{\partial y_i}{\partial x_j}(p)\right)_{i,j}dx_{1,p}\wedge\ldots\wedge dx_{n,p}\\
&=\sqrt{G_{(V,y_1,\ldots,y_n)}(p)}dy_{1,p}\wedge\ldots\wedge dy_{n,p}
\end{aligned}
$$
である。
{{end|proof|}}

=== 定義19.8（向き付けられた多様体の体積要素） ===
$M$ をEuclid空間内の向き付けられた$n$次元多様体とする。'''命題19.7'''における $M$ の$n$ 階微分形式 $\Omega_M$ を $M$ の体積要素と呼ぶ。

$U\ni p\mapsto \sqrt{G_{(U,x_1,\ldots,x_n)}(p)}\in(0,\infty)$ は $C^\infty$ 級であるから体積要素 $\Omega_M$ は $C^\infty$級である。

=== 命題19.9（正の向きの局所座標であるための条件） ===
$M$ をEuclid空間内の向き付けられた $n$ 次元多様体とし、$\Omega_M$ をその体積要素とする。このとき $M$ の局所座標 $(U,x_1,\ldots,x_n)$ に対し次は互いに同値である。
*$(1)$　$(U,x_1,\ldots,x_n)$ は $M$ の正の向きの局所座標である。
*$(2)$　任意の $p\in U$ に対し $\Omega_{M,p}\left(\frac{\partial}{\partial x_1}p,\ldots,\frac{\partial}{\partial x_n}p\right)>0$.
{{begin |proof }}
$(1)\Rightarrow(2)$ を示す。$(1)$ が成り立つならば、
$$
\Omega_{M,p}=\sqrt{G_{(U,x_1,\ldots,x_n)}(p)}dx_{1,p}\wedge \ldots\wedge dx_{n,p}\quad(\forall p\in U)
$$
であるから、
$$
\Omega_{M,p}\left(\frac{\partial}{\partial x_1}p,\ldots,\frac{\partial}{\partial x_n}p\right)=\sqrt{G_{(U,x_1,\ldots,x_n)}(p)}>0\quad(\forall p\in U)
$$
である。よって $(2)$ が成り立つ。 
$(2)\Rightarrow(1)$ を示す。$(2)$ が成り立つとする。$U\cap V\neq\emptyset$ なる $M$ の任意の正の向きの局所座標 $(V,y_1,\ldots,y_n)$ を取る。任意の $p\in U\cap V$ に対し、
$$
dy_{i,p}=\sum_{j=1}^{n}\frac{\partial y_i}{\partial x_j}(p)dx_{j,p}
$$
であることと外積の反対称性より、
$$
\begin{aligned}
\Omega_{M,p}&=\sqrt{G_{(V,y_1,\ldots,y_n)}(p)}dy_{1,p}\wedge\ldots\wedge dy_{n,p}\\
&=\sqrt{G_{(V,y_1,\ldots,y_n)}(p)}{\rm det}\left(\frac{\partial y_i}{\partial x_j}(p)\right)_{i,j}dx_{1,p}\wedge\ldots\wedge dx_{n,p}
\end{aligned}
$$
であるから、
$$
0<\Omega_{M,p}\left(\frac{\partial}{\partial x_1}p,\ldots,\frac{\partial}{\partial x_n}p\right)
=\sqrt{G_{(V,y_1,\ldots,y_n)}(p)}{\rm det}\left(\frac{\partial y_i}{\partial x_j}(p)\right)_{i,j}
$$
である。よって、
$$
{\rm det}\left(\frac{\partial y_i}{\partial x_j}(p)\right)_{i,j}\quad(\forall p\in U\cap V)
$$
である。ゆえに $(U,x_1,\ldots,x_n)$ は $M$ の任意の正の向きの局所座標と（交わる限り）同じ向きであるから正の向きの局所座標である。
{{end|proof|}}

== 20. 向き付けられた超曲面上の正の向きの単位法線ベクトル場 ==

=== 命題20.1（向き付けられた超曲面上の単位法線ベクトル場の存在） ===
$M$をEuclid空間 $\mathbb{R}^N$ 内の向き付けられた超曲面（向き付けられた $N-1$ 次元多様体）とする。このときベクトル場 $\nu\colon M\rightarrow \mathbb{R}^N$ で $M$ の任意の正の向きの局所座標 $(U,x_1,\ldots,x_{N-1})$ に対し、
$$
\nu(p)=\frac{1}{\sqrt{G_{(U,x_1,\ldots,x_{N-1})}(p)}}\left(\frac{\partial}{\partial x_1}p\times\ldots\times \frac{\partial}{\partial x_{N-1}}p\right)\quad(\forall p\in U)
$$
を満たすものが唯一つ存在する（右辺はベクトル積（'''定義11.1'''）である)。そしてこの $\nu\colon M\rightarrow\mathbb{R}^N$ は $C^\infty$ 級であり、
$$
\nu(p)\in (T_p(M))^{\perp},\quad\lvert\nu(p)\rvert=1\quad(\forall p\in M)
$$
を満たす。
{{begin |proof }}
条件を満たす $\nu\colon M\rightarrow\mathbb{R}^N$ が一意存在することを示すためには $U\cap V\neq\emptyset$ なる $M$ の任意の正の向きの局所座標 $(U,x_1,\ldots,x_{N-1})$, $(V,y_1,\ldots,y_{N-1})$ と任意の $p\in U\cap V$ を取り、
$$
\frac{1}{\sqrt{G_{(U,x_1,\ldots,x_{N-1})}(p)}}\left(\frac{\partial}{\partial x_1}p\times\ldots\times \frac{\partial}{\partial x_{N-1}}p\right)
=\frac{1}{\sqrt{G_{(V,y_1,\ldots,y_{N-1})}(p)}}\left(\frac{\partial}{\partial y_1}p\times\ldots\times \frac{\partial}{\partial y_{N-1}}p\right)\quad\quad(*)
$$
が成り立つことを示せばよい。$(U,x_1,\ldots,x_{N-1})$, $(V,y_1,\ldots,y_{N-1})$ が互いに同じ向きであることと'''命題12.3'''より、
$$
\sqrt{G_{(U,x_1,\ldots,x_{N-1})}(p)}={\rm det}\left(\frac{\partial y_i}{\partial x_j}(p)\right)_{i,j}
\sqrt{G_{(V,y_1,\ldots,y_{N-1})}(p)}
$$
である。また、
$$
\frac{\partial }{\partial x_j}p=\sum_{i=1}^{N-1}\frac{\partial y_i}{\partial x_j}(p)\frac{\partial}{\partial y_i}p
$$
であることとベクトル積の反対称性より,
$$
\left(\frac{\partial}{\partial x_1}p\times\ldots\times \frac{\partial}{\partial x_{N-1}}p\right)
={\rm det}\left(\frac{\partial y_i}{\partial x_j}(p)\right)_{i,j}
\left(\frac{\partial}{\partial y_1}p\times\ldots\times \frac{\partial}{\partial y_{N-1}}p\right)
$$
である。よって $(*)$ が成り立つ。
$\nu(p)\in (T_p(M))^{\perp}$ であることは'''命題11.2'''の $(3)$ による。$\lvert \nu(p)\rvert=1$ であることについては'''定義12.2'''を参照。
$\nu:M\rightarrow \mathbb{R}^N$ が $C^\infty$ 級であることは $U\ni p\mapsto \frac{\partial }{\partial x_j}p\in \mathbb{R}^N$ や $U\ni p\mapsto G_{U,x_1,\ldots,x_{N-1}}(p)\in (0,\infty)$ が $C^\infty$ 級であることによる。
{{end|proof|}}

=== 定義20.2（向き付けられた超曲面上の正の向きの単位法線ベクトル場） ===
$M$ をEuclid空間 $\mathbb{R}^N$ 内の向き付けられた超曲面とする。このとき'''命題20.1'''よりベクトル場 $\nu\colon M\rightarrow \mathbb{R}^N$ で $M$ の任意の正の向きの局所座標 $(U,x_1,\ldots,x_{N-1})$ に対し、
$$
\nu_M(p)=\frac{(-1)^{N-1}}{\sqrt{G_{(U,x_1,\ldots,x_{N-1})}(p)}}\left(\frac{\partial}{\partial x_1}p\times\ldots\times \frac{\partial}{\partial x_{N-1}}p\right)\quad(\forall p\in U)
$$
を満たすものが一意的に定まる。そしてこの $\nu_M\colon M\rightarrow\mathbb{R}^N$ は $C^\infty$ 級であり、
$$
\nu_M(p)\in (T_p(M))^{\perp},\quad\lvert\nu_M(p)\rvert=1\quad(\forall p\in M)
$$
を満たす。$\nu:M\rightarrow \mathbb{R}^N$ を向き付けられた超曲面 $M$ 上の正の向きの単位法線ベクトル場と呼ぶ。

== 21. 多様体内の滑らかな境界を持つ開集合 ==

=== 定義21.1（直方体局所座標） ===
$M$ をEuclid空間内の $n$ 次元多様体とする。$M$ の局所座標 $(U,\varphi)$ が直方体局所座標であるとは $\mathbb{R}^n$ の開集合 $\varphi(U)$ が $n$個の有界開区間の直積であることを言う。

=== 注意21.2（直方体局所座標と向き） ===
$M$ をEuclid空間内の向き付けられた $n$ 次元多様体とし、$(U,\varphi,x_1,\ldots,x_n)$ を $M$ の任意の直方体局所座標とする。このとき $(U,x_1,\ldots,x_n)$ か $(U,-x_1,x_2,\ldots,x_n)$ のいずれか一方は $M$ の正の向きの局所座標である。実際、直方体 $\varphi(U)$ の連結性ゆえ $U$ は連結であるから、$M$ の体積要素 $\Omega_M$ に対し連続関数
$$
U\ni p\mapsto \Omega_{M,p}\left(\frac{\partial}{\partial x_1}p,\ldots,\frac{\partial}{\partial x_n}p\right)\in \mathbb{R}\backslash \{0\}\quad\quad(*)
$$
は常に正か常に負である。もし $(*)$ が常に正ならば'''命題19.9'''より $(U,x_1,\ldots,x_n)$ は正の向きであり、$(*)$ が常に負ならば、
$$
\Omega_{M,p}\left(\frac{\partial}{\partial (-x_1)}p,\ldots,\frac{\partial}{\partial x_n}p\right)
=-\Omega_{M,p}\left(\frac{\partial}{\partial x_1}p,\ldots,\frac{\partial}{\partial x_n}p\right)>0
$$
であるから $(U,-x_1,x_2\ldots,x_n)$ は正の向きである。

=== 定義21.3（多様体内の滑らかな境界を持つ開集合） ===
$M$ をEuclid空間内の $n$ 次元多様体とする。開集合 $D\subset M$ が滑らかな境界を持つとは、任意の $p\in \partial D=\overline{D}\backslash D$ に対し $p$ の周りの $M$ の直方体局所座標 $(U,\varphi)$ で、
$$
\begin{aligned}
&\varphi(U\cap \partial D)=\varphi(U)\cap (\mathbb{R}^{n-1}\times \{0\}),\\
&\varphi(U\cap D)=\varphi(U)\cap (\mathbb{R}^{n-1}\times (0,\infty))\quad\quad(*)
\end{aligned}
$$
を満たすものが取れることを言う。このとき'''命題2.5'''より $\partial D$ は $M$ の $n-1$ 次元部分多様体である。

=== 補題21.4 ===
$M$ をEuclid空間内の向き付けられた $n$ 次元多様体とし、$D\subset M$ を滑らかな境界を持つ開集合とする。このとき任意の $p\in \partial D$ に対し $p$ の周りの $M$ の'''正の向きの'''直方体局所座標 $(U,\varphi)$ で'''定義21.3'''の $(*)$ を満たすものが取れる。
{{begin |proof }}
'''定義21.3'''より任意の $p\in \partial D$ に対し $p$ の周りの $M$ の直方体局所座標 $(U,\varphi,x_1,\ldots,x_n)$ で'''定義21.3'''の $(*)$ を満たすものが取れる。$(U,x_1,\ldots,x_n)$ が $M$ の正の向きの局所座標ではないとすると、'''注意21.2'''より $(U,-x_1,x_2\ldots,x_n)$ は正の向きの直方体局所座標である。そしてこれは'''定義21.3'''の $(*)$ を満たす。
{{end|proof|}}

=== 命題21.5（滑らかな境界の向き付け可能性） ===
$M$ をEuclid空間内の向き付けられた $n$ 次元多様体とし、$D\subset M$ を滑らかな境界を持つ開集合とする。そして $M$ の正の向きの直方体局所座標 $(U,\varphi,x_1,\ldots,x_n)$ で、$U\cap \partial D\neq\emptyset$、
$$
\varphi(U\cap \partial D)=\varphi(U)\cap (\mathbb{R}^{n-1}\times \{0\}),\quad
\varphi(U\cap D)=\varphi(U)\cap (\mathbb{R}^{n-1}\times (0,\infty))\quad\quad(*)
$$
を満たすもの全体を $\mathcal{A}$ とおく。このとき、
$$
\{(U\cap \partial D, x_1,\ldots,x_{n-1}): (U,x_1,\ldots,x_n)\in \mathcal{A}\}\quad\quad(**)
$$
は $n-1$ 次元部分多様体 $\partial D\subset M$ の互いに同じ向きの局所座標からなるアトラスである。
{{begin |proof }}
$(**)$ が $\partial D$ のアトラスであることは'''補題21.4'''による。$(**)$ が互いに同じ向きの局所座標からなることを示す。任意の $(U,x_1,\ldots,x_n), (V,y_1,\ldots,y_n)\in \mathcal{A}$ と任意の $p\in U\cap V\cap\partial D$ を取る。$(*)$ より、
$$
\frac{\partial y_n}{\partial x_j}(p)=0\quad(j=1,\ldots,n-1),\quad
\frac{\partial y_n}{\partial x_n}(p)>0
$$
であるから、
$$
{\rm det}\left(\frac{\partial y_i}{\partial x_j}(p)\right)_{i,j=1,\ldots,n-1}=\left(\frac{\partial y_n}{\partial x_n}(p)\right)^{-1}{\rm det}\left(\frac{\partial y_i}{\partial x_j}(p)\right)_{i,j=1,\ldots,n}>0
$$
である。よって $(U\cap\partial D,x_1,\ldots,x_{n-1})$, $(V\cap\partial D,y_1,\ldots,y_{n-1})$ は互いに同じ向きであるので $(**)$ は $\partial D$ の互いに同じ向きの局所座標からなるアトラスである。
{{end|proof|}}

=== 定義21.6（滑らかな境界の向き） ===
$M$ をEuclid空間内の向き付けられた $n$ 次元多様体とし、$D\subset M$ を滑らかな境界を持つ開集合とする。このとき'''命題21.5'''より $n-1$ 次元部分多様体 $\partial D\subset M$ は向き付け可能であり、'''命題21.5'''における $\mathcal{A}$ に対し、
$$
\{(U\cap \partial D, (-1)^{n}x_1,\ldots,x_{n-1}): (U,x_1,\ldots,x_n)\in \mathcal{A}\}
$$
の要素が $\partial D$ の正の向きの局所座標となるような $\partial D$ の向きが定義できる。この $\partial D$ の向きを $M$ の向きに整合する $\partial D$ の向きと言う。

== 22. 外向き単位法線ベクトル場 ==

=== 定義22.1（外向き単位法線ベクトル場） ===
$D\subset \mathbb{R}^N$ を滑らかな境界を持つ開集合（'''定義21.3'''）とする。そして $\partial D$ に $\mathbb{R}^N$ の向き（'''定義19.5'''）に整合する向き（'''定義21.6'''）を入れる。このとき超曲面 $\partial D$ の正の向きの単位法線ベクトル場（'''定義20.2'''） $\nu\colon\partial D\rightarrow \mathbb{R}^N$ を $D$ の境界 $\partial D$ 上の外向き単位法線ベクトル場と言う。この名称の妥当性は次による。任意の $p\in \partial D$ に対し $p$ の周りの $\mathbb{R}^N$ の正の向きの直方体局所座標 $(U,\varphi,x_1,\ldots,x_N)$ で、
$$
\varphi(U\cap \partial D)=\varphi(U)\cap (\mathbb{R}^{N-1}\times\{0\}),\quad
\varphi(U\cap D)=\varphi(U)\cap (\mathbb{R}^{N-1}\times(0,\infty))\quad\quad(*)
$$
を満たすものが取れる。'''定義21.6'''より $(U\cap\partial D,(-1)^Nx_1,x_2,\ldots,x_{N-1})$ は $\partial D$ の正の向きの局所座標であるから、正の向きの単位法線ベクトル場の定義（'''定義20.2'''）より、
$$
\begin{aligned}
\nu(p)&=\frac{(-1)^{N-1}}{\sqrt{G_{(U\cap\partial D,(-1)^Nx_1,\ldots,x_{N-1})}(p)}}\left(\frac{\partial}{\partial(-1)^{N}x_1}p\times\ldots\times\frac{\partial}{\partial x_{N-1}}p\right)\\
&=\frac{-1}{\sqrt{G_{(U\cap\partial D,x_1,\ldots,x_{N-1})}(p)}}\left(\frac{\partial}{\partial x_1}p\times\ldots\times\frac{\partial}{\partial x_{N-1}}p\right)
\end{aligned}
$$
である。$(*)$ より $\frac{\partial}{\partial x_N}p\in\mathbb{R}^N$ は $p\in \partial D$ から $D$の'''内側'''を向いており、ベクトル積の性質（'''命題11.2'''）より、
$$
\nu(p)\cdot\frac{\partial}{\partial x_N}p=\frac{-1}{\sqrt{G_{(U\cap\partial D,x_1,\ldots,x_{N-1})}(p)}}{\rm det}\left(\frac{\partial}{\partial x_1}p,\ldots,\frac{\partial}{\partial x_N}p\right)<0
$$
である<ref>$(U,x_1,\ldots,x_N)$ は $\mathbb{R}^N$ の正の向きの局所座標なので ${\rm det}\left(\frac{\partial}{\partial x_1}p,\ldots,\frac{\partial}{\partial x_N}p\right)>0$である。</ref>。よって $\nu(p)$ は $p\in \partial D$ から $D$ の'''外側'''を向いている。

=== 命題22.2（外向き単位法線ベクトル場と勾配） ===
$f\colon\mathbb{R}^N\rightarrow \mathbb{R}$ を $C^\infty$ 級関数とする。$\mathbb{R}^N$ の開集合 $D=\{p\in \mathbb{R}^N:f(p)>0\}$ に対し、
$$
\partial D=\{p\in \mathbb{R}^N:f(p)=0\},\quad df_p\neq0\quad(\forall p\in\partial D)\quad\quad(*)
$$
が成り立つと仮定する。このとき $D$ は滑らかな境界を持つ開集合であり、$\partial D$ 上の外向き単位法線ベクトル場（'''定義22.1'''）$\nu\colon \partial D\rightarrow \mathbb{R}^N$ に対し、
$$
{\rm grad}_p(f)=-\lvert {\rm grad}_p(f)\rvert \nu(p)\quad(\forall p\in\partial D)
$$
が成り立つ。
{{begin |proof }}
$(*)$ と'''定理8.2'''より任意の $p_0\in\partial D$ に対し $p_0$ の周りの $\mathbb{R}^N$ の局所座標 $(U,\varphi;x_1,\ldots,x_N)$ で、
$$
x_N(p)=f(p)\quad(\forall p\in U)\quad\quad(**)
$$
なるものが取れる。必要ならば $p_0$ の開近傍 $U$ を小さく取り直し $(U,\varphi)$ は $\mathbb{R}^N$ の直方体局所座標であるとしてよい。$(**)$ より、
$$
\begin{aligned}
&\varphi(U\cap D)=\varphi(U)\cap (\mathbb{R}^{N-1}\times(0,\infty)),\\
&\varphi(U\cap\partial D)=\varphi(U)\cap (\mathbb{R}^{N-1}\times\{0\})
\end{aligned}
$$
である。$p_0\in\partial D$ は任意であるから $D$ は滑らかな境界を持つ開集合である。上述した $p_0\in\partial D$ の周りの局所座標 $(U,x_1,\ldots,x_N)$ について必要ならば $x_1$ を $-x_1$ に置き換えることにより $(U,x_1,\ldots,x_N)$ は $\mathbb{R}^N$ の正の向きの直方体局所座標であるとする。$(U,x_1,\ldots,x_N)$ に対する計量行列（'''定義12.2'''）
$$
\left(\frac{\partial }{\partial x_i}p\cdot\frac{\partial }{\partial x_j}p\right)_{i,j}\in\mathbb{M}_{N\times N}(\mathbb{R})\quad(\forall p\in U)\quad\quad(***)
$$
の逆行列を $(g^{i,j}(p))_{i,j}$ $(\forall p\in U)$ とおくと'''命題12.5'''より、
$$
{\rm grad}_p(f)=\sum_{i,j=1}^{N}g^{i,j}(p)\frac{\partial f}{\partial x_j}(p)\frac{\partial}{\partial x_i}p\quad(\forall p\in U)
$$
である。ここで $(**)$ より任意の $p\in U$ に対し、
$$
\frac{\partial f}{\partial x_j}(p)=0\quad(j=1,\ldots,N-1),\quad \frac{\partial f}{\partial x_N}(p)=1
$$
であるから、
$$
{\rm grad}_p(f)=\sum_{i=1}^{N}g^{i,N}(p)\frac{\partial}{\partial x_i}p\quad(\forall p\in U)\quad\quad(****)
$$
である。また $(U\cap\partial D,x_1,\ldots,x_{N-1})$ は $\partial D$ の局所座標であるから、
$$
T_p(\partial D)=\text{span}\left\{\frac{\partial}{\partial x_1}p,\ldots,\frac{\partial}{\partial x_{N-1}}p\right\}\quad(\forall p\in U\cap\partial D)
$$
であり、勾配の定義（'''定義12.4'''）と $(****)$ より、
$$
{\rm grad}_p(f)\cdot\frac{\partial}{\partial x_j}p=\frac{\partial f}{\partial x_j}(p)=0\quad(\forall p\in U,j=1,\ldots,N-1)
$$
であるから、
$$
{\rm grad}_p(f)\in (T_p(\partial D))^{\perp}=\text{span}\{\nu(p)\}\quad(\forall p\in U\cap\partial D)\quad\quad(*****)
$$
である。外向き単位法線ベクトル場の定義（'''定義22.1'''）より、
$$
\nu(p)=\frac{-1}{\sqrt{G_{(U\cap\partial D,x_1,\ldots,x_{N-1})}(p)}}\left(\frac{\partial}{\partial x_1}p\times\ldots\times\frac{\partial}{\partial x_{N-1}}p\right)\quad(\forall p\in U\cap\partial D)
$$
であるから、任意の $p\in U\cap\partial D$ に対し $(****)$ とベクトル積の性質（''命題11.2''）より、
$$
{\rm grad}_p(f)\cdot\nu(p)=-\frac{g^{N,N}(p)}{\sqrt{G_{(U\cap\partial D,x_1,\ldots,x_{N-1})}(p)}}{\rm det}\left(\frac{\partial}{\partial x_1}p,\ldots,\frac{\partial}{\partial x_N}p\right)
$$
となる。ここで計量行列 $(***)$ の逆行列 $(g^{i,j}(p))_{i,j}$ の $(N,N)$ 成分 $g^{N,N}(p)$ を余因子展開で表すと、
$$
G_{(U\cap\partial D,x_1,\ldots,x_{N-1})}(p)={\rm det}\left(\frac{\partial}{\partial x_i}p\cdot\frac{\partial}{\partial x_j}p\right)_{i,j=1,\ldots,N-1}\quad(\forall p\in U\cap\partial D)
$$
より、
$$
g^{N,N}(p)=\frac{G_{(U\cap\partial D,x_1,\ldots,x_{N-1})}(p)}{G_{(U,x_1,\ldots,x_N)}(p)}\quad(\forall p\in U\cap\partial D)
$$
となる。また $(U,x_1,\ldots,x_N)$ は $\mathbb{R}^N$ の正の向きの局所座標であるので計量行列 $(***)$ の行列式は、
$$
\sqrt{G_{(U,x_1,\ldots,x_N)}(p)}=\left\lvert{\rm det}\left(\frac{\partial}{\partial x_1}p,\ldots,\frac{\partial}{\partial x_N}p\right)\right\rvert
={\rm det}\left(\frac{\partial}{\partial x_1}p,\ldots,\frac{\partial}{\partial x_N}p\right)
$$
である。よって、
$$
{\rm grad}_p(f)\cdot\nu(p)=-\frac{g^{N,N}(p)}{\sqrt{G_{(U\cap\partial D,x_1,\ldots,x_{N-1})}(p)}}\sqrt{G_{(U,x_1,\ldots,x_N)}(p)}=-\frac{\sqrt{G_{(U\cap\partial D,x_1,\ldots,x_{N-1})}(p)}}{\sqrt{G_{(U,x_1,\ldots,x_N)}(p)}}<0
$$
である。これと $(*****)$ より、
$$
{\rm grad}_p(f)=-\lvert {\rm grad}_p(f)\rvert\nu(p)\quad(\forall p\in U\cap\partial D)
$$
を得る。
{{end|proof|}}

== 次のページ ==
*[[ベクトル解析6：Stokesの定理]]

== 脚注 ==

ベクトル解析4：Euclid空間内の多様体上の測度と積分

2026-04-01T06:18:00Z

Kataoka: /* 命題18.2（極座標変換の基本性質） */

この章では、Euclid空間内の多様体上に自然に定義される測度（Riemann測度）による積分について述べる。この測度はEuclid空間のLebesgue測度の一般化である。例えば $\mathbb{R^N}$ 内の $N-1$ 次元多様体（超曲面）のRiemann測度は面積を表す。
<noinclude>
{{TOC |align=right |noautonum=1 }}
'''[[ベクトル解析]]'''
* [[ベクトル解析1：Euclid空間内の多様体上の関数の微分]]
* [[ベクトル解析2：微分形式]]
* [[ベクトル解析3：Euclid空間内の多様体の計量]]
* '''ベクトル解析4：Euclid空間内の多様体上の測度と積分'''
*[[ベクトル解析5：多様体の向き]]
*[[ベクトル解析6：Stokesの定理]]
</noinclude>
== 15. 多様体におけるUrysohnの補題と $1$ の分割 ==

=== 注意15.1（Euclid空間内の多様体は第二可算局所コンパクトHausdorff空間） ===
Euclid空間内の多様体の各点はEuclid空間の開集合と同相な開近傍を持つので局所コンパクトである。またEuclid空間は第二可算であるからEuclid空間内の多様体は第二可算である。

=== 定義15.2（$C^k(M), C^k_c(M)$） ===
$M$ をEuclid空間内の多様体とし、$M\rightarrow\mathbb{C}$の $C^k$ 級関数全体を $C^k(M)$ とする。そして、
$$
\begin{aligned}
&C^k_c(M)\colon=\{f\in C^k(M):\text{supp}(f)\text{ はコンパクト}\},\\
&C^k_{c,\mathbb{R}}(M)\colon=\{f\in C^k_c(M):\forall p\in M,\text{ }f(p)\in \mathbb{R}\},\\ &C^k_{c,+}(M)\colon=\{f\in C^k_c(M):\forall p\in M,\text{ }f(p)\in [0,\infty)\}
\end{aligned}
$$
とおく。

=== 補題15.3 ===
次が成り立つ。
*$(1)$
$$
h(t)\colon=\left\{\begin{array}{cl}e^{-\frac{1}{t}}&(t>0)\\0&(t\leq0)\end{array}\right.
$$
として定義される $h\colon\mathbb{R}\rightarrow[0,\infty)$ は $C^\infty$ 級である。
*$(2)$　任意の $x_0\in \mathbb{R}^N$ と任意の $\epsilon\in (0,\infty)$ に対し $f\in C_{c,+}^{\infty}(\mathbb{R}^N)$ で、
$$
(f>0)=\{x\in\mathbb{R}^N:\lvert x-x_0\rvert<\epsilon\},\quad f(x)=f(y)\quad(\forall x,y\in\mathbb{R}^N\colon\lvert x-x_0\rvert=\lvert y-x_0\rvert)
$$
なるものが存在する。
{{begin |proof }}
*$(1)$
$$
\lim_{t\rightarrow+0}\frac{1}{t^k}e^{-\frac{1}{t}}=0\quad(\forall k\in\mathbb{N})
$$
であることによる。
*$(2)$　$(1)$ における $h$ に対し $f(x)\colon=h(\epsilon^2-\lvert x-x_0\rvert^2)$ $(\forall x\in\mathbb{R}^N)$ とおけばよい。
{{end|proof}}

=== 補題15.4 ===
$M$ をEuclid空間内の多様体とする。次が成り立つ。
*$(1)$　任意の $p_0\in M$ と $p_0$ の開近傍 $V\subset M$ に対し $f\in C_{c,+}^\infty(M)$ で、
$$
f(p_0)>0,\quad \text{supp}(f)\subset U
$$
を満たすものが存在する。
*$(2)$　$K\subset V\subset M$ なる $M$ のコンパクト集合 $K$ と開集合 $V$ に対し $f\in C_{c,+}^\infty(M)$で、
$$
f(p)>0\quad(\forall p\in K),\quad \text{supp}(f)\subset V
$$
を満たすものが存在する。
{{begin |proof}}
*$(1)$　$p_0$ の周りの $M$ の局所座標 $(U,\varphi)$ で $U\subset V$ なるものを取る。'''補題15.3'''の $(2)$ より $h\in C_{c,+}^{\infty}(\varphi(U))$ で $h(\varphi(p_0))>0$ なるものが取れる。$\varphi^{-1}(\text{supp}(h))$ は $U$ に含まれるコンパクト集合であることに注意して、
$$
f(p)\colon=\left\{\begin{array}{cl}h(\varphi(p))&(p\in U)\\0&(p\in M\backslash U)\end{array}\right.
$$
として $f:M\rightarrow [0,\infty)$ を定義する。
$$
M=U\cup M\backslash \varphi^{-1}(\text{supp}(h))
$$
であり、$f$ は開集合 $U$ 上で $C^\infty$ 級であり、開集合 $M\backslash \varphi^{-1}(\text{supp}(h))$ 上で $0$ であるから、$f$ は $M$ 上で $C^\infty$ 級である。$\text{supp}(f)\subset \varphi^{-1}(\text{supp}(h))$ であり、右辺はコンパクトであるから $f\in C^\infty_{c,+}(M)$ である。$f(p_0)=h(\phi(p_0))>0$、$\text{supp}(f)\subset U\subset V$ であるから $f$ は条件を満たす。
*$(2)$　任意の $p\in K$ に対し $(1)$ より $f_p\in C_{c,+}^{\infty}(M)$ で $f_p(p)>0$, $\text{supp}(f_p)\subset V$ なるものが取れる。$K$ はコンパクトなので有限個の $p_1,\ldots,p_n\in K$ が取れて、
$$
K\subset \bigcup_{j=1}^{n}(f_{p_j}>0)
$$
となる。$f\colon=\sum_{j=1}^{n}f_{p_j}\in C_{c,+}^{\infty}(M)$ とおけば、
$$
K\subset \bigcup_{j=1}^{n}(f_{p_j}>0)=(f>0)\subset
\text{supp}(f)\subset \bigcup_{j=1}^{n}\text{supp}(f_{p_j})\subset V
$$
である。
{{end|proof|}}

=== 定理15.5（多様体におけるUrysohnの補題） ===
$M$ をEuclid空間内の多様体とする。$K\subset V\subset M$ なる $M$ のコンパクト集合 $K$ と開集合 $V$ に対し台がコンパクトな $C^\infty$級関数 $f\colon M\rightarrow[0,1]$ で、
$$
f(p)=1\quad(\forall p\in K),\quad \text{supp}(f)\subset V
$$
なるものが存在する。
{{begin |proof}}
'''補題15.4'''の $(2)$ より $f_1\in C_{c,+}^{\infty}(M)$ で、
$$
K\subset (f_1>0)\subset \text{supp}(f_1)\subset V
$$
なるものが取れる。$\text{supp}(f_1)\backslash (f_1>0)\subset V\backslash K$ であり左辺はコンパクト、右辺は開集合なので再び'''補題15.4'''の $(2)$ より $f_2\in C_{c,+}^{\infty}(M)$ で、
$$
\text{supp}(f_1)\backslash (f_1>0)\subset (f_2>0)\subset \text{supp}(f_2)\subset V\backslash K
$$
なるものが取れる。今、$f\colon M\rightarrow [0,1]$ を、
$$
f(p)\colon=\left\{\begin{array}{cl}\frac{f_1(p)}{f_1(p)+f_2(p)}&(p\in (f_1+f_2)>0) )\\
0&(p\in (f_1+f_2=0) )\end{array}\right.
$$
として定義する。$\text{supp}(f_1)\backslash (f_1>0)\subset (f_2>0)$ より
$\text{supp}(f_1)\subset (f_1+f_2>0)$ であり、$M\backslash\text{supp}(f_1)$ 上で $f=0$ であるから $\text{supp}(f)\subset \text{supp}(f_1)\subset V$、$f\in C_{c,+}^{\infty}(M)$である。また $K\subset (f_1>0)\cap (f_2=0)$ であるから $K$ 上で $f=1$である。よって $f$ は条件を満たす。
{{end|proof|}}

=== 系15.6（多様体における $1$ の有限分割） ===
$M$ をEuclid空間内の多様体、$K\subset M$ をコンパクト集合、 $V_1,\ldots,V_n\subset M$ を開集合とし $K\subset \bigcup_{j=1}^{n}V_j$ とする。このとき台がコンパクトな $C^\infty$ 級関数 $f_1,\ldots,f_n\colon M\rightarrow [0,1]$ で、
$$
\text{supp}(f_j)\subset V_j\quad(j=1,\ldots,n),\quad
\sum_{j=1}^{n}f_j(x)=1\quad(\forall x\in K)
$$
を満たすものが存在する。
{{begin |proof}}
'''定理15.5'''を用いて、[[測度と積分7：局所コンパクトHausdorff空間上のRadon測度]]の'''定理27.7'''の証明と全く同様にして証明できる。
{{end|proof}}

=== 補題15.7 ===
$X$ を第二可算局所コンパクトHausdorff空間とする。このとき閉包がコンパクトな $X$ の開集合の単調増加列 $(\Omega_n)_{n\in\mathbb{N}}$ で、
$$
X=\bigcup_{n\in\mathbb{N}}\Omega_n,\quad \overline{\Omega_n}\subset \Omega_{n+1}\quad(\forall n\in\mathbb{N})
$$
なるものが取れる。
{{begin |proof}}
[[測度と積分7：局所コンパクトHausdorff空間上のRadon測度]]の'''命題27.4'''より
$X$ の開集合の可算基で閉包がコンパクトな開集合からなるもの $\{U_n\}_{n\in\mathbb{N}}$ が取れる。$X=\bigcup_{n\in \mathbb{N}}U_n$ である。$\Omega_1\colon=U_1$とおく。
$$
\overline{\Omega_1}\subset U_1\cup\ldots\cup U_{k(2)}
$$
なる $k(2)>1$ を取り $\Omega_2:=U_1\cup\ldots\cup U_{k(2)}$ とおく。
$$
\overline{\Omega_2}\subset U_1\cup\ldots\cup U_{k(3)}
$$
なる $k(3)>k(2)$ を取り $\Omega_3:=U_1\cup\ldots\cup U_{k(3)}$ とおく。同様のことを繰り返せば条件を満たす開集合の列 $(\Omega_n)_{n\in\mathbb{N}}$ が構成できる。
{{end|proof|}}

=== 定理15.8（多様体における $1$ の可算分割） ===
$M$ をEuclid空間内の多様体とする。$M$ の任意の開被覆 $\mathcal{O}$ に対し $C_{c,+}^{\infty}(M)$ の列 $(f_i)_{i\in \mathbb{N}}$ で次の条件を満たすものが取れる。
*$(1)$　任意の $i\in \mathbb{N}$ に対し $\text{supp}(f_i)\subset V_i$ なる $V_i\in \mathcal{O}$ が存在する。
*$(2)$　任意の $i\in \mathbb{N}$ に対し $(f_i>0)\cap (f_j>0)\neq\emptyset$ なる $j\in \mathbb{N}$ は有限個である。
*$(3)$　任意の $p\in M$ に対し $\sum_{i\in \mathbb{N}}f_i(p)=1$.
{{begin |proof }}
'''補題15.7'''より閉包がコンパクトな開集合の単調増加列 $(\Omega_n)_{n\in\mathbb{N}}$ で、
$$
M=\bigcup_{n\in\mathbb{N}}\Omega_n,\quad \overline{\Omega_n}\subset \Omega_{n+1}\quad(\forall n\in\mathbb{N})
$$
なるものが取れる。$\Omega_0=\Omega_{-1}=\emptyset$ とおく。
$$
\overline{\Omega_n}\backslash \Omega_{n-1}\subset \Omega_{n+1}\backslash\overline{\Omega_{n-2}}\quad(\forall n\in\mathbb{N})\quad\quad(*)
$$
であり、
$$
M=\bigcup_{n\in\mathbb{N}}\overline{\Omega_n}\backslash \Omega_{n-1},\quad\quad(**)
$$
$$
(\Omega_{n+1}\backslash\overline{\Omega_{n-2}})\cap (\Omega_{m+1}\backslash\overline{\Omega_{m-2}})=\emptyset\quad(\forall n,m\in\mathbb{N}:\lvert n-m\rvert\geq 3)\quad\quad(***)
$$
である。任意の $n\in\mathbb{N}$ を取る。任意の $p\in \overline{\Omega_n}\backslash \Omega_{n-1}$ に対し $p\in V_p$ なる $V_p\in \mathcal{O}$ を取り $(*)$ とUrysohnの補題（'''定理15.5'''）により $C^\infty$ 級関数 $h_p\colon M\rightarrow[0,1]$ で、
$$
h_p(p)>0,\quad \text{supp}(h_p)\subset V_p\cap\Omega_{n+1}\backslash\overline{\Omega_{n-2}}
$$
なるものを取る。$\overline{\Omega_n}\backslash \Omega_{n-1}$ はコンパクトなので有限個の $p_1,\ldots,p_k\in \overline{\Omega_n}\backslash \Omega_{n-1}$ が取れて、
$$
\overline{\Omega_n}\backslash \Omega_{n-1}\subset \bigcup_{j=1}^{k}(h_{p_j}>0)\subset \bigcup_{j=1}^{k}\text{supp}(h_{p_j})\subset\Omega_{n+1}\backslash \overline{\Omega_{n-2}}
$$
となる。$h_{p_1},\ldots,h_{p_k}$ を改めて $h_{n,1},\ldots,h_{n,m(n)}\in C_{c,+}^{\infty}(M)$ と書き直す。そして $C_{c,+}^{\infty}(M)$ の列
$$
h_{1,1},\ldots,h_{1,m(1)},h_{2,1},\ldots,h_{2,m(2)},h_{3,1},\ldots,h_{3,m(3)},\ldots
$$
を改めて $h_1,h_2,h_3,\ldots$ とする。このとき $(****)$ より任意の $i\in\mathbb{N}$ に対し $\text{supp}(h_i)\subset V_i$ なる $V_i\in \mathcal{O}$ が取れる。そして $(***)$ より任意の $i\in\mathbb{N}$ に対し $(h_i>0)\cap (h_j>0)\neq\emptyset$ なる $j\in\mathbb{N}$ は有限個である。また $(**)$ より $M=\bigcup_{i\in\mathbb{N}}(h_i>0)$ である。これより、
$$
h(p)\colon=\sum_{i\in \mathbb{N}}h_i(p)\quad(\forall p\in M)
$$
として正数値 $C^\infty$ 級関数 $h:M\rightarrow(0,\infty)$ が定義できる。そこで任意の $i\in\mathbb{N}$ に対し $C^\infty$ 級関数 $f_i:M\rightarrow [0,1]$ を、
$$
f_i(p):=\frac{h_i(p)}{h(p)}\quad(\forall p\in M)
$$
として定義すれば $(f_i)_{i\in\mathbb{N}}$ は条件 $(1),(2),(3)$ を満たす。
{{end|proof|}}

=== 命題15.9 ===
$M$ をEuclid空間内の多様体とする。$F\subset V\subset M$ とし $F$ を閉集合、 $V$ を開集合とする。このとき $C^\infty$ 級関数 $f\colon M\rightarrow [0,1]$ で、
$$
f(p)=1\quad(\forall p\in F),\quad f(p)=0\quad(\forall p\in M\backslash V)
$$
なるものが取れる。
{{begin |proof }}
$C_{c,+}^{\infty}(M)$ の列 $(f_i)_{i\in \mathbb{N}}$ で'''定理14.8'''の $(2),(3)$ の条件を満たすものを取る。各 $i\in\mathbb{N}$ に対し $F\cap \text{supp}(f_i)$ はコンパクトであるからUrysohnの補題（'''定理15.5'''）より $C^\infty$ 級関数 $\omega_i\colon M\rightarrow [0,1]$ で、
$$
\omega_i(p)=1\quad(\forall p\in F\cap \text{supp}(f_i)),\quad \text{supp}(\omega_i)\subset V
$$
なるものが取れる。そこで、
$$
f(p)\colon=\sum_{i\in\mathbb{N}}f_i(p)\omega_i(p)\quad(\forall p\in M)
$$
として $C^\infty$ 級関数 $f\colon M\rightarrow [0,1]$ を定義する。任意の $p\in F$ を取る。$f_i(p)>0$ なる任意の $i\in\mathbb{N}$ に対し $\omega_i(p)=1$ であるから $f(p)=1$ である。また任意の $p\in M\backslash V$、任意の $i\in\mathbb{N}$ に対し $\omega_i(p)=0$ であるから $f(p)=0$ である。
{{end|proof|}}

== 16. Euclid空間内の多様体のRiemann測度 ==

=== 定義16.1 ===
$M$ をEuclid空間内の $n$ 次元多様体とする。$M$ の任意の局所座標 $(U,\varphi)$ に対し $U$ 上のBorel測度 $\mu_{(U,\varphi)}:\mathcal{B}_U\rightarrow [0,\infty]$ を、
$$
\mu_{(U,\varphi)}(B)\colon=\int_{\varphi(U)}\left(\chi_{B}\sqrt{G_{(U,\varphi)}}\right)(\varphi^{-1}(x))dx\quad(\forall B\in \mathcal{B}_U)
$$
として定義する。ただし $G_{(U,\varphi)}(p)$ $(\forall p\in U)$ は $(U,\varphi)$ に対する計量行列の行列式（'''定義12.2'''）であり、右辺の積分は $\mathbb{R}^n$ のLebesgue測度に関する積分である。

=== 注意16.2 ===
任意の非負値Borel関数 $f\colon U\rightarrow [0,\infty]$ に対し、非負値Borel単関数による各点単調増加列による近似（[[測度と積分1：測度論の基礎用語]]の'''定理5.5'''）と単調収束定理（[[測度と積分2：測度空間上の積分]]の'''定理8.4'''）より、
$$
\int_{U}f(p)d\mu_{(U,\varphi)}(p)=\int_{\varphi(U)}\left(f\sqrt{G_{(U,\varphi)}}\right)(\varphi^{-1}(x))dx
$$
である。

=== 補題16.3 ===
$M$をEuclid空間内の多様体、$(U,\varphi)$, $(V,\psi)$ を $M$ の局所座標で $U\cap V\neq\emptyset$ なるものとする。このとき任意の $B\in \mathcal{B}_{U\cap V}=\mathcal{B}_U\cap \mathcal{B}_V$ に対し、
$$
\mu_{(U,\varphi)}(B)=\mu_{(V,\psi)}(B)
$$
が成り立つ。
{{begin |proof}}
'''命題1.5'''より、
$$
\psi\circ\varphi^{-1}:\varphi(U\cap V)\ni \varphi(p)\mapsto \psi(p)\in \psi(U\cap V)
$$
は $C^\infty$ 級同相写像である。そして'''命題12.3'''より、
$$
\sqrt{G_{(V,\psi)}}(\psi^{-1}(x))=\sqrt{G_{(U,\varphi)}(\psi^{-1}(x))}\left\lvert {\rm det}(\varphi\circ\psi^{-1})'(x)\right\rvert
$$
である。よって変数変換公式（[[測度と積分8：Lebesgue測度の基本的性質]]の'''補題40.3'''）より、
$$
\begin{aligned}
\mu_{(U,\varphi)}(B)&=\int_{\varphi(U\cap V)}\left(\chi_{B}\sqrt{G_{(U,\varphi)}}\right)(\varphi^{-1}(x))dx\\
&=\int_{\psi(U\cap V)}\left(\chi_{B}\sqrt{G_{(U,\varphi)}}\right)(\psi^{-1}(x))\left\lvert{\rm det}(\varphi\circ\psi^{-1})'(x)\right\rvert dx\\
&=\int_{\psi(U\cap V)}\left(\chi_{B}\sqrt{G_{(V,\psi)}}\right)(\psi^{-1}(x))dx\\
&=\mu_{(V,\psi)}(B).
\end{aligned}
$$
{{end|proof|}}

=== 注意16.4 ===
Euclid空間内の多様体 $M$ は第二可算性より可算なアトラス $\{(U_i,\varphi_i)\}_{i\in\mathbb{N}}$ を持つ。そして任意の
$B\in \mathcal{B}_M$ に対し $\mathcal{B}_M$ の非交叉列 $(B_i)_{i\in\mathbb{N}}$ で、
$$
B=\bigcup_{i\in\mathbb{N}}B_i,\quad B_i\subset U_i\quad(\forall i\in \mathbb{N})
$$
なるものが取れる。実際、$B_1\colon=B\cap U_1$, $B_i\colon=(B\cap U_i)\backslash(U_1\cup\ldots\cup U_{i-1})$ $(\forall i\geq2)$ とおけばよい。

=== 定理16.5（Euclid空間内の多様体上のRiemann測度の一意存在） ===
$M$ をEuclid空間内の多様体とする。このときBorel測度 $\mu_M\colon\mathcal{B}_M\rightarrow [0,\infty]$ で $M$ の任意の局所座標 $(U,\varphi)$ に対し、
$$
\mu_M(B)=\mu_{(U,\varphi)}(B)\quad(\forall B\in \mathcal{B}_U)
$$
を満たすものが唯一つ存在する。
{{begin |proof }}
一意性は'''注意16.4'''による。存在を示す。 $1$の分割（'''定理15.8'''）より $C_{c,+}^{\infty}(M)$ の列 $(f_i)_{i\in \mathbb{N}}$ と $M$ の局所座標の列
$( (U_i,\varphi_i) )_{i\in\mathbb{N}}$ で、
$$
\text{supp}(f_i)\subset U_i\quad(\forall i\in \mathbb{N}),\quad \sum_{i\in\mathbb{N}}f_i(p)=1\quad(\forall p\in M)
$$
を満たすものが取れる。これに対し $\mu_M\colon\mathcal{B}_M\rightarrow [0,\infty]$ を、
$$
\mu_M(B)\colon=\sum_{i\in\mathbb{N}}\int_{U_i}f_i(p)\chi_{B}(p)d\mu_{(U_i,\varphi_i)}(p)\quad(\forall B\in \mathcal{B}_M)
$$
として定義する。単調収束定理（[[測度と積分2：測度空間上の積分]]の'''定理8.4'''）より $\mu_M$ は $\sigma$-加法性を持つ。$M$ の任意の局所座標 $(U,\varphi)$ を取る。任意の $B\in \mathcal{B}_U$ に対し ${\rm supp}(f_i \chi_B)\subset U_i\cap U$ であるから'''補題16.3'''より、
$$
\int_{U_i}f_i(p)\chi_{B}(p)d\mu_{(U_i,\varphi_i)}(p)=\int_{U}f_i(p)\chi_{B}(p)d\mu_{(U,\varphi)}(p)\quad(\forall i\in\mathbb{N}:U\cap U_i\neq\emptyset)
$$
であるから、
$$
\begin{aligned}
\mu_M(B)&=\sum_{i\in\mathbb{N}}\int_{U_i}f_i(p)\chi_{B}(p)d\mu_{(U_i,\varphi_i)}(p)
=\sum_{i\in\mathbb{N}}\int_{U}f_i(p)\chi_{B}(p)d\mu_{(U,\varphi)}(p)\\
&=\int_{U}\sum_{i\in\mathbb{N}}f_i(p)\chi_{B}(p)d\mu_{(U,\varphi)}(p)
=\mu_{(U,\varphi)}(B)
\end{aligned}
$$
である。これで存在が示された。
{{end|proof|}}

=== 定義16.6（Euclid空間内の多様体上のRiemann測度） ===
$M$ をEuclid空間内の多様体とする。'''定理16.6'''よりBorel測度 $\mu_M\colon\mathcal{B}_M\rightarrow [0,\infty]$ で $M$ の任意の局所座標 $(U,\varphi)$ に対し、
$$
\mu_M(B)=\int_{\varphi(U)}\left(\chi_{B}\sqrt{G_{(U,\varphi)}}\right)(\varphi^{-1}(x))dx\quad(\forall B\in \mathcal{B}_U)\quad\quad(*)
$$
を満たすものが唯一つ存在する。これを $M$ のRiemann測度と言う。

=== 注意16.7 ===
* $M$ をEuclid空間内の多様体、$D\subset M$ を空でない開集合とする。このとき $D$ の任意の局所座標は $M$ の局所座標である。よって'''注意16.4'''より $D$ のRiemann測度は $M$ のRiemann測度の制限である。
* $\mathbb{R}^N$ の標準座標 $(\mathbb{R}^N,\text{id})$ に対する計量行列は単位行列であるから、その行列式 $\sqrt{G_{(\mathbb{R}^N,\text{id})}}$ は $1$ である。よって'''定義16.6'''の $(*)$ より $\mathbb{R}^N$ のRiemann測度はLebesgue測度である。

=== 定義16.8（超曲面の面積測度） ===
$M$ が $\mathbb{R}^N$ の超曲面の場合、$M$ の任意の局所座標 $(U,\varphi;x_1,\ldots,x_{N-1})$ と任意の $p\in U$ に対し、
$$
\sqrt{G_{(U,\varphi)}(p)}=\left\lvert \frac{\partial}{\partial x_1}p\times\ldots \times \frac{\partial}{\partial x_{N-1}}p\right\rvert
$$
であり（'''定義12.2'''を参照）、これは $M$ の $p$ における接ベクトル
$$
\frac{\partial}{\partial x_1}p,\ldots,\frac{\partial}{\partial x_{N-1}}p\in \mathbb{R}^N
$$
が張る面の面積である（'''注意11.3'''を参照）。このことと'''定義16.6'''の $(*)$ より超曲面 $M$ のRiemann測度 $\mu_M$ は $M$ の面積を与えると考えられる。そこで超曲面のRiemann測度を面積測度と呼ぶ。

=== 定義16.9（$1$ 次元多様体の線測度） ===
$M$ が $\mathbb{R}^N$ 内の $1$ 次元多様体の場合、$M$ の任意の局所座標 $(U,x)$ と任意の $p\in U$ に対し、
$$
\sqrt{G_{(U,x)}(p)}=\left\lvert \frac{\partial}{\partial x}p\right\rvert\quad(\forall p\in U)
$$
である（'''定義12.2'''を参照）。よって'''定義16.6'''の $(*)$ より $1$ 次元多様体 $M$ のRiemann測度 $\mu_M$ は $M$ の長さを与えると考えられる。そこで $1$ 次元多様体のRiemann測度を線測度と呼ぶ。

=== 命題16.10（次元の小さい部分多様体のRiemann測度は$0$） ===
$M$ をEuclid空間内の $n$ 次元多様体、$H$ を $M$ の $k$ 次元部分多様体とし $k<n$ とする。このとき $\mu_M(H)=0$ である。
{{begin |proof | collapsible=1 |display=証明}}
'''命題2.4'''と第二可算性より $H$ を被覆する $M$ の局所座標の可算族 $\{(U_i,\varphi_i)\}_{i\in\mathbb{N}}$ で、
$$
\varphi_i(U_i\cap H)=\varphi_i(U_i)\cap (\mathbb{R}^k\times\{0\})\quad(\forall i\in \mathbb{N})
$$
を満たすものが取れる。$\mathbb{R}^k\times \{0\}$ の $\mathbb{R}^n$ におけるLebesgue測度は $0$ であるから任意の $i\in\mathbb{N}$ に対し、
$$
\begin{aligned}
\mu_M(U_i\cap H)&=\int_{\varphi_i(U_i)}\left(\chi_{U_i\cap H}\sqrt{G_{(U_i,\varphi_i)}}\right)(\varphi_i^{-1}(x))dx\\
&=\int_{\varphi_i(U_i)\cap(\mathbb{R}^k\times\{0\})}\sqrt{G_{(U,\varphi)}(\varphi_i^{-1}(x))}dx=0
\end{aligned}
$$
である。$H=\bigcup_{i\in\mathbb{N}}(U_i\cap H)$ であるから $\mu_M(H)\leq \sum_{i\in\mathbb{N}}\mu_M(U_i\cap H)=0$ である。
{{end|proof|}}

=== 命題16.11（Riemann測度はRadon測度） ===
Riemann測度はRadon測度（[[測度と積分7：局所コンパクトHausdorff空間上のRadon測度]]の'''定義29.3'''）である。
{{begin |proof }}
$M$ をEuclid空間内の多様体、$\mu_M\colon\mathcal{B}_M\rightarrow [0,\infty]$ を $M$ のRiemann測度とする。$M$ は第二可算局所コンパクトHausdorff空間であるから、[[測度と積分7：局所コンパクトHausdorff空間上のRadon測度]]の'''定理31.5'''より任意のコンパクト集合 $K\subset M$ に対し $\mu_M(K)<\infty$ であることを示せばよい。$K$ のコンパクト性より有限個の局所座標 $(U_i,\varphi_i)$ $(i=1,\ldots,k)$ で、
$$
K\subset \bigcup_{i=1}^{k}U_i
$$
なるものが取れる。そして $1$ の有限分割（'''系15.6'''）より $f_1,\ldots,f_k\in C_{c,+}^{\infty}(M)$ で、
$$
\text{supp}(f_i)\subset U_i\quad(i=1,\ldots,k),\quad \sum_{i=1}^{k}f_i(p)=1\quad(\forall p\in K)
$$
なるものが取れる。$\varphi_i(K\cap \text{supp}(f_i))$ はコンパクトであり、$\left(f_i\sqrt{G_{(U_i,\phi_i)}}\right)\circ\varphi_i^{-1}:\varphi_i(K\cap \text{supp}(f_i))\rightarrow [0,\infty)$ は連続であるから、
$$
\begin{aligned}
\mu_M(K)&=\sum_{i=1}^{k}\int_{M}f_i(p)\chi_K(p)d\mu_{M}(p)
=\sum_{i=1}^{k}\int_{U_i}f_i(p)\chi_{K\cap \text{supp}(f_i)}(p)d\mu_{(U_i,\varphi_i)}(p)\\
&=\sum_{i=1}^{k}\int_{\varphi_i(K\cap \text{supp}(f_i))}\left(f_i\sqrt{G_{U_i,\varphi_i}}\right)(\varphi_i^{-1}(x))dx<\infty
\end{aligned}
$$
である。よって $\mu_M$ はRadon測度である。
{{end|proof|}}

=== 系16.12 ===
$M$ をEuclid空間内の多様体、$\mu_M\colon\mathcal{B}_M\rightarrow[0,\infty]$ をRiemann測度とする。このとき次が成り立つ。

*$(1)$　任意の開集合 $V\subset M$ に対し、
$$
\mu_M(V)=\sup\left\{\int_{M}f(p)d\mu_M(p):f\in C_{c,+}^\infty(M),\text{ } \text{supp}(f)\subset V,\text{ }f(M)\subset [0,1]\right\}.
$$
*$(2)$　任意のコンパクト集合 $K\subset M$ に対し、
$$
\mu_M(K)=\inf\left\{\int_{M}f(p)d\mu_M(p):f\in C_{c,+}^{\infty}(M),\text{ }f|_K=1,\text{ }f(M)\subset [0,1]\right\}.
$$
*$(3)$　任意の $p\in [1,\infty)$ と任意の $f\in \mathcal{L}^p(M,\mathcal{B}_M,\mu_M)$ に対し $C_{c}^{\infty}(M)$ の列 $(f_i)_{i\in\mathbb{N}}$ で、
$$
\lim_{i\rightarrow\infty}\lVert f_i-f\rVert_{\mu_M,p}=0
$$
なるものが取れる。
{{begin |proof }}
[[測度と積分7：局所コンパクトHausdorff空間上のRadon測度]]の'''命題29.4'''と'''命題32.1'''の証明で局所コンパクトHausdorff空間におけるUrysohnの補題を用いたところで、多様体におけるUrysohnの補題（'''定理15.5'''）を用いればよい。
{{end|proof}}

=== 注意16.13（Euclid空間内の多様体の直積） ===
$M_1,\ldots,M_k$ をそれぞれEuclid空間 $\mathbb{R}^{N_1},\ldots, \mathbb{R}^{N_k}$ 内の $n_1,\ldots,n_k$ 次元多様体とし、$(U_1,\varphi_1),\ldots,(U_k,\varphi_k)$ をそれぞれ $M_1,\ldots,M_k$ の任意の局所座標とする。このとき、
$$
\varphi_1\times\ldots\times \varphi_k:U_1\times\ldots\times U_k\ni
(p_1,\ldots,p_k)\mapsto (\varphi_1(p_1),\ldots,\varphi_k(p_k))\in \varphi_1(U_1)\times\ldots\times\varphi_k(U_k)
$$
は $M_1\times\ldots\times M_k\subset \mathbb{R}^{N_1+\ldots+N_k}$ の局所座標である。実際、
$$
\begin{aligned}
\left\{(\varphi_1\times\ldots\times \varphi_k)^{-1}\right\}'(\varphi_1(p_1),\ldots,\varphi_k(p_k))\in \mathbb{M}_{(N_1+\ldots+N_k)\times (n_1+\ldots+n_k)}(\mathbb{R})
\end{aligned}
$$
は $(\varphi_1^{-1})'(\varphi_1(p_1))\in \mathbb{M}_{N_1\times n_1}(\mathbb{R})$, $\ldots$, $(\varphi_k^{-1})'(\varphi_k(p_k))\in \mathbb{M}_{N_k\times n_k}(\mathbb{R})$ を対角に並べてその他を $0$ とした行列であるから、ランクは $n_1+\ldots+n_k$ である。$(U_1,\varphi_1),\ldots,(U_k,\varphi_k)$ は任意であるから $M_1\times\ldots\times M_k$ はEuclid空間 $\mathbb{R}^{N_1+\ldots+N_k}$ 内の $n_1+\ldots+n_k$ 次元多様体である。局所座標 $(U_1\times\ldots\times U_k,\varphi_1\times\ldots\times \varphi_k)$ に対する計量行列の行列式（''定義12.2''）は、
$$
G_{(U_1\times\ldots\times U_k,\varphi_1\times\ldots\times\varphi_k)}(p_1,\ldots,p_k)=G_{(U_1,\varphi_1)}(p_1)\ldots G_{(U_k,\varphi_k)}(p_k)
$$
であるからTonelliの定理と直積測度の一意性（[[測度と積分3：測度論の基本定理(1)]]の'''定理14.4'''、'''定理14.1'''）より、
$$
\begin{aligned}
\mu_{(U_1\times\ldots\times U_k,\varphi_1\times\ldots\times \varphi_k)}=
\mu_{(U_1,\varphi_1)}\otimes\ldots\otimes\mu_{(U_k,\varphi_k)}
=(\mu_{M_1}\otimes\ldots\otimes \mu_{M_k})|_{U_1\times\ldots\times U_k}
\end{aligned}
$$
である。よって'''注意16.4'''より $M_1\times\ldots\times M_k$ のRiemann測度は、
$$
\mu_{M_1\times\ldots\times M_k}=\mu_{M_1}\otimes\ldots\otimes \mu_{M_k}
$$
である<ref>第二可算性より $M_i$ は $\sigma$-コンパクトであるからRadon測度 $\mu_{M_i}$ は $\sigma$-有限である。また[[測度と積分1：測度論の基礎用語]]の'''命題2.8'''より $\mathcal{B}_{M_1\times\ldots\times M_k}=\mathcal{B}_{M_1}\otimes\ldots\otimes \mathcal{B}_{M_k}$ である。</ref>。

== 17. Riemann測度に関する変数変換公式 ==

=== 補題17.1 ===
$M,H$ をEuclid空間内の $n$ 次元多様体、$\Phi\colon M\rightarrow H$ を $C^1$ 級関数とする。$B\in \mathcal{B}_M$ が $¥sigma$-コンパクトな $\mu_M$-零集合であるとき、$\Phi(B)$ は $\sigma$-コンパクトな $\mu_H$ 零集合である。
{{begin |proof }}
$M$の局所座標 $(U,\varphi)$ と $H$ の局所座標 $(V,\psi)$ に対し $B\subset U\cap \Phi^{-1}(V)$ であるとして示せば十分である<ref>$M$ の可算なアトラス $\{(U_i,\varphi_i)\}_{i\in\mathbb{N}}$ と $H$ の可算なアトラス $\{(V_j,\psi_j)\}_{j\in\mathbb{N}}$ に対し $\{U_i\cap \Phi^{-1}(V_j)\}_{i,j\in\mathbb{N}}$ は $M$ の開被覆である。$M$ の開集合は $\sigma$-コンパクトであるから各 $i,j\in\mathbb{N}$ に対し $B\cap U_i\cap \Phi^{-1}(V_j)$ は $\sigma$-コンパクトな $mu_M$-零集合である。そして $\Phi(B)=\bigcup_{i,j\in\mathbb{N}}\Phi(B\cap U_i\cap \Phi^{-1}(V_j) )$ である。</ref>。
$$
0=\mu_M(B)=\int_{\varphi(U)}\left(\chi_{B}\sqrt{G_{(U,\varphi)}}\right)(\varphi^{-1}(x))dx
=\int_{\varphi(B)}\sqrt{G_{(U,\varphi)}}(\varphi^{-1}(x))dx
$$
であり $\sqrt{G_{(U,\varphi)}}>0$ であるから $\varphi(B)\subset\mathbb{R}^n$ のLebesgue測度は $0$ である。よって $\varphi(B)$ の $C^1$ 級関数
$$
\psi\circ \Phi\circ\varphi^{-1}:\varphi(U\cap \Phi^{-1}(V))\rightarrow \mathbb{R}^n
$$
による像 $\psi(\Phi(B))\subset\mathbb{R}^n$ のLebesgue測度も $0$ である（[[測度と積分8：Lebesgue測度の基本的性質]]の'''補題40.2'''）。ゆえに、
$$
\begin{aligned}
\mu_H(\Phi(B))=\int_{\psi(V)}\left(\chi_{\Phi(B)}\sqrt{G_{(V,\psi)}}\right)(\psi^{-1}(x))dx
=\int_{\psi(\Phi(B))}\sqrt{G_{(V,\psi)}}(\psi^{-1}(x))dx=0
\end{aligned}
$$
である。
{{end|proof|}}

=== 定義17.2（ヤコビアン） ===
$M,H$ をEuclid空間内の $n$ 次元多様体、$\Phi\colon M\rightarrow H$ を $C^1$ 級関数とする。任意の $p\in M$ に対し $p$ の周りの $M$ の局所座標 $(U,\varphi;x_1,\ldots,x_n)$ と $\Phi(p)$ の周りの $H$ の局所座標 $(V,\psi;y_1,\ldots,y_n)$ を取り、
$$
\begin{aligned}
J\Phi(p):&=\frac{\sqrt{G_{(V,\psi)}(\Phi(p))}}{\sqrt{G_{(U,\varphi)}(p)}}\left\lvert{\rm det}\left(\frac{\partial(y_i\circ\Phi)}{\partial x_j}(p)\right)_{i,j}\right\rvert\\
&=\frac{\sqrt{G_{(V,\psi)}(\Phi(p))}}{\sqrt{G_{(U,\varphi)}(p)}}\left\lvert{\rm det}\left(\psi\circ\Phi\circ\varphi^{-1}\right)'(\varphi(p))\right\rvert
\end{aligned}
$$
と定義する。'''命題12.3'''より $J\Phi(p)$ は $p$ の周りの $M$ の局所座標 $(U,\varphi;x_1,\ldots,x_n)$ と $\Phi(p)$ の周りの $H$ の局所座標 $(V,\psi;y_1,\ldots,y_n)$ の取り方によらない。こうして定義される連続関数 $J\Phi\colon M\ni p\mapsto J\Phi(p)\in [0,\infty)$ を $\Phi$ のヤコビアンと言う。

=== 注意17.3 ===
$\left(\frac{\partial(y_i\circ\Phi)}{\partial x_j}(p)\right)_{i,j}\in \mathbb{M}_{n\times n}(\mathbb{R})$ は $T_p(M)$ の基底 $(\frac{\partial}{\partial x_j}p)_{j=1,\ldots,n}$ と $T_{\Phi(p)}(H)$ の基底 $(\frac{\partial}{\partial y_i}\Phi(p))_{i=1,\ldots,n}$ に関する $d\Phi_p\colon T_p(M)\rightarrow T_{\Phi(p)}(H)$ の行列表現である（'''命題5.2'''）から $J\Phi(p)>0$ であることと $d\Phi_p:T_p(M)\rightarrow T_{\Phi(p)}(H)$ が単射（つまり線形同型写像）であることは同値である。

=== 補題17.4 ===
$M,H$ をEuclid空間内の $n$ 次元多様体、$\Phi\colon M\rightarrow H$ を $C^1$ 級同相写像とする。このとき任意の非負値Borel関数 $f\colon H\rightarrow [0,\infty]$ に対し、
$$
\int_{H}f(p)d\mu_H(p)=\int_{M}f(\Phi(p))J\Phi(p)d\mu_M(p)
$$
が成り立つ。
{{begin |proof }}
非負値Borel関数の非負値Borel単関数による各点単調増加列による近似（[[測度と積分1：測度論の基礎用語]]の'''定理5.5'''）と単調収束定理（[[測度と積分2：測度空間上の積分]]の'''定理8.4'''）より、任意の $B\in \mathcal{B}_M$ に対し、
$$
\mu_H(\Phi(B))=\int_{B}J\Phi(p)d\mu_M(p)
$$
が成り立つことを示せば十分である。さらに'''注意16.4'''より $M, H$ のある局所座標 $(U,\varphi)$, $(V,\psi)$ に対し $B\subset U\cap \Phi^{-1}(V)$ であると仮定して示せば十分である。像の上への $C^1$ 級同相写像
$$
\psi\circ\Phi\circ\varphi^{-1}:\varphi(U\cap \Phi^{-1}(V))\rightarrow \psi(\Phi(U\cap \Phi^{-1}(V)))
$$
に対して変数変換公式（[[測度と積分8：Lebesgue測度の基本的性質]]の'''補題40.3'''）を適用すれば、
$$
\begin{aligned}
\mu_H(\Phi(B))&=\int_{\psi(V)}\left(\chi_{\Phi(B)}\sqrt{G_{(V,\psi)}}\right)(\psi^{-1}(x))dx\\
&=\int_{\psi(\Phi(U\cap \Phi^{-1}(V)))}\left(\chi_{\Phi(B)}\sqrt{G_{(V,\psi)}}\right)(\psi^{-1}(x))dx\\
&=\int_{\varphi(U\cap \Phi^{-1}(V))}\chi_B(\varphi^{-1}(x))\sqrt{G_{(V,\psi)}}(\Phi(\varphi^{-1}(x)))\left\lvert{\rm det}\left(\psi\circ\Phi\circ\varphi^{-1}\right)'(x)\right\rvert dx\\
&=\int_{\varphi(U)}\left(\chi_B\sqrt{G_{(U,\varphi)}}\right)(\varphi^{-1}(x))J\Phi(\varphi^{-1}(x))dx\\
&=\int_{B}J\Phi(p)d\mu_M(p)
\end{aligned}
$$
となる。よって成り立つ。
{{end|proof|}}

=== 定理17.5（Riemann測度に関する変数変換公式） ===
$M,H$ をEuclid空間内の $n$ 次元多様体とする。$B\in \mathcal{B}_M$ とし $\Phi\colon B\rightarrow H$ を $B$ を含む $M$ の開集合上で定義された $C^1$ 級写像を $B$ 上に制限したものとする。また $B_0$ を $B$ に含まれる $M$ の開集合とする。そして次が成り立つとする。
*$(1)$　$\Phi(B)\in \mathcal{B}_H$.
*$(2)$　$\Phi$ は $B_0$ 上で単射であり任意の $p\in B_0$ に対し $J\Phi(p)>0$. <ref>'''注意17.3'''より任意の $p\in B_0$ に対し $d\Phi_p\colon T_p(M)\rightarrow T_{\Phi(p)}(H)$ は単射である。</ref>。
*$(3)$　$B\backslash B_0$ は $\sigma$-コンパクトな $\mu_M$-零集合に含まれる。
このとき任意の非負値Borel関数 $f\colon\Phi(B)\rightarrow [0,\infty]$ に対し、
$$
\int_{\Phi(B)}f(p)d\mu_H(p)=\int_{B}f(\Phi(p))J\Phi(p)d\mu_M(p)
$$
が成り立つ。
{{begin |proof}}
$(2)$ と多様体間の写像に関する逆関数定理（'''命題7.3'''）より $\Phi(B_0)$ は $H$ の開集合であり $B_0\ni p\mapsto \Phi(p)\in \Phi(B_0)$ は $C^1$ 級同相写像である。また$\Phi(B)\backslash \Phi(B_0)\subset \Phi(B\backslash B_0)$ であるから $(1),(3)$ と'''補題17.1'''より $\mu_H(\Phi(B)\backslash \Phi(B_0))=0$ である。ゆえに'''補題17.4'''より、
$$
\int_{\Phi(B)}f(p)d\mu_H(p)=\int_{\Phi(B_0)}f(p)d\mu_H(p)
=\int_{B_0}f(\Phi(p))J\Phi(p)d\mu_M(p)
=\int_{B}f(\Phi(p))J\Phi(p)d\mu_M(p)
$$
である。
{{end|proof|}}

== 18. 極座標変換 ==

=== 定義18.1（単位球面） ===
$\mathbb{R}^N$ の原点を中心とする単位球面を、
$$
S_{N-1}\colon=\{x\in\mathbb{R}^N:\lvert x\rvert=1\}
$$
と表す。'''定理8.2'''より $S_{N-1}$ は $\mathbb{R}^N$ の超曲面（$N-1$次元多様体）である<ref>$f\colon\mathbb{R}^N\rightarrow \mathbb{R}$ を $f(x)\colon=\lvert x\rvert^2-1$ とおけば $S_{N-1}=\{x\in\mathbb{R}^N:f(x)=0\}$ であり任意の $x\in S_{N-1}$ に対し $df_x=\sum_{j=1}^{N}2x_jdx_j\neq0$ である。</ref>。

=== 命題18.2（極座標変換の基本性質） ===
$$
\Phi_N\colon\mathbb{R}^N\ni (r,\theta_1,\ldots,\theta_{N-1})\mapsto \left(\begin{array}{l}r\cos(\theta_1)\\r\sin(\theta_1)\cos(\theta_2)\\
r\sin(\theta_1)\sin(\theta_2)\cos(\theta_3)\\
\vdots\\
r\sin(\theta_1)\ldots\sin(\theta_{N-2})\cos(\theta_{N-1})\\
r\sin(\theta_1)\ldots\sin(\theta_{N-2})\sin(\theta_{N-1})\end{array}\right)\in \mathbb{R}^N
$$
なる $C^\infty$ 級関数を考える。このとき、
*$(1)$
$$
[0,\pi]\times\ldots\times [0,\pi]\times[0,2\pi)\ni (\theta_1,\ldots,\theta_{N-1})
\mapsto \Phi_N(1,\theta_1,\ldots,\theta_{N-1})\in S_{N-1}
$$
は全射であり、$(0,\pi)\times \ldots \times (0,\pi)\times (0,2\pi)$ 上で単射である。
*$(2)$　任意の $(r,\theta_1,\ldots,\theta_{N-1})\in\mathbb{R}^N$ に対し、
$$
{\rm det}\Phi_N'(r,\theta_1,\ldots,\theta_{N-1})=r^{N-1}\sin(\theta_1)^{N-2}\sin(\theta_2)^{N-3}\ldots\sin(\theta_{N-2})
$$
が成り立つ。特に任意の $(r,\theta_1,\ldots,\theta_{N-1})\in (0,\infty)\times (0,\pi)\times\ldots\times (0,\pi)\times(0,2\pi)$ に対し、
$$
{\rm det}\Phi_N'(r,\theta_1,\ldots,\theta_{N-1})>0
$$
が成り立つ。
*$(3)$
$$
\Omega_N\colon=\Phi_N( (0,\infty)\times(0,\pi)\times\ldots\times(0,\pi)\times(0,2\pi) )
$$
は $\mathbb{R}^N$ の開集合であり、
$$
(r,\theta_1,\ldots,\theta_{N-1}):\Omega_N\ni x\mapsto \Phi_N^{-1}(x)\in (0,\infty)\times (0,\pi)\times\ldots\times (0,\pi)\times(0,2\pi)\quad\quad(**)
$$
とおくと $(\Omega_N,r,\theta_1,\ldots,\theta_{N-1})$ は $\mathbb{R}^N$ の正の向きの直交座標（'''定義13.6'''）である。そして任意の $x\in \Omega_N$ に対し、
$$
\left\lvert\frac{\partial}{\partial r}x\right\rvert=1,\quad
\left\lvert\frac{\partial}{\partial \theta_{k}}x\right\rvert=r\sin(\theta_1)\ldots\sin(\theta_{k-1})\quad(k=1,\ldots,N-1)\quad\quad(***)
$$
であり、局所座標 $(\Omega_N,r,\theta_1,\ldots,\theta_{N-1})$ の計量行列の行列式 $G_{(\Omega_N,r,\theta_1,\ldots,\theta_{N-1})}$（'''定義12.2'''）の平方根は、
$$
\sqrt{G_{(\Omega_N,r,\theta_1,\ldots,\theta_{N-1})}(x)}=r^{N-1}\sin(\theta_1)^{N-2}\sin(\theta_2)^{N-3}\ldots\sin(\theta_{N-2})
$$
である。
*$(3)$　$S_{N-1}$ の開集合
$$
S_{N-1,0}:=S_{N-1}\cap\Omega_N=\Phi_N(\{1\}\times(0,\pi)\times\ldots\times(0,\pi)\times(0,2\pi))
$$
に対し、
$$
\Phi_{N}^{-1}(x)=(1,\Theta_{N-1}(x))\quad(\forall x\in S_{N-1,0})
$$
として、
$$
\Theta_{N-1}=(\theta_1,\ldots,\theta_{N-1}):S_{N-1}\rightarrow(0,\pi)\times\ldots\times(0,\pi)\times(0,2\pi)
$$
を定義すると $(S_{N-1,0},\Theta_{N-1})$ は超曲面 $S_{N-1}$ の局所座標である。そして任意の $x\in S_{N-1,0}$ に対し $S_{N-1}$ の接ベクトル
$$
\frac{\partial}{\partial \theta_1}x,\ldots,\frac{\partial}{\partial_{N-1}}x\in \mathbb{R}^N
$$
は互いに直交し、
$$
\left\lvert\frac{\partial}{\partial\theta_k}x\right\rvert=\sin(\theta_1)\ldots\sin(\theta_{k-1})\quad(k=1,\ldots,N -1)
$$
であり、局所座標 $(S_{N-1,0},\Theta_{N-1})$ に対する計量行列の行列式 $G_{(S_{N-1,0},\Theta_{N-1})}$ の平方根は、
$$
\sqrt{G_{(S_{N-1,0},\Theta_{N-1})}(x)}=\sin(\theta_1)^{N-2}\sin(\theta_2)^{N-3}\ldots\sin(\theta_{N-2})\quad\quad(******)
$$
である。
*$(4)$　超曲面 $S_{N-1}$ の面積測度 $\mu_{S_{N-1}}\colon\mathcal{B}_{S_{N-1}}\rightarrow[0,\infty)$ に対し、
$$
\mu_{S_{N-1}}(S_{N-1}\backslash S_{N-1,0})=0
$$
が成り立ち、
$$
\mu_{S_{N-1}}(S_{N-1})=2\pi\int_{0}^{\pi}\int_{0}^{\pi}\ldots\int_{0}^{\pi}\sin(\theta_1)^{N-2}\sin(\theta_2)^{N-3}\ldots\sin(\theta_{N-2})d\theta_1\ldots d\theta_{N-2}
$$
が成り立つ。
{{begin |proof }}
*$(1)$　任意の $x\in S_{N-1}$ を取る。$\lvert x_1\rvert\leq1$ であり $\cos$ は $[0,\pi]$ で狭義単調減少であるから中間値の定理より $x_1=\cos(\theta_1)$ なる $\theta_1\in [0,\pi]$ が取れる。$x_2^2+x_3^2+\cdots +x_N^2=1-\cos^2(\theta_1)=\sin^2(\theta_1)$ より
$\lvert x_2\rvert\leq \sqrt{1-\lvert x_1\rvert^2}=\sin(\theta_1)$ であるから中間値の定理より
$x_2=\sin(\theta_1)\cos(\theta_2)$ なる $\theta_2\in [0,\pi]$ が取れる。
$x_3^2+x_4^2+\cdots +x_N^2=\sin^2(\theta_1)-\sin^2(\theta_1)\cos^2(\theta_2)=\sin^2(\theta_1)\sin^2(\theta_2)$ より $\lvert x_3\rvert \leq \sin(\theta_1)\sin(\theta_2)$ であるから中間値の定理より $x_3=\sin(\theta_1)\sin(\theta_2)\cos(\theta_3)$ なる $\theta_3\in [0,\pi]$ が取れる。
以下同様にして、
$$
\begin{pmatrix}x_1\\x_2\\\vdots\\ x_{N-2}\end{pmatrix}
=\left(\begin{array}{l}\cos(\theta_1)\\\sin(\theta_1)\cos(\theta_2)\\\vdots\\\sin(\theta_1)\cdots\sin(\theta_{N-3})\cos(\theta_{N-2})\end{array}\right)
$$
を満たす $\theta_1,\ldots,\theta_{N-2}\in [0,\pi]$ が取れる。
$$
\lvert(x_{N-1},x_N)\rvert=\sqrt{1-(x_1^2+\ldots+x_{N-2}^2)}=\sin(\theta_1)\ldots\sin(\theta_{N-2})
$$
であるから $\theta_{N-1}\in [0,2\pi)$で、
$$
\begin{pmatrix}x_{N-1}\\x_N\end{pmatrix}
=\left(\begin{array}{l}\sin(\theta_1)\ldots\sin(\theta_{N-3})\sin(\theta_{N-2})\cos(\theta_{N-1})\\\sin(\theta_1)\ldots\sin(\theta_{N-3})\sin(\theta_{N-2})\sin(\theta_{N-1})\end{array}\right)
$$
なるものがとれる。ゆえに $(*)$ は全射である。$(*)$ が $(0,\pi)\times \cdots \times (0,\pi)\times (0,2\pi)$ 上で単射であることは $\cos$ が $(0,\pi)$ で単射であり、$\sin$ が $(0,\pi)$ 上で $0$ を取らないこと、$(0,2\pi)\ni \theta\mapsto (\cos(\theta),\sin(\theta))\in S_1$ が単射であることから分かる。
*$(2)$　$N$に関する帰納法で示す。$N=2$の場合は自明である。ある $N-1\geq2$ に対して成り立つと仮定する。
$$
\Phi_N(r,\theta_1,\ldots,\theta_{N-1})=(r\cos(\theta),\Phi_{N-1}(r\sin(\theta_1),\theta_2,\ldots,\theta_{N-1}))
$$
であるから $\Phi_N$ は、
$$
\mathbb{R}^N\ni (r,\theta_1,\ldots,\theta_{N-1})\mapsto (r\cos(\theta_1),r\sin(\theta_1),\theta_2,\ldots,\theta_{N-1})\in \mathbb{R}^N
$$
と、
$$
\mathbb{R}^N\ni(x,y,\theta_2,\ldots,\theta_{N-1})\mapsto (x,\Phi_{N-1}(y,\theta_2,\ldots,\theta_{N-1}))\in\mathbb{R}^N
$$
の合成である。よってチェインルールと帰納法の仮定より、
$$
\begin{aligned}
{\rm det}\Phi_N'(r,\theta_1,\ldots,\theta_{N-1})
&={\rm det}\Phi_{N-1}'(r\sin(\theta_1),\theta_2,\ldots,\theta_{N-1})\cdot
{\rm det}\begin{pmatrix}\cos(\theta_1)&-r\sin(\theta_1)\\\sin(\theta_1)&r\cos(\theta_1)\end{pmatrix}\\
&=\left( (r\sin(\theta_1))^{N-2}\sin(\theta_2)^{N-3}\ldots\sin(\theta_{N-2})\right)r\\
&=r^{N-1}\sin(\theta_1)^{N-2}\sin(\theta_2)^{N-3}\ldots\sin(\theta_{N-2})
\end{aligned}
$$
である。よって $N$ の場合も成り立つ。
*$(3)$　$(1)$ より $\Phi_N$ は $(0,\infty)\times(0,\pi)\times\ldots\times(0,\pi)\times(0,2\pi)$ 上で単射であり、$(2)$ より $\Phi_N$ の各点での微分は正則行列である。よって逆関数定理より $\Omega_N$ は $\mathbb{R}^N$ の開集合であり、
$$
(0,\infty)\times(0,\pi)\times\cdots\times(0,\pi)\times(0,2\pi)\ni (r,\theta_1,\ldots,\theta_{N-2},\theta_{N-1})\mapsto \Phi_N(r,\theta_1,\ldots,\theta_{N-2},\theta_{N-1})\in \Omega_N
$$
は $C^\infty$ 級同相写像であるからその逆写像である $(**)$ は $\mathbb{R}^N$ の局所座標である。任意の $x=\Phi_N(r,\theta_1,\ldots,\theta_{N-1})\in \Omega_N$ に対し、
$$
\begin{aligned}
&{\rm det}\left(\frac{\partial}{\partial r}x,\frac{\partial}{\partial\theta_1}x,\ldots,\frac{\partial}{\partial\theta_{N-1}}x\right)={\rm det}\Phi_N'(r,\theta_1,\ldots,\theta_{N-1})\\
&=r^{N-1}\sin(\theta_1)^{N-2}\sin(\theta_2)^{N-3}\ldots\sin(\theta_{N-2})>0
\end{aligned}
$$
である。また、
$$
\frac{\partial}{\partial r}x= \left(\begin{array}{l}\cos(\theta_1)\\\sin(\theta_1)\cos(\theta_2)\\
\sin(\theta_1)\sin(\theta_2)\cos(\theta_3)\\
\vdots\\
\sin(\theta_1)\ldots\sin(\theta_{N-2})\cos(\theta_{N-1})\\
\sin(\theta_1)\ldots\sin(\theta_{N-2})\sin(\theta_{N-1})\end{array}\right)
$$
であり、
$$
\frac{\partial}{\partial\theta_k}x=r\sin(\theta_1)\ldots\sin(\theta_{k-1}) \left(\begin{array}{l}0\\\vdots\\0\\-\sin(\theta_k)\\
\cos(\theta_k)\cos(\theta_{k+1})\\
\cos(\theta_k)\sin(\theta_{k+1})\cos(\theta_{k+2})\\\vdots\\
\cos(\theta_k)\sin(\theta_{k+1})\ldots\sin(\theta_{N-2})\cos(\theta_{N-1})\\
\cos(\theta_k)\sin(\theta_{k+1})\ldots\sin(\theta_{N-2})\sin(\theta_{N-1})\end{array}\right)\quad(k=1,\ldots,N-2),
$$
$$
\frac{\partial}{\partial\theta_{N-1}}x=r\sin(\theta_1)\ldots\sin(\theta_{N-2})\left(\begin{array}{l}0\\\vdots\\0\\-\sin(\theta_{N-1})\\\cos(\theta_{N-1})\end{array}\right)
$$
であるから、
$$
\frac{\partial}{\partial r}x,\frac{\partial}{\partial \theta_1}x,\ldots,\frac{\partial}{\partial\theta_{N-1}}x\in \mathbb{R}^N
$$
は互いに直交する。よって $(\Omega_N,r,\theta_1,\ldots,\theta_{N-1})$ は $\mathbb{R}^N$ の正の向きの直交座標である。そして $(***)$ が成り立ち、
$$
\sqrt{G_{(\Omega_N,r,\theta_1,\ldots,\theta_{N-1})}(x)}
=\left\lvert\frac{\partial}{\partial r}x\right\rvert\left\lvert\frac{\partial}{\partial\theta_1}x\right\rvert\ldots\left\lvert\frac{\partial}{\partial\theta_{N-1}}x\right\rvert
=r^{N-1}\sin(\theta_1)^{N-2}\sin(\theta_2)^{N-3}\ldots\sin(\theta_{N-2})
$$
である。
*$(4)$　$(1)$ より、
$$
\Phi_N^{-1}(S_{N-1}\cap \Omega_N)=\{1\}\times(0,\pi)^{N-2}\times(0,2\pi)=\Phi_N^{-1}(\Omega_N)\cap (\{1\}\times\mathbb{R}^{N-1})
$$
であるから''命題2.4''より $\Phi_N^{-1}(x)=(1,\Theta_{N-1}(x))$ $(\forall x\in S_{N-1,0}=S_{N-1}\cap\Omega_N)$ とおけば $(S_{N-1,0},\Theta_{N-1})$ は超曲面 $S_{N-1}$ の局所座標である。 $(****)$ が互いに直交することと $(*****)$ が成り立つことは $(3)$ による。そしてこれより、
$$
\sqrt{G_{(S_{N-1,0},\Theta_{N-1})}(x)}
=\left\lvert\frac{\partial}{\partial\theta_1}x\right\rvert\ldots\left\lvert\frac{\partial}{\partial\theta_{N-1}}x\right\rvert
=\sin(\theta_1)^{N-2}\sin(\theta_2)^{N-3}\ldots\sin(\theta_{N-2})
$$
である。
*$(5)$　$\mathbb{R}^{N-1}$ の部分集合
$$
E:=([0,\pi]^{N-2}\times[0,2\pi])\backslash ( (0,\pi)^{N-2}\times(0,2\pi) )
$$
は $\sigma$-コンパクトなLebesgue測度 $0$ の集合である。そして $C^\infty$ 級写像
$$
\Psi:\mathbb{R}^{N-1}\ni(\theta_1,\ldots,\theta_{N-1})\mapsto \Phi_N(1,\theta_1,\ldots,\theta_{N-1})\in S_{N-1}
$$
に対し $S_{N-1}\backslash S_{N-1,0}\subset \Psi(E)$ であるから'''補題17.1'''より $\mu_{S_{N-1}}(S_{N-1}\backslash S_{N-1,0})\leq\mu_{S_{N-1}}(\Psi(E))=0$ である。よって、
$$
\begin{aligned}
\mu_{S_{N-1}}(S_{N-1})&=\mu_{S_{N-1}}(S_{N-1,0})\\
&=\int_{(0,\pi)^{N-2}\times(0,2\pi)}\sqrt{G_{(S_{N-1,0},\Theta_{N-1})}(\Theta_{N-1}^{-1}(\theta_1,\ldots,\theta_{N-1}))}d\theta_1\ldots d\theta_{N-1}\\
&=2\pi\int_{(0,\pi)^{N-2}}\sin(\theta_1)^{N-2}\sin(\theta_2)^{N-3}\ldots\sin(\theta_{N-2})d\theta_1\ldots d\theta_{N-2}
\end{aligned}
$$
である。
{{end|proof|}}

=== 定義18.3（極座標） ===
'''命題18.2'''の $(3)$ における $\mathbb{R}^N$ の局所座標 $(\Omega_N,r,\theta_1,\ldots,\theta_{N-1})$ を $N$ 次元極座標と言う。また'''命題18.2'''の $(4)$ における $S_{N-1}$ の極座標 $(S_{N-1,0},\theta_1,\ldots,\theta_{N-1})$ を $S_{N-1}$ の極座標と言う。

=== 定理18.4（極座標変換） ===
$a\in \mathbb{R}^N$ を中心とする半径 $R\in(0,\infty]$ の球
$$
B(a,R)=\{x\in \mathbb{R}^N:\lvert x-a\rvert<R\}
$$
上の任意の非負値Borel関数 $f\colon B(a,R)\rightarrow [0,\infty]$ に対し、
$$
\int_{B(a,R)}f(x)dx=\int_{0}^{R}\int_{S_{N-1}}f(a+r\omega)r^{N-1}d\mu_{S_{N-1}}(\omega)dr
$$
が成り立つ。
{{begin |proof }}
$$
\Phi\colon\mathbb{R}\times S_{N-1}\ni (r,\omega)\mapsto a+r\omega\in \mathbb{R}^N
$$
なる $C^\infty$ 級関数を考えると、
$$
\Phi([0,R)\times S_{N-1})=B(a,R)
$$
である。$S_{N-1}$ の極座標 $(S_{N-1,0},\Theta_{N-1})$ を考える。'''命題18.2'''の $(3),(4)$ より任意の $(r,\omega)\in (0,R)\times S_{N-1,0}$ に対し $\Phi$の $(r,\omega)$ におけるヤコビアン（'''定義17.2'''）は、
$$
\begin{aligned}
J\Phi(r,\omega)&=\frac{1}{\sqrt{G_{(S_{N-1,0},\Theta_{N-1})}(\omega)}}\left\lvert{\rm det}(\Phi\circ( \text{id}\times\Theta_{N-1}^{-1} )'(r,\Theta_{N-1}(\omega)))\right\rvert\\
&=\frac{1}{\sin(\theta_1)^{N-2}\ldots\sin(\theta_{N-2})}r^{N-1}\sin(\theta_1)^{N-2}\ldots\sin(\theta_{N-2})\\
&=r^{N-1}>0
\end{aligned}
$$
である。また $\Phi$ は $(0,R)\times S_{N-1,0}$ 上で単射である。'''命題18.2'''の $(4)$ より $\mu_{S_{N-1}}(S_{N-1}\backslash S_{N-1,0})=0$ であるから、
$$
([0,R)\times S_{N-1})\backslash ((0,R)\times S_{N-1,0})
$$
は $\mathbb{R}\times S_{N-1}$ の $\sigma$-コンパクトなRiemann測度零の集合である。よってRiemann測度に関する変数変換公式（'''定理17.5'''）より、
$$
\begin{aligned}
\int_{B(a,R)}f(x)dx&=\int_{\Phi([0,R)\times S_{N-1})}f(x)dx
=\int_{[0,R)\times S_{N-1}}f(\Phi(r,\omega))J\Phi(r,\omega)drd\mu_{S_{N-1}}(\omega)\\
&=\int_{[0,R)}\int_{S_{N-1}}f(a+r\omega)r^{N-1}d\mu_{S_{N-1}}(\omega)dr
\end{aligned}
$$
である。
{{end|proof|}}

== 次のページ ==
*[[ベクトル解析5：多様体の向き]]

== 脚注 ==

ベクトル解析4：Euclid空間内の多様体上の測度と積分

2026-03-30T06:28:42Z

Kataoka: /* 命題16.10（次元の小さい部分多様体のRiemann測度は$0$） */

この章では、Euclid空間内の多様体上に自然に定義される測度（Riemann測度）による積分について述べる。この測度はEuclid空間のLebesgue測度の一般化である。例えば $\mathbb{R^N}$ 内の $N-1$ 次元多様体（超曲面）のRiemann測度は面積を表す。
<noinclude>
{{TOC |align=right |noautonum=1 }}
'''[[ベクトル解析]]'''
* [[ベクトル解析1：Euclid空間内の多様体上の関数の微分]]
* [[ベクトル解析2：微分形式]]
* [[ベクトル解析3：Euclid空間内の多様体の計量]]
* '''ベクトル解析4：Euclid空間内の多様体上の測度と積分'''
*[[ベクトル解析5：多様体の向き]]
*[[ベクトル解析6：Stokesの定理]]
</noinclude>
== 15. 多様体におけるUrysohnの補題と $1$ の分割 ==

=== 注意15.1（Euclid空間内の多様体は第二可算局所コンパクトHausdorff空間） ===
Euclid空間内の多様体の各点はEuclid空間の開集合と同相な開近傍を持つので局所コンパクトである。またEuclid空間は第二可算であるからEuclid空間内の多様体は第二可算である。

=== 定義15.2（$C^k(M), C^k_c(M)$） ===
$M$ をEuclid空間内の多様体とし、$M\rightarrow\mathbb{C}$の $C^k$ 級関数全体を $C^k(M)$ とする。そして、
$$
\begin{aligned}
&C^k_c(M)\colon=\{f\in C^k(M):\text{supp}(f)\text{ はコンパクト}\},\\
&C^k_{c,\mathbb{R}}(M)\colon=\{f\in C^k_c(M):\forall p\in M,\text{ }f(p)\in \mathbb{R}\},\\ &C^k_{c,+}(M)\colon=\{f\in C^k_c(M):\forall p\in M,\text{ }f(p)\in [0,\infty)\}
\end{aligned}
$$
とおく。

=== 補題15.3 ===
次が成り立つ。
*$(1)$
$$
h(t)\colon=\left\{\begin{array}{cl}e^{-\frac{1}{t}}&(t>0)\\0&(t\leq0)\end{array}\right.
$$
として定義される $h\colon\mathbb{R}\rightarrow[0,\infty)$ は $C^\infty$ 級である。
*$(2)$　任意の $x_0\in \mathbb{R}^N$ と任意の $\epsilon\in (0,\infty)$ に対し $f\in C_{c,+}^{\infty}(\mathbb{R}^N)$ で、
$$
(f>0)=\{x\in\mathbb{R}^N:\lvert x-x_0\rvert<\epsilon\},\quad f(x)=f(y)\quad(\forall x,y\in\mathbb{R}^N\colon\lvert x-x_0\rvert=\lvert y-x_0\rvert)
$$
なるものが存在する。
{{begin |proof }}
*$(1)$
$$
\lim_{t\rightarrow+0}\frac{1}{t^k}e^{-\frac{1}{t}}=0\quad(\forall k\in\mathbb{N})
$$
であることによる。
*$(2)$　$(1)$ における $h$ に対し $f(x)\colon=h(\epsilon^2-\lvert x-x_0\rvert^2)$ $(\forall x\in\mathbb{R}^N)$ とおけばよい。
{{end|proof}}

=== 補題15.4 ===
$M$ をEuclid空間内の多様体とする。次が成り立つ。
*$(1)$　任意の $p_0\in M$ と $p_0$ の開近傍 $V\subset M$ に対し $f\in C_{c,+}^\infty(M)$ で、
$$
f(p_0)>0,\quad \text{supp}(f)\subset U
$$
を満たすものが存在する。
*$(2)$　$K\subset V\subset M$ なる $M$ のコンパクト集合 $K$ と開集合 $V$ に対し $f\in C_{c,+}^\infty(M)$で、
$$
f(p)>0\quad(\forall p\in K),\quad \text{supp}(f)\subset V
$$
を満たすものが存在する。
{{begin |proof}}
*$(1)$　$p_0$ の周りの $M$ の局所座標 $(U,\varphi)$ で $U\subset V$ なるものを取る。'''補題15.3'''の $(2)$ より $h\in C_{c,+}^{\infty}(\varphi(U))$ で $h(\varphi(p_0))>0$ なるものが取れる。$\varphi^{-1}(\text{supp}(h))$ は $U$ に含まれるコンパクト集合であることに注意して、
$$
f(p)\colon=\left\{\begin{array}{cl}h(\varphi(p))&(p\in U)\\0&(p\in M\backslash U)\end{array}\right.
$$
として $f:M\rightarrow [0,\infty)$ を定義する。
$$
M=U\cup M\backslash \varphi^{-1}(\text{supp}(h))
$$
であり、$f$ は開集合 $U$ 上で $C^\infty$ 級であり、開集合 $M\backslash \varphi^{-1}(\text{supp}(h))$ 上で $0$ であるから、$f$ は $M$ 上で $C^\infty$ 級である。$\text{supp}(f)\subset \varphi^{-1}(\text{supp}(h))$ であり、右辺はコンパクトであるから $f\in C^\infty_{c,+}(M)$ である。$f(p_0)=h(\phi(p_0))>0$、$\text{supp}(f)\subset U\subset V$ であるから $f$ は条件を満たす。
*$(2)$　任意の $p\in K$ に対し $(1)$ より $f_p\in C_{c,+}^{\infty}(M)$ で $f_p(p)>0$, $\text{supp}(f_p)\subset V$ なるものが取れる。$K$ はコンパクトなので有限個の $p_1,\ldots,p_n\in K$ が取れて、
$$
K\subset \bigcup_{j=1}^{n}(f_{p_j}>0)
$$
となる。$f\colon=\sum_{j=1}^{n}f_{p_j}\in C_{c,+}^{\infty}(M)$ とおけば、
$$
K\subset \bigcup_{j=1}^{n}(f_{p_j}>0)=(f>0)\subset
\text{supp}(f)\subset \bigcup_{j=1}^{n}\text{supp}(f_{p_j})\subset V
$$
である。
{{end|proof|}}

=== 定理15.5（多様体におけるUrysohnの補題） ===
$M$ をEuclid空間内の多様体とする。$K\subset V\subset M$ なる $M$ のコンパクト集合 $K$ と開集合 $V$ に対し台がコンパクトな $C^\infty$級関数 $f\colon M\rightarrow[0,1]$ で、
$$
f(p)=1\quad(\forall p\in K),\quad \text{supp}(f)\subset V
$$
なるものが存在する。
{{begin |proof}}
'''補題15.4'''の $(2)$ より $f_1\in C_{c,+}^{\infty}(M)$ で、
$$
K\subset (f_1>0)\subset \text{supp}(f_1)\subset V
$$
なるものが取れる。$\text{supp}(f_1)\backslash (f_1>0)\subset V\backslash K$ であり左辺はコンパクト、右辺は開集合なので再び'''補題15.4'''の $(2)$ より $f_2\in C_{c,+}^{\infty}(M)$ で、
$$
\text{supp}(f_1)\backslash (f_1>0)\subset (f_2>0)\subset \text{supp}(f_2)\subset V\backslash K
$$
なるものが取れる。今、$f\colon M\rightarrow [0,1]$ を、
$$
f(p)\colon=\left\{\begin{array}{cl}\frac{f_1(p)}{f_1(p)+f_2(p)}&(p\in (f_1+f_2)>0) )\\
0&(p\in (f_1+f_2=0) )\end{array}\right.
$$
として定義する。$\text{supp}(f_1)\backslash (f_1>0)\subset (f_2>0)$ より
$\text{supp}(f_1)\subset (f_1+f_2>0)$ であり、$M\backslash\text{supp}(f_1)$ 上で $f=0$ であるから $\text{supp}(f)\subset \text{supp}(f_1)\subset V$、$f\in C_{c,+}^{\infty}(M)$である。また $K\subset (f_1>0)\cap (f_2=0)$ であるから $K$ 上で $f=1$である。よって $f$ は条件を満たす。
{{end|proof|}}

=== 系15.6（多様体における $1$ の有限分割） ===
$M$ をEuclid空間内の多様体、$K\subset M$ をコンパクト集合、 $V_1,\ldots,V_n\subset M$ を開集合とし $K\subset \bigcup_{j=1}^{n}V_j$ とする。このとき台がコンパクトな $C^\infty$ 級関数 $f_1,\ldots,f_n\colon M\rightarrow [0,1]$ で、
$$
\text{supp}(f_j)\subset V_j\quad(j=1,\ldots,n),\quad
\sum_{j=1}^{n}f_j(x)=1\quad(\forall x\in K)
$$
を満たすものが存在する。
{{begin |proof}}
'''定理15.5'''を用いて、[[測度と積分7：局所コンパクトHausdorff空間上のRadon測度]]の'''定理27.7'''の証明と全く同様にして証明できる。
{{end|proof}}

=== 補題15.7 ===
$X$ を第二可算局所コンパクトHausdorff空間とする。このとき閉包がコンパクトな $X$ の開集合の単調増加列 $(\Omega_n)_{n\in\mathbb{N}}$ で、
$$
X=\bigcup_{n\in\mathbb{N}}\Omega_n,\quad \overline{\Omega_n}\subset \Omega_{n+1}\quad(\forall n\in\mathbb{N})
$$
なるものが取れる。
{{begin |proof}}
[[測度と積分7：局所コンパクトHausdorff空間上のRadon測度]]の'''命題27.4'''より
$X$ の開集合の可算基で閉包がコンパクトな開集合からなるもの $\{U_n\}_{n\in\mathbb{N}}$ が取れる。$X=\bigcup_{n\in \mathbb{N}}U_n$ である。$\Omega_1\colon=U_1$とおく。
$$
\overline{\Omega_1}\subset U_1\cup\ldots\cup U_{k(2)}
$$
なる $k(2)>1$ を取り $\Omega_2:=U_1\cup\ldots\cup U_{k(2)}$ とおく。
$$
\overline{\Omega_2}\subset U_1\cup\ldots\cup U_{k(3)}
$$
なる $k(3)>k(2)$ を取り $\Omega_3:=U_1\cup\ldots\cup U_{k(3)}$ とおく。同様のことを繰り返せば条件を満たす開集合の列 $(\Omega_n)_{n\in\mathbb{N}}$ が構成できる。
{{end|proof|}}

=== 定理15.8（多様体における $1$ の可算分割） ===
$M$ をEuclid空間内の多様体とする。$M$ の任意の開被覆 $\mathcal{O}$ に対し $C_{c,+}^{\infty}(M)$ の列 $(f_i)_{i\in \mathbb{N}}$ で次の条件を満たすものが取れる。
*$(1)$　任意の $i\in \mathbb{N}$ に対し $\text{supp}(f_i)\subset V_i$ なる $V_i\in \mathcal{O}$ が存在する。
*$(2)$　任意の $i\in \mathbb{N}$ に対し $(f_i>0)\cap (f_j>0)\neq\emptyset$ なる $j\in \mathbb{N}$ は有限個である。
*$(3)$　任意の $p\in M$ に対し $\sum_{i\in \mathbb{N}}f_i(p)=1$.
{{begin |proof }}
'''補題15.7'''より閉包がコンパクトな開集合の単調増加列 $(\Omega_n)_{n\in\mathbb{N}}$ で、
$$
M=\bigcup_{n\in\mathbb{N}}\Omega_n,\quad \overline{\Omega_n}\subset \Omega_{n+1}\quad(\forall n\in\mathbb{N})
$$
なるものが取れる。$\Omega_0=\Omega_{-1}=\emptyset$ とおく。
$$
\overline{\Omega_n}\backslash \Omega_{n-1}\subset \Omega_{n+1}\backslash\overline{\Omega_{n-2}}\quad(\forall n\in\mathbb{N})\quad\quad(*)
$$
であり、
$$
M=\bigcup_{n\in\mathbb{N}}\overline{\Omega_n}\backslash \Omega_{n-1},\quad\quad(**)
$$
$$
(\Omega_{n+1}\backslash\overline{\Omega_{n-2}})\cap (\Omega_{m+1}\backslash\overline{\Omega_{m-2}})=\emptyset\quad(\forall n,m\in\mathbb{N}:\lvert n-m\rvert\geq 3)\quad\quad(***)
$$
である。任意の $n\in\mathbb{N}$ を取る。任意の $p\in \overline{\Omega_n}\backslash \Omega_{n-1}$ に対し $p\in V_p$ なる $V_p\in \mathcal{O}$ を取り $(*)$ とUrysohnの補題（'''定理15.5'''）により $C^\infty$ 級関数 $h_p\colon M\rightarrow[0,1]$ で、
$$
h_p(p)>0,\quad \text{supp}(h_p)\subset V_p\cap\Omega_{n+1}\backslash\overline{\Omega_{n-2}}
$$
なるものを取る。$\overline{\Omega_n}\backslash \Omega_{n-1}$ はコンパクトなので有限個の $p_1,\ldots,p_k\in \overline{\Omega_n}\backslash \Omega_{n-1}$ が取れて、
$$
\overline{\Omega_n}\backslash \Omega_{n-1}\subset \bigcup_{j=1}^{k}(h_{p_j}>0)\subset \bigcup_{j=1}^{k}\text{supp}(h_{p_j})\subset\Omega_{n+1}\backslash \overline{\Omega_{n-2}}
$$
となる。$h_{p_1},\ldots,h_{p_k}$ を改めて $h_{n,1},\ldots,h_{n,m(n)}\in C_{c,+}^{\infty}(M)$ と書き直す。そして $C_{c,+}^{\infty}(M)$ の列
$$
h_{1,1},\ldots,h_{1,m(1)},h_{2,1},\ldots,h_{2,m(2)},h_{3,1},\ldots,h_{3,m(3)},\ldots
$$
を改めて $h_1,h_2,h_3,\ldots$ とする。このとき $(****)$ より任意の $i\in\mathbb{N}$ に対し $\text{supp}(h_i)\subset V_i$ なる $V_i\in \mathcal{O}$ が取れる。そして $(***)$ より任意の $i\in\mathbb{N}$ に対し $(h_i>0)\cap (h_j>0)\neq\emptyset$ なる $j\in\mathbb{N}$ は有限個である。また $(**)$ より $M=\bigcup_{i\in\mathbb{N}}(h_i>0)$ である。これより、
$$
h(p)\colon=\sum_{i\in \mathbb{N}}h_i(p)\quad(\forall p\in M)
$$
として正数値 $C^\infty$ 級関数 $h:M\rightarrow(0,\infty)$ が定義できる。そこで任意の $i\in\mathbb{N}$ に対し $C^\infty$ 級関数 $f_i:M\rightarrow [0,1]$ を、
$$
f_i(p):=\frac{h_i(p)}{h(p)}\quad(\forall p\in M)
$$
として定義すれば $(f_i)_{i\in\mathbb{N}}$ は条件 $(1),(2),(3)$ を満たす。
{{end|proof|}}

=== 命題15.9 ===
$M$ をEuclid空間内の多様体とする。$F\subset V\subset M$ とし $F$ を閉集合、 $V$ を開集合とする。このとき $C^\infty$ 級関数 $f\colon M\rightarrow [0,1]$ で、
$$
f(p)=1\quad(\forall p\in F),\quad f(p)=0\quad(\forall p\in M\backslash V)
$$
なるものが取れる。
{{begin |proof }}
$C_{c,+}^{\infty}(M)$ の列 $(f_i)_{i\in \mathbb{N}}$ で'''定理14.8'''の $(2),(3)$ の条件を満たすものを取る。各 $i\in\mathbb{N}$ に対し $F\cap \text{supp}(f_i)$ はコンパクトであるからUrysohnの補題（'''定理15.5'''）より $C^\infty$ 級関数 $\omega_i\colon M\rightarrow [0,1]$ で、
$$
\omega_i(p)=1\quad(\forall p\in F\cap \text{supp}(f_i)),\quad \text{supp}(\omega_i)\subset V
$$
なるものが取れる。そこで、
$$
f(p)\colon=\sum_{i\in\mathbb{N}}f_i(p)\omega_i(p)\quad(\forall p\in M)
$$
として $C^\infty$ 級関数 $f\colon M\rightarrow [0,1]$ を定義する。任意の $p\in F$ を取る。$f_i(p)>0$ なる任意の $i\in\mathbb{N}$ に対し $\omega_i(p)=1$ であるから $f(p)=1$ である。また任意の $p\in M\backslash V$、任意の $i\in\mathbb{N}$ に対し $\omega_i(p)=0$ であるから $f(p)=0$ である。
{{end|proof|}}

== 16. Euclid空間内の多様体のRiemann測度 ==

=== 定義16.1 ===
$M$ をEuclid空間内の $n$ 次元多様体とする。$M$ の任意の局所座標 $(U,\varphi)$ に対し $U$ 上のBorel測度 $\mu_{(U,\varphi)}:\mathcal{B}_U\rightarrow [0,\infty]$ を、
$$
\mu_{(U,\varphi)}(B)\colon=\int_{\varphi(U)}\left(\chi_{B}\sqrt{G_{(U,\varphi)}}\right)(\varphi^{-1}(x))dx\quad(\forall B\in \mathcal{B}_U)
$$
として定義する。ただし $G_{(U,\varphi)}(p)$ $(\forall p\in U)$ は $(U,\varphi)$ に対する計量行列の行列式（'''定義12.2'''）であり、右辺の積分は $\mathbb{R}^n$ のLebesgue測度に関する積分である。

=== 注意16.2 ===
任意の非負値Borel関数 $f\colon U\rightarrow [0,\infty]$ に対し、非負値Borel単関数による各点単調増加列による近似（[[測度と積分1：測度論の基礎用語]]の'''定理5.5'''）と単調収束定理（[[測度と積分2：測度空間上の積分]]の'''定理8.4'''）より、
$$
\int_{U}f(p)d\mu_{(U,\varphi)}(p)=\int_{\varphi(U)}\left(f\sqrt{G_{(U,\varphi)}}\right)(\varphi^{-1}(x))dx
$$
である。

=== 補題16.3 ===
$M$をEuclid空間内の多様体、$(U,\varphi)$, $(V,\psi)$ を $M$ の局所座標で $U\cap V\neq\emptyset$ なるものとする。このとき任意の $B\in \mathcal{B}_{U\cap V}=\mathcal{B}_U\cap \mathcal{B}_V$ に対し、
$$
\mu_{(U,\varphi)}(B)=\mu_{(V,\psi)}(B)
$$
が成り立つ。
{{begin |proof}}
'''命題1.5'''より、
$$
\psi\circ\varphi^{-1}:\varphi(U\cap V)\ni \varphi(p)\mapsto \psi(p)\in \psi(U\cap V)
$$
は $C^\infty$ 級同相写像である。そして'''命題12.3'''より、
$$
\sqrt{G_{(V,\psi)}}(\psi^{-1}(x))=\sqrt{G_{(U,\varphi)}(\psi^{-1}(x))}\left\lvert {\rm det}(\varphi\circ\psi^{-1})'(x)\right\rvert
$$
である。よって変数変換公式（[[測度と積分8：Lebesgue測度の基本的性質]]の'''補題40.3'''）より、
$$
\begin{aligned}
\mu_{(U,\varphi)}(B)&=\int_{\varphi(U\cap V)}\left(\chi_{B}\sqrt{G_{(U,\varphi)}}\right)(\varphi^{-1}(x))dx\\
&=\int_{\psi(U\cap V)}\left(\chi_{B}\sqrt{G_{(U,\varphi)}}\right)(\psi^{-1}(x))\left\lvert{\rm det}(\varphi\circ\psi^{-1})'(x)\right\rvert dx\\
&=\int_{\psi(U\cap V)}\left(\chi_{B}\sqrt{G_{(V,\psi)}}\right)(\psi^{-1}(x))dx\\
&=\mu_{(V,\psi)}(B).
\end{aligned}
$$
{{end|proof|}}

=== 注意16.4 ===
Euclid空間内の多様体 $M$ は第二可算性より可算なアトラス $\{(U_i,\varphi_i)\}_{i\in\mathbb{N}}$ を持つ。そして任意の
$B\in \mathcal{B}_M$ に対し $\mathcal{B}_M$ の非交叉列 $(B_i)_{i\in\mathbb{N}}$ で、
$$
B=\bigcup_{i\in\mathbb{N}}B_i,\quad B_i\subset U_i\quad(\forall i\in \mathbb{N})
$$
なるものが取れる。実際、$B_1\colon=B\cap U_1$, $B_i\colon=(B\cap U_i)\backslash(U_1\cup\ldots\cup U_{i-1})$ $(\forall i\geq2)$ とおけばよい。

=== 定理16.5（Euclid空間内の多様体上のRiemann測度の一意存在） ===
$M$ をEuclid空間内の多様体とする。このときBorel測度 $\mu_M\colon\mathcal{B}_M\rightarrow [0,\infty]$ で $M$ の任意の局所座標 $(U,\varphi)$ に対し、
$$
\mu_M(B)=\mu_{(U,\varphi)}(B)\quad(\forall B\in \mathcal{B}_U)
$$
を満たすものが唯一つ存在する。
{{begin |proof }}
一意性は'''注意16.4'''による。存在を示す。 $1$の分割（'''定理15.8'''）より $C_{c,+}^{\infty}(M)$ の列 $(f_i)_{i\in \mathbb{N}}$ と $M$ の局所座標の列
$( (U_i,\varphi_i) )_{i\in\mathbb{N}}$ で、
$$
\text{supp}(f_i)\subset U_i\quad(\forall i\in \mathbb{N}),\quad \sum_{i\in\mathbb{N}}f_i(p)=1\quad(\forall p\in M)
$$
を満たすものが取れる。これに対し $\mu_M\colon\mathcal{B}_M\rightarrow [0,\infty]$ を、
$$
\mu_M(B)\colon=\sum_{i\in\mathbb{N}}\int_{U_i}f_i(p)\chi_{B}(p)d\mu_{(U_i,\varphi_i)}(p)\quad(\forall B\in \mathcal{B}_M)
$$
として定義する。単調収束定理（[[測度と積分2：測度空間上の積分]]の'''定理8.4'''）より $\mu_M$ は $\sigma$-加法性を持つ。$M$ の任意の局所座標 $(U,\varphi)$ を取る。任意の $B\in \mathcal{B}_U$ に対し ${\rm supp}(f_i \chi_B)\subset U_i\cap U$ であるから'''補題16.3'''より、
$$
\int_{U_i}f_i(p)\chi_{B}(p)d\mu_{(U_i,\varphi_i)}(p)=\int_{U}f_i(p)\chi_{B}(p)d\mu_{(U,\varphi)}(p)\quad(\forall i\in\mathbb{N}:U\cap U_i\neq\emptyset)
$$
であるから、
$$
\begin{aligned}
\mu_M(B)&=\sum_{i\in\mathbb{N}}\int_{U_i}f_i(p)\chi_{B}(p)d\mu_{(U_i,\varphi_i)}(p)
=\sum_{i\in\mathbb{N}}\int_{U}f_i(p)\chi_{B}(p)d\mu_{(U,\varphi)}(p)\\
&=\int_{U}\sum_{i\in\mathbb{N}}f_i(p)\chi_{B}(p)d\mu_{(U,\varphi)}(p)
=\mu_{(U,\varphi)}(B)
\end{aligned}
$$
である。これで存在が示された。
{{end|proof|}}

=== 定義16.6（Euclid空間内の多様体上のRiemann測度） ===
$M$ をEuclid空間内の多様体とする。'''定理16.6'''よりBorel測度 $\mu_M\colon\mathcal{B}_M\rightarrow [0,\infty]$ で $M$ の任意の局所座標 $(U,\varphi)$ に対し、
$$
\mu_M(B)=\int_{\varphi(U)}\left(\chi_{B}\sqrt{G_{(U,\varphi)}}\right)(\varphi^{-1}(x))dx\quad(\forall B\in \mathcal{B}_U)\quad\quad(*)
$$
を満たすものが唯一つ存在する。これを $M$ のRiemann測度と言う。

=== 注意16.7 ===
* $M$ をEuclid空間内の多様体、$D\subset M$ を空でない開集合とする。このとき $D$ の任意の局所座標は $M$ の局所座標である。よって'''注意16.4'''より $D$ のRiemann測度は $M$ のRiemann測度の制限である。
* $\mathbb{R}^N$ の標準座標 $(\mathbb{R}^N,\text{id})$ に対する計量行列は単位行列であるから、その行列式 $\sqrt{G_{(\mathbb{R}^N,\text{id})}}$ は $1$ である。よって'''定義16.6'''の $(*)$ より $\mathbb{R}^N$ のRiemann測度はLebesgue測度である。

=== 定義16.8（超曲面の面積測度） ===
$M$ が $\mathbb{R}^N$ の超曲面の場合、$M$ の任意の局所座標 $(U,\varphi;x_1,\ldots,x_{N-1})$ と任意の $p\in U$ に対し、
$$
\sqrt{G_{(U,\varphi)}(p)}=\left\lvert \frac{\partial}{\partial x_1}p\times\ldots \times \frac{\partial}{\partial x_{N-1}}p\right\rvert
$$
であり（'''定義12.2'''を参照）、これは $M$ の $p$ における接ベクトル
$$
\frac{\partial}{\partial x_1}p,\ldots,\frac{\partial}{\partial x_{N-1}}p\in \mathbb{R}^N
$$
が張る面の面積である（'''注意11.3'''を参照）。このことと'''定義16.6'''の $(*)$ より超曲面 $M$ のRiemann測度 $\mu_M$ は $M$ の面積を与えると考えられる。そこで超曲面のRiemann測度を面積測度と呼ぶ。

=== 定義16.9（$1$ 次元多様体の線測度） ===
$M$ が $\mathbb{R}^N$ 内の $1$ 次元多様体の場合、$M$ の任意の局所座標 $(U,x)$ と任意の $p\in U$ に対し、
$$
\sqrt{G_{(U,x)}(p)}=\left\lvert \frac{\partial}{\partial x}p\right\rvert\quad(\forall p\in U)
$$
である（'''定義12.2'''を参照）。よって'''定義16.6'''の $(*)$ より $1$ 次元多様体 $M$ のRiemann測度 $\mu_M$ は $M$ の長さを与えると考えられる。そこで $1$ 次元多様体のRiemann測度を線測度と呼ぶ。

=== 命題16.10（次元の小さい部分多様体のRiemann測度は$0$） ===
$M$ をEuclid空間内の $n$ 次元多様体、$H$ を $M$ の $k$ 次元部分多様体とし $k<n$ とする。このとき $\mu_M(H)=0$ である。
{{begin |proof | collapsible=1 |display=証明}}
'''命題2.4'''と第二可算性より $H$ を被覆する $M$ の局所座標の可算族 $\{(U_i,\varphi_i)\}_{i\in\mathbb{N}}$ で、
$$
\varphi_i(U_i\cap H)=\varphi_i(U_i)\cap (\mathbb{R}^k\times\{0\})\quad(\forall i\in \mathbb{N})
$$
を満たすものが取れる。$\mathbb{R}^k\times \{0\}$ の $\mathbb{R}^n$ におけるLebesgue測度は $0$ であるから任意の $i\in\mathbb{N}$ に対し、
$$
\begin{aligned}
\mu_M(U_i\cap H)&=\int_{\varphi_i(U_i)}\left(\chi_{U_i\cap H}\sqrt{G_{(U_i,\varphi_i)}}\right)(\varphi_i^{-1}(x))dx\\
&=\int_{\varphi_i(U_i)\cap(\mathbb{R}^k\times\{0\})}\sqrt{G_{(U,\varphi)}(\varphi_i^{-1}(x))}dx=0
\end{aligned}
$$
である。$H=\bigcup_{i\in\mathbb{N}}(U_i\cap H)$ であるから $\mu_M(H)\leq \sum_{i\in\mathbb{N}}\mu_M(U_i\cap H)=0$ である。
{{end|proof|}}

=== 命題16.11（Riemann測度はRadon測度） ===
Riemann測度はRadon測度（[[測度と積分7：局所コンパクトHausdorff空間上のRadon測度]]の'''定義29.3'''）である。
{{begin |proof }}
$M$ をEuclid空間内の多様体、$\mu_M\colon\mathcal{B}_M\rightarrow [0,\infty]$ を $M$ のRiemann測度とする。$M$ は第二可算局所コンパクトHausdorff空間であるから、[[測度と積分7：局所コンパクトHausdorff空間上のRadon測度]]の'''定理31.5'''より任意のコンパクト集合 $K\subset M$ に対し $\mu_M(K)<\infty$ であることを示せばよい。$K$ のコンパクト性より有限個の局所座標 $(U_i,\varphi_i)$ $(i=1,\ldots,k)$ で、
$$
K\subset \bigcup_{i=1}^{k}U_i
$$
なるものが取れる。そして $1$ の有限分割（'''系15.6'''）より $f_1,\ldots,f_k\in C_{c,+}^{\infty}(M)$ で、
$$
\text{supp}(f_i)\subset U_i\quad(i=1,\ldots,k),\quad \sum_{i=1}^{k}f_i(p)=1\quad(\forall p\in K)
$$
なるものが取れる。$\varphi_i(K\cap \text{supp}(f_i))$ はコンパクトであり、$\left(f_i\sqrt{G_{(U_i,\phi_i)}}\right)\circ\varphi_i^{-1}:\varphi_i(K\cap \text{supp}(f_i))\rightarrow [0,\infty)$ は連続であるから、
$$
\begin{aligned}
\mu_M(K)&=\sum_{i=1}^{k}\int_{M}f_i(p)\chi_K(p)d\mu_{M}(p)
=\sum_{i=1}^{k}\int_{U_i}f_i(p)\chi_{K\cap \text{supp}(f_i)}(p)d\mu_{(U_i,\varphi_i)}(p)\\
&=\sum_{i=1}^{k}\int_{\varphi_i(K\cap \text{supp}(f_i))}\left(f_i\sqrt{G_{U_i,\varphi_i}}\right)(\varphi_i^{-1}(x))dx<\infty
\end{aligned}
$$
である。よって $\mu_M$ はRadon測度である。
{{end|proof|}}

=== 系16.12 ===
$M$ をEuclid空間内の多様体、$\mu_M\colon\mathcal{B}_M\rightarrow[0,\infty]$ をRiemann測度とする。このとき次が成り立つ。

*$(1)$　任意の開集合 $V\subset M$ に対し、
$$
\mu_M(V)=\sup\left\{\int_{M}f(p)d\mu_M(p):f\in C_{c,+}^\infty(M),\text{ } \text{supp}(f)\subset V,\text{ }f(M)\subset [0,1]\right\}.
$$
*$(2)$　任意のコンパクト集合 $K\subset M$ に対し、
$$
\mu_M(K)=\inf\left\{\int_{M}f(p)d\mu_M(p):f\in C_{c,+}^{\infty}(M),\text{ }f|_K=1,\text{ }f(M)\subset [0,1]\right\}.
$$
*$(3)$　任意の $p\in [1,\infty)$ と任意の $f\in \mathcal{L}^p(M,\mathcal{B}_M,\mu_M)$ に対し $C_{c}^{\infty}(M)$ の列 $(f_i)_{i\in\mathbb{N}}$ で、
$$
\lim_{i\rightarrow\infty}\lVert f_i-f\rVert_{\mu_M,p}=0
$$
なるものが取れる。
{{begin |proof }}
[[測度と積分7：局所コンパクトHausdorff空間上のRadon測度]]の'''命題29.4'''と'''命題32.1'''の証明で局所コンパクトHausdorff空間におけるUrysohnの補題を用いたところで、多様体におけるUrysohnの補題（'''定理15.5'''）を用いればよい。
{{end|proof}}

=== 注意16.13（Euclid空間内の多様体の直積） ===
$M_1,\ldots,M_k$ をそれぞれEuclid空間 $\mathbb{R}^{N_1},\ldots, \mathbb{R}^{N_k}$ 内の $n_1,\ldots,n_k$ 次元多様体とし、$(U_1,\varphi_1),\ldots,(U_k,\varphi_k)$ をそれぞれ $M_1,\ldots,M_k$ の任意の局所座標とする。このとき、
$$
\varphi_1\times\ldots\times \varphi_k:U_1\times\ldots\times U_k\ni
(p_1,\ldots,p_k)\mapsto (\varphi_1(p_1),\ldots,\varphi_k(p_k))\in \varphi_1(U_1)\times\ldots\times\varphi_k(U_k)
$$
は $M_1\times\ldots\times M_k\subset \mathbb{R}^{N_1+\ldots+N_k}$ の局所座標である。実際、
$$
\begin{aligned}
\left\{(\varphi_1\times\ldots\times \varphi_k)^{-1}\right\}'(\varphi_1(p_1),\ldots,\varphi_k(p_k))\in \mathbb{M}_{(N_1+\ldots+N_k)\times (n_1+\ldots+n_k)}(\mathbb{R})
\end{aligned}
$$
は $(\varphi_1^{-1})'(\varphi_1(p_1))\in \mathbb{M}_{N_1\times n_1}(\mathbb{R})$, $\ldots$, $(\varphi_k^{-1})'(\varphi_k(p_k))\in \mathbb{M}_{N_k\times n_k}(\mathbb{R})$ を対角に並べてその他を $0$ とした行列であるから、ランクは $n_1+\ldots+n_k$ である。$(U_1,\varphi_1),\ldots,(U_k,\varphi_k)$ は任意であるから $M_1\times\ldots\times M_k$ はEuclid空間 $\mathbb{R}^{N_1+\ldots+N_k}$ 内の $n_1+\ldots+n_k$ 次元多様体である。局所座標 $(U_1\times\ldots\times U_k,\varphi_1\times\ldots\times \varphi_k)$ に対する計量行列の行列式（''定義12.2''）は、
$$
G_{(U_1\times\ldots\times U_k,\varphi_1\times\ldots\times\varphi_k)}(p_1,\ldots,p_k)=G_{(U_1,\varphi_1)}(p_1)\ldots G_{(U_k,\varphi_k)}(p_k)
$$
であるからTonelliの定理と直積測度の一意性（[[測度と積分3：測度論の基本定理(1)]]の'''定理14.4'''、'''定理14.1'''）より、
$$
\begin{aligned}
\mu_{(U_1\times\ldots\times U_k,\varphi_1\times\ldots\times \varphi_k)}=
\mu_{(U_1,\varphi_1)}\otimes\ldots\otimes\mu_{(U_k,\varphi_k)}
=(\mu_{M_1}\otimes\ldots\otimes \mu_{M_k})|_{U_1\times\ldots\times U_k}
\end{aligned}
$$
である。よって'''注意16.4'''より $M_1\times\ldots\times M_k$ のRiemann測度は、
$$
\mu_{M_1\times\ldots\times M_k}=\mu_{M_1}\otimes\ldots\otimes \mu_{M_k}
$$
である<ref>第二可算性より $M_i$ は $\sigma$-コンパクトであるからRadon測度 $\mu_{M_i}$ は $\sigma$-有限である。また[[測度と積分1：測度論の基礎用語]]の'''命題2.8'''より $\mathcal{B}_{M_1\times\ldots\times M_k}=\mathcal{B}_{M_1}\otimes\ldots\otimes \mathcal{B}_{M_k}$ である。</ref>。

== 17. Riemann測度に関する変数変換公式 ==

=== 補題17.1 ===
$M,H$ をEuclid空間内の $n$ 次元多様体、$\Phi\colon M\rightarrow H$ を $C^1$ 級関数とする。$B\in \mathcal{B}_M$ が $¥sigma$-コンパクトな $\mu_M$-零集合であるとき、$\Phi(B)$ は $\sigma$-コンパクトな $\mu_H$ 零集合である。
{{begin |proof }}
$M$の局所座標 $(U,\varphi)$ と $H$ の局所座標 $(V,\psi)$ に対し $B\subset U\cap \Phi^{-1}(V)$ であるとして示せば十分である<ref>$M$ の可算なアトラス $\{(U_i,\varphi_i)\}_{i\in\mathbb{N}}$ と $H$ の可算なアトラス $\{(V_j,\psi_j)\}_{j\in\mathbb{N}}$ に対し $\{U_i\cap \Phi^{-1}(V_j)\}_{i,j\in\mathbb{N}}$ は $M$ の開被覆である。$M$ の開集合は $\sigma$-コンパクトであるから各 $i,j\in\mathbb{N}$ に対し $B\cap U_i\cap \Phi^{-1}(V_j)$ は $\sigma$-コンパクトな $mu_M$-零集合である。そして $\Phi(B)=\bigcup_{i,j\in\mathbb{N}}\Phi(B\cap U_i\cap \Phi^{-1}(V_j) )$ である。</ref>。
$$
0=\mu_M(B)=\int_{\varphi(U)}\left(\chi_{B}\sqrt{G_{(U,\varphi)}}\right)(\varphi^{-1}(x))dx
=\int_{\varphi(B)}\sqrt{G_{(U,\varphi)}}(\varphi^{-1}(x))dx
$$
であり $\sqrt{G_{(U,\varphi)}}>0$ であるから $\varphi(B)\subset\mathbb{R}^n$ のLebesgue測度は $0$ である。よって $\varphi(B)$ の $C^1$ 級関数
$$
\psi\circ \Phi\circ\varphi^{-1}:\varphi(U\cap \Phi^{-1}(V))\rightarrow \mathbb{R}^n
$$
による像 $\psi(\Phi(B))\subset\mathbb{R}^n$ のLebesgue測度も $0$ である（[[測度と積分8：Lebesgue測度の基本的性質]]の'''補題40.2'''）。ゆえに、
$$
\begin{aligned}
\mu_H(\Phi(B))=\int_{\psi(V)}\left(\chi_{\Phi(B)}\sqrt{G_{(V,\psi)}}\right)(\psi^{-1}(x))dx
=\int_{\psi(\Phi(B))}\sqrt{G_{(V,\psi)}}(\psi^{-1}(x))dx=0
\end{aligned}
$$
である。
{{end|proof|}}

=== 定義17.2（ヤコビアン） ===
$M,H$ をEuclid空間内の $n$ 次元多様体、$\Phi\colon M\rightarrow H$ を $C^1$ 級関数とする。任意の $p\in M$ に対し $p$ の周りの $M$ の局所座標 $(U,\varphi;x_1,\ldots,x_n)$ と $\Phi(p)$ の周りの $H$ の局所座標 $(V,\psi;y_1,\ldots,y_n)$ を取り、
$$
\begin{aligned}
J\Phi(p):&=\frac{\sqrt{G_{(V,\psi)}(\Phi(p))}}{\sqrt{G_{(U,\varphi)}(p)}}\left\lvert{\rm det}\left(\frac{\partial(y_i\circ\Phi)}{\partial x_j}(p)\right)_{i,j}\right\rvert\\
&=\frac{\sqrt{G_{(V,\psi)}(\Phi(p))}}{\sqrt{G_{(U,\varphi)}(p)}}\left\lvert{\rm det}\left(\psi\circ\Phi\circ\varphi^{-1}\right)'(\varphi(p))\right\rvert
\end{aligned}
$$
と定義する。'''命題12.3'''より $J\Phi(p)$ は $p$ の周りの $M$ の局所座標 $(U,\varphi;x_1,\ldots,x_n)$ と $\Phi(p)$ の周りの $H$ の局所座標 $(V,\psi;y_1,\ldots,y_n)$ の取り方によらない。こうして定義される連続関数 $J\Phi\colon M\ni p\mapsto J\Phi(p)\in [0,\infty)$ を $\Phi$ のヤコビアンと言う。

=== 注意17.3 ===
$\left(\frac{\partial(y_i\circ\Phi)}{\partial x_j}(p)\right)_{i,j}\in \mathbb{M}_{n\times n}(\mathbb{R})$ は $T_p(M)$ の基底 $(\frac{\partial}{\partial x_j}p)_{j=1,\ldots,n}$ と $T_{\Phi(p)}(H)$ の基底 $(\frac{\partial}{\partial y_i}\Phi(p))_{i=1,\ldots,n}$ に関する $d\Phi_p\colon T_p(M)\rightarrow T_{\Phi(p)}(H)$ の行列表現である（'''命題5.2'''）から $J\Phi(p)>0$ であることと $d\Phi_p:T_p(M)\rightarrow T_{\Phi(p)}(H)$ が単射（つまり線形同型写像）であることは同値である。

=== 補題17.4 ===
$M,H$ をEuclid空間内の $n$ 次元多様体、$\Phi\colon M\rightarrow H$ を $C^1$ 級同相写像とする。このとき任意の非負値Borel関数 $f\colon H\rightarrow [0,\infty]$ に対し、
$$
\int_{H}f(p)d\mu_H(p)=\int_{M}f(\Phi(p))J\Phi(p)d\mu_M(p)
$$
が成り立つ。
{{begin |proof }}
非負値Borel関数の非負値Borel単関数による各点単調増加列による近似（[[測度と積分1：測度論の基礎用語]]の'''定理5.5'''）と単調収束定理（[[測度と積分2：測度空間上の積分]]の'''定理8.4'''）より、任意の $B\in \mathcal{B}_M$ に対し、
$$
\mu_H(\Phi(B))=\int_{B}J\Phi(p)d\mu_M(p)
$$
が成り立つことを示せば十分である。さらに'''注意16.4'''より $M, H$ のある局所座標 $(U,\varphi)$, $(V,\psi)$ に対し $B\subset U\cap \Phi^{-1}(V)$ であると仮定して示せば十分である。像の上への $C^1$ 級同相写像
$$
\psi\circ\Phi\circ\varphi^{-1}:\varphi(U\cap \Phi^{-1}(V))\rightarrow \psi(\Phi(U\cap \Phi^{-1}(V)))
$$
に対して変数変換公式（[[測度と積分8：Lebesgue測度の基本的性質]]の'''補題40.3'''）を適用すれば、
$$
\begin{aligned}
\mu_H(\Phi(B))&=\int_{\psi(V)}\left(\chi_{\Phi(B)}\sqrt{G_{(V,\psi)}}\right)(\psi^{-1}(x))dx\\
&=\int_{\psi(\Phi(U\cap \Phi^{-1}(V)))}\left(\chi_{\Phi(B)}\sqrt{G_{(V,\psi)}}\right)(\psi^{-1}(x))dx\\
&=\int_{\varphi(U\cap \Phi^{-1}(V))}\chi_B(\varphi^{-1}(x))\sqrt{G_{(V,\psi)}}(\Phi(\varphi^{-1}(x)))\left\lvert{\rm det}\left(\psi\circ\Phi\circ\varphi^{-1}\right)'(x)\right\rvert dx\\
&=\int_{\varphi(U)}\left(\chi_B\sqrt{G_{(U,\varphi)}}\right)(\varphi^{-1}(x))J\Phi(\varphi^{-1}(x))dx\\
&=\int_{B}J\Phi(p)d\mu_M(p)
\end{aligned}
$$
となる。よって成り立つ。
{{end|proof|}}

=== 定理17.5（Riemann測度に関する変数変換公式） ===
$M,H$ をEuclid空間内の $n$ 次元多様体とする。$B\in \mathcal{B}_M$ とし $\Phi\colon B\rightarrow H$ を $B$ を含む $M$ の開集合上で定義された $C^1$ 級写像を $B$ 上に制限したものとする。また $B_0$ を $B$ に含まれる $M$ の開集合とする。そして次が成り立つとする。
*$(1)$　$\Phi(B)\in \mathcal{B}_H$.
*$(2)$　$\Phi$ は $B_0$ 上で単射であり任意の $p\in B_0$ に対し $J\Phi(p)>0$. <ref>'''注意17.3'''より任意の $p\in B_0$ に対し $d\Phi_p\colon T_p(M)\rightarrow T_{\Phi(p)}(H)$ は単射である。</ref>。
*$(3)$　$B\backslash B_0$ は $\sigma$-コンパクトな $\mu_M$-零集合に含まれる。
このとき任意の非負値Borel関数 $f\colon\Phi(B)\rightarrow [0,\infty]$ に対し、
$$
\int_{\Phi(B)}f(p)d\mu_H(p)=\int_{B}f(\Phi(p))J\Phi(p)d\mu_M(p)
$$
が成り立つ。
{{begin |proof}}
$(2)$ と多様体間の写像に関する逆関数定理（'''命題7.3'''）より $\Phi(B_0)$ は $H$ の開集合であり $B_0\ni p\mapsto \Phi(p)\in \Phi(B_0)$ は $C^1$ 級同相写像である。また$\Phi(B)\backslash \Phi(B_0)\subset \Phi(B\backslash B_0)$ であるから $(1),(3)$ と'''補題17.1'''より $\mu_H(\Phi(B)\backslash \Phi(B_0))=0$ である。ゆえに'''補題17.4'''より、
$$
\int_{\Phi(B)}f(p)d\mu_H(p)=\int_{\Phi(B_0)}f(p)d\mu_H(p)
=\int_{B_0}f(\Phi(p))J\Phi(p)d\mu_M(p)
=\int_{B}f(\Phi(p))J\Phi(p)d\mu_M(p)
$$
である。
{{end|proof|}}

== 18. 極座標変換 ==

=== 定義18.1（単位球面） ===
$\mathbb{R}^N$ の原点を中心とする単位球面を、
$$
S_{N-1}\colon=\{x\in\mathbb{R}^N:\lvert x\rvert=1\}
$$
と表す。'''定理8.2'''より $S_{N-1}$ は $\mathbb{R}^N$ の超曲面（$N-1$次元多様体）である<ref>$f\colon\mathbb{R}^N\rightarrow \mathbb{R}$ を $f(x)\colon=\lvert x\rvert^2-1$ とおけば $S_{N-1}=\{x\in\mathbb{R}^N:f(x)=0\}$ であり任意の $x\in S_{N-1}$ に対し $df_x=\sum_{j=1}^{N}2x_jdx_j\neq0$ である。</ref>。

=== 命題18.2（極座標変換の基本性質） ===
$$
\Phi_N\colon\mathbb{R}^N\ni (r,\theta_1,\ldots,\theta_{N-1})\mapsto \left(\begin{array}{l}r\cos(\theta_1)\\r\sin(\theta_1)\cos(\theta_2)\\
r\sin(\theta_1)\sin(\theta_2)\cos(\theta_3)\\
\vdots\\
r\sin(\theta_1)\ldots\sin(\theta_{N-2})\cos(\theta_{N-1})\\
r\sin(\theta_1)\ldots\sin(\theta_{N-2})\sin(\theta_{N-1})\end{array}\right)\in \mathbb{R}^N
$$
なる $C^\infty$ 級関数を考える。このとき、
*$(1)$
$$
[0,\pi]\times\ldots\times [0,\pi]\times[0,2\pi)\ni (\theta_1,\ldots,\theta_{N-1})
\mapsto \Phi_N(1,\theta_1,\ldots,\theta_{N-1})\in S_{N-1}
$$
は全射であり、$(0,\pi)\times \ldots \times (0,\pi)\times (0,2\pi)$ 上で単射である。
*$(2)$　任意の $(r,\theta_1,\ldots,\theta_{N-1})\in\mathbb{R}^N$ に対し、
$$
{\rm det}\Phi_N'(r,\theta_1,\ldots,\theta_{N-1})=r^{N-1}\sin(\theta_1)^{N-2}\sin(\theta_2)^{N-3}\ldots\sin(\theta_{N-2})
$$
が成り立つ。特に任意の $(r,\theta_1,\ldots,\theta_{N-1})\in (0,\infty)\times (0,\pi)\times\ldots\times (0,\pi)\times(0,2\pi)$ に対し、
$$
{\rm det}\Phi_N'(r,\theta_1,\ldots,\theta_{N-1})>0
$$
が成り立つ。
*$(3)$
$$
\Omega_N\colon=\Phi_N( (0,\infty)\times(0,\pi)\times\ldots\times(0,\pi)\times(0,2\pi) )
$$
は $\mathbb{R}^N$ の開集合であり、
$$
(r,\theta_1,\ldots,\theta_{N-1}):\Omega_N\ni x\mapsto \Phi_N^{-1}(x)\in (0,\infty)\times (0,\pi)\times\ldots\times (0,\pi)\times(0,2\pi)\quad\quad(**)
$$
とおくと $(\Omega_N,r,\theta_1,\ldots,\theta_{N-1})$ は $\mathbb{R}^N$ の正の向きの直交座標（'''定義13.6'''）である。そして任意の $x\in \Omega_N$ に対し、
$$
\left\lvert\frac{\partial}{\partial r}x\right\rvert=1,\quad
\left\lvert\frac{\partial}{\partial \theta_{k}}x\right\rvert=r\sin(\theta_1)\ldots\sin(\theta_{k-1})\quad(k=1,\ldots,N-1)\quad\quad(***)
$$
であり、局所座標 $(\Omega_N,r,\theta_1,\ldots,\theta_{N-1})$ の計量行列の行列式 $G_{(\Omega_N,r,\theta_1,\ldots,\theta_{N-1})}$（'''定義12.2'''）の平方根は、
$$
\sqrt{G_{(\Omega_N,r,\theta_1,\ldots,\theta_{N-1})}(x)}=r^{N-1}\sin(\theta_1)^{N-2}\sin(\theta_2)^{N-3}\ldots\sin(\theta_{N-2})
$$
である。
*$(3)$　$S_{N-1}$ の開集合
$$
S_{N-1,0}:=S_{N-1}\cap\Omega_N=\Phi_N(\{1\}\times(0,\pi)\times\ldots\times(0,\pi)\times(0,2\pi))
$$
に対し、
$$
\Phi_{N}^{-1}(x)=(1,\Theta_{N-1}(x))\quad(\forall x\in S_{N-1,0})
$$
として、
$$
\Theta_{N-1}=(\theta_1,\ldots,\theta_{N-1}):S_{N-1}\rightarrow(0,\pi)\times\ldots\times(0,\pi)\times(0,2\pi)
$$
を定義すると $(S_{N-1,0},\Theta_{N-1})$ は超曲面 $S_{N-1}$ の局所座標である。そして任意の $x\in S_{N-1,0}$ に対し $S_{N-1}$ の接ベクトル
$$
\frac{\partial}{\partial \theta_1}x,\ldots,\frac{\partial}{\partial_{N-1}}x\in \mathbb{R}^N
$$
は互いに直交し、
$$
\left\lvert\frac{\partial}{\partial\theta_k}x\right\rvert=\sin(\theta_1)\ldots\sin(\theta_{k-1})\quad(k=1,\ldots,N -1)
$$
であり、局所座標 $(S_{N-1,0},\Theta_{N-1})$ に対する計量行列の行列式 $G_{(S_{N-1,0},\Theta_{N-1})}$ の平方根は、
$$
\sqrt{G_{(S_{N-1,0},\Theta_{N-1})}(x)}=\sin(\theta_1)^{N-2}\sin(\theta_2)^{N-3}\ldots\sin(\theta_{N-2})\quad\quad(******)
$$
である。
*$(4)$　超曲面 $S_{N-1}$ の面積測度 $\mu_{S_{N-1}}\colon\mathcal{B}_{S_{N-1}}\rightarrow[0,\infty)$ に対し、
$$
\mu_{S_{N-1}}(S_{N-1}\backslash S_{N-1,0})=0
$$
が成り立ち、
$$
\mu_{S_{N-1}}(S_{N-1})=2\pi\int_{0}^{\pi}\int_{0}^{\pi}\ldots\int_{0}^{\pi}\sin(\theta_1)^{N-2}\sin(\theta_2)^{N-3}\ldots\sin(\theta_{N-2})d\theta_1\ldots d\theta_{N-2}
$$
が成り立つ。
{{begin |proof }}
*$(1)$　任意の $x\in S_{N-1}$ を取る。$\lvert x_1\rvert\leq1$ であり $\cos$ は $[0,\pi]$ で狭義単調減少であるから中間値の定理より $x_1=\cos(\theta_1)$ なる $\theta_1\in [0,\pi]$ が取れる。$x_2^2+x_3^2+\cdots +x_N^2=1-\cos^2(\theta_1)=\sin^2(\theta_1)$ より
$\lvert x_2\rvert\leq \sqrt{1-\lvert x_1\rvert^2}=\sin(\theta_1)$ であるから中間値の定理より
$x_2=\sin(\theta_1)\cos(\theta_2)$ なる $\theta_2\in [0,\pi]$ が取れる。
$x_3^2+x_4^2+\cdots +x_N^2=\sin^2(\theta_1)-\sin^2(\theta_1)\cos^2(\theta_2)=\sin^2(\theta_1)\sin^2(\theta_2)$ より $\lvert x_3\rvert \leq \sin(\theta_1)\sin(\theta_2)$ であるから中間値の定理より $x_3=\sin(\theta_1)\sin(\theta_2)\cos(\theta_3)$ なる $\theta_3\in [0,\pi]$ が取れる。
以下同様にして、
$$
\begin{pmatrix}x_1\\x_2\\\vdots\\ x_{N-2}\end{pmatrix}
=\left(\begin{array}{l}\cos(\theta_1)\\\sin(\theta_1)\cos(\theta_2)\\\vdots\\\sin(\theta_1)\cdots\sin(\theta_{N-3})\cos(\theta_{N-2})\end{array}\right)
$$
を満たす $\theta_1,\ldots,\theta_{N-2}\in [0,\pi]$ が取れる。
$$
\lvert(x_{N-1},x_N)\rvert=\sqrt{1-(x_1^2+\ldots+x_{N-2}^2)}=\sin(\theta_1)\ldots\sin(\theta_{N-2})
$$
であるから $\theta_{N-1}\in [0,2\pi)$で、
$$
\begin{pmatrix}x_{N-1}\\x_N\end{pmatrix}
=\left(\begin{array}{l}\sin(\theta_1)\ldots\sin(\theta_{N-3})\sin(\theta_{N-2})\cos(\theta_{N-1})\\\sin(\theta_1)\ldots\sin(\theta_{N-3})\sin(\theta_{N-2})\sin(\theta_{N-1})\end{array}\right)
$$
なるものがとれる。ゆえに $(*)$ は全射である。$(*)$ が $(0,\pi)\times \cdots \times (0,\pi)\times (0,2\pi)$ 上で単射であることは $\cos$ が $(0,\pi)$ で単射であり、$\sin$ が $(0,\pi)$ 上で $0$ を取らないこと、$(0,2\pi)\ni \theta\mapsto (\cos(\theta),\sin(\theta))\in S_1$ が単射であることから分かる。
*$(2)$　$N$に関する帰納法で示す。$N=2$の場合は自明である。ある $N-1\geq2$ に対して成り立つと仮定する。
$$
\Phi_N(r,\theta_1,\ldots,\theta_{N-1})=(r\cos(\theta),\Phi_{N-1}(r\sin(\theta_1),\theta_2,\ldots,\theta_{N-1}))
$$
であるから $\Phi_N$ は、
$$
\mathbb{R}^N\ni (r,\theta_1,\ldots,\theta_{N-1})\mapsto (r\cos(\theta_1),r\sin(\theta_1),\theta_2,\ldots,\theta_{N-1})\in \mathbb{R}^N
$$
と、
$$
\mathbb{R}^N\ni(x,y,\theta_2,\ldots,\theta_{N-1})\mapsto (x,\Phi_{N-1}(y,\theta_2,\ldots,\theta_{N-1}))\in\mathbb{R}^N
$$
の合成である。よってチェインルールと帰納法の仮定より、
$$
\begin{aligned}
{\rm det}\Phi_N'(r,\theta_1,\ldots,\theta_{N-1})
&={\rm det}\Phi_{N-1}'(r\sin(\theta_1),\theta_2,\ldots,\theta_{N-1})\cdot
{\rm det}\begin{pmatrix}\cos(\theta_1)&-r\sin(\theta_1)\\\sin(\theta_1)&r\cos(\theta_1)\end{pmatrix}\\
&=\left( (r\sin(\theta_1))^{N-2}\sin(\theta_2)^{N-3}\ldots\sin(\theta_{N-2})\right)r\\
&=r^{N-1}\sin(\theta_1)^{N-2}\sin(\theta_2)^{N-3}\ldots\sin(\theta_{N-2})
\end{aligned}
$$
である。よって $N$ の場合も成り立つ。
*$(3)$　$(1)$ より $\Phi_N$ は $(0,\infty)\times(0,\pi)\times\ldots\times(0,\pi)\times(0,2\pi)$ 上で単射であり、$(2)$ より $\Phi_N$ の各点での微分は正則行列である。よって逆関数定理より $\Omega_N$ は $\mathbb{R}^N$ の開集合であり、
$$
(0,\infty)\times(0,\pi)\times\cdots\times(0,\pi)\times(0,2\pi)\ni (r,\theta_1,\ldots,\theta_{N-2},\theta_{N-1})\mapsto \Phi_N(r,\theta_1,\ldots,\theta_{N-2},\theta_{N-1})\in \Omega_N
$$
は $C^\infty$ 級同相写像であるからその逆写像である $(**)$ は $\mathbb{R}^N$ の局所座標である。任意の $x=\Phi_N(r,\theta_1,\ldots,\theta_{N-1})\in \Omega_N$ に対し、
$$
\begin{aligned}
&{\rm det}\left(\frac{\partial}{\partial r}x,\frac{\partial}{\partial\theta_1}x,\ldots,\frac{\partial}{\partial\theta_{N-1}}x\right)={\rm det}\Phi_N'(r,\theta_1,\ldots,\theta_{N-1})\\
&=r^{N-1}\sin(\theta_1)^{N-2}\sin(\theta_2)^{N-3}\ldots\sin(\theta_{N-2})>0
\end{aligned}
$$
である。また、
$$
\frac{\partial}{\partial r}x= \left(\begin{array}{l}\cos(\theta_1)\\\sin(\theta_1)\cos(\theta_2)\\
\sin(\theta_1)\sin(\theta_2)\cos(\theta_3)\\
\vdots\\
\sin(\theta_1)\ldots\sin(\theta_{N-2})\cos(\theta_{N-1})\\
\sin(\theta_1)\ldots\sin(\theta_{N-2})\sin(\theta_{N-1})\end{array}\right)
$$
であり、
$$
\frac{\partial}{\partial\theta_k}x=r\sin(\theta_1)\ldots\sin(\theta_{k-1}) \left(\begin{array}{l}0\\\vdots\\0\\-\sin(\theta_k)\\
\cos(\theta_k)\cos(\theta_{k+1})\\
\cos(\theta_k)\sin(\theta_{k+1})\cos(\theta_{k+2})\\\vdots\\
\cos(\theta_k)\ldots\sin(\theta_{N-2})\cos(\theta_{N-1})\\
\cos(\theta_k)\ldots\sin(\theta_{N-2})\sin(\theta_{N-1})\end{array}\right)\quad(k=1,\ldots,N-1),
$$
$$
\frac{\partial}{\partial\theta_{N-1}}x=r\sin(\theta_1)\ldots\sin(\theta_{N-2})\left(\begin{array}{l}0\\\vdots\\0\\-\sin(\theta_{N-1})\\\cos(\theta_{N-1})\end{array}\right)
$$
であるから、
$$
\frac{\partial}{\partial r}x,\frac{\partial}{\partial \theta_1}x,\ldots,\frac{\partial}{\partial\theta_{N-1}}x\in \mathbb{R}^N
$$
は互いに直交する。よって $(\Omega_N,r,\theta_1,\ldots,\theta_{N-1})$ は $\mathbb{R}^N$ の正の向きの直交座標である。そして $(***)$ が成り立ち、
$$
\sqrt{G_{(\Omega_N,r,\theta_1,\ldots,\theta_{N-1})}(x)}
=\left\lvert\frac{\partial}{\partial r}x\right\rvert\left\lvert\frac{\partial}{\partial\theta_1}x\right\rvert\ldots\left\lvert\frac{\partial}{\partial\theta_{N-1}}x\right\rvert
=r^{N-1}\sin(\theta_1)^{N-2}\sin(\theta_2)^{N-3}\ldots\sin(\theta_{N-2})
$$
である。
*$(4)$　$(1)$ より、
$$
\Phi_N^{-1}(S_{N-1}\cap \Omega_N)=\{1\}\times(0,\pi)^{N-2}\times(0,2\pi)=\Phi_N^{-1}(\Omega_N)\cap (\{1\}\times\mathbb{R}^{N-1})
$$
であるから''命題2.4''より $\Phi_N^{-1}(x)=(1,\Theta_{N-1}(x))$ $(\forall x\in S_{N-1,0}=S_{N-1}\cap\Omega_N)$ とおけば $(S_{N-1,0},\Theta_{N-1})$ は超曲面 $S_{N-1}$ の局所座標である。 $(****)$ が互いに直交することと $(*****)$ が成り立つことは $(3)$ による。そしてこれより、
$$
\sqrt{G_{(S_{N-1,0},\Theta_{N-1})}(x)}
=\left\lvert\frac{\partial}{\partial\theta_1}x\right\rvert\ldots\left\lvert\frac{\partial}{\partial\theta_{N-1}}x\right\rvert
=\sin(\theta_1)^{N-2}\sin(\theta_2)^{N-3}\ldots\sin(\theta_{N-2})
$$
である。
*$(5)$　$\mathbb{R}^{N-1}$ の部分集合
$$
E:=([0,\pi]^{N-2}\times[0,2\pi])\backslash ( (0,\pi)^{N-2}\times(0,2\pi) )
$$
は $\sigma$-コンパクトなLebesgue測度 $0$ の集合である。そして $C^\infty$ 級写像
$$
\Psi:\mathbb{R}^{N-1}\ni(\theta_1,\ldots,\theta_{N-1})\mapsto \Phi_N(1,\theta_1,\ldots,\theta_{N-1})\in S_{N-1}
$$
に対し $S_{N-1}\backslash S_{N-1,0}\subset \Psi(E)$ であるから'''補題17.1'''より $\mu_{S_{N-1}}(S_{N-1}\backslash S_{N-1,0})\leq\mu_{S_{N-1}}(\Psi(E))=0$ である。よって、
$$
\begin{aligned}
\mu_{S_{N-1}}(S_{N-1})&=\mu_{S_{N-1}}(S_{N-1,0})\\
&=\int_{(0,\pi)^{N-2}\times(0,2\pi)}\sqrt{G_{(S_{N-1,0},\Theta_{N-1})}(\Theta_{N-1}^{-1}(\theta_1,\ldots,\theta_{N-1}))}d\theta_1\ldots d\theta_{N-1}\\
&=2\pi\int_{(0,\pi)^{N-2}}\sin(\theta_1)^{N-2}\sin(\theta_2)^{N-3}\ldots\sin(\theta_{N-2})d\theta_1\ldots d\theta_{N-2}
\end{aligned}
$$
である。
{{end|proof|}}

=== 定義18.3（極座標） ===
'''命題18.2'''の $(3)$ における $\mathbb{R}^N$ の局所座標 $(\Omega_N,r,\theta_1,\ldots,\theta_{N-1})$ を $N$ 次元極座標と言う。また'''命題18.2'''の $(4)$ における $S_{N-1}$ の極座標 $(S_{N-1,0},\theta_1,\ldots,\theta_{N-1})$ を $S_{N-1}$ の極座標と言う。

=== 定理18.4（極座標変換） ===
$a\in \mathbb{R}^N$ を中心とする半径 $R\in(0,\infty]$ の球
$$
B(a,R)=\{x\in \mathbb{R}^N:\lvert x-a\rvert<R\}
$$
上の任意の非負値Borel関数 $f\colon B(a,R)\rightarrow [0,\infty]$ に対し、
$$
\int_{B(a,R)}f(x)dx=\int_{0}^{R}\int_{S_{N-1}}f(a+r\omega)r^{N-1}d\mu_{S_{N-1}}(\omega)dr
$$
が成り立つ。
{{begin |proof }}
$$
\Phi\colon\mathbb{R}\times S_{N-1}\ni (r,\omega)\mapsto a+r\omega\in \mathbb{R}^N
$$
なる $C^\infty$ 級関数を考えると、
$$
\Phi([0,R)\times S_{N-1})=B(a,R)
$$
である。$S_{N-1}$ の極座標 $(S_{N-1,0},\Theta_{N-1})$ を考える。'''命題18.2'''の $(3),(4)$ より任意の $(r,\omega)\in (0,R)\times S_{N-1,0}$ に対し $\Phi$の $(r,\omega)$ におけるヤコビアン（'''定義17.2'''）は、
$$
\begin{aligned}
J\Phi(r,\omega)&=\frac{1}{\sqrt{G_{(S_{N-1,0},\Theta_{N-1})}(\omega)}}\left\lvert{\rm det}(\Phi\circ( \text{id}\times\Theta_{N-1}^{-1} )'(r,\Theta_{N-1}(\omega)))\right\rvert\\
&=\frac{1}{\sin(\theta_1)^{N-2}\ldots\sin(\theta_{N-2})}r^{N-1}\sin(\theta_1)^{N-2}\ldots\sin(\theta_{N-2})\\
&=r^{N-1}>0
\end{aligned}
$$
である。また $\Phi$ は $(0,R)\times S_{N-1,0}$ 上で単射である。'''命題18.2'''の $(4)$ より $\mu_{S_{N-1}}(S_{N-1}\backslash S_{N-1,0})=0$ であるから、
$$
([0,R)\times S_{N-1})\backslash ((0,R)\times S_{N-1,0})
$$
は $\mathbb{R}\times S_{N-1}$ の $\sigma$-コンパクトなRiemann測度零の集合である。よってRiemann測度に関する変数変換公式（'''定理17.5'''）より、
$$
\begin{aligned}
\int_{B(a,R)}f(x)dx&=\int_{\Phi([0,R)\times S_{N-1})}f(x)dx
=\int_{[0,R)\times S_{N-1}}f(\Phi(r,\omega))J\Phi(r,\omega)drd\mu_{S_{N-1}}(\omega)\\
&=\int_{[0,R)}\int_{S_{N-1}}f(a+r\omega)r^{N-1}d\mu_{S_{N-1}}(\omega)dr
\end{aligned}
$$
である。
{{end|proof|}}

== 次のページ ==
*[[ベクトル解析5：多様体の向き]]

== 脚注 ==

合成積とFourier変換

2026-03-13T09:36:17Z

Kataoka: /* 定義21.2（分割全体のなす有向集合） */

本稿は、[[超関数の定義と基本操作]]、[[緩増加超関数とFourier変換]]の続編であり、超関数の枠組みで合成積に関する基本的一般論を述べる。
$\mathbb{N}=\{1,2,3,\ldots\}$、$\mathbb{Z}_+=\{0,1,2,\ldots\}$ とする。

'''[[超関数とFourier変換、Sobolev空間]]'''
* [[超関数の定義と基本操作]]
* [[緩増加超関数とFourier変換]]
*'''合成積とFourier変換'''
* [[Sobolev空間の基本事項]]

== 21. Fréchet空間値連続関数のRiemann積分 ==

=== 定義21.1（分割） ===
閉直方体 $I=\prod_{j=1}^{N}[a_j,b_j]$ の各辺 $[a_j,b_j]$ に、
$$
a_{j}=t_{j,0}<t_{j,1}<\ldots<t_{j,n(j)}=b_j
$$
なる有限個の点が与えられているとする。このとき、
$$
\Delta\colon=\prod_{j=1}^{N}\{t_{j,0},t_{j,1},\ldots,t_{j,n(j)}\}
$$
を $I$ の分割と言い、
$$
K(\Delta)\colon=\left\{\prod_{j=1}^{N}[t_{j,k_j-1},t_{j,k_j}]:j=1,\ldots,N, k_j=1,\ldots,n(j)\right\}
$$
の各要素を $\Delta$ によって定まる $I$ の小閉直方体と言う。またこれらの小閉直方体の辺の長さの最大値
$$
d(\Delta)\colon =\underset{\substack{j=1,\ldots,N,\\k_j=1,\ldots,n(j)}}{\rm max}(t_{j,k_j}-t_{j,k_j-1})
$$
を分割 $\Delta$ の幅と言う。さらに各$J = \prod_{j=1}^{N}[t_{j,k_j-1},t_{j,k_j}] \in K(\Delta)$ に対し
$$
v(J)\colon= \prod_{j=1}^{N} (t_{j,k_j} - t_{j,k_j-1}) \in \mathbb{R}
$$
と定義する。

=== 定義21.2（分割全体のなす有向集合） ===
閉直方体 $I$ の分割全体を $\mathcal{D}(I)$ と表す。$\Delta_1,\Delta_2\in \mathcal{D}(I)$ に対し、
$$
\Delta_1\leq \Delta_2\quad\iff \quad \Delta_1\subset \Delta_2
$$
として $\mathcal{D}(I)$ における順序 $\leq$ を定義する。$\Delta_1\leq\Delta_2$ のとき $\Delta_2$ を $\Delta_1$ の細分と言う。任意の $\Delta_1,\Delta_2\in \mathcal{D}(I)$ に対し、明らかに $\Delta_1,\Delta_2\leq\Delta_3$ なる$\Delta_3\in \mathcal{D}(I)$ があるから $\mathcal{D}(I)$ はこの順序 $\leq$ によって有向集合である。

=== 定義21.3（Riemann和） ===
$I$ を閉直方体、$F$ を $\mathbb{C}$ 上の線形空間、$f\colon I\rightarrow F$ とする。任意の $J\in K(\Delta)$ に対し代表点 $\xi_J\in J$ を取り $\xi\colon=(\xi_J)_{J\in K(\Delta)}$ とおく。
$$
s(f,\Delta,\xi_{\Delta})\colon=\sum_{J\in K(\Delta)}f(\xi_J)v(J)
$$
を $\Delta$ とその代表点 $\xi_{\Delta}=(\xi_J)_{J\in K(\Delta)}$ によって定まる $f$ のRiemann和と言う。

=== 補題21.4 ===
$(X,d)$ をコンパクト距離空間、$F$ を $\mathbb{C}$ 上のセミノルム空間、$f\colon X\rightarrow F$ を連続関数、$p\colon F\rightarrow [0,\infty)$ を連続なセミノルムとする。このとき任意の $\epsilon\in(0,\infty)$ に対し $\delta\in (0,\infty)$ が存在し、任意の $x,y \in X$ に対して、
$$
d(x,y)<\delta\quad\Rightarrow\quad p(f(x)-f(y))<\epsilon
$$
が成り立つ。
{{begin |proof }}
任意の $x\in X$ に対し $X\ni y\mapsto p(f(y)-f(x))\in [0,\infty)$ は連続であるから $\delta_x\in (0,\infty)$ が存在し、任意の $y \in X$ に対して、
$$
d(y,x)<\delta_x\quad\Rightarrow\quad p(f(y)-f(x))<\frac{\epsilon}{2}
$$
となる。$X$ はコンパクトなので有限個の $x_1,\ldots,x_n\in X$ が取れて、
$$
X=\bigcup_{j=1}^{n}B(x_j,2^{-1}\delta_{x_j})
$$
となる。
$$
\delta\colon={\rm min}(2^{-1}\delta_{x_1},\ldots,2^{-1}\delta_{x_n})
$$
とおき $d(x,y)<\delta$ なる任意の $x,y\in X$ を取る。$x\in B(x_j,2^{-1}\delta_{x_j})$ なる $j\in \{1,\ldots,n\}$ に対し、
$$
d(y,x_j)\leq d(y,x)+d(x,x_j)<\delta_{x_j}
$$
であるから、
$$
p(f(y)-f(x))\leq p(f(y)-f(x_j))+p(f(x_j)-f(x))<\epsilon
$$
である。
{{end|proof|}}

=== 命題21.5 ===
$I$を閉直方体、$F$ を $\mathbb{C}$ 上のFréchet空間、$f\colon I\rightarrow F$ を連続関数とする。このときRiemann和からなる $F$ のネット $(s(f,\Delta,\xi_{\Delta}))_{\Delta\in \mathcal{D}(I)}$ は代表点 $(\xi_{\Delta})_{\Delta\in \mathcal{D}(I)}$ の取り方によらず唯一つの点 $s(f)\in F$ に収束する。また、
$$
\lim_{d(\Delta)\rightarrow0}s(f,\Delta,\xi_{\Delta})=s(f)
$$
が成り立つ。
{{begin |proof }}
$\{p_n\}_{n\in\mathbb{N}}$ をFréchet空間 $F$ のセミノルム位相を誘導するセミノルムの可算分離族（[[位相線形空間4：Fréchet空間と関数解析の基本定理]]の'''定義15.2'''）とする。
セミノルム位相の基本性質（[[位相線形空間2：セミノルム位相と汎弱位相]]の'''命題8.6'''の$(3)$）より $0\in F$ の任意の近傍 $V$ に対し $n\in\mathbb{N}$ と $\epsilon\in(0,\infty)$ が存在し $\bigcap_{j=1}^{n}(p_j<\epsilon)\subset V$ となる。そして'''補題21.4'''より十分小さい $\delta\in (0,\infty)$ を取れば $d(\Delta),d(\Delta')<\delta$ なる任意の $\Delta,\Delta'\in \mathcal{D}(I)$ と任意の代表点 $\xi_{\Delta}, \eta_{\Delta'}$ に対し、
$$
s(f,\Delta,\xi_{\Delta})-s(f,\Delta',\eta_{\Delta'})\in \bigcap_{j=1}^{n}(p_j<\epsilon)\subset V
$$
となる。よって $\lim_{n\rightarrow\infty}d(\Delta_n)=0$ なる $\mathcal{D}(I)$ の列 $(\Delta_n)_{n\in\mathbb{N}}$ を取り、各 $n\in \mathbb{N}$ に対し代表点 $\xi_{\Delta_n}$ を取りRiemann和の列 $(s(f,\Delta_n,\xi_{\Delta_n}))_{n\in\mathbb{N}}$ を作ると、これはCauchy列であるから収束する。そこでその収束点を $s(f)$ とおく。
今、改めて $0\in F$ の任意の近傍 $V$ を取る。$F$ の加法 $F\times F\ni (x,y)\mapsto x+y\in F$ の $(0,0)$ における連続性より $0\in F $の近傍 $W$ で $W+W\subset V$ なるものが取れる。$W$ に対し十分小さい $\delta\in (0,\infty)$ を取れば $d(\Delta),d(\Delta')<\delta$ なる任意の分割 $\Delta,\Delta'\in \mathcal{D}(I)$ と任意の代表点 $\xi_{\Delta},\eta_{\Delta'}$ に対し、
$$
s(f,\Delta,\xi_{\Delta})-s(f,\Delta',\eta_{\Delta'})\in W
$$
となる。また十分大きい $n\in \mathbb{N}$ を取れば、
$$
d(\Delta_n)<\delta,\quad s(f,\Delta_n,\xi_{\Delta_n})-s(f)\in W
$$
となる。よって $d(\Delta)<\delta$ なる任意の分割 $\Delta\in \mathcal{D}(I)$ と任意の代表点 $\xi_{\Delta}$ に対し、
$$
s(f,\Delta,\xi_{\Delta})-s(f)=s(f,\Delta,\xi_{\Delta})-s(f,\Delta_n,\xi_{\Delta_n})+s(f,\Delta_n,\xi_{\Delta_n})-s(f)\in W+W\subset V
$$
となる。これよりRiemann和のネット $(s(f,\Delta,\xi_{\Delta}))_{\Delta\in \mathcal{D}(I)}$ は代表点 $(\xi_{\Delta})_{\Delta\in \mathcal{D}(I)}$ の取り方によらず、
$$
\lim_{d(\Delta)\rightarrow0}s(f,\Delta,\xi_{\Delta})=s(f),\quad \lim_{\Delta\in \mathcal{D}(I)}s(f,\Delta,\xi_{\Delta})=s(f)
$$
を満たす。
{{end|proof|}}

=== 定義21.6（Fréchet空間値Riemann積分） ===
$I$ を閉直方体、$F$ を $\mathbb{C}$ 上のFréchet空間、$f\colon I\rightarrow F$ を連続関数とする。'''命題21.5'''よりRiemann和からなる $F$ のネット $(s(f,\Delta,\xi))_{\Delta\in \mathcal{D}(I)}$ は代表点 $(\xi_{\Delta})_{\Delta\in \mathcal{D}(I)}$ の取り方によらず唯一つの点に収束する。それを、
$$
\int_{I}f(x)dx=\lim_{\Delta\in \mathcal{D}(I)}s(f,\Delta,\xi_{\Delta})
$$
と表し、$f$ のRiemann積分と言う。

=== 注意21.7 ===
Fréchet空間値連続関数のRiemann積分は、Fréchet空間が $\mathbb{C}$ の場合は、[[測度と積分8：Lebesgue測度の基本的性質]]の'''命題36.7'''より、Lebesgue測度による積分である。（全く同様にFréchet空間がBanach空間の場合は、Lebesgue測度によるBochner積分（[[測度と積分9：Bochner積分]]の'''定義44.1'''）であることが分かる。）

== 22. Fréchet空間 $\mathcal{E}(\mathbb{R}^N)$、$\mathcal{S}_N$ 上の平行移動と微分の連続性 ==

=== 命題22.1（Fréchet空間 $\mathcal{E}(\mathbb{R}^N)$ 上の平行移動と微分の連続性） ===
任意の $f\in \mathcal{E}(\mathbb{R}^N)$ に対しFréchet空間 $\mathcal{E}(\mathbb{R}^N)$（'''定義3.3'''）の位相に関して、
*$(1)$　$\mathbb{R}^N\ni y\mapsto T_{y}f\in \mathcal{E}(\mathbb{R}^N)$ は連続である。ただし $T_yf$ は $f$ の $y$ による平行移動、すなわち $T_yf(x)=f(x-y)$ $(\forall x,y\in \mathbb{R}^N)$ である。
*$(2)$
$$
\lim_{h\rightarrow0}\frac{T_{-he_j}f-f}{h}=\partial_jf\quad(j=1,\ldots,N)
$$
が成り立つ。
{{begin |proof }}
*$(1)$　任意の $x,y\in\mathbb{R}^N$ に対し $T_{x+y}f=T_xT_yf$ であるから $\mathbb{R}^N\ni y\mapsto T_yf\in \mathcal{E}(\mathbb{R}^N)$ の連続性を示すには $y=0$ における連続性を示せば十分である。そのためには任意の $\alpha\in \mathbb{Z}_+^N$ と任意のコンパクト集合 $K\subset \mathbb{R}^N$ に対し、
$$
\lim_{y\rightarrow0}\sup_{x\in K}\lvert \partial^{\alpha}T_yf(x)-\partial^{\alpha}f(x)\rvert=0\quad\quad(*)
$$
が成り立つことを示せばよい。微積分学の基本定理より、
$$
\begin{aligned}
&\partial^{\alpha}T_yf(x)-\partial^{\alpha}f(x)=\partial^{\alpha}f(x-y)-\partial^{\alpha}f(x)\\
&=\sum_{j=1}^{N}(-y_j)\left(\int_{0}^{1}\partial_j\partial^{\alpha}f(x-\theta y)d\theta\right)\quad(\forall x,y\in\mathbb{R}^N)
\end{aligned}
$$
であるから、
$$
\begin{aligned}
&\sup_{x\in K}\lvert\partial^{\alpha}T_yf(x)-\partial^{\alpha}f(x)\rvert
\leq \sup_{x\in K}\sum_{j=1}^{N}\lvert y_j\rvert \left\lvert \int_{0}^{1}\partial_j\partial^{\alpha}f(x-\theta y)d\theta\right\rvert \\
&\leq\sum_{j=1}^{N}\lvert y_j\rvert\sup_{x\in K+\overline{B(0,1)}}\lvert\partial_j\partial^{\alpha}f(x)\rvert\quad(\forall y\in \overline{B(0,1)})
\end{aligned}
$$
である。よって $(*)$ が成り立つ。
*$(2)$　任意の $\alpha\in \mathbb{Z}_+^N$ と任意のコンパクト集合 $K\subset \mathbb{R}^N$ に対し、
$$
\lim_{h\rightarrow0}\sup_{x\in K}\left\lvert \frac{\partial^{\alpha}T_{-he_j}f(x)-\partial^{\alpha}f(x)}{h}-\partial^{\alpha}\partial_jf(x)\right\rvert=0\quad\quad(**)
$$
が成り立つことを示せばよい。微積分学の基本定理より、
$$
\begin{aligned}
&\frac{\partial^{\alpha}T_{-he_j}f(x)-\partial^{\alpha}f(x)}{h}-\partial^{\alpha}\partial_jf(x)
=\int_{0}^{1}(\partial^{\alpha}\partial_jf(x+the_j)-\partial^{\alpha}\partial_jf(x))dt\\
&=\int_{0}^{1}\int_{0}^{1}th\partial^{\alpha}\partial_j^2f(x+sthe_j)dsdt\quad(\forall x\in\mathbb{R}^N,\forall h\in \mathbb{R}\backslash \{0\})
\end{aligned}
$$
であるから、
$$
\begin{aligned}
&\sup_{x\in K}\left\lvert \frac{\partial^{\alpha}T_{-he_j}f(x)-\partial^{\alpha}f(x)}{h}-\partial^{\alpha}\partial_jf(x)\right\rvert\leq
\sup_{x\in K}\int_{0}^{1}\int_{0}^{1}\lvert th\rvert\lvert\partial^{\alpha}\partial_j^2f(x+sthe_j)\rvert dsdt\\
&\leq\lvert h\rvert\sup_{x\in K+\overline{B(0,1)}}\lvert\partial^{\alpha}\partial_j^2f(x)\rvert\quad(\forall h\in \mathbb{R}:0<\lvert h\rvert\leq1)
\end{aligned}
$$
である。よって $(**)$ が成り立つ。
{{end|proof|}}

=== 命題22.2（$\mathcal{S}_N$ 上の平行移動と微分の連続性） ===
任意の $f\in \mathcal{S}_N$ に対し $\mathcal{S}_N$（'''定義10.1'''）の位相に関して、
*$(1)$ $\mathbb{R}^N\ni y\mapsto T_{y}f\in \mathcal{S}_N$ は連続である。
*$(2)$
$$
\lim_{h\rightarrow0}\frac{T_{-he_j}f-f}{h}=\partial_jf\quad(j=1,\ldots,N)
$$
が成り立つ。
{{begin |proof }}
*$(1)$　任意の$x,y\in\mathbb{R}^N$ に対し $T_{x+y}f=T_xT_yf$ であるから $\mathbb{R}^N\ni y\mapsto T_yf\in \mathcal{S}_N$ の連続性を示すには $y=0$ における連続性を示せば十分である。そのためには任意の $\alpha,\beta\in \mathbb{Z}_+^N$ に対し、
$$
\lim_{y\rightarrow0}\sup_{x\in \mathbb{R}^N}\lvert x^{\beta}\partial^{\alpha}T_yf(x)-x^{\beta}\partial^{\alpha}f(x)\rvert=0
$$
が成り立つことを示せばよい。微積分学の基本定理より、
$$
\begin{aligned}
&\partial^{\alpha}T_yf(x)-\partial^{\alpha}f(x)=\partial^{\alpha}f(x-y)-\partial^{\alpha}f(x)\\
&=\sum_{j=1}^{N}\int_{0}^{1}(-y_j)\partial_j\partial^{\alpha}f(x-\theta y)d\theta\quad(\forall x,y\in\mathbb{R}^N)
\end{aligned}
$$
であり、多重二項定理より、
$$
x^{\beta}=(x-\theta y+\theta y)^{\beta}=\sum_{\gamma\leq\beta}\begin{pmatrix}\beta\\\gamma\end{pmatrix}(x-\theta y)^{\beta-\gamma}(\theta y)^{\gamma}
$$
であるから、
$$
\begin{aligned}
&x^{\beta}\partial^{\alpha}T_yf(x)-x^{\beta}\partial^{\alpha}f(x)
=\sum_{j=1}^{N}\int_{0}^{1}x^{\beta}(-y_j)\partial_j\partial^{\alpha}f(x-\theta y)d\theta\\
&=\sum_{j=1}^{N}\sum_{\gamma\leq\beta}\begin{pmatrix}\beta\\\gamma\end{pmatrix}\int_{0}^{1}(-y_j)(\theta y)^{\gamma}(x-\theta y)^{\beta-\gamma}\partial_j\partial^{\alpha}f(x-\theta y)d\theta
\end{aligned}
$$
である。よって任意の $y\in \mathbb{R}^N$ に対し、
$$
\begin{aligned}
\sup_{x\in \mathbb{R}^N}\lvert x^{\beta}\partial^{\alpha}T_yf(x)-x^{\beta}\partial^{\alpha}f(x)\rvert
\leq\sum_{j=1}^{N}\sum_{\gamma\leq \beta}\begin{pmatrix}\beta\\\gamma\end{pmatrix}\lvert y\rvert^{\lvert \gamma\rvert+1}\sup_{x\in\mathbb{R}^N}\lvert x^{\beta-\gamma}\partial_j\partial^{\alpha}f(x)\rvert
\end{aligned}
$$
であるから $(*)$ が成り立つ。
*$(2)$　任意の $\alpha,\beta\in \mathbb{Z}_+^N$ に対し、
$$
\lim_{h\rightarrow0}\sup_{x\in\mathbb{R}^N}\left\lvert \frac{x^{\beta}\partial^{\alpha}T_{-he_j}f(x)-x^{\beta}\partial^{\alpha}f(x)}{h}-x^{\beta}\partial^{\alpha}\partial_jf(x)\right\rvert=0\quad\quad(**)
$$
が成り立つことを示せばよい。任意の $x\in \mathbb{R}^N$ と $h\in \mathbb{R}\backslash \{0\}$ に対し微積分学の基本定理より、
$$
\begin{aligned}
&\frac{\partial^{\alpha}T_{-he_j}f(x)-\partial^{\alpha}f(x)}{h}-\partial^{\alpha}\partial_jf(x)
=\int_{0}^{1}(\partial^{\alpha}\partial_jf(x+the_j)-\partial^{\alpha}\partial_jf(x))dt\\
&=\int_{0}^{1}\int_{0}^{1}th\partial^{\alpha}\partial_j^2f(x+sthe_j)dsdt
\end{aligned}
$$
であり、多重二項定理より、
$$
x^{\beta}=(x+sthe_j-sthe_j)^{\beta}=\sum_{\gamma\leq\beta}\begin{pmatrix}\beta\\\gamma\end{pmatrix}(x+sthe_j)^{\beta-\gamma}(-sthe_j)^{\gamma}
$$
であるから、
$$
\begin{aligned}
&\frac{x^{\beta}\partial^{\alpha}T_{-he_j}f(x)-x^{\beta}\partial^{\alpha}f(x)}{h}-x^{\beta}\partial^{\alpha}\partial_jf(x)\\
&=\sum_{\gamma\leq\beta}\begin{pmatrix}\beta\\\gamma\end{pmatrix}
\int_{0}^{1}\int_{0}^{1}th(-sthe_j)^{\gamma}(x+sthe_j)^{\beta-\gamma}\partial^{\alpha}\partial_j^2f(x+sthe_j)dsdt
\end{aligned}
$$
である。よって任意の $h\in \mathbb{R}\backslash \{0\}$ に対し、
$$
\begin{aligned}
&\sup_{x\in\mathbb{R}^N}\left\lvert \frac{x^{\beta}\partial^{\alpha}T_{-he_j}f(x)-x^{\beta}\partial^{\alpha}f(x)}{h}-x^{\beta}\partial^{\alpha}\partial_jf(x)\right\rvert\\
&\leq \sum_{\gamma\leq\beta}\begin{pmatrix}\beta\\\gamma\end{pmatrix}\lvert h\rvert^{1+\lvert\gamma\rvert}\sup_{x\in\mathbb{R}^N}\lvert x^{\beta-\gamma}\partial^{\alpha}\partial_j^2f(x)\rvert
\end{aligned}
$$
であるから $(**)$ が成り立つ。
{{end|proof|}}

== 23. テスト関数と超関数の合成積 ==

=== 定義23.1（テスト関数と超関数の合成積） ===
任意の $f\in D(\mathbb{R}^N)$（resp. $\mathcal {S}_N$、$\mathcal{E}(\mathbb{R}^N)$）と任意の $u\in D'(\mathbb{R}^N)$（resp. $\mathcal{S}_N'$, $\mathcal{E}_N'$）に対し $f*u:\mathbb{R}^N\rightarrow\mathbb{C}$ を、
$$
f* u(x)\colon=\frac{1}{(2\pi)^{\frac{N}{2}}}u(T_xf_{-1})\quad(\forall x\in \mathbb{R}^N)
$$
と定義する(($f_{-1}$, $T_xf$ はそれぞれ $f$ の反転と平行移動、すなわち $f_{-1}(x)=f(-x)$, $T_xf(y)=f(y-x)$ $(\forall x,y\in\mathbb{R}^N)$ である。よって $T_xf_{-1}(y)=f_{-1}(y-x)=f(x-y)$ $(\forall x,y\in \mathbb{R}^N)$ である。))。これをテスト関数 $f$ と超関数 $u$ の合成積と言う。次の''命題23.3''と''命題23.4''より $f*u\in C^\infty(\mathbb{R}^N)$ であり、
$$
\partial^{\alpha}(f*u)=(\partial^{\alpha}f)*u=f*(\partial^{\alpha}u)\quad(\forall \alpha\in \mathbb{Z}_+^N)
$$
が成り立つ。

=== 注意23.2 ===
任意の $f\in D(\mathbb{R}^N)$ と $[g]\in L^1_{\rm loc}(\mathbb{R}^N)\subset D'(\mathbb{R}^N)$ に対し、
$$
\begin{aligned}
(f*[g])(x)&=\frac{1}{(2\pi)^{\frac{N}{2}}}[g](T_xf_{-1})=\frac{1}{(2\pi)^{\frac{N}{2}}}\int_{\mathbb{R}^N}g(y)f(x-y)dy\\
&=\frac{1}{(2\pi)^{\frac{N}{2}}}\int_{\mathbb{R}^N}g(x-y)f(y)dy\quad(\forall x\in\mathbb{R}^N)
\end{aligned}
$$
である。ただし三番目の等号はLebesgue測度の平行移動不変性による。

=== 命題23.3（テスト関数と超関数の合成積は滑らかな関数） ===
任意の $f\in D(\mathbb{R}^N)$ と $u\in D'(\mathbb{R}^N)$ に対し $f*u\in C^\infty(\mathbb{R}^N)$ であり、
$$
\partial^{\alpha}(f*u)=(\partial^{\alpha}f)*u=f*(\partial^{\alpha}u)\quad(\forall \alpha\in \mathbb{Z}_+^N)\quad\quad(*)
$$
が成り立つ。
{{begin |proof }}
任意の $x\in\mathbb{R}^N$ を取り、コンパクト集合
$$
K\colon=\overline{B(x,1)}-\text{supp}(f)
$$
を定義する。このとき$\lvert y\rvert\leq1$ なる任意の $y\in \mathbb{R}^N$ に対し、
$$
\text{supp}(T_yT_xf_{-1})=x+y-\text{supp}(f)\subset K
$$
である。よって、Fréchet空間 $D_K(\mathbb{R}^N)$ の位相はFréchet空間
$\mathcal{E}(\mathbb{R}^N)$ の相対位相であること（'''定義3.7'''を参照）と'''命題22.1'''より、Fréchet空間 $D_K(\mathbb{R}^N)$ において、
$$
\lim_{\substack{\lvert y\rvert\leq1,\\y\rightarrow0}}T_yT_xf_{-1}=T_xf_{-1},
$$
$$
\lim_{\substack{0<\lvert h\rvert\leq1,\\h\rightarrow0}}\frac{T_{he_j}T_xf_{-1}-T_xf_{-1}}{h}
=-\partial_jT_{x}f_{-1}=T_x(\partial_jf)_{-1}\quad(j=1,\ldots,N)
$$
が成り立つ。超関数の定義（'''定義4.1'''）より $u$ をFréchet空間 $D_K(\mathbb{R}^N)$ 上に制限したものは連続なので、
$$
\lim_{\substack{\lvert y\rvert\leq1,\\y\rightarrow0}}(f*u)(x+y)=\lim_{\substack{\lvert y\rvert\leq1,\\y\rightarrow0}}\frac{1}{(2\pi)^{\frac{N}{2}}}u(T_{y}T_xf_{-1})=\frac{1}{(2\pi)^{\frac{N}{2}}}u(T_xf_{-1})=(f*u)(x),
$$
$$
\begin{aligned}
\lim_{\substack{0<\lvert h\rvert\leq1,\\h\rightarrow0}}&\frac{(f*u)(x+he_j)-(f*u)(x)}{h}
=\lim_{\substack{0<\lvert h\rvert\leq1,\\h\rightarrow0}}\frac{1}{(2\pi)^{\frac{N}{2}}}u\left(\frac{T_{he_j}T_xf_{-1}-T_xf_{-1}}{h}\right)\\
&=\frac{1}{(2\pi)^{\frac{N}{2}}}u(T_x(\partial_jf)_{-1})=((\partial_jf)*u)(x)\quad(j=1,\ldots,N)
\end{aligned}
$$
が成り立つ。よって $f*u\colon\mathbb{R}^N\rightarrow\mathbb{C}$ は連続であり、各 $j\in \{1,\ldots,N\}$ について第 $j$ 座標に関して偏微分可能で、
$$
\partial_j(f*u)=(\partial_jf)*u\quad(j=1,\ldots,N)
$$
である。この結果と帰納法により $f*u\in C^\infty(\mathbb{R}^N)$ であり任意の $\alpha\in \mathbb{Z}_+^N$ に対し、
$$
\partial^{\alpha}(f*u)=(\partial^{\alpha}f)*u
$$
が成り立つことが分かる。また任意の $\alpha\in \mathbb{Z}_+^N$、任意の $x\in\mathbb{R}^N$ に対し、
$$
\begin{aligned}
((\partial^{\alpha}f)*u)(x)&=\frac{1}{(2\pi)^{\frac{N}{2}}}u(T_x(\partial^{\alpha}f)_{-1})
=\frac{1}{(2\pi)^{\frac{N}{2}}}(-1)^{\lvert\alpha\rvert}u(T_x\partial^{\alpha}f_{-1})\\
&=\frac{1}{(2\pi)^{\frac{N}{2}}}\partial^{\alpha}u(T_xf_{-1})
=(f*(\partial^{\alpha}u))(x)
\end{aligned}
$$
であるから $(\partial^{\alpha}f)*u=f*\partial^{\alpha}u$ である。よって $(*)$ が成り立つ。
{{end|proof|}}

=== 命題23.4（テスト関数と超関数の合成積は滑らかな関数） ===
任意の $f\in \mathcal{S}_N$（resp. $\mathcal{E}(\mathbb{R}^N)$）と任意の $u\in \mathcal{S}_N'$（resp. $\mathcal{E}_N'$）に対し $f*u\in C^\infty(\mathbb{R}^N)$ であり、
$$
\partial^{\alpha}(f*u)=(\partial^{\alpha}f)*u=f*(\partial^{\alpha}u)\quad(\forall \alpha\in \mathbb{Z}_+^N)\quad\quad(*)
$$
が成り立つ。
{{begin |proof }}
'''命題22.2'''の $(1)$（resp. '''命題22.1'''の $(1)$ ）よりFréchet空間 $\mathcal{S}_N$（resp. $\mathcal{E}(\mathbb{R}^N)$ ）において、
$$
\mathbb{R}^N\ni x\mapsto T_xf_{-1}\in \mathcal{S}_N\quad\text{resp}. \mathcal{E}(\mathbb{R}^N))
$$
は連続であるので、
$$
f*u\colon\mathbb{R}^N\ni x\mapsto \frac{1}{(2\pi)^{\frac{N}{2}}}u(T_xf_{-1})\in \mathbb{C}
$$
は連続である。また'''命題22.2'''の $(2)$（'''命題22.1'''の $(2)$ ）より任意の $x\in\mathbb{R}^N$ に対しFréchet空間 $\mathcal{S}_N$（resp. $\mathcal{E}(\mathbb{R}^N)$）において、
$$
\lim_{h\rightarrow0}\frac{T_{he_j}T_xf_{-1}-T_xf_{-1}}{h}=-\partial_jT_xf_{-1}=T_x(\partial_jf)_{-1}\quad(j=1,\ldots,N)
$$
であるので、
$$
\begin{aligned}
\lim_{h\rightarrow0}&\frac{(f*u)(x+he_j)-(f*u)(x)}{h}=\lim_{h\rightarrow0}u\left(\frac{T_{he_j}T_xf_{-1}-T_xf_{-1}}{h}\right)\\
&=\frac{1}{(2\pi)^{\frac{N}{2}}}u(T_x(\partial_jf)_{-1})=((\partial_jf)*u)(x)\quad(j=1,\ldots,N)
\end{aligned}
$$
である。よって $f*u\colon\mathbb{R}^N\rightarrow\mathbb{C}$ は連続であり、各 $j\in \{1,\ldots,N\}$ について第 $j$ 座標に関して偏微分可能で、
$$
\partial_j(f*u)=(\partial_jf)*u\quad(j=1,\ldots,N)
$$
である。この結果と帰納法により $f*u\in C^\infty(\mathbb{R}^N)$ であり任意の $\alpha\in \mathbb{Z}_+^N$ に対し、
$$
\partial^{\alpha}(f*u)=(\partial^{\alpha}f)*u
$$
が成り立つことが分かる。また任意の $\alpha\in \mathbb{Z}_+^N$、任意の $x\in\mathbb{R}^N$ に対し、
$$
\begin{aligned}
((\partial^{\alpha}f)*u)(x)&=\frac{1}{(2\pi)^{\frac{N}{2}}}u(T_x(\partial^{\alpha}f)_{-1})
=\frac{1}{(2\pi)^{\frac{N}{2}}}(-1)^{\lvert\alpha\rvert}u(T_x\partial^{\alpha}f_{-1})\\
&=\frac{1}{(2\pi)^{\frac{N}{2}}}\partial^{\alpha}u(T_xf_{-1})
=(f*(\partial^{\alpha}u))(x)
\end{aligned}
$$
であるから $(\partial^{\alpha}f)*u=f*\partial^{\alpha}u$ である。よって'''定義23.1'''の $(*)$ が成り立つ。
{{end|proof|}}

=== 命題23.5（合成積の台） ===
任意の $f\in D(\mathbb{R}^N)$ と $u\in D'(\mathbb{R}^N)$ に対し、
$$
\text{supp}(f*u)\subset \overline{\text{supp}(f)+\text{supp}(u)}
$$
が成り立つ。
{{begin |proof}}
$(f*u)(x)\neq0$ ならば $u(T_xf_{-1})\neq0$ なので、
$$
(x-\text{supp}(f))\cap\text{supp}(u)=\text{supp}(T_xf_{-1})\cap \text{supp}(u)\neq\emptyset
$$
である。よってある $y\in \text{supp}(f)$ と $z\in \text{supp}(u)$ に対し $x-y=z$ であるので、
$$
x=y+z\in \text{supp}(f)+\text{supp}(u)
$$
である。ゆえに、
$$
\text{supp}(f*u)=\overline{\{x\in\mathbb{R}^N:(f*u)(x)\neq0\}}\subset \overline{\text{supp}(f)+\text{supp}(u)}
$$
である。
{{end|proof|}}

=== 系23.6（$D(\mathbb{R}^N)*\mathcal{E}_N'\subset D(\mathbb{R}^N)$） ===
任意の $f\in D(\mathbb{R}^N)$、$u\in \mathcal{E}_N'$ に対し $f*u\in D(\mathbb{R}^N)$ が成り立つ。
{{begin |proof }}
$\text{supp}(f)$、$\text{supp}(u)$ はコンパクトであるから $\text{supp}(f)+\text{supp}(u)$ はコンパクトである。よって'''命題23.5'''より $\text{supp}(f*u)$ はコンパクトである。ゆえに $f*u\in D(\mathbb{R}^N)$ が成り立つ。
{{end|proof|}}

=== 命題23.7（合成積の結合法則） ===
任意の $f,g\in D(\mathbb{R}^N)$ と任意の $u\in D'(\mathbb{R}^N)$ に対し、
$$
(f*g)*u=f*(g*u)
$$
が成り立つ。
{{begin |proof }}
任意の $x\in\mathbb{R}^N$ に対し、
$$
( (f*g)*u)(x)=\frac{1}{(2\pi)^{\frac{N}{2}}}u(T_x(f*g)_{-1})=\frac{1}{(2\pi)^{\frac{N}{2}}}u(T_x(f_{-1}*g_{-1}) )\quad(\forall x\in\mathbb{R}^N)\quad\quad(*)
$$
である(($(f*g)_{-1}(x)=\frac{1}{(2\pi)^{\frac{N}{2}}}(f*g)(-x)=\frac{1}{(2\pi)^{\frac{N}{2}}}\int_{\mathbb{R}^N}f(y)g(-x-y)dy=\frac{1}{(2\pi)^{\frac{N}{2}}}\int_{\mathbb{R}^N}f_{-1}(y)g_{-1}(x-y)dy=(f_{-1}*g_{-1})(x)$である。))。$\text{supp}(f_{-1})=-\text{supp}(f)\subset I$ を満たす閉直方体 $I\subset \mathbb{R}^N$（$N$ 個の有界閉区間の直積）を取る。コンパクト集合 $K:=I-\text{supp}(g)$ に対し、Fréchet空間$D_K(\mathbb{R}^N)$ の位相はFréchet空間 $\mathcal{E}(\mathbb{R}^N)$ の位相の相対位相であるから、'''命題22.1'''より、
$$
I\ni y\mapsto f_{-1}(y)T_yg_{-1}\in D_K(\mathbb{R}^N)
$$
はFréchet空間 $D_K(\mathbb{R}^N)$ 値連続関数である。よってRiemann積分（'''定義21.6'''）
$$
\int_{I}f_{-1}(y)T_yg_{-1}dy\in D_K(\mathbb{R}^N)
$$
が定義できる。Diracのデルタ超関数（'''定義20.5'''） $\delta_x\in \mathcal{E}'_N$ $(\forall x\in\mathbb{R}^N)$ に対し、
$$
\begin{aligned}
&\delta_x\left(\frac{1}{(2\pi)^{\frac{N}{2}}}\int_{I}f_{-1}(y)T_yg_{-1}dy\right)
=\frac{1}{(2\pi)^{\frac{N}{2}}}\int_{I}f_{-1}(y)\delta_x(T_yg_{-1})dy\\
&=\frac{1}{(2\pi)^{\frac{N}{2}}}\int_{\mathbb{R}^N}f_{-1}(y)g_{-1}(x-y)dy=(f_{-1}*g_{-1})(x)
\end{aligned}
$$
であるから、
$$
f_{-1}*g_{-1}=\frac{1}{(2\pi)^{\frac{N}{2}}}\int_{I}f_{-1}(y)T_yg_{-1}dy\quad\quad(**)
$$
である。また超関数の定義（'''定義4.1'''）より任意の $x\in\mathbb{R}^N$ に対し、
$$
D_K(\mathbb{R}^N)\ni \varphi\mapsto u(T_x\varphi)\in \mathbb{C}
$$
は連続線形汎関数であるから $(*)$, $(**)$ より、
$$
\begin{aligned}
( (f*g)*u)(x)&=\frac{1}{(2\pi)^{\frac{N}{2}}}u(T_x(f_{-1}*g_{-1}))=\frac{1}{(2\pi)^{\frac{N}{2}}}u\left(T_x\left(\frac{1}{(2\pi)^{\frac{N}{2}}}\int_{I}f_{-1}(y)T_yg_{-1}dy\right)\right)\\
&=\frac{1}{(2\pi)^{\frac{N}{2}}}\int_{\mathbb{R}^N}f_{-1}(y) \frac{1}{(2\pi)^{\frac{N}{2}}}u(T_{x+y}g_{-1})dy
=\frac{1}{(2\pi)^{\frac{N}{2}}}\int_{\mathbb{R}^N}f_{-1}(y)(g*u)(x+y)dy\\
&=\frac{1}{(2\pi)^{\frac{N}{2}}}\int_{\mathbb{R}^N}f(y)(g*u)(x-y)dy=(f*(g*u))(x)\quad(\forall x\in \mathbb{R}^N)
\end{aligned}
$$
である。よって $(f*g)*u=f*(g*u)$ が成り立つ。
{{end|proof|}}

=== 命題23.8（超関数としての合成積） ===
任意の $f\in D(\mathbb{R}^N)$ と $u\in D'(\mathbb{R}^N)$ に対し、
$$
(f*u)(\varphi)=u(\varphi*f_{-1})\quad(\forall \varphi\in D(\mathbb{R}^N))
$$
が成り立つ。
{{begin |proof}}
任意の $\varphi\in D(\mathbb{R}^N)$ を取り $\text{supp}(\varphi)\subset I$ なる有閉直方体 $I\subset \mathbb{R}^N$ を取る。そしてコンパクト集合 $K\colon=I-\text{supp}(f)$ を定義する。このとき'''命題22.1'''より、
$$
I\ni x\mapsto \varphi(x)T_xf_{-1}\in D_K(\mathbb{R}^N)
$$
はFréchet空間 $D_K(\mathbb{R}^N)$ 値連続関数であるから、Riemann積分（'''定義21.6'''）
$$
\int_{I}\varphi(x)T_xf_{-1}dx\in D_K(\mathbb{R}^N)
$$
が定義できる。 Diracのデルタ超関数（'''定義20.5'''） $\delta_y\in \mathcal{E}'_N$ $(\forall y\in\mathbb{R}^N)$ に対し、
$$
\begin{aligned}
&\delta_y\left(\frac{1}{(2\pi)^{\frac{N}{2}}}\int_{I}\varphi(x)T_xf_{-1}dx\right)
=\frac{1}{(2\pi)^{\frac{N}{2}}}\int_{I}\varphi(x)\delta_y(T_xf_{-1})dx\\
&=\frac{1}{(2\pi)^{\frac{N}{2}}}\int_{I}\varphi(x)f_{-1}(y-x)dx
=(\varphi*f_{-1})(y)\quad(\forall y\in \mathbb{R}^N)
\end{aligned}
$$
であるから、
$$
\frac{1}{(2\pi)^{\frac{N}{2}}}\int_{I}\varphi(x)T_xf_{-1}dx=\varphi*f_{-1}
$$
である。そして超関数の定義（'''定義4.1'''）より $u$ の $D_K(\mathbb{R}^N)$ 上への制限は連続線形汎関数であるから、
$$
(f*u)(\varphi)=\frac{1}{(2\pi)^{\frac{N}{2}}}\int_{I}u(T_xf_{-1})\varphi(x)dx
=u\left(\frac{1}{(2\pi)^{\frac{N}{2}}}\int_{I}\varphi(x)T_xf_{-1}dx\right)=u(\varphi*f_{-1})
$$
である。
{{end|proof|}}

== 24. $\mathcal{S}_N*\mathcal{S}_N'$ のFourier変換 ==

=== 命題24.1（$\mathcal{S}_N*\mathcal{S}_N'\subset \mathcal{T}_N$） ===
任意の $f\in \mathcal{S}_N$ と $u\in \mathcal{S}_N'$ に対し $f*u$ は緩増加関数空間 $\mathcal{T}_N$（'''定義11.3'''）に属する。
{{begin |proof }}
'''命題17.2'''より $u\in \mathcal{S}_N'$ に対し $n\in\mathbb{N}$ と $C\in [0,\infty)$ が存在し、
$$
\lvert u(\varphi)\rvert\leq Cp_n(\varphi)\quad(\forall \varphi\in \mathcal{S}_N)
$$
が成り立つ。ただし、
$$
p_n(\varphi)=\underset{\lvert\beta\rvert\leq n}{\rm max}\sup_{y\in\mathbb{R}^N}(1+\lvert y\rvert^2)^n\lvert\partial^{\beta}\varphi(y)\rvert\quad(\forall \varphi\in \mathcal{S}_N)
$$
である。
$$
1+\lvert x+y\rvert^2\leq 2(1+\lvert x\rvert^2)(1+\lvert y\rvert^2)\quad(\forall x,y\in\mathbb{R}^N)
$$
であるから、
$$
1+\lvert y\rvert^2\leq 2(1+\lvert x\rvert^2)(1+\lvert x-y\rvert^2)\quad(\forall x,y\in\mathbb{R}^N)
$$
である。よって任意の $\alpha\in \mathbb{Z}_+^N$ に対し、
$$
\begin{aligned}
\lvert\partial^{\alpha}(f*u)(x)\rvert&=\lvert ((\partial^{\alpha}f)*u)(x)\rvert
=\frac{1}{(2\pi)^{\frac{N}{2}}}\lvert u(T_x(\partial^{\alpha}f)_{-1})\rvert
\leq\frac{C}{(2\pi)^{\frac{N}{2}}}p_n(T_x(\partial^{\alpha}f)_{-1})\\
&=\frac{C}{(2\pi)^{\frac{N}{2}}}\underset{\lvert\beta\rvert\leq n}{\rm max}\sup_{y\in\mathbb{R}^N}(1+\lvert y\rvert^2)^n\lvert \partial^{\beta}\partial^{\alpha}f(x-y)\rvert\\
&\leq\frac{2^nC}{(2\pi)^{\frac{N}{2}}}\underset{\lvert\beta\rvert\leq n}{\rm max}\sup_{y\in\mathbb{R}^N}(1+\lvert x-y\rvert^2)^n\lvert\partial^{\beta}\partial^{\alpha}f(x-y)\rvert(1+\lvert x\rvert^2)^n\\
&\leq \frac{2^nC}{(2\pi)^{\frac{N}{2}}}p_n(\partial^{\alpha}f)(1+\lvert x\rvert^2)^n\quad(\forall x\in\mathbb{R}^N)
\end{aligned}
$$
であるから $\partial^{\alpha}(f*u)$ は多項式的に増加する関数である。ゆえに $f*u\in \mathcal{T}_N$ である。
{{end|proof|}}

=== 命題24.2（$\mathcal{S}_N*\mathcal{S}_N\subset \mathcal{S}_N$） ===
任意の $f,g\in \mathcal{S}_N$ に対し $f*g\in \mathcal{S}_N$ が成り立つ。そして、
$$
(f*g)^{\wedge}=f^{\wedge}g^{\wedge},\quad (f*g)^{\vee}=f^{\vee}g^{\vee},
$$
$$
(fg)^{\wedge}=f^{\wedge}*g^{\wedge},\quad (fg)^{\vee}=f^{\vee}* g^{\vee}
$$
が成り立つ。
{{begin |proof }}
任意の $f,g\in \mathcal{S}_N$ を取る。$f*g\in \mathcal{S}_N$ であることを示すには任意の $\alpha,\beta\in \mathbb{Z}_+^N$ に対し $\text{id}^{\beta}\partial^{\alpha}(f*g)$ が有界であることを示せばよい。多重二項定理より、
$$
\begin{aligned}
x^{\beta}\partial^{\alpha}(f*g)(x)&=x^{\beta}( (\partial^{\alpha}f)*g)(x)
=\frac{1}{(2\pi)^{\frac{N}{2}}}\int_{\mathbb{R}^N}(x-y+y)^{\beta}\partial^{\alpha}f(y)g(x-y)dy\\
&=\sum_{\gamma\leq \beta}\begin{pmatrix}\beta\\\gamma\end{pmatrix}
\frac{1}{(2\pi)^{\frac{N}{2}}}\int_{\mathbb{R}^N}(y^{\gamma}\partial^{\alpha}f(y))( (x-y)^{\beta-\gamma}g(x-y))dy\\
&=\sum_{\gamma\leq \beta}\begin{pmatrix}\beta\\\gamma\end{pmatrix}( (\text{id}^{\gamma}\partial^{\alpha}f)*(\text{id}^{\beta-\gamma}g) )(x)\quad(\forall x\in\mathbb{R}^N)
\end{aligned}
$$
であり、$\text{id}^{\gamma}\partial^{\alpha}f, \text{id}^{\beta-\gamma}g\in \mathcal{S}_N$ は有界かつ可積分であるから、
$$
\begin{aligned}
&\lvert x^{\beta}\partial^{\alpha}(f*g)(x)\rvert\leq \sum_{\gamma\leq\beta}\begin{pmatrix}\beta\\\gamma\end{pmatrix}\lvert ( (\text{id}^{\gamma}\partial^{\alpha}f)*(\text{id}^{\beta-\gamma}g) )(x)\rvert\\
&\leq \sum_{\gamma\leq\beta}\begin{pmatrix}\beta\\\gamma\end{pmatrix}\frac{1}{(2\pi)^{\frac{N}{2}}}\lVert \text{id}^{\gamma}\partial^{\alpha}f\rVert_1\lVert \text{id}^{\beta-\gamma}g\rVert_{\infty}<\infty\quad(\forall x\in \mathbb{R}^N)
\end{aligned}
$$
である。よって $f*g\in \mathcal{S}_N$ である。Fubiniの定理とLebesgue測度の平行移動不変性より、
$$
\begin{aligned}
&(f*g)^{\wedge}(k)=\frac{1}{(2\pi)^{\frac{N}{2}}}\int_{\mathbb{R}^N}(f*g)(x)e^{-ik\cdot x}dx\\
&=\frac{1}{(2\pi)^N}\int_{\mathbb{R}^N}\left(\int_{\mathbb{R}^N}f(y)e^{-ik\cdot y}g(x-y)e^{-ik\cdot (x-y)}dy\right)dx\\
&=\frac{1}{(2\pi)^N}\int_{\mathbb{R}^N}f(y)e^{-ik\cdot y}\left(\int_{\mathbb{R}^N}g(x-y)e^{-ik\cdot(x-y)}dx\right)dy\\
&=\frac{1}{(2\pi)^N}\int_{\mathbb{R}^N}f(y)e^{-ik\cdot y}\left(\int_{\mathbb{R}^N}g(x)e^{-ik\cdot x}dx\right)dy\\
&=f^{\wedge}(k)g^{\wedge}(k)\quad(\forall k\in \mathbb{R}^N)
\end{aligned}
$$
である。全く同様にして、
$$
(f*g)^{\vee}(k)=f^{\vee}(k)g^{\vee}(k)\quad(\forall k\in \mathbb{R}^N)
$$
が成り立つことも分かる。'''定理16.2'''より、
$$
\mathcal{S}_N\ni f\mapsto f^{\wedge}\in \mathcal{S}_N,\quad
\mathcal{S}_N\ni f\mapsto f^{\vee}\in \mathcal{S}_N
$$
は互いに逆写像であるから上の結果より任意の $f,g\in \mathcal{S}_N$ に対し、
$$
(fg)^{\wedge}=(f^{\wedge\vee}g^{\wedge\vee})^{\wedge}=
f^{\wedge}*g^{\wedge},\quad
(fg)^{\vee}=(f^{\vee\wedge}g^{\vee\wedge})^{\vee}=
f^{\vee}*g^{\vee}
$$
である。
{{end|proof|}}

=== 定理24.3（$\mathcal{S}_N*\mathcal{S}_N'$ のFourier変換） ===
任意の $f\in \mathcal{S}_N$ と任意の $u\in \mathcal{S}_N'$ に対し $f*u$ のFourier（逆）変換について、
$$
(f*u)^{\wedge}=f^{\wedge}u^{\wedge},\quad (f*u)^{\vee}=f^{\vee}u^{\vee},\quad\quad(*)
$$
が成り立つ（'''命題24.1'''と'''命題17.5'''の $(5)$ より $f*u\in \mathcal{T}_N\subset \mathcal{S}_N'$ であることに注意）。また、
$$
(fu)^{\wedge}=f^{\wedge}*u^{\wedge},\quad (fu)^{\vee}=f^{\vee}*u^{\vee}\quad\quad(**)
$$
が成り立つ。
{{begin |proof }}
'''定理16.2'''より、
$$
\mathcal{S}_N\ni \varphi\mapsto \varphi^{\wedge}\in \mathcal{S}_N,
$$
$$
\mathcal{S}_N\ni\varphi\mapsto \varphi^{\vee}\in \mathcal{S}_N
$$
はそれぞれ同相写像であり、互いに逆写像である。そして'''命題17.1'''より $\mathcal{S}_N$ において $D(\mathbb{R}^N)$ は稠密である。よって $(*)$ を示すには、任意の $\varphi\in D(\mathbb{R}^N)$ に対し、
$$
(f*u)^{\wedge}(\varphi^{\vee})=(f^{\wedge}u^{\wedge})(\varphi^{\vee}),\quad
(f*u)^{\vee}(\varphi^{\wedge})=(f^{\vee}u^{\vee})(\varphi^{\wedge})
$$
が成り立つことを示せばよい。$\text{supp}(\varphi)$ はコンパクトなので $\text{supp}(\varphi)\subset I$ なる $\mathbb{R}^N$ の閉直方体 $I$（有界閉区間 $N$ 個の直積）が取れる。'''命題22.2'''より、
$$
I\ni x\mapsto \varphi(x)T_xf_{-1}\in \mathcal{S}_N
$$
はFréchet空間 $\mathcal{S}_N$ 値連続関数であるから、Riemann積分（'''定義21.6'''）
$$
\int_{I}\varphi(x)T_xf_{-1}dx\in \mathcal{S}_N
$$
が定義できる。Diracのデルタ超関数（'''定義20.5'''）$\delta_y\in \mathcal{E}_N'\subset \mathcal{S}_N'$ $(\forall y\in\mathbb{R}^N)$ に対し、
$$
\begin{aligned}
&\delta_y\left(\frac{1}{(2\pi)^{\frac{N}{2}}}\int_{I}\varphi(x)T_xf_{-1}dx\right)
=\frac{1}{(2\pi)^{\frac{N}{2}}}\int_{I}\varphi(x)\delta_y(T_xf_{-1})dx\\
&=\frac{1}{(2\pi)^{\frac{N}{2}}}\int_{I}\varphi(x)f_{-1}(y-x)dx
=(\varphi*f_{-1})(y)\quad(\forall y\in \mathbb{R}^N)
\end{aligned}
$$
であるから、
$$
\frac{1}{(2\pi)^{\frac{N}{2}}}\int_{I}\varphi(x)T_xf_{-1}dx=\varphi*f_{-1}
$$
である。よって'''命題24.2'''より、
$$
\begin{aligned}
&(f*u)^{\wedge}(\varphi^{\vee})=(f*u)(\varphi^{\vee\wedge})=(f*u)(\varphi)=\frac{1}{(2\pi)^{\frac{N}{2}}}\int_{\mathbb{R}^N}\varphi(x)u(T_xf_{-1})dx\\
&=u\left(\frac{1}{(2\pi)^{\frac{N}{2}}}\int_{I}\varphi(x)T_xf_{-1}dx\right)
=u(\varphi*f_{-1})=u^{\wedge}(\varphi^{\vee}f^{\wedge})=(f^{\wedge}u^{\wedge})(\varphi^{\vee}),
\end{aligned}
$$
$$
\begin{aligned}
&(f*u)^{\vee}(\varphi^{\wedge})=(f*u)(\varphi^{\wedge\vee})=(f*u)(\varphi)=\frac{1}{(2\pi)^{\frac{N}{2}}}\int_{\mathbb{R}^N}\varphi(x)u(T_xf_{-1})dx\\
&=u\left(\frac{1}{(2\pi)^{\frac{N}{2}}}\int_{I}\varphi(x)T_xf_{-1}dx\right)
=u(\varphi*f_{-1})=u^{\vee}(\varphi^{\wedge}f^{\vee})=(f^{\vee}u^{\vee})(\varphi^{\wedge})
\end{aligned}
$$
である。これより $(*)$ が成り立つ。また $(*)$ より、
$$
(fu)^{\wedge}=(f^{\wedge\vee}u^{\wedge\vee})^{\wedge}=f^{\wedge}*u^{\wedge},\quad
(fu)^{\vee}=((f^{\vee\wedge}u^{\vee\wedge})^{\vee}=f^{\vee}*u^{\vee}
$$
であるから $(**)$ が成り立つ。
{{end|proof|}}

== 25. $\mathcal{E}_N'$ のFourier変換 ==

=== 補題25.1 ===
任意の $k\in\mathbb{R}^N$ に対し $e_k\colon\mathbb{R}^N\ni x\mapsto e^{ik\cdot x}\in\mathbb{C}$ とおくと、
$$
\mathbb{R}^N\ni k\mapsto e_k\in \mathcal{E}(\mathbb{R}^N)\quad\quad(*)
$$
はFréchet空間 $\mathcal{E}(\mathbb{R}^N)$ 値の連続関数である。
{{begin |proof }}
$\mathbb{R}^N$ の列 $(k_n)_{n\in\mathbb{N}}$ が $k\in \mathbb{R}^N$ に収束するとする。このとき任意の $\alpha\in \mathbb{Z}_+^N$ と任意のコンパクト集合 $K\subset \mathbb{R}^N$ に対し、
$$
\begin{aligned}
&\sup_{x\in K}\lvert\partial^{\alpha}e_{k_n}(x)-\partial^{\alpha}e_k(x)\rvert
=\sup_{x\in K}\lvert k_n^{\alpha}e_{k_n}(x)-k^{\alpha}e_k(x)\rvert\\
&\leq\lvert k_n^{\alpha}-k^{\alpha}\rvert+\lvert k^{\alpha}\rvert\sup_{x\in K}\lvert 1-e^{i(k-k_n)\cdot x}\rvert\rightarrow0\quad(n\rightarrow\infty)
\end{aligned}
$$
であるから、$(\partial^{\alpha}e_{k_n})_{n\in\mathbb{N}}$ は $\partial^{\alpha}e_k$ に $K$ 上で一様収束する。よってFréchet空間 $\mathcal{E}(\mathbb{R}^N)$ において $(e_{k_n})_{n\in\mathbb{N}}$ は $e_k\in \mathcal{E}(\mathbb{R}^N)$ に収束するので $(*)$ は連続である。
{{end|proof|}}

=== 定理25.2（$\mathcal{E}_N'$ のFourier変換） ===
任意の $u\in \mathcal{E}_N'$ に対し $u^{\wedge}\in \mathcal{T}_N$ であり、
$$
u^{\wedge}(k)=\frac{1}{(2\pi)^{\frac{N}{2}}}u(e_{-k}),\quad
u^{\vee}(k)=\frac{1}{(2\pi)^{\frac{N}{2}}}u(e_k)\quad(\forall k\in\mathbb{R}^N)
$$
が成り立つ。ただし $e_k\colon\mathbb{R}^N\ni x\mapsto e^{ik\cdot x}\in\mathbb{C}$ である。
{{begin |proof }}
'''命題20.2'''よりある $h\in D(\mathbb{R}^N)$ に対し $u=hu$ である。よって'''定理24.3'''と'''命題24.1'''より、
$$
\begin{aligned}
&u^{\wedge}=(hu)^{\wedge}=h^{\wedge}*u^{\wedge}\in \mathcal{T}_N,\\
&u^{\vee}=(hu)^{\vee}=h^{\vee}*u^{\vee}\in \mathcal{T}_N
\end{aligned}
$$
である。任意の $\varphi\in D(\mathbb{R}^N)$ を取り $\text{supp}(\varphi)\subset I$ を満たす閉直方体 $I\subset \mathbb{R}^N$ を取る。'''補題25.1'''より、
$$
I\ni x\mapsto \varphi(x)e_{-x}\in \mathcal{E}(\mathbb{R}^N)
$$
はFréchet空間 $\mathcal{E}(\mathbb{R}^N)$ 値連続関数である。よってRiemann積分（'''定義21.6'''）
$$
\frac{1}{(2\pi)^{\frac{N}{2}}}\int_{I}\varphi(x)e_{-x}dx\in \mathcal{E}(\mathbb{R}^N)
$$
が定義できる。Diracのデルタ超関数 $\delta_k\in \mathcal{E}_N'$ $(\forall k\in \mathbb{R}^N)$ に対し、
$$
\begin{aligned}
&\delta_k\left(\frac{1}{(2\pi)^{\frac{N}{2}}}\int_{I}\varphi(x)e_{-x}dx\right)
=\frac{1}{(2\pi)^{\frac{N}{2}}}\int_{I}\varphi(x)\delta_k(e_{-x})dx\\
&=\frac{1}{(2\pi)^{\frac{N}{2}}}\int_{I}\varphi(x)e^{-ik\cdot x}dx=\varphi^{\wedge}(k)\quad(\forall k\in\mathbb{R}^N)
\end{aligned}
$$
であるから、
$$
\frac{1}{(2\pi)^{\frac{N}{2}}}\int_{I}\varphi(x)e_{-x}dx=\varphi^{\vee}
$$
である。よって、
$$
u^{\wedge}(\varphi)=u(\varphi^{\wedge})=u\left(\frac{1}{(2\pi)^{\frac{N}{2}}}\int_{I}\varphi(x)e_{-x}dx\right)=\frac{1}{(2\pi)^{\frac{N}{2}}}\int_{\mathbb{R}^N}\varphi(x)u(e_{-x})dx
$$
である。これが任意の $\varphi\in D(\mathbb{R}^N)$ に対して成り立つので、
$$
u^{\wedge}(x)=\frac{1}{(2\pi)^{\frac{N}{2}}}u(e_{-x})\quad(\forall x\in\mathbb{R}^N)
$$
が成り立つ。全く同様にして、
$$
u^{\vee}(x)=\frac{1}{(2\pi)^{\frac{N}{2}}}u(e_{x})\quad(\forall x\in\mathbb{R}^N)
$$
が成り立つことも分かる。
{{end|proof|}}

=== 系25.3（Diracのデルタ超関数のFourier変換） ===
任意の $x\in \mathbb{R}^N$ に対し $\{x\}$ を台とするDiracのデルタ超関数 $\delta_x\in \mathcal{E}_N'$ のFourier変換は、
$$
\delta_x^{\wedge}(k)=\frac{1}{(2\pi)^{\frac{N}{2}}}e^{-ik\cdot x}\quad(\forall k\in \mathbb{R}^N)
$$
である。

=== 系25.4（$\mathcal{S}_N*\mathcal{E}_N'\subset \mathcal{S}_N$） ===
任意の $f\in \mathcal{S}_N$ と $u\in \mathcal{E}_N'$ に対し $f*u\in \mathcal{S}_N$ が成り立つ。
{{begin |proof }}
'''定理24.3'''、'''定理25.2'''、'''命題12.1'''の $(2)$ より、
$$
(f*u)^{\wedge}=f^{\wedge}u^{\wedge}\in \mathcal{S}_N\mathcal{T}_N\subset \mathcal{S}_N
$$
である。よって、
$$
f*u=(f*u)^{\wedge\vee}\in \mathcal{S}_N
$$
である。
{{end|proof|}}

== 26. Friedrichsの軟化子 ==

=== 定義26.1（Friedrichsの軟化子） ===
正の実数 $C$ に対し $\psi\colon\mathbb{R}^N\rightarrow\mathbb{R}$ を、
$$
\psi(x)\colon=\left\{\begin{array}{cl}C\exp\left(\frac{1}{\lvert x\rvert^2-1}\right)&(\lvert x\rvert<1)\\0&(\lvert x\rvert\geq 1)\end{array}\right.
$$
と定義すれば、[[ベクトル解析4：Euclid空間内の多様体上の測度と積分]]の'''補題15.3'''より $\psi\in D(\mathbb{R}^N)$ であり、
$$
\psi(x)\geq0\quad(\forall x\in \mathbb{R}^N),\quad \{x\in\mathbb{R}^N:\psi(x)>0\}=\{x\in\mathbb{R}^N:\lvert x\rvert<1\},
$$
$$
\psi(x)=\psi(y)\quad(\forall x,y\in\mathbb{R}^N:\lvert x\rvert=\lvert y\rvert),\quad
\psi^{\wedge}(0)=\frac{1}{(2\pi)^{\frac{N}{2}}}\int_{\mathbb{R}^N}\psi(x)dx=1
$$
となる。ただし最後の式に関しては成り立つように $C$を調節する。この $\psi$ と任意の $\epsilon\in (0,\infty)$ に対し $\psi_{\epsilon}\in D(\mathbb{R}^N)$ を、
$$
\psi_{\epsilon}(x)\colon=\frac{1}{\epsilon^N}\psi(\frac{x}{\epsilon})\quad(\forall x\in \mathbb{R}^N)
$$
と定義する。このとき、

*$(1)$　任意の $x\in\mathbb{R}^N$ に対し $\psi_{\epsilon}(x)\geq0$.

*$(2)$　$\{x\in\mathbb{R}^N:\psi_{\epsilon}(x)>0\}=\{x\in\mathbb{R}^N:\lvert x\rvert<\epsilon\}$.

*$(3)$　$\lvert x\rvert=\lvert y\rvert$ を満たす任意の $x,y\in \mathbb{R}^N$ に対し $\psi_{\epsilon}(x)=\psi_{\epsilon}(y)$.

*$(4)$　$\psi_{\epsilon}^{\wedge}(0)=1$.

である。逆順序による有向集合 $(0,\infty)$ で添字付けれらた $D(\mathbb{R}^N)$ のネット $(\psi_{\epsilon})_{\epsilon\in (0,\infty)}$ を $\mathbb{R}^N$ 上のFriedrichsの軟化子と言う。

=== 命題26.2（Friedrichsの軟化子の基本性質） ===
$(\psi_{\epsilon})_{\epsilon\in (0,\infty)}$ を $\mathbb{R}^N$ 上のFriedrichsの軟化子とする。このとき、
*$(1)$　任意の $f\in C(\mathbb{R}^N)$ に対し $(\psi_{\epsilon}*f)_{\epsilon\in(0,\infty)}$ は $f$ にコンパクト一様収束（'''定義3.2'''）する。
*$(2)$　任意の $f\in \mathcal{E}(\mathbb{R}^N)$ に対し $(\psi_{\epsilon}*f)_{\epsilon\in(0,\infty)}$ は $f$ にFréchet空間 $\mathcal{E}(\mathbb{R}^N)$ の位相（'''定義3.3'''）で収束する。
*$(3)$　任意の $u\in D'(\mathbb{R}^N)$ に対し $(\psi_{\epsilon}*u)_{\epsilon\in(0,\infty)}$ は $u$ に超関数空間 $D'(\mathbb{R}^N)$ の位相（'''定義4.1'''）で収束する。
{{begin |proof }}
*$(1)$　任意のコンパクト集合 $K$ を取り $(\psi_{\epsilon}*f)_{\epsilon\in(0,\infty)}$ が $f$ に $K$ 上で一様収束することを示せばよい。Friedrichsの軟化子の定義における $(1),(2),(4)$ より任意の $x\in \mathbb{R}^N$ に対し、
$$
\begin{aligned}
\lvert (\psi_{\epsilon}*f)(x)-f(x)\rvert&=\frac{1}{(2\pi)^{\frac{N}{2}}}\left\lvert\int_{\mathbb{R}^N}\psi_{\epsilon}(y)(f(x-y)-f(x))dy\right\rvert\\
&\leq\frac{1}{(2\pi)^{\frac{N}{2}}}\int_{\lvert y\rvert<\epsilon}\psi_{\epsilon}(y)\lvert f(x-y)-f(x)\rvert dy\quad\quad(*)
\end{aligned}
$$
である。[[距離空間の位相の基本的性質]]の'''定理7.3'''より $f$ はコンパクト集合 $K+\overline{B(0,1)}$ 上で一様連続であるから、任意の $\delta\in (0,\infty)$ に対し十分小さい $\epsilon_0\in (0,1)$ を取れば、
$$
\lvert f(x-y)-f(x)\rvert\leq \delta\quad(\forall x\in K,\forall y\in B(0,\epsilon_0))
$$
となる。よって $(*)$ より、
$$
\lvert\psi_{\epsilon}*f(x)-f(x)\rvert\leq \frac{1}{(2\pi)^{\frac{N}{2}}}\int_{\lvert y\rvert<\epsilon}\psi_{\epsilon}(y)\lvert f(x-y)-f(x)\rvert dy\leq\delta\quad(\forall x\in K,\forall \epsilon\in (0,\epsilon_0))
$$
が成り立つ。ゆえに$(\psi_{\epsilon}*f)_{\epsilon\in(0,\infty)}$ は $f$ に $K$ 上で一様収束する。
*$(2)$　$(1)$より任意の $\alpha\in\mathbb{Z}_+^N$ に対し $(\partial^{\alpha}(\psi_{\epsilon}*f))_{\epsilon\in(0,\infty)}=(\psi_{\epsilon}*\partial^{\alpha}f)_{\epsilon\in (0,\infty)}$ は $\partial^{\alpha}f$ にコンパクト一様収束する。よってFréchet空間 $\mathcal{E}(\mathbb{R}^N)$ の位相で $(\psi_{\epsilon}*f)_{\epsilon\in(0,\infty)}$ は $f$ に収束する。
*$(3)$　任意の $\varphi\in D(\mathbb{R}^N)$ に対し、
$$
(\psi_{\epsilon}*u)(\varphi)\rightarrow u(\varphi)\quad(\epsilon\rightarrow+0)
$$
が成り立つことを示せばよい。'''命題23.8'''とFriedrichsの軟化子の定義における $(3)$ より、
$$
(\psi_{\epsilon}*u)(\varphi)=u(\varphi*\psi_{\epsilon})=u(\psi_{\epsilon}*\varphi)\quad(\forall \epsilon\in (0,\infty))
$$
である。コンパクト集合 $K=\text{supp}(\varphi)+\overline{B(0,1)}$ に対しFriedrichsの軟化子の定義における $(2)$ と'''命題23.5'''より、
$$
\text{supp}(\psi_{\epsilon}*\varphi)\subset \text{supp}(\varphi)+\text{supp}(\psi_{\epsilon})\subset K\quad(\forall \epsilon\in (0,1))
$$
であるから、$(2)$ よりFréchet空間 $D_K(\mathbb{R}^N)$（'''定義3.7'''）において $(\psi_{\epsilon}*\varphi)_{\epsilon\in (0,1)}$ は $\varphi$ に収束する。そして超関数の定義（'''定義4.1'''）より $u$ の $D_K(\mathbb{R}^N)$ 上への制限は連続であるから、
$$
(\psi_{\epsilon}*u)(\varphi)=u(\psi_{\epsilon}*\varphi)\rightarrow u(\varphi)\quad(\epsilon\rightarrow+0)
$$
である。
{{end|proof|}}

== 27. $\mathcal{E}_N'$ と $D'(\mathbb{R}^N)$ の合成積 ==

=== 補題27.1 ===
次が成り立つ。
*$(1)$　任意の $u\in \mathcal{E}_N'$ に対し、
$$
\mathcal{E}(\mathbb{R}^N)\ni f\mapsto f*u\in \mathcal{E}(\mathbb{R}^N)
$$
（'''系25.4'''を参照）はFréchet空間 $\mathcal{E}(\mathbb{R}^N)$ 上の連続線形写像である。
*$(2)$　任意の $u\in \mathcal{E}_N'$ に対し、
$$
\mathcal{S}_N\ni f\mapsto f*u\in \mathcal{S}_N
$$
はFréchet空間 $\mathcal{S}_N$上の連続線形写像である。
{{begin |proof}}
*$(1)$　閉グラフ定理（[[位相線形空間4：Fréchet空間と関数解析の基本定理]]の'''定理19.3'''）より $\mathcal{E}(\mathbb{R}^N)$ の列 $(f_i)_{i\in\mathbb{N}}$ と $f,g\in \mathcal{E}(\mathbb{R}^N)$ に対し、Fréchet空間 $\mathcal{E}(\mathbb{R}^N)$ の位相で、
$$
f_i\rightarrow f,\quad f_i*u\rightarrow g\quad(i\rightarrow\infty)
$$
が成り立つと仮定して $g=f*u$ が成り立つことを示せばよい。任意の $x\in \mathbb{R}^N$ に対し $\mathcal{E}(\mathbb{R}^N)$ の位相で $\lim_{i\rightarrow\infty} T_x(f_i)_{-1}=T_xf_{-1}$ であるから、$u\in \mathcal{E}_N'$ より、
$$
g(x)=\lim_{i\rightarrow\infty}(f_i*u)(x)=\lim_{i\rightarrow\infty}\frac{1}{(2\pi)^{\frac{N}{2}}}u(T_x(f_i)_{-1})=\frac{1}{(2\pi)^{\frac{N}{2}}}u(T_xf_{-1})=(f*u)(x)
$$
である。よって $g=f*u$である。
*$(2)$　$u\in \mathcal{E}_N'\subset \mathcal{S}_N'$ であるから、$(1)$ と全く同様にして閉グラフ定理を用いて示せる。
{{end|proof|}}

=== 定義27.2（$\mathcal{E}_N'$ と $D'(\mathbb{R}^N)$ の合成積） ===
任意の $v\in \mathcal{E}_N'$ と $u\in D'(\mathbb{R}^N)$ に対し $v*u\colon D(\mathbb{R}^N)\rightarrow\mathbb{C}$ を、
$$
(v*u)(\varphi)\colon=u(\varphi*v_{-1})\quad(\forall \varphi\in D(\mathbb{R}^N))
$$
と定義する。ただし $v_{-1}$ は超関数 $v$ の反転（'''定義16.1'''）である。'''命題23.5'''と'''補題27.1'''の $(1)$ より任意のコンパクト集合 $K\subset \mathbb{R}^N$ に対し、
$$
D_K(\mathbb{R}^N)\ni \varphi\mapsto \varphi*v_{-1}\in D_{K-\text{supp}(v)}(\mathbb{R}^N)
$$
はFréchet空間 $D_K(\mathbb{R}^N)$ からFréchet空間 $D_{K-\text{supp}(v)}(\mathbb{R}^N)$（'''定義3.7'''）への連続線形写像であるから、
$$
D_K(\mathbb{R}^N)\ni \varphi\mapsto (v*u)(\varphi)=u(\varphi*v_{-1})\in \mathbb{C}
$$
はFréchet空間 $D_K(\mathbb{R}^N)$ 上の連続線形汎関数である。よって $v*u\in D'(\mathbb{R}^N)$ である。$v*u\in D'(\mathbb{R}^N)$ を $v\in \mathcal{E}_N'$ と $u\in D'(\mathbb{R}^N)$ の合成積と言う。'''命題23.8'''よりこれは $f\in D(\mathbb{R}^N)$ と $u\in D'(\mathbb{R}^N)$ の合成積の定義と矛盾しない。

=== 命題27.3（$\mathcal{E}_N'*\mathcal{S}_N'\subset \mathcal{S}_N'$） ===
任意の $v\in \mathcal{E}_N'$ と $u\in \mathcal{S}_N'$ に対し $v*u\in \mathcal{S}_N'$ が成り立つ。また $(v*u)^{\wedge}=v^{\wedge}u^{\wedge}$ が成り立つ。
{{begin |proof }}
$\mathcal{S}_N$ の位相で $\lim_{i\rightarrow\infty}\varphi_i=\varphi$ ならば'''補題27.1'''より $\mathcal{S}_N$ の位相で $\lim_{i\rightarrow\infty}\varphi_i*v_{-1}=\varphi*v_{-1}$ であるから、
$$
(v*u)(\varphi_i)=u(\varphi_i*v_{-1})\rightarrow u(\varphi*v_{-1})=(v*u)(\varphi)
$$
である。よって $v*u\in \mathcal{S}_N'$ である。任意の $\varphi\in D(\mathbb{R}^N)$ に対し'''定理24.3'''より、
$$
(v*u)^{\wedge}(\varphi)=(v*u)(\varphi^{\wedge})=u(\varphi^{\wedge}*v_{-1})
=u(\varphi^{\wedge}*v^{\wedge\wedge})
=u((\varphi v^{\wedge})^{\wedge})=u^{\wedge}(\varphi v^{\wedge})
=(v^{\wedge}u^{\wedge})(\varphi)
$$
であるから $(v*u)^{\wedge}=v^{\wedge}u^{\wedge}$ が成り立つ。
{{end|proof|}}

=== 補題27.4 ===
$(\psi_{\epsilon})_{\epsilon\in (0,\infty)}$ をFriedrichsの軟化子（'''定義26.1'''）とし、$v\in \mathcal{E}_N'$、$u\in D'(\mathbb{R}^N)$ とする。このとき超関数空間 $D'(\mathbb{R}^N)$ の位相（'''定義4.1'''）で、
$$
\lim_{\epsilon\rightarrow+0}(\psi_{\epsilon}*v)*u=v*u\quad\quad(*)
$$
が成り立つ。
{{begin |proof}}
任意の $\varphi\in D(\mathbb{R}^N)$ に対し'''命題23.7'''より、
$$
((\psi_{\epsilon}*v)*u)(\varphi)=u(\varphi*(\psi_{\epsilon}*v)_{-1})
=u(\varphi*(\psi_{\epsilon}*v_{-1}))=u((\varphi*\psi_{\epsilon})*v_{-1})
$$
であり、'''命題26.2'''の $(2)$ と'''補題27.1'''の $(1)$ よりFréchet空間 $\mathcal{E}(\mathbb{R}^N)$ の位相で、
$$
\lim_{\epsilon\rightarrow+0}(\varphi*\psi_{\epsilon})*v_{-1}=\varphi*v_{-1}
$$
である。ここでコンパクト集合 $K\colon=\text{supp}(\varphi)-\text{supp}(v)+\overline{B(0,1)}$ に対し'''命題23.5'''より、
$$
\text{supp}( (\varphi*\psi_{\epsilon})*v_{-1})=\text{supp}(\varphi)+\text{supp}(\psi_{\epsilon})-\text{supp}(v)
\subset K\quad(\forall \epsilon\in (0,1))
$$
であるからFréchet空間 $D_K(\mathbb{R}^N)$（'''定義3.7'''）の位相で $((\varphi*\psi_{\epsilon})*v_{-1})_{\epsilon\in(0,1)}$ は $\varphi*v_{-1}$ に収束する。そして $u$ の $D_K(\mathbb{R}^N)$ 上への制限は連続線形汎関数であるから、
$$
((\psi_{\epsilon}*v)*u)(\varphi)=u((\varphi*\psi_{\epsilon})*v_{-1})\rightarrow u(\varphi*v_{-1})=(v*u)(\varphi)\quad(\epsilon\rightarrow+0)
$$
である。よって超関数空間 $D'(\mathbb{R}^N)$ の位相で $(*)$ が成り立つ。
{{end|proof|}}

=== 命題27.5（合成積の結合法則） ===
任意の $f\in D(\mathbb{R}^N)$ と $v\in \mathcal{E}_N'$、$u\in D'(\mathbb{R}^N)$ に対し、
$$
(f*v)*u=f*(v*u)
$$
が成り立つ。
{{begin |proof}}
$(\psi_{\epsilon})_{\epsilon\in (0,\infty)}$ をFriedrichsの軟化子（'''定義26.1'''）とし、
$$
v_{\epsilon}\colon=\psi_{\epsilon}*v\in D(\mathbb{R}^N)\quad(\forall \epsilon\in (0,\infty))
$$
とおく。このとき'''補題27.4'''と'''命題23.7'''より任意の $x\in \mathbb{R}^N$ に対し、
$$
\begin{aligned}
(f*(v*u))(x)&=\frac{1}{(2\pi)^{\frac{N}{2}}}(v*u)(T_xf_{-1})
=\lim_{\epsilon\rightarrow+0}\frac{1}{(2\pi)^{\frac{N}{2}}}(v_{\epsilon}*u)(T_xf_{-1})\\
&=\lim_{\epsilon\rightarrow+0}(f*(v_{\epsilon}*u))(x)
=\lim_{\epsilon\rightarrow+0}((f*v_{\epsilon})*u)(x)
\end{aligned}
$$
であり、'''命題23.7'''と'''補題27.1'''の $(1)$ よりFréchet空間 $\mathcal{E}(\mathbb{R}^N)$ において、
$$
f*v_{\epsilon}=(f*\psi_{\epsilon})*v\rightarrow f*v\quad(\epsilon\rightarrow+0)\quad\quad(*)
$$
である。コンパクト集合 $K\colon=\text{supp}(f)+\text{supp}(v)+\overline{B(0,1)}$ に対し'''命題23.5'''より、
$$
\text{supp}(f*v_{\epsilon})\subset \text{supp}(f)+\text{supp}(\psi_{\epsilon})+\text{supp}(v)\subset K\quad(\forall \epsilon\in (0,1))
$$
であるからFréchet空間 $D_K(\mathbb{R}^N)$ において $(f*v_{\epsilon})_{\epsilon\in(0,1)}$ は $f*v$ に収束する。そして任意の $x\in \mathbb{R}^N$ に対し $u$ のFréchet空間 $D_{x-K}(\mathbb{R}^N)$ 上への制限は連続であるから、
$$
D_K(\mathbb{R}^N)\ni \varphi\mapsto (\varphi*u)(x)=\frac{1}{(2\pi)^{\frac{N}{2}}}u(T_x\varphi_{-1})\in \mathbb{C}
$$
は連続である。ゆえに $(*)$ より任意の $x\in\mathbb{R}^N$ に対し、
$$
(f*(v*u))(x)=\lim_{\epsilon\rightarrow+0}((f*v_{\epsilon})*u)(x)
=((f*v)*u)(x)
$$
が成り立つ。
{{end|proof|}}

=== 命題27.6（コンパクト台超関数同士の合成積の可換性） ===
任意の $u,v\in \mathcal{E}_N'$ に対し $u*v=v*u$ が成り立つ。
{{begin |proof }}
$(\psi_{\epsilon})_{\epsilon\in (0,\infty)}$ をFriedrichsの軟化子とし、
$$
u_{\epsilon}\colon=\psi_{\epsilon}*u\in D(\mathbb{R}^N)\quad(\forall u\in {\mathcal E}_N',\forall\epsilon\in (0,\infty))
$$
とおく。
*$(1)$　任意の $f\in D(\mathbb{R}^N)$、$u\in \mathcal{E}_N'$ に対し $f*u=u*f$ が成り立つことを示す。'''補題27.4'''と'''命題27.5'''より任意の $\varphi \in D(\mathbb{R}^N)$ に対し、
$$
(u*f)(\varphi)=\lim_{\epsilon\rightarrow+0}(u_{\epsilon}*f)(\varphi)
=\lim_{\epsilon\rightarrow+0}(f*u_{\epsilon})(\varphi)
=\lim_{\epsilon\rightarrow+0}((f*\psi_{\epsilon})*u)(\varphi)
=(f*u)(\varphi)
$$
である。
*$(2)$　任意の $u,v\in \mathcal{E}_N'$ に対し $u*v=v*u$ が成り立つことを示す。 $(1)$ と'''命題26.2'''の$(3)$、'''補題27.4'''より任意の $\varphi\in D(\mathbb{R}^N)$ に対し、
$$
\begin{aligned}
(u*v)(\varphi)&=v(\varphi*u_{-1})=\lim_{\epsilon\rightarrow+0}v_{\epsilon}(\varphi*u_{-1})
=\lim_{\epsilon\rightarrow+0}(u*v_{\epsilon})(\varphi)
=\lim_{\epsilon\rightarrow+0}(v_{\epsilon}*u)(\varphi)
=(v*u)(\varphi)
\end{aligned}
$$
である。
{{end|proof|}}

===命題27.7（Diracのデルタ超関数と超関数の合成積)===
任意の $u\in D'(\mathbb{R}^N)$ とDiracのデルタ超関数 $\delta_y\in \mathcal{E}_N'$ $(\forall y\in \mathbb{R}^N)$ に対し、
$$
\delta_y*u=\frac{1}{(2\pi)^{\frac{N}{2}}}T_yu\quad(\forall y\in \mathbb{R}^N)
$$
が成り立つ。
{{begin|proof}}
任意の $y\in \mathbb{R}^N$ を取り固定する。任意の $\varphi\in D(\mathbb{R}^N)$ に対し、
$$
\begin{aligned}
\varphi*(\delta_y)_{-1}(x)&=\varphi*\delta_{-y}(x)=\frac{1}{(2\pi)^{\frac{N}{2}}}\delta_{-y}(T_x\varphi_{-1})=\frac{1}{(2\pi)^{\frac{N}{2}}}T_x\varphi_{-1}(-y)\\
&=\frac{1}{(2\pi)^{\frac{N}{2}}}\varphi(x+y)=\frac{1}{(2\pi)^{\frac{N}{2}}}T_{-y}\varphi(x)\quad(\forall x\in \mathbb{R}^N)
\end{aligned}
$$
であるから、
$$
\varphi*(\delta_y)_{-1}=T_{-y}\varphi\quad(\forall \varphi\in D(\mathbb{R}^N))
$$
である。よって'''定義27.2'''より、
$$
\delta_y*u(\varphi)=\frac{1}{(2\pi)^{\frac{N}{2}}}u(\varphi*(\delta_y)_{-1})=\frac{1}{(2\pi)^{\frac{N}{2}}}u(T_{-y}\varphi)=\frac{1}{(2\pi)^{\frac{N}{2}}}T_yu(\varphi)\quad(\forall \varphi\in D(\mathbb{R}^N))
$$
であるから、
$$
\delta_y*u=\frac{1}{(2\pi)^{\frac{N}{2}}}T_yu
$$
が成り立つ。
{{end|proof}}

== 28. Banach空間 $C_0(\mathbb{R}^N)$、$L^p(\mathbb{R}^N)$ $(p\in[1,\infty))$ における平行移動の連続性 ==

=== 命題28.1（$C_0(\mathbb{R}^N)$ における平行移動の連続性） ===
任意の $f\in C_0(\mathbb{R}^N)$ に対し、
$$
\mathbb{R}^N\ni y\mapsto T_yf\in C_0(\mathbb{R}^N)
$$
は連続である。ただし $C_0(\mathbb{R}^N)$ は無限遠で消える連続関数全体に $\sup$ ノルムを入れたBanach空間である。
{{begin |proof}}
任意の $f\in C_0(\mathbb{R}^N)$ に対し $f$ が一様連続であることを示せばよい。任意の $\epsilon\in(0,\infty)$ を取り、コンパクト集合
$$
K\colon=\{x\in \mathbb{R}^N:\lvert f(x)\rvert\geq \frac{\epsilon}{2}\}
$$
を定義する。任意の $x\in K$ に対し $f$ は $x$ において連続であるから $\delta_x\in (0,\infty)$ が存在し、
$$
B(x,\delta_x)\subset f^{-1}(B(f(x),\frac{\epsilon}{2}))\quad\quad(*)
$$
が成り立つ。$K$ のコンパクト性より有限個の $x_1,\ldots,x_n\in K$ が取れて、
$$
K\subset \bigcup_{j=1}^{n}B\left(x_j,\frac{\delta_{x_j}}{2}\right)\quad\quad(**)
$$
となる。
$$
\delta\colon={\rm min}\left(\frac{\delta_{x_1}}{2},\ldots,\frac{\delta_{x_n}}{2}\right)\quad\quad(***)
$$
とおく。
$$
\lvert x-y\rvert<\delta\quad\quad(****)
$$
なる任意の $x,y\in \mathbb{R}^N$ を取る。もし $x,y\notin K$ ならば $K$ の定義より、
$$
\lvert f(y)-f(x)\rvert\leq \lvert f(y)\rvert+\lvert f(x)\rvert<\frac{\epsilon}{2}+\frac{\epsilon}{2}=\epsilon
$$
である。$x,y$ のうち少なくとも一方が $K$ に属する場合。$x\in K$ とする。このとき $(**)$ よりある $j\in \{1,\ldots,n\}$ に対し $x\in B(x_j,\frac{\delta_{x_j}}{2})$ であり、$(***)$, $(****)$ より $x,y\in B(x_j,\delta_{x_j})$ である。よって $(*)$ より、
$$
\lvert f(y)-f(x)\rvert\leq \lvert f(y)-f(x_j)\rvert+\lvert f(x_j)-f(x)\rvert<\frac{\epsilon}{2}+\frac{\epsilon}{2}=\epsilon
$$
である。ゆえに $f$ は一様連続である。
{{end|proof|}}

=== 命題28.2（$L^p(\mathbb{R}^N)$ における平行移動の連続性） ===
任意の $p\in [1,\infty)$ と $[f]\in L^p(\mathbb{R}^N)$ に対し、
$$
\mathbb{R}^N\ni y\mapsto T_y[f]\in L^p(\mathbb{R}^N)
$$
は連続である。
{{begin |proof}}
$T_{y_1+y_2}[f]=T_{y_1}T_{y_2}[f]$ $(\forall y_1,y_2\in \mathbb{R}^N)$ であるから $(*)$ の連続性を示すには $0\in \mathbb{R}^N$ における連続性を示せば十分である。まずLebesgue測度の平行移動不変性より $\lVert T_y[f]\rVert_p=\lVert [f]\rVert_p$ $(\forall y\in \mathbb{R}^N)$ である。任意の $\epsilon\in (0,\infty)$ を取る。[[測度と積分7：局所コンパクトHausdorff空間上のRadon測度]]の'''命題32.1'''より、
$$
\lVert f-g\rVert_p<\frac{\epsilon}{3}
$$
なる台がコンパクトな連続関数 $g\in C_c(\mathbb{R}^N)\subset C_0(\mathbb{R}^N)$ が取れ、
$$
\begin{aligned}
&\lVert T_y[f]-[f]\rVert_p\leq\lVert T_yf-T_yg\rVert_p+\lVert T_yg-g\rVert_p+\lVert g-f\rVert_p\\
&=2\lVert f-g\rVert_p+\lVert T_yg-g\rVert_p<\frac{2}{3}\epsilon+\lVert T_yg-g\rVert_p\quad(\forall y\in \mathbb{R}^N)\quad\quad(**)
\end{aligned}
$$
となる。今、コンパクト集合 $K\colon=\text{supp}(g)+\overline{B(0,1)}$ を定義すると、
$$
\text{supp}(T_yg-g)\subset \text{supp}(g)+\overline{B(0,1)}=K\quad(\forall y\in \overline{B(0,1)})
$$
であるから、任意の $y\in \overline{B(0,1)}$ に対し、
$$
\lVert T_yg-g\rVert_p=\left(\int_{\mathbb{R}^N}\lvert T_yg(x)-g(x)\rvert^pdx\right)^{\frac{1}{p}}\leq\lVert T_yg-g\rVert \lvert K\rvert^{\frac{1}{p}}
$$
となる（ただし $\lVert T_yg-g\rVert$ は $\sup$ ノルムである）。よって'''命題28.1'''より、
$$
\lVert T_yg-g\rVert_p\leq\lVert T_yg-g\rVert \lvert K\rvert^{\frac{1}{p}}\rightarrow0\quad(y\rightarrow0)
$$
であるから、十分小さい $\delta\in (0,\infty)$ を取れば、$(**)$ より、
$$
\lVert T_y[f]-[f]\rVert_p<\epsilon\quad(\forall y\in B(0,\delta))
$$
となる。ゆえに $(*)$ は $0\in \mathbb{R}^N$ において連続である。
{{end|proof|}}

== 29. $L^1(\mathbb{R}^N)$ と $C_0(\mathbb{R}^N)$、$L^1(\mathbb{R}^N)$ と $L^p(\mathbb{R}^N)$ $(p\in [1,\infty))$ の合成積 ==

=== 定義29.1（$L^1(\mathbb{R}^N)$ と $C_0(\mathbb{R}^N)$ の合成積） ===
任意の $[f]\in L^1(\mathbb{R}^N)$ と $g\in C_0(\mathbb{R}^N)$ を取る。'''命題28.1'''より、
$$
\mathbb{R}^N\ni y\mapsto T_yg\in C_0(\mathbb{R}^N)
$$
はBanach空間 $C_0(\mathbb{R}^N)$ 値連続関数である。$\mathbb{R}^N$ は第二可算であるからBanach空間 $C_0(\mathbb{R}^N)$ は可分である（[[測度と積分7：局所コンパクトHausdorff空間上のRadon測度]]の'''系35.6'''）ので、
$$
(\mathbb{R}^N,\mathcal{B}_{\mathbb{R}^N})\ni y\mapsto f(y)T_yg\in C_0(\mathbb{R}^N)\quad\quad(*)
$$
はBanach空間 $C_0(\mathbb{R}^N)$ 値のBochner可測関数（[[測度と積分9：Bochner積分]]の'''定義41.1'''）である。そして、
$$
\int_{\mathbb{R}^N}\lVert f(y)T_yg\rVert dy=\lVert g\rVert\int_{\mathbb{R}^N}\lvert f(y)\rvert dy
=\lVert [f]\rVert_1\lVert g\rVert<\infty
$$
であるから、$(*)$ はLebesgue測度に関してBochner可積分であり、Bochner積分（[[測度と積分9：Bochner積分]]の''定義41.1''）
$$
[f]*g\colon=\frac{1}{(2\pi)^{\frac{N}{2}}}\int_{\mathbb{R}^N}f(y)T_ygdy\in C_0(\mathbb{R}^N)
$$
が定義できる。これを $[f]\in L^1(\mathbb{R}^N)$ と $g\in C_0(\mathbb{R}^N)$ の合成積と言う。任意の $x\in \mathbb{R}^N$ に対し、
$$
\delta_x\colon C_0(\mathbb{R}^N)\ni h\mapsto h(x)\in \mathbb{C}
$$
はBanach空間 $C_0(\mathbb{R}^N)$ 上の有界線形汎関数であるから、
$$
\delta_x([f]*g)=\frac{1}{(2\pi)^{\frac{N}{2}}}\int_{\mathbb{R}^N}f(y)\delta_x(T_yg)dy
=\frac{1}{(2\pi)^{\frac{N}{2}}}\int_{\mathbb{R}^N}f(y)g(x-y)dy
$$
である。よって $[f]*g\in C_0(\mathbb{R}^N)$ は、
$$
\mathbb{R}^N\ni x\mapsto \frac{1}{(2\pi)^{\frac{N}{2}}}\int_{\mathbb{R}^N}f(y)g(x-y)dy\in \mathbb{C}
$$
である。ゆえにこの $L^1(\mathbb{R}^N)$ と $C_0(\mathbb{R}^N)$ の合成積の定義はテスト関数と超関数の合成積の定義（'''定義23.1'''）と矛盾しない。

=== 定義29.2（$L^1(\mathbb{R}^N)$ と $L^p(\mathbb{R}^N)$ の合成積） ===
$p\in [1,\infty)$ とし、任意の $[f]\in L^1(\mathbb{R}^N)$ と $[g]\in L^p(\mathbb{R}^N)$ を取る。'''命題28.2'''より、
$$
\mathbb{R}^N\ni y\mapsto T_y[g]\in L^p(\mathbb{R}^N)
$$
はBanach空間 $L^p(\mathbb{R}^N)$ 値連続関数である。$\mathbb{R}^N$ は第二可算であるからBanach空間 $L^p(\mathbb{R}^N)$ は可分である（[[測度と積分7：局所コンパクトHausdorff空間上のRadon測度]]の'''系35.7'''）ので、
$$
(\mathbb{R}^N,\mathcal{B}_{\mathbb{R}^N})\ni y\mapsto f(y)T_y[g]\in L^p(\mathbb{R}^N)\quad\quad(*)
$$
はBanach空間 $L^p(\mathbb{R}^N)$ 値のBochner可測関数（[[測度と積分9：Bochner積分]]の'''定義41.1'''）である。そして、
$$
\int_{\mathbb{R}^N}\lVert f(y)T_y[g]\rVert_p dy=\lVert [g]\rVert_p\int_{\mathbb{R}^N}\lvert f(y)\rvert dy
=\lVert [f]\rVert_1\lVert g\rVert_p<\infty
$$
であるから、$(*)$ はLebesgue測度に関してBochner可積分であり、Bochner積分（[[測度と積分9：Bochner積分]]の'''定義41.1'''）
$$
[f]*[g]\colon=\frac{1}{(2\pi)^{\frac{N}{2}}}\int_{\mathbb{R}^N}f(y)T_y[g]dy\in L^p(\mathbb{R}^N)
$$
が定義できる。これを $[f]\in L^1(\mathbb{R}^N)$ と $[g]\in L^p(\mathbb{R}^N)$ の合成積と言う。任意の $\varphi\in D(\mathbb{R}^N)$ に対しHölderの不等式より
$$
L^p(\mathbb{R}^N)\ni [h]\mapsto [h](\varphi)=\int_{\mathbb{R}^N}h(x)\varphi(x)dx\in \mathbb{C}
$$
は $L^p(\mathbb{R}^N)$ 上の有界線形汎関数であるから、
$$
\begin{aligned}
([f]*[g])(\varphi)&=\frac{1}{(2\pi)^{\frac{N}{2}}}\int_{\mathbb{R}^N}f(y)(T_y[g])(\varphi)dy
=\frac{1}{(2\pi)^{\frac{N}{2}}}\int_{\mathbb{R}^N}\left(\int_{\mathbb{R}^N}f(y)g(x-y)\varphi(x)dx\right)dy\\
&=\frac{1}{(2\pi)^{\frac{N}{2}}}\int_{\mathbb{R}^N}\left(\int_{\mathbb{R}^N}f(y)g(x-y)dy\right)\varphi(x)dx\quad(\text{Fubiniの定理})
\end{aligned}
$$
である。よって $[f]*[g]\in L^p(\mathbb{R}^N)$ の代表元はLebesgue測度に関してa.e. $x\in \mathbb{R}^N$ で、
$$
\mathbb{R}^N\ni x\mapsto \frac{1}{(2\pi)^{\frac{N}{2}}}\int_{\mathbb{R}^N}f(y)g(x-y)dy\in \mathbb{C}
$$
に等しい。ゆえにこの $L^1(\mathbb{R}^N)$ と $L^p(\mathbb{R}^N)$ の合成積の定義はテスト関数と超関数の合成積の定義（'''定義23.1'''）と矛盾しない。

=== 命題29.3（Youngの不等式） ===
$L^1(\mathbb{R}^N)$ と $C_0(\mathbb{R}^N)$、$L^1(\mathbb{R}^N)$ と $L^p(\mathbb{R}^N)$ $(p\in[1,\infty))$ の合成積について、
*$(1)$　任意の $[f]\in L^1(\mathbb{R}^N)$ と $g\in C_0(\mathbb{R}^N)$ に対し、
$$
\lVert [f]*g\rVert\leq \frac{1}{(2\pi)^{\frac{N}{2}}}\lVert [f]\rVert_1\lVert g\rVert
$$
が成り立つ。
*$(2)$　任意の $[f]\in L^1(\mathbb{R}^N)$ と $[g]\in L^p(\mathbb{R}^N)$ に対し、
$$
\lVert [f]*[g]\rVert_p\leq \frac{1}{(2\pi)^{\frac{N}{2}}}\lVert [f]\rVert_1\lVert [g]\rVert_p
$$
が成り立つ。
{{begin |proof }}
*$(1)$　Bochner積分の基本性質（[[測度と積分9：Bochner積分]]の'''命題44.2'''の $(1)$ ）より、
$$
\begin{aligned}
\lVert [f]*g\rVert&=\left\lVert \frac{1}{(2\pi)^{\frac{N}{2}}}\int_{\mathbb{R}^N}f(y)T_ygdy\right\rVert
\leq \frac{1}{(2\pi)^{\frac{N}{2}}}\int_{\mathbb{R}^N}\lVert f(y)T_yg\rVert dy=\frac{1}{(2\pi)^{\frac{N}{2}}}\lVert [f]\rVert_1\lVert g\rVert
\end{aligned}
$$
である。
*$(2)$　Bochner積分の基本性質（[[測度と積分9：Bochner積分]]の'''命題44.2'''の $(1)$ ）より、
$$
\begin{aligned}
\lVert [f]*[g]\rVert_p&=\left\lVert \frac{1}{(2\pi)^{\frac{N}{2}}}\int_{\mathbb{R}^N}f(y)T_y[g]dy\right\rVert_p
\leq \frac{1}{(2\pi)^{\frac{N}{2}}}\int_{\mathbb{R}^N}\lVert f(y)T_y[g]\rVert_p dy=\frac{1}{(2\pi)^{\frac{N}{2}}}\lVert [f]\rVert_1\lVert [g]\rVert_p
\end{aligned}
$$
である。
{{end|proof|}}

=== 命題29.4（$C_0(\mathbb{R}^N)$ と $L^p(\mathbb{R}^N)$ のFriedrichsの軟化子による軟化） ===
$(\psi_{\epsilon})_{\epsilon\in (0,\infty)}$ を $\mathbb{R}^N$ 上のFriedrichsの軟化子（'''定義26.1'''）とする。このとき、
*$(1)$　任意の $[f]\in L^p(\mathbb{R}^N)$ $(p\in[1,\infty))$ に対し、
$$
\lim_{\epsilon\rightarrow+0}\lVert \psi_{\epsilon}*[f]-[f]\rVert_p=0
$$
が成り立つ。
*$(2)$　任意の $f\in C_0(\mathbb{R}^N)$ に対し、
$$
\lim_{\epsilon\rightarrow+0}\lVert \psi_{\epsilon}*f-f\rVert=0
$$
が成り立つ。
{{begin |proof }}
*$(1)$　任意の $\epsilon\in (0,\infty)$ に対しFriedrichsの軟化子の定義（'''定義26.1'''）の $(4)$ より、
$$
\psi_{\epsilon}*[f]-[f]=\frac{1}{(2\pi)^{\frac{N}{2}}}\int_{\mathbb{R}^N}\psi_{\epsilon}(y)(T_y[f]-[f])dy
$$
である。よって $\mathbb{R}^N\ni y\mapsto T_y[f]\in L^p(\mathbb{R}^N)$ の $0\in\mathbb{R}^N$ における連続性（'''命題28.2'''）とFriedrichsの軟化子の定義（'''定義26.1'''）の $(2),(4)$ より、
$$
\left\lVert \psi_{\epsilon}*[f]-[f]\right\rVert_p
\leq \frac{1}{(2\pi)^{\frac{N}{2}}}\int_{\mathbb{R}^N}\psi_{\epsilon}(y)\lVert T_y[f]-[f]\rVert_pdy\rightarrow0\quad(\epsilon\rightarrow+0)
$$
である。
*$(2)$　$(1)$と全く同様にして示せる。
{{end|proof|}}

== 次に読む ==
*[[Sobolev空間の基本事項]]

== 参考文献 ==
* Walter Rudin　「Functional Analysis」
* 新井仁之　「新・フーリエ解析と関数解析学」

== 脚注 ==

測度と積分5：$L^p$ 空間の完備性と双対性

2026-03-04T11:24:33Z

Kataoka: /* 定理23.4（$L^p$-$L^q$ 双対性） */

この章では、$L^p$ 空間の完備性と双対性について述べる。$L^p$ 空間は解析学における様々な関数空間の土台となる最も基本的な関数空間の一つである。初等的な解析学において実数の完備性が極めて重要であるのと同様に、$L^p$空間が完備である（Banach空間やHilbert空間である）ことは、関数空間上での無限次元解析学を実現する上で極めて重要である。

'''[[入門テキスト「測度と積分」]]'''
* [[測度と積分1：測度論の基礎用語]]
* [[測度と積分2：測度空間上の積分]]
* [[測度と積分3：測度論の基本定理(1)]]
* [[測度と積分4：測度論の基本定理(2)]]
* '''測度と積分5：$L^p$ 空間の完備性と双対性'''
* [[測度と積分6：数え上げ測度と $\ell^p$ 空間]]
* [[測度と積分7：局所コンパクトHausdorff空間上のRadon測度]]
* [[測度と積分8：Lebesgue測度の基本的性質]]
* [[測度と積分9：Bochner積分]]

== 20. Hölderの不等式、Minkowskiの不等式 ==

=== 定義20.1（共役指数） ===
$p,q\in [1,\infty]$ が互いに共役な指数であるとは、
$$
\frac{1}{p}+\frac{1}{q}=1
$$
が成り立つことを言う。ただし $\{p,q\}=\{1,\infty\}$ の場合も含む。

=== 補題20.2 ===
任意の $t\in [0,1]$ と $x,y\in (0,\infty)$ に対し、
$$
x^{1-t}y^t\leq (1-t)x+ty
$$
が成り立つ。
{{begin |proof }}
対数関数は上に凸であるから、
$$
(1-t)\log(x)+t\log(y)\leq \log((1-t)x+ty)
$$
である。よって指数関数の単調性より、
$$
x^{1-t}y^t=\exp\left((1-t)\log(x)+t\log(y)\right)\leq (1-t)x+ty.
$$
{{end |proof |}}

=== 定理20.3（Hölderの不等式） ===
$(X,\mathfrak{M})$ を可測空間、$p,q\in (1,\infty)$ を互いに共役な指数、$f,g\colon X\rightarrow [0,\infty]$ を可測関数とする。このとき、
$$
\int_{X}f(x)g(x)d\mu(x)\leq \left(\int_{X}f(x)^pd\mu(x)\right)^{\frac{1}{p}}\left(\int_{X}g(x)^qd\mu(x)\right)^{\frac{1}{q}}\quad\quad(*)
$$
が成り立つ。（ただし $\infty^p=\infty$、$0^p=0$ とする。）
{{begin |proof }}
$\int_{X}f(x)^pd\mu(x)=0$ ならば'''命題9.4'''より $\mu$-a.e. $x\in X$ で $f(x)=0$ であるから $(*)$ の両辺共に $0$ である。$\int_{X}g(x)^qd\mu(x)=0$ の場合も同様である。よって、
$$
\int_{X}f(x)^pd\mu(x),\quad \int_{X}g(x)^qd\mu(x)\in (0,\infty)
$$
と仮定して示せば十分である。非負値可測関数 $F,G\colon X\rightarrow[0,\infty]$ を、
$$
F(x)\colon=\left(\int_{X}f(x)^pd\mu(x)\right)^{-\frac{1}{p}}f(x),\quad
G(x)\colon=\left(\int_{X}g(x)^qd\mu(x)\right)^{-\frac{1}{q}}g(x)\quad(\forall x\in X)
$$
として定義すると、
$$
\int_{X}F(x)^pd\mu(x)=1,\quad \int_{X}G(x)^qd\mu(x)=1
$$
であり、'''補題20.2'''より、
$$
F(x)G(x)=(F(x)^p)^{\frac{1}{p}}(G(x)^q)^{\frac{1}{q}}\leq
\frac{1}{p}F(x)^p+\frac{1}{q}G(x)^q\quad(\forall x\in X)
$$
であるから、両辺を積分すれば、
$$
\int_{X}F(x)G(x)d\mu(x)\leq \frac{1}{p}+\frac{1}{q}=1
$$
となる。この両辺に $(\int_{X}f(x)^pd\mu(x))^{\frac{1}{p}}(\int_{X}g(x)^qd\mu(x))^{\frac{1}{q}}$を掛ければ $(*)$ を得る。
{{end |proof | }}

=== 定理20.4（Minkowskiの不等式） ===
$(X,\mathfrak{M})$ を可測空間、$p\in (1,\infty)$、$f,g\colon X\rightarrow[0,\infty]$ を可測関数とする。このとき、
$$
\left(\int_{X}(f(x)+g(x))^pd\mu(x)\right)^{\frac{1}{p}}\leq
\left(\int_{X}f(x)^pd\mu(x)\right)^{\frac{1}{p}}+\left(\int_{X}g(x)^pd\mu(x)\right)^{\frac{1}{p}}\quad\quad(*)
$$
が成り立つ。
{{begin |proof }}
$$
\int_{X}f(x)^pd\mu(x)<\infty,\quad\int_{X}g(x)^pd\mu(x)<\infty,\quad 0<\int_{X}(f(x)+g(x))^pd\mu(x)\quad\quad(**)
$$
と仮定して示せば十分である。$(0,\infty)\ni x\mapsto x^p\in (0,\infty)$は、 $2$ 階の導関数が $p(p-1)x^{p-2}\geq0$ $(\forall x\in (0,\infty))$ であるから、下に凸である。よって、
$$
\frac{1}{2^p}(f(x)+g(x))^p\leq \frac{1}{2}f(x)^p+\frac{1}{2}g(x)^p\quad(\forall x\in X)
$$
である。この両辺を積分すれば $(**)$ より、
$$
0<\int_{X}(f(x)+g(x))^pd\mu(x)<\infty
$$
を得る。
$$
(f(x)+g(x))^p=f(x)(f(x)+g(x))^{p-1}+g(x)(f(x)+g(x))^{p-1}\quad(\forall x\in X)
$$
の両辺を積分し、$p$ の共役指数 $q$ に対し $(p-1)q=p$ であることに注意してHölderの不等式を用いると、
$$
\int_{X}(f(x)+g(x))^pd\mu(x)
\leq \left(\left(\int_{X}f(x)^pd\mu(x)\right)^{\frac{1}{p}}+\left(\int_{X}g(x)^pd\mu(x)\right)^{\frac{1}{p}}\right)\left(\int_{X}(f(x)+g(x))^pd\mu(x)\right)^{\frac{1}{q}}
$$
を得る。この両辺を正実数 $(\int_{X}(f(x)+g(x))^pd\mu(x))^{\frac{1}{q}}$ で割れば $(*)$ を得る。
{{end |proof | }}

== 21. $L^p$空間の定義、$L^p$空間の完備性 ==

=== 定義21.1（a.e.で等しい可測関数を同一視したもの全体） ===
$(X,\mathfrak{M},\mu)$ を測度空間とする。$(X,\mathfrak{M})$ 上の複素数値可測関数全体 ${\cal L}(X,\mathfrak{M})$ における二項関係 $\sim$ を次のように定義する。
$$
f\sim g\quad\Leftrightarrow\quad f(x)=g(x)\quad(\mu\text{-a.e. }x\in X) .
$$
このとき $\sim$ は同値関係である。そこでこの同値関係による商集合を、
$$
L(X,\mathfrak{M},\mu)\colon=\mathcal{L}(X,\mathfrak{M})/\sim
$$
と表し、商写像を、
$$
\mathcal{L}(X,\mathfrak{M})\ni f\mapsto [f]\in L(X,\mathfrak{M},\mu)
$$
と表す。$\mathcal{L}(X,\mathfrak{M})$ は各点ごとの和、複素数倍、積、複素共役で閉じている。これに対し任意の $[f],[g]\in L(X,\mathfrak{M},\mu)$ と任意の $\alpha\in \mathbb{C}$ に対し、
$$
[f]+[g]\colon=[f+g],\quad \alpha[f]\colon=[\alpha f],\quad [f][g]\colon=[fg],\quad \overline{[f]}\colon=[\overline{f}]
$$
として $L(X,\mathfrak{M},\mu)$ における和、複素数倍、積、複素共役を定義する。これはwell-definedである。特に和と複素数倍で $L(X,\mathfrak{M},\mu)$ は $\mathbb{C}$ 上の線形空間をなす。

=== 定義21.2（$L^p$空間 ($p\in[1,\infty)$) ===
$(X,\mathfrak{M},\mu)$ を測度空間、$p\in [1,\infty)$ とする。任意の $f\in \mathcal{L}(X,\mathfrak{M})$ に対し、
$$
\lVert f\rVert_{\mu,p}:=\left(\int_{X}\lvert f(x)\rvert^pd\mu(x)\right)^{\frac{1}{p}}\in [0,\infty]
$$
とおく。これを $f$ の $\mu$ に関する $L^p$ノルムと言う。 $[f],[g]\in L(X,\mathfrak{M},\mu)$ が $[f]=[g]$（つまり $\mu$-a.e. $x\in X$ で $f(x)=g(x)$）ならば、$\lVert f\rVert_{\mu,p}=\lVert g\rVert_{\mu,p}$ であるから、任意の $[f]\in L(X,\mathfrak{M},\mu)$ に対し $[f]$ の $L^p$ ノルムを、
$$
\lVert [f]\rVert_{\mu,p}\colon=\lVert f\rVert_{\mu,p}
$$
と定義する。そして、
$$
\mathcal{L}^p(X,\mathfrak{M},\mu)\colon=\{f\in \mathcal{L}(X,\mathfrak{M}):\lVert f\rVert_{\mu,p}<\infty\},
$$
$$
L^p(X,\mathfrak{M},\mu)\colon=\{[f]\in L(X,\mathfrak{M},\mu):\lVert [f]\rVert_{\mu,p}<\infty\}
$$
とおく。Minkowskiの不等式より $\mathcal{L}^p(X,\mathfrak{M},\mu)$ と $L^p(X,\mathfrak{M},\mu)$ は $\mathbb{C}$ 上の線形空間であり、$\mathcal{L}^p(X,\mathfrak{M},\mu)$ 上の $L^p$ ノルムはセミノルム、$L^p(X,\mathfrak{M},\mu)$ 上の $L^p$ ノルムはノルムである。$L^p$ ノルムによる $\mathbb{C}$ 上のノルム空間 $L^p(X,\mathfrak{M},\mu)$ を $(X,\mathfrak{M},\mu)$ 上の $L^p$ 空間と言う。次の'''定理21.4'''で見るように $L^p$ 空間はBanach空間である。

=== 定義21.3（$L^\infty$ 空間） ===
$(X,\mathfrak{M},\mu)$ を測度空間とする。任意の $f\in \mathcal{L}(X,\mathfrak{M})$ に対し、
$$
\lVert f\rVert_{\mu,\infty}:=\inf\{\alpha\in[0,\infty):\mu( (\alpha<\lvert f\rvert) )=0\}\quad\quad(*)
$$
とおく。（ただし右辺の集合が空集合ならば右辺は $\infty$ とする。）これを $f$ の $\mu$ に関する $L^\infty$ノルムと言う。 $[f],[g]\in L(X,\mathfrak{M},\mu)$ が $[f]=[g]$（つまり $\mu$-a.e. $x\in X$ で $f(x)=g(x)$）ならば、$\lVert f\rVert_{\mu,\infty}=\lVert g\rVert_{\mu,p}$ であるから、任意の $[f]\in L(X,\mathfrak{M},\mu)$ に対し $[f]$ の $L^\infty$ ノルムを、
$$
\lVert [f]\rVert_{\mu,\infty}\colon=\lVert f\rVert_{\mu,\infty}
$$
と定義する。そして、
$$
\mathcal{L}^\infty(X,\mathfrak{M},\mu)\colon=\{f\in \mathcal{L}(X,\mathfrak{M}):\lVert f\rVert_{\mu,\infty}<\infty\},
$$
$$
L^\infty(X,\mathfrak{M},\mu):=\{[f]\in L(X,\mathfrak{M},\mu):\lVert [f]\rVert_{\mu,\infty}<\infty\}
$$
とおく。
任意の $f\in \mathcal{L}(X,\mathfrak{M})$ に対し、
$$
\left(\lVert f\rVert_{\mu,\infty}<\lvert f\rvert\right)=\bigcup_{n\in \mathbb{N}}\left(\lVert f\rVert_{\mu,\infty}+\frac{1}{n}<\lvert f\rvert\right)
$$
であり、$(*)$ より $\mu( (\lVert f\rVert_{\mu,\infty}+\frac{1}{n}<\lvert f\rvert) )=0$ $(\forall n\in \mathbb{N})$ であるから測度の $\sigma$-劣加法性より、
$$
\mu( (\lVert f\rVert_{\mu,\infty}<\lvert f\rvert) )=0\quad\quad(**)
$$
である。これより $\mathcal{L}^\infty(X,\mathfrak{M},\mu)$ と $L^\infty(X,\mathfrak{M},\mu)$ は $\mathbb{C}$ 上の線形空間であり、$\mathcal{L}^\infty(X,\mathfrak{M},\mu)$ 上の $L^\infty$ ノルムはセミノルム、$L^\infty(X,\mathfrak{M},\mu)$ 上の $L^\infty$ ノルムはノルムである。$L^\infty$ ノルムによる $\mathbb{C}$ 上のノルム空間 $L^\infty(X,\mathfrak{M},\mu)$ を $(X,\mathfrak{M},\mu)$ 上の $L^\infty$ 空間と言う。次の''定理21.4''で見るように $L^\infty$ 空間はBanach空間である。

=== 定理21.4（$L^p$ 空間（$p\in[1,\infty]$）はBanach空間） ===
任意の測度空間 $(X,\mathfrak{M},\mu)$ と任意の $p\in [1,\infty]$ に対し、$L^p$ 空間 $L^p(X,\mathfrak{M},\mu)$ は $\mathbb{C}$ 上のBanach空間である。
{{begin |proof }}
$([f_n])_{n\in \mathbb{N}}$ を $L^p(X,\mathfrak{M},\mu)$ のCauchy列とし、これが収束することを示す。
*$(1)$　$p\in[1,\infty)$ の場合。$([f_n])_{n\in \mathbb{N}}$ はCauchy列であるので部分列 $([f_{k(n)}])_{n\in \mathbb{N}}$ で、
$$
\lVert f_{k(n+1)}-f_{k(n)}\rVert_{\mu,p}<\frac{1}{2^n}\quad(\forall n\in\mathbb{N})
$$
なるものが取れる。これに対し、
$$
g_N(x)\colon=\sum_{n=1}^{N}\lvert f_{k(n+1)}(x)-f_{k(n)}(x)\rvert\quad(\forall x\in X,\forall N\in \mathbb{N})
$$
とおくと、Minkowskiの不等式より、
$$
\lVert g_N\rVert_{\mu,p}\leq\sum_{n=1}^{N}\lVert f_{k(n+1)}-f_{k(n)}\rVert_{\mu,p}\leq1\quad(\forall N\in \mathbb{N})
$$
である。よって、
$$
g(x)\colon=\sup_{N\in \mathbb{N}}g_N(x)=\sum_{n=1}^{\infty}\lvert f_{k(n+1)}(x)-f_{k(n)}(x)\rvert\quad(\forall x\in X)
$$
とおくと、単調収束定理より、
$$
\int_{X}g(x)^pd\mu(x)=\sup_{N\in \mathbb{N}}\int_{X}g_N(x)^pd\mu(x)
=\sup_{N\in\mathbb{N}}\lVert g_N\rVert_{\mu,p}^p\leq 1<\infty
$$
であるから、'''命題9.4'''より、$\mu$-零集合 $N$ が存在し、
$$
\sum_{n=1}^{\infty}\lvert f_{k(n+1)}(x)-f_{k(n)}(x)\rvert<\infty\quad(\forall x\in X\backslash N)
$$
が成り立つ。これより任意の $x\in X\backslash N$ に対し、
$$
\lim_{n\rightarrow\infty}f_{k(n)}(x)=f_{k(1)}(x)+\sum_{n=1}^{\infty}(f_{k(n+1)}(x)-f_{k(n)}(x))\in\mathbb{C}
$$
が存在する。そこで、
$$
f(x)\colon=\lim_{n\rightarrow\infty}f_{k(n)}(x)\chi_{X\backslash N}(x)\quad(\forall x\in X)
$$
として可測関数 $f\colon X\rightarrow\mathbb{C}$ を定義する。今、任意の $\epsilon\in(0,\infty)$ に対し $n_0\in \mathbb{N}$ で、
$$
\lVert f_n-f_m\rVert_{\mu,p}\leq\epsilon\quad(\forall n,m\geq n_0)
$$
なるものを取る。任意の $m\geq n_0$ に対し、
$$
\lvert f(x)-f_m(x)\rvert^p=\lim_{n\rightarrow\infty}\lvert f_{k(n)}(x)-f_m(x)\rvert^p\quad(\forall x\in X\backslash N)
$$
であるから、$N$ が $\mu$-零集合であることとFatouの補題より、
$$
\begin{aligned}
\lVert f-f_m\rVert_{\mu,p}^p&\leq \sup_{n\in \mathbb{N}}\inf_{j\geq n}\int_{X}\lvert f_{k(j)}(x)-f_m(x)\rvert^pd\mu(x)\leq \inf_{n\in \mathbb{N}}\sup_{j\geq n}\int_{X}\lvert f_{k(j)}(x)-f_m(x)\rvert^pd\mu(x)\\
&\leq \sup_{n\geq n_0}\int_{X}\lvert f_{k(n)}(x)-f_m(x)\rvert^pd\mu(x)
=\sup_{n\geq n_0}\lVert f_{k(n)}-f_m\rVert_{\mu,p}^p\leq\epsilon^p
\end{aligned}
$$
である。よって $f=(f-f_m)+f_m\in \mathcal{L}^p(X,\mathfrak{M},\mu)$ であり、
$$
\lVert f-f_m\rVert_{\mu,p}\leq\epsilon\quad(\forall m\geq n_0)
$$
であるから、$([f_n])_{n\in \mathbb{N}}$ は $[f]\in L^p(X,\mathfrak{M},\mu)$ に収束する。
*$(2)$　$p=\infty$ の場合。
$$
N:=\bigcup_{n,m\in\mathbb{N}}(\lVert f_n-f_m\rVert_{\mu,\infty}<\lvert f_n-f_m\rvert)
$$
は $\mu$-零集合の可算合併なので $\mu$-零集合である。
$$
\lvert f_n(x)-f_m(x)\rvert\leq \lVert f_n-f_m\rVert_{\mu,\infty}\quad(\forall x\in X\backslash N,\forall n,m\in\mathbb{N})
$$
より $(f_n)_{n\in \mathbb{N}}$ は $X\backslash N$ 上で一様Cauchy条件を満たすので一様収束する。(([[距離空間の位相の基本的性質]]を参照。))そこで、
$$
f(x)\colon=\lim_{n\rightarrow\infty}f_n(x)\chi_{X\backslash N}(x)\quad(\forall x\in X)
$$
として可測関数 $f\colon X\rightarrow\mathbb{C}$ を定義する。
$(f_n)_{n\in \mathbb{N}}$ は $X\backslash N$ 上で $f$ に一様収束するので、任意の $\epsilon\in(0,\infty)$ に対し $n_0\in \mathbb{N}$ が存在し、
$$
X\backslash N\subset (\lvert f-f_n\rvert\leq \epsilon)\quad(\forall n\geq n_0)
$$
が成り立つ。よって、
$$
\mu( (\epsilon< \lvert f-f_n\rvert) )\leq \mu(N)=0\quad(\forall n\geq n_0)
$$
であるから、$f=(f-f_n)+f_n\in \mathcal{L}^\infty(X,\mathfrak{M},\mu)$ であり、
$$
\lVert f-f_n\rVert_{\mu,\infty}\leq\epsilon\quad(\forall n\geq n_0)
$$
である。よって $([f_n])_{n\in \mathbb{N}}$ は $[f]\in L^\infty(X,\mathfrak{M},\mu)$ に収束する。
{{end |proof | }}

== 22. $L^p$関数の可測単関数列による近似 ==

=== 命題22.1（$L^p$関数の可測単関数近似） ===
$(X,\mathfrak{M},\mu)$ を測度空間とする。任意の $p\in [1,\infty]$、任意の $f\in \mathcal{L}^p(X,\mathfrak{M},\mu)$ に対し、可測単関数の列 $(s_n)_{n\in \mathbb{N}}$ で、
$$
\lvert s_n(x)\rvert\leq \lvert f(x)\rvert\quad(\forall x\in X,\forall n\in \mathbb{N}),\quad\lim_{n\rightarrow\infty}\lVert f-s_n\rVert_{\mu,p}=0
$$
を満たすものが取れる。
{{begin |proof}}
$f$ を実部と虚部 $f_1,f_2:X\rightarrow\mathbb{R}$ に分け、さらにそれらを非負部分と非正部分 $f_{j,\pm}:X\rightarrow[0,\infty)$ に分ける。'''定理5.5'''より非負値可測単関数の各点単調増加列 $(s_{j,\pm,n})_{n\in \mathbb{N}}$ で、
$$
f_{j,\pm}(x)=\lim_{n\rightarrow\infty}s_{j,\pm,n}(x)\quad(\forall x\in X)
$$
を満たすものが取れる。
$$
s_n\colon=(s_{1,+,n}-s_{1,-,n})+i(s_{2,+,n}-s_{2,-,n})\quad(\forall n\in \mathbb{N})
$$
として可測単関数列 $(s_n)_{n\in \mathbb{N}}$ を定義すると、$f(x)=\lim_{n\rightarrow\infty}s_n(x)$ $(\forall x\in X)$ であり、$s_{j,\pm,n}(x)\leq f_{j,\pm}(x)$ より、
$$
\lvert s_{j,+,n}(x)-s_{j,-,n}(x)\rvert\leq \lvert f_{j,+}(x)-f_{j,-}(x)\rvert=\lvert f_j(x)\rvert\quad(\forall x\in X,\forall n\in \mathbb{N})
$$
であるから、
$$
\lvert s_n(x)\rvert\leq \lvert f(x)\rvert\quad(\forall x\in X,\forall n\in \mathbb{N})
$$
である。よって $p\in[1,\infty)$ の場合、Lebesgue優収束定理より $\lim_{n\rightarrow\infty}\lVert f-s_n\rVert_{\mu,p}=0$ が成り立つ。$p=\infty$ の場合、$(\lvert f\rvert\leq \lVert f\rVert_{\mu,\infty})$ 上で $f_{j,\pm}$ は有界であるから、'''定理5.5'''の証明より非負値可測単関数の各点単調増加列 $(s_{j,\pm,n})_{n\in \mathbb{N}}$ で、$(\lvert f\rvert\leq\lVert f\rVert_{\mu,\infty})$ 上で $f$ に一様収束するものが取れる。このとき $(s_n)_{n\in \mathbb{N}}$ は $(\lvert f\rvert\leq \lVert f\rVert_{\mu,\infty})$ 上で $f$ に一様収束するので、任意の $\epsilon\in(0,\infty)$ に対し $n_0\in \mathbb{N}$ が存在し、
$$
(\lvert f\rvert\leq \lVert f\rVert_{\mu,\infty})\subset (\lvert f-s_n\rvert\leq\epsilon)\quad(\forall n\geq n_0)
$$
が成り立つ。よって、
$$
\mu( (\epsilon<\lvert f-s_n\rvert) )\leq \mu( (\lVert f\rVert_{\mu,\infty}\leq \lvert f\rvert) )=0\quad(\forall n\geq n_0)
$$
であるから、$\lim_{n\rightarrow\infty}\lVert f-s_n\rVert_{\mu,\infty}=0$ が成り立つ。
{{end |proof | }}

=== 命題22.2（有界可測関数の可測単関数列による一様近似） ===
$(X,\mathfrak{M})$ を可測空間、$f\colon X\rightarrow\mathbb{C}$ を有界可測関数とする。このとき $f$ に一様収束する可測単関数の列が取れる。
{{begin |proof}}
'''命題22.1'''の $p=\infty$ の場合と全く同様にして（より簡単に）示せる。
{{end |proof | }}

== 23. $L^2$ 内積、$L^p$-$L^q$ 双対性 ==

=== 命題23.1 ===
$(X,\mathfrak{M},\mu)$ を測度空間、$p,q\in [1,\infty]$ を互いに共役指数とする。このとき、任意の $[f]\in L^p(X,\mathfrak{M},\mu)$ と任意の $[g]\in L^q(X,\mathfrak{M},\mu)$ に対し $[f][g]\in L^1(X,\mathfrak{M},\mu)$ であり、
$$
\lVert [f][g]\rVert_{\mu,1}\leq \lVert [f]\rVert_{\mu,p}\lVert [g]\rVert_{\mu,q}
$$
が成り立つ。
{{begin |proof }}
$p,q\in (1,\infty)$ の場合はHölderの不等式により、$p=1,q=\infty$ の場合は $\mu$ -a.e. $x\in X$ で $\lvert g(x)\rvert\leq \lVert [g]\rVert_{\mu,\infty}$ であることによる。
{{end |proof | }}

=== 定義23.2（$L^2$ 内積、Hilbert空間としての $L^2$ 空間） ===
$(X,\mathfrak{M},\mu)$ を測度空間とする。$2,2$ は互いに共役指数であるから、任意の $[f],[g]\in L^2(X,\mathfrak{M},\mu)$ に対し、
$$
([f]\mid [g])_{\mu,2}\colon=\int_{X}\overline{f(x)}g(x)d\mu(x)\in \mathbb{C}
$$
として、内積
$$
(\cdot\mid\cdot)_{\mu,2}\colon L^2(X,\mathfrak{M},\mu)\times L^2(X,\mathfrak{M},\mu)\ni ([f],[g]) \mapsto ([f]\mid [g])_{\mu,2}\in \mathbb{C}
$$
が定義できる。この内積を $L^2$ 内積と言う。$L^2$ 内積が誘導するノルムは $L^2$ ノルムであるから、$L^2$ 空間はHilbert空間である。$L^2$ 空間は断ることなくこの $L^2$ 内積が備わったHilbert空間とみなす。

=== 定義23.3（$L^p$-$L^q$ ペアリング） ===
$(X,\mathfrak{M},\mu)$ を測度空間、$p,q\in [1,\infty]$ を互いに共役指数とする。このとき'''命題23.1'''より任意の $[f]\in L^p(X,\mathfrak{M},\mu)$、$[g]\in L^q(X,\mathfrak{M},\mu)$ に対し、
$$
([f],[g])_{\mu,p,q}\colon=\int_{X}f(x)g(x)d\mu(x)\in \mathbb{C}
$$
として有界双線形汎関数
$$
(\cdot,\cdot)_{\mu,p,q}\colon L^p(X,\mathfrak{M},\mu)\times L^q(X,\mathfrak{M},\mu)\ni ([f],[g])\mapsto ([f],[g])_{\mu,p,q}\in \mathbb{C}
$$
が定義できる。

=== 定理23.4（$L^p$-$L^q$ 双対性） ===
$(X,\mathfrak{M},\mu)$ を $\sigma$-有限測度空間、$p\in [1,\infty)$ とし、$q$ を $p$ の共役指数とする。このとき、
$$
L^q(X,\mathfrak{M},\mu)\ni [g]\mapsto (\cdot,[g])_{\mu,p,q}\in (L^p(X,\mathfrak{M},\mu))^*\quad\quad(*)
$$
はノルムを保存する線形同型写像である。
{{begin |proof }}
$(*)$ がノルムが $1$ 以下の有界線形写像であることは'''命題23.1'''より明らかである。$\sigma$-有限性より $\mathfrak{M}$ の非交叉列 $(A_n)_{n\in \mathbb{N}}$ で、
$$
X=\bigcup_{n\in \mathbb{N}}A_n,\quad \mu(A_n)<\infty\quad(\forall n\in \mathbb{N})
$$
なるものが取れる。
*'''$(1)$　単射性の証明'''　
$(\cdot,[g])_{\mu,p,q}=0$ として $[g]=0$ が成り立つことを示せばよい。そのためには任意の $n\in \mathbb{N}$ に対し $\mu$-a.e. $x\in X$ で $g(x)\chi_{A_n}(x)=0$ が成り立つことを示せばよいが、任意の $E\in \mathfrak{M}$ に対し $\mu(A_n)<\infty$ より $\chi_{E\cap A_n}\in \mathcal{L}^p(X,\mathfrak{M},\mu)$ であるので、
$$
\int_{E}g(x)\chi_{A_n}(x)d\mu(x)=([\chi_{E\cap A_n}],[g])_{\mu,p,q}=0\quad(\forall E\in \mathfrak{M})
$$
である。よって'''命題10.5'''より $\mu$-a.e. $x\in X$ で $g(x)\chi_{A_n}(x)=0$ が成り立つ。
*'''$(2)$　$\mu(X)<\infty$ の場合の全射性とノルム保存性の証明'''
任意の $\Phi\in (L^p(X,\mathfrak{M},\mu))^*$ を取る。$\mu(X)<\infty$ より任意の $E\in \mathfrak{M}$ に対し $\chi_E\in {\cal L}^p(X,\mathfrak{M},\mu)$ であるから、
$$
\nu(E)\colon=\Phi([\chi_E])\quad(\forall E\in \mathfrak{M})
$$
として $\nu\colon\mathfrak{M}\rightarrow\mathbb{C}$ が定義できる。$\Phi$ の線形性より $\nu$ は有限加法的である。$\mathfrak{M}$ の任意の非交叉列 $(E_n)_{n\in \mathbb{N}}$ を取る. $A=\bigcup_{n\in \mathbb{N}}E_n$ とおき, $\mathbb{N}$ の任意の有限集合 $F$ に対し$A_F=\bigcup_{n\in F}E_n$ とおくと,
$$
\begin{aligned}
\left\lvert \nu(A)-\sum_{n\in F}\nu(E_n)\right\rvert
&=\left\lvert \nu(A)-\nu(A_F)\right\rvert
=\left\lvert \Phi(\chi_{A\backslash A_F})\right\rvert
\leq \lVert \Phi\rVert \mu(A\backslash A_F)^{\frac{1}{p}}\\
&= \lVert \Phi\rVert (\mu(A)-\mu(A_F))^{\frac{1}{p}}\rightarrow 0\quad(F\rightarrow \mathbb{N})
\end{aligned}
$$
であるから $\nu$ は複素数値測度である。$\lvert\nu(E)\rvert\leq \lVert \Phi\rVert\mu(E)^{\frac{1}{p}}$ $(\forall E\in \mathfrak{M})$ であるから $\nu$ は $\mu$ に関して絶対連続である。そこで $\nu$ の $\mu$ に関するRadon-Nikodym微分を $g\in \mathcal{L}^1(X,\mathfrak{M},\mu)$ とすると、
$$
\Phi([\chi_E])=\nu(E)=\int_{E}g(x)d\mu(x)=([\chi_E],[g])_{\mu,\infty,1}\quad(\forall E\in \mathfrak{M})
$$
であるから、任意の可測単関数 $s\colon X\rightarrow\mathbb{C}$ に対し、
$$
\Phi([s])=([s],[g])_{\mu,\infty,1}
$$
が成り立つ。任意の $[f]\in L^\infty(X,\mathfrak{M},\mu)$ に対し'''命題22.1'''より可測単関数の列 $(s_n)_{n\in \mathbb{N}}$ で $\lim_{n\rightarrow\infty}\lVert f-s_n\rVert_{\mu,\infty}=0$ なるものが取れる。$\mu(X)<\infty$ より $L^\infty(X,\mathfrak{M},\mu)\subset L^p(X,\mathfrak{M},\mu)$ であり、
$$
\lVert f-s_n\rVert_{\mu,p}\leq \mu(X)^{\frac{1}{p}}\lVert f-s_n\rVert_{\mu,\infty}\rightarrow0\quad(n\rightarrow\infty)
$$
であるから、
$$
\Phi([f])=\lim_{n\rightarrow\infty}\Phi([s_n])=\lim_{n\rightarrow\infty}([s_n],[g])_{\mu,\infty,1}=([f],[g])_{\mu,\infty,1}
$$
である。ゆえに、
$$
\Phi([f])=([f],[g])_{\mu,\infty,1}\quad(\forall [f]\in L^\infty(X,\mathfrak{M},\mu)\subset L^p(X,\mathfrak{M},\mu))\quad\quad(**)
$$
が成り立つ。今、
$$
[g]\in L^q(X,\mathfrak{M},\mu),\quad \lVert [g]\rVert_{\mu,q}\leq \lVert \Phi\rVert\quad\quad(***)
$$
が成り立つことを示す。$p=1,q=\infty$ の場合、
$$
\left\lvert\int_{E}g(x)d\mu(x)\right\rvert=\lvert\Phi([\chi_E])\rvert\leq\lVert\Phi\rVert\mu(E)\quad(\forall E\in \mathfrak{M})
$$
であるから、'''命題19.3'''より、
$$
\int_{E}\lvert g(x)\rvert d\mu(x)\leq \lvert\Phi([\chi_E])\rvert\leq\lVert\Phi\rVert\mu(E)\quad(\forall E\in \mathfrak{M})
$$
が成り立つ。よって、
$$
\int_{E}(\lvert g(x)\rvert-\lVert \Phi\rVert)d\mu(x)\leq0\quad(\forall E\in \mathfrak{M})
$$
であるから、
$$
\int_{(\lVert \Phi\rVert<\lvert g\rvert)}(\lvert g(x)\rvert-\lVert \Phi\rVert)d\mu(x)=0
$$
である。ゆえに'''命題9.4'''より、
$$
\mu( (\lVert\Phi\rVert<\lvert g\rvert) )=0
$$
であるから、$p=1,q=\infty$ の場合、$(***)$ が成り立つ。$p,q\in (1,\infty)$ の場合を考える。
$$
\omega(x)\colon=\left\{\begin{array}{cl}\frac{\lvert g(x)\rvert}{g(x)}&(x\in (\lvert g\rvert>0))\\1&(x\in (\lvert g\rvert=0))\end{array}\right.
$$
として可測関数 $\omega\colon X\rightarrow\mathbb{C}$ を定義すると、
$$
\omega(x)g(x)=\lvert g(x)\rvert,\quad \lvert \omega(x)\rvert=1\quad(\forall x\in X)
$$
である。$E_n\colon=(\lvert g\rvert\leq n)$ $(\forall n\in \mathbb{N})$ とおき、
$$
f_n\colon=\chi_{E_n}\lvert g\rvert^{q-1}\omega\in \mathcal{L}^\infty(X,\mathfrak{M},\mu)\quad(\forall n\in \mathbb{N})
$$
とおくと、
$$
f_ng=\chi_{E_n}\lvert g\rvert^{q},\quad \lvert f_n\rvert^p=\chi_{E_n}\lvert g\rvert^q\quad(\forall n\in \mathbb{N})
$$
である（$pq-p=q$に注意）。よって $(**)$ より、
$$
\int_{E_n}\lvert g(x)\rvert^qd\mu(x)=\int_{X}f_n(x)g(x)d\mu(x)
=\Phi([f_n])\leq\lVert\Phi\rVert\left(\int_{E}\lvert g(x)\rvert^qd\mu(x)\right)^{\frac{1}{p}}\quad(\forall n\in \mathbb{N})
$$
であるから、
$$
\left(\int_{E_n}\lvert g(x)\rvert^qd\mu(x)\right)^{\frac{1}{q}}\leq \lVert \Phi\rVert\quad(\forall n\in \mathbb{N})
$$
が成り立つ。$(E_n)_{n\in\mathbb{N}}$ は単調増加列で $X=\bigcup_{n\in\mathbb{N}}E_n$ であるから単調収束定理より、
$$
\left(\int_{X}\lvert g(x)\rvert^qd\mu(x)\right)^{\frac{1}{q}}
=\sup_{n\in\mathbb{N}}\left(\int_{E_n}\lvert g(x)\rvert^qd\mu(x)\right)^{\frac{1}{q}}\leq \lVert \Phi\rVert
$$
である。よって $(***)$ が成り立つ。 
任意の $[f]\in L^p(X,\mathfrak{M},\mu)$ に対し'''命題22.1'''より可測単関数の列 $(s_n)_{n\in \mathbb{N}}$ で、$\lim_{n\rightarrow\infty}\lVert f-s_n\rVert_{\mu,p}=0$ なるものが取れるので、$(**)$ と $[g]\in L^q(X,\mathfrak{M},\mu)$ であることから、
$$
\Phi([f])=\lim_{n\rightarrow\infty}\Phi([s_n])=\lim_{n\rightarrow\infty}([s_n],[g])_{\mu,\infty,1}=\lim_{n\rightarrow\infty}([s_n],[g])_{\mu,p,q}=([f],[g])_{\mu,p,q}
$$
である。よって $\Phi=(\cdot,[g])_{\mu,p,q}$ である。
$$
\lVert [g]\rVert_{\mu,q}\leq \lVert\Phi\rVert\leq \lVert [g]\rVert_{\mu,q}
$$
であるから、全射性とノルム保存性が示された。
*'''$(3)$　$\mu(X)=\infty$ の場合の全射性とノルム保存性の証明'''
$$
\omega(x)\colon=\sum_{n\in\mathbb{N}}\frac{1}{2^n(\mu(A_n)+1)}\chi_{A_n}(x)\in(0,1)\quad(\forall x\in X)
$$
とおくと、単調収束定理より、
$$
\int_{X}\omega(x)d\mu(x)=\sum_{n\in \mathbb{N}}\frac{\mu(A_n)}{2^n(\mu(A_n)+1)}\leq1<\infty
$$
である。そこで、有限測度
$$
\mu_{\omega}\colon\mathfrak{M}\ni E\mapsto \int_{E}\omega(x)d\mu(x)\in [0,1]
$$
を定義する。'''命題19.6'''の $(1)$ より任意の $r\in [1,\infty]$ に対し、
$$
L^r(X,\mathfrak{M},\mu_{\omega})\ni [f]\mapsto [f\omega^{\frac{1}{r}}]\in L^r(X,\mathfrak{M},\mu)
$$
はノルムを保存する線形同型写像である。よって任意の $\Phi\in (L^p(X,\mathfrak{M},\mu))^*$ に対し、$\Psi\in (L^p(X,\mathfrak{M},\mu_{\omega}))^*$ を、
$$
\Psi([f])=\Phi([f\omega^{\frac{1}{p}}])\quad(\forall [f]\in L^p(X,\mathfrak{M},\mu_{\omega}))
$$
と定義すれば $\lVert \Psi\rVert=\lVert\Phi\rVert$ である。$(2)$ の結果より $[g\omega^{-\frac{1}{q}}]\in L^q(X,\mathfrak{M},\mu_{\omega})$ で、
$$
\Psi([f])=\int_{X}f(x)g(x)\omega(x)^{-\frac{1}{q}}d\mu(x)\quad(\forall [f]\in L^p(X,\mathfrak{M},\mu_{\omega})),
$$
$$
\lVert g\omega^{-\frac{1}{q}}\rVert_{\mu_{\omega},q}=\lVert\Psi\rVert
$$
なるものが取れる。'''命題19.6'''の $(1)$ より、
$$
\begin{aligned}
\Phi([f])&=\Psi([f\omega^{-\frac{1}{p}}])=\int_{X}f(x)g(x)\omega(x)^{-(\frac{1}{p}+\frac{1}{q})}d\mu_{\omega}(x)=\int_{X}f(x)g(x)d\mu(x)\quad(\forall [f]\in L^p(X,\mathfrak{M},\mu))
\end{aligned}
$$
であり、
$$
\lVert [g]\rVert_{\mu,q}=\lVert [g\omega^{-\frac{1}{q}}]\rVert_{\mu_{\omega},q}
=\lVert \Psi\rVert=\lVert \Phi\rVert
$$
である。これで全射性とノルム保存性が示された。
{{end |proof | }}

== 次に読む ==
* [[測度と積分6：数え上げ測度と $\ell^p$ 空間]]

== 関連項目 ==
* [[入門テキスト「測度と積分」]]
* [[入門テキスト「位相線形空間」]]
* [[速習コース「位相空間論の基礎事項」]]
* [[距離空間の位相の基本的性質]]
* [[ネットによる位相空間論]]
* [[フィルターによる位相空間論]]

== 脚注 ==

測度と積分3：測度論の基本定理(1)

2026-02-26T15:45:34Z

Kataoka: /* 定理14.5（Fubiniの定理） */

この章では、積分の基本定理であるLebesgue優収束定理、Tonelli-Fubiniの定理について述べる。Lebesgue優収束定理は[[測度と積分2：測度空間上の積分]]で述べた単調収束定理と共に極限と積分の順序交換について正当化する定理である。またTonelli-Fubiniの定理は積分が累次積分で表されることや累次積分が順序に依らないことについて正当化する定理である。これらは積分を運用していく際に非常に汎用される基本定理である。また、測度論を用いた証明の技術的なところで基本的になる単調族定理やCarathéodoryの拡張定理についても述べる。これらはTonelli-Fubiniの定理の証明でも用いられる。
<noinclude>
{{TOC |align=right |noautonum=1 }}
'''[[入門テキスト「測度と積分」]]'''
* [[測度と積分1：測度論の基礎用語]]
* [[測度と積分2：測度空間上の積分]]
* '''測度と積分3：測度論の基本定理(1)'''
* [[測度と積分4：測度論の基本定理(2)]]
* [[測度と積分5：$L^p$ 空間の完備性と双対性]]
* [[測度と積分6：数え上げ測度と $\ell^p$ 空間]]
* [[測度と積分7：局所コンパクトHausdorff空間上のRadon測度]]
* [[測度と積分8：Lebesgue測度の基本的性質]]
* [[測度と積分9：Bochner積分]]
</noinclude>
== 11. Fatouの補題、Lebesgue優収束定理 ==

=== 補題11.1（Fatouの補題） ===
$(X,\mathfrak{M},\mu)$ を測度空間、$(f_n)_{n\in \mathbb{N}}$ を非負値可測関数の列とする。このとき、
$$
\int_{X}\sup_{n\in \mathbb{N}}\inf_{k\geq n}f_k(x)d\mu(x)\leq \sup_{n\in\mathbb{N}}\inf_{k\geq n}\int_{X}f_k(x)d\mu(x)\quad\quad(*)
$$
が成り立つ。（ $\inf_{k\geq n}f_k$、$\sup_{n\in \mathbb{N}}\inf_{k\geq n}f_k$ の可測性については'''命題4.8'''を参照。）
{{begin |proof }}
$g_n\colon=\inf_{k\geq n}f_k$ とおくと $(g_n)_{n\in \mathbb{N}}$ は非負値可測関数の各点単調増加列であるから、単調収束定理より、
$$
\int_{X}\sup_{n\in\mathbb{N}}g_n(x)d\mu(x)=\sup_{n\in\mathbb{N}}\int_{X}g_n(x)d\mu(x)
$$
が成り立つ。また積分の単調性より、
$$
\int_{X}g_n(x)d\mu(x)\leq \inf_{k\geq n}\int_{X}f_k(x)d\mu(x)\quad(\forall n\in\mathbb{N})
$$
が成り立つ。よって、
$$
\int_{X}\sup_{n\in\mathbb{N}}g_n(x)d\mu(x)=\sup_{n\in\mathbb{N}}\int_{X}g_n(x)d\mu(x)\leq \sup_{n\in\mathbb{N}}\inf_{k\geq n}\int_{X}f_k(x)d\mu(x)
$$
であるので $(*)$ を得る。
{{end |proof | }}

=== 定理11.2（Lebesgue優収束定理） ===
$(X,\mathfrak{M},\mu)$ を測度空間、$(f_n)_{n\in \mathbb{N}}$ を複素数値可測関数の列とし、次が成り立つとする。
*$(1)$　任意の $x\in X$ に対し $f(x):=\lim_{n\rightarrow\infty}f_n(x)\in \mathbb{C}$ が存在する。
*$(2)$　非負値の $h\in \mathcal{L}^1(X,\mathfrak{M},\mu)$ で $\lvert f_n(x)\rvert\leq h(x)$ $(\forall n\in\mathbb{N},\forall x\in X)$ を満たすものが存在する。
このとき $f,f_n\in \mathcal{L}^1(X,\mathfrak{M},\mu)$ $(\forall n\in\mathbb{N})$ であり、
$$
\int_{X}f(x)d\mu(x)=\lim_{n\rightarrow\infty}\int_{X}f_n(x)d\mu(x)\quad\quad(*)
$$
が成り立つ。
{{begin |proof }}
実部と虚部に分けて考えればよいので各 $f_n$ は実数値関数であるとして示せば十分である。
$$ f(x)=\lim_{n\rightarrow\infty} f_n(x)=\sup_{n\in\mathbb{N}}\inf_{k\geq n}f_k(x)=\inf_{n\in \mathbb{N}}\sup_{k\geq n}f_k(x)\quad(\forall x\in X)$$
であるので $f\colon X\rightarrow\mathbb{R}$ は可測関数である。
$$
\lvert f(x)\rvert=\lim_{n\rightarrow\infty}\lvert f_n(x)\rvert\leq h(x)\quad(\forall x\in X)\quad\quad(**)
$$
であるから積分の単調性より $f,f_n\in \mathcal{L}^1(X,\mathfrak{M},\mu)$ $(\forall n\in \mathbb{N})$ である。$(h\pm f_n)_{n\in \mathbb{N}}$ は非負値可測関数の列であるのでFatouの補題と $(**)$ より、
$$
\int_{X}h(x)\pm f(x)d\mu(x)\leq \sup_{n\in \mathbb{N}}\inf_{k\geq n}\int_{X}h(x)\pm f_k(x)d\mu(x)
$$
である。よって積分の線形性より、
$$
\int_{X}f(x)d\mu(x)\leq \sup_{n\in \mathbb{N}}\inf_{k\geq n}\int_{X}f_k(x)d\mu(x),
$$
$$ -\int_{X}f(x)d\mu(x)\leq \sup_{n\in \mathbb{N}}\inf_{k\geq n}\left(-\int_{X}f_k(x)d\mu(x)\right)=-\inf_{n\in \mathbb{N}}\sup_{k\geq n}\int_{X}f_k(x)d\mu(x)
$$
である。これより、
$$
\inf_{n\in \mathbb{N}}\sup_{k\geq n}\int_{X}f_k(x)d\mu(x)
\leq \int_{X}f(x)d\mu(x)\leq \sup_{n\in \mathbb{N}}\inf_{k\geq n}\int_{X}f_k(x)d\mu(x)
$$
であるから $(*)$ が成り立つ。
{{end |proof |}}

== 12. 半集合代数、有限加法族、単調族、単調族定理 ==

=== 定義12.1（半集合代数） ===
$X$ を空でない集合とする。$\mathcal{I}\subset 2^X$ が次の条件を満たすとき $\mathcal{I}$ を $X$ 上の半集合代数と言う。
*$(1)$　$X,\emptyset\in\mathcal{I}$.
*$(2)$　任意の $E,F\in \mathcal{I}$ に対し $E\cap F\in \mathcal{I}$.
*$(3)$　任意の $E\in\mathcal{I}$ に対し $X\backslash E$ は互いに交わらない有限個の $\mathcal{I}$ の要素の合併である。

=== 定義12.2（有限加法族） ===
$X$ を空でない集合とする。$\mathcal{A}\subset 2^X$ が次の条件を満たすとき $\mathcal{A}$ を $X$ 上の有限加法族と言う。
*$(1)$　$X\in \mathcal{A}$.
*$(2)$　任意の $E\in\mathcal{A}$ に対し $X\backslash E\in \mathcal{A}$.
*$(3)$　任意の $E,F\in \mathcal{A}$ に対し $E\cup F\in \mathcal{A}$.

=== 命題12.3 ===
$\mathcal{A}$ を $X$ 上の有限加法族とする。このとき任意の $E,F\in \mathcal{A}$ に対し $E\cap F, E\backslash F\in \mathcal{A}$ が成り立つ。また有限加法族は半集合代数である。
{{begin |proof }}
自明である。
{{end |proof | }}

=== 定義12.4（単調族） ===
$X$ を空でない集合とする。$\mathcal{M}\subset 2^X$ が次の条件を満たすとき $\mathcal{M}$ を $X$ 上の単調族と言う。
*$(1)$　$\mathcal{M}$ の任意の単調増加列 $(E_n)_{n\in\mathbb{N}}$ に対し $\bigcup_{n\in \mathbb{N}}E_n\in \mathcal{M}$.
*$(2)$　$\mathcal{M}$ の任意の単調減少列 $(E_n)_{n\in \mathbb{N}}$ に対し $\bigcap_{n\in \mathbb{N}}E_n\in \mathcal{M}$.

=== 命題12.5（有限加法族かつ単調族 $\Leftrightarrow$ $\sigma$-加法族） ===
集合 $X$ の部分集合族 $\mathfrak{M}\subset 2^X$ に対し、次は互いに同値である。
*$(1)$　$\mathfrak{M}$ は $X$ 上の $\sigma$-加法族である。
*$(2)$　$\mathfrak{M}$ は有限加法族かつ単調族である。
{{begin |proof }}
$(1)\Rightarrow(2)$ は自明である。$(2)$ が成り立つとする。$\mathfrak{M}$ の任意の列 $(E_n)_{n\in \mathbb{N}}$ に対し、
$$
A_n:=\bigcup_{k=1}^{n}E_k\quad(\forall n\in \mathbb{N})
$$
とおけば、$(A_n)_{n\in \mathbb{N}}$ は $\mathfrak{M}$ の単調増加列であるから、
$$
\bigcup_{n\in \mathbb{N}}E_n=\bigcup_{n\in \mathbb{N}}A_n\in \mathfrak{M}
$$
である。よって $\mathfrak{M}$ は $\sigma$-加法族である。
{{end |proof | }}

=== 定義12.6（部分集合族から生成される有限加法族、単調族） ===
$X$ を空でない集合とする。空でない $\mathcal{I}\subset 2^X$ に対し $\mathcal{I}$ を含む $X$ 上の有限加法族全ての交叉は $\mathcal{I}$ を含む最小の有限加法族である。これを $\mathcal{I}$ から生成される有限加法族と言い、$\mathcal{A}(\mathcal{I})$ と表す。また $\mathcal{I}$ を含む $X$ 上の単調族全ての交叉は $\mathcal{I}$ を含む最小の単調族である。これを $\mathcal{I}$ から生成される単調族と言い、$\mathcal{M}(\mathcal{I})$ と表す。

=== 命題12.7（半集合代数から生成される有限加法族の特徴付け） ===
$X$ 上の半集合代数 $\mathcal{I}$ から生成される有限加法族 $\mathcal{A}(\mathcal{I})$ は、
$$
\mathcal{A}(\mathcal{I})=\left\{\text{互いに交わらない有限個の }\mathcal{I}\text{ の要素の合併} \right\}
$$
である。
{{begin |proof }}
右辺を $\mathcal{A}$ とおく。$\mathcal{A}$ が有限加法族であることを示せば十分である。半集合代数の定義の $(2)$ より $\mathcal{A}$ は有限交叉で閉じているから、半集合代数の定義の $(3)$ より任意の $E,F\in \mathcal{A}$ に対し $X\backslash E, F\backslash E\in \mathcal{A}$ である。$E, F\backslash E$ は互いに交わらないから $E\cup F=E\cup(F\backslash E)\in\mathcal{A}$ である。よって $\mathcal{A}$ は有限加法族である。
{{end |proof | }}

=== 定理12.8（単調族定理） ===
$X$ 上の有限加法族 $\mathcal{A}$ に対し、$\sigma(\mathcal{A})=\mathcal{M}(\mathcal{A})$ が成り立つ。
{{begin |proof }}
$\mathcal{M}(\mathcal{A})$ が $\sigma$-加法族であることを示せば十分である。
そのためには'''命題12.5'''より $\mathcal{M}(\mathcal{A})$ が有限加法族であることを示せばよい。任意の $A\in 2^X$ に対し、
$$
\mathcal{M}_A\colon=\{B\in 2^X: A\cup B,A\backslash B, B\backslash A\in \mathcal{M}(\mathcal{A})\}
$$
とおくと、$\mathcal{M}_A$ は $X$ 上の単調族であり、$A,B\in 2^X$ に対し、
$$
B\in \mathcal{M}_A\quad\Leftrightarrow \quad A\in \mathcal{M}_B\quad\quad(*)
$$
である。任意の $A,B\in \mathcal{A}$ に対し $B\in \mathcal{M}_A$ であるから、
$$
\mathcal{M}(\mathcal{A})\subset \mathcal{M}_A\quad(\forall A\in \mathcal{A})
$$
である。<ref>任意の $A\in \mathcal{A}$ を取る。任意の $B\in \mathcal{A}$ に対し $B\in \mathcal{M}_A$ であるから $\mathcal{A}\subset \mathcal{M}_A$ である。そして $\mathcal{M}_A$ は単調族であるから、$\mathcal{M}(\mathcal{A})\subset \mathcal{M}_A$ である。</ref>したがって任意の $B\in \mathcal{M}(\mathcal{A})$ に対し、$B\in\mathcal{M}_A$ $(\forall A\in\mathcal{A})$ であるから、$(*)$ より $A\in\mathcal{M}_B$ $(\forall A\in\mathcal{A})$、つまり $\mathcal{A}\subset\mathcal{M}_B$ である。よって、
$$
\mathcal{M}(\mathcal{A})\subset \mathcal{M}_B\quad(\forall B\in \mathcal{M}(\mathcal{A}))
$$
である。ゆえに $\mathcal{M}(\mathcal{A})$ は有限加法族である。
{{end |proof | }}

== 13. 半集合代数、有限加法族上の測度とCarathéodoryの拡張定理 ==

=== 定義13.1（半集合代数上の測度） ===
$X$ を空でない集合、$\mathcal{I}\subset 2^X$ を半集合代数とする。
$\mu\colon\mathcal{I}\rightarrow [0,\infty]$ が次の条件を満たすとき、$\mu$ を $\mathcal{I}$ 上の'''有限加法的測度'''と言う。
*$(1)$　$\mu(\emptyset)=0$.
*$(2)$　'''（有限加法性）'''　互いに交わらない有限個の $C_1,\ldots,C_n\in \mathcal{I}$ で $\bigcup_{j=1}^nC_j\in \mathcal{I}$ なるものに対し $\mu(\bigcup_{j=1}^{n}C_j)=\sum_{j=1}^{n}\mu(C_j)$.
さらに $\mu:\mathcal{I}\rightarrow[0,\infty]$ が次の条件を満たすとき $\mu$ を $\mathcal{I}$ 上の '''$\sigma$-加法的測度'''と言う。
*$(3)$　'''（$\sigma$-加法性）'''　$\mathcal{I}$ の非交叉列 $(C_n)_{n\in\mathbb{N}}$ で $\bigcup_{n\in \mathbb{N}}C_n\in \mathcal{I}$ なるものに対し $\mu(\bigcup_{n\in \mathbb{N}}C_n)=\sum_{n\in \mathbb{N}}\mu(C_n)$.

=== 命題13.2（半集合代数 $\mathcal{I}$ 上の測度の $\mathcal{A}(\mathcal{I})$ 上の測度への一意拡張） ===
$\mathcal{I}\subset 2^X$ を集合 $X$ 上の半集合代数とし、$\mu_0:\mathcal{I}\rightarrow [0,\infty]$ を有限加法的測度とする。このとき $\mu_0$ は $\mathcal{A}(\mathcal{I})$ 上の有限加法的測度 $\mu$ に一意拡張できる。またもし $\mu_0$ が $\sigma$-加法的測度ならば $\mu$ も $\sigma$-加法的である。
{{begin |proof }}
一意性は'''命題12.7'''による。存在を示す。任意の $A\in \mathcal{A}(\mathcal{I})$ に対し'''命題12.7'''より互いに交わらない有限個の $C_1,\ldots,C_n\in \mathcal{I}$ が存在し $A=\bigcup_{j=1}^{n}C_j$ と表せる。そこで、
$$
\mu(A)\colon=\sum_{j=1}^{n}\mu_0(C_j)
$$
と定義する。これはwell-definedである。実際、有限個の互いに交わらない $D_1,\ldots,D_m\in \mathcal{I}$ に対し $A=\bigcup_{k=1}^{m}D_k$ とも表せるとすると、$\mu_0$ の有限加法性より、
$$
\sum_{j=1}^{n}\mu_0(C_j)=\sum_{j=1}^{n}\sum_{k=1}^{m}\mu_0(C_j\cap D_k)
=\sum_{k=1}^{m}\mu_0(D_k)
$$
である。こうして定義される $\mu\colon\mathcal{A}(\mathcal{I})\rightarrow [0,\infty]$ は明らかに $\mu_0$ の拡張であり、有限加法的測度である。 
$\mu_0$ が $\sigma$-加法的測度であると仮定して $\mu$ が $\sigma$-加法的測度であることを示す。
まず $\mathcal{I}$ の非交叉列 $(C_n)_{n\in \mathbb{N}}$ が $\bigcup_{n\in \mathbb{N}}C_n\in\mathcal{A}(\mathcal{I})$ を満たすとき $\mu(\bigcup_{n\in \mathbb{N}}C_n)=\sum_{n\in \mathbb{N}}\mu(C_n)$ が成り立つことを示す。'''命題12.7'''より互いに交わらない有限個の $D_1,\ldots,D_m\in \mathcal{I}$ が存在し、
$$
\bigcup_{n\in\mathbb{N}}C_n=\bigcup_{k=1}^{m}D_k
$$
と表せる。よって $\mu$ の定義と $\mu_0$ の $\sigma$-加法性より、
$$
\mu\left(\bigcup_{n\in \mathbb{N}}C_n\right)=\sum_{k=1}^{m}\mu_0(D_k)
=\sum_{k=1}^{m}\sum_{n\in\mathbb{N}}\mu_0(C_n\cap D_k)
=\sum_{n\in \mathbb{N}}\sum_{k=1}^{m}\mu_0(C_n\cap D_k)
=\sum_{n\in \mathbb{N}}\mu_0(C_n)
$$
である。次に $\mathcal{A}(\mathcal{I})$ の非交叉列 $(A_n)_{n\in \mathbb{N}}$ が $\bigcup_{n\in \mathbb{N}}A_n\in \mathcal{A}(\mathcal{I})$ を満たすとき $\mu(\bigcup_{n\in \mathbb{N}}A_n)=\sum_{n\in \mathbb{N}}\mu(A_n)$ が成り立つことを示す。'''命題12.7'''より各 $n\in \mathbb{N}$ に対し互いに交わらない有限個の $C_{n,1},\ldots,C_{n,m(n)}\in \mathcal{I}$ が存在し $A_n=\bigcup_{k=1}^{m(n)}C_{n,k}$ と表せる。このとき $(C_{n,k})_{n,k}$ は互いに交わらず、$\bigcup_{n\in \mathbb{N}}A_n=\bigcup_{n\in \mathbb{N}}\bigcup_{k=1}^{m(n)}C_{n,k}$ であるから上で示したことより、
$$
\mu\left(\bigcup_{n\in \mathbb{N}}A_n\right)
=\mu\left(\bigcup_{n\in \mathbb{N}}\bigcup_{k=1}^{m(n)}C_{n,k}\right)
=\sum_{n\in \mathbb{N}}\sum_{k=1}^{m(n)}\mu(C_{n,k})
=\sum_{n\in \mathbb{N}}\mu(A_n)
$$
である。これで $\mu$ の $\sigma$-加法性が示された。
{{end |proof | }}

=== 命題13.3（有限加法族上の測度の基本性質） ===
$\mathcal{A}\subset 2^X$ を集合 $X$ 上の有限加法族とし、$\mu\colon\mathcal{A}\rightarrow[0,\infty]$ を有限加法的測度とする。次が成り立つ。
*$(1)$　'''（単調性）'''　$A\subset B$ なる任意の $A,B\in \mathcal{A}$ に対し $\mu(A)\leq \mu(B)$.
*$(2)$　'''（有限劣加法性）'''　任意の有限個の $A_1,\ldots,A_n\in \mathcal{A}$ に対し $\mu(\bigcup_{j=1}^{n}A_j)\leq \sum_{j=1}^{n}\mu(A_j)$.
また、もし $\mu$ が $\sigma$-加法的測度であるならば、
*$(3)$　'''（$\sigma$-劣加法性）'''　$\mathcal{A}$ の列 $(A_n)_{n\in \mathbb{N}}$ で $\bigcup_{n\in \mathbb{N}}A_n\in \mathcal{A}$ なるものに対し $\mu(\bigcup_{n\in \mathbb{N}}A_n)\leq \sum_{n\in \mathbb{N}}\mu(A_n)$.
{{begin |proof}}
*$(1)$　$\mu(B)=\mu(A)+\mu(B\backslash A)\geq \mu(A)$.
*$(2)$　$B_1:=A_1$、$B_k:=A_k\backslash(A_1\cup\ldots\cup A_{k-1})\in \mathcal{A}$ $(k=2,\ldots,n)$ とおくと $B_1,\ldots,B_n$ は互いに交わらず $\bigcup_{j=1}^{n}A_j=\bigcup_{j=1}^{n}B_j$ である。よって $\mu(\bigcup_{j=1}^{n}A_j)=\mu(\bigcup_{j=1}^{n}B_j)=\sum_{j=1}^{n}\mu(B_j)\leq \sum_{j=1}^{n}\mu(A_j)$ である。
*$(3)$　$B_1\colon=A_1$、$B_n:=A_n\backslash (A_1\cup\ldots A_{n-1})\in\mathcal{A}$ $(\forall n\geq 2)$ とおくと $(B_n)_{n\in\mathbb{N}}$ は非交叉列であり $\bigcup_{n\in \mathbb{N}}A_n=\bigcup_{n\in \mathbb{N}}B_n$ である。よって $\mu(\bigcup_{n\in \mathbb{N}}A_n)=\mu(\bigcup_{n\in\mathbb{N}}B_n)=\sum_{n\in\mathbb{N}}\mu(B_n)\leq \sum_{n\in\mathbb{N}}\mu(A_n)$ である。
{{end |proof | }}

=== 定義13.4（$\sigma$-有限性） ===
$\mathcal{I}\subset 2^X$ を集合 $X$ 上の半集合代数とし、$\mu\colon\mathcal{I}\rightarrow [0,\infty]$ を測度とする。$\mu$ が $\sigma$-有限であるとは $\mathcal{I}$ の列 $(C_n)_{n\in \mathbb{N}}$ で、
$$
X=\bigcup_{n\in\mathbb{N}}C_n,\quad \mu(C_n)<\infty\quad(\forall n\in \mathbb{N})
$$
を満たすものが存在することを言う。

=== 命題13.5（有限加法族上の測度の $\sigma$-有限性に関して） ===
$\mathcal{A}\subset 2^X$ を集合 $X$ 上の有限加法族とし、$\mu\colon\mathcal{A}\rightarrow[0,\infty]$ を $\sigma$-有限測度とする。このとき、
*$(1)$　$\mathcal{A}$ の非交叉列 $(A_n)_{n\in \mathbb{N}}$ で $X=\bigcup_{n\in\mathbb{N}}A_n$、$\mu(A_n)<\infty$ $(\forall n\in\mathbb{N})$ なるものが取れる。
*$(2)$　$\mathcal{A}$ の単調増加列 $(A_n)_{n\in \mathbb{N}}$ で $X=\bigcup_{n\in\mathbb{N}}A_n$、$\mu(A_n)<\infty$ $(\forall n\in\mathbb{N})$ なるものが取れる。
{{begin |proof }}
$\sigma$-有限性より $X=\bigcup_{n\in\mathbb{N}}E_n$、$\mu(E_n)<\infty$ $(\forall n\in \mathbb{N})$ を満たす $\mathcal{A}$ の列 $(E_n)_{n\in \mathbb{N}}$ が取れる。$(1)$ については $A_1:=E_1$、$A_n:=E_n\backslash (E_1\cup\ldots \cup E_{n-1})$ $(\forall n\geq2)$ とおけばよく、$(2)$ については$A_n=\bigcup_{j=1}^{n}E_j$ $(\forall n\in \mathbb{N})$ とおけばよい。（有限加法族上の測度の単調性と有限劣加法性に注意。）
{{end |proof | }}

=== 補題13.6（Carathéodory外測度） ===
$\mathcal{A}\subset 2^X$ を集合 $X$ 上の有限加法族、$\mu\colon\mathcal{A}\rightarrow[0,\infty]$ を $\sigma$-加法的測度とする。そして任意の $E\in 2^X$ に対し、
$$
\mu^*(E)\colon=\inf\left\{\sum_{n\in \mathbb{N}}\mu(A_n):\{A_n\}_{n\in\mathbb{N}}\subset \mathcal{A},\text{}E\subset \bigcup_{n\in\mathbb{N}}A_n\right\}
$$
として $\mu^*\colon 2^X\rightarrow[0,\infty]$ を定義し、
$$
\mathfrak{M}\colon=\{A\in 2^X:\mu^*(E\cap A)+\mu^*(E\backslash A)=\mu^*(E)\text{ }(\forall E\in 2^X)\}
$$
とおく。このとき次が成り立つ。
*$(1)$　$\mu^*(\emptyset)=0$. また $\mu^*$ は単調、すなわち $E\subset F$ なる任意の $E,F\in 2^X$ に対し $\mu^*(E)\leq \mu^*(F)$.
*$(2)$　$\mu^*$ は劣 $\sigma$-加法的、すなわち $2^X$ の任意の列 $(E_n)_{n\in \mathbb{N}}$ に対し $\mu^*(\bigcup_{n\in\mathbb{N}}E_n)\leq \sum_{n\in \mathbb{N}}\mu^*(E_n)$.
*$(3)$　$\mathfrak{M}$ は $X$ 上の有限加法族。
*$(4)$　$\mathfrak{M}$ の任意の非交叉列 $(A_n)_{n\in \mathbb{N}}$ に対し、
$$
\mu^*(E)=\sum_{n=1}^{N}\mu^*(E\cap A_n)+\mu^*\left(E\backslash \bigcup_{n=1}^{N}A_n\right)\quad(\forall E\in 2^X, \forall N\in \mathbb{N}).
$$
*$(5)$　$\mathfrak{M}$ は $X$ 上の $\sigma$-加法族。
*$(6)$　$\mathfrak{M}\ni A\mapsto \mu^*(A)\in [0,\infty]$ は測度。
*$(7)$　$\mathcal{A}\subset \mathfrak{M}$.
*$(8)$　$\mu^*$ は $\mu$ の拡張。
{{begin |proof }}
*$(1)$　自明である。
*$(2)$　$\sum_{n\in \mathbb{N}}\mu^*(E_n)<\infty$ と仮定して示せばよい。任意の $\epsilon\in(0,\infty)$、任意の $n\in \mathbb{N}$ に対し $\{A_{n,m}\}_{m\in\mathbb{N}}\subset \mathcal{A}$ で、
$$
E_n\subset \bigcup_{m\in\mathbb{N}}A_{n,m},\quad \sum_{m\in\mathbb{N}}\mu^*(A_{n,m})<\mu^*(E_n)+\frac{\epsilon}{2^n}
$$
なるものが取れる。このとき $\bigcup_{n\in \mathbb{N}}E_n\subset \bigcup_{n,m\in\mathbb{N}}A_{n,m}$ であり、
$$
\sum_{n,m\in\mathbb{N}}\mu(A_{n,m})<\sum_{n\in\mathbb{N}}\left(\mu^*(E_n)+\frac{\epsilon}{2^n} \right)=\sum_{n\in\mathbb{N}}\mu^*(E_n)+\epsilon
$$
であるから、$\mu^*(\bigcup_{n\in \mathbb{N}}E_n)\leq \sum_{n\in \mathbb{N}}\mu^*(E_n)+\epsilon$ である。$\epsilon\in(0,\infty)$ は任意なので $\mu^*(\bigcup_{n\in \mathbb{N}}E_n)\leq \sum_{n\in \mathbb{N}}\mu^*(E_n)$ が成り立つ。

*$(3)$　$X\in \mathfrak{M}$ であることと任意の $A\in \mathfrak{M}$ に対し $X\backslash A\in \mathfrak{M}$ であることは自明である。任意の $A,B\in \mathfrak{M}$、任意の $E\in 2^X$ に対し、劣加法性より、
$$
\begin{aligned}
&\mu^*(E\cap(A\cup B))+\mu^*(E\backslash(A\cup B))\\
&\leq \mu^*(E\cap A\cap B)+\mu^*((E\cap A)\backslash B)+\mu^*((E\backslash A) \cap B)+\mu^*((E\backslash A)\backslash B)\\
&=\mu^*(E\cap A)+\mu^*(E\backslash A)=\mu^*(E)
\end{aligned}
$$
である。よって $\mu^*(E\cap(A\cup B))+\mu^*(E\backslash (A\cup B))\leq\mu^*(E)$ であり、逆の不等式も劣加法性より成り立つので
$A\cup B\in \mathfrak{M}$ である。ゆえに $\mathfrak{M}$ は有限加法族である。
*$(4)$　$N$ に関する帰納法で示す。$N=1$ の場合は自明。ある $N\in \mathbb{N}$ に対して成り立つと仮定する。
$$
E\cap A_{N+1}=\left(E\backslash \bigcup_{n=1}^{N}A_n\right)\cap A_{N+1},\quad
E\backslash \bigcup_{n=1}^{N+1}A_n=\left(E\backslash \bigcup_{n=1}^{N}A_n\right)\backslash A_{N+1}
$$
であるから、
$$
\begin{aligned}
&\sum_{n=1}^{N+1}\mu^*(E\cap A_n)+\mu^*\left(E\backslash \bigcup_{n=1}^{N+1}A_n\right)
=\sum_{n=1}^{N}\mu^*(E\cap A_n)+\mu^*(E\cap A_{N+1})+\mu^*\left(E\backslash \bigcup_{n=1}^{N+1}A_n\right)\\
&=\sum_{n=1}^{N}\mu^*(E\cap A_n)+\mu^*\left(E\backslash \bigcup_{n=1}^{N}A_n\right)=\mu^*(E)
\end{aligned}
$$
である。よって $N+1$ の場合も成り立つ。
*$(5)$　$\mathfrak{M}$ の任意の非交叉列 $(A_n)_{n\in \mathbb{N}}$ と任意の $E\in 2^X$ に対し $(4)$ と単調性、劣 $\sigma$-加法性より、
$$
\mu^*(E)\geq \sum_{n\in \mathbb{N}}\mu^*(E\cap A_n)+\mu^*\left(E\backslash \bigcup_{n\in\mathbb{N}}A_n\right)
\geq \mu^*\left(E\cap \bigcup_{n\in\mathbb{N}} A_n\right)+\mu^*\left(E\backslash \bigcup_{n\in\mathbb{N}}A_n\right)
$$
であるから $\bigcup_{n\in \mathbb{N}}A_n\in \mathfrak{M}$ である。このことと $\mathfrak{M}$ が有限加法族であることから、$\mathfrak{M}$ の任意の列 $(A_n)_{n\in \mathbb{N}}$ に対し $\bigcup_{n\in \mathbb{N}}A_n\in \mathfrak{M}$ であるので、$\mathfrak{M}$ は $\sigma$-加法族である。
*$(6)$　$\mathfrak{M}$ の任意の非交叉列 $(A_n)_{n\in \mathbb{N}}$ に対し $E=\bigcup_{n\in \mathbb{N}}A_n$ とおくと、$(4)$ より、
$$
\mu^*(E)\geq\sum_{n\in\mathbb{N}}\mu^*(E\cap A_n)=\sum_{n\in \mathbb{N}}\mu^*(A_n)
$$
である。劣 $\sigma$-加法性より逆の不等式も成り立つ。よって $\mathfrak{M}\ni A\mapsto \mu^*(A)\in [0,\infty]$ は測度である。
*$(7)$　任意の $A\in \mathcal{A}$、任意の $E\in 2^X$ に対し、
$$
\mu^*(E\cap A)+\mu^*(E\backslash A)\leq \mu^*(E)\quad\quad(*)
$$
が成り立つことを示せばよい。$\mu^*(E)<\infty$ とすると、任意の $\epsilon\in(0,\infty)$ に対し $\mathcal{A}$ の列 $(A_n)_{n\in \mathbb{N}}$ で、
$$
E\subset \bigcup_{n\in\mathbb{N}}A_n,\quad\sum_{n\in \mathbb{N}}\mu(A_n)<\mu^*(E)+\epsilon
$$
なるものが取れる。$\mathcal{A}$ の列 $(A_n\cap A)_{n\in \mathbb{N}}$ と $(A_n\backslash A)_{n\in\mathbb{N}}$ はそれぞれ $E\cap A$ と $E\backslash A$ を被覆するから、
$$
\begin{aligned}
\mu^*(E\cap A)+\mu^*(E\backslash A)\leq \sum_{n\in\mathbb{N}}\mu(A_n\cap A)+\sum_{n\in \mathbb{N}}\mu(A_n\backslash A)=\sum_{n\in \mathbb{N}}\mu(A_n)<\mu^*(E)+\epsilon
\end{aligned}
$$
である。よって $(*)$ が成り立つ。
*$(8)$　
任意の $A\in \mathcal{A}$ を取る。$\mu^*(A)\leq \mu(A)$ は自明。逆の不等式を示す。$A\subset \bigcup_{n\in \mathbb{N}}A_n$ なる $\mathcal{A}$ の任意の列 $(A_n)_{n\in \mathbb{N}}$ に対し、$\mu$ の劣 $\sigma$-加法性と単調性 ('''命題13.3''') より、
$$
\mu(A)=\mu\left(\bigcup_{n\in \mathbb{N}}(A\cap A_n)\right)
\leq \sum_{n\in \mathbb{N}}\mu(A_n)
$$
であるから $\mu(A)\leq \mu^*(A)$ が成り立つ。
{{end |proof | }}

=== 定理13.7（Carathéodoryの拡張定理） ===
$\mathcal{A}\subset 2^X$ を集合 $X$ 上の有限加法族、$\mu\colon\mathcal{A}\rightarrow[0,\infty]$ を $\sigma$-加法的測度とする。このとき $\mu$ は $\sigma(\mathcal{A})$ 上の測度に拡張できる。そしてもし $\mu$ が $\sigma$-有限ならば、その拡張は一意的である。
{{begin |proof }}
拡張の存在は'''補題13.6'''による。$\mu$ が $\sigma$-有限であるとして拡張の一意性を示す。測度 $\mu_1,\mu_2:\sigma(\mathcal{A})\rightarrow[0,\infty]$ がそれぞれ $\mu$ の拡張であるとする。$\sigma$-有限性より $\mathcal{A}$ の非交叉列 $(A_n)_{n\in \mathbb{N}}$ で $X=\bigcup_{n\in\mathbb{N}}A_n$、$\mu(A_n)<\infty$ $(\forall n\in \mathbb{N})$ なるものが取れる（'''命題13.5'''）。任意の $n\in \mathbb{N}$ に対し、
$$
\mathcal{M}_n:=\{E\in \sigma(\mathcal{A}):\mu_1(E\cap A_n)=\mu_2(E\cap A_n)\}
$$
とおくと、$\mathcal{M}_n$ は $\mathcal{A}$ を含む。また $\mu(A_n)<\infty$ であることと測度の単調収束性（'''命題6.3'''）より $\mathcal{M}_n$ は単調族である。よって単調族定理より、
$$
\mathcal{M}_n=\sigma(\mathcal{A})\quad(\forall n\in \mathbb{N})
$$
であるから、
$$
\mu_1(E\cap A_n)=\mu_2(E\cap A_n)\quad(\forall E\in \sigma(\mathcal{A}),\forall n\in\mathbb{N})
$$
が成り立つ。ゆえに任意の $E\in \sigma(\mathcal{A})$ に対し、
$$
\mu_1(E)=\sum_{n\in \mathbb{N}}\mu_1(E\cap A_n)=\sum_{n\in \mathbb{N}}\mu_2(E\cap A_n)=\mu_2(E)
$$
である。これで一意性が示せた。
{{end |proof | }}

== 14. 直積測度、Tonelliの定理、Fubiniの定理 ==

=== 定理14.1（$\sigma$-有限測度の直積測度の一意存在） ===

$(X_j,\mathfrak{M}_j,\mu_j)$ $(j=1,\ldots,N)$ をそれぞれ $\sigma$-有限測度空間とする。このとき直積可測空間 $(\prod_{j=1}^NX_j,\bigotimes_{j=1}^{N}\mathfrak{M}_j)$ 上の測度 $\mu$ で、
$$
\mu(E_1\times\ldots\times E_N)=\mu_1(E_1)\ldots \mu_N(E_N)\quad(\forall E_1\in\mathfrak{M}_1,\ldots,E_N\in \mathfrak{M}_N)\quad\quad(*)
$$
を満たすものが唯一つ存在する。
{{begin |proof }}
$\prod_{j=1}^{N}X_j$ 上の半集合代数
$$\mathfrak{M}_1\times\ldots\times\mathfrak{M}_N\colon=\{E_1\times\ldots\times E_N:E_1\in \mathfrak{M}_1,\ldots,E_N\in \mathfrak{M}_N\}
$$
に対し、$\mu\colon\mathfrak{M}_1\times\ldots\times\mathfrak{M}_N\rightarrow[0,\infty]$ を $(*)$ により定義する。このとき $\mu$ は半集合代数上の $\sigma$-加法的測度である。実際、$\mathfrak{M}_1\times\ldots\times \mathfrak{M}_N$ の非交叉列 $(E_{1,n}\times\ldots\times E_{N,n})_{n\in \mathbb{N}}$ で、
$$
\bigcup_{n\in\mathbb{N}}E_{1,n}\times\ldots\times E_{N,n}\in \mathfrak{M}_1\times\ldots\times \mathfrak{M}_N
$$
なるものを考え、$E_1\times\ldots\times E_N=\bigcup_{n\in\mathbb{N}}E_{1,n}\times\ldots\times E_{N,n}$ とおくと、
$$
\chi_{E_1}(x_1)\ldots\chi_{E_N}(x_N)=\sum_{n\in\mathbb{N}}\chi_{E_{1,n}}(x_1)\ldots\chi_{E_{N,n}}(x_N)\quad(\forall (x_1,\ldots,x_N)\in X_1\times\ldots\times X_N)
$$
であるから、各変数ごとに単調収束定理（非負値可測関数列の和の項別積分）を順次適用することで、
$$
\mu_1(E_1)\ldots\mu_N(E_N)=\sum_{n\in\mathbb{N}}\mu_1(E_{1,n})\ldots\mu_N(E_{N,n})
$$
を得る。よって $\mu$ は $\sigma$-加法的である。'''命題13.2'''より $\mu$ は $\mathcal{A}(\mathfrak{M}_1\times\ldots\times\mathfrak{M}_N)$ 上の $\sigma$-加法的測度に一意拡張できる。そして $\mu_1,\ldots,\mu_N$ の $\sigma$-有限性より $\mu$ は $\sigma$-有限であるから、Carathéodoryの拡張定理より、$\mu$ は $\bigotimes_{j=1}^{N}\mathfrak{M}_j=\sigma(\mathfrak{M}_1\times\ldots\times\mathfrak{M}_N)$ 上の測度に一意拡張できる。
{{end |proof | }}

=== 定義14.2（$\sigma$-有限測度の直積測度） ===
'''定理14.1'''における直積可測空間 $(\prod_{j=1}^NX_j,\bigotimes_{j=1}^{N}\mathfrak{M}_j)$ 上の測度 $\mu$ を $\mu_1,\ldots,\mu_N$ の直積測度と言い、$\mu_1\otimes\ldots\otimes\mu_N$ や $\otimes_{j=1}^{N}\mu_j$ などと表す。

=== 補題14.3（基本補題） ===
$(X_j,\mathfrak{M}_j,\mu_j)$ $(j=1,\ldots,N)$ をそれぞれ $\sigma$-有限測度空間、$f\colon\prod_{j=1}^{N}X_j\rightarrow[0,\infty]$ を直積可測空間上の非負値可測関数とする。このとき任意の $k\in\{1,\ldots,N\}$、任意の $x_j\in X_j$ $(j\neq k)$ に対し、
$$
X_k\ni x_k\mapsto f(x_1,\ldots,x_k,\ldots,x_N)\in [0,\infty]\quad\quad(*)
$$
は可測関数であり、
$$
X_1\times\ldots\widehat{X_k}\ldots\times X_N\ni (x_1,\ldots,\widehat{x_k},\ldots,x_N)
\mapsto \int_{X_k}f(x_1,\ldots,x_k,\ldots,x_N)d\mu_k(x_k)\in [0,\infty]\quad\quad(**)
$$
（$\widehat{X_k}$、 $\widehat{x_k}$ はそれぞれ $X_k$、$x_k$ を飛ばすことを意味する）は直積可測空間上の可測関数である。
{{begin |proof }}
$x_j\in X_j$ $(j\neq k)$ を固定し、
$$
\iota_k\colon X_k\ni x_k\mapsto (x_1,\ldots,x_k,\ldots,x_N)\in X_1\times\ldots\times X_N
$$
とおく。任意の $E_1\in\mathfrak{M}_1,\ldots,E_N\in \mathfrak{M}_N$ に対し $\iota_k^{-1}(E_1\times\ldots\times E_N)$ は $E_k$ か $\emptyset$ であるから $\iota_k$ は可測写像である（'''命題2.3'''）。$(*)$ は可測関数 $\iota_k$ と $f$ の合成であるから可測関数である。$(**)$ が可測関数であることを示すには、非負値可測関数の可測単関数の各点単調増加列による近似（'''定理5.5'''）と単調収束定理
より、任意の $E\in\bigotimes_{j=1}^{N}\mathfrak{M}_j$ に対し $f=\chi_E$ であるとして示せば十分である。さらにそのためには $\mu_k$ の $\sigma$-有限性と単調収束定理より $\mu_k(A_k)<\infty$ なる $A_k\in\mathfrak{M}_k$ を取り、
$$
X_1\times\ldots\widehat{X_k}\ldots\times X_N\ni (x_1,\ldots,\widehat{x_k},\ldots,x_N)
\mapsto \int_{X_k}\chi_E(x_1,\ldots,x_k,\ldots,x_N)\chi_{A_k}(x_k)d\mu_k(x_k)\in [0,\infty)\quad\quad(***)
$$
が可測関数であることを示せば十分である。$E\in \mathfrak{M}_1\times\ldots\times\mathfrak{M}_N$ の場合は $(***)$ は明らかに可測関数である。よって'''命題12.7'''より $E\in \mathcal{A}(\mathfrak{M}_1\times\ldots\times \mathfrak{M}_N)$ の場合も $(***)$ は可測関数である。$x_j\in X_j$ $(j\neq k)$ を固定したとき、
$$
\bigotimes_{j=1}^{N}\mathfrak{M}_j\ni E\mapsto \int_{X_k}\chi_E(x_1,\ldots,x_k,\ldots,x_N)\chi_{A_k}(x_k)d\mu_k(x_k)\in [0,\infty)
$$
は有限測度であるから、測度の単調収束性（'''命題6.3'''）より、 $(***)$ が可測関数となるような $E\in \bigotimes_{j=1}^{N}\mathfrak{M}_j$ 全体は単調族である。よって単調族定理より、任意の $E\in \bigotimes_{j=1}^{N}\mathfrak{M}_j=\sigma(\mathcal{A}(\mathfrak{M}_1\times\ldots\times\mathfrak{M}_N))$ に対し、$(***)$ は可測関数である。
{{end |proof | }}

=== 定理14.4（Tonelliの定理） ===
$(X_j,\mathfrak{M}_j,\mu_j)$ $(j=1,\ldots,N)$ をそれぞれ $\sigma$-有限測度空間、$f\colon\prod_{j=1}^{N}X_j\rightarrow[0,\infty]$ を直積可測空間上の非負値可測関数、$\sigma$ を $N$ 次の置換とする。このとき、
$$
\begin{aligned}
&\int_{\prod_{j=1}^{N}X_j}f(x_1,\ldots,x_N)d\otimes_{j=1}^{N}\mu_j(x_1,\ldots,x_N)\\
&=\int_{X_{\sigma(1)}}\left(\ldots\left(\int_{X_{\sigma(N)}}f(x_1,\ldots,x_N)d\mu_{\sigma(N)}(x_{\sigma(N)})\right)\ldots\right)d\mu_{\sigma(1)}(x_{\sigma(1)})
\end{aligned}
$$
が成り立つ。（右辺の累次積分が意味を持つのは'''補題14.3'''による。）
{{begin |proof }}
非負値可測関数の可測単関数の各点単調増加列による近似（'''定理5.5'''）と単調収束定理
より、任意の $E\in\bigotimes_{j=1}^{N}\mathfrak{M}_j$ に対し $f=\chi_E$ であるとして示せば十分である。任意の $E\in \bigotimes_{j=1}^{N}\mathfrak{M}_j$ に対し、
$$
\mu(E)\colon=\int_{X_{\sigma(1)}}\left(\ldots\left(\int_{X_{\sigma(N)}}\chi_E(x_1,\ldots,x_N)d\mu_{\sigma(N)}(x_{\sigma(N)})\right)\ldots\right)d\mu_{\sigma(1)}(x_{\sigma(1)})
$$
とおけば単調収束定理（非負値可測関数列の和の項別積分）より $\mu\colon\bigotimes_{j=1}^{N}\mathfrak{M}_j\rightarrow[0,\infty]$ は測度である。また明らかに、
$$
\mu(E_1\times\ldots\times E_N)=\mu_1(E_1)\ldots\mu_N(E_N)\quad(\forall E_1\in\mathfrak{M}_1,\ldots,E_N\in \mathfrak{M}_N)
$$
である。よって直積測度の一意性（'''定理14.1'''）より $\mu=\otimes_{j=1}^{N}\mu_j$ である。ゆえに成り立つ。
{{end |proof | }}

=== 定理14.5（Fubiniの定理） ===
$(X_1,\mathfrak{M}_1,\mu_1)$, $(X_2,\mathfrak{M}_2,\mu_2)$ をそれぞれ $\sigma$-有限測度空間、$f\in \mathcal{L}^1(X_1\times X_2,\mathfrak{M}_1\otimes\mathfrak{M}_2,\mu_1\otimes\mu_2)$ とする。$j,k\in\{1,2\}$、$j\neq k$ として、
$$
N_k\colon=\left\{x_k\in X_k:\int_{X_j}\lvert f(x_1,x_2)\rvert d\mu_j(x_j)=\infty\right\}
$$
とおき、$F_k\colon X_k\rightarrow\mathbb{C}$ を、
$$
F_k(x_k)\colon=\left\{\begin{array}{cl}\int_{X_j}f(x_1,x_2)d\mu_j(x_j)\quad&(x_k\in X\backslash N_k)\\0&(x_k\in N_k)\end{array}\right.
$$
として定義する。このとき $N_k$ は $\mu_k$-零集合であり、$F_k\in\mathcal{L}^1(X_k,\mathfrak{M}_k,\mu_k)$ である。そして、
$$
\int_{X_k}F_k(x_k)d\mu_k(x_k)=\int_{X_1\times X_2}f(x_1,x_2)d(\mu_1\otimes\mu_2)(x_1,x_2)\quad\quad(*)
$$
が成り立つ。
{{begin |proof }}
'''補題14.3'''より、
$$
X_k\ni x_k\mapsto \int_{X_j}\lvert f(x_1,x_2)\rvert d\mu_j(x_j)\in [0,\infty]
$$
は可測関数であり、Tonelliの定理より、
$$
\int_{X_k}\left(\int_{X_j}\lvert f(x_1,x_2)\rvert d\mu_j(x_j)\right)d\mu_k(x_k)
=\int_{X_1\times X_2}\lvert f(x_1,x_2)\rvert d(\mu_1\otimes\mu_2)(x_1,x_2)<\infty
$$
であるから、'''命題9.4'''より $N_k$ は $\mu_k$-零集合である。以後、$F_k\in \mathcal{L}^1(X_k,\mathfrak{M}_k,\mu_k)$ であることと $(*)$ を示すが、実部と虚部に分けて考えればよいので、 $f$ は実数値関数であるとして示す。
$$
F_k(x_k)=\int_{X_j}f_+(x_1,x_2)d\mu_j(x_j)\chi_{X_k\backslash N_k}(x_k)-\int_{X_j}f_-(x_1,x_2)d\mu_j(x_j)\chi_{X_k\backslash N_k}(x_k)\quad(\forall x_k\in X_k)
$$
であるので、'''補題14.3'''より $F_k:X_k\rightarrow \mathbb{R}$ は可測関数である。そしてTonelliの定理より、
$$
\int_{X_k}\int_{X_j}f_{\pm}(x_1,x_2) d\mu_j(x_j)d\mu_k(x_k)
=\int_{X_1\times X_2} f_{\pm}(x_1,x_2)d(\mu_1\otimes\mu_2)(x_1,x_2)<\infty
$$
であるから $F_k\in \mathcal{L}^1(X_k,\mathfrak{M}_k,\mu_k)$ であり、$N_k$ が $\mu_k$-零集合であることから、
$$
\begin{aligned}
\int_{X_k}F_k(x_k)d\mu_k(x_k)&=\int_{X_k}\int_{X_j}f_+(x_1,x_2)d\mu_j(x_j)d\mu_k(x_k)-\int_{X_k}\int_{X_j}f_-(x_1,x_2)d\mu_j(x_j)d\mu_k(x_k)\\
&=\int_{X_1\times X_2}f_+(x_1,x_2)d(\mu_1\otimes\mu_2)(x_1,x_2)-
\int_{X_1\times X_2}f_-(x_1,x_2)d(\mu_1\otimes\mu_2)(x_1,x_2)\\
&=\int_{X_1\times X_2}f(x_1,x_2)d(\mu_1\otimes\mu_2)(x_1,x_2)
\end{aligned}
$$
である。
{{end |proof | }}

== 次に読む ==
* [[測度と積分4：測度論の基本定理(2)]]

== 関連項目 ==
* [[入門テキスト「位相線形空間」]]
* [[速習コース「位相空間論の基礎事項」]]
* [[ネットによる位相空間論]]
* [[フィルターによる位相空間論]]

== 脚注 ==

測度と積分3：測度論の基本定理(1)

2026-02-26T12:00:16Z

Kataoka: /* 定理14.5（Fubiniの定理） */

この章では、積分の基本定理であるLebesgue優収束定理、Tonelli-Fubiniの定理について述べる。Lebesgue優収束定理は[[測度と積分2：測度空間上の積分]]で述べた単調収束定理と共に極限と積分の順序交換について正当化する定理である。またTonelli-Fubiniの定理は積分が累次積分で表されることや累次積分が順序に依らないことについて正当化する定理である。これらは積分を運用していく際に非常に汎用される基本定理である。また、測度論を用いた証明の技術的なところで基本的になる単調族定理やCarathéodoryの拡張定理についても述べる。これらはTonelli-Fubiniの定理の証明でも用いられる。
<noinclude>
{{TOC |align=right |noautonum=1 }}
'''[[入門テキスト「測度と積分」]]'''
* [[測度と積分1：測度論の基礎用語]]
* [[測度と積分2：測度空間上の積分]]
* '''測度と積分3：測度論の基本定理(1)'''
* [[測度と積分4：測度論の基本定理(2)]]
* [[測度と積分5：$L^p$ 空間の完備性と双対性]]
* [[測度と積分6：数え上げ測度と $\ell^p$ 空間]]
* [[測度と積分7：局所コンパクトHausdorff空間上のRadon測度]]
* [[測度と積分8：Lebesgue測度の基本的性質]]
* [[測度と積分9：Bochner積分]]
</noinclude>
== 11. Fatouの補題、Lebesgue優収束定理 ==

=== 補題11.1（Fatouの補題） ===
$(X,\mathfrak{M},\mu)$ を測度空間、$(f_n)_{n\in \mathbb{N}}$ を非負値可測関数の列とする。このとき、
$$
\int_{X}\sup_{n\in \mathbb{N}}\inf_{k\geq n}f_k(x)d\mu(x)\leq \sup_{n\in\mathbb{N}}\inf_{k\geq n}\int_{X}f_k(x)d\mu(x)\quad\quad(*)
$$
が成り立つ。（ $\inf_{k\geq n}f_k$、$\sup_{n\in \mathbb{N}}\inf_{k\geq n}f_k$ の可測性については'''命題4.8'''を参照。）
{{begin |proof }}
$g_n\colon=\inf_{k\geq n}f_k$ とおくと $(g_n)_{n\in \mathbb{N}}$ は非負値可測関数の各点単調増加列であるから、単調収束定理より、
$$
\int_{X}\sup_{n\in\mathbb{N}}g_n(x)d\mu(x)=\sup_{n\in\mathbb{N}}\int_{X}g_n(x)d\mu(x)
$$
が成り立つ。また積分の単調性より、
$$
\int_{X}g_n(x)d\mu(x)\leq \inf_{k\geq n}\int_{X}f_k(x)d\mu(x)\quad(\forall n\in\mathbb{N})
$$
が成り立つ。よって、
$$
\int_{X}\sup_{n\in\mathbb{N}}g_n(x)d\mu(x)=\sup_{n\in\mathbb{N}}\int_{X}g_n(x)d\mu(x)\leq \sup_{n\in\mathbb{N}}\inf_{k\geq n}\int_{X}f_k(x)d\mu(x)
$$
であるので $(*)$ を得る。
{{end |proof | }}

=== 定理11.2（Lebesgue優収束定理） ===
$(X,\mathfrak{M},\mu)$ を測度空間、$(f_n)_{n\in \mathbb{N}}$ を複素数値可測関数の列とし、次が成り立つとする。
*$(1)$　任意の $x\in X$ に対し $f(x):=\lim_{n\rightarrow\infty}f_n(x)\in \mathbb{C}$ が存在する。
*$(2)$　非負値の $h\in \mathcal{L}^1(X,\mathfrak{M},\mu)$ で $\lvert f_n(x)\rvert\leq h(x)$ $(\forall n\in\mathbb{N},\forall x\in X)$ を満たすものが存在する。
このとき $f,f_n\in \mathcal{L}^1(X,\mathfrak{M},\mu)$ $(\forall n\in\mathbb{N})$ であり、
$$
\int_{X}f(x)d\mu(x)=\lim_{n\rightarrow\infty}\int_{X}f_n(x)d\mu(x)\quad\quad(*)
$$
が成り立つ。
{{begin |proof }}
実部と虚部に分けて考えればよいので各 $f_n$ は実数値関数であるとして示せば十分である。
$$ f(x)=\lim_{n\rightarrow\infty} f_n(x)=\sup_{n\in\mathbb{N}}\inf_{k\geq n}f_k(x)=\inf_{n\in \mathbb{N}}\sup_{k\geq n}f_k(x)\quad(\forall x\in X)$$
であるので $f\colon X\rightarrow\mathbb{R}$ は可測関数である。
$$
\lvert f(x)\rvert=\lim_{n\rightarrow\infty}\lvert f_n(x)\rvert\leq h(x)\quad(\forall x\in X)\quad\quad(**)
$$
であるから積分の単調性より $f,f_n\in \mathcal{L}^1(X,\mathfrak{M},\mu)$ $(\forall n\in \mathbb{N})$ である。$(h\pm f_n)_{n\in \mathbb{N}}$ は非負値可測関数の列であるのでFatouの補題と $(**)$ より、
$$
\int_{X}h(x)\pm f(x)d\mu(x)\leq \sup_{n\in \mathbb{N}}\inf_{k\geq n}\int_{X}h(x)\pm f_k(x)d\mu(x)
$$
である。よって積分の線形性より、
$$
\int_{X}f(x)d\mu(x)\leq \sup_{n\in \mathbb{N}}\inf_{k\geq n}\int_{X}f_k(x)d\mu(x),
$$
$$ -\int_{X}f(x)d\mu(x)\leq \sup_{n\in \mathbb{N}}\inf_{k\geq n}\left(-\int_{X}f_k(x)d\mu(x)\right)=-\inf_{n\in \mathbb{N}}\sup_{k\geq n}\int_{X}f_k(x)d\mu(x)
$$
である。これより、
$$
\inf_{n\in \mathbb{N}}\sup_{k\geq n}\int_{X}f_k(x)d\mu(x)
\leq \int_{X}f(x)d\mu(x)\leq \sup_{n\in \mathbb{N}}\inf_{k\geq n}\int_{X}f_k(x)d\mu(x)
$$
であるから $(*)$ が成り立つ。
{{end |proof |}}

== 12. 半集合代数、有限加法族、単調族、単調族定理 ==

=== 定義12.1（半集合代数） ===
$X$ を空でない集合とする。$\mathcal{I}\subset 2^X$ が次の条件を満たすとき $\mathcal{I}$ を $X$ 上の半集合代数と言う。
*$(1)$　$X,\emptyset\in\mathcal{I}$.
*$(2)$　任意の $E,F\in \mathcal{I}$ に対し $E\cap F\in \mathcal{I}$.
*$(3)$　任意の $E\in\mathcal{I}$ に対し $X\backslash E$ は互いに交わらない有限個の $\mathcal{I}$ の要素の合併である。

=== 定義12.2（有限加法族） ===
$X$ を空でない集合とする。$\mathcal{A}\subset 2^X$ が次の条件を満たすとき $\mathcal{A}$ を $X$ 上の有限加法族と言う。
*$(1)$　$X\in \mathcal{A}$.
*$(2)$　任意の $E\in\mathcal{A}$ に対し $X\backslash E\in \mathcal{A}$.
*$(3)$　任意の $E,F\in \mathcal{A}$ に対し $E\cup F\in \mathcal{A}$.

=== 命題12.3 ===
$\mathcal{A}$ を $X$ 上の有限加法族とする。このとき任意の $E,F\in \mathcal{A}$ に対し $E\cap F, E\backslash F\in \mathcal{A}$ が成り立つ。また有限加法族は半集合代数である。
{{begin |proof }}
自明である。
{{end |proof | }}

=== 定義12.4（単調族） ===
$X$ を空でない集合とする。$\mathcal{M}\subset 2^X$ が次の条件を満たすとき $\mathcal{M}$ を $X$ 上の単調族と言う。
*$(1)$　$\mathcal{M}$ の任意の単調増加列 $(E_n)_{n\in\mathbb{N}}$ に対し $\bigcup_{n\in \mathbb{N}}E_n\in \mathcal{M}$.
*$(2)$　$\mathcal{M}$ の任意の単調減少列 $(E_n)_{n\in \mathbb{N}}$ に対し $\bigcap_{n\in \mathbb{N}}E_n\in \mathcal{M}$.

=== 命題12.5（有限加法族かつ単調族 $\Leftrightarrow$ $\sigma$-加法族） ===
集合 $X$ の部分集合族 $\mathfrak{M}\subset 2^X$ に対し、次は互いに同値である。
*$(1)$　$\mathfrak{M}$ は $X$ 上の $\sigma$-加法族である。
*$(2)$　$\mathfrak{M}$ は有限加法族かつ単調族である。
{{begin |proof }}
$(1)\Rightarrow(2)$ は自明である。$(2)$ が成り立つとする。$\mathfrak{M}$ の任意の列 $(E_n)_{n\in \mathbb{N}}$ に対し、
$$
A_n:=\bigcup_{k=1}^{n}E_k\quad(\forall n\in \mathbb{N})
$$
とおけば、$(A_n)_{n\in \mathbb{N}}$ は $\mathfrak{M}$ の単調増加列であるから、
$$
\bigcup_{n\in \mathbb{N}}E_n=\bigcup_{n\in \mathbb{N}}A_n\in \mathfrak{M}
$$
である。よって $\mathfrak{M}$ は $\sigma$-加法族である。
{{end |proof | }}

=== 定義12.6（部分集合族から生成される有限加法族、単調族） ===
$X$ を空でない集合とする。空でない $\mathcal{I}\subset 2^X$ に対し $\mathcal{I}$ を含む $X$ 上の有限加法族全ての交叉は $\mathcal{I}$ を含む最小の有限加法族である。これを $\mathcal{I}$ から生成される有限加法族と言い、$\mathcal{A}(\mathcal{I})$ と表す。また $\mathcal{I}$ を含む $X$ 上の単調族全ての交叉は $\mathcal{I}$ を含む最小の単調族である。これを $\mathcal{I}$ から生成される単調族と言い、$\mathcal{M}(\mathcal{I})$ と表す。

=== 命題12.7（半集合代数から生成される有限加法族の特徴付け） ===
$X$ 上の半集合代数 $\mathcal{I}$ から生成される有限加法族 $\mathcal{A}(\mathcal{I})$ は、
$$
\mathcal{A}(\mathcal{I})=\left\{\text{互いに交わらない有限個の }\mathcal{I}\text{ の要素の合併} \right\}
$$
である。
{{begin |proof }}
右辺を $\mathcal{A}$ とおく。$\mathcal{A}$ が有限加法族であることを示せば十分である。半集合代数の定義の $(2)$ より $\mathcal{A}$ は有限交叉で閉じているから、半集合代数の定義の $(3)$ より任意の $E,F\in \mathcal{A}$ に対し $X\backslash E, F\backslash E\in \mathcal{A}$ である。$E, F\backslash E$ は互いに交わらないから $E\cup F=E\cup(F\backslash E)\in\mathcal{A}$ である。よって $\mathcal{A}$ は有限加法族である。
{{end |proof | }}

=== 定理12.8（単調族定理） ===
$X$ 上の有限加法族 $\mathcal{A}$ に対し、$\sigma(\mathcal{A})=\mathcal{M}(\mathcal{A})$ が成り立つ。
{{begin |proof }}
$\mathcal{M}(\mathcal{A})$ が $\sigma$-加法族であることを示せば十分である。
そのためには'''命題12.5'''より $\mathcal{M}(\mathcal{A})$ が有限加法族であることを示せばよい。任意の $A\in 2^X$ に対し、
$$
\mathcal{M}_A\colon=\{B\in 2^X: A\cup B,A\backslash B, B\backslash A\in \mathcal{M}(\mathcal{A})\}
$$
とおくと、$\mathcal{M}_A$ は $X$ 上の単調族であり、$A,B\in 2^X$ に対し、
$$
B\in \mathcal{M}_A\quad\Leftrightarrow \quad A\in \mathcal{M}_B\quad\quad(*)
$$
である。任意の $A,B\in \mathcal{A}$ に対し $B\in \mathcal{M}_A$ であるから、
$$
\mathcal{M}(\mathcal{A})\subset \mathcal{M}_A\quad(\forall A\in \mathcal{A})
$$
である。<ref>任意の $A\in \mathcal{A}$ を取る。任意の $B\in \mathcal{A}$ に対し $B\in \mathcal{M}_A$ であるから $\mathcal{A}\subset \mathcal{M}_A$ である。そして $\mathcal{M}_A$ は単調族であるから、$\mathcal{M}(\mathcal{A})\subset \mathcal{M}_A$ である。</ref>したがって任意の $B\in \mathcal{M}(\mathcal{A})$ に対し、$B\in\mathcal{M}_A$ $(\forall A\in\mathcal{A})$ であるから、$(*)$ より $A\in\mathcal{M}_B$ $(\forall A\in\mathcal{A})$、つまり $\mathcal{A}\subset\mathcal{M}_B$ である。よって、
$$
\mathcal{M}(\mathcal{A})\subset \mathcal{M}_B\quad(\forall B\in \mathcal{M}(\mathcal{A}))
$$
である。ゆえに $\mathcal{M}(\mathcal{A})$ は有限加法族である。
{{end |proof | }}

== 13. 半集合代数、有限加法族上の測度とCarathéodoryの拡張定理 ==

=== 定義13.1（半集合代数上の測度） ===
$X$ を空でない集合、$\mathcal{I}\subset 2^X$ を半集合代数とする。
$\mu\colon\mathcal{I}\rightarrow [0,\infty]$ が次の条件を満たすとき、$\mu$ を $\mathcal{I}$ 上の'''有限加法的測度'''と言う。
*$(1)$　$\mu(\emptyset)=0$.
*$(2)$　'''（有限加法性）'''　互いに交わらない有限個の $C_1,\ldots,C_n\in \mathcal{I}$ で $\bigcup_{j=1}^nC_j\in \mathcal{I}$ なるものに対し $\mu(\bigcup_{j=1}^{n}C_j)=\sum_{j=1}^{n}\mu(C_j)$.
さらに $\mu:\mathcal{I}\rightarrow[0,\infty]$ が次の条件を満たすとき $\mu$ を $\mathcal{I}$ 上の '''$\sigma$-加法的測度'''と言う。
*$(3)$　'''（$\sigma$-加法性）'''　$\mathcal{I}$ の非交叉列 $(C_n)_{n\in\mathbb{N}}$ で $\bigcup_{n\in \mathbb{N}}C_n\in \mathcal{I}$ なるものに対し $\mu(\bigcup_{n\in \mathbb{N}}C_n)=\sum_{n\in \mathbb{N}}\mu(C_n)$.

=== 命題13.2（半集合代数 $\mathcal{I}$ 上の測度の $\mathcal{A}(\mathcal{I})$ 上の測度への一意拡張） ===
$\mathcal{I}\subset 2^X$ を集合 $X$ 上の半集合代数とし、$\mu_0:\mathcal{I}\rightarrow [0,\infty]$ を有限加法的測度とする。このとき $\mu_0$ は $\mathcal{A}(\mathcal{I})$ 上の有限加法的測度 $\mu$ に一意拡張できる。またもし $\mu_0$ が $\sigma$-加法的測度ならば $\mu$ も $\sigma$-加法的である。
{{begin |proof }}
一意性は'''命題12.7'''による。存在を示す。任意の $A\in \mathcal{A}(\mathcal{I})$ に対し'''命題12.7'''より互いに交わらない有限個の $C_1,\ldots,C_n\in \mathcal{I}$ が存在し $A=\bigcup_{j=1}^{n}C_j$ と表せる。そこで、
$$
\mu(A)\colon=\sum_{j=1}^{n}\mu_0(C_j)
$$
と定義する。これはwell-definedである。実際、有限個の互いに交わらない $D_1,\ldots,D_m\in \mathcal{I}$ に対し $A=\bigcup_{k=1}^{m}D_k$ とも表せるとすると、$\mu_0$ の有限加法性より、
$$
\sum_{j=1}^{n}\mu_0(C_j)=\sum_{j=1}^{n}\sum_{k=1}^{m}\mu_0(C_j\cap D_k)
=\sum_{k=1}^{m}\mu_0(D_k)
$$
である。こうして定義される $\mu\colon\mathcal{A}(\mathcal{I})\rightarrow [0,\infty]$ は明らかに $\mu_0$ の拡張であり、有限加法的測度である。 
$\mu_0$ が $\sigma$-加法的測度であると仮定して $\mu$ が $\sigma$-加法的測度であることを示す。
まず $\mathcal{I}$ の非交叉列 $(C_n)_{n\in \mathbb{N}}$ が $\bigcup_{n\in \mathbb{N}}C_n\in\mathcal{A}(\mathcal{I})$ を満たすとき $\mu(\bigcup_{n\in \mathbb{N}}C_n)=\sum_{n\in \mathbb{N}}\mu(C_n)$ が成り立つことを示す。'''命題12.7'''より互いに交わらない有限個の $D_1,\ldots,D_m\in \mathcal{I}$ が存在し、
$$
\bigcup_{n\in\mathbb{N}}C_n=\bigcup_{k=1}^{m}D_k
$$
と表せる。よって $\mu$ の定義と $\mu_0$ の $\sigma$-加法性より、
$$
\mu\left(\bigcup_{n\in \mathbb{N}}C_n\right)=\sum_{k=1}^{m}\mu_0(D_k)
=\sum_{k=1}^{m}\sum_{n\in\mathbb{N}}\mu_0(C_n\cap D_k)
=\sum_{n\in \mathbb{N}}\sum_{k=1}^{m}\mu_0(C_n\cap D_k)
=\sum_{n\in \mathbb{N}}\mu_0(C_n)
$$
である。次に $\mathcal{A}(\mathcal{I})$ の非交叉列 $(A_n)_{n\in \mathbb{N}}$ が $\bigcup_{n\in \mathbb{N}}A_n\in \mathcal{A}(\mathcal{I})$ を満たすとき $\mu(\bigcup_{n\in \mathbb{N}}A_n)=\sum_{n\in \mathbb{N}}\mu(A_n)$ が成り立つことを示す。'''命題12.7'''より各 $n\in \mathbb{N}$ に対し互いに交わらない有限個の $C_{n,1},\ldots,C_{n,m(n)}\in \mathcal{I}$ が存在し $A_n=\bigcup_{k=1}^{m(n)}C_{n,k}$ と表せる。このとき $(C_{n,k})_{n,k}$ は互いに交わらず、$\bigcup_{n\in \mathbb{N}}A_n=\bigcup_{n\in \mathbb{N}}\bigcup_{k=1}^{m(n)}C_{n,k}$ であるから上で示したことより、
$$
\mu\left(\bigcup_{n\in \mathbb{N}}A_n\right)
=\mu\left(\bigcup_{n\in \mathbb{N}}\bigcup_{k=1}^{m(n)}C_{n,k}\right)
=\sum_{n\in \mathbb{N}}\sum_{k=1}^{m(n)}\mu(C_{n,k})
=\sum_{n\in \mathbb{N}}\mu(A_n)
$$
である。これで $\mu$ の $\sigma$-加法性が示された。
{{end |proof | }}

=== 命題13.3（有限加法族上の測度の基本性質） ===
$\mathcal{A}\subset 2^X$ を集合 $X$ 上の有限加法族とし、$\mu\colon\mathcal{A}\rightarrow[0,\infty]$ を有限加法的測度とする。次が成り立つ。
*$(1)$　'''（単調性）'''　$A\subset B$ なる任意の $A,B\in \mathcal{A}$ に対し $\mu(A)\leq \mu(B)$.
*$(2)$　'''（有限劣加法性）'''　任意の有限個の $A_1,\ldots,A_n\in \mathcal{A}$ に対し $\mu(\bigcup_{j=1}^{n}A_j)\leq \sum_{j=1}^{n}\mu(A_j)$.
また、もし $\mu$ が $\sigma$-加法的測度であるならば、
*$(3)$　'''（$\sigma$-劣加法性）'''　$\mathcal{A}$ の列 $(A_n)_{n\in \mathbb{N}}$ で $\bigcup_{n\in \mathbb{N}}A_n\in \mathcal{A}$ なるものに対し $\mu(\bigcup_{n\in \mathbb{N}}A_n)\leq \sum_{n\in \mathbb{N}}\mu(A_n)$.
{{begin |proof}}
*$(1)$　$\mu(B)=\mu(A)+\mu(B\backslash A)\geq \mu(A)$.
*$(2)$　$B_1:=A_1$、$B_k:=A_k\backslash(A_1\cup\ldots\cup A_{k-1})\in \mathcal{A}$ $(k=2,\ldots,n)$ とおくと $B_1,\ldots,B_n$ は互いに交わらず $\bigcup_{j=1}^{n}A_j=\bigcup_{j=1}^{n}B_j$ である。よって $\mu(\bigcup_{j=1}^{n}A_j)=\mu(\bigcup_{j=1}^{n}B_j)=\sum_{j=1}^{n}\mu(B_j)\leq \sum_{j=1}^{n}\mu(A_j)$ である。
*$(3)$　$B_1\colon=A_1$、$B_n:=A_n\backslash (A_1\cup\ldots A_{n-1})\in\mathcal{A}$ $(\forall n\geq 2)$ とおくと $(B_n)_{n\in\mathbb{N}}$ は非交叉列であり $\bigcup_{n\in \mathbb{N}}A_n=\bigcup_{n\in \mathbb{N}}B_n$ である。よって $\mu(\bigcup_{n\in \mathbb{N}}A_n)=\mu(\bigcup_{n\in\mathbb{N}}B_n)=\sum_{n\in\mathbb{N}}\mu(B_n)\leq \sum_{n\in\mathbb{N}}\mu(A_n)$ である。
{{end |proof | }}

=== 定義13.4（$\sigma$-有限性） ===
$\mathcal{I}\subset 2^X$ を集合 $X$ 上の半集合代数とし、$\mu\colon\mathcal{I}\rightarrow [0,\infty]$ を測度とする。$\mu$ が $\sigma$-有限であるとは $\mathcal{I}$ の列 $(C_n)_{n\in \mathbb{N}}$ で、
$$
X=\bigcup_{n\in\mathbb{N}}C_n,\quad \mu(C_n)<\infty\quad(\forall n\in \mathbb{N})
$$
を満たすものが存在することを言う。

=== 命題13.5（有限加法族上の測度の $\sigma$-有限性に関して） ===
$\mathcal{A}\subset 2^X$ を集合 $X$ 上の有限加法族とし、$\mu\colon\mathcal{A}\rightarrow[0,\infty]$ を $\sigma$-有限測度とする。このとき、
*$(1)$　$\mathcal{A}$ の非交叉列 $(A_n)_{n\in \mathbb{N}}$ で $X=\bigcup_{n\in\mathbb{N}}A_n$、$\mu(A_n)<\infty$ $(\forall n\in\mathbb{N})$ なるものが取れる。
*$(2)$　$\mathcal{A}$ の単調増加列 $(A_n)_{n\in \mathbb{N}}$ で $X=\bigcup_{n\in\mathbb{N}}A_n$、$\mu(A_n)<\infty$ $(\forall n\in\mathbb{N})$ なるものが取れる。
{{begin |proof }}
$\sigma$-有限性より $X=\bigcup_{n\in\mathbb{N}}E_n$、$\mu(E_n)<\infty$ $(\forall n\in \mathbb{N})$ を満たす $\mathcal{A}$ の列 $(E_n)_{n\in \mathbb{N}}$ が取れる。$(1)$ については $A_1:=E_1$、$A_n:=E_n\backslash (E_1\cup\ldots \cup E_{n-1})$ $(\forall n\geq2)$ とおけばよく、$(2)$ については$A_n=\bigcup_{j=1}^{n}E_j$ $(\forall n\in \mathbb{N})$ とおけばよい。（有限加法族上の測度の単調性と有限劣加法性に注意。）
{{end |proof | }}

=== 補題13.6（Carathéodory外測度） ===
$\mathcal{A}\subset 2^X$ を集合 $X$ 上の有限加法族、$\mu\colon\mathcal{A}\rightarrow[0,\infty]$ を $\sigma$-加法的測度とする。そして任意の $E\in 2^X$ に対し、
$$
\mu^*(E)\colon=\inf\left\{\sum_{n\in \mathbb{N}}\mu(A_n):\{A_n\}_{n\in\mathbb{N}}\subset \mathcal{A},\text{}E\subset \bigcup_{n\in\mathbb{N}}A_n\right\}
$$
として $\mu^*\colon 2^X\rightarrow[0,\infty]$ を定義し、
$$
\mathfrak{M}\colon=\{A\in 2^X:\mu^*(E\cap A)+\mu^*(E\backslash A)=\mu^*(E)\text{ }(\forall E\in 2^X)\}
$$
とおく。このとき次が成り立つ。
*$(1)$　$\mu^*(\emptyset)=0$. また $\mu^*$ は単調、すなわち $E\subset F$ なる任意の $E,F\in 2^X$ に対し $\mu^*(E)\leq \mu^*(F)$.
*$(2)$　$\mu^*$ は劣 $\sigma$-加法的、すなわち $2^X$ の任意の列 $(E_n)_{n\in \mathbb{N}}$ に対し $\mu^*(\bigcup_{n\in\mathbb{N}}E_n)\leq \sum_{n\in \mathbb{N}}\mu^*(E_n)$.
*$(3)$　$\mathfrak{M}$ は $X$ 上の有限加法族。
*$(4)$　$\mathfrak{M}$ の任意の非交叉列 $(A_n)_{n\in \mathbb{N}}$ に対し、
$$
\mu^*(E)=\sum_{n=1}^{N}\mu^*(E\cap A_n)+\mu^*\left(E\backslash \bigcup_{n=1}^{N}A_n\right)\quad(\forall E\in 2^X, \forall N\in \mathbb{N}).
$$
*$(5)$　$\mathfrak{M}$ は $X$ 上の $\sigma$-加法族。
*$(6)$　$\mathfrak{M}\ni A\mapsto \mu^*(A)\in [0,\infty]$ は測度。
*$(7)$　$\mathcal{A}\subset \mathfrak{M}$.
*$(8)$　$\mu^*$ は $\mu$ の拡張。
{{begin |proof }}
*$(1)$　自明である。
*$(2)$　$\sum_{n\in \mathbb{N}}\mu^*(E_n)<\infty$ と仮定して示せばよい。任意の $\epsilon\in(0,\infty)$、任意の $n\in \mathbb{N}$ に対し $\{A_{n,m}\}_{m\in\mathbb{N}}\subset \mathcal{A}$ で、
$$
E_n\subset \bigcup_{m\in\mathbb{N}}A_{n,m},\quad \sum_{m\in\mathbb{N}}\mu^*(A_{n,m})<\mu^*(E_n)+\frac{\epsilon}{2^n}
$$
なるものが取れる。このとき $\bigcup_{n\in \mathbb{N}}E_n\subset \bigcup_{n,m\in\mathbb{N}}A_{n,m}$ であり、
$$
\sum_{n,m\in\mathbb{N}}\mu(A_{n,m})<\sum_{n\in\mathbb{N}}\left(\mu^*(E_n)+\frac{\epsilon}{2^n} \right)=\sum_{n\in\mathbb{N}}\mu^*(E_n)+\epsilon
$$
であるから、$\mu^*(\bigcup_{n\in \mathbb{N}}E_n)\leq \sum_{n\in \mathbb{N}}\mu^*(E_n)+\epsilon$ である。$\epsilon\in(0,\infty)$ は任意なので $\mu^*(\bigcup_{n\in \mathbb{N}}E_n)\leq \sum_{n\in \mathbb{N}}\mu^*(E_n)$ が成り立つ。

*$(3)$　$X\in \mathfrak{M}$ であることと任意の $A\in \mathfrak{M}$ に対し $X\backslash A\in \mathfrak{M}$ であることは自明である。任意の $A,B\in \mathfrak{M}$、任意の $E\in 2^X$ に対し、劣加法性より、
$$
\begin{aligned}
&\mu^*(E\cap(A\cup B))+\mu^*(E\backslash(A\cup B))\\
&\leq \mu^*(E\cap A\cap B)+\mu^*((E\cap A)\backslash B)+\mu^*((E\backslash A) \cap B)+\mu^*((E\backslash A)\backslash B)\\
&=\mu^*(E\cap A)+\mu^*(E\backslash A)=\mu^*(E)
\end{aligned}
$$
である。よって $\mu^*(E\cap(A\cup B))+\mu^*(E\backslash (A\cup B))\leq\mu^*(E)$ であり、逆の不等式も劣加法性より成り立つので
$A\cup B\in \mathfrak{M}$ である。ゆえに $\mathfrak{M}$ は有限加法族である。
*$(4)$　$N$ に関する帰納法で示す。$N=1$ の場合は自明。ある $N\in \mathbb{N}$ に対して成り立つと仮定する。
$$
E\cap A_{N+1}=\left(E\backslash \bigcup_{n=1}^{N}A_n\right)\cap A_{N+1},\quad
E\backslash \bigcup_{n=1}^{N+1}A_n=\left(E\backslash \bigcup_{n=1}^{N}A_n\right)\backslash A_{N+1}
$$
であるから、
$$
\begin{aligned}
&\sum_{n=1}^{N+1}\mu^*(E\cap A_n)+\mu^*\left(E\backslash \bigcup_{n=1}^{N+1}A_n\right)
=\sum_{n=1}^{N}\mu^*(E\cap A_n)+\mu^*(E\cap A_{N+1})+\mu^*\left(E\backslash \bigcup_{n=1}^{N+1}A_n\right)\\
&=\sum_{n=1}^{N}\mu^*(E\cap A_n)+\mu^*\left(E\backslash \bigcup_{n=1}^{N}A_n\right)=\mu^*(E)
\end{aligned}
$$
である。よって $N+1$ の場合も成り立つ。
*$(5)$　$\mathfrak{M}$ の任意の非交叉列 $(A_n)_{n\in \mathbb{N}}$ と任意の $E\in 2^X$ に対し $(4)$ と単調性、劣 $\sigma$-加法性より、
$$
\mu^*(E)\geq \sum_{n\in \mathbb{N}}\mu^*(E\cap A_n)+\mu^*\left(E\backslash \bigcup_{n\in\mathbb{N}}A_n\right)
\geq \mu^*\left(E\cap \bigcup_{n\in\mathbb{N}} A_n\right)+\mu^*\left(E\backslash \bigcup_{n\in\mathbb{N}}A_n\right)
$$
であるから $\bigcup_{n\in \mathbb{N}}A_n\in \mathfrak{M}$ である。このことと $\mathfrak{M}$ が有限加法族であることから、$\mathfrak{M}$ の任意の列 $(A_n)_{n\in \mathbb{N}}$ に対し $\bigcup_{n\in \mathbb{N}}A_n\in \mathfrak{M}$ であるので、$\mathfrak{M}$ は $\sigma$-加法族である。
*$(6)$　$\mathfrak{M}$ の任意の非交叉列 $(A_n)_{n\in \mathbb{N}}$ に対し $E=\bigcup_{n\in \mathbb{N}}A_n$ とおくと、$(4)$ より、
$$
\mu^*(E)\geq\sum_{n\in\mathbb{N}}\mu^*(E\cap A_n)=\sum_{n\in \mathbb{N}}\mu^*(A_n)
$$
である。劣 $\sigma$-加法性より逆の不等式も成り立つ。よって $\mathfrak{M}\ni A\mapsto \mu^*(A)\in [0,\infty]$ は測度である。
*$(7)$　任意の $A\in \mathcal{A}$、任意の $E\in 2^X$ に対し、
$$
\mu^*(E\cap A)+\mu^*(E\backslash A)\leq \mu^*(E)\quad\quad(*)
$$
が成り立つことを示せばよい。$\mu^*(E)<\infty$ とすると、任意の $\epsilon\in(0,\infty)$ に対し $\mathcal{A}$ の列 $(A_n)_{n\in \mathbb{N}}$ で、
$$
E\subset \bigcup_{n\in\mathbb{N}}A_n,\quad\sum_{n\in \mathbb{N}}\mu(A_n)<\mu^*(E)+\epsilon
$$
なるものが取れる。$\mathcal{A}$ の列 $(A_n\cap A)_{n\in \mathbb{N}}$ と $(A_n\backslash A)_{n\in\mathbb{N}}$ はそれぞれ $E\cap A$ と $E\backslash A$ を被覆するから、
$$
\begin{aligned}
\mu^*(E\cap A)+\mu^*(E\backslash A)\leq \sum_{n\in\mathbb{N}}\mu(A_n\cap A)+\sum_{n\in \mathbb{N}}\mu(A_n\backslash A)=\sum_{n\in \mathbb{N}}\mu(A_n)<\mu^*(E)+\epsilon
\end{aligned}
$$
である。よって $(*)$ が成り立つ。
*$(8)$　
任意の $A\in \mathcal{A}$ を取る。$\mu^*(A)\leq \mu(A)$ は自明。逆の不等式を示す。$A\subset \bigcup_{n\in \mathbb{N}}A_n$ なる $\mathcal{A}$ の任意の列 $(A_n)_{n\in \mathbb{N}}$ に対し、$\mu$ の劣 $\sigma$-加法性と単調性 ('''命題13.3''') より、
$$
\mu(A)=\mu\left(\bigcup_{n\in \mathbb{N}}(A\cap A_n)\right)
\leq \sum_{n\in \mathbb{N}}\mu(A_n)
$$
であるから $\mu(A)\leq \mu^*(A)$ が成り立つ。
{{end |proof | }}

=== 定理13.7（Carathéodoryの拡張定理） ===
$\mathcal{A}\subset 2^X$ を集合 $X$ 上の有限加法族、$\mu\colon\mathcal{A}\rightarrow[0,\infty]$ を $\sigma$-加法的測度とする。このとき $\mu$ は $\sigma(\mathcal{A})$ 上の測度に拡張できる。そしてもし $\mu$ が $\sigma$-有限ならば、その拡張は一意的である。
{{begin |proof }}
拡張の存在は'''補題13.6'''による。$\mu$ が $\sigma$-有限であるとして拡張の一意性を示す。測度 $\mu_1,\mu_2:\sigma(\mathcal{A})\rightarrow[0,\infty]$ がそれぞれ $\mu$ の拡張であるとする。$\sigma$-有限性より $\mathcal{A}$ の非交叉列 $(A_n)_{n\in \mathbb{N}}$ で $X=\bigcup_{n\in\mathbb{N}}A_n$、$\mu(A_n)<\infty$ $(\forall n\in \mathbb{N})$ なるものが取れる（'''命題13.5'''）。任意の $n\in \mathbb{N}$ に対し、
$$
\mathcal{M}_n:=\{E\in \sigma(\mathcal{A}):\mu_1(E\cap A_n)=\mu_2(E\cap A_n)\}
$$
とおくと、$\mathcal{M}_n$ は $\mathcal{A}$ を含む。また $\mu(A_n)<\infty$ であることと測度の単調収束性（'''命題6.3'''）より $\mathcal{M}_n$ は単調族である。よって単調族定理より、
$$
\mathcal{M}_n=\sigma(\mathcal{A})\quad(\forall n\in \mathbb{N})
$$
であるから、
$$
\mu_1(E\cap A_n)=\mu_2(E\cap A_n)\quad(\forall E\in \sigma(\mathcal{A}),\forall n\in\mathbb{N})
$$
が成り立つ。ゆえに任意の $E\in \sigma(\mathcal{A})$ に対し、
$$
\mu_1(E)=\sum_{n\in \mathbb{N}}\mu_1(E\cap A_n)=\sum_{n\in \mathbb{N}}\mu_2(E\cap A_n)=\mu_2(E)
$$
である。これで一意性が示せた。
{{end |proof | }}

== 14. 直積測度、Tonelliの定理、Fubiniの定理 ==

=== 定理14.1（$\sigma$-有限測度の直積測度の一意存在） ===

$(X_j,\mathfrak{M}_j,\mu_j)$ $(j=1,\ldots,N)$ をそれぞれ $\sigma$-有限測度空間とする。このとき直積可測空間 $(\prod_{j=1}^NX_j,\bigotimes_{j=1}^{N}\mathfrak{M}_j)$ 上の測度 $\mu$ で、
$$
\mu(E_1\times\ldots\times E_N)=\mu_1(E_1)\ldots \mu_N(E_N)\quad(\forall E_1\in\mathfrak{M}_1,\ldots,E_N\in \mathfrak{M}_N)\quad\quad(*)
$$
を満たすものが唯一つ存在する。
{{begin |proof }}
$\prod_{j=1}^{N}X_j$ 上の半集合代数
$$\mathfrak{M}_1\times\ldots\times\mathfrak{M}_N\colon=\{E_1\times\ldots\times E_N:E_1\in \mathfrak{M}_1,\ldots,E_N\in \mathfrak{M}_N\}
$$
に対し、$\mu\colon\mathfrak{M}_1\times\ldots\times\mathfrak{M}_N\rightarrow[0,\infty]$ を $(*)$ により定義する。このとき $\mu$ は半集合代数上の $\sigma$-加法的測度である。実際、$\mathfrak{M}_1\times\ldots\times \mathfrak{M}_N$ の非交叉列 $(E_{1,n}\times\ldots\times E_{N,n})_{n\in \mathbb{N}}$ で、
$$
\bigcup_{n\in\mathbb{N}}E_{1,n}\times\ldots\times E_{N,n}\in \mathfrak{M}_1\times\ldots\times \mathfrak{M}_N
$$
なるものを考え、$E_1\times\ldots\times E_N=\bigcup_{n\in\mathbb{N}}E_{1,n}\times\ldots\times E_{N,n}$ とおくと、
$$
\chi_{E_1}(x_1)\ldots\chi_{E_N}(x_N)=\sum_{n\in\mathbb{N}}\chi_{E_{1,n}}(x_1)\ldots\chi_{E_{N,n}}(x_N)\quad(\forall (x_1,\ldots,x_N)\in X_1\times\ldots\times X_N)
$$
であるから、各変数ごとに単調収束定理（非負値可測関数列の和の項別積分）を順次適用することで、
$$
\mu_1(E_1)\ldots\mu_N(E_N)=\sum_{n\in\mathbb{N}}\mu_1(E_{1,n})\ldots\mu_N(E_{N,n})
$$
を得る。よって $\mu$ は $\sigma$-加法的である。'''命題13.2'''より $\mu$ は $\mathcal{A}(\mathfrak{M}_1\times\ldots\times\mathfrak{M}_N)$ 上の $\sigma$-加法的測度に一意拡張できる。そして $\mu_1,\ldots,\mu_N$ の $\sigma$-有限性より $\mu$ は $\sigma$-有限であるから、Carathéodoryの拡張定理より、$\mu$ は $\bigotimes_{j=1}^{N}\mathfrak{M}_j=\sigma(\mathfrak{M}_1\times\ldots\times\mathfrak{M}_N)$ 上の測度に一意拡張できる。
{{end |proof | }}

=== 定義14.2（$\sigma$-有限測度の直積測度） ===
'''定理14.1'''における直積可測空間 $(\prod_{j=1}^NX_j,\bigotimes_{j=1}^{N}\mathfrak{M}_j)$ 上の測度 $\mu$ を $\mu_1,\ldots,\mu_N$ の直積測度と言い、$\mu_1\otimes\ldots\otimes\mu_N$ や $\otimes_{j=1}^{N}\mu_j$ などと表す。

=== 補題14.3（基本補題） ===
$(X_j,\mathfrak{M}_j,\mu_j)$ $(j=1,\ldots,N)$ をそれぞれ $\sigma$-有限測度空間、$f\colon\prod_{j=1}^{N}X_j\rightarrow[0,\infty]$ を直積可測空間上の非負値可測関数とする。このとき任意の $k\in\{1,\ldots,N\}$、任意の $x_j\in X_j$ $(j\neq k)$ に対し、
$$
X_k\ni x_k\mapsto f(x_1,\ldots,x_k,\ldots,x_N)\in [0,\infty]\quad\quad(*)
$$
は可測関数であり、
$$
X_1\times\ldots\widehat{X_k}\ldots\times X_N\ni (x_1,\ldots,\widehat{x_k},\ldots,x_N)
\mapsto \int_{X_k}f(x_1,\ldots,x_k,\ldots,x_N)d\mu_k(x_k)\in [0,\infty]\quad\quad(**)
$$
（$\widehat{X_k}$、 $\widehat{x_k}$ はそれぞれ $X_k$、$x_k$ を飛ばすことを意味する）は直積可測空間上の可測関数である。
{{begin |proof }}
$x_j\in X_j$ $(j\neq k)$ を固定し、
$$
\iota_k\colon X_k\ni x_k\mapsto (x_1,\ldots,x_k,\ldots,x_N)\in X_1\times\ldots\times X_N
$$
とおく。任意の $E_1\in\mathfrak{M}_1,\ldots,E_N\in \mathfrak{M}_N$ に対し $\iota_k^{-1}(E_1\times\ldots\times E_N)$ は $E_k$ か $\emptyset$ であるから $\iota_k$ は可測写像である（'''命題2.3'''）。$(*)$ は可測関数 $\iota_k$ と $f$ の合成であるから可測関数である。$(**)$ が可測関数であることを示すには、非負値可測関数の可測単関数の各点単調増加列による近似（'''定理5.5'''）と単調収束定理
より、任意の $E\in\bigotimes_{j=1}^{N}\mathfrak{M}_j$ に対し $f=\chi_E$ であるとして示せば十分である。さらにそのためには $\mu_k$ の $\sigma$-有限性と単調収束定理より $\mu_k(A_k)<\infty$ なる $A_k\in\mathfrak{M}_k$ を取り、
$$
X_1\times\ldots\widehat{X_k}\ldots\times X_N\ni (x_1,\ldots,\widehat{x_k},\ldots,x_N)
\mapsto \int_{X_k}\chi_E(x_1,\ldots,x_k,\ldots,x_N)\chi_{A_k}(x_k)d\mu_k(x_k)\in [0,\infty)\quad\quad(***)
$$
が可測関数であることを示せば十分である。$E\in \mathfrak{M}_1\times\ldots\times\mathfrak{M}_N$ の場合は $(***)$ は明らかに可測関数である。よって'''命題12.7'''より $E\in \mathcal{A}(\mathfrak{M}_1\times\ldots\times \mathfrak{M}_N)$ の場合も $(***)$ は可測関数である。$x_j\in X_j$ $(j\neq k)$ を固定したとき、
$$
\bigotimes_{j=1}^{N}\mathfrak{M}_j\ni E\mapsto \int_{X_k}\chi_E(x_1,\ldots,x_k,\ldots,x_N)\chi_{A_k}(x_k)d\mu_k(x_k)\in [0,\infty)
$$
は有限測度であるから、測度の単調収束性（'''命題6.3'''）より、 $(***)$ が可測関数となるような $E\in \bigotimes_{j=1}^{N}\mathfrak{M}_j$ 全体は単調族である。よって単調族定理より、任意の $E\in \bigotimes_{j=1}^{N}\mathfrak{M}_j=\sigma(\mathcal{A}(\mathfrak{M}_1\times\ldots\times\mathfrak{M}_N))$ に対し、$(***)$ は可測関数である。
{{end |proof | }}

=== 定理14.4（Tonelliの定理） ===
$(X_j,\mathfrak{M}_j,\mu_j)$ $(j=1,\ldots,N)$ をそれぞれ $\sigma$-有限測度空間、$f\colon\prod_{j=1}^{N}X_j\rightarrow[0,\infty]$ を直積可測空間上の非負値可測関数、$\sigma$ を $N$ 次の置換とする。このとき、
$$
\begin{aligned}
&\int_{\prod_{j=1}^{N}X_j}f(x_1,\ldots,x_N)d\otimes_{j=1}^{N}\mu_j(x_1,\ldots,x_N)\\
&=\int_{X_{\sigma(1)}}\left(\ldots\left(\int_{X_{\sigma(N)}}f(x_1,\ldots,x_N)d\mu_{\sigma(N)}(x_{\sigma(N)})\right)\ldots\right)d\mu_{\sigma(1)}(x_{\sigma(1)})
\end{aligned}
$$
が成り立つ。（右辺の累次積分が意味を持つのは'''補題14.3'''による。）
{{begin |proof }}
非負値可測関数の可測単関数の各点単調増加列による近似（'''定理5.5'''）と単調収束定理
より、任意の $E\in\bigotimes_{j=1}^{N}\mathfrak{M}_j$ に対し $f=\chi_E$ であるとして示せば十分である。任意の $E\in \bigotimes_{j=1}^{N}\mathfrak{M}_j$ に対し、
$$
\mu(E)\colon=\int_{X_{\sigma(1)}}\left(\ldots\left(\int_{X_{\sigma(N)}}\chi_E(x_1,\ldots,x_N)d\mu_{\sigma(N)}(x_{\sigma(N)})\right)\ldots\right)d\mu_{\sigma(1)}(x_{\sigma(1)})
$$
とおけば単調収束定理（非負値可測関数列の和の項別積分）より $\mu\colon\bigotimes_{j=1}^{N}\mathfrak{M}_j\rightarrow[0,\infty]$ は測度である。また明らかに、
$$
\mu(E_1\times\ldots\times E_N)=\mu_1(E_1)\ldots\mu_N(E_N)\quad(\forall E_1\in\mathfrak{M}_1,\ldots,E_N\in \mathfrak{M}_N)
$$
である。よって直積測度の一意性（'''定理14.1'''）より $\mu=\otimes_{j=1}^{N}\mu_j$ である。ゆえに成り立つ。
{{end |proof | }}

=== 定理14.5（Fubiniの定理） ===
$(X_1,\mathfrak{M}_1,\mu_1)$, $(X_2,\mathfrak{M}_2,\mu_2)$ をそれぞれ $\sigma$-有限測度空間、$f\in \mathcal{L}^1(X_1\times X_2,\mathfrak{M}_1\otimes\mathfrak{M}_2,\mu_1\otimes\mu_2)$ とする。$j,k\in\{1,2\}$、$j\neq k$ として、
$$
N_k\colon=\left\{x_k\in X_k:\int_{X_j}\lvert f(x_1,x_2)\rvert d\mu_j(x_j)=\infty\right\}
$$
とおき、$F_k\colon X_k\rightarrow\mathbb{C}$ を、
$$
F_k(x_k)\colon=\left\{\begin{array}{cl}\int_{X_j}f(x_1,x_2)d\mu_j(x_j)\quad&(x_k\in X\backslash N_k)\\0&(x_k\in N_k)\end{array}\right.
$$
として定義する。このとき $N_k$ は $\mu_k$-零集合であり、$F_k\in\mathcal{L}^1(X_k,\mathfrak{M}_k,\mu_k)$ である。そして、
$$
\int_{X_k}F_k(x_k)d\mu_k(x_k)=\int_{X_1\times X_2}f(x_1,x_2)d(\mu_1\otimes\mu_2)(x_1,x_2)\quad\quad(*)
$$
が成り立つ。
{{begin |proof }}
'''補題14.3'''より、
$$
X_k\ni x_k\mapsto \int_{X_j}\lvert f(x_1,x_2)\rvert d\mu_j(x_j)\in [0,\infty]
$$
は可測関数であり、Tonelliの定理より、
$$
\int_{X_k}\left(\int_{X_j}\lvert f(x_1,x_2)\rvert d\mu_j(x_j)\right)d\mu_k(x_k)
=\int_{X_1\times X_2}\lvert f(x_1,x_2)\rvert d(\mu_1\otimes\mu_2)(x_1,x_2)<\infty
$$
であるから、'''命題9.4'''より $N_k$ は $\mu_k$-零集合である。以後、$F_k\in \mathcal{L}^1(X_k,\mathfrak{M}_k,\mu_k)$ であることと $(*)$ を示すが、実部と虚部に分けて考えればよいので、 $f$ は実数値関数であるとして示す。
$$
F_k(x_k)=\int_{X_j}f_+(x_1,x_2)d\mu_j(x_j)-\int_{X_j}f_-(x_1,x_2)d\mu_j(x_j)\quad(\forall x_k\in X_k\backslash N_k)
$$
であるので、'''補題14.3'''より $F_k:X_k\rightarrow \mathbb{R}$ は可測関数である。そしてTonelliの定理より、
$$
\int_{X_k}\int_{X_j}f_{\pm}(x_1,x_2) d\mu_j(x_j)d\mu_k(x_k)
=\int_{X_1\times X_2} f_{\pm}(x_1,x_2)d(\mu_1\otimes\mu_2)(x_1,x_2)<\infty
$$
であるから $F_k\in \mathcal{L}^1(X_k,\mathfrak{M}_k,\mu_k)$ であり、$N_k$ が $\mu_k$-零集合であることから、
$$
\begin{aligned}
\int_{X_k}F_k(x_k)d\mu_k(x_k)&=\int_{X_k}\int_{X_j}f_+(x_1,x_2)d\mu_j(x_j)d\mu_k(x_k)-\int_{X_k}\int_{X_j}f_-(x_1,x_2)d\mu_j(x_j)d\mu_k(x_k)\\
&=\int_{X_1\times X_2}f_+(x_1,x_2)d(\mu_1\otimes\mu_2)(x_1,x_2)-
\int_{X_1\times X_2}f_-(x_1,x_2)d(\mu_1\otimes\mu_2)(x_1,x_2)\\
&=\int_{X_1\times X_2}f(x_1,x_2)d(\mu_1\otimes\mu_2)(x_1,x_2)
\end{aligned}
$$
である。
{{end |proof | }}

== 次に読む ==
* [[測度と積分4：測度論の基本定理(2)]]

== 関連項目 ==
* [[入門テキスト「位相線形空間」]]
* [[速習コース「位相空間論の基礎事項」]]
* [[ネットによる位相空間論]]
* [[フィルターによる位相空間論]]

== 脚注 ==

測度と積分1：測度論の基礎用語

2026-02-16T07:43:17Z

Kataoka: /* 命題2.8（可算個の第二可算空間の直積位相空間のBorel集合族は直積Borel集合族） */

この章では、可測空間と可測写像について基本的なことを述べる。可測空間とは測度と積分が定義される空間であり、可測写像とは可測空間の構造を保つような可測空間の間の写像である。可測空間と可測写像の関係は、位相空間と連続写像のような関係である。実際、位相空間が位相（開集合族）が付与された空間であり、連続写像は位相空間の間の写像で開集合の逆像が開集合であるようなものであるのに対し、可測空間は $\sigma$-加法族（可測集合族）が付与された空間であり、可測写像は可測空間の間の写像で可測集合の逆像が可測集合であるようなものである。
<noinclude>
'''[[入門テキスト「測度と積分」]]'''
* 測度と積分1：測度論の基礎用語
* [[測度と積分2：測度空間上の積分]]
* [[測度と積分3：測度論の基本定理(1)]]
* [[測度と積分4：測度論の基本定理(2)]]
* [[測度と積分5：$L^p$ 空間の完備性と双対性]]
* [[測度と積分6：数え上げ測度と $\ell^p$ 空間]]
* [[測度と積分7：局所コンパクトHausdorff空間上のRadon測度]]
* [[測度と積分8：Lebesgue測度の基本的性質]]
* [[測度と積分9：Bochner積分]]
</noinclude>

== 1. $\sigma$-加法族、可測空間、Borel集合族 ==

=== 定義1.1（$\sigma$-加法族、可測空間） ===
$X$ を空でない集合とする。$\mathfrak{M}\subset 2^X$ が次の条件を満たすとき $\mathfrak{M}$ を $X$ 上の $\sigma$-加法族と言う。
* $X\in \mathfrak{M}$.
* 任意の $E\in \mathfrak{M}$ に対し $X\backslash E\in \mathfrak{M}$.
* $\mathfrak{M}$ の任意の可算部分族 $\{E_n\}_{n\in \mathbb{N}}$ に対し $\bigcup_{n\in \mathbb{N}}E_n\in \mathfrak{M}$.
$\sigma$-加法族が備わった集合のことを可測空間と言う。可測空間 $X$ に $\sigma$-加法族 $\mathfrak{M}$ が備わっていることを明示的に表す場合は可測空間 $(X,\mathfrak{M})$ と表現する。可測空間 $(X,\mathfrak{M})$ の部分集合 $E\subset X$ が可測集合であるとは $E\in \mathfrak{M}$ であることを言う。

=== 命題1.2 ===
可測空間 $(X,\mathfrak{M})$ に対し次が成り立つ。
* $\emptyset\in\mathfrak{M}$.
* $\mathfrak{M}$ の任意の可算部分族 $\{E_n\}_{n\in \mathbb{N}}$ に対し $\bigcap_{n\in \mathbb{N}}E_n\in \mathfrak{M}$.
* 任意の $E,F\in \mathfrak{M}$ に対し $E\cup F,E\cap F,E\backslash F\in \mathfrak{M}$.
{{begin |proof }}
自明である。
{{end |proof | }}

=== 定義1.3（相対 $\sigma$-加法族） ===
$(X,\mathfrak{M})$ を可測空間とする。空でない $A\subset X$ に対し、
$$
\mathfrak{M}_A\colon=\{E\cap A:E\in \mathfrak{M}\}
$$
は $A$ 上の $\sigma$-加法族である。これを $\mathfrak{M}$ から誘導される $A$ 上の相対 $\sigma$-加法族と言う。

=== 定義1.4（部分集合族から生成される $\sigma$-加法族） ===
$X$ を空でない集合、$\mathcal{I}\subset 2^X$ とする。$\mathcal{I}$ を含む $X$ 上の $\sigma$-加法族全ての交叉は $\mathcal{I}$ を含む最小の $\sigma$-加法族である。これを $\sigma(\mathcal{I})$ と表し、$\mathcal{I}$ から生成される $X$ 上の $\sigma$-加法族と言う。

=== 定義1.5（位相空間のBorel集合族） ===
$(X,\mathcal{O}_X)$ を位相空間とする。位相 $\mathcal{O}_X$ から生成される $X$ 上の $\sigma$-加法族
$$
\mathcal{B}_X\colon=\sigma(\mathcal{O}_X)
$$
を $X$ のBorel集合族と言い、$\mathcal{B}_X$ の要素を $X$ のBorel集合と言う。

=== 補題1.6 ===
$X$ を空でない集合、$A\subset X$ を空でない部分集合、$\mathcal{I}\subset 2^X$ とし、
$$
\mathcal{I}\cap A\colon=\{I\cap A: I\in \mathcal{I}\},\quad
\sigma(\mathcal{I})\cap A\colon=\{E\cap A: E\in \sigma(\mathcal{I})\}
$$
とおく。そして $\mathcal{I}\cap A\subset 2^A$ から生成される $A$ 上の $\sigma$-加法族を $\sigma_A(\mathcal{I}\cap A)$ とおく。
このとき、
$$
\sigma_A(\mathcal{I}\cap A)=\sigma(\mathcal{I})\cap A
$$
が成り立つ。
{{begin |proof }}
$\sigma(\mathcal{I})\cap A$ は $A$ 上の $\sigma$-加法族であり $\mathcal{I}\cap A$ を含むから、
$$
\sigma_A(\mathcal{I}\cap A)\subset \sigma(\mathcal{I})\cap A
$$
である。
$$
\mathfrak{M}\colon=\{E\in 2^X: E\cap A\in\sigma_A(\mathcal{I}\cap A)\}
$$
は $X$ 上の $\sigma$-加法族であり $\mathcal{I}$ を含むから $\sigma(\mathcal{I})\subset \mathfrak{M}$ である。よって、
$$
\sigma(\mathcal{I})\cap A\subset \sigma_A(\mathcal{I}\cap A)
$$
である。
{{end |proof | }}

=== 命題1.7（相対位相と相対Borel集合族） ===
$(X,\mathcal{O}_X)$ を位相空間、$A\subset X$ を空でない部分集合とする。このとき相対位相による位相空間 $(A,\mathcal{O}_A)$ 上のBorel集合族 $\mathcal{B}_A$ は $X$ 上のBorel集合族 $\mathcal{B}_X$ から誘導される $A$ 上の相対 $\sigma$-加法族と一致する。
{{begin |proof }}
'''命題1.4'''より、
$$
\mathcal{B}_A=\sigma_A(\mathcal{O}_A)=\sigma_A(\mathcal{O}_X\cap A)=\sigma(\mathcal{O}_X)\cap A=\mathcal{B}_X\cap A.
$$
{{end|proof}}

== 2. 写像の可測性、直積可測空間 ==

=== 定義2.1（可測写像（可測関数）） ===
可測空間 $(X,\mathfrak{M})$ から可測空間 $(Y,\mathfrak{N})$ への写像 $f\colon X\rightarrow Y$ が可測写像（可測関数）であるとは、任意の $E\in \mathfrak{N}$ に対し $f^{-1}(E)\in\mathfrak{M}$ が成り立つことを言う。

=== 定義2.2（Borel写像（Borel関数）） ===
位相空間 $X$ から位相空間 $Y$ への写像 $f\colon X\rightarrow Y$ がBorel集合族 $\mathcal{B}_X, \mathcal{B}_Y$ に関して可測写像であるとき、$f$ をBorel写像（Borel関数）と言う。

=== 命題2.3（写像が可測であるための条件） ===
$(X,\mathfrak{M}), (Y,\mathfrak{N})$ を可測空間とし、$f\colon X\rightarrow Y$ とする。もしある $\mathcal{I}\subset 2^Y$ に対し $\mathfrak{N}=\sigma(\mathcal{I})$ であり、任意の $I\in \mathcal{I}$ に対し $f^{-1}(I)\in \mathfrak{M}$ であるならば、$f$ は可測写像である。
{{begin |proof }}
$$
\mathcal{I}\subset \{E\in 2^Y:f^{-1}(E)\in \mathfrak{M}\}
$$
であり、右辺は $Y$ 上の $\sigma$-加法族であるから $\mathfrak{N}=\sigma(\mathcal{I})$ を含む。
{{end |proof | }}

=== 系2.4（連続写像はBorel写像） ===
連続写像はBorel写像である。

=== 定義2.5（直積 $\sigma$-加法族、直積可測空間） ===
$J$ を集合とし、各 $j\in J$ に対し可測空間 $(X_j,\mathfrak{M}_j)$ が与えられているとする。そして直積集合 $X=\prod_{j\in J}X_j$ から $X_j$ 上への自然な射影を $\pi_j\colon X\rightarrow X_j$ $(\forall j\in J)$ とおく。このとき $X$ 上の $\sigma$-加法族
$$
\bigotimes_{j\in J}\mathfrak{M}_j\colon=\sigma(\{\pi_j^{-1}(E): j\in J,E\in \mathfrak{M}_j\})
$$
を $(\mathfrak{M}_j)_{j\in J}$ の直積 $\sigma$-加法族と言い、可測空間
$$
\left(\prod_{j\in J}X_j,\text{ } \bigotimes_{j\in J}\mathfrak{M}_j\right)
$$
を $( (X_j,\mathfrak{M}_j) )_{j\in J}$ の直積可測空間と言う。

=== 命題2.6（直積可測空間値写像が可測であるための条件） ===
$(X,\mathfrak{M}), (Y,\mathfrak{N})$ を可測空間とし、$(Y,\mathfrak{N})$ は可測空間の族 $( (Y_j,\mathfrak{N}_j) )_{j\in J}$ の直積可測空間であるとする。そして $\pi_j\colon Y\rightarrow Y_j$ ($\forall j\in J$) を自然な射影とする。このとき $f\colon X\rightarrow Y$ に対し次は互いに同値である。
*$(1)$ $f$ は可測写像である。
*$(2)$ 任意の $j\in J$ に対し $\pi_j\circ f:X\rightarrow Y_j$ は可測写像である。
{{begin |proof }}
'''命題2.3'''による。
{{end |proof | }}

=== 補題2.7（可算個の第二可算空間の直積位相空間は第二可算） ===
$J$ を可算集合とし、各 $j\in J$ に対し第二可算空間 $X_j$ が与えられているとする。このとき $(X_j)_{j\in J}$ の直積位相空間 $\prod_{j\in J}X_j$ は第二可算空間である。（直積位相空間については[[ネットによる位相空間論]]の7や[[フィルターによる位相空間論]]の6を参照。)
{{begin |proof }}
$J=\{j_n\}_{n\in \mathbb{N}}$ と表す。各 $n\in \mathbb{N}$ に対し位相空間 $X_{j_n}$ の可算基底を $\{U_{n,m}\}_{m\in\mathbb{N}}$ と表す。このとき、
$$
\{\pi_{j_1}^{-1}(U_{1,m_1})\cap \ldots\cap\pi_{j_n}^{-1}(U_{n,m_n}):n\in\mathbb{N}, m_1,\ldots,m_n\in \mathbb{N}\}\quad\quad(*)
$$
は直積位相空間 $\prod_{j\in J}X_j$ の基底<ref>$X_{j_1},\ldots,X_{j_n}$ の任意の開集合 $U_1,\ldots,U_n$ に対し $\pi_{j_1}^{-1}(U_1)\cap \ldots\cap \pi_{j_n}^{-1}(U_n)$ は $(*)$ の元の合併で表される。よって $(*)$ は直積位相の基底である。</ref>であり、これは可算である。
{{end |proof | }}

=== 命題2.8（可算個の第二可算空間の直積位相空間のBorel集合族は直積Borel集合族） ===
$J$ を可算集合とし、各 $j\in J$ に対し第二可算空間 $X_j$ が与えられているとする。このとき $(X_j)_{j\in J}$ の直積位相空間 $X=\prod_{j\in J}X_j$ のBorel集合族 $\mathcal{B}_X$ と $(\mathcal{B}_{X_j})_{j\in J}$ の直積 $\sigma$-加法族 $\bigotimes_{j\in J}\mathcal{B}_{X_j}$ に対し、
$$
\mathcal{B}_X=\bigotimes_{j\in J}\mathcal{B}_{X_j}
$$
が成り立つ。
{{begin |proof }}
各 $j\in J$ に対し自然な射影 $\pi_j\colon X\rightarrow X_j$ は連続写像であるので'''系2.4'''よりBorel写像である。よって任意の $j\in J$ と任意の $E\in \mathcal{B}_{X_j}$ に対し $\pi_j^{-1}(E)\in \mathcal{B}_X$ であるので、 $\bigotimes_{j\in J}\mathcal{B}_{X_j}\subset \mathcal{B}_X$ が成り立つ。'''補題2.7'''より $X$ は第二可算空間であり、$X$ の任意の開集合 $U$ は'''補題2.7'''の $(*)$ に属する可算個の要素の合併で表せるので $U\in \bigotimes_{j\in J}\mathcal{B}_{X_j}$ である。よって $\mathcal{B}_X\subset \bigotimes_{j\in J}\mathcal{B}_{X_j}$ が成り立つ。
{{end|proof}}

=== 系2.9 ===
$\mathcal{B}_{\mathbb{R}^N}=\bigotimes_{n=1}^{N}\mathcal{B}_{\mathbb{R}}$ が成り立つ。

== 3. 拡張された実数系 $[-\infty,\infty]$ ==

=== 定義3.1（拡張された実数系$[-\infty,\infty]$） ===
$\infty,-\infty\notin\mathbb{R}$ とし、$[-\infty,\infty]:=\mathbb{R}\cup\{\infty,-\infty\}$ とおく。$[-\infty,\infty]$ の二項関係 $\leq$ を $\mathbb{R}$ の全順序 $\leq$ の拡張として次のように定義する。
* $\infty\leq\infty$、$-\infty\leq-\infty$、$-\infty\leq \infty$.
* 任意の $x\in \mathbb{R}\cup\{-\infty\}$ に対し $-\infty\leq x$ であるが $\infty\leq x$ ではない。
* 任意の $x\in \mathbb{R}\cup\{\infty\}$ に対し $x\leq \infty$ であるが $x\leq -\infty$ ではない。
このとき $\leq$ は $[-\infty,\infty]$ の全順序である。この全順序による全順序集合 $[-\infty,\infty]$ を拡張された実数系と言う。$\infty$、$-\infty$ はそれぞれ $[-\infty,\infty]$ の最大元、最小元であり、$[-\infty,\infty]$ の任意の空でない部分集合は上限（最小の上界）と下限（最大の下界）を持つ。(($\mathbb{R}$の任意の上に有界（resp.下に有界）な部分集合が上限（resp. 下限）を持つことによる。))

=== 定義3.2（拡張された実数系における区間） ===

任意の $a,b\in [-\infty,\infty]$ に対し、
* $[a,b]\colon=\{x\in [-\infty,\infty]:a\leq x\leq b\}$
* $(a,b]\colon=\{x\in [-\infty,\infty]:a<x\leq b\}$
* $[a,b)\colon=\{x\in [-\infty,\infty]:a\leq x<b\}$
* $(a,b)\colon=\{x\in [-\infty,\infty]:a<x<b\}$
と定義する。

=== 定義3.3（拡張された実数系における演算） ===
$\mathbb{R}$ における演算を次のように $[-\infty,\infty]$ に拡張する。
* 任意の $x\in (-\infty,\infty]$ に対し $x+\infty=\infty+x=\infty$.
* 任意の $x\in [-\infty,\infty)$ に対し $x-\infty=-\infty+x=-\infty$.
* $0\infty=\infty0=0$、$0(-\infty)=(-\infty)0=0$
* 任意の $x\in (0,\infty]$ に対し $x\infty=\infty x=\infty$、$x(-\infty)=(-\infty) x=-\infty$.
* 任意の $x\in [-\infty,0)$ に対し $x\infty=\infty x=-\infty$、$x(-\infty)=(-\infty) x=\infty$.
* $-(-\infty)=\infty$.

=== 定義3.4（絶対値） ===
任意の $x\in [-\infty,\infty]$ に対し,
$$
\lvert x\rvert\colon=\text{max}(x,-x)\in [0,\infty]
$$
とおく。これは $\mathbb{R}$ の絶対値の拡張である。

=== 定義3.5（非負数の総和） ===
$J$ を空でない集合とし、各 $j\in J$ に対し $x_j\in [0,\infty]$ が与えられているとする。$J$ の有限部分集合全体 $\mathcal{F}_J$ に対し、
$$
\sum_{j\in J}x_j=\sup_{F\in \mathcal{F_J}}\sum_{j\in F}x_j\in [0,\infty]
$$
と定義する。<ref>$\mathbb{R}$ の上に有界な単調増加ネットは上限に収束するから、この定義は $x_j\in [0,\infty)$ $(\forall j\in J)$ で $\sum_{j\in J}x_j$ が収束する場合と矛盾しない。総和については[[位相線形空間1：ノルムと内積]]の5を参照。</ref>

== 4. $[-\infty,\infty]$, $\mathbb{C}$, $\mathbb{R}$ に値を取る関数の可測性 ==

=== 定義4.1（$[-\infty,\infty]$ 値関数の可測性） ===
拡張された実数系 $[-\infty,\infty]$ の区間全体 $\mathcal{I}$ から生成される $[-\infty,\infty]$ 上の $\sigma$-加法族を $\mathcal{B}_{[-\infty,\infty]}=\sigma(\mathcal{I})$ とおき、これを $[-\infty,\infty]$ 上のBorel集合族と言う。可測空間 $X$ と関数 $f:X\rightarrow[-\infty,\infty]$ に対し $f$ が可測であるとは $\mathcal{B}_{[-\infty,\infty]}$ に関して可測であることを言う。

=== 注意4.2 ===
$\mathcal{B}_{[-\infty,\infty]}$ の $\mathbb{R}$ 上の相対 $\sigma$-加法族は'''補題1.6'''より $\mathbb{R}$ の区間全体 $\mathcal{I}\cap \mathbb{R}$ から生成される $\sigma$-加法族であるから $\mathbb{R}$ 上のBorel集合族 $\mathcal{B}_{\mathbb{R}}$ と一致する。<ref>$\mathbb{R}$ の任意の開集合は可算個の開区間の合併であることに注意。</ref>

=== 定義4.3（$\mathbb{R},\mathbb{C},\mathbb{R}^N$ 値関数の可測性） ===
可測空間 $X$ に対し $f\colon X\rightarrow\mathbb{R}$（resp. $f\colon X\rightarrow \mathbb{C}$, $f\colon X\rightarrow\mathbb{R}^N$）が可測関数であるとは、$\mathcal{B}_{\mathbb{R}}$（resp. $\mathcal{B}_{\mathbb{C}}$, $\mathcal{B}_{\mathbb{R}^N}$）に関して可測であることを言う。'''注意4.2'''より $\mathcal{B}_{\mathbb{R}}$ は $\mathcal{B}_{[-\infty,\infty]}$ の相対 $\sigma$-加法族であるから、この $\mathbb{R}$ 値関数の可測性の定義は $[-\infty,\infty]$ 値関数の可測性の'''定義3.1'''と矛盾しない。

=== 注意4.4 ===
可測空間 $X$ に対し $f=(f_1,\ldots,f_N)\colon X\rightarrow \mathbb{R}^N$（resp. $f=f_1+if_2\colon X\rightarrow\mathbb{C}$）が可測関数であることは、'''系2.9'''と'''命題2.6'''より $f_1,\ldots,f_N\colon X\rightarrow\mathbb{R}$（resp. $f_1,f_2\colon X\rightarrow\mathbb{R}$）がそれぞれ可測関数であることと同値である。

=== 定義4.5（$(a<f)$など） ===
関数 $f\colon X\rightarrow [-\infty,\infty]$ と $a\in [-\infty,\infty]$ に対し、
$$
(a<f)\colon=\{x\in X:a<f(x)\},\quad(a\leq f)\colon=\{x\in X:a\leq f(x)\}
$$
と定義する。$a,b\in [-\infty,\infty]$ に対し $(f< a), (f\leq a),(f=a), (a\leq f<b), (a<f\leq b), (a\leq f\leq b)$ なども同様にして定義する。

次の命題は極めて基本的である。

=== 命題4.6（$[-\infty,\infty]$ 値関数の可測性の特徴付け） ===
$(X,\mathfrak{M})$ を可測空間とする。$f\colon X\rightarrow[-\infty,\infty]$ に対し次は互いに同値である。
*$(1)$ $f$ は可測関数である。
*$(2)$ 任意の $a\in \mathbb{R}$ に対し $(a<f)\in \mathfrak{M}$.
*$(3)$ 任意の $a\in \mathbb{R}$ に対し $(a\leq f)\in \mathfrak{M}$.
*$(4)$ 任意の $a\in \mathbb{R}$ に対し $(f<a)\in \mathfrak{M}$.
*$(5)$ 任意の $a\in \mathbb{R}$ に対し $(f\leq a)\in \mathfrak{M}$.
{{begin |proof }}
$(1)\Rightarrow(2)$ は自明である。 
$(2)\Rightarrow(3)$ は $(a\leq f)=\bigcap_{n\in\mathbb{N}}(a-\frac{1}{n}<f)$ による。 
$(3)\Rightarrow(4)$ は $(f<a)=X\backslash (a\leq f)$ による。 
$(4)\Rightarrow(5)$ は $(f\leq a)=\bigcap_{n\in\mathbb{N}}(f<a+\frac{1}{n})$ であることによる。 
$(5)\Rightarrow(2)$ は $(a<f)=X\backslash (f\leq a)$ であることによる。 
$(2),(3),(4),(5)$ が成り立つならば $[-\infty,\infty]$ の任意の区間 $I$ に対し $f^{-1}(I)\in \mathfrak{M}$ であるから'''命題2.3'''より $(1)$ が成り立つ。
{{end|proof}}

=== 定義4.7（関数 $f\colon X\rightarrow [-\infty,\infty]$ の非負部分、非正部分、絶対値 $f_+,f_-,\lvert f\rvert\colon X\rightarrow[0,\infty]$ ） ===
関数 $f\colon X\rightarrow[-\infty,\infty]$ に対し、
$$
f_{\pm}\colon X\ni x\mapsto \text{max} (\pm f(x),0)\in [0,\infty]
$$
と定義する。$f_+$ を $f$ の非負部分、$f_-$ を $f$ の非正部分と言う。
$$
f(x)=f_+(x)-f_-(x),\quad \lvert f(x)\rvert=f_{+}(x)+f_-(x)\quad(\forall x\in X)
$$
である。任意の $p\in (0,\infty)$ に対し、
$$
\lvert f\rvert^p\colon X\ni x\mapsto \lvert f(x)\rvert^p\in [0,\infty]
$$
と定義する。ただし $0^p=0$, $\infty^p=\infty$ とする。

=== 命題4.8（可測関数の基本的な演算でできる関数は可測関数） ===
$(X,\mathfrak{M})$ を可測空間とする。次が成り立つ。
*$(1)$ 可測関数 $f\colon X\rightarrow [-\infty,\infty]$ と $a\in \mathbb{R}$ に対し $af\colon X\ni x\mapsto af(x)\in [-\infty,\infty]$ は可測関数である。
*$(2)$ 可測関数 $f,g\colon X\rightarrow [-\infty,\infty]$ に対し、$f+g\colon X\ni x\mapsto f(x)+g(x)\in [-\infty,\infty]$ は定義できる<ref>つまり任意の $x\in X$ に対し $\{f(x),g(x)\}\neq\{\infty,-\infty\}$。</ref> 限り可測関数である。
*$(3)$ 有限個の可測関数 $f_1,\ldots,f_n\colon X\rightarrow [-\infty,\infty]$ に対し、
$$
\text{max} (f_1,\ldots,f_n)\colon X\ni x\mapsto \text{max} (f_1(x),\ldots,f_n(x))\in [-\infty,\infty]
$$
$$
\text{min} (f_1,\ldots,f_n)\colon X\ni x\mapsto \text{min} (f_1(x),\ldots,f_n(x))\in [-\infty,\infty]
$$
は可測関数である。
*$(4)$ $X\rightarrow [-\infty,\infty]$ の可測関数列 $(f_n)_{n\in \mathbb{N}}$ に対し、
$$
\sup_{n\in \mathbb{N}}f_n\colon X\ni x\mapsto \sup_{n\in \mathbb{N}}f_n(x)\in [-\infty,\infty]
$$
$$
\inf_{n\in\mathbb{N}}f_n\colon X\ni x\mapsto \inf_{n\in \mathbb{N}}f_n(x)\in [-\infty,\infty]
$$
は可測関数である。
*$(5)$ 可測関数 $f\colon X\rightarrow [-\infty,\infty]$ と $p\in (0,\infty)$ に対し、$f_+,f_-,\lvert f\rvert^p\colon X\rightarrow [0,\infty]$ は可測関数である。
*$(6)$ 可測関数 $f,g\colon X\rightarrow \mathbb{C}$ に対し $fg\colon X\ni x\mapsto f(x)g(x)\in \mathbb{C}$ は可測関数である。
{{begin |proof }}
'''命題4.6'''を用いる。
*$(1)$ 自明である。
*$(2)$ 任意の $a\in \mathbb{R}$ に対し、
$$
(a<f+g)=\bigcup_{r\in \mathbb{Q}}(a-r<f)\cap (r<g)\in \mathfrak{M}.
$$
*$(3)$ 任意の $a\in \mathbb{R}$ に対し、
$$
(a<\text{max}(f_1,\ldots,f_n))=\bigcup_{k=1}^{n}(a<f_k)\in \mathfrak{M},\quad (\text{min}(f_1,\ldots,f_n)<a)=\bigcup_{k=1}^{n}(f_k<a)\in\mathfrak{M}.
$$
*$(4)$ 任意の $a\in \mathbb{R}$ に対し、
$$
(a<\sup_{n\in \mathbb{N}}f_n)=\bigcup_{n\in \mathbb{N}}(a<f_n)\in \mathfrak{M},\quad (\inf_{n\in \mathbb{N}}f_n<a)=\bigcup_{n\in \mathbb{N}}(f_n<a)\in\mathfrak{M}.
$$
*$(5)$ $(3)$ より $f_{\pm}=\text{max} (\pm f,0)$ は可測関数である。よって $(2)$ より $\lvert f\rvert=f_++f_-$ も可測関数であり、したがって $\lvert f\rvert^p$ も可測関数である。
*$(6)$ '''注意4.4'''より $f,g$ が共に実数値である場合を考えれば十分である。
$$
fg=\frac{1}{4}(\lvert f+g\rvert^2-\lvert f-g\rvert^2)
$$
であるから $(2),(5)$ より $fg$ は可測関数である。
{{end |proof | }}

== 5. 非負値可測関数の非負値可測単関数の各点単調増加列による近似 ==

=== 定義5.1（指示関数） ===
$X$ を集合とする。$E\subset X$ に対し $\chi_E\colon X\rightarrow \mathbb{R}$ を、
$$
\chi_E(x)=\left\{\begin{array}{ll}1\quad&(x\in E)\\0&(x\in X\backslash E)\end{array}\right.
$$
と定義する。$\chi_E$ を $E$ の指示関数と言う。

=== 命題5.2（可測集合の指示関数の可測性） ===
$(X,\mathfrak{M})$ を可測空間、$E\in \mathfrak{M}$ とすると $\chi_E\colon X\rightarrow \mathbb{R}$ は可測関数である。
{{begin |proof }}
任意の $a\in \mathbb{R}$ に対し、
$$
(a<\chi_E)=\left\{\begin{array}{ll}X\quad&(a<0)\\E&(0\leq a<1)\\\emptyset&(1\leq a)\end{array}\right.
$$
であるから $(a<\chi_E)\in \mathfrak{M}$ である。
{{end |proof | }}

=== 定義5.3（可測関数の空間、可測単関数空間） ===
$(X,\mathfrak{M})$ を可測空間とする。'''命題4.8'''より、
$$
\mathcal{L}(X,\mathfrak{M})\colon=\{f:X\rightarrow \mathbb{C}: f\text{は可測}\}
$$
は各点ごとの演算で $\mathbb{C}$ 上の線型空間をなす。そこで可測集合の指示関数全体から生成される $\mathcal{L}(X,\mathfrak{M})$ の線形部分空間を、
$$
\mathcal{S} (X,\mathfrak{M})\colon=\text{span}\{\chi_E:E\in \mathfrak{M}\}\subset \mathcal{L}(X,\mathfrak{M})
$$
とおく。$\mathcal{S} (X,\mathfrak{M})$ の元を $(X,\mathfrak{M})$ 上の可測単関数と言う。

=== 命題5.4（可測単関数の特徴付け） ===
$(X,\mathfrak{M})$ を可測空間とする。
$$
\mathcal{S}(X,\mathfrak{M})=\{f\in \mathcal{L}(X,\mathfrak{M}):f(X) \text{は有限集合}\}
$$
が成り立つ。
{{begin |proof }}
$\subset$ は自明である。$f(X)$ が有限集合であるような $f\in \mathcal{L}(X,\mathfrak{M})$ に対し $f(X)=\{a_1,\ldots,a_n\}$ なる互いに異なる $a_1,\ldots,a_n\in \mathbb{C}$ を取ると、
$$
(f=a_j)\in\mathfrak{M}\quad(j=1,\ldots,n)
$$
であり、$f=\sum_{j=1}^{n}a_j\chi_{(f=a_j)}\in \mathcal{S}(X,\mathfrak{M})$ である。
{{end |proof | }}

=== 定理5.5（非負値可測関数の非負値可測単関数の各点単調増加列による近似） ===
$(X,\mathfrak{M})$ を可測空間とする。任意の非負値可測関数 $f\colon X\rightarrow[0,\infty]$ に対し非負値可測単関数の列 $(f_n)_{n\in\mathbb{N}}$ を、
$$
f_n(x)\colon=\sum_{k=1}^{n2^n}\frac{k-1}{2^n}\chi_{(\frac{k-1}{2^n}\leq f<\frac{k}{2^n})}(x)+n\chi_{(n\leq f)}(x)\quad(\forall n\in\mathbb{N},\forall x\in X)
$$
と定義する。このとき各 $x\in X$ に対し $(f_n(x))_{n\in \mathbb{N}}$ は単調増加列であり、$f(x)=\sup_{n\in \mathbb{N}}f_n(x)$ が成り立つ。
{{begin |proof}}
任意の $x\in X$ と $n\in \mathbb{N}$ を取り、$f_n(x)\leq f_{n+1}(x)$ が成り立つことを示す。$n+1\leq f(x)$ ならば、 $f_n(x)=n<n+1=f_{n+1}(x)$ である。$n\leq f(x)<n+1$ ならば、
$$
n2^{n+1}\leq k-1\leq f(x)2^{n+1}<k\leq (n+1)2^{n+1}
$$
なる $k\in \mathbb{N}$ が取れるので、$f_n(x)=n\leq\frac{k-1}{2^{n+1}}=f_{n+1}(x)$ である。$f(x)<n$ ならば、$0\leq k-1\leq f(x)2^n<k\leq n2^n$なる $k\in \mathbb{N}$ が取れて、
$$
f_n(x)=\frac{k-1}{2^n},\quad f_{n+1}(x)\in \left\{\frac{2k-2}{2^{n+1}},\text{ }\frac{2k-1}{2^{n+1}}\right\}
$$
であるから $f_n(x)\leq f_{n+1}(x)$ である。次に $f(x)=\sup_{n\in\mathbb{N}}f_n(x)$ が成り立つことを示す。$f(x)=\infty$ ならば $f_n(x)=n$ $(\forall n\in \mathbb{N})$ であるから成り立つ。$f(x)<\infty$ の場合、任意の $\epsilon\in (0,\infty)$ に対し $f(x)<n_0$ かつ $\frac{1}{2^{n_0}}<\epsilon$ なる $n_0\in \mathbb{N}$ を取れば、
$$
0\leq f(x)-f_n(x)\leq \frac{1}{2^n}<\epsilon\quad(\forall n\geq n_0)
$$
である。よって $f(x)=\lim_{n\rightarrow\infty}f_n(x)=\sup_{n\in\mathbb{N}}f_n(x)$ が成り立つ。
{{end |proof | }}

== 次に読む ==
* [[測度と積分2：測度空間上の積分]]

== 関連項目 ==
* [[入門テキスト「測度と積分」]]
* [[入門テキスト「位相線形空間」]]
* [[速習コース「位相空間論の基礎事項」]]
* [[ネットによる位相空間論]]
* [[フィルターによる位相空間論]]

== 脚注 ==

複素解析の初歩

2026-02-12T05:33:21Z

Kataoka: /* 定理1.7（正則関数に関する逆関数定理） */

本稿においては、関数解析学への応用を念頭に、複素解析のごく初歩的なこと（正則関数の解析性、Liouvilleの定理、一致の定理、Cauchyの積分公式、Cauchyの積分定理、Laurant展開、留数定理）について述べる。そしてこれらのBanach空間値関数への拡張について述べる。$\mathbb{N}=\{1,2,3,\ldots\}$、$\mathbb{Z}_+=\{0,1,2,3,\ldots\}$ とする。

== 1. 複素微分、正則関数 ==

=== 定義1.1（複素微分、複素導関数） ===
$\Omega\subset \mathbb{C}$ を開集合、$X$ を $\mathbb{C}$ 上のBanach空間とする。関数 $f\colon\Omega\rightarrow X$ が $z_0\in \Omega$ において複素微分可能であるとは、ある $b\in X$ が存在し、
$$
\Omega\ni z\mapsto \left\{\begin{array}{cl}\frac{f(z)-f(z_0)}{z-z_0}&(z\neq z_0)\\b&(z=z_0)\end{array}\right\}\in X \text{ が } z_0\text{ において連続。}\quad\quad(*)
$$
が成り立つことを言う。 $f$ が $z_0$ において複素微分可能であるとき $(*)$ を満たす $b\in X$ は唯一つである（次の'''命題1.2'''を参照）。そこでこの $b$ を $f'(z_0)\in X$ と表し、$f$ の $z_0$ における複素微分と言う。 
各 $z\in \Omega$ に対し $f'(z)\in X$ が存在するとき $f'\colon\Omega\ni z\mapsto f'(z)\in X$ なる関数が定義できる。これを $f$ の複素導関数、または $1$ 階複素導関数と言う。$f'=f^{(1)}$ とも表す。ある $n\in \mathbb{N}$ に対し $f$ の $n$ 階複素導関数 $f^{(n)}:\Omega\rightarrow X$ が定義されており、$f^{(n)}$ が複素導関数 ${f^{(n)}}'\colon\Omega\rightarrow X$ を持つときそれを $f$ の $n+1$ 階複素導関数と言い、$f^{(n+1)}$ と表す。便宜上、$f$ 自体を $f$ の $0$ 階導関数と呼び、$f^{(0)}$と表す。

=== 命題1.2 ===
'''定義1.1'''における $(*)$ を満たす $b\in X$ は存在するならば唯一つである。
{{begin |proof }}
$b_1,b_2\in X$ が共に'''定義1.1'''の $(*)$ を満たすとすると、任意の $\epsilon\in(0,\infty)$ に対し $\delta\in (0,\infty)$ が存在し、
$$
\left\lVert \frac{f(z_0+h)-f(z_0)}{h}-b_1\right\rVert<\frac{\epsilon}{2},\quad
\left\lVert \frac{f(z_0+h)-f(z_0)}{h}-b_2\right\rVert<\frac{\epsilon}{2}
\quad(\forall h\in \mathbb{C}:0<\lvert h\rvert<\delta)
$$
が成り立つ。よって三角不等式より $\lVert b_1-b_2\rVert<\epsilon$ であり、$\epsilon\in (0,\infty)$ は任意であるから $b_1=b_2$ が成り立つ。
{{end|proof|}}

=== 命題1.3（複素微分可能な点における連続性） ===
$X$ を $\mathbb{C}$ 上のBanach空間、$\Omega\subset \mathbb{C}$ を開集合とする。$f\colon\Omega\rightarrow X$ が $z_0\in \Omega$ において複素微分可能ならば $f$ は $z_0$ において連続である。
{{begin |proof }}
十分小さい $\delta\in (0,\infty)$ を取れば、
$$
\left\lVert \frac{f(z)-f(z_0)}{z-z_0}-f'(z_0)\right\rVert\leq1\quad(\forall z\in \mathbb{C}:0<\lvert z-z_0\rvert<\delta)
$$
が成り立つ。よって、
$$
\lVert f(z)-f(z_0)\rVert\leq(1+\lVert f'(z_0)\rVert)\lvert z-z_0\rvert\quad(\forall z\in \mathbb{C}:0<\lvert z-z_0\rvert<\delta)
$$
であるので、$f$ は $z_0$ において連続である。
{{end|proof|}}

=== 定義1.4（複素Banach空間値正則関数） ===
$\Omega\subset \mathbb{C}$ を開集合、$X$ を $\mathbb{C}$ 上のBanach空間とする。関数 $f:\Omega\rightarrow X$ がBanach空間 $X$ 値正則関数であるとは $f$ が連続な複素導関数 $f'\colon\Omega\rightarrow X$ を持つことを言う。$X=\mathbb{C}$ の場合は単に正則関数と言う。

=== 注意1.5 ===
正則関数は、複素導関数が存在することとして定義されることが多い。本稿においては便宜上、複素導関数が存在し、さらにその複素導関数が連続であることにより正則関数を定義した。このような定義は小平邦彦著の複素解析などに見られる。

=== 定理1.6（Cauchy-Riemannの関係式） ===
$\Omega\subset\mathbb{C}$を開集合、$f\colon\Omega\rightarrow\mathbb{C}$ とする。同一視
$$
x_1+ix_2=(x_1,x_2),\quad\mathbb{C}=\mathbb{R}^2
$$
のもと、次は互いに同値である。
*$(1)$　$f\colon\Omega\rightarrow\mathbb{C}$ は正則関数である。
*$(2)$　$f\colon\Omega\ni (x_1,x_2)\mapsto (f_1(x_1,x_2),f_2(x_1,x_2))\in \mathbb{R}^2$ は $C^1$ 級であり、任意の $(x_1,x_2)\in \Omega$ に対し、
$$
\partial_1f_1(x_1,x_2)=\partial_2f_2(x_1,x_2),\quad
\partial_1f_2(x_1,x_2)=-\partial_2f_1(x_1,x_2)
$$
（これをCauchy-Riemannの関係式と言う）が成り立つ。

そして $(1),(2)$ が成り立つとき、$f\colon\Omega\rightarrow\mathbb{C}$ の複素導関数を $f'\colon\Omega\rightarrow\mathbb{C}$ とおくと、任意の $x_1+ix_2=(x_1,x_2)\in \Omega$ に対し、
$$
\begin{aligned}
&{\rm Re}(f'(x_1+ix_2))=\partial_1f_1(x_1,x_2)=\partial_2f_2(x_1,x_2),\quad\quad(*)\\
&{\rm Im}(f'(x_1+ix_2))=\partial_1f_2(x_1,x_2)=-\partial_2f_1(x_1,x_2)\quad\quad(**)
\end{aligned}
$$
が成り立つ。
{{begin |proof }}
$(1)\Rightarrow(2)$ を示す。$(1)$ が成り立つとする。$f\colon\Omega\rightarrow\mathbb{C}$ の複素導関数を $f'\colon\Omega\rightarrow\mathbb{C}$ とすると、任意の $z=x_1+ix_2=(x_1,x_2)\in \Omega$ に対し、
$$
\begin{aligned}
&f'(z)=\lim_{h\in\mathbb{R},h\rightarrow0}\frac{f(z+h)-f(z)}{h}=\partial_1f_1(x_1,x_2)+i\partial_1f_2(x_1,x_2),\\
&f'(z)=\lim_{h\in\mathbb{R},h\rightarrow0}\frac{f(z+ih)-f(z)}{ih}=\partial_2f_2(x_1,x_2)-i\partial_2f_1(x_1,x_2)
\end{aligned}
$$
であるから $(*),(**)$ が成り立つ。そして正則関数の定義（'''定義1.4'''）より複素導関数 $f'\colon\Omega\rightarrow\mathbb{C}$ は連続であるので、各 $i,j\in \{1,2\}$ に対し $\partial_if_j:\Omega\rightarrow\mathbb{R}$ は連続である。よって $f$ は $C^1$ 級であるので $(2)$ が成り立つ。 
$(2)\Rightarrow(1)$ を示す。$(2)$ が成り立つとする。
$$
\Omega\ni (x_1,x_2)\mapsto (f_1(x_1,x_2),\text{ }f_2(x_1,x_2))\in \mathbb{R}^2\quad\quad(***)
$$
は $C^1$ 級であるので、[[Euclid空間における微積分1]]の'''命題6.1'''より、$(***)$ は各点で微分可能である。そして任意の $(x_1,x_2)\in \Omega$ に対し、$(x_1,x_2)$ における $(***)$ の微分（[[Euclid空間における微積分1]]の'''定義1.1'''）を $m(x_1,x_2)\in \mathbb{M}_{2\times 2}(\mathbb{R})$ とおくと、[[Euclid空間における微積分1]]の'''命題1.3'''と'''命題1.6'''より、
$$
m(x_1,x_2)=\begin{pmatrix}\partial_1f_1(x_1,x_2)&\partial_2f_1(x_1,x_2)\\\partial_1f_2(x_1,x_2)&\partial_2f_2(x_1,x_2)\end{pmatrix}
$$
と表される。任意の $z=x_1+ix_2=(x_1,x_2)\in \Omega$ を取り固定する。
$$
a\colon=\partial_1f_1(x_1,x_2)=\partial_2f_2(x_1,x_2),\quad
b\colon=\partial_1f_2(x_1,x_2)=-\partial_2f_1(x_1,x_2)\quad\quad(****)
$$
とおくと、
$$
m(x_1,x_2)=\begin{pmatrix}a&-b\\b&a\end{pmatrix}
$$
であるから、$h\colon=h_1+ih_2\in \mathbb{C}$ に対し、
$$
m(x_1,x_2)\begin{pmatrix}h_1\\h_2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}ah_1-bh_2\\ah_2+bh_1\end{pmatrix}=(a+ib)(h_1+ih_2)=(a+ib)h
$$
である。よって、
$$
\begin{aligned}
&\left\lvert\frac{f(z+h)-f(z)}{h}-(a+ib)\right\rvert
=\left\lvert\frac{f(z+h)-f(z)-(a+ib)h}{h}\right\rvert\\
&=\frac{1}{\lvert h\rvert}
\left\lvert\begin{pmatrix}f_1(x_1+h_1,x_2+h_2)-f_1(x_1,x_2)\\f_2(x_1+h_1,x_2+h_2)-f_2(x_1,x_2)\end{pmatrix}-m(x_1,x_2)\begin{pmatrix}h_1\\h_2\end{pmatrix}\right\rvert\\
&\rightarrow0\quad(\lvert h\rvert\rightarrow0)
\end{aligned}
$$
であるから、$f\colon\Omega\rightarrow\mathbb{C}$ は $z=x_1+ix_2\in \Omega$ において複素微分可能であり、その複素微分は $f'(z)=a+ib$ である。$(****)$ より、
$$
f'(z)=\partial_1f_1(x_1,x_2)+i\partial_1f_2(x_1,x_2)
$$
であり、これが任意の $z=x_1+ix_2=(x_1,x_2)\in \Omega$ に対して成り立つ。$f$ は $C^1$ 級なので $\partial_1f_1,\partial_1f_2:\Omega\rightarrow\mathbb{C}$ は連続であるから、$f'\colon\Omega\rightarrow\mathbb{C}$ は連続である。ゆえに $f$ は正則関数なので $(1)$ が成り立つ。
{{end|proof}}

=== 定理1.7（正則関数に関する逆関数定理） ===
$\Omega\subset \mathbb{C}$ を開集合、$f\colon\Omega\rightarrow\mathbb{C}$ を正則関数とし、ある $a\in \Omega$ に対し $f'(a)\neq0$ が成り立つとする。
このとき $a\in \Omega$ の開近傍 $U\subset \Omega$ で次を満たすものが存在する。
*$(1)$　$f(U)\subset \mathbb{C}$ は開集合。
*$(2)$　$U\ni z\mapsto f(z)\in f(U)$ は全単射であり、この逆関数は正則関数である。

そして $U\ni z\mapsto f(z)\in f(U)$ の逆関数を $g\colon f(U)\rightarrow \mathbb{C}$ とおくと、
$$
g'(w)=f'(g(w))^{-1}\quad(\forall w\in f(U))
$$
が成り立つ。
{{begin |proof}}
'''定理1.6'''より同一視
$$
\mathbb{C}=\mathbb{R}^2,\quad x_1+ix_2=(x_1,x_2),\quad
f(x_1+ix_2)=(f_1(x_1,x_2),f_2(x_1,x_2))
$$
によって、
$$
\Omega\ni (x_1,x_2)\mapsto (f_1(x_1,x_2),f_2(x_1,x_2))\in \mathbb{R}^2\quad\quad(*)
$$
は $C^1$ 級であり、任意の $(x_1,x_2)\in \Omega$ における $(*)$ の微分を $m_f(x_1,x_2)\in\mathbb{M}_{2\times 2}(\mathbb{R})$ とおくと、
$$
m_f(x_1,x_2)=\begin{pmatrix}{\rm Re}(f'(x_1+ix_2))&-{\rm Im}(f'(x_1+ix_2))\\{\rm Im}(f'(x_1+ix_2))&{\rm Re}(f'(x_1+ix_2))\end{pmatrix}\quad\quad(**)
$$
が成り立つ。よって $a=a_1+ia_2=(a_1,a_2)\in \mathbb{R}^2$ と表すと、
$$
0<\lvert f'(a)\rvert={\rm Re}(f'(a))^2+{\rm Im}(f'(a))^2={\rm det}(m_f(a_1,a_2))
$$
が成り立つので、逆関数定理（[[Euclid空間における微積分1]]の'''定理7.1'''）より $a\in \Omega$ の開近傍 $U\subset \Omega$ で、$f(U)$ が $\mathbb{C}$ の開集合であり、
$$
U\ni (x_1,x_2)\mapsto (f_1(x_1,x_2),f_2(x_1,x_2))\in f(U)\quad\quad(***)
$$
が全単射で、$(***)$ の逆関数
$$
g\colon f(U)\rightarrow U
$$
が $C^1$ 級であるようなものが取れる。そして任意の $(y_1,y_2)=f(x_1,x_2)\in f(U)$ における $g$ の微分を $m_g(y_1,y_2)\in \mathbb{M}_{2\times 2}(\mathbb{R})$ とおくと、逆行列の余因子行列による表示（[[速習「線形空間論」]]の'''命題5.10'''）と $(**)$ より、
$$
\begin{aligned}
m_g(y_1,y_2)&=m_f(x_1,x_2)^{-1}=\frac{1}{{\rm det}(m_f(x_1,x_2))}{\rm Cof}(m_f(x_1,x_2))\\
&=\frac{1}{\lvert f'(x_1+ix_2)\rvert^2}\begin{pmatrix}{\rm Re}(f'(x_1+ix_2))&{\rm Im}(f'(x_1+ix_2))\\-{\rm Im}(f'(x_1+ix_2))&{\rm Re}(f'(x_1+ix_2))\end{pmatrix}
\end{aligned}
$$
となる。よって任意の $(y_1,y_2)=f(x_1,x_2)\in f(U)$ に対し、
$$
\begin{aligned}
&\partial_1g_1(y_1,y_2)=\partial_2g_2(y_1,y_2)=\frac{1}{\lvert f'(x_1+ix_2)\rvert^2}{\rm Re}(f'(x_1+ix_2)),\\
&\partial_1g_2(y_1,y_2)=-\partial_2g_1(y_1,y_2)=-\frac{1}{\lvert f'(x_1+ix_2)\rvert^2}{\rm Im}(f'(x_1+ix_2))
\end{aligned}
$$
であるから、'''定理1.6'''より $g:f(U)\ni f(z)\mapsto z\in \mathbb{C}$ は正則関数であり、任意の $w=f(z)\in f(U)$ における $g$ の複素微分は、
$$
g'(w)=\frac{1}{\lvert f'(z)\rvert^2}({\rm Re}(f('z))-i{\rm Im}(f'(z)))=\frac{1}{\lvert f'(z)\rvert^2}\overline{f'(z)}=f'(z)^{-1}=f'(g(w))^{-1}
$$
である。
{{end|proof|}}

== 2. 冪級数関数 ==

=== 定義2.1（冪級数の収束半径） ===
$X$ を $\mathbb{C}$ 上のBanach空間、$(c_n)_{n\in \mathbb{Z}_+}$ を $X$ の点列とする。
$$
R\colon=\frac{1}{\inf_{n\in \mathbb{N}}\sup_{k\geq n}\sqrt[k]{\lVert c_k\rVert}}\in [0,\infty]\quad\quad(*)
$$
（ただし右辺の分母が $0$ の場合は $R=\infty$とする。）を、$(c_n)_{n\in \mathbb{Z}_+}$ を係数とする冪級数の収束半径と言う。この名称の妥当性については次の'''命題2.2'''を参照。

=== 命題2.2（冪級数の収束半径に関する基本的事実） ===
$\mathbb{C}$ 上のBanach空間 $X$ の点列 $(c_n)_{n\in \mathbb{Z}_+}$ に対して、'''定義2.1'''の $(*)$ によって定まる $R\in [0,\infty]$ について、次が成り立つ。
*$(1)$　$\lvert \lambda\rvert<R$ を満たす任意の $\lambda\in \mathbb{C}$ に対し $\sum_{n\in \mathbb{Z}_+}c_n\lambda^n$ は絶対収束（[[位相線形空間1：ノルムと内積]]の'''定義5.5'''）する。
*$(2)$　$\lvert\lambda\rvert>R$ を満たす任意の $\lambda\in \mathbb{C}$ に対し $(c_n\lambda^n)_{n\in\mathbb{Z}_+}$ は $0$ に収束しない。（特に $\sum_{n\in \mathbb{Z}_+}c_n\lambda^n$ は収束しない。）
{{begin |proof}}
*$(1)$　
$$
\lvert \lambda\rvert<R=\frac{1}{\inf_{n\in\mathbb{N}}\sup_{k\geq n}\sqrt[k]{\lVert c_k\rVert}}\quad\iff\quad
\inf_{n\in\mathbb{N}}\sup_{k\geq n}\sqrt[k]{\lVert c_k\rVert}<\frac{1}{\lvert \lambda\rvert}
$$
より、$\lvert \lambda\rvert<R$ ならばある$\beta\in (0,1)$ に対し、
$$
\inf_{n\in\mathbb{N}}\sup_{k\geq n}\sqrt[k]{\lVert c_k\rVert}<\frac{\beta}{\lvert\lambda\rvert}
$$
が成り立つ。よって下限の定義より、
$$
\sup_{k\geq n_0}\sqrt[k]{\lVert c_k\rVert}<\frac{\beta}{\lvert \lambda\rvert}\quad(\forall k\geq n_0)
$$
を満たす $n_0\in \mathbb{N}$ が存在する。これより、
$$
\lVert c_k\lambda^k\rVert<\beta^k\quad(\forall k\geq n_0)
$$
であり、$\beta\in (0,1)$ より、
$$
\sum_{k\geq n_0}\lVert c_k\lambda^k\rVert\leq\sum_{k\geq n_0}\beta^k<\infty
$$
である。ゆえに $\sum_{n\in \mathbb{Z}_+}c_n\lambda^n$ は絶対収束する。
*$(2)$
$$
\lvert \lambda\rvert>R=\frac{1}{\inf_{n\in\mathbb{N}}\sup_{k\geq n}\sqrt[k]{\lVert c_k\rVert}}\quad\iff\quad
\inf_{n\in\mathbb{N}}\sup_{k\geq n}\sqrt[k]{\lVert c_k\rVert}>\frac{1}{\lvert \lambda\rvert}
$$
より、$\lvert \lambda\rvert>R$ ならば、
$$
\sup_{k\geq n}\sqrt[k]{\lVert c_k\rVert}>\frac{1}{\lvert\lambda\rvert}\quad(\forall n\in\mathbb{N})
$$
であるから、上限の定義より任意の $n\in \mathbb{N}$ に対し $k\geq n$ で、
$$
\sqrt[k]{\lVert c_{k}\rVert}>\frac{1}{\lvert\lambda\rvert},
$$
すなわち、
$$
\lVert c_k\lambda^k\rVert>1
$$
を満たすものが取れる。よって $(c_n\lambda^n)_{n\in\mathbb{Z}_+}$ は $0$ に収束しない。
{{end|proof|}}

=== 命題2.3（ratioテスト） ===
$(0,\infty)$ の点列 $(a_n)_{n\in \mathbb{Z}_+}$ に対し、
$$
\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{a_{n+1}}{a_n}\in [0,1)
$$
が存在するとする。このとき $\sum_{n\in \mathbb{Z}_+}a_n$ は収束する。
{{begin |proof }}
$$
\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{a_{n+1}}{a_n}<\alpha<1
$$
なる $\alpha$ を取る。十分大きい $n_0\in \mathbb{N}$ を取れば、
$$
\frac{a_{n+1}}{a_n}<\alpha\quad(\forall n\geq n_0)
$$
となるから、
$$
a_{n}<\alpha^{n-n_0}a_{n_0}\quad(\forall n\geq n_0)
$$
である。
$$
\sum_{n\geq n_0}a_n\leq \sum_{n\geq n_0}\alpha^{n-n_0}a_{n_0}<\infty
$$
であるから $\sum_{n\in \mathbb{Z}_+}a_n$ は収束する。
{{end|proof|}}

=== 命題2.4（冪級数の収束半径の保存） ===
$\mathbb{C}$ 上のBanach空間 $X$ の点列 $(c_n)_{n\in \mathbb{Z}_+}$ に対し、$(c_n)_{n\in \mathbb{Z}_+}$ を係数とする冪級数の収束半径 $R$ と $((n+1)c_{n+1})_{n\in \mathbb{Z}_+}$ を係数とする冪級数の収束半径 $R'$ は一致する。
{{begin |proof }}
$\lvert \lambda\rvert<R'$ なる任意の $\lambda\in \mathbb{C}$ に対し、
$$
\lVert c_{n+1}\lambda^{n+1}\rVert\leq \lvert\lambda\rvert\lVert (n+1)c_{n+1}\lambda^n\rVert
$$
であり'''命題2.3'''より右辺を第 $n$ 項とする級数は収束するので、$\sum_{n\in \mathbb{Z}_+}c_n\lambda^n$ は（絶対）収束する。よって'''命題2.2'''より $\lvert\lambda\rvert\leq R$ である。$\lambda$ の任意性より $R'\leq R$ が成り立つ。$\lvert\lambda\rvert<R$ なる任意の $\lambda\in \mathbb{C}$ を取り、$\lvert\lambda\rvert<r<R$ なる $r$ を取る。'''命題2.3'''より $(c_nr^n)_{n\in \mathbb{Z}_+}$ は収束するので、ある $M\in (0,\infty)$ に対し、
$$
\lVert c_n\rVert r^n\leq M\quad(\forall n\in \mathbb{Z}_+)
$$
となる。よって、
$$
\lVert (n+1)c_{n+1}\lambda^n\rVert
\leq M\frac{n+1}{r}\left(\frac{\lvert\lambda\rvert}{r}\right)^n\quad(\forall n\in \mathbb{Z}_+)
$$
であり、'''命題2.3'''より $\sum_{n\in \mathbb{Z}_+}M\frac{n+1}{r}\left(\frac{\lvert\lambda\rvert}{r}\right)^n<\infty$ であるから $\sum_{n\in \mathbb{Z}_+}(n+1)c_{n+1}\lambda^n$ は絶対収束する。ゆえに $\lvert\lambda\rvert\leq R'$ であるから $\lambda$ の任意性より $R\leq R'$ が成り立つ。
{{end|proof|}}

=== 定理2.5（冪級数関数の複素微分可能性） ===
$\mathbb{C}$ 上のBanach空間 $X$ の点列 $(c_n)_{n\in \mathbb{Z}_+}$ に対し、$(c_n)_{n\in \mathbb{Z}_+}$ を係数とする冪級数の収束半径を $R\in (0,\infty]$ とおく。このとき、
$$
f(\lambda)\colon=\sum_{n\in \mathbb{Z}_+}c_n\lambda^n\quad(\forall \lambda\in B(0,R)=\{\lambda\in\mathbb{C}:\lvert\lambda\rvert<R\})
$$
として定義される関数 $f\colon B(0,R)\rightarrow X$ は任意の $k\in \mathbb{Z}_+$ に対し $k$ 階複素導関数 $f^{(k)}\colon B(0,R)\rightarrow X$ を持ち、
$$
f^{(k)}(\lambda)=\sum_{n\in \mathbb{Z}_+}\frac{(n+k)!}{n!}c_{n+k}\lambda^n\quad(\forall \lambda\in B(0,R))
$$
が成り立つ。（'''命題2.4'''より $(\frac{(n+k)!}{n!}c_{n+k})_{n\in \mathbb{Z}_+}$ を係数とする冪級数の収束半径は $R$ であることに注意。）
{{begin |proof }}
$f$ が任意の点 $\lambda_0\in B(0,R)$ において複素微分可能であり、
$$
f'(\lambda_0)=\sum_{n\in \mathbb{Z}_+}(n+1)c_{n+1}\lambda_0^n
$$
が成り立つことを示せば十分である。$\lvert\lambda_0\rvert<r<R$ なる $r$ を取り、
$$
U\colon=B(\lambda_0,\text{ } r-\lvert \lambda_0\rvert)=\{\lambda\in \mathbb{C}: \lvert\lambda-\lambda_0\rvert<r-\lvert\lambda_0\rvert\}\subset B(0,r)
$$
とおき、$F\colon U\rightarrow X$ を、
$$
F(\lambda)\colon=\left\{\begin{array}{cl}\frac{f(\lambda)-f(\lambda_0)}{\lambda-\lambda_0}&(\lambda\neq\lambda_0)\\
\sum_{n\in \mathbb{Z}_+}(n+1)c_{n+1}\lambda_0^n&(\lambda=\lambda_0)\end{array}\right.
$$
として定義する。$F$ が連続であることを示せばよい。$\lambda\neq\lambda_0$ のとき、
$$
F(\lambda)=\frac{1}{\lambda-\lambda_0}\sum_{n\in \mathbb{Z}_+}c_{n+1}(\lambda^{n+1}-\lambda_0^{n+1})=\sum_{n\in\mathbb{Z}_+}c_{n+1}\sum_{k=0}^{n}\lambda^k\lambda_0^{n-k}
$$
であるから、
$$
F(\lambda)=\sum_{n\in \mathbb{Z}_+}c_{n+1}\sum_{k=0}^{n}\lambda^k\lambda_0^{n-k}\quad(\forall \lambda\in U)
$$
である。そこで任意の $N\in \mathbb{N}$ に対し連続関数 $F_N\colon U\rightarrow X$ を、
$$
F_N(\lambda)\colon=\sum_{n=0}^{N}c_{n+1}\sum_{k=0}^{n}\lambda^k\lambda_0^{n-k}\quad(\forall \lambda\in U)
$$
として定義する。$N<M$ なる任意の $N,M\in \mathbb{N}$ と任意の $\lambda\in U$ に対し $\lvert\lambda\rvert\leq \lvert\lambda-\lambda_0\rvert+\lvert\lambda_0\rvert<r$ より、
$$
\begin{aligned}
\sup_{\lambda\in U}\lvert F_M(\lambda)-F_N(\lambda)\rvert
\leq \sum_{n=N+1}^{M}(n+1)\lVert c_{n+1}\rVert r^n
\end{aligned}
$$
であり、'''命題2.4'''より $\sum_{n\in\mathbb{Z}_+}(n+1)c_{n+1}r^n$ は絶対収束するので $(F_N)_{N\in\mathbb{N}}$ は一様Cauchy条件を満たす。よって[[距離空間の位相の基本的性質]]の'''命題8.5'''より $(F_N)_{N\in \mathbb{N}}$ は $F$ に一様収束するので、[[距離空間の位相の基本的性質]]の'''命題8.3'''より $F$ は連続である。
{{end|proof|}}

== 3. $\mathbb{C}$ 内の（閉）路、サイクル、複素線積分の定義 ==

=== 定義3.1（$\mathbb{C}$ 内の曲線、路、閉路、サイクル, 跡） ===
$\mathbb{C}$ 内の曲線とは、ある有界閉区間 $I$ 上で定義された $\mathbb{C}$ 値連続関数 $c\colon I\rightarrow \mathbb{C}$ であって、$I$ を含む開区間上で定義された $C^1$ 級関数に拡張できるもののことを言う。$\mathbb{C}=\mathbb{R}^2$ とみなしたとき$\mathbb{C}$ 内の曲線は、[[ベクトル解析6：Stokesの定理]]の'''定義25.1'''における $\mathbb{R}^2$ 内の曲線（ $1$ 次の曲方体）である。$\mathbb{C}$ 内の曲線 $c\colon[a,b]\rightarrow\mathbb{C}$ に対し $c(a)$ を $c$ の始点、$c(b)$ を $c$ の終点と言う。 
$\mathbb{C}$ 内の曲線の形式的な和 $c=c_1+\ldots+c_n$ が $\mathbb{C}$ 内の路であるとは、各 $k\in\{1,\ldots,n-1\}$ に対し $c_k$ の終点と $c_{k+1}$ の始点が一致する場合を言う。そしてさらに $c_n$ の終点と $c_1$ の始点が一致するならば $c$ を $\mathbb{C}$ 内の閉路と言う。 
$\mathbb{C}$ 内の閉路の和のことをサイクルと言う。 
$\mathbb{C}$ 内の曲線 $c:I\rightarrow \mathbb{C}$ に対し $c^*=c(I)$ を $c$ の跡と言う。$\mathbb{C}$ 内の曲線の和 $c=c_1+\ldots+c_n$ に対し、
$$
c^*=c_1^*\cup\ldots\cup c_n^*
$$
を$c$の跡と言う。$\mathbb{C}$ の部分集合 $\Omega$ に対し $c^*\subset \Omega$ であるとき $c$ は $\Omega$ に含まれると言う。 
曲線 $c$ と逆の曲線（[[ベクトル解析6：Stokesの定理]]の'''定義25.4'''）を $-c$ と表すことがある。

=== 定義3.2（複素線積分） ===
$\mathbb{C}$ 内の曲線の和 $c=c_1+\ldots+c_n$と、その跡 $c^*$ 上で定義された連続関数 $f:c^*\rightarrow\mathbb{C}$ を考える。$f_1,f_2\colon c^*\rightarrow\mathbb{R}$ を $f$ の実部と虚部とし、$(x_1,x_2)$ を $\mathbb{R}^2$ の標準座標とする。$\mathbb{C}=\mathbb{R}^2$ とみなし、$c^*\subset \mathbb{R}^2$ 上で定義された $\mathbb{R}$ の $1$ 階連続微分形式
$$
f_1dx_1-f_2dx_2,\quad f_2dx_1+f_1dx_2
$$
の $c$ 上での積分（[[ベクトル解析6：Stokesの定理]]の'''定義25.2'''、'''定義25.5'''を参照）
$$
\begin{aligned}
&\int_{c}(f_1dx_1-f_2dx_2)=\sum_{k=1}^{n}\int_{c_k}(f_1dx_1-f_2dx_2),\\
&\int_{c}(f_2dx_1+f_1dx_2)=\sum_{k=1}^{n}\int_{c_k}f_2dx_1+f_1dx_2)
\end{aligned}
$$
を考え、$f$ の $c$ 上での複素線積分を、
$$
\int_{c}f(z)dz\colon=\int_{c}(f_1dx_1-f_2dx_2)+i\int_{c}(f_2dx_1+f_1dx_2)
$$
と定義する。
$$
\int_{c}f(z)dz=\sum_{k=1}^{n}\int_{c_k}f(z)dz
$$
である。

=== 注意3.3（複素線積分のパラメータ表示） ===
$\mathbb{C}$ 内の曲線 $c\colon I\rightarrow\mathbb{C}$ と連続関数 $f\colon c^*\rightarrow\mathbb{C}$ に対し、
$$
\int_{c}f(z)dz=\int_{I}f(c(t))c'(t)dt
$$
である。実際、$c^*\subset \mathbb{R}^2$ 上の $1$ 階微分形式 $f_1dx_1-f_2dx_2$ と $f_1dx_2+f_2dx_1$ の $c$ による引き戻し（[[ベクトル解析2：微分形式]]の'''定義9.8'''、[[ベクトル解析6：Stokesの定理]]の'''定義25.2'''を参照）は、
$$
\begin{aligned}
&(c^*(f_1dx_1-f_2dx_2))_t=f_1(c(t))c_1'(t)dt-f_2(c(t))c_2'(t)dt={\rm Re}(f(t)c'(t))dt,\\
&(c^*(f_1dx_2+f_2dx_1))_t=f_1(c(t))c_2'(t)dt+f_2(c(t))c_1'(t)dt={\rm Im}(f(t)c'(t))dt
\end{aligned}
$$
であるから、
$$
\begin{aligned}
\int_{c}f(z)dz&=\int_{c}(f_1dx_1-f_2dx_2)+i\int_{c}(f_2dx_1+f_1dx_2)\\
&=\int_{I}{\rm Re}(f(t)c'(t))dt+i\int_{I}{\rm Im}(f(t)c'(t))dt\\
&=\int_{I}f(t)c'(t)dt
\end{aligned}
$$
である。

=== 定義3.4（曲線の（和の）長さ） ===
$\mathbb{C}$ 内の曲線 $c\colon I\rightarrow\mathbb{C}$ に対し $c$ の長さを、
$$
\ell(c)\colon=\int_{I}\lvert c'(t)\rvert dt
$$
と定義する。また $\mathbb{C}$ 内の曲線の和 $c=c_1+\ldots+c_n$ に対し $c$ の長さを、
$$
\ell(c)\colon=\ell(c_1)+\ldots+\ell(c_n)
$$
と定義する。

=== 命題3.5（有界線形汎関数としての複素線積分） ===
$\mathbb{C}$ 内の曲線の和 $c$ に対し、
$$
C(c^*)\ni f\mapsto \int_{c}f(z)dz\in \mathbb{C}
$$
（ただし $C(c^*)$ はコンパクト空間 $c^*$ 上の複素数値連続関数全体に各点ごとの演算と $\sup$ ノルムを入れたBanach空間である。）は有界線形汎関数であり、そのノルムは $c$ の長さ $\ell(c)$ 以下である。
{{begin |proof }}
曲線 $c_k:I_k\rightarrow\mathbb{C}$ $(k=1,\ldots,n)$ に対し $c=c_1+\ldots+c_n$ とすると'''注意3.3'''より、
$$
\int_{c}f(z)dz=\sum_{k=1}^{n}\int_{c_k}f(z)dz=\sum_{k=1}^{n}\int_{I_k}f(c_k(t))c_k'(t)dt
$$
である。よって、
$$
\begin{aligned}
\left\lvert\int_{c}f(z)dz\right\rvert&\leq \sum_{k=1}^{n}\left\lvert\int_{I_k}f(c_k(t))c_k'(t)dt\right\rvert
\leq \sum_{k=1}^{n}\lVert f\rVert\int_{I_k}\lvert c_k'(t)\rvert dt=\lVert f\rVert\ell(c)
\end{aligned}
$$
である。これより $(*)$ は有界線形汎関数でノルムは $\ell(c)$ 以下である。
{{end|proof|}}

=== 命題3.6（正則関数の複素導関数の複素線積分） ===
$\Omega\subset \mathbb{C}$ を開集合、$f\colon\Omega\rightarrow\mathbb{C}$ を正則関数（'''定義1.4'''）とする。このとき $\Omega$ に含まれる任意のサイクル $c$ （'''定義3.1'''）に対し、
$$
\int_{c}f'(z)dz=0
$$
が成り立つ。
{{begin |proof }}
サイクルは閉路の和であるから、$c$ は閉路であるとして示せば十分である。曲線 $c_k\colon[a_k,b_k]\rightarrow\mathbb{C}$ に対し $c=c_1+\ldots+c_n$ とし、
$$
c_k(b_k)=c_{k+1}(a_{k+1})\quad(k=1,\ldots,n-1),\quad c_n(b_n)=c_1(a_1)
$$
とする。$(x_1,x_2)$ を $\mathbb{R}^2$ の標準座標、$f_1,f_2\colon\Omega\rightarrow\mathbb{R}$ を $f$ の実部と虚部とする。Cauchy-Riemannの関係式（'''定理1.6'''）より、
$$
\begin{aligned}
&(f')_1dx_1-(f')_2dx_2=\frac{\partial f_1}{\partial x_1}dx_1+\frac{\partial f_1}{\partial x_2}dx_2=df_1,\\
&(f')_2dx_1+(f')_1dx_2=\frac{\partial f_2}{\partial x_1}dx_1+\frac{\partial f_2}{\partial x_2}dx_2=df_2
\end{aligned}
$$
であるから、
$$
\begin{aligned}
\int_{c_k}f'(z)dz&=\int_{c_k}((f')_1dx_1-(f')_2dx_2)+i\int_{c_k}((f')_2dx_1+(f')_1dx_2)\\
&=\int_{c_k}df_1+i\int_{c_k}df_2\\
&=f(c_k(b_k))-f(c_k(a_k))\quad(k=1,\ldots,n)
\end{aligned}
$$
である。<ref>$c_k^*df_j=d(f_j\circ c_k)=\frac{d(f_j\circ c_k)}{dt}dt$であるから、[[ベクトル解析6：Stokesの定理]]の''定義25.2''より、$\int_{c_k}df_j=\int_{a_k}^{b_k}\frac{d(f_j\circ c_k)}{dt}(t)dt=f_j(c_k(b_k) )-f_j(c_k(a_k) )$ である。</ref>よって $(*)$ より、
$$
\int_{c}f(z)dz=\sum_{k=1}^{n}\int_{c_k}f(z)dz=\sum_{k=1}^{n}(f(c_k(b_k))-f(c_k(a_k)))
=0
$$
である。
{{end|proof|}}

== 4. 凸開集合におけるCauchyの積分定理 ==

=== 定義4.1（$\mathbb{C}$ における線分） ===
任意の $\alpha,\beta\in \mathbb{C}$ に対し、
$$
[0,1]\ni t\mapsto \alpha+t(\beta-\alpha)\in \mathbb{C}
$$
なる曲線を $\alpha$ を始点、$\beta$ を終点とする $\mathbb{C}$ の線分と言い、$[\alpha,\beta]$ と表す。

=== 注意4.2 ===
線分 $[\alpha,\beta]$ の長さ（'''定義3.4'''）は、
$$
\ell([\alpha,\beta])=\int_{[0,1]}\lvert \beta-\alpha\rvert dt=\lvert\beta-\alpha\rvert
$$
である。また $[\alpha,\beta]$ と逆の曲線は $-[\alpha,\beta]=[\beta,\alpha]$ であり、跡 $[\alpha,\beta]^*=[\beta,\alpha]^*=\{\alpha+t(\beta-\alpha):t\in [0,1]\}$ 上で定義された任意の連続関数 $f\colon[\alpha,\beta]^*\rightarrow\mathbb{C}$ に対し、
$$
\int_{[\beta,\alpha]}f(z)dz=\int_{-[\alpha,\beta]}f(z)dz=-\int_{[\alpha,\beta]}f(z)dz
$$
である。

=== 定義4.3（三角形閉路） ===
任意の $\alpha,\beta,\gamma\in \mathbb{C}$ に対し閉路
$$
\partial\Delta(\alpha,\beta,\gamma):=[\alpha,\beta]+[\beta,\gamma]+[\gamma,\alpha]
$$
を定義する。

=== 注意4.4 ===
三角形閉路 $\partial\Delta(\alpha,\beta,\gamma)$ の長さ（'''定義3.4'''）は、
$$
\ell(\partial\Delta(\alpha,\beta,\gamma))=\ell([\alpha,\beta])+\ell([\beta,\gamma])+\ell([\gamma,\alpha])=
\lvert\beta-\alpha\rvert+\lvert\gamma-\beta\rvert+\lvert \alpha-\gamma\rvert
$$
である。また跡 $\partial\Delta(\alpha,\beta,\gamma)=[\alpha,\beta]^*\cup[\beta,\gamma]^*\cup[\gamma,\alpha]^*$ 上で定義された任意の連続関数 $f\colon\partial\Delta(\alpha,\beta,\gamma)\rightarrow\mathbb{C}$ に対し、
$$
\int_{\partial\Delta(\alpha,\beta,\gamma)}f(z)dz=\int_{[\alpha,\beta]}f(z)dz+\int_{[\beta,\gamma]}f(z)dz+\int_{[\gamma,\alpha]}f(z)dz
$$
である。

=== 定義4.5（原始関数） ===
$\Omega\subset \mathbb{C}$ を開集合とする。$F\colon\Omega\rightarrow\mathbb{C}$ が $f\colon\Omega\rightarrow\mathbb{C}$ の原始関数であるとは $F'(z)=f(z)$ $(\forall z\in \Omega)$ が成り立つことを言う。

=== 命題4.6（凸開集合上の連続関数が原始関数を持つための条件） ===
$\Omega\subset \mathbb{C}$ を凸開集合、$f\colon\Omega\rightarrow\mathbb{C}$ を連続関数とする。このとき次は互いに同値である。
*$(1)$　$f$ は原始関数を持つ。
*$(2)$　$\Omega$ 内の任意のサイクル $c$（'''定義3.1'''）に対し、
$$
\int_{c}f(z)dz=0
$$
が成り立つ。
*$(3)$　任意の $\alpha,\beta,\gamma\in\Omega$ に対し、
$$
\int_{\partial\Delta(\alpha,\beta,\gamma)}f(z)dz=0\quad\quad(*)
$$
が成り立つ。
{{begin |proof}}
$(1)\Rightarrow(2)$ は'''命題3.6'''による。$(2)\Rightarrow(3)$ は自明である。$(3)\Rightarrow(1)$ を示す。$(3)$ が成り立つとする。
任意の $\alpha\in \Omega$ を取り固定し、
$$
F(z):=\int_{[\alpha,z]}f(w)dw\quad(\forall z\in \Omega)
$$
として $F:\Omega\rightarrow\mathbb{C}$ を定義する。$(*)$ より、
$$
\begin{aligned}
F(z)-F(z_0)&=\int_{[\alpha,z]}f(w)dw-\int_{[\alpha,z_0]}f(w)dw=\int_{[z_0,z]}f(w)dw\quad(\forall z_0,z\in \Omega)
\end{aligned}
$$
であるから、任意の $z_0,z\in\Omega$ に対し'''命題3.5'''より、
$$
\begin{aligned}
\left\lvert \frac{F(z)-F(z_0)}{z-z_0}-f(z_0)\right\rvert
=\frac{1}{\lvert z-z_0\rvert}\left\lvert\int_{[z_0,z]}f(w)-f(z_0)dw\right\rvert
\leq \underset{w\in[z_0,z]^*}{\rm max}\lvert f(w)-f(z_0)\rvert
\end{aligned}
$$
である。ここで $f$ は $z_0$ において連続であるから、
$$
\lim_{z\rightarrow z_0}\underset{w\in[z_0,z]^*}{\rm max}\lvert f(w)-f(z_0)\rvert=0
$$
である。よって $F'(z_0)=f(z_0)$ であるから $F$ は $f$ の原始関数である。
{{end|proof|}}

=== 定理4.7（凸開集合におけるCauchyの積分定理） ===
$\Omega\subset \mathbb{C}$ を凸開集合、$f\colon\Omega\rightarrow\mathbb{C}$ を連続関数とする。そしてある $p\in \Omega$ に対し $\Omega\backslash \{p\}$ 上で $f$ は正則関数（'''定義1.4'''）であるとする。このとき $\Omega$ に含まれる任意のサイクル $c$（'''定義3.1'''）に対し、
$$
\int_{c}f(z)dz=0
$$
が成り立つ。
{{begin |proof }}
'''命題4.6'''より、任意の $\alpha,\beta,\gamma\in\Omega$ に対し、
$$
\int_{\partial\Delta(\alpha,\beta,\gamma)}f(z)dz=0\quad\quad(*)
$$
が成り立つことを示せばよい。$\alpha,\beta,\gamma$ のうちのいずれかが等しい場合、もしくは $\alpha,\beta,\gamma$ のうちのいずれかが他の $2$ 点を端点とする線分上に乗っている場合、$(*)$ は明らかに成り立つので、それ以外の場合を考える。$\alpha,\beta,\gamma$ を頂点とする三角形を、
$$
K\colon=\{t_1\alpha+t_2\beta+t_3\gamma:t_1,t_2,t_3\geq0, t_1+t_2+t_3=1\}\subset \Omega
$$
とおく<ref>$K$ はコンパクト集合 $\{(t_1,t_2,t_3)\in [0,1]^3:t_1+t_2+t_3=1\}$ の連続写像による像であるからコンパクトである。</ref>。
*$(1)$　$p\in \Omega\backslash K$ の場合を示す。$\mathbb{C}=\mathbb{R}^2$ 内の $2$ 次の $C^\infty$ 級曲方体（[[ベクトル解析6：Stokesの定理]]の'''定義25.1'''）
$$
c\colon[0,1]\times [0,1]\ni (s,t)\mapsto (1-t)((1-s)\alpha+s\beta)+t\gamma\in \mathbb{C}
$$
を定義する。$c$ の跡は、
$$
c^*=c([0,1]\times [0,1])=K\subset \Omega\backslash \{p\}
$$
である。$c$ の境界（[[ベクトル解析6：Stokesの定理]]の'''定義25.6'''）$\partial c$ は、
$$
\partial c=[\alpha,\beta]+[\beta,\gamma]-[\alpha,\gamma]-[\gamma,\gamma]
$$
であるので、
$$
\int_{\partial c}f(z)dz=\int_{[\alpha,\beta]}f(z)dz+\int_{[\beta,\gamma]}f(z)dz+\int_{[\gamma,\alpha]}f(z)dz=\int_{\partial\Delta(\alpha,\beta,\gamma)}f(z)dz
$$
である。$c^*=K$ を含む開集合 $\Omega\backslash \{p\}$ 上で定義された $\mathbb{R}^2$ の $1$ 階微分形式
$$
f_1dx_1-f_2dx_2,\quad f_2dx_1+f_1dx_2
$$
は $C^1$ 級であり、外微分の定義（[[ベクトル解析2：微分形式]]の'''定義9.5'''）とCauchy-Riemannの関係式（'''定理1.6'''）より、
$$
d(f_1dx_1-f_2dx_2)=-\left(\frac{\partial f_2}{\partial x_1}+\frac{\partial f_1}{\partial x_2}\right)dx_1\wedge dx_2=0,
$$
$$
d(f_2dx_1+f_1dx_2)=\left(-\frac{\partial f_2}{\partial x_2}+\frac{\partial f_1}{\partial x_1}\right)dx_1\wedge dx_2=0
$$
であるから、Stokesの定理（[[ベクトル解析6：Stokesの定理]]の'''定理25.7'''）より、
$$
\int_{\partial c}(f_1dx_1-f_2dx_2)=\int_{c}d(f_1dx_1-f_2dx_2)=0,
$$
$$
\int_{\partial c}(f_2dx_1+f_1dx_2)=\int_{c}d(f_2dx_1+f_1dx_2)=0
$$
である。ゆえに、
$$
\int_{\partial\Delta(\alpha,\beta,\gamma)}f(z)dz=\int_{\partial c}f(z)dz=
\int_{\partial c}(f_1dx_1-f_2dx_2)+i\int_{\partial c}(f_2dx_1+f_1dx_2)=0
$$
であるから $(*)$ が成り立つ。
*$(2)$　$p$ が三角形 $K$ の頂点にある場合を示す。$p=\alpha$ であるとして示せば十分である。任意の $\epsilon\in (0,1)$ を取り、
$$
\beta'\colon=\alpha+\epsilon(\beta-\alpha),\quad \gamma'\colon=\alpha+\epsilon(\gamma-\alpha)
$$
を定義する。このとき、
$$
\partial\Delta(\alpha,\beta,\gamma)=\partial\Delta(\alpha,\beta',\gamma')+\partial\Delta(\beta',\beta,\gamma')+\partial\Delta(\beta,\gamma,\gamma')
$$
であるから、
$$
\int_{\partial\Delta(\alpha,\beta,\gamma)}f(z)dz=
\int_{\partial\Delta(\alpha,\beta',\gamma')}f(z)dz+\int_{\partial\Delta(\beta',\beta,\gamma)}f(z)dz+\int_{\partial\Delta(\beta,\gamma,\gamma')}f(z)dz
$$
である。$(1)$ より右辺の第二項と第三項は $0$ なので、
$$
\int_{\partial\Delta(\alpha,\beta,\gamma)}f(z)dz=\int_{\partial\Delta(\alpha,\beta',\gamma')}f(z)dz
$$
である。よって'''命題3.5'''より、
$$
\begin{aligned}
\left\lvert\int_{\partial\Delta(\alpha,\beta,\gamma)}f(z)dz\right\rvert
&=\left\lvert \int_{\partial\Delta(\alpha,\beta',\gamma')}f(z)dz\right\rvert
\leq \underset{z\in K}{\rm max}\lvert f(z)\rvert\ell(\partial\Delta(\alpha,\beta',\gamma'))\\
&=\underset{z\in K}{\rm max}\lvert f(z)\rvert\left(\lvert\alpha-\beta'\rvert+\lvert\beta'-\gamma'\rvert+\lvert \alpha-\gamma'\rvert\right)\\
&=\epsilon\text{ }\underset{z\in K}{\rm max}\lvert f(z)\rvert\left(\lvert\alpha-\beta\rvert+\lvert\beta-\gamma\rvert+\lvert \alpha-\gamma\rvert\right)
\end{aligned}
$$
である。ここで $\epsilon\in(0,\infty)$ は任意であるので $(*)$ が成り立つ。
*$(3)$　$p$ が三角形 $K$ の辺上にある場合を示す。$p\in [\alpha,\beta]^*$ の場合を示せば十分である。このとき、
$$
\partial\Delta(\alpha,\beta,\gamma)=\partial\Delta(\alpha,p,\gamma)+\partial\Delta(p,\beta,\gamma)
$$
であるから、
$$
\int_{\partial\Delta(\alpha,\beta,\gamma)}f(z)dz=\int_{\partial\Delta(\alpha,p,\gamma)}f(z)dz+\int_{\partial\Delta(p,\beta,\gamma)}f(z)dz
$$
であり、$(2)$ より右辺の項はいずれも $0$ である。よって $(*)$ が成り立つ。
*$(4)$　$p$ が三角形 $K$ の内部にある場合を示す。このとき、
$$
\partial\Delta(\alpha,\beta,\gamma)=
\partial\Delta(\alpha,\beta,p)+\partial\Delta(\beta,\gamma,p)+\partial(\gamma,\alpha,p)
$$
であるから、
$$
\int_{\partial\Delta(\alpha,\beta,\gamma)}f(z)dz=
\int_{\partial\Delta(\alpha,\beta,p)}f(z)dz+\int_{\partial¥Delta(\beta,\gamma,p)}f(z)dz+\int_{\partial(\gamma,\alpha,p)}f(z)dz
$$
である。$(2)$ より右辺の項はいずれも $0$ であるから $(*)$ が成り立つ。
{{end|proof|}}

== 5. サイクルの回転数 ==

=== 命題5.1（複素線積分の基本命題） ===
$\mathbb{C}$ 内の曲線の和 $c$ と任意の連続関数 $f\colon c^*\rightarrow\mathbb{C}$ に対し、
$$
\mathbb{C}\backslash c^*\ni z\mapsto \int_{c}\frac{f(w)}{w-z}dw\in \mathbb{C}\quad\quad(*)
$$
は何回でも複素微分可能であり、任意の $a\in \mathbb{C}\backslash c^*$ と、
$$
B(a,r)=\{z\in \mathbb{C}:\lvert z-a\rvert<r\}\subset \mathbb{C}\backslash c^*\quad\quad(**)
$$
なる任意の $r\in (0,\infty)$ に対し、
$$
\int_{c}\frac{f(w)}{w-z}dw=\sum_{n\in\mathbb{Z}_+}\left(\int_{c}\frac{f(w)}{(w-a)^{n+1}}dw\right)(z-a)^n\quad(\forall z\in B(a,r))\quad\quad(***)
$$
が成り立つ。
{{begin |proof }}
'''定理2.5'''より冪級数関数は何回でも複素微分可能であるので $(**)$ を満たす任意の $a\in \mathbb{C}\backslash c^*$ と $r\in (0,\infty)$ に対し $(***)$ が成り立つことを示せば十分である。任意の $z\in B(a,r)$ を取り固定する。任意の $w\in c^*$ に対し $\lvert w-a\rvert\geq r$ であるから、
$$
\frac{\lvert z-a\rvert}{\lvert w-a\rvert}<1\quad(\forall w\in c^*)
$$
である。よって任意の $w\in c^*$ に対し $\sum_{n\in\mathbb{Z}_+}\frac{(z-a)^n}{(w-a)^{n+1}}$ は絶対収束し、
$$
\frac{1}{w-z}=\sum_{n\in\mathbb{Z}_+}\frac{(z-a)^n}{(w-a)^{n+1}}\quad(\forall w\in c^*)\quad\quad(****)
$$
である。$c^*$ はコンパクトであるから $\underset{w\in c^*}{\rm max}\frac{\lvert z-a\rvert}{\lvert w-a\rvert}$ が存在するので、$(****)$ の右辺は $c^*$ 上一様収束する（（[[距離空間の位相の基本的性質]])の'''命題8.5'''）。よって'''命題3.5'''より、
$$
\int_{c}\frac{f(w)}{w-z}dw=\int_{c}f(w)\sum_{n\in\mathbb{Z}_+}\frac{(z-a)^n}{(w-a)^{n+1}}dw
=\sum_{n\in\mathbb{Z}_+}\left(\int_{c}\frac{f(w)}{(w-a)^{n+1}}dw\right)(z-a)^n
$$
であるから $(***)$ が成り立つ。
{{end|proof|}}

=== 定義5.2（サイクルの回転数） ===
$\mathbb{C}$ の任意のサイクル（'''定義3.1'''）$c$ と任意の $z\in\mathbb{C}\backslash c^*$ に対し、
$$
{\rm Ind}_c(z)\colon=\frac{1}{2\pi i}\int_{c}\frac{dw}{w-z}
$$
を $c$ の $z$ における回転数と言う。次の'''命題5.3'''より ${\rm Ind}_c(z)$ は整数である。

=== 命題5.3（サイクルの回転数の基本性質） ===
$\mathbb{C}$ の任意のサイクル $c$ に対し次が成り立つ。
*$(1)$　任意の $z\in \mathbb{C}\backslash c^*$ に対し $c$ の $z$ における回転数 ${\rm Ind}_c(z)$ は整数である。
*$(2)$　任意の $n\in \mathbb{Z}$ に対し $\{z\in \mathbb{C}\backslash c^*\colon{\rm Ind}_c(z)=n\}$ は $\mathbb{C}\backslash c^*$ の開かつ閉の集合である。
*$(3)$　任意の連結集合 $C\subset \mathbb{C}\backslash c^*$ に対し ${\rm Ind}_c(C)$ は一点集合である。
*$(4)$　十分大きい $R\in (0,\infty)$ を取れば $\lvert z\rvert\geq R$ を満たす任意の $z\in \mathbb{C}$ に対し ${\rm Ind}_c(z)=0$ である。
{{begin |proof }}
*$(1)$　サイクルは閉路の和である（'''定義3.1'''）から $c$ は閉路であるとして示せば十分である。そして適当にパラメータ変換することにより　$c$　はある有界閉区間　$[a,b]$　上で定義された区分的に　$C^1$　級の連続関数<ref>$[a,b]$ を有限個の閉区間に分割すると各閉区間上で $C^1$ 級であるような連続関数。</ref>で $c(a)=c(b)$ なるものであるとしてよい。任意の $z\in \mathbb{C}\backslash c^*$ を取り固定する。ある $a=t_0<t_1<\ldots<t_n=b$ に対し $c$ は各 $[t_{k-1},t_k]$ $(k=1,\ldots,n)$ 上で $C^1$ 級であり、
$$
\int_{c}\frac{dw}{w-z}=\sum_{k=1}^{n}\int_{t_{k-1}}^{t_k}\frac{c'(t)}{c(t)-z}dt
=\int_{a}^{b}\frac{c'(t)}{c(t)-z}dt
$$
である。<ref>$\int_{a}^{b}\frac{c'(t)}{c(t)-z}dt$ の被積分関数における $c'(t)$ の $t=t_1,\ldots,t_n$ における値は積分に関係しないので、適当に定める</ref>。そこで、
$$
f(t)\colon=\int_{a}^{t}\frac{c'(s)}{c(s)-z}ds\quad(\forall t\in [a,b])
$$
とおく。このとき $f\colon[a,b]\ni t\mapsto f(t)\in \mathbb{C}$ は連続関数であり、各 $(t_{k-1},t_k)$ $(k=1,\ldots,n)$ 上で微分可能で、
$$
f'(t)=\frac{c'(t)}{c(t)-z}\quad(\forall t\in (t_{k-1},t_k),\text{ }k=1,\ldots,n)
$$
である。よって、
$$
g(t)\colon=\frac{\exp(f(t))}{c(t)-z}\quad(\forall t\in [a,b])
$$
とおくと、$g\colon[a,b]\rightarrow\mathbb{C}$ は連続関数であり、各 $(t_{k-1},t_k)$ $(k=1,\ldots,n)$ 上で微分可能で、
$$
g'(t)=\frac{c'(t)}{(c(t)-z)^2}\exp(f(t))-\frac{c'(t)}{(c(t)-z)^2}\exp(f(t))=0\quad(\forall t\in (t_{k-1},t_k),\text{ }k=1,\ldots,n)
$$
である。よって平均値の定理より、
$$
g(b)=g(t_n)=g(t_{n-1})=\ldots=g(t_0)=g(a)
$$
であり、$c(a)=c(b)$ であることと合わせると $\exp(f(a))=\exp(f(b))$ を得る。よって
$$
\exp\left(\int_{c}\frac{dw}{w-z}\right)=\exp(f(b))=\exp(f(a))=\exp(0)=1
$$
であるから、
$$
{\rm Ind}_c(z)=\frac{1}{2\pi i}\int_{c}\frac{dw}{w-z}\in \mathbb{Z}
$$
が成り立つ。
$(2)$　'''命題5.1'''より、
$$
{\rm Ind}_c\colon\mathbb{C}\backslash c^*\ni z\mapsto \frac{1}{2\pi i}\int_{c}\frac{dw}{w-z}\in \mathbb{C}\quad\quad(*)
$$
は連続関数であり、$(1)$ より任意の $n\in\mathbb{Z}$ に対し、
$$
\{z\in \mathbb{C}\backslash c^*:{\rm Ind}_c(z)=n\}=\{z\in \mathbb{C}\backslash c^*:n-1<{\rm Ind}_c(z)<n+1\}
$$
である。よって $\{z\in \mathbb{C}\backslash c^*:{\rm Ind}_c(z)=n\}$ は $\mathbb{C}\backslash c^*$ の開かつ閉の集合である。
*$(3)$　$(*)$ は連続関数であるから連結集合 $C\subset \mathbb{C}\backslash c^*$ に対し ${\rm Ind}_c(C)$ は連結である。よって $(1)$ より ${\rm Ind}_c(C)$ は一点集合である。
*$(4)$　$c$ の跡 $c^*$ はコンパクトであるから十分大きい $R_0\in (0,\infty)$ を取れば、
$$
z\in c^*\quad\Rightarrow\quad \lvert z\rvert\leq R_0
$$
となる。$\lvert z\rvert>R_0$ を満たす任意の $z\in \mathbb{C}$ と任意の $w\in c^*$ に対し、
$$
\lvert w-z\rvert\geq \lvert z\rvert-\lvert w\rvert\geq \lvert z\rvert-R_0
$$
であるから、
$$
\frac{1}{\lvert z-w\rvert}\leq\frac{1}{\lvert z\rvert-R_0}
$$
である。よって'''命題3.5'''より、
$$
z\in \mathbb{C},\quad \lvert z\rvert>R_0\quad\Rightarrow\quad \lvert {\rm Ind}_c(z)\rvert
=\left\lvert \frac{1}{2\pi i}\int_{c}\frac{dw}{w-z}\right\rvert
\leq\frac{\ell(c)}{2\pi}\frac{1}{\lvert z\rvert-R_0}
$$
である。これより十分大きい $R\in (R_0,\infty)$ を取れば、
$$
z\in \mathbb{C},\quad \lvert z\rvert>R\quad\Rightarrow\quad \lvert {\rm Ind}_c(z)\rvert<\frac{\ell(c)}{2\pi}\frac{1}{R-R_0}<1
$$
となる。$(1)$ よりこれは、
$$
z\in\mathbb{C},\quad \lvert z\rvert>R\quad\Rightarrow\quad \lvert {\rm Ind}_c(z)\rvert=0
$$
を意味する。
{{end|proof|}}

=== 命題5.4（反時計周りの円周閉路の回転数） ===
任意の $\alpha\in\mathbb{C}$ と $r\in (0,\infty)$ に対し、
$$
c:[0,2\pi]\ni \theta\mapsto \alpha+re^{i\theta}\in \{z\in \mathbb{C}:\lvert z-\alpha\rvert=r\}
$$
なる閉路の回転数は、
$$
{\rm Ind}_c(z)=\left\{\begin{array}{cl}1&(\lvert z-\alpha\rvert<r)\\
0&(\lvert z-\alpha\rvert>r)\end{array}\right.
$$
を満たす。
{{begin |proof }}
$B(a,r)=\{z\in \mathbb{C}:\lvert z-\alpha\rvert<r\}\subset \mathbb{C}\backslash c^*$ は連結であるから'''命題5.3'''の $(3)$ より任意の $z\in B(\alpha,r)$ に対し、
$$
{\rm Ind}_c(z)={\rm Ind}_c(\alpha)=\frac{1}{2\pi i}\int_{0}^{2\pi}\frac{c'(\theta)}{c(\theta)-\alpha}d\theta
=\frac{1}{2\pi i}\int_{0}^{2\pi}\frac{ire^{i\theta}}{re^{i\theta}}d\theta=1
$$
である。また $\{z\in \mathbb{C}:\lvert z-\alpha\rvert>r\}\subset \mathbb{C}\backslash c^*$ は非有界な連結集合であるから'''命題5.3'''の $(3),(4)$ より $\lvert z-a\rvert>r$ なる任意の $z\in \mathbb{C}$ に対し ${\rm Ind}_c(z)=0$ である。
{{end|proof|}}

=== 定義5.5（反時計周りの円周閉路に沿った複素線積分の表記） ===
任意の $\alpha\in \mathbb{C}$ と $r\in (0,\infty)$ に対し閉路
$$
c\colon[0,2\pi]\ni \theta\mapsto \alpha+re^{i\theta}\in \{z\in \mathbb{C}:\lvert z-\alpha\rvert=r\}
$$
なる閉路上の複素線積分を、
$$
\int_{\partial B(\alpha,r)}f(z)dz:=\int_{c}f(z)dz
$$
と表す。

=== 命題5.6（凸開集合におけるCauchyの積分公式） ===
$\Omega\subset \mathbb{C}$ を凸開集合、$f\colon\Omega\rightarrow\mathbb{C}$ を正則関数とする。このとき $\Omega$ に含まれる任意のサイクル $c$ と任意の $z\in \Omega\backslash c^*$ に対し、
$$
\frac{1}{2\pi i}\int_{c}\frac{f(w)}{w-z}dw=f(z){\rm Ind}_c(z)
$$
が成り立つ。
{{begin |proof }}
任意の $z\in \Omega\backslash c^*$ に対し $g\colon\Omega\rightarrow\mathbb{C}$ を、
$$
g(w)\colon=\left\{\begin{array}{cl}\frac{f(w)-f(z)}{w-z}&(w\neq z)\\
f'(w)&(w=z)\end{array}\right.
$$
と定義すると $g$ は連続関数であり $\Omega\backslash \{z\}$ 上で正則関数である。よって'''定理4.7'''より、
$$
\frac{1}{2\pi i}\int_{c}\frac{f(w)}{w-z}dw-f(z){\rm Ind}_c(z)=
\frac{1}{2\pi i}\int_{c}\frac{f(w)-f(z)}{w-z}dw=
\int_{c}g(w)dw=0
$$
である。
{{end|proof|}}

== 6. 正則関数の解析性、Liouvilleの定理、一致の定理 ==

=== 定理6.1（正則関数の解析性） ===
$\Omega\subset \mathbb{C}$ を開集合、$f\colon\Omega\rightarrow\mathbb{C}$ を正則関数とする。このとき $f$ は $\Omega$ 上で何回でも複素微分可能であり、$\Omega$ に含まれる $\mathbb{C}$ の任意の開球
$$
B(a,R)=\{z\in \mathbb{C}:\lvert z-a\rvert<R\}\subset \Omega
$$
に対し、
$$
f(z)=\sum_{n\in\mathbb{Z}_+}\frac{f^{(n)}(a)}{n!}(z-a)^n\quad(\forall z\in B(a,R))\quad\quad(*)
$$
が成り立つ。また、
$$
\lvert f^{(n)}(a)\rvert\leq \frac{n!}{R^n}\sup_{z\in B(a,R)}\lvert f(z)\rvert\quad(\forall n\in\mathbb{Z}_+)\quad\quad(**)
$$
が成り立つ。
{{begin |proof }}
$\Omega$ に含まれる $\mathbb{C}$ の任意の開球 $B(a,R)$ と任意の $r\in (0,R)$ を取る。$f$ が $\Omega$ 上で何回でも複素微分可能であることを示すには $B(a,r)$ 上で $f$ が何回でも複素微分可能であることを示せば十分である。$a$ を中心とする半径 $r$ の円周に沿った反時計回りの円周閉路は $B(a,R)$ に含まれるから、凸開集合におけるCauchyの積分公式（'''命題5.6'''）と'''命題5.4'''より、
$$
f(z)={\rm Ind}_{\partial B(a,r)}(z)f(z)=\frac{1}{2\pi i}\int_{\partial B(a,r)}\frac{f(w)}{w-z}dw\quad(\forall z\in B(a,r))\quad\quad(***)
$$
が成り立つ。任意の $z\in B(a,r)$ に対し、
$$
\frac{\lvert z-a\rvert}{\lvert w-a\rvert}<1\quad(\forall w\in \partial B(a,r))
$$
であるから、絶対収束で、
$$
\frac{1}{w-z}=\sum_{n\in\mathbb{Z}_+}\frac{(z-a)^n}{(w-a)^{n+1}}\quad(\forall w\in \partial B(a,r))
$$
であり、右辺は $\partial B(a,r)$ 上で一様収束する。よって'''命題3.5'''より、
$$
f(z)=\frac{1}{2\pi i}\int_{\partial B(a,r)}\frac{f(w)}{w-z}dw=
\sum_{n\in\mathbb{Z}_+}\left(\frac{1}{2\pi i}\int_{\partial B(a,r)}\frac{f(w)}{(w-a)^{n+1}}dw\right)(z-a)^n\quad(\forall z\in B(a,r))\quad\quad(****)
$$
が成り立つ。冪級数関数は何回でも複素微分可能である（'''定理2.5'''）から $f$ は $B(a,r)$ 上（したがって $\Omega$ 上）で何回でも複素微分可能である。そして'''定理2.5'''と $(****)$ より、
$$
\frac{f^{(n)}(a)}{n!}=\frac{1}{2\pi i}\int_{\partial B(a,r)}\frac{f(w)}{(w-a)^{n+1}}dw\quad(\forall n\in\mathbb{Z}_+)\quad\quad(*****)
$$
であり、
$$
f(z)=\sum_{n\in\mathbb{Z}_+}\frac{f^{(n)}(a)}{n!}(z-a)^n\quad(\forall z\in B(a,r))\quad\quad(******)
$$
である。ここで $(******)$ と $r\in (0,R)$ の任意性より $(*)$ が成り立つ。また $(*****)$ より任意の $n\in\mathbb{Z}_+$ に対し、
$$
\begin{aligned}
\lvert f^{(n)}(a)\rvert&=\frac{n!}{2\pi}\left\lvert \int_{\partial B(a,r)}\frac{f(w)}{(w-a)^{n+1}}dw\right\rvert\leq \frac{n!}{2\pi}\int_{0}^{2\pi}\left\lvert\frac{f(a+re^{i\theta})}{r^{n+1}}ire^{i\theta}\right\rvert d\theta\\
&\leq \frac{n!}{2\pi}\sup_{z\in B(a,R)}\lvert f(z)\rvert \frac{2\pi}{r^n}=\frac{n!}{r^n}\sup_{z\in B(a,R)}\lvert f(z)\rvert
\end{aligned}
$$
であり、$r\in (0,R)$ は任意であるから $(**)$ が成り立つ。
{{end|proof|}}

=== 系6.2（Moreraの定理） ===
$\Omega\subset \mathbb{C}$ を凸開集合、$f\colon\Omega\rightarrow\mathbb{C}$ を連続関数とする。もし任意の $\alpha,\beta,\gamma\in\Omega$ に対し、
$$
\int_{\partial\Delta(\alpha,\beta,\gamma)}f(z)dz=0
$$
が成り立つならば $f$ は正則関数である。
{{begin |proof }}
'''命題4.6'''より $f$ は原始関数 $F\colon\Omega\rightarrow\mathbb{C}$ を持つ。このとき $F$ は正則関数であるから'''定理6.1'''より何回でも複素微分可能である。よって $f=F'$ は何回でも複素微分可能であるので正則関数である。
{{end|proof|}}

=== 定義6.3（整関数） ===
$\mathbb{C}$ 上で定義された正則関数を整関数と言う。

=== 定理6.4（Liouvilleの定理） ===
有界な整関数は定数関数である。
{{begin |proof }}
$f\colon\mathbb{C}\rightarrow\mathbb{C}$ を有界な整関数とする。'''定理6.1'''の $(*)$ より、
$$
f(z)=\sum_{n\in\mathbb{Z}_+}\frac{f^{(n)}(0)}{n!}z^n\quad(\forall z\in \mathbb{C})
$$
が成り立つ。また'''定理6.1'''の $(**)$ より任意の $n\in\mathbb{N}$ に対し、
$$
\lvert f^{(n)}(0)\rvert\leq \frac{n!}{R^n}\sup_{z\in \mathbb{C}}\lvert f(z)\rvert\quad(\forall R\in (0,\infty))
$$
であり $f$ は有界であるから $f^{(n)}(0)=0$ である。よって $f(z)=f(0)$ $(\forall z\in \mathbb{C})$ であるから $f$ は定数関数である。
{{end|proof|}}

=== 補題6.5 ===
$\Omega\subset\mathbb{C}$ を連結開集合、$f\colon\Omega\rightarrow\mathbb{C}$ を正則関数とする。もしある $a\in \Omega$ に対し $f^{(n)}(a)=0$ $(\forall n\in\mathbb{Z}_+)$ が成り立つならば $f(z)=0$ $(\forall z\in \Omega)$ が成り立つ。
{{begin |proof }}
$$
U\colon=\bigcap_{n\in\mathbb{Z}_+}\{z\in \Omega:f^{(n)}(z)=0\}\neq\emptyset
$$
とおく。各 $f^{(n)}$ は連続であるから $U$ は $\Omega$ の閉集合である。また任意の $a\in U$ に対し $B(a,r)=\{z\in \mathbb{C}:\lvert z-a\rvert<r\}\subset\Omega$ なる $r\in (0,\infty)$ を取ると、'''定理6.1'''より、
$$
f(z)=\sum_{n\in\mathbb{Z}_+}\frac{f^{(n)}(a)}{n!}(z-a)^n=0\quad(\forall z\in B(a,r))
$$
であるから $B(a,r)\subset U$ である。よって $U$ は $\Omega$ の開集合でもある。ゆえに $\Omega$ の連結性より $\Omega=U$ であるから $f(z)=0$ $(\forall z\in \Omega)$ である。
{{end|proof|}}

=== 定理6.6（一致の定理） ===
$\Omega\subset \mathbb{C}$ を連結開集合、$f,g\colon\Omega\rightarrow\mathbb{C}$ を正則関数とする。そして次を満たすような $\Omega$ の点列 $(z_n)_{n\in\mathbb{N}}$ と $a\in \Omega$ が存在すると仮定する。
*$(1)$　任意の $n\in\mathbb{N}$ に対し $f(z_n)=g(z_n)$.
*$(2)$　$\lim_{n\rightarrow\infty}z_n=a$.
*$(3)$　任意の $n\in \mathbb{N}$ に対し $z_n\neq a$.

このとき $f(z)=g(z)$ $(\forall z\in \Omega)$ が成り立つ。
{{begin |proof }}
$h=f-g\colon\Omega\rightarrow\mathbb{C}$ とおく。'''補題6.5'''より $h^{(n)}(a)=0$ $(\forall n\in\mathbb{Z}_+)$ が成り立つことを示せばよい。そこで $h^{(n)}(a)\neq0$ なる $n\in\mathbb{Z}_+$ が存在すると仮定して矛盾を導く。$h^{(n)}(a)\neq0$ なる $n\in \mathbb{Z}_+$ で最小のものを $m$ とおく。$(1),(2)$ より $h^{(0)}(a)=h(a)=0$ であるから $m\geq1$ である。'''定理6.1'''より $B(a,r)=\{z\in \mathbb{C}:\lvert z-a\rvert<r\}\subset \Omega$ なる $r\in (0,\infty)$ を取れば、
$$
h(z)=\sum_{n\in \mathbb{Z}_+}\frac{h^{(n)}(a)}{n!}(z-a)^n=\sum_{n\geq m}\frac{h^{(n)}(a)}{n!}(z-a)^n\quad(\forall z\in B(a,r))
$$
と表される。そこで $k\colon\Omega\rightarrow\mathbb{C}$ を、
$$
k(z)\colon=\left\{\begin{array}{cl}\frac{h(z)}{(z-a)^m}&(z\neq a)\\
\frac{h^{(m)}(a)}{m!}&(z=a)\end{array}\right.
$$
として定義すると、
$$
k(z)=\sum_{n\geq m}\frac{h^{(n)}(a)}{n!}(z-a)^{n-m}\quad(\forall z\in B(a,r))
$$
であるから $k$ は正則関数である。$(1),(3)$ より、
$$
k(z_n)=\frac{h(z_n)}{(z_n-a)^m}=0\quad(\forall n\in\mathbb{N})
$$
であるから $(2)$ より、
$$
\frac{h^{(m)}(a)}{m!}=k(a)=\lim_{n\rightarrow\infty}k(z_n)=0
$$
である。よって $h^{(m)}(a)\neq0$ に矛盾する。
{{end|proof|}}

== 7. Cauchyの積分公式とCauchyの積分定理 ==

=== 補題7.1 ===
$c$ を $\mathbb{C}$ 内の曲線の和とし、$K\subset \mathbb{C}$ をコンパクト集合とする。そして $f\colon K\times c^*\rightarrow\mathbb{C}$ を連続関数とする。このとき、
$$
K\ni z\mapsto \int_{c}f(z,w)dw\in \mathbb{C}\quad\quad(*)
$$
は連続である。
{{begin |proof }}
$K\times c^*$ はコンパクトであるから $f\colon K\times c^*\rightarrow\mathbb{C}$ は一様連続（[[距離空間の位相の基本的性質]]の'''定理7.3'''）である。また'''命題3.5'''より任意の $z_1,z_2\in K$ に対し、
$$
\left\lvert \int_{c}f(z_1,w)dw-\int_{c}f(z_2,w)dw\right\rvert
=\left\lvert\int_{c}(f(z_1,w)-f(z_2,w))dw\right\rvert
\leq \ell(c)\underset{w\in c^*}{\rm max}\lvert f(z_1,w)-f(z_2,w)\rvert
$$
である。よって $(*)$ は連続である。
{{end|proof|}}

=== 補題7.2（二重複素線積分の順序の入れ替え） ===
$c_1,c_2$ をそれぞれ $\mathbb{C}$ 内の曲線の和とし、$f\colon c_1^*\times c_2^*\rightarrow\mathbb{C}$ を連続関数とする。このとき、
$$
c_1^*\ni z\mapsto\int_{c_2}f(z,w)dw\in \mathbb{C},\quad\quad(*)
$$
$$
c_2^*\ni w\mapsto \int_{c_1}f(z,w)dz\in \mathbb{C}\quad\quad(**)
$$
はそれぞれ連続関数であり、
$$
\int_{c_1}\left(\int_{c_2}f(z,w)dw\right)dz=\int_{c_2}\left(\int_{c_1}f(z,w)dz\right)dw\quad\quad(***)
$$
が成り立つ。
{{begin |proof }}
$(*), (**)$ が連続関数であることは'''補題7.1'''による。今、任意の連続関数 $\varphi_k\colon c_k^*\rightarrow\mathbb{C}$ $(k=1,2)$ に対し、
$$
\varphi_1\otimes\varphi_2\colon c_1^*\times c_2^*\ni (z,w)\mapsto \varphi_1(z)\varphi_2(w)\in\mathbb{C}
$$
なる連続関数を定義し、このような連続関数の線形結合全体
$$
\text{span}\{\varphi_1\otimes\varphi_2\colon \varphi_k:c_k^*\rightarrow\mathbb{C}\text{ } (k=1,2)\text{ は連続関数 }\}\subset C(c_1^*\times c_2^*)\quad\quad(****)
$$
を考える。$(***)$ は $(****)$ の元に対しては明らかに成り立つ。そしてUrysohnの補題（[[測度と積分7：局所コンパクトHausdorff空間上のRadon測度]]の'''定理27.6'''）とStone-Weierstrassの定理（[[測度と積分7：局所コンパクトHausdorff空間上のRadon測度]]の'''定理35.4'''）より $(****)$ は $C(c_1^*\times c_2^*)$ において稠密である。よって'''命題3.5'''より $(***)$ は任意の $f\in C(c_1^*\times c_2^*)$ に対して成り立つ。
{{end|proof|}}

=== 補題7.3 ===
$\Omega\subset \mathbb{C}$ を開集合、$f\colon\Omega\rightarrow\mathbb{C}$ を正則関数とする。そして $g\colon\Omega\times\Omega\rightarrow\mathbb{C}$ を、
$$
g(z,w)\colon=\left\{\begin{array}{cl}\frac{f(w)-f(z)}{w-z}&(z\neq w)\\f'(z)&(z=w)\end{array}\right.
$$
と定義する。このとき $g$ は連続関数である。
{{begin |proof }}
$z\neq w$ なる任意の $(z,w)\in \Omega\times \Omega$ において $g$ が連続であることは明らかである。そこで任意の $z_0\in\Omega$ を取り $(z_0,z_0)\in\Omega\times \Omega$ において $g$ が連続であることを示す。$f$ は正則なので $f$ の複素導関数 $f'\colon\Omega\rightarrow\mathbb{C}$ は連続である。よって任意の $\epsilon\in (0,\infty)$ に対し $z_0$ を中心とする $\mathbb{C}$ の開球
$$
B(z_0,\delta)\colon=\{z\in \mathbb{C}:\lvert z-z_0\rvert<\delta\}\subset \Omega
$$
が存在し、
$$
\lvert f'(z)-f'(z_0)\rvert\leq\epsilon\quad(\forall z\in B(z_0,\delta))\quad\quad(*)
$$
が成り立つ。任意の $z,w\in B(z_0,\delta)$ に対し微積分学の基本定理より、
$$
g(z,w)=\int_{0}^{1}f'(w+t(z-w))dt
$$
であるから、
$$
g(z,w)-g(z_0,z_0)=\int_{0}^{1}\left(f'(w+t(z-w))-f'(z_0)\right)dt
$$
である。そして $B(z_0,\delta)$ は凸集合なので $w+t(z-w)\in B(z_0,\delta)$ $(\forall t\in [0,1])$ であるから $(*)$ より、
$$
\lvert g(z,w)-g(z_0,z_0)\rvert\leq \int_{0}^{1}\lvert f'(w+t(z-w))-f'(z_0)\rvert dt\leq\epsilon
$$
である。よって $g$ は $(z_0,z_0)\in\Omega\times \Omega$において連続である。
{{end|proof|}}

=== 定理7.4（Cauchyの積分公式） ===
$\Omega\subset \mathbb{C}$ を開集合、$c$ を $\Omega$ に含まれるサイクルとし、回転数（'''定義5.2'''）について、
$$
{\rm Ind}_c(z)=0\quad(\forall z\in \mathbb{C}\backslash \Omega)\quad\quad(*)
$$
が成り立つと仮定する。このとき任意の正則関数 $f:\Omega\rightarrow\mathbb{C}$ に対し、
$$
\frac{1}{2\pi i}\int_{c}\frac{f(w)}{w-z}dw=f(z){\rm Ind}_c(z)\quad(\forall z\in \Omega\backslash c^*)\quad\quad(**)
$$
が成り立つ。
{{begin |proof }}
$g\colon\Omega\times \Omega\rightarrow\mathbb{C}$ を、
$$
g(z,w)\colon=\left\{\begin{array}{cl}\frac{f(w)-f(z)}{w-z}&(z\neq w)\\f'(z)&(z=w)\end{array}\right.
$$
と定義すると、'''補題7.3'''より $g$は連続関数である。よって $h\colon\Omega\rightarrow\mathbb{C}$ を、
$$
h(z):=\int_{c}g(z,w)dw\quad(\forall z\in \Omega)
$$
と定義すると、'''補題7.1'''より $h$ は連続関数である。
$$
h(z)=\int_{c}\frac{f(w)-f(z)}{w-z}dw=\int_{c}\frac{f(w)}{w-z}dw-2\pi if(z){\rm Ind}_c(z)\quad(\forall z\in \Omega\backslash c^*)
$$
であるから、$(**)$ を示すには $h(z)=0$ $(\forall z\in \Omega)$ であることを示せばよい。まず $h\colon\Omega\rightarrow\mathbb{C}$ が正則関数であることを示す。そのためにはMoreraの定理（'''系6.2'''）より $\Omega$ に含まれる任意の凸開集合 $U$ と任意の $\alpha,\beta,\gamma\in U$ を取り、
$$
\int_{\partial\Delta(\alpha,\beta,\gamma)}h(z)dz=0\quad\quad(***)
$$
が成り立つことを示せばよい。'''補題7.2'''より、
$$
\int_{\partial\Delta(\alpha,\beta,\gamma)}h(z)dz=\int_{\partial\Delta(\alpha,\beta,\gamma)}\left(\int_{c}g(z,w)dw\right)dz
=\int_{c}\left(\int_{\partial\Delta(\alpha,\beta,\gamma)}g(z,w)dz\right)dw\quad\quad(****)
$$
である。そして任意の $w\in c^*$ に対し連続関数 $U\ni z\mapsto g(z,w)\in \mathbb{C}$ は $U\backslash \{w\}$ において正則関数であるから、'''定理4.7'''より、
$$
\int_{\partial\Delta(\alpha,\beta,\gamma)}g(z,w)dz=0\quad(\forall w\in c^*)
$$
である。よって $(****)$ より $(***)$ は成り立つので、$h\colon\Omega\rightarrow\mathbb{C}$ は正則関数である。今、
$$
\Omega_1\colon=\{z\in \mathbb{C}\backslash c^*: {\rm Ind}_c(z)=0\}
$$
とおき、
$$
h_1\colon\Omega_1\ni z\mapsto \int_{c}\frac{f(w)}{w-z}dw\in \mathbb{C}
$$
とおく。'''命題5.3'''の $(2)$ より $\Omega_1$ は開集合であり、'''命題5.1'''より $h_1$ は正則関数である。そして $(*)$ より $\mathbb{C}=\Omega\cup\Omega_1$ であり、任意の $z\in \Omega\cap \Omega_1$ に対し、
$$
h(z)=\int_{c}\frac{f(w)-f(z)}{w-z}dw=\int_{c}\frac{f(w)}{w-z}dw-2\pi if(z){\rm Ind}_c(z)=h_1(z)
$$
であるから、
$$
\widetilde{h}(z)\colon=\left\{\begin{array}{cl}h(z)&(z\in \Omega)\\h_1(z)&(z\in \Omega_1)\end{array}\right.
$$
として整関数 $\widetilde{h}\colon\mathbb{C}\rightarrow\mathbb{C}$ が定義できる。'''命題5.3'''の $(4)$ より十分大きい $R\in (0,\infty)$ を取れば $\lvert z\rvert>R$ を満たす任意の $z\in \mathbb{C}$ に対し $z\in \Omega_1$ であり、'''命題3.5'''より、
$$
\lvert \widetilde{h}(z)\rvert=\lvert h_1(z)\rvert\leq \ell(c)\underset{w\in c^*}{\rm max}\left\lvert \frac{f(w)}{w-z}\right\rvert\leq \ell(c)\underset{w\in c^*}{\rm max}\lvert f(w)\rvert\frac{1}{\lvert z\rvert-R}
$$
である。よって $\lim_{\lvert z\rvert\rightarrow\infty}\lvert \widetilde{h}(z)\rvert=0$ であるからLiouvilleの定理（'''定理6.4'''）より $\widetilde{h}(z)=0$ $(\forall z\in \mathbb{C})$ が成り立つ。ゆえに $h(z)=\widetilde{h}(z)=0$ $(\forall z\in \Omega)$ であるから $(**)$ が成り立つ。
{{end|proof|}}

=== 系7.5（Cauchyの積分定理） ===
$\Omega\subset \mathbb{C}$ を開集合、$c$ を $\Omega$ に含まれるサイクルとし、回転数について、
$$
{\rm Ind}_c(z)=0\quad(\forall z\in \mathbb{C}\backslash \Omega)
$$
が成り立つと仮定する。このとき任意の正則関数 $f:\Omega\rightarrow\mathbb{C}$ に対し、
$$
\int_{c}f(z)dz=0\quad\quad(*)
$$
が成り立つ。
{{begin |proof }}
任意の $z\in \Omega\backslash c^*$ を取り固定する。$F\colon\Omega\ni w\mapsto f(w)(w-z)\in \mathbb{C}$ は正則関数であるからCauchyの積分公式より、
$$
\frac{1}{2\pi i}\int_{c}f(w)dw=\frac{1}{2\pi i}\int_{c}\frac{F(w)}{w-z}dw={\rm Ind}_c(z)F(z)=0
$$
である。よって $(*)$ が成り立つ。
{{end|proof|}}

=== 注意7.6 ===
凸開集合 $\Omega\subset \mathbb{C}$ と、$\Omega$ に含まれる任意のサイクル $c$ を取る。このとき任意の $z\in \mathbb{C}\backslash \Omega$ に対し、
$$
\Omega\ni w\mapsto \frac{1}{w-z}\in \mathbb{C}
$$
は正則関数であるから、'''定理4.7'''より、
$$
{\rm Ind}_c(z)=\frac{1}{2\pi i}\int_{c}\frac{dw}{w-z}=0
$$
である。ゆえに'''定理7.4'''のCauchyの積分公式は、凸開集合におけるCauchyの積分公式（'''命題4.7'''）の拡張である。

== 8. Laurant展開、留数定理 ==

=== 定理8.1（Laurant展開） ===
$\Omega\subset \mathbb{C}$ を開集合、$a\in \Omega$ とし、$f\colon\Omega\backslash\{a\}\rightarrow\mathbb{C}$ を正則関数とする。
$$
\overline{B(a,R)}=\{z\in\mathbb{C}:\lvert z-a\rvert\leq R\}\subset \Omega
$$
なる $R\in (0,\infty)$ を取る。このとき、
$$
f(z)=\sum_{n\in \mathbb{Z}_+}c_n(z-a)^n+\sum_{n\in \mathbb{N}}\frac{c_{-n}}{(z-a)^n}\quad(\forall z\in B(a,R)\backslash \{a\})\quad\quad(*)
$$
（ただし右辺の二項はそれぞれ収束し、$B(a,R)=\{z\in \mathbb{C}:\lvert z-a\rvert<R\}$ である）を満たす複素数列 $(c_n)_{n\in \mathbb{Z}}$ が唯一つ存在する。そしてそれは、
$$
c_n=\frac{1}{2\pi i}\int_{\partial B(a,R)}\frac{f(w)}{(w-a)^{n+1}}dw\quad(\forall n\in \mathbb{Z})\quad\quad(**)
$$
（ただし右辺は反時計周りの円周閉路に沿った複素線積分（'''定義5.5'''））と表される。
{{begin |proof }}
まず $(*)$ を満たす複素数列 $(c_n)_{n\in \mathbb{Z}}$ の一意性を示す。そのためには複素数列 $(d_n)_{n\in \mathbb{Z}}$ が、
$$
\sum_{n\in \mathbb{Z}_+}d_n(z-a)^n+\sum_{n\in \mathbb{N}}\frac{d_{-n}}{(z-a)^n}=0\quad(\forall B(a,R)\backslash \{a\})
$$
（左辺の二項はそれぞれ収束する）を満たすとして $d_n=0$ $(\forall n\in \mathbb{Z})$ が成り立つことを示せばよい。任意の $z\in B(a,R)\backslash \{a\}$ に対し、
$$
\sum_{n\in \mathbb{N}}\frac{d_{-n}}{(z-a)^n}
$$
は収束し、$\lim_{\lvert z-a\rvert\rightarrow +0}\frac{1}{\lvert z-a\rvert}=\infty$ であるから'''命題2.2'''より $(d_{-n})_{n\in \mathbb{N}}$ を係数とする冪級数の収束半径は $\infty$ である。そこで正則関数 $g:B(a,R)\rightarrow\mathbb{C}$ と整関数 $h:\mathbb{C}\rightarrow\mathbb{C}$ を、
$$
g(z)\colon=\sum_{n\in \mathbb{Z}_+}d_{n}(z-a)^n\quad(\forall z\in B(a,R)),
$$
$$
h(w)\colon=\sum_{n\in \mathbb{N}}d_{-n}w^n\quad(\forall w\in \mathbb{C})
$$
として定義する。$r\in (0,R)$ を取る。$\overline{B(a,r)}$、$\overline{CB(0,r^{-1})}$ はコンパクトであるから、
$$
\lvert g(z)\rvert\leq M\quad(\forall z\in \overline{B(a,r)}),\quad
\lvert h(w)\rvert\leq M\quad(\forall w\in \overline{B(0,r^{-1})})
$$
を満たす $M\in (0,\infty)$ が存在する。$\lvert w\rvert\geq r^{-1}$ を満たす任意の $w\in \mathbb{C}$ に対し、
$$
w=\frac{1}{z-a}
$$
なる $z\in \overline{B(a,r)}$ が取れ、$h(w)=-g(z)$ であるので、
$$
\lvert h(w)\rvert=\lvert g(z)\rvert\leq M
$$
である。よって $h\colon\mathbb{C}\rightarrow \mathbb{C}$ は有界な整関数であるからLiouvilleの定理（'''定理6.4'''）より $h(w)=h(0)=0$ $(\forall w\in \mathbb{C})$ である。ゆえに $d_{-n}=0$ $(\forall n\in \mathbb{N})$ が成り立ち、
$$
g(z)=h\left(\frac{1}{z-a}\right)=0\quad(\forall z\in B(a,R)\backslash \{a\})
$$
であるから $d_n=0$ $(\forall n\in \mathbb{Z}_+)$ が成り立つ。これで $(*)$ を満たす複素数列 $(c_n)_{n\in \mathbb{Z}}$ の一意性が示せた。~
$(**)$ なる $(c_n)_{n\in \mathbb{Z}}$ に対し $(*)$ が成り立つことを示す。任意の $z\in B(a,R)\backslash\{a\}$ を取り固定する。$0<r<\lvert z-a\rvert<R$ を満たす $r$ を取る。このとき反時計周りの円周閉路 $\partial B(a,R)$ と時計回りの円周閉路 $-\partial B(a,r)$ の和としてのサイクル $c:=\partial B(a,R)-\partial B(a,r)$ は $\Omega\backslash \{a\}$ に含まれ、'''命題5.4'''より、
$$
{\rm Ind}_c(w)=0\quad(\forall w\in \mathbb{C}\backslash(\Omega\backslash \{a\}) ),\quad {\rm Ind}_c(z)=1
$$
である。よってCauchyの積分公式（'''定理7.4'''）より、
$$
f(z)=\frac{1}{2\pi i}\int_{c}\frac{f(w)}{w-z}dw=\frac{1}{2\pi i}\int_{\partial B(a,R)}\frac{f(w)}{w-z}dw-\frac{1}{2\pi i}\int_{\partial B(a,r)}\frac{f(w)}{w-z}dw\quad\quad(***)
$$
が成り立つ。
$$
\frac{\lvert z-a\rvert}{\lvert w-a\rvert}=\frac{\lvert z-a\rvert}{R}<1\quad(w\in \partial B(a,r))
$$
であるから、
$$
\frac{1}{w-z}=\sum_{n\in \mathbb{Z}_+}\frac{(z-a)^n}{(w-a)^{n+1}}\quad(\forall w\in \partial B(a,r))
$$
であり、右辺は $w\in \partial B(a,r)$ に関して一様収束する。よって'''命題3.5'''より、
$$
\frac{1}{2\pi i}\int_{\partial B(a,R)}\frac{f(w)}{w-z}dw=
\sum_{n\in \mathbb{Z}_+}\left(\frac{1}{2\pi i}\int_{\partial B(a,R)}\frac{f(w)}{(w-a)^{n+1}}dw\right)(z-a)^n\quad\quad(****)
$$
である。また、
$$
\frac{\lvert w-a\rvert}{\lvert z-a\rvert}=\frac{r}{\lvert z-a\rvert}<1\quad(\forall w\in \partial B(a,r))
$$
であるから、
$$-\frac{1}{w-z}=\sum_{n\in \mathbb{Z}_+}\frac{(w-a)^n}{(z-a)^{n+1}}\quad(\forall w\in \partial B(a,r))
$$
であり、右辺は$w\in \partial B(a,r)$に関して一様収束する。よって、
$$
\begin{aligned}-\frac{1}{2\pi i}\int_{\partial B(a,r)}\frac{f(w)}{w-z}dw
&=\sum_{n\in \mathbb{Z}_+}\left(\frac{1}{2\pi i}\int_{\partial B(a,r)}f(w)(w-a)^ndw\right)\frac{1}{(z-a)^{n+1}}\\
&=\sum_{n\in\mathbb{N}}\left(\frac{1}{2\pi i}\int_{\partial B(a,r)}\frac{f(w)}{(w-a)^{-n+1}}dw\right)\frac{1}{(z-a)^n}\quad\quad(*****)
\end{aligned}
$$
である。任意の $n\in \mathbb{N}$ に対し正則関数 $\Omega\backslash \{a\}\ni w\mapsto \frac{f(w)}{(w-a)^{-n+1}}\in \mathbb{C}$ とサイクル $c=\partial B(a,R)-\partial B(a,r)$ に対しCauchyの積分定理（'''系7.5'''）を適用すると、
$$
0=\int_{c}\frac{f(w)}{(w-a)^{-n+1}}dw=\int_{\partial B(a,R)}\frac{f(w)}{(w-a)^{-n+1}}dw-\int_{\partial B(a,r)}\frac{f(w)}{(w-a)^{-n+1}}dw
$$
となるから $(*****)$ より、
$$-\frac{1}{2\pi i}\int_{\partial B(a,r)}\frac{f(w)}{w-z}dw=\sum_{n\in\mathbb{N}}\left(\frac{1}{2\pi i}\int_{\partial B(a,R)}\frac{f(w)}{(w-a)^{-n+1}}dw\right)\frac{1}{(z-a)^n}\quad\quad(******)
$$
である。よって $(***),(****), (*****)$ より、
$$
f(z)=\sum_{n\in\mathbb{Z}_+}\left(\frac{1}{2\pi i}\int_{\partial B(a,R)}\frac{f(w)}{(w-a)^{n+1}}dw\right)(z-a)^n+\sum_{n\in\mathbb{N}}\left(\frac{1}{2\pi i}\int_{\partial B(a,R)}\frac{f(w)}{(w-a)^{-n+1}}dw\right)\frac{1}{(z-a)^n}
$$
である。
{{end|proof|}}

=== 定義8.2（特異点の主要部、留数） ===
$\Omega\subset \mathbb{C}$ を開集合、$a\in \Omega$ とし、$f\colon\Omega\backslash \{a\}\rightarrow\mathbb{C}$ を正則関数とする。このとき複素数列 $(c_n)_{n\in \mathbb{Z}}$ で、
$$
\{z\in \mathbb{C}:\lvert z-a\rvert\leq R\}\subset \Omega
$$
なる任意の $R\in (0,\infty)$ に対し、
$$
f(z)=\sum_{n\in \mathbb{Z}_+}c_n(z-a)^n+\sum_{n\in \mathbb{N}}\frac{c_{-n}}{(z-a)^n}\quad(\forall z\in \mathbb{C}:0<\lvert z-a\rvert<R )
$$
を満たすようなものが定まる。任意の $z\in B(a,R)\backslash \{a\}$ に対し、
$$
\sum_{n\in \mathbb{N}}\frac{c_{-n}}{(z-a)^{n}}
$$
は収束し、$\lim_{\lvert z-a\rvert\rightarrow+0}\frac{1}{\lvert z-a\rvert}=\infty$ であるから、'''命題2.2'''より $(c_{-n})_{n\in \mathbb{N}}$ を係数とする冪級数の収束半径は $\infty$ である。
そこで正則関数
$$
\mathbb{C}\backslash \{a\}\ni z\mapsto \sum_{n\in \mathbb{N}}\frac{c_{-n}}{(z-a)^{n}}\in \mathbb{C}
$$
を $f$ の $a$ における主要部と言う。また $c_{-1}$ を $f$ の $a$ における留数と言い、
$$
{\rm Res}(f,a)\colon=c_{-1}
$$
と表す。'''定理8.1'''より、
$$
{\rm Res}(f,a)=\int_{\partial B(a,R)}f(z)dz
$$
である。

=== 補題8.3 ===
$\Omega\subset \mathbb{C}$ を開集合、$a\in \Omega$ とし、$f\colon\Omega\backslash \{a\}\rightarrow \mathbb{C}$ を正則関数とする。そして $f$ の $a$ における主要部を、
$$
p\colon\mathbb{C}\backslash\{a\}\ni z\mapsto \sum_{n\in \mathbb{N}}\frac{c_{-n}}{(z-a)^n}\in\mathbb{C}
$$
とする。このとき、
*$(1)$　$f-p\colon\Omega\backslash \{a\}\ni z\mapsto f(z)-p(z)\in \mathbb{C}$ は $\Omega$ 上の正則関数に拡張できる。
*$(2)$　$\Omega\backslash \{a\}$ に含まれる任意のサイクル $c$（'''定義3.1'''）に対し、
$$
\frac{1}{2\pi i}\int_{c}p(z)dz={\rm Res}(f,a){\rm Ind}_c(a)
$$
が成り立つ。
{{begin |proof}}
*$(1)$　$\overline{B(a,R)}=\{z\in \mathbb{C}:\lvert z-a\rvert\leq R\}\subset \Omega$ なる $R\in (0,\infty)$ を取れば、'''定理8.1'''よりある複素数列 $(c_n)_{n\in \mathbb{Z}_+}$ に対し、
$$
f(z)-p(z)=\sum_{n\in \mathbb{Z}_+}c_n(z-a)^n\quad(\forall z\in B(a,R)\backslash \{a\})
$$
と表せる。$B(a,R)\ni z\mapsto \sum_{n\in \mathbb{Z}_+}c_n(z-a)^n\in \mathbb{C}$ は正則関数であるから $f-p:\Omega\backslash \{a\}\rightarrow\mathbb{C}$ は $\Omega$ 上の正則関数に拡張できる。
*$(2)$
$$
\sum_{n\in \mathbb{N}}\frac{c_{-n}}{(z-a)^n}
$$
はコンパクト集合 $c^*\subset \Omega\backslash \{a\}$ 上で一様収束するから'''命題3.5'''より、
$$
\int_{c}p(z)dz=\sum_{n\in \mathbb{N}}c_{-n}\int_c\frac{dz}{(z-a)^n}
$$
が成り立つ。任意の $n\geq2$ に対し、
$$
\mathbb{C}\backslash \{a\}\ni z\mapsto \frac{1}{(z-a)^n}\in\mathbb{C}
$$
は原始関数を持つので、'''命題3.6'''より、
$$
\int_{c}\frac{dz}{(z-a)^n}=0\quad(\forall n\geq2)
$$
である。よって $(*)$ より、
$$
\frac{1}{2\pi i}\int_{c}p(z)dz=c_{-1}\frac{1}{2\pi i}\int_{c}\frac{dz}{z-a}={\rm Res}(f,a){\rm Ind}_c(a)
$$
である。
{{end|proof|}}

=== 定理8.4（留数定理） ===
$\Omega\subset \mathbb{C}$ を開集合、$a_1,\ldots,a_n\in \Omega$ を互いに異なる有限個の点とし、$f\colon\Omega\backslash \{a_1,\ldots,a_n\}\rightarrow \mathbb{C}$ を正則関数とする。そして $c$ を $\Omega\backslash\{a_1,\ldots,a_n\}$ に含まれるサイクル（'''定義3.1'''）で、
$$
{\rm Ind}_c(z)=0\quad(\forall z\in \mathbb{C}\backslash \Omega)
$$
を満たすものとする。このとき、
$$
\frac{1}{2\pi i}\int_{c}f(z)dz=\sum_{k=1}^{n}{\rm Res}(f,a_k){\rm Ind}_c(a_k)
$$
が成り立つ。
{{begin |proof }}
$f$ の $a_1,\ldots,a_n$ における主要部をそれぞれ、
$$
p_k\colon\mathbb{C}\backslash \{a_k\}\rightarrow\mathbb{C}\quad(k=1,\ldots,n)
$$
とおく。'''補題8.3'''の $(1)$ より、
$$
f-\sum_{k=1}^{n}p_k\colon\Omega\backslash \{a_1,\ldots,a_n\}\ni z\mapsto f(z)-\sum_{k=1}^{n}p_k(z)\in \mathbb{C}
$$
は $\Omega$ 上の正則関数に拡張できる。よってCauchyの積分定理（'''系7.5'''）より、
$$
\int_{c}f(z)dz-\sum_{k=1}^{n}\int_{c}p_k(z)dz=
\int_{c}f(z)-\sum_{k=1}^{n}p_k(z)dz=
0
$$
であるから、'''補題8.3'''の $(2)$ より、
$$
\frac{1}{2\pi i}\int_{c}f(z)dz=\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{2\pi i}\int_{c}p_k(z)dz
=\sum_{k=1}^{n}{\rm Res}(f,a_k){\rm Ind}_c(a_k)
$$
である。
{{end|proof|}}

== 9. 複素Banach空間値正則関数の特徴付け ==

=== 命題9.1 ===
$B$ を $\mathbb{C}$ 上のBanach空間とし、曲線 $c_k\colon I_k\rightarrow \mathbb{C}$ $(k=1,\ldots,n)$ の和、$c=c_1+\ldots+c_n$ と、その跡 $c^*=c_1(I_1)\cup\ldots\cup c_n(I_n)$（'''定義3.1'''）上で定義された $B$ 値連続関数 $f\colon c^*\rightarrow B$ を考える。このとき $I_c(f)\in B$ で、
$$
\varphi\left(I_c(f)\right)=\int_{c}\varphi(f(z))dz\quad(\forall \varphi\in B^*)
$$
を満たすものが唯一つ存在する。そして、
$$
I_c(f)=\sum_{k=1}^{n}\int_{I_k}f(c_k(t))c_k'(t)dt\quad\quad(*)
$$
であり<ref>ただし $\int_{I_k}f(c_k(t) )c_k'(t)dt$ は連続関数 $I_k\ni t\mapsto f(c_k(t) )c_k'(t)dt\in B$ のRiemann積分（[[合成積とFourier変換]]の21を参照）であり、Lebesgue測度に関するBochner積分（[[測度と積分9：Bochner積分]]の'''定義44.1'''）である。</ref>、
$$
\lVert I_c(f)\rVert\leq \ell(c)\underset{z\in c^*}{\rm max}\lVert f(z)\rVert\quad\quad(**)
$$
が成り立つ。ただし $\ell(c)$ は $c$ の長さ（'''定義3.4'''）である。
{{begin |proof}}
一意性はノルム空間の第二双対空間への埋め込みの単射性（[[位相線形空間3：Hahn-Banachの定理とKrein-Milmanの端点定理]]の'''定義12.1'''を参照）による。存在と $(*)$ は'''注意3.3'''より、
$$
\begin{aligned}
\int_c\varphi(f(z))dz=
\sum_{k=1}^{n}\int_{I_k}\varphi(f(c_k(t)))c_k'(t)dt=\varphi\left(\sum_{k=1}^{n}\int_{I_k}f(c_k(t))c_k'(t)dt\right)\quad(\forall \varphi\in B^*)
\end{aligned}
$$
であることによる。
$$
\left\lVert I_c(f)\right\rVert=\left\lVert \sum_{k=1}^{n}\int_{I_k}f(c_k(t))c_k'(t)dt\right\rVert
\leq \sum_{k=1}^{n}\int_{I_k}\lVert f(c_k(t))\lvert c_k'(t)\rvert dt
\leq {\rm max}_{z\in c^*}\lVert f(z)\rVert \ell(c)
$$
であるから $(**)$ が成り立つ。
{{end|proof|}}

=== 定義9.2（複素Banach空間値関数の複素線積分） ===
$B$ を $\mathbb{C}$ 上のBanach空間とする。$\mathbb{C}$ 内の曲線の和 $c$ と、その跡 $c^*$ 上で定義された連続関数 $f\colon c^*\rightarrow B$ に対し、'''命題9.1'''における $I_c(f)\in B$ を $f$ の $c$ 上での複素線積分と言い、
$$
I_c(f)\colon=\int_{c}f(z)dz
$$
と表す。

=== 注意9.3（有界線形作用素としてのBanach空間値複素線積分） ===
'''命題9.1'''より、
$$
\varphi\left(\int_{c}f(z)dz\right)=\int_{c}\varphi(f(z))dz\quad(\forall \varphi\in B^*)
$$
であり、
$$
C(c^*,B)\ni f\mapsto \int_{c}f(z)dz\in B
$$
は、作用素ノルムが $\ell(c)$ 以下の有界線形作用素である。ここで $C(c^*,B)$ はコンパクト空間 $c^*$ 上で定義された $B$ 値連続関数全体に $\sup$ ノルムを入れたBanach空間である。

=== 定理9.4（複素Banach空間値正則関数の特徴付け） ===
$\Omega\subset \mathbb{C}$ を開集合とし、$B$ を $\mathbb{C}$ 上のBanach空間とする。連続関数 $f\colon\Omega\rightarrow B$ に対し次は互いに同値である。
*$(1)$　$f$ はBanach空間値正則関数（'''定義1.4'''）である、
*$(2)$　任意の $\varphi\in B^*$ に対し $\varphi\circ f\colon\Omega\ni z\mapsto \varphi(f(z))\in \mathbb{C}$ は正則関数である。
*$(3)$　$\Omega$ に含まれるサイクル $c$（'''定義3.1'''）で ${\rm Ind}_c(z)=0$ $(\forall z\in \mathbb{C}\backslash \Omega)$ を満たすものに対し、
$$
{\rm Ind}_c(z)f(z)=\frac{1}{2\pi i}\int_{c}\frac{f(w)}{w-z}dw\quad(\forall z\in \Omega\backslash c^*)\quad\quad(*)
$$
が成り立つ。
*$(4)$　$f$ は（$B$ のノルムに関して）何回でも複素微分可能である。そして $\Omega$ に含まれる任意の $\mathbb{C}$ の開球 $B(a,R)=\{z\in \mathbb{C}:\lvert z-a\rvert<R\}\subset \Omega$ に対し、
$$
f(z)=\sum_{n\in\mathbb{Z}_+}\frac{f^{(n)}(a)}{n!}(z-a)^n\quad(\forall z\in B(a,R))\quad\quad(**)
$$
が成り立つ。
{{begin |proof }}
$(1)\Rightarrow(2)$、$(4)\Rightarrow(1)$ は自明である。 
$(2)$ が成り立つとするとCauchyの積分公式（'''定理7.4'''）より、
$$
{\rm Ind}_c(z)\varphi(f(z))=\frac{1}{2\pi i}\int_{c}\frac{\varphi(f(w))}{w-z}dw
=\varphi\left(\frac{1}{2\pi i}\int_{c}\frac{f(w)}{w-z}dw\right)\quad(\forall z\in \Omega\backslash c^*,\forall \varphi\in B^*)
$$
であるからノルム空間の第二双対空間への埋め込みの単射性（[[位相線形空間3：Hahn-Banachの定理とKrein-Milmanの端点定理]]の'''定義12.1'''を参照）よ
り $(*)$ が成り立つ。よって $(2)\Rightarrow(3)$ が成り立つ。 
$(3)$ が成り立つとして $(4)$ が成り立つことを示す。任意の $r\in (0,R)$ を取る。$f\colon\Omega\rightarrow B$ が何回でも複素微分可能であることを示すには $B(a,r)=\{z\in \mathbb{C}:\lvert z-a\rvert<r\}\subset\Omega$ 上で $f$ が何回でも複素微分可能であることを示せば十分である。任意の $z\in B(a,r)$ に対し反時計周りの円周閉路 $\partial B(a,r)$ に対し、
$$
f(z)={\rm Ind}_{\partial B(a,r)}(z)f(z)=\frac{1}{2\pi i}\int_{\partial B(a,r)}\frac{f(w)}{w-z}dw
$$
であり、
$$
\frac{\lvert z-a\rvert}{\lvert w-a\rvert}<1\quad(\forall w\in \partial B(a,r))
$$
であるから、
$$
\frac{f(w)}{w-z}=\sum_{n\in \mathbb{Z}_+}\frac{f(w)}{(w-a)^{n+1}}(z-a)^n\quad(\forall w\in \partial B(a,r))
$$
である。そして右辺は一様収束するから'''注意9.3'''より、
$$
f(z)=\frac{1}{2\pi i}\int_{\partial B(a,r)}\frac{f(w)}{w-z}dw
=\sum_{n\in \mathbb{Z}_+}\left(\frac{1}{2\pi i}\int_{\partial B(a,r)}\frac{f(w)}{(w-a)^{n+1}}dw\right)(z-a)^n
$$
が成り立つ。'''定理2.5'''より冪級数関数は何回でも複素微分可能であるから $f$ は何回でも複素微分可能であり、
$$
f(z)=\sum_{n\in \mathbb{Z}_+}\frac{f^{(n)}(a)}{n!}(z-a)^n\quad(\forall z\in B(a,r))
$$
が成り立つ。$r\in (0,R)$ は任意であるから $(**)$ が成り立つ。よって $(3)\Rightarrow(4)$ が成り立つ。
{{end|proof|}}

=== 注意9.5（複素Banach空間値正則関数の解析性、Liouvilleの定理、一致の定理、Cauchyの積分公式、Cauchyの積分定理、Laurant展開、留数定理） ===
'''定理9.4'''より複素Banach空間値正則関数は普通の正則関数と同様に解析性（'''定理6.1'''に相当）を持つ。したがって複素Banach空間値整関数（$\mathbb{C}$ 上で定義された複素Banach空間値正則関数）に対するLiouvilleの定理（'''定理6.4'''に相当）、連結開集合上で定義された複素Banach空間値正則関数に対する一致の定理（'''定理6.6'''に相当）が成り立つ。 
また'''定理9.4'''より複素Banach空間値正則関数に対してCauchyの積分公式（'''定理7.4'''に相当）が成り立つことから、Cauchyの積分定理（'''定理7.5'''に相当）も成り立ち、Laurant展開（'''定理8.1'''に相当）、留数定理（'''定理8.4'''に相当）も成り立つ。

== 関連項目 ==
* [[Banach環とC*-環のスペクトル理論]]
* [[Hilbert空間上の作用素論]]

== 脚注 ==

Euclid空間における微積分1

2026-02-10T09:53:10Z

Kataoka: /* 定理7.1（逆関数定理） */

<noinclude>
{{TOC |align=right |noautonum=1 }}
</noinclude>
本稿においては、Euclid空間における微積分の初歩的なことについて述べる。

== 1. 微分、偏微分、$C^k$ 級の定義 ==

=== 定義1.1（微分） ===
Euclid空間 $\mathbb{R}^n$ の開集合 $\Omega$ 上で定義され、$\mathbb{R}^m$ に値を取る関数 $f\colon\Omega\rightarrow \mathbb{R}^m$ が、$a\in \Omega$ において微分可能であるとは、ある $A\in \mathbb{M}_{m\times n}(\mathbb{R})$が存在し、
$$
\Omega\ni x\mapsto \left\{\begin{array}{cl}\frac{f(x)-f(a)-A(x-a)}{\lvert x-a\rvert}&(x\neq a)\\0&(x=a)\end{array}\right\}\in \mathbb{R}^m\text{ が }a\text{ において連続。}\quad\quad(*)
$$
が成り立つことを言う。$f$ が $a$ において微分可能であるとき $(*)$ を満たす $A\in \mathbb{M}_{m\times n}(\mathbb{R}) $は一意的に定まる（次の'''命題1.2'''）。そこでこの $A$ を $f'(a)\in \mathbb{M}_{m\times n}(\mathbb{R})$ と表し、$f$ の $a$ における微分と言う。$n=1$ の場合、$\Omega\subset \mathbb{R}$ は往々にして区間であるが、半開区間や閉区間であることもある。その場合、端点における微分（片側微分）を同様に定義する。

=== 命題1.2 ===
'''定義1.1'''の $(*)$ を満たす $A\in \mathbb{M}_{m\times n}(\mathbb{R})$ は一意的に定まる。
{{begin |proof }}
$A,A'\in \mathbb{M}_{m\times n}(\mathbb{R})$ が共に'''定義1.1'''の $(*)$ を満たすとすると、任意の $\epsilon\in (0,\infty)$ に対し $\delta\in (0,\infty)$ が存在し、
$$
\frac{\lvert f(a+h)-f(a)-Ah\rvert}{\lvert h\rvert}<\frac{\epsilon}{2}\quad(\forall h\in \mathbb{R}^n:0<\lvert h\rvert<\delta),
$$
$$
\frac{\lvert f(a+h)-f(a)-Ah\rvert}{\lvert h\rvert}<\frac{\epsilon}{2}\quad(\forall h\in \mathbb{R}^n:0<\lvert h\rvert<\delta)
$$
が成り立つ。よって三角不等式より、
$$
\frac{\lvert (A-A')h\rvert}{\lvert h\rvert}<\epsilon\quad(\forall h\in \mathbb{R}^n:0<\lvert h\rvert<\delta)
$$
であるので、$(e_1,\ldots,e_n)$ を $\mathbb{R}^n$ の標準基底とすると、
$$
\lvert (A-A')e_j\rvert<\epsilon\quad(j=1,\ldots,n)
$$
が成り立つ。これが任意の $\epsilon\in (0,\infty)$ に対して成り立つので、
$$
\lvert (A-A')e_j\rvert=0\quad(j=1,\ldots,n)
$$
である。よって $A=A'$ である。
{{end|proof|}}

=== 命題1.3（微分の横ベクトル表記） ===
$\Omega\subset \mathbb{R}^n$ を開集合、$f\colon\Omega\rightarrow \mathbb{R}^m$ を、
$$
f(x)=(f_1(x),\ldots,f_m(x))\quad(\forall x\in \Omega)
$$
と表す。$a\in \Omega$ とする。このとき次は互いに同値である。
*$(1)$　$f$ は $a$ において微分可能である。
*$(2)$　$f_1,\ldots,f_m\colon\Omega\rightarrow \mathbb{R}$ は $a$ において微分可能である。
そして $(1),(2)$ が成り立つとき、$f$ の $a$ における微分 $f'(a)\in\mathbb{M}_{m\times n}(\mathbb{R})$ は、$f_1,\ldots,f_m$ の $a$ における微分 $f_1'(a),\ldots,f_m'(a)\in \mathbb{R}^n$ に対し、横ベクトル表記で、
$$
f'(a)=\begin{pmatrix}f_1'(a)\\\vdots\\f_m'(a)\end{pmatrix}
$$
と表される。
{{begin |proof }}
$(1)\Rightarrow(2)$ を示す。$(1)$ が成り立つとし、$f'(a)\in \mathbb{M}_{m\times n}(\mathbb{R})$ の横ベクトル表記を考え、
$$
f'(a)=\begin{pmatrix}v_1\\\vdots\\v_m\end{pmatrix}
$$
なる $v_1,\ldots,v_m\in \mathbb{R}^n$ を取る。$x\in \Omega\backslash\{a\}$ に対し、
$$
\frac{f(x)-f(a)-f'(a)(x-a)}{\lvert x-a\rvert}=\left(\frac{f_j(x)-f_j(a)-v_j(x-a)}{\lvert x-a\rvert}\right)_{j=1,\ldots,m}
$$
であるから、任意の $j\in \{1,\ldots,m\}$ に対し、
$$
\frac{\lvert f_j(x)-f_j(a)-v_j(x-a)\rvert}{\lvert x-a\rvert}\leq \frac{\lvert f(x)-f(a)-f'(a)(x-a)\rvert}{\lvert x-a\rvert}\rightarrow0\quad(x\rightarrow a)
$$
である。これより $f_j\colon\Omega\rightarrow\mathbb{R}$ は $a$ において微分可能であり、その微分は $f_j'(a)=v_j$ である。 
$(2)\Rightarrow(1)$ を示す。$(2)$ が成り立つとし、横ベクトル表記で、
$$
A:=\begin{pmatrix}f_1'(a)\\\vdots\\f_m'(a)\end{pmatrix}\in \mathbb{M}_{m\times n}(\mathbb{R})
$$
とおく。このとき $x\in \Omega\backslash \{a\}$ に対し、
$$
\frac{f(x)-f(a)-A(x-a)}{\lvert x-a\rvert}=\left(\frac{f_j(x)-f_j(a)-f_j'(a)(x-a)}{\lvert x-a\rvert}\right)_{j=1,\ldots,m}
$$
であるから、三角不等式より、
$$
\frac{\lvert f(x)-f(a)-A(x-a)\rvert}{\lvert x-a\rvert}\leq \sum_{j=1}^{m}\frac{\lvert f_j(x)-f_j(a)-f_j'(a)(x-a)\rvert}{\lvert x-a\rvert}\rightarrow0\quad(x\rightarrow a)
$$
である。よって $f\colon\Omega\rightarrow\mathbb{R}^m$ は $a$ において微分可能であり、$f'(a)=A$ である。
{{end|proof|}}

=== 命題1.4（微分可能な点における連続性） ===
$\mathbb{R}^n$ の開集合 $\Omega$ 上で定義された関数 $f\colon\Omega\rightarrow\mathbb{R}^m$ が $a\in \Omega$ において微分可能ならば、$f$ は $a$ において連続である。
{{begin |proof}}
微分可能性より十分小さい $\delta\in (0,\infty)$ を取れば、
$$
\lvert f(x)-f(a)-f'(a)(x-a)\rvert\leq \lvert x-a\rvert\quad(\forall x\in \mathbb{R}^N:\lvert 0<x-a\rvert<\delta)
$$
となるから、
$$
\lvert f(x)-f(a)\rvert\leq (\lVert f'(a)\rVert+1)\lvert x-a\rvert\quad(\forall x\in\mathbb{R}^N:\lvert x-a\rvert<\delta)
$$
である。よって $f$ は $a$ において連続である。
{{end|proof|}}

=== 定義1.5（偏微分、偏導関数、$C^k$ 級） ===
$\mathbb{R}^n$ の開集合 $\Omega$ 上で定義された関数 $f\colon\Omega\rightarrow\mathbb{R}^m$ が $a\in \Omega$ において第 $j$ 座標に関して偏微分可能であるとは、
$$
x_j\mapsto f(a_1,\ldots,a_{j-1},x_j,a_{j+1},\ldots,a_N)\in \mathbb{R}^m
$$
が $a_j$ において微分可能であることを言う。そしてこのときその微分を、
$$
\partial_jf(a),\quad \frac{\partial f}{\partial x_j}(a)\in \mathbb{R}^m
$$
などと表し、$f$ の $a$ における第 $j$ 座標に関する偏微分と呼ぶ。各 $x\in\Omega$ に対し $\partial_jf(x)\in \mathbb{R}^m$ が存在するとき、関数 $\partial_jf\colon\Omega\ni x\mapsto \partial_jf(x)\in \mathbb{R}^m$ を $f$ の第 $j$ 座標に関する偏導関数と言う。偏導関数の偏導関数が存在する限り、
$$
\partial_{j_n}\partial_{j_{n-1}}\ldots\partial_{j_1}f\colon=\partial_{j_n}(\partial_{j_{n-1}}\cdots\partial_{j_1}f)
$$
と定義する。$\partial_{j_n}\partial_{j_{n-1}}\ldots \partial_{j_1}f:\Omega\rightarrow\mathbb{R}^m$ を $f$ の $n$ 階偏導関数と言う。便宜上、$f$ 自体を $f$ の $0$ 階偏導関数と言う。 $k\in \mathbb{N}$ に対し $f\colon\Omega\rightarrow \mathbb{R}^m$ が $k$ 階までの偏導関数を持ち、それらが全て連続であるとき $f$ は $C^k $級であると言う。任意の $k\in \mathbb{N}$ に対し $f$ が $C^k$ 級であるとき $f$ は $C^\infty$ 級であると言う。

=== 命題1.6 ===
$\mathbb{R}^n$ の開集合 $\Omega$ 上で定義された関数 $f\colon\Omega\rightarrow \mathbb{R}^m$ が $a\in \Omega$ において微分可能ならば任意の $j\in \{1,\ldots,n\}$ に対し $f$ は $a$ において第 $j$ 座標に関して偏微分可能であり、
$f'(a)\in \mathbb{M}_{m\times n}(\mathbb{R})$ と $\partial_1f(a),\ldots,\partial_nf(a)\in\mathbb{R}^m$に対し、行列の縦ベクトル表記で、
$$
f'(a)=(\partial_1f(a),\ldots,\partial_nf(a))
$$
が成り立つ。
{{begin |proof }}
$(e_1,\ldots,e_n)$ を $\mathbb{R}^n$ の標準基底とする。任意の $j\in \{1,\ldots,n\}$ を取る。$f$ が $a$ において微分可能であることから任意の $\epsilon\in (0,\infty)$ に対し $\delta\in (0,\infty)$ が存在し、
$$
\frac{\lvert f(a+h)-f(a)-f'(a)h\rvert}{\lvert h\rvert}<\epsilon\quad(\forall h\in \mathbb{R}^n:0<\lvert h\rvert<\delta)
$$
となる。よって任意の $j\in \{1,\ldots,n\}$ に対し、
$$
\left\lvert\frac{f(a+he_j)-f(a)-hf'(a)e_j}{h}\right\rvert=\frac{\lvert f(a+he_j)-f(a)-hf'(a)e_j\rvert}{\lvert he_j\rvert}<\epsilon\quad(\forall h\in \mathbb{R}:0<\lvert h\rvert<\delta)
$$
となるので、$f$ は $a$ において第 $j$ 座標に関して偏微分可能であり、$\partial_jf(a)=f'(a)e_j$ である。ゆえに、
$$
f'(a)=(f'(a)e_1,\ldots,f'(a)e_n)=(\partial_1f(a),\ldots,\partial_nf(a))
$$
である。
{{end|proof|}}

== 2. チェインルール ==

=== 命題2.1（チェインルール） ===
$U\subset \mathbb{R}^n$, $V\subset \mathbb{R}^m$ を開集合とし、$f\colon U\rightarrow V$, $g\colon V\rightarrow \mathbb{R}^{\ell}$ がそれぞれ $a\in U$ と$f(a)\in V$ において微分可能であるとする。このとき合成関数 $g\circ f\colon U\rightarrow\mathbb{R}^{\ell}$は $a$ において微分可能であり、
$$
(g\circ f)'(a)=g'(f(a))f'(a)
$$
が成り立つ。
{{begin |proof }}
$b\colon=f(a)\in V$ とおく。
$$
F(x)\colon=\frac{f(x)-f(a)-f'(a)(x-a)}{\lvert x-a\rvert}\quad(x\neq a),\quad F(a)=0,
$$
$$
G(y)\colon=\frac{g(y)-g(b)-g'(b)(y-b)}{\lvert y-b\rvert}\quad(y\neq b),\quad G(b)=0
$$
として関数 $F\colon U\rightarrow \mathbb{R}^m$、$G\colon V\rightarrow\mathbb{R}^{\ell}$ を定義すると、$f, F$ は $a$ において連続であり、$G$ は $b$ において連続である。よって、
$$
\begin{aligned}
&\frac{\lvert g(f(x))-g(f(a))-g'(b)f'(a)(x-a)\rvert}{\lvert x-a\rvert}\\
&\leq\frac{\lvert g(f(x))-g(f(a))-g'(b)(f(x)-f(a))\rvert}{\lvert x-a\rvert}+\lVert g'(b)\rVert\frac{\lvert f(x)-f(a)-f'(a)(x-a)\rvert}{\lvert x-a\rvert}\\
&\leq \frac{\lvert f(x)-f(a)\rvert}{\lvert x-a\rvert}\lvert G(f(x))\rvert+\lVert g'(b)\rVert \lvert F(x)\rvert\\
&\leq (\lvert F(x)+\lVert f'(a)\rVert)\rvert\lvert G(f(x))\rvert+\lVert g'(b)\rVert \lvert F(x)\rvert
\rightarrow0\quad(x\rightarrow a)
\end{aligned}
$$
<ref>ただし $\lVert f'(a)\rVert$ や $\lVert g'(b)\rVert$ は作用素ノルムである。作用素ノルムについては[[位相線形空間1：ノルムと内積]]を参照。</ref>であるから、$g\circ f\colon U\rightarrow \mathbb{R}^{\ell}$ は $a$ において微分可能であり、$(g\circ f)'(a)=g'(b)f'(a)$ である。
{{end|proof}}

== 3. 平均値の定理 ==

=== 命題3.1（平均値の定理） ===
有界閉区間 $[a,b]\subset \mathbb{R}$ 上で定義された連続関数 $f,g\colon[a,b]\rightarrow \mathbb{R}$ が $(a,b)$ において微分可能であるとする。このときある $c\in (a,b)$ に対し、
$$
f'(c)(g(b)-g(a))=g'(c)(f(b)-f(a))
$$
が成り立つ。
{{begin |proof }}
連続関数 $h\colon [a,b]\rightarrow\mathbb{R}$ を、
$$
h(x)\colon=f(x)(g(b)-g(a))-g(x)(f(b)-f(a))\quad(\forall x\in [a,b])
$$
として定義すると $h$ は $(a,b)$ 上で微分可能であり、
$$
h'(x)=f'(x)(g(b)-g(a))-g'(x)(f(b)-f(a))\quad(\forall x\in (a,b)),\quad h(a)=h(b)
$$
である。$[a,b]$ はコンパクトであり $h$ は連続であるから $h([a,b])$ は最大値と最小値を持つ。$h(a)=h(b)$ であるから $h$ は $(a,b)$ 上で最大値か最小値に達する。そこで $c\in (a,b)$ において最大値に達するとする。$h$ は $c$ において微分可能であるから、任意の $\epsilon\in (0,\infty)$ に対し $\delta\in (0,\infty)$ が存在し、
$$
\left\lvert\frac{h(c\pm \delta)-h(c)}{\pm \delta}-h'(c)\right\rvert<\epsilon
$$
となる。$h(c\pm \delta)-h(c)\leq 0$ であるから、
$$-\epsilon\leq \frac{h(c-\delta)-h(c)}{-\delta}-\epsilon<h'(c)<\frac{h(c+\delta)-h(c)}{\delta}+\epsilon\leq\epsilon
$$
である。よって任意の $\epsilon\in (0,\infty)$ に対し $\lvert h'(c)\rvert<\epsilon$ であるから $h'(c)=0$ である。$h$ が $c\in (a,b)$ において最小値に達するとしても同様に $h'(c)=0$ を得る。よって求める結果を得る。
{{end|proof}}

=== 系3.2（平均値の定理通常版） ===
有界閉区間 $[a,b]\subset \mathbb{R}$ 上で定義された連続関数 $f\colon[a,b]\rightarrow \mathbb{R}$ が $(a,b)$ において微分可能であるとする。このときある $c\in (a,b)$ に対し、
$$
f(b)-f(a)=f'(c)(b-a)
$$
が成り立つ。
{{begin |proof}}
$g(x)=x$ として'''定理3.1'''を適用すればよい。
{{end|proof}}

== 4. Taylorの定理、$2$ 階階導関数と凸性 ==

=== 定義4.1（$1$ 変数関数の $n$ 階導関数） ===
$I\subset \mathbb{R}$ を区間とする。$f\colon I\rightarrow \mathbb{R}$ の $n$ 階導関数を $f^{(n)}$ と表す。$f^{(1)}=f'$、$f^{(0)}=f$である。

=== 定理4.2（Taylorの定理） ===
$I\subset \mathbb{R}$ を区間とし、$f\colon I\rightarrow \mathbb{R}$ が $n$ 階までの導関数を持つとする（$n\in \mathbb{N}$）。このとき任意の $a, b\in I$ に対し $a$ と $b$ の間の $c$ が存在し、
$$
f(b)=\sum_{k=0}^{n-1}\frac{f^{(k)}(a)}{k!}(b-a)^k+\frac{f^{(n)}(c)}{n!}(b-a)^n
$$
が成り立つ。
{{begin |proof }}
$a\in I$ を固定する。
$$
F(x)\colon=f(x)-\sum_{k=0}^{n-1}\frac{f^{(k)}(a)}{k!}(x-a)^k\quad(\forall x\in I)
$$
とおくと、$F$ は $n$ 階までの導関数を持ち、
$$
F^{(k)}(a)=0\quad(k=1,\ldots,n-1),\quad F^{(n)}(x)=f^{(n)}(x)\quad(\forall x\in I)
$$
である。$G(x)\colon=(x-a)^n$ として $G\colon I\rightarrow \mathbb{R}$ を定義すると、
$$
G^{(k)}(x)=\frac{n!}{(n-k)!}(x-a)^{n-k}\quad(\forall x\in I,k=0,1,\ldots,n)
$$
であるから、任意の $k\in \{0,1,\ldots,n-1\}$ に対し、
$$
G^{(k)}(a)=0,\quad G^{(k)}(x)\neq0\quad(x\neq a)
$$
であり、$G^{(n)}(x)=n!\text{ }(\forall x\in I)$ である。よって任意の $b\in I\backslash \{a\}$ に対し平均値の定理（'''定理3.1'''）より $a,b$ の間の $c_1,\ldots,c_n$ が存在し、
$$
\frac{F(b)}{G(b)}=\frac{F^{(1)}(c_1)}{G^{(1)}(c_1)}=\frac{F^{(2)}(c_2)}{G^{(2)}(c_2)}=\ldots=\frac{F^{(n)}(c_n)}{G^{(n)}(c_n)}=\frac{f^{(n)}(c_n)}{n!}
$$
が成り立つ。ゆえに、
$$
F(b)=\frac{f^{(n)}(c_n)}{n!}(b-a)^n
$$
であるから求める結果を得た。
{{end|proof|}}

=== 定義4.3（関数の凸性） ===
$I\subset \mathbb{R}$ を区間とする。関数 $f\colon I\rightarrow \mathbb{R}$ が下に凸であるとは、
$$
f((1-t)a+tb)\leq (1-t)f(a)+tf(b)\quad(\forall a,b\in I,\forall t\in [0,1])
$$
が成り立つことを言う。また $f\colon I\rightarrow\mathbb{R}$ が上に凸であるとは、
$$
(1-t)f(a)+tf(b)\leq f((1-t)a+tb)\quad(\forall a,b\in I,\forall t\in [0,1])
$$
が成り立つことを言う。

=== 命題4.4（$2$ 階導関数と関数の凸性） ===
$I\subset \mathbb{R}$ を区間とし、$f\colon I\rightarrow\mathbb{R}$ が $2$ 階まで導関数を持つとする。もし $f^{' '}(x)\geq0$ $(\forall x\in I)$ が成り立つならば $f$ は下に凸である。
{{begin |proof }}
任意の $a,b\in I$ と $t\in [0,1]$ を取り、$x=(1-t)a+tb\in I$ とおく。$f' '\geq0$ であることとTaylorの定理より、
$$
f(a)\geq f(x)+f'(x)(a-x),\quad f(b)\geq f(x)+f'(x)(b-x)
$$
であるから、
$$
tf(a)+(1-t)f(b)\geq f(x)+f'(x)(ta+(1-t)b-x)=f(x)
$$
である。よって $f$ は下に凸である。
{{end|proof|}}

== 5. $C^2$ 級関数の偏微分の可換性 ==

=== 命題5.1（ $C^2$ 級関数の偏微分の可換性） ===
$\mathbb{R}^n$ の開集合 $\Omega$ 上で定義された関数 $f\colon\Omega\rightarrow \mathbb{R}^m$ が $C^2$ 級であるとする。このとき任意の $i,j\in \{1,\ldots,n\}$ に対し、
$$
\partial_i\partial_jf(x)=\partial_j\partial_if(x)\quad(\forall x\in \Omega)
$$
が成り立つ。
{{begin |proof }}
$n=2, m=1$ として示せば十分である。任意の $(x,y)\in\Omega$ を取り、
$$
(x-\delta,x+\delta)\times (y-\delta,y+\delta)\subset \Omega
$$
なる $\delta\in (0,\infty)$ を取る。$h,k\in (-\delta,\delta)\backslash \{0\}$に対し、
$$
F(h,k):=(f(x+h,y+k)-f(x,y+k))-(f(x+h,y)-f(x,y))
$$
とおく。平均値の定理（'''系3.2'''）より $\theta_1,\theta_2\in (0,1)$ が存在し、
$$
F(h,k)=k(\partial_2 f(x+h,y+\theta_2k)-\partial_2f(x,y+\theta_2k))
=hk\partial_1\partial_2f(x+\theta_1h,y+\theta_2k)
$$
となる。また、
$$
F(h,k)=(f(x+h,y+k)-f(x+h,y))-(f(x,y+k)-f(x,y))
$$
であるから、平均値の定理より $\omega_1,\omega_2\in (0,1)$ が存在し、
$$
F(h,k)=h(\partial_1f(x+\omega_1h,y+k)-\partial_1f(x+\omega_1h,y))
=hk\partial_2\partial_1f(x+\omega_1h,y+\omega_2k)
$$
となる。よって、
$$
\partial_1\partial_2f(x+\theta_1h,y+\theta_2k)=\frac{F(h,k)}{hk}=\partial_2\partial_1f(x+\omega_1h,y+\omega_2k)\quad\quad(*)
$$
である。 $\partial_1\partial_2f$、$\partial_2\partial_1f$ は連続であるから、任意の $\epsilon\in (0,\infty)$ に対し $\delta$ を十分小さくとっておけば、
$$
\lvert \partial_1\partial_2f(x+\theta_1h,y+\theta_2k)-\partial_1\partial_2f(x,y)\rvert<\frac{\epsilon}{2},
$$
$$
\lvert \partial_2\partial_1f(x+\omega_1h,y+\omega_2k)-\partial_2\partial_1f(x,y)\rvert<\frac{\epsilon}{2}
$$
となるので、 $(*)$ と合わせれば、
$$
\lvert \partial_1\partial_2f(x,y)-\partial_2\partial_1f(x,y)\rvert<\epsilon
$$
となる。よって $\epsilon$ の任意性より $\partial_1\partial_2f(x,y)=\partial_2\partial_1f(x,y)$ が成り立つ。
{{end|proof|}}

=== 系5.2 ===
$\mathbb{R}^n$ の開集合 $\Omega$ 上で定義された関数 $f\colon\Omega\rightarrow \mathbb{R}^m$ が $C^k$ 級であるとする。このとき $f$ の $k$ 階までの偏導関数は偏微分の順序によらない。
{{begin |proof }}
'''命題5.1'''と帰納法による。
{{end|proof}}

== 6. $C^1$ 級関数の微分可能性 ==

=== 命題6.1（$C^1$ 級関数の微分可能性） ===
$\Omega\subset \mathbb{R}^n$ を開集合、$f\colon\Omega\rightarrow \mathbb{R}^m$ を $C^1$ 級とする。このとき $f$ は $\Omega$ の各点で微分可能である。
{{begin |proof}}
$m=1$ として示せば十分である。任意の $x\in \Omega$ と $\{y\in\mathbb{R}^n\colon\lvert y-x\rvert<\delta\}\subset \Omega$ なる $\delta\in (0,\infty)$ を取り、
$0<\lvert h\rvert<\delta$ なる $h\in\mathbb{R}^n$を取る。平均値の定理（'''系3.2'''）より $\theta_1,\ldots,\theta_n\in (0,1)$ が存在し、
$$
h^{(k)}=(h_1,\ldots,h_{k-1}, \theta_kh_k,0,\ldots,0)\quad(k=1,\ldots,n)
$$
に対し、
$$
f(x+h)-f(x)=\sum_{k=1}^{n}h_k\partial_kf(x+h^{(k)})
$$
となる。よって、
$$
v\colon=(\partial_1f(x),\ldots,\partial_nf(x)),\quad
v(h)\colon=(\partial_1f(x+h^{(1)}),\ldots,\partial_nf(x+h^{(n)}))
$$
とおくと、
$$
\frac{\lvert f(x+h)-f(x)-v\cdot h\rvert}{\lvert h\rvert}=\frac{\lvert(v(h)-v)\cdot h\rvert}{\lvert h\rvert}\leq \lvert v(h)-v\rvert
$$
であり、$f$ は $C^1$ 級であるから右辺は $h\rightarrow0$ で $0$ に収束する。ゆえに $f$ は $x$ において微分可能である。
{{end|proof|}}

== 7. 逆関数定理 ==

=== 定理7.1（逆関数定理） ===
$\Omega\subset \mathbb{R}^n$ を開集合、$f\colon\Omega\rightarrow\mathbb{R}^n$ を $C^k$ 級（$k\geq1$）とし、ある $a\in\Omega$ に対し ${\rm det}(f'(a))\neq0$ が成り立つとする。このとき $a$ の開近傍 $V\subset \Omega$ と $f(a)$ の開近傍 $W\subset \mathbb{R}^n$ が存在し、
$$
V\ni x\mapsto f(x)\in W
$$
は全単射であり、この逆写像 $g\colon W\rightarrow V$ は $C^k$ 級である。そして、
$$
g'(y)=f'(g(y))^{-1}\quad(\forall y\in W)
$$
が成り立つ。
{{begin |proof }}
$f$ の代わりに $f'(a)^{-1}f\colon\Omega\ni x\mapsto f'(a)^{-1}f(x)\in \mathbb{R}^n$ を考えることで最初から $f'(a)=1$ として示せば十分である。$a$ を中心とする十分小さい閉直方体（有界閉区間の直積） $K$ を考えれば、
$$
\frac{\lvert f(x)-f(a)-(x-a)\rvert}{\lvert x-a\rvert}<1\quad(\forall x\in K\backslash\{a\})
$$
となるから、
$$
f(x)\neq f(a)\quad(\forall x\in K\backslash \{a\})\quad\quad(*)
$$
が成り立つ。さらに $f$ が $C^1$ 級であることから $K$ を十分小さく取っておけば、
$$
{\rm det}(f'(x))\neq0\quad(\forall x\in K),\quad\quad(**)
$$
$$
\lvert \partial_jf_i(x)-\delta_{i,j}\rvert\leq\frac{1}{2n^2}\quad(\forall x\in K, \forall i,j\in \{1,\ldots,n\})\quad\quad(***)
$$
が成り立つ。$F\colon\Omega\ni x\mapsto f(x)-x\in \mathbb{R}^n$ を考えると $(***)$ より、
$$
\lvert \partial_jF_i(x)\rvert\leq\frac{1}{2n^2}\quad(\forall x\in K, \forall i,j\in \{1,\ldots,n\})
$$
であるから、平均値の定理より、
$$
\lvert F(x')-F(x)\rvert\leq \sum_{i=1}^{n}\lvert F_i(x')-F_i(x)\rvert\leq \frac{1}{2}\lvert x'-x\rvert\quad(\forall x,x'\in K)
$$
となる。よって、
$$
\frac{1}{2}\lvert x'-x\rvert\leq \lvert f(x')-f(x)\rvert\quad(\forall x,x'\in K)\quad\quad(****)
$$
が成り立つ。$(*)$ より $f(a)\notin f(\partial K)$ であり、$f(\partial K)$ はコンパクトであるから $\delta\in (0,\infty)$ が存在し、
$$
B(f(a),\delta)\cap f(\partial K)=\emptyset\quad\quad(*****)
$$
となる。
$$
W:=B\left(f(a),\text{ }\frac{\delta}{2}\right)
$$
とおく。今、任意の $y\in W$ を取り、$y=f(x_0)$ なる $x_0\in K^{\circ}$ が存在することを示す。そこで、
$$
h(x):=\lvert f(x)-y\rvert^2\quad(\forall x\in K)
$$
とおき、連続関数 $h:K\rightarrow \mathbb{R}$ が最小値を取る点を $x_0\in K$ とおく。このとき $x_0\in K^{\circ}$ である。実際、$x_0\in \partial K$ であるとすると $(*****)$ より、
$$
\lvert f(x_0)-y\rvert\geq \lvert f(x_0)-f(a)\rvert-\lvert f(a)-y\rvert>\frac{\delta}{2}>\lvert f(a)-y\rvert
$$
であるから $h(x_0)$ が $h$ の最小値であることに矛盾する。よって $x_0\in K^{\circ}$ である。$h(x_0)$ は最小値なので $h$ の $x_0\in K^{\circ}$ における偏微分を考えれば、
$$
0=\partial_jh(x_0)=\sum_{i=1}^{N}2(f_i(x_0)-y)\partial_jf_i(x_0)\quad(j=1,\ldots,N)
$$
となる。よって、
\[
(f(x_0)-y)f'(x_0)=0
\]
となり、$(**)$ より ${\rm det}(f'(x_0))\neq0$ であるので $y=f(x_0)$ である。
これより $V:=f^{-1}(W)\cap K^{\circ}$ とおけば、$V$は$a$の開近傍であり、
$$
V\ni x\mapsto f(x)\in W\quad\quad(******)
$$
は全射であり、$(****)$より $(******)$ は単射でもある。$(******)$ の逆写像を $g:W\rightarrow V$ とおけば $(****)$ より、
$$
\lvert g(y')-g(y)\rvert\leq 2\lvert y'-y\rvert\quad(\forall y,y'\in W)\quad\quad(*******)
$$
であるから $g$ は連続である。任意の $y_0\in W$、$y\in W$ $(y\neq y_0)$ を取り、$x_0=g(y_0)$、$x=g(y)$ とおけば、$(*******)$ より、
$$
\begin{aligned}
\frac{\lvert g(y)-g(y_0)-f'(x_0)^{-1}(y-y_0)\rvert}{\lvert y-y_0\rvert}
&\leq \frac{\lvert x-x_0 \rvert}{\lvert f(x)-f(x_0)\rvert}
\frac{\lvert f'(x_0)^{-1}(f(x)-f(x_0)-f'(x_0)(x-x_0))\rvert}{\lvert x-x_0\rvert}\\
&\leq 2\lVert f'(x_0)^{-1}\rVert \frac{\lvert f(x)-f(x_0)-f'(x_0)(x-x_0)\rvert}{\lvert x-x_0\rvert}
\rightarrow0\quad(y\rightarrow y_0)
\end{aligned}
$$
であるから、$g$ は各点で微分可能であり、
$$
g'(y)=f'(g(y))^{-1}\quad(\forall y\in W)
$$
が成り立つ。$f'(g(y))$ の余因子行列 ${\rm Cof}(f'(g(y)))$ に対し、
$$
g'(y)=\frac{1}{{\rm det}(f'(g(y)))}{\rm Cof}(f'(g(y)))\quad(\forall y\in W)
$$
であるから $f$ が $C^k$ 級であることと $k$ に関する帰納法より $g$ は $C^k$ 級であることが分かる。
{{end|proof}}

=== 定義7.2（$C^k$ 級同相写像） ===
$U,V\subset \mathbb{R}^n$ を開集合とする。全単射 $f\colon U\rightarrow V$ が $C^k$ 級同相写像であるとは、$f$ と $f^{-1}:V\rightarrow U$ が共に $C^k$ 級であることを言う。

=== 系7.3（逆関数定理の系） ===
$\Omega\subset \mathbb{R}^n$を開集合、$f\colon\Omega\rightarrow \mathbb{R}^n$ を $C^k$ 級写像とする。もし $f$ が単射で任意の $x\in \Omega$ に対し ${\rm det}(f'(x))\neq0$ が成り立つならば $f(\Omega)$ は $\mathbb{R}^n$ の開集合であり、$\Omega \ni x\mapsto f(x)\in f(\Omega)$ は $C^k$ 級同相写像である。
{{begin |proof}}
任意の $a\in \Omega$ に対し逆関数定理（'''定理7.1'''）より $a$ の開近傍 $U_a\subset \Omega$ が存在し $f(U_a)$ は $\mathbb{R}^n$ の開集合で $U_a\ni x\mapsto f(x)\in f(U_a)$ は $C^k$ 級同相写像である。
$$
f(\Omega)=\bigcup_{a\in \Omega}f(U_a)
$$
であるから $f(\Omega)$ は $\mathbb{R}^n$ の開集合である。$\Omega\ni x\mapsto f(x)\in f(\Omega)$ の逆写像を $g:f(\Omega)\rightarrow \Omega$ とおくと、任意の $a\in \Omega$ に対し $g$ の $f(U_a)$ 上への制限 $f(U_a)\ni f(x)\mapsto x\in U_a$ は $C^k$ 級であるから $g$ は $C^k$ 級である。
{{end|proof|}}

== 関連項目 ==
* [[ベクトル解析]]
* [[複素解析の初歩]]

== 脚注 ==

Euclid空間における微積分1

2026-02-10T07:01:51Z

Kataoka: /* 定理7.1（逆関数定理） */

<noinclude>
{{TOC |align=right |noautonum=1 }}
</noinclude>
本稿においては、Euclid空間における微積分の初歩的なことについて述べる。

== 1. 微分、偏微分、$C^k$ 級の定義 ==

=== 定義1.1（微分） ===
Euclid空間 $\mathbb{R}^n$ の開集合 $\Omega$ 上で定義され、$\mathbb{R}^m$ に値を取る関数 $f\colon\Omega\rightarrow \mathbb{R}^m$ が、$a\in \Omega$ において微分可能であるとは、ある $A\in \mathbb{M}_{m\times n}(\mathbb{R})$が存在し、
$$
\Omega\ni x\mapsto \left\{\begin{array}{cl}\frac{f(x)-f(a)-A(x-a)}{\lvert x-a\rvert}&(x\neq a)\\0&(x=a)\end{array}\right\}\in \mathbb{R}^m\text{ が }a\text{ において連続。}\quad\quad(*)
$$
が成り立つことを言う。$f$ が $a$ において微分可能であるとき $(*)$ を満たす $A\in \mathbb{M}_{m\times n}(\mathbb{R}) $は一意的に定まる（次の'''命題1.2'''）。そこでこの $A$ を $f'(a)\in \mathbb{M}_{m\times n}(\mathbb{R})$ と表し、$f$ の $a$ における微分と言う。$n=1$ の場合、$\Omega\subset \mathbb{R}$ は往々にして区間であるが、半開区間や閉区間であることもある。その場合、端点における微分（片側微分）を同様に定義する。

=== 命題1.2 ===
'''定義1.1'''の $(*)$ を満たす $A\in \mathbb{M}_{m\times n}(\mathbb{R})$ は一意的に定まる。
{{begin |proof }}
$A,A'\in \mathbb{M}_{m\times n}(\mathbb{R})$ が共に'''定義1.1'''の $(*)$ を満たすとすると、任意の $\epsilon\in (0,\infty)$ に対し $\delta\in (0,\infty)$ が存在し、
$$
\frac{\lvert f(a+h)-f(a)-Ah\rvert}{\lvert h\rvert}<\frac{\epsilon}{2}\quad(\forall h\in \mathbb{R}^n:0<\lvert h\rvert<\delta),
$$
$$
\frac{\lvert f(a+h)-f(a)-Ah\rvert}{\lvert h\rvert}<\frac{\epsilon}{2}\quad(\forall h\in \mathbb{R}^n:0<\lvert h\rvert<\delta)
$$
が成り立つ。よって三角不等式より、
$$
\frac{\lvert (A-A')h\rvert}{\lvert h\rvert}<\epsilon\quad(\forall h\in \mathbb{R}^n:0<\lvert h\rvert<\delta)
$$
であるので、$(e_1,\ldots,e_n)$ を $\mathbb{R}^n$ の標準基底とすると、
$$
\lvert (A-A')e_j\rvert<\epsilon\quad(j=1,\ldots,n)
$$
が成り立つ。これが任意の $\epsilon\in (0,\infty)$ に対して成り立つので、
$$
\lvert (A-A')e_j\rvert=0\quad(j=1,\ldots,n)
$$
である。よって $A=A'$ である。
{{end|proof|}}

=== 命題1.3（微分の横ベクトル表記） ===
$\Omega\subset \mathbb{R}^n$ を開集合、$f\colon\Omega\rightarrow \mathbb{R}^m$ を、
$$
f(x)=(f_1(x),\ldots,f_m(x))\quad(\forall x\in \Omega)
$$
と表す。$a\in \Omega$ とする。このとき次は互いに同値である。
*$(1)$　$f$ は $a$ において微分可能である。
*$(2)$　$f_1,\ldots,f_m\colon\Omega\rightarrow \mathbb{R}$ は $a$ において微分可能である。
そして $(1),(2)$ が成り立つとき、$f$ の $a$ における微分 $f'(a)\in\mathbb{M}_{m\times n}(\mathbb{R})$ は、$f_1,\ldots,f_m$ の $a$ における微分 $f_1'(a),\ldots,f_m'(a)\in \mathbb{R}^n$ に対し、横ベクトル表記で、
$$
f'(a)=\begin{pmatrix}f_1'(a)\\\vdots\\f_m'(a)\end{pmatrix}
$$
と表される。
{{begin |proof }}
$(1)\Rightarrow(2)$ を示す。$(1)$ が成り立つとし、$f'(a)\in \mathbb{M}_{m\times n}(\mathbb{R})$ の横ベクトル表記を考え、
$$
f'(a)=\begin{pmatrix}v_1\\\vdots\\v_m\end{pmatrix}
$$
なる $v_1,\ldots,v_m\in \mathbb{R}^n$ を取る。$x\in \Omega\backslash\{a\}$ に対し、
$$
\frac{f(x)-f(a)-f'(a)(x-a)}{\lvert x-a\rvert}=\left(\frac{f_j(x)-f_j(a)-v_j(x-a)}{\lvert x-a\rvert}\right)_{j=1,\ldots,m}
$$
であるから、任意の $j\in \{1,\ldots,m\}$ に対し、
$$
\frac{\lvert f_j(x)-f_j(a)-v_j(x-a)\rvert}{\lvert x-a\rvert}\leq \frac{\lvert f(x)-f(a)-f'(a)(x-a)\rvert}{\lvert x-a\rvert}\rightarrow0\quad(x\rightarrow a)
$$
である。これより $f_j\colon\Omega\rightarrow\mathbb{R}$ は $a$ において微分可能であり、その微分は $f_j'(a)=v_j$ である。 
$(2)\Rightarrow(1)$ を示す。$(2)$ が成り立つとし、横ベクトル表記で、
$$
A:=\begin{pmatrix}f_1'(a)\\\vdots\\f_m'(a)\end{pmatrix}\in \mathbb{M}_{m\times n}(\mathbb{R})
$$
とおく。このとき $x\in \Omega\backslash \{a\}$ に対し、
$$
\frac{f(x)-f(a)-A(x-a)}{\lvert x-a\rvert}=\left(\frac{f_j(x)-f_j(a)-f_j'(a)(x-a)}{\lvert x-a\rvert}\right)_{j=1,\ldots,m}
$$
であるから、三角不等式より、
$$
\frac{\lvert f(x)-f(a)-A(x-a)\rvert}{\lvert x-a\rvert}\leq \sum_{j=1}^{m}\frac{\lvert f_j(x)-f_j(a)-f_j'(a)(x-a)\rvert}{\lvert x-a\rvert}\rightarrow0\quad(x\rightarrow a)
$$
である。よって $f\colon\Omega\rightarrow\mathbb{R}^m$ は $a$ において微分可能であり、$f'(a)=A$ である。
{{end|proof|}}

=== 命題1.4（微分可能な点における連続性） ===
$\mathbb{R}^n$ の開集合 $\Omega$ 上で定義された関数 $f\colon\Omega\rightarrow\mathbb{R}^m$ が $a\in \Omega$ において微分可能ならば、$f$ は $a$ において連続である。
{{begin |proof}}
微分可能性より十分小さい $\delta\in (0,\infty)$ を取れば、
$$
\lvert f(x)-f(a)-f'(a)(x-a)\rvert\leq \lvert x-a\rvert\quad(\forall x\in \mathbb{R}^N:\lvert 0<x-a\rvert<\delta)
$$
となるから、
$$
\lvert f(x)-f(a)\rvert\leq (\lVert f'(a)\rVert+1)\lvert x-a\rvert\quad(\forall x\in\mathbb{R}^N:\lvert x-a\rvert<\delta)
$$
である。よって $f$ は $a$ において連続である。
{{end|proof|}}

=== 定義1.5（偏微分、偏導関数、$C^k$ 級） ===
$\mathbb{R}^n$ の開集合 $\Omega$ 上で定義された関数 $f\colon\Omega\rightarrow\mathbb{R}^m$ が $a\in \Omega$ において第 $j$ 座標に関して偏微分可能であるとは、
$$
x_j\mapsto f(a_1,\ldots,a_{j-1},x_j,a_{j+1},\ldots,a_N)\in \mathbb{R}^m
$$
が $a_j$ において微分可能であることを言う。そしてこのときその微分を、
$$
\partial_jf(a),\quad \frac{\partial f}{\partial x_j}(a)\in \mathbb{R}^m
$$
などと表し、$f$ の $a$ における第 $j$ 座標に関する偏微分と呼ぶ。各 $x\in\Omega$ に対し $\partial_jf(x)\in \mathbb{R}^m$ が存在するとき、関数 $\partial_jf\colon\Omega\ni x\mapsto \partial_jf(x)\in \mathbb{R}^m$ を $f$ の第 $j$ 座標に関する偏導関数と言う。偏導関数の偏導関数が存在する限り、
$$
\partial_{j_n}\partial_{j_{n-1}}\ldots\partial_{j_1}f\colon=\partial_{j_n}(\partial_{j_{n-1}}\cdots\partial_{j_1}f)
$$
と定義する。$\partial_{j_n}\partial_{j_{n-1}}\ldots \partial_{j_1}f:\Omega\rightarrow\mathbb{R}^m$ を $f$ の $n$ 階偏導関数と言う。便宜上、$f$ 自体を $f$ の $0$ 階偏導関数と言う。 $k\in \mathbb{N}$ に対し $f\colon\Omega\rightarrow \mathbb{R}^m$ が $k$ 階までの偏導関数を持ち、それらが全て連続であるとき $f$ は $C^k $級であると言う。任意の $k\in \mathbb{N}$ に対し $f$ が $C^k$ 級であるとき $f$ は $C^\infty$ 級であると言う。

=== 命題1.6 ===
$\mathbb{R}^n$ の開集合 $\Omega$ 上で定義された関数 $f\colon\Omega\rightarrow \mathbb{R}^m$ が $a\in \Omega$ において微分可能ならば任意の $j\in \{1,\ldots,n\}$ に対し $f$ は $a$ において第 $j$ 座標に関して偏微分可能であり、
$f'(a)\in \mathbb{M}_{m\times n}(\mathbb{R})$ と $\partial_1f(a),\ldots,\partial_nf(a)\in\mathbb{R}^m$に対し、行列の縦ベクトル表記で、
$$
f'(a)=(\partial_1f(a),\ldots,\partial_nf(a))
$$
が成り立つ。
{{begin |proof }}
$(e_1,\ldots,e_n)$ を $\mathbb{R}^n$ の標準基底とする。任意の $j\in \{1,\ldots,n\}$ を取る。$f$ が $a$ において微分可能であることから任意の $\epsilon\in (0,\infty)$ に対し $\delta\in (0,\infty)$ が存在し、
$$
\frac{\lvert f(a+h)-f(a)-f'(a)h\rvert}{\lvert h\rvert}<\epsilon\quad(\forall h\in \mathbb{R}^n:0<\lvert h\rvert<\delta)
$$
となる。よって任意の $j\in \{1,\ldots,n\}$ に対し、
$$
\left\lvert\frac{f(a+he_j)-f(a)-hf'(a)e_j}{h}\right\rvert=\frac{\lvert f(a+he_j)-f(a)-hf'(a)e_j\rvert}{\lvert he_j\rvert}<\epsilon\quad(\forall h\in \mathbb{R}:0<\lvert h\rvert<\delta)
$$
となるので、$f$ は $a$ において第 $j$ 座標に関して偏微分可能であり、$\partial_jf(a)=f'(a)e_j$ である。ゆえに、
$$
f'(a)=(f'(a)e_1,\ldots,f'(a)e_n)=(\partial_1f(a),\ldots,\partial_nf(a))
$$
である。
{{end|proof|}}

== 2. チェインルール ==

=== 命題2.1（チェインルール） ===
$U\subset \mathbb{R}^n$, $V\subset \mathbb{R}^m$ を開集合とし、$f\colon U\rightarrow V$, $g\colon V\rightarrow \mathbb{R}^{\ell}$ がそれぞれ $a\in U$ と$f(a)\in V$ において微分可能であるとする。このとき合成関数 $g\circ f\colon U\rightarrow\mathbb{R}^{\ell}$は $a$ において微分可能であり、
$$
(g\circ f)'(a)=g'(f(a))f'(a)
$$
が成り立つ。
{{begin |proof }}
$b\colon=f(a)\in V$ とおく。
$$
F(x)\colon=\frac{f(x)-f(a)-f'(a)(x-a)}{\lvert x-a\rvert}\quad(x\neq a),\quad F(a)=0,
$$
$$
G(y)\colon=\frac{g(y)-g(b)-g'(b)(y-b)}{\lvert y-b\rvert}\quad(y\neq b),\quad G(b)=0
$$
として関数 $F\colon U\rightarrow \mathbb{R}^m$、$G\colon V\rightarrow\mathbb{R}^{\ell}$ を定義すると、$f, F$ は $a$ において連続であり、$G$ は $b$ において連続である。よって、
$$
\begin{aligned}
&\frac{\lvert g(f(x))-g(f(a))-g'(b)f'(a)(x-a)\rvert}{\lvert x-a\rvert}\\
&\leq\frac{\lvert g(f(x))-g(f(a))-g'(b)(f(x)-f(a))\rvert}{\lvert x-a\rvert}+\lVert g'(b)\rVert\frac{\lvert f(x)-f(a)-f'(a)(x-a)\rvert}{\lvert x-a\rvert}\\
&\leq \frac{\lvert f(x)-f(a)\rvert}{\lvert x-a\rvert}\lvert G(f(x))\rvert+\lVert g'(b)\rVert \lvert F(x)\rvert\\
&\leq (\lvert F(x)+\lVert f'(a)\rVert)\rvert\lvert G(f(x))\rvert+\lVert g'(b)\rVert \lvert F(x)\rvert
\rightarrow0\quad(x\rightarrow a)
\end{aligned}
$$
<ref>ただし $\lVert f'(a)\rVert$ や $\lVert g'(b)\rVert$ は作用素ノルムである。作用素ノルムについては[[位相線形空間1：ノルムと内積]]を参照。</ref>であるから、$g\circ f\colon U\rightarrow \mathbb{R}^{\ell}$ は $a$ において微分可能であり、$(g\circ f)'(a)=g'(b)f'(a)$ である。
{{end|proof}}

== 3. 平均値の定理 ==

=== 命題3.1（平均値の定理） ===
有界閉区間 $[a,b]\subset \mathbb{R}$ 上で定義された連続関数 $f,g\colon[a,b]\rightarrow \mathbb{R}$ が $(a,b)$ において微分可能であるとする。このときある $c\in (a,b)$ に対し、
$$
f'(c)(g(b)-g(a))=g'(c)(f(b)-f(a))
$$
が成り立つ。
{{begin |proof }}
連続関数 $h\colon [a,b]\rightarrow\mathbb{R}$ を、
$$
h(x)\colon=f(x)(g(b)-g(a))-g(x)(f(b)-f(a))\quad(\forall x\in [a,b])
$$
として定義すると $h$ は $(a,b)$ 上で微分可能であり、
$$
h'(x)=f'(x)(g(b)-g(a))-g'(x)(f(b)-f(a))\quad(\forall x\in (a,b)),\quad h(a)=h(b)
$$
である。$[a,b]$ はコンパクトであり $h$ は連続であるから $h([a,b])$ は最大値と最小値を持つ。$h(a)=h(b)$ であるから $h$ は $(a,b)$ 上で最大値か最小値に達する。そこで $c\in (a,b)$ において最大値に達するとする。$h$ は $c$ において微分可能であるから、任意の $\epsilon\in (0,\infty)$ に対し $\delta\in (0,\infty)$ が存在し、
$$
\left\lvert\frac{h(c\pm \delta)-h(c)}{\pm \delta}-h'(c)\right\rvert<\epsilon
$$
となる。$h(c\pm \delta)-h(c)\leq 0$ であるから、
$$-\epsilon\leq \frac{h(c-\delta)-h(c)}{-\delta}-\epsilon<h'(c)<\frac{h(c+\delta)-h(c)}{\delta}+\epsilon\leq\epsilon
$$
である。よって任意の $\epsilon\in (0,\infty)$ に対し $\lvert h'(c)\rvert<\epsilon$ であるから $h'(c)=0$ である。$h$ が $c\in (a,b)$ において最小値に達するとしても同様に $h'(c)=0$ を得る。よって求める結果を得る。
{{end|proof}}

=== 系3.2（平均値の定理通常版） ===
有界閉区間 $[a,b]\subset \mathbb{R}$ 上で定義された連続関数 $f\colon[a,b]\rightarrow \mathbb{R}$ が $(a,b)$ において微分可能であるとする。このときある $c\in (a,b)$ に対し、
$$
f(b)-f(a)=f'(c)(b-a)
$$
が成り立つ。
{{begin |proof}}
$g(x)=x$ として'''定理3.1'''を適用すればよい。
{{end|proof}}

== 4. Taylorの定理、$2$ 階階導関数と凸性 ==

=== 定義4.1（$1$ 変数関数の $n$ 階導関数） ===
$I\subset \mathbb{R}$ を区間とする。$f\colon I\rightarrow \mathbb{R}$ の $n$ 階導関数を $f^{(n)}$ と表す。$f^{(1)}=f'$、$f^{(0)}=f$である。

=== 定理4.2（Taylorの定理） ===
$I\subset \mathbb{R}$ を区間とし、$f\colon I\rightarrow \mathbb{R}$ が $n$ 階までの導関数を持つとする（$n\in \mathbb{N}$）。このとき任意の $a, b\in I$ に対し $a$ と $b$ の間の $c$ が存在し、
$$
f(b)=\sum_{k=0}^{n-1}\frac{f^{(k)}(a)}{k!}(b-a)^k+\frac{f^{(n)}(c)}{n!}(b-a)^n
$$
が成り立つ。
{{begin |proof }}
$a\in I$ を固定する。
$$
F(x)\colon=f(x)-\sum_{k=0}^{n-1}\frac{f^{(k)}(a)}{k!}(x-a)^k\quad(\forall x\in I)
$$
とおくと、$F$ は $n$ 階までの導関数を持ち、
$$
F^{(k)}(a)=0\quad(k=1,\ldots,n-1),\quad F^{(n)}(x)=f^{(n)}(x)\quad(\forall x\in I)
$$
である。$G(x)\colon=(x-a)^n$ として $G\colon I\rightarrow \mathbb{R}$ を定義すると、
$$
G^{(k)}(x)=\frac{n!}{(n-k)!}(x-a)^{n-k}\quad(\forall x\in I,k=0,1,\ldots,n)
$$
であるから、任意の $k\in \{0,1,\ldots,n-1\}$ に対し、
$$
G^{(k)}(a)=0,\quad G^{(k)}(x)\neq0\quad(x\neq a)
$$
であり、$G^{(n)}(x)=n!\text{ }(\forall x\in I)$ である。よって任意の $b\in I\backslash \{a\}$ に対し平均値の定理（'''定理3.1'''）より $a,b$ の間の $c_1,\ldots,c_n$ が存在し、
$$
\frac{F(b)}{G(b)}=\frac{F^{(1)}(c_1)}{G^{(1)}(c_1)}=\frac{F^{(2)}(c_2)}{G^{(2)}(c_2)}=\ldots=\frac{F^{(n)}(c_n)}{G^{(n)}(c_n)}=\frac{f^{(n)}(c_n)}{n!}
$$
が成り立つ。ゆえに、
$$
F(b)=\frac{f^{(n)}(c_n)}{n!}(b-a)^n
$$
であるから求める結果を得た。
{{end|proof|}}

=== 定義4.3（関数の凸性） ===
$I\subset \mathbb{R}$ を区間とする。関数 $f\colon I\rightarrow \mathbb{R}$ が下に凸であるとは、
$$
f((1-t)a+tb)\leq (1-t)f(a)+tf(b)\quad(\forall a,b\in I,\forall t\in [0,1])
$$
が成り立つことを言う。また $f\colon I\rightarrow\mathbb{R}$ が上に凸であるとは、
$$
(1-t)f(a)+tf(b)\leq f((1-t)a+tb)\quad(\forall a,b\in I,\forall t\in [0,1])
$$
が成り立つことを言う。

=== 命題4.4（$2$ 階導関数と関数の凸性） ===
$I\subset \mathbb{R}$ を区間とし、$f\colon I\rightarrow\mathbb{R}$ が $2$ 階まで導関数を持つとする。もし $f^{' '}(x)\geq0$ $(\forall x\in I)$ が成り立つならば $f$ は下に凸である。
{{begin |proof }}
任意の $a,b\in I$ と $t\in [0,1]$ を取り、$x=(1-t)a+tb\in I$ とおく。$f' '\geq0$ であることとTaylorの定理より、
$$
f(a)\geq f(x)+f'(x)(a-x),\quad f(b)\geq f(x)+f'(x)(b-x)
$$
であるから、
$$
tf(a)+(1-t)f(b)\geq f(x)+f'(x)(ta+(1-t)b-x)=f(x)
$$
である。よって $f$ は下に凸である。
{{end|proof|}}

== 5. $C^2$ 級関数の偏微分の可換性 ==

=== 命題5.1（ $C^2$ 級関数の偏微分の可換性） ===
$\mathbb{R}^n$ の開集合 $\Omega$ 上で定義された関数 $f\colon\Omega\rightarrow \mathbb{R}^m$ が $C^2$ 級であるとする。このとき任意の $i,j\in \{1,\ldots,n\}$ に対し、
$$
\partial_i\partial_jf(x)=\partial_j\partial_if(x)\quad(\forall x\in \Omega)
$$
が成り立つ。
{{begin |proof }}
$n=2, m=1$ として示せば十分である。任意の $(x,y)\in\Omega$ を取り、
$$
(x-\delta,x+\delta)\times (y-\delta,y+\delta)\subset \Omega
$$
なる $\delta\in (0,\infty)$ を取る。$h,k\in (-\delta,\delta)\backslash \{0\}$に対し、
$$
F(h,k):=(f(x+h,y+k)-f(x,y+k))-(f(x+h,y)-f(x,y))
$$
とおく。平均値の定理（'''系3.2'''）より $\theta_1,\theta_2\in (0,1)$ が存在し、
$$
F(h,k)=k(\partial_2 f(x+h,y+\theta_2k)-\partial_2f(x,y+\theta_2k))
=hk\partial_1\partial_2f(x+\theta_1h,y+\theta_2k)
$$
となる。また、
$$
F(h,k)=(f(x+h,y+k)-f(x+h,y))-(f(x,y+k)-f(x,y))
$$
であるから、平均値の定理より $\omega_1,\omega_2\in (0,1)$ が存在し、
$$
F(h,k)=h(\partial_1f(x+\omega_1h,y+k)-\partial_1f(x+\omega_1h,y))
=hk\partial_2\partial_1f(x+\omega_1h,y+\omega_2k)
$$
となる。よって、
$$
\partial_1\partial_2f(x+\theta_1h,y+\theta_2k)=\frac{F(h,k)}{hk}=\partial_2\partial_1f(x+\omega_1h,y+\omega_2k)\quad\quad(*)
$$
である。 $\partial_1\partial_2f$、$\partial_2\partial_1f$ は連続であるから、任意の $\epsilon\in (0,\infty)$ に対し $\delta$ を十分小さくとっておけば、
$$
\lvert \partial_1\partial_2f(x+\theta_1h,y+\theta_2k)-\partial_1\partial_2f(x,y)\rvert<\frac{\epsilon}{2},
$$
$$
\lvert \partial_2\partial_1f(x+\omega_1h,y+\omega_2k)-\partial_2\partial_1f(x,y)\rvert<\frac{\epsilon}{2}
$$
となるので、 $(*)$ と合わせれば、
$$
\lvert \partial_1\partial_2f(x,y)-\partial_2\partial_1f(x,y)\rvert<\epsilon
$$
となる。よって $\epsilon$ の任意性より $\partial_1\partial_2f(x,y)=\partial_2\partial_1f(x,y)$ が成り立つ。
{{end|proof|}}

=== 系5.2 ===
$\mathbb{R}^n$ の開集合 $\Omega$ 上で定義された関数 $f\colon\Omega\rightarrow \mathbb{R}^m$ が $C^k$ 級であるとする。このとき $f$ の $k$ 階までの偏導関数は偏微分の順序によらない。
{{begin |proof }}
'''命題5.1'''と帰納法による。
{{end|proof}}

== 6. $C^1$ 級関数の微分可能性 ==

=== 命題6.1（$C^1$ 級関数の微分可能性） ===
$\Omega\subset \mathbb{R}^n$ を開集合、$f\colon\Omega\rightarrow \mathbb{R}^m$ を $C^1$ 級とする。このとき $f$ は $\Omega$ の各点で微分可能である。
{{begin |proof}}
$m=1$ として示せば十分である。任意の $x\in \Omega$ と $\{y\in\mathbb{R}^n\colon\lvert y-x\rvert<\delta\}\subset \Omega$ なる $\delta\in (0,\infty)$ を取り、
$0<\lvert h\rvert<\delta$ なる $h\in\mathbb{R}^n$を取る。平均値の定理（'''系3.2'''）より $\theta_1,\ldots,\theta_n\in (0,1)$ が存在し、
$$
h^{(k)}=(h_1,\ldots,h_{k-1}, \theta_kh_k,0,\ldots,0)\quad(k=1,\ldots,n)
$$
に対し、
$$
f(x+h)-f(x)=\sum_{k=1}^{n}h_k\partial_kf(x+h^{(k)})
$$
となる。よって、
$$
v\colon=(\partial_1f(x),\ldots,\partial_nf(x)),\quad
v(h)\colon=(\partial_1f(x+h^{(1)}),\ldots,\partial_nf(x+h^{(n)}))
$$
とおくと、
$$
\frac{\lvert f(x+h)-f(x)-v\cdot h\rvert}{\lvert h\rvert}=\frac{\lvert(v(h)-v)\cdot h\rvert}{\lvert h\rvert}\leq \lvert v(h)-v\rvert
$$
であり、$f$ は $C^1$ 級であるから右辺は $h\rightarrow0$ で $0$ に収束する。ゆえに $f$ は $x$ において微分可能である。
{{end|proof|}}

== 7. 逆関数定理 ==

=== 定理7.1（逆関数定理） ===
$\Omega\subset \mathbb{R}^n$ を開集合、$f\colon\Omega\rightarrow\mathbb{R}^n$ を $C^k$ 級（$k\geq1$）とし、ある $a\in\Omega$ に対し ${\rm det}(f'(a))\neq0$ が成り立つとする。このとき $a$ の開近傍 $V\subset \Omega$ と $f(a)$ の開近傍 $W\subset \mathbb{R}^n$ が存在し、
$$
V\ni x\mapsto f(x)\in W
$$
は全単射であり、この逆写像 $g\colon W\rightarrow V$ は $C^k$ 級である。そして、
$$
g'(y)=f'(g(y))^{-1}\quad(\forall y\in W)
$$
が成り立つ。
{{begin |proof }}
$f$ の代わりに $f'(a)^{-1}f\colon\Omega\ni x\mapsto f'(a)^{-1}f(x)\in \mathbb{R}^n$ を考えることで最初から $f'(a)=1$ として示せば十分である。$a$ を中心とする十分小さい閉直方体（有界閉区間の直積） $K$ を考えれば、
$$
\frac{\lvert f(x)-f(a)-(x-a)\rvert}{\lvert x-a\rvert}<1\quad(\forall x\in K\backslash\{a\})
$$
となるから、
$$
f(x)\neq f(a)\quad(\forall x\in K\backslash \{a\})\quad\quad(*)
$$
が成り立つ。さらに $f$ が $C^1$ 級であることから $K$ を十分小さく取っておけば、
$$
{\rm det}(f'(x))\neq0\quad(\forall x\in K),\quad\quad(**)
$$
$$
\lvert \partial_jf_i(x)-\delta_{i,j}\rvert\leq\frac{1}{2n^2}\quad(\forall x\in K, \forall i,j\in \{1,\ldots,n\})\quad\quad(***)
$$
が成り立つ。$F\colon\Omega\ni x\mapsto f(x)-x\in \mathbb{R}^n$ を考えると $(***)$ より、
$$
\lvert \partial_jF_i(x)\rvert\leq\frac{1}{2n^2}\quad(\forall x\in K, \forall i,j\in \{1,\ldots,n\})
$$
であるから、平均値の定理より、
$$
\lvert F(x')-F(x)\rvert\leq \sum_{i=1}^{n}\lvert F_i(x')-F_i(x)\rvert\leq \frac{1}{2}\lvert x'-x\rvert\quad(\forall x,x'\in K)
$$
となる。よって、
$$
\frac{1}{2}\lvert x'-x\rvert\leq \lvert f(x')-f(x)\rvert\quad(\forall x,x'\in K)\quad\quad(****)
$$
が成り立つ。$(*)$ より $f(a)\notin f(\partial K)$ であり、$f(\partial K)$ はコンパクトであるから $\delta\in (0,\infty)$ が存在し、
$$
B(f(a),\delta)\cap f(\partial K)=\emptyset\quad\quad(*****)
$$
となる。
$$
W:=B\left(f(a),\text{ }\frac{\delta}{2}\right)
$$
とおく。今、任意の $y\in W$ を取り、$y=f(x_0)$ なる $x_0\in K^{\circ}$ が存在することを示す。そこで、
$$
h(x):=\lvert f(x)-y\rvert^2\quad(\forall x\in K)
$$
とおき、$h:K\rightarrow \mathbb{R}$ が最小値を取る点を $x_0\in K$ とおく。このとき $x_0\in K^{\circ}$ である。実際、$x_0\in \partial K$ であるとすると $(*****)$ より、
$$
\lvert f(x_0)-y\rvert\geq \lvert f(x_0)-f(a)\rvert-\lvert f(a)-y\rvert>\frac{\delta}{2}>\lvert f(a)-y\rvert
$$
であるから $h(x_0)$ が $h$ の最小値であることに矛盾する。よって $x_0\in K^{\circ}$ である。$h(x_0)$ は最小値なので $h$ の $x_0\in K^{\circ}$ における微分を考えれば、
$$
0=h'(x_0)=2(f(x_0)-y)f'(x_0)
$$
となり、$(**)$ より ${\rm det}(f'(x_0))\neq0$ であるので $y=f(x_0)$ である。
これより $V:=f^{-1}(W)\cap K^{\circ}$ とおけば、
$$
V\ni x\mapsto f(x)\in W\quad\quad(******)
$$
は全射であり、$(****)$より $(******)$ は単射でもある。$(******)$ の逆写像を $g:W\rightarrow V$ とおけば $(****)$ より、
$$
\lvert g(y')-g(y)\rvert\leq 2\lvert y'-y\rvert\quad(\forall y,y'\in W)\quad\quad(*******)
$$
であるから $g$ は連続である。任意の $y_0\in W$、$y\in W$ $(y\neq y_0)$ を取り、$x_0=g(y_0)$、$x=g(y)$ とおけば、$(*******)$ より、
$$
\begin{aligned}
\frac{\lvert g(y)-g(y_0)-f'(x_0)^{-1}(y-y_0)\rvert}{\lvert y-y_0\rvert}
&\leq \frac{\lvert x-x_0 \rvert}{\lvert f(x)-f(x_0)\rvert}
\frac{\lvert f'(x_0)^{-1}(f(x)-f(x_0)-f'(x_0)(x-x_0))\rvert}{\lvert x-x_0\rvert}\\
&\leq 2\lVert f'(x_0)^{-1}\rVert \frac{\lvert f(x)-f(x_0)-f'(x_0)(x-x_0)\rvert}{\lvert x-x_0\rvert}
\rightarrow0\quad(y\rightarrow y_0)
\end{aligned}
$$
であるから、$g$ は各点で微分可能であり、
$$
g'(y)=f'(g(y))^{-1}\quad(\forall y\in W)
$$
が成り立つ。$f'(g(y))$ の余因子行列 ${\rm Cof}(f'(g(y)))$ に対し、
$$
g'(y)=\frac{1}{{\rm det}(f'(g(y)))}{\rm Cof}(f'(g(y)))\quad(\forall y\in W)
$$
であるから $f$ が $C^k$ 級であることと $k$ に関する帰納法より $g$ は $C^k$ 級であることが分かる。
{{end|proof}}

=== 定義7.2（$C^k$ 級同相写像） ===
$U,V\subset \mathbb{R}^n$ を開集合とする。全単射 $f\colon U\rightarrow V$ が $C^k$ 級同相写像であるとは、$f$ と $f^{-1}:V\rightarrow U$ が共に $C^k$ 級であることを言う。

=== 系7.3（逆関数定理の系） ===
$\Omega\subset \mathbb{R}^n$を開集合、$f\colon\Omega\rightarrow \mathbb{R}^n$ を $C^k$ 級写像とする。もし $f$ が単射で任意の $x\in \Omega$ に対し ${\rm det}(f'(x))\neq0$ が成り立つならば $f(\Omega)$ は $\mathbb{R}^n$ の開集合であり、$\Omega \ni x\mapsto f(x)\in f(\Omega)$ は $C^k$ 級同相写像である。
{{begin |proof}}
任意の $a\in \Omega$ に対し逆関数定理（'''定理7.1'''）より $a$ の開近傍 $U_a\subset \Omega$ が存在し $f(U_a)$ は $\mathbb{R}^n$ の開集合で $U_a\ni x\mapsto f(x)\in f(U_a)$ は $C^k$ 級同相写像である。
$$
f(\Omega)=\bigcup_{a\in \Omega}f(U_a)
$$
であるから $f(\Omega)$ は $\mathbb{R}^n$ の開集合である。$\Omega\ni x\mapsto f(x)\in f(\Omega)$ の逆写像を $g:f(\Omega)\rightarrow \Omega$ とおくと、任意の $a\in \Omega$ に対し $g$ の $f(U_a)$ 上への制限 $f(U_a)\ni f(x)\mapsto x\in U_a$ は $C^k$ 級であるから $g$ は $C^k$ 級である。
{{end|proof|}}

== 関連項目 ==
* [[ベクトル解析]]
* [[複素解析の初歩]]

== 脚注 ==

Euclid空間における微積分1

2026-02-10T04:42:52Z

Kataoka: /* 命題3.1（平均値の定理） */

<noinclude>
{{TOC |align=right |noautonum=1 }}
</noinclude>
本稿においては、Euclid空間における微積分の初歩的なことについて述べる。

== 1. 微分、偏微分、$C^k$ 級の定義 ==

=== 定義1.1（微分） ===
Euclid空間 $\mathbb{R}^n$ の開集合 $\Omega$ 上で定義され、$\mathbb{R}^m$ に値を取る関数 $f\colon\Omega\rightarrow \mathbb{R}^m$ が、$a\in \Omega$ において微分可能であるとは、ある $A\in \mathbb{M}_{m\times n}(\mathbb{R})$が存在し、
$$
\Omega\ni x\mapsto \left\{\begin{array}{cl}\frac{f(x)-f(a)-A(x-a)}{\lvert x-a\rvert}&(x\neq a)\\0&(x=a)\end{array}\right\}\in \mathbb{R}^m\text{ が }a\text{ において連続。}\quad\quad(*)
$$
が成り立つことを言う。$f$ が $a$ において微分可能であるとき $(*)$ を満たす $A\in \mathbb{M}_{m\times n}(\mathbb{R}) $は一意的に定まる（次の'''命題1.2'''）。そこでこの $A$ を $f'(a)\in \mathbb{M}_{m\times n}(\mathbb{R})$ と表し、$f$ の $a$ における微分と言う。$n=1$ の場合、$\Omega\subset \mathbb{R}$ は往々にして区間であるが、半開区間や閉区間であることもある。その場合、端点における微分（片側微分）を同様に定義する。

=== 命題1.2 ===
'''定義1.1'''の $(*)$ を満たす $A\in \mathbb{M}_{m\times n}(\mathbb{R})$ は一意的に定まる。
{{begin |proof }}
$A,A'\in \mathbb{M}_{m\times n}(\mathbb{R})$ が共に'''定義1.1'''の $(*)$ を満たすとすると、任意の $\epsilon\in (0,\infty)$ に対し $\delta\in (0,\infty)$ が存在し、
$$
\frac{\lvert f(a+h)-f(a)-Ah\rvert}{\lvert h\rvert}<\frac{\epsilon}{2}\quad(\forall h\in \mathbb{R}^n:0<\lvert h\rvert<\delta),
$$
$$
\frac{\lvert f(a+h)-f(a)-Ah\rvert}{\lvert h\rvert}<\frac{\epsilon}{2}\quad(\forall h\in \mathbb{R}^n:0<\lvert h\rvert<\delta)
$$
が成り立つ。よって三角不等式より、
$$
\frac{\lvert (A-A')h\rvert}{\lvert h\rvert}<\epsilon\quad(\forall h\in \mathbb{R}^n:0<\lvert h\rvert<\delta)
$$
であるので、$(e_1,\ldots,e_n)$ を $\mathbb{R}^n$ の標準基底とすると、
$$
\lvert (A-A')e_j\rvert<\epsilon\quad(j=1,\ldots,n)
$$
が成り立つ。これが任意の $\epsilon\in (0,\infty)$ に対して成り立つので、
$$
\lvert (A-A')e_j\rvert=0\quad(j=1,\ldots,n)
$$
である。よって $A=A'$ である。
{{end|proof|}}

=== 命題1.3（微分の横ベクトル表記） ===
$\Omega\subset \mathbb{R}^n$ を開集合、$f\colon\Omega\rightarrow \mathbb{R}^m$ を、
$$
f(x)=(f_1(x),\ldots,f_m(x))\quad(\forall x\in \Omega)
$$
と表す。$a\in \Omega$ とする。このとき次は互いに同値である。
*$(1)$　$f$ は $a$ において微分可能である。
*$(2)$　$f_1,\ldots,f_m\colon\Omega\rightarrow \mathbb{R}$ は $a$ において微分可能である。
そして $(1),(2)$ が成り立つとき、$f$ の $a$ における微分 $f'(a)\in\mathbb{M}_{m\times n}(\mathbb{R})$ は、$f_1,\ldots,f_m$ の $a$ における微分 $f_1'(a),\ldots,f_m'(a)\in \mathbb{R}^n$ に対し、横ベクトル表記で、
$$
f'(a)=\begin{pmatrix}f_1'(a)\\\vdots\\f_m'(a)\end{pmatrix}
$$
と表される。
{{begin |proof }}
$(1)\Rightarrow(2)$ を示す。$(1)$ が成り立つとし、$f'(a)\in \mathbb{M}_{m\times n}(\mathbb{R})$ の横ベクトル表記を考え、
$$
f'(a)=\begin{pmatrix}v_1\\\vdots\\v_m\end{pmatrix}
$$
なる $v_1,\ldots,v_m\in \mathbb{R}^n$ を取る。$x\in \Omega\backslash\{a\}$ に対し、
$$
\frac{f(x)-f(a)-f'(a)(x-a)}{\lvert x-a\rvert}=\left(\frac{f_j(x)-f_j(a)-v_j(x-a)}{\lvert x-a\rvert}\right)_{j=1,\ldots,m}
$$
であるから、任意の $j\in \{1,\ldots,m\}$ に対し、
$$
\frac{\lvert f_j(x)-f_j(a)-v_j(x-a)\rvert}{\lvert x-a\rvert}\leq \frac{\lvert f(x)-f(a)-f'(a)(x-a)\rvert}{\lvert x-a\rvert}\rightarrow0\quad(x\rightarrow a)
$$
である。これより $f_j\colon\Omega\rightarrow\mathbb{R}$ は $a$ において微分可能であり、その微分は $f_j'(a)=v_j$ である。 
$(2)\Rightarrow(1)$ を示す。$(2)$ が成り立つとし、横ベクトル表記で、
$$
A:=\begin{pmatrix}f_1'(a)\\\vdots\\f_m'(a)\end{pmatrix}\in \mathbb{M}_{m\times n}(\mathbb{R})
$$
とおく。このとき $x\in \Omega\backslash \{a\}$ に対し、
$$
\frac{f(x)-f(a)-A(x-a)}{\lvert x-a\rvert}=\left(\frac{f_j(x)-f_j(a)-f_j'(a)(x-a)}{\lvert x-a\rvert}\right)_{j=1,\ldots,m}
$$
であるから、三角不等式より、
$$
\frac{\lvert f(x)-f(a)-A(x-a)\rvert}{\lvert x-a\rvert}\leq \sum_{j=1}^{m}\frac{\lvert f_j(x)-f_j(a)-f_j'(a)(x-a)\rvert}{\lvert x-a\rvert}\rightarrow0\quad(x\rightarrow a)
$$
である。よって $f\colon\Omega\rightarrow\mathbb{R}^m$ は $a$ において微分可能であり、$f'(a)=A$ である。
{{end|proof|}}

=== 命題1.4（微分可能な点における連続性） ===
$\mathbb{R}^n$ の開集合 $\Omega$ 上で定義された関数 $f\colon\Omega\rightarrow\mathbb{R}^m$ が $a\in \Omega$ において微分可能ならば、$f$ は $a$ において連続である。
{{begin |proof}}
微分可能性より十分小さい $\delta\in (0,\infty)$ を取れば、
$$
\lvert f(x)-f(a)-f'(a)(x-a)\rvert\leq \lvert x-a\rvert\quad(\forall x\in \mathbb{R}^N:\lvert 0<x-a\rvert<\delta)
$$
となるから、
$$
\lvert f(x)-f(a)\rvert\leq (\lVert f'(a)\rVert+1)\lvert x-a\rvert\quad(\forall x\in\mathbb{R}^N:\lvert x-a\rvert<\delta)
$$
である。よって $f$ は $a$ において連続である。
{{end|proof|}}

=== 定義1.5（偏微分、偏導関数、$C^k$ 級） ===
$\mathbb{R}^n$ の開集合 $\Omega$ 上で定義された関数 $f\colon\Omega\rightarrow\mathbb{R}^m$ が $a\in \Omega$ において第 $j$ 座標に関して偏微分可能であるとは、
$$
x_j\mapsto f(a_1,\ldots,a_{j-1},x_j,a_{j+1},\ldots,a_N)\in \mathbb{R}^m
$$
が $a_j$ において微分可能であることを言う。そしてこのときその微分を、
$$
\partial_jf(a),\quad \frac{\partial f}{\partial x_j}(a)\in \mathbb{R}^m
$$
などと表し、$f$ の $a$ における第 $j$ 座標に関する偏微分と呼ぶ。各 $x\in\Omega$ に対し $\partial_jf(x)\in \mathbb{R}^m$ が存在するとき、関数 $\partial_jf\colon\Omega\ni x\mapsto \partial_jf(x)\in \mathbb{R}^m$ を $f$ の第 $j$ 座標に関する偏導関数と言う。偏導関数の偏導関数が存在する限り、
$$
\partial_{j_n}\partial_{j_{n-1}}\ldots\partial_{j_1}f\colon=\partial_{j_n}(\partial_{j_{n-1}}\cdots\partial_{j_1}f)
$$
と定義する。$\partial_{j_n}\partial_{j_{n-1}}\ldots \partial_{j_1}f:\Omega\rightarrow\mathbb{R}^m$ を $f$ の $n$ 階偏導関数と言う。便宜上、$f$ 自体を $f$ の $0$ 階偏導関数と言う。 $k\in \mathbb{N}$ に対し $f\colon\Omega\rightarrow \mathbb{R}^m$ が $k$ 階までの偏導関数を持ち、それらが全て連続であるとき $f$ は $C^k $級であると言う。任意の $k\in \mathbb{N}$ に対し $f$ が $C^k$ 級であるとき $f$ は $C^\infty$ 級であると言う。

=== 命題1.6 ===
$\mathbb{R}^n$ の開集合 $\Omega$ 上で定義された関数 $f\colon\Omega\rightarrow \mathbb{R}^m$ が $a\in \Omega$ において微分可能ならば任意の $j\in \{1,\ldots,n\}$ に対し $f$ は $a$ において第 $j$ 座標に関して偏微分可能であり、
$f'(a)\in \mathbb{M}_{m\times n}(\mathbb{R})$ と $\partial_1f(a),\ldots,\partial_nf(a)\in\mathbb{R}^m$に対し、行列の縦ベクトル表記で、
$$
f'(a)=(\partial_1f(a),\ldots,\partial_nf(a))
$$
が成り立つ。
{{begin |proof }}
$(e_1,\ldots,e_n)$ を $\mathbb{R}^n$ の標準基底とする。任意の $j\in \{1,\ldots,n\}$ を取る。$f$ が $a$ において微分可能であることから任意の $\epsilon\in (0,\infty)$ に対し $\delta\in (0,\infty)$ が存在し、
$$
\frac{\lvert f(a+h)-f(a)-f'(a)h\rvert}{\lvert h\rvert}<\epsilon\quad(\forall h\in \mathbb{R}^n:0<\lvert h\rvert<\delta)
$$
となる。よって任意の $j\in \{1,\ldots,n\}$ に対し、
$$
\left\lvert\frac{f(a+he_j)-f(a)-hf'(a)e_j}{h}\right\rvert=\frac{\lvert f(a+he_j)-f(a)-hf'(a)e_j\rvert}{\lvert he_j\rvert}<\epsilon\quad(\forall h\in \mathbb{R}:0<\lvert h\rvert<\delta)
$$
となるので、$f$ は $a$ において第 $j$ 座標に関して偏微分可能であり、$\partial_jf(a)=f'(a)e_j$ である。ゆえに、
$$
f'(a)=(f'(a)e_1,\ldots,f'(a)e_n)=(\partial_1f(a),\ldots,\partial_nf(a))
$$
である。
{{end|proof|}}

== 2. チェインルール ==

=== 命題2.1（チェインルール） ===
$U\subset \mathbb{R}^n$, $V\subset \mathbb{R}^m$ を開集合とし、$f\colon U\rightarrow V$, $g\colon V\rightarrow \mathbb{R}^{\ell}$ がそれぞれ $a\in U$ と$f(a)\in V$ において微分可能であるとする。このとき合成関数 $g\circ f\colon U\rightarrow\mathbb{R}^{\ell}$は $a$ において微分可能であり、
$$
(g\circ f)'(a)=g'(f(a))f'(a)
$$
が成り立つ。
{{begin |proof }}
$b\colon=f(a)\in V$ とおく。
$$
F(x)\colon=\frac{f(x)-f(a)-f'(a)(x-a)}{\lvert x-a\rvert}\quad(x\neq a),\quad F(a)=0,
$$
$$
G(y)\colon=\frac{g(y)-g(b)-g'(b)(y-b)}{\lvert y-b\rvert}\quad(y\neq b),\quad G(b)=0
$$
として関数 $F\colon U\rightarrow \mathbb{R}^m$、$G\colon V\rightarrow\mathbb{R}^{\ell}$ を定義すると、$f, F$ は $a$ において連続であり、$G$ は $b$ において連続である。よって、
$$
\begin{aligned}
&\frac{\lvert g(f(x))-g(f(a))-g'(b)f'(a)(x-a)\rvert}{\lvert x-a\rvert}\\
&\leq\frac{\lvert g(f(x))-g(f(a))-g'(b)(f(x)-f(a))\rvert}{\lvert x-a\rvert}+\lVert g'(b)\rVert\frac{\lvert f(x)-f(a)-f'(a)(x-a)\rvert}{\lvert x-a\rvert}\\
&\leq \frac{\lvert f(x)-f(a)\rvert}{\lvert x-a\rvert}\lvert G(f(x))\rvert+\lVert g'(b)\rVert \lvert F(x)\rvert\\
&\leq (\lvert F(x)+\lVert f'(a)\rVert)\rvert\lvert G(f(x))\rvert+\lVert g'(b)\rVert \lvert F(x)\rvert
\rightarrow0\quad(x\rightarrow a)
\end{aligned}
$$
<ref>ただし $\lVert f'(a)\rVert$ や $\lVert g'(b)\rVert$ は作用素ノルムである。作用素ノルムについては[[位相線形空間1：ノルムと内積]]を参照。</ref>であるから、$g\circ f\colon U\rightarrow \mathbb{R}^{\ell}$ は $a$ において微分可能であり、$(g\circ f)'(a)=g'(b)f'(a)$ である。
{{end|proof}}

== 3. 平均値の定理 ==

=== 命題3.1（平均値の定理） ===
有界閉区間 $[a,b]\subset \mathbb{R}$ 上で定義された連続関数 $f,g\colon[a,b]\rightarrow \mathbb{R}$ が $(a,b)$ において微分可能であるとする。このときある $c\in (a,b)$ に対し、
$$
f'(c)(g(b)-g(a))=g'(c)(f(b)-f(a))
$$
が成り立つ。
{{begin |proof }}
連続関数 $h\colon [a,b]\rightarrow\mathbb{R}$ を、
$$
h(x)\colon=f(x)(g(b)-g(a))-g(x)(f(b)-f(a))\quad(\forall x\in [a,b])
$$
として定義すると $h$ は $(a,b)$ 上で微分可能であり、
$$
h'(x)=f'(x)(g(b)-g(a))-g'(x)(f(b)-f(a))\quad(\forall x\in (a,b)),\quad h(a)=h(b)
$$
である。$[a,b]$ はコンパクトであり $h$ は連続であるから $h([a,b])$ は最大値と最小値を持つ。$h(a)=h(b)$ であるから $h$ は $(a,b)$ 上で最大値か最小値に達する。そこで $c\in (a,b)$ において最大値に達するとする。$h$ は $c$ において微分可能であるから、任意の $\epsilon\in (0,\infty)$ に対し $\delta\in (0,\infty)$ が存在し、
$$
\left\lvert\frac{h(c\pm \delta)-h(c)}{\pm \delta}-h'(c)\right\rvert<\epsilon
$$
となる。$h(c\pm \delta)-h(c)\leq 0$ であるから、
$$-\epsilon\leq \frac{h(c-\delta)-h(c)}{-\delta}-\epsilon<h'(c)<\frac{h(c+\delta)-h(c)}{\delta}+\epsilon\leq\epsilon
$$
である。よって任意の $\epsilon\in (0,\infty)$ に対し $\lvert h'(c)\rvert<\epsilon$ であるから $h'(c)=0$ である。$h$ が $c\in (a,b)$ において最小値に達するとしても同様に $h'(c)=0$ を得る。よって求める結果を得る。
{{end|proof}}

=== 系3.2（平均値の定理通常版） ===
有界閉区間 $[a,b]\subset \mathbb{R}$ 上で定義された連続関数 $f\colon[a,b]\rightarrow \mathbb{R}$ が $(a,b)$ において微分可能であるとする。このときある $c\in (a,b)$ に対し、
$$
f(b)-f(a)=f'(c)(b-a)
$$
が成り立つ。
{{begin |proof}}
$g(x)=x$ として'''定理3.1'''を適用すればよい。
{{end|proof}}

== 4. Taylorの定理、$2$ 階階導関数と凸性 ==

=== 定義4.1（$1$ 変数関数の $n$ 階導関数） ===
$I\subset \mathbb{R}$ を区間とする。$f\colon I\rightarrow \mathbb{R}$ の $n$ 階導関数を $f^{(n)}$ と表す。$f^{(1)}=f'$、$f^{(0)}=f$である。

=== 定理4.2（Taylorの定理） ===
$I\subset \mathbb{R}$ を区間とし、$f\colon I\rightarrow \mathbb{R}$ が $n$ 階までの導関数を持つとする（$n\in \mathbb{N}$）。このとき任意の $a, b\in I$ に対し $a$ と $b$ の間の $c$ が存在し、
$$
f(b)=\sum_{k=0}^{n-1}\frac{f^{(k)}(a)}{k!}(b-a)^k+\frac{f^{(n)}(c)}{n!}(b-a)^n
$$
が成り立つ。
{{begin |proof }}
$a\in I$ を固定する。
$$
F(x)\colon=f(x)-\sum_{k=0}^{n-1}\frac{f^{(k)}(a)}{k!}(x-a)^k\quad(\forall x\in I)
$$
とおくと、$F$ は $n$ 階までの導関数を持ち、
$$
F^{(k)}(a)=0\quad(k=1,\ldots,n-1),\quad F^{(n)}(x)=f^{(n)}(x)\quad(\forall x\in I)
$$
である。$G(x)\colon=(x-a)^n$ として $G\colon I\rightarrow \mathbb{R}$ を定義すると、
$$
G^{(k)}(x)=\frac{n!}{(n-k)!}(x-a)^{n-k}\quad(\forall x\in I,k=0,1,\ldots,n)
$$
であるから、任意の $k\in \{0,1,\ldots,n-1\}$ に対し、
$$
G^{(k)}(a)=0,\quad G^{(k)}(x)\neq0\quad(x\neq a)
$$
であり、$G^{(n)}(x)=n!\text{ }(\forall x\in I)$ である。よって任意の $b\in I\backslash \{a\}$ に対し平均値の定理（'''定理3.1'''）より $a,b$ の間の $c_1,\ldots,c_n$ が存在し、
$$
\frac{F(b)}{G(b)}=\frac{F^{(1)}(c_1)}{G^{(1)}(c_1)}=\frac{F^{(2)}(c_2)}{G^{(2)}(c_2)}=\ldots=\frac{F^{(n)}(c_n)}{G^{(n)}(c_n)}=\frac{f^{(n)}(c_n)}{n!}
$$
が成り立つ。ゆえに、
$$
F(b)=\frac{f^{(n)}(c_n)}{n!}(b-a)^n
$$
であるから求める結果を得た。
{{end|proof|}}

=== 定義4.3（関数の凸性） ===
$I\subset \mathbb{R}$ を区間とする。関数 $f\colon I\rightarrow \mathbb{R}$ が下に凸であるとは、
$$
f((1-t)a+tb)\leq (1-t)f(a)+tf(b)\quad(\forall a,b\in I,\forall t\in [0,1])
$$
が成り立つことを言う。また $f\colon I\rightarrow\mathbb{R}$ が上に凸であるとは、
$$
(1-t)f(a)+tf(b)\leq f((1-t)a+tb)\quad(\forall a,b\in I,\forall t\in [0,1])
$$
が成り立つことを言う。

=== 命題4.4（$2$ 階導関数と関数の凸性） ===
$I\subset \mathbb{R}$ を区間とし、$f\colon I\rightarrow\mathbb{R}$ が $2$ 階まで導関数を持つとする。もし $f^{' '}(x)\geq0$ $(\forall x\in I)$ が成り立つならば $f$ は下に凸である。
{{begin |proof }}
任意の $a,b\in I$ と $t\in [0,1]$ を取り、$x=(1-t)a+tb\in I$ とおく。$f' '\geq0$ であることとTaylorの定理より、
$$
f(a)\geq f(x)+f'(x)(a-x),\quad f(b)\geq f(x)+f'(x)(b-x)
$$
であるから、
$$
tf(a)+(1-t)f(b)\geq f(x)+f'(x)(ta+(1-t)b-x)=f(x)
$$
である。よって $f$ は下に凸である。
{{end|proof|}}

== 5. $C^2$ 級関数の偏微分の可換性 ==

=== 命題5.1（ $C^2$ 級関数の偏微分の可換性） ===
$\mathbb{R}^n$ の開集合 $\Omega$ 上で定義された関数 $f\colon\Omega\rightarrow \mathbb{R}^m$ が $C^2$ 級であるとする。このとき任意の $i,j\in \{1,\ldots,n\}$ に対し、
$$
\partial_i\partial_jf(x)=\partial_j\partial_if(x)\quad(\forall x\in \Omega)
$$
が成り立つ。
{{begin |proof }}
$n=2, m=1$ として示せば十分である。任意の $(x,y)\in\Omega$ を取り、
$$
(x-\delta,x+\delta)\times (y-\delta,y+\delta)\subset \Omega
$$
なる $\delta\in (0,\infty)$ を取る。$h,k\in (-\delta,\delta)\backslash \{0\}$に対し、
$$
F(h,k):=(f(x+h,y+k)-f(x,y+k))-(f(x+h,y)-f(x,y))
$$
とおく。平均値の定理（'''系3.2'''）より $\theta_1,\theta_2\in (0,1)$ が存在し、
$$
F(h,k)=k(\partial_2 f(x+h,y+\theta_2k)-\partial_2f(x,y+\theta_2k))
=hk\partial_1\partial_2f(x+\theta_1h,y+\theta_2k)
$$
となる。また、
$$
F(h,k)=(f(x+h,y+k)-f(x+h,y))-(f(x,y+k)-f(x,y))
$$
であるから、平均値の定理より $\omega_1,\omega_2\in (0,1)$ が存在し、
$$
F(h,k)=h(\partial_1f(x+\omega_1h,y+k)-\partial_1f(x+\omega_1h,y))
=hk\partial_2\partial_1f(x+\omega_1h,y+\omega_2k)
$$
となる。よって、
$$
\partial_1\partial_2f(x+\theta_1h,y+\theta_2k)=\frac{F(h,k)}{hk}=\partial_2\partial_1f(x+\omega_1h,y+\omega_2k)\quad\quad(*)
$$
である。 $\partial_1\partial_2f$、$\partial_2\partial_1f$ は連続であるから、任意の $\epsilon\in (0,\infty)$ に対し $\delta$ を十分小さくとっておけば、
$$
\lvert \partial_1\partial_2f(x+\theta_1h,y+\theta_2k)-\partial_1\partial_2f(x,y)\rvert<\frac{\epsilon}{2},
$$
$$
\lvert \partial_2\partial_1f(x+\omega_1h,y+\omega_2k)-\partial_2\partial_1f(x,y)\rvert<\frac{\epsilon}{2}
$$
となるので、 $(*)$ と合わせれば、
$$
\lvert \partial_1\partial_2f(x,y)-\partial_2\partial_1f(x,y)\rvert<\epsilon
$$
となる。よって $\epsilon$ の任意性より $\partial_1\partial_2f(x,y)=\partial_2\partial_1f(x,y)$ が成り立つ。
{{end|proof|}}

=== 系5.2 ===
$\mathbb{R}^n$ の開集合 $\Omega$ 上で定義された関数 $f\colon\Omega\rightarrow \mathbb{R}^m$ が $C^k$ 級であるとする。このとき $f$ の $k$ 階までの偏導関数は偏微分の順序によらない。
{{begin |proof }}
'''命題5.1'''と帰納法による。
{{end|proof}}

== 6. $C^1$ 級関数の微分可能性 ==

=== 命題6.1（$C^1$ 級関数の微分可能性） ===
$\Omega\subset \mathbb{R}^n$ を開集合、$f\colon\Omega\rightarrow \mathbb{R}^m$ を $C^1$ 級とする。このとき $f$ は $\Omega$ の各点で微分可能である。
{{begin |proof}}
$m=1$ として示せば十分である。任意の $x\in \Omega$ と $\{y\in\mathbb{R}^n\colon\lvert y-x\rvert<\delta\}\subset \Omega$ なる $\delta\in (0,\infty)$ を取り、
$0<\lvert h\rvert<\delta$ なる $h\in\mathbb{R}^n$を取る。平均値の定理（'''系3.2'''）より $\theta_1,\ldots,\theta_n\in (0,1)$ が存在し、
$$
h^{(k)}=(h_1,\ldots,h_{k-1}, \theta_kh_k,0,\ldots,0)\quad(k=1,\ldots,n)
$$
に対し、
$$
f(x+h)-f(x)=\sum_{k=1}^{n}h_k\partial_kf(x+h^{(k)})
$$
となる。よって、
$$
v\colon=(\partial_1f(x),\ldots,\partial_nf(x)),\quad
v(h)\colon=(\partial_1f(x+h^{(1)}),\ldots,\partial_nf(x+h^{(n)}))
$$
とおくと、
$$
\frac{\lvert f(x+h)-f(x)-v\cdot h\rvert}{\lvert h\rvert}=\frac{\lvert(v(h)-v)\cdot h\rvert}{\lvert h\rvert}\leq \lvert v(h)-v\rvert
$$
であり、$f$ は $C^1$ 級であるから右辺は $h\rightarrow0$ で $0$ に収束する。ゆえに $f$ は $x$ において微分可能である。
{{end|proof|}}

== 7. 逆関数定理 ==

=== 定理7.1（逆関数定理） ===
$\Omega\subset \mathbb{R}^n$ を開集合、$f\colon\Omega\rightarrow\mathbb{R}^n$ を $C^k$ 級（$k\geq1$）とし、ある $a\in\Omega$ に対し ${\rm det}(f'(a))\neq0$ が成り立つとする。このとき $a$ の開近傍 $V\subset \Omega$ と $f(a)$ の開近傍 $W\subset \mathbb{R}^n$ が存在し、
$$
V\ni x\mapsto f(x)\in W
$$
は全単射であり、この逆写像 $g\colon W\rightarrow V$ は $C^k$ 級である。そして、
$$
g'(y)=f'(g(y))^{-1}\quad(\forall y\in W)
$$
が成り立つ。
{{begin |proof }}
$f$ の代わりに $f'(a)^{-1}f\colon\Omega\ni x\mapsto f'(a)^{-1}f(x)\in \mathbb{R}^n$ を考えることで最初から $f'(a)=1$ として示せば十分である。$a$ を中心とする十分小さい閉直方体（有界閉区間の直積） $K$ を考えれば、
$$
\frac{\lvert f(x)-f(a)-(x-a)\rvert}{\lvert x-a\rvert}<1\quad(\forall x\in K\backslash\{a\})
$$
となるから、
$$
f(x)\neq f(a)\quad(\forall x\in K\backslash \{a\})\quad\quad(*)
$$
が成り立つ。さらに $f$ が $C^1$ 級であることから $K$ を十分小さく取っておけば、
$$
{\rm det}(f'(x))\neq0\quad(\forall x\in K),\quad\quad(**)
$$
$$
\lvert \partial_jf_i(x)-\delta_{i,j}\rvert\leq\frac{1}{2n^2}\quad(\forall x\in K, \forall i,j\in \{1,\ldots,n\})\quad\quad(***)
$$
が成り立つ。$F\colon\Omega\ni x\mapsto f(x)-x\in \mathbb{R}^n$ を考えると $(***)$ より、
$$
\lvert \partial_jF_i(x)\rvert\leq\frac{1}{2n^2}\quad(\forall x\in K, \forall i,j\in \{1,\ldots,n\})
$$
であるから、平均値の定理より、
$$
\lvert F(x')-F(x)\rvert\leq \sum_{i=1}^{n}\lvert F_i(x')-F_i(x)\rvert\leq \frac{1}{2}\lvert x'-x\rvert\quad(\forall x,x'\in K)
$$
となる。よって、
$$
\frac{1}{2}\lvert x'-x\rvert\leq \lvert f(x')-f(x)\rvert\quad(\forall x,x'\in K)\quad\quad(****)
$$
が成り立つ。$(*)$ より $f(a)\notin f(\partial K)$ であり、$f(\partial K)$ はコンパクトであるから $\delta\in (0,\infty)$ が存在し、
$$
B(f(a),\delta)\cap f(\partial K)=\emptyset\quad\quad(*****)
$$
となる。
$$
W:=\left(f(a),\text{ }\frac{\delta}{2}\right)
$$
とおく。今、任意の $y\in W$ を取り、$y=f(x_0)$ なる $x_0\in K^{\circ}$ が存在することを示す。そこで、
$$
h(x):=\lvert f(x)-y\rvert^2\quad(\forall x\in K)
$$
とおき、$h:K\rightarrow \mathbb{R}$ が最小値を取る点を $x_0\in K$ とおく。このとき $x_0\in K^{\circ}$ である。実際、$x_0\in \partial K$ であるとすると $(*****)$ より、
$$
\lvert f(x_0)-y\rvert\geq \lvert f(x_0)-f(a)\rvert-\lvert f(a)-y\rvert>\frac{\delta}{2}>\lvert f(a)-y\rvert
$$
であるから $h(x_0)$ が $h$ の最小値であることに矛盾する。よって $x_0\in K^{\circ}$ である。$h(x_0)$ は最小値なので $h$ の $x_0\in K^{\circ}$ における微分を考えれば、
$$
0=h'(x_0)=2(f(x_0)-y)f'(x_0)
$$
となり、$(**)$ より ${\rm det}(f'(x_0))\neq0$ であるので $y=f(x_0)$ である。
これより $V:=f^{-1}(W)\cap K^{\circ}$ とおけば、
$$
V\ni x\mapsto f(x)\in W\quad\quad(******)
$$
は全射であり、$(****)$より $(******)$ は単射でもある。$(******)$ の逆写像を $g:W\rightarrow V$ とおけば $(****)$ より、
$$
\lvert g(y')-g(y)\rvert\leq 2\lvert y'-y\rvert\quad(\forall y,y'\in W)\quad\quad(*******)
$$
であるから $g$ は連続である。任意の $y_0\in W$、$y\in W$ $(y\neq y_0)$ を取り、$x_0=g(y_0)$、$x=g(y)$ とおけば、$(*******)$ より、
$$
\begin{aligned}
\frac{\lvert g(y)-g(y_0)-f'(x_0)^{-1}(y-y_0)\rvert}{\lvert y-y_0\rvert}
&\leq \frac{\lvert x-x_0 \rvert}{\lvert f(x)-f(x_0)\rvert}
\frac{\lvert f'(x_0)^{-1}(f(x)-f(x_0)-f'(x_0)(x-x_0))\rvert}{\lvert x-x_0\rvert}\\
&\leq 2\lVert f'(x_0)^{-1}\rVert \frac{\lvert f(x)-f(x_0)-f'(x_0)(x-x_0)\rvert}{\lvert x-x_0\rvert}
\rightarrow0\quad(y\rightarrow y_0)
\end{aligned}
$$
であるから、$g$ は各点で微分可能であり、
$$
g'(y)=f'(g(y))^{-1}\quad(\forall y\in W)
$$
が成り立つ。$f'(g(y))$ の余因子行列 ${\rm Cof}(f'(g(y)))$ に対し、
$$
g'(y)=\frac{1}{{\rm det}(f'(g(y)))}{\rm Cof}(f'(g(y)))\quad(\forall y\in W)
$$
であるから $f$ が $C^k$ 級であることと $k$ に関する帰納法より $g$ は $C^k$ 級であることが分かる。
{{end|proof}}

=== 定義7.2（$C^k$ 級同相写像） ===
$U,V\subset \mathbb{R}^n$ を開集合とする。全単射 $f\colon U\rightarrow V$ が $C^k$ 級同相写像であるとは、$f$ と $f^{-1}:V\rightarrow U$ が共に $C^k$ 級であることを言う。

=== 系7.3（逆関数定理の系） ===
$\Omega\subset \mathbb{R}^n$を開集合、$f\colon\Omega\rightarrow \mathbb{R}^n$ を $C^k$ 級写像とする。もし $f$ が単射で任意の $x\in \Omega$ に対し ${\rm det}(f'(x))\neq0$ が成り立つならば $f(\Omega)$ は $\mathbb{R}^n$ の開集合であり、$\Omega \ni x\mapsto f(x)\in f(\Omega)$ は $C^k$ 級同相写像である。
{{begin |proof}}
任意の $a\in \Omega$ に対し逆関数定理（'''定理7.1'''）より $a$ の開近傍 $U_a\subset \Omega$ が存在し $f(U_a)$ は $\mathbb{R}^n$ の開集合で $U_a\ni x\mapsto f(x)\in f(U_a)$ は $C^k$ 級同相写像である。
$$
f(\Omega)=\bigcup_{a\in \Omega}f(U_a)
$$
であるから $f(\Omega)$ は $\mathbb{R}^n$ の開集合である。$\Omega\ni x\mapsto f(x)\in f(\Omega)$ の逆写像を $g:f(\Omega)\rightarrow \Omega$ とおくと、任意の $a\in \Omega$ に対し $g$ の $f(U_a)$ 上への制限 $f(U_a)\ni f(x)\mapsto x\in U_a$ は $C^k$ 級であるから $g$ は $C^k$ 級である。
{{end|proof|}}

== 関連項目 ==
* [[ベクトル解析]]
* [[複素解析の初歩]]

== 脚注 ==

Euclid空間における微積分1

2026-02-10T04:42:02Z

Kataoka: /* 命題2.1（チェインルール） */

<noinclude>
{{TOC |align=right |noautonum=1 }}
</noinclude>
本稿においては、Euclid空間における微積分の初歩的なことについて述べる。

== 1. 微分、偏微分、$C^k$ 級の定義 ==

=== 定義1.1（微分） ===
Euclid空間 $\mathbb{R}^n$ の開集合 $\Omega$ 上で定義され、$\mathbb{R}^m$ に値を取る関数 $f\colon\Omega\rightarrow \mathbb{R}^m$ が、$a\in \Omega$ において微分可能であるとは、ある $A\in \mathbb{M}_{m\times n}(\mathbb{R})$が存在し、
$$
\Omega\ni x\mapsto \left\{\begin{array}{cl}\frac{f(x)-f(a)-A(x-a)}{\lvert x-a\rvert}&(x\neq a)\\0&(x=a)\end{array}\right\}\in \mathbb{R}^m\text{ が }a\text{ において連続。}\quad\quad(*)
$$
が成り立つことを言う。$f$ が $a$ において微分可能であるとき $(*)$ を満たす $A\in \mathbb{M}_{m\times n}(\mathbb{R}) $は一意的に定まる（次の'''命題1.2'''）。そこでこの $A$ を $f'(a)\in \mathbb{M}_{m\times n}(\mathbb{R})$ と表し、$f$ の $a$ における微分と言う。$n=1$ の場合、$\Omega\subset \mathbb{R}$ は往々にして区間であるが、半開区間や閉区間であることもある。その場合、端点における微分（片側微分）を同様に定義する。

=== 命題1.2 ===
'''定義1.1'''の $(*)$ を満たす $A\in \mathbb{M}_{m\times n}(\mathbb{R})$ は一意的に定まる。
{{begin |proof }}
$A,A'\in \mathbb{M}_{m\times n}(\mathbb{R})$ が共に'''定義1.1'''の $(*)$ を満たすとすると、任意の $\epsilon\in (0,\infty)$ に対し $\delta\in (0,\infty)$ が存在し、
$$
\frac{\lvert f(a+h)-f(a)-Ah\rvert}{\lvert h\rvert}<\frac{\epsilon}{2}\quad(\forall h\in \mathbb{R}^n:0<\lvert h\rvert<\delta),
$$
$$
\frac{\lvert f(a+h)-f(a)-Ah\rvert}{\lvert h\rvert}<\frac{\epsilon}{2}\quad(\forall h\in \mathbb{R}^n:0<\lvert h\rvert<\delta)
$$
が成り立つ。よって三角不等式より、
$$
\frac{\lvert (A-A')h\rvert}{\lvert h\rvert}<\epsilon\quad(\forall h\in \mathbb{R}^n:0<\lvert h\rvert<\delta)
$$
であるので、$(e_1,\ldots,e_n)$ を $\mathbb{R}^n$ の標準基底とすると、
$$
\lvert (A-A')e_j\rvert<\epsilon\quad(j=1,\ldots,n)
$$
が成り立つ。これが任意の $\epsilon\in (0,\infty)$ に対して成り立つので、
$$
\lvert (A-A')e_j\rvert=0\quad(j=1,\ldots,n)
$$
である。よって $A=A'$ である。
{{end|proof|}}

=== 命題1.3（微分の横ベクトル表記） ===
$\Omega\subset \mathbb{R}^n$ を開集合、$f\colon\Omega\rightarrow \mathbb{R}^m$ を、
$$
f(x)=(f_1(x),\ldots,f_m(x))\quad(\forall x\in \Omega)
$$
と表す。$a\in \Omega$ とする。このとき次は互いに同値である。
*$(1)$　$f$ は $a$ において微分可能である。
*$(2)$　$f_1,\ldots,f_m\colon\Omega\rightarrow \mathbb{R}$ は $a$ において微分可能である。
そして $(1),(2)$ が成り立つとき、$f$ の $a$ における微分 $f'(a)\in\mathbb{M}_{m\times n}(\mathbb{R})$ は、$f_1,\ldots,f_m$ の $a$ における微分 $f_1'(a),\ldots,f_m'(a)\in \mathbb{R}^n$ に対し、横ベクトル表記で、
$$
f'(a)=\begin{pmatrix}f_1'(a)\\\vdots\\f_m'(a)\end{pmatrix}
$$
と表される。
{{begin |proof }}
$(1)\Rightarrow(2)$ を示す。$(1)$ が成り立つとし、$f'(a)\in \mathbb{M}_{m\times n}(\mathbb{R})$ の横ベクトル表記を考え、
$$
f'(a)=\begin{pmatrix}v_1\\\vdots\\v_m\end{pmatrix}
$$
なる $v_1,\ldots,v_m\in \mathbb{R}^n$ を取る。$x\in \Omega\backslash\{a\}$ に対し、
$$
\frac{f(x)-f(a)-f'(a)(x-a)}{\lvert x-a\rvert}=\left(\frac{f_j(x)-f_j(a)-v_j(x-a)}{\lvert x-a\rvert}\right)_{j=1,\ldots,m}
$$
であるから、任意の $j\in \{1,\ldots,m\}$ に対し、
$$
\frac{\lvert f_j(x)-f_j(a)-v_j(x-a)\rvert}{\lvert x-a\rvert}\leq \frac{\lvert f(x)-f(a)-f'(a)(x-a)\rvert}{\lvert x-a\rvert}\rightarrow0\quad(x\rightarrow a)
$$
である。これより $f_j\colon\Omega\rightarrow\mathbb{R}$ は $a$ において微分可能であり、その微分は $f_j'(a)=v_j$ である。 
$(2)\Rightarrow(1)$ を示す。$(2)$ が成り立つとし、横ベクトル表記で、
$$
A:=\begin{pmatrix}f_1'(a)\\\vdots\\f_m'(a)\end{pmatrix}\in \mathbb{M}_{m\times n}(\mathbb{R})
$$
とおく。このとき $x\in \Omega\backslash \{a\}$ に対し、
$$
\frac{f(x)-f(a)-A(x-a)}{\lvert x-a\rvert}=\left(\frac{f_j(x)-f_j(a)-f_j'(a)(x-a)}{\lvert x-a\rvert}\right)_{j=1,\ldots,m}
$$
であるから、三角不等式より、
$$
\frac{\lvert f(x)-f(a)-A(x-a)\rvert}{\lvert x-a\rvert}\leq \sum_{j=1}^{m}\frac{\lvert f_j(x)-f_j(a)-f_j'(a)(x-a)\rvert}{\lvert x-a\rvert}\rightarrow0\quad(x\rightarrow a)
$$
である。よって $f\colon\Omega\rightarrow\mathbb{R}^m$ は $a$ において微分可能であり、$f'(a)=A$ である。
{{end|proof|}}

=== 命題1.4（微分可能な点における連続性） ===
$\mathbb{R}^n$ の開集合 $\Omega$ 上で定義された関数 $f\colon\Omega\rightarrow\mathbb{R}^m$ が $a\in \Omega$ において微分可能ならば、$f$ は $a$ において連続である。
{{begin |proof}}
微分可能性より十分小さい $\delta\in (0,\infty)$ を取れば、
$$
\lvert f(x)-f(a)-f'(a)(x-a)\rvert\leq \lvert x-a\rvert\quad(\forall x\in \mathbb{R}^N:\lvert 0<x-a\rvert<\delta)
$$
となるから、
$$
\lvert f(x)-f(a)\rvert\leq (\lVert f'(a)\rVert+1)\lvert x-a\rvert\quad(\forall x\in\mathbb{R}^N:\lvert x-a\rvert<\delta)
$$
である。よって $f$ は $a$ において連続である。
{{end|proof|}}

=== 定義1.5（偏微分、偏導関数、$C^k$ 級） ===
$\mathbb{R}^n$ の開集合 $\Omega$ 上で定義された関数 $f\colon\Omega\rightarrow\mathbb{R}^m$ が $a\in \Omega$ において第 $j$ 座標に関して偏微分可能であるとは、
$$
x_j\mapsto f(a_1,\ldots,a_{j-1},x_j,a_{j+1},\ldots,a_N)\in \mathbb{R}^m
$$
が $a_j$ において微分可能であることを言う。そしてこのときその微分を、
$$
\partial_jf(a),\quad \frac{\partial f}{\partial x_j}(a)\in \mathbb{R}^m
$$
などと表し、$f$ の $a$ における第 $j$ 座標に関する偏微分と呼ぶ。各 $x\in\Omega$ に対し $\partial_jf(x)\in \mathbb{R}^m$ が存在するとき、関数 $\partial_jf\colon\Omega\ni x\mapsto \partial_jf(x)\in \mathbb{R}^m$ を $f$ の第 $j$ 座標に関する偏導関数と言う。偏導関数の偏導関数が存在する限り、
$$
\partial_{j_n}\partial_{j_{n-1}}\ldots\partial_{j_1}f\colon=\partial_{j_n}(\partial_{j_{n-1}}\cdots\partial_{j_1}f)
$$
と定義する。$\partial_{j_n}\partial_{j_{n-1}}\ldots \partial_{j_1}f:\Omega\rightarrow\mathbb{R}^m$ を $f$ の $n$ 階偏導関数と言う。便宜上、$f$ 自体を $f$ の $0$ 階偏導関数と言う。 $k\in \mathbb{N}$ に対し $f\colon\Omega\rightarrow \mathbb{R}^m$ が $k$ 階までの偏導関数を持ち、それらが全て連続であるとき $f$ は $C^k $級であると言う。任意の $k\in \mathbb{N}$ に対し $f$ が $C^k$ 級であるとき $f$ は $C^\infty$ 級であると言う。

=== 命題1.6 ===
$\mathbb{R}^n$ の開集合 $\Omega$ 上で定義された関数 $f\colon\Omega\rightarrow \mathbb{R}^m$ が $a\in \Omega$ において微分可能ならば任意の $j\in \{1,\ldots,n\}$ に対し $f$ は $a$ において第 $j$ 座標に関して偏微分可能であり、
$f'(a)\in \mathbb{M}_{m\times n}(\mathbb{R})$ と $\partial_1f(a),\ldots,\partial_nf(a)\in\mathbb{R}^m$に対し、行列の縦ベクトル表記で、
$$
f'(a)=(\partial_1f(a),\ldots,\partial_nf(a))
$$
が成り立つ。
{{begin |proof }}
$(e_1,\ldots,e_n)$ を $\mathbb{R}^n$ の標準基底とする。任意の $j\in \{1,\ldots,n\}$ を取る。$f$ が $a$ において微分可能であることから任意の $\epsilon\in (0,\infty)$ に対し $\delta\in (0,\infty)$ が存在し、
$$
\frac{\lvert f(a+h)-f(a)-f'(a)h\rvert}{\lvert h\rvert}<\epsilon\quad(\forall h\in \mathbb{R}^n:0<\lvert h\rvert<\delta)
$$
となる。よって任意の $j\in \{1,\ldots,n\}$ に対し、
$$
\left\lvert\frac{f(a+he_j)-f(a)-hf'(a)e_j}{h}\right\rvert=\frac{\lvert f(a+he_j)-f(a)-hf'(a)e_j\rvert}{\lvert he_j\rvert}<\epsilon\quad(\forall h\in \mathbb{R}:0<\lvert h\rvert<\delta)
$$
となるので、$f$ は $a$ において第 $j$ 座標に関して偏微分可能であり、$\partial_jf(a)=f'(a)e_j$ である。ゆえに、
$$
f'(a)=(f'(a)e_1,\ldots,f'(a)e_n)=(\partial_1f(a),\ldots,\partial_nf(a))
$$
である。
{{end|proof|}}

== 2. チェインルール ==

=== 命題2.1（チェインルール） ===
$U\subset \mathbb{R}^n$, $V\subset \mathbb{R}^m$ を開集合とし、$f\colon U\rightarrow V$, $g\colon V\rightarrow \mathbb{R}^{\ell}$ がそれぞれ $a\in U$ と$f(a)\in V$ において微分可能であるとする。このとき合成関数 $g\circ f\colon U\rightarrow\mathbb{R}^{\ell}$は $a$ において微分可能であり、
$$
(g\circ f)'(a)=g'(f(a))f'(a)
$$
が成り立つ。
{{begin |proof }}
$b\colon=f(a)\in V$ とおく。
$$
F(x)\colon=\frac{f(x)-f(a)-f'(a)(x-a)}{\lvert x-a\rvert}\quad(x\neq a),\quad F(a)=0,
$$
$$
G(y)\colon=\frac{g(y)-g(b)-g'(b)(y-b)}{\lvert y-b\rvert}\quad(y\neq b),\quad G(b)=0
$$
として関数 $F\colon U\rightarrow \mathbb{R}^m$、$G\colon V\rightarrow\mathbb{R}^{\ell}$ を定義すると、$f, F$ は $a$ において連続であり、$G$ は $b$ において連続である。よって、
$$
\begin{aligned}
&\frac{\lvert g(f(x))-g(f(a))-g'(b)f'(a)(x-a)\rvert}{\lvert x-a\rvert}\\
&\leq\frac{\lvert g(f(x))-g(f(a))-g'(b)(f(x)-f(a))\rvert}{\lvert x-a\rvert}+\lVert g'(b)\rVert\frac{\lvert f(x)-f(a)-f'(a)(x-a)\rvert}{\lvert x-a\rvert}\\
&\leq \frac{\lvert f(x)-f(a)\rvert}{\lvert x-a\rvert}\lvert G(f(x))\rvert+\lVert g'(b)\rVert \lvert F(x)\rvert\\
&\leq (\lvert F(x)+\lVert f'(a)\rVert)\rvert\lvert G(f(x))\rvert+\lVert g'(b)\rVert \lvert F(x)\rvert
\rightarrow0\quad(x\rightarrow a)
\end{aligned}
$$
<ref>ただし $\lVert f'(a)\rVert$ や $\lVert g'(b)\rVert$ は作用素ノルムである。作用素ノルムについては[[位相線形空間1：ノルムと内積]]を参照。</ref>であるから、$g\circ f\colon U\rightarrow \mathbb{R}^{\ell}$ は $a$ において微分可能であり、$(g\circ f)'(a)=g'(b)f'(a)$ である。
{{end|proof}}

== 3. 平均値の定理 ==

=== 命題3.1（平均値の定理） ===
有界閉区間 $[a,b]\subset \mathbb{R}$ 上で定義された連続関数 $f,g\colon[a,b]\rightarrow \mathbb{R}$ が $(a,b)$ において微分可能であるとする。このときある $c\in (a,b)$ に対し、
$$
f'(c)(g(b)-g(a))=g'(c)(f(b)-f(a))
$$
が成り立つ。
{{begin |proof }}
連続関数 $h\colon [a,b]\rightarrow\mathbb{R}$ を、
$$
h(x)\colon=f(x)(g(b)-g(a))-g(x)(f(b)-f(a))\quad(\forall x\in [a,b])
$$
として定義すると $h$ は $(a,b)$ 上で微分可能であり、
$$
h'(x)=f'(x)(g(b)-g(a))-g'(x)(f(x)-f(x))\quad(\forall x\in (a,b)),\quad h(a)=h(b)
$$
である。$[a,b]$ はコンパクトであり $h$ は連続であるから $h([a,b])$ は最大値と最小値を持つ。$h(a)=h(b)$ であるから $h$ は $(a,b)$ 上で最大値か最小値に達する。そこで $c\in (a,b)$ において最大値に達するとする。$h$ は $c$ において微分可能であるから、任意の $\epsilon\in (0,\infty)$ に対し $\delta\in (0,\infty)$ が存在し、
$$
\left\lvert\frac{h(c\pm \delta)-h(c)}{\pm \delta}-h'(c)\right\rvert<\epsilon
$$
となる。$h(c\pm \delta)-h(c)\leq 0$ であるから、
$$-\epsilon\leq \frac{h(c-\delta)-h(c)}{-\delta}-\epsilon<h'(c)<\frac{h(c+\delta)-h(c)}{\delta}+\epsilon\leq\epsilon
$$
である。よって任意の $\epsilon\in (0,\infty)$ に対し $\lvert h'(c)\rvert<\epsilon$ であるから $h'(c)=0$ である。$h$ が $c\in (a,b)$ において最小値に達するとしても同様に $h'(c)=0$ を得る。よって求める結果を得る。
{{end|proof}}

=== 系3.2（平均値の定理通常版） ===
有界閉区間 $[a,b]\subset \mathbb{R}$ 上で定義された連続関数 $f\colon[a,b]\rightarrow \mathbb{R}$ が $(a,b)$ において微分可能であるとする。このときある $c\in (a,b)$ に対し、
$$
f(b)-f(a)=f'(c)(b-a)
$$
が成り立つ。
{{begin |proof}}
$g(x)=x$ として'''定理3.1'''を適用すればよい。
{{end|proof}}

== 4. Taylorの定理、$2$ 階階導関数と凸性 ==

=== 定義4.1（$1$ 変数関数の $n$ 階導関数） ===
$I\subset \mathbb{R}$ を区間とする。$f\colon I\rightarrow \mathbb{R}$ の $n$ 階導関数を $f^{(n)}$ と表す。$f^{(1)}=f'$、$f^{(0)}=f$である。

=== 定理4.2（Taylorの定理） ===
$I\subset \mathbb{R}$ を区間とし、$f\colon I\rightarrow \mathbb{R}$ が $n$ 階までの導関数を持つとする（$n\in \mathbb{N}$）。このとき任意の $a, b\in I$ に対し $a$ と $b$ の間の $c$ が存在し、
$$
f(b)=\sum_{k=0}^{n-1}\frac{f^{(k)}(a)}{k!}(b-a)^k+\frac{f^{(n)}(c)}{n!}(b-a)^n
$$
が成り立つ。
{{begin |proof }}
$a\in I$ を固定する。
$$
F(x)\colon=f(x)-\sum_{k=0}^{n-1}\frac{f^{(k)}(a)}{k!}(x-a)^k\quad(\forall x\in I)
$$
とおくと、$F$ は $n$ 階までの導関数を持ち、
$$
F^{(k)}(a)=0\quad(k=1,\ldots,n-1),\quad F^{(n)}(x)=f^{(n)}(x)\quad(\forall x\in I)
$$
である。$G(x)\colon=(x-a)^n$ として $G\colon I\rightarrow \mathbb{R}$ を定義すると、
$$
G^{(k)}(x)=\frac{n!}{(n-k)!}(x-a)^{n-k}\quad(\forall x\in I,k=0,1,\ldots,n)
$$
であるから、任意の $k\in \{0,1,\ldots,n-1\}$ に対し、
$$
G^{(k)}(a)=0,\quad G^{(k)}(x)\neq0\quad(x\neq a)
$$
であり、$G^{(n)}(x)=n!\text{ }(\forall x\in I)$ である。よって任意の $b\in I\backslash \{a\}$ に対し平均値の定理（'''定理3.1'''）より $a,b$ の間の $c_1,\ldots,c_n$ が存在し、
$$
\frac{F(b)}{G(b)}=\frac{F^{(1)}(c_1)}{G^{(1)}(c_1)}=\frac{F^{(2)}(c_2)}{G^{(2)}(c_2)}=\ldots=\frac{F^{(n)}(c_n)}{G^{(n)}(c_n)}=\frac{f^{(n)}(c_n)}{n!}
$$
が成り立つ。ゆえに、
$$
F(b)=\frac{f^{(n)}(c_n)}{n!}(b-a)^n
$$
であるから求める結果を得た。
{{end|proof|}}

=== 定義4.3（関数の凸性） ===
$I\subset \mathbb{R}$ を区間とする。関数 $f\colon I\rightarrow \mathbb{R}$ が下に凸であるとは、
$$
f((1-t)a+tb)\leq (1-t)f(a)+tf(b)\quad(\forall a,b\in I,\forall t\in [0,1])
$$
が成り立つことを言う。また $f\colon I\rightarrow\mathbb{R}$ が上に凸であるとは、
$$
(1-t)f(a)+tf(b)\leq f((1-t)a+tb)\quad(\forall a,b\in I,\forall t\in [0,1])
$$
が成り立つことを言う。

=== 命題4.4（$2$ 階導関数と関数の凸性） ===
$I\subset \mathbb{R}$ を区間とし、$f\colon I\rightarrow\mathbb{R}$ が $2$ 階まで導関数を持つとする。もし $f^{' '}(x)\geq0$ $(\forall x\in I)$ が成り立つならば $f$ は下に凸である。
{{begin |proof }}
任意の $a,b\in I$ と $t\in [0,1]$ を取り、$x=(1-t)a+tb\in I$ とおく。$f' '\geq0$ であることとTaylorの定理より、
$$
f(a)\geq f(x)+f'(x)(a-x),\quad f(b)\geq f(x)+f'(x)(b-x)
$$
であるから、
$$
tf(a)+(1-t)f(b)\geq f(x)+f'(x)(ta+(1-t)b-x)=f(x)
$$
である。よって $f$ は下に凸である。
{{end|proof|}}

== 5. $C^2$ 級関数の偏微分の可換性 ==

=== 命題5.1（ $C^2$ 級関数の偏微分の可換性） ===
$\mathbb{R}^n$ の開集合 $\Omega$ 上で定義された関数 $f\colon\Omega\rightarrow \mathbb{R}^m$ が $C^2$ 級であるとする。このとき任意の $i,j\in \{1,\ldots,n\}$ に対し、
$$
\partial_i\partial_jf(x)=\partial_j\partial_if(x)\quad(\forall x\in \Omega)
$$
が成り立つ。
{{begin |proof }}
$n=2, m=1$ として示せば十分である。任意の $(x,y)\in\Omega$ を取り、
$$
(x-\delta,x+\delta)\times (y-\delta,y+\delta)\subset \Omega
$$
なる $\delta\in (0,\infty)$ を取る。$h,k\in (-\delta,\delta)\backslash \{0\}$に対し、
$$
F(h,k):=(f(x+h,y+k)-f(x,y+k))-(f(x+h,y)-f(x,y))
$$
とおく。平均値の定理（'''系3.2'''）より $\theta_1,\theta_2\in (0,1)$ が存在し、
$$
F(h,k)=k(\partial_2 f(x+h,y+\theta_2k)-\partial_2f(x,y+\theta_2k))
=hk\partial_1\partial_2f(x+\theta_1h,y+\theta_2k)
$$
となる。また、
$$
F(h,k)=(f(x+h,y+k)-f(x+h,y))-(f(x,y+k)-f(x,y))
$$
であるから、平均値の定理より $\omega_1,\omega_2\in (0,1)$ が存在し、
$$
F(h,k)=h(\partial_1f(x+\omega_1h,y+k)-\partial_1f(x+\omega_1h,y))
=hk\partial_2\partial_1f(x+\omega_1h,y+\omega_2k)
$$
となる。よって、
$$
\partial_1\partial_2f(x+\theta_1h,y+\theta_2k)=\frac{F(h,k)}{hk}=\partial_2\partial_1f(x+\omega_1h,y+\omega_2k)\quad\quad(*)
$$
である。 $\partial_1\partial_2f$、$\partial_2\partial_1f$ は連続であるから、任意の $\epsilon\in (0,\infty)$ に対し $\delta$ を十分小さくとっておけば、
$$
\lvert \partial_1\partial_2f(x+\theta_1h,y+\theta_2k)-\partial_1\partial_2f(x,y)\rvert<\frac{\epsilon}{2},
$$
$$
\lvert \partial_2\partial_1f(x+\omega_1h,y+\omega_2k)-\partial_2\partial_1f(x,y)\rvert<\frac{\epsilon}{2}
$$
となるので、 $(*)$ と合わせれば、
$$
\lvert \partial_1\partial_2f(x,y)-\partial_2\partial_1f(x,y)\rvert<\epsilon
$$
となる。よって $\epsilon$ の任意性より $\partial_1\partial_2f(x,y)=\partial_2\partial_1f(x,y)$ が成り立つ。
{{end|proof|}}

=== 系5.2 ===
$\mathbb{R}^n$ の開集合 $\Omega$ 上で定義された関数 $f\colon\Omega\rightarrow \mathbb{R}^m$ が $C^k$ 級であるとする。このとき $f$ の $k$ 階までの偏導関数は偏微分の順序によらない。
{{begin |proof }}
'''命題5.1'''と帰納法による。
{{end|proof}}

== 6. $C^1$ 級関数の微分可能性 ==

=== 命題6.1（$C^1$ 級関数の微分可能性） ===
$\Omega\subset \mathbb{R}^n$ を開集合、$f\colon\Omega\rightarrow \mathbb{R}^m$ を $C^1$ 級とする。このとき $f$ は $\Omega$ の各点で微分可能である。
{{begin |proof}}
$m=1$ として示せば十分である。任意の $x\in \Omega$ と $\{y\in\mathbb{R}^n\colon\lvert y-x\rvert<\delta\}\subset \Omega$ なる $\delta\in (0,\infty)$ を取り、
$0<\lvert h\rvert<\delta$ なる $h\in\mathbb{R}^n$を取る。平均値の定理（'''系3.2'''）より $\theta_1,\ldots,\theta_n\in (0,1)$ が存在し、
$$
h^{(k)}=(h_1,\ldots,h_{k-1}, \theta_kh_k,0,\ldots,0)\quad(k=1,\ldots,n)
$$
に対し、
$$
f(x+h)-f(x)=\sum_{k=1}^{n}h_k\partial_kf(x+h^{(k)})
$$
となる。よって、
$$
v\colon=(\partial_1f(x),\ldots,\partial_nf(x)),\quad
v(h)\colon=(\partial_1f(x+h^{(1)}),\ldots,\partial_nf(x+h^{(n)}))
$$
とおくと、
$$
\frac{\lvert f(x+h)-f(x)-v\cdot h\rvert}{\lvert h\rvert}=\frac{\lvert(v(h)-v)\cdot h\rvert}{\lvert h\rvert}\leq \lvert v(h)-v\rvert
$$
であり、$f$ は $C^1$ 級であるから右辺は $h\rightarrow0$ で $0$ に収束する。ゆえに $f$ は $x$ において微分可能である。
{{end|proof|}}

== 7. 逆関数定理 ==

=== 定理7.1（逆関数定理） ===
$\Omega\subset \mathbb{R}^n$ を開集合、$f\colon\Omega\rightarrow\mathbb{R}^n$ を $C^k$ 級（$k\geq1$）とし、ある $a\in\Omega$ に対し ${\rm det}(f'(a))\neq0$ が成り立つとする。このとき $a$ の開近傍 $V\subset \Omega$ と $f(a)$ の開近傍 $W\subset \mathbb{R}^n$ が存在し、
$$
V\ni x\mapsto f(x)\in W
$$
は全単射であり、この逆写像 $g\colon W\rightarrow V$ は $C^k$ 級である。そして、
$$
g'(y)=f'(g(y))^{-1}\quad(\forall y\in W)
$$
が成り立つ。
{{begin |proof }}
$f$ の代わりに $f'(a)^{-1}f\colon\Omega\ni x\mapsto f'(a)^{-1}f(x)\in \mathbb{R}^n$ を考えることで最初から $f'(a)=1$ として示せば十分である。$a$ を中心とする十分小さい閉直方体（有界閉区間の直積） $K$ を考えれば、
$$
\frac{\lvert f(x)-f(a)-(x-a)\rvert}{\lvert x-a\rvert}<1\quad(\forall x\in K\backslash\{a\})
$$
となるから、
$$
f(x)\neq f(a)\quad(\forall x\in K\backslash \{a\})\quad\quad(*)
$$
が成り立つ。さらに $f$ が $C^1$ 級であることから $K$ を十分小さく取っておけば、
$$
{\rm det}(f'(x))\neq0\quad(\forall x\in K),\quad\quad(**)
$$
$$
\lvert \partial_jf_i(x)-\delta_{i,j}\rvert\leq\frac{1}{2n^2}\quad(\forall x\in K, \forall i,j\in \{1,\ldots,n\})\quad\quad(***)
$$
が成り立つ。$F\colon\Omega\ni x\mapsto f(x)-x\in \mathbb{R}^n$ を考えると $(***)$ より、
$$
\lvert \partial_jF_i(x)\rvert\leq\frac{1}{2n^2}\quad(\forall x\in K, \forall i,j\in \{1,\ldots,n\})
$$
であるから、平均値の定理より、
$$
\lvert F(x')-F(x)\rvert\leq \sum_{i=1}^{n}\lvert F_i(x')-F_i(x)\rvert\leq \frac{1}{2}\lvert x'-x\rvert\quad(\forall x,x'\in K)
$$
となる。よって、
$$
\frac{1}{2}\lvert x'-x\rvert\leq \lvert f(x')-f(x)\rvert\quad(\forall x,x'\in K)\quad\quad(****)
$$
が成り立つ。$(*)$ より $f(a)\notin f(\partial K)$ であり、$f(\partial K)$ はコンパクトであるから $\delta\in (0,\infty)$ が存在し、
$$
B(f(a),\delta)\cap f(\partial K)=\emptyset\quad\quad(*****)
$$
となる。
$$
W:=\left(f(a),\text{ }\frac{\delta}{2}\right)
$$
とおく。今、任意の $y\in W$ を取り、$y=f(x_0)$ なる $x_0\in K^{\circ}$ が存在することを示す。そこで、
$$
h(x):=\lvert f(x)-y\rvert^2\quad(\forall x\in K)
$$
とおき、$h:K\rightarrow \mathbb{R}$ が最小値を取る点を $x_0\in K$ とおく。このとき $x_0\in K^{\circ}$ である。実際、$x_0\in \partial K$ であるとすると $(*****)$ より、
$$
\lvert f(x_0)-y\rvert\geq \lvert f(x_0)-f(a)\rvert-\lvert f(a)-y\rvert>\frac{\delta}{2}>\lvert f(a)-y\rvert
$$
であるから $h(x_0)$ が $h$ の最小値であることに矛盾する。よって $x_0\in K^{\circ}$ である。$h(x_0)$ は最小値なので $h$ の $x_0\in K^{\circ}$ における微分を考えれば、
$$
0=h'(x_0)=2(f(x_0)-y)f'(x_0)
$$
となり、$(**)$ より ${\rm det}(f'(x_0))\neq0$ であるので $y=f(x_0)$ である。
これより $V:=f^{-1}(W)\cap K^{\circ}$ とおけば、
$$
V\ni x\mapsto f(x)\in W\quad\quad(******)
$$
は全射であり、$(****)$より $(******)$ は単射でもある。$(******)$ の逆写像を $g:W\rightarrow V$ とおけば $(****)$ より、
$$
\lvert g(y')-g(y)\rvert\leq 2\lvert y'-y\rvert\quad(\forall y,y'\in W)\quad\quad(*******)
$$
であるから $g$ は連続である。任意の $y_0\in W$、$y\in W$ $(y\neq y_0)$ を取り、$x_0=g(y_0)$、$x=g(y)$ とおけば、$(*******)$ より、
$$
\begin{aligned}
\frac{\lvert g(y)-g(y_0)-f'(x_0)^{-1}(y-y_0)\rvert}{\lvert y-y_0\rvert}
&\leq \frac{\lvert x-x_0 \rvert}{\lvert f(x)-f(x_0)\rvert}
\frac{\lvert f'(x_0)^{-1}(f(x)-f(x_0)-f'(x_0)(x-x_0))\rvert}{\lvert x-x_0\rvert}\\
&\leq 2\lVert f'(x_0)^{-1}\rVert \frac{\lvert f(x)-f(x_0)-f'(x_0)(x-x_0)\rvert}{\lvert x-x_0\rvert}
\rightarrow0\quad(y\rightarrow y_0)
\end{aligned}
$$
であるから、$g$ は各点で微分可能であり、
$$
g'(y)=f'(g(y))^{-1}\quad(\forall y\in W)
$$
が成り立つ。$f'(g(y))$ の余因子行列 ${\rm Cof}(f'(g(y)))$ に対し、
$$
g'(y)=\frac{1}{{\rm det}(f'(g(y)))}{\rm Cof}(f'(g(y)))\quad(\forall y\in W)
$$
であるから $f$ が $C^k$ 級であることと $k$ に関する帰納法より $g$ は $C^k$ 級であることが分かる。
{{end|proof}}

=== 定義7.2（$C^k$ 級同相写像） ===
$U,V\subset \mathbb{R}^n$ を開集合とする。全単射 $f\colon U\rightarrow V$ が $C^k$ 級同相写像であるとは、$f$ と $f^{-1}:V\rightarrow U$ が共に $C^k$ 級であることを言う。

=== 系7.3（逆関数定理の系） ===
$\Omega\subset \mathbb{R}^n$を開集合、$f\colon\Omega\rightarrow \mathbb{R}^n$ を $C^k$ 級写像とする。もし $f$ が単射で任意の $x\in \Omega$ に対し ${\rm det}(f'(x))\neq0$ が成り立つならば $f(\Omega)$ は $\mathbb{R}^n$ の開集合であり、$\Omega \ni x\mapsto f(x)\in f(\Omega)$ は $C^k$ 級同相写像である。
{{begin |proof}}
任意の $a\in \Omega$ に対し逆関数定理（'''定理7.1'''）より $a$ の開近傍 $U_a\subset \Omega$ が存在し $f(U_a)$ は $\mathbb{R}^n$ の開集合で $U_a\ni x\mapsto f(x)\in f(U_a)$ は $C^k$ 級同相写像である。
$$
f(\Omega)=\bigcup_{a\in \Omega}f(U_a)
$$
であるから $f(\Omega)$ は $\mathbb{R}^n$ の開集合である。$\Omega\ni x\mapsto f(x)\in f(\Omega)$ の逆写像を $g:f(\Omega)\rightarrow \Omega$ とおくと、任意の $a\in \Omega$ に対し $g$ の $f(U_a)$ 上への制限 $f(U_a)\ni f(x)\mapsto x\in U_a$ は $C^k$ 級であるから $g$ は $C^k$ 級である。
{{end|proof|}}

== 関連項目 ==
* [[ベクトル解析]]
* [[複素解析の初歩]]

== 脚注 ==

距離空間の位相の基本的性質

2026-02-08T05:51:58Z

Kataoka: /* 定義1.1 （距離空間の定義） */

本稿においては、[[距離空間]]の位相の基本的な性質について論じる。
== 1. 距離空間の定義 ==

=== 定義1.1 （距離空間の定義） ===
$X$ を空でない集合とする。$d\colon X\times X\rightarrow [0,\infty) \subset \mathbb{R}$ が次の条件を満たすとき、$d$ を $X$ 上の距離と言う。
*$(1)$ 任意の$x,y\in X$ に対し $d(x,y)=d(y,x)$.
*$(2)$ $d(x,y)=0$ $\Leftrightarrow$ $x=y$.
*$(3)$ 任意の$x,y,z\in X$ に対し $d(x,z)\leq d(x,y)+d(y,z)$.
$(3)$ の不等式を三角不等式と言う。距離が定義された集合のことを距離空間と言う。距離空間 $X$ に距離 $d$ が定義されていることを明示的に表す場合は距離空間 $(X,d)$ と表現する。$(X,d)$ を距離空間とする。任意の $x\in X$と任意の $r\in (0,\infty)$ に対し、
$$B(x,r)=\{y\in X: d(y,x)<r\}$$
を中心 $x$、半径 $r$ の開球と言い、
$$\overline{B}(x,r)=\{y\in X: d(y,x)\leq r\}$$
を中心 $x$、半径 $r$ の閉球と言う。
$$\mathcal{O}_{(X,d)}=\{U\subset X:\forall x\in U, \exists r\in (0,\infty) \text{ s.t. } B(x,r)\subset U\}$$
は距離空間 $(X,d)$ の位相である。これを距離 $d$ が誘導する位相と言う。距離空間 $(X,d)$ は、特に断らない限り、この $d$ が誘導する位相 $\mathcal{O}_{(X,d)}$ が備わった位相空間とみなす。

=== 注意1.2 （開球は開集合、閉球は閉集合） ===
距離空間 $(X,d)$ の開球 $B(x,r)$ は開集合であり、閉球 $\overline{B}(x,r)$ は閉集合である。実際、任意の $y\in B(x,r) $、任意の $z\in B(y, r-d(y,x))$ に対し、三角不等式より、
$$d(z,x)\leq d(z,y)+d(y,x)<r$$
であるから、
$$B(y,r-d(y,x))\subset B(x,r)$$
である。よって $B(x,r)$ は開集合である。また、任意の $y\in X\backslash\overline{B}(x,r)$、任意の $z\in B(y, d(y,x)-r)$ に対し三角不等式より、
$$d(z,x)\geq d(y,x)-d(z,y)>r$$
であるから、
$$B(y, d(y,x)-r)\subset X\backslash \overline{B}(x,r)$$
である。よって $\overline{B}(x,r)$ は閉集合である。

=== 注意1.3 （部分集合に制限された距離が誘導する位相は相対位相） ===
$(X,d)$ を距離空間、$A\subset X$ とする。
$$d_A\colon A\times A\ni (x,y)\mapsto d(x,y)\in[0,\infty)$$
は $A$ 上の距離であり、任意の $x\in A$、任意の $r\in (0,\infty)$ に対し、$d_A$ に関する中心 $x$、半径 $r$ の開球は、
$$\{y\in A:d_A(y,x)<r\}=B(x,r)\cap A$$
である。よって $d_A$ が誘導する $A$ の位相は $(X,d)$ の位相の相対位相である。

== 2. 距離空間の Hausdorff 性と第一可算性 ==

=== 命題2.1（距離空間は Hausdorff 空間） ===
距離空間はHausdorff 空間である。
{{begin |proof }}
$(X,d)$ を距離空間とする。$x,y\in X$ が $x\neq y$ ならば $d(x,y)>0$ であり、
$$r=\frac{1}{2}d(x,y)\in (0,\infty)$$
とおけば、三角不等式より $B(x,r)\cap B(y,r)=\emptyset$ である。よって $X$ は Hausdorff 空間である。
{{end |proof | }}

=== 命題2.2（距離空間は第一可算空間） ===
距離空間は[[第一可算空間]]である。
{{begin |proof }}
$(X,d)$ を距離空間とする。任意の $x\in X$ に対しArchimedes の原理より、
$$\left\{B\left(x,\text{ } \frac{1}{n}\right): n\in \mathbb{N}\right\}$$
は $x$ の基本近傍系であり、これは可算である。よって $X$ は第一可算空間である。
{{end |proof | }}

=== 注意2.3（距離空間と点列） ===
距離空間は[[第一可算空間]]であるから、閉包の点や連続性、コンパクト性などは点列を用いて表現できる。これに関しては[[ネットによる位相空間論]]の''' 6. 位相空間の可算性と点列'''を参照されたい。

=== 注意2.4（距離空間は完全正規空間） ===
距離空間は完全正規空間である。
{{begin |proof }}
互いに交わりを持たない二つの閉集合 $A,B\subseteq X$ に対し、$f(x)\colon =d(A,x)/(d(A,x)+d(x,B))$ を考えればよい。
{{end|proof|}}

== 3. 距離空間において可分であることと第二可算であることは同値 ==

=== 命題3 ===
距離空間 $(X,d)$ に対し次は互いに同値である。
* $(1)$ $X$ は可分である。
* $(2)$ $X$ は [[第二可算空間]]である。
{{begin |proof }}
$(2)\Rightarrow(1)$ は一般に第二可算空間が可分であることによる。$(1)\Rightarrow(2)$ を示す。
$(X,d)$ を可分な距離空間とし、$A\subset X$ を稠密な可算部分集合とする。$(X,d)$ の開集合からなる可算族
$$\mathcal{B}=\left\{B\left(a,\text{ }\frac{1}{n}\right): a\in A, n\in \mathbb{N}\right\}$$
が$(X,d)$ の位相の基底であることを示せばよい。任意の開集合 $U\subset X$ と任意の $x\in U$ を取り、
$$B(x,\epsilon)\subset U$$
なる $\epsilon\in(0,\infty)$ を取る。
Archimedes の原理より
$$\frac{1}{n}<\frac{\epsilon}{2}$$
なる $n\in \mathbb{N}$ が取れる。$x\in X=\overline{A}$ なので、
$$a\in B\left(x,\text{ }\frac{1}{n}\right)\cap A$$
が取れる。任意の $y\in B(a,\frac{1}{n})$ に対し三角不等式より、
$$d(y,x)\leq d(y,a)+d(a,x)<\frac{1}{n}+\frac{1}{n}<\epsilon$$
であるから、
$$x\in B\left(a,\text{ }\frac{1}{n}\right)\subset B(x,\epsilon)\subset U$$
である。よって $\mathcal{B}$ は$(X,d)$ の位相の基底である。
{{end|proof|}}

== 4. 距離空間の全有界性 ==

=== 定義4.1 （距離空間の全有界性） ===
距離空間 $X$ が全有界であるとは、任意の $\epsilon\in (0,\infty)$ に対し有限個の $x_1,\ldots,x_n\in X$ が存在し、
$$X=B(x_1,\epsilon)\cup\ldots\cup B(x_n,\epsilon)$$
が成り立つことを言う。

=== 命題4.2 （全有界な距離空間は可分） ===
全有界な距離空間は可分である。
{{begin |proof }}
$X$ を全有界な距離空間とする。任意の $n\in \mathbb{N}$ に対し、有限個の $x_{n,1},\ldots,x_{n,m(n)}\in X$ が取れて、
$$X=B\left(x_{n,1},\text{ }\frac{1}{n}\right)\cup\ldots \cup B\left(x_{n,m(n)},\text{ }\frac{1}{n}\right)$$
となる。可算集合
$$A=\{x_{n,k}: n\in\mathbb{N}, k\in \{1,\ldots, m(n)\}\}$$
が $X$ において稠密であることを示せばよい。任意の $x\in X$、任意の $n\in\mathbb{N}$ に対し、$x\in B(x_{n,k},\frac{1}{n})$ なる $k\in\{1,\ldots,m(n)\}$ が取れる。$x_{n,k}\in B(x,\frac{1}{n})\cap A$ であるから、
$$B\left(x,\text{ }\frac{1}{n}\right)\cap A\neq\emptyset\quad(\forall n\in\mathbb{N})$$
が成り立ち、$\{B(x,\frac{1}{n})\}_{n\in\mathbb{N}}$ は $x$ の基本近傍系であるから $x\in\overline{A}$ である。よって $A$ は $X$ において稠密である。
{{end |proof | }}

== 5. Cauchy 列と距離空間の完備性 ==

=== 定義5.1 （Cauchy 列） ===
$(X,d)$ を距離空間とする。$X$ の点列 $(x_n)_{n\in\mathbb{N}}$ が Cauchy 列であるとは、
$$\forall \epsilon\in (0,\infty), \exists n_0\in\mathbb{N}\text{ s.t. }\forall n,m\geq n_0, d(x_n,x_m)<\epsilon$$
が成り立つことを言う。

距離空間の収束列は明らかに Cauchy 列である。

=== 定義5.2 （距離空間の完備性） ===
距離空間が完備であるとは、任意の Cauchy 列が収束列であることを言う。

== 6. 距離空間においてコンパクト、点列コンパクト、全有界かつ完備は同値 ==

=== 補題6.1 （点列コンパクトな距離空間の全有界性） ===
点列コンパクトな距離空間は全有界である。
{{begin |proof }}
距離空間 $X$ が全有界ではないとする。このときある $\epsilon\in(0,\infty)$ に対し、$X$ の点列 $(x_n)_{n\in\mathbb{N}}$ で、
$$x_{n+1}\in X\backslash \bigcup_{k=1}^{n}B(x_k,\epsilon)\quad(\forall n\in\mathbb{N})$$
を満たすものが帰納的に構成できる。これに対し、
$$d(x_n,x_m)\geq\epsilon\quad(n\neq m)$$
であるから $(x_n)_{n\in\mathbb{N}}$ は収束する部分列を持たない。よって $X$ は点列コンパクトではない。
{{end |proof | }}

=== 補題6.2 （点列コンパクトな距離空間の完備性） ===
点列コンパクトな距離空間は完備である。
{{begin |proof }}
$(X,d)$ を点列コンパクトな距離空間とし、$(x_n)_{n\in\mathbb{N}}$ を Cauchy 列とする。$X$ は点列コンパクトなので $(x_n)_{n\in \mathbb{N}}$ のある部分列 $(x_{k(n)})_{n\in\mathbb{N}}$ はある $x\in X$ に収束する。よって任意の $\epsilon\in(0,\infty)$ に対し $n_0\in\mathbb{N}$ が存在し、任意の $n,m\geq n_0$ に対し、
$$d(x_n,x_m)<\frac{\epsilon}{2},\quad d(x_{k(n)},x)<\frac{\epsilon}{2}$$
が成り立つ。よって任意の $n\geq n_0$ に対し、
$$d(x_n,x)\leq d(x_n,x_{k(n)})+d(x_{k(n)},x)<\epsilon$$
が成り立つので、 $(x_n)_{n\in \mathbb{N}}$ は収束する。ゆえに $(X,d)$ は完備である。
{{end|proof}}

=== 補題6.3 （コンパクトな距離空間は点列コンパクト） ===
コンパクトな距離空間は点列コンパクトである。
{{begin |proof }}
'''命題2.2'''より距離空間は第一可算空間であり、一般にコンパクトな第一可算空間は点列コンパクトである。（例えば[[ネットによる位相空間論]]の'''命題6.3'''を参照。）
{{end|proof}}

=== 定義6.4 （距離空間の部分集合の直径） ===
$(X,d)$ を距離空間とする。$A\subset X$ に対し $\sup\{d(x,y): x,y\in A\}$ を $A$ の直径と呼ぶ。

=== 定理6.5 （距離空間においてコンパクト、点列コンパクト、全有界かつ完備は同値） ===
$(X,d)$ を距離空間とする。次は互いに同値である。
* $(1)$ $X$ はコンパクトである。
* $(2)$ $X$ は点列コンパクトである。
* $(3)$ $X$ は全有界かつ完備である。
{{begin |proof }}
$(1)\Rightarrow(2)$ は'''補題6.3'''、$(2)\Rightarrow(3)$ は'''補題6.1'''、'''補題6.2'''による。 $(3)\Rightarrow(1)$ を示す。$(X,d)$ が全有界かつ完備であるとし、$X$ がコンパクトではないと仮定して矛盾を導く。このとき $X$ の開被覆 $\{U_j\}_{j\in J}$ でそのいかなる有限部分族も $X$ の開被覆ではないものが存在する。$X$ は全有界であるので直径が $1$ 以下の有限個の閉集合の合併で表せる。それらの閉集合の中のいずれか（$X_1$とする）は $\{U_j\}_{j\in J}$ のいかなる有限部分族によっても被覆できない。$X_1$ は全有界なので、直径が $\frac{1}{2}$ 以下の有限個の閉集合の合併で表せて、それらの閉集合の中のいずれか（$X_2$とする）は $\{U_j\}_{j\in J}$ のいかなる有限部分族によっても被覆できない。同様のことを繰り返し、$X$ の部分集合の列 $(X_n)_{n\in\mathbb{N}}$ で次の条件を満たすものを構成する。
*(a) 任意の $n\in \mathbb{N}$ に対し $X_n$ は $\{U_j\}_{j\in J}$ のいかなる有限部分族によっても被覆できない。
*(b) 任意の $n\in \mathbb{N}$ に対し $X_n$ は $X$ の閉集合である。
*(c) 任意の $n\in \mathbb{N}$ に対し $X_{n+1}\subset X_n$.
*(d) 任意の $n\in \mathbb{N}$ に対し $X_n$ の直径は $\frac{1}{n}$ 以下。
各 $n\in \mathbb{N}$ に対し $x_n\in X_n$ を取り $X$ の点列 $(x_n)_{n\in\mathbb{N}}$ を構成すると、(c), (d) と Archimedes の原理より $(x_n)_{n\in\mathbb{N}}$ は Cauchy 列である。よって $X$ の完備性より $(x_n)_{n\in\mathbb{N}}$ はある $x\in X$ に収束する。任意の $\epsilon\in (0,\infty)$、任意の $n\in \mathbb{N}$ に対し、$m\geq n$、$d(x_m,x)<\epsilon$ を満たす $m\in\mathbb{N}$ が取れ、(c) より $x_m\in B(x,\epsilon)\cap X_n$ である。よって、
$$B(x,\epsilon)\cap X_n\neq\emptyset\quad(\forall n\in \mathbb{N}, \forall \epsilon\in (0,\infty))$$
であるから、(b)より、
$$x\in \bigcap_{n\in\mathbb{N}}\overline{X_n}=\bigcap_{n\in\mathbb{N}}X_n$$
である。$x\in U_j$ なる $j\in J$ を取り、$\overline{B}(x,\frac{1}{n})\subset U_j$ なる $n\in\mathbb{N}$ を取れば、$x\in X_n$ であることと (d) より $X_n\subset U_j$ となる。これは(a)に矛盾する。ゆえに $(3)\Rightarrow(1)$ が成り立つ。
{{end|proof}}

== 7. 一様連続性 ==

=== 注意7.1 （距離空間から距離空間への写像の連続性の$\epsilon-\delta$ 論法による特徴付け） ===
距離空間の任意の点 $x$ に対し $\{B(x,\epsilon)\}_{\epsilon\in (0,\infty)}$ は $x$ の基本近傍系である。よって距離空間 $(X,d_X)$ から距離空間 $(Y,d_Y)$ への写像 $f\colon X\rightarrow Y$ が $x_0\in X$ において連続であることは、次のように特徴付けられる。

「任意の $\epsilon\in(0,\infty)$ に対し $\delta\in (0,\infty)$ が存在し、$d_X(x,x_0)<\delta$ を満たす全ての $x\in X$ に対し $d_Y(f(x),f(x_0))<\epsilon$ が成り立つ。」

=== 定義7.2 （一様連続性） ===
$(X,d_X), (Y,d_Y)$ を距離空間とする。写像 $f\colon X\rightarrow Y$ が一様連続であるとは、

「任意の $\epsilon\in(0,\infty)$ に対し $\delta\in (0,\infty)$ が存在し、$d_X(x_1,x_2)<\delta$ を満たす全ての $x_1,x_2\in X$ に対して $d_Y(f(x_1),f(x_2))<\epsilon$ が成り立つ」

ことを言う。

一様連続ならば明らかに連続である。

=== 定理7.3 （コンパクト距離空間から距離空間への連続写像は一様連続） ===
$(X,d_X)$ をコンパクト距離空間、 $(Y,d_Y)$ を距離空間とし、$f\colon X\rightarrow Y$ を連続写像とする。このとき $f$ は一様連続である。
{{begin |proof }}
任意の $\epsilon\in (0,\infty)$ を取る。$f$ は連続なので、各 $x\in X$ に対し、 $\delta_x\in (0,\infty)$ で、
$$d_Y(f(x'),f(x))<\frac{\epsilon}{2}\quad(\forall x'\in B(x,\delta_x))$$
を満たすものが取れる。
$$X=\bigcup_{x\in X} B(x,2^{-1}\delta_x)$$
であり、$X$ はコンパクトであるので、有限個の $x_1,\ldots,x_n\in X$ が取れて、
$$X=\bigcup_{j=1}^{n}B(x_j,2^{-1}\delta_{x_j})$$
となる。
$$\delta=\text{ min }(2^{-1}\delta_{x_1},\ldots,2^{-1}\delta_{x_n})$$
とおき、$d_X(x',x)<\delta$ を満たす任意の $x,x'\in X$ を取る。 $x\in B(x_j,2^{-1}\delta_{x_j})$ なる $j\in \{1,\ldots,n\}$ に対し、
$$d_X(x',x_j)\leq d_X(x',x)+d_X(x,x_j)<\delta+\delta_{x_j}<\delta_{x_j}$$
であるから、
$$d_Y(f(x),f(x'))\leq d_Y(f(x),f(x_j))+d_Y(f(x_j),f(x'))<\frac{\epsilon}{2}+\frac{\epsilon}{2}=\epsilon$$
である。よって $f$ は一様連続である。
{{end |proof | }}

== 8. 一様収束 ==

=== 定義8.1（一様収束） ===
$X$ を集合、$(Y,d)$ を距離空間とする。$X\rightarrow Y$ の写像からなるネット $(f_{\lambda})_{\lambda\in\Lambda}$ が $f\colon X\rightarrow Y$ に一様収束するとは、次が成り立つことを言う。
$$\forall \epsilon\in (0,\infty), \exists \lambda_0\in\Lambda \text{ s.t. } \forall \lambda\geq\lambda_0, \forall x\in X, d(f_{\lambda}(x),f(x))<\epsilon$$.

=== 注意8.2　 ===
ネットについて知らなければネットを列に置き換えてよい。ネットについては[[ネットによる位相空間論]]を参照。

=== 命題8.3（連続写像の一様収束極限は連続） ===
$X$ を位相空間、$(Y,d)$ を距離空間とし、$X\rightarrow Y$ の連続写像からなるネット $(f_{\lambda})_{\lambda\in\Lambda}$ が $f\colon X\rightarrow Y$ に一様収束するとする。このとき $f$ は連続である。
{{begin |proof }}
任意の $x_0\in X$、任意の $\epsilon\in (0,\infty)$を取り固定する。$(f_{\lambda})_{\lambda\in\Lambda}$ は $f$ に一様収束するので、$\lambda_0\in \Lambda$ で、
$$d(f_{\lambda_0}(x),f_{\lambda}(x))<\frac{\epsilon}{3}\quad(\forall x\in X)$$
を満たすものが取れる。$f_{\lambda_0}\colon X\rightarrow Y$ は連続なので $x_0\in X$ の近傍 $U$ で、
$$d(f_{\lambda_0}(x),f_{\lambda_0}(x_0))<\frac{\epsilon}{3}\quad (\forall x\in U)$$
を満たすものが取れる。よって任意の $x\in U$ に対し、
$$d(f(x),f(x_0))\leq d(f(x),f_{\lambda_0}(x))+d(f_{\lambda_0}(x),f_{\lambda_0}(x_0))+d(f_{\lambda_0}(x_0),f(x_0))<\epsilon$$
であるから $f$ は連続である。
{{end|proof|}}

=== 定義8.4（一様 Cauchy 条件） ===
$X$ を集合、$(Y,d)$ を距離空間とする。$X\rightarrow Y$ の写像からなる列 $(f_n)_{n\in\mathbb{N}}$ が一様 Cauchy 条件を満たすとは、
$$\forall \epsilon\in (0,\infty),\exists n_0\in\mathbb{N}\text{ s.t. } \forall n,m\geq n_0, \forall x\in X, d(f_n(x),f_m(x))<\epsilon$$
が成り立つことを言う。

=== 命題8.5（一様 Cauchy 条件と一様収束） ===
$X$ を集合、$(Y,d)$ を完備距離空間とし、$X\rightarrow Y$ の写像からなる列 $(f_n)_{n\in\mathbb{N}}$ が一様 Cauchy 条件を満たすとする。このとき $(f_n)_{n\in \mathbb{N}}$ はある $f\colon X\rightarrow Y$ に一様収束する。
{{begin |proof }}
一様 Cauchy 条件より任意の $\epsilon\in(0,\infty)$ に対し $n_0\in\mathbb{N}$ が存在し、
$$d(f_n(x),f_m(x))<\frac{\epsilon}{2}\quad (\forall n,m\geq n_0, \forall x\in X)$$
が成り立つ。各 $x\in X$ に対し $(f_n(x))_{n\in \mathbb{N}}$ は完備距離空間 $(Y,d)$ の Cauchy 列であるので、
$$f(x)=\lim_{n\rightarrow\infty} f_n(x)\quad (\forall x\in X)$$
として $f\colon X\rightarrow Y$ が定義できる。各 $x\in X$ に対し、$n_x\geq n_0$ なる $n_x\in \mathbb{N}$ で、
$$d(f_{n_x}(x),f(x))<\frac{\epsilon}{2}$$
を満たすものを取れば、任意の $n\geq n_0$、任意の $x\in X$ に対し、
$$d(f_n(x),f(x))\leq d(f_n(x),f_{n_x}(x))+d(f_{n_x}(x),f(x))<\epsilon$$
であるので、$(f_n)_{n\in\mathbb{N}}$ は $f$ に一様収束する。
{{end |proof | }}

== 関連事項 ==
* [[入門テキスト「位相空間論」]]
* [[ネットによる位相空間論]]
* [[関数解析の基礎]]

位相線形空間1：ノルムと内積

2026-01-29T07:23:09Z

Kataoka: /* 定義3.1（$\mathbb{B}(X,Y)$ と作用素ノルム） */

この章では、ノルムと内積について基本的な事柄を述べる。 $\mathbb{F}$ により $\mathbb{R}$ か $\mathbb{C}$ を表すこととする。また $\mathbb{N}=\{1,2,3,\ldots\}$ とする。

'''[[入門テキスト「位相線形空間」]]'''
* '''位相線形空間1：ノルムと内積'''
* [[位相線形空間2：セミノルム位相と汎弱位相]]
* [[位相線形空間3：Hahn-Banachの定理とKrein-Milmanの端点定理]]
* [[位相線形空間4：Fréchet空間と関数解析の基本定理]]

== 1. ノルム、Banach空間（環、$*$-環）の定義 ==

=== 定義1.1（ノルム空間、Banach空間） ===
$X$ を $\mathbb{F}$ 上の線形空間とする。
$$X\ni x\mapsto \lVert x\rVert \in [0,\infty)$$
が $X$ 上のノルムであるとは次が成り立つことを言う。
*$(1)$　任意の $x,y\in X$ に対し、$\lVert x+y\rVert\leq \lVert x\rVert+\lVert y\rVert$.
*$(2)$　任意の $x\in X$ と任意の $\alpha\in \mathbb{F}$ に対し、$\lVert \alpha x\rVert=\lvert\alpha\rvert\lVert x\rVert$.
*$(3)$　$\lVert x\rVert=0$ $\Leftrightarrow$ $x=0$. 
ノルムが備わった $\mathbb{F}$ 上の線形空間を $\mathbb{F}$ 上のノルム空間と言う。$\mathbb{F}$ 上のノルム空間 $X$ に対し、
$$X\times X\ni (x,y)\mapsto \lVert x-y\rVert\in[0,\infty)$$
は $X$ 上の距離である。ノルム空間はこの距離による[[距離空間]]とみなす。そして $\mathbb{F}$ 上のノルム空間で、この距離により完備距離空間であるものを $\mathbb{F}$ 上の Banach 空間と言う。

ユークリッド空間 $\mathbb{R}^N$ は $\mathbb{R}$ 上のBanach 空間、ユニタリ空間 $\mathbb{C}^N$ は $\mathbb{C}$ 上のBanach 空間である。

=== 定義1.2（部分空間に誘導されるノルム） ===
ノルム空間の線形部分空間はのノルムをそのまま受け継いだノルム空間とみなす。

Banach空間の閉部分空間はBanach空間である。

=== 定義1.3（多元環） ===
$\mathbb{F}$ 上の線形空間 $X$ に乗法 $X\times X\ni (x,y)\mapsto xy\in X$ が定義されており、加法と乗法に関して環をなし、スカラー倍と乗法に関して、
$$
\alpha(xy)=(\alpha x)y=x(\alpha y)\quad(\forall \alpha\in \mathbb{F},\forall x,y\in X)
$$
が成り立つとき、$X$ を $\mathbb{F}$ 上の多元環と言う。

=== 定義1.4（ノルム環、Banach環） ===
$\mathbb{F}$ 上の多元環 $X$ がノルム空間（ resp. Banach 空間）であり、
$$
\lVert xy\rVert\leq \lVert x\rVert\lVert y\rVert\quad(\forall x,y\in X)
$$
が成り立つとき、$X$ を $\mathbb{F}$ 上のノルム環（ resp. Banach 環）と言う。

=== 定義1.5（$*$-環） ===
$\mathbb{F}$ 上の多元環 $X$ にさらに対合と呼ばれる演算 $X\ni x\mapsto x^*\in X$ が定義されており、次が成り立つとき $X$ を$*$-環と言う。
*$(1)$　任意の $x,y\in X$ に対し $(x+y)^*=x^*+y^*$
*$(2)$　任意の $x\in X$ と任意の $\alpha\in \mathbb{F}$ に対し $(\alpha x)^*=\overline{\alpha}x^*$.
*$(3)$　任意の $x,y\in X$ に対し $(xy)^*=y^*x^*$.
*$(4)$　任意の $x\in X$ に対し $x^{**}=x$.

=== 定義1.6（ノルム$*$-環、Banach $*$-環） ===
$\mathbb{F}$ 上の$*$-環 $X$ がノルム環（resp. Banach環）でもあるとする。
$$
\lVert x^*\rVert=\lVert x\rVert\quad(\forall x\in X)
$$
が成り立つとき $X$ を $\mathbb{F}$ 上のノルム$*$-環（resp. Banach $*$-環）と言う。

=== 定義1.7（$C^*$-環） ===
$\mathbb{F}$ 上の$*$-環 $X$ がBanach環でもあり、
$$
\lVert x^*x\rVert=\lVert x\rVert^2\quad(\forall x\in X)\quad\quad(*)
$$
が成り立つとき $X$ を $\mathbb{F}$ 上の $C^*$-環と言う。また $(*)$ を $C^*$-ノルム条件と言う。任意の $x\in X$ に対し $C^*$-ノルム条件より、
$$
\lVert x\rVert^2=\lVert x^*x\rVert\leq \lVert x^*\rVert\lVert x\rVert
$$
であるから $\lVert x\rVert\leq\lVert x^*\rVert$ 、したがって $\lVert x\rVert=\lVert x^*\rVert$ である。よって $C^*$-環は特にBanach $*$-環である。

== 2　商ノルム ==

=== 定義2.1（商ノルム） ===
$X$ を $\mathbb{F}$ 上のノルム空間、$M\subset X$ を閉部分空間とし、$X/M$ を商線形空間、
$$
X\ni x\mapsto [x]\in X/M
$$
を商写像とする。このとき、
$$
\lVert [x]\rVert\colon=\inf\{\lVert x-y\rVert:y\in M\}\quad(\forall [x]\in X/M)\quad\quad(*)
$$
として、$X/M$ 上のノルムが定義できる。（次の'''命題2.2'''による。）これを $X/M$ 上の商ノルムと言う。

=== 命題2.2 ===
'''定義2.1'''の $(*)$ によって $X/M$ 上のノルムが定義される。
{{begin |proof}}
$[x_1]=[x_2]$ ならば $x_1-x_2\in M$ であるから、
$$
\{\lVert x_1-y\rVert:y\in M\}=\{\lVert x_1+(x_2-x_1)-y\rVert:y\in M\}=\{\lVert x_2-y\rVert:y\in M\}
$$
である。よって $(*)$ により $X/M\ni [x]\mapsto \lVert [x]\rVert\in[0,\infty)$ が定義できる。任意の $[x_1],[x_2]\in X/M$ に対し、
$$
\begin{aligned}
&\inf\{\lVert x_1+x_2-y\rVert:y\in M\}=\inf\{\lVert x_1-y_1+x_2-y_2\rVert:y_1,y_2\in M\}\\
&\leq \inf\{\lVert x_1-y_1\rVert:y_1\in M\}+\inf\{\lVert x_2-y_2\rVert:y_2\in M\}
\end{aligned}
$$
であるから $\lVert [x_1]+[x_2]\rVert\leq \lVert [x_1]\rVert+\lVert [x_2]\rVert$ が成り立つ。また任意の $[x]\in X/M$ と任意の $\alpha\in\mathbb{F}$ に対し、
$$
\inf\{\lVert \alpha x-y\rVert:y\in M\}=\inf\{\lVert \alpha x-\alpha y\rVert:y\in M\}
=\lvert\alpha\rvert\inf\{\lVert x-y\rVert:y\in M\}
$$
であるから $\lVert\alpha[x]\rVert=\lvert\alpha\rvert\lVert [x]\rVert$ が成り立つ。$\lVert [x]\rVert=0$ ならば下限の定義より任意の $\epsilon\in(0,\infty)$ に対し $\lVert x-y\rVert<\epsilon$ なる $y\in M$ が取れるので $x\in \overline{M}=M$、したがって $[x]=0$ である。
{{end |proof | }}

=== 命題2.3（Banach空間の商ノルム空間はBanach空間） ===
$X$ を $\mathbb{F}$ 上のBanach空間、$M\subset X$ を閉部分空間とする。このとき $X/M$ は商ノルムによりBanach空間である。
{{begin |proof}}
$(z_n)_{n\in \mathbb{N}}$ を $X/M$ のCauchy列とする。$(z_n)_{n\in \mathbb{N}}$ が収束する部分列を持つことを示せば十分である。Cauchy列であることから部分列 $(z_{k(n)})_{n\in \mathbb{N}}$ で、
$$
\lVert z_{k(n+1)}-z_{k(n)}\rVert<\frac{1}{2^n}\quad(\forall n\in \mathbb{N})
$$
を満たすものが取れる。これに対し商ノルムの定義と帰納法により $X$ の列 $(x_n)_{n\in\mathbb{N}}$ で、
$$
z_{k(n)}=x_n,\quad \lVert x_{n+1}-x_n\rVert<\frac{1}{2^n}\quad(\forall n\in \mathbb{N})
$$
を満たすものが取れ、$m\geq n$ なる任意の $n,m\in \mathbb{N}$ に対し、
$$
\lVert x_m-x_n\rVert<\frac{2}{2^n}
$$
であるから $(x_n)_{n\in \mathbb{N}}$ は $X$ のCauchy列である。$X$ はBanach空間であるので $(x_n)_{n\in \mathbb{N}}$ はある $x\in X$ に収束する。よって、
$$
\lVert z_{k(n)}-[x]\rVert\leq \lVert x_{n}-x\rVert\rightarrow0\quad(n\rightarrow\infty)
$$
であるから $(z_{k(n)})_{n\in \mathbb{N}}$ は収束する。
{{end |proof | }}

=== 定義2.4（多元環のイデアル、$*$-環の$*$-イデアル） ===

$X$ を $\mathbb{F}$ 上の多元環とする。空でない $I\subset X$ が加法とスカラー倍で閉じており、任意の $x\in X$ と任意の $y\in I$ に対し $xy,yx\in I$ が成り立つとき、$I$ を $X$ のイデアルと言う。 
$X$ を $\mathbb{F}$ 上の$*$-環とする。空でない $I\subset X$ が加法とスカラー倍と対合で閉じており、任意の $x\in X$ と任意の $y\in I$ に対し $xy,yx\in I$ が成り立つとき、$I$ を $X$ の$*$-イデアルと言う。

=== 命題2.5（商ノルム環、商Banach環） ===
$X$ を $\mathbb{F}$ 上のノルム環、$I\subset X$ を閉イデアルとする。このとき商多元環 $X/I$ は商ノルムによりノルム環である。また $X$ がBanach環ならば $X/I$ は商ノルムによりBanach環である。さらに $X$ が Banach $*$-環であり、$I$ が閉$*$-イデアルならば $X/I$ は商ノルムによりBanach $*$-環である。
{{begin |proof }}
任意の $[x_1],[x_2]\in X/I$ に対し、
$$
\begin{aligned}
&\inf\{\lVert x_1x_2-y\rVert:y\in I\}\leq \inf\{\lVert (x_1-y_1)(x_2-y_2)\rVert:y_1,y_2\in I\}\\
&\leq \inf\{\lVert x_1-y_1\rVert:y_1\in I\}\inf\{\lVert x_2-y_2\rVert:y_2\in I\}
\end{aligned}
$$
であるから $\lVert [x_1][x_2]\rVert\leq \lVert [x_1]\rVert\lVert [x_2]\rVert$ が成り立つ。よって $X/I$ は商ノルムによりノルム環である。$X$ がBanach環ならば'''命題2.3'''より $X/I$ はBanach環である。$X$ がBanach $*$-環であり、$I$ が$*$-イデアルであるとき任意の $[x]\in X/I$ に対し、
$$
\{\lVert x^*-y\rVert:y\in I\}=\{\lVert x-y^*\rVert:y\in I\}=\{\lVert x-y\rVert:y\in I\}
$$
であるから $\lVert [x]^*\rVert=\lVert [x]\rVert$ である。よって $X/I$ は商ノルムによりBanach $*$-環である。
{{end |proof | }}

== 3. 有界線形作用素、作用素ノルム ==

=== 定義3.1（$\mathbb{B}(X,Y)$ と作用素ノルム） ===
$X, Y$ を $\mathbb{F}$ 上のノルム空間とする。$X\rightarrow Y$ の線形作用素全体に各点ごとの演算を入れて得られる $\mathbb{F}$ 上の線形空間を $\mathbb{L}(X,Y)$ と表す。そして任意の $T\in \mathbb{L}(X,Y)$ に対し、
$$
\lVert T\rVert=\sup\{\lVert Tx\rVert : x\in X, \lVert x\rVert\leq 1\}
$$
とおき、
$$
\mathbb{B}(X,Y)=\{T\in \mathbb{L}(X,Y):\lVert T\rVert<\infty\}
$$
とおく。$\mathbb{B}(X,Y)$ の元を $X\rightarrow Y$ の有界線形作用素と言う。
$$
\lVert (S+T)x\rVert\leq\lVert Sx\rVert+\lVert Tx\rVert\leq(\lVert S\rVert+\lVert T\rVert) \lVert x\rVert\quad(\forall S,T\in \mathbb{B}(X,Y), \forall x\in X)
$$
であるから、$\mathbb{B}(X,Y)$ は $\mathbb{L} (X,Y)$ の線形部分空間であり、
$$
\mathbb{B}(X,Y)\ni T\mapsto \lVert T\rVert\in [0,\infty)
$$
は $\mathbb{B}(X,Y)$ 上のノルムである。このノルムを作用素ノルムと言う。後の'''命題3.4'''で見るように $Y$ がBanach空間ならば $\mathbb{B}(X,Y)$ はBanach空間である。

=== 定義3.2（$\mathbb{B}(X)$） ===
ノルム空間 $X$ に対し、$X\rightarrow X$ の線形作用素全体のなす線形空間
$$
\mathbb{L}(X)\colon=\mathbb{L}(X,X)
$$
は作用素の合成を乗法として多元環をなす。そこで、
$$
\mathbb{B}(X)\colon=\mathbb{B}(X,X)\subset \mathbb{L}(X)
$$
とおくと、
$$
\lVert STx\rVert\leq \lVert S\rVert \lVert Tx\rVert \leq \lVert S\rVert \lVert T\rVert \lVert x\rVert\quad (\forall S,T\in \mathbb{B}(X), \forall x\in X)
$$
より $\mathbb{B}(X)$ はノルム環をなす。'''命題3.4'''で見るように $X$ がBanach空間ならば $\mathbb{B}(X)$ はBanach環である。

=== 命題3.3（有界線形作用素の特徴付け） ===
$X,Y$ をノルム空間とする。$T\in \mathbb{L}(X,Y)$ に対し次は互いに同値である。
*$(1)$ $T\in \mathbb{B}(X,Y)$.
*$(2)$ $T$ は一様連続である。
*$(3)$ $T$ は $0\in X$ において連続である。
{{begin |proof }}
$(1)\Rightarrow(2)$ は $\lVert Tx\rVert\leq \lVert T\rVert \lVert x\rVert$ であることによる。 
$(2)\Rightarrow(3)$ は自明である。$(3)\Rightarrow(1)$ を示す。 $T$ が $0\in X$ において連続であるとすると、$\delta\in(0,\infty)$ が存在し $\lVert x\rVert\leq \delta$ を満たす任意の $x\in X$ に対し $\lVert Tx\rVert\leq 1$ となる。よって $T$ の線形性より、
$$
\lVert T\rVert=\sup\{\lVert Tx\rVert: \lVert x\rVert\leq 1\}\leq \delta^{-1}
$$
であるから、$T$ は有界線形作用素である。
{{end |proof | }}

=== 命題3.4（$Y$ がBanach空間ならば $\mathbb{B}(X,Y)$ は Banach 空間） ===
$X$ をノルム空間、$Y$ をBanach空間とする。このとき $\mathbb{B}(X,Y)$ は Banach 空間である。
{{begin |proof }}
$(T_n)_{n\in \mathbb{N}}$ を $\mathbb{B}(X,Y)$ の Cauchy 列とする。任意の $x\in X$ に対し、
$$
\lVert T_nx-T_mx\rVert\leq \lVert T_n-T_m\rVert \lVert x\rVert\quad(\forall n,m\in\mathbb{N})
$$
であるから、$(T_nx)_{n\in \mathbb{N}}$ はBanach空間 $Y$ の Cauchy 列である。よって、
$$
Tx=\lim_{n\rightarrow\infty} T_nx\quad(\forall x\in X)
$$
として $T\colon X\rightarrow Y$ が定義でき、$T$ は明らかに線形作用素である。任意の $\epsilon\in (0,\infty)$ に対し $n_0\in\mathbb{N}$ で、
$$
\lVert T_n-T_m\rVert\leq \epsilon\quad(\forall n,m\geq n_0)
$$
なるものを取る。このとき任意の $m\geq n_0$と、$\lVert x\rVert\leq 1$ なる任意の $x\in X$ に対し、
$$
\lVert Tx-T_mx\rVert=\lim_{n\rightarrow\infty}\lVert T_nx-T_mx\rVert=\inf_{n\in\mathbb{N}}\sup_{k\geq n}\lVert T_kx-T_mx\rVert\leq \sup_{k\geq n_0}\lVert T_kx-T_mx\rVert
\leq \epsilon
$$
であるから $T=(T-T_m)+T_m\in \mathbb{B}(X,Y)$ であり、$(T_n)_{n\in\mathbb{N}}$ は $T$ に収束する。よって $\mathbb{B}(X,Y)$ は Banach 空間である。
{{end |proof | }}

=== 定義3.5（ノルム空間 $X$ の双対空間 $X^*$ ） ===
$X$ を $\mathbb{F}$ 上のノルム空間とする。'''命題3.4'''より $X$ 上の有界線形汎関数全体 $\mathbb{B}(X,\mathbb{F})$ はBanach空間である。これを $X$ の双対空間と言い、$X^*$ と表す。

=== 命題3.6（有界線形作用素の閉包上への一意拡張） ===
$X$ をノルム空間、$Y$ をBanach空間、$M\subset X$ を部分空間とする。このとき任意の $T\in \mathbb{B}(M,Y)$ に対し $\overline{T}\in \mathbb{B}(\overline{M},Y)$ で、 $\overline{T}|_M=T$ を満たすものが唯一つ存在する。そして $\lVert \overline{T}\rVert=\lVert T\rVert$ である。
{{begin |proof }}
一意性は $M\subset \overline{M}$ の稠密性と $\mathbb{B}(\overline{M},Y)$ の元の連続性による。存在を示す。任意の $x\in \overline{M}$ に対し $x$ に収束する $M$ の列 $(x_n)_{n\in\mathbb{N}}$ が取れ、$\lVert Tx_n-Tx_m\rVert\leq \lVert T\rVert \lVert x_n-x_m\rVert$ $(\forall n,m\in\mathbb{N})$ であるから $(Tx_n)_{n\in\mathbb{N}}$ はBanach空間 $Y$ の Cauchy 列である。よって $(Tx_n)_{n\in\mathbb{N}}$ は収束する。$(x_n)_{n\in\mathbb{N}}$ とは別に $x$ に収束する $M$ の列 $(x_n')_{n\in \mathbb{N}}$ を取ると、
$$
\lVert Tx_n-Tx_n'\rVert\leq \lVert T\rVert \lVert x_n-x_n'\rVert\leq \lVert T\rVert( \lVert x_n-x\rVert +\lVert x-x_n'\rVert)\rightarrow0\quad(n\rightarrow\infty)
$$
であるから、$(Tx_n)_{n\in \mathbb{N}}$ と $(Tx_n')_{n\in \mathbb{N}}$ が収束する点は一致する。よって $\overline{T}x=\lim_{n\rightarrow\infty} Tx_n$ として $\overline{T}:\overline{M}\rightarrow Y$ が定義できる。$\overline{T}$ は明らかに線形作用素であり、$T$ の拡張である。そして、
$$
\lVert \overline{T}x\rVert=\lim_{n\rightarrow\infty}\lVert Tx_n\rVert \leq \lim_{n\rightarrow\infty}\lVert T\rVert \lVert x_n\rVert=\lVert T\rVert \lVert x\rVert
$$
であるから $\overline{T}\in \mathbb{B}(\overline{M},Y)$、$\lVert \overline{T}\rVert\leq \lVert T\rVert$である。逆の不等式は $\overline{T}$ は $T$ の拡張であるから成り立つ。
{{end |proof | }}

== 4. 有限次元ノルム空間 ==

=== 命題4.1（基本命題） ===
$X$ を $\mathbb{F}$ 上の有限次元ノルム空間、$e_1,\ldots, e_N$ を $X$ の基底とし、線形同型写像
$$
\Phi\colon\mathbb{F}^N\ni (t_1,\ldots, t_N)\mapsto \sum_{j=1}^{N}t_je_j\in X
$$
を定義する。このとき $\Phi^{-1}:X\rightarrow \mathbb{F}^N$ は有界線形作用素である。
{{begin |proof}}
$$
B=\{t\in \mathbb{F}^N:\lvert t\rvert<1\},\quad S=\{t\in \mathbb{F}^N:\lvert t\rvert=1\},\quad E=\{t\in \mathbb{F}^N: \lvert t\rvert>1\}
$$
とおく。$\Phi$ は連続であり、$S$ はコンパクトであるから $\Phi(S)$ は $X$ のコンパクト集合、したがって閉集合である。そして $0\in X\backslash \Phi(S)$ であるから、
$$
\overline{B}_X(0,\delta)=\{x\in X:\lVert x\rVert\leq\delta\}\subset X\backslash \Phi(S)=\Phi(B\cup E)
$$
なる $\delta\in(0,\infty)$ が取れる。
$$
\Phi^{-1}(\overline{B}_X(0,\delta))\subset B\cup E
$$
であり、$\Phi^{-1}(\overline{B}_X(0,\delta))$ は凸集合ゆえ（弧状）連結であるから、
$$
\Phi^{-1}(\overline{B}_X(0,\delta))\subset B
$$
が成り立つ。これより、
$$
\lVert \Phi^{-1}(x)\rVert\leq \delta^{-1}\lVert x\rVert\quad(\forall x\in X)
$$
が成り立つので、$\Phi^{-1}:\mathbb{F}^N\rightarrow X$ は有界線形作用素である。
{{end |proof | }}

=== 系4.2（有限次元ノルム空間はBanach空間） ===
任意の有限次元ノルム空間はBanach空間である。
{{begin |proof }}
$X$ を $\mathbb{F}$ 上の $N$ 次元ノルム空間とし、'''命題3.1'''における同相写像 $\Phi\colon\mathbb{F}^N\rightarrow X$ を考える。$(x_n)_{n\in\mathbb{N}}$ を $X$ の Cauchy 列とすると、$(\Phi^{-1}(x_n))_{n\in \mathbb{N}}$ は $\mathbb{F}^N$ の Cauchy 列であり、$\mathbb{F}^N$ は Banach 空間であるので $(\Phi^{-1}(x_n))_{n\in \mathbb{N}}$ は収束する。よって $(x_n)_{n\in\mathbb{N}}$ は収束する。
{{end |proof | }}

=== 系4.3（ノルム空間の有限次元部分空間は自動的に閉） ===
ノルム空間の有限次元部分空間は閉である。
{{begin |proof}}
$X$ をノルム空間、$M\subset X$ を有限次元部分空間とする。任意の $x\in \overline{M}$ に対し $x$ に収束する $M$ の点列 $(x_n)_{n\in \mathbb{N}}$ が取れる。$M$ はBanach空間なので $(x_n)_{n\in\mathbb{N}}$ は $M$ において収束する。ゆえに $x\in M$ である。
{{end |proof | }}

=== 系4.4（有限次元ノルム空間からノルム空間への線形作用素は自動的に有界） ===
$X$ を $\mathbb{F}$ 上の有限次元ノルム空間、$Y$ を$\mathbb{F}$ 上の任意のノルム空間とする。このとき任意の線形作用素 $T\colon X\rightarrow Y$ に対し $T$ は有界線形作用素である。
{{begin |proof}}
$X$ を $\mathbb{F}$ 上の $N$ 次元ノルム空間とし、'''命題3.1'''における同相写像 $\Phi\colon\mathbb{F}^N\rightarrow X$ を考える。
$$
\hat{T}\colon\mathbb{F}^N\ni (t_1,\ldots,t_N)\mapsto \sum_{j=1}^{N}t_jTe_j\in Y
$$
は連続な線形作用素なので有界線形作用素である。$T$ は有界線形作用素 $\Phi^{-1}$ と $\hat{T}$ の合成なので、有界線形作用素である。
{{end |proof | }}

== 5. Banach空間における総和 ==

=== 定義5.1（総和 $\sum_{j\in J}x_j$ の収束） ===
$X$ をノルム空間、$J$ を集合とし、各 $j\in J$ に対し $x_j\in X$ が与えられているとする。そして $\mathcal{F}_J$ を $J$ の有限部分集合全体に集合の包含関係による順序を入れた有向集合とする。$\mathcal{F}_J$ によって添字付けられた $X$ のネット $(\sum_{j\in F}x_j)_{F\in \mathcal{F}_J}$ が収束するとき、$\sum_{j\in J}x_j$ は収束すると言い、その収束点を、
$$
\sum_{j\in J}x_j=\lim_{F\rightarrow J}\sum_{j\in F}x_j
$$
と表す。 
ネットについては[[ネットによる位相空間論]]を参照されたい。

=== 注意5.2（ $\sum_{n=1}^{\infty}x_n$ と $\sum_{n\in\mathbb{N}}x_n$ ） ===
$\sum_{n\in\mathbb{N}}x_n$ が収束するならば $\sum_{n=1}^{\infty}x_n$ は $\sum_{n\in\mathbb{N}}x_n$ に収束する。しかし逆は一般に成り立たない。

=== 命題5.3（総和が収束するならば可算個を除いて $0$ ） ===
$\sum_{j\in J}x_j$ が収束するならば、$\{j\in J:x_j\neq 0\}$ は可算集合である。
{{begin |proof }}
任意の $\epsilon\in(0,\infty)$ に対し $J_{\epsilon}=\{j\in J:\lVert x_j\rVert\geq\epsilon\}$ とおくと、
$$
\{j\in J:x_j\neq0\}=\bigcup_{n\in\mathbb{N}}J_{\frac{1}{n}}
$$
である。これより任意の $\epsilon\in(0,\infty)$ に対し $J_{\epsilon}$ が有限集合であることを示せばよい。$\sum_{j\in J}x_j$ は収束するので、$F_{\epsilon}\in \mathcal{F}_J$ が存在し $F\supset F_{\epsilon}$ なる任意の $F\in \mathcal{F}_J$ に対し、
$$
\left\lVert \sum_{j\in F}x_j-\sum_{j\in F_{\epsilon}}x_j\right\rVert<\epsilon
$$
となる。よって任意の $j\in J\backslash F_{\epsilon}$ に対し $\lVert x_j\rVert<\epsilon$ であるから、$J_{\epsilon}\subset F_{\epsilon}$ である。ゆえに $J_{\epsilon}$ は有限集合である。
{{end |proof | }}

=== 定義5.4（非負数の総和） ===
$J$ を空でない集合とし、各 $j\in J$ に対し $x_j\in [0,\infty]$ が与えられているとする。$J$ の有限部分集合全体 $\mathcal{F}_J$ に対し、
$$
\sum_{j\in J}x_j=\sup_{F\in \mathcal{F_J}}\sum_{j\in F}x_j\in [0,\infty]
$$
と定義する。$\mathbb{R}$ の上に有界な単調増加ネットは上限に収束するから、この定義は $x_j\in [0,\infty)$ $(\forall j\in J)$ で $\sum_{j\in J}x_j$ が収束する場合と矛盾しない。

=== 定義5.5（総和の絶対収束） ===
$X$ をノルム空間、$J$ を集合とし、各 $j\in J$ に対し $x_j\in X$ が与えられているとする。$\sum_{j\in J}\lVert x_j\rVert<\infty$ が成り立つとき $\sum_{j\in J}x_j$ は絶対収束すると言う。

=== 命題5.6（Banach空間における総和について絶対収束 $\Rightarrow$ 収束） ===
$X$をBanach空間、$J$を集合とし、各 $j\in J$ に対し $x_j\in X$ が与えられているとする。そして $\sum_{j\in J}x_j$ が絶対収束するとする。このとき $\sum_{j\in J}x_j$ は収束する。
{{begin |proof }}
$J_0=\{j\in J:x_j\neq0\}$ とおく。'''命題5.3'''より $J_0$ は可算集合である。もし $J_0$ が有限集合ならば明らかに $\sum_{j\in J}x_j$ は $\sum_{j\in J_0}x_j$ に収束する。そこで $J_0$ は可算無限集合であるとし $\mathbb{N}\ni n\mapsto j_n\in J_0$ を全単射とする。
$$
\sum_{n=1}^{\infty}\lVert x_{j_n}\rVert=\sum_{n\in \mathbb{N}}\lVert x_{j_n}\rVert=\sum_{j\in J_0}\lVert x_j\rVert=\sum_{j\in J}\lVert x_j\rVert<\infty
$$
であり、$N>M$ なる任意の $N,M\in \mathbb{N}$ に対し、
$$
\left\lVert\sum_{n=1}^{N}x_{j_n}-\sum_{n=1}^{M}x_{j_n}\right\rVert
\leq \sum_{n=M+1}^{N}\lVert x_{j_n}\rVert
=\sum_{n=1}^{N}\lVert x_{j_n}\rVert-\sum_{n=1}^{M}\lVert x_{j_n}\rVert
$$
であるから $X$ の完備性より$\sum_{n=1}^{\infty}x_{j_n}$ は収束する。任意の $\epsilon\in(0,\infty)$ に対し $N\in \mathbb{N}$ で、
$$
\left\lVert \sum_{n=1}^{\infty}x_{j_n}-\sum_{n=1}^{N}x_{j_n}\right\rVert<\frac{\epsilon}{2},\quad \sum_{n\geq N+1}\lVert x_{j_n}\rVert<\frac{\epsilon}{2}
$$
なるものを取ると、$F\supset \{j_1,\ldots,j_N\}$ なる任意の $F\in \mathcal{F}_J$に対し,
$$
\left\lVert \sum_{n=1}^{\infty}x_{j_n}-\sum_{j\in F}x_j\right\rVert
\leq \lVert \sum_{n=1}^{\infty}x_{j_n}-\sum_{n=1}^{N}x_{j_n}\rVert+\sum_{n\geq N+1}\lVert x_{j_n}\rVert<\epsilon
$$
となるので $\sum_{j\in J}x_j$ は $\sum_{n=1}^{\infty}x_{j_n}$ に収束する。
{{end |proof | }}

== 6. 内積、Hilbert空間、直交分解、Rieszの定理 ==

=== 定義6.1（内積、内積空間、Hilbert空間） ===
$\mathcal{H}$ を $\mathbb{F}$ 上の線形空間とする。
$$
(\cdot\mid \cdot)\colon\mathcal{H}\times \mathcal{H}\ni (u,v)\mapsto (u\mid v)\in \mathbb{F}
$$
が $\mathcal{H}$ 上の内積であるとは次が成り立つことを言う。

*$(1)$　任意の $u\in\mathcal{H}$ に対し $\mathcal{H}\ni v\mapsto (u\mid v)\in \mathbb{F}$ は線形汎関数。
*$(2)$　任意の $u,v\in \mathcal{H}$ に対し $\overline{(u\mid v)}=(v\mid u)$.
*$(3)$　任意の $v\in \mathcal{H}$ に対し $(v\mid v)\geq0$.
*$(4)$　$(v\mid v)=0$ $\Leftrightarrow$ $v=0$. 
内積が備わった $\mathbb{F}$ 上の線形空間を $\mathbb{F}$ 上の内積空間と言う。
$$
\lVert v\rVert:=\sqrt{(v\mid v)}\quad(\forall v\in \mathcal{H})
$$
とおくと、Schwarzの不等式（次の'''命題6.2'''）
$$
\lvert (u\mid v)\rvert\leq \lVert u\rVert \lVert v\rVert\quad(\forall u,v\in\mathcal{H})
$$
が成り立つので、$\mathcal{H}\ni v\mapsto \lVert v\rVert \in [0,\infty)$ は $\mathcal{H}$ 上のノルムである。このノルムを内積から誘導されるノルムと言う。内積空間はこの内積から誘導されるノルムによるノルム空間とみなす。内積空間でBanach空間であるものをHilbert空間と言う。

ユークリッド空間 $\mathbb{R}^N$ は $\mathbb{R}$ 上のHilbert空間、ユニタリ空間 $\mathbb{C}^N$ は $\mathbb{C}$ 上のHilbert空間である。

=== 命題6.2（Schwarzの不等式） ===
$\mathcal{H}$ を内積空間とすると、任意の $u,v\in \mathcal{H}$ に対し、
$$
\lvert(u\mid v)\rvert\leq \lVert u\rVert\lVert v\rVert,\quad
\lVert u+v\rVert\leq \lVert u\rVert+\lVert v\rVert
\quad(\forall u,v\in \mathcal{H})
$$
が成り立つ。
{{begin |proof }}
$v=0$ ならば自明であるので $v\neq0$ とする。任意の $\alpha\in \mathbb{F}$ に対し、
$$
0\leq (u-\alpha v\mid u-\alpha v)=\lVert u\rVert^2-\overline{\alpha(u\mid v)}-\alpha(u\mid v)+\lvert\alpha\rvert^2\lVert v\rVert^2
$$
であるから、
$$
\alpha\colon=\frac{(v\mid u)}{\lVert v\rVert^2}
$$
とおけば、
$$
0\leq \lVert u\rVert^2-\frac{\lvert (u\mid v)\rvert^2}{\lVert v\rVert^2}
$$
を得る。よって $\lvert (u\mid v)\rvert\leq \lVert u\rVert\lVert v\rVert$ が成り立つ。そしてこれより、
$$
\lVert u+v\rVert^2=(u+v\mid u+v)=\lVert u\rVert^2+2\text{Re}(u\mid v)+\lVert v\rVert^2\leq \lVert u\rVert^2+2\lVert u\rVert\lVert v\rVert+\lVert v\rVert^2
=(\lVert u\rVert+\lVert v\rVert)^2
$$
であるから $\lVert u+v\rVert\leq \lVert u\rVert+\lVert v\rVert$ が成り立つ。
{{end |proof | }}

=== 定義6.3（反線形写像） ===
$V,W$ を $\mathbb{F}$ 上の線形空間とする。$T\colon V\rightarrow W$ が反線形写像であるとは、
$$
T(u+v)=Tu+Tv,\quad T\alpha v=\overline{\alpha}Tv\quad(\forall u,v\in V,\forall \alpha\in \mathbb{F})
$$
が成り立つことを言う。$\mathbb{F}=\mathbb{R}$ の場合、反線形写像は線形写像である。

=== 定義6.4（準双線形写像（汎関数）） ===

$U,V,W$ を $\mathbb{F}$ 上の線形空間とする。
$$
\Phi\colon U\times V\ni (u,v)\mapsto \Phi(u,v)\in W
$$
が準双線形写像であるとは、任意の $u\in U$ に対し $V\ni v\mapsto \Phi(u,v)\in W$ が線形写像であり、任意の $v\in V$ に対し $U\ni u\mapsto \Phi(u,v)\in W$ が反線形写像であることを言う。$W=\mathbb{F}$ である場合は準双線形汎関数と言う。

=== 定義6.5（有界（準）双線形写像） ===
$U,V,W$ を $\mathbb{F}$ 上のノルム空間とする。（準）双線形写像 $\Phi\colon U\times V\rightarrow W$ に対し、
$$
\lVert \Phi\rVert\colon=\sup\{\lVert \Phi(u,v)\rVert:\lVert u\rVert\leq1,\lVert v\rVert\leq1\}
$$
とおく。$\lVert \Phi\rVert<\infty$ であるとき $\Phi$ は有界であると言い、$\lVert\Phi\rVert$ を $\Phi$ のノルムと言う。
$$
\lVert \Phi(u,v)\rVert\leq \lVert \Phi\rVert\lVert u\rVert\lVert v\rVert\quad(\forall u\in U,\forall v\in V)
$$
であるから有界（準）双線形写像 $\Phi\colon U\times V\rightarrow W$ は直積位相に関して連続である。

=== 注意6.6（内積はノルムが $1$ 以下の有界準双線形汎関数） ===
Schwarzの不等式より内積 $\mathcal{H}\times\mathcal{H}\ni (u,v)\mapsto (u\mid v)\in \mathbb{F}$ はノルムが $1$ 以下の有界準双線形汎関数である。上で述べているように内積は直積位相で連続である。

=== 定義6.7（直交、直交補空間） ===
$\mathcal{H}$ を内積空間とする。$u,v\in \mathcal{H}$ に対し $(u\mid v)=0$ が成り立つとき $u$ と $v$ は互いに直交すると言う。また $E,F\subset \mathcal{H}$ に対し $(u\mid v)=0$ $(\forall u\in E,\forall v\in F)$ が成り立つとき $E,F$ は互いに直交すると言う。$E\subset \mathcal{H}$ に対し、
$$
E^{\perp}\colon=\{v\in \mathcal{H}:\forall u\in E, (u\mid v)=0\}
$$
を $E$ の直交補空間と言う。内積の連続性より $E^{\perp}\subset \mathcal{H}$ は閉部分空間であり、$E^{\perp}=(\overline{E})^{\perp}$ である。

=== 注意6.8（中線定理） ===
$\mathcal{H}$ を内積空間とする。任意の $u,v\in \mathcal{H}$ に対し、
$$
\lVert u+v\rVert^2+\lVert u-v\rVert^2=2(\lVert u\rVert^2+\lVert v\rVert^2)
$$
が成り立つ。

=== 補題6.9（Hilbert空間の閉凸集合と最適近似） ===
$\mathcal{H}$ をHilbert空間、$C\subset \mathcal{H}$ を閉凸集合とする。このとき任意の $u\in \mathcal{H}$ に対し、
$$
\lVert u-v_0\rVert=d(u,C)
$$
を満たす $v_0\in C$ が唯一つ存在する。ただし $d(u,C)$ は $u$ と $C$ の距離、すなわち、
$$
d(u,C)=\inf\{\lVert u-v\rVert:v\in C\}
$$
である。
{{begin |proof }}
下限の定義より $C$ の列 $(v_n)_{n\in \mathbb{N}}$ で、
$$
d(u,C)=\lim_{n\rightarrow\infty}\lVert u-v_n\rVert
$$
を満たすものが取れる。中線定理より任意の $n,m\in \mathbb{N}$ に対し、
$$
\lVert (u-v_n)+(u-v_m)\rVert^2+\lVert v_n-v_m\rVert^2
=2(\lVert u-v_n\rVert^2+\lVert u-v_m\rVert^2)
$$
であり、$C$ が凸集合であることから、
$$
\lVert (u-v_n)+(u-v_m)\rVert^2
=4\left\lVert u-\frac{1}{2}(v_n+v_m)\right\rVert^2\geq 4d(u,C)^2
$$
であるので、
$$
\lVert v_n-v_m\rVert^2\leq 2\{(\lVert u-v_n\rVert^2-d(u,C)^2)+(\lVert u-v_m\rVert^2-d(u,C)^2)\}
$$
である。よって $(v_n)_{n\in \mathbb{N}}$ はCauchy列である。$\mathcal{H}$ はHilbert空間であり $C$ は閉であるから $(v_n)_{n\in \mathbb{N}}$ はある $v_0\in C$ に収束し、
$$
\lVert u-v_0\rVert=\lim_{n\rightarrow\infty}\lVert u-v_n\rVert=d(u,C)
$$
である。もし $v_0'\in C$ も $\lVert u-v_0'\rVert=d(u,C)$ を満たすならば、中線定理より、
$$
\begin{aligned}
4d(u,C)^2&=\lVert (u-v_0)+(u-v_0')\rVert^2+\lVert v_0-v_0'\rVert^2\\
&=4\left\lVert u-\frac{1}{2}(v_0+v_0')\right\rVert^2+\lVert v_0-v_0'\rVert^2\\
&\geq 4d(u,C)^2+\lVert v_0-v_0'\rVert^2
\end{aligned}
$$
である。よって $\lVert v_0-v_0'\rVert=0$ であるから $v_0=v_0'$ である。
{{end |proof | }}

=== 注意6.10（互いに直交する部分空間の和は直和） ===
$\mathcal{H}$ を内積空間、$M,N\subset \mathcal{H}$ を互いに直交する部分空間とする。このとき任意の $v\in M\cap N$ に対し $\lVert v\rvert^2=(v\mid v)=0$ であるので $M\cap N=\{0\}$ である。よって和空間 $M+N=\{u+v:u\in M,v\in N\}$ は直和 $M\oplus N$ である。

=== 定理6.11（Hilbert空間の直交分解） ===
$\mathcal{H}$ をHilbert空間、$M\subset \mathcal{H}$ を閉部分空間とする。このとき、
$$
\mathcal{H}=M\oplus M^{\perp}
$$
が成り立つ。
{{begin |proof }}
任意の $v\in \mathcal{H}$ に対し'''補題6.9'''より $\lVert v-v_1\rVert=d(v,M)$ なる $v_1\in M$ が一意存在する。$v_2\colon=v-v_1$ とおき、$v_2\in M^{\perp}$ が成り立つことを示せばよい。任意の $u\in M$ と任意の $\epsilon\in(0,\infty)$ に対し、
$$
\lVert v_2\mp\epsilon u\rVert=\lVert v-(v_1\pm \epsilon u)\rVert
\geq d(v,M)=\lVert v_2\rVert
$$
であるから、
$$
\lVert v_2\rVert^2\leq \lVert v_2\rVert^2\mp 2\epsilon\text{Re}(v_2\mid u)+\epsilon^2\lVert u\rVert^2
$$
である。したがって、
$$
\pm2\text{Re}(v_2\mid u)\leq\epsilon\lVert u\rVert^2\quad(\forall u\in M,\forall \epsilon\in (0,\infty))
$$
が成り立つ。よって $u\in M$ と $\epsilon\in(0,\infty)$ の任意性より、
$$
{\rm Re}(v_2\mid u)=0\quad(\forall u\in M)
$$
である。$\mathcal{H}$ が $\mathbb{C}$ 上のHilbert空間の場合は、
$$
{\rm Im}(v_2\mid u)=-{\rm Re}(v_2\mid iu)=0\quad(\forall u\in M)
$$
である。よって $v_2\in M^{\perp}$ である。
{{end |proof | }}

=== 命題6.12（Hilbert空間の部分空間の閉包は第二直交補空間） ===
Hilbert空間 $\mathcal{H}$ の部分空間 $M$ に対し、
$$
M^{\perp\perp}=\overline{M}
$$
が成り立つ。
{{begin |proof}}
$(M)^{\perp}=(\overline{M})^{\perp}$ であるから、$M$ は閉部分空間であるとして示せば十分である。$M\subset M^{\perp\perp}$ は自明である。逆の包含関係を示す。任意の $v\in M^{\perp\perp}$ に対し'''定理6.11'''より、
$$
v=v_1+v_2,\quad v_1\in M,\quad v_2\in M^{\perp}
$$
と表され、$v_1\in M\subset M^{\perp\perp}$ より、
$$
v_2=v-v_1\in M^{\perp}\cap M^{\perp\perp}=\{0\}
$$
である。よって $v=v_1\in M$ である。
{{end |proof | }}

=== 定理6.13（Rieszの定理） ===
Hilbert空間 $\mathcal{H}$ に対し、
$$
\mathcal{H}\ni v\mapsto (v\mid \cdot)\in \mathcal{H}^*
$$
はノルムを保存する全単射反線形写像である。
{{begin |proof}}
内積の定義より反線形写像であり、Schwarzの不等式より任意の $v\in \mathcal{H}$ に対し $\lVert (v\mid \cdot)\rVert\leq\lVert v\rVert$ である。また、
$$
\lVert v\rVert^2=(v\mid v)\leq \lVert (v\mid\cdot)\rVert\lVert v\rVert
$$
であるから $\lVert (v\mid \cdot)\rVert=\lVert v\rVert$ である。後は全射であることを示せばよい。任意の $\varphi\in \mathcal{H}^*$ を取る。$\varphi=0$ ならば $\varphi=(0\mid\cdot)$ であるから $\varphi\neq0$ とする。このとき閉部分空間 $\text{Ker}(\varphi)$（閉であることは $\varphi$ の連続性による）に対し、$\text{Ker}(\varphi)\neq\mathcal{H}$ であるから、'''定理6.11'''より、$v_0\in (\text{Ker}(\varphi))^{\perp}$ で $\varphi(v_0)\neq0$ なるものが取れる。線形性より $\varphi(v_0)=1$ としてよい。このとき任意の $v\in \mathcal{H}$ に対し $v-\varphi(v)v_0\in \text{Ker}(\varphi)$ であるから、
$$
0=(v_0\mid v-\varphi(v)v_0)=(v_0\mid v)-\lVert v_0\rVert^2\varphi(v)
$$
である。よって $\varphi=(\lVert v_0\rVert^{-2}v_o\mid \cdot)$ であるから、全射である。
{{end |proof | }}

== 7. Hilbert空間上の有界線形作用素の共役作用素 ==

===定理7.1（Hilbert空間上の有界準双線形汎関数に対応する有界線形作用素）===
$\mathcal{H},\mathcal{K}$ を $\mathbb{F}$ 上のHilbert空間とし、$\Phi\colon\mathcal{H}\times \mathcal{K}\rightarrow\mathbb{F}$ を有界準双線形汎関数とする。このとき、
$$
\Phi(u,v)=(u\mid Tv)\quad(\forall u\in \mathcal{H}, \forall v\in \mathcal{K})
$$
を満たす $T\in \mathbb{B}(\mathcal{K},\mathcal{H})$ が唯一つ存在する。そして $\lVert \Phi\rVert=\lVert T\rVert$ が成り立つ。
{{begin |proof }}
一意性を示す。$T_1,T_2\in \mathbb{B}(\mathcal{K},\mathcal{H})$ が、
$$
(u\mid T_1v)=\Phi(u,v)=(u\mid T_2v)\quad(\forall u\in \mathcal{H},\forall v\in \mathcal{K})
$$
を満たすとすると、
$$
(u\mid T_1v-T_2v)=0\quad(\forall u\in \mathcal{H},\forall v\in \mathcal{K})
$$
である。よって $T_1v-T_2v=0$ $(\forall v\in \mathcal{K})$ であるから $T_1=T_2$ である。これで一意性が示せた。 
存在を示す。任意の $v\in \mathcal{K}$ に対し $\overline{\Phi(\cdot,v)}\in \mathcal{H}^*$ であるから、Rieszの定理より、$Tv\in \mathcal{H}$ で、
$$
\Phi(u,v)=(u\mid Tv)\quad(\forall u\in \mathcal{H})
$$
を満たすものが一意的に定まる。こうして $T\colon\mathcal{K}\rightarrow\mathcal{H}$ で、
$$
\Phi(u,v)=(u\mid Tv)\quad(\forall u\in \mathcal{H})
$$
なるものが定義できる。このとき $\Phi$ と内積の準双線形性より、
$$
(u\mid T(v_1+v_2))=\Phi(u,v_1+v_2)=\Phi(u,v_1)+\Phi(u,v_2)=(u\mid Tv_1+Tv_2)\quad(\forall u\in \mathcal{H},\forall v_1,v_2\in \mathcal{K}),
$$
$$
(u\mid T\alpha v)=\Phi(u,\alpha v)=\alpha\Phi(u,v)=\alpha(u\mid Tv)=(u\mid \alpha Tv)\quad(\forall u\in \mathcal{H},\forall v\in \mathcal{K},\forall \alpha\in \mathbb{F})
$$
であるから、$T\colon\mathcal{K}\rightarrow\mathcal{H}$ は線形写像であり、
$$
\lVert Tv\rVert^2=(Tv\mid Tv)=\Phi(Tv,v)\leq \lVert \Phi\rVert\lVert Tv\rVert\lVert v\rVert\quad(\forall v\in \mathcal{K})
$$
であるから、$T\in\mathbb{B}(\mathcal{K},\mathcal{H})$、$\lVert T\rVert\leq \lVert \Phi\rVert$ である。またSchwarzの不等式より、
$$
\lvert\Phi(u,v)\rvert=\lvert(u\mid Tv)\rvert\leq \lVert u\rVert\lVert Tv\rVert\leq \lVert T\rVert\lVert u\rVert\lVert v\rVert\quad(\forall u\in \mathcal{H},\forall v\in \mathcal{K})
$$
であるから、$\lVert\Phi\rVert\leq \lVert T\rVert$ である。
{{end |proof | }}

=== 命題7.2　 ===
$\mathcal{H},\mathcal{K}$ を $\mathbb{F}$ 上のHilbert空間とし、$T\in \mathbb{B}(\mathcal{H},\mathcal{K})$ とする。このとき準双線形汎関数
$$
\Phi\colon\mathcal{H}\times \mathcal{K}\ni (u,v)\mapsto (Tu\mid v)\in \mathbb{K}
$$
は有界であり、そのノルムは $\lVert T\rVert$ である。
{{begin |proof}}
Schwarzの不等式より、
$$
\lvert\Phi(u,v)\rvert=\lvert (Tu\mid v)\rvert\leq \lVert Tu\rVert\lVert v\rVert\leq \lVert T\rVert\lVert u\rVert\lVert v\rVert\quad(\forall u\in \mathcal{H},\forall v\in \mathcal{K})
$$
であるから $\Phi$ は有界であり、$\lVert \Phi\rVert\leq \lVert T\rVert$ が成り立つ。また、
$$
\lVert Tu\rVert^2=\Phi(u,Tu)\leq \lVert \Phi\rVert\lVert u\rVert\lVert Tu\rVert
\leq \lVert \Phi\rVert\lVert T\rVert\lVert u\rVert^2\quad(\forall u\in \mathcal{H})
$$
であるから $\lVert T\rVert^2\leq \lVert \Phi\rVert\lVert T\rVert$、よって $\lVert T\rVert\leq \lVert\Phi\rVert$ である。
{{end|proof}}

=== 定義7.3（Hilbert空間上の有界線形作用素の共役作用素） ===
$\mathcal{H},\mathcal{K}$ を $\mathbb{F}$ 上のHilbert空間とし、$T\in \mathbb{B}(\mathcal{H},\mathcal{K})$ とする。このとき'''定理7.1'''と'''命題7.2'''より、 $T^*\in \mathcal{B}(\mathcal{K},\mathcal{H})$ で、
$$
(Tu\mid v)=(u\mid T^*v)\quad(\forall u\in \mathcal{H},\forall v\in \mathcal{K})
$$
を満たすものが唯一つ存在し、$\lVert T\rVert=\lVert T^*\rVert$ である。$T^*$ を $T$ の共役作用素と言う。

=== 命題7.4（共役作用素の基本性質） ===
$\mathcal{H},\mathcal{K},\mathcal{L}$ を $\mathbb{F}$ 上のHilbert空間とする。次が成り立つ。
*$(1)$　任意の $S,T\in \mathbb{B}(\mathcal{H},\mathcal{K})$ に対し $(S+T)^*=S^*+T^*$.
*$(2)$　任意の $T\in \mathbb{B}(\mathcal{H},\mathcal{K})$ と任意の $\alpha\in\mathbb{F}$ に対し $(\alpha T)^*=\overline{\alpha}T^*$.
*$(3)$　任意の $T\in \mathbb{B}(\mathcal{H},\mathcal{K})$、$S\in \mathbb{B}(\mathcal{K},\mathcal{L})$ に対し $(ST)^*=T^*S^*$ (ただし $ST$ は $S$ と $T$ の合成である)。
*$(4)$　任意の $T\in \mathbb{B}(\mathcal{H},\mathcal{K})$ に対し $T^{**}=T$.
*$(5)$　任意の $T\in \mathbb{B}(\mathcal{H},\mathcal{K})$ に対し $\lVert T^*T\rVert=\lVert T\rVert^2$.
*$(6)$　任意の $T\in \mathbb{B}(\mathcal{H},\mathcal{K})$ に対し $({\rm Ran}(T))^{\perp}={\rm Ker}(T^*)$.
{{begin |proof}}
$(1)\sim(4),(6)$ は共役作用素の定義より容易に確かめられる。$(5)$ は、
$$
\lVert Tv\rVert^2=(Tv\mid Tv)=(v\mid T^*Tv)\leq \lVert v\rVert\lVert T^*Tv\rVert\leq \lVert T^*T\rVert\lVert v\rVert^2\quad(\forall v\in \mathcal{H})
$$
より $\lVert T\rVert^2\leq \lVert T^*T\rVert\leq \lVert T^*\rVert\lVert T\rVert=\lVert T\rVert^2$ であるから成り立つ。
{{end |proof | }}

=== 系7.5（Hilbert空間 $\mathcal{H}$ に対し $\mathbb{B}(\mathcal{H})$ は $C^*$ -環） ===
$\mathbb{F}$ 上のHilbert空間 $\mathcal{H}$ に対しBanach環 $\mathbb{B}(\mathcal{H})$ は、$\mathbb{B}(\mathcal{H})\ni T\mapsto T^*\in \mathbb{B}(\mathcal{H})$ を対合として $\mathbb{F}$ 上の $C^*$-環である。

== Hilbert空間のCONS ==

Hilbert空間のCONSについては、[[測度と積分6：数え上げ測度と $\ell^p$ 空間]]を参照されたい。

== $\ell^p$ 直和Banach空間、直和Hilbert空間 ==

$\ell^p$ 直和Banach空間、直和Hilbert空間については、[[測度と積分6：数え上げ測度と $\ell^p$ 空間]]を参照されたい。

== 次のページ ==
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== 関連項目 ==
* [[入門テキスト「位相線形空間」]]
* [[速習コース「位相空間論の基礎事項」]]
* [[ネットによる位相空間論]]
* [[距離空間の位相の基本的性質]]
* [[入門テキスト「測度と積分」]]
* [[Hilbert空間上の作用素論]]

速習「線形空間論」

2026-01-28T05:39:55Z

Kataoka: /* 命題5.10（余因子行列と逆行列） */

本稿においては関数解析やベクトル解析のために最低限必要と思われる線形空間論について述べる。以下の議論において体 $\mathbb{F}$ としては基本的に $\mathbb{R}$ か $\mathbb{C}$ が念頭にある。また、$\mathbb{N}=\{1,2,3,\ldots\}$ とする。

== 1. 線形空間、多元環、$*$-環、行列化 ==

=== 定義1.1（線形空間） ===
$\mathbb{F}$ を体とする。空でない集合 $V$ に加法とスカラー倍と呼ばれる演算
*'''加法'''　$V\times V\ni (u,v)\mapsto u+v\in V$,

*'''スカラー倍'''　$\mathbb{F}\times V\ni (\alpha, v)\mapsto \alpha v\in V$

が定義されており、加法に関して加法群をなし、
*$(1)$　任意の $v\in V$ に対し $1v=v$.
*$(2)$　任意の $\alpha,\beta\in\mathbb{F}$ と任意の $v\in V$ に対し $(\alpha\beta)v=\alpha(\beta v)$.
*$(3)$　任意の$\alpha,\beta\in \mathbb{F}$ と任意の $v\in V$ に対し $(\alpha+\beta)v=\alpha v+\beta v$.
*$(4)$　任意の $\alpha\in \mathbb{F}$ と任意の $u,v\in V$ に対し $\alpha(u+v)=\alpha u+\alpha v$.
が成り立つとする。このとき $V$ を $\mathbb{F}$ 上の線形空間と言う。

=== 命題1.2 ===
$V$ を体 $\mathbb{F}$ 上の線型空間とする。
*$(1)$　任意の $v\in V$ に対し $0v=0$であり、任意の $\alpha\in \mathbb{F}$ に対し $\alpha 0=0$.
*$(2)$　$\alpha\in \mathbb{F}$、$v\in V$ が $\alpha v=0$ を満たすならば $\alpha=0$ か $v=0$ である。
{{begin|proof}}
*$(1)$　$v=(1+0)v=v+0v$ より $0v=0$ である。$\alpha 0=\alpha(0+0)=\alpha 0+\alpha 0$ より $\alpha 0=0$ である。
*$(2)$　$\alpha\neq0$ ならば $0=\alpha^{-1}0=\alpha^{-1}(\alpha v)=(\alpha^{-1}\alpha )v=1v=v$ である。
{{end|proof|}}

=== 例1.3　 ===
ユークリッド空間 $\mathbb{R}^n$ は $\mathbb{R}$ 上の線形空間、ユニタリ空間 $\mathbb{C}^n$ は $\mathbb{C}$ 上の線形空間である。

=== 定義1.4（多元環） ===
$V$を体 $\mathbb{F}$ 上の線形空間とする。$V$ に加法とスカラー倍に加えて、
*'''乗法'''　$V\times V\ni (u,v)\mapsto uv\in V$
が定義されており、加法と乗法に関して環をなし、
$$
\alpha(uv)=(\alpha u)v=u(\alpha v)\quad(\forall \alpha\in \mathbb{F},\forall u,v\in V)
$$
が成り立つとき $V$ を $\mathbb{F}$ 上の多元環と言う。

=== 定義1.5（$*$-環） ===
$\mathbb{F}$ を $\mathbb{R}$ か $\mathbb{C}$ とし、$V$ を $\mathbb{F}$ 上の多元環とする。$V$ に加法、スカラー倍、乗法に加えて対合と呼ばれる演算
*'''対合'''　$V\ni v\mapsto v^*\in V$
が定義されており、
*$(1)$　任意の$u,v\in V$ に対し $(u+v)^*=u^*+v^*$.
*$(2)$　任意の$\alpha\in \mathbb{F}$、$v\in V$ に対し $(\alpha v)^*=\overline{\alpha}v^*$.
*$(3)$　任意の $u,v\in V$ に対し $(uv)^*=v^*u^*$.
*$(4)$　任意の$v\in V$ に対し $v^{**}=v$.
が成り立つとき $V$ を $\mathbb{F}$ 上の $*$-環と言う。

=== 定義1.6（各点ごとの演算） ===
$J$ を空でない集合とし、各 $j\in J$ に対し $\mathbb{F}$ 上の線形空間（多元環、$*$-環）$V_j$ が与えられているとする。このとき直積 $\prod_{j\in J}V_j$ は各成分ごとの演算
*'''加法'''　$(u_j)_{j\in J}+(v_j)_{j\in J}=(u_j+v_j)_{j\in J}$.
*'''スカラー倍'''　$\alpha (v_j)_{j\in J}=(\alpha v_j)_{j\in J}$.
*'''乗法'''　$(u_j)_{j\in J}(v_j)_{j\in J}=(u_jv_j)_{j\in J}$.（各 $V_j$ が多元環である場合。）.
*'''対合'''　$(v_j)_{j\in J}^*=(v_j^*)_{j\in J}$.（$\mathbb{F}$ が $\mathbb{R}$ か $\mathbb{C}$ で各 $V_j$ が $\mathbb{F}$ 上の $*$-環である場合。）
により $\mathbb{F}$ 上の線形空間（多元環、$*$-環）である。

=== 定義1.7（行列化） ===
$V$ を $\mathbb{F}$ 上の線形空間とする。$m,n\in\mathbb{N}$ に対し $V$ の元を成分とする $m\times n$ 行列全体 $\mathbb{M}_{m\times n}(V)$ は各成分ごとの演算により $\mathbb{F}$ 上の線形空間である. 
$V$ を $\mathbb{F}$ 上の多元環とする。$\ell,m,n\in \mathbb{N}$ とし、任意の $u=(u_{i,j})_{i,j}\in \mathbb{M}_{\ell\times m}(V)$ と $v=(v_{i,j})_{i,j}\in \mathbb{M}_{m\times n}(V)$ に対し、$u,v$ の積
$$
uv\colon=\left(\sum_{k=1}^{m}u_{i,k}v_{k,j}\right)_{i,j}\in \mathbb{M}_{\ell\times n}(V)
$$
を定義する。このとき任意の $\alpha\in \mathbb{F}$、$u,u_1,u_2\in \mathbb{M}_{\ell\times m}(V)$、$v,v_1,v_2\in \mathbb{M}_{m\times n}(V)$ に対し、
$$
\alpha(uv)=(\alpha u)v=u(\alpha v),\quad
u(v+w)=uv+uw,\quad (u+v)w=uw+vw
$$
である。よって特に任意の $n\in \mathbb{N}$ に対し、$V$ の元を成分とする $n\times n$ 行列全体 $\mathbb{M}_{n\times n}(V)$ は、
$$
\mathbb{M}_{n\times n}(V)\times \mathbb{M}_{n\times n}(V)\ni (u,v)\mapsto uv\in \mathbb{M}_{n\times n}(V)
$$
を乗法として多元環をなす。もし $V$ が単位元 $1$ を持つならば、
$$
\delta_{i,j}\colon=\left\{\begin{array}{ll}1&(i=j)\\0&(i\neq j)\end{array}\right.\quad(i,j\in \{1,\ldots,N\})
$$
に対し $(\delta_{i,j})_{i,j}$ は$\mathbb{M}_{n\times n}(V)$の単位元である。$\mathbb{F}$ を $\mathbb{R}$ または $\mathbb{C}$ とし、$V$ を $\mathbb{F}$ 上の *-環とする。$m,n\in \mathbb{N}$ とし、任意の $v=(v_{i,j})_{i,j}\in\mathbb{M}_{m\times n}(V)$ に対し、
$$
v^*\colon=(v_{j,i}^*)_{i,j}\in \mathbb{M}_{n\times m}(V)
$$
を定義する。このとき $V$ の元を成分とする行列 $u,v$ と $\alpha\in\mathbb{F}$ に対し、
$$
(\alpha v)^*=\overline{\alpha}v^*,\quad (uv)^*=v^*u^*,\quad (u+v)^*=u^*+v^*,\quad v^{**}=v
$$
が成り立つ。よって特に任意の $n\in \mathbb{N}$ に対し $V$ の元を成分とする $n\times n$ 行列全体 $\mathbb{M}_{n\times n}(V)$ は、
$$
\mathbb{M}_{n\times n}(V)\ni v\mapsto v^*\in \mathbb{M}_{n\times n}(V)
$$
を対合として $*$-環をなす。

=== 例1.8 ===
$\mathbb{F}$ を $\mathbb{R}$ か $\mathbb{C}$ とすると、
$\mathbb{M}_{n\times n}(\mathbb{F})$ は $\mathbb{F}$ 上の単位的 $*$-環である。

== 2. 部分空間、イデアル ==

=== 定義2.1（部分空間、部分多元環、部分 $*$-環） ===
$V$ を線形空間（resp. 多元環、$*$-環）とする。空でない $M\subset V$ が $V$ の演算で閉じているとき $M$ を $V$ の（線形）部分空間（resp. 部分多元環、部分 $*$-環）と言う。このとき $M$ 自体、$V$ の演算を受け継いで $\mathbb{F}$ 上の線形空間（resp. 多元環、$*$-環）である。

=== 定義2.2（イデアル、$*$-イデアル） ===
$V$を多元環（resp. $*$-環）とする。空でない $I\subset V$ が $V$ の演算で閉じており、さらに任意の $v\in V$ と $u\in I$ に対し $uv, vu\in I$ が成り立つとき $I$ を $V$ のイデアル（resp. $*$-イデアル）と言う。

== 3. 線形写像、準同型写像、$\mathbb{L}(V,W)$、$\mathbb{L}(V)$ ==

=== 定義3.1（線形写像、多元環準同型写像、$*$-環準同型写像） ===
$V,W$ を体 $\mathbb{F}$ 上の線形空間とする。写像 $T\colon V\rightarrow W$ が線形写像であるとは、
$$
T(v_1+v_2)=Tv_1+Tv_2,\quad T(\alpha v)=\alpha Tv\quad(\forall v,v_1,v_2\in V,\forall \alpha\in \mathbb{F})
$$
が成り立つこと（つまり加法とスカラー倍を保存すること）を言う。 
$V,W$ を多元環とする。写像 $T\colon V\rightarrow W$ が多元環準同型写像であるとは線形写像であって、
$$
T(v_1v_2)=Tv_1Tv_2\quad(\forall v_1,v_2\in V)
$$
が成り立つこと（つまり乗法を保存すること）を言う。 
$V,W$ を $*$-環とする。写像 $T\colon V\rightarrow W$ が $*$-環準同型写像であるとは多元環準同型写像であって、
$$
Tv^*=(Tv)^*\quad(\forall v\in V)
$$
が成り立つこと（つまり対合を保存すること）を言う。

=== 定義3.2（準同型写像、同型写像） ===
一般に同じ代数構造（群、環、体、線形空間、多元環、$*$-環など）を持つ空間 $V,W$ に対し、写像 $T\colon V\rightarrow W$ がその演算を保存する場合、$T$ を準同型写像と言う。準同型写像 $T\colon V\rightarrow W$ が全単射である場合、$T$ を同型写像と言う。

線形写像は線形空間の準同型写像である。

=== 定義3.3（線形写像の核と値域） ===
$V,W$ を $\mathbb{F}$ 上の線形空間、$T\colon V\rightarrow W$ を線形写像とする。
$$
\text{Ker}(T)\colon=\{v\in V:Tv=0\}
$$
とおき、これを $T$ の核と言う。また $T$ の値域は、
$$
\text{Ran}(T)=T(V)=\{Tv:v\in V\}
$$
と表すことがある（${\rm Im}(T)$ と表すこともある）。$\text{Ker}(T)$ は $V$ の部分空間、$\text{Ran}(T)$ は $W$ の部分空間である。$V,W$ を多元環（resp. $*$-環）とし、$T\colon V\rightarrow W$ を多元環準同型写像（resp. $*$-環準同型写像）とすると、$\text{Ker}(T)$ は $V$ のイデアル（resp. $*$-イデアル）であり、$\text{Ran}(T)$ は $W$ の部分多元環（resp. 部分 $*$-環）である。

=== 注意3.4（線形写像の核と単射性） ===
線形写像 $T\colon V\rightarrow W$ に対し、$T$ が単射であることと $\text{Ker}(T)=\{0\}$ であることは同値である。

=== 定義3.5（線形写像全体のなす線形空間 $\mathbb{L}(V,W)$ と多元環 $\mathbb{L}(V)$） ===
$V,W$ を $\mathbb{F}$ 上の線形空間とする。$V\rightarrow W$ の線形写像全体を $\mathbb{L}(V,W)$ と表す。$\mathbb{L}(V,W)$ は各点ごとの演算で $\mathbb{F}$ 上の線形空間をなす。$U,V,W$ を $\mathbb{F}$ 上の線形空間、$T\in \mathbb{L}(U,V)$、$S\in \mathbb{L}(V,W)$ とする。このとき合成写像 $S\circ T$ は $\mathbb{L}(U,W)$ に属する。線形写像の合成 $S\circ T$ は通常、$ST$ と表す。 $\mathbb{L}(V)\colon=\mathbb{L}(V,V)$ と表す。 $\mathbb{L}(V)$ は、
$$
\mathbb{L}(V)\times \mathbb{L}(V)\ni (S,T)\mapsto ST\in \mathbb{L}(V)
$$
を乗法、恒等写像を単位元として単位的多元環をなす。

== 3. 同値関係、商空間 ==

=== 定義3.1（同値関係, 商集合, 商写像） ===
集合 $X$ の二項関係 $\sim$ が $X$ の同値関係であるとは次が成り立つことを言う。
*'''反射律'''　任意の $x\in X$ に対し $x\sim x$.
*'''対称律'''　$x\sim y$ なる任意の $x,y\in X$ に対し $y\sim x$.
*'''推移律'''　$x\sim y$ かつ $y\sim z$ なる任意の $x,y,z\in X$ に対し $x\sim z$.
このとき任意の $x\in X$ に対し、
$$
[x]\colon=\{y\in X:y\sim x\}
$$
を $x$ の同値類と言う。任意の $x,y\in X$ に対し、
$$
[x]\cap [y]\neq \emptyset\quad\iff\quad x\sim y\quad \iff\quad
[x]=[y]
$$
である。$\sim$ に関する同値類全体からなる集合を、
$$
X/\sim\colon=\{[x]:x\in X\}
$$
と表す。これを同値関係 $\sim$ による商集合と言う。$X$ から商集合への全射
$$
X\ni x\mapsto [x]\in X/\sim
$$
を商写像と言う。

=== 定義3.2（商線形空間） ===
$V$ を体 $\mathbb{F}$ 上の線型空間、$M\subset V$ を部分空間とする。任意の $u,v\in V$ に対し、
$$
u\sim v\quad \iff \quad u-v\in M
$$
と定義すると、$\sim$ は $V$ の同値関係である。この同値関係による商集合を、
$$
V/M\colon=V/\sim=\{[v]:v\in V\}
$$
と表す。$V/M$ は、
$$
[u]+[v]\colon=[u+v],\quad \alpha[v]\colon=[\alpha v]\quad(\forall [u],[v]\in V/M, \forall \alpha\in \mathbb{F})
$$
を加法とスカラー倍として線形空間なす。この線形空間 $V/M$ を $M$ を法とする $V$ の商線形空間と言う。

=== 定義3.3（商多元環、商 $*$-環） ===
$V$ を多元環、$I\subset V$ をイデアルとする。商線形空間 $V/I=\{[v]:v\in V\}$ に、
$$
[u][v]\colon=[uv]\quad(\forall [u],[v]\in V/I)
$$
として乗法を定義すれば<ref>$[u_1]=[u_2]$, $[v_1]=[v_2]$ ならば $u_1v_1-u_2v_2=u_1(v_1-v_2)+(u_1-u_2)v_2\in I$ であるから $[u_1v_1]=[u_2v_2]$ である。</ref> $V/I$ は多元環をなす。この多元環 $V/I$ を $I$ を法とする $V$ の商多元環と言う。また $V$ が $*$-環で $I$ が $*$-イデアルならば商多元環 $V/I$ に、
$$
[v]^*\colon=[v^*]\quad(\forall [v]\in V/I)
$$
として対合を定義すれば $V/I$ は $*$-環をなす。この $*$-環 $V/I$ を $I$ を法とする $V$ の商 $*$-環と言う。

=== 注意3.4（商写像は全射準同型写像） ===
商線形空間 $V/M$ に対し商写像 $V\ni v\mapsto [v]\in V/M$ は全射線形写像である。また商多元環（resp. $*$-環）$V/I$ に対し商写像 $V\ni v\mapsto [v]\in V/I$ は全射多元環準同型写像（resp. 全射 $*$-環準同型写像）である。

== 4. 線形独立性、線形空間の次元 ==

=== 定義4.1（線形包、線形結合） ===
$V$ を $\mathbb{F}$ 上の線形空間とする。空でない $D\subset V$ に対し、
$$
\text{span}(D)\colon=\left\{\sum_{j=1}^{n}\alpha_jv_j: n\in \mathbb{N},\text{ }\alpha_1,\ldots,\alpha_n\in\mathbb{F},\text{ }v_1,\ldots,v_n\in D\right\}
$$
とおくと、$\text{span}(D)$ は $D$ を含む $V$ の線形部分空間の中で最小のものである。$\text{span}(D)$ を $D$ の線形包と言う。$v\in \text{span}(D)$ であることを $v$ は $D$ 元の線形結合であると言う。

=== 定義4.2（線形独立性） ===
$V$ を体 $\mathbb{F}$ 上の線形空間とする。
*$(1)$　有限個の $v_1,\ldots,v_n\in V$ が線形独立であるとは、
$$
\mathbb{F}^n\ni (\alpha_1,\ldots,\alpha_n)\mapsto \sum_{j=1}^{n}\alpha_jv_j\in V
$$
が単射であることを言う。
*$(2)$　空でない部分集合 $D\subset V$ が線形独立であることを、互いに異なる任意の有限個の $v_1,\ldots,v_n\in D$ に対し $v_1,\ldots,v_n$ が $(1)$ の意味で線形独立であることとして定義する。
*$(3)$　空でない集合 $J$ に対し、
$$
(v_j)_{j\in J}\colon J\ni j\mapsto v_j\in V
$$
が線形独立であることを、互いに異なる有限個の $j_1,\ldots,j_n\in J$ に対し $v_{j_1},\ldots,v_{j_n}$ が $(1)$ の意味で線形独立であることとして定義する。

=== 命題4.3 ===
$V$ を体 $\mathbb{F}$ 上の線形空間、$D\subset V$ を $D\backslash \{0\}\neq\emptyset$ なるものとする。このとき線形独立な $D_0\subset D$ で、
$$
\text{span}(D)=\text{span}(D_0)
$$
を満たすものが存在する。
{{begin |proof }}
$D\backslash \{0\}$ に含まれる線形独立な部分集合全体は集合の包含関係による順序によって帰納的順序集合である。よってZornの補題より極大なもの $D_0$ が取れる。もし $v\in D\backslash \text{span}(D_0)$ が存在するならば、$D_0\cup\{v\}$ は線形独立であるので $D_0$ の極大性に反する。よって $D\subset \text{span}(D_0)$ なので $\text{span}(D)=\text{span}(D_0)$ である。
{{end|proof|}}

=== 命題4.4 ===
$V$ を体 $\mathbb{F}$ 上の線形空間、$B,C\subset V$ を線形独立な部分集合とし $\text{span}(B)=\text{span}(C)$ が成り立つとする。このとき集合 $B,C$ の濃度は等しい。
{{begin |proof }}
*$(1)$　$B$ が有限集合の場合。$B$ は $n$ 個の元からなるとして $B=\{b_1,\ldots,b_n\}$ とおく。 $C$ が $n+1$ 個の互いに異なる元 $c_1,\ldots,c_{n},c_{n+1}$ を持つと仮定する。このとき $b_1,\ldots,b_n$ の並び替え $b_{k(1)},\ldots,b_{k(n)}$ で、
$$
\begin{aligned}
\text{span}(B)&=\text{span}\{b_{k(1)},\ldots,b_{k(n)}\}=\text{span}\{c_1,b_{k(2)},\ldots,b_{k(n)}\}\\
&=\text{span}\{c_1,c_2,b_{k(3)},\ldots,b_{k(n)}\}=\ldots =\text{span}\{c_1,\ldots,c_n\}
\end{aligned}
$$
なるものが取れ、
$$
c_{n+1}\in \text{span}(C)=\text{span}(B)=\text{span}\{c_1,\ldots,c_n\}
$$
であるので、 $c_1,\ldots,c_n,c_{n+1}$ の線形独立性に矛盾する。よって $C$ の元の個数は $B$ の元の個数以下である。全く対称的な議論により $B$ の元の個数は $C$ の元の個数以下である。
*$(2)$　$B$ が無限集合の場合。$(1)$ より $C$ も無限集合である。
任意の $b\in B$ に対し $b\in \text{span}(C)$ より $b=\text{span}(C_b)$ なる有限集合 $C_b\subset C$ が取れる。$C$ の線形独立性より $C=\bigcup_{b\in B}C_b$ が分かる。よって $B\times \mathbb{N}$ から $C$ への全射が存在する。$B$ は無限集合であるので、$B$ から $B\times \mathbb{N}$ への全単射が存在するので $B$ から $C$ への全射が存在する。全く対称的な議論により $C$ から $B$ への全射も存在する。よってBernsteinの定理より $B,C$ の濃度は等しい。
{{end|proof|}}

=== 定義4.5（線形空間の次元、基底） ===
$V$ を体 $\mathbb{F}$ 上の線型空間とする。$V$ の次元 $\text{dim}(V)\in \{0,1,2,\ldots\}\cup\{\infty\}$ を次のように定義する。 $V=\{0\}$ のとき $\text{dim}(V)=0$ とする。 $V\neq\{0\}$ のとき '''命題4.3'''より線形独立な部分集合 $B\subset V$ で $V=\text{span}(B)$ なるものが取れる。このような $B$ を $V$ の基底と言う。'''命題4.4'''より $V$ の基底の濃度は一意的である。そこで $V$ の基底が $n\in\mathbb{N}$ 個の元からなるとき、$\text{dim}(V)=n$ と定義し、基底が無限集合のとき $\text{dim}(V)=\infty$ と定義する。 $\text{dim}(V)<\infty$ のとき $V$ は有限次元であると言い、$\text{dim}(V)=\infty$ のとき $V$ は無限次元であると言う。

=== 命題4.6（拡張） ===
$V$ を体 $\mathbb{F}$ 上の線形空間、$B_0\subset V$ を線形独立な部分集合とする。このとき $V$ の基底で $B_0$ を含むものが存在する。
{{begin |proof }}
$B_0$ を含む線形独立な部分集合全体に集合の包含関係による順序を入れたものは帰納的順序集合であるので、Zornの補題より極大なもの $B$ が取れる。もし$v\in V\backslash \text{span}(B)$ が存在するならば $B\cup\{v\}$ は線形独立なので $B$ の極大性に矛盾する。よって $V=\text{span}(B)$ である。
{{end|proof|}}

=== 命題4.7 ===
$V$ を体 $\mathbb{F}$ 上の線形空間、 $M\subset V$ を部分空間とする。このとき,
$$
\text{dim}(V)=\text{dim}(M)+\text{dim}(V/M)
$$
が成り立つ。
{{begin |proof }}
$M$ の基底 $B_0$ を取り、 $B_0$ を含む $V$ の基底 $B$ を取る（'''命題4.6'''）。このとき、
$$
B\backslash B_0\ni b\mapsto [b]\in V/M
$$
は単射であり、$\{[b]:b\in B\backslash B_0\}$ は $V/M$ の基底である。よって成り立つ。
{{end|proof}}

=== 命題4.8（次元定理） ===
$V,W$ を体 $\mathbb{F}$ 上の線形空間、$T\colon V\rightarrow W$ を線形写像とする。このとき、
$$
\text{dim}(V)=\text{dim}(\text{Ker}(T))+\text{dim}(\text{Ran}(T))
$$
が成り立つ。
{{begin |proof }}
$$
V/\text{Ker}(T)\ni [v]\mapsto Tv\in \text{Ran}(T)
$$
は明らかに線形同型写像であるから、
$$
\text{dim}(V/\text{Ker}(T))=\text{dim}(\text{Ran}(T))
$$
である。よって'''命題4.7'''より、
$$
\text{dim}(V)=\text{dim}(\text{Ker}(T))+\text{dim}(V/\text{Ker}(T))=\text{dim}(\text{Ker}(T))+\text{dim}(\text{Ran}(T))
$$
である。
{{end|proof|}}

== 5. 置換、行列式、行列表現 ==

=== 定義5.1（置換、対称群） ===
$X$ を空でない集合とする。 $X$ から $X$ 自身へのの全単射を $X$ の置換と言う。$X$ の置換全体は写像の合成を乗法として群をなす。これを $X$ 上の対称群と言う。特に $n\in \mathbb{N}$ に対し $\{1,\ldots,n\}$ 上の対称群を $S_n$ と表し、$n$ 次の対称群と言う。$S_n$ の元を $n$ 次の置換と言う

=== 定義5.2（置換の符号） ===
$n$ 次の置換 $\sigma\in S_n$ に対し、
$$
\{(i,j): i<j,\text{ }\sigma(j)<\sigma(i)\}
$$
の元の個数を $\sigma$ の反転数と言う。そして $\sigma$ の反転数 $k$ に対し、
$$
{\rm sgn}(\sigma)\colon=(-1)^k\in \{-1,1\}
$$
を $\sigma$ の符号と言う。

=== 命題5.3（置換の符号の基本性質） ===
任意の$\sigma,\tau\in S_n$ に対し、
$$
{\rm sgn}(\sigma\tau)={\rm sgn}(\sigma){\rm sgn}(\tau)
$$
が成り立つ。
{{begin |proof }}
$x_1<\ldots<x_n$ なる $x_1,\ldots,x_n\in \mathbb{R}$ を取り、
$$
\Delta\colon=\prod_{1\leq i<j\leq n}(x_j-x_i)
$$
とおく。そして任意の $\sigma\in S_n$ に対し、
$$
\sigma(\Delta)\colon=\prod_{1\leq i<j\leq n}(x_{\sigma(j)}-x_{\sigma(i)})={\rm sgn}(\sigma)\Delta
$$
とおく。このとき任意の $\sigma,\tau\in S_n$ に対し、
$$
{\rm sgn}(\sigma\tau)\Delta=
(\sigma\tau)(\Delta)=\prod_{1\leq i<j\leq n}(x_{\sigma\tau(j)}-x_{\sigma\tau(i)})
={\rm sgn}(\tau)\prod_{1\leq i<j\leq n}(x_{\sigma(j)}-x_{\sigma(i)})={\rm sgn}(\tau){\rm sgn}(\sigma)\Delta
$$
であるから ${\rm sgn}(\sigma\tau)={\rm sgn}(\sigma){\rm sgn}(\tau)$ が成り立つ。
{{end|proof|}}

=== 定義5.4（行列式） ===
$\mathbb{F}$ を体とする。
任意の $A=(a_{i,j})_{i,j}\in \mathbb{M}_{n\times n}(\mathbb{F})$ に対し、
$$
{\rm det}(A):=\sum_{\sigma\in S_n}{\rm sgn}(\sigma)a_{1,\sigma(1)}\ldots a_{n,\sigma(n)}
$$
を $A$ の行列式と言う。

=== 定義5.5（多重線形写像） ===
$V_1,\ldots,V_n,W$ を体 $\mathbb{F}$ 上の線形空間とする。写像 $T\colon V_1\times\ldots\times V_n\rightarrow W$ が各成分ごと線形写像であるとき、$T$ は多重線形写像であることを言う。 $n=2$ の場合の多重線形写像を双線形写像と言う。

=== 定義5.6（多重線形写像の反対称性） ===
$V,W$ を体 $\mathbb{F}$ 上の線形空間, $T\colon V^n\rightarrow W$ を多重線形写像とする。任意の$v_1,\ldots,v_n\in V$ と任意の $\sigma\in S_n$ に対し、
$$
T(v_{\sigma(1)},\ldots,v_{\sigma(n)})={\rm sgn}(\sigma)T(v_1,\ldots,v_n)
$$
が成り立つとき $T$ は反対称であると言う。

=== 定義5.7（転置行列） ===
行列 $A=(a_{i,j})_{i,j}\in \mathbb{M}_{m\times n}(\mathbb{F})$に対し $A^{\top}\colon=(a_{j,i})_{i,j}\in \mathbb{M}_{n\times m}(\mathbb{F})$ を $A$ の転置行列と言う。

$\mathbb{F}=\mathbb{R}$ の場合は $A^{\top}=A^*$ （'''定義1.7'''を参照）である。

=== 定義5.8（行列式の基本性質） ===
$\mathbb{F}$ を体とする。行列式に関して次が成り立つ。
*$(1)$　任意の $A\in \mathbb{M}_{n\times n}(\mathbb{F})$ に対し ${\rm det}(A)={\rm det}(A^{\top})$.
*$(2)$　$\mathbb{F}^n\times \ldots\times \mathbb{F}^n\ni (a_1,\ldots,a_n)\mapsto {\rm det}(a_1,\ldots,a_n)\in \mathbb{F}$ は反対称多重線形写像である。
*$(3)$　任意の $A,B\in \mathbb{M}_{n\times n}(\mathbb{F})$ に対し ${\rm det}(AB)={\rm det}(A){\rm det}(B)$.
{{begin |proof | collapsible=1|display=証明 }}
*$(1)$　${\rm sgn}(\sigma^{-1})={\rm sgn}(\sigma)$ であるので、
$$
{\rm det}(A)=\sum_{\sigma\in S_n}{\rm sgn}(\sigma)a_{1,\sigma(1)}\ldots a_{n,\sigma(n)}=\sum_{\sigma\in S_n}{\rm sgn}(\sigma^{-1})a_{\sigma^{-1}(1),1}\ldots a_{\sigma^{-1}(n),n}={\rm det}(A^{\top})
$$
である。
*$(2)$　多重線形写像であることは明らかである。
任意の $\sigma,\tau\in S_n$ に対し ${\rm sgn}(\sigma\tau^{-1})={\rm sgn}(\tau){\rm sgn}(\sigma)$ であるので、
$$
\begin{aligned}
{\rm det}(a_{\tau(1)},\ldots,a_{\tau(n)})
&=\sum_{\sigma\in S_n}{\rm sgn}(\sigma)a_{\sigma(1),\tau(1)}\ldots a_{\sigma(n),\tau(n)}\\
&={\rm sgn}(\tau)\sum_{\sigma\in S_n}{\rm sgn}(\sigma\tau^{-1})a_{\sigma\tau^{-1}(1),1}\ldots a_{\sigma\tau^{-1}(n),n} \\
&={\rm sgn}(\tau){\rm det}(a_1,\ldots,a_n)
\end{aligned}
$$
である。よって反対称である。
*$(3)$　$(2)$ より $k_1,\ldots,k_n\in \{1,\ldots,n\}$ のうち互いに等しいものがある場合は、
$$
\sum_{\sigma\in S_n}{\rm sgn}(\sigma)b_{k_1,\sigma(1)}\ldots b_{k_n,\sigma(n)}=0
$$
である。よって、
$$
\begin{aligned}
{\rm det}(AB)&=\sum_{\sigma\in S_n}{\rm sgn}(\sigma)\sum_{k_1,\ldots,k_n=1}^{n}a_{1,k_1}\ldots a_{n,k_n}b_{k_1,\sigma(1)}\ldots b_{k_n,\sigma(n)}\\
&=\sum_{\sigma\in S_n}{\rm sgn}(\sigma)\sum_{\tau\in S_n}a_{1,\tau(1)}\ldots a_{n,\tau(n)}b_{\tau(1),\sigma(1)}\ldots b_{\tau(n),\sigma(n)}\\
&=\sum_{\tau\in S_n}{\rm sgn}(\tau)a_{1,\tau(1)}\ldots a_{n,\tau(n)}\sum_{\sigma\in S_n}{\rm sgn}(\sigma\tau^{-1})b_{1,\sigma\tau^{-1}(1)}\ldots b_{n,\sigma\tau^{-1}(n)}\\
&={\rm det}(A){\rm det}(B)
\end{aligned}
$$
である。
{{end|proof|}}

=== 定義5.9（余因子行列） ===
$\mathbb{F}$ を体とする。
$A\in \mathbb{M}_{n\times n}(\mathbb{F})$ の $i$ 行と $j$ 列を抜いた行列 $A_{i,j}\in \mathbb{M}_{n-1\times n-1}(\mathbb{F})$ に対し、
$$
{\rm Cof}(A)\colon=( (-1)^{i+j}{\rm det}(A_{j,i}) )_{i,j}\in \mathbb{M}_{n\times n}(\mathbb{F})
$$
を $A$ の余因子行列と言う。

=== 命題5.10（余因子行列と逆行列） ===
$\mathbb{F}$ を体とする。
$A=(a_{i,j})_{i,j}\in \mathbb{M}_{n\times n}(\mathbb{F})$ に対し、
$$
A{\rm Cof}(A)={\rm Cof}(A)A={\rm det}(A)1
$$
が成り立つ。よって特に ${\rm det}(A)\neq 0$ であることと $A\in \mathbb{M}_{n\times n}(\mathbb{F})$ が可逆であることは同値であり、${\rm det}(A)\neq0$ のとき $A$ の逆元は、
$$
A^{-1}=\frac{1}{{\rm det}(A)}{\rm Cof}(A)
$$
である。
{{begin |proof }}
行列式の反対称性と多重線型性より $A{\rm Cof}(A)$ の $i$ 行 $j$ 列成分は、
$$
\sum_{k=1}^{n}(-1)^{j+k}a_{i,k}{\rm det}(A_{j,k})
$$
は $A$ の$j$行を$i$行で置き換えたものの行列式であるから、$\delta_{i,j}{\rm det}(A)$ であり、
であり、${\rm Cof}(A)A$ の $i$ 行 $j$ 列成分は、
$$
\sum_{k=1}^{n}(-1)^{i+k}{\rm det}(A_{k,i})a_{k,j}
$$
は $A$ の $i$ 列を$j$列で置き換えたものの行列式であるから、$\delta_{i,j}{\rm det}(A)$ である。よって $A{\rm Cof}(A)={\rm Cof}(A)A={\rm det}(A)1 $が成り立つ。
{{end|proof|}}

=== 定義5.11（添字付けられた基底、順序付けられた基底） ===
$V$ を線形空間とする。空でない集合 $J$ に対し線型独立（'''定義4.3'''の$(3)$の意味）な
$$
(e_j)_{j\in J}:J\ni j\mapsto e_j\in V
$$
が $V$ の添字付けられた基底であるとは $V=\text{span}\{e_j\}_{j\in J}$ であることを言う。特に添字集合 $J$ が $\mathbb{N}$や、ある $n\in \mathbb{N}$ に対し $\{1,\ldots,n\}$ である場合は順序付けられた基底と言う。

=== 定義5.12（行列表現） ===
$V, W$ を体 $\mathbb{F}$ 上の有限次元線形空間とし、$(e_1,\ldots,e_n)$、 $(f_1,\ldots,f_m)$ をそれぞれ $V,W$ の順序付けられた基底とする。線型写像 $T\colon V\rightarrow W$ に対し、
$$
Te_j=\sum_{i=1}^{m}T_{i,j}f_i\quad(j=1,\ldots,n)
$$
として定まる行列 $(T_{i,j})_{i,j}\in \mathbb{M}_{m\times n}(\mathbb{F})$ を $T$ の $(e_1,\ldots,e_n)$、$(f_1,\ldots,f_m)$ に関する行列表現と言う。任意の $v=\sum_{j=1}^{n}v_je_j\in V$に対し、
$$
Tv=\sum_{j=1}^{n}v_jTe_j=\sum_{i=1}^{m}\left(\sum_{j=1}^{n}T_{i,j}v_j\right)f_i
$$
であるから、成分の変換は行列の積による変換
$$
\mathbb{F}^n\ni (v_j)_{j}\mapsto (T_{i,j})_{i,j} (v_j)_{j}\in \mathbb{F}^m
$$
である。

=== 命題5.13 ===
$U,V,W$ を体 $\mathbb{F}$ 上の有限次元線形空間とし、$(e_1,\ldots,e_{\ell})$、$(f_1,\ldots,f_m)$、$(g_1,\ldots,g_n)$ をそれぞれ $U,V,W$ の順序付けられた基底とする。線型写像 $T\colon U\rightarrow V$ と $S\colon V\rightarrow W$ に対し $T$ の $(e_1,\ldots,e_{\ell})$、$(f_1,\ldots,f_m)$ に関する行列表現を $\widehat{T}\in \mathbb{M}_{m\times \ell}(\mathbb{F})$、$S$ の $(f_1,\ldots,f_m)$、$(g_1,\ldots,g_n)$ に関する行列表現を $\widehat{S}\in \mathbb{M}_{n\times m}(\mathbb{F})$ とし、$ST$ の $(e_1,\ldots,e_{\ell})$、$(g_1,\ldots,g_n)$ に関する行列表現を $\widehat{ST}\in \mathbb{M}_{n\times \ell}(\mathbb{F})$ とする。このとき、
$$
\widehat{ST}=\widehat{S}\widehat{T}
$$
が成り立つ。
{{begin |proof }}
$$
STe_j=\sum_{k=1}^{\ell}T_{k,j}Sf_k=\sum_{i=1}^{m}\left(\sum_{k=1}^{\ell}S_{i,k}T_{k,j}\right)g_i
=\sum_{i=1}^{m}(\widehat{S}\widehat{T})_{i,j}g_i
$$
であることによる。
{{end|proof|}}

== 6. 直和 ==

=== 定義6.1 ===
$V$ を体 $\mathbb{F}$ 上の線形空間とする。部分空間 $M_1,\ldots,M_n\subset V$ に対し、
$$
M_1+\ldots+M_n\colon=\{v_1+\ldots+v_n: v_1\in M_1,\ldots,v_n\in M_n\}
$$
なる部分空間を $M_1,\ldots,M_n$ の和と言う。全射線形写像
$$
M_1\times\ldots\times M_n\ni (v_1,\ldots,v_n)\mapsto v_1+\ldots+v_n\in M_1+\ldots+M_n
$$
が単射（したがって線形同型写像）であるとき $M_1,\ldots,M_n$ の和は直和であると言い、このとき $M_1+\ldots+M_n$ を、
$$
M_1\oplus\ldots\oplus M_n
$$
と表す。

=== 命題6.2（線形独立性と直和） ===
$V$ を体 $\mathbb{F}$ 上の線形空間、$B_1,\ldots,B_n\subset V$ をそれぞれ空でない集合とし、$B_1\cup\ldots \cup B_n$ は線形独立であるとする。このとき、
$$
\text{span}(B_1\cup\ldots\cup B_n)=\text{span}(B_1)\oplus \ldots\oplus\text{span}(B_n)
$$
が成り立つ。
{{begin |proof }}
自明である。
{{end|proof|}}

== 7. 線形空間の双対空間 ==

=== 定義7.1（双対空間、線形汎関数） ===
$V$ を体 $\mathbb{F}$ 上の線形空間とする。$V^*\colon=\mathbb{L}(V,\mathbb{F})$ と表し、$V^*$ を線形空間 $V$ の双対空間、$V^*$ の元を $V$ 上の線形汎関数と言う。

=== 命題7.2 ===
$V$ を体 $\mathbb{F}$ 上の線形空間とし、$(e_j)_{j\in J}\colon J\ni j\mapsto e_j\in V$ が線形独立（'''定義4.3'''の$(3)$の意味）であるとする。このとき $(\varphi_j)_{j\in J}:J\ni j\mapsto \varphi_j\in V^*$ で、
$$
\varphi_i(e_j)=\delta_{i,j}=\left\{\begin{array}{ll}1&(i=j)\\0&(i\neq j)\end{array}\right.\quad\quad(*)
$$
を満たすものが存在する。そして $(\varphi_j)_{j\in J}$ は線形独立である。
{{begin |proof }}
任意の $i\in J$ を取り固定する。'''命題4.5'''より $\{e_j\}_{j\in J}$ を含む $V$ の基底 $B$ を取ると、
$$
V=\text{span}(B\backslash\{e_i\})\oplus \mathbb{F} e_i
$$
であり、
$$
\varphi_i(v+\alpha e_i)=\alpha\quad(\forall v\in \text{span}(B\backslash\{e_i\}),\forall\alpha\in\mathbb{F})
$$
として $\varphi_i\in V^*$ が定義できる。このとき任意の $j\in J\backslash\{i\}$ に対し $e_j\in B\backslash \{e_i\}$ であるから $\varphi_i(e_j)=0$ であり、$\varphi_i(e_i)=1$ である。こうして $(*)$ を満たす $(\varphi_j)_{j\in J}\colon J\ni j\mapsto \varphi_j\in V^*$ が定義できる。互いに異なる有限個の $j_1,\ldots,j_n\in J$ に対し、
$$
\sum_{k=1}^{n}\alpha_k\varphi_{j_k}=0
$$
ならば任意の $l\in\{1,\ldots,n\}$ に対し、
$$
0=\sum_{k=1}^{n}\alpha_k\varphi_{j_k}(e_{j_l})=\alpha_{j_l}
$$
であるから $\varphi_{j_1},\ldots,\varphi_{j_n}$ は線形独立である。よって $(\varphi_j)_{j\in J}$ は線形独立である。
{{end|proof|}}

=== 命題7.3（有限次元線形空間の順序付けられた基底に対する双対基底） ===
$V$ を体 $\mathbb{F}$ 上の有限次元線形空間とし、$(e_1,\ldots,e_n)$ を $V$ の順序付けられた基底とする。このとき $V^*$ の順序付けられた基底 $(\varphi_1,\ldots,\varphi_n)$ で、
$$
\varphi_i(e_j)=\delta_{i,j}\quad(\forall i,j\in \{1,\ldots,n\})\quad\quad(*)
$$
を満たすものが唯一つ存在する。
{{begin |proof }}
$(*)$ により線形独立な $\varphi_1,\ldots,\varphi_n\in V^*$ が定義される。任意の $v=\sum_{j=1}^{N}v_je_j\in V$ に対し、
$$
\varphi_j(v)=v_j\quad(j=1,\ldots,n)
$$
であるから、任意の $\psi\in V^*$ に対し、
$$
\psi(v)=\sum_{j=1}^{n}v_j\psi(e_j)=\sum_{j=1}^{n}\psi(e_j)\varphi_j(v)
$$
である。よって、
$$
\psi=\sum_{j=1}^{n}\psi(e_j)\varphi_j
$$
なので、$(\varphi_1,\ldots,\varphi_n)$ は $V^*$ の順序付けられた基底である。
{{end|proof|}}
'''命題7.3'''における $(\varphi_1,\ldots,\varphi_n)$ を $(e_1,\ldots,e_n)$ に対する双対基底と言う。

=== 定義7.4（線形空間の第二双対空間への自然な埋め込み） ===
$V$ を体 $\mathbb{F}$ 上の線形空間、$V^{**}$ を $V^*$ の双対空間（$V$の第二双対空間）とする。任意の $v\in V$ に対し、
$$
\iota(v)\colon V^*\ni \varphi\mapsto \varphi(v)\in \mathbb{F}
$$
として $\iota(v)\in V^{**}$ を定義することにより、
$$
\iota \colon V\ni v\mapsto \iota(v)\in V^{**}\quad\quad(*)
$$
なる線形写像が定義できる。'''命題7.2'''より $(*)$ は単射である<ref>実際、$v\neq0$ ならば'''命題7.2'''より $\varphi(v)=1$ を満たす $\varphi\in V^*$ が存在するので $\iota(v)\neq0$である。</ref>。 $(*)$ を線形空間 $V$ の第二双対空間 $V^{**}$ への自然な埋め込みと言う。以後、しばしば $v$ と $\iota(v)$ を同一視することで $V=\iota(V)\subset V^{**}$ とみなす。

== 8. 線形空間のテンソル積、テンソル積の普遍性 ==

=== 定義8.1（線形空間のテンソル積）　 ===
$V_1,\ldots,V_n$ をそれぞれ体 $\mathbb{F}$ 上の線形空間とする。$\prod_{j=1}^{n}V_j^*\rightarrow \mathbb{F}$ の多重線形写像全体 $ML(\prod_{j=1}^{n}V_j^*,\mathbb{F})$ は各点ごとの演算により $\mathbb{F}$ 上の線形空間をなす。任意の $v_1\in V_1,\ldots, v_n\in V_n$ に対し、
$$
v_1\otimes\ldots\otimes v_n\colon \prod_{j=1}^{n}V_j^*\ni (\varphi_1,\ldots,\varphi_n)\mapsto \varphi_1(v_1)\ldots\varphi_n(v_n)\in \mathbb{F}
$$
は $ML(\prod_{j=1}^{n}V_j^*,\mathbb{F})$ に属する。そこで $\mathbb{F}$ 上の線形空間
$$
V_1\otimes\ldots\otimes V_n\colon=\text{span}
\{v_1\otimes\ldots\otimes v_n: v_1\in V_1,\ldots,v_n\in V_n\}
$$
を定義する。これを $V_1,\ldots,V_n$ のテンソル積線形空間と呼ぶ。
$$
V_1\times\ldots\times V_n\ni (v_1,\ldots,v_n)\mapsto v_1\otimes\ldots\otimes v_n\ni V_1\otimes\ldots\otimes V_n
$$
は明らかに多重線形写像である。

=== 命題8.2（有限次元線形空間のテンソル積） ===
$V_1,\ldots,V_n$ が全て有限次元であるとすると、
$$
V_1\otimes\ldots\otimes V_n=ML(\prod_{j=1}^{n}V_j^*,\text{ }\mathbb{F})
$$
である。
{{begin |proof }}
各$V_j$ の順序付けられた基底 $(e_{j,1},\ldots,e_{j,m(j)})$ を取り、その双対基底を $(\varphi_{j,1},\ldots,\varphi_{j,m(j)})$ とする。このとき任意の $\psi_j\in V_j^*$ に対し、
$$
\psi_j=\sum_{k=1}^{m(j)}\psi_j(e_{j,k})\varphi_{j,k}
$$
が成り立つ（'''命題7.3'''の証明を参照）。よって任意の $T\in ML(\prod_{j=1}^{n}V_j^*,\text{ }\mathbb{F})$ と任意の $(\psi_1,\ldots,\psi_n)\in V_1^*\times\ldots\times V_n^*$ に対し、
$$
\begin{aligned}
T(\psi_1,\ldots,\psi_n)&=\sum_{k_1,\ldots,k_n}\psi_1(e_{1,k_1})\ldots\psi_N(e_{n,k_n})T(e_{1,k_1},\ldots,e_{n,k_n})\\
&=\sum_{k_1,\ldots,k_n}T(e_{1,k_1},\ldots,e_{n,k_n})(e_{1,k_1}\otimes\ldots\otimes e_{n,k_n})(\psi_1,\ldots,\psi_n)
\end{aligned}
$$
である。ゆえに、
$$
T=\sum_{k_1,\ldots,k_n}T(e_{1,k_1},\ldots,e_{n,k_n})(e_{1,k_1}\otimes\ldots\otimes e_{n,k_n})\in V_1\otimes\ldots\otimes V_n
$$
である。
{{end|proof|}}

=== 命題8.3 ===
$V_1,\ldots,V_n$ を体 $\mathbb{F}$ 上の線形空間とし、$J_k\ni j\mapsto e_{k,j}\in V_k$ $(k=1,\ldots,n)$ をそれぞれ線型独立とする。このとき、
$$
J_1\times\ldots\times j_n\ni (j_1,\ldots,j_n)\mapsto e_{1,j_1}\otimes\ldots\otimes e_{n,j_n}\in V_1\otimes\ldots\otimes V_n\quad\quad(*)
$$
は線形独立（'''定義4.2'''の$(3)$の意味）である。
{{begin |proof }}
'''命題7.2'''より各 $k$ について線形独立な $J_k\ni j\mapsto \varphi_{k,j}\in V_k^*$ で $\varphi_{k,j}(e_{k,i})=\delta_{i,j}$ $(\forall i,j\in J_k)$ を満たすものが取れる。このとき任意の $(i_1,\ldots,i_n)$, $(j_1,\ldots,j_n)\in J_1\times\ldots\times J_n$ に対し、
$$
(e_{1,j_1}\otimes\ldots\otimes e_{n,j_n})(\varphi_{1,i_1},\ldots,\varphi_{n,i_n})=\delta_{(i_1,\ldots,i_n),(j_1,\ldots,j_n)}
$$
である。よって'''命題7.2'''の証明の後半より $(*)$ は線形独立である。
{{end|proof|}}

=== 定理8.4（テンソル積の普遍性） ===
$V_1,\ldots,V_n,W$ を体 $\mathbb{F}$ 上の線形空間とし、
$$
\Phi\colon V_1\times\ldots\times V_n\rightarrow W
$$
を多重線形写像とする。このとき線形写像
$$
\Psi\colon V_1\otimes\ldots\otimes V_n\rightarrow W
$$
で、
$$
\Psi(v_1\otimes\ldots\otimes v_n)=\Phi(v_1,\ldots,v_n)
$$
を満たすものが唯一つ存在する。
{{begin |proof }}
一意性は線形性より自明である。存在を示す。そのためには、
$$
V_1\otimes\cdots\otimes V_N\ni \sum_{a=1}^{p}v_{a,1}\otimes\cdots\otimes v_{a,N}\mapsto \sum_{a=1}^{p}\Phi(v_{a,1},\ldots,v_{a,N})\in W
$$
がwell-definedであることを示せばよいので、
$$
\sum_{a=1}^{p}v_{a,1}\otimes\ldots\otimes v_{a,n}=\sum_{b=1}^{q}u_{b,1}\otimes\ldots\otimes u_{b,n}\quad\quad(*)
$$
であるとして、
$$
\sum_{a=1}^{p}\Phi(v_{a,1},\ldots,v_{a,n})=\sum_{b=1}^{q}\Phi(u_{b,1},\ldots,u_{b,n})\quad\quad(**)
$$
が成り立つことを示せばよい。各 $j\in \{1,\ldots,n\}$ に対し
$M_j\colon=\text{span}\{v_{1,j},\ldots,v_{p,j},u_{1,j},\ldots,u_{q,j}\}\subset V_j$ とおき $M_j$ の基底を $e_{j,1},\ldots,e_{j,m(j)}$ とする。このとき、
$$
v_{a,j}=\sum_{k=1}^{m(j)}v_{a,j}^ke_{j,k},\quad u_{b,j}=\sum_{k=1}^{m(j)}u_{b,j}^ke_{j,k}
$$
と表せるから、
$$
\alpha_{k_1,\ldots,k_n}\colon=\sum_{a=1}^{p}v_{a,1}^{k_1}\ldots v_{a,n}^{k_n},
\quad
\beta_{k_1,\ldots,k_n}\colon=\sum_{b=1}^{q}u_{b,1}^{k_1}\ldots u_{b,n}^{k_n}
$$
とおくと、
$$
\sum_{a=1}^{p}v_{a,1}\otimes\ldots\otimes v_{a,n}
=\sum_{k_1,\ldots,k_n}\alpha_{k_1,\ldots,k_n}e_{1,k_1}\otimes\ldots\otimes e_{n,k_n},
$$
$$
\sum_{b=1}^{q}u_{b,1}\otimes\ldots\otimes u_{b,n}
=\sum_{k_1,\ldots,k_n}\beta_{k_1,\ldots,k_n}e_{1,k_1}\otimes\ldots\otimes e_{n,k_n}
$$
である。よって $(*)$ と'''命題8.3'''より各 $k_1,\ldots,k_n$ に対し、
$$
\alpha_{k_1,\ldots,k_n}=\beta_{k_1,\ldots,k_n}
$$
が成り立つ。また、
$$
\sum_{a=1}^{p}\Phi(v_{a,1},\ldots,v_{a,n})=\sum_{k_1,\ldots,k_n}\alpha_{k_1,\ldots,k_n}\Phi(e_{1,k_1},\ldots,e_{n,k_n}),
$$
$$
\sum_{b=1}^{q}\Phi(u_{b,1},\ldots,u_{b,n})=\sum_{k_1,\ldots,k_n}\beta_{k_1,\ldots,k_n}\Phi(e_{1,k_1},\ldots,e_{n,k_n})
$$
であるから $(**)$ が成り立つ。
{{end|proof|}}

=== 定義8.5（線形写像のテンソル積） ===
$V_1,\ldots,V_n$、$W_1,\ldots,W_n$ を体 $\mathbb{F}$ 上の線形空間とし、$T_k\in \mathbb{L}(V_k,W_k)$ $(k=1,\ldots,n)$ とする。このとき、
$$
V_1\times\ldots \times V_n\ni (v_1,\ldots,v_n)\mapsto T_1v_1\otimes\ldots\otimes T_nv_n\in W_1\otimes\ldots\otimes W_n
$$
は多重線形写像であるから、'''定理8.4'''より線形写像
$$
T_1\otimes\ldots\otimes T_n\colon V_1\otimes\ldots\otimes V_n\ni v_1\otimes\ldots\otimes v_n\mapsto Tv_1\otimes\ldots\otimes v_n\in W_1\otimes\ldots\otimes W_n
$$
が定まる。これを $T_1,\ldots,T_n$ のテンソル積と言う。

=== 定義8.6（テンソル積線形空間のテンソル積） ===
$V_1,\ldots,V_n$、$W_1,\ldots, W_m$ をそれぞれ体 $\mathbb{F}$ 上の線形空間とする。
$$
V\colon=V_1\otimes\ldots\otimes V_n,\quad W\colon=W_1\otimes\ldots\otimes W_m
$$
$$
L\colon=V_1\otimes\ldots\otimes V_n\otimes W_1\otimes \ldots\otimes W_m
$$
とおくと、
$$
V\times W\ni (v_1\otimes\ldots\otimes v_n, \text{ }w_1\otimes\ldots\otimes w_m)
\mapsto v_1\otimes\ldots\otimes v_n\otimes w_1\otimes\ldots\otimes w_m\in L
$$
なる双線形写像が定義できる。よって'''定理8.4'''より全射線形写像
$$
V\otimes W\ni (v_1\otimes\ldots\otimes v_n)\otimes (w_1\otimes\ldots\otimes w_m)
\mapsto v_1\otimes\ldots\otimes v_n\otimes w_1\otimes\ldots\otimes w_m\in L
$$
ができる。この線形写像は'''命題8.3'''より線形同型写像である。そこで以後、
$$
(v_1\otimes\ldots\otimes v_n)\otimes (w_1\otimes\ldots\otimes w_m)
=v_1\otimes\ldots\otimes v_n\otimes w_1\otimes\ldots\otimes w_m,
$$
$$
(V_1\otimes\ldots\otimes V_n)\otimes (W_1\otimes \ldots\otimes W_m)=
V_1\otimes\ldots\otimes V_n\otimes W_1\otimes\ldots\otimes W_m
$$
なる同一視をする。$3$ 個以上のテンソル積線形空間のテンソル積線形空間も同様にして $1$ 個のテンソル積線形空間と同一視する。

== 9. 反対称テンソル積線形空間、外積 ==

=== 定義9.1（置換作用素、反対称化作用素、反対称テンソル積線形空間） ===
$V$ を体 $\mathbb{F}$ 上の線形空間、$n\in\mathbb{N}$ とする。任意の $\sigma\in S_n$ に対し'''定理8.4'''より線形写像
$$
P_{\sigma}\colon\bigotimes^NV\ni v_1\otimes\ldots\otimes v_n\mapsto v_{\sigma(1)}\otimes\ldots\otimes v_{\sigma(n)}\in \bigotimes^nV
$$
が定まる。$P_{\sigma}$ を $\sigma\in S_n$ による $\bigotimes^nV$ 上の置換作用素と言う。置換作用素は明らかに線形同型写像であり、
$$
P_{\sigma}P_{\tau}=P_{\tau\sigma},\quad P_{\sigma^{-1}}=P_{\sigma}^{-1}\quad(\forall \sigma,\tau\in S_N)\quad\quad(*)
$$
を満たすので、
$$
A_n\colon=\frac{1}{n!}\sum_{\sigma\in S_n}{\rm sgn}(\sigma)P_{\sigma}\in \mathbb{L}(\bigotimes^nV)
$$
とおくと、
$$
P_{\sigma}A_n=A_nP_{\sigma}={\rm sgn}(\sigma)A_n,\quad A_n^2=A_n\quad\quad(*)
$$
が成り立つ。$A_n$ を $\bigotimes^nV$ 上の反対称化作用素と言い、
$$
\bigwedge^nV\colon=A_n(\bigotimes^nV)\subset \bigotimes^nV
$$
を $V$ の $N$ 階反対称テンソル積線形空間と言う。

=== 命題9.2（反対称テンソル積線形空間の特徴付け） ===
$V$を体 $\mathbb{F}$ 上の線形空間, $n\in\mathbb{N}$ とする。 $T\in \bigotimes^nV$ に対し次は互いに同値である。
*$(1)$　$T\in \bigwedge^nV$.
*$(2)$　任意の $\sigma\in S_n$ に対し $P_{\sigma}(T)={\rm sgn}(\sigma)T$.
*$(3)$　$V^*\times\ldots\times V^*\ni (\varphi_1,\ldots,\varphi_n)\mapsto T(\varphi_1,\ldots,\varphi_n)\in \mathbb{F}$ は反対称である。
{{begin |proof }}
$(1)\Leftrightarrow(2)$ が成り立つことは'''定義9.1'''の $(*)$ による。
$$
T=\sum_{k=1}^{m}v_{k,1}\otimes\ldots\otimes v_{k,n}
$$
とすると、
$$
P_{\sigma}(T)=\sum_{k=1}^{m}v_{k,\sigma(1)}\otimes\ldots\otimes v_{k,\sigma(n)}
$$
であるから、
$$
\begin{aligned}
P_{\sigma}(T)(\varphi_1,\ldots,\varphi_n)&=\sum_{k=1}^{m}\varphi_1(v_{k,\sigma(1)})\ldots\varphi_n(v_{k,\sigma(n)})
=\sum_{k=1}^{m}v_{1}\otimes\ldots\otimes v_n(\varphi_{\sigma^{-1}(1)},\ldots,\varphi_{\sigma^{-1}(n)}\\
&=T(\varphi_{\sigma^{-1}(1)},\ldots,\varphi_{\sigma^{-1}(n)})\quad(\forall \varphi_1,\ldots,\varphi_n\in V^*)
\end{aligned}
$$
である。これより $(2)\Leftrightarrow(3)$ が成り立つ。
{{end|proof|}}

=== 定義9.3（外積） ===
$V$ を体 $\mathbb{F}$ 上の線形空間、$n_1,n_2\in\mathbb{N}$ とする。任意の$T_1\in \bigwedge^{n_1}V$、$T_2\in \bigwedge^{n_2}V$ に対し、
$$
T_1\wedge T_2\colon=\frac{(n_1+n_2)!}{n_1!n_2!}A_{n_1+n_2}(T_1\otimes T_2)\in \bigwedge^{n_1+n_2}V
$$
を $T_1,T_2$ の外積と言う。$3$ 個以上の $n_1,\ldots,n_m\in \mathbb{N}$ と反対称テンソル $T_k\in \bigwedge^{N_k}V$ $(k=1,\ldots,m)$ に対し、
$$
T_1\wedge \ldots\wedge T_m\colon=(T_1\wedge \ldots\wedge T_{m-1})\wedge T_m\in \bigwedge^{n_1+\ldots+n_m}V
$$
と定義する。

=== 命題9.4（外積の結合法則） ===
$V$ を体 $\mathbb{F}$ 上の線形空間とする。$T_k\in \bigwedge^{n_k}V$ $(k=1,\ldots,m)$ に対し、
$$
(T_1\wedge T_2)\wedge T_3=T_1\wedge (T_2\wedge T_3)
=\frac{(n_1+n_2+n_3)!}{n_1!n_2!n_3!}A_{n_1+n_2+n_3}(T_1\otimes T_2\otimes T_3),\quad\quad(*)
$$
$$
T_1\wedge \ldots\wedge T_m=\frac{(n_1+\ldots+n_m)!}{n_1!\ldots n_m!}A_{n_1+\ldots+n_m}(T_1\otimes\ldots\otimes T_m)\quad\quad(**)
$$
が成り立つ。
{{begin |proof }}
任意の $n,m\in \mathbb{N}$ と任意の $\sigma\in S_n, \tau\in S_m$ に対し置換作用素と反対称化作用素の定義より、
$$
A_{n+m}(P_{\sigma}\otimes 1)={\rm sgn}(\sigma)A_{n+m},
$$
$$
A_{n+m}(1\otimes P_{\sigma})={\rm sgn}(\tau)A_{n+m}
$$
が成り立つ。よって、
$$
A_{n+m}(A_n\otimes 1)=A_{n+m},\quad A_{n+m}(1\otimes A_m)=A_{n+m}
$$
であるから、
$$
A_{n_1+n_2+n_3}((T_1\wedge T_2)\otimes T_3)
=\frac{(n_1+n_2)!}{n_1!n_2!}A_{n_1+n_2+n_3}(T_1\otimes T_2\otimes T_3),
$$
$$
A_{n_1+n_2+n_3}(T_1\otimes(T_2\wedge T_3))
=\frac{(n_2+n_3)!}{n_2!n_3!}A_{n_1+n_2+n_3}(T_1\otimes T_2\otimes T_3).
$$
これより $(*)$ が成り立つ。$(**)$ は帰納法により分かる。
{{end|proof|}}

=== 注意9.5（ベクトルの外積） ===
任意の $v_1,\ldots,v_n\in V=\bigotimes^1V$ に対し'''命題9.4'''より、
$$
v_1\wedge \ldots\wedge v_n=n!A_n(v_1\otimes\ldots\otimes v_n)=\sum_{\sigma\in S_n}{\rm sgn}(\sigma)v_{\sigma(1)}\otimes\ldots\otimes v_{\sigma(n)}
\in \bigwedge^NV
$$
である。

=== 命題9.6（外積の反対称性） ===
$V$ を体 $\mathbb{F}$ 上の線形空間とする。
任意の $v_1,\ldots,v_n\in V$ と $\sigma\in S_n$ に対し、
$$
v_{\sigma(1)}\wedge \ldots\wedge v_{\sigma(n)}={\rm sgn}(\sigma)(v_1\wedge\ldots\wedge v_n)
$$
が成り立つ。
{{begin |proof }}
'''命題9.4'''と $A_NP_{\sigma}={\rm sgn}(\sigma)A_N$ より、
$$
\begin{aligned}
&v_{\sigma(1)}\wedge \ldots\wedge v_{\sigma(n)}=
n!A_n(v_{\sigma(1)}\otimes\ldots\otimes v_{\sigma(n)})\\
&=n!A_nP_{\sigma}(v_1\otimes\ldots\otimes v_n)
={\rm sgn}(\sigma)(v_1\wedge\ldots\wedge v_n).
\end{aligned}
$$
{{end|proof|}}

=== 命題9.7（外積と線形独立性） ===
$V$ を $\mathbb{F}$ 上の線形空間とする。
$v_1,\ldots,v_n\in V$ に対し $v_1\wedge\ldots\wedge v_n\neq0$ であることと $v_1,\ldots,v_n$ が線形独立であることは同値である。
{{begin |proof }}
$v_1,\ldots,v_n$ が線形独立ではないならば、ある $j\in \{1,\ldots,n\}$ に対し、
$$
v_j\in \text{span}\{v_1,\ldots,v_{j-1},v_{j+1},\ldots,v_n\}
$$
であるから'''命題9.6'''より $v_1\wedge \ldots\wedge v_n=0$ である。
$v_1,\ldots,v_n\in V$ が線形独立ならば'''命題7.2'''より $\varphi_1,\ldots,\varphi_n\in V^*$ で $\varphi_i(e_j)=\delta_{i,j}$ なるものが取れる。よって'''注意9.5'''より、
$$
\begin{aligned}
&(v_1\wedge\ldots\wedge v_n)(\varphi_1,\ldots,\varphi_n)
=\sum_{\sigma\in S_n}{\rm sgn}(\sigma)(v_{\sigma(1)}\otimes\ldots\otimes v_{\sigma(n)})(\varphi_1,\ldots,\varphi_n)\\
&=\sum_{\sigma\in S_n}{\rm sgn}(\sigma)\varphi_1(v_{\sigma(1)})\ldots\varphi_n(v_{\sigma(n)})={\rm det}(\delta_{i,j})_{i,j}=1
\end{aligned}
$$
であるから $v_1\wedge \ldots\wedge v_n\neq0$ である。
{{end|proof|}}

== 関連項目 ==
*[[ベクトル解析]]
*[[入門テキスト「位相線形空間」]]
*[[Hilbert空間上の作用素論]]

== 脚注 ==

選択公理とZornの補題

2025-11-27T04:34:10Z

Kataoka: /* 定義4（整列順序集合） */

本稿においては選択公理からZornの補題を簡潔に証明する。

===定義1（順序集合）===
$X$ を空でない集合とする。$X$ の二項関係 $\leq$ が次を満たすとき、$\leq$ を $X$ の順序と言う。
*(反射律)　任意の $x\in X$ に対し $x\leq x$。
*(推移律)　$x\leq y$ かつ $y\leq z$ なる任意の $x,y,z\in X$ に対し $x\leq z$。
*(反対称律)　$x\leq y$ かつ $y\leq x$ なる任意の $x,y\in X$ に対し $x=y$。

$X$ の順序 $\leq$ がさらに次を満たすとき、$\leq$ を $X$ の全順序と言う。
*(全順序性)　任意の$x,y\in X$ に対し $x\leq y$ か $y\leq x$ が成り立つ。

$\leq$ が順序であるとき、$x\leq y$ であることを $y\geq x$ とも表す。また $x\leq y$ かつ $x\neq y$ であることを $x<y$ もしくは $y>x$ と表す。順序が定義された集合を順序集合と言う。全順序が定義された集合を全順序集合と言う。

===定義2（上界、下界）===
$X$ を順序集合、$E\subset X$、$E\neq \emptyset$ とする。$y\in X$ が $E$ の上界であるとは、任意の $x\in E$ に対し $x\leq y$ が成り立つことを言う。また $y\in X$ が $E$ の下界であるとは、任意の $x\in E$ に対し $y\leq x$ が成り立つことを言う。

===定義3（最大元、最小元）===
$X$ を順序集合、$E\subset X$、$E\neq\emptyset$ とする。$y\in E$ が $E$ の最大元であるとは、任意の $x\in E$ に対し $x\leq y$ が成り立つことを言う。また $y\in E$ が $E$ の最小元であるとは、任意の $x\in E$ に対し $y\leq x$ が成り立つことを言う。

順序の反対称律より、$E$ が最大元を持つときそれは唯一つである。最小元についても同様である。

===定義4（整列順序集合）===
順序集合 $X$ が整列順序集合であるとは、$X$ の任意の空でない部分集合が最小元を持つことを言う。

$X$ が整列順序集合であるとき、任意の $x,y\in X$ に対し $\{x,y\}$ は最小元を持つから、$x\leq y$ か $y\leq x$ が成り立つ。よって整列順序集合は全順序集合である。

順序集合 $X$ の部分集合 $E$ は、$X$ の順序をそのまま受け継ぐことで順序集合とみなせる。この順序集合 $E$ が全順序集合であるとき、$E$ を $X$ の全順序部分集合と言う。

===定義5（帰納的順序集合）===
順序集合 $X$ が帰納的順序集合であるとは、任意の全順序部分集合が上界を持つことを言う。

===定義6（極大元）===
$X$ を順序集合とする。$\omega\in X$ が $X$ の極大元であるとは、$\omega <x$ なる $x\in X$ が存在しないことを言う。

===定義7（選択公理、選択関数）===
$X$ を空でない集合とする。$2^X$ を $X$ の部分集合全てからなる集合とする。関数
$$
c:2^X\backslash \{\emptyset\}\rightarrow X
$$
で、任意の $E\in 2^X\backslash \{\emptyset\}$ に対し $c(E)\in E$ を満たすものを $X$ 上の選択関数と言う。任意の空でない集合 $X$ に対し $X$ 上の選択関数が存在すると言う主張を選択公理と言う。

選択公理を認めてZornの補題を証明する。

===定理8（Zornの補題）===
任意の帰納的順序集合は極大元を持つ。

{{begin|proof}}
$X$ を帰納的順序集合とし、$c:2^X\backslash \{\emptyset\}\rightarrow X$ を選択関数とする。
任意の $E\subset X$ に対し、
$$
{\rm maj}(E):=\{y\in X: \forall x\in E, x<y\}, \quad
{\rm min}(E):=\{y\in X: \forall x\in E, y<x\}
$$
と定義する。ただし${\rm maj}(\emptyset)={\rm min}(\emptyset)=X$ である。
$C\subset X$ が次を満たすとき、$C$ をチェインと呼ぶこととする。
*(1)　$C$ は（$X$ の順序を受け継いで）整列順序集合である。
*(2)　任意の $x\in C$ に対し $c({\rm maj}(C\cap {\rm min}\{x\}))=x$が成り立つ。
$\{c(X)\}$ は明らかにチェインであるからチェインは少なくとも一つは存在する。これから最大のチェインが存在し、その上界が $X$ の極大元であることを示す。$4$ つのステップに分ける。
====ステップ1====
$C_1,C_2$ がチェインであり、$C_1\backslash C_2\neq \emptyset$ ならば、$C_1\backslash C_2$ の最小元 $x_1$ に対し、
$$
C_1\cap {\rm min}\{x_1\}=C_2
$$
が成り立つ。

(ステップ1の証明)

$x_1$ は $C_1\backslash C_2$ の最小元であるから、
$$
C_1\cap {\rm min}\{x_1\}\subset C_2\quad\quad(*)
$$
である。$(*)$ の $\subset $ が $=$ でないと仮定する。$C_2\backslash (C_1\cap {\rm min}\{x_1\})$ は $C_2$ の空でない部分集合であるからその最小元 $x_2$ が取れる。このとき、
$$
C_2\cap {\rm min}\{x_2\}\subset C_1\cap {\rm min}\{x_1\}\quad\quad(**)
$$
である。$(**)$ の $\subset$ が $=$ でないと仮定する。$(C_1\cap {\rm min}\{x_1\})\backslash(C_2\cap {\rm min}\{x_2\})$ は $C_1$ の空でない部分集合であるからその最小元 $y$ が取れる。このとき $y<x_1$ より、
$$
C_1\cap {\rm min}\{y\}\subset C_1\cap {\rm min}\{x_1\}
$$であり、$y$ が $(C_1\cap {\rm min}\{x_1\})\backslash(C_2\cap {\rm min}\{x_2\})$ の最小元であることから、
$$
C_1\cap {\rm min}\{y\}\subset C_2\cap {\rm min}\{x_2\}\quad\quad(***)
$$
である。$y\in C_1\cap {\rm min}\{x_1\}\subset C_2$、$x_2\in C_2$ であり、$C_2$ は整列順序集合であるから $y<x_2$ か $x_2\leq y$ であるが、$y\notin C_2\cap {\rm min}\{x_2\}$ であるから、$x_2\leq y$ である。よって $(***)$ の逆の包含関係が成り立つ。よってチェインの条件 $(2)$ より、
$$
y=c({\rm maj}(C_1\cap {\rm min}\{y\}))=c({\rm maj}(C_2\cap {\rm min}\{x_2\}))=x_2
$$
となるが、$y\in C_1\cap {\rm min}\{x_1\}$、$x_2\notin C_1\cap {\rm min}\{x_1\}$ なので矛盾する。よって $(**)$ の $\subset $ は $=$ である。よって再びチェインの条件 $(2)$ より、
$$
x_2=c({\rm maj}(C_2\cap {\rm min}\{x_2\}))=c({\rm maj}(C_1\cap {\rm min}\{x_1\}))=x_1
$$
となるが、$x_1\in C_1\backslash C_2$、$x_2\in C_2$ なので矛盾する。よって $(*)$ の $\subset$ は $=$ である。

(ステップ1の証明終)

====ステップ2====
チェイン全体からなる集合を $\{C_j\}_{j\in J}$ とすると、$C=\bigcup_{j\in J} C_j$ はチェインである。

(ステップ2の証明)

まず $C$ が整列順序集合であることを示す。$E$ を $C$ の空でない部分集合とする。$E\cap C_j\neq\emptyset$ なる $j\in J$ を取り、$E\cap C_j$ の最小元を $x_0$ とする。このとき $x_0$ は $E$ の最小元であることを示す。任意の $x\in E$ を取る。$x\in C_j$ ならば $x\geq x_0$ である。 $x\notin C_j$ とする。$x\in C_i\backslash C_j$ なる $i\in J$ を取れば、ステップ1より、$C_i\backslash C_j$ の最小元 $x_i$ に対し、
$$
C_i\cap {\rm min}\{x_i\}=C_j
$$
である。よって $x_0<x_i\leq x$ であるから $x_0$ は $E$ の最小元である。次に $C$ がチェインの条件 $(2)$ を満たすことを示す。任意の $x\in C$ を取る。$x\in C_j$ のとき、
$$
C\cap {\rm min}\{x\}=C_j\cap {\rm min}\{x\}\quad\quad(****)
$$
が成り立つことを示そう。任意の $y\in C\cap {\rm min}\{x\}$ を取り、$y\in C_j$ であることを示せばよい。$y\notin C_j$ であると仮定する。$y\in C_i\backslash C_j$ なる $i\in J$ を取り、$C_i\backslash C_j$ の最小元を $x_i$ とすると、ステップ1より、
$$
C_i\cap {\rm min}\{x_i\}=C_j
$$
である。よって $y<x<x_i\leq y$ となり矛盾する。よって $(****)$ が成り立つ。$C_j$ はチェインであるから、
$$
c({\rm maj}(C\cap {\rm min}\{x\}))=c({\rm maj}(C_j\cap {\rm min}\{x\}))=x
$$
である。よって $C$ はチェインである。

(ステップ2の証明終)

====ステップ3====
ステップ $2$ の最大のチェイン $C$ に対し、${\rm maj}(C)=\emptyset$ である。

(ステップ3の証明)

${\rm maj}(C)\neq\emptyset$ と仮定する。$\omega=c({\rm maj}(C))\in {\rm maj}(C)$ とおき、
$\widetilde{C}=C\cup\{\omega\}$ とおく。このとき$\widetilde{C}$ は明らかに整列順序集合である。また
任意の $x\in C$ に対し、
$$
\widetilde{C}\cap {\rm min}\{x\}=C\cap {\rm min}\{x\}
$$
であり、
$$
\widetilde{C}\cap {\rm min}\{\omega\}=C
$$
であるから、$\widetilde{C}$ はチェインの条件 $(2)$ を満たす。$C$ は最大のチェインであるから $\widetilde{C}\subset C$ となるが、$\omega\notin C$ なので矛盾する。よって ${\rm maj}(C)=\emptyset$ である。

(ステップ3の証明終)

====ステップ4====
$X$ は極大元を持つ。

(ステップ4の証明)

ステップ $2$ の最大のチェイン $C$ を考える。$C$ は整列順序集合ゆえ全順序集合であるから $C$ は上界 $x\in X$ を持つ。ステップ3より ${\rm maj}(C)=\emptyset$ であるから $x<y$ なる $y\in X$ は存在しない。よって $x$ は $X$ の極大元である。

(ステップ4の証明終)
{{end|proof}}

=== 参考文献 ===
* [https://amzn.to/3tqZRYZ Gert K. Pedersen「Analysis Now」]

=== 関連項目 ===
* [[ネットによる位相空間論]]
* [[入門テキスト「位相線形空間」]]
* [[Banach環とC*-環のスペクトル理論]]

位相線形空間2：セミノルム位相と汎弱位相

2025-11-05T04:56:57Z

Kataoka:

この章では、セミノルム位相と汎弱位相について述べる。ネットによる収束の議論を用いるので、[[ネットによる位相空間論]]を参照されたい。 $\mathbb{F}$ により $\mathbb{R}$ か $\mathbb{C}$ を表すこととする。また $\mathbb{N}=\{1,2,3,\ldots\}$ とする。

'''[[入門テキスト「位相線形空間」]]'''
* [[位相線形空間1：ノルムと内積]]
* '''位相線形空間2：セミノルム位相と汎弱位相'''
* [[位相線形空間3：Hahn-Banachの定理とKrein-Milmanの端点定理]]
* [[位相線形空間4：Fréchet空間と関数解析の基本定理]]

== 8. セミノルム位相 ==

=== 定義8.1（位相線形空間） ===
$X$ を $\mathbb{F}$ 上の線形空間とする。$X$ がHausdorff空間でもあり、加法とスカラー倍
* $X\times X\ni (x,y)\mapsto x+y\in X$,
* $\mathbb{F}\times X\ni (\alpha,x)\mapsto \alpha x\in X$
が共に直積位相に関して連続であるとき、$X$ を位相線形空間と言う。

ノルム空間は位相線形空間である。

=== 定義8.2（セミノルム） ===
$X$ を $\mathbb{F}$ 上の線形空間とする。
$p\colon X\rightarrow[0,\infty)$ が $X$ 上のセミノルムであるとは、
*$(1)$　任意の $x,y\in X$ に対し $p(x+y)\leq p(x)+p(y)$.
*$(2)$　任意の $x\in X$ と任意の $\alpha\in \mathbb{F}$ に対し $p(\alpha x)=\lvert\alpha\rvert p(x)$.
が成り立つことを言う。

=== 定義8.3（セミノルムの分離族（separating family of seminorms）） ===
$X$ を $\mathbb{F}$ 上の線形空間とする。$X$ 上のセミノルムの集合 $\mathcal{P}$ が $X$ を分離するとは、
$$
\{x\in X:\forall p\in \mathcal{P}, p(x)=0\}=\{0\}
$$
が成り立つことを言う。$X$ を分離する $X$ 上のセミノルムの集合を $X$ 上のセミノルムの分離族と呼ぶこととする。

=== 定義8.4（セミノルムの分離族が誘導するセミノルム位相、セミノルム空間） ===
$X$ を $\mathbb{F}$ 上の線形空間、$\mathcal{P}$ を $X$ 上のセミノルムの分離族とする。任意の $(p,a)\in \mathcal{P}\times X$ に対し、
$$
p_a:X\ni x\mapsto p(x-a)\in [0,\infty)
$$
と定義する。このとき $(p_a\colon X\rightarrow[0,\infty))_{(p,a)\in \mathcal{P}\times X}$ が $X$ 上に誘導する始位相を $\mathcal{P}$ が誘導するセミノルム位相と言う。（始位相に関しては[[ネットによる位相空間論]]を参照。）次の'''命題8.6'''より $X$ はセミノルム位相により位相線形空間である。セミノルム位相による位相線形空間をセミノルム空間と言う。

=== 定義8.5（絶対凸（absolutely convex）） ===
$X$ を $\mathbb{F}$ 上の線形空間とする。凸集合 $C\subset X$ が絶対凸であるとは、任意の $x\in C$ と $\lvert\alpha\rvert\leq 1$ を満たす任意の $\alpha\in\mathbb{F}$ に対し $\alpha x\in C$ が成り立つことを言う。

=== 命題8.6（セミノルム位相の基本性質） ===
$X$ を $\mathbb{F}$ 上の線形空間、$\mathcal{P}$ を $X$ 上のセミノルムの分離族とする。$\mathcal{P}$ が誘導するセミノルム位相について次が成り立つ。
*$(1)$　$X$ のネット $(x_{\lambda})_{\lambda\in\Lambda}$ と $x\in X$ に対し、
$$
x_{\lambda}\rightarrow x\quad\Leftrightarrow\quad p(x_{\lambda}-x)\rightarrow0\quad(\forall p\in \mathcal{P}).
$$
*$(2)$　$X$ は位相線形空間である。
*$(3)$　任意の有限個の $p_1,\ldots,p_n\in \mathcal{P}$ と任意の $\epsilon\in(0,\infty)$ に対し、
$$
V(p_1,\ldots,p_n;\epsilon):=\bigcap_{k=1}^{n}p_k^{-1}([0,\epsilon))\quad\quad(*)
$$
は $0\in X$ の絶対凸な開近傍であり、
$$
\{V(p_1,\ldots,p_n;\epsilon):n\in \mathbb{N},p_1,\ldots,p_n\in \mathcal{P},\epsilon\in (0,\infty)\}\quad\quad(**)
$$
は $0\in X$ の基本近傍系である。
{{begin |proof }}
*$(1)$　始位相によるネットの収束の特徴付け（[[ネットによる位相空間論]]の'''命題7.2'''）より、
$$
x_{\lambda}\rightarrow x\quad\Leftrightarrow\quad \lvert p_a(x_{\lambda})-p_a(x)\rvert\rightarrow0\quad(\forall (p,a)\in \mathcal{P}\times X)
$$
である。そして任意の $(p,a)\in \mathcal{P}\times X$ に対しセミノルムの定義より、
$$
\lvert p_a(x_{\lambda})-p_a(x)\rvert\leq p(x_{\lambda}-x),\quad
p_x(x_{\lambda})-p_x(x)=p(x_{\lambda}-x)\quad(\forall \lambda\in\Lambda)
$$
であるから、
$$
\lvert p_a(x_{\lambda})-p_a(x)\rvert\rightarrow0\quad(\forall (p,a)\in \mathcal{P}\times X)\quad\Leftrightarrow\quad p(x_{\lambda}-x)\rightarrow0\quad(\forall p\in \mathcal{P})
$$
である。よって成り立つ。
*$(2)$　加法とスカラー倍の連続性は、$(1)$ と、連続性のネットによる特徴付け（[[ネットによる位相空間論]]の'''定理3'''）により分かる。$\mathcal{P}$ はセミノルムの分離族であるから、$x\neq y$ なる $x,y\in X$ に対し、$p_a(x)\neq p_a(y)$ なる $(p,a)\in \mathcal{P}\times X$ が取れる。$p_a(x),p_a(y)$ を分離する $[0,\infty)$ の開集合 $U,V$ を取れば、$p_a^{-1}(U), p_a^{-1}(V)$ は $x,y$ を分離する $X$ の開集合である。よって $X$ はHausdorff空間である。
*$(3)$　$(1)$ より任意の $p\in\mathcal{P}$ に対し $p:X\rightarrow[0,\infty)$ は連続なので、任意の $\epsilon\in (0,\infty)$ に対し $p^{-1}([0,\epsilon))$ は $0\in X$ の開近傍である。またこれは明らかに絶対凸である。よって $(*)$ は $0\in X$ の絶対凸な開近傍である。$0\in X$ の任意の近傍 $V$ に対し始位相の定義より有限個の $(p_1,a_1),\ldots,(p_n,a_n)\in \mathcal{P}\times X$ と $\epsilon\in(0,\infty)$ が取れて、
$$
\bigcap_{k=1}^{n}p_{k,a_k}^{-1}(B(p_{k,a_k}(0),\epsilon))\subset V
$$
となる。ここで、
$$
\lvert p_{k,a_k}(x)-p_{k,a_k}(0)\rvert\leq p_k(x)\quad(\forall x\in X,k=1,\ldots,n)
$$
であるから、
$$
p_k^{-1}([0,\epsilon))\subset p_{k,a_k}^{-1}(B(p_{k,a_k}(0),\epsilon))\quad(k=1,\ldots,n)
$$
である。よって、
$$
V(p_1,\ldots,p_n;\epsilon)\subset \bigcap_{k=1}^{n}p_{k,a_k}^{-1}(B(p_{k,a_k}(0),\epsilon))\subset V
$$
であるから $(**)$ は $0\in X$ の基本近傍系である。
{{end |proof |}}

=== 例8.7（ノルム空間はセミノルム空間） ===
$\mathbb{F}$ 上のノルム空間 $(X,\lVert \cdot\rVert)$ は、$1$ つのセミノルムからなるセミノルムの分離族 $\{\lVert \cdot\rVert\}$ から誘導されるセミノルム位相によるセミノルム空間である。

== 9. 汎弱位相 ==

=== 定義9.1（線形汎関数の分離族） ===
$X$ を $\mathbb{F}$ 上の線形空間とする。$X$ 上の線形汎関数からなる集合 $\mathcal{F}$ が $X$ を分離するとは、
$$
\{x\in X: \forall \varphi\in \mathcal{F},\varphi(x)=0\}=\{0\}
$$
が成り立つことを言う。$X$ を分離する $X$ 上の線形汎関数からなる集合を $X$ 上の線形汎関数の分離族と呼ぶこととする。

=== 定義9.2（線形汎関数の分離族が誘導する汎弱位相） ===
$X$ を $\mathbb{F}$ 上の線形空間、$\mathcal{F}$ を $X$ 上の線形汎関数の分離族とする。任意の $\varphi\in \mathcal{F}$ に対しセミノルム $\lvert\varphi(\cdot)\rvert\colon X\ni x\mapsto \lvert\varphi(x)\rvert\in [0,\infty)$ を定義する。このとき、
$$
\mathcal{P}:=\{\lvert\varphi(\cdot)\rvert:\varphi\in \mathcal{F}\}
$$
は $X$ 上のセミノルムの分離族である。$\mathcal{P}$ が誘導する $X$ 上のセミノルム位相を $\mathcal{F}$ が誘導する $X$ 上の汎弱位相と言う。（次の'''命題9.3'''の $(1)$ で見るように $\mathcal{F}$ から誘導される $X$ の汎弱位相は、$\mathcal{F}$ から誘導される始位相（[[ネットによる位相空間論]]の'''7'''を参照）と同じである。）

=== 命題9.3（汎弱位相の基本性質） ===
$X$ を $\mathbb{F}$ 上の線形空間、$\mathcal{F}$ を $X$ 上の線形汎関数の分離族とする。$\mathcal{F}$ が誘導する $X$ 上の汎弱位相について次が成り立つ。

*$(1)$　$X$ のネット $(x_{\lambda})_{\lambda\in\Lambda}$ と $x\in X$ に対し、
$$
x_{\lambda}\rightarrow x\quad\Leftrightarrow \quad\varphi(x_{\lambda})\rightarrow\varphi(x)\quad(\forall \varphi\in \mathcal{F}).
$$
*$(2)$　$X$ は位相線形空間である。
*$(3)$　任意の有限個の $\varphi_1,\ldots,\varphi_n\in \mathcal{F}$ と任意の $\epsilon\in(0,\infty)$ に対し、
$$
V(\varphi_1,\ldots,\varphi_n;\epsilon):=\bigcap_{k=1}^{n}\{x\in X:\lvert\varphi_k(x)\rvert<\epsilon\}
$$
は $0\in X$ の絶対凸な開近傍であり、
$$
\{V(\varphi_1,\ldots,\varphi_n;\epsilon):n\in \mathbb{N},\varphi_1,\ldots,\varphi_n\in \mathcal{F},\epsilon\in (0,\infty)\}
$$
は $0\in X$ の基本近傍系である。
{{begin |proof }}
'''命題8.6'''による。
{{end |proof | }}

=== 補題9.4 ===
$X$ を $\mathbb{F}$ 上の線形空間、$\varphi,\varphi_1,\ldots,\varphi_n$ を $X$ 上の線形汎関数とし、
$$
\bigcap_{k=1}^{n}\text{Ker}(\varphi_k)\subset \text{Ker}(\varphi)\quad\quad(*)
$$
が成り立つとする。このとき $\varphi$ は $\varphi_1,\ldots,\varphi_n$ の線形結合で表される。
{{begin |proof }}
$$
\Phi\colon X\ni x\mapsto (\varphi_1(x),\ldots,\varphi_n(x))\in \mathbb{F}^n
$$
なる線形作用素を考えると、$(*)$ より線形汎関数
$$
\Phi(X)\ni \Phi(x)\mapsto \varphi(x)\in \mathbb{F}\quad\quad(**)
$$
が定義できる。<ref>$g\colon X/{\rm Ker}(\Phi)\ni [x]\mapsto \Phi(x)\in \Phi(X)$ は線形同型写像であり、$(*)$ より ${\rm Ker}(\Phi)=\bigcap_{k=1}^{n}{\rm Ker}(\varphi_j)\subset {\rm Ker}(\varphi)$ であるから、$h\colon X/{\rm Ker}(\Phi)\ni [x]\mapsto \varphi(x)\in \mathbb{F}$ はwell-definedである。$(**)$ は $h\circ g^{-1}\colon \Phi(X)\rightarrow \mathbb{F}$ である。</ref>そこで、
$$
\mathbb{F}^n=\Phi(X)\oplus M
$$
なる部分空間 $M\subset \mathbb{F}^n$ を取り、$(**)$ を $\mathbb{F}^n$ 上の線形汎関数
$$
\psi:\mathbb{F}^n=\Phi(X)\oplus M\ni \Phi(x)+m\mapsto \varphi(x)\in \mathbb{F}
$$
に拡張する。$\mathbb{F}^n$ の標準基底 $e_1,\ldots,e_n$ に対し、
$$
\varphi(x)=\psi(\Phi(x))=\psi\left(\sum_{k=1}^{n}\varphi_k(x)e_k\right)
=\sum_{k=1}^{n}\psi(e_k)\varphi_k(x)\quad(\forall x\in X)
$$
であるから $\varphi$ は $\varphi_1,\ldots,\varphi_n$ の線形結合である。
{{end |proof|}}

=== 命題9.5（汎弱位相に関して連続な線形汎関数全体） ===
$X$ を $\mathbb{F}$ 上の線形空間、$\mathcal{F}$ を $X$ 上の線形汎関数の分離族とする。このとき $\mathcal{F}$ が誘導する汎弱位相に関して連続な線形汎関数全体は $\text{span}(\mathcal{F})$ である。ただし $\text{span}(\mathcal{F})$ は $\mathcal{F}$ の元の線形結合全体である。
{{begin |proof }}
$\text{span}(\mathcal{F})$ の元が汎弱位相に関して連続であることは'''命題9.3'''の $(1)$ による。（[[ネットによる位相空間論]]のネットによる連続性の特徴付けを参照。）$\varphi$ を汎弱位相に関して連続な線形汎関数とする。
このとき $\{x\in X:\lvert\varphi(x)\rvert<1\}$ は $0\in X$ の開近傍であるから、'''命題9.3'''の $(3)$ より有限個の $\varphi_1,\ldots,\varphi_n\in \mathcal{F}$ と $\epsilon\in(0,\infty)$ で、
$$
\bigcap_{k=1}^{n}\{x\in X:\lvert\varphi_k(x)\rvert<\epsilon\}\subset\{x\in X:\lvert\varphi(x)\rvert<1\}
$$
なるものが取れる。任意の $x\in X$ と任意の $\delta\in (0,\infty)$ に対し、
$$
\frac{\epsilon x}{\text{max}(\varphi_1(x),\ldots,\varphi_n(x))+\delta}\in \bigcap_{k=1}^{n}\{x\in X:\lvert\varphi_k(x)\rvert<\epsilon\}\subset\{x\in X:\lvert\varphi(x)\rvert<1\}
$$
であるから、
$$
\lvert\varphi(x)\rvert\leq \epsilon^{-1}(\text{max}(\varphi_1(x),\ldots,\varphi_n(x))+\delta)
$$
である。よって $\delta\in (0,\infty)$ の任意性より、
$$
\lvert\varphi(x)\rvert\leq \epsilon^{-1}\text{max}(\varphi_1(x),\ldots,\varphi_n(x))\quad(\forall x\in X)
$$
が成り立つ。これより、
$$
\bigcap_{k=1}^{n}\text{Ker}(\varphi_k)\subset \text{Ker}(\varphi)
$$
であるから'''補題9.4'''より $\varphi$ は $\varphi_1,\ldots,\varphi_n$ の線形結合で表される。よって $\varphi\in \text{span}(\mathcal{F})$ である。
{{end |proof|}}

== 10. ノルム空間の双対空間の弱 $*$-位相、Alaogluの定理 ==

=== 定義10.1（弱 $*$-位相） ===
$X$ を $\mathbb{F}$ 上のノルム空間とする。任意の $x\in X$ に対し $X^*$ 上の線形汎関数
$$
\iota(x)\colon X^*\ni \varphi\mapsto \varphi(x)\in \mathbb{F}
$$
を定義する。このとき $\iota(X)=\{\iota(x):x\in X\}$ は $X^*$ を分離する。$\iota(X)$ が誘導する$X^*$ 上の汎弱位相を弱 $*$-位相と言う。

=== 注意10.2（弱 $*$-位相に関する収束の特徴付け） ===
'''命題9.3'''より $X^*$ のネット $(\varphi_{\lambda})_{\lambda\in\Lambda}$ と $\varphi\in X^*$ に対し、
$$
\text{弱 $*$-位相に関して }\varphi_{\lambda}\rightarrow\varphi\quad\Leftrightarrow\quad\text{任意の }x\in X\text{ に対して }\varphi_{\lambda}(x)\rightarrow\varphi(x)
$$
である。また'''命題9.5'''より弱 $*$-位相に関して連続な $X^*$ 上の線形汎関数全体は $\iota(X)$ に一致する。

=== 定理10.3（Alaogluの定理） ===
$X$ を $\mathbb{F}$ 上のノルム空間とする。$X$ の双対空間 $X^*$ の単位ノルム閉球 $(X^*)_1:=\{\varphi\in X^*:\lVert \varphi\rVert\leq 1\}$ は弱 $*$-位相でコンパクトである。
{{begin |proof }}
[[ネットによる位相空間論]]のコンパクト性の特徴付けより $(X^*)_1$ の任意の普遍ネット $(\varphi_{\lambda})_{\lambda\in\Lambda}$ が弱 $*$-位相で収束することを示せばよい。任意の $x\in X$ に対し $(\varphi_{\lambda}(x))_{\lambda\in\Lambda}$ は $\mathbb{F}$ のコンパクト集合 $\{t\in \mathbb{F}:\lvert t\rvert\leq \lVert x\rVert\}$ の普遍ネットであるから収束する。よって $\varphi\colon X\rightarrow \mathbb{F}$ で、
$$
\varphi(x)=\lim_{\lambda\in\Lambda}\varphi_{\lambda}(x)\quad(\forall x\in X)
$$
なるものが定まる。このとき $\varphi\in (X^*)_1$ であり、弱 $*$-位相で $\varphi_{\lambda}\rightarrow\varphi$ である。
{{end |proof|}}

== 次のページ ==
* [[位相線形空間3：Hahn-Banachの定理とKrein-Milmanの端点定理]]

== 前のページ ==
* [[位相線形空間1：ノルムと内積]]

== 関連項目 ==
* [[入門テキスト「位相線形空間」]]
* [[関数解析の基礎]]
* [[ネットによる位相空間論]]
* [[距離空間の位相の基本的性質]]
* [[入門テキスト「測度と積分」]]
* [[超関数とFourier変換、Sobolev空間]]
* [[Hilbert空間上の作用素論]]

選択公理とZornの補題

2025-10-27T02:11:09Z

Kataoka: /* 定理8（Zornの補題） */

本稿においては選択公理からZornの補題を簡潔に証明する。

===定義1（順序集合）===
$X$ を空でない集合とする。$X$ の二項関係 $\leq$ が次を満たすとき、$\leq$ を $X$ の順序と言う。
*(反射律)　任意の $x\in X$ に対し $x\leq x$。
*(推移律)　$x\leq y$ かつ $y\leq z$ なる任意の $x,y,z\in X$ に対し $x\leq z$。
*(反対称律)　$x\leq y$ かつ $y\leq x$ なる任意の $x,y\in X$ に対し $x=y$。

$X$ の順序 $\leq$ がさらに次を満たすとき、$\leq$ を $X$ の全順序と言う。
*(全順序性)　任意の$x,y\in X$ に対し $x\leq y$ か $y\leq x$ が成り立つ。

$\leq$ が順序であるとき、$x\leq y$ であることを $y\geq x$ とも表す。また $x\leq y$ かつ $x\neq y$ であることを $x<y$ もしくは $y>x$ と表す。順序が定義された集合を順序集合と言う。全順序が定義された集合を全順序集合と言う。

===定義2（上界、下界）===
$X$ を順序集合、$E\subset X$、$E\neq \emptyset$ とする。$y\in X$ が $E$ の上界であるとは、任意の $x\in E$ に対し $x\leq y$ が成り立つことを言う。また $y\in X$ が $E$ の下界であるとは、任意の $x\in E$ に対し $y\leq x$ が成り立つことを言う。

===定義3（最大元、最小元）===
$X$ を順序集合、$E\subset X$、$E\neq\emptyset$ とする。$y\in E$ が $E$ の最大元であるとは、任意の $x\in E$ に対し $x\leq y$ が成り立つことを言う。また $y\in E$ が $E$ の最小元であるとは、任意の $x\in E$ に対し $y\leq x$ が成り立つことを言う。

順序の反対称律より、$E$ が最大元を持つときそれは唯一つである。最小元についても同様である。

===定義4（整列順序集合）===
順序集合 $X$ が整列順序集合であるとは、$X$ の任意の空でない部分集合が最小元を持つことを言う。

$X$ が整列順序集合であるとき、任意の $x,y\in X$ に対し $\{x,y\}$ は最小元を持つから、$x\leq y$ か $y\leq x$ が成り立つ。よって整列順序集合は全順序集合である。

順序集合 $X$ の部分集合は、$X$ の順序をそのまま受け継ぎ順序集合とみなす。

===定義5（帰納的順序集合）===
順序集合 $X$ が帰納的順序集合であるとは、任意の全順序部分集合が上界を持つことを言う。

===定義6（極大元）===
$X$ を順序集合とする。$\omega\in X$ が $X$ の極大元であるとは、$\omega <x$ なる $x\in X$ が存在しないことを言う。

===定義7（選択公理、選択関数）===
$X$ を空でない集合とする。$2^X$ を $X$ の部分集合全てからなる集合とする。関数
$$
c:2^X\backslash \{\emptyset\}\rightarrow X
$$
で、任意の $E\in 2^X\backslash \{\emptyset\}$ に対し $c(E)\in E$ を満たすものを $X$ 上の選択関数と言う。任意の空でない集合 $X$ に対し $X$ 上の選択関数が存在すると言う主張を選択公理と言う。

選択公理を認めてZornの補題を証明する。

===定理8（Zornの補題）===
任意の帰納的順序集合は極大元を持つ。

{{begin|proof}}
$X$ を帰納的順序集合とし、$c:2^X\backslash \{\emptyset\}\rightarrow X$ を選択関数とする。
任意の $E\subset X$ に対し、
$$
{\rm maj}(E):=\{y\in X: \forall x\in E, x<y\}, \quad
{\rm min}(E):=\{y\in X: \forall x\in E, y<x\}
$$
と定義する。ただし${\rm maj}(\emptyset)={\rm min}(\emptyset)=X$ である。
$C\subset X$ が次を満たすとき、$C$ をチェインと呼ぶこととする。
*(1)　$C$ は（$X$ の順序を受け継いで）整列順序集合である。
*(2)　任意の $x\in C$ に対し $c({\rm maj}(C\cap {\rm min}\{x\}))=x$が成り立つ。
$\{c(X)\}$ は明らかにチェインであるからチェインは少なくとも一つは存在する。これから最大のチェインが存在し、その上界が $X$ の極大元であることを示す。$4$ つのステップに分ける。
====ステップ1====
$C_1,C_2$ がチェインであり、$C_1\backslash C_2\neq \emptyset$ ならば、$C_1\backslash C_2$ の最小元 $x_1$ に対し、
$$
C_1\cap {\rm min}\{x_1\}=C_2
$$
が成り立つ。

(ステップ1の証明)

$x_1$ は $C_1\backslash C_2$ の最小元であるから、
$$
C_1\cap {\rm min}\{x_1\}\subset C_2\quad\quad(*)
$$
である。$(*)$ の $\subset $ が $=$ でないと仮定する。$C_2\backslash (C_1\cap {\rm min}\{x_1\})$ は $C_2$ の空でない部分集合であるからその最小元 $x_2$ が取れる。このとき、
$$
C_2\cap {\rm min}\{x_2\}\subset C_1\cap {\rm min}\{x_1\}\quad\quad(**)
$$
である。$(**)$ の $\subset$ が $=$ でないと仮定する。$(C_1\cap {\rm min}\{x_1\})\backslash(C_2\cap {\rm min}\{x_2\})$ は $C_1$ の空でない部分集合であるからその最小元 $y$ が取れる。このとき $y<x_1$ より、
$$
C_1\cap {\rm min}\{y\}\subset C_1\cap {\rm min}\{x_1\}
$$であり、$y$ が $(C_1\cap {\rm min}\{x_1\})\backslash(C_2\cap {\rm min}\{x_2\})$ の最小元であることから、
$$
C_1\cap {\rm min}\{y\}\subset C_2\cap {\rm min}\{x_2\}\quad\quad(***)
$$
である。$y\in C_1\cap {\rm min}\{x_1\}\subset C_2$、$x_2\in C_2$ であり、$C_2$ は整列順序集合であるから $y<x_2$ か $x_2\leq y$ であるが、$y\notin C_2\cap {\rm min}\{x_2\}$ であるから、$x_2\leq y$ である。よって $(***)$ の逆の包含関係が成り立つ。よってチェインの条件 $(2)$ より、
$$
y=c({\rm maj}(C_1\cap {\rm min}\{y\}))=c({\rm maj}(C_2\cap {\rm min}\{x_2\}))=x_2
$$
となるが、$y\in C_1\cap {\rm min}\{x_1\}$、$x_2\notin C_1\cap {\rm min}\{x_1\}$ なので矛盾する。よって $(**)$ の $\subset $ は $=$ である。よって再びチェインの条件 $(2)$ より、
$$
x_2=c({\rm maj}(C_2\cap {\rm min}\{x_2\}))=c({\rm maj}(C_1\cap {\rm min}\{x_1\}))=x_1
$$
となるが、$x_1\in C_1\backslash C_2$、$x_2\in C_2$ なので矛盾する。よって $(*)$ の $\subset$ は $=$ である。

(ステップ1の証明終)

====ステップ2====
チェイン全体からなる集合を $\{C_j\}_{j\in J}$ とすると、$C=\bigcup_{j\in J} C_j$ はチェインである。

(ステップ2の証明)

まず $C$ が整列順序集合であることを示す。$E$ を $C$ の空でない部分集合とする。$E\cap C_j\neq\emptyset$ なる $j\in J$ を取り、$E\cap C_j$ の最小元を $x_0$ とする。このとき $x_0$ は $E$ の最小元であることを示す。任意の $x\in E$ を取る。$x\in C_j$ ならば $x\geq x_0$ である。 $x\notin C_j$ とする。$x\in C_i\backslash C_j$ なる $i\in J$ を取れば、ステップ1より、$C_i\backslash C_j$ の最小元 $x_i$ に対し、
$$
C_i\cap {\rm min}\{x_i\}=C_j
$$
である。よって $x_0<x_i\leq x$ であるから $x_0$ は $E$ の最小元である。次に $C$ がチェインの条件 $(2)$ を満たすことを示す。任意の $x\in C$ を取る。$x\in C_j$ のとき、
$$
C\cap {\rm min}\{x\}=C_j\cap {\rm min}\{x\}\quad\quad(****)
$$
が成り立つことを示そう。任意の $y\in C\cap {\rm min}\{x\}$ を取り、$y\in C_j$ であることを示せばよい。$y\notin C_j$ であると仮定する。$y\in C_i\backslash C_j$ なる $i\in J$ を取り、$C_i\backslash C_j$ の最小元を $x_i$ とすると、ステップ1より、
$$
C_i\cap {\rm min}\{x_i\}=C_j
$$
である。よって $y<x<x_i\leq y$ となり矛盾する。よって $(****)$ が成り立つ。$C_j$ はチェインであるから、
$$
c({\rm maj}(C\cap {\rm min}\{x\}))=c({\rm maj}(C_j\cap {\rm min}\{x\}))=x
$$
である。よって $C$ はチェインである。

(ステップ2の証明終)

====ステップ3====
ステップ $2$ の最大のチェイン $C$ に対し、${\rm maj}(C)=\emptyset$ である。

(ステップ3の証明)

${\rm maj}(C)\neq\emptyset$ と仮定する。$\omega=c({\rm maj}(C))\in {\rm maj}(C)$ とおき、
$\widetilde{C}=C\cup\{\omega\}$ とおく。このとき$\widetilde{C}$ は明らかに整列順序集合である。また
任意の $x\in C$ に対し、
$$
\widetilde{C}\cap {\rm min}\{x\}=C\cap {\rm min}\{x\}
$$
であり、
$$
\widetilde{C}\cap {\rm min}\{\omega\}=C
$$
であるから、$\widetilde{C}$ はチェインの条件 $(2)$ を満たす。$C$ は最大のチェインであるから $\widetilde{C}\subset C$ となるが、$\omega\notin C$ なので矛盾する。よって ${\rm maj}(C)=\emptyset$ である。

(ステップ3の証明終)

====ステップ4====
$X$ は極大元を持つ。

(ステップ4の証明)

ステップ $2$ の最大のチェイン $C$ を考える。$C$ は整列順序集合ゆえ全順序集合であるから $C$ は上界 $x\in X$ を持つ。ステップ3より ${\rm maj}(C)=\emptyset$ であるから $x<y$ なる $y\in X$ は存在しない。よって $x$ は $X$ の極大元である。

(ステップ4の証明終)
{{end|proof}}

=== 参考文献 ===
* [https://amzn.to/3tqZRYZ Gert K. Pedersen「Analysis Now」]

=== 関連項目 ===
* [[ネットによる位相空間論]]
* [[入門テキスト「位相線形空間」]]
* [[Banach環とC*-環のスペクトル理論]]

選択公理とZornの補題

2025-10-25T05:06:39Z

Kataoka:

本稿においては選択公理からZornの補題を簡潔に証明する。

===定義1（順序集合）===
$X$ を空でない集合とする。$X$ の二項関係 $\leq$ が次を満たすとき、$\leq$ を $X$ の順序と言う。
*(反射律)　任意の $x\in X$ に対し $x\leq x$。
*(推移律)　$x\leq y$ かつ $y\leq z$ なる任意の $x,y,z\in X$ に対し $x\leq z$。
*(反対称律)　$x\leq y$ かつ $y\leq x$ なる任意の $x,y\in X$ に対し $x=y$。

$X$ の順序 $\leq$ がさらに次を満たすとき、$\leq$ を $X$ の全順序と言う。
*(全順序性)　任意の$x,y\in X$ に対し $x\leq y$ か $y\leq x$ が成り立つ。

$\leq$ が順序であるとき、$x\leq y$ であることを $y\geq x$ とも表す。また $x\leq y$ かつ $x\neq y$ であることを $x<y$ もしくは $y>x$ と表す。順序が定義された集合を順序集合と言う。全順序が定義された集合を全順序集合と言う。

===定義2（上界、下界）===
$X$ を順序集合、$E\subset X$、$E\neq \emptyset$ とする。$y\in X$ が $E$ の上界であるとは、任意の $x\in E$ に対し $x\leq y$ が成り立つことを言う。また $y\in X$ が $E$ の下界であるとは、任意の $x\in E$ に対し $y\leq x$ が成り立つことを言う。

===定義3（最大元、最小元）===
$X$ を順序集合、$E\subset X$、$E\neq\emptyset$ とする。$y\in E$ が $E$ の最大元であるとは、任意の $x\in E$ に対し $x\leq y$ が成り立つことを言う。また $y\in E$ が $E$ の最小元であるとは、任意の $x\in E$ に対し $y\leq x$ が成り立つことを言う。

順序の反対称律より、$E$ が最大元を持つときそれは唯一つである。最小元についても同様である。

===定義4（整列順序集合）===
順序集合 $X$ が整列順序集合であるとは、$X$ の任意の空でない部分集合が最小元を持つことを言う。

$X$ が整列順序集合であるとき、任意の $x,y\in X$ に対し $\{x,y\}$ は最小元を持つから、$x\leq y$ か $y\leq x$ が成り立つ。よって整列順序集合は全順序集合である。

順序集合 $X$ の部分集合は、$X$ の順序をそのまま受け継ぎ順序集合とみなす。

===定義5（帰納的順序集合）===
順序集合 $X$ が帰納的順序集合であるとは、任意の全順序部分集合が上界を持つことを言う。

===定義6（極大元）===
$X$ を順序集合とする。$\omega\in X$ が $X$ の極大元であるとは、$\omega <x$ なる $x\in X$ が存在しないことを言う。

===定義7（選択公理、選択関数）===
$X$ を空でない集合とする。$2^X$ を $X$ の部分集合全てからなる集合とする。関数
$$
c:2^X\backslash \{\emptyset\}\rightarrow X
$$
で、任意の $E\in 2^X\backslash \{\emptyset\}$ に対し $c(E)\in E$ を満たすものを $X$ 上の選択関数と言う。任意の空でない集合 $X$ に対し $X$ 上の選択関数が存在すると言う主張を選択公理と言う。

選択公理を認めてZornの補題を証明する。

===定理8（Zornの補題）===
任意の帰納的順序集合は極大元を持つ。

{{begin|proof}}
$X$ を帰納的順序集合とし、$c:2^X\backslash \{\emptyset\}\rightarrow X$ を選択関数とする。
任意の $E\subset X$ に対し、
$$
{\rm maj}(E):=\{y\in X: \forall x\in E, x<y\}, \quad
{\rm min}(E):=\{y\in X: \forall x\in E, y<x\}
$$
と定義する。ただし${\rm maj}(\emptyset)={\rm min}(\emptyset)=X$ である。
$C\subset X$ が次を満たすとき、$C$ をチェインと呼ぶこととする。
*(1)　$C$ は（$X$ の順序を受け継いで）整列順序集合である。
*(2)　任意の $x\in C$ に対し $c({\rm maj}(C\cap {\rm min}\{x\}))=x$が成り立つ。
$\{c(X)\}$ は明らかにチェインであるからチェインは少なくとも一つは存在する。これから最大のチェインが存在し、その上界が $X$ の極大元であることを示す。$4$ つのステップに分ける。
====ステップ1====
$C_1,C_2$ がチェインであり、$C_1\backslash C_2\neq \emptyset$ ならば、$C_1\backslash C_2$ の最小元 $x_1$ に対し、
$$
C_1\cap {\rm min}\{x_1\}=C_2
$$
が成り立つ。

(ステップ1の証明)

$x_1$ は $C_1\backslash C_2$ の最小元であるから、
$$
C_1\cap {\rm mir}\{x_1\}\subset C_2\quad\quad(*)
$$
である。$(*)$ の $\subset $ が $=$ でないと仮定する。$C_2\backslash (C_1\cap {\rm min}\{x_1\})$ は $C_2$ の空でない部分集合であるからその最小元 $x_2$ が取れる。このとき、
$$
C_2\cap {\rm min}\{x_2\}\subset C_1\cap {\rm min}\{x_1\}\quad\quad(**)
$$
である。$(**)$ の $\subset$ が $=$ でないと仮定する。$(C_1\cap {\rm min}\{x_1\})\backslash(C_2\cap {\rm min}\{x_2\})$ は $C_1$ の空でない部分集合であるからその最小元 $y$ が取れる。このとき $y<x_1$ より、
$$
C_1\cap {\rm min}\{y\}\subset C_1\cap {\rm min}\{x_1\}
$$であり、$y$ が $(C_1\cap {\rm min}\{x_1\})\backslash(C_2\cap {\rm min}\{x_2\})$ の最小元であることから、
$$
C_1\cap {\rm min}\{y\}\subset C_2\cap {\rm min}\{x_2\}\quad\quad(***)
$$
である。$y\in C_1\cap {\rm min}\{x_1\}\subset C_2$、$x_2\in C_2$ であり、$C_2$ は整列順序集合であるから $y<x_2$ か $x_2\leq y$ であるが、$y\notin C_2\cap {\rm min}\{x_2\}$ であるから、$x_2\leq y$ である。よって $(***)$ の逆の包含関係が成り立つ。よってチェインの条件 $(2)$ より、
$$
y=c({\rm maj}(C_1\cap {\rm min}\{y\}))=c({\rm maj}(C_2\cap {\rm min}\{x_2\}))=x_2
$$
となるが、$y\in C_1\cap {\rm min}\{x_1\}$、$x_2\notin C_1\cap {\rm min}\{x_1\}$ なので矛盾する。よって $(**)$ の $\subset $ は $=$ である。よって再びチェインの条件 $(2)$ より、
$$
x_2=c({\rm maj}(C_2\cap {\rm min}\{x_2\}))=c({\rm maj}(C_1\cap {\rm min}\{x_1\}))=x_1
$$
となるが、$x_1\in C_1\backslash C_2$、$x_2\in C_2$ なので矛盾する。よって $(*)$ の $\subset$ は $=$ である。

(ステップ1の証明終)

====ステップ2====
チェイン全体からなる集合を $\{C_j\}_{j\in J}$ とすると、$C=\bigcup_{j\in J} C_j$ はチェインである。

(ステップ2の証明)

まず $C$ が整列順序集合であることを示す。$E$ を $C$ の空でない部分集合とする。$E\cap C_j\neq\emptyset$ なる $j\in J$ を取り、$E\cap C_j$ の最小元を $x_0$ とする。このとき $x_0$ は $E$ の最小元であることを示す。任意の $x\in E$ を取る。$x\in C_j$ ならば $x\geq x_0$ である。 $x\notin C_j$ とする。$x\in C_i\backslash C_j$ なる $i\in J$ を取れば、ステップ1より、$C_i\backslash C_j$ の最小元 $x_i$ に対し、
$$
C_i\cap {\rm min}\{x_i\}=C_j
$$
である。よって $x_0<x_i\leq x$ であるから $x_0$ は $E$ の最小元である。次に $C$ がチェインの条件 $(2)$ を満たすことを示す。任意の $x\in C$ を取る。$x\in C_j$ のとき、
$$
C\cap {\rm min}\{x\}=C_j\cap {\rm min}\{x\}\quad\quad(****)
$$
が成り立つことを示そう。任意の $y\in C\cap {\rm min}\{x\}$ を取り、$y\in C_j$ であることを示せばよい。$y\notin C_j$ であると仮定する。$y\in C_i\backslash C_j$ なる $i\in J$ を取り、$C_i\backslash C_j$ の最小元を $x_i$ とすると、ステップ1より、
$$
C_i\cap {\rm min}\{x_i\}=C_j
$$
である。よって $y<x<x_i\leq y$ となり矛盾する。よって $(****)$ が成り立つ。$C_j$ はチェインであるから、
$$
c({\rm maj}(C\cap {\rm min}\{x\}))=c({\rm maj}(C_j\cap {\rm min}\{x\}))=x
$$
である。よって $C$ はチェインである。

(ステップ2の証明終)

====ステップ3====
ステップ $2$ の最大のチェイン $C$ に対し、${\rm maj}(C)=\emptyset$ である。

(ステップ3の証明)

${\rm maj}(C)\neq\emptyset$ と仮定する。$\omega=c({\rm maj}(C))\in {\rm maj}(C)$ とおき、
$\widetilde{C}=C\cup\{\omega\}$ とおく。このとき$\widetilde{C}$ は明らかに整列順序集合である。また
任意の $x\in C$ に対し、
$$
\widetilde{C}\cap {\rm min}\{x\}=C\cap {\rm min}\{x\}
$$
であり、
$$
\widetilde{C}\cap {\rm min}\{\omega\}=C
$$
であるから、$\widetilde{C}$ はチェインの条件 $(2)$ を満たす。$C$ は最大のチェインであるから $\widetilde{C}\subset C$ となるが、$\omega\notin C$ なので矛盾する。よって ${\rm maj}(C)=\emptyset$ である。

(ステップ3の証明終)

====ステップ4====
$X$ は極大元を持つ。

(ステップ4の証明)

ステップ $2$ の最大のチェイン $C$ を考える。$C$ は整列順序集合ゆえ全順序集合であるから $C$ は上界 $x\in X$ を持つ。ステップ3より ${\rm maj}(C)=\emptyset$ であるから $x<y$ なる $y\in X$ は存在しない。よって $x$ は $X$ の極大元である。

(ステップ4の証明終)
{{end|proof}}

=== 参考文献 ===
* [https://amzn.to/3tqZRYZ Gert K. Pedersen「Analysis Now」]

=== 関連項目 ===
* [[ネットによる位相空間論]]
* [[入門テキスト「位相線形空間」]]
* [[Banach環とC*-環のスペクトル理論]]

利用者:Kataoka

2025-10-24T09:33:48Z

Kataoka: /* 執筆した記事一覧 */

==自己紹介==
* Mathpediaの「[https://math.jp/wiki/%E9%96%A2%E6%95%B0%E8%A7%A3%E6%9E%90%E3%81%AE%E5%9F%BA%E7%A4%8E 関数解析の基礎]」のライターです。主に数理物理学に関わる関数解析が好きです。 

* 高校数学、大学数学（微積分、線形代数、位相空間、測度論、関数解析）のオンライン家庭教師を個人的にしています。ご依頼はX（旧Twitter）のDMからお願いします。https://twitter.com/yutkatkitkat
* 「[https://math.jp/wiki/Mathpedia%E3%83%81%E3%83%A5%E3%83%BC%E3%82%BF%E3%83%BC%E5%AE%A4 Mathpediaチューター室]」にて、解析系（微積分、線形代数、位相空間、測度論、関数解析など）のご質問に可能な範囲で対応させていただきます。

 

== 執筆した記事一覧==
* [[ネットによる位相空間論]]
* [[選択公理とZornの補題]]
* [[距離空間の位相の基本的性質]]
* [[入門テキスト「測度と積分」]]
* [[入門テキスト「位相線形空間」]]
* [[速習「線形空間論」]]
* [[Euclid空間における微積分1]]
* [[Euclid空間における微積分2]]
* [[ベクトル解析]]
* [[複素解析の初歩]]
* [[超関数とFourier変換、Sobolev空間]]
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* [[量子力学の数学的構造に関わる関数解析]]

==執筆中の記事==
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2025-10-24T09:33:03Z

Kataoka: /* 解析学 */

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** [[Banach環とC*-環のスペクトル理論]]
** [[Hilbert空間上の作用素論]]
** [[微分方程式の初歩]]
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選択公理とZornの補題

2025-10-24T09:27:26Z

Kataoka: /* 定義4（整列順序集合） */

本稿においては選択公理からZornの補題を簡潔に証明する。

===定義1（順序集合）===
$X$ を空でない集合とする。$X$ の二項関係 $\leq$ が次を満たすとき、$\leq$ を $X$ の順序と言う。
*(反射律)　任意の $x\in X$ に対し $x\leq x$。
*(推移律)　$x\leq y$ かつ $y\leq z$ なる任意の $x,y,z\in X$ に対し $x\leq z$。
*(反対称律)　$x\leq y$ かつ $y\leq x$ なる任意の $x,y\in X$ に対し $x=y$。

$X$ の順序 $\leq$ がさらに次を満たすとき、$\leq$ を $X$ の全順序と言う。
*(全順序性)　任意の$x,y\in X$ に対し $x\leq y$ か $y\leq x$ が成り立つ。

$\leq$ が順序であるとき、$x\leq y$ であることを $y\geq x$ とも表す。また $x\leq y$ かつ $x\neq y$ であることを $x<y$ もしくは $y>x$ と表す。順序が定義された集合を順序集合と言う。全順序が定義された集合を全順序集合と言う。

===定義2（上界、下界）===
$X$ を順序集合、$E\subset X$、$E\neq \emptyset$ とする。$y\in X$ が $E$ の上界であるとは、任意の $x\in E$ に対し $x\leq y$ が成り立つことを言う。また $y\in X$ が $E$ の下界であるとは、任意の $x\in E$ に対し $y\leq x$ が成り立つことを言う。

===定義3（最大元、最小元）===
$X$ を順序集合、$E\subset X$、$E\neq\emptyset$ とする。$y\in E$ が $E$ の最大元であるとは、任意の $x\in E$ に対し $x\leq y$ が成り立つことを言う。また $y\in E$ が $E$ の最小元であるとは、任意の $x\in E$ に対し $y\leq x$ が成り立つことを言う。

順序の反対称律より、$E$ が最大元を持つときそれは唯一つである。最小元についても同様である。

===定義4（整列順序集合）===
順序集合 $X$ が整列順序集合であるとは、$X$ の任意の空でない部分集合が最小元を持つことを言う。

$X$ が整列順序集合であるとき、任意の $x,y\in X$ に対し $\{x,y\}$ は最小元を持つから、$x\leq y$ か $y\leq x$ が成り立つ。よって整列順序集合は全順序集合である。

順序集合 $X$ の部分集合は、$X$ の順序をそのまま受け継ぎ順序集合とみなす。

===定義5（帰納的順序集合）===
順序集合 $X$ が帰納的順序集合であるとは、任意の全順序部分集合が上界を持つことを言う。

===定義6（極大元）===
$X$ を順序集合とする。$\omega\in X$ が $X$ の極大元であるとは、$\omega <x$ なる $x\in X$ が存在しないことを言う。

===定義7（選択公理、選択関数）===
$X$ を空でない集合とする。$2^X$ を $X$ の部分集合全てからなる集合とする。関数
$$
c:2^X\backslash \{\emptyset\}\rightarrow X
$$
で、任意の $E\in 2^X\backslash \{\emptyset\}$ に対し $c(E)\in E$ を満たすものを $X$ 上の選択関数と言う。任意の空でない集合 $X$ に対し $X$ 上の選択関数が存在すると言う主張を選択公理と言う。

選択公理を認めてZornの補題を証明する。

===定理8（Zornの補題）===
任意の帰納的順序集合は極大元を持つ。

{{begin|proof}}
$X$ を帰納的順序集合とし、$c:2^X\backslash \{\emptyset\}\rightarrow X$ を選択関数とする。
任意の $E\subset X$ に対し、
$$
{\rm maj}(E):=\{y\in X: \forall x\in E, x<y\}, \quad
{\rm min}(E):=\{y\in X: \forall x\in E, y<x\}
$$
と定義する。ただし${\rm maj}(\emptyset)={\rm min}(\emptyset)=X$ である。
$C\subset X$ が次を満たすとき、$C$ をチェインと呼ぶこととする。
*(1)　$C$ は（$X$ の順序を受け継いで）整列順序集合である。
*(2)　任意の $x\in C$ に対し $c({\rm maj}(C\cap {\rm min}\{x\}))=x$が成り立つ。
$\{c(X)\}$ は明らかにチェインであるからチェインは少なくとも一つは存在する。これから最大のチェインが存在し、その上界が $X$ の極大元であることを示す。$4$ つのステップに分ける。
====ステップ1====
$C_1,C_2$ がチェインであり、$C_1\backslash C_2\neq \emptyset$ ならば、$C_1\backslash C_2$ の最小元 $x_1$ に対し、
$$
C_1\cap {\rm min}\{x_1\}=C_2
$$
が成り立つ。

(ステップ1の証明)

$x_1$ は $C_1\backslash C_2$ の最小元であるから、
$$
C_1\cap {\rm mir}\{x_1\}\subset C_2\quad\quad(*)
$$
である。$(*)$ の $\subset $ が $=$ でないと仮定する。$C_2\backslash (C_1\cap {\rm min}\{x_1\})$ は $C_2$ の空でない部分集合であるからその最小元 $x_2$ が取れる。このとき、
$$
C_2\cap {\rm min}\{x_2\}\subset C_1\cap {\rm min}\{x_1\}\quad\quad(**)
$$
である。$(**)$ の $\subset$ が $=$ でないと仮定する。$(C_1\cap {\rm min}\{x_1\})\backslash(C_2\cap {\rm min}\{x_2\})$ は $C_1$ の空でない部分集合であるからその最小元 $y$ が取れる。このとき $y<x_1$ より、
$$
C_1\cap {\rm min}\{y\}\subset C_1\cap {\rm min}\{x_1\}
$$であり、$y$ が $(C_1\cap {\rm min}\{x_1\})\backslash(C_2\cap {\rm min}\{x_2\})$ の最小元であることから、
$$
C_1\cap {\rm min}\{y\}\subset C_2\cap {\rm min}\{x_2\}\quad\quad(***)
$$
である。$y\in C_1\cap {\rm min}\{x_1\}\subset C_2$、$x_2\in C_2$ であり、$C_2$ は整列順序集合であるから $y<x_2$ か $x_2\leq y$ であるが、$y\notin C_2\cap {\rm min}\{x_2\}$ であるから、$x_2\leq y$ である。よって $(***)$ の逆の包含関係が成り立つ。よってチェインの条件 $(2)$ より、
$$
y=c({\rm maj}(C_1\cap {\rm min}\{y\}))=c({\rm maj}(C_2\cap {\rm min}\{x_2\}))=x_2
$$
となるが、$y\in C_1\cap {\rm min}\{x_1\}$、$x_2\notin C_1\cap {\rm min}\{x_1\}$ なので矛盾する。よって $(**)$ の $\subset $ は $=$ である。よって再びチェインの条件 $(2)$ より、
$$
x_2=c({\rm maj}(C_2\cap {\rm min}\{x_2\}))=c({\rm maj}(C_1\cap {\rm min}\{x_1\}))=x_1
$$
となるが、$x_1\in C_1\backslash C_2$、$x_2\in C_2$ なので矛盾する。よって $(*)$ の $\subset$ は $=$ である。

(ステップ1の証明終)

====ステップ2====
チェイン全体からなる集合を $\{C_j\}_{j\in J}$ とすると、$C=\bigcup_{j\in J} C_j$ はチェインである。

(ステップ2の証明)

まず $C$ が整列順序集合であることを示す。$E$ を $C$ の空でない部分集合とする。$E\cap C_j\neq\emptyset$ なる $j\in J$ を取り、$E\cap C_j$ の最小元を $x_0$ とする。このとき $x_0$ は $E$ の最小元であることを示す。任意の $x\in E$ を取る。$x\in C_j$ ならば $x\geq x_0$ である。 $x\notin C_j$ とする。$x\in C_i\backslash C_j$ なる $i\in J$ を取れば、ステップ1より、$C_i\backslash C_j$ の最小元 $x_i$ に対し、
$$
C_i\cap {\rm min}\{x_i\}=C_j
$$
である。よって $x_0<x_i\leq x$ であるから $x_0$ は $E$ の最小元である。次に $C$ がチェインの条件 $(2)$ を満たすことを示す。任意の $x\in C$ を取る。$x\in C_j$ のとき、
$$
C\cap {\rm min}\{x\}=C_j\cap {\rm min}\{x\}\quad\quad(****)
$$
が成り立つことを示そう。任意の $y\in C\cap {\rm min}\{x\}$ を取り、$y\in C_j$ であることを示せばよい。$y\notin C_j$ であると仮定する。$y\in C_i\backslash C_j$ なる $i\in J$ を取り、$C_i\backslash C_j$ の最小元を $x_i$ とすると、ステップ1より、
$$
C_i\cap {\rm min}\{x_i\}=C_j
$$
である。よって $y<x<x_i\leq y$ となり矛盾する。よって $(****)$ が成り立つ。$C_j$ はチェインであるから、
$$
c({\rm maj}(C\cap {\rm min}\{x\}))=c({\rm maj}(C_j\cap {\rm min}\{x\}))=x
$$
である。よって $C$ はチェインである。

(ステップ2の証明終)

====ステップ3====
ステップ $2$ の最大のチェイン $C$ に対し、${\rm maj}(C)=\emptyset$ である。

(ステップ3の証明)

${\rm maj}(C)\neq\emptyset$ と仮定する。$\omega=c({\rm maj}(C))\in {\rm maj}(C)$ とおき、
$\widetilde{C}=C\cup\{\omega\}$ とおく。このとき$\widetilde{C}$ は明らかに整列順序集合である。また
任意の $x\in C$ に対し、
$$
\widetilde{C}\cap {\rm min}\{x\}=C\cap {\rm min}\{x\}
$$
であり、
$$
\widetilde{C}\cap {\rm min}\{\omega\}=C
$$
であるから、$\widetilde{C}$ はチェインの条件 $(2)$ を満たす。$C$ は最大のチェインであるから $\widetilde{C}\subset C$ となるが、$\omega\notin C$ なので矛盾する。よって ${\rm maj}(C)=\emptyset$ である。

(ステップ3の証明終)

====ステップ4====
$X$ は極大元を持つ。

(ステップ4の証明)

ステップ $2$ の最大のチェイン $C$ を考える。$C$ は整列順序集合ゆえ全順序集合であるから $C$ は上界 $x\in X$ を持つ。ステップ3より ${\rm maj}(C)=\emptyset$ であるから $x<y$ なる $y\in X$ は存在しない。よって $x$ は $X$ の極大元である。

(ステップ4の証明終)
{{end|proof}}

選択公理とZornの補題

2025-10-24T09:25:22Z

Kataoka:

本稿においては選択公理からZornの補題を簡潔に証明する。

===定義1（順序集合）===
$X$ を空でない集合とする。$X$ の二項関係 $\leq$ が次を満たすとき、$\leq$ を $X$ の順序と言う。
*(反射律)　任意の $x\in X$ に対し $x\leq x$。
*(推移律)　$x\leq y$ かつ $y\leq z$ なる任意の $x,y,z\in X$ に対し $x\leq z$。
*(反対称律)　$x\leq y$ かつ $y\leq x$ なる任意の $x,y\in X$ に対し $x=y$。

$X$ の順序 $\leq$ がさらに次を満たすとき、$\leq$ を $X$ の全順序と言う。
*(全順序性)　任意の$x,y\in X$ に対し $x\leq y$ か $y\leq x$ が成り立つ。

$\leq$ が順序であるとき、$x\leq y$ であることを $y\geq x$ とも表す。また $x\leq y$ かつ $x\neq y$ であることを $x<y$ もしくは $y>x$ と表す。順序が定義された集合を順序集合と言う。全順序が定義された集合を全順序集合と言う。

===定義2（上界、下界）===
$X$ を順序集合、$E\subset X$、$E\neq \emptyset$ とする。$y\in X$ が $E$ の上界であるとは、任意の $x\in E$ に対し $x\leq y$ が成り立つことを言う。また $y\in X$ が $E$ の下界であるとは、任意の $x\in E$ に対し $y\leq x$ が成り立つことを言う。

===定義3（最大元、最小元）===
$X$ を順序集合、$E\subset X$、$E\neq\emptyset$ とする。$y\in E$ が $E$ の最大元であるとは、任意の $x\in E$ に対し $x\leq y$ が成り立つことを言う。また $y\in E$ が $E$ の最小元であるとは、任意の $x\in E$ に対し $y\leq x$ が成り立つことを言う。

順序の反対称律より、$E$ が最大元を持つときそれは唯一つである。最小元についても同様である。

===定義4（整列順序集合）===
順序集合 $X$ が整列順序集合であるとは、$X$ の空でない部分集合が最小元を持つことを言う。

$X$ が整列順序集合であるとき、任意の $x,y\in X$ に対し $\{x,y\}$ は最小元を持つから、$x\leq y$ か $y\leq x$ が成り立つ。よって整列順序集合は全順序集合である。

順序集合 $X$ の部分集合は、$X$ の順序をそのまま受け継ぎ順序集合とみなす。

===定義5（帰納的順序集合）===
順序集合 $X$ が帰納的順序集合であるとは、任意の全順序部分集合が上界を持つことを言う。

===定義6（極大元）===
$X$ を順序集合とする。$\omega\in X$ が $X$ の極大元であるとは、$\omega <x$ なる $x\in X$ が存在しないことを言う。

===定義7（選択公理、選択関数）===
$X$ を空でない集合とする。$2^X$ を $X$ の部分集合全てからなる集合とする。関数
$$
c:2^X\backslash \{\emptyset\}\rightarrow X
$$
で、任意の $E\in 2^X\backslash \{\emptyset\}$ に対し $c(E)\in E$ を満たすものを $X$ 上の選択関数と言う。任意の空でない集合 $X$ に対し $X$ 上の選択関数が存在すると言う主張を選択公理と言う。

選択公理を認めてZornの補題を証明する。

===定理8（Zornの補題）===
任意の帰納的順序集合は極大元を持つ。

{{begin|proof}}
$X$ を帰納的順序集合とし、$c:2^X\backslash \{\emptyset\}\rightarrow X$ を選択関数とする。
任意の $E\subset X$ に対し、
$$
{\rm maj}(E):=\{y\in X: \forall x\in E, x<y\}, \quad
{\rm min}(E):=\{y\in X: \forall x\in E, y<x\}
$$
と定義する。ただし${\rm maj}(\emptyset)={\rm min}(\emptyset)=X$ である。
$C\subset X$ が次を満たすとき、$C$ をチェインと呼ぶこととする。
*(1)　$C$ は（$X$ の順序を受け継いで）整列順序集合である。
*(2)　任意の $x\in C$ に対し $c({\rm maj}(C\cap {\rm min}\{x\}))=x$が成り立つ。
$\{c(X)\}$ は明らかにチェインであるからチェインは少なくとも一つは存在する。これから最大のチェインが存在し、その上界が $X$ の極大元であることを示す。$4$ つのステップに分ける。
====ステップ1====
$C_1,C_2$ がチェインであり、$C_1\backslash C_2\neq \emptyset$ ならば、$C_1\backslash C_2$ の最小元 $x_1$ に対し、
$$
C_1\cap {\rm min}\{x_1\}=C_2
$$
が成り立つ。

(ステップ1の証明)

$x_1$ は $C_1\backslash C_2$ の最小元であるから、
$$
C_1\cap {\rm mir}\{x_1\}\subset C_2\quad\quad(*)
$$
である。$(*)$ の $\subset $ が $=$ でないと仮定する。$C_2\backslash (C_1\cap {\rm min}\{x_1\})$ は $C_2$ の空でない部分集合であるからその最小元 $x_2$ が取れる。このとき、
$$
C_2\cap {\rm min}\{x_2\}\subset C_1\cap {\rm min}\{x_1\}\quad\quad(**)
$$
である。$(**)$ の $\subset$ が $=$ でないと仮定する。$(C_1\cap {\rm min}\{x_1\})\backslash(C_2\cap {\rm min}\{x_2\})$ は $C_1$ の空でない部分集合であるからその最小元 $y$ が取れる。このとき $y<x_1$ より、
$$
C_1\cap {\rm min}\{y\}\subset C_1\cap {\rm min}\{x_1\}
$$であり、$y$ が $(C_1\cap {\rm min}\{x_1\})\backslash(C_2\cap {\rm min}\{x_2\})$ の最小元であることから、
$$
C_1\cap {\rm min}\{y\}\subset C_2\cap {\rm min}\{x_2\}\quad\quad(***)
$$
である。$y\in C_1\cap {\rm min}\{x_1\}\subset C_2$、$x_2\in C_2$ であり、$C_2$ は整列順序集合であるから $y<x_2$ か $x_2\leq y$ であるが、$y\notin C_2\cap {\rm min}\{x_2\}$ であるから、$x_2\leq y$ である。よって $(***)$ の逆の包含関係が成り立つ。よってチェインの条件 $(2)$ より、
$$
y=c({\rm maj}(C_1\cap {\rm min}\{y\}))=c({\rm maj}(C_2\cap {\rm min}\{x_2\}))=x_2
$$
となるが、$y\in C_1\cap {\rm min}\{x_1\}$、$x_2\notin C_1\cap {\rm min}\{x_1\}$ なので矛盾する。よって $(**)$ の $\subset $ は $=$ である。よって再びチェインの条件 $(2)$ より、
$$
x_2=c({\rm maj}(C_2\cap {\rm min}\{x_2\}))=c({\rm maj}(C_1\cap {\rm min}\{x_1\}))=x_1
$$
となるが、$x_1\in C_1\backslash C_2$、$x_2\in C_2$ なので矛盾する。よって $(*)$ の $\subset$ は $=$ である。

(ステップ1の証明終)

====ステップ2====
チェイン全体からなる集合を $\{C_j\}_{j\in J}$ とすると、$C=\bigcup_{j\in J} C_j$ はチェインである。

(ステップ2の証明)

まず $C$ が整列順序集合であることを示す。$E$ を $C$ の空でない部分集合とする。$E\cap C_j\neq\emptyset$ なる $j\in J$ を取り、$E\cap C_j$ の最小元を $x_0$ とする。このとき $x_0$ は $E$ の最小元であることを示す。任意の $x\in E$ を取る。$x\in C_j$ ならば $x\geq x_0$ である。 $x\notin C_j$ とする。$x\in C_i\backslash C_j$ なる $i\in J$ を取れば、ステップ1より、$C_i\backslash C_j$ の最小元 $x_i$ に対し、
$$
C_i\cap {\rm min}\{x_i\}=C_j
$$
である。よって $x_0<x_i\leq x$ であるから $x_0$ は $E$ の最小元である。次に $C$ がチェインの条件 $(2)$ を満たすことを示す。任意の $x\in C$ を取る。$x\in C_j$ のとき、
$$
C\cap {\rm min}\{x\}=C_j\cap {\rm min}\{x\}\quad\quad(****)
$$
が成り立つことを示そう。任意の $y\in C\cap {\rm min}\{x\}$ を取り、$y\in C_j$ であることを示せばよい。$y\notin C_j$ であると仮定する。$y\in C_i\backslash C_j$ なる $i\in J$ を取り、$C_i\backslash C_j$ の最小元を $x_i$ とすると、ステップ1より、
$$
C_i\cap {\rm min}\{x_i\}=C_j
$$
である。よって $y<x<x_i\leq y$ となり矛盾する。よって $(****)$ が成り立つ。$C_j$ はチェインであるから、
$$
c({\rm maj}(C\cap {\rm min}\{x\}))=c({\rm maj}(C_j\cap {\rm min}\{x\}))=x
$$
である。よって $C$ はチェインである。

(ステップ2の証明終)

====ステップ3====
ステップ $2$ の最大のチェイン $C$ に対し、${\rm maj}(C)=\emptyset$ である。

(ステップ3の証明)

${\rm maj}(C)\neq\emptyset$ と仮定する。$\omega=c({\rm maj}(C))\in {\rm maj}(C)$ とおき、
$\widetilde{C}=C\cup\{\omega\}$ とおく。このとき$\widetilde{C}$ は明らかに整列順序集合である。また
任意の $x\in C$ に対し、
$$
\widetilde{C}\cap {\rm min}\{x\}=C\cap {\rm min}\{x\}
$$
であり、
$$
\widetilde{C}\cap {\rm min}\{\omega\}=C
$$
であるから、$\widetilde{C}$ はチェインの条件 $(2)$ を満たす。$C$ は最大のチェインであるから $\widetilde{C}\subset C$ となるが、$\omega\notin C$ なので矛盾する。よって ${\rm maj}(C)=\emptyset$ である。

(ステップ3の証明終)

====ステップ4====
$X$ は極大元を持つ。

(ステップ4の証明)

ステップ $2$ の最大のチェイン $C$ を考える。$C$ は整列順序集合ゆえ全順序集合であるから $C$ は上界 $x\in X$ を持つ。ステップ3より ${\rm maj}(C)=\emptyset$ であるから $x<y$ なる $y\in X$ は存在しない。よって $x$ は $X$ の極大元である。

(ステップ4の証明終)
{{end|proof}}

選択公理とZornの補題

2025-10-24T08:45:06Z

Kataoka: /* 定理8（Zornの補題） */

本稿においては選択公理からZornの補題を簡潔に証明する。

===定義1（順序集合）===
$X$ を空でない集合とする。$X$ の二項関係 $\leq$ が次を満たすとき、$\leq$ を $X$ の順序と言う。
*(反射律)　任意の $x\in X$ に対し $x\leq x$。
*(推移律)　$x\leq y$ かつ $y\leq z$ なる任意の $x,y,z\in X$ に対し $x\leq z$。
*(反対称律)　$x\leq y$ かつ $y\leq x$ なる任意の $x,y\in X$ に対し $x=y$。

$X$ の順序 $\leq$ がさらに次を満たすとき、$\leq$ を $X$ の全順序と言う。
*(全順序性)　任意の$x,y\in X$ に対し $x\leq y$ か $y\leq x$ が成り立つ。

$\leq$ が順序であるとき、$x\leq y$ であることを $y\geq x$ とも表す。また $x\leq y$ かつ $x\leq y$ であることを $x<y$ もしくは $y>x$ と表す。順序が定義された集合を順序集合と言う。全順序が定義された集合を全順序集合と言う。

===定義2（上界、下界）===
$X$ を順序集合、$E\subset X$、$E\neq \emptyset$ とする。$y\in X$ が $E$ の上界であるとは、任意の $x\in E$ に対し $x\leq y$ が成り立つことを言う。また $y\in X$ が $E$ の下界であるとは、任意の $x\in E$ に対し $y\leq x$ が成り立つことを言う。

===定義3（最大元、最小元）===
$X$ を順序集合、$E\subset X$、$E\neq\emptyset$ とする。$y\in E$ が $E$ の最大元であるとは、任意の $x\in E$ に対し $x\leq y$ が成り立つことを言う。また $y\in E$ が $E$ の最小元であるとは、任意の $x\in E$ に対し $y\leq x$ が成り立つことを言う。

順序の反対称律より、$E$ が最大元を持つときそれは唯一つである。最小元についても同様である。

===定義4（整列順序集合）===
順序集合 $X$ が整列順序集合であるとは、$X$ の空でない部分集合が最小元を持つことを言う。

$X$ が整列順序集合であるとき、任意の $x,y\in X$ に対し $\{x,y\}$ は最小元を持つから、$x\leq y$ か $y\leq x$ が成り立つ。よって整列順序集合は全順序集合である。

順序集合 $X$ の部分集合は、$X$ の順序をそのまま受け継ぎ順序集合とみなす。

===定義5（帰納的順序集合）===
順序集合 $X$ が帰納的順序集合であるとは、任意の全順序部分集合が上界を持つことを言う。

===定義6（極大元）===
$X$ を順序集合とする。$\omega\in X$ が $X$ の極大元であるとは、$\omega <x$ なる $x\in X$ が存在しないことを言う。

===定義7（選択公理、選択関数）===
$X$ を空でない集合とする。$2^X$ を $X$ の部分集合全てからなる集合とする。関数
$$
c:2^X\backslash \{\emptyset\}\rightarrow X
$$
で、任意の $E\in 2^X\backslash \{\emptyset\}$ に対し $c(E)\in E$ を満たすものを $X$ 上の選択関数と言う。任意の空でない集合 $X$ に対し $X$ 上の選択関数が存在すると言う主張を選択公理と言う。

選択公理を認めてZornの補題を証明する。

===定理8（Zornの補題）===
任意の帰納的順序集合は極大元を持つ。

{{begin|proof}}
$X$ を帰納的順序集合とし、$c:2^X\backslash \{\emptyset\}\rightarrow X$ を選択関数とする。
任意の $E\subset X$ に対し、
$$
{\rm maj}(E):=\{y\in X: \forall x\in E, x<y\}, \quad
{\rm min}(E):=\{y\in X: \forall x\in E, y<x\}
$$
と定義する。ただし${\rm maj}(\emptyset)={\rm min}(\emptyset)=X$ である。
$C\subset X$ が次を満たすとき、$C$ をチェインと呼ぶこととする。
*(1)　$C$ は（$X$ の順序を受け継いで）整列順序集合である。
*(2)　任意の $x\in C$ に対し $c({\rm maj}(C\cap {\rm min}\{x\}))=x$が成り立つ。
$\{c(X)\}$ は明らかにチェインであるからチェインは少なくとも一つは存在する。これから最大のチェインが存在し、その上界が $X$ の極大元であることを示す。$4$ つのステップに分ける。
====ステップ1====
$C_1,C_2$ がチェインであり、$C_1\backslash C_2\neq \emptyset$ ならば、$C_1\backslash C_2$ の最小元 $x_1$ に対し、
$$
C_1\cap {\rm min}\{x_1\}=C_2
$$
が成り立つ。

(ステップ1の証明)

$x_1$ は $C_1\backslash C_2$ の最小元であるから、
$$
C_1\cap {\rm mir}\{x_1\}\subset C_2\quad\quad(*)
$$
である。$(*)$ の $\subset $ が $=$ でないと仮定する。$C_2\backslash (C_1\cap {\rm min}\{x_1\})$ は $C_2$ の空でない部分集合であるからその最小元 $x_2$ が取れる。このとき、
$$
C_2\cap {\rm min}\{x_2\}\subset C_1\cap {\rm min}\{x_1\}\quad\quad(**)
$$
である。$(**)$ の $\subset$ が $=$ でないと仮定する。$(C_1\cap {\rm min}\{x_1\})\backslash(C_2\cap {\rm min}\{x_2\})$ は $C_1$ の空でない部分集合であるからその最小元 $y$ が取れる。このとき $y<x_1$ より、
$$
C_1\cap {\rm min}\{y\}\subset C_1\cap {\rm min}\{x_1\}
$$であり、$y$ が $(C_1\cap {\rm min}\{x_1\})\backslash(C_2\cap {\rm min}\{x_2\})$ の最小元であることから、
$$
C_1\cap {\rm min}\{y\}\subset C_2\cap {\rm min}\{x_2\}\quad\quad(***)
$$
である。$y\in C_1\cap {\rm min}\{x_1\}\subset C_2$、$x_2\in C_2$ であり、$C_2$ は整列順序集合であるから $y<x_2$ か $x_2\leq y$ であるが、$y\notin C_2\cap {\rm min}\{x_2\}$ であるから、$x_2\leq y$ である。よって $(***)$ の逆の包含関係が成り立つ。よってチェインの条件 $(2)$ より、
$$
y=c({\rm maj}(C_1\cap {\rm min}\{y\}))=c({\rm maj}(C_2\cap {\rm min}\{x_2\}))=x_2
$$
となるが、$y\in C_1\cap {\rm min}\{x_1\}$、$x_2\notin C_1\cap {\rm min}\{x_1\}$ なので矛盾する。よって $(**)$ の $\subset $ は $=$ である。よって再びチェインの条件 $(2)$ より、
$$
x_2=c({\rm maj}(C_2\cap {\rm min}\{x_2\}))=c({\rm maj}(C_1\cap {\rm min}\{x_1\}))=x_1
$$
となるが、$x_1\in C_1\backslash C_2$、$x_2\in C_2$ なので矛盾する。よって $(*)$ の $\subset$ は $=$ である。

(ステップ1の証明終)

====ステップ2====
チェイン全体からなる集合を $\{C_j\}_{j\in J}$ とすると、$C=\bigcup_{j\in J} C_j$ はチェインである。

(ステップ2の証明)

まず $C$ が整列順序集合であることを示す。$E$ を $C$ の空でない部分集合とする。$E\cap C_j\neq\emptyset$ なる $j\in J$ を取り、$E\cap C_j$ の最小元を $x_0$ とする。このとき $x_0$ は $E$ の最小元であることを示す。任意の $x\in E$ を取る。$x\in C_j$ ならば $x\geq x_0$ である。 $x\notin C_j$ とする。$x\in C_i\backslash C_j$ なる $i\in J$ を取れば、ステップ1より、$C_i\backslash C_j$ の最小元 $x_i$ に対し、
$$
C_i\cap {\rm min}\{x_i\}=C_j
$$
である。よって $x_0<x_i\leq x$ であるから $x_0$ は $E$ の最小元である。次に $C$ がチェインの条件 $(2)$ を満たすことを示す。任意の $x\in C$ を取る。$x\in C_j$ のとき、
$$
C\cap {\rm min}\{x\}=C_j\cap {\rm min}\{x\}\quad\quad(****)
$$
が成り立つことを示そう。任意の $y\in C\cap {\rm min}\{x\}$ を取り、$y\in C_j$ であることを示せばよい。$y\notin C_j$ であると仮定する。$y\in C_i\backslash C_j$ なる $i\in J$ を取り、$C_i\backslash C_j$ の最小元を $x_i$ とすると、ステップ1より、
$$
C_i\cap {\rm min}\{x_i\}=C_j
$$
である。よって $y<x<x_i\leq y$ となり矛盾する。よって $(****)$ が成り立つ。$C_j$ はチェインであるから、
$$
c({\rm maj}(C\cap {\rm min}\{x\}))=c({\rm maj}(C_j\cap {\rm min}\{x\}))=x
$$
である。よって $C$ はチェインである。

(ステップ2の証明終)

====ステップ3====
ステップ $2$ の最大のチェイン $C$ に対し、${\rm maj}(C)=\emptyset$ である。

(ステップ3の証明)

${\rm maj}(C)\neq\emptyset$ と仮定する。$\omega=c({\rm maj}(C))\in {\rm maj}(C)$ とおき、
$\widetilde{C}=C\cup\{\omega\}$ とおく。このとき$\widetilde{C}$ は明らかに整列順序集合である。また
任意の $x\in C$ に対し、
$$
\widetilde{C}\cap {\rm min}\{x\}=C\cap {\rm min}\{x\}
$$
であり、
$$
\widetilde{C}\cap {\rm min}\{\omega\}=C
$$
であるから、$\widetilde{C}$ はチェインの条件 $(2)$ を満たす。$C$ は最大のチェインであるから $\widetilde{C}\subset C$ となるが、$\omega\notin C$ なので矛盾する。よって ${\rm maj}(C)=\emptyset$ である。

(ステップ3の証明終)

====ステップ4====
$X$ は極大元を持つ。

(ステップ4の証明)

ステップ $2$ の最大のチェイン $C$ を考える。$C$ は整列順序集合ゆえ全順序集合であるから $C$ は上界 $x\in X$ を持つ。ステップ3より ${\rm maj}(C)=\emptyset$ であるから $x<y$ なる $y\in X$ は存在しない。よって $x$ は $X$ の極大元である。

(ステップ4の証明終)
{{end|proof}}

選択公理とZornの補題

2025-10-24T08:23:59Z

Kataoka: /* ステップ1 */

選択公理とZornの補題

2025-10-24T08:22:19Z

Kataoka: /* 定理8（Zornの補題） */

選択公理とZornの補題

2025-10-22T08:35:51Z

Kataoka: /* 定義7（選択公理、選択関数） */

選択公理とZornの補題

2025-10-22T08:29:13Z

Kataoka: /* 定義7（選択公理、選択関数） */

選択公理とZornの補題

2025-10-22T08:28:26Z

Kataoka: ページの作成:「本稿においては選択公理からZornの補題を簡潔に証明する。 ===定義1（順序集合）=== $X$ を空でない集合とする。$X$ の二項関係…」

ネットによる位相空間論

2025-03-21T03:36:08Z

Kataoka: /* 定理1.12（普遍部分ネットの存在） */

<noinclude>
{{TOC |align=right |noautonum=1 }}
</noinclude>
本稿においては、ネットの収束を用いた位相空間論の基本的議論を説明する。ネットは単純に述べれば[[点列]]を一般化した概念である。位相空間論においてネットを用いるメリットは、位相的性質をネットの収束により直観的に扱うことが出来る点であり、複雑な関数空間の位相を取り扱う[[関数解析]]の議論においては頻繁に用いられる。点列は、距離空間に代表される第一可算空間における収束の問題を扱うのに十分有効であるが、関数解析学における弱位相、弱 $*$-位相のような第一可算性のない位相における収束の問題を扱う際、必ずしも十分ではない。しかし点列の収束をネットの収束に一般化することで、位相空間の可算性に関わらず点列による収束の議論と全く同様の議論が有効になる。また、ネットの概念を用いればある種の命題の証明がほとんど自明化されることもある。[[ネット]]は[[フィルター]]と同値な概念であり、同様に[[フィルターによる位相空間論]]も展開されるが、こちらは[[集合論]]の議論において用いられることが多い。本稿においてはネットによる閉性、連続性、Hausdorff 性、コンパクト性などの基本的な位相的性質の特徴付けを行う。また点列との対比のため可算性のある位相空間において、それらの点列による特徴付けを、実際に位相空間の可算性を用いて行う。そして最後にネットにより比較的容易な証明が可能である[[Tychonoff の定理]]を示す。

== 1.ネットの定義 ==

=== 定義1.1（有向集合） ===
$(\Lambda,\leq)$ を空でない前順序集合とする。任意の $\lambda_1,\lambda_2\in \Lambda$ に対し、$\lambda_3\in \Lambda$ で$\lambda_1\leq \lambda_3$ かつ $\lambda_2\leq \lambda_3$ を満たすものが存在するとき、$(\Lambda,\leq)$ を有向集合と言う。

=== 例1.2（有向集合の例）===
* 自然数全体 $\mathbb{N}$ や整数全体 $\mathbb{Z}$ は通常の順序により有向集合である。
* 位相空間 $X$ の点 $x$ に対し、$x$ の近傍全体は集合の逆包含関係による順序により有向集合である。

=== 定義1.3（ネット）===
$X$ を集合、$\Lambda$ を有向集合とする。$\Lambda$ 上で定義され、$X$ に値を取る写像 $(x_{\lambda})_{\lambda\in\Lambda}\colon \Lambda\ni\lambda\mapsto x_{\lambda}\in X$ を、$\Lambda$ によって添字付けられた $X$ のネットと言う。

=== 定義1.4（点列）===
自然数全体 $\mathbb{N}$ によって添字付けられたネットのことを点列と言う。

=== 定義1.5（部分ネット）===
$(x_{\lambda})_{\lambda\in \Lambda}$ を $\Lambda$ によって添字付けられた $X$ のネットとする。有向集合 $M$ と写像 $\varphi\colon M\rightarrow \Lambda$ が、
$$
\forall \lambda_0\in \Lambda, \exists \mu_0\in M \text{ s.t. } \forall \mu\geq\mu_0,\phi(\mu)\geq \lambda_0
$$
を満たすとき、$X$ のネット $(x_{\varphi(\mu)})_{\mu\in M}$ を $(x_{\lambda})_{\lambda\in \Lambda}$ の部分ネットと言う。

=== 定義1.6（部分列）===
$(x_n)_{n\in\mathbb{N}}$ を $X$ の点列とする。$k\colon\mathbb{N}\rightarrow \mathbb{N}$ が $k(1)<k(2)<\ldots <k(n)<k(n+1)<\ldots$ を満たすとき、$X$ の点列 $(x_{k(n)})_{n\in \mathbb{N}}$ を $(x_n)_{n\in \mathbb{N}}$ の部分列と言う。

=== 注意1.7（点列の部分ネットは部分列とは限らない）===
点列の部分列は部分ネットであるが、点列の部分ネットは部分列であるとは限らない。実際、点列 $(x_n)_{n\in\mathbb{N}}$ に対し、
$$
k(1)=k(2)<k(3)=k(4)<\ldots<k(2n-1)=k(2n)<\ldots
$$
となるように $k\colon\mathbb{N}\rightarrow\mathbb{N}$ を定義すると、 $(x_{k(n)})_{n\in\mathbb{N}}$ は $(x_n)_{n\in\mathbb{N}}$ の部分ネットであるが、$(x_{k(n)})_{n\in\mathbb{N}}$ は $(x_n)_{n\in\mathbb{N}}$ の部分列ではない。

=== 定義1.8（eventually in, frequentlly in）===
集合 $X$ のネット $(x_{\lambda})_{\lambda\in \Lambda}$ と部分集合 $A\subset X$ に対し、
*$(x_{\lambda})_{\lambda\in \Lambda}$ is eventually in $A$. $\Leftrightarrow$ $\exists \lambda_0\in \Lambda$ s.t. $\forall \lambda\geq \lambda_0$, $x_{\lambda}\in A$.
*$(x_{\lambda})_{\lambda\in \Lambda}$ is frequently in $A$. $\Leftrightarrow$ $\forall \lambda\in \Lambda$, $\exists\lambda_0 \geq \lambda$ s.t. $x_{\lambda_0}\in A$.

=== 補題1.9（ネットの基本補題）===
$(x_{\lambda})_{\lambda\in\Lambda}$ を $X$ のネット、$\mathcal{B}\subset 2^X$ を集合の逆包含関係による順序によって有向集合であるものとする。そして任意の $B\in \mathcal{B}$ に対し、
*$(x_{\lambda})_{\lambda\in \Lambda}$ is frequently in $B$.
が成り立つとする。このとき $(x_{\lambda})_{\lambda\in \Lambda}$ の部分ネット $(x_{\varphi(\mu)})_{\mu\in M}$ で任意の $B\in \mathcal{B}$ に対し、
*$(x_{\varphi(\mu)})_{\mu\in M}$ is eventually in $B$.
となるものが存在する。
{{begin|proof|display=''Proof.''|collapsible=1|collapsed=1}}
$$
M:=\{(\lambda,B): x_{\lambda}\in B\}
$$
とおき、$M$における前順序$\leq$を、
$$
(\lambda_1,B_1)\leq (\lambda_2,B_2)\quad\overset{\text{定義}}{\Longleftrightarrow}\quad
\lambda_1\leq \lambda_2,\quad B_1\supset B_2
$$
として定義する。このとき$M$が有向集合であることを示す。任意の $(\lambda_1,B_1),(\lambda_2,B_2)\in M$ を取る。$\Lambda$, $\mathcal{B}$は共に有向集合であるから、$\lambda_{2.5}\geq \lambda_1,\lambda_2$、$B_3\subset B_1\cap B_2$ なる $\lambda_{2.5}\in \Lambda$ と $B_3\in \mathcal{B}$ が取れる。$(x_{\lambda})_{\lambda\in \Lambda}$ はfrequently in $B_3$ であるから、$\lambda_3\geq \lambda_{2.5}$ で$x_{\lambda_3}\in B_3$ なるものが取れる。よって $(\lambda_3,B_3)\in M$ であり、$(\lambda_3,B_3)\geq (\lambda_1,B_1), (\lambda_2,B_2)$ であるから $M$ は有向集合である。$\varphi:M\rightarrow \Lambda$ を $\varphi(\lambda,B)=\lambda$ として定義する。$(x_{\varphi(\mu)})_{\mu\in M}$ が $(x_{\lambda})_{\lambda\in \Lambda}$ の部分ネットであることを示す。任意の $\lambda_0\in \Lambda$ と任意の $B_0\in \mathcal{B}$ に対し $\lambda_0'\geq \lambda_0$, $x_{\lambda_0'}\in B_0$ なる $\lambda_0'\in \Lambda$ を取る。$\mu_0=(\lambda_0',B_0)\in M$ とおけば任意の $\mu\geq \mu_0$ に対し $\varphi(\mu)\geq \varphi(\mu_0)=\lambda_0'\geq \lambda_0$ であるから $(x_{\varphi(\mu)})_{\mu\in M}$は$(x_{\lambda})_{\lambda\in \Lambda}$ の部分ネットである。任意の $B_0\in \mathcal{B}$ に対し $x_{\lambda_0}\in B_0$ なる $\lambda_0\in \Lambda$を取り, $\mu_0=(\lambda_0,B_0)\in M$ とおくと, 任意の$\mu=(\lambda,B)\geq \mu_0$ に対し $x_{\varphi(\mu)}=x_{\lambda}\in B\subset B_0$ であるから $(x_{\varphi(\mu)})_{\mu\in M}$ はeventually in $B_0$ である。
{{end |proof | }}

=== 定義1.10（普遍ネット）===
$(x_{\lambda})_{\lambda\in \Lambda}$ を $X$ のネットとする。任意の $A\subset X$ に対し、
*$(x_{\lambda})_{\lambda\in \Lambda}$ is eventually in $A$.
*$(x_{\lambda})_{\lambda\in \Lambda}$ is eventually in $X\backslash A$.
のうちのいずれかが成り立つとき、 $(x_{\lambda})_{\lambda\in\Lambda}$ を $X$ の普遍ネットと言う。

=== 定義1.11（普遍部分ネット）===
ネット $(x_{\lambda})_{\lambda\in \Lambda}$ の部分ネットで普遍ネットであるものを $(x_{\lambda})_{\lambda\in\Lambda}$ の普遍部分ネットと言う。

=== 定理1.12（普遍部分ネットの存在）===
任意のネットに対し普遍部分ネットが存在する。
{{begin|proof|display=''Proof.''|collapsible=1|collapsed=1}}
$(x_{\lambda})_{\lambda\in\Lambda}$ を $X$ のネットとする。$\mathcal{F}\subset 2^X$ が次の条件を満たすとき、$\mathcal{F}$ を $(x_{\lambda})_{\lambda\in\Lambda}$ に対するフィルターと呼ぶこととする。
*(1) $\mathcal{F}\neq \emptyset$.
*(2) 任意の $F_1,F_2\in \mathcal{F}$ に対し、$F_1\cap F_2\in \mathcal{F}$.
*(3) 任意の $F\in \mathcal{F}$ と $F\subset G\subset X$ なる任意の $G$ に対し、$G\in \mathcal{F}$.
*(4) 任意の $F\in \mathcal{F}$ に対し、$(x_{\lambda})_{\lambda\in\Lambda}$ is frequently in $F$.
$\{X\}$ は$(x_{\lambda})_{\lambda\in\Lambda}$ に対するフィルターであるから $(x_{\lambda})_{\lambda\in\Lambda}$ に対するフィルターは少なくとも $1$ つは存在する。そして
$(x_{\lambda})_{\lambda\in\Lambda}$ に対するフィルター全体は集合の包含関係による順序によって帰納的順序集合である。実際、$\{\mathcal{F}_j\}_{j\in J}$ を $(x_{\lambda})_{\lambda\in\Lambda}$ に対するフィルターからなる全順序集合とすると、$\bigcup_{j\in J}\mathcal{F_j}$ も$(x_{\lambda})_{\lambda\in\Lambda}$ に対するフィルターである。よってZornの補題より $(x_{\lambda})_{\lambda\in\Lambda}$ に対するフィルターで、集合の包含関係による順序に関して極大なものが取れる。それを ${\mathcal F}$ とする。'''補題1.9'''より任意の $A\subset X$ に対し、$A\in {\mathcal F}$ か $X\backslash A\in {\mathcal F}$ が成り立つことを示せば証明は終わる。${\mathcal F}$ が $(x_{\lambda})_{\lambda\in\Lambda}$ に対するフィルターであることから次のいずれかが成り立つ。
*(a) $\forall F\in \mathcal{F}$, $(x_{\lambda})_{\lambda\in\Lambda}$ is frequently in $F\cap A$.
*(b) $\forall F\in \mathcal{F}$, $(x_{\lambda})_{\lambda\in\Lambda}$ is frequently in $F\backslash A$.
実際、(a),(b)のいずれも成り立たないとすると $F_1,F_2\in \mathcal{F}$ と $\lambda_0\in \Lambda$ が存在し任意の $\lambda\geq \lambda_0$ に対し$x_{\lambda}\notin F_1\cap A$ かつ $x_{\lambda}\notin F_2\backslash A$ となる。しかし $F_1\cap F_2\in \mathcal{F}$ であるからフィルタの性質$(4)$ よりある $\lambda\geq \lambda_0$ に対し $x_{\lambda}\in F_1\cap F_2$ となる。よって $x_{\lambda}\in F_1\cap A$か$x_{\lambda}\in F_2\backslash A$となるので矛盾する。ゆえに(a),(b)のうちいずれかが成り立つ。
(a) が成り立つとき、
$$
\mathcal{F}_1=\{E\subset X: \exists F\in \mathcal{F} \text{ s.t } F\cap A\subset E\}
$$
とおくと、${\mathcal F}_1$ は ${\mathcal F}$ を含む $(x_{\lambda})_{\lambda\in\Lambda}$ に対するフィルターであり、$A\in {\mathcal F}_1$ である。よって $\mathcal{F}$ の極大性より ${\mathcal F}_1={\mathcal F}$ であるから $A\in \mathcal{F}$ である。(b)が成り立つとき、
$$
{\mathcal F}_2=\{E\subset X: \exists F\in \mathcal{F} \text{ s.t. } F\backslash A\subset E\}
$$
とおくと、$\mathcal{F}_2$ は $\mathcal{F}$ を含む $(x_{\lambda})_{\lambda\in\Lambda}$ に対するフィルターであり、$X\backslash A\in \mathcal{F}_1$ である。よって $\mathcal{F}$ の極大性より $\mathcal{F}_2=\mathcal{F}$ であるから $X\backslash A\in \mathcal{F}$ である。
{{end |proof}}

== 2.位相空間のネットの収束点と堆積点 ==

=== 定義2.1（ネットの収束点と堆積点）===
$X$ を位相空間、$(x_{\lambda})_{\lambda\in \Lambda}$ を $X$ のネット、 $x\in X$ とする。$x$ が $(x_{\lambda})_{\lambda\in\Lambda}$ の収束点であるとは、$x$ の任意の近傍 $V$ に対し、
*$(x_{\lambda})_{\lambda\in\Lambda}$ is eventually in $V$.
が成り立つことを言う。また、$x$ が $(x_{\lambda})_{\lambda\in\Lambda}$ の堆積点であるとは、$x$ の任意の近傍 $V$ に対し、
*$(x_{\lambda})_{\lambda\in\Lambda}$ is frequently in $V$.
が成り立つことを言う。$x$ が $(x_{\lambda})_{\lambda\in\Lambda}$ の収束点であることを、$(x_{\lambda})_{\lambda\in \Lambda}$ は $x$ に収束すると言う。また、このことを、
$$
x_{\lambda}\rightarrow x,\quad \lim_{\lambda\in\Lambda}x_{\lambda}=x
$$
などと表す。点列 $(x_n)_{n\in\mathbb{N}}$ の収束点は $\lim_{n\in \mathbb{N}}x_n$ より $\lim_{n\rightarrow\infty}x_n$ と表すのが普通である。

=== 命題2.2（堆積点と部分ネット）===
$(x_{\lambda})_{\lambda\in\Lambda}$ を位相空間 $X$ のネットとし、$x\in X$ とする。次は互いに同値である。
*(1) $x$ は $(x_{\lambda})_{\lambda\in\Lambda}$ の堆積点である。
*(2) $(x_{\lambda})_{\lambda\in\Lambda}$ の部分ネットで $x$ に収束するものが存在する。
{{begin|proof|display=''Proof.''|collapsible=1|collapsed=1}}
$(2)\Rightarrow(1)$ は自明である。$(1)\Rightarrow(2)$ は $x$ の近傍全体 $\mathcal{B}(x)$が集合の逆包含関係による順序によって有向集合であることと'''補題1.9'''による。
{{end |proof | }}

=== 命題2.3（閉包の点の近傍による特徴付け）===
$X$ を位相空間、$A\subset X$、$x\in X$ とする。次は互いに同値である。
*(1) $x\in\overline{A}$.
*(2) $x$ の任意の近傍 $V$ に対し $A\cap V\neq \emptyset$.
{{begin|proof|display=''Proof.''|collapsible=1|collapsed=1}}
$x\notin \overline{A}$ ならば、$X\backslash \overline{A}$ は $x$ の開近傍であり、$A\cap (X\backslash \overline{A})=\emptyset$ である。よって $(2)\Rightarrow(1)$ が成り立つ。 
$x$ のある開近傍 $V$ に対し $A\cap V=\emptyset$ であるならば $A\subset X\backslash V$ であり、$X\backslash V$ は閉集合であるから $\overline{A}\subset X\backslash V$ である。よって $x\notin \overline{A}$ であるから $(1)\Rightarrow(2)$ が成り立つ。
{{end |proof | }}

=== 命題2.4（閉包の点のネットによる特徴付け）===
$X$ を位相空間、$A\subset X$、$x\in X$ とする。次は互いに同値である。
*(1) $x\in\overline{A}$.
*(2) $x$ に収束する $A$ のネットが存在する。
{{begin|proof|display=''Proof.''|collapsible=1|collapsed=1}}
$(2)\Rightarrow(1)$ は'''命題2.3'''による。$(1)\Rightarrow(2)$ を示す。$x$ の近傍全体 $\mathcal{B}(x)$ は集合の逆包含関係による順序によって有向集合である。$x\in\overline{A}$ ならば、'''命題2.3'''より任意の $V\in \mathcal{B}(x)$ に対し $x_V\in
A\cap V$ が取れる。こうしてできる $A$ のネット $(x_V)_{V\in\mathcal{B}(x)}$ は $x$ に収束する。よって $(1)\Rightarrow(2)$ が成り立つ。
{{end |proof | }}

== 3.連続性のネットによる特徴付け ==
=== 定理3（連続性のネットによる特徴付け）===
$X,Y$ を位相空間、$x\in X$, $f\colon X\rightarrow Y$ とする。次は互いに同値である。
*$(1)$ $f$ は任意の $x\in X$ において連続である。
*$(2)$ $x$ に収束する $X$ の任意のネット $(x_{\lambda})_{\lambda\in\Lambda}$ に対し、$Y$ のネット $(f(x_{\lambda}))_{\lambda\in\Lambda}$ は $f(x)$ に収束する。
{{begin|proof|display=''Proof.''|collapsible=1|collapsed=1}}
$(1)\Rightarrow(2)$を示す。$f$が$x$において連続であるとし、$(x_{\lambda})_{\lambda\in \Lambda}$ を $x$ に収束する $X$ のネットとする。$f(x)$ の任意の近傍 $V$ に対し $f^{-1}(V)$ は $x$ の近傍であるから $\lambda_0\in \Lambda$ が存在し $\lambda\geq \lambda_0$ なる任意の $\lambda$ に対し $x_{\lambda}\in f^{-1}(V)$ となる。よって任意の　$\lambda\geq \lambda_0$　に対し　$f(x_{\lambda})\in V$　となるので、ネット $(f(x_{\lambda}))_{\lambda\in \Lambda}$ は $f(x)$ に収束する。 
$(2)\Rightarrow(1)$ を示す。$(2)$が成り立つとする。もし$f$ が $x$ において連続ではないならば $f(x)$ の近傍 $V$ が存在し、
$$
U\backslash f^{-1}(V)\neq \emptyset\quad(\forall U\in {\cal B}(x))
$$
となる。ただし ${\cal B}(x)$ は $x$ の近傍全体である。そして ${\cal B}(x)$ は集合の逆包含関係による順序によって有向集合であるから、
$$
x_{U}\in U\backslash f^{-1}(V)\quad(\forall U\in {\cal B}(x))\quad\quad(*)
$$
なる $X$ のネット $(x_U)_{U\in {\cal B}(x)}$ が定義できる。これは $x$ に収束するので $Y$ のネット $(f(x_U))_{U\in {\cal B}(x)}$ は $f(x)$ に収束する。しかし $(*)$ より任意の $U\in {\cal B}(x)$ に対し $f(x_U)\notin V$ であるから矛盾する。よって $f$ は $x$ において連続である。
{{end |proof | }}

== 4.Hausdorffの分離公理とネットの収束点の一意性 ==
=== 定理4（Hausdorffの分離公理とネットの収束点の一意性）===
位相空間 $X$ に対し、次は互いに同値である。
*$(1)$ $X$ はHausdorff の分離公理を満たす。
*$(2)$ $X$ の任意の収束するネットに対しその収束点は唯一つである。
{{begin|proof|display=''Proof.''|collapsible=1|collapsed=1}}
$(1)\Rightarrow (2)$を示す。対偶を示す。$(2)$ が成り立たないとすると $x\neq y$ なる $x,y\in X$ と $X$のネット $(x_{\lambda})_{\lambda\in \Lambda}$ で $x_{\lambda}\rightarrow x$ かつ $x_{\lambda}\rightarrow y$ なるものが存在する。$x,y$　の任意の近傍　$U,V$　を取る。$x_{\lambda}\rightarrow x$、$x_{\lambda}\rightarrow y$ より $\lambda_0\in \Lambda$ が存在し、任意の $\lambda\geq \lambda_0$ に対し$x_{\lambda}\in U$ かつ $x_{\lambda}\in V$ となる。よって $U\cap V\neq \emptyset$ である。これより $X$ はHausdorffの分離公理を満たさない。よって $(1)\Rightarrow(2)$ が成り立つ。 
$(2)\Rightarrow(1)$を示す。対偶を示す。$X$ がHausdorffの分離公理を満たさないとすると $x\neq y$ なる $x,y\in X$ で、
$$
U\cap V\neq \emptyset\quad(\forall U\in {\cal B}(x),\forall V\in {\cal B}(x))
$$
を満たすものが存在する。ただし ${\cal B}(x), {\cal B}(y)$ はそれぞれ$x,y$の近傍全体である。
$$
\Lambda:=\{U\cap V: U\in {\cal B}(x), V\in {\cal B}(y)\}
$$
は集合の逆包含関係による順序により有向集合であるから、
$$
z_{U\cap V}\in U\cap V\quad(\forall U\in {\cal B}(x),\forall V\in {\cal B}(x))
$$
としてネット $(z_{U\cap V})_{U\cap V\in \Lambda}$ が定義でき、これは $x,y$ のいずれにも収束する。よって$(2)$は成り立たない。ゆえに$(2)\Rightarrow(1)$ が成り立つ。
{{end |proof | }}

== 5.コンパクト性のネットによる特徴付け ==
===定理5（コンパクト性のネットによる特徴付け）===
位相空間 $X$ に対し、次は互いに同値である。
*$(1)$ $X$ は[[コンパクト空間]] である。
*$(2)$ $X$ の任意のネットは堆積点を持つ。
*$(3)$ $X$ の任意のネットは収束する部分ネットを持つ。
*$(4)$ $X$ の任意の普遍ネットは収束する。
{{begin|proof|display=''Proof.''|collapsible=1|collapsed=1}}
$(1)\Rightarrow(2)$ を示す。$(1)$ が成り立つとし $(x_{\lambda})_{\lambda\in\Lambda}$ を $X$ の任意のネットとする。任意の $\lambda\in\Lambda$ に対し、$F_{\lambda}=\{x_{\mu}:\mu\geq\lambda\}$ とおく。このとき $\bigcap_{\lambda\in\Lambda}\overline{F_{\lambda}}\neq\emptyset$ である。実際、もし$\bigcap_{\lambda\in\Lambda}\overline{F_{\lambda}}=\emptyset$ ならばコンパクト性より有限個の $\lambda_1,\ldots,\lambda_n\in \Lambda$ が取れて、$F_{\lambda_1}\cap\ldots\cap F_{\lambda_n}=\emptyset$ となるが、$\Lambda$ は有向集合なので $\mu\geq \lambda_1,\ldots,\mu\geq\lambda_n$ を満たす $\mu\in\Lambda$ が取れるので矛盾する。そこで $x\in \bigcap_{\lambda\in\Lambda}\overline{F_{\lambda}}$ を取れば、'''命題2.3'''より $x$ の任意の近傍 $V$ と任意の $\lambda\in \Lambda$ に対し $V\cap F_{\lambda}\neq\emptyset$ であるから、 $x$ は $(x_{\lambda})_{\lambda\in\Lambda}$ の堆積点である。 
$(2)\Leftrightarrow(3)$ は'''命題2.2'''による。 
$(2)\Rightarrow(4)$ は普遍ネットの堆積点は収束点であることによる。 
$(4)\Rightarrow(3)$ は'''定理1.12'''り任意のネットが普遍部分ネットを持つことによる。 
$(2)\Rightarrow(1)$ を示す。$(2)$ が成り立つとする。もし $X$ がコンパクトではないならば $X$ の開被覆 $\{U_j\}_{j\in J}$ で、そのいかなる有限部分族も $X$ の開被覆ではないものが取れる。よって $J$ の空でない有限部分集合全体に集合の包含関係による順序を入れた有向集合 $\mathcal{F}_J$ を考えると、任意の $F\in \mathcal{F}_J$ に対し $x_F\in X\backslash \bigcup_{j\in F}U_j$ が取れ、$X$ のネット $(x_F)_{F\in \mathcal{F}_J}$ ができる。$(2)$ が成り立つので $(x_F)_{F\in \mathcal{F}_J}$ は堆積点 $x$ を持つ。$x\in U_{j_0}$ なる $j_0\in J$ を取る。$U_{j_0}$ は $x$ の開近傍であり、$x$ は$(x_F)_{F\in \mathcal{F}_J}$ の堆積点であるので、$\{j_0\}\in\mathcal{F}_J$ に対し、 $\{j_0\}\subset F$ なる $F\in \mathcal{F}_J$ で $x_F\in U_{j_0}$ なるものが取れる。よって、$x_F\in U_{j_0}\subset \bigcup_{j\in F}U_j$ となり、$x_F\in X\backslash \bigcup_{j\in F}U_j$ に矛盾する。ゆえに $X$ はコンパクトである。
{{end |proof | }}

== 6.位相空間の可算性と点列 ==

=== 定義6.1（基本近傍系）===
$X$ を位相空間とする。$x\in X$ に対し $x$ の近傍からなる集合 $\mathcal{B}(x)$ が $x$ の基本近傍系であるとは、$x$ の任意の近傍 $V$ に対し $B\in \mathcal{B}(x)$ で $B\subset V$ なるものが存在することを言う。

=== 定義6.2（第一可算空間）===
位相空間が第一可算空間である（第一可算公理を満たす）とは、任意の $x\in X$ に対し $x$ の基本近傍系として可算なものが取れることを言う。

=== 補題6.3（第一可算空間における基本補題）===
$X$ を位相空間、$x\in X$ とし、$x$ が可算な基本近傍系を持つとする。このとき $x$ の近傍からなる列 $(B_n)_{n\in\mathbb{N}}$ で次の条件を満たすものが取れる。
* $x$ の任意の近傍 $V$ に対し $B_n\subset V$ なる $n\in\mathbb{N}$ が存在する。
* 任意の$n\in \mathbb{N}$ に対し $B_{n+1}\subset B_n$.
{{begin|proof|display=''Proof.''|collapsible=1|collapsed=1}}
$\{U_n\}_{n\in\mathbb{N}}$ を $x$ の可算な基本近傍系として、任意の $n\in \mathbb{N}$ に対し、$B_n:=U_1\cap\ldots \cap U_n$ とおけば、$(B_n)_{n\in\mathbb{N}}$ は条件を満たす。
{{end |proof | }}

=== 命題6.4（第一可算空間における点列の堆積点と部分列）===
$(x_n)_{n\in \mathbb{N}}$ を第一可算空間 $X$ の点列、$x\in X$ とする。このとき次は互いに同値である。
*$(1)$ $x$ は $(x_n)_{n\in\mathbb{N}}$ の堆積点である。
*$(2)$ $(x_n)_{n\in\mathbb{N}}$ の部分列で $x$ に収束するものが存在する。
{{begin|proof|display=''Proof.''|collapsible=1|collapsed=1}}
$(2)\Rightarrow(1)$ は自明である。$(1)\Rightarrow(2)$ を示す。$(1)$ が成り立つとし、$x$ の近傍の列 $(B_n)_{n\in\mathbb{N}}$ で'''補題6.3'''の条件を満たすものを取ると、 $(x_n)_{n\in \mathbb{N}}$ の部分列 $(x_{k(n)})_{n\in\mathbb{N}}$ を、$x_{k(n)}\in B_{n}$ $(\forall n\in\mathbb{N})$ となるように取れる。このとき $(x_{k(n)})_{n\in\mathbb{N}}$ は $x$ に収束するので、 $(2)$ が成り立つ。
{{end |proof | }}

=== 命題6.5（第一可算空間における閉包の点の点列による特徴付け）===
$X$ を第一可算空間、$A\subset X$、$x\in X$ とする。次は互いに同値である。
*$(1)$ $x\in \overline{A}$.
*$(2)$ $x$ に収束する $A$ の点列が存在する。
{{begin|proof|display=''Proof.''|collapsible=1|collapsed=1}}
$(2)\Rightarrow(1)$ は自明である。$x$ の近傍の列 $(B_n)_{n\in\mathbb{N}}$ で'''補題6.3'''の条件を満たすものを取る。$x\in \overline{A}$ ならば、'''命題2.3'''より任意の $n\in\mathbb{N}$ に対し $x_n\in A\cap B_n$ が取れる。こうしてできる $A$ の点列 $(x_n)_{n\in\mathbb{N}}$ は $x$ に収束する。よって $(1)\Rightarrow(2)$ が成り立つ。
{{end |proof | }}

=== 命題6.6（連続性の点列による特徴付け）===
$X$ を第一可算空間、$Y$ を位相空間、$x\in X$、$f:X\rightarrow Y$ とする。このとき次は互いに同値である。
*$(1)$ $f$ は $x$ において連続である。
*$(2)$ $x$ に収束する $X$ の任意の点列 $(x_n)_{n\in\mathbb{N}}$ に対し、$Y$ の点列 $(f(x_n))_{n\in\mathbb{N}}$ は $f(x)$ に収束する。
{{begin|proof|display=''Proof.''|collapsible=1|collapsed=1}}
$(1)\Rightarrow(2)$ は自明である。 $(B_n)_{n\in\mathbb{N}}$ を'''補題6.3'''における $x$ の近傍の列とする。$(2)\Rightarrow(1)$ の対偶を示す。もし $(1)$ が成り立たたないならば、$f(x)$ の近傍 $V$ で、任意の $n\in \mathbb{N}$ に対し $B_n\backslash f^{-1}(V)\neq\emptyset$ となるものが取れる。そこで任意の $n\in \mathbb{N}$ に対し $x_n\in B_n\backslash f^{-1}(V)$ を取ることで $X$ の点列 $(x_n)_{n\in \mathbb{N}}$ を定義する。これは明らかに $x$ に収束する。しかし $f(x_n)\notin V$ $(\forall n\in \mathbb{N})$ より $(f(x_n))_{n\in\mathbb{N}}$ は $f(x)$ に収束しない。よって $(2)$ は成り立たない。
{{end |proof | }}

=== 定義6.7（点列コンパクト）===
位相空間 $X$ が点列コンパクトであるとは、$X$ の任意の点列が収束する部分列を持つことを言う。

=== 命題6.8（第一可算なコンパクト空間は点列コンパクト）===
第一可算なコンパクト空間は点列コンパクトである。
{{begin|proof|display=''Proof.''|collapsible=1|collapsed=1}}
$X$ を第一可算なコンパクト空間とし、$(x_n)_{n\in \mathbb{N}}$ を $X$ の任意の点列とする。'''定理5'''より $(x_n)_{n\in\mathbb{N}}$ は堆積点 $x$ を持つ。'''命題6.4'''より $(x_n)_{n\in \mathbb{N}}$ のある部分列は $x$ に収束する。よって $X$ は点列コンパクトである。
{{end |proof | }}

=== 命題6.9（点列コンパクトなLindelöf空間はコンパクト）===
点列コンパクトな[[Lindelöf空間]]はコンパクト空間である。
{{begin|proof|display=''Proof.''|collapsible=1|collapsed=1}}
$X$ を点列コンパクトな[[Lindelöf空間]]とする。$X$ がコンパクトではないと仮定すると、$X$ の開被覆 $\{U_j\}_{j\in J}$ で、そのいかなる有限部分族も $X$ の開被覆ではないものが取れる。$X$ はLindelöf 空間であるので、$\{U_j\}_{j\in J}$ の可算部分開被覆 $\{U_{j_n}\}_{n\in\mathbb{N}}$ が取れる。任意の $n\in\mathbb{N}$ に対し、$x_n\in X\backslash \bigcup_{k=1}^{n}U_{j_k}$ を取り、$X$ の点列 $(x_n)_{n\in\mathbb{N}}$ を定義する。$X$ は点列コンパクトであるので $(x_n)_{n\in\mathbb{N}}$ は収束する部分列を持つ。よって'''命題6.4'''より $(x_n)_{n\in\mathbb{N}}$ は堆積点 $x$ を持つ。$x\in U_{j_{n_0}}$ なる $n_0\in\mathbb{N}$ を取る。$U_{j_{n_0}}$ は $x$ の近傍であり、$x$ は $(x_n)_{n\in\mathbb{N}}$ の堆積点であるから、$n\geq n_0$ かつ $x_n\in U_{j_{n_0}}$ なる $n\in \mathbb{N}$ が取れる。よって $x_n\in U_{j_{n_0}}\subset \bigcup_{k=1}^{n}U_{j_k}$ となり、$x_n\in X\backslash \bigcup_{k=1}^{n}U_{j_k}$ に矛盾する。ゆえに $X$ はコンパクトである。
{{end |proof | }}

=== 系6.10（第二可算空間においてはコンパクトと点列コンパクトは同値）===
[[第二可算空間]]においてはコンパクトと点列コンパクトは同値である。
{{begin|proof|display=''Proof.''|collapsible=1|collapsed=1}}
第二可算空間が第一可算空間かつ[[Lindelöf 空間]]であることと、'''命題6.8'''、'''命題6.9'''による。
{{end |proof | }}

===注意6.11（距離空間の位相について）===
距離空間は第一可算空間であり（[[距離空間の位相の基本的性質]]の'''命題2.2'''）、距離空間が可分であることと第二可算であることは同値である（[[距離空間の位相の基本的性質]]の'''命題3'''）。また距離空間がコンパクトであることと点列コンパクトであることは同値である（[[距離空間の位相の基本的性質]]の'''定理6.5'''）。

== 7.始位相、直積位相、Tychonoff の定理 ==

=== 定義7.1（始位相）===
$X, J$ を空でない集合とし、各 $j\in J$ に対し位相空間 $(X_j,\mathcal{O}_j)_{j\in J}$ と写像 $f_j\colon X\rightarrow X_j$ が与えられているとする。このとき、
$$
\{f_{j_1}^{-1}(U_1)\cap \ldots \cap f_{j_n}^{-1}(U_n):n\in\mathbb{N}, j_1,\cdots,j_n\in J, U_1\in\mathcal{O}_{j_1},\ldots,U_n\in \mathcal{O}_{j_n}\}
$$
の要素の合併で表される集合全体 $\mathcal{O}$ は $X$ の位相である。$\mathcal{O}$ は任意の $j\in J$ に対し $f_j:X\rightarrow X_j$ が連続となるような $X$ の位相のうち最弱のものとして特徴付けられる。$\mathcal{O}$ を $(f_j\colon X\rightarrow X_j)_{j\in J}$ から誘導される始位相と言う。

=== 命題7.2（始位相に関するネットの収束の特徴付け）===
$X$ に $(f_j\colon X\rightarrow X_j)_{j\in J}$ から誘導される始位相を入れる。$X$ のネット $(x_{\lambda})_{\lambda\in\Lambda}$ と $x\in X$ に対し次は互いに同値である。
*$(1)$ $x_{\lambda}\rightarrow x$.
*$(2)$ 任意の $j\in J$ に対し $f_j(x_{\lambda})\rightarrow f_j(x)$.
{{begin|proof|display=''Proof.''|collapsible=1|collapsed=1}}
始位相の定義より各 $f_j\colon X\rightarrow X_j$ は連続であるので、'''定理3'''より $(1)\Rightarrow(2)$ が成り立つ。 
$(2)\Rightarrow(1)$を示す。$(2)$ が成り立つとする。始位相の定義より $x$ の任意の近傍 $V$ に対し有限個の $j_1,\ldots,j_n\in J$ と開集合 $U_1\subset X_{j_1},\ldots,U_n\subset X_{j_n}$ で、
$$
x\in f_{j_1}^{-1}(U_1)\cap\ldots \cap f_{j_n}^{-1}(U_n)\subset V
$$
なるものが取れる。各 $k\in \{1,\ldots,n\}$ に対し $U_k$ は $f_{j_k}(x)$ の開近傍であり、$(2)$ が成り立つので、$\lambda_k\in \Lambda$ が存在し、任意の$\lambda\geq\lambda_k$ に対し $f_{j_k}(x_{\lambda})\in U_k$ となる。$\Lambda$ は有向集合なので $\lambda_0\geq\lambda_1,\ldots,\lambda_0\geq \lambda_n$ なる $\lambda_0\in\Lambda$ が取れて、
$$
f_{j_k}(x_{\lambda})\in U_k\quad (\forall \lambda\geq\lambda_0,\forall k\in \{1,\ldots,n\})
$$
であるから、
$$
x_{\lambda}\in f_{j_1}^{-1}(U_1)\cap\ldots \cap f_{j_n}^{-1}(U_n)\subset V\quad (\forall \lambda\geq\lambda_0)
$$
である。よって $x_{\lambda}\rightarrow x$ が成り立つ。
{{end |proof | }}

=== 定義7.3（直積位相空間）===
$J$ を空でない集合とし、各 $j\in J$ に対し位相空間 $X_j$ が与えられているとする。そして直積集合 $X=\prod_{j\in J}X_j$ を考え、各 $j\in J$ に対し $X$ から $X_j$ 上への自然な射影 $\pi_j\colon X\rightarrow X_j$ が与えられているとする。$(\pi_j\colon X\rightarrow X_j)_{j\in J}$ が $X$ に誘導する始位相による位相空間 $X$ を、位相空間の族 $(X_j)_{j\in J}$ の直積位相空間と言う。

=== 命題7.4（直積位相空間のネットの収束の特徴付け）===
位相空間の族 $(X_j)_{j\in J}$ の直積位相空間 $X=\prod_{j\in J}X_j$ を考え、各 $j\in J$ に対し $X$から $X_j$ 上への自然な射影を $\pi_j\colon X\rightarrow X_j$ とする。$X$ のネット $(x_{\lambda})_{\lambda\in\Lambda}$ と $x\in X$ に対し、次は互いに同値である。
*$(1)$ $x_{\lambda}\rightarrow x$.
*$(2)$ 任意の $j\in J$ に対し $\pi_j(x_{\lambda})\rightarrow \pi_j(x)$.
{{begin|proof|display=''Proof.''|collapsible=1|collapsed=1}}
直積位相空間の定義と'''命題7.2'''による。
{{end |proof | }}

=== 定理7.5（Tychonoffの定理）===
コンパクト空間の直積位相空間はコンパクト空間である。
{{begin|proof|display=''Proof.''|collapsible=1|collapsed=1}}
$(X_j)_{j\in J}$ をコンパクト空間の族とし、$X=\prod_{j\in J}X_j$ をその直積位相空間、各 $j\in J$ に対し $X$から $X_j$ 上への自然な射影を $\pi_j:X\rightarrow X_j$ とする。$X$ がコンパクト空間であることを示すには、'''定理5'''より、 $X$ の任意の普遍ネット $(x_{\lambda})_{\lambda\in\Lambda}$ が収束することを示せばよい。各 $j\in J$ に対し $(\pi_j(x_{\lambda}))_{\lambda\in\Lambda}$ はコンパクト空間 $X_j$ の普遍ネットである（容易に確かめられる）からある $y_j\in X_j$ に収束する。そこで $y=(y_j)_{j\in J}\in X$ とおけば、'''命題7.4'''より $(x_{\lambda})_{\lambda\in\Lambda}$ は $y$ に収束する。よって $X$ はコンパクトである。
{{end |proof | }}

== 参考文献 ==
* [https://amzn.to/3tqZRYZ Gert K. Pedersen「Analysis Now」]

= 関連項目 =
* [[入門テキスト「位相空間論」]]
* [[フィルターによる位相空間論]]
* [[距離空間の位相の基本的性質]]
* [[入門テキスト「位相線形空間」]]
* [[関数解析の基礎]]

位相線形空間1：ノルムと内積

2025-03-21T03:32:12Z

Kataoka: /* 命題3.6（有界線形作用素の閉包上への一意拡張） */

この章では、ノルムと内積について基本的な事柄を述べる。 $\mathbb{F}$ により $\mathbb{R}$ か $\mathbb{C}$ を表すこととする。また $\mathbb{N}=\{1,2,3,\ldots\}$ とする。

'''[[入門テキスト「位相線形空間」]]'''
* '''位相線形空間1：ノルムと内積'''
* [[位相線形空間2：セミノルム位相と汎弱位相]]
* [[位相線形空間3：Hahn-Banachの定理とKrein-Milmanの端点定理]]
* [[位相線形空間4：Fréchet空間と関数解析の基本定理]]

== 1. ノルム、Banach空間（環、$*$-環）の定義 ==

=== 定義1.1（ノルム空間、Banach空間） ===
$X$ を $\mathbb{F}$ 上の線形空間とする。
$$X\ni x\mapsto \lVert x\rVert \in [0,\infty)$$
が $X$ 上のノルムであるとは次が成り立つことを言う。
*$(1)$　任意の $x,y\in X$ に対し、$\lVert x+y\rVert\leq \lVert x\rVert+\lVert y\rVert$.
*$(2)$　任意の $x\in X$ と任意の $\alpha\in \mathbb{F}$ に対し、$\lVert \alpha x\rVert=\lvert\alpha\rvert\lVert x\rVert$.
*$(3)$　$\lVert x\rVert=0$ $\Leftrightarrow$ $x=0$. 
ノルムが備わった $\mathbb{F}$ 上の線形空間を $\mathbb{F}$ 上のノルム空間と言う。$\mathbb{F}$ 上のノルム空間 $X$ に対し、
$$X\times X\ni (x,y)\mapsto \lVert x-y\rVert\in[0,\infty)$$
は $X$ 上の距離である。ノルム空間はこの距離による[[距離空間]]とみなす。そして $\mathbb{F}$ 上のノルム空間で、この距離により完備距離空間であるものを $\mathbb{F}$ 上の Banach 空間と言う。

ユークリッド空間 $\mathbb{R}^N$ は $\mathbb{R}$ 上のBanach 空間、ユニタリ空間 $\mathbb{C}^N$ は $\mathbb{C}$ 上のBanach 空間である。

=== 定義1.2（部分空間に誘導されるノルム） ===
ノルム空間の線形部分空間はのノルムをそのまま受け継いだノルム空間とみなす。

Banach空間の閉部分空間はBanach空間である。

=== 定義1.3（多元環） ===
$\mathbb{F}$ 上の線形空間 $X$ に乗法 $X\times X\ni (x,y)\mapsto xy\in X$ が定義されており、加法と乗法に関して環をなし、スカラー倍と乗法に関して、
$$
\alpha(xy)=(\alpha x)y=x(\alpha y)\quad(\forall \alpha\in \mathbb{F},\forall x,y\in X)
$$
が成り立つとき、$X$ を $\mathbb{F}$ 上の多元環と言う。

=== 定義1.4（ノルム環、Banach環） ===
$\mathbb{F}$ 上の多元環 $X$ がノルム空間（ resp. Banach 空間）であり、
$$
\lVert xy\rVert\leq \lVert x\rVert\lVert y\rVert\quad(\forall x,y\in X)
$$
が成り立つとき、$X$ を $\mathbb{F}$ 上のノルム環（ resp. Banach 環）と言う。

=== 定義1.5（$*$-環） ===
$\mathbb{F}$ 上の多元環 $X$ にさらに対合と呼ばれる演算 $X\ni x\mapsto x^*\in X$ が定義されており、次が成り立つとき $X$ を$*$-環と言う。
*$(1)$　任意の $x,y\in X$ に対し $(x+y)^*=x^*+y^*$
*$(2)$　任意の $x\in X$ と任意の $\alpha\in \mathbb{F}$ に対し $(\alpha x)^*=\overline{\alpha}x^*$.
*$(3)$　任意の $x,y\in X$ に対し $(xy)^*=y^*x^*$.
*$(4)$　任意の $x\in X$ に対し $x^{**}=x$.

=== 定義1.6（ノルム$*$-環、Banach $*$-環） ===
$\mathbb{F}$ 上の$*$-環 $X$ がノルム環（resp. Banach環）でもあるとする。
$$
\lVert x^*\rVert=\lVert x\rVert\quad(\forall x\in X)
$$
が成り立つとき $X$ を $\mathbb{F}$ 上のノルム$*$-環（resp. Banach $*$-環）と言う。

=== 定義1.7（$C^*$-環） ===
$\mathbb{F}$ 上の$*$-環 $X$ がBanach環でもあり、
$$
\lVert x^*x\rVert=\lVert x\rVert^2\quad(\forall x\in X)\quad\quad(*)
$$
が成り立つとき $X$ を $\mathbb{F}$ 上の $C^*$-環と言う。また $(*)$ を $C^*$-ノルム条件と言う。任意の $x\in X$ に対し $C^*$-ノルム条件より、
$$
\lVert x\rVert^2=\lVert x^*x\rVert\leq \lVert x^*\rVert\lVert x\rVert
$$
であるから $\lVert x\rVert\leq\lVert x^*\rVert$ 、したがって $\lVert x\rVert=\lVert x^*\rVert$ である。よって $C^*$-環は特にBanach $*$-環である。

== 2　商ノルム ==

=== 定義2.1（商ノルム） ===
$X$ を $\mathbb{F}$ 上のノルム空間、$M\subset X$ を閉部分空間とし、$X/M$ を商線形空間、
$$
X\ni x\mapsto [x]\in X/M
$$
を商写像とする。このとき、
$$
\lVert [x]\rVert\colon=\inf\{\lVert x-y\rVert:y\in M\}\quad(\forall [x]\in X/M)\quad\quad(*)
$$
として、$X/M$ 上のノルムが定義できる。（次の'''命題2.2'''による。）これを $X/M$ 上の商ノルムと言う。

=== 命題2.2 ===
'''定義2.1'''の $(*)$ によって $X/M$ 上のノルムが定義される。
{{begin |proof}}
$[x_1]=[x_2]$ ならば $x_1-x_2\in M$ であるから、
$$
\{\lVert x_1-y\rVert:y\in M\}=\{\lVert x_1+(x_2-x_1)-y\rVert:y\in M\}=\{\lVert x_2-y\rVert:y\in M\}
$$
である。よって $(*)$ により $X/M\ni [x]\mapsto \lVert [x]\rVert\in[0,\infty)$ が定義できる。任意の $[x_1],[x_2]\in X/M$ に対し、
$$
\begin{aligned}
&\inf\{\lVert x_1+x_2-y\rVert:y\in M\}=\inf\{\lVert x_1-y_1+x_2-y_2\rVert:y_1,y_2\in M\}\\
&\leq \inf\{\lVert x_1-y_1\rVert:y_1\in M\}+\inf\{\lVert x_2-y_2\rVert:y_2\in M\}
\end{aligned}
$$
であるから $\lVert [x_1]+[x_2]\rVert\leq \lVert [x_1]\rVert+\lVert [x_2]\rVert$ が成り立つ。また任意の $[x]\in X/M$ と任意の $\alpha\in\mathbb{F}$ に対し、
$$
\inf\{\lVert \alpha x-y\rVert:y\in M\}=\inf\{\lVert \alpha x-\alpha y\rVert:y\in M\}
=\lvert\alpha\rvert\inf\{\lVert x-y\rVert:y\in M\}
$$
であるから $\lVert\alpha[x]\rVert=\lvert\alpha\rvert\lVert [x]\rVert$ が成り立つ。$\lVert [x]\rVert=0$ ならば下限の定義より任意の $\epsilon\in(0,\infty)$ に対し $\lVert x-y\rVert<\epsilon$ なる $y\in M$ が取れるので $x\in \overline{M}=M$、したがって $[x]=0$ である。
{{end |proof | }}

=== 命題2.3（Banach空間の商ノルム空間はBanach空間） ===
$X$ を $\mathbb{F}$ 上のBanach空間、$M\subset X$ を閉部分空間とする。このとき $X/M$ は商ノルムによりBanach空間である。
{{begin |proof}}
$(z_n)_{n\in \mathbb{N}}$ を $X/M$ のCauchy列とする。$(z_n)_{n\in \mathbb{N}}$ が収束する部分列を持つことを示せば十分である。Cauchy列であることから部分列 $(z_{k(n)})_{n\in \mathbb{N}}$ で、
$$
\lVert z_{k(n+1)}-z_{k(n)}\rVert<\frac{1}{2^n}\quad(\forall n\in \mathbb{N})
$$
を満たすものが取れる。これに対し商ノルムの定義と帰納法により $X$ の列 $(x_n)_{n\in\mathbb{N}}$ で、
$$
z_{k(n)}=x_n,\quad \lVert x_{n+1}-x_n\rVert<\frac{1}{2^n}\quad(\forall n\in \mathbb{N})
$$
を満たすものが取れ、$m\geq n$ なる任意の $n,m\in \mathbb{N}$ に対し、
$$
\lVert x_m-x_n\rVert<\frac{2}{2^n}
$$
であるから $(x_n)_{n\in \mathbb{N}}$ は $X$ のCauchy列である。$X$ はBanach空間であるので $(x_n)_{n\in \mathbb{N}}$ はある $x\in X$ に収束する。よって、
$$
\lVert z_{k(n)}-[x]\rVert\leq \lVert x_{n}-x\rVert\rightarrow0\quad(n\rightarrow\infty)
$$
であるから $(z_{k(n)})_{n\in \mathbb{N}}$ は収束する。
{{end |proof | }}

=== 定義2.4（多元環のイデアル、$*$-環の$*$-イデアル） ===

$X$ を $\mathbb{F}$ 上の多元環とする。空でない $I\subset X$ が加法とスカラー倍で閉じており、任意の $x\in X$ と任意の $y\in I$ に対し $xy,yx\in I$ が成り立つとき、$I$ を $X$ のイデアルと言う。 
$X$ を $\mathbb{F}$ 上の$*$-環とする。空でない $I\subset X$ が加法とスカラー倍と対合で閉じており、任意の $x\in X$ と任意の $y\in I$ に対し $xy,yx\in I$ が成り立つとき、$I$ を $X$ の$*$-イデアルと言う。

=== 命題2.5（商ノルム環、商Banach環） ===
$X$ を $\mathbb{F}$ 上のノルム環、$I\subset X$ を閉イデアルとする。このとき商多元環 $X/I$ は商ノルムによりノルム環である。また $X$ がBanach環ならば $X/I$ は商ノルムによりBanach環である。さらに $X$ が Banach $*$-環であり、$I$ が閉$*$-イデアルならば $X/I$ は商ノルムによりBanach $*$-環である。
{{begin |proof }}
任意の $[x_1],[x_2]\in X/I$ に対し、
$$
\begin{aligned}
&\inf\{\lVert x_1x_2-y\rVert:y\in I\}\leq \inf\{\lVert (x_1-y_1)(x_2-y_2)\rVert:y_1,y_2\in I\}\\
&\leq \inf\{\lVert x_1-y_1\rVert:y_1\in I\}\inf\{\lVert x_2-y_2\rVert:y_2\in I\}
\end{aligned}
$$
であるから $\lVert [x_1][x_2]\rVert\leq \lVert [x_1]\rVert\lVert [x_2]\rVert$ が成り立つ。よって $X/I$ は商ノルムによりノルム環である。$X$ がBanach環ならば'''命題2.3'''より $X/I$ はBanach環である。$X$ がBanach $*$-環であり、$I$ が$*$-イデアルであるとき任意の $[x]\in X/I$ に対し、
$$
\{\lVert x^*-y\rVert:y\in I\}=\{\lVert x-y^*\rVert:y\in I\}=\{\lVert x-y\rVert:y\in I\}
$$
であるから $\lVert [x]^*\rVert=\lVert [x]\rVert$ である。よって $X/I$ は商ノルムによりBanach $*$-環である。
{{end |proof | }}

== 3. 有界線形作用素、作用素ノルム ==

=== 定義3.1（$\mathbb{B}(X,Y)$ と作用素ノルム） ===
$X, Y$ を $\mathbb{F}$ 上のノルム空間とする。$X\rightarrow Y$ の線形作用素全体に各点ごとの演算を入れて得られる $\mathbb{F}$ 上の線形空間を $\mathbb{L}(X,Y)$ と表す。そして任意の $T\in \mathbb{L}(X,Y)$ に対し、
$$
\lVert T\rVert=\sup\{\lVert Tx\rVert : x\in X, \lVert x\rVert\leq 1\}
$$
とおき、
$$
\mathbb{B}(X,Y)=\{T\in \mathbb{L}(X,Y):\lVert T\rVert<\infty\}
$$
とおく。$\mathbb{B}(X,Y)$ の元を $X\rightarrow Y$ の有界線形作用素と言う。
$$
\lVert Tx\rVert\leq\lVert T\rVert \lVert x\rVert\quad(\forall T\in \mathbb{B}(X,Y), \forall x\in X)
$$
であるから、$\mathbb{B}(X,Y)$ は $\mathbb{L} (X,Y)$ の線形部分空間であり、
$$
\mathbb{B}(X,Y)\ni T\mapsto \lVert T\rVert\in [0,\infty)
$$
は $\mathbb{B}(X,Y)$ 上のノルムである。このノルムを作用素ノルムと言う。後の'''命題3.4'''で見るように $Y$ がBanach空間ならば $\mathbb{B}(X,Y)$ はBanach空間である。

=== 定義3.2（$\mathbb{B}(X)$） ===
ノルム空間 $X$ に対し、$X\rightarrow X$ の線形作用素全体のなす線形空間
$$
\mathbb{L}(X)\colon=\mathbb{L}(X,X)
$$
は作用素の合成を乗法として多元環をなす。そこで、
$$
\mathbb{B}(X)\colon=\mathbb{B}(X,X)\subset \mathbb{L}(X)
$$
とおくと、
$$
\lVert STx\rVert\leq \lVert S\rVert \lVert Tx\rVert \leq \lVert S\rVert \lVert T\rVert \lVert x\rVert\quad (\forall S,T\in \mathbb{B}(X), \forall x\in X)
$$
より $\mathbb{B}(X)$ はノルム環をなす。'''命題3.4'''で見るように $X$ がBanach空間ならば $\mathbb{B}(X)$ はBanach環である。

=== 命題3.3（有界線形作用素の特徴付け） ===
$X,Y$ をノルム空間とする。$T\in \mathbb{L}(X,Y)$ に対し次は互いに同値である。
*$(1)$ $T\in \mathbb{B}(X,Y)$.
*$(2)$ $T$ は一様連続である。
*$(3)$ $T$ は $0\in X$ において連続である。
{{begin |proof }}
$(1)\Rightarrow(2)$ は $\lVert Tx\rVert\leq \lVert T\rVert \lVert x\rVert$ であることによる。 
$(2)\Rightarrow(3)$ は自明である。$(3)\Rightarrow(1)$ を示す。 $T$ が $0\in X$ において連続であるとすると、$\delta\in(0,\infty)$ が存在し $\lVert x\rVert\leq \delta$ を満たす任意の $x\in X$ に対し $\lVert Tx\rVert\leq 1$ となる。よって $T$ の線形性より、
$$
\lVert T\rVert=\sup\{\lVert Tx\rVert: \lVert x\rVert\leq 1\}\leq \delta^{-1}
$$
であるから、$T$ は有界線形作用素である。
{{end |proof | }}

=== 命題3.4（$Y$ がBanach空間ならば $\mathbb{B}(X,Y)$ は Banach 空間） ===
$X$ をノルム空間、$Y$ をBanach空間とする。このとき $\mathbb{B}(X,Y)$ は Banach 空間である。
{{begin |proof }}
$(T_n)_{n\in \mathbb{N}}$ を $\mathbb{B}(X,Y)$ の Cauchy 列とする。任意の $x\in X$ に対し、
$$
\lVert T_nx-T_mx\rVert\leq \lVert T_n-T_m\rVert \lVert x\rVert\quad(\forall n,m\in\mathbb{N})
$$
であるから、$(T_nx)_{n\in \mathbb{N}}$ はBanach空間 $Y$ の Cauchy 列である。よって、
$$
Tx=\lim_{n\rightarrow\infty} T_nx\quad(\forall x\in X)
$$
として $T\colon X\rightarrow Y$ が定義でき、$T$ は明らかに線形作用素である。任意の $\epsilon\in (0,\infty)$ に対し $n_0\in\mathbb{N}$ で、
$$
\lVert T_n-T_m\rVert\leq \epsilon\quad(\forall n,m\geq n_0)
$$
なるものを取る。このとき任意の $m\geq n_0$と、$\lVert x\rVert\leq 1$ なる任意の $x\in X$ に対し、
$$
\lVert Tx-T_mx\rVert=\lim_{n\rightarrow\infty}\lVert T_nx-T_mx\rVert=\inf_{n\in\mathbb{N}}\sup_{k\geq n}\lVert T_kx-T_mx\rVert\leq \sup_{k\geq n_0}\lVert T_kx-T_mx\rVert
\leq \epsilon
$$
であるから $T=(T-T_m)+T_m\in \mathbb{B}(X,Y)$ であり、$(T_n)_{n\in\mathbb{N}}$ は $T$ に収束する。よって $\mathbb{B}(X,Y)$ は Banach 空間である。
{{end |proof | }}

=== 定義3.5（ノルム空間 $X$ の双対空間 $X^*$ ） ===
$X$ を $\mathbb{F}$ 上のノルム空間とする。'''命題3.4'''より $X$ 上の有界線形汎関数全体 $\mathbb{B}(X,\mathbb{F})$ はBanach空間である。これを $X$ の双対空間と言い、$X^*$ と表す。

=== 命題3.6（有界線形作用素の閉包上への一意拡張） ===
$X$ をノルム空間、$Y$ をBanach空間、$M\subset X$ を部分空間とする。このとき任意の $T\in \mathbb{B}(M,Y)$ に対し $\overline{T}\in \mathbb{B}(\overline{M},Y)$ で、 $\overline{T}|_M=T$ を満たすものが唯一つ存在する。そして $\lVert \overline{T}\rVert=\lVert T\rVert$ である。
{{begin |proof }}
一意性は $M\subset \overline{M}$ の稠密性と $\mathbb{B}(\overline{M},Y)$ の元の連続性による。存在を示す。任意の $x\in \overline{M}$ に対し $x$ に収束する $M$ の列 $(x_n)_{n\in\mathbb{N}}$ が取れ、$\lVert Tx_n-Tx_m\rVert\leq \lVert T\rVert \lVert x_n-x_m\rVert$ $(\forall n,m\in\mathbb{N})$ であるから $(Tx_n)_{n\in\mathbb{N}}$ はBanach空間 $Y$ の Cauchy 列である。よって $(Tx_n)_{n\in\mathbb{N}}$ は収束する。$(x_n)_{n\in\mathbb{N}}$ とは別に $x$ に収束する $M$ の列 $(x_n')_{n\in \mathbb{N}}$ を取ると、
$$
\lVert Tx_n-Tx_n'\rVert\leq \lVert T\rVert \lVert x_n-x_n'\rVert\leq \lVert T\rVert( \lVert x_n-x\rVert +\lVert x-x_n'\rVert)\rightarrow0\quad(n\rightarrow\infty)
$$
であるから、$(Tx_n)_{n\in \mathbb{N}}$ と $(Tx_n')_{n\in \mathbb{N}}$ が収束する点は一致する。よって $\overline{T}x=\lim_{n\rightarrow\infty} Tx_n$ として $\overline{T}:\overline{M}\rightarrow Y$ が定義できる。$\overline{T}$ は明らかに線形作用素であり、$T$ の拡張である。そして、
$$
\lVert \overline{T}x\rVert=\lim_{n\rightarrow\infty}\lVert Tx_n\rVert \leq \lim_{n\rightarrow\infty}\lVert T\rVert \lVert x_n\rVert=\lVert T\rVert \lVert x\rVert
$$
であるから $\overline{T}\in \mathbb{B}(\overline{M},Y)$、$\lVert \overline{T}\rVert\leq \lVert T\rVert$である。逆の不等式は $\overline{T}$ は $T$ の拡張であるから成り立つ。
{{end |proof | }}

== 4. 有限次元ノルム空間 ==

=== 命題4.1（基本命題） ===
$X$ を $\mathbb{F}$ 上の有限次元ノルム空間、$e_1,\ldots, e_N$ を $X$ の基底とし、線形同型写像
$$
\Phi\colon\mathbb{F}^N\ni (t_1,\ldots, t_N)\mapsto \sum_{j=1}^{N}t_je_j\in X
$$
を定義する。このとき $\Phi^{-1}:X\rightarrow \mathbb{F}^N$ は有界線形作用素である。
{{begin |proof}}
$$
B=\{t\in \mathbb{F}^N:\lvert t\rvert<1\},\quad S=\{t\in \mathbb{F}^N:\lvert t\rvert=1\},\quad E=\{t\in \mathbb{F}^N: \lvert t\rvert>1\}
$$
とおく。$\Phi$ は連続であり、$S$ はコンパクトであるから $\Phi(S)$ は $X$ のコンパクト集合、したがって閉集合である。そして $0\in X\backslash \Phi(S)$ であるから、
$$
\overline{B}_X(0,\delta)=\{x\in X:\lVert x\rVert\leq\delta\}\subset X\backslash \Phi(S)=\Phi(B\cup E)
$$
なる $\delta\in(0,\infty)$ が取れる。
$$
\Phi^{-1}(\overline{B}_X(0,\delta))\subset B\cup E
$$
であり、$\Phi^{-1}(\overline{B}_X(0,\delta))$ は凸集合ゆえ（弧状）連結であるから、
$$
\Phi^{-1}(\overline{B}_X(0,\delta))\subset B
$$
が成り立つ。これより、
$$
\lVert \Phi^{-1}(x)\rVert\leq \delta^{-1}\lVert x\rVert\quad(\forall x\in X)
$$
が成り立つので、$\Phi^{-1}:\mathbb{F}^N\rightarrow X$ は有界線形作用素である。
{{end |proof | }}

=== 系4.2（有限次元ノルム空間はBanach空間） ===
任意の有限次元ノルム空間はBanach空間である。
{{begin |proof }}
$X$ を $\mathbb{F}$ 上の $N$ 次元ノルム空間とし、'''命題3.1'''における同相写像 $\Phi\colon\mathbb{F}^N\rightarrow X$ を考える。$(x_n)_{n\in\mathbb{N}}$ を $X$ の Cauchy 列とすると、$(\Phi^{-1}(x_n))_{n\in \mathbb{N}}$ は $\mathbb{F}^N$ の Cauchy 列であり、$\mathbb{F}^N$ は Banach 空間であるので $(\Phi^{-1}(x_n))_{n\in \mathbb{N}}$ は収束する。よって $(x_n)_{n\in\mathbb{N}}$ は収束する。
{{end |proof | }}

=== 系4.3（ノルム空間の有限次元部分空間は自動的に閉） ===
ノルム空間の有限次元部分空間は閉である。
{{begin |proof}}
$X$ をノルム空間、$M\subset X$ を有限次元部分空間とする。任意の $x\in \overline{M}$ に対し $x$ に収束する $M$ の点列 $(x_n)_{n\in \mathbb{N}}$ が取れる。$M$ はBanach空間なので $(x_n)_{n\in\mathbb{N}}$ は $M$ において収束する。ゆえに $x\in M$ である。
{{end |proof | }}

=== 系4.4（有限次元ノルム空間からノルム空間への線形作用素は自動的に有界） ===
$X$ を $\mathbb{F}$ 上の有限次元ノルム空間、$Y$ を$\mathbb{F}$ 上の任意のノルム空間とする。このとき任意の線形作用素 $T\colon X\rightarrow Y$ に対し $T$ は有界線形作用素である。
{{begin |proof}}
$X$ を $\mathbb{F}$ 上の $N$ 次元ノルム空間とし、'''命題3.1'''における同相写像 $\Phi\colon\mathbb{F}^N\rightarrow X$ を考える。
$$
\hat{T}\colon\mathbb{F}^N\ni (t_1,\ldots,t_N)\mapsto \sum_{j=1}^{N}t_jTe_j\in Y
$$
は連続な線形作用素なので有界線形作用素である。$T$ は有界線形作用素 $\Phi^{-1}$ と $\hat{T}$ の合成なので、有界線形作用素である。
{{end |proof | }}

== 5. Banach空間における総和 ==

=== 定義5.1（総和 $\sum_{j\in J}x_j$ の収束） ===
$X$ をノルム空間、$J$ を集合とし、各 $j\in J$ に対し $x_j\in X$ が与えられているとする。そして $\mathcal{F}_J$ を $J$ の有限部分集合全体に集合の包含関係による順序を入れた有向集合とする。$\mathcal{F}_J$ によって添字付けられた $X$ のネット $(\sum_{j\in F}x_j)_{F\in \mathcal{F}_J}$ が収束するとき、$\sum_{j\in J}x_j$ は収束すると言い、その収束点を、
$$
\sum_{j\in J}x_j=\lim_{F\rightarrow J}\sum_{j\in F}x_j
$$
と表す。 
ネットについては[[ネットによる位相空間論]]を参照されたい。

=== 注意5.2（ $\sum_{n=1}^{\infty}x_n$ と $\sum_{n\in\mathbb{N}}x_n$ ） ===
$\sum_{n\in\mathbb{N}}x_n$ が収束するならば $\sum_{n=1}^{\infty}x_n$ は $\sum_{n\in\mathbb{N}}x_n$ に収束する。しかし逆は一般に成り立たない。

=== 命題5.3（総和が収束するならば可算個を除いて $0$ ） ===
$\sum_{j\in J}x_j$ が収束するならば、$\{j\in J:x_j\neq 0\}$ は可算集合である。
{{begin |proof }}
任意の $\epsilon\in(0,\infty)$ に対し $J_{\epsilon}=\{j\in J:\lVert x_j\rVert\geq\epsilon\}$ とおくと、
$$
\{j\in J:x_j\neq0\}=\bigcup_{n\in\mathbb{N}}J_{\frac{1}{n}}
$$
である。これより任意の $\epsilon\in(0,\infty)$ に対し $J_{\epsilon}$ が有限集合であることを示せばよい。$\sum_{j\in J}x_j$ は収束するので、$F_{\epsilon}\in \mathcal{F}_J$ が存在し $F\supset F_{\epsilon}$ なる任意の $F\in \mathcal{F}_J$ に対し、
$$
\left\lVert \sum_{j\in F}x_j-\sum_{j\in F_{\epsilon}}x_j\right\rVert<\epsilon
$$
となる。よって任意の $j\in J\backslash F_{\epsilon}$ に対し $\lVert x_j\rVert<\epsilon$ であるから、$J_{\epsilon}\subset F_{\epsilon}$ である。ゆえに $J_{\epsilon}$ は有限集合である。
{{end |proof | }}

=== 定義5.4（非負数の総和） ===
$J$ を空でない集合とし、各 $j\in J$ に対し $x_j\in [0,\infty]$ が与えられているとする。$J$ の有限部分集合全体 $\mathcal{F}_J$ に対し、
$$
\sum_{j\in J}x_j=\sup_{F\in \mathcal{F_J}}\sum_{j\in F}x_j\in [0,\infty]
$$
と定義する。$\mathbb{R}$ の上に有界な単調増加ネットは上限に収束するから、この定義は $x_j\in [0,\infty)$ $(\forall j\in J)$ で $\sum_{j\in J}x_j$ が収束する場合と矛盾しない。

=== 定義5.5（総和の絶対収束） ===
$X$ をノルム空間、$J$ を集合とし、各 $j\in J$ に対し $x_j\in X$ が与えられているとする。$\sum_{j\in J}\lVert x_j\rVert<\infty$ が成り立つとき $\sum_{j\in J}x_j$ は絶対収束すると言う。

=== 命題5.6（Banach空間における総和について絶対収束 $\Rightarrow$ 収束） ===
$X$をBanach空間、$J$を集合とし、各 $j\in J$ に対し $x_j\in X$ が与えられているとする。そして $\sum_{j\in J}x_j$ が絶対収束するとする。このとき $\sum_{j\in J}x_j$ は収束する。
{{begin |proof }}
$J_0=\{j\in J:x_j\neq0\}$ とおく。'''命題5.3'''より $J_0$ は可算集合である。もし $J_0$ が有限集合ならば明らかに $\sum_{j\in J}x_j$ は $\sum_{j\in J_0}x_j$ に収束する。そこで $J_0$ は可算無限集合であるとし $\mathbb{N}\ni n\mapsto j_n\in J_0$ を全単射とする。
$$
\sum_{n=1}^{\infty}\lVert x_{j_n}\rVert=\sum_{n\in \mathbb{N}}\lVert x_{j_n}\rVert=\sum_{j\in J_0}\lVert x_j\rVert=\sum_{j\in J}\lVert x_j\rVert<\infty
$$
であり、$N>M$ なる任意の $N,M\in \mathbb{N}$ に対し、
$$
\left\lVert\sum_{n=1}^{N}x_{j_n}-\sum_{n=1}^{M}x_{j_n}\right\rVert
\leq \sum_{n=M+1}^{N}\lVert x_{j_n}\rVert
=\sum_{n=1}^{N}\lVert x_{j_n}\rVert-\sum_{n=1}^{M}\lVert x_{j_n}\rVert
$$
であるから $X$ の完備性より$\sum_{n=1}^{\infty}x_{j_n}$ は収束する。任意の $\epsilon\in(0,\infty)$ に対し $N\in \mathbb{N}$ で、
$$
\left\lVert \sum_{n=1}^{\infty}x_{j_n}-\sum_{n=1}^{N}x_{j_n}\right\rVert<\frac{\epsilon}{2},\quad \sum_{n\geq N+1}\lVert x_{j_n}\rVert<\frac{\epsilon}{2}
$$
なるものを取ると、$F\supset \{j_1,\ldots,j_N\}$ なる任意の $F\in \mathcal{F}_J$に対し,
$$
\left\lVert \sum_{n=1}^{\infty}x_{j_n}-\sum_{j\in F}x_j\right\rVert
\leq \lVert \sum_{n=1}^{\infty}x_{j_n}-\sum_{n=1}^{N}x_{j_n}\rVert+\sum_{n\geq N+1}\lVert x_{j_n}\rVert<\epsilon
$$
となるので $\sum_{j\in J}x_j$ は $\sum_{n=1}^{\infty}x_{j_n}$ に収束する。
{{end |proof | }}

== 6. 内積、Hilbert空間、直交分解、Rieszの定理 ==

=== 定義6.1（内積、内積空間、Hilbert空間） ===
$\mathcal{H}$ を $\mathbb{F}$ 上の線形空間とする。
$$
(\cdot\mid \cdot)\colon\mathcal{H}\times \mathcal{H}\ni (u,v)\mapsto (u\mid v)\in \mathbb{F}
$$
が $\mathcal{H}$ 上の内積であるとは次が成り立つことを言う。

*$(1)$　任意の $u\in\mathcal{H}$ に対し $\mathcal{H}\ni v\mapsto (u\mid v)\in \mathbb{F}$ は線形汎関数。
*$(2)$　任意の $u,v\in \mathcal{H}$ に対し $\overline{(u\mid v)}=(v\mid u)$.
*$(3)$　任意の $v\in \mathcal{H}$ に対し $(v\mid v)\geq0$.
*$(4)$　$(v\mid v)=0$ $\Leftrightarrow$ $v=0$. 
内積が備わった $\mathbb{F}$ 上の線形空間を $\mathbb{F}$ 上の内積空間と言う。
$$
\lVert v\rVert:=\sqrt{(v\mid v)}\quad(\forall v\in \mathcal{H})
$$
とおくと、Schwarzの不等式（次の'''命題6.2'''）
$$
\lvert (u\mid v)\rvert\leq \lVert u\rVert \lVert v\rVert\quad(\forall u,v\in\mathcal{H})
$$
が成り立つので、$\mathcal{H}\ni v\mapsto \lVert v\rVert \in [0,\infty)$ は $\mathcal{H}$ 上のノルムである。このノルムを内積から誘導されるノルムと言う。内積空間はこの内積から誘導されるノルムによるノルム空間とみなす。内積空間でBanach空間であるものをHilbert空間と言う。

ユークリッド空間 $\mathbb{R}^N$ は $\mathbb{R}$ 上のHilbert空間、ユニタリ空間 $\mathbb{C}^N$ は $\mathbb{C}$ 上のHilbert空間である。

=== 命題6.2（Schwarzの不等式） ===
$\mathcal{H}$ を内積空間とすると、任意の $u,v\in \mathcal{H}$ に対し、
$$
\lvert(u\mid v)\rvert\leq \lVert u\rVert\lVert v\rVert,\quad
\lVert u+v\rVert\leq \lVert u\rVert+\lVert v\rVert
\quad(\forall u,v\in \mathcal{H})
$$
が成り立つ。
{{begin |proof }}
$v=0$ ならば自明であるので $v\neq0$ とする。任意の $\alpha\in \mathbb{F}$ に対し、
$$
0\leq (u-\alpha v\mid u-\alpha v)=\lVert u\rVert^2-\overline{\alpha(u\mid v)}-\alpha(u\mid v)+\lvert\alpha\rvert^2\lVert v\rVert^2
$$
であるから、
$$
\alpha\colon=\frac{(v\mid u)}{\lVert v\rVert^2}
$$
とおけば、
$$
0\leq \lVert u\rVert^2-\frac{\lvert (u\mid v)\rvert^2}{\lVert v\rVert^2}
$$
を得る。よって $\lvert (u\mid v)\rvert\leq \lVert u\rVert\lVert v\rVert$ が成り立つ。そしてこれより、
$$
\lVert u+v\rVert^2=(u+v\mid u+v)=\lVert u\rVert^2+2\text{Re}(u\mid v)+\lVert v\rVert^2\leq \lVert u\rVert^2+2\lVert u\rVert\lVert v\rVert+\lVert v\rVert^2
=(\lVert u\rVert+\lVert v\rVert)^2
$$
であるから $\lVert u+v\rVert\leq \lVert u\rVert+\lVert v\rVert$ が成り立つ。
{{end |proof | }}

=== 定義6.3（反線形写像） ===
$V,W$ を $\mathbb{F}$ 上の線形空間とする。$T\colon V\rightarrow W$ が反線形写像であるとは、
$$
T(u+v)=Tu+Tv,\quad T\alpha v=\overline{\alpha}Tv\quad(\forall u,v\in V,\forall \alpha\in \mathbb{F})
$$
が成り立つことを言う。$\mathbb{F}=\mathbb{R}$ の場合、反線形写像は線形写像である。

=== 定義6.4（準双線形写像（汎関数）） ===

$U,V,W$ を $\mathbb{F}$ 上の線形空間とする。
$$
\Phi\colon U\times V\ni (u,v)\mapsto \Phi(u,v)\in W
$$
が準双線形写像であるとは、任意の $u\in U$ に対し $V\ni v\mapsto \Phi(u,v)\in W$ が線形写像であり、任意の $v\in V$ に対し $U\ni u\mapsto \Phi(u,v)\in W$ が反線形写像であることを言う。$W=\mathbb{F}$ である場合は準双線形汎関数と言う。

=== 定義6.5（有界（準）双線形写像） ===
$U,V,W$ を $\mathbb{F}$ 上のノルム空間とする。（準）双線形写像 $\Phi\colon U\times V\rightarrow W$ に対し、
$$
\lVert \Phi\rVert\colon=\sup\{\lVert \Phi(u,v)\rVert:\lVert u\rVert\leq1,\lVert v\rVert\leq1\}
$$
とおく。$\lVert \Phi\rVert<\infty$ であるとき $\Phi$ は有界であると言い、$\lVert\Phi\rVert$ を $\Phi$ のノルムと言う。
$$
\lVert \Phi(u,v)\rVert\leq \lVert \Phi\rVert\lVert u\rVert\lVert v\rVert\quad(\forall u\in U,\forall v\in V)
$$
であるから有界（準）双線形写像 $\Phi\colon U\times V\rightarrow W$ は直積位相に関して連続である。

=== 注意6.6（内積はノルムが $1$ 以下の有界準双線形汎関数） ===
Schwarzの不等式より内積 $\mathcal{H}\times\mathcal{H}\ni (u,v)\mapsto (u\mid v)\in \mathbb{F}$ はノルムが $1$ 以下の有界準双線形汎関数である。上で述べているように内積は直積位相で連続である。

=== 定義6.7（直交、直交補空間） ===
$\mathcal{H}$ を内積空間とする。$u,v\in \mathcal{H}$ に対し $(u\mid v)=0$ が成り立つとき $u$ と $v$ は互いに直交すると言う。また $E,F\subset \mathcal{H}$ に対し $(u\mid v)=0$ $(\forall u\in E,\forall v\in F)$ が成り立つとき $E,F$ は互いに直交すると言う。$E\subset \mathcal{H}$ に対し、
$$
E^{\perp}\colon=\{v\in \mathcal{H}:\forall u\in E, (u\mid v)=0\}
$$
を $E$ の直交補空間と言う。内積の連続性より $E^{\perp}\subset \mathcal{H}$ は閉部分空間であり、$E^{\perp}=(\overline{E})^{\perp}$ である。

=== 注意6.8（中線定理） ===
$\mathcal{H}$ を内積空間とする。任意の $u,v\in \mathcal{H}$ に対し、
$$
\lVert u+v\rVert^2+\lVert u-v\rVert^2=2(\lVert u\rVert^2+\lVert v\rVert^2)
$$
が成り立つ。

=== 補題6.9（Hilbert空間の閉凸集合と最適近似） ===
$\mathcal{H}$ をHilbert空間、$C\subset \mathcal{H}$ を閉凸集合とする。このとき任意の $u\in \mathcal{H}$ に対し、
$$
\lVert u-v_0\rVert=d(u,C)
$$
を満たす $v_0\in C$ が唯一つ存在する。ただし $d(u,C)$ は $u$ と $C$ の距離、すなわち、
$$
d(u,C)=\inf\{\lVert u-v\rVert:v\in C\}
$$
である。
{{begin |proof }}
下限の定義より $C$ の列 $(v_n)_{n\in \mathbb{N}}$ で、
$$
d(u,C)=\lim_{n\rightarrow\infty}\lVert u-v_n\rVert
$$
を満たすものが取れる。中線定理より任意の $n,m\in \mathbb{N}$ に対し、
$$
\lVert (u-v_n)+(u-v_m)\rVert^2+\lVert v_n-v_m\rVert^2
=2(\lVert u-v_n\rVert^2+\lVert u-v_m\rVert^2)
$$
であり、$C$ が凸集合であることから、
$$
\lVert (u-v_n)+(u-v_m)\rVert^2
=4\left\lVert u-\frac{1}{2}(v_n+v_m)\right\rVert^2\geq 4d(u,C)^2
$$
であるので、
$$
\lVert v_n-v_m\rVert^2\leq 2\{(\lVert u-v_n\rVert^2-d(u,C)^2)+(\lVert u-v_m\rVert^2-d(u,C)^2)\}
$$
である。よって $(v_n)_{n\in \mathbb{N}}$ はCauchy列である。$\mathcal{H}$ はHilbert空間であり $C$ は閉であるから $(v_n)_{n\in \mathbb{N}}$ はある $v_0\in C$ に収束し、
$$
\lVert u-v_0\rVert=\lim_{n\rightarrow\infty}\lVert u-v_n\rVert=d(u,C)
$$
である。もし $v_0'\in C$ も $\lVert u-v_0'\rVert=d(u,C)$ を満たすならば、中線定理より、
$$
\begin{aligned}
4d(u,C)^2&=\lVert (u-v_0)+(u-v_0')\rVert^2+\lVert v_0-v_0'\rVert^2\\
&=4\left\lVert u-\frac{1}{2}(v_0+v_0')\right\rVert^2+\lVert v_0-v_0'\rVert^2\\
&\geq 4d(u,C)^2+\lVert v_0-v_0'\rVert^2
\end{aligned}
$$
である。よって $\lVert v_0-v_0'\rVert=0$ であるから $v_0=v_0'$ である。
{{end |proof | }}

=== 注意6.10（互いに直交する部分空間の和は直和） ===
$\mathcal{H}$ を内積空間、$M,N\subset \mathcal{H}$ を互いに直交する部分空間とする。このとき任意の $v\in M\cap N$ に対し $\lVert v\rvert^2=(v\mid v)=0$ であるので $M\cap N=\{0\}$ である。よって和空間 $M+N=\{u+v:u\in M,v\in N\}$ は直和 $M\oplus N$ である。

=== 定理6.11（Hilbert空間の直交分解） ===
$\mathcal{H}$ をHilbert空間、$M\subset \mathcal{H}$ を閉部分空間とする。このとき、
$$
\mathcal{H}=M\oplus M^{\perp}
$$
が成り立つ。
{{begin |proof }}
任意の $v\in \mathcal{H}$ に対し'''補題6.9'''より $\lVert v-v_1\rVert=d(v,M)$ なる $v_1\in M$ が一意存在する。$v_2\colon=v-v_1$ とおき、$v_2\in M^{\perp}$ が成り立つことを示せばよい。任意の $u\in M$ と任意の $\epsilon\in(0,\infty)$ に対し、
$$
\lVert v_2\mp\epsilon u\rVert=\lVert v-(v_1\pm \epsilon u)\rVert
\geq d(v,M)=\lVert v_2\rVert
$$
であるから、
$$
\lVert v_2\rVert^2\leq \lVert v_2\rVert^2\mp 2\epsilon\text{Re}(v_2\mid u)+\epsilon^2\lVert u\rVert^2
$$
である。したがって、
$$
\pm2\text{Re}(v_2\mid u)\leq\epsilon\lVert u\rVert^2\quad(\forall u\in M,\forall \epsilon\in (0,\infty))
$$
が成り立つ。よって $u\in M$ と $\epsilon\in(0,\infty)$ の任意性より、
$$
{\rm Re}(v_2\mid u)=0\quad(\forall u\in M)
$$
である。$\mathcal{H}$ が $\mathbb{C}$ 上のHilbert空間の場合は、
$$
{\rm Im}(v_2\mid u)=-{\rm Re}(v_2\mid iu)=0\quad(\forall u\in M)
$$
である。よって $v_2\in M^{\perp}$ である。
{{end |proof | }}

=== 命題6.12（Hilbert空間の部分空間の閉包は第二直交補空間） ===
Hilbert空間 $\mathcal{H}$ の部分空間 $M$ に対し、
$$
M^{\perp\perp}=\overline{M}
$$
が成り立つ。
{{begin |proof}}
$(M)^{\perp}=(\overline{M})^{\perp}$ であるから、$M$ は閉部分空間であるとして示せば十分である。$M\subset M^{\perp\perp}$ は自明である。逆の包含関係を示す。任意の $v\in M^{\perp\perp}$ に対し'''定理6.11'''より、
$$
v=v_1+v_2,\quad v_1\in M,\quad v_2\in M^{\perp}
$$
と表され、$v_1\in M\subset M^{\perp\perp}$ より、
$$
v_2=v-v_1\in M^{\perp}\cap M^{\perp\perp}=\{0\}
$$
である。よって $v=v_1\in M$ である。
{{end |proof | }}

=== 定理6.13（Rieszの定理） ===
Hilbert空間 $\mathcal{H}$ に対し、
$$
\mathcal{H}\ni v\mapsto (v\mid \cdot)\in \mathcal{H}^*
$$
はノルムを保存する全単射反線形写像である。
{{begin |proof}}
内積の定義より反線形写像であり、Schwarzの不等式より任意の $v\in \mathcal{H}$ に対し $\lVert (v\mid \cdot)\rVert\leq\lVert v\rVert$ である。また、
$$
\lVert v\rVert^2=(v\mid v)\leq \lVert (v\mid\cdot)\rVert\lVert v\rVert
$$
であるから $\lVert (v\mid \cdot)\rVert=\lVert v\rVert$ である。後は全射であることを示せばよい。任意の $\varphi\in \mathcal{H}^*$ を取る。$\varphi=0$ ならば $\varphi=(0\mid\cdot)$ であるから $\varphi\neq0$ とする。このとき閉部分空間 $\text{Ker}(\varphi)$（閉であることは $\varphi$ の連続性による）に対し、$\text{Ker}(\varphi)\neq\mathcal{H}$ であるから、'''定理6.11'''より、$v_0\in (\text{Ker}(\varphi))^{\perp}$ で $\varphi(v_0)\neq0$ なるものが取れる。線形性より $\varphi(v_0)=1$ としてよい。このとき任意の $v\in \mathcal{H}$ に対し $v-\varphi(v)v_0\in \text{Ker}(\varphi)$ であるから、
$$
0=(v_0\mid v-\varphi(v)v_0)=(v_0\mid v)-\lVert v_0\rVert^2\varphi(v)
$$
である。よって $\varphi=(\lVert v_0\rVert^{-2}v_o\mid \cdot)$ であるから、全射である。
{{end |proof | }}

== 7. Hilbert空間上の有界線形作用素の共役作用素 ==

===定理7.1（Hilbert空間上の有界準双線形汎関数に対応する有界線形作用素）===
$\mathcal{H},\mathcal{K}$ を $\mathbb{F}$ 上のHilbert空間とし、$\Phi\colon\mathcal{H}\times \mathcal{K}\rightarrow\mathbb{F}$ を有界準双線形汎関数とする。このとき、
$$
\Phi(u,v)=(u\mid Tv)\quad(\forall u\in \mathcal{H}, \forall v\in \mathcal{K})
$$
を満たす $T\in \mathbb{B}(\mathcal{K},\mathcal{H})$ が唯一つ存在する。そして $\lVert \Phi\rVert=\lVert T\rVert$ が成り立つ。
{{begin |proof }}
一意性を示す。$T_1,T_2\in \mathbb{B}(\mathcal{K},\mathcal{H})$ が、
$$
(u\mid T_1v)=\Phi(u,v)=(u\mid T_2v)\quad(\forall u\in \mathcal{H},\forall v\in \mathcal{K})
$$
を満たすとすると、
$$
(u\mid T_1v-T_2v)=0\quad(\forall u\in \mathcal{H},\forall v\in \mathcal{K})
$$
である。よって $T_1v-T_2v=0$ $(\forall v\in \mathcal{K})$ であるから $T_1=T_2$ である。これで一意性が示せた。 
存在を示す。任意の $v\in \mathcal{K}$ に対し $\overline{\Phi(\cdot,v)}\in \mathcal{H}^*$ であるから、Rieszの定理より、$Tv\in \mathcal{H}$ で、
$$
\Phi(u,v)=(u\mid Tv)\quad(\forall u\in \mathcal{H})
$$
を満たすものが一意的に定まる。こうして $T\colon\mathcal{K}\rightarrow\mathcal{H}$ で、
$$
\Phi(u,v)=(u\mid Tv)\quad(\forall u\in \mathcal{H})
$$
なるものが定義できる。このとき $\Phi$ と内積の準双線形性より、
$$
(u\mid T(v_1+v_2))=\Phi(u,v_1+v_2)=\Phi(u,v_1)+\Phi(u,v_2)=(u\mid Tv_1+Tv_2)\quad(\forall u\in \mathcal{H},\forall v_1,v_2\in \mathcal{K}),
$$
$$
(u\mid T\alpha v)=\Phi(u,\alpha v)=\alpha\Phi(u,v)=\alpha(u\mid Tv)=(u\mid \alpha Tv)\quad(\forall u\in \mathcal{H},\forall v\in \mathcal{K},\forall \alpha\in \mathbb{F})
$$
であるから、$T\colon\mathcal{K}\rightarrow\mathcal{H}$ は線形写像であり、
$$
\lVert Tv\rVert^2=(Tv\mid Tv)=\Phi(Tv,v)\leq \lVert \Phi\rVert\lVert Tv\rVert\lVert v\rVert\quad(\forall v\in \mathcal{K})
$$
であるから、$T\in\mathbb{B}(\mathcal{K},\mathcal{H})$、$\lVert T\rVert\leq \lVert \Phi\rVert$ である。またSchwarzの不等式より、
$$
\lvert\Phi(u,v)\rvert=\lvert(u\mid Tv)\rvert\leq \lVert u\rVert\lVert Tv\rVert\leq \lVert T\rVert\lVert u\rVert\lVert v\rVert\quad(\forall u\in \mathcal{H},\forall v\in \mathcal{K})
$$
であるから、$\lVert\Phi\rVert\leq \lVert T\rVert$ である。
{{end |proof | }}

=== 命題7.2　 ===
$\mathcal{H},\mathcal{K}$ を $\mathbb{F}$ 上のHilbert空間とし、$T\in \mathbb{B}(\mathcal{H},\mathcal{K})$ とする。このとき準双線形汎関数
$$
\Phi\colon\mathcal{H}\times \mathcal{K}\ni (u,v)\mapsto (Tu\mid v)\in \mathbb{K}
$$
は有界であり、そのノルムは $\lVert T\rVert$ である。
{{begin |proof}}
Schwarzの不等式より、
$$
\lvert\Phi(u,v)\rvert=\lvert (Tu\mid v)\rvert\leq \lVert Tu\rVert\lVert v\rVert\leq \lVert T\rVert\lVert u\rVert\lVert v\rVert\quad(\forall u\in \mathcal{H},\forall v\in \mathcal{K})
$$
であるから $\Phi$ は有界であり、$\lVert \Phi\rVert\leq \lVert T\rVert$ が成り立つ。また、
$$
\lVert Tu\rVert^2=\Phi(u,Tu)\leq \lVert \Phi\rVert\lVert u\rVert\lVert Tu\rVert
\leq \lVert \Phi\rVert\lVert T\rVert\lVert u\rVert^2\quad(\forall u\in \mathcal{H})
$$
であるから $\lVert T\rVert^2\leq \lVert \Phi\rVert\lVert T\rVert$、よって $\lVert T\rVert\leq \lVert\Phi\rVert$ である。
{{end|proof}}

=== 定義7.3（Hilbert空間上の有界線形作用素の共役作用素） ===
$\mathcal{H},\mathcal{K}$ を $\mathbb{F}$ 上のHilbert空間とし、$T\in \mathbb{B}(\mathcal{H},\mathcal{K})$ とする。このとき'''定理7.1'''と'''命題7.2'''より、 $T^*\in \mathcal{B}(\mathcal{K},\mathcal{H})$ で、
$$
(Tu\mid v)=(u\mid T^*v)\quad(\forall u\in \mathcal{H},\forall v\in \mathcal{K})
$$
を満たすものが唯一つ存在し、$\lVert T\rVert=\lVert T^*\rVert$ である。$T^*$ を $T$ の共役作用素と言う。

=== 命題7.4（共役作用素の基本性質） ===
$\mathcal{H},\mathcal{K},\mathcal{L}$ を $\mathbb{F}$ 上のHilbert空間とする。次が成り立つ。
*$(1)$　任意の $S,T\in \mathbb{B}(\mathcal{H},\mathcal{K})$ に対し $(S+T)^*=S^*+T^*$.
*$(2)$　任意の $T\in \mathbb{B}(\mathcal{H},\mathcal{K})$ と任意の $\alpha\in\mathbb{F}$ に対し $(\alpha T)^*=\overline{\alpha}T^*$.
*$(3)$　任意の $T\in \mathbb{B}(\mathcal{H},\mathcal{K})$、$S\in \mathbb{B}(\mathcal{K},\mathcal{L})$ に対し $(ST)^*=T^*S^*$ (ただし $ST$ は $S$ と $T$ の合成である)。
*$(4)$　任意の $T\in \mathbb{B}(\mathcal{H},\mathcal{K})$ に対し $T^{**}=T$.
*$(5)$　任意の $T\in \mathbb{B}(\mathcal{H},\mathcal{K})$ に対し $\lVert T^*T\rVert=\lVert T\rVert^2$.
*$(6)$　任意の $T\in \mathbb{B}(\mathcal{H},\mathcal{K})$ に対し $({\rm Ran}(T))^{\perp}={\rm Ker}(T^*)$.
{{begin |proof}}
$(1)\sim(4),(6)$ は共役作用素の定義より容易に確かめられる。$(5)$ は、
$$
\lVert Tv\rVert^2=(Tv\mid Tv)=(v\mid T^*Tv)\leq \lVert v\rVert\lVert T^*Tv\rVert\leq \lVert T^*T\rVert\lVert v\rVert^2\quad(\forall v\in \mathcal{H})
$$
より $\lVert T\rVert^2\leq \lVert T^*T\rVert\leq \lVert T^*\rVert\lVert T\rVert=\lVert T\rVert^2$ であるから成り立つ。
{{end |proof | }}

=== 系7.5（Hilbert空間 $\mathcal{H}$ に対し $\mathbb{B}(\mathcal{H})$ は $C^*$ -環） ===
$\mathbb{F}$ 上のHilbert空間 $\mathcal{H}$ に対しBanach環 $\mathbb{B}(\mathcal{H})$ は、$\mathbb{B}(\mathcal{H})\ni T\mapsto T^*\in \mathbb{B}(\mathcal{H})$ を対合として $\mathbb{F}$ 上の $C^*$-環である。

== Hilbert空間のCONS ==

Hilbert空間のCONSについては、[[測度と積分6：数え上げ測度と $\ell^p$ 空間]]を参照されたい。

== $\ell^p$ 直和Banach空間、直和Hilbert空間 ==

$\ell^p$ 直和Banach空間、直和Hilbert空間については、[[測度と積分6：数え上げ測度と $\ell^p$ 空間]]を参照されたい。

== 次のページ ==
* [[位相線形空間2：セミノルム位相と汎弱位相]]

== 関連項目 ==
* [[入門テキスト「位相線形空間」]]
* [[速習コース「位相空間論の基礎事項」]]
* [[ネットによる位相空間論]]
* [[距離空間の位相の基本的性質]]
* [[入門テキスト「測度と積分」]]
* [[Hilbert空間上の作用素論]]

速習「線形空間論」

2025-03-21T03:30:12Z

Kataoka: /* 定義4.1（線形包、線形結合） */

本稿においては関数解析やベクトル解析のために最低限必要と思われる線形空間論について述べる。以下の議論において体 $\mathbb{F}$ としては基本的に $\mathbb{R}$ か $\mathbb{C}$ が念頭にある。また、$\mathbb{N}=\{1,2,3,\ldots\}$ とする。

== 1. 線形空間、多元環、$*$-環、行列化 ==

=== 定義1.1（線形空間） ===
$\mathbb{F}$ を体とする。空でない集合 $V$ に加法とスカラー倍と呼ばれる演算
*'''加法'''　$V\times V\ni (u,v)\mapsto u+v\in V$,

*'''スカラー倍'''　$\mathbb{F}\times V\ni (\alpha, v)\mapsto \alpha v\in V$

が定義されており、加法に関して加法群をなし、
*$(1)$　任意の $v\in V$ に対し $1v=v$.
*$(2)$　任意の $\alpha,\beta\in\mathbb{F}$ と任意の $v\in V$ に対し $(\alpha\beta)v=\alpha(\beta v)$.
*$(3)$　任意の$\alpha,\beta\in \mathbb{F}$ と任意の $v\in V$ に対し $(\alpha+\beta)v=\alpha v+\beta v$.
*$(4)$　任意の $\alpha\in \mathbb{F}$ と任意の $u,v\in V$ に対し $\alpha(u+v)=\alpha u+\alpha v$.
が成り立つとする。このとき $V$ を $\mathbb{F}$ 上の線形空間と言う。

=== 命題1.2 ===
$V$ を体 $\mathbb{F}$ 上の線型空間とする。
*$(1)$　任意の $v\in V$ に対し $0v=0$であり、任意の $\alpha\in \mathbb{F}$ に対し $\alpha 0=0$.
*$(2)$　$\alpha\in \mathbb{F}$、$v\in V$ が $\alpha v=0$ を満たすならば $\alpha=0$ か $v=0$ である。
{{begin|proof}}
*$(1)$　$v=(1+0)v=v+0v$ より $0v=0$ である。$\alpha 0=\alpha(0+0)=\alpha 0+\alpha 0$ より $\alpha 0=0$ である。
*$(2)$　$\alpha\neq0$ ならば $0=\alpha^{-1}0=\alpha^{-1}(\alpha v)=(\alpha^{-1}\alpha )v=1v=v$ である。
{{end|proof|}}

=== 例1.3　 ===
ユークリッド空間 $\mathbb{R}^n$ は $\mathbb{R}$ 上の線形空間、ユニタリ空間 $\mathbb{C}^n$ は $\mathbb{C}$ 上の線形空間である。

=== 定義1.4（多元環） ===
$V$を体 $\mathbb{F}$ 上の線形空間とする。$V$ に加法とスカラー倍に加えて、
*'''乗法'''　$V\times V\ni (u,v)\mapsto uv\in V$
が定義されており、加法と乗法に関して環をなし、
$$
\alpha(uv)=(\alpha u)v=u(\alpha v)\quad(\forall \alpha\in \mathbb{F},\forall u,v\in V)
$$
が成り立つとき $V$ を $\mathbb{F}$ 上の多元環と言う。

=== 定義1.5（$*$-環） ===
$\mathbb{F}$ を $\mathbb{R}$ か $\mathbb{C}$ とし、$V$ を $\mathbb{F}$ 上の多元環とする。$V$ に加法、スカラー倍、乗法に加えて対合と呼ばれる演算
*'''対合'''　$V\ni v\mapsto v^*\in V$
が定義されており、
*$(1)$　任意の$u,v\in V$ に対し $(u+v)^*=u^*+v^*$.
*$(2)$　任意の$\alpha\in \mathbb{F}$、$v\in V$ に対し $(\alpha v)^*=\overline{\alpha}v^*$.
*$(3)$　任意の $u,v\in V$ に対し $(uv)^*=v^*u^*$.
*$(4)$　任意の$v\in V$ に対し $v^{**}=v$.
が成り立つとき $V$ を $\mathbb{F}$ 上の $*$-環と言う。

=== 定義1.6（各点ごとの演算） ===
$J$ を空でない集合とし、各 $j\in J$ に対し $\mathbb{F}$ 上の線形空間（多元環、$*$-環）$V_j$ が与えられているとする。このとき直積 $\prod_{j\in J}V_j$ は各成分ごとの演算
*'''加法'''　$(u_j)_{j\in J}+(v_j)_{j\in J}=(u_j+v_j)_{j\in J}$.
*'''スカラー倍'''　$\alpha (v_j)_{j\in J}=(\alpha v_j)_{j\in J}$.
*'''乗法'''　$(u_j)_{j\in J}(v_j)_{j\in J}=(u_jv_j)_{j\in J}$.（各 $V_j$ が多元環である場合。）.
*'''対合'''　$(v_j)_{j\in J}^*=(v_j^*)_{j\in J}$.（$\mathbb{F}$ が $\mathbb{R}$ か $\mathbb{C}$ で各 $V_j$ が $\mathbb{F}$ 上の $*$-環である場合。）
により $\mathbb{F}$ 上の線形空間（多元環、$*$-環）である。

=== 定義1.7（行列化） ===
$V$ を $\mathbb{F}$ 上の線形空間とする。$m,n\in\mathbb{N}$ に対し $V$ の元を成分とする $m\times n$ 行列全体 $\mathbb{M}_{m\times n}(V)$ は各成分ごとの演算により $\mathbb{F}$ 上の線形空間である. 
$V$ を $\mathbb{F}$ 上の多元環とする。$\ell,m,n\in \mathbb{N}$ とし、任意の $u=(u_{i,j})_{i,j}\in \mathbb{M}_{\ell\times m}(V)$ と $v=(v_{i,j})_{i,j}\in \mathbb{M}_{m\times n}(V)$ に対し、$u,v$ の積
$$
uv\colon=\left(\sum_{k=1}^{m}u_{i,k}v_{k,j}\right)_{i,j}\in \mathbb{M}_{\ell\times n}(V)
$$
を定義する。このとき任意の $\alpha\in \mathbb{F}$、$u,u_1,u_2\in \mathbb{M}_{\ell\times m}(V)$、$v,v_1,v_2\in \mathbb{M}_{m\times n}(V)$ に対し、
$$
\alpha(uv)=(\alpha u)v=u(\alpha v),\quad
u(v+w)=uv+uw,\quad (u+v)w=uw+vw
$$
である。よって特に任意の $n\in \mathbb{N}$ に対し、$V$ の元を成分とする $n\times n$ 行列全体 $\mathbb{M}_{n\times n}(V)$ は、
$$
\mathbb{M}_{n\times n}(V)\times \mathbb{M}_{n\times n}(V)\ni (u,v)\mapsto uv\in \mathbb{M}_{n\times n}(V)
$$
を乗法として多元環をなす。もし $V$ が単位元 $1$ を持つならば、
$$
\delta_{i,j}\colon=\left\{\begin{array}{ll}1&(i=j)\\0&(i\neq j)\end{array}\right.\quad(i,j\in \{1,\ldots,N\})
$$
に対し $(\delta_{i,j})_{i,j}$ は$\mathbb{M}_{n\times n}(V)$の単位元である。$\mathbb{F}$ を $\mathbb{R}$ または $\mathbb{C}$ とし、$V$ を $\mathbb{F}$ 上の *-環とする。$m,n\in \mathbb{N}$ とし、任意の $v=(v_{i,j})_{i,j}\in\mathbb{M}_{m\times n}(V)$ に対し、
$$
v^*\colon=(v_{j,i}^*)_{i,j}\in \mathbb{M}_{n\times m}(V)
$$
を定義する。このとき $V$ の元を成分とする行列 $u,v$ と $\alpha\in\mathbb{F}$ に対し、
$$
(\alpha v)^*=\overline{\alpha}v^*,\quad (uv)^*=v^*u^*,\quad (u+v)^*=u^*+v^*,\quad v^{**}=v
$$
が成り立つ。よって特に任意の $n\in \mathbb{N}$ に対し $V$ の元を成分とする $n\times n$ 行列全体 $\mathbb{M}_{n\times n}(V)$ は、
$$
\mathbb{M}_{n\times n}(V)\ni v\mapsto v^*\in \mathbb{M}_{n\times n}(V)
$$
を対合として $*$-環をなす。

=== 例1.8 ===
$\mathbb{F}$ を $\mathbb{R}$ か $\mathbb{C}$ とすると、
$\mathbb{M}_{n\times n}(\mathbb{F})$ は $\mathbb{F}$ 上の単位的 $*$-環である。

== 2. 部分空間、イデアル ==

=== 定義2.1（部分空間、部分多元環、部分 $*$-環） ===
$V$ を線形空間（resp. 多元環、$*$-環）とする。空でない $M\subset V$ が $V$ の演算で閉じているとき $M$ を $V$ の（線形）部分空間（resp. 部分多元環、部分 $*$-環）と言う。このとき $M$ 自体、$V$ の演算を受け継いで $\mathbb{F}$ 上の線形空間（resp. 多元環、$*$-環）である。

=== 定義2.2（イデアル、$*$-イデアル） ===
$V$を多元環（resp. $*$-環）とする。空でない $I\subset V$ が $V$ の演算で閉じており、さらに任意の $v\in V$ と $u\in I$ に対し $uv, vu\in I$ が成り立つとき $I$ を $V$ のイデアル（resp. $*$-イデアル）と言う。

== 3. 線形写像、準同型写像、$\mathbb{L}(V,W)$、$\mathbb{L}(V)$ ==

=== 定義3.1（線形写像、多元環準同型写像、$*$-環準同型写像） ===
$V,W$ を体 $\mathbb{F}$ 上の線形空間とする。写像 $T\colon V\rightarrow W$ が線形写像であるとは、
$$
T(v_1+v_2)=Tv_1+Tv_2,\quad T(\alpha v)=\alpha Tv\quad(\forall v,v_1,v_2\in V,\forall \alpha\in \mathbb{F})
$$
が成り立つこと（つまり加法とスカラー倍を保存すること）を言う。 
$V,W$ を多元環とする。写像 $T\colon V\rightarrow W$ が多元環準同型写像であるとは線形写像であって、
$$
T(v_1v_2)=Tv_1Tv_2\quad(\forall v_1,v_2\in V)
$$
が成り立つこと（つまり乗法を保存すること）を言う。 
$V,W$ を $*$-環とする。写像 $T\colon V\rightarrow W$ が $*$-環準同型写像であるとは多元環準同型写像であって、
$$
Tv^*=(Tv)^*\quad(\forall v\in V)
$$
が成り立つこと（つまり対合を保存すること）を言う。

=== 定義3.2（準同型写像、同型写像） ===
一般に同じ代数構造（群、環、体、線形空間、多元環、$*$-環など）を持つ空間 $V,W$ に対し、写像 $T\colon V\rightarrow W$ がその演算を保存する場合、$T$ を準同型写像と言う。準同型写像 $T\colon V\rightarrow W$ が全単射である場合、$T$ を同型写像と言う。

線形写像は線形空間の準同型写像である。

=== 定義3.3（線形写像の核と値域） ===
$V,W$ を $\mathbb{F}$ 上の線形空間、$T\colon V\rightarrow W$ を線形写像とする。
$$
\text{Ker}(T)\colon=\{v\in V:Tv=0\}
$$
とおき、これを $T$ の核と言う。また $T$ の値域は、
$$
\text{Ran}(T)=T(V)=\{Tv:v\in V\}
$$
と表すことがある（${\rm Im}(T)$ と表すこともある）。$\text{Ker}(T)$ は $V$ の部分空間、$\text{Ran}(T)$ は $W$ の部分空間である。$V,W$ を多元環（resp. $*$-環）とし、$T\colon V\rightarrow W$ を多元環準同型写像（resp. $*$-環準同型写像）とすると、$\text{Ker}(T)$ は $V$ のイデアル（resp. $*$-イデアル）であり、$\text{Ran}(T)$ は $W$ の部分多元環（resp. 部分 $*$-環）である。

=== 注意3.4（線形写像の核と単射性） ===
線形写像 $T\colon V\rightarrow W$ に対し、$T$ が単射であることと $\text{Ker}(T)=\{0\}$ であることは同値である。

=== 定義3.5（線形写像全体のなす線形空間 $\mathbb{L}(V,W)$ と多元環 $\mathbb{L}(V)$） ===
$V,W$ を $\mathbb{F}$ 上の線形空間とする。$V\rightarrow W$ の線形写像全体を $\mathbb{L}(V,W)$ と表す。$\mathbb{L}(V,W)$ は各点ごとの演算で $\mathbb{F}$ 上の線形空間をなす。$U,V,W$ を $\mathbb{F}$ 上の線形空間、$T\in \mathbb{L}(U,V)$、$S\in \mathbb{L}(V,W)$ とする。このとき合成写像 $S\circ T$ は $\mathbb{L}(U,W)$ に属する。線形写像の合成 $S\circ T$ は通常、$ST$ と表す。 $\mathbb{L}(V)\colon=\mathbb{L}(V,V)$ と表す。 $\mathbb{L}(V)$ は、
$$
\mathbb{L}(V)\times \mathbb{L}(V)\ni (S,T)\mapsto ST\in \mathbb{L}(V)
$$
を乗法、恒等写像を単位元として単位的多元環をなす。

== 3. 同値関係、商空間 ==

=== 定義3.1（同値関係, 商集合, 商写像） ===
集合 $X$ の二項関係 $\sim$ が $X$ の同値関係であるとは次が成り立つことを言う。
*'''反射律'''　任意の $x\in X$ に対し $x\sim x$.
*'''対称律'''　$x\sim y$ なる任意の $x,y\in X$ に対し $y\sim x$.
*'''推移律'''　$x\sim y$ かつ $y\sim z$ なる任意の $x,y,z\in X$ に対し $x\sim z$.
このとき任意の $x\in X$ に対し、
$$
[x]\colon=\{y\in X:y\sim x\}
$$
を $x$ の同値類と言う。任意の $x,y\in X$ に対し、
$$
[x]\cap [y]\neq \emptyset\quad\iff\quad x\sim y\quad \iff\quad
[x]=[y]
$$
である。$\sim$ に関する同値類全体からなる集合を、
$$
X/\sim\colon=\{[x]:x\in X\}
$$
と表す。これを同値関係 $\sim$ による商集合と言う。$X$ から商集合への全射
$$
X\ni x\mapsto [x]\in X/\sim
$$
を商写像と言う。

=== 定義3.2（商線形空間） ===
$V$ を体 $\mathbb{F}$ 上の線型空間、$M\subset V$ を部分空間とする。任意の $u,v\in V$ に対し、
$$
u\sim v\quad \iff \quad u-v\in M
$$
と定義すると、$\sim$ は $V$ の同値関係である。この同値関係による商集合を、
$$
V/M\colon=V/\sim=\{[v]:v\in V\}
$$
と表す。$V/M$ は、
$$
[u]+[v]\colon=[u+v],\quad \alpha[v]\colon=[\alpha v]\quad(\forall [u],[v]\in V/M, \forall \alpha\in \mathbb{F})
$$
を加法とスカラー倍として線形空間なす。この線形空間 $V/M$ を $M$ を法とする $V$ の商線形空間と言う。

=== 定義3.3（商多元環、商 $*$-環） ===
$V$ を多元環、$I\subset V$ をイデアルとする。商線形空間 $V/I=\{[v]:v\in V\}$ に、
$$
[u][v]\colon=[uv]\quad(\forall [u],[v]\in V/I)
$$
として乗法を定義すれば<ref>$[u_1]=[u_2]$, $[v_1]=[v_2]$ ならば $u_1v_1-u_2v_2=u_1(v_1-v_2)+(u_1-u_2)v_2\in I$ であるから $[u_1v_1]=[u_2v_2]$ である。</ref> $V/I$ は多元環をなす。この多元環 $V/I$ を $I$ を法とする $V$ の商多元環と言う。また $V$ が $*$-環で $I$ が $*$-イデアルならば商多元環 $V/I$ に、
$$
[v]^*\colon=[v^*]\quad(\forall [v]\in V/I)
$$
として対合を定義すれば $V/I$ は $*$-環をなす。この $*$-環 $V/I$ を $I$ を法とする $V$ の商 $*$-環と言う。

=== 注意3.4（商写像は全射準同型写像） ===
商線形空間 $V/M$ に対し商写像 $V\ni v\mapsto [v]\in V/M$ は全射線形写像である。また商多元環（resp. $*$-環）$V/I$ に対し商写像 $V\ni v\mapsto [v]\in V/I$ は全射多元環準同型写像（resp. 全射 $*$-環準同型写像）である。

== 4. 線形独立性、線形空間の次元 ==

=== 定義4.1（線形包、線形結合） ===
$V$ を $\mathbb{F}$ 上の線形空間とする。空でない $D\subset V$ に対し、
$$
\text{span}(D)\colon=\left\{\sum_{j=1}^{n}\alpha_jv_j: n\in \mathbb{N},\text{ }\alpha_1,\ldots,\alpha_n\in\mathbb{F},\text{ }v_1,\ldots,v_n\in D\right\}
$$
とおくと、$\text{span}(D)$ は $D$ を含む $V$ の線形部分空間の中で最小のものである。$\text{span}(D)$ を $D$ の線形包と言う。$v\in \text{span}(D)$ であることを $v$ は $D$ 元の線形結合であると言う。

=== 定義4.2（線形独立性） ===
$V$ を体 $\mathbb{F}$ 上の線形空間とする。
*$(1)$　有限個の $v_1,\ldots,v_n\in V$ が線形独立であるとは、
$$
\mathbb{F}^n\ni (\alpha_1,\ldots,\alpha_n)\mapsto \sum_{j=1}^{n}\alpha_jv_j\in V
$$
が単射であることを言う。
*$(2)$　空でない部分集合 $D\subset V$ が線形独立であることを、互いに異なる任意の有限個の $v_1,\ldots,v_n\in D$ に対し $v_1,\ldots,v_n$ が $(1)$ の意味で線形独立であることとして定義する。
*$(3)$　空でない集合 $J$ に対し、
$$
(v_j)_{j\in J}\colon J\ni j\mapsto v_j\in V
$$
が線形独立であることを、互いに異なる有限個の $j_1,\ldots,j_n\in J$ に対し $v_{j_1},\ldots,v_{j_n}$ が $(1)$ の意味で線形独立であることとして定義する。

=== 命題4.3 ===
$V$ を体 $\mathbb{F}$ 上の線形空間、$D\subset V$ を $D\backslash \{0\}\neq\emptyset$ なるものとする。このとき線形独立な $D_0\subset D$ で、
$$
\text{span}(D)=\text{span}(D_0)
$$
を満たすものが存在する。
{{begin |proof }}
$D\backslash \{0\}$ に含まれる線形独立な部分集合全体は集合の包含関係による順序によって帰納的順序集合である。よってZornの補題より極大なもの $D_0$ が取れる。もし $v\in D\backslash \text{span}(D_0)$ が存在するならば、$D_0\cup\{v\}$ は線形独立であるので $D_0$ の極大性に反する。よって $D\subset \text{span}(D_0)$ なので $\text{span}(D)=\text{span}(D_0)$ である。
{{end|proof|}}

=== 命題4.4 ===
$V$ を体 $\mathbb{F}$ 上の線形空間、$B,C\subset V$ を線形独立な部分集合とし $\text{span}(B)=\text{span}(C)$ が成り立つとする。このとき集合 $B,C$ の濃度は等しい。
{{begin |proof }}
*$(1)$　$B$ が有限集合の場合。$B$ は $n$ 個の元からなるとして $B=\{b_1,\ldots,b_n\}$ とおく。 $C$ が $n+1$ 個の互いに異なる元 $c_1,\ldots,c_{n},c_{n+1}$ を持つと仮定する。このとき $b_1,\ldots,b_n$ の並び替え $b_{k(1)},\ldots,b_{k(n)}$ で、
$$
\begin{aligned}
\text{span}(B)&=\text{span}\{b_{k(1)},\ldots,b_{k(n)}\}=\text{span}\{c_1,b_{k(2)},\ldots,b_{k(n)}\}\\
&=\text{span}\{c_1,c_2,b_{k(3)},\ldots,b_{k(n)}\}=\ldots =\text{span}\{c_1,\ldots,c_n\}
\end{aligned}
$$
なるものが取れ、
$$
c_{n+1}\in \text{span}(C)=\text{span}(B)=\text{span}\{c_1,\ldots,c_n\}
$$
であるので、 $c_1,\ldots,c_n,c_{n+1}$ の線形独立性に矛盾する。よって $C$ の元の個数は $B$ の元の個数以下である。全く対称的な議論により $B$ の元の個数は $C$ の元の個数以下である。
*$(2)$　$B$ が無限集合の場合。$(1)$ より $C$ も無限集合である。
任意の $b\in B$ に対し $b\in \text{span}(C)$ より $b=\text{span}(C_b)$ なる有限集合 $C_b\subset C$ が取れる。$C$ の線形独立性より $C=\bigcup_{b\in B}C_b$ が分かる。よって $B\times \mathbb{N}$ から $C$ への全射が存在する。$B$ は無限集合であるので、$B$ から $B\times \mathbb{N}$ への全単射が存在するので $B$ から $C$ への全射が存在する。全く対称的な議論により $C$ から $B$ への全射も存在する。よってBernsteinの定理より $B,C$ の濃度は等しい。
{{end|proof|}}

=== 定義4.5（線形空間の次元、基底） ===
$V$ を体 $\mathbb{F}$ 上の線型空間とする。$V$ の次元 $\text{dim}(V)\in \{0,1,2,\ldots\}\cup\{\infty\}$ を次のように定義する。 $V=\{0\}$ のとき $\text{dim}(V)=0$ とする。 $V\neq\{0\}$ のとき '''命題4.3'''より線形独立な部分集合 $B\subset V$ で $V=\text{span}(B)$ なるものが取れる。このような $B$ を $V$ の基底と言う。'''命題4.4'''より $V$ の基底の濃度は一意的である。そこで $V$ の基底が $n\in\mathbb{N}$ 個の元からなるとき、$\text{dim}(V)=n$ と定義し、基底が無限集合のとき $\text{dim}(V)=\infty$ と定義する。 $\text{dim}(V)<\infty$ のとき $V$ は有限次元であると言い、$\text{dim}(V)=\infty$ のとき $V$ は無限次元であると言う。

=== 命題4.6（拡張） ===
$V$ を体 $\mathbb{F}$ 上の線形空間、$B_0\subset V$ を線形独立な部分集合とする。このとき $V$ の基底で $B_0$ を含むものが存在する。
{{begin |proof }}
$B_0$ を含む線形独立な部分集合全体に集合の包含関係による順序を入れたものは帰納的順序集合であるので、Zornの補題より極大なもの $B$ が取れる。もし$v\in V\backslash \text{span}(B)$ が存在するならば $B\cup\{v\}$ は線形独立なので $B$ の極大性に矛盾する。よって $V=\text{span}(B)$ である。
{{end|proof|}}

=== 命題4.7 ===
$V$ を体 $\mathbb{F}$ 上の線形空間、 $M\subset V$ を部分空間とする。このとき,
$$
\text{dim}(V)=\text{dim}(M)+\text{dim}(V/M)
$$
が成り立つ。
{{begin |proof }}
$M$ の基底 $B_0$ を取り、 $B_0$ を含む $V$ の基底 $B$ を取る（'''命題4.6'''）。このとき、
$$
B\backslash B_0\ni b\mapsto [b]\in V/M
$$
は単射であり、$\{[b]:b\in B\backslash B_0\}$ は $V/M$ の基底である。よって成り立つ。
{{end|proof}}

=== 命題4.8（次元定理） ===
$V,W$ を体 $\mathbb{F}$ 上の線形空間、$T\colon V\rightarrow W$ を線形写像とする。このとき、
$$
\text{dim}(V)=\text{dim}(\text{Ker}(T))+\text{dim}(\text{Ran}(T))
$$
が成り立つ。
{{begin |proof }}
$$
V/\text{Ker}(T)\ni [v]\mapsto Tv\in \text{Ran}(T)
$$
は明らかに線形同型写像であるから、
$$
\text{dim}(V/\text{Ker}(T))=\text{dim}(\text{Ran}(T))
$$
である。よって'''命題4.7'''より、
$$
\text{dim}(V)=\text{dim}(\text{Ker}(T))+\text{dim}(V/\text{Ker}(T))=\text{dim}(\text{Ker}(T))+\text{dim}(\text{Ran}(T))
$$
である。
{{end|proof|}}

== 5. 置換、行列式、行列表現 ==

=== 定義5.1（置換、対称群） ===
$X$ を空でない集合とする。 $X$ から $X$ 自身へのの全単射を $X$ の置換と言う。$X$ の置換全体は写像の合成を乗法として群をなす。これを $X$ 上の対称群と言う。特に $n\in \mathbb{N}$ に対し $\{1,\ldots,n\}$ 上の対称群を $S_n$ と表し、$n$ 次の対称群と言う。$S_n$ の元を $n$ 次の置換と言う

=== 定義5.2（置換の符号） ===
$n$ 次の置換 $\sigma\in S_n$ に対し、
$$
\{(i,j): i<j,\text{ }\sigma(j)<\sigma(i)\}
$$
の元の個数を $\sigma$ の反転数と言う。そして $\sigma$ の反転数 $k$ に対し、
$$
{\rm sgn}(\sigma)\colon=(-1)^k\in \{-1,1\}
$$
を $\sigma$ の符号と言う。

=== 命題5.3（置換の符号の基本性質） ===
任意の$\sigma,\tau\in S_n$ に対し、
$$
{\rm sgn}(\sigma\tau)={\rm sgn}(\sigma){\rm sgn}(\tau)
$$
が成り立つ。
{{begin |proof }}
$x_1<\ldots<x_n$ なる $x_1,\ldots,x_n\in \mathbb{R}$ を取り、
$$
\Delta\colon=\prod_{1\leq i<j\leq n}(x_j-x_i)
$$
とおく。そして任意の $\sigma\in S_n$ に対し、
$$
\sigma(\Delta)\colon=\prod_{1\leq i<j\leq n}(x_{\sigma(j)}-x_{\sigma(i)})={\rm sgn}(\sigma)\Delta
$$
とおく。このとき任意の $\sigma,\tau\in S_n$ に対し、
$$
{\rm sgn}(\sigma\tau)\Delta=
(\sigma\tau)(\Delta)=\prod_{1\leq i<j\leq n}(x_{\sigma\tau(j)}-x_{\sigma\tau(i)})
={\rm sgn}(\tau)\prod_{1\leq i<j\leq n}(x_{\sigma(j)}-x_{\sigma(i)})={\rm sgn}(\tau){\rm sgn}(\sigma)\Delta
$$
であるから ${\rm sgn}(\sigma\tau)={\rm sgn}(\sigma){\rm sgn}(\tau)$ が成り立つ。
{{end|proof|}}

=== 定義5.4（行列式） ===
$\mathbb{F}$ を体とする。
任意の $A=(a_{i,j})_{i,j}\in \mathbb{M}_{n\times n}(\mathbb{F})$ に対し、
$$
{\rm det}(A):=\sum_{\sigma\in S_n}{\rm sgn}(\sigma)a_{1,\sigma(1)}\ldots a_{n,\sigma(n)}
$$
を $A$ の行列式と言う。

=== 定義5.5（多重線形写像） ===
$V_1,\ldots,V_n,W$ を体 $\mathbb{F}$ 上の線形空間とする。写像 $T\colon V_1\times\ldots\times V_n\rightarrow W$ が各成分ごと線形写像であるとき、$T$ は多重線形写像であることを言う。 $n=2$ の場合の多重線形写像を双線形写像と言う。

=== 定義5.6（多重線形写像の反対称性） ===
$V,W$ を体 $\mathbb{F}$ 上の線形空間, $T\colon V^n\rightarrow W$ を多重線形写像とする。任意の$v_1,\ldots,v_n\in V$ と任意の $\sigma\in S_n$ に対し、
$$
T(v_{\sigma(1)},\ldots,v_{\sigma(n)})={\rm sgn}(\sigma)T(v_1,\ldots,v_n)
$$
が成り立つとき $T$ は反対称であると言う。

=== 定義5.7（転置行列） ===
行列 $A=(a_{i,j})_{i,j}\in \mathbb{M}_{m\times n}(\mathbb{F})$に対し $A^{\top}\colon=(a_{j,i})_{i,j}\in \mathbb{M}_{n\times m}(\mathbb{F})$ を $A$ の転置行列と言う。

$\mathbb{F}=\mathbb{R}$ の場合は $A^{\top}=A^*$ （'''定義1.7'''を参照）である。

=== 定義5.8（行列式の基本性質） ===
$\mathbb{F}$ を体とする。行列式に関して次が成り立つ。
*$(1)$　任意の $A\in \mathbb{M}_{n\times n}(\mathbb{F})$ に対し ${\rm det}(A)={\rm det}(A^{\top})$.
*$(2)$　$\mathbb{F}^n\times \ldots\times \mathbb{F}^n\ni (a_1,\ldots,a_n)\mapsto {\rm det}(a_1,\ldots,a_n)\in \mathbb{F}$ は反対称多重線形写像である。
*$(3)$　任意の $A,B\in \mathbb{M}_{n\times n}(\mathbb{F})$ に対し ${\rm det}(AB)={\rm det}(A){\rm det}(B)$.
{{begin |proof | collapsible=1|display=証明 }}
*$(1)$　${\rm sgn}(\sigma^{-1})={\rm sgn}(\sigma)$ であるので、
$$
{\rm det}(A)=\sum_{\sigma\in S_n}{\rm sgn}(\sigma)a_{1,\sigma(1)}\ldots a_{n,\sigma(n)}=\sum_{\sigma\in S_n}{\rm sgn}(\sigma^{-1})a_{\sigma^{-1}(1),1}\ldots a_{\sigma^{-1}(n),n}={\rm det}(A^{\top})
$$
である。
*$(2)$　多重線形写像であることは明らかである。
任意の $\sigma,\tau\in S_n$ に対し ${\rm sgn}(\sigma\tau^{-1})={\rm sgn}(\tau){\rm sgn}(\sigma)$ であるので、
$$
\begin{aligned}
{\rm det}(a_{\tau(1)},\ldots,a_{\tau(n)})
&=\sum_{\sigma\in S_n}{\rm sgn}(\sigma)a_{\sigma(1),\tau(1)}\ldots a_{\sigma(n),\tau(n)}\\
&={\rm sgn}(\tau)\sum_{\sigma\in S_n}{\rm sgn}(\sigma\tau^{-1})a_{\sigma\tau^{-1}(1),1}\ldots a_{\sigma\tau^{-1}(n),n} \\
&={\rm sgn}(\tau){\rm det}(a_1,\ldots,a_n)
\end{aligned}
$$
である。よって反対称である。
*$(3)$　$(2)$ より $k_1,\ldots,k_n\in \{1,\ldots,n\}$ のうち互いに等しいものがある場合は、
$$
\sum_{\sigma\in S_n}{\rm sgn}(\sigma)b_{k_1,\sigma(1)}\ldots b_{k_n,\sigma(n)}=0
$$
である。よって、
$$
\begin{aligned}
{\rm det}(AB)&=\sum_{\sigma\in S_n}{\rm sgn}(\sigma)\sum_{k_1,\ldots,k_n=1}^{n}a_{1,k_1}\ldots a_{n,k_n}b_{k_1,\sigma(1)}\ldots b_{k_n,\sigma(n)}\\
&=\sum_{\sigma\in S_n}{\rm sgn}(\sigma)\sum_{\tau\in S_n}a_{1,\tau(1)}\ldots a_{n,\tau(n)}b_{\tau(1),\sigma(1)}\ldots b_{\tau(n),\sigma(n)}\\
&=\sum_{\tau\in S_n}{\rm sgn}(\tau)a_{1,\tau(1)}\ldots a_{n,\tau(n)}\sum_{\sigma\in S_n}{\rm sgn}(\sigma\tau^{-1})b_{1,\sigma\tau^{-1}(1)}\ldots b_{n,\sigma\tau^{-1}(n)}\\
&={\rm det}(A){\rm det}(B)
\end{aligned}
$$
である。
{{end|proof|}}

=== 定義5.9（余因子行列） ===
$\mathbb{F}$ を体とする。
$A\in \mathbb{M}_{n\times n}(\mathbb{F})$ の $i$ 行と $j$ 列を抜いた行列 $A_{i,j}\in \mathbb{M}_{n-1\times n-1}(\mathbb{F})$ に対し、
$$
{\rm Cof}(A)\colon=( (-1)^{i+j}{\rm det}(A_{j,i}) )_{i,j}\in \mathbb{M}_{n\times n}(\mathbb{F})
$$
を $A$ の余因子行列と言う。

=== 命題5.10（余因子行列と逆行列） ===
$\mathbb{F}$ を体とする。
$A=(a_{i,j})_{i,j}\in \mathbb{M}_{n\times n}(\mathbb{F})$ に対し、
$$
A{\rm Cof}(A)={\rm Cof}(A)A={\rm det}(A)1
$$
が成り立つ。よって特に ${\rm det}(A)\neq 0$ であることと $A\in \mathbb{M}_{n\times n}(\mathbb{F})$ が可逆であることは同値であり、${\rm det}(A)\neq0$ のとき $A$ の逆元は、
$$
A^{-1}=\frac{1}{{\rm det}(A)}{\rm Cof}(A)
$$
である。
{{begin |proof }}
行列式の反対称性より $A{\rm Cof}(A)$ の $i$ 行 $j$ 列成分は、
$$
\sum_{k=1}^{n}(-1)^{j+k}a_{i,k}{\rm det}(A_{j,k})=\delta_{i,j}{\rm det}(A)
$$
であり、${\rm Cof}(A)A$ の $i$ 行 $j$ 列成分は、
$$
\sum_{k=1}^{n}(-1)^{i+k}{\rm det}(A_{k,i})a_{k,j}=\delta_{i,j}{\rm det}(A)
$$
である。
{{end|proof|}}

=== 定義5.11（添字付けられた基底、順序付けられた基底） ===
$V$ を線形空間とする。空でない集合 $J$ に対し線型独立（'''定義4.3'''の$(3)$の意味）な
$$
(e_j)_{j\in J}:J\ni j\mapsto e_j\in V
$$
が $V$ の添字付けられた基底であるとは $V=\text{span}\{e_j\}_{j\in J}$ であることを言う。特に添字集合 $J$ が $\mathbb{N}$や、ある $n\in \mathbb{N}$ に対し $\{1,\ldots,n\}$ である場合は順序付けられた基底と言う。

=== 定義5.12（行列表現） ===
$V, W$ を体 $\mathbb{F}$ 上の有限次元線形空間とし、$(e_1,\ldots,e_n)$、 $(f_1,\ldots,f_m)$ をそれぞれ $V,W$ の順序付けられた基底とする。線型写像 $T\colon V\rightarrow W$ に対し、
$$
Te_j=\sum_{i=1}^{m}T_{i,j}f_i\quad(j=1,\ldots,n)
$$
として定まる行列 $(T_{i,j})_{i,j}\in \mathbb{M}_{m\times n}(\mathbb{F})$ を $T$ の $(e_1,\ldots,e_n)$、$(f_1,\ldots,f_m)$ に関する行列表現と言う。任意の $v=\sum_{j=1}^{n}v_je_j\in V$に対し、
$$
Tv=\sum_{j=1}^{n}v_jTe_j=\sum_{i=1}^{m}\left(\sum_{j=1}^{n}T_{i,j}v_j\right)f_i
$$
であるから、成分の変換は行列の積による変換
$$
\mathbb{F}^n\ni (v_j)_{j}\mapsto (T_{i,j})_{i,j} (v_j)_{j}\in \mathbb{F}^m
$$
である。

=== 命題5.13 ===
$U,V,W$ を体 $\mathbb{F}$ 上の有限次元線形空間とし、$(e_1,\ldots,e_{\ell})$、$(f_1,\ldots,f_m)$、$(g_1,\ldots,g_n)$ をそれぞれ $U,V,W$ の順序付けられた基底とする。線型写像 $T\colon U\rightarrow V$ と $S\colon V\rightarrow W$ に対し $T$ の $(e_1,\ldots,e_{\ell})$、$(f_1,\ldots,f_m)$ に関する行列表現を $\widehat{T}\in \mathbb{M}_{m\times \ell}(\mathbb{F})$、$S$ の $(f_1,\ldots,f_m)$、$(g_1,\ldots,g_n)$ に関する行列表現を $\widehat{S}\in \mathbb{M}_{n\times m}(\mathbb{F})$ とし、$ST$ の $(e_1,\ldots,e_{\ell})$、$(g_1,\ldots,g_n)$ に関する行列表現を $\widehat{ST}\in \mathbb{M}_{n\times \ell}(\mathbb{F})$ とする。このとき、
$$
\widehat{ST}=\widehat{S}\widehat{T}
$$
が成り立つ。
{{begin |proof }}
$$
STe_j=\sum_{k=1}^{\ell}T_{k,j}Sf_k=\sum_{i=1}^{m}\left(\sum_{k=1}^{\ell}S_{i,k}T_{k,j}\right)g_i
=\sum_{i=1}^{m}(\widehat{S}\widehat{T})_{i,j}g_i
$$
であることによる。
{{end|proof|}}

== 6. 直和 ==

=== 定義6.1 ===
$V$ を体 $\mathbb{F}$ 上の線形空間とする。部分空間 $M_1,\ldots,M_n\subset V$ に対し、
$$
M_1+\ldots+M_n\colon=\{v_1+\ldots+v_n: v_1\in M_1,\ldots,v_n\in M_n\}
$$
なる部分空間を $M_1,\ldots,M_n$ の和と言う。全射線形写像
$$
M_1\times\ldots\times M_n\ni (v_1,\ldots,v_n)\mapsto v_1+\ldots+v_n\in M_1+\ldots+M_n
$$
が単射（したがって線形同型写像）であるとき $M_1,\ldots,M_n$ の和は直和であると言い、このとき $M_1+\ldots+M_n$ を、
$$
M_1\oplus\ldots\oplus M_n
$$
と表す。

=== 命題6.2（線形独立性と直和） ===
$V$ を体 $\mathbb{F}$ 上の線形空間、$B_1,\ldots,B_n\subset V$ をそれぞれ空でない集合とし、$B_1\cup\ldots \cup B_n$ は線形独立であるとする。このとき、
$$
\text{span}(B_1\cup\ldots\cup B_n)=\text{span}(B_1)\oplus \ldots\oplus\text{span}(B_n)
$$
が成り立つ。
{{begin |proof }}
自明である。
{{end|proof|}}

== 7. 線形空間の双対空間 ==

=== 定義7.1（双対空間、線形汎関数） ===
$V$ を体 $\mathbb{F}$ 上の線形空間とする。$V^*\colon=\mathbb{L}(V,\mathbb{F})$ と表し、$V^*$ を線形空間 $V$ の双対空間、$V^*$ の元を $V$ 上の線形汎関数と言う。

=== 命題7.2 ===
$V$ を体 $\mathbb{F}$ 上の線形空間とし、$(e_j)_{j\in J}\colon J\ni j\mapsto e_j\in V$ が線形独立（'''定義4.3'''の$(3)$の意味）であるとする。このとき $(\varphi_j)_{j\in J}:J\ni j\mapsto \varphi_j\in V^*$ で、
$$
\varphi_i(e_j)=\delta_{i,j}=\left\{\begin{array}{ll}1&(i=j)\\0&(i\neq j)\end{array}\right.\quad\quad(*)
$$
を満たすものが存在する。そして $(\varphi_j)_{j\in J}$ は線形独立である。
{{begin |proof }}
任意の $i\in J$ を取り固定する。'''命題4.5'''より $\{e_j\}_{j\in J}$ を含む $V$ の基底 $B$ を取ると、
$$
V=\text{span}(B\backslash\{e_i\})\oplus \mathbb{F} e_i
$$
であり、
$$
\varphi_i(v+\alpha e_i)=\alpha\quad(\forall v\in \text{span}(B\backslash\{e_i\}),\forall\alpha\in\mathbb{F})
$$
として $\varphi_i\in V^*$ が定義できる。このとき任意の $j\in J\backslash\{i\}$ に対し $e_j\in B\backslash \{e_i\}$ であるから $\varphi_i(e_j)=0$ であり、$\varphi_i(e_i)=1$ である。こうして $(*)$ を満たす $(\varphi_j)_{j\in J}\colon J\ni j\mapsto \varphi_j\in V^*$ が定義できる。互いに異なる有限個の $j_1,\ldots,j_n\in J$ に対し、
$$
\sum_{k=1}^{n}\alpha_k\varphi_{j_k}=0
$$
ならば任意の $l\in\{1,\ldots,n\}$ に対し、
$$
0=\sum_{k=1}^{n}\alpha_k\varphi_{j_k}(e_{j_l})=\alpha_{j_l}
$$
であるから $\varphi_{j_1},\ldots,\varphi_{j_n}$ は線形独立である。よって $(\varphi_j)_{j\in J}$ は線形独立である。
{{end|proof|}}

=== 命題7.3（有限次元線形空間の順序付けられた基底に対する双対基底） ===
$V$ を体 $\mathbb{F}$ 上の有限次元線形空間とし、$(e_1,\ldots,e_n)$ を $V$ の順序付けられた基底とする。このとき $V^*$ の順序付けられた基底 $(\varphi_1,\ldots,\varphi_n)$ で、
$$
\varphi_i(e_j)=\delta_{i,j}\quad(\forall i,j\in \{1,\ldots,n\})\quad\quad(*)
$$
を満たすものが唯一つ存在する。
{{begin |proof }}
$(*)$ により線形独立な $\varphi_1,\ldots,\varphi_n\in V^*$ が定義される。任意の $v=\sum_{j=1}^{N}v_je_j\in V$ に対し、
$$
\varphi_j(v)=v_j\quad(j=1,\ldots,n)
$$
であるから、任意の $\psi\in V^*$ に対し、
$$
\psi(v)=\sum_{j=1}^{n}v_j\psi(e_j)=\sum_{j=1}^{n}\psi(e_j)\varphi_j(v)
$$
である。よって、
$$
\psi=\sum_{j=1}^{n}\psi(e_j)\varphi_j
$$
なので、$(\varphi_1,\ldots,\varphi_n)$ は $V^*$ の順序付けられた基底である。
{{end|proof|}}
'''命題7.3'''における $(\varphi_1,\ldots,\varphi_n)$ を $(e_1,\ldots,e_n)$ に対する双対基底と言う。

=== 定義7.4（線形空間の第二双対空間への自然な埋め込み） ===
$V$ を体 $\mathbb{F}$ 上の線形空間、$V^{**}$ を $V^*$ の双対空間（$V$の第二双対空間）とする。任意の $v\in V$ に対し、
$$
\iota(v)\colon V^*\ni \varphi\mapsto \varphi(v)\in \mathbb{F}
$$
として $\iota(v)\in V^{**}$ を定義することにより、
$$
\iota \colon V\ni v\mapsto \iota(v)\in V^{**}\quad\quad(*)
$$
なる線形写像が定義できる。'''命題7.2'''より $(*)$ は単射である<ref>実際、$v\neq0$ ならば'''命題7.2'''より $\varphi(v)=1$ を満たす $\varphi\in V^*$ が存在するので $\iota(v)\neq0$である。</ref>。 $(*)$ を線形空間 $V$ の第二双対空間 $V^{**}$ への自然な埋め込みと言う。以後、しばしば $v$ と $\iota(v)$ を同一視することで $V=\iota(V)\subset V^{**}$ とみなす。

== 8. 線形空間のテンソル積、テンソル積の普遍性 ==

=== 定義8.1（線形空間のテンソル積）　 ===
$V_1,\ldots,V_n$ をそれぞれ体 $\mathbb{F}$ 上の線形空間とする。$\prod_{j=1}^{n}V_j^*\rightarrow \mathbb{F}$ の多重線形写像全体 $ML(\prod_{j=1}^{n}V_j^*,\mathbb{F})$ は各点ごとの演算により $\mathbb{F}$ 上の線形空間をなす。任意の $v_1\in V_1,\ldots, v_n\in V_n$ に対し、
$$
v_1\otimes\ldots\otimes v_n\colon \prod_{j=1}^{n}V_j^*\ni (\varphi_1,\ldots,\varphi_n)\mapsto \varphi_1(v_1)\ldots\varphi_n(v_n)\in \mathbb{F}
$$
は $ML(\prod_{j=1}^{n}V_j^*,\mathbb{F})$ に属する。そこで $\mathbb{F}$ 上の線形空間
$$
V_1\otimes\ldots\otimes V_n\colon=\text{span}
\{v_1\otimes\ldots\otimes v_n: v_1\in V_1,\ldots,v_n\in V_n\}
$$
を定義する。これを $V_1,\ldots,V_n$ のテンソル積線形空間と呼ぶ。
$$
V_1\times\ldots\times V_n\ni (v_1,\ldots,v_n)\mapsto v_1\otimes\ldots\otimes v_n\ni V_1\otimes\ldots\otimes V_n
$$
は明らかに多重線形写像である。

=== 命題8.2（有限次元線形空間のテンソル積） ===
$V_1,\ldots,V_n$ が全て有限次元であるとすると、
$$
V_1\otimes\ldots\otimes V_n=ML(\prod_{j=1}^{n}V_j^*,\text{ }\mathbb{F})
$$
である。
{{begin |proof }}
各$V_j$ の順序付けられた基底 $(e_{j,1},\ldots,e_{j,m(j)})$ を取り、その双対基底を $(\varphi_{j,1},\ldots,\varphi_{j,m(j)})$ とする。このとき任意の $\psi_j\in V_j^*$ に対し、
$$
\psi_j=\sum_{k=1}^{m(j)}\psi_j(e_{j,k})\varphi_{j,k}
$$
が成り立つ（'''命題7.3'''の証明を参照）。よって任意の $T\in ML(\prod_{j=1}^{n}V_j^*,\text{ }\mathbb{F})$ と任意の $(\psi_1,\ldots,\psi_n)\in V_1^*\times\ldots\times V_n^*$ に対し、
$$
\begin{aligned}
T(\psi_1,\ldots,\psi_n)&=\sum_{k_1,\ldots,k_n}\psi_1(e_{1,k_1})\ldots\psi_N(e_{n,k_n})T(e_{1,k_1},\ldots,e_{n,k_n})\\
&=\sum_{k_1,\ldots,k_n}T(e_{1,k_1},\ldots,e_{n,k_n})(e_{1,k_1}\otimes\ldots\otimes e_{n,k_n})(\psi_1,\ldots,\psi_n)
\end{aligned}
$$
である。ゆえに、
$$
T=\sum_{k_1,\ldots,k_n}T(e_{1,k_1},\ldots,e_{n,k_n})(e_{1,k_1}\otimes\ldots\otimes e_{n,k_n})\in V_1\otimes\ldots\otimes V_n
$$
である。
{{end|proof|}}

=== 命題8.3 ===
$V_1,\ldots,V_n$ を体 $\mathbb{F}$ 上の線形空間とし、$J_k\ni j\mapsto e_{k,j}\in V_k$ $(k=1,\ldots,n)$ をそれぞれ線型独立とする。このとき、
$$
J_1\times\ldots\times j_n\ni (j_1,\ldots,j_n)\mapsto e_{1,j_1}\otimes\ldots\otimes e_{n,j_n}\in V_1\otimes\ldots\otimes V_n\quad\quad(*)
$$
は線形独立（'''定義4.2'''の$(3)$の意味）である。
{{begin |proof }}
'''命題7.2'''より各 $k$ について線形独立な $J_k\ni j\mapsto \varphi_{k,j}\in V_k^*$ で $\varphi_{k,j}(e_{k,i})=\delta_{i,j}$ $(\forall i,j\in J_k)$ を満たすものが取れる。このとき任意の $(i_1,\ldots,i_n)$, $(j_1,\ldots,j_n)\in J_1\times\ldots\times J_n$ に対し、
$$
(e_{1,j_1}\otimes\ldots\otimes e_{n,j_n})(\varphi_{1,i_1},\ldots,\varphi_{n,i_n})=\delta_{(i_1,\ldots,i_n),(j_1,\ldots,j_n)}
$$
である。よって'''命題7.2'''の証明の後半より $(*)$ は線形独立である。
{{end|proof|}}

=== 定理8.4（テンソル積の普遍性） ===
$V_1,\ldots,V_n,W$ を体 $\mathbb{F}$ 上の線形空間とし、
$$
\Phi\colon V_1\times\ldots\times V_n\rightarrow W
$$
を多重線形写像とする。このとき線形写像
$$
\Psi\colon V_1\otimes\ldots\otimes V_n\rightarrow W
$$
で、
$$
\Psi(v_1\otimes\ldots\otimes v_n)=\Phi(v_1,\ldots,v_n)
$$
を満たすものが唯一つ存在する。
{{begin |proof }}
一意性は線形性より自明である。存在を示す。そのためには、
$$
\sum_{a=1}^{p}v_{a,1}\otimes\ldots\otimes v_{a,n}=\sum_{b=1}^{q}u_{b,1}\otimes\ldots\otimes u_{b,n}\quad\quad(*)
$$
であるとして、
$$
\sum_{a=1}^{p}\Psi(v_{a,1},\ldots,v_{a,n})=\sum_{b=1}^{q}\Psi(u_{b,1},\ldots,u_{b,n})\quad\quad(**)
$$
が成り立つことを示せばよい。各 $j\in \{1,\ldots,n\}$ に対し
$M_j\colon=\text{span}\{v_{1,j},\ldots,v_{p,j},u_{1,j},\ldots,u_{q,j}\}\subset V_j$ とおき $M_j$ の基底を $e_{j,1},\ldots,e_{j,m(j)}$ とする。このとき、
$$
v_{a,j}=\sum_{k=1}^{m(j)}v_{a,j}^ke_{j,k},\quad u_{b,j}=\sum_{k=1}^{m(j)}u_{b,j}^ke_{j,k}
$$
と表せるから、
$$
\alpha_{k_1,\ldots,k_n}\colon=\sum_{a=1}^{p}v_{a,1}^{k_1}\ldots v_{a,n}^{k_n},
\quad
\beta_{k_1,\ldots,k_n}\colon=\sum_{b=1}^{q}u_{b,1}^{k_1}\ldots u_{b,n}^{k_n}
$$
とおくと、
$$
\sum_{a=1}^{p}v_{a,1}\otimes\ldots\otimes v_{a,n}
=\sum_{k_1,\ldots,k_n}\alpha_{k_1,\ldots,k_n}e_{1,k_1}\otimes\ldots\otimes e_{n,k_n},
$$
$$
\sum_{b=1}^{q}u_{b,1}\otimes\ldots\otimes u_{b,n}
=\sum_{k_1,\ldots,k_n}\beta_{k_1,\ldots,k_n}e_{1,k_1}\otimes\ldots\otimes e_{n,k_n}
$$
である。よって $(*)$ と'''命題8.3'''より各 $k_1,\ldots,k_n$ に対し、
$$
\alpha_{k_1,\ldots,k_n}=\beta_{k_1,\ldots,k_n}
$$
が成り立つ。また、
$$
\sum_{a=1}^{p}\Psi(v_{a,1},\ldots,v_{a,n})=\sum_{k_1,\ldots,k_n}\alpha_{k_1,\ldots,k_n}\Psi(e_{1,k_1},\ldots,e_{n,k_n}),
$$
$$
\sum_{b=1}^{q}\Psi(u_{b,1},\ldots,u_{b,n})=\sum_{k_1,\ldots,k_n}\beta_{k_1,\ldots,k_n}\Psi(e_{1,k_1},\ldots,e_{n,k_n})
$$
であるから $(**)$ が成り立つ。
{{end|proof|}}

=== 定義8.5（線形写像のテンソル積） ===
$V_1,\ldots,V_n$、$W_1,\ldots,W_n$ を体 $\mathbb{F}$ 上の線形空間とし、$T_k\in \mathbb{L}(V_k,W_k)$ $(k=1,\ldots,n)$ とする。このとき、
$$
V_1\times\ldots \times V_n\ni (v_1,\ldots,v_n)\mapsto T_1v_1\otimes\ldots\otimes T_nv_n\in W_1\otimes\ldots\otimes W_n
$$
は多重線形写像であるから、'''定理8.4'''より線形写像
$$
T_1\otimes\ldots\otimes T_n\colon V_1\otimes\ldots\otimes V_n\ni v_1\otimes\ldots\otimes v_n\mapsto Tv_1\otimes\ldots\otimes v_n\in W_1\otimes\ldots\otimes W_n
$$
が定まる。これを $T_1,\ldots,T_n$ のテンソル積と言う。

=== 定義8.6（テンソル積線形空間のテンソル積） ===
$V_1,\ldots,V_n$、$W_1,\ldots, W_m$ をそれぞれ体 $\mathbb{F}$ 上の線形空間とする。
$$
V\colon=V_1\otimes\ldots\otimes V_n,\quad W\colon=W_1\otimes\ldots\otimes W_m
$$
$$
L\colon=V_1\otimes\ldots\otimes V_n\otimes W_1\otimes \ldots\otimes W_m
$$
とおくと、
$$
V\times W\ni (v_1\otimes\ldots\otimes v_n, \text{ }w_1\otimes\ldots\otimes w_m)
\mapsto v_1\otimes\ldots\otimes v_n\otimes w_1\otimes\ldots\otimes w_m\in L
$$
なる双線形写像が定義できる。よって'''定理8.4'''より全射線形写像
$$
V\otimes W\ni (v_1\otimes\ldots\otimes v_n)\otimes (w_1\otimes\ldots\otimes w_m)
\mapsto v_1\otimes\ldots\otimes v_n\otimes w_1\otimes\ldots\otimes w_m\in L
$$
ができる。この線形写像は'''命題8.3'''より線形同型写像である。そこで以後、
$$
(v_1\otimes\ldots\otimes v_n)\otimes (w_1\otimes\ldots\otimes w_m)
=v_1\otimes\ldots\otimes v_n\otimes w_1\otimes\ldots\otimes w_m,
$$
$$
(V_1\otimes\ldots\otimes V_n)\otimes (W_1\otimes \ldots\otimes W_m)=
V_1\otimes\ldots\otimes V_n\otimes W_1\otimes\ldots\otimes W_m
$$
なる同一視をする。$3$ 個以上のテンソル積線形空間のテンソル積線形空間も同様にして $1$ 個のテンソル積線形空間と同一視する。

== 9. 反対称テンソル積線形空間、外積 ==

=== 定義9.1（置換作用素、反対称化作用素、反対称テンソル積線形空間） ===
$V$ を体 $\mathbb{F}$ 上の線形空間、$n\in\mathbb{N}$ とする。任意の $\sigma\in S_n$ に対し'''定理8.4'''より線形写像
$$
P_{\sigma}\colon\bigotimes^NV\ni v_1\otimes\ldots\otimes v_n\mapsto v_{\sigma(1)}\otimes\ldots\otimes v_{\sigma(n)}\in \bigotimes^nV
$$
が定まる。$P_{\sigma}$ を $\sigma\in S_n$ による $\bigotimes^nV$ 上の置換作用素と言う。置換作用素は明らかに線形同型写像であり、
$$
P_{\sigma}P_{\tau}=P_{\tau\sigma},\quad P_{\sigma^{-1}}=P_{\sigma}^{-1}\quad(\forall \sigma,\tau\in S_N)\quad\quad(*)
$$
を満たすので、
$$
A_n\colon=\frac{1}{n!}\sum_{\sigma\in S_n}{\rm sgn}(\sigma)P_{\sigma}\in \mathbb{L}(\bigotimes^nV)
$$
とおくと、
$$
P_{\sigma}A_n=A_nP_{\sigma}={\rm sgn}(\sigma)A_n,\quad A_n^2=A_n\quad\quad(*)
$$
が成り立つ。$A_n$ を $\bigotimes^nV$ 上の反対称化作用素と言い、
$$
\bigwedge^nV\colon=A_n(\bigotimes^nV)\subset \bigotimes^nV
$$
を $V$ の $N$ 階反対称テンソル積線形空間と言う。

=== 命題9.2（反対称テンソル積線形空間の特徴付け） ===
$V$を体 $\mathbb{F}$ 上の線形空間, $n\in\mathbb{N}$ とする。 $T\in \bigotimes^nV$ に対し次は互いに同値である。
*$(1)$　$T\in \bigwedge^nV$.
*$(2)$　任意の $\sigma\in S_n$ に対し $P_{\sigma}(T)={\rm sgn}(\sigma)T$.
*$(3)$　$V^*\times\ldots\times V^*\ni (\varphi_1,\ldots,\varphi_n)\mapsto T(\varphi_1,\ldots,\varphi_n)\in \mathbb{F}$ は反対称である。
{{begin |proof }}
$(1)\Leftrightarrow(2)$ が成り立つことは'''定義9.1'''の $(*)$ による。
$$
T=\sum_{k=1}^{m}v_{k,1}\otimes\ldots\otimes v_{k,n}
$$
とすると、
$$
P_{\sigma}(T)=\sum_{k=1}^{m}v_{k,\sigma(1)}\otimes\ldots\otimes v_{k,\sigma(n)}
$$
であるから、
$$
\begin{aligned}
P_{\sigma}(T)(\varphi_1,\ldots,\varphi_n)&=\sum_{k=1}^{m}\varphi_1(v_{k,\sigma(1)})\ldots\varphi_n(v_{k,\sigma(n)})
=\sum_{k=1}^{m}v_{1}\otimes\ldots\otimes v_n(\varphi_{\sigma^{-1}(1)},\ldots,\varphi_{\sigma^{-1}(n)}\\
&=T(\varphi_{\sigma^{-1}(1)},\ldots,\varphi_{\sigma^{-1}(n)})\quad(\forall \varphi_1,\ldots,\varphi_n\in V^*)
\end{aligned}
$$
である。これより $(2)\Leftrightarrow(3)$ が成り立つ。
{{end|proof|}}

=== 定義9.3（外積） ===
$V$ を体 $\mathbb{F}$ 上の線形空間、$n_1,n_2\in\mathbb{N}$ とする。任意の$T_1\in \bigwedge^{n_1}V$、$T_2\in \bigwedge^{n_2}V$ に対し、
$$
T_1\wedge T_2\colon=\frac{(n_1+n_2)!}{n_1!n_2!}A_{n_1+n_2}(T_1\otimes T_2)\in \bigwedge^{n_1+n_2}V
$$
を $T_1,T_2$ の外積と言う。$3$ 個以上の $n_1,\ldots,n_m\in \mathbb{N}$ と反対称テンソル $T_k\in \bigwedge^{N_k}V$ $(k=1,\ldots,m)$ に対し、
$$
T_1\wedge \ldots\wedge T_m\colon=(T_1\wedge \ldots\wedge T_{m-1})\wedge T_m\in \bigwedge^{n_1+\ldots+n_m}V
$$
と定義する。

=== 命題9.4（外積の結合法則） ===
$V$ を体 $\mathbb{F}$ 上の線形空間とする。$T_k\in \bigwedge^{n_k}V$ $(k=1,\ldots,m)$ に対し、
$$
(T_1\wedge T_2)\wedge T_3=T_1\wedge (T_2\wedge T_3)
=\frac{(n_1+n_2+n_3)!}{n_1!n_2!n_3!}A_{n_1+n_2+n_3}(T_1\otimes T_2\otimes T_3),\quad\quad(*)
$$
$$
T_1\wedge \ldots\wedge T_m=\frac{(n_1+\ldots+n_m)!}{n_1!\ldots n_m!}A_{n_1+\ldots+n_m}(T_1\otimes\ldots\otimes T_m)\quad\quad(**)
$$
が成り立つ。
{{begin |proof }}
任意の $n,m\in \mathbb{N}$ と任意の $\sigma\in S_n, \tau\in S_m$ に対し置換作用素と反対称化作用素の定義より、
$$
A_{n+m}(P_{\sigma}\otimes 1)={\rm sgn}(\sigma)A_{n+m},
$$
$$
A_{n+m}(1\otimes P_{\sigma})={\rm sgn}(\tau)A_{n+m}
$$
が成り立つ。よって、
$$
A_{n+m}(A_n\otimes 1)=A_{n+m},\quad A_{n+m}(1\otimes A_m)=A_{n+m}
$$
であるから、
$$
A_{n_1+n_2+n_3}((T_1\wedge T_2)\otimes T_3)
=\frac{(n_1+n_2)!}{n_1!n_2!}A_{n_1+n_2+n_3}(T_1\otimes T_2\otimes T_3),
$$
$$
A_{n_1+n_2+n_3}(T_1\otimes(T_2\wedge T_3))
=\frac{(n_2+n_3)!}{n_2!n_3!}A_{n_1+n_2+n_3}(T_1\otimes T_2\otimes T_3).
$$
これより $(*)$ が成り立つ。$(**)$ は帰納法により分かる。
{{end|proof|}}

=== 注意9.5（ベクトルの外積） ===
任意の $v_1,\ldots,v_n\in V=\bigotimes^1V$ に対し'''命題9.4'''より、
$$
v_1\wedge \ldots\wedge v_n=n!A_n(v_1\otimes\ldots\otimes v_n)=\sum_{\sigma\in S_n}{\rm sgn}(\sigma)v_{\sigma(1)}\otimes\ldots\otimes v_{\sigma(n)}
\in \bigwedge^NV
$$
である。

=== 命題9.6（外積の反対称性） ===
$V$ を体 $\mathbb{F}$ 上の線形空間とする。
任意の $v_1,\ldots,v_n\in V$ と $\sigma\in S_n$ に対し、
$$
v_{\sigma(1)}\wedge \ldots\wedge v_{\sigma(n)}={\rm sgn}(\sigma)(v_1\wedge\ldots\wedge v_n)
$$
が成り立つ。
{{begin |proof }}
'''命題9.4'''と $A_NP_{\sigma}={\rm sgn}(\sigma)A_N$ より、
$$
\begin{aligned}
&v_{\sigma(1)}\wedge \ldots\wedge v_{\sigma(n)}=
n!A_n(v_{\sigma(1)}\otimes\ldots\otimes v_{\sigma(n)})\\
&=n!A_nP_{\sigma}(v_1\otimes\ldots\otimes v_n)
={\rm sgn}(\sigma)(v_1\wedge\ldots\wedge v_n).
\end{aligned}
$$
{{end|proof|}}

=== 命題9.7（外積と線形独立性） ===
$V$ を $\mathbb{F}$ 上の線形空間とする。
$v_1,\ldots,v_n\in V$ に対し $v_1\wedge\ldots\wedge v_n\neq0$ であることと $v_1,\ldots,v_n$ が線形独立であることは同値である。
{{begin |proof }}
$v_1,\ldots,v_n$ が線形独立ではないならば、ある $j\in \{1,\ldots,n\}$ に対し、
$$
v_j\in \text{span}\{v_1,\ldots,v_{j-1},v_{j+1},\ldots,v_n\}
$$
であるから'''命題9.6'''より $v_1\wedge \ldots\wedge v_n=0$ である。
$v_1,\ldots,v_n\in V$ が線形独立ならば'''命題7.2'''より $\varphi_1,\ldots,\varphi_n\in V^*$ で $\varphi_i(e_j)=\delta_{i,j}$ なるものが取れる。よって'''注意9.5'''より、
$$
\begin{aligned}
&(v_1\wedge\ldots\wedge v_n)(\varphi_1,\ldots,\varphi_n)
=\sum_{\sigma\in S_n}{\rm sgn}(\sigma)(v_{\sigma(1)}\otimes\ldots\otimes v_{\sigma(n)})(\varphi_1,\ldots,\varphi_n)\\
&=\sum_{\sigma\in S_n}{\rm sgn}(\sigma)\varphi_1(v_{\sigma(1)})\ldots\varphi_n(v_{\sigma(n)})={\rm det}(\delta_{i,j})_{i,j}=1
\end{aligned}
$$
であるから $v_1\wedge \ldots\wedge v_n\neq0$ である。
{{end|proof|}}

== 関連項目 ==
*[[ベクトル解析]]
*[[入門テキスト「位相線形空間」]]
*[[Hilbert空間上の作用素論]]

== 脚注 ==

ベクトル解析

2025-02-17T15:03:02Z

Kataoka: /* 参考文献 */

[[カテゴリ:解析学]]
本稿においては、解析学や物理学において、微積分を縦横無尽に応用していくための基礎となる、いわゆるベクトル解析について述べる。特徴としては、2, 3次元に限定することなく、Euclid空間に埋め込まれた $C^\infty$ 級多様体（Euclid空間内の多様体と呼ぶこととする）上の微積分を扱っている点と、多様体上の積分を、微分形式のみでなく、測度を使って扱っている点が挙げられる。したがって、通常のベクトル解析とはかなり異なるものであると考えられる。想定する主な読者層としては、
*既存のベクトル解析の本にはもう少しかっちりしていて欲しい。
*ベクトル解析を勉強したいが、幾何にはあまり慣れておらず、多様体論の本を最初から読んでいくのは方向性が違う気がする。
*測度論には慣れており、実解析で、境界上での積分や関数空間も統一的に考えるために、ベクトル解析を応用したい。
と言うタイプである。予備知識としては、Euclid空間における微分の基本事項（[[Euclid空間における微積分1]]に書いてある程度の内容）、テンソル積を含む線形空間の基本事項（[[速習「線形空間論」]]に書いてある程度の内容）、測度論（[[入門テキスト「測度と積分」]]の 1$\sim$5と7, 8に書いてある程度の内容）に慣れていることが望ましい。 
一般の微分可能多様体上のテンソル解析については、[[テンソル解析]]を参照されたい。

* [[ベクトル解析1：Euclid空間内の多様体上の関数の微分]]
この章では、[[Euclid空間における微積分1]]で論じたEuclid空間の開集合上で定義された関数の微分を、Euclid空間内の多様体上で定義された関数の微分まで一般化する。
*[[ベクトル解析2：微分形式]]
この章では、多様体上の微分形式の外微分、外積、引き戻しなどについて述べる。
*[[ベクトル解析3：Euclid空間内の多様体の計量]]
この章では、Euclid空間 $\mathbb{R}^N$ におけるHodgeの $\star$ 作用素、Euclid空間内の多様体上の計量について述べ、ベクトル積、勾配、発散、回転、ラプラシアンなどの座標の取り方によらない表し方について述べる。またPoincaréの補題についても述べる。
*[[ベクトル解析4：Euclid空間内の多様体上の測度と積分]]
この章では、Euclid空間内の多様体上に自然に定義される測度（Riemann測度）による積分について述べる。この測度はEuclid空間のLebesgue測度の一般化である。例えば $\mathbb{R^N}$ 内の $N-1$ 次元多様体（超曲面）のRiemann測度は面積を表す。
*[[ベクトル解析5：多様体の向き]]
この章では多様体の向きと、向き付けられた超曲面上の単位法線ベクトル場、向き付けられた多様体内の滑らかな境界を持つ開集合の境界上の外向き単位法線ベクトル場について述べる。
*[[ベクトル解析6：Stokesの定理]]
この章では、微分形式によるStokesの定理について述べる。またStokesの定理の系として、Gaussの発散定理や古典的なStokesの定理について述べる。
__NOTOC__
== 参考文献 ==
* [https://amzn.to/3mE9yk7 杉浦光夫「解析入門II」]
* [https://amzn.to/3mBTiQx 松島与三「多様体入門」]
* [https://www.amazon.co.jp/dp/4320015630　伊藤秀一「常微分方程式と解析力学」]
* [https://amzn.to/3mDpeEu 新井朝雄「現代ベクトル解析の原理と応用」]
* [https://www.amazon.co.jp/dp/0805390219 Michael Spivak「Calculus On Manifolds: A Modern Approach To Classical Theorems Of Advanced Calculus」]
* [https://www.amazon.co.jp/dp/4563006467 加須栄篤「リーマン幾何学」]

== 次に読む ==
* [[超関数とFourier変換、Sobolev空間]]
* [[微分方程式の初歩]]
* [[テンソル解析]]

== 関連項目 ==
* [[Euclid空間における微積分1]]
* [[速習「線形空間論」]]
* [[入門テキスト「測度と積分」]]
* [[測度と積分7：局所コンパクトHausdorff空間上のRadon測度]]
* [[測度と積分8：Lebesgue測度の基本的性質]]
* [[超関数とFourier変換、Sobolev空間]]
* [[テンソル解析]]

== この記事が活かせそうな文献 ==
* [https://amzn.to/39UwCWP 吉田善章「新版応用のための関数解析」]
* [https://amzn.to/3t5kI40 吉田善章「電磁気学とベクトル解析」]
* [https://amzn.to/3mBYKmQ 新井朝雄「熱力学の数理」]

測度と積分1：測度論の基礎用語

2025-02-04T07:31:44Z

Kataoka: /* 定義3.1（拡張された実数系$[-\infty,\infty]$） */

この章では、可測空間と可測写像について基本的なことを述べる。可測空間とは測度と積分が定義される空間であり、可測写像とは可測空間の構造を保つような可測空間の間の写像である。可測空間と可測写像の関係は、位相空間と連続写像のような関係である。実際、位相空間が位相（開集合族）が付与された空間であり、連続写像は位相空間の間の写像で開集合の逆像が開集合であるようなものであるのに対し、可測空間は $\sigma$-加法族（可測集合族）が付与された空間であり、可測写像は可測空間の間の写像で可測集合の逆像が可測集合であるようなものである。
<noinclude>
'''[[入門テキスト「測度と積分」]]'''
* 測度と積分1：測度論の基礎用語
* [[測度と積分2：測度空間上の積分]]
* [[測度と積分3：測度論の基本定理(1)]]
* [[測度と積分4：測度論の基本定理(2)]]
* [[測度と積分5：$L^p$ 空間の完備性と双対性]]
* [[測度と積分6：数え上げ測度と $\ell^p$ 空間]]
* [[測度と積分7：局所コンパクトHausdorff空間上のRadon測度]]
* [[測度と積分8：Lebesgue測度の基本的性質]]
* [[測度と積分9：Bochner積分]]
</noinclude>

== 1. $\sigma$-加法族、可測空間、Borel集合族 ==

=== 定義1.1（$\sigma$-加法族、可測空間） ===
$X$ を空でない集合とする。$\mathfrak{M}\subset 2^X$ が次の条件を満たすとき $\mathfrak{M}$ を $X$ 上の $\sigma$-加法族と言う。
* $X\in \mathfrak{M}$.
* 任意の $E\in \mathfrak{M}$ に対し $X\backslash E\in \mathfrak{M}$.
* $\mathfrak{M}$ の任意の可算部分族 $\{E_n\}_{n\in \mathbb{N}}$ に対し $\bigcup_{n\in \mathbb{N}}E_n\in \mathfrak{M}$.
$\sigma$-加法族が備わった集合のことを可測空間と言う。可測空間 $X$ に $\sigma$-加法族 $\mathfrak{M}$ が備わっていることを明示的に表す場合は可測空間 $(X,\mathfrak{M})$ と表現する。可測空間 $(X,\mathfrak{M})$ の部分集合 $E\subset X$ が可測集合であるとは $E\in \mathfrak{M}$ であることを言う。

=== 命題1.2 ===
可測空間 $(X,\mathfrak{M})$ に対し次が成り立つ。
* $\emptyset\in\mathfrak{M}$.
* $\mathfrak{M}$ の任意の可算部分族 $\{E_n\}_{n\in \mathbb{N}}$ に対し $\bigcap_{n\in \mathbb{N}}E_n\in \mathfrak{M}$.
* 任意の $E,F\in \mathfrak{M}$ に対し $E\cup F,E\cap F,E\backslash F\in \mathfrak{M}$.
{{begin |proof }}
自明である。
{{end |proof | }}

=== 定義1.3（相対 $\sigma$-加法族） ===
$(X,\mathfrak{M})$ を可測空間とする。空でない $A\subset X$ に対し、
$$
\mathfrak{M}_A\colon=\{E\cap A:E\in \mathfrak{M}\}
$$
は $A$ 上の $\sigma$-加法族である。これを $\mathfrak{M}$ から誘導される $A$ 上の相対 $\sigma$-加法族と言う。

=== 定義1.4（部分集合族から生成される $\sigma$-加法族） ===
$X$ を空でない集合、$\mathcal{I}\subset 2^X$ とする。$\mathcal{I}$ を含む $X$ 上の $\sigma$-加法族全ての交叉は $\mathcal{I}$ を含む最小の $\sigma$-加法族である。これを $\sigma(\mathcal{I})$ と表し、$\mathcal{I}$ から生成される $X$ 上の $\sigma$-加法族と言う。

=== 定義1.5（位相空間のBorel集合族） ===
$(X,\mathcal{O}_X)$ を位相空間とする。位相 $\mathcal{O}_X$ から生成される $X$ 上の $\sigma$-加法族
$$
\mathcal{B}_X\colon=\sigma(\mathcal{O}_X)
$$
を $X$ のBorel集合族と言い、$\mathcal{B}_X$ の要素を $X$ のBorel集合と言う。

=== 補題1.6 ===
$X$ を空でない集合、$A\subset X$ を空でない部分集合、$\mathcal{I}\subset 2^X$ とし、
$$
\mathcal{I}\cap A\colon=\{I\cap A: I\in \mathcal{I}\},\quad
\sigma(\mathcal{I})\cap A\colon=\{E\cap A: E\in \sigma(\mathcal{I})\}
$$
とおく。そして $\mathcal{I}\cap A\subset 2^A$ から生成される $A$ 上の $\sigma$-加法族を $\sigma_A(\mathcal{I}\cap A)$ とおく。
このとき、
$$
\sigma_A(\mathcal{I}\cap A)=\sigma(\mathcal{I})\cap A
$$
が成り立つ。
{{begin |proof }}
$\sigma(\mathcal{I})\cap A$ は $A$ 上の $\sigma$-加法族であり $\mathcal{I}\cap A$ を含むから、
$$
\sigma_A(\mathcal{I}\cap A)\subset \sigma(\mathcal{I})\cap A
$$
である。
$$
\mathfrak{M}\colon=\{E\in 2^X: E\cap A\in\sigma_A(\mathcal{I}\cap A)\}
$$
は $X$ 上の $\sigma$-加法族であり $\mathcal{I}$ を含むから $\sigma(\mathcal{I})\subset \mathfrak{M}$ である。よって、
$$
\sigma(\mathcal{I})\cap A\subset \sigma_A(\mathcal{I}\cap A)
$$
である。
{{end |proof | }}

=== 命題1.7（相対位相と相対Borel集合族） ===
$(X,\mathcal{O}_X)$ を位相空間、$A\subset X$ を空でない部分集合とする。このとき相対位相による位相空間 $(A,\mathcal{O}_A)$ 上のBorel集合族 $\mathcal{B}_A$ は $X$ 上のBorel集合族 $\mathcal{B}_X$ から誘導される $A$ 上の相対 $\sigma$-加法族と一致する。
{{begin |proof }}
'''命題1.4'''より、
$$
\mathcal{B}_A=\sigma_A(\mathcal{O}_A)=\sigma_A(\mathcal{O}_X\cap A)=\sigma(\mathcal{O}_X)\cap A=\mathcal{B}_X\cap A.
$$
{{end|proof}}

== 2. 写像の可測性、直積可測空間 ==

=== 定義2.1（可測写像（可測関数）） ===
可測空間 $(X,\mathfrak{M})$ から可測空間 $(Y,\mathfrak{N})$ への写像 $f\colon X\rightarrow Y$ が可測写像（可測関数）であるとは、任意の $E\in \mathfrak{N}$ に対し $f^{-1}(E)\in\mathfrak{M}$ が成り立つことを言う。

=== 定義2.2（Borel写像（Borel関数）） ===
位相空間 $X$ から位相空間 $Y$ への写像 $f\colon X\rightarrow Y$ がBorel集合族 $\mathcal{B}_X, \mathcal{B}_Y$ に関して可測写像であるとき、$f$ をBorel写像（Borel関数）と言う。

=== 命題2.3（写像が可測であるための条件） ===
$(X,\mathfrak{M}), (Y,\mathfrak{N})$ を可測空間とし、$f\colon X\rightarrow Y$ とする。もしある $\mathcal{I}\subset 2^Y$ に対し $\mathfrak{N}=\sigma(\mathcal{I})$ であり、任意の $I\in \mathcal{I}$ に対し $f^{-1}(I)\in \mathfrak{M}$ であるならば、$f$ は可測写像である。
{{begin |proof }}
$$
\mathcal{I}\subset \{E\in 2^Y:f^{-1}(E)\in \mathfrak{M}\}
$$
であり、右辺は $Y$ 上の $\sigma$-加法族であるから $\mathfrak{N}=\sigma(\mathcal{I})$ を含む。
{{end |proof | }}

=== 系2.4（連続写像はBorel写像） ===
連続写像はBorel写像である。

=== 定義2.5（直積 $\sigma$-加法族、直積可測空間） ===
$J$ を集合とし、各 $j\in J$ に対し可測空間 $(X_j,\mathfrak{M}_j)$ が与えられているとする。そして直積集合 $X=\prod_{j\in J}X_j$ から $X_j$ 上への自然な射影を $\pi_j\colon X\rightarrow X_j$ $(\forall j\in J)$ とおく。このとき $X$ 上の $\sigma$-加法族
$$
\bigotimes_{j\in J}\mathfrak{M}_j\colon=\sigma(\{\pi_j^{-1}(E): j\in J,E\in \mathfrak{M}_j\})
$$
を $(\mathfrak{M}_j)_{j\in J}$ の直積 $\sigma$-加法族と言い、可測空間
$$
\left(\prod_{j\in J}X_j,\text{ } \bigotimes_{j\in J}\mathfrak{M}_j\right)
$$
を $( (X_j,\mathfrak{M}_j) )_{j\in J}$ の直積可測空間と言う。

=== 命題2.6（直積可測空間値写像が可測であるための条件） ===
$(X,\mathfrak{M}), (Y,\mathfrak{N})$ を可測空間とし、$(Y,\mathfrak{N})$ は可測空間の族 $( (Y_j,\mathfrak{N}_j) )_{j\in J}$ の直積可測空間であるとする。そして $\pi_j\colon Y\rightarrow Y_j$ ($\forall j\in J$) を自然な射影とする。このとき $f\colon X\rightarrow Y$ に対し次は互いに同値である。
*$(1)$ $f$ は可測写像である。
*$(2)$ 任意の $j\in J$ に対し $\pi_j\circ f:X\rightarrow Y_j$ は可測写像である。
{{begin |proof }}
'''命題2.3'''による。
{{end |proof | }}

=== 補題2.7（可算個の第二可算空間の直積位相空間は第二可算） ===
$J$ を可算集合とし、各 $j\in J$ に対し第二可算空間 $X_j$ が与えられているとする。このとき $(X_j)_{j\in J}$ の直積位相空間 $\prod_{j\in J}X_j$ は第二可算空間である。（直積位相空間については[[ネットによる位相空間論]]の7や[[フィルターによる位相空間論]]の6を参照。)
{{begin |proof }}
$J=\{j_n\}_{n\in \mathbb{N}}$ と表す。各 $n\in \mathbb{N}$ に対し位相空間 $X_{j_n}$ の可算基底を $\{U_{n,m}\}_{m\in\mathbb{N}}$ と表す。このとき、
$$
\{\pi_{j_1}^{-1}(U_{1,m_1})\cap \ldots\cap\pi_{j_n}^{-1}(U_{n,m_n}):n\in\mathbb{N}, m_1,\ldots,m_n\in \mathbb{N}\}\quad\quad(*)
$$
は直積位相空間 $\prod_{j\in J}X_j$ の基底<ref>$X_{j_1},\ldots,X_{j_n}$ の任意の開集合 $U_1,\ldots,U_n$ に対し $\pi_{j_1}^{-1}(U_1)\cap \ldots\cap \pi_{j_n}^{-1}(U_n)$ は $(*)$ の元の合併で表される。よって $(*)$ は直積位相の基底である。</ref>であり、これは可算である。
{{end |proof | }}

=== 命題2.8（可算個の第二可算空間の直積位相空間のBorel集合族は直積Borel集合族） ===
$J$ を可算集合とし、各 $j\in J$ に対し第二可算空間 $X_j$ が与えられているとする。このとき $(X_j)_{j\in J}$ の直積位相空間 $X=\prod_{j\in J}X_j$ のBorel集合族 $\mathcal{B}_X$ と $(\mathcal{B}_{X_j})_{j\in J}$ の直積 $\sigma$-加法族 $\bigotimes_{j\in J}\mathcal{B}_{X_j}$ に対し、
$$
\mathcal{B}_X=\bigotimes_{j\in J}\mathcal{B}_{X_j}
$$
が成り立つ。
{{begin |proof }}
各 $j\in J$ に対し自然な射影 $\pi_j\colon X\rightarrow X_j$ は連続写像であるので $\bigotimes_{j\in J}\mathcal{B}_{X_j}\subset \mathcal{B}_X$ が成り立つ。'''補題2.7'''より $X$ は第二可算空間であり、$X$ の任意の開集合 $U$ は'''補題2.7'''の $(*)$ に属する可算個の要素の合併で表せるので $U\in \bigotimes_{j\in J}\mathcal{B}_{X_j}$ である。よって $\mathcal{B}_X\subset \bigotimes_{j\in J}\mathcal{B}_{X_j}$ が成り立つ。
{{end|proof}}

=== 系2.9 ===
$\mathcal{B}_{\mathbb{R}^N}=\bigotimes_{n=1}^{N}\mathcal{B}_{\mathbb{R}}$ が成り立つ。

== 3. 拡張された実数系 $[-\infty,\infty]$ ==

=== 定義3.1（拡張された実数系$[-\infty,\infty]$） ===
$\infty,-\infty\notin\mathbb{R}$ とし、$[-\infty,\infty]:=\mathbb{R}\cup\{\infty,-\infty\}$ とおく。$[-\infty,\infty]$ の二項関係 $\leq$ を $\mathbb{R}$ の全順序 $\leq$ の拡張として次のように定義する。
* $\infty\leq\infty$、$-\infty\leq-\infty$、$-\infty\leq \infty$.
* 任意の $x\in \mathbb{R}\cup\{-\infty\}$ に対し $-\infty\leq x$ であるが $\infty\leq x$ ではない。
* 任意の $x\in \mathbb{R}\cup\{\infty\}$ に対し $x\leq \infty$ であるが $x\leq -\infty$ ではない。
このとき $\leq$ は $[-\infty,\infty]$ の全順序である。この全順序による全順序集合 $[-\infty,\infty]$ を拡張された実数系と言う。$\infty$、$-\infty$ はそれぞれ $[-\infty,\infty]$ の最大元、最小元であり、$[-\infty,\infty]$ の任意の空でない部分集合は上限（最小の上界）と下限（最大の下界）を持つ。(($\mathbb{R}$の任意の上に有界（resp.下に有界）な部分集合が上限（resp. 下限）を持つことによる。))

=== 定義3.2（拡張された実数系における区間） ===

任意の $a,b\in [-\infty,\infty]$ に対し、
* $[a,b]\colon=\{x\in [-\infty,\infty]:a\leq x\leq b\}$
* $(a,b]\colon=\{x\in [-\infty,\infty]:a<x\leq b\}$
* $[a,b)\colon=\{x\in [-\infty,\infty]:a\leq x<b\}$
* $(a,b)\colon=\{x\in [-\infty,\infty]:a<x<b\}$
と定義する。

=== 定義3.3（拡張された実数系における演算） ===
$\mathbb{R}$ における演算を次のように $[-\infty,\infty]$ に拡張する。
* 任意の $x\in (-\infty,\infty]$ に対し $x+\infty=\infty+x=\infty$.
* 任意の $x\in [-\infty,\infty)$ に対し $x-\infty=-\infty+x=-\infty$.
* $0\infty=\infty0=0$、$0(-\infty)=(-\infty)0=0$
* 任意の $x\in (0,\infty]$ に対し $x\infty=\infty x=\infty$、$x(-\infty)=(-\infty) x=-\infty$.
* 任意の $x\in [-\infty,0)$ に対し $x\infty=\infty x=-\infty$、$x(-\infty)=(-\infty) x=\infty$.
* $-(-\infty)=\infty$.

=== 定義3.4（絶対値） ===
任意の $x\in [-\infty,\infty]$ に対し,
$$
\lvert x\rvert\colon=\text{max}(x,-x)\in [0,\infty]
$$
とおく。これは $\mathbb{R}$ の絶対値の拡張である。

=== 定義3.5（非負数の総和） ===
$J$ を空でない集合とし、各 $j\in J$ に対し $x_j\in [0,\infty]$ が与えられているとする。$J$ の有限部分集合全体 $\mathcal{F}_J$ に対し、
$$
\sum_{j\in J}x_j=\sup_{F\in \mathcal{F_J}}\sum_{j\in F}x_j\in [0,\infty]
$$
と定義する。<ref>$\mathbb{R}$ の上に有界な単調増加ネットは上限に収束するから、この定義は $x_j\in [0,\infty)$ $(\forall j\in J)$ で $\sum_{j\in J}x_j$ が収束する場合と矛盾しない。総和については[[位相線形空間1：ノルムと内積]]の5を参照。</ref>

== 4. $[-\infty,\infty]$, $\mathbb{C}$, $\mathbb{R}$ に値を取る関数の可測性 ==

=== 定義4.1（$[-\infty,\infty]$ 値関数の可測性） ===
拡張された実数系 $[-\infty,\infty]$ の区間全体 $\mathcal{I}$ から生成される $[-\infty,\infty]$ 上の $\sigma$-加法族を $\mathcal{B}_{[-\infty,\infty]}=\sigma(\mathcal{I})$ とおき、これを $[-\infty,\infty]$ 上のBorel集合族と言う。可測空間 $X$ と関数 $f:X\rightarrow[-\infty,\infty]$ に対し $f$ が可測であるとは $\mathcal{B}_{[-\infty,\infty]}$ に関して可測であることを言う。

=== 注意4.2 ===
$\mathcal{B}_{[-\infty,\infty]}$ の $\mathbb{R}$ 上の相対 $\sigma$-加法族は'''補題1.6'''より $\mathbb{R}$ の区間全体 $\mathcal{I}\cap \mathbb{R}$ から生成される $\sigma$-加法族であるから $\mathbb{R}$ 上のBorel集合族 $\mathcal{B}_{\mathbb{R}}$ と一致する。<ref>$\mathbb{R}$ の任意の開集合は可算個の開区間の合併であることに注意。</ref>

=== 定義4.3（$\mathbb{R},\mathbb{C},\mathbb{R}^N$ 値関数の可測性） ===
可測空間 $X$ に対し $f\colon X\rightarrow\mathbb{R}$（resp. $f\colon X\rightarrow \mathbb{C}$, $f\colon X\rightarrow\mathbb{R}^N$）が可測関数であるとは、$\mathcal{B}_{\mathbb{R}}$（resp. $\mathcal{B}_{\mathbb{C}}$, $\mathcal{B}_{\mathbb{R}^N}$）に関して可測であることを言う。'''注意4.2'''より $\mathcal{B}_{\mathbb{R}}$ は $\mathcal{B}_{[-\infty,\infty]}$ の相対 $\sigma$-加法族であるから、この $\mathbb{R}$ 値関数の可測性の定義は $[-\infty,\infty]$ 値関数の可測性の'''定義3.1'''と矛盾しない。

=== 注意4.4 ===
可測空間 $X$ に対し $f=(f_1,\ldots,f_N)\colon X\rightarrow \mathbb{R}^N$（resp. $f=f_1+if_2\colon X\rightarrow\mathbb{C}$）が可測関数であることは、'''系2.9'''と'''命題2.6'''より $f_1,\ldots,f_N\colon X\rightarrow\mathbb{R}$（resp. $f_1,f_2\colon X\rightarrow\mathbb{R}$）がそれぞれ可測関数であることと同値である。

=== 定義4.5（$(a<f)$など） ===
関数 $f\colon X\rightarrow [-\infty,\infty]$ と $a\in [-\infty,\infty]$ に対し、
$$
(a<f)\colon=\{x\in X:a<f(x)\},\quad(a\leq f)\colon=\{x\in X:a\leq f(x)\}
$$
と定義する。$a,b\in [-\infty,\infty]$ に対し $(f< a), (f\leq a),(f=a), (a\leq f<b), (a<f\leq b), (a\leq f\leq b)$ なども同様にして定義する。

次の命題は極めて基本的である。

=== 命題4.6（$[-\infty,\infty]$ 値関数の可測性の特徴付け） ===
$(X,\mathfrak{M})$ を可測空間とする。$f\colon X\rightarrow[-\infty,\infty]$ に対し次は互いに同値である。
*$(1)$ $f$ は可測関数である。
*$(2)$ 任意の $a\in \mathbb{R}$ に対し $(a<f)\in \mathfrak{M}$.
*$(3)$ 任意の $a\in \mathbb{R}$ に対し $(a\leq f)\in \mathfrak{M}$.
*$(4)$ 任意の $a\in \mathbb{R}$ に対し $(f<a)\in \mathfrak{M}$.
*$(5)$ 任意の $a\in \mathbb{R}$ に対し $(f\leq a)\in \mathfrak{M}$.
{{begin |proof }}
$(1)\Rightarrow(2)$ は自明である。 
$(2)\Rightarrow(3)$ は $(a\leq f)=\bigcap_{n\in\mathbb{N}}(a-\frac{1}{n}<f)$ による。 
$(3)\Rightarrow(4)$ は $(f<a)=X\backslash (a\leq f)$ による。 
$(4)\Rightarrow(5)$ は $(f\leq a)=\bigcap_{n\in\mathbb{N}}(f<a+\frac{1}{n})$ であることによる。 
$(5)\Rightarrow(2)$ は $(a<f)=X\backslash (f\leq a)$ であることによる。 
$(2),(3),(4),(5)$ が成り立つならば $[-\infty,\infty]$ の任意の区間 $I$ に対し $f^{-1}(I)\in \mathfrak{M}$ であるから'''命題2.3'''より $(1)$ が成り立つ。
{{end|proof}}

=== 定義4.7（関数 $f\colon X\rightarrow [-\infty,\infty]$ の非負部分、非正部分、絶対値 $f_+,f_-,\lvert f\rvert\colon X\rightarrow[0,\infty]$ ） ===
関数 $f\colon X\rightarrow[-\infty,\infty]$ に対し、
$$
f_{\pm}\colon X\ni x\mapsto \text{max} (\pm f(x),0)\in [0,\infty]
$$
と定義する。$f_+$ を $f$ の非負部分、$f_-$ を $f$ の非正部分と言う。
$$
f(x)=f_+(x)-f_-(x),\quad \lvert f(x)\rvert=f_{+}(x)+f_-(x)\quad(\forall x\in X)
$$
である。任意の $p\in (0,\infty)$ に対し、
$$
\lvert f\rvert^p\colon X\ni x\mapsto \lvert f(x)\rvert^p\in [0,\infty]
$$
と定義する。ただし $0^p=0$, $\infty^p=\infty$ とする。

=== 命題4.8（可測関数の基本的な演算でできる関数は可測関数） ===
$(X,\mathfrak{M})$ を可測空間とする。次が成り立つ。
*$(1)$ 可測関数 $f\colon X\rightarrow [-\infty,\infty]$ と $a\in \mathbb{R}$ に対し $af\colon X\ni x\mapsto af(x)\in [-\infty,\infty]$ は可測関数である。
*$(2)$ 可測関数 $f,g\colon X\rightarrow [-\infty,\infty]$ に対し、$f+g\colon X\ni x\mapsto f(x)+g(x)\in [-\infty,\infty]$ は定義できる<ref>つまり任意の $x\in X$ に対し $\{f(x),g(x)\}\neq\{\infty,-\infty\}$。</ref> 限り可測関数である。
*$(3)$ 有限個の可測関数 $f_1,\ldots,f_n\colon X\rightarrow [-\infty,\infty]$ に対し、
$$
\text{max} (f_1,\ldots,f_n)\colon X\ni x\mapsto \text{max} (f_1(x),\ldots,f_n(x))\in [-\infty,\infty]
$$
$$
\text{min} (f_1,\ldots,f_n)\colon X\ni x\mapsto \text{min} (f_1(x),\ldots,f_n(x))\in [-\infty,\infty]
$$
は可測関数である。
*$(4)$ $X\rightarrow [-\infty,\infty]$ の可測関数列 $(f_n)_{n\in \mathbb{N}}$ に対し、
$$
\sup_{n\in \mathbb{N}}f_n\colon X\ni x\mapsto \sup_{n\in \mathbb{N}}f_n(x)\in [-\infty,\infty]
$$
$$
\inf_{n\in\mathbb{N}}f_n\colon X\ni x\mapsto \inf_{n\in \mathbb{N}}f_n(x)\in [-\infty,\infty]
$$
は可測関数である。
*$(5)$ 可測関数 $f\colon X\rightarrow [-\infty,\infty]$ と $p\in (0,\infty)$ に対し、$f_+,f_-,\lvert f\rvert^p\colon X\rightarrow [0,\infty]$ は可測関数である。
*$(6)$ 可測関数 $f,g\colon X\rightarrow \mathbb{C}$ に対し $fg\colon X\ni x\mapsto f(x)g(x)\in \mathbb{C}$ は可測関数である。
{{begin |proof }}
'''命題4.6'''を用いる。
*$(1)$ 自明である。
*$(2)$ 任意の $a\in \mathbb{R}$ に対し、
$$
(a<f+g)=\bigcup_{r\in \mathbb{Q}}(a-r<f)\cap (r<g)\in \mathfrak{M}.
$$
*$(3)$ 任意の $a\in \mathbb{R}$ に対し、
$$
(a<\text{max}(f_1,\ldots,f_n))=\bigcup_{k=1}^{n}(a<f_k)\in \mathfrak{M},\quad (\text{min}(f_1,\ldots,f_n)<a)=\bigcup_{k=1}^{n}(f_k<a)\in\mathfrak{M}.
$$
*$(4)$ 任意の $a\in \mathbb{R}$ に対し、
$$
(a<\sup_{n\in \mathbb{N}}f_n)=\bigcup_{n\in \mathbb{N}}(a<f_n)\in \mathfrak{M},\quad (\inf_{n\in \mathbb{N}}f_n<a)=\bigcup_{n\in \mathbb{N}}(f_n<a)\in\mathfrak{M}.
$$
*$(5)$ $(3)$ より $f_{\pm}=\text{max} (\pm f,0)$ は可測関数である。よって $(2)$ より $\lvert f\rvert=f_++f_-$ も可測関数であり、したがって $\lvert f\rvert^p$ も可測関数である。
*$(6)$ '''注意4.4'''より $f,g$ が共に実数値である場合を考えれば十分である。
$$
fg=\frac{1}{4}(\lvert f+g\rvert^2-\lvert f-g\rvert^2)
$$
であるから $(2),(5)$ より $fg$ は可測関数である。
{{end |proof | }}

== 5. 非負値可測関数の非負値可測単関数の各点単調増加列による近似 ==

=== 定義5.1（指示関数） ===
$X$ を集合とする。$E\subset X$ に対し $\chi_E\colon X\rightarrow \mathbb{R}$ を、
$$
\chi_E(x)=\left\{\begin{array}{ll}1\quad&(x\in E)\\0&(x\in X\backslash E)\end{array}\right.
$$
と定義する。$\chi_E$ を $E$ の指示関数と言う。

=== 命題5.2（可測集合の指示関数の可測性） ===
$(X,\mathfrak{M})$ を可測空間、$E\in \mathfrak{M}$ とすると $\chi_E\colon X\rightarrow \mathbb{R}$ は可測関数である。
{{begin |proof }}
任意の $a\in \mathbb{R}$ に対し、
$$
(a<\chi_E)=\left\{\begin{array}{ll}X\quad&(a<0)\\E&(0\leq a<1)\\\emptyset&(1\leq a)\end{array}\right.
$$
であるから $(a<\chi_E)\in \mathfrak{M}$ である。
{{end |proof | }}

=== 定義5.3（可測関数の空間、可測単関数空間） ===
$(X,\mathfrak{M})$ を可測空間とする。'''命題4.8'''より、
$$
\mathcal{L}(X,\mathfrak{M})\colon=\{f:X\rightarrow \mathbb{C}: f\text{は可測}\}
$$
は各点ごとの演算で $\mathbb{C}$ 上の線型空間をなす。そこで可測集合の指示関数全体から生成される $\mathcal{L}(X,\mathfrak{M})$ の線形部分空間を、
$$
\mathcal{S} (X,\mathfrak{M})\colon=\text{span}\{\chi_E:E\in \mathfrak{M}\}\subset \mathcal{L}(X,\mathfrak{M})
$$
とおく。$\mathcal{S} (X,\mathfrak{M})$ の元を $(X,\mathfrak{M})$ 上の可測単関数と言う。

=== 命題5.4（可測単関数の特徴付け） ===
$(X,\mathfrak{M})$ を可測空間とする。
$$
\mathcal{S}(X,\mathfrak{M})=\{f\in \mathcal{L}(X,\mathfrak{M}):f(X) \text{は有限集合}\}
$$
が成り立つ。
{{begin |proof }}
$\subset$ は自明である。$f(X)$ が有限集合であるような $f\in \mathcal{L}(X,\mathfrak{M})$ に対し $f(X)=\{a_1,\ldots,a_n\}$ なる互いに異なる $a_1,\ldots,a_n\in \mathbb{C}$ を取ると、
$$
(f=a_j)\in\mathfrak{M}\quad(j=1,\ldots,n)
$$
であり、$f=\sum_{j=1}^{n}a_j\chi_{(f=a_j)}\in \mathcal{S}(X,\mathfrak{M})$ である。
{{end |proof | }}

=== 定理5.5（非負値可測関数の非負値可測単関数の各点単調増加列による近似） ===
$(X,\mathfrak{M})$ を可測空間とする。任意の非負値可測関数 $f\colon X\rightarrow[0,\infty]$ に対し非負値可測単関数の列 $(f_n)_{n\in\mathbb{N}}$ を、
$$
f_n(x)\colon=\sum_{k=1}^{n2^n}\frac{k-1}{2^n}\chi_{(\frac{k-1}{2^n}\leq f<\frac{k}{2^n})}(x)+n\chi_{(n\leq f)}(x)\quad(\forall n\in\mathbb{N},\forall x\in X)
$$
と定義する。このとき各 $x\in X$ に対し $(f_n(x))_{n\in \mathbb{N}}$ は単調増加列であり、$f(x)=\sup_{n\in \mathbb{N}}f_n(x)$ が成り立つ。
{{begin |proof}}
任意の $x\in X$ と $n\in \mathbb{N}$ を取り、$f_n(x)\leq f_{n+1}(x)$ が成り立つことを示す。$n+1\leq f(x)$ ならば、 $f_n(x)=n<n+1=f_{n+1}(x)$ である。$n\leq f(x)<n+1$ ならば、
$$
n2^{n+1}\leq k-1\leq f(x)2^{n+1}<k\leq (n+1)2^{n+1}
$$
なる $k\in \mathbb{N}$ が取れるので、$f_n(x)=n\leq\frac{k-1}{2^{n+1}}=f_{n+1}(x)$ である。$f(x)<n$ ならば、$0\leq k-1\leq f(x)2^n<k\leq n2^n$なる $k\in \mathbb{N}$ が取れて、
$$
f_n(x)=\frac{k-1}{2^n},\quad f_{n+1}(x)\in \left\{\frac{2k-2}{2^{n+1}},\text{ }\frac{2k-1}{2^{n+1}}\right\}
$$
であるから $f_n(x)\leq f_{n+1}(x)$ である。次に $f(x)=\sup_{n\in\mathbb{N}}f_n(x)$ が成り立つことを示す。$f(x)=\infty$ ならば $f_n(x)=n$ $(\forall n\in \mathbb{N})$ であるから成り立つ。$f(x)<\infty$ の場合、任意の $\epsilon\in (0,\infty)$ に対し $f(x)<n_0$ かつ $\frac{1}{2^{n_0}}<\epsilon$ なる $n_0\in \mathbb{N}$ を取れば、
$$
0\leq f(x)-f_n(x)\leq \frac{1}{2^n}<\epsilon\quad(\forall n\geq n_0)
$$
である。よって $f(x)=\lim_{n\rightarrow\infty}f_n(x)=\sup_{n\in\mathbb{N}}f_n(x)$ が成り立つ。
{{end |proof | }}

== 次に読む ==
* [[測度と積分2：測度空間上の積分]]

== 関連項目 ==
* [[入門テキスト「測度と積分」]]
* [[入門テキスト「位相線形空間」]]
* [[速習コース「位相空間論の基礎事項」]]
* [[ネットによる位相空間論]]
* [[フィルターによる位相空間論]]

== 脚注 ==

位相線形空間4：Fréchet空間と関数解析の基本定理

2025-01-30T13:14:32Z

Kataoka: /* 定義17.1（セミノルム空間の部分集合の有界性） */

この章では、Fréchet空間における一様有界性定理、開写像定理、閉グラフ定理について述べる。これらの定理は多くのテキストではBanach空間において述べられるが、[[超関数とFourier変換、Sobolev空間]]における応用のため、より一般的なFréchet空間において述べている。
本稿においては、$\mathbb{F}$ により $\mathbb{R}$ か $\mathbb{C}$ を表すこととする。また $\mathbb{N}=\{1,2,3,\ldots\}$ とする。

'''[[入門テキスト「位相線形空間」]]'''
* [[位相線形空間1：ノルムと内積]]
* [[位相線形空間2：セミノルム位相と汎弱位相]]
* [[位相線形空間3：Hahn-Banachの定理とKrein-Milmanの端点定理]]
* '''位相線形空間4：Fréchet空間と関数解析の基本定理'''

== 15. Fréchet空間の定義、Fréchet空間に適合する完備平行移動不変距離 ==

=== 定義15.1（位相線形空間のCauchy列） ===
$X$ を $\mathbb{F}$ 上の位相線形空間とする。$X$ の点列 $(x_n)_{n\in \mathbb{N}}$ が $X$ のCauchy列であるとは、$0\in X$ の任意の近傍 $V$ に対し $n_0\in\mathbb{N}$ が存在し、
$$
x_n-x_m\in V\quad(\forall n,m\geq n_0)
$$
が成り立つことを言う。

=== 定義15.2（Fréchet空間） ===
$\mathbb{F}$ 上のセミノルム空間 $X$ が $\mathbb{F}$ 上のFréchet空間であるとは、$X$ のセミノルム位相を誘導するセミノルムの分離族として可算なものが取れ、$X$ の任意のCauchy列が収束することを言う。

Banach空間はFréchet空間である。

=== 定義15.3（Fréchet空間に適合する平行移動不変距離） ===
$X$ を $\mathbb{F}$ 上のFréchet空間とし、$\{p_n\}_{n\in\mathbb{N}}$ を $X$ のセミノルム位相を誘導する可算分離族とする。$d\colon X\times X\rightarrow[0,\infty)$ を、
$$
d(x,y)\colon=\underset{n\in\mathbb{N}}{\text{max}}\frac{1}{n}\frac{p_n(x-y)}{1+p_n(x-y)}\quad(\forall x,y\in X)\quad\quad(*)
$$
とおくと、次の'''命題15.4'''で見るように、$d$ は次を満たす。
*$(1)$　$d$ は平行移動不変、すなわち任意の $x,y,z\in X$ に対し $d(x+z,y+z)=d(x,y)$.
*$(2)$　$d$ は $X$ 上の距離である。
*$(3)$　$d$ に関する $0\in X$ を中心とする任意の開球 $B(0,r)=\{x\in X:d(x,0)<r\}$ はFréchet空間の絶対凸な開集合である。
*$(4)$　$d$ が誘導する距離位相はFréchet空間 $X$ の位相と一致する。特に $X$ は $d$ に関して完備距離空間である。
$d$ をFréchet空間 $X$ に適合する平行移動不変距離と呼ぶこととする。

=== 命題15.4 ===
'''定義15.3'''の $(*)$ によって定義される $d\colon X\times X\rightarrow[0,\infty)$ は $(1),(2),(3),(4)$ を満たす。
{{begin |proof }}
$(1)$ は自明である。
$$
[0,\infty)\ni t\mapsto \frac{t}{1+t}=1-\frac{1}{1+t}\in [0,1)\quad\quad(*)
$$
は狭義単調増加であるから、任意の $n\in \mathbb{N}$ と任意の $x,y,z\in X$ に対し、
$$
\frac{p_n(x-y)}{1+p_n(x-y)}\leq \frac{p_n(x-y)+p_n(y-z)}{1+p_n(x-y)+p_n(y-z)}
\leq \frac{p_n(x-y)}{1+p_n(x-y)}+\frac{p_n(y-z)}{1+p_n(y-z)}
$$
である。これより $(2)$ が成り立つことが分かる。
$$
B(0,r)=\bigcap_{n\in\mathbb{N}}\left\{x\in X:\frac{1}{n}\frac{p_n(x)}{1+p_n(x)}<r\right\}=\bigcap_{n\in\mathbb{N},nr<1}\left\{x\in X:p_n(x)<\frac{nr}{1-nr}\right\}
$$
であり、$nr<1$ を満たす $n\in\mathbb{N}$ は有限個で、各$\{x\in X:p_n(x)<\frac{nr}{1-nr}\}$ はFréchet空間 $X$の絶対凸な開集合であるから $(3)$ が成り立つ。 
任意の $N\in \mathbb{N}$ と $\epsilon\in(0,\infty)$ に対し、
$$
r\colon=\frac{1}{N}\frac{\epsilon}{1+\epsilon}
$$
とおくと、$(*)$ が狭義単調増加であることから、
$$
B(0,r)\subset \bigcap_{n=1}^{N}\{x\in X:p_n(x)<\epsilon\}
$$
が成り立つ。よって'''命題8.6'''の $(3)$ より $\{B(0,r)\}_{r\in (0,\infty)}$ はFréchet空間 $X$ における $0\in X$ の基本近傍系である。$d$ は平行移動不変であるから $d$ が誘導する距離位相とFréchet空間 $X$ の位相は一致する。
{{end|proof|}}

== 16. Baireのカテゴリ定理 ==

=== 定理16.1（Baireのカテゴリ定理） ===
$(X,d)$ を完備距離空間とし、$(V_n)_{n\in \mathbb{N}}$ を $X$ において稠密な開集合からなる列とする。このとき $\bigcap_{n\in\mathbb{N}}V_n$ も $X$ において稠密である。
{{begin |proof }}
任意の $x_0\in X$ と $r_0\in (0,\infty)$ に対し、
$$
B(x_0,r_0)\cap \bigcap_{n\in \mathbb{N}}V_n\neq\emptyset\quad\quad(*)
$$
が成り立つことを示せばよい。$x_0\in X=\overline{V_1}$ より $B(x_0,r_0)\cap V_1\neq\emptyset$ である。よって、
$$
\overline{B}(x_1,r_1)\subset B(x_0,r_0)\cap V_1,\quad 0<r_1\leq\frac{1}{2}
$$
なる閉球 $\overline{B}(x_1,r_1)=\{x\in X:d(x,x_1)\leq r_1\}$ が取れる。$x_1\in X=\overline{V_2}$ より $B(x_1,r_1)\cap V_2\neq\emptyset$ であるから、
$$
\overline{B}(x_2,r_2)\subset B(x_1,r_1)\cap V_2,\quad 0<r_2\leq\frac{1}{2^2}
$$
なる閉球 $\overline{B}(x_2,r_2)$ が取れる。同様のことを繰り返せば閉球の列 $(\overline{B}(x_n,r_n))_{n\in \mathbb{N}}$ で、
$$
\overline{B}(x_{n},r_{n})\subset B(x_{n-1},r_{n-1})\cap V_{n},\quad 0<r_n\leq\frac{1}{2^n}\quad(\forall n\in \mathbb{N})\quad\quad(**)
$$
を満たすものが取れる。このとき、
$$
\bigcap_{n\in \mathbb{N}}\overline{B}(x_n,r_n)\subset B(x_0,r_0)\cap \bigcap_{n\in \mathbb{N}}V_n
$$
である。よって $(*)$ を示すためには $\bigcap_{n\in \mathbb{N}}\overline{B}(x_n,r_n)\neq\emptyset$ を示せばよい。$m>n$ なる任意の $n,m\in \mathbb{N}$ に対し $(**)$ より、
$$
d(x_m,x_n)\leq d(x_m,x_{m-1})+\ldots+d(x_{n+1},x_n)\leq r_{m-1}+\ldots+r_n\leq\frac{2}{2^n}
$$
である。これより $(x_n)_{n\in \mathbb{N}}$ はCauchy列であるので、完備性よりある $x\in X$ に収束する。$x\in \bigcap_{n\in \mathbb{N}}\overline{B}(x_n,r_n)$ が成り立つことを示せばよい。任意の $n\in \mathbb{N}$ と $\epsilon\in (0,\infty)$に対し、 $m\geq n$ かつ $d(x_m,x)<\epsilon$ を満たす $m\in \mathbb{N}$ を取れば、 $x_m\in B(x,\epsilon)\cap \overline{B}(x_n,r_n)\neq\emptyset$ である。よって $\epsilon$ の任意性より $x\in \overline{B}(x_n,r_n)$ であり、$n\in \mathbb{N}$ の任意性より $x\in \bigcap_{n\in \mathbb{N}}\overline{B}(x_n,r_n)$ である。
{{end|proof|}}

=== 系16.2 ===
$X$ を空でない完備距離空間、$(F_n)_{n\in \mathbb{N}}$ を $X$ の閉集合からなる列とし、$X=\bigcup_{n\in \mathbb{N}}F_n$ とする。このときある $n\in \mathbb{N}$ に対し $F_n^{\circ}\neq\emptyset$ が成り立つ。
{{begin |proof }}
任意の $n\in \mathbb{N}$ に対し $F_n^{\circ}=\emptyset$ であると仮定する。このとき $V_n:=X\backslash F_n$ $(\forall n\in \mathbb{N})$ とおけば $(V_n)_{n\in \mathbb{N}}$ は $X$ において稠密な開集合からなる列である。よってBaireのカテゴリ定理より $\bigcap_{n\in\mathbb{N}}V_n$ は $X$ において稠密である。しかし $\bigcap_{n\in \mathbb{N}}V_n=X\backslash \bigcup_{n\in \mathbb{N}}F_n=\emptyset$ であるから $X$ が空でないことに矛盾する。
{{end|proof|}}

== 17. Fréchet空間における一様有界性定理 ==

=== 定義17.1（セミノルム空間の部分集合の有界性） ===
$X$ をセミノルム空間とする。 $B\subset X$ が有界であるとは、$0$の任意の開近傍 $V$ に対し $r\in (0,\infty)$ が存在し $B\subset rV=\{rx:x\in V\}$ が成り立つことを言う。'''命題8.6'''の $(3)$ より $B$ が有界であることは、任意の連続なセミノルム $p\colon X\rightarrow[0,\infty)$ に対し $r\in(0,\infty)$ が存在し $B\subset \{x\in X:p(x)<r\}$ が成り立つことと同値である。

セミノルム空間の部分集合の有界性はノルム空間の部分集合の有界性と矛盾しない。

=== 補題17.2 ===
$X$ をセミノルム空間とする。$0\in X$ の任意の近傍 $V$ に対し、絶対凸開集合 $W$ で $\overline{W}\subset V$ を満たすものが取れる。
{{begin |proof }}
加法の連続性と'''命題8.6'''の $(3)$ より絶対凸な開集合 $W$ で、
$$
W+W=\{x+y:x,y\in W\}\subset V
$$
なるものが取れる。このとき、
$$
W\cap ((X\backslash V)-W)=\emptyset
$$
であり、$(X\backslash V)-W=\{x-y: x\in X\backslash V,y\in W\}=\bigcup_{x\in X\backslash V}(x-W)$ は開集合であるから、
$$
\overline{W}\cap ((X\backslash V)-W)=\emptyset
$$
である。よって $\overline{W}\cap (X\backslash V)=\emptyset$ であるから、$\overline{W}\subset V$ である。
{{end|proof}}

=== 定理17.3（一様有界性定理） ===
$X$ を $\mathbb{F}$ 上のFréchet空間、$Y$ を $\mathbb{F}$ 上のセミノルム空間とし、$J$ を空でない集合とし、各 $j\in J$ に対し連続線形写像 $T_j\colon X\rightarrow Y$ が与えられているとする。そして各 $x\in X$ に対し $\{T_jx\}_{j\in J}$ が $Y$ の有界集合であるとする。このとき $0\in Y$ の任意の開近傍 $V$ に対し、$0\in X$ の開近傍 $U$ で $T_j(U)\subset V$ $(\forall j\in J)$ を満たすものが存在する。
{{begin |proof }}
'''補題17.2'''より $Y$ の絶対凸開集合 $W$ で $\overline{W}\subset V$ なるものが取れる。このとき $\overline{W}$ は絶対凸閉集合<ref>$\overline{W}$の点は $W$ のネットの収束点によって表されることに注意。[[ネットによる位相空間論]]の'''命題2.4'''を参照。</ref>である。各 $T_j\colon X\rightarrow Y$ は連続線形写像であるので、
$$
F\colon=\bigcap_{j\in J}T_j^{-1}(\overline{W})
$$
は $X$ の絶対凸閉集合である。任意の $x\in X$ に対し、$\{T_jx\}_{j\in J}$ は $Y$ の有界集合であるから、ある $n\in \mathbb{N}$ に対し、
$$
\{T_jx\}_{j\in J}\subset nW,
$$
すなわち、
$$
\frac{1}{n}x\in \bigcap_{j\in J}T_j^{-1}(W)\subset F
$$
が成り立つ。これより、
$$
X=\bigcup_{n\in \mathbb{N}}nF
$$
であるので、Baireのカテゴリ定理（'''系16.2'''）より、 $F^{\circ}\neq\emptyset$ が成り立つ。$F$ は絶対凸なので、任意の $x\in F^{\circ}$ に対し、
$$
0=\frac{1}{2}x-\frac{1}{2}x\in \frac{1}{2}F^{\circ}-\frac{1}{2}x\subset F
$$
であり、$\frac{1}{2}F^{\circ}-\frac{1}{2}x$ は開集合なので、$0\in F^{\circ}$ である。そして任意の $j\in J$ に対し $T_j(F^{\circ})\subset\overline{W}\subset V$ であるから、$U$ を $F^{\circ}$ とすればよい。
{{end|proof|}}

=== 系17.4 ===
$X$ を $\mathbb{F}$ 上のFréchet空間、$Y$ を $\mathbb{F}$ 上のノルム空間とし、各 $n\in \mathbb{N}$ に対し連続線形写像 $T_n\colon X\rightarrow Y$ が与えられているとする。そして各 $x\in X$ に対し $(T_nx)_{n\in \mathbb{N}}$ は収束するとする。このとき、
$$
Tx\colon=\lim_{n\rightarrow\infty} T_nx\quad(\forall x\in x)
$$
として定義される線形写像 $T\colon X\rightarrow Y$ は連続である。
{{begin |proof }}
$T$ の連続性を示すには $0\in X$ における連続性を示せば十分である。$0\in Y$ の任意の近傍 $V$ を取る。任意の $x\in X$ に対し $\{T_nx\}_{n\in \mathbb{N}}$ は有界なので、一様有界性定理より、$0\in X$ の近傍 $U$ で $T_n(U)\subset V$ $(\forall n\in \mathbb{N})$ を満たすものが取れる。よって $T(U)\subset \overline{V}$ であるから $T$ は $0\in X$ において連続である。
{{end|proof|}}

== 18. Fréchet空間における開写像定理 ==

=== 定義18.1（開写像） ===
$X,Y$ を位相空間とする。写像 $f\colon X\rightarrow Y$ が開写像であるとは、$X$ の任意の開集合 $U$ に対し $f(U)$ が $Y$ の開集合であることを言う。

=== 定理18.2（開写像定理） ===
$X,Y$ を $\mathbb{F}$ 上のFréchet空間とし、$T\colon X\rightarrow Y$ を全射連続線形写像とする。このとき $T$ は開写像である。
{{begin |proof }}
*$(1)$　$0\in X$ の任意の近傍 $U$ に対し $T(U)$ が $0\in Y$ の近傍であることを示す。$d\colon X\times X\rightarrow[0,\infty)$ をFréchet空間 $X$ に適合する平行移動不変距離（'''定義15.3'''）とし、
$$
\{x\in X:d(x,0)\leq r\}\subset U
$$
なる $r\in (0,\infty)$ を取る。そして、
$$
U_0\colon=\{x\in X:d(x,0)\leq r\},\quad U_n:=\{x\in X:d(x,0)<\frac{r}{2^n}\}\quad(\forall n\in \mathbb{N})
$$
とおく。各 $n\in \mathbb{N}$ に対し $U_n$ は $0\in X$ の開近傍であるから、スカラー倍の連続性より、
$$
X=\bigcup_{k\in\mathbb{N}}kU_n
$$
である。$T\colon X\rightarrow Y$ は全射線形写像であるから、
$$
Y=T(X)=\bigcup_{k\in\mathbb{N}}kT(U_n)=\bigcup_{k\in\mathbb{N}}k\overline{T(U_n)}
$$
である。よってBaireのカテゴリ定理（'''系16.2'''）より $(\overline{T(U_n)})^{\circ}\neq\emptyset$ であり、$\overline{T(U_n)}$ は絶対凸であるから、
$$
0\in (\overline{T(U_n)})^{\circ}\quad(\forall n\in \mathbb{N})\quad\quad(*)
$$
が成り立つ。<ref>実際、任意の $y\in (\overline{T(U_n)})^{\circ}$ に対し $0=\frac{1}{2}y-\frac{1}{2}y=\frac{1}{2} (\overline{T(U_n)})^{\circ}-\frac{1}{2}y\subset \overline{T(U_n)}$ であり、$\frac{1}{2} (\overline{T(U_n)})^{\circ}-\frac{1}{2}y$ は開集合であるので、$0\in (\overline{T(U_n)})^{\circ}$ である。</ref>これより $T(U)$ が $0\in Y$ の近傍であることを示すには、
$$
\overline{T(U_1)}\subset T(U_0)\quad\quad(**)
$$
が成り立つことを示せばよい。任意の $y_1\in \overline{T(U_1)}$ を取る。$(*)$ より $y_1-\overline{T(U_2)}$ は $y_1$ の近傍であるから、
$$
(y_1-\overline{T(U_2)}))\cap T(U_1)\neq\emptyset
$$
が成り立つ。よって $y_2\in \overline{T(U_2)}$ と $x_1\in U_1$ で、
$$
y_1-y_2=Tx_1
$$
なるものが取れる。また $(*)$ より $y_2-\overline{T(U_3)}$ は $y_2$ の近傍であるから、
$$
(y_2-\overline{T(U_3)})\cap T(U_2)\neq\emptyset
$$
が成り立つ。よって $y_3\in \overline{T(U_3)}$ と $x_2\in U_2$ で、
$$
y_2-y_3=Tx_2
$$
なるものが取れる。同様のことを繰り返すことで $X$ の点列 $(x_n)_{n\in \mathbb{N}}$ と $Y$ の点列 $(y_n)_{n\in \mathbb{N}}$ で、
$$
y_n-y_{n+1}=Tx_n,\quad y_n\in\overline{T(Y_n)},\quad x_n\in U_n\quad(\forall n\in\mathbb{N})
$$
なるものが取れる。$\{U_n\}_{n\in \mathbb{N}}$ は $0\in X$ の基本近傍系であり、 $(U_n)_{n\in \mathbb{N}}$ は単調減少列で、 $T$ は連続であるから、 $y_n\in \overline{T(U_n)}$ $(\forall n\in \mathbb{N})$ は、$\lim_{n\rightarrow\infty}y_n=0$ を意味する。よって、
$$
y_1=\lim_{N\rightarrow\infty}(y_1-y_{N+1})=\lim_{N\rightarrow\infty}\sum_{n=1}^{N}Tx_n\quad\quad(***)
$$
である。$d$ は平行移動不変距離であるから $M>N$ なる任意の $N,M\in \mathbb{N}$ に対し、
$$
d\left(\sum_{n=1}^{M}x_n,\text{ }\sum_{n=1}^{N}x_n\right)
=d\left(\sum_{n=N+1}^{M}x_n,\text{} 0\right)\leq \sum_{n=N+1}^{M}d(x_n,0)<\frac{r}{2^N}
$$
である。(平行移動不変性と三角不等式より任意の $u,v\in X$ に対し $d(u+v,0)=d(u+v,v)+d(v,0)=d(u,0)+d(v,0)$ となることに注意。)よって $(\sum_{n=1}^{N}x_n)_{N\in \mathbb{N}}$ はFréchet空間 $X$ のCauchy列であるから、
$$
x:=\lim_{N\rightarrow\infty}\sum_{n=1}^{N}x_n\in X
$$
が存在する。$T$ の連続性と $(***)$ より $y_1=Tx$ である。$d$ の平行移動不変性より、
$$
d\left(\sum_{n=1}^{N}x_n,\text{ } 0\right)\leq \sum_{n=1}^{N}d(x_n,0)\leq r\quad(\forall N\in \mathbb{N})
$$
であり、
$$
\left\lvert d(x,0)-d\left(\sum_{n=1}^{N}x_n,\text{ }0\right)\right\rvert\leq
d\left(x,\sum_{n=1}^{N}x_n\right)\rightarrow0\quad(N\rightarrow\infty)
$$
であるので $d(x,0)\leq r$ である。よって $x\in U_0$ であるから、 $y_1=Tx\in T(U_0)$ である。これで $(**)$ が示された。

*$(2)$　$X$ の開集合 $U$ に対し $T(U)$ が $Y$ の開集合であることを示す。そのためには任意の $x_0\in U$ に対し $Tx_0\in T(U)^{\circ}$ が成り立つことを示せばよい。$0\in X$ の近傍 $U_0$ で $x_0+U_0\subset U$ なるものを取る。$(1)$ より $T(U_0)$ は $0\in Y$ の近傍であるから $Tx_0+T(U_0)$ は $Tx_0\in Y$ の近傍である。$Tx_0+T(U_0)=T(x_0+U_0)\subset T(U)$ であるから $Tx_0\in T(U)^{\circ}$ である。
{{end|proof|}}

=== 系18.3 ===
$X,Y$ を $\mathbb{F}$ 上のFréchet空間、$T\colon X\rightarrow Y$ を連続な線形同型写像とする。このとき $T^{-1}\colon Y\rightarrow X$ は連続である。

== 19. Fréchet空間における閉グラフ定理 ==

=== 注意19.1（Fréchet空間の閉部分空間） ===
Fréchet空間 $X$ の閉部分空間 $M\subset X$ は自然にFréchet空間である。実際、$\{p_n\}_{n\in \mathbb{N}}$ を $X$ のセミノルム位相を誘導するセミノルムの可算分離族とすると、$\{p_n|_M\}_{n\in \mathbb{N}}$ は $M$ 上のセミノルムの可算分離族であり、これが $M$ に誘導するセミノルム位相は $X$ の相対位相である。そして $M\subset X$ は閉であるから、 $M$ の元からなるCauchy列は $M$ の元に収束するので、$M$ はFréchet空間である。

=== 注意19.2（Fréchet空間の直積はFréchet空間） ===
$X,Y$ を $\mathbb{F}$ 上のFréchet空間とすると、直積線形空間 $X\times Y$ は直積位相によりFréchet空間である。実際、$\{p_{X,n}\}_{n\in \mathbb{N}}, \{p_{Y,n}\}_{n\in \mathbb{N}}$ をそれぞれ $X,Y$ のセミノルム位相を誘導するセミノルムの可算分離族とし、
$$
p_n\colon X\times Y\ni (x,y)\mapsto p_{X,n}(x)+p_{Y,n}(y)\in [0,\infty)\quad(\forall n\in \mathbb{N})
$$
として $X\times Y$ 上のセミノルムの可算分離族 $\{p_n\}_{n\in \mathbb{N}}$ を定義すれば、これが $X\times Y$ に誘導するセミノルム位相は直積位相であり、これにより $X\times Y$ はFréchet空間である。

=== 定理19.3（閉グラフ定理） ===
$X,Y$ を $\mathbb{F}$ 上のFréchet空間、$T\colon X\rightarrow Y$ を線形写像とし、$T$ のグラフ
$$
G(T)=\{(x,Tx):x\in X\}\subset X\times Y
$$
を考える。このとき次は互いに同値である。
*$(1)$　$T$ は連続である。
*$(2)$　$G(T)$ は直積位相に関して閉である。
{{begin |proof }}
$(1)\Rightarrow(2)$ は自明である。$(2)\Rightarrow(1)$ を示す。$(2)$ が成り立つとする。'''注意19.1'''と'''注意19.2'''より $G(T)$ はFréchet空間である。射影
$$
\pi_1:G(T)\ni (x,Tx)\mapsto x\in X,\quad \pi_2:G(T)\ni (x,Tx)\mapsto Tx\in Y
$$
はそれぞれ連続線形写像であり、$\pi_1$ は全単射であるから、'''系18.3'''より、$\pi_1^{-1}\colon X\rightarrow G(T)$ は連続である。よって $T=\pi_2\pi_1^{-1}\colon X\rightarrow Y$ は連続である。
{{end|proof|}}

== 前のページ ==
*[[位相線形空間3：Hahn-Banachの定理とKrein-Milmanの端点定理]]

== 関連項目 ==
* [[入門テキスト「位相線形空間」]]
* [[入門テキスト「位相空間論」]]
* [[ネットによる位相空間論]]
* [[距離空間の位相の基本的性質]]
* [[入門テキスト「測度と積分」]]
* [[超関数とFourier変換、Sobolev空間]]

== 脚注 ==

Hilbert空間上の作用素論

2024-12-05T07:54:29Z

Kataoka: /* 定理15.1（加藤-Rellichの定理1） */

本稿においては、Hilbert空間上の作用素論を展開する。特に量子力学の数学的構造に関わる関数解析学と相性の良い、Hilbert空間上の非有界線形作用素（非有界反線形作用素）の理論、Hilbert空間上の射影値測度（projection-valued measure、PVM）による積分の一般論について詳しく論じる。射影値測度の典型例として、Hilbert空間上の（有界とは限らない）自己共役作用素に付随するスペクトル測度がある。このスペクトル測度による積分（Borel汎関数計算、Borel functional calculus）により、自己共役作用素 $T$ と $T$ のスペクトル $\sigma(T)$ 上で定義されたBorel関数 $f\colon\sigma(T)\rightarrow\mathbb{C}$ に対し $f(T)$ と表すに相応しい作用素が定義できる。こうして、例えば量子力学において基本的な物理量を表す自己共役作用素に対し、その関数で表される作用素が定義できる。（[[量子力学の数学的構造に関わる関数解析]]、[[Stone-von Neumannの一意性定理]]、[[水素様原子の離散スペクトルの決定]]などを参照。）また、境界条件の付いたラプラシアン（より一般には楕円型偏微分作用素）は自己共役作用素であるが、境界条件付きの波動方程式、熱方程式などの一般解を、そのラプラシアンの関数として表すことが可能である。（[[微分方程式の初歩]]を参照。）さらに射影値測度は[[局所コンパクト群のユニタリ表現]]の理論を展開する上でも重要な役割を演じる。 
本稿では、直和Hilbert空間、テンソル積Hilbert空間上の作用素の一般論、トレースクラスとHilbert-Schmidtクラスについても展開している。直和Hilbert空間、テンソル積Hilbert空間上の作用素の一般論はFock空間上の作用素論（[[Fock空間、CCRとCARの表現]]）を展開する上で基礎となり、Fock空間上の作用素論は、トレースクラスとHilbert-Schmidtクラス、von Neumann環と共に量子統計力学の数理の基礎となる（[[無限量子系のための作用素環論]]）。 
本稿で仮定する知識は、Hilbert空間と有界線形作用素の初歩的な知識（[[位相線形空間1：ノルムと内積]]の内容）、セミノルム位相、汎弱位相の初歩的な知識（[[位相線形空間2：セミノルム位相と汎弱位相]]の内容）、測度論（[[入門テキスト「測度と積分」]]の程度の内容）、$C^*$-環のスペクトルの初歩的な知識（[[Banach環とC*-環のスペクトル理論]]の程度の内容）である。本稿では
Hilbert空間と言えば、特に断ることのない限り $\mathbb{C}$ 上のものとする。また、Hilbert空間の内積は第二変数に関して線形とし、$\mathbb{N}=\{1,2,3,\ldots\}$、$\mathbb{Z}_+=\{0,1,2,3,\ldots\}$ とする。

== 1. $C^*$-環 $\mathbb{B}(\mathcal{H})$ の元の作用素としての特徴付け ==

=== 定義1.1（Hilbert空間 $\mathcal{H}$ 上の正規作用素、有界（非負）自己共役作用素、射影作用素、部分等長作用素） ===
$\mathcal{H}$ をHilbert空間とする。[[位相線形空間1：ノルムと内積]]の'''系7.5'''より $\mathcal{H}$ 上の有界線形作用素全体 $\mathbb{B}(\mathcal{H})$ は単位的 $C^*$-環をなす。$C^*$-環 $\mathbb{B}(\mathcal{H})$ の正規元、自己共役元、非負元、射影、部分等長元（[[Banach環とC*-環のスペクトル理論]]の'''定義3.3'''、'''定義7.2'''、'''定義8.1'''、'''定義8.4'''）をそれぞれ $\mathcal{H}$ 上の正規作用素、有界自己共役作用素、有界非負自己共役作用素、射影作用素、部分等長作用素と言う。すなわち、$T\in \mathbb{B}(\mathcal{H})$ が正規作用素であるとは $T^*T=TT^*$ が成り立つこと、$T\in \mathbb{B}(\mathcal{H})$ が有界自己共役作用素であるとは $T^*=T$ が成り立つこと、$T\in \mathbb{B}(\mathcal{H})$ が有界非負自己共役作用素であるとは $T^*=T$ かつ $\sigma(T)\subset [0,\infty)$ が成り立つこと、$P\in \mathbb{B}(\mathcal{H})$ が射影作用素であるとは $P^2=P$ かつ $P^*=P$ が成り立つこと、$V\in \mathbb{B}(\mathcal{H})$ が部分等長作用素であるとは $V^*V$ が射影作用素であることを言う。

=== 注意1.2（$C^*$-環 $\mathbb{B}(\mathcal{H})$ のユニタリ元はユニタリ作用素） ===
$\mathcal{H}$ をHilbert空間とする。共役作用素の定義（[[位相線形空間1：ノルムと内積]]の'''定義7.3'''）より、$U\colon\mathcal{H}\rightarrow\mathcal{H}$ に対し次は互いに同値である。
*$(1)$　$U\colon\mathcal{H}\rightarrow\mathcal{H}$ はユニタリ作用素（[[測度と積分6：数え上げ測度と $\ell^p$ 空間]]の'''定義25.3'''）、すなわちノルムを保存する線形同型写像である（偏極恒等式より内積も保存する）。
*$(2)$　$U$ は $C^*$-環 $\mathbb{B}(\mathcal{H})$ のユニタリ元（[[Banach環とC*-環のスペクトル理論]]の'''定義3.3'''）、すなわち $U^*U=UU^*=1$ である。

=== 命題1.3（$C^*$-環 $\mathbb{B}(\mathcal{H})$ の可逆元の作用素としての特徴付け） ===
$\mathcal{H}$ をHilbert空間、$T\in \mathbb{B}(\mathcal{H})$ とする。このとき次は互いに同値である。
*$(1)$　$T$ は単位的 $C^*$-環 $\mathbb{B}(\mathcal{H})$ の可逆元である。
*$(2)$　$T\colon\mathcal{H}\rightarrow\mathcal{H}$ は全単射である。
*$(3)$　ある $\epsilon\in(0,\infty)$ に対し、
$$
\lVert Tv\rVert\geq\epsilon\lVert v\rVert,\quad\lVert T^*v\rVert\geq \epsilon\lVert v\rVert\quad(\forall v\in\mathcal{H})\quad\quad(*)
$$
が成り立つ。
{{begin |proof }}
$(1)\Rightarrow(2)$ は自明である。$(2)\Rightarrow(1)$ は開写像定理（[[位相線形空間4：Fréchet空間と関数解析の基本定理]]の'''定理18.2'''）による。$(1)$ が成り立つならば $T^*$ も $\mathbb{B}(\mathcal{H})$ の可逆元であり、任意の $v\in \mathcal{H}$ に対し、
$$
\begin{aligned}
&\lVert v\rVert=\lVert T^{-1}Tv\rVert\leq \lVert T^{-1}\rVert\lVert Tv\rVert,\\
&\lVert v\rVert=\lVert {T^*}^{-1}T^*v\rVert\leq \lVert {T^*}^{-1}\rVert\lVert T^*v\rVert
\end{aligned}
$$
となる。よって $(3)$ が成り立つ。$(3)\Rightarrow(2)$ を示す。$(3)$ が成り立つとする。このとき明らかに ${\rm Ker}(T)={\rm Ker}(T^*)=\{0\}$ であり、${\rm Ran}(T), {\rm Ran}(T^*)$ は閉である<ref>任意の $v\in\overline{{\rm Ran}(T)}$ に対し $v$ に収束する ${\rm Ran}(T)$ の列 $(Tu_n)_{n\in\mathbb{N}}$ が取れる。$(*)$ より $(u_n)_{n\in\mathbb{N}}$ はCauchy列であるから $u=\lim_{n\rightarrow\infty}u_n\in \mathcal{H}$ が存在する。よって $v=\lim_{n\rightarrow\infty}Tu_n=Tu$ であるから $v\in{\rm Ran}(T)$ である。ゆえに ${\rm Ran}(T)$ は閉である。同様に ${\rm Ran}(T^*)$ も閉である。</ref>。よって[[位相線形空間1：ノルムと内積]]の'''命題6.12'''と'''命題7.4'''の $(6)$ より、
$$
\begin{aligned}
&{\rm Ran}(T)=\overline{{\rm Ran}(T)}=({\rm Ran}(T))^{\perp\perp}=({\rm Ker}(T^*))^{\perp}=\{0\}^{\perp}=\mathcal{H},\\
&{\rm Ran}(T^*)=\overline{{\rm Ran}(T^*)}=({\rm Ran}(T^*))^{\perp\perp}=({\rm Ker}(T))^{\perp}=\{0\}^{\perp}=\mathcal{H}
\end{aligned}
$$
である。ゆえに $(2)$ が成り立つ。
{{end|proof|}}

=== 命題1.4（Hilbert空間上の有界（非負）自己共役作用素の特徴付け） ===
$\mathcal{H}$ をHilbert空間、$T\in \mathbb{B}(\mathcal{H})$ とする。このとき、
*$(1)$　$T$ が有界自己共役作用素であるための必要十分条件は任意の $v\in \mathcal{H}$ に対し $(v\mid Tv)\in \mathbb{R}$ が成り立つことである。
*$(2)$　$T$ が有界非負自己共役作用素であるための必要十分条件は任意の $v\in\mathcal{H}$ に対し $(v\mid Tv)\geq0$ が成り立つことである。
{{begin |proof }}
*$(1)$　$T$ が有界自己共役作用素ならば $T^*=T$ より任意の $v\in \mathcal{H}$ に対し $(v\mid Tv)=(T^*v\mid v)=(Tv\mid v)=\overline{(v\mid Tv)}$ であるから $(v\mid Tv)\in\mathbb{R}$ である。逆に任意の $v\in \mathcal{H}$ に対し $(v\mid Tv)\in \mathbb{R}$、したがって $(v\mid Tv)=\overline{(v\mid Tv)}=(Tv\mid v)$ ならば、偏極恒等式（[[測度と積分6：数え上げ測度と $\ell^p$ 空間]]の'''定義25.2'''）より任意の $u,v\in \mathcal{H}$ に対し、
$$
(u\mid Tv)=\frac{1}{4}\sum_{k=0}^{3}i^k(i^ku+v\mid T(i^ku+v))=\frac{1}{4}\sum_{k=0}^{3}i^k(T(i^ku+v)\mid i^ku+v)=(Tu\mid v)
$$
である。よって $T=T^*$ であるから $T$ は有界自己共役作用素である。
*$(2)$　$T$ が有界非負自己共役作用素ならば [[Banach環とC*-環のスペクトル理論]]の'''命題7.5'''より $T=\sqrt{T}^2$ なる有界非負自己共役作用素 $\sqrt{T}$ が取れるので、任意の $v\in \mathcal{H}$ に対し $(v\mid Tv)=(v\mid \sqrt{T}^2v)=(\sqrt{T}v\mid \sqrt{T}v)=\lVert \sqrt{T}v\rVert^2\geq0$ である。逆に任意の $v\in \mathcal{H}$ に対し $(v\mid Tv)\geq0$ が成り立つとして $T$ が有界非負自己共役作用素であることを示す。$(1)$ より $T$ は有界自己共役作用素であるので $\sigma(T)\subset [0,\infty)$ が成り立つことを示せばよい。 $T$ は自己共役であるので $\sigma(T)\subset \mathbb{R}$ （[[Banach環とC*-環のスペクトル理論]]の'''命題3.6'''）である。そこで今、$\lambda\in \sigma(T)$ で $\lambda<0$ なるものが存在すると仮定して矛盾を導く。$\lambda-T$ は自己共役であり、可逆ではないので'''命題1.3'''より任意の $\epsilon\in (0,\infty)$ に対し $v_{\epsilon}\in \mathcal{H}$ で、
$$
\lVert (\lambda-T)v_{\epsilon}\rVert<\epsilon\lVert v_{\epsilon}\rVert
$$
を満たすものが取れる。$-\lambda(v_{\epsilon}\mid Tv_{\epsilon})\geq0$ より、
$$
\begin{aligned}
\epsilon^2\lVert v_{\epsilon}\rVert^2>\lVert (\lambda-T)v_{\epsilon}\rVert^2
=\lvert\lambda\rvert^2\lVert v_{\epsilon}\rVert^2-2\lambda(v_{\epsilon}\mid Tv_{\epsilon})+\lVert Tv_{\epsilon}\rVert^2\geq\lvert\lambda\rvert^2\lVert v_{\epsilon}\rVert^2
\end{aligned}
$$
となり $\epsilon>\lvert\lambda\rvert$ を得る。$\epsilon\in (0,\infty)$ は任意であるからこれは $\lambda=0$ を意味し、$\lambda<0$ に矛盾する。よって $\sigma(T)\subset [0,\infty)$ が成り立つ。
{{end|proof|}}

=== 命題1.5（Hilbert空間上の射影作用素の特徴付け） ===
$\mathcal{H}$ をHilbert空間、$P\in \mathbb{B}(\mathcal{H})$ とする。このとき次は互いに同値である。
*$(1)$　$P$ は $\mathcal{H}$ 上の射影作用素である。
*$(2)$　$\mathcal{H}$ の閉部分空間 $\mathcal{K}$ が存在し、直交分解 $\mathcal{H}=\mathcal{K}\oplus \mathcal{K}^{\perp}$（[[位相線形空間1：ノルムと内積]]の'''定理6.11'''）に対し、
$$
Pv=v_1\quad(\forall v=v_1+v_2\in \mathcal{K}\oplus \mathcal{K}^{\perp}=\mathcal{H})
$$
が成り立つ。

そして $(1),(2)$ が成り立つとき $\mathcal{K}={\rm Ran}(P)$、$\mathcal{K}^{\perp}={\rm Ran}(1-P)$ である。
{{begin |proof }}
$(1)\Rightarrow(2)$ を示す。$(1)$ が成り立つとすると $P^2=P$ より ${\rm Ran}(P)={\rm Ker}(1-P)$ であるから ${\rm Ran}(P)$ は $\mathcal{H}$ の閉部分空間である。そして $1-P$ も射影作用素であるから $\Ran(1-P)=\Ker(1-(1-P))=\Ker(P)$ であるので、[[位相線形空間1：ノルムと内積]]の'''命題7.4'''の $(6)$ より、
$$
{\rm Ran}(P)^{\perp}={\rm Ker}(P^*)={\rm Ker}(P)={\rm Ran}(1-P)
$$
である。よって任意の $v\in \mathcal{H}$ に対し、
$$
v=Pv+(1-P)v\in {\rm Ran}(P)\oplus {\rm Ran}(P)^{\perp}=\mathcal{H}
$$
であるから、$\mathcal{K}={\rm Ran}(P)$ とおけば $(2)$ が成り立つ。 
$(2)\Rightarrow(1)$ を示す。$(2)$ が成り立つとする。任意の $u,v\in \mathcal{H}$ に対し、
$$
u=u_1+u_2,\quad v=v_1+v_2\quad(u_1,v_1\in\mathcal{K}, u_2,v_2\in\mathcal{K}^{\perp})
$$
と直交分解すると、
$$
(u\mid Pv)=(u\mid v_1)=(u_1\mid v_1)=(u_1\mid v)=(Pu\mid v)
$$
であるから $P^*=P$ が成り立つ。また $P^2v=Pv_1=v_1=Pv$ であるから $P^2=P$ が成り立つ。よって $P$ は射影作用素である。
{{end|proof|}}

=== 定義1.6（閉部分空間の上への射影作用素） ===
$\mathcal{H}$ をHilbert空間、$\mathcal{K}\subset \mathcal{H}$ を閉部分空間とする。'''命題1.5'''の $(2)\Rightarrow(1)$ の証明より、直交分解 $\mathcal{H}=\mathcal{K}\oplus \mathcal{K}^{\perp}$ に対し、
$$
Pv\colon=v_1\quad(\forall v=v_1+v_2\in \mathcal{K}\oplus \mathcal{K}^{\perp}=\mathcal{H})
$$
として射影作用素 $P\in \mathbb{B}(\mathcal{H})$ が定まる。この $P$ を閉部分空間 $\mathcal{K}$ の上への射影作用素と言う。 $1-P$ は $\mathcal{K}^{\perp}$ の上への射影作用素である。

=== 命題1.7（Hilbert空間上の部分等長作用素の特徴付け） ===
$\mathcal{H}$ をHilbert空間、$V\in \mathbb{B}(\mathcal{H})$ とする。このとき次は互いに同値である。
*$(1)$　$V$ は $\mathcal{H}$ 上の部分等長作用素である。
*$(2)$　$\mathcal{H}$ の閉部分空間 $\mathcal{K}$ が存在し、
$$
\lVert Vv\rVert=\lVert v\rVert\quad(\forall v\in \mathcal{K}),\quad {\rm Ker}(V)=\mathcal{K}^{\perp}
$$
が成り立つ。

そして $(1),(2)$ が成り立つとき $V^*V$ は $\mathcal{K}$ の上への射影作用素である。
{{begin |proof }}
$(1)\Rightarrow(2)$ を示す。$(1)$ が成り立つとする。$V^*V\in\mathbb{B}(\mathcal{H})$ は'''命題1.5'''より $\mathcal{H}$ の閉部分空間 $\mathcal{K}={\rm Ran}(V^*V)$ の上への射影作用素であるから、任意の $v\in \mathcal{K}$ に対し、
$$
\lVert Vv\rVert^2=(Vv\mid Vv)=(v\mid V^*Vv)=(v\mid v)=\lVert v\rVert^2
$$
であり、任意の $v\in \mathcal{K}^{\perp}$ に対し、
$$
\lVert Vv\rVert^2=(Vv\mid Vv)=(v\mid V^*Vv)=0
$$
である。よって、
$$
\lVert Vv\rVert=\lVert v\rVert\quad(\forall v\in \mathcal{K}),\quad \mathcal{K}^{\perp}\subset {\rm Ker}(V)
$$
である。任意の $v\in {\rm Ker}(V)$ に対し、
$$
v=v_1+v_2\in \mathcal{K}\oplus \mathcal{K}^{\perp}=\mathcal{H}
$$
と直交分解すると、$\lVert Vv_1\rVert=\lVert v_1\rVert$、$Vv_2=0$ であるから、
$$
0=\lVert Vv\rVert=\lVert Vv_1\rVert=\lVert v_1\rVert,
$$
よって $v=v_2\in \mathcal{K}^{\perp}$ であるから ${\rm Ker}(V)=\mathcal{K}^{\perp}$ である。ゆえに $(2)$ が成り立つ。 
$(2)\Rightarrow(1)$ を示す。$(2)$ が成り立つとする。任意の $v\in \mathcal{K}$ に対し、
$$
(v\mid v)=\lVert v\rVert^2=\lVert Vv\rVert^2=(Vv\mid Vv)
$$
であるから、偏極恒等式（[[測度と積分6：数え上げ測度と $\ell^p$ 空間]]の'''定義25.2'''）より任意の $u,v\in \mathcal{K}$ に対し、
$$
(u\mid v)=\frac{1}{4}\sum_{k=0}^{3}i^k(i^ku+v\mid i^ku+v)=\frac{1}{4}\sum_{k=0}^{3}i^k(V(i^ku+v)\mid V(i^ku+v))=(Vu\mid Vv)
$$
である。よって任意の $u,v\in \mathcal{H}$ に対し、
$$
u=u_1+u_2,\quad v=v_1+v_2\quad(u_1,v_1\in\mathcal{K}, u_2,v_2\in\mathcal{K}^{\perp})
$$
と直交分解すると、
$$
(u\mid V^*Vv)=(Vu\mid Vv)=(Vu_1\mid Vv_1)=(u_1\mid v_1)=(u\mid v_1)
$$
となる。ゆえに $V^*Vv=v_1$ であるから、$V^*V$ は $\mathcal{K}$ の上への射影作用素であり、したがって $V$ は部分等長作用素である。
{{end|proof|}}

== 2. $\mathbb{B}(\mathcal{H})$ のWOT（weak operator topology）とSOT（strong operator topology）、射影作用素の直交族の（無限）和 ==
この節ではセミノルム位相と汎弱位相の基本的な知識を自由に用いる。これらについては[[位相線形空間2：セミノルム位相と汎弱位相]]の8,9を参照されたい。

=== 定義2.1（$\mathbb{B}(\mathcal{H})$ のWOT（weak operator topology）とSOT（strong operator topology）） ===
$\mathcal{H}$ をHilbert空間とする。任意の $u,v\in\mathcal{H}$ に対し線形空間 $\mathbb{B}(\mathcal{H})$ 上の線形汎関数 $\varphi_{u,v}\colon\mathbb{B}(\mathcal{H})\rightarrow\mathbb{C}$ とセミノルム $p_v\colon\mathbb{B}(\mathcal{H})\rightarrow [0,\infty)$ を、
$$
\varphi_{u,v}(T)\colon=(u\mid Tv),\quad p_v(T):=\lVert Tv\rVert\quad(\forall T\in\mathbb{B}(\mathcal{H}))
$$
として定義する。このとき $\{\varphi_{u,v}\}_{u,v\in\mathcal{H}}$ は $\mathbb{B}(\mathcal{H})$ 上の線形汎関数の分離族、$\{p_v\}_{v\in\mathcal{H}}$ は $\mathbb{B}(\mathcal{H})$ 上のセミノルムの分離族である。$\{\varphi_{u,v}\}_{u,v\in\mathcal{H}}$ が誘導する $\mathbb{B}(\mathcal{H})$ 上の汎弱位相を $\mathbb{B}(\mathcal{H})$ のWOT（weak operator topology）と言い、$\{p_v\}_{v\in \mathcal{H}}$ が誘導する $\mathbb{B}(\mathcal{H})$ 上のセミノルム位相を $\mathbb{B}(\mathcal{H})$ 上のSOT（strong operator topology）と言う。セミノルム位相、汎弱位相による収束の特徴付け（[[位相線形空間2：セミノルム位相と汎弱位相]]の'''命題8.6'''の $(1)$、'''命題9.3'''の $(1)$）より、$\mathbb{B}(\mathcal{H})$ のネット $(T_{\lambda})_{\lambda\in\Lambda}$ と $T\in \mathbb{B}(\mathcal{H})$ に対し、
$$
\begin{aligned}
T_{\lambda}\rightarrow T\quad(\text{ w.r.t. WOT })\quad&\iff\quad (u\mid T_{\lambda}v)\rightarrow (u\mid Tv)\quad(\forall u,v\in \mathcal{H}),\quad\quad(*)\\
T_{\lambda}\rightarrow T\quad(\text{ w.r.t. SOT })\quad&\iff\quad \lVert T_{\lambda}v-Tv\rVert\rightarrow0\quad(\forall v\in\mathcal{H})\quad\quad(**)
\end{aligned}
$$
である。

=== 注意2.2（$\mathbb{B}(\mathcal{H})$ のノルム位相、SOT、WOTの強弱） ===
$\mathbb{B}(\mathcal{H})$ のネット $(T_{\lambda})_{\lambda\in\Lambda}$ と $T\in \mathbb{B}(\mathcal{H})$ に対し、$T_{\lambda}\rightarrow T$ がSOTに関して成り立つならばWOTに関して成り立つ（'''定義2.1'''の $(*),(**)$を参照）。よってネットの収束による連続性の特徴付け（[[ネットによる位相空間論]]の'''定理3'''）よりSOTはWOTより強い。また $\mathbb{B}(\mathcal{H})$ のノルムに関して収束する列はSOTに関して収束するので、ノルム位相はSOTより強い。

=== 命題2.3（$\mathbb{B}(\mathcal{H})_{\rm sa}, \mathbb{B}(\mathcal{H})_+$ はWOT閉） ===
$\mathcal{H}$ をHilbert空間とする。有界自己共役作用素全体 $\mathbb{B}(\mathcal{H})_{\rm sa}$ と有界非負自己共役作用素全体 $\mathbb{B}(\mathcal{H})_+$ はそれぞれ $\mathbb{B}(\mathcal{H})$ においてWOT閉（したがってSOT閉、ノルム閉）である。
{{begin |proof}}
$T$ を $\mathbb{B}(\mathcal{H})_{\rm sa}$（resp. $\mathbb{B}(\mathcal{H})_+$）のWOT閉包の元とすると、$\mathbb{B}(\mathcal{H})_{\rm sa}$（resp. $\mathbb{B}(\mathcal{H})_+$）のネット $(T_{\lambda})_{\lambda\in\Lambda}$ でWOTで $T$ に収束するものが取れる（[[ネットによる位相空間論]]の'''命題2.4'''）。'''命題1.4'''より任意の $v\in \mathcal{H}$、任意の $\lambda\in \Lambda$ に対し $(v\mid T_{\lambda}v)\in\mathbb{R}$（resp. $(v\mid T_{\lambda}v)\in [0,\infty)$）であるから、$(v\mid Tv)=\lim_{\lambda\in\Lambda}(v\mid T_{\lambda}v)\in \mathbb{R}$（resp. $(v\mid Tv)=\lim_{\lambda\in\Lambda}(v\mid T_{\lambda}v)\in [0,\infty)$）である。よって'''命題1.4'''より $T\in \mathbb{B}(\mathcal{H})_{\rm sa}$（resp. $T\in \mathbb{B}(\mathcal{H})_+$）であるから $\mathbb{B}(\mathcal{H})_{\rm sa}$（rsep. $\mathbb{B}(\mathcal{H})_+$）はWOTに関して閉である。SOTとノルム位相はWOTより強いので、WOTに関して閉であることは、SOTとノルム位相に関しても閉であることを意味する。
{{end|proof|}}

=== 定理2.4（$\mathbb{B}(\mathcal{H})_{\rm sa}$ の有界単調増加ネットの上限へのSOT収束） ===
$\mathcal{H}$ をHilbert空間、$(T_{\lambda})_{\lambda\in\Lambda}$ を $\mathbb{B}(\mathcal{H})_{\rm sa}$ の単調増加ネットとし（$\mathbb{B}(\mathcal{H})_{\rm sa}$ の順序に関しては[[Banach環とC*-環のスペクトル理論]]の'''定義7.8'''を参照)、ある $M\in [0,\infty)$ に対し $\lVert T_{\lambda}\rVert\leq M$ $(\forall \lambda\in \Lambda)$ が成り立つとする。このとき $\sup_{\lambda\in\Lambda}T_{\lambda}\in \mathbb{B}(\mathcal{H})_{\rm sa}$ が存在し、$(T_{\lambda})_{\lambda\in\Lambda}$ は $\sup_{\lambda\in\Lambda}T_{\lambda}$ にSOTで収束する。（WOTはSOTより弱いのでWOTでも収束する。）
{{begin |proof }}
任意の $v\in\mathcal{H}$ に対し、$( (v\mid T_{\lambda}v))_{\lambda\in\Lambda}$ は $\mathbb{R}$ の上に有界な単調増加ネットであるから上限に収束する。すなわち、
$$
\lim_{\lambda\in\Lambda}(v\mid T_{\lambda}v)=\sup_{\lambda\in\Lambda}(v\mid T_{\lambda}v)
$$
が成り立つ。偏極恒等式より任意の $u,v\in\mathcal{H}$ に対し、
$$
(u\mid T_{\lambda}v)=\frac{1}{4}\sum_{k=0}^{3}i^k(i^ku+v\mid T_{\lambda}(i^ku+v))\quad(\forall \lambda\in\Lambda)
$$
であるから、$\mathbb{C}$ のネット $( (u\mid T_{\lambda}v))_{\lambda\in\Lambda}$ は収束する。そこで、
$$
\Phi\colon\mathcal{H}\times \mathcal{H}\ni (u,v)\mapsto \lim_{\lambda\in\Lambda}(u\mid T_{\lambda}v)\in \mathbb{C}
$$
とおくと、$\Phi$ は準双線形汎関数（[[位相線形空間1：ノルムと内積]]の'''定義6.4'''）であり、
$$
\lvert\Phi(u,v)\rvert=\lim_{\lambda\in\Lambda}\lvert (u\mid T_{\lambda}v)\rvert\leq M\lVert u\rVert\lVert v\rVert\quad(\forall u,v\in \mathcal{H})
$$
より $\Phi$ は有界であり、そのノルムは $\lVert\Phi\rVert\leq M$ を満たす。よって[[位相線形空間1：ノルムと内積]]の'''定理7.1'''より $T\in \mathbb{B}(\mathcal{H})$ で、
$$
(u\mid Tv)=\Phi(u,v)\quad(\forall u,v\in\mathcal{H}),\quad \lVert T\rVert=\lVert\Phi\rVert\leq M
$$
を満たすものが定まる。
$$
(v\mid Tv)=\Phi(v,v)=\lim_{\lambda\in\Lambda}(v\mid T_{\lambda}v)=\sup_{\lambda\in\Lambda}(v\mid T_{\lambda}v)\quad(\forall v\in\mathcal{H})
$$
であるから、'''命題1.4'''より $T\in \mathbb{B}(\mathcal{H})_{\rm sa}$ であり、$T\geq T_{\lambda}$ $(\forall \lambda\in\Lambda)$ である。また $S\geq T_{\lambda}$ $(\forall \lambda\in\Lambda)$ なる任意の $S\in \mathbb{B}(\mathcal{H})_{\rm sa}$ に対し、
$$
(v\mid Sv)\geq\sup_{\lambda}(v\mid T_{\lambda}v)=(v\mid Tv)\quad(\forall v\in\mathcal{H})
$$
であるから、$S\geq T$ である。よって $T=\sup_{\lambda\in\Lambda}T_{\lambda}$ である。後は $(T_{\lambda})_{\lambda\in\Lambda}$ が $T$ にSOTで収束することを示せばよい。 [[Banach環とC*-環のスペクトル理論]]の'''命題7.12'''より、
$$
0\leq T-T_{\lambda}\leq \lVert T-T_{\lambda}\rVert\leq 2M\quad(\forall\lambda\in\Lambda)
$$
であり、
$$
0\leq (T-T_{\lambda})^2\leq \sqrt{T-T_{\lambda}}(T-T_{\lambda})\sqrt{T-T_{\lambda}}\leq 2M(T-T_{\lambda})\quad(\forall \lambda\in\Lambda)
$$
である。よって任意の $v\in \mathcal{H}$ に対し、
$$
\lVert Tv-T_{\lambda}v\rVert^2=(v\mid(T-T_{\lambda})^2v)\leq 2M(v\mid(T-T_{\lambda})v)=2M( (v\mid Tv)-(v\mid T_{\lambda}v))\rightarrow0
$$
であるから、$(T_{\lambda})_{\lambda\in\Lambda}$ は $T$ にSOTで収束する。
{{end|proof|}}

=== 命題2.5（射影作用素からなる単調増加ネットの上限（SOT（WOT）極限）は射影作用素） ===
$\mathcal{H}$ をHilbert空間、$(P_{\lambda})_{\lambda\in\Lambda}$ を $\mathcal{H}$ 上の射影作用素からなる単調増加ネットとする。このとき $P\colon=\sup_{\lambda\in\Lambda}P_{\lambda}\in \mathbb(B)(\mathcal{H})_+$（'''定理2.4'''を参照）は射影作用素である。
{{begin |proof }}
$P^2=P$ が成り立つことを示せばよい。任意の $\lambda_0\in\Lambda$ を取り固定する。任意の $\lambda\geq\lambda_0$ に対し $P_{\lambda}\geq P_{\lambda_0}$ であるから、[[Banach環とC*-環のスペクトル理論]]の'''命題8.2'''の $(3)$ より、
$$
P_{\lambda_0}=P_{\lambda_0}P_{\lambda}\quad(\forall \lambda\geq\lambda_0)
$$
である。$(P_{\lambda})_{\lambda\in\Lambda}$ は $P$ にSOT収束するから、
$$
P_{\lambda_0}v=\lim_{\lambda\in\Lambda}P_{\lambda_0}P_{\lambda}v=P_{\lambda_0}Pv\quad(\forall v\in\mathcal{H})
$$
である。$\lambda_0\in\Lambda$ は任意であるから $P_{\lambda}v=P_{\lambda}Pv$ $(\forall\lambda\in\Lambda,\forall v\in\mathcal{H})$ であるので、
$$
Pv=\lim_{\lambda\in\Lambda}P_{\lambda}v=\lim_{\lambda\in\Lambda}P_{\lambda}Pv=P^2v\quad(\forall v\in\mathcal{H})
$$
である。ゆえに $P=P^2$ であるから $P$ は射影作用素である。
{{end|proof|}}

=== 定義2.6（射影作用素の直交族の和） ===
$\mathcal{H}$ をHilbert空間とする。$\mathcal{H}$ 上の射影作用素の族 $(P_j)_{j\in J}$ が直交族であるとは、$P_iP_j=0$ $(\forall i,j\in J:i\neq j)$ が成り立つことを言う。$(P_j)_{j\in J}$ を射影作用素の直交族とし、$\mathcal{F}_J$ を $J$ の有限部分集合全体に集合の包含関係による順序を入れた有向集合とする。このとき $(\sum_{j\in F}P_j)_{F\in \mathcal{F}_J}$ は $\mathcal{H}$ 上の射影作用素からなる単調増加ネットであるから、'''命題2.5'''よりその上限（SOT極限）は射影作用素である。そこでこの射影作用素を射影作用素の直交族 $(P_j)_{j\in J}$ の和と言い、
$$
\sum_{j\in J}P_j\colon=\sup_{F\in \mathcal{F}_J}\sum_{j\in F}P_j=\text{SOT-}\lim_{F\in\mathcal{F}_J}\sum_{j\in J}P_j
$$
と表す。

== 3. Hilbert空間上の有界とは限らない線形作用素の定義と基本的性質 ==

=== 定義3.1（Hilbert空間上の有界とは限らない線形作用素） ===
$\mathcal{H},\mathcal{K}$ をHilbert空間とする。$T$ が $\mathcal{H}$ から $\mathcal{K}$ への線形作用素であると言うとき、$T$ は $\mathcal{H}$ 全体で定義されているとは限らず、$\mathcal{H}$ のある線形部分空間 $D(T)$ 上で定義され、$\mathcal{K}$ に値を取る線形作用素であることを意味することとする。$D(T)\subset \mathcal{H}$ を $T$ の定義域、${\rm Ran}(T)=T(D(T))\subset \mathcal{K}$ を $T$ の値域と言う。そして直和Hilbert空間 $\mathcal{H}\oplus \mathcal{K}$（[[測度と積分6：数え上げ測度と $\ell^p$ 空間]]の'''定義26.3'''）の線形部分空間
$$
G(T)\colon=\{(v,Tv)\in \mathcal{H}\oplus \mathcal{K}:v\in D(T)\}
$$
を $T$ のグラフと言う。 
Hilbert空間 $\mathcal{H}$ からHilbert空間 $\mathcal{H}$ への線形作用素のことを単にHilbert空間 $\mathcal{H}$ 上の線形作用素と言う。 
$T$ がHilbert空間 $\mathcal{H}$ からHilbert空間 $\mathcal{K}$ への'''有界'''線形作用素であると言うとき、それは $T\in \mathbb{B}(\mathcal{H},\mathcal{K})$ を意味することとする。すなわち $D(T)=\mathcal{H}$ かつ $G(T)\subset \mathcal{H}\oplus \mathcal{K}$ が閉であることを言う。（閉グラフ定理（[[位相線形空間4：Fréchet空間と関数解析の基本定理]]の'''定理19.3'''）を参照。）

=== 定義3.2（稠密に定義された線形作用素、閉線形作用素） ===
$T$ をHilbert空間 $\mathcal{H}$ からHilbert空間 $\mathcal{K}$ への線形作用素とする。$T$ が稠密に定義されているとは、$D(T)$ が $\mathcal{H}$ で稠密であることを言う。また $T$ が閉であるとは $T$ のグラフ $G(T)$ が $\mathcal{H}\oplus \mathcal{K}$ において閉であることを言う。

=== 定義3.3（線形作用素の包含関係） ===
$S,T$ をそれぞれHilbert空間 $\mathcal{H}$ から $\mathcal{K}$ への線形作用素とする。
$$
S\subset T\quad \iff\quad G(S)\subset G(T)
$$
と定義する。これを $T$ は $S$ を包含する（$S$ は $T$ に包含される）と言う。明らかにこの包含関係は $\mathcal{H}$ から $\mathcal{K}$ への線形作用素全体における順序である。

=== 定義3.4（単射線形作用素の逆作用素） ===
$T$ をHilbert空間 $\mathcal{H}$ からHilbert空間 $\mathcal{K}$ への単射線形作用素とする。このとき線形同型写像 $D(T)\ni v\mapsto Tv\in {\rm Ran}(T)$ の逆写像として定義される $\mathcal{K}$ から $\mathcal{H}$ への線形作用素を、
$$
T^{-1}:D(T^{-1})\colon={\rm Ran}(T)\ni Tv\mapsto v\in \mathcal{H}
$$
と表す。

=== 定義3.5（線形作用素の和、スカラー倍、積） ===
$S,T$ をHilbert空間 $\mathcal{H}$ から $\mathcal{K}$ への線形作用素とする。このとき $\mathcal{H}$ から $\mathcal{K}$ への線形作用素 $S+T$ を、
$$
S+T\colon D(S+T)\colon=D(S)\cap D(T)\ni v\mapsto Sv+Tv\in \mathcal{K}
$$
と定義する。また $\alpha\in \mathbb{C}$ に対し $\mathcal{H}$ から $\mathcal{K}$ への線形作用素 $\alpha T$ を、
$$
\begin{aligned}
&\alpha T\colon D(\alpha T)\colon=D(T)\ni v\mapsto \alpha Tv\in \mathcal{K}\quad(\alpha\neq0\text{ の場合 }),\\
&\alpha T:D(\alpha T):=\mathcal{H}\ni v\mapsto 0\in \mathcal{K}\quad(\alpha=0\text{ の場合 })
\end{aligned}
$$
と定義する。 
$\mathcal{H},\mathcal{K},\mathcal{L}$ をそれぞれHilbert空間とし、$T$ を $\mathcal{H}$ から $\mathcal{K}$ への線形作用素、$S$ を $\mathcal{K}$ から $\mathcal{L}$ への線形作用素とする。このとき $\mathcal{H}$ から $\mathcal{L}$ への線形作用素 $ST$ を、
$$
ST:D(ST)\colon=\{v\in D(T):Tv\in D(S)\}\ni v\mapsto STv\in \mathcal{L}
$$
と定義する。

=== 定義3.6（稠密に定義された線形作用素の共役作用素） ===
$T$ をHilbert空間 $\mathcal{H}$ からHilbert空間 $\mathcal{K}$ への稠密に定義された線形作用素とする。$\mathcal{K}$ の線形部分空間
$$
D\colon=\{v\in \mathcal{K}: D(T)\ni u\mapsto (v\mid Tu)\in \mathbb{C}\text{ は有界線形汎関数 }\}
$$
を考える。任意の $v\in D$ に対し、有界線形汎関数 $D(T)\ni u\mapsto (v\mid Tu)\in \mathbb{C}$ は $\mathcal{H}=\overline{D(T)}$ 上の有界線形汎関数に一意拡張できる（[[位相線形空間1：ノルムと内積]]の'''命題3.6'''）から、Rieszの定理（[[位相線形空間1：ノルムと内積]]の'''定理6.13'''）より、$T^*v\in \mathcal{H}$ で、
$$
(v\mid Tu)=(T^*v\mid u)\quad(\forall u\in D(T))
$$
を満たすものが定まる。こうして定義される $\mathcal{K}$ から $\mathcal{H}$ への線形作用素
$$
T^*:D(T^*)\colon=D\ni v\mapsto T^*v\in \mathcal{H}
$$
を $T$ の共役作用素と言う。この共役作用素の定義は有界線形作用素 $T\in \mathbb{B}(\mathcal{H},\mathcal{K})$ の共役作用素 $T^*\in \mathbb{B}(\mathcal{K},\mathcal{H})$ の定義（[[位相線形空間1：ノルムと内積]]の'''定義7.3'''）と矛盾しない。

=== 定義3.7（可閉線形作用素とその閉包） ===
$T$ をHilbert空間 $\mathcal{H}$ からHilbert空間 $\mathcal{K}$ への線形作用素とする。$T$ を包含する閉線形作用素が存在するとき、$T$ は可閉であると言う。
$T$ を $\mathcal{H}$ から $\mathcal{K}$ への可閉線形作用素とする。
$$
\pi\colon\mathcal{H}\oplus \mathcal{K}\ni (v,w)\mapsto v\in \mathcal{H}
$$
に対し、線形部分空間
$$
D\colon=\pi(\overline{G(T)})\subset \mathcal{H}
$$
を定義する。このとき任意の $v\in D$ に対し $(v,w)\in \overline{G(T)}$ を満たす $w\in \mathcal{K}$ は唯一つである。実際、$T$ が可閉であることから $T\subset S$ を満たす閉線形作用素が存在し、$\overline{G(T)}\subset G(S)$ であるから、 $(v,w_1),(v,w_2)\in \overline{G(T)}$ ならば $w_1=Sv=w_2$ である。そこで任意の $v\in D$ に対し $(v,w)\in \overline{G(T)}$ として定まる $w$ に対し $w:=\overline{T}v$ とおき、線形作用素
$$
\overline{T}\colon D(\overline{T}):=D\ni v\mapsto \overline{T}v\in \mathcal{K}
$$
を定義する。このとき明らかに $G(\overline{T})=\overline{G(T)}$ である。閉線形作用素 $\overline{T}$ を可閉線形作用素 $T$ の閉包と言う。$\overline{T}$ は $T$ を包含する閉線形作用素の中で最小のものとして特徴付けられる。

=== 定義3.8（閉線形作用素の芯） ===
$T$ をHilbert空間 $\mathcal{H}$ から Hilbert空間 $\mathcal{K}$ への閉線形作用素とする。線形部分空間 $D\subset D(T)$ で、
$$
\overline{T|_D}=T
$$
を満たすものを $T$ の芯と言う。ただし $T|_D$ は $T$ の $D$ 上への制限である。

=== 命題3.9（Hilbert空間上の有界とは限らない線形作用素の基本的性質） ===
$\mathcal{H},\mathcal{K},\mathcal{L}$ をそれぞれHilbert空間とする。
*$(1)$　$T_1,T_2$ を $\mathcal{H}$ から $\mathcal{K}$ への線形作用素、$S$ を $\mathcal{K}$ から $\mathcal{L}$ への線形作用素とする。このとき、
$$
S(T_1+T_2)\supset ST_1+ST_2
$$
が成り立つ。また、$T$ を $\mathcal{H}$ から $\mathcal{K}$ への線形作用素、$S_1,S_2$ を $\mathcal{K}$ から $\mathcal{L}$ への線形作用素とすると、
$$
(S_1+S_2)T=S_1T+S_2T
$$
が成り立つ。
*$(2)$　$T$ を $\mathcal{H}$ から $\mathcal{K}$ への線形作用素、$S$ を $\mathcal{K}$ から $\mathcal{L}$ への線形作用素とし、$\alpha\in \mathbb{C}\backslash \{0\}$ とすると、
$$
S(\alpha T)=(\alpha S)T=\alpha(ST)
$$
が成り立つ。
*$(3)$　$T$ を $\mathcal{H}$ から $\mathcal{K}$ への単射線形作用素とし、$S$ を $\mathcal{K}$ から $\mathcal{L}$ への単射線形作用素とすると、$ST$ は $\mathcal{H}$ から $\mathcal{L}$ への単射線形作用素であり、
$$
(ST)^{-1}=T^{-1}S^{-1}
$$
が成り立つ。
*$(4)$　$T$ を $\mathcal{H}$ から $\mathcal{K}$ への稠密に定義された線形作用素とし、$\alpha\in \mathbb{C}\backslash \{0\}$ とすると、
$$
(\alpha T)^*=\overline{\alpha}T^*
$$
が成り立つ。
*$(5)$　$T$ を $\mathcal{H}$ から $\mathcal{K}$ への稠密に定義された線形作用素とすると、
$$
({\rm Ran}(T))^{\perp}={\rm Ker}(T^*)
$$
が成り立つ。
*$(6)$　$T$ を $\mathcal{H}$ から $\mathcal{K}$ への稠密に定義された線形作用素とすると、$T^*$ は $\mathcal{K}$ から $\mathcal{H}$ への閉線形作用素である。
*$(7)$　$S,T$ を $\mathcal{H}$ から $\mathcal{K}$ への稠密に定義された線形作用素とし、$S\subset T$ であるとすると、$T^*\subset S^*$ が成り立つ。
*$(8)$　$T$ を $\mathcal{H}$ から $\mathcal{K}$ への稠密に定義された可閉線形作用素とすると、$(\overline{T})^*=T^*$ が成り立つ。
*$(9)$　$T$ を $\mathcal{H}$ から $\mathcal{K}$ への稠密に定義された線形作用素、$S$ を $\mathcal{K}$ から $\mathcal{L}$ への稠密に定義された線形作用素とし、$ST$ が $\mathcal{H}$ から $\mathcal{L}$ への稠密に定義された線形作用素であるとすると、
$$
(ST)^*\supset T^*S^*
$$
が成り立つ。またもし $S\in \mathbb{B}(\mathcal{K},\mathcal{L})$ であれば、
$$
(ST)^*=T^*S^*
$$
が成り立つ。
*$(10)$　$S,T$ を $\mathcal{H}$ から $\mathcal{K}$ への稠密に定義された線形作用素とし、$S+T$ も $\mathcal{H}$ から $\mathcal{K}$ への稠密に定義された線形作用素であるとすると、
$$
(S+T)^*\supset S^*+T^*
$$
が成り立つ。またもし $S\in \mathbb{B}(\mathcal{H},\mathcal{K})$ であれば、
$$
(S+T)^*=S^*+T^*
$$
が成り立つ。
*$(11)$ $T\in \mathbb{B}({\cal H},{\cal K})$、$S$ を ${\cal K}$ から ${\cal L}$ への閉線型作用素とすると、$ST$ は ${\cal H}$ から ${\cal L}$ への閉線型作用素である。
*$(12)$ $T\in \mathbb{B}({\cal H},{\cal K})$、$S$ を ${\cal H}$ から ${\cal K}$ への閉線型作用素とすると、$S+T$ は ${\cal H}$ から ${\cal K}$ への閉線型作用素である。
{{begin |proof }}
$(1),(2)$ は線形作用素の和、スカラー倍、積の定義（'''定義3.5'''）より明らかである。$(3)$ は単射線形作用素の逆作用素の定義（'''定義3.4'''）より明らかである。$(4)$ は稠密に定義された線形作用素の共役作用素の定義（'''定義3.6'''）より明らかである。 
$(5)$ を示す。任意の $v\in ({\rm Ran}(T))^{\perp}$ に対し、
$$
(v\mid Tu)=0\quad(\forall u\in D(T))
$$
であるから、$v\in D(T^*)$ であり、
$$
(T^*v\mid u)=(v\mid Tu)=0\quad(\forall u\in D(T))
$$
である。$\overline{D(T)}=\mathcal{H}$ であるからこれは $v\in {\rm Ker}(T^*)$ を意味する。逆に $v\in {\rm Ker}(T^*)$ ならば、
$$
(v\mid Tu)=(T^*v\mid u)=0\quad(\forall u\in D(T))
$$
であるから $v\in ({\rm Ran}(T))^{\perp}$ である。 
$(6)$ を示す。$\mathcal{K}\oplus \mathcal{H}$ において、
$$
(v_n,T^*v_n)\rightarrow (v,w)\quad(n\rightarrow\infty)
$$
であるとすると、任意の $u\in D(T)$ に対し、
$$
(w\mid u)=\lim_{n\rightarrow\infty}(T^*v_n\mid u)=\lim_{n\rightarrow\infty}(v_n\mid Tu)=(v\mid Tu)
$$
であるから $v\in D(T^*)$ であり、$w=T^*v$ である。よって $G(T^*)$ は $\mathcal{K}\oplus \mathcal{H}$ の閉部分空間なので $T^*$ は閉である。 
$(7)$ を示す。任意の $v\in D(T^*)$ を取る。任意の $u\in D(S)$ に対し $Su=Tu$ であるから、
$$
(v\mid Su)=(v\mid Tu)=(T^*v\mid u)
$$
である。よって $v\in D(S^*)$ であり、$S^*v=T^*v$ である。ゆえに $T^*\subset S^*$ である。 
$(8)$ を示す。$(7)$ より $(\overline{T})^*\subset T^*$ であるから逆の包含関係を示す。任意の $u\in D(\overline{T})$ と任意の $v\in D(T^*)$ を取る。$(u,\overline{T}u)\in G(\overline{T})=\overline{G(T)}$ より $D(T)$ の列 $(u_n)_{n\in\mathbb{N}}$ で、
$$
(u_n,Tu_n)\rightarrow (u,\overline{T}u)\quad(n\rightarrow\infty)
$$
なるものが取れる。これより、
$$
(T^*v\mid u)=\lim_{n\rightarrow\infty}(T^*v\mid u_n)=\lim_{n\rightarrow\infty}(v\mid Tu_n)=(v\mid \overline{T}u)
$$
であるから、$v\in D((\overline{T})^*)$ であり、$(\overline{T})^*v=T^*v$ である。よって $T^*\subset (\overline{T})^*$ が成り立つ。 
$(9)$ を示す。任意の $v\in D(T^*S^*)$、任意の $u\in D(ST)$ に対し、
$$
(v\mid STu)=(S^*v\mid Tu)=(T^*S^*v\mid u)
$$
であるから $v\in D((ST)^*)$ であり、$T^*S^*v=(ST)^*v$ である。よって $T^*S^*\subset (ST)^*$ が成り立つ。$S\in \mathbb{B}(\mathcal{K},\mathcal{L})$ であるとき逆の包含関係 $(ST)^*\subset T^*S^*$ が成り立つことを示す。任意の $v\in D(ST)^*$、任意の $u\in D(T)$ に対し、
$$
(S^*v\mid Tu)=(v\mid STu)=( (ST)^*v\mid u)
$$
であるから、$S^*v\in D(T^*)$ であり、$T^*S^*v=(ST)^*v$ である。よって$(ST)^*\subset T^*S^*$ が成り立つ。 
$(10)$ を示す。任意の $v\in D(S^*+T^*)=D(S^*)\cap D(T^*)$、任意の $u\in D(S+T)=D(S)\cap D(T)$ に対し、
$$
(v\mid (S+T)u)=(v\mid Su)+(v\mid Tu)=(S^*v\mid u)+(T^*v\mid u)=((S^*+T^*)v\mid u)
$$
であるから、$v\in D( (S+T)^*)$ であり、$(S+T)^*v=(S^*+T^*)v$ である。よって $S^*+T^*\subset (S+T)^*$ が成り立つ。$S\in \mathbb{B}(\mathcal{H},\mathcal{K})$ であるとき逆の包含関係 $(S+T)^*\subset S^*+T^*$ が成り立つことを示す。任意の $v\in D( (S+T)^*)$、任意の $u\in D(T)$ に対し、
$$
(v\mid Tu)=(v\mid (S+T)u)-(v\mid Su)=( (S+T)^*v\mid u)-(S^*v\mid u)
$$
であるから、$v\in D(T^*)=D(S^*)\cap D(T^*)=D(S^*+T^*)$ であり、$(S+T)^*v=S^*v+T^*v$ である。よって $(S+T)^*\subset S^*+T^*$ が成り立つ。 
$(11)$ を示す。任意の $(v,w)\in \overline{G(ST)}$ に対し $\lim_{n\rightarrow\infty}(v_n,STv_n)=(v,w)$ なる $D(ST)$ の列 $(v_n)_{n\in \mathbb{N}}$ を取る。 $T\in \mathbb{B}({\cal H},{\cal K})$ より $\lim_{n\rightarrow\infty}Tv_n=Tv$ であるので、
$$
(Tv,w)=\lim_{n\rightarrow\infty}(Tv_n,STv_n)\in \overline{G(S)}=G(S)
$$
である。よって $w=STv$ であるから $(v,w)=(v,STv)\in G(ST)$ である。これより　$\overline{G(ST)}=G(ST)$　なので　$ST$　は閉である。 
$(12)$を示す。任意の $(v,w)\in \overline{G(S+T)}$ に対し $\lim_{n\rightarrow\infty}(v_n,(S+T)v_n)=(v,w)$ なる $D(S+T)$ の列 $(v_n)_{n\in\mathbb{N}}$ を取る。$T\in \mathbb{B}({\cal H},{\cal K})$ より $\lim_{n\rightarrow\infty}Tv_n=Tv$ であるので、
$$
(v,w-Tv)=\lim_{n\rightarrow\infty}(v_n,(S+T)v_n-Tv_n)=\lim_{n\rightarrow\infty}(v_n,Sv_n)\in \overline{G(S)}=G(S)
$$
である。よって $w-Tv=Sv$ であるから $(v,w)=(v,(S+T)v)\in G(S+T)$ である。これより $\overline{G(S+T)}=G(S+T)$ なので $S+T$ は閉である。
{{end|proof|}}

=== 定理3.10（稠密に定義された閉線形作用素の性質） ===
$T$ をHilbert空間 $\mathcal{H}$ からHilbert空間 $\mathcal{K}$ への稠密に定義された閉線形作用素とする。このとき、
*$(1)$　$D(T^*T)$ は $T$ の芯であり、$1+T^*T\colon D(T^*T)\rightarrow\mathcal{H}$ は全単射である。
*$(2)$　$T^*$ は $\mathcal{K}$ から $\mathcal{H}$ への稠密に定義された閉線形作用素である。
*$(3)$　$T^{**}=T$ が成り立つ。
*$(4)$　$(T^*T)^*=T^*T$ が成り立つ。
{{begin |proof }}
*$(1)$　$T$ は閉線形作用素であるから $G(T)$ はHilbert空間 $\mathcal{H}\oplus \mathcal{K}$ の閉部分空間である。よって $G(T)$ は $\mathcal{H}\oplus \mathcal{K}$ の内積によりHilbert空間である。Hilbert空間 $G(T)$ からHilbert空間 $\mathcal{H}$ への有界線形作用素
$$
\pi\colon G(T)\ni (v,Tv)\mapsto v\in \mathcal{H}
$$
を考える。$\pi$ は単射であるから'''命題3.9'''の $(5)$ より、
$$
(\pi^*(\mathcal{H}))^{\perp}={\rm Ker}(\pi)=\{0\}
$$
である。よって、
$$
\overline{\pi^*(\mathcal{H})}=( (\pi^*(\mathcal{H}))^{\perp})^{\perp}=\{0\}^{\perp}=G(T)
$$
である（[[位相線形空間1：ノルムと内積]]の'''命題6.12'''）。そこで、
$$
D\colon=\pi(\pi^*(\mathcal{H}))\subset D(T)
$$
とおけば $G(T|_D)=\pi^*(\mathcal{H})$ であるから、
$$
\overline{G(T|_D)}=\overline{\pi^*(\mathcal{H})}=G(T)
$$
である。よって $D$ は $T$ の芯である。今、任意の $v=\pi(\pi^*(w))\in \pi(\pi^*(\mathcal{H}))=D$ を取る。このとき $\pi^*(w)=(v,Tv)$ であるから、任意の $u\in D(T)$ に対し、
$$
(v\mid u)+(Tv\mid Tu)=( (v,Tv)\mid (u,Tu))=(\pi^*(w)\mid (u,Tu))=(w\mid u)
$$
である。よって、
$$
(w-v\mid u)=(Tv\mid Tu)\quad(\forall u\in D(T))
$$
であるから、$v\in D(T^*T)$、$w=v+T^*Tv$ である。これより $D\subset D(T^*T)$ であるから $D(T^*T)$ も $T$ の芯であり、また $w\in {\cal H}$ の任意性より $\mathcal{H}={\rm Ran}(1+T^*T)$ である。後は $1+T^*T$ が単射であることを示せばよい。そこで任意の $v\in {\rm Ker}(1+T^*T)$ を取る。
$$
0=(v\mid (1+T^*T)v)=(v\mid v)+(v\mid T^*Tv)=\lVert v\rVert^2+\lVert Tv\rVert^2
$$
であるから $v=0$ である。ゆえに $1+T^*T$ は単射である。
*$(2)$　$(1)$ より $D(T^*T)$ は $T$ の芯であるから任意の $v\in D(T)$ に対し $D(T^*T)$ の列 $(v_n)_{n\in \mathbb{N}}$ で、
$$
(v_n,Tv_n)\rightarrow (v,Tv)\quad(n\rightarrow\infty)
$$
なるものが取れる。よって、
$$
Tv=\lim_{n\rightarrow\infty}Tv_n\in \overline{D(T^*)}
$$
であるから、
$$
{\rm Ran}(T)\subset \overline{D(T^*)}
$$
が成り立つ。これと'''命題3.9'''の $(5)$ より、
$$
(D(T^*))^{\perp}=(\overline{D(T^*)})^{\perp}\subset ({\rm Ran}(T))^{\perp}={\rm Ker}(T^*)\subset D(T^*)
$$
であるから $(D(T^*))^{\perp}=\{0\}$ である。よって
$$
\overline{D(T^*)}=( (D(T^*))^{\perp})^{\perp}=\{0\}^{\perp}=\mathcal{K}
$$
であるから $T^*$ は稠密に定義された線形作用素である。$T^*$ が閉であることは'''命題3.9'''の $(6)$ による。
*$(3)$　
$$
(u\mid T^*v)=(Tu\mid v)\quad(\forall v\in D(T^*),\forall u\in D(T))
$$
であるから $T\subset T^{**}$ である。同様に $T^*\subset T^{***}$ である。ここで $T\subset T^{**}$ と'''命題3.9'''の $(7)$ より $T^{***}\subset T^*$ であるので $T^*=T^{***}$ である。$T=T^{**}$ を示すにはHilbert空間 $G(T^{**})$ における閉部分空間 $G(T)$ の直交補空間 $G(T^{**})\cap (G(T))^{\perp}$ が $\{0\}$ であることを示せばよい。そこで任意の $(v,T^{**}v)\in G(T^{**})\cap (G(T))^{\perp}$ を取る。
$$
0=( (u,Tu)\mid (v,T^{**}v))=(u\mid v)+(Tu\mid T^{**}v)\quad(\forall u\in D(T))
$$
であるから $v\in D(T^*T^{**})=D(T^{***}T^{**})$ であり、
$$
0=(1+T^*T^{**})v=(1+T^{***}T^{**})v
$$
である。$T^{**}$ は稠密に定義された閉線形作用素であるので $(1)$ より $1+T^{***}T^{**}$ は単射である。よって $v=0$、したがって $(v,T^{**}v)=0$ であるので $G(T^{**})\cap (G(T))^{\perp}=\{0\}$ である。ゆえに $T=T^{**}$ である。
*$(4)$　$(1)$ より $T^*T$ は稠密に定義された線形作用素であり、
$$
(u\mid T^*Tv)=(Tu\mid Tv)=(T^*Tu\mid v)\quad(\forall u,v\in D(T^*T))
$$
であるから $T^*T\subset (T^*T)^*$ である。$T^*T=(T^*T)^*$ を示すには $D( (T^*T)^*)\subset D(T^*T)$ を示せばよい。任意の $w\in D( (T^*T)^*)=D(1+(T^*T)^*)=D( (1+T^*T)^*)$ を取る。$(1)$ より ${\rm Ran}(1+T^*T)=\mathcal{H}$ であるから、
$$
(1+T^*T)^*w=(1+T^*T)v
$$
なる $v\in D(T^*T)$ が取れる。 $1+T^*T\subset 1+(T^*T)^*=(1+T^*T)^*$ なので、
$$
(1+T^*T)^*(w-v)=0
$$
である。よって'''命題3.9'''の $(5)$ より、
$$
w-v\in {\rm Ker}( (1+T^*T)^*)=({\rm Ran}(1+T^*T))^{\perp}=\mathcal{H}^{\perp}=\{0\}
$$
である。ゆえに $w=v\in D(T^*T)$ であるので $D( (T^*T)^*)\subset D(T^*T)$ である。よって $T^*T=(T^*T)^*$ である。
{{end|proof|}}

== 4. 対称作用素、自己共役作用素、Cayley変換 ==

=== 定義4.1（対称作用素、自己共役作用素） ===
$\mathcal{H}$ をHilbert空間、$T$ を $\mathcal{H}$ 上の稠密に定義された線形作用素とする。$T\subset T^*$ が成り立つとき $T$ を $\mathcal{H}$ 上の対称作用素と言う。また $T=T^*$ が成り立つとき $T$ を $\mathcal{H}$ 上の自己共役作用素と言う。

=== 命題4.2（対称作用素の特徴付け） ===
$T$ をHilbert空間 $\mathcal{H}$ 上の稠密に定義された線形作用素とする。このとき次は互いに同値である。
*$(1)$　$T$ は $\mathcal{H}$ 上の対称作用素（つまり $T\subset T^*$）である。
*$(2)$　任意の $u,v\in D(T)$ に対し $(u\mid Tv)=(Tu\mid v)$ が成り立つ。
*$(3)$　任意の $v\in D(T)$ に対し $(v\mid Tv)\in\mathbb{R}$ が成り立つ。
*$(4)$　$G(T)\ni (v,Tv)\mapsto (T\pm i)v\in {\rm Ran}(T\pm i)$ は等長線形同型写像である。
{{begin |proof }}
$(1)\Leftrightarrow(2)\Rightarrow(3)$ は自明である。$(3)\Rightarrow(2)$ は偏極恒等式
$$
(u\mid Tv)=\frac{1}{4}\sum_{k=0}^{3}i^k(i^ku+v\mid T(i^ku+v))\quad(\forall u,v\in D(T))
$$
による。$(3)\Leftrightarrow(4)$ は、
$$
\lVert (T\pm i)v\rVert^2=\lVert Tv\rVert^2 \pm 2{\rm Im}(v\mid Tv)+\lVert v\rVert^2\quad(\forall v\in D(T))
$$
による。
{{end|proof|}}

=== 命題4.3（対称作用素の閉包は対称作用素） ===
$T$ がHilbert空間 $\mathcal{H}$ 上の対称作用素ならば $T$ は可閉であり、$\overline{T}$ も $\mathcal{H}$ 上の対称作用素である。また、
$$
{\rm Ran}(\overline{T}\pm i)=\overline{{\rm Ran}(T\pm i)}\quad\quad(*)
$$
が成り立つ。
{{begin |proof }}
'''命題3.9'''の $(6)$ より $T^*$ は閉である。よって $T\subset T^*$ より $T$ は可閉であり、$\overline{T}\subset T^*$ である。また'''命題3.9'''の $(8)$ より $(\overline{T})^*=T^*$ である。ゆえに $\overline{T}\subset (\overline{T})^*$ であるから $\overline{T}$ は対称作用素である。'''命題4.2'''より、
$$
\begin{aligned}
U:G(\overline{T})\ni (v,\overline{T}v)\mapsto (\overline{T}\pm i)v\in {\rm Ran}(\overline{T}\pm i)
\end{aligned}
$$
は等長線形同型写像であり、$T$ の閉包 $\overline{T}$ の定義より $G(\overline{T})=\overline{G(T)}$ であるから、
$$
{\rm Ran}(\overline{T}\pm i)=U(G(\overline{T}))=U(\overline{G(T)})=\overline{U(G(T))}=\overline{{\rm Ran}(T\pm i)}
$$
であるから $(*)$ が成り立つ。
{{end|proof|}}

=== 定義4.4（対称作用素のCayley変換） ===
$T$ をHilbert空間 $\mathcal{H}$ 上の対称作用素とする。このとき'''命題4.2'''より、
$$
C(T)\colon=(T-i)(T+i)^{-1}:{\rm Ran}(T+i)\ni (T+i)v\mapsto (T-i)v\in \mathcal{H}
$$
なる等長線形作用素が定義できる。$C(T)$ を $T$ のCayley変換と言う。$C(T)$ は定義域が $D(C(T))={\rm Ran}(T+i)$、値域が ${\rm Ran}(C(T))={\rm Ran}(T-i)$ である ${\cal H}$ 上の線型作用素である。

=== 命題4.5（対称作用素のCayley変換からの再現） ===
$T$ をHilbert空間 $\mathcal{H}$ 上の対称作用素とする。$T$ のCayley変換 $C(T)=(T-i)(T+i)^{-1}$ に対し $1-C(T)$ は単射であり、${\rm Ran}(1-C(T))=D(T)$ である。そして、
$$
T=i(1+C(T))(1-C(T))^{-1}
$$
が成り立つ。
{{begin |proof }}
任意の $(T+i)v\in {\rm Ran}(T+i)=D(C(T))$ に対し、
$$
(1-C(T))(T+i)v=(T+i)v-(T-i)v=2iv
$$
であるから、${\rm Ran}(1-C(T))=D(T)$ であり、$1-C(T)$ は単射である。そして任意の $v\in D(T)$ に対し、
$$
(1+C(T))(1-C(T))^{-1}2iv=(1+C(T))(T+i)v=(T+i)v+(T-i)v=2Tv
$$
であるから、
$$
i(1+C(T))(1-C(T))^{-1}=T
$$
である。
{{end|proof|}}

=== 定理4.6（自己共役作用素のCayley変換） ===
$T$ をHilbert空間 $\mathcal{H}$ 上の対称作用素、$C(T)$ を $T$ のCayley変換とする。このとき次は互いに同値である。
*$(1)$　$T$ は $\mathcal{H}$ 上の自己共役作用素である。
*$(2)$　$C(T)$ は $\mathcal{H}$ 上のユニタリ作用素である。
{{begin |proof }}
$(1)\Rightarrow(2)$ を示す。$(1)$ が成り立つならば $T=T^*$ であるから、'''命題3.9'''の $(5)$ より、
$$
({\rm Ran}(T\pm i))^{\perp}={\rm Ker}(T^*\mp i)={\rm Ker}(T\mp i)=\{0\}
$$
であり、'''命題3.9'''の $(6)$ より $T=T^*$ は閉なので、'''命題4.3'''より、
$$
{\rm Ran}(T\pm i)={\rm Ran}(\overline{T}\pm i)=\overline{{\rm Ran}(T\pm i)}
=( ({\rm Ran}(T\pm i))^{\perp\perp}=\{0\}^{\perp}=\mathcal{H}
$$
である。よって $D(C(T))={\rm Ran}(T+i)=\mathcal{H}$、${\rm Ran}(C(T))={\rm Ran}(T-i)=\mathcal{H}$ であり、$C(T)$ は等長であるから、$C(T)$ は $\mathcal{H}$ 上のユニタリ作用素である。 
$(2)\Rightarrow(1)$ を示す。$(2)$ が成り立つならば ${\rm Ran}(T\pm i)=\mathcal{H}$ であるから、任意の $v\in D(T^*)$ に対し、
$$
(T^*+i)v=(T+i)u
$$
を満たす $u\in D(T)$ が取れる。$T\subset T^*$ より $T+i\subset T^*+i$ であるから、
$$
(T^*+i)(v-u)=0
$$
である。'''命題3.9'''の $(5)$ より、
$$
{\rm Ker}(T^*+i)=({\rm Ran}(T-i))^{\perp}=\mathcal{H}^{\perp}=\{0\}
$$
であるから、$v=u\in D(T)$ である。よって $D(T^*)=D(T)$ であるので $T=T^*$ である。
{{end|proof|}}

=== 定義4.7（対称作用素の自己共役拡張） ===
$T$ をHilbert空間 $\mathcal{H}$ 上の対称作用素とする。$\mathcal{H}$ 上の自己共役作用素 $S$ で、$T\subset S$ なるものを $T$ の自己共役拡張と言う。そして対称作用素 $T$ が自己共役拡張を持つとき、$T$ は自己共役拡張可能と言う。

=== 定義4.8（対称作用素の本質的自己共役性） ===
Hilbert空間上の対称作用素 $T$ が本質的に自己共役であるとは、$T$ の閉包 $\overline{T}$ が自己共役作用素であることを言う。$T$ が本質的に自己共役であるならば、$T$ の自己共役拡張は $\overline{T}$ のみである。実際 $S$ が $T$ の自己共役拡張ならば、'''命題3.9'''の $(6),(7)$ より、
$$
\overline{T}\subset S=S^*\subset \overline{T}^*=\overline{T}
$$
であるから、$S=\overline{T}$ である。

=== 定理4.9（対称作用素が自己共役拡張可能であるための条件） ===
$T$ をHilbert空間 $\mathcal{H}$ 上の対称作用素とする。このとき次は互いに同値である。
*$(1)$　$T$ は自己共役拡張可能である。
*$(2)$　$({\rm Ran}(T+i))^{\perp}\rightarrow ({\rm Ran}(T-i))^{\perp}$ の等長線形同型写像が存在する。

そして $(2)$ が成り立つとき、各等長線形同型写像 $V\colon({\rm Ran}(T+i))^{\perp}\rightarrow ({\rm Ran}(T-i))^{\perp}$ に対し、ユニタリ作用素
$$
\begin{aligned}
U\colon=C(\overline{T})\oplus V\colon\mathcal{H}={\rm Ran}(\overline{T}+i)\oplus ({\rm Ran}(T+i))^{\perp}&\rightarrow
{\rm Ran}(\overline{T}-i)\oplus ({\rm Ran}(T-i))^{\perp}=\mathcal{H}\\
(\overline{T}+i)v+u&\mapsto (\overline{T}-i)v+Vu\quad\quad(*)
\end{aligned}
$$
（'''命題4.3'''より $({\rm Ran}(T\pm i) )^{\perp}=(\overline{{\rm Ran}(T\pm i)})^{\perp}=({\rm Ran}(\overline{T}\pm i) )^{\perp}$ であることに注意）をCayley変換とする $T$ の自己共役拡張が存在する。
{{begin |proof }}
$(1)\Rightarrow(2)$ を示す。$(1)$ が成り立つとし、$S$ を $T$ の自己共役拡張とする。'''定理4.6'''より $S$ のCayley変換 $C(S)=(S-i)(S+i)^{-1}$ は $\mathcal{H}$ 上のユニタリ作用素であり、
$$
C(S)^*=C(S)^{-1}=(S+i)(S-i)^{-1}
$$
である。よって任意の $v\in ({\rm Ran}(T+i))^{\perp}$ と任意の $(T-i)u\in {\rm Ran}(T-i)$ に対し、
$$
(C(S)v\mid (T-i)u)=(v\mid C(S)^*(S-i)u)=(v\mid (S+i)u)=(v\mid (T+i)u)=0
$$
であるから、
$$
C(S)({\rm Ran}(T+i))^{\perp}\subset ({\rm Ran}(T-i))^{\perp}
$$
である。また任意の $v\in ({\rm Ran}(T-i))^{\perp}$ と任意の $(T+i)u\in {\rm Ran}(T+i)$ に対し、
$$
(C(S)^*v\mid (T+i)u)=(v\mid C(S)(S+i)u)=(v\mid (S-i)u)=(v\mid (T-i)u)=0
$$
であるから、
$$
C(S)^*({\rm Ran}(T-i))^{\perp}\subset ({\rm Ran}(T+i))^{\perp},
$$
すなわち、
$$
({\rm Ran}(T-i))^{\perp}\subset C(S)({\rm Ran}(T+i))^{\perp}
$$
である。よって、
$$
({\rm Ran}(T+i))^{\perp}\ni v\mapsto C(S)v\in ({\rm Ran}(T-i))^{\perp}
$$
は等長線形同型写像であるから、$(2)$ が成り立つ。 
$(2)\Rightarrow(1)$ を示す。$(2)$ が成り立つとする。$V:({\rm Ran}(T+i))^{\perp}\rightarrow({\rm Ran}(T-i))^{\perp}$ を等長線形同型写像とし、$(*)$ におけるユニタリ作用素 $U=C(\overline{T})\oplus V$ を考える。まず $1-U$ が単射であることを示す。そこで $(\overline{T}+i)u\in {\rm Ran}(\overline{T}+i)$ と $v\in ({\rm Ran}(T+i))^{\perp}$ が $(1-U)( (\overline{T}+i)u+v)=0$ を満たすとする。このとき、
$$
0=(1-U)( (\overline{T}+i)u+v)=(\overline{T}+i)u+v-(\overline{T}-i)u-Vv=2iu+(1-V)v
$$
であり、$v\in ({\rm Ran}(T+i))^{\perp}={\rm Ker}(T^*-i)$、$Vv\in ({\rm Ran}(T-i))^{\perp}={\rm Ker}(T^*+i)$（'''命題3.9'''の $(5)$ ）であるから、
$$
0=(T^*+i)(2iu+(1-V)v)=2i(\overline{T}+i)u+(T^*-i)v+2iv-(T^*+i)Vv=2i(\overline{T}+i)u+2iv
$$
である。よって、
$$
v=-(\overline{T}+i)u\in {\rm Ran}(\overline{T}+i)\cap ({\rm Ran}(\overline{T}+i))^{\perp}=\{0\}
$$
であるから $(\overline{T}+i)u+v=0$ である。ゆえに $1-U$ は単射である。
$$
S\colon=i(1+U)(1-U)^{-1}
$$
とおく。$C(\overline{T})\subset U$ であるから、
$$
S(1-C(\overline{T}))=i(1+C(\overline{T}))
$$
であるので、'''命題4.5'''より、
$$
\overline{T}=i(1+C(\overline{T}))(1-C(\overline{T}))^{-1}\subset S\quad\quad(**)
$$
である。任意の $u=(1-U)v\in {\rm Ran}(1-U)=D(S)$ に対し、
$$
(u\mid Su)=( (1-U)v\mid i(1+U)v)=i( (v\mid Uv)-(Uv\mid v) )\in \mathbb{R}
$$
であるから、'''命題4.2'''より $S$ は対称作用素である。そして、
$$
\begin{aligned}
&(S+i)(1-U)v=i(1+U)v+i(1-U)v=2iv\quad(\forall v\in \mathcal{H}),\\
&(S-i)(1-U)v=i(1+U)v-i(1-U)v=2iUv\quad(\forall v\in\mathcal{H})
\end{aligned}
$$
であるから、$S$ のCayley変換は $C(S)=(S-i)(S+i)^{-1}=U$ である。よって $C(S)$ はユニタリ作用素であるから'''定理4.6'''より $S$ は自己共役作用素であり、$(**)$ より $S$ は $T$ の自己共役拡張である。
{{end|proof|}}

=== 系4.10（対称作用素が本質的に自己共役であるための条件） ===
$T$ をHilbert空間 $\mathcal{H}$ 上の対称作用素とする。このとき次は互いに同値である。
*$(1)$　$T$ は本質的に自己共役である。
*$(2)$　$T$ の自己共役拡張が唯一つ存在する。

また、$T$ が自己共役拡張可能であり、本質的に自己共役ではないならば、$T$ の自己共役拡張は非可算無限個存在する。
{{begin |proof }}
$(1)\Rightarrow(2)$ は'''定義4.8'''で述べてある。$(2)\Rightarrow(1)$ を示す。$(2)$ が成り立つとする。このとき'''定理4.9'''より $({\rm Ran}(T+i))^{\perp}\rightarrow({\rm Ran}(T-i))^{\perp}$ の等長線形同型写像が存在する。 $({\rm Ran}(T\pm i))^{\perp}\neq\{0\}$ であると仮定し、等長線形同型写像 $V_0\colon({\rm Ran}(T+i))^{\perp}\rightarrow({\rm Ran}(T-i))^{\perp}$ と $\theta\in [0,2\pi)$ に対し、等長線形同型写像 $V_{\theta}\colon=e^{i\theta}V_0:({\rm Ran}(T+i) )^{\perp}\rightarrow({\rm Ran}(T-i) )^{\perp}$ を定義する。'''定理4.9'''より、各 $\theta\in [0,2\pi)$ に対し、$T$ の自己共役拡張 $S_{\theta}$ で、Cayley変換が $C(S_{\theta})=C(\overline{T})\oplus V_{\theta}$ であるものが取れる。
$\theta_1,\theta_2\in [0,2\pi)$ が $\theta_1\neq\theta_2$ である限り、$V_{\theta_1}\neq V_{\theta_2}$ であるから $C(S_{\theta_1})\neq C(S_{\theta_2})$、したがって $S_{\theta_1}\neq S_{\theta_2}$ である。よって $T$ の自己共役拡張は非可算無限個存在することになり、$(2)$ が成り立つことに矛盾する。ゆえに $({\rm Ran}(T\pm i))^{\perp}=\{0\}$ であるから、
$$
{\rm Ran}(\overline{T}\pm i)=\overline{{\rm Ran}(T\pm i)}=( ({\rm Ran}(T\pm i))^{\perp})^{\perp}=\{0\}^{\perp}=\mathcal{H}
$$
である。これより $\overline{T}$ のCayley変換 $C(\overline{T})$ はユニタリ作用素であるから、'''定理4.6'''より $\overline{T}$ は自己共役作用素、すなわち $T$ は本質的に自己共役である。
{{end|proof|}}

== 5. Hilbert空間上の閉線形作用素のスペクトルとレゾルベント集合 ==

=== 定義5.1（Hilbert空間上の閉線形作用素のスペクトル、レゾルベント集合、点スペクトル、固有値、固有ベクトル） ===
$T$ をHilbert空間 $\mathcal{H}$ 上の閉線形作用素とする。このとき、
$$
\rho(T)\colon=\{\lambda\in \mathbb{C}: \lambda-T:D(T)\rightarrow\mathcal{H}\text{ は全単射}\}
$$
を $T$ のレゾルベント集合と言い、
$$
\sigma(T)\colon=\mathbb{C}\backslash\rho(T)
$$
を $T$ のスペクトルと言う。そして $T$ のスペクトルの部分集合
$$
\sigma_{\rm p}(T)\colon=\{\lambda\in \mathbb{C}:{\rm Ker}(\lambda-T)\neq\{0\}\}
$$
を $T$ の点スペクトルと言い、$\sigma_{\rm p}(T)$ の元を $T$ の固有値と言う。$T$ の固有値 $\lambda\in \sigma_{\rm p}(T)$ に対し、${\rm Ker}(\lambda-T)$ を $T$ の固有値 $\lambda$ に対する固有空間と言い、${\rm Ker}(\lambda-T)$ の $0$ ではない元を $T$ の固有値 $\lambda$ に対する固有ベクトルと言う。

=== 定義5.2（Hilbert空間上の閉線形作用素のレゾルベント） ===
$T$ をHilbert空間 $\mathcal{H}$ 上の閉線形作用素、$\rho(T)$ を $T$ のレゾルベント集合とする。任意の $\lambda\in \rho(T)$ に対し閉線形作用素 $\lambda-T$ のグラフ $G(\lambda-T)$ は $(\lambda-T)^{-1}$ のグラフ $G( (\lambda-T)^{-1})$ と等長線形同型であるから $G( (\lambda-T)^{-1})$ は閉である。よって $(\lambda-T)^{-1}\colon\mathcal{H}\rightarrow\mathcal{H}$ は閉線形作用素であるので、閉グラフ定理（[[位相線形空間4：Fréchet空間と関数解析の基本定理]]の'''定理19.3'''）より $(\lambda-T)^{-1}\in \mathbb{B}(\mathcal{H})$ である。
$$
\rho(T)\ni \lambda-\mapsto (\lambda-T)^{-1}\in \mathbb{B}(\mathcal{H})
$$
を $T$ のレゾルベントと言う。

=== 注意5.3 ===
Hilbert空間 $\mathcal{H}$ 上の閉線形作用素のスペクトルとレゾルベント集合の定義は $C^*$-環 $\mathbb{B}(\mathcal{H})$ の元のスペクトルとレゾルベント集合の定義（[[Banach環とC*-環のスペクトル理論]]の'''定義1.5'''）と矛盾しない。

=== 命題5.4（レゾルベント等式） ===
$T$ をHilbert空間 $\mathcal{H}$ 上の閉線形作用素、$\rho(T)$ を $T$ のレゾルベント集合とする。このとき、
*$(1)$　任意の $\lambda_1,\lambda_2\in \rho(T)$ に対し、
$$
(\lambda_1-T)^{-1}-(\lambda_2-T)^{-1}=(\lambda_2-\lambda_1)(\lambda_1-T)^{-1}(\lambda_2-T)^{-1}
$$
が成り立つ。
*$(2)$　$\rho(T)$ は $\mathbb{C}$ の開集合であり、レゾルベント
$$
\rho(T)\ni \lambda\mapsto (\lambda-T)^{-1}\in \mathbb{B}(\mathcal{H})
$$
はBanach空間 $\mathbb{B}(\mathcal{H})$ 値正則関数である。
{{begin |proof }}
*$(1)$　任意の $\lambda_1,\lambda_2\in \rho(\mathbb{C})$ に対し、
$$
\begin{aligned}
(\lambda_1-T)^{-1}-(\lambda_2-T)^{-1}&=(\lambda_1-T)^{-1}( (\lambda_2-T)-(\lambda_1-T))(\lambda_2-T)^{-1}\\
&=(\lambda_2-\lambda_1)(\lambda_1-T)^{-1}(\lambda_2-T)^{-1}.
\end{aligned}
$$
*$(2)$　任意の $\lambda_0\in \rho(T)$ と $\lvert \lambda-\lambda_0\rvert<\lVert (\lambda_0-T)^{-1}\rVert^{-1}$ なる任意の $\lambda\in \mathbb{C}$ を取る。このとき、
$$
\lambda-T=(\lambda_0-T)-(\lambda_0-\lambda)=(1-(\lambda_0-\lambda)(\lambda_0-T)^{-1})(\lambda_0-T)\quad\quad(*)
$$
であり、$\lVert(\lambda_0-\lambda)(\lambda_0-T)^{-1}\rVert<1$ であるから、[[Banach環とC*-環のスペクトル理論]]の'''命題1.2'''より、$1-(\lambda_0-\lambda)(\lambda_0-T)^{-1}\in \mathbb{B}(\mathcal{H})$ は可逆であり、
$$
\{1-(\lambda_0-\lambda)(\lambda_0-T)^{-1}\}^{-1}=\sum_{m\in\mathbb{Z}_+}(\lambda_0-\lambda)^n(\lambda_0-T)^{-n}\quad\quad(**)
$$
が成り立つ。よって $(*)$ より $\lambda-T:D(T)\rightarrow \mathcal{H}$ は全単射であるから $\lambda\in \rho(T)$ であり、$(*),(**)$ より、
$$
\begin{aligned}
(\lambda-T)^{-1}&=\{1-(\lambda_0-\lambda)(\lambda_0-T)^{-1}\}^{-1}(\lambda_0-T)^{-1}\\
&=\sum_{m\in\mathbb{Z}_+}(\lambda_0-\lambda)^n(\lambda_0-T)^{-(n+1)}\quad\quad(***)
\end{aligned}
$$
である。これより任意の $\lambda_0\in \rho(T)$ に対し $\lambda_0$ を中心とする半径 $\lVert (\lambda_0-T)^{-1}\rVert^{-1}$ の $\mathbb{C}$ の開球は $\rho(T)$ に含まれるから $\rho(T)$ は $\mathbb{C}$ の開集合であり、その開球の任意の元 $\lambda$ に対し $(***)$ が成り立つから、冪級数関数の複素微分可能性（[[複素解析の初歩]]の'''定理2.5'''）より、$\rho(T)\ni \lambda\mapsto (\lambda-T)^{-1}\in \mathbb{B}(\mathcal{H})$ はBanach空間 $\mathbb{B}(\mathcal{H})$ 値正則関数である。
{{end|proof|}}

=== 系5.5（スペクトルは $\mathbb{C}$ の閉集合） ===
Hilbert空間上の閉線形作用素のスペクトルは $\mathbb{C}$ の閉集合である。
{{begin |proof }}
Hilbert空間上の閉線形作用素のレゾルベント集合は、'''命題5.4'''より $\mathbb{C}$ の開集合であるから、レゾルベント集合の $\mathbb{C}$ における補集合であるスペクトルは $\mathbb{C}$ の閉集合である。
{{end|proof|}}

=== 命題5.6（自己共役作用素のスペクトルは $\mathbb{R}$ の部分集合） ===
$T$ をHilbert空間 $\mathcal{H}$ 上の自己共役作用素とする。このとき $T$ のスペクトル $\sigma(T)$ は $\mathbb{R}$ の部分集合である。
{{begin |proof }}
$T$ のレゾルベント集合 $\rho(T)=\mathbb{C}\backslash \sigma(T)$ に対し $\mathbb{C}\backslash \mathbb{R}\subset \rho(T)$ であることを示せばよい。そこで $\alpha,\beta\in \mathbb{R}$、$\beta\neq0$ とし、$\lambda\colon=\alpha+i\beta\in \mathbb{C}\backslash \mathbb{R}$ とおく。このとき $(v\mid (\alpha-T)v)\in \mathbb{R}$ $(\forall v\in D(T))$ であることから、
$$
\begin{aligned}
&\lVert(\lambda-T)v\rVert^2=\lVert (\alpha-T)v+i\beta v\rVert^2=\lVert (\alpha-T)v\rVert^2+\beta^2\lVert v\rVert^2\geq \beta^2\lVert v\rVert^2\quad(\forall v\in D(T)),\quad\quad(*)\\
&\lVert (\overline{\lambda}-T)v\rVert^2=\lVert(\alpha-T)v-i\beta v\rVert^2
=\lVert (\alpha-T)v\rVert^2+\beta^2\lVert v\rVert^2\geq \beta^2\lVert v\rVert^2\quad(\forall v\in D(T))\quad\quad(**)
\end{aligned}
$$
である。よって $(*)$ と $\beta\neq0$ より ${\rm Ker}(\lambda-T)=\{0\}$、$\overline{{\rm Ran}(\lambda-T)}={\rm Ran}(\lambda-T)$（$\lambda-T$ が閉線形作用素であることに注意）である。そして $(**)$ より ${\rm Ker}(\overline{\lambda}-T)=\{0\}$ であるから、''命題3.9''の $(5)$ より、
$$
{\rm Ran}(\lambda-T)=\overline{{\rm Ran}(\lambda-T)}=( ({\rm Ran}(\lambda-T))^{\perp})^{\perp}=({\rm Ker}(\overline{\lambda}-T))^{\perp}=\{0\}^{\perp}=\mathcal{H}
$$
である。よって $\lambda-T\colon D(T)\rightarrow \mathcal{H}$ は全単射であるから $\lambda\in \rho(T)$ である。ゆえに $\mathbb{C}\backslash \mathbb{R}\subset \rho(T)$ であるから、$\sigma(T)\subset \mathbb{R}$ が成り立つ。
{{end|proof|}}

=== 定理5.7（自己共役作用素のスペクトルとそのCayley変換のスペクトルの関係） ===
$T$ をHilbert空間 $\mathcal{H}$ 上の自己共役作用素とする。このとき $T$ のスペクトル $\sigma(T)$ は $\mathbb{R}$ の空でない閉集合であり、同相写像
$$
C\colon\mathbb{R}\ni t\mapsto (t-i)(t+i)^{-1}\in \mathbb{T}\backslash \{1\}
$$
（逆写像は $\mathbb{T}\backslash \{1\}\ni \lambda\mapsto i(1+\lambda)(1-\lambda)^{-1}\in \mathbb{R}$ である。）に対し、
$$
C(\sigma(T))=\sigma(C(T))\backslash \{1\}
$$
が成り立つ。ただし $C(T)$ は $T$ のCayley変換である。
{{begin |proof }}
'''系5.5'''と'''命題5.6'''より $\sigma(T)$ は $\mathbb{R}$ の閉集合である。また'''定理4.6'''より $C(T)$ は $\mathcal{H}$ 上のユニタリ作用素である。任意の $t\in \mathbb{R}$ に対し、
$$
\begin{aligned}
C(t)-C(T)&=(t-i)(t+i)^{-1}-(T-i)(T+i)^{-1}\\
&=(t+i)^{-1}\{(t-i)(T+i)-(t+i)(T-i)\}(T+i)^{-1}\\
&=2i(t+i)^{-1}(t-T)(T+i)^{-1}
\end{aligned}
$$
であるから、$C(t)-C(T)\colon \mathcal{H}\rightarrow\mathcal{H}$ が全単射であることと、$t-T\colon D(T)\rightarrow\mathcal{H}$ が全単射であることは同値である。よって $t\in \mathbb{R}$ に対し、
$$
C(t)\in \sigma(C(T))\backslash \{1\}\quad\Leftrightarrow\quad t\in\sigma(T)\quad\quad(*)
$$
が成り立つ。$C(T)$ は $\mathcal{H}$ 上のユニタリ作用素であるから、[[Banach環とC*-環のスペクトル理論]]の'''命題3.5'''より、$\sigma(C(T))\backslash\{1\}\subset \mathbb{T}\backslash \{1\}=C(\mathbb{R})$ である。よって $(*)$ より、
$$
C(\sigma(T))=\sigma(C(T))\backslash \{1\}\quad\quad(**)
$$
が成り立つ。また $\sigma(C(T))\neq\emptyset$（[[Banach環とC*-環のスペクトル理論]]の'''命題1.8'''）であるから、もし $\sigma(C(T))\backslash \{1\}=\emptyset$ ならば $\sigma(C(T))=\{1\}$ となり、連続汎関数計算（[[Banach環とC*-環のスペクトル理論]]の'''定義6.6'''）より $C(T)=1$ となる。よって $1-C(T)$ が単射であること（'''命題4.5'''）に矛盾する。ゆえに $\sigma(C(T))\backslash \{1\}\neq\emptyset$ であるので、$(**)$ より $\sigma(T)\neq\emptyset$ である。
{{end|proof|}}

== 6. 射影値測度による積分 ==

=== 定義6.1（Hilbert空間 $\mathcal{H}$ 上の射影作用素全体 $\mathbb{P}(\mathcal{H})$） ===
Hilbert空間 $\mathcal{H}$ 上の射影作用素全体を $\mathbb{P}(\mathcal{H})$ と表す。

=== 定義6.2（射影値測度） ===
$\mathcal{H}$ をHilbert空間、$(X,\mathfrak{M})$ を可測空間とする。$E\colon\mathfrak{M}\rightarrow \mathbb{P}(\mathcal{H})$ が次の条件を満たすとき、$E$ を射影値測度と言う。
*$(1)$　$E(X)=1$.
*$(2)$　任意の $u,v\in \mathcal{H}$ に対し $E_{u,v}:\mathfrak{M}\ni B\mapsto (u\mid E(B)v)\in \mathbb{C}$ は複素数値測度（[[測度と積分4：測度論の基本定理(2)]]の'''定義15.1'''）。

=== 命題6.3（射影値測度の基本的性質） ===
$\mathcal{H}$ をHilbert空間、$(X,\mathfrak{M})$ を可測空間、$E\colon\mathfrak{M}\rightarrow \mathcal{P}(\mathcal{H})$ を射影値測度とする。このとき、
*$(1)$　$E(\emptyset)=0$.
*$(2)$（'''単調性'''）$A\subset B$ なる任意の $A,B\in \mathfrak{M}$ に対し $E(A)\leq E(B)$.
*$(3)$　任意の $A,B\in \mathfrak{M}$ に対し $E(A\cap B)=E(A)E(B)$ が成り立つ。特に $A\cap B=\emptyset$ ならば $E(A)$ と $E(B)$ は直交する。
*$(4)$（'''$\sigma$-加法性'''）$(B_n)_{n\in \mathbb{N}}$ が $\mathfrak{M}$ の非交叉列であるならば、$(E(B_n))_{n\in \mathbb{N}}$ は射影作用素の直交族であり、
$$
E\left(\bigcup_{n\in \mathbb{N}}B_n\right)=\sum_{n\in \mathbb{N}}E(B_n)
$$
が成り立つ。（射影作用素の直交族の和の定義（'''定義2.6'''）を参照。）
*$(5)$（'''単調収束性'''）$(B_n)_{n\in \mathbb{N}}$ が $\mathfrak{M}$ の単調増加列であるならば、$(E(B_n))_{n\in \mathbb{N}}$ は $\mathbb{B}(\mathcal{H})_{\rm sa}$ の単調増加列であり、
$$
E\left(\bigcup_{n\in \mathbb{N}}B_n\right)=\text{SOT -}\lim_{n\rightarrow\infty} E(B_n)=\sup_{n\in \mathbb{N}}E(B_n)
$$
が成り立つ。
*$(6)$（'''単調収束性'''）$(B_n)_{n\in \mathbb{N}}$ が $\mathfrak{M}$ の単調減少列であるならば、$(E(B_n))_{n\in \mathbb{N}}$ は $\mathbb{B}(\mathcal{H})_{\rm sa}$ の単調減少列であり、
$$
E\left(\bigcap_{n\in \mathbb{N}}B_n\right)=\text{SOT -}\lim_{n\rightarrow\infty} E(B_n)=\inf_{n\in \mathbb{N}}E(B_n)
$$
が成り立つ。
{{begin |proof }}
*$(1)$　任意の $u,v\in \mathcal{H}$ に対し $(u\mid E(\emptyset)v)=E_{u,v}(\emptyset)=0$ であるから $E(\emptyset)=0$ である。
*$(2)$　$\mathbb{P}(\mathcal{H})\subset \mathbb{B}_+(\mathcal{H})$ であるから任意の $v\in \mathcal{H}$ に対し $E_{v,v}$ は非負値測度である。よって非負値測度の単調性より $A,B\in \mathfrak{M}$ が $A\subset B$ を満たすならば、
$$
(v\mid E(A)v)=E_{v,v}(A)\leq E_{v,v}(B)=(v\mid E(B)v)\quad(\forall v\in \mathcal{H})
$$
であるから、'''命題1.4'''より $E(A)\leq E(B)$ が成り立つ。
*$(3)$　$A,B\in \mathfrak{M}$ が $A\cap B=\emptyset$ を満たすとすると、任意の $u,v\in \mathcal{H}$ に対し、
$$
(u\mid E(A\cup B)v)=E_{u,v}(A\cup B)=E_{u,v}(A)+E_{u,v}(B)=(u\mid (E(A)+E(B))v)
$$
であるから、$E(A)+E(B)=E(A\cup B)\in \mathbb{P}(\mathcal{H})$ である。よって[[Banach環とC*-環のスペクトル理論]]の'''命題8.3'''より $E(A)$ と $E(B)$ は直交するので $E(A)E(B)=0=E(A\cap B)$ である。 
任意の $A,B\in \mathfrak{M}$ を取る。$A=(A\backslash B)\cup (A\cap B)$ であり、$(A\backslash B)\cap (A\cap B)=\emptyset$ であるから上段の結果より、
$$
E(A)=E(A\backslash B)+E(A\cap B)
$$
である。そして $(A\backslash B)\cap B=\emptyset$ であるので、再び上段の結果より、
$$
E(A\backslash B) E(B)=0
$$
である。$(2)$ より $E(A\cap B)\leq E(B)$ であるから[[Banach環とC*-環のスペクトル理論]]の'''命題8.2'''より、
$$
E(A\cap B)=E(A\cap B)E(B)
$$
である。よって、
$$
E(A)E(B)=(E(A\backslash B)+E(B))E(B)=E(A\backslash B)E(B)+E(A\cap B)E(B)=E(A\cap B)
$$
である。
*$(4)$　$(B_n)_{n\in \mathbb{N}}$ が $\mathfrak{M}$ の非交叉列ならば $(3)$ より $(E(B_n))_{n\in \mathbb{N}}$ は射影作用素の直交族であるから $\sum_{n\in\mathbb{N}}E(B_n)$ はSOTで収束する（'''定義2.6'''を参照）。よって任意の $u,v\in \mathcal{H}$ に対し、
$$
\left(u\mid E\left(\bigcup_{n\in \mathbb{N}}B_n\right)v\right)
=E_{u,v}\left(\bigcup_{n\in\mathbb{N}}B_n\right)
=\sum_{n\in\mathbb{N}}E_{u,v}(B_n)
=\sum_{n\in \mathbb{N}}(u\mid E(B_n)v)
=(u\mid \sum_{n\in \mathbb{N}}E(B_n)v)
$$
であるから $E(\bigcup_{n\in \mathbb{N}}B_n)=\sum_{n\in \mathbb{N}}E(B_n)$ が成り立つ。
*$(5)$　$(B_n)_{n\in \mathbb{N}}$ が $\mathfrak{M}$ の単調増加列ならば[[測度と積分4：測度論の基本定理(2)]]の'''命題15.2'''の $(3)$ より任意の $u,v\in \mathcal{H}$ に対し、
$$
\left(u\mid E\left(\bigcup_{n\in \mathbb{N}}B_n\right)v\right)
=E_{u,v}\left(\bigcup_{n\in\mathbb{N}}B_n\right)
=\lim_{n\rightarrow\infty}E_{u,v}(B_n)=\lim_{n\rightarrow\infty}(u\mid E(B_n)v)
$$
である。そして $(2)$ より $(E(B_n))_{n\in \mathbb{N}}$ は射影作用素の単調増加列であるから'''定理2.4'''より、
$$
\text{SOT-}\lim_{n\rightarrow\infty}E(B_n)=\sup_{n\in \mathbb{N}}E(B_n)
$$
である。よって任意の $u,v\in \mathcal{H}$ に対し、
$$
\left(u\mid E\left(\bigcup_{n\in \mathbb{N}}B_n\right)v\right)
=\lim_{n\rightarrow\infty}(u\mid E(B_n)v)
=(u\mid \text{SOT-}\lim_{n\rightarrow\infty}E(B_n)v)
=(u\mid \sup_{n\in\mathbb{N}}E(B_n)v)
$$
であるから、
$$
E\left(\bigcup_{n\in \mathbb{N}}B_n\right)=\text{SOT-}\lim_{n\rightarrow\infty}E(B_n)=\sup_{n\in \mathbb{N}}E(B_n)
$$
である。
*$(6)$　$(B_n)_{n\in \mathbb{N}}$ が $\mathfrak{M}$ の単調減少列ならば $(X\backslash B_n)_{n\in \mathbb{N}}$ は $\mathfrak{M}$ の単調増加列であり、$X\backslash \bigcap_{n\in \mathbb{N}}B_n=\bigcup_{n\in\mathbb{N}}(X\backslash B_n)$ である。このことと $(5)$ より分かる。
{{end|proof|}}

=== 命題6.4 ===
$\mathcal{H}$ をHilbert空間、$(X,\mathfrak{M})$ を可測空間とし、$E\colon\mathfrak{M}\rightarrow \mathbb{P}(\mathcal{H})$ を射影値測度とする。また $\mathcal{L}_{\rm b}(X,\mathfrak{M})$ を $X\rightarrow \mathbb{C}$ の有界可測関数全体に各点ごとの演算と $\sup$ ノルムを入れた単位的可換 $C^*$-環とする。このとき $*$-環準同型写像
$$
\Phi_E\colon\mathcal{L}_{\rm b}(X,\mathfrak{M})\rightarrow \mathbb{B}(\mathcal{H})
$$
で、
$$
(u\mid \Phi_E(f)v)=\int_{X}f(x)dE_{u,v}(x)\quad(\forall f\in \mathcal{L}_{\rm b}(X,\mathfrak{M}), \forall u,v\in \mathcal{H})
$$
を満たすものが唯一つ存在する。そして、
$$
\Phi_E(\chi_B)=E(B)\quad(\forall B\in \mathfrak{M})
$$
である。
{{begin |proof }}
一意性は自明である。存在を示す。まず任意の $u,v\in \mathcal{H}$ に対し複素数値測度 $E_{u,v}\colon\mathfrak{M}\ni B\mapsto (u\mid E(B)v)\in \mathbb{C}$ の全変動（[[測度と積分4：測度論の基本定理(2)]]の'''定義19.1'''）$\lvert E_{u,v}\rvert\colon\mathfrak{M}\rightarrow \mathbb{C}$ が $\lvert E_{u,v}\rvert(X)\leq \lVert u\rVert\lVert v\rVert$ を満たすことを示す。そのためには
$\mathfrak{M}$ の有限非交叉列 $B_1,\ldots,B_n$ で $X=\bigcup_{j=1}^{n}B_j$ なるものを取り、
$$
\sum_{j=1}^{n}\lvert E_{u,v}(B_j)\rvert\leq \lVert u\rVert\lVert v\rVert\quad\quad(*)
$$
が成り立つことを示せばよい。そこで各 $j\in \{1,\ldots,n\}$ に対し $\lvert E_{u,v}(B_j)\rvert=\alpha_jE_{u,v}(B_j)$、$\lvert\alpha_j\rvert=1$ を満たす $\alpha_j\in \mathbb{C}$ を取る。このとき、
$$
\sum_{j=1}^{n}\lvert E_{u,v}(B_j)\rvert=\sum_{j=1}^{n}\alpha_jE_{u,v}(B_j)
=\sum_{j=1}^{n}(u\mid \alpha_jE(B_j)v)\leq \lVert u\rVert\left\lVert\sum_{j=1}^{n}\alpha_jE(B_j)v\right\rVert
$$
であり、$B_1,\ldots,B_n$ が非交叉であることから $E(B_1)v,\ldots,E(B_n)v$ は互いに直交する（'''命題6.3'''）ので、
$$
\left\lVert\sum_{j=1}^{n}\alpha_jE(B_j)v\right\rVert^2=\sum_{j=1}^{n}\lVert \alpha_jE(B_j)v\rVert^2=\sum_{j=1}^{n}\lVert E(B_j)v\rVert^2
=\left\lVert \sum_{j=1}^{n}E(B_j)v\right\rVert^2=\lVert E(X)v\rVert^2=\lVert v\rVert^2
$$
である。よって、
$$
\sum_{j=1}^{n}\lvert E_{u,v}(B_j)\rvert\leq\lVert u\rVert\left\lVert\sum_{j=1}^{n}\alpha_jE(B_j)v\right\rVert=\lVert u\rVert\lVert v\rVert
$$
より $(*)$ が成り立つので、
$$
\lvert E_{u,v}\rvert(X)\leq \lVert u\rVert\lVert v\rVert\quad(\forall u,v\in \mathcal{H})\quad\quad(**)
$$
が成り立つ。任意の $f\in \mathcal{L}_{\rm b}(X,\mathfrak{M})$ を取り固定する。$f$ は可測単関数によって一様近似できる（[[測度と積分5：$L^p$ 空間の完備性と双対性]]の'''命題22.2'''）から、
$$
\mathcal{H}\times \mathcal{H}\ni (u,v)\mapsto \int_{X}f(x)dE_{u,v}(x)\in \mathbb{C}\quad\quad(***)
$$
は準双線形汎関数であり、$(**)$ より、
$$
\left\lvert \int_{X}f(x)dE_{u,v}(x)\right\rvert\leq\lVert f\rVert\lvert E_{u,v}\rvert (X)\leq \lVert f\rVert\lVert u\rVert\lVert v\rVert\quad(\forall u,v\in \mathcal{H})
$$
であるから、$(***)$ はノルムが $\lVert f\rVert$ 以下の有界準双線形汎関数である。よって[[位相線形空間1：ノルムと内積]]の'''定理7.1'''より任意の $f\in \mathcal{L}_{\rm b}(X,\mathfrak{M})$ に対し $\Phi_E(f)\in \mathbb{B}(\mathcal{H})$ で、
$$
(u\mid \Phi_E(f)v)=\int_{X}f(x)dE_{u,v}(x)\quad(\forall u,v\in \mathcal{H})
$$
を満たすものが定まり、$\lVert \Phi_E(f)\rVert\leq \lVert f\rVert$ である。こうしてノルム減少な有界線形作用素
$$
\Phi_E:\mathcal{L}_{\rm b}(X,\mathfrak{M})\ni f\mapsto \Phi_E(f)\in \mathbb{B}(\mathcal{H})
$$
が定義される。$\Phi_E$ が $*$-環準同型写像であることを示す。任意の $f\in \mathcal{L}_{\rm b}(X,\mathfrak{M})$ に対し、
$$(v\mid \Phi_E(\overline{f})v)=\int_{X}\overline{f(x)}dE_{v,v}(x)=\overline{\int_{X}f(x)dE_{v,v}(x)}=\overline{(v\mid \Phi_E(f)v)}=(\Phi_E(f)v\mid v)=(v\mid \Phi_E(f)^*v)
\quad(\forall v\in \mathcal{H})
$$
であるから、偏極恒等式（[[測度と積分6：数え上げ測度と $\ell^p$ 空間]]の'''定義25.2'''）より、
$$
\Phi_E(\overline{f})=\Phi_E(f)^*\quad(\forall f\in \mathcal{L}_{\rm b}(X,\mathfrak{M}))
$$
である。よって $\Phi_E$ は対合を保存する。後は任意の $f,g\in \mathcal{L}_{\rm b}(X,\mathfrak{M})$ に対し、
$$
\Phi_E(fg)=\Phi_E(f)\Phi_E(g)\quad\quad(****)
$$
が成り立つことを示せばよい。任意の $B\in \mathfrak{M}$、任意の $u,v\in \mathcal{H}$ に対し、
$$
(u\mid \Phi_E(\chi_B)v)=\int_{X}\chi_B(x)dE_{u,v}(x)=E_{u,v}(B)=(u\mid E(B)v)
$$
であるから、
$$
\Phi_E(\chi_B)=E(B)\quad(\forall B\in \mathfrak{M})
$$
である。よって任意の $A,B\in \mathfrak{M}$ に対し'''命題6.3'''より、
$$
\Phi_E(\chi_A\chi_B)=\Phi_E(\chi_{A\cap B})=E(A\cap B)=E(A)E(B)=\Phi_E(\chi_A)\Phi_E(\chi_B)
$$
であるから、$\Phi_E$ の線形性より $(****)$ は任意の可測単関数 $f,g$ に対して成り立つ。任意の有界可測関数は可測単関数によって一様近似できること（[[測度と積分5：$L^p$ 空間の完備性と双対性]]の'''命題22.2'''）と、$\Phi_E$ が有界線形作用素であることから、$(****)$ は任意の $f,g\in \mathcal{L}_{\rm b}(X,\mathfrak{M})$ に対して成り立つ。よって $\Phi_E$ は*-環準同型写像である。
{{end|proof|}}

=== 定義6.5（射影値測度による有界可測関数の積分） ===
$\mathcal{H}$ をHilbert空間、$(X,\mathfrak{M})$ を可測空間、$E\colon\mathfrak{M}\rightarrow \mathbb{P}(\mathcal{H})$ を射影値測度とする。'''命題6.4'''より $*$-環準同型写像
$$
\mathcal{L}_{\rm b}(X,\mathfrak{M})\ni f\mapsto \int_{X}f(x)dE(x)\in \mathbb{B}(\mathcal{H})
$$
で、
$$
\left(u\mid \left(\int_{X}f(x)dE(x)\right)v\right)=\int_{X}f(x)dE_{u,v}(x)\quad(\forall f\in \mathcal{L}_{\rm b}(X,\mathfrak{M}),\forall u,v\in \mathcal{H})
$$
を満たすものが唯一つ存在する。任意の有界可測関数 $f\in \mathcal{L}_{\rm b}(X,\mathfrak{M})$ に対し、
$$
\int_{X}f(x)dE(x)\in \mathbb{B}(\mathcal{H})
$$
を $f$ の $E$ による積分と言う。
$$
\int_{X}\chi_B(x)dE(x)=E(B)\quad(\forall B\in \mathfrak{M})
$$
である。

=== 命題6.6 ===
$\mathcal{H}$ をHilbert空間、$(X,\mathfrak{M})$ を可測空間、$E\colon\mathfrak{M}\rightarrow\mathbb{P}(\mathcal{H})$ を射影値測度、$f\colon X\rightarrow\mathbb{C}$ を任意の可測関数とする。そして、
$$
D_E(f)\colon=\left\{v\in \mathcal{H}:\int_{X}\lvert f(x)\rvert^2dE_{v,v}(x)<\infty\right\}
$$
とおく。このとき、
*$(1)$　$D_E(f)$ は $\mathcal{H}$ の稠密な線形部分空間である。そして任意の $v\in \mathcal{H}$ に対し、
$$
v_n\colon=E( (\lvert f\rvert\leq n))v\quad(\forall n\in \mathbb{N})
$$
とおくと、
$$
v_n\in D_E(f)\quad(\forall n\in \mathbb{N}),\quad \lim_{n\rightarrow\infty}\lVert v_n-v\rVert=0
$$
が成り立つ。
*$(2)$　任意の $u\in \mathcal{H}$、$v\in D_E(f)$ に対し $f\in \mathcal{L}^1(X,\mathfrak{M},\lvert E_{u,v}\rvert)$ であり、
$$
\left\lvert \int_{X}f(x)dE_{u,v}(x)\right\rvert\leq \lVert u\rVert\left(\int_{X}\lvert f(x)\rvert^2dE_{v,v}(x)\right)^{\frac{1}{2}}
$$
が成り立つ。
*$(3)$
$$
\mathcal{H}\times D_E(f)\ni (u,v)\mapsto \int_{X}f(x)dE_{u,v}(x)\in \mathbb{C}
$$
は準双線形汎関数である。
*$(4)$　線形作用素 $\Phi_E(f):D_E(f)\rightarrow \mathcal{H}$ で、
$$
(u\mid \Phi_E(f)v)=\int_{X}f(x)dE_{u,v}(x)\quad(\forall u\in \mathcal{H},\forall v\in D_E(f))
$$
を満たすものが唯一つ存在する。そして、
$$
\lVert \Phi_E(f)v\rVert^2=\int_{X}\lvert f(x)\rvert^2dE_{v,v}(x)\quad(\forall v\in D_E(f))
$$
が成り立つ。
{{begin |proof }}
*$(1)$　任意の $v\in D_E(f)$、任意の $\alpha\in \mathbb{C}$ に対し、
$$
E_{\alpha v,\alpha v}(B)=\lVert E(B)\alpha v\rVert^2=\lvert\alpha\rvert^2\lVert E(B)v\rVert^2=\lvert \alpha\rvert^2E_{v,v}(B)\quad(\forall B\in \mathfrak{M})
$$
であるから、非負値可測関数の非負値可測単関数の各点単調増加列による近似より、
$$
\int_{X}\lvert f(x)\rvert^2dE_{\alpha v,\alpha v}(x)=\lvert\alpha\rvert^2\int_{X}\lvert f(x)\rvert^2dE_{v,v}(x)<\infty
$$
である。よって $\alpha v\in D_E(f)$ である。また任意の $u,v\in D_E(f)$ に対し、
$$
E_{u+v,u+v}(B)=\lVert E(B)u+E(B)v\rVert^2
\leq 2(\lVert E(B)u\rVert^2+\lVert E(B)v\rVert^2)=2(E_{u,u}(B)+E_{v,v}(B))\quad(\forall B\in\mathfrak{M})
$$
であるから、非負値可測関数の非負値可測単関数の各点単調増加列による近似より、
$$
\int_{X}\lvert f(x)\rvert^2dE_{u+v,u+v}(x)\leq 2\left(\int_{X}\lvert f(x)\rvert^2dE_{u,u}(x)+\int_{X}\lvert f(x)\rvert^2dE_{v,v}(x)\right)<\infty
$$
である。よって $u+v\in D_E(f)$ であるので $D_E(f)$ は $\mathcal{H}$ の線形部分空間である。任意の $v\in \mathcal{H}$ に対し $v_n=E( (\lvert f\rvert\leq n))v$ $(\forall n\in \mathbb{N})$ とおくと、
$$
E_{v_n,v_n}(B)=\lVert E(B)v_n\rVert^2=\lVert E(B\cap (\lvert f\rvert\leq n))v\rVert^2
=E_{v,v}(B\cap (\lvert f\rvert\leq n))\quad(\forall n\in\mathbb{N},\forall B\in \mathfrak{M})
$$
であるから、
$$
\int_{X}\lvert f(x)\rvert^2dE_{v_n,v_n}(x)=\int_{(\lvert f\rvert\leq n)}\lvert f(x)\rvert^2dE_{v,v}(x)\leq n^2\lVert v\rVert^2<\infty\quad(\forall n\in\mathbb{N})
$$
である。よって $v_n\in D_E(f)$ $(\forall n\in\mathbb{N})$ である。また'''命題6.3'''より、
$$
\text{SOT-}\lim_{n\rightarrow\infty}E( (\lvert f\rvert\leq n))=E(X)=1
$$
であるから、
$$
\lim_{n\rightarrow\infty}v_n=\lim_{n\rightarrow\infty}E( (\lvert f\rvert\leq n))v=v
$$
である。よって $D_E(f)$ は $\mathcal{H}$ の稠密部分空間である。
*$(2)$　$f_n\colon=f\chi_{(\lvert f\rvert\leq n)}$ $(\forall n\in \mathbb{N})$ として有界可測関数の列 $(f_n)_{n\in\mathbb{N}}$ を定義する。任意の $u\in \mathcal{H}$、任意の $v\in D_E(f)$ を取り固定する。複素数値測度 $E_{u,v}\colon\mathfrak{M}\rightarrow \mathbb{C}$ の全変動 $\lvert E_{u,v}\rvert\colon\mathfrak{M}\rightarrow [0,\infty)$ に対するRadon-Nikodym微分を $h\in\mathcal{L}(X,\mathfrak{M},\lvert E_{u,v}\rvert)$ とする（複素数値測度による積分の定義（[[測度と積分4：測度論の基本定理(2)]]の'''定義19.5'''）を参照）と、射影値測度による有界可測関数の積分の定義（'''定義6.5'''）より、
$$
\begin{aligned}
\int_{X}\lvert f_n(x)\rvert d\lvert E_{u,v}\rvert(x)&=\int_{X}\lvert f_n(x)\rvert\overline{h(x)}dE_{u,v}(x)=\left(u\mid \left(\int_{X}\lvert f_n(x)\rvert\overline{h(x)}dE(x)\right)v\right)\\
&\leq \lVert u\rVert\left\lVert\left(\int_{X}\lvert f_n(x)\rvert \overline{h(x)}dE(x)\right)v\right\rVert
\end{aligned}
$$
であり、
$$
\begin{aligned}
\left\lVert\int_{X}\lvert f_n(x)\rvert\overline{h(x)}dE(x)v\right\rVert^2
&=\left(\int_{X}\lvert f_n(x)\rvert\overline{h(x)}dE(x)v\mid \int_{X}\lvert f_n(x)\rvert \overline{h(x)}dE(x)v\right)\\
&=\left(v\mid \left(\int_{X}\lvert f_n(x)\rvert^2dE(x)\right)v\right)=\int_{X}\lvert f_n(x)\rvert^2dE_{v,v}\\
&\leq \int_{X}\lvert f(x)\rvert^2dE_{v,v}(x)\quad(\forall n\in\mathbb{N})
\end{aligned}
$$
であるから、
$$
\int_{X}\lvert f_n(x)\rvert d\lvert E_{u,v}\rvert(x)\leq \lVert u\rVert\left(\int_{X}\lvert f(x)\rvert^2dE_{v,v}(x)\right)^{\frac{1}{2}}\quad(\forall n\in\mathbb{N})
$$
が成り立つ。よって単調収束定理より、
$$
\int_{X}\lvert f(x)\rvert d\lvert E_{u,v}\rvert(x)
=\sup_{n\in \mathbb{N}}\int_{X}\lvert f_n(x)\rvert d\lvert E_{u,v}\rvert(x)
\leq\lVert u\rVert\left(\int_{X}\lvert f(x)\rvert^2dE_{v,v}(x)\right)^{\frac{1}{2}}<\infty
$$
であるから $f\in \mathcal{L}^1(X,\mathfrak{M},\lvert E_{u,v}\rvert)$ であり、
$$
\left\lvert\int_{X}f(x)dE_{u,v}(x)\right\rvert
\leq\int_{X}\lvert f(x)\rvert d\lvert E_{u,v}\rvert(x)\leq \lVert u\rVert\left(\int_{X}\lvert f(x)\rvert^2dE_{v,v}(x)\right)^{\frac{1}{2}}
$$
が成り立つ。
*$(3)$　$f_n\colon=f\chi_{(\lvert f\rvert\leq n)}$ $(\forall n\in \mathbb{N})$ として有界可測関数の列 $(f_n)_{n\in\mathbb{N}}$ を定義する。有界可測関数は可測単関数により一様近似できるから、任意の $n\in \mathbb{N}$ に対し、
$$
\mathcal{H}\times D_E(f)\ni (u,v)\mapsto \int_{X}f_n(x)dE_{u,v}(x)\in \mathbb{C}
$$
は準双線形汎関数である。そしてLebesgue優収束定理より、
$$
\int_{X}f(x)dE_{u,v}(x)=\lim_{n\rightarrow\infty}\int_{X}f_n(x)dE_{u,v}(x)
$$
であるから、
$$
\mathcal{H}\times D_E(f)\ni (u,v)\mapsto \int_{X}f(x)dE_{u,v}(x)\in \mathbb{C}
$$
は準双線形汎関数である。
*$(4)$　任意の $v\in D_E(f)$ に対し $(2),(3)$ より、
$$
\mathcal{H}\ni u\mapsto \int_{X}f(x)dE_{u,v}(x)\in \mathbb{C}
$$
は有界反線形汎関数であるから、Rieszの定理（[[位相線形空間1：ノルムと内積]]の'''定理6.13'''）より $\Phi_E(f)v\in \mathcal{H}$ で、
$$
(u\mid \Phi_E(f)v)=\int_{X}f(x)dE_{u,v}(x)\quad(\forall u\in \mathcal{H})
$$
を満たすものが一意的に定まる。そして $(3)$ より、
$$
\Phi_E(f)\colon D_E(f)\ni v\mapsto \Phi_E(f)v\in \mathcal{H}
$$
は線形作用素であり、$(2)$ より、
$$
\lVert\Phi_E(f)v\rVert\leq \left(\int_{X}\lvert f(x)\rvert^2dE_{v,v}(x)\right)^{\frac{1}{2}}\quad(\forall v\in D_E(f))
$$
である。よって任意の $v\in D_E(f)$ に対し、
$$
\lVert \Phi_E(f)v-\Phi_E(f_n)v\rVert=\lVert\Phi_E(f-f_n)v\rVert\leq\left(\int_{X}\lvert f(x)-f_n(x)\rvert^2dE_{v,v}(x)\right)^{\frac{1}{2}}\quad(\forall n\in\mathbb{N})
$$
であり、右辺はLebesgue優収束定理より $n\rightarrow\infty$ で $0$ に収束するので、
$$
\lVert\Phi_E(f)v\rVert=\lim_{n\rightarrow\infty}\lVert\Phi_E(f_n)v\rVert
$$
が成り立つ。ここで射影値測度による有界可測関数の積分の性質（'''定義6.5'''）より、任意の $n\in \mathbb{N}$ に対し、
$$
\lVert\Phi_E(f_n)v\rVert^2=\left(\int_{X}f_n(x)dE(x)v\mid \int_{X}f_n(x)dE(x)v\right)
=\left(v\mid \int_{X}\lvert f_n(x)\rvert^2dE(x)v\right)
=\int_{X}\lvert f_n(x)\rvert^2dE_{v,v}(x)
$$
であるから、単調収束定理より、
$$
\lVert\Phi_E(f)v\rVert^2=\lim_{n\rightarrow\infty}\lVert\Phi_E(f_n)v\rVert^2
=\lim_{n\rightarrow\infty}\int_{X}\lvert f_n(x)\rvert^2dE_{v,v}(x)
=\int_{X}\lvert f(x)\rvert^2dE_{v,v}(x)
$$
となる。
{{end|proof|}}

=== 定義6.7（射影値測度による可測関数の積分） ===
$\mathcal{H}$ をHilbert空間、$(X,\mathfrak{M})$ を可測空間、$E\colon\mathfrak{M}\rightarrow \mathbb{P}(\mathcal{H})$ を射影値測度、$f\colon X\rightarrow\mathbb{C}$ を任意の可測関数とする。このとき'''命題6.6'''より、
$$
D_E(f)\colon=\left\{v\in \mathcal{H}:\int_{X}\lvert f(x)\rvert^2dE_{v,v}(x)<\infty\right\}
$$
は $\mathcal{H}$ の稠密な線形部分空間である。そして、
$$
\left(u\mid \int_{X}f(x)dE(x)v\right)=\int_{X}f(x)dE_{u,v}(x)\quad(\forall u\in \mathcal{H},\forall v\in D_E(f))
$$
を満たす稠密に定義された線形作用素
$$
\int_{X}f(x)dE(x)\colon D_E(f) \ni v\mapsto \int_{X}f(x)dE(x)v\in\mathcal{H}
$$
が定まる。これを $f$ の $E$ による積分と言う。'''命題6.6'''の $(4)$ より、
$$
\left\lVert \int_{X}f(x)dE(x)v\right\rVert^2=\int_{X}\lvert f(x)\rvert^2dE_{v,v}(x)\quad(\forall v\in D_E(f))
$$
である。

=== 命題6.8（射影値測度による積分の基本性質） ===
$\mathcal{H}$ をHilbert空間、$(X,\mathfrak{M})$ を可測空間、$E\colon\mathfrak{M}\rightarrow \mathbb{P}(\mathcal{H})$ を射影値測度とする。このとき、
*$(1)$　任意の可測関数$f,g\colon X\rightarrow\mathbb{C}$ に対し、
$$
D\left(\int_{X}f(x)dE(x)\int_{X}g(x)dE(x)\right)=D_E(fg)\cap D_E(g),
$$
$$
\int_{X}f(x)dE(x)\int_{X}g(x)dE(x)\subset \int_{X}f(x)g(x)dE(x)
$$
が成り立つ。
*$(2)$　任意の可測関数 $f\colon X\rightarrow \mathbb{C}$ に対し、
$$
\int_{X}\overline{f(x)}dE(x)=\left(\int_{X}f(x)dE(x)\right)^*
$$
が成り立つ。
*$(3)$　任意の可測関数 $f\colon X\rightarrow\mathbb{C}$ に対し、
$$
\int_{X}f(x)dE(x)\colon D_E(f)\rightarrow \mathcal{H}
$$
は稠密に定義された閉線形作用素である。そして任意の可測関数 $f,g\colon X\rightarrow\mathbb{C}$ に対し、
$$
\overline{\int_{X}f(x)dE(x)+\int_{X}g(x)dE(x)}=\int_{X}f(x)+g(x)dE(x),
$$
$$
\overline{\int_{X}f(x)dE(x)\int_{X}g(x)dE(x)}=\int_{X}f(x)g(x)dE(x)
$$
が成り立つ。
*$(4)$　任意の可測関数 $f\colon X\rightarrow\mathbb{C}$ に対し、
$$
\left(\int_{X}f(x)dE(x)\right)^n=\int_{X}f(x)^ndE(x)\quad(\forall n\in\mathbb{N}),
$$
$$
\left(\int_{X}f(x)dE(x)\right)^*\left(\int_{X}f(x)dE(x)\right)=\int_{X}\lvert f(x)\rvert^2dE(x)
$$
が成り立つ。
*$(5)$　任意の可測関数 $f\colon X\rightarrow\mathbb{C}$ に対し、
$$
{\rm Ker}\left(\int_{X}f(x)dE(x)\right)={\rm Ran}E( (f=0))
$$
が成り立つ。そして、
$$
\int_{X}f(x)dE(x)\colon D_E(f)\rightarrow \mathcal{H}
$$
が単射、すなわち $E((f=0))=0$ であるとき、
$$
f^{-1}(x)=f(x)^{-1}\quad(\forall x\in X\backslash (f=0))
$$
なる任意の可測関数 $f^{-1}\colon X\rightarrow\mathbb{C}$ に対し、
$$
\left(\int_{X}f(x)dE(x)\right)^{-1}=\int_{X}f^{-1}(x)dE(x)
$$
が成り立つ。
{{begin |proof }}
*$(1)$　任意の $n\in \mathbb{N}$ に対し $f_n=f\chi_{(\lvert f\rvert\leq n)}$、$g_n=g\chi_{\lvert g\rvert\leq n}$ として有界可測関数の列 $(f_n)_{n\in\mathbb{N}}$、$(g_n)_{n\in\mathbb{N}}$ を定義する。任意の $u\in\mathcal{H}$ と任意の $v\in D_E(g)$ に対し、Lebesgue優収束定理より、
$$
\begin{aligned}
&\left(u\mid \int_{X}f_n(x)dE(x)\int_{X}g(x)dE(x)v\right)=\lim_{m\rightarrow\infty}\left(u\mid \int_{X}f_n(x)dE(x)\int_{X}g_m(x)dE(x)v\right)\\
&=\lim_{m\rightarrow\infty}\left(u\mid \int_{X}f_n(x)g_m(x)dE(x)v\right)
=\left(u\mid \int_{X}f_n(x)g(x)dE(x)v\right)
\end{aligned}
$$
であるから、
$$
\int_{X}f_n(x)dE(x)\int_{X}g(x)dE(x)v=\int_{X}f_n(x)g(x)dE(x)v\quad(\forall v\in D_E(g),\forall n\in\mathbb{N})
$$
である。よって任意の $v\in D_E(g)$ に対し、
$$
w:=\int_{X}g(x)dE(x)v\in \mathcal{H}
$$
とおけば、
$$
\int_{X}f_n(x)dE(x)w=\int_{X}f_n(x)g(x)dE(x)v\quad(\forall n\in\mathbb{N})
$$
であるから、ノルムの二乗を取れば、
$$
\int_{X}\lvert f_n(x)\rvert^2dE_{w,w}(x)=\int_{X}\lvert f_n(x)g(x)\rvert^2dE_{v,v}(x)\quad(\forall n\in \mathbb{N})
$$
となる。よって単調収束定理より、
$$
\int_{X}\lvert f(x)\rvert^2dE_{w,w}(x)=\int_{X}\lvert f(x)g(x)\rvert^2dE_{v,v}(x)
$$
となる。これが任意の $v\in D_E(g)$ に対して成り立つので、
$$
D\left(\int_{X}f(x)dE(x)\int_{X}g(x)dE(x)\right)=D_E(fg)\cap D_E(g)
$$
が成り立つ。そして任意の $v\in D_E(fg)\cap D_E(g)=D(\int_{X}f(x)dE(x)\int_{X}g(x)dE(x))$ と任意の $u\in \mathcal{H}$ に対し、Lebesgue優収束定理より、
$$
\begin{aligned}
&\left(u\mid \int_{X}f(x)dE(x)\int_{X}g(x)dE(x)v\right)=
\lim_{n\rightarrow\infty}\left(u\mid \int_{X}f_n(x)dE(x)\int_{X}g(x)dE(x)v\right)\\
&=\lim_{n\rightarrow\infty}\left(u\mid \int_{X}f_n(x)g(x)dE(x)v\right)=
\left(u\mid\int_{X}f(x)g(x)dE(x)v\right)
\end{aligned}
$$
となる。よって、
$$
\int_{X}f(x)dE(x)\int_{X}g(x)dE(x)\subset \int_Xf(x)g(x)dE(x)
$$
が成り立つ。
*$(2)$　有界可測関数の列 $f_n=f\chi_{(\lvert f\rvert\leq n)}$ $(\forall n\in \mathbb{N})$ を考える。任意の $u,v\in D_E(f)=D_E(\overline{f})$ に対し Lebesgue優収束定理より、
$$
\begin{aligned}
&\left(u\mid \int_{X}f(x)dE(x)v\right)=\lim_{n\rightarrow\infty}\left(u\mid \int_{X}f_n(x)dE(x)\right)\\
&=\lim_{n\rightarrow\infty}\left(\int_{X}\overline{f_n(x)}dE(x)u\mid v\right)
=\left(\int_{X}\overline{f(x)}dE(x)u\mid v\right)
\end{aligned}
$$
となるので、
$$
\int_{X}\overline{f(x)}dE(x)\subset \left(\int_{X}f(x)dE(x)\right)^*
$$
が成り立つ。逆の包含関係を示す。任意の
$$
v\in D\left(\left(\int_{X}f(x)dE(x)\right)^*\right)
$$
を取り、$v\in D_E(\overline{f})$ を示せばよい。まず $(1)$ より、
$$
\int_{X}f_n(x)dE(x)=\left(\int_{X}f(x)dE(x)\right)E( (\lvert f\rvert\leq n))\quad(\forall n\in\mathbb{N})
$$
であるから、'''命題3.9'''の $(9)$ より、
$$
E( (\lvert f\rvert\leq n))\left(\int_{X}f(x)dE(x)\right)^*\subset \left(\int_{X}f_n(x)dE(x)\right)^*=\int_{X}\overline{f_n(x)}dE(x)\quad(\forall n\in \mathbb{N})
$$
である。よって単調収束定理より、
$$
\begin{aligned}
&\int_{X}\lvert f(x)\rvert^2dE_{v,v}(x)=\sup_{n\in \mathbb{N}}\int_{X}\lvert f_n(x)\rvert^2dE_{v,v}(x)=\sup_{n\in\mathbb{N}}\left\lVert\int_{X}\overline{f_n(x)}dE(x)v\right\rVert^2\\
&=\sup_{n\in\mathbb{N}}\left\lVert E( (\lvert f\rvert\leq n))\left(\int_{X}f(x)dE(x)\right)^*v\right\rVert^2\leq \left\lVert \left(\int_{X}f(x)dE(x)\right)^*v\right\rVert^2<\infty
\end{aligned}
$$
であるから、$v\in D_E(\overline{f})$ である。
*$(3)$　任意の可測関数 $f\colon X\Rightarrow \mathbb{C}$ に対し $(2)$ より、
$$
\int_{X}f(x)dE(x)=\left(\int_{X}\overline{f(x)}dE(x)\right)^*
$$
であるから、'''命題3.9'''の $(6)$ より $\int_{X}f(x)dE(x)$ は閉線形作用素である。
任意の可測関数 $f,g\colon X\rightarrow\mathbb{C}$ に対し $D_E(f)\cap D_E(g)\subset D_E(f+g)$ であることと射影値測度による積分が閉線形作用素であることから、
$$
\overline{\int_{X}f(x)dE(x)+\int_{X}g(x)dE(x)}\subset \int_{X}f(x)+g(x)dE(x)
$$
が成り立つ。逆の包含関係を示す。
$$
B_n\colon=(\lvert f\rvert\leq n)\cap (\lvert g\rvert\leq n)\in \mathfrak{M}\quad(\forall n\in\mathbb{N})
$$
とおくと、SOTで $\lim_{n\rightarrow\infty}E(B_n)=1$ であるから、任意の $v\in D_E(f+g)$ に対しLebesgue優収束定理と $(1)$ より、
$$
\begin{aligned}
&\int_{X}f(x)+g(x)dE(x)v=\lim_{n\rightarrow\infty}\int_{X}(f(x)+g(x))\chi_{B_n}(x)dE(x)v\\
&=\lim_{n\rightarrow\infty}\left(\int_{X}f(x)\chi_{B_n}(x)dE(x)v+\int_{X}g(x)\chi_{B_n}(x)dE(x)v\right)\\
&=\lim_{n\rightarrow\infty}\left(\int_{X}f(x)dE(x)+\int_{X}g(x)dE(x)\right)E(B_n)v\\
&=\left(\overline{\int_{X}f(x)dE(x)+\int_{X}g(x)dE(x)}\right)v
\end{aligned}
$$
である。よって逆の包含関係が成り立つ。$(1)$ と射影値測度による積分が閉線形作用素であることから、
$$
\overline{\int_{X}f(x)dE(x)\int_{X}g(x)dE(x)}\subset \int_{X}f(x)g(x)dE(x)
$$
である。この逆の包含関係を示す。任意の $v\in D_E(fg)$ に対しLebesgue優収束定理と $(1)$ より、
$$
\begin{aligned}
&\int_{X}f(x)g(x)dE(x)v=\lim_{n\rightarrow\infty}\int_{X}f(x)g(x)\chi_{B_n}(x)dE(x)v\\
&=\lim_{n\rightarrow\infty}\int_{X}f(x)dE(x)\int_{X}g(x)\chi_{B_n}(x)dE(x)v\\
&=\lim_{n\rightarrow\infty}\int_{X}f(x)dE(x)\int_{X}g(x)dE(x)E(B_n)v\\
&=\left(\overline{\int_{X}f(x)dE(x)\int_{X}g(x)dE(x)}\right)v
\end{aligned}
$$
である。よって逆の包含関係が成り立つ。
*$(4)$　任意の $n\in \mathbb{N}$、$v\in D_E(f^n)$ に対し $E_{v,v}$ が有限測度であることから、Hölderの不等式より、
$$
\lvert f\rvert^2\in \mathcal{L}^n(X,\mathfrak{M},E_{v,v})\subset \mathcal{L}^1(X,\mathfrak{M},E_{v,v})
$$
である。よって、
$$
D_E(f^n)\subset D_E(f)\quad(\forall n\in\mathbb{N})
$$
が成り立つ。今、ある $n\in\mathbb{N}$ に対し、
$$
\left(\int_{X}f(x)dE(x)\right)^n=\int_{X}f(x)^ndE(x)\quad\quad(*)
$$
が成り立つと仮定すると、$(1)$ より、
$$
\left(\int_{X}f(x)dE(x)\right)^{n+1}=\int_{X}f(x)^ndE(x)\int_{X}f(x)dE(x)\subset \int_{X}f(x)^{n+1}dE(x)
$$
であり、$(1)$ と $D_E(f^{n+1})\subset D_E(f)$ より、
$$
D_E\left(\left(\int_{X}f(x)dE(x)\right)^{n+1}\right)=D_E(f^{n+1})\cap D_E(f)=D_E(f^{n+1})
$$
である。よって $(*)$ は $n+1$ の場合も成り立つので、帰納法より $(*)$ は任意の $n\in \mathbb{N}$ に対して成り立つ。また $(1),(2)$ より、
$$
\left(\int_{X}f(x)dE(x)\right)^*\left(\int_{X}f(x)dE(x)\right)
=\int_{X}\overline{f(x)}dE(x)\int_{X}f(x)dE(x)\subset \int_{X}\lvert f(x)\rvert^2dE(x)
$$
であり、$(1)$ と $D_E(\lvert f\rvert^2)\subset D_E(f)$ より、
$$
D_E\left(\left(\int_{X}f(x)dE(x)\right)^*\left(\int_{X}f(x)dE(x)\right)\right)
=D_E(\lvert f\rvert^2)\cap D_E(f)=D_E(\lvert f\rvert^2)
$$
であるから、$(\int_{X}f(x)dE(x))^*(\int_{X}f(x)dE(x))=\int_{X}\lvert f(x)\rvert^2dE(x)$ が成り立つ。

*$(5)$　任意の $v\in {\rm Ker}(\int_{X}f(x)dE(x))$ に対し、
$$
\int_{X}\lvert f(x)\rvert^2dE_{v,v}(x)=\left\lVert \int_{X}f(x)dE(x)v\right\rVert^2=0
$$
であるから、
$$
\lVert E( (\lvert f\rvert>0))v\rVert^2=E_{v,v}( (\lvert f\rvert>0))=0
$$
である。よって、
$$
v=E( (f=0))v+E( (\lvert f\rvert>0))v=E( (f=0))v\in {\rm Ran} E( (f=0))
$$
であるから ${\rm Ker}(\int_{X}f(x)dE(x))\subset {\rm Ran}E( (f=0))$ が成り立つ。また $(1)$ より、
$$
\int_{X}f(x)dE(x)E( (f=0))=\int_{X}f(x)\chi_{(f=0)}(x)dE(x)=0
$$
であるから ${\rm Ran}E( (f=0))\subset {\rm Ker}(\int_{X}f(x)dE(x))$ も成り立つ。
$\int_{X}f(x)dE(x)$ が単射、すなわち $E( (f=0))=0$ であるとし、$f^{-1}(x)=f(x)^{-1}$ $(\forall x\in X\backslash (f=0))$ なる可測関数 $f^{-1}:X\rightarrow \mathbb{C}$ を考えると、$(1)$ より、
$$
\int_{X}f(x)dE(x)\int_{X}f^{-1}(x)dE(x)\subset \int_{X}f(x)f^{-1}(x)dE(x)=E( (f\neq0))=E(X)=1,
$$
$$
D\left(\int_{X}f(x)dE(x)\int_{X}f^{-1}(x)dE(x)\right)=D_E(f^{-1})
$$
であるから、
$$
\int_{X}f(x)\int_{X}f^{-1}(x)dE(x)v=v\quad(\forall v\in D_E(f^{-1}))
$$
である。よって $\int_{X}f^{-1}(x)dE(x)\subset (\int_{X}f(x)dE(x))^{-1}$ が成り立つ。また $(1)$ より、
$$
\int_{X}f^{-1}(x)dE(x)\int_{X}f(x)dE(x)\subset \int_{X}f^{-1}(x)f(x)dE(x)=E( (f\neq0))=E(X)=1,
$$
$$
D\left(\int_{X}f^{-1}(x)dE(x)\int_{X}f(x)dE(x)\right)=D_E(f)
$$
であるから、
$$
\int_{X}f^{-1}(x)dE(x)\int_{X}f(x)dE(x)v=v\quad(\forall v\in D_E(f))
$$
が成り立つ。よって $(\int_{X}f(x)dE(x))^{-1}\subset \int_{X}f^{-1}(x)dE(x)$ も成り立つ。
{{end|proof|}}

=== 命題6.9（射影値測度のユニタリ作用素による変換） ===
$\mathcal{H},\mathcal{K}$ をHilbert空間、$U\colon\mathcal{H}\rightarrow \mathcal{K}$ をユニタリ作用素、$(X,\mathfrak{M})$ を可測空間、$E\colon\mathfrak{M}\rightarrow \mathbb{P}(\mathcal{H})$ を射影値測度とする。このとき、
$$
UEU^*\colon\mathfrak{M}\ni B\mapsto UE(B)U^*\in \mathbb{P}(\mathcal{K})
$$
は射影値測度であり、任意の可測関数 $f\colon X\rightarrow\mathbb{C}$ に対し、
$$
\int_{X}f(x)d(UEU^*)(x)=U\left(\int_{X}f(x)dE(x)\right)U^*\quad\quad(*)
$$
が成り立つ。
{{begin |proof }}
$UEU^*$ が射影値測度の定義('''定義6.2''')の条件を満たすことは容易に分かる。$(*)$ は $f\colon X\rightarrow \mathbb{C}$ が可測単関数である場合は明らかに成り立ち、有界可測関数は可測単関数により一様近似できること（[[測度と積分5：$L^p$ 空間の完備性と双対性]]の'''命題22.2'''）から、$f\colon X\rightarrow \mathbb{C}$ が有界可測関数の場合も $(*)$ は成り立つ。今、任意の可測関数 $f\colon X\rightarrow\mathbb{C}$ に対し、有界可測関数の列 $f_n\colon=f\chi_{(\lvert f\rvert\leq n)}$ $(\forall n\in \mathbb{N})$ を考えると、任意の $v\in \mathcal{K}$ に対し単調収束定理より、
$$
\begin{aligned}
\int_{X}\lvert f(x)\rvert^2d(UEU^*)_{v,v}(x)&=\sup_{n\in \mathbb{N}}\int_{X}\lvert f_n(x)\rvert^2d(UEU^*)_{v,v}(x)=\sup_{n\in\mathbb{N}}\left\lVert \int_{X}f_n(x)d(UEU^*)(x)v\right\rVert^2\\
&=\sup_{n\in\mathbb{N}}\left\lVert \left(\int_{X}f_n(x)dE(x)\right)U^*v\right\rVert^2
=\sup_{n\in\mathbb{N}}\int_{X}\lvert f_n(x)\rvert^2dE_{U^*v,U^*v}(x)\\
&=\int_{X}\lvert f(x)\rvert^2dE_{U^*v,U^*v}(x)
\end{aligned}
$$
であるから $D_{UEU^*}(f)=UD_E(f)$ が成り立つ。そして任意の $u\in \mathcal{H}$ と任意の $v\in D_{UEU^*}(f)$ に対しLebesgue優収束定理より、
$$
\begin{aligned}
&\left(u\mid \int_{X}f(x)d(UEU^*)(x)v\right)=\lim_{n\rightarrow\infty}\left(u\mid \left(\int_{X}f_n(x)d(UEU^*)(x)\right)v\right)\\
&=\lim_{n\rightarrow\infty}\left(u\mid U\left(\int_{X}f_n(x)dE(x)\right)U^*v\right)
=\left(u\mid U\left(\int_{X}f(x)dE(x)\right)U^*v\right)
\end{aligned}
$$
である。よって $(*)$ は任意の可測関数 $f:X\rightarrow \mathbb{C}$ に対して成り立つ。
{{end|proof|}}

=== 命題6.10 ===
$\mathcal{H}$ をHilbert空間、$(X,\mathfrak{M})$ を可測空間、$E\colon\mathfrak{M}\rightarrow \mathbb{P}(\mathcal{H})$ を射影値測度、$f\colon X\rightarrow\mathbb{C}$ を可測関数とする。このとき $\mathbb{C}$ の開集合 $U$ で $E(f^{-1}(U))=0$ を満たすもの全ての合併を $U_0$ とおけば $E(f^{-1}(U_0))=0$ が成り立つ。
{{begin |proof }}
任意の $v\in \mathcal{H}$ を取り、$\mathbb{C}$ 上の有限Borel測度
$$
\mathcal{B}_{\mathbb{C}}\ni B\mapsto E_{v,v}(f^{-1}(B))\in \mathbb{C}\quad\quad(*)
$$
を考える。$\mathbb{C}$ は第二可算局所コンパクトHausdorff空間であるから、[[測度と積分7：局所コンパクトHausdorff空間上のRadon測度]]の'''定理31.5'''より $(*)$ はRadon測度である。よって、
$$
E_{v,v}(f^{-1}(U_0))=\sup\{E_{v,v}(K):K\subset U_0\text{ はコンパクト}\}\quad\quad(**)
$$
が成り立つ。任意のコンパクト集合 $K\subset U_0$ を取る。$U_0$ の定義より $\mathbb{C}$ の有限個の開集合 $U_1,\ldots,U_n$ で、
$$
K\subset \bigcup_{k=1}^{n}U_k,\quad E_{v,v}(f^{-1}(U_k))=0\quad(k=1,\ldots,n)
$$
を満たすものが取れる。よって、
$$
E_{v,v}(f^{-1}(K))\leq \sum_{k=1}^{n}E_{v,v}(f^{-1}(U_k))=0
$$
より $E_{v,v}(f^{-1}(K))=0$ であるから、$K$ の任意性と $(**)$ より $E_{v,v}(f^{-1}(U_0))=0$ である。$v\in \mathcal{H}$ の任意性と偏極恒等式より、任意の $u,v\in \mathcal{H}$ に対し $E_{u,v}(U_0)=\frac{1}{4}\sum_{k=0}^{3}i^kE_{i^ku+v,i^ku+v}(U_0)=0$ であるから、$E(U_0)=0$ である。
{{end|proof|}}

=== 定義6.11（可測関数の射影値測度に関する本質的値域） ===
$\mathcal{H}$ をHilbert空間、$(X,\mathfrak{M})$ を可測空間、$E\colon\mathfrak{M}\rightarrow \mathbb{P}(\mathcal{H})$ を射影値測度、$f\colon X\rightarrow\mathbb{C}$ を可測関数とする。'''命題6.10'''より $E(f^{-1}(U))=0$ を満たす $\mathbb{C}$ の開集合 $U$ のうち最大のもの $U_0$ が存在する。そこで $\mathbb{C}$ の閉集合
$$
{\rm ess.Ran}_E(f)\colon=\mathbb{C}\backslash U_0
$$
を $f$ の $E$ に関する本質的値域と言う。${\rm ess.Ran}_E(f)$ は明らかに次のように特徴付けられる。
$$
{\rm ess.Ran}_E(f)=\{\lambda\in \mathbb{C}:\forall \epsilon\in(0,\infty),\text{ }E( (\lvert\lambda-f\rvert)<\epsilon)>0\}.
$$
ただし　$(\lvert \lambda-f\rvert<\epsilon)=\{x\in X:\lvert\lambda-f(x)\rvert<\epsilon \}=f^{-1}(B(\lambda,\epsilon))$ である。

=== 命題6.12（射影値測度による積分のスペクトルと本質的値域） ===
$\mathcal{H}$ をHilbert空間、$(X,\mathfrak{M})$ を可測空間、$E\colon \mathfrak{M}\rightarrow \mathbb{P}(\mathcal{H})$ を射影値測度、$f\colon X\rightarrow\mathbb{C}$ を可測関数とする。このとき $f$ の $E$ による積分 $\int_{X}f(x)dE(x)$ のスペクトルと、$f$ の $E$ に関する本質的値域は一致する。すなわち、
$$
\sigma\left(\int_{X}f(x)dE(x)\right)={\rm ess.Ran}_E(f)
$$
が成り立つ。
{{begin |proof }}
本質的値域の定義より、
$$
{\rm ess.Ran}_E(f)=\{\lambda\in \mathbb{C}:\forall \epsilon\in(0,\infty),\text{ }E( (\lvert\lambda-f\rvert)<\epsilon)>0\}\quad\quad(*)
$$
である。任意の $\lambda\in {\rm ess.Ran}_E(f)$ を取る。$(*)$ より各 $n\in \mathbb{N}$ に対し $E( (\lvert\lambda-f\rvert<\frac{1}{n}))>0$ であるので、単位ベクトル
$$
v_n\in {\rm Ran}E\left(\left(\lvert\lambda-f\rvert<\frac{1}{n}\right)\right)
$$
が取れる。そして'''命題6.8'''の $(1)$ より、
$$
\left(\lambda-\int_{X}f(x)dE(x)\right)E\left(\left(\lvert\lambda-f\rvert<\frac{1}{n}\right)\right)=\int_{X}(\lambda-f(x))\chi_{(\lvert\lambda-f\rvert<\frac{1}{n})}(x)dE(x)\in\mathbb{B}(\mathcal{H})
$$
であるから、$v_n\in D_E(\lambda-f)=D_E(f)$ であり、
$$
\left\lVert \left(\lambda-\int_{X}f(x)dE(x)\right)v_n\right\rVert
=\left\lVert\int_{X}(\lambda-f(x))\chi_{(\lvert\lambda-f\rvert<\frac{1}{n})}(x)dE(x)v_n\right\rVert\leq\frac{1}{n}
$$
である。よってもし $\lambda\notin \sigma(\int_{X}f(x)dE(x))$ ならば、任意の $n\in \mathbb{N}$ に対し、
$$
1=\lVert v_n\rVert=\left\lVert \left(\lambda-\int_{X}f(x)dE(x)\right)^{-1}\left(\lambda-\int_{X}f(x)dE(x)\right)v_n\right\rVert\leq \frac{1}{n}\left\lVert\left(\lambda-\int_{X}f(x)dE(x)\right)^{-1}\right\rVert
$$
となり矛盾する。ゆえに $\lambda\in \sigma(\int_{X}f(x)dE(x))$ である。これより、
$$
{\rm ess.Ran}_E(f)\subset \sigma\left(\int_{X}f(x)dE(x)\right)\quad\quad(**)
$$
が成り立つ。逆の包含関係を示す。そのためには $\lambda\notin {\rm ess.Ran}_E(f)$ なる任意の $\lambda\in \mathbb{C}$ を取り、$\lambda\notin \sigma(\int_{X}f(x)dE(x))$ が成り立つことを示せばよい。$(*)$ よりある $\epsilon\in(0,\infty)$ に対し、
$$
E( (\lvert\lambda-f\rvert<\epsilon))=0
$$
である。特に、
$$
E( (\lambda-f=0))\leq E( (\lvert\lambda-f\rvert<\epsilon))=0
$$
であるから、'''命題6.8'''の $(5)$ より、
$$
\lambda-\int_{X}f(x)dE(x)=\int_{X}\lambda-f(x)dE(x):D_E(f)\rightarrow\mathcal{H}\quad\quad(***)
$$
は単射である。今、可測関数 $g\colon X\rightarrow\mathbb{C}$ を、
$$
g(x)=\begin{cases}(\lambda-f(x))^{-1}&(\lvert\lambda-f(x)\rvert\geq\epsilon)\\
0&(\lvert\lambda-f(x)\rvert<\epsilon)\end{cases}
$$
とおくと $g$ は有界であり、'''命題6.8'''の $(1)$ より、
$$
\left(\lambda-\int_{X}f(x)dE(x)\right)\int_{X}g(x)dE(x)=\int_{X}(\lambda-f(x))g(x)dE(x)=E( (\lvert\lambda-f\rvert\geq\epsilon) )=1
$$
であるから $(***)$ は全射でもある。ゆえに $\lambda\notin \sigma(\int_{X}f(x)dE(x))$ であるから $(**)$ の逆の包含関係が成り立つ。
{{end|proof|}}

=== 系6.13 ===
$\mathcal{H}$ をHilbert空間、$X$ を位相空間、$E\colon\mathcal{B}_X\rightarrow \mathbb{P}(\mathcal{H})$ を射影値測度とし、任意の空でない開集合 $U\subset X$ に対し $E(U)>0$ が成り立つと仮定する。このとき任意の連続関数 $f\colon X\rightarrow\mathbb{C}$ に対し、
$$
\sigma\left(\int_{X}f(x)dE(x)\right)=\overline{f(X)}
$$
が成り立つ。
{{begin |proof }}
$f^{-1}(\mathbb{C}\backslash \overline{f(X)})=\emptyset$ であるから本質的値域の定義（'''定義6.10'''）より、
$$
{\rm ess.Ran}_E(f)\subset \overline{f(X)}
$$
である。逆の包含関係を示す。${\rm ess.Ran}_E(f)$ は閉集合であるので $f(X)\subset {\rm ess.Ran}_E(f)$ が成り立つことを示せばよい。そのためには、'''定義6.10'''の最後における ${\rm ess.Ran}_E(f)$ の特徴付けより、任意の $x_0\in X$ と任意の $\epsilon\in (0,\infty)$ に対し、
$$
E(\lvert f-f(x_0)\rvert<\epsilon)>0\quad\quad(*)
$$
が成り立つことを示せばよい。$f$ の $x_0\in X$ における連続性より、$x_0$ の開近傍 $U\subset X$ が存在し、
$$
U\subset (\lvert f-f(x_0)\rvert<\epsilon)
$$
となる。よって仮定より、
$$
0<E(U)\leq E( (\lvert f-f(x_0)\rvert<\epsilon))
$$
であるから、$(*)$ が成り立つ。
{{end|proof|}}

== 7. Radon射影値測度とRiesz-Markov-角谷の表現定理 ==

=== 定義7.1（局所コンパクトHausdorff空間上のRadon射影値測度） ===
$\mathcal{H}$ をHilbert空間、$X$ を局所コンパクトHausdorff空間、$E\colon\mathcal{B}_X\rightarrow\mathbb{P}(\mathcal{H})$ を射影値測度とする。任意の $u,v\in \mathcal{H}$ に対し複素数値Borel測度 $E_{u,v}\colon\mathcal{B}_X\ni B\mapsto (u\mid E(B)v)\in\mathbb{C}$ が複素数値Radon測度（[[測度と積分7：局所コンパクトHausdorff空間上のRadon測度]]の'''定義33.1'''）であるとき、$E$ をRadon射影値測度と言う。

=== 注意7.2（第二可算局所コンパクトHausdorff空間上の射影値Borel測度は自動的にRadon射影値測度） ===
$\mathcal{H}$ をHilbert空間、$X$ を第二可算局所コンパクトHausdorff空間、$E\colon\mathcal{B}_X\rightarrow\mathbb{P}(\mathcal{H})$ を射影値測度とする。このとき[[測度と積分7：局所コンパクトHausdorff空間上のRadon測度]]の'''注意33.2'''より、 $E$ は自動的にRadon射影値測度である。

=== 定理7.3（射影値測度に関するRiesz-Markov-角谷の表現定理） ===
$\mathcal{H}$ をHilbert空間、$X$ を局所コンパクトHausdorff空間、$\Phi\colon C_0(X)\rightarrow \mathbb{B}(\mathcal{H})$ を $*$-環準同型写像とし、
$$
\Phi(C_0(X))\mathcal{H}={\rm span}\{\Phi(f)v:f\in C_0(X),v\in \mathcal{H}\}\quad\quad(*)
$$
が $\mathcal{H}$ において稠密であるとする。（ただし $C_0(X)$ は $X$ 上の無限遠で消える連続関数全体に各点ごとの演算と $\sup$ ノルムを入れた可換 $C^*$-環である。）このときRadon射影値測度 $E\colon\mathcal{B}_X\rightarrow\mathbb{P}(\mathcal{H})$ で、
$$
\Phi(f)=\int_{X}f(x)dE(x)\quad(\forall f\in C_0(X))
$$
を満たすものが唯一つ存在する。
{{begin |proof }}
[[Banach環とC*-環のスペクトル理論]]の'''定理10.1'''より $\Phi$ はノルム減少であるから任意の $u,v\in \mathcal{H}$ に対し、
$$
C_0(X)\ni f\mapsto (u\mid \Phi(f)v)\in \mathbb{C}
$$
はノルムが $\lVert u\rVert\lVert v\rVert$ 以下の有界線形汎関数である。よってRiesz-Markov-角谷の表現定理（[[測度と積分7：局所コンパクトHausdorff空間上のRadon測度]]の'''定理30.4'''）より、任意の $u,v\in \mathcal{H}$ に対し複素数値Radon測度 $\nu_{u,v}\in M(X)$ で、
$$
\int_{X}f(x)d\nu_{u,v}(x)=(u\mid \Phi(f)v)\quad(\forall f\in C_0(X))\quad\quad(*)
$$
を満たすものが定まり、
$$
\mathcal{H}\times \mathcal{H}\ni (u,v)\mapsto \nu_{u,v}\in M(X)
$$
はノルムが $1$ 以下の有界準双線形写像である。今、$X\rightarrow\mathbb{C}$ の有界Borel関数全体に各点ごとの演算と $\sup$ ノルムを入れた可換 $C^*$-環を $\mathcal{L}_{\rm b}(X,{\cal B}_X)$ とおくと、任意の $f\in \mathcal{L}_{\rm b}(X,{\cal B}_X)$ に対し、
$$
\mathcal{H}\times \mathcal{H}\ni (u,v)\mapsto \int_{X}f(x)d\nu_{u,v}(x)\in \mathbb{C}
$$
はノルムが $f$ 以下の有界準双線形汎関数であるから、[[位相線形空間1：ノルムと内積]]の'''定理7.1'''より $\Psi(f)\in \mathbb{B}(\mathcal{H})$ で、
$$
\int_{X}f(x)d\nu_{u,v}(x)=(u\mid \Psi(f)v)\quad(\forall u,v\in \mathcal{H})\quad\quad(**)
$$
を満たすものが定まり、$\lVert \Psi(f)\rVert\leq \lVert f\rVert$ が成り立つ。こうしてノルム減少な線形写像
$$
\Psi:\mathcal{L}_{\rm b}(X,{\cal B}_X)\ni f\mapsto \Psi(f)\in \mathbb{B}(\mathcal{H})
$$
が定義できる。$(*),(**)$ より、
$$
\Psi(f)=\Phi(f)\quad(\forall f\in C_0(X))
$$
である。今、$\Psi$ が $*$-環準同型写像であることを示す。任意の $v\in \mathcal{H}$ に対し、
$$
(v\mid \Phi(f)v)=(\Phi(\sqrt{f})v\mid \Phi(\sqrt{f})v)\geq0\quad(\forall f\in C_{c,+}(X))
$$
であるから、Riesz-Markov-角谷の表現定理（[[測度と積分7：局所コンパクトHausdorff空間上のRadon測度]]の'''定理34.1'''）より $\nu_{v,v}$ は非負値測度である。よって任意の $f\in \mathcal{L}_{\rm b}(X,\mathcal{B}_X)$、任意の $v\in \mathcal{H}$ に対し、
$$
(v\mid \Psi(\overline{f})v)=\int_{X}\overline{f(x)}d\nu_{v,v}(x)=\overline{\int_{X}f(x)d\nu_{v,v}(x)}=\overline{(v\mid \Psi(f)v)}=(v\mid \Psi(f)^*v)
$$
であるから、偏極恒等式より、
$$
\Psi(\overline{f})=\Psi(f)^*\quad(\forall f\in \mathcal{L}_{\rm b}(X,\mathcal{B}_X))
$$
が成り立つ。ゆえに $\Psi$ は対合を保存する。$\Psi$ が乗法を保存すること、すなわち、
$$
\Psi(fg)=\Psi(f)\Psi(g)\quad(\forall f,g\in \mathcal{L}_{\rm b}(X,\mathcal{B}_X))\quad\quad(***)
$$
が成り立つことを示す。まず $\Phi\colon C_0(X)\rightarrow \mathbb{B}(\mathcal{H})$ は $*$-環準同型写像であるので任意の $f,g\in C_0(X)$、$u,v\in \mathcal{H}$ に対し、
$$
\int_{X}f(x)g(x)d\nu_{u,v}(x)=(u\mid \Phi(fg)v)=(u\mid \Phi(f)\Phi(g)v)=\int_{X}f(x)d\nu_{u,\Phi(g)v}(x)
$$
である。よって任意の $g\in C_0(X)$、$u,v\in \mathcal{H}$ に対し、
$$
(\nu_{u,v})_g\colon \mathcal{B}_X\ni B\mapsto \int_{B}g(x)d\nu_{u,v}(x)\in \mathbb{C}
$$
なる $(\nu_{u,v})_g\in M(X)$（$(\nu_{u,v})_g$ が複素数値Radon測度であることについては[[測度と積分7：局所コンパクトHausdorff空間上のRadon測度]]の'''命題33.4'''の $(3)$ を参照）を考えれば、任意の $f\in C_0(X)$ に対し、[[測度と積分4：測度論の基本定理(2)]]の'''命題19.6'''より、
$$
\int_{X}f(x)d(\nu_{u,v})_g(x)=\int_{X}f(x)g(x)d\nu_{u,v}(x)=\int_{X}f(x)d\nu_{u,\Phi(g)v}(x)
$$
である。よってRiesz-Markov-角谷の表現定理（[[測度と積分7：局所コンパクトHausdorff空間上のRadon測度]]の'''定理34.1'''）より、
$$
(\nu_{u,v})_g=\nu_{u,\Phi(g)v}\quad(\forall g\in C_0(X),\forall u,v\in \mathcal{H})\quad\quad(****)
$$
が成り立つ。次に任意の $f\in \mathcal{L}_{\rm b}(X,\mathcal{B}_X)$, $u,v\in {\cal H}$ に対し、
$$
(\nu_{u,v})_f:\mathcal{B}_X\ni B\mapsto \int_{B}f(x)d\nu_{u,v}(x)\in \mathbb{C}
$$
なる $(\nu_{u,v})_f\in M(X)$ を考えると、[[測度と積分4：測度論の基本定理(2)]]の'''命題19.6'''と $(****)$ より、任意の $g\in C_0(X)$ に対し、
$$
\begin{aligned}
\int_{X}g(x)d(\nu_{u,v})_f(x)&=\int_{X}f(x)g(x)d\nu_{u,v}(x)=\int_{X}f(x)d(\nu_{u,v})_g(x)
=\int_{X}f(x)d\nu_{u,\Phi(g)v}(x)
=(u\mid \Psi(f)\Phi(g)v)\\
&=(\Psi(f)^*u\mid \Phi(g)v)=\int_{X}g(x)d\nu_{\Psi(f)^*u,v}(x)
\end{aligned}
$$
が成り立つ。よってRiesz-Markov-角谷の表現定理（[[測度と積分7：局所コンパクトHausdorff空間上のRadon測度]]の'''定理34.1'''）より、
$$
(\nu_{u,v})_f=\nu_{\Psi(f)^*u,v}\quad(\forall f\in \mathcal{L}_{\rm b}(X,\mathfrak{M}),\forall u,v\in \mathcal{H})
$$
が成り立つ。ゆえに任意の $f,g\in \mathcal{L}_{\rm b}(X,\mathcal{B}_X)$、任意の $u,v\in \mathcal{H}$ に対し、[[測度と積分4：測度論の基本定理(2)]]の'''命題19.6'''より、
$$
\begin{aligned}
(u\mid \Psi(fg)v)&=\int_{X}f(x)g(x)d\nu_{u,v}(x)=\int_{X}g(x)d(\nu_{u,v})_f(x)=\int_{X}g(x)d\nu_{\Psi(f)^*u,v}(x)\\
&=(\Psi(f)^*u\mid\Psi(g)v)=(u\mid\Psi(f)\Psi(g)v)
\end{aligned}
$$
が成り立つので $(***)$ が成り立つ。これより $\Psi\colon\mathcal{L}_{\rm b}(X,\mathcal{B}_X)\rightarrow \mathbb{B}(\mathcal{H})$ は*-環準同型写像である。そして、
$$
\Psi(1)\Phi(f)v=\Psi(1)\Psi(f)v=\Psi(f)v=\Phi(f)v\quad(\forall f\in C_0(X),\forall v\in \mathcal{H})
$$
であり、$\Phi(C_0(X)){\cal H}$ は $\mathcal{H}$ で稠密であるので、$\Psi(1)=1$ である。任意の $B\in \mathcal{B}_X$ に対し $E(B)\colon=\Psi(\chi_B)$ とおけば、
$$
E(B)=\Psi(\chi_B)\in \mathbb{P}(\mathcal{H})\quad(\forall B\in\mathcal{B}_X),\quad
E(X)=1
$$
であり、
$$
(u\mid E(B)v)=(u\mid \Psi(\chi_B)v)=\nu_{u,v}(B)\quad(\forall B\in \mathcal{B}_X,\forall u,v\in \mathcal{H})
$$
であるから $E\colon\mathcal{B}_X\ni B\mapsto E(B)\in \mathbb{P}(\mathcal{H})$ はRadon射影値測度であり、任意の $f\in C_0(X)$、$u,v\in \mathcal{H}$ に対し、
$$
\left(u\mid \int_{X}f(x)dE(x)v\right)=\int_{X}f(x)dE_{u,v}(x)=\int_{X}f(x)d\nu_{u,v}(x)=(u\mid \Phi(f)v)
$$
であるので、
$$
\int_{X}f(x)dE(x)=\Phi(f)\quad(\forall f\in C_0(X))
$$
が成り立つ。これで存在が示せた。一意性を示す。$E'\colon\mathcal{B}_X\rightarrow\mathbb{P}(\mathcal{H})$ もRadon射影値測度であり、
$$
\int_{X}f(x)dE'(x)=\Phi(f)\quad(\forall f\in C_0(X))
$$
を満たすならば、任意の $u,v\in \mathcal{H}$ に対し、
$$
\int_{X}f(x)dE_{u,v}(x)=(u\mid \Phi(f)v)=\int_{X}f(x)dE'_{u,v}(x)\quad(\forall f\in C_0(X))
$$
であるから、Riesz-Markov-角谷の表現定理（[[測度と積分7：局所コンパクトHausdorff空間上のRadon測度]]の'''定理34.1'''）より $E_{u,v}=E'_{u,v}$ である。よって $E=E'$ である。これで一意性が示せた。
{{end|proof|}}

== 8. スペクトル測度、Borel汎関数計算 ==

=== 命題8.1（正規作用素に付随するスペクトル測度の一意存在） ===
$\mathcal{H}$ をHilbert空間とし、$T\in \mathbb{B}(\mathcal{H})$ を正規作用素とする。このとき射影値測度 $E^T\colon\mathcal{B}_{\sigma(T)}\rightarrow\mathbb{P}(\mathcal{H})$ で、
$$
T=\int_{\sigma(T)}\lambda dE^T(\lambda)
$$
を満たすものが唯一つ存在する。（'''注意7.2'''より$E^T$ は必然的にRadon射影値測度である。）そして、
$$
f(T)=\int_{\sigma(T)}f(\lambda)dE^T(\lambda)\quad(\forall f\in C(\sigma(T)))
$$
が成り立つ。ただし左辺は $T$ に関する連続汎関数計算（[[Banach環とC*-環のスペクトル理論]]の'''定義6.6'''）である。
{{begin |proof }}
連続汎関数計算
$$
C(\sigma(T))\ni f\mapsto f(T)\ni C^*(\{1,T\})\subset\mathbb{B}(\mathcal{H})
$$
は単位元を単位元に写す $*$-環準同型写像であるから、射影値測度に関するRiesz-Markov-角谷の表現定理（'''定理7.3'''）より、射影値測度 $E^T\colon \mathcal{B}_{\sigma(T)}\rightarrow \mathbb{P}(\mathcal{H})$ で、
$$
f(T)=\int_{\sigma(T)}f(\lambda)dE^T(\lambda)\quad(\forall f\in C(\sigma(T)))
$$
を満たすものが存在する。特に、
$$
T=\int_{\sigma(T)}\lambda dE^T(\lambda)
$$
である。よって存在が示せた。射影値測度 $E,F\colon\mathcal{B}_{\sigma(T)}\rightarrow\mathbb{P}(\mathcal{H})$ が、
$$
\int_{\sigma(T)}\lambda dE(\lambda)=T=\int_{\sigma(T)}\lambda dF(\lambda)
$$
を満たすとする。恒等写像 ${\rm id}\colon\sigma(T)\ni \lambda\mapsto \lambda\in \mathbb{C}$ に対し、Stone-Weierstrassの定理（[[測度と積分7：局所コンパクトHausdorff空間上のRadon測度]]の'''定理35.4'''）より、
$$
C(\sigma(T))=\overline{\text{span}\left\{\overline{\rm id}^n{\rm id}^m:n,m\in\mathbb{Z}_+\right\}}
$$
であるから、任意の $f\in C(\sigma(T))$ に対し、
$$
\int_{\sigma(T)}f(\lambda)dE(\lambda)=\int_{\sigma(T)}f(\lambda)dF(\lambda)
$$
が成り立つ。ここで $\sigma(T)$ は第二可算コンパクトHausdorff空間であるから'''注意7.2'''より $E,F\colon\mathcal{B}_{\sigma(T)}\rightarrow\mathbb{P}(\mathcal{H})$ は自動的にRadon射影値測度である。ゆえに'''定理7.3'''より $E=F$ である。これで一意性が示せた。
{{end|proof|}}

=== 定義8.2（正規作用素に付随するスペクトル測度） ===
Hilbert空間 $\mathcal{H}$ 上の正規作用素 $T\in \mathbb{B}(\mathcal{H})$ に対し、'''命題8.1'''における射影値測度 $E^T\colon \mathcal{B}_X\rightarrow \mathbb{P}(\mathcal{H})$ を、$T$ に付随するスペクトル測度と言う。

=== 定理8.3（自己共役作用素に付随するスペクトル測度の一意存在） ===
$\mathcal{H}$ をHilbert空間、$T$ を $\mathcal{H}$ 上の自己共役作用素とする。このとき射影値測度 $E^T\colon\mathcal{B}_{\sigma(T)}\rightarrow \mathbb{P}(\mathcal{H})$（'''定理5.7'''より $\sigma(T)$ は $\mathbb{R}$ の空でない閉集合であることに注意）で、
$$
T=\int_{\sigma(T)}\lambda dE^T(\lambda)
$$
を満たすものが唯一つ存在する。
{{begin |proof }}
$$
C\colon\mathbb{R}\ni t\mapsto (t-i)(t+i)^{-1}\in \mathbb{T}\backslash \{1\}\quad\quad(*)
$$
は同相写像であり、逆写像は、
$$
C^{-1}\colon\mathbb{T}\backslash \{1\}\ni \lambda\mapsto i(1+\lambda)(1-\lambda)^{-1}\in\mathbb{R}
$$
である。'''定理4.6'''より $T$ のCayley変換 $C(T)=(T-i)(T+i)^{-1}$ は $\mathcal{H}$ 上のユニタリ作用素であり、'''定理5.7'''より、
$$
C(\sigma(T))=\sigma(C(T))\backslash\{1\}\quad\quad(**)
$$
が成り立つ。$C(T)\in \mathbb{B}(\mathcal{H})$ はユニタリ作用素であるから正規作用素である。そこで $C(T)$ に付随するスペクトル測度（'''定義8.2'''）を、
$$
F\colon\mathcal{B}_{\sigma(C(T))}\rightarrow\mathbb{P}(\mathcal{H}),\quad
C(T)=\int_{\sigma(C(T))}\lambda dF(\lambda)
$$
とおく。'''命題4.5'''より、
$$
1-C(T)=\int_{\sigma(C(T))}(1-\lambda)dF(\lambda)
$$
は単射であるから、'''命題6.8'''の $(5)$ より、
$$
\{0\}={\rm Ker}(1-C(T))={\rm Ran} F(\{\lambda\in \sigma(C(T)):1-\lambda=0\})={\rm Ran}F(\sigma(C(T))\cap \{1\})
$$
である。よって $(**)$ より、
$$
F(C(\sigma(T)))=F(\sigma(C(T))\backslash\{1\})=F(\sigma(C(T)))=1
$$
である。これと $(*)$ が同相写像であることから、
$$
E\colon\mathcal{B}_{\sigma(T)}\ni B\mapsto F(C(B))\in \mathbb{P}(\mathcal{H})\quad\quad(***)
$$
は射影値測度である。今、任意のBorel関数 $f\colon\sigma(T)\rightarrow\mathbb{C}$ に対し、
$$
\int_{\sigma(T)}f(t)dE(t)=\int_{\sigma(C(T))\backslash \{1\}}f(C^{-1}(\lambda))dF(\lambda)\quad\quad(****)
$$
が成り立つことを示す。$E$ の定義より $f\colon\sigma(T)\rightarrow\mathbb{C}$ がBorel単関数である場合は明らかに成り立つ。また任意の有界Borel関数はBorel単関数の列により一様近似できる（[[測度と積分5：$L^p$ 空間の完備性と双対性]]の'''命題22.2'''）ので、$(****)$ は $f\colon\sigma(T)\rightarrow\mathbb{C}$ が有界Borel関数の場合も成り立つ。任意のBorel関数 $f\colon\sigma(T)\rightarrow\mathbb{C}$ に対し $f_n:=f\chi_{(\lvert f\rvert\leq n)}$ $(\forall n\in\mathbb{N})$ として有界Borel関数の列 $(f_n)_{n\in\mathbb{N}}$ を定義すると、単調収束定理より、任意の $v\in\mathcal{H}$ に対して、
$$
\begin{aligned}
\int_{\sigma(T)}\lvert f(t)\rvert^2dE_{v,v}(t)&=\sup_{n\in\mathbb{N}}\int_{\sigma(T)}\lvert f_n(t)\rvert^2dE_{v,v}(t)=\sup_{n\in\mathbb{N}}\int_{\sigma(C(T))\backslash\{1\}}\lvert f_n(C^{-1}(\lambda))\rvert^2dF_{v,v}(\lambda)\\
&=\int_{\sigma(C(T))\backslash\{1\}}\lvert f(C^{-1}(\lambda))\rvert^2dF_{v,v}(\lambda)
\end{aligned}
$$
となるから、$D_E(f)=D_F(f\circ C^{-1})$ である。よって任意の $v\in D_E(f)=D_F(f\circ C^{-1})$、任意の $u\in\mathcal{H}$ に対し、Lebesgue優収束定理より、
$$
\begin{aligned}
\left(u\mid \int_{\sigma(T)}f(t)dE(t)v\right)&=\lim_{n\rightarrow\infty}\left(u\mid \int_{\sigma(T)}f_n(t)dE(t)v\right)
=\lim_{n\rightarrow\infty}\left(u\mid \int_{\sigma(C(T))\backslash \{1\}}f_n(C^{-1}(\lambda))dF(\lambda)v\right)\\
&=\left(u\mid \int_{\sigma(C(T))\backslash \{1\}}f(C^{-1}(\lambda))dF(\lambda)v\right)
\end{aligned}
$$
となる。これより $(****)$ は任意のBorel関数 $f\colon\sigma(T)\rightarrow\mathbb{C}$ に対して成り立つ。'''命題4.5'''と'''命題6.8'''の $(1),(5)$ より、
$$
\begin{aligned}
T&=i(1+C(T))(1-C(T))^{-1}=i\int_{\sigma(\sigma(T))}(1+\lambda)dF(\lambda)\int_{\sigma(C(T))\backslash\{1\}}(1-\lambda)^{-1}dF(\lambda)\\
&\subset \int_{\sigma(C(T))\backslash\{1\}}i(1+\lambda)(1-\lambda)^{-1}dF(\lambda)
=\int_{\sigma(C(T))\backslash\{1\}}C^{-1}(\lambda)dF(\lambda)
=\int_{\sigma(T)}tdE(t)
\end{aligned}
$$
であるので、'''命題6.8'''の $(2)$ より、
$$
T\subset \int_{\sigma(T)}tdE(t)=\left(\int_{\sigma(T)}tdE(t)\right)^*\subset T^*=T
$$
である。ゆえに、
$$
T=\int_{\sigma(T)}tdE(t)
$$
が成り立つ。これで存在が示せた。一意性を示す。射影値測度 $E'\colon\mathcal{B}_{\sigma(T)}\rightarrow\mathbb{P}(\mathcal{H})$ も、
$$
T=\int_{\sigma(T)}tdE'(t)
$$
を満たすとし、$E'=E$（ただし $E$ は $(***)$ によって定義したもの）が成り立つことを示す。射影値測度
$$
F'\colon\mathcal{B}_{\sigma(C(T))}\ni B\mapsto E'(C^{-1}(B))\in\mathbb{P}(\mathcal{H})
$$
を考えると、$(****)$ を示したのと全く同様にして、任意のBorel関数 $g\colon\sigma(C(T))\rightarrow\mathbb{C}$ に対し、
$$
\int_{\sigma(C(T))}g(\lambda)dF'(\lambda)=\int_{\sigma(T)}g(C(t))dE'(t)
$$
が成り立つことが分かる。よって'''命題6.8'''の $(1),(5)$ より、
$$
\begin{aligned}
\int_{\sigma(C(T))}\lambda dF'(\lambda)&=\int_{\sigma(T)}C(t)dE'(t)
=\int_{\sigma(T)}(t-i)(t+i)^{-1}dE'(t)\\
&=\int_{\sigma(T)}(t-i)dE'(t)\int_{\sigma(T)}(t+i)^{-1}dE'(t)\\
&=(T-i)(T+i)^{-1}=C(T)
\end{aligned}
$$
となるので、$C(T)$ のスペクトル測度の一意性（'''命題8.1'''）より $F'=F$ である。ゆえに任意の $B\in \mathcal{B}_{\sigma(T)}$ に対し、
$$
E'(B)=E'(C^{-1}(C(B)))=F'(C(B))=F(C(B))=E(B)
$$
である。よって $E'=E$ であるので一意性が示せた。
{{end|proof|}}

=== 定義8.4（自己共役作用素に付随するスペクトル測度） ===
Hilbert空間 $\mathcal{H}$ 上の自己共役作用素 $T$ に対し、'''定理8.3'''における射影値測度 $E^T\colon\mathcal{B}_{\sigma(T)}\rightarrow\mathbb{P}(\mathcal{H})$ を、$T$ に付随するスペクトル測度と言う。

=== 定義8.5（Borel汎関数計算） ===
$T$ をHilbert空間 $\mathcal{H}$ 上の自己共役作用素か正規作用素とし、$E^T\colon\mathcal{B}_{\sigma(T)}\rightarrow\mathbb{P}(\mathcal{H})$ を $T$ に付随するスペクトル測度とする。このとき任意のBorel関数 $f\colon\sigma(T)\rightarrow\mathbb{C}$ に対し $f$ の $E^T$ による積分を、
$$
f(T)\colon=\int_{\sigma(T)}f(\lambda)dE^T(\lambda)
$$
と表す。$f\mapsto f(T)$ を $T$ に関するBorel汎関数計算と言う。'''命題8.1'''より、Borel汎関数計算は連続汎関数計算と矛盾しない。

=== 命題8.6 ===
$\mathcal{H}$ をHilbert空間、$(X,\mathfrak{M})$ を可測空間、$E\colon\mathfrak{M}\rightarrow\mathbb{P}(\mathcal{H})$ を射影値測度、$f\colon X\rightarrow\mathbb{R}$ を実数値可測関数とし、$\mathcal{H}$ 上の自己共役作用素
$$
T\colon=\int_{X}f(x)dE(x)\colon D_E(f)\rightarrow\mathcal{H}
$$
（自己共役作用素であることは'''命題6.8'''の $(2)$ による）を考える。このとき任意のBorel関数 $g\colon\sigma(T)\rightarrow\mathbb{C}$ に対し、
$$
g(T)=\int_{X}g(f(x))dE(x)
$$
が成り立つ。ただし右辺の被積分関数は $g\circ f\colon f^{-1}(\sigma(T))=f^{-1}({\rm ess.Ran}_E(f))\rightarrow\mathbb{C}$ である。（'''命題6.12'''より $\sigma(T)={\rm ess.Ran}_E(f)$ であること、および本質的値域の定義より $E(f^{-1}({\rm ess.Ran}_E(f)))=1$ であることに注意。）
{{begin |proof }}
$$
F\colon\mathcal{B}_{\sigma(T)}\ni B\mapsto E(f^{-1}(B))\in \mathbb{P}(\mathcal{H})\quad\quad(*)
$$
とおく。'''命題6.12'''より $\sigma(T)={\rm ess.Ran}_E(f)$ であるから、
$$
F(\sigma(T))=E(f^{-1}(\sigma(T)))=E(f^{-1}({\rm ess.Ran}_E(f)))=1
$$
である。よって $F$ は射影値測度である。任意のBorel関数 $g\colon\sigma(T)\rightarrow\mathbb{C}$ に対し、
$$
\int_{\sigma(T)}g(\lambda)dF(\lambda)=\int_{X}g(f(x))dE(x)\quad\quad(**)
$$
が成り立つことを示す。$(*)$ より $g$ がBorel単関数である場合は成り立つ。有界Borel関数はBorel単関数の列により一様近似できる（[[測度と積分5：$L^p$ 空間の完備性と双対性]]の'''命題22.2'''）ので、$(**)$ は $g$ が有界Borel関数の場合も成り立つ。任意のBorel関数 $g\colon\sigma(T)\rightarrow\mathbb{C}$ に対し、$g_n\colon=g\chi_{(\lvert g\rvert\leq n)}$ $(\forall n\in\mathbb{N})$ として $\sigma(T)$ 上の有界Borel関数の列 $(g_n)_{n\in\mathbb{N}}$ を定義すると、任意の $v\in\mathcal{H}$ に対し、単調収束定理より、
$$
\begin{aligned}
\int_{\sigma(T)}\lvert g(\lambda)\rvert^2dF_{v,v}(\lambda)
&=\sup_{n\in\mathbb{N}}\int_{\sigma(T)}\lvert g_n(\lambda)\rvert^2dF_{v,v}(\lambda)
=\sup_{n\in\mathbb{N}}\int_{X}\lvert g_n(f(x))\rvert^2dE_{v,v}(x)\\
&=\int_{X}\lvert g(f(x))\rvert^2dE_{v,v}(x)
\end{aligned}
$$
であるから、$D_F(g)=D_E(g\circ f)$ であり、任意の $v\in D_F(g)=D_E(g\circ f)$、任意の $u\in \mathcal{H}$ に対し、Lebesgue優収束定理より、
$$
\begin{aligned}
\left(u\mid \int_{\sigma(T)}g(\lambda)dF(\lambda)v\right)
&=\lim_{n\rightarrow\infty}\left(u\mid \int_{\sigma(T)}g_n(\lambda)dF(\lambda)v\right)
=\lim_{n\rightarrow\infty}\left(u\mid \int_{X}g_n(f(x))dE(x)v\right)\\
&=\left(u\mid \int_{X}g(f(x))dE(x)v\right)
\end{aligned}
$$
である。これより $(**)$ は任意のBorel関数 $g\colon\sigma(T)\rightarrow\mathbb{C}$ に対して成り立つ。よって特に、
$$
\int_{\sigma(T)}\lambda dF(\lambda)=\int_{X}f(x)dE(x)=T
$$
であるから、$F$ は $T$ のスペクトル測度である。よって任意のBorel関数 $g\colon\sigma(T)\rightarrow\mathbb{C}$ に対し、$(**)$ より、
$$
g(f(T))=\int_{\sigma(T)}g(\lambda)dF(\lambda)=\int_{X}g(f(x))dE(x)
$$
である。
{{end|proof|}}

=== 命題8.7（スペクトル測度とBorel汎関数計算の基本的性質） ===
$T$ をHilbert空間 $\mathcal{H}$ 上の自己共役作用素か正規作用素とし、$E^T\colon\mathcal{B}_\sigma(T)\rightarrow\mathbb{P}(\mathcal{H})$ を $T$ のスペクトル測度とする。このとき、
*$(1)$　任意のBorel関数 $f,g\colon\sigma(T)\rightarrow\mathbb{C}$ に対し、
$$
\overline{f}(T)=f(T)^*,\quad (f+g)(T)=\overline{f(T)+g(T)},\quad
(fg)(T)=\overline{f(T)g(T)}
$$
が成り立つ。
*$(2)$　任意のBorel関数 $f\colon\sigma(T)\rightarrow\mathbb{C}$ に対し、
$$
f(T)^*f(T)=\lvert f\rvert^2(T),\quad (f(T))^n=f^n(T)\quad(\forall n\in\mathbb{N})
$$
が成り立つ。
*$(3)$　任意のBorel関数 $f\colon\sigma(T)\rightarrow\mathbb{C}$ に対し、
$$
{\rm Ker}(f(T))={\rm Ran} E^T( (f=0))
$$
が成り立つ。また $f(T)$ が単射、すなわち $E^T( (f=0))=0$ であるとき、
$$
f^{-1}(\lambda)=f(\lambda)^{-1}\quad(\lambda\notin (f=0))
$$
を満たす任意のBorel関数 $f^{-1}:\sigma(T)\rightarrow\mathbb{C}$ に対し $f(T)^{-1}=f^{-1}(T)$ が成り立つ。
*$(4)$　$\sigma(T)$ の任意の空でない開集合 $U$ に対し $E^T(U)>0$ が成り立つ。
*$(5)$　$T$ の点スペクトル $\sigma_{\rm p}(T)$（$T$ の固有値全体）は、
$$
\sigma_{\rm p}(T)=\{\lambda\in \sigma(T):E^T(\{\lambda\})>0\}
$$
と表せる。そして $\lambda\in \sigma_{\rm p}(T)$ に対する固有空間は ${\rm Ker}(\lambda-T)={\rm Ran}E^T(\{\lambda\})$ である。
*$(6)$　$\sigma(T)$ の任意の孤立点<ref>$X$ を位相空間とする。$x\in X$ が $X$ の孤立点であるとは $\{x\}$ が $X$ の開集合であることを言う。</ref>は $T$ の固有値である。
*$(7)$　任意のBorel関数 $f\colon\sigma(T)\rightarrow\mathbb{C}$ に対し、
$$
\sigma(f(T))={\rm ess.Ran}_{E^T}(f)=\{\lambda\in\mathbb{C}:\forall\epsilon\in(0,\infty), E^T( (\lvert \lambda-f\rvert<\epsilon))>0\},
$$
$$
\sigma_{\rm p}(f(T))=\{\lambda\in \mathbb{C}:E^T( (f=\lambda))>0\}
$$
が成り立つ。
*$(8)$　任意の連続関数 $f\colon\sigma(T)\rightarrow\mathbb{C}$ に対し、
$$
\sigma(f(T))=\overline{f(\sigma(T))}
$$
が成り立つ。
*$(9)$　任意の実数値Borel関数 $f\colon\sigma(T)\rightarrow\mathbb{R}$ と複素数値Borel関数 $g\colon\sigma(f(T))\rightarrow\mathbb{C}$ に対し、
$$
g(f(T))=(g\circ f)(T)
$$
が成り立つ。ただし右辺の $g\circ f$ の定義域は $f^{-1}(\sigma(f(T)))=f^{-1}({\rm ess.Ran}_{E^T}(f))$ である。
{{begin |proof }}
*$(1)$　'''命題6.8'''の $(1),(2),(3)$ による。
*$(2)$　'''命題6.8'''の $(4)$ による。
*$(3)$　'''命題6.8'''の $(5)$ による。
*$(4)$　恒等写像 ${\rm id}\colon\sigma(T)\rightarrow\mathbb{C}$ に対し '''定理6.12'''より、
$$
\sigma(T)=\sigma\left(\int_{\sigma(T)}\lambda dE^T(\lambda)\right)
={\rm ess.Ran}_{E^T}({\rm id})=\{\lambda\in\mathbb{C}:\forall\epsilon\in(0,\infty),E^T( (\lvert\lambda-{\rm id}\rvert<\epsilon))>0\}
$$
である。$\sigma(T)$ の任意の空でない開集合 $U$ を取り、任意の $\lambda_0\in U$ を取る。$U$ が $\sigma(T)$ の開集合であることから、ある $\epsilon\in (0,\infty)$ に対し $(\lvert \lambda_0-{\rm id}\rvert<\epsilon)\subset U$ となる。よって、
$$
E^T(U)\geq E^T( (\lvert \lambda_0-{\rm id}\rvert<\epsilon))>0
$$
である。
*$(5)$　$\lambda\in\sigma(T)$ に対し'''命題6.8'''の $(5)$ より、
$$
{\rm Ker}(\lambda-T)={\rm Ran}E^T( (\lambda-{\rm id}=0))={\rm Ran}E^T(\{\lambda\})
$$
であるから、
$$
\sigma_{\rm p}(T)=\{\lambda\in\sigma(T):{\rm Ker}(\lambda-T)\neq\{0\}\}
=\{\lambda\in\sigma(T):E^T(\{\lambda\})>0\}
$$
である。
*$(6)$　$\lambda\in\sigma(T)$ が $\sigma(T)$ の孤立点であるならば、$\{\lambda\}$ は $\sigma(T)$ の開集合であるから、$(4)$ より $E^T(\{\lambda\})>0$ である。よって $(5)$ より $\lambda$ は $T$ の固有値である。
*$(7)$　'''定理6.12'''より、
$$
\sigma(f(T))=\sigma\left(\int_{\sigma(T)}f(\lambda)dE^T(\lambda)\right)
={\rm ess.Ran}_{E^T}(f)=\{\lambda\in\mathbb{C}:\forall\epsilon\in(0,\infty), E^T( (\lvert \lambda-f\rvert<\epsilon))>0\}
$$
である。また'''命題6.8'''の $(5)$ より、任意の $\lambda\in \mathbb{C}$ に対し ${\rm Ker}(\lambda-f(T))={\rm Ran}E^T( (f=\lambda))$ であるから、
$$
\sigma_{\rm p}(f(T))=\{\lambda\in \mathbb{C}:E^T( (f=\lambda))>0\}
$$
である。
*$(8)$　$(4)$ と'''系6.13'''による。
*$(9)$　'''命題8.6'''による。
{{end|proof|}}

=== 定義8.8（非負自己共役作用素） ===
$T$ をHilbert空間 $\mathcal{H}$ 上の自己共役作用素とする。$\sigma(T)\subset[0,\infty)$ であるとき $T$ を $\mathcal{H}$ 上の非負自己共役作用素と言う。この定義は有界非負自己共役作用素の定義（'''定義1.1'''）と矛盾しない。

=== 命題8.9（非負自己共役作用素の冪乗根の一意存在） ===
$T$ をHilbert空間 $\mathcal{H}$ 上の非負自己共役作用素とする。このとき任意の $n\in\mathbb{N}$ に対し $\mathcal{H}$ 上の非負自己共役作用素 $S$ で $S^n=T$ を満たすものが唯一つ存在し、
$$
S=\sqrt[n]{T}=\int_{\sigma(T)}\sqrt[n]{\lambda}dE^T(\lambda)
$$
である。
{{begin |proof }}
Borel汎関数計算により、
$$
\sqrt[n]{T}=\int_{\sigma(T)}\sqrt[n]{\lambda}dE^T(\lambda)
$$
を考えると、'''命題8.7'''の $(1),(8)$ より $\sqrt[n]{T}$ は非負自己共役作用素であり、'''命題8.7'''の $(2)$ より、
$$
(\sqrt[n]{T}))^n=\int_{\sigma(T)}(\sqrt[n]{\lambda})^ndE^T(\lambda)=\int_{\sigma(T)}\lambda dE^T(\lambda)=T
$$
である。また非負自己共役作用素 $S$ が $S^n=T$ を満たすとすると、'''命題8.7'''の $(2), (9)$ より、
$$
\sqrt[n]{T}=\sqrt[n]{S^n}=\int_{\sigma(S)}\sqrt[n]{\lambda^n}dE^S(\lambda)=\int_{\sigma(S)}\lambda dE^S(\lambda)=S
$$
である。
{{end|proof|}}

=== 命題8.10（非負自己共役作用素の特徴付け） ===
$T$ をHilbert空間 $\mathcal{H}$ 上の自己共役作用素とする。このとき次は互いに同値である。
*$(1)$　$T$ は $\mathcal{H}$ 上の非負自己共役作用素である。
*$(2)$　任意の $v\in D(T)$ に対し $(v\mid Tv)\geq0$ が成り立つ。
{{begin |proof }}
$(1)\Rightarrow(2)$ を示す。$(1)$ が成り立つとすると、$T=\sqrt{T}^2$ であるから、任意の $v\in D(T)$ に対し、
$$
(v\mid Tv)=(\sqrt{T}v\mid \sqrt{T}v)=\lVert \sqrt{T}v\rVert^2\geq0
$$
である。よって $(2)$ が成り立つ。 
$(2)\Rightarrow(1)$ を示す。$(2)$ が成り立つとする。任意の $\lambda\in \sigma(T)$ を取る。このとき任意の $\epsilon\in (0,\infty)$ に対し $v_{\epsilon}\in D(T)$ で、$\lVert (\lambda-T)v_{\epsilon}\rVert<\epsilon\lVert v_{\epsilon}\rVert$ を満たすものが存在する。実際、もしある $\epsilon_0\in (0,\infty)$ に対し、
$$
\lVert (\lambda-T)v\rVert\geq\epsilon_0\lVert v\rVert\quad(\forall v\in D(T))\quad\quad(*)
$$
が成り立つとすると、${\rm Ker}(\lambda-T)=\{0\}$ であり、$\lambda-T$ が閉線形作用素であることと $(*)$ より ${\rm Ran}(\lambda-T)$ は $\mathcal{H}$ の閉部分空間である。よって'''命題3.9'''の $(5)$ より、
$$
{\rm Ran}(\lambda-T)=( ({\rm Ran}(\lambda-T))^{\perp})^{\perp}=({\rm Ker}(\lambda-T))^{\perp}=\mathcal{H}
$$
であるから、$\lambda-T\colon D(T)\rightarrow\mathcal{H}$ は全単射であることになる。これは $\lambda\in \sigma(T)$ であることに矛盾する。ゆえに任意の $\epsilon\in (0,\infty)$ に対し $v_{\epsilon}\in D(T)$ で、$\lVert (\lambda-T)v_{\epsilon}\rVert<\epsilon\lVert v_{\epsilon}\rVert$ を満たすものが取れる。今、$\lambda\geq0$ であることを示す。もし $\lambda<0$ ならば、任意の $\epsilon\in (0,\infty)$ に対し $-\lambda(v_{\epsilon}\mid Tv_{\epsilon})\geq0$ であるから、
$$
\epsilon^2\lVert v_{\epsilon}\rVert^2>\lVert (\lambda-T)v_{\epsilon}\rVert^2
=\lambda^2\lVert v_{\epsilon}\rVert^2-2\lambda(v_{\epsilon}\mid Tv_{\epsilon})+\lVert Tv_{\epsilon}\rVert^2\geq \lambda^2\lVert v_{\epsilon}\rVert^2
$$
となる。よって任意の $\epsilon\in (0,\infty)$ に対し $\epsilon>\lvert\lambda\rvert$ となる。これは $\lambda=0$ を意味するので、$\lambda<0$ であることに矛盾する。ゆえに $\lambda\geq0$ である。こうして任意の $\lambda\in \sigma(T)$ に対し $\lambda\geq0$ であるから $\sigma(T)\subset [0,\infty)$ であるので、$T$ は非負自己共役作用素である。
{{end|proof|}}

== 9. 稠密に定義された閉線形作用素の極分解 ==

=== 定義9.1（稠密に定義された閉線形作用素の絶対値作用素） ===
$T$ をHilbert空間 $\mathcal{H}$ 上の稠密に定義された閉線形作用素とする。このとき'''定理3.10'''より $T^*T$ は $\mathcal{H}$ 上の自己共役作用素であり、任意の $v\in D(T^*T)$ に対し、
$$
(v\mid T^*Tv)=(Tv\mid Tv)=\lVert Tv\rVert^2\geq0
$$
であるから、'''命題8.10'''より $T^*T$ は非負自己共役作用素である。そこで $\mathcal{H}$ 上の非負自己共役作用素 $\lvert T\rvert$ を、
$$
\lvert T\rvert\colon=\sqrt{T^*T}
$$
として定義する。これを $T$ の絶対値作用素と呼ぶ。

=== 定義9.2（自己共役作用素の台射影作用素） ===
$T$ を $\mathcal{H}$ 上の自己共役作用素とする。$\mathcal{H}$ の閉部分空間 $\overline{{\rm Ran}(T)}$ の上への射影作用素（'''定義1.6'''）を $S(T)$ と表す。$S(T)$ を $T$ の台射影作用素と呼ぶ。

=== 命題9.3（台射影作用素の特徴付け） ===
Hilbert空間 $\mathcal{H}$ 上の自己共役作用素 $T$ に対し、$T$ の台射影作用素 $S(T)$ は、$\{P\in \mathbb{P}(\mathcal{H}):PT=T\}$ の最小元である。
{{begin |proof }}
${\rm Ran}(S(T))=\overline{{\rm Ran}(T)}$ なので、$S(T)Tv=Tv$ $(\forall v\in D(T))$、よって $S(T)T=T$ である。$PT=T$ なる任意の射影作用素 $P$ に対し、
$$
{\rm Ran}(S(T))=\overline{{\rm Ran}(T)}\subset {\rm Ran}(P)
$$
であるから、$S(T)=PS(T)=PS(T)P\leq P$ である。
{{end|proof|}}

=== 定理9.4（稠密に定義された閉線形作用素の極分解） ===
$T$ をHilbert空間 $\mathcal{H}$ 上の稠密に定義された閉線形作用素とする。このとき $T$ の絶対値作用素 $\lvert T\rvert$ と $\lvert T\rvert$ の台射影作用素 $S(\lvert T\rvert)$ に対し、部分等長作用素 $V\in \mathbb{B}(\mathcal{H})$（'''定義1.1'''）で、
$$
V^*V=S(\lvert T\rvert),\quad T=V\lvert T\rvert
$$
を満たすものが唯一つ存在する。この $T=V\lvert T\rvert$ なる分解を $T$ の極分解と言う。
{{begin |proof}}
$T^*T=\lvert T\rvert^2$ であるから、'''定理3.10'''の $(1)$ より $D(T^*T)=D(\lvert T\rvert^2)$ は、$T,\lvert T\rvert$ の共通の芯である。
$$
D\colon=D(T^*T)=D(\lvert T\rvert^2)
$$
とおく。任意の $v\in D$ に対し、
$$
\lVert Tv\rVert^2=(Tv\mid Tv)=(v\mid T^*Tv)=(v\mid \lvert T\rvert^2v)=(\lvert T\rvert v\mid \lvert T\rvert v)=\lVert \lvert T\rvert v\rVert^2
$$
であるから、
$$
V_0\colon\lvert T\rvert(D)\ni \lvert T\rvert v\mapsto Tv\in \mathcal{H}
$$
なる等長線形作用素が定義できる。[[位相線形空間1：ノルムと内積]]の'''命題3.6'''より $V_0$ は等長線形作用素
$$
V_1\colon\overline{{\rm Ran}(\lvert T\rvert)}=\overline{\lvert T\rvert(D)}\rightarrow\mathcal{H}
$$
に一意拡張できる。（$\overline{{\rm Ran}(\lvert T\rvert)}=\overline{\lvert T\rvert(D)}$ であることは $D$ が $\lvert T\rvert$ の芯であることによる。）そこでHilbert空間 $\mathcal{H}$ の直交分解
$$
\mathcal{H}=\overline{{\rm Ran}(\lvert T\rvert)}\oplus ({\rm Ran}(\lvert T\rvert))^{\perp}\quad\quad(*)
$$
を考えて、
$$
V\colon\mathcal{H}=\overline{{\rm Ran}(\lvert T\rvert)}\oplus ({\rm Ran}(\lvert T\rvert))^{\perp}\ni v+u\mapsto V_1v\in \mathcal{H}
$$
として $V\in \mathbb{B}(\mathcal{H})$ を定義する。このとき、
$$
\lVert Vv\rVert=\lVert v\rVert\quad(\forall v\in \overline{{\rm Ran}(\lvert T\rvert)}),\quad Vu=0\quad(\forall u\in ({\rm Ran}(\lvert T\rvert))^{\perp})
$$
であるから、'''命題1.7'''より $V$ は部分等長作用素で、$V^*V$ は $\overline{{\rm Ran}(\lvert T\rvert)}$ の上への射影作用素、すなわち $V^*V=S(\lvert T\rvert)$ である。そして、
$$
V\lvert T\rvert v=V_1\lvert T\rvert v=V_0\lvert T\rvert v=Tv\quad(\forall v\in D)\quad\quad(**)
$$
である。任意の $v\in D(\lvert T\rvert)$ を取る。$D$ は $\lvert T\rvert$ の芯であるので $D$ の点列 $(v_n)_{n\in \mathbb{N}}$ で、
$$
(v_n,\lvert T\rvert v_n)\rightarrow (v,\lvert T\rvert v)\quad(n\rightarrow\infty)
$$
なるものが取れる。$(**)$ と $V_0$ が等長線形作用素であることから、
$$
\lVert Tv_n-Tv_m\rVert=\lVert V_0\lvert T\rvert v_n-V_0\lvert T\rvert v_m\rVert
=\lVert \lvert T\rvert v_n-\lvert T\rvert v_m\rVert\rightarrow0\quad(n,m\rightarrow\infty)
$$
である。よって $(T v_n)_{n\in \mathbb{N}}$ は収束するので、$T$ が閉であることから、
$$
(v_n,T v_n)\rightarrow (v,T v)\quad(n\rightarrow\infty)
$$
である。これより、
$$
V\lvert T\rvert v=\lim_{n\rightarrow\infty}V\lvert T\rvert v_n=\lim_{n\rightarrow\infty} Tv_n=Tv
$$
であるから $V\lvert T\rvert\subset T$ が成り立つ。逆の包含関係を示す。任意の $v\in D(T)$ を取り、$v\in D(\lvert T\rvert)$ が成り立つことを示せばよい。$D$ は $T$ の芯であるので、$D$ の点列 $(v_n)_{n\in \mathbb{N}}$ で、
$$
(v_n,Tv_n)\rightarrow (v,Tv)\quad(n\rightarrow\infty)
$$
なるものが取れる。$(**)$ と $V_0$ が等長線形作用素であることから、
$$
\lVert \lvert T\rvert v_n-\lvert T\rvert v_m\rVert
=\lVert V_0\lvert T\rvert v_n-V_0\lvert T\rvert v_m\rVert
=\lVert Tv_n-Tv_m\rVert\rightarrow0\quad(n,m\rightarrow\infty)
$$
である。よって $(\lvert T\rvert v_n)_{n\in \mathbb{N}}$ は収束するので、$\lvert T\rvert$ が閉であることから、
$$
(v_n,\lvert T\rvert v_n)\rightarrow (v,\lvert T\rvert v)\quad(n\rightarrow\infty)
$$
である。これより $v\in D(\lvert T\rvert)$ であるから $V\lvert T\rvert=T$ が成り立つ。以上で存在が示せた。~
一意性を示す。$V,W\in \mathbb{B}(\mathcal{H})$ がそれぞれ部分等長作用素であり、
$$
V^*V=S(\lvert T\rvert)=W^*W,\quad V\lvert T\rvert=T=W\lvert T\rvert
$$
を満たすとする。'''命題1.7'''より、
$$
Vu=Wu=0\quad(\forall u\in ({\rm Ran}(\lvert T\rvert))^{\perp})
$$
である。また、
$$
V\lvert T\rvert v=Tv=W\lvert T\rvert v\quad(\forall v\in \mathcal{H})
$$
であるから、$V$ と $W$ は ${\rm Ran}(\lvert T\rvert)$ 上で一致する。$V,W$ の連続性より $V,W$ は $\overline{{\rm Ran}(\lvert T\rvert)}$ 上でも一致するから、$(*)$ より $V=W$ である。
{{end|proof|}}

=== 定理9.5（稠密に定義された閉線形作用素の共役作用素の極分解） ===
$T$ をHilbert空間 $\mathcal{H}$ 上の稠密に定義された閉線形作用素とし、$T$ の極分解
$$
T=V\lvert T\rvert,\quad V^*V=S(\lvert T\rvert)
$$
を考える。このとき $T^*$（'''定理3.10'''より $T^*$ も稠密に定義された閉線形作用素である）の極分解は、
$$
T^*=V^*\lvert T^*\rvert,\quad VV^*=S(\lvert T^*\rvert)
$$
である。（[[Banach環とC*-環のスペクトル理論]]の'''命題8.5'''より $V^*$ は部分等長作用素であることに注意。）
{{begin |proof }}
'''定理3.10'''の $(3)$ より $T=T^{**}$ であるから、
$$
\lvert T^*\rvert=\sqrt{TT^*}
$$
である。$V^*V=S(\lvert T\rvert)$ より $V^*V\lvert T\rvert=\lvert T\rvert$ であり、'''命題3.9'''の $(9)$ より、$T^*=(V\lvert T\rvert)^*=\lvert T\rvert V^*$ であるから、
$$
(V\lvert T\rvert V^*)(V\lvert T\rvert V^*)=(V\lvert T\rvert)(V^*V\lvert T\rvert V^*)
=(V\lvert T\rvert)(\lvert T\rvert V^*)=TT^*=\lvert T^*\rvert^2\quad\quad(*)
$$
である。そして'''命題3.9'''の $(9)$ より、
$$
(V\lvert T\rvert V^*)^*=(VT^*)^*=T^{**}V^*=TV^*=V\lvert T\rvert V^*
$$
であるから $V\lvert T\rvert V^*$ は自己共役作用素であり、
$$
(v\mid V\lvert T\rvert V^*v)=(V^*v\mid \lvert T\rvert V^*v)\geq0\quad(\forall v\in D(V\lvert T\rvert V^*))
$$
であるから、'''命題8.10'''より $V\lvert T\rvert V^*$ は非負自己共役作用素である。よって $(*)$ と'''命題8.9'''より、
$$
\lvert T^*\rvert=V\lvert T\rvert V^*\quad\quad(**)
$$
が成り立つ。これより、
$$
V^*\lvert T^*\rvert=V^*V\lvert T\rvert V^*=\lvert T\rvert V^*=(V\lvert T\rvert)^*=T^*
$$
であり、
$$
VV^*\lvert T^*\rvert=VT^*=V\lvert T\rvert V^*=\lvert T^*\rvert
$$
である。よって'''命題9.3'''より、
$$
S(\lvert T^*\rvert)\leq VV^*
$$
が成り立つ。この逆の不等式を示す。
$$
\lvert T^*\rvert=S(\lvert T^*\rvert)\lvert T^*\rvert
$$
であるから、$(**)$ より、
$$
V\lvert T\rvert V^*=S(\lvert T^*\rvert)V\lvert T\rvert V^*\quad\quad(***)
$$
である。
$$
\lvert T\rvert=\lvert T\rvert^*=(V^*V\lvert T\rvert)^*=\lvert T\rvert V^*V
$$
であるから $(***)$ の両辺に右から $V$ を掛ければ、
$$
V\lvert T\rvert=S(\lvert T^*\rvert)V\lvert T\rvert
$$
を得る。ゆえに、
$$
VS(\lvert T\rvert)=S(\lvert T^*\rvert)VS(\lvert T\rvert)
$$
が成り立つ。$VS(\lvert T\rvert)=VV^*V=V$ より、
$$
V=S(\lvert T^*\rvert)V
$$
であり、両辺に右から $V^*$ を掛けて、
$$
VV^*=S(\lvert T^*\rvert)VV^*
$$
を得る。これより、
$$
VV^*=S(\lvert T^*\rvert)VV^*=S(\lvert T^*\rvert)VV^*S(\lvert T^*\rvert)\leq S(\lvert T^*\rvert)
$$
であるから、$VV^*=S(\lvert T^*\rvert)$ が成り立つ。
{{end|proof|}}

=== 命題9.6（射影値測度による積分の極分解） ===
$\mathcal{H}$ をHilbert空間、$(X,\mathfrak{M})$ を可測空間、$E\colon\mathfrak{M}\rightarrow \mathbb{P}(\mathcal{H})$ を射影値測度、$f\colon X\rightarrow\mathbb{C}$ を可測関数とし、$\mathcal{H}$ 上の稠密に定義された閉線形作用素
$$
T\colon=\int_{X}f(x)dE(x):D_E(f)\rightarrow\mathcal{H}
$$
を考える。このとき、
$$
\lvert T\rvert=\int_{X}\lvert f(x)\rvert dE(x)
$$
である。そして、
$$
\omega(x)\colon=\left\{\begin{array}{cl}\frac{f(x)}{\lvert f(x)\rvert}&(f(x)\neq0)\\0&(f(x)=0)\end{array}\right.
$$
なる有界可測関数 $\omega\colon X\rightarrow\mathbb{C}$ に対し、
$$
V\colon=\int_{X}\omega(x)dE(x)\in \mathbb{B}(\mathcal{H})
$$
を定義すると、
$$
T=V\lvert T\rvert,\quad V^*V=S(\lvert T\rvert)
$$
が成り立つ。すなわち $T=V\lvert T\rvert$ は $T$ の極分解である。
{{begin |proof }}
'''命題6.8'''の $(4)$ より、
$$
T^*T=\int_{X}\lvert f(x)\rvert^2dE(x)
$$
であるから、'''命題8.6'''より、
$$
\lvert T\rvert=\sqrt{T^*T}=\int_{X}\sqrt{\lvert f(x)\rvert^2}dE(x)=\int_{X}\lvert f(x)\rvert dE(x)
$$
である。また'''命題6.8'''の $(1)$ より、
$$
V\lvert T\rvert=\int_{X}\omega(x)\lvert f(x)\rvert dE(x)=\int_{X}f(x)dE(x)=T
$$
であり、
$$
V^*V=\int_{X}\lvert \omega(x)\rvert^2dE(x)=E( (f\neq 0))
$$
である。台射影作用素 $S(\lvert T\rvert)$ は閉部分空間 $\overline{{\rm Ran}(\lvert T\rvert)}$ の上への射影作用素であるから、$1-S(\lvert T\rvert)$ は、
$$
({\rm Ran}(\lvert T\rvert))^{\perp}={\rm Ker}(\lvert T\rvert)={\rm Ker}\left(\int_{X}\lvert f(x)\rvert dE(x)\right)={\rm Ran}E( (f=0))
$$
（三番目の等号は'''命題6.8'''の $(5)$ による）の上への射影作用素である。よって $1-S(\lvert T\rvert)=E( (f=0))$ であるから、
$$
S(\lvert T\rvert)=1-E( (f=0))=E( (f\neq 0)),
$$
ゆえに $V^*V=S(\lvert T\rvert)$ である。
{{end|proof|}}

=== 系9.7（Borel汎関数計算の極分解） ===
$T$ をHilbert空間 $\mathcal{H}$ 上の自己共役作用素か正規作用素とする。そしてBorel関数 $f\colon\sigma(T)\rightarrow\mathbb{C}$ に対し、
$$
\omega(\lambda)\colon=\left\{\begin{array}{cl}\frac{ f(\lambda)}{\lvert f(\lambda)\rvert}&(f(\lambda)\neq0)\\0&(f(\lambda)=0)\end{array}\right.
$$
なる有界Borel関数 $\omega\colon\sigma(T)\rightarrow\mathbb{C}$ を定義する。このときBorel汎関数計算 $f(T)$ の極分解を $f(T)=V\lvert f(T)\rvert$ とすると、
$$
\lvert f(T)\rvert=\lvert f\rvert(T),\quad V=\omega(T)
$$
が成り立つ。

== 10. 掛け算作用素 ==

=== 命題10.1（掛け算作用素の定義の前） ===
$(X,\mathfrak{M},\mu)$ を測度空間とし、任意の $B\in \mathfrak{M}$ に対しHilbert空間 $L^2(X,{\frak M},\mu)$ 上の射影作用素
$$
E^{\mu}(B)\colon L^2(X,\mathfrak{M},\mu)\ni [f]\mapsto [\chi_Bf]\in L^2(X,{\frak M},\mu)
$$
を考える。このとき、
$$
E^{\mu}:{\frak M}\ni B\mapsto E^{\mu}(B)\in \mathbb{P}(L^2(X,{\frak M},\mu))
$$
は射影値測度（'''定義6.2'''）である。そして任意の可測関数 $f\colon X\rightarrow\mathbb{C}$ に対し、$f$ の $E_{\mu}$ による積分（'''定義6.7'''）の定義域は、
$$
D_{E^{\mu}}(f)=\{[g]\in L^2(X,\mathfrak{M},\mu):[fg]\in L^2(X,\mathfrak{M},\mu)\}
$$
であり、
$$
\int_{X}f(x)dE^{\mu}(x)[g]=[fg]\quad(\forall [g]\in D_{E_{\mu}}(f))\quad\quad(*)
$$
が成り立つ。
{{begin |proof }}
任意の $[f],[g]\in L^2(X,\mathfrak{M},\mu)$ に対し $[\overline{f}g]\in L^1(X,\mathfrak{M},\mu)$ であるから、
$$
\mathfrak{M}\ni B\mapsto E^{\mu}_{[f],[g]}(B)=([f]\mid E^{\mu}(B)[g])=\int_{B}\overline{f(x)}g(x)d\mu(x)\in\mathbb{C}
$$
は複素数値測度である。よって $E^{\mu}$ は射影値測度である。任意の可測単関数 $f\colon X\rightarrow\mathbb{C}$ に対し明らかに、
$$
\int_{X}f(x)dE^{\mu}(x)[g]=[fg]\quad(\forall [g]\in L^2(X,\mathfrak{M},\mu))\quad\quad(**)
$$
が成り立つ。有界可測関数は可測単関数列によって一様近似できる（[[測度と積分5：$L^p$ 空間の完備性と双対性]]の'''命題22.2'''）ので、$(**)$ は $f\colon X\rightarrow \mathbb{C}$が有界可測関数の場合も成り立つ。今、任意の可測関数 $f\colon X\rightarrow\mathbb{C}$ を取り、有界可測関数の列 $f_n=f\chi_{(\lvert f\rvert\leq n)}$ $(\forall n\in\mathbb{N})$ を定義すると、任意の $[g]\in L^2(X,\mathfrak{M},\mu)$ に対し、単調収束定理より、
$$
\begin{aligned}
\int_{X}\lvert f(x)\rvert^2dE^{\mu}_{[g],[g]}(x)&=\sup_{n\in\mathbb{N}}\int_{X}\lvert f_n(x)\rvert^2dE^{\mu}_{[g],[g]}(x)=\sup_{n\in\mathbb{N}}\left\lVert\int_{X}f_n(x)dE^{\mu}(x)[g]\right\rVert_2^2\\
&=\sup_{n\in\mathbb{N}}\int_{X}\lvert f_n(x)g(x)\rvert^2d\mu(x)=\int_{X}\lvert f(x)g(x)\rvert^2d\mu(x)
\end{aligned}
$$
であるから、
$$
\begin{aligned}
D_E(f)&=\left\{[g]\in L^2(X,\mathfrak{M},\mu):\int_{X}\lvert f(x)\rvert^2dE^{\mu}_{[g],[g]}(x)<\infty\right\}\\
&=\{[g]\in L^2(X,\mathfrak{M},\mu):[fg]\in L^2(X,\mathfrak{M},\mu)\}
\end{aligned}
$$
であり、任意の $[g]\in D_{E^{\mu}}(f)$ と任意の $[h]\in L^2(X,\mathfrak{M},\mu)$ に対し、Lebesgue優収束定理より、
$$
\begin{aligned}
\left([h]\mid \int_{X}f(x)dE^{\mu}(x)[g]\right)
&=\lim_{n\rightarrow\infty}\left([h]\mid \int_{X}f_n(x)dE^{\mu}(x)[g]\right)
=\lim_{n\rightarrow\infty}\int_{X}\overline{h(x)}f_n(x)g(x)d\mu(x)\\
&=\int_{X}\overline{h(x)}f(x)g(x)d\mu(x)
=([h]\mid [fg])
\end{aligned}
$$
である。よって $(*)$ が成り立つ。
{{end|proof|}}

=== 定義10.2（掛け算作用素） ===
$(X,\mathfrak{M},\mu)$ を測度空間とする。可測関数 $f\colon X\rightarrow\mathbb{C}$ に対し、'''命題10.1'''における
$$
\int_{X}f(x)dE^{\mu}(x)\colon D_{E^{\mu}}([f])\ni [g]\mapsto [fg]\in L^2(X,\mathfrak{M,\mu})
$$
を $f$ による $L^2(X,\mathfrak{M},\mu)$ 上の掛け算作用素と言う。混乱の恐れがない場合は、$\int_{X}f(x)dE^{\mu}(x)$ はそのまま $f$ と表す。また、射影値測度 $E^{\mu}\colon\mathfrak{M}\rightarrow\mathbb{P}(L^2(X,\mathfrak{M},\mu))$ を掛け算作用素を表す射影値測度と呼ぶこととする。

=== 命題10.3（$L^\infty(X,\mathfrak{M},\mu)$ の $\mathbb{B}(L^2(X,\mathfrak{M},\mu))$ への埋め込み） ===
$(X,\mathfrak{M},\mu)$ を $\sigma$-有限測度空間とし、$E^{\mu}\colon\mathfrak{M}\rightarrow\mathbb{P}(L^2(X,\mathfrak{M},\mu))$ を掛け算作用素を表す射影値測度とする。このとき、
$$
L^\infty(X,\mathfrak{M},\mu)\ni [f]\mapsto \int_{X}f(x)dE^{\mu}(x)\in \mathbb{B}(L^2(X,\mathfrak{M},\mu))\quad\quad(*)
$$
は等長 $*$-環準同型写像である。
{{begin |proof }}
$(*)$ が $*$-環準同型写像であることは明らかである。$L^\infty(X,\mathfrak{M},\mu)$ は $C^*$-環であるから、[[Banach環とC*-環のスペクトル理論]]の'''定理10.2'''より、 $(*)$ が単射であることを示せば等長性も示せたことになる。そこで $[f]\in L^\infty(X,\mathfrak{M},\mu)$ に対し $\int_{X}f(x)dE^{\mu}(x)=0$ であるとして、$[f]=0$ が成り立つことを示す。$\sigma$-有限性より $\mathfrak{M}$ の単調増加列 $(X_n)_{n\in\mathbb{N}}$ で、
$$
X=\bigcup_{n\in \mathbb{N}}X_n,\quad \mu(X_n)<\infty\quad(\forall n\in \mathbb{N})
$$
なるものが取れる。任意の $n\in\mathbb{N}$ に対し、$[\chi_{X_n}]\in L^2(X,\mathfrak{M},\mu)$ であるから、
$$
0=\int_{X}f(x)dE^{\mu}(x)[\chi_{X_n}]=[\chi_{X_n}f]\quad(\forall n\in\mathbb{N},\forall B\in\mathfrak{M})
$$
である。よって単調収束定理より、
$$
\int_{X}\lvert f(x)\rvert d\mu(x)=\sup_{n\in \mathbb{N}}\int_{X_n}\lvert f(x)\rvert d\mu(x)=0
$$
であるので、$[f]=0$ である。
{{end|proof|}}

=== 命題10.4（連続関数による掛け算作用素に関するスペクトル写像定理） ===
$X$ を位相空間、$\mu\colon\mathcal{B}_X\rightarrow [0,\infty]$ を $\sigma$-有限なBorel測度とし、任意の空でない開集合 $U\subset X$ に対し $\mu(U)>0$ が成り立つとする。そして $E^{\mu}\colon\mathfrak{M}\rightarrow \mathbb{P}(L^2(X,\mathcal{B}_X,\mu))$ を掛け算作用素を表す射影値測度とする。このとき任意の連続関数 $f\colon X\rightarrow\mathbb{C}$ に対し、
$$
\sigma\left(\int_{X}f(x)dE^{\mu}(x)\right)=\overline{f(X)}\quad\quad(*)
$$
が成り立つ。
{{begin |proof }}
任意の空でない開集合 $U\subset X$ に対し $\mu(U)>0$ であるから、'''命題10.3'''より、
$$
E^{\mu}(U)=\int_{X}\chi_U(x)dE^{\mu}(x)>0
$$
である。よって'''系6.13'''より $(*)$ が成り立つ。
{{end|proof|}}

== 11. 直和Hilbert空間上の線形作用素 ==

=== 定義11.1（Hilbert空間上の線形作用素の直和） ===
$J$ を空でない集合とし、各 $j\in J$ に対しHilbert空間 $\mathcal{H}_j$ からHilbert空間 $\mathcal{K}_j$ への線形作用素 $T_j$ が与えられているとする。このとき直和Hilbert空間（[[測度と積分6：数え上げ測度と $\ell^p$ 空間]]の'''定義26.3'''）$\bigoplus_{j\in J}\mathcal{H}_j$ から直和Hilbert空間 $\bigoplus_{j\in J}\mathcal{K}_j$ への線形作用素 $\bigoplus_{j\in J}T_j$ を、
$$
D\left(\bigoplus_{j\in J}T_j\right)\colon=\left\{(v_j)_{j\in J}\in \bigoplus_{j\in J}\mathcal{H}_j: v_j\in D(T_j)\text{ }(\forall j\in J),\text{ } (T_jv_j)_{j\in J}\in \bigoplus_{j\in J}\mathcal{K}_j \right\},
$$
$$
\bigoplus_{j\in J}T_j\colon D\left(\bigoplus_{j\in J}T_j\right)\ni (v_j)_{j\in J}\mapsto (T_jv_j)_{j\in J}\in \bigoplus_{j\in J}\mathcal{K}_j
$$
と定義する。$\bigoplus_{j\in J}T_j$ を $(T_j)_{j\in J}$ の直和と言う。

=== 命題11.2（Hilbert空間上の線形作用素の直和の基本的性質） ===
$J$ を空でない集合とし、各 $j\in J$ に対しHilbert空間 $\mathcal{H}_j$ からHilbert空間 $\mathcal{K}_j$ への線形作用素 $T_j,S_j$ と、Hilbert空間 $\mathcal{K}_j$ からHilbert空間 $\mathcal{L}_j$ への線形作用素 $R_j$ が与えられているとする。このとき、
*$(1)$　$(T_j)_{j\in J}\in \bigoplus_{j\in J}^{(\infty)}\mathbb{B}(\mathcal{H}_j,\mathcal{K}_j)$<ref>$\bigoplus_{j\in J}^{(\infty)}\mathbb{B}(\mathcal{H}_j,\mathcal{K}_j)$ はBanach空間の族 $(\mathbb{B}(\mathcal{H}_j,\mathcal{K}_j) )_{j\in J}$ の $\ell^\infty$ 直和Banach空間（[[測度と積分6：数え上げ測度と $\ell^p$ 空間]]の'''定義26.1'''）である。</ref> ならば、
$$
\bigoplus_{j\in J}T_j\in \mathbb{B}\left(\bigoplus_{j\in J}\mathcal{H}_j,\text{ }\bigoplus_{j\in J}\mathcal{K}_j\right),\quad \left\lVert \bigoplus_{j\in J}T_j\right\rVert=\sup_{j\in J}\lVert T_j\rVert=\lVert (T_j)_{j\in J}\rVert_{\infty}
$$
が成り立つ。
*$(2)$　各 $j\in J$ に対し $T_j$ が可閉ならば $\oplus_{j\in J}T_j$ も可閉であり、
$$
\overline{\bigoplus_{j\in J}T_j}=\bigoplus_{j\in J}\overline{T_j}
$$
が成り立つ。そして、
$$
D\colon=\text{span}\bigcup_{j\in J}D_j(T_j)\subset \bigoplus_{j\in J}\mathcal{H}_j
$$
は $\bigoplus_{j\in J}\overline{T_j}$ の芯である。
*$(3)$　各 $j\in J$ に対し $T_j$ が稠密に定義された線形作用素ならば $\oplus_{j\in J}T_j$ も稠密に定義された線形作用素であり、
$$
\left(\bigoplus_{j\in J}T_j\right)^*=\bigoplus_{j\in J}T_j^*
$$
が成り立つ。
*$(4)$　
$$
\bigoplus_{j\in J}S_j+\bigoplus_{j\in J}T_j\subset \bigoplus_{j\in J}(S_j+T_j)
$$
であり、もし各 $j\in J$ に対し $S_j+T_j$ が可閉ならば、
$$
\overline{\bigoplus_{j\in J}S_j+\bigoplus_{j\in J}T_j}=\bigoplus_{j\in J}\overline{S_j+T_j}
$$
が成り立つ。
*$(5)$
$$
\bigoplus_{j\in J}R_j\bigoplus_{j\in J}T_j\subset \bigoplus_{j\in J}R_jT_j
$$
であり、もし各 $j\in J$ に対し $R_jT_j$ が可閉ならば、
$$
\overline{\bigoplus_{j\in J}R_j\bigoplus_{j\in J}T_j}=\bigoplus_{j\in J}\overline{R_jT_j}
$$
が成り立つ。
{{begin |proof }}
$$
\mathcal{H}\colon=\bigoplus_{j\in J}\mathcal{H}_j,\quad
\mathcal{K}\colon=\bigoplus_{j\in J}\mathcal{K}_j,\quad
\mathcal{L}\colon=\bigoplus_{j\in J}\mathcal{L}_j
$$
とおき、自然に、
$$
\mathcal{H}_j\subset \mathcal{H},\quad \mathcal{K}_j\subset \mathcal{K},\quad
\mathcal{L}_j\subset \mathcal{L}\quad(\forall j\in J)
$$
とみなす。
*$(1)$　$T=\bigoplus_{j\in J}T_j$ とおく。任意の $v=(v_j)_{j\in J}\in \mathcal{H}$ に対し、
$$
\sum_{j\in J}\lVert T_jv_j\rVert^2\leq (\sup_{j\in J}\lVert T_j\rVert)^2\sum_{j\in J}\lVert v_j\rVert^2=(\sup_{j\in J}\lVert T_j\rVert)^2 \lVert v\rVert^2
$$
であるから $T\in \mathbb{B}(\mathcal{H},\mathcal{K})$ であり、$\lVert T\rVert\leq \sup_{j\in J}\lVert T_j\rVert$ である。また任意の $j\in J$、任意の $v_j\in \mathcal{H}_j$ に対し、
$$
\lVert T_jv_j\rVert=\lVert Tv_j\rVert\leq\lVert T\rVert\lVert v_j\rVert
$$
であるから $\lVert T_j\rVert\leq \lVert T\rVert$ である。よって $\lVert T\rVert=\sup_{j\in J}\lVert T_j\rVert$ が成り立つ。
*$(2)$
$$
U\colon\mathcal{H}\oplus \mathcal{K}\ni ( (u_j)_{j\in J},(v_j)_{j\in J})\mapsto (u_j,v_j)_{j\in J}\in \bigoplus_{j\in J}(\mathcal{H}_j\oplus \mathcal{K}_j)
$$
は明らかにユニタリ作用素である。そして、
$$
U\left(G\left(\bigoplus_{j\in J}\overline{T_j}\right)\right)
=\bigoplus_{j\in J}G(\overline{T_j})=\bigoplus_{j\in J}\overline{G(T_j)}
$$
である。右辺は $\bigoplus_{j\in J}(\mathcal{H}_j\oplus \mathcal{K}_j)$ の閉部分空間であるから、$G(\bigoplus_{j\in J}\overline{T_j})$ は $\mathcal{H}\oplus \mathcal{K}$ の閉部分空間である。よって $\bigoplus_{j\in J}\overline{T_j}$ は閉線形作用素である。また、
$$
U\left(\overline{G\left(\bigoplus_{j\in J}T_j\right)}\right)
=\overline{\bigoplus_{j\in J}G(T_j)}=\bigoplus_{j\in J}\overline{G(T_j)}=\bigoplus_{j\in J}G(\overline{T_j})=U\left(G\left(\bigoplus_{j\in J}\overline{T_j}\right)\right)
$$
であるから、
$$
\overline{\bigoplus_{j\in J}T_j}=\bigoplus_{j\in J}\overline{T_j}
$$
である。$T=\bigoplus_{j\in J}T_j$ とおく。任意の $v=(v_j)_{j\in J}\in D(T)$ を取り、$\mathcal{F}_J$ を $J$ の有限部分集合全体に集合の包含関係を入れた有向集合とする。
$$
v_F\colon=\sum_{j\in F}v_j\in D=\text{span}\bigcup_{j\in J}D(T_j)\quad(\forall F\in \mathcal{F}_J)
$$
とおけば、
$$
Tv_F=\sum_{j\in F}T_jv_j\quad(\forall F\in \mathcal{F}_J)
$$
なので、
$$
(v_F,Tv_F)\rightarrow(v,Tv)\quad(F\rightarrow J)
$$
である。よって $G(T)\subset \overline{G(T|_D)}$ であるから、
$$
G(\overline{T})=\overline{G(T)}\subset \overline{G(T|_D)}\subset G(\overline{T})
$$
である。ゆえに $D$ は $\overline{T}$ の芯である。
*$(3)$　$T\colon=\bigoplus_{j\in J}T_j$、$T'\colon=\bigoplus_{j\in J}T_j^*$ とおく。
$\text{span}\bigcup_{j\in J}D(T_j)\subset D(T)$ であり、左辺は $\mathcal{H}$ において稠密であるので $T$ は稠密に定義された線形作用素である。任意の $u=(u_j)_{j\in J}\in D(T)$、任意の $v=(v_j)_{j\in J}\in D(T')$ に対し、
$$
(v\mid Tu)=\sum_{j\in J}(v_j\mid T_ju_j)=\sum_{j\in J}(T_j^*v_j\mid u_j)
=(T'v\mid u)
$$
であるから、$T'\subset T^*$ である。逆の包含関係を示す。任意の $v=(v_j)_{j\in J}\in D(T^*)$ を取り、$v\in D(T')$ であることを示せばよい。
$$
w=(w_j)_{j\in J}=T^*v\in \mathcal{H}
$$
とおく。このとき任意の $j\in J$、任意の $u_j\in D(T_j)$ に対し、
$$
(v_j\mid T_ju_j)=(v\mid Tu_j)=(T^*v\mid u_j)=(w_j\mid u_j)
$$
であるから $v_j\in D(T_j^*)$ であり、$w_j=T_j^*v_j$ である。よって、
$$
(T_j^*v_j)_{j\in J}=(w_j)_{j\in J}=w\in \mathcal{H}
$$
であるから、$v\in D(T')$ である。
*$(4)$　
$$
\bigoplus_{j\in J}S_j+\bigoplus_{j\in J}T_j\subset \bigoplus_{j\in J}(S_j+T_j)
$$
は自明である。各 $j\in J$ に対し $S_j+T_j$ が可閉であるとすると、$(2)$ より $\bigoplus_{j\in J}\overline{S_j+T_j}$ は閉線形作用素であり、
$$
D\colon=\text{span}\bigcup_{j\in J}D(S_j+T_j)
$$
は $\bigoplus_{j\in J}(\overline{S_j+T_j})$ の芯である。そして $D$ 上で、
$$
\bigoplus_{j\in J}S_j+\bigoplus_{j\in J}T_j= \bigoplus_{j\in J}(\overline{S_j+T_j})
$$
であるから、
$$
\overline{\bigoplus_{j\in J}S_j+\bigoplus_{j\in J}T_j}= \bigoplus_{j\in J}(\overline{S_j+T_j})
$$
が成り立つ。
*$(5)$　
$$
\bigoplus_{j\in J}R_j\bigoplus_{j\in J}T_j\subset\bigoplus_{j\in J}R_jT_j
$$
は自明である。各 $j\in J$ に対し $R_jT_j$ が可閉であるとすると、$(2)$ より $\bigoplus_{j\in J}\overline{R_jT_j}$ は閉線形作用素であり、
$$
D\colon=\text{span}\bigcup_{j\in J}D(R_jT_j)
$$
は $\bigoplus_{j\in J}\overline{R_jT_j}$ の芯である。そして $D$ 上で、
$$
\bigoplus_{j\in J}R_j\bigoplus_{j\in J}T_j=\bigoplus_{j\in J}\overline{R_jT_j}
$$
であるから、
$$
\overline{\bigoplus_{j\in J}R_j\bigoplus_{j\in J}T_j}=\bigoplus_{j\in J}\overline{R_jT_j}
$$
が成り立つ。
{{end|proof|}}

=== 定理11.3（射影値測度の直和） ===
$(X,\mathfrak{M})$ を可測空間、$J$ を空でない集合とし、各 $j\in J$ に対しHilbert空間 $\mathcal{H}_j$ と射影値測度 $E_j\colon\mathfrak{M}\rightarrow\mathbb{P}(\mathcal{H})$ が与えられているとする。このとき、
$$
\bigoplus_{j\in J}E_j\colon\mathfrak{M}\ni B\mapsto \bigoplus_{j\in J}E_j(B_j)\in \mathbb{P}\left(\bigoplus_{j\in J}\mathcal{H}_j\right)
$$
は射影値測度であり、任意の可測関数 $f\colon X\rightarrow\mathbb{C}$ に対し、
$$
\int_{X}f(x)d\left(\bigoplus_{j\in J}E_j\right)(x)=\bigoplus_{j\in J}\int_{X}f(x)dE_j(x)\quad\quad(*)
$$
が成り立つ。そして点スペクトル（'''定義5.1'''）に関して、
$$
\sigma_{\rm p}\left(\int_{X}f(x)d\left(\bigoplus_{j\in J}E_j\right)(x)\right)
=\bigcup_{j\in J}\sigma_{\rm p}\left(\int_{X}f(x)dE_j(x)\right),\quad\quad(**)
$$
スペクトルに関して、
$$
\sigma\left(\int_{X}f(x)d\left(\bigoplus_{j\in J}E_j\right)(x)\right)
=\overline{\bigcup_{j\in J}\sigma\left(\int_{X}f(x)dE_j(x)\right)}\quad\quad(***)
$$
が成り立つ。
{{begin |proof }}
$\mathcal{H}\colon=\bigoplus_{j\in J}\mathcal{H}_j$、$E\colon=\bigoplus_{j\in J}E_j\colon\mathfrak{M}\rightarrow\mathbb{P}(\mathcal{H})$ とおく。$\mathfrak{M}$ の任意の非交叉列 $(B_n)_{n\in \mathbb{N}}$ を取り $B=\bigcup_{n\in \mathbb{N}}B_n$ とおく。任意の $v=(v_j)_{j\in J}\in \mathcal{H}$ に対し、
$$
\begin{aligned}
(v\mid E(B)v)=\sum_{j\in J}E_{j,v_j,v_j}(B)=\sum_{j\in J}\sum_{n\in\mathbb{N}}E_{j,v_j,v_j}(B_n)
=\sum_{n\in\mathbb{N}}\sum_{j\in J}E_{j,v_j,v_j}(B_n)
=\sum_{n\in\mathbb{N}}(v\mid E(B_n)v)
\end{aligned}
$$
であり、偏極恒等式より任意の $u,v\in \mathcal{H}$ に対し、
$$
(u\mid E(B)v)=\frac{1}{4}\sum_{k=0}^{3}i^k(i^ku+v\mid E(B)(i^ku+v))
$$
であるから、任意の $u,v\in {\cal H}$ に対し
$E_{u,v}\colon\mathfrak{M}\in B\mapsto (u\mid E(B)v)\in \mathbb{C}$ は複素数値測度である。よって $E\colon\mathfrak{M}\rightarrow\mathbb{P}(\mathcal{H})$ は射影値測度である。今、任意の可測関数 $f\colon X\rightarrow\mathbb{C}$ に対し $(*)$ が成り立つこと、すなわち、
$$
\int_{X}f(x)dE(x)=\bigoplus_{j\in J}\int_{X}f(x)dE_j(x)
$$
が成り立つことを示す。$f$ が可測単関数である場合は明らかに成り立つ。また有界可測関数は可測単関数の列によって一様近似できる（[[測度と積分5：$L^p$ 空間の完備性と双対性]]の'''命題22.2'''）ので、$f$ が有界可測関数の場合も成り立つ。そこで任意の可測関数 $f\colon X\rightarrow\mathbb{C}$ に対し $f_n=f\chi_{(\lvert f\rvert\leq n)}$ $(\forall n\in \mathbb{N})$ として有界可測関数の列を定義すると、任意の $v=(v_j)_{j\in J}\in \mathcal{H}$ に対し単調収束定理より、
$$
\begin{aligned}
&\int_{X}\lvert f(x)\rvert^2dE_{v,v}(x)=\sup_{n\in \mathbb{N}}\int_{X}\lvert f_n(x)\rvert^2dE_{v,v}(x)=\sup_{n\in\mathbb{N}}\left\lVert\int_{X}f_n(x)dE(x)v\right\rVert^2\\
&=\sup_{n\in\mathbb{N}}\sum_{j\in J}\left\lVert\int_{X}f_n(x)dE_j(x)v_j\right\rVert^2
=\sup_{n\in \mathbb{N}}\sum_{j\in J}\int_{X}\lvert f_n(x)\rvert^2dE_{j,v_j,v_j}(x)\\
&=\sum_{j\in J}\sup_{n\in\mathbb{N}}\int_{X}\lvert f_n(x)\rvert^2dE_{j,v_j,v_j}(x)
=\sum_{j\in J}\int_{X}\lvert f(x)\rvert^2dE_{j,v_j,v_j}(x)
\quad\quad(****)
\end{aligned}
$$
であるから、
$$
\begin{aligned}
D_E(f)&=\left\{v\in \mathcal{H}: \int_{X}\lvert f(x)\rvert^2dE_{v,v}(x)<\infty\right\}\\
&=\left\{(v_j)_{j\in J}\in \mathcal{H}:\sum_{j\in J} \int_{X}\lvert f(x)\rvert^2dE_{j,v_j,v_j}(x)<\infty\right\}\\
&=\left\{(v_j)_{j\in J}\in \mathcal{H}:v_j\in D_{E_j}(f)\text{ }(\forall j\in J),\text{ }\sum_{j\in J}\left\lVert \int_{X}f(x)dE_{j}(x)v_j\right\rVert^2<\infty\right\}\\
&=D\left(\bigoplus_{j\in J}\int_{X}f(x)dE_j(x)\right)
\end{aligned}
$$
である。そして任意の $v=(v_j)_{j\in J}\in \mathcal{H}$、任意の $n\in \mathbb{N}$ に対し $(****)$ で $f$ を $f-f_n$ に置き換えたものを考えると、
$$
\int_{X}\lvert f(x)-f_n(x)\rvert^2dE_{v,v}(x)=\sum_{j\in J}\int_{X}\lvert f(x)-f_n(x)\rvert^2dE_{j,v_j,v_j}(x)
$$
であるから、任意の $v=(v_j)_{j\in J}\in D_E(f)=D(\bigoplus_{j\in J}\int_{X}f(x)dE_j(x))$ に対し、
$$
\begin{aligned}
&\left\lVert\int_{X}f(x)dE(x)v-\int_{X}f_n(x)dE(x)v\right\rVert^2=\left\lVert \int_{X}(f(x)-f_n(x) )dE(x)v\right\rVert^2\\
&=\int_{X}\lvert f(x)-f_n(x)\rvert^2dE_{v,v}(x)=\sum_{j\in J}\int_{X}\lvert f(x)-f_n(x)\rvert^2dE_{j,v_j,v_j}(x)\\
&=\left\lVert\left(\bigoplus_{j\in J}\int_{X}(f(x)-f_n(x))dE_j(x)\right)v\right\rVert^2\\
&=\left\lVert\left(\bigoplus_{j\in J}\int_{X}f(x)dE_j(x)\right)v-\left(\bigoplus_{j\in J}\int_{X}f_n(x)dE_j(x)\right)v\right\rVert^2\quad(\forall n\in\mathbb{N})\quad\quad(*****)
\end{aligned}
$$
であり、Lebesgue優収束定理より $(*****)$ の左から$3$ 番目の式は $n\rightarrow\infty$ で $0$ に収束するので、
$$
\int_{X}f(x)dE(x)v=\lim_{n\rightarrow\infty}\int_{X}f_n(x)dE(x)v=\lim_{n\rightarrow\infty}\left(\bigoplus_{j\in J}\int_{X}f_n(x)dE_j(x)\right)v=\left(\bigoplus_{j\in J}\int_{X}f(x)dE_j(x)\right)v
$$
である。よって $(*)$ が成り立つ。 
$(**)$ が成り立つことを示す。任意の可測関数 $f\colon X\rightarrow\mathbb{C}$ を取る。任意の $\lambda\in\mathbb{C}$ に対し、
$$
\lambda-\int_{X}f(x)dE(x)=\int_{X}(\lambda-f(x))dE(x)=\bigoplus_{j\in J}\int_{X}(\lambda-f(x))dE_j(x)\quad\quad(******)
$$
であり、明らかに $\bigoplus_{j\in J}\int_{X}(\lambda-f(x))dE_j(x)$ が単射であることと全ての $j\in J$ に対し $\int_{X}(\lambda-f(x))dE_j(x)=\lambda-\int_{X}f(x)dE_j(x)$ が単射であることは同値である。よって $(**)$ が成り立つ。 
$(***)$ が成り立つことを示す。$\lambda\in \mathbb{C}$ に対し、$\bigoplus_{j\in J}\int_{X}(\lambda-f(x))dE_j(x)$ が単射かつ値域が $\mathcal{H}$ ならば、明らかに全ての $j\in J$ に対し $\int_{X}(\lambda-f(x))dE_j(x)$ は単射で値域は $\mathcal{H}_j$ である。よって $(******)$ よりレゾルベント集合に関して、
$$
\rho\left(\int_{X}f(x)dE(x)\right)\subset \bigcap_{j\in J}\rho\left(\int_{X}f(x)dE_j(x)\right)
$$
が成り立つ。これより、
$$
\overline{\bigcup_{j\in J}\sigma\left(\int_{X}f(x)dE_j(x)\right)}\subset \sigma\left(\int_{X}f(x)dE(x)\right)
$$
が成り立つ。逆の包含関係を示す。任意の
$$
\lambda_0\in \mathbb{C}\backslash \overline{\bigcup_{j\in J}\sigma\left(\int_{X}f(x)dE_j(x)\right)}\quad\quad(*******)
$$
を取り、
$$
\lambda_0-\int_{X}f(x)dE(x)=\bigoplus_{j\in J}\int_{X}(\lambda_0-f(x))dE_j(x)\colon D_E(f)\rightarrow\mathcal{H}
$$
が全単射であることを示せばよい。各 $j\in J$ に対し $\lambda_0\in \mathbb{C}\backslash \sigma(\int_{X}f(x)dE_j(x))$ であるから $\lambda_0-\int_{X}f(x)dE_j(x)\colon D_{E_j}(f)\rightarrow\mathcal{\mathcal{H}}$ は全単射である。よって $\lambda_0-\int_{X}f(x)dE(x)$ は単射であり、任意の $u=(u_j)_{j\in J}\in \mathcal{H}$ に対し、$v_j\in D_{E_j}(f)$ $(\forall j\in J)$ で、
$$
u_j=\int_{X}(\lambda_0-f(x))dE_j(x)v_j\quad(\forall j\in J)
$$
を満たすものが取れる。$(v_j)_{j\in J}\in {\cal H}$ であることを示す。$(*******)$ よりある $\epsilon\in (0,\infty)$ に対し、
$$
\{\lambda\in \mathbb{C}:\lvert\lambda-\lambda_0\rvert<\epsilon\}\cap \sigma\left(\int_{X}f(x)dE_j(x)\right)=\emptyset\quad(\forall j\in J)
$$
が成り立つから、'''命題6.12'''より、
$$
\{\lambda\in \mathbb{C}:\lvert\lambda-\lambda_0\rvert<\epsilon\}\cap {\rm ess.Ran}_{E_j}(f)=\emptyset\quad(\forall j\in J),
$$
よって本質的値域の定義（'''定義6.11'''）より、
$$
E_j( (\lvert\lambda_0-f\rvert<\epsilon) )=0\quad(\forall j\in J)
$$
である。これより、
$$
\begin{aligned}
\lVert u_j\rVert^2&=\left\lVert \int_{X}(\lambda_0-f(x))dE_j(x)v_j\right\rVert^2
=\left\lVert \int_{(\lvert\lambda_0-f\rvert\geq\epsilon)}(\lambda_0-f(x))dE_j(x)v_j\right\rVert^2\\
&=\int_{(\lvert \lambda_0-f\rvert\geq\epsilon)}\lvert\lambda_0-f(x)\rvert^2dE_{j,v_j,v_j}(x)\geq \epsilon^2\lVert v_j\rVert^2\quad(\forall j\in J),
\end{aligned}
$$
したがって、
$$
\sum_{j\in J}\lVert v_j\rVert^2\leq \sum_{j\in J}\frac{1}{\epsilon^2}\lVert u_j\rVert^2=\frac{1}{\epsilon^2}\lVert u\rVert^2<\infty
$$
である。よって $v:=(v_j)_{j\in J}\in \bigoplus_{j\in J}\mathcal{H}_j=\mathcal{H}$ であり、
$$
u=(u_j)_{j\in J}=\left(\int_{X}(\lambda_0-f(x))dE_j(x)v_j\right)_{j\in J}
$$
であるから、$v=(v_j)_{j\in J}\in D(\bigoplus_{j\in J}(\lambda_0-f(x))dE_j(x))=D(\lambda_0-\int_{X}f(x)dE(x))$ である。これより、
$$
u=\left(\int_{X}(\lambda_0-f(x))dE_j(x)v_j\right)_{j\in J}=\left(\bigoplus_{j\in J}\int_{X}(\lambda_0-f(x))dE_j(x)\right)v=\left(\lambda_0-\int_{X}f(x)dE(x)\right)v
$$
であり、$u\in \mathcal{H}$ は任意なので、$\lambda_0-\int_{X}f(x)dE(x)$ は全射である。ゆえに $\lambda_0\in \mathbb{C}\backslash \sigma(\int_{X}f(x)dE(x))$ であるから $(***)$ が成り立つ。
{{end|proof|}}

=== 定理11.4（自己共役作用素の直和とBorel汎関数計算） ===
$J$ を空でない集合とし、各 $j\in J$ に対しHilbert空間 $\mathcal{H}_j$ 上の自己共役作用素 $T_j$ が与えられているとする。このとき直和Hilbert空間 $\bigoplus_{j\in J}\mathcal{H}_j$ 上の線形作用素 $T\colon=\bigoplus_{j\in J}T_j$ は自己共役作用素であり、
$$
\sigma(T)=\overline{\bigcup_{j\in J}\sigma(T_j)}
$$
が成り立つ。さらに任意のBorel関数 $f\colon\sigma(T)\rightarrow\mathbb{C}$ に対し、
$$
f(T)=\bigoplus_{j\in J}f(T_j)
$$
であり、
$$
\sigma_{\rm p}(f(T))=\bigcup_{j\in J}\sigma_{\rm p}(f(T_j)),\quad
\sigma(f(T))=\overline{\bigcup_{j\in J}\sigma(f(T))}
$$
が成り立つ。
{{begin |proof }}
$T$ が自己共役作用素であることは'''命題11.2'''による。各 $j\in J$ に対し自己共役作用素 $T_j$ のスペクトル測度を $E^{T_j}\colon\mathcal{B}_{\sigma(T_j)}\rightarrow\mathbb{P}(\mathcal{H}_j)$ とおき、射影値測度
$$
E_j\colon\mathcal{B}_{\mathbb{R}}\ni B\mapsto E^{T_j}(B\cap \sigma(T_j))\in \mathbb{P}(\mathcal{H}_j)
$$
を定義する。このとき明らかに任意のBorel関数 $f\colon\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{C}$ に対し、
$$
\int_{\mathbb{R}}f(\lambda)dE_j(\lambda)=\int_{\sigma(T_j)}f(\lambda)dE^{T_j}(\lambda)=f(T_j)
$$
である。'''定理11.3'''により射影値測度
$$
E\colon=\bigoplus_{j\in J}E_j\colon\mathcal{B}_{\mathbb{R}}\ni B\mapsto \bigoplus_{j\in J}E_j(B)\in \mathbb{P}\left(\bigoplus_{j\in J}\mathcal{H}_j\right)
$$
を定義すると、
$$
\int_{\mathbb{R}}\lambda dE(\lambda)=\bigoplus_{j\in J}\int_{\mathbb{R}}\lambda dE_j(\lambda)=\bigoplus_{j\in J}T_j=T
$$
である。そして'''命題8.6'''より任意のBorel関数 $f\colon\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{C}$ に対し、
$$
f(T)=f\left(\int_{\mathbb{R}}\lambda dE(\lambda)\right)=\int_{\mathbb{R}}f(\lambda)dE(\lambda)
$$
であるから、'''定理11.3'''より、
$$
f(T)=\int_{\mathbb{R}}f(\lambda)dE(\lambda)=\bigoplus_{j\in J}\int_{\mathbb{R}}f(\lambda)dE_j(\lambda)=\bigoplus_{j\in J}f(T_j)
$$
である。さらに'''定理11.3'''より、
$$
\sigma_{\rm p}(f(T))=\sigma_{\rm p}\left(\int_{\mathbb{R}}f(\lambda)dE(\lambda)\right)=\bigcup_{j\in J}\sigma_{\rm p}\left(\int_{\mathbb{R}}f(\lambda)dE_j(\lambda)\right)=
\bigcup_{j\in J}\sigma_{\rm p}(f(T_j)),
$$
$$
\sigma(f(T))=\sigma\left(\int_{\mathbb{R}}f(\lambda)dE(\lambda)\right)=\overline{\bigcup_{j\in J}\sigma\left(\int_{\mathbb{R}}f(\lambda)dE_j(\lambda)\right)}=
\overline{\bigcup_{j\in J}\sigma(f(T_j))}
$$
である。
{{end|proof|}}

== 12. 完備化、テンソル積Hilbert空間上の線形作用素 ==

=== 命題12.1 ===
任意のノルム空間 $X$ に対しBanach空間 $\widetilde{X}$ と等長線形写像 $\iota\colon X\rightarrow\widetilde{X}$ で、$\iota(X)$ が $\widetilde{X}$ において稠密であるようなものが存在する。
{{begin |proof }}
直積線形空間 $\prod_{n\in \mathbb{N}}X$ の線形部分空間
$$
\mathcal{C}\colon=\left\{(x_n)_{n\in \mathbb{N}}\in \prod_{n\in \mathbb{N}}X: (x_n)_{n\in \mathbb{N}}\text{ はCauchy列}\right\}
$$
と、$\mathcal{C}$ 上のセミノルム
$$
p\colon\mathcal{C}\ni (x_n)_{n\in \mathbb{N}}\mapsto \lim_{n\rightarrow\infty}\lVert x_n\rVert\in [0,\infty)
$$
を考える。そして $\mathcal{C}$ の線形部分空間
$$
\mathcal{N}\colon=\{(x_n)_{n\in\mathbb{N}}\in \mathcal{C}: p( (x_n)_{n\in\mathbb{N}})=0\}
$$
に対し、商線形空間（[[速習「線形空間論」]]の'''定義3.2'''）$\mathcal{C}/\mathcal{N}$ を考え、商写像を、
$$
\mathcal{C}\ni z\mapsto [z]\in \mathcal{C}/\mathcal{N}
$$
とおく。このとき、
$$
\lVert \cdot\rVert\colon\mathcal{C}/\mathcal{N}\ni [z]\mapsto \lVert [z]\rVert:=p(z)\in [0,\infty)
$$
は $\mathcal{C}/\mathcal{N}$ 上のノルムである。$\mathcal{C}/\mathcal{N}$ にこのノルムを入れたノルム空間を $\widetilde{X}$ とおく。
$$
\iota\colon X\ni x\mapsto [(x)_{n\in\mathbb{N}}]\in \widetilde{X}
$$
として等長線形写像を定義する。任意の $\omega=[(x_n)_{n\in\mathbb{N}}]\in \widetilde{X}$、任意の $\epsilon\in (0,\infty)$ に対し、
$$
\lVert x_n-x_m\rVert\leq\epsilon\quad(\forall n,m\geq n_0)
$$
なる $n_0\in \mathbb{N}$ を取ると、
$$
\lVert \omega-\iota(x_{n_0})\rVert=\lim_{n\rightarrow\infty}\lVert x_n-x_{n_0}\rVert\leq\epsilon
$$
であるから、$\iota(X)$ は $\widetilde{X}$ において稠密である。$\widetilde{X}$ の任意のCauchy列 $(\omega_n)_{n\in \mathbb{N}}$ に対し、
$$
\lVert \omega_n-\iota(x_n)\rVert<\frac{1}{n}\quad(\forall n\in\mathbb{N})
$$
なる $(x_n)_{n\in\mathbb{N}}\in \prod_{n\in\mathbb{N}}X$ を取ると、
$$
\lVert x_n-x_m\rVert\leq \lVert \iota(x_n)-\omega_n\rVert+\lVert \omega_n-\omega_m\rVert+\lVert \omega_m-\iota(x_m)\rVert<\frac{1}{n}+\lVert \omega_n-\omega_m\rVert+\frac{1}{m}\quad(\forall n,m\in\mathbb{N})
$$
であるから $(x_n)_{n\in\mathbb{N}}\in \mathcal{C}$ である。そこで $\omega\colon=[(x_n)_{n\in\mathbb{N}}]\in \widetilde{X}$ とおけば、任意の $n\in\mathbb{N}$ に対し、
$$
\lVert \omega-\omega_n\rVert\leq \lVert \omega-\iota(x_n)\rVert+\lVert \iota(x_n)-\omega_n\rVert<\lim_{m\rightarrow\infty}\lVert x_m-x_n\rVert+\frac{1}{n}
$$
であるから $\lim_{n\rightarrow\infty}\omega_n=\omega$ である。よって $\widetilde{X}$ はBanach空間である。
{{end|proof|}}

=== 命題12.2 ===
任意の内積空間 $X$ に対し、Hilbert空間 $\widetilde{X}$ と内積を保存する線形写像 $\iota\colon X\rightarrow\widetilde{X}$ で $\iota(X)$ が $\widetilde{X}$ で稠密であるようなものが存在する。
{{begin |proof }}
'''命題12.1'''の証明における $\mathcal{C},p,\mathcal{N},\widetilde{X},\iota$ をそのまま用いる。
$$
[\cdot,\cdot]\colon\mathcal{C}\times \mathcal{C}\ni ( (x_n)_{n\in\mathbb{N}}, (y_n)_{n\in\mathbb{N}})\mapsto [(x_n)_{n\in\mathbb{N}},(y_n)_{n\in\mathbb{N}}]\colon=\lim_{n\rightarrow\infty}(x_n\mid y_n)\in \mathbb{C}
$$
は準双線形汎関数であり、任意の $z,w\in \mathcal{C}$ に対し、
$$
\overline{[z,w]}=[w,z],\quad [z,z]=p(z)^2\geq0\quad(*),
$$
$$
\lvert [z,w]\rvert\leq p(z)p(w)\quad\quad(**)
$$
である。$[\cdot,\cdot]$ の準双線形性と $(**)$ より、
$$
(\cdot\mid \cdot)\colon\widetilde{X}\times \widetilde{X}\ni ([z],[w])\mapsto ([z]\mid [w]):=[z,w]\in \mathbb{C}
$$
はwell-definedであり、$(*)$ よりこれは $\widetilde{X}$ 上の内積で、この内積が定めるノルムはBanach空間 $\widetilde{X}$ のノルムである。よって $\widetilde{X}$ はHilbert空間である。そして、
$$
(\iota(x)\mid \iota(y))=([(x)_{n\in\mathbb{N}}]\mid [(y)_{n\in\mathbb{N}}])=(x\mid y)\quad(\forall x,y\in X)
$$
であるから、$\iota\colon X\rightarrow \widetilde{X}$ は内積を保存する。
{{end|proof|}}

=== 定義12.3（完備化Banach空間、完備化Hilbert空間） ===
'''命題12.1'''においてノルム空間 $X$ と $\iota(X)$ を同一視することにより、$X$ をBanach空間 $\widetilde{X}$ の稠密部分空間とみなす。このとき $\widetilde{X}$ を $X$ の完備化Banach空間と言う。 
'''命題12.2'''において内積空間 $X$ と $\iota(X)$ を同一視することにより、$X$ をHilbert空間 $\widetilde{X}$ の稠密部分空間とみなす。このとき $\widetilde{X}$ を $X$ の完備化Hilbert空間と言う。

=== 命題12.4（内積空間のテンソル積） ===
$\mathcal{H}_1,\ldots,\mathcal{H}_N$ をそれぞれHilbert空間とし、
$$
\bigodot_{j=1}^{N}\mathcal{H}_j=\mathcal{H}_1\odot \cdots\odot\mathcal{H}_N
$$
をテンソル積線形空間（[[速習「線形空間論」]]の'''定義8.1'''）とする。このとき $\bigodot_{j=1}^{N}\mathcal{H}_j$ 上の内積で、任意の $u_j,v_j\in \mathcal{H}_j$ $(j=1,\ldots,N)$ に対し、
$$
(u_1\otimes\cdots\otimes u_N\mid v_1\otimes\cdots\otimes v_N)=(u_1\mid v_1)\cdots (u_N\mid v_N)
$$
を満たすものが唯一つ存在する。
{{begin |proof }}
一意性はテンソル積線形空間 $\bigodot_{j=1}^{N}\mathcal{H}_j$ の任意の元が $v_1\otimes\cdots\otimes v_N$ なる形の元の線形結合全体であることによる。存在を示す。任意の $v_j\in \mathcal{H}_j$ $(j=1,\ldots,N)$ に対し、
$$
\mathcal{H}_1\times\cdots\times \mathcal{H}_N\ni (u_1,\ldots,u_N)\mapsto (v_1\mid u_1)\cdots (v_N\mid u_N)\in \mathbb{C}
$$
は多重線形写像であるから、[[速習「線形空間論」]]の'''定理8.4'''より線形汎関数
$$
\bigodot_{j=1}^{N}\mathcal{H}_j\ni u_1\otimes\cdots\otimes u_N\mapsto (v_1\mid u_1)\cdots (v_N\mid u_N)\in \mathbb{C}
$$
が定まる。この線形汎関数の各点ごとの複素共役を取ることで反線形汎関数
$$
(\cdot\mid v_1)\otimes\cdots\otimes (\cdot\mid v_N):\bigodot_{j=1}^{N}\mathcal{H}_j\ni u_1\otimes\cdots\otimes u_N\mapsto (u_1\mid v_1)\cdots (u_N\mid v_N)\in \mathbb{C}
$$
が定まる。 $\bigodot_{j=1}^{N}\mathcal{H}_j$ 上の反線形汎関数全体 $AL(\bigodot_{j=1}^{N}\mathcal{H}_j,\mathbb{C})$ は各点ごとの演算で $\mathbb{C}$ 上の線形空間をなし、
$$
\mathcal{H}_1\times \cdots\times \mathcal{H}\ni (v_1,\ldots,v_N)\mapsto (\cdot \mid v_1)\otimes \cdots \otimes (\cdot \mid v_N)\in AL\left(\bigodot_{jh=1}^{N}\mathcal{H}_j,\mathbb{C}\right)
$$
は多重線形写像である。よって[[速習「線形空間論」]]の'''定理8.4'''より線形写像
$$
M\colon\bigodot_{j=1}^{N}\mathcal{H}_j\ni v_1\otimes \cdots\otimes v_N\mapsto (\cdot \mid v_1)\otimes \cdots \otimes (\cdot \mid v_N)\in AL\left(\bigodot_{jh=1}^{N}\mathcal{H}_j,\mathbb{C}\right)
$$
が定まる。そこで準双線形汎関数
$$
(\cdot \mid \cdot)\colon\bigodot_{j=1}^{N}\mathcal{H}_j\times \bigodot_{j=1}^{N}\mathcal{H}_j\rightarrow\mathbb{C},\quad (T\mid S)\colon=M(S)(T)\quad(\forall S,T\in \bigodot_{j=1}^{N}\mathcal{H}_j)\quad\quad(*)
$$
を定義する。このとき任意の $u_j,v_j\in \mathcal{H}_j$ $(j=1,\ldots,N)$ に対し、
$$
(u_1\otimes\cdots \otimes u_N\mid v_1\otimes\cdots\otimes v_N)
=(u_1\mid v_1)\cdots (u_N\mid v_N)
$$
であるので、$(*)$ が $\bigodot_{j=1}^{N}\mathcal{H}_j$ 上の内積であることを示せばよい。明らかに任意の $S,T\in \bigodot_{j=1}^{N}\mathcal{H}_j$ に対し $\overline{(S\mid T)}=(T\mid S)$ が成り立つ。任意の
$$
T=\sum_{l=1}^{n}v_{1,l}\otimes\cdots\otimes v_{N,l}\in \bigodot_{j=1}^{N}\mathcal{H}_j
$$
を取る。各 $j\in \{1,\ldots,N\}$ に対し $\mathcal{H}_j$ の有限次元部分空間 $\text{span}\{v_{j,1},\ldots,v_{j,n}\}$ のCONS $\{e_{j,1},\ldots,e_{j,m(j)}\}$ を取れば、ある $\alpha_{k_1,\ldots,k_N}\in \mathbb{C}$ に対し、
$$
T=\sum_{k_1,\ldots,k_N}\alpha_{k_1,\ldots,k_N}e_{1,k_1}\otimes \cdots\otimes e_{N,k_N}
$$
と表せる。よって、
$$
(T\mid T)=\sum_{k_1,\ldots,k_N}\lvert \alpha_{k_1,\ldots,k_N}\rvert^2\geq0
$$
であり、$(T\mid T)=0$ であるならば $T=0$ であるから $(*)$ は $\bigodot_{j=1}^{N}\mathcal{H}_j$ 上の内積である。
{{end|proof|}}

=== 定義12.5（テンソル積Hilbert空間） ===
$\mathcal{H}_1,\ldots,\mathcal{H}_N$ をそれぞれHilbert空間とする。'''命題12.4'''における内積による内積空間 $\bigodot_{j=1}^{N}\mathcal{H}_j$ の完備化Hilbert空間（'''定義12.3'''）を、
$$
\bigotimes_{j=1}^{N}\mathcal{H}_j=\mathcal{H}_1\otimes\cdots\otimes\mathcal{H}_N
$$
と表し、これを $\mathcal{H}_1,\ldots,\mathcal{H}_N$ のテンソル積Hilbert空間と言う。
$$
\bigotimes_{j=1}^{N}\mathcal{H}_j=\overline{\text{span}\{v_1\otimes\cdots\otimes v_N:v_1\in \mathcal{H}_1,\ldots,v_N\in \mathcal{H}_N\}}
$$
である。

=== 定義12.6（線形部分空間のテンソル積線形空間の表記） ===
$\mathcal{H}_1,\ldots,\mathcal{H}_N$ をそれぞれHilbert空間とし、$D_j\subset \mathcal{H}_j$ $(j=1,\ldots,N)$ をそれぞれ線形部分空間とする。これに対しテンソル積Hilbert空間 $\bigotimes_{j=1}^{N}\mathcal{H}_j$ の線形部分空間
$$
\bigodot_{j=1}^{N}D_j=D_1\odot\cdots\odot D_N:=\text{span}\{v_1\otimes\cdots\otimes v_N:v_1\in D_1,\ldots,v_N\in D_N\}
$$
を定義する。

=== 命題12.7（テンソル積Hilbert空間の典型的な稠密部分空間とCONS） ===
$\mathcal{H}_1,\ldots,\mathcal{H}_N$ をそれぞれHilbert空間とする。
*$(1)$　$D_1\subset \mathcal{H}_1,\cdots,D_N\subset \mathcal{H}_N$ がそれぞれ稠密部分空間であるならば、
$$
D_1\odot \cdots\odot D_N\subset \mathcal{H}_1\otimes\cdots\otimes \mathcal{H}_N
$$
も稠密部分空間である。
*$(2)$　各 $\mathcal{H}_j$ のCONSを $(e_{j,i})_{i\in I_j}$（[[測度と積分6：数え上げ測度と $\ell^p$ 空間 ]]の'''定義25.7'''）とすると、
$$
(e_{1,i_1}\otimes\cdots\otimes e_{N,i_N})_{(i_1,\ldots,i_N)\in I_1\times\cdots\times I_N}\quad\quad(*)
$$
は $\mathcal{H}_1\otimes\cdots\otimes \mathcal{H}_N$ のCONSである。
{{begin |proof }}
*$(1)$
$$
\lVert v_1\otimes\cdots\otimes v_N\rVert=\lVert v_1\rVert\cdots\lVert v_N\rVert\quad(\forall v_1\in \mathcal{H}_1,\ldots,v_N\in \mathcal{H}_N)
$$
であるから、
$$
\mathcal{H}_1\times\cdots\times \mathcal{H}_N\ni (v_1,\ldots,v_N)\mapsto v_1\otimes\cdots\otimes v_N\in \mathcal{H}_1\otimes\cdots\otimes \mathcal{H}_N
$$
は有界多重線形写像である。よって任意の $j\in \{1,\ldots,N\}$、任意の $v_j\in \mathcal{H}_j$ に対し $v_j$ に収束する $D_j$ の列 $(v_{j,n})_{n\in \mathbb{N}}$ を取れば、
$$
v_1\otimes\cdots\otimes v_N=\lim_{n\rightarrow\infty}v_{1,n}\otimes\cdots\otimes v_{N,n}\in \overline{D_1\odot\cdots \odot D_N}
$$
である。ゆえに、
$$
\mathcal{H}_1\otimes\cdots\otimes \mathcal{H}_N=\overline{\mathcal{H}_1\odot \cdots \odot\mathcal{H}_N}=\overline{D_1\odot \cdots\odot D_N}
$$
である。
*$(2)$　$(*)$ は明らかに $\mathcal{H}_1\otimes \cdots\otimes \mathcal{H}_N$ のONSである。CONSの定義より各 $j\in\{1,\ldots,N\}$ に対し $D_j:=\text{span}\{e_{j,i}\}_{i\in I_j}$ は $\mathcal{H}_j$ の稠密部分空間であるから、$(1)$ より、
$$
D_1\odot \cdots\odot D_N=\text{span}\{e_{1,i_1}\otimes\cdots\otimes e_{N,i_N}:(i_1,\ldots,i_N)\in I_1\times\cdots\times I_N\}
$$
は $\mathcal{H}_1\otimes\cdots\otimes \mathcal{H}_N$ の稠密部分空間である。よって $(*)$ は $\mathcal{H}_1\otimes\cdots\otimes \mathcal{H}_N$ のCONSである。
{{end|proof|}}

=== 命題12.8 ===
$X_j$ を第二可算局所コンパクトHausdorff空間、$\mu_j\colon\mathcal{B}_{X_j}\rightarrow[0,\infty]$ をコンパクト集合に対して有限測度を与えるBorel測度（[[測度と積分7：局所コンパクトHausdorff空間上のRadon測度]]の'''定理31.5'''よりRadon測度）とする $(j=1,\ldots,N)$。そして$f_j\colon X_j\rightarrow\mathbb{C}$（$j=1,\ldots,N$）に対し、
$$
f_1\times\cdots\times f_N\colon X_1\times \cdots\times X_N\ni (x_1,\ldots,x_N)\mapsto f_1(x_1)\ldots f_N(x_N)\in \mathbb{C}
$$
と定義する。このときユニタリ作用素
$$
U\colon\bigotimes_{j=1}^{N}L^2(X_j,\mu_j)\rightarrow L^2(X_1\times\cdots\times X_N,\mu_1\otimes\cdots \otimes \mu_N)
$$
で、
$$
U([f_1]\otimes\cdots\otimes [f_N])=[f_1\times\cdots\times f_N]\quad(\forall [f_1]\in L^2(X_1,\mu_1),\ldots,[f_N]\in L^2(X_N,\mu_N))
$$
を満たすものが唯一つ存在する。
{{begin |proof }}
まず各 $X_j$ は第二可算局所コンパクトHausdorff空間であるから、[[測度と積分1：測度論の基礎用語]]の'''命題2.8'''より、
$$
X\colon=X_1\times \cdots\times X_N
$$
も第二可算局所コンパクトHausdorff空間であり、
$$
\mathcal{B}_X=\mathcal{B}_{X_1}\otimes\cdots\otimes \mathcal{B}_{X_N}
$$
である。また各 $\mu_j$ は $\sigma$-有限であるので、直積測度
$$
\mu=\mu_1\otimes\cdots\otimes \mu_N
$$
が定義でき、$X$ の任意のコンパクト集合はコンパクト集合の直積に含まれる<ref>$K\subset X$ をコンパクト集合、$\pi_j\colon X\rightarrow X_j$ を自然な射影 $(j=1,\ldots,N)$ とすると、各 $\pi_j(K)$ はコンパクトであり、$K\subset \pi_1(K)\times \cdots\times \pi_N(K)$ である。</ref>から、[[測度と積分7：局所コンパクトHausdorff空間上のRadon測度]]の'''定理31.5'''より、$\mu$ は自動的にRadon測度である。任意の $[f_1]\in L^2(X_1,\mu_1),\ldots,[f_N]\in L^2(X_N,\mu_N)$ に対しTonelliの定理より $[f_1\times\cdots\times f_N]\in L^2(X,\mu)$ であり、
$$
\prod_{j=1}^{N}L^2(X_j,\mu_j)\ni ([f_1],\ldots,[f_N])\mapsto [f_1\times\cdots\times f_N]\in L^2(X,\mu)
$$
はwell-definedな多重線形写像である。よって[[速習「線形空間論」]]の'''定理8.4'''より線形作用素
$$
U_0:\bigodot_{j=1}^{N}L^2(X_j,\mu_j)\ni [f_1]\otimes\cdots\otimes [f_N]\mapsto [f_1\times\cdots\times f_N]\in L^2(X,\mu)
$$
が定まり、Fubiniの定理より $U_0$ は内積を保存する。よって $U_0$ は内積を保存する線形作用素
$$
U:\bigotimes_{j=1}^{N}L^2(X_j,\mu_j)\rightarrow L^2(X,\mu)
$$
に一意拡張できる。$\mu$ はRadon測度なので[[測度と積分7：局所コンパクトHausdorff空間上のRadon測度]]の'''定理32'''より、
$$
L^2(X,\mu)=\overline{[C_c(X)]}^{\lVert \cdot\rVert_2}
$$
が成り立つ。任意の $f\in C_c(X)$ を取る。各 $j\in\{1,\ldots,N\}$ に対し $\text{supp}(f)$ の $X_j$ 上への自然な射影 $\pi_j(\text{supp}(f))\subset X_j$ はコンパクトであるから、[[測度と積分7：局所コンパクトHausdorff空間上のRadon測度]]の'''命題27.4'''より、閉包がコンパクトな開集合 $V_j\supset \pi_j(\text{supp}(f))$ が取れる。
$$
\text{supp}(f)\subset \pi_1(\text{supp}(f))\times\cdots\times \pi_N(\text{supp}(f))\subset V_1\times\cdots\times V_N
$$
より、
$$
f\in C_c(V_1\times\cdots\times V_N)\subset C_0(V_1\times\cdots\times V_N)
$$
であり、Urysohnの補題とStone-Weierstrassの定理（[[測度と積分7：局所コンパクトHausdorff空間上のRadon測度]]の'''定理27.6'''と'''定理35.5'''）より、
$$
C_0(V_1\times\cdots\times V_N)=\overline{\text{span}\{\varphi_1\times\cdots\times\varphi_N:\varphi_1\in C_0(V_1),\ldots,\varphi_N\in C_0(V_N)\}}^{\sup\text{ノルム}}
$$
であるから、
$$
\mu(V_1\times\cdots\times V_N)\leq \mu_1(\overline{V_1})\cdots\mu_N(\overline{V_N})<\infty
$$
より、
$$
[f]\in \overline{U(L^2(X_1,\mu_1)\odot \cdots\odot L^2(X_N,\mu_N))}^{\lVert \cdot\rVert_2}
$$
である。よって、
$$
\begin{aligned}
&L^2(X,\mu)=\overline{[C_c(X)]}^{\lVert \cdot\rVert_2}\subset \overline{U(L^2(X_1,\mu_1)\odot \cdots\odot L^2(X_N,\mu_N))}^{\lVert \cdot\rVert_2}\\
&=U(\overline{L^2(X_1,\mu_1)\odot \cdots \odot L^2(X_N,\mu_N)}^{\lVert \cdot\rVert_2})=U(L^2(X_1,\mu_1)\otimes\cdots\otimes L^2(X_N,\mu_N))\subset L^2(X,\mu)
\end{aligned}
$$
であるから、$U$ はユニタリ作用素である。
{{end|proof|}}

=== 定義12.9（$L^2$ 空間のテンソル積） ===
$X_j$ を第二可算局所コンパクトHausdorff空間、$\mu_j\colon\mathcal{B}_{X_j}\rightarrow[0,\infty]$ をコンパクト集合に対して有限測度を与えるBorel測度（[[測度と積分7：局所コンパクトHausdorff空間上のRadon測度]]の'''定理31.5'''よりRadon測度）とする $(j=1,\ldots,N)$。このとき'''命題12.8'''より、ユニタリ作用素
$$
U\colon\bigotimes_{j=1}^{N}L^2(X_j,\mu_j)\rightarrow L^2(X_1\times\cdots\times X_N,\mu_1\otimes\cdots \otimes \mu_N)
$$
で、
$$
U([f_1]\otimes\cdots\otimes [f_N])=[f_1\times\cdots\times f_N]\quad(\forall [f_1]\in L^2(X_1,\mu_1),\ldots,[f_N]\in L^2(X_N,\mu_N))
$$
を満たすものが唯一つ存在する。そこで以後、
$$
[f_1]\otimes\cdots\otimes [f_N]=[f_1\times\cdots\times f_N]\quad(\forall [f_1]\in L^2(X_1,\mu_1),\ldots,[f_N]\in L^2(X_N,\mu_N))
$$
なる同一視により、
$$
\bigotimes_{j=1}^{N}L^2(X_j,\mu_j)=L^2(X_1\times\cdots\times X_N,\mu_1\otimes\cdots\otimes \mu_N)
$$
とみなす。

=== 定義12.10（Hilbert空間上の線形作用素のテンソル積） ===
各 $j\in \{1,\ldots,N\}$ に対しHilbert空間 $\mathcal{H}_j$ からHilbert空間 $\mathcal{K}_j$ への線形作用素 $T_j$ が与えられているとする。このとき、
$$
\prod_{j=1}^{N}D(T_j)\ni (v_1,\ldots,v_N)\mapsto T_1v_1\otimes \cdots\otimes T_Nv_N\in \bigotimes_{j=1}\mathcal{K}_j
$$
は多重線形写像であるから、[[速習「線形空間論」]]の'''定理8.4'''より線形作用素
$$
T_1\odot \cdots\odot T_N\colon\bigodot_{j=1}^{N}D(T_j)\ni v_1\otimes\cdots\otimes v_N\mapsto T_1v_1\otimes\cdots\otimes T_Nv_N\in \bigotimes_{j=1}^{N}\mathcal{K}_j
$$
が定まる。もし $T_1,\ldots,T_N$ がそれぞれ稠密に定義された線形作用素であるならば、'''命題12.7'''より $\bigodot_{j=1}^{N}D(T_j)$ は $\bigotimes_{j=1}^{N}\mathcal{H}_j$ において稠密であるから、$T_1\odot \cdots\odot T_N$ はHilbert空間 $\bigotimes_{j=1}^{N}\mathcal{H}_j$ からHilbert空間 $\bigotimes_{j=1}^{N}\mathcal{K}_j$ への稠密に定義された線形作用素である。よって $T_1\odot \cdots\odot T_N$ は共役作用素を持ち、明らかに、
$$
T_1^*\odot \cdots\odot T_N^*\subset (T_1\odot \cdots\odot T_N)^*
$$
である。これよりもし $T_1,\ldots,T_N$ が稠密に定義された閉線形作用素ならば、'''定理3.10'''より $T_j=T_j^{**}$ であるから、
$$
T_1\odot \cdots\odot T_N=T_1^{**}\odot \cdots\odot T_N^{**}\subset (T_1^*\odot \cdots\odot T_N^*)^*
$$
であり、右辺は閉線形作用素である（'''命題3.9'''の $(6)$ より共役作用素は閉である）から、$T_1\odot \cdots\odot T_N$ は稠密に定義された可閉線形作用素である。そこで $\mathcal{H}_j$ から $\mathcal{K}_j$ への稠密に定義された閉線形作用素 $T_j$ $(j=1,\ldots,N)$ に対し、$\bigotimes_{j=1}^{N}\mathcal{H}_j$ から $\bigotimes_{j=1}^{N}\mathcal{K}_j$ への稠密に定義された閉線形作用素 $T_1\otimes\cdots\otimes T_N$ を、
$$
T_1\otimes\cdots\otimes T_N\colon=\overline{T_1\odot \cdots \odot T_N}
$$
と定義する。$T_1\otimes\cdots\otimes T_N$ を $T_1,\ldots,T_N$ のテンソル積と言う。

=== 補題12.11（Russo-Dyeの定理） ===
$\mathcal{A}$ を単位的 $C^*$-環とし、$A\in \mathcal{A}$ と $n\in \mathbb{N}$ が、
$$
\lVert A\rVert<1-\frac{2}{n}
$$
を満たすとする。このとき $n$ 個のユニタリ元 $U_1,\ldots,U_n\in \mathcal{A}$ で、
$$
A=\frac{1}{n}(U_1+\cdots+U_n)
$$
を満たすものが取れる。特に $\mathcal{A}$ の任意の元はユニタリ元の線形結合である。
{{begin |proof }}
*$(1)$　$A\in {\rm GL}(\mathcal{A})$ かつ $\lVert A\rVert<1$ を満たす任意の $A$ に対し、ユニタリ元 $U_+,U_-\in \mathcal{A}$ で、
$$
A=\frac{1}{2}(U_++U_-)
$$
を満たすものが取れることを示す。$A^*A\in {\rm GL}(\mathcal{A})\cap \mathcal{A}_+$ であるから連続汎関数計算（[[Banach環とC*-環のスペクトル理論]]の'''定義6.6'''）より $\lvert A\rvert=\sqrt{A^*A}\in {\rm GL}(\mathcal{A})\cap \mathcal{A}_+$ である。そこで、
$$
W\colon=A\lvert A\rvert^{-1}\in {\rm GL}(\mathcal{A})
$$
とおくと、$W^*W=\lvert A\rvert^{-1}A^*A\lvert A\rvert^{-1}=\lvert A\rvert^{-1}\lvert A\rvert^2\lvert A\rvert^{-1}=1$ であるから $W$ はユニタリであり、$A=W\lvert A\rvert$ である。$\lVert \lvert A\rvert\rVert^2=\lVert A^*A\rVert=\lVert A\rVert^2<1$ であるから $1-\lvert A\rvert^2\in \mathcal{A}_+$ である。そこで、
$$
V_{\pm}\colon=\lvert A\rvert\pm i\sqrt{1-\lvert A\rvert^2}
$$
とおけば連続汎関数計算より、
$$
V_{\pm}V_{\mp}=\lvert A\rvert^2+(1-\lvert A\rvert^2)=1
$$
であるから $V_{\pm}$ はユニタリである。そして $\lvert A\rvert=\frac{1}{2}(V_++V_-)$ であるから、
$$
A=W\lvert A\rvert=\frac{1}{2}(WV_++WV_-)
$$
である。$U_{\pm}=WV_{\pm}$ とおけば $U_{\pm}$ はユニタリであり、$A=\frac{1}{2}(U_++U_-)$ である。

*$(2)$　$\lVert A\rVert<1$ を満たす任意の $A\in \mathcal{A}$ に対し、ユニタリ元 $U,V$ で、
$$
1+A=U+V
$$
を満たすものが取れることを示す。[[Banach環とC*-環のスペクトル理論]]の'''命題1.2'''より $1+A\in {\rm GL}(\mathcal{A})$ であるから、
$$
\frac{1}{2}(1+A)\in {\rm GL}(\mathcal{A}),\quad \left\lVert \frac{1}{2}(1+A)\right\rVert<1
$$
である。よって $(1)$ よりユニタリ元 $U,V\in \mathcal{A}$ で、
$$
\frac{1}{2}(1+A)=\frac{1}{2}(U+V)
$$
なるものが取れる。
*$(3)$　$\lVert A\rVert<1$ を満たす任意の $A\in \mathcal{A}$ と任意の $n\in \mathbb{N}$ に対し、$n+1$ 個のユニタリ $U_1,\ldots,U_n,V_n\in \mathcal{A}$ で、
$$
1+nA=U_1+\cdots+U_n+V_n
$$
を満たすものが取れることを示す。$n\in \mathbb{N}$ に関する帰納法で示す。$n=1$ の場合は $(2)$ より成り立つ。ある $n-1\in \mathbb{N}$ に対して成り立つと仮定する。すなわち $n$ 個のユニタリ元 $U_1,\ldots,U_{n-1},V_{n-1}\in \mathcal{A}$ で、
$$
1+(n-1)A=U_1+\cdots+U_{n-1}+V_{n-1}
$$
を満たすものが取れるとする。このとき $V_{n-1}+A=V_{n-1}(1+V_{n-1}^*A)$ であり、$\lVert V_{n-1}^*A\rVert<1$ であるから、$(2)$ よりユニタリ元 $U_n,V_n$ で、
$$
V_{n-1}+A=U_n+V_n
$$
なるものが取れる。よって、
$$
1+nA=1+(n-1)A+A=U_1+\cdots+U_{n-1}+V_{n-1}+A=U_1+\cdots+U_n+V_n
$$
であるから $n$ の場合も成り立つ。
*$(4)$　$A\in \mathcal{A}$ と $n\in \mathbb{N}$ が $\lVert A\rVert<1-\frac{2}{n}$ を満たすとき、$n$ 個のユニタリ元 $U_1,\ldots,U_n$ で、
$$
A=\frac{1}{n}(U_1+\cdots+U_n)
$$
を満たすものが取れることを示す。
$$
B\colon=\frac{1}{n-1}(1-nA)\in\mathcal{A}
$$
とおくと、
$$
\lVert B\rVert\leq \frac{1}{n-1}(1+n\lVert A\rVert)<\frac{1}{n-1}(1+n-2)=1
$$
であるから、$(3)$ より $n$ 個のユニタリ元 $U_1,\ldots,U_n$ で、
$$
nA=1+(n-1)B=U_1+\cdots+U_n
$$
を満たすものが取れる。よって $A=\frac{1}{n}(U_1+\cdots+U_n)$ である。
{{end|proof|}}

=== 定理12.12（有界線形作用素のテンソル積） ===
$\mathcal{H}_j,\mathcal{K}_j$ をそれぞれHilbert空間とし、$T_j\in \mathbb{B}(\mathcal{H}_j,\mathcal{K}_j)$ $(j=1,\ldots,N)$ とする。このとき $T_1,\ldots,T_N$ のテンソル積は、
$$
T_1\otimes\cdots\otimes T_N\in \mathbb{B}\left(\bigotimes_{j=1}^{N}\mathcal{H}_j,\text{ }\bigotimes_{j=1}^{N}\mathcal{K}_j\right)
$$
を満たし、作用素ノルムに関して、
$$
\lVert T_1\otimes\cdots\otimes T_N\rVert=\lVert T_1\rVert\cdots\lVert T_N\rVert
$$
が成り立つ。
{{begin |proof }}
*$(1)$　まず $\mathcal{H}_j=\mathcal{K}_j$ $(j=1,\ldots,N)$ の場合に成り立つことを示す。このときRusso-Dyeの定理（'''補題12.11'''）より各 $j\in \{1,\ldots,N\}$ に対し $T_j\in \mathbb{B}(\mathcal{H}_j)$ は $\mathcal{H}_j$ 上のユニタリ作用素の線形結合で表せる。ここで $U_j\in \mathbb{B}(\mathcal{H}_j)$ $(j=1,\ldots,N)$ をユニタリ作用素とすると、
$$
U_1\odot\cdots\odot U_N\colon\bigodot_{j=1}^{N}\mathcal{H}_j\ni v_1\otimes\cdots\otimes v_N\mapsto U_1v_1\otimes\cdots\otimes U_Nv_N\in \bigotimes_{j=1}^{N}\mathcal{H}_j
$$
は内積を保存するので有界作用素であり、
$$
T_1\odot \cdots\odot T_N\colon\bigodot_{j=1}^{N}\mathcal{H}_j\rightarrow\bigotimes_{j=1}^{N}\mathcal{H}_j
$$
はこのタイプの線形作用素の線形結合であるから有界線形作用素である。よって、
$$
T_1\otimes\cdots\otimes T_N=\overline{T_1\odot \cdots\odot T_N}\in \mathbb{B}\left(\bigotimes\mathcal{H}_j\right)
$$
が成り立つ。任意の $k\in \{1,\ldots,N\}$ に対し、
$$
\mathbb{B}(\mathcal{H}_k)\ni T_k\mapsto 1\otimes\cdots\otimes 1\otimes \overset{k\text{番目}}{T_k}\otimes1\otimes\cdots\otimes 1
$$
は $C^*$-環から $C^*$-環への単射 $*$-環準同型写像であるので、[[Banach環とC*-環のスペクトル理論]]の'''定理10.2'''よりノルムを保存する。よって、
$$
\lVert T_1\otimes\cdots\otimes T_N\rVert\leq \lVert T_1\rVert\cdots\lVert T_N\rVert
$$
が成り立つ。逆の不等式を示す。任意の $v_j\in \mathcal{H}_j$ $(j=1,\ldots,N)$ に対し、
$$
\lVert T_1v_1\rVert\cdots\lVert T_Nv_N\rVert=\lVert T_1v_1\otimes\cdots\otimes T_Nv_N\rVert\leq \lVert T_1\otimes\cdots\otimes T_N\rVert\lVert v_1\rVert\cdot\lVert v_N\rVert
$$
であるから、
$$
\lVert T_1\rVert\cdots\lVert T_N\rVert=\sup\{(\lVert T_1v_1\rVert\cdots\lVert T_Nv_N\rVert:v_j\in \mathcal{H}_j,\text{ }\lVert v_j\rVert\leq 1\text{ }(j=1,\ldots,N)\}\leq\lVert T_1\otimes\cdots\otimes T_N\rVert
$$
である。よって $\lVert T_1\otimes\cdots\otimes T_N\rVert=\lVert T_1\rVert\cdots\lVert T_N\rVert$ が成り立つ。
*$(2)$　一般の場合を示す。$T_j^*T_j\in \mathbb{B}(\mathcal{H}_j)$、$\lVert T_j^*T_j\rVert=\lVert T_j\rVert^2$ $(j=1,\ldots,N)$ であるから $(1)$ より、
$$
\lVert T_1^*T_1\otimes\cdots\otimes T_N^*T_N\rVert=\lVert T_1^*T_1\rVert\cdots\lVert T_N^*T_N\rVert=(\lVert T_1\rVert\cdots\lVert T_N\rVert)^2
$$
である。よって、
$$
T_1\odot\cdots\odot T_N\colon\bigodot_{j=1}^{N}\mathcal{H}_j\ni v_1\otimes\cdots\otimes v_N\mapsto T_1v_1\otimes\cdots\otimes T_Nv_N\in \bigotimes_{j=1}^{N}\mathcal{K}_j
$$
は任意の $v\in \bigodot_{j=1}^{N}\mathcal{H}_j$ に対し、
$$
\lVert (T_1\odot \cdots\odot T_N)v\rVert^2=(v\mid (T_1^*T_1\odot \cdots\odot T_N^*T_N)v)\leq \lVert (\lVert T_1\rVert\cdots\lVert T_N\rVert\lVert v\rVert)^2
$$
を満たすので有界線形作用素であり、
$$
\lVert T_1\odot \cdots\odot T_N\rVert\leq \lVert T_1\rVert\cdots\lVert T_N\rVert
$$
が成り立つ。ゆえに、
$$
T_1\otimes\cdots\otimes T_N=\overline{T_1\odot \cdots \odot T_N}\in \mathbb{B}\left(\bigotimes_{j=1}^{N}\mathcal{H}_j,\text{ }\bigotimes_{j=1}^{N}\mathcal{K}_j\right)
$$
であり、
$$
\lVert T_1\otimes\cdots\otimes T_N\rVert=\lVert T_1\odot \cdots\odot T_N\rVert\leq \lVert T_1\rVert\cdots\lVert T_N\rVert
$$
が成り立つ。逆の不等式が成り立つことは $(1)$ と全く同様にして示せる。
{{end|proof|}}

=== 定理12.13（テンソル積射影値測度の一意存在） ===
$\mathcal{H}_j$ をHilbert空間、$X_j$ を第二可算局所コンパクトHausdorff空間、$E_j\colon\mathcal{B}_{X_j}\rightarrow \mathbb{P}(\mathcal{H}_j)$ を射影値測度とする $(j=1,\ldots,N)$。このとき射影値測度
$$
E\colon\mathcal{B}_{X_1\times\cdots\times X_N}\rightarrow\mathbb{P}(\mathcal{H}_1\otimes\cdots\otimes \mathcal{H}_N)
$$
で、
$$
E(B_1\times\cdots\times B_N)=E_1(B_1)\otimes\cdots\otimes E_N(B_N)\quad(\forall B_1\in\mathcal{B}_{X_1},\ldots,B_N\in\mathcal{B}_{X_N})
$$
を満たすものが唯一つ存在する。
{{begin |proof }}
存在を示す。$\mathcal{H}\colon=\mathcal{H}_1\otimes\cdots\otimes \mathcal{H}_N$ とおく。
各 $X_j$ は第二可算局所コンパクトHausdorff空間であるから、[[測度と積分1：測度論の基礎用語]]の'''命題2.8'''より、
$$
X\colon=X_1\times \cdots\times X_N
$$
も第二可算局所コンパクトHausdorff空間であり、
$$
\mathcal{B}_X=\mathcal{B}_{X_1}\otimes\cdots\otimes \mathcal{B}_{X_N}=\sigma(\mathcal{C})
$$
である。ただし $\mathcal{C}$ は半集合代数（[[測度と積分3：測度論の基本定理(1)]]の'''定義12.1'''）
$$
\mathcal{C}=\mathcal{B}_{X_1}\times\cdots\times \mathcal{B}_{X_N}=\{B_1\times\cdots\times B_N:B_1\in \mathcal{B}_{X_1},\ldots,B_N\in \mathcal{B}_{X_N}\}
$$
である。今、
$$
E^{(0)}\colon\mathcal{C}\ni B_1\times\cdots\times B_N\mapsto E_1(B_1)\otimes\cdots\otimes E_N(B_N)\in \mathbb{P}(\mathcal{H})
$$
とおく。$C_1,C_2\in\mathcal{C}$ が互いに交わらないならば、$E^{(0)}(C_1),E^{(0)}(C_2)\in \mathbb{P}(\mathcal{H})$ は明らかに直交する。$E^{(0)}$ が $\mathcal{C}$ 上で $\sigma$-加法的であること、すなわち $\mathcal{C}$ の非交叉列 $(C_n)_{n\in \mathbb{N}}$ で $\bigcup_{n\in\mathbb{N}}C_n\in\mathcal{C}$ なるものに対し、
$$
E^{(0)}\left(\bigcup_{n\in\mathbb{N}}C_n\right)=\sum_{n\in \mathbb{N}}E^{(0)}(C_n)\quad\quad(*)
$$
が成り立つことを示す。そのためには $\mathcal{H}$ における
$$
\bigodot_{j=1}^{N}\mathcal{H}_j=\text{span}\{v_1\otimes\cdots\otimes v_N:v_1\in\mathcal{H}_1,\ldots,v_N\in\mathcal{H}_N\}
$$
の稠密性より、任意の $u_1,v_1\in\mathcal{H}_1,\ldots,u_N,v_N\in\mathcal{H}_N$ に対し、
$$
u=u_1\otimes\cdots\otimes u_N,\quad v=v_1\otimes\cdots\otimes v_N
$$
とおいて、
$$
\left(u\mid E^{(0)}\left(\bigcup_{n\in\mathbb{N}}C_n\right)v\right)
=\left(u\mid \sum_{n\in \mathbb{N}}E^{(0)}(C_n)v\right)
$$
が成り立つことを示せば十分である。しかし任意の $B_1\in\mathcal{B}_{X_1},\ldots,B_N\in\mathcal{B}_{X_N}$ に対し、
$$
\begin{aligned}
(u\mid E^{(0)}(B_1\times\cdots\times B_N)v)&=(u_1\mid E_1(B_1)v_1)\cdots(u_N\mid E_N(B_N)v_N)\\
&=E_{1,u_1,v_1}(B_1)\cdots E_{N,u_N,v_N}(B_N)\quad\quad(**)
\end{aligned}
$$
であり、偏極恒等式より各 $j\in \{1,\ldots,N\}$ に対し複素数値Borel測度 $E_{j,u_j,v_j}\colon\mathcal{B}_{X_j}\rightarrow\mathbb{C}$ は有限Borel測度の線形結合であるから、有限Borel測度の直積測度を考えることにより、
$$
\mathcal{C}\ni B_1\times\cdots\times B_N\mapsto E_{1,u_1,v_1}(B_1)\cdots E_{N,u_N,v_N}(B_N)\in \mathbb{C}
$$
は $\mathcal{B}_X=\sigma(\mathcal{C})$ 上のある複素数値Borel測度
$$
E^{(0)}_{u,v}\colon\mathcal{B}_X\rightarrow \mathbb{C}
$$
に拡張できることが分かる。$(**)$ より、
$$
(u\mid E^{(0)}(C)v)=E^{(0)}_{u,v}(C)\quad(\forall C\in\mathcal{C})
$$
であるから、
$$
\left(u\mid E^{(0)}\left(\bigcup_{n\in\mathbb{N}}C_n\right)v\right)
=E^{(0)}_{u,v}\left(\bigcup_{n\in\mathbb{N}}C_n\right)=\sum_{n\in\mathbb{N}}E^{(0)}_{u,v}(C_n)=\sum_{n\in\mathbb{N}}(u\mid E^{(0)}(C_n)v)
=\left(u\mid \sum_{n\in\mathbb{N}}E^{(0)}(C_n)v\right)
$$
である。（$(E^{(0)}(C_n))_{n\in\mathbb{N}}$ は射影作用素の直交族であることに注意。）ゆえに $(*)$ が成り立つ。$\mathcal{A}(\mathcal{C})$ を半集合代数 $\mathcal{C}$ から生成される有限加法族とすると、[[測度と積分3：測度論の基本定理(1)]]の'''命題13.2'''と全く同様にして、$E^{(0)}\colon\mathcal{C}\rightarrow\mathbb{P}(\mathcal{H})$ は、$\sigma$-加法的な
$$
E^{(1)}\colon\mathcal{A}(\mathcal{C})\rightarrow\mathbb{P}(\mathcal{H})
$$
に一意拡張できる。任意の $v\in\mathcal{H}$ に対し、
$$
\mathcal{A}(\mathcal{C})\ni A\mapsto (v\mid E^{(1)}(A)v)\in [0,\infty)
$$
は有限加法族 $\mathcal{A}(\mathcal{C})$ 上の $\sigma$-加法的測度であるからCarathéodoryの拡張定理（[[測度と積分3：測度論の基本定理(1)]]の'''定理13.7'''）より $\mathcal{B}_X=\sigma(\mathcal{A}(\mathcal{C}))$ 上の有限Borel測度に一意拡張できる。よって偏極恒等式より任意の $u,v\in\mathcal{H}$ に対し複素数値Borel測度 $\mu_{u,v}\colon\mathcal{B}_X\rightarrow\mathbb{C}$ で、
$$
\mu_{u,v}(A)=(u\mid E^{(1)}(A)v)\quad(\forall A\in\mathcal{A}(\mathcal{C}))\quad\quad(***)
$$
を満たすものが存在する。そして単調族定理（[[測度と積分3：測度論の基本定理(1)]]の'''定理12.8'''）により $(***)$ を満たす複素数値Borel測度は $\mu_{u,v}$ は唯一つである。<ref>複素数値Borel測度 $\mu_1,\mu_2:{\cal B}_X\rightarrow \mathbb{C}$ が ${\cal A}({\cal C})$ 上で一致するとする。$\{B\in {\cal B}_X: \mu_1(B)=\mu_2(B)\}$ は ${\cal A}({\cal C})$ を含む単調族であるから、${\cal A}({\cal C})$ から生成される単調族 ${\cal M}({\cal A}({\cal C}))$ を含む。単調族定理（[[測度と積分3：測度論の基本定理(1)]]の'''定理12.8'''）より ${\cal B}_X=\sigma({\cal A}({\cal C}))={\cal M}({\cal A}({\cal C}))$ であるから、任意の $B\in {\cal B}_X$ に対し $\mu_1(B)=\mu_2(B)$ である。</ref>
この一意性より任意の $B\in \mathcal{B}_X$ に対し、
$$
\mathcal{H}\times \mathcal{H}\ni (u,v)\mapsto \mu_{u,v}(B)\in \mathbb{C}
$$
は準双線形汎関数である。今、任意の $B\in\mathcal{B}_X$ に対し、
$$
\lvert \mu_{u,v}(B)\rvert\leq \lVert u\rVert\lVert v\rVert\quad(\forall u,v\in\mathcal{H})\quad\quad(****)
$$
が成り立つことを示す。$X$ は第二可算局所コンパクトHausdorff空間であるから、[[測度と積分7：局所コンパクトHausdorff空間上のRadon測度]]の'''定理31.5'''より任意の $u,v\in\mathcal{H}$ に対し $\mu_{u,v}\colon\mathcal{B}_X\rightarrow\mathbb{C}$ は複素数値Radon測度である。よって $B$ を含む開集合の列 $(U_n)_{n\in\mathbb{N}}$ で $\lim_{n\rightarrow\infty}\mu_{u,v}(U_n)=\mu_{u,v}(B)$ を満たすものが取れるので、$(****)$ を示すには任意の開集合 $U\subset X$ に対し、
$$
\lvert \mu_{u,v}(U)\rvert\leq \lVert u\rVert\lVert v\rVert\quad(\forall u,v\in\mathcal{H})
$$
が成り立つことを示せばよい。$X$ の開集合の可算基底として $\mathcal{C}$ の元からなるものが取れるから、$U$ は $\mathcal{A}(\mathcal{C})$ の非交叉列の合併で表される。そこで $(A_n)_{n\in \mathbb{N}}$ を $\mathcal{A}(\mathcal{C})$ の非交叉列で $U=\bigcup_{n\in\mathbb{N}}A_n$ なるものとすると、$(E^{(1)}(A_n))_{n\in\mathbb{N}}$ は射影作用素の直交族であるので、その和 $\sum_{n\in\mathbb{N}}E^{(0)}(A_n)$ も射影作用素であるから、
$$
\begin{aligned}
\lvert \mu_{u,v}(U)\rvert&=\left\lvert \sum_{n\in\mathbb{N}}\mu_{u,v}(A_n)\right\rvert=\left\lvert\sum_{n\in\mathbb{N}}(u\mid E^{(1)}(A_n)v)\right\rvert
=\left\lvert \left(u\mid \sum_{n\in\mathbb{N}}E^{(1)}(A_n)v\right)\right\rvert\\
&\leq\lVert u\rVert \left\lVert \sum_{n\in\mathbb{N}}E^{(1)}(A_n)v\right\rVert\leq \lVert u\rVert\lVert v\rVert
\end{aligned}
$$
となる。よって $(****)$ が成り立つ。これより任意の $B\in\mathcal{B}_X$ に対し、$\mathcal{H}\times \mathcal{H}\ni (u,v)\mapsto \mu_{u,v}(B)\in\mathbb{C}$ はノルムが $1$ 以下の有界準双線形汎関数であるから、[[位相線形空間1：ノルムと内積]]の'''定理7.1'''より作用素ノルムが $1$ 以下の $E(B)\in\mathbb{B}(\mathcal{H})$ で、
$$
(u\mid E(B)v)=\mu_{u,v}(B)\quad(\forall u,v\in\mathcal{H})
$$
を満たすものが一意的に定まる。これにより $E\colon\mathcal{B}_X\ni B\mapsto E(B)\in\mathbb{B}(\mathcal{H})$ を定義する。$(***)$ より、
$$
E(A)=E^{(1)}(A)\quad(\forall A\in {\cal A}({\cal C})$
$$
であり、特に $E(X)=E^{(1)}(A)=1$ である。任意の $u,v\in\mathcal{H}$ に対し、
$$
\mathcal{B}_X\ni B\mapsto (u\mid E(B)v)=\mu_{u,v}(B)\in\mathbb{C}
$$
は複素数値測度であるから、$E(B)\in\mathbb{P}(\mathcal{H})$ $(\forall B\in\mathcal{B}_X)$ が成り立つことを示せば $E$ が求める射影値測度であることになる。任意の $v\in\mathcal{H}$ に対し $\mu_{v,v}$ は $\mathcal{A}(\mathcal{C})$ 上の $\sigma$-加法的測度 $\mathcal{A}(\mathcal{C})\ni A\mapsto (v\mid E^{(1)}(A)v)\in [0,\infty)$ をCarathéodoryの拡張定理により $\mathcal{B}_X=\sigma(\mathcal{A}(\mathcal{C}))$ 上に拡張した非負値測度であるから、
$$
(v\mid E(B)v)=\mu_{v,v}(B)\geq0\quad(\forall B\in\mathcal{B}_X)
$$
である。よって $E(B)=E(B)^*$ $(\forall B\in\mathcal{B}_X)$ である。$E(A)=E^{(1)}(A)$ $(\forall A\in\mathcal{A}(\mathcal{C}))$ であるから、$E$ の $\mathcal{A}(\mathcal{C})$ 上への制限 $\mathcal{A}(\mathcal{C})\ni A\mapsto E(A)\in \mathbb{P}(\mathcal{H})$ は加法的である。よって、
$$
E(A\cap B)=E(A)E(B)\quad(\forall A,B\in\mathcal{A}(\mathcal{C}))
$$
が成り立つ<ref>$\mathcal{A}(\mathcal{C})\ni A\mapsto E(A)\in\mathbb{P}(\mathcal{H})$ の加法性より、$A\subset B$ ならば $E(B)=E(A)+E(B\backslash A)\geq E(A)$ であるから、$E(A)=E(A)E(B)$ である。また $A\cap B=\emptyset$ ならば $E(A)$ と $E(B)$ は直交する。よって任意の $A,B\in\mathcal{A}(\mathcal{C})$ に対し $E(A)E(B)=E(A\cap B)E(B)+E(A\backslash B)E(B)=E(A\cap B)$ である。</ref>。今、
$$
E(A\cap B)=E(A)E(B)\quad(\forall A,B\in\mathcal{B}_X)\quad\quad(*****)
$$
が成り立つことを示す。これが成り立てば任意の $B\in\mathcal{B}_X$ に対し $E(B)^2=E(B)$ であるので、$E(B)\in \mathbb{P}(\mathcal{H})$ を示せたことになる。任意の $u,v\in\mathcal{H}$ を取り固定する。任意の $A\in \mathcal{A}(\mathcal{C})$ に対し、
$$
\begin{aligned}
&\mathcal{B}_X\ni B\mapsto (u\mid E(A)E(B)v)\in \mathbb{C},\\
&\mathcal{B}_X\ni B\mapsto (u\mid E(A\cap B)v)\in \mathbb{C}
\end{aligned}
$$
はそれぞれ複素数値Borel測度であり、$\mathcal{A}(\mathcal{C})$ 上で一致する。よって単調族定理より、
$$
(u\mid E(A)E(B)v)=(u\mid E(A\cap B)v)\quad(\forall A\in\mathcal{A}(\mathcal{C}),\forall B\in\mathcal{B}_X)
$$
が成り立つ。次に任意の $B\in\mathcal{B}_X$ に対し、
$$
\begin{aligned}
&\mathcal{B}_X\ni A\mapsto (u\mid E(A)E(B)v)\in \mathbb{C},\\
&\mathcal{B}_X\ni A\mapsto (u\mid E(A\cap B)v)\in \mathbb{C}
\end{aligned}
$$
はそれぞれ複素数値Borel測度であり、$\mathcal{A}(\mathcal{C})$ 上で一致する。よって単調族定理より、
$$
(u\mid E(A)E(B)v)=(u\mid E(A\cap B)v)\quad(\forall A, B\in\mathcal{B}_X)
$$
が成り立つ。$u,v\in\mathcal{H}$ は任意であるので、$(*****)$ が成り立つ。 
一意性を示す。$E,F:{\cal B}_X\rightarrow \mathbb{P}({\cal H})$ が条件を満たす射影値測度であるとすると、$E,F$ は ${\cal A}({\cal C})$ 上で　一致する。$\{B\in {\cal B}_X:E(B)=F(B)\}$ は ${\cal A}({\cal C})$　を含む単調族であるから、${\cal A}({\cal C})$ から生成される単調族 ${\cal M}({\cal A}({\cal C}))$ を含む。単調族定理（[[測度と積分3：測度論の基本定理(1)]]の'''定理12.8'''）より ${\cal B}_X=\sigma({\cal A}({\cal C}))={\cal M}({\cal A}({\cal C}))$ であるから、任意の $B\in {\cal B}_X$ に対し $E(B)=F(B)$ である。
{{end|proof|}}

=== 定義12.14（テンソル積射影値測度） ===
$\mathcal{H}_j$ をHilbert空間、$X_j$ を第二可算局所コンパクトHausdorff空間、$E_j\colon\mathcal{B}_{X_j}\rightarrow \mathbb{P}(\mathcal{H}_j)$ を射影値測度とする $(j=1,\ldots,N)$。このとき'''定理12.13'''より、射影値測度
$$
E_1\otimes\cdots\otimes E_N\colon\mathcal{B}_{X_1\times\cdots\times X_N}\rightarrow\mathbb{P}(\mathcal{H}_1\otimes\cdots\otimes \mathcal{H}_N)
$$
で、
$$
(E_1\otimes\cdots\otimes E_N)(B_1\times\cdots\times B_N)=E_1(B_1)\otimes\cdots\otimes E_N(B_N)\quad(\forall B_1\in\mathcal{B}_{X_1},\ldots,B_N\in\mathcal{B}_{X_N})
$$
を満たすものが唯一つ存在する。これを $E_1,\ldots,E_N$ のテンソル積射影値測度と言う。$E_1\otimes\cdots\otimes E_N$ は $\bigotimes_{j=1}^{N}E_j$ とも表す。

=== 命題12.15（掛け算作用素を表す射影値測度のテンソル積は掛け算作用素を表す） ===
$X_j$ を第二可算局所コンパクトHausdorff空間、$\mu_j:\mathcal{B}_{X_j}\rightarrow[0,\infty]$ をRadon測度とする（$j=1,\ldots,N$）。各 $j\in \{1,\ldots,N\}$ に対し $L^2(X_j,\mu_j)$ 上の掛け算作用素を表す射影値測度（'''定義10.2'''）を、
$$
E_{\mu_j}\colon\mathcal{B}_{X_j}\rightarrow \mathbb{P}(L^2(X_j,\mu_j))
$$
とおく。このとき、
$$
L^2(X_1\times \cdots\times X_N,\mu_1\otimes\cdots\otimes \mu_N)=\bigotimes_{j=1}^{N}L^2(X_j,\mu_j)
$$
（'''定義12.9'''を参照）上の掛け算作用素を表す射影値測度
$$
E_{\mu_1\otimes\cdots\otimes \mu_N}\colon\mathcal{B}_{X_1\times\cdots\times X_N}\rightarrow \mathbb{P}(L^2(X_1\times\cdots\times X_N,\mu_1\otimes\cdots\otimes\mu_N))
$$
は、テンソル積射影値測度
$$
E_{\mu_1}\otimes\cdots\otimes E_{\mu_N}\colon\mathcal{B}_{X_1\times\cdots\times X_N}\rightarrow \mathbb{P}\left(\bigotimes_{j=1}^{N}L^2(X_j,\mu_j)\right)
$$
に等しい。
{{begin |proof }}
任意の $B_1\in\mathcal{B}_{X_1},\ldots,B_N\in\mathcal{B}_{X_N}$ に対し、
$$
E_{\mu_1\otimes\cdots\otimes \mu_N}(B_1\times\cdots\times B_N)=E_{\mu_1}(B_1)\cdots E_{\mu_N}(B_N)
$$
が成り立つことを示せばよい。そのためには、
$$
\bigodot_{j=1}^{N}L^2(X_j,\mu_j)=\text{span}\left\{[f_1]\otimes\cdots\otimes [f_N]:[f_1]\in L^2(X_1,\mu_1),\ldots,[f_N]\in L^2(X_N,\mu_N)\right\}
$$
の $\bigotimes_{j=1}^{N}L^2(X_j,\mu_j)$ における稠密性より、任意の $[f_1]\in L^2(X_1,\mu_1),\ldots,[f_N]\in L^2(X_N,\mu_N)$ に対し、
$$
E_{\mu_1\otimes\cdots\otimes \mu_N}(B_1\times\cdots\times B_N)([f_1]\otimes\cdots\otimes [f_N])=(E_{\mu_1}(B_1)\otimes\cdots\otimes E_{\mu_N}(B_N))([f_1]\otimes\cdots\otimes [f_N])
$$
が成り立つことを示せば十分であるが、
$$
\begin{aligned}
&E_{\mu_1\otimes\cdots\otimes \mu_N}(B_1\times\cdots\times B_N)([f_1]\otimes\cdots\otimes [f_N])=[\chi_{B_1}f_1]\otimes\cdots\otimes [\chi_{B_N}f_N]\\
&=E_{\mu_1}(B_1)[f_1]\otimes\cdots\otimes E_{\mu_N}(B_N)[f_N]=(E_{\mu_1}(B_1)\otimes\cdots\otimes E_{\mu_N}(B_N))([f_1]\otimes\cdots\otimes [f_N])
\end{aligned}
$$
である。よって成り立つ。
{{end|proof|}}

=== 定理12.16（テンソル積射影値測度による積分） ===
$\mathcal{H}_j$ をHilbert空間、$X_j$ を第二可算局所コンパクトHausdorff空間、$E_j\colon\mathcal{B}_{X_j}\rightarrow \mathbb{P}(\mathcal{H}_j)$ を射影値測度とする $(j=1,\ldots,N)$。このとき任意のBorel関数 $f_j\colon X_j\rightarrow\mathbb{C}$ $(j=1,\ldots,N)$ に対し、
$$
\begin{aligned}
&\int_{X_1\times\cdots\times X_N}f_1(x_1)\cdots f_N(x_N)d(E_1\otimes\cdots\otimes E_N)(x_1,\ldots,x_N)\\
&=\left(\int_{X_1}f_1(x_1)dE_1(x_1)\right)\otimes\cdots \otimes \left(\int_{X_N}f_N(x_N)dE_N(x_N)\right)\quad\quad(*)
\end{aligned}
$$
が成り立つ。
{{begin |proof }}
$$
\mathcal{H}\colon=\mathcal{H}_1\otimes\cdots\otimes \mathcal{H}_N,\quad
X\colon=X_1\times \cdots\times X_N,\quad
E\colon=E_1\otimes \cdots\otimes E_N\colon\mathcal{B}_X\rightarrow\mathbb{P}(\mathcal{H})
$$
とおく。各 $f_j\colon X_j\rightarrow\mathbb{C}$ がBorel単関数である場合は $(*)$ は明らかに成り立つ。また、
$$
\mathbb{B}(\mathcal{H_1})\times \cdots\times \mathbb{B}(\mathcal{H}_N)
\ni (T_1,\ldots,T_N)\mapsto T_1\otimes\cdots\otimes T_N\in \mathbb{B}(\mathcal{H})
$$
は有界多重線形写像であり（'''定理12.12'''）、任意の有界Borel関数はBorel単関数の列により一様近似できる（[[測度と積分5：$L^p$ 空間の完備性と双対性]]の'''命題22.2'''）ので、$(*)$ は各 $f_j\colon X_j\rightarrow\mathbb{C}$ が有界Borel関数の場合も成り立つ。各 $f_j\colon X_j\rightarrow\mathbb{C}$ が一般のBorel関数の場合に $(*)$ が成り立つことを示す。各 $j\in\{1,\ldots,N\}$ について有界Borel関数の列 $f_{j,n}\colon=f_{j}\chi_{(\lvert f_j\rvert\leq n)}$ $(\forall n\in\mathbb{N})$ を定義する。任意の $v_j\in D_{E_j}(f_j)$ $(j=1,\ldots,N)$ に対しLebesgue優収束定理より、
$$
\int_{X_j}f_j(x_j)dE_j(x_j)v_j=\lim_{n\rightarrow\infty}\int_{X_j}f_{j,n}(x_j)dE_j(x_j)v_j\quad(j=1,\ldots,N)
$$
であるから、
$$
B_n\colon=(\lvert f_1\rvert\leq n)\times \cdots\times (\lvert f_N\rvert\leq n)\in \mathcal{B}_X\quad(\forall n\in\mathbb{N})
$$
とおけば、
$$
\begin{aligned}
&\left\{\left(\int_{X_1}f_1(x_1)dE_1(x_1)\right)\otimes \cdots\otimes \left(\int_{X_N}f_N(x_N)dE_N(x_N)\right)\right\}(v_1\otimes\cdots\otimes v_N)\\
&=\left(\int_{X_1}f_1(x_1)dE_1(x_1)\right)v_1\otimes \cdots\otimes \left(\int_{X_N}f_N(x_N)dE_N(x_N)\right)v_N\\
&=\lim_{n\rightarrow\infty}\left(\int_{X_1}f_{1,n}(x_1)dE_1(x_1)\right)v_1\otimes \cdots\otimes \left(\int_{X_N}f_{N,n}(x_N)dE_N(x_N)\right)v_N\\
&=\lim_{n\rightarrow\infty}\left\{\left(\int_{X_1}f_{1,n}(x_1)dE_1(x_1)\right)\otimes \cdots\otimes \left(\int_{X_N}f_{N,n}(x_N)dE_N(x_N)\right)\right\}(v_1\otimes\cdots\otimes v_N)\\
&=\lim_{n\rightarrow\infty}\int_{X}f_{1,n}(x_1)\cdots f_{N,n}(x_N)dE(x_1,\ldots,x_N)(v_1\otimes\cdots\otimes v_N)\\
&=\lim_{n\rightarrow\infty}\int_{X}f_1(x_1)\cdots f_N(x_N)dE(x_1,\ldots,x_N)E(B_n)(v_1\otimes\cdots\otimes v_N)\\
&=\int_{X}f_1(x_1)\cdots f_N(x_N)dE(x_1,\ldots,x_N)(v_1\otimes\cdots\otimes v_N)
\end{aligned}
$$
となる。ただし $4$ 番目の等号で有界Borel関数に対して $(*)$ が成り立つことを用い、最後の等号で $\lim_{n\rightarrow\infty}E(B_n)(v_1\otimes\cdots\otimes v_N)=v_1\otimes\cdots\otimes v_N$ であること射影値測度による積分が閉線形作用素であることを用いた。よって、
$$
\bigotimes_{j=1}^{N}\int_{X_j}f_j(x_j)dE_j(x_j)=\overline{\bigodot_{j=1}^{N}\int_{X_j}f_j(x_j)dE_j(x_j)}\subset \int_{X}f_1(x_1)\cdots f_N(x_N)dE(x_1,\ldots,x_N)\quad\quad(**)
$$
が成り立つ。逆の包含関係を示す。任意の $v\in D_E(f_1\times\cdots\times f_N)$ を取り、
$$
v_m\in \bigodot_{j=1}^{N}\mathcal{H}_j\quad(\forall m\in\mathbb{N}),\quad
\lim_{m\rightarrow\infty}\lVert v-v_m\rVert=0
$$
なるものを取る。このとき、$v=\lim_{n\rightarrow\infty}E(B_n)v=\lim_{n\rightarrow\infty}\lim_{m\rightarrow\infty}E(B_n)v_m$ であるから、
$$
\begin{aligned}
&\left(\int_{X}f_1(x_1)\cdots f_N(x_N)dE(x_1,\ldots,x_N)\right)v
=\lim_{n\rightarrow\infty}\left(\int_{X}f_{1,n}(x_1)\cdots f_{N,n}(x_N)dE(x_1,\ldots,x_N)\right)v\\
&=\lim_{n\rightarrow\infty}\left(\bigotimes_{j=1}^{N}\int_{X_j}f_{j,n}(x_j)dE_j(x_j)\right)v
=\lim_{n\rightarrow\infty}\lim_{m\rightarrow\infty}\left(\bigodot_{j=1}^{N}\int_{X_j}f_{j,n}(x_j)dE_j(x_j)\right)v_m\\
&=\lim_{n\rightarrow\infty}\lim_{m\rightarrow\infty}\left(\bigodot_{j=1}^{N}\int_{X_j}f_{j}(x_j)dE_j(x_j)\right)E(B_n)v_m
=\lim_{n\rightarrow\infty}\left(\bigotimes_{j=1}^{N}\int_{X_j}f_{j}(x_j)dE_j(x_j)\right)E(B_n)v\\
&=\left(\bigotimes_{j=1}^{N}\int_{X_j}f_j(x_j)dE_j(x_j)\right)v
\end{aligned}
$$
となる。ただし $1$ 番目の等号でLebesgue優収束定理を用い、$2$ 番目の等号で有界Borel関数に対して $(*)$ が成り立つことを用い、
$3$ 番目の等号で、
$$
\bigotimes_{j=1}^{N}\int_{X_j}f_{j,n}(x_j)dE_j(x_j)\in \mathbb{B}({\cal H})\quad(\forall n\in \mathbb{N})
$$
であることを用いた。よって $(**)$ の逆の包含関係が成り立つ。
{{end|proof|}}

=== 定理12.17（自己共役作用素のテンソル積のBorel汎関数計算） ===
各 $j\in \{1,\ldots,N\}$ に対しHilbert空間 $\mathcal{H}_j$ 上の自己共役作用素 $T_j$ が与えられているとする。このとき $T_1\otimes\cdots\otimes T_N$ は $\mathcal{H}_1\otimes\cdots\otimes \mathcal{H}_N$ 上の自己共役作用素であり、
$$
\sigma(T_1\otimes\cdots\otimes T_N)=\overline{\{\lambda_1\cdots\lambda_N:\lambda_1\in \sigma(T_1),\ldots,\lambda_N\in \sigma(T_N)\}}\quad\quad(*)
$$
が成り立つ。また各 $T_j$ のスペクトル測度を $E^{T_j}\colon\mathcal{B}_{\sigma(T_j)}\rightarrow\mathbb{P}(\mathcal{H}_j)$ とすると、任意のBorel関数 $f_j\colon\sigma(T_j)\rightarrow\mathbb{C}$ $(j=1,\ldots,N)$ に対し、
$$
f_1(T_1)\otimes\cdots\otimes f_N(T_N)=\int_{\sigma(T_1)\times\cdots\times \sigma(T_N)}f_1(\lambda_1)\cdots f_N(\lambda_N)d(E^{T_1}\otimes\cdots\otimes E^{T_N})(\lambda_1,\ldots,\lambda_N)\quad\quad(**)
$$
が成り立ち、連続関数 $f_j\colon\sigma(T_j)\rightarrow\mathbb{C}$ $(j=1,\ldots,N)$ に対し、
$$
\sigma(f_1(T_1)\otimes\cdots\otimes f_N(T_N))=\overline{\{f_1(\lambda_1)\cdots f_N(\lambda_N):\lambda_1\in\sigma(T_1),\ldots,\lambda_N\in \sigma(T_N)\}}\quad\quad(***)
$$
が成り立つ。また、任意のBorel関数 $f:\sigma(T_1\otimes \cdots\otimes T_N)\rightarrow\mathbb{C}$ に対し、
$$
f(T_1\otimes \cdots\otimes T_N)=\int_{\sigma(T_1)\times\cdots\times \sigma(T_N)}f(\lambda_1\cdots \lambda_N)d(E^{T_1}\otimes\cdots\otimes E^{T_N})(\lambda_1,\ldots,\lambda_N)
$$
が成り立ち、連続関数 $f\colon\sigma(T_1\otimes\cdots\otimes T_N)\rightarrow\mathbb{C}$ に対し、
$$
\sigma(f(T_1\otimes\cdots\otimes T_N))=\overline{\{f(\lambda_1\cdots\lambda_N):\lambda_1\in \sigma(T_1),\ldots,\lambda_N\in\sigma(T_N)\}}\quad\quad(****)
$$
が成り立つ。
{{begin |proof }}
Borel汎関数計算の定義（'''定義8.5'''）より、任意のBorel関数 $f_j\colon\sigma(T_j)\rightarrow\mathbb{C}$ に対し、
$$
f_j(T_j)=\int_{\sigma(T_j)}f_j(\lambda_j)dE^{T_j}(\lambda_j)\quad(j=1,\ldots,N)
$$
であるから、'''定理12.16'''より $(**)$ が成り立つ。特に、
$$
T_1\otimes\cdots\otimes T_N=\int_{\sigma(T_1)\times\cdots\times \sigma(T_N)}\lambda_1\cdots \lambda_Nd(E^{T_1}\otimes\cdots\otimes E^{T_N})(\lambda_1,\ldots,\lambda_N)\quad\quad(*****)
$$
であり、右辺の被積分関数は実数値であるから $T_1\otimes\cdots\otimes T_N$ は $\mathcal{H}_1\otimes\cdots\otimes \mathcal{H}_N$ 上の自己共役作用素である（'''命題6.8'''の $(2)$ を参照）。そして任意のBorel関数 $f\colon\sigma(T_1\otimes\cdots\otimes T_N)\rightarrow \mathbb{C}$ に対し $(*****)$ と'''命題8.6'''より、
$$
f(T_1\otimes\cdots\otimes T_N)=\int_{\sigma(T_1)\times\cdots\times \sigma(T_N)}f(\lambda_1\cdots\lambda_N)d(E^{T_1}\otimes\cdots\otimes E^{T_N})(\lambda_1,\ldots,\lambda_N)
$$
が成り立つ。$\sigma(T_1)\times\cdots\times \sigma(T_N)$ の任意の空でない開集合 $U$ に対し、$U_1\times\cdots\times U_N\subset U$ を満たす空でない開集合 $U_j\subset \sigma(T_j)$ $(j=1,\ldots,N)$ が取れる。'''命題8.7'''の $(4)$ より $E^{T_j}(U_j)>0$ であるので、'''定理12.12'''より、
$$
(E^{T_1}\otimes\cdots\otimes E^{T_N})(U)\geq E^{T_1}(U_1)\otimes\cdots\otimes E^{T_N}(U_N)>0
$$
である。よって'''系6.13'''より連続関数 $f_j\colon\sigma(T_j)\rightarrow\mathbb{C}$ $(j=1,\ldots,N)$ に対し $(***)$
が成り立つ。特に $(*)$ が成り立つ。また'''系6.13'''より連続関数 $f:\sigma(T_1\otimes\cdots\otimes T_N)\rightarrow\mathbb{C}$ に対し $(****)$ が成り立つ。
{{end|proof|}}

== 13. コンパクト作用素 ==

=== 定義13.1（有限階作用素）===
$\mathcal{H}$ をHilbert空間とする。$T\in \mathbb{B}(\mathcal{H})$ が有限階作用素であるとは ${\rm dim}{\rm Ran}(T)<\infty$ が成り立つことを言う。有限階作用素全体を $\mathbb{B}_{\rm f}(\mathcal{H})$ と表すこととする。

=== 命題13.2 ===
Hilbert空間 $\mathcal{H}$ 上の有限階作用素全体 $\mathbb{B}_{\rm f}(\mathcal{H})$ は $C^*$-環 $\mathbb{B}(\mathcal{H})$ の $*$-イデアル（[[速習「線形空間論」]]の'''定義2.2'''）である。
{{begin |proof}}
$\mathbb{B}_{\rm f}(\mathcal{H})$ が対合演算で閉じていることのみを示す。（それ以外は自明である。）任意の $T\in \mathbb{B}_{\rm f}(\mathcal{H})$ を取る。${\rm Ran}(T)$ は有限次元であるので $\mathcal{H}$ の閉部分空間である（[[位相線形空間1：ノルムと内積]]の'''系4.3'''）から、$\mathcal{H}$ は、
$$
\mathcal{H}={\rm Ran}(T)\oplus ({\rm Ran}(T))^{\perp}={\rm Ran}(T)\oplus {\rm Ker}(T^*)
$$
と直交分解される。よって、
$$
{\rm Ran}(T^*)=T^*(\mathcal{H})=T^*({\rm Ran}(T))
$$
であるので、${\rm Ran}(T^*)$ は有限次元である。ゆえに $T^*\in \mathbb{B}_{\rm f}(\mathcal{H})$ であるから $\mathbb{B}_{\rm f}(\mathcal{H})$ は対合演算で閉じている。
{{end|proof|}}

=== 定義13.3（コンパクト作用素環 $\mathbb{B}_0(\mathcal{H})$）===
$\mathcal{H}$ をHilbert空間とする。$\mathcal{H}$ 上の有限階作用素全体 $\mathbb{B}_{\rm f}(\mathcal{H})$ の作用素ノルムによる閉包を、
$$
\mathbb{B}_0(\mathcal{H})\colon=\overline{\mathbb{B}_{\rm f}(\mathcal{H})}^{\lVert \cdot\rVert}
$$
と表し、$\mathbb{B}_0(\mathcal{H})$ の元を $\mathcal{H}$ 上のコンパクト作用素と言う。'''命題13.2 '''より $\mathbb{B}_0(\mathcal{H})$ は $C^*$-環 $\mathbb{B}(\mathcal{H})$ の閉 $*$ -イデアルである。$\mathbb{B}_0(\mathcal{H})$ を $\mathcal{H}$ 上のコンパクト作用素環と言う。

=== 命題13.4（Hilbert空間が無限次元であることと恒等作用素がコンパクト作用素であることは同値） ===
$\mathcal{H}$ をHilbert空間とする。次は互いに同値である。
*$(1)$　$\mathcal{H}$ は有限次元である。
*$(2)$　$\mathbb{B}_{\rm f}(\mathcal{H})=\mathbb{B}_0(\mathcal{H})=\mathbb{B}(\mathcal{H})$ が成り立つ。
*$(3)$　コンパクト作用素環 $\mathbb{B}_0(\mathcal{H})$ は $\mathbb{B}(\mathcal{H})$ の単位元 $1$（恒等作用素）を含む。
{{begin|proof}}
$(1)\Leftrightarrow(2)\Rightarrow(3)$ は自明である。 
$(3)$ が成り立つとすると $\lVert 1-T\rVert<1$ を満たす $T\in \mathbb{B}_{\rm f}(\mathcal{H})$ が取れる。よって[[Banach環とC*-環のスペクトル理論]]の'''命題1.2'''より $T=1-(1-T)$ は $\mathbb{B}(\mathcal{H})$ の可逆元であるから $1=TT^{-1}\in \mathbb{B}_{\rm f}(\mathcal{H})$ である。ゆえに $\mathcal{H}={\rm Ran}(1)$ は有限次元なので $(1)$ が成り立つ。
{{end|proof|}}

=== 定義13.5（Schatten形式） ===
$\mathcal{H},\mathcal{K}$ をHilbert空間、$u\in \mathcal{H},v\in \mathcal{K}$ とする。このとき $u\odot v\in\mathbb{B}(\mathcal{K},\mathcal{H})$ を、
$$
u\odot v\colon \mathcal{K}\ni w\mapsto (v\mid w)u\in \mathcal{H}
$$
と定義する。
$$
\mathcal{H}\times \mathcal{K}\ni (u,v)\mapsto u\odot v\in \mathbb{B}(\mathcal{K},\mathcal{H})
$$
をSchatten形式と言う。

=== 命題13.6（Schattten形式の基本的性質）===
$\mathcal{H},\mathcal{K}$ をHilbert空間とする。Schatten形式に関して次が成り立つ。
*$(1)$　$\mathcal{H}\times \mathcal{K}\ni (u,v)\mapsto u\odot v\in \mathbb{B}(\mathcal{K},\mathcal{H})$ は第一成分に関して線形、第二成分に関して反線形である。
*$(2)$　任意の $u\in \mathcal{H},v\in \mathcal{K}$ に対し $\lVert u\odot v\rVert=\lVert u\rVert\lVert v\rVert$.
*$(3)$　任意の $u\in \mathcal{H}, v\in \mathcal{K}$ に対し $(u\odot v)^*=v\odot u$.
*$(4)$　任意の $u\in \mathcal{H},v\in \mathcal{K},T\in \mathbb{B}(\mathcal{H}),S\in \mathbb{B}(\mathcal{K})$ に対し、
$$
T(u\odot v)=(Tu) \odot v,\quad (u\odot v)T=(u\odot T^*v)
$$
が成り立つ。
{{begin|proof}}
全て'''定義13.5'''より直接的に示せる。
{{end|proof|}}

=== 命題13.7（Schatten形式と射影作用素）===
$\mathcal{H}$ をHilbert空間とする。
*$(1)$　任意の単位ベクトル $e\in \mathcal{H}$ に対し $e\odot e\in \mathbb{B}_{\rm f}(\mathcal{H})$ は $1$ 次元部分空間 $\mathbb{C}e\subset \mathcal{H}$ の上への射影作用素である。また $e_1,e_2\in\mathcal{H}$ が互いに直交する単位ベクトルであるならば射影作用素 $e_1\odot e_1$ と $e_2\odot e_2$ は直交する。
*$(2)$　$\mathcal{K}\subset \mathcal{H}$ を $\{0\}$ ではない閉部分空間、$P\in\mathbb{B}(\mathcal{H})$ を $\mathcal{K}$ の上への射影作用素とし、$\mathcal{K}$ の添字付けられたCONSを $(e_j)_{j\in J}$ とすると、
$$
P=\sum_{j\in J}e_j\odot e_j
$$
が成り立つ。（右辺は射影作用素の直交族 $(e_j\odot e_j)_{j\in J}$ の和（'''定義2.6'''）である。）
{{begin|proof}}
$(1)$ は '''命題13.6'''の $(3),(4)$ より自明である。$(2)$ を示す。$(1)$ より $(e_j\odot e_j)_{j\in J}$ は射影作用素の直交族である。そして $(e_j)_{j\in J}$ が $\mathcal{K}$ のCONSであることから、任意の $v\in \mathcal{H}$ に対し、
$$
Pv=\sum_{j\in J}(e_j\mid Pv)e_j=\sum_{j\in J}(Pe_j\mid v)e_j=\sum_{j\in J}(e_j\mid v)e_j=\left(\sum_{j\in J}e_j\odot e_j\right)v
$$
が成り立つ。よって $P=\sum_{j\in J}e_j\odot e_j$ が成り立つ。
{{end|proof|}}

=== 補題13.8（Hilbert空間上の単位ノルム閉球の弱コンパクト性）===
$\mathcal{H}$ をHilbert空間とする。このとき単位ノルム閉球 $(\mathcal{H})_1=\{v\in\mathcal{H}:\lVert v\rVert\leq 1\}$ は弱位相（[[位相線形空間3：Hahn-Banachの定理とKrein-Milmanの端点定理]]の'''定義12.2'''）に関してコンパクトである。
{{begin|proof}}
$\mathcal{H}^*$ の単位ノルム閉球 $(\mathcal{H}^*)_1=\{\varphi\in \mathcal{H}^*:\lVert\varphi\rVert\leq1\}$ はAlaogluの定理（[[位相線形空間2：セミノルム位相と汎弱位相]]の'''定理10.3'''）より弱 $*$-位相でコンパクトである。Rieszの定理より $\mathcal{H}\ni v\mapsto (v\mid \cdot)\in \mathcal{H}^*$ はノルムを保存する全単射であり、$\mathcal{H}$ のネット $(v_{\lambda})_{\lambda\in\Lambda}$ と $v\in \mathcal{H}$ に対し、
$$
\begin{aligned}
v_{\lambda}\rightarrow v\quad(\text{w.r.t.弱位相})\quad\Leftrightarrow\quad (u\mid v_{\lambda})\rightarrow(u\mid v)\quad(\forall u\in\mathcal{H})\quad\Leftrightarrow\quad \Leftrightarrow\quad (v_{\lambda}\mid \cdot)\rightarrow(v\mid \cdot)\quad(\text{w.r.t.弱 $*$-位相})
\end{aligned}
$$
であるから、$\mathcal{H}\ni v\mapsto (v\mid \cdot)\in \mathcal{H}^*$ は弱位相と弱 $*$-位相に関して同相写像である（[[ネットによる位相空間論]]の'''定理3'''）。よって $({\cal H}^*)_1$の弱$*$-位相に関するコンパクト性より　$(\mathcal{H})_1$ は弱位相でコンパクトである。
{{end|proof|}}

=== 補題13.9（有限階作用素の弱位相 - ノルム位相に関する連続性）===
$\mathcal{H}$ をHilbert空間、$T\in \mathbb{B}_{\rm f}(\mathcal{H})$ とする。このとき $T\colon\mathcal{H}\rightarrow\mathcal{H}$ は弱位相とノルム位相に関して連続である。
{{begin|proof}}
有限次元部分空間 ${\rm Ran}(T)\subset \mathcal{H}$ のCONSを $e_1,\ldots,e_N$ とすると、'''命題13.7'''の $(2)$ より、
$$
P\colon=\sum_{j=1}^{N}e_j\odot e_j
$$
は ${\rm Ran}(T)$ の上への射影作用素である。よって、
$$
Tv=PTv=\sum_{j=1}^{N}(e_j\odot e_j)Tv=\sum_{j=1}^{N}(e_j\mid Tv)e_j=\sum_{j=1}^{N}(T^*e_j\mid v)e_j\quad(\forall v\in\mathcal{H})
$$
である。$\mathcal{H}$ のネット $(v_{\lambda})_{\lambda\in\Lambda}$ が $v\in \mathcal{H}$ に弱位相で収束するならば、
$$
(T^*e_j\mid v_{\lambda})\rightarrow(T^*e_j\mid v)\quad(j=1,\ldots,N)
$$
であるから、ノルム位相で、
$$
Tv_{\lambda}=\sum_{j=1}^{N}(T^*e_j\mid v_{\lambda})\rightarrow\sum_{j=1}^{N}(T^*e_j\mid v)=Tv
$$
が成り立つ。よって[[ネットによる位相空間論]]の'''定理3'''より $T:\mathcal{H}\rightarrow\mathcal{H}$ は弱位相とノルム位相に関して連続である。
{{end|proof|}}

=== 定理13.10（コンパクト作用素の特徴付け）===
$\mathcal{H}$ をHilbert空間、$(e_j)_{j\in J}$ を $\mathcal{H}$ の添字付けられたCONS、$\mathcal{F}_J$ を $J$ の有限部分集合全体に集合の包含関係による順序を入れた有向集合とし、
$$
P_F\colon =\sum_{j\in F}e_j\odot e_j\quad(\forall F\in\mathcal{F}_J)
$$
として有限階射影作用素からなる単調増加ネット $(P_F)_{F\in \mathcal{F}_J}$ を定義する。また $(\mathcal{H})_1=\{v\in \mathcal{H}:\lVert v\rVert\leq1\}$ とおく。このとき $T\in \mathbb{B}(\mathcal{H})$ に対し次は互いに同値である。
*$(1)$　$T\in \mathbb{B}_0(\mathcal{H})$.
*$(2)$　$(\mathcal{H})_1\ni v\mapsto Tv\in \mathcal{H}$ は弱位相とノルム位相に関して連続である。
*$(3)$　$T((\mathcal{H})_1)$ はノルム位相に関してコンパクトである。
*$(4)$　$T((\mathcal{H})_1)$ はノルム位相に関してコンパクトな集合に含まれる。
*$(5)$　$\lVert P_FT-T\rVert\rightarrow0$ が成り立つ。
{{begin|proof}}
$(1)\Rightarrow(2)$ を示す。$(1)$ が成り立つとして $(2)$ が成り立つことを示す。そのためには $(\mathcal{H})_1$ のネット $(v_{\lambda})_{\lambda\in\Lambda}$ が弱位相で $v\in (\mathcal{H})_1$ に収束すると仮定して $\lVert Tv_{\lambda}-Tv\rVert\rightarrow0$ が成り立つことを示せばよい。任意の $\epsilon\in (0,\infty)$ に対しコンパクト作用素の定義より、
$$
\lVert T-S\rVert<\frac{\epsilon}{3}
$$
を満たす $S\in \mathbb{B}_{\rm f}(\mathcal{H})$ が取れる。そして'''補題13.9'''より、
$$
\lVert Sv_{\lambda}-Sv\rVert<\frac{\epsilon}{3}\quad(\forall \lambda\geq\lambda_0)
$$
を満たす $\lambda_0\in\Lambda$ が取れる。よって任意の $\lambda\geq\lambda_0$ に対し、
$$
\lVert Tv_{\lambda}-Tv\rVert\leq \lVert Tv_{\lambda}-Sv_{\lambda}\rVert+\lVert Sv_{\lambda}-Sv\rVert+\lVert Sv-Tv\rVert
\leq 2\lVert T-S\rVert+\lVert Sv_{\lambda}-Sv\rVert<\epsilon
$$
が成り立つので、$\lVert Tv_{\lambda}-Tv\rVert\rightarrow0$ が成り立つ。 
$(2)\Rightarrow(3)$ は '''補題13.8'''による。$(3)\Rightarrow(4)$ は自明である。 
$(4)\Rightarrow(5)$ を示す。$(4)$ が成り立ち、$(5)$ が成り立たないと仮定して矛盾を導く。このときある $\epsilon\in(0,\infty)$ が存在し、任意の $F\in \mathcal{F}_J$ に対し $F'\in \mathcal{F}_J$ で、
$$
F'\supset F,\quad \lVert P_{F'}T-T\rVert>\epsilon
$$
を満たすものが取れる。よって作用素ノルムの定義より任意の $F\in \mathcal{F}_J$ に対し $v_F\in (\mathcal{H})_1$ で、
$$
\lVert P_{F'}Tv_F-Tv_F\rVert>\epsilon
$$
を満たすものが取れる。$(Tv_F)_{F\in \mathcal{F}_J}$ はノルム位相でコンパクトな集合のネットであるから、[[ネットによる位相空間論]]の'''定理5'''より、$(Tv_F)_{F\in\mathcal{F}_J}$ はノルム位相に関する堆積点 $u$ を持つ。
$$
\begin{aligned}
\epsilon&<\lVert P_{F'}Tv_F-Tv_F\rVert=\lVert (1-P_{F'})Tv_F\rVert\leq \lVert (1-P_{F'})(Tv_F-u)\rVert+\lVert (1-P_{F'})u\rVert\\
&\leq \lVert Tv_F-u\rVert+\lVert u-P_{F'}u\rVert\quad(\forall F\in\mathcal{F}_J)\quad\quad(*)
\end{aligned}
$$
であり、$(e_j)_{j\in J}$ は $\mathcal{H}$ のCONSなので $\lVert u-P_Fu\rVert\rightarrow0$ であるから、十分大きい $F_0\in \mathcal{F}_J$ を取れば、
$$
\lVert u-P_{F'}u\rVert<\frac{\epsilon}{2}\quad (\forall F\supset F_0)
$$
となる。よって $(*)$ より、
$$
\frac{\epsilon}{2}<\lVert Tv_F-u\rVert\quad(\forall F\supset F_0)
$$
となる。しかしこれは $u$ が $(Tv_F)_{F\in\mathcal{F}_J}$ の堆積点であることに矛盾する。ゆえに $(4)\Rightarrow(5)$ が成り立つ。 
$(5)\Rightarrow(1)$ は自明である。
{{end|proof|}}

=== 命題13.11 ===
$\mathcal{H}$ をHilbert空間、$T\in \mathbb{B}_0(\mathcal{H})$ とする。このとき ${\rm Ran}(1-T)$ は $\mathcal{H}$ の閉部分空間である。
{{begin|proof}}
$\mathcal{H}$ の直交分解 $\mathcal{H}={\rm Ker}(1-T)\oplus ({\rm Ker}(1-T))^{\perp}$ より、
$$
{\rm Ran}(1-T)=(1-T)(({\rm Ker}(1-T))^{\perp})
$$
である。これが $\mathcal{H}$ の閉部分空間であることを示すには、ある $\epsilon\in (0,\infty)$ に対し、
$$
\lVert (1-T)v\rVert\geq\epsilon\lVert v\rVert\quad(\forall v\in ({\rm Ker}(1-T))^{\perp})
$$
が成り立つことを示せば十分である。そこでこれが成り立たないと仮定して矛盾を導く。このとき $({\rm Ker}(1-T))^{\perp}$ の列 $(v_n)_{n\in\mathbb{N}}$ で、
$$
\lVert v_n\rVert=1,\quad \lVert (1-T)v_n\rVert<\frac{1}{n}\quad(\forall n\in\mathbb{N})\quad\quad(*)
$$
を満たすものが取れる。$Tv_n\in T((\mathcal{H})_1)$ であるから、'''定理13.10'''より $(Tv_n)_{n\in\mathbb{N}}$ はノルム位相で収束する部分列 $(Tv_{k(n)})_{n\in\mathbb{N}}$ を持つ。そこでその収束点を、
$$
u=\lim_{n\rightarrow\infty}Tv_{k(n)}
$$
とおく。$(*)$ より $\lim_{n\rightarrow\infty}(1-T)v_{k(n)}=0$ であるから、
$$
v_{k(n)}=(1-T)v_{k(n)}+Tv_{k(n)}\rightarrow u\quad\quad(**)
$$
である。よって、
$$
u=\lim_{n\rightarrow\infty}v_{k(n)}\in ({\rm Ker}(1-T))^{\perp}
$$
であり、
$$
(1-T)u=\lim_{n\rightarrow\infty}(1-T)v_{k(n)}=0
$$
であるから、$u\in {\rm Ker}(1-T)\cap ({\rm Ker}(1-T))^{\perp}=\{0\}$ である。しかし $(*),(**)$ より、
$$
\lVert u\rVert=\lim_{n\rightarrow\infty}\lVert v_{k(n)}\rVert=1
$$
であるから矛盾する。ゆえに ${\rm Ran}(1-T)$ は閉部部分空間である。
{{end|proof|}}

=== 補題13.12（互いに直交する単位ベクトルの列は弱位相で $0$ に収束する）===
$\mathcal{H}$ をHilbert空間、$(e_n)_{n\in \mathbb{N}}$ をONSとする。このとき弱位相で $\lim_{n\rightarrow\infty}e_n=0$ が成り立つ。
{{begin|proof}}
任意の $v\in \mathcal{H}$ に対し、Besselの不等式より
$$
\sum_{n\in\mathbb{N}}\lvert (e_n\mid v)\rvert^2\leq \lVert v\rVert^2<\infty
$$
であるから $\lim_{n\rightarrow\infty}(e_n\mid v)=0$ が成り立つ。よってRieszの定理より弱位相で $\lim_{n\rightarrow\infty}e_n\rightarrow 0$ が成り立つ。
{{end|proof|}}

=== 定理13.13（Fredholmの択一性定理）===
$\mathcal{H}$ をHilbert空間、$T\in \mathbb{B}_0(\mathcal{H})$ とする。このとき次は互いに同値である。
*$(1)$　${\rm Ran}(1-T)=\mathcal{H}$.
*$(2)$　${\rm Ker}(1-T)=\{0\}$.
{{begin|proof}}
$(1)\Rightarrow(2)$ を示す。$(1)$ が成り立ち、$(2)$ が成り立たないと仮定して矛盾を導く。
$$
\mathcal{K}_n\colon={\rm Ker}((1-T)^n)\quad(\forall n\in\mathbb{Z}_+)
$$
（ただし $(1-T)^0=1$）とおくと、
$$
\mathcal{K}_n\supset \mathcal{K}_{n-1}\quad(\forall n\in \mathbb{N})
$$
であり、$(2)$ が成り立たないと言う仮定より、
$$
\mathcal{K}_1={\rm Ker}(1-T)\supsetneq \{0\}=\mathcal{K}_0
$$
である。今、ある $n\in \mathbb{N}$ に対し $\mathcal{K}_n\supsetneq \mathcal{K}_{n-1}$ が成り立つと仮定すると、$(1)$ が成り立つことから $(1-T)v\in \mathcal{K}_n\backslash \mathcal{K}_{n-1}$ を満たす $v\in {\cal H}$ が取れ、$v\in \mathcal{K}_{n+1}\backslash \mathcal{K}_n$ である。よって $\mathcal{K}_{n+1}\supsetneq \mathcal{K}_n$ が成り立つので、帰納法より、
$$
\mathcal{K}_n\supsetneq \mathcal{K}_{n-1}\quad(\forall n\in\mathbb{N})\quad\quad(*)
$$
が成り立つ。各 $n\in\mathbb{N}$ についてHilbert空間 $\mathcal{K}_n$ の直交分解
$$
\mathcal{K}_n=\mathcal{K}_{n-1}\oplus (\mathcal{K}_n\cap \mathcal{K}_{n-1}^{\perp})
$$
を考えると、$(*)$ より、単位ベクトル
$$
e_n\in \mathcal{K}_n\cap \mathcal{K}_{n-1}^{\perp}\quad(\forall n\in\mathbb{N})\quad\quad(**)
$$
が取れる。このとき $(e_n)_{n\in\mathbb{N}}$ は $\mathcal{H}$ のONSであるから'''補題13.12'''より弱位相に関して $\lim_{n\rightarrow\infty}e_n=0$ が成り立つ。よって'''定理13.10'''より、
$$
\lim_{n\rightarrow\infty}\lVert Te_n\rVert=0\quad\quad(***)
$$
が成り立つ。しかし $(**)$ より、
$$
(1-T)e_n\perp e_n\quad(\forall n\in\mathbb{N})
$$
であるから、
$$
\lVert Te_n\rVert^2=\lVert e_n-(1-T)e_n\rVert^2=\lVert e_n\rVert^2+\lVert (1-T)e_n\rVert^2\geq1\quad(\forall n\in\mathbb{N})
$$
である。これは $(***)$ と矛盾する。よって $(1)\Rightarrow(2)$ が成り立つ。 
$(2)\Rightarrow(1)$ を示す。$(2)$ が成り立つとする。$T^*\in\mathbb{B}_0(\mathcal{H})$ であるから'''命題13.11'''より ${\rm Ran}(1-T^*)$ は $\mathcal{H}$ の閉部分空間である。よって、
$$
{\rm Ran}(1-T^*)=\overline{{\rm Ran}(1-T^*)}=({\rm Ker}(1-T))^{\perp}=\{0\}^{\perp}=\mathcal{H}
$$
であるから、上段の結果より ${\rm Ker}(1-T^*)=\{0\}$ である。さらに'''命題13.11'''より ${\rm Ran}(1-T)$ は $\mathcal{H}$ の閉部分空間であるから、
$$
{\rm Ran}(1-T)=\overline{{\rm Ran}(1-T)}=({\rm Ker}(1-T^*))^{\perp}=\{0\}^{\perp}=\mathcal{H}
$$
である。
{{end|proof|}}

=== 命題13.14 ===
$\mathcal{H}$ をHilbert空間、$T\in \mathbb{B}_0(\mathcal{H})$ とする。このとき、
$$
{\rm dim}{\rm Ker}(1-T)={\rm dim}{\rm Ker}(1-T^*)<\infty
$$
が成り立つ。
{{begin|proof}}
まず ${\rm dim}{\rm Ker}(1-T)<\infty$ が成り立つことを示す。もし ${\rm dim}{\rm Ker}(1-T)=\infty$ ならばSchmidtの直行化により ${\rm Ker}(1-T)$ の元からなるONS $(e_n)_{n\in\mathbb{N}}$ が取れる。'''補題13.12'''より $\mathcal{H}$ の弱位相で $\lim_{n\rightarrow\infty}e_n=0$ が成り立つので、'''定理13.10'''より、$\lim_{n\rightarrow\infty}\lVert Te_n\rVert=0$ である。しかし、
$$
1=\lVert e_n\rVert=\lVert Te_n+(1-T)e_n\rVert=\lVert Te_n\rVert\quad(\forall n\in \mathbb{N})
$$
であるので矛盾する。よって ${\rm dim}{\rm Ker}(1-T)<\infty$ が成り立つ。$T^*\in \mathbb{B}_0(\mathcal{H})$ であることから ${\rm dim}{\rm Ker}(1-T^*)<\infty$ も成り立つ。次に ${\rm dim}{\rm Ker}(1-T)={\rm dim}{\rm Ker}(1-T^*)$ が成り立つことを示す。${\rm dim}{\rm Ker}(1-T^*)\leq {\rm dim}{\rm Ker}(1-T)$ を示せば十分である。そこで ${\rm dim}{\rm Ker}(1-T)<{\rm dim}{\rm Ker}(1-T^*)$ であると仮定して矛盾を導く。${\rm Ker}(1-T)$ のCONS $(e_1,\ldots,e_n)$と ${\rm Ker}(1-T^*)$ のCONS $(f_1,\ldots,f_m)$ $(n<m)$ を取り、
$$
V_1\colon {\rm Ker}(1-T)\ni \sum_{j=1}^{n}\alpha_je_j\mapsto \sum_{j=1}^{n}\alpha_jf_j\in {\rm Ker}(1-T^*)
$$
とおくと、$V_1$ は等長線型作用素であり、
$$
{\rm Ran}(V_1)\subsetneq {\rm Ker}(1-T^*)
$$
である。これに対し、
$$
V\colon \mathcal{H}={\rm Ker}(1-T)\oplus ({\rm Ker}(1-T))^{\perp}\ni v_1+v_2\mapsto V_1v_1\in \mathcal{H}
$$
とおくと、$V$ は部分等長作用素であり、
$$
{\rm Ker}(V)=({\rm Ker}(1-T))^{\perp},\quad
{\rm Ran}(V)={\rm Ran}(V_1)\subsetneq {\rm Ker}(1-T^*)=({\rm Ran}(1-T))^{\perp}\quad\quad(*)
$$
である。任意の $v\in {\rm Ker}(1-(T+V))$ に対し $(*)$ の右の式より、
$$
(1-T)v=Vv\in {\rm Ran}(1-T)\cap {\rm Ran}(V)\subset {\rm Ran}(1-T)\cap ({\rm Ran}(1-T))^{\perp}=\{0\}
$$
であるから、$(*)$ の左の式より、
$$
v\in {\rm Ker}(1-T)={\rm Ker}(V)={\rm Ker}(1-T)\cap ({\rm Ker}(1-T))^{\perp}=\{0\}
$$
である。よって、
$$
{\rm Ker}(1-(T+V))=\{0\}
$$
が成り立つ。$V$ は有限階作用素なので $T+V\in \mathbb{B}_0(\mathcal{H})$ であるから'''定理13.13'''より、
$$
\mathcal{H}={\rm Ran}(1-(T+V))={\rm Ran}(1-T)+{\rm Ran}(V)
$$
となる。しかし $(*)$ より、
$$
{\rm Ran}(1-T)+{\rm Ran}(V)\subsetneq {\rm Ran}(1-T)\oplus ({\rm Ran}(1-T))^{\perp}=\mathcal{H}
$$
であるから矛盾する。
{{end|proof|}}

=== 補題13.15（互いに異なる固有値に対する固有ベクトルの線形独立性）===
$\mathcal{H}$ をHilbert空間、$T$ を $\mathcal{H}$ 上の線形作用素とし、$\lambda_1,\ldots,\lambda_n\in \mathbb{C}$ を互いに異なる $T$ の固有値とする。そしてそれぞれの固有値に対する固有ベクトルを $v_j\in {\rm Ker}(\lambda_j-T)\backslash\{0\}$ $(j=1,\ldots,n)$ を取る。このとき $v_1,\ldots,v_n$ は線形独立である。
{{begin|proof}}
帰納法よりある $k\in\{1,\ldots,n-1\}$ に対し $v_1,\ldots,v_k$ が線形独立であると仮定して $v_1,\ldots,v_{k+1}$ も線形独立であることを示せばよい。そこで $\alpha_1,\ldots,\alpha_{k+1}\in \mathbb{C}$ が、
$$
\sum_{j=1}^{k+1}\alpha_jv_j=0\quad\quad(*)
$$
を満たすとする。$(*)$　に $T$ を作用させたものから $(*)$ に $\lambda_{k+1}$ を掛けたものを引けば、
$$
\sum_{j=1}^{k}\alpha_j(\lambda_j-\lambda_{k+1})v_j=0
$$
となる。よって $v_1,\ldots,v_k$ の線形独立性より $\alpha_j(\lambda_j-\lambda_{k+1})=0$ $(j=1,\ldots,k)$ であり、$\lambda_j\neq\lambda_{k+1}$ $(j=1,\ldots,k)$ であるから、$\alpha_1=\ldots=\alpha_{k}=0$ である。よって (*)より $\alpha_{k+1}v_{k+1}=0$ より $\alpha_{k+1}=0$ である。
ゆえに $v_1,\ldots,v_{k+1}$ は線形独立である。
{{end|proof|}}

=== 定義13.16（固有値の重複度）===
$T$ をHilbert空間上の線形作用素、$\lambda\in\mathbb{C}$ を $T$ の固有値とする。このとき ${\rm dim}{\rm Ker}(\lambda-T)$ を $T$ の固有値 $\lambda$ の重複度と言う。

=== 定理13.17（コンパクト作用素のスペクトル特性）===
$\mathcal{H}$ をHilbert空間、$T\in \mathbb{B}_0(\mathcal{H})$ とする。このとき、
*$(1)$　任意の $\lambda\in\sigma(T)\backslash \{0\}$ に対し $\lambda$ は $T$ の重複度有限の固有値であり、$\overline{\lambda}$ は $T^*$ の重複度有限の固有値である。そしてこれらの重複度は一致する。
*$(2)$　任意の $\lambda\in\sigma(T)\backslash \{0\}$ に対し $\lambda$ は $\sigma(T)$ の孤立点（$\{\lambda\}$ は $\sigma(T)$ の開集合）である。また $\sigma(T)$ は可算集合である。
*$(3)$　$T$ が正規作用素であるとすると、$T$ の固有ベクトルからなる $\mathcal{H}$ のCONSが存在する。また $T$ のスペクトル測度を $E^T\colon\mathcal{B}_{\sigma(T)}\rightarrow\mathbb{P}(\mathcal{H})$ とし、各 $\lambda\in\sigma(T)\backslash \{0\}$ に対し、${\rm Ker}(\lambda-T)$ のCONSを $\{e_{\lambda,1},\ldots,e_{\lambda,n(\lambda)}\}$ とすると、
$$
1=\sum_{\lambda\in\sigma(T)}E^T(\{\lambda\}),
$$
$$
E^T(\{\lambda\})=\sum_{j=1}^{n(\lambda)}e_{\lambda,j}\odot e_{\lambda,j}\quad(\forall \lambda\in \sigma(T)\backslash \{0\}),
$$
$$
T=\sum_{\lambda\in \sigma(T)\backslash\{0\}}\lambda\sum_{j=1}^{n(\lambda)}e_{\lambda,j}\odot e_{\lambda,j}
$$
が成り立つ。（ただし $\odot$ はSchatten形式を表す。）
{{begin|proof}}
*$(1)$　任意の $\lambda\in\sigma(T)\backslash \{0\}$ に対し $\lambda^{-1}T\in \mathbb{B}_0(\mathcal{H})$ であり、
$$
{\rm Ran}(\lambda-T)={\rm Ran}(1-\lambda^{-1}T),\quad {\rm Ker}(\lambda-T)={\rm Ker}(1-\lambda^{-1}T)
$$
である。$\lambda\in \sigma(T)$ より $\lambda-T:{\cal H}\rightarrow {\cal H}$ は全単射ではないから、'''定理13.13'''より ${\rm Ker}(\lambda-T)\neq \{0\}$ である。よって $\lambda$ は $T$ の固有値であり、'''命題13.15'''より、
$$
0<{\rm dim}{\rm Ker}(\lambda-T)={\rm dim}{\rm Ker}(1-\lambda^{-1}T)={\rm dim}{\rm Ker}(1-\overline{\lambda}^{-1}T^*)={\rm dim}{\rm Ker}(\overline{\lambda}-T^*)<\infty
$$
であるから、$\overline{\lambda}$ は $T^*$ の固有値である。そして $T$ の固有値 $\lambda$ の重複度と $T^*$ の固有値 $\overline{\lambda}$ の重複度は一致する。
*$(2)$　任意の $\lambda\in \sigma(T)\backslash\{0\}$ を取り、$\lambda$ が $\sigma(T)$ の孤立点ではないと仮定して矛盾を導く。このとき任意の $\epsilon\in (0,\infty)$ に対し $\{\lambda\}\neq B(\lambda,\epsilon)\cap \sigma(T)$ であるから、$\sigma(T)$ の点列 $(\lambda_n)_{n\in\mathbb{N}}$ で、
$$
0<\lvert \lambda-\lambda_{n+1}\rvert<\lvert\lambda-\lambda_n\rvert<\lvert\lambda\rvert,\frac{1}{n}\quad(\forall n\in\mathbb{N})\quad\quad(*)
$$
を満たすものが取れる。$(*)$ と $(1)$ より各 $n\in\mathbb{N}$ に対し $\lambda_n$ は $T$ の固有値であるから固有ベクトル $v_n\in {\rm Ker}(\lambda-T)\backslash\{0\}$ が取れる。また $(*)$ より $(\lambda_n)_{n\in\mathbb{N}}$ は互いに異なるので'''補題13.15'''より $(v_n)_{n\in\mathbb{N}}$ は線形独立であり、Schmidtの直交化より ONS $(e_n)_{n\in\mathbb{N}}$ で、
$$
{\rm span}\{v_1,\ldots,v_n\}={\rm span}\{e_1,\ldots,e_n\}\quad(\forall n\in\mathbb{N})
$$
を満たすものが取れる。このとき、
$$
\lambda_ne_n-Te_n\in {\rm span}\{v_1,\ldots,v_{n-1}\}={\rm span}\{e_1,\ldots,e_{n-1}\}\quad(\forall n\geq 2)
$$
であるから $\lambda_ne_n-Te_n$ と $\lambda_n e_n$ は互いに直交する。よって、
$$
\lVert Te_n\rVert^2=\lVert \lambda_ne_n-(\lambda_ne_n-Te_n)\rVert^2=\lvert\lambda_n\rvert^2+\lVert \lambda_ne_n-Te_n\rvert^2\geq\lvert\lambda_n\rvert^2\quad(\forall n\in\mathbb{N})\quad\quad(**)
$$
となる。ここで'''補題13.12'''と'''定理13.10'''より $\lim_{n\rightarrow\infty}\lVert Te_n\rVert=0$ であるから $(**)$ より $\lim_{n\rightarrow\infty}\lambda_n=0$ となる。しかし $(*)$ より $\lim_{n\rightarrow\infty}\lambda_n=\lambda$ であるから、$\lambda\neq0$ であることに矛盾する。よって任意の $\lambda\in\sigma(T)\backslash \{0\}$ に対し $\lambda$ は $\sigma(T)$ の孤立点である。$\{\{\lambda\}\}_{\lambda\in\sigma(T)\backslash\{0\}}$ は $\sigma(T)\backslash \{0\}$ の開被覆であり、$\sigma(T)\backslash \{0\}$ はLindelöfであるから可算部分開被覆が取れる。よって $\sigma(T)\backslash\{0\}$ は可算集合であり、したがって $\sigma(T)$ も可算集合である。
*$(3)$　$(2)$ より $\sigma(T)$ は可算集合であるから、
$$
1=E^T(\sigma(T))=\sum_{\lambda\in\sigma(T)}E^T(\{\lambda\})
$$
である。'''命題8.7'''の $(3)$ より、
$$
{\rm Ran}E^T(\{\lambda\})={\rm Ker}(\lambda-T)\quad(\forall \lambda\in\sigma(T))\quad\quad(***)
$$
であるから、'''命題13.7'''より、
$$
E^T(\{\lambda\})=\sum_{j=1}^{n(\lambda)}e_{\lambda,j}\odot e_{\lambda,j}\quad(\forall \lambda\in\sigma(T)\backslash \{0\})
$$
である。よって、
$$
1=E^T(\{0\})+\sum_{\lambda\in\sigma(T)\backslash \{0\}}E^T(\{\lambda\})
=E^T(\{0\})+\sum_{\lambda\in\sigma(T)\backslash\{0\}}\sum_{j=1}^{n(\lambda)}e_{\lambda,j}\odot e_{\lambda,j}\quad\quad(****)
$$
が成り立ち、
$$
T=TE^T(\{0\})+\sum_{\lambda\in\sigma(T)\backslash \{0\}}TE^T(\{\lambda\})=\sum_{\lambda\in\sigma(T)\backslash \{0\}}TE^T(\{\lambda\})
=\sum_{\lambda\in\sigma(T)}\lambda\sum_{j=1}^{n(\lambda)}e_{\lambda,j}\odot e_{\lambda,j}
$$
が成り立つ。$E^T(\{0\})=0$ の場合、$(****)$ より、
$$
1=\sum_{\lambda\in\sigma(T)\backslash \{0\}}\sum_{j=1}^{n(\lambda)}e_{\lambda,j}\odot e_{\lambda,j}
$$
であるから、$\{e_{\lambda,j}:\lambda\in\sigma(T)\backslash \{0\},j=1,\ldots,n(\lambda)\}$ は $\mathcal{H}$ のCONSである。また $E^T(\{0\})\neq0$ の場合、$(***)$ より $0$ は $T$ の固有値であり、$\{e_{0,j}:j\in J_0\}$ を固有空間 ${\rm Ran}E^T(\{0\})={\rm Ker}(T)$ のCONSとすると、'''命題13.7'''より、
$$
E^T(\{0\})=\sum_{j\in J_0}e_{0,j}\odot e_{0,j}
$$
であるから、$(****)$ より、
$$
1=\sum_{j\in J_0}e_{0,j}\odot e_{0,j}+\sum_{\lambda\in\sigma(T)\backslash \{0\}}\sum_{j=1}^{n(\lambda)}e_{\lambda,j}\odot e_{\lambda,j}
$$
である。よって $\{e_{0,j}:j\in J_0\}\cup\{e_{\lambda,j}:\lambda\in\sigma(T)\backslash\{0\},j=1,\ldots,n(\lambda)\}$ は $\mathcal{H}$ のCONSである。よって $T$ の固有ベクトルからなるCONSが取れる。
{{end|proof|}}

== 14. 自己共役作用素の離散スペクトルと真性スペクトル、min-max原理、Reyleigh-Ritzの原理 ==

=== 定義14.1（自己共役作用素の離散固有値、離散スペクトル、真性スペクトル）===
$T$ をHilbert空間 $\mathcal{H}$ 上の自己共役作用素とする。$\lambda\in \sigma(T)$ が $\sigma(T)$ の孤立点（'''命題8.7'''の $(6)$ より $T$ の固有値）であり、重複度が有限、すなわち、
$$
{\rm dim}{\rm Ker}(\lambda-T)={\rm dim}{\rm Ran}E^T(\{\lambda\})<\infty
$$
であるとき、$\lambda$ を $T$ の離散固有値と言う。そして $T$ の離散固有値全体を、
$$
\sigma_{\rm d}(T)\colon=\{\lambda\in \sigma(T):\text{$\lambda$ は $T$ の離散固有値}\}
$$
と表し、これを $T$ の離散スペクトルと言う。また、$\sigma(T)$ における $T$ の離散スペクトルの補集合
$$
\sigma_{\rm ess}(T)\colon=\sigma(T)\backslash \sigma_{\rm d}(T)=\{\lambda\in\sigma(T):\text{$\lambda$ は $\sigma(T)$ の非孤立点であるか、重複度無限の孤立点}\}
$$
と表し、これを $T$ の真性スペクトルと言う。

=== 定理14.2（自己共役作用素の真性スペクトルの元の特徴付け）===
$T$ をHilbert空間 $\mathcal{H}$ 上の自己共役作用素とし、$E^T\colon\mathcal{B}_{\sigma(T)}\rightarrow \mathbb{P}(\mathcal{H})$ を $T$ のスペクトル測度とする。このとき $\lambda\in\sigma(T)$ に対し次は互いに同値である。
*$(1)$　$\lambda\in \sigma_{\rm ess}(T)$.
*$(2)$　$D(T)$ の単位ベクトルの列 $(u_n)_{n\in\mathbb{N}}$ で $\lim_{n\rightarrow\infty}\lVert (\lambda-T)u_n\rVert=0$ かつ $\mathcal{H}$ の弱位相で $\lim_{n\rightarrow\infty}u_n=0$ を満たすものが存在する。
*$(3)$　$\lambda$ を含む $\sigma(T)$ の任意の開集合 $U$ に対し ${\rm dim}{\rm Ran}E^T(U)=\infty$.
{{begin|proof}}
任意の $t\in \sigma(T)$ と $\delta\in (0,\infty)$ に対し $\sigma(T)$ における中心 $t$、半径 $\delta$ の開球を、
$$
B_{\sigma(T)}(t,\delta)=\{s\in \sigma(T):\lvert s-t\rvert<\delta\}
$$
と表す。$(1)\Rightarrow(2)$ を示す。$(1)$ が成り立つとする。もし $\lambda$ が $\sigma(T)$ の孤立点ならば ${\rm dim}{\rm Ker}(\lambda-T)=\infty$ であるので ${\rm Ker}(\lambda-T)$ のONS $(e_n)_{n\in \mathbb{N}}$ が取れる。このとき'''補題13.12'''より $\mathcal{H}$ の弱位相で $\lim_{n\rightarrow\infty}e_n=0$ であり、$(\lambda-T)e_n=0$ $(\forall n\in\mathbb{N})$ であるから $(2)$ が成り立つ。$\lambda$ が $\sigma(T)$ の孤立点ではないとすると、$\sigma(T)$ の点列 $(\lambda_n)_{n\in\mathbb{N}}$ で、
$$
0<\lvert \lambda_{n+1}-\lambda\rvert<\frac{1}{3}\lvert\lambda_n-\lambda\rvert\quad(\forall n\in\mathbb{N})\quad\quad(*)
$$
なるものが取れる。
$$
\epsilon_{n}\colon=\frac{1}{3}\lvert\lambda_n-\lambda\rvert\quad(\forall n\in\mathbb{N})
$$
とおく。このとき、
$$
B_{\sigma(T)}(\lambda_n,\epsilon_n)\cap B_{\sigma(T)}(\lambda_m,\epsilon_m)=\emptyset\quad(n\neq m)\quad\quad(**)
$$
が成り立つ。実際、$n<m$ で $t\in B_{\sigma(T)}(\lambda_n,\epsilon_n)\cap B_{\sigma(T)}(\lambda_m,\epsilon_m)$ が存在するとすると、
$$
2\epsilon_n\geq \lvert t-\lambda_n\rvert+\lvert t-\lambda_m\rvert\geq \lvert\lambda_n-\lambda_m\rvert\geq \lvert\lambda_n-\lambda\rvert-\lvert \lambda_m-\lambda\rvert>\lvert\lambda_n-\lambda\rvert-\epsilon_n=2\epsilon_n
$$
となり、矛盾する。よって $(**)$ が成り立つ。'''命題8.7'''の $(7)$ より単位ベクトル
$$
e_n\in {\rm Ran}E^T(B_{\sigma(T)}(\lambda_n,\epsilon_n))\quad(\forall n\in\mathbb{N})
$$
が取れて、$(**)$ より $(e_n)_{n\in\mathbb{N}}$ はONSなので、'''補題13.12'''より $\mathcal{H}$ の弱位相で $\lim_{n\rightarrow\infty}e_n=0$ である。そして $(*)$ より、
$$
\begin{aligned}
\lVert (\lambda-T)e_n\rVert&\leq \lVert (\lambda-T)E^T(B_{\sigma(T)}(\lambda_n,\epsilon_n))\rVert\leq \sup_{t\in B_{\sigma(T)}(\lambda_n,\epsilon_n)}\lvert \lambda-t\rvert\leq \lvert \lambda-\lambda_n\rvert+\epsilon_n\\
&=\frac{4}{3}\lvert\lambda-\lambda_n\rvert<\frac{4}{3^n}\lvert\lambda-\lambda_1\rvert\rightarrow0\quad(n\rightarrow\infty)
\end{aligned}
$$
である。よって $(2)$ が成り立つ。 
$(2)\Rightarrow(3)$ を示す。$(2)$ が成り立つとし、$(2)$ の条件を満たす単位ベクトルの列 $(u_n)_{n\in\mathbb{N}}$ を取る。任意の $\epsilon\in (0,\infty)$ に対し、
$$
\begin{aligned}
\lVert (\lambda-T)u_n\rVert^2&=\int_{\sigma(T)}\lvert \lambda-t\rvert^2dE^T_{u_n,u_n}(t)\geq \int_{\sigma(T)\backslash B_{\sigma(T)}(\lambda,\epsilon)}\lvert\lambda-t\rvert^2dE^T_{u_n,u_n}(t)\\
&\geq \epsilon^2\lVert E^T(\sigma(T)\backslash B_{\sigma(T)}(\lambda,\epsilon))u_n\rVert^2\\
&=\epsilon^2\lVert u_n-E^T(B_{\sigma(T)}(\lambda,\epsilon))u_n\rVert^2\quad(\forall n\in\mathbb{N})
\end{aligned}
$$
であるから、$\lim_{n\rightarrow\infty}\lVert (\lambda-T)u_n\rVert=0$ より、
$$
\lim_{n\rightarrow\infty}\lVert u_n-E^T(B_{\sigma(T)}(\lambda,\epsilon))u_n\rVert=0\quad(\forall \epsilon\in (0,\infty))\quad\quad(***)
$$
である。もしある $\epsilon_0\in (0,\infty)$ に対し ${\rm dim}{\rm Ran}E^T(B_{\sigma(T)}(\lambda,\epsilon_0))<\infty$ が成り立つならば、$E^T(B_{\sigma(T)}(\lambda,\epsilon_0))$ は有限階作用素なので、$\mathcal{H}$ の弱位相で $\lim_{n\rightarrow\infty}e_n=0$ であることと、'''補題13.9'''より、
$$
\lim_{n\rightarrow\infty}\lVert E^T(B_{\sigma(T)}(\lambda,\epsilon_0))u_n\rVert=0
$$
が成り立つ。これを $(***)$ と合わせると、
$$
1=\lVert u_n\rVert\leq \lVert u_n-E^T(B_{\sigma(T)}(\lambda,\epsilon_0))u_n\rVert+\lVert E^T(B_{\sigma(T)}(\lambda,\epsilon_0))u_n\rVert\rightarrow0\quad(n\rightarrow\infty)
$$
となるので矛盾する。よって任意の $\epsilon\in (0,\infty)$ に対し ${\rm dim}{\rm Ran}E^T(B_{\sigma(T)}(\lambda,\epsilon))=\infty$
であるから $(3)$ が成り立つ。 
$(3)\Rightarrow(1)$ を示す。$(3)$ が成り立つとする。もし $(1)$ が成り立たないならば、$\lambda$ は $T$ の離散固有値であるから、$\lambda$ は $\sigma(T)$ の孤立点であり、
$$
{\rm dim}E^T(\{\lambda\})=\dim {\rm Ker}(\lambda-T)<\infty\quad\quad(****)
$$である。$\lambda$ は $\sigma(T)$ の孤立点なので、$\{\lambda\}$ は $\lambda$ を含む開集合であるから、$(****)$ は $(3)$ が成り立つことに矛盾する。よって $(1)$ が成り立つ。
{{end|proof|}}

=== 定義14.3（純粋に離散的なスペクトルを持つ自己共役作用素）===
$T$ をHilbert空間 $\mathcal{H}$ 上の自己共役作用素とする。$T$ のスペクトルが $T$ の離散スペクトル $\sigma_{\rm d}(T)$（'''定義14.1'''）と一致するとき、$T$ のスペクトルは純粋に離散的であると言う。

=== 命題14.4（純粋に離散的なスペクトルを持つ自己共役作用素の対角化）===
$T$ をHilbert空間 $\mathcal{H}$ 上の自己共役作用素で、純粋に離散的なスペクトルを持つとする。このとき $\sigma(T)$ は可算集合であり、各 $\lambda\in \sigma(T)=\sigma_{\rm d}(T)$ に対し ${\rm Ker}(\lambda-T)$ のCONSを $e_{\lambda,1},\ldots,e_{\lambda,n(\lambda)}$ とおけば、
$$
1=\sum_{\lambda\in \sigma(T)}\sum_{j=1}^{n(\lambda)}e_{\lambda,j}\odot e_{\lambda,j}
$$
（ただし $\odot$ はSchatten形式を表す）が成り立つ。
{{begin|proof}}
$\sigma(T)=\sigma_{\rm d}(T)$ は孤立点のみからなるLindelöf空間であるから可算集合である。よって $T$ のスペクトル測度 $E^T\colon\mathcal{B}_{\sigma(T)}\rightarrow\mathbb{P}(\mathcal{H})$ に対し、
$$
1=E^T(\sigma(T))=\sum_{\lambda\in\sigma(T)}E^T(\{\lambda\})
$$
が成り立つ。そして'''命題8.7'''の $(5)$ より ${\rm Ran}E^T(\{\lambda\})={\rm Ker}(\lambda-T)$ であるから、'''命題13.7'''より、
$$
E^T(\{\lambda\})=\sum_{j=1}^{n(\lambda)}e_{\lambda,j}\odot e_{\lambda,j}\quad(\forall \lambda\in \sigma(T))
$$
である。よって、
$$
1=\sum_{\lambda\in\sigma(T)}E^T(\{\lambda\})=\sum_{\lambda\in \sigma(T)}\sum_{j=1}^{n(\lambda)}e_{\lambda,j}\odot e_{\lambda,j},\quad
$$
が成り立つ。
{{end|proof|}}

=== 命題14.5（自己共役作用素が純粋に離散的なスペクトルを持つための十分条件）===
$T$ をHilbert空間 $\mathcal{H}$ 上の自己共役作用素とする。
*$(1)$　ある $\lambda_0\in \rho(T)$ に対し $(\lambda_0-T)^{-1}\in \mathbb{B}_0(\mathcal{H})$ ならば $T$ は純粋に離散的なスペクトルを持つ。
*$(2)$　ある $\alpha\in \mathbb{R}\backslash \{0\}$ に対し $e^{\alpha T}\in \mathbb{B}_0(\mathcal{H})$ ならば $T$ は純粋に離散的なスペクトルを持つ。
{{begin|proof}}
*$(1)$　$\lambda\in \sigma_{\rm ess}(T)$ が存在すると仮定して矛盾を導く。このとき'''定理14.2'''より $D(T)$ の単位ベクトルの列 $(u_n)_{n\in\mathbb{N}}$ で $\mathcal{H}$ の弱位相で $\lim_{n\rightarrow\infty}u_n=0$ であり、$\lim_{n\rightarrow\infty}\lVert (\lambda-T)u_n\rVert=0$ を満たすものが取れる。$(\lambda_0-T)^{-1}\in \mathbb{B}_0(\mathcal{H})$ であるから'''定理13.10'''の $(2)$ より、
$$
\lim_{n\rightarrow\infty}\lVert (\lambda_0-T)^{-1}u_n\rVert=0\quad\quad(*)
$$
である。ここで、
$$
(\lambda_0-T)u_n=(\lambda_0-\lambda)u_n+(\lambda-T)u_n\quad(\forall n\in\mathbb{N})
$$
であるから、
$$
u_n=(\lambda_0-\lambda)(\lambda_0-T)^{-1}u_n+(\lambda_0-T)^{-1}(\lambda-T)u_n\quad(\forall n\in\mathbb{N})
$$
である。よって $(*)$ より、
$$
1=\lVert u_n\rVert\leq \lvert\lambda_0-\lambda\rvert\lVert (\lambda_0-T)^{-1}u_n\rVert+\lVert (\lambda_0-T)^{-1}(\lambda-T)u_n\rVert\rightarrow0\quad(n\rightarrow\infty)
$$
となり矛盾する。ゆえに $\sigma_{\rm ess}(T)=\emptyset$　であるから $T$ は純粋に離散的なスペクトルを持つ。
*$(2)$　任意の $\lambda\in \sigma(T)$ に対し、'''定理8.7'''の $(8)$ より、
$$
e^{\alpha \lambda}\in \sigma(e^{\alpha T})\backslash \{0\}
$$
であり、$e^{\alpha T}\in \mathbb{B}_0(\mathcal{H})$ であるから、'''定理13.17'''の $(2)$ より $e^{\alpha\lambda}$ は $\sigma(e^{\alpha T})$ の孤立点である。よって $\sigma(T)\ni \lambda\mapsto e^{\alpha \lambda}\in \sigma(e^{\alpha T})\backslash \{0\}$ の連続性より、任意の $\lambda\in \sigma(T)$ に対し、十分小さい $\epsilon\in (0,\infty)$ を取れば、$\lambda'\in \sigma(T)$ について、
$$
\lvert\lambda'-\lambda\rvert<\epsilon\quad\Leftrightarrow\quad e^{\alpha\lambda'}=e^{\alpha\lambda}\quad\Leftrightarrow\quad \lambda'=\lambda
$$
である。よって任意の $\lambda\in \sigma(T)$ に対し $\lambda$ は $\sigma(T)$ の孤立点である。$E^T\colon\mathcal{B}_{\sigma(T)}\rightarrow\mathbb{P}(\mathcal{H})$ を $T$ のスペクトル測度とする。'''定理8.7'''の $(3)$ より、任意の $\lambda\in \sigma(T)$ に対し、
$$
{\rm Ker}(\lambda-T)={\rm Ran}E^T(\{\lambda\})={\rm Ran}E^T(\{t\in \sigma(T):e^{\alpha \lambda}-e^{\alpha t}=0\})={\rm Ker}(e^{\alpha \lambda}-e^{\alpha T})
$$
であるから、'''定理13.17'''の $(1)$ より、
$$
{\rm dim}{\rm Ker}(\lambda-T)={\rm dim}{\rm Ker}(e^{\alpha\lambda}-e^{\alpha T})<\infty
$$
である。よって $\lambda$ は $T$ の離散固有値なので $\sigma(T)=\sigma_{\rm d}(T)$ である。
{{end|proof|}}

=== 命題14.6（有限次元の場合のmin-max原理）===
$\mathcal{H}$ を有限次元Hilbert空間、$N={\rm dim}(\mathcal{H})$ とし、$T$ を $\mathcal{H}$ 上の自己共役作用素とする。このとき $T$ の固有値を重複度を込めて下から並べたものを $\lambda_1,\ldots,\lambda_N$（重複度だけ同じ値が続く）とおくと、
$$
\lambda_1=\inf\{(u\mid Tu):u\in \mathcal{H},\lVert u\rVert=1\},
$$
$$
\lambda_n=\sup_{v_1,\ldots,v_{n-1}\in \mathcal{H}}\inf\{(u\mid Tu):u\in \{v_1,\ldots,v_{n-1}\}^{\perp},\lVert u\rVert=1\}\quad(n=2,\ldots,N)
$$
が成り立つ。
{{begin|proof}}
$$
\mu_1(T)\colon=\inf\{(u\mid Tu):u\in \mathcal{H},\lVert u\rVert=1\},
$$
$$
\mu_n(T)\colon=\sup_{v_1,\ldots,v_{n-1}\in \mathcal{H}}\inf\{(u\mid Tu):u\in \{v_1,\ldots,v_{n-1}\}^{\perp},\lVert u\rVert=1\}\quad(n=2,\ldots,N)
$$
とおく。'''定理13.17'''より $T$ の固有ベクトルからなる $\mathcal{H}$ のCONS $(e_1,\ldots,e_n)$ で、
$$
Te_j=\lambda_je_j\quad(j=1,\ldots,N)
$$
なるものが取れる。$\lambda_1=(e_1\mid Te_1)$ であり、任意の単位ベクトル $u=\sum_{j=1}^{N}\alpha_je_j\in \mathcal{H}$ に対し、
$$
(u\mid Tu)=\sum_{j=1}^{N}\lambda_j\lvert\alpha_j\rvert^2\geq\lambda_1\sum_{j=1}^{N}\lvert\alpha_j\rvert^2=\lambda_1\lVert u\rVert^2=\lambda_1
$$
であるから $\lambda_1=\mu_1(T)$ が成り立つ。任意の $n\in \{2,\ldots,N\}$ を取る。任意の単位ベクトル $u=\sum_{j=n}^{N}\alpha_je_j\in\{e_1,\ldots,e_{n-1}\}^{\perp}$ に対し、
$$
(u\mid Tu)=\sum_{j=n}^{N}\lambda_j\lvert\alpha_j\rvert^2\geq\lambda_n\sum_{j=n}^{N}\lvert\alpha_j\rvert^2=\lambda_n\lVert u\rVert^2=\lambda_n
$$
であるから、
$$
\mu_n(T)\geq \inf\{(u\mid Tu):u\in \{e_1,\ldots,e_{n-1}\}^{\perp},\lVert u\rVert=1\}\geq\lambda_n
$$
である。また任意の $v_1,\ldots,v_{n-1}\in \mathcal{H}$ に対し、$v_1,\ldots,v_{n-1},e_{n+1},\ldots,e_N$ が張る部分空間は $N-1$ 次元以下であるから、単位ベクトル $u=\sum_{j=1}^{n-1}\alpha_je_j\in \{v_1,\ldots,v_{n-1},e_{n+1},\ldots,e_N\}^{\perp}$ が取れ、
$$
(u\mid Tu)=\sum_{j=1}^{n}\lambda_j\lvert\alpha_j\rvert^2\leq \lambda_n\sum_{j=1}^{n}\lvert\alpha_j\rvert^2=\lambda_n\lVert u\rVert^2=\lambda_n
$$
である。よって任意の $v_1,\ldots,v_{n-1}\in \mathcal{H}$ に対し $\inf\{(u\mid Tu):u\in \{v_1,\ldots,v_{n-1}\}^{\perp},\lVert u\rVert=1\}\leq \lambda_n$ であるから $\mu_n(T)\leq \lambda_n$、よって $\lambda_n=\mu_n(T)$ である。
{{end|proof|}}

=== 定義14.7（下に有界な対称作用素）===
$T$ をHilbert空間上の対称作用素とする。
$$
\inf\{(u\mid Tu):u\in D(T),\lVert u\rVert=1\}>-\infty
$$
であるとき、$T$ は下に有界であると言う。

=== 命題14.8（下に有界な自己共役作用素のスペクトルによる特徴付け）===
$T$ をHilbert空間 $\mathcal{H}$ 上の自己共役作用素とする。このとき次は互いに同値である。
*$(1)$　$T$ は下に有界である。
*$(2)$　$T$ のスペクトル $\sigma(T)\subset \mathbb{R}$ は下に有界である。
また $(1),(2)$ が成り立つとき、
$$
\inf\{(u\mid Tu):u\in D(T),\lVert u\rVert=1\}={\rm min}(\sigma(T))\quad\quad(*)
$$
が成り立つ。
{{begin|proof}}
$E^T\colon\mathcal{B}_{\sigma(T)}\rightarrow\mathbb{P}(\mathcal{H})$ を $T$ のスペクトル測度とする。$(2)$ が成り立つならば $\sigma(T)\subset \mathbb{R}$ は閉集合であることから最小値 ${\rm min}(\sigma(T))\in\mathbb{R}$ が存在し、任意の単位ベクトル $u\in D(T)$ に対し、
$$
(u\mid Tu)=\int_{\sigma(T)}\lambda dE^T_{u,u}(\lambda)\geq {\rm min}(\sigma(T))E^T_{u,u}(\sigma(T))={\rm min}(\sigma(T))\lVert E^T(\sigma(T))u\rVert^2={\rm min}(\sigma(T))
$$
である。よって $(1)$ が成り立ち、
$$
\inf\{(u\mid Tu):u\in D(T),\lVert u\rVert=1\}\geq {\rm min}(\sigma(T))
$$
である。逆に $(1)$ が成り立つとし、$\lambda_0\colon=\inf\{(u\mid Tu):u\in D(T),\lVert u\rVert=1\}$ とおけば、任意の単位ベクトル $u\in D(T)$ に対し、
$$
(u\mid (T-\lambda_0)u)=(u\mid Tu)-\lambda_0\geq 0
$$
であるから'''命題8.10'''より $T-\lambda_0$ は非負自己共役作用素である。よって、
$$
\{\lambda-\lambda_0:\lambda\in \sigma(T)\}=\sigma(T-\lambda_0)\subset [0,\infty)
$$
であるから $(2)$ が成り立ち、
$$
{\rm min}(\sigma(T))\geq\lambda_0=\inf\{(u\mid Tu):u\in D(T),\lVert u\rVert=1\}
$$
である。ゆえに $(1)\Leftrightarrow(2)$ であり、$(1),(2)$ が成り立つとき $(*)$ が成り立つ。
{{end|proof|}}

=== 補題14.9 ===
$\mathcal{H}$ をHilbert空間、$D\subset \mathcal{H}$ を部分空間とし、$n\in \mathbb{N}$ に対し ${\rm dim}(D)>n$ であるとする。このとき $n$ 個の任意の $v_1,\ldots,v_n\in \mathcal{H}$ に対し、
$$
D\cap\{v_1,\ldots,v_n\}^{\perp}\neq \{0\}\quad\quad(*)
$$
が成り立つ。
{{begin|proof}}
$\mathcal{H}$ の有限次元部分空間 ${\rm span}\{v_1,\ldots,v_n\}$ の上への射影作用素を $P\in \mathbb{P}(\mathcal{H})$ とおく。もし、
$$
D\ni v\mapsto Pv\in {\rm span}\{v_1,\ldots,v_n\}\quad\quad(**)
$$
が単射ならば ${\rm dim}(D)\leq n$ となるので $(**)$ は単射ではない。よって $v\in D\backslash \{0\}$ で $Pv=0$ を満たすものが存在する。$Pv=0$ は $v\in \{v_1,\ldots,v_n\}^{\perp}$ であることと同値であるので $(*)$ が成り立つ。
{{end|proof|}}

=== 定義14.10（下に有界な自己共役作用素の特性レベル）===
$T$ を無限次元Hilbert空間 $\mathcal{H}$ 上の下に有界な自己共役作用素とする。
$$
\mu_1(T)\colon=\inf\{(u\mid Tu):u\in D(T),\lVert u\rVert=1\}={\rm min}(\sigma(T)),
$$
（'''命題14.8'''を参照）とおき、$2$ 以上の任意の $n\in\mathbb{N}$ に対し、
$$
\mu_n(T)\colon=\sup_{v_1,\ldots,v_{n-1}\in \mathcal{H}}\inf\{(u\mid Tu):u\in D(T)\cap \{v_1,\ldots,v_{n-1}\}^{\perp},\lVert u\rVert=1\}
$$
とおく。（$D(T)\subset {\cal H}$ は稠密であるから${\rm dim}(D(T))=\infty$ である。よって'''補題14.9'''より任意の $n\in \mathbb{N}$ と任意の $v_1,\ldots,v_{n-1}\in {\cal H}$ に対し$D(T)\cap \{v_1,\ldots,v_{n-1}\}^{\perp}\neq \{0\}$ である。）各 $n\in \mathbb{N}$ に対し $\mu_n(T)$ を $T$ の $n$ 番目の特性レベルと言う。

=== 補題14.11 ===
$T$ を無限次元Hilbert空間 $\mathcal{H}$ 上の下に有界な自己共役作用素、$(\mu_n(T))_{n\in\mathbb{N}}$ を $T$ の特性レベル、$E^T\colon\mathcal{B}_{\sigma(T)}\rightarrow\mathbb{P}(\mathcal{H})$ を $T$ のスペクトル測度とする。このとき、
*$(1)$　$(\mu_n(T))_{n\in\mathbb{N}}$ は単調増加列である。
*$(2)$　$\alpha\in\mathbb{R}$ と $n\in \mathbb{N}$ が $\alpha<\mu_n(T)$ を満たすならば、
$$
{\rm dim}{\rm Ran}E^T((-\infty,\alpha]\cap\sigma(T))\leq n-1
$$
が成り立つ。
*$(3)$　$\alpha\in\mathbb{R}$ と $n\in \mathbb{N}$ が $\mu_n(T)<\alpha$ を満たすならば、
$$
{\rm dim}{\rm Ran}E^T((-\infty,\alpha]\cap\sigma(T))\geq n
$$
が成り立つ。
*$(4)$　任意の $n\in\mathbb{N}$ に対し $\mu_n(T)<\infty$ である。
*$(5)$　任意の $n\in\mathbb{N}$ に対し $\mu_n(T)\in \sigma(T)$ である。
{{begin|proof}}
*$(1)$　
$$
\mu_1(T)=\inf\{(u\mid Tu):u\in D(T)\cap \{0\}^{\perp},\lVert u\rVert=1\}\leq \mu_2(T)
$$
であり、$2$ 以上の任意の自然数 $n$ と任意の $v_1,\ldots,v_{n-1}\in {\cal H}$ に対し、
$$
\begin{aligned}
&\inf\{(u\mid Tu): u\in D(T)\cap \{v_1,\ldots,v_{n-1}\}^{\perp},\lVert u\rVert=1\}\\
&=\inf\{(u\mid Tu):u\in D(T)\cap \{v_1,\ldots,v_{n-1},0\}^{\perp},\lVert u\rVert=1\}\leq \mu_{n+1}(T)
\end{aligned}
$$
であるから $\mu_n(T)\leq \mu_{n+1}(T)$ である。
*$(2)$　対偶を示す。もし、
$$
{\rm dim}{\rm Ran}E^T((-\infty,\alpha]\cap \sigma(T))> n-1
$$
ならば、任意の $v_1,\ldots,v_{n-1}\in \mathcal{H}$ に対し '''補題14.9'''より単位ベクトル
$$
u_0\in {\rm Ran}E^T((-\infty,\alpha]\cap \sigma(T))\cap \{v_1,\ldots,v_{n-1}\}^{\perp}
$$
が取れる。$(-\infty,\alpha]\cap \sigma(T)$ は有界であるから $u_0\in D(T)\cap \{v_1,\ldots,v_{n-1}\}^{\perp}$ であり、
$$
\inf\{(u\mid Tu):u\in D(T)\cap \{v_1,\ldots,v_{n-1}\}^{\perp}\}\leq (u_0\mid Tu_0)=\int_{(-\infty,\alpha]\cap\sigma(T)}\lambda dE^T_{u_0,u_0}(\lambda)\leq\alpha
$$
である。$v_1,\ldots,v_{n-1}\in \mathcal{H}$ は任意であるので $\mu_n(T)\leq \alpha$ である。よって対偶が成り立つ。
*$(3)$　対偶を示す。もし、
$$
{\rm dim}{\rm Ran}E^T((-\infty,\alpha]\cap \sigma(T))<n
$$
ならば、ある $v_1,\ldots,v_{n-1}\in \mathcal{H}$ に対し、
$$
{\rm Ran}E^T((-\infty,\alpha]\cap \sigma(T))={\rm span}\{v_1,\ldots,v_{n-1}\}
$$
と表せる。このとき、
$$
\{v_1,\ldots,v_{n-1}\}^{\perp}={\rm Ran}E^T((\alpha,\infty)\cap \sigma(T))
$$
であるから、任意の単位ベクトル
$$
u\in D(T)\cap\{v_1,\ldots,v_{n-1}\}^{\perp}=D(T)\cap {\rm Ran}E^T((\alpha,\infty)\cap \sigma(T))
$$
に対し、
$$
(u\mid Tu)=\int_{(\alpha,\infty)\cap\sigma(T)}\lambda dE^T_{u,u}(\lambda)\geq \alpha
$$
である。よって $\mu_n(T)\geq \alpha$ であるので対偶が成り立つ。
*$(4)$　背理法で示す。もしある $n\in \mathbb{N}$ に対し $\mu_n(T)=\infty$ であるならば、任意の $m\in \mathbb{N}$ に対し $m<\mu_n(T)$ であるから、$(2)$ より、
$$
{\rm dim}{\rm Ran}E^T((-\infty,m]\cap \sigma(T))\leq n-1\quad(\forall m\in\mathbb{N})
$$
である。これより十分大きい $m_0\in\mathbb{N}$ を取れば、
$$
{\rm Ran}E^T((-\infty,m]\cap \sigma(T))={\rm Ran}E^T((-\infty,m_0]\cap \sigma(T))\quad(\forall m\geq m_0)
$$
が成り立つので、
$$
E^T((-\infty,m]\cap \sigma(T))=E^T((-\infty,m_0]\cap \sigma(T))\quad(\forall m\geq m_0)
$$
が成り立つ。よって、
$$
1=E^T(\sigma(T))={\rm SOT-}\lim_{m\rightarrow\infty}E^T((-\infty,m]\cap \sigma(T))=E^T((-\infty,m_0]\cap \sigma(T))
$$
であるから、
$$
{\rm Ran}E^T((-\infty,m_0]\cap \sigma(T))=\mathcal{H}
$$
を得るが、左辺は有限次元で右辺は無限次元であるので矛盾する。よって任意の $n\in \mathbb{N}$ に対し $\mu_n(T)<\infty$ である。
*$(5)$　任意の $n\in \mathbb{N}$ と任意の正数 $\epsilon\in (0,\infty)$ を取る。$(4)$ より $\mu_n(T)-\epsilon<\mu_n(T)<\mu_n(T)+\epsilon$ であるから $(2)$ より、
$$
{\rm dim}{\rm Ran}E^T((-\infty,\mu_n(T)-\epsilon]\cap \sigma(T))\leq n-1,
$$
$(3)$ より、
$$
{\rm dim}{\rm Ran}E^T((-\infty,\mu_n(T)+\epsilon)\cap \sigma(T))\geq n
$$
である。よって、
$$
\begin{aligned}
&{\rm dim}{\rm Ran}E^T((\mu_n(T)-\epsilon,\mu_n(T)+\epsilon)\cap \sigma(T))\\
&={\rm dim}{\rm Ran}E^T((-\infty,\mu_n(T)+\epsilon)\cap \sigma(T))
-{\rm dim}{\rm Ran}E^T((-\infty,\mu_n(T)-\epsilon]\cap \sigma(T))\\
&\geq n-(n-1)=1
\end{aligned}
$$
であるから、
$$
E^T((\mu_n(T)-\epsilon,\mu_n(T)+\epsilon)\cap \sigma(T))>0\quad(\forall n\in\mathbb{N},\forall \epsilon\in (0,\infty)),
$$
したがって、
$$\mu_n(T)\in {\rm ess.Ran}_{E^T}({\rm id})=\sigma(T)\quad(\forall n\in\mathbb{N})
$$
（'''命題8.7'''の $(7)$ を参照）である。
{{end|proof|}}

=== 定理14.12（min-max原理）===
$\mathcal{H}$ を無限次元Hilbert空間、$T$ を $\mathcal{H}$ 上の下に有界な自己共役作用素、$(\mu_n(T))_{n\in \mathbb{N}}$ を $T$ の特性レベルとする。そして、
$$
s\colon=\sup_{n\in \mathbb{N}}\mu_n(T)
$$
とおく。このとき、
*$(1)$　
$$
\{\lambda\in \sigma(T):\lambda<s\}=\{\lambda\in \sigma_{\rm d}(T):\lambda<s\}=\{\mu_n(T):\mu_n(T)<s\}
$$
が成り立つ。
*$(2)$　$s=\infty$ ならば $\sigma(T)=\sigma_{\rm d}(T)$（$T$ のスペクトルは純粋に離散的）であり、$s<\infty$ ならば、$s={\rm min}(\sigma_{\rm ess}(T))$ である。
*$(3)$　もし任意の $n\in \mathbb{N}$ に対し $\mu_n(T)<s$ ならば、$(\mu_n(T))_{n\in\mathbb{N}}$ は $s$ より小さい $T$ の離散固有値を重複度を込めて下から並べたもの（重複度だけ同じ値が続く）である。また $s$ より小さい $T$ の離散固有値は無限個存在する。
{{begin|proof}}
*$(1)$　$\lambda\in \sigma(T)$ が $\lambda<s$ を満たすならば、ある $n\in \mathbb{N}$ と $\epsilon\in (0,\infty)$ に対し、
$$
\lambda<\lambda+\epsilon<\mu_n(T)
$$
となる。よって'''補題14.11'''の $(2)$ より、
$$
{\rm dim}{\rm Ran}E^T((\lambda-\epsilon,\lambda+\epsilon)\cap \sigma(T))\leq n-1<\infty
$$
であるから、'''定理14.2'''より $\lambda\in\sigma_{\rm d}(T)$ である。よって、
$$
\{\lambda\in\sigma(T):\lambda<s\}=\{\lambda\in \sigma_{\rm d}(T):\lambda<s\}\quad\quad(*)
$$
が成り立つ。$\lambda<s$ なる任意の $\lambda\in \sigma_{\rm d}(T)$ を取る。'''命題14.8'''より、
$$
\mu_1(T)={\rm min}(\sigma(T))\leq \lambda<s=\sup_{n\in\mathbb{N}}\mu_n(T)
$$
であるから、
$$
\mu_{n_0}(T)\leq \lambda<\mu_{n_0+1}(T)\quad\quad(**)
$$
を満たす $n_0\in\mathbb{N}$ が存在する。'''補題14.11'''の $(5)$ と $(*)$ より $\mu_{n_0}(T)\in \sigma_{\rm d}(T)$ であるから $\mu_{n_0}(T)$ は $\sigma(T)$ の孤立点である。よってある $\delta\in (0,\infty)$ が存在し、
$$
(-\infty,\mu_{n_0}(T)]\cap\sigma(T)=(-\infty,\mu_{n_0}(T)+\delta)\cap \sigma(T)
$$
となるので、'''補題14.11'''の $(3)$ より、
$$
\begin{aligned}
n_0&\leq {\rm dim}{\rm Ran}E^T((-\infty,\mu_{n_0}(T)+\delta)\cap \sigma(T))\\
&={\rm dim}{\rm Ran}E^T((-\infty,\mu_{n_0}(T)]\cap \sigma(T))
\end{aligned}
$$
であり、$(**)$ と'''補題14.11'''の $(2)$ より、
$$
{\rm dim}{\rm Ran}E^T((-\infty,\lambda]\cap \sigma(T))\leq n_0
$$
であるから、
$$
n_0\leq {\rm dim}{\rm Ran}E^T((-\infty,\mu_{n_0}(T)]\cap \sigma(T))
\leq {\rm dim}{\rm Ran}E^T((-\infty,\lambda]\cap \sigma(T))\leq n_0
$$
である。よって、
$$
{\rm Ran}E^T((-\infty,\mu_{n_0}(T)]\cap \sigma(T))={\rm Ran}E^T((-\infty,\lambda]\cap \sigma(T))
$$
であるから、
$$
E^T((\mu_{n_0}(T),\lambda]\cap \sigma(T))=0
$$
である。もし $\mu_{n_0}(T)<\lambda$ ならば $\lambda\in (\mu_{n_0}(T),\lambda]\cap \sigma(T)$ であり、$\lambda\in \sigma_{\rm d}(T)$ であるから、
$$
0<E^T(\{\lambda\})\leq E^T((\mu_{n_0}(T),\lambda]\cap \sigma(T))=0
$$
となり矛盾する。よって $\mu_{n_0}(T)=\lambda$ である。これより、
$$
\{\lambda\in \sigma_{\rm d}(T):\lambda<s\}\subset\{\mu_n(T):\mu_n(T)<s\}
$$
が成り立つ。ゆえに'''補題14.11'''の $(5)$ と $(*)$ より、
$$
\{\lambda\in \sigma(T):\lambda<s\}=\{\lambda\in \sigma_{\rm d}(T):\lambda<s\}=\{\mu_n(T):\mu_n(T)<s\}
$$
が成り立つ。
*$(2)$　$s=\infty$ ならば、$(1)$ より $\sigma(T)=\sigma_{\rm d}(T)$ である。$s<\infty$ であるとする。$\sigma(T)$ が閉であることと'''補題14.11'''の $(5)$ より $s=\sup_{n\in\mathbb{N}}\mu_n(T)\in \sigma(T)$ である。任意の $\epsilon\in(0,\infty)$ を取る。
$$
\mu_n(T)<s+\epsilon\quad(\forall n\in\mathbb{N})
$$
であるから、'''補題14.11'''の $(3)$ より、
$$
{\rm dim}{\rm Ran}E^T((-\infty,s+\epsilon)\cap \sigma(T))=\infty
$$
である。また $s-\epsilon<\mu_{n_0}(T)$ なる $n_0\in \mathbb{N}$ が存在するので'''補題14.11'''の $(2)$ より、
$$
{\rm dim}{\rm Ran}E^T((-\infty,s-\epsilon]\cap \sigma(T))\leq n_0-1<\infty
$$
である。よって、
$$
{\rm dim}{\rm Ran}E^T((s-\epsilon,s+\epsilon)\cap \sigma(T))=\infty\quad(\forall \epsilon\in(0,\infty))
$$
であるから、'''定理14.2'''より $s\in \sigma_{\rm ess}(T)$ である。$(1)$ より、
$$
\{\lambda\in \sigma_{\rm ess}(T):\lambda<s\}\subset \sigma_{\rm ess}(T)\cap \sigma_{\rm d}(T)=\emptyset
$$
であるから $s={\rm min}(\sigma_{\rm ess}(T))$ である。
*$(3)$　'''補題14.11'''の $(1)$ より $(\mu_n(T))_{n\in \mathbb{N}}$ は単調増加列であり $\mu_n(T)<s$ $(\forall n\in\mathbb{N})$、$s=\sup_{n\in \mathbb{N}}\mu_n(T)$ であるから、任意の $n\in \mathbb{N}$ に対し、$n<k$、$\mu_{n}(T)<\mu_{k}(T)$ なる $k\in\mathbb{N}$ が取れる。そこで $k(1)=1$ とし、$k(n)\in \mathbb{N}$ が定まったとき、$k(n)<k$、$\mu_{k(n)}(T)<\mu_k(T)$ を満たす最小の $k\in \mathbb{N}$ を $k(n+1)$ と定義する。こうして$(\mu_n(T))_{n\in \mathbb{N}}$ の部分列 $(\mu_{k(n)}(T))_{n\in \mathbb{N}}$ を帰納的に定義する。このとき、
$$
\mu_{k(n)}(T)<\mu_{k(n+1)}(T)\quad(\forall n\in \mathbb{N}),\quad \{\mu_n(T):n\in \mathbb{N}\}=\{\mu_{k(n)}(T):n\in \mathbb{N}\}
$$
である。$(1)$ より、
$$
\{\lambda\in \sigma(T):\lambda<s\}=\{\lambda\in \sigma_{\rm d}(T):\lambda<s\}=\{\mu_n(T):n\in\mathbb{N}\}=\{\mu_{k(n)}(T):n\in\mathbb{N}\}
$$
であるから、$s$ より小さい離散固有値は無限個存在する。$(\mu_n(T))_{n\in\mathbb{N}}$ が $s$ より小さい $T$ の離散固有値を重複度を込めて下から並べたものであることを示すには、
$$
{\rm dim}{\rm Ran}E^T(\{\mu_{k(n)}(T)\})=k(n+1)-k(n)\quad(\forall n\in\mathbb{N})\quad\quad(****)
$$
が成り立つことを示せばよい。任意の $n\in \mathbb{N}$ を取る。
$$
\mu_{k(n)}(T)=\mu_{k(n+1)-1}(T)<\mu_{k(n+1)}(T)
$$
であることと、$\mu_{k(n)}(T)=\mu_{k(n+1)-1}(T)\in \sigma_{\rm d}(T)$ が $\sigma(T)$ の孤立点であることに注意して、'''補題14.11'''の $(2),(3)$ を用いれば、
$$
{\rm dim}{\rm Ran}E^T((-\infty,\mu_{k(n)}(T)]\cap \sigma(T))=k(n+1)-1
$$
であることが分かる。ここで、
$$
(-\infty,\mu_{k(n)}(T)]\cap \sigma(T)=\bigcup_{j=1}^{n}\{\mu_{k(j)}(T)\}
$$
であるから、
$$
E^T((-\infty,\mu_{k(n)}(T)]\cap \sigma(T))=\sum_{j=1}^{n}E^T(\{\mu_{k(j)}(T)\})
$$
なので、
$$
\sum_{j=1}^{n}{\rm dim}{\rm Ran}E^T(\{\mu_{k(j)}(T)\})={\rm dim}{\rm Ran}E^T((-\infty,\mu_{k(n)}(T)]\cap \sigma(T))=k(n+1)-1
$$
である。よって、
$$
{\rm dim}{\rm Ran}E^T(\{\mu_{k(1)}(T)\})=k(2)-1=k(2)-k(1)
$$
であり、任意の $n\geq 2$ に対し、
$$
\begin{aligned}
&{\rm dim}{\rm Ran}E^T(\{\mu_{k(n)}(T)\})\\
&=\sum_{j=1}^{n}{\rm dim}E^T(\{\mu_{k(j)}(T)\})-\sum_{j=1}^{n-1}{\rm dim}{\rm Ran}E^T(\{\mu_{k(j)}(T)\})\\
&=(k(n+1)-1)-(k(n)-1)=k(n+1)-k(n)
\end{aligned}
$$
であるから、$(****)$ が成り立つ。
{{end|proof|}}

===命題14.13（Reyleigh-Ritzの原理）===
$\mathcal{H}$ を無限次元Hilbert空間、$T$ を $\mathcal{H}$ 上の下に有界な自己共役作用素、$(\mu_n(T))_{n\in\mathbb{N}}$ を $T$ の特性レベルとする。任意の $N\in \mathbb{N}$ と $D(T)$ の任意の $N$ 次元部分空間 $\mathcal{K}$ に対し、$\mathcal{K}$ の上への射影作用素を $P_{\mathcal{K}}\in \mathbb{B}(\mathcal{H})$ として、
$$
T_{\mathcal{K}}:\mathcal{K}\ni v\mapsto P_{\mathcal{K}}Tv\in \mathcal{K}
$$
なる $\mathcal{K}$ 上の自己共役作用素を定義する。そして $T_{\mathcal{K}}$ の固有値を重複度を込めて下から並べたものを $\lambda_1,\ldots,\lambda_N$（重複度の数だけ同じ値が続く）とする。このとき、
$$
\mu_n(T)\leq \lambda_n\quad(n=1,\ldots,N)
$$
が成り立つ。
{{begin|proof}}
'''命題14.6'''より、
$$
\begin{aligned}
\mu_1(T)&=\inf\{(u\mid Tu):u\in D(T),\lVert u\rVert=1\}\leq \inf\{(u\mid Tu):u\in \mathcal{K},\lVert u\rVert=1\}\\
&=\inf\{(u\mid T_{\mathcal{K}}u):u\in\mathcal{K},\lVert u\rVert=1\}=\lambda_1
\end{aligned}
$$
であり、任意の $n\in\{2,\ldots,N\}$、任意の $v_1,\ldots,v_{n-1}\in \mathcal{H}$ に対し、
$$
\begin{aligned}
&\inf\{(u\mid Tu):u\in D(T)\cap \{v_1,\ldots,v_{N-1}\}^{\perp},\lVert u\rVert=1\}\\
&\leq\inf\{(u\mid Tu):u\in \mathcal{K}\cap \{v_1,\ldots,v_{N-1}\}^{\perp},\lVert u\rVert=1\}\\
&=\inf\{(u\mid T_{\mathcal{K}}u):u\in \mathcal{K}\cap \{P_{\mathcal{K}}v_1,\ldots,P_{\mathcal{K}}v_{N-1}\}^{\perp},\lVert u\rVert=1\}\leq \lambda_n
\end{aligned}
$$
であるから、$\mu_{n}(T)\leq \lambda_n$ である。
{{end|proof|}}

== 15. 加藤-Rellichの定理、相対コンパクトな摂動に対する真性スペクトルの安定性 ==

=== 定理15.1（加藤-Rellichの定理1）===
$\mathcal{H}$ をHilbert空間、$T$ を $\mathcal{H}$ 上の自己共役作用素、$S$ を $\mathcal{H}$ 上の対称作用素とする。そして $D(T)\subset D(S)$ であり、ある $a\in [0,1)$ と $b\in [0,\infty)$ に対し、
$$
\lVert Sv\rVert\leq a\lVert Tv\rVert+b\lVert v\rVert\quad(\forall v\in D(T))\quad\quad(*)
$$
が成り立つとする。このとき次が成り立つ。
*$(1)$　$T+S\colon D(T)\rightarrow\mathcal{H}$ は $\mathcal{H}$ 上の自己共役作用素である。
*$(2)$　$T$ の芯は $T+S$ の芯でもある。
*$(3)$　$T$ が下に有界ならば $T+S$ も下に有界であり、$\gamma\colon ={\rm min}(\sigma(T))$ とおくと、
$$
{\rm min}(\sigma(T+S))\geq \gamma-{\rm max}\left(\frac{b}{1-a},a\lvert \gamma\rvert+b\right)
$$
が成り立つ。
{{begin|proof}}
*$(1)$　$E^T\colon \mathcal{B}_{\sigma(T)}\rightarrow\mathbb{P}(\mathcal{H})$ を $T$ のスペクトル測度とする。任意の $n\in \mathbb{N}$ に対し、
$$
\begin{aligned}
&\lVert T(T\pm in)^{-1}\rVert=\left\lVert \int_{\sigma(T)}\frac{t}{t\pm in}dE^T(t)\right\rVert
\leq\sup_{t\in \sigma(T)}\left\lvert \frac{t}{t\pm in}\right\rvert\leq 1,\\
&\lVert (T\pm in)^{-1}\rVert=\left\lVert \int_{\sigma(T)}\frac{1}{t\pm in}dE^T(t)\right\rVert
\leq\sup_{t\in \sigma(T)}\left\lvert \frac{1}{t\pm in}\right\rvert\leq \frac{1}{n}
\end{aligned}
$$
である。そこで、
$$
a+\frac{b}{n_0}<1
$$
を満たす $n_0\in \mathbb{N}$ を取れば $(*)$ より、
$$
\lVert S(T\pm in_0)^{-1}\rVert\leq a\lVert T(T\pm in_0)^{-1}\rVert+b\lVert (T\pm in_0)^{-1}\rVert
\leq a+\frac{b}{n_0}<1
$$
であるから、[[Banach環とC*-環のスペクトル理論]]の'''命題1.2'''より、
$$
(T+S\pm in_0)(T\pm in_0)^{-1}=1+S(T\pm in_0)^{-1}\in {\rm GL}(\mathbb{B}(\mathcal{H}))
$$
である。特に、
$$
{\rm Ran}(T+S\pm in_0)=\mathcal{H}
$$
であり、$T+S$ は対称作用素であるので、'''定理4.6'''より $T+S$ は自己共役作用素である。
*$(2)$　$D\subset D(T)$ が $T$ の芯であるとすると、任意の $v\in D(T)=D(T+S)$ に対し、$D$ の点列 $(v_n)_{n\in \mathbb{N}}$ で、
$$
\lim_{n\rightarrow\infty}\lVert v_n-v\rVert=0,\quad \lim_{n\rightarrow\infty}\lVert Tv_n-Tv\rVert=0
$$
を満たすものが取れる。$(*)$ より、
$$
\lVert Sv_n-Sv\rVert\leq a\lVert Tv_n-Tv\rVert+b\lVert v_n-v\rVert\rightarrow0\quad(n\rightarrow\infty)
$$
であるから、$D$ は $S+T$ の芯である。
*$(3)$　任意の $\lambda\in (-\infty,\gamma)$ に対し、
$$
\begin{aligned}
\lVert T(T-\lambda)^{-1}\rVert&=\left\lVert \int_{\sigma(T)}\frac{t}{t-\lambda}dE^T(t)\right\rVert\leq \sup_{t\in \sigma(T)}\left\lvert \frac{t}{t-\lambda}\right\rvert\\
&=\sup_{t\in \sigma(T)}\left\lvert 1+\frac{\lambda}{t-\lambda}\right\rvert
\leq {\rm max}\left(1,\frac{\lvert \gamma\rvert}{\gamma-\lambda}\right),
\end{aligned}
$$
$$
\begin{aligned}
\lVert (T-\lambda)^{-1}\rVert=\left\lVert \int_{\sigma(T)}\frac{1}{t-\lambda}dE^T(t)\right\rVert
\leq \sup_{t\in \sigma(T)}\frac{1}{t-\lambda}\leq \frac{1}{\gamma-\lambda}
\end{aligned}
$$
であるから、$(*)$ より、
$$
\begin{aligned}
\lVert S(T-\lambda)^{-1}\rVert &\leq a\lVert T(T-\lambda)^{-1}\rVert+b\lVert (T-\lambda)^{-1}\rVert\\
&\leq{\rm max}\left(a+\frac{b}{\gamma-\lambda}, \frac{a\lvert \gamma\rvert+b}{\gamma-\lambda}\right)
\end{aligned}
$$
である。よって、
$$
\lambda<\gamma-{\rm max}\left(\frac{b}{1-a},a\lvert \gamma\rvert+b\right)
$$
を満たす任意の $\lambda\in \mathbb{R}$ に対し $\lVert S(T-\lambda)^{-1}\rVert<1$ であるから、[[Banach環とC*-環のスペクトル理論]]の'''命題1.2'''より、
$$
(T+S-\lambda)(T-\lambda)^{-1}=1+S(T-\lambda)^{-1}\in {\rm GL}(\mathbb{B}(\mathcal{H})),
$$
したがって、$\lambda\notin \sigma(T+S)$ である。ゆえに $\lambda\in \sigma(T+S)$ ならば $\lambda\geq \gamma-{\rm max}\left(\frac{b}{1-a},a\lvert \gamma\rvert+b\right)$ であるから、$T+S$ は下に有界であり、
$$
{\rm min}(\sigma(T+S))\geq \gamma-{\rm max}\left(\frac{b}{1-a},a\lvert \gamma\rvert+b\right)
$$
が成り立つ。
{{end|proof|}}

===定義15.2（自己共役作用素に対して無限小な対称作用素）===
$\mathcal{H}$ をHilbert空間、$T$ を $\mathcal{H}$ 上の自己共役作用素、$S$ を $\mathcal{H}$ 上の対称作用素とする。もし $D(T)\subset D(S)$ であり、任意の $\epsilon\in (0,1)$ に対し $\delta\in [0,\infty)$ が存在し、
$$
\lVert Sv\rVert\leq \epsilon\lVert Tv\rVert +\delta\lVert v\rVert\quad(\forall v\in D(T))
$$
が成り立つならば、$S$ は $T$ に対して無限小であると言う。 

加藤-Rellichの定理（'''定理15.1'''）より、$S$ が $T$ に対して無限小であるならば、$T+S$ は自己共役作用素であり、$T$ の芯は $T+S$ の芯である。また $T$ が下に有界ならば $T+S$ も下に有界である。

===定義15.3（自己共役作用素に対して相対コンパクトな対称作用素）===
$\mathcal{H}$ をHilbert空間、$T$ を $\mathcal{H}$ 上の自己共役作用素、$S$ を $\mathcal{H}$ 上の対称作用素とする。もし $D(T)\subset D(S)$ であり、ある $\lambda_0\in \rho(T)$ に対し、
$$
S(T-\lambda_0)^{-1}\in \mathbb{B}_0(\mathcal{H})
$$
が成り立つならば、$S$ は $T$ に対して相対コンパクトであると言う。 
このとき任意の $\lambda\in \rho(T)$ に対し $S(T-\lambda)^{-1}\in \mathbb{B}_0(\mathcal{H})$ であることに注意する。実際、
$$
\begin{aligned}
S(T-\lambda_0)^{-1}-S(T-\lambda)^{-1}&=S(T-\lambda_0)^{-1}((T-\lambda)-(T-\lambda_0))(T-\lambda)^{-1}\\
&=(\lambda_0-\lambda)S(T-\lambda_0)^{-1}(T-\lambda)^{-1}
\end{aligned}
$$
であるから、
$$
S(T-\lambda)^{-1}=S(T-\lambda_0)^{-1}+(\lambda-\lambda_0)S(T-\lambda_0)^{-1}(T-\lambda)^{-1}\in \mathbb{B}_0(\mathcal{H})
$$
である。

===補題15.4===
$\mathcal{H}$ をHilbert空間、$T$ を $\mathcal{H}$ 上の自己共役作用素とし、$S$ を $T$ に対して相対コンパクトな対称作用素とする。このとき、
$$
\lim_{n\rightarrow\infty}\lVert S(T+in)^{-1}\rVert=0
$$
が成り立つ。
{{begin|proof}}
'''定義15.3'''の注意で述べた様に $S(T+in)^{-1} \in \mathbb{B}_0(\mathcal{H})$ である。$E^T\colon\mathcal{B}_{\sigma(T)}\rightarrow\mathbb{P}(\mathcal{H})$ を $T$ のスペクトル測度とする。今、
$$
A\colon=S(T+i)^{-1}\in \mathbb{B}_0(\mathcal{H}),
$$
$$
B_n\colon=(T+i)(T+in)^{-1}=\int_{\sigma(T)}\frac{t+i}{t+in}dE^T(t)\in \mathbb{B}(\mathcal{H})\quad(\forall n\in \mathbb{N})
$$
とおく。このとき、
$$
S(T+in)^{-1}=AB_n\quad(\forall n\in \mathbb{N})
$$
である。そして、
$$
\lVert B_n\rVert=\sup_{t\in \sigma(T)}\left\lvert \frac{t+i}{t+in}\right\rvert\leq1\quad(\forall n\in \mathbb{N})\quad\quad(*)
$$
であり、任意の $v\in \mathcal{H}$ に対しLebesgue優収束定理より、
$$
\lVert B_n^*v\rVert^2=\int_{\sigma(T)}\left\lvert \frac{t-i}{t-in}\right\rvert^2dE^T_{v,v}(t)\rightarrow0\quad(n\rightarrow\infty)\quad\quad(**)
$$
である。任意の $\epsilon\in (0,\infty)$ に対し、コンパクト作用素の定義（'''定義13.3'''）より有限階作用素 $A_0\in\mathbb{B}_{\rm f}(\mathcal{H})$ で、
$$
\lVert A-A_0\rVert<\frac{\epsilon}{2}\quad\quad(***)
$$
を満たすものが取れる。有限次元部分空間 ${\rm Ran}(A_0)\subset \mathcal{H}$ のCONSを $e_1,\ldots,e_m$ とおけば、'''命題13.6'''より、
$$
A_0=\left(\sum_{j=1}^{m}e_j\odot e_j\right)A_0=\sum_{j=1}^{m}e_j\odot A_0^*e_j
$$
であるから、$(**)$ と'''命題13.6'''より作用素ノルムで、
$$
A_0B_n=\left(\sum_{j=1}^{m}e_j\odot A_0^*e_j\right)B_n=\sum_{j=1}^{m}e_j\odot B_n^*A_0^*e_j\rightarrow0\quad(n\rightarrow\infty)
$$
となる。よって十分大きい $n_0\in \mathbb{N}$ を取れば、
$$
\lVert A_0B_n\rVert<\frac{\epsilon}{2}\quad(\forall n\geq n_0)
$$
となるので、$(*)$, $(***)$ より任意の $n\geq n_0$ に対し、
$$
\begin{aligned}
\lVert S(T+in)^{-1}\rVert&=\lVert AB_n\rVert\leq \lVert (A-A_0)B_n\rVert+\lVert A_0B_n\rVert\\
&<\lVert A-A_0\rVert+\frac{\epsilon}{2}<\epsilon
\end{aligned}
$$
となる。ゆえに $\lim_{n\rightarrow\infty}\lVert S(T+in)^{-1}\rVert=0$ が成り立つ。
{{end|proof|}}

===定理15.5（相対コンパクトな摂動に対する真性スペクトルの安定性）===
$\mathcal{H}$ をHilbert空間、$T$ を $\mathcal{H}$ 上の自己共役作用素、$S$ を $T$ に対して相対コンパクトな対称作用素（'''定義15.3'''）とする。このとき、
*$(1)$　$S$ は $T$ に対して無限小（'''定義15.2'''）である。（したがって $T+S\colon D(T)\rightarrow\mathcal{H}$ は自己共役作用素である。）
*$(2)$　$S$ は $T+S$ に対しても相対コンパクトである。
*$(3)$　$\sigma_{\rm ess}(T+S)=\sigma_{\rm ess}(T)$ が成り立つ。
{{begin|proof}}
*$(1)$　'''補題15.4'''より任意の $\epsilon\in (0,1)$ に対し $\lVert S(T+in)^{-1}\rVert<\epsilon$ なる $n\in \mathbb{N}$ が取れる。よって任意の $v\in D(T)$ に対し、
$$
\lVert Sv\rVert\leq\lVert S(T+in)^{-1}(T+in)v\rVert
\leq \epsilon\lVert Tv\rVert+n\lVert (S+in)^{-1}\rVert\lVert v\rVert
$$
であるので、$\epsilon\in (0,1)$ の任意性より $S$ は $T$ に対して無限小である。
*$(2)$　任意の $n\in \mathbb{N}$ に対し、
$$
\begin{aligned}
S(T+S+in)^{-1}-S(T+in)^{-1}&=S(T+S+in)^{-1}((T+in)-(T+S+in))(T+in)^{-1}\\
&=-S(T+S+in)^{-1}S(T+in)^{-1}
\end{aligned}
$$
であるから、
$$
S(T+S+in)^{-1}(1+S(T+in)^{-1})=S(T+in)^{-1}\quad\quad(*)
$$
である。'''補題15.4'''より十分大きい $n_0\in \mathbb{N}$ を取れば、
$$
\lVert S(T+in_0)^{-1}\rVert<1
$$
となるので、[[Banach環とC*-環のスペクトル理論]]の'''命題1.2'''より、
$$
1+S(T+in_0)^{-1}\in {\rm GL}(\mathbb{B}(\mathcal{H}))
$$
である。よって $(*)$ より、
$$
S(T+S+in_0)^{-1}=S(T+in_0)^{-1}(1+S(T+in_0)^{-1})^{-1}\in \mathbb{B}_0(\mathcal{H})
$$
であるから、$S$ は $T+S$ に対して相対コンパクトである。
*$(3)$　任意の $\lambda\in \sigma_{\rm ess}(T)$ を取る。'''定理14.2'''より $D(T)$ の単位ベクトルの列 $(u_n)_{n\in\mathbb{N}}$ で、$\lim_{n\rightarrow\infty}\lVert (T-\lambda)u_n\rVert=0$ かつ $\mathcal{H}$ の弱位相で $\lim_{n\rightarrow\infty}u_n=0$ となるものが取れる。任意の $n\in \mathbb{N}$ に対し、
$$
\begin{aligned}
&(\lambda-(T+S))u_n=(\lambda-T)u_n-S(T-i)^{-1}(T-i)u_n\\
&=(\lambda-T)u_n-S(T-i)^{-1}((T-\lambda)u_n+(\lambda-i)u_n)\quad\quad(**)
\end{aligned}
$$
であり、$S$ は $T$ に対して相対コンパクトであるので $S(T-i)^{-1}\in \mathbb{B}_0(\mathcal{H})$ であるから、'''定理13.10'''より、
$$
\lim_{n\rightarrow\infty}\lVert S(T-i)^{-1}u_n\rVert=0
$$
である。よって $(**)$ より、
$$
\lim_{n\rightarrow\infty}\lVert (\lambda-(T+S))u_n\rVert=0
$$
であるから、'''定理14.2'''より $\lambda\in \sigma_{\rm ess}(T+S)$ である。ゆえに、
$$
\sigma_{\rm ess}(T)\subset \sigma_{\rm ess}(T+S)
$$
が成り立つ。$(2)$ より $-S$ は $T+S$ に対して相対コンパクトであるので、上の結果より、
$$
\sigma_{\rm ess}(T+S)\subset \sigma_{\rm ess}(T+S-S)=\sigma_{\rm ess}(T)
$$
も成り立つ。よって $\sigma_{\rm ess}(T)=\sigma_{\rm ess}(T+S)$ が成り立つ。
{{end|proof|}}

== 16. トレースクラス、Hilbert-Schmidtクラス、積分作用素 ==

===命題16.1===
$\mathcal{H}$ をHilbert空間、$(e_j)_{j\in J}$, $(f_i)_{i\in I}$ をそれぞれ $\mathcal{H}$ の添字付けられたCONSとする。このとき、
*$(1)$　任意の $T\in \mathbb{B}(\mathcal{H})$ に対し、
$$
\sum_{j\in J}(e_j\mid T^*Te_j)=\sum_{j\in J}(e_j\mid TT^*e_j)
$$
が成り立つ。
*$(2)$　任意の非負有界自己共役作用素 $T\in \mathbb{B}(\mathcal{H})_+$ に対し、
$$
\sum_{j\in J}(e_j\mid Te_j)=\sum_{i\in I}(f_i\mid Tf_i)
$$
が成り立つ。
{{begin|proof}}
*$(1)$　$\mathcal{F}_J$ を $J$ の有限部分集合全体とする。また任意の $j,j'\in J$ に対し、
$$
\alpha_{j,j'}\colon=(e_{j'}\mid Te_j)(Te_j\mid e_{j'})=(T^*e_{j'}\mid e_j)(e_j\mid T^*e_{j'})\geq0
$$
とおく。すると、
$$
\begin{aligned}
\sum_{j\in J}(e_j\mid T^*Te_j)&=\sum_{j\in J}(Te_j\mid Te_j)
=\sum_{j\in J}\sum_{j'\in J}(e_{j'}\mid Te_j)(Te_j\mid e_{j'})\\
&=\sum_{j\in J}\sum_{j'\in J}\alpha_{j,j'}=\sum_{j'\in J}\sum_{j\in J}\alpha_{j,j'}=\sum_{j'\in J}\sum_{j\in J}(T^*e_{j'}\mid e_j)(e_j\mid T^*e_{j'})\\
&=\sum_{j'\in J}(T^*e_{j'}\mid T^*e_{j'})=\sum_{j'\in J}(e_{j'}\mid TT^*e_{j'})
\end{aligned}
$$
（非負数の総和については[[位相線形空間1：ノルムと内積]]の'''定義5.4'''を参照）となる。
*$(2)$　[[測度と積分6：数え上げ測度と $\ell^p$ 空間]]の'''定理25.10'''より全単射 $\gamma\colon J\rightarrow I$ が取れ、[[測度と積分6：数え上げ測度と $\ell^p$ 空間]]の'''定理25.6'''より $\mathcal{H}$ 上のユニタリ作用素 $U$ で、
$$
Ue_j=f_{\gamma(j)}\quad(\forall j\in J)
$$
を満たすものが取れる。任意の $T\in \mathbb{B}(\mathcal{H})_+$ に対し、
$$
\sum_{i\in I}(f_i\mid Tf_i)=\sum_{j\in J}(f_{\gamma(j)}\mid Tf_{\gamma(j)})
=\sum_{j\in J}(e_j\mid U^*TUe_j)
$$
であり、$U^*TU=(\sqrt{T}U)^*(\sqrt{T}U)$ であることと $(1)$ より、
$$
\sum_{j\in J}(e_j\mid U^*TUe_j)=\sum_{j\in J}\left(e_j\mid (\sqrt{T}U)^*(\sqrt{T}U)e_j\right)
=\sum_{j\in J}\left(e_j\mid (\sqrt{T}U)(\sqrt{T}U)^*e_j\right)
=\sum_{j\in J}(e_j\mid Te_j)
$$
であるから、
$$
\sum_{i\in I}(f_i\mid Tf_i)=\sum_{j\in J}(e_j\mid U^*TUe_j)=\sum_{j\in J}(e_j\mid Te_j)
$$
である。
{{end|proof|}}

===定義16.2（$\mathbb{B}(\mathcal{H})_+$ 上のトレース）===
$\mathcal{H}$ をHilbert空間とする。$\mathcal{H}$ 上の非負有界自己共役作用素に対するトレース
$$
{\rm Tr}\colon \mathbb{B}(\mathcal{H})_+\rightarrow [0,\infty]
$$
を、$\mathcal{H}$ のCONS $(e_j)_{j\in J}$ に対し、
$$
{\rm Tr}(T)\colon =\sum_{j\in J}(e_j\mid Te_j)
$$
として定義する。'''命題16.1'''の $(2)$ よりこの定義は $\mathcal{H}$ のCONSの取り方によらない。

===命題16.3（$\mathbb{B}(\mathcal{H})_+$ 上のトレースの基本的性質）===
トレース ${\rm Tr}\colon \mathbb{B}(\mathcal{H})_+\rightarrow[0,\infty]$ に対し次が成り立つ。
*$(1)$　$S,T\in \mathbb{B}(\mathcal{H})_+$ が $S\leq T$ を満たすならば ${\rm Tr}(S)\leq {\rm Tr}(T)$.
*$(2)$　任意の $S,T\in \mathbb{B}(\mathcal{H})_+$ に対し ${\rm Tr}(S+T)={\rm Tr}(S)+{\rm Tr}(T)$.
*$(3)$　任意の $T\in \mathbb{B}(\mathcal{H})_+$ と $\alpha\in [0,\infty)$ に対し ${\rm Tr}(\alpha T)=\alpha {\rm Tr}(T)$.
*$(4)$　任意の $T\in \mathbb{B}(\mathcal{H})_+$ と $V\in \mathbb{B}(\mathcal{H})$ に対し ${\rm Tr}(V^*TV)\leq \lVert V\rVert^2{\rm Tr}(T)$.
*$(5)$　任意の $T\in \mathbb{B}(\mathcal{H})$ に対し $\lVert T\rVert\leq {\rm Tr}(\lvert T\rvert)$.
{{begin|proof}}
$(1),(2),(3)$ は自明である。$(4)$ を示す。$\mathcal{H}$ のCONS $(e_j)_{j\in J}$ に対し'''命題16.1'''の $(1)$ より、
$$
\begin{aligned}
{\rm Tr}(V^*TV)&={\rm Tr}\left(\left(\sqrt{T}V\right)\left(\sqrt{T}V\right)^*\right)
={\rm Tr}\left(\sqrt{T}VV^*\sqrt{T}\right)=\sum_{j\in J}\left(e_j\mid \sqrt{T}VV^*\sqrt{T}e_j\right)\\
&=\sum_{j\in J}\lVert V^*\sqrt{T}e_j\rVert^2
\leq\lVert V\rVert^2\sum_{j\in J}\lVert \sqrt{T}e_j\rVert^2=\lVert V\rVert^2\sum_{j\in J}(e_j\mid Te_j)
=\lVert V\rVert^2{\rm Tr}(T)
\end{aligned}
$$
である。$(5)$ を示す。
$$
\lVert T\rVert^2=\lVert T^*T\rVert=\lVert \lvert T\rvert^2\rVert=\lVert \lvert T\rvert\rVert^2
$$
より、
$$
\lVert T\rVert=\lVert \lvert T\rvert\rVert=\lVert \sqrt{\lvert T\rvert}^2\rVert=\lVert \sqrt{\lvert T\rvert}\rVert^2
$$
である。そして、
$$
\lVert \sqrt{\lvert T\rvert}\rVert^2=\sup\{\lVert \sqrt{T}e\rVert^2:e\in \mathcal{H},\lVert e\rVert=1\}
=\sup\{(e\mid \lvert T\rvert e):e\in \mathcal{H},\lVert e\rVert=1\}
$$
であるから、
$$
\lVert T\rVert=\lVert \sqrt{\lvert T\rvert}\rVert^2=\sup\{(e\mid \lvert T\rvert e):e\in \mathcal{H},\lVert e\rVert=1\}\quad\quad(*)
$$
が成り立つ。任意の単位ベクトル $e\in \mathcal{H}$ に対し[[測度と積分6：数え上げ測度と $\ell^p$ 空間]]の'''命題25.9'''より $e$ を含む $\mathcal{H}$ のCONSが存在するので、
$$
(e\mid \lvert T\rvert e)\leq {\rm Tr}(\lvert T\rvert)
$$
が成り立つ。よって $(*)$ より $\lVert T\rVert\leq {\rm Tr}(\lvert T\rvert)$ が成り立つ。
{{end|proof|}}

===定義16.4（トレースクラス $\mathbb{B}^1(\mathcal{H})$、Hilbert-Schmidtクラス $\mathbb{B}^2(\mathcal{H})$）===
$\mathcal{H}$ をHilbert空間とする。
$$
\mathbb{B}^1(\mathcal{H})\colon=\{T\in \mathbb{B}(\mathcal{H}):{\rm Tr}(\lvert T\rvert)<\infty\}
$$
を $\mathcal{H}$ 上のトレースクラス、
$$
\mathbb{B}^2(\mathcal{H})\colon=\{T\in \mathbb{B}(\mathcal{H}):{\rm Tr}(T^*T)<\infty\}
$$
を $\mathcal{H}$ 上のHilbert-Schmidtクラスと言う。

===命題16.5（トレースクラス $\mathbb{B}^1(\mathcal{H})$ は $\mathbb{B}(\mathcal{H})$ の $*$-イデアル）===
トレースクラス $\mathbb{B}^1(\mathcal{H})$ は、
$$
\mathbb{B}^1(\mathcal{H})={\rm span}(\mathbb{B}^1(\mathcal{H})\cap \mathbb{B}(\mathcal{H})_+)={\rm span}\{T\in \mathbb{B}(\mathcal{H})_+: {\rm Tr}(T)<\infty\}
$$
と表せる。そして $\mathbb{B}^1(\mathcal{H})$ は $\mathbb{B}(\mathcal{H})$ の $*$-イデアルである。
{{begin|proof}}
$$
\mathcal{T}\colon={\rm span}(\mathbb{B}^1(\mathcal{H})\cap \mathbb{B}(\mathcal{H})_+)={\rm span}\{T\in \mathbb{B}(\mathcal{H})_+: {\rm Tr}(T)<\infty\}
$$
とおく。まず $\mathcal{T}$ が $\mathbb{B}(\mathcal{H})$ の $*$-イデアルであることを示す。任意の $T\in \mathbb{B}^1(\mathcal{H})\cap \mathbb{B}(\mathcal{H})_+$、任意の $S\in \mathbb{B}(\mathcal{H})$ に対し、偏極恒等式（[[測度と積分6：数え上げ測度と $\ell^p$ 空間]]の'''定義25.2'''）と'''命題16.3'''の $(4)$ より、
$$
\begin{aligned}
ST&=(\sqrt{T}S^*)^*\sqrt{T}=\frac{1}{4}\sum_{k=0}^{3}i^k\left(i^k\sqrt{T}S^*+\sqrt{T}\right)^*\left(i^k\sqrt{T}S^*+\sqrt{T}\right)\\
&=\frac{1}{4}\sum_{k=0}^{3}i^k(i^kS^*+1)^*T(i^kS^*+1)\in \mathcal{T},
\end{aligned}
$$
よって、
$$
ST\in \mathcal{T}\quad(\forall S\in \mathbb{B}(\mathcal{H}),\forall T\in \mathcal{T})
$$
が成り立つ。また $\mathcal{T}$ は明らかに $*$-演算で閉じているので、
$$
TS=(S^*T^*)^*\in \mathcal{T}\quad(\forall S\in \mathbb{B}(\mathcal{H}),\forall T\in \mathcal{T})
$$
も成り立つ。これより $\mathcal{T}$ は $\mathbb{B}(\mathcal{H})$ の $*$-イデアルである。次に $\mathbb{B}^1(\mathcal{H})=\mathcal{T}$ が成り立つことを示す。任意の $T\in \mathbb{B}^1(\mathcal{H})$ に対し $T=V\lvert T\rvert$ を $T$ の極分解（'''定理9.4'''）とすると、$\lvert T\rvert\in \mathcal{T}$ であり $\mathcal{T}$ はイデアルであるから $T=V\lvert T\rvert\in \mathcal{T}$ である。よって $\mathbb{B}^1(\mathcal{H})\subset \mathcal{T}$ が成り立つ。任意の $T\in \mathcal{T}$ に対し $T=V\lvert T\rvert$ を $T$ の極分解とすると、$\lvert T\rvert=V^*V\lvert T\rvert=V^*T$ であり $\mathcal{T}$ はイデアルであるから、$\lvert T\rvert\in\mathcal{T}$ である。よって ${\rm Tr}(\lvert T\rvert)<\infty$ であるから $T\in \mathbb{B}^1(\mathcal{H})$ である。ゆえに $\mathbb{B}^1(\mathcal{H})=\mathcal{T}$ が成り立つ。
{{end|proof|}}

===命題16.6（Hilbert-Schmidtクラス $\mathbb{B}^2(\mathcal{H})$ は $\mathbb{B}(\mathcal{H})$ の $*$-イデアル）===
Hilbert-Schmidtクラス $\mathbb{B}^2(\mathcal{H})$ は $\mathbb{B}(\mathcal{H})$ の $*$-イデアルである。
{{begin|proof}}
任意の $T\in \mathbb{B}^2(\mathcal{H})$ に対し'''命題16.1'''の $(1)$ より ${\rm Tr}(TT^*)={\rm Tr}(T^*T)<\infty$ であるから $T^*\in \mathbb{B}^2(\mathcal{H})$ である。任意の $T\in \mathbb{B}^2(\mathcal{H})$ と任意の $S\in \mathbb{B}(\mathcal{H})$ に対し'''命題16.3'''の $(4)$ より、
$$
{\rm Tr}((TS)^*TS)={\rm Tr}(S^*T^*TS)\leq \lVert S\rVert^2{\rm Tr}(T^*T)<\infty
$$
であるから、$TS\in \mathbb{B}^2(\mathcal{H})$ が成り立ち、$\mathbb{B}^2(\mathcal{H})$ は $*$-演算で閉じているから $ST=(T^*S^*)^*\in \mathbb{B}^2(\mathcal{H})$ が成り立つ。任意の $T\in \mathbb{B}^2(\mathcal{H})$ と任意の $\alpha\in \mathbb{C}$ に対し、
$$
{\rm Tr}((\alpha T)^*\alpha T)={\rm Tr}(\lvert\alpha\rvert^2T^*T)=\lvert\alpha\rvert^2{\rm Tr}(T^*T)<\infty
$$
であるから $\alpha T\in \mathbb{B}^2(\mathcal{H})$ であり、任意の $S,T\in \mathbb{B}^2(\mathcal{H})$ に対し、
$$
(S+T)^*(S+T)\leq (S+T)^*(S+T)+(S-T)^*(S-T)=2(S^*S+T^*T)
$$
であることと'''命題16.3'''の $(1),(2)$ より、
$$
{\rm Tr}((S+T)^*(S+T))\leq 2({\rm Tr}(S^*S)+{\rm Tr}(T^*T))<\infty
$$
であるから $S+T\in \mathbb{B}^2(\mathcal{H})$ である。ゆえに $\mathbb{B}^2(\mathcal{H})$ は $\mathbb{B}(\mathcal{H})$ の $*$-イデアルである。
{{end|proof|}}

===命題16.7（$\mathbb{B}^1(\mathcal{H})\subset \mathbb{B}^2(\mathcal{H})\subset \mathbb{B}_0(\mathcal{H})$, $\mathbb{B}^2(\mathcal{H})\mathbb{B}^2(\mathcal{H})\subset \mathbb{B}^1(\mathcal{H})$）===
$\mathcal{H}$ をHilbert空間とする。次が成り立つ。
*$(1)$　$\mathbb{B}_{\rm f}(\mathcal{H})\subset \mathbb{B}^1(\mathcal{H})\subset \mathbb{B}^2(\mathcal{H})\subset \mathbb{B}_0(\mathcal{H})$.
*$(2)$　任意の $S,T\in \mathbb{B}^2(\mathcal{H})$ に対し $ST\in \mathbb{B}^1(\mathcal{H})$.
{{begin|proof}}
*$(1)$　$\mathbb{B}_{\rm f}(\mathcal{H})\subset \mathbb{B}^1(\mathcal{H})$ を示す。任意の $T\in \mathbb{B}_{\rm f}(\mathcal{H})$ を取る。有限次元部分空間 ${\rm Ran}(T)\subset \mathcal{H}$ の上への射影作用素を $P\in\mathbb{B}(\mathcal{H})_+$ とおき、${\rm Ran}(T)$ のCONSを $(e_1,\ldots,e_n)$ とおく。[[測度と積分6：数え上げ測度と $\ell^p$ 空間]]の'''命題25.9'''より $\{e_1,\ldots,e_n\}$ を含む $\mathcal{H}$ のCONSが取れるので、
$$
{\rm Tr}(P)=\sum_{j=1}^{n}(e_j\mid Pe_j)=n<\infty
$$
である。よって $P\in \mathbb{B}^1(\mathcal{H})$ であり、$\mathbb{B}^1(\mathcal{H})\subset \mathbb{B}(\mathcal{H})$ はイデアルである（'''命題16.5'''）から、$T=PT\in \mathbb{B}^1(\mathcal{H})$ である。ゆえに $\mathbb{B}_{\rm f}(\mathcal{H})\subset \mathbb{B}^1(\mathcal{H})$ が成り立つ。 
$\mathbb{B}^1(\mathcal{H})\subset \mathbb{B}^2(\mathcal{H})$ を示す。任意の $T\in \mathbb{B}^1(\mathcal{H})$ を取り、$T=V\lvert T\rvert$ を $T$ の極分解（'''定理9.4'''）とする。このとき、
$$
{\rm Tr}(\sqrt{\lvert T\rvert}^2)={\rm Tr}(\lvert T\rvert)<\infty
$$
であるから $\sqrt{\lvert T\rvert}\in \mathbb{B}^2(\mathcal{H})$ であり、$\mathbb{B}^2(\mathcal{H})$ は $\mathbb{B}(\mathcal{H})$ のイデアルである（'''命題16.6'''）から、$T=V\lvert T\rvert=V\sqrt{\lvert T\rvert}\sqrt{\lvert T\rvert}\in \mathbb{B}^2(\mathcal{H})$ である。ゆえに $\mathbb{B}^1(\mathcal{H})\subset \mathbb{B}^2(\mathcal{H})$ が成り立つ。 
$\mathbb{B}^2(\mathcal{H})\subset \mathbb{B}_0(\mathcal{H})$ を示す。$(e_j)_{j\in J}$ を $\mathcal{H}$ のCONSとし、$\mathcal{F}_J$ を $J$ の有限部分集合全体とする。そして、
$$
P_F\colon=\sum_{j\in F}e_j\odot e_j\quad(\forall F\in \mathcal{F}_J)
$$
とおく。'''命題16.3'''の $(5)$ より任意の $F\in\mathcal{F}_J$ に対し、
$$
\begin{aligned}
\lVert T-TP_F\rVert^2&=\lVert(1-P_F)T^*T(1-P_F)\rVert\leq {\rm Tr}((1-P_F)T^*T(1-P_F))\\
&=\sum_{j\in J}(e_j\mid (1-P_F)T^*T(1-P_F)e_j)=\sum_{j\in J\backslash F}(e_j\mid T^*Te_j)\\
&={\rm Tr}(T^*T)-\sum_{j\in F}(e_j\mid T^*Te_j)
\end{aligned}
$$
であり、右辺は $F\rightarrow J$ で $0$ に収束するので $\lim_{F\rightarrow J}\lVert T-P_FT\rVert=0$ が成り立つ。よって、
$$
T=\lim_{F\rightarrow J}P_FT\in \overline{\mathbb{B}_{\rm f}(\mathcal{H})}=\mathbb{B}_0(\mathcal{H})
$$
である。ゆえに $\mathbb{B}^2(\mathcal{H})\subset \mathbb{B}_0(\mathcal{H})$ が成り立つ。
*$(2)$　任意の $S,T\in \mathbb{B}^2(\mathcal{H})$ に対し、偏極恒等式（[[測度と積分6：数え上げ測度と $\ell^p$ 空間]]の'''定義25.2'''）より、
$$
ST=S^{**}T=\frac{1}{4}\sum_{k=0}^{3}i^k(i^kS^*+T)^*(i^kS^*+T)
$$
であり、'''命題16.6'''より、
$$
{\rm Tr}((i^kS^*+T)^*(i^kS^*+T))<\infty\quad(k=0,1,2,3)
$$
であるから $ST\in \mathbb{B}^1(\mathcal{H})$ である。
{{end|proof|}}

===定義16.8（トレースクラス $\mathbb{B}^1(\mathcal{H})$ 上のトレース）===
$\mathcal{H}$ をHilbert空間とする。任意の $T\in \mathbb{B}^1(\mathcal{H})$ に対し、'''命題16.5'''より、
$$
T=T_{1,+}-T_{1,-}+i(T_{2,+}-T_{2,-})
$$
を満たす $T_{1,\pm},T_{2,\pm}\in \mathbb{B}^1(\mathcal{H})\cap \mathbb{B}(\mathcal{H})_+$ が取れる。そこで $T$ のトレースを、
$$
{\rm Tr}(T)\colon={\rm Tr}(T_{1,+})-{\rm Tr}(T_{1,-})+i({\rm Tr}(T_{2,+})-{\rm Tr}(T_{2,-}))
$$
として定義する。 
この定義はwell-definedである。実際、$S_{1,\pm},S_{2,\pm}\in \mathbb{B}^1(\mathcal{H})\cap \mathbb{B}(\mathcal{H})_+$ も、
$$
T=S_{1,+}-S_{1,-}+i(S_{2,+}-S_{2,-})
$$
を満たすならば、
$$
\begin{aligned}
&T_{1,+}-T_{1,-}=\frac{1}{2}(T+T^*)=S_{1,+}-S_{1,-},\\
&T_{2,+}-T_{2,-}=\frac{1}{2i}(T-T^*)=S_{2,+}-S_{2,-}
\end{aligned}
$$
であるから、
$$
T_{1,+}+S_{1,-}=S_{1,+}+T_{1,-},\quad
T_{2,+}+S_{2,-}=S_{2,+}+T_{2,-}
$$
である。よって非負有界自己共役作用素に対するトレースの加法性より、
$$
\begin{aligned}
&{\rm Tr}(T_{1,+})+{\rm Tr}(S_{1,-})={\rm Tr}(S_{1,+})+{\rm Tr}(T_{1,-}),\\
&{\rm Tr}(T_{2,+})+{\rm Tr}(S_{2,-})={\rm Tr}(S_{2,+})+{\rm Tr}(T_{2,-})
\end{aligned}
$$
であり、
$$
\begin{aligned}
&{\rm Tr}(T_{1,+})-{\rm Tr}(T_{1,-})={\rm Tr}(S_{1,+})-{\rm Tr}(S_{1,-}),\\
&{\rm Tr}(T_{2,+})-{\rm Tr}(T_{2,-})={\rm Tr}(S_{2,+})-{\rm Tr}(S_{2,-})
\end{aligned}
$$
である。ゆえにwell-definedである。

===命題16.9（トレースクラス $\mathbb{B}^1(\mathcal{H})$ 上のトレースの基本的性質）===
トレースクラス上のトレース ${\rm Tr}\colon\mathbb{B}^1(\mathcal{H})\ni T\mapsto {\rm Tr}(T)\in \mathbb{C}$ に対し次が成り立つ。
*$(1)$　$\mathcal{H}$ の任意のCONS $(e_j)_{j\in J}$ と任意の $T\in \mathbb{B}^1(\mathcal{H})$ に対し、
$$
{\rm Tr}(T)=\sum_{j\in J}(e_j\mid Te_j).
$$
*$(2)$　${\rm Tr}\colon\mathbb{B}^1(\mathcal{H})\rightarrow\mathbb{C}$ は線形汎関数である。
*$(3)$　任意の $S,T\in \mathbb{B}^2(\mathcal{H})$ に対し ${\rm Tr}(ST)={\rm Tr}(TS)$.
*$(4)$　任意の $S\in \mathbb{B}(\mathcal{H})$ と任意の $T\in \mathbb{B}^1(\mathcal{H})$ に対し ${\rm Tr}(ST)={\rm Tr}(TS)$.
{{begin|proof}}
*$(1)$　'''定義16.8'''より $T_0,T_1,T_2,T_3\in \mathbb{B}^1(\mathcal{H})\cap \mathbb{B}(\mathcal{H})_+$ で $T=\sum_{k=0}^{3}i^kT_k$ なるものに対し、${\rm Tr}(T)=\sum_{k=0}^{3}i^k{\rm Tr}(T_k)$ であるから、
$$
{\rm Tr}(T)=\sum_{k=0}^{3}i^k{\rm Tr}(T_k)=\sum_{k=0}^{3}i^k\sum_{j\in J}(e_j\mid T_ke_j)
=\sum_{j\in J}\sum_{k=0}^{3}i^k(e_j\mid T_ke_j)=\sum_{j\in J}(e_j\mid Te_j).
$$
*$(2)$　$(1)$ より明らかである。
*$(3)$　'''命題16.7'''の $(2)$ より任意の $S,T\in \mathbb{B}^2(\mathcal{H})$ である。$(2)$ と偏極恒等式（[[測度と積分6：数え上げ測度と $\ell^p$ 空間]]の'''定義25.2'''）、および'''命題16.1'''の $(1)$ より、
$$
\begin{aligned}
{\rm Tr}(ST)&={\rm Tr}(S^{**}T)=\frac{1}{4}\sum_{k=0}^{3}i^k{\rm Tr}((i^kS^*+T)^*(i^kS^*+T))\\
&=\frac{1}{4}\sum_{k=0}^{3}i^k{\rm Tr}((i^kS^*+T)(i^kS^*+T)^*)
=\frac{1}{4}\sum_{k=0}^{3}i^k{\rm Tr}((S+i^kT^*)^*(S+i^kT^*))\\
&={\rm Tr}(T^{**}S)={\rm Tr}(TS).
\end{aligned}
$$
*$(4)$　$T\in \mathbb{B}^1(\mathcal{H})$ の極分解（'''定理9.4'''）を $T=V\lvert T\rvert$ とすると、$\sqrt{\lvert T\rvert},SV\sqrt{\lvert T\rvert}, \sqrt{\lvert T\rvert}S, V\sqrt{\lvert T\rvert}\in \mathbb{B}^2(\mathcal{H})$ であるから、$(3)$ より、
$$
\begin{aligned}
{\rm Tr}(ST)={\rm Tr}(SV\sqrt{\lvert T\rvert}\sqrt{\lvert T\rvert})
={\rm Tr}(\sqrt{\lvert T\rvert}SV\sqrt{\lvert T\rvert})
={\rm Tr}(V\sqrt{\lvert T\rvert}\sqrt{\lvert T\rvert}S)={\rm Tr}(TS).
\end{aligned}
$$
{{end|proof|}}

===定義16.10（Hilbert-Schmidtクラス $\mathbb{B}^2(\mathcal{H})$ の内積）===
Hilbert-Schmidtクラス $\mathbb{B}^2(\mathcal{H})$ に対し、'''命題16.9'''より、
$$
(S\mid T)_{\rm HS}={\rm Tr}(S^*T)\quad(\forall S,T\in \mathbb{B}^2(\mathcal{H}))
$$
として準双線形汎関数
$$
(\cdot\mid \cdot)_{\rm HS}\colon \mathbb{B}^2(\mathcal{H})\times \mathbb{B}^2(\mathcal{H})\rightarrow\mathbb{C}
$$
が定義できる。'''命題16.9'''の$(1)$より、
$$
\overline{(S\mid T)_{\rm HS}}=\sum_{j\in J}\overline{(e_j\mid S^*T e_j)}=\sum_{j\in J}(S^*Te_j\mid e_j)=\sum_{j\in J}(e_j\mid T^*Se_j)=(T\mid S)_{\rm HS}\quad(\forall S,T\in \mathbb{B}({\cal H})({\cal H}))
$$
であり、'''命題16.3'''の $(5)$ より、
$$
(T\mid T)_{\rm HS}={\rm Tr}(T^*T)\geq\lVert T^*T\rVert=\lVert T\rVert^2\quad(\forall T\in \mathbb{B}^2(\mathcal{H}))\quad\quad(*)
$$
であるから、$(\cdot\mid \cdot)_{\rm HS}$ は $\mathbb{B}^2(\mathcal{H})$ の内積である。この内積をHilbert-Schmidt内積と呼び、Hilbert-Schmidt内積の定めるノルム
$$
\lVert T\rVert_{\rm HS}\colon=\sqrt{(T\mid T)_{\rm HS}}=\sqrt{{\rm Tr}(T^*T)}\quad(\forall T\in\mathbb{B}^2(\mathcal{H}))
$$
をHilbert-Schmidtノルムと言う。以後、Hilbert-Schmidtクラス $\mathbb{B}^2(\mathcal{H})$ にはこのHilbert-Schmidt内積が標準的に備わっているものとする。次の命題で見るようにHilbert-SchmidtクラスはHilbert空間である。

===命題16.11（Hilbert-Schmidtクラス $\mathbb{B}^2(\mathcal{H})$ はHilbert空間）===
Hilbert-Schmidtクラス $\mathbb{B}^2(\mathcal{H})$ はHilbert-Schmidt内積によりHilbert空間である。
{{begin|proof}}
$\mathbb{B}^2(\mathcal{H})$ の任意のCauchy列 $(T_n)_{n\in \mathbb{N}}$ を取る。'''定義16.10''' の $(*)$ より $(T_n)_{n\in \mathbb{N}}$ は作用素ノルムによるBanach空間 $\mathbb{B}(\mathcal{H})$ のCauchy列であるから、$T\in \mathbb{B}(\mathcal{H})$ で $\lim_{n\rightarrow\infty}\lVert T-T_n\rVert=0$ を満たすものが定まる。$(e_j)_{j\in J}$ を $\mathcal{H}$ のCONSとし、$\mathcal{F}_J$ を $J$ の有限部分集合全体とする。このとき任意の $m\in\mathbb{N}$、任意の $F\in\mathcal{F}_J$ に対し、
$$
\begin{aligned}
&\sum_{j\in F}(e_j\mid (T-T_m)^*(T-T_m)e_j)=\sum_{j\in F}\lVert (T-T_m)e_j\rVert^2
=\lim_{n\rightarrow\infty}\sum_{j\in F}\lVert (T_n-T_m)e_j\rVert^2\\
&=\lim_{n\rightarrow\infty}\sum_{j\in F}(e_j\mid (T_n-T_m)^*(T_n-T_m)e_j)
=\inf_{n\in\mathbb{N}}\sup_{k\geq n}\sum_{j\in F}(e_j\mid (T_k-T_m)^*(T_n-T_m)e_j)\\
&\leq \inf_{n\in \mathbb{N}}\sup_{k\geq n}\sum_{j\in J}(e_j\mid (T_k-T_m)^*(T_k-T_m)e_j)
=\inf_{n\in \mathbb{N}}\sup_{k\geq n}\lVert T_k-T_m\rVert_{\rm HS}^2
\end{aligned}
$$
であるから、
$$
{\rm Tr}((T-T_m)^*(T-T_m))\leq \inf_{n\in \mathbb{N}}\sup_{k\geq n}\lVert T_k-T_m\rVert_{\rm HS}^2\quad(\forall m\in\mathbb{N})\quad\quad(*)
$$
が成り立つ。$(T_n)_{n\in\mathbb{N}}$ は $\mathbb{B}^2(\mathcal{H})$ のCauchy列であるから、任意の $\epsilon\in (0,\infty)$ に対し $n_0\in\mathbb{N}$ で、
$$
\lVert T_n-T_m\rVert_{\rm HS}\leq \epsilon\quad(\forall n,m\geq n_0)
$$
を満たすものが取れるので、$(*)$ より任意の $m\geq n_0$ に対し、
$$
{\rm Tr}((T-T_m)^*(T-T_m))\leq \inf_{n\in\mathbb{N}}\sup_{k\geq n}\lVert T_k-T_m\rVert_{\rm HS}^2\leq\sup_{k\geq n_0}\lVert T_k-T_m\rVert_{\rm HS}^2\leq\epsilon^2
$$
となる。よって $T=T-T_m+T_m\in \mathbb{B}^2(\mathcal{H})$ であり、
$$
\lVert T-T_m\rVert_{\rm HS}\leq\epsilon\quad(\forall m\geq n_0)
$$
である。ゆえに $(T_n)_{n\in \mathbb{N}}$ は $\mathbb{B}^2({\cal H})$ において $T$ に収束するので、$\mathbb{B}^2(\mathcal{H})$ はHilbert空間である。
{{end|proof|}}

===命題16.12===
$\mathcal{H}$ をHilbert空間とする。次が成り立つ。
*$(1)$　任意の $S\in \mathbb{B}(\mathcal{H})$ と任意の $T\in \mathbb{B}^1(\mathcal{H})$ に対し $\lvert {\rm Tr}(ST)\rvert\leq \lVert S\rVert{\rm Tr}(\lvert T\rvert)$.
*$(2)$　$\mathbb{B}^1(\mathcal{H})\ni T\mapsto {\rm Tr}(\lvert T\rvert)\in [0,\infty)$ は $\mathbb{B}^1(\mathcal{H})$ 上のノルムである。
{{begin|proof}}
*$(1)$　$T$ の極分解（'''定理9.4'''）を $T=V\lvert T\rvert$ とおくと、$\sqrt{\lvert T\rvert},SV\sqrt{\lvert T\rvert}\in \mathbb{B}^2(\mathcal{H})$ であるから、Hilbert-Schmidt内積に関するSchwarzの不等式と'''命題16.3'''の $(4)$ より、
$$
\begin{aligned}
\lvert {\rm Tr}(ST)\rvert^2&=\lvert {\rm Tr}(SV\sqrt{\lvert T\rvert}\sqrt{\lvert T\rvert})\rvert^2
=(\sqrt{\lvert T\rvert}\mid SV\sqrt{\lvert T\rvert})_{\rm HS}^2
\leq \lVert \sqrt{\lvert T\rvert}\rVert_{\rm HS}^2\lVert SV\sqrt{\lvert T\rvert}\rVert_{\rm HS}^2\\
&={\rm Tr}(\lvert T\rvert){\rm Tr}(SV\lvert T\rvert V^*S^*)\leq \lVert SV\rVert^2{\rm Tr}(\lvert T\rvert)^2\leq\lVert S\rVert^2{\rm Tr}(\lvert T\rvert)^2
\end{aligned}
$$
である。よって $\lvert {\rm Tr}(ST)\rvert\leq \lVert S\rVert{\rm Tr}(\lvert T\rvert)$ が成り立つ。
*$(2)$　任意の $T\in \mathbb{B}^1(\mathcal{H})$, $\alpha\in \mathbb{C}$ に対し $\lvert\alpha T\rvert=\sqrt{(\alpha T)^*(\alpha T)}=\sqrt{\lvert \alpha\rvert^2T^*T}=\lvert \alpha\rvert\lvert T\rvert$ であるから、
$$
{\rm Tr}(\lvert \alpha T\rvert)={\rm Tr}(\lvert \alpha\rvert\lvert T\rvert)=\lvert\alpha\rvert{\rm Tr}(\lvert T\rvert)\quad(\forall T\in \mathbb{B}^1(\mathcal{H}),\forall \alpha\in \mathbb{C})
$$
である。また'''命題16.3'''の $(5)$ より $\lVert T\rVert\leq {\rm Tr}(\lvert T\rvert)$ であるから、$T\in \mathbb{B}^1(\mathcal{H})$ が ${\rm Tr}(\lvert T\rvert)=0$ を満たすならば $T=0$ である。任意の $S,T\in \mathbb{B}^1(\mathcal{H})$ に対し $S+T$ の極分解（'''定理9.4'''）を $S+T=W\lvert S+T\rvert$ とおくと、$\lvert S+T\rvert=W^*(S+T)=W^*S+W^*T$ であるから $(1)$ より、
$$
{\rm Tr}(\lvert S+T\rvert)={\rm Tr}(W^*S)+{\rm Tr}(W^*T)\leq\lVert W^*\rVert{\rm Tr}(\lvert S\rvert)+\lVert W^*\rVert{\rm Tr}(\lvert T\rvert)\leq {\rm Tr}(\lvert S\rvert)+{\rm Tr}(\lvert T\rvert)
$$
となる。よって $\mathbb{B}^1(\mathcal{H})\ni T\mapsto {\rm Tr}(\lvert T\rvert)\in [0,\infty)$ はノルムである。
{{end|proof|}}

===定義16.13（トレースクラス $\mathbb{B}^1(\mathcal{H})$ のトレースノルム）===
トレースクラス $\mathbb{B}^1(\mathcal{H})$ に対し、'''命題16.12'''より、
$$
\lVert T\rVert_{\rm Tr}\colon={\rm Tr}(\lvert T\rvert)\quad(\forall T\in\mathbb{B}^1(\mathcal{H}))
$$
とおけば、$\lVert \cdot\rVert_{\rm Tr}\colon \mathbb{B}^1(\mathcal{H})\rightarrow[0,\infty)$ はノルムである。これをトレースノルムと言う。トレースクラス $\mathbb{B}^1(\mathcal{H})$ にはこのトレースノルムが標準的に備わっているものとする。次の命題で見るようにトレースクラス $\mathbb{B}^1(\mathcal{H})$ はこのトレースノルムによりBanach空間である。

===命題16.14（トレースクラス $\mathbb{B}^1(\mathcal{H})$ はBanach空間）===
トレースクラス $\mathbb{B}^1(\mathcal{H})$ はトレースノルムによりBanach空間である。
{{begin|proof}}
$\mathbb{B}^1(\mathcal{H})$ の任意のCauchy列 $(T_n)_{n\in \mathbb{N}}$ を取る。'''命題16.3'''の $(5)$ より、
$$
\lVert T_n-T_m\rVert_{\rm Tr}\leq \lVert T_n-T_m\rVert\quad(\forall n,m\in\mathbb{N})
$$
であるから $T\in \mathbb{B}(\mathcal{H})$ で $\lim_{n\rightarrow\infty}\lVert T-T_n\rVert=0$ を満たすものが存在する。$\mathcal{H}$ のCONS $\{e_j\}_{j\in J}$ に対し $\mathcal{F}_J$ を $J$ の有限部分集合全体とし、
$$
P_F\colon=\sum_{j\in F}e_j\odot e_j\quad(\forall F\in \mathcal{F}_J)
$$
とおく（'''命題13.7'''を参照）。任意の $m\in \mathbb{N}$, 任意の $F\in \mathcal{F}_J$ を取る。$T-T_m$ の極分解（'''定理9.4'''）を $T-T_m=V_m\lvert T-T_m\rvert$（したがって $\lvert T-T_m\rvert=V_m^*(T-T_m)$）とすると、'''命題16.12'''の $(1)$ より、
$$
\begin{aligned}
&\sum_{j\in F}(e_j\mid \lvert T-T_m\rvert e_j)=\sum_{j\in F}(V_me_j\mid (T-T_m)e_j)
=\lim_{n\rightarrow\infty}\left\lvert\sum_{j\in F}(V_me_j\mid (T_n-T_m)e_j)\right\rvert\\
&=\inf_{n\in \mathbb{N}}\sup_{k\geq n}\left\lvert \sum_{j\in F}(V_me_j\mid (T_k-T_m)e_j)\right\rvert
=\inf_{n\in \mathbb{N}}\sup_{k\geq n}\left\lvert \sum_{j\in J}(V_mP_Fe_j\mid (T_k-T_m)e_j)\right\rvert\\
&=\inf_{n\in \mathbb{N}}\sup_{k\geq n}\left\lvert {\rm Tr}(P_FV_m^*(T_k-T_m))\right\rvert
\leq \inf_{n\in\mathbb{N}}\sup_{k\geq n}\lVert T_k-T_m\rVert_{\rm Tr}
\end{aligned}
$$
となるから、
$$
{\rm Tr}(\lvert T-T_m\rvert)\leq \inf_{n\in \mathbb{N}}\sup_{k\geq n}\lVert T_k-T_m\rVert_{\rm Tr}\quad(\forall m\in \mathbb{N})\quad\quad(*)
$$
が成り立つ。$(T_n)_{n\in\mathbb{N}}$ は $\mathbb{B}^1(\mathcal{H})$ のCauchy列であるから、任意の $\epsilon\in(0,\infty)$ に対し $n_0\in \mathbb{N}$ で、
$$
\lVert T_n-T_m\rVert_{\rm Tr}\leq \epsilon\quad(\forall n,m\geq n_0)
$$
を満たすものが取れ、$(*)$ より、任意の $m\geq n_0$ に対し、
$$
{\rm Tr}(\lvert T-T_m\rvert)\leq \inf_{n\in \mathbb{N}}\sup_{k\geq n}\lVert T_k-T_m\rVert_{\rm Tr}
\leq \sup_{k\geq n_0}\lVert T_k-T_m\rVert_{\rm Tr}\leq \epsilon
$$
となる。よって $T=T-T_m+T_m\in \mathbb{B}^1(\mathcal{H})$ であり、
$$
\lVert T-T_m\rVert_{\rm Tr}\leq \epsilon\quad(\forall m\geq n_0)
$$
である。ゆえに $(T_n)_{n\in \mathbb{N}}$ は $\mathbb{B}^1({\cal H})$ において $T$ に収束するから、$\mathbb{B}^1(\mathcal{H})$ はBanach空間である。
{{end|proof|}}

===命題16.15（Schatten形式とトレース）===
Hilbert空間 $\mathcal{H}$ 上のSchatten形式（'''定義13.5'''）$\mathcal{H}\times \mathcal{H}\ni (u,v)\mapsto u\odot v\in \mathbb{B}_{\rm f}(\mathcal{H})$ とトレースについて次が成り立つ。
*$(1)$　任意の $u,v\in\mathcal{H}$ に対し ${\rm Tr}(u\odot v)=(v\mid u)$.
*$(2)$　任意の $u,v\in \mathcal{H}$ に対し $\lVert u\odot v\rVert_{\rm Tr}=\lVert u\odot v\rVert=\lVert u\rVert\lVert v\rVert$.
*$(3)$　空でない任意の集合 $J$ と任意の $(u_j)_{j\in J}, (v_j)_{j\in J}\in \bigoplus_{j\in J}\mathcal{H}$ に対し $\sum_{j\in J}u_j\odot v_j$ はBanach空間 $\mathbb{B}^1(\mathcal{H})$ において絶対収束する。
*$(4)$　$\mathbb{B}^1(\mathcal{H})=\left\{\sum_{n\in \mathbb{N}}u_n\odot v_n: (u_n)_{n\in \mathbb{N}},(v_n)_{n\in \mathbb{N}}\in \bigoplus_{n\in \mathbb{N}}\mathcal{H}\right\}$、$\mathbb{B}^1(\mathcal{H})\cap \mathbb{B}(\mathcal{H})_+=\left\{\sum_{n\in \mathbb{N}}v_n\odot v_n:(v_n)_{n\in \mathbb{N}}\in \bigoplus_{n\in \mathbb{N}}\mathcal{H}\right\}$ が成り立つ。
{{begin|proof}}
*$(1)$　$v=\lVert v\rVert e$ を満たす単位ベクトル $e\in \mathcal{H}$ を取る。$e$ を含む ${\cal H}$ のCONS $(e_j)_{j\in J}$ を取れば、
$$
{\rm Tr}(u\odot v)=\sum_{j\in J}(e_j\mid (u\odot v)e_j)=(e\mid (u\odot v)e)=\lVert v\rVert(e\mid u)=(v\mid u).
$$
*$(2)$　'''命題16.3'''の $(5)$ より $\lVert u\odot v\rVert\leq \lVert u\odot v\rVert_{\rm Tr}$ である。逆の不等式を示す。$u\odot v=V\lvert u\odot v\rvert$ を $u\odot v$ の極分解（'''定理9.4'''）とすると、
$$
\lvert u\odot v\rvert =V^*(u\odot v)=(V^*u)\odot v
$$
であるから、$(1)$ より、
$$
\lVert u\odot v\rVert_{\rm Tr}={\rm Tr}(\lvert u\odot v\rvert)={\rm Tr}((V^*u)\odot v)
=(v\mid V^*u)\leq\lVert u\rVert\lVert v\rVert=\lVert u\odot v\rVert.
$$
*$(3)$　任意の $(u_j)_{j\in J},(v_j)_{j\in J}\in \bigoplus_{j\in J}\mathcal{H}$ に対し $(2)$ とHölderの不等式より、
$$
\sum_{j\in J}\lVert u_j\odot v_j\rVert_{\rm Tr}=\sum_{j\in J}\lVert u_j\rVert\lVert v_j\rVert
\leq \lVert (u_j)_{j\in J}\rVert\lVert (v_j)_{j\in J}\rVert<\infty
$$
であるから、$\sum_{j\in J}u_j\odot v_j$ は $\mathbb{B}^1(\mathcal{H})$ において絶対収束する。
*$(4)$　任意の $T\in \mathbb{B}^1(\mathcal{H})$ を取り、$T$ の極分解を $T=V\lvert T\rvert$ とおく。'''命題16.7'''より $\lvert T\rvert\in\mathbb{B}_0(\mathcal{H})$ であるから'''定理13.7'''の $(3)$ より $\lvert T\rvert$ の固有ベクトルからなる $\mathcal{H}$ のCONS $(e_j)_{j\in J}$ が取れる。そこで $\lvert T\rvert e_j=\lambda_je_j$ $(\forall j\in J)$ とおくと、
$$
\{\lambda_j\}_{j\in J}\subset \sigma(\lvert T\rvert)\subset [0,\infty),\quad
\sum_{j\in J}\lambda_j=\sum_{j\in J}(e_j\mid \lvert T\rvert e_j)={\rm Tr}(\lvert T\rvert)<\infty
$$
である。よって、
$$
v_j\colon=\sqrt{\lambda_j}e_j,\quad u_j\colon=\sqrt{\lambda_j}V e_j\quad (\forall j\in J)
$$
とおけば $\sum_{j\in J}\lVert v_j\rVert^2=\sum_{j\in J}\lambda_j<\infty$、$\sum_{j\in J}\lVert u_j\rVert^2\leq\sum_{j\in J}\lambda_j<\infty$より $(u_j)_{j\in J},(v_j)_{j\in J}\in \bigoplus_{j\in J}{\cal H}$ であるから、$(3)$ より $\sum_{j\in J}u_j\odot v_j\in \mathbb{B}^1(\mathcal{H})$ はトレースノルムで収束する。'''命題13.7'''より $1=\sum_{j\in J}e_j\odot e_j$ (SOT収束)であるから、任意の $v\in {\cal H}$ に対し、
$$
Tv=T\sum_{j\in J}(e_j\odot e_j)v
=\sum_{j\in J}((V\lvert T\rvert e_j)\odot e_j)v=\sum_{j\in J}(\lambda_j(Ve_j)\odot e_j)v
=\sum_{j\in J}(u_j\odot v_j)v
$$
である。よって、
$$
T=\sum_{j\in J}u_j\odot v_j\quad(\text{トレースノルムで収束})
$$
が成り立つ。ここで[[位相線形空間1：ノルムと内積]]の'''命題5.3'''より、
$$
J_0\colon=\{j\in J:\lVert u_j\odot v_j\rVert_{\rm Tr}>0\}
$$
は可算集合であり、
$$
T=\sum_{j\in J}u_j\odot v_j=\sum_{j\in J_0}u_j\odot v_j\quad(\text{トレースノルムで収束})
$$
となる。よって$\mathbb{B}^1(\mathcal{H})=\left\{\sum_{n\in \mathbb{N}}u_n\odot v_n: (u_n)_{n\in \mathbb{N}},(v_n)_{n\in \mathbb{N}}\in \bigoplus_{n\in \mathbb{N}}\mathcal{H}\right\}$が成り立つ。$T\in \mathbb{B}^1({\cal H})\cap \mathbb{B}({\cal H})_+$の場合は、
$$
T=\sum_{j\in J}v_j\odot v_j\quad\text{(トレースノルムで収束)}
$$
と表されるので、ある可算集合 $J_1\subset J$に対し、
$$
T=\sum_{j\in J_1}v_j\odot v_j\quad\text{(トレースノルムで収束)}
$$
となる。よって$\mathbb{B}^1(\mathcal{H})\cap \mathbb{B}(\mathcal{H})_+=\left\{\sum_{n\in \mathbb{N}}v_n\odot v_n:(v_n)_{n\in \mathbb{N}}\in \bigoplus_{n\in \mathbb{N}}\mathcal{H}\right\}$ が成り立つ。
{{end|proof|}}

===定理16.16（$(\mathbb{B}^1(\mathcal{H}))^*=\mathbb{B}(\mathcal{H})$）===
任意の $A\in \mathbb{B}(\mathcal{H})$ に対し $\varphi_A\colon\mathbb{B}^1(\mathcal{H})\ni T\mapsto {\rm Tr}(AT)\in \mathbb{C}$ はBanach空間 $\mathbb{B}^1(\mathcal{H})$ 上の有界線形汎関数であり、
$$
\mathbb{B}(\mathcal{H})\ni A\mapsto \varphi_A\in (\mathbb{B}^1(\mathcal{H}))^*\quad\quad(*)
$$
は等長線形同型写像である。
{{begin|proof}}
'''命題16.12'''の $(1)$ より、$\varphi_A\colon \mathbb{B}^1(\mathcal{H})\ni T\mapsto {\rm Tr}(AT)\in \mathbb{C}$ は有界線型汎関数であり、
$(*)$ はノルム減少な線形写像である。$A_1,A_2\in \mathbb{B}(\mathcal{H})$ が $\varphi_{A_1}=\varphi_{A_2}$ を満たすならば、'''命題16.15'''の $(1)$ より、任意の $u,v\in \mathcal{H}$ に対し、
$$
(u\mid A_1v)={\rm Tr}(A_1v\odot u)=\varphi_{A_1}(v\odot u)=\varphi_{A_2}(v\odot u)={\rm Tr}(A_2v\odot u)=(u\mid A_2v)
$$
であるから $A_1=A_2$ である。よって $(*)$ は単射である。$(*)$ が全射かつ等長であることを示す。任意の $\varphi\in (\mathbb{B}^1(\mathcal{H}))^*$ に対し'''命題16.15'''の $(2)$ より、
$$
\mathcal{H}\times \mathcal{H}\ni (u,v)\mapsto \varphi(v\odot u)\in \mathbb{C}
$$
はノルムが $\lVert \varphi\rVert$ 以下の有界準双線形汎関数である。よって[[位相線形空間1：ノルムと内積]]の'''定理7.1'''より $A\in \mathbb{B}(\mathcal{H})$ で、
$$
\varphi(v\odot u)=(u\mid Av)\quad(\forall u,v\in \mathcal{H})
$$
を満たすものが定まり、$\lVert A\rVert\leq\lVert \varphi\rVert$ である。'''命題16.15'''の $(1)$ より、
$$
\varphi(v\odot u)=(u\mid Av)={\rm Tr}(Av\odot u)=\varphi_{A}(v\odot u)\quad(\forall u,v\in \mathcal{H})
$$
であるから、'''命題16.15'''の $(4)$ より $\varphi=\varphi_{A}$ である。そして、
$$
\lVert A\rVert\leq \lVert \varphi\rVert=\lVert \varphi_A\rVert\leq \lVert A\rVert
$$
であるから、$(*)$ は全射かつ等長である。
{{end|proof}}

===命題16.17（Hilbert-Schmidtクラス $\mathbb{B}^2(\mathcal{H})$ のCONS）===
$\mathcal{H}$ をHilbert空間、$(e_j)_{j\in J}$ を $\mathcal{H}$ のCONSとする。このとき $(e_i\odot e_j)_{(i,j)\in J\times J}$ は $\mathbb{B}^2(\mathcal{H})$ のCONSである。
{{begin|proof}}
任意の $(i,j),(i',j')\in J\times J$ に対し'''命題16.15'''の $(1)$ より、
$$
\begin{aligned}
(e_i\odot e_j\mid e_{i'}\odot e_{j'})_{\rm HS}&={\rm Tr}((e_i\odot e_j)^*(e_{i'}\odot e_{j'}))
={\rm Tr}((e_j\odot e_i)(e_{i'}\odot e_{j'}))\\
&=(e_i\mid e_{i'}){\rm Tr}(e_j\odot e_{j'})
=(e_i\mid e_{i'})(e_{j'}\mid e_j)
\end{aligned}
$$
であるから $(e_i\odot e_j)_{(i,j)\in J\times J}$ は $\mathbb{B}^2(\mathcal{H})$ のONSである。$\{e_i\odot e_j\}_{(i,j)\in J\times J}\subset \mathbb{B}^2(\mathcal{H})$ の直交補空間の任意の元 $T$ に対し、
$$
\begin{aligned}
(e_i\mid Te_j)={\rm Tr}(Te_j\odot e_i)={\rm Tr}((e_j\odot e_i)T)={\rm Tr}((e_i\odot e_j)^*T)
=((e_i\odot e_j)\mid T)_{\rm Tr}=0
\end{aligned}
$$
であるから、任意の $u,v\in \mathcal{H}$ に対し、
$$
(u\mid Tv)=\sum_{i\in J}(u\mid (e_i\mid Tv)e_i)=\sum_{i\in J}(e_i\mid Tv)(u\mid e_i)=
\sum_{i\in J}\sum_{j\in J}(e_i\mid Te_j)(e_j\mid v)(u\mid e_i)=0
$$
である。よって $T=0$ であるから $(e_i\odot e_j)_{(i,j)\in J\times J}$ は $\mathbb{B}^2(\mathcal{H})$ のCONSである。
{{end|proof}}

===定理16.18（Hilbert-Schmidt積分作用素）===
$X$ を第二可算局所コンパクトHausdorff空間、$\mu\colon\mathcal{B}_X\rightarrow[0,\infty]$ をRadon測度とする。このとき任意の $K\in L^2(X\times X,\mu\otimes \mu)=L^2(X,\mu)\otimes L^2(X,\mu)$（$L^2$ 空間のテンソル積については'''定義12.9'''を参照）に対し、$\widehat{K}\in \mathbb{B}^2(L^2(X,\mu))$ で、
$$
([f]\mid \widehat{K}[g])_2=\int_{X\times X}\overline{f(x)}K(x,y)g(y)d(\mu\otimes\mu)(x,y)\quad(\forall [f],[g]\in L^2(X,\mu))
$$
を満たすものが一意的に定まり、
$$
L^2(X\times X,\mu\otimes \mu)\ni K\mapsto \widehat{K}\in \mathbb{B}^2(L^2(X,\mu))
$$
はユニタリ作用素である。また任意の $[\varphi],[\psi]\in L^2(X,\mu)$ に対し、
$$
\widehat{[\varphi]\otimes [\overline{\psi}]}=[\varphi]\odot [\psi]
$$
（左辺はテンソル積、右辺はSchatten形式）が成り立つ。
{{begin|proof}}
任意の $K\in L^2(X\times X,\mu\otimes\mu)$ に対しHölderの不等式とFubiniの定理より、
$$
L^2(X,\mu)\times L^2(X,\mu)\ni ([f],[g])\mapsto \int_{X\times X}\overline{f(x)}g(y)K(x,y)d(\mu\otimes\mu)(x,y)\in \mathbb{C}
$$
はノルムが $\lVert K\rVert_2$ 以下の有界準双線形汎関数であるから、[[位相線形空間1：ノルムと内積]]の'''定理7.1'''より、$\widehat{K}\in \mathbb{B}(L^2(X,\mu))$ で、
$$
([f]\mid \widehat{K}[g])_2=\int_{X\times X}\overline{f(x)}g(y)K(x,y)d(\mu\otimes\mu)(x,y)\quad(\forall [f],[g]\in L^2(X,\mu))
$$
を満たすものが定まり、
$$
L^2(X\times X,\mu\otimes\mu)\ni K\mapsto \widehat{K}\in \mathbb{B}(L^2(X,\mu))\quad\quad(*)
$$
はノルム減少な有界線形作用素である。'''定義12.9'''より、
$$
L^2(X\times X,\mu\otimes \mu)=L^2(X,\mu)\otimes L^2(X,\mu)=\overline{{\rm span}\{[\varphi]\otimes [\psi]:[\varphi],[\psi]\in L^2(X,\mu)\}}
$$
であり、任意の $[\varphi],[\psi]\in L^2(X,\mu)$ に対し、Fubiniの定理より、
$$
\begin{aligned}
&\left([f]\mid (\widehat{[\varphi]\otimes [\overline{\psi}]})[g]\right)_2
=\int_{X\times X}\overline{f(x)}\varphi(x)\overline{\psi(y)}g(y)d(\mu\otimes\mu)(x,y)\\
&=\int_{X}\overline{f(x)}\varphi(x)d\mu(x)\int_{X}\overline{\psi(y)}g(y)d\mu(y)
=([f]\mid [\varphi])_2([\psi]\mid [g])_2\\
&=\left([f]\mid \left([\varphi]\odot [\psi]\right)[g]\right)\quad(\forall [f],[g]\in L^2(X,\mu))
\end{aligned}
$$
であるから、
$$
\widehat{[\varphi]\otimes [\overline{\psi}]}=[\varphi]\odot [\psi]\quad(\forall [\varphi],[\psi]\in L^2(X,\mu))
$$
が成り立つ。任意の $[\varphi_1],[\psi_1],[\varphi_2],[\psi_2]\in L^2(X,\mu)$ に対し、
$$
\begin{aligned}
&\left(\widehat{[\varphi_1]\otimes [\overline{\psi_1}]}\mid \widehat{[\varphi_2]\otimes [\overline{\psi_2}]}\right)_{\rm HS}=([\varphi_1]\odot [\psi_1]\mid [\varphi_2]\odot [\psi_2])_{\rm HS}
={\rm Tr}\left(([\varphi_1]\odot [\psi_1])^*([\varphi_2]\odot [\psi_2])\right)\\
&={\rm Tr}\left(([\psi_1]\odot [\varphi_1])([\varphi_2]\odot [\psi_2])\right)
=([\varphi_1]\mid [\varphi_2])_2{\rm Tr}([\psi_1]\odot [\psi_2])
=([\varphi_1]\mid [\varphi_2])_2([\psi_2]\mid [\psi_1])_2\\
&=([\varphi_1]\mid [\varphi_2])_2([\overline{\psi_1}]\mid [\overline{\psi_2}])_2
=([\varphi_1]\otimes [\overline{\psi_1}]\mid [\varphi_2]\otimes [\overline{\psi_2}])_2
\end{aligned}
$$
であるから、
$$
{\rm span}\{[\varphi]\otimes [\psi]:[\varphi],[\psi]\in L^2(X,\mu)\}\ni K\mapsto \widehat{K}\in \mathbb{B}^2(L^2(X,\mu))\quad\quad(**)
$$
は内積を保存する線形作用素であり、その値域
$$
{\rm span}\{[\varphi]\odot [\psi]:[\varphi],[\psi]\in L^2(X,\mu)\}\subset \mathbb{B}^2(L^2(X,\mu))
$$
は'''定理16.17'''より $\mathbb{B}^2(L^2(X,\mu))$ において稠密である。よって $(**)$ を $L^2(X\times X,\mu\otimes \mu)$ 上に一意拡張したもの
$$
U\colon L^2(X\times X,\mu\otimes\mu)\rightarrow \mathbb{B}^2(L^2(X,\mu))
$$
はユニタリ作用素である。後は任意の $K\in L^2(X\times X,\mu\otimes \mu)$ に対し $UK=\widehat{K}$ が成り立つことを示せばよい。そこで ${\rm span}\{[\varphi]\otimes [\psi]:[\varphi],[\psi]\in L^2(X,\mu)\}$ の列 $(K_n)_{n\in \mathbb{N}}$ で $\lim_{n\rightarrow\infty}\lVert K_n-K\rVert_2=0$ を満たすものを取る。すると $(*)$ がノルム減少であることから、
$$
\lVert \widehat{K}-\widehat{K_n}\rVert\leq \lVert K-K_n\rVert_2\rightarrow0\quad(n\rightarrow\infty)
$$
が成り立ち、作用素ノルムがHilbert-Shcmidtノルム以下であることから、
$$
\lVert UK-\widehat{K_n}\rVert\leq \lVert UK-\widehat{K_n}\rVert_{\rm HS}=\lVert K-K_n\rVert_2\rightarrow0\quad(n\rightarrow\infty)
$$
が成り立つ。よって、
$$
\lVert \widehat{K}-UK\rVert\leq \lVert \widehat{K}-\widehat{K_n}\rVert+\lVert \widehat{K_n}-UK\rVert\rightarrow0\quad(n\rightarrow\infty)
$$
であるから $\widehat{K}=UK$ が成り立つ。
{{end|proof}}

'''定理16.18'''における $\widehat{K}\in \mathbb{B}^2(L^2(X,\mu))$ を $K\in L^2(X\times X,\mu\otimes\mu)$ を積分核とするHilbert-Schmidt積分作用素と言う。Fubiniの定理より、
$$
\int_{X}\overline{f(x)}(\widehat{K}[g])(x)d\mu(x)=
([f]\mid \widehat{K}[g])_2=\int_{X}\overline{f(x)}\int_{X}K(x,y)g(y)d\mu(y)d\mu(x)\quad(\forall [f],[g]\in L^2(X,\mu))
$$
であるから、任意の$[g]\in L^2(X,\mu)$に対し $\widehat{K}[g]\in L^2(X,\mu)$ の代表元は、$\mu$ -a.e. $x\in X$ で、
$$
\int_{X}K(x,y)g(y)d\mu(y)
$$
である。

==17.加藤-Rellichの定理と中心力ポテンシャルを持つSchrödinger作用素==

===命題17.1（$L^2(\mathbb{R}^N)$ 上のラプラシアンのFourier変換による対角化）===
$\mathbb{R}^N$ 上のラプラシアン $-\Delta$ は、定義域をSobolev空間 $H^2(\mathbb{R}^N)$<ref>[[Sobolev空間の基本事項]]を参照。</ref>とする $L^2(\mathbb{R}^N)$ 上の非負自己共役作用素である。そしてそのスペクトル $\sigma(-\Delta)$ と点スペクトル（固有値全体） $\sigma_{\rm p}(-\Delta)$ は、
$$
\sigma(-\Delta)=[0,\infty),\quad \sigma_{\rm p}(-\Delta)=\emptyset
$$
であり、任意のBorel関数 $f\colon[0,\infty)\rightarrow \mathbb{C}$ に対し、
$$
f(-\Delta)=\mathcal{F}^{-1}f(\lvert {\rm id}\rvert^2)\mathcal{F}
$$
が成り立つ。ただし $\mathcal{F}\colon L^2(\mathbb{R}^N)\rightarrow L^2(\mathbb{R}^N)$ はFourier変換<ref>Plancherelの定理（（[[緩増加超関数とFourier変換]]の'''定理19.1'''）よりユニタリ作用素である。</ref>であり、
左辺の $f(-\Delta)$ は自己共役作用素 $-\Delta$ に関するBorel汎関数計算（'''定義8.5'''）、右辺の $f(\lvert {\rm id}\rvert^2)$ は、Borel関数 $f(\lvert {\rm id}\rvert^2)\colon\mathbb{R}^N\ni x\mapsto f(\lvert x\rvert^2)\in \mathbb{C}$ による掛け算作用素（'''定義10.2'''）である。また、$f$ が連続関数の場合は $f(-\Delta)$ のスペクトルは、
$$
\sigma(f(-\Delta))=\overline{f([0,\infty))}
$$
である。
{{begin|proof}}
[[Sobolev空間の基本事項]]の'''命題38.1'''と[[緩増加超関数とFourier変換]]の'''命題18.3'''より、
$$
\begin{aligned}
H^2(\mathbb{R}^N)&=\{u\in L^2(\mathbb{R}^N):(1+\lvert {\rm id}\rvert^2)\mathcal{F}u\in L^2(\mathbb{R}^N)\}
=\{u\in L^2(\mathbb{R}^N):\lvert {\rm id}\rvert^2\mathcal{F}u\in L^2(\mathbb{R}^N)\}\\
&=\{u\in L^2(\mathbb{R}^N):-\mathcal{F}\Delta u\in L^2(\mathbb{R}^N)\}=\{u\in L^2(\mathbb{R}^N):-\Delta u\in L^2(\mathbb{R}^N)\}
\end{aligned}
$$
であり、
$$
-\Delta\colon H^2(\mathbb{R}^N)\ni u\mapsto -\Delta u\in L^2(\mathbb{R}^N)\quad\quad(*)
$$
は、$\lvert{\rm id}\rvert^2\colon \mathbb{R}^N\ni x\mapsto \lvert x\rvert^2\in [0,\infty)$ による掛け算作用素により、
$$
-\Delta =\mathcal{F}^{-1}\lvert {\rm id}\rvert^2\mathcal{F}
$$
と表せる。$\lvert {\rm id}\rvert^2$ による掛け算作用素は $L^2(\mathbb{R}^N)$ 上の非負自己共役作用素である<ref>非負値可測関数の射影値測度による積分は'''命題6.8'''の $(2)$ と'''命題6.12'''より非負自己共役作用素である。</ref>ので、$(*)$ も $L^2(\mathbb{R}^N)$ 上の非負自己共役作用素である。そして $\sigma(-\Delta)=\sigma(\lvert {\rm id}\rvert^2)$, $\sigma_{\rm p}(-\Delta)=\sigma_{\rm p}(\lvert {\rm id}\rvert^2)$ である。
'''命題10.4'''より $\sigma(\lvert {\rm id}\rvert^2)=[0,\infty)$ であるから $\sigma(-\Delta)=\sigma(\lvert {\rm id}\rvert^2)=[0,\infty)$ である。$\sigma_{\rm p}(-\Delta)=\emptyset$ を示せすためには $\sigma_{\rm p}(\lvert {\rm id}\rvert^2)=\emptyset$ を示せばよい。そこで $\lambda\in \sigma_{\rm p}(\lvert {\rm id}\rvert^2)$ が存在すると仮定して矛盾を導く。$L^2(\mathbb{R}^N)$ 上の掛け算作用素 $\lvert {\rm id}\rvert^2$ の固有値 $\lambda$ に対する固有ベクトル $[g]\in L^2(\mathbb{R}^N)$ を取る（固有ベクトルなので $[g]\neq0$ である）。このとき、
$$
0=\lVert (\lambda-\lvert{\rm id}\rvert^2)[g]\rVert_2^2=\int_{\mathbb{R}^N}\lvert (\lambda-\lvert x\rvert^2)g(x)\rvert^2 dx
$$
であるから、
$$
(\lambda-\lvert x\rvert^2)g(x)=0\quad(\text{Lebesgue測度に関して a.e. $x\in \mathbb{R}^N$})\quad\quad(**)
$$
である。ここで、
$$
\{x\in \mathbb{R}^N:\lambda-\lvert x\rvert^2=0\}\quad\quad(***)
$$
は $\lambda=0$ の場合は $\{0\}$ であり、$\lambda>0$ の場合は $\mathbb{R}^N$ 内の $N-1$ 次元多様体（球面）である<ref>$h\colon\mathbb{R}^N\rightarrow \mathbb{R}$ を $h(x)=\lambda-\lvert x\rvert^2$ とおけば $(***)$ の任意の元 $x$ に対し $dh_x=-\sum_{j=1}^{N}2x_jdx_j\neq0$ であるから[[ベクトル解析1：Euclid空間内の多様体上の関数の微分]]の'''定理8.2'''（陰関数定理）より $(**)$ は $\mathbb{R^N}$ 内の $N-1$ 次元多様体である。</ref>ので、[[ベクトル解析4：Euclid空間内の多様体上の測度と積分]]の'''命題16.10'''より $(***)$ のLebesgue測度は $0$ である。ゆえにLebesgue測度に関して a.e. $x\in \mathbb{R}^N$ で、$\lvert x\rvert^2\neq\lambda$ であるから、$(**)$ よりLebesgue測度に関して a.e. $x\in \mathbb{R}^N$ で $g(x)=0$ である。これは $[g]\in L^2(\mathbb{R}^N)$ が $0$ であることを意味するので矛盾する。ゆえに $\sigma_{\rm p}(-\Delta)=\emptyset$ である。 
今、$E\colon \mathcal{B}_{\mathbb{R}^N}\rightarrow \mathbb{P}(L^2(\mathbb{R}^N))$ を $L^2(\mathbb{R}^N)$ 上の掛け算作用素を表す射影値測度（'''定義10.2'''）とすると、
$$
-\Delta=\mathcal{F}^{-1}\lvert {\rm id}\rvert^2\mathcal{F}=\mathcal{F}^{-1}\int_{\mathbb{R}^N}\lvert x\rvert^2dE(x)\mathcal{F}
$$
であるから、'''命題6.9'''より、射影値測度 $\mathcal{F}^{-1}E\mathcal{F}\colon \mathcal{B}_{\mathbb{R}^N}\rightarrow \mathbb{P}(L^2(\mathbb{R}^N))$ に対し、
$$
-\Delta=\int_{\mathbb{R}^N}\lvert x\rvert^2d(\mathcal{F}^{-1}E\mathcal{F})(x)
$$
である。よって'''命題8.6'''と'''命題6.9'''より、
$$
f(-\Delta)=\int_{\mathbb{R}^N}f(\lvert x\rvert^2)d(\mathcal{F}^{-1}E\mathcal{F})(x)
=\mathcal{F}^{-1}\left(\int_{\mathbb{R}^N}f(\lvert x\rvert^2)dE(x)\right)\mathcal{F}
=\mathcal{F}^{-1}f(\lvert {\rm id}\rvert^2)\mathcal{F}
$$
である。 
$f$ が連続関数の場合は'''命題8.7'''の $(8)$ より $f(-\Delta)=\overline{f(\sigma(-\Delta))}=\overline{f([0,\infty))}$ である。
{{end|proof}}

===補題17.2===
任意の $V\in L^2(\mathbb{R}^3)$ に対し、
$$
V(-\Delta+1)^{-1}f\in L^2(\mathbb{R}^3)\quad(\forall f\in L^2(\mathbb{R}^3))
$$
であり、
$$
L^2(\mathbb{R}^3)\ni f\mapsto V(-\Delta+1)^{-1}f\in L^2(\mathbb{R}^3)
$$
はHilbert-Schmidtクラス $\mathbb{B}(L^2(\mathbb{R}^3))$ に属する。特に $L^2(\mathbb{R}^3)$ 上のコンパクト作用素である（'''命題16.7'''）。
{{begin|proof}}
Fourier変換 $\mathcal{F}\colon L^2(\mathbb{R}^3)\rightarrow L^2(\mathbb{R}^3)$ に対し、'''命題17.1'''より、
$$
(-\Delta+1)^{-1}=\mathcal{F}^{-1}(\lvert {\rm id}\rvert^2+1)^{-1}\mathcal{F}
$$
である。$(\lvert {\rm id}\rvert^2+1)^{-1}\in L^2(\mathbb{R}^3)$ であるから、Hölderの不等式より、
$$
(\lvert {\rm id}\rvert^2+1)^{-1}\mathcal{F}f\in L^1(\mathbb{R}^3)\quad(\forall f\in L^2(\mathbb{R}^3))
$$
であり、[[緩増加超関数とFourier変換]]の'''命題15.3'''の $(5)$ より $\mathcal{F}^{-1}(L^1(\mathbb{R}^3))\subset C_0(\mathbb{R}^3)$ であるので、
$$
(-\Delta+1)^{-1}f=\mathcal{F}^{-1}(\lvert {\rm id}\rvert^2+1)^{-1}\mathcal{F}f\in C_0(\mathbb{R}^3)\quad(\forall f\in L^2(\mathbb{R}^3))
$$
である。今、急減少関数空間 $\mathcal{S}_3$ の列 $(V_n)_{n\in \mathbb{N}}$ で $\lim_{n\rightarrow\infty}\lVert V-V_n\rVert_2=0$ なるものを取る。すると[[合成積とFourier変換]]の'''定理24.3'''と'''命題29.3'''（Youngの不等式）より $L^2(\mathbb{R}^3)$ において、
$$
\begin{aligned}
V(-\Delta+1)^{-1}f&=\lim_{n\rightarrow\infty}V_n(-\Delta+1)^{-1}f
=\lim_{n\rightarrow\infty}(\mathcal{F}^{-1}\mathcal{F}V_n)\mathcal{F}^{-1}(\lvert {\rm id}\rvert^2+1)\mathcal{F}f\\
&=\lim_{n\rightarrow\infty}\mathcal{F}^{-1}\left(\left((\lvert {\rm id}\rvert^2+1)^{-1}\mathcal{F}f\right)*\mathcal{F}V_n\right)\\
&=\mathcal{F}^{-1}\left(\left((\lvert {\rm id}\rvert^2+1)^{-1}\mathcal{F}f\right)*\mathcal{F}V\right)\quad(\forall f\in L^2(\mathbb{R}^3))
\end{aligned}
$$
となる。そこで $K\in L^2(\mathbb{R}^3\times \mathbb{R}^3)$ を、
$$
K(x,y)=\frac{1}{(2\pi)^{\frac{3}{2}}}\frac{\mathcal{F}V(x-y)}{\lvert y\rvert^2+1}\quad(\forall (x,y)\in \mathbb{R}^3\times \mathbb{R}^3)
$$
と定義し、$K$ を積分核とするHilbert-Schmidt積分作用素（'''定理16.18'''）を $\widehat{K}\in \mathbb{B}^2(L^2(\mathbb{R}^3))$ とおけば、
$$
V(-\Delta+1)^{-1}f=\mathcal{F}^{-1}\left(\left((\lvert {\rm id}\rvert^2+1)^{-1}\mathcal{F}f\right)*\mathcal{F}V\right)=\mathcal{F}^{-1}\widehat{K}\mathcal{F}f\quad(\forall f\in L^2(\mathbb{R}^3))
$$
である。Hilbert-Schmidtクラス $\mathbb{B}^2(L^2(\mathbb{R}^3))$ は $\mathbb{B}(L^2(\mathbb{R}^3))$ のイデアル（'''命題16.6'''）であるから、
$$
\mathcal{F}^{-1}\widehat{K}\mathcal{F}\in \mathbb{B}^2(L^2(\mathbb{R}^3))
$$
である。よって、
$$
L^2(\mathbb{R}^3)\ni f\mapsto V(-\Delta+1)^{-1}f\in L^2(\mathbb{R}^3)
$$
はHilbert-Schmidtクラス $\mathbb{B}^2(L^2(\mathbb{R}^3))$ に属する。
{{end|proof}}

===定理17.3（加藤-Rellichの定理2）===
実数値の $V\in L^2_{\rm loc}(\mathbb{R}^3)$ に対し $L^2(\mathbb{R}^3)$ の列 $(V_n)_{n\in \mathbb{N}}$ で、
$$
V-V_n\in L^\infty(\mathbb{R}^3)\quad(\forall n\in \mathbb{N}),\quad \lim_{n\rightarrow\infty}\lVert V-V_n\rVert_{\infty}=0
$$
を満たすものが取れるとする。このとき $V$ による $L^2(\mathbb{R}^3)$ 上の掛け算作用素（'''定義10.2'''）は、自己共役作用素 $-\Delta\colon H^2(\mathbb{R}^3)\rightarrow L^2(\mathbb{R}^3)$ に対して相対コンパクト（'''定義15.3'''）である。
{{begin|proof}}
'''補題17.2'''より任意の $n\in \mathbb{N}$ に対し、
$$
V_n(-\Delta+1)^{-1}\colon L^2(\mathbb{R}^3)\ni f\mapsto V_n(-\Delta+1)^{-1}f\in L^2(\mathbb{R}^3)
$$
は $L^2(\mathbb{R}^3)$ 上のコンパクト作用素である。
$$
V(-\Delta+1)^{-1}=(V-V_n)(-\Delta+1)^{-1}+V_n(-\Delta+1)^{-1}\in \mathbb{B}(L^2(\mathbb{R}^3))
$$
であり、
$$
\lVert V(-\Delta+1)^{-1}-V_n(-\Delta+1)^{-1}\rVert\leq \lVert V-V_n\rVert_{\infty}\lVert (-\Delta+1)^{-1}\rVert\rightarrow0\quad(n\rightarrow\infty)
$$
であるから $V(-\Delta+1)^{-1}$ は $L^2(\mathbb{R}^3)$ 上のコンパクト作用素である<ref>コンパクト作用素環 $\mathbb{B}_0(L^2(\mathbb{R}^3))$ は作用素ノルムで閉であることによる。</ref>よって $V$ は $-\Delta$ に対して相対コンパクトである。
{{end|proof}}

===定理17.4（加藤-Rellichの定理3（中心力ポテンシャルを持つSchrödinger作用素））===
$\alpha\in (0,\frac{3}{2})$ と $k\in (0,\infty)$ に対し、
$$
V(x)\colon=-\frac{k}{\lvert x\rvert^\alpha}\quad(\forall x\in \mathbb{R}^3)
$$
として $V\in L^2_{\rm loc}(\mathbb{R}^3)$ を定義する。このとき、
*$(1)$　$V$ による $L^2(\mathbb{R}^3)$ 上の掛け算作用素は自己共役作用素 $-\Delta\colon H^2(\mathbb{R}^3)\rightarrow L^2(\mathbb{R}^3)$ に対して相対コンパクト（'''定義15.3'''）である。そして $H_V\colon=-\Delta+V$ は $H^2(\mathbb{R}^3)$ を定義域とする $L^2(\mathbb{R}^3)$ 上の下に有界な自己共役作用素であり、$D(\mathbb{R}^3)$ は $H_V$ の芯である。また $H_V$ の真性スペクトル（'''定義14.1'''）は $\sigma_{\rm ess}(H_V)=[0,\infty)$ である。
*$(2)$　$H_V$ は可算無限個の離散固有値（'''定義14.1'''）を持つ。そしてこれらを下から並べたものを $(\lambda_n)_{n\in\mathbb{N}}$ とおくと、$\lim_{n\rightarrow\infty}\lambda_n=\sup_{n\in\mathbb{N}}\lambda_n=0$ が成り立つ。
{{begin|proof}}
$(1)$　各 $n\in \mathbb{N}$ に対し $V_n\colon \mathbb{R}^3\rightarrow\mathbb{R}$ を、
$$
V_n(x)\colon=\begin{cases}V(x)\quad&(\lvert x\rvert\leq n)\\0&(n<\lvert x\rvert)\end{cases}
$$
とおくと、極座標変換（[[ベクトル解析4：Euclid空間内の多様体上の測度と積分]]の'''定理18.4'''）と $2\alpha<3$ より、
$$
\int_{\mathbb{R}^3}\lvert V_n(x)\rvert^2 dx=\mu_{S_2}(S_2)\int_{0}^{n}r^2\frac{k^2}{r^{2\alpha}}dr=\mu_{S_2}(S_2)\frac{k^2}{3-2\alpha}n^{3-2\alpha}<\infty
$$
であるから $V_n\in L^2(\mathbb{R}^3)$ であり、$0<\alpha$ より、
$$
\lVert V-V_n\rVert_{\infty}\leq \frac{k}{n^{\alpha}}\rightarrow0\quad(n\rightarrow\infty)
$$
である。よって'''定理17.3'''より $V$ は掛け算作用素として $-\Delta$ に対して相対コンパクトである。ここで'''命題17.1'''より $-\Delta\colon H^2(\mathbb{R}^3)\rightarrow L^2(\mathbb{R}^3)$ は $L^2(\mathbb{R}^3)$ 上の下に有界な自己共役作用素であり $\sigma_{\rm ess}(-\Delta)=\sigma(-\Delta)=[0,\infty)$ である。よって'''定理15.5'''と'''定理15.1'''より $H_V=-\Delta+V\colon H^2(\mathbb{R}^3)\rightarrow L^2(\mathbb{R}^3)$ も $L^2(\mathbb{R}^3)$ 上の下に有界な自己共役作用素であり、$-\Delta$ の芯 $D(\mathbb{R}^3)$<ref>[[Sobolev空間の基本事項]]の'''定理32.2'''を参照。</ref> は $H_V$ の芯でもあり、$\sigma_{\rm ess}(H_V)=\sigma_{\rm ess}(-\Delta)=[0,\infty)$ である。
*$(2)$　$(1)$ より $H_V$ は下に有界な自己共役作用素である。そこで $H_V$ の特性レベル（'''定義14.10'''）を $(\mu_n(H_V))_{n\in \mathbb{N}}$ とおく。$(1)$ より $\sigma_{\rm ess}(H_V)=[0,\infty)$ であるから'''定理14.12'''の $(2)$ より、
$$
\sup_{n\in \mathbb{N}}\mu_n(H_V)={\rm min}(\sigma_{\rm ess}(H_V))=0
$$
である。よって'''定理14.12'''の $(3)$ より、
$$
\mu_n(H_V)<0\quad(\forall n\in \mathbb{N})\quad\quad(*)
$$
が成り立つことを示せばよい。今、Urysohnの補題（[[ベクトル解析4：Euclid空間内の多様体上の測度と積分]]の'''定理15.5'''）により非負値の $\psi\in D(\mathbb{R}^3)$ で、
$$
\lVert \psi\rVert_2=1,\quad {\rm supp}(\psi)\subset \{x\in \mathbb{R}^2:1<\lvert x\rvert<2\}
$$
を満たすものを取る。そして任意の $R\in (0,\infty)$ に対し $\psi_R\in D(\mathbb{R}^3)$ を、
$$
\psi_R(x)\colon=R^{-\frac{3}{2}}\psi(R^{-1}x)\quad(\forall x\in \mathbb{R}^3)
$$
として定義する。このとき変数変換より、
$$
\lVert \psi_R\rVert_2=1,\quad {\rm supp}(\psi_R)\subset \{x\in \mathbb{R}^3:R<\lvert x\rvert<2R\}\quad\quad(**)
$$
であり、
$$
(\psi_R\mid -\Delta\psi_R)_2=R^{-2}(\psi\mid -\Delta\psi)_2,\quad
(\psi_R\mid V\psi_R)_2=R^{-\alpha}(\psi\mid V\psi)_2\quad(\forall R\in (0,\infty))\quad\quad(***)
$$
である。
$$
2-\alpha>0,\quad(\psi\mid V\psi)_2<0
$$
であるから、$(***)$ より、十分大きい $R_0\in (0,\infty)$ を取れば、
$$
\begin{aligned}
(\psi_R\mid H_V\psi_R)_2&=(\psi_R\mid -\Delta \psi_R)_2+(\psi_R\mid V\psi_R)_2=R^{-2}(\psi\mid -\Delta \psi)_2+R^{-\alpha}(\psi\mid V\psi)_2\\
&=R^{-2}\left((\psi\mid -\Delta\psi)_2+R^{2-\alpha}(\psi\mid V\psi)_2\right)<0\quad(\forall R\in [R_0,\infty))\quad\quad(****)
\end{aligned}
$$
となる。そこで、
$$
\varphi_n\colon=\psi_{2^nR_0}\in D(\mathbb{R}^3)\quad(\forall n\in \mathbb{N})
$$
とおくと、$(**)$, $(****)$ より、
$$
\lVert \varphi_n\rVert_2=1,\quad {\rm supp}(\varphi_n), {\rm supp}(H_V\varphi_n)\subset \{x\in \mathbb{R}^3:2^nR_0<\lvert x\rvert<2^{n+1}R_0\}\quad(\forall n\in\mathbb{N}),\quad\quad(*****)
$$
$$
(\varphi_n\mid H_V\varphi_n)<0\quad(\forall n\in \mathbb{N})\quad\quad(******)
$$
が成り立つ。$(*****)$ より特に $(\varphi_n)_{n\in \mathbb{N}}$ はHilbert空間 $L^2(\mathbb{R}^3)$ のONSである。各 $n\in \mathbb{N}$ に対し $\varphi_1,\ldots,\varphi_n$ によって張られる $L^2(\mathbb{R}^3)$ の $n$ 次元部分空間の上への射影作用素を $P_n$ とおき、
$$
H_{V,n}\colon {\rm Ran}(P_n)\ni f\mapsto P_nH_Vf\in {\rm Ran}(P_n)
$$
なる ${\rm Ran}(P_n)$ 上の自己共役作用素を定義する。このとき $(*****)$ より $\varphi_1,\ldots,\varphi_n\in {\rm Ran}(P_n)$ は $H_{V,n}$ の単位固有ベクトルからなるCONSである。よって $H_{V,n}$ の固有値は $(\varphi_j\mid H_{V}\varphi_j)_2$ ($j=1,\ldots,n$) であるから、Reyleigh-Ritzの原理（'''命題14.13'''）と $(******)$ より、
$$
\mu_n(H_V)\leq \mu_n(H_{V,n})={\rm max}\{(\varphi_j\mid H_{V}\varphi_j)_2:j=1,\ldots,n\}<0
$$
である。よって $(*)$ が成り立つ。
{{end|proof}}

===定理17.5（加藤-Rellichの定理4（中心力ポテンシャルを持つSchrödinger作用素））===
$\alpha\in (0,\frac{3}{2}), k_j,K_{j,k}\in [0,\infty)$ $(j,k\in \{1,\ldots,N\}, j\neq k)$ とし、
$$
V(x_1,\ldots,x_N)\colon=-\sum_{j=1}^{N}\frac{k_j}{\lvert x_j\rvert^{\alpha}}-\sum_{j\neq k}\frac{K_{j,k}}{\lvert x_j-x_k\rvert^{\alpha}}
$$
として $V\in L^2_{\rm loc}(\mathbb{R}^{3N})$ を定義する。このとき $V$ による $L^2(\mathbb{R}^{3N})$ 上の掛け算作用素は自己共役作用素 $-\Delta \colon H^2(\mathbb{R}^{3N})\rightarrow L^2(\mathbb{R}^{3N})$ に対して無限小（'''定義15.2'''）である。そして $H_V\colon =-\Delta+V$ は $H^2(\mathbb{R}^{3N})$ を定義域とする下に有界な自己共役作用素であり、$D(\mathbb{R}^{3N})$ を芯として持つ。
{{begin|proof}}
'''定理15.1'''より、掛け算作用素 $V$ が $-\Delta$ に対して無限小であることを示せば十分である。
任意の $j,k\in \{1,\ldots,N\}$ $(j\neq k)$ に対し $V_j,V_{j,k}\in L^2_{\rm loc}(\mathbb{R}^{3N})$ を、
$$
V_j(x_1,\ldots,x_N)\colon=-\frac{k_j}{\lvert x_j\rvert^{\alpha}},\quad V_{j,k}(x_1,\ldots,x_N)\colon=-\frac{K_{j,k}}{\lvert x_j-x_k\rvert^{\alpha}}
$$
と定義する。掛け算作用素 $V$ が $-\Delta$ に対して無限小であることを示すには、掛け算作用素 $V_j,V_{j,k}$ がそれぞれ $-\Delta$ に対して無限小であることを示せばよい。
*$(1)$　各 $j\in \{1,\ldots,N\}$ に対し $V_j$ が $-\Delta$ に対して無限小であることを示す。'''定理17.4'''より $L^2(\mathbb{R}^3)$ 上の掛け算作用素 $-\frac{k_j}{\lvert {\rm id}\rvert^{\alpha}}$ は自己共役作用素 $-\Delta\colon H^2(\mathbb{R}^3)\rightarrow L^2(\mathbb{R}^3)$ に対して相対コンパクトであるので特に無限小である。よって任意の $\epsilon\in (0,1)$ に対し $b_{\epsilon}\in [0,\infty)$ が存在し、任意の $\varphi\in D(\mathbb{R}^{3N})$ に対し、
$$
\begin{aligned}
&\left(\int_{\mathbb{R}^3}\lvert V_j(x_1,\ldots,x_N)\varphi(x_1,\ldots,x_N)\rvert^2dx_j\right)^{\frac{1}{2}}\\
&\leq \epsilon\left(\int_{\mathbb{R}^3}\lvert\Delta_{x_j}\varphi(x_1,\ldots,x_N)\rvert^2dx_j\right)^{\frac{1}{2}}+b_{\epsilon}\left(\int_{\mathbb{R}^3}\lvert \varphi(x_1,\ldots,x_N)\rvert^2dx_j\right)^{\frac{1}{2}}
\end{aligned}
$$
が成り立つ。よってMinkowskiの不等式とTonelliの定理より、
$$
\lVert V_j\varphi\rVert_2\leq \epsilon\lVert -\Delta_{x_j}\varphi\rVert_2+b_{\epsilon}\lVert\varphi\rVert_2\quad(\forall \varphi\in D(\mathbb{R}^{3N}))\quad\quad(*)
$$
が成り立つ。'''命題17.1'''より、
$$
-\Delta_{x_j}=\mathcal{F}^{-1}\lvert {\rm id}_j\rvert^2\mathcal{F},\quad
-\Delta=\mathcal{F}^{-1}\lvert {\rm id}\rvert^2\mathcal{F}
$$
であるから、
$$
\lVert V_j\varphi\rVert_2=\lVert \lvert {\rm id}_j\rvert^2\mathcal{F}\varphi\rVert_2
\leq \lVert \lvert {\rm id}\rvert^2\mathcal{F}\varphi\rVert_2=\lVert-\Delta\varphi\rVert_2\quad(\forall \varphi\in D(\mathbb{R}^{3N}))\quad\quad(**)
$$
である。よって $(*),(**)$ より、
$$
\lVert V_j\varphi\rVert_2\leq\epsilon\lVert -\Delta \varphi\rVert_2+b_{\epsilon}\lVert \varphi\rVert_2\quad(\forall \varphi\in D(\mathbb{R}^{3N}))\quad\quad(***)
$$
が成り立つ。ここで $D(\mathbb{R}^{3N})$ は $-\Delta\colon H^2(\mathbb{R}^{3N})\rightarrow L^2(\mathbb{R}^{3N})$ の芯であり<ref>[[Sobolev空間の基本事項]]の'''定理32.2'''を参照。</ref>、掛け算作用素は閉作用素であるから、$(***)$ より、
$$
\lVert V_jf\rVert_2\leq \epsilon\lVert -\Delta f\rVert_2+b_{\epsilon}\lVert f\rVert_2\quad(\forall f\in H^2(\mathbb{R}^{3N}))
$$
が成り立つ。よって掛け算作用素 $V_j$ は $-\Delta$ に対して無限小である。
*$(2)$　$j\neq k$ なる任意の $j,k\in \{1,\ldots,N\}$ に対し $V_{j,k}$ が $-\Delta$ に対して無限小であることを示す。'''定理17.4'''より $L^2(\mathbb{R}^3)$ 上の掛け算作用素 $-\frac{K_{j,k}}{\lvert {\rm id}\rvert^{\alpha}}$ は自己共役作用素 $-\Delta\colon H^2(\mathbb{R}^3)\rightarrow L^2(\mathbb{R}^3)$ に対して相対コンパクトであるので特に無限小である。よって任意の $\epsilon\in (0,1)$ に対し $b_{\epsilon}\in [0,\infty)$ が存在し、任意の $\varphi\in D(\mathbb{R}^{3N})$ に対し、
$$
\begin{aligned}
&\left(\int_{\mathbb{R}^3}\lvert V_{j,k}(x_1,\ldots,x_N)\varphi(x_1,\ldots,x_N)\rvert^2dx_j\right)^{\frac{1}{2}}
=\left(\int_{\mathbb{R}^3}\left\lvert\frac{K_{j,k}}{\lvert x_j\rvert}\varphi(x_1,\ldots,x_j+x_k,\ldots,x_N)\right\rvert^2\right)^{\frac{1}{2}}\\
&\leq \epsilon\left(\int_{\mathbb{R}^3}\lvert\Delta_{x_j}\varphi(x_1,\ldots,x_j+x_k,\ldots,x_N)\rvert^2dx_j\right)^{\frac{1}{2}}+b_{\epsilon}\left(\int_{\mathbb{R}^3}\lvert \varphi(x_1,\ldots,x_j+x_k,\ldots,x_N)\rvert^2dx_j\right)^{\frac{1}{2}}\\
&=\epsilon\left(\int_{\mathbb{R}^3}\lvert\Delta_{x_j}\varphi(x_1,\ldots,x_N)\rvert^2dx_j\right)^{\frac{1}{2}}+b_{\epsilon}\left(\int_{\mathbb{R}^3}\lvert \varphi(x_1,\ldots,x_N)\rvert^2dx_j\right)^{\frac{1}{2}}
\end{aligned}
$$
が成り立つ。よってMinkowskiの不等式とTonelliの定理より、
$$
\lVert V_{j,k}\varphi\rVert_2\leq \epsilon\lVert -\Delta_{x_j}\varphi\rVert_2+b_{\epsilon}\lVert\varphi\rVert_2\quad(\forall \varphi\in D(\mathbb{R}^{3N}))
$$
であるから、後は $(1)$ と同様にすれば $V_{j,k}$ が $-\Delta$ に対して無限小であることが分かる。
{{end|proof}}

== 18. $\sigma$-WOT、$\sigma$-SOT、von Neumann環、二重可換子環定理 ==

===定義18.1（$\mathbb{B}(\mathcal{H})$ の $\sigma$-WOTと $\sigma$-SOT）===
$\mathcal{H}$ をHilbert空間とする。任意の $u=(u_n)_{n\in \mathbb{N}}, v=(v_n)_{n\in \mathbb{N}}\in \bigoplus_{n\in \mathbb{N}}\mathcal{H}$ に対し線形汎関数 $\varphi_{u,v}\colon \mathbb{B}(\mathcal{H})\rightarrow \mathbb{C}$ とセミノルム $p_v\colon \mathbb{B}(\mathcal{H})\rightarrow [0,\infty)$ を、
$$
\varphi_{u,v}(A)\colon=((u_n)_{n\in\mathbb{N}}\mid (Av_n)_{n\in \mathbb{N}})=\sum_{n\in \mathbb{N}}(u_n\mid Av_n)\quad(\forall A\in\mathbb{B}(\mathcal{H})),
$$
$$
p_v(A)\colon=\lVert (Av_n)_{n\in \mathbb{N}}\rVert=\sqrt{\sum_{n\in \mathbb{N}}\lVert Av_n\rVert^2}\quad(\forall A\in \mathbb{B}(\mathcal{H}))
$$
として定義する。このとき $\{\varphi_{u,v}:u,v\in \bigoplus_{n\in \mathbb{N}}\mathcal{H}\}, \{p_v:v\in \bigoplus_{n\in \mathbb{N}}\mathcal{H}\}$ はそれぞれ $\mathbb{B}(\mathcal{H})$ 上の線形汎関数の分離族とセミノルムの分離族である（[[位相線形空間2：セミノルム位相と汎弱位相]]を参照）。$\{\varphi_{u,v}:u,v\in \bigoplus_{n\in \mathbb{N}}\mathcal{H}\}$ が誘導する汎弱位相を $\mathbb{B}(\mathcal{H})$ 上の $\sigma$-WOTと言い、$\{p_v\}_{v\in \bigoplus_{n\in\mathbb{N}}\mathcal{H}}$ が誘導するセミノルム位相を $\mathbb{B}(\mathcal{H})$ 上の $\sigma$-SOTと言う。

===注意18.2（$\sigma$-WOTと $\sigma$-SOTに関する収束の特徴付け）===
[[位相線形空間2：セミノルム位相と汎弱位相]]の'''命題9.3'''より $\mathbb{B}(\mathcal{H})$ のネット $(A_{\lambda})_{\lambda\in \Lambda}$ が $A\in \mathbb{B}(\mathcal{H})$ に$\sigma$-WOTに関して収束することは、任意の $(u_n)_{n\in\mathbb{N}},(v_n)_{n\in \mathbb{N}}\in \bigoplus_{n\in \mathbb{N}}\mathcal{H}$ に対し、
$$
((u_n)_{n\in\mathbb{N}}\mid (A_{\lambda}v_n)_{n\in\mathbb{N}})\rightarrow((u_n)_{n\in\mathbb{N}}\mid (Av_n)_{n\in\mathbb{N}}),
$$
すなわち、
$$
\sum_{n\in \mathbb{N}}(u_n\mid A_{\lambda}v_n)\rightarrow \sum_{n\in \mathbb{N}}(u_n\mid Av_n)
$$
が成り立つことと同値である。また[[位相線形空間2：セミノルム位相と汎弱位相]]の'''命題8.6'''より $\mathbb{B}(\mathcal{H})$ のネット $(A_{\lambda})_{\lambda\in \Lambda}$ が $A\in \mathbb{B}(\mathcal{H})$ に $\sigma$-SOTに関して収束することは、任意の $(v_n)_{n\in \mathbb{N}}\in \bigoplus_{n\in \mathbb{N}}\mathcal{H}$ に対し、
$$
\lVert ((A_{\lambda}-A)v_n)_{n\in \mathbb{N}}\rVert\rightarrow0,
$$
すなわち、
$$
\sum_{n\in\mathbb{N}}\lVert (A_{\lambda}-A)v_n\rVert^2\rightarrow0
$$
が成り立つことと同値である。

===注意18.3（$\mathbb{B}(\mathcal{H})$ の位相の強弱）===
'''注意18.2'''より、$\mathbb{B}(\mathcal{H})$ のネットが $\sigma$-WOT（resp. $\sigma$-SOT）に関して収束するならば、WOT（resp. SOT）に関しても収束するので、ネットによる連続性の特徴付け（[[ネットによる位相空間論]]の'''定理3'''）より $\sigma$-WOTはWOTより強い。（resp. $\sigma$-SOT）はSOTより強い。）また'''注意18.2'''より $\mathbb{B}(\mathcal{H})$ のネットが $\sigma$-SOTに関して収束するならば $\sigma$-WOTに関しても収束するので、$\sigma$-SOTは $\sigma$-WOTより強い。さらに作用素ノルムで収束するネットは明らかに $\sigma$-SOTに関して収束するので作用素ノルム位相は $\sigma$-SOTより強い。

===注意18.4（$\sigma$-WOT、$\sigma$-SOTとトレース）===
'''命題16.15'''よりトレースクラス $\mathbb{B}^1(\mathcal{H})$ は、
$$
\mathbb{B}^1(\mathcal{H})=\left\{\sum_{n\in \mathbb{N}}v_n\odot u_n:(u_n)_{n\in\mathbb{N}},(v_n)_{n\in\mathbb{N}}\in \bigoplus_{n\in \mathbb{N}}\mathcal{H}\right\}
$$
であり、任意の $u=(u_n)_{n\in \mathbb{N}},v=(v_n)_{n\in \mathbb{N}}\in \bigoplus_{n\in \mathbb{N}}\mathcal{H}$ に対し $T=\sum_{n\in \mathbb{N}}v_n\odot u_n\in \mathbb{B}^1(\mathcal{H})$ とおけば、
$$
{\rm Tr}(AT)=\sum_{n\in \mathbb{N}}{\rm Tr}(A(v_n\odot u_n))=\sum_{n\in \mathbb{N}}(u_n\mid Av_n)=\varphi_{u,v}(A)\quad(\forall A\in \mathbb{B}(\mathcal{H}))
$$
である。よって、
$$
\{\varphi_{u,v}:u,v\in \bigoplus_{n\in \mathbb{N}}\mathcal{H}\}=\{{\rm Tr}(\cdot T):T\in \mathbb{B}^1(\mathcal{H})\}
$$
であるから、$\sigma$-WOTは $\mathbb{B}(\mathcal{H})$ 上の線形汎関数の分離族 $\{{\rm Tr}(\cdot T):T\in \mathbb{B}^1(\mathcal{H})\}$ が誘導する汎弱位相と一致し、[[位相線形空間2：セミノルム位相と汎弱位相]]の'''命題9.5'''より、
$$
\{\text{$\mathbb{B}(\mathcal{H})$ 上の $\sigma$-WOT連続な線形汎関数}\}=\{{\rm Tr}(\cdot T):T\in \mathbb{B}^1(\mathcal{H})\}
$$
が成り立つ。
また'''命題16.15'''より、
$$
\mathbb{B}^1(\mathcal{H})\cap\mathbb{B}(\mathcal{H})_+=\left\{\sum_{n\in \mathbb{N}}v_n\odot v_n:(v_n)_{n\in\mathbb{N}}\in \bigoplus_{n\in \mathbb{N}}\mathcal{H}\right\}
$$
であり、任意の $v=(v_n)_{n\in \mathbb{N}}\in \bigoplus_{n\in \mathbb{N}}\mathcal{H}$ に対し $T=\sum_{n\in \mathbb{N}}v_n\odot v_n\in \mathbb{B}^1(\mathcal{H})\cap \mathbb{B}(\mathcal{H})_+$ とおけば、
$$
{\rm Tr}(A^*AT)=\sum_{n\in \mathbb{N}}{\rm Tr}(A^*A(v_n\odot v_n))=\sum_{n\in \mathbb{N}}(v_n\mid A^*Av_n)
=\sum_{n\in \mathbb{N}}\lVert Av_n\rVert^2\quad(\forall A\in \mathbb{B}(\mathcal{H}))
$$
である。よって'''注意18.2'''より $\mathbb{B}(\mathcal{H})$ のネット $(A_{\lambda})_{\lambda\in \Lambda}$ が $A\in \mathbb{B}(\mathcal{H})$ に $\sigma$-SOTに関して収束することは、任意の $T\in \mathbb{B}^1(\mathcal{H})$ に関して、
$$
{\rm Tr}((A_{\lambda}-A)^*(A_{\lambda}-A)T)\rightarrow0
$$
となることと同値である。そして'''命題16.5'''より $\mathbb{B}^1(\mathcal{H})={\rm span}(\mathbb{B}^1(\mathcal{H})\cap \mathbb{B}(\mathcal{H})_+)$ であるから、$\sigma$-SOTに関して $(A_{\lambda})_{\lambda\in\Lambda}$ が $A$ に収束することは、$\sigma$-WOTに関して $(A_{\lambda}-A)^*(A_{\lambda}-A)\rightarrow0$ が成り立つことと同値である。

===命題18.5（弱 $*$-位相としての $\sigma$-WOT）===
$\mathcal{H}$ をHilbert空間とする。このとき、
$$
\mathbb{B}(\mathcal{H})\ni A\mapsto {\rm Tr}(A\cdot )\in (\mathbb{B}^1(\mathcal{H}))^*\quad\quad(*)
$$
は等長線形同型写像であり、$\sigma$-WOTと弱 $*$-位相に関して同相写像である。そして $\mathbb{B}(\mathcal{H})$ の単位ノルム閉球 $(\mathbb{B}(\mathcal{H}))_1=\{A\in \mathbb{B}(\mathcal{H}):\lVert A\rVert\leq 1\}$ は $\sigma$-WOTに関してコンパクトである。
{{begin|proof}}
'''定理16.16'''より $(*)$ は等長線形同型写像であり、'''注意18.4'''より、$\mathbb{B}(\mathcal{H})$ のネット $(A_{\lambda})_{\lambda\in\Lambda}$ が $A\in \mathbb{B}(\mathcal{H})$ に $\sigma$-WOTに関して収束することは、任意の $T\in \mathbb{B}^1(\mathcal{H})$ に対し ${\rm Tr}(A_{\lambda}T)\rightarrow {\rm Tr}(AT)$ となること、すなわち $(\mathbb{B}^1(\mathcal{H}))^*$ の弱 $*$-位相に関して ${\rm Tr}( A_{\lambda}\cdot)\rightarrow {\rm Tr}(A\cdot )$ となることと同値である。よってネットによる連続性の特徴付け（[[ネットによる位相空間論]]の'''定理3'''）より、 $(*)$ は $\sigma$-WOTと弱 $*$-位相に関して同相写像である。そしてAlaogluの定理（[[位相線形空間2：セミノルム位相と汎弱位相]]の'''定理10.3'''）より $(\mathbb{B}^1(\mathcal{H}))^*$ の単位ノルム閉球は弱 $*$-位相でコンパクトであるので $(\mathbb{B}(\mathcal{H}))_1$ は $\sigma$-WOTコンパクトである。
{{end|proof}}

===命題18.6（ノルム有界集合上での $\sigma$-WOTとWOT（resp. $\sigma$-SOTとSOT）の一致）===
$\mathbb{B}(\mathcal{H})$ の単位ノルム閉球 $(\mathbb{B}(\mathcal{H}))_1=\{A\in\mathbb{B}(\mathcal{H}):\lVert A\rVert\leq 1\}$ において $\sigma$-WOTとWOTは一致する。また $\sigma$-SOTとSOTも一致する。
{{begin|proof}}
$$
(\mathbb{B}(\mathcal{H}))_1\ni A\mapsto A\in (\mathbb{B}(\mathcal{H}))_1\quad\quad(*)
$$
が $\sigma$-WOTとWOTに関して同相写像であること（resp. $\sigma$-SOTとSOTに関して同相写像であること）を示せばよい。'''注意18.3'''より $(*)$ は $\sigma$-WOTとWOT（resp. $\sigma$-SOTとSOT）に関して連続である。そして'''命題18.5'''より $(\mathbb{B}(\mathcal{H}))_1$ は $\sigma$-WOTによりコンパクト空間であるから $(*)$ は $\sigma$-WOTとWOTに関して同相写像である。<ref>コンパクト空間からHausdorff空間への全単射連続写像は同相写像である。[[Banach環とC*-環のスペクトル理論]]の'''補題6.4'''を参照。</ref>後は$(*)$ がSOTと $\sigma$-SOTに関して連続であることを示せばよい。
$(\mathbb{B}(\mathcal{H}))_1$ のネット $(A_{\lambda})_{\lambda\in\Lambda}$ がSOTに関して $A\in (\mathbb{B}(\mathcal{H}))_1$ に収束するとする。任意の $\epsilon\in (0,\infty)$ と任意の $v=(v_n)_{n\in \mathbb{N}}\in \bigoplus_{n\in \mathbb{N}}\mathcal{H}$ を取る。十分大きい $N\in \mathbb{N}$ を取れば、
$$
\sum_{n\geq N+1}4\lVert v_n\rVert^2<\frac{\epsilon}{2}
$$
となり、SOTに関して $A_{\lambda}\rightarrow A$ であることから、$\lambda_0\in \Lambda$ が存在し、
$$
\sum_{n=1}^{N}\lVert(A_{\lambda}-A)v_n\rVert^2<\frac{\epsilon}{2}\quad(\forall \lambda\geq \lambda_0)
$$
となる。よって任意の $\lambda\geq\lambda_0$ に対し、
$$
\sum_{n\in \mathbb{N}}\lVert (A_{\lambda}-A)v_n\rVert^2
\leq\sum_{n=1}^{N}\lVert (A_{\lambda}-A)v_n\rVert^2+\sum_{n\geq N+1}4\lVert v_n\rVert^2<\epsilon
$$
となるので、$\sigma$-SOTに関して $A_{\lambda}\rightarrow A$ が成り立つ。ゆえに $(*)$ はSOTと $\sigma$-SOTに関して連続である。
{{end|proof}}

===命題18.7===
$\mathbb{B}(\mathcal{H})$ 上の線形汎関数 $\varphi\colon \mathbb{B}(\mathcal{H})\rightarrow \mathbb{C}$ に対し次は互いに同値である。
*$(1)$　$\varphi$ はWOTに関して連続である。
*$(2)$　$\varphi$ はSOTに関して連続である。
そして凸集合 $\mathcal{C}\subset \mathbb{B}(\mathcal{H})$ に対し $\mathcal{C}$ がWOTに関して閉であることとSOTに関して閉であることは同値である。
{{begin|proof}}
SOTはWOTより強いので、$(1)\Rightarrow(2)$ は自明である。$(2)\Rightarrow(1)$ を示す。$(2)$ が成り立つとすると $\{A\in \mathbb{B}(\mathcal{H}):\lvert \varphi(A)\rvert<1\}$ はSOTに関する $0\in \mathbb{B}(\mathcal{H})$ の近傍であるから、[[位相線形空間2：セミノルム位相と汎弱位相]]の'''命題8.6'''より有限個の $v_1,\ldots,v_n\in \mathcal{H}$ が取れて、
$$
\bigcap_{j=1}^{n}\{A\in \mathbb{B}(\mathcal{H}):\lVert Av_j\rVert<1\}\subset \{A\in \mathbb{B}(\mathcal{H}):\lvert\varphi(A)\rvert<1\}
$$
となる。よって、
$$
\lvert\varphi(A)\rvert\leq \sqrt{\sum_{j=1}^{n}\lVert Av_j\rVert^2}\quad(\forall A\in \mathbb{B}(\mathcal{H}))
$$
が成り立つので、直和Hilbert空間 $\mathcal{H}^n=\bigoplus_{j=1}^{n}\mathcal{H}$ の部分空間
$$
\mathcal{K}\colon=\{(Av_j)_{j=1,\ldots,n}:A\in \mathbb{B}(\mathcal{H})\}
$$
を考えると、
$$
\psi\colon \mathcal{K}\ni (Av_j)_{j=1,\ldots,n}\mapsto \varphi(A)\in \mathbb{C}
$$
はwell-definedな有界線形汎関数である。Hahn-Banachの拡張定理（[[位相線形空間3：Hahn-Banachの定理とKrein-Milmanの端点定理]]の'''定理11.4'''）より $\psi$ は $\mathcal{H}^n$ 上のある有界線形汎関数 $\widetilde{\psi}$ に拡張でき、Rieszの定理により $\widetilde{\psi}$ に対応する $(u_j)_{j=1,\ldots,n}\in \mathcal{H}^n$ を取れば、
$$
\varphi(A)=\psi((Av_j)_{j=1,\ldots,n})=((u_j)_{j=1,\ldots,n}\mid (Av_j)_{j=1,\ldots,n})=\sum_{j=1}^{n}(u_j\mid Av_j)\quad(\forall A\in \mathbb{B}(\mathcal{H}))
$$
となる。これより $\varphi$ はWOT連続であるので $(2)\Rightarrow(1)$ が成り立つ。 
凸集合 $\mathcal{C}\subset \mathbb{B}(\mathcal{H})$ についてWOT閉であることとSOT閉であることが同値であることはHahn-Banachの分離定理の系（[[位相線形空間3：Hahn-Banachの定理とKrein-Milmanの端点定理]]の'''系13.4'''）による。
{{end|proof}}

===補題18.8（$\sigma$-SOTに関する $0\in \mathbb{B}(\mathcal{H})$ の基本近傍系）===
'''定義18.1'''における $\mathbb{B}(\mathcal{H})$ の $\sigma$-SOTを誘導するセミノルムの族 $\{p_v\}_{v\in \bigoplus_{n\in\mathbb{N}}\mathcal{H}}$ に対し、$\{(p_v<1)\}_{v\in \bigoplus_{n\in\mathbb{N}}\mathcal{H}}$ は $\sigma$-SOTに関する $0\in\mathbb{B}(\mathcal{H})$ の基本近傍系である。ただし $(p_v<1)=\{A\in \mathbb{B}(\mathcal{H}):p_v(A)<1\}$ である。
{{begin|proof}}
有限個の $v^j=(v^j_n)_{n\in \mathbb{N}}\in \bigoplus_{n\in \mathbb{N}}\mathcal{H}$ $(j=1,\ldots,m)$ に対し、
$$
v\colon=(v^1_1,\ldots,v^m_1,v^1_2,\ldots,v^m_2,v^1_3,\ldots,v^m_3,\ldots)\in \bigoplus_{n\in \mathbb{N}}\mathcal{H}
$$
とおけば、$(p_v<1)\subset \bigcap_{j=1}^{m}(p_{v^j}<1)$ となる。このことと[[位相線形空間2：セミノルム位相と汎弱位相]]の'''命題8.6'''による。
{{end|proof}}

===命題18.9===
$\mathbb{B}(\mathcal{H})$ 上の線形汎関数 $\varphi\colon \mathbb{B}(\mathcal{H})\rightarrow \mathbb{C}$ に対しは互いに同値である。
*$(1)$　$\varphi$ は $\sigma$-WOTに関して連続である。
*$(2)$　$\varphi$ は $\sigma$-SOTに関して連続である。
そして凸集合 $\mathcal{C}\subset \mathbb{B}(\mathcal{H})$ に対し $\mathcal{C}$ が $\sigma$-WOTに関して閉であることと $\sigma$-SOTに関して閉であることは同値である。
{{begin|proof}}
$\sigma$-SOTは $\sigma$-WOTより強いので、$(1)\Rightarrow(2)$ は自明である。$(2)\Rightarrow(1)$ を示す。$(2)$ が成り立つとすると $\{A\in \mathbb{B}(\mathcal{H}):\lvert \varphi(A)\rvert<1\}$ は $\sigma$-SOTに関する $0\in \mathbb{B}(\mathcal{H})$ の近傍であるから、'''補題18.9'''より $v=(v_n)_{n\in \mathbb{N}}\in \bigoplus_{n\in \mathbb{N}}\mathcal{H}$ が取れて、
$$
\{A\in \mathbb{B}(\mathcal{H}):\lVert (Av_n)_{n\in \mathbb{N}}\rVert<1\}\subset \{A\in \mathbb{B}(\mathcal{H}):\lvert\varphi(A)\rvert<1\}
$$
となる。よって、
$$
\lvert\varphi(A)\rvert\leq \lVert (Av_n)_{n\in \mathbb{N}}\rVert\quad(\forall A\in \mathbb{B}(\mathcal{H}))
$$
が成り立つので、$\bigoplus_{n\in \mathbb{N}}\mathcal{H}$ の部分空間
$$
\mathcal{K}\colon=\{(Av_n)_{n\in\mathbb{N}}:A\in \mathbb{B}(\mathcal{H})\}
$$
を考えると、
$$
\psi\colon \mathcal{K}\ni (Av_n)_{n\in\mathbb{N}}\mapsto \varphi(A)\in \mathbb{C}
$$
はwell-definedな有界線形汎関数である。Hahn-Banachの拡張定理（[[位相線形空間3：Hahn-Banachの定理とKrein-Milmanの端点定理]]の'''定理11.4'''）より $\psi$ は $\bigoplus_{n\in\mathbb{N}}\mathcal{H}$ 上のある有界線形汎関数 $\widetilde{\psi}$ に拡張でき、Rieszの定理により $\widetilde{\psi}$ に対応する $(u_n)_{n\in\mathbb{N}}\in \bigoplus_{n\in\mathbb{N}}\mathcal{H}$ を取れば、
$$
\varphi(A)=\psi((Av_n)_{n\in\mathbb{N}})=((u_n)_{n\in\mathbb{N}}\mid (Av_n)_{n\in\mathbb{N}})=\sum_{n\in\mathbb{N}}(u_n\mid Av_n)\quad(\forall A\in \mathbb{B}(\mathcal{H}))
$$
となる。これより $\varphi$ は $\sigma$-WOT連続であるので $(2)\Rightarrow(1)$ が成り立つ。 
凸集合 $\mathcal{C}\subset \mathbb{B}(\mathcal{H})$ について $\sigma$-WOT閉であることと $\sigma$-SOT閉であることが同値であることはHahn-Banachの分離定理の系（[[位相線形空間3：Hahn-Banachの定理とKrein-Milmanの端点定理]]の'''系13.4'''）による。
{{end|proof}}

===定義18.10（可換子環）===
$\mathcal{H}$ をHilbert空間とする。空でない $\mathcal{M}\subset \mathbb{B}(\mathcal{H})$ に対し、
$$
\mathcal{M}'=\{A\in\mathbb{B}(\mathcal{H}):\forall B\in\mathcal{M},AB=BA\}
$$
を $\mathcal{M}$ の可換子環と呼ぶ。

===命題18.11（可換子環の基本性質）===
$\mathcal{M}\subset \mathbb{B}(\mathcal{H})$ の可換子環 $\mathcal{M}'$ について次が成り立つ。
*$(1)$　$\mathcal{M}'$ は $\mathbb{B}(\mathcal{H})$ の単位元を含む部分多元環であり、WOTに関して閉である。（したがってSOT, $\sigma$-SOT, $\sigma$-WOTに関して閉である。）
*$(2)$　$\mathcal{M}$ が対合で閉じているならば $\mathcal{M}'$ も対合で閉じている。
*$(3)$　$\mathcal{M}\subset \mathcal{M}' '$.
*$(4)$　もし $\mathcal{M}$ が $\mathbb{B}(\mathcal{H})$ の部分 $*$-環であり、$\mathcal{M}\mathcal{H}={\rm span}\{Av:A\in \mathcal{M},v\in \mathcal{H}\}$ が $\mathcal{H}$ で稠密ならば、任意の $v\in \mathcal{H}$ に対し $\mathcal{M}' 'v\subset \overline{\mathcal{M}v}$ が成り立つ。
{{begin|proof}}
*$(1)$　$\mathcal{M}'$ が $\mathbb{B}(\mathcal{H})$ の単位元を含み、加法、スカラー倍、乗法で閉じていることは自明である。任意の $A\in \overline{\mathcal{M}'}^{\rm WOT}$ に対し、WOTに関して $A$ に収束する $\mathcal{M}'$ のネット $(A_{\lambda})_{\lambda\in \Lambda}$ が取れる（[[ネットによる位相空間論]]の'''命題2.4'''）。任意の $B\in \mathcal{M}$、任意の $u,v\in \mathcal{H}$ に対し、
$$
(u\mid ABv)=\lim_{\lambda\in\Lambda}(u\mid A_{\lambda}Bv)=\lim_{\lambda\in\Lambda}(u\mid BA_{\lambda}v)=(u\mid BAv)
$$
であるから $A\in \mathcal{M}'$ である。よって $\mathcal{M}'$ はWOT閉である。
*$(2)$　任意の $A\in \mathcal{M}'$ と任意の $B\in\mathcal{M}$ に対し、
$$
A^*B=(B^*A)^*=(AB^*)^*=BA^*
$$
であるから、$A^*\in\mathcal{M}'$ である。
*$(3)$　自明である。
*$(4)$　任意の $v\in\mathcal{H}$ に対し閉部分空間 $\overline{\mathcal{M}v}$ の上への射影作用素を $P_v\in \mathbb{B}(\mathcal{H})$ とおく。すると、
$$
A\overline{\mathcal{M}v}\subset \overline{\mathcal{M}v}={\rm Ran}(P_v)\quad(\forall A\in\mathcal{M})
$$
であるから、
$$
AP_v=P_vAP_v\quad(\forall A\in \mathcal{M})
$$
である。よって、
$$
AP_v=P_vAP_v=(P_vA^*P_v)^*=(A^*P_v)^*=P_vA\quad(\forall A\in\mathcal{M})
$$
であるから $P_v\in \mathcal{M}'$ である。任意の $A\in \mathcal{M}$、$u\in \mathcal{H}$ に対し、
$$
(Au\mid (1-P_v)v)=(u\mid (1-P_v)A^*v)=(u\mid A^*v-A^*v)=0
$$
であり、$\mathcal{M}\mathcal{H}={\rm span}\{Au:A\in \mathcal{M},u\in \mathcal{H}\}$ は $\mathcal{H}$ で稠密であるから $(1-P_v)v=0$、したがって $v=P_vv$ である。よって、
$$
\mathcal{M}' 'v=\mathcal{M}' 'P_vv=P_v\mathcal{M}' 'v\subset {\rm Ran}(P_v)=\overline{{\mathcal{M}}v}
$$
である。
{{end|proof}}

===補題18.12===
$\mathcal{H}$ をHilbert空間とし、任意の $j\in \mathbb{N}$ に対し、
$$
P_j\colon\bigoplus_{n\in \mathbb{N}}\mathcal{H}\ni (v_n)_{n\in \mathbb{N}}\mapsto v_j\in \mathcal{H},
$$
$$
Q_j\colon\mathcal{H}\ni v\mapsto (0,\ldots,0,\overset{\text{$j$ 番}}{ v },0,\ldots)\in\bigoplus_{n\in \mathbb{N}}\mathcal{H}
$$
とおく。そして任意の $T\in \mathbb{B}(\bigoplus_{n\in \mathbb{N}}\mathcal{H})$ に対し、
$$
T_{i,j}=P_iTQ_j\in \mathbb{B}(\mathcal{H})\quad(\forall i,j\in \mathbb{N})
$$
とおく。このとき $S,T\in \mathbb{B}(\bigoplus_{n\in \mathbb{N}}\mathcal{H})$ に対し、
$$
S=T\quad\Leftrightarrow\quad S_{i,j}=T_{i,j}\quad(\forall i,j\in\mathbb{N})
$$
が成り立つ。
{{begin|proof}}
任意の $v=(v_n)_{n\in \mathbb{N}}\in \bigoplus_{n\in \mathbb{N}}\mathcal{H}$, 任意の $i\in \mathbb{N}$ に対し、
$$
P_i(T-S)v=P_i(T-S)\sum_{j\in \mathbb{N}}Q_jv_j=\sum_{j\in \mathbb{N}}P_i(T-S)Q_jv_j=\sum_{j\in \mathbb{N}}(T_{i,j}-S_{i,j})v_j
$$
であることによる。
{{end|proof}}

===定理18.13（二重可換子環定理）===
$\mathcal{H}$ をHilbert空間とし、$\mathcal{M}\subset \mathbb{B}(\mathcal{H})$ を部分 $*$-環で、
$$
\mathcal{M}\mathcal{H}={\rm span}\{Av:A\in \mathcal{M},v\in \mathcal{H}\}
$$
が $\mathcal{H}$ で稠密であるものとする。このとき、
$$
\mathcal{M}' '=\overline{\mathcal{M}}^{\text{$\sigma$-SOT}}=\overline{\mathcal{M}}^{\text{$\sigma$-WOT}}=\overline{\mathcal{M}}^{\text{SOT}}=\overline{\mathcal{M}}^{\text{WOT}}
$$
が成り立つ。
{{begin|proof}}
$\mathcal{M}$ は凸集合であるから'''命題18.7'''と'''命題18.9'''より $\overline{\mathcal{M}}^{\text{$\sigma$-SOT}}=\overline{\mathcal{M}}^{\text{$\sigma$-WOT}}$, $\overline{\mathcal{M}}^{\text{SOT}}=\overline{\mathcal{M}}^{\text{WOT}}$ である。また $\sigma$-WOTはWOTより強く、'''命題18.11'''より $\mathcal{M}' '$ は $\mathcal{M}$ を含み、WOT閉であるから、
$$
\overline{\mathcal{M}}^{\text{$\sigma$-SOT}}=\overline{\mathcal{M}}^{\text{$\sigma$-WOT}}\subset\overline{\mathcal{M}}^{\text{SOT}}=\overline{\mathcal{M}}^{\text{WOT}}\subset \mathcal{M}' '
$$
である。よって、
$$
\mathcal{M}' '\subset \overline{\mathcal{M}}^{\text{$\sigma$-SOT}}\quad\quad(*)
$$
が成り立つことを示せばよい。そのためには'''補題18.8'''における $\sigma$-SOTに関する $0\in\mathbb{B}(\mathcal{H})$ の基本近傍系 $\{(p_v<1)\}_{v\in \bigoplus_{n\in\mathcal{H}}\mathcal{H}}$ を考え、任意の $A\in\mathcal{M}' '$ と任意の $v=(v_n)_{n\in\mathbb{N}}\in \bigoplus_{n\in\mathbb{N}}\mathcal{H}$ に対し、
$$
(A+(p_v<1))\cap \mathcal{M}\neq\emptyset\quad\quad(**)
$$
が成り立つことを示せばよい。今、$\pi\colon \mathbb{B}(\mathcal{H})\rightarrow \mathbb{B}\left(\bigoplus_{n\in\mathbb{N}}\mathcal{H}\right)$ を、
$$
\pi(A)(v_n)_{n\in\mathbb{N}}\colon=(Av_n)_{n\in\mathbb{N}} \quad\left(\forall A\in \mathbb{B}(\mathcal{H}),\forall (v_n)_{n\in\mathbb{N}}\in \bigoplus_{n\in\mathbb{N}}\mathcal{H}\right)
$$
として定義する。すると $\pi$ は $*$-環準同型写像であるから $\pi(\mathcal{M})$ は $\mathbb{B}\left(\bigoplus_{n\in\mathbb{N}}\mathcal{H}\right)$ の部分 $*$-環である。そして $\mathcal{M}\mathcal{H}$ が $\mathcal{H}$ で稠密であることから、
$$
\pi(\mathcal{M})\bigoplus_{n\in\mathbb{N}}\mathcal{H}={\rm span}\left\{(Av_n)_{n\in\mathbb{N}}:A\in \mathcal{M},(v_n)_{n\in\mathbb{N}}\in \bigoplus_{n\in\mathbb{N}}\mathcal{H}\right\}
$$
は $\bigoplus_{n\in\mathbb{N}}\mathcal{H}$ において稠密である。よって'''命題18.11'''の $(4)$ より、
$$
\pi(\mathcal{M})' 'v\subset \overline{\pi(\mathcal{M})v}\quad\left(\forall v\in \bigoplus_{n\in\mathbb{N}}\mathcal{H}\right)\quad\quad(***)
$$
が成り立つ。今、
$$
\pi(\mathcal{M}' ')\subset \pi(\mathcal{M})' '\quad\quad(****)
$$
が成り立つことを示す。$R\in \mathbb{B}\left(\bigoplus_{n\in\mathbb{N}}\mathcal{H}\right)$ に対し、'''補題18.12'''より、
$$
\begin{aligned}
R\in \pi(\mathcal{M})' \quad&\Leftrightarrow\quad R\pi(A)=\pi(A)R\quad(\forall A\in \mathcal{M})\\
&\Leftrightarrow\quad R_{i,j}A=AR_{i,j}\quad(\forall i,j\in \mathbb{N},\forall A\in \mathcal{M})\\
&\Leftrightarrow\quad R_{i,j}\in \mathcal{M}' \quad(\forall i,j\in \mathbb{N})
\end{aligned}
$$
であるから、任意の $A\in \mathcal{M}' '$, 任意の $R\in \pi(\mathcal{M})'$ に対し、
$$
AR_{i,j}=R_{i,j}A\quad(\forall i,j\in \mathbb{N}),
$$
したがって'''補題18.12'''より $\pi(A)R=R\pi(A)$ である。よって $(****)$ が成り立つので、$(***)$ より、
$$
\pi(\mathcal{M}' ')v\subset \pi(\mathcal{M})' 'v\subset \overline{\pi(\mathcal{M})v}\quad\left(\forall v\in \bigoplus_{n\in\mathbb{N}}\mathcal{H}\right)
$$
であるから、任意の $A\in \mathcal{M}' '$ と任意の $v\in \bigoplus_{n\in\mathbb{N}}\mathcal{H}$ に対し、$B\in \mathcal{M}$ で、
$$
1>\lVert \pi(A)v-\pi(B)v\rVert=p_v(A-B)
$$
を満たすものが存在する。$B\in A+(p_v<1)$ であるから $(**)$ が成り立つ。よって $(*)$ が成り立つ。
{{end|proof}}

===定義18.14（von Neumann環）===
$\mathcal{H}$ をHilbert空間とする。$\mathbb{B}(\mathcal{H})$ の部分 $*$-環 $\mathcal{M}$ で、$\mathcal{M}=\mathcal{M}' '$ を満たすものを $\mathcal{H}$ 上のvon Neumann環と言う。二重可換子環定理（'''定理18.13'''）より、$\mathbb{B}(\mathcal{H})$ の部分 $*$-環 $\mathcal{M}$ がvon Neumann環であることは、
$$
\mathcal{M}\mathcal{H}={\rm span}\{Av :A\in \mathcal{M},v\in \mathcal{H}\}
$$
が $\mathcal{H}$ において稠密であり<ref>$\mathcal{M}$ が $\mathbb{B}(\mathcal{H})$ の単位元（恒等作用素）を含むならばこの条件は満たされる。</ref>、$\mathcal{M}$ が $\sigma$-WOT、$\sigma$-SOT、WOT、SOTのうちのいずれかで閉であることと同値である。

===注意18.15===
$\sigma$-WOT、$\sigma$-SOT、WOT、SOTはいずれも作用素ノルム位相よりも弱いので、$\mathcal{H}$ 上のvon Neumann環 $\mathcal{M}$ は作用素ノルム位相で閉である。よって $\mathcal{M}$ は $\mathbb{B}(\mathcal{H})$ の部分 $C^*$-環である。 

対合演算で閉じた任意の空でない部分集合 $\mathcal{S}\subset \mathbb{B}(\mathcal{H})$ に対し、'''命題18.11'''より $\mathcal{S}'\subset \mathbb{B}(\mathcal{H})$ は $\mathcal{H}$ 上のvon Neumann環である。 

$\mathbb{B}(\mathcal{H})$ と $\mathbb{C}1$ はいずれも $\mathcal{H}$ 上のvon Neumann環であり、
$(\mathbb{C}1)'=\mathbb{B}(\mathcal{H})$、$\mathbb{B}(\mathcal{H})'=\mathbb{C}1$ である。

== 19. von Neumann環とBorel汎関数計算 ==

===定義19.1（von Neumann環にアフィリエイトする線形作用素）===
$\mathcal{H}$ をHilbert空間、$\mathcal{M}\subset \mathbb{B}(\mathcal{H})$ をvon Neumann環とする。$\mathcal{H}$ 上の（有界とは限らない）線形作用素 $T\colon D(T)\rightarrow\mathcal{H}$ が $\mathcal{M}$ にアフィリエイトするとは、
$$
ST\subset TS\quad(\forall S\in \mathcal{M}')
$$
が成り立つことを言う。$\mathcal{M}$ にアフィリエイトする線形作用素全体を $\widetilde{\mathcal{M}}$ と表す。 

===注意19.2===
$\widetilde{\mathcal{M}}$ は、次の命題で見るように、von Neumann環 $\mathcal{M}$ を非有界作用素を含む様に自然に拡張したものである。

===命題19.3（von Neumann環 $\mathcal{M}$ にアフィリエイトする線形作用素全体 $\widetilde{\mathcal{M}}$ の基本性質）===
Hilbert空間 $\mathcal{H}$ 上のvon Neumann環 $\mathcal{M}$ と $\mathcal{M}$ にアフィリエイトする線形作用素全体 $\widetilde{\mathcal{M}}$ に対し次が成り立つ。
*$(1)$　$\widetilde{\mathcal{M}}\cap \mathbb{B}(\mathcal{H})=\mathcal{M}$.
*$(2)$　任意の $T,T_1,T_2\in \widetilde{\mathcal{M}}$、任意の $\alpha\in \mathbb{C}$ に対し、$\alpha T,T_1+T_2,T_1T_2\in \widetilde{\mathcal{M}}$.
*$(3)$　$T\in \widetilde{\mathcal{M}}$ が稠密に定義されているならば、$T^*\in \widetilde{\mathcal{M}}$.
*$(4)$　$T\in \widetilde{\mathcal{M}}$ が可閉であるならば、$\overline{T}\in\widetilde{\mathcal{M}}$.
*$(5)$　$T\in\widetilde{\mathcal{M}}$ が単射であるならば、$T^{-1}\in \widetilde{\mathcal{M}}$.
{{begin|proof}}
*$(1)$　$\mathcal{M}=\mathcal{M}' '$ であることと $\widetilde{\mathcal{M}}$ の定義より明らかである。
*$(2)$　任意の $S\in \mathcal{M}'$ に対し、
$$
S(\alpha T)=\alpha ST\subset \alpha TS=(\alpha T)S,
$$
$$
S(T_1+T_2)=ST_1+ST_2\subset T_1S+T_2S=(T_1+T_2)S,
$$
$$
S(T_1T_2)\subset T_1ST_2\subset (T_1T_2)S
$$
であるから成り立つ。
*$(3)$　任意の $S\in \mathcal{M}', u\in D(T),v\in D(T^*)$ を取る。$S^*T\subset TS^*$ より$S^*Tu=TS^*u$ なので、
$$
(u\mid ST^*v)=(S^*u\mid T^*v)=(TS^*u\mid v)=(S^*Tu\mid v)=(Tu\mid Sv),
$$
よって $Sv\in D(T^*)$ であり、$(u\mid ST^*v)=(u\mid T^*Sv)$ である。これより $ST^*v=T^*Sv$ であるから $ST^*\subset T^*S$ である。ゆえに $T^*\in \widetilde{\mathcal{M}}$ である。
*$(4)$　任意の $S\in \mathcal{M}', v\in D(\overline{T})$ を取る。$D(T)$ の点列 $(v_n)_{n\in \mathbb{N}}$ で $\lim_{n\rightarrow\infty}(v_n,Tv_n)=(v,\overline{T}v)$ なるものを取ると、$ST\subset TS$と$\lim_{n\rightarrow\infty}Sv_n=Sv$　より、
$$
S\overline{T}v=\lim_{n\rightarrow\infty}STv_n
=\lim_{n\rightarrow\infty}TSv_n=\overline{T}Sv
$$
である。よって $S\overline{T}\subset \overline{T}S$ であるから $\overline{T}\in \widetilde{\mathcal{M}}$ である。
*$(5)$　任意の $S\in \mathcal{M}'$ を取る。任意の $v\in D(T^{-1})={\rm Ran}(T)$ に対し、$u=T^{-1}v\in D(T)$ とおけば $STu=TSu$ であるから、
$$
ST^{-1}v=Su=T^{-1}TSu=T^{-1}STu=T^{-1}Sv
$$
である。よって $ST^{-1}\subset T^{-1}S$ であるから $T^{-1}\in \widetilde{\mathcal{M}}$ である。
{{end|proof}}

===定理19.4（von Neumann環とBorel汎関数計算、極分解）===
Hilbert空間 $\mathcal{H}$ 上のvon Neumann環 $\mathcal{M}\subset \mathbb{B}(\mathcal{H})$ にアフィリエイトする線形作用素全体 $\widetilde{\mathcal{M}}$ について次が成り立つ。
*$(1)$　$T\in {\cal M}$ が正規作用素ならば任意のBorel関数 $f\colon \sigma(T)\rightarrow\mathbb{C}$ に対し $f(T)\in \widetilde{\mathcal{M}}$.
*$(2)$　$T\in \widetilde{\mathcal{M}}$ が自己共役作用素ならば任意のBorel関数 $f\colon \sigma(T)\rightarrow\mathbb{C}$ に対し $f(T)\in \widetilde{\mathcal{M}}$.
*$(3)$　$T\in \widetilde{\mathcal{M}}$ が稠密に定義された閉線形作用素ならば $T$ の極分解（'''定理9.4'''） $T=V\lvert T\rvert$ に対し $V\in \mathcal{M}, \lvert T\rvert\in \widetilde{\mathcal{M}}$.
{{begin|proof}}
*$(1)$　$T$ のスペクトル測度を $E^T\colon \mathcal{B}_{\sigma(T)}\rightarrow \mathbb{P}(\mathcal{H})$ とする。任意の連続関数 $f\in C(\sigma(T))$ に対し、
$$
f(T)=\int_{\sigma(T)}f(\lambda)dE^T(\lambda)\in C^*(\{1,T\})\subset \mathcal{M}
$$
であるから、任意の $S\in \mathcal{M}', u,v\in \mathcal{H}$ に対し、
$$
\int_{\sigma(T)}f(\lambda)dE^T_{S^*u,v}(\lambda)=\left(S^*u\mid f(T)v\right)
=(u\mid f(T)Sv)=\int_{\sigma(T)}f(\lambda)dE^T_{u,Sv}(\lambda)
$$
である。よってRiesz-Markov-角谷の表現定理（[[測度と積分7：局所コンパクトHausdorff空間上のRadon測度]]の'''定理34.1'''）より、
$$
(u\mid SE^T(B)v)=(S^*u\mid E^T(B)v)=E^T_{S^*u,v}(B)=E^T_{u,Sv}(B)=(u\mid E^T(B)Sv)\quad(\forall B\in \mathcal{B}_{\sigma(T)})
$$
である。これより任意の $B\in \mathcal{B}_{\sigma(T)}$ に対し $E^T(B)\in \mathcal{M}' '=\mathcal{M}$ であるから、任意のBorel単関数 $f\colon \sigma(T)\rightarrow\mathbb{C}$ に対し、
$$
f(T)=\int_{\sigma(T)}f(\lambda)dE^T(\lambda)\in \mathcal{M}\quad\quad(*)
$$
が成り立つ。有界Borel関数はBorel単関数の列によって一様近似できる（[[測度と積分5：$L^p$ 空間の完備性と双対性]]の'''命題22.2'''）ので、$(*)$ は任意の有界Borel関数 $f\colon \sigma(T)\rightarrow\mathbb{C}$ に対しても成り立つ。そこで今、任意のBorel関数 $f\colon \sigma(T)\rightarrow\mathbb{C}$ に対し $f_n\colon=f\chi_{(\lvert f\rvert\leq n)}$ として有界Borel関数の列 $(f_n)_{n\in \mathbb{N}}$ を定義すると、$f_n(T)\in \mathcal{M}$ $(\forall n\in\mathbb{N})$ であり、任意の $v\in D(f(T))$ に対しLebesgue優収束定理より、
$$
\lVert f(T)v-f_n(T)v\rVert^2=\int_{\sigma(T)}\lvert f(\lambda)-f_n(\lambda)\rvert^2dE^T_{v,v}(\lambda)\rightarrow0\quad(n\rightarrow\infty)
$$
であるから、任意の $S\in \mathcal{M}'$ に対し、
$$
Sf(T)v=\lim_{n\rightarrow\infty}Sf_n(T)v=\lim_{n\rightarrow\infty}f_n(T)Sv=\lim_{n\rightarrow\infty}f(T)E^T((\lvert f\rvert\leq n))Sv=f(T)Sv
$$
である。ただし最後の等号において $f(T)$ が閉線形作用素であることと、$\lim_{n\rightarrow\infty}E^T((\lvert f\rvert\leq n))v=v$ であることを用いた。よって任意の $S\in \mathcal{M}'$ に対し $Sf(T)\subset f(T)S$ であるから $f(T)\in \widetilde{\mathcal{M}}$ である。
*$(2)$　$T$ のCayley変換 $C(T)=(T-i)(T+i)^{-1}$ はユニタリ作用素であり（'''定理4.6'''）、'''命題19.3'''より $C(T)\in\mathcal{M}$ である。'''定理8.3'''の証明より任意のBorel関数 $f\colon \sigma(T)\rightarrow\mathbb{C}$ に対し、
$$
f(T)=\int_{\sigma(C(T))\backslash \{1\}}f(C^{-1}(\lambda))dF^{C(T)}(\lambda)
$$
であるから、$(1)$ より $f(T)\in \widetilde{\mathcal{M}}$ である。
*$(3)$　'''命題19.3'''より $T^*T\in \widetilde{\mathcal{M}}$ であるから、$(2)$ より $\lvert T\rvert=\sqrt{T^*T}\in \widetilde{\mathcal{M}}$ である。よって任意の $S\in \mathcal{M}'$ に対し、
$$
S\lvert T\rvert v=\lvert T\rvert Sv\quad(\forall v\in D(\lvert T\rvert))
$$
であるから、
$$
S(\overline{{\rm Ran}(\lvert T\rvert)})\subset \overline{{\rm Ran}(\lvert T\rvert)}
$$
である。そして $V^*V$ は $\overline{{\rm Ran}(\lvert T\rvert)}$ の上への射影作用素であるから、
$$
SV^*V=V^*VSV^*V\quad(\forall S\in \mathcal{M}')
$$
である。これより、
$$
SV^*V=V^*VSV^*V=(V^*VS^*V^*V)^*=(S^*V^*V)^*=V^*VS\quad(\forall S\in \mathcal{M}')
$$
であるので $V^*V\in \mathcal{M}' '=\mathcal{M}$ である。また任意の $S\in \mathcal{M}'$ に対し、
$$
SV\lvert T\rvert v=STv=TSv=V\lvert T\rvert Sv=VS\lvert T\rvert v\quad(\forall v\in D(\lvert T\rvert))
$$
であるから、${\rm Ran}(V^*V)=\overline{{\rm Ran}(\lvert T\rvert)}$ 上で $SV=VS$ が成り立つので、
$$
SV=SVV^*V=VSV^*V=VV^*VS=VS
$$
である。よって $V\in \mathcal{M}' '=\mathcal{M}$ である。
{{end|proof}}

===定義19.5（von Neumann環 $\mathcal{M}$ の射影全体 $\mathbb{P}(\mathcal{M})$）===
von Neumann環 $\mathcal{M}$ の射影全体を $\mathbb{P}(\mathcal{M})$ と表す。

===定義19.6（非負値係数の線形結合全体）===
線形空間 $V$ の空でない部分集合 $D$ に対し、
$$
{\rm span}_+(D)\colon=\left\{\sum_{j=1}^{n}\alpha_jv_j:n\in\mathbb{N},\alpha_1,\ldots,\alpha_n\in [0,\infty),v_1,\ldots,v_n\in D\right\}
$$
と定義する。

===定理19.7（von Neumann環は射影によって生成される）===
$\mathcal{M}\subset \mathbb{B}(\mathcal{H})$ をvon Neumann環とする。このとき次が成り立つ。
*$(1)$　$\mathcal{M}_+=\overline{{\rm span}_+(\mathbb{P}(\mathcal{M}))}^{\lVert \cdot\rVert}$.
*$(2)$　任意の $P\in \mathbb{P}(\mathcal{M})$ に対し $P\mathcal{M}_+P=\overline{{\rm span}_+\{Q\in \mathbb{P}(\mathcal{M}):Q\leq P\}}^{\lVert \cdot\rVert}$.
{{begin|proof}}
*$(1)$　任意の $T\in \mathbb{B}(\mathcal{H})_+$ を取る。${\rm id}\colon \sigma(T)\ni \lambda\mapsto \lambda\in [0,\infty)$ は非負値有界Borel関数なので、$\sigma(T)$ 上の非負値Borel単関数の列 $(s_n)_{n\in \mathbb{N}}$ で ${\rm id}$ に一様収束するものが取れる（[[測度と積分5：$L^p$ 空間の完備性と双対性]]の'''命題22.2'''）。'''定理19.4'''より、
$$
s_n(T)\in {\rm span}_+\mathbb{P}(\mathcal{M})\quad(\forall n\in \mathbb{N})
$$
であり、
$$
\lVert T-s_n(T)\rVert\leq \sup_{\lambda\in \sigma(T)}\lvert \lambda-s_n(\lambda)\rvert\rightarrow0\quad(n\rightarrow\infty)
$$
であるから、$T=\lim_{n\rightarrow\infty}s_n(T)\in \overline{{\rm span}_+\mathbb{P}(\mathcal{M})}^{\lVert \cdot\rVert}$ である。
*$(2)$　$P=0$ ならば自明なので $P>0$ とする。
$$
\Phi\colon P\mathbb{B}(\mathcal{H})P\ni PTP\mapsto PTP|_{{\rm Ran}(P)}\in \mathbb{B}({\rm Ran}(P))
$$
は等長 $*$-環同型写像である。そしてネットによる連続性の特徴付け（[[ネットによる位相空間論]]の'''定理3'''）により $\Phi$ はWOTに関して同相写像であることが分かる。$P\in \mathbb{P}(\mathcal{M})$ であることとネットによる閉包の特徴付け（[[ネットによる位相空間論]]の'''命題2.4'''）より、$P\mathcal{M}P$ は $P\mathbb{B}(\mathcal{H})P$ のWOT閉部分 $*$-環なので、 $\Phi(P\mathcal{M}P)$ は $\mathbb{B}({\rm Ran}(P))$ のWOT閉部分 $*$-環である。また $\Phi(P)\in \Phi(P\mathcal{M}P)$ は ${\rm Ran}(P)$ 上の恒等作用素なので、$\Phi(P\mathcal{M}P)$ は ${\rm Ran}(P)$ 上のvon Neumann環である。そして $\Phi$ が $*$-環同型写像であることから、
$$
\Phi(P\mathcal{M}_+P)=\Phi((P\mathcal{M}P)_+)=\Phi(P\mathcal{M}P)_+
$$
であり、
$$
\mathbb{P}(\Phi(P\mathcal{M}P))=\{\Phi(Q):Q\in \mathbb{P}(\mathcal{M}),Q\leq P\}
$$
であるので、$(1)$ より、
$$
\Phi(P\mathcal{M}_+P)=\overline{{\rm span}_+\{\Phi(Q):Q\leq \mathbb{P}(\mathcal{M}),Q\leq P\}}^{\Vert \cdot\rVert}
$$
である。よって $\Phi$ の等長性より、
$$
P\mathcal{M}_+P=\overline{{\rm span}_+\{Q\in \mathbb{P}(\mathbb{M}):Q\leq P\}}^{\lVert \cdot\rVert}
$$
が成り立つ。
{{end|proof}}

== 20. Hilbert空間上の有界とは限らない反線形作用素の基本的性質 ==

=== 定義20.1（Hilbert空間上の有界とは限らない反線形作用素） ===
$\mathcal{H},\mathcal{K}$ をHilbert空間とする。$T$ が $\mathcal{H}$ から $\mathcal{K}$ への反線形作用素<ref>反線形写像については[[位相線形空間1：ノルムと内積]]の'''定義6.3'''を参照。</ref>であると言うとき、$T$ は $\mathcal{H}$ 全体で定義されているとは限らず、$\mathcal{H}$ のある線形部分空間 $D(T)$ 上で定義され、$\mathcal{K}$ に値を取る反線形作用素であることを意味することとする。$D(T)\subset \mathcal{H}$ を $T$ の定義域、${\rm Ran}(T)=T(D(T))\subset \mathcal{K}$ を $T$ の値域と言う。そして直和Hilbert空間の部分集合
$$
G(T)\colon=\{(v,Tv)\in \mathcal{H}\oplus \mathcal{K}:v\in D(T)\}
$$
を $T$ のグラフと言う。 
Hilbert空間 $\mathcal{H}$ からHilbert空間 $\mathcal{H}$ への反線形作用素のことを単にHilbert空間 $\mathcal{H}$ 上の反線形作用素と言う。

=== 定義20.2（稠密に定義された反線形作用素、閉反線形作用素） ===
$T$ をHilbert空間 $\mathcal{H}$ からHilbert空間 $\mathcal{K}$ への反線形作用素とする。$T$ が稠密に定義されているとは、$D(T)$ が $\mathcal{H}$ で稠密であることを言う。また $T$ が閉であるとは $T$ のグラフ $G(T)$ が $\mathcal{H}\oplus \mathcal{K}$ において閉であることを言う。

=== 定義20.3（反線形作用素の包含関係） ===
$S,T$ をそれぞれHilbert空間 $\mathcal{H}$ から $\mathcal{K}$ への反線形作用素とする。
$$
S\subset T\quad \iff\quad G(S)\subset G(T)
$$
と定義する。これを $T$ は $S$ を包含する（$S$ は $T$ に包含される）と言う。明らかにこの包含関係は $\mathcal{H}$ から $\mathcal{K}$ への反線形作用素全体における順序である。

=== 定義20.4（単射反線形作用素の逆作用素） ===
$T$ をHilbert空間 $\mathcal{H}$ からHilbert空間 $\mathcal{K}$ への単射反線形作用素とする。このとき $D(T)\ni v\mapsto Tv\in {\rm Ran}(T)$ の逆写像として定義される $\mathcal{K}$ から $\mathcal{H}$ への反線形作用素を、
$$
T^{-1}\colon D(T^{-1})\colon={\rm Ran}(T)\ni Tv\mapsto v\in \mathcal{H}
$$
と表す。

=== 定義20.5（反線形作用素の和、スカラー倍、積） ===
$S,T$ をHilbert空間 $\mathcal{H}$ から $\mathcal{K}$ への反線形作用素とする。このとき $\mathcal{H}$ から $\mathcal{K}$ への反線形作用素 $S+T$ を、
$$
S+T\colon D(S+T)\colon=D(S)\cap D(T)\ni v\mapsto Sv+Tv\in \mathcal{K}
$$
と定義する。また $\alpha\in \mathbb{C}$ に対し $\mathcal{H}$ から $\mathcal{K}$ への反線形作用素 $\alpha T$ を、
$$
\begin{aligned}
&\alpha T\colon D(\alpha T)\colon=D(T)\ni v\mapsto \alpha Tv\in \mathcal{K}\quad(\alpha\neq0\text{ の場合 }),\\
&\alpha T\colon D(\alpha T)\colon=\mathcal{H}\ni v\mapsto 0\in \mathcal{K}\quad(\alpha=0\text{ の場合 })
\end{aligned}
$$
と定義する。 
$\mathcal{H},\mathcal{K},\mathcal{L}$ をそれぞれHilbert空間とし、$T$ を $\mathcal{H}$ から $\mathcal{K}$ への（反）線形作用素、$S$ を $\mathcal{K}$ から $\mathcal{L}$ への（反）線形作用素とする。このとき $\mathcal{H}$ から $\mathcal{L}$ への（反）線形作用素 $ST$ を、
$$
ST\colon D(ST)\colon=\{v\in D(T):Tv\in D(S)\}\ni v\mapsto STv\in \mathcal{L}
$$
と定義する（$S,T$ が共に反線形作用素ならば $ST$ は線形作用素であり、$S,T$ のうち一方が反線形作用素でもう一方が線形作用素ならば $ST$ は反線形作用素である）。

=== 定義20.6（稠密に定義された反線形作用素の共役作用素） ===
$T$ をHilbert空間 $\mathcal{H}$ からHilbert空間 $\mathcal{K}$ への稠密に定義された反線形作用素とする。$\mathcal{K}$ の線形部分空間
$$
D\colon=\{v\in \mathcal{K}: D(T)\ni u\mapsto (v\mid Tu)\in \mathbb{C}\text{ は有界反線形汎関数 }\}
$$
を考える。任意の $v\in D$ に対し、有界反線形汎関数 $D(T)\ni u\mapsto (v\mid Tu)\in \mathbb{C}$ は $\mathcal{H}=\overline{D(T)}$ 上の有界線形汎関数に一意拡張できる<ref>[[位相線形空間1：ノルムと内積]]の'''命題3.6'''と全く同様にして示すことができる。</ref>から、Rieszの定理（[[位相線形空間1：ノルムと内積]]の'''定理6.13'''）より、$T^*v\in \mathcal{H}$ で、
$$
(v\mid Tu)=(u\mid T^*v)\quad(\forall u\in D(T))
$$
を満たすものが定まる。こうして定義される $\mathcal{K}$ から $\mathcal{H}$ への反線形作用素
$$
T^*\colon D(T^*)\colon=D\ni v\mapsto T^*v\in \mathcal{H}
$$
を $T$ の共役作用素と言う。

=== 定義20.7（可閉反線形作用素とその閉包） ===
$T$ をHilbert空間 $\mathcal{H}$ からHilbert空間 $\mathcal{K}$ への反線形作用素とする。$T$ を包含する閉反線形作用素が存在するとき、$T$ は可閉であると言う。
$T$ を $\mathcal{H}$ から $\mathcal{K}$ への可閉反線形作用素とする。
$$
\pi\colon\mathcal{H}\oplus \mathcal{K}\ni (v,w)\mapsto v\in \mathcal{H}
$$
に対し、線形部分空間
$$
D\colon=\pi(\overline{G(T)})\subset \mathcal{H}
$$
を定義する。このとき任意の $v\in D$ に対し $(v,w)\in \overline{G(T)}$ を満たす $w\in \mathcal{K}$ は唯一つである。実際、$T$ が可閉であることから $T\subset S$ を満たす閉反線形作用素が存在し、$\overline{G(T)}\subset G(S)$ であるから、 $(v,w_1),(v,w_2)\in \overline{G(T)}$ ならば $w_1=Sv=w_2$ である。そこで任意の $v\in D$ に対し $(v,w)\in \overline{G(T)}$ として定まる $w$ に対し $w\colon=\overline{T}v$ とおき、反線形作用素
$$
\overline{T}\colon D(\overline{T})\colon=D\ni v\mapsto \overline{T}\in \mathcal{K}
$$
を定義する。このとき明らかに $G(\overline{T})=\overline{G(T)}$ である。閉反線形作用素 $\overline{T}$ を可閉反線形作用素 $T$ の閉包と言う。$\overline{T}$ は $T$ を包含する反閉線形作用素の中で最小のものとして特徴付けられる。

=== 定義20.8（閉反線形作用素の芯） ===
$T$ をHilbert空間 $\mathcal{H}$ から Hilbert空間 $\mathcal{K}$ への閉反線形作用素とする。線形部分空間 $D\subset D(T)$ で、
$$
\overline{T|_D}=T
$$
を満たすものを $T$ の芯と言う。ただし $T|_D$ は $T$ の $D$ 上への制限である。

=== 命題20.9（Hilbert空間上の有界とは限らない反線形作用素の基本的性質） ===
$\mathcal{H},\mathcal{K},\mathcal{L}$ をそれぞれHilbert空間とする。
*$(1)$　$T_1,T_2$ を $\mathcal{H}$ から $\mathcal{K}$ への（反）線形作用素、$S$ を $\mathcal{K}$ から $\mathcal{L}$ への（反）線形作用素とする。このとき、
$$
S(T_1+T_2)\supset ST_1+ST_2
$$
が成り立つ。また、$T$ を $\mathcal{H}$ から $\mathcal{K}$ への（反）線形作用素、$S_1,S_2$ を $\mathcal{K}$ から $\mathcal{L}$ への（反）線形作用素とすると、
$$
(S_1+S_2)T=S_1T+S_2T
$$
が成り立つ。
*$(2)$　$T$ を $\mathcal{H}$ から $\mathcal{K}$ への(反)線形作用素、$S$ を $\mathcal{K}$ から $\mathcal{L}$ への反線形作用素とし、$\alpha\in \mathbb{C}\backslash \{0\}$ とすると、
$$
S(\alpha T)=(\overline{\alpha} S)T=\overline{\alpha}(ST)
$$
が成り立つ。
*$(3)$　$T$ を $\mathcal{H}$ から $\mathcal{K}$ への単射（反）線形作用素とし、$S$ を $\mathcal{K}$ から $\mathcal{L}$ への単射（反）線形作用素とすると、$ST$ は $\mathcal{H}$ から $\mathcal{L}$ への単射（反）線形作用素であり、
$$
(ST)^{-1}=T^{-1}S^{-1}
$$
が成り立つ。
*$(4)$　$T$ を $\mathcal{H}$ から $\mathcal{K}$ への稠密に定義された反線形作用素とし、$\alpha\in \mathbb{C}\backslash \{0\}$ とすると、
$$
(\alpha T)^*=\alpha T^*
$$
が成り立つ。
*$(5)$　$T$ を $\mathcal{H}$ から $\mathcal{K}$ への稠密に定義された反線形作用素とすると、
$$
({\rm Ran}(T))^{\perp}={\rm Ker}(T^*)
$$
が成り立つ。
*$(6)$　$T$ を $\mathcal{H}$ から $\mathcal{K}$ への稠密に定義された反線形作用素とすると、$T^*$ は $\mathcal{K}$ から $\mathcal{H}$ への閉反線形作用素である。
*$(7)$　$S,T$ を $\mathcal{H}$ から $\mathcal{K}$ への稠密に定義された反線形作用素とし、$S\subset T$ であるとすると、$T^*\subset S^*$ が成り立つ。
*$(8)$　$T$ を $\mathcal{H}$ から $\mathcal{K}$ への稠密に定義された可閉反線形作用素とすると、$(\overline{T})^*=T^*$ が成り立つ。
*$(9)$　$T$ を $\mathcal{H}$ から $\mathcal{K}$ への稠密に定義された（反）線形作用素、$S$ を $\mathcal{K}$ から $\mathcal{L}$ への稠密に定義された（反）線形作用素とし、$ST$ が $\mathcal{H}$ から $\mathcal{L}$ への稠密に定義された（反）線形作用素であるとすると、
$$
(ST)^*\supset T^*S^*
$$
が成り立つ。またもし $S\colon \mathcal{K}\rightarrow \mathcal{L}$ が有界ならば、
$$
(ST)^*=T^*S^*
$$
が成り立つ。
*$(10)$　$S,T$ を $\mathcal{H}$ から $\mathcal{K}$ への稠密に定義された反線形作用素とし、$S+T$ も $\mathcal{H}$ から $\mathcal{K}$ への稠密に定義された反線形作用素であるとすると、
$$
(S+T)^*\supset S^*+T^*
$$
が成り立つ。またもし $S\colon \mathcal{K}\rightarrow \mathcal{L}$ が有界反線形作用素であれば、
$$
(S+T)^*=S^*+T^*
$$
が成り立つ。
{{begin|proof}}
'''命題3.9'''の証明と全く同様である。
{{end|proof}}

=== 定義20.10（実化Hilbert空間）===
$\mathcal{H}$ を $\mathbb{C}$ 上のHilbert空間とする。$\mathcal{H}$ を $\mathbb{R}$ 上の線形空間とみなしたものを $\mathcal{H}_{\mathbb{R}}$ と表すと、
$$
\mathcal{H}_{\mathbb{R}}\times \mathcal{H}_{\mathbb{R}}\ni (u,v)\mapsto {\rm Re}(u\mid v)\in \mathbb{R}
$$
は $\mathcal{H}_{\mathbb{R}}$ 上の内積であり、この内積により $\mathcal{H}_{\mathbb{R}}$ は $\mathbb{R}$ 上のHilbert空間となる。この $\mathbb{R}$ 上のHilbert空間 $\mathcal{H}_{\mathbb{R}}$ を $\mathcal{H}$ の実化Hilbert空間と言う。任意の $E\subset \mathcal{H}=\mathcal{H}_{\mathbb{R}}$ に対し、$E$ の実化Hilbert空間 $\mathcal{H}_{\mathbb{R}}$ における直交補空間を、
$$
E_{\mathbb{R}}^{\perp}\colon=\{v\in \mathcal{H}:\forall u\in E, {\rm Re}(u\mid v)=0\}
$$
と表す。

=== 定理20.11（稠密に定義された閉反線形作用素の性質） ===
$T$ をHilbert空間 $\mathcal{H}$ からHilbert空間 $\mathcal{K}$ への稠密に定義された閉反線形作用素とする。このとき、
*$(1)$　$D(T^*T)$ は $T$ の芯であり、$1+T^*T\colon D(T^*T)\rightarrow\mathcal{H}$ は全単射である。
*$(2)$　$T^*$ は $\mathcal{K}$ から $\mathcal{H}$ への稠密に定義された閉反線形作用素である。
*$(3)$　$T^{**}=T$ が成り立つ。
*$(4)$　$T^*T$ は自己共役作用素である。
{{begin|proof}}
*$(1)$　$G(T)$ は実化Hilbert空間 $(\mathcal{H}\oplus \mathcal{K})_{\mathbb{R}}$ の閉部分空間であるので $(\mathcal{H}\oplus \mathcal{K})_{\mathbb{R}}$ の内積により $\mathbb{R}$ 上のHilbert空間である。$\mathbb{R}$上のHilbert空間 $G(T)$ から $\mathbb{R}$ 上のHilbert空間 $\mathcal{H}_{\mathbb{R}}$ への有界線形作用素
$$
\pi\colon G(T)\ni (v,Tv)\mapsto v\in \mathcal{H}_{\mathbb{R}}
$$
を考える。$\pi$ は単射であるから [[位相線形空間1：ノルムと内積]]の'''命題7.4'''より、
$$
(\pi^*(\mathcal{H}_{\mathbb{R}}))^{\perp}={\rm Ker}(\pi)=\{0\}
$$
である。よって、
$$
\overline{\pi^*(\mathcal{H}_{\mathbb{R}})}=( (\pi^*(\mathcal{H}_{\mathbb{R}}))^{\perp})^{\perp}=\{0\}^{\perp}=G(T)
$$
である（[[位相線形空間1：ノルムと内積]]の'''命題6.12'''）。そこで、
$$
D\colon=\pi(\pi^*(\mathcal{H}_{\mathbb{R}}))\subset D(T)
$$
とおけば $G(T|_D)=\pi^*(\mathcal{H}_{\mathbb{R}})$ であるから、
$$
\overline{G(T|_D)}=\overline{\pi^*(\mathcal{H})}=G(T)
$$
である。今、任意の $v=\pi(\pi^*(w))\in \pi(\pi^*(\mathcal{H}_{\mathbb{R}}))=D$ を取る。このとき $\pi^*(w)=(v,Tv)$ であるから、任意の $u\in D(T)$ に対し、
$$
{\rm Re}(u\mid v)+{\rm Re}(Tu\mid Tv)={\rm Re}( (u,Tu)\mid (v,Tv))={\rm Re}((u,Tu)\mid \pi^*(w))={\rm Re}(u\mid w)\quad\quad(*)
$$
である。そして $T$ の反線形性より任意の $u\in D(T)$ に対し $(*)$ において $u$ を $iu$ に置き換えたものを考えれば、
$$
{\rm Im}(u\mid v)+{\rm Im}(Tv\mid Tu)={\rm Im}(u\mid w)\quad\quad(**)
$$
を得る。よって $(*),(**)$ を合わせると、
$$
(u\mid v)+(Tv\mid Tu)=(u\mid w)\quad(\forall u\in D(T))
$$
となるから、$v\in D(T^*T)$, $w=(1+T^*T)v$ である。これより $D\subset D(T^*T)$ であるから $G(T)=\overline{G(T|_{D})}=\overline{G(T|_{D(T^*T)})}$ より $D(T^*T)$ は $T$ の芯であり、また $w\in {\cal H}$ の任意性より $\mathcal{H}={\rm Ran}(1+T^*T)$ である。後は $1+T^*T$ が単射であることを示せばよい。そこで任意の $v\in {\rm Ker}(1+T^*T)$ を取る。
$$
0=(v\mid (1+T^*T)v)=(v\mid v)+(v\mid T^*Tv)=\lVert v\rVert^2+\lVert Tv\rVert^2
$$
であるから $v=0$ である。ゆえに $1+T^*T$ は単射である。
*$(2)$　$(1)$ より $D(T^*T)$ は $T$ の芯であるから任意の $v\in D(T)$ に対し $D(T^*T)$ の列 $(v_n)_{n\in \mathbb{N}}$ で、
$$
(v_n,Tv_n)\rightarrow (v,Tv)\quad(n\rightarrow\infty)
$$
なるものが取れる。よって、
$$
Tv=\lim_{n\rightarrow\infty}Tv_n\in \overline{D(T^*)}
$$
であるから、
$$
{\rm Ran}(T)\subset \overline{D(T^*)}
$$
が成り立つ。これと'''命題20.9'''の $(5)$ より、
$$
(D(T^*))^{\perp}=(\overline{D(T^*)})^{\perp}\subset ({\rm Ran}(T))^{\perp}={\rm Ker}(T^*)\subset D(T^*)
$$
であるから $(D(T^*))^{\perp}=\{0\}$ である。よって
$$
\overline{D(T^*)}=( (D(T^*))^{\perp})^{\perp}=\{0\}^{\perp}=\mathcal{K}
$$
であるから $T^*$ は稠密に定義された反線形作用素である。$T^*$ が閉であることは'''命題10.9'''の $(6)$ による。
*$(3)$　
$$
(u\mid T^*v)=(v\mid Tu)\quad(\forall v\in D(T^*),\forall u\in D(T))
$$
であるから $T\subset T^{**}$ である。同様に $T^*\subset T^{***}$ である。ここで $T\subset T^{**}$ と'''命題20.9'''の $(7)$ より $T^{***}\subset T^*$ であるので $T^*=T^{***}$ である。$T=T^{**}$ を示すには $\mathbb{R}$ 上のHilbert空間 $G(T^{**})\subset (\mathcal{H}\oplus \mathcal{K})_{\mathbb{R}}$ における閉部分空間 $G(T)$ の直交補空間 $G(T^{**})\cap (G(T))_{\mathbb{R}}^{\perp}$ が $\{0\}$ であることを示せばよい。そこで任意の $(v,T^{**}v)\in G(T^{**})\cap (G(T))_{\mathbb{R}}^{\perp}$ を取る。
$$
0={\rm Re}( (u,Tu)\mid (v,T^{**}v))={\rm Re}(u\mid v)+{\rm Re}(Tu\mid T^{**}v)\quad(\forall u\in D(T))
$$
であり、$T$ の反線形性より、
$$
0={\rm Im}(u\mid v)+{\rm Im}(T^{**}v\mid Tu)\quad(\forall u\in D(T))
$$
であるから、
$$
0=(u\mid v)+(T^{**}v\mid Tu)\quad(\forall u\in D(T))
$$
である。よって、
$$
v\in D(T^*T^{**})=D(T^{***}T^{**})
$$
であり、
$$
0=(1+T^*T^{**})v=(1+T^{***}T^{**})v
$$
である。$T^{**}$ は稠密に定義された閉線形作用素であるので $(1)$ より $1+T^{***}T^{**}$ は単射である。よって $v=0$、したがって $(v,T^{**}v)=0$ であるので $G(T^{**})\cap (G(T))_{\mathbb{R}}^{\perp}=\{0\}$ である。ゆえに $T=T^{**}$ である。
*$(4)$　$(1)$ より $T^*T$ は稠密に定義された線形作用素であり、
$$
(u\mid T^*Tv)=(Tv\mid Tu)=(T^*Tu\mid v)\quad(\forall u,v\in D(T^*T))
$$
であるから $T^*T\subset (T^*T)^*$ である。$T^*T=(T^*T)^*$ を示すには $D( (T^*T)^*)\subset D(T^*T)$ を示せばよい。任意の $w\in D( (T^*T)^*)=D( (1+T^*T)^*)$ を取る。$(1)$ より ${\rm Ran}(1+T^*T)=\mathcal{H}$ であるから、
$$
(1+T^*T)^*w=(1+T^*T)v
$$
なる $v\in D(T^*T)$ が取れる。 $1+T^*T\subset (1+T^*T)^*$ なので、
$$
(1+T^*T)^*(w-v)=0
$$
である。よって'''命題20.9'''の $(5)$ より、
$$
w-v\in {\rm Ker}( (1+T^*T)^*)=({\rm Ran}(1+T^*T))^{\perp}=\mathcal{H}^{\perp}=\{0\}
$$
である。ゆえに $w=v\in D(T^*T)$ であるので $D( (T^*T)^*)\subset D(T^*T)$ である。よって $T^*T=(T^*T)^*$ である。
{{end|proof|}}

===定義20.12（稠密に定義された閉反線形作用素の絶対値作用素）===
$T$ をHilbert空間 $\mathcal{H}$ 上の閉反線形作用素とする。このとき'''定理20.11'''より $T^*T$ は $\mathcal{H}$ 上の自己共役作用素であり、
$$
(v\mid T^*Tv)=(Tv\mid Tv)=\lVert Tv\rVert^2\geq0\quad(\forall v\in D(T^*T))
$$
であるから、'''命題8.10'''より $T^*T$ は非負自己共役作用素である。そこで $\mathcal{H}$ 上の非負自己共役作用素
$$
\lvert T\rvert\colon=\sqrt{T^*T}
$$
を定義する。これを $T$ の絶対値作用素と言う。

===定義20.13（反線形部分等長作用素、反線形ユニタリ作用素、共役子）===
$\mathcal{H}$ をHilbert空間とする。有界反線形作用素 $V\colon\mathcal{H}\rightarrow \mathcal{H}$ で $V^*V$ が射影作用素であるものを $\mathcal{H}$ 上の反線形部分等長作用素と言う。 
有界反線形作用素 $U\colon \mathcal{H}\rightarrow\mathcal{H}$ で $U^*U=UU^*=1$ を満たすものを $\mathcal{H}$ 上の反線形ユニタリ作用素と言う。 
有界反線形作用素 $J\colon\mathcal{H}\rightarrow\mathcal{H}$ で $J^*=J$, $J^2=1$ を満たすものを $\mathcal{H}$ 上の共役子と言う。

===命題20.14（反線形部分等長作用素の基本性質）===
$\mathcal{H}$ をHilbert空間、$V\colon\mathcal{H}\rightarrow\mathcal{H}$ を反線形部分等長作用素とする。このとき $V=VV^*V$ が成り立ち、$V^*\colon\mathcal{H}\rightarrow\mathcal{H}$ も反線形部分等長作用素である
{{begin|proof}}
まず任意の有界反線形作用素 $T\colon\mathcal{H}\rightarrow\mathcal{H}$ に対し、
$$
\lVert T\rVert^2=\sup\{\lVert Tv\rVert^2:v\in \mathcal{H},\lVert v\rVert\leq1\}
=\sup\{(v\mid T^*Tv):v\in \mathcal{H},\lVert v\rVert\leq1\}\leq \lVert T^*T\rVert\leq\lVert T^*\rVert\lVert T\rVert
$$
であるから、$\lVert T\rVert\leq \lVert T^*\rVert\leq \lVert T\rVert$であり、$\lVert T\rVert^2=\lVert T^*T\rVert$ が成り立つ。よって、
$$
\lVert V(1-V^*V)\rVert^2=\lVert (1-V^*V)V^*V(1-V^*V)\rVert=0
$$
であるから、$V=VV^*V$ が成り立ち、$VV^*=VV^*VV^*$ であるから、$VV^*$ は射影作用素である。ゆえに $V^*$ は反線形部分等長作用素である。
{{end|proof}}

===命題20.15（反線形部分等長作用素の特徴付け）===
$\mathcal{H}$ をHilbert空間、$V\colon\mathcal{H}\rightarrow\mathcal{H}$ を有界反線形作用素とする。このとき次は互いに同値である。
*$(1)$　$V$ は反線形部分等長作用素である。
*$(2)$　$\mathcal{H}$ の閉部分空間 $\mathcal{K}$ が存在し、
$$
\lVert Vv\rVert=\lVert v\rVert\quad(\forall v\in \mathcal{K}),\quad {\rm Ker}(V)=\mathcal{K}^{\perp}
$$
が成り立つ。 
そして $(1),(2)$ が成り立つとき $V^*V$ は $\mathcal{K}$ の上への射影作用素（${\rm Ran}(V^*V)=\mathcal{K}$）である。
{{begin|proof}}
$(1)\Rightarrow(2)$ を示す。$(1)$ が成り立つとする。$V^*V$ は射影作用素であるから $\mathcal{K}={\rm Ran}(V^*V)$ は $\mathcal{H}$ の閉部分空間であり、任意の $v\in \mathcal{K}$ に対し、
$$
\lVert Vv\rVert^2=(Vv\mid Vv)=(v\mid V^*Vv)=(v\mid v)=\lVert v\rVert^2
$$
であり、任意の $v\in \mathcal{K}^{\perp}$ に対し、
$$
\lVert Vv\rVert^2=(Vv\mid Vv)=(v\mid V^*Vv)=0
$$
である。よって、
$$
\lVert Vv\rVert=\lVert v\rVert\quad(\forall v\in \mathcal{K}),\quad \mathcal{K}^{\perp}\subset {\rm Ker}(V)
$$
である。任意の $v\in {\rm Ker}(V)$ に対し、
$$
v=v_1+v_2\in \mathcal{K}\oplus \mathcal{K}^{\perp}=\mathcal{H}
$$
と直交分解すると、$\lVert Vv_1\rVert=\lVert v_1\rVert$, $Vv_2=0$ であるから、
$$
0=\lVert Vv\rVert=\lVert Vv_1+Vv_2\rVert=\lVert Vv_1\rVert=\lVert v_1\rVert.
$$
よって $v=v_2\in \mathcal{K}^{\perp}$ であるから ${\rm Ker}(V)=\mathcal{K}^{\perp}$ である。ゆえに $(2)$ が成り立つ。 
$(2)\Rightarrow(1)$ を示す。$(2)$ が成り立つとする。任意の $v\in \mathcal{K}$ に対し、
$$
(v\mid v)=\lVert v\rVert^2=\lVert Vv\rVert^2=(Vv\mid Vv)=(v\mid V^*Vv)
$$
であるから任意の $u,v\in \mathcal{K}$ に対し、
$$
(u\mid v)=\frac{1}{4}\sum_{k=0}^{3}i^k(i^ku+v\mid i^ku+v)=\frac{1}{4}\sum_{k=0}^{3}i^k(V(i^ku+v)\mid V(i^ku+v))=
(Vv\mid Vu)
$$
である。よって任意の $u,v\in \mathcal{H}$ に対し、
$$
u=u_1+u_2,\quad v=v_1+v_2\in \mathcal{K}\oplus \mathcal{K}^{\perp}=\mathcal{H}
$$
と直交分解すると、
$$
(u\mid V^*Vv)=(Vv\mid Vu)=(Vv_1\mid Vu_1)=(u_1\mid v_1)=(u\mid v_1)
$$
である。ゆえに $V^*Vv=v_1$ であるから $V^*V$ は $\mathcal{K}$ の上の射影作用素であり、$V$ は反線形部分等長作用素である。
{{end|proof}}

=== 定理20.16（稠密に定義された閉反線形作用素の極分解） ===
$T$ をHilbert空間 $\mathcal{H}$ 上の稠密に定義された閉反線形作用素とする。このとき $T$ の絶対値作用素 $\lvert T\rvert$ と $\lvert T\rvert$ の台射影作用素 $S(\lvert T\rvert)$（'''定義9.2'''）に対し、反線形部分等長作用素 $V\colon \mathcal{H}\rightarrow\mathcal{H}$ で、
$$
V^*V=S(\lvert T\rvert),\quad T=V\lvert T\rvert
$$
を満たすものが唯一つ存在する。この $T=V\lvert T\rvert$ なる分解を $T$ の極分解と言う。
{{begin |proof}}
$T^*T=\lvert T\rvert^2$ であるから、'''定理20.11'''と'''定理3.10'''の $(1)$ より $D(T^*T)=D(\lvert T\rvert^2)$ は、$T,\lvert T\rvert$ の共通の芯である。
$$
D\colon=D(T^*T)=D(\lvert T\rvert^2)
$$
とおく。任意の $v\in D$ に対し、
$$
\lVert Tv\rVert^2=(Tv\mid Tv)=(v\mid T^*Tv)=(v\mid \lvert T\rvert^2v)=(\lvert T\rvert v\mid \lvert T\rvert v)=\lVert \lvert T\rvert v\rVert^2
$$
であるから、
$$
V_0\colon\lvert T\rvert(D)\ni \lvert T\rvert v\mapsto Tv\in \mathcal{H}
$$
なる等長反線形作用素が定義できる。[[位相線形空間1：ノルムと内積]]の'''命題3.6'''と同様にして $V_0$ は等長反線形作用素
$$
V_1\colon\overline{{\rm Ran}(\lvert T\rvert)}=\overline{\lvert T\rvert(D)}\rightarrow\mathcal{H}
$$
に一意拡張できる。（$\overline{{\rm Ran}(\lvert T\rvert)}=\overline{\lvert T\rvert(D)}$ であることは $D$ が $\lvert T\rvert$ の芯であることによる。）そこでHilbert空間 $\mathcal{H}$ の直交分解
$$
\mathcal{H}=\overline{{\rm Ran}(\lvert T\rvert)}\oplus ({\rm Ran}(\lvert T\rvert))^{\perp}\quad\quad(*)
$$
を考えて、
$$
V\colon\mathcal{H}=\overline{{\rm Ran}(\lvert T\rvert)}\oplus ({\rm Ran}(\lvert T\rvert))^{\perp}\ni v+u\mapsto V_1v\in \mathcal{H}
$$
として有界反線形作用素 $V\colon \mathcal{H}\rightarrow\mathcal{H}$ を定義する。このとき、
$$
\lVert Vv\rVert=\lVert v\rVert\quad(\forall v\in \overline{{\rm Ran}(\lvert T\rvert)}),\quad Vu=0\quad(\forall u\in ({\rm Ran}(\lvert T\rvert))^{\perp})
$$
であるから、'''命題20.15'''より $V$ は反線形部分等長作用素で、$V^*V$ は $\overline{{\rm Ran}(\lvert T\rvert)}$ の上への射影作用素、すなわち $V^*V=S(\lvert T\rvert)$ である。そして、
$$
V\lvert T\rvert v=V_1\lvert T\rvert v=V_0\lvert T\rvert v=Tv\quad(\forall v\in D)\quad\quad(**)
$$
である。任意の $v\in D(\lvert T\rvert)$ を取る。$D$ は $\lvert T\rvert$ の芯であるので $D$ の点列 $(v_n)_{n\in \mathbb{N}}$ で、
$$
(v_n,\lvert T\rvert v_n)\rightarrow (v,\lvert T\rvert v)\quad(n\rightarrow\infty)
$$
なるものが取れる。$(**)$ と $V_0$ が等長反線形作用素であることから、
$$
\lVert Tv_n-Tv_m\rVert=\lVert V_0\lvert T\rvert v_n-V_0\lvert T\rvert v_m\rVert
=\lVert \lvert T\rvert v_n-\lvert T\rvert v_m\rVert\rightarrow0\quad(n,m\rightarrow\infty)
$$
である。よって $(T v_n)_{n\in \mathbb{N}}$ は収束するので、$T$ が閉であることから、
$$
(v_n,T v_n)\rightarrow (v,T v)\quad(n\rightarrow\infty)
$$
である。これより、
$$
V\lvert T\rvert v=\lim_{n\rightarrow\infty}V\lvert T\rvert v_n=\lim_{n\rightarrow\infty} Tv_n=Tv
$$
であるから $V\lvert T\rvert\subset T$ が成り立つ。逆の包含関係を示す。任意の $v\in D(T)$ を取り、$v\in D(\lvert T\rvert)$ が成り立つことを示せばよい。$D$ は $T$ の芯であるので、$D$ の点列 $(v_n)_{n\in \mathbb{N}}$ で、
$$
(v_n,Tv_n)\rightarrow (v,Tv)\quad(n\rightarrow\infty)
$$
なるものが取れる。$(**)$ と $V_0$ が等長線形作用素であることから、
$$
\lVert \lvert T\rvert v_n-\lvert T\rvert v_m\rVert
=\lVert V_0\lvert T\rvert v_n-V_0\lvert T\rvert v_m\rVert
=\lVert Tv_n-Tv_m\rVert\rightarrow0\quad(n,m\rightarrow\infty)
$$
である。よって $(\lvert T\rvert v_n)_{n\in \mathbb{N}}$ は収束するので、$\lvert T\rvert$ が閉であることから、
$$
(v_n,\lvert T\rvert v_n)\rightarrow (v,\lvert T\rvert v)\quad(n\rightarrow\infty)
$$
である。これより $v\in D(\lvert T\rvert)$ であるから $V\lvert T\rvert=T$ が成り立つ。以上で存在が示せた。 
一意性を示す。$V,W\in \mathbb{B}(\mathcal{H})$ がそれぞれ反線形部分等長作用素であり、
$$
V^*V=S(\lvert T\rvert)=W^*W,\quad V\lvert T\rvert=T=W\lvert T\rvert
$$
を満たすとする。'''命題20.15'''より、
$$
Vu=Wu=0\quad(\forall u\in ({\rm Ran}(\lvert T\rvert))^{\perp})
$$
である。また、
$$
V\lvert T\rvert v=Tv=W\lvert T\rvert v\quad(\forall v\in \mathcal{H})
$$
であるから、$V$ と $W$ は ${\rm Ran}(\lvert T\rvert)$ 上で一致する。$V,W$ の連続性より $V,W$ は $\overline{{\rm Ran}(\lvert T\rvert)}$ 上でも一致するから、$(*)$ より $V=W$ である。
{{end|proof|}}

=== 定理20.17（稠密に定義された閉反線形作用素の共役作用素の極分解） ===
$T$ をHilbert空間 $\mathcal{H}$ 上の稠密に定義された閉反線形作用素とし、$T$ の極分解
$$
T=V\lvert T\rvert,\quad V^*V=S(\lvert T\rvert)
$$
を考える。このとき $T^*$（'''定理20.11'''より $T^*$ も稠密に定義された閉反線形作用素である）の極分解は、
$$
T^*=V^*\lvert T^*\rvert,\quad VV^*=S(\lvert T^*\rvert)
$$
である。（'''命題20.14'''より $V^*$ も反線形部分等長作用素であることに注意。）
{{begin |proof }}
'''定理20.11'''の $(3)$ より $T=T^{**}$ であるから、
$$
\lvert T^*\rvert=\sqrt{TT^*}
$$
である。$V^*V=S(\lvert T\rvert)$ より $V^*V\lvert T\rvert=\lvert T\rvert$ であり、'''命題20.9'''の $(9)$ より、$T^*=(V\lvert T\rvert)^*=\lvert T\rvert V^*$ であるから、
$$
(V\lvert T\rvert V^*)(V\lvert T\rvert V^*)=(V\lvert T\rvert)(V^*V\lvert T\rvert V^*)
=(V\lvert T\rvert)(\lvert T\rvert V^*)=TT^*=\lvert T^*\rvert^2\quad\quad(*)
$$
である。そして'''命題20.9'''の $(9)$ より、
$$
(V\lvert T\rvert V^*)^*=(VT^*)^*=T^{**}V^*=TV^*=V\lvert T\rvert V^*
$$
であるから $V\lvert T\rvert V^*$ は自己共役作用素であり、
$$
(v\mid V\lvert T\rvert V^*v)=(\lvert T\rvert V^*v\mid V^*v)\geq0\quad(\forall v\in D(V\lvert T\rvert V^*))
$$
であるから、'''命題8.10'''より $V\lvert T\rvert V^*$ は非負自己共役作用素である。よって $(*)$ と'''命題8.9'''より、
$$
\lvert T^*\rvert=V\lvert T\rvert V^*\quad\quad(**)
$$
が成り立つ。これより、
$$
V^*\lvert T^*\rvert=V^*V\lvert T\rvert V^*=\lvert T\rvert V^*=(V\lvert T\rvert)^*=T^*
$$
であり、
$$
VV^*\lvert T^*\rvert=VT^*=V\lvert T\rvert V^*=\lvert T^*\rvert
$$
である。よって'''命題9.3'''より、
$$
S(\lvert T^*\rvert)\leq VV^*
$$
が成り立つ。この逆の不等式を示す。
$$
\lvert T^*\rvert=S(\lvert T^*\rvert)\lvert T^*\rvert
$$
であるから、$(**)$ より、
$$
V\lvert T\rvert V^*=S(\lvert T^*\rvert)V\lvert T\rvert V^*\quad\quad(***)
$$
である。
$$
\lvert T\rvert=\lvert T\rvert^*=(V^*V\lvert T\rvert)^*=\lvert T\rvert V^*V
$$
であるから $(***)$ の両辺に右から $V$ を掛ければ、
$$
V\lvert T\rvert=S(\lvert T^*\rvert)V\lvert T\rvert
$$
を得る。ゆえに、
$$
VS(\lvert T\rvert)=S(\lvert T^*\rvert)VS(\lvert T\rvert)
$$
が成り立つ。$VS(\lvert T\rvert)=VV^*V=V$ より、
$$
V=S(\lvert T^*\rvert)V
$$
であり、両辺に右から $V^*$ を掛けて、
$$
VV^*=S(\lvert T^*\rvert)VV^*
$$
を得る。これより、
$$
VV^*=S(\lvert T^*\rvert)VV^*=S(\lvert T^*\rvert)VV^*S(\lvert T^*\rvert)\leq S(\lvert T^*\rvert)
$$
であるから、$VV^*=S(\lvert T^*\rvert)$ が成り立つ。
{{end|proof|}}

===命題20.18（反線形ユニタリ作用素による射影値測度の変換）===
$\mathcal{H},\mathcal{K}$ をHilbert空間、$U\colon\mathcal{H}\rightarrow \mathcal{K}$ を反線形ユニタリ作用素、$(X,\mathfrak{M})$ を可測空間、$E\colon\mathfrak{M}\rightarrow \mathbb{P}(\mathcal{H})$ を射影値測度とする。このとき、
$$
UEU^*\colon\mathfrak{M}\ni B\mapsto UE(B)U^*\in \mathbb{P}(\mathcal{K})
$$
は射影値測度であり、任意の可測関数 $f\colon X\rightarrow\mathbb{C}$ に対し、
$$
\int_{X}f(x)d(UEU^*)(x)=U\left(\int_{X}\overline{f(x)}dE(x)\right)U^*\quad\quad(*)
$$
が成り立つ。
{{begin |proof }}
$UEU^*$ が射影値測度の'''定義6.2'''を満たすことは自明である。$(*)$ は $f\colon X\rightarrow \mathbb{C}$ が可測単関数である場合は明らかに成り立ち、有界可測関数は可測単関数により一様近似できること（[[測度と積分5：$L^p$ 空間の完備性と双対性]]の'''命題22.2'''）から、$f\colon X\rightarrow \mathbb{C}$ が有界可測関数の場合も $(*)$ は成り立つ。今、任意の可測関数 $f\colon X\rightarrow\mathbb{C}$ に対し、有界可測関数の列 $f_n\colon=f\chi_{(\lvert f\rvert\leq n)}$ $(\forall n\in \mathbb{N})$ を考えると、任意の $v\in \mathcal{K}$ に対し単調収束定理より、
$$
\begin{aligned}
\int_{X}\lvert f(x)\rvert^2d(UEU^*)_{v,v}(x)&=\sup_{n\in \mathbb{N}}\int_{X}\lvert f_n(x)\rvert^2d(UEU^*)_{v,v}(x)=\sup_{n\in\mathbb{N}}\left\lVert \int_{X}f_n(x)d(UEU^*)(x)v\right\rVert^2\\
&=\sup_{n\in\mathbb{N}}\left\lVert \left(\int_{X}\overline{f_n(x)}dE(x)\right)U^*v\right\rVert^2
=\sup_{n\in\mathbb{N}}\int_{X}\lvert f_n(x)\rvert^2dE_{U^*v,U^*v}(x)\\
&=\int_{X}\lvert f(x)\rvert^2dE_{U^*v,U^*v}(x)
\end{aligned}
$$
であるから $D_{UEU^*}(f)=UD_E(f)$ が成り立つ。そして任意の $u\in \mathcal{H}$ と任意の $v\in D_{UEU^*}(f)$ に対しLebesgue優収束定理より、
$$
\begin{aligned}
&\left(u\mid \int_{X}f(x)d(UEU^*)(x)v\right)=\lim_{n\rightarrow\infty}\left(u\mid \left(\int_{X}f_n(x)d(UEU^*)(x)\right)v\right)\\
&=\lim_{n\rightarrow\infty}\left(u\mid U\left(\int_{X}\overline{f_n(x)}dE(x)\right)U^*v\right)
=\left(u\mid U\left(\int_{X}\overline{f(x)}dE(x)\right)U^*v\right)
\end{aligned}
$$
である。よって $(*)$ は任意の可測関数 $f:X\rightarrow \mathbb{C}$ に対して成り立つ。
{{end|proof|}}

===定義20.19（共役子に関して実な線形作用素）===
$\mathcal{H}$ をHilbert空間、$J\colon\mathcal{H}\rightarrow\mathcal{H}$ を共役子（'''定義20.13'''）とする。$\mathcal{H}$ 上の線形作用素 $T$ が $J$ に関して実であるとは、
$$
JT\subset TJ\quad\quad(*)
$$
が成り立つことを言う。$J^2=1$ であるから $(*)$ は $JT=TJ$ であること、また $JTJ=T$ であることと同値である。

===命題20.20（共役子に関して実な線形作用素の基本性質）===
$\mathcal{H}$ をHilbert空間、$J\colon\mathcal{H}\rightarrow\mathcal{H}$ を共役子とする。このとき、
*$(1)$　$T_1,T_2$ が $J$ に関して実な線形作用素ならば、$T_1+T_2, T_1T_2$ も $J$ に関して実である。
*$(2)$　$T$ が $J$ に関して実な線形作用素ならば、任意の $\alpha\in \mathbb{R}$ に対し $\alpha T$ も $J$ に関して実である。
*$(3)$　$T$ が $J$ に関して実な稠密に定義された線形作用素ならば、$T^*$ も $J$ に関して実である。
*$(4)$　$T$ が $J$ に関して実な可閉線形作用素ならば、$\overline{T}$ も $J$ に関して実である。
*$(5)$　$T$ が $J$ に関して実な単射線形作用素ならば、$T^{-1}$ も $J$ に関して実である。
{{begin|proof}}
'''命題19.3'''と同様にして示せる。
{{end|proof}}

===定理20.21（共役子に関して実な対称作用素の自己共役拡張可能性）===
$\mathcal{H}$ をHilbert空間、$J\colon\mathcal{H}\rightarrow\mathcal{H}$ を共役子、$T$ を $J$ に関して実な対称作用素とする。このとき $T$ は $J$ に関して実な自己共役拡張（'''定義4.7'''）を持つ。
{{begin|proof}}
任意の $v_{\pm}\in ({\rm Ran}(T\pm i))^{\perp}$ に対し、
$$
(Jv_{\pm}\mid (T\mp i)u)=(J(T\mp i)u\mid v_{\pm})=((T\pm i)Ju\mid v_{\pm})=0\quad(\forall u\in D(T))
$$
であるから、
$$
J({\rm Ran}(T+i))^{\perp}=({\rm Ran}(T-i))^{\perp}
$$
である。これより $({\rm Ran}(T+i))^{\perp}$ のCONSを $(e_k)_{k\in K}$ とすると、$(Je_k)_{k\in K}$ は $({\rm Ran}(T-i))^{\perp}$ のCONSなので、ユニタリ作用素
$$
V\colon ({\rm Ran}(T+i))^{\perp}\rightarrow ({\rm Ran}(T-i))^{\perp},\quad Ve_k=Je_k\quad(\forall k\in K)
$$
が取れる。よって'''定理4.9'''より $T$ は自己共役拡張 $S$ で、そのCayley変換 $C(S)$ が、
$$
C(S)=C(\overline{T})\oplus V\colon {\rm Ran}(\overline{T}+i)\oplus ({\rm Ran}(T+i))^{\perp}\rightarrow {\rm Ran}(\overline{T}-i)\oplus ({\rm Ran}(T-i))^{\perp}
$$
である様なものが取れる。今、$S$ が $J$ に関して実であることを示す。まず、
$$
JV^*Je_k=Je_k=Ve_k\quad(\forall k\in K)
$$
であるから、
$$
JV^*J=V
$$
である。またHilbert空間 ${\rm Ran}(\overline{T}+i)$ からHilbert空間 ${\rm Ran}(\overline{T}-i)$ へのユニタリ作用素
$$
C(\overline{T})=(\overline{T}-i)(\overline{T}+i)^{-1}\colon {\rm Ran}(\overline{T}+i)\rightarrow {\rm Ran}(\overline{T}-i)
$$
の共役作用素
$$
C(\overline{T})^*=(\overline{T}+i)(\overline{T}-i)^{-1}\colon {\rm Ran}(\overline{T}-i)\rightarrow {\rm Ran}(\overline{T}+i)
$$
に対し、'''命題20.20'''より、
$$
JC(\overline{T})^*J=J(\overline{T}+i)(\overline{T}-i)^{-1}J=(\overline{T}-i)(\overline{T}+i)^{-1}=C(\overline{T})
$$
である。よって、
$$
JC(S)^*J=(JC(\overline{T})^*J)\oplus(JV^*J)=C(\overline{T})\oplus V=C(S)
$$
が成り立つ。ここで $S$ のスペクトル測度を $E_S\colon \mathcal{B}_{\sigma(S)}\rightarrow \mathbb{P}(\mathcal{H})$ とすると、'''命題20.18'''より、
$$
C(S)=JC(S)^*J=J\left(\int_{\sigma(S)}(s+i)(s-i)^{-1}dE_S(s)\right)J=\int_{\sigma(S)}(s-i)(s+i)^{-1}d(JE_SJ)(s)
$$
であり、右辺は自己共役作用素
$$
\int_{\sigma(S)}sd(JE_SJ)(s)=J\left(\int_{\sigma(S)}sdE_S(s)\right)J=JSJ
$$
のCayley変換 $C(JSJ)$ である。よって $C(S)=C(JSJ)$ なので'''命題4.5'''より $S=JSJ$ である。ゆえに $S$ は $J$ に関して実である。
{{end|proof}}

==21. 対称作用素の解析ベクトル、Nelsonの解析ベクトル定理==

===定義21.1（対称作用素の解析ベクトル、全解析ベクトル）===
$T$ をHilbert空間 $\mathcal{H}$ 上の対称作用素とする。$v\in \bigcap_{n\in \mathbb{N}}D(T^n)$ に対し $\mathcal{H}$ の列 $(\frac{1}{n!}T^nv)_{n\in\mathbb{N}}$ を係数とする冪級数の収束半径（[[複素解析の初歩]]の'''定義2.1'''）を、
$$
R_T(v)\colon=\frac{1}{\inf_{n\in \mathbb{N}}\sup_{k\geq n}\sqrt[k]{\frac{1}{k!}\lVert T^kv\rVert}}\in [0,\infty]
$$
とおく。$R_T(v)>0$ であるとき $v$ を $T$ の解析ベクトルと言う。また $R_T(v)=\infty$ のとき $v$ を $T$ の全解析ベクトルと言う。

===命題21.2（対称作用素の解析ベクトルの基本性質）===
$T$ をHilbert空間 $\mathcal{H}$ 上の対称作用素とする。次が成り立つ。
*$(1)$　任意の $u,v\in \bigcap_{n\in\mathbb{N}}D(T^n)$ に対し ${\rm min}(R_T(u), R_T(v))\leq R_T(u+v)$.
*$(2)$　任意の $v\in \bigcap_{n\in \mathbb{N}}D(T^n)$ と任意の $\alpha\in \mathbb{C}\backslash\{0\}$ に対し $R_T(\alpha v)=R_T(v)$.
*$(3)$　任意の $v\in \bigcap_{n\in \mathbb{N}}D(T^n)$ と任意の $k\in\mathbb{N}$ に対し $R_T(T^kv)=R_T(v)$.
*$(4)$　$T$ の解析ベクトル全体、$T$ の全解析ベクトル全体はそれぞれ $T$ の作用に対して不変な $\mathcal{H}$ の線形部分空間である。
{{begin|proof}}
*$(1)$　$\lvert z\rvert<{\rm min}(R_T(u),R_T(v))$ を満たす任意の $z\in \mathbb{C}$ に対し、
$$
\sum_{n\in\mathbb{Z}_+}\frac{1}{n!}\lVert T^n(u+v)\rVert\lvert z\rvert^n
\leq \sum_{n\in\mathbb{Z}_+}\frac{1}{n!}\lVert T^nu\rVert \lvert z\rvert^n+\sum_{n\in\mathbb{Z}_+}\frac{1}{n!}\lVert T^nv\rVert\lvert z\rvert^n<\infty
$$
であるから、[[複素解析の初歩]]の'''命題2.2'''より $\lvert z\rvert\leq R_T(u+v)$ である。よって ${\rm min}(R_T(u),R_T(v))\leq R_T(u+v)$ が成り立つ。
*$(2)$　$\lvert z\rvert<R_T(v)$ を満たす任意の $z\in \mathbb{C}$ に対し[[複素解析の初歩]]の'''命題2.2'''より、
$$
\sum_{n\in\mathbb{Z}_+}\frac{1}{n!}\lVert T^n\alpha v\rVert\lvert z\rvert^n
=\lvert \alpha\rvert\sum_{n\in\mathbb{Z}_+}\frac{1}{n!}\lVert T^nv\rVert \lvert z\rvert^n<\infty
$$
であるから、$\lvert z\rvert\leq R_T(\alpha v)$ である。よって $R_T(v)\leq R_T(\alpha v)$ が成り立つ。またこれより $R_T(\alpha v)\leq R_T(\alpha^{-1}\alpha v)=R_T(v)$ も成り立つので $R_T(\alpha v)=R_T(v)$ が成り立つ。
*$(3)$　[[複素解析の初歩]]の'''命題2.4'''より $\mathcal{H}$ の列 $(\frac{1}{n!}T^nv)_{n\in\mathbb{Z}_+}$ を係数とする冪級数の収束半径 $R_T(v)$ は $((n+1)\frac{1}{(n+1)!}T^{n+1}v)_{n\in\mathbb{Z}_+}=(\frac{1}{n!}T^{n+1}v)_{n\in\mathbb{Z}_+}$ を係数とする冪級数の収束半径 $R_T(Tv)$ と等しい。よって $R_T(v)=R_T(Tv)=R_T(T^2v)=\cdots$ であるから任意の $k\in \mathbb{N}$ に対し $R_T(v)=R_T(T^kv)$ が成り立つ。
*$(4)$　$T$ の解析ベクトル全体を、
$$
\mathcal{A}_T\colon=\left\{v\in \bigcap_{n\in\mathbb{N}}D(T^n):R_T(v)>0\right\}
$$　
とおく。任意の $u,v\in \mathcal{A}_T$ と任意の $\alpha\in\mathbb{C}$ に対し $(1),(2),(3)$ より、
$$
0<{\rm min}(R_T(u),R_T(v))\leq R_T(u+v),\quad 0<R_T(v)\leq R_T(\alpha v),\quad 0<R_T(v)=R_T(Tv)
$$
であるから $u+v,\alpha v,Tv\in \mathcal{A}_T$ である。よって $\mathcal{A}_T$ は $T$ の作用に対して不変な $\mathcal{H}$ の線形部分空間である。また $T$ の全解析ベクトル全体を、
$$
\mathcal{TA}_T\colon=\left\{v\in \bigcap_{n\in\mathbb{N}}D(T^n):R_T(v)=\infty\right\}
$$
とおくと、任意の $u,v\in \mathcal{TA}_T$ と任意の $\alpha\in\mathbb{C}$ に対し $(1),(2),(3)$ より、
$$
\infty={\rm min}(R_T(u),R_T(v))\leq R_T(u+v),\quad \infty=R_T(v)\leq R_T(\alpha v),\quad \infty=R_T(v)=R_T(Tv)
$$
であるから $u+v,\alpha v, Tv\in \mathcal{TA}_T$ である。よって $\mathcal{TA}_T$ は $T$ の作用に対して不変な $\mathcal{H}$ の線形部分空間である。
{{end|proof}}

===補題21.3（自己共役作用素の定義域の微分による特徴付け）===
$T$ をHilbert空間 $\mathcal{H}$ 上の自己共役作用素とする。このとき、
$$
D(T)=\left\{v\in \mathcal{H}:\exists\lim_{t\in\mathbb{R}, t\rightarrow 0}\frac{1}{t}(e^{itT}-1)v\in \mathcal{H}\right\},\quad
Tv=\lim_{t\in\mathbb{R}, t\rightarrow0}\frac{1}{it}(e^{itT}-1)v\quad(\forall v\in D(T))
$$
が成り立つ。
{{begin|proof}}
$$
D\colon=\left\{v\in \mathcal{H}:\exists\lim_{t\in\mathbb{R}, t\rightarrow 0}\frac{1}{t}(e^{itT}-1)v\in \mathcal{H}\right\},\quad
Sv\colon=\lim_{t\in\mathbb{R}, t\rightarrow0}\frac{1}{it}(e^{itT}-1)v\quad(\forall v\in D)
$$
とおく。このとき $S\colon D\ni v\mapsto Sv\in \mathcal{H}$ は $\mathcal{H}$ 上の線形作用素である。$E^T\colon \mathcal{B}_{\sigma(T)}\rightarrow\mathbb{P}(\mathcal{H})$ を $T$ のスペクトル測度とすると、任意の $v\in D(T)$ に対し微積分学の基本定理とLebesgue優収束定理より、
$$
\begin{aligned}
&\left\lVert\frac{1}{it}(e^{itT}-1)v-Tv\right\rVert^2
=\int_{\sigma(T)}\left\lvert \frac{1}{it}(e^{it\lambda}-1)-\lambda \right\rvert^2dE^T_{v,v}(\lambda)\\
&=\int_{\sigma(T)}\left\lvert \lambda\int_{0}^{1}(e^{i\theta t\lambda}-1)d\theta \right\rvert^2dE^T_{v,v}(\lambda)\rightarrow0\quad(t\rightarrow0)
\end{aligned}
$$
であるから $v\in D$ であり、$Tv=Sv$ である。よって $T\subset S$である。Borel汎関数計算の基本性質（'''命題8.7'''）より $(e^{itT})^*=e^{-itT}$ $(\forall t\in \mathbb{R})$ であるので、任意の $u,v\in D$ に対し、
$$
(u\mid Sv)=\lim_{t\in \mathbb{R}, t\rightarrow0}\left(u\mid \frac{1}{it}(e^{itT}-1)v\right)
=\lim_{t\in\mathbb{R}, t\rightarrow\infty}\left(\frac{1}{-it}(e^{-itT}-1)u\mid v\right)
=(Su\mid v)
$$
である。よって $S$ は $\mathcal{H}$ 上の対称作用素である。$T$ が自己共役作用素で $S$ が対称作用素であるから、$T\subset S\subset S^*\subset T^*=T$ である。ゆえに $T=S$ が成り立つ。
{{end|proof}}

===定理21.4（自己共役作用素の解析ベクトルの基本性質）===
$T$ をHilbert空間 $\mathcal{H}$ 上の自己共役作用素とする。このとき次が成り立つ。
*$(1)$　$T$ の全解析ベクトル全体は $T$ の芯である。
*$(2)$　$v$ が $T$ の解析ベクトルならば、
$$
e^{zT}v=\sum_{n\in\mathbb{Z}_+}\frac{1}{n!}(zT)^nv\quad\left(\forall z\in \mathbb{C}: \lvert z\rvert<\frac{R_T(v)}{2}\right)\quad\quad(*)
$$
が成り立つ。
*$(3)$　$v\in \mathcal{H}$ に対し、$v$ が $T$ の全解析ベクトルであることと、
$$
\mathbb{R}\ni t\mapsto e^{itT}v\in \mathcal{H}
$$
がBanach空間 $\mathcal{H}$ 値整関数に拡張できることは同値である。またその整関数としての拡張は、
$$
\mathbb{C}\ni z\mapsto e^{izT}v\in \mathcal{H}
$$
である。
*$(4)$　$v\in \mathcal{H}$ が $T$ の全解析ベクトルであるならば、任意の $z\in \mathbb{C}$ に対し $e^{izT}v$ も $T$ の全解析ベクトルであり、
$$
e^{iwT}e^{izT}v=e^{i(w+z)T}v\quad(\forall w,z\in\mathbb{C})
$$
が成り立つ。
{{begin|proof}}
*$(1)$　'''命題21.2'''より $T$ の全解析ベクトル全体は $D(T)$ の線形部分空間である。$T$ のスペクトル測度 $E^T\colon \mathcal{B}_{\sigma(T)}\rightarrow\mathbb{P}(\mathcal{H})$ と任意の $v\in D(T)$ に対し、
$$
v_m\colon =E^T([-m,m]\cap \sigma(T))v\in \bigcap_{n\in\mathbb{N}}D(T^n)\quad(\forall m\in \mathbb{N})
$$
とおくと、任意の $m\in \mathbb{N}$ に対し、
$$
\sum_{n\in\mathbb{Z}_+}\frac{1}{n!}\lVert T^nv_m\rVert \lvert z\rvert^n\leq \sum_{n\in\mathbb{Z}_+}\frac{1}{n!}m^n\lVert v\rVert \lvert z\rvert^n<\infty\quad(\forall z\in \mathbb{C})
$$
であるから、[[複素解析の初歩]]の'''命題2.2'''より $(\frac{1}{n!}\lVert T^nv_m)_{n\in\mathbb{Z}_+}$ を係数とする冪級数の収束半径は $\infty$ なので、$v_m$ は $T$ の全解析ベクトルである。そして $v_m=E^T([-m,m]\cap \sigma(T))v\rightarrow v$ $(m\rightarrow\infty)$ であり、Lebesgue優収束定理より、
$$
\lVert Tv-Tv_m\rVert^2=\int_{\sigma(T)}\lvert \lambda-\lambda\chi_{\lvert {\rm id}\rvert\leq m}(\lambda)\rvert^2dE^T_{v,v}(\lambda)\rightarrow0\quad(m\rightarrow\infty)
$$
であるから、$(v,Tv)=\lim_{m\rightarrow\infty}(v_m,Tv_m)$ が成り立つ。よって $T$ の全解析ベクトル全体は $T$ の芯である。
*$(2)$　$\lvert z\rvert<\frac{R_T(v)}{2}$ なる任意の $z\in \mathbb{C}$ に対しHölderの不等式より、
$$
\begin{aligned}
&\int_{\sigma(T)}\lvert e^{z\lambda}\rvert^2dE^T_{v,v}(\lambda)\leq \int_{\sigma(T)}e^{2\lvert z\lambda\rvert}dE^T_{v,v}(\lambda)=\sum_{n\in \mathbb{Z}_+}\frac{(2\lvert z\rvert)^n}{n!}\int_{\sigma(T)}\lvert \lambda\rvert^ndE^T_{v,v}(\lambda)\\
&\leq \sum_{n\in\mathbb{Z}_+}\frac{(2\lvert z\rvert)^n}{n!}\left(\int_{\sigma(T)}\lvert \lambda^n\rvert^2dE^T_{v,v}(\lambda)\right)^{\frac{1}{2}}\left(\int_{\sigma(T)}1dE^T_{v,v}(\lambda)\right)^{\frac{1}{2}}\\
&=\sum_{n\in\mathbb{Z}_+}\frac{(2\lvert z\rvert)^n}{n!}\lVert T^nv\rVert\lVert v\rVert<\infty
\end{aligned}
$$
となるから $v\in D(e^{zT})$ であり、Lebesgue優収束定理より、
$$
\begin{aligned}
&\left\lVert e^{zT}v-\sum_{n=0}^{N}\frac{1}{n!}(zT)^nv\right\rVert^2
=\left\lVert \left(\int_{\sigma(T)}\left(e^{z\lambda}-\sum_{n=0}^{N}\frac{1}{n!}(z\lambda)^n\right)dE^T_{v,v}(\lambda)\right)v\right\rVert^2\\
&=\int_{\sigma(T)}\left\lvert e^{z\lambda}-\sum_{n=0}^{N}\frac{1}{n!}(z\lambda)^n\right\rvert^2dE^T_{v,v}(\lambda)\rightarrow0\quad(N\rightarrow\infty)
\end{aligned}
$$
であるから $(*)$ が成り立つ。
*$(3)$　$v$ が $T$ の全解析ベクトルならば $(2)$ より $e^{izT}v=\sum_{n\in \mathbb{Z}_+}\frac{1}{n!}(izT)^nv$ $(\forall z\in \mathbb{C})$ であるから、冪級数関数の複素微分可能性（[[複素解析の初歩]]の'''定理2.5'''）より $\mathbb{C}\ni z\mapsto e^{izT}v\in \mathcal{H}$ はBanach空間値整関数である。逆に $v\in \mathcal{H}$ に対し $\mathbb{R}\ni t\mapsto e^{itT}v\in \mathcal{H}$ がBanach空間 $\mathcal{H}$ 値整関数 $U\colon \mathbb{C}\ni z\mapsto U(z)\in \mathcal{H}$ に拡張できるとし、$v$ が $T$ の全解析ベクトルであることを示す。
$$
e^{isT}U(t)=e^{isT}e^{itT}v=e^{i(s+t)T}v=U(s+t)\quad(\forall s,t\in\mathbb{R})
$$
であるから、任意の $s\in \mathbb{R}$ に対しBanach空間値整関数
$$
\mathbb{C}\ni z\mapsto e^{isT}U(z)\in \mathcal{H},\quad \mathbb{C}\ni z\mapsto U(s+z)\in \mathcal{H}
$$
は $\mathbb{R}$ 上で一致する。よって一致の定理（[[複素解析の初歩]]の'''注意9.5'''、'''定理6.6'''）より、
$$
e^{isT}U(z)=U(s+z)\quad(\forall s\in\mathbb{R},\forall z\in \mathbb{C})
$$
が成り立つ。任意の $z\in \mathbb{C}$ に対し'''補題21.3'''より、
$$
\frac{d}{dz}U(z)=\lim_{s\in\mathbb{R},s\rightarrow0}\frac{1}{s}(U(s+z)-U(z))=\lim_{s\in\mathbb{R},s\rightarrow0}\frac{1}{s}(e^{isT}-1)U(z)=iTU(z)
$$
が成り立つ。今、ある $n\in \mathbb{N}$ に対し、
$$
\frac{d^n}{dz^n}U(z)=(iT)^nU(z)\quad(\forall z\in \mathbb{C})\quad\quad(**)
$$
が成り立つと仮定する。このとき任意の $z\in \mathbb{C}$ に対し $(iT)^n=\int_{\sigma(T)}(i\lambda)^ndE^T(\lambda)$ が閉線形作用素であることと'''補題21.3'''より、
$$
\frac{d^{n+1}}{dz^{n+1}}U(z)=\lim_{s\in \mathbb{R}, s\rightarrow0}\frac{1}{s}(iT)^n(U(s+z)-U(z))=\lim_{s\in\mathbb{R}, s\rightarrow0}\frac{1}{s}(iT)^n(e^{isT}-1)U(z)=(iT)^{n+1}U(z)
$$
となるので帰納法より $(**)$ は任意の $n\in \mathbb{N}$ に対して成り立つ。よって[[複素解析の初歩]]の'''定理9.4'''より、
$$
U(z)=\sum_{n\in\mathbb{Z}_+}\frac{1}{n!}\left(\frac{d^n}{dz^n}U(z)\right)\big|_{z=0}z^n
=\sum_{n\in\mathbb{Z}_+}\frac{1}{n!}(izT)^nv\quad(\forall z\in \mathbb{C})\quad\quad(***)
$$
が成り立つので、[[複素解析の初歩]]の'''命題2.2'''より $(\frac{1}{n!}T^nv)_{n\in\mathbb{Z}_+}$ を係数とする冪級数の収束半径 $R_T(v)$ は $\infty$ であるから $v$ は $T$ の全解析ベクトルである。そして $(***)$ と $(2)$ より、
$$
U(z)=\sum_{n\in\mathbb{Z}_+}\frac{1}{n!}(izT)^nv=e^{izT}v\quad(\forall z\in\mathbb{C})
$$
が成り立つ。
*$(4)$　$v$ が $T$ の全解析ベクトルならば $(3)$ より任意の $s\in \mathbb{R}$ に対し、
$$
\mathbb{C}\ni z\mapsto e^{isT}e^{izT}v\in \mathcal{H},\quad
\mathbb{C}\ni z\mapsto e^{i(s+z)T}v\in \mathcal{H}
$$
はそれぞれBanach空間 $\mathcal{H}$ 値整関数である。そしてこれらは $\mathbb{R}$ 上で一致するので一致の定理より、
$$
e^{isT}e^{izT}v=e^{i(s+z)T}v\quad(\forall s\in\mathbb{R},\forall z\in \mathbb{C})
$$
が成り立つ。よって任意の $z\in \mathbb{C}$ に対し、$\mathbb{R}\ni s\mapsto e^{isT}e^{izT}v\in \mathcal{H}$ はBanach空間 $\mathcal{H}$ 値整関数 $\mathbb{C}\ni w\mapsto e^{i(w+z)T}v\in \mathcal{H}$ に拡張できるので $(3)$ より $e^{izT}v$ は $T$ の全解析ベクトルであり、任意の $w\in \mathbb{C}$ に対し $e^{iwT}e^{izT}v=e^{i(w+z)T}v$ が成り立つ。
{{end|proof}}

===補題21.5（Nelsonの解析ベクトル定理の補題）===
$T$ をHilbert空間 $\mathcal{H}$ 上の対称作用素とし、$v\in \bigcap_{n\in\mathbb{N}}D(T^n)$ を $0$ ではない $T$ の解析ベクトルとする。
$$
D_T(v)\colon={\rm span}\{T^nv\}_{n\in\mathbb{Z}_+},\quad \mathcal{H}_T(v)\colon=\overline{D_T(v)}
$$
とおき、Hilbert空間 $\mathcal{H}_T(v)$ 上の対称作用素
$$
T_v\colon D_T(v)\ni u\mapsto Tu\in \mathcal{H}_T(v)
$$
を定義する。このとき $T_v$ は本質的に自己共役（'''定義4.8'''）である。
{{begin|proof}}
$T$ は対称作用素で $v\in \bigcap_{n\in\mathbb{N}}D(T^n)$ であるから、
$$
(T^nv\mid T^mv)=(T^mv\mid T^nv)\quad(\forall n,m\in\mathbb{Z}_+)
$$
が成り立つ。よって、
$$
J_0\colon D_T(v)\ni \sum_{n=0}^{N}\alpha_nT^nv\mapsto \sum_{n=0}^{N}\overline{\alpha_n}T_nv\in \mathcal{H}_T(v)
$$
はwell-definedな等長反線形作用素であり、
$$
(J_0u\mid J_0w)=(w\mid u),\quad (u\mid J_0w)=(w\mid J_0u)\quad(\forall u,w\in D_T(v))
$$
が成り立つ。$J_0$ の $\mathcal{H}_T(v)=\overline{D_T(v)}$ 上の等長反線形作用素への拡張を $J\colon \mathcal{H}_T(v)\rightarrow\mathcal{H}_T(v)$ とおくと、
$$
(Ju\mid Jw)=(w\mid u),\quad (u\mid Jw)=(w\mid Ju)\quad(\forall u,v\in \mathcal{H}_T(v))
$$
より $J^*=J, J^2=1$ であるから、$J$ はHilbert空間 $\mathcal{H}_T(v)$ 上の共役子（'''定義20.13'''）である。$T_v$ は明らかに $J$ に関して実（'''定義20.19'''）であるから'''定理20.21'''より $T_v$ は自己共役拡張を持つ。$T_v$ が本質的に自己共役であることを示すには、'''系4.10'''より $T_v$ の自己共役拡張が唯一つであることを示せばよい。そこで $S_1,S_2$ をそれぞれ $T_v$ の自己共役拡張とし、$S_1=S_2$ が成り立つことを示す。任意の $u\in D_T(v)=D(T_v)\subset D(S_1)\cap D(S_2)$ に対し、
$$
S_j^nu=T_v^nu=T^nu\quad(\forall n\in\mathbb{Z}_+,j=1,2)
$$
であることと'''命題21.2'''より、
$$
R_{S_j}(u)=R_T(u)\geq R_T(v)>0\quad(j=1,2)
$$
であるから、'''定理21.4'''の $(2)$ より、
$$
e^{itS_j}u=\sum_{n\in\mathbb{Z}_+}\frac{1}{n!}(itS_j)^nu=\sum_{n\in\mathbb{Z}_+}\frac{1}{n!}(itT)^nu\quad(\forall t\in (-2^{-1}R_T(v),2^{-1}R_T(v)), j=1,2),
$$
よって、
$$
e^{itS_1}u=e^{itS_2}u\quad(\forall u\in D_T(v), \forall t\in (-2^{-1}R_T(v),2^{-1}R_T(v)))\quad\quad(*)
$$
が成り立つ。$t\in \mathbb{R}$ に対し $e^{itS_1}, e^{itS_2}$ はHilbert空間 $\mathcal{H}_T(v)$ 上のユニタリ作用素であり、$D_T(v)$ は $\mathcal{H}_T(v)$ の稠密部分空間であるから $(*)$ より、
$$
e^{itS_1}=e^{itS_2}\quad( \forall t\in (-2^{-1}R_T(v),2^{-1}R_T(v)))
$$
が成り立つ。よって'''補題21.3'''より $S_1=S_2$ が成り立つ。ゆえに $T_v$ は本質的に自己共役である。
{{end|proof}}

===定理21.6（Nelsonの解析ベクトル定理）===
$T$ をHilbert空間 $\mathcal{H}$ 上の対称作用素とする。もし $T$ の解析ベクトル全体が $\mathcal{H}$ で稠密であるならば $T$ は本質的に自己共役である。
{{begin|proof}}
'''命題4.3'''と'''定理4.6'''より ${\rm Ran}(T\pm i)$ が $\mathcal{H}$ で稠密であることを示せばよい。$0$ ではない任意の $u\in \mathcal{H}$ と任意の $\epsilon\in (0,2\lVert u\rVert)$ を取る。仮定より $T$ の解析ベクトル $v$ で、
$$
\lVert u-v\rVert<\frac{\epsilon}{2}\quad\quad(*)
$$
なるものが取れる。$\epsilon<2\lVert u\rVert$ より $v\neq0$ である。よって'''補題21.5'''より、
$$
T_v\colon D_T(v)\ni w\mapsto Tw\in \mathcal{H}_T(v)
$$
はHilbert空間 $\mathcal{H}_T(v)$ 上の本質的に自己共役な対称作用素である。ゆえに'''命題4.3'''と'''定理4.6'''より、
$$
\mathcal{H}_T(v)={\rm Ran}(\overline{T_v}\pm i)=\overline{{\rm Ran}(T_v\pm i)}
$$
であるから、$v\in \mathcal{H}_T(v)$ に対し $w_{\pm}\in D_T(v)$ で、
$$
\lVert v-(T_v\pm i)w_{\pm}\rVert<\frac{\epsilon}{2}\quad\quad(**)
$$
を満たすものが取れる。よって $(*),(**)$ より、
$$
\lVert u-(T\pm i)w_{\pm}\rVert\leq \lVert u-v\rVert+\lVert v-(T_v\pm i)w_{\pm}\rVert<\epsilon
$$
であるから、${\rm Ran}(T\pm i)$ は $\mathcal{H}$ で稠密である。
{{end|proof}}

===系21.7（Nelsonの解析ベクトル定理の系）===
$T$ をHilbert空間 $\mathcal{H}$ 上の対称作用素とし、$D\subset D(T)$ が次を満たすとする。
*$(1)$　$D$ は稠密な線形部分空間である。
*$(2)$　$D$ は $T$ の作用に対して不変（すなわち $T(D)\subset D$）である。
*$(3)$　$D$ の任意の元は $T$ の解析ベクトルである。 
このとき $T$ は本質的に自己共役であり、$D$ は $\overline{T}$ の芯である。
{{begin|proof}}
$(1)$ より $T|_D\colon D\ni v\mapsto Tv\in \mathcal{H}$ は $\mathcal{H}$ 上の対称作用素であり、$(2)$ より、
$$
(T|_D)^nv=T^nv\quad(\forall v\in D,\forall n\in \mathbb{Z}_+)\quad\quad(*)
$$
である。$(*)$ と $(3)$ より、
$$
R_{T|_D}(v)=R_T(v)>0\quad(\forall v\in D)
$$
であるから、$D$ の任意の元は対称作用素 $T|_D$ の解析ベクトルである。よってNelsonの解析ベクトル定理（'''定理21.6'''）より $T|_D$ は本質的に自己共役である。ゆえに、
$$
\overline{T|_D}\subset \overline{T}\subset (\overline{T})^*\subset (\overline{T|_D})^*=\overline{T|_D}
$$
であるから $\overline{T}=\overline{T|_D}$ である。よって $T$ は本質的に自己共役であり、$D$ は $\overline{T}$ の芯である。
{{end|proof}}

== 参考文献 ==
* [https://amzn.to/3uDz7Vl Walter Rudin「Functional Analysis」]
* [https://amzn.to/3d66SIX Gert K. Pedersen「Analysis Now」]
* [https://amzn.to/2PVx3ct 日合、柳「ヒルベルト空間と線型作用素」]
* [https://amzn.to/2QdWrdK 新井朝雄「量子現象の数理」]
* [https://amzn.to/3txHNMX 新井朝雄「フォック空間と量子場（上）」]

== 脚注 ==

Hilbert空間上の作用素論

2024-10-07T09:35:40Z

Kataoka: /* 定理19.4（von Neumann環とBorel汎関数計算、極分解） */

本稿においては、Hilbert空間上の作用素論を展開する。特に量子力学の数学的構造に関わる関数解析学と相性の良い、Hilbert空間上の非有界線形作用素（非有界反線形作用素）の理論、Hilbert空間上の射影値測度（projection-valued measure、PVM）による積分の一般論について詳しく論じる。射影値測度の典型例として、Hilbert空間上の（有界とは限らない）自己共役作用素に付随するスペクトル測度がある。このスペクトル測度による積分（Borel汎関数計算、Borel functional calculus）により、自己共役作用素 $T$ と $T$ のスペクトル $\sigma(T)$ 上で定義されたBorel関数 $f\colon\sigma(T)\rightarrow\mathbb{C}$ に対し $f(T)$ と表すに相応しい作用素が定義できる。こうして、例えば量子力学において基本的な物理量を表す自己共役作用素に対し、その関数で表される作用素が定義できる。（[[量子力学の数学的構造に関わる関数解析]]、[[Stone-von Neumannの一意性定理]]、[[水素様原子の離散スペクトルの決定]]などを参照。）また、境界条件の付いたラプラシアン（より一般には楕円型偏微分作用素）は自己共役作用素であるが、境界条件付きの波動方程式、熱方程式などの一般解を、そのラプラシアンの関数として表すことが可能である。（[[微分方程式の初歩]]を参照。）さらに射影値測度は[[局所コンパクト群のユニタリ表現]]の理論を展開する上でも重要な役割を演じる。 
本稿では、直和Hilbert空間、テンソル積Hilbert空間上の作用素の一般論、トレースクラスとHilbert-Schmidtクラスについても展開している。直和Hilbert空間、テンソル積Hilbert空間上の作用素の一般論はFock空間上の作用素論（[[Fock空間、CCRとCARの表現]]）を展開する上で基礎となり、Fock空間上の作用素論は、トレースクラスとHilbert-Schmidtクラス、von Neumann環と共に量子統計力学の数理の基礎となる（[[無限量子系のための作用素環論]]）。 
本稿で仮定する知識は、Hilbert空間と有界線形作用素の初歩的な知識（[[位相線形空間1：ノルムと内積]]の内容）、セミノルム位相、汎弱位相の初歩的な知識（[[位相線形空間2：セミノルム位相と汎弱位相]]の内容）、測度論（[[入門テキスト「測度と積分」]]の程度の内容）、$C^*$-環のスペクトルの初歩的な知識（[[Banach環とC*-環のスペクトル理論]]の程度の内容）である。本稿では
Hilbert空間と言えば、特に断ることのない限り $\mathbb{C}$ 上のものとする。また、Hilbert空間の内積は第二変数に関して線形とし、$\mathbb{N}=\{1,2,3,\ldots\}$、$\mathbb{Z}_+=\{0,1,2,3,\ldots\}$ とする。

== 1. $C^*$-環 $\mathbb{B}(\mathcal{H})$ の元の作用素としての特徴付け ==

=== 定義1.1（Hilbert空間 $\mathcal{H}$ 上の正規作用素、有界（非負）自己共役作用素、射影作用素、部分等長作用素） ===
$\mathcal{H}$ をHilbert空間とする。[[位相線形空間1：ノルムと内積]]の'''系7.5'''より $\mathcal{H}$ 上の有界線形作用素全体 $\mathbb{B}(\mathcal{H})$ は単位的 $C^*$-環をなす。$C^*$-環 $\mathbb{B}(\mathcal{H})$ の正規元、自己共役元、非負元、射影、部分等長元（[[Banach環とC*-環のスペクトル理論]]の'''定義3.3'''、'''定義7.2'''、'''定義8.1'''、'''定義8.4'''）をそれぞれ $\mathcal{H}$ 上の正規作用素、有界自己共役作用素、有界非負自己共役作用素、射影作用素、部分等長作用素と言う。すなわち、$T\in \mathbb{B}(\mathcal{H})$ が正規作用素であるとは $T^*T=TT^*$ が成り立つこと、$T\in \mathbb{B}(\mathcal{H})$ が有界自己共役作用素であるとは $T^*=T$ が成り立つこと、$T\in \mathbb{B}(\mathcal{H})$ が有界非負自己共役作用素であるとは $T^*=T$ かつ $\sigma(T)\subset [0,\infty)$ が成り立つこと、$P\in \mathbb{B}(\mathcal{H})$ が射影作用素であるとは $P^2=P$ かつ $P^*=P$ が成り立つこと、$V\in \mathbb{B}(\mathcal{H})$ が部分等長作用素であるとは $V^*V$ が射影作用素であることを言う。

=== 注意1.2（$C^*$-環 $\mathbb{B}(\mathcal{H})$ のユニタリ元はユニタリ作用素） ===
$\mathcal{H}$ をHilbert空間とする。共役作用素の定義（[[位相線形空間1：ノルムと内積]]の'''定義7.3'''）より、$U\colon\mathcal{H}\rightarrow\mathcal{H}$ に対し次は互いに同値である。
*$(1)$　$U\colon\mathcal{H}\rightarrow\mathcal{H}$ はユニタリ作用素（[[測度と積分6：数え上げ測度と $\ell^p$ 空間]]の'''定義25.3'''）、すなわちノルムを保存する線形同型写像である（偏極恒等式より内積も保存する）。
*$(2)$　$U$ は $C^*$-環 $\mathbb{B}(\mathcal{H})$ のユニタリ元（[[Banach環とC*-環のスペクトル理論]]の'''定義3.3'''）、すなわち $U^*U=UU^*=1$ である。

=== 命題1.3（$C^*$-環 $\mathbb{B}(\mathcal{H})$ の可逆元の作用素としての特徴付け） ===
$\mathcal{H}$ をHilbert空間、$T\in \mathbb{B}(\mathcal{H})$ とする。このとき次は互いに同値である。
*$(1)$　$T$ は単位的 $C^*$-環 $\mathbb{B}(\mathcal{H})$ の可逆元である。
*$(2)$　$T\colon\mathcal{H}\rightarrow\mathcal{H}$ は全単射である。
*$(3)$　ある $\epsilon\in(0,\infty)$ に対し、
$$
\lVert Tv\rVert\geq\epsilon\lVert v\rVert,\quad\lVert T^*v\rVert\geq \epsilon\lVert v\rVert\quad(\forall v\in\mathcal{H})\quad\quad(*)
$$
が成り立つ。
{{begin |proof }}
$(1)\Rightarrow(2)$ は自明である。$(2)\Rightarrow(1)$ は開写像定理（[[位相線形空間4：Fréchet空間と関数解析の基本定理]]の'''定理18.2'''）による。$(1)$ が成り立つならば $T^*$ も $\mathbb{B}(\mathcal{H})$ の可逆元であり、任意の $v\in \mathcal{H}$ に対し、
$$
\begin{aligned}
&\lVert v\rVert=\lVert T^{-1}Tv\rVert\leq \lVert T^{-1}\rVert\lVert Tv\rVert,\\
&\lVert v\rVert=\lVert {T^*}^{-1}T^*v\rVert\leq \lVert {T^*}^{-1}\rVert\lVert T^*v\rVert
\end{aligned}
$$
となる。よって $(3)$ が成り立つ。$(3)\Rightarrow(2)$ を示す。$(3)$ が成り立つとする。このとき明らかに ${\rm Ker}(T)={\rm Ker}(T^*)=\{0\}$ であり、${\rm Ran}(T), {\rm Ran}(T^*)$ は閉である<ref>任意の $v\in\overline{{\rm Ran}(T)}$ に対し $v$ に収束する ${\rm Ran}(T)$ の列 $(Tu_n)_{n\in\mathbb{N}}$ が取れる。$(*)$ より $(u_n)_{n\in\mathbb{N}}$ はCauchy列であるから $u=\lim_{n\rightarrow\infty}u_n\in \mathcal{H}$ が存在する。よって $v=\lim_{n\rightarrow\infty}Tu_n=Tu$ であるから $v\in{\rm Ran}(T)$ である。ゆえに ${\rm Ran}(T)$ は閉である。同様に ${\rm Ran}(T^*)$ も閉である。</ref>。よって[[位相線形空間1：ノルムと内積]]の'''命題6.12'''と'''命題7.4'''の $(6)$ より、
$$
\begin{aligned}
&{\rm Ran}(T)=\overline{{\rm Ran}(T)}=({\rm Ran}(T))^{\perp\perp}=({\rm Ker}(T^*))^{\perp}=\{0\}^{\perp}=\mathcal{H},\\
&{\rm Ran}(T^*)=\overline{{\rm Ran}(T^*)}=({\rm Ran}(T^*))^{\perp\perp}=({\rm Ker}(T))^{\perp}=\{0\}^{\perp}=\mathcal{H}
\end{aligned}
$$
である。ゆえに $(2)$ が成り立つ。
{{end|proof|}}

=== 命題1.4（Hilbert空間上の有界（非負）自己共役作用素の特徴付け） ===
$\mathcal{H}$ をHilbert空間、$T\in \mathbb{B}(\mathcal{H})$ とする。このとき、
*$(1)$　$T$ が有界自己共役作用素であるための必要十分条件は任意の $v\in \mathcal{H}$ に対し $(v\mid Tv)\in \mathbb{R}$ が成り立つことである。
*$(2)$　$T$ が有界非負自己共役作用素であるための必要十分条件は任意の $v\in\mathcal{H}$ に対し $(v\mid Tv)\geq0$ が成り立つことである。
{{begin |proof }}
*$(1)$　$T$ が有界自己共役作用素ならば $T^*=T$ より任意の $v\in \mathcal{H}$ に対し $(v\mid Tv)=(T^*v\mid v)=(Tv\mid v)=\overline{(v\mid Tv)}$ であるから $(v\mid Tv)\in\mathbb{R}$ である。逆に任意の $v\in \mathcal{H}$ に対し $(v\mid Tv)\in \mathbb{R}$、したがって $(v\mid Tv)=\overline{(v\mid Tv)}=(Tv\mid v)$ ならば、偏極恒等式（[[測度と積分6：数え上げ測度と $\ell^p$ 空間]]の'''定義25.2'''）より任意の $u,v\in \mathcal{H}$ に対し、
$$
(u\mid Tv)=\frac{1}{4}\sum_{k=0}^{3}i^k(i^ku+v\mid T(i^ku+v))=\frac{1}{4}\sum_{k=0}^{3}i^k(T(i^ku+v)\mid i^ku+v)=(Tu\mid v)
$$
である。よって $T=T^*$ であるから $T$ は有界自己共役作用素である。
*$(2)$　$T$ が有界非負自己共役作用素ならば [[Banach環とC*-環のスペクトル理論]]の'''命題7.5'''より $T=\sqrt{T}^2$ なる有界非負自己共役作用素 $\sqrt{T}$ が取れるので、任意の $v\in \mathcal{H}$ に対し $(v\mid Tv)=(v\mid \sqrt{T}^2v)=(\sqrt{T}v\mid \sqrt{T}v)=\lVert \sqrt{T}v\rVert^2\geq0$ である。逆に任意の $v\in \mathcal{H}$ に対し $(v\mid Tv)\geq0$ が成り立つとして $T$ が有界非負自己共役作用素であることを示す。$(1)$ より $T$ は有界自己共役作用素であるので $\sigma(T)\subset [0,\infty)$ が成り立つことを示せばよい。 $T$ は自己共役であるので $\sigma(T)\subset \mathbb{R}$ （[[Banach環とC*-環のスペクトル理論]]の'''命題3.6'''）である。そこで今、$\lambda\in \sigma(T)$ で $\lambda<0$ なるものが存在すると仮定して矛盾を導く。$\lambda-T$ は自己共役であり、可逆ではないので'''命題1.3'''より任意の $\epsilon\in (0,\infty)$ に対し $v_{\epsilon}\in \mathcal{H}$ で、
$$
\lVert (\lambda-T)v_{\epsilon}\rVert<\epsilon\lVert v_{\epsilon}\rVert
$$
を満たすものが取れる。$-\lambda(v_{\epsilon}\mid Tv_{\epsilon})\geq0$ より、
$$
\begin{aligned}
\epsilon^2\lVert v_{\epsilon}\rVert^2>\lVert (\lambda-T)v_{\epsilon}\rVert^2
=\lvert\lambda\rvert^2\lVert v_{\epsilon}\rVert^2-2\lambda(v_{\epsilon}\mid Tv_{\epsilon})+\lVert Tv_{\epsilon}\rVert^2\geq\lvert\lambda\rvert^2\lVert v_{\epsilon}\rVert^2
\end{aligned}
$$
となり $\epsilon>\lvert\lambda\rvert$ を得る。$\epsilon\in (0,\infty)$ は任意であるからこれは $\lambda=0$ を意味し、$\lambda<0$ に矛盾する。よって $\sigma(T)\subset [0,\infty)$ が成り立つ。
{{end|proof|}}

=== 命題1.5（Hilbert空間上の射影作用素の特徴付け） ===
$\mathcal{H}$ をHilbert空間、$P\in \mathbb{B}(\mathcal{H})$ とする。このとき次は互いに同値である。
*$(1)$　$P$ は $\mathcal{H}$ 上の射影作用素である。
*$(2)$　$\mathcal{H}$ の閉部分空間 $\mathcal{K}$ が存在し、直交分解 $\mathcal{H}=\mathcal{K}\oplus \mathcal{K}^{\perp}$（[[位相線形空間1：ノルムと内積]]の'''定理6.11'''）に対し、
$$
Pv=v_1\quad(\forall v=v_1+v_2\in \mathcal{K}\oplus \mathcal{K}^{\perp}=\mathcal{H})
$$
が成り立つ。

そして $(1),(2)$ が成り立つとき $\mathcal{K}={\rm Ran}(P)$、$\mathcal{K}^{\perp}={\rm Ran}(1-P)$ である。
{{begin |proof }}
$(1)\Rightarrow(2)$ を示す。$(1)$ が成り立つとすると $P^2=P$ より ${\rm Ran}(P)={\rm Ker}(1-P)$ であるから ${\rm Ran}(P)$ は $\mathcal{H}$ の閉部分空間である。そして $1-P$ も射影作用素であるから $\Ran(1-P)=\Ker(1-(1-P))=\Ker(P)$ であるので、[[位相線形空間1：ノルムと内積]]の'''命題7.4'''の $(6)$ より、
$$
{\rm Ran}(P)^{\perp}={\rm Ker}(P^*)={\rm Ker}(P)={\rm Ran}(1-P)
$$
である。よって任意の $v\in \mathcal{H}$ に対し、
$$
v=Pv+(1-P)v\in {\rm Ran}(P)\oplus {\rm Ran}(P)^{\perp}=\mathcal{H}
$$
であるから、$\mathcal{K}={\rm Ran}(P)$ とおけば $(2)$ が成り立つ。 
$(2)\Rightarrow(1)$ を示す。$(2)$ が成り立つとする。任意の $u,v\in \mathcal{H}$ に対し、
$$
u=u_1+u_2,\quad v=v_1+v_2\quad(u_1,v_1\in\mathcal{K}, u_2,v_2\in\mathcal{K}^{\perp})
$$
と直交分解すると、
$$
(u\mid Pv)=(u\mid v_1)=(u_1\mid v_1)=(u_1\mid v)=(Pu\mid v)
$$
であるから $P^*=P$ が成り立つ。また $P^2v=Pv_1=v_1=Pv$ であるから $P^2=P$ が成り立つ。よって $P$ は射影作用素である。
{{end|proof|}}

=== 定義1.6（閉部分空間の上への射影作用素） ===
$\mathcal{H}$ をHilbert空間、$\mathcal{K}\subset \mathcal{H}$ を閉部分空間とする。'''命題1.5'''の $(2)\Rightarrow(1)$ の証明より、直交分解 $\mathcal{H}=\mathcal{K}\oplus \mathcal{K}^{\perp}$ に対し、
$$
Pv\colon=v_1\quad(\forall v=v_1+v_2\in \mathcal{K}\oplus \mathcal{K}^{\perp}=\mathcal{H})
$$
として射影作用素 $P\in \mathbb{B}(\mathcal{H})$ が定まる。この $P$ を閉部分空間 $\mathcal{K}$ の上への射影作用素と言う。 $1-P$ は $\mathcal{K}^{\perp}$ の上への射影作用素である。

=== 命題1.7（Hilbert空間上の部分等長作用素の特徴付け） ===
$\mathcal{H}$ をHilbert空間、$V\in \mathbb{B}(\mathcal{H})$ とする。このとき次は互いに同値である。
*$(1)$　$V$ は $\mathcal{H}$ 上の部分等長作用素である。
*$(2)$　$\mathcal{H}$ の閉部分空間 $\mathcal{K}$ が存在し、
$$
\lVert Vv\rVert=\lVert v\rVert\quad(\forall v\in \mathcal{K}),\quad {\rm Ker}(V)=\mathcal{K}^{\perp}
$$
が成り立つ。

そして $(1),(2)$ が成り立つとき $V^*V$ は $\mathcal{K}$ の上への射影作用素である。
{{begin |proof }}
$(1)\Rightarrow(2)$ を示す。$(1)$ が成り立つとする。$V^*V\in\mathbb{B}(\mathcal{H})$ は'''命題1.5'''より $\mathcal{H}$ の閉部分空間 $\mathcal{K}={\rm Ran}(V^*V)$ の上への射影作用素であるから、任意の $v\in \mathcal{K}$ に対し、
$$
\lVert Vv\rVert^2=(Vv\mid Vv)=(v\mid V^*Vv)=(v\mid v)=\lVert v\rVert^2
$$
であり、任意の $v\in \mathcal{K}^{\perp}$ に対し、
$$
\lVert Vv\rVert^2=(Vv\mid Vv)=(v\mid V^*Vv)=0
$$
である。よって、
$$
\lVert Vv\rVert=\lVert v\rVert\quad(\forall v\in \mathcal{K}),\quad \mathcal{K}^{\perp}\subset {\rm Ker}(V)
$$
である。任意の $v\in {\rm Ker}(V)$ に対し、
$$
v=v_1+v_2\in \mathcal{K}\oplus \mathcal{K}^{\perp}=\mathcal{H}
$$
と直交分解すると、$\lVert Vv_1\rVert=\lVert v_1\rVert$、$Vv_2=0$ であるから、
$$
0=\lVert Vv\rVert=\lVert Vv_1\rVert=\lVert v_1\rVert,
$$
よって $v=v_2\in \mathcal{K}^{\perp}$ であるから ${\rm Ker}(V)=\mathcal{K}^{\perp}$ である。ゆえに $(2)$ が成り立つ。 
$(2)\Rightarrow(1)$ を示す。$(2)$ が成り立つとする。任意の $v\in \mathcal{K}$ に対し、
$$
(v\mid v)=\lVert v\rVert^2=\lVert Vv\rVert^2=(Vv\mid Vv)
$$
であるから、偏極恒等式（[[測度と積分6：数え上げ測度と $\ell^p$ 空間]]の'''定義25.2'''）より任意の $u,v\in \mathcal{K}$ に対し、
$$
(u\mid v)=\frac{1}{4}\sum_{k=0}^{3}i^k(i^ku+v\mid i^ku+v)=\frac{1}{4}\sum_{k=0}^{3}i^k(V(i^ku+v)\mid V(i^ku+v))=(Vu\mid Vv)
$$
である。よって任意の $u,v\in \mathcal{H}$ に対し、
$$
u=u_1+u_2,\quad v=v_1+v_2\quad(u_1,v_1\in\mathcal{K}, u_2,v_2\in\mathcal{K}^{\perp})
$$
と直交分解すると、
$$
(u\mid V^*Vv)=(Vu\mid Vv)=(Vu_1\mid Vv_1)=(u_1\mid v_1)=(u\mid v_1)
$$
となる。ゆえに $V^*Vv=v_1$ であるから、$V^*V$ は $\mathcal{K}$ の上への射影作用素であり、したがって $V$ は部分等長作用素である。
{{end|proof|}}

== 2. $\mathbb{B}(\mathcal{H})$ のWOT（weak operator topology）とSOT（strong operator topology）、射影作用素の直交族の（無限）和 ==
この節ではセミノルム位相と汎弱位相の基本的な知識を自由に用いる。これらについては[[位相線形空間2：セミノルム位相と汎弱位相]]の8,9を参照されたい。

=== 定義2.1（$\mathbb{B}(\mathcal{H})$ のWOT（weak operator topology）とSOT（strong operator topology）） ===
$\mathcal{H}$ をHilbert空間とする。任意の $u,v\in\mathcal{H}$ に対し線形空間 $\mathbb{B}(\mathcal{H})$ 上の線形汎関数 $\varphi_{u,v}\colon\mathbb{B}(\mathcal{H})\rightarrow\mathbb{C}$ とセミノルム $p_v\colon\mathbb{B}(\mathcal{H})\rightarrow [0,\infty)$ を、
$$
\varphi_{u,v}(T)\colon=(u\mid Tv),\quad p_v(T):=\lVert Tv\rVert\quad(\forall T\in\mathbb{B}(\mathcal{H}))
$$
として定義する。このとき $\{\varphi_{u,v}\}_{u,v\in\mathcal{H}}$ は $\mathbb{B}(\mathcal{H})$ 上の線形汎関数の分離族、$\{p_v\}_{v\in\mathcal{H}}$ は $\mathbb{B}(\mathcal{H})$ 上のセミノルムの分離族である。$\{\varphi_{u,v}\}_{u,v\in\mathcal{H}}$ が誘導する $\mathbb{B}(\mathcal{H})$ 上の汎弱位相を $\mathbb{B}(\mathcal{H})$ のWOT（weak operator topology）と言い、$\{p_v\}_{v\in \mathcal{H}}$ が誘導する $\mathbb{B}(\mathcal{H})$ 上のセミノルム位相を $\mathbb{B}(\mathcal{H})$ 上のSOT（strong operator topology）と言う。セミノルム位相、汎弱位相による収束の特徴付け（[[位相線形空間2：セミノルム位相と汎弱位相]]の'''命題8.6'''の $(1)$、'''命題9.3'''の $(1)$）より、$\mathbb{B}(\mathcal{H})$ のネット $(T_{\lambda})_{\lambda\in\Lambda}$ と $T\in \mathbb{B}(\mathcal{H})$ に対し、
$$
\begin{aligned}
T_{\lambda}\rightarrow T\quad(\text{ w.r.t. WOT })\quad&\iff\quad (u\mid T_{\lambda}v)\rightarrow (u\mid Tv)\quad(\forall u,v\in \mathcal{H}),\quad\quad(*)\\
T_{\lambda}\rightarrow T\quad(\text{ w.r.t. SOT })\quad&\iff\quad \lVert T_{\lambda}v-Tv\rVert\rightarrow0\quad(\forall v\in\mathcal{H})\quad\quad(**)
\end{aligned}
$$
である。

=== 注意2.2（$\mathbb{B}(\mathcal{H})$ のノルム位相、SOT、WOTの強弱） ===
$\mathbb{B}(\mathcal{H})$ のネット $(T_{\lambda})_{\lambda\in\Lambda}$ と $T\in \mathbb{B}(\mathcal{H})$ に対し、$T_{\lambda}\rightarrow T$ がSOTに関して成り立つならばWOTに関して成り立つ（'''定義2.1'''の $(*),(**)$を参照）。よってネットの収束による連続性の特徴付け（[[ネットによる位相空間論]]の'''定理3'''）よりSOTはWOTより強い。また $\mathbb{B}(\mathcal{H})$ のノルムに関して収束する列はSOTに関して収束するので、ノルム位相はSOTより強い。

=== 命題2.3（$\mathbb{B}(\mathcal{H})_{\rm sa}, \mathbb{B}(\mathcal{H})_+$ はWOT閉） ===
$\mathcal{H}$ をHilbert空間とする。有界自己共役作用素全体 $\mathbb{B}(\mathcal{H})_{\rm sa}$ と有界非負自己共役作用素全体 $\mathbb{B}(\mathcal{H})_+$ はそれぞれ $\mathbb{B}(\mathcal{H})$ においてWOT閉（したがってSOT閉、ノルム閉）である。
{{begin |proof}}
$T$ を $\mathbb{B}(\mathcal{H})_{\rm sa}$（resp. $\mathbb{B}(\mathcal{H})_+$）のWOT閉包の元とすると、$\mathbb{B}(\mathcal{H})_{\rm sa}$（resp. $\mathbb{B}(\mathcal{H})_+$）のネット $(T_{\lambda})_{\lambda\in\Lambda}$ でWOTで $T$ に収束するものが取れる（[[ネットによる位相空間論]]の'''命題2.4'''）。'''命題1.4'''より任意の $v\in \mathcal{H}$、任意の $\lambda\in \Lambda$ に対し $(v\mid T_{\lambda}v)\in\mathbb{R}$（resp. $(v\mid T_{\lambda}v)\in [0,\infty)$）であるから、$(v\mid Tv)=\lim_{\lambda\in\Lambda}(v\mid T_{\lambda}v)\in \mathbb{R}$（resp. $(v\mid Tv)=\lim_{\lambda\in\Lambda}(v\mid T_{\lambda}v)\in [0,\infty)$）である。よって'''命題1.4'''より $T\in \mathbb{B}(\mathcal{H})_{\rm sa}$（resp. $T\in \mathbb{B}(\mathcal{H})_+$）であるから $\mathbb{B}(\mathcal{H})_{\rm sa}$（rsep. $\mathbb{B}(\mathcal{H})_+$）はWOTに関して閉である。SOTとノルム位相はWOTより強いので、WOTに関して閉であることは、SOTとノルム位相に関しても閉であることを意味する。
{{end|proof|}}

=== 定理2.4（$\mathbb{B}(\mathcal{H})_{\rm sa}$ の有界単調増加ネットの上限へのSOT収束） ===
$\mathcal{H}$ をHilbert空間、$(T_{\lambda})_{\lambda\in\Lambda}$ を $\mathbb{B}(\mathcal{H})_{\rm sa}$ の単調増加ネットとし（$\mathbb{B}(\mathcal{H})_{\rm sa}$ の順序に関しては[[Banach環とC*-環のスペクトル理論]]の'''定義7.8'''を参照)、ある $M\in [0,\infty)$ に対し $\lVert T_{\lambda}\rVert\leq M$ $(\forall \lambda\in \Lambda)$ が成り立つとする。このとき $\sup_{\lambda\in\Lambda}T_{\lambda}\in \mathbb{B}(\mathcal{H})_{\rm sa}$ が存在し、$(T_{\lambda})_{\lambda\in\Lambda}$ は $\sup_{\lambda\in\Lambda}T_{\lambda}$ にSOTで収束する。（WOTはSOTより弱いのでWOTでも収束する。）
{{begin |proof }}
任意の $v\in\mathcal{H}$ に対し、$( (v\mid T_{\lambda}v))_{\lambda\in\Lambda}$ は $\mathbb{R}$ の上に有界な単調増加ネットであるから上限に収束する。すなわち、
$$
\lim_{\lambda\in\Lambda}(v\mid T_{\lambda}v)=\sup_{\lambda\in\Lambda}(v\mid T_{\lambda}v)
$$
が成り立つ。偏極恒等式より任意の $u,v\in\mathcal{H}$ に対し、
$$
(u\mid T_{\lambda}v)=\frac{1}{4}\sum_{k=0}^{3}i^k(i^ku+v\mid T_{\lambda}(i^ku+v))\quad(\forall \lambda\in\Lambda)
$$
であるから、$\mathbb{C}$ のネット $( (u\mid T_{\lambda}v))_{\lambda\in\Lambda}$ は収束する。そこで、
$$
\Phi\colon\mathcal{H}\times \mathcal{H}\ni (u,v)\mapsto \lim_{\lambda\in\Lambda}(u\mid T_{\lambda}v)\in \mathbb{C}
$$
とおくと、$\Phi$ は準双線形汎関数（[[位相線形空間1：ノルムと内積]]の'''定義6.4'''）であり、
$$
\lvert\Phi(u,v)\rvert=\lim_{\lambda\in\Lambda}\lvert (u\mid T_{\lambda}v)\rvert\leq M\lVert u\rVert\lVert v\rVert\quad(\forall u,v\in \mathcal{H})
$$
より $\Phi$ は有界であり、そのノルムは $\lVert\Phi\rVert\leq M$ を満たす。よって[[位相線形空間1：ノルムと内積]]の'''定理7.1'''より $T\in \mathbb{B}(\mathcal{H})$ で、
$$
(u\mid Tv)=\Phi(u,v)\quad(\forall u,v\in\mathcal{H}),\quad \lVert T\rVert=\lVert\Phi\rVert\leq M
$$
を満たすものが定まる。
$$
(v\mid Tv)=\Phi(v,v)=\lim_{\lambda\in\Lambda}(v\mid T_{\lambda}v)=\sup_{\lambda\in\Lambda}(v\mid T_{\lambda}v)\quad(\forall v\in\mathcal{H})
$$
であるから、'''命題1.4'''より $T\in \mathbb{B}(\mathcal{H})_{\rm sa}$ であり、$T\geq T_{\lambda}$ $(\forall \lambda\in\Lambda)$ である。また $S\geq T_{\lambda}$ $(\forall \lambda\in\Lambda)$ なる任意の $S\in \mathbb{B}(\mathcal{H})_{\rm sa}$ に対し、
$$
(v\mid Sv)\geq\sup_{\lambda}(v\mid T_{\lambda}v)=(v\mid Tv)\quad(\forall v\in\mathcal{H})
$$
であるから、$S\geq T$ である。よって $T=\sup_{\lambda\in\Lambda}T_{\lambda}$ である。後は $(T_{\lambda})_{\lambda\in\Lambda}$ が $T$ にSOTで収束することを示せばよい。 [[Banach環とC*-環のスペクトル理論]]の'''命題7.12'''より、
$$
0\leq T-T_{\lambda}\leq \lVert T-T_{\lambda}\rVert\leq 2M\quad(\forall\lambda\in\Lambda)
$$
であり、
$$
0\leq (T-T_{\lambda})^2\leq \sqrt{T-T_{\lambda}}(T-T_{\lambda})\sqrt{T-T_{\lambda}}\leq 2M(T-T_{\lambda})\quad(\forall \lambda\in\Lambda)
$$
である。よって任意の $v\in \mathcal{H}$ に対し、
$$
\lVert Tv-T_{\lambda}v\rVert^2=(v\mid(T-T_{\lambda})^2v)\leq 2M(v\mid(T-T_{\lambda})v)=2M( (v\mid Tv)-(v\mid T_{\lambda}v))\rightarrow0
$$
であるから、$(T_{\lambda})_{\lambda\in\Lambda}$ は $T$ にSOTで収束する。
{{end|proof|}}

=== 命題2.5（射影作用素からなる単調増加ネットの上限（SOT（WOT）極限）は射影作用素） ===
$\mathcal{H}$ をHilbert空間、$(P_{\lambda})_{\lambda\in\Lambda}$ を $\mathcal{H}$ 上の射影作用素からなる単調増加ネットとする。このとき $P\colon=\sup_{\lambda\in\Lambda}P_{\lambda}\in \mathbb(B)(\mathcal{H})_+$（'''定理2.4'''を参照）は射影作用素である。
{{begin |proof }}
$P^2=P$ が成り立つことを示せばよい。任意の $\lambda_0\in\Lambda$ を取り固定する。任意の $\lambda\geq\lambda_0$ に対し $P_{\lambda}\geq P_{\lambda_0}$ であるから、[[Banach環とC*-環のスペクトル理論]]の'''命題8.2'''の $(3)$ より、
$$
P_{\lambda_0}=P_{\lambda_0}P_{\lambda}\quad(\forall \lambda\geq\lambda_0)
$$
である。$(P_{\lambda})_{\lambda\in\Lambda}$ は $P$ にSOT収束するから、
$$
P_{\lambda_0}v=\lim_{\lambda\in\Lambda}P_{\lambda_0}P_{\lambda}v=P_{\lambda_0}Pv\quad(\forall v\in\mathcal{H})
$$
である。$\lambda_0\in\Lambda$ は任意であるから $P_{\lambda}v=P_{\lambda}Pv$ $(\forall\lambda\in\Lambda,\forall v\in\mathcal{H})$ であるので、
$$
Pv=\lim_{\lambda\in\Lambda}P_{\lambda}v=\lim_{\lambda\in\Lambda}P_{\lambda}Pv=P^2v\quad(\forall v\in\mathcal{H})
$$
である。ゆえに $P=P^2$ であるから $P$ は射影作用素である。
{{end|proof|}}

=== 定義2.6（射影作用素の直交族の和） ===
$\mathcal{H}$ をHilbert空間とする。$\mathcal{H}$ 上の射影作用素の族 $(P_j)_{j\in J}$ が直交族であるとは、$P_iP_j=0$ $(\forall i,j\in J:i\neq j)$ が成り立つことを言う。$(P_j)_{j\in J}$ を射影作用素の直交族とし、$\mathcal{F}_J$ を $J$ の有限部分集合全体に集合の包含関係による順序を入れた有向集合とする。このとき $(\sum_{j\in F}P_j)_{F\in \mathcal{F}_J}$ は $\mathcal{H}$ 上の射影作用素からなる単調増加ネットであるから、'''命題2.5'''よりその上限（SOT極限）は射影作用素である。そこでこの射影作用素を射影作用素の直交族 $(P_j)_{j\in J}$ の和と言い、
$$
\sum_{j\in J}P_j\colon=\sup_{F\in \mathcal{F}_J}\sum_{j\in F}P_j=\text{SOT-}\lim_{F\in\mathcal{F}_J}\sum_{j\in J}P_j
$$
と表す。

== 3. Hilbert空間上の有界とは限らない線形作用素の定義と基本的性質 ==

=== 定義3.1（Hilbert空間上の有界とは限らない線形作用素） ===
$\mathcal{H},\mathcal{K}$ をHilbert空間とする。$T$ が $\mathcal{H}$ から $\mathcal{K}$ への線形作用素であると言うとき、$T$ は $\mathcal{H}$ 全体で定義されているとは限らず、$\mathcal{H}$ のある線形部分空間 $D(T)$ 上で定義され、$\mathcal{K}$ に値を取る線形作用素であることを意味することとする。$D(T)\subset \mathcal{H}$ を $T$ の定義域、${\rm Ran}(T)=T(D(T))\subset \mathcal{K}$ を $T$ の値域と言う。そして直和Hilbert空間 $\mathcal{H}\oplus \mathcal{K}$（[[測度と積分6：数え上げ測度と $\ell^p$ 空間]]の'''定義26.3'''）の線形部分空間
$$
G(T)\colon=\{(v,Tv)\in \mathcal{H}\oplus \mathcal{K}:v\in D(T)\}
$$
を $T$ のグラフと言う。 
Hilbert空間 $\mathcal{H}$ からHilbert空間 $\mathcal{H}$ への線形作用素のことを単にHilbert空間 $\mathcal{H}$ 上の線形作用素と言う。 
$T$ がHilbert空間 $\mathcal{H}$ からHilbert空間 $\mathcal{K}$ への'''有界'''線形作用素であると言うとき、それは $T\in \mathbb{B}(\mathcal{H},\mathcal{K})$ を意味することとする。すなわち $D(T)=\mathcal{H}$ かつ $G(T)\subset \mathcal{H}\oplus \mathcal{K}$ が閉であることを言う。（閉グラフ定理（[[位相線形空間4：Fréchet空間と関数解析の基本定理]]の'''定理19.3'''）を参照。）

=== 定義3.2（稠密に定義された線形作用素、閉線形作用素） ===
$T$ をHilbert空間 $\mathcal{H}$ からHilbert空間 $\mathcal{K}$ への線形作用素とする。$T$ が稠密に定義されているとは、$D(T)$ が $\mathcal{H}$ で稠密であることを言う。また $T$ が閉であるとは $T$ のグラフ $G(T)$ が $\mathcal{H}\oplus \mathcal{K}$ において閉であることを言う。

=== 定義3.3（線形作用素の包含関係） ===
$S,T$ をそれぞれHilbert空間 $\mathcal{H}$ から $\mathcal{K}$ への線形作用素とする。
$$
S\subset T\quad \iff\quad G(S)\subset G(T)
$$
と定義する。これを $T$ は $S$ を包含する（$S$ は $T$ に包含される）と言う。明らかにこの包含関係は $\mathcal{H}$ から $\mathcal{K}$ への線形作用素全体における順序である。

=== 定義3.4（単射線形作用素の逆作用素） ===
$T$ をHilbert空間 $\mathcal{H}$ からHilbert空間 $\mathcal{K}$ への単射線形作用素とする。このとき線形同型写像 $D(T)\ni v\mapsto Tv\in {\rm Ran}(T)$ の逆写像として定義される $\mathcal{K}$ から $\mathcal{H}$ への線形作用素を、
$$
T^{-1}:D(T^{-1})\colon={\rm Ran}(T)\ni Tv\mapsto v\in \mathcal{H}
$$
と表す。

=== 定義3.5（線形作用素の和、スカラー倍、積） ===
$S,T$ をHilbert空間 $\mathcal{H}$ から $\mathcal{K}$ への線形作用素とする。このとき $\mathcal{H}$ から $\mathcal{K}$ への線形作用素 $S+T$ を、
$$
S+T\colon D(S+T)\colon=D(S)\cap D(T)\ni v\mapsto Sv+Tv\in \mathcal{K}
$$
と定義する。また $\alpha\in \mathbb{C}$ に対し $\mathcal{H}$ から $\mathcal{K}$ への線形作用素 $\alpha T$ を、
$$
\begin{aligned}
&\alpha T\colon D(\alpha T)\colon=D(T)\ni v\mapsto \alpha Tv\in \mathcal{K}\quad(\alpha\neq0\text{ の場合 }),\\
&\alpha T:D(\alpha T):=\mathcal{H}\ni v\mapsto 0\in \mathcal{K}\quad(\alpha=0\text{ の場合 })
\end{aligned}
$$
と定義する。 
$\mathcal{H},\mathcal{K},\mathcal{L}$ をそれぞれHilbert空間とし、$T$ を $\mathcal{H}$ から $\mathcal{K}$ への線形作用素、$S$ を $\mathcal{K}$ から $\mathcal{L}$ への線形作用素とする。このとき $\mathcal{H}$ から $\mathcal{L}$ への線形作用素 $ST$ を、
$$
ST:D(ST)\colon=\{v\in D(T):Tv\in D(S)\}\ni v\mapsto STv\in \mathcal{L}
$$
と定義する。

=== 定義3.6（稠密に定義された線形作用素の共役作用素） ===
$T$ をHilbert空間 $\mathcal{H}$ からHilbert空間 $\mathcal{K}$ への稠密に定義された線形作用素とする。$\mathcal{K}$ の線形部分空間
$$
D\colon=\{v\in \mathcal{K}: D(T)\ni u\mapsto (v\mid Tu)\in \mathbb{C}\text{ は有界線形汎関数 }\}
$$
を考える。任意の $v\in D$ に対し、有界線形汎関数 $D(T)\ni u\mapsto (v\mid Tu)\in \mathbb{C}$ は $\mathcal{H}=\overline{D(T)}$ 上の有界線形汎関数に一意拡張できる（[[位相線形空間1：ノルムと内積]]の'''命題3.6'''）から、Rieszの定理（[[位相線形空間1：ノルムと内積]]の'''定理6.13'''）より、$T^*v\in \mathcal{H}$ で、
$$
(v\mid Tu)=(T^*v\mid u)\quad(\forall u\in D(T))
$$
を満たすものが定まる。こうして定義される $\mathcal{K}$ から $\mathcal{H}$ への線形作用素
$$
T^*:D(T^*)\colon=D\ni v\mapsto T^*v\in \mathcal{H}
$$
を $T$ の共役作用素と言う。この共役作用素の定義は有界線形作用素 $T\in \mathbb{B}(\mathcal{H},\mathcal{K})$ の共役作用素 $T^*\in \mathbb{B}(\mathcal{K},\mathcal{H})$ の定義（[[位相線形空間1：ノルムと内積]]の'''定義7.3'''）と矛盾しない。

=== 定義3.7（可閉線形作用素とその閉包） ===
$T$ をHilbert空間 $\mathcal{H}$ からHilbert空間 $\mathcal{K}$ への線形作用素とする。$T$ を包含する閉線形作用素が存在するとき、$T$ は可閉であると言う。
$T$ を $\mathcal{H}$ から $\mathcal{K}$ への可閉線形作用素とする。
$$
\pi\colon\mathcal{H}\oplus \mathcal{K}\ni (v,w)\mapsto v\in \mathcal{H}
$$
に対し、線形部分空間
$$
D\colon=\pi(\overline{G(T)})\subset \mathcal{H}
$$
を定義する。このとき任意の $v\in D$ に対し $(v,w)\in \overline{G(T)}$ を満たす $w\in \mathcal{K}$ は唯一つである。実際、$T$ が可閉であることから $T\subset S$ を満たす閉線形作用素が存在し、$\overline{G(T)}\subset G(S)$ であるから、 $(v,w_1),(v,w_2)\in \overline{G(T)}$ ならば $w_1=Sv=w_2$ である。そこで任意の $v\in D$ に対し $(v,w)\in \overline{G(T)}$ として定まる $w$ に対し $w:=\overline{T}v$ とおき、線形作用素
$$
\overline{T}\colon D(\overline{T}):=D\ni v\mapsto \overline{T}v\in \mathcal{K}
$$
を定義する。このとき明らかに $G(\overline{T})=\overline{G(T)}$ である。閉線形作用素 $\overline{T}$ を可閉線形作用素 $T$ の閉包と言う。$\overline{T}$ は $T$ を包含する閉線形作用素の中で最小のものとして特徴付けられる。

=== 定義3.8（閉線形作用素の芯） ===
$T$ をHilbert空間 $\mathcal{H}$ から Hilbert空間 $\mathcal{K}$ への閉線形作用素とする。線形部分空間 $D\subset D(T)$ で、
$$
\overline{T|_D}=T
$$
を満たすものを $T$ の芯と言う。ただし $T|_D$ は $T$ の $D$ 上への制限である。

=== 命題3.9（Hilbert空間上の有界とは限らない線形作用素の基本的性質） ===
$\mathcal{H},\mathcal{K},\mathcal{L}$ をそれぞれHilbert空間とする。
*$(1)$　$T_1,T_2$ を $\mathcal{H}$ から $\mathcal{K}$ への線形作用素、$S$ を $\mathcal{K}$ から $\mathcal{L}$ への線形作用素とする。このとき、
$$
S(T_1+T_2)\supset ST_1+ST_2
$$
が成り立つ。また、$T$ を $\mathcal{H}$ から $\mathcal{K}$ への線形作用素、$S_1,S_2$ を $\mathcal{K}$ から $\mathcal{L}$ への線形作用素とすると、
$$
(S_1+S_2)T=S_1T+S_2T
$$
が成り立つ。
*$(2)$　$T$ を $\mathcal{H}$ から $\mathcal{K}$ への線形作用素、$S$ を $\mathcal{K}$ から $\mathcal{L}$ への線形作用素とし、$\alpha\in \mathbb{C}\backslash \{0\}$ とすると、
$$
S(\alpha T)=(\alpha S)T=\alpha(ST)
$$
が成り立つ。
*$(3)$　$T$ を $\mathcal{H}$ から $\mathcal{K}$ への単射線形作用素とし、$S$ を $\mathcal{K}$ から $\mathcal{L}$ への単射線形作用素とすると、$ST$ は $\mathcal{H}$ から $\mathcal{L}$ への単射線形作用素であり、
$$
(ST)^{-1}=T^{-1}S^{-1}
$$
が成り立つ。
*$(4)$　$T$ を $\mathcal{H}$ から $\mathcal{K}$ への稠密に定義された線形作用素とし、$\alpha\in \mathbb{C}\backslash \{0\}$ とすると、
$$
(\alpha T)^*=\overline{\alpha}T^*
$$
が成り立つ。
*$(5)$　$T$ を $\mathcal{H}$ から $\mathcal{K}$ への稠密に定義された線形作用素とすると、
$$
({\rm Ran}(T))^{\perp}={\rm Ker}(T^*)
$$
が成り立つ。
*$(6)$　$T$ を $\mathcal{H}$ から $\mathcal{K}$ への稠密に定義された線形作用素とすると、$T^*$ は $\mathcal{K}$ から $\mathcal{H}$ への閉線形作用素である。
*$(7)$　$S,T$ を $\mathcal{H}$ から $\mathcal{K}$ への稠密に定義された線形作用素とし、$S\subset T$ であるとすると、$T^*\subset S^*$ が成り立つ。
*$(8)$　$T$ を $\mathcal{H}$ から $\mathcal{K}$ への稠密に定義された可閉線形作用素とすると、$(\overline{T})^*=T^*$ が成り立つ。
*$(9)$　$T$ を $\mathcal{H}$ から $\mathcal{K}$ への稠密に定義された線形作用素、$S$ を $\mathcal{K}$ から $\mathcal{L}$ への稠密に定義された線形作用素とし、$ST$ が $\mathcal{H}$ から $\mathcal{L}$ への稠密に定義された線形作用素であるとすると、
$$
(ST)^*\supset T^*S^*
$$
が成り立つ。またもし $S\in \mathbb{B}(\mathcal{K},\mathcal{L})$ であれば、
$$
(ST)^*=T^*S^*
$$
が成り立つ。
*$(10)$　$S,T$ を $\mathcal{H}$ から $\mathcal{K}$ への稠密に定義された線形作用素とし、$S+T$ も $\mathcal{H}$ から $\mathcal{K}$ への稠密に定義された線形作用素であるとすると、
$$
(S+T)^*\supset S^*+T^*
$$
が成り立つ。またもし $S\in \mathbb{B}(\mathcal{H},\mathcal{K})$ であれば、
$$
(S+T)^*=S^*+T^*
$$
が成り立つ。
*$(11)$ $T\in \mathbb{B}({\cal H},{\cal K})$、$S$ を ${\cal K}$ から ${\cal L}$ への閉線型作用素とすると、$ST$ は ${\cal H}$ から ${\cal L}$ への閉線型作用素である。
*$(12)$ $T\in \mathbb{B}({\cal H},{\cal K})$、$S$ を ${\cal H}$ から ${\cal K}$ への閉線型作用素とすると、$S+T$ は ${\cal H}$ から ${\cal K}$ への閉線型作用素である。
{{begin |proof }}
$(1),(2)$ は線形作用素の和、スカラー倍、積の定義（'''定義3.5'''）より明らかである。$(3)$ は単射線形作用素の逆作用素の定義（'''定義3.4'''）より明らかである。$(4)$ は稠密に定義された線形作用素の共役作用素の定義（'''定義3.6'''）より明らかである。 
$(5)$ を示す。任意の $v\in ({\rm Ran}(T))^{\perp}$ に対し、
$$
(v\mid Tu)=0\quad(\forall u\in D(T))
$$
であるから、$v\in D(T^*)$ であり、
$$
(T^*v\mid u)=(v\mid Tu)=0\quad(\forall u\in D(T))
$$
である。$\overline{D(T)}=\mathcal{H}$ であるからこれは $v\in {\rm Ker}(T^*)$ を意味する。逆に $v\in {\rm Ker}(T^*)$ ならば、
$$
(v\mid Tu)=(T^*v\mid u)=0\quad(\forall u\in D(T))
$$
であるから $v\in ({\rm Ran}(T))^{\perp}$ である。 
$(6)$ を示す。$\mathcal{K}\oplus \mathcal{H}$ において、
$$
(v_n,T^*v_n)\rightarrow (v,w)\quad(n\rightarrow\infty)
$$
であるとすると、任意の $u\in D(T)$ に対し、
$$
(w\mid u)=\lim_{n\rightarrow\infty}(T^*v_n\mid u)=\lim_{n\rightarrow\infty}(v_n\mid Tu)=(v\mid Tu)
$$
であるから $v\in D(T^*)$ であり、$w=T^*v$ である。よって $G(T^*)$ は $\mathcal{K}\oplus \mathcal{H}$ の閉部分空間なので $T^*$ は閉である。 
$(7)$ を示す。任意の $v\in D(T^*)$ を取る。任意の $u\in D(S)$ に対し $Su=Tu$ であるから、
$$
(v\mid Su)=(v\mid Tu)=(T^*v\mid u)
$$
である。よって $v\in D(S^*)$ であり、$S^*v=T^*v$ である。ゆえに $T^*\subset S^*$ である。 
$(8)$ を示す。$(7)$ より $(\overline{T})^*\subset T^*$ であるから逆の包含関係を示す。任意の $u\in D(\overline{T})$ と任意の $v\in D(T^*)$ を取る。$(u,\overline{T}u)\in G(\overline{T})=\overline{G(T)}$ より $D(T)$ の列 $(u_n)_{n\in\mathbb{N}}$ で、
$$
(u_n,Tu_n)\rightarrow (u,\overline{T}u)\quad(n\rightarrow\infty)
$$
なるものが取れる。これより、
$$
(T^*v\mid u)=\lim_{n\rightarrow\infty}(T^*v\mid u_n)=\lim_{n\rightarrow\infty}(v\mid Tu_n)=(v\mid \overline{T}u)
$$
であるから、$v\in D((\overline{T})^*)$ であり、$(\overline{T})^*v=T^*v$ である。よって $T^*\subset (\overline{T})^*$ が成り立つ。 
$(9)$ を示す。任意の $v\in D(T^*S^*)$、任意の $u\in D(ST)$ に対し、
$$
(v\mid STu)=(S^*v\mid Tu)=(T^*S^*v\mid u)
$$
であるから $v\in D((ST)^*)$ であり、$T^*S^*v=(ST)^*v$ である。よって $T^*S^*\subset (ST)^*$ が成り立つ。$S\in \mathbb{B}(\mathcal{K},\mathcal{L})$ であるとき逆の包含関係 $(ST)^*\subset T^*S^*$ が成り立つことを示す。任意の $v\in D(ST)^*$、任意の $u\in D(T)$ に対し、
$$
(S^*v\mid Tu)=(v\mid STu)=( (ST)^*v\mid u)
$$
であるから、$S^*v\in D(T^*)$ であり、$T^*S^*v=(ST)^*v$ である。よって$(ST)^*\subset T^*S^*$ が成り立つ。 
$(10)$ を示す。任意の $v\in D(S^*+T^*)=D(S^*)\cap D(T^*)$、任意の $u\in D(S+T)=D(S)\cap D(T)$ に対し、
$$
(v\mid (S+T)u)=(v\mid Su)+(v\mid Tu)=(S^*v\mid u)+(T^*v\mid u)=((S^*+T^*)v\mid u)
$$
であるから、$v\in D( (S+T)^*)$ であり、$(S+T)^*v=(S^*+T^*)v$ である。よって $S^*+T^*\subset (S+T)^*$ が成り立つ。$S\in \mathbb{B}(\mathcal{H},\mathcal{K})$ であるとき逆の包含関係 $(S+T)^*\subset S^*+T^*$ が成り立つことを示す。任意の $v\in D( (S+T)^*)$、任意の $u\in D(T)$ に対し、
$$
(v\mid Tu)=(v\mid (S+T)u)-(v\mid Su)=( (S+T)^*v\mid u)-(S^*v\mid u)
$$
であるから、$v\in D(T^*)=D(S^*)\cap D(T^*)=D(S^*+T^*)$ であり、$(S+T)^*v=S^*v+T^*v$ である。よって $(S+T)^*\subset S^*+T^*$ が成り立つ。 
$(11)$ を示す。任意の $(v,w)\in \overline{G(ST)}$ に対し $\lim_{n\rightarrow\infty}(v_n,STv_n)=(v,w)$ なる $D(ST)$ の列 $(v_n)_{n\in \mathbb{N}}$ を取る。 $T\in \mathbb{B}({\cal H},{\cal K})$ より $\lim_{n\rightarrow\infty}Tv_n=Tv$ であるので、
$$
(Tv,w)=\lim_{n\rightarrow\infty}(Tv_n,STv_n)\in \overline{G(S)}=G(S)
$$
である。よって $w=STv$ であるから $(v,w)=(v,STv)\in G(ST)$ である。これより　$\overline{G(ST)}=G(ST)$　なので　$ST$　は閉である。 
$(12)$を示す。任意の $(v,w)\in \overline{G(S+T)}$ に対し $\lim_{n\rightarrow\infty}(v_n,(S+T)v_n)=(v,w)$ なる $D(S+T)$ の列 $(v_n)_{n\in\mathbb{N}}$ を取る。$T\in \mathbb{B}({\cal H},{\cal K})$ より $\lim_{n\rightarrow\infty}Tv_n=Tv$ であるので、
$$
(v,w-Tv)=\lim_{n\rightarrow\infty}(v_n,(S+T)v_n-Tv_n)=\lim_{n\rightarrow\infty}(v_n,Sv_n)\in \overline{G(S)}=G(S)
$$
である。よって $w-Tv=Sv$ であるから $(v,w)=(v,(S+T)v)\in G(S+T)$ である。これより $\overline{G(S+T)}=G(S+T)$ なので $S+T$ は閉である。
{{end|proof|}}

=== 定理3.10（稠密に定義された閉線形作用素の性質） ===
$T$ をHilbert空間 $\mathcal{H}$ からHilbert空間 $\mathcal{K}$ への稠密に定義された閉線形作用素とする。このとき、
*$(1)$　$D(T^*T)$ は $T$ の芯であり、$1+T^*T\colon D(T^*T)\rightarrow\mathcal{H}$ は全単射である。
*$(2)$　$T^*$ は $\mathcal{K}$ から $\mathcal{H}$ への稠密に定義された閉線形作用素である。
*$(3)$　$T^{**}=T$ が成り立つ。
*$(4)$　$(T^*T)^*=T^*T$ が成り立つ。
{{begin |proof }}
*$(1)$　$T$ は閉線形作用素であるから $G(T)$ はHilbert空間 $\mathcal{H}\oplus \mathcal{K}$ の閉部分空間である。よって $G(T)$ は $\mathcal{H}\oplus \mathcal{K}$ の内積によりHilbert空間である。Hilbert空間 $G(T)$ からHilbert空間 $\mathcal{H}$ への有界線形作用素
$$
\pi\colon G(T)\ni (v,Tv)\mapsto v\in \mathcal{H}
$$
を考える。$\pi$ は単射であるから'''命題3.9'''の $(5)$ より、
$$
(\pi^*(\mathcal{H}))^{\perp}={\rm Ker}(\pi)=\{0\}
$$
である。よって、
$$
\overline{\pi^*(\mathcal{H})}=( (\pi^*(\mathcal{H}))^{\perp})^{\perp}=\{0\}^{\perp}=G(T)
$$
である（[[位相線形空間1：ノルムと内積]]の'''命題6.12'''）。そこで、
$$
D\colon=\pi(\pi^*(\mathcal{H}))\subset D(T)
$$
とおけば $G(T|_D)=\pi^*(\mathcal{H})$ であるから、
$$
\overline{G(T|_D)}=\overline{\pi^*(\mathcal{H})}=G(T)
$$
である。よって $D$ は $T$ の芯である。今、任意の $v=\pi(\pi^*(w))\in \pi(\pi^*(\mathcal{H}))=D$ を取る。このとき $\pi^*(w)=(v,Tv)$ であるから、任意の $u\in D(T)$ に対し、
$$
(v\mid u)+(Tv\mid Tu)=( (v,Tv)\mid (u,Tu))=(\pi^*(w)\mid (u,Tu))=(w\mid u)
$$
である。よって、
$$
(w-v\mid u)=(Tv\mid Tu)\quad(\forall u\in D(T))
$$
であるから、$v\in D(T^*T)$、$w=v+T^*Tv$ である。これより $D\subset D(T^*T)$ であるから $D(T^*T)$ も $T$ の芯であり、また $w\in {\cal H}$ の任意性より $\mathcal{H}={\rm Ran}(1+T^*T)$ である。後は $1+T^*T$ が単射であることを示せばよい。そこで任意の $v\in {\rm Ker}(1+T^*T)$ を取る。
$$
0=(v\mid (1+T^*T)v)=(v\mid v)+(v\mid T^*Tv)=\lVert v\rVert^2+\lVert Tv\rVert^2
$$
であるから $v=0$ である。ゆえに $1+T^*T$ は単射である。
*$(2)$　$(1)$ より $D(T^*T)$ は $T$ の芯であるから任意の $v\in D(T)$ に対し $D(T^*T)$ の列 $(v_n)_{n\in \mathbb{N}}$ で、
$$
(v_n,Tv_n)\rightarrow (v,Tv)\quad(n\rightarrow\infty)
$$
なるものが取れる。よって、
$$
Tv=\lim_{n\rightarrow\infty}Tv_n\in \overline{D(T^*)}
$$
であるから、
$$
{\rm Ran}(T)\subset \overline{D(T^*)}
$$
が成り立つ。これと'''命題3.9'''の $(5)$ より、
$$
(D(T^*))^{\perp}=(\overline{D(T^*)})^{\perp}\subset ({\rm Ran}(T))^{\perp}={\rm Ker}(T^*)\subset D(T^*)
$$
であるから $(D(T^*))^{\perp}=\{0\}$ である。よって
$$
\overline{D(T^*)}=( (D(T^*))^{\perp})^{\perp}=\{0\}^{\perp}=\mathcal{K}
$$
であるから $T^*$ は稠密に定義された線形作用素である。$T^*$ が閉であることは'''命題3.9'''の $(6)$ による。
*$(3)$　
$$
(u\mid T^*v)=(Tu\mid v)\quad(\forall v\in D(T^*),\forall u\in D(T))
$$
であるから $T\subset T^{**}$ である。同様に $T^*\subset T^{***}$ である。ここで $T\subset T^{**}$ と'''命題3.9'''の $(7)$ より $T^{***}\subset T^*$ であるので $T^*=T^{***}$ である。$T=T^{**}$ を示すにはHilbert空間 $G(T^{**})$ における閉部分空間 $G(T)$ の直交補空間 $G(T^{**})\cap (G(T))^{\perp}$ が $\{0\}$ であることを示せばよい。そこで任意の $(v,T^{**}v)\in G(T^{**})\cap (G(T))^{\perp}$ を取る。
$$
0=( (u,Tu)\mid (v,T^{**}v))=(u\mid v)+(Tu\mid T^{**}v)\quad(\forall u\in D(T))
$$
であるから $v\in D(T^*T^{**})=D(T^{***}T^{**})$ であり、
$$
0=(1+T^*T^{**})v=(1+T^{***}T^{**})v
$$
である。$T^{**}$ は稠密に定義された閉線形作用素であるので $(1)$ より $1+T^{***}T^{**}$ は単射である。よって $v=0$、したがって $(v,T^{**}v)=0$ であるので $G(T^{**})\cap (G(T))^{\perp}=\{0\}$ である。ゆえに $T=T^{**}$ である。
*$(4)$　$(1)$ より $T^*T$ は稠密に定義された線形作用素であり、
$$
(u\mid T^*Tv)=(Tu\mid Tv)=(T^*Tu\mid v)\quad(\forall u,v\in D(T^*T))
$$
であるから $T^*T\subset (T^*T)^*$ である。$T^*T=(T^*T)^*$ を示すには $D( (T^*T)^*)\subset D(T^*T)$ を示せばよい。任意の $w\in D( (T^*T)^*)=D(1+(T^*T)^*)=D( (1+T^*T)^*)$ を取る。$(1)$ より ${\rm Ran}(1+T^*T)=\mathcal{H}$ であるから、
$$
(1+T^*T)^*w=(1+T^*T)v
$$
なる $v\in D(T^*T)$ が取れる。 $1+T^*T\subset 1+(T^*T)^*=(1+T^*T)^*$ なので、
$$
(1+T^*T)^*(w-v)=0
$$
である。よって'''命題3.9'''の $(5)$ より、
$$
w-v\in {\rm Ker}( (1+T^*T)^*)=({\rm Ran}(1+T^*T))^{\perp}=\mathcal{H}^{\perp}=\{0\}
$$
である。ゆえに $w=v\in D(T^*T)$ であるので $D( (T^*T)^*)\subset D(T^*T)$ である。よって $T^*T=(T^*T)^*$ である。
{{end|proof|}}

== 4. 対称作用素、自己共役作用素、Cayley変換 ==

=== 定義4.1（対称作用素、自己共役作用素） ===
$\mathcal{H}$ をHilbert空間、$T$ を $\mathcal{H}$ 上の稠密に定義された線形作用素とする。$T\subset T^*$ が成り立つとき $T$ を $\mathcal{H}$ 上の対称作用素と言う。また $T=T^*$ が成り立つとき $T$ を $\mathcal{H}$ 上の自己共役作用素と言う。

=== 命題4.2（対称作用素の特徴付け） ===
$T$ をHilbert空間 $\mathcal{H}$ 上の稠密に定義された線形作用素とする。このとき次は互いに同値である。
*$(1)$　$T$ は $\mathcal{H}$ 上の対称作用素（つまり $T\subset T^*$）である。
*$(2)$　任意の $u,v\in D(T)$ に対し $(u\mid Tv)=(Tu\mid v)$ が成り立つ。
*$(3)$　任意の $v\in D(T)$ に対し $(v\mid Tv)\in\mathbb{R}$ が成り立つ。
*$(4)$　$G(T)\ni (v,Tv)\mapsto (T\pm i)v\in {\rm Ran}(T\pm i)$ は等長線形同型写像である。
{{begin |proof }}
$(1)\Leftrightarrow(2)\Rightarrow(3)$ は自明である。$(3)\Rightarrow(2)$ は偏極恒等式
$$
(u\mid Tv)=\frac{1}{4}\sum_{k=0}^{3}i^k(i^ku+v\mid T(i^ku+v))\quad(\forall u,v\in D(T))
$$
による。$(3)\Leftrightarrow(4)$ は、
$$
\lVert (T\pm i)v\rVert^2=\lVert Tv\rVert^2 \pm 2{\rm Im}(v\mid Tv)+\lVert v\rVert^2\quad(\forall v\in D(T))
$$
による。
{{end|proof|}}

=== 命題4.3（対称作用素の閉包は対称作用素） ===
$T$ がHilbert空間 $\mathcal{H}$ 上の対称作用素ならば $T$ は可閉であり、$\overline{T}$ も $\mathcal{H}$ 上の対称作用素である。また、
$$
{\rm Ran}(\overline{T}\pm i)=\overline{{\rm Ran}(T\pm i)}\quad\quad(*)
$$
が成り立つ。
{{begin |proof }}
'''命題3.9'''の $(6)$ より $T^*$ は閉である。よって $T\subset T^*$ より $T$ は可閉であり、$\overline{T}\subset T^*$ である。また'''命題3.9'''の $(8)$ より $(\overline{T})^*=T^*$ である。ゆえに $\overline{T}\subset (\overline{T})^*$ であるから $\overline{T}$ は対称作用素である。'''命題4.2'''より、
$$
\begin{aligned}
U:G(\overline{T})\ni (v,\overline{T}v)\mapsto (\overline{T}\pm i)v\in {\rm Ran}(\overline{T}\pm i)
\end{aligned}
$$
は等長線形同型写像であり、$T$ の閉包 $\overline{T}$ の定義より $G(\overline{T})=\overline{G(T)}$ であるから、
$$
{\rm Ran}(\overline{T}\pm i)=U(G(\overline{T}))=U(\overline{G(T)})=\overline{U(G(T))}=\overline{{\rm Ran}(T\pm i)}
$$
であるから $(*)$ が成り立つ。
{{end|proof|}}

=== 定義4.4（対称作用素のCayley変換） ===
$T$ をHilbert空間 $\mathcal{H}$ 上の対称作用素とする。このとき'''命題4.2'''より、
$$
C(T)\colon=(T-i)(T+i)^{-1}:{\rm Ran}(T+i)\ni (T+i)v\mapsto (T-i)v\in \mathcal{H}
$$
なる等長線形作用素が定義できる。$C(T)$ を $T$ のCayley変換と言う。$C(T)$ は定義域が $D(C(T))={\rm Ran}(T+i)$、値域が ${\rm Ran}(C(T))={\rm Ran}(T-i)$ である ${\cal H}$ 上の線型作用素である。

=== 命題4.5（対称作用素のCayley変換からの再現） ===
$T$ をHilbert空間 $\mathcal{H}$ 上の対称作用素とする。$T$ のCayley変換 $C(T)=(T-i)(T+i)^{-1}$ に対し $1-C(T)$ は単射であり、${\rm Ran}(1-C(T))=D(T)$ である。そして、
$$
T=i(1+C(T))(1-C(T))^{-1}
$$
が成り立つ。
{{begin |proof }}
任意の $(T+i)v\in {\rm Ran}(T+i)=D(C(T))$ に対し、
$$
(1-C(T))(T+i)v=(T+i)v-(T-i)v=2iv
$$
であるから、${\rm Ran}(1-C(T))=D(T)$ であり、$1-C(T)$ は単射である。そして任意の $v\in D(T)$ に対し、
$$
(1+C(T))(1-C(T))^{-1}2iv=(1+C(T))(T+i)v=(T+i)v+(T-i)v=2Tv
$$
であるから、
$$
i(1+C(T))(1-C(T))^{-1}=T
$$
である。
{{end|proof|}}

=== 定理4.6（自己共役作用素のCayley変換） ===
$T$ をHilbert空間 $\mathcal{H}$ 上の対称作用素、$C(T)$ を $T$ のCayley変換とする。このとき次は互いに同値である。
*$(1)$　$T$ は $\mathcal{H}$ 上の自己共役作用素である。
*$(2)$　$C(T)$ は $\mathcal{H}$ 上のユニタリ作用素である。
{{begin |proof }}
$(1)\Rightarrow(2)$ を示す。$(1)$ が成り立つならば $T=T^*$ であるから、'''命題3.9'''の $(5)$ より、
$$
({\rm Ran}(T\pm i))^{\perp}={\rm Ker}(T^*\mp i)={\rm Ker}(T\mp i)=\{0\}
$$
であり、'''命題3.9'''の $(6)$ より $T=T^*$ は閉なので、'''命題4.3'''より、
$$
{\rm Ran}(T\pm i)={\rm Ran}(\overline{T}\pm i)=\overline{{\rm Ran}(T\pm i)}
=( ({\rm Ran}(T\pm i))^{\perp\perp}=\{0\}^{\perp}=\mathcal{H}
$$
である。よって $D(C(T))={\rm Ran}(T+i)=\mathcal{H}$、${\rm Ran}(C(T))={\rm Ran}(T-i)=\mathcal{H}$ であり、$C(T)$ は等長であるから、$C(T)$ は $\mathcal{H}$ 上のユニタリ作用素である。 
$(2)\Rightarrow(1)$ を示す。$(2)$ が成り立つならば ${\rm Ran}(T\pm i)=\mathcal{H}$ であるから、任意の $v\in D(T^*)$ に対し、
$$
(T^*+i)v=(T+i)u
$$
を満たす $u\in D(T)$ が取れる。$T\subset T^*$ より $T+i\subset T^*+i$ であるから、
$$
(T^*+i)(v-u)=0
$$
である。'''命題3.9'''の $(5)$ より、
$$
{\rm Ker}(T^*+i)=({\rm Ran}(T-i))^{\perp}=\mathcal{H}^{\perp}=\{0\}
$$
であるから、$v=u\in D(T)$ である。よって $D(T^*)=D(T)$ であるので $T=T^*$ である。
{{end|proof|}}

=== 定義4.7（対称作用素の自己共役拡張） ===
$T$ をHilbert空間 $\mathcal{H}$ 上の対称作用素とする。$\mathcal{H}$ 上の自己共役作用素 $S$ で、$T\subset S$ なるものを $T$ の自己共役拡張と言う。そして対称作用素 $T$ が自己共役拡張を持つとき、$T$ は自己共役拡張可能と言う。

=== 定義4.8（対称作用素の本質的自己共役性） ===
Hilbert空間上の対称作用素 $T$ が本質的に自己共役であるとは、$T$ の閉包 $\overline{T}$ が自己共役作用素であることを言う。$T$ が本質的に自己共役であるならば、$T$ の自己共役拡張は $\overline{T}$ のみである。実際 $S$ が $T$ の自己共役拡張ならば、'''命題3.9'''の $(6),(7)$ より、
$$
\overline{T}\subset S=S^*\subset \overline{T}^*=\overline{T}
$$
であるから、$S=\overline{T}$ である。

=== 定理4.9（対称作用素が自己共役拡張可能であるための条件） ===
$T$ をHilbert空間 $\mathcal{H}$ 上の対称作用素とする。このとき次は互いに同値である。
*$(1)$　$T$ は自己共役拡張可能である。
*$(2)$　$({\rm Ran}(T+i))^{\perp}\rightarrow ({\rm Ran}(T-i))^{\perp}$ の等長線形同型写像が存在する。

そして $(2)$ が成り立つとき、各等長線形同型写像 $V\colon({\rm Ran}(T+i))^{\perp}\rightarrow ({\rm Ran}(T-i))^{\perp}$ に対し、ユニタリ作用素
$$
\begin{aligned}
U\colon=C(\overline{T})\oplus V\colon\mathcal{H}={\rm Ran}(\overline{T}+i)\oplus ({\rm Ran}(T+i))^{\perp}&\rightarrow
{\rm Ran}(\overline{T}-i)\oplus ({\rm Ran}(T-i))^{\perp}=\mathcal{H}\\
(\overline{T}+i)v+u&\mapsto (\overline{T}-i)v+Vu\quad\quad(*)
\end{aligned}
$$
（'''命題4.3'''より $({\rm Ran}(T\pm i) )^{\perp}=(\overline{{\rm Ran}(T\pm i)})^{\perp}=({\rm Ran}(\overline{T}\pm i) )^{\perp}$ であることに注意）をCayley変換とする $T$ の自己共役拡張が存在する。
{{begin |proof }}
$(1)\Rightarrow(2)$ を示す。$(1)$ が成り立つとし、$S$ を $T$ の自己共役拡張とする。'''定理4.6'''より $S$ のCayley変換 $C(S)=(S-i)(S+i)^{-1}$ は $\mathcal{H}$ 上のユニタリ作用素であり、
$$
C(S)^*=C(S)^{-1}=(S+i)(S-i)^{-1}
$$
である。よって任意の $v\in ({\rm Ran}(T+i))^{\perp}$ と任意の $(T-i)u\in {\rm Ran}(T-i)$ に対し、
$$
(C(S)v\mid (T-i)u)=(v\mid C(S)^*(S-i)u)=(v\mid (S+i)u)=(v\mid (T+i)u)=0
$$
であるから、
$$
C(S)({\rm Ran}(T+i))^{\perp}\subset ({\rm Ran}(T-i))^{\perp}
$$
である。また任意の $v\in ({\rm Ran}(T-i))^{\perp}$ と任意の $(T+i)u\in {\rm Ran}(T+i)$ に対し、
$$
(C(S)^*v\mid (T+i)u)=(v\mid C(S)(S+i)u)=(v\mid (S-i)u)=(v\mid (T-i)u)=0
$$
であるから、
$$
C(S)^*({\rm Ran}(T-i))^{\perp}\subset ({\rm Ran}(T+i))^{\perp},
$$
すなわち、
$$
({\rm Ran}(T-i))^{\perp}\subset C(S)({\rm Ran}(T+i))^{\perp}
$$
である。よって、
$$
({\rm Ran}(T+i))^{\perp}\ni v\mapsto C(S)v\in ({\rm Ran}(T-i))^{\perp}
$$
は等長線形同型写像であるから、$(2)$ が成り立つ。 
$(2)\Rightarrow(1)$ を示す。$(2)$ が成り立つとする。$V:({\rm Ran}(T+i))^{\perp}\rightarrow({\rm Ran}(T-i))^{\perp}$ を等長線形同型写像とし、$(*)$ におけるユニタリ作用素 $U=C(\overline{T})\oplus V$ を考える。まず $1-U$ が単射であることを示す。そこで $(\overline{T}+i)u\in {\rm Ran}(\overline{T}+i)$ と $v\in ({\rm Ran}(T+i))^{\perp}$ が $(1-U)( (\overline{T}+i)u+v)=0$ を満たすとする。このとき、
$$
0=(1-U)( (\overline{T}+i)u+v)=(\overline{T}+i)u+v-(\overline{T}-i)u-Vv=2iu+(1-V)v
$$
であり、$v\in ({\rm Ran}(T+i))^{\perp}={\rm Ker}(T^*-i)$、$Vv\in ({\rm Ran}(T-i))^{\perp}={\rm Ker}(T^*+i)$（'''命題3.9'''の $(5)$ ）であるから、
$$
0=(T^*+i)(2iu+(1-V)v)=2i(\overline{T}+i)u+(T^*-i)v+2iv-(T^*+i)Vv=2i(\overline{T}+i)u+2iv
$$
である。よって、
$$
v=-(\overline{T}+i)u\in {\rm Ran}(\overline{T}+i)\cap ({\rm Ran}(\overline{T}+i))^{\perp}=\{0\}
$$
であるから $(\overline{T}+i)u+v=0$ である。ゆえに $1-U$ は単射である。
$$
S\colon=i(1+U)(1-U)^{-1}
$$
とおく。$C(\overline{T})\subset U$ であるから、
$$
S(1-C(\overline{T}))=i(1+C(\overline{T}))
$$
であるので、'''命題4.5'''より、
$$
\overline{T}=i(1+C(\overline{T}))(1-C(\overline{T}))^{-1}\subset S\quad\quad(**)
$$
である。任意の $u=(1-U)v\in {\rm Ran}(1-U)=D(S)$ に対し、
$$
(u\mid Su)=( (1-U)v\mid i(1+U)v)=i( (v\mid Uv)-(Uv\mid v) )\in \mathbb{R}
$$
であるから、'''命題4.2'''より $S$ は対称作用素である。そして、
$$
\begin{aligned}
&(S+i)(1-U)v=i(1+U)v+i(1-U)v=2iv\quad(\forall v\in \mathcal{H}),\\
&(S-i)(1-U)v=i(1+U)v-i(1-U)v=2iUv\quad(\forall v\in\mathcal{H})
\end{aligned}
$$
であるから、$S$ のCayley変換は $C(S)=(S-i)(S+i)^{-1}=U$ である。よって $C(S)$ はユニタリ作用素であるから'''定理4.6'''より $S$ は自己共役作用素であり、$(**)$ より $S$ は $T$ の自己共役拡張である。
{{end|proof|}}

=== 系4.10（対称作用素が本質的に自己共役であるための条件） ===
$T$ をHilbert空間 $\mathcal{H}$ 上の対称作用素とする。このとき次は互いに同値である。
*$(1)$　$T$ は本質的に自己共役である。
*$(2)$　$T$ の自己共役拡張が唯一つ存在する。

また、$T$ が自己共役拡張可能であり、本質的に自己共役ではないならば、$T$ の自己共役拡張は非可算無限個存在する。
{{begin |proof }}
$(1)\Rightarrow(2)$ は'''定義4.8'''で述べてある。$(2)\Rightarrow(1)$ を示す。$(2)$ が成り立つとする。このとき'''定理4.9'''より $({\rm Ran}(T+i))^{\perp}\rightarrow({\rm Ran}(T-i))^{\perp}$ の等長線形同型写像が存在する。 $({\rm Ran}(T\pm i))^{\perp}\neq\{0\}$ であると仮定し、等長線形同型写像 $V_0\colon({\rm Ran}(T+i))^{\perp}\rightarrow({\rm Ran}(T-i))^{\perp}$ と $\theta\in [0,2\pi)$ に対し、等長線形同型写像 $V_{\theta}\colon=e^{i\theta}V_0:({\rm Ran}(T+i) )^{\perp}\rightarrow({\rm Ran}(T-i) )^{\perp}$ を定義する。'''定理4.9'''より、各 $\theta\in [0,2\pi)$ に対し、$T$ の自己共役拡張 $S_{\theta}$ で、Cayley変換が $C(S_{\theta})=C(\overline{T})\oplus V_{\theta}$ であるものが取れる。
$\theta_1,\theta_2\in [0,2\pi)$ が $\theta_1\neq\theta_2$ である限り、$V_{\theta_1}\neq V_{\theta_2}$ であるから $C(S_{\theta_1})\neq C(S_{\theta_2})$、したがって $S_{\theta_1}\neq S_{\theta_2}$ である。よって $T$ の自己共役拡張は非可算無限個存在することになり、$(2)$ が成り立つことに矛盾する。ゆえに $({\rm Ran}(T\pm i))^{\perp}=\{0\}$ であるから、
$$
{\rm Ran}(\overline{T}\pm i)=\overline{{\rm Ran}(T\pm i)}=( ({\rm Ran}(T\pm i))^{\perp})^{\perp}=\{0\}^{\perp}=\mathcal{H}
$$
である。これより $\overline{T}$ のCayley変換 $C(\overline{T})$ はユニタリ作用素であるから、'''定理4.6'''より $\overline{T}$ は自己共役作用素、すなわち $T$ は本質的に自己共役である。
{{end|proof|}}

== 5. Hilbert空間上の閉線形作用素のスペクトルとレゾルベント集合 ==

=== 定義5.1（Hilbert空間上の閉線形作用素のスペクトル、レゾルベント集合、点スペクトル、固有値、固有ベクトル） ===
$T$ をHilbert空間 $\mathcal{H}$ 上の閉線形作用素とする。このとき、
$$
\rho(T)\colon=\{\lambda\in \mathbb{C}: \lambda-T:D(T)\rightarrow\mathcal{H}\text{ は全単射}\}
$$
を $T$ のレゾルベント集合と言い、
$$
\sigma(T)\colon=\mathbb{C}\backslash\rho(T)
$$
を $T$ のスペクトルと言う。そして $T$ のスペクトルの部分集合
$$
\sigma_{\rm p}(T)\colon=\{\lambda\in \mathbb{C}:{\rm Ker}(\lambda-T)\neq\{0\}\}
$$
を $T$ の点スペクトルと言い、$\sigma_{\rm p}(T)$ の元を $T$ の固有値と言う。$T$ の固有値 $\lambda\in \sigma_{\rm p}(T)$ に対し、${\rm Ker}(\lambda-T)$ を $T$ の固有値 $\lambda$ に対する固有空間と言い、${\rm Ker}(\lambda-T)$ の $0$ ではない元を $T$ の固有値 $\lambda$ に対する固有ベクトルと言う。

=== 定義5.2（Hilbert空間上の閉線形作用素のレゾルベント） ===
$T$ をHilbert空間 $\mathcal{H}$ 上の閉線形作用素、$\rho(T)$ を $T$ のレゾルベント集合とする。任意の $\lambda\in \rho(T)$ に対し閉線形作用素 $\lambda-T$ のグラフ $G(\lambda-T)$ は $(\lambda-T)^{-1}$ のグラフ $G( (\lambda-T)^{-1})$ と等長線形同型であるから $G( (\lambda-T)^{-1})$ は閉である。よって $(\lambda-T)^{-1}\colon\mathcal{H}\rightarrow\mathcal{H}$ は閉線形作用素であるので、閉グラフ定理（[[位相線形空間4：Fréchet空間と関数解析の基本定理]]の'''定理19.3'''）より $(\lambda-T)^{-1}\in \mathbb{B}(\mathcal{H})$ である。
$$
\rho(T)\ni \lambda-\mapsto (\lambda-T)^{-1}\in \mathbb{B}(\mathcal{H})
$$
を $T$ のレゾルベントと言う。

=== 注意5.3 ===
Hilbert空間 $\mathcal{H}$ 上の閉線形作用素のスペクトルとレゾルベント集合の定義は $C^*$-環 $\mathbb{B}(\mathcal{H})$ の元のスペクトルとレゾルベント集合の定義（[[Banach環とC*-環のスペクトル理論]]の'''定義1.5'''）と矛盾しない。

=== 命題5.4（レゾルベント等式） ===
$T$ をHilbert空間 $\mathcal{H}$ 上の閉線形作用素、$\rho(T)$ を $T$ のレゾルベント集合とする。このとき、
*$(1)$　任意の $\lambda_1,\lambda_2\in \rho(T)$ に対し、
$$
(\lambda_1-T)^{-1}-(\lambda_2-T)^{-1}=(\lambda_2-\lambda_1)(\lambda_1-T)^{-1}(\lambda_2-T)^{-1}
$$
が成り立つ。
*$(2)$　$\rho(T)$ は $\mathbb{C}$ の開集合であり、レゾルベント
$$
\rho(T)\ni \lambda\mapsto (\lambda-T)^{-1}\in \mathbb{B}(\mathcal{H})
$$
はBanach空間 $\mathbb{B}(\mathcal{H})$ 値正則関数である。
{{begin |proof }}
*$(1)$　任意の $\lambda_1,\lambda_2\in \rho(\mathbb{C})$ に対し、
$$
\begin{aligned}
(\lambda_1-T)^{-1}-(\lambda_2-T)^{-1}&=(\lambda_1-T)^{-1}( (\lambda_2-T)-(\lambda_1-T))(\lambda_2-T)^{-1}\\
&=(\lambda_2-\lambda_1)(\lambda_1-T)^{-1}(\lambda_2-T)^{-1}.
\end{aligned}
$$
*$(2)$　任意の $\lambda_0\in \rho(T)$ と $\lvert \lambda-\lambda_0\rvert<\lVert (\lambda_0-T)^{-1}\rVert^{-1}$ なる任意の $\lambda\in \mathbb{C}$ を取る。このとき、
$$
\lambda-T=(\lambda_0-T)-(\lambda_0-\lambda)=(1-(\lambda_0-\lambda)(\lambda_0-T)^{-1})(\lambda_0-T)\quad\quad(*)
$$
であり、$\lVert(\lambda_0-\lambda)(\lambda_0-T)^{-1}\rVert<1$ であるから、[[Banach環とC*-環のスペクトル理論]]の'''命題1.2'''より、$1-(\lambda_0-\lambda)(\lambda_0-T)^{-1}\in \mathbb{B}(\mathcal{H})$ は可逆であり、
$$
\{1-(\lambda_0-\lambda)(\lambda_0-T)^{-1}\}^{-1}=\sum_{m\in\mathbb{Z}_+}(\lambda_0-\lambda)^n(\lambda_0-T)^{-n}\quad\quad(**)
$$
が成り立つ。よって $(*)$ より $\lambda-T:D(T)\rightarrow \mathcal{H}$ は全単射であるから $\lambda\in \rho(T)$ であり、$(*),(**)$ より、
$$
\begin{aligned}
(\lambda-T)^{-1}&=\{1-(\lambda_0-\lambda)(\lambda_0-T)^{-1}\}^{-1}(\lambda_0-T)^{-1}\\
&=\sum_{m\in\mathbb{Z}_+}(\lambda_0-\lambda)^n(\lambda_0-T)^{-(n+1)}\quad\quad(***)
\end{aligned}
$$
である。これより任意の $\lambda_0\in \rho(T)$ に対し $\lambda_0$ を中心とする半径 $\lVert (\lambda_0-T)^{-1}\rVert^{-1}$ の $\mathbb{C}$ の開球は $\rho(T)$ に含まれるから $\rho(T)$ は $\mathbb{C}$ の開集合であり、その開球の任意の元 $\lambda$ に対し $(***)$ が成り立つから、冪級数関数の複素微分可能性（[[複素解析の初歩]]の'''定理2.5'''）より、$\rho(T)\ni \lambda\mapsto (\lambda-T)^{-1}\in \mathbb{B}(\mathcal{H})$ はBanach空間 $\mathbb{B}(\mathcal{H})$ 値正則関数である。
{{end|proof|}}

=== 系5.5（スペクトルは $\mathbb{C}$ の閉集合） ===
Hilbert空間上の閉線形作用素のスペクトルは $\mathbb{C}$ の閉集合である。
{{begin |proof }}
Hilbert空間上の閉線形作用素のレゾルベント集合は、'''命題5.4'''より $\mathbb{C}$ の開集合であるから、レゾルベント集合の $\mathbb{C}$ における補集合であるスペクトルは $\mathbb{C}$ の閉集合である。
{{end|proof|}}

=== 命題5.6（自己共役作用素のスペクトルは $\mathbb{R}$ の部分集合） ===
$T$ をHilbert空間 $\mathcal{H}$ 上の自己共役作用素とする。このとき $T$ のスペクトル $\sigma(T)$ は $\mathbb{R}$ の部分集合である。
{{begin |proof }}
$T$ のレゾルベント集合 $\rho(T)=\mathbb{C}\backslash \sigma(T)$ に対し $\mathbb{C}\backslash \mathbb{R}\subset \rho(T)$ であることを示せばよい。そこで $\alpha,\beta\in \mathbb{R}$、$\beta\neq0$ とし、$\lambda\colon=\alpha+i\beta\in \mathbb{C}\backslash \mathbb{R}$ とおく。このとき $(v\mid (\alpha-T)v)\in \mathbb{R}$ $(\forall v\in D(T))$ であることから、
$$
\begin{aligned}
&\lVert(\lambda-T)v\rVert^2=\lVert (\alpha-T)v+i\beta v\rVert^2=\lVert (\alpha-T)v\rVert^2+\beta^2\lVert v\rVert^2\geq \beta^2\lVert v\rVert^2\quad(\forall v\in D(T)),\quad\quad(*)\\
&\lVert (\overline{\lambda}-T)v\rVert^2=\lVert(\alpha-T)v-i\beta v\rVert^2
=\lVert (\alpha-T)v\rVert^2+\beta^2\lVert v\rVert^2\geq \beta^2\lVert v\rVert^2\quad(\forall v\in D(T))\quad\quad(**)
\end{aligned}
$$
である。よって $(*)$ と $\beta\neq0$ より ${\rm Ker}(\lambda-T)=\{0\}$、$\overline{{\rm Ran}(\lambda-T)}={\rm Ran}(\lambda-T)$（$\lambda-T$ が閉線形作用素であることに注意）である。そして $(**)$ より ${\rm Ker}(\overline{\lambda}-T)=\{0\}$ であるから、''命題3.9''の $(5)$ より、
$$
{\rm Ran}(\lambda-T)=\overline{{\rm Ran}(\lambda-T)}=( ({\rm Ran}(\lambda-T))^{\perp})^{\perp}=({\rm Ker}(\overline{\lambda}-T))^{\perp}=\{0\}^{\perp}=\mathcal{H}
$$
である。よって $\lambda-T\colon D(T)\rightarrow \mathcal{H}$ は全単射であるから $\lambda\in \rho(T)$ である。ゆえに $\mathbb{C}\backslash \mathbb{R}\subset \rho(T)$ であるから、$\sigma(T)\subset \mathbb{R}$ が成り立つ。
{{end|proof|}}

=== 定理5.7（自己共役作用素のスペクトルとそのCayley変換のスペクトルの関係） ===
$T$ をHilbert空間 $\mathcal{H}$ 上の自己共役作用素とする。このとき $T$ のスペクトル $\sigma(T)$ は $\mathbb{R}$ の空でない閉集合であり、同相写像
$$
C\colon\mathbb{R}\ni t\mapsto (t-i)(t+i)^{-1}\in \mathbb{T}\backslash \{1\}
$$
（逆写像は $\mathbb{T}\backslash \{1\}\ni \lambda\mapsto i(1+\lambda)(1-\lambda)^{-1}\in \mathbb{R}$ である。）に対し、
$$
C(\sigma(T))=\sigma(C(T))\backslash \{1\}
$$
が成り立つ。ただし $C(T)$ は $T$ のCayley変換である。
{{begin |proof }}
'''系5.5'''と'''命題5.6'''より $\sigma(T)$ は $\mathbb{R}$ の閉集合である。また'''定理4.6'''より $C(T)$ は $\mathcal{H}$ 上のユニタリ作用素である。任意の $t\in \mathbb{R}$ に対し、
$$
\begin{aligned}
C(t)-C(T)&=(t-i)(t+i)^{-1}-(T-i)(T+i)^{-1}\\
&=(t+i)^{-1}\{(t-i)(T+i)-(t+i)(T-i)\}(T+i)^{-1}\\
&=2i(t+i)^{-1}(t-T)(T+i)^{-1}
\end{aligned}
$$
であるから、$C(t)-C(T)\colon \mathcal{H}\rightarrow\mathcal{H}$ が全単射であることと、$t-T\colon D(T)\rightarrow\mathcal{H}$ が全単射であることは同値である。よって $t\in \mathbb{R}$ に対し、
$$
C(t)\in \sigma(C(T))\backslash \{1\}\quad\Leftrightarrow\quad t\in\sigma(T)\quad\quad(*)
$$
が成り立つ。$C(T)$ は $\mathcal{H}$ 上のユニタリ作用素であるから、[[Banach環とC*-環のスペクトル理論]]の'''命題3.5'''より、$\sigma(C(T))\backslash\{1\}\subset \mathbb{T}\backslash \{1\}=C(\mathbb{R})$ である。よって $(*)$ より、
$$
C(\sigma(T))=\sigma(C(T))\backslash \{1\}\quad\quad(**)
$$
が成り立つ。また $\sigma(C(T))\neq\emptyset$（[[Banach環とC*-環のスペクトル理論]]の'''命題1.8'''）であるから、もし $\sigma(C(T))\backslash \{1\}=\emptyset$ ならば $\sigma(C(T))=\{1\}$ となり、連続汎関数計算（[[Banach環とC*-環のスペクトル理論]]の'''定義6.6'''）より $C(T)=1$ となる。よって $1-C(T)$ が単射であること（'''命題4.5'''）に矛盾する。ゆえに $\sigma(C(T))\backslash \{1\}\neq\emptyset$ であるので、$(**)$ より $\sigma(T)\neq\emptyset$ である。
{{end|proof|}}

== 6. 射影値測度による積分 ==

=== 定義6.1（Hilbert空間 $\mathcal{H}$ 上の射影作用素全体 $\mathbb{P}(\mathcal{H})$） ===
Hilbert空間 $\mathcal{H}$ 上の射影作用素全体を $\mathbb{P}(\mathcal{H})$ と表す。

=== 定義6.2（射影値測度） ===
$\mathcal{H}$ をHilbert空間、$(X,\mathfrak{M})$ を可測空間とする。$E\colon\mathfrak{M}\rightarrow \mathbb{P}(\mathcal{H})$ が次の条件を満たすとき、$E$ を射影値測度と言う。
*$(1)$　$E(X)=1$.
*$(2)$　任意の $u,v\in \mathcal{H}$ に対し $E_{u,v}:\mathfrak{M}\ni B\mapsto (u\mid E(B)v)\in \mathbb{C}$ は複素数値測度（[[測度と積分4：測度論の基本定理(2)]]の'''定義15.1'''）。

=== 命題6.3（射影値測度の基本的性質） ===
$\mathcal{H}$ をHilbert空間、$(X,\mathfrak{M})$ を可測空間、$E\colon\mathfrak{M}\rightarrow \mathcal{P}(\mathcal{H})$ を射影値測度とする。このとき、
*$(1)$　$E(\emptyset)=0$.
*$(2)$（'''単調性'''）$A\subset B$ なる任意の $A,B\in \mathfrak{M}$ に対し $E(A)\leq E(B)$.
*$(3)$　任意の $A,B\in \mathfrak{M}$ に対し $E(A\cap B)=E(A)E(B)$ が成り立つ。特に $A\cap B=\emptyset$ ならば $E(A)$ と $E(B)$ は直交する。
*$(4)$（'''$\sigma$-加法性'''）$(B_n)_{n\in \mathbb{N}}$ が $\mathfrak{M}$ の非交叉列であるならば、$(E(B_n))_{n\in \mathbb{N}}$ は射影作用素の直交族であり、
$$
E\left(\bigcup_{n\in \mathbb{N}}B_n\right)=\sum_{n\in \mathbb{N}}E(B_n)
$$
が成り立つ。（射影作用素の直交族の和の定義（'''定義2.6'''）を参照。）
*$(5)$（'''単調収束性'''）$(B_n)_{n\in \mathbb{N}}$ が $\mathfrak{M}$ の単調増加列であるならば、$(E(B_n))_{n\in \mathbb{N}}$ は $\mathbb{B}(\mathcal{H})_{\rm sa}$ の単調増加列であり、
$$
E\left(\bigcup_{n\in \mathbb{N}}B_n\right)=\text{SOT -}\lim_{n\rightarrow\infty} E(B_n)=\sup_{n\in \mathbb{N}}E(B_n)
$$
が成り立つ。
*$(6)$（'''単調収束性'''）$(B_n)_{n\in \mathbb{N}}$ が $\mathfrak{M}$ の単調減少列であるならば、$(E(B_n))_{n\in \mathbb{N}}$ は $\mathbb{B}(\mathcal{H})_{\rm sa}$ の単調減少列であり、
$$
E\left(\bigcap_{n\in \mathbb{N}}B_n\right)=\text{SOT -}\lim_{n\rightarrow\infty} E(B_n)=\inf_{n\in \mathbb{N}}E(B_n)
$$
が成り立つ。
{{begin |proof }}
*$(1)$　任意の $u,v\in \mathcal{H}$ に対し $(u\mid E(\emptyset)v)=E_{u,v}(\emptyset)=0$ であるから $E(\emptyset)=0$ である。
*$(2)$　$\mathbb{P}(\mathcal{H})\subset \mathbb{B}_+(\mathcal{H})$ であるから任意の $v\in \mathcal{H}$ に対し $E_{v,v}$ は非負値測度である。よって非負値測度の単調性より $A,B\in \mathfrak{M}$ が $A\subset B$ を満たすならば、
$$
(v\mid E(A)v)=E_{v,v}(A)\leq E_{v,v}(B)=(v\mid E(B)v)\quad(\forall v\in \mathcal{H})
$$
であるから、'''命題1.4'''より $E(A)\leq E(B)$ が成り立つ。
*$(3)$　$A,B\in \mathfrak{M}$ が $A\cap B=\emptyset$ を満たすとすると、任意の $u,v\in \mathcal{H}$ に対し、
$$
(u\mid E(A\cup B)v)=E_{u,v}(A\cup B)=E_{u,v}(A)+E_{u,v}(B)=(u\mid (E(A)+E(B))v)
$$
であるから、$E(A)+E(B)=E(A\cup B)\in \mathbb{P}(\mathcal{H})$ である。よって[[Banach環とC*-環のスペクトル理論]]の'''命題8.3'''より $E(A)$ と $E(B)$ は直交するので $E(A)E(B)=0=E(A\cap B)$ である。 
任意の $A,B\in \mathfrak{M}$ を取る。$A=(A\backslash B)\cup (A\cap B)$ であり、$(A\backslash B)\cap (A\cap B)=\emptyset$ であるから上段の結果より、
$$
E(A)=E(A\backslash B)+E(A\cap B)
$$
である。そして $(A\backslash B)\cap B=\emptyset$ であるので、再び上段の結果より、
$$
E(A\backslash B) E(B)=0
$$
である。$(2)$ より $E(A\cap B)\leq E(B)$ であるから[[Banach環とC*-環のスペクトル理論]]の'''命題8.2'''より、
$$
E(A\cap B)=E(A\cap B)E(B)
$$
である。よって、
$$
E(A)E(B)=(E(A\backslash B)+E(B))E(B)=E(A\backslash B)E(B)+E(A\cap B)E(B)=E(A\cap B)
$$
である。
*$(4)$　$(B_n)_{n\in \mathbb{N}}$ が $\mathfrak{M}$ の非交叉列ならば $(3)$ より $(E(B_n))_{n\in \mathbb{N}}$ は射影作用素の直交族であるから $\sum_{n\in\mathbb{N}}E(B_n)$ はSOTで収束する（'''定義2.6'''を参照）。よって任意の $u,v\in \mathcal{H}$ に対し、
$$
\left(u\mid E\left(\bigcup_{n\in \mathbb{N}}B_n\right)v\right)
=E_{u,v}\left(\bigcup_{n\in\mathbb{N}}B_n\right)
=\sum_{n\in\mathbb{N}}E_{u,v}(B_n)
=\sum_{n\in \mathbb{N}}(u\mid E(B_n)v)
=(u\mid \sum_{n\in \mathbb{N}}E(B_n)v)
$$
であるから $E(\bigcup_{n\in \mathbb{N}}B_n)=\sum_{n\in \mathbb{N}}E(B_n)$ が成り立つ。
*$(5)$　$(B_n)_{n\in \mathbb{N}}$ が $\mathfrak{M}$ の単調増加列ならば[[測度と積分4：測度論の基本定理(2)]]の'''命題15.2'''の $(3)$ より任意の $u,v\in \mathcal{H}$ に対し、
$$
\left(u\mid E\left(\bigcup_{n\in \mathbb{N}}B_n\right)v\right)
=E_{u,v}\left(\bigcup_{n\in\mathbb{N}}B_n\right)
=\lim_{n\rightarrow\infty}E_{u,v}(B_n)=\lim_{n\rightarrow\infty}(u\mid E(B_n)v)
$$
である。そして $(2)$ より $(E(B_n))_{n\in \mathbb{N}}$ は射影作用素の単調増加列であるから'''定理2.4'''より、
$$
\text{SOT-}\lim_{n\rightarrow\infty}E(B_n)=\sup_{n\in \mathbb{N}}E(B_n)
$$
である。よって任意の $u,v\in \mathcal{H}$ に対し、
$$
\left(u\mid E\left(\bigcup_{n\in \mathbb{N}}B_n\right)v\right)
=\lim_{n\rightarrow\infty}(u\mid E(B_n)v)
=(u\mid \text{SOT-}\lim_{n\rightarrow\infty}E(B_n)v)
=(u\mid \sup_{n\in\mathbb{N}}E(B_n)v)
$$
であるから、
$$
E\left(\bigcup_{n\in \mathbb{N}}B_n\right)=\text{SOT-}\lim_{n\rightarrow\infty}E(B_n)=\sup_{n\in \mathbb{N}}E(B_n)
$$
である。
*$(6)$　$(B_n)_{n\in \mathbb{N}}$ が $\mathfrak{M}$ の単調減少列ならば $(X\backslash B_n)_{n\in \mathbb{N}}$ は $\mathfrak{M}$ の単調増加列であり、$X\backslash \bigcap_{n\in \mathbb{N}}B_n=\bigcup_{n\in\mathbb{N}}(X\backslash B_n)$ である。このことと $(5)$ より分かる。
{{end|proof|}}

=== 命題6.4 ===
$\mathcal{H}$ をHilbert空間、$(X,\mathfrak{M})$ を可測空間とし、$E\colon\mathfrak{M}\rightarrow \mathbb{P}(\mathcal{H})$ を射影値測度とする。また $\mathcal{L}_{\rm b}(X,\mathfrak{M})$ を $X\rightarrow \mathbb{C}$ の有界可測関数全体に各点ごとの演算と $\sup$ ノルムを入れた単位的可換 $C^*$-環とする。このとき $*$-環準同型写像
$$
\Phi_E\colon\mathcal{L}_{\rm b}(X,\mathfrak{M})\rightarrow \mathbb{B}(\mathcal{H})
$$
で、
$$
(u\mid \Phi_E(f)v)=\int_{X}f(x)dE_{u,v}(x)\quad(\forall f\in \mathcal{L}_{\rm b}(X,\mathfrak{M}), \forall u,v\in \mathcal{H})
$$
を満たすものが唯一つ存在する。そして、
$$
\Phi_E(\chi_B)=E(B)\quad(\forall B\in \mathfrak{M})
$$
である。
{{begin |proof }}
一意性は自明である。存在を示す。まず任意の $u,v\in \mathcal{H}$ に対し複素数値測度 $E_{u,v}\colon\mathfrak{M}\ni B\mapsto (u\mid E(B)v)\in \mathbb{C}$ の全変動（[[測度と積分4：測度論の基本定理(2)]]の'''定義19.1'''）$\lvert E_{u,v}\rvert\colon\mathfrak{M}\rightarrow \mathbb{C}$ が $\lvert E_{u,v}\rvert(X)\leq \lVert u\rVert\lVert v\rVert$ を満たすことを示す。そのためには
$\mathfrak{M}$ の有限非交叉列 $B_1,\ldots,B_n$ で $X=\bigcup_{j=1}^{n}B_j$ なるものを取り、
$$
\sum_{j=1}^{n}\lvert E_{u,v}(B_j)\rvert\leq \lVert u\rVert\lVert v\rVert\quad\quad(*)
$$
が成り立つことを示せばよい。そこで各 $j\in \{1,\ldots,n\}$ に対し $\lvert E_{u,v}(B_j)\rvert=\alpha_jE_{u,v}(B_j)$、$\lvert\alpha_j\rvert=1$ を満たす $\alpha_j\in \mathbb{C}$ を取る。このとき、
$$
\sum_{j=1}^{n}\lvert E_{u,v}(B_j)\rvert=\sum_{j=1}^{n}\alpha_jE_{u,v}(B_j)
=\sum_{j=1}^{n}(u\mid \alpha_jE(B_j)v)\leq \lVert u\rVert\left\lVert\sum_{j=1}^{n}\alpha_jE(B_j)v\right\rVert
$$
であり、$B_1,\ldots,B_n$ が非交叉であることから $E(B_1)v,\ldots,E(B_n)v$ は互いに直交する（'''命題6.3'''）ので、
$$
\left\lVert\sum_{j=1}^{n}\alpha_jE(B_j)v\right\rVert^2=\sum_{j=1}^{n}\lVert \alpha_jE(B_j)v\rVert^2=\sum_{j=1}^{n}\lVert E(B_j)v\rVert^2
=\left\lVert \sum_{j=1}^{n}E(B_j)v\right\rVert^2=\lVert E(X)v\rVert^2=\lVert v\rVert^2
$$
である。よって、
$$
\sum_{j=1}^{n}\lvert E_{u,v}(B_j)\rvert\leq\lVert u\rVert\left\lVert\sum_{j=1}^{n}\alpha_jE(B_j)v\right\rVert=\lVert u\rVert\lVert v\rVert
$$
より $(*)$ が成り立つので、
$$
\lvert E_{u,v}\rvert(X)\leq \lVert u\rVert\lVert v\rVert\quad(\forall u,v\in \mathcal{H})\quad\quad(**)
$$
が成り立つ。任意の $f\in \mathcal{L}_{\rm b}(X,\mathfrak{M})$ を取り固定する。$f$ は可測単関数によって一様近似できる（[[測度と積分5：$L^p$ 空間の完備性と双対性]]の'''命題22.2'''）から、
$$
\mathcal{H}\times \mathcal{H}\ni (u,v)\mapsto \int_{X}f(x)dE_{u,v}(x)\in \mathbb{C}\quad\quad(***)
$$
は準双線形汎関数であり、$(**)$ より、
$$
\left\lvert \int_{X}f(x)dE_{u,v}(x)\right\rvert\leq\lVert f\rVert\lvert E_{u,v}\rvert (X)\leq \lVert f\rVert\lVert u\rVert\lVert v\rVert\quad(\forall u,v\in \mathcal{H})
$$
であるから、$(***)$ はノルムが $\lVert f\rVert$ 以下の有界準双線形汎関数である。よって[[位相線形空間1：ノルムと内積]]の'''定理7.1'''より任意の $f\in \mathcal{L}_{\rm b}(X,\mathfrak{M})$ に対し $\Phi_E(f)\in \mathbb{B}(\mathcal{H})$ で、
$$
(u\mid \Phi_E(f)v)=\int_{X}f(x)dE_{u,v}(x)\quad(\forall u,v\in \mathcal{H})
$$
を満たすものが定まり、$\lVert \Phi_E(f)\rVert\leq \lVert f\rVert$ である。こうしてノルム減少な有界線形作用素
$$
\Phi_E:\mathcal{L}_{\rm b}(X,\mathfrak{M})\ni f\mapsto \Phi_E(f)\in \mathbb{B}(\mathcal{H})
$$
が定義される。$\Phi_E$ が $*$-環準同型写像であることを示す。任意の $f\in \mathcal{L}_{\rm b}(X,\mathfrak{M})$ に対し、
$$(v\mid \Phi_E(\overline{f})v)=\int_{X}\overline{f(x)}dE_{v,v}(x)=\overline{\int_{X}f(x)dE_{v,v}(x)}=\overline{(v\mid \Phi_E(f)v)}=(\Phi_E(f)v\mid v)=(v\mid \Phi_E(f)^*v)
\quad(\forall v\in \mathcal{H})
$$
であるから、偏極恒等式（[[測度と積分6：数え上げ測度と $\ell^p$ 空間]]の'''定義25.2'''）より、
$$
\Phi_E(\overline{f})=\Phi_E(f)^*\quad(\forall f\in \mathcal{L}_{\rm b}(X,\mathfrak{M}))
$$
である。よって $\Phi_E$ は対合を保存する。後は任意の $f,g\in \mathcal{L}_{\rm b}(X,\mathfrak{M})$ に対し、
$$
\Phi_E(fg)=\Phi_E(f)\Phi_E(g)\quad\quad(****)
$$
が成り立つことを示せばよい。任意の $B\in \mathfrak{M}$、任意の $u,v\in \mathcal{H}$ に対し、
$$
(u\mid \Phi_E(\chi_B)v)=\int_{X}\chi_B(x)dE_{u,v}(x)=E_{u,v}(B)=(u\mid E(B)v)
$$
であるから、
$$
\Phi_E(\chi_B)=E(B)\quad(\forall B\in \mathfrak{M})
$$
である。よって任意の $A,B\in \mathfrak{M}$ に対し'''命題6.3'''より、
$$
\Phi_E(\chi_A\chi_B)=\Phi_E(\chi_{A\cap B})=E(A\cap B)=E(A)E(B)=\Phi_E(\chi_A)\Phi_E(\chi_B)
$$
であるから、$\Phi_E$ の線形性より $(****)$ は任意の可測単関数 $f,g$ に対して成り立つ。任意の有界可測関数は可測単関数によって一様近似できること（[[測度と積分5：$L^p$ 空間の完備性と双対性]]の'''命題22.2'''）と、$\Phi_E$ が有界線形作用素であることから、$(****)$ は任意の $f,g\in \mathcal{L}_{\rm b}(X,\mathfrak{M})$ に対して成り立つ。よって $\Phi_E$ は*-環準同型写像である。
{{end|proof|}}

=== 定義6.5（射影値測度による有界可測関数の積分） ===
$\mathcal{H}$ をHilbert空間、$(X,\mathfrak{M})$ を可測空間、$E\colon\mathfrak{M}\rightarrow \mathbb{P}(\mathcal{H})$ を射影値測度とする。'''命題6.4'''より $*$-環準同型写像
$$
\mathcal{L}_{\rm b}(X,\mathfrak{M})\ni f\mapsto \int_{X}f(x)dE(x)\in \mathbb{B}(\mathcal{H})
$$
で、
$$
\left(u\mid \left(\int_{X}f(x)dE(x)\right)v\right)=\int_{X}f(x)dE_{u,v}(x)\quad(\forall f\in \mathcal{L}_{\rm b}(X,\mathfrak{M}),\forall u,v\in \mathcal{H})
$$
を満たすものが唯一つ存在する。任意の有界可測関数 $f\in \mathcal{L}_{\rm b}(X,\mathfrak{M})$ に対し、
$$
\int_{X}f(x)dE(x)\in \mathbb{B}(\mathcal{H})
$$
を $f$ の $E$ による積分と言う。
$$
\int_{X}\chi_B(x)dE(x)=E(B)\quad(\forall B\in \mathfrak{M})
$$
である。

=== 命題6.6 ===
$\mathcal{H}$ をHilbert空間、$(X,\mathfrak{M})$ を可測空間、$E\colon\mathfrak{M}\rightarrow\mathbb{P}(\mathcal{H})$ を射影値測度、$f\colon X\rightarrow\mathbb{C}$ を任意の可測関数とする。そして、
$$
D_E(f)\colon=\left\{v\in \mathcal{H}:\int_{X}\lvert f(x)\rvert^2dE_{v,v}(x)<\infty\right\}
$$
とおく。このとき、
*$(1)$　$D_E(f)$ は $\mathcal{H}$ の稠密な線形部分空間である。そして任意の $v\in \mathcal{H}$ に対し、
$$
v_n\colon=E( (\lvert f\rvert\leq n))v\quad(\forall n\in \mathbb{N})
$$
とおくと、
$$
v_n\in D_E(f)\quad(\forall n\in \mathbb{N}),\quad \lim_{n\rightarrow\infty}\lVert v_n-v\rVert=0
$$
が成り立つ。
*$(2)$　任意の $u\in \mathcal{H}$、$v\in D_E(f)$ に対し $f\in \mathcal{L}^1(X,\mathfrak{M},\lvert E_{u,v}\rvert)$ であり、
$$
\left\lvert \int_{X}f(x)dE_{u,v}(x)\right\rvert\leq \lVert u\rVert\left(\int_{X}\lvert f(x)\rvert^2dE_{v,v}(x)\right)^{\frac{1}{2}}
$$
が成り立つ。
*$(3)$
$$
\mathcal{H}\times D_E(f)\ni (u,v)\mapsto \int_{X}f(x)dE_{u,v}(x)\in \mathbb{C}
$$
は準双線形汎関数である。
*$(4)$　線形作用素 $\Phi_E(f):D_E(f)\rightarrow \mathcal{H}$ で、
$$
(u\mid \Phi_E(f)v)=\int_{X}f(x)dE_{u,v}(x)\quad(\forall u\in \mathcal{H},\forall v\in D_E(f))
$$
を満たすものが唯一つ存在する。そして、
$$
\lVert \Phi_E(f)v\rVert^2=\int_{X}\lvert f(x)\rvert^2dE_{v,v}(x)\quad(\forall v\in D_E(f))
$$
が成り立つ。
{{begin |proof }}
*$(1)$　任意の $v\in D_E(f)$、任意の $\alpha\in \mathbb{C}$ に対し、
$$
E_{\alpha v,\alpha v}(B)=\lVert E(B)\alpha v\rVert^2=\lvert\alpha\rvert^2\lVert E(B)v\rVert^2=\lvert \alpha\rvert^2E_{v,v}(B)\quad(\forall B\in \mathfrak{M})
$$
であるから、非負値可測関数の非負値可測単関数の各点単調増加列による近似より、
$$
\int_{X}\lvert f(x)\rvert^2dE_{\alpha v,\alpha v}(x)=\lvert\alpha\rvert^2\int_{X}\lvert f(x)\rvert^2dE_{v,v}(x)<\infty
$$
である。よって $\alpha v\in D_E(f)$ である。また任意の $u,v\in D_E(f)$ に対し、
$$
E_{u+v,u+v}(B)=\lVert E(B)u+E(B)v\rVert^2
\leq 2(\lVert E(B)u\rVert^2+\lVert E(B)v\rVert^2)=2(E_{u,u}(B)+E_{v,v}(B))\quad(\forall B\in\mathfrak{M})
$$
であるから、非負値可測関数の非負値可測単関数の各点単調増加列による近似より、
$$
\int_{X}\lvert f(x)\rvert^2dE_{u+v,u+v}(x)\leq 2\left(\int_{X}\lvert f(x)\rvert^2dE_{u,u}(x)+\int_{X}\lvert f(x)\rvert^2dE_{v,v}(x)\right)<\infty
$$
である。よって $u+v\in D_E(f)$ であるので $D_E(f)$ は $\mathcal{H}$ の線形部分空間である。任意の $v\in \mathcal{H}$ に対し $v_n=E( (\lvert f\rvert\leq n))v$ $(\forall n\in \mathbb{N})$ とおくと、
$$
E_{v_n,v_n}(B)=\lVert E(B)v_n\rVert^2=\lVert E(B\cap (\lvert f\rvert\leq n))v\rVert^2
=E_{v,v}(B\cap (\lvert f\rvert\leq n))\quad(\forall n\in\mathbb{N},\forall B\in \mathfrak{M})
$$
であるから、
$$
\int_{X}\lvert f(x)\rvert^2dE_{v_n,v_n}(x)=\int_{(\lvert f\rvert\leq n)}\lvert f(x)\rvert^2dE_{v,v}(x)\leq n^2\lVert v\rVert^2<\infty\quad(\forall n\in\mathbb{N})
$$
である。よって $v_n\in D_E(f)$ $(\forall n\in\mathbb{N})$ である。また'''命題6.3'''より、
$$
\text{SOT-}\lim_{n\rightarrow\infty}E( (\lvert f\rvert\leq n))=E(X)=1
$$
であるから、
$$
\lim_{n\rightarrow\infty}v_n=\lim_{n\rightarrow\infty}E( (\lvert f\rvert\leq n))v=v
$$
である。よって $D_E(f)$ は $\mathcal{H}$ の稠密部分空間である。
*$(2)$　$f_n\colon=f\chi_{(\lvert f\rvert\leq n)}$ $(\forall n\in \mathbb{N})$ として有界可測関数の列 $(f_n)_{n\in\mathbb{N}}$ を定義する。任意の $u\in \mathcal{H}$、任意の $v\in D_E(f)$ を取り固定する。複素数値測度 $E_{u,v}\colon\mathfrak{M}\rightarrow \mathbb{C}$ の全変動 $\lvert E_{u,v}\rvert\colon\mathfrak{M}\rightarrow [0,\infty)$ に対するRadon-Nikodym微分を $h\in\mathcal{L}(X,\mathfrak{M},\lvert E_{u,v}\rvert)$ とする（複素数値測度による積分の定義（[[測度と積分4：測度論の基本定理(2)]]の'''定義19.5'''）を参照）と、射影値測度による有界可測関数の積分の定義（'''定義6.5'''）より、
$$
\begin{aligned}
\int_{X}\lvert f_n(x)\rvert d\lvert E_{u,v}\rvert(x)&=\int_{X}\lvert f_n(x)\rvert\overline{h(x)}dE_{u,v}(x)=\left(u\mid \left(\int_{X}\lvert f_n(x)\rvert\overline{h(x)}dE(x)\right)v\right)\\
&\leq \lVert u\rVert\left\lVert\left(\int_{X}\lvert f_n(x)\rvert \overline{h(x)}dE(x)\right)v\right\rVert
\end{aligned}
$$
であり、
$$
\begin{aligned}
\left\lVert\int_{X}\lvert f_n(x)\rvert\overline{h(x)}dE(x)v\right\rVert^2
&=\left(\int_{X}\lvert f_n(x)\rvert\overline{h(x)}dE(x)v\mid \int_{X}\lvert f_n(x)\rvert \overline{h(x)}dE(x)v\right)\\
&=\left(v\mid \left(\int_{X}\lvert f_n(x)\rvert^2dE(x)\right)v\right)=\int_{X}\lvert f_n(x)\rvert^2dE_{v,v}\\
&\leq \int_{X}\lvert f(x)\rvert^2dE_{v,v}(x)\quad(\forall n\in\mathbb{N})
\end{aligned}
$$
であるから、
$$
\int_{X}\lvert f_n(x)\rvert d\lvert E_{u,v}\rvert(x)\leq \lVert u\rVert\left(\int_{X}\lvert f(x)\rvert^2dE_{v,v}(x)\right)^{\frac{1}{2}}\quad(\forall n\in\mathbb{N})
$$
が成り立つ。よって単調収束定理より、
$$
\int_{X}\lvert f(x)\rvert d\lvert E_{u,v}\rvert(x)
=\sup_{n\in \mathbb{N}}\int_{X}\lvert f_n(x)\rvert d\lvert E_{u,v}\rvert(x)
\leq\lVert u\rVert\left(\int_{X}\lvert f(x)\rvert^2dE_{v,v}(x)\right)^{\frac{1}{2}}<\infty
$$
であるから $f\in \mathcal{L}^1(X,\mathfrak{M},\lvert E_{u,v}\rvert)$ であり、
$$
\left\lvert\int_{X}f(x)dE_{u,v}(x)\right\rvert
\leq\int_{X}\lvert f(x)\rvert d\lvert E_{u,v}\rvert(x)\leq \lVert u\rVert\left(\int_{X}\lvert f(x)\rvert^2dE_{v,v}(x)\right)^{\frac{1}{2}}
$$
が成り立つ。
*$(3)$　$f_n\colon=f\chi_{(\lvert f\rvert\leq n)}$ $(\forall n\in \mathbb{N})$ として有界可測関数の列 $(f_n)_{n\in\mathbb{N}}$ を定義する。有界可測関数は可測単関数により一様近似できるから、任意の $n\in \mathbb{N}$ に対し、
$$
\mathcal{H}\times D_E(f)\ni (u,v)\mapsto \int_{X}f_n(x)dE_{u,v}(x)\in \mathbb{C}
$$
は準双線形汎関数である。そしてLebesgue優収束定理より、
$$
\int_{X}f(x)dE_{u,v}(x)=\lim_{n\rightarrow\infty}\int_{X}f_n(x)dE_{u,v}(x)
$$
であるから、
$$
\mathcal{H}\times D_E(f)\ni (u,v)\mapsto \int_{X}f(x)dE_{u,v}(x)\in \mathbb{C}
$$
は準双線形汎関数である。
*$(4)$　任意の $v\in D_E(f)$ に対し $(2),(3)$ より、
$$
\mathcal{H}\ni u\mapsto \int_{X}f(x)dE_{u,v}(x)\in \mathbb{C}
$$
は有界反線形汎関数であるから、Rieszの定理（[[位相線形空間1：ノルムと内積]]の'''定理6.13'''）より $\Phi_E(f)v\in \mathcal{H}$ で、
$$
(u\mid \Phi_E(f)v)=\int_{X}f(x)dE_{u,v}(x)\quad(\forall u\in \mathcal{H})
$$
を満たすものが一意的に定まる。そして $(3)$ より、
$$
\Phi_E(f)\colon D_E(f)\ni v\mapsto \Phi_E(f)v\in \mathcal{H}
$$
は線形作用素であり、$(2)$ より、
$$
\lVert\Phi_E(f)v\rVert\leq \left(\int_{X}\lvert f(x)\rvert^2dE_{v,v}(x)\right)^{\frac{1}{2}}\quad(\forall v\in D_E(f))
$$
である。よって任意の $v\in D_E(f)$ に対し、
$$
\lVert \Phi_E(f)v-\Phi_E(f_n)v\rVert=\lVert\Phi_E(f-f_n)v\rVert\leq\left(\int_{X}\lvert f(x)-f_n(x)\rvert^2dE_{v,v}(x)\right)^{\frac{1}{2}}\quad(\forall n\in\mathbb{N})
$$
であり、右辺はLebesgue優収束定理より $n\rightarrow\infty$ で $0$ に収束するので、
$$
\lVert\Phi_E(f)v\rVert=\lim_{n\rightarrow\infty}\lVert\Phi_E(f_n)v\rVert
$$
が成り立つ。ここで射影値測度による有界可測関数の積分の性質（'''定義6.5'''）より、任意の $n\in \mathbb{N}$ に対し、
$$
\lVert\Phi_E(f_n)v\rVert^2=\left(\int_{X}f_n(x)dE(x)v\mid \int_{X}f_n(x)dE(x)v\right)
=\left(v\mid \int_{X}\lvert f_n(x)\rvert^2dE(x)v\right)
=\int_{X}\lvert f_n(x)\rvert^2dE_{v,v}(x)
$$
であるから、単調収束定理より、
$$
\lVert\Phi_E(f)v\rVert^2=\lim_{n\rightarrow\infty}\lVert\Phi_E(f_n)v\rVert^2
=\lim_{n\rightarrow\infty}\int_{X}\lvert f_n(x)\rvert^2dE_{v,v}(x)
=\int_{X}\lvert f(x)\rvert^2dE_{v,v}(x)
$$
となる。
{{end|proof|}}

=== 定義6.7（射影値測度による可測関数の積分） ===
$\mathcal{H}$ をHilbert空間、$(X,\mathfrak{M})$ を可測空間、$E\colon\mathfrak{M}\rightarrow \mathbb{P}(\mathcal{H})$ を射影値測度、$f\colon X\rightarrow\mathbb{C}$ を任意の可測関数とする。このとき'''命題6.6'''より、
$$
D_E(f)\colon=\left\{v\in \mathcal{H}:\int_{X}\lvert f(x)\rvert^2dE_{v,v}(x)<\infty\right\}
$$
は $\mathcal{H}$ の稠密な線形部分空間である。そして、
$$
\left(u\mid \int_{X}f(x)dE(x)v\right)=\int_{X}f(x)dE_{u,v}(x)\quad(\forall u\in \mathcal{H},\forall v\in D_E(f))
$$
を満たす稠密に定義された線形作用素
$$
\int_{X}f(x)dE(x)\colon D_E(f) \ni v\mapsto \int_{X}f(x)dE(x)v\in\mathcal{H}
$$
が定まる。これを $f$ の $E$ による積分と言う。'''命題6.6'''の $(4)$ より、
$$
\left\lVert \int_{X}f(x)dE(x)v\right\rVert^2=\int_{X}\lvert f(x)\rvert^2dE_{v,v}(x)\quad(\forall v\in D_E(f))
$$
である。

=== 命題6.8（射影値測度による積分の基本性質） ===
$\mathcal{H}$ をHilbert空間、$(X,\mathfrak{M})$ を可測空間、$E\colon\mathfrak{M}\rightarrow \mathbb{P}(\mathcal{H})$ を射影値測度とする。このとき、
*$(1)$　任意の可測関数$f,g\colon X\rightarrow\mathbb{C}$ に対し、
$$
D\left(\int_{X}f(x)dE(x)\int_{X}g(x)dE(x)\right)=D_E(fg)\cap D_E(g),
$$
$$
\int_{X}f(x)dE(x)\int_{X}g(x)dE(x)\subset \int_{X}f(x)g(x)dE(x)
$$
が成り立つ。
*$(2)$　任意の可測関数 $f\colon X\rightarrow \mathbb{C}$ に対し、
$$
\int_{X}\overline{f(x)}dE(x)=\left(\int_{X}f(x)dE(x)\right)^*
$$
が成り立つ。
*$(3)$　任意の可測関数 $f\colon X\rightarrow\mathbb{C}$ に対し、
$$
\int_{X}f(x)dE(x)\colon D_E(f)\rightarrow \mathcal{H}
$$
は稠密に定義された閉線形作用素である。そして任意の可測関数 $f,g\colon X\rightarrow\mathbb{C}$ に対し、
$$
\overline{\int_{X}f(x)dE(x)+\int_{X}g(x)dE(x)}=\int_{X}f(x)+g(x)dE(x),
$$
$$
\overline{\int_{X}f(x)dE(x)\int_{X}g(x)dE(x)}=\int_{X}f(x)g(x)dE(x)
$$
が成り立つ。
*$(4)$　任意の可測関数 $f\colon X\rightarrow\mathbb{C}$ に対し、
$$
\left(\int_{X}f(x)dE(x)\right)^n=\int_{X}f(x)^ndE(x)\quad(\forall n\in\mathbb{N}),
$$
$$
\left(\int_{X}f(x)dE(x)\right)^*\left(\int_{X}f(x)dE(x)\right)=\int_{X}\lvert f(x)\rvert^2dE(x)
$$
が成り立つ。
*$(5)$　任意の可測関数 $f\colon X\rightarrow\mathbb{C}$ に対し、
$$
{\rm Ker}\left(\int_{X}f(x)dE(x)\right)={\rm Ran}E( (f=0))
$$
が成り立つ。そして、
$$
\int_{X}f(x)dE(x)\colon D_E(f)\rightarrow \mathcal{H}
$$
が単射、すなわち $E((f=0))=0$ であるとき、
$$
f^{-1}(x)=f(x)^{-1}\quad(\forall x\in X\backslash (f=0))
$$
なる任意の可測関数 $f^{-1}\colon X\rightarrow\mathbb{C}$ に対し、
$$
\left(\int_{X}f(x)dE(x)\right)^{-1}=\int_{X}f^{-1}(x)dE(x)
$$
が成り立つ。
{{begin |proof }}
*$(1)$　任意の $n\in \mathbb{N}$ に対し $f_n=f\chi_{(\lvert f\rvert\leq n)}$、$g_n=g\chi_{\lvert g\rvert\leq n}$ として有界可測関数の列 $(f_n)_{n\in\mathbb{N}}$、$(g_n)_{n\in\mathbb{N}}$ を定義する。任意の $u\in\mathcal{H}$ と任意の $v\in D_E(g)$ に対し、Lebesgue優収束定理より、
$$
\begin{aligned}
&\left(u\mid \int_{X}f_n(x)dE(x)\int_{X}g(x)dE(x)v\right)=\lim_{m\rightarrow\infty}\left(u\mid \int_{X}f_n(x)dE(x)\int_{X}g_m(x)dE(x)v\right)\\
&=\lim_{m\rightarrow\infty}\left(u\mid \int_{X}f_n(x)g_m(x)dE(x)v\right)
=\left(u\mid \int_{X}f_n(x)g(x)dE(x)v\right)
\end{aligned}
$$
であるから、
$$
\int_{X}f_n(x)dE(x)\int_{X}g(x)dE(x)v=\int_{X}f_n(x)g(x)dE(x)v\quad(\forall v\in D_E(g),\forall n\in\mathbb{N})
$$
である。よって任意の $v\in D_E(g)$ に対し、
$$
w:=\int_{X}g(x)dE(x)v\in \mathcal{H}
$$
とおけば、
$$
\int_{X}f_n(x)dE(x)w=\int_{X}f_n(x)g(x)dE(x)v\quad(\forall n\in\mathbb{N})
$$
であるから、ノルムの二乗を取れば、
$$
\int_{X}\lvert f_n(x)\rvert^2dE_{w,w}(x)=\int_{X}\lvert f_n(x)g(x)\rvert^2dE_{v,v}(x)\quad(\forall n\in \mathbb{N})
$$
となる。よって単調収束定理より、
$$
\int_{X}\lvert f(x)\rvert^2dE_{w,w}(x)=\int_{X}\lvert f(x)g(x)\rvert^2dE_{v,v}(x)
$$
となる。これが任意の $v\in D_E(g)$ に対して成り立つので、
$$
D\left(\int_{X}f(x)dE(x)\int_{X}g(x)dE(x)\right)=D_E(fg)\cap D_E(g)
$$
が成り立つ。そして任意の $v\in D_E(fg)\cap D_E(g)=D(\int_{X}f(x)dE(x)\int_{X}g(x)dE(x))$ と任意の $u\in \mathcal{H}$ に対し、Lebesgue優収束定理より、
$$
\begin{aligned}
&\left(u\mid \int_{X}f(x)dE(x)\int_{X}g(x)dE(x)v\right)=
\lim_{n\rightarrow\infty}\left(u\mid \int_{X}f_n(x)dE(x)\int_{X}g(x)dE(x)v\right)\\
&=\lim_{n\rightarrow\infty}\left(u\mid \int_{X}f_n(x)g(x)dE(x)v\right)=
\left(u\mid\int_{X}f(x)g(x)dE(x)v\right)
\end{aligned}
$$
となる。よって、
$$
\int_{X}f(x)dE(x)\int_{X}g(x)dE(x)\subset \int_Xf(x)g(x)dE(x)
$$
が成り立つ。
*$(2)$　有界可測関数の列 $f_n=f\chi_{(\lvert f\rvert\leq n)}$ $(\forall n\in \mathbb{N})$ を考える。任意の $u,v\in D_E(f)=D_E(\overline{f})$ に対し Lebesgue優収束定理より、
$$
\begin{aligned}
&\left(u\mid \int_{X}f(x)dE(x)v\right)=\lim_{n\rightarrow\infty}\left(u\mid \int_{X}f_n(x)dE(x)\right)\\
&=\lim_{n\rightarrow\infty}\left(\int_{X}\overline{f_n(x)}dE(x)u\mid v\right)
=\left(\int_{X}\overline{f(x)}dE(x)u\mid v\right)
\end{aligned}
$$
となるので、
$$
\int_{X}\overline{f(x)}dE(x)\subset \left(\int_{X}f(x)dE(x)\right)^*
$$
が成り立つ。逆の包含関係を示す。任意の
$$
v\in D\left(\left(\int_{X}f(x)dE(x)\right)^*\right)
$$
を取り、$v\in D_E(\overline{f})$ を示せばよい。まず $(1)$ より、
$$
\int_{X}f_n(x)dE(x)=\left(\int_{X}f(x)dE(x)\right)E( (\lvert f\rvert\leq n))\quad(\forall n\in\mathbb{N})
$$
であるから、'''命題3.9'''の $(9)$ より、
$$
E( (\lvert f\rvert\leq n))\left(\int_{X}f(x)dE(x)\right)^*\subset \left(\int_{X}f_n(x)dE(x)\right)^*=\int_{X}\overline{f_n(x)}dE(x)\quad(\forall n\in \mathbb{N})
$$
である。よって単調収束定理より、
$$
\begin{aligned}
&\int_{X}\lvert f(x)\rvert^2dE_{v,v}(x)=\sup_{n\in \mathbb{N}}\int_{X}\lvert f_n(x)\rvert^2dE_{v,v}(x)=\sup_{n\in\mathbb{N}}\left\lVert\int_{X}\overline{f_n(x)}dE(x)v\right\rVert^2\\
&=\sup_{n\in\mathbb{N}}\left\lVert E( (\lvert f\rvert\leq n))\left(\int_{X}f(x)dE(x)\right)^*v\right\rVert^2\leq \left\lVert \left(\int_{X}f(x)dE(x)\right)^*v\right\rVert^2<\infty
\end{aligned}
$$
であるから、$v\in D_E(\overline{f})$ である。
*$(3)$　任意の可測関数 $f\colon X\Rightarrow \mathbb{C}$ に対し $(2)$ より、
$$
\int_{X}f(x)dE(x)=\left(\int_{X}\overline{f(x)}dE(x)\right)^*
$$
であるから、'''命題3.9'''の $(6)$ より $\int_{X}f(x)dE(x)$ は閉線形作用素である。
任意の可測関数 $f,g\colon X\rightarrow\mathbb{C}$ に対し $D_E(f)\cap D_E(g)\subset D_E(f+g)$ であることと射影値測度による積分が閉線形作用素であることから、
$$
\overline{\int_{X}f(x)dE(x)+\int_{X}g(x)dE(x)}\subset \int_{X}f(x)+g(x)dE(x)
$$
が成り立つ。逆の包含関係を示す。
$$
B_n\colon=(\lvert f\rvert\leq n)\cap (\lvert g\rvert\leq n)\in \mathfrak{M}\quad(\forall n\in\mathbb{N})
$$
とおくと、SOTで $\lim_{n\rightarrow\infty}E(B_n)=1$ であるから、任意の $v\in D_E(f+g)$ に対しLebesgue優収束定理と $(1)$ より、
$$
\begin{aligned}
&\int_{X}f(x)+g(x)dE(x)v=\lim_{n\rightarrow\infty}\int_{X}(f(x)+g(x))\chi_{B_n}(x)dE(x)v\\
&=\lim_{n\rightarrow\infty}\left(\int_{X}f(x)\chi_{B_n}(x)dE(x)v+\int_{X}g(x)\chi_{B_n}(x)dE(x)v\right)\\
&=\lim_{n\rightarrow\infty}\left(\int_{X}f(x)dE(x)+\int_{X}g(x)dE(x)\right)E(B_n)v\\
&=\left(\overline{\int_{X}f(x)dE(x)+\int_{X}g(x)dE(x)}\right)v
\end{aligned}
$$
である。よって逆の包含関係が成り立つ。$(1)$ と射影値測度による積分が閉線形作用素であることから、
$$
\overline{\int_{X}f(x)dE(x)\int_{X}g(x)dE(x)}\subset \int_{X}f(x)g(x)dE(x)
$$
である。この逆の包含関係を示す。任意の $v\in D_E(fg)$ に対しLebesgue優収束定理と $(1)$ より、
$$
\begin{aligned}
&\int_{X}f(x)g(x)dE(x)v=\lim_{n\rightarrow\infty}\int_{X}f(x)g(x)\chi_{B_n}(x)dE(x)v\\
&=\lim_{n\rightarrow\infty}\int_{X}f(x)dE(x)\int_{X}g(x)\chi_{B_n}(x)dE(x)v\\
&=\lim_{n\rightarrow\infty}\int_{X}f(x)dE(x)\int_{X}g(x)dE(x)E(B_n)v\\
&=\left(\overline{\int_{X}f(x)dE(x)\int_{X}g(x)dE(x)}\right)v
\end{aligned}
$$
である。よって逆の包含関係が成り立つ。
*$(4)$　任意の $n\in \mathbb{N}$、$v\in D_E(f^n)$ に対し $E_{v,v}$ が有限測度であることから、Hölderの不等式より、
$$
\lvert f\rvert^2\in \mathcal{L}^n(X,\mathfrak{M},E_{v,v})\subset \mathcal{L}^1(X,\mathfrak{M},E_{v,v})
$$
である。よって、
$$
D_E(f^n)\subset D_E(f)\quad(\forall n\in\mathbb{N})
$$
が成り立つ。今、ある $n\in\mathbb{N}$ に対し、
$$
\left(\int_{X}f(x)dE(x)\right)^n=\int_{X}f(x)^ndE(x)\quad\quad(*)
$$
が成り立つと仮定すると、$(1)$ より、
$$
\left(\int_{X}f(x)dE(x)\right)^{n+1}=\int_{X}f(x)^ndE(x)\int_{X}f(x)dE(x)\subset \int_{X}f(x)^{n+1}dE(x)
$$
であり、$(1)$ と $D_E(f^{n+1})\subset D_E(f)$ より、
$$
D_E\left(\left(\int_{X}f(x)dE(x)\right)^{n+1}\right)=D_E(f^{n+1})\cap D_E(f)=D_E(f^{n+1})
$$
である。よって $(*)$ は $n+1$ の場合も成り立つので、帰納法より $(*)$ は任意の $n\in \mathbb{N}$ に対して成り立つ。また $(1),(2)$ より、
$$
\left(\int_{X}f(x)dE(x)\right)^*\left(\int_{X}f(x)dE(x)\right)
=\int_{X}\overline{f(x)}dE(x)\int_{X}f(x)dE(x)\subset \int_{X}\lvert f(x)\rvert^2dE(x)
$$
であり、$(1)$ と $D_E(\lvert f\rvert^2)\subset D_E(f)$ より、
$$
D_E\left(\left(\int_{X}f(x)dE(x)\right)^*\left(\int_{X}f(x)dE(x)\right)\right)
=D_E(\lvert f\rvert^2)\cap D_E(f)=D_E(\lvert f\rvert^2)
$$
であるから、$(\int_{X}f(x)dE(x))^*(\int_{X}f(x)dE(x))=\int_{X}\lvert f(x)\rvert^2dE(x)$ が成り立つ。

*$(5)$　任意の $v\in {\rm Ker}(\int_{X}f(x)dE(x))$ に対し、
$$
\int_{X}\lvert f(x)\rvert^2dE_{v,v}(x)=\left\lVert \int_{X}f(x)dE(x)v\right\rVert^2=0
$$
であるから、
$$
\lVert E( (\lvert f\rvert>0))v\rVert^2=E_{v,v}( (\lvert f\rvert>0))=0
$$
である。よって、
$$
v=E( (f=0))v+E( (\lvert f\rvert>0))v=E( (f=0))v\in {\rm Ran} E( (f=0))
$$
であるから ${\rm Ker}(\int_{X}f(x)dE(x))\subset {\rm Ran}E( (f=0))$ が成り立つ。また $(1)$ より、
$$
\int_{X}f(x)dE(x)E( (f=0))=\int_{X}f(x)\chi_{(f=0)}(x)dE(x)=0
$$
であるから ${\rm Ran}E( (f=0))\subset {\rm Ker}(\int_{X}f(x)dE(x))$ も成り立つ。
$\int_{X}f(x)dE(x)$ が単射、すなわち $E( (f=0))=0$ であるとし、$f^{-1}(x)=f(x)^{-1}$ $(\forall x\in X\backslash (f=0))$ なる可測関数 $f^{-1}:X\rightarrow \mathbb{C}$ を考えると、$(1)$ より、
$$
\int_{X}f(x)dE(x)\int_{X}f^{-1}(x)dE(x)\subset \int_{X}f(x)f^{-1}(x)dE(x)=E( (f\neq0))=E(X)=1,
$$
$$
D\left(\int_{X}f(x)dE(x)\int_{X}f^{-1}(x)dE(x)\right)=D_E(f^{-1})
$$
であるから、
$$
\int_{X}f(x)\int_{X}f^{-1}(x)dE(x)v=v\quad(\forall v\in D_E(f^{-1}))
$$
である。よって $\int_{X}f^{-1}(x)dE(x)\subset (\int_{X}f(x)dE(x))^{-1}$ が成り立つ。また $(1)$ より、
$$
\int_{X}f^{-1}(x)dE(x)\int_{X}f(x)dE(x)\subset \int_{X}f^{-1}(x)f(x)dE(x)=E( (f\neq0))=E(X)=1,
$$
$$
D\left(\int_{X}f^{-1}(x)dE(x)\int_{X}f(x)dE(x)\right)=D_E(f)
$$
であるから、
$$
\int_{X}f^{-1}(x)dE(x)\int_{X}f(x)dE(x)v=v\quad(\forall v\in D_E(f))
$$
が成り立つ。よって $(\int_{X}f(x)dE(x))^{-1}\subset \int_{X}f^{-1}(x)dE(x)$ も成り立つ。
{{end|proof|}}

=== 命題6.9（射影値測度のユニタリ作用素による変換） ===
$\mathcal{H},\mathcal{K}$ をHilbert空間、$U\colon\mathcal{H}\rightarrow \mathcal{K}$ をユニタリ作用素、$(X,\mathfrak{M})$ を可測空間、$E\colon\mathfrak{M}\rightarrow \mathbb{P}(\mathcal{H})$ を射影値測度とする。このとき、
$$
UEU^*\colon\mathfrak{M}\ni B\mapsto UE(B)U^*\in \mathbb{P}(\mathcal{K})
$$
は射影値測度であり、任意の可測関数 $f\colon X\rightarrow\mathbb{C}$ に対し、
$$
\int_{X}f(x)d(UEU^*)(x)=U\left(\int_{X}f(x)dE(x)\right)U^*\quad\quad(*)
$$
が成り立つ。
{{begin |proof }}
$UEU^*$ が射影値測度の定義('''定義6.2''')の条件を満たすことは容易に分かる。$(*)$ は $f\colon X\rightarrow \mathbb{C}$ が可測単関数である場合は明らかに成り立ち、有界可測関数は可測単関数により一様近似できること（[[測度と積分5：$L^p$ 空間の完備性と双対性]]の'''命題22.2'''）から、$f\colon X\rightarrow \mathbb{C}$ が有界可測関数の場合も $(*)$ は成り立つ。今、任意の可測関数 $f\colon X\rightarrow\mathbb{C}$ に対し、有界可測関数の列 $f_n\colon=f\chi_{(\lvert f\rvert\leq n)}$ $(\forall n\in \mathbb{N})$ を考えると、任意の $v\in \mathcal{K}$ に対し単調収束定理より、
$$
\begin{aligned}
\int_{X}\lvert f(x)\rvert^2d(UEU^*)_{v,v}(x)&=\sup_{n\in \mathbb{N}}\int_{X}\lvert f_n(x)\rvert^2d(UEU^*)_{v,v}(x)=\sup_{n\in\mathbb{N}}\left\lVert \int_{X}f_n(x)d(UEU^*)(x)v\right\rVert^2\\
&=\sup_{n\in\mathbb{N}}\left\lVert \left(\int_{X}f_n(x)dE(x)\right)U^*v\right\rVert^2
=\sup_{n\in\mathbb{N}}\int_{X}\lvert f_n(x)\rvert^2dE_{U^*v,U^*v}(x)\\
&=\int_{X}\lvert f(x)\rvert^2dE_{U^*v,U^*v}(x)
\end{aligned}
$$
であるから $D_{UEU^*}(f)=UD_E(f)$ が成り立つ。そして任意の $u\in \mathcal{H}$ と任意の $v\in D_{UEU^*}(f)$ に対しLebesgue優収束定理より、
$$
\begin{aligned}
&\left(u\mid \int_{X}f(x)d(UEU^*)(x)v\right)=\lim_{n\rightarrow\infty}\left(u\mid \left(\int_{X}f_n(x)d(UEU^*)(x)\right)v\right)\\
&=\lim_{n\rightarrow\infty}\left(u\mid U\left(\int_{X}f_n(x)dE(x)\right)U^*v\right)
=\left(u\mid U\left(\int_{X}f(x)dE(x)\right)U^*v\right)
\end{aligned}
$$
である。よって $(*)$ は任意の可測関数 $f:X\rightarrow \mathbb{C}$ に対して成り立つ。
{{end|proof|}}

=== 命題6.10 ===
$\mathcal{H}$ をHilbert空間、$(X,\mathfrak{M})$ を可測空間、$E\colon\mathfrak{M}\rightarrow \mathbb{P}(\mathcal{H})$ を射影値測度、$f\colon X\rightarrow\mathbb{C}$ を可測関数とする。このとき $\mathbb{C}$ の開集合 $U$ で $E(f^{-1}(U))=0$ を満たすもの全ての合併を $U_0$ とおけば $E(f^{-1}(U_0))=0$ が成り立つ。
{{begin |proof }}
任意の $v\in \mathcal{H}$ を取り、$\mathbb{C}$ 上の有限Borel測度
$$
\mathcal{B}_{\mathbb{C}}\ni B\mapsto E_{v,v}(f^{-1}(B))\in \mathbb{C}\quad\quad(*)
$$
を考える。$\mathbb{C}$ は第二可算局所コンパクトHausdorff空間であるから、[[測度と積分7：局所コンパクトHausdorff空間上のRadon測度]]の'''定理31.5'''より $(*)$ はRadon測度である。よって、
$$
E_{v,v}(f^{-1}(U_0))=\sup\{E_{v,v}(K):K\subset U_0\text{ はコンパクト}\}\quad\quad(**)
$$
が成り立つ。任意のコンパクト集合 $K\subset U_0$ を取る。$U_0$ の定義より $\mathbb{C}$ の有限個の開集合 $U_1,\ldots,U_n$ で、
$$
K\subset \bigcup_{k=1}^{n}U_k,\quad E_{v,v}(f^{-1}(U_k))=0\quad(k=1,\ldots,n)
$$
を満たすものが取れる。よって、
$$
E_{v,v}(f^{-1}(K))\leq \sum_{k=1}^{n}E_{v,v}(f^{-1}(U_k))=0
$$
より $E_{v,v}(f^{-1}(K))=0$ であるから、$K$ の任意性と $(**)$ より $E_{v,v}(f^{-1}(U_0))=0$ である。$v\in \mathcal{H}$ の任意性と偏極恒等式より、任意の $u,v\in \mathcal{H}$ に対し $E_{u,v}(U_0)=\frac{1}{4}\sum_{k=0}^{3}i^kE_{i^ku+v,i^ku+v}(U_0)=0$ であるから、$E(U_0)=0$ である。
{{end|proof|}}

=== 定義6.11（可測関数の射影値測度に関する本質的値域） ===
$\mathcal{H}$ をHilbert空間、$(X,\mathfrak{M})$ を可測空間、$E\colon\mathfrak{M}\rightarrow \mathbb{P}(\mathcal{H})$ を射影値測度、$f\colon X\rightarrow\mathbb{C}$ を可測関数とする。'''命題6.10'''より $E(f^{-1}(U))=0$ を満たす $\mathbb{C}$ の開集合 $U$ のうち最大のもの $U_0$ が存在する。そこで $\mathbb{C}$ の閉集合
$$
{\rm ess.Ran}_E(f)\colon=\mathbb{C}\backslash U_0
$$
を $f$ の $E$ に関する本質的値域と言う。${\rm ess.Ran}_E(f)$ は明らかに次のように特徴付けられる。
$$
{\rm ess.Ran}_E(f)=\{\lambda\in \mathbb{C}:\forall \epsilon\in(0,\infty),\text{ }E( (\lvert\lambda-f\rvert)<\epsilon)>0\}.
$$
ただし　$(\lvert \lambda-f\rvert<\epsilon)=\{x\in X:\lvert\lambda-f(x)\rvert<\epsilon \}=f^{-1}(B(\lambda,\epsilon))$ である。

=== 命題6.12（射影値測度による積分のスペクトルと本質的値域） ===
$\mathcal{H}$ をHilbert空間、$(X,\mathfrak{M})$ を可測空間、$E\colon \mathfrak{M}\rightarrow \mathbb{P}(\mathcal{H})$ を射影値測度、$f\colon X\rightarrow\mathbb{C}$ を可測関数とする。このとき $f$ の $E$ による積分 $\int_{X}f(x)dE(x)$ のスペクトルと、$f$ の $E$ に関する本質的値域は一致する。すなわち、
$$
\sigma\left(\int_{X}f(x)dE(x)\right)={\rm ess.Ran}_E(f)
$$
が成り立つ。
{{begin |proof }}
本質的値域の定義より、
$$
{\rm ess.Ran}_E(f)=\{\lambda\in \mathbb{C}:\forall \epsilon\in(0,\infty),\text{ }E( (\lvert\lambda-f\rvert)<\epsilon)>0\}\quad\quad(*)
$$
である。任意の $\lambda\in {\rm ess.Ran}_E(f)$ を取る。$(*)$ より各 $n\in \mathbb{N}$ に対し $E( (\lvert\lambda-f\rvert<\frac{1}{n}))>0$ であるので、単位ベクトル
$$
v_n\in {\rm Ran}E\left(\left(\lvert\lambda-f\rvert<\frac{1}{n}\right)\right)
$$
が取れる。そして'''命題6.8'''の $(1)$ より、
$$
\left(\lambda-\int_{X}f(x)dE(x)\right)E\left(\left(\lvert\lambda-f\rvert<\frac{1}{n}\right)\right)=\int_{X}(\lambda-f(x))\chi_{(\lvert\lambda-f\rvert<\frac{1}{n})}(x)dE(x)\in\mathbb{B}(\mathcal{H})
$$
であるから、$v_n\in D_E(\lambda-f)=D_E(f)$ であり、
$$
\left\lVert \left(\lambda-\int_{X}f(x)dE(x)\right)v_n\right\rVert
=\left\lVert\int_{X}(\lambda-f(x))\chi_{(\lvert\lambda-f\rvert<\frac{1}{n})}(x)dE(x)v_n\right\rVert\leq\frac{1}{n}
$$
である。よってもし $\lambda\notin \sigma(\int_{X}f(x)dE(x))$ ならば、任意の $n\in \mathbb{N}$ に対し、
$$
1=\lVert v_n\rVert=\left\lVert \left(\lambda-\int_{X}f(x)dE(x)\right)^{-1}\left(\lambda-\int_{X}f(x)dE(x)\right)v_n\right\rVert\leq \frac{1}{n}\left\lVert\left(\lambda-\int_{X}f(x)dE(x)\right)^{-1}\right\rVert
$$
となり矛盾する。ゆえに $\lambda\in \sigma(\int_{X}f(x)dE(x))$ である。これより、
$$
{\rm ess.Ran}_E(f)\subset \sigma\left(\int_{X}f(x)dE(x)\right)\quad\quad(**)
$$
が成り立つ。逆の包含関係を示す。そのためには $\lambda\notin {\rm ess.Ran}_E(f)$ なる任意の $\lambda\in \mathbb{C}$ を取り、$\lambda\notin \sigma(\int_{X}f(x)dE(x))$ が成り立つことを示せばよい。$(*)$ よりある $\epsilon\in(0,\infty)$ に対し、
$$
E( (\lvert\lambda-f\rvert<\epsilon))=0
$$
である。特に、
$$
E( (\lambda-f=0))\leq E( (\lvert\lambda-f\rvert<\epsilon))=0
$$
であるから、'''命題6.8'''の $(5)$ より、
$$
\lambda-\int_{X}f(x)dE(x)=\int_{X}\lambda-f(x)dE(x):D_E(f)\rightarrow\mathcal{H}\quad\quad(***)
$$
は単射である。今、可測関数 $g\colon X\rightarrow\mathbb{C}$ を、
$$
g(x)=\begin{cases}(\lambda-f(x))^{-1}&(\lvert\lambda-f(x)\rvert\geq\epsilon)\\
0&(\lvert\lambda-f(x)\rvert<\epsilon)\end{cases}
$$
とおくと $g$ は有界であり、'''命題6.8'''の $(1)$ より、
$$
\left(\lambda-\int_{X}f(x)dE(x)\right)\int_{X}g(x)dE(x)=\int_{X}(\lambda-f(x))g(x)dE(x)=E( (\lvert\lambda-f\rvert\geq\epsilon) )=1
$$
であるから $(***)$ は全射でもある。ゆえに $\lambda\notin \sigma(\int_{X}f(x)dE(x))$ であるから $(**)$ の逆の包含関係が成り立つ。
{{end|proof|}}

=== 系6.13 ===
$\mathcal{H}$ をHilbert空間、$X$ を位相空間、$E\colon\mathcal{B}_X\rightarrow \mathbb{P}(\mathcal{H})$ を射影値測度とし、任意の空でない開集合 $U\subset X$ に対し $E(U)>0$ が成り立つと仮定する。このとき任意の連続関数 $f\colon X\rightarrow\mathbb{C}$ に対し、
$$
\sigma\left(\int_{X}f(x)dE(x)\right)=\overline{f(X)}
$$
が成り立つ。
{{begin |proof }}
$f^{-1}(\mathbb{C}\backslash \overline{f(X)})=\emptyset$ であるから本質的値域の定義（'''定義6.10'''）より、
$$
{\rm ess.Ran}_E(f)\subset \overline{f(X)}
$$
である。逆の包含関係を示す。${\rm ess.Ran}_E(f)$ は閉集合であるので $f(X)\subset {\rm ess.Ran}_E(f)$ が成り立つことを示せばよい。そのためには、'''定義6.10'''の最後における ${\rm ess.Ran}_E(f)$ の特徴付けより、任意の $x_0\in X$ と任意の $\epsilon\in (0,\infty)$ に対し、
$$
E(\lvert f-f(x_0)\rvert<\epsilon)>0\quad\quad(*)
$$
が成り立つことを示せばよい。$f$ の $x_0\in X$ における連続性より、$x_0$ の開近傍 $U\subset X$ が存在し、
$$
U\subset (\lvert f-f(x_0)\rvert<\epsilon)
$$
となる。よって仮定より、
$$
0<E(U)\leq E( (\lvert f-f(x_0)\rvert<\epsilon))
$$
であるから、$(*)$ が成り立つ。
{{end|proof|}}

== 7. Radon射影値測度とRiesz-Markov-角谷の表現定理 ==

=== 定義7.1（局所コンパクトHausdorff空間上のRadon射影値測度） ===
$\mathcal{H}$ をHilbert空間、$X$ を局所コンパクトHausdorff空間、$E\colon\mathcal{B}_X\rightarrow\mathbb{P}(\mathcal{H})$ を射影値測度とする。任意の $u,v\in \mathcal{H}$ に対し複素数値Borel測度 $E_{u,v}\colon\mathcal{B}_X\ni B\mapsto (u\mid E(B)v)\in\mathbb{C}$ が複素数値Radon測度（[[測度と積分7：局所コンパクトHausdorff空間上のRadon測度]]の'''定義33.1'''）であるとき、$E$ をRadon射影値測度と言う。

=== 注意7.2（第二可算局所コンパクトHausdorff空間上の射影値Borel測度は自動的にRadon射影値測度） ===
$\mathcal{H}$ をHilbert空間、$X$ を第二可算局所コンパクトHausdorff空間、$E\colon\mathcal{B}_X\rightarrow\mathbb{P}(\mathcal{H})$ を射影値測度とする。このとき[[測度と積分7：局所コンパクトHausdorff空間上のRadon測度]]の'''注意33.2'''より、 $E$ は自動的にRadon射影値測度である。

=== 定理7.3（射影値測度に関するRiesz-Markov-角谷の表現定理） ===
$\mathcal{H}$ をHilbert空間、$X$ を局所コンパクトHausdorff空間、$\Phi\colon C_0(X)\rightarrow \mathbb{B}(\mathcal{H})$ を $*$-環準同型写像とし、
$$
\Phi(C_0(X))\mathcal{H}={\rm span}\{\Phi(f)v:f\in C_0(X),v\in \mathcal{H}\}\quad\quad(*)
$$
が $\mathcal{H}$ において稠密であるとする。（ただし $C_0(X)$ は $X$ 上の無限遠で消える連続関数全体に各点ごとの演算と $\sup$ ノルムを入れた可換 $C^*$-環である。）このときRadon射影値測度 $E\colon\mathcal{B}_X\rightarrow\mathbb{P}(\mathcal{H})$ で、
$$
\Phi(f)=\int_{X}f(x)dE(x)\quad(\forall f\in C_0(X))
$$
を満たすものが唯一つ存在する。
{{begin |proof }}
[[Banach環とC*-環のスペクトル理論]]の'''定理10.1'''より $\Phi$ はノルム減少であるから任意の $u,v\in \mathcal{H}$ に対し、
$$
C_0(X)\ni f\mapsto (u\mid \Phi(f)v)\in \mathbb{C}
$$
はノルムが $\lVert u\rVert\lVert v\rVert$ 以下の有界線形汎関数である。よってRiesz-Markov-角谷の表現定理（[[測度と積分7：局所コンパクトHausdorff空間上のRadon測度]]の'''定理30.4'''）より、任意の $u,v\in \mathcal{H}$ に対し複素数値Radon測度 $\nu_{u,v}\in M(X)$ で、
$$
\int_{X}f(x)d\nu_{u,v}(x)=(u\mid \Phi(f)v)\quad(\forall f\in C_0(X))\quad\quad(*)
$$
を満たすものが定まり、
$$
\mathcal{H}\times \mathcal{H}\ni (u,v)\mapsto \nu_{u,v}\in M(X)
$$
はノルムが $1$ 以下の有界準双線形写像である。今、$X\rightarrow\mathbb{C}$ の有界Borel関数全体に各点ごとの演算と $\sup$ ノルムを入れた可換 $C^*$-環を $\mathcal{L}_{\rm b}(X,{\cal B}_X)$ とおくと、任意の $f\in \mathcal{L}_{\rm b}(X,{\cal B}_X)$ に対し、
$$
\mathcal{H}\times \mathcal{H}\ni (u,v)\mapsto \int_{X}f(x)d\nu_{u,v}(x)\in \mathbb{C}
$$
はノルムが $f$ 以下の有界準双線形汎関数であるから、[[位相線形空間1：ノルムと内積]]の'''定理7.1'''より $\Psi(f)\in \mathbb{B}(\mathcal{H})$ で、
$$
\int_{X}f(x)d\nu_{u,v}(x)=(u\mid \Psi(f)v)\quad(\forall u,v\in \mathcal{H})\quad\quad(**)
$$
を満たすものが定まり、$\lVert \Psi(f)\rVert\leq \lVert f\rVert$ が成り立つ。こうしてノルム減少な線形写像
$$
\Psi:\mathcal{L}_{\rm b}(X,{\cal B}_X)\ni f\mapsto \Psi(f)\in \mathbb{B}(\mathcal{H})
$$
が定義できる。$(*),(**)$ より、
$$
\Psi(f)=\Phi(f)\quad(\forall f\in C_0(X))
$$
である。今、$\Psi$ が $*$-環準同型写像であることを示す。任意の $v\in \mathcal{H}$ に対し、
$$
(v\mid \Phi(f)v)=(\Phi(\sqrt{f})v\mid \Phi(\sqrt{f})v)\geq0\quad(\forall f\in C_{c,+}(X))
$$
であるから、Riesz-Markov-角谷の表現定理（[[測度と積分7：局所コンパクトHausdorff空間上のRadon測度]]の'''定理34.1'''）より $\nu_{v,v}$ は非負値測度である。よって任意の $f\in \mathcal{L}_{\rm b}(X,\mathcal{B}_X)$、任意の $v\in \mathcal{H}$ に対し、
$$
(v\mid \Psi(\overline{f})v)=\int_{X}\overline{f(x)}d\nu_{v,v}(x)=\overline{\int_{X}f(x)d\nu_{v,v}(x)}=\overline{(v\mid \Psi(f)v)}=(v\mid \Psi(f)^*v)
$$
であるから、偏極恒等式より、
$$
\Psi(\overline{f})=\Psi(f)^*\quad(\forall f\in \mathcal{L}_{\rm b}(X,\mathcal{B}_X))
$$
が成り立つ。ゆえに $\Psi$ は対合を保存する。$\Psi$ が乗法を保存すること、すなわち、
$$
\Psi(fg)=\Psi(f)\Psi(g)\quad(\forall f,g\in \mathcal{L}_{\rm b}(X,\mathcal{B}_X))\quad\quad(***)
$$
が成り立つことを示す。まず $\Phi\colon C_0(X)\rightarrow \mathbb{B}(\mathcal{H})$ は $*$-環準同型写像であるので任意の $f,g\in C_0(X)$、$u,v\in \mathcal{H}$ に対し、
$$
\int_{X}f(x)g(x)d\nu_{u,v}(x)=(u\mid \Phi(fg)v)=(u\mid \Phi(f)\Phi(g)v)=\int_{X}f(x)d\nu_{u,\Phi(g)v}(x)
$$
である。よって任意の $g\in C_0(X)$、$u,v\in \mathcal{H}$ に対し、
$$
(\nu_{u,v})_g\colon \mathcal{B}_X\ni B\mapsto \int_{B}g(x)d\nu_{u,v}(x)\in \mathbb{C}
$$
なる $(\nu_{u,v})_g\in M(X)$（$(\nu_{u,v})_g$ が複素数値Radon測度であることについては[[測度と積分7：局所コンパクトHausdorff空間上のRadon測度]]の'''命題33.4'''の $(3)$ を参照）を考えれば、任意の $f\in C_0(X)$ に対し、[[測度と積分4：測度論の基本定理(2)]]の'''命題19.6'''より、
$$
\int_{X}f(x)d(\nu_{u,v})_g(x)=\int_{X}f(x)g(x)d\nu_{u,v}(x)=\int_{X}f(x)d\nu_{u,\Phi(g)v}(x)
$$
である。よってRiesz-Markov-角谷の表現定理（[[測度と積分7：局所コンパクトHausdorff空間上のRadon測度]]の'''定理34.1'''）より、
$$
(\nu_{u,v})_g=\nu_{u,\Phi(g)v}\quad(\forall g\in C_0(X),\forall u,v\in \mathcal{H})\quad\quad(****)
$$
が成り立つ。次に任意の $f\in \mathcal{L}_{\rm b}(X,\mathcal{B}_X)$, $u,v\in {\cal H}$ に対し、
$$
(\nu_{u,v})_f:\mathcal{B}_X\ni B\mapsto \int_{B}f(x)d\nu_{u,v}(x)\in \mathbb{C}
$$
なる $(\nu_{u,v})_f\in M(X)$ を考えると、[[測度と積分4：測度論の基本定理(2)]]の'''命題19.6'''と $(****)$ より、任意の $g\in C_0(X)$ に対し、
$$
\begin{aligned}
\int_{X}g(x)d(\nu_{u,v})_f(x)&=\int_{X}f(x)g(x)d\nu_{u,v}(x)=\int_{X}f(x)d(\nu_{u,v})_g(x)
=\int_{X}f(x)d\nu_{u,\Phi(g)v}(x)
=(u\mid \Psi(f)\Phi(g)v)\\
&=(\Psi(f)^*u\mid \Phi(g)v)=\int_{X}g(x)d\nu_{\Psi(f)^*u,v}(x)
\end{aligned}
$$
が成り立つ。よってRiesz-Markov-角谷の表現定理（[[測度と積分7：局所コンパクトHausdorff空間上のRadon測度]]の'''定理34.1'''）より、
$$
(\nu_{u,v})_f=\nu_{\Psi(f)^*u,v}\quad(\forall f\in \mathcal{L}_{\rm b}(X,\mathfrak{M}),\forall u,v\in \mathcal{H})
$$
が成り立つ。ゆえに任意の $f,g\in \mathcal{L}_{\rm b}(X,\mathcal{B}_X)$、任意の $u,v\in \mathcal{H}$ に対し、[[測度と積分4：測度論の基本定理(2)]]の'''命題19.6'''より、
$$
\begin{aligned}
(u\mid \Psi(fg)v)&=\int_{X}f(x)g(x)d\nu_{u,v}(x)=\int_{X}g(x)d(\nu_{u,v})_f(x)=\int_{X}g(x)d\nu_{\Psi(f)^*u,v}(x)\\
&=(\Psi(f)^*u\mid\Psi(g)v)=(u\mid\Psi(f)\Psi(g)v)
\end{aligned}
$$
が成り立つので $(***)$ が成り立つ。これより $\Psi\colon\mathcal{L}_{\rm b}(X,\mathcal{B}_X)\rightarrow \mathbb{B}(\mathcal{H})$ は*-環準同型写像である。そして、
$$
\Psi(1)\Phi(f)v=\Psi(1)\Psi(f)v=\Psi(f)v=\Phi(f)v\quad(\forall f\in C_0(X),\forall v\in \mathcal{H})
$$
であり、$\Phi(C_0(X)){\cal H}$ は $\mathcal{H}$ で稠密であるので、$\Psi(1)=1$ である。任意の $B\in \mathcal{B}_X$ に対し $E(B)\colon=\Psi(\chi_B)$ とおけば、
$$
E(B)=\Psi(\chi_B)\in \mathbb{P}(\mathcal{H})\quad(\forall B\in\mathcal{B}_X),\quad
E(X)=1
$$
であり、
$$
(u\mid E(B)v)=(u\mid \Psi(\chi_B)v)=\nu_{u,v}(B)\quad(\forall B\in \mathcal{B}_X,\forall u,v\in \mathcal{H})
$$
であるから $E\colon\mathcal{B}_X\ni B\mapsto E(B)\in \mathbb{P}(\mathcal{H})$ はRadon射影値測度であり、任意の $f\in C_0(X)$、$u,v\in \mathcal{H}$ に対し、
$$
\left(u\mid \int_{X}f(x)dE(x)v\right)=\int_{X}f(x)dE_{u,v}(x)=\int_{X}f(x)d\nu_{u,v}(x)=(u\mid \Phi(f)v)
$$
であるので、
$$
\int_{X}f(x)dE(x)=\Phi(f)\quad(\forall f\in C_0(X))
$$
が成り立つ。これで存在が示せた。一意性を示す。$E'\colon\mathcal{B}_X\rightarrow\mathbb{P}(\mathcal{H})$ もRadon射影値測度であり、
$$
\int_{X}f(x)dE'(x)=\Phi(f)\quad(\forall f\in C_0(X))
$$
を満たすならば、任意の $u,v\in \mathcal{H}$ に対し、
$$
\int_{X}f(x)dE_{u,v}(x)=(u\mid \Phi(f)v)=\int_{X}f(x)dE'_{u,v}(x)\quad(\forall f\in C_0(X))
$$
であるから、Riesz-Markov-角谷の表現定理（[[測度と積分7：局所コンパクトHausdorff空間上のRadon測度]]の'''定理34.1'''）より $E_{u,v}=E'_{u,v}$ である。よって $E=E'$ である。これで一意性が示せた。
{{end|proof|}}

== 8. スペクトル測度、Borel汎関数計算 ==

=== 命題8.1（正規作用素に付随するスペクトル測度の一意存在） ===
$\mathcal{H}$ をHilbert空間とし、$T\in \mathbb{B}(\mathcal{H})$ を正規作用素とする。このとき射影値測度 $E^T\colon\mathcal{B}_{\sigma(T)}\rightarrow\mathbb{P}(\mathcal{H})$ で、
$$
T=\int_{\sigma(T)}\lambda dE^T(\lambda)
$$
を満たすものが唯一つ存在する。（'''注意7.2'''より$E^T$ は必然的にRadon射影値測度である。）そして、
$$
f(T)=\int_{\sigma(T)}f(\lambda)dE^T(\lambda)\quad(\forall f\in C(\sigma(T)))
$$
が成り立つ。ただし左辺は $T$ に関する連続汎関数計算（[[Banach環とC*-環のスペクトル理論]]の'''定義6.6'''）である。
{{begin |proof }}
連続汎関数計算
$$
C(\sigma(T))\ni f\mapsto f(T)\ni C^*(\{1,T\})\subset\mathbb{B}(\mathcal{H})
$$
は単位元を単位元に写す $*$-環準同型写像であるから、射影値測度に関するRiesz-Markov-角谷の表現定理（'''定理7.3'''）より、射影値測度 $E^T\colon \mathcal{B}_{\sigma(T)}\rightarrow \mathbb{P}(\mathcal{H})$ で、
$$
f(T)=\int_{\sigma(T)}f(\lambda)dE^T(\lambda)\quad(\forall f\in C(\sigma(T)))
$$
を満たすものが存在する。特に、
$$
T=\int_{\sigma(T)}\lambda dE^T(\lambda)
$$
である。よって存在が示せた。射影値測度 $E,F\colon\mathcal{B}_{\sigma(T)}\rightarrow\mathbb{P}(\mathcal{H})$ が、
$$
\int_{\sigma(T)}\lambda dE(\lambda)=T=\int_{\sigma(T)}\lambda dF(\lambda)
$$
を満たすとする。恒等写像 ${\rm id}\colon\sigma(T)\ni \lambda\mapsto \lambda\in \mathbb{C}$ に対し、Stone-Weierstrassの定理（[[測度と積分7：局所コンパクトHausdorff空間上のRadon測度]]の'''定理35.4'''）より、
$$
C(\sigma(T))=\overline{\text{span}\left\{\overline{\rm id}^n{\rm id}^m:n,m\in\mathbb{Z}_+\right\}}
$$
であるから、任意の $f\in C(\sigma(T))$ に対し、
$$
\int_{\sigma(T)}f(\lambda)dE(\lambda)=\int_{\sigma(T)}f(\lambda)dF(\lambda)
$$
が成り立つ。ここで $\sigma(T)$ は第二可算コンパクトHausdorff空間であるから'''注意7.2'''より $E,F\colon\mathcal{B}_{\sigma(T)}\rightarrow\mathbb{P}(\mathcal{H})$ は自動的にRadon射影値測度である。ゆえに'''定理7.3'''より $E=F$ である。これで一意性が示せた。
{{end|proof|}}

=== 定義8.2（正規作用素に付随するスペクトル測度） ===
Hilbert空間 $\mathcal{H}$ 上の正規作用素 $T\in \mathbb{B}(\mathcal{H})$ に対し、'''命題8.1'''における射影値測度 $E^T\colon \mathcal{B}_X\rightarrow \mathbb{P}(\mathcal{H})$ を、$T$ に付随するスペクトル測度と言う。

=== 定理8.3（自己共役作用素に付随するスペクトル測度の一意存在） ===
$\mathcal{H}$ をHilbert空間、$T$ を $\mathcal{H}$ 上の自己共役作用素とする。このとき射影値測度 $E^T\colon\mathcal{B}_{\sigma(T)}\rightarrow \mathbb{P}(\mathcal{H})$（'''定理5.7'''より $\sigma(T)$ は $\mathbb{R}$ の空でない閉集合であることに注意）で、
$$
T=\int_{\sigma(T)}\lambda dE^T(\lambda)
$$
を満たすものが唯一つ存在する。
{{begin |proof }}
$$
C\colon\mathbb{R}\ni t\mapsto (t-i)(t+i)^{-1}\in \mathbb{T}\backslash \{1\}\quad\quad(*)
$$
は同相写像であり、逆写像は、
$$
C^{-1}\colon\mathbb{T}\backslash \{1\}\ni \lambda\mapsto i(1+\lambda)(1-\lambda)^{-1}\in\mathbb{R}
$$
である。'''定理4.6'''より $T$ のCayley変換 $C(T)=(T-i)(T+i)^{-1}$ は $\mathcal{H}$ 上のユニタリ作用素であり、'''定理5.7'''より、
$$
C(\sigma(T))=\sigma(C(T))\backslash\{1\}\quad\quad(**)
$$
が成り立つ。$C(T)\in \mathbb{B}(\mathcal{H})$ はユニタリ作用素であるから正規作用素である。そこで $C(T)$ に付随するスペクトル測度（'''定義8.2'''）を、
$$
F\colon\mathcal{B}_{\sigma(C(T))}\rightarrow\mathbb{P}(\mathcal{H}),\quad
C(T)=\int_{\sigma(C(T))}\lambda dF(\lambda)
$$
とおく。'''命題4.5'''より、
$$
1-C(T)=\int_{\sigma(C(T))}(1-\lambda)dF(\lambda)
$$
は単射であるから、'''命題6.8'''の $(5)$ より、
$$
\{0\}={\rm Ker}(1-C(T))={\rm Ran} F(\{\lambda\in \sigma(C(T)):1-\lambda=0\})={\rm Ran}F(\sigma(C(T))\cap \{1\})
$$
である。よって $(**)$ より、
$$
F(C(\sigma(T)))=F(\sigma(C(T))\backslash\{1\})=F(\sigma(C(T)))=1
$$
である。これと $(*)$ が同相写像であることから、
$$
E\colon\mathcal{B}_{\sigma(T)}\ni B\mapsto F(C(B))\in \mathbb{P}(\mathcal{H})\quad\quad(***)
$$
は射影値測度である。今、任意のBorel関数 $f\colon\sigma(T)\rightarrow\mathbb{C}$ に対し、
$$
\int_{\sigma(T)}f(t)dE(t)=\int_{\sigma(C(T))\backslash \{1\}}f(C^{-1}(\lambda))dF(\lambda)\quad\quad(****)
$$
が成り立つことを示す。$E$ の定義より $f\colon\sigma(T)\rightarrow\mathbb{C}$ がBorel単関数である場合は明らかに成り立つ。また任意の有界Borel関数はBorel単関数の列により一様近似できる（[[測度と積分5：$L^p$ 空間の完備性と双対性]]の'''命題22.2'''）ので、$(****)$ は $f\colon\sigma(T)\rightarrow\mathbb{C}$ が有界Borel関数の場合も成り立つ。任意のBorel関数 $f\colon\sigma(T)\rightarrow\mathbb{C}$ に対し $f_n:=f\chi_{(\lvert f\rvert\leq n)}$ $(\forall n\in\mathbb{N})$ として有界Borel関数の列 $(f_n)_{n\in\mathbb{N}}$ を定義すると、単調収束定理より、任意の $v\in\mathcal{H}$ に対して、
$$
\begin{aligned}
\int_{\sigma(T)}\lvert f(t)\rvert^2dE_{v,v}(t)&=\sup_{n\in\mathbb{N}}\int_{\sigma(T)}\lvert f_n(t)\rvert^2dE_{v,v}(t)=\sup_{n\in\mathbb{N}}\int_{\sigma(C(T))\backslash\{1\}}\lvert f_n(C^{-1}(\lambda))\rvert^2dF_{v,v}(\lambda)\\
&=\int_{\sigma(C(T))\backslash\{1\}}\lvert f(C^{-1}(\lambda))\rvert^2dF_{v,v}(\lambda)
\end{aligned}
$$
となるから、$D_E(f)=D_F(f\circ C^{-1})$ である。よって任意の $v\in D_E(f)=D_F(f\circ C^{-1})$、任意の $u\in\mathcal{H}$ に対し、Lebesgue優収束定理より、
$$
\begin{aligned}
\left(u\mid \int_{\sigma(T)}f(t)dE(t)v\right)&=\lim_{n\rightarrow\infty}\left(u\mid \int_{\sigma(T)}f_n(t)dE(t)v\right)
=\lim_{n\rightarrow\infty}\left(u\mid \int_{\sigma(C(T))\backslash \{1\}}f_n(C^{-1}(\lambda))dF(\lambda)v\right)\\
&=\left(u\mid \int_{\sigma(C(T))\backslash \{1\}}f(C^{-1}(\lambda))dF(\lambda)v\right)
\end{aligned}
$$
となる。これより $(****)$ は任意のBorel関数 $f\colon\sigma(T)\rightarrow\mathbb{C}$ に対して成り立つ。'''命題4.5'''と'''命題6.8'''の $(1),(5)$ より、
$$
\begin{aligned}
T&=i(1+C(T))(1-C(T))^{-1}=i\int_{\sigma(\sigma(T))}(1+\lambda)dF(\lambda)\int_{\sigma(C(T))\backslash\{1\}}(1-\lambda)^{-1}dF(\lambda)\\
&\subset \int_{\sigma(C(T))\backslash\{1\}}i(1+\lambda)(1-\lambda)^{-1}dF(\lambda)
=\int_{\sigma(C(T))\backslash\{1\}}C^{-1}(\lambda)dF(\lambda)
=\int_{\sigma(T)}tdE(t)
\end{aligned}
$$
であるので、'''命題6.8'''の $(2)$ より、
$$
T\subset \int_{\sigma(T)}tdE(t)=\left(\int_{\sigma(T)}tdE(t)\right)^*\subset T^*=T
$$
である。ゆえに、
$$
T=\int_{\sigma(T)}tdE(t)
$$
が成り立つ。これで存在が示せた。一意性を示す。射影値測度 $E'\colon\mathcal{B}_{\sigma(T)}\rightarrow\mathbb{P}(\mathcal{H})$ も、
$$
T=\int_{\sigma(T)}tdE'(t)
$$
を満たすとし、$E'=E$（ただし $E$ は $(***)$ によって定義したもの）が成り立つことを示す。射影値測度
$$
F'\colon\mathcal{B}_{\sigma(C(T))}\ni B\mapsto E'(C^{-1}(B))\in\mathbb{P}(\mathcal{H})
$$
を考えると、$(****)$ を示したのと全く同様にして、任意のBorel関数 $g\colon\sigma(C(T))\rightarrow\mathbb{C}$ に対し、
$$
\int_{\sigma(C(T))}g(\lambda)dF'(\lambda)=\int_{\sigma(T)}g(C(t))dE'(t)
$$
が成り立つことが分かる。よって'''命題6.8'''の $(1),(5)$ より、
$$
\begin{aligned}
\int_{\sigma(C(T))}\lambda dF'(\lambda)&=\int_{\sigma(T)}C(t)dE'(t)
=\int_{\sigma(T)}(t-i)(t+i)^{-1}dE'(t)\\
&=\int_{\sigma(T)}(t-i)dE'(t)\int_{\sigma(T)}(t+i)^{-1}dE'(t)\\
&=(T-i)(T+i)^{-1}=C(T)
\end{aligned}
$$
となるので、$C(T)$ のスペクトル測度の一意性（'''命題8.1'''）より $F'=F$ である。ゆえに任意の $B\in \mathcal{B}_{\sigma(T)}$ に対し、
$$
E'(B)=E'(C^{-1}(C(B)))=F'(C(B))=F(C(B))=E(B)
$$
である。よって $E'=E$ であるので一意性が示せた。
{{end|proof|}}

=== 定義8.4（自己共役作用素に付随するスペクトル測度） ===
Hilbert空間 $\mathcal{H}$ 上の自己共役作用素 $T$ に対し、'''定理8.3'''における射影値測度 $E^T\colon\mathcal{B}_{\sigma(T)}\rightarrow\mathbb{P}(\mathcal{H})$ を、$T$ に付随するスペクトル測度と言う。

=== 定義8.5（Borel汎関数計算） ===
$T$ をHilbert空間 $\mathcal{H}$ 上の自己共役作用素か正規作用素とし、$E^T\colon\mathcal{B}_{\sigma(T)}\rightarrow\mathbb{P}(\mathcal{H})$ を $T$ に付随するスペクトル測度とする。このとき任意のBorel関数 $f\colon\sigma(T)\rightarrow\mathbb{C}$ に対し $f$ の $E^T$ による積分を、
$$
f(T)\colon=\int_{\sigma(T)}f(\lambda)dE^T(\lambda)
$$
と表す。$f\mapsto f(T)$ を $T$ に関するBorel汎関数計算と言う。'''命題8.1'''より、Borel汎関数計算は連続汎関数計算と矛盾しない。

=== 命題8.6 ===
$\mathcal{H}$ をHilbert空間、$(X,\mathfrak{M})$ を可測空間、$E\colon\mathfrak{M}\rightarrow\mathbb{P}(\mathcal{H})$ を射影値測度、$f\colon X\rightarrow\mathbb{R}$ を実数値可測関数とし、$\mathcal{H}$ 上の自己共役作用素
$$
T\colon=\int_{X}f(x)dE(x)\colon D_E(f)\rightarrow\mathcal{H}
$$
（自己共役作用素であることは'''命題6.8'''の $(2)$ による）を考える。このとき任意のBorel関数 $g\colon\sigma(T)\rightarrow\mathbb{C}$ に対し、
$$
g(T)=\int_{X}g(f(x))dE(x)
$$
が成り立つ。ただし右辺の被積分関数は $g\circ f\colon f^{-1}(\sigma(T))=f^{-1}({\rm ess.Ran}_E(f))\rightarrow\mathbb{C}$ である。（'''命題6.12'''より $\sigma(T)={\rm ess.Ran}_E(f)$ であること、および本質的値域の定義より $E(f^{-1}({\rm ess.Ran}_E(f)))=1$ であることに注意。）
{{begin |proof }}
$$
F\colon\mathcal{B}_{\sigma(T)}\ni B\mapsto E(f^{-1}(B))\in \mathbb{P}(\mathcal{H})\quad\quad(*)
$$
とおく。'''命題6.12'''より $\sigma(T)={\rm ess.Ran}_E(f)$ であるから、
$$
F(\sigma(T))=E(f^{-1}(\sigma(T)))=E(f^{-1}({\rm ess.Ran}_E(f)))=1
$$
である。よって $F$ は射影値測度である。任意のBorel関数 $g\colon\sigma(T)\rightarrow\mathbb{C}$ に対し、
$$
\int_{\sigma(T)}g(\lambda)dF(\lambda)=\int_{X}g(f(x))dE(x)\quad\quad(**)
$$
が成り立つことを示す。$(*)$ より $g$ がBorel単関数である場合は成り立つ。有界Borel関数はBorel単関数の列により一様近似できる（[[測度と積分5：$L^p$ 空間の完備性と双対性]]の'''命題22.2'''）ので、$(**)$ は $g$ が有界Borel関数の場合も成り立つ。任意のBorel関数 $g\colon\sigma(T)\rightarrow\mathbb{C}$ に対し、$g_n\colon=g\chi_{(\lvert g\rvert\leq n)}$ $(\forall n\in\mathbb{N})$ として $\sigma(T)$ 上の有界Borel関数の列 $(g_n)_{n\in\mathbb{N}}$ を定義すると、任意の $v\in\mathcal{H}$ に対し、単調収束定理より、
$$
\begin{aligned}
\int_{\sigma(T)}\lvert g(\lambda)\rvert^2dF_{v,v}(\lambda)
&=\sup_{n\in\mathbb{N}}\int_{\sigma(T)}\lvert g_n(\lambda)\rvert^2dF_{v,v}(\lambda)
=\sup_{n\in\mathbb{N}}\int_{X}\lvert g_n(f(x))\rvert^2dE_{v,v}(x)\\
&=\int_{X}\lvert g(f(x))\rvert^2dE_{v,v}(x)
\end{aligned}
$$
であるから、$D_F(g)=D_E(g\circ f)$ であり、任意の $v\in D_F(g)=D_E(g\circ f)$、任意の $u\in \mathcal{H}$ に対し、Lebesgue優収束定理より、
$$
\begin{aligned}
\left(u\mid \int_{\sigma(T)}g(\lambda)dF(\lambda)v\right)
&=\lim_{n\rightarrow\infty}\left(u\mid \int_{\sigma(T)}g_n(\lambda)dF(\lambda)v\right)
=\lim_{n\rightarrow\infty}\left(u\mid \int_{X}g_n(f(x))dE(x)v\right)\\
&=\left(u\mid \int_{X}g(f(x))dE(x)v\right)
\end{aligned}
$$
である。これより $(**)$ は任意のBorel関数 $g\colon\sigma(T)\rightarrow\mathbb{C}$ に対して成り立つ。よって特に、
$$
\int_{\sigma(T)}\lambda dF(\lambda)=\int_{X}f(x)dE(x)=T
$$
であるから、$F$ は $T$ のスペクトル測度である。よって任意のBorel関数 $g\colon\sigma(T)\rightarrow\mathbb{C}$ に対し、$(**)$ より、
$$
g(f(T))=\int_{\sigma(T)}g(\lambda)dF(\lambda)=\int_{X}g(f(x))dE(x)
$$
である。
{{end|proof|}}

=== 命題8.7（スペクトル測度とBorel汎関数計算の基本的性質） ===
$T$ をHilbert空間 $\mathcal{H}$ 上の自己共役作用素か正規作用素とし、$E^T\colon\mathcal{B}_\sigma(T)\rightarrow\mathbb{P}(\mathcal{H})$ を $T$ のスペクトル測度とする。このとき、
*$(1)$　任意のBorel関数 $f,g\colon\sigma(T)\rightarrow\mathbb{C}$ に対し、
$$
\overline{f}(T)=f(T)^*,\quad (f+g)(T)=\overline{f(T)+g(T)},\quad
(fg)(T)=\overline{f(T)g(T)}
$$
が成り立つ。
*$(2)$　任意のBorel関数 $f\colon\sigma(T)\rightarrow\mathbb{C}$ に対し、
$$
f(T)^*f(T)=\lvert f\rvert^2(T),\quad (f(T))^n=f^n(T)\quad(\forall n\in\mathbb{N})
$$
が成り立つ。
*$(3)$　任意のBorel関数 $f\colon\sigma(T)\rightarrow\mathbb{C}$ に対し、
$$
{\rm Ker}(f(T))={\rm Ran} E^T( (f=0))
$$
が成り立つ。また $f(T)$ が単射、すなわち $E^T( (f=0))=0$ であるとき、
$$
f^{-1}(\lambda)=f(\lambda)^{-1}\quad(\lambda\notin (f=0))
$$
を満たす任意のBorel関数 $f^{-1}:\sigma(T)\rightarrow\mathbb{C}$ に対し $f(T)^{-1}=f^{-1}(T)$ が成り立つ。
*$(4)$　$\sigma(T)$ の任意の空でない開集合 $U$ に対し $E^T(U)>0$ が成り立つ。
*$(5)$　$T$ の点スペクトル $\sigma_{\rm p}(T)$（$T$ の固有値全体）は、
$$
\sigma_{\rm p}(T)=\{\lambda\in \sigma(T):E^T(\{\lambda\})>0\}
$$
と表せる。そして $\lambda\in \sigma_{\rm p}(T)$ に対する固有空間は ${\rm Ker}(\lambda-T)={\rm Ran}E^T(\{\lambda\})$ である。
*$(6)$　$\sigma(T)$ の任意の孤立点<ref>$X$ を位相空間とする。$x\in X$ が $X$ の孤立点であるとは $\{x\}$ が $X$ の開集合であることを言う。</ref>は $T$ の固有値である。
*$(7)$　任意のBorel関数 $f\colon\sigma(T)\rightarrow\mathbb{C}$ に対し、
$$
\sigma(f(T))={\rm ess.Ran}_{E^T}(f)=\{\lambda\in\mathbb{C}:\forall\epsilon\in(0,\infty), E^T( (\lvert \lambda-f\rvert<\epsilon))>0\},
$$
$$
\sigma_{\rm p}(f(T))=\{\lambda\in \mathbb{C}:E^T( (f=\lambda))>0\}
$$
が成り立つ。
*$(8)$　任意の連続関数 $f\colon\sigma(T)\rightarrow\mathbb{C}$ に対し、
$$
\sigma(f(T))=\overline{f(\sigma(T))}
$$
が成り立つ。
*$(9)$　任意の実数値Borel関数 $f\colon\sigma(T)\rightarrow\mathbb{R}$ と複素数値Borel関数 $g\colon\sigma(f(T))\rightarrow\mathbb{C}$ に対し、
$$
g(f(T))=(g\circ f)(T)
$$
が成り立つ。ただし右辺の $g\circ f$ の定義域は $f^{-1}(\sigma(f(T)))=f^{-1}({\rm ess.Ran}_{E^T}(f))$ である。
{{begin |proof }}
*$(1)$　'''命題6.8'''の $(1),(2),(3)$ による。
*$(2)$　'''命題6.8'''の $(4)$ による。
*$(3)$　'''命題6.8'''の $(5)$ による。
*$(4)$　恒等写像 ${\rm id}\colon\sigma(T)\rightarrow\mathbb{C}$ に対し '''定理6.12'''より、
$$
\sigma(T)=\sigma\left(\int_{\sigma(T)}\lambda dE^T(\lambda)\right)
={\rm ess.Ran}_{E^T}({\rm id})=\{\lambda\in\mathbb{C}:\forall\epsilon\in(0,\infty),E^T( (\lvert\lambda-{\rm id}\rvert<\epsilon))>0\}
$$
である。$\sigma(T)$ の任意の空でない開集合 $U$ を取り、任意の $\lambda_0\in U$ を取る。$U$ が $\sigma(T)$ の開集合であることから、ある $\epsilon\in (0,\infty)$ に対し $(\lvert \lambda_0-{\rm id}\rvert<\epsilon)\subset U$ となる。よって、
$$
E^T(U)\geq E^T( (\lvert \lambda_0-{\rm id}\rvert<\epsilon))>0
$$
である。
*$(5)$　$\lambda\in\sigma(T)$ に対し'''命題6.8'''の $(5)$ より、
$$
{\rm Ker}(\lambda-T)={\rm Ran}E^T( (\lambda-{\rm id}=0))={\rm Ran}E^T(\{\lambda\})
$$
であるから、
$$
\sigma_{\rm p}(T)=\{\lambda\in\sigma(T):{\rm Ker}(\lambda-T)\neq\{0\}\}
=\{\lambda\in\sigma(T):E^T(\{\lambda\})>0\}
$$
である。
*$(6)$　$\lambda\in\sigma(T)$ が $\sigma(T)$ の孤立点であるならば、$\{\lambda\}$ は $\sigma(T)$ の開集合であるから、$(4)$ より $E^T(\{\lambda\})>0$ である。よって $(5)$ より $\lambda$ は $T$ の固有値である。
*$(7)$　'''定理6.12'''より、
$$
\sigma(f(T))=\sigma\left(\int_{\sigma(T)}f(\lambda)dE^T(\lambda)\right)
={\rm ess.Ran}_{E^T}(f)=\{\lambda\in\mathbb{C}:\forall\epsilon\in(0,\infty), E^T( (\lvert \lambda-f\rvert<\epsilon))>0\}
$$
である。また'''命題6.8'''の $(5)$ より、任意の $\lambda\in \mathbb{C}$ に対し ${\rm Ker}(\lambda-f(T))={\rm Ran}E^T( (f=\lambda))$ であるから、
$$
\sigma_{\rm p}(f(T))=\{\lambda\in \mathbb{C}:E^T( (f=\lambda))>0\}
$$
である。
*$(8)$　$(4)$ と'''系6.13'''による。
*$(9)$　'''命題8.6'''による。
{{end|proof|}}

=== 定義8.8（非負自己共役作用素） ===
$T$ をHilbert空間 $\mathcal{H}$ 上の自己共役作用素とする。$\sigma(T)\subset[0,\infty)$ であるとき $T$ を $\mathcal{H}$ 上の非負自己共役作用素と言う。この定義は有界非負自己共役作用素の定義（'''定義1.1'''）と矛盾しない。

=== 命題8.9（非負自己共役作用素の冪乗根の一意存在） ===
$T$ をHilbert空間 $\mathcal{H}$ 上の非負自己共役作用素とする。このとき任意の $n\in\mathbb{N}$ に対し $\mathcal{H}$ 上の非負自己共役作用素 $S$ で $S^n=T$ を満たすものが唯一つ存在し、
$$
S=\sqrt[n]{T}=\int_{\sigma(T)}\sqrt[n]{\lambda}dE^T(\lambda)
$$
である。
{{begin |proof }}
Borel汎関数計算により、
$$
\sqrt[n]{T}=\int_{\sigma(T)}\sqrt[n]{\lambda}dE^T(\lambda)
$$
を考えると、'''命題8.7'''の $(1),(8)$ より $\sqrt[n]{T}$ は非負自己共役作用素であり、'''命題8.7'''の $(2)$ より、
$$
(\sqrt[n]{T}))^n=\int_{\sigma(T)}(\sqrt[n]{\lambda})^ndE^T(\lambda)=\int_{\sigma(T)}\lambda dE^T(\lambda)=T
$$
である。また非負自己共役作用素 $S$ が $S^n=T$ を満たすとすると、'''命題8.7'''の $(2), (9)$ より、
$$
\sqrt[n]{T}=\sqrt[n]{S^n}=\int_{\sigma(S)}\sqrt[n]{\lambda^n}dE^S(\lambda)=\int_{\sigma(S)}\lambda dE^S(\lambda)=S
$$
である。
{{end|proof|}}

=== 命題8.10（非負自己共役作用素の特徴付け） ===
$T$ をHilbert空間 $\mathcal{H}$ 上の自己共役作用素とする。このとき次は互いに同値である。
*$(1)$　$T$ は $\mathcal{H}$ 上の非負自己共役作用素である。
*$(2)$　任意の $v\in D(T)$ に対し $(v\mid Tv)\geq0$ が成り立つ。
{{begin |proof }}
$(1)\Rightarrow(2)$ を示す。$(1)$ が成り立つとすると、$T=\sqrt{T}^2$ であるから、任意の $v\in D(T)$ に対し、
$$
(v\mid Tv)=(\sqrt{T}v\mid \sqrt{T}v)=\lVert \sqrt{T}v\rVert^2\geq0
$$
である。よって $(2)$ が成り立つ。 
$(2)\Rightarrow(1)$ を示す。$(2)$ が成り立つとする。任意の $\lambda\in \sigma(T)$ を取る。このとき任意の $\epsilon\in (0,\infty)$ に対し $v_{\epsilon}\in D(T)$ で、$\lVert (\lambda-T)v_{\epsilon}\rVert<\epsilon\lVert v_{\epsilon}\rVert$ を満たすものが存在する。実際、もしある $\epsilon_0\in (0,\infty)$ に対し、
$$
\lVert (\lambda-T)v\rVert\geq\epsilon_0\lVert v\rVert\quad(\forall v\in D(T))\quad\quad(*)
$$
が成り立つとすると、${\rm Ker}(\lambda-T)=\{0\}$ であり、$\lambda-T$ が閉線形作用素であることと $(*)$ より ${\rm Ran}(\lambda-T)$ は $\mathcal{H}$ の閉部分空間である。よって'''命題3.9'''の $(5)$ より、
$$
{\rm Ran}(\lambda-T)=( ({\rm Ran}(\lambda-T))^{\perp})^{\perp}=({\rm Ker}(\lambda-T))^{\perp}=\mathcal{H}
$$
であるから、$\lambda-T\colon D(T)\rightarrow\mathcal{H}$ は全単射であることになる。これは $\lambda\in \sigma(T)$ であることに矛盾する。ゆえに任意の $\epsilon\in (0,\infty)$ に対し $v_{\epsilon}\in D(T)$ で、$\lVert (\lambda-T)v_{\epsilon}\rVert<\epsilon\lVert v_{\epsilon}\rVert$ を満たすものが取れる。今、$\lambda\geq0$ であることを示す。もし $\lambda<0$ ならば、任意の $\epsilon\in (0,\infty)$ に対し $-\lambda(v_{\epsilon}\mid Tv_{\epsilon})\geq0$ であるから、
$$
\epsilon^2\lVert v_{\epsilon}\rVert^2>\lVert (\lambda-T)v_{\epsilon}\rVert^2
=\lambda^2\lVert v_{\epsilon}\rVert^2-2\lambda(v_{\epsilon}\mid Tv_{\epsilon})+\lVert Tv_{\epsilon}\rVert^2\geq \lambda^2\lVert v_{\epsilon}\rVert^2
$$
となる。よって任意の $\epsilon\in (0,\infty)$ に対し $\epsilon>\lvert\lambda\rvert$ となる。これは $\lambda=0$ を意味するので、$\lambda<0$ であることに矛盾する。ゆえに $\lambda\geq0$ である。こうして任意の $\lambda\in \sigma(T)$ に対し $\lambda\geq0$ であるから $\sigma(T)\subset [0,\infty)$ であるので、$T$ は非負自己共役作用素である。
{{end|proof|}}

== 9. 稠密に定義された閉線形作用素の極分解 ==

=== 定義9.1（稠密に定義された閉線形作用素の絶対値作用素） ===
$T$ をHilbert空間 $\mathcal{H}$ 上の稠密に定義された閉線形作用素とする。このとき'''定理3.10'''より $T^*T$ は $\mathcal{H}$ 上の自己共役作用素であり、任意の $v\in D(T^*T)$ に対し、
$$
(v\mid T^*Tv)=(Tv\mid Tv)=\lVert Tv\rVert^2\geq0
$$
であるから、'''命題8.10'''より $T^*T$ は非負自己共役作用素である。そこで $\mathcal{H}$ 上の非負自己共役作用素 $\lvert T\rvert$ を、
$$
\lvert T\rvert\colon=\sqrt{T^*T}
$$
として定義する。これを $T$ の絶対値作用素と呼ぶ。

=== 定義9.2（自己共役作用素の台射影作用素） ===
$T$ を $\mathcal{H}$ 上の自己共役作用素とする。$\mathcal{H}$ の閉部分空間 $\overline{{\rm Ran}(T)}$ の上への射影作用素（'''定義1.6'''）を $S(T)$ と表す。$S(T)$ を $T$ の台射影作用素と呼ぶ。

=== 命題9.3（台射影作用素の特徴付け） ===
Hilbert空間 $\mathcal{H}$ 上の自己共役作用素 $T$ に対し、$T$ の台射影作用素 $S(T)$ は、$\{P\in \mathbb{P}(\mathcal{H}):PT=T\}$ の最小元である。
{{begin |proof }}
${\rm Ran}(S(T))=\overline{{\rm Ran}(T)}$ なので、$S(T)Tv=Tv$ $(\forall v\in D(T))$、よって $S(T)T=T$ である。$PT=T$ なる任意の射影作用素 $P$ に対し、
$$
{\rm Ran}(S(T))=\overline{{\rm Ran}(T)}\subset {\rm Ran}(P)
$$
であるから、$S(T)=PS(T)=PS(T)P\leq P$ である。
{{end|proof|}}

=== 定理9.4（稠密に定義された閉線形作用素の極分解） ===
$T$ をHilbert空間 $\mathcal{H}$ 上の稠密に定義された閉線形作用素とする。このとき $T$ の絶対値作用素 $\lvert T\rvert$ と $\lvert T\rvert$ の台射影作用素 $S(\lvert T\rvert)$ に対し、部分等長作用素 $V\in \mathbb{B}(\mathcal{H})$（'''定義1.1'''）で、
$$
V^*V=S(\lvert T\rvert),\quad T=V\lvert T\rvert
$$
を満たすものが唯一つ存在する。この $T=V\lvert T\rvert$ なる分解を $T$ の極分解と言う。
{{begin |proof}}
$T^*T=\lvert T\rvert^2$ であるから、'''定理3.10'''の $(1)$ より $D(T^*T)=D(\lvert T\rvert^2)$ は、$T,\lvert T\rvert$ の共通の芯である。
$$
D\colon=D(T^*T)=D(\lvert T\rvert^2)
$$
とおく。任意の $v\in D$ に対し、
$$
\lVert Tv\rVert^2=(Tv\mid Tv)=(v\mid T^*Tv)=(v\mid \lvert T\rvert^2v)=(\lvert T\rvert v\mid \lvert T\rvert v)=\lVert \lvert T\rvert v\rVert^2
$$
であるから、
$$
V_0\colon\lvert T\rvert(D)\ni \lvert T\rvert v\mapsto Tv\in \mathcal{H}
$$
なる等長線形作用素が定義できる。[[位相線形空間1：ノルムと内積]]の'''命題3.6'''より $V_0$ は等長線形作用素
$$
V_1\colon\overline{{\rm Ran}(\lvert T\rvert)}=\overline{\lvert T\rvert(D)}\rightarrow\mathcal{H}
$$
に一意拡張できる。（$\overline{{\rm Ran}(\lvert T\rvert)}=\overline{\lvert T\rvert(D)}$ であることは $D$ が $\lvert T\rvert$ の芯であることによる。）そこでHilbert空間 $\mathcal{H}$ の直交分解
$$
\mathcal{H}=\overline{{\rm Ran}(\lvert T\rvert)}\oplus ({\rm Ran}(\lvert T\rvert))^{\perp}\quad\quad(*)
$$
を考えて、
$$
V\colon\mathcal{H}=\overline{{\rm Ran}(\lvert T\rvert)}\oplus ({\rm Ran}(\lvert T\rvert))^{\perp}\ni v+u\mapsto V_1v\in \mathcal{H}
$$
として $V\in \mathbb{B}(\mathcal{H})$ を定義する。このとき、
$$
\lVert Vv\rVert=\lVert v\rVert\quad(\forall v\in \overline{{\rm Ran}(\lvert T\rvert)}),\quad Vu=0\quad(\forall u\in ({\rm Ran}(\lvert T\rvert))^{\perp})
$$
であるから、'''命題1.7'''より $V$ は部分等長作用素で、$V^*V$ は $\overline{{\rm Ran}(\lvert T\rvert)}$ の上への射影作用素、すなわち $V^*V=S(\lvert T\rvert)$ である。そして、
$$
V\lvert T\rvert v=V_1\lvert T\rvert v=V_0\lvert T\rvert v=Tv\quad(\forall v\in D)\quad\quad(**)
$$
である。任意の $v\in D(\lvert T\rvert)$ を取る。$D$ は $\lvert T\rvert$ の芯であるので $D$ の点列 $(v_n)_{n\in \mathbb{N}}$ で、
$$
(v_n,\lvert T\rvert v_n)\rightarrow (v,\lvert T\rvert v)\quad(n\rightarrow\infty)
$$
なるものが取れる。$(**)$ と $V_0$ が等長線形作用素であることから、
$$
\lVert Tv_n-Tv_m\rVert=\lVert V_0\lvert T\rvert v_n-V_0\lvert T\rvert v_m\rVert
=\lVert \lvert T\rvert v_n-\lvert T\rvert v_m\rVert\rightarrow0\quad(n,m\rightarrow\infty)
$$
である。よって $(T v_n)_{n\in \mathbb{N}}$ は収束するので、$T$ が閉であることから、
$$
(v_n,T v_n)\rightarrow (v,T v)\quad(n\rightarrow\infty)
$$
である。これより、
$$
V\lvert T\rvert v=\lim_{n\rightarrow\infty}V\lvert T\rvert v_n=\lim_{n\rightarrow\infty} Tv_n=Tv
$$
であるから $V\lvert T\rvert\subset T$ が成り立つ。逆の包含関係を示す。任意の $v\in D(T)$ を取り、$v\in D(\lvert T\rvert)$ が成り立つことを示せばよい。$D$ は $T$ の芯であるので、$D$ の点列 $(v_n)_{n\in \mathbb{N}}$ で、
$$
(v_n,Tv_n)\rightarrow (v,Tv)\quad(n\rightarrow\infty)
$$
なるものが取れる。$(**)$ と $V_0$ が等長線形作用素であることから、
$$
\lVert \lvert T\rvert v_n-\lvert T\rvert v_m\rVert
=\lVert V_0\lvert T\rvert v_n-V_0\lvert T\rvert v_m\rVert
=\lVert Tv_n-Tv_m\rVert\rightarrow0\quad(n,m\rightarrow\infty)
$$
である。よって $(\lvert T\rvert v_n)_{n\in \mathbb{N}}$ は収束するので、$\lvert T\rvert$ が閉であることから、
$$
(v_n,\lvert T\rvert v_n)\rightarrow (v,\lvert T\rvert v)\quad(n\rightarrow\infty)
$$
である。これより $v\in D(\lvert T\rvert)$ であるから $V\lvert T\rvert=T$ が成り立つ。以上で存在が示せた。~
一意性を示す。$V,W\in \mathbb{B}(\mathcal{H})$ がそれぞれ部分等長作用素であり、
$$
V^*V=S(\lvert T\rvert)=W^*W,\quad V\lvert T\rvert=T=W\lvert T\rvert
$$
を満たすとする。'''命題1.7'''より、
$$
Vu=Wu=0\quad(\forall u\in ({\rm Ran}(\lvert T\rvert))^{\perp})
$$
である。また、
$$
V\lvert T\rvert v=Tv=W\lvert T\rvert v\quad(\forall v\in \mathcal{H})
$$
であるから、$V$ と $W$ は ${\rm Ran}(\lvert T\rvert)$ 上で一致する。$V,W$ の連続性より $V,W$ は $\overline{{\rm Ran}(\lvert T\rvert)}$ 上でも一致するから、$(*)$ より $V=W$ である。
{{end|proof|}}

=== 定理9.5（稠密に定義された閉線形作用素の共役作用素の極分解） ===
$T$ をHilbert空間 $\mathcal{H}$ 上の稠密に定義された閉線形作用素とし、$T$ の極分解
$$
T=V\lvert T\rvert,\quad V^*V=S(\lvert T\rvert)
$$
を考える。このとき $T^*$（'''定理3.10'''より $T^*$ も稠密に定義された閉線形作用素である）の極分解は、
$$
T^*=V^*\lvert T^*\rvert,\quad VV^*=S(\lvert T^*\rvert)
$$
である。（[[Banach環とC*-環のスペクトル理論]]の'''命題8.5'''より $V^*$ は部分等長作用素であることに注意。）
{{begin |proof }}
'''定理3.10'''の $(3)$ より $T=T^{**}$ であるから、
$$
\lvert T^*\rvert=\sqrt{TT^*}
$$
である。$V^*V=S(\lvert T\rvert)$ より $V^*V\lvert T\rvert=\lvert T\rvert$ であり、'''命題3.9'''の $(9)$ より、$T^*=(V\lvert T\rvert)^*=\lvert T\rvert V^*$ であるから、
$$
(V\lvert T\rvert V^*)(V\lvert T\rvert V^*)=(V\lvert T\rvert)(V^*V\lvert T\rvert V^*)
=(V\lvert T\rvert)(\lvert T\rvert V^*)=TT^*=\lvert T^*\rvert^2\quad\quad(*)
$$
である。そして'''命題3.9'''の $(9)$ より、
$$
(V\lvert T\rvert V^*)^*=(VT^*)^*=T^{**}V^*=TV^*=V\lvert T\rvert V^*
$$
であるから $V\lvert T\rvert V^*$ は自己共役作用素であり、
$$
(v\mid V\lvert T\rvert V^*v)=(V^*v\mid \lvert T\rvert V^*v)\geq0\quad(\forall v\in D(V\lvert T\rvert V^*))
$$
であるから、'''命題8.10'''より $V\lvert T\rvert V^*$ は非負自己共役作用素である。よって $(*)$ と'''命題8.9'''より、
$$
\lvert T^*\rvert=V\lvert T\rvert V^*\quad\quad(**)
$$
が成り立つ。これより、
$$
V^*\lvert T^*\rvert=V^*V\lvert T\rvert V^*=\lvert T\rvert V^*=(V\lvert T\rvert)^*=T^*
$$
であり、
$$
VV^*\lvert T^*\rvert=VT^*=V\lvert T\rvert V^*=\lvert T^*\rvert
$$
である。よって'''命題9.3'''より、
$$
S(\lvert T^*\rvert)\leq VV^*
$$
が成り立つ。この逆の不等式を示す。
$$
\lvert T^*\rvert=S(\lvert T^*\rvert)\lvert T^*\rvert
$$
であるから、$(**)$ より、
$$
V\lvert T\rvert V^*=S(\lvert T^*\rvert)V\lvert T\rvert V^*\quad\quad(***)
$$
である。
$$
\lvert T\rvert=\lvert T\rvert^*=(V^*V\lvert T\rvert)^*=\lvert T\rvert V^*V
$$
であるから $(***)$ の両辺に右から $V$ を掛ければ、
$$
V\lvert T\rvert=S(\lvert T^*\rvert)V\lvert T\rvert
$$
を得る。ゆえに、
$$
VS(\lvert T\rvert)=S(\lvert T^*\rvert)VS(\lvert T\rvert)
$$
が成り立つ。$VS(\lvert T\rvert)=VV^*V=V$ より、
$$
V=S(\lvert T^*\rvert)V
$$
であり、両辺に右から $V^*$ を掛けて、
$$
VV^*=S(\lvert T^*\rvert)VV^*
$$
を得る。これより、
$$
VV^*=S(\lvert T^*\rvert)VV^*=S(\lvert T^*\rvert)VV^*S(\lvert T^*\rvert)\leq S(\lvert T^*\rvert)
$$
であるから、$VV^*=S(\lvert T^*\rvert)$ が成り立つ。
{{end|proof|}}

=== 命題9.6（射影値測度による積分の極分解） ===
$\mathcal{H}$ をHilbert空間、$(X,\mathfrak{M})$ を可測空間、$E\colon\mathfrak{M}\rightarrow \mathbb{P}(\mathcal{H})$ を射影値測度、$f\colon X\rightarrow\mathbb{C}$ を可測関数とし、$\mathcal{H}$ 上の稠密に定義された閉線形作用素
$$
T\colon=\int_{X}f(x)dE(x):D_E(f)\rightarrow\mathcal{H}
$$
を考える。このとき、
$$
\lvert T\rvert=\int_{X}\lvert f(x)\rvert dE(x)
$$
である。そして、
$$
\omega(x)\colon=\left\{\begin{array}{cl}\frac{f(x)}{\lvert f(x)\rvert}&(f(x)\neq0)\\0&(f(x)=0)\end{array}\right.
$$
なる有界可測関数 $\omega\colon X\rightarrow\mathbb{C}$ に対し、
$$
V\colon=\int_{X}\omega(x)dE(x)\in \mathbb{B}(\mathcal{H})
$$
を定義すると、
$$
T=V\lvert T\rvert,\quad V^*V=S(\lvert T\rvert)
$$
が成り立つ。すなわち $T=V\lvert T\rvert$ は $T$ の極分解である。
{{begin |proof }}
'''命題6.8'''の $(4)$ より、
$$
T^*T=\int_{X}\lvert f(x)\rvert^2dE(x)
$$
であるから、'''命題8.6'''より、
$$
\lvert T\rvert=\sqrt{T^*T}=\int_{X}\sqrt{\lvert f(x)\rvert^2}dE(x)=\int_{X}\lvert f(x)\rvert dE(x)
$$
である。また'''命題6.8'''の $(1)$ より、
$$
V\lvert T\rvert=\int_{X}\omega(x)\lvert f(x)\rvert dE(x)=\int_{X}f(x)dE(x)=T
$$
であり、
$$
V^*V=\int_{X}\lvert \omega(x)\rvert^2dE(x)=E( (f\neq 0))
$$
である。台射影作用素 $S(\lvert T\rvert)$ は閉部分空間 $\overline{{\rm Ran}(\lvert T\rvert)}$ の上への射影作用素であるから、$1-S(\lvert T\rvert)$ は、
$$
({\rm Ran}(\lvert T\rvert))^{\perp}={\rm Ker}(\lvert T\rvert)={\rm Ker}\left(\int_{X}\lvert f(x)\rvert dE(x)\right)={\rm Ran}E( (f=0))
$$
（三番目の等号は'''命題6.8'''の $(5)$ による）の上への射影作用素である。よって $1-S(\lvert T\rvert)=E( (f=0))$ であるから、
$$
S(\lvert T\rvert)=1-E( (f=0))=E( (f\neq 0)),
$$
ゆえに $V^*V=S(\lvert T\rvert)$ である。
{{end|proof|}}

=== 系9.7（Borel汎関数計算の極分解） ===
$T$ をHilbert空間 $\mathcal{H}$ 上の自己共役作用素か正規作用素とする。そしてBorel関数 $f\colon\sigma(T)\rightarrow\mathbb{C}$ に対し、
$$
\omega(\lambda)\colon=\left\{\begin{array}{cl}\frac{ f(\lambda)}{\lvert f(\lambda)\rvert}&(f(\lambda)\neq0)\\0&(f(\lambda)=0)\end{array}\right.
$$
なる有界Borel関数 $\omega\colon\sigma(T)\rightarrow\mathbb{C}$ を定義する。このときBorel汎関数計算 $f(T)$ の極分解を $f(T)=V\lvert f(T)\rvert$ とすると、
$$
\lvert f(T)\rvert=\lvert f\rvert(T),\quad V=\omega(T)
$$
が成り立つ。

== 10. 掛け算作用素 ==

=== 命題10.1（掛け算作用素の定義の前） ===
$(X,\mathfrak{M},\mu)$ を測度空間とし、任意の $B\in \mathfrak{M}$ に対しHilbert空間 $L^2(X,{\frak M},\mu)$ 上の射影作用素
$$
E^{\mu}(B)\colon L^2(X,\mathfrak{M},\mu)\ni [f]\mapsto [\chi_Bf]\in L^2(X,{\frak M},\mu)
$$
を考える。このとき、
$$
E^{\mu}:{\frak M}\ni B\mapsto E^{\mu}(B)\in \mathbb{P}(L^2(X,{\frak M},\mu))
$$
は射影値測度（'''定義6.2'''）である。そして任意の可測関数 $f\colon X\rightarrow\mathbb{C}$ に対し、$f$ の $E_{\mu}$ による積分（'''定義6.7'''）の定義域は、
$$
D_{E^{\mu}}(f)=\{[g]\in L^2(X,\mathfrak{M},\mu):[fg]\in L^2(X,\mathfrak{M},\mu)\}
$$
であり、
$$
\int_{X}f(x)dE^{\mu}(x)[g]=[fg]\quad(\forall [g]\in D_{E_{\mu}}(f))\quad\quad(*)
$$
が成り立つ。
{{begin |proof }}
任意の $[f],[g]\in L^2(X,\mathfrak{M},\mu)$ に対し $[\overline{f}g]\in L^1(X,\mathfrak{M},\mu)$ であるから、
$$
\mathfrak{M}\ni B\mapsto E^{\mu}_{[f],[g]}(B)=([f]\mid E^{\mu}(B)[g])=\int_{B}\overline{f(x)}g(x)d\mu(x)\in\mathbb{C}
$$
は複素数値測度である。よって $E^{\mu}$ は射影値測度である。任意の可測単関数 $f\colon X\rightarrow\mathbb{C}$ に対し明らかに、
$$
\int_{X}f(x)dE^{\mu}(x)[g]=[fg]\quad(\forall [g]\in L^2(X,\mathfrak{M},\mu))\quad\quad(**)
$$
が成り立つ。有界可測関数は可測単関数列によって一様近似できる（[[測度と積分5：$L^p$ 空間の完備性と双対性]]の'''命題22.2'''）ので、$(**)$ は $f\colon X\rightarrow \mathbb{C}$が有界可測関数の場合も成り立つ。今、任意の可測関数 $f\colon X\rightarrow\mathbb{C}$ を取り、有界可測関数の列 $f_n=f\chi_{(\lvert f\rvert\leq n)}$ $(\forall n\in\mathbb{N})$ を定義すると、任意の $[g]\in L^2(X,\mathfrak{M},\mu)$ に対し、単調収束定理より、
$$
\begin{aligned}
\int_{X}\lvert f(x)\rvert^2dE^{\mu}_{[g],[g]}(x)&=\sup_{n\in\mathbb{N}}\int_{X}\lvert f_n(x)\rvert^2dE^{\mu}_{[g],[g]}(x)=\sup_{n\in\mathbb{N}}\left\lVert\int_{X}f_n(x)dE^{\mu}(x)[g]\right\rVert_2^2\\
&=\sup_{n\in\mathbb{N}}\int_{X}\lvert f_n(x)g(x)\rvert^2d\mu(x)=\int_{X}\lvert f(x)g(x)\rvert^2d\mu(x)
\end{aligned}
$$
であるから、
$$
\begin{aligned}
D_E(f)&=\left\{[g]\in L^2(X,\mathfrak{M},\mu):\int_{X}\lvert f(x)\rvert^2dE^{\mu}_{[g],[g]}(x)<\infty\right\}\\
&=\{[g]\in L^2(X,\mathfrak{M},\mu):[fg]\in L^2(X,\mathfrak{M},\mu)\}
\end{aligned}
$$
であり、任意の $[g]\in D_{E^{\mu}}(f)$ と任意の $[h]\in L^2(X,\mathfrak{M},\mu)$ に対し、Lebesgue優収束定理より、
$$
\begin{aligned}
\left([h]\mid \int_{X}f(x)dE^{\mu}(x)[g]\right)
&=\lim_{n\rightarrow\infty}\left([h]\mid \int_{X}f_n(x)dE^{\mu}(x)[g]\right)
=\lim_{n\rightarrow\infty}\int_{X}\overline{h(x)}f_n(x)g(x)d\mu(x)\\
&=\int_{X}\overline{h(x)}f(x)g(x)d\mu(x)
=([h]\mid [fg])
\end{aligned}
$$
である。よって $(*)$ が成り立つ。
{{end|proof|}}

=== 定義10.2（掛け算作用素） ===
$(X,\mathfrak{M},\mu)$ を測度空間とする。可測関数 $f\colon X\rightarrow\mathbb{C}$ に対し、'''命題10.1'''における
$$
\int_{X}f(x)dE^{\mu}(x)\colon D_{E^{\mu}}([f])\ni [g]\mapsto [fg]\in L^2(X,\mathfrak{M,\mu})
$$
を $f$ による $L^2(X,\mathfrak{M},\mu)$ 上の掛け算作用素と言う。混乱の恐れがない場合は、$\int_{X}f(x)dE^{\mu}(x)$ はそのまま $f$ と表す。また、射影値測度 $E^{\mu}\colon\mathfrak{M}\rightarrow\mathbb{P}(L^2(X,\mathfrak{M},\mu))$ を掛け算作用素を表す射影値測度と呼ぶこととする。

=== 命題10.3（$L^\infty(X,\mathfrak{M},\mu)$ の $\mathbb{B}(L^2(X,\mathfrak{M},\mu))$ への埋め込み） ===
$(X,\mathfrak{M},\mu)$ を $\sigma$-有限測度空間とし、$E^{\mu}\colon\mathfrak{M}\rightarrow\mathbb{P}(L^2(X,\mathfrak{M},\mu))$ を掛け算作用素を表す射影値測度とする。このとき、
$$
L^\infty(X,\mathfrak{M},\mu)\ni [f]\mapsto \int_{X}f(x)dE^{\mu}(x)\in \mathbb{B}(L^2(X,\mathfrak{M},\mu))\quad\quad(*)
$$
は等長 $*$-環準同型写像である。
{{begin |proof }}
$(*)$ が $*$-環準同型写像であることは明らかである。$L^\infty(X,\mathfrak{M},\mu)$ は $C^*$-環であるから、[[Banach環とC*-環のスペクトル理論]]の'''定理10.2'''より、 $(*)$ が単射であることを示せば等長性も示せたことになる。そこで $[f]\in L^\infty(X,\mathfrak{M},\mu)$ に対し $\int_{X}f(x)dE^{\mu}(x)=0$ であるとして、$[f]=0$ が成り立つことを示す。$\sigma$-有限性より $\mathfrak{M}$ の単調増加列 $(X_n)_{n\in\mathbb{N}}$ で、
$$
X=\bigcup_{n\in \mathbb{N}}X_n,\quad \mu(X_n)<\infty\quad(\forall n\in \mathbb{N})
$$
なるものが取れる。任意の $n\in\mathbb{N}$ に対し、$[\chi_{X_n}]\in L^2(X,\mathfrak{M},\mu)$ であるから、
$$
0=\int_{X}f(x)dE^{\mu}(x)[\chi_{X_n}]=[\chi_{X_n}f]\quad(\forall n\in\mathbb{N},\forall B\in\mathfrak{M})
$$
である。よって単調収束定理より、
$$
\int_{X}\lvert f(x)\rvert d\mu(x)=\sup_{n\in \mathbb{N}}\int_{X_n}\lvert f(x)\rvert d\mu(x)=0
$$
であるので、$[f]=0$ である。
{{end|proof|}}

=== 命題10.4（連続関数による掛け算作用素に関するスペクトル写像定理） ===
$X$ を位相空間、$\mu\colon\mathcal{B}_X\rightarrow [0,\infty]$ を $\sigma$-有限なBorel測度とし、任意の空でない開集合 $U\subset X$ に対し $\mu(U)>0$ が成り立つとする。そして $E^{\mu}\colon\mathfrak{M}\rightarrow \mathbb{P}(L^2(X,\mathcal{B}_X,\mu))$ を掛け算作用素を表す射影値測度とする。このとき任意の連続関数 $f\colon X\rightarrow\mathbb{C}$ に対し、
$$
\sigma\left(\int_{X}f(x)dE^{\mu}(x)\right)=\overline{f(X)}\quad\quad(*)
$$
が成り立つ。
{{begin |proof }}
任意の空でない開集合 $U\subset X$ に対し $\mu(U)>0$ であるから、'''命題10.3'''より、
$$
E^{\mu}(U)=\int_{X}\chi_U(x)dE^{\mu}(x)>0
$$
である。よって'''系6.13'''より $(*)$ が成り立つ。
{{end|proof|}}

== 11. 直和Hilbert空間上の線形作用素 ==

=== 定義11.1（Hilbert空間上の線形作用素の直和） ===
$J$ を空でない集合とし、各 $j\in J$ に対しHilbert空間 $\mathcal{H}_j$ からHilbert空間 $\mathcal{K}_j$ への線形作用素 $T_j$ が与えられているとする。このとき直和Hilbert空間（[[測度と積分6：数え上げ測度と $\ell^p$ 空間]]の'''定義26.3'''）$\bigoplus_{j\in J}\mathcal{H}_j$ から直和Hilbert空間 $\bigoplus_{j\in J}\mathcal{K}_j$ への線形作用素 $\bigoplus_{j\in J}T_j$ を、
$$
D\left(\bigoplus_{j\in J}T_j\right)\colon=\left\{(v_j)_{j\in J}\in \bigoplus_{j\in J}\mathcal{H}_j: v_j\in D(T_j)\text{ }(\forall j\in J),\text{ } (T_jv_j)_{j\in J}\in \bigoplus_{j\in J}\mathcal{K}_j \right\},
$$
$$
\bigoplus_{j\in J}T_j\colon D\left(\bigoplus_{j\in J}T_j\right)\ni (v_j)_{j\in J}\mapsto (T_jv_j)_{j\in J}\in \bigoplus_{j\in J}\mathcal{K}_j
$$
と定義する。$\bigoplus_{j\in J}T_j$ を $(T_j)_{j\in J}$ の直和と言う。

=== 命題11.2（Hilbert空間上の線形作用素の直和の基本的性質） ===
$J$ を空でない集合とし、各 $j\in J$ に対しHilbert空間 $\mathcal{H}_j$ からHilbert空間 $\mathcal{K}_j$ への線形作用素 $T_j,S_j$ と、Hilbert空間 $\mathcal{K}_j$ からHilbert空間 $\mathcal{L}_j$ への線形作用素 $R_j$ が与えられているとする。このとき、
*$(1)$　$(T_j)_{j\in J}\in \bigoplus_{j\in J}^{(\infty)}\mathbb{B}(\mathcal{H}_j,\mathcal{K}_j)$<ref>$\bigoplus_{j\in J}^{(\infty)}\mathbb{B}(\mathcal{H}_j,\mathcal{K}_j)$ はBanach空間の族 $(\mathbb{B}(\mathcal{H}_j,\mathcal{K}_j) )_{j\in J}$ の $\ell^\infty$ 直和Banach空間（[[測度と積分6：数え上げ測度と $\ell^p$ 空間]]の'''定義26.1'''）である。</ref> ならば、
$$
\bigoplus_{j\in J}T_j\in \mathbb{B}\left(\bigoplus_{j\in J}\mathcal{H}_j,\text{ }\bigoplus_{j\in J}\mathcal{K}_j\right),\quad \left\lVert \bigoplus_{j\in J}T_j\right\rVert=\sup_{j\in J}\lVert T_j\rVert=\lVert (T_j)_{j\in J}\rVert_{\infty}
$$
が成り立つ。
*$(2)$　各 $j\in J$ に対し $T_j$ が可閉ならば $\oplus_{j\in J}T_j$ も可閉であり、
$$
\overline{\bigoplus_{j\in J}T_j}=\bigoplus_{j\in J}\overline{T_j}
$$
が成り立つ。そして、
$$
D\colon=\text{span}\bigcup_{j\in J}D_j(T_j)\subset \bigoplus_{j\in J}\mathcal{H}_j
$$
は $\bigoplus_{j\in J}\overline{T_j}$ の芯である。
*$(3)$　各 $j\in J$ に対し $T_j$ が稠密に定義された線形作用素ならば $\oplus_{j\in J}T_j$ も稠密に定義された線形作用素であり、
$$
\left(\bigoplus_{j\in J}T_j\right)^*=\bigoplus_{j\in J}T_j^*
$$
が成り立つ。
*$(4)$　
$$
\bigoplus_{j\in J}S_j+\bigoplus_{j\in J}T_j\subset \bigoplus_{j\in J}(S_j+T_j)
$$
であり、もし各 $j\in J$ に対し $S_j+T_j$ が可閉ならば、
$$
\overline{\bigoplus_{j\in J}S_j+\bigoplus_{j\in J}T_j}=\bigoplus_{j\in J}\overline{S_j+T_j}
$$
が成り立つ。
*$(5)$
$$
\bigoplus_{j\in J}R_j\bigoplus_{j\in J}T_j\subset \bigoplus_{j\in J}R_jT_j
$$
であり、もし各 $j\in J$ に対し $R_jT_j$ が可閉ならば、
$$
\overline{\bigoplus_{j\in J}R_j\bigoplus_{j\in J}T_j}=\bigoplus_{j\in J}\overline{R_jT_j}
$$
が成り立つ。
{{begin |proof }}
$$
\mathcal{H}\colon=\bigoplus_{j\in J}\mathcal{H}_j,\quad
\mathcal{K}\colon=\bigoplus_{j\in J}\mathcal{K}_j,\quad
\mathcal{L}\colon=\bigoplus_{j\in J}\mathcal{L}_j
$$
とおき、自然に、
$$
\mathcal{H}_j\subset \mathcal{H},\quad \mathcal{K}_j\subset \mathcal{K},\quad
\mathcal{L}_j\subset \mathcal{L}\quad(\forall j\in J)
$$
とみなす。
*$(1)$　$T=\bigoplus_{j\in J}T_j$ とおく。任意の $v=(v_j)_{j\in J}\in \mathcal{H}$ に対し、
$$
\sum_{j\in J}\lVert T_jv_j\rVert^2\leq (\sup_{j\in J}\lVert T_j\rVert)^2\sum_{j\in J}\lVert v_j\rVert^2=(\sup_{j\in J}\lVert T_j\rVert)^2 \lVert v\rVert^2
$$
であるから $T\in \mathbb{B}(\mathcal{H},\mathcal{K})$ であり、$\lVert T\rVert\leq \sup_{j\in J}\lVert T_j\rVert$ である。また任意の $j\in J$、任意の $v_j\in \mathcal{H}_j$ に対し、
$$
\lVert T_jv_j\rVert=\lVert Tv_j\rVert\leq\lVert T\rVert\lVert v_j\rVert
$$
であるから $\lVert T_j\rVert\leq \lVert T\rVert$ である。よって $\lVert T\rVert=\sup_{j\in J}\lVert T_j\rVert$ が成り立つ。
*$(2)$
$$
U\colon\mathcal{H}\oplus \mathcal{K}\ni ( (u_j)_{j\in J},(v_j)_{j\in J})\mapsto (u_j,v_j)_{j\in J}\in \bigoplus_{j\in J}(\mathcal{H}_j\oplus \mathcal{K}_j)
$$
は明らかにユニタリ作用素である。そして、
$$
U\left(G\left(\bigoplus_{j\in J}\overline{T_j}\right)\right)
=\bigoplus_{j\in J}G(\overline{T_j})=\bigoplus_{j\in J}\overline{G(T_j)}
$$
である。右辺は $\bigoplus_{j\in J}(\mathcal{H}_j\oplus \mathcal{K}_j)$ の閉部分空間であるから、$G(\bigoplus_{j\in J}\overline{T_j})$ は $\mathcal{H}\oplus \mathcal{K}$ の閉部分空間である。よって $\bigoplus_{j\in J}\overline{T_j}$ は閉線形作用素である。また、
$$
U\left(\overline{G\left(\bigoplus_{j\in J}T_j\right)}\right)
=\overline{\bigoplus_{j\in J}G(T_j)}=\bigoplus_{j\in J}\overline{G(T_j)}=\bigoplus_{j\in J}G(\overline{T_j})=U\left(G\left(\bigoplus_{j\in J}\overline{T_j}\right)\right)
$$
であるから、
$$
\overline{\bigoplus_{j\in J}T_j}=\bigoplus_{j\in J}\overline{T_j}
$$
である。$T=\bigoplus_{j\in J}T_j$ とおく。任意の $v=(v_j)_{j\in J}\in D(T)$ を取り、$\mathcal{F}_J$ を $J$ の有限部分集合全体に集合の包含関係を入れた有向集合とする。
$$
v_F\colon=\sum_{j\in F}v_j\in D=\text{span}\bigcup_{j\in J}D(T_j)\quad(\forall F\in \mathcal{F}_J)
$$
とおけば、
$$
Tv_F=\sum_{j\in F}T_jv_j\quad(\forall F\in \mathcal{F}_J)
$$
なので、
$$
(v_F,Tv_F)\rightarrow(v,Tv)\quad(F\rightarrow J)
$$
である。よって $G(T)\subset \overline{G(T|_D)}$ であるから、
$$
G(\overline{T})=\overline{G(T)}\subset \overline{G(T|_D)}\subset G(\overline{T})
$$
である。ゆえに $D$ は $\overline{T}$ の芯である。
*$(3)$　$T\colon=\bigoplus_{j\in J}T_j$、$T'\colon=\bigoplus_{j\in J}T_j^*$ とおく。
$\text{span}\bigcup_{j\in J}D(T_j)\subset D(T)$ であり、左辺は $\mathcal{H}$ において稠密であるので $T$ は稠密に定義された線形作用素である。任意の $u=(u_j)_{j\in J}\in D(T)$、任意の $v=(v_j)_{j\in J}\in D(T')$ に対し、
$$
(v\mid Tu)=\sum_{j\in J}(v_j\mid T_ju_j)=\sum_{j\in J}(T_j^*v_j\mid u_j)
=(T'v\mid u)
$$
であるから、$T'\subset T^*$ である。逆の包含関係を示す。任意の $v=(v_j)_{j\in J}\in D(T^*)$ を取り、$v\in D(T')$ であることを示せばよい。
$$
w=(w_j)_{j\in J}=T^*v\in \mathcal{H}
$$
とおく。このとき任意の $j\in J$、任意の $u_j\in D(T_j)$ に対し、
$$
(v_j\mid T_ju_j)=(v\mid Tu_j)=(T^*v\mid u_j)=(w_j\mid u_j)
$$
であるから $v_j\in D(T_j^*)$ であり、$w_j=T_j^*v_j$ である。よって、
$$
(T_j^*v_j)_{j\in J}=(w_j)_{j\in J}=w\in \mathcal{H}
$$
であるから、$v\in D(T')$ である。
*$(4)$　
$$
\bigoplus_{j\in J}S_j+\bigoplus_{j\in J}T_j\subset \bigoplus_{j\in J}(S_j+T_j)
$$
は自明である。各 $j\in J$ に対し $S_j+T_j$ が可閉であるとすると、$(2)$ より $\bigoplus_{j\in J}\overline{S_j+T_j}$ は閉線形作用素であり、
$$
D\colon=\text{span}\bigcup_{j\in J}D(S_j+T_j)
$$
は $\bigoplus_{j\in J}(\overline{S_j+T_j})$ の芯である。そして $D$ 上で、
$$
\bigoplus_{j\in J}S_j+\bigoplus_{j\in J}T_j= \bigoplus_{j\in J}(\overline{S_j+T_j})
$$
であるから、
$$
\overline{\bigoplus_{j\in J}S_j+\bigoplus_{j\in J}T_j}= \bigoplus_{j\in J}(\overline{S_j+T_j})
$$
が成り立つ。
*$(5)$　
$$
\bigoplus_{j\in J}R_j\bigoplus_{j\in J}T_j\subset\bigoplus_{j\in J}R_jT_j
$$
は自明である。各 $j\in J$ に対し $R_jT_j$ が可閉であるとすると、$(2)$ より $\bigoplus_{j\in J}\overline{R_jT_j}$ は閉線形作用素であり、
$$
D\colon=\text{span}\bigcup_{j\in J}D(R_jT_j)
$$
は $\bigoplus_{j\in J}\overline{R_jT_j}$ の芯である。そして $D$ 上で、
$$
\bigoplus_{j\in J}R_j\bigoplus_{j\in J}T_j=\bigoplus_{j\in J}\overline{R_jT_j}
$$
であるから、
$$
\overline{\bigoplus_{j\in J}R_j\bigoplus_{j\in J}T_j}=\bigoplus_{j\in J}\overline{R_jT_j}
$$
が成り立つ。
{{end|proof|}}

=== 定理11.3（射影値測度の直和） ===
$(X,\mathfrak{M})$ を可測空間、$J$ を空でない集合とし、各 $j\in J$ に対しHilbert空間 $\mathcal{H}_j$ と射影値測度 $E_j\colon\mathfrak{M}\rightarrow\mathbb{P}(\mathcal{H})$ が与えられているとする。このとき、
$$
\bigoplus_{j\in J}E_j\colon\mathfrak{M}\ni B\mapsto \bigoplus_{j\in J}E_j(B_j)\in \mathbb{P}\left(\bigoplus_{j\in J}\mathcal{H}_j\right)
$$
は射影値測度であり、任意の可測関数 $f\colon X\rightarrow\mathbb{C}$ に対し、
$$
\int_{X}f(x)d\left(\bigoplus_{j\in J}E_j\right)(x)=\bigoplus_{j\in J}\int_{X}f(x)dE_j(x)\quad\quad(*)
$$
が成り立つ。そして点スペクトル（'''定義5.1'''）に関して、
$$
\sigma_{\rm p}\left(\int_{X}f(x)d\left(\bigoplus_{j\in J}E_j\right)(x)\right)
=\bigcup_{j\in J}\sigma_{\rm p}\left(\int_{X}f(x)dE_j(x)\right),\quad\quad(**)
$$
スペクトルに関して、
$$
\sigma\left(\int_{X}f(x)d\left(\bigoplus_{j\in J}E_j\right)(x)\right)
=\overline{\bigcup_{j\in J}\sigma\left(\int_{X}f(x)dE_j(x)\right)}\quad\quad(***)
$$
が成り立つ。
{{begin |proof }}
$\mathcal{H}\colon=\bigoplus_{j\in J}\mathcal{H}_j$、$E\colon=\bigoplus_{j\in J}E_j\colon\mathfrak{M}\rightarrow\mathbb{P}(\mathcal{H})$ とおく。$\mathfrak{M}$ の任意の非交叉列 $(B_n)_{n\in \mathbb{N}}$ を取り $B=\bigcup_{n\in \mathbb{N}}B_n$ とおく。任意の $v=(v_j)_{j\in J}\in \mathcal{H}$ に対し、
$$
\begin{aligned}
(v\mid E(B)v)=\sum_{j\in J}E_{j,v_j,v_j}(B)=\sum_{j\in J}\sum_{n\in\mathbb{N}}E_{j,v_j,v_j}(B_n)
=\sum_{n\in\mathbb{N}}\sum_{j\in J}E_{j,v_j,v_j}(B_n)
=\sum_{n\in\mathbb{N}}(v\mid E(B_n)v)
\end{aligned}
$$
であり、偏極恒等式より任意の $u,v\in \mathcal{H}$ に対し、
$$
(u\mid E(B)v)=\frac{1}{4}\sum_{k=0}^{3}i^k(i^ku+v\mid E(B)(i^ku+v))
$$
であるから、任意の $u,v\in {\cal H}$ に対し
$E_{u,v}\colon\mathfrak{M}\in B\mapsto (u\mid E(B)v)\in \mathbb{C}$ は複素数値測度である。よって $E\colon\mathfrak{M}\rightarrow\mathbb{P}(\mathcal{H})$ は射影値測度である。今、任意の可測関数 $f\colon X\rightarrow\mathbb{C}$ に対し $(*)$ が成り立つこと、すなわち、
$$
\int_{X}f(x)dE(x)=\bigoplus_{j\in J}\int_{X}f(x)dE_j(x)
$$
が成り立つことを示す。$f$ が可測単関数である場合は明らかに成り立つ。また有界可測関数は可測単関数の列によって一様近似できる（[[測度と積分5：$L^p$ 空間の完備性と双対性]]の'''命題22.2'''）ので、$f$ が有界可測関数の場合も成り立つ。そこで任意の可測関数 $f\colon X\rightarrow\mathbb{C}$ に対し $f_n=f\chi_{(\lvert f\rvert\leq n)}$ $(\forall n\in \mathbb{N})$ として有界可測関数の列を定義すると、任意の $v=(v_j)_{j\in J}\in \mathcal{H}$ に対し単調収束定理より、
$$
\begin{aligned}
&\int_{X}\lvert f(x)\rvert^2dE_{v,v}(x)=\sup_{n\in \mathbb{N}}\int_{X}\lvert f_n(x)\rvert^2dE_{v,v}(x)=\sup_{n\in\mathbb{N}}\left\lVert\int_{X}f_n(x)dE(x)v\right\rVert^2\\
&=\sup_{n\in\mathbb{N}}\sum_{j\in J}\left\lVert\int_{X}f_n(x)dE_j(x)v_j\right\rVert^2
=\sup_{n\in \mathbb{N}}\sum_{j\in J}\int_{X}\lvert f_n(x)\rvert^2dE_{j,v_j,v_j}(x)\\
&=\sum_{j\in J}\sup_{n\in\mathbb{N}}\int_{X}\lvert f_n(x)\rvert^2dE_{j,v_j,v_j}(x)
=\sum_{j\in J}\int_{X}\lvert f(x)\rvert^2dE_{j,v_j,v_j}(x)
\quad\quad(****)
\end{aligned}
$$
であるから、
$$
\begin{aligned}
D_E(f)&=\left\{v\in \mathcal{H}: \int_{X}\lvert f(x)\rvert^2dE_{v,v}(x)<\infty\right\}\\
&=\left\{(v_j)_{j\in J}\in \mathcal{H}:\sum_{j\in J} \int_{X}\lvert f(x)\rvert^2dE_{j,v_j,v_j}(x)<\infty\right\}\\
&=\left\{(v_j)_{j\in J}\in \mathcal{H}:v_j\in D_{E_j}(f)\text{ }(\forall j\in J),\text{ }\sum_{j\in J}\left\lVert \int_{X}f(x)dE_{j}(x)v_j\right\rVert^2<\infty\right\}\\
&=D\left(\bigoplus_{j\in J}\int_{X}f(x)dE_j(x)\right)
\end{aligned}
$$
である。そして任意の $v=(v_j)_{j\in J}\in \mathcal{H}$、任意の $n\in \mathbb{N}$ に対し $(****)$ で $f$ を $f-f_n$ に置き換えたものを考えると、
$$
\int_{X}\lvert f(x)-f_n(x)\rvert^2dE_{v,v}(x)=\sum_{j\in J}\int_{X}\lvert f(x)-f_n(x)\rvert^2dE_{j,v_j,v_j}(x)
$$
であるから、任意の $v=(v_j)_{j\in J}\in D_E(f)=D(\bigoplus_{j\in J}\int_{X}f(x)dE_j(x))$ に対し、
$$
\begin{aligned}
&\left\lVert\int_{X}f(x)dE(x)v-\int_{X}f_n(x)dE(x)v\right\rVert^2=\left\lVert \int_{X}(f(x)-f_n(x) )dE(x)v\right\rVert^2\\
&=\int_{X}\lvert f(x)-f_n(x)\rvert^2dE_{v,v}(x)=\sum_{j\in J}\int_{X}\lvert f(x)-f_n(x)\rvert^2dE_{j,v_j,v_j}(x)\\
&=\left\lVert\left(\bigoplus_{j\in J}\int_{X}(f(x)-f_n(x))dE_j(x)\right)v\right\rVert^2\\
&=\left\lVert\left(\bigoplus_{j\in J}\int_{X}f(x)dE_j(x)\right)v-\left(\bigoplus_{j\in J}\int_{X}f_n(x)dE_j(x)\right)v\right\rVert^2\quad(\forall n\in\mathbb{N})\quad\quad(*****)
\end{aligned}
$$
であり、Lebesgue優収束定理より $(*****)$ の左から$3$ 番目の式は $n\rightarrow\infty$ で $0$ に収束するので、
$$
\int_{X}f(x)dE(x)v=\lim_{n\rightarrow\infty}\int_{X}f_n(x)dE(x)v=\lim_{n\rightarrow\infty}\left(\bigoplus_{j\in J}\int_{X}f_n(x)dE_j(x)\right)v=\left(\bigoplus_{j\in J}\int_{X}f(x)dE_j(x)\right)v
$$
である。よって $(*)$ が成り立つ。 
$(**)$ が成り立つことを示す。任意の可測関数 $f\colon X\rightarrow\mathbb{C}$ を取る。任意の $\lambda\in\mathbb{C}$ に対し、
$$
\lambda-\int_{X}f(x)dE(x)=\int_{X}(\lambda-f(x))dE(x)=\bigoplus_{j\in J}\int_{X}(\lambda-f(x))dE_j(x)\quad\quad(******)
$$
であり、明らかに $\bigoplus_{j\in J}\int_{X}(\lambda-f(x))dE_j(x)$ が単射であることと全ての $j\in J$ に対し $\int_{X}(\lambda-f(x))dE_j(x)=\lambda-\int_{X}f(x)dE_j(x)$ が単射であることは同値である。よって $(**)$ が成り立つ。 
$(***)$ が成り立つことを示す。$\lambda\in \mathbb{C}$ に対し、$\bigoplus_{j\in J}\int_{X}(\lambda-f(x))dE_j(x)$ が単射かつ値域が $\mathcal{H}$ ならば、明らかに全ての $j\in J$ に対し $\int_{X}(\lambda-f(x))dE_j(x)$ は単射で値域は $\mathcal{H}_j$ である。よって $(******)$ よりレゾルベント集合に関して、
$$
\rho\left(\int_{X}f(x)dE(x)\right)\subset \bigcap_{j\in J}\rho\left(\int_{X}f(x)dE_j(x)\right)
$$
が成り立つ。これより、
$$
\overline{\bigcup_{j\in J}\sigma\left(\int_{X}f(x)dE_j(x)\right)}\subset \sigma\left(\int_{X}f(x)dE(x)\right)
$$
が成り立つ。逆の包含関係を示す。任意の
$$
\lambda_0\in \mathbb{C}\backslash \overline{\bigcup_{j\in J}\sigma\left(\int_{X}f(x)dE_j(x)\right)}\quad\quad(*******)
$$
を取り、
$$
\lambda_0-\int_{X}f(x)dE(x)=\bigoplus_{j\in J}\int_{X}(\lambda_0-f(x))dE_j(x)\colon D_E(f)\rightarrow\mathcal{H}
$$
が全単射であることを示せばよい。各 $j\in J$ に対し $\lambda_0\in \mathbb{C}\backslash \sigma(\int_{X}f(x)dE_j(x))$ であるから $\lambda_0-\int_{X}f(x)dE_j(x)\colon D_{E_j}(f)\rightarrow\mathcal{\mathcal{H}}$ は全単射である。よって $\lambda_0-\int_{X}f(x)dE(x)$ は単射であり、任意の $u=(u_j)_{j\in J}\in \mathcal{H}$ に対し、$v_j\in D_{E_j}(f)$ $(\forall j\in J)$ で、
$$
u_j=\int_{X}(\lambda_0-f(x))dE_j(x)v_j\quad(\forall j\in J)
$$
を満たすものが取れる。$(v_j)_{j\in J}\in {\cal H}$ であることを示す。$(*******)$ よりある $\epsilon\in (0,\infty)$ に対し、
$$
\{\lambda\in \mathbb{C}:\lvert\lambda-\lambda_0\rvert<\epsilon\}\cap \sigma\left(\int_{X}f(x)dE_j(x)\right)=\emptyset\quad(\forall j\in J)
$$
が成り立つから、'''命題6.12'''より、
$$
\{\lambda\in \mathbb{C}:\lvert\lambda-\lambda_0\rvert<\epsilon\}\cap {\rm ess.Ran}_{E_j}(f)=\emptyset\quad(\forall j\in J),
$$
よって本質的値域の定義（'''定義6.11'''）より、
$$
E_j( (\lvert\lambda_0-f\rvert<\epsilon) )=0\quad(\forall j\in J)
$$
である。これより、
$$
\begin{aligned}
\lVert u_j\rVert^2&=\left\lVert \int_{X}(\lambda_0-f(x))dE_j(x)v_j\right\rVert^2
=\left\lVert \int_{(\lvert\lambda_0-f\rvert\geq\epsilon)}(\lambda_0-f(x))dE_j(x)v_j\right\rVert^2\\
&=\int_{(\lvert \lambda_0-f\rvert\geq\epsilon)}\lvert\lambda_0-f(x)\rvert^2dE_{j,v_j,v_j}(x)\geq \epsilon^2\lVert v_j\rVert^2\quad(\forall j\in J),
\end{aligned}
$$
したがって、
$$
\sum_{j\in J}\lVert v_j\rVert^2\leq \sum_{j\in J}\frac{1}{\epsilon^2}\lVert u_j\rVert^2=\frac{1}{\epsilon^2}\lVert u\rVert^2<\infty
$$
である。よって $v:=(v_j)_{j\in J}\in \bigoplus_{j\in J}\mathcal{H}_j=\mathcal{H}$ であり、
$$
u=(u_j)_{j\in J}=\left(\int_{X}(\lambda_0-f(x))dE_j(x)v_j\right)_{j\in J}
$$
であるから、$v=(v_j)_{j\in J}\in D(\bigoplus_{j\in J}(\lambda_0-f(x))dE_j(x))=D(\lambda_0-\int_{X}f(x)dE(x))$ である。これより、
$$
u=\left(\int_{X}(\lambda_0-f(x))dE_j(x)v_j\right)_{j\in J}=\left(\bigoplus_{j\in J}\int_{X}(\lambda_0-f(x))dE_j(x)\right)v=\left(\lambda_0-\int_{X}f(x)dE(x)\right)v
$$
であり、$u\in \mathcal{H}$ は任意なので、$\lambda_0-\int_{X}f(x)dE(x)$ は全射である。ゆえに $\lambda_0\in \mathbb{C}\backslash \sigma(\int_{X}f(x)dE(x))$ であるから $(***)$ が成り立つ。
{{end|proof|}}

=== 定理11.4（自己共役作用素の直和とBorel汎関数計算） ===
$J$ を空でない集合とし、各 $j\in J$ に対しHilbert空間 $\mathcal{H}_j$ 上の自己共役作用素 $T_j$ が与えられているとする。このとき直和Hilbert空間 $\bigoplus_{j\in J}\mathcal{H}_j$ 上の線形作用素 $T\colon=\bigoplus_{j\in J}T_j$ は自己共役作用素であり、
$$
\sigma(T)=\overline{\bigcup_{j\in J}\sigma(T_j)}
$$
が成り立つ。さらに任意のBorel関数 $f\colon\sigma(T)\rightarrow\mathbb{C}$ に対し、
$$
f(T)=\bigoplus_{j\in J}f(T_j)
$$
であり、
$$
\sigma_{\rm p}(f(T))=\bigcup_{j\in J}\sigma_{\rm p}(f(T_j)),\quad
\sigma(f(T))=\overline{\bigcup_{j\in J}\sigma(f(T))}
$$
が成り立つ。
{{begin |proof }}
$T$ が自己共役作用素であることは'''命題11.2'''による。各 $j\in J$ に対し自己共役作用素 $T_j$ のスペクトル測度を $E^{T_j}\colon\mathcal{B}_{\sigma(T_j)}\rightarrow\mathbb{P}(\mathcal{H}_j)$ とおき、射影値測度
$$
E_j\colon\mathcal{B}_{\mathbb{R}}\ni B\mapsto E^{T_j}(B\cap \sigma(T_j))\in \mathbb{P}(\mathcal{H}_j)
$$
を定義する。このとき明らかに任意のBorel関数 $f\colon\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{C}$ に対し、
$$
\int_{\mathbb{R}}f(\lambda)dE_j(\lambda)=\int_{\sigma(T_j)}f(\lambda)dE^{T_j}(\lambda)=f(T_j)
$$
である。'''定理11.3'''により射影値測度
$$
E\colon=\bigoplus_{j\in J}E_j\colon\mathcal{B}_{\mathbb{R}}\ni B\mapsto \bigoplus_{j\in J}E_j(B)\in \mathbb{P}\left(\bigoplus_{j\in J}\mathcal{H}_j\right)
$$
を定義すると、
$$
\int_{\mathbb{R}}\lambda dE(\lambda)=\bigoplus_{j\in J}\int_{\mathbb{R}}\lambda dE_j(\lambda)=\bigoplus_{j\in J}T_j=T
$$
である。そして'''命題8.6'''より任意のBorel関数 $f\colon\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{C}$ に対し、
$$
f(T)=f\left(\int_{\mathbb{R}}\lambda dE(\lambda)\right)=\int_{\mathbb{R}}f(\lambda)dE(\lambda)
$$
であるから、'''定理11.3'''より、
$$
f(T)=\int_{\mathbb{R}}f(\lambda)dE(\lambda)=\bigoplus_{j\in J}\int_{\mathbb{R}}f(\lambda)dE_j(\lambda)=\bigoplus_{j\in J}f(T_j)
$$
である。さらに'''定理11.3'''より、
$$
\sigma_{\rm p}(f(T))=\sigma_{\rm p}\left(\int_{\mathbb{R}}f(\lambda)dE(\lambda)\right)=\bigcup_{j\in J}\sigma_{\rm p}\left(\int_{\mathbb{R}}f(\lambda)dE_j(\lambda)\right)=
\bigcup_{j\in J}\sigma_{\rm p}(f(T_j)),
$$
$$
\sigma(f(T))=\sigma\left(\int_{\mathbb{R}}f(\lambda)dE(\lambda)\right)=\overline{\bigcup_{j\in J}\sigma\left(\int_{\mathbb{R}}f(\lambda)dE_j(\lambda)\right)}=
\overline{\bigcup_{j\in J}\sigma(f(T_j))}
$$
である。
{{end|proof|}}

== 12. 完備化、テンソル積Hilbert空間上の線形作用素 ==

=== 命題12.1 ===
任意のノルム空間 $X$ に対しBanach空間 $\widetilde{X}$ と等長線形写像 $\iota\colon X\rightarrow\widetilde{X}$ で、$\iota(X)$ が $\widetilde{X}$ において稠密であるようなものが存在する。
{{begin |proof }}
直積線形空間 $\prod_{n\in \mathbb{N}}X$ の線形部分空間
$$
\mathcal{C}\colon=\left\{(x_n)_{n\in \mathbb{N}}\in \prod_{n\in \mathbb{N}}X: (x_n)_{n\in \mathbb{N}}\text{ はCauchy列}\right\}
$$
と、$\mathcal{C}$ 上のセミノルム
$$
p\colon\mathcal{C}\ni (x_n)_{n\in \mathbb{N}}\mapsto \lim_{n\rightarrow\infty}\lVert x_n\rVert\in [0,\infty)
$$
を考える。そして $\mathcal{C}$ の線形部分空間
$$
\mathcal{N}\colon=\{(x_n)_{n\in\mathbb{N}}\in \mathcal{C}: p( (x_n)_{n\in\mathbb{N}})=0\}
$$
に対し、商線形空間（[[速習「線形空間論」]]の'''定義3.2'''）$\mathcal{C}/\mathcal{N}$ を考え、商写像を、
$$
\mathcal{C}\ni z\mapsto [z]\in \mathcal{C}/\mathcal{N}
$$
とおく。このとき、
$$
\lVert \cdot\rVert\colon\mathcal{C}/\mathcal{N}\ni [z]\mapsto \lVert [z]\rVert:=p(z)\in [0,\infty)
$$
は $\mathcal{C}/\mathcal{N}$ 上のノルムである。$\mathcal{C}/\mathcal{N}$ にこのノルムを入れたノルム空間を $\widetilde{X}$ とおく。
$$
\iota\colon X\ni x\mapsto [(x)_{n\in\mathbb{N}}]\in \widetilde{X}
$$
として等長線形写像を定義する。任意の $\omega=[(x_n)_{n\in\mathbb{N}}]\in \widetilde{X}$、任意の $\epsilon\in (0,\infty)$ に対し、
$$
\lVert x_n-x_m\rVert\leq\epsilon\quad(\forall n,m\geq n_0)
$$
なる $n_0\in \mathbb{N}$ を取ると、
$$
\lVert \omega-\iota(x_{n_0})\rVert=\lim_{n\rightarrow\infty}\lVert x_n-x_{n_0}\rVert\leq\epsilon
$$
であるから、$\iota(X)$ は $\widetilde{X}$ において稠密である。$\widetilde{X}$ の任意のCauchy列 $(\omega_n)_{n\in \mathbb{N}}$ に対し、
$$
\lVert \omega_n-\iota(x_n)\rVert<\frac{1}{n}\quad(\forall n\in\mathbb{N})
$$
なる $(x_n)_{n\in\mathbb{N}}\in \prod_{n\in\mathbb{N}}X$ を取ると、
$$
\lVert x_n-x_m\rVert\leq \lVert \iota(x_n)-\omega_n\rVert+\lVert \omega_n-\omega_m\rVert+\lVert \omega_m-\iota(x_m)\rVert<\frac{1}{n}+\lVert \omega_n-\omega_m\rVert+\frac{1}{m}\quad(\forall n,m\in\mathbb{N})
$$
であるから $(x_n)_{n\in\mathbb{N}}\in \mathcal{C}$ である。そこで $\omega\colon=[(x_n)_{n\in\mathbb{N}}]\in \widetilde{X}$ とおけば、任意の $n\in\mathbb{N}$ に対し、
$$
\lVert \omega-\omega_n\rVert\leq \lVert \omega-\iota(x_n)\rVert+\lVert \iota(x_n)-\omega_n\rVert<\lim_{m\rightarrow\infty}\lVert x_m-x_n\rVert+\frac{1}{n}
$$
であるから $\lim_{n\rightarrow\infty}\omega_n=\omega$ である。よって $\widetilde{X}$ はBanach空間である。
{{end|proof|}}

=== 命題12.2 ===
任意の内積空間 $X$ に対し、Hilbert空間 $\widetilde{X}$ と内積を保存する線形写像 $\iota\colon X\rightarrow\widetilde{X}$ で $\iota(X)$ が $\widetilde{X}$ で稠密であるようなものが存在する。
{{begin |proof }}
'''命題12.1'''の証明における $\mathcal{C},p,\mathcal{N},\widetilde{X},\iota$ をそのまま用いる。
$$
[\cdot,\cdot]\colon\mathcal{C}\times \mathcal{C}\ni ( (x_n)_{n\in\mathbb{N}}, (y_n)_{n\in\mathbb{N}})\mapsto [(x_n)_{n\in\mathbb{N}},(y_n)_{n\in\mathbb{N}}]\colon=\lim_{n\rightarrow\infty}(x_n\mid y_n)\in \mathbb{C}
$$
は準双線形汎関数であり、任意の $z,w\in \mathcal{C}$ に対し、
$$
\overline{[z,w]}=[w,z],\quad [z,z]=p(z)^2\geq0\quad(*),
$$
$$
\lvert [z,w]\rvert\leq p(z)p(w)\quad\quad(**)
$$
である。$[\cdot,\cdot]$ の準双線形性と $(**)$ より、
$$
(\cdot\mid \cdot)\colon\widetilde{X}\times \widetilde{X}\ni ([z],[w])\mapsto ([z]\mid [w]):=[z,w]\in \mathbb{C}
$$
はwell-definedであり、$(*)$ よりこれは $\widetilde{X}$ 上の内積で、この内積が定めるノルムはBanach空間 $\widetilde{X}$ のノルムである。よって $\widetilde{X}$ はHilbert空間である。そして、
$$
(\iota(x)\mid \iota(y))=([(x)_{n\in\mathbb{N}}]\mid [(y)_{n\in\mathbb{N}}])=(x\mid y)\quad(\forall x,y\in X)
$$
であるから、$\iota\colon X\rightarrow \widetilde{X}$ は内積を保存する。
{{end|proof|}}

=== 定義12.3（完備化Banach空間、完備化Hilbert空間） ===
'''命題12.1'''においてノルム空間 $X$ と $\iota(X)$ を同一視することにより、$X$ をBanach空間 $\widetilde{X}$ の稠密部分空間とみなす。このとき $\widetilde{X}$ を $X$ の完備化Banach空間と言う。 
'''命題12.2'''において内積空間 $X$ と $\iota(X)$ を同一視することにより、$X$ をHilbert空間 $\widetilde{X}$ の稠密部分空間とみなす。このとき $\widetilde{X}$ を $X$ の完備化Hilbert空間と言う。

=== 命題12.4（内積空間のテンソル積） ===
$\mathcal{H}_1,\ldots,\mathcal{H}_N$ をそれぞれHilbert空間とし、
$$
\bigodot_{j=1}^{N}\mathcal{H}_j=\mathcal{H}_1\odot \cdots\odot\mathcal{H}_N
$$
をテンソル積線形空間（[[速習「線形空間論」]]の'''定義8.1'''）とする。このとき $\bigodot_{j=1}^{N}\mathcal{H}_j$ 上の内積で、任意の $u_j,v_j\in \mathcal{H}_j$ $(j=1,\ldots,N)$ に対し、
$$
(u_1\otimes\cdots\otimes u_N\mid v_1\otimes\cdots\otimes v_N)=(u_1\mid v_1)\cdots (u_N\mid v_N)
$$
を満たすものが唯一つ存在する。
{{begin |proof }}
一意性はテンソル積線形空間 $\bigodot_{j=1}^{N}\mathcal{H}_j$ の任意の元が $v_1\otimes\cdots\otimes v_N$ なる形の元の線形結合全体であることによる。存在を示す。任意の $v_j\in \mathcal{H}_j$ $(j=1,\ldots,N)$ に対し、
$$
\mathcal{H}_1\times\cdots\times \mathcal{H}_N\ni (u_1,\ldots,u_N)\mapsto (v_1\mid u_1)\cdots (v_N\mid u_N)\in \mathbb{C}
$$
は多重線形写像であるから、[[速習「線形空間論」]]の'''定理8.4'''より線形汎関数
$$
\bigodot_{j=1}^{N}\mathcal{H}_j\ni u_1\otimes\cdots\otimes u_N\mapsto (v_1\mid u_1)\cdots (v_N\mid u_N)\in \mathbb{C}
$$
が定まる。この線形汎関数の各点ごとの複素共役を取ることで反線形汎関数
$$
(\cdot\mid v_1)\otimes\cdots\otimes (\cdot\mid v_N):\bigodot_{j=1}^{N}\mathcal{H}_j\ni u_1\otimes\cdots\otimes u_N\mapsto (u_1\mid v_1)\cdots (u_N\mid v_N)\in \mathbb{C}
$$
が定まる。 $\bigodot_{j=1}^{N}\mathcal{H}_j$ 上の反線形汎関数全体 $AL(\bigodot_{j=1}^{N}\mathcal{H}_j,\mathbb{C})$ は各点ごとの演算で $\mathbb{C}$ 上の線形空間をなし、
$$
\mathcal{H}_1\times \cdots\times \mathcal{H}\ni (v_1,\ldots,v_N)\mapsto (\cdot \mid v_1)\otimes \cdots \otimes (\cdot \mid v_N)\in AL\left(\bigodot_{jh=1}^{N}\mathcal{H}_j,\mathbb{C}\right)
$$
は多重線形写像である。よって[[速習「線形空間論」]]の'''定理8.4'''より線形写像
$$
M\colon\bigodot_{j=1}^{N}\mathcal{H}_j\ni v_1\otimes \cdots\otimes v_N\mapsto (\cdot \mid v_1)\otimes \cdots \otimes (\cdot \mid v_N)\in AL\left(\bigodot_{jh=1}^{N}\mathcal{H}_j,\mathbb{C}\right)
$$
が定まる。そこで準双線形汎関数
$$
(\cdot \mid \cdot)\colon\bigodot_{j=1}^{N}\mathcal{H}_j\times \bigodot_{j=1}^{N}\mathcal{H}_j\rightarrow\mathbb{C},\quad (T\mid S)\colon=M(S)(T)\quad(\forall S,T\in \bigodot_{j=1}^{N}\mathcal{H}_j)\quad\quad(*)
$$
を定義する。このとき任意の $u_j,v_j\in \mathcal{H}_j$ $(j=1,\ldots,N)$ に対し、
$$
(u_1\otimes\cdots \otimes u_N\mid v_1\otimes\cdots\otimes v_N)
=(u_1\mid v_1)\cdots (u_N\mid v_N)
$$
であるので、$(*)$ が $\bigodot_{j=1}^{N}\mathcal{H}_j$ 上の内積であることを示せばよい。明らかに任意の $S,T\in \bigodot_{j=1}^{N}\mathcal{H}_j$ に対し $\overline{(S\mid T)}=(T\mid S)$ が成り立つ。任意の
$$
T=\sum_{l=1}^{n}v_{1,l}\otimes\cdots\otimes v_{N,l}\in \bigodot_{j=1}^{N}\mathcal{H}_j
$$
を取る。各 $j\in \{1,\ldots,N\}$ に対し $\mathcal{H}_j$ の有限次元部分空間 $\text{span}\{v_{j,1},\ldots,v_{j,n}\}$ のCONS $\{e_{j,1},\ldots,e_{j,m(j)}\}$ を取れば、ある $\alpha_{k_1,\ldots,k_N}\in \mathbb{C}$ に対し、
$$
T=\sum_{k_1,\ldots,k_N}\alpha_{k_1,\ldots,k_N}e_{1,k_1}\otimes \cdots\otimes e_{N,k_N}
$$
と表せる。よって、
$$
(T\mid T)=\sum_{k_1,\ldots,k_N}\lvert \alpha_{k_1,\ldots,k_N}\rvert^2\geq0
$$
であり、$(T\mid T)=0$ であるならば $T=0$ であるから $(*)$ は $\bigodot_{j=1}^{N}\mathcal{H}_j$ 上の内積である。
{{end|proof|}}

=== 定義12.5（テンソル積Hilbert空間） ===
$\mathcal{H}_1,\ldots,\mathcal{H}_N$ をそれぞれHilbert空間とする。'''命題12.4'''における内積による内積空間 $\bigodot_{j=1}^{N}\mathcal{H}_j$ の完備化Hilbert空間（'''定義12.3'''）を、
$$
\bigotimes_{j=1}^{N}\mathcal{H}_j=\mathcal{H}_1\otimes\cdots\otimes\mathcal{H}_N
$$
と表し、これを $\mathcal{H}_1,\ldots,\mathcal{H}_N$ のテンソル積Hilbert空間と言う。
$$
\bigotimes_{j=1}^{N}\mathcal{H}_j=\overline{\text{span}\{v_1\otimes\cdots\otimes v_N:v_1\in \mathcal{H}_1,\ldots,v_N\in \mathcal{H}_N\}}
$$
である。

=== 定義12.6（線形部分空間のテンソル積線形空間の表記） ===
$\mathcal{H}_1,\ldots,\mathcal{H}_N$ をそれぞれHilbert空間とし、$D_j\subset \mathcal{H}_j$ $(j=1,\ldots,N)$ をそれぞれ線形部分空間とする。これに対しテンソル積Hilbert空間 $\bigotimes_{j=1}^{N}\mathcal{H}_j$ の線形部分空間
$$
\bigodot_{j=1}^{N}D_j=D_1\odot\cdots\odot D_N:=\text{span}\{v_1\otimes\cdots\otimes v_N:v_1\in D_1,\ldots,v_N\in D_N\}
$$
を定義する。

=== 命題12.7（テンソル積Hilbert空間の典型的な稠密部分空間とCONS） ===
$\mathcal{H}_1,\ldots,\mathcal{H}_N$ をそれぞれHilbert空間とする。
*$(1)$　$D_1\subset \mathcal{H}_1,\cdots,D_N\subset \mathcal{H}_N$ がそれぞれ稠密部分空間であるならば、
$$
D_1\odot \cdots\odot D_N\subset \mathcal{H}_1\otimes\cdots\otimes \mathcal{H}_N
$$
も稠密部分空間である。
*$(2)$　各 $\mathcal{H}_j$ のCONSを $(e_{j,i})_{i\in I_j}$（[[測度と積分6：数え上げ測度と $\ell^p$ 空間 ]]の'''定義25.7'''）とすると、
$$
(e_{1,i_1}\otimes\cdots\otimes e_{N,i_N})_{(i_1,\ldots,i_N)\in I_1\times\cdots\times I_N}\quad\quad(*)
$$
は $\mathcal{H}_1\otimes\cdots\otimes \mathcal{H}_N$ のCONSである。
{{begin |proof }}
*$(1)$
$$
\lVert v_1\otimes\cdots\otimes v_N\rVert=\lVert v_1\rVert\cdots\lVert v_N\rVert\quad(\forall v_1\in \mathcal{H}_1,\ldots,v_N\in \mathcal{H}_N)
$$
であるから、
$$
\mathcal{H}_1\times\cdots\times \mathcal{H}_N\ni (v_1,\ldots,v_N)\mapsto v_1\otimes\cdots\otimes v_N\in \mathcal{H}_1\otimes\cdots\otimes \mathcal{H}_N
$$
は有界多重線形写像である。よって任意の $j\in \{1,\ldots,N\}$、任意の $v_j\in \mathcal{H}_j$ に対し $v_j$ に収束する $D_j$ の列 $(v_{j,n})_{n\in \mathbb{N}}$ を取れば、
$$
v_1\otimes\cdots\otimes v_N=\lim_{n\rightarrow\infty}v_{1,n}\otimes\cdots\otimes v_{N,n}\in \overline{D_1\odot\cdots \odot D_N}
$$
である。ゆえに、
$$
\mathcal{H}_1\otimes\cdots\otimes \mathcal{H}_N=\overline{\mathcal{H}_1\odot \cdots \odot\mathcal{H}_N}=\overline{D_1\odot \cdots\odot D_N}
$$
である。
*$(2)$　$(*)$ は明らかに $\mathcal{H}_1\otimes \cdots\otimes \mathcal{H}_N$ のONSである。CONSの定義より各 $j\in\{1,\ldots,N\}$ に対し $D_j:=\text{span}\{e_{j,i}\}_{i\in I_j}$ は $\mathcal{H}_j$ の稠密部分空間であるから、$(1)$ より、
$$
D_1\odot \cdots\odot D_N=\text{span}\{e_{1,i_1}\otimes\cdots\otimes e_{N,i_N}:(i_1,\ldots,i_N)\in I_1\times\cdots\times I_N\}
$$
は $\mathcal{H}_1\otimes\cdots\otimes \mathcal{H}_N$ の稠密部分空間である。よって $(*)$ は $\mathcal{H}_1\otimes\cdots\otimes \mathcal{H}_N$ のCONSである。
{{end|proof|}}

=== 命題12.8 ===
$X_j$ を第二可算局所コンパクトHausdorff空間、$\mu_j\colon\mathcal{B}_{X_j}\rightarrow[0,\infty]$ をコンパクト集合に対して有限測度を与えるBorel測度（[[測度と積分7：局所コンパクトHausdorff空間上のRadon測度]]の'''定理31.5'''よりRadon測度）とする $(j=1,\ldots,N)$。そして$f_j\colon X_j\rightarrow\mathbb{C}$（$j=1,\ldots,N$）に対し、
$$
f_1\times\cdots\times f_N\colon X_1\times \cdots\times X_N\ni (x_1,\ldots,x_N)\mapsto f_1(x_1)\ldots f_N(x_N)\in \mathbb{C}
$$
と定義する。このときユニタリ作用素
$$
U\colon\bigotimes_{j=1}^{N}L^2(X_j,\mu_j)\rightarrow L^2(X_1\times\cdots\times X_N,\mu_1\otimes\cdots \otimes \mu_N)
$$
で、
$$
U([f_1]\otimes\cdots\otimes [f_N])=[f_1\times\cdots\times f_N]\quad(\forall [f_1]\in L^2(X_1,\mu_1),\ldots,[f_N]\in L^2(X_N,\mu_N))
$$
を満たすものが唯一つ存在する。
{{begin |proof }}
まず各 $X_j$ は第二可算局所コンパクトHausdorff空間であるから、[[測度と積分1：測度論の基礎用語]]の'''命題2.8'''より、
$$
X\colon=X_1\times \cdots\times X_N
$$
も第二可算局所コンパクトHausdorff空間であり、
$$
\mathcal{B}_X=\mathcal{B}_{X_1}\otimes\cdots\otimes \mathcal{B}_{X_N}
$$
である。また各 $\mu_j$ は $\sigma$-有限であるので、直積測度
$$
\mu=\mu_1\otimes\cdots\otimes \mu_N
$$
が定義でき、$X$ の任意のコンパクト集合はコンパクト集合の直積に含まれる<ref>$K\subset X$ をコンパクト集合、$\pi_j\colon X\rightarrow X_j$ を自然な射影 $(j=1,\ldots,N)$ とすると、各 $\pi_j(K)$ はコンパクトであり、$K\subset \pi_1(K)\times \cdots\times \pi_N(K)$ である。</ref>から、[[測度と積分7：局所コンパクトHausdorff空間上のRadon測度]]の'''定理31.5'''より、$\mu$ は自動的にRadon測度である。任意の $[f_1]\in L^2(X_1,\mu_1),\ldots,[f_N]\in L^2(X_N,\mu_N)$ に対しTonelliの定理より $[f_1\times\cdots\times f_N]\in L^2(X,\mu)$ であり、
$$
\prod_{j=1}^{N}L^2(X_j,\mu_j)\ni ([f_1],\ldots,[f_N])\mapsto [f_1\times\cdots\times f_N]\in L^2(X,\mu)
$$
はwell-definedな多重線形写像である。よって[[速習「線形空間論」]]の'''定理8.4'''より線形作用素
$$
U_0:\bigodot_{j=1}^{N}L^2(X_j,\mu_j)\ni [f_1]\otimes\cdots\otimes [f_N]\mapsto [f_1\times\cdots\times f_N]\in L^2(X,\mu)
$$
が定まり、Fubiniの定理より $U_0$ は内積を保存する。よって $U_0$ は内積を保存する線形作用素
$$
U:\bigotimes_{j=1}^{N}L^2(X_j,\mu_j)\rightarrow L^2(X,\mu)
$$
に一意拡張できる。$\mu$ はRadon測度なので[[測度と積分7：局所コンパクトHausdorff空間上のRadon測度]]の'''定理32'''より、
$$
L^2(X,\mu)=\overline{[C_c(X)]}^{\lVert \cdot\rVert_2}
$$
が成り立つ。任意の $f\in C_c(X)$ を取る。各 $j\in\{1,\ldots,N\}$ に対し $\text{supp}(f)$ の $X_j$ 上への自然な射影 $\pi_j(\text{supp}(f))\subset X_j$ はコンパクトであるから、[[測度と積分7：局所コンパクトHausdorff空間上のRadon測度]]の'''命題27.4'''より、閉包がコンパクトな開集合 $V_j\supset \pi_j(\text{supp}(f))$ が取れる。
$$
\text{supp}(f)\subset \pi_1(\text{supp}(f))\times\cdots\times \pi_N(\text{supp}(f))\subset V_1\times\cdots\times V_N
$$
より、
$$
f\in C_c(V_1\times\cdots\times V_N)\subset C_0(V_1\times\cdots\times V_N)
$$
であり、Urysohnの補題とStone-Weierstrassの定理（[[測度と積分7：局所コンパクトHausdorff空間上のRadon測度]]の'''定理27.6'''と'''定理35.5'''）より、
$$
C_0(V_1\times\cdots\times V_N)=\overline{\text{span}\{\varphi_1\times\cdots\times\varphi_N:\varphi_1\in C_0(V_1),\ldots,\varphi_N\in C_0(V_N)\}}^{\sup\text{ノルム}}
$$
であるから、
$$
\mu(V_1\times\cdots\times V_N)\leq \mu_1(\overline{V_1})\cdots\mu_N(\overline{V_N})<\infty
$$
より、
$$
[f]\in \overline{U(L^2(X_1,\mu_1)\odot \cdots\odot L^2(X_N,\mu_N))}^{\lVert \cdot\rVert_2}
$$
である。よって、
$$
\begin{aligned}
&L^2(X,\mu)=\overline{[C_c(X)]}^{\lVert \cdot\rVert_2}\subset \overline{U(L^2(X_1,\mu_1)\odot \cdots\odot L^2(X_N,\mu_N))}^{\lVert \cdot\rVert_2}\\
&=U(\overline{L^2(X_1,\mu_1)\odot \cdots \odot L^2(X_N,\mu_N)}^{\lVert \cdot\rVert_2})=U(L^2(X_1,\mu_1)\otimes\cdots\otimes L^2(X_N,\mu_N))\subset L^2(X,\mu)
\end{aligned}
$$
であるから、$U$ はユニタリ作用素である。
{{end|proof|}}

=== 定義12.9（$L^2$ 空間のテンソル積） ===
$X_j$ を第二可算局所コンパクトHausdorff空間、$\mu_j\colon\mathcal{B}_{X_j}\rightarrow[0,\infty]$ をコンパクト集合に対して有限測度を与えるBorel測度（[[測度と積分7：局所コンパクトHausdorff空間上のRadon測度]]の'''定理31.5'''よりRadon測度）とする $(j=1,\ldots,N)$。このとき'''命題12.8'''より、ユニタリ作用素
$$
U\colon\bigotimes_{j=1}^{N}L^2(X_j,\mu_j)\rightarrow L^2(X_1\times\cdots\times X_N,\mu_1\otimes\cdots \otimes \mu_N)
$$
で、
$$
U([f_1]\otimes\cdots\otimes [f_N])=[f_1\times\cdots\times f_N]\quad(\forall [f_1]\in L^2(X_1,\mu_1),\ldots,[f_N]\in L^2(X_N,\mu_N))
$$
を満たすものが唯一つ存在する。そこで以後、
$$
[f_1]\otimes\cdots\otimes [f_N]=[f_1\times\cdots\times f_N]\quad(\forall [f_1]\in L^2(X_1,\mu_1),\ldots,[f_N]\in L^2(X_N,\mu_N))
$$
なる同一視により、
$$
\bigotimes_{j=1}^{N}L^2(X_j,\mu_j)=L^2(X_1\times\cdots\times X_N,\mu_1\otimes\cdots\otimes \mu_N)
$$
とみなす。

=== 定義12.10（Hilbert空間上の線形作用素のテンソル積） ===
各 $j\in \{1,\ldots,N\}$ に対しHilbert空間 $\mathcal{H}_j$ からHilbert空間 $\mathcal{K}_j$ への線形作用素 $T_j$ が与えられているとする。このとき、
$$
\prod_{j=1}^{N}D(T_j)\ni (v_1,\ldots,v_N)\mapsto T_1v_1\otimes \cdots\otimes T_Nv_N\in \bigotimes_{j=1}\mathcal{K}_j
$$
は多重線形写像であるから、[[速習「線形空間論」]]の'''定理8.4'''より線形作用素
$$
T_1\odot \cdots\odot T_N\colon\bigodot_{j=1}^{N}D(T_j)\ni v_1\otimes\cdots\otimes v_N\mapsto T_1v_1\otimes\cdots\otimes T_Nv_N\in \bigotimes_{j=1}^{N}\mathcal{K}_j
$$
が定まる。もし $T_1,\ldots,T_N$ がそれぞれ稠密に定義された線形作用素であるならば、'''命題12.7'''より $\bigodot_{j=1}^{N}D(T_j)$ は $\bigotimes_{j=1}^{N}\mathcal{H}_j$ において稠密であるから、$T_1\odot \cdots\odot T_N$ はHilbert空間 $\bigotimes_{j=1}^{N}\mathcal{H}_j$ からHilbert空間 $\bigotimes_{j=1}^{N}\mathcal{K}_j$ への稠密に定義された線形作用素である。よって $T_1\odot \cdots\odot T_N$ は共役作用素を持ち、明らかに、
$$
T_1^*\odot \cdots\odot T_N^*\subset (T_1\odot \cdots\odot T_N)^*
$$
である。これよりもし $T_1,\ldots,T_N$ が稠密に定義された閉線形作用素ならば、'''定理3.10'''より $T_j=T_j^{**}$ であるから、
$$
T_1\odot \cdots\odot T_N=T_1^{**}\odot \cdots\odot T_N^{**}\subset (T_1^*\odot \cdots\odot T_N^*)^*
$$
であり、右辺は閉線形作用素である（'''命題3.9'''の $(6)$ より共役作用素は閉である）から、$T_1\odot \cdots\odot T_N$ は稠密に定義された可閉線形作用素である。そこで $\mathcal{H}_j$ から $\mathcal{K}_j$ への稠密に定義された閉線形作用素 $T_j$ $(j=1,\ldots,N)$ に対し、$\bigotimes_{j=1}^{N}\mathcal{H}_j$ から $\bigotimes_{j=1}^{N}\mathcal{K}_j$ への稠密に定義された閉線形作用素 $T_1\otimes\cdots\otimes T_N$ を、
$$
T_1\otimes\cdots\otimes T_N\colon=\overline{T_1\odot \cdots \odot T_N}
$$
と定義する。$T_1\otimes\cdots\otimes T_N$ を $T_1,\ldots,T_N$ のテンソル積と言う。

=== 補題12.11（Russo-Dyeの定理） ===
$\mathcal{A}$ を単位的 $C^*$-環とし、$A\in \mathcal{A}$ と $n\in \mathbb{N}$ が、
$$
\lVert A\rVert<1-\frac{2}{n}
$$
を満たすとする。このとき $n$ 個のユニタリ元 $U_1,\ldots,U_n\in \mathcal{A}$ で、
$$
A=\frac{1}{n}(U_1+\cdots+U_n)
$$
を満たすものが取れる。特に $\mathcal{A}$ の任意の元はユニタリ元の線形結合である。
{{begin |proof }}
*$(1)$　$A\in {\rm GL}(\mathcal{A})$ かつ $\lVert A\rVert<1$ を満たす任意の $A$ に対し、ユニタリ元 $U_+,U_-\in \mathcal{A}$ で、
$$
A=\frac{1}{2}(U_++U_-)
$$
を満たすものが取れることを示す。$A^*A\in {\rm GL}(\mathcal{A})\cap \mathcal{A}_+$ であるから連続汎関数計算（[[Banach環とC*-環のスペクトル理論]]の'''定義6.6'''）より $\lvert A\rvert=\sqrt{A^*A}\in {\rm GL}(\mathcal{A})\cap \mathcal{A}_+$ である。そこで、
$$
W\colon=A\lvert A\rvert^{-1}\in {\rm GL}(\mathcal{A})
$$
とおくと、$W^*W=\lvert A\rvert^{-1}A^*A\lvert A\rvert^{-1}=\lvert A\rvert^{-1}\lvert A\rvert^2\lvert A\rvert^{-1}=1$ であるから $W$ はユニタリであり、$A=W\lvert A\rvert$ である。$\lVert \lvert A\rvert\rVert^2=\lVert A^*A\rVert=\lVert A\rVert^2<1$ であるから $1-\lvert A\rvert^2\in \mathcal{A}_+$ である。そこで、
$$
V_{\pm}\colon=\lvert A\rvert\pm i\sqrt{1-\lvert A\rvert^2}
$$
とおけば連続汎関数計算より、
$$
V_{\pm}V_{\mp}=\lvert A\rvert^2+(1-\lvert A\rvert^2)=1
$$
であるから $V_{\pm}$ はユニタリである。そして $\lvert A\rvert=\frac{1}{2}(V_++V_-)$ であるから、
$$
A=W\lvert A\rvert=\frac{1}{2}(WV_++WV_-)
$$
である。$U_{\pm}=WV_{\pm}$ とおけば $U_{\pm}$ はユニタリであり、$A=\frac{1}{2}(U_++U_-)$ である。

*$(2)$　$\lVert A\rVert<1$ を満たす任意の $A\in \mathcal{A}$ に対し、ユニタリ元 $U,V$ で、
$$
1+A=U+V
$$
を満たすものが取れることを示す。[[Banach環とC*-環のスペクトル理論]]の'''命題1.2'''より $1+A\in {\rm GL}(\mathcal{A})$ であるから、
$$
\frac{1}{2}(1+A)\in {\rm GL}(\mathcal{A}),\quad \left\lVert \frac{1}{2}(1+A)\right\rVert<1
$$
である。よって $(1)$ よりユニタリ元 $U,V\in \mathcal{A}$ で、
$$
\frac{1}{2}(1+A)=\frac{1}{2}(U+V)
$$
なるものが取れる。
*$(3)$　$\lVert A\rVert<1$ を満たす任意の $A\in \mathcal{A}$ と任意の $n\in \mathbb{N}$ に対し、$n+1$ 個のユニタリ $U_1,\ldots,U_n,V_n\in \mathcal{A}$ で、
$$
1+nA=U_1+\cdots+U_n+V_n
$$
を満たすものが取れることを示す。$n\in \mathbb{N}$ に関する帰納法で示す。$n=1$ の場合は $(2)$ より成り立つ。ある $n-1\in \mathbb{N}$ に対して成り立つと仮定する。すなわち $n$ 個のユニタリ元 $U_1,\ldots,U_{n-1},V_{n-1}\in \mathcal{A}$ で、
$$
1+(n-1)A=U_1+\cdots+U_{n-1}+V_{n-1}
$$
を満たすものが取れるとする。このとき $V_{n-1}+A=V_{n-1}(1+V_{n-1}^*A)$ であり、$\lVert V_{n-1}^*A\rVert<1$ であるから、$(2)$ よりユニタリ元 $U_n,V_n$ で、
$$
V_{n-1}+A=U_n+V_n
$$
なるものが取れる。よって、
$$
1+nA=1+(n-1)A+A=U_1+\cdots+U_{n-1}+V_{n-1}+A=U_1+\cdots+U_n+V_n
$$
であるから $n$ の場合も成り立つ。
*$(4)$　$A\in \mathcal{A}$ と $n\in \mathbb{N}$ が $\lVert A\rVert<1-\frac{2}{n}$ を満たすとき、$n$ 個のユニタリ元 $U_1,\ldots,U_n$ で、
$$
A=\frac{1}{n}(U_1+\cdots+U_n)
$$
を満たすものが取れることを示す。
$$
B\colon=\frac{1}{n-1}(1-nA)\in\mathcal{A}
$$
とおくと、
$$
\lVert B\rVert\leq \frac{1}{n-1}(1+n\lVert A\rVert)<\frac{1}{n-1}(1+n-2)=1
$$
であるから、$(3)$ より $n$ 個のユニタリ元 $U_1,\ldots,U_n$ で、
$$
nA=1+(n-1)B=U_1+\cdots+U_n
$$
を満たすものが取れる。よって $A=\frac{1}{n}(U_1+\cdots+U_n)$ である。
{{end|proof|}}

=== 定理12.12（有界線形作用素のテンソル積） ===
$\mathcal{H}_j,\mathcal{K}_j$ をそれぞれHilbert空間とし、$T_j\in \mathbb{B}(\mathcal{H}_j,\mathcal{K}_j)$ $(j=1,\ldots,N)$ とする。このとき $T_1,\ldots,T_N$ のテンソル積は、
$$
T_1\otimes\cdots\otimes T_N\in \mathbb{B}\left(\bigotimes_{j=1}^{N}\mathcal{H}_j,\text{ }\bigotimes_{j=1}^{N}\mathcal{K}_j\right)
$$
を満たし、作用素ノルムに関して、
$$
\lVert T_1\otimes\cdots\otimes T_N\rVert=\lVert T_1\rVert\cdots\lVert T_N\rVert
$$
が成り立つ。
{{begin |proof }}
*$(1)$　まず $\mathcal{H}_j=\mathcal{K}_j$ $(j=1,\ldots,N)$ の場合に成り立つことを示す。このときRusso-Dyeの定理（'''補題12.11'''）より各 $j\in \{1,\ldots,N\}$ に対し $T_j\in \mathbb{B}(\mathcal{H}_j)$ は $\mathcal{H}_j$ 上のユニタリ作用素の線形結合で表せる。ここで $U_j\in \mathbb{B}(\mathcal{H}_j)$ $(j=1,\ldots,N)$ をユニタリ作用素とすると、
$$
U_1\odot\cdots\odot U_N\colon\bigodot_{j=1}^{N}\mathcal{H}_j\ni v_1\otimes\cdots\otimes v_N\mapsto U_1v_1\otimes\cdots\otimes U_Nv_N\in \bigotimes_{j=1}^{N}\mathcal{H}_j
$$
は内積を保存するので有界作用素であり、
$$
T_1\odot \cdots\odot T_N\colon\bigodot_{j=1}^{N}\mathcal{H}_j\rightarrow\bigotimes_{j=1}^{N}\mathcal{H}_j
$$
はこのタイプの線形作用素の線形結合であるから有界線形作用素である。よって、
$$
T_1\otimes\cdots\otimes T_N=\overline{T_1\odot \cdots\odot T_N}\in \mathbb{B}\left(\bigotimes\mathcal{H}_j\right)
$$
が成り立つ。任意の $k\in \{1,\ldots,N\}$ に対し、
$$
\mathbb{B}(\mathcal{H}_k)\ni T_k\mapsto 1\otimes\cdots\otimes 1\otimes \overset{k\text{番目}}{T_k}\otimes1\otimes\cdots\otimes 1
$$
は $C^*$-環から $C^*$-環への単射 $*$-環準同型写像であるので、[[Banach環とC*-環のスペクトル理論]]の'''定理10.2'''よりノルムを保存する。よって、
$$
\lVert T_1\otimes\cdots\otimes T_N\rVert\leq \lVert T_1\rVert\cdots\lVert T_N\rVert
$$
が成り立つ。逆の不等式を示す。任意の $v_j\in \mathcal{H}_j$ $(j=1,\ldots,N)$ に対し、
$$
\lVert T_1v_1\rVert\cdots\lVert T_Nv_N\rVert=\lVert T_1v_1\otimes\cdots\otimes T_Nv_N\rVert\leq \lVert T_1\otimes\cdots\otimes T_N\rVert\lVert v_1\rVert\cdot\lVert v_N\rVert
$$
であるから、
$$
\lVert T_1\rVert\cdots\lVert T_N\rVert=\sup\{(\lVert T_1v_1\rVert\cdots\lVert T_Nv_N\rVert:v_j\in \mathcal{H}_j,\text{ }\lVert v_j\rVert\leq 1\text{ }(j=1,\ldots,N)\}\leq\lVert T_1\otimes\cdots\otimes T_N\rVert
$$
である。よって $\lVert T_1\otimes\cdots\otimes T_N\rVert=\lVert T_1\rVert\cdots\lVert T_N\rVert$ が成り立つ。
*$(2)$　一般の場合を示す。$T_j^*T_j\in \mathbb{B}(\mathcal{H}_j)$、$\lVert T_j^*T_j\rVert=\lVert T_j\rVert^2$ $(j=1,\ldots,N)$ であるから $(1)$ より、
$$
\lVert T_1^*T_1\otimes\cdots\otimes T_N^*T_N\rVert=\lVert T_1^*T_1\rVert\cdots\lVert T_N^*T_N\rVert=(\lVert T_1\rVert\cdots\lVert T_N\rVert)^2
$$
である。よって、
$$
T_1\odot\cdots\odot T_N\colon\bigodot_{j=1}^{N}\mathcal{H}_j\ni v_1\otimes\cdots\otimes v_N\mapsto T_1v_1\otimes\cdots\otimes T_Nv_N\in \bigotimes_{j=1}^{N}\mathcal{K}_j
$$
は任意の $v\in \bigodot_{j=1}^{N}\mathcal{H}_j$ に対し、
$$
\lVert (T_1\odot \cdots\odot T_N)v\rVert^2=(v\mid (T_1^*T_1\odot \cdots\odot T_N^*T_N)v)\leq \lVert (\lVert T_1\rVert\cdots\lVert T_N\rVert\lVert v\rVert)^2
$$
を満たすので有界線形作用素であり、
$$
\lVert T_1\odot \cdots\odot T_N\rVert\leq \lVert T_1\rVert\cdots\lVert T_N\rVert
$$
が成り立つ。ゆえに、
$$
T_1\otimes\cdots\otimes T_N=\overline{T_1\odot \cdots \odot T_N}\in \mathbb{B}\left(\bigotimes_{j=1}^{N}\mathcal{H}_j,\text{ }\bigotimes_{j=1}^{N}\mathcal{K}_j\right)
$$
であり、
$$
\lVert T_1\otimes\cdots\otimes T_N\rVert=\lVert T_1\odot \cdots\odot T_N\rVert\leq \lVert T_1\rVert\cdots\lVert T_N\rVert
$$
が成り立つ。逆の不等式が成り立つことは $(1)$ と全く同様にして示せる。
{{end|proof|}}

=== 定理12.13（テンソル積射影値測度の一意存在） ===
$\mathcal{H}_j$ をHilbert空間、$X_j$ を第二可算局所コンパクトHausdorff空間、$E_j\colon\mathcal{B}_{X_j}\rightarrow \mathbb{P}(\mathcal{H}_j)$ を射影値測度とする $(j=1,\ldots,N)$。このとき射影値測度
$$
E\colon\mathcal{B}_{X_1\times\cdots\times X_N}\rightarrow\mathbb{P}(\mathcal{H}_1\otimes\cdots\otimes \mathcal{H}_N)
$$
で、
$$
E(B_1\times\cdots\times B_N)=E_1(B_1)\otimes\cdots\otimes E_N(B_N)\quad(\forall B_1\in\mathcal{B}_{X_1},\ldots,B_N\in\mathcal{B}_{X_N})
$$
を満たすものが唯一つ存在する。
{{begin |proof }}
存在を示す。$\mathcal{H}\colon=\mathcal{H}_1\otimes\cdots\otimes \mathcal{H}_N$ とおく。
各 $X_j$ は第二可算局所コンパクトHausdorff空間であるから、[[測度と積分1：測度論の基礎用語]]の'''命題2.8'''より、
$$
X\colon=X_1\times \cdots\times X_N
$$
も第二可算局所コンパクトHausdorff空間であり、
$$
\mathcal{B}_X=\mathcal{B}_{X_1}\otimes\cdots\otimes \mathcal{B}_{X_N}=\sigma(\mathcal{C})
$$
である。ただし $\mathcal{C}$ は半集合代数（[[測度と積分3：測度論の基本定理(1)]]の'''定義12.1'''）
$$
\mathcal{C}=\mathcal{B}_{X_1}\times\cdots\times \mathcal{B}_{X_N}=\{B_1\times\cdots\times B_N:B_1\in \mathcal{B}_{X_1},\ldots,B_N\in \mathcal{B}_{X_N}\}
$$
である。今、
$$
E^{(0)}\colon\mathcal{C}\ni B_1\times\cdots\times B_N\mapsto E_1(B_1)\otimes\cdots\otimes E_N(B_N)\in \mathbb{P}(\mathcal{H})
$$
とおく。$C_1,C_2\in\mathcal{C}$ が互いに交わらないならば、$E^{(0)}(C_1),E^{(0)}(C_2)\in \mathbb{P}(\mathcal{H})$ は明らかに直交する。$E^{(0)}$ が $\mathcal{C}$ 上で $\sigma$-加法的であること、すなわち $\mathcal{C}$ の非交叉列 $(C_n)_{n\in \mathbb{N}}$ で $\bigcup_{n\in\mathbb{N}}C_n\in\mathcal{C}$ なるものに対し、
$$
E^{(0)}\left(\bigcup_{n\in\mathbb{N}}C_n\right)=\sum_{n\in \mathbb{N}}E^{(0)}(C_n)\quad\quad(*)
$$
が成り立つことを示す。そのためには $\mathcal{H}$ における
$$
\bigodot_{j=1}^{N}\mathcal{H}_j=\text{span}\{v_1\otimes\cdots\otimes v_N:v_1\in\mathcal{H}_1,\ldots,v_N\in\mathcal{H}_N\}
$$
の稠密性より、任意の $u_1,v_1\in\mathcal{H}_1,\ldots,u_N,v_N\in\mathcal{H}_N$ に対し、
$$
u=u_1\otimes\cdots\otimes u_N,\quad v=v_1\otimes\cdots\otimes v_N
$$
とおいて、
$$
\left(u\mid E^{(0)}\left(\bigcup_{n\in\mathbb{N}}C_n\right)v\right)
=\left(u\mid \sum_{n\in \mathbb{N}}E^{(0)}(C_n)v\right)
$$
が成り立つことを示せば十分である。しかし任意の $B_1\in\mathcal{B}_{X_1},\ldots,B_N\in\mathcal{B}_{X_N}$ に対し、
$$
\begin{aligned}
(u\mid E^{(0)}(B_1\times\cdots\times B_N)v)&=(u_1\mid E_1(B_1)v_1)\cdots(u_N\mid E_N(B_N)v_N)\\
&=E_{1,u_1,v_1}(B_1)\cdots E_{N,u_N,v_N}(B_N)\quad\quad(**)
\end{aligned}
$$
であり、偏極恒等式より各 $j\in \{1,\ldots,N\}$ に対し複素数値Borel測度 $E_{j,u_j,v_j}\colon\mathcal{B}_{X_j}\rightarrow\mathbb{C}$ は有限Borel測度の線形結合であるから、有限Borel測度の直積測度を考えることにより、
$$
\mathcal{C}\ni B_1\times\cdots\times B_N\mapsto E_{1,u_1,v_1}(B_1)\cdots E_{N,u_N,v_N}(B_N)\in \mathbb{C}
$$
は $\mathcal{B}_X=\sigma(\mathcal{C})$ 上のある複素数値Borel測度
$$
E^{(0)}_{u,v}\colon\mathcal{B}_X\rightarrow \mathbb{C}
$$
に拡張できることが分かる。$(**)$ より、
$$
(u\mid E^{(0)}(C)v)=E^{(0)}_{u,v}(C)\quad(\forall C\in\mathcal{C})
$$
であるから、
$$
\left(u\mid E^{(0)}\left(\bigcup_{n\in\mathbb{N}}C_n\right)v\right)
=E^{(0)}_{u,v}\left(\bigcup_{n\in\mathbb{N}}C_n\right)=\sum_{n\in\mathbb{N}}E^{(0)}_{u,v}(C_n)=\sum_{n\in\mathbb{N}}(u\mid E^{(0)}(C_n)v)
=\left(u\mid \sum_{n\in\mathbb{N}}E^{(0)}(C_n)v\right)
$$
である。（$(E^{(0)}(C_n))_{n\in\mathbb{N}}$ は射影作用素の直交族であることに注意。）ゆえに $(*)$ が成り立つ。$\mathcal{A}(\mathcal{C})$ を半集合代数 $\mathcal{C}$ から生成される有限加法族とすると、[[測度と積分3：測度論の基本定理(1)]]の'''命題13.2'''と全く同様にして、$E^{(0)}\colon\mathcal{C}\rightarrow\mathbb{P}(\mathcal{H})$ は、$\sigma$-加法的な
$$
E^{(1)}\colon\mathcal{A}(\mathcal{C})\rightarrow\mathbb{P}(\mathcal{H})
$$
に一意拡張できる。任意の $v\in\mathcal{H}$ に対し、
$$
\mathcal{A}(\mathcal{C})\ni A\mapsto (v\mid E^{(1)}(A)v)\in [0,\infty)
$$
は有限加法族 $\mathcal{A}(\mathcal{C})$ 上の $\sigma$-加法的測度であるからCarathéodoryの拡張定理（[[測度と積分3：測度論の基本定理(1)]]の'''定理13.7'''）より $\mathcal{B}_X=\sigma(\mathcal{A}(\mathcal{C}))$ 上の有限Borel測度に一意拡張できる。よって偏極恒等式より任意の $u,v\in\mathcal{H}$ に対し複素数値Borel測度 $\mu_{u,v}\colon\mathcal{B}_X\rightarrow\mathbb{C}$ で、
$$
\mu_{u,v}(A)=(u\mid E^{(1)}(A)v)\quad(\forall A\in\mathcal{A}(\mathcal{C}))\quad\quad(***)
$$
を満たすものが存在する。そして単調族定理（[[測度と積分3：測度論の基本定理(1)]]の'''定理12.8'''）により $(***)$ を満たす複素数値Borel測度は $\mu_{u,v}$ は唯一つである。<ref>複素数値Borel測度 $\mu_1,\mu_2:{\cal B}_X\rightarrow \mathbb{C}$ が ${\cal A}({\cal C})$ 上で一致するとする。$\{B\in {\cal B}_X: \mu_1(B)=\mu_2(B)\}$ は ${\cal A}({\cal C})$ を含む単調族であるから、${\cal A}({\cal C})$ から生成される単調族 ${\cal M}({\cal A}({\cal C}))$ を含む。単調族定理（[[測度と積分3：測度論の基本定理(1)]]の'''定理12.8'''）より ${\cal B}_X=\sigma({\cal A}({\cal C}))={\cal M}({\cal A}({\cal C}))$ であるから、任意の $B\in {\cal B}_X$ に対し $\mu_1(B)=\mu_2(B)$ である。</ref>
この一意性より任意の $B\in \mathcal{B}_X$ に対し、
$$
\mathcal{H}\times \mathcal{H}\ni (u,v)\mapsto \mu_{u,v}(B)\in \mathbb{C}
$$
は準双線形汎関数である。今、任意の $B\in\mathcal{B}_X$ に対し、
$$
\lvert \mu_{u,v}(B)\rvert\leq \lVert u\rVert\lVert v\rVert\quad(\forall u,v\in\mathcal{H})\quad\quad(****)
$$
が成り立つことを示す。$X$ は第二可算局所コンパクトHausdorff空間であるから、[[測度と積分7：局所コンパクトHausdorff空間上のRadon測度]]の'''定理31.5'''より任意の $u,v\in\mathcal{H}$ に対し $\mu_{u,v}\colon\mathcal{B}_X\rightarrow\mathbb{C}$ は複素数値Radon測度である。よって $B$ を含む開集合の列 $(U_n)_{n\in\mathbb{N}}$ で $\lim_{n\rightarrow\infty}\mu_{u,v}(U_n)=\mu_{u,v}(B)$ を満たすものが取れるので、$(****)$ を示すには任意の開集合 $U\subset X$ に対し、
$$
\lvert \mu_{u,v}(U)\rvert\leq \lVert u\rVert\lVert v\rVert\quad(\forall u,v\in\mathcal{H})
$$
が成り立つことを示せばよい。$X$ の開集合の可算基底として $\mathcal{C}$ の元からなるものが取れるから、$U$ は $\mathcal{A}(\mathcal{C})$ の非交叉列の合併で表される。そこで $(A_n)_{n\in \mathbb{N}}$ を $\mathcal{A}(\mathcal{C})$ の非交叉列で $U=\bigcup_{n\in\mathbb{N}}A_n$ なるものとすると、$(E^{(1)}(A_n))_{n\in\mathbb{N}}$ は射影作用素の直交族であるので、その和 $\sum_{n\in\mathbb{N}}E^{(0)}(A_n)$ も射影作用素であるから、
$$
\begin{aligned}
\lvert \mu_{u,v}(U)\rvert&=\left\lvert \sum_{n\in\mathbb{N}}\mu_{u,v}(A_n)\right\rvert=\left\lvert\sum_{n\in\mathbb{N}}(u\mid E^{(1)}(A_n)v)\right\rvert
=\left\lvert \left(u\mid \sum_{n\in\mathbb{N}}E^{(1)}(A_n)v\right)\right\rvert\\
&\leq\lVert u\rVert \left\lVert \sum_{n\in\mathbb{N}}E^{(1)}(A_n)v\right\rVert\leq \lVert u\rVert\lVert v\rVert
\end{aligned}
$$
となる。よって $(****)$ が成り立つ。これより任意の $B\in\mathcal{B}_X$ に対し、$\mathcal{H}\times \mathcal{H}\ni (u,v)\mapsto \mu_{u,v}(B)\in\mathbb{C}$ はノルムが $1$ 以下の有界準双線形汎関数であるから、[[位相線形空間1：ノルムと内積]]の'''定理7.1'''より作用素ノルムが $1$ 以下の $E(B)\in\mathbb{B}(\mathcal{H})$ で、
$$
(u\mid E(B)v)=\mu_{u,v}(B)\quad(\forall u,v\in\mathcal{H})
$$
を満たすものが一意的に定まる。これにより $E\colon\mathcal{B}_X\ni B\mapsto E(B)\in\mathbb{B}(\mathcal{H})$ を定義する。$(***)$ より、
$$
E(A)=E^{(1)}(A)\quad(\forall A\in {\cal A}({\cal C})$
$$
であり、特に $E(X)=E^{(1)}(A)=1$ である。任意の $u,v\in\mathcal{H}$ に対し、
$$
\mathcal{B}_X\ni B\mapsto (u\mid E(B)v)=\mu_{u,v}(B)\in\mathbb{C}
$$
は複素数値測度であるから、$E(B)\in\mathbb{P}(\mathcal{H})$ $(\forall B\in\mathcal{B}_X)$ が成り立つことを示せば $E$ が求める射影値測度であることになる。任意の $v\in\mathcal{H}$ に対し $\mu_{v,v}$ は $\mathcal{A}(\mathcal{C})$ 上の $\sigma$-加法的測度 $\mathcal{A}(\mathcal{C})\ni A\mapsto (v\mid E^{(1)}(A)v)\in [0,\infty)$ をCarathéodoryの拡張定理により $\mathcal{B}_X=\sigma(\mathcal{A}(\mathcal{C}))$ 上に拡張した非負値測度であるから、
$$
(v\mid E(B)v)=\mu_{v,v}(B)\geq0\quad(\forall B\in\mathcal{B}_X)
$$
である。よって $E(B)=E(B)^*$ $(\forall B\in\mathcal{B}_X)$ である。$E(A)=E^{(1)}(A)$ $(\forall A\in\mathcal{A}(\mathcal{C}))$ であるから、$E$ の $\mathcal{A}(\mathcal{C})$ 上への制限 $\mathcal{A}(\mathcal{C})\ni A\mapsto E(A)\in \mathbb{P}(\mathcal{H})$ は加法的である。よって、
$$
E(A\cap B)=E(A)E(B)\quad(\forall A,B\in\mathcal{A}(\mathcal{C}))
$$
が成り立つ<ref>$\mathcal{A}(\mathcal{C})\ni A\mapsto E(A)\in\mathbb{P}(\mathcal{H})$ の加法性より、$A\subset B$ ならば $E(B)=E(A)+E(B\backslash A)\geq E(A)$ であるから、$E(A)=E(A)E(B)$ である。また $A\cap B=\emptyset$ ならば $E(A)$ と $E(B)$ は直交する。よって任意の $A,B\in\mathcal{A}(\mathcal{C})$ に対し $E(A)E(B)=E(A\cap B)E(B)+E(A\backslash B)E(B)=E(A\cap B)$ である。</ref>。今、
$$
E(A\cap B)=E(A)E(B)\quad(\forall A,B\in\mathcal{B}_X)\quad\quad(*****)
$$
が成り立つことを示す。これが成り立てば任意の $B\in\mathcal{B}_X$ に対し $E(B)^2=E(B)$ であるので、$E(B)\in \mathbb{P}(\mathcal{H})$ を示せたことになる。任意の $u,v\in\mathcal{H}$ を取り固定する。任意の $A\in \mathcal{A}(\mathcal{C})$ に対し、
$$
\begin{aligned}
&\mathcal{B}_X\ni B\mapsto (u\mid E(A)E(B)v)\in \mathbb{C},\\
&\mathcal{B}_X\ni B\mapsto (u\mid E(A\cap B)v)\in \mathbb{C}
\end{aligned}
$$
はそれぞれ複素数値Borel測度であり、$\mathcal{A}(\mathcal{C})$ 上で一致する。よって単調族定理より、
$$
(u\mid E(A)E(B)v)=(u\mid E(A\cap B)v)\quad(\forall A\in\mathcal{A}(\mathcal{C}),\forall B\in\mathcal{B}_X)
$$
が成り立つ。次に任意の $B\in\mathcal{B}_X$ に対し、
$$
\begin{aligned}
&\mathcal{B}_X\ni A\mapsto (u\mid E(A)E(B)v)\in \mathbb{C},\\
&\mathcal{B}_X\ni A\mapsto (u\mid E(A\cap B)v)\in \mathbb{C}
\end{aligned}
$$
はそれぞれ複素数値Borel測度であり、$\mathcal{A}(\mathcal{C})$ 上で一致する。よって単調族定理より、
$$
(u\mid E(A)E(B)v)=(u\mid E(A\cap B)v)\quad(\forall A, B\in\mathcal{B}_X)
$$
が成り立つ。$u,v\in\mathcal{H}$ は任意であるので、$(*****)$ が成り立つ。 
一意性を示す。$E,F:{\cal B}_X\rightarrow \mathbb{P}({\cal H})$ が条件を満たす射影値測度であるとすると、$E,F$ は ${\cal A}({\cal C})$ 上で　一致する。$\{B\in {\cal B}_X:E(B)=F(B)\}$ は ${\cal A}({\cal C})$　を含む単調族であるから、${\cal A}({\cal C})$ から生成される単調族 ${\cal M}({\cal A}({\cal C}))$ を含む。単調族定理（[[測度と積分3：測度論の基本定理(1)]]の'''定理12.8'''）より ${\cal B}_X=\sigma({\cal A}({\cal C}))={\cal M}({\cal A}({\cal C}))$ であるから、任意の $B\in {\cal B}_X$ に対し $E(B)=F(B)$ である。
{{end|proof|}}

=== 定義12.14（テンソル積射影値測度） ===
$\mathcal{H}_j$ をHilbert空間、$X_j$ を第二可算局所コンパクトHausdorff空間、$E_j\colon\mathcal{B}_{X_j}\rightarrow \mathbb{P}(\mathcal{H}_j)$ を射影値測度とする $(j=1,\ldots,N)$。このとき'''定理12.13'''より、射影値測度
$$
E_1\otimes\cdots\otimes E_N\colon\mathcal{B}_{X_1\times\cdots\times X_N}\rightarrow\mathbb{P}(\mathcal{H}_1\otimes\cdots\otimes \mathcal{H}_N)
$$
で、
$$
(E_1\otimes\cdots\otimes E_N)(B_1\times\cdots\times B_N)=E_1(B_1)\otimes\cdots\otimes E_N(B_N)\quad(\forall B_1\in\mathcal{B}_{X_1},\ldots,B_N\in\mathcal{B}_{X_N})
$$
を満たすものが唯一つ存在する。これを $E_1,\ldots,E_N$ のテンソル積射影値測度と言う。$E_1\otimes\cdots\otimes E_N$ は $\bigotimes_{j=1}^{N}E_j$ とも表す。

=== 命題12.15（掛け算作用素を表す射影値測度のテンソル積は掛け算作用素を表す） ===
$X_j$ を第二可算局所コンパクトHausdorff空間、$\mu_j:\mathcal{B}_{X_j}\rightarrow[0,\infty]$ をRadon測度とする（$j=1,\ldots,N$）。各 $j\in \{1,\ldots,N\}$ に対し $L^2(X_j,\mu_j)$ 上の掛け算作用素を表す射影値測度（'''定義10.2'''）を、
$$
E_{\mu_j}\colon\mathcal{B}_{X_j}\rightarrow \mathbb{P}(L^2(X_j,\mu_j))
$$
とおく。このとき、
$$
L^2(X_1\times \cdots\times X_N,\mu_1\otimes\cdots\otimes \mu_N)=\bigotimes_{j=1}^{N}L^2(X_j,\mu_j)
$$
（'''定義12.9'''を参照）上の掛け算作用素を表す射影値測度
$$
E_{\mu_1\otimes\cdots\otimes \mu_N}\colon\mathcal{B}_{X_1\times\cdots\times X_N}\rightarrow \mathbb{P}(L^2(X_1\times\cdots\times X_N,\mu_1\otimes\cdots\otimes\mu_N))
$$
は、テンソル積射影値測度
$$
E_{\mu_1}\otimes\cdots\otimes E_{\mu_N}\colon\mathcal{B}_{X_1\times\cdots\times X_N}\rightarrow \mathbb{P}\left(\bigotimes_{j=1}^{N}L^2(X_j,\mu_j)\right)
$$
に等しい。
{{begin |proof }}
任意の $B_1\in\mathcal{B}_{X_1},\ldots,B_N\in\mathcal{B}_{X_N}$ に対し、
$$
E_{\mu_1\otimes\cdots\otimes \mu_N}(B_1\times\cdots\times B_N)=E_{\mu_1}(B_1)\cdots E_{\mu_N}(B_N)
$$
が成り立つことを示せばよい。そのためには、
$$
\bigodot_{j=1}^{N}L^2(X_j,\mu_j)=\text{span}\left\{[f_1]\otimes\cdots\otimes [f_N]:[f_1]\in L^2(X_1,\mu_1),\ldots,[f_N]\in L^2(X_N,\mu_N)\right\}
$$
の $\bigotimes_{j=1}^{N}L^2(X_j,\mu_j)$ における稠密性より、任意の $[f_1]\in L^2(X_1,\mu_1),\ldots,[f_N]\in L^2(X_N,\mu_N)$ に対し、
$$
E_{\mu_1\otimes\cdots\otimes \mu_N}(B_1\times\cdots\times B_N)([f_1]\otimes\cdots\otimes [f_N])=(E_{\mu_1}(B_1)\otimes\cdots\otimes E_{\mu_N}(B_N))([f_1]\otimes\cdots\otimes [f_N])
$$
が成り立つことを示せば十分であるが、
$$
\begin{aligned}
&E_{\mu_1\otimes\cdots\otimes \mu_N}(B_1\times\cdots\times B_N)([f_1]\otimes\cdots\otimes [f_N])=[\chi_{B_1}f_1]\otimes\cdots\otimes [\chi_{B_N}f_N]\\
&=E_{\mu_1}(B_1)[f_1]\otimes\cdots\otimes E_{\mu_N}(B_N)[f_N]=(E_{\mu_1}(B_1)\otimes\cdots\otimes E_{\mu_N}(B_N))([f_1]\otimes\cdots\otimes [f_N])
\end{aligned}
$$
である。よって成り立つ。
{{end|proof|}}

=== 定理12.16（テンソル積射影値測度による積分） ===
$\mathcal{H}_j$ をHilbert空間、$X_j$ を第二可算局所コンパクトHausdorff空間、$E_j\colon\mathcal{B}_{X_j}\rightarrow \mathbb{P}(\mathcal{H}_j)$ を射影値測度とする $(j=1,\ldots,N)$。このとき任意のBorel関数 $f_j\colon X_j\rightarrow\mathbb{C}$ $(j=1,\ldots,N)$ に対し、
$$
\begin{aligned}
&\int_{X_1\times\cdots\times X_N}f_1(x_1)\cdots f_N(x_N)d(E_1\otimes\cdots\otimes E_N)(x_1,\ldots,x_N)\\
&=\left(\int_{X_1}f_1(x_1)dE_1(x_1)\right)\otimes\cdots \otimes \left(\int_{X_N}f_N(x_N)dE_N(x_N)\right)\quad\quad(*)
\end{aligned}
$$
が成り立つ。
{{begin |proof }}
$$
\mathcal{H}\colon=\mathcal{H}_1\otimes\cdots\otimes \mathcal{H}_N,\quad
X\colon=X_1\times \cdots\times X_N,\quad
E\colon=E_1\otimes \cdots\otimes E_N\colon\mathcal{B}_X\rightarrow\mathbb{P}(\mathcal{H})
$$
とおく。各 $f_j\colon X_j\rightarrow\mathbb{C}$ がBorel単関数である場合は $(*)$ は明らかに成り立つ。また、
$$
\mathbb{B}(\mathcal{H_1})\times \cdots\times \mathbb{B}(\mathcal{H}_N)
\ni (T_1,\ldots,T_N)\mapsto T_1\otimes\cdots\otimes T_N\in \mathbb{B}(\mathcal{H})
$$
は有界多重線形写像であり（'''定理12.12'''）、任意の有界Borel関数はBorel単関数の列により一様近似できる（[[測度と積分5：$L^p$ 空間の完備性と双対性]]の'''命題22.2'''）ので、$(*)$ は各 $f_j\colon X_j\rightarrow\mathbb{C}$ が有界Borel関数の場合も成り立つ。各 $f_j\colon X_j\rightarrow\mathbb{C}$ が一般のBorel関数の場合に $(*)$ が成り立つことを示す。各 $j\in\{1,\ldots,N\}$ について有界Borel関数の列 $f_{j,n}\colon=f_{j}\chi_{(\lvert f_j\rvert\leq n)}$ $(\forall n\in\mathbb{N})$ を定義する。任意の $v_j\in D_{E_j}(f_j)$ $(j=1,\ldots,N)$ に対しLebesgue優収束定理より、
$$
\int_{X_j}f_j(x_j)dE_j(x_j)v_j=\lim_{n\rightarrow\infty}\int_{X_j}f_{j,n}(x_j)dE_j(x_j)v_j\quad(j=1,\ldots,N)
$$
であるから、
$$
B_n\colon=(\lvert f_1\rvert\leq n)\times \cdots\times (\lvert f_N\rvert\leq n)\in \mathcal{B}_X\quad(\forall n\in\mathbb{N})
$$
とおけば、
$$
\begin{aligned}
&\left\{\left(\int_{X_1}f_1(x_1)dE_1(x_1)\right)\otimes \cdots\otimes \left(\int_{X_N}f_N(x_N)dE_N(x_N)\right)\right\}(v_1\otimes\cdots\otimes v_N)\\
&=\left(\int_{X_1}f_1(x_1)dE_1(x_1)\right)v_1\otimes \cdots\otimes \left(\int_{X_N}f_N(x_N)dE_N(x_N)\right)v_N\\
&=\lim_{n\rightarrow\infty}\left(\int_{X_1}f_{1,n}(x_1)dE_1(x_1)\right)v_1\otimes \cdots\otimes \left(\int_{X_N}f_{N,n}(x_N)dE_N(x_N)\right)v_N\\
&=\lim_{n\rightarrow\infty}\left\{\left(\int_{X_1}f_{1,n}(x_1)dE_1(x_1)\right)\otimes \cdots\otimes \left(\int_{X_N}f_{N,n}(x_N)dE_N(x_N)\right)\right\}(v_1\otimes\cdots\otimes v_N)\\
&=\lim_{n\rightarrow\infty}\int_{X}f_{1,n}(x_1)\cdots f_{N,n}(x_N)dE(x_1,\ldots,x_N)(v_1\otimes\cdots\otimes v_N)\\
&=\lim_{n\rightarrow\infty}\int_{X}f_1(x_1)\cdots f_N(x_N)dE(x_1,\ldots,x_N)E(B_n)(v_1\otimes\cdots\otimes v_N)\\
&=\int_{X}f_1(x_1)\cdots f_N(x_N)dE(x_1,\ldots,x_N)(v_1\otimes\cdots\otimes v_N)
\end{aligned}
$$
となる。ただし $4$ 番目の等号で有界Borel関数に対して $(*)$ が成り立つことを用い、最後の等号で $\lim_{n\rightarrow\infty}E(B_n)(v_1\otimes\cdots\otimes v_N)=v_1\otimes\cdots\otimes v_N$ であること射影値測度による積分が閉線形作用素であることを用いた。よって、
$$
\bigotimes_{j=1}^{N}\int_{X_j}f_j(x_j)dE_j(x_j)=\overline{\bigodot_{j=1}^{N}\int_{X_j}f_j(x_j)dE_j(x_j)}\subset \int_{X}f_1(x_1)\cdots f_N(x_N)dE(x_1,\ldots,x_N)\quad\quad(**)
$$
が成り立つ。逆の包含関係を示す。任意の $v\in D_E(f_1\times\cdots\times f_N)$ を取り、
$$
v_m\in \bigodot_{j=1}^{N}\mathcal{H}_j\quad(\forall m\in\mathbb{N}),\quad
\lim_{m\rightarrow\infty}\lVert v-v_m\rVert=0
$$
なるものを取る。このとき、$v=\lim_{n\rightarrow\infty}E(B_n)v=\lim_{n\rightarrow\infty}\lim_{m\rightarrow\infty}E(B_n)v_m$ であるから、
$$
\begin{aligned}
&\left(\int_{X}f_1(x_1)\cdots f_N(x_N)dE(x_1,\ldots,x_N)\right)v
=\lim_{n\rightarrow\infty}\left(\int_{X}f_{1,n}(x_1)\cdots f_{N,n}(x_N)dE(x_1,\ldots,x_N)\right)v\\
&=\lim_{n\rightarrow\infty}\left(\bigotimes_{j=1}^{N}\int_{X_j}f_{j,n}(x_j)dE_j(x_j)\right)v
=\lim_{n\rightarrow\infty}\lim_{m\rightarrow\infty}\left(\bigodot_{j=1}^{N}\int_{X_j}f_{j,n}(x_j)dE_j(x_j)\right)v_m\\
&=\lim_{n\rightarrow\infty}\lim_{m\rightarrow\infty}\left(\bigodot_{j=1}^{N}\int_{X_j}f_{j}(x_j)dE_j(x_j)\right)E(B_n)v_m
=\lim_{n\rightarrow\infty}\left(\bigotimes_{j=1}^{N}\int_{X_j}f_{j}(x_j)dE_j(x_j)\right)E(B_n)v\\
&=\left(\bigotimes_{j=1}^{N}\int_{X_j}f_j(x_j)dE_j(x_j)\right)v
\end{aligned}
$$
となる。ただし $1$ 番目の等号でLebesgue優収束定理を用い、$2$ 番目の等号で有界Borel関数に対して $(*)$ が成り立つことを用い、
$3$ 番目の等号で、
$$
\bigotimes_{j=1}^{N}\int_{X_j}f_{j,n}(x_j)dE_j(x_j)\in \mathbb{B}({\cal H})\quad(\forall n\in \mathbb{N})
$$
であることを用いた。よって $(**)$ の逆の包含関係が成り立つ。
{{end|proof|}}

=== 定理12.17（自己共役作用素のテンソル積のBorel汎関数計算） ===
各 $j\in \{1,\ldots,N\}$ に対しHilbert空間 $\mathcal{H}_j$ 上の自己共役作用素 $T_j$ が与えられているとする。このとき $T_1\otimes\cdots\otimes T_N$ は $\mathcal{H}_1\otimes\cdots\otimes \mathcal{H}_N$ 上の自己共役作用素であり、
$$
\sigma(T_1\otimes\cdots\otimes T_N)=\overline{\{\lambda_1\cdots\lambda_N:\lambda_1\in \sigma(T_1),\ldots,\lambda_N\in \sigma(T_N)\}}\quad\quad(*)
$$
が成り立つ。また各 $T_j$ のスペクトル測度を $E^{T_j}\colon\mathcal{B}_{\sigma(T_j)}\rightarrow\mathbb{P}(\mathcal{H}_j)$ とすると、任意のBorel関数 $f_j\colon\sigma(T_j)\rightarrow\mathbb{C}$ $(j=1,\ldots,N)$ に対し、
$$
f_1(T_1)\otimes\cdots\otimes f_N(T_N)=\int_{\sigma(T_1)\times\cdots\times \sigma(T_N)}f_1(\lambda_1)\cdots f_N(\lambda_N)d(E^{T_1}\otimes\cdots\otimes E^{T_N})(\lambda_1,\ldots,\lambda_N)\quad\quad(**)
$$
が成り立ち、連続関数 $f_j\colon\sigma(T_j)\rightarrow\mathbb{C}$ $(j=1,\ldots,N)$ に対し、
$$
\sigma(f_1(T_1)\otimes\cdots\otimes f_N(T_N))=\overline{\{f_1(\lambda_1)\cdots f_N(\lambda_N):\lambda_1\in\sigma(T_1),\ldots,\lambda_N\in \sigma(T_N)\}}\quad\quad(***)
$$
が成り立つ。また、任意のBorel関数 $f:\sigma(T_1\otimes \cdots\otimes T_N)\rightarrow\mathbb{C}$ に対し、
$$
f(T_1\otimes \cdots\otimes T_N)=\int_{\sigma(T_1)\times\cdots\times \sigma(T_N)}f(\lambda_1\cdots \lambda_N)d(E^{T_1}\otimes\cdots\otimes E^{T_N})(\lambda_1,\ldots,\lambda_N)
$$
が成り立ち、連続関数 $f\colon\sigma(T_1\otimes\cdots\otimes T_N)\rightarrow\mathbb{C}$ に対し、
$$
\sigma(f(T_1\otimes\cdots\otimes T_N))=\overline{\{f(\lambda_1\cdots\lambda_N):\lambda_1\in \sigma(T_1),\ldots,\lambda_N\in\sigma(T_N)\}}\quad\quad(****)
$$
が成り立つ。
{{begin |proof }}
Borel汎関数計算の定義（'''定義8.5'''）より、任意のBorel関数 $f_j\colon\sigma(T_j)\rightarrow\mathbb{C}$ に対し、
$$
f_j(T_j)=\int_{\sigma(T_j)}f_j(\lambda_j)dE^{T_j}(\lambda_j)\quad(j=1,\ldots,N)
$$
であるから、'''定理12.16'''より $(**)$ が成り立つ。特に、
$$
T_1\otimes\cdots\otimes T_N=\int_{\sigma(T_1)\times\cdots\times \sigma(T_N)}\lambda_1\cdots \lambda_Nd(E^{T_1}\otimes\cdots\otimes E^{T_N})(\lambda_1,\ldots,\lambda_N)\quad\quad(*****)
$$
であり、右辺の被積分関数は実数値であるから $T_1\otimes\cdots\otimes T_N$ は $\mathcal{H}_1\otimes\cdots\otimes \mathcal{H}_N$ 上の自己共役作用素である（'''命題6.8'''の $(2)$ を参照）。そして任意のBorel関数 $f\colon\sigma(T_1\otimes\cdots\otimes T_N)\rightarrow \mathbb{C}$ に対し $(*****)$ と'''命題8.6'''より、
$$
f(T_1\otimes\cdots\otimes T_N)=\int_{\sigma(T_1)\times\cdots\times \sigma(T_N)}f(\lambda_1\cdots\lambda_N)d(E^{T_1}\otimes\cdots\otimes E^{T_N})(\lambda_1,\ldots,\lambda_N)
$$
が成り立つ。$\sigma(T_1)\times\cdots\times \sigma(T_N)$ の任意の空でない開集合 $U$ に対し、$U_1\times\cdots\times U_N\subset U$ を満たす空でない開集合 $U_j\subset \sigma(T_j)$ $(j=1,\ldots,N)$ が取れる。'''命題8.7'''の $(4)$ より $E^{T_j}(U_j)>0$ であるので、'''定理12.12'''より、
$$
(E^{T_1}\otimes\cdots\otimes E^{T_N})(U)\geq E^{T_1}(U_1)\otimes\cdots\otimes E^{T_N}(U_N)>0
$$
である。よって'''系6.13'''より連続関数 $f_j\colon\sigma(T_j)\rightarrow\mathbb{C}$ $(j=1,\ldots,N)$ に対し $(***)$
が成り立つ。特に $(*)$ が成り立つ。また'''系6.13'''より連続関数 $f:\sigma(T_1\otimes\cdots\otimes T_N)\rightarrow\mathbb{C}$ に対し $(****)$ が成り立つ。
{{end|proof|}}

== 13. コンパクト作用素 ==

=== 定義13.1（有限階作用素）===
$\mathcal{H}$ をHilbert空間とする。$T\in \mathbb{B}(\mathcal{H})$ が有限階作用素であるとは ${\rm dim}{\rm Ran}(T)<\infty$ が成り立つことを言う。有限階作用素全体を $\mathbb{B}_{\rm f}(\mathcal{H})$ と表すこととする。

=== 命題13.2 ===
Hilbert空間 $\mathcal{H}$ 上の有限階作用素全体 $\mathbb{B}_{\rm f}(\mathcal{H})$ は $C^*$-環 $\mathbb{B}(\mathcal{H})$ の $*$-イデアル（[[速習「線形空間論」]]の'''定義2.2'''）である。
{{begin |proof}}
$\mathbb{B}_{\rm f}(\mathcal{H})$ が対合演算で閉じていることのみを示す。（それ以外は自明である。）任意の $T\in \mathbb{B}_{\rm f}(\mathcal{H})$ を取る。${\rm Ran}(T)$ は有限次元であるので $\mathcal{H}$ の閉部分空間である（[[位相線形空間1：ノルムと内積]]の'''系4.3'''）から、$\mathcal{H}$ は、
$$
\mathcal{H}={\rm Ran}(T)\oplus ({\rm Ran}(T))^{\perp}={\rm Ran}(T)\oplus {\rm Ker}(T^*)
$$
と直交分解される。よって、
$$
{\rm Ran}(T^*)=T^*(\mathcal{H})=T^*({\rm Ran}(T))
$$
であるので、${\rm Ran}(T^*)$ は有限次元である。ゆえに $T^*\in \mathbb{B}_{\rm f}(\mathcal{H})$ であるから $\mathbb{B}_{\rm f}(\mathcal{H})$ は対合演算で閉じている。
{{end|proof|}}

=== 定義13.3（コンパクト作用素環 $\mathbb{B}_0(\mathcal{H})$）===
$\mathcal{H}$ をHilbert空間とする。$\mathcal{H}$ 上の有限階作用素全体 $\mathbb{B}_{\rm f}(\mathcal{H})$ の作用素ノルムによる閉包を、
$$
\mathbb{B}_0(\mathcal{H})\colon=\overline{\mathbb{B}_{\rm f}(\mathcal{H})}^{\lVert \cdot\rVert}
$$
と表し、$\mathbb{B}_0(\mathcal{H})$ の元を $\mathcal{H}$ 上のコンパクト作用素と言う。'''命題13.2 '''より $\mathbb{B}_0(\mathcal{H})$ は $C^*$-環 $\mathbb{B}(\mathcal{H})$ の閉 $*$ -イデアルである。$\mathbb{B}_0(\mathcal{H})$ を $\mathcal{H}$ 上のコンパクト作用素環と言う。

=== 命題13.4（Hilbert空間が無限次元であることと恒等作用素がコンパクト作用素であることは同値） ===
$\mathcal{H}$ をHilbert空間とする。次は互いに同値である。
*$(1)$　$\mathcal{H}$ は有限次元である。
*$(2)$　$\mathbb{B}_{\rm f}(\mathcal{H})=\mathbb{B}_0(\mathcal{H})=\mathbb{B}(\mathcal{H})$ が成り立つ。
*$(3)$　コンパクト作用素環 $\mathbb{B}_0(\mathcal{H})$ は $\mathbb{B}(\mathcal{H})$ の単位元 $1$（恒等作用素）を含む。
{{begin|proof}}
$(1)\Leftrightarrow(2)\Rightarrow(3)$ は自明である。 
$(3)$ が成り立つとすると $\lVert 1-T\rVert<1$ を満たす $T\in \mathbb{B}_{\rm f}(\mathcal{H})$ が取れる。よって[[Banach環とC*-環のスペクトル理論]]の'''命題1.2'''より $T=1-(1-T)$ は $\mathbb{B}(\mathcal{H})$ の可逆元であるから $1=TT^{-1}\in \mathbb{B}_{\rm f}(\mathcal{H})$ である。ゆえに $\mathcal{H}={\rm Ran}(1)$ は有限次元なので $(1)$ が成り立つ。
{{end|proof|}}

=== 定義13.5（Schatten形式） ===
$\mathcal{H},\mathcal{K}$ をHilbert空間、$u\in \mathcal{H},v\in \mathcal{K}$ とする。このとき $u\odot v\in\mathbb{B}(\mathcal{K},\mathcal{H})$ を、
$$
u\odot v\colon \mathcal{K}\ni w\mapsto (v\mid w)u\in \mathcal{H}
$$
と定義する。
$$
\mathcal{H}\times \mathcal{K}\ni (u,v)\mapsto u\odot v\in \mathbb{B}(\mathcal{K},\mathcal{H})
$$
をSchatten形式と言う。

=== 命題13.6（Schattten形式の基本的性質）===
$\mathcal{H},\mathcal{K}$ をHilbert空間とする。Schatten形式に関して次が成り立つ。
*$(1)$　$\mathcal{H}\times \mathcal{K}\ni (u,v)\mapsto u\odot v\in \mathbb{B}(\mathcal{K},\mathcal{H})$ は第一成分に関して線形、第二成分に関して反線形である。
*$(2)$　任意の $u\in \mathcal{H},v\in \mathcal{K}$ に対し $\lVert u\odot v\rVert=\lVert u\rVert\lVert v\rVert$.
*$(3)$　任意の $u\in \mathcal{H}, v\in \mathcal{K}$ に対し $(u\odot v)^*=v\odot u$.
*$(4)$　任意の $u\in \mathcal{H},v\in \mathcal{K},T\in \mathbb{B}(\mathcal{H}),S\in \mathbb{B}(\mathcal{K})$ に対し、
$$
T(u\odot v)=(Tu) \odot v,\quad (u\odot v)T=(u\odot T^*v)
$$
が成り立つ。
{{begin|proof}}
全て'''定義13.5'''より直接的に示せる。
{{end|proof|}}

=== 命題13.7（Schatten形式と射影作用素）===
$\mathcal{H}$ をHilbert空間とする。
*$(1)$　任意の単位ベクトル $e\in \mathcal{H}$ に対し $e\odot e\in \mathbb{B}_{\rm f}(\mathcal{H})$ は $1$ 次元部分空間 $\mathbb{C}e\subset \mathcal{H}$ の上への射影作用素である。また $e_1,e_2\in\mathcal{H}$ が互いに直交する単位ベクトルであるならば射影作用素 $e_1\odot e_1$ と $e_2\odot e_2$ は直交する。
*$(2)$　$\mathcal{K}\subset \mathcal{H}$ を $\{0\}$ ではない閉部分空間、$P\in\mathbb{B}(\mathcal{H})$ を $\mathcal{K}$ の上への射影作用素とし、$\mathcal{K}$ の添字付けられたCONSを $(e_j)_{j\in J}$ とすると、
$$
P=\sum_{j\in J}e_j\odot e_j
$$
が成り立つ。（右辺は射影作用素の直交族 $(e_j\odot e_j)_{j\in J}$ の和（'''定義2.6'''）である。）
{{begin|proof}}
$(1)$ は '''命題13.6'''の $(3),(4)$ より自明である。$(2)$ を示す。$(1)$ より $(e_j\odot e_j)_{j\in J}$ は射影作用素の直交族である。そして $(e_j)_{j\in J}$ が $\mathcal{K}$ のCONSであることから、任意の $v\in \mathcal{H}$ に対し、
$$
Pv=\sum_{j\in J}(e_j\mid Pv)e_j=\sum_{j\in J}(Pe_j\mid v)e_j=\sum_{j\in J}(e_j\mid v)e_j=\left(\sum_{j\in J}e_j\odot e_j\right)v
$$
が成り立つ。よって $P=\sum_{j\in J}e_j\odot e_j$ が成り立つ。
{{end|proof|}}

=== 補題13.8（Hilbert空間上の単位ノルム閉球の弱コンパクト性）===
$\mathcal{H}$ をHilbert空間とする。このとき単位ノルム閉球 $(\mathcal{H})_1=\{v\in\mathcal{H}:\lVert v\rVert\leq 1\}$ は弱位相（[[位相線形空間3：Hahn-Banachの定理とKrein-Milmanの端点定理]]の'''定義12.2'''）に関してコンパクトである。
{{begin|proof}}
$\mathcal{H}^*$ の単位ノルム閉球 $(\mathcal{H}^*)_1=\{\varphi\in \mathcal{H}^*:\lVert\varphi\rVert\leq1\}$ はAlaogluの定理（[[位相線形空間2：セミノルム位相と汎弱位相]]の'''定理10.3'''）より弱 $*$-位相でコンパクトである。Rieszの定理より $\mathcal{H}\ni v\mapsto (v\mid \cdot)\in \mathcal{H}^*$ はノルムを保存する全単射であり、$\mathcal{H}$ のネット $(v_{\lambda})_{\lambda\in\Lambda}$ と $v\in \mathcal{H}$ に対し、
$$
\begin{aligned}
v_{\lambda}\rightarrow v\quad(\text{w.r.t.弱位相})\quad\Leftrightarrow\quad (u\mid v_{\lambda})\rightarrow(u\mid v)\quad(\forall u\in\mathcal{H})\quad\Leftrightarrow\quad \Leftrightarrow\quad (v_{\lambda}\mid \cdot)\rightarrow(v\mid \cdot)\quad(\text{w.r.t.弱 $*$-位相})
\end{aligned}
$$
であるから、$\mathcal{H}\ni v\mapsto (v\mid \cdot)\in \mathcal{H}^*$ は弱位相と弱 $*$-位相に関して同相写像である（[[ネットによる位相空間論]]の'''定理3'''）。よって $({\cal H}^*)_1$の弱$*$-位相に関するコンパクト性より　$(\mathcal{H})_1$ は弱位相でコンパクトである。
{{end|proof|}}

=== 補題13.9（有限階作用素の弱位相 - ノルム位相に関する連続性）===
$\mathcal{H}$ をHilbert空間、$T\in \mathbb{B}_{\rm f}(\mathcal{H})$ とする。このとき $T\colon\mathcal{H}\rightarrow\mathcal{H}$ は弱位相とノルム位相に関して連続である。
{{begin|proof}}
有限次元部分空間 ${\rm Ran}(T)\subset \mathcal{H}$ のCONSを $e_1,\ldots,e_N$ とすると、'''命題13.7'''の $(2)$ より、
$$
P\colon=\sum_{j=1}^{N}e_j\odot e_j
$$
は ${\rm Ran}(T)$ の上への射影作用素である。よって、
$$
Tv=PTv=\sum_{j=1}^{N}(e_j\odot e_j)Tv=\sum_{j=1}^{N}(e_j\mid Tv)e_j=\sum_{j=1}^{N}(T^*e_j\mid v)e_j\quad(\forall v\in\mathcal{H})
$$
である。$\mathcal{H}$ のネット $(v_{\lambda})_{\lambda\in\Lambda}$ が $v\in \mathcal{H}$ に弱位相で収束するならば、
$$
(T^*e_j\mid v_{\lambda})\rightarrow(T^*e_j\mid v)\quad(j=1,\ldots,N)
$$
であるから、ノルム位相で、
$$
Tv_{\lambda}=\sum_{j=1}^{N}(T^*e_j\mid v_{\lambda})\rightarrow\sum_{j=1}^{N}(T^*e_j\mid v)=Tv
$$
が成り立つ。よって[[ネットによる位相空間論]]の'''定理3'''より $T:\mathcal{H}\rightarrow\mathcal{H}$ は弱位相とノルム位相に関して連続である。
{{end|proof|}}

=== 定理13.10（コンパクト作用素の特徴付け）===
$\mathcal{H}$ をHilbert空間、$(e_j)_{j\in J}$ を $\mathcal{H}$ の添字付けられたCONS、$\mathcal{F}_J$ を $J$ の有限部分集合全体に集合の包含関係による順序を入れた有向集合とし、
$$
P_F\colon =\sum_{j\in F}e_j\odot e_j\quad(\forall F\in\mathcal{F}_J)
$$
として有限階射影作用素からなる単調増加ネット $(P_F)_{F\in \mathcal{F}_J}$ を定義する。また $(\mathcal{H})_1=\{v\in \mathcal{H}:\lVert v\rVert\leq1\}$ とおく。このとき $T\in \mathbb{B}(\mathcal{H})$ に対し次は互いに同値である。
*$(1)$　$T\in \mathbb{B}_0(\mathcal{H})$.
*$(2)$　$(\mathcal{H})_1\ni v\mapsto Tv\in \mathcal{H}$ は弱位相とノルム位相に関して連続である。
*$(3)$　$T((\mathcal{H})_1)$ はノルム位相に関してコンパクトである。
*$(4)$　$T((\mathcal{H})_1)$ はノルム位相に関してコンパクトな集合に含まれる。
*$(5)$　$\lVert P_FT-T\rVert\rightarrow0$ が成り立つ。
{{begin|proof}}
$(1)\Rightarrow(2)$ を示す。$(1)$ が成り立つとして $(2)$ が成り立つことを示す。そのためには $(\mathcal{H})_1$ のネット $(v_{\lambda})_{\lambda\in\Lambda}$ が弱位相で $v\in (\mathcal{H})_1$ に収束すると仮定して $\lVert Tv_{\lambda}-Tv\rVert\rightarrow0$ が成り立つことを示せばよい。任意の $\epsilon\in (0,\infty)$ に対しコンパクト作用素の定義より、
$$
\lVert T-S\rVert<\frac{\epsilon}{3}
$$
を満たす $S\in \mathbb{B}_{\rm f}(\mathcal{H})$ が取れる。そして'''補題13.9'''より、
$$
\lVert Sv_{\lambda}-Sv\rVert<\frac{\epsilon}{3}\quad(\forall \lambda\geq\lambda_0)
$$
を満たす $\lambda_0\in\Lambda$ が取れる。よって任意の $\lambda\geq\lambda_0$ に対し、
$$
\lVert Tv_{\lambda}-Tv\rVert\leq \lVert Tv_{\lambda}-Sv_{\lambda}\rVert+\lVert Sv_{\lambda}-Sv\rVert+\lVert Sv-Tv\rVert
\leq 2\lVert T-S\rVert+\lVert Sv_{\lambda}-Sv\rVert<\epsilon
$$
が成り立つので、$\lVert Tv_{\lambda}-Tv\rVert\rightarrow0$ が成り立つ。 
$(2)\Rightarrow(3)$ は '''補題13.8'''による。$(3)\Rightarrow(4)$ は自明である。 
$(4)\Rightarrow(5)$ を示す。$(4)$ が成り立ち、$(5)$ が成り立たないと仮定して矛盾を導く。このときある $\epsilon\in(0,\infty)$ が存在し、任意の $F\in \mathcal{F}_J$ に対し $F'\in \mathcal{F}_J$ で、
$$
F'\supset F,\quad \lVert P_{F'}T-T\rVert>\epsilon
$$
を満たすものが取れる。よって作用素ノルムの定義より任意の $F\in \mathcal{F}_J$ に対し $v_F\in (\mathcal{H})_1$ で、
$$
\lVert P_{F'}Tv_F-Tv_F\rVert>\epsilon
$$
を満たすものが取れる。$(Tv_F)_{F\in \mathcal{F}_J}$ はノルム位相でコンパクトな集合のネットであるから、[[ネットによる位相空間論]]の'''定理5'''より、$(Tv_F)_{F\in\mathcal{F}_J}$ はノルム位相に関する堆積点 $u$ を持つ。
$$
\begin{aligned}
\epsilon&<\lVert P_{F'}Tv_F-Tv_F\rVert=\lVert (1-P_{F'})Tv_F\rVert\leq \lVert (1-P_{F'})(Tv_F-u)\rVert+\lVert (1-P_{F'})u\rVert\\
&\leq \lVert Tv_F-u\rVert+\lVert u-P_{F'}u\rVert\quad(\forall F\in\mathcal{F}_J)\quad\quad(*)
\end{aligned}
$$
であり、$(e_j)_{j\in J}$ は $\mathcal{H}$ のCONSなので $\lVert u-P_Fu\rVert\rightarrow0$ であるから、十分大きい $F_0\in \mathcal{F}_J$ を取れば、
$$
\lVert u-P_{F'}u\rVert<\frac{\epsilon}{2}\quad (\forall F\supset F_0)
$$
となる。よって $(*)$ より、
$$
\frac{\epsilon}{2}<\lVert Tv_F-u\rVert\quad(\forall F\supset F_0)
$$
となる。しかしこれは $u$ が $(Tv_F)_{F\in\mathcal{F}_J}$ の堆積点であることに矛盾する。ゆえに $(4)\Rightarrow(5)$ が成り立つ。 
$(5)\Rightarrow(1)$ は自明である。
{{end|proof|}}

=== 命題13.11 ===
$\mathcal{H}$ をHilbert空間、$T\in \mathbb{B}_0(\mathcal{H})$ とする。このとき ${\rm Ran}(1-T)$ は $\mathcal{H}$ の閉部分空間である。
{{begin|proof}}
$\mathcal{H}$ の直交分解 $\mathcal{H}={\rm Ker}(1-T)\oplus ({\rm Ker}(1-T))^{\perp}$ より、
$$
{\rm Ran}(1-T)=(1-T)(({\rm Ker}(1-T))^{\perp})
$$
である。これが $\mathcal{H}$ の閉部分空間であることを示すには、ある $\epsilon\in (0,\infty)$ に対し、
$$
\lVert (1-T)v\rVert\geq\epsilon\lVert v\rVert\quad(\forall v\in ({\rm Ker}(1-T))^{\perp})
$$
が成り立つことを示せば十分である。そこでこれが成り立たないと仮定して矛盾を導く。このとき $({\rm Ker}(1-T))^{\perp}$ の列 $(v_n)_{n\in\mathbb{N}}$ で、
$$
\lVert v_n\rVert=1,\quad \lVert (1-T)v_n\rVert<\frac{1}{n}\quad(\forall n\in\mathbb{N})\quad\quad(*)
$$
を満たすものが取れる。$Tv_n\in T((\mathcal{H})_1)$ であるから、'''定理13.10'''より $(Tv_n)_{n\in\mathbb{N}}$ はノルム位相で収束する部分列 $(Tv_{k(n)})_{n\in\mathbb{N}}$ を持つ。そこでその収束点を、
$$
u=\lim_{n\rightarrow\infty}Tv_{k(n)}
$$
とおく。$(*)$ より $\lim_{n\rightarrow\infty}(1-T)v_{k(n)}=0$ であるから、
$$
v_{k(n)}=(1-T)v_{k(n)}+Tv_{k(n)}\rightarrow u\quad\quad(**)
$$
である。よって、
$$
u=\lim_{n\rightarrow\infty}v_{k(n)}\in ({\rm Ker}(1-T))^{\perp}
$$
であり、
$$
(1-T)u=\lim_{n\rightarrow\infty}(1-T)v_{k(n)}=0
$$
であるから、$u\in {\rm Ker}(1-T)\cap ({\rm Ker}(1-T))^{\perp}=\{0\}$ である。しかし $(*),(**)$ より、
$$
\lVert u\rVert=\lim_{n\rightarrow\infty}\lVert v_{k(n)}\rVert=1
$$
であるから矛盾する。ゆえに ${\rm Ran}(1-T)$ は閉部部分空間である。
{{end|proof|}}

=== 補題13.12（互いに直交する単位ベクトルの列は弱位相で $0$ に収束する）===
$\mathcal{H}$ をHilbert空間、$(e_n)_{n\in \mathbb{N}}$ をONSとする。このとき弱位相で $\lim_{n\rightarrow\infty}e_n=0$ が成り立つ。
{{begin|proof}}
任意の $v\in \mathcal{H}$ に対し、Besselの不等式より
$$
\sum_{n\in\mathbb{N}}\lvert (e_n\mid v)\rvert^2\leq \lVert v\rVert^2<\infty
$$
であるから $\lim_{n\rightarrow\infty}(e_n\mid v)=0$ が成り立つ。よってRieszの定理より弱位相で $\lim_{n\rightarrow\infty}e_n\rightarrow 0$ が成り立つ。
{{end|proof|}}

=== 定理13.13（Fredholmの択一性定理）===
$\mathcal{H}$ をHilbert空間、$T\in \mathbb{B}_0(\mathcal{H})$ とする。このとき次は互いに同値である。
*$(1)$　${\rm Ran}(1-T)=\mathcal{H}$.
*$(2)$　${\rm Ker}(1-T)=\{0\}$.
{{begin|proof}}
$(1)\Rightarrow(2)$ を示す。$(1)$ が成り立ち、$(2)$ が成り立たないと仮定して矛盾を導く。
$$
\mathcal{K}_n\colon={\rm Ker}((1-T)^n)\quad(\forall n\in\mathbb{Z}_+)
$$
（ただし $(1-T)^0=1$）とおくと、
$$
\mathcal{K}_n\supset \mathcal{K}_{n-1}\quad(\forall n\in \mathbb{N})
$$
であり、$(2)$ が成り立たないと言う仮定より、
$$
\mathcal{K}_1={\rm Ker}(1-T)\supsetneq \{0\}=\mathcal{K}_0
$$
である。今、ある $n\in \mathbb{N}$ に対し $\mathcal{K}_n\supsetneq \mathcal{K}_{n-1}$ が成り立つと仮定すると、$(1)$ が成り立つことから $(1-T)v\in \mathcal{K}_n\backslash \mathcal{K}_{n-1}$ を満たす $v\in {\cal H}$ が取れ、$v\in \mathcal{K}_{n+1}\backslash \mathcal{K}_n$ である。よって $\mathcal{K}_{n+1}\supsetneq \mathcal{K}_n$ が成り立つので、帰納法より、
$$
\mathcal{K}_n\supsetneq \mathcal{K}_{n-1}\quad(\forall n\in\mathbb{N})\quad\quad(*)
$$
が成り立つ。各 $n\in\mathbb{N}$ についてHilbert空間 $\mathcal{K}_n$ の直交分解
$$
\mathcal{K}_n=\mathcal{K}_{n-1}\oplus (\mathcal{K}_n\cap \mathcal{K}_{n-1}^{\perp})
$$
を考えると、$(*)$ より、単位ベクトル
$$
e_n\in \mathcal{K}_n\cap \mathcal{K}_{n-1}^{\perp}\quad(\forall n\in\mathbb{N})\quad\quad(**)
$$
が取れる。このとき $(e_n)_{n\in\mathbb{N}}$ は $\mathcal{H}$ のONSであるから'''補題13.12'''より弱位相に関して $\lim_{n\rightarrow\infty}e_n=0$ が成り立つ。よって'''定理13.10'''より、
$$
\lim_{n\rightarrow\infty}\lVert Te_n\rVert=0\quad\quad(***)
$$
が成り立つ。しかし $(**)$ より、
$$
(1-T)e_n\perp e_n\quad(\forall n\in\mathbb{N})
$$
であるから、
$$
\lVert Te_n\rVert^2=\lVert e_n-(1-T)e_n\rVert^2=\lVert e_n\rVert^2+\lVert (1-T)e_n\rVert^2\geq1\quad(\forall n\in\mathbb{N})
$$
である。これは $(***)$ と矛盾する。よって $(1)\Rightarrow(2)$ が成り立つ。 
$(2)\Rightarrow(1)$ を示す。$(2)$ が成り立つとする。$T^*\in\mathbb{B}_0(\mathcal{H})$ であるから'''命題13.11'''より ${\rm Ran}(1-T^*)$ は $\mathcal{H}$ の閉部分空間である。よって、
$$
{\rm Ran}(1-T^*)=\overline{{\rm Ran}(1-T^*)}=({\rm Ker}(1-T))^{\perp}=\{0\}^{\perp}=\mathcal{H}
$$
であるから、上段の結果より ${\rm Ker}(1-T^*)=\{0\}$ である。さらに'''命題13.11'''より ${\rm Ran}(1-T)$ は $\mathcal{H}$ の閉部分空間であるから、
$$
{\rm Ran}(1-T)=\overline{{\rm Ran}(1-T)}=({\rm Ker}(1-T^*))^{\perp}=\{0\}^{\perp}=\mathcal{H}
$$
である。
{{end|proof|}}

=== 命題13.14 ===
$\mathcal{H}$ をHilbert空間、$T\in \mathbb{B}_0(\mathcal{H})$ とする。このとき、
$$
{\rm dim}{\rm Ker}(1-T)={\rm dim}{\rm Ker}(1-T^*)<\infty
$$
が成り立つ。
{{begin|proof}}
まず ${\rm dim}{\rm Ker}(1-T)<\infty$ が成り立つことを示す。もし ${\rm dim}{\rm Ker}(1-T)=\infty$ ならばSchmidtの直行化により ${\rm Ker}(1-T)$ の元からなるONS $(e_n)_{n\in\mathbb{N}}$ が取れる。'''補題13.12'''より $\mathcal{H}$ の弱位相で $\lim_{n\rightarrow\infty}e_n=0$ が成り立つので、'''定理13.10'''より、$\lim_{n\rightarrow\infty}\lVert Te_n\rVert=0$ である。しかし、
$$
1=\lVert e_n\rVert=\lVert Te_n+(1-T)e_n\rVert=\lVert Te_n\rVert\quad(\forall n\in \mathbb{N})
$$
であるので矛盾する。よって ${\rm dim}{\rm Ker}(1-T)<\infty$ が成り立つ。$T^*\in \mathbb{B}_0(\mathcal{H})$ であることから ${\rm dim}{\rm Ker}(1-T^*)<\infty$ も成り立つ。次に ${\rm dim}{\rm Ker}(1-T)={\rm dim}{\rm Ker}(1-T^*)$ が成り立つことを示す。${\rm dim}{\rm Ker}(1-T^*)\leq {\rm dim}{\rm Ker}(1-T)$ を示せば十分である。そこで ${\rm dim}{\rm Ker}(1-T)<{\rm dim}{\rm Ker}(1-T^*)$ であると仮定して矛盾を導く。${\rm Ker}(1-T)$ のCONS $(e_1,\ldots,e_n)$と ${\rm Ker}(1-T^*)$ のCONS $(f_1,\ldots,f_m)$ $(n<m)$ を取り、
$$
V_1\colon {\rm Ker}(1-T)\ni \sum_{j=1}^{n}\alpha_je_j\mapsto \sum_{j=1}^{n}\alpha_jf_j\in {\rm Ker}(1-T^*)
$$
とおくと、$V_1$ は等長線型作用素であり、
$$
{\rm Ran}(V_1)\subsetneq {\rm Ker}(1-T^*)
$$
である。これに対し、
$$
V\colon \mathcal{H}={\rm Ker}(1-T)\oplus ({\rm Ker}(1-T))^{\perp}\ni v_1+v_2\mapsto V_1v_1\in \mathcal{H}
$$
とおくと、$V$ は部分等長作用素であり、
$$
{\rm Ker}(V)=({\rm Ker}(1-T))^{\perp},\quad
{\rm Ran}(V)={\rm Ran}(V_1)\subsetneq {\rm Ker}(1-T^*)=({\rm Ran}(1-T))^{\perp}\quad\quad(*)
$$
である。任意の $v\in {\rm Ker}(1-(T+V))$ に対し $(*)$ の右の式より、
$$
(1-T)v=Vv\in {\rm Ran}(1-T)\cap {\rm Ran}(V)\subset {\rm Ran}(1-T)\cap ({\rm Ran}(1-T))^{\perp}=\{0\}
$$
であるから、$(*)$ の左の式より、
$$
v\in {\rm Ker}(1-T)={\rm Ker}(V)={\rm Ker}(1-T)\cap ({\rm Ker}(1-T))^{\perp}=\{0\}
$$
である。よって、
$$
{\rm Ker}(1-(T+V))=\{0\}
$$
が成り立つ。$V$ は有限階作用素なので $T+V\in \mathbb{B}_0(\mathcal{H})$ であるから'''定理13.13'''より、
$$
\mathcal{H}={\rm Ran}(1-(T+V))={\rm Ran}(1-T)+{\rm Ran}(V)
$$
となる。しかし $(*)$ より、
$$
{\rm Ran}(1-T)+{\rm Ran}(V)\subsetneq {\rm Ran}(1-T)\oplus ({\rm Ran}(1-T))^{\perp}=\mathcal{H}
$$
であるから矛盾する。
{{end|proof|}}

=== 補題13.15（互いに異なる固有値に対する固有ベクトルの線形独立性）===
$\mathcal{H}$ をHilbert空間、$T$ を $\mathcal{H}$ 上の線形作用素とし、$\lambda_1,\ldots,\lambda_n\in \mathbb{C}$ を互いに異なる $T$ の固有値とする。そしてそれぞれの固有値に対する固有ベクトルを $v_j\in {\rm Ker}(\lambda_j-T)\backslash\{0\}$ $(j=1,\ldots,n)$ を取る。このとき $v_1,\ldots,v_n$ は線形独立である。
{{begin|proof}}
帰納法よりある $k\in\{1,\ldots,n-1\}$ に対し $v_1,\ldots,v_k$ が線形独立であると仮定して $v_1,\ldots,v_{k+1}$ も線形独立であることを示せばよい。そこで $\alpha_1,\ldots,\alpha_{k+1}\in \mathbb{C}$ が、
$$
\sum_{j=1}^{k+1}\alpha_jv_j=0\quad\quad(*)
$$
を満たすとする。$(*)$　に $T$ を作用させたものから $(*)$ に $\lambda_{k+1}$ を掛けたものを引けば、
$$
\sum_{j=1}^{k}\alpha_j(\lambda_j-\lambda_{k+1})v_j=0
$$
となる。よって $v_1,\ldots,v_k$ の線形独立性より $\alpha_j(\lambda_j-\lambda_{k+1})=0$ $(j=1,\ldots,k)$ であり、$\lambda_j\neq\lambda_{k+1}$ $(j=1,\ldots,k)$ であるから、$\alpha_1=\ldots=\alpha_{k}=0$ である。よって (*)より $\alpha_{k+1}v_{k+1}=0$ より $\alpha_{k+1}=0$ である。
ゆえに $v_1,\ldots,v_{k+1}$ は線形独立である。
{{end|proof|}}

=== 定義13.16（固有値の重複度）===
$T$ をHilbert空間上の線形作用素、$\lambda\in\mathbb{C}$ を $T$ の固有値とする。このとき ${\rm dim}{\rm Ker}(\lambda-T)$ を $T$ の固有値 $\lambda$ の重複度と言う。

=== 定理13.17（コンパクト作用素のスペクトル特性）===
$\mathcal{H}$ をHilbert空間、$T\in \mathbb{B}_0(\mathcal{H})$ とする。このとき、
*$(1)$　任意の $\lambda\in\sigma(T)\backslash \{0\}$ に対し $\lambda$ は $T$ の重複度有限の固有値であり、$\overline{\lambda}$ は $T^*$ の重複度有限の固有値である。そしてこれらの重複度は一致する。
*$(2)$　任意の $\lambda\in\sigma(T)\backslash \{0\}$ に対し $\lambda$ は $\sigma(T)$ の孤立点（$\{\lambda\}$ は $\sigma(T)$ の開集合）である。また $\sigma(T)$ は可算集合である。
*$(3)$　$T$ が正規作用素であるとすると、$T$ の固有ベクトルからなる $\mathcal{H}$ のCONSが存在する。また $T$ のスペクトル測度を $E^T\colon\mathcal{B}_{\sigma(T)}\rightarrow\mathbb{P}(\mathcal{H})$ とし、各 $\lambda\in\sigma(T)\backslash \{0\}$ に対し、${\rm Ker}(\lambda-T)$ のCONSを $\{e_{\lambda,1},\ldots,e_{\lambda,n(\lambda)}\}$ とすると、
$$
1=\sum_{\lambda\in\sigma(T)}E^T(\{\lambda\}),
$$
$$
E^T(\{\lambda\})=\sum_{j=1}^{n(\lambda)}e_{\lambda,j}\odot e_{\lambda,j}\quad(\forall \lambda\in \sigma(T)\backslash \{0\}),
$$
$$
T=\sum_{\lambda\in \sigma(T)\backslash\{0\}}\lambda\sum_{j=1}^{n(\lambda)}e_{\lambda,j}\odot e_{\lambda,j}
$$
が成り立つ。（ただし $\odot$ はSchatten形式を表す。）
{{begin|proof}}
*$(1)$　任意の $\lambda\in\sigma(T)\backslash \{0\}$ に対し $\lambda^{-1}T\in \mathbb{B}_0(\mathcal{H})$ であり、
$$
{\rm Ran}(\lambda-T)={\rm Ran}(1-\lambda^{-1}T),\quad {\rm Ker}(\lambda-T)={\rm Ker}(1-\lambda^{-1}T)
$$
である。$\lambda\in \sigma(T)$ より $\lambda-T:{\cal H}\rightarrow {\cal H}$ は全単射ではないから、'''定理13.13'''より ${\rm Ker}(\lambda-T)\neq \{0\}$ である。よって $\lambda$ は $T$ の固有値であり、'''命題13.15'''より、
$$
0<{\rm dim}{\rm Ker}(\lambda-T)={\rm dim}{\rm Ker}(1-\lambda^{-1}T)={\rm dim}{\rm Ker}(1-\overline{\lambda}^{-1}T^*)={\rm dim}{\rm Ker}(\overline{\lambda}-T^*)<\infty
$$
であるから、$\overline{\lambda}$ は $T^*$ の固有値である。そして $T$ の固有値 $\lambda$ の重複度と $T^*$ の固有値 $\overline{\lambda}$ の重複度は一致する。
*$(2)$　任意の $\lambda\in \sigma(T)\backslash\{0\}$ を取り、$\lambda$ が $\sigma(T)$ の孤立点ではないと仮定して矛盾を導く。このとき任意の $\epsilon\in (0,\infty)$ に対し $\{\lambda\}\neq B(\lambda,\epsilon)\cap \sigma(T)$ であるから、$\sigma(T)$ の点列 $(\lambda_n)_{n\in\mathbb{N}}$ で、
$$
0<\lvert \lambda-\lambda_{n+1}\rvert<\lvert\lambda-\lambda_n\rvert<\lvert\lambda\rvert,\frac{1}{n}\quad(\forall n\in\mathbb{N})\quad\quad(*)
$$
を満たすものが取れる。$(*)$ と $(1)$ より各 $n\in\mathbb{N}$ に対し $\lambda_n$ は $T$ の固有値であるから固有ベクトル $v_n\in {\rm Ker}(\lambda-T)\backslash\{0\}$ が取れる。また $(*)$ より $(\lambda_n)_{n\in\mathbb{N}}$ は互いに異なるので'''補題13.15'''より $(v_n)_{n\in\mathbb{N}}$ は線形独立であり、Schmidtの直交化より ONS $(e_n)_{n\in\mathbb{N}}$ で、
$$
{\rm span}\{v_1,\ldots,v_n\}={\rm span}\{e_1,\ldots,e_n\}\quad(\forall n\in\mathbb{N})
$$
を満たすものが取れる。このとき、
$$
\lambda_ne_n-Te_n\in {\rm span}\{v_1,\ldots,v_{n-1}\}={\rm span}\{e_1,\ldots,e_{n-1}\}\quad(\forall n\geq 2)
$$
であるから $\lambda_ne_n-Te_n$ と $\lambda_n e_n$ は互いに直交する。よって、
$$
\lVert Te_n\rVert^2=\lVert \lambda_ne_n-(\lambda_ne_n-Te_n)\rVert^2=\lvert\lambda_n\rvert^2+\lVert \lambda_ne_n-Te_n\rvert^2\geq\lvert\lambda_n\rvert^2\quad(\forall n\in\mathbb{N})\quad\quad(**)
$$
となる。ここで'''補題13.12'''と'''定理13.10'''より $\lim_{n\rightarrow\infty}\lVert Te_n\rVert=0$ であるから $(**)$ より $\lim_{n\rightarrow\infty}\lambda_n=0$ となる。しかし $(*)$ より $\lim_{n\rightarrow\infty}\lambda_n=\lambda$ であるから、$\lambda\neq0$ であることに矛盾する。よって任意の $\lambda\in\sigma(T)\backslash \{0\}$ に対し $\lambda$ は $\sigma(T)$ の孤立点である。$\{\{\lambda\}\}_{\lambda\in\sigma(T)\backslash\{0\}}$ は $\sigma(T)\backslash \{0\}$ の開被覆であり、$\sigma(T)\backslash \{0\}$ はLindelöfであるから可算部分開被覆が取れる。よって $\sigma(T)\backslash\{0\}$ は可算集合であり、したがって $\sigma(T)$ も可算集合である。
*$(3)$　$(2)$ より $\sigma(T)$ は可算集合であるから、
$$
1=E^T(\sigma(T))=\sum_{\lambda\in\sigma(T)}E^T(\{\lambda\})
$$
である。'''命題8.7'''の $(3)$ より、
$$
{\rm Ran}E^T(\{\lambda\})={\rm Ker}(\lambda-T)\quad(\forall \lambda\in\sigma(T))\quad\quad(***)
$$
であるから、'''命題13.7'''より、
$$
E^T(\{\lambda\})=\sum_{j=1}^{n(\lambda)}e_{\lambda,j}\odot e_{\lambda,j}\quad(\forall \lambda\in\sigma(T)\backslash \{0\})
$$
である。よって、
$$
1=E^T(\{0\})+\sum_{\lambda\in\sigma(T)\backslash \{0\}}E^T(\{\lambda\})
=E^T(\{0\})+\sum_{\lambda\in\sigma(T)\backslash\{0\}}\sum_{j=1}^{n(\lambda)}e_{\lambda,j}\odot e_{\lambda,j}\quad\quad(****)
$$
が成り立ち、
$$
T=TE^T(\{0\})+\sum_{\lambda\in\sigma(T)\backslash \{0\}}TE^T(\{\lambda\})=\sum_{\lambda\in\sigma(T)\backslash \{0\}}TE^T(\{\lambda\})
=\sum_{\lambda\in\sigma(T)}\lambda\sum_{j=1}^{n(\lambda)}e_{\lambda,j}\odot e_{\lambda,j}
$$
が成り立つ。$E^T(\{0\})=0$ の場合、$(****)$ より、
$$
1=\sum_{\lambda\in\sigma(T)\backslash \{0\}}\sum_{j=1}^{n(\lambda)}e_{\lambda,j}\odot e_{\lambda,j}
$$
であるから、$\{e_{\lambda,j}:\lambda\in\sigma(T)\backslash \{0\},j=1,\ldots,n(\lambda)\}$ は $\mathcal{H}$ のCONSである。また $E^T(\{0\})\neq0$ の場合、$(***)$ より $0$ は $T$ の固有値であり、$\{e_{0,j}:j\in J_0\}$ を固有空間 ${\rm Ran}E^T(\{0\})={\rm Ker}(T)$ のCONSとすると、'''命題13.7'''より、
$$
E^T(\{0\})=\sum_{j\in J_0}e_{0,j}\odot e_{0,j}
$$
であるから、$(****)$ より、
$$
1=\sum_{j\in J_0}e_{0,j}\odot e_{0,j}+\sum_{\lambda\in\sigma(T)\backslash \{0\}}\sum_{j=1}^{n(\lambda)}e_{\lambda,j}\odot e_{\lambda,j}
$$
である。よって $\{e_{0,j}:j\in J_0\}\cup\{e_{\lambda,j}:\lambda\in\sigma(T)\backslash\{0\},j=1,\ldots,n(\lambda)\}$ は $\mathcal{H}$ のCONSである。よって $T$ の固有ベクトルからなるCONSが取れる。
{{end|proof|}}

== 14. 自己共役作用素の離散スペクトルと真性スペクトル、min-max原理、Reyleigh-Ritzの原理 ==

=== 定義14.1（自己共役作用素の離散固有値、離散スペクトル、真性スペクトル）===
$T$ をHilbert空間 $\mathcal{H}$ 上の自己共役作用素とする。$\lambda\in \sigma(T)$ が $\sigma(T)$ の孤立点（'''命題8.7'''の $(6)$ より $T$ の固有値）であり、重複度が有限、すなわち、
$$
{\rm dim}{\rm Ker}(\lambda-T)={\rm dim}{\rm Ran}E^T(\{\lambda\})<\infty
$$
であるとき、$\lambda$ を $T$ の離散固有値と言う。そして $T$ の離散固有値全体を、
$$
\sigma_{\rm d}(T)\colon=\{\lambda\in \sigma(T):\text{$\lambda$ は $T$ の離散固有値}\}
$$
と表し、これを $T$ の離散スペクトルと言う。また、$\sigma(T)$ における $T$ の離散スペクトルの補集合
$$
\sigma_{\rm ess}(T)\colon=\sigma(T)\backslash \sigma_{\rm d}(T)=\{\lambda\in\sigma(T):\text{$\lambda$ は $\sigma(T)$ の非孤立点であるか、重複度無限の孤立点}\}
$$
と表し、これを $T$ の真性スペクトルと言う。

=== 定理14.2（自己共役作用素の真性スペクトルの元の特徴付け）===
$T$ をHilbert空間 $\mathcal{H}$ 上の自己共役作用素とし、$E^T\colon\mathcal{B}_{\sigma(T)}\rightarrow \mathbb{P}(\mathcal{H})$ を $T$ のスペクトル測度とする。このとき $\lambda\in\sigma(T)$ に対し次は互いに同値である。
*$(1)$　$\lambda\in \sigma_{\rm ess}(T)$.
*$(2)$　$D(T)$ の単位ベクトルの列 $(u_n)_{n\in\mathbb{N}}$ で $\lim_{n\rightarrow\infty}\lVert (\lambda-T)u_n\rVert=0$ かつ $\mathcal{H}$ の弱位相で $\lim_{n\rightarrow\infty}u_n=0$ を満たすものが存在する。
*$(3)$　$\lambda$ を含む $\sigma(T)$ の任意の開集合 $U$ に対し ${\rm dim}{\rm Ran}E^T(U)=\infty$.
{{begin|proof}}
任意の $t\in \sigma(T)$ と $\delta\in (0,\infty)$ に対し $\sigma(T)$ における中心 $t$、半径 $\delta$ の開球を、
$$
B_{\sigma(T)}(t,\delta)=\{s\in \sigma(T):\lvert s-t\rvert<\delta\}
$$
と表す。$(1)\Rightarrow(2)$ を示す。$(1)$ が成り立つとする。もし $\lambda$ が $\sigma(T)$ の孤立点ならば ${\rm dim}{\rm Ker}(\lambda-T)=\infty$ であるので ${\rm Ker}(\lambda-T)$ のONS $(e_n)_{n\in \mathbb{N}}$ が取れる。このとき'''補題13.12'''より $\mathcal{H}$ の弱位相で $\lim_{n\rightarrow\infty}e_n=0$ であり、$(\lambda-T)e_n=0$ $(\forall n\in\mathbb{N})$ であるから $(2)$ が成り立つ。$\lambda$ が $\sigma(T)$ の孤立点ではないとすると、$\sigma(T)$ の点列 $(\lambda_n)_{n\in\mathbb{N}}$ で、
$$
0<\lvert \lambda_{n+1}-\lambda\rvert<\frac{1}{3}\lvert\lambda_n-\lambda\rvert\quad(\forall n\in\mathbb{N})\quad\quad(*)
$$
なるものが取れる。
$$
\epsilon_{n}\colon=\frac{1}{3}\lvert\lambda_n-\lambda\rvert\quad(\forall n\in\mathbb{N})
$$
とおく。このとき、
$$
B_{\sigma(T)}(\lambda_n,\epsilon_n)\cap B_{\sigma(T)}(\lambda_m,\epsilon_m)=\emptyset\quad(n\neq m)\quad\quad(**)
$$
が成り立つ。実際、$n<m$ で $t\in B_{\sigma(T)}(\lambda_n,\epsilon_n)\cap B_{\sigma(T)}(\lambda_m,\epsilon_m)$ が存在するとすると、
$$
2\epsilon_n\geq \lvert t-\lambda_n\rvert+\lvert t-\lambda_m\rvert\geq \lvert\lambda_n-\lambda_m\rvert\geq \lvert\lambda_n-\lambda\rvert-\lvert \lambda_m-\lambda\rvert>\lvert\lambda_n-\lambda\rvert-\epsilon_n=2\epsilon_n
$$
となり、矛盾する。よって $(**)$ が成り立つ。'''命題8.7'''の $(7)$ より単位ベクトル
$$
e_n\in {\rm Ran}E^T(B_{\sigma(T)}(\lambda_n,\epsilon_n))\quad(\forall n\in\mathbb{N})
$$
が取れて、$(**)$ より $(e_n)_{n\in\mathbb{N}}$ はONSなので、'''補題13.12'''より $\mathcal{H}$ の弱位相で $\lim_{n\rightarrow\infty}e_n=0$ である。そして $(*)$ より、
$$
\begin{aligned}
\lVert (\lambda-T)e_n\rVert&\leq \lVert (\lambda-T)E^T(B_{\sigma(T)}(\lambda_n,\epsilon_n))\rVert\leq \sup_{t\in B_{\sigma(T)}(\lambda_n,\epsilon_n)}\lvert \lambda-t\rvert\leq \lvert \lambda-\lambda_n\rvert+\epsilon_n\\
&=\frac{4}{3}\lvert\lambda-\lambda_n\rvert<\frac{4}{3^n}\lvert\lambda-\lambda_1\rvert\rightarrow0\quad(n\rightarrow\infty)
\end{aligned}
$$
である。よって $(2)$ が成り立つ。 
$(2)\Rightarrow(3)$ を示す。$(2)$ が成り立つとし、$(2)$ の条件を満たす単位ベクトルの列 $(u_n)_{n\in\mathbb{N}}$ を取る。任意の $\epsilon\in (0,\infty)$ に対し、
$$
\begin{aligned}
\lVert (\lambda-T)u_n\rVert^2&=\int_{\sigma(T)}\lvert \lambda-t\rvert^2dE^T_{u_n,u_n}(t)\geq \int_{\sigma(T)\backslash B_{\sigma(T)}(\lambda,\epsilon)}\lvert\lambda-t\rvert^2dE^T_{u_n,u_n}(t)\\
&\geq \epsilon^2\lVert E^T(\sigma(T)\backslash B_{\sigma(T)}(\lambda,\epsilon))u_n\rVert^2\\
&=\epsilon^2\lVert u_n-E^T(B_{\sigma(T)}(\lambda,\epsilon))u_n\rVert^2\quad(\forall n\in\mathbb{N})
\end{aligned}
$$
であるから、$\lim_{n\rightarrow\infty}\lVert (\lambda-T)u_n\rVert=0$ より、
$$
\lim_{n\rightarrow\infty}\lVert u_n-E^T(B_{\sigma(T)}(\lambda,\epsilon))u_n\rVert=0\quad(\forall \epsilon\in (0,\infty))\quad\quad(***)
$$
である。もしある $\epsilon_0\in (0,\infty)$ に対し ${\rm dim}{\rm Ran}E^T(B_{\sigma(T)}(\lambda,\epsilon_0))<\infty$ が成り立つならば、$E^T(B_{\sigma(T)}(\lambda,\epsilon_0))$ は有限階作用素なので、$\mathcal{H}$ の弱位相で $\lim_{n\rightarrow\infty}e_n=0$ であることと、'''補題13.9'''より、
$$
\lim_{n\rightarrow\infty}\lVert E^T(B_{\sigma(T)}(\lambda,\epsilon_0))u_n\rVert=0
$$
が成り立つ。これを $(***)$ と合わせると、
$$
1=\lVert u_n\rVert\leq \lVert u_n-E^T(B_{\sigma(T)}(\lambda,\epsilon_0))u_n\rVert+\lVert E^T(B_{\sigma(T)}(\lambda,\epsilon_0))u_n\rVert\rightarrow0\quad(n\rightarrow\infty)
$$
となるので矛盾する。よって任意の $\epsilon\in (0,\infty)$ に対し ${\rm dim}{\rm Ran}E^T(B_{\sigma(T)}(\lambda,\epsilon))=\infty$
であるから $(3)$ が成り立つ。 
$(3)\Rightarrow(1)$ を示す。$(3)$ が成り立つとする。もし $(1)$ が成り立たないならば、$\lambda$ は $T$ の離散固有値であるから、$\lambda$ は $\sigma(T)$ の孤立点であり、
$$
{\rm dim}E^T(\{\lambda\})=\dim {\rm Ker}(\lambda-T)<\infty\quad\quad(****)
$$である。$\lambda$ は $\sigma(T)$ の孤立点なので、$\{\lambda\}$ は $\lambda$ を含む開集合であるから、$(****)$ は $(3)$ が成り立つことに矛盾する。よって $(1)$ が成り立つ。
{{end|proof|}}

=== 定義14.3（純粋に離散的なスペクトルを持つ自己共役作用素）===
$T$ をHilbert空間 $\mathcal{H}$ 上の自己共役作用素とする。$T$ のスペクトルが $T$ の離散スペクトル $\sigma_{\rm d}(T)$（'''定義14.1'''）と一致するとき、$T$ のスペクトルは純粋に離散的であると言う。

=== 命題14.4（純粋に離散的なスペクトルを持つ自己共役作用素の対角化）===
$T$ をHilbert空間 $\mathcal{H}$ 上の自己共役作用素で、純粋に離散的なスペクトルを持つとする。このとき $\sigma(T)$ は可算集合であり、各 $\lambda\in \sigma(T)=\sigma_{\rm d}(T)$ に対し ${\rm Ker}(\lambda-T)$ のCONSを $e_{\lambda,1},\ldots,e_{\lambda,n(\lambda)}$ とおけば、
$$
1=\sum_{\lambda\in \sigma(T)}\sum_{j=1}^{n(\lambda)}e_{\lambda,j}\odot e_{\lambda,j}
$$
（ただし $\odot$ はSchatten形式を表す）が成り立つ。
{{begin|proof}}
$\sigma(T)=\sigma_{\rm d}(T)$ は孤立点のみからなるLindelöf空間であるから可算集合である。よって $T$ のスペクトル測度 $E^T\colon\mathcal{B}_{\sigma(T)}\rightarrow\mathbb{P}(\mathcal{H})$ に対し、
$$
1=E^T(\sigma(T))=\sum_{\lambda\in\sigma(T)}E^T(\{\lambda\})
$$
が成り立つ。そして'''命題8.7'''の $(5)$ より ${\rm Ran}E^T(\{\lambda\})={\rm Ker}(\lambda-T)$ であるから、'''命題13.7'''より、
$$
E^T(\{\lambda\})=\sum_{j=1}^{n(\lambda)}e_{\lambda,j}\odot e_{\lambda,j}\quad(\forall \lambda\in \sigma(T))
$$
である。よって、
$$
1=\sum_{\lambda\in\sigma(T)}E^T(\{\lambda\})=\sum_{\lambda\in \sigma(T)}\sum_{j=1}^{n(\lambda)}e_{\lambda,j}\odot e_{\lambda,j},\quad
$$
が成り立つ。
{{end|proof|}}

=== 命題14.5（自己共役作用素が純粋に離散的なスペクトルを持つための十分条件）===
$T$ をHilbert空間 $\mathcal{H}$ 上の自己共役作用素とする。
*$(1)$　ある $\lambda_0\in \rho(T)$ に対し $(\lambda_0-T)^{-1}\in \mathbb{B}_0(\mathcal{H})$ ならば $T$ は純粋に離散的なスペクトルを持つ。
*$(2)$　ある $\alpha\in \mathbb{R}\backslash \{0\}$ に対し $e^{\alpha T}\in \mathbb{B}_0(\mathcal{H})$ ならば $T$ は純粋に離散的なスペクトルを持つ。
{{begin|proof}}
*$(1)$　$\lambda\in \sigma_{\rm ess}(T)$ が存在すると仮定して矛盾を導く。このとき'''定理14.2'''より $D(T)$ の単位ベクトルの列 $(u_n)_{n\in\mathbb{N}}$ で $\mathcal{H}$ の弱位相で $\lim_{n\rightarrow\infty}u_n=0$ であり、$\lim_{n\rightarrow\infty}\lVert (\lambda-T)u_n\rVert=0$ を満たすものが取れる。$(\lambda_0-T)^{-1}\in \mathbb{B}_0(\mathcal{H})$ であるから'''定理13.10'''の $(2)$ より、
$$
\lim_{n\rightarrow\infty}\lVert (\lambda_0-T)^{-1}u_n\rVert=0\quad\quad(*)
$$
である。ここで、
$$
(\lambda_0-T)u_n=(\lambda_0-\lambda)u_n+(\lambda-T)u_n\quad(\forall n\in\mathbb{N})
$$
であるから、
$$
u_n=(\lambda_0-\lambda)(\lambda_0-T)^{-1}u_n+(\lambda_0-T)^{-1}(\lambda-T)u_n\quad(\forall n\in\mathbb{N})
$$
である。よって $(*)$ より、
$$
1=\lVert u_n\rVert\leq \lvert\lambda_0-\lambda\rvert\lVert (\lambda_0-T)^{-1}u_n\rVert+\lVert (\lambda_0-T)^{-1}(\lambda-T)u_n\rVert\rightarrow0\quad(n\rightarrow\infty)
$$
となり矛盾する。ゆえに $\sigma_{\rm ess}(T)=\emptyset$　であるから $T$ は純粋に離散的なスペクトルを持つ。
*$(2)$　任意の $\lambda\in \sigma(T)$ に対し、'''定理8.7'''の $(8)$ より、
$$
e^{\alpha \lambda}\in \sigma(e^{\alpha T})\backslash \{0\}
$$
であり、$e^{\alpha T}\in \mathbb{B}_0(\mathcal{H})$ であるから、'''定理13.17'''の $(2)$ より $e^{\alpha\lambda}$ は $\sigma(e^{\alpha T})$ の孤立点である。よって $\sigma(T)\ni \lambda\mapsto e^{\alpha \lambda}\in \sigma(e^{\alpha T})\backslash \{0\}$ の連続性より、任意の $\lambda\in \sigma(T)$ に対し、十分小さい $\epsilon\in (0,\infty)$ を取れば、$\lambda'\in \sigma(T)$ について、
$$
\lvert\lambda'-\lambda\rvert<\epsilon\quad\Leftrightarrow\quad e^{\alpha\lambda'}=e^{\alpha\lambda}\quad\Leftrightarrow\quad \lambda'=\lambda
$$
である。よって任意の $\lambda\in \sigma(T)$ に対し $\lambda$ は $\sigma(T)$ の孤立点である。$E^T\colon\mathcal{B}_{\sigma(T)}\rightarrow\mathbb{P}(\mathcal{H})$ を $T$ のスペクトル測度とする。'''定理8.7'''の $(3)$ より、任意の $\lambda\in \sigma(T)$ に対し、
$$
{\rm Ker}(\lambda-T)={\rm Ran}E^T(\{\lambda\})={\rm Ran}E^T(\{t\in \sigma(T):e^{\alpha \lambda}-e^{\alpha t}=0\})={\rm Ker}(e^{\alpha \lambda}-e^{\alpha T})
$$
であるから、'''定理13.17'''の $(1)$ より、
$$
{\rm dim}{\rm Ker}(\lambda-T)={\rm dim}{\rm Ker}(e^{\alpha\lambda}-e^{\alpha T})<\infty
$$
である。よって $\lambda$ は $T$ の離散固有値なので $\sigma(T)=\sigma_{\rm d}(T)$ である。
{{end|proof|}}

=== 命題14.6（有限次元の場合のmin-max原理）===
$\mathcal{H}$ を有限次元Hilbert空間、$N={\rm dim}(\mathcal{H})$ とし、$T$ を $\mathcal{H}$ 上の自己共役作用素とする。このとき $T$ の固有値を重複度を込めて下から並べたものを $\lambda_1,\ldots,\lambda_N$（重複度だけ同じ値が続く）とおくと、
$$
\lambda_1=\inf\{(u\mid Tu):u\in \mathcal{H},\lVert u\rVert=1\},
$$
$$
\lambda_n=\sup_{v_1,\ldots,v_{n-1}\in \mathcal{H}}\inf\{(u\mid Tu):u\in \{v_1,\ldots,v_{n-1}\}^{\perp},\lVert u\rVert=1\}\quad(n=2,\ldots,N)
$$
が成り立つ。
{{begin|proof}}
$$
\mu_1(T)\colon=\inf\{(u\mid Tu):u\in \mathcal{H},\lVert u\rVert=1\},
$$
$$
\mu_n(T)\colon=\sup_{v_1,\ldots,v_{n-1}\in \mathcal{H}}\inf\{(u\mid Tu):u\in \{v_1,\ldots,v_{n-1}\}^{\perp},\lVert u\rVert=1\}\quad(n=2,\ldots,N)
$$
とおく。'''定理13.17'''より $T$ の固有ベクトルからなる $\mathcal{H}$ のCONS $(e_1,\ldots,e_n)$ で、
$$
Te_j=\lambda_je_j\quad(j=1,\ldots,N)
$$
なるものが取れる。$\lambda_1=(e_1\mid Te_1)$ であり、任意の単位ベクトル $u=\sum_{j=1}^{N}\alpha_je_j\in \mathcal{H}$ に対し、
$$
(u\mid Tu)=\sum_{j=1}^{N}\lambda_j\lvert\alpha_j\rvert^2\geq\lambda_1\sum_{j=1}^{N}\lvert\alpha_j\rvert^2=\lambda_1\lVert u\rVert^2=\lambda_1
$$
であるから $\lambda_1=\mu_1(T)$ が成り立つ。任意の $n\in \{2,\ldots,N\}$ を取る。任意の単位ベクトル $u=\sum_{j=n}^{N}\alpha_je_j\in\{e_1,\ldots,e_{n-1}\}^{\perp}$ に対し、
$$
(u\mid Tu)=\sum_{j=n}^{N}\lambda_j\lvert\alpha_j\rvert^2\geq\lambda_n\sum_{j=n}^{N}\lvert\alpha_j\rvert^2=\lambda_n\lVert u\rVert^2=\lambda_n
$$
であるから、
$$
\mu_n(T)\geq \inf\{(u\mid Tu):u\in \{e_1,\ldots,e_{n-1}\}^{\perp},\lVert u\rVert=1\}\geq\lambda_n
$$
である。また任意の $v_1,\ldots,v_{n-1}\in \mathcal{H}$ に対し、$v_1,\ldots,v_{n-1},e_{n+1},\ldots,e_N$ が張る部分空間は $N-1$ 次元以下であるから、単位ベクトル $u=\sum_{j=1}^{n-1}\alpha_je_j\in \{v_1,\ldots,v_{n-1},e_{n+1},\ldots,e_N\}^{\perp}$ が取れ、
$$
(u\mid Tu)=\sum_{j=1}^{n}\lambda_j\lvert\alpha_j\rvert^2\leq \lambda_n\sum_{j=1}^{n}\lvert\alpha_j\rvert^2=\lambda_n\lVert u\rVert^2=\lambda_n
$$
である。よって任意の $v_1,\ldots,v_{n-1}\in \mathcal{H}$ に対し $\inf\{(u\mid Tu):u\in \{v_1,\ldots,v_{n-1}\}^{\perp},\lVert u\rVert=1\}\leq \lambda_n$ であるから $\mu_n(T)\leq \lambda_n$、よって $\lambda_n=\mu_n(T)$ である。
{{end|proof|}}

=== 定義14.7（下に有界な対称作用素）===
$T$ をHilbert空間上の対称作用素とする。
$$
\inf\{(u\mid Tu):u\in D(T),\lVert u\rVert=1\}>-\infty
$$
であるとき、$T$ は下に有界であると言う。

=== 命題14.8（下に有界な自己共役作用素のスペクトルによる特徴付け）===
$T$ をHilbert空間 $\mathcal{H}$ 上の自己共役作用素とする。このとき次は互いに同値である。
*$(1)$　$T$ は下に有界である。
*$(2)$　$T$ のスペクトル $\sigma(T)\subset \mathbb{R}$ は下に有界である。
また $(1),(2)$ が成り立つとき、
$$
\inf\{(u\mid Tu):u\in D(T),\lVert u\rVert=1\}={\rm min}(\sigma(T))\quad\quad(*)
$$
が成り立つ。
{{begin|proof}}
$E^T\colon\mathcal{B}_{\sigma(T)}\rightarrow\mathbb{P}(\mathcal{H})$ を $T$ のスペクトル測度とする。$(2)$ が成り立つならば $\sigma(T)\subset \mathbb{R}$ は閉集合であることから最小値 ${\rm min}(\sigma(T))\in\mathbb{R}$ が存在し、任意の単位ベクトル $u\in D(T)$ に対し、
$$
(u\mid Tu)=\int_{\sigma(T)}\lambda dE^T_{u,u}(\lambda)\geq {\rm min}(\sigma(T))E^T_{u,u}(\sigma(T))={\rm min}(\sigma(T))\lVert E^T(\sigma(T))u\rVert^2={\rm min}(\sigma(T))
$$
である。よって $(1)$ が成り立ち、
$$
\inf\{(u\mid Tu):u\in D(T),\lVert u\rVert=1\}\geq {\rm min}(\sigma(T))
$$
である。逆に $(1)$ が成り立つとし、$\lambda_0\colon=\inf\{(u\mid Tu):u\in D(T),\lVert u\rVert=1\}$ とおけば、任意の単位ベクトル $u\in D(T)$ に対し、
$$
(u\mid (T-\lambda_0)u)=(u\mid Tu)-\lambda_0\geq 0
$$
であるから'''命題8.10'''より $T-\lambda_0$ は非負自己共役作用素である。よって、
$$
\{\lambda-\lambda_0:\lambda\in \sigma(T)\}=\sigma(T-\lambda_0)\subset [0,\infty)
$$
であるから $(2)$ が成り立ち、
$$
{\rm min}(\sigma(T))\geq\lambda_0=\inf\{(u\mid Tu):u\in D(T),\lVert u\rVert=1\}
$$
である。ゆえに $(1)\Leftrightarrow(2)$ であり、$(1),(2)$ が成り立つとき $(*)$ が成り立つ。
{{end|proof|}}

=== 補題14.9 ===
$\mathcal{H}$ をHilbert空間、$D\subset \mathcal{H}$ を部分空間とし、$n\in \mathbb{N}$ に対し ${\rm dim}(D)>n$ であるとする。このとき $n$ 個の任意の $v_1,\ldots,v_n\in \mathcal{H}$ に対し、
$$
D\cap\{v_1,\ldots,v_n\}^{\perp}\neq \{0\}\quad\quad(*)
$$
が成り立つ。
{{begin|proof}}
$\mathcal{H}$ の有限次元部分空間 ${\rm span}\{v_1,\ldots,v_n\}$ の上への射影作用素を $P\in \mathbb{P}(\mathcal{H})$ とおく。もし、
$$
D\ni v\mapsto Pv\in {\rm span}\{v_1,\ldots,v_n\}\quad\quad(**)
$$
が単射ならば ${\rm dim}(D)\leq n$ となるので $(**)$ は単射ではない。よって $v\in D\backslash \{0\}$ で $Pv=0$ を満たすものが存在する。$Pv=0$ は $v\in \{v_1,\ldots,v_n\}^{\perp}$ であることと同値であるので $(*)$ が成り立つ。
{{end|proof|}}

=== 定義14.10（下に有界な自己共役作用素の特性レベル）===
$T$ を無限次元Hilbert空間 $\mathcal{H}$ 上の下に有界な自己共役作用素とする。
$$
\mu_1(T)\colon=\inf\{(u\mid Tu):u\in D(T),\lVert u\rVert=1\}={\rm min}(\sigma(T)),
$$
（'''命題14.8'''を参照）とおき、$2$ 以上の任意の $n\in\mathbb{N}$ に対し、
$$
\mu_n(T)\colon=\sup_{v_1,\ldots,v_{n-1}\in \mathcal{H}}\inf\{(u\mid Tu):u\in D(T)\cap \{v_1,\ldots,v_{n-1}\}^{\perp},\lVert u\rVert=1\}
$$
とおく。（$D(T)\subset {\cal H}$ は稠密であるから${\rm dim}(D(T))=\infty$ である。よって'''補題14.9'''より任意の $n\in \mathbb{N}$ と任意の $v_1,\ldots,v_{n-1}\in {\cal H}$ に対し$D(T)\cap \{v_1,\ldots,v_{n-1}\}^{\perp}\neq \{0\}$ である。）各 $n\in \mathbb{N}$ に対し $\mu_n(T)$ を $T$ の $n$ 番目の特性レベルと言う。

=== 補題14.11 ===
$T$ を無限次元Hilbert空間 $\mathcal{H}$ 上の下に有界な自己共役作用素、$(\mu_n(T))_{n\in\mathbb{N}}$ を $T$ の特性レベル、$E^T\colon\mathcal{B}_{\sigma(T)}\rightarrow\mathbb{P}(\mathcal{H})$ を $T$ のスペクトル測度とする。このとき、
*$(1)$　$(\mu_n(T))_{n\in\mathbb{N}}$ は単調増加列である。
*$(2)$　$\alpha\in\mathbb{R}$ と $n\in \mathbb{N}$ が $\alpha<\mu_n(T)$ を満たすならば、
$$
{\rm dim}{\rm Ran}E^T((-\infty,\alpha]\cap\sigma(T))\leq n-1
$$
が成り立つ。
*$(3)$　$\alpha\in\mathbb{R}$ と $n\in \mathbb{N}$ が $\mu_n(T)<\alpha$ を満たすならば、
$$
{\rm dim}{\rm Ran}E^T((-\infty,\alpha]\cap\sigma(T))\geq n
$$
が成り立つ。
*$(4)$　任意の $n\in\mathbb{N}$ に対し $\mu_n(T)<\infty$ である。
*$(5)$　任意の $n\in\mathbb{N}$ に対し $\mu_n(T)\in \sigma(T)$ である。
{{begin|proof}}
*$(1)$　
$$
\mu_1(T)=\inf\{(u\mid Tu):u\in D(T)\cap \{0\}^{\perp},\lVert u\rVert=1\}\leq \mu_2(T)
$$
であり、$2$ 以上の任意の自然数 $n$ と任意の $v_1,\ldots,v_{n-1}\in {\cal H}$ に対し、
$$
\begin{aligned}
&\inf\{(u\mid Tu): u\in D(T)\cap \{v_1,\ldots,v_{n-1}\}^{\perp},\lVert u\rVert=1\}\\
&=\inf\{(u\mid Tu):u\in D(T)\cap \{v_1,\ldots,v_{n-1},0\}^{\perp},\lVert u\rVert=1\}\leq \mu_{n+1}(T)
\end{aligned}
$$
であるから $\mu_n(T)\leq \mu_{n+1}(T)$ である。
*$(2)$　対偶を示す。もし、
$$
{\rm dim}{\rm Ran}E^T((-\infty,\alpha]\cap \sigma(T))> n-1
$$
ならば、任意の $v_1,\ldots,v_{n-1}\in \mathcal{H}$ に対し '''補題14.9'''より単位ベクトル
$$
u_0\in {\rm Ran}E^T((-\infty,\alpha]\cap \sigma(T))\cap \{v_1,\ldots,v_{n-1}\}^{\perp}
$$
が取れる。$(-\infty,\alpha]\cap \sigma(T)$ は有界であるから $u_0\in D(T)\cap \{v_1,\ldots,v_{n-1}\}^{\perp}$ であり、
$$
\inf\{(u\mid Tu):u\in D(T)\cap \{v_1,\ldots,v_{n-1}\}^{\perp}\}\leq (u_0\mid Tu_0)=\int_{(-\infty,\alpha]\cap\sigma(T)}\lambda dE^T_{u_0,u_0}(\lambda)\leq\alpha
$$
である。$v_1,\ldots,v_{n-1}\in \mathcal{H}$ は任意であるので $\mu_n(T)\leq \alpha$ である。よって対偶が成り立つ。
*$(3)$　対偶を示す。もし、
$$
{\rm dim}{\rm Ran}E^T((-\infty,\alpha]\cap \sigma(T))<n
$$
ならば、ある $v_1,\ldots,v_{n-1}\in \mathcal{H}$ に対し、
$$
{\rm Ran}E^T((-\infty,\alpha]\cap \sigma(T))={\rm span}\{v_1,\ldots,v_{n-1}\}
$$
と表せる。このとき、
$$
\{v_1,\ldots,v_{n-1}\}^{\perp}={\rm Ran}E^T((\alpha,\infty)\cap \sigma(T))
$$
であるから、任意の単位ベクトル
$$
u\in D(T)\cap\{v_1,\ldots,v_{n-1}\}^{\perp}=D(T)\cap {\rm Ran}E^T((\alpha,\infty)\cap \sigma(T))
$$
に対し、
$$
(u\mid Tu)=\int_{(\alpha,\infty)\cap\sigma(T)}\lambda dE^T_{u,u}(\lambda)\geq \alpha
$$
である。よって $\mu_n(T)\geq \alpha$ であるので対偶が成り立つ。
*$(4)$　背理法で示す。もしある $n\in \mathbb{N}$ に対し $\mu_n(T)=\infty$ であるならば、任意の $m\in \mathbb{N}$ に対し $m<\mu_n(T)$ であるから、$(2)$ より、
$$
{\rm dim}{\rm Ran}E^T((-\infty,m]\cap \sigma(T))\leq n-1\quad(\forall m\in\mathbb{N})
$$
である。これより十分大きい $m_0\in\mathbb{N}$ を取れば、
$$
{\rm Ran}E^T((-\infty,m]\cap \sigma(T))={\rm Ran}E^T((-\infty,m_0]\cap \sigma(T))\quad(\forall m\geq m_0)
$$
が成り立つので、
$$
E^T((-\infty,m]\cap \sigma(T))=E^T((-\infty,m_0]\cap \sigma(T))\quad(\forall m\geq m_0)
$$
が成り立つ。よって、
$$
1=E^T(\sigma(T))={\rm SOT-}\lim_{m\rightarrow\infty}E^T((-\infty,m]\cap \sigma(T))=E^T((-\infty,m_0]\cap \sigma(T))
$$
であるから、
$$
{\rm Ran}E^T((-\infty,m_0]\cap \sigma(T))=\mathcal{H}
$$
を得るが、左辺は有限次元で右辺は無限次元であるので矛盾する。よって任意の $n\in \mathbb{N}$ に対し $\mu_n(T)<\infty$ である。
*$(5)$　任意の $n\in \mathbb{N}$ と任意の正数 $\epsilon\in (0,\infty)$ を取る。$(4)$ より $\mu_n(T)-\epsilon<\mu_n(T)<\mu_n(T)+\epsilon$ であるから $(2)$ より、
$$
{\rm dim}{\rm Ran}E^T((-\infty,\mu_n(T)-\epsilon]\cap \sigma(T))\leq n-1,
$$
$(3)$ より、
$$
{\rm dim}{\rm Ran}E^T((-\infty,\mu_n(T)+\epsilon)\cap \sigma(T))\geq n
$$
である。よって、
$$
\begin{aligned}
&{\rm dim}{\rm Ran}E^T((\mu_n(T)-\epsilon,\mu_n(T)+\epsilon)\cap \sigma(T))\\
&={\rm dim}{\rm Ran}E^T((-\infty,\mu_n(T)+\epsilon)\cap \sigma(T))
-{\rm dim}{\rm Ran}E^T((-\infty,\mu_n(T)-\epsilon]\cap \sigma(T))\\
&\geq n-(n-1)=1
\end{aligned}
$$
であるから、
$$
E^T((\mu_n(T)-\epsilon,\mu_n(T)+\epsilon)\cap \sigma(T))>0\quad(\forall n\in\mathbb{N},\forall \epsilon\in (0,\infty)),
$$
したがって、
$$\mu_n(T)\in {\rm ess.Ran}_{E^T}({\rm id})=\sigma(T)\quad(\forall n\in\mathbb{N})
$$
（'''命題8.7'''の $(7)$ を参照）である。
{{end|proof|}}

=== 定理14.12（min-max原理）===
$\mathcal{H}$ を無限次元Hilbert空間、$T$ を $\mathcal{H}$ 上の下に有界な自己共役作用素、$(\mu_n(T))_{n\in \mathbb{N}}$ を $T$ の特性レベルとする。そして、
$$
s\colon=\sup_{n\in \mathbb{N}}\mu_n(T)
$$
とおく。このとき、
*$(1)$　
$$
\{\lambda\in \sigma(T):\lambda<s\}=\{\lambda\in \sigma_{\rm d}(T):\lambda<s\}=\{\mu_n(T):\mu_n(T)<s\}
$$
が成り立つ。
*$(2)$　$s=\infty$ ならば $\sigma(T)=\sigma_{\rm d}(T)$（$T$ のスペクトルは純粋に離散的）であり、$s<\infty$ ならば、$s={\rm min}(\sigma_{\rm ess}(T))$ である。
*$(3)$　もし任意の $n\in \mathbb{N}$ に対し $\mu_n(T)<s$ ならば、$(\mu_n(T))_{n\in\mathbb{N}}$ は $s$ より小さい $T$ の離散固有値を重複度を込めて下から並べたもの（重複度だけ同じ値が続く）である。また $s$ より小さい $T$ の離散固有値は無限個存在する。
{{begin|proof}}
*$(1)$　$\lambda\in \sigma(T)$ が $\lambda<s$ を満たすならば、ある $n\in \mathbb{N}$ と $\epsilon\in (0,\infty)$ に対し、
$$
\lambda<\lambda+\epsilon<\mu_n(T)
$$
となる。よって'''補題14.11'''の $(2)$ より、
$$
{\rm dim}{\rm Ran}E^T((\lambda-\epsilon,\lambda+\epsilon)\cap \sigma(T))\leq n-1<\infty
$$
であるから、'''定理14.2'''より $\lambda\in\sigma_{\rm d}(T)$ である。よって、
$$
\{\lambda\in\sigma(T):\lambda<s\}=\{\lambda\in \sigma_{\rm d}(T):\lambda<s\}\quad\quad(*)
$$
が成り立つ。$\lambda<s$ なる任意の $\lambda\in \sigma_{\rm d}(T)$ を取る。'''命題14.8'''より、
$$
\mu_1(T)={\rm min}(\sigma(T))\leq \lambda<s=\sup_{n\in\mathbb{N}}\mu_n(T)
$$
であるから、
$$
\mu_{n_0}(T)\leq \lambda<\mu_{n_0+1}(T)\quad\quad(**)
$$
を満たす $n_0\in\mathbb{N}$ が存在する。'''補題14.11'''の $(5)$ と $(*)$ より $\mu_{n_0}(T)\in \sigma_{\rm d}(T)$ であるから $\mu_{n_0}(T)$ は $\sigma(T)$ の孤立点である。よってある $\delta\in (0,\infty)$ が存在し、
$$
(-\infty,\mu_{n_0}(T)]\cap\sigma(T)=(-\infty,\mu_{n_0}(T)+\delta)\cap \sigma(T)
$$
となるので、'''補題14.11'''の $(3)$ より、
$$
\begin{aligned}
n_0&\leq {\rm dim}{\rm Ran}E^T((-\infty,\mu_{n_0}(T)+\delta)\cap \sigma(T))\\
&={\rm dim}{\rm Ran}E^T((-\infty,\mu_{n_0}(T)]\cap \sigma(T))
\end{aligned}
$$
であり、$(**)$ と'''補題14.11'''の $(2)$ より、
$$
{\rm dim}{\rm Ran}E^T((-\infty,\lambda]\cap \sigma(T))\leq n_0
$$
であるから、
$$
n_0\leq {\rm dim}{\rm Ran}E^T((-\infty,\mu_{n_0}(T)]\cap \sigma(T))
\leq {\rm dim}{\rm Ran}E^T((-\infty,\lambda]\cap \sigma(T))\leq n_0
$$
である。よって、
$$
{\rm Ran}E^T((-\infty,\mu_{n_0}(T)]\cap \sigma(T))={\rm Ran}E^T((-\infty,\lambda]\cap \sigma(T))
$$
であるから、
$$
E^T((\mu_{n_0}(T),\lambda]\cap \sigma(T))=0
$$
である。もし $\mu_{n_0}(T)<\lambda$ ならば $\lambda\in (\mu_{n_0}(T),\lambda]\cap \sigma(T)$ であり、$\lambda\in \sigma_{\rm d}(T)$ であるから、
$$
0<E^T(\{\lambda\})\leq E^T((\mu_{n_0}(T),\lambda]\cap \sigma(T))=0
$$
となり矛盾する。よって $\mu_{n_0}(T)=\lambda$ である。これより、
$$
\{\lambda\in \sigma_{\rm d}(T):\lambda<s\}\subset\{\mu_n(T):\mu_n(T)<s\}
$$
が成り立つ。ゆえに'''補題14.11'''の $(5)$ と $(*)$ より、
$$
\{\lambda\in \sigma(T):\lambda<s\}=\{\lambda\in \sigma_{\rm d}(T):\lambda<s\}=\{\mu_n(T):\mu_n(T)<s\}
$$
が成り立つ。
*$(2)$　$s=\infty$ ならば、$(1)$ より $\sigma(T)=\sigma_{\rm d}(T)$ である。$s<\infty$ であるとする。$\sigma(T)$ が閉であることと'''補題14.11'''の $(5)$ より $s=\sup_{n\in\mathbb{N}}\mu_n(T)\in \sigma(T)$ である。任意の $\epsilon\in(0,\infty)$ を取る。
$$
\mu_n(T)<s+\epsilon\quad(\forall n\in\mathbb{N})
$$
であるから、'''補題14.11'''の $(3)$ より、
$$
{\rm dim}{\rm Ran}E^T((-\infty,s+\epsilon)\cap \sigma(T))=\infty
$$
である。また $s-\epsilon<\mu_{n_0}(T)$ なる $n_0\in \mathbb{N}$ が存在するので'''補題14.11'''の $(2)$ より、
$$
{\rm dim}{\rm Ran}E^T((-\infty,s-\epsilon]\cap \sigma(T))\leq n_0-1<\infty
$$
である。よって、
$$
{\rm dim}{\rm Ran}E^T((s-\epsilon,s+\epsilon)\cap \sigma(T))=\infty\quad(\forall \epsilon\in(0,\infty))
$$
であるから、'''定理14.2'''より $s\in \sigma_{\rm ess}(T)$ である。$(1)$ より、
$$
\{\lambda\in \sigma_{\rm ess}(T):\lambda<s\}\subset \sigma_{\rm ess}(T)\cap \sigma_{\rm d}(T)=\emptyset
$$
であるから $s={\rm min}(\sigma_{\rm ess}(T))$ である。
*$(3)$　'''補題14.11'''の $(1)$ より $(\mu_n(T))_{n\in \mathbb{N}}$ は単調増加列であり $\mu_n(T)<s$ $(\forall n\in\mathbb{N})$、$s=\sup_{n\in \mathbb{N}}\mu_n(T)$ であるから、任意の $n\in \mathbb{N}$ に対し、$n<k$、$\mu_{n}(T)<\mu_{k}(T)$ なる $k\in\mathbb{N}$ が取れる。そこで $k(1)=1$ とし、$k(n)\in \mathbb{N}$ が定まったとき、$k(n)<k$、$\mu_{k(n)}(T)<\mu_k(T)$ を満たす最小の $k\in \mathbb{N}$ を $k(n+1)$ と定義する。こうして$(\mu_n(T))_{n\in \mathbb{N}}$ の部分列 $(\mu_{k(n)}(T))_{n\in \mathbb{N}}$ を帰納的に定義する。このとき、
$$
\mu_{k(n)}(T)<\mu_{k(n+1)}(T)\quad(\forall n\in \mathbb{N}),\quad \{\mu_n(T):n\in \mathbb{N}\}=\{\mu_{k(n)}(T):n\in \mathbb{N}\}
$$
である。$(1)$ より、
$$
\{\lambda\in \sigma(T):\lambda<s\}=\{\lambda\in \sigma_{\rm d}(T):\lambda<s\}=\{\mu_n(T):n\in\mathbb{N}\}=\{\mu_{k(n)}(T):n\in\mathbb{N}\}
$$
であるから、$s$ より小さい離散固有値は無限個存在する。$(\mu_n(T))_{n\in\mathbb{N}}$ が $s$ より小さい $T$ の離散固有値を重複度を込めて下から並べたものであることを示すには、
$$
{\rm dim}{\rm Ran}E^T(\{\mu_{k(n)}(T)\})=k(n+1)-k(n)\quad(\forall n\in\mathbb{N})\quad\quad(****)
$$
が成り立つことを示せばよい。任意の $n\in \mathbb{N}$ を取る。
$$
\mu_{k(n)}(T)=\mu_{k(n+1)-1}(T)<\mu_{k(n+1)}(T)
$$
であることと、$\mu_{k(n)}(T)=\mu_{k(n+1)-1}(T)\in \sigma_{\rm d}(T)$ が $\sigma(T)$ の孤立点であることに注意して、'''補題14.11'''の $(2),(3)$ を用いれば、
$$
{\rm dim}{\rm Ran}E^T((-\infty,\mu_{k(n)}(T)]\cap \sigma(T))=k(n+1)-1
$$
であることが分かる。ここで、
$$
(-\infty,\mu_{k(n)}(T)]\cap \sigma(T)=\bigcup_{j=1}^{n}\{\mu_{k(j)}(T)\}
$$
であるから、
$$
E^T((-\infty,\mu_{k(n)}(T)]\cap \sigma(T))=\sum_{j=1}^{n}E^T(\{\mu_{k(j)}(T)\})
$$
なので、
$$
\sum_{j=1}^{n}{\rm dim}{\rm Ran}E^T(\{\mu_{k(j)}(T)\})={\rm dim}{\rm Ran}E^T((-\infty,\mu_{k(n)}(T)]\cap \sigma(T))=k(n+1)-1
$$
である。よって、
$$
{\rm dim}{\rm Ran}E^T(\{\mu_{k(1)}(T)\})=k(2)-1=k(2)-k(1)
$$
であり、任意の $n\geq 2$ に対し、
$$
\begin{aligned}
&{\rm dim}{\rm Ran}E^T(\{\mu_{k(n)}(T)\})\\
&=\sum_{j=1}^{n}{\rm dim}E^T(\{\mu_{k(j)}(T)\})-\sum_{j=1}^{n-1}{\rm dim}{\rm Ran}E^T(\{\mu_{k(j)}(T)\})\\
&=(k(n+1)-1)-(k(n)-1)=k(n+1)-k(n)
\end{aligned}
$$
であるから、$(****)$ が成り立つ。
{{end|proof|}}

===命題14.13（Reyleigh-Ritzの原理）===
$\mathcal{H}$ を無限次元Hilbert空間、$T$ を $\mathcal{H}$ 上の下に有界な自己共役作用素、$(\mu_n(T))_{n\in\mathbb{N}}$ を $T$ の特性レベルとする。任意の $N\in \mathbb{N}$ と $D(T)$ の任意の $N$ 次元部分空間 $\mathcal{K}$ に対し、$\mathcal{K}$ の上への射影作用素を $P_{\mathcal{K}}\in \mathbb{B}(\mathcal{H})$ として、
$$
T_{\mathcal{K}}:\mathcal{K}\ni v\mapsto P_{\mathcal{K}}Tv\in \mathcal{K}
$$
なる $\mathcal{K}$ 上の自己共役作用素を定義する。そして $T_{\mathcal{K}}$ の固有値を重複度を込めて下から並べたものを $\lambda_1,\ldots,\lambda_N$（重複度の数だけ同じ値が続く）とする。このとき、
$$
\mu_n(T)\leq \lambda_n\quad(n=1,\ldots,N)
$$
が成り立つ。
{{begin|proof}}
'''命題14.6'''より、
$$
\begin{aligned}
\mu_1(T)&=\inf\{(u\mid Tu):u\in D(T),\lVert u\rVert=1\}\leq \inf\{(u\mid Tu):u\in \mathcal{K},\lVert u\rVert=1\}\\
&=\inf\{(u\mid T_{\mathcal{K}}u):u\in\mathcal{K},\lVert u\rVert=1\}=\lambda_1
\end{aligned}
$$
であり、任意の $n\in\{2,\ldots,N\}$、任意の $v_1,\ldots,v_{n-1}\in \mathcal{H}$ に対し、
$$
\begin{aligned}
&\inf\{(u\mid Tu):u\in D(T)\cap \{v_1,\ldots,v_{N-1}\}^{\perp},\lVert u\rVert=1\}\\
&\leq\inf\{(u\mid Tu):u\in \mathcal{K}\cap \{v_1,\ldots,v_{N-1}\}^{\perp},\lVert u\rVert=1\}\\
&=\inf\{(u\mid T_{\mathcal{K}}u):u\in \mathcal{K}\cap \{P_{\mathcal{K}}v_1,\ldots,P_{\mathcal{K}}v_{N-1}\}^{\perp},\lVert u\rVert=1\}\leq \lambda_n
\end{aligned}
$$
であるから、$\mu_{n}(T)\leq \lambda_n$ である。
{{end|proof|}}

== 15. 加藤-Rellichの定理、相対コンパクトな摂動に対する真性スペクトルの安定性 ==

=== 定理15.1（加藤-Rellichの定理1）===
$\mathcal{H}$ をHilbert空間、$T$ を $\mathcal{H}$ 上の自己共役作用素、$S$ を $\mathcal{H}$ 上の対称作用素とする。そして $D(T)\subset D(S)$ であり、ある $a\in [0,1)$ と $b\in [0,\infty)$ に対し、
$$
\lVert Sv\rVert\leq a\lVert Tv\rVert+b\lVert v\rVert\quad(\forall v\in D(T))\quad\quad(*)
$$
が成り立つとする。このとき次が成り立つ。
*$(1)$　$T+S\colon D(T)\rightarrow\mathcal{H}$ は $\mathcal{H}$ 上の自己共役作用素である。
*$(2)$　$T$ の芯は $T+S$ の芯でもある。
*$(3)$　$T$ が下に有界ならば $T+S$ も下に有界であり、$\gamma\colon ={\rm min}(\sigma(T))$ とおくと、
$$
{\rm min}(\sigma(T+S))\geq \gamma-{\rm max}\left(\frac{b}{1-a},a\lvert \gamma\rvert+b\right)
$$
が成り立つ。
{{begin|proof}}
*$(1)$　$E^T\colon \mathcal{B}_{\sigma(T)}\rightarrow\mathbb{P}(\mathcal{H})$ を $T$ のスペクトル測度とする。任意の $n\in \mathbb{N}$ に対し、
$$
\begin{aligned}
&\lVert T(T\pm in)^{-1}\rVert=\left\lVert \int_{\sigma(T)}\frac{t}{t\pm in}dE^T(t)\right\rVert
\leq\sup_{t\in \sigma(T)}\left\lvert \frac{t}{t\pm in}\right\rvert\leq 1,\\
&\lVert (T\pm in)^{-1}\rVert=\left\lVert \int_{\sigma(T)}\frac{1}{t\pm in}dE^T(t)\right\rVert
\leq\sup_{t\in \sigma(T)}\left\lvert \frac{1}{t\pm in}\right\rvert\leq \frac{1}{n}
\end{aligned}
$$
である。そこで、
$$
a+\frac{b}{n_0}<1
$$
を満たす $n_0\in \mathbb{N}$ を取れば $(*)$ より、
$$
\lVert S(T\pm in_0)^{-1}\rVert\leq a\lVert T(T\pm in_0)^{-1}\rVert+b\lVert (T\pm in_0)^{-1}\rVert
\leq a+\frac{b}{n_0}<1
$$
であるから、[[Banach環とC*-環のスペクトル理論]]の'''命題1.2'''より、
$$
(T+S\pm in_0)(T\pm in_0)^{-1}=1+S(T\pm in_0)^{-1}\in {\rm GL}(\mathbb{B}(\mathcal{H}))
$$
である。特に、
$$
{\rm Ran}(T+S\pm in_0)=\mathcal{H}
$$
であり、$T+S$ は対称作用素であるので、'''定理4.6'''より $T+S$ は自己共役作用素である。
*$(2)$　$D\subset D(T)$ が $T$ の芯であるとすると、任意の $v\in D(T)=D(T+S)$ に対し、$D$ の点列 $(v_n)_{n\in \mathbb{N}}$ で、
$$
\lim_{n\rightarrow\infty}\lVert v_n-v\rVert=0,\quad \lim_{n\rightarrow\infty}\lVert Tv_n-Tv\rVert=0
$$
を満たすものが取れる。$(*)$ より、
$$
\lVert Sv_n-Sv\rVert\leq a\lVert Tv_n-Tv\rVert+b\lVert v_n-v\rVert\rightarrow0\quad(n\rightarrow\infty)
$$
であるから、$D$ は $S+T$ の芯である。
*$(3)$　任意の $\lambda\in (-\infty,\gamma)$ に対し、
$$
\begin{aligned}
\lVert T(T-\lambda)^{-1}\rVert&=\left\lVert \int_{\sigma(T)}\frac{t}{t-\lambda}dE^T(t)\right\rVert\leq \sup_{t\in \sigma(T)}\left\lvert \frac{t}{t-\lambda}\right\rvert\\
&=\sup_{t\in \sigma(T)}\left\lvert 1+\frac{\lambda}{t-\lambda}\right\rvert
\leq \begin{cases}1\quad&(\lambda<0)\\
1+\frac{\lambda}{\gamma-\lambda}&(\lambda\geq0)\end{cases}\\
&\leq {\rm max}\left(1,\frac{\lvert \gamma\rvert}{\gamma-\lambda}\right),
\end{aligned}
$$
$$
\begin{aligned}
\lVert (T-\lambda)^{-1}\rVert=\left\lVert \int_{\sigma(T)}\frac{1}{t-\lambda}dE^T(t)\right\rVert
\leq \sup_{t\in \sigma(T)}\frac{1}{t-\lambda}\leq \frac{1}{\gamma-\lambda}
\end{aligned}
$$
であるから、$(*)$ より、
$$
\begin{aligned}
\lVert S(T-\lambda)^{-1}\rVert &\leq a\lVert T(T-\lambda)^{-1}\rVert+b\lVert (T-\lambda)^{-1}\rVert\\
&\leq{\rm max}\left(a+\frac{b}{\gamma-\lambda}, \frac{a\lvert \gamma\rvert+b}{\gamma-\lambda}\right)
\end{aligned}
$$
である。よって、
$$
\lambda<\gamma-{\rm max}\left(\frac{b}{1-a},a\lvert \gamma\rvert+b\right)
$$
を満たす任意の $\lambda\in \mathbb{R}$ に対し $\lVert S(T-\lambda)^{-1}\rVert<1$ であるから、[[Banach環とC*-環のスペクトル理論]]の'''命題1.2'''より、
$$
(T+S-\lambda)(T-\lambda)^{-1}=1+S(T-\lambda)^{-1}\in {\rm GL}(\mathbb{B}(\mathcal{H})),
$$
したがって、$\lambda\notin \sigma(T+S)$ である。ゆえに $\lambda\in \sigma(T+S)$ ならば $\lambda\geq \gamma-{\rm max}\left(\frac{b}{1-a},a\lvert \gamma\rvert+b\right)$ であるから、$T+S$ は下に有界であり、
$$
{\rm min}(\sigma(T+S))\geq \gamma-{\rm max}\left(\frac{b}{1-a},a\lvert \gamma\rvert+b\right)
$$
が成り立つ。
{{end|proof|}}

===定義15.2（自己共役作用素に対して無限小な対称作用素）===
$\mathcal{H}$ をHilbert空間、$T$ を $\mathcal{H}$ 上の自己共役作用素、$S$ を $\mathcal{H}$ 上の対称作用素とする。もし $D(T)\subset D(S)$ であり、任意の $\epsilon\in (0,1)$ に対し $\delta\in [0,\infty)$ が存在し、
$$
\lVert Sv\rVert\leq \epsilon\lVert Tv\rVert +\delta\lVert v\rVert\quad(\forall v\in D(T))
$$
が成り立つならば、$S$ は $T$ に対して無限小であると言う。 

加藤-Rellichの定理（'''定理15.1'''）より、$S$ が $T$ に対して無限小であるならば、$T+S$ は自己共役作用素であり、$T$ の芯は $T+S$ の芯である。また $T$ が下に有界ならば $T+S$ も下に有界である。

===定義15.3（自己共役作用素に対して相対コンパクトな対称作用素）===
$\mathcal{H}$ をHilbert空間、$T$ を $\mathcal{H}$ 上の自己共役作用素、$S$ を $\mathcal{H}$ 上の対称作用素とする。もし $D(T)\subset D(S)$ であり、ある $\lambda_0\in \rho(T)$ に対し、
$$
S(T-\lambda_0)^{-1}\in \mathbb{B}_0(\mathcal{H})
$$
が成り立つならば、$S$ は $T$ に対して相対コンパクトであると言う。 
このとき任意の $\lambda\in \rho(T)$ に対し $S(T-\lambda)^{-1}\in \mathbb{B}_0(\mathcal{H})$ であることに注意する。実際、
$$
\begin{aligned}
S(T-\lambda_0)^{-1}-S(T-\lambda)^{-1}&=S(T-\lambda_0)^{-1}((T-\lambda)-(T-\lambda_0))(T-\lambda)^{-1}\\
&=(\lambda_0-\lambda)S(T-\lambda_0)^{-1}(T-\lambda)^{-1}
\end{aligned}
$$
であるから、
$$
S(T-\lambda)^{-1}=S(T-\lambda_0)^{-1}+(\lambda-\lambda_0)S(T-\lambda_0)^{-1}(T-\lambda)^{-1}\in \mathbb{B}_0(\mathcal{H})
$$
である。

===補題15.4===
$\mathcal{H}$ をHilbert空間、$T$ を $\mathcal{H}$ 上の自己共役作用素とし、$S$ を $T$ に対して相対コンパクトな対称作用素とする。このとき、
$$
\lim_{n\rightarrow\infty}\lVert S(T+in)^{-1}\rVert=0
$$
が成り立つ。
{{begin|proof}}
'''定義15.3'''の注意で述べた様に $S(T+in)^{-1} \in \mathbb{B}_0(\mathcal{H})$ である。$E^T\colon\mathcal{B}_{\sigma(T)}\rightarrow\mathbb{P}(\mathcal{H})$ を $T$ のスペクトル測度とする。今、
$$
A\colon=S(T+i)^{-1}\in \mathbb{B}_0(\mathcal{H}),
$$
$$
B_n\colon=(T+i)(T+in)^{-1}=\int_{\sigma(T)}\frac{t+i}{t+in}dE^T(t)\in \mathbb{B}(\mathcal{H})\quad(\forall n\in \mathbb{N})
$$
とおく。このとき、
$$
S(T+in)^{-1}=AB_n\quad(\forall n\in \mathbb{N})
$$
である。そして、
$$
\lVert B_n\rVert=\sup_{t\in \sigma(T)}\left\lvert \frac{t+i}{t+in}\right\rvert\leq1\quad(\forall n\in \mathbb{N})\quad\quad(*)
$$
であり、任意の $v\in \mathcal{H}$ に対しLebesgue優収束定理より、
$$
\lVert B_n^*v\rVert^2=\int_{\sigma(T)}\left\lvert \frac{t-i}{t-in}\right\rvert^2dE^T_{v,v}(t)\rightarrow0\quad(n\rightarrow\infty)\quad\quad(**)
$$
である。任意の $\epsilon\in (0,\infty)$ に対し、コンパクト作用素の定義（'''定義13.3'''）より有限階作用素 $A_0\in\mathbb{B}_{\rm f}(\mathcal{H})$ で、
$$
\lVert A-A_0\rVert<\frac{\epsilon}{2}\quad\quad(***)
$$
を満たすものが取れる。有限次元部分空間 ${\rm Ran}(A_0)\subset \mathcal{H}$ のCONSを $e_1,\ldots,e_m$ とおけば、'''命題13.6'''より、
$$
A_0=\left(\sum_{j=1}^{m}e_j\odot e_j\right)A_0=\sum_{j=1}^{m}e_j\odot A_0^*e_j
$$
であるから、$(**)$ と'''命題13.6'''より作用素ノルムで、
$$
A_0B_n=\left(\sum_{j=1}^{m}e_j\odot A_0^*e_j\right)B_n=\sum_{j=1}^{m}e_j\odot B_n^*A_0^*e_j\rightarrow0\quad(n\rightarrow\infty)
$$
となる。よって十分大きい $n_0\in \mathbb{N}$ を取れば、
$$
\lVert A_0B_n\rVert<\frac{\epsilon}{2}\quad(\forall n\geq n_0)
$$
となるので、$(*)$, $(***)$ より任意の $n\geq n_0$ に対し、
$$
\begin{aligned}
\lVert S(T+in)^{-1}\rVert&=\lVert AB_n\rVert\leq \lVert (A-A_0)B_n\rVert+\lVert A_0B_n\rVert\\
&<\lVert A-A_0\rVert+\frac{\epsilon}{2}<\epsilon
\end{aligned}
$$
となる。ゆえに $\lim_{n\rightarrow\infty}\lVert S(T+in)^{-1}\rVert=0$ が成り立つ。
{{end|proof|}}

===定理15.5（相対コンパクトな摂動に対する真性スペクトルの安定性）===
$\mathcal{H}$ をHilbert空間、$T$ を $\mathcal{H}$ 上の自己共役作用素、$S$ を $T$ に対して相対コンパクトな対称作用素（'''定義15.3'''）とする。このとき、
*$(1)$　$S$ は $T$ に対して無限小（'''定義15.2'''）である。（したがって $T+S\colon D(T)\rightarrow\mathcal{H}$ は自己共役作用素である。）
*$(2)$　$S$ は $T+S$ に対しても相対コンパクトである。
*$(3)$　$\sigma_{\rm ess}(T+S)=\sigma_{\rm ess}(T)$ が成り立つ。
{{begin|proof}}
*$(1)$　'''補題15.4'''より任意の $\epsilon\in (0,1)$ に対し $\lVert S(T+in)^{-1}\rVert<\epsilon$ なる $n\in \mathbb{N}$ が取れる。よって任意の $v\in D(T)$ に対し、
$$
\lVert Sv\rVert\leq\lVert S(T+in)^{-1}(T+in)v\rVert
\leq \epsilon\lVert Tv\rVert+n\lVert (S+in)^{-1}\rVert\lVert v\rVert
$$
であるので、$\epsilon\in (0,1)$ の任意性より $S$ は $T$ に対して無限小である。
*$(2)$　任意の $n\in \mathbb{N}$ に対し、
$$
\begin{aligned}
S(T+S+in)^{-1}-S(T+in)^{-1}&=S(T+S+in)^{-1}((T+in)-(T+S+in))(T+in)^{-1}\\
&=-S(T+S+in)^{-1}S(T+in)^{-1}
\end{aligned}
$$
であるから、
$$
S(T+S+in)^{-1}(1+S(T+in)^{-1})=S(T+in)^{-1}\quad\quad(*)
$$
である。'''補題15.4'''より十分大きい $n_0\in \mathbb{N}$ を取れば、
$$
\lVert S(T+in_0)^{-1}\rVert<1
$$
となるので、[[Banach環とC*-環のスペクトル理論]]の'''命題1.2'''より、
$$
1+S(T+in_0)^{-1}\in {\rm GL}(\mathbb{B}(\mathcal{H}))
$$
である。よって $(*)$ より、
$$
S(T+S+in_0)^{-1}=S(T+in_0)^{-1}(1+S(T+in_0)^{-1})^{-1}\in \mathbb{B}_0(\mathcal{H})
$$
であるから、$S$ は $T+S$ に対して相対コンパクトである。
*$(3)$　任意の $\lambda\in \sigma_{\rm ess}(T)$ を取る。'''定理14.2'''より $D(T)$ の単位ベクトルの列 $(u_n)_{n\in\mathbb{N}}$ で、$\lim_{n\rightarrow\infty}\lVert (T-\lambda)u_n\rVert=0$ かつ $\mathcal{H}$ の弱位相で $\lim_{n\rightarrow\infty}u_n=0$ となるものが取れる。任意の $n\in \mathbb{N}$ に対し、
$$
\begin{aligned}
&(\lambda-(T+S))u_n=(\lambda-T)u_n-S(T-i)^{-1}(T-i)u_n\\
&=(\lambda-T)u_n-S(T-i)^{-1}((T-\lambda)u_n+(\lambda-i)u_n)\quad\quad(**)
\end{aligned}
$$
であり、$S$ は $T$ に対して相対コンパクトであるので $S(T-i)^{-1}\in \mathbb{B}_0(\mathcal{H})$ であるから、'''定理13.10'''より、
$$
\lim_{n\rightarrow\infty}\lVert S(T-i)^{-1}u_n\rVert=0
$$
である。よって $(**)$ より、
$$
\lim_{n\rightarrow\infty}\lVert (\lambda-(T+S))u_n\rVert=0
$$
であるから、'''定理14.2'''より $\lambda\in \sigma_{\rm ess}(T+S)$ である。ゆえに、
$$
\sigma_{\rm ess}(T)\subset \sigma_{\rm ess}(T+S)
$$
が成り立つ。$(2)$ より $-S$ は $T+S$ に対して相対コンパクトであるので、上の結果より、
$$
\sigma_{\rm ess}(T+S)\subset \sigma_{\rm ess}(T+S-S)=\sigma_{\rm ess}(T)
$$
も成り立つ。よって $\sigma_{\rm ess}(T)=\sigma_{\rm ess}(T+S)$ が成り立つ。
{{end|proof|}}

== 16. トレースクラス、Hilbert-Schmidtクラス、積分作用素 ==

===命題16.1===
$\mathcal{H}$ をHilbert空間、$(e_j)_{j\in J}$, $(f_i)_{i\in I}$ をそれぞれ $\mathcal{H}$ の添字付けられたCONSとする。このとき、
*$(1)$　任意の $T\in \mathbb{B}(\mathcal{H})$ に対し、
$$
\sum_{j\in J}(e_j\mid T^*Te_j)=\sum_{j\in J}(e_j\mid TT^*e_j)
$$
が成り立つ。
*$(2)$　任意の非負有界自己共役作用素 $T\in \mathbb{B}(\mathcal{H})_+$ に対し、
$$
\sum_{j\in J}(e_j\mid Te_j)=\sum_{i\in I}(f_i\mid Tf_i)
$$
が成り立つ。
{{begin|proof}}
*$(1)$　$\mathcal{F}_J$ を $J$ の有限部分集合全体とする。また任意の $j,j'\in J$ に対し、
$$
\alpha_{j,j'}\colon=(e_{j'}\mid Te_j)(Te_j\mid e_{j'})=(T^*e_{j'}\mid e_j)(e_j\mid T^*e_{j'})\geq0
$$
とおく。すると、
$$
\begin{aligned}
\sum_{j\in J}(e_j\mid T^*Te_j)&=\sum_{j\in J}(Te_j\mid Te_j)
=\sum_{j\in J}\sum_{j'\in J}(e_{j'}\mid Te_j)(Te_j\mid e_{j'})\\
&=\sum_{j\in J}\sum_{j'\in J}\alpha_{j,j'}=\sum_{j'\in J}\sum_{j\in J}\alpha_{j,j'}=\sum_{j'\in J}\sum_{j\in J}(T^*e_{j'}\mid e_j)(e_j\mid T^*e_{j'})\\
&=\sum_{j'\in J}(T^*e_{j'}\mid T^*e_{j'})=\sum_{j'\in J}(e_{j'}\mid TT^*e_{j'})
\end{aligned}
$$
（非負数の総和については[[位相線形空間1：ノルムと内積]]の'''定義5.4'''を参照）となる。
*$(2)$　[[測度と積分6：数え上げ測度と $\ell^p$ 空間]]の'''定理25.10'''より全単射 $\gamma\colon J\rightarrow I$ が取れ、[[測度と積分6：数え上げ測度と $\ell^p$ 空間]]の'''定理25.6'''より $\mathcal{H}$ 上のユニタリ作用素 $U$ で、
$$
Ue_j=f_{\gamma(j)}\quad(\forall j\in J)
$$
を満たすものが取れる。任意の $T\in \mathbb{B}(\mathcal{H})_+$ に対し、
$$
\sum_{i\in I}(f_i\mid Tf_i)=\sum_{j\in J}(f_{\gamma(j)}\mid Tf_{\gamma(j)})
=\sum_{j\in J}(e_j\mid U^*TUe_j)
$$
であり、$U^*TU=(\sqrt{T}U)^*(\sqrt{T}U)$ であることと $(1)$ より、
$$
\sum_{j\in J}(e_j\mid U^*TUe_j)=\sum_{j\in J}\left(e_j\mid (\sqrt{T}U)^*(\sqrt{T}U)e_j\right)
=\sum_{j\in J}\left(e_j\mid (\sqrt{T}U)(\sqrt{T}U)^*e_j\right)
=\sum_{j\in J}(e_j\mid Te_j)
$$
であるから、
$$
\sum_{i\in I}(f_i\mid Tf_i)=\sum_{j\in J}(e_j\mid U^*TUe_j)=\sum_{j\in J}(e_j\mid Te_j)
$$
である。
{{end|proof|}}

===定義16.2（$\mathbb{B}(\mathcal{H})_+$ 上のトレース）===
$\mathcal{H}$ をHilbert空間とする。$\mathcal{H}$ 上の非負有界自己共役作用素に対するトレース
$$
{\rm Tr}\colon \mathbb{B}(\mathcal{H})_+\rightarrow [0,\infty]
$$
を、$\mathcal{H}$ のCONS $(e_j)_{j\in J}$ に対し、
$$
{\rm Tr}(T)\colon =\sum_{j\in J}(e_j\mid Te_j)
$$
として定義する。'''命題16.1'''の $(2)$ よりこの定義は $\mathcal{H}$ のCONSの取り方によらない。

===命題16.3（$\mathbb{B}(\mathcal{H})_+$ 上のトレースの基本的性質）===
トレース ${\rm Tr}\colon \mathbb{B}(\mathcal{H})_+\rightarrow[0,\infty]$ に対し次が成り立つ。
*$(1)$　$S,T\in \mathbb{B}(\mathcal{H})_+$ が $S\leq T$ を満たすならば ${\rm Tr}(S)\leq {\rm Tr}(T)$.
*$(2)$　任意の $S,T\in \mathbb{B}(\mathcal{H})_+$ に対し ${\rm Tr}(S+T)={\rm Tr}(S)+{\rm Tr}(T)$.
*$(3)$　任意の $T\in \mathbb{B}(\mathcal{H})_+$ と $\alpha\in [0,\infty)$ に対し ${\rm Tr}(\alpha T)=\alpha {\rm Tr}(T)$.
*$(4)$　任意の $T\in \mathbb{B}(\mathcal{H})_+$ と $V\in \mathbb{B}(\mathcal{H})$ に対し ${\rm Tr}(V^*TV)\leq \lVert V\rVert^2{\rm Tr}(T)$.
*$(5)$　任意の $T\in \mathbb{B}(\mathcal{H})$ に対し $\lVert T\rVert\leq {\rm Tr}(\lvert T\rvert)$.
{{begin|proof}}
$(1),(2),(3)$ は自明である。$(4)$ を示す。$\mathcal{H}$ のCONS $(e_j)_{j\in J}$ に対し'''命題16.1'''の $(1)$ より、
$$
\begin{aligned}
{\rm Tr}(V^*TV)&={\rm Tr}\left(\left(\sqrt{T}V\right)\left(\sqrt{T}V\right)^*\right)
={\rm Tr}\left(\sqrt{T}VV^*\sqrt{T}\right)=\sum_{j\in J}\left(e_j\mid \sqrt{T}VV^*\sqrt{T}e_j\right)\\
&=\sum_{j\in J}\lVert V^*\sqrt{T}e_j\rVert^2
\leq\lVert V\rVert^2\sum_{j\in J}\lVert \sqrt{T}e_j\rVert^2=\lVert V\rVert^2\sum_{j\in J}(e_j\mid Te_j)
=\lVert V\rVert^2{\rm Tr}(T)
\end{aligned}
$$
である。$(5)$ を示す。
$$
\lVert T\rVert^2=\lVert T^*T\rVert=\lVert \lvert T\rvert^2\rVert=\lVert \lvert T\rvert\rVert^2
$$
より、
$$
\lVert T\rVert=\lVert \lvert T\rvert\rVert=\lVert \sqrt{\lvert T\rvert}^2\rVert=\lVert \sqrt{\lvert T\rvert}\rVert^2
$$
である。そして、
$$
\lVert \sqrt{\lvert T\rvert}\rVert^2=\sup\{\lVert \sqrt{T}e\rVert^2:e\in \mathcal{H},\lVert e\rVert=1\}
=\sup\{(e\mid \lvert T\rvert e):e\in \mathcal{H},\lVert e\rVert=1\}
$$
であるから、
$$
\lVert T\rVert=\lVert \sqrt{\lvert T\rvert}\rVert^2=\sup\{(e\mid \lvert T\rvert e):e\in \mathcal{H},\lVert e\rVert=1\}\quad\quad(*)
$$
が成り立つ。任意の単位ベクトル $e\in \mathcal{H}$ に対し[[測度と積分6：数え上げ測度と $\ell^p$ 空間]]の'''命題25.9'''より $e$ を含む $\mathcal{H}$ のCONSが存在するので、
$$
(e\mid \lvert T\rvert e)\leq {\rm Tr}(\lvert T\rvert)
$$
が成り立つ。よって $(*)$ より $\lVert T\rVert\leq {\rm Tr}(\lvert T\rvert)$ が成り立つ。
{{end|proof|}}

===定義16.4（トレースクラス $\mathbb{B}^1(\mathcal{H})$、Hilbert-Schmidtクラス $\mathbb{B}^2(\mathcal{H})$）===
$\mathcal{H}$ をHilbert空間とする。
$$
\mathbb{B}^1(\mathcal{H})\colon=\{T\in \mathbb{B}(\mathcal{H}):{\rm Tr}(\lvert T\rvert)<\infty\}
$$
を $\mathcal{H}$ 上のトレースクラス、
$$
\mathbb{B}^2(\mathcal{H})\colon=\{T\in \mathbb{B}(\mathcal{H}):{\rm Tr}(T^*T)<\infty\}
$$
を $\mathcal{H}$ 上のHilbert-Schmidtクラスと言う。

===命題16.5（トレースクラス $\mathbb{B}^1(\mathcal{H})$ は $\mathbb{B}(\mathcal{H})$ の $*$-イデアル）===
トレースクラス $\mathbb{B}^1(\mathcal{H})$ は、
$$
\mathbb{B}^1(\mathcal{H})={\rm span}(\mathbb{B}^1(\mathcal{H})\cap \mathbb{B}(\mathcal{H})_+)={\rm span}\{T\in \mathbb{B}(\mathcal{H})_+: {\rm Tr}(T)<\infty\}
$$
と表せる。そして $\mathbb{B}^1(\mathcal{H})$ は $\mathbb{B}(\mathcal{H})$ の $*$-イデアルである。
{{begin|proof}}
$$
\mathcal{T}\colon={\rm span}(\mathbb{B}^1(\mathcal{H})\cap \mathbb{B}(\mathcal{H})_+)={\rm span}\{T\in \mathbb{B}(\mathcal{H})_+: {\rm Tr}(T)<\infty\}
$$
とおく。まず $\mathcal{T}$ が $\mathbb{B}(\mathcal{H})$ の $*$-イデアルであることを示す。任意の $T\in \mathbb{B}^1(\mathcal{H})\cap \mathbb{B}(\mathcal{H})_+$、任意の $S\in \mathbb{B}(\mathcal{H})$ に対し、偏極恒等式（[[測度と積分6：数え上げ測度と $\ell^p$ 空間]]の'''定義25.2'''）と'''命題16.3'''の $(4)$ より、
$$
\begin{aligned}
ST&=(\sqrt{T}S^*)^*\sqrt{T}=\frac{1}{4}\sum_{k=0}^{3}i^k\left(i^k\sqrt{T}S^*+\sqrt{T}\right)^*\left(i^k\sqrt{T}S^*+\sqrt{T}\right)\\
&=\frac{1}{4}\sum_{k=0}^{3}i^k(i^kS^*+1)^*T(i^kS^*+1)\in \mathcal{T},
\end{aligned}
$$
よって、
$$
ST\in \mathcal{T}\quad(\forall S\in \mathbb{B}(\mathcal{H}),\forall T\in \mathcal{T})
$$
が成り立つ。また $\mathcal{T}$ は明らかに $*$-演算で閉じているので、
$$
TS=(S^*T^*)^*\in \mathcal{T}\quad(\forall S\in \mathbb{B}(\mathcal{H}),\forall T\in \mathcal{T})
$$
も成り立つ。これより $\mathcal{T}$ は $\mathbb{B}(\mathcal{H})$ の $*$-イデアルである。次に $\mathbb{B}^1(\mathcal{H})=\mathcal{T}$ が成り立つことを示す。任意の $T\in \mathbb{B}^1(\mathcal{H})$ に対し $T=V\lvert T\rvert$ を $T$ の極分解（'''定理9.4'''）とすると、$\lvert T\rvert\in \mathcal{T}$ であり $\mathcal{T}$ はイデアルであるから $T=V\lvert T\rvert\in \mathcal{T}$ である。よって $\mathbb{B}^1(\mathcal{H})\subset \mathcal{T}$ が成り立つ。任意の $T\in \mathcal{T}$ に対し $T=V\lvert T\rvert$ を $T$ の極分解とすると、$\lvert T\rvert=V^*V\lvert T\rvert=V^*T$ であり $\mathcal{T}$ はイデアルであるから、$\lvert T\rvert\in\mathcal{T}$ である。よって ${\rm Tr}(\lvert T\rvert)<\infty$ であるから $T\in \mathbb{B}^1(\mathcal{H})$ である。ゆえに $\mathbb{B}^1(\mathcal{H})=\mathcal{T}$ が成り立つ。
{{end|proof|}}

===命題16.6（Hilbert-Schmidtクラス $\mathbb{B}^2(\mathcal{H})$ は $\mathbb{B}(\mathcal{H})$ の $*$-イデアル）===
Hilbert-Schmidtクラス $\mathbb{B}^2(\mathcal{H})$ は $\mathbb{B}(\mathcal{H})$ の $*$-イデアルである。
{{begin|proof}}
任意の $T\in \mathbb{B}^2(\mathcal{H})$ に対し'''命題16.1'''の $(1)$ より ${\rm Tr}(TT^*)={\rm Tr}(T^*T)<\infty$ であるから $T^*\in \mathbb{B}^2(\mathcal{H})$ である。任意の $T\in \mathbb{B}^2(\mathcal{H})$ と任意の $S\in \mathbb{B}(\mathcal{H})$ に対し'''命題16.3'''の $(4)$ より、
$$
{\rm Tr}((TS)^*TS)={\rm Tr}(S^*T^*TS)\leq \lVert S\rVert^2{\rm Tr}(T^*T)<\infty
$$
であるから、$TS\in \mathbb{B}^2(\mathcal{H})$ が成り立ち、$\mathbb{B}^2(\mathcal{H})$ は $*$-演算で閉じているから $ST=(T^*S^*)^*\in \mathbb{B}^2(\mathcal{H})$ が成り立つ。任意の $T\in \mathbb{B}^2(\mathcal{H})$ と任意の $\alpha\in \mathbb{C}$ に対し、
$$
{\rm Tr}((\alpha T)^*\alpha T)={\rm Tr}(\lvert\alpha\rvert^2T^*T)=\lvert\alpha\rvert^2{\rm Tr}(T^*T)<\infty
$$
であるから $\alpha T\in \mathbb{B}^2(\mathcal{H})$ であり、任意の $S,T\in \mathbb{B}^2(\mathcal{H})$ に対し、
$$
(S+T)^*(S+T)\leq (S+T)^*(S+T)+(S-T)^*(S-T)=2(S^*S+T^*T)
$$
であることと'''命題16.3'''の $(1),(2)$ より、
$$
{\rm Tr}((S+T)^*(S+T))\leq 2({\rm Tr}(S^*S)+{\rm Tr}(T^*T))<\infty
$$
であるから $S+T\in \mathbb{B}^2(\mathcal{H})$ である。ゆえに $\mathbb{B}^2(\mathcal{H})$ は $\mathbb{B}(\mathcal{H})$ の $*$-イデアルである。
{{end|proof|}}

===命題16.7（$\mathbb{B}^1(\mathcal{H})\subset \mathbb{B}^2(\mathcal{H})\subset \mathbb{B}_0(\mathcal{H})$, $\mathbb{B}^2(\mathcal{H})\mathbb{B}^2(\mathcal{H})\subset \mathbb{B}^1(\mathcal{H})$）===
$\mathcal{H}$ をHilbert空間とする。次が成り立つ。
*$(1)$　$\mathbb{B}_{\rm f}(\mathcal{H})\subset \mathbb{B}^1(\mathcal{H})\subset \mathbb{B}^2(\mathcal{H})\subset \mathbb{B}_0(\mathcal{H})$.
*$(2)$　任意の $S,T\in \mathbb{B}^2(\mathcal{H})$ に対し $ST\in \mathbb{B}^1(\mathcal{H})$.
{{begin|proof}}
*$(1)$　$\mathbb{B}_{\rm f}(\mathcal{H})\subset \mathbb{B}^1(\mathcal{H})$ を示す。任意の $T\in \mathbb{B}_{\rm f}(\mathcal{H})$ を取る。有限次元部分空間 ${\rm Ran}(T)\subset \mathcal{H}$ の上への射影作用素を $P\in\mathbb{B}(\mathcal{H})_+$ とおき、${\rm Ran}(T)$ のCONSを $(e_1,\ldots,e_n)$ とおく。[[測度と積分6：数え上げ測度と $\ell^p$ 空間]]の'''命題25.9'''より $\{e_1,\ldots,e_n\}$ を含む $\mathcal{H}$ のCONSが取れるので、
$$
{\rm Tr}(P)=\sum_{j=1}^{n}(e_j\mid Pe_j)=n<\infty
$$
である。よって $P\in \mathbb{B}^1(\mathcal{H})$ であり、$\mathbb{B}^1(\mathcal{H})\subset \mathbb{B}(\mathcal{H})$ はイデアルである（'''命題16.5'''）から、$T=PT\in \mathbb{B}^1(\mathcal{H})$ である。ゆえに $\mathbb{B}_{\rm f}(\mathcal{H})\subset \mathbb{B}^1(\mathcal{H})$ が成り立つ。 
$\mathbb{B}^1(\mathcal{H})\subset \mathbb{B}^2(\mathcal{H})$ を示す。任意の $T\in \mathbb{B}^1(\mathcal{H})$ を取り、$T=V\lvert T\rvert$ を $T$ の極分解（'''定理9.4'''）とする。このとき、
$$
{\rm Tr}(\sqrt{\lvert T\rvert}^2)={\rm Tr}(\lvert T\rvert)<\infty
$$
であるから $\sqrt{\lvert T\rvert}\in \mathbb{B}^2(\mathcal{H})$ であり、$\mathbb{B}^2(\mathcal{H})$ は $\mathbb{B}(\mathcal{H})$ のイデアルである（'''命題16.6'''）から、$T=V\lvert T\rvert=V\sqrt{\lvert T\rvert}\sqrt{\lvert T\rvert}\in \mathbb{B}^2(\mathcal{H})$ である。ゆえに $\mathbb{B}^1(\mathcal{H})\subset \mathbb{B}^2(\mathcal{H})$ が成り立つ。 
$\mathbb{B}^2(\mathcal{H})\subset \mathbb{B}_0(\mathcal{H})$ を示す。$(e_j)_{j\in J}$ を $\mathcal{H}$ のCONSとし、$\mathcal{F}_J$ を $J$ の有限部分集合全体とする。そして、
$$
P_F\colon=\sum_{j\in F}e_j\odot e_j\quad(\forall F\in \mathcal{F}_J)
$$
とおく。'''命題16.3'''の $(5)$ より任意の $F\in\mathcal{F}_J$ に対し、
$$
\begin{aligned}
\lVert T-TP_F\rVert^2&=\lVert(1-P_F)T^*T(1-P_F)\rVert\leq {\rm Tr}((1-P_F)T^*T(1-P_F))\\
&=\sum_{j\in J}(e_j\mid (1-P_F)T^*T(1-P_F)e_j)=\sum_{j\in J\backslash F}(e_j\mid T^*Te_j)\\
&={\rm Tr}(T^*T)-\sum_{j\in F}(e_j\mid T^*Te_j)
\end{aligned}
$$
であり、右辺は $F\rightarrow J$ で $0$ に収束するので $\lim_{F\rightarrow J}\lVert T-P_FT\rVert=0$ が成り立つ。よって、
$$
T=\lim_{F\rightarrow J}P_FT\in \overline{\mathbb{B}_{\rm f}(\mathcal{H})}=\mathbb{B}_0(\mathcal{H})
$$
である。ゆえに $\mathbb{B}^2(\mathcal{H})\subset \mathbb{B}_0(\mathcal{H})$ が成り立つ。
*$(2)$　任意の $S,T\in \mathbb{B}^2(\mathcal{H})$ に対し、偏極恒等式（[[測度と積分6：数え上げ測度と $\ell^p$ 空間]]の'''定義25.2'''）より、
$$
ST=S^{**}T=\frac{1}{4}\sum_{k=0}^{3}i^k(i^kS^*+T)^*(i^kS^*+T)
$$
であり、'''命題16.6'''より、
$$
{\rm Tr}((i^kS^*+T)^*(i^kS^*+T))<\infty\quad(k=0,1,2,3)
$$
であるから $ST\in \mathbb{B}^1(\mathcal{H})$ である。
{{end|proof|}}

===定義16.8（トレースクラス $\mathbb{B}^1(\mathcal{H})$ 上のトレース）===
$\mathcal{H}$ をHilbert空間とする。任意の $T\in \mathbb{B}^1(\mathcal{H})$ に対し、'''命題16.5'''より、
$$
T=T_{1,+}-T_{1,-}+i(T_{2,+}-T_{2,-})
$$
を満たす $T_{1,\pm},T_{2,\pm}\in \mathbb{B}^1(\mathcal{H})\cap \mathbb{B}(\mathcal{H})_+$ が取れる。そこで $T$ のトレースを、
$$
{\rm Tr}(T)\colon={\rm Tr}(T_{1,+})-{\rm Tr}(T_{1,-})+i({\rm Tr}(T_{2,+})-{\rm Tr}(T_{2,-}))
$$
として定義する。 
この定義はwell-definedである。実際、$S_{1,\pm},S_{2,\pm}\in \mathbb{B}^1(\mathcal{H})\cap \mathbb{B}(\mathcal{H})_+$ も、
$$
T=S_{1,+}-S_{1,-}+i(S_{2,+}-S_{2,-})
$$
を満たすならば、
$$
\begin{aligned}
&T_{1,+}-T_{1,-}=\frac{1}{2}(T+T^*)=S_{1,+}-S_{1,-},\\
&T_{2,+}-T_{2,-}=\frac{1}{2i}(T-T^*)=S_{2,+}-S_{2,-}
\end{aligned}
$$
であるから、
$$
T_{1,+}+S_{1,-}=S_{1,+}+T_{1,-},\quad
T_{2,+}+S_{2,-}=S_{2,+}+T_{2,-}
$$
である。よって非負有界自己共役作用素に対するトレースの加法性より、
$$
\begin{aligned}
&{\rm Tr}(T_{1,+})+{\rm Tr}(S_{1,-})={\rm Tr}(S_{1,+})+{\rm Tr}(T_{1,-}),\\
&{\rm Tr}(T_{2,+})+{\rm Tr}(S_{2,-})={\rm Tr}(S_{2,+})+{\rm Tr}(T_{2,-})
\end{aligned}
$$
であり、
$$
\begin{aligned}
&{\rm Tr}(T_{1,+})-{\rm Tr}(T_{1,-})={\rm Tr}(S_{1,+})-{\rm Tr}(S_{1,-}),\\
&{\rm Tr}(T_{2,+})-{\rm Tr}(T_{2,-})={\rm Tr}(S_{2,+})-{\rm Tr}(S_{2,-})
\end{aligned}
$$
である。ゆえにwell-definedである。

===命題16.9（トレースクラス $\mathbb{B}^1(\mathcal{H})$ 上のトレースの基本的性質）===
トレースクラス上のトレース ${\rm Tr}\colon\mathbb{B}^1(\mathcal{H})\ni T\mapsto {\rm Tr}(T)\in \mathbb{C}$ に対し次が成り立つ。
*$(1)$　$\mathcal{H}$ の任意のCONS $(e_j)_{j\in J}$ と任意の $T\in \mathbb{B}^1(\mathcal{H})$ に対し、
$$
{\rm Tr}(T)=\sum_{j\in J}(e_j\mid Te_j).
$$
*$(2)$　${\rm Tr}\colon\mathbb{B}^1(\mathcal{H})\rightarrow\mathbb{C}$ は線形汎関数である。
*$(3)$　任意の $S,T\in \mathbb{B}^2(\mathcal{H})$ に対し ${\rm Tr}(ST)={\rm Tr}(TS)$.
*$(4)$　任意の $S\in \mathbb{B}(\mathcal{H})$ と任意の $T\in \mathbb{B}^1(\mathcal{H})$ に対し ${\rm Tr}(ST)={\rm Tr}(TS)$.
{{begin|proof}}
*$(1)$　'''定義16.8'''より $T_0,T_1,T_2,T_3\in \mathbb{B}^1(\mathcal{H})\cap \mathbb{B}(\mathcal{H})_+$ で $T=\sum_{k=0}^{3}i^kT_k$ なるものに対し、${\rm Tr}(T)=\sum_{k=0}^{3}i^k{\rm Tr}(T_k)$ であるから、
$$
{\rm Tr}(T)=\sum_{k=0}^{3}i^k{\rm Tr}(T_k)=\sum_{k=0}^{3}i^k\sum_{j\in J}(e_j\mid T_ke_j)
=\sum_{j\in J}\sum_{k=0}^{3}i^k(e_j\mid T_ke_j)=\sum_{j\in J}(e_j\mid Te_j).
$$
*$(2)$　$(1)$ より明らかである。
*$(3)$　'''命題16.7'''の $(2)$ より任意の $S,T\in \mathbb{B}^2(\mathcal{H})$ である。$(2)$ と偏極恒等式（[[測度と積分6：数え上げ測度と $\ell^p$ 空間]]の'''定義25.2'''）、および'''命題16.1'''の $(1)$ より、
$$
\begin{aligned}
{\rm Tr}(ST)&={\rm Tr}(S^{**}T)=\frac{1}{4}\sum_{k=0}^{3}i^k{\rm Tr}((i^kS^*+T)^*(i^kS^*+T))\\
&=\frac{1}{4}\sum_{k=0}^{3}i^k{\rm Tr}((i^kS^*+T)(i^kS^*+T)^*)
=\frac{1}{4}\sum_{k=0}^{3}i^k{\rm Tr}((S+i^kT^*)^*(S+i^kT^*))\\
&={\rm Tr}(T^{**}S)={\rm Tr}(TS).
\end{aligned}
$$
*$(4)$　$T\in \mathbb{B}^1(\mathcal{H})$ の極分解（'''定理9.4'''）を $T=V\lvert T\rvert$ とすると、$\sqrt{\lvert T\rvert},SV\sqrt{\lvert T\rvert}, \sqrt{\lvert T\rvert}S, V\sqrt{\lvert T\rvert}\in \mathbb{B}^2(\mathcal{H})$ であるから、$(3)$ より、
$$
\begin{aligned}
{\rm Tr}(ST)={\rm Tr}(SV\sqrt{\lvert T\rvert}\sqrt{\lvert T\rvert})
={\rm Tr}(\sqrt{\lvert T\rvert}SV\sqrt{\lvert T\rvert})
={\rm Tr}(V\sqrt{\lvert T\rvert}\sqrt{\lvert T\rvert}S)={\rm Tr}(TS).
\end{aligned}
$$
{{end|proof|}}

===定義16.10（Hilbert-Schmidtクラス $\mathbb{B}^2(\mathcal{H})$ の内積）===
Hilbert-Schmidtクラス $\mathbb{B}^2(\mathcal{H})$ に対し、'''命題16.9'''より、
$$
(S\mid T)_{\rm HS}={\rm Tr}(S^*T)\quad(\forall S,T\in \mathbb{B}^2(\mathcal{H}))
$$
として準双線形汎関数
$$
(\cdot\mid \cdot)_{\rm HS}\colon \mathbb{B}^2(\mathcal{H})\times \mathbb{B}^2(\mathcal{H})\rightarrow\mathbb{C}
$$
が定義できる。'''命題16.9'''の$(1)$より、
$$
\overline{(S\mid T)_{\rm HS}}=\sum_{j\in J}\overline{(e_j\mid S^*T e_j)}=\sum_{j\in J}(S^*Te_j\mid e_j)=\sum_{j\in J}(e_j\mid T^*Se_j)=(T\mid S)_{\rm HS}\quad(\forall S,T\in \mathbb{B}({\cal H})({\cal H}))
$$
であり、'''命題16.3'''の $(5)$ より、
$$
(T\mid T)_{\rm HS}={\rm Tr}(T^*T)\geq\lVert T^*T\rVert=\lVert T\rVert^2\quad(\forall T\in \mathbb{B}^2(\mathcal{H}))\quad\quad(*)
$$
であるから、$(\cdot\mid \cdot)_{\rm HS}$ は $\mathbb{B}^2(\mathcal{H})$ の内積である。この内積をHilbert-Schmidt内積と呼び、Hilbert-Schmidt内積の定めるノルム
$$
\lVert T\rVert_{\rm HS}\colon=\sqrt{(T\mid T)_{\rm HS}}=\sqrt{{\rm Tr}(T^*T)}\quad(\forall T\in\mathbb{B}^2(\mathcal{H}))
$$
をHilbert-Schmidtノルムと言う。以後、Hilbert-Schmidtクラス $\mathbb{B}^2(\mathcal{H})$ にはこのHilbert-Schmidt内積が標準的に備わっているものとする。次の命題で見るようにHilbert-SchmidtクラスはHilbert空間である。

===命題16.11（Hilbert-Schmidtクラス $\mathbb{B}^2(\mathcal{H})$ はHilbert空間）===
Hilbert-Schmidtクラス $\mathbb{B}^2(\mathcal{H})$ はHilbert-Schmidt内積によりHilbert空間である。
{{begin|proof}}
$\mathbb{B}^2(\mathcal{H})$ の任意のCauchy列 $(T_n)_{n\in \mathbb{N}}$ を取る。'''定義16.10''' の $(*)$ より $(T_n)_{n\in \mathbb{N}}$ は作用素ノルムによるBanach空間 $\mathbb{B}(\mathcal{H})$ のCauchy列であるから、$T\in \mathbb{B}(\mathcal{H})$ で $\lim_{n\rightarrow\infty}\lVert T-T_n\rVert=0$ を満たすものが定まる。$(e_j)_{j\in J}$ を $\mathcal{H}$ のCONSとし、$\mathcal{F}_J$ を $J$ の有限部分集合全体とする。このとき任意の $m\in\mathbb{N}$、任意の $F\in\mathcal{F}_J$ に対し、
$$
\begin{aligned}
&\sum_{j\in F}(e_j\mid (T-T_m)^*(T-T_m)e_j)=\sum_{j\in F}\lVert (T-T_m)e_j\rVert^2
=\lim_{n\rightarrow\infty}\sum_{j\in F}\lVert (T_n-T_m)e_j\rVert^2\\
&=\lim_{n\rightarrow\infty}\sum_{j\in F}(e_j\mid (T_n-T_m)^*(T_n-T_m)e_j)
=\inf_{n\in\mathbb{N}}\sup_{k\geq n}\sum_{j\in F}(e_j\mid (T_k-T_m)^*(T_n-T_m)e_j)\\
&\leq \inf_{n\in \mathbb{N}}\sup_{k\geq n}\sum_{j\in J}(e_j\mid (T_k-T_m)^*(T_k-T_m)e_j)
=\inf_{n\in \mathbb{N}}\sup_{k\geq n}\lVert T_k-T_m\rVert_{\rm HS}^2
\end{aligned}
$$
であるから、
$$
{\rm Tr}((T-T_m)^*(T-T_m))\leq \inf_{n\in \mathbb{N}}\sup_{k\geq n}\lVert T_k-T_m\rVert_{\rm HS}^2\quad(\forall m\in\mathbb{N})\quad\quad(*)
$$
が成り立つ。$(T_n)_{n\in\mathbb{N}}$ は $\mathbb{B}^2(\mathcal{H})$ のCauchy列であるから、任意の $\epsilon\in (0,\infty)$ に対し $n_0\in\mathbb{N}$ で、
$$
\lVert T_n-T_m\rVert_{\rm HS}\leq \epsilon\quad(\forall n,m\geq n_0)
$$
を満たすものが取れるので、$(*)$ より任意の $m\geq n_0$ に対し、
$$
{\rm Tr}((T-T_m)^*(T-T_m))\leq \inf_{n\in\mathbb{N}}\sup_{k\geq n}\lVert T_k-T_m\rVert_{\rm HS}^2\leq\sup_{k\geq n_0}\lVert T_k-T_m\rVert_{\rm HS}^2\leq\epsilon^2
$$
となる。よって $T=T-T_m+T_m\in \mathbb{B}^2(\mathcal{H})$ であり、
$$
\lVert T-T_m\rVert_{\rm HS}\leq\epsilon\quad(\forall m\geq n_0)
$$
である。ゆえに $(T_n)_{n\in \mathbb{N}}$ は $\mathbb{B}^2({\cal H})$ において $T$ に収束するので、$\mathbb{B}^2(\mathcal{H})$ はHilbert空間である。
{{end|proof|}}

===命題16.12===
$\mathcal{H}$ をHilbert空間とする。次が成り立つ。
*$(1)$　任意の $S\in \mathbb{B}(\mathcal{H})$ と任意の $T\in \mathbb{B}^1(\mathcal{H})$ に対し $\lvert {\rm Tr}(ST)\rvert\leq \lVert S\rVert{\rm Tr}(\lvert T\rvert)$.
*$(2)$　$\mathbb{B}^1(\mathcal{H})\ni T\mapsto {\rm Tr}(\lvert T\rvert)\in [0,\infty)$ は $\mathbb{B}^1(\mathcal{H})$ 上のノルムである。
{{begin|proof}}
*$(1)$　$T$ の極分解（'''定理9.4'''）を $T=V\lvert T\rvert$ とおくと、$\sqrt{\lvert T\rvert},SV\sqrt{\lvert T\rvert}\in \mathbb{B}^2(\mathcal{H})$ であるから、Hilbert-Schmidt内積に関するSchwarzの不等式と'''命題16.3'''の $(4)$ より、
$$
\begin{aligned}
\lvert {\rm Tr}(ST)\rvert^2&=\lvert {\rm Tr}(SV\sqrt{\lvert T\rvert}\sqrt{\lvert T\rvert})\rvert^2
=(\sqrt{\lvert T\rvert}\mid SV\sqrt{\lvert T\rvert})_{\rm HS}^2
\leq \lVert \sqrt{\lvert T\rvert}\rVert_{\rm HS}^2\lVert SV\sqrt{\lvert T\rvert}\rVert_{\rm HS}^2\\
&={\rm Tr}(\lvert T\rvert){\rm Tr}(SV\lvert T\rvert V^*S^*)\leq \lVert SV\rVert^2{\rm Tr}(\lvert T\rvert)^2\leq\lVert S\rVert^2{\rm Tr}(\lvert T\rvert)^2
\end{aligned}
$$
である。よって $\lvert {\rm Tr}(ST)\rvert\leq \lVert S\rVert{\rm Tr}(\lvert T\rvert)$ が成り立つ。
*$(2)$　任意の $T\in \mathbb{B}^1(\mathcal{H})$, $\alpha\in \mathbb{C}$ に対し $\lvert\alpha T\rvert=\sqrt{(\alpha T)^*(\alpha T)}=\sqrt{\lvert \alpha\rvert^2T^*T}=\lvert \alpha\rvert\lvert T\rvert$ であるから、
$$
{\rm Tr}(\lvert \alpha T\rvert)={\rm Tr}(\lvert \alpha\rvert\lvert T\rvert)=\lvert\alpha\rvert{\rm Tr}(\lvert T\rvert)\quad(\forall T\in \mathbb{B}^1(\mathcal{H}),\forall \alpha\in \mathbb{C})
$$
である。また'''命題16.3'''の $(5)$ より $\lVert T\rVert\leq {\rm Tr}(\lvert T\rvert)$ であるから、$T\in \mathbb{B}^1(\mathcal{H})$ が ${\rm Tr}(\lvert T\rvert)=0$ を満たすならば $T=0$ である。任意の $S,T\in \mathbb{B}^1(\mathcal{H})$ に対し $S+T$ の極分解（'''定理9.4'''）を $S+T=W\lvert S+T\rvert$ とおくと、$\lvert S+T\rvert=W^*(S+T)=W^*S+W^*T$ であるから $(1)$ より、
$$
{\rm Tr}(\lvert S+T\rvert)={\rm Tr}(W^*S)+{\rm Tr}(W^*T)\leq\lVert W^*\rVert{\rm Tr}(\lvert S\rvert)+\lVert W^*\rVert{\rm Tr}(\lvert T\rvert)\leq {\rm Tr}(\lvert S\rvert)+{\rm Tr}(\lvert T\rvert)
$$
となる。よって $\mathbb{B}^1(\mathcal{H})\ni T\mapsto {\rm Tr}(\lvert T\rvert)\in [0,\infty)$ はノルムである。
{{end|proof|}}

===定義16.13（トレースクラス $\mathbb{B}^1(\mathcal{H})$ のトレースノルム）===
トレースクラス $\mathbb{B}^1(\mathcal{H})$ に対し、'''命題16.12'''より、
$$
\lVert T\rVert_{\rm Tr}\colon={\rm Tr}(\lvert T\rvert)\quad(\forall T\in\mathbb{B}^1(\mathcal{H}))
$$
とおけば、$\lVert \cdot\rVert_{\rm Tr}\colon \mathbb{B}^1(\mathcal{H})\rightarrow[0,\infty)$ はノルムである。これをトレースノルムと言う。トレースクラス $\mathbb{B}^1(\mathcal{H})$ にはこのトレースノルムが標準的に備わっているものとする。次の命題で見るようにトレースクラス $\mathbb{B}^1(\mathcal{H})$ はこのトレースノルムによりBanach空間である。

===命題16.14（トレースクラス $\mathbb{B}^1(\mathcal{H})$ はBanach空間）===
トレースクラス $\mathbb{B}^1(\mathcal{H})$ はトレースノルムによりBanach空間である。
{{begin|proof}}
$\mathbb{B}^1(\mathcal{H})$ の任意のCauchy列 $(T_n)_{n\in \mathbb{N}}$ を取る。'''命題16.3'''の $(5)$ より、
$$
\lVert T_n-T_m\rVert_{\rm Tr}\leq \lVert T_n-T_m\rVert\quad(\forall n,m\in\mathbb{N})
$$
であるから $T\in \mathbb{B}(\mathcal{H})$ で $\lim_{n\rightarrow\infty}\lVert T-T_n\rVert=0$ を満たすものが存在する。$\mathcal{H}$ のCONS $\{e_j\}_{j\in J}$ に対し $\mathcal{F}_J$ を $J$ の有限部分集合全体とし、
$$
P_F\colon=\sum_{j\in F}e_j\odot e_j\quad(\forall F\in \mathcal{F}_J)
$$
とおく（'''命題13.7'''を参照）。任意の $m\in \mathbb{N}$, 任意の $F\in \mathcal{F}_J$ を取る。$T-T_m$ の極分解（'''定理9.4'''）を $T-T_m=V_m\lvert T-T_m\rvert$（したがって $\lvert T-T_m\rvert=V_m^*(T-T_m)$）とすると、'''命題16.12'''の $(1)$ より、
$$
\begin{aligned}
&\sum_{j\in F}(e_j\mid \lvert T-T_m\rvert e_j)=\sum_{j\in F}(V_me_j\mid (T-T_m)e_j)
=\lim_{n\rightarrow\infty}\left\lvert\sum_{j\in F}(V_me_j\mid (T_n-T_m)e_j)\right\rvert\\
&=\inf_{n\in \mathbb{N}}\sup_{k\geq n}\left\lvert \sum_{j\in F}(V_me_j\mid (T_k-T_m)e_j)\right\rvert
=\inf_{n\in \mathbb{N}}\sup_{k\geq n}\left\lvert \sum_{j\in J}(V_mP_Fe_j\mid (T_k-T_m)e_j)\right\rvert\\
&=\inf_{n\in \mathbb{N}}\sup_{k\geq n}\left\lvert {\rm Tr}(P_FV_m^*(T_k-T_m))\right\rvert
\leq \inf_{n\in\mathbb{N}}\sup_{k\geq n}\lVert T_k-T_m\rVert_{\rm Tr}
\end{aligned}
$$
となるから、
$$
{\rm Tr}(\lvert T-T_m\rvert)\leq \inf_{n\in \mathbb{N}}\sup_{k\geq n}\lVert T_k-T_m\rVert_{\rm Tr}\quad(\forall m\in \mathbb{N})\quad\quad(*)
$$
が成り立つ。$(T_n)_{n\in\mathbb{N}}$ は $\mathbb{B}^1(\mathcal{H})$ のCauchy列であるから、任意の $\epsilon\in(0,\infty)$ に対し $n_0\in \mathbb{N}$ で、
$$
\lVert T_n-T_m\rVert_{\rm Tr}\leq \epsilon\quad(\forall n,m\geq n_0)
$$
を満たすものが取れ、$(*)$ より、任意の $m\geq n_0$ に対し、
$$
{\rm Tr}(\lvert T-T_m\rvert)\leq \inf_{n\in \mathbb{N}}\sup_{k\geq n}\lVert T_k-T_m\rVert_{\rm Tr}
\leq \sup_{k\geq n_0}\lVert T_k-T_m\rVert_{\rm Tr}\leq \epsilon
$$
となる。よって $T=T-T_m+T_m\in \mathbb{B}^1(\mathcal{H})$ であり、
$$
\lVert T-T_m\rVert_{\rm Tr}\leq \epsilon\quad(\forall m\geq n_0)
$$
である。ゆえに $(T_n)_{n\in \mathbb{N}}$ は $\mathbb{B}^1({\cal H})$ において $T$ に収束するから、$\mathbb{B}^1(\mathcal{H})$ はBanach空間である。
{{end|proof|}}

===命題16.15（Schatten形式とトレース）===
Hilbert空間 $\mathcal{H}$ 上のSchatten形式（'''定義13.5'''）$\mathcal{H}\times \mathcal{H}\ni (u,v)\mapsto u\odot v\in \mathbb{B}_{\rm f}(\mathcal{H})$ とトレースについて次が成り立つ。
*$(1)$　任意の $u,v\in\mathcal{H}$ に対し ${\rm Tr}(u\odot v)=(v\mid u)$.
*$(2)$　任意の $u,v\in \mathcal{H}$ に対し $\lVert u\odot v\rVert_{\rm Tr}=\lVert u\odot v\rVert=\lVert u\rVert\lVert v\rVert$.
*$(3)$　空でない任意の集合 $J$ と任意の $(u_j)_{j\in J}, (v_j)_{j\in J}\in \bigoplus_{j\in J}\mathcal{H}$ に対し $\sum_{j\in J}u_j\odot v_j$ はBanach空間 $\mathbb{B}^1(\mathcal{H})$ において絶対収束する。
*$(4)$　$\mathbb{B}^1(\mathcal{H})=\left\{\sum_{n\in \mathbb{N}}u_n\odot v_n: (u_n)_{n\in \mathbb{N}},(v_n)_{n\in \mathbb{N}}\in \bigoplus_{n\in \mathbb{N}}\mathcal{H}\right\}$、$\mathbb{B}^1(\mathcal{H})\cap \mathbb{B}(\mathcal{H})_+=\left\{\sum_{n\in \mathbb{N}}v_n\odot v_n:(v_n)_{n\in \mathbb{N}}\in \bigoplus_{n\in \mathbb{N}}\mathcal{H}\right\}$ が成り立つ。
{{begin|proof}}
*$(1)$　$v=\lVert v\rVert e$ を満たす単位ベクトル $e\in \mathcal{H}$ を取る。$e$ を含む ${\cal H}$ のCONS $(e_j)_{j\in J}$ を取れば、
$$
{\rm Tr}(u\odot v)=\sum_{j\in J}(e_j\mid (u\odot v)e_j)=(e\mid (u\odot v)e)=\lVert v\rVert(e\mid u)=(v\mid u).
$$
*$(2)$　'''命題16.3'''の $(5)$ より $\lVert u\odot v\rVert\leq \lVert u\odot v\rVert_{\rm Tr}$ である。逆の不等式を示す。$u\odot v=V\lvert u\odot v\rvert$ を $u\odot v$ の極分解（'''定理9.4'''）とすると、
$$
\lvert u\odot v\rvert =V^*(u\odot v)=(V^*u)\odot v
$$
であるから、$(1)$ より、
$$
\lVert u\odot v\rVert_{\rm Tr}={\rm Tr}(\lvert u\odot v\rvert)={\rm Tr}((V^*u)\odot v)
=(v\mid V^*u)\leq\lVert u\rVert\lVert v\rVert=\lVert u\odot v\rVert.
$$
*$(3)$　任意の $(u_j)_{j\in J},(v_j)_{j\in J}\in \bigoplus_{j\in J}\mathcal{H}$ に対し $(2)$ とHölderの不等式より、
$$
\sum_{j\in J}\lVert u_j\odot v_j\rVert_{\rm Tr}=\sum_{j\in J}\lVert u_j\rVert\lVert v_j\rVert
\leq \lVert (u_j)_{j\in J}\rVert\lVert (v_j)_{j\in J}\rVert<\infty
$$
であるから、$\sum_{j\in J}u_j\odot v_j$ は $\mathbb{B}^1(\mathcal{H})$ において絶対収束する。
*$(4)$　任意の $T\in \mathbb{B}^1(\mathcal{H})$ を取り、$T$ の極分解を $T=V\lvert T\rvert$ とおく。'''命題16.7'''より $\lvert T\rvert\in\mathbb{B}_0(\mathcal{H})$ であるから'''定理13.7'''の $(3)$ より $\lvert T\rvert$ の固有ベクトルからなる $\mathcal{H}$ のCONS $(e_j)_{j\in J}$ が取れる。そこで $\lvert T\rvert e_j=\lambda_je_j$ $(\forall j\in J)$ とおくと、
$$
\{\lambda_j\}_{j\in J}\subset \sigma(\lvert T\rvert)\subset [0,\infty),\quad
\sum_{j\in J}\lambda_j=\sum_{j\in J}(e_j\mid \lvert T\rvert e_j)={\rm Tr}(\lvert T\rvert)<\infty
$$
である。よって、
$$
v_j\colon=\sqrt{\lambda_j}e_j,\quad u_j\colon=\sqrt{\lambda_j}V e_j\quad (\forall j\in J)
$$
とおけば $\sum_{j\in J}\lVert v_j\rVert^2=\sum_{j\in J}\lambda_j<\infty$、$\sum_{j\in J}\lVert u_j\rVert^2\leq\sum_{j\in J}\lambda_j<\infty$より $(u_j)_{j\in J},(v_j)_{j\in J}\in \bigoplus_{j\in J}{\cal H}$ であるから、$(3)$ より $\sum_{j\in J}u_j\odot v_j\in \mathbb{B}^1(\mathcal{H})$ はトレースノルムで収束する。'''命題13.7'''より $1=\sum_{j\in J}e_j\odot e_j$ (SOT収束)であるから、任意の $v\in {\cal H}$ に対し、
$$
Tv=T\sum_{j\in J}(e_j\odot e_j)v
=\sum_{j\in J}((V\lvert T\rvert e_j)\odot e_j)v=\sum_{j\in J}(\lambda_j(Ve_j)\odot e_j)v
=\sum_{j\in J}(u_j\odot v_j)v
$$
である。よって、
$$
T=\sum_{j\in J}u_j\odot v_j\quad(\text{トレースノルムで収束})
$$
が成り立つ。ここで[[位相線形空間1：ノルムと内積]]の'''命題5.3'''より、
$$
J_0\colon=\{j\in J:\lVert u_j\odot v_j\rVert_{\rm Tr}>0\}
$$
は可算集合であり、
$$
T=\sum_{j\in J}u_j\odot v_j=\sum_{j\in J_0}u_j\odot v_j\quad(\text{トレースノルムで収束})
$$
となる。よって$\mathbb{B}^1(\mathcal{H})=\left\{\sum_{n\in \mathbb{N}}u_n\odot v_n: (u_n)_{n\in \mathbb{N}},(v_n)_{n\in \mathbb{N}}\in \bigoplus_{n\in \mathbb{N}}\mathcal{H}\right\}$が成り立つ。$T\in \mathbb{B}^1({\cal H})\cap \mathbb{B}({\cal H})_+$の場合は、
$$
T=\sum_{j\in J}v_j\odot v_j\quad\text{(トレースノルムで収束)}
$$
と表されるので、ある可算集合 $J_1\subset J$に対し、
$$
T=\sum_{j\in J_1}v_j\odot v_j\quad\text{(トレースノルムで収束)}
$$
となる。よって$\mathbb{B}^1(\mathcal{H})\cap \mathbb{B}(\mathcal{H})_+=\left\{\sum_{n\in \mathbb{N}}v_n\odot v_n:(v_n)_{n\in \mathbb{N}}\in \bigoplus_{n\in \mathbb{N}}\mathcal{H}\right\}$ が成り立つ。
{{end|proof|}}

===定理16.16（$(\mathbb{B}^1(\mathcal{H}))^*=\mathbb{B}(\mathcal{H})$）===
任意の $A\in \mathbb{B}(\mathcal{H})$ に対し $\varphi_A\colon\mathbb{B}^1(\mathcal{H})\ni T\mapsto {\rm Tr}(AT)\in \mathbb{C}$ はBanach空間 $\mathbb{B}^1(\mathcal{H})$ 上の有界線形汎関数であり、
$$
\mathbb{B}(\mathcal{H})\ni A\mapsto \varphi_A\in (\mathbb{B}^1(\mathcal{H}))^*\quad\quad(*)
$$
は等長線形同型写像である。
{{begin|proof}}
'''命題16.12'''の $(1)$ より、$\varphi_A\colon \mathbb{B}^1(\mathcal{H})\ni T\mapsto {\rm Tr}(AT)\in \mathbb{C}$ は有界線型汎関数であり、
$(*)$ はノルム減少な線形写像である。$A_1,A_2\in \mathbb{B}(\mathcal{H})$ が $\varphi_{A_1}=\varphi_{A_2}$ を満たすならば、'''命題16.15'''の $(1)$ より、任意の $u,v\in \mathcal{H}$ に対し、
$$
(u\mid A_1v)={\rm Tr}(A_1v\odot u)=\varphi_{A_1}(v\odot u)=\varphi_{A_2}(v\odot u)={\rm Tr}(A_2v\odot u)=(u\mid A_2v)
$$
であるから $A_1=A_2$ である。よって $(*)$ は単射である。$(*)$ が全射かつ等長であることを示す。任意の $\varphi\in (\mathbb{B}^1(\mathcal{H}))^*$ に対し'''命題16.15'''の $(2)$ より、
$$
\mathcal{H}\times \mathcal{H}\ni (u,v)\mapsto \varphi(v\odot u)\in \mathbb{C}
$$
はノルムが $\lVert \varphi\rVert$ 以下の有界準双線形汎関数である。よって[[位相線形空間1：ノルムと内積]]の'''定理7.1'''より $A\in \mathbb{B}(\mathcal{H})$ で、
$$
\varphi(v\odot u)=(u\mid Av)\quad(\forall u,v\in \mathcal{H})
$$
を満たすものが定まり、$\lVert A\rVert\leq\lVert \varphi\rVert$ である。'''命題16.15'''の $(1)$ より、
$$
\varphi(v\odot u)=(u\mid Av)={\rm Tr}(Av\odot u)=\varphi_{A}(v\odot u)\quad(\forall u,v\in \mathcal{H})
$$
であるから、'''命題16.15'''の $(4)$ より $\varphi=\varphi_{A}$ である。そして、
$$
\lVert A\rVert\leq \lVert \varphi\rVert=\lVert \varphi_A\rVert\leq \lVert A\rVert
$$
であるから、$(*)$ は全射かつ等長である。
{{end|proof}}

===命題16.17（Hilbert-Schmidtクラス $\mathbb{B}^2(\mathcal{H})$ のCONS）===
$\mathcal{H}$ をHilbert空間、$(e_j)_{j\in J}$ を $\mathcal{H}$ のCONSとする。このとき $(e_i\odot e_j)_{(i,j)\in J\times J}$ は $\mathbb{B}^2(\mathcal{H})$ のCONSである。
{{begin|proof}}
任意の $(i,j),(i',j')\in J\times J$ に対し'''命題16.15'''の $(1)$ より、
$$
\begin{aligned}
(e_i\odot e_j\mid e_{i'}\odot e_{j'})_{\rm HS}&={\rm Tr}((e_i\odot e_j)^*(e_{i'}\odot e_{j'}))
={\rm Tr}((e_j\odot e_i)(e_{i'}\odot e_{j'}))\\
&=(e_i\mid e_{i'}){\rm Tr}(e_j\odot e_{j'})
=(e_i\mid e_{i'})(e_{j'}\mid e_j)
\end{aligned}
$$
であるから $(e_i\odot e_j)_{(i,j)\in J\times J}$ は $\mathbb{B}^2(\mathcal{H})$ のONSである。$\{e_i\odot e_j\}_{(i,j)\in J\times J}\subset \mathbb{B}^2(\mathcal{H})$ の直交補空間の任意の元 $T$ に対し、
$$
\begin{aligned}
(e_i\mid Te_j)={\rm Tr}(Te_j\odot e_i)={\rm Tr}((e_j\odot e_i)T)={\rm Tr}((e_i\odot e_j)^*T)
=((e_i\odot e_j)\mid T)_{\rm Tr}=0
\end{aligned}
$$
であるから、任意の $u,v\in \mathcal{H}$ に対し、
$$
(u\mid Tv)=\sum_{i\in J}(u\mid (e_i\mid Tv)e_i)=\sum_{i\in J}(e_i\mid Tv)(u\mid e_i)=
\sum_{i\in J}\sum_{j\in J}(e_i\mid Te_j)(e_j\mid v)(u\mid e_i)=0
$$
である。よって $T=0$ であるから $(e_i\odot e_j)_{(i,j)\in J\times J}$ は $\mathbb{B}^2(\mathcal{H})$ のCONSである。
{{end|proof}}

===定理16.18（Hilbert-Schmidt積分作用素）===
$X$ を第二可算局所コンパクトHausdorff空間、$\mu\colon\mathcal{B}_X\rightarrow[0,\infty]$ をRadon測度とする。このとき任意の $K\in L^2(X\times X,\mu\otimes \mu)=L^2(X,\mu)\otimes L^2(X,\mu)$（$L^2$ 空間のテンソル積については'''定義12.9'''を参照）に対し、$\widehat{K}\in \mathbb{B}^2(L^2(X,\mu))$ で、
$$
([f]\mid \widehat{K}[g])_2=\int_{X\times X}\overline{f(x)}K(x,y)g(y)d(\mu\otimes\mu)(x,y)\quad(\forall [f],[g]\in L^2(X,\mu))
$$
を満たすものが一意的に定まり、
$$
L^2(X\times X,\mu\otimes \mu)\ni K\mapsto \widehat{K}\in \mathbb{B}^2(L^2(X,\mu))
$$
はユニタリ作用素である。また任意の $[\varphi],[\psi]\in L^2(X,\mu)$ に対し、
$$
\widehat{[\varphi]\otimes [\overline{\psi}]}=[\varphi]\odot [\psi]
$$
（左辺はテンソル積、右辺はSchatten形式）が成り立つ。
{{begin|proof}}
任意の $K\in L^2(X\times X,\mu\otimes\mu)$ に対しHölderの不等式とFubiniの定理より、
$$
L^2(X,\mu)\times L^2(X,\mu)\ni ([f],[g])\mapsto \int_{X\times X}\overline{f(x)}g(y)K(x,y)d(\mu\otimes\mu)(x,y)\in \mathbb{C}
$$
はノルムが $\lVert K\rVert_2$ 以下の有界準双線形汎関数であるから、[[位相線形空間1：ノルムと内積]]の'''定理7.1'''より、$\widehat{K}\in \mathbb{B}(L^2(X,\mu))$ で、
$$
([f]\mid \widehat{K}[g])_2=\int_{X\times X}\overline{f(x)}g(y)K(x,y)d(\mu\otimes\mu)(x,y)\quad(\forall [f],[g]\in L^2(X,\mu))
$$
を満たすものが定まり、
$$
L^2(X\times X,\mu\otimes\mu)\ni K\mapsto \widehat{K}\in \mathbb{B}(L^2(X,\mu))\quad\quad(*)
$$
はノルム減少な有界線形作用素である。'''定義12.9'''より、
$$
L^2(X\times X,\mu\otimes \mu)=L^2(X,\mu)\otimes L^2(X,\mu)=\overline{{\rm span}\{[\varphi]\otimes [\psi]:[\varphi],[\psi]\in L^2(X,\mu)\}}
$$
であり、任意の $[\varphi],[\psi]\in L^2(X,\mu)$ に対し、Fubiniの定理より、
$$
\begin{aligned}
&\left([f]\mid (\widehat{[\varphi]\otimes [\overline{\psi}]})[g]\right)_2
=\int_{X\times X}\overline{f(x)}\varphi(x)\overline{\psi(y)}g(y)d(\mu\otimes\mu)(x,y)\\
&=\int_{X}\overline{f(x)}\varphi(x)d\mu(x)\int_{X}\overline{\psi(y)}g(y)d\mu(y)
=([f]\mid [\varphi])_2([\psi]\mid [g])_2\\
&=\left([f]\mid \left([\varphi]\odot [\psi]\right)[g]\right)\quad(\forall [f],[g]\in L^2(X,\mu))
\end{aligned}
$$
であるから、
$$
\widehat{[\varphi]\otimes [\overline{\psi}]}=[\varphi]\odot [\psi]\quad(\forall [\varphi],[\psi]\in L^2(X,\mu))
$$
が成り立つ。任意の $[\varphi_1],[\psi_1],[\varphi_2],[\psi_2]\in L^2(X,\mu)$ に対し、
$$
\begin{aligned}
&\left(\widehat{[\varphi_1]\otimes [\overline{\psi_1}]}\mid \widehat{[\varphi_2]\otimes [\overline{\psi_2}]}\right)_{\rm HS}=([\varphi_1]\odot [\psi_1]\mid [\varphi_2]\odot [\psi_2])_{\rm HS}
={\rm Tr}\left(([\varphi_1]\odot [\psi_1])^*([\varphi_2]\odot [\psi_2])\right)\\
&={\rm Tr}\left(([\psi_1]\odot [\varphi_1])([\varphi_2]\odot [\psi_2])\right)
=([\varphi_1]\mid [\varphi_2])_2{\rm Tr}([\psi_1]\odot [\psi_2])
=([\varphi_1]\mid [\varphi_2])_2([\psi_2]\mid [\psi_1])_2\\
&=([\varphi_1]\mid [\varphi_2])_2([\overline{\psi_1}]\mid [\overline{\psi_2}])_2
=([\varphi_1]\otimes [\overline{\psi_1}]\mid [\varphi_2]\otimes [\overline{\psi_2}])_2
\end{aligned}
$$
であるから、
$$
{\rm span}\{[\varphi]\otimes [\psi]:[\varphi],[\psi]\in L^2(X,\mu)\}\ni K\mapsto \widehat{K}\in \mathbb{B}^2(L^2(X,\mu))\quad\quad(**)
$$
は内積を保存する線形作用素であり、その値域
$$
{\rm span}\{[\varphi]\odot [\psi]:[\varphi],[\psi]\in L^2(X,\mu)\}\subset \mathbb{B}^2(L^2(X,\mu))
$$
は'''定理16.17'''より $\mathbb{B}^2(L^2(X,\mu))$ において稠密である。よって $(**)$ を $L^2(X\times X,\mu\otimes \mu)$ 上に一意拡張したもの
$$
U\colon L^2(X\times X,\mu\otimes\mu)\rightarrow \mathbb{B}^2(L^2(X,\mu))
$$
はユニタリ作用素である。後は任意の $K\in L^2(X\times X,\mu\otimes \mu)$ に対し $UK=\widehat{K}$ が成り立つことを示せばよい。そこで ${\rm span}\{[\varphi]\otimes [\psi]:[\varphi],[\psi]\in L^2(X,\mu)\}$ の列 $(K_n)_{n\in \mathbb{N}}$ で $\lim_{n\rightarrow\infty}\lVert K_n-K\rVert_2=0$ を満たすものを取る。すると $(*)$ がノルム減少であることから、
$$
\lVert \widehat{K}-\widehat{K_n}\rVert\leq \lVert K-K_n\rVert_2\rightarrow0\quad(n\rightarrow\infty)
$$
が成り立ち、作用素ノルムがHilbert-Shcmidtノルム以下であることから、
$$
\lVert UK-\widehat{K_n}\rVert\leq \lVert UK-\widehat{K_n}\rVert_{\rm HS}=\lVert K-K_n\rVert_2\rightarrow0\quad(n\rightarrow\infty)
$$
が成り立つ。よって、
$$
\lVert \widehat{K}-UK\rVert\leq \lVert \widehat{K}-\widehat{K_n}\rVert+\lVert \widehat{K_n}-UK\rVert\rightarrow0\quad(n\rightarrow\infty)
$$
であるから $\widehat{K}=UK$ が成り立つ。
{{end|proof}}

'''定理16.18'''における $\widehat{K}\in \mathbb{B}^2(L^2(X,\mu))$ を $K\in L^2(X\times X,\mu\otimes\mu)$ を積分核とするHilbert-Schmidt積分作用素と言う。Fubiniの定理より、
$$
\int_{X}\overline{f(x)}(\widehat{K}[g])(x)d\mu(x)=
([f]\mid \widehat{K}[g])_2=\int_{X}\overline{f(x)}\int_{X}K(x,y)g(y)d\mu(y)d\mu(x)\quad(\forall [f],[g]\in L^2(X,\mu))
$$
であるから、任意の$[g]\in L^2(X,\mu)$に対し $\widehat{K}[g]\in L^2(X,\mu)$ の代表元は、$\mu$ -a.e. $x\in X$ で、
$$
\int_{X}K(x,y)g(y)d\mu(y)
$$
である。

==17.加藤-Rellichの定理と中心力ポテンシャルを持つSchrödinger作用素==

===命題17.1（$L^2(\mathbb{R}^N)$ 上のラプラシアンのFourier変換による対角化）===
$\mathbb{R}^N$ 上のラプラシアン $-\Delta$ は、定義域をSobolev空間 $H^2(\mathbb{R}^N)$<ref>[[Sobolev空間の基本事項]]を参照。</ref>とする $L^2(\mathbb{R}^N)$ 上の非負自己共役作用素である。そしてそのスペクトル $\sigma(-\Delta)$ と点スペクトル（固有値全体） $\sigma_{\rm p}(-\Delta)$ は、
$$
\sigma(-\Delta)=[0,\infty),\quad \sigma_{\rm p}(-\Delta)=\emptyset
$$
であり、任意のBorel関数 $f\colon[0,\infty)\rightarrow \mathbb{C}$ に対し、
$$
f(-\Delta)=\mathcal{F}^{-1}f(\lvert {\rm id}\rvert^2)\mathcal{F}
$$
が成り立つ。ただし $\mathcal{F}\colon L^2(\mathbb{R}^N)\rightarrow L^2(\mathbb{R}^N)$ はFourier変換<ref>Plancherelの定理（（[[緩増加超関数とFourier変換]]の'''定理19.1'''）よりユニタリ作用素である。</ref>であり、
左辺の $f(-\Delta)$ は自己共役作用素 $-\Delta$ に関するBorel汎関数計算（'''定義8.5'''）、右辺の $f(\lvert {\rm id}\rvert^2)$ は、Borel関数 $f(\lvert {\rm id}\rvert^2)\colon\mathbb{R}^N\ni x\mapsto f(\lvert x\rvert^2)\in \mathbb{C}$ による掛け算作用素（'''定義10.2'''）である。また、$f$ が連続関数の場合は $f(-\Delta)$ のスペクトルは、
$$
\sigma(f(-\Delta))=\overline{f([0,\infty))}
$$
である。
{{begin|proof}}
[[Sobolev空間の基本事項]]の'''命題38.1'''と[[緩増加超関数とFourier変換]]の'''命題18.3'''より、
$$
\begin{aligned}
H^2(\mathbb{R}^N)&=\{u\in L^2(\mathbb{R}^N):(1+\lvert {\rm id}\rvert^2)\mathcal{F}u\in L^2(\mathbb{R}^N)\}
=\{u\in L^2(\mathbb{R}^N):\lvert {\rm id}\rvert^2\mathcal{F}u\in L^2(\mathbb{R}^N)\}\\
&=\{u\in L^2(\mathbb{R}^N):-\mathcal{F}\Delta u\in L^2(\mathbb{R}^N)\}=\{u\in L^2(\mathbb{R}^N):-\Delta u\in L^2(\mathbb{R}^N)\}
\end{aligned}
$$
であり、
$$
-\Delta\colon H^2(\mathbb{R}^N)\ni u\mapsto -\Delta u\in L^2(\mathbb{R}^N)\quad\quad(*)
$$
は、$\lvert{\rm id}\rvert^2\colon \mathbb{R}^N\ni x\mapsto \lvert x\rvert^2\in [0,\infty)$ による掛け算作用素により、
$$
-\Delta =\mathcal{F}^{-1}\lvert {\rm id}\rvert^2\mathcal{F}
$$
と表せる。$\lvert {\rm id}\rvert^2$ による掛け算作用素は $L^2(\mathbb{R}^N)$ 上の非負自己共役作用素である<ref>非負値可測関数の射影値測度による積分は'''命題6.8'''の $(2)$ と'''命題6.12'''より非負自己共役作用素である。</ref>ので、$(*)$ も $L^2(\mathbb{R}^N)$ 上の非負自己共役作用素である。そして $\sigma(-\Delta)=\sigma(\lvert {\rm id}\rvert^2)$, $\sigma_{\rm p}(-\Delta)=\sigma_{\rm p}(\lvert {\rm id}\rvert^2)$ である。
'''命題10.4'''より $\sigma(\lvert {\rm id}\rvert^2)=[0,\infty)$ であるから $\sigma(-\Delta)=\sigma(\lvert {\rm id}\rvert^2)=[0,\infty)$ である。$\sigma_{\rm p}(-\Delta)=\emptyset$ を示せすためには $\sigma_{\rm p}(\lvert {\rm id}\rvert^2)=\emptyset$ を示せばよい。そこで $\lambda\in \sigma_{\rm p}(\lvert {\rm id}\rvert^2)$ が存在すると仮定して矛盾を導く。$L^2(\mathbb{R}^N)$ 上の掛け算作用素 $\lvert {\rm id}\rvert^2$ の固有値 $\lambda$ に対する固有ベクトル $[g]\in L^2(\mathbb{R}^N)$ を取る（固有ベクトルなので $[g]\neq0$ である）。このとき、
$$
0=\lVert (\lambda-\lvert{\rm id}\rvert^2)[g]\rVert_2^2=\int_{\mathbb{R}^N}\lvert (\lambda-\lvert x\rvert^2)g(x)\rvert^2 dx
$$
であるから、
$$
(\lambda-\lvert x\rvert^2)g(x)=0\quad(\text{Lebesgue測度に関して a.e. $x\in \mathbb{R}^N$})\quad\quad(**)
$$
である。ここで、
$$
\{x\in \mathbb{R}^N:\lambda-\lvert x\rvert^2=0\}\quad\quad(***)
$$
は $\lambda=0$ の場合は $\{0\}$ であり、$\lambda>0$ の場合は $\mathbb{R}^N$ 内の $N-1$ 次元多様体（球面）である<ref>$h\colon\mathbb{R}^N\rightarrow \mathbb{R}$ を $h(x)=\lambda-\lvert x\rvert^2$ とおけば $(***)$ の任意の元 $x$ に対し $dh_x=-\sum_{j=1}^{N}2x_jdx_j\neq0$ であるから[[ベクトル解析1：Euclid空間内の多様体上の関数の微分]]の'''定理8.2'''（陰関数定理）より $(**)$ は $\mathbb{R^N}$ 内の $N-1$ 次元多様体である。</ref>ので、[[ベクトル解析4：Euclid空間内の多様体上の測度と積分]]の'''命題16.10'''より $(***)$ のLebesgue測度は $0$ である。ゆえにLebesgue測度に関して a.e. $x\in \mathbb{R}^N$ で、$\lvert x\rvert^2\neq\lambda$ であるから、$(**)$ よりLebesgue測度に関して a.e. $x\in \mathbb{R}^N$ で $g(x)=0$ である。これは $[g]\in L^2(\mathbb{R}^N)$ が $0$ であることを意味するので矛盾する。ゆえに $\sigma_{\rm p}(-\Delta)=\emptyset$ である。 
今、$E\colon \mathcal{B}_{\mathbb{R}^N}\rightarrow \mathbb{P}(L^2(\mathbb{R}^N))$ を $L^2(\mathbb{R}^N)$ 上の掛け算作用素を表す射影値測度（'''定義10.2'''）とすると、
$$
-\Delta=\mathcal{F}^{-1}\lvert {\rm id}\rvert^2\mathcal{F}=\mathcal{F}^{-1}\int_{\mathbb{R}^N}\lvert x\rvert^2dE(x)\mathcal{F}
$$
であるから、'''命題6.9'''より、射影値測度 $\mathcal{F}^{-1}E\mathcal{F}\colon \mathcal{B}_{\mathbb{R}^N}\rightarrow \mathbb{P}(L^2(\mathbb{R}^N))$ に対し、
$$
-\Delta=\int_{\mathbb{R}^N}\lvert x\rvert^2d(\mathcal{F}^{-1}E\mathcal{F})(x)
$$
である。よって'''命題8.6'''と'''命題6.9'''より、
$$
f(-\Delta)=\int_{\mathbb{R}^N}f(\lvert x\rvert^2)d(\mathcal{F}^{-1}E\mathcal{F})(x)
=\mathcal{F}^{-1}\left(\int_{\mathbb{R}^N}f(\lvert x\rvert^2)dE(x)\right)\mathcal{F}
=\mathcal{F}^{-1}f(\lvert {\rm id}\rvert^2)\mathcal{F}
$$
である。 
$f$ が連続関数の場合は'''命題8.7'''の $(8)$ より $f(-\Delta)=\overline{f(\sigma(-\Delta))}=\overline{f([0,\infty))}$ である。
{{end|proof}}

===補題17.2===
任意の $V\in L^2(\mathbb{R}^3)$ に対し、
$$
V(-\Delta+1)^{-1}f\in L^2(\mathbb{R}^3)\quad(\forall f\in L^2(\mathbb{R}^3))
$$
であり、
$$
L^2(\mathbb{R}^3)\ni f\mapsto V(-\Delta+1)^{-1}f\in L^2(\mathbb{R}^3)
$$
はHilbert-Schmidtクラス $\mathbb{B}(L^2(\mathbb{R}^3))$ に属する。特に $L^2(\mathbb{R}^3)$ 上のコンパクト作用素である（'''命題16.7'''）。
{{begin|proof}}
Fourier変換 $\mathcal{F}\colon L^2(\mathbb{R}^3)\rightarrow L^2(\mathbb{R}^3)$ に対し、'''命題17.1'''より、
$$
(-\Delta+1)^{-1}=\mathcal{F}^{-1}(\lvert {\rm id}\rvert^2+1)^{-1}\mathcal{F}
$$
である。$(\lvert {\rm id}\rvert^2+1)^{-1}\in L^2(\mathbb{R}^3)$ であるから、Hölderの不等式より、
$$
(\lvert {\rm id}\rvert^2+1)^{-1}\mathcal{F}f\in L^1(\mathbb{R}^3)\quad(\forall f\in L^2(\mathbb{R}^3))
$$
であり、[[緩増加超関数とFourier変換]]の'''命題15.3'''の $(5)$ より $\mathcal{F}^{-1}(L^1(\mathbb{R}^3))\subset C_0(\mathbb{R}^3)$ であるので、
$$
(-\Delta+1)^{-1}f=\mathcal{F}^{-1}(\lvert {\rm id}\rvert^2+1)^{-1}\mathcal{F}f\in C_0(\mathbb{R}^3)\quad(\forall f\in L^2(\mathbb{R}^3))
$$
である。今、急減少関数空間 $\mathcal{S}_3$ の列 $(V_n)_{n\in \mathbb{N}}$ で $\lim_{n\rightarrow\infty}\lVert V-V_n\rVert_2=0$ なるものを取る。すると[[合成積とFourier変換]]の'''定理24.3'''と'''命題29.3'''（Youngの不等式）より $L^2(\mathbb{R}^3)$ において、
$$
\begin{aligned}
V(-\Delta+1)^{-1}f&=\lim_{n\rightarrow\infty}V_n(-\Delta+1)^{-1}f
=\lim_{n\rightarrow\infty}(\mathcal{F}^{-1}\mathcal{F}V_n)\mathcal{F}^{-1}(\lvert {\rm id}\rvert^2+1)\mathcal{F}f\\
&=\lim_{n\rightarrow\infty}\mathcal{F}^{-1}\left(\left((\lvert {\rm id}\rvert^2+1)^{-1}\mathcal{F}f\right)*\mathcal{F}V_n\right)\\
&=\mathcal{F}^{-1}\left(\left((\lvert {\rm id}\rvert^2+1)^{-1}\mathcal{F}f\right)*\mathcal{F}V\right)\quad(\forall f\in L^2(\mathbb{R}^3))
\end{aligned}
$$
となる。そこで $K\in L^2(\mathbb{R}^3\times \mathbb{R}^3)$ を、
$$
K(x,y)=\frac{1}{(2\pi)^{\frac{3}{2}}}\frac{\mathcal{F}V(x-y)}{\lvert y\rvert^2+1}\quad(\forall (x,y)\in \mathbb{R}^3\times \mathbb{R}^3)
$$
と定義し、$K$ を積分核とするHilbert-Schmidt積分作用素（'''定理16.18'''）を $\widehat{K}\in \mathbb{B}^2(L^2(\mathbb{R}^3))$ とおけば、
$$
V(-\Delta+1)^{-1}f=\mathcal{F}^{-1}\left(\left((\lvert {\rm id}\rvert^2+1)^{-1}\mathcal{F}f\right)*\mathcal{F}V\right)=\mathcal{F}^{-1}\widehat{K}\mathcal{F}f\quad(\forall f\in L^2(\mathbb{R}^3))
$$
である。Hilbert-Schmidtクラス $\mathbb{B}^2(L^2(\mathbb{R}^3))$ は $\mathbb{B}(L^2(\mathbb{R}^3))$ のイデアル（'''命題16.6'''）であるから、
$$
\mathcal{F}^{-1}\widehat{K}\mathcal{F}\in \mathbb{B}^2(L^2(\mathbb{R}^3))
$$
である。よって、
$$
L^2(\mathbb{R}^3)\ni f\mapsto V(-\Delta+1)^{-1}f\in L^2(\mathbb{R}^3)
$$
はHilbert-Schmidtクラス $\mathbb{B}^2(L^2(\mathbb{R}^3))$ に属する。
{{end|proof}}

===定理17.3（加藤-Rellichの定理2）===
実数値の $V\in L^2_{\rm loc}(\mathbb{R}^3)$ に対し $L^2(\mathbb{R}^3)$ の列 $(V_n)_{n\in \mathbb{N}}$ で、
$$
V-V_n\in L^\infty(\mathbb{R}^3)\quad(\forall n\in \mathbb{N}),\quad \lim_{n\rightarrow\infty}\lVert V-V_n\rVert_{\infty}=0
$$
を満たすものが取れるとする。このとき $V$ による $L^2(\mathbb{R}^3)$ 上の掛け算作用素（'''定義10.2'''）は、自己共役作用素 $-\Delta\colon H^2(\mathbb{R}^3)\rightarrow L^2(\mathbb{R}^3)$ に対して相対コンパクト（'''定義15.3'''）である。
{{begin|proof}}
'''補題17.2'''より任意の $n\in \mathbb{N}$ に対し、
$$
V_n(-\Delta+1)^{-1}\colon L^2(\mathbb{R}^3)\ni f\mapsto V_n(-\Delta+1)^{-1}f\in L^2(\mathbb{R}^3)
$$
は $L^2(\mathbb{R}^3)$ 上のコンパクト作用素である。
$$
V(-\Delta+1)^{-1}=(V-V_n)(-\Delta+1)^{-1}+V_n(-\Delta+1)^{-1}\in \mathbb{B}(L^2(\mathbb{R}^3))
$$
であり、
$$
\lVert V(-\Delta+1)^{-1}-V_n(-\Delta+1)^{-1}\rVert\leq \lVert V-V_n\rVert_{\infty}\lVert (-\Delta+1)^{-1}\rVert\rightarrow0\quad(n\rightarrow\infty)
$$
であるから $V(-\Delta+1)^{-1}$ は $L^2(\mathbb{R}^3)$ 上のコンパクト作用素である<ref>コンパクト作用素環 $\mathbb{B}_0(L^2(\mathbb{R}^3))$ は作用素ノルムで閉であることによる。</ref>よって $V$ は $-\Delta$ に対して相対コンパクトである。
{{end|proof}}

===定理17.4（加藤-Rellichの定理3（中心力ポテンシャルを持つSchrödinger作用素））===
$\alpha\in (0,\frac{3}{2})$ と $k\in (0,\infty)$ に対し、
$$
V(x)\colon=-\frac{k}{\lvert x\rvert^\alpha}\quad(\forall x\in \mathbb{R}^3)
$$
として $V\in L^2_{\rm loc}(\mathbb{R}^3)$ を定義する。このとき、
*$(1)$　$V$ による $L^2(\mathbb{R}^3)$ 上の掛け算作用素は自己共役作用素 $-\Delta\colon H^2(\mathbb{R}^3)\rightarrow L^2(\mathbb{R}^3)$ に対して相対コンパクト（'''定義15.3'''）である。そして $H_V\colon=-\Delta+V$ は $H^2(\mathbb{R}^3)$ を定義域とする $L^2(\mathbb{R}^3)$ 上の下に有界な自己共役作用素であり、$D(\mathbb{R}^3)$ は $H_V$ の芯である。また $H_V$ の真性スペクトル（'''定義14.1'''）は $\sigma_{\rm ess}(H_V)=[0,\infty)$ である。
*$(2)$　$H_V$ は可算無限個の離散固有値（'''定義14.1'''）を持つ。そしてこれらを下から並べたものを $(\lambda_n)_{n\in\mathbb{N}}$ とおくと、$\lim_{n\rightarrow\infty}\lambda_n=\sup_{n\in\mathbb{N}}\lambda_n=0$ が成り立つ。
{{begin|proof}}
$(1)$　各 $n\in \mathbb{N}$ に対し $V_n\colon \mathbb{R}^3\rightarrow\mathbb{R}$ を、
$$
V_n(x)\colon=\begin{cases}V(x)\quad&(\lvert x\rvert\leq n)\\0&(n<\lvert x\rvert)\end{cases}
$$
とおくと、極座標変換（[[ベクトル解析4：Euclid空間内の多様体上の測度と積分]]の'''定理18.4'''）と $2\alpha<3$ より、
$$
\int_{\mathbb{R}^3}\lvert V_n(x)\rvert^2 dx=\mu_{S_2}(S_2)\int_{0}^{n}r^2\frac{k^2}{r^{2\alpha}}dr=\mu_{S_2}(S_2)\frac{k^2}{3-2\alpha}n^{3-2\alpha}<\infty
$$
であるから $V_n\in L^2(\mathbb{R}^3)$ であり、$0<\alpha$ より、
$$
\lVert V-V_n\rVert_{\infty}\leq \frac{k}{n^{\alpha}}\rightarrow0\quad(n\rightarrow\infty)
$$
である。よって'''定理17.3'''より $V$ は掛け算作用素として $-\Delta$ に対して相対コンパクトである。ここで'''命題17.1'''より $-\Delta\colon H^2(\mathbb{R}^3)\rightarrow L^2(\mathbb{R}^3)$ は $L^2(\mathbb{R}^3)$ 上の下に有界な自己共役作用素であり $\sigma_{\rm ess}(-\Delta)=\sigma(-\Delta)=[0,\infty)$ である。よって'''定理15.5'''と'''定理15.1'''より $H_V=-\Delta+V\colon H^2(\mathbb{R}^3)\rightarrow L^2(\mathbb{R}^3)$ も $L^2(\mathbb{R}^3)$ 上の下に有界な自己共役作用素であり、$-\Delta$ の芯 $D(\mathbb{R}^3)$<ref>[[Sobolev空間の基本事項]]の'''定理32.2'''を参照。</ref> は $H_V$ の芯でもあり、$\sigma_{\rm ess}(H_V)=\sigma_{\rm ess}(-\Delta)=[0,\infty)$ である。
*$(2)$　$(1)$ より $H_V$ は下に有界な自己共役作用素である。そこで $H_V$ の特性レベル（'''定義14.10'''）を $(\mu_n(H_V))_{n\in \mathbb{N}}$ とおく。$(1)$ より $\sigma_{\rm ess}(H_V)=[0,\infty)$ であるから'''定理14.12'''の $(2)$ より、
$$
\sup_{n\in \mathbb{N}}\mu_n(H_V)={\rm min}(\sigma_{\rm ess}(H_V))=0
$$
である。よって'''定理14.12'''の $(3)$ より、
$$
\mu_n(H_V)<0\quad(\forall n\in \mathbb{N})\quad\quad(*)
$$
が成り立つことを示せばよい。今、Urysohnの補題（[[ベクトル解析4：Euclid空間内の多様体上の測度と積分]]の'''定理15.5'''）により非負値の $\psi\in D(\mathbb{R}^3)$ で、
$$
\lVert \psi\rVert_2=1,\quad {\rm supp}(\psi)\subset \{x\in \mathbb{R}^2:1<\lvert x\rvert<2\}
$$
を満たすものを取る。そして任意の $R\in (0,\infty)$ に対し $\psi_R\in D(\mathbb{R}^3)$ を、
$$
\psi_R(x)\colon=R^{-\frac{3}{2}}\psi(R^{-1}x)\quad(\forall x\in \mathbb{R}^3)
$$
として定義する。このとき変数変換より、
$$
\lVert \psi_R\rVert_2=1,\quad {\rm supp}(\psi_R)\subset \{x\in \mathbb{R}^3:R<\lvert x\rvert<2R\}\quad\quad(**)
$$
であり、
$$
(\psi_R\mid -\Delta\psi_R)_2=R^{-2}(\psi\mid -\Delta\psi)_2,\quad
(\psi_R\mid V\psi_R)_2=R^{-\alpha}(\psi\mid V\psi)_2\quad(\forall R\in (0,\infty))\quad\quad(***)
$$
である。
$$
2-\alpha>0,\quad(\psi\mid V\psi)_2<0
$$
であるから、$(***)$ より、十分大きい $R_0\in (0,\infty)$ を取れば、
$$
\begin{aligned}
(\psi_R\mid H_V\psi_R)_2&=(\psi_R\mid -\Delta \psi_R)_2+(\psi_R\mid V\psi_R)_2=R^{-2}(\psi\mid -\Delta \psi)_2+R^{-\alpha}(\psi\mid V\psi)_2\\
&=R^{-2}\left((\psi\mid -\Delta\psi)_2+R^{2-\alpha}(\psi\mid V\psi)_2\right)<0\quad(\forall R\in [R_0,\infty))\quad\quad(****)
\end{aligned}
$$
となる。そこで、
$$
\varphi_n\colon=\psi_{2^nR_0}\in D(\mathbb{R}^3)\quad(\forall n\in \mathbb{N})
$$
とおくと、$(**)$, $(****)$ より、
$$
\lVert \varphi_n\rVert_2=1,\quad {\rm supp}(\varphi_n), {\rm supp}(H_V\varphi_n)\subset \{x\in \mathbb{R}^3:2^nR_0<\lvert x\rvert<2^{n+1}R_0\}\quad(\forall n\in\mathbb{N}),\quad\quad(*****)
$$
$$
(\varphi_n\mid H_V\varphi_n)<0\quad(\forall n\in \mathbb{N})\quad\quad(******)
$$
が成り立つ。$(*****)$ より特に $(\varphi_n)_{n\in \mathbb{N}}$ はHilbert空間 $L^2(\mathbb{R}^3)$ のONSである。各 $n\in \mathbb{N}$ に対し $\varphi_1,\ldots,\varphi_n$ によって張られる $L^2(\mathbb{R}^3)$ の $n$ 次元部分空間の上への射影作用素を $P_n$ とおき、
$$
H_{V,n}\colon {\rm Ran}(P_n)\ni f\mapsto P_nH_Vf\in {\rm Ran}(P_n)
$$
なる ${\rm Ran}(P_n)$ 上の自己共役作用素を定義する。このとき $(*****)$ より $\varphi_1,\ldots,\varphi_n\in {\rm Ran}(P_n)$ は $H_{V,n}$ の単位固有ベクトルからなるCONSである。よって $H_{V,n}$ の固有値は $(\varphi_j\mid H_{V}\varphi_j)_2$ ($j=1,\ldots,n$) であるから、Reyleigh-Ritzの原理（'''命題14.13'''）と $(******)$ より、
$$
\mu_n(H_V)\leq \mu_n(H_{V,n})={\rm max}\{(\varphi_j\mid H_{V}\varphi_j)_2:j=1,\ldots,n\}<0
$$
である。よって $(*)$ が成り立つ。
{{end|proof}}

===定理17.5（加藤-Rellichの定理4（中心力ポテンシャルを持つSchrödinger作用素））===
$\alpha\in (0,\frac{3}{2}), k_j,K_{j,k}\in [0,\infty)$ $(j,k\in \{1,\ldots,N\}, j\neq k)$ とし、
$$
V(x_1,\ldots,x_N)\colon=-\sum_{j=1}^{N}\frac{k_j}{\lvert x_j\rvert^{\alpha}}-\sum_{j\neq k}\frac{K_{j,k}}{\lvert x_j-x_k\rvert^{\alpha}}
$$
として $V\in L^2_{\rm loc}(\mathbb{R}^{3N})$ を定義する。このとき $V$ による $L^2(\mathbb{R}^{3N})$ 上の掛け算作用素は自己共役作用素 $-\Delta \colon H^2(\mathbb{R}^{3N})\rightarrow L^2(\mathbb{R}^{3N})$ に対して無限小（'''定義15.2'''）である。そして $H_V\colon =-\Delta+V$ は $H^2(\mathbb{R}^{3N})$ を定義域とする下に有界な自己共役作用素であり、$D(\mathbb{R}^{3N})$ を芯として持つ。
{{begin|proof}}
'''定理15.1'''より、掛け算作用素 $V$ が $-\Delta$ に対して無限小であることを示せば十分である。
任意の $j,k\in \{1,\ldots,N\}$ $(j\neq k)$ に対し $V_j,V_{j,k}\in L^2_{\rm loc}(\mathbb{R}^{3N})$ を、
$$
V_j(x_1,\ldots,x_N)\colon=-\frac{k_j}{\lvert x_j\rvert^{\alpha}},\quad V_{j,k}(x_1,\ldots,x_N)\colon=-\frac{K_{j,k}}{\lvert x_j-x_k\rvert^{\alpha}}
$$
と定義する。掛け算作用素 $V$ が $-\Delta$ に対して無限小であることを示すには、掛け算作用素 $V_j,V_{j,k}$ がそれぞれ $-\Delta$ に対して無限小であることを示せばよい。
*$(1)$　各 $j\in \{1,\ldots,N\}$ に対し $V_j$ が $-\Delta$ に対して無限小であることを示す。'''定理17.4'''より $L^2(\mathbb{R}^3)$ 上の掛け算作用素 $-\frac{k_j}{\lvert {\rm id}\rvert^{\alpha}}$ は自己共役作用素 $-\Delta\colon H^2(\mathbb{R}^3)\rightarrow L^2(\mathbb{R}^3)$ に対して相対コンパクトであるので特に無限小である。よって任意の $\epsilon\in (0,1)$ に対し $b_{\epsilon}\in [0,\infty)$ が存在し、任意の $\varphi\in D(\mathbb{R}^{3N})$ に対し、
$$
\begin{aligned}
&\left(\int_{\mathbb{R}^3}\lvert V_j(x_1,\ldots,x_N)\varphi(x_1,\ldots,x_N)\rvert^2dx_j\right)^{\frac{1}{2}}\\
&\leq \epsilon\left(\int_{\mathbb{R}^3}\lvert\Delta_{x_j}\varphi(x_1,\ldots,x_N)\rvert^2dx_j\right)^{\frac{1}{2}}+b_{\epsilon}\left(\int_{\mathbb{R}^3}\lvert \varphi(x_1,\ldots,x_N)\rvert^2dx_j\right)^{\frac{1}{2}}
\end{aligned}
$$
が成り立つ。よってMinkowskiの不等式とTonelliの定理より、
$$
\lVert V_j\varphi\rVert_2\leq \epsilon\lVert -\Delta_{x_j}\varphi\rVert_2+b_{\epsilon}\lVert\varphi\rVert_2\quad(\forall \varphi\in D(\mathbb{R}^{3N}))\quad\quad(*)
$$
が成り立つ。'''命題17.1'''より、
$$
-\Delta_{x_j}=\mathcal{F}^{-1}\lvert {\rm id}_j\rvert^2\mathcal{F},\quad
-\Delta=\mathcal{F}^{-1}\lvert {\rm id}\rvert^2\mathcal{F}
$$
であるから、
$$
\lVert V_j\varphi\rVert_2=\lVert \lvert {\rm id}_j\rvert^2\mathcal{F}\varphi\rVert_2
\leq \lVert \lvert {\rm id}\rvert^2\mathcal{F}\varphi\rVert_2=\lVert-\Delta\varphi\rVert_2\quad(\forall \varphi\in D(\mathbb{R}^{3N}))\quad\quad(**)
$$
である。よって $(*),(**)$ より、
$$
\lVert V_j\varphi\rVert_2\leq\epsilon\lVert -\Delta \varphi\rVert_2+b_{\epsilon}\lVert \varphi\rVert_2\quad(\forall \varphi\in D(\mathbb{R}^{3N}))\quad\quad(***)
$$
が成り立つ。ここで $D(\mathbb{R}^{3N})$ は $-\Delta\colon H^2(\mathbb{R}^{3N})\rightarrow L^2(\mathbb{R}^{3N})$ の芯であり<ref>[[Sobolev空間の基本事項]]の'''定理32.2'''を参照。</ref>、掛け算作用素は閉作用素であるから、$(***)$ より、
$$
\lVert V_jf\rVert_2\leq \epsilon\lVert -\Delta f\rVert_2+b_{\epsilon}\lVert f\rVert_2\quad(\forall f\in H^2(\mathbb{R}^{3N}))
$$
が成り立つ。よって掛け算作用素 $V_j$ は $-\Delta$ に対して無限小である。
*$(2)$　$j\neq k$ なる任意の $j,k\in \{1,\ldots,N\}$ に対し $V_{j,k}$ が $-\Delta$ に対して無限小であることを示す。'''定理17.4'''より $L^2(\mathbb{R}^3)$ 上の掛け算作用素 $-\frac{K_{j,k}}{\lvert {\rm id}\rvert^{\alpha}}$ は自己共役作用素 $-\Delta\colon H^2(\mathbb{R}^3)\rightarrow L^2(\mathbb{R}^3)$ に対して相対コンパクトであるので特に無限小である。よって任意の $\epsilon\in (0,1)$ に対し $b_{\epsilon}\in [0,\infty)$ が存在し、任意の $\varphi\in D(\mathbb{R}^{3N})$ に対し、
$$
\begin{aligned}
&\left(\int_{\mathbb{R}^3}\lvert V_{j,k}(x_1,\ldots,x_N)\varphi(x_1,\ldots,x_N)\rvert^2dx_j\right)^{\frac{1}{2}}
=\left(\int_{\mathbb{R}^3}\left\lvert\frac{K_{j,k}}{\lvert x_j\rvert}\varphi(x_1,\ldots,x_j+x_k,\ldots,x_N)\right\rvert^2\right)^{\frac{1}{2}}\\
&\leq \epsilon\left(\int_{\mathbb{R}^3}\lvert\Delta_{x_j}\varphi(x_1,\ldots,x_j+x_k,\ldots,x_N)\rvert^2dx_j\right)^{\frac{1}{2}}+b_{\epsilon}\left(\int_{\mathbb{R}^3}\lvert \varphi(x_1,\ldots,x_j+x_k,\ldots,x_N)\rvert^2dx_j\right)^{\frac{1}{2}}\\
&=\epsilon\left(\int_{\mathbb{R}^3}\lvert\Delta_{x_j}\varphi(x_1,\ldots,x_N)\rvert^2dx_j\right)^{\frac{1}{2}}+b_{\epsilon}\left(\int_{\mathbb{R}^3}\lvert \varphi(x_1,\ldots,x_N)\rvert^2dx_j\right)^{\frac{1}{2}}
\end{aligned}
$$
が成り立つ。よってMinkowskiの不等式とTonelliの定理より、
$$
\lVert V_{j,k}\varphi\rVert_2\leq \epsilon\lVert -\Delta_{x_j}\varphi\rVert_2+b_{\epsilon}\lVert\varphi\rVert_2\quad(\forall \varphi\in D(\mathbb{R}^{3N}))
$$
であるから、後は $(1)$ と同様にすれば $V_{j,k}$ が $-\Delta$ に対して無限小であることが分かる。
{{end|proof}}

== 18. $\sigma$-WOT、$\sigma$-SOT、von Neumann環、二重可換子環定理 ==

===定義18.1（$\mathbb{B}(\mathcal{H})$ の $\sigma$-WOTと $\sigma$-SOT）===
$\mathcal{H}$ をHilbert空間とする。任意の $u=(u_n)_{n\in \mathbb{N}}, v=(v_n)_{n\in \mathbb{N}}\in \bigoplus_{n\in \mathbb{N}}\mathcal{H}$ に対し線形汎関数 $\varphi_{u,v}\colon \mathbb{B}(\mathcal{H})\rightarrow \mathbb{C}$ とセミノルム $p_v\colon \mathbb{B}(\mathcal{H})\rightarrow [0,\infty)$ を、
$$
\varphi_{u,v}(A)\colon=((u_n)_{n\in\mathbb{N}}\mid (Av_n)_{n\in \mathbb{N}})=\sum_{n\in \mathbb{N}}(u_n\mid Av_n)\quad(\forall A\in\mathbb{B}(\mathcal{H})),
$$
$$
p_v(A)\colon=\lVert (Av_n)_{n\in \mathbb{N}}\rVert=\sqrt{\sum_{n\in \mathbb{N}}\lVert Av_n\rVert^2}\quad(\forall A\in \mathbb{B}(\mathcal{H}))
$$
として定義する。このとき $\{\varphi_{u,v}:u,v\in \bigoplus_{n\in \mathbb{N}}\mathcal{H}\}, \{p_v:v\in \bigoplus_{n\in \mathbb{N}}\mathcal{H}\}$ はそれぞれ $\mathbb{B}(\mathcal{H})$ 上の線形汎関数の分離族とセミノルムの分離族である（[[位相線形空間2：セミノルム位相と汎弱位相]]を参照）。$\{\varphi_{u,v}:u,v\in \bigoplus_{n\in \mathbb{N}}\mathcal{H}\}$ が誘導する汎弱位相を $\mathbb{B}(\mathcal{H})$ 上の $\sigma$-WOTと言い、$\{p_v\}_{v\in \bigoplus_{n\in\mathbb{N}}\mathcal{H}}$ が誘導するセミノルム位相を $\mathbb{B}(\mathcal{H})$ 上の $\sigma$-SOTと言う。

===注意18.2（$\sigma$-WOTと $\sigma$-SOTに関する収束の特徴付け）===
[[位相線形空間2：セミノルム位相と汎弱位相]]の'''命題9.3'''より $\mathbb{B}(\mathcal{H})$ のネット $(A_{\lambda})_{\lambda\in \Lambda}$ が $A\in \mathbb{B}(\mathcal{H})$ に$\sigma$-WOTに関して収束することは、任意の $(u_n)_{n\in\mathbb{N}},(v_n)_{n\in \mathbb{N}}\in \bigoplus_{n\in \mathbb{N}}\mathcal{H}$ に対し、
$$
((u_n)_{n\in\mathbb{N}}\mid (A_{\lambda}v_n)_{n\in\mathbb{N}})\rightarrow((u_n)_{n\in\mathbb{N}}\mid (Av_n)_{n\in\mathbb{N}}),
$$
すなわち、
$$
\sum_{n\in \mathbb{N}}(u_n\mid A_{\lambda}v_n)\rightarrow \sum_{n\in \mathbb{N}}(u_n\mid Av_n)
$$
が成り立つことと同値である。また[[位相線形空間2：セミノルム位相と汎弱位相]]の'''命題8.6'''より $\mathbb{B}(\mathcal{H})$ のネット $(A_{\lambda})_{\lambda\in \Lambda}$ が $A\in \mathbb{B}(\mathcal{H})$ に $\sigma$-SOTに関して収束することは、任意の $(v_n)_{n\in \mathbb{N}}\in \bigoplus_{n\in \mathbb{N}}\mathcal{H}$ に対し、
$$
\lVert ((A_{\lambda}-A)v_n)_{n\in \mathbb{N}}\rVert\rightarrow0,
$$
すなわち、
$$
\sum_{n\in\mathbb{N}}\lVert (A_{\lambda}-A)v_n\rVert^2\rightarrow0
$$
が成り立つことと同値である。

===注意18.3（$\mathbb{B}(\mathcal{H})$ の位相の強弱）===
'''注意18.2'''より、$\mathbb{B}(\mathcal{H})$ のネットが $\sigma$-WOT（resp. $\sigma$-SOT）に関して収束するならば、WOT（resp. SOT）に関しても収束するので、ネットによる連続性の特徴付け（[[ネットによる位相空間論]]の'''定理3'''）より $\sigma$-WOTはWOTより強い。（resp. $\sigma$-SOT）はSOTより強い。）また'''注意18.2'''より $\mathbb{B}(\mathcal{H})$ のネットが $\sigma$-SOTに関して収束するならば $\sigma$-WOTに関しても収束するので、$\sigma$-SOTは $\sigma$-WOTより強い。さらに作用素ノルムで収束するネットは明らかに $\sigma$-SOTに関して収束するので作用素ノルム位相は $\sigma$-SOTより強い。

===注意18.4（$\sigma$-WOT、$\sigma$-SOTとトレース）===
'''命題16.15'''よりトレースクラス $\mathbb{B}^1(\mathcal{H})$ は、
$$
\mathbb{B}^1(\mathcal{H})=\left\{\sum_{n\in \mathbb{N}}v_n\odot u_n:(u_n)_{n\in\mathbb{N}},(v_n)_{n\in\mathbb{N}}\in \bigoplus_{n\in \mathbb{N}}\mathcal{H}\right\}
$$
であり、任意の $u=(u_n)_{n\in \mathbb{N}},v=(v_n)_{n\in \mathbb{N}}\in \bigoplus_{n\in \mathbb{N}}\mathcal{H}$ に対し $T=\sum_{n\in \mathbb{N}}v_n\odot u_n\in \mathbb{B}^1(\mathcal{H})$ とおけば、
$$
{\rm Tr}(AT)=\sum_{n\in \mathbb{N}}{\rm Tr}(A(v_n\odot u_n))=\sum_{n\in \mathbb{N}}(u_n\mid Av_n)=\varphi_{u,v}(A)\quad(\forall A\in \mathbb{B}(\mathcal{H}))
$$
である。よって、
$$
\{\varphi_{u,v}:u,v\in \bigoplus_{n\in \mathbb{N}}\mathcal{H}\}=\{{\rm Tr}(\cdot T):T\in \mathbb{B}^1(\mathcal{H})\}
$$
であるから、$\sigma$-WOTは $\mathbb{B}(\mathcal{H})$ 上の線形汎関数の分離族 $\{{\rm Tr}(\cdot T):T\in \mathbb{B}^1(\mathcal{H})\}$ が誘導する汎弱位相と一致し、[[位相線形空間2：セミノルム位相と汎弱位相]]の'''命題9.5'''より、
$$
\{\text{$\mathbb{B}(\mathcal{H})$ 上の $\sigma$-WOT連続な線形汎関数}\}=\{{\rm Tr}(\cdot T):T\in \mathbb{B}^1(\mathcal{H})\}
$$
が成り立つ。
また'''命題16.15'''より、
$$
\mathbb{B}^1(\mathcal{H})\cap\mathbb{B}(\mathcal{H})_+=\left\{\sum_{n\in \mathbb{N}}v_n\odot v_n:(v_n)_{n\in\mathbb{N}}\in \bigoplus_{n\in \mathbb{N}}\mathcal{H}\right\}
$$
であり、任意の $v=(v_n)_{n\in \mathbb{N}}\in \bigoplus_{n\in \mathbb{N}}\mathcal{H}$ に対し $T=\sum_{n\in \mathbb{N}}v_n\odot v_n\in \mathbb{B}^1(\mathcal{H})\cap \mathbb{B}(\mathcal{H})_+$ とおけば、
$$
{\rm Tr}(A^*AT)=\sum_{n\in \mathbb{N}}{\rm Tr}(A^*A(v_n\odot v_n))=\sum_{n\in \mathbb{N}}(v_n\mid A^*Av_n)
=\sum_{n\in \mathbb{N}}\lVert Av_n\rVert^2\quad(\forall A\in \mathbb{B}(\mathcal{H}))
$$
である。よって'''注意18.2'''より $\mathbb{B}(\mathcal{H})$ のネット $(A_{\lambda})_{\lambda\in \Lambda}$ が $A\in \mathbb{B}(\mathcal{H})$ に $\sigma$-SOTに関して収束することは、任意の $T\in \mathbb{B}^1(\mathcal{H})$ に関して、
$$
{\rm Tr}((A_{\lambda}-A)^*(A_{\lambda}-A)T)\rightarrow0
$$
となることと同値である。そして'''命題16.5'''より $\mathbb{B}^1(\mathcal{H})={\rm span}(\mathbb{B}^1(\mathcal{H})\cap \mathbb{B}(\mathcal{H})_+)$ であるから、$\sigma$-SOTに関して $(A_{\lambda})_{\lambda\in\Lambda}$ が $A$ に収束することは、$\sigma$-WOTに関して $(A_{\lambda}-A)^*(A_{\lambda}-A)\rightarrow0$ が成り立つことと同値である。

===命題18.5（弱 $*$-位相としての $\sigma$-WOT）===
$\mathcal{H}$ をHilbert空間とする。このとき、
$$
\mathbb{B}(\mathcal{H})\ni A\mapsto {\rm Tr}(A\cdot )\in (\mathbb{B}^1(\mathcal{H}))^*\quad\quad(*)
$$
は等長線形同型写像であり、$\sigma$-WOTと弱 $*$-位相に関して同相写像である。そして $\mathbb{B}(\mathcal{H})$ の単位ノルム閉球 $(\mathbb{B}(\mathcal{H}))_1=\{A\in \mathbb{B}(\mathcal{H}):\lVert A\rVert\leq 1\}$ は $\sigma$-WOTに関してコンパクトである。
{{begin|proof}}
'''定理16.16'''より $(*)$ は等長線形同型写像であり、'''注意18.4'''より、$\mathbb{B}(\mathcal{H})$ のネット $(A_{\lambda})_{\lambda\in\Lambda}$ が $A\in \mathbb{B}(\mathcal{H})$ に $\sigma$-WOTに関して収束することは、任意の $T\in \mathbb{B}^1(\mathcal{H})$ に対し ${\rm Tr}(A_{\lambda}T)\rightarrow {\rm Tr}(AT)$ となること、すなわち $(\mathbb{B}^1(\mathcal{H}))^*$ の弱 $*$-位相に関して ${\rm Tr}( A_{\lambda}\cdot)\rightarrow {\rm Tr}(A\cdot )$ となることと同値である。よってネットによる連続性の特徴付け（[[ネットによる位相空間論]]の'''定理3'''）より、 $(*)$ は $\sigma$-WOTと弱 $*$-位相に関して同相写像である。そしてAlaogluの定理（[[位相線形空間2：セミノルム位相と汎弱位相]]の'''定理10.3'''）より $(\mathbb{B}^1(\mathcal{H}))^*$ の単位ノルム閉球は弱 $*$-位相でコンパクトであるので $(\mathbb{B}(\mathcal{H}))_1$ は $\sigma$-WOTコンパクトである。
{{end|proof}}

===命題18.6（ノルム有界集合上での $\sigma$-WOTとWOT（resp. $\sigma$-SOTとSOT）の一致）===
$\mathbb{B}(\mathcal{H})$ の単位ノルム閉球 $(\mathbb{B}(\mathcal{H}))_1=\{A\in\mathbb{B}(\mathcal{H}):\lVert A\rVert\leq 1\}$ において $\sigma$-WOTとWOTは一致する。また $\sigma$-SOTとSOTも一致する。
{{begin|proof}}
$$
(\mathbb{B}(\mathcal{H}))_1\ni A\mapsto A\in (\mathbb{B}(\mathcal{H}))_1\quad\quad(*)
$$
が $\sigma$-WOTとWOTに関して同相写像であること（resp. $\sigma$-SOTとSOTに関して同相写像であること）を示せばよい。'''注意18.3'''より $(*)$ は $\sigma$-WOTとWOT（resp. $\sigma$-SOTとSOT）に関して連続である。そして'''命題18.5'''より $(\mathbb{B}(\mathcal{H}))_1$ は $\sigma$-WOTによりコンパクト空間であるから $(*)$ は $\sigma$-WOTとWOTに関して同相写像である。<ref>コンパクト空間からHausdorff空間への全単射連続写像は同相写像である。[[Banach環とC*-環のスペクトル理論]]の'''補題6.4'''を参照。</ref>後は$(*)$ がSOTと $\sigma$-SOTに関して連続であることを示せばよい。
$(\mathbb{B}(\mathcal{H}))_1$ のネット $(A_{\lambda})_{\lambda\in\Lambda}$ がSOTに関して $A\in (\mathbb{B}(\mathcal{H}))_1$ に収束するとする。任意の $\epsilon\in (0,\infty)$ と任意の $v=(v_n)_{n\in \mathbb{N}}\in \bigoplus_{n\in \mathbb{N}}\mathcal{H}$ を取る。十分大きい $N\in \mathbb{N}$ を取れば、
$$
\sum_{n\geq N+1}4\lVert v_n\rVert^2<\frac{\epsilon}{2}
$$
となり、SOTに関して $A_{\lambda}\rightarrow A$ であることから、$\lambda_0\in \Lambda$ が存在し、
$$
\sum_{n=1}^{N}\lVert(A_{\lambda}-A)v_n\rVert^2<\frac{\epsilon}{2}\quad(\forall \lambda\geq \lambda_0)
$$
となる。よって任意の $\lambda\geq\lambda_0$ に対し、
$$
\sum_{n\in \mathbb{N}}\lVert (A_{\lambda}-A)v_n\rVert^2
\leq\sum_{n=1}^{N}\lVert (A_{\lambda}-A)v_n\rVert^2+\sum_{n\geq N+1}4\lVert v_n\rVert^2<\epsilon
$$
となるので、$\sigma$-SOTに関して $A_{\lambda}\rightarrow A$ が成り立つ。ゆえに $(*)$ はSOTと $\sigma$-SOTに関して連続である。
{{end|proof}}

===命題18.7===
$\mathbb{B}(\mathcal{H})$ 上の線形汎関数 $\varphi\colon \mathbb{B}(\mathcal{H})\rightarrow \mathbb{C}$ に対し次は互いに同値である。
*$(1)$　$\varphi$ はWOTに関して連続である。
*$(2)$　$\varphi$ はSOTに関して連続である。
そして凸集合 $\mathcal{C}\subset \mathbb{B}(\mathcal{H})$ に対し $\mathcal{C}$ がWOTに関して閉であることとSOTに関して閉であることは同値である。
{{begin|proof}}
SOTはWOTより強いので、$(1)\Rightarrow(2)$ は自明である。$(2)\Rightarrow(1)$ を示す。$(2)$ が成り立つとすると $\{A\in \mathbb{B}(\mathcal{H}):\lvert \varphi(A)\rvert<1\}$ はSOTに関する $0\in \mathbb{B}(\mathcal{H})$ の近傍であるから、[[位相線形空間2：セミノルム位相と汎弱位相]]の'''命題8.6'''より有限個の $v_1,\ldots,v_n\in \mathcal{H}$ が取れて、
$$
\bigcap_{j=1}^{n}\{A\in \mathbb{B}(\mathcal{H}):\lVert Av_j\rVert<1\}\subset \{A\in \mathbb{B}(\mathcal{H}):\lvert\varphi(A)\rvert<1\}
$$
となる。よって、
$$
\lvert\varphi(A)\rvert\leq \sqrt{\sum_{j=1}^{n}\lVert Av_j\rVert^2}\quad(\forall A\in \mathbb{B}(\mathcal{H}))
$$
が成り立つので、直和Hilbert空間 $\mathcal{H}^n=\bigoplus_{j=1}^{n}\mathcal{H}$ の部分空間
$$
\mathcal{K}\colon=\{(Av_j)_{j=1,\ldots,n}:A\in \mathbb{B}(\mathcal{H})\}
$$
を考えると、
$$
\psi\colon \mathcal{K}\ni (Av_j)_{j=1,\ldots,n}\mapsto \varphi(A)\in \mathbb{C}
$$
はwell-definedな有界線形汎関数である。Hahn-Banachの拡張定理（[[位相線形空間3：Hahn-Banachの定理とKrein-Milmanの端点定理]]の'''定理11.4'''）より $\psi$ は $\mathcal{H}^n$ 上のある有界線形汎関数 $\widetilde{\psi}$ に拡張でき、Rieszの定理により $\widetilde{\psi}$ に対応する $(u_j)_{j=1,\ldots,n}\in \mathcal{H}^n$ を取れば、
$$
\varphi(A)=\psi((Av_j)_{j=1,\ldots,n})=((u_j)_{j=1,\ldots,n}\mid (Av_j)_{j=1,\ldots,n})=\sum_{j=1}^{n}(u_j\mid Av_j)\quad(\forall A\in \mathbb{B}(\mathcal{H}))
$$
となる。これより $\varphi$ はWOT連続であるので $(2)\Rightarrow(1)$ が成り立つ。 
凸集合 $\mathcal{C}\subset \mathbb{B}(\mathcal{H})$ についてWOT閉であることとSOT閉であることが同値であることはHahn-Banachの分離定理の系（[[位相線形空間3：Hahn-Banachの定理とKrein-Milmanの端点定理]]の'''系13.4'''）による。
{{end|proof}}

===補題18.8（$\sigma$-SOTに関する $0\in \mathbb{B}(\mathcal{H})$ の基本近傍系）===
'''定義18.1'''における $\mathbb{B}(\mathcal{H})$ の $\sigma$-SOTを誘導するセミノルムの族 $\{p_v\}_{v\in \bigoplus_{n\in\mathbb{N}}\mathcal{H}}$ に対し、$\{(p_v<1)\}_{v\in \bigoplus_{n\in\mathbb{N}}\mathcal{H}}$ は $\sigma$-SOTに関する $0\in\mathbb{B}(\mathcal{H})$ の基本近傍系である。ただし $(p_v<1)=\{A\in \mathbb{B}(\mathcal{H}):p_v(A)<1\}$ である。
{{begin|proof}}
有限個の $v^j=(v^j_n)_{n\in \mathbb{N}}\in \bigoplus_{n\in \mathbb{N}}\mathcal{H}$ $(j=1,\ldots,m)$ に対し、
$$
v\colon=(v^1_1,\ldots,v^m_1,v^1_2,\ldots,v^m_2,v^1_3,\ldots,v^m_3,\ldots)\in \bigoplus_{n\in \mathbb{N}}\mathcal{H}
$$
とおけば、$(p_v<1)\subset \bigcap_{j=1}^{m}(p_{v^j}<1)$ となる。このことと[[位相線形空間2：セミノルム位相と汎弱位相]]の'''命題8.6'''による。
{{end|proof}}

===命題18.9===
$\mathbb{B}(\mathcal{H})$ 上の線形汎関数 $\varphi\colon \mathbb{B}(\mathcal{H})\rightarrow \mathbb{C}$ に対しは互いに同値である。
*$(1)$　$\varphi$ は $\sigma$-WOTに関して連続である。
*$(2)$　$\varphi$ は $\sigma$-SOTに関して連続である。
そして凸集合 $\mathcal{C}\subset \mathbb{B}(\mathcal{H})$ に対し $\mathcal{C}$ が $\sigma$-WOTに関して閉であることと $\sigma$-SOTに関して閉であることは同値である。
{{begin|proof}}
$\sigma$-SOTは $\sigma$-WOTより強いので、$(1)\Rightarrow(2)$ は自明である。$(2)\Rightarrow(1)$ を示す。$(2)$ が成り立つとすると $\{A\in \mathbb{B}(\mathcal{H}):\lvert \varphi(A)\rvert<1\}$ は $\sigma$-SOTに関する $0\in \mathbb{B}(\mathcal{H})$ の近傍であるから、'''補題18.9'''より $v=(v_n)_{n\in \mathbb{N}}\in \bigoplus_{n\in \mathbb{N}}\mathcal{H}$ が取れて、
$$
\{A\in \mathbb{B}(\mathcal{H}):\lVert (Av_n)_{n\in \mathbb{N}}\rVert<1\}\subset \{A\in \mathbb{B}(\mathcal{H}):\lvert\varphi(A)\rvert<1\}
$$
となる。よって、
$$
\lvert\varphi(A)\rvert\leq \lVert (Av_n)_{n\in \mathbb{N}}\rVert\quad(\forall A\in \mathbb{B}(\mathcal{H}))
$$
が成り立つので、$\bigoplus_{n\in \mathbb{N}}\mathcal{H}$ の部分空間
$$
\mathcal{K}\colon=\{(Av_n)_{n\in\mathbb{N}}:A\in \mathbb{B}(\mathcal{H})\}
$$
を考えると、
$$
\psi\colon \mathcal{K}\ni (Av_n)_{n\in\mathbb{N}}\mapsto \varphi(A)\in \mathbb{C}
$$
はwell-definedな有界線形汎関数である。Hahn-Banachの拡張定理（[[位相線形空間3：Hahn-Banachの定理とKrein-Milmanの端点定理]]の'''定理11.4'''）より $\psi$ は $\bigoplus_{n\in\mathbb{N}}\mathcal{H}$ 上のある有界線形汎関数 $\widetilde{\psi}$ に拡張でき、Rieszの定理により $\widetilde{\psi}$ に対応する $(u_n)_{n\in\mathbb{N}}\in \bigoplus_{n\in\mathbb{N}}\mathcal{H}$ を取れば、
$$
\varphi(A)=\psi((Av_n)_{n\in\mathbb{N}})=((u_n)_{n\in\mathbb{N}}\mid (Av_n)_{n\in\mathbb{N}})=\sum_{n\in\mathbb{N}}(u_n\mid Av_n)\quad(\forall A\in \mathbb{B}(\mathcal{H}))
$$
となる。これより $\varphi$ は $\sigma$-WOT連続であるので $(2)\Rightarrow(1)$ が成り立つ。 
凸集合 $\mathcal{C}\subset \mathbb{B}(\mathcal{H})$ について $\sigma$-WOT閉であることと $\sigma$-SOT閉であることが同値であることはHahn-Banachの分離定理の系（[[位相線形空間3：Hahn-Banachの定理とKrein-Milmanの端点定理]]の'''系13.4'''）による。
{{end|proof}}

===定義18.10（可換子環）===
$\mathcal{H}$ をHilbert空間とする。空でない $\mathcal{M}\subset \mathbb{B}(\mathcal{H})$ に対し、
$$
\mathcal{M}'=\{A\in\mathbb{B}(\mathcal{H}):\forall B\in\mathcal{M},AB=BA\}
$$
を $\mathcal{M}$ の可換子環と呼ぶ。

===命題18.11（可換子環の基本性質）===
$\mathcal{M}\subset \mathbb{B}(\mathcal{H})$ の可換子環 $\mathcal{M}'$ について次が成り立つ。
*$(1)$　$\mathcal{M}'$ は $\mathbb{B}(\mathcal{H})$ の単位元を含む部分多元環であり、WOTに関して閉である。（したがってSOT, $\sigma$-SOT, $\sigma$-WOTに関して閉である。）
*$(2)$　$\mathcal{M}$ が対合で閉じているならば $\mathcal{M}'$ も対合で閉じている。
*$(3)$　$\mathcal{M}\subset \mathcal{M}' '$.
*$(4)$　もし $\mathcal{M}$ が $\mathbb{B}(\mathcal{H})$ の部分 $*$-環であり、$\mathcal{M}\mathcal{H}={\rm span}\{Av:A\in \mathcal{M},v\in \mathcal{H}\}$ が $\mathcal{H}$ で稠密ならば、任意の $v\in \mathcal{H}$ に対し $\mathcal{M}' 'v\subset \overline{\mathcal{M}v}$ が成り立つ。
{{begin|proof}}
*$(1)$　$\mathcal{M}'$ が $\mathbb{B}(\mathcal{H})$ の単位元を含み、加法、スカラー倍、乗法で閉じていることは自明である。任意の $A\in \overline{\mathcal{M}'}^{\rm WOT}$ に対し、WOTに関して $A$ に収束する $\mathcal{M}'$ のネット $(A_{\lambda})_{\lambda\in \Lambda}$ が取れる（[[ネットによる位相空間論]]の'''命題2.4'''）。任意の $B\in \mathcal{M}$、任意の $u,v\in \mathcal{H}$ に対し、
$$
(u\mid ABv)=\lim_{\lambda\in\Lambda}(u\mid A_{\lambda}Bv)=\lim_{\lambda\in\Lambda}(u\mid BA_{\lambda}v)=(u\mid BAv)
$$
であるから $A\in \mathcal{M}'$ である。よって $\mathcal{M}'$ はWOT閉である。
*$(2)$　任意の $A\in \mathcal{M}'$ と任意の $B\in\mathcal{M}$ に対し、
$$
A^*B=(B^*A)^*=(AB^*)^*=BA^*
$$
であるから、$A^*\in\mathcal{M}'$ である。
*$(3)$　自明である。
*$(4)$　任意の $v\in\mathcal{H}$ に対し閉部分空間 $\overline{\mathcal{M}v}$ の上への射影作用素を $P_v\in \mathbb{B}(\mathcal{H})$ とおく。すると、
$$
A\overline{\mathcal{M}v}\subset \overline{\mathcal{M}v}={\rm Ran}(P_v)\quad(\forall A\in\mathcal{M})
$$
であるから、
$$
AP_v=P_vAP_v\quad(\forall A\in \mathcal{M})
$$
である。よって、
$$
AP_v=P_vAP_v=(P_vA^*P_v)^*=(A^*P_v)^*=P_vA\quad(\forall A\in\mathcal{M})
$$
であるから $P_v\in \mathcal{M}'$ である。任意の $A\in \mathcal{M}$、$u\in \mathcal{H}$ に対し、
$$
(Au\mid (1-P_v)v)=(u\mid (1-P_v)A^*v)=(u\mid A^*v-A^*v)=0
$$
であり、$\mathcal{M}\mathcal{H}={\rm span}\{Au:A\in \mathcal{M},u\in \mathcal{H}\}$ は $\mathcal{H}$ で稠密であるから $(1-P_v)v=0$、したがって $v=P_vv$ である。よって、
$$
\mathcal{M}' 'v=\mathcal{M}' 'P_vv=P_v\mathcal{M}' 'v\subset {\rm Ran}(P_v)=\overline{{\mathcal{M}}v}
$$
である。
{{end|proof}}

===補題18.12===
$\mathcal{H}$ をHilbert空間とし、任意の $j\in \mathbb{N}$ に対し、
$$
P_j\colon\bigoplus_{n\in \mathbb{N}}\mathcal{H}\ni (v_n)_{n\in \mathbb{N}}\mapsto v_j\in \mathcal{H},
$$
$$
Q_j\colon\mathcal{H}\ni v\mapsto (0,\ldots,0,\overset{\text{$j$ 番}}{ v },0,\ldots)\in\bigoplus_{n\in \mathbb{N}}\mathcal{H}
$$
とおく。そして任意の $T\in \mathbb{B}(\bigoplus_{n\in \mathbb{N}}\mathcal{H})$ に対し、
$$
T_{i,j}=P_iTQ_j\in \mathbb{B}(\mathcal{H})\quad(\forall i,j\in \mathbb{N})
$$
とおく。このとき $S,T\in \mathbb{B}(\bigoplus_{n\in \mathbb{N}}\mathcal{H})$ に対し、
$$
S=T\quad\Leftrightarrow\quad S_{i,j}=T_{i,j}\quad(\forall i,j\in\mathbb{N})
$$
が成り立つ。
{{begin|proof}}
任意の $v=(v_n)_{n\in \mathbb{N}}\in \bigoplus_{n\in \mathbb{N}}\mathcal{H}$, 任意の $i\in \mathbb{N}$ に対し、
$$
P_i(T-S)v=P_i(T-S)\sum_{j\in \mathbb{N}}Q_jv_j=\sum_{j\in \mathbb{N}}P_i(T-S)Q_jv_j=\sum_{j\in \mathbb{N}}(T_{i,j}-S_{i,j})v_j
$$
であることによる。
{{end|proof}}

===定理18.13（二重可換子環定理）===
$\mathcal{H}$ をHilbert空間とし、$\mathcal{M}\subset \mathbb{B}(\mathcal{H})$ を部分 $*$-環で、
$$
\mathcal{M}\mathcal{H}={\rm span}\{Av:A\in \mathcal{M},v\in \mathcal{H}\}
$$
が $\mathcal{H}$ で稠密であるものとする。このとき、
$$
\mathcal{M}' '=\overline{\mathcal{M}}^{\text{$\sigma$-SOT}}=\overline{\mathcal{M}}^{\text{$\sigma$-WOT}}=\overline{\mathcal{M}}^{\text{SOT}}=\overline{\mathcal{M}}^{\text{WOT}}
$$
が成り立つ。
{{begin|proof}}
$\mathcal{M}$ は凸集合であるから'''命題18.7'''と'''命題18.9'''より $\overline{\mathcal{M}}^{\text{$\sigma$-SOT}}=\overline{\mathcal{M}}^{\text{$\sigma$-WOT}}$, $\overline{\mathcal{M}}^{\text{SOT}}=\overline{\mathcal{M}}^{\text{WOT}}$ である。また $\sigma$-WOTはWOTより強く、'''命題18.11'''より $\mathcal{M}' '$ は $\mathcal{M}$ を含み、WOT閉であるから、
$$
\overline{\mathcal{M}}^{\text{$\sigma$-SOT}}=\overline{\mathcal{M}}^{\text{$\sigma$-WOT}}\subset\overline{\mathcal{M}}^{\text{SOT}}=\overline{\mathcal{M}}^{\text{WOT}}\subset \mathcal{M}' '
$$
である。よって、
$$
\mathcal{M}' '\subset \overline{\mathcal{M}}^{\text{$\sigma$-SOT}}\quad\quad(*)
$$
が成り立つことを示せばよい。そのためには'''補題18.8'''における $\sigma$-SOTに関する $0\in\mathbb{B}(\mathcal{H})$ の基本近傍系 $\{(p_v<1)\}_{v\in \bigoplus_{n\in\mathcal{H}}\mathcal{H}}$ を考え、任意の $A\in\mathcal{M}' '$ と任意の $v=(v_n)_{n\in\mathbb{N}}\in \bigoplus_{n\in\mathbb{N}}\mathcal{H}$ に対し、
$$
(A+(p_v<1))\cap \mathcal{M}\neq\emptyset\quad\quad(**)
$$
が成り立つことを示せばよい。今、$\pi\colon \mathbb{B}(\mathcal{H})\rightarrow \mathbb{B}\left(\bigoplus_{n\in\mathbb{N}}\mathcal{H}\right)$ を、
$$
\pi(A)(v_n)_{n\in\mathbb{N}}\colon=(Av_n)_{n\in\mathbb{N}} \quad\left(\forall A\in \mathbb{B}(\mathcal{H}),\forall (v_n)_{n\in\mathbb{N}}\in \bigoplus_{n\in\mathbb{N}}\mathcal{H}\right)
$$
として定義する。すると $\pi$ は $*$-環準同型写像であるから $\pi(\mathcal{M})$ は $\mathbb{B}\left(\bigoplus_{n\in\mathbb{N}}\mathcal{H}\right)$ の部分 $*$-環である。そして $\mathcal{M}\mathcal{H}$ が $\mathcal{H}$ で稠密であることから、
$$
\pi(\mathcal{M})\bigoplus_{n\in\mathbb{N}}\mathcal{H}={\rm span}\left\{(Av_n)_{n\in\mathbb{N}}:A\in \mathcal{M},(v_n)_{n\in\mathbb{N}}\in \bigoplus_{n\in\mathbb{N}}\mathcal{H}\right\}
$$
は $\bigoplus_{n\in\mathbb{N}}\mathcal{H}$ において稠密である。よって'''命題18.11'''の $(4)$ より、
$$
\pi(\mathcal{M})' 'v\subset \overline{\pi(\mathcal{M})v}\quad\left(\forall v\in \bigoplus_{n\in\mathbb{N}}\mathcal{H}\right)\quad\quad(***)
$$
が成り立つ。今、
$$
\pi(\mathcal{M}' ')\subset \pi(\mathcal{M})' '\quad\quad(****)
$$
が成り立つことを示す。$R\in \mathbb{B}\left(\bigoplus_{n\in\mathbb{N}}\mathcal{H}\right)$ に対し、'''補題18.12'''より、
$$
\begin{aligned}
R\in \pi(\mathcal{M})' \quad&\Leftrightarrow\quad R\pi(A)=\pi(A)R\quad(\forall A\in \mathcal{M})\\
&\Leftrightarrow\quad R_{i,j}A=AR_{i,j}\quad(\forall i,j\in \mathbb{N},\forall A\in \mathcal{M})\\
&\Leftrightarrow\quad R_{i,j}\in \mathcal{M}' \quad(\forall i,j\in \mathbb{N})
\end{aligned}
$$
であるから、任意の $A\in \mathcal{M}' '$, 任意の $R\in \pi(\mathcal{M})'$ に対し、
$$
AR_{i,j}=R_{i,j}A\quad(\forall i,j\in \mathbb{N}),
$$
したがって'''補題18.12'''より $\pi(A)R=R\pi(A)$ である。よって $(****)$ が成り立つので、$(***)$ より、
$$
\pi(\mathcal{M}' ')v\subset \pi(\mathcal{M})' 'v\subset \overline{\pi(\mathcal{M})v}\quad\left(\forall v\in \bigoplus_{n\in\mathbb{N}}\mathcal{H}\right)
$$
であるから、任意の $A\in \mathcal{M}' '$ と任意の $v\in \bigoplus_{n\in\mathbb{N}}\mathcal{H}$ に対し、$B\in \mathcal{M}$ で、
$$
1>\lVert \pi(A)v-\pi(B)v\rVert=p_v(A-B)
$$
を満たすものが存在する。$B\in A+(p_v<1)$ であるから $(**)$ が成り立つ。よって $(*)$ が成り立つ。
{{end|proof}}

===定義18.14（von Neumann環）===
$\mathcal{H}$ をHilbert空間とする。$\mathbb{B}(\mathcal{H})$ の部分 $*$-環 $\mathcal{M}$ で、$\mathcal{M}=\mathcal{M}' '$ を満たすものを $\mathcal{H}$ 上のvon Neumann環と言う。二重可換子環定理（'''定理18.13'''）より、$\mathbb{B}(\mathcal{H})$ の部分 $*$-環 $\mathcal{M}$ がvon Neumann環であることは、
$$
\mathcal{M}\mathcal{H}={\rm span}\{Av :A\in \mathcal{M},v\in \mathcal{H}\}
$$
が $\mathcal{H}$ において稠密であり<ref>$\mathcal{M}$ が $\mathbb{B}(\mathcal{H})$ の単位元（恒等作用素）を含むならばこの条件は満たされる。</ref>、$\mathcal{M}$ が $\sigma$-WOT、$\sigma$-SOT、WOT、SOTのうちのいずれかで閉であることと同値である。

===注意18.15===
$\sigma$-WOT、$\sigma$-SOT、WOT、SOTはいずれも作用素ノルム位相よりも弱いので、$\mathcal{H}$ 上のvon Neumann環 $\mathcal{M}$ は作用素ノルム位相で閉である。よって $\mathcal{M}$ は $\mathbb{B}(\mathcal{H})$ の部分 $C^*$-環である。 

対合演算で閉じた任意の空でない部分集合 $\mathcal{S}\subset \mathbb{B}(\mathcal{H})$ に対し、'''命題18.11'''より $\mathcal{S}'\subset \mathbb{B}(\mathcal{H})$ は $\mathcal{H}$ 上のvon Neumann環である。 

$\mathbb{B}(\mathcal{H})$ と $\mathbb{C}1$ はいずれも $\mathcal{H}$ 上のvon Neumann環であり、
$(\mathbb{C}1)'=\mathbb{B}(\mathcal{H})$、$\mathbb{B}(\mathcal{H})'=\mathbb{C}1$ である。

== 19. von Neumann環とBorel汎関数計算 ==

===定義19.1（von Neumann環にアフィリエイトする線形作用素）===
$\mathcal{H}$ をHilbert空間、$\mathcal{M}\subset \mathbb{B}(\mathcal{H})$ をvon Neumann環とする。$\mathcal{H}$ 上の（有界とは限らない）線形作用素 $T\colon D(T)\rightarrow\mathcal{H}$ が $\mathcal{M}$ にアフィリエイトするとは、
$$
ST\subset TS\quad(\forall S\in \mathcal{M}')
$$
が成り立つことを言う。$\mathcal{M}$ にアフィリエイトする線形作用素全体を $\widetilde{\mathcal{M}}$ と表す。 

===注意19.2===
$\widetilde{\mathcal{M}}$ は、次の命題で見るように、von Neumann環 $\mathcal{M}$ を非有界作用素を含む様に自然に拡張したものである。

===命題19.3（von Neumann環 $\mathcal{M}$ にアフィリエイトする線形作用素全体 $\widetilde{\mathcal{M}}$ の基本性質）===
Hilbert空間 $\mathcal{H}$ 上のvon Neumann環 $\mathcal{M}$ と $\mathcal{M}$ にアフィリエイトする線形作用素全体 $\widetilde{\mathcal{M}}$ に対し次が成り立つ。
*$(1)$　$\widetilde{\mathcal{M}}\cap \mathbb{B}(\mathcal{H})=\mathcal{M}$.
*$(2)$　任意の $T,T_1,T_2\in \widetilde{\mathcal{M}}$、任意の $\alpha\in \mathbb{C}$ に対し、$\alpha T,T_1+T_2,T_1T_2\in \widetilde{\mathcal{M}}$.
*$(3)$　$T\in \widetilde{\mathcal{M}}$ が稠密に定義されているならば、$T^*\in \widetilde{\mathcal{M}}$.
*$(4)$　$T\in \widetilde{\mathcal{M}}$ が可閉であるならば、$\overline{T}\in\widetilde{\mathcal{M}}$.
*$(5)$　$T\in\widetilde{\mathcal{M}}$ が単射であるならば、$T^{-1}\in \widetilde{\mathcal{M}}$.
{{begin|proof}}
*$(1)$　$\mathcal{M}=\mathcal{M}' '$ であることと $\widetilde{\mathcal{M}}$ の定義より明らかである。
*$(2)$　任意の $S\in \mathcal{M}'$ に対し、
$$
S(\alpha T)=\alpha ST\subset \alpha TS=(\alpha T)S,
$$
$$
S(T_1+T_2)=ST_1+ST_2\subset T_1S+T_2S=(T_1+T_2)S,
$$
$$
S(T_1T_2)\subset T_1ST_2\subset (T_1T_2)S
$$
であるから成り立つ。
*$(3)$　任意の $S\in \mathcal{M}', u\in D(T),v\in D(T^*)$ を取る。$S^*T\subset TS^*$ より$S^*Tu=TS^*u$ なので、
$$
(u\mid ST^*v)=(S^*u\mid T^*v)=(TS^*u\mid v)=(S^*Tu\mid v)=(Tu\mid Sv),
$$
よって $Sv\in D(T^*)$ であり、$(u\mid ST^*v)=(u\mid T^*Sv)$ である。これより $ST^*v=T^*Sv$ であるから $ST^*\subset T^*S$ である。ゆえに $T^*\in \widetilde{\mathcal{M}}$ である。
*$(4)$　任意の $S\in \mathcal{M}', v\in D(\overline{T})$ を取る。$D(T)$ の点列 $(v_n)_{n\in \mathbb{N}}$ で $\lim_{n\rightarrow\infty}(v_n,Tv_n)=(v,\overline{T}v)$ なるものを取ると、$ST\subset TS$と$\lim_{n\rightarrow\infty}Sv_n=Sv$　より、
$$
S\overline{T}v=\lim_{n\rightarrow\infty}STv_n
=\lim_{n\rightarrow\infty}TSv_n=\overline{T}Sv
$$
である。よって $S\overline{T}\subset \overline{T}S$ であるから $\overline{T}\in \widetilde{\mathcal{M}}$ である。
*$(5)$　任意の $S\in \mathcal{M}'$ を取る。任意の $v\in D(T^{-1})={\rm Ran}(T)$ に対し、$u=T^{-1}v\in D(T)$ とおけば $STu=TSu$ であるから、
$$
ST^{-1}v=Su=T^{-1}TSu=T^{-1}STu=T^{-1}Sv
$$
である。よって $ST^{-1}\subset T^{-1}S$ であるから $T^{-1}\in \widetilde{\mathcal{M}}$ である。
{{end|proof}}

===定理19.4（von Neumann環とBorel汎関数計算、極分解）===
Hilbert空間 $\mathcal{H}$ 上のvon Neumann環 $\mathcal{M}\subset \mathbb{B}(\mathcal{H})$ にアフィリエイトする線形作用素全体 $\widetilde{\mathcal{M}}$ について次が成り立つ。
*$(1)$　$T\in {\cal M}$ が正規作用素ならば任意のBorel関数 $f\colon \sigma(T)\rightarrow\mathbb{C}$ に対し $f(T)\in \widetilde{\mathcal{M}}$.
*$(2)$　$T\in \widetilde{\mathcal{M}}$ が自己共役作用素ならば任意のBorel関数 $f\colon \sigma(T)\rightarrow\mathbb{C}$ に対し $f(T)\in \widetilde{\mathcal{M}}$.
*$(3)$　$T\in \widetilde{\mathcal{M}}$ が稠密に定義された閉線形作用素ならば $T$ の極分解（'''定理9.4'''） $T=V\lvert T\rvert$ に対し $V\in \mathcal{M}, \lvert T\rvert\in \widetilde{\mathcal{M}}$.
{{begin|proof}}
*$(1)$　$T$ のスペクトル測度を $E^T\colon \mathcal{B}_{\sigma(T)}\rightarrow \mathbb{P}(\mathcal{H})$ とする。任意の連続関数 $f\in C(\sigma(T))$ に対し、
$$
f(T)=\int_{\sigma(T)}f(\lambda)dE^T(\lambda)\in C^*(\{1,T\})\subset \mathcal{M}
$$
であるから、任意の $S\in \mathcal{M}', u,v\in \mathcal{H}$ に対し、
$$
\int_{\sigma(T)}f(\lambda)dE^T_{S^*u,v}(\lambda)=\left(S^*u\mid f(T)v\right)
=(u\mid f(T)Sv)=\int_{\sigma(T)}f(\lambda)dE^T_{u,Sv}(\lambda)
$$
である。よってRiesz-Markov-角谷の表現定理（[[測度と積分7：局所コンパクトHausdorff空間上のRadon測度]]の'''定理34.1'''）より、
$$
(u\mid SE^T(B)v)=(S^*u\mid E^T(B)v)=E^T_{S^*u,v}(B)=E^T_{u,Sv}(B)=(u\mid E^T(B)Sv)\quad(\forall B\in \mathcal{B}_{\sigma(T)})
$$
である。これより任意の $B\in \mathcal{B}_{\sigma(T)}$ に対し $E^T(B)\in \mathcal{M}' '=\mathcal{M}$ であるから、任意のBorel単関数 $f\colon \sigma(T)\rightarrow\mathbb{C}$ に対し、
$$
f(T)=\int_{\sigma(T)}f(\lambda)dE^T(\lambda)\in \mathcal{M}\quad\quad(*)
$$
が成り立つ。有界Borel関数はBorel単関数の列によって一様近似できる（[[測度と積分5：$L^p$ 空間の完備性と双対性]]の'''命題22.2'''）ので、$(*)$ は任意の有界Borel関数 $f\colon \sigma(T)\rightarrow\mathbb{C}$ に対しても成り立つ。そこで今、任意のBorel関数 $f\colon \sigma(T)\rightarrow\mathbb{C}$ に対し $f_n\colon=f\chi_{(\lvert f\rvert\leq n)}$ として有界Borel関数の列 $(f_n)_{n\in \mathbb{N}}$ を定義すると、$f_n(T)\in \mathcal{M}$ $(\forall n\in\mathbb{N})$ であり、任意の $v\in D(f(T))$ に対しLebesgue優収束定理より、
$$
\lVert f(T)v-f_n(T)v\rVert^2=\int_{\sigma(T)}\lvert f(\lambda)-f_n(\lambda)\rvert^2dE^T_{v,v}(\lambda)\rightarrow0\quad(n\rightarrow\infty)
$$
であるから、任意の $S\in \mathcal{M}'$ に対し、
$$
Sf(T)v=\lim_{n\rightarrow\infty}Sf_n(T)v=\lim_{n\rightarrow\infty}f_n(T)Sv=\lim_{n\rightarrow\infty}f(T)E^T((\lvert f\rvert\leq n))Sv=f(T)Sv
$$
である。ただし最後の等号において $f(T)$ が閉線形作用素であることと、$\lim_{n\rightarrow\infty}E^T((\lvert f\rvert\leq n))v=v$ であることを用いた。よって任意の $S\in \mathcal{M}'$ に対し $Sf(T)\subset f(T)S$ であるから $f(T)\in \widetilde{\mathcal{M}}$ である。
*$(2)$　$T$ のCayley変換 $C(T)=(T-i)(T+i)^{-1}$ はユニタリ作用素であり（'''定理4.6'''）、'''命題19.3'''より $C(T)\in\mathcal{M}$ である。'''定理8.3'''の証明より任意のBorel関数 $f\colon \sigma(T)\rightarrow\mathbb{C}$ に対し、
$$
f(T)=\int_{\sigma(C(T))\backslash \{1\}}f(C^{-1}(\lambda))dF^{C(T)}(\lambda)
$$
であるから、$(1)$ より $f(T)\in \widetilde{\mathcal{M}}$ である。
*$(3)$　'''命題19.3'''より $T^*T\in \widetilde{\mathcal{M}}$ であるから、$(2)$ より $\lvert T\rvert=\sqrt{T^*T}\in \widetilde{\mathcal{M}}$ である。よって任意の $S\in \mathcal{M}'$ に対し、
$$
S\lvert T\rvert v=\lvert T\rvert Sv\quad(\forall v\in D(\lvert T\rvert))
$$
であるから、
$$
S(\overline{{\rm Ran}(\lvert T\rvert)})\subset \overline{{\rm Ran}(\lvert T\rvert)}
$$
である。そして $V^*V$ は $\overline{{\rm Ran}(\lvert T\rvert)}$ の上への射影作用素であるから、
$$
SV^*V=V^*VSV^*V\quad(\forall S\in \mathcal{M}')
$$
である。これより、
$$
SV^*V=V^*VSV^*V=(V^*VS^*V^*V)^*=(S^*V^*V)^*=V^*VS\quad(\forall S\in \mathcal{M}')
$$
であるので $V^*V\in \mathcal{M}' '=\mathcal{M}$ である。また任意の $S\in \mathcal{M}'$ に対し、
$$
SV\lvert T\rvert v=STv=TSv=V\lvert T\rvert Sv=VS\lvert T\rvert v\quad(\forall v\in D(\lvert T\rvert))
$$
であるから、${\rm Ran}(V^*V)=\overline{{\rm Ran}(\lvert T\rvert)}$ 上で $SV=VS$ が成り立つので、
$$
SV=SVV^*V=VSV^*V=VV^*VS=VS
$$
である。よって $V\in \mathcal{M}' '=\mathcal{M}$ である。
{{end|proof}}

===定義19.5（von Neumann環 $\mathcal{M}$ の射影全体 $\mathbb{P}(\mathcal{M})$）===
von Neumann環 $\mathcal{M}$ の射影全体を $\mathbb{P}(\mathcal{M})$ と表す。

===定義19.6（非負値係数の線形結合全体）===
線形空間 $V$ の空でない部分集合 $D$ に対し、
$$
{\rm span}_+(D)\colon=\left\{\sum_{j=1}^{n}\alpha_jv_j:n\in\mathbb{N},\alpha_1,\ldots,\alpha_n\in [0,\infty),v_1,\ldots,v_n\in D\right\}
$$
と定義する。

===定理19.7（von Neumann環は射影によって生成される）===
$\mathcal{M}\subset \mathbb{B}(\mathcal{H})$ をvon Neumann環とする。このとき次が成り立つ。
*$(1)$　$\mathcal{M}_+=\overline{{\rm span}_+(\mathbb{P}(\mathcal{M}))}^{\lVert \cdot\rVert}$.
*$(2)$　任意の $P\in \mathbb{P}(\mathcal{M})$ に対し $P\mathcal{M}_+P=\overline{{\rm span}_+\{Q\in \mathbb{P}(\mathcal{M}):Q\leq P\}}^{\lVert \cdot\rVert}$.
{{begin|proof}}
*$(1)$　任意の $T\in \mathbb{B}(\mathcal{H})_+$ を取る。${\rm id}\colon \sigma(T)\ni \lambda\mapsto \lambda\in [0,\infty)$ は非負値有界Borel関数なので、$\sigma(T)$ 上の非負値Borel単関数の列 $(s_n)_{n\in \mathbb{N}}$ で ${\rm id}$ に一様収束するものが取れる（[[測度と積分5：$L^p$ 空間の完備性と双対性]]の'''命題22.2'''）。'''定理19.4'''より、
$$
s_n(T)\in {\rm span}_+\mathbb{P}(\mathcal{M})\quad(\forall n\in \mathbb{N})
$$
であり、
$$
\lVert T-s_n(T)\rVert\leq \sup_{\lambda\in \sigma(T)}\lvert \lambda-s_n(\lambda)\rvert\rightarrow0\quad(n\rightarrow\infty)
$$
であるから、$T=\lim_{n\rightarrow\infty}s_n(T)\in \overline{{\rm span}_+\mathbb{P}(\mathcal{M})}^{\lVert \cdot\rVert}$ である。
*$(2)$　$P=0$ ならば自明なので $P>0$ とする。
$$
\Phi\colon P\mathbb{B}(\mathcal{H})P\ni PTP\mapsto PTP|_{{\rm Ran}(P)}\in \mathbb{B}({\rm Ran}(P))
$$
は等長 $*$-環同型写像である。そしてネットによる連続性の特徴付け（[[ネットによる位相空間論]]の'''定理3'''）により $\Phi$ はWOTに関して同相写像であることが分かる。$P\in \mathbb{P}(\mathcal{M})$ であることとネットによる閉包の特徴付け（[[ネットによる位相空間論]]の'''命題2.4'''）より、$P\mathcal{M}P$ は $P\mathbb{B}(\mathcal{H})P$ のWOT閉部分 $*$-環なので、 $\Phi(P\mathcal{M}P)$ は $\mathbb{B}({\rm Ran}(P))$ のWOT閉部分 $*$-環である。また $\Phi(P)\in \Phi(P\mathcal{M}P)$ は ${\rm Ran}(P)$ 上の恒等作用素なので、$\Phi(P\mathcal{M}P)$ は ${\rm Ran}(P)$ 上のvon Neumann環である。そして $\Phi$ が $*$-環同型写像であることから、
$$
\Phi(P\mathcal{M}_+P)=\Phi((P\mathcal{M}P)_+)=\Phi(P\mathcal{M}P)_+
$$
であり、
$$
\mathbb{P}(\Phi(P\mathcal{M}P))=\{\Phi(Q):Q\in \mathbb{P}(\mathcal{M}),Q\leq P\}
$$
であるので、$(1)$ より、
$$
\Phi(P\mathcal{M}_+P)=\overline{{\rm span}_+\{\Phi(Q):Q\leq \mathbb{P}(\mathcal{M}),Q\leq P\}}^{\Vert \cdot\rVert}
$$
である。よって $\Phi$ の等長性より、
$$
P\mathcal{M}_+P=\overline{{\rm span}_+\{Q\in \mathbb{P}(\mathbb{M}):Q\leq P\}}^{\lVert \cdot\rVert}
$$
が成り立つ。
{{end|proof}}

== 20. Hilbert空間上の有界とは限らない反線形作用素の基本的性質 ==

=== 定義20.1（Hilbert空間上の有界とは限らない反線形作用素） ===
$\mathcal{H},\mathcal{K}$ をHilbert空間とする。$T$ が $\mathcal{H}$ から $\mathcal{K}$ への反線形作用素<ref>反線形写像については[[位相線形空間1：ノルムと内積]]の'''定義6.3'''を参照。</ref>であると言うとき、$T$ は $\mathcal{H}$ 全体で定義されているとは限らず、$\mathcal{H}$ のある線形部分空間 $D(T)$ 上で定義され、$\mathcal{K}$ に値を取る反線形作用素であることを意味することとする。$D(T)\subset \mathcal{H}$ を $T$ の定義域、${\rm Ran}(T)=T(D(T))\subset \mathcal{K}$ を $T$ の値域と言う。そして直和Hilbert空間の部分集合
$$
G(T)\colon=\{(v,Tv)\in \mathcal{H}\oplus \mathcal{K}:v\in D(T)\}
$$
を $T$ のグラフと言う。 
Hilbert空間 $\mathcal{H}$ からHilbert空間 $\mathcal{H}$ への反線形作用素のことを単にHilbert空間 $\mathcal{H}$ 上の反線形作用素と言う。

=== 定義20.2（稠密に定義された反線形作用素、閉反線形作用素） ===
$T$ をHilbert空間 $\mathcal{H}$ からHilbert空間 $\mathcal{K}$ への反線形作用素とする。$T$ が稠密に定義されているとは、$D(T)$ が $\mathcal{H}$ で稠密であることを言う。また $T$ が閉であるとは $T$ のグラフ $G(T)$ が $\mathcal{H}\oplus \mathcal{K}$ において閉であることを言う。

=== 定義20.3（反線形作用素の包含関係） ===
$S,T$ をそれぞれHilbert空間 $\mathcal{H}$ から $\mathcal{K}$ への反線形作用素とする。
$$
S\subset T\quad \iff\quad G(S)\subset G(T)
$$
と定義する。これを $T$ は $S$ を包含する（$S$ は $T$ に包含される）と言う。明らかにこの包含関係は $\mathcal{H}$ から $\mathcal{K}$ への反線形作用素全体における順序である。

=== 定義20.4（単射反線形作用素の逆作用素） ===
$T$ をHilbert空間 $\mathcal{H}$ からHilbert空間 $\mathcal{K}$ への単射反線形作用素とする。このとき $D(T)\ni v\mapsto Tv\in {\rm Ran}(T)$ の逆写像として定義される $\mathcal{K}$ から $\mathcal{H}$ への反線形作用素を、
$$
T^{-1}\colon D(T^{-1})\colon={\rm Ran}(T)\ni Tv\mapsto v\in \mathcal{H}
$$
と表す。

=== 定義20.5（反線形作用素の和、スカラー倍、積） ===
$S,T$ をHilbert空間 $\mathcal{H}$ から $\mathcal{K}$ への反線形作用素とする。このとき $\mathcal{H}$ から $\mathcal{K}$ への反線形作用素 $S+T$ を、
$$
S+T\colon D(S+T)\colon=D(S)\cap D(T)\ni v\mapsto Sv+Tv\in \mathcal{K}
$$
と定義する。また $\alpha\in \mathbb{C}$ に対し $\mathcal{H}$ から $\mathcal{K}$ への反線形作用素 $\alpha T$ を、
$$
\begin{aligned}
&\alpha T\colon D(\alpha T)\colon=D(T)\ni v\mapsto \alpha Tv\in \mathcal{K}\quad(\alpha\neq0\text{ の場合 }),\\
&\alpha T\colon D(\alpha T)\colon=\mathcal{H}\ni v\mapsto 0\in \mathcal{K}\quad(\alpha=0\text{ の場合 })
\end{aligned}
$$
と定義する。 
$\mathcal{H},\mathcal{K},\mathcal{L}$ をそれぞれHilbert空間とし、$T$ を $\mathcal{H}$ から $\mathcal{K}$ への（反）線形作用素、$S$ を $\mathcal{K}$ から $\mathcal{L}$ への（反）線形作用素とする。このとき $\mathcal{H}$ から $\mathcal{L}$ への（反）線形作用素 $ST$ を、
$$
ST\colon D(ST)\colon=\{v\in D(T):Tv\in D(S)\}\ni v\mapsto STv\in \mathcal{L}
$$
と定義する（$S,T$ が共に反線形作用素ならば $ST$ は線形作用素であり、$S,T$ のうち一方が反線形作用素でもう一方が線形作用素ならば $ST$ は反線形作用素である）。

=== 定義20.6（稠密に定義された反線形作用素の共役作用素） ===
$T$ をHilbert空間 $\mathcal{H}$ からHilbert空間 $\mathcal{K}$ への稠密に定義された反線形作用素とする。$\mathcal{K}$ の線形部分空間
$$
D\colon=\{v\in \mathcal{K}: D(T)\ni u\mapsto (v\mid Tu)\in \mathbb{C}\text{ は有界反線形汎関数 }\}
$$
を考える。任意の $v\in D$ に対し、有界反線形汎関数 $D(T)\ni u\mapsto (v\mid Tu)\in \mathbb{C}$ は $\mathcal{H}=\overline{D(T)}$ 上の有界線形汎関数に一意拡張できる<ref>[[位相線形空間1：ノルムと内積]]の'''命題3.6'''と全く同様にして示すことができる。</ref>から、Rieszの定理（[[位相線形空間1：ノルムと内積]]の'''定理6.13'''）より、$T^*v\in \mathcal{H}$ で、
$$
(v\mid Tu)=(u\mid T^*v)\quad(\forall u\in D(T))
$$
を満たすものが定まる。こうして定義される $\mathcal{K}$ から $\mathcal{H}$ への反線形作用素
$$
T^*\colon D(T^*)\colon=D\ni v\mapsto T^*v\in \mathcal{H}
$$
を $T$ の共役作用素と言う。

=== 定義20.7（可閉反線形作用素とその閉包） ===
$T$ をHilbert空間 $\mathcal{H}$ からHilbert空間 $\mathcal{K}$ への反線形作用素とする。$T$ を包含する閉反線形作用素が存在するとき、$T$ は可閉であると言う。
$T$ を $\mathcal{H}$ から $\mathcal{K}$ への可閉反線形作用素とする。
$$
\pi\colon\mathcal{H}\oplus \mathcal{K}\ni (v,w)\mapsto v\in \mathcal{H}
$$
に対し、線形部分空間
$$
D\colon=\pi(\overline{G(T)})\subset \mathcal{H}
$$
を定義する。このとき任意の $v\in D$ に対し $(v,w)\in \overline{G(T)}$ を満たす $w\in \mathcal{K}$ は唯一つである。実際、$T$ が可閉であることから $T\subset S$ を満たす閉反線形作用素が存在し、$\overline{G(T)}\subset G(S)$ であるから、 $(v,w_1),(v,w_2)\in \overline{G(T)}$ ならば $w_1=Sv=w_2$ である。そこで任意の $v\in D$ に対し $(v,w)\in \overline{G(T)}$ として定まる $w$ に対し $w\colon=\overline{T}v$ とおき、反線形作用素
$$
\overline{T}\colon D(\overline{T})\colon=D\ni v\mapsto \overline{T}\in \mathcal{K}
$$
を定義する。このとき明らかに $G(\overline{T})=\overline{G(T)}$ である。閉反線形作用素 $\overline{T}$ を可閉反線形作用素 $T$ の閉包と言う。$\overline{T}$ は $T$ を包含する反閉線形作用素の中で最小のものとして特徴付けられる。

=== 定義20.8（閉反線形作用素の芯） ===
$T$ をHilbert空間 $\mathcal{H}$ から Hilbert空間 $\mathcal{K}$ への閉反線形作用素とする。線形部分空間 $D\subset D(T)$ で、
$$
\overline{T|_D}=T
$$
を満たすものを $T$ の芯と言う。ただし $T|_D$ は $T$ の $D$ 上への制限である。

=== 命題20.9（Hilbert空間上の有界とは限らない反線形作用素の基本的性質） ===
$\mathcal{H},\mathcal{K},\mathcal{L}$ をそれぞれHilbert空間とする。
*$(1)$　$T_1,T_2$ を $\mathcal{H}$ から $\mathcal{K}$ への（反）線形作用素、$S$ を $\mathcal{K}$ から $\mathcal{L}$ への（反）線形作用素とする。このとき、
$$
S(T_1+T_2)\supset ST_1+ST_2
$$
が成り立つ。また、$T$ を $\mathcal{H}$ から $\mathcal{K}$ への（反）線形作用素、$S_1,S_2$ を $\mathcal{K}$ から $\mathcal{L}$ への（反）線形作用素とすると、
$$
(S_1+S_2)T=S_1T+S_2T
$$
が成り立つ。
*$(2)$　$T$ を $\mathcal{H}$ から $\mathcal{K}$ への(反)線形作用素、$S$ を $\mathcal{K}$ から $\mathcal{L}$ への反線形作用素とし、$\alpha\in \mathbb{C}\backslash \{0\}$ とすると、
$$
S(\alpha T)=(\overline{\alpha} S)T=\overline{\alpha}(ST)
$$
が成り立つ。
*$(3)$　$T$ を $\mathcal{H}$ から $\mathcal{K}$ への単射（反）線形作用素とし、$S$ を $\mathcal{K}$ から $\mathcal{L}$ への単射（反）線形作用素とすると、$ST$ は $\mathcal{H}$ から $\mathcal{L}$ への単射（反）線形作用素であり、
$$
(ST)^{-1}=T^{-1}S^{-1}
$$
が成り立つ。
*$(4)$　$T$ を $\mathcal{H}$ から $\mathcal{K}$ への稠密に定義された反線形作用素とし、$\alpha\in \mathbb{C}\backslash \{0\}$ とすると、
$$
(\alpha T)^*=\alpha T^*
$$
が成り立つ。
*$(5)$　$T$ を $\mathcal{H}$ から $\mathcal{K}$ への稠密に定義された反線形作用素とすると、
$$
({\rm Ran}(T))^{\perp}={\rm Ker}(T^*)
$$
が成り立つ。
*$(6)$　$T$ を $\mathcal{H}$ から $\mathcal{K}$ への稠密に定義された反線形作用素とすると、$T^*$ は $\mathcal{K}$ から $\mathcal{H}$ への閉反線形作用素である。
*$(7)$　$S,T$ を $\mathcal{H}$ から $\mathcal{K}$ への稠密に定義された反線形作用素とし、$S\subset T$ であるとすると、$T^*\subset S^*$ が成り立つ。
*$(8)$　$T$ を $\mathcal{H}$ から $\mathcal{K}$ への稠密に定義された可閉反線形作用素とすると、$(\overline{T})^*=T^*$ が成り立つ。
*$(9)$　$T$ を $\mathcal{H}$ から $\mathcal{K}$ への稠密に定義された（反）線形作用素、$S$ を $\mathcal{K}$ から $\mathcal{L}$ への稠密に定義された（反）線形作用素とし、$ST$ が $\mathcal{H}$ から $\mathcal{L}$ への稠密に定義された（反）線形作用素であるとすると、
$$
(ST)^*\supset T^*S^*
$$
が成り立つ。またもし $S\colon \mathcal{K}\rightarrow \mathcal{L}$ が有界ならば、
$$
(ST)^*=T^*S^*
$$
が成り立つ。
*$(10)$　$S,T$ を $\mathcal{H}$ から $\mathcal{K}$ への稠密に定義された反線形作用素とし、$S+T$ も $\mathcal{H}$ から $\mathcal{K}$ への稠密に定義された反線形作用素であるとすると、
$$
(S+T)^*\supset S^*+T^*
$$
が成り立つ。またもし $S\colon \mathcal{K}\rightarrow \mathcal{L}$ が有界反線形作用素であれば、
$$
(S+T)^*=S^*+T^*
$$
が成り立つ。
{{begin|proof}}
'''命題3.9'''の証明と全く同様である。
{{end|proof}}

=== 定義20.10（実化Hilbert空間）===
$\mathcal{H}$ を $\mathbb{C}$ 上のHilbert空間とする。$\mathcal{H}$ を $\mathbb{R}$ 上の線形空間とみなしたものを $\mathcal{H}_{\mathbb{R}}$ と表すと、
$$
\mathcal{H}_{\mathbb{R}}\times \mathcal{H}_{\mathbb{R}}\ni (u,v)\mapsto {\rm Re}(u\mid v)\in \mathbb{R}
$$
は $\mathcal{H}_{\mathbb{R}}$ 上の内積であり、この内積により $\mathcal{H}_{\mathbb{R}}$ は $\mathbb{R}$ 上のHilbert空間となる。この $\mathbb{R}$ 上のHilbert空間 $\mathcal{H}_{\mathbb{R}}$ を $\mathcal{H}$ の実化Hilbert空間と言う。任意の $E\subset \mathcal{H}=\mathcal{H}_{\mathbb{R}}$ に対し、$E$ の実化Hilbert空間 $\mathcal{H}_{\mathbb{R}}$ における直交補空間を、
$$
E_{\mathbb{R}}^{\perp}\colon=\{v\in \mathcal{H}:\forall u\in E, {\rm Re}(u\mid v)=0\}
$$
と表す。

=== 定理20.11（稠密に定義された閉反線形作用素の性質） ===
$T$ をHilbert空間 $\mathcal{H}$ からHilbert空間 $\mathcal{K}$ への稠密に定義された閉反線形作用素とする。このとき、
*$(1)$　$D(T^*T)$ は $T$ の芯であり、$1+T^*T\colon D(T^*T)\rightarrow\mathcal{H}$ は全単射である。
*$(2)$　$T^*$ は $\mathcal{K}$ から $\mathcal{H}$ への稠密に定義された閉反線形作用素である。
*$(3)$　$T^{**}=T$ が成り立つ。
*$(4)$　$T^*T$ は自己共役作用素である。
{{begin|proof}}
*$(1)$　$G(T)$ は実化Hilbert空間 $(\mathcal{H}\oplus \mathcal{K})_{\mathbb{R}}$ の閉部分空間であるので $(\mathcal{H}\oplus \mathcal{K})_{\mathbb{R}}$ の内積により $\mathbb{R}$ 上のHilbert空間である。$\mathbb{R}$上のHilbert空間 $G(T)$ から $\mathbb{R}$ 上のHilbert空間 $\mathcal{H}_{\mathbb{R}}$ への有界線形作用素
$$
\pi\colon G(T)\ni (v,Tv)\mapsto v\in \mathcal{H}_{\mathbb{R}}
$$
を考える。$\pi$ は単射であるから [[位相線形空間1：ノルムと内積]]の'''命題7.4'''より、
$$
(\pi^*(\mathcal{H}_{\mathbb{R}}))^{\perp}={\rm Ker}(\pi)=\{0\}
$$
である。よって、
$$
\overline{\pi^*(\mathcal{H}_{\mathbb{R}})}=( (\pi^*(\mathcal{H}_{\mathbb{R}}))^{\perp})^{\perp}=\{0\}^{\perp}=G(T)
$$
である（[[位相線形空間1：ノルムと内積]]の'''命題6.12'''）。そこで、
$$
D\colon=\pi(\pi^*(\mathcal{H}_{\mathbb{R}}))\subset D(T)
$$
とおけば $G(T|_D)=\pi^*(\mathcal{H}_{\mathbb{R}})$ であるから、
$$
\overline{G(T|_D)}=\overline{\pi^*(\mathcal{H})}=G(T)
$$
である。今、任意の $v=\pi(\pi^*(w))\in \pi(\pi^*(\mathcal{H}_{\mathbb{R}}))=D$ を取る。このとき $\pi^*(w)=(v,Tv)$ であるから、任意の $u\in D(T)$ に対し、
$$
{\rm Re}(u\mid v)+{\rm Re}(Tu\mid Tv)={\rm Re}( (u,Tu)\mid (v,Tv))={\rm Re}((u,Tu)\mid \pi^*(w))={\rm Re}(u\mid w)\quad\quad(*)
$$
である。そして $T$ の反線形性より任意の $u\in D(T)$ に対し $(*)$ において $u$ を $iu$ に置き換えたものを考えれば、
$$
{\rm Im}(u\mid v)+{\rm Im}(Tv\mid Tu)={\rm Im}(u\mid w)\quad\quad(**)
$$
を得る。よって $(*),(**)$ を合わせると、
$$
(u\mid v)+(Tv\mid Tu)=(u\mid w)\quad(\forall u\in D(T))
$$
となるから、$v\in D(T^*T)$, $w=(1+T^*T)v$ である。これより $D\subset D(T^*T)$ であるから $G(T)=\overline{G(T|_{D})}=\overline{G(T|_{D(T^*T)})}$ より $D(T^*T)$ は $T$ の芯であり、また $w\in {\cal H}$ の任意性より $\mathcal{H}={\rm Ran}(1+T^*T)$ である。後は $1+T^*T$ が単射であることを示せばよい。そこで任意の $v\in {\rm Ker}(1+T^*T)$ を取る。
$$
0=(v\mid (1+T^*T)v)=(v\mid v)+(v\mid T^*Tv)=\lVert v\rVert^2+\lVert Tv\rVert^2
$$
であるから $v=0$ である。ゆえに $1+T^*T$ は単射である。
*$(2)$　$(1)$ より $D(T^*T)$ は $T$ の芯であるから任意の $v\in D(T)$ に対し $D(T^*T)$ の列 $(v_n)_{n\in \mathbb{N}}$ で、
$$
(v_n,Tv_n)\rightarrow (v,Tv)\quad(n\rightarrow\infty)
$$
なるものが取れる。よって、
$$
Tv=\lim_{n\rightarrow\infty}Tv_n\in \overline{D(T^*)}
$$
であるから、
$$
{\rm Ran}(T)\subset \overline{D(T^*)}
$$
が成り立つ。これと'''命題20.9'''の $(5)$ より、
$$
(D(T^*))^{\perp}=(\overline{D(T^*)})^{\perp}\subset ({\rm Ran}(T))^{\perp}={\rm Ker}(T^*)\subset D(T^*)
$$
であるから $(D(T^*))^{\perp}=\{0\}$ である。よって
$$
\overline{D(T^*)}=( (D(T^*))^{\perp})^{\perp}=\{0\}^{\perp}=\mathcal{K}
$$
であるから $T^*$ は稠密に定義された反線形作用素である。$T^*$ が閉であることは'''命題10.9'''の $(6)$ による。
*$(3)$　
$$
(u\mid T^*v)=(v\mid Tu)\quad(\forall v\in D(T^*),\forall u\in D(T))
$$
であるから $T\subset T^{**}$ である。同様に $T^*\subset T^{***}$ である。ここで $T\subset T^{**}$ と'''命題20.9'''の $(7)$ より $T^{***}\subset T^*$ であるので $T^*=T^{***}$ である。$T=T^{**}$ を示すには $\mathbb{R}$ 上のHilbert空間 $G(T^{**})\subset (\mathcal{H}\oplus \mathcal{K})_{\mathbb{R}}$ における閉部分空間 $G(T)$ の直交補空間 $G(T^{**})\cap (G(T))_{\mathbb{R}}^{\perp}$ が $\{0\}$ であることを示せばよい。そこで任意の $(v,T^{**}v)\in G(T^{**})\cap (G(T))_{\mathbb{R}}^{\perp}$ を取る。
$$
0={\rm Re}( (u,Tu)\mid (v,T^{**}v))={\rm Re}(u\mid v)+{\rm Re}(Tu\mid T^{**}v)\quad(\forall u\in D(T))
$$
であり、$T$ の反線形性より、
$$
0={\rm Im}(u\mid v)+{\rm Im}(T^{**}v\mid Tu)\quad(\forall u\in D(T))
$$
であるから、
$$
0=(u\mid v)+(T^{**}v\mid Tu)\quad(\forall u\in D(T))
$$
である。よって、
$$
v\in D(T^*T^{**})=D(T^{***}T^{**})
$$
であり、
$$
0=(1+T^*T^{**})v=(1+T^{***}T^{**})v
$$
である。$T^{**}$ は稠密に定義された閉線形作用素であるので $(1)$ より $1+T^{***}T^{**}$ は単射である。よって $v=0$、したがって $(v,T^{**}v)=0$ であるので $G(T^{**})\cap (G(T))_{\mathbb{R}}^{\perp}=\{0\}$ である。ゆえに $T=T^{**}$ である。
*$(4)$　$(1)$ より $T^*T$ は稠密に定義された線形作用素であり、
$$
(u\mid T^*Tv)=(Tv\mid Tu)=(T^*Tu\mid v)\quad(\forall u,v\in D(T^*T))
$$
であるから $T^*T\subset (T^*T)^*$ である。$T^*T=(T^*T)^*$ を示すには $D( (T^*T)^*)\subset D(T^*T)$ を示せばよい。任意の $w\in D( (T^*T)^*)=D( (1+T^*T)^*)$ を取る。$(1)$ より ${\rm Ran}(1+T^*T)=\mathcal{H}$ であるから、
$$
(1+T^*T)^*w=(1+T^*T)v
$$
なる $v\in D(T^*T)$ が取れる。 $1+T^*T\subset (1+T^*T)^*$ なので、
$$
(1+T^*T)^*(w-v)=0
$$
である。よって'''命題20.9'''の $(5)$ より、
$$
w-v\in {\rm Ker}( (1+T^*T)^*)=({\rm Ran}(1+T^*T))^{\perp}=\mathcal{H}^{\perp}=\{0\}
$$
である。ゆえに $w=v\in D(T^*T)$ であるので $D( (T^*T)^*)\subset D(T^*T)$ である。よって $T^*T=(T^*T)^*$ である。
{{end|proof|}}

===定義20.12（稠密に定義された閉反線形作用素の絶対値作用素）===
$T$ をHilbert空間 $\mathcal{H}$ 上の閉反線形作用素とする。このとき'''定理20.11'''より $T^*T$ は $\mathcal{H}$ 上の自己共役作用素であり、
$$
(v\mid T^*Tv)=(Tv\mid Tv)=\lVert Tv\rVert^2\geq0\quad(\forall v\in D(T^*T))
$$
であるから、'''命題8.10'''より $T^*T$ は非負自己共役作用素である。そこで $\mathcal{H}$ 上の非負自己共役作用素
$$
\lvert T\rvert\colon=\sqrt{T^*T}
$$
を定義する。これを $T$ の絶対値作用素と言う。

===定義20.13（反線形部分等長作用素、反線形ユニタリ作用素、共役子）===
$\mathcal{H}$ をHilbert空間とする。有界反線形作用素 $V\colon\mathcal{H}\rightarrow \mathcal{H}$ で $V^*V$ が射影作用素であるものを $\mathcal{H}$ 上の反線形部分等長作用素と言う。 
有界反線形作用素 $U\colon \mathcal{H}\rightarrow\mathcal{H}$ で $U^*U=UU^*=1$ を満たすものを $\mathcal{H}$ 上の反線形ユニタリ作用素と言う。 
有界反線形作用素 $J\colon\mathcal{H}\rightarrow\mathcal{H}$ で $J^*=J$, $J^2=1$ を満たすものを $\mathcal{H}$ 上の共役子と言う。

===命題20.14（反線形部分等長作用素の基本性質）===
$\mathcal{H}$ をHilbert空間、$V\colon\mathcal{H}\rightarrow\mathcal{H}$ を反線形部分等長作用素とする。このとき $V=VV^*V$ が成り立ち、$V^*\colon\mathcal{H}\rightarrow\mathcal{H}$ も反線形部分等長作用素である
{{begin|proof}}
まず任意の有界反線形作用素 $T\colon\mathcal{H}\rightarrow\mathcal{H}$ に対し、
$$
\lVert T\rVert^2=\sup\{\lVert Tv\rVert^2:v\in \mathcal{H},\lVert v\rVert\leq1\}
=\sup\{(v\mid T^*Tv):v\in \mathcal{H},\lVert v\rVert\leq1\}\leq \lVert T^*T\rVert\leq\lVert T^*\rVert\lVert T\rVert
$$
であるから、$\lVert T\rVert\leq \lVert T^*\rVert\leq \lVert T\rVert$であり、$\lVert T\rVert^2=\lVert T^*T\rVert$ が成り立つ。よって、
$$
\lVert V(1-V^*V)\rVert^2=\lVert (1-V^*V)V^*V(1-V^*V)\rVert=0
$$
であるから、$V=VV^*V$ が成り立ち、$VV^*=VV^*VV^*$ であるから、$VV^*$ は射影作用素である。ゆえに $V^*$ は反線形部分等長作用素である。
{{end|proof}}

===命題20.15（反線形部分等長作用素の特徴付け）===
$\mathcal{H}$ をHilbert空間、$V\colon\mathcal{H}\rightarrow\mathcal{H}$ を有界反線形作用素とする。このとき次は互いに同値である。
*$(1)$　$V$ は反線形部分等長作用素である。
*$(2)$　$\mathcal{H}$ の閉部分空間 $\mathcal{K}$ が存在し、
$$
\lVert Vv\rVert=\lVert v\rVert\quad(\forall v\in \mathcal{K}),\quad {\rm Ker}(V)=\mathcal{K}^{\perp}
$$
が成り立つ。 
そして $(1),(2)$ が成り立つとき $V^*V$ は $\mathcal{K}$ の上への射影作用素（${\rm Ran}(V^*V)=\mathcal{K}$）である。
{{begin|proof}}
$(1)\Rightarrow(2)$ を示す。$(1)$ が成り立つとする。$V^*V$ は射影作用素であるから $\mathcal{K}={\rm Ran}(V^*V)$ は $\mathcal{H}$ の閉部分空間であり、任意の $v\in \mathcal{K}$ に対し、
$$
\lVert Vv\rVert^2=(Vv\mid Vv)=(v\mid V^*Vv)=(v\mid v)=\lVert v\rVert^2
$$
であり、任意の $v\in \mathcal{K}^{\perp}$ に対し、
$$
\lVert Vv\rVert^2=(Vv\mid Vv)=(v\mid V^*Vv)=0
$$
である。よって、
$$
\lVert Vv\rVert=\lVert v\rVert\quad(\forall v\in \mathcal{K}),\quad \mathcal{K}^{\perp}\subset {\rm Ker}(V)
$$
である。任意の $v\in {\rm Ker}(V)$ に対し、
$$
v=v_1+v_2\in \mathcal{K}\oplus \mathcal{K}^{\perp}=\mathcal{H}
$$
と直交分解すると、$\lVert Vv_1\rVert=\lVert v_1\rVert$, $Vv_2=0$ であるから、
$$
0=\lVert Vv\rVert=\lVert Vv_1+Vv_2\rVert=\lVert Vv_1\rVert=\lVert v_1\rVert.
$$
よって $v=v_2\in \mathcal{K}^{\perp}$ であるから ${\rm Ker}(V)=\mathcal{K}^{\perp}$ である。ゆえに $(2)$ が成り立つ。 
$(2)\Rightarrow(1)$ を示す。$(2)$ が成り立つとする。任意の $v\in \mathcal{K}$ に対し、
$$
(v\mid v)=\lVert v\rVert^2=\lVert Vv\rVert^2=(Vv\mid Vv)=(v\mid V^*Vv)
$$
であるから任意の $u,v\in \mathcal{K}$ に対し、
$$
(u\mid v)=\frac{1}{4}\sum_{k=0}^{3}i^k(i^ku+v\mid i^ku+v)=\frac{1}{4}\sum_{k=0}^{3}i^k(V(i^ku+v)\mid V(i^ku+v))=
(Vv\mid Vu)
$$
である。よって任意の $u,v\in \mathcal{H}$ に対し、
$$
u=u_1+u_2,\quad v=v_1+v_2\in \mathcal{K}\oplus \mathcal{K}^{\perp}=\mathcal{H}
$$
と直交分解すると、
$$
(u\mid V^*Vv)=(Vv\mid Vu)=(Vv_1\mid Vu_1)=(u_1\mid v_1)=(u\mid v_1)
$$
である。ゆえに $V^*Vv=v_1$ であるから $V^*V$ は $\mathcal{K}$ の上の射影作用素であり、$V$ は反線形部分等長作用素である。
{{end|proof}}

=== 定理20.16（稠密に定義された閉反線形作用素の極分解） ===
$T$ をHilbert空間 $\mathcal{H}$ 上の稠密に定義された閉反線形作用素とする。このとき $T$ の絶対値作用素 $\lvert T\rvert$ と $\lvert T\rvert$ の台射影作用素 $S(\lvert T\rvert)$（'''定義9.2'''）に対し、反線形部分等長作用素 $V\colon \mathcal{H}\rightarrow\mathcal{H}$ で、
$$
V^*V=S(\lvert T\rvert),\quad T=V\lvert T\rvert
$$
を満たすものが唯一つ存在する。この $T=V\lvert T\rvert$ なる分解を $T$ の極分解と言う。
{{begin |proof}}
$T^*T=\lvert T\rvert^2$ であるから、'''定理20.11'''と'''定理3.10'''の $(1)$ より $D(T^*T)=D(\lvert T\rvert^2)$ は、$T,\lvert T\rvert$ の共通の芯である。
$$
D\colon=D(T^*T)=D(\lvert T\rvert^2)
$$
とおく。任意の $v\in D$ に対し、
$$
\lVert Tv\rVert^2=(Tv\mid Tv)=(v\mid T^*Tv)=(v\mid \lvert T\rvert^2v)=(\lvert T\rvert v\mid \lvert T\rvert v)=\lVert \lvert T\rvert v\rVert^2
$$
であるから、
$$
V_0\colon\lvert T\rvert(D)\ni \lvert T\rvert v\mapsto Tv\in \mathcal{H}
$$
なる等長反線形作用素が定義できる。[[位相線形空間1：ノルムと内積]]の'''命題3.6'''と同様にして $V_0$ は等長反線形作用素
$$
V_1\colon\overline{{\rm Ran}(\lvert T\rvert)}=\overline{\lvert T\rvert(D)}\rightarrow\mathcal{H}
$$
に一意拡張できる。（$\overline{{\rm Ran}(\lvert T\rvert)}=\overline{\lvert T\rvert(D)}$ であることは $D$ が $\lvert T\rvert$ の芯であることによる。）そこでHilbert空間 $\mathcal{H}$ の直交分解
$$
\mathcal{H}=\overline{{\rm Ran}(\lvert T\rvert)}\oplus ({\rm Ran}(\lvert T\rvert))^{\perp}\quad\quad(*)
$$
を考えて、
$$
V\colon\mathcal{H}=\overline{{\rm Ran}(\lvert T\rvert)}\oplus ({\rm Ran}(\lvert T\rvert))^{\perp}\ni v+u\mapsto V_1v\in \mathcal{H}
$$
として有界反線形作用素 $V\colon \mathcal{H}\rightarrow\mathcal{H}$ を定義する。このとき、
$$
\lVert Vv\rVert=\lVert v\rVert\quad(\forall v\in \overline{{\rm Ran}(\lvert T\rvert)}),\quad Vu=0\quad(\forall u\in ({\rm Ran}(\lvert T\rvert))^{\perp})
$$
であるから、'''命題20.15'''より $V$ は反線形部分等長作用素で、$V^*V$ は $\overline{{\rm Ran}(\lvert T\rvert)}$ の上への射影作用素、すなわち $V^*V=S(\lvert T\rvert)$ である。そして、
$$
V\lvert T\rvert v=V_1\lvert T\rvert v=V_0\lvert T\rvert v=Tv\quad(\forall v\in D)\quad\quad(**)
$$
である。任意の $v\in D(\lvert T\rvert)$ を取る。$D$ は $\lvert T\rvert$ の芯であるので $D$ の点列 $(v_n)_{n\in \mathbb{N}}$ で、
$$
(v_n,\lvert T\rvert v_n)\rightarrow (v,\lvert T\rvert v)\quad(n\rightarrow\infty)
$$
なるものが取れる。$(**)$ と $V_0$ が等長反線形作用素であることから、
$$
\lVert Tv_n-Tv_m\rVert=\lVert V_0\lvert T\rvert v_n-V_0\lvert T\rvert v_m\rVert
=\lVert \lvert T\rvert v_n-\lvert T\rvert v_m\rVert\rightarrow0\quad(n,m\rightarrow\infty)
$$
である。よって $(T v_n)_{n\in \mathbb{N}}$ は収束するので、$T$ が閉であることから、
$$
(v_n,T v_n)\rightarrow (v,T v)\quad(n\rightarrow\infty)
$$
である。これより、
$$
V\lvert T\rvert v=\lim_{n\rightarrow\infty}V\lvert T\rvert v_n=\lim_{n\rightarrow\infty} Tv_n=Tv
$$
であるから $V\lvert T\rvert\subset T$ が成り立つ。逆の包含関係を示す。任意の $v\in D(T)$ を取り、$v\in D(\lvert T\rvert)$ が成り立つことを示せばよい。$D$ は $T$ の芯であるので、$D$ の点列 $(v_n)_{n\in \mathbb{N}}$ で、
$$
(v_n,Tv_n)\rightarrow (v,Tv)\quad(n\rightarrow\infty)
$$
なるものが取れる。$(**)$ と $V_0$ が等長線形作用素であることから、
$$
\lVert \lvert T\rvert v_n-\lvert T\rvert v_m\rVert
=\lVert V_0\lvert T\rvert v_n-V_0\lvert T\rvert v_m\rVert
=\lVert Tv_n-Tv_m\rVert\rightarrow0\quad(n,m\rightarrow\infty)
$$
である。よって $(\lvert T\rvert v_n)_{n\in \mathbb{N}}$ は収束するので、$\lvert T\rvert$ が閉であることから、
$$
(v_n,\lvert T\rvert v_n)\rightarrow (v,\lvert T\rvert v)\quad(n\rightarrow\infty)
$$
である。これより $v\in D(\lvert T\rvert)$ であるから $V\lvert T\rvert=T$ が成り立つ。以上で存在が示せた。 
一意性を示す。$V,W\in \mathbb{B}(\mathcal{H})$ がそれぞれ反線形部分等長作用素であり、
$$
V^*V=S(\lvert T\rvert)=W^*W,\quad V\lvert T\rvert=T=W\lvert T\rvert
$$
を満たすとする。'''命題20.15'''より、
$$
Vu=Wu=0\quad(\forall u\in ({\rm Ran}(\lvert T\rvert))^{\perp})
$$
である。また、
$$
V\lvert T\rvert v=Tv=W\lvert T\rvert v\quad(\forall v\in \mathcal{H})
$$
であるから、$V$ と $W$ は ${\rm Ran}(\lvert T\rvert)$ 上で一致する。$V,W$ の連続性より $V,W$ は $\overline{{\rm Ran}(\lvert T\rvert)}$ 上でも一致するから、$(*)$ より $V=W$ である。
{{end|proof|}}

=== 定理20.17（稠密に定義された閉反線形作用素の共役作用素の極分解） ===
$T$ をHilbert空間 $\mathcal{H}$ 上の稠密に定義された閉反線形作用素とし、$T$ の極分解
$$
T=V\lvert T\rvert,\quad V^*V=S(\lvert T\rvert)
$$
を考える。このとき $T^*$（'''定理20.11'''より $T^*$ も稠密に定義された閉反線形作用素である）の極分解は、
$$
T^*=V^*\lvert T^*\rvert,\quad VV^*=S(\lvert T^*\rvert)
$$
である。（'''命題20.14'''より $V^*$ も反線形部分等長作用素であることに注意。）
{{begin |proof }}
'''定理20.11'''の $(3)$ より $T=T^{**}$ であるから、
$$
\lvert T^*\rvert=\sqrt{TT^*}
$$
である。$V^*V=S(\lvert T\rvert)$ より $V^*V\lvert T\rvert=\lvert T\rvert$ であり、'''命題20.9'''の $(9)$ より、$T^*=(V\lvert T\rvert)^*=\lvert T\rvert V^*$ であるから、
$$
(V\lvert T\rvert V^*)(V\lvert T\rvert V^*)=(V\lvert T\rvert)(V^*V\lvert T\rvert V^*)
=(V\lvert T\rvert)(\lvert T\rvert V^*)=TT^*=\lvert T^*\rvert^2\quad\quad(*)
$$
である。そして'''命題20.9'''の $(9)$ より、
$$
(V\lvert T\rvert V^*)^*=(VT^*)^*=T^{**}V^*=TV^*=V\lvert T\rvert V^*
$$
であるから $V\lvert T\rvert V^*$ は自己共役作用素であり、
$$
(v\mid V\lvert T\rvert V^*v)=(\lvert T\rvert V^*v\mid V^*v)\geq0\quad(\forall v\in D(V\lvert T\rvert V^*))
$$
であるから、'''命題8.10'''より $V\lvert T\rvert V^*$ は非負自己共役作用素である。よって $(*)$ と'''命題8.9'''より、
$$
\lvert T^*\rvert=V\lvert T\rvert V^*\quad\quad(**)
$$
が成り立つ。これより、
$$
V^*\lvert T^*\rvert=V^*V\lvert T\rvert V^*=\lvert T\rvert V^*=(V\lvert T\rvert)^*=T^*
$$
であり、
$$
VV^*\lvert T^*\rvert=VT^*=V\lvert T\rvert V^*=\lvert T^*\rvert
$$
である。よって'''命題9.3'''より、
$$
S(\lvert T^*\rvert)\leq VV^*
$$
が成り立つ。この逆の不等式を示す。
$$
\lvert T^*\rvert=S(\lvert T^*\rvert)\lvert T^*\rvert
$$
であるから、$(**)$ より、
$$
V\lvert T\rvert V^*=S(\lvert T^*\rvert)V\lvert T\rvert V^*\quad\quad(***)
$$
である。
$$
\lvert T\rvert=\lvert T\rvert^*=(V^*V\lvert T\rvert)^*=\lvert T\rvert V^*V
$$
であるから $(***)$ の両辺に右から $V$ を掛ければ、
$$
V\lvert T\rvert=S(\lvert T^*\rvert)V\lvert T\rvert
$$
を得る。ゆえに、
$$
VS(\lvert T\rvert)=S(\lvert T^*\rvert)VS(\lvert T\rvert)
$$
が成り立つ。$VS(\lvert T\rvert)=VV^*V=V$ より、
$$
V=S(\lvert T^*\rvert)V
$$
であり、両辺に右から $V^*$ を掛けて、
$$
VV^*=S(\lvert T^*\rvert)VV^*
$$
を得る。これより、
$$
VV^*=S(\lvert T^*\rvert)VV^*=S(\lvert T^*\rvert)VV^*S(\lvert T^*\rvert)\leq S(\lvert T^*\rvert)
$$
であるから、$VV^*=S(\lvert T^*\rvert)$ が成り立つ。
{{end|proof|}}

===命題20.18（反線形ユニタリ作用素による射影値測度の変換）===
$\mathcal{H},\mathcal{K}$ をHilbert空間、$U\colon\mathcal{H}\rightarrow \mathcal{K}$ を反線形ユニタリ作用素、$(X,\mathfrak{M})$ を可測空間、$E\colon\mathfrak{M}\rightarrow \mathbb{P}(\mathcal{H})$ を射影値測度とする。このとき、
$$
UEU^*\colon\mathfrak{M}\ni B\mapsto UE(B)U^*\in \mathbb{P}(\mathcal{K})
$$
は射影値測度であり、任意の可測関数 $f\colon X\rightarrow\mathbb{C}$ に対し、
$$
\int_{X}f(x)d(UEU^*)(x)=U\left(\int_{X}\overline{f(x)}dE(x)\right)U^*\quad\quad(*)
$$
が成り立つ。
{{begin |proof }}
$UEU^*$ が射影値測度の'''定義6.2'''を満たすことは自明である。$(*)$ は $f\colon X\rightarrow \mathbb{C}$ が可測単関数である場合は明らかに成り立ち、有界可測関数は可測単関数により一様近似できること（[[測度と積分5：$L^p$ 空間の完備性と双対性]]の'''命題22.2'''）から、$f\colon X\rightarrow \mathbb{C}$ が有界可測関数の場合も $(*)$ は成り立つ。今、任意の可測関数 $f\colon X\rightarrow\mathbb{C}$ に対し、有界可測関数の列 $f_n\colon=f\chi_{(\lvert f\rvert\leq n)}$ $(\forall n\in \mathbb{N})$ を考えると、任意の $v\in \mathcal{K}$ に対し単調収束定理より、
$$
\begin{aligned}
\int_{X}\lvert f(x)\rvert^2d(UEU^*)_{v,v}(x)&=\sup_{n\in \mathbb{N}}\int_{X}\lvert f_n(x)\rvert^2d(UEU^*)_{v,v}(x)=\sup_{n\in\mathbb{N}}\left\lVert \int_{X}f_n(x)d(UEU^*)(x)v\right\rVert^2\\
&=\sup_{n\in\mathbb{N}}\left\lVert \left(\int_{X}\overline{f_n(x)}dE(x)\right)U^*v\right\rVert^2
=\sup_{n\in\mathbb{N}}\int_{X}\lvert f_n(x)\rvert^2dE_{U^*v,U^*v}(x)\\
&=\int_{X}\lvert f(x)\rvert^2dE_{U^*v,U^*v}(x)
\end{aligned}
$$
であるから $D_{UEU^*}(f)=UD_E(f)$ が成り立つ。そして任意の $u\in \mathcal{H}$ と任意の $v\in D_{UEU^*}(f)$ に対しLebesgue優収束定理より、
$$
\begin{aligned}
&\left(u\mid \int_{X}f(x)d(UEU^*)(x)v\right)=\lim_{n\rightarrow\infty}\left(u\mid \left(\int_{X}f_n(x)d(UEU^*)(x)\right)v\right)\\
&=\lim_{n\rightarrow\infty}\left(u\mid U\left(\int_{X}\overline{f_n(x)}dE(x)\right)U^*v\right)
=\left(u\mid U\left(\int_{X}\overline{f(x)}dE(x)\right)U^*v\right)
\end{aligned}
$$
である。よって $(*)$ は任意の可測関数 $f:X\rightarrow \mathbb{C}$ に対して成り立つ。
{{end|proof|}}

===定義20.19（共役子に関して実な線形作用素）===
$\mathcal{H}$ をHilbert空間、$J\colon\mathcal{H}\rightarrow\mathcal{H}$ を共役子（'''定義20.13'''）とする。$\mathcal{H}$ 上の線形作用素 $T$ が $J$ に関して実であるとは、
$$
JT\subset TJ\quad\quad(*)
$$
が成り立つことを言う。$J^2=1$ であるから $(*)$ は $JT=TJ$ であること、また $JTJ=T$ であることと同値である。

===命題20.20（共役子に関して実な線形作用素の基本性質）===
$\mathcal{H}$ をHilbert空間、$J\colon\mathcal{H}\rightarrow\mathcal{H}$ を共役子とする。このとき、
*$(1)$　$T_1,T_2$ が $J$ に関して実な線形作用素ならば、$T_1+T_2, T_1T_2$ も $J$ に関して実である。
*$(2)$　$T$ が $J$ に関して実な線形作用素ならば、任意の $\alpha\in \mathbb{R}$ に対し $\alpha T$ も $J$ に関して実である。
*$(3)$　$T$ が $J$ に関して実な稠密に定義された線形作用素ならば、$T^*$ も $J$ に関して実である。
*$(4)$　$T$ が $J$ に関して実な可閉線形作用素ならば、$\overline{T}$ も $J$ に関して実である。
*$(5)$　$T$ が $J$ に関して実な単射線形作用素ならば、$T^{-1}$ も $J$ に関して実である。
{{begin|proof}}
'''命題19.3'''と同様にして示せる。
{{end|proof}}

===定理20.21（共役子に関して実な対称作用素の自己共役拡張可能性）===
$\mathcal{H}$ をHilbert空間、$J\colon\mathcal{H}\rightarrow\mathcal{H}$ を共役子、$T$ を $J$ に関して実な対称作用素とする。このとき $T$ は $J$ に関して実な自己共役拡張（'''定義4.7'''）を持つ。
{{begin|proof}}
任意の $v_{\pm}\in ({\rm Ran}(T\pm i))^{\perp}$ に対し、
$$
(Jv_{\pm}\mid (T\mp i)u)=(J(T\mp i)u\mid v_{\pm})=((T\pm i)Ju\mid v_{\pm})=0\quad(\forall u\in D(T))
$$
であるから、
$$
J({\rm Ran}(T+i))^{\perp}=({\rm Ran}(T-i))^{\perp}
$$
である。これより $({\rm Ran}(T+i))^{\perp}$ のCONSを $(e_k)_{k\in K}$ とすると、$(Je_k)_{k\in K}$ は $({\rm Ran}(T-i))^{\perp}$ のCONSなので、ユニタリ作用素
$$
V\colon ({\rm Ran}(T+i))^{\perp}\rightarrow ({\rm Ran}(T-i))^{\perp},\quad Ve_k=Je_k\quad(\forall k\in K)
$$
が取れる。よって'''定理4.9'''より $T$ は自己共役拡張 $S$ で、そのCayley変換 $C(S)$ が、
$$
C(S)=C(\overline{T})\oplus V\colon {\rm Ran}(\overline{T}+i)\oplus ({\rm Ran}(T+i))^{\perp}\rightarrow {\rm Ran}(\overline{T}-i)\oplus ({\rm Ran}(T-i))^{\perp}
$$
である様なものが取れる。今、$S$ が $J$ に関して実であることを示す。まず、
$$
JV^*Je_k=Je_k=Ve_k\quad(\forall k\in K)
$$
であるから、
$$
JV^*J=V
$$
である。またHilbert空間 ${\rm Ran}(\overline{T}+i)$ からHilbert空間 ${\rm Ran}(\overline{T}-i)$ へのユニタリ作用素
$$
C(\overline{T})=(\overline{T}-i)(\overline{T}+i)^{-1}\colon {\rm Ran}(\overline{T}+i)\rightarrow {\rm Ran}(\overline{T}-i)
$$
の共役作用素
$$
C(\overline{T})^*=(\overline{T}+i)(\overline{T}-i)^{-1}\colon {\rm Ran}(\overline{T}-i)\rightarrow {\rm Ran}(\overline{T}+i)
$$
に対し、'''命題20.20'''より、
$$
JC(\overline{T})^*J=J(\overline{T}+i)(\overline{T}-i)^{-1}J=(\overline{T}-i)(\overline{T}+i)^{-1}=C(\overline{T})
$$
である。よって、
$$
JC(S)^*J=(JC(\overline{T})^*J)\oplus(JV^*J)=C(\overline{T})\oplus V=C(S)
$$
が成り立つ。ここで $S$ のスペクトル測度を $E_S\colon \mathcal{B}_{\sigma(S)}\rightarrow \mathbb{P}(\mathcal{H})$ とすると、'''命題20.18'''より、
$$
C(S)=JC(S)^*J=J\left(\int_{\sigma(S)}(s+i)(s-i)^{-1}dE_S(s)\right)J=\int_{\sigma(S)}(s-i)(s+i)^{-1}d(JE_SJ)(s)
$$
であり、右辺は自己共役作用素
$$
\int_{\sigma(S)}sd(JE_SJ)(s)=J\left(\int_{\sigma(S)}sdE_S(s)\right)J=JSJ
$$
のCayley変換 $C(JSJ)$ である。よって $C(S)=C(JSJ)$ なので'''命題4.5'''より $S=JSJ$ である。ゆえに $S$ は $J$ に関して実である。
{{end|proof}}

==21. 対称作用素の解析ベクトル、Nelsonの解析ベクトル定理==

===定義21.1（対称作用素の解析ベクトル、全解析ベクトル）===
$T$ をHilbert空間 $\mathcal{H}$ 上の対称作用素とする。$v\in \bigcap_{n\in \mathbb{N}}D(T^n)$ に対し $\mathcal{H}$ の列 $(\frac{1}{n!}T^nv)_{n\in\mathbb{N}}$ を係数とする冪級数の収束半径（[[複素解析の初歩]]の'''定義2.1'''）を、
$$
R_T(v)\colon=\frac{1}{\inf_{n\in \mathbb{N}}\sup_{k\geq n}\sqrt[k]{\frac{1}{k!}\lVert T^kv\rVert}}\in [0,\infty]
$$
とおく。$R_T(v)>0$ であるとき $v$ を $T$ の解析ベクトルと言う。また $R_T(v)=\infty$ のとき $v$ を $T$ の全解析ベクトルと言う。

===命題21.2（対称作用素の解析ベクトルの基本性質）===
$T$ をHilbert空間 $\mathcal{H}$ 上の対称作用素とする。次が成り立つ。
*$(1)$　任意の $u,v\in \bigcap_{n\in\mathbb{N}}D(T^n)$ に対し ${\rm min}(R_T(u), R_T(v))\leq R_T(u+v)$.
*$(2)$　任意の $v\in \bigcap_{n\in \mathbb{N}}D(T^n)$ と任意の $\alpha\in \mathbb{C}\backslash\{0\}$ に対し $R_T(\alpha v)=R_T(v)$.
*$(3)$　任意の $v\in \bigcap_{n\in \mathbb{N}}D(T^n)$ と任意の $k\in\mathbb{N}$ に対し $R_T(T^kv)=R_T(v)$.
*$(4)$　$T$ の解析ベクトル全体、$T$ の全解析ベクトル全体はそれぞれ $T$ の作用に対して不変な $\mathcal{H}$ の線形部分空間である。
{{begin|proof}}
*$(1)$　$\lvert z\rvert<{\rm min}(R_T(u),R_T(v))$ を満たす任意の $z\in \mathbb{C}$ に対し、
$$
\sum_{n\in\mathbb{Z}_+}\frac{1}{n!}\lVert T^n(u+v)\rVert\lvert z\rvert^n
\leq \sum_{n\in\mathbb{Z}_+}\frac{1}{n!}\lVert T^nu\rVert \lvert z\rvert^n+\sum_{n\in\mathbb{Z}_+}\frac{1}{n!}\lVert T^nv\rVert\lvert z\rvert^n<\infty
$$
であるから、[[複素解析の初歩]]の'''命題2.2'''より $\lvert z\rvert\leq R_T(u+v)$ である。よって ${\rm min}(R_T(u),R_T(v))\leq R_T(u+v)$ が成り立つ。
*$(2)$　$\lvert z\rvert<R_T(v)$ を満たす任意の $z\in \mathbb{C}$ に対し[[複素解析の初歩]]の'''命題2.2'''より、
$$
\sum_{n\in\mathbb{Z}_+}\frac{1}{n!}\lVert T^n\alpha v\rVert\lvert z\rvert^n
=\lvert \alpha\rvert\sum_{n\in\mathbb{Z}_+}\frac{1}{n!}\lVert T^nv\rVert \lvert z\rvert^n<\infty
$$
であるから、$\lvert z\rvert\leq R_T(\alpha v)$ である。よって $R_T(v)\leq R_T(\alpha v)$ が成り立つ。またこれより $R_T(\alpha v)\leq R_T(\alpha^{-1}\alpha v)=R_T(v)$ も成り立つので $R_T(\alpha v)=R_T(v)$ が成り立つ。
*$(3)$　[[複素解析の初歩]]の'''命題2.4'''より $\mathcal{H}$ の列 $(\frac{1}{n!}T^nv)_{n\in\mathbb{Z}_+}$ を係数とする冪級数の収束半径 $R_T(v)$ は $((n+1)\frac{1}{(n+1)!}T^{n+1}v)_{n\in\mathbb{Z}_+}=(\frac{1}{n!}T^{n+1}v)_{n\in\mathbb{Z}_+}$ を係数とする冪級数の収束半径 $R_T(Tv)$ と等しい。よって $R_T(v)=R_T(Tv)=R_T(T^2v)=\cdots$ であるから任意の $k\in \mathbb{N}$ に対し $R_T(v)=R_T(T^kv)$ が成り立つ。
*$(4)$　$T$ の解析ベクトル全体を、
$$
\mathcal{A}_T\colon=\left\{v\in \bigcap_{n\in\mathbb{N}}D(T^n):R_T(v)>0\right\}
$$　
とおく。任意の $u,v\in \mathcal{A}_T$ と任意の $\alpha\in\mathbb{C}$ に対し $(1),(2),(3)$ より、
$$
0<{\rm min}(R_T(u),R_T(v))\leq R_T(u+v),\quad 0<R_T(v)\leq R_T(\alpha v),\quad 0<R_T(v)=R_T(Tv)
$$
であるから $u+v,\alpha v,Tv\in \mathcal{A}_T$ である。よって $\mathcal{A}_T$ は $T$ の作用に対して不変な $\mathcal{H}$ の線形部分空間である。また $T$ の全解析ベクトル全体を、
$$
\mathcal{TA}_T\colon=\left\{v\in \bigcap_{n\in\mathbb{N}}D(T^n):R_T(v)=\infty\right\}
$$
とおくと、任意の $u,v\in \mathcal{TA}_T$ と任意の $\alpha\in\mathbb{C}$ に対し $(1),(2),(3)$ より、
$$
\infty={\rm min}(R_T(u),R_T(v))\leq R_T(u+v),\quad \infty=R_T(v)\leq R_T(\alpha v),\quad \infty=R_T(v)=R_T(Tv)
$$
であるから $u+v,\alpha v, Tv\in \mathcal{TA}_T$ である。よって $\mathcal{TA}_T$ は $T$ の作用に対して不変な $\mathcal{H}$ の線形部分空間である。
{{end|proof}}

===補題21.3（自己共役作用素の定義域の微分による特徴付け）===
$T$ をHilbert空間 $\mathcal{H}$ 上の自己共役作用素とする。このとき、
$$
D(T)=\left\{v\in \mathcal{H}:\exists\lim_{t\in\mathbb{R}, t\rightarrow 0}\frac{1}{t}(e^{itT}-1)v\in \mathcal{H}\right\},\quad
Tv=\lim_{t\in\mathbb{R}, t\rightarrow0}\frac{1}{it}(e^{itT}-1)v\quad(\forall v\in D(T))
$$
が成り立つ。
{{begin|proof}}
$$
D\colon=\left\{v\in \mathcal{H}:\exists\lim_{t\in\mathbb{R}, t\rightarrow 0}\frac{1}{t}(e^{itT}-1)v\in \mathcal{H}\right\},\quad
Sv\colon=\lim_{t\in\mathbb{R}, t\rightarrow0}\frac{1}{it}(e^{itT}-1)v\quad(\forall v\in D)
$$
とおく。このとき $S\colon D\ni v\mapsto Sv\in \mathcal{H}$ は $\mathcal{H}$ 上の線形作用素である。$E^T\colon \mathcal{B}_{\sigma(T)}\rightarrow\mathbb{P}(\mathcal{H})$ を $T$ のスペクトル測度とすると、任意の $v\in D(T)$ に対し微積分学の基本定理とLebesgue優収束定理より、
$$
\begin{aligned}
&\left\lVert\frac{1}{it}(e^{itT}-1)v-Tv\right\rVert^2
=\int_{\sigma(T)}\left\lvert \frac{1}{it}(e^{it\lambda}-1)-\lambda \right\rvert^2dE^T_{v,v}(\lambda)\\
&=\int_{\sigma(T)}\left\lvert \lambda\int_{0}^{1}(e^{i\theta t\lambda}-1)d\theta \right\rvert^2dE^T_{v,v}(\lambda)\rightarrow0\quad(t\rightarrow0)
\end{aligned}
$$
であるから $v\in D$ であり、$Tv=Sv$ である。よって $T\subset S$である。Borel汎関数計算の基本性質（'''命題8.7'''）より $(e^{itT})^*=e^{-itT}$ $(\forall t\in \mathbb{R})$ であるので、任意の $u,v\in D$ に対し、
$$
(u\mid Sv)=\lim_{t\in \mathbb{R}, t\rightarrow0}\left(u\mid \frac{1}{it}(e^{itT}-1)v\right)
=\lim_{t\in\mathbb{R}, t\rightarrow\infty}\left(\frac{1}{-it}(e^{-itT}-1)u\mid v\right)
=(Su\mid v)
$$
である。よって $S$ は $\mathcal{H}$ 上の対称作用素である。$T$ が自己共役作用素で $S$ が対称作用素であるから、$T\subset S\subset S^*\subset T^*=T$ である。ゆえに $T=S$ が成り立つ。
{{end|proof}}

===定理21.4（自己共役作用素の解析ベクトルの基本性質）===
$T$ をHilbert空間 $\mathcal{H}$ 上の自己共役作用素とする。このとき次が成り立つ。
*$(1)$　$T$ の全解析ベクトル全体は $T$ の芯である。
*$(2)$　$v$ が $T$ の解析ベクトルならば、
$$
e^{zT}v=\sum_{n\in\mathbb{Z}_+}\frac{1}{n!}(zT)^nv\quad\left(\forall z\in \mathbb{C}: \lvert z\rvert<\frac{R_T(v)}{2}\right)\quad\quad(*)
$$
が成り立つ。
*$(3)$　$v\in \mathcal{H}$ に対し、$v$ が $T$ の全解析ベクトルであることと、
$$
\mathbb{R}\ni t\mapsto e^{itT}v\in \mathcal{H}
$$
がBanach空間 $\mathcal{H}$ 値整関数に拡張できることは同値である。またその整関数としての拡張は、
$$
\mathbb{C}\ni z\mapsto e^{izT}v\in \mathcal{H}
$$
である。
*$(4)$　$v\in \mathcal{H}$ が $T$ の全解析ベクトルであるならば、任意の $z\in \mathbb{C}$ に対し $e^{izT}v$ も $T$ の全解析ベクトルであり、
$$
e^{iwT}e^{izT}v=e^{i(w+z)T}v\quad(\forall w,z\in\mathbb{C})
$$
が成り立つ。
{{begin|proof}}
*$(1)$　'''命題21.2'''より $T$ の全解析ベクトル全体は $D(T)$ の線形部分空間である。$T$ のスペクトル測度 $E^T\colon \mathcal{B}_{\sigma(T)}\rightarrow\mathbb{P}(\mathcal{H})$ と任意の $v\in D(T)$ に対し、
$$
v_m\colon =E^T([-m,m]\cap \sigma(T))v\in \bigcap_{n\in\mathbb{N}}D(T^n)\quad(\forall m\in \mathbb{N})
$$
とおくと、任意の $m\in \mathbb{N}$ に対し、
$$
\sum_{n\in\mathbb{Z}_+}\frac{1}{n!}\lVert T^nv_m\rVert \lvert z\rvert^n\leq \sum_{n\in\mathbb{Z}_+}\frac{1}{n!}m^n\lVert v\rVert \lvert z\rvert^n<\infty\quad(\forall z\in \mathbb{C})
$$
であるから、[[複素解析の初歩]]の'''命題2.2'''より $(\frac{1}{n!}\lVert T^nv_m)_{n\in\mathbb{Z}_+}$ を係数とする冪級数の収束半径は $\infty$ なので、$v_m$ は $T$ の全解析ベクトルである。そして $v_m=E^T([-m,m]\cap \sigma(T))v\rightarrow v$ $(m\rightarrow\infty)$ であり、Lebesgue優収束定理より、
$$
\lVert Tv-Tv_m\rVert^2=\int_{\sigma(T)}\lvert \lambda-\lambda\chi_{\lvert {\rm id}\rvert\leq m}(\lambda)\rvert^2dE^T_{v,v}(\lambda)\rightarrow0\quad(m\rightarrow\infty)
$$
であるから、$(v,Tv)=\lim_{m\rightarrow\infty}(v_m,Tv_m)$ が成り立つ。よって $T$ の全解析ベクトル全体は $T$ の芯である。
*$(2)$　$\lvert z\rvert<\frac{R_T(v)}{2}$ なる任意の $z\in \mathbb{C}$ に対しHölderの不等式より、
$$
\begin{aligned}
&\int_{\sigma(T)}\lvert e^{z\lambda}\rvert^2dE^T_{v,v}(\lambda)\leq \int_{\sigma(T)}e^{2\lvert z\lambda\rvert}dE^T_{v,v}(\lambda)=\sum_{n\in \mathbb{Z}_+}\frac{(2\lvert z\rvert)^n}{n!}\int_{\sigma(T)}\lvert \lambda\rvert^ndE^T_{v,v}(\lambda)\\
&\leq \sum_{n\in\mathbb{Z}_+}\frac{(2\lvert z\rvert)^n}{n!}\left(\int_{\sigma(T)}\lvert \lambda^n\rvert^2dE^T_{v,v}(\lambda)\right)^{\frac{1}{2}}\left(\int_{\sigma(T)}1dE^T_{v,v}(\lambda)\right)^{\frac{1}{2}}\\
&=\sum_{n\in\mathbb{Z}_+}\frac{(2\lvert z\rvert)^n}{n!}\lVert T^nv\rVert\lVert v\rVert<\infty
\end{aligned}
$$
となるから $v\in D(e^{zT})$ であり、Lebesgue優収束定理より、
$$
\begin{aligned}
&\left\lVert e^{zT}v-\sum_{n=0}^{N}\frac{1}{n!}(zT)^nv\right\rVert^2
=\left\lVert \left(\int_{\sigma(T)}\left(e^{z\lambda}-\sum_{n=0}^{N}\frac{1}{n!}(z\lambda)^n\right)dE^T_{v,v}(\lambda)\right)v\right\rVert^2\\
&=\int_{\sigma(T)}\left\lvert e^{z\lambda}-\sum_{n=0}^{N}\frac{1}{n!}(z\lambda)^n\right\rvert^2dE^T_{v,v}(\lambda)\rightarrow0\quad(N\rightarrow\infty)
\end{aligned}
$$
であるから $(*)$ が成り立つ。
*$(3)$　$v$ が $T$ の全解析ベクトルならば $(2)$ より $e^{izT}v=\sum_{n\in \mathbb{Z}_+}\frac{1}{n!}(izT)^nv$ $(\forall z\in \mathbb{C})$ であるから、冪級数関数の複素微分可能性（[[複素解析の初歩]]の'''定理2.5'''）より $\mathbb{C}\ni z\mapsto e^{izT}v\in \mathcal{H}$ はBanach空間値整関数である。逆に $v\in \mathcal{H}$ に対し $\mathbb{R}\ni t\mapsto e^{itT}v\in \mathcal{H}$ がBanach空間 $\mathcal{H}$ 値整関数 $U\colon \mathbb{C}\ni z\mapsto U(z)\in \mathcal{H}$ に拡張できるとし、$v$ が $T$ の全解析ベクトルであることを示す。
$$
e^{isT}U(t)=e^{isT}e^{itT}v=e^{i(s+t)T}v=U(s+t)\quad(\forall s,t\in\mathbb{R})
$$
であるから、任意の $s\in \mathbb{R}$ に対しBanach空間値整関数
$$
\mathbb{C}\ni z\mapsto e^{isT}U(z)\in \mathcal{H},\quad \mathbb{C}\ni z\mapsto U(s+z)\in \mathcal{H}
$$
は $\mathbb{R}$ 上で一致する。よって一致の定理（[[複素解析の初歩]]の'''注意9.5'''、'''定理6.6'''）より、
$$
e^{isT}U(z)=U(s+z)\quad(\forall s\in\mathbb{R},\forall z\in \mathbb{C})
$$
が成り立つ。任意の $z\in \mathbb{C}$ に対し'''補題21.3'''より、
$$
\frac{d}{dz}U(z)=\lim_{s\in\mathbb{R},s\rightarrow0}\frac{1}{s}(U(s+z)-U(z))=\lim_{s\in\mathbb{R},s\rightarrow0}\frac{1}{s}(e^{isT}-1)U(z)=iTU(z)
$$
が成り立つ。今、ある $n\in \mathbb{N}$ に対し、
$$
\frac{d^n}{dz^n}U(z)=(iT)^nU(z)\quad(\forall z\in \mathbb{C})\quad\quad(**)
$$
が成り立つと仮定する。このとき任意の $z\in \mathbb{C}$ に対し $(iT)^n=\int_{\sigma(T)}(i\lambda)^ndE^T(\lambda)$ が閉線形作用素であることと'''補題21.3'''より、
$$
\frac{d^{n+1}}{dz^{n+1}}U(z)=\lim_{s\in \mathbb{R}, s\rightarrow0}\frac{1}{s}(iT)^n(U(s+z)-U(z))=\lim_{s\in\mathbb{R}, s\rightarrow0}\frac{1}{s}(iT)^n(e^{isT}-1)U(z)=(iT)^{n+1}U(z)
$$
となるので帰納法より $(**)$ は任意の $n\in \mathbb{N}$ に対して成り立つ。よって[[複素解析の初歩]]の'''定理9.4'''より、
$$
U(z)=\sum_{n\in\mathbb{Z}_+}\frac{1}{n!}\left(\frac{d^n}{dz^n}U(z)\right)\big|_{z=0}z^n
=\sum_{n\in\mathbb{Z}_+}\frac{1}{n!}(izT)^nv\quad(\forall z\in \mathbb{C})\quad\quad(***)
$$
が成り立つので、[[複素解析の初歩]]の'''命題2.2'''より $(\frac{1}{n!}T^nv)_{n\in\mathbb{Z}_+}$ を係数とする冪級数の収束半径 $R_T(v)$ は $\infty$ であるから $v$ は $T$ の全解析ベクトルである。そして $(***)$ と $(2)$ より、
$$
U(z)=\sum_{n\in\mathbb{Z}_+}\frac{1}{n!}(izT)^nv=e^{izT}v\quad(\forall z\in\mathbb{C})
$$
が成り立つ。
*$(4)$　$v$ が $T$ の全解析ベクトルならば $(3)$ より任意の $s\in \mathbb{R}$ に対し、
$$
\mathbb{C}\ni z\mapsto e^{isT}e^{izT}v\in \mathcal{H},\quad
\mathbb{C}\ni z\mapsto e^{i(s+z)T}v\in \mathcal{H}
$$
はそれぞれBanach空間 $\mathcal{H}$ 値整関数である。そしてこれらは $\mathbb{R}$ 上で一致するので一致の定理より、
$$
e^{isT}e^{izT}v=e^{i(s+z)T}v\quad(\forall s\in\mathbb{R},\forall z\in \mathbb{C})
$$
が成り立つ。よって任意の $z\in \mathbb{C}$ に対し、$\mathbb{R}\ni s\mapsto e^{isT}e^{izT}v\in \mathcal{H}$ はBanach空間 $\mathcal{H}$ 値整関数 $\mathbb{C}\ni w\mapsto e^{i(w+z)T}v\in \mathcal{H}$ に拡張できるので $(3)$ より $e^{izT}v$ は $T$ の全解析ベクトルであり、任意の $w\in \mathbb{C}$ に対し $e^{iwT}e^{izT}v=e^{i(w+z)T}v$ が成り立つ。
{{end|proof}}

===補題21.5（Nelsonの解析ベクトル定理の補題）===
$T$ をHilbert空間 $\mathcal{H}$ 上の対称作用素とし、$v\in \bigcap_{n\in\mathbb{N}}D(T^n)$ を $0$ ではない $T$ の解析ベクトルとする。
$$
D_T(v)\colon={\rm span}\{T^nv\}_{n\in\mathbb{Z}_+},\quad \mathcal{H}_T(v)\colon=\overline{D_T(v)}
$$
とおき、Hilbert空間 $\mathcal{H}_T(v)$ 上の対称作用素
$$
T_v\colon D_T(v)\ni u\mapsto Tu\in \mathcal{H}_T(v)
$$
を定義する。このとき $T_v$ は本質的に自己共役（'''定義4.8'''）である。
{{begin|proof}}
$T$ は対称作用素で $v\in \bigcap_{n\in\mathbb{N}}D(T^n)$ であるから、
$$
(T^nv\mid T^mv)=(T^mv\mid T^nv)\quad(\forall n,m\in\mathbb{Z}_+)
$$
が成り立つ。よって、
$$
J_0\colon D_T(v)\ni \sum_{n=0}^{N}\alpha_nT^nv\mapsto \sum_{n=0}^{N}\overline{\alpha_n}T_nv\in \mathcal{H}_T(v)
$$
はwell-definedな等長反線形作用素であり、
$$
(J_0u\mid J_0w)=(w\mid u),\quad (u\mid J_0w)=(w\mid J_0u)\quad(\forall u,w\in D_T(v))
$$
が成り立つ。$J_0$ の $\mathcal{H}_T(v)=\overline{D_T(v)}$ 上の等長反線形作用素への拡張を $J\colon \mathcal{H}_T(v)\rightarrow\mathcal{H}_T(v)$ とおくと、
$$
(Ju\mid Jw)=(w\mid u),\quad (u\mid Jw)=(w\mid Ju)\quad(\forall u,v\in \mathcal{H}_T(v))
$$
より $J^*=J, J^2=1$ であるから、$J$ はHilbert空間 $\mathcal{H}_T(v)$ 上の共役子（'''定義20.13'''）である。$T_v$ は明らかに $J$ に関して実（'''定義20.19'''）であるから'''定理20.21'''より $T_v$ は自己共役拡張を持つ。$T_v$ が本質的に自己共役であることを示すには、'''系4.10'''より $T_v$ の自己共役拡張が唯一つであることを示せばよい。そこで $S_1,S_2$ をそれぞれ $T_v$ の自己共役拡張とし、$S_1=S_2$ が成り立つことを示す。任意の $u\in D_T(v)=D(T_v)\subset D(S_1)\cap D(S_2)$ に対し、
$$
S_j^nu=T_v^nu=T^nu\quad(\forall n\in\mathbb{Z}_+,j=1,2)
$$
であることと'''命題21.2'''より、
$$
R_{S_j}(u)=R_T(u)\geq R_T(v)>0\quad(j=1,2)
$$
であるから、'''定理21.4'''の $(2)$ より、
$$
e^{itS_j}u=\sum_{n\in\mathbb{Z}_+}\frac{1}{n!}(itS_j)^nu=\sum_{n\in\mathbb{Z}_+}\frac{1}{n!}(itT)^nu\quad(\forall t\in (-2^{-1}R_T(v),2^{-1}R_T(v)), j=1,2),
$$
よって、
$$
e^{itS_1}u=e^{itS_2}u\quad(\forall u\in D_T(v), \forall t\in (-2^{-1}R_T(v),2^{-1}R_T(v)))\quad\quad(*)
$$
が成り立つ。$t\in \mathbb{R}$ に対し $e^{itS_1}, e^{itS_2}$ はHilbert空間 $\mathcal{H}_T(v)$ 上のユニタリ作用素であり、$D_T(v)$ は $\mathcal{H}_T(v)$ の稠密部分空間であるから $(*)$ より、
$$
e^{itS_1}=e^{itS_2}\quad( \forall t\in (-2^{-1}R_T(v),2^{-1}R_T(v)))
$$
が成り立つ。よって'''補題21.3'''より $S_1=S_2$ が成り立つ。ゆえに $T_v$ は本質的に自己共役である。
{{end|proof}}

===定理21.6（Nelsonの解析ベクトル定理）===
$T$ をHilbert空間 $\mathcal{H}$ 上の対称作用素とする。もし $T$ の解析ベクトル全体が $\mathcal{H}$ で稠密であるならば $T$ は本質的に自己共役である。
{{begin|proof}}
'''命題4.3'''と'''定理4.6'''より ${\rm Ran}(T\pm i)$ が $\mathcal{H}$ で稠密であることを示せばよい。$0$ ではない任意の $u\in \mathcal{H}$ と任意の $\epsilon\in (0,2\lVert u\rVert)$ を取る。仮定より $T$ の解析ベクトル $v$ で、
$$
\lVert u-v\rVert<\frac{\epsilon}{2}\quad\quad(*)
$$
なるものが取れる。$\epsilon<2\lVert u\rVert$ より $v\neq0$ である。よって'''補題21.5'''より、
$$
T_v\colon D_T(v)\ni w\mapsto Tw\in \mathcal{H}_T(v)
$$
はHilbert空間 $\mathcal{H}_T(v)$ 上の本質的に自己共役な対称作用素である。ゆえに'''命題4.3'''と'''定理4.6'''より、
$$
\mathcal{H}_T(v)={\rm Ran}(\overline{T_v}\pm i)=\overline{{\rm Ran}(T_v\pm i)}
$$
であるから、$v\in \mathcal{H}_T(v)$ に対し $w_{\pm}\in D_T(v)$ で、
$$
\lVert v-(T_v\pm i)w_{\pm}\rVert<\frac{\epsilon}{2}\quad\quad(**)
$$
を満たすものが取れる。よって $(*),(**)$ より、
$$
\lVert u-(T\pm i)w_{\pm}\rVert\leq \lVert u-v\rVert+\lVert v-(T_v\pm i)w_{\pm}\rVert<\epsilon
$$
であるから、${\rm Ran}(T\pm i)$ は $\mathcal{H}$ で稠密である。
{{end|proof}}

===系21.7（Nelsonの解析ベクトル定理の系）===
$T$ をHilbert空間 $\mathcal{H}$ 上の対称作用素とし、$D\subset D(T)$ が次を満たすとする。
*$(1)$　$D$ は稠密な線形部分空間である。
*$(2)$　$D$ は $T$ の作用に対して不変（すなわち $T(D)\subset D$）である。
*$(3)$　$D$ の任意の元は $T$ の解析ベクトルである。 
このとき $T$ は本質的に自己共役であり、$D$ は $\overline{T}$ の芯である。
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$(1)$ より $T|_D\colon D\ni v\mapsto Tv\in \mathcal{H}$ は $\mathcal{H}$ 上の対称作用素であり、$(2)$ より、
$$
(T|_D)^nv=T^nv\quad(\forall v\in D,\forall n\in \mathbb{Z}_+)\quad\quad(*)
$$
である。$(*)$ と $(3)$ より、
$$
R_{T|_D}(v)=R_T(v)>0\quad(\forall v\in D)
$$
であるから、$D$ の任意の元は対称作用素 $T|_D$ の解析ベクトルである。よってNelsonの解析ベクトル定理（'''定理21.6'''）より $T|_D$ は本質的に自己共役である。ゆえに、
$$
\overline{T|_D}\subset \overline{T}\subset (\overline{T})^*\subset (\overline{T|_D})^*=\overline{T|_D}
$$
であるから $\overline{T}=\overline{T|_D}$ である。よって $T$ は本質的に自己共役であり、$D$ は $\overline{T}$ の芯である。
{{end|proof}}

== 参考文献 ==
* [https://amzn.to/3uDz7Vl Walter Rudin「Functional Analysis」]
* [https://amzn.to/3d66SIX Gert K. Pedersen「Analysis Now」]
* [https://amzn.to/2PVx3ct 日合、柳「ヒルベルト空間と線型作用素」]
* [https://amzn.to/2QdWrdK 新井朝雄「量子現象の数理」]
* [https://amzn.to/3txHNMX 新井朝雄「フォック空間と量子場（上）」]

== 脚注 ==