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Mathpedia - 利用者の投稿記録 [ja]
2026-05-01T15:57:52Z
利用者の投稿記録
MediaWiki 1.35.0
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冪等代数
2023-01-23T04:42:17Z
<p>Gest N: /* 非退化加群 */</p>
<hr />
<div>{{newtheorem |type=lem |counter=0 |display=補題 }}<br />
{{newtheorem |type=thm |counter=0 |display=定理 }}<br />
{{newtheorem |type=prop |counter=0 |display=命題 }}<br />
{{newtheorem |type=def |counter=0 |display=定義 }}<br />
{{newtheorem |type=cor |counter=0 |display=系 }}<br />
{{newtheorem |type=proof |counter=0 |display=証明 }}<br />
{{newtheorem |type=rem |counter=0 |display=注 }}<br />
{{newtheorem |type=exa |counter=0 |display=例 }}<br />
<br />
__MATHJAX2__<br />
<br />
この記事では、冪等代数について紹介する。冪等代数は一般に単位元を持つとは限らない非可換代数であり、[[表現論]]において活躍する。冪等代数の定義と諸性質、[[アーベル圏]]の中心、表現の圏とかかわり、いくつかの重要な関手について紹介する。また、本記事では冪等代数の例として、[[局所副有限群]]のHecke代数についても軽く触れる。<br />
<br />
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<noinclude><br />
{{TOC |align=right |noautonum=1 }}<!-- 右寄せ連番無し目次をここに表示 --><br />
</noinclude><br />
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<br />
==冪等代数==<br />
<br />
$A$ を単位的とは限らない非可換代数とし、$\mathrm{Idem}(A)=\{e\in A\mathrel{\vert} e^{2}=e\}$ を $A$ の冪等元全体のなす集合とする。<br />
$A$ の任意の有限部分集合 $\{a_{i}\}$ に対して、$a_{i}=ea_{i}e$ となるような $e\in \mathrm{Idem}(A)$ が存在するとき、このような $A$ のことを'''冪等代数(idempotent algebra)'''と呼ぶ。$A$ が冪等代数なら、明らかに <br />
$$A=\bigcup_{e\in \mathrm{Idem}(A)}eAe$$<br />
となる。$A$ は単位的とは限らないが、$eAe$ は $e$ を単位元とする非可換環である。<br />
<br />
==非退化加群==<br />
<br />
冪等代数 $A$ 上の加群、特に非退化加群について説明する。冪等代数上の非退化加群は、後に見るように表現論と強い結び付きがある。<br />
<br />
{{theorem |type=def |name=非退化加群 |label=non-degenerated modules }}<br />
*(1). 左 $A$ 加群 $M$ が $M=\bigcup_{e\in \mathrm{Idem}(A)} e*M$ を満たすとき、$M$ は $A$ 上非退化であるという。同様に右 $A$ 加群 $N$ が $N=\bigcup_{e\in \mathrm{Idem}(A)} N*e$ を満たす場合も $N$ は $A$ 上の非退化加群であるという。<br />
*(2). $M$ を左 $A$ 加群とする。このとき、$M_{A}=\bigcup_{e\in \mathrm{Idem}(A)}e*M$ は 非退化な $M$ の部分加群である。<br />
<br />
==いくつかの関手==<br />
<br />
==アーベル圏の中心==<br />
<br />
==Hecke代数==</div>
Gest N
https://math.jp/w/index.php?title=%E5%86%AA%E7%AD%89%E4%BB%A3%E6%95%B0&diff=12246
冪等代数
2023-01-23T04:31:54Z
<p>Gest N: /* 非退化加群 */</p>
<hr />
<div>{{newtheorem |type=lem |counter=0 |display=補題 }}<br />
{{newtheorem |type=thm |counter=0 |display=定理 }}<br />
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{{newtheorem |type=rem |counter=0 |display=注 }}<br />
{{newtheorem |type=exa |counter=0 |display=例 }}<br />
<br />
__MATHJAX2__<br />
<br />
この記事では、冪等代数について紹介する。冪等代数は一般に単位元を持つとは限らない非可換代数であり、[[表現論]]において活躍する。冪等代数の定義と諸性質、[[アーベル圏]]の中心、表現の圏とかかわり、いくつかの重要な関手について紹介する。また、本記事では冪等代数の例として、[[局所副有限群]]のHecke代数についても軽く触れる。<br />
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<br />
==冪等代数==<br />
<br />
$A$ を単位的とは限らない非可換代数とし、$\mathrm{Idem}(A)=\{e\in A\mathrel{\vert} e^{2}=e\}$ を $A$ の冪等元全体のなす集合とする。<br />
$A$ の任意の有限部分集合 $\{a_{i}\}$ に対して、$a_{i}=ea_{i}e$ となるような $e\in \mathrm{Idem}(A)$ が存在するとき、このような $A$ のことを'''冪等代数(idempotent algebra)'''と呼ぶ。$A$ が冪等代数なら、明らかに <br />
$$A=\bigcup_{e\in \mathrm{Idem}(A)}eAe$$<br />
となる。$A$ は単位的とは限らないが、$eAe$ は $e$ を単位元とする非可換環である。<br />
<br />
==非退化加群==<br />
<br />
冪等代数 $A$ 上の加群、特に非退化加群について説明する。冪等代数上の非退化加群は、後に見るように表現論と強い結び付きがある。<br />
<br />
{{theorem |type=def |name=非退化加群 |label=non-degenerated modules }}<br />
左 $A$ 加群 $M$ が $M=\bigcup_{e\in \mathrm{Idem}(A)} eM$ を満たすとき、$M$ は $A$ 上非退化であるという。同様に右 $A$ 加群 $N$ が $N=\bigcup_{e\in \mathrm{Idem}(A)} Ne$ を満たす場合も $N$ は $A$ 上の非退化加群であるという。<br />
<br />
==いくつかの関手==<br />
<br />
==アーベル圏の中心==<br />
<br />
==Hecke代数==</div>
Gest N
https://math.jp/w/index.php?title=%E5%86%AA%E7%AD%89%E4%BB%A3%E6%95%B0&diff=12245
冪等代数
2023-01-23T04:28:34Z
<p>Gest N: /* 非退化加群 */</p>
<hr />
<div>{{newtheorem |type=lem |counter=0 |display=補題 }}<br />
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<br />
__MATHJAX2__<br />
<br />
この記事では、冪等代数について紹介する。冪等代数は一般に単位元を持つとは限らない非可換代数であり、[[表現論]]において活躍する。冪等代数の定義と諸性質、[[アーベル圏]]の中心、表現の圏とかかわり、いくつかの重要な関手について紹介する。また、本記事では冪等代数の例として、[[局所副有限群]]のHecke代数についても軽く触れる。<br />
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==冪等代数==<br />
<br />
$A$ を単位的とは限らない非可換代数とし、$\mathrm{Idem}(A)=\{e\in A\mathrel{\vert} e^{2}=e\}$ を $A$ の冪等元全体のなす集合とする。<br />
$A$ の任意の有限部分集合 $\{a_{i}\}$ に対して、$a_{i}=ea_{i}e$ となるような $e\in \mathrm{Idem}(A)$ が存在するとき、このような $A$ のことを'''冪等代数(idempotent algebra)'''と呼ぶ。$A$ が冪等代数なら、明らかに <br />
$$A=\bigcup_{e\in \mathrm{Idem}(A)}eAe$$<br />
となる。$A$ は単位的とは限らないが、$eAe$ は $e$ を単位元とする非可換環である。<br />
<br />
==非退化加群==<br />
<br />
冪等代数 $A$ 上の加群、特に非退化加群について説明する。冪等代数上の非退化加群は、後に見るように表現論と強い結び付きがある。<br />
<br />
{{theorem |type=def |name=非退化加群 |label=non-degenerated modules }}<br />
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==いくつかの関手==<br />
<br />
==アーベル圏の中心==<br />
<br />
==Hecke代数==</div>
Gest N
https://math.jp/w/index.php?title=%E5%86%AA%E7%AD%89%E4%BB%A3%E6%95%B0&diff=12177
冪等代数
2023-01-04T13:00:47Z
<p>Gest N: /* 冪等代数 */</p>
<hr />
<div>{{newtheorem |type=lem |counter=0 |display=補題 }}<br />
{{newtheorem |type=thm |counter=0 |display=定理 }}<br />
{{newtheorem |type=prop |counter=0 |display=命題 }}<br />
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__MATHJAX2__<br />
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この記事では、冪等代数について紹介する。冪等代数は一般に単位元を持つとは限らない非可換代数であり、[[表現論]]において活躍する。冪等代数の定義と諸性質、[[アーベル圏]]の中心、表現の圏とかかわり、いくつかの重要な関手について紹介する。また、本記事では冪等代数の例として、[[局所副有限群]]のHecke代数についても軽く触れる。<br />
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==冪等代数==<br />
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$A$ を単位的とは限らない非可換代数とし、$\mathrm{Idem}(A)=\{e\in A\mathrel{\vert} e^{2}=e\}$ を $A$ の冪等元全体のなす集合とする。<br />
$A$ の任意の有限部分集合 $\{a_{i}\}$ に対して、$a_{i}=ea_{i}e$ となるような $e\in \mathrm{Idem}(A)$ が存在するとき、このような $A$ のことを'''冪等代数(idempotent algebra)'''と呼ぶ。$A$ が冪等代数なら、明らかに <br />
$$A=\bigcup_{e\in \mathrm{Idem}(A)}eAe$$<br />
となる。$A$ は単位的とは限らないが、$eAe$ は $e$ を単位元とする非可換環である。<br />
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==非退化加群==<br />
<br />
冪等代数 $A$ 上の加群、特に非退化加群について説明する。冪等代数上の非退化加群は、後に見るように表現論と強い結び付きがある。<br />
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==いくつかの関手==<br />
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==アーベル圏の中心==<br />
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==Hecke代数==</div>
Gest N
https://math.jp/w/index.php?title=%E5%86%AA%E7%AD%89%E4%BB%A3%E6%95%B0&diff=12176
冪等代数
2023-01-04T13:00:00Z
<p>Gest N: /* 冪等代数 */</p>
<hr />
<div>{{newtheorem |type=lem |counter=0 |display=補題 }}<br />
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__MATHJAX2__<br />
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この記事では、冪等代数について紹介する。冪等代数は一般に単位元を持つとは限らない非可換代数であり、[[表現論]]において活躍する。冪等代数の定義と諸性質、[[アーベル圏]]の中心、表現の圏とかかわり、いくつかの重要な関手について紹介する。また、本記事では冪等代数の例として、[[局所副有限群]]のHecke代数についても軽く触れる。<br />
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==冪等代数==<br />
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$A$ を単位的とは限らない非可換代数とし、$\mathrm{Idem}(A)=\{e\in A\mathrel{\vert} e^{2}=e\}$ を $A$ の冪等元全体のなす集合とする。<br />
$A$ の任意の有限部分集合 $\{a_{i}\}$ に対して、$$a_{i}=ea_{i}e$$ となるような $e\in \mathrm{Idem}(A)$ が存在するとき、このような $A$ のことを'''冪等代数(idempotent algebra)'''と呼ぶ。$A$ が冪等代数なら、明らかに $A=\bigcup_{e\in \mathrm{Idem}(A)}eAe$ <br />
となる。$A$ は単位的とは限らないが、$eAe$ は $e$ を単位元とする非可換環である。<br />
<br />
==非退化加群==<br />
<br />
冪等代数 $A$ 上の加群、特に非退化加群について説明する。冪等代数上の非退化加群は、後に見るように表現論と強い結び付きがある。<br />
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==いくつかの関手==<br />
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==アーベル圏の中心==<br />
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==Hecke代数==</div>
Gest N
https://math.jp/w/index.php?title=%E5%86%AA%E7%AD%89%E4%BB%A3%E6%95%B0&diff=12175
冪等代数
2023-01-04T12:55:39Z
<p>Gest N: /* 非退化加群 */</p>
<hr />
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この記事では、冪等代数について紹介する。冪等代数は一般に単位元を持つとは限らない非可換代数であり、[[表現論]]において活躍する。冪等代数の定義と諸性質、[[アーベル圏]]の中心、表現の圏とかかわり、いくつかの重要な関手について紹介する。また、本記事では冪等代数の例として、[[局所副有限群]]のHecke代数についても軽く触れる。<br />
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==冪等代数==<br />
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$A$ を単位的とは限らない非可換代数とし、$\mathrm{Idem}(A)=\{e\in A\mathrel{\vert} e^{2}=e\}$ を $A$ の冪等元全体のなす集合とする。<br />
$A$ の任意の有限部分集合 $\{a_{i}\}$ に対して、$$a_{i}=ea_{i}e$$ となるような $e\in \mathrm{Idem}(A)$ が存在するとき、このような $A$ のことを'''冪等代数(idempotent algebra)'''と呼ぶ。$A$ が冪等代数なら、明らかに<br />
$$<br />
A=\bigcup_{e\in \mathrm{Idem}(A)}eAe<br />
$$<br />
となる。$A$ は単位的とは限らないが、$eAe$ は $e$ を単位元とする非可換環である。<br />
<br />
==非退化加群==<br />
<br />
冪等代数 $A$ 上の加群、特に非退化加群について説明する。冪等代数上の非退化加群は、後に見るように表現論と強い結び付きがある。<br />
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==いくつかの関手==<br />
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==アーベル圏の中心==<br />
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==Hecke代数==</div>
Gest N
https://math.jp/w/index.php?title=%E5%86%AA%E7%AD%89%E4%BB%A3%E6%95%B0&diff=12160
冪等代数
2023-01-01T03:50:29Z
<p>Gest N: /* 冪等代数 */</p>
<hr />
<div>{{newtheorem |type=lem |counter=0 |display=補題 }}<br />
{{newtheorem |type=thm |counter=0 |display=定理 }}<br />
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__MATHJAX2__<br />
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この記事では、冪等代数について紹介する。冪等代数は一般に単位元を持つとは限らない非可換代数であり、[[表現論]]において活躍する。冪等代数の定義と諸性質、[[アーベル圏]]の中心、表現の圏とかかわり、いくつかの重要な関手について紹介する。また、本記事では冪等代数の例として、[[局所副有限群]]のHecke代数についても軽く触れる。<br />
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==冪等代数==<br />
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$A$ を単位的とは限らない非可換代数とし、$\mathrm{Idem}(A)=\{e\in A\mathrel{\vert} e^{2}=e\}$ を $A$ の冪等元全体のなす集合とする。<br />
$A$ の任意の有限部分集合 $\{a_{i}\}$ に対して、$$a_{i}=ea_{i}e$$ となるような $e\in \mathrm{Idem}(A)$ が存在するとき、このような $A$ のことを'''冪等代数(idempotent algebra)'''と呼ぶ。$A$ が冪等代数なら、明らかに<br />
$$<br />
A=\bigcup_{e\in \mathrm{Idem}(A)}eAe<br />
$$<br />
となる。$A$ は単位的とは限らないが、$eAe$ は $e$ を単位元とする非可換環である。<br />
<br />
==非退化加群==<br />
<br />
==いくつかの関手==<br />
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==アーベル圏の中心==<br />
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==Hecke代数==</div>
Gest N
https://math.jp/w/index.php?title=%E5%86%AA%E7%AD%89%E4%BB%A3%E6%95%B0&diff=12159
冪等代数
2023-01-01T03:48:09Z
<p>Gest N: /* 冪等代数 */</p>
<hr />
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__MATHJAX2__<br />
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この記事では、冪等代数について紹介する。冪等代数は一般に単位元を持つとは限らない非可換代数であり、[[表現論]]において活躍する。冪等代数の定義と諸性質、[[アーベル圏]]の中心、表現の圏とかかわり、いくつかの重要な関手について紹介する。また、本記事では冪等代数の例として、[[局所副有限群]]のHecke代数についても軽く触れる。<br />
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==冪等代数==<br />
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$A$ を単位的とは限らない非可換代数とし、$\mathrm{Idem}(A)=\{e\in A\mathrel{\vert} e^{2}=e\}$ を $A$ の冪等元全体のなす集合とする。<br />
$A$ の任意の有限部分集合 $\{a_{i}\}$ に対して、$$a_{i}=ea_{i}e$$ となるような $e\in \mathrm{Idem}(A)$ が存在するとき、このような $A$ のことを'''冪等代数(idempotent algebra)'''と呼ぶ。<br />
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==非退化加群==<br />
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==いくつかの関手==<br />
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==アーベル圏の中心==<br />
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==Hecke代数==</div>
Gest N
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冪等代数
2023-01-01T03:44:06Z
<p>Gest N: /* 冪等代数 */</p>
<hr />
<div>{{newtheorem |type=lem |counter=0 |display=補題 }}<br />
{{newtheorem |type=thm |counter=0 |display=定理 }}<br />
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__MATHJAX2__<br />
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この記事では、冪等代数について紹介する。冪等代数は一般に単位元を持つとは限らない非可換代数であり、[[表現論]]において活躍する。冪等代数の定義と諸性質、[[アーベル圏]]の中心、表現の圏とかかわり、いくつかの重要な関手について紹介する。また、本記事では冪等代数の例として、[[局所副有限群]]のHecke代数についても軽く触れる。<br />
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==冪等代数==<br />
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$A$ を単位的とは限らない非可換代数とし、$\mathrm{Idem}(A)=\{e\in A\mathrel{\vert} e^{2}=e\}$ を $A$ の冪等元全体のなす集合とする。<br />
$A$ の任意の有限部分集合 $\{a_{i}\}$ に対して、<br />
$$<br />
a_{i}=ea_{i}e <br />
$$<br />
となるような $e\in \mathrm{Idem}(A)$ が存在するとき、このような $A$ のことを'''冪等代数(idempotent algebra)'''と呼ぶ。<br />
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==非退化加群==<br />
<br />
==いくつかの関手==<br />
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==アーベル圏の中心==<br />
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==Hecke代数==</div>
Gest N
https://math.jp/w/index.php?title=%E5%86%AA%E7%AD%89%E4%BB%A3%E6%95%B0&diff=12155
冪等代数
2023-01-01T03:39:03Z
<p>Gest N: /* 冪等代数 */</p>
<hr />
<div>{{newtheorem |type=lem |counter=0 |display=補題 }}<br />
{{newtheorem |type=thm |counter=0 |display=定理 }}<br />
{{newtheorem |type=prop |counter=0 |display=命題 }}<br />
{{newtheorem |type=def |counter=0 |display=定義 }}<br />
{{newtheorem |type=cor |counter=0 |display=系 }}<br />
{{newtheorem |type=proof |counter=0 |display=証明 }}<br />
{{newtheorem |type=rem |counter=0 |display=注 }}<br />
{{newtheorem |type=exa |counter=0 |display=例 }}<br />
<br />
__MATHJAX2__<br />
<br />
この記事では、冪等代数について紹介する。冪等代数は一般に単位元を持つとは限らない非可換代数であり、[[表現論]]において活躍する。冪等代数の定義と諸性質、[[アーベル圏]]の中心、表現の圏とかかわり、いくつかの重要な関手について紹介する。また、本記事では冪等代数の例として、[[局所副有限群]]のHecke代数についても軽く触れる。<br />
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==冪等代数==<br />
<br />
$A$ を単位的とは限らない非可換代数とし、$\mathrm{Idem}(A)=\{e\in A\mathrel{\vert} e^{2}=e\}$ を $A$ の冪等元全体のなす集合とする。<br />
<br />
==非退化加群==<br />
<br />
==いくつかの関手==<br />
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==アーベル圏の中心==<br />
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==Hecke代数==</div>
Gest N
https://math.jp/w/index.php?title=%E5%86%AA%E7%AD%89%E4%BB%A3%E6%95%B0&diff=12097
冪等代数
2022-12-13T04:45:23Z
<p>Gest N: </p>
<hr />
<div>{{newtheorem |type=lem |counter=0 |display=補題 }}<br />
{{newtheorem |type=thm |counter=0 |display=定理 }}<br />
{{newtheorem |type=prop |counter=0 |display=命題 }}<br />
{{newtheorem |type=def |counter=0 |display=定義 }}<br />
{{newtheorem |type=cor |counter=0 |display=系 }}<br />
{{newtheorem |type=proof |counter=0 |display=証明 }}<br />
{{newtheorem |type=rem |counter=0 |display=注 }}<br />
{{newtheorem |type=exa |counter=0 |display=例 }}<br />
<br />
__MATHJAX2__<br />
<br />
この記事では、冪等代数について紹介する。冪等代数は一般に単位元を持つとは限らない非可換代数であり、[[表現論]]において活躍する。冪等代数の定義と諸性質、[[アーベル圏]]の中心、表現の圏とかかわり、いくつかの重要な関手について紹介する。また、本記事では冪等代数の例として、[[局所副有限群]]のHecke代数についても軽く触れる。<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<noinclude><br />
{{TOC |align=right |noautonum=1 }}<!-- 右寄せ連番無し目次をここに表示 --><br />
</noinclude><br />
<br />
<br />
==冪等代数==<br />
<br />
==非退化加群==<br />
<br />
==いくつかの関手==<br />
<br />
==アーベル圏の中心==<br />
<br />
==Hecke代数==</div>
Gest N
https://math.jp/w/index.php?title=%E5%86%AA%E7%AD%89%E4%BB%A3%E6%95%B0&diff=12096
冪等代数
2022-12-13T04:43:59Z
<p>Gest N: ページの作成:「{{newtheorem |type=lem |counter=0 |display=補題 }} {{newtheorem |type=thm |counter=0 |display=定理 }} {{newtheorem |type=prop |counter=0 |display=命題 }} {{newtheor…」</p>
<hr />
<div>{{newtheorem |type=lem |counter=0 |display=補題 }}<br />
{{newtheorem |type=thm |counter=0 |display=定理 }}<br />
{{newtheorem |type=prop |counter=0 |display=命題 }}<br />
{{newtheorem |type=def |counter=0 |display=定義 }}<br />
{{newtheorem |type=cor |counter=0 |display=系 }}<br />
{{newtheorem |type=proof |counter=0 |display=証明 }}<br />
{{newtheorem |type=rem |counter=0 |display=注 }}<br />
{{newtheorem |type=exa |counter=0 |display=例 }}<br />
<br />
__MATHJAX2__<br />
<br />
この記事では、冪等代数について紹介する。冪等代数は一般に単位元を持つとは限らない非可換代数であり、[[表現論]]において活躍する。冪等代数の定義と諸性質、[[アーベル圏]]の中心、表現の圏とかかわり、いくつかの重要な関手について紹介する。また、本記事では冪等代数の例として、[[局所副有限群]]のHecke代数についても軽く触れる。<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<noinclude><br />
{{TOC |align=right |noautonum=1 }}<!-- 右寄せ連番無し目次をここに表示 --><br />
</noinclude></div>
Gest N
https://math.jp/w/index.php?title=%E5%88%A9%E7%94%A8%E8%80%85:Gest_N&diff=12095
利用者:Gest N
2022-12-13T04:38:23Z
<p>Gest N: /* 小さいテーマ */</p>
<hr />
<div>{{restrictPage |editableBy=Gest N }}<br />
<br />
正確には $\mathfrak{gest}$ N. だが特にこだわりはありません。<br />
<br />
==記事について==<br />
{{restrictPage |editableBy=Gest N }}<br />
*[[代数的整数論の基礎]]<br />
*[[モチヴィックコホモロジー]]<br />
*[[Galois圏]]<br />
*[[$p$ 進簡約群の表現論]]<br />
*[[局所副有限群の表現]]<br />
*[[放物型誘導表現と尖点表現]]<br />
*[[クリスタル]]<br />
*[[WittベクトルとWitt環]]<br />
*[[Dieudonne加群とBarsotti-Tate群]]<br />
*[[形式群とDrinfeld加群]]<br />
*[[Lubin-Tate空間]]<br />
*[[モチーフとホモトピー]]<br />
*[[群のコホモロジー]]<br />
*[[局所類体論]] <br />
*[[大域類体論]]<br />
*[[分岐群]]<br />
*[[Coxeter系]]<br />
*[[Tits系、BN対]]<br />
*[[建物]]<br />
*[[付値付きルートデータ]]<br />
*[[Bruhat-Tits理論]]<br />
<br />
==小さいテーマ==<br />
*[[局所副有限空間の幾何学]]<br />
<br />
*[[ルート系]]<br />
<br />
*[[Milnor K群]]<br />
<br />
*[[高次元局所体]]<br />
<br />
*[[Coxeter複体]]<br />
<br />
*[[冪等代数]]</div>
Gest N
https://math.jp/w/index.php?title=Coxeter%E8%A4%87%E4%BD%93&diff=12018
Coxeter複体
2022-11-18T11:41:26Z
<p>Gest N: /* Coxeter複体 */</p>
<hr />
<div>{{newtheorem |type=lem |counter=0 |display=補題 }}<br />
{{newtheorem |type=thm |counter=0 |display=定理 }}<br />
{{newtheorem |type=prop |counter=0 |display=命題 }}<br />
{{newtheorem |type=def |counter=0 |display=定義 }}<br />
{{newtheorem |type=cor |counter=0 |display=系 }}<br />
{{newtheorem |type=proof |counter=0 |display=証明 }}<br />
{{newtheorem |type=rem |counter=0 |display=注 }}<br />
{{newtheorem |type=exa |counter=0 |display=例 }}<br />
<br />
__MATHJAX2__<br />
<br />
この記事では、Coxeter複体について紹介する。Coxeter複体は[[Coxeter系]]を幾何学的な視点を与える。この記事では、[[建物]]の理論の準備として執筆されている。Coxeter複体でも特に重要な球体型、アファイン型なものについて説明する。これらは、[[簡約群]]の構造を調べるために重要なものになっている。<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<noinclude><br />
{{TOC |align=right |noautonum=1 }}<!-- 右寄せ連番無し目次をここに表示 --><br />
</noinclude><br />
<br />
<br />
<br />
==部屋複体==<br />
===部屋複体の定義===<br />
{{theorem |type=def |label=simplicial complex}}<br />
$\mathcal{V}$ を集合とする。$V$ の有限部分集合のなすある集合 $\Delta\subset \mathcal{P}_{f}(\mathcal{V})$ が次の二つの条件を満たすとき、$\Delta$ を'''単体複体(simplicial complex)'''と呼ぶ。<br />
*(1). 任意の $v\in \mathcal{V}$ に対して $\{v\}\in \Delta$ である。<br />
*(2). $A\in \Delta$ かつ $B\subset A$ ならば $B\in \Delta$ である。<br />
$\Delta$ の元のことを'''単体(simplex)'''と呼び、単体 $A$ の部分集合を $B$ の'''面(face)'''と呼ぶ。単体 $A$ の濃度のことを $A$ のランクといい、$\mathrm{rank} A-1$ を $A$ の次元という。次元が一つ低い面のことを'''切子面(facet)'''という。二つの単体 $A_{1},A_{2}$ が隣接しているとは、$A_{1}\cap A_{2}$ が $A_{1},A_{2}$ の切子面であるときにいう。<br />
<br />
{{theorem |type=def |label=simplicial map}}<br />
$X,Y$ を単体複体とする。$X$ の頂点集合 $\mathcal{V}_{X}$ から $Y$ の頂点集合 $\mathcal{V}_{Y}$ への写像から誘導される写像 $f\colon X\longrightarrow Y$ のことを単体複体の射と呼ぶ。<br />
<br />
{{theorem |type=def |label=chamber complex}}<br />
$\Delta$ を[[単体複体]]とする。$\Delta$ が次の二つの条件を満たすとき、$\Delta$ のことを'''部屋複体(chamber complex)'''と呼ぶ。<br />
*(1). $\Delta$ の極大単体はすべて等次元である。<br />
*(2). $\Delta$ の二つの極大単体 $C,D$ に対して有限個の極大単体 $C=C_{0},C_{1},\ldots,C_{n}=D$ があり、$C_{i}$ と $C_{i+1}$ が隣接するようなものが存在する。<br />
部屋複体 $\Delta$ の極大単体のことを'''部屋(chamber)'''といい (2) の部屋の列のことを $C,D$ を結ぶ'''回廊(garelly)'''と呼ぶ。(2)の $n$ のことをこの回廊の長さと呼ぶ。もし、これより短いような $C$ と $D$ を結ぶ回廊が存在しないとき $n=d(C,D)$ と書き、$n$ を $C$ と $D$ の間の距離という。さらにこのとき、この回廊は最短であるという。<br />
<br />
{{theorem |type=def |label=link,closure}}<br />
*(1) $\Delta$ の単体 $A$ に対して、$\overline{A}$ を $A$ の面全体とすると、これは単体複体になる。これを $A$ の閉包と呼ぶ。<br />
*(2) $\mathrm{lk}_{\Delta}(A)$ を $A$ と交わらない単体 $B\in \Delta$ 全体のなす集合とする。これは $\Delta$ の部分複体である。<br />
<br />
{{theorem |type=def |label=thin, thick}}<br />
$\Delta$ を部屋複体とする。$\Delta$ の任意の切子面 $F$ に対して $F$ を面として持つ部屋がちょうど二つのとき、$\Delta$ は'''薄い部屋複体(thin chamber complex)'''といい、$F$ を面として持つ部屋が三つ以上なら $\Delta$ は'''厚い部屋複体(thick chamber complex)'''という。<br />
<br />
{{theorem |type=def |label=map}}<br />
単体複体の射 $f\colon X\longrightarrow Y$ が$X$ の部屋を $Y$ の部屋に移すとき、$f$ は部屋複体の間の射であるという。<br />
<br />
{{theorem |type=lem |name=uniqueness lemma |label=uniqueness}}<br />
$\Delta$ を部屋複体、$\Sigma$ を薄い部屋複体とする。$C$ を $\Delta$ の部屋とする。$f_{1},f_{2}\colon \Delta\longrightarrow \Sigma$ を部屋複体の射とする。もし、$f_{1}(C)=f_{2}(C)$ かつ $f_{1},f_{2}$ が $C$ から始まる回廊を $\Sigma$ の回廊に写すなら、$f_{1}=f_{2}$ である。<br />
{{begin|proof}}<br />
$f_{1}=f_{2}$ を示すには、$\Delta$ の任意の部屋 $D$ に対して、$f_{1}(D)=f_{2}(D)$ であることを示せば十分である。$\gamma\colon C=C_{0},C_{1},\ldots, C_{n}=D$ を $C,D$ を結ぶ $\Delta$ の回廊とする。このとき、$f_{1}(C_{i})=f_{2}(C_{i})$ であることを $i$ についての帰納法で示す。$f_{1}(C_{i})=f_{2}(C_{i})$ と仮定して、$f_{1}(C_{i+1})=f_{2}(C_{i+1})$ であることを示そう。二つの部屋 $f_{1}(C_{i+1}).f_{2}(C_{i+1})$ は $f_{1}(C_{i})=f_{2}(C_{i})$ と隣接し、その共通部分は切面子 $f_{1}(C_{i}\cap C_{i+1})=f_{2}(C_{i}\cap C_{i+1})$ である。一方で、$\Sigma$ は薄い部屋複体なので、この切面子を含む部屋、$f_{1}(C_{i})=f_{2}(C_{i}),f_{1}(C_{i+1}),f_{2}(C_{i+1})$ のうち、二つは等しいことが分かる。一方で、<br />
$$f_{1}\gamma\colon f_{1}(C_{0}),\ldots,f_{1}(C_{n}),$$<br />
$$f_{2}\gamma\colon f_{1}(C_{0}),\ldots,f_{2}(C_{n})$$<br />
は回廊なので、$f_{1}(C_{i+1}),f_{2}(C_{i+1})$ は $f_{1}(C_{i})=f_{2}(C_{i})$ と等しくない。よって、$f_{1}(C_{i+1})=f_{2}(C_{i+1})$ となる。よって、帰納法より、$f_{1}(D)=f_{2}(D)$ が分かる。$D$ は$\Delta$ の任意の部屋だったので、$f_{1}=f_{2}$ が分かる。<br />
{{end|proof}}<br />
<br />
===順序集合と単体複体===<br />
<br />
{{theorem |type=prop |label=simplexlikepartialorderedset}}<br />
単体複体 $\Delta$ は包含関係によって半順序集合になる。逆に、半順序集合 $\Delta$ が次の二つの条件を満たすとき、$\Delta$ は自然に単体複体と見なせる。<br />
*(a). 二つの元 $A,B\in \Delta$ に対して、下限 $A\cap B:=\sup\{C\in \Delta\mathrel{\vert} C\leq A,B\}$ が存在する。<br />
*(b). 任意の $A\in \Delta$ に対し、ある自然数 $r\geq 0$ が存在し $\Delta_{\leq A}$ は半順序集合として $(\mathcal{P}(\{1,2,\ldots,r\}),\subset)$ と同型である。<br />
{{begin|proof}}<br />
<br />
{{end|proof}}<br />
<br />
誤解の恐れがない場合、所定の条件を満たすような半順序集合と単体複体を区別しないこともある。<br />
<br />
==Coxeter複体==<br />
<br />
{{theorem |type=def |label=Coxeter complex}}<br />
$(W,S)$ を[[Coxeter系]]とする。$S$ を有限集合とする。放物型部分群による剰余類の集合<br />
$$<br />
\Sigma(W,S)=\{wW_{I}\mathrel{\vert} w\in W,I\subset S\}<br />
$$<br />
に包含関係とは逆向きの順序を定めることにより、$\Sigma(W,S)$ は部屋複体になる。これのことを'''Coxeter複体(Coxeter complex)'''と呼ぶ。<br />
<br />
$\Sigma(W,S)$ の部屋は一つの元からなるシングルトン $wW_{\phi}=\{w\}$ である。切面子は一つの単純鏡映 $s\in S$ からなる部分集合 $I=\{s\}$ で生成された $W$ の部分群 $W_{I}=\{1,s\}$ による剰余類 $w\{1,s\}=\{w,ws\}$ である。よって、$\Sigma(W,S)$ は薄い部屋複体である。二つの部屋 $\{w_{1}\},\{w_{2}\}$ に対して、<br />
$$<br />
w_{1}^{-1}w_{2}=s_{1}\cdots s_{h}<br />
$$<br />
を $S$ の元による積表示とする。このとき <br />
$$<br />
\{w_{1}\}, \{w_{1}s_{1}\}, \{w_{1}s_{1}s_{2}\},\ldots, \{w_{1}s_{1}\cdots s_{h}\}=\{w_{2}\}<br />
$$<br />
は$\{w_{1}\}$ と $\{w_{2}\}$ を結ぶ回廊である。もし $s_{1}\cdots s_{h}$ が簡約表示なら $h=d(\{w_{1}\},\{w_{2}\})$ である。<br />
<br />
==球体型の場合==<br />
<br />
{{theorem |type=def |label=spherical}}<br />
$W$ が有限群のとき、Coxeter複体 $\Sigma(W,S)$ は'''球体型(spherical type)'''であるという。<br />
<br />
==アファイン型の場合==<br />
<br />
==関連項目==</div>
Gest N
https://math.jp/w/index.php?title=Coxeter%E8%A4%87%E4%BD%93&diff=12017
Coxeter複体
2022-11-18T11:40:18Z
<p>Gest N: /* Coxeter複体 */</p>
<hr />
<div>{{newtheorem |type=lem |counter=0 |display=補題 }}<br />
{{newtheorem |type=thm |counter=0 |display=定理 }}<br />
{{newtheorem |type=prop |counter=0 |display=命題 }}<br />
{{newtheorem |type=def |counter=0 |display=定義 }}<br />
{{newtheorem |type=cor |counter=0 |display=系 }}<br />
{{newtheorem |type=proof |counter=0 |display=証明 }}<br />
{{newtheorem |type=rem |counter=0 |display=注 }}<br />
{{newtheorem |type=exa |counter=0 |display=例 }}<br />
<br />
__MATHJAX2__<br />
<br />
この記事では、Coxeter複体について紹介する。Coxeter複体は[[Coxeter系]]を幾何学的な視点を与える。この記事では、[[建物]]の理論の準備として執筆されている。Coxeter複体でも特に重要な球体型、アファイン型なものについて説明する。これらは、[[簡約群]]の構造を調べるために重要なものになっている。<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<noinclude><br />
{{TOC |align=right |noautonum=1 }}<!-- 右寄せ連番無し目次をここに表示 --><br />
</noinclude><br />
<br />
<br />
<br />
==部屋複体==<br />
===部屋複体の定義===<br />
{{theorem |type=def |label=simplicial complex}}<br />
$\mathcal{V}$ を集合とする。$V$ の有限部分集合のなすある集合 $\Delta\subset \mathcal{P}_{f}(\mathcal{V})$ が次の二つの条件を満たすとき、$\Delta$ を'''単体複体(simplicial complex)'''と呼ぶ。<br />
*(1). 任意の $v\in \mathcal{V}$ に対して $\{v\}\in \Delta$ である。<br />
*(2). $A\in \Delta$ かつ $B\subset A$ ならば $B\in \Delta$ である。<br />
$\Delta$ の元のことを'''単体(simplex)'''と呼び、単体 $A$ の部分集合を $B$ の'''面(face)'''と呼ぶ。単体 $A$ の濃度のことを $A$ のランクといい、$\mathrm{rank} A-1$ を $A$ の次元という。次元が一つ低い面のことを'''切子面(facet)'''という。二つの単体 $A_{1},A_{2}$ が隣接しているとは、$A_{1}\cap A_{2}$ が $A_{1},A_{2}$ の切子面であるときにいう。<br />
<br />
{{theorem |type=def |label=simplicial map}}<br />
$X,Y$ を単体複体とする。$X$ の頂点集合 $\mathcal{V}_{X}$ から $Y$ の頂点集合 $\mathcal{V}_{Y}$ への写像から誘導される写像 $f\colon X\longrightarrow Y$ のことを単体複体の射と呼ぶ。<br />
<br />
{{theorem |type=def |label=chamber complex}}<br />
$\Delta$ を[[単体複体]]とする。$\Delta$ が次の二つの条件を満たすとき、$\Delta$ のことを'''部屋複体(chamber complex)'''と呼ぶ。<br />
*(1). $\Delta$ の極大単体はすべて等次元である。<br />
*(2). $\Delta$ の二つの極大単体 $C,D$ に対して有限個の極大単体 $C=C_{0},C_{1},\ldots,C_{n}=D$ があり、$C_{i}$ と $C_{i+1}$ が隣接するようなものが存在する。<br />
部屋複体 $\Delta$ の極大単体のことを'''部屋(chamber)'''といい (2) の部屋の列のことを $C,D$ を結ぶ'''回廊(garelly)'''と呼ぶ。(2)の $n$ のことをこの回廊の長さと呼ぶ。もし、これより短いような $C$ と $D$ を結ぶ回廊が存在しないとき $n=d(C,D)$ と書き、$n$ を $C$ と $D$ の間の距離という。さらにこのとき、この回廊は最短であるという。<br />
<br />
{{theorem |type=def |label=link,closure}}<br />
*(1) $\Delta$ の単体 $A$ に対して、$\overline{A}$ を $A$ の面全体とすると、これは単体複体になる。これを $A$ の閉包と呼ぶ。<br />
*(2) $\mathrm{lk}_{\Delta}(A)$ を $A$ と交わらない単体 $B\in \Delta$ 全体のなす集合とする。これは $\Delta$ の部分複体である。<br />
<br />
{{theorem |type=def |label=thin, thick}}<br />
$\Delta$ を部屋複体とする。$\Delta$ の任意の切子面 $F$ に対して $F$ を面として持つ部屋がちょうど二つのとき、$\Delta$ は'''薄い部屋複体(thin chamber complex)'''といい、$F$ を面として持つ部屋が三つ以上なら $\Delta$ は'''厚い部屋複体(thick chamber complex)'''という。<br />
<br />
{{theorem |type=def |label=map}}<br />
単体複体の射 $f\colon X\longrightarrow Y$ が$X$ の部屋を $Y$ の部屋に移すとき、$f$ は部屋複体の間の射であるという。<br />
<br />
{{theorem |type=lem |name=uniqueness lemma |label=uniqueness}}<br />
$\Delta$ を部屋複体、$\Sigma$ を薄い部屋複体とする。$C$ を $\Delta$ の部屋とする。$f_{1},f_{2}\colon \Delta\longrightarrow \Sigma$ を部屋複体の射とする。もし、$f_{1}(C)=f_{2}(C)$ かつ $f_{1},f_{2}$ が $C$ から始まる回廊を $\Sigma$ の回廊に写すなら、$f_{1}=f_{2}$ である。<br />
{{begin|proof}}<br />
$f_{1}=f_{2}$ を示すには、$\Delta$ の任意の部屋 $D$ に対して、$f_{1}(D)=f_{2}(D)$ であることを示せば十分である。$\gamma\colon C=C_{0},C_{1},\ldots, C_{n}=D$ を $C,D$ を結ぶ $\Delta$ の回廊とする。このとき、$f_{1}(C_{i})=f_{2}(C_{i})$ であることを $i$ についての帰納法で示す。$f_{1}(C_{i})=f_{2}(C_{i})$ と仮定して、$f_{1}(C_{i+1})=f_{2}(C_{i+1})$ であることを示そう。二つの部屋 $f_{1}(C_{i+1}).f_{2}(C_{i+1})$ は $f_{1}(C_{i})=f_{2}(C_{i})$ と隣接し、その共通部分は切面子 $f_{1}(C_{i}\cap C_{i+1})=f_{2}(C_{i}\cap C_{i+1})$ である。一方で、$\Sigma$ は薄い部屋複体なので、この切面子を含む部屋、$f_{1}(C_{i})=f_{2}(C_{i}),f_{1}(C_{i+1}),f_{2}(C_{i+1})$ のうち、二つは等しいことが分かる。一方で、<br />
$$f_{1}\gamma\colon f_{1}(C_{0}),\ldots,f_{1}(C_{n}),$$<br />
$$f_{2}\gamma\colon f_{1}(C_{0}),\ldots,f_{2}(C_{n})$$<br />
は回廊なので、$f_{1}(C_{i+1}),f_{2}(C_{i+1})$ は $f_{1}(C_{i})=f_{2}(C_{i})$ と等しくない。よって、$f_{1}(C_{i+1})=f_{2}(C_{i+1})$ となる。よって、帰納法より、$f_{1}(D)=f_{2}(D)$ が分かる。$D$ は$\Delta$ の任意の部屋だったので、$f_{1}=f_{2}$ が分かる。<br />
{{end|proof}}<br />
<br />
===順序集合と単体複体===<br />
<br />
{{theorem |type=prop |label=simplexlikepartialorderedset}}<br />
単体複体 $\Delta$ は包含関係によって半順序集合になる。逆に、半順序集合 $\Delta$ が次の二つの条件を満たすとき、$\Delta$ は自然に単体複体と見なせる。<br />
*(a). 二つの元 $A,B\in \Delta$ に対して、下限 $A\cap B:=\sup\{C\in \Delta\mathrel{\vert} C\leq A,B\}$ が存在する。<br />
*(b). 任意の $A\in \Delta$ に対し、ある自然数 $r\geq 0$ が存在し $\Delta_{\leq A}$ は半順序集合として $(\mathcal{P}(\{1,2,\ldots,r\}),\subset)$ と同型である。<br />
{{begin|proof}}<br />
<br />
{{end|proof}}<br />
<br />
誤解の恐れがない場合、所定の条件を満たすような半順序集合と単体複体を区別しないこともある。<br />
<br />
==Coxeter複体==<br />
<br />
{{theorem |type=def |label=Coxeter complex}}<br />
$(W,S)$ を[[Coxeter系]]とする。$S$ を有限集合とする。放物型部分群による剰余類の集合<br />
$$<br />
\Sigma(W,S)=\{wW_{I}\mathrel{\vert} w\in W,I\subset S\}<br />
$$<br />
に包含関係とは逆向きの順序を定めることにより、$\Sigma(W,S)$ は部屋複体になる。これのことを'''Coxeter複体(Coxeter complex)'''と呼ぶ。<br />
<br />
$\Sigma(W,S)$ の部屋は一つの元からなるシングルトン $wW_{\phi}=\{w\}$ である。切面子は一つの単純鏡映 $s\in S$ からなる部分集合 $I=\{s\}$ で生成された $W$ の部分群 $W_{I}=\{1,s\}$ による剰余類 $w\{1,s\}=\{w,ws\}$ である。よって、$\Sigma(W,S)$ は薄い部屋複体である。二つの部屋 $\{w_{1}\},\{w_{2}\}$ に対して、<br />
$$<br />
w_{1}^{-1}w_{2}=s_{1}\cdots s_{h}<br />
$$<br />
を $S$ の元による積表示とする。このとき <br />
$$<br />
\{w_{1}\}, \{w_{1}s_{1}\}, \{w_{1}s_{1}s_{2}\},\ldots, \{w_{1}s_{1}\cdots s_{h}\}=\{w_{2}\}<br />
$$<br />
は$\{w_{1}\}$ と $\{w_{2}\}$ を結ぶ回廊である。もし $s_{1}\cdots s_{h}$ が<br />
<br />
==球体型の場合==<br />
<br />
{{theorem |type=def |label=spherical}}<br />
$W$ が有限群のとき、Coxeter複体 $\Sigma(W,S)$ は'''球体型(spherical type)'''であるという。<br />
<br />
==アファイン型の場合==<br />
<br />
==関連項目==</div>
Gest N
https://math.jp/w/index.php?title=Coxeter%E8%A4%87%E4%BD%93&diff=12016
Coxeter複体
2022-11-18T11:39:24Z
<p>Gest N: /* 部屋複体の定義 */</p>
<hr />
<div>{{newtheorem |type=lem |counter=0 |display=補題 }}<br />
{{newtheorem |type=thm |counter=0 |display=定理 }}<br />
{{newtheorem |type=prop |counter=0 |display=命題 }}<br />
{{newtheorem |type=def |counter=0 |display=定義 }}<br />
{{newtheorem |type=cor |counter=0 |display=系 }}<br />
{{newtheorem |type=proof |counter=0 |display=証明 }}<br />
{{newtheorem |type=rem |counter=0 |display=注 }}<br />
{{newtheorem |type=exa |counter=0 |display=例 }}<br />
<br />
__MATHJAX2__<br />
<br />
この記事では、Coxeter複体について紹介する。Coxeter複体は[[Coxeter系]]を幾何学的な視点を与える。この記事では、[[建物]]の理論の準備として執筆されている。Coxeter複体でも特に重要な球体型、アファイン型なものについて説明する。これらは、[[簡約群]]の構造を調べるために重要なものになっている。<br />
<br />
<br />
<br />
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<noinclude><br />
{{TOC |align=right |noautonum=1 }}<!-- 右寄せ連番無し目次をここに表示 --><br />
</noinclude><br />
<br />
<br />
<br />
==部屋複体==<br />
===部屋複体の定義===<br />
{{theorem |type=def |label=simplicial complex}}<br />
$\mathcal{V}$ を集合とする。$V$ の有限部分集合のなすある集合 $\Delta\subset \mathcal{P}_{f}(\mathcal{V})$ が次の二つの条件を満たすとき、$\Delta$ を'''単体複体(simplicial complex)'''と呼ぶ。<br />
*(1). 任意の $v\in \mathcal{V}$ に対して $\{v\}\in \Delta$ である。<br />
*(2). $A\in \Delta$ かつ $B\subset A$ ならば $B\in \Delta$ である。<br />
$\Delta$ の元のことを'''単体(simplex)'''と呼び、単体 $A$ の部分集合を $B$ の'''面(face)'''と呼ぶ。単体 $A$ の濃度のことを $A$ のランクといい、$\mathrm{rank} A-1$ を $A$ の次元という。次元が一つ低い面のことを'''切子面(facet)'''という。二つの単体 $A_{1},A_{2}$ が隣接しているとは、$A_{1}\cap A_{2}$ が $A_{1},A_{2}$ の切子面であるときにいう。<br />
<br />
{{theorem |type=def |label=simplicial map}}<br />
$X,Y$ を単体複体とする。$X$ の頂点集合 $\mathcal{V}_{X}$ から $Y$ の頂点集合 $\mathcal{V}_{Y}$ への写像から誘導される写像 $f\colon X\longrightarrow Y$ のことを単体複体の射と呼ぶ。<br />
<br />
{{theorem |type=def |label=chamber complex}}<br />
$\Delta$ を[[単体複体]]とする。$\Delta$ が次の二つの条件を満たすとき、$\Delta$ のことを'''部屋複体(chamber complex)'''と呼ぶ。<br />
*(1). $\Delta$ の極大単体はすべて等次元である。<br />
*(2). $\Delta$ の二つの極大単体 $C,D$ に対して有限個の極大単体 $C=C_{0},C_{1},\ldots,C_{n}=D$ があり、$C_{i}$ と $C_{i+1}$ が隣接するようなものが存在する。<br />
部屋複体 $\Delta$ の極大単体のことを'''部屋(chamber)'''といい (2) の部屋の列のことを $C,D$ を結ぶ'''回廊(garelly)'''と呼ぶ。(2)の $n$ のことをこの回廊の長さと呼ぶ。もし、これより短いような $C$ と $D$ を結ぶ回廊が存在しないとき $n=d(C,D)$ と書き、$n$ を $C$ と $D$ の間の距離という。さらにこのとき、この回廊は最短であるという。<br />
<br />
{{theorem |type=def |label=link,closure}}<br />
*(1) $\Delta$ の単体 $A$ に対して、$\overline{A}$ を $A$ の面全体とすると、これは単体複体になる。これを $A$ の閉包と呼ぶ。<br />
*(2) $\mathrm{lk}_{\Delta}(A)$ を $A$ と交わらない単体 $B\in \Delta$ 全体のなす集合とする。これは $\Delta$ の部分複体である。<br />
<br />
{{theorem |type=def |label=thin, thick}}<br />
$\Delta$ を部屋複体とする。$\Delta$ の任意の切子面 $F$ に対して $F$ を面として持つ部屋がちょうど二つのとき、$\Delta$ は'''薄い部屋複体(thin chamber complex)'''といい、$F$ を面として持つ部屋が三つ以上なら $\Delta$ は'''厚い部屋複体(thick chamber complex)'''という。<br />
<br />
{{theorem |type=def |label=map}}<br />
単体複体の射 $f\colon X\longrightarrow Y$ が$X$ の部屋を $Y$ の部屋に移すとき、$f$ は部屋複体の間の射であるという。<br />
<br />
{{theorem |type=lem |name=uniqueness lemma |label=uniqueness}}<br />
$\Delta$ を部屋複体、$\Sigma$ を薄い部屋複体とする。$C$ を $\Delta$ の部屋とする。$f_{1},f_{2}\colon \Delta\longrightarrow \Sigma$ を部屋複体の射とする。もし、$f_{1}(C)=f_{2}(C)$ かつ $f_{1},f_{2}$ が $C$ から始まる回廊を $\Sigma$ の回廊に写すなら、$f_{1}=f_{2}$ である。<br />
{{begin|proof}}<br />
$f_{1}=f_{2}$ を示すには、$\Delta$ の任意の部屋 $D$ に対して、$f_{1}(D)=f_{2}(D)$ であることを示せば十分である。$\gamma\colon C=C_{0},C_{1},\ldots, C_{n}=D$ を $C,D$ を結ぶ $\Delta$ の回廊とする。このとき、$f_{1}(C_{i})=f_{2}(C_{i})$ であることを $i$ についての帰納法で示す。$f_{1}(C_{i})=f_{2}(C_{i})$ と仮定して、$f_{1}(C_{i+1})=f_{2}(C_{i+1})$ であることを示そう。二つの部屋 $f_{1}(C_{i+1}).f_{2}(C_{i+1})$ は $f_{1}(C_{i})=f_{2}(C_{i})$ と隣接し、その共通部分は切面子 $f_{1}(C_{i}\cap C_{i+1})=f_{2}(C_{i}\cap C_{i+1})$ である。一方で、$\Sigma$ は薄い部屋複体なので、この切面子を含む部屋、$f_{1}(C_{i})=f_{2}(C_{i}),f_{1}(C_{i+1}),f_{2}(C_{i+1})$ のうち、二つは等しいことが分かる。一方で、<br />
$$f_{1}\gamma\colon f_{1}(C_{0}),\ldots,f_{1}(C_{n}),$$<br />
$$f_{2}\gamma\colon f_{1}(C_{0}),\ldots,f_{2}(C_{n})$$<br />
は回廊なので、$f_{1}(C_{i+1}),f_{2}(C_{i+1})$ は $f_{1}(C_{i})=f_{2}(C_{i})$ と等しくない。よって、$f_{1}(C_{i+1})=f_{2}(C_{i+1})$ となる。よって、帰納法より、$f_{1}(D)=f_{2}(D)$ が分かる。$D$ は$\Delta$ の任意の部屋だったので、$f_{1}=f_{2}$ が分かる。<br />
{{end|proof}}<br />
<br />
===順序集合と単体複体===<br />
<br />
{{theorem |type=prop |label=simplexlikepartialorderedset}}<br />
単体複体 $\Delta$ は包含関係によって半順序集合になる。逆に、半順序集合 $\Delta$ が次の二つの条件を満たすとき、$\Delta$ は自然に単体複体と見なせる。<br />
*(a). 二つの元 $A,B\in \Delta$ に対して、下限 $A\cap B:=\sup\{C\in \Delta\mathrel{\vert} C\leq A,B\}$ が存在する。<br />
*(b). 任意の $A\in \Delta$ に対し、ある自然数 $r\geq 0$ が存在し $\Delta_{\leq A}$ は半順序集合として $(\mathcal{P}(\{1,2,\ldots,r\}),\subset)$ と同型である。<br />
{{begin|proof}}<br />
<br />
{{end|proof}}<br />
<br />
誤解の恐れがない場合、所定の条件を満たすような半順序集合と単体複体を区別しないこともある。<br />
<br />
==Coxeter複体==<br />
<br />
{{theorem |type=def |label=Coxeter complex}}<br />
$(W,S)$ を[[Coxeter系]]とする。$S$ を有限集合とする。放物型部分群による剰余類の集合<br />
$$<br />
\Sigma(W,S)=\{wW_{I}\mathrel{\vert} w\in W,I\subset S\}<br />
$$<br />
に包含関係とは逆向きの順序を定めることにより、$\Sigma(W,S)$ は部屋複体になる。これのことを'''Coxeter複体(Coxeter complex)'''と呼ぶ。<br />
<br />
$\Sigma(W,S)$ の部屋は一つの元からなるシングルトン $wW_{\phi}=\{w\}$ である。切面子は一つの単純鏡映 $s\in S$ からなる部分集合 $I=\{s\}$ で生成された $W$ の部分群 $W_{I}=\{1,s\}$ による剰余類 $w\{1,s\}=\{w,ws\}$ である。よって、$\Sigma(W,S)$ は薄い部屋複体である。二つの部屋 $\{w_{1}\},\{w_{2}\}$ に対して、<br />
$$<br />
w_{1}^{-1}w_{2}=s_{1}\cdots s_{h}<br />
$$<br />
を $S$ の元による積表示とする。このとき <br />
$$<br />
\{w_{1}\}, \{w_{1}s_{1}\}, \{w_{1}s_{1}s_{2}\},\ldots, \{w_{1}s_{1}\cdots s_{h}\}=\{w_{2}\}<br />
$$<br />
は$\{w_{1}\}$ と $\{w_{2}\}$ を結ぶ回廊である。<br />
<br />
==球体型の場合==<br />
<br />
{{theorem |type=def |label=spherical}}<br />
$W$ が有限群のとき、Coxeter複体 $\Sigma(W,S)$ は'''球体型(spherical type)'''であるという。<br />
<br />
==アファイン型の場合==<br />
<br />
==関連項目==</div>
Gest N
https://math.jp/w/index.php?title=Coxeter%E8%A4%87%E4%BD%93&diff=12015
Coxeter複体
2022-11-18T11:30:40Z
<p>Gest N: /* 順序集合と単体複体 */</p>
<hr />
<div>{{newtheorem |type=lem |counter=0 |display=補題 }}<br />
{{newtheorem |type=thm |counter=0 |display=定理 }}<br />
{{newtheorem |type=prop |counter=0 |display=命題 }}<br />
{{newtheorem |type=def |counter=0 |display=定義 }}<br />
{{newtheorem |type=cor |counter=0 |display=系 }}<br />
{{newtheorem |type=proof |counter=0 |display=証明 }}<br />
{{newtheorem |type=rem |counter=0 |display=注 }}<br />
{{newtheorem |type=exa |counter=0 |display=例 }}<br />
<br />
__MATHJAX2__<br />
<br />
この記事では、Coxeter複体について紹介する。Coxeter複体は[[Coxeter系]]を幾何学的な視点を与える。この記事では、[[建物]]の理論の準備として執筆されている。Coxeter複体でも特に重要な球体型、アファイン型なものについて説明する。これらは、[[簡約群]]の構造を調べるために重要なものになっている。<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<noinclude><br />
{{TOC |align=right |noautonum=1 }}<!-- 右寄せ連番無し目次をここに表示 --><br />
</noinclude><br />
<br />
<br />
<br />
==部屋複体==<br />
===部屋複体の定義===<br />
{{theorem |type=def |label=simplicial complex}}<br />
$\mathcal{V}$ を集合とする。$V$ の有限部分集合のなすある集合 $\Delta\subset \mathcal{P}_{f}(\mathcal{V})$ が次の二つの条件を満たすとき、$\Delta$ を'''単体複体(simplicial complex)'''と呼ぶ。<br />
*(1). 任意の $v\in \mathcal{V}$ に対して $\{v\}\in \Delta$ である。<br />
*(2). $A\in \Delta$ かつ $B\subset A$ ならば $B\in \Delta$ である。<br />
$\Delta$ の元のことを'''単体(simplex)'''と呼び、単体 $A$ の部分集合を $B$ の'''面(face)'''と呼ぶ。単体 $A$ の濃度のことを $A$ のランクといい、$\mathrm{rank} A-1$ を $A$ の次元という。次元が一つ低い面のことを'''切子面(facet)'''という。二つの単体 $A_{1},A_{2}$ が隣接しているとは、$A_{1}\cap A_{2}$ が $A_{1},A_{2}$ の切子面であるときにいう。<br />
<br />
{{theorem |type=def |label=simplicial map}}<br />
$X,Y$ を単体複体とする。$X$ の頂点集合 $\mathcal{V}_{X}$ から $Y$ の頂点集合 $\mathcal{V}_{Y}$ への写像から誘導される写像 $f\colon X\longrightarrow Y$ のことを単体複体の射と呼ぶ。<br />
<br />
{{theorem |type=def |label=chamber complex}}<br />
$\Delta$ を[[単体複体]]とする。$\Delta$ が次の二つの条件を満たすとき、$\Delta$ のことを'''部屋複体(chamber complex)'''と呼ぶ。<br />
*(1). $\Delta$ の極大単体はすべて等次元である。<br />
*(2). $\Delta$ の二つの極大単体 $C,D$ に対して有限個の極大単体 $C=C_{0},C_{1},\ldots,C_{n}=D$ があり、$C_{i}$ と $C_{i+1}$ が隣接するようなものが存在する。<br />
部屋複体 $\Delta$ の極大単体のことを'''部屋(chamber)'''といい (2) の部屋の列のことを $C,D$ を結ぶ'''回廊(garelly)'''と呼ぶ。(2)の $n$ のことをこの回廊の長さと呼び、$n=d(C,D)$ と書く。<br />
<br />
{{theorem |type=def |label=link,closure}}<br />
*(1) $\Delta$ の単体 $A$ に対して、$\overline{A}$ を $A$ の面全体とすると、これは単体複体になる。これを $A$ の閉包と呼ぶ。<br />
*(2) $\mathrm{lk}_{\Delta}(A)$ を $A$ と交わらない単体 $B\in \Delta$ 全体のなす集合とする。これは $\Delta$ の部分複体である。<br />
<br />
{{theorem |type=def |label=thin, thick}}<br />
$\Delta$ を部屋複体とする。$\Delta$ の任意の切子面 $F$ に対して $F$ を面として持つ部屋がちょうど二つのとき、$\Delta$ は'''薄い部屋複体(thin chamber complex)'''といい、$F$ を面として持つ部屋が三つ以上なら $\Delta$ は'''厚い部屋複体(thick chamber complex)'''という。<br />
<br />
{{theorem |type=def |label=map}}<br />
単体複体の射 $f\colon X\longrightarrow Y$ が$X$ の部屋を $Y$ の部屋に移すとき、$f$ は部屋複体の間の射であるという。<br />
<br />
{{theorem |type=lem |name=uniqueness lemma |label=uniqueness}}<br />
$\Delta$ を部屋複体、$\Sigma$ を薄い部屋複体とする。$C$ を $\Delta$ の部屋とする。$f_{1},f_{2}\colon \Delta\longrightarrow \Sigma$ を部屋複体の射とする。もし、$f_{1}(C)=f_{2}(C)$ かつ $f_{1},f_{2}$ が $C$ から始まる回廊を $\Sigma$ の回廊に写すなら、$f_{1}=f_{2}$ である。<br />
{{begin|proof}}<br />
$f_{1}=f_{2}$ を示すには、$\Delta$ の任意の部屋 $D$ に対して、$f_{1}(D)=f_{2}(D)$ であることを示せば十分である。$\gamma\colon C=C_{0},C_{1},\ldots, C_{n}=D$ を $C,D$ を結ぶ $\Delta$ の回廊とする。このとき、$f_{1}(C_{i})=f_{2}(C_{i})$ であることを $i$ についての帰納法で示す。$f_{1}(C_{i})=f_{2}(C_{i})$ と仮定して、$f_{1}(C_{i+1})=f_{2}(C_{i+1})$ であることを示そう。二つの部屋 $f_{1}(C_{i+1}).f_{2}(C_{i+1})$ は $f_{1}(C_{i})=f_{2}(C_{i})$ と隣接し、その共通部分は切面子 $f_{1}(C_{i}\cap C_{i+1})=f_{2}(C_{i}\cap C_{i+1})$ である。一方で、$\Sigma$ は薄い部屋複体なので、この切面子を含む部屋、$f_{1}(C_{i})=f_{2}(C_{i}),f_{1}(C_{i+1}),f_{2}(C_{i+1})$ のうち、二つは等しいことが分かる。一方で、<br />
$$f_{1}\gamma\colon f_{1}(C_{0}),\ldots,f_{1}(C_{n}),$$<br />
$$f_{2}\gamma\colon f_{1}(C_{0}),\ldots,f_{2}(C_{n})$$<br />
は回廊なので、$f_{1}(C_{i+1}),f_{2}(C_{i+1})$ は $f_{1}(C_{i})=f_{2}(C_{i})$ と等しくない。よって、$f_{1}(C_{i+1})=f_{2}(C_{i+1})$ となる。よって、帰納法より、$f_{1}(D)=f_{2}(D)$ が分かる。$D$ は$\Delta$ の任意の部屋だったので、$f_{1}=f_{2}$ が分かる。<br />
{{end|proof}}<br />
<br />
===順序集合と単体複体===<br />
<br />
{{theorem |type=prop |label=simplexlikepartialorderedset}}<br />
単体複体 $\Delta$ は包含関係によって半順序集合になる。逆に、半順序集合 $\Delta$ が次の二つの条件を満たすとき、$\Delta$ は自然に単体複体と見なせる。<br />
*(a). 二つの元 $A,B\in \Delta$ に対して、下限 $A\cap B:=\sup\{C\in \Delta\mathrel{\vert} C\leq A,B\}$ が存在する。<br />
*(b). 任意の $A\in \Delta$ に対し、ある自然数 $r\geq 0$ が存在し $\Delta_{\leq A}$ は半順序集合として $(\mathcal{P}(\{1,2,\ldots,r\}),\subset)$ と同型である。<br />
{{begin|proof}}<br />
<br />
{{end|proof}}<br />
<br />
誤解の恐れがない場合、所定の条件を満たすような半順序集合と単体複体を区別しないこともある。<br />
<br />
==Coxeter複体==<br />
<br />
{{theorem |type=def |label=Coxeter complex}}<br />
$(W,S)$ を[[Coxeter系]]とする。$S$ を有限集合とする。放物型部分群による剰余類の集合<br />
$$<br />
\Sigma(W,S)=\{wW_{I}\mathrel{\vert} w\in W,I\subset S\}<br />
$$<br />
に包含関係とは逆向きの順序を定めることにより、$\Sigma(W,S)$ は部屋複体になる。これのことを'''Coxeter複体(Coxeter complex)'''と呼ぶ。<br />
<br />
$\Sigma(W,S)$ の部屋は一つの元からなるシングルトン $wW_{\phi}=\{w\}$ である。切面子は一つの単純鏡映 $s\in S$ からなる部分集合 $I=\{s\}$ で生成された $W$ の部分群 $W_{I}=\{1,s\}$ による剰余類 $w\{1,s\}=\{w,ws\}$ である。よって、$\Sigma(W,S)$ は薄い部屋複体である。二つの部屋 $\{w_{1}\},\{w_{2}\}$ に対して、<br />
$$<br />
w_{1}^{-1}w_{2}=s_{1}\cdots s_{h}<br />
$$<br />
を $S$ の元による積表示とする。このとき <br />
$$<br />
\{w_{1}\}, \{w_{1}s_{1}\}, \{w_{1}s_{1}s_{2}\},\ldots, \{w_{1}s_{1}\cdots s_{h}\}=\{w_{2}\}<br />
$$<br />
は$\{w_{1}\}$ と $\{w_{2}\}$ を結ぶ回廊である。<br />
<br />
==球体型の場合==<br />
<br />
{{theorem |type=def |label=spherical}}<br />
$W$ が有限群のとき、Coxeter複体 $\Sigma(W,S)$ は'''球体型(spherical type)'''であるという。<br />
<br />
==アファイン型の場合==<br />
<br />
==関連項目==</div>
Gest N
https://math.jp/w/index.php?title=Bruhat-Tits%E7%90%86%E8%AB%96&diff=11835
Bruhat-Tits理論
2022-10-03T05:21:02Z
<p>Gest N: /* Affine型のTits系と付随する建物 */</p>
<hr />
<div><br />
<br />
__MATHJAX2__<br />
<br />
[[Category:整数論]]<br />
{{newtheorem |type=lem |counter=0 |display=補題 }}<br />
{{newtheorem |type=thm |counter=0 |display=定理 }}<br />
{{newtheorem |type=prop |counter=0 |display=命題 }}<br />
{{newtheorem |type=def |counter=0 |display=定義 }}<br />
{{newtheorem |type=cor |counter=0 |display=系 }}<br />
{{newtheorem |type=proof |counter=0 |display=証明 }}<br />
{{newtheorem |type=rem |counter=0 |display=注 }}<br />
{{newtheorem |type=exa |counter=0 |display=例 }}<br />
<br />
<noinclude><br />
{{TOC |align=right |noautonum=1 }}<!-- 右寄せ連番無し目次をここに表示 --><br />
</noinclude><br />
<br />
Bruhat-Tits理論のテキスト形式の記事。現在執筆中。<br />
<br />
==Affine型のTits系と付随する建物==<br />
<br />
==有界相(bornology)==<br />
<br />
==群の作用と分解==<br />
<br />
==付値付きルートデータ==<br />
<br />
==群の建物==</div>
Gest N
https://math.jp/w/index.php?title=Bruhat-Tits%E7%90%86%E8%AB%96&diff=11834
Bruhat-Tits理論
2022-10-03T05:18:01Z
<p>Gest N: /* == */</p>
<hr />
<div><br />
<br />
__MATHJAX2__<br />
<br />
[[Category:整数論]]<br />
{{newtheorem |type=lem |counter=0 |display=補題 }}<br />
{{newtheorem |type=thm |counter=0 |display=定理 }}<br />
{{newtheorem |type=prop |counter=0 |display=命題 }}<br />
{{newtheorem |type=def |counter=0 |display=定義 }}<br />
{{newtheorem |type=cor |counter=0 |display=系 }}<br />
{{newtheorem |type=proof |counter=0 |display=証明 }}<br />
{{newtheorem |type=rem |counter=0 |display=注 }}<br />
{{newtheorem |type=exa |counter=0 |display=例 }}<br />
<br />
<noinclude><br />
{{TOC |align=right |noautonum=1 }}<!-- 右寄せ連番無し目次をここに表示 --><br />
</noinclude><br />
<br />
Bruhat-Tits理論のテキスト形式の記事。現在執筆中。<br />
<br />
==Affine型のTits系と付随する建物==</div>
Gest N
https://math.jp/w/index.php?title=Bruhat-Tits%E7%90%86%E8%AB%96&diff=11833
Bruhat-Tits理論
2022-10-03T05:17:14Z
<p>Gest N: </p>
<hr />
<div><br />
<br />
__MATHJAX2__<br />
<br />
[[Category:整数論]]<br />
{{newtheorem |type=lem |counter=0 |display=補題 }}<br />
{{newtheorem |type=thm |counter=0 |display=定理 }}<br />
{{newtheorem |type=prop |counter=0 |display=命題 }}<br />
{{newtheorem |type=def |counter=0 |display=定義 }}<br />
{{newtheorem |type=cor |counter=0 |display=系 }}<br />
{{newtheorem |type=proof |counter=0 |display=証明 }}<br />
{{newtheorem |type=rem |counter=0 |display=注 }}<br />
{{newtheorem |type=exa |counter=0 |display=例 }}<br />
<br />
<noinclude><br />
{{TOC |align=right |noautonum=1 }}<!-- 右寄せ連番無し目次をここに表示 --><br />
</noinclude><br />
<br />
Bruhat-Tits理論のテキスト形式の記事。現在執筆中。<br />
<br />
====</div>
Gest N
https://math.jp/w/index.php?title=Bruhat-Tits%E7%90%86%E8%AB%96&diff=11832
Bruhat-Tits理論
2022-10-03T05:15:44Z
<p>Gest N: ページの作成:「 __MATHJAX2__ Category:整数論 {{newtheorem |type=lem |counter=0 |display=補題 }} {{newtheorem |type=thm |counter=0 |display=定理 }} {{newtheorem |type=prop |…」</p>
<hr />
<div><br />
<br />
__MATHJAX2__<br />
<br />
[[Category:整数論]]<br />
{{newtheorem |type=lem |counter=0 |display=補題 }}<br />
{{newtheorem |type=thm |counter=0 |display=定理 }}<br />
{{newtheorem |type=prop |counter=0 |display=命題 }}<br />
{{newtheorem |type=def |counter=0 |display=定義 }}<br />
{{newtheorem |type=cor |counter=0 |display=系 }}<br />
{{newtheorem |type=proof |counter=0 |display=証明 }}<br />
{{newtheorem |type=rem |counter=0 |display=注 }}<br />
{{newtheorem |type=exa |counter=0 |display=例 }}<br />
<br />
<noinclude><br />
{{TOC |align=right |noautonum=1 }}<!-- 右寄せ連番無し目次をここに表示 --><br />
</noinclude></div>
Gest N
https://math.jp/w/index.php?title=%E5%88%A9%E7%94%A8%E8%80%85:Gest_N&diff=11831
利用者:Gest N
2022-10-03T05:14:06Z
<p>Gest N: /* 記事について */</p>
<hr />
<div>{{restrictPage |editableBy=Gest N }}<br />
<br />
正確には $\mathfrak{gest}$ N. だが特にこだわりはありません。<br />
<br />
==記事について==<br />
{{restrictPage |editableBy=Gest N }}<br />
*[[代数的整数論の基礎]]<br />
*[[モチヴィックコホモロジー]]<br />
*[[Galois圏]]<br />
*[[$p$ 進簡約群の表現論]]<br />
*[[局所副有限群の表現]]<br />
*[[放物型誘導表現と尖点表現]]<br />
*[[クリスタル]]<br />
*[[WittベクトルとWitt環]]<br />
*[[Dieudonne加群とBarsotti-Tate群]]<br />
*[[形式群とDrinfeld加群]]<br />
*[[Lubin-Tate空間]]<br />
*[[モチーフとホモトピー]]<br />
*[[群のコホモロジー]]<br />
*[[局所類体論]] <br />
*[[大域類体論]]<br />
*[[分岐群]]<br />
*[[Coxeter系]]<br />
*[[Tits系、BN対]]<br />
*[[建物]]<br />
*[[付値付きルートデータ]]<br />
*[[Bruhat-Tits理論]]<br />
<br />
==小さいテーマ==<br />
*[[局所副有限空間の幾何学]]<br />
<br />
*[[ルート系]]<br />
<br />
*[[Milnor K群]]<br />
<br />
*[[高次元局所体]]<br />
<br />
*[[Coxeter複体]]</div>
Gest N
https://math.jp/w/index.php?title=%E5%88%A9%E7%94%A8%E8%80%85:Gest_N&diff=11828
利用者:Gest N
2022-10-02T07:07:52Z
<p>Gest N: /* 記事について */</p>
<hr />
<div>{{restrictPage |editableBy=Gest N }}<br />
<br />
正確には $\mathfrak{gest}$ N. だが特にこだわりはありません。<br />
<br />
==記事について==<br />
{{restrictPage |editableBy=Gest N }}<br />
*[[代数的整数論の基礎]]<br />
*[[モチヴィックコホモロジー]]<br />
*[[Galois圏]]<br />
*[[$p$ 進簡約群の表現論]]<br />
*[[局所副有限群の表現]]<br />
*[[放物型誘導表現と尖点表現]]<br />
*[[クリスタル]]<br />
*[[WittベクトルとWitt環]]<br />
*[[Dieudonne加群とBarsotti-Tate群]]<br />
*[[形式群とDrinfeld加群]]<br />
*[[Lubin-Tate空間]]<br />
*[[モチーフとホモトピー]]<br />
*[[群のコホモロジー]]<br />
*[[局所類体論]] <br />
*[[大域類体論]]<br />
*[[分岐群]]<br />
*[[Coxeter系]]<br />
*[[Tits系、BN対]]<br />
*[[建物]]<br />
*[[付値付きルートデータ]]<br />
<br />
==小さいテーマ==<br />
*[[局所副有限空間の幾何学]]<br />
<br />
*[[ルート系]]<br />
<br />
*[[Milnor K群]]<br />
<br />
*[[高次元局所体]]<br />
<br />
*[[Coxeter複体]]</div>
Gest N
https://math.jp/w/index.php?title=Tits%E7%B3%BB%E3%80%81BN%E5%AF%BE&diff=11805
Tits系、BN対
2022-09-25T10:36:45Z
<p>Gest N: /* $B$ 適応準同型、$B$-$N$ 適応準同型 */</p>
<hr />
<div><br />
<br />
{{newtheorem |type=lem |counter=0 |display=補題 }}<br />
{{newtheorem |type=thm |counter=0 |display=定理 }}<br />
{{newtheorem |type=prop |counter=0 |display=命題 }}<br />
{{newtheorem |type=def |counter=0 |display=定義 }}<br />
{{newtheorem |type=cor |counter=0 |display=系 }}<br />
{{newtheorem |type=proof |counter=0 |display=証明 }}<br />
{{newtheorem |type=rem |counter=0 |display=注 }}<br />
{{newtheorem |type=exa |counter=0 |display=例 }}<br />
{{newtheorem |type=cond |counter=0 |display=条件 }}<br />
<br />
__MATHJAX2__<br />
<br />
Tits系は代数群の構造を調べるための基本的な道具である。<br />
<br />
<br />
<noinclude><br />
{{TOC |align=right |noautonum=1 }}<!-- 右寄せ連番無し目次をここに表示 --><br />
</noinclude><br />
<br />
<br />
==定義==<br />
<br />
{{theorem |type=def |label=def}}<br />
群 $G$ の二つの部分群 $B,N$ が以下の条件を満たすとする。<br />
* (1) $G$ は $B$ と $N$ によって生成される。<br />
* (2) $B\cap N$ は $N$ の正規部分群であり、$S$ は $W=N/B\cap N$ の位数 $2$ の元からなる生成系である。<br />
* (3) 任意の $s\in S$ と $w\in W$ に対して、<br />
$$<br />
C(s)C(w)\subset C(sw)\cup C(w).<br />
$$<br />
* (4) 任意の $s\in S$ に対して、$sBs\neq B$ である。<br />
ただし、$C(w)$ は両側剰余類 $BwB$ である。このような条件を満足する四つ組 $(G,B,N,S)$ のことを'''Tits系(Tits system)'''と呼ぶ。<br />
<br />
Tits系の重要な例を一つ上げる。<br />
{{theorem |type=exa |label=GLspherical}}<br />
$G=GL_{n}(\mathbb{R})$ とし $B$ を上三角行列のなす $G$ の部分群とする。$G$ はベクトル空間 $\mathbb{R}^{n}=\mathbb{R}e_{1}\oplus \cdots \oplus \mathbb{R}e_{n}$ に自然に作用している。ただし、$e_{1},\ldots, e_{n}$ は $\mathbb{R}^{n}$ の標準基底とする。$N$ は $\mathbb{R}e_{1},\ldots,\mathbb{R}e_{n}$ を置換する $G$ の部分群とする。$N$ は 各行各列に一つだけ $0$ でない成分があり、そうでない成分が $0$ であるような行列のなす群である。$B\cap N$ は対角行列のなすトーラス<br />
$$<br />
B\cap N=\left\{<br />
\left. \left(<br />
<nowiki><br />
\begin{array}{cccc}<br />
x_{1} & 0 & \cdots & 0 \\<br />
0 & x_{2} & \cdots & 0 \\<br />
\vdots & & \ddots & \vdots \\<br />
0 & \ldots & \ldots & x_{n}<br />
\end{array}<br />
</nowiki><br />
\right)\right| x_{1},\ldots,x_{n}\in \mathbb{R}^{\times}<br />
\right\}<br />
$$<br />
であり、$N/B\cap N$ は対称群 $S_{n}$ と同型である。$S_{n}$ の位数 $2$ の元からなる生成系 $\{(i,i+1)\mathrel{\vert} i=1,\ldots,n-1\}$ のことを $S$ と置く。$(G,B,N,S)$ はTits系になる。<br />
<br />
<br />
{{theorem |type=def |label=def2}}<br />
Tits系 $(G,B,N,S)$ に対して、$B$ を含んでいるような $G$ の部分群のことを $(G,B,N,S)$ の'''標準的放物型部分群(standard parabolic subgroup)'''という。<br />
<br />
==Bruhat分解==<br />
{{theorem |type=thm |label=Bruhat-dec}}<br />
Tits系 $(G,B,N,S)$ に対して、<br />
$$<br />
G=\coprod_{w\in W}C(w)<br />
$$<br />
が成り立つ。この分解のことを $G$ の'''Bruhat分解(Bruhat decomposition)'''と呼ぶ。<br />
{{begin|proof}}<br />
合併<br />
$$<br />
\bigcup_{w\in W}C(w)<br />
$$<br />
は $B,N$ を含む群なので、これは $G$ と等しい。この分解が無縁和であることを示そう。$C(v)=C(w)$ とし、$d=\mathrm{min}\{\ell_{S}(v),\ell_{S}(w)\}$ と置く。このとき $v=w$ であることを $d$ についての帰納法で示す。$d=0$ のとき、$C(v)=C(w)=B$ であり、これは $v,w$ の代表元が $B\cap N$ に入っていることを意味するので、$v=w=1$ が言える。$d>0$ とする。一般性を失うことなく $d=\ell_{S}(w)\leq \ell_{S}(v)$ としてよく、このとき $\ell_{S}(sw)=\ell_{S}(w)-1$ となるような $s\in S$ がある。$wB\subset C(w)=C(v)$ なので <br />
$$<br />
C(sw)\subset sC(v)\subset C(sv)\cup C(v)<br />
$$<br />
である。よって、$C(sw)=C(v)$ であるかまたは $C(sw)=C(sv)$ である。前者の場合は $C(sw)=C(w)$ なので、$d-1=\mathrm{min}\{\ell_{S}(sw),\ell_{S}(w)\}<d$ から $sw=w$ が得られ、帰納法の仮定に反する。後者の場合、帰納法により、$sw=sv$ が分かる。したがって、$v=w$ を得る。<br />
{{end|proof}}<br />
<br />
<br />
{{theorem |type=prop |label=cellproduct}}<br />
任意の $w\in W$ と $s\in S$ に対して、もし $\ell(sw)=\ell(w)+1$ なら $C(s)C(w)=C(sw)$ であり $\ell(sw)=\ell(w)-1$ なら $C(s)C(w)=C(w)\cup C(sw)$ である。<br />
{{begin|proof}}<br />
$\ell(w)=0$ なら主張は自明である。$\ell(w)>0$ なら、$\ell(wt)<\ell(w)$ となる $t\in S$ がある。$\ell(sw)=\ell(w)+1$ のとき $C(s)C(w)=C(sw)$ となることをまず示そう。$w^{'}=wt$ と置く。<br />
$$<br />
\ell(w^{'})+1=\ell(w)\leq \ell(sw)=\ell(sw^{'}t)\leq \ell(sw^{'})+1<br />
$$<br />
なので帰納法の仮定から<br />
$$<br />
C(s)C(w^{'})=C(sw^{'})<br />
$$<br />
となる。$C(s)C(w)\neq C(sw)$ と仮定する。$sBw\cap C(w)\neq \phi$ なので $sBw^{'}\cap C(w)t$ も空でない。さらに $C(w)t\subset C(w)\cup C(w^{'})$ なので $sBw^{'}\cap (C(w)\cup C(w^{'}))\neq \phi$ である。$C(s)C(w^{'})=C(sw^{'})$ なので{{ref |type=thm |label=Bruhat-dec}} より $sw^{'}=w$ である。しかしこれは<br />
$$<br />
\ell(w^{'})<\ell(w)<\ell(sw)<br />
$$<br />
に矛盾する。したがって $C(s)(w)$ と $C(w)$ は交わらず、$C(s)C(w)=C(sw)$ であることが分かる。次に $\ell(sw)=\ell(w)-1$ の場合を考えよう。このとき $\ell(s(sw))=\ell(sw)+1$ なので、上で見たように<br />
$$<br />
C(s)C(sw)=C(w)<br />
$$<br />
である。このとき、<br />
\begin{align}<br />
C(s)C(w)&=C(s)C(s)C(sw) \\<br />
&=(C(s)\cup B)C(sw) \\<br />
&=C(w)\cup C(sw)<br />
\end{align}<br />
<br />
{{end|proof}}<br />
<br />
==放物型部分群==<br />
<br />
{{theorem |type=prop |label=Coxeter}}<br />
$(G,B,N,S)$ をTits系とすると、$(W,S)$ は[[Coxeter系]]になる。<br />
{{begin|proof}}<br />
$s\in S$ と $w\in W$ が $\ell(sw)=\ell(w)-1$ を満たすとする。また $s_{1},\ldots,s_{n}\in S$ を $w=s_{1}\cdots s_{n}$ が最短表示であるように選ぶ。このとき[[交換条件]]をみたすことを示そう。つまり<br />
$$<br />
sw=s_{1}\cdots \hat{s_{i}}\cdots s_{n}<br />
$$<br />
となる $i$ が存在することを示す。仮定より $C(s)C(w)=C(sw)\cup C(w)$ かつ $C(w)=C(s_{1})\cdots C(s_{n})$ が成り立つ。$1\leq i\leq n$ を $\ell(ss_{1}\cdots s_{i})<\ell(ss_{1}\cdots s_{i-1})$ となるような最小の添え字に選べば<br />
\begin{align}<br />
C(s)C(w)&=C(s)C(s_{1})\cdots C(s_{i-1})C(s_{i})\cdots C(s_{n}) \\<br />
&=C(ss_{1}\cdots s_{i-1})C(s_{i})\cdots C(s_{n}) \\<br />
&=\left(C(ss_{1}\cdots s_{i})\cup C(ss_{1}\cdots s_{i-1}) \right)C(s_{i+1})\cdots C(s_{n}) \\<br />
&\subset \bigcup \left(C(ss_{1}\cdots s_{i}s_{i_{1}}\cdots s_{i_{p}})\cup C(ss_{1}\cdots s_{i-1}s_{i_{1}}\cdots s_{i_{p}}) \right)<br />
\end{align}<br />
ここで、$i<i_{1}<\ldots <i_{p}\leq n$ を満たすような添え字を走る。$C(w)$ は最右辺に含まれるので $\ell(w)=n$ という事実と合わせて考えると $w=ss_{1}\cdots s_{i-1}s_{i+1}\cdots s_{n}$ であるかまたは $w=ss_{1}\cdots s_{i}s_{i+1}\cdots \widehat{s_{i+k}}\cdots s_{n}$ となる $k$ がある。どちらにせよ、$(W,S)$ は交換条件を満たすことが確認できる。<br />
{{end|proof}}<br />
<br />
<br />
$I$ を $S$ の部分集合とすると、$(W_{I},I)$ はCoxeter系である。$P_{I}=BW_{I}B$ は $B$ を含む $G$ の部分群になる。すなわち $P_{I}$ は標準的放物型部分群になる。逆に、$P$ が標準的放物型部分群のとき、<br />
$$<br />
W_{I}=\{w\in W\mathrel{\vert}C(w)\subset P\}<br />
$$<br />
と置くと、これは $W$ の放物型部分群であり、$I=S\cap W_{I}$ は $W_{I}$ の生成系である。つまり、$S$ の部分集合と $G$ の標準的放物型部分群は $1:1$ に対応する。$G$ の'''放物型部分群'''とは、$G$ の標準的放物型部分群と共役な群のことを意味する。$\Delta(G,B)$ を $G$ の放物型部分群全体のなす集合とする。<br />
<br />
{{theorem |type=lem |label=cell-gen}}<br />
もし $w\in W$ に対して $w=s_{1}\cdots s_{n}$ が最短表示なら $\langle C(w)\rangle=\langle C(s_{1}),\ldots,C(s_{n})\rangle=\langle B,wBw^{-1}\rangle$ が成り立つ。<br />
{{begin|proof}}<br />
$w\in C(w)$ かつ $wB\subset C(w)$ より $\langle B,wBw^{-1}\rangle\subset \langle C(w)\rangle $ が分かる。さらに$w=s_{1}\cdots s_{n}$ は最短表示なので $\langle C(s_{1}),\ldots, C(s_{n}) \rangle$ である。よって、$C(s_{1}),\ldots ,C(s_{n})\subset \langle B,wBw^{-1} \rangle$ を示せばよい。実際、$\ell(s_{1}w)<\ell(w)$ なので、$C(w)\subset C(s_{1})C(w)$ となる。特に、$w=b_{1}s_{1}b_{2}wb_{3}$ となる $b_{1},b_{2},b_{3}\in B$ が存在する。特に $s_{1}=b_{1}^{-1}wb_{3}^{-1}w^{-1}b_{2}^{-1}\in \langle B,wBw^{-1}\rangle$ となるので $\langle B,s_{1}wBw^{-1}s_{1}\rangle\subset \langle B,wBw^{-1}\rangle$ となる。さらに帰納法により、この左辺は $C(s_{2}),\ldots,C(s_{n})$ を含む。よって、<br />
$$<br />
\langle C(s_{1}),\ldots,C(s_{n})\rangle\subset \langle B,wBw^{-1}\rangle<br />
$$<br />
となる。<br />
{{end|proof}}<br />
<br />
{{theorem |type=prop |label=normal}}<br />
任意の $P\in \Delta(G,B)$ に対して $N_{G}(P)=P$ が成り立つ。 <br />
{{begin|proof}}<br />
任意の $g\in G$ に対して、$N_{G}(gPg^{-1})=gN_{G}(P)g^{-1}$ なので、$P$ は標準的であるとしてよい。$x\in N_{G}(P)$ に対し $x\in C(w)$ となるような $w\in W$ がある。この $w$ に対して$\langle B,wBw^{-1} \rangle$ は $P$ に含まれるので、$x\in C(w)\in P$ となる。したがって $N_{G}(P)=P$ が分かる。<br />
{{end|proof}}<br />
<br />
<br />
==$B$ 適応準同型、$B$-$N$ 適応準同型==<br />
<br />
$(G,B,N,S)$ をTits系とし、$\widehat{G}$ を群とする。<br />
<br />
{{theorem |type=def |label=adaptedhom}}<br />
準同型 $\phi\colon G\longrightarrow \widehat{G}$ が以下の条件を満たすとき、$\phi$ は $B$ 適応準同型であるという。<br />
*(1) ${\rm Ker}(\phi)\subset B.$<br />
*(2) 任意の $g\in \widehat{G}$ に対して $h\in G$ が存在して $\phi(hBh^{-1})=g\phi(B)g^{-1}.$<br />
この条件(2)の代わりに<br />
*(2') 任意の $g\in \widehat{G}$ に対して $h\in G$ が存在して $\phi(hBh^{-1})=g\phi(B)g^{-1}, \phi(hNh^{-1})=g\phi(N)g^{-1}.$<br />
が成り立つとき、$\phi$ は $B$-$N$ 適応準同型であるという。<br />
<br />
<br />
{{theorem |type=lem |label=normal}}<br />
$\phi$ が $B$ 適応準同型のとき、像 $\phi(G)$ は $\widehat{G}$ の正規部分群である。<br />
{{begin|proof}}<br />
$G=\bigcup_{w\in W}\langle C(w)\rangle =\bigcup_{w\in W}\langle B,wBw^{-1}\rangle$ なので、$G$ は $B$ と共役な部分群たちによって生成されている。すなわち、任意の $a\in G$ に対して有限個の $(b_{i},k_{i})\in B\times G$ があり、<br />
$$<br />
a=\prod k_{i}b_{i}k_{i}^{-1}<br />
$$ <br />
となる。任意の $g\in \widehat{G}$ に対して、$g\phi(a)g^{-1}\in \psi(G)$ を示そう。$g_{i}=g\phi(k_{i})$ と置くと、$\phi$ は $B$ 適応準同型なので、$g_{i}\phi(B)g_{i}^{-1}=\phi(h_{i}Bh_{i}^{-1})$ となる $h_{i}\in G$ が存在する。このとき、<br />
\begin{align}<br />
g^{-1}\phi(a)g&=\prod g_{i}\phi(b_{i})g_{i}^{-1} \\<br />
&=\prod \phi(h_{i}b_{i}h_{i}^{-1})\in \phi(G)<br />
\end{align}<br />
であるから、$\phi$ の像は $\widehat{G}$ の正規部分群である。<br />
{{end|proof}}<br />
<br />
<br />
$\phi$ が $B$ 適応準同型とすると $\Delta(G,B)$ への $\widehat{G}$ への作用を<br />
$$<br />
\widehat{G}\times \Delta(G,B)\longrightarrow \Delta(G,B);(g,P)\longmapsto {}^{g}P:=\phi^{-1}(\phi(g)P\phi(g^{-1}))<br />
$$<br />
と定める。$P\in \Delta(G,B)$ に対して、安定化群を ${\rm Stab}(P)=\{g\in \widehat{G}\mathrel{\vert} {}^{g}P=P\}$ と置くと $\phi^{-1}({\rm Stab}(P))=P$ である。また $B$ 適応準同型 $\phi$ は Bruhat細胞をBruhat細胞に写すので、<br />
$$<br />
\xi\colon \widehat{G}\longrightarrow \mathrm{Aut}(W,S)<br />
$$<br />
を<br />
$$<br />
\phi(C(\xi(g)w))=\phi(h)^{-1}g\phi(C(w))g^{-1}\phi(h)<br />
$$<br />
となるように定めることができる。ただし、$g\in \widehat{G}$ に対して $h\in G$ を(2)を満たすように選んでいる。<br />
$$<br />
\widehat{G}_{0}={\rm Ker}(\xi), \Xi={\rm Im}\xi<br />
$$<br />
と置く。<br />
<br />
{{theorem |type=lem |label=stab}}<br />
$\phi$ が $B$ 適応準同型なら $\phi(G)\subset \widehat{G}_{0}$ かつ $\widehat{G}=\widehat{G}_{0}.{\rm Stab}(B)$ である。<br />
{{begin|proof}}<br />
任意の $g\in \widehat{G}$ に対して $h\in G$ を $\phi(hBh^{-1})=g\phi(B)g^{-1}$ となるよう取れば、$\phi(h^{-1})g\in {\rm Stab}(B)$ である。よって $\widehat{G}=\widehat{G}_{0}.{\rm Stab}(B)$ である。<br />
{{end|proof}}<br />
<br />
<br />
全射 ${\rm Stab}(B)\longrightarrow \widehat{G}/\widehat{G}_{0}$ の核を $\widehat{B}=\widehat{G}_{0}\cap {\rm Stab}(B)$ と書くことにする。<br />
<br />
{{theorem |type=prop |label=BN}}<br />
$(\widehat{G}_{0},\widehat{B},\phi(N))$ はTits系であり、$\Delta(G,B)\simeq \Delta(\widehat{G}_{0},\widehat{B})$ である。<br />
{{begin|proof}}<br />
まず $\widehat{G}_{0}=\widehat{B}\phi(N)\widehat{B}$ を示す。$g\in \widehat{G}_{0}={\rm Ker}(\xi)$ に対して $h\in G$ を $g^{-1}\phi(C(w))g=\phi(h^{-1}C(w)h), \forall w\in W$ となるように取ることができる。$G=BNB$ なので $h=b_{1}nb_{2}$ となるように $b_{1},b_{2}\in B, n\in N$ を取ると<br />
$$<br />
g^{-1}\phi(C(w))g=\phi(b_{2}^{-1}n^{-1})\phi(C(w))\phi(nb_{2})<br />
$$<br />
であり $w=1$ のとき $\phi(G)\subset \widehat{G}_{0}$ だったので $g\phi(b_{2}^{-1}n^{-1})\in \widehat{B}$ である。このとき、<br />
$$<br />
g\in \widehat{B}\phi(n)\phi(b_{2})\subset \widehat{B}\phi(N)\widehat{B} <br />
$$<br />
であることが示された。特に $\widehat{G}_{0}=\widehat{B}\phi(N)\widehat{B}$ である。次に $\widehat{B}\cap \phi(N)\triangleleft \phi(N)$ を示す。$x,y\in N$ とし $\phi(x)\in \widehat{B}$ とする。$\widehat{B}=\widehat{G}_{0}\cap {\rm Stab}(B)$ なので $\phi(xBx^{-1})=\phi(B)$ である。よって任意の $b_{1}\in B$ に対して $b_{2}\in B$ を $\phi(xb_{1}x^{-1}b_{2})=0$ となるように取ることができる。$xb_{1}x^{-1}b_{2}\in {\rm Ker}(\phi)\subset B$ かつ $N_{G}(B)=B$ なので $x\in B$ である。$x\in B\cap N\triangleleft N$ なので $\phi(y^{-1}xy)\in \phi(N)$ である。以上より $\widehat{B}\cap \phi(N)\triangleleft \phi(N)$ が示された。また $\phi$ が誘導する全射<br />
$$<br />
N/B\cap N \longrightarrow \phi(N)/\widehat{B}\cap \phi(N)<br />
$$<br />
はwell-definedで同型である。実際、$\phi(B)\subset {\rm Stab}(B)$ なので well-definedであることが言えるし、$n\in N$ <br />
が $\phi(n)\in \widehat{B}$ を満たすなら、$nBn^{-1}=B$ つまり $n\in B$ なので単射性も言える。$\phi(S)$ を上の同型による $S$ の像とする。任意の $s\in S$ と $w\in W$ に対して、<br />
$$<br />
\phi^{-1}(\widehat{B}\phi(s)\widehat{B}\phi(w)\widehat{B})\subset C(sw)\cup C(w)<br />
$$<br />
なので、$\widehat{B}\phi(s)\widehat{B}\phi(w)\widehat{B}\subset \widehat{B}\phi(sw)\widehat{B}\cup \widehat{B}\phi(w)\widehat{B}$ が成り立つので、$(\widehat{G}_{0},\widehat{B},\phi(N))$ は Tits系である。また、写像<br />
$$<br />
\Delta(G,B)\longrightarrow \Delta(\widehat{G}_{0},\widehat{B});P\longmapsto \phi(P).\widehat{B}<br />
$$<br />
は全単射である。<br />
<br />
{{end|proof}}<br />
<br />
==Titsの建物(Building)との関係==<br />
<br />
==Tits系の例==</div>
Gest N
https://math.jp/w/index.php?title=Tits%E7%B3%BB%E3%80%81BN%E5%AF%BE&diff=11800
Tits系、BN対
2022-09-20T21:55:54Z
<p>Gest N: /* $B$ 適応準同型、$B$-$N$ 適応準同型 */</p>
<hr />
<div><br />
<br />
{{newtheorem |type=lem |counter=0 |display=補題 }}<br />
{{newtheorem |type=thm |counter=0 |display=定理 }}<br />
{{newtheorem |type=prop |counter=0 |display=命題 }}<br />
{{newtheorem |type=def |counter=0 |display=定義 }}<br />
{{newtheorem |type=cor |counter=0 |display=系 }}<br />
{{newtheorem |type=proof |counter=0 |display=証明 }}<br />
{{newtheorem |type=rem |counter=0 |display=注 }}<br />
{{newtheorem |type=exa |counter=0 |display=例 }}<br />
{{newtheorem |type=cond |counter=0 |display=条件 }}<br />
<br />
__MATHJAX2__<br />
<br />
Tits系は代数群の構造を調べるための基本的な道具である。<br />
<br />
<br />
<noinclude><br />
{{TOC |align=right |noautonum=1 }}<!-- 右寄せ連番無し目次をここに表示 --><br />
</noinclude><br />
<br />
<br />
==定義==<br />
<br />
{{theorem |type=def |label=def}}<br />
群 $G$ の二つの部分群 $B,N$ が以下の条件を満たすとする。<br />
* (1) $G$ は $B$ と $N$ によって生成される。<br />
* (2) $B\cap N$ は $N$ の正規部分群であり、$S$ は $W=N/B\cap N$ の位数 $2$ の元からなる生成系である。<br />
* (3) 任意の $s\in S$ と $w\in W$ に対して、<br />
$$<br />
C(s)C(w)\subset C(sw)\cup C(w).<br />
$$<br />
* (4) 任意の $s\in S$ に対して、$sBs\neq B$ である。<br />
ただし、$C(w)$ は両側剰余類 $BwB$ である。このような条件を満足する四つ組 $(G,B,N,S)$ のことを'''Tits系(Tits system)'''と呼ぶ。<br />
<br />
Tits系の重要な例を一つ上げる。<br />
{{theorem |type=exa |label=GLspherical}}<br />
$G=GL_{n}(\mathbb{R})$ とし $B$ を上三角行列のなす $G$ の部分群とする。$G$ はベクトル空間 $\mathbb{R}^{n}=\mathbb{R}e_{1}\oplus \cdots \oplus \mathbb{R}e_{n}$ に自然に作用している。ただし、$e_{1},\ldots, e_{n}$ は $\mathbb{R}^{n}$ の標準基底とする。$N$ は $\mathbb{R}e_{1},\ldots,\mathbb{R}e_{n}$ を置換する $G$ の部分群とする。$N$ は 各行各列に一つだけ $0$ でない成分があり、そうでない成分が $0$ であるような行列のなす群である。$B\cap N$ は対角行列のなすトーラス<br />
$$<br />
B\cap N=\left\{<br />
\left. \left(<br />
<nowiki><br />
\begin{array}{cccc}<br />
x_{1} & 0 & \cdots & 0 \\<br />
0 & x_{2} & \cdots & 0 \\<br />
\vdots & & \ddots & \vdots \\<br />
0 & \ldots & \ldots & x_{n}<br />
\end{array}<br />
</nowiki><br />
\right)\right| x_{1},\ldots,x_{n}\in \mathbb{R}^{\times}<br />
\right\}<br />
$$<br />
であり、$N/B\cap N$ は対称群 $S_{n}$ と同型である。$S_{n}$ の位数 $2$ の元からなる生成系 $\{(i,i+1)\mathrel{\vert} i=1,\ldots,n-1\}$ のことを $S$ と置く。$(G,B,N,S)$ はTits系になる。<br />
<br />
<br />
{{theorem |type=def |label=def2}}<br />
Tits系 $(G,B,N,S)$ に対して、$B$ を含んでいるような $G$ の部分群のことを $(G,B,N,S)$ の'''標準的放物型部分群(standard parabolic subgroup)'''という。<br />
<br />
==Bruhat分解==<br />
{{theorem |type=thm |label=Bruhat-dec}}<br />
Tits系 $(G,B,N,S)$ に対して、<br />
$$<br />
G=\coprod_{w\in W}C(w)<br />
$$<br />
が成り立つ。この分解のことを $G$ の'''Bruhat分解(Bruhat decomposition)'''と呼ぶ。<br />
{{begin|proof}}<br />
合併<br />
$$<br />
\bigcup_{w\in W}C(w)<br />
$$<br />
は $B,N$ を含む群なので、これは $G$ と等しい。この分解が無縁和であることを示そう。$C(v)=C(w)$ とし、$d=\mathrm{min}\{\ell_{S}(v),\ell_{S}(w)\}$ と置く。このとき $v=w$ であることを $d$ についての帰納法で示す。$d=0$ のとき、$C(v)=C(w)=B$ であり、これは $v,w$ の代表元が $B\cap N$ に入っていることを意味するので、$v=w=1$ が言える。$d>0$ とする。一般性を失うことなく $d=\ell_{S}(w)\leq \ell_{S}(v)$ としてよく、このとき $\ell_{S}(sw)=\ell_{S}(w)-1$ となるような $s\in S$ がある。$wB\subset C(w)=C(v)$ なので <br />
$$<br />
C(sw)\subset sC(v)\subset C(sv)\cup C(v)<br />
$$<br />
である。よって、$C(sw)=C(v)$ であるかまたは $C(sw)=C(sv)$ である。前者の場合は $C(sw)=C(w)$ なので、$d-1=\mathrm{min}\{\ell_{S}(sw),\ell_{S}(w)\}<d$ から $sw=w$ が得られ、帰納法の仮定に反する。後者の場合、帰納法により、$sw=sv$ が分かる。したがって、$v=w$ を得る。<br />
{{end|proof}}<br />
<br />
<br />
{{theorem |type=prop |label=cellproduct}}<br />
任意の $w\in W$ と $s\in S$ に対して、もし $\ell(sw)=\ell(w)+1$ なら $C(s)C(w)=C(sw)$ であり $\ell(sw)=\ell(w)-1$ なら $C(s)C(w)=C(w)\cup C(sw)$ である。<br />
{{begin|proof}}<br />
$\ell(w)=0$ なら主張は自明である。$\ell(w)>0$ なら、$\ell(wt)<\ell(w)$ となる $t\in S$ がある。$\ell(sw)=\ell(w)+1$ のとき $C(s)C(w)=C(sw)$ となることをまず示そう。$w^{'}=wt$ と置く。<br />
$$<br />
\ell(w^{'})+1=\ell(w)\leq \ell(sw)=\ell(sw^{'}t)\leq \ell(sw^{'})+1<br />
$$<br />
なので帰納法の仮定から<br />
$$<br />
C(s)C(w^{'})=C(sw^{'})<br />
$$<br />
となる。$C(s)C(w)\neq C(sw)$ と仮定する。$sBw\cap C(w)\neq \phi$ なので $sBw^{'}\cap C(w)t$ も空でない。さらに $C(w)t\subset C(w)\cup C(w^{'})$ なので $sBw^{'}\cap (C(w)\cup C(w^{'}))\neq \phi$ である。$C(s)C(w^{'})=C(sw^{'})$ なので{{ref |type=thm |label=Bruhat-dec}} より $sw^{'}=w$ である。しかしこれは<br />
$$<br />
\ell(w^{'})<\ell(w)<\ell(sw)<br />
$$<br />
に矛盾する。したがって $C(s)(w)$ と $C(w)$ は交わらず、$C(s)C(w)=C(sw)$ であることが分かる。次に $\ell(sw)=\ell(w)-1$ の場合を考えよう。このとき $\ell(s(sw))=\ell(sw)+1$ なので、上で見たように<br />
$$<br />
C(s)C(sw)=C(w)<br />
$$<br />
である。このとき、<br />
\begin{align}<br />
C(s)C(w)&=C(s)C(s)C(sw) \\<br />
&=(C(s)\cup B)C(sw) \\<br />
&=C(w)\cup C(sw)<br />
\end{align}<br />
<br />
{{end|proof}}<br />
<br />
==放物型部分群==<br />
<br />
{{theorem |type=prop |label=Coxeter}}<br />
$(G,B,N,S)$ をTits系とすると、$(W,S)$ は[[Coxeter系]]になる。<br />
{{begin|proof}}<br />
$s\in S$ と $w\in W$ が $\ell(sw)=\ell(w)-1$ を満たすとする。また $s_{1},\ldots,s_{n}\in S$ を $w=s_{1}\cdots s_{n}$ が最短表示であるように選ぶ。このとき[[交換条件]]をみたすことを示そう。つまり<br />
$$<br />
sw=s_{1}\cdots \hat{s_{i}}\cdots s_{n}<br />
$$<br />
となる $i$ が存在することを示す。仮定より $C(s)C(w)=C(sw)\cup C(w)$ かつ $C(w)=C(s_{1})\cdots C(s_{n})$ が成り立つ。$1\leq i\leq n$ を $\ell(ss_{1}\cdots s_{i})<\ell(ss_{1}\cdots s_{i-1})$ となるような最小の添え字に選べば<br />
\begin{align}<br />
C(s)C(w)&=C(s)C(s_{1})\cdots C(s_{i-1})C(s_{i})\cdots C(s_{n}) \\<br />
&=C(ss_{1}\cdots s_{i-1})C(s_{i})\cdots C(s_{n}) \\<br />
&=\left(C(ss_{1}\cdots s_{i})\cup C(ss_{1}\cdots s_{i-1}) \right)C(s_{i+1})\cdots C(s_{n}) \\<br />
&\subset \bigcup \left(C(ss_{1}\cdots s_{i}s_{i_{1}}\cdots s_{i_{p}})\cup C(ss_{1}\cdots s_{i-1}s_{i_{1}}\cdots s_{i_{p}}) \right)<br />
\end{align}<br />
ここで、$i<i_{1}<\ldots <i_{p}\leq n$ を満たすような添え字を走る。$C(w)$ は最右辺に含まれるので $\ell(w)=n$ という事実と合わせて考えると $w=ss_{1}\cdots s_{i-1}s_{i+1}\cdots s_{n}$ であるかまたは $w=ss_{1}\cdots s_{i}s_{i+1}\cdots \widehat{s_{i+k}}\cdots s_{n}$ となる $k$ がある。どちらにせよ、$(W,S)$ は交換条件を満たすことが確認できる。<br />
{{end|proof}}<br />
<br />
<br />
$I$ を $S$ の部分集合とすると、$(W_{I},I)$ はCoxeter系である。$P_{I}=BW_{I}B$ は $B$ を含む $G$ の部分群になる。すなわち $P_{I}$ は標準的放物型部分群になる。逆に、$P$ が標準的放物型部分群のとき、<br />
$$<br />
W_{I}=\{w\in W\mathrel{\vert}C(w)\subset P\}<br />
$$<br />
と置くと、これは $W$ の放物型部分群であり、$I=S\cap W_{I}$ は $W_{I}$ の生成系である。つまり、$S$ の部分集合と $G$ の標準的放物型部分群は $1:1$ に対応する。$G$ の'''放物型部分群'''とは、$G$ の標準的放物型部分群と共役な群のことを意味する。$\Delta(G,B)$ を $G$ の放物型部分群全体のなす集合とする。<br />
<br />
{{theorem |type=lem |label=cell-gen}}<br />
もし $w\in W$ に対して $w=s_{1}\cdots s_{n}$ が最短表示なら $\langle C(w)\rangle=\langle C(s_{1}),\ldots,C(s_{n})\rangle=\langle B,wBw^{-1}\rangle$ が成り立つ。<br />
{{begin|proof}}<br />
$w\in C(w)$ かつ $wB\subset C(w)$ より $\langle B,wBw^{-1}\rangle\subset \langle C(w)\rangle $ が分かる。さらに$w=s_{1}\cdots s_{n}$ は最短表示なので $\langle C(s_{1}),\ldots, C(s_{n}) \rangle$ である。よって、$C(s_{1}),\ldots ,C(s_{n})\subset \langle B,wBw^{-1} \rangle$ を示せばよい。実際、$\ell(s_{1}w)<\ell(w)$ なので、$C(w)\subset C(s_{1})C(w)$ となる。特に、$w=b_{1}s_{1}b_{2}wb_{3}$ となる $b_{1},b_{2},b_{3}\in B$ が存在する。特に $s_{1}=b_{1}^{-1}wb_{3}^{-1}w^{-1}b_{2}^{-1}\in \langle B,wBw^{-1}\rangle$ となるので $\langle B,s_{1}wBw^{-1}s_{1}\rangle\subset \langle B,wBw^{-1}\rangle$ となる。さらに帰納法により、この左辺は $C(s_{2}),\ldots,C(s_{n})$ を含む。よって、<br />
$$<br />
\langle C(s_{1}),\ldots,C(s_{n})\rangle\subset \langle B,wBw^{-1}\rangle<br />
$$<br />
となる。<br />
{{end|proof}}<br />
<br />
{{theorem |type=prop |label=normal}}<br />
任意の $P\in \Delta(G,B)$ に対して $N_{G}(P)=P$ が成り立つ。 <br />
{{begin|proof}}<br />
任意の $g\in G$ に対して、$N_{G}(gPg^{-1})=gN_{G}(P)g^{-1}$ なので、$P$ は標準的であるとしてよい。$x\in N_{G}(P)$ に対し $x\in C(w)$ となるような $w\in W$ がある。この $w$ に対して$\langle B,wBw^{-1} \rangle$ は $P$ に含まれるので、$x\in C(w)\in P$ となる。したがって $N_{G}(P)=P$ が分かる。<br />
{{end|proof}}<br />
<br />
<br />
==$B$ 適応準同型、$B$-$N$ 適応準同型==<br />
<br />
$(G,B,N,S)$ をTits系とし、$\widehat{G}$ を群とする。<br />
<br />
{{theorem |type=def |label=adaptedhom}}<br />
準同型 $\phi\colon G\longrightarrow \widehat{G}$ が以下の条件を満たすとき、$\phi$ は $B$ 適応準同型であるという。<br />
*(1) ${\rm Ker}(\phi)\subset B.$<br />
*(2) 任意の $g\in \widehat{G}$ に対して $h\in G$ が存在して $\phi(hBh^{-1})=g\phi(B)g^{-1}.$<br />
この条件(2)の代わりに<br />
*(2') 任意の $g\in \widehat{G}$ に対して $h\in G$ が存在して $\phi(hBh^{-1})=g\phi(B)g^{-1}, \phi(hNh^{-1})=g\phi(N)g^{-1}.$<br />
が成り立つとき、$\phi$ は $B$-$N$ 適応準同型であるという。<br />
<br />
<br />
{{theorem |type=lem |label=normal}}<br />
$\phi$ が $B$ 適応準同型のとき、像 $\phi(G)$ は $\widehat{G}$ の正規部分群である。<br />
{{begin|proof}}<br />
$G=\bigcup_{w\in W}\langle C(w)\rangle =\bigcup_{w\in W}\langle B,wBw^{-1}\rangle$ なので、$G$ は $B$ と共役な部分群たちによって生成されている。すなわち、任意の $a\in G$ に対して有限個の $(b_{i},k_{i})\in B\times G$ があり、<br />
$$<br />
a=\prod k_{i}b_{i}k_{i}^{-1}<br />
$$ <br />
となる。任意の $g\in \widehat{G}$ に対して、$g\phi(a)g^{-1}\in \psi(G)$ を示そう。$g_{i}=g\phi(k_{i})$ と置くと、$\phi$ は $B$ 適応準同型なので、$g_{i}\phi(B)g_{i}^{-1}=\phi(h_{i}Bh_{i}^{-1})$ となる $h_{i}\in G$ が存在する。このとき、<br />
\begin{align}<br />
g^{-1}\phi(a)g&=\prod g_{i}\phi(b_{i})g_{i}^{-1} \\<br />
&=\prod \phi(h_{i}b_{i}h_{i}^{-1})\in \phi(G)<br />
\end{align}<br />
であるから、$\phi$ の像は $\widehat{G}$ の正規部分群である。<br />
{{end|proof}}<br />
<br />
<br />
$\phi$ が $B$ 適応準同型とすると $\Delta(G,B)$ への $\widehat{G}$ への作用を<br />
$$<br />
\widehat{G}\times \Delta(G,B)\longrightarrow \Delta(G,B);(g,P)\longmapsto {}^{g}P:=\phi^{-1}(\phi(g)P\phi(g^{-1}))<br />
$$<br />
と定める。$P\in \Delta(G,B)$ に対して、安定化群を ${\rm Stab}(P)=\{g\in \widehat{G}\mathrel{\vert} {}^{g}P=P\}$ と置くと $\phi^{-1}({\rm Stab}(P))=P$ である。また $B$ 適応準同型 $\phi$ は Bruhat細胞をBruhat細胞に写すので、<br />
$$<br />
\xi\colon \widehat{G}\longrightarrow \mathrm{Aut}(W,S)<br />
$$<br />
を<br />
$$<br />
\phi(C(\xi(g)w))=\phi(h)^{-1}g\phi(C(w))g^{-1}\phi(h)<br />
$$<br />
となるように定めることができる。ただし、$g\in \widehat{G}$ に対して $h\in G$ を(2)を満たすように選んでいる。<br />
$$<br />
\widehat{G}_{0}={\rm Ker}(\xi), \Xi={\rm Im}\xi<br />
$$<br />
と置く。<br />
<br />
{{theorem |type=lem |label=stab}}<br />
$\phi$ が $B$ 適応準同型なら $\phi(G)\subset \widehat{G}_{0}$ かつ $\widehat{G}=\widehat{G}_{0}.{\rm Stab}(B)$ である。<br />
{{begin|proof}}<br />
任意の $g\in \widehat{G}$ に対して $h\in G$ を $\phi(hBh^{-1})=g\phi(B)g^{-1}$ となるよう取れば、$\phi(h^{-1})g\in {\rm Stab}(B)$ である。よって $\widehat{G}=\widehat{G}_{0}.{\rm Stab}(B)$ である。<br />
{{end|proof}}<br />
<br />
<br />
全射 ${\rm Stab}(B)\longrightarrow \widehat{G}/\widehat{G}_{0}$ の核を $\widehat{B}=\widehat{G}_{0}\cap {\rm Stab}(B)$ と書くことにする。<br />
<br />
{{theorem |type=prop |label=BN}}<br />
$(\widehat{G}_{0},\widehat{B},\phi(N))$ はTits系であり、$\Delta(G,B)\simeq \Delta(\widehat{G}_{0},\widehat{B})$ である。<br />
{{begin|proof}}<br />
まず $\widehat{G}_{0}=\widehat{B}\phi(N)\widehat{B}$ を示す。$g\in \widehat{G}_{0}={\rm Ker}(\xi)$ に対して $h\in G$ を $g^{-1}\phi(C(w))g=\phi(h^{-1}C(w)h), \forall w\in W$ となるように取ることができる。$G=BNB$ なので $h=b_{1}nb_{2}$ となるように $b_{1},b_{2}\in B, n\in N$ を取ると<br />
$$<br />
g^{-1}\phi(C(w))g=\phi(b_{2}^{-1}n^{-1})\phi(C(w))\phi(nb_{2})<br />
$$<br />
であり $w=1$ のとき $\phi(G)\subset \widehat{G}_{0}$ だったので $g\phi(b_{2}^{-1}n^{-1})\in \widehat{B}$ である。このとき、<br />
$$<br />
g\in \widehat{B}\phi(n)\phi(b_{2})\subset \widehat{B}\phi(N)\widehat{B} <br />
$$<br />
であることが示された。特に $\widehat{G}_{0}=\widehat{B}\phi(N)\widehat{B}$ である。次に $\widehat{B}\cap \phi(N)\triangleleft \phi(N)$ を示す。$x,y\in N$ とし $\phi(x)\in \widehat{B}$ とする。$\widehat{B}=\widehat{G}_{0}\cap {\rm Stab}(B)$ なので $\phi(xBx^{-1})=\phi(B)$ である。よって任意の $b_{1}\in B$ に対して $b_{2}\in B$ を $\phi(xb_{1}x^{-1}b_{2})=0$ となるように取ることができる。$xb_{1}x^{-1}b_{2}\in {\rm Ker}(\phi)\subset B$ かつ $N_{G}(B)=B$ なので $x\in B$ である。$x\in B\cap N\triangleleft N$ なので $\phi(y^{-1}xy)\in \phi(N)$ である。以上より $\widehat{B}\cap \phi(N)\triangleleft \phi(N)$ が示された。また $\phi$ が誘導する全射<br />
$$<br />
N/B\cap N \longrightarrow \phi(N)/\widehat{B}\cap \phi(N)<br />
$$<br />
はwell-definedで同型である。実際、$\phi(B)\subset {\rm Stab}(B)$ なので well-definedであることが言えるし、$n\in N$ <br />
が $\phi(n)\in \widehat{B}$ を満たすなら、$nBn^{-1}=B$ つまり $n\in B$ なので単射性も言える。$\phi(S)$ を上の同型による $S$ の像とする。任意の $s\in S$ と $w\in W$ に対して、<br />
$$<br />
\widehat{B}\phi(s)\widehat{B}\phi(w)\widehat{B}\subset <br />
$$<br />
{{end|proof}}<br />
<br />
==Titsの建物(Building)との関係==<br />
<br />
==Tits系の例==</div>
Gest N
https://math.jp/w/index.php?title=Tits%E7%B3%BB%E3%80%81BN%E5%AF%BE&diff=11782
Tits系、BN対
2022-09-19T09:04:54Z
<p>Gest N: /* $B$ 適応準同型、$B$-$N$ 適応準同型 */</p>
<hr />
<div><br />
<br />
{{newtheorem |type=lem |counter=0 |display=補題 }}<br />
{{newtheorem |type=thm |counter=0 |display=定理 }}<br />
{{newtheorem |type=prop |counter=0 |display=命題 }}<br />
{{newtheorem |type=def |counter=0 |display=定義 }}<br />
{{newtheorem |type=cor |counter=0 |display=系 }}<br />
{{newtheorem |type=proof |counter=0 |display=証明 }}<br />
{{newtheorem |type=rem |counter=0 |display=注 }}<br />
{{newtheorem |type=exa |counter=0 |display=例 }}<br />
{{newtheorem |type=cond |counter=0 |display=条件 }}<br />
<br />
__MATHJAX2__<br />
<br />
Tits系は代数群の構造を調べるための基本的な道具である。<br />
<br />
<br />
<noinclude><br />
{{TOC |align=right |noautonum=1 }}<!-- 右寄せ連番無し目次をここに表示 --><br />
</noinclude><br />
<br />
<br />
==定義==<br />
<br />
{{theorem |type=def |label=def}}<br />
群 $G$ の二つの部分群 $B,N$ が以下の条件を満たすとする。<br />
* (1) $G$ は $B$ と $N$ によって生成される。<br />
* (2) $B\cap N$ は $N$ の正規部分群であり、$S$ は $W=N/B\cap N$ の位数 $2$ の元からなる生成系である。<br />
* (3) 任意の $s\in S$ と $w\in W$ に対して、<br />
$$<br />
C(s)C(w)\subset C(sw)\cup C(w).<br />
$$<br />
* (4) 任意の $s\in S$ に対して、$sBs\neq B$ である。<br />
ただし、$C(w)$ は両側剰余類 $BwB$ である。このような条件を満足する四つ組 $(G,B,N,S)$ のことを'''Tits系(Tits system)'''と呼ぶ。<br />
<br />
Tits系の重要な例を一つ上げる。<br />
{{theorem |type=exa |label=GLspherical}}<br />
$G=GL_{n}(\mathbb{R})$ とし $B$ を上三角行列のなす $G$ の部分群とする。$G$ はベクトル空間 $\mathbb{R}^{n}=\mathbb{R}e_{1}\oplus \cdots \oplus \mathbb{R}e_{n}$ に自然に作用している。ただし、$e_{1},\ldots, e_{n}$ は $\mathbb{R}^{n}$ の標準基底とする。$N$ は $\mathbb{R}e_{1},\ldots,\mathbb{R}e_{n}$ を置換する $G$ の部分群とする。$N$ は 各行各列に一つだけ $0$ でない成分があり、そうでない成分が $0$ であるような行列のなす群である。$B\cap N$ は対角行列のなすトーラス<br />
$$<br />
B\cap N=\left\{<br />
\left. \left(<br />
<nowiki><br />
\begin{array}{cccc}<br />
x_{1} & 0 & \cdots & 0 \\<br />
0 & x_{2} & \cdots & 0 \\<br />
\vdots & & \ddots & \vdots \\<br />
0 & \ldots & \ldots & x_{n}<br />
\end{array}<br />
</nowiki><br />
\right)\right| x_{1},\ldots,x_{n}\in \mathbb{R}^{\times}<br />
\right\}<br />
$$<br />
であり、$N/B\cap N$ は対称群 $S_{n}$ と同型である。$S_{n}$ の位数 $2$ の元からなる生成系 $\{(i,i+1)\mathrel{\vert} i=1,\ldots,n-1\}$ のことを $S$ と置く。$(G,B,N,S)$ はTits系になる。<br />
<br />
<br />
{{theorem |type=def |label=def2}}<br />
Tits系 $(G,B,N,S)$ に対して、$B$ を含んでいるような $G$ の部分群のことを $(G,B,N,S)$ の'''標準的放物型部分群(standard parabolic subgroup)'''という。<br />
<br />
==Bruhat分解==<br />
{{theorem |type=thm |label=Bruhat-dec}}<br />
Tits系 $(G,B,N,S)$ に対して、<br />
$$<br />
G=\coprod_{w\in W}C(w)<br />
$$<br />
が成り立つ。この分解のことを $G$ の'''Bruhat分解(Bruhat decomposition)'''と呼ぶ。<br />
{{begin|proof}}<br />
合併<br />
$$<br />
\bigcup_{w\in W}C(w)<br />
$$<br />
は $B,N$ を含む群なので、これは $G$ と等しい。この分解が無縁和であることを示そう。$C(v)=C(w)$ とし、$d=\mathrm{min}\{\ell_{S}(v),\ell_{S}(w)\}$ と置く。このとき $v=w$ であることを $d$ についての帰納法で示す。$d=0$ のとき、$C(v)=C(w)=B$ であり、これは $v,w$ の代表元が $B\cap N$ に入っていることを意味するので、$v=w=1$ が言える。$d>0$ とする。一般性を失うことなく $d=\ell_{S}(w)\leq \ell_{S}(v)$ としてよく、このとき $\ell_{S}(sw)=\ell_{S}(w)-1$ となるような $s\in S$ がある。$wB\subset C(w)=C(v)$ なので <br />
$$<br />
C(sw)\subset sC(v)\subset C(sv)\cup C(v)<br />
$$<br />
である。よって、$C(sw)=C(v)$ であるかまたは $C(sw)=C(sv)$ である。前者の場合は $C(sw)=C(w)$ なので、$d-1=\mathrm{min}\{\ell_{S}(sw),\ell_{S}(w)\}<d$ から $sw=w$ が得られ、帰納法の仮定に反する。後者の場合、帰納法により、$sw=sv$ が分かる。したがって、$v=w$ を得る。<br />
{{end|proof}}<br />
<br />
<br />
{{theorem |type=prop |label=cellproduct}}<br />
任意の $w\in W$ と $s\in S$ に対して、もし $\ell(sw)=\ell(w)+1$ なら $C(s)C(w)=C(sw)$ であり $\ell(sw)=\ell(w)-1$ なら $C(s)C(w)=C(w)\cup C(sw)$ である。<br />
{{begin|proof}}<br />
$\ell(w)=0$ なら主張は自明である。$\ell(w)>0$ なら、$\ell(wt)<\ell(w)$ となる $t\in S$ がある。$\ell(sw)=\ell(w)+1$ のとき $C(s)C(w)=C(sw)$ となることをまず示そう。$w^{'}=wt$ と置く。<br />
$$<br />
\ell(w^{'})+1=\ell(w)\leq \ell(sw)=\ell(sw^{'}t)\leq \ell(sw^{'})+1<br />
$$<br />
なので帰納法の仮定から<br />
$$<br />
C(s)C(w^{'})=C(sw^{'})<br />
$$<br />
となる。$C(s)C(w)\neq C(sw)$ と仮定する。$sBw\cap C(w)\neq \phi$ なので $sBw^{'}\cap C(w)t$ も空でない。さらに $C(w)t\subset C(w)\cup C(w^{'})$ なので $sBw^{'}\cap (C(w)\cup C(w^{'}))\neq \phi$ である。$C(s)C(w^{'})=C(sw^{'})$ なので{{ref |type=thm |label=Bruhat-dec}} より $sw^{'}=w$ である。しかしこれは<br />
$$<br />
\ell(w^{'})<\ell(w)<\ell(sw)<br />
$$<br />
に矛盾する。したがって $C(s)(w)$ と $C(w)$ は交わらず、$C(s)C(w)=C(sw)$ であることが分かる。次に $\ell(sw)=\ell(w)-1$ の場合を考えよう。このとき $\ell(s(sw))=\ell(sw)+1$ なので、上で見たように<br />
$$<br />
C(s)C(sw)=C(w)<br />
$$<br />
である。このとき、<br />
\begin{align}<br />
C(s)C(w)&=C(s)C(s)C(sw) \\<br />
&=(C(s)\cup B)C(sw) \\<br />
&=C(w)\cup C(sw)<br />
\end{align}<br />
<br />
{{end|proof}}<br />
<br />
==放物型部分群==<br />
<br />
{{theorem |type=prop |label=Coxeter}}<br />
$(G,B,N,S)$ をTits系とすると、$(W,S)$ は[[Coxeter系]]になる。<br />
{{begin|proof}}<br />
$s\in S$ と $w\in W$ が $\ell(sw)=\ell(w)-1$ を満たすとする。また $s_{1},\ldots,s_{n}\in S$ を $w=s_{1}\cdots s_{n}$ が最短表示であるように選ぶ。このとき[[交換条件]]をみたすことを示そう。つまり<br />
$$<br />
sw=s_{1}\cdots \hat{s_{i}}\cdots s_{n}<br />
$$<br />
となる $i$ が存在することを示す。仮定より $C(s)C(w)=C(sw)\cup C(w)$ かつ $C(w)=C(s_{1})\cdots C(s_{n})$ が成り立つ。$1\leq i\leq n$ を $\ell(ss_{1}\cdots s_{i})<\ell(ss_{1}\cdots s_{i-1})$ となるような最小の添え字に選べば<br />
\begin{align}<br />
C(s)C(w)&=C(s)C(s_{1})\cdots C(s_{i-1})C(s_{i})\cdots C(s_{n}) \\<br />
&=C(ss_{1}\cdots s_{i-1})C(s_{i})\cdots C(s_{n}) \\<br />
&=\left(C(ss_{1}\cdots s_{i})\cup C(ss_{1}\cdots s_{i-1}) \right)C(s_{i+1})\cdots C(s_{n}) \\<br />
&\subset \bigcup \left(C(ss_{1}\cdots s_{i}s_{i_{1}}\cdots s_{i_{p}})\cup C(ss_{1}\cdots s_{i-1}s_{i_{1}}\cdots s_{i_{p}}) \right)<br />
\end{align}<br />
ここで、$i<i_{1}<\ldots <i_{p}\leq n$ を満たすような添え字を走る。$C(w)$ は最右辺に含まれるので $\ell(w)=n$ という事実と合わせて考えると $w=ss_{1}\cdots s_{i-1}s_{i+1}\cdots s_{n}$ であるかまたは $w=ss_{1}\cdots s_{i}s_{i+1}\cdots \widehat{s_{i+k}}\cdots s_{n}$ となる $k$ がある。どちらにせよ、$(W,S)$ は交換条件を満たすことが確認できる。<br />
{{end|proof}}<br />
<br />
<br />
$I$ を $S$ の部分集合とすると、$(W_{I},I)$ はCoxeter系である。$P_{I}=BW_{I}B$ は $B$ を含む $G$ の部分群になる。すなわち $P_{I}$ は標準的放物型部分群になる。逆に、$P$ が標準的放物型部分群のとき、<br />
$$<br />
W_{I}=\{w\in W\mathrel{\vert}C(w)\subset P\}<br />
$$<br />
と置くと、これは $W$ の放物型部分群であり、$I=S\cap W_{I}$ は $W_{I}$ の生成系である。つまり、$S$ の部分集合と $G$ の標準的放物型部分群は $1:1$ に対応する。$G$ の'''放物型部分群'''とは、$G$ の標準的放物型部分群と共役な群のことを意味する。$\Delta(G,B)$ を $G$ の放物型部分群全体のなす集合とする。<br />
<br />
{{theorem |type=lem |label=cell-gen}}<br />
もし $w\in W$ に対して $w=s_{1}\cdots s_{n}$ が最短表示なら $\langle C(w)\rangle=\langle C(s_{1}),\ldots,C(s_{n})\rangle=\langle B,wBw^{-1}\rangle$ が成り立つ。<br />
{{begin|proof}}<br />
$w\in C(w)$ かつ $wB\subset C(w)$ より $\langle B,wBw^{-1}\rangle\subset \langle C(w)\rangle $ が分かる。さらに$w=s_{1}\cdots s_{n}$ は最短表示なので $\langle C(s_{1}),\ldots, C(s_{n}) \rangle$ である。よって、$C(s_{1}),\ldots ,C(s_{n})\subset \langle B,wBw^{-1} \rangle$ を示せばよい。実際、$\ell(s_{1}w)<\ell(w)$ なので、$C(w)\subset C(s_{1})C(w)$ となる。特に、$w=b_{1}s_{1}b_{2}wb_{3}$ となる $b_{1},b_{2},b_{3}\in B$ が存在する。特に $s_{1}=b_{1}^{-1}wb_{3}^{-1}w^{-1}b_{2}^{-1}\in \langle B,wBw^{-1}\rangle$ となるので $\langle B,s_{1}wBw^{-1}s_{1}\rangle\subset \langle B,wBw^{-1}\rangle$ となる。さらに帰納法により、この左辺は $C(s_{2}),\ldots,C(s_{n})$ を含む。よって、<br />
$$<br />
\langle C(s_{1}),\ldots,C(s_{n})\rangle\subset \langle B,wBw^{-1}\rangle<br />
$$<br />
となる。<br />
{{end|proof}}<br />
<br />
{{theorem |type=prop |label=normal}}<br />
任意の $P\in \Delta(G,B)$ に対して $N_{G}(P)=P$ が成り立つ。 <br />
{{begin|proof}}<br />
任意の $g\in G$ に対して、$N_{G}(gPg^{-1})=gN_{G}(P)g^{-1}$ なので、$P$ は標準的であるとしてよい。$x\in N_{G}(P)$ に対し $x\in C(w)$ となるような $w\in W$ がある。この $w$ に対して$\langle B,wBw^{-1} \rangle$ は $P$ に含まれるので、$x\in C(w)\in P$ となる。したがって $N_{G}(P)=P$ が分かる。<br />
{{end|proof}}<br />
<br />
<br />
==$B$ 適応準同型、$B$-$N$ 適応準同型==<br />
<br />
$(G,B,N,S)$ をTits系とし、$\widehat{G}$ を群とする。<br />
<br />
{{theorem |type=def |label=adaptedhom}}<br />
準同型 $\phi\colon G\longrightarrow \widehat{G}$ が以下の条件を満たすとき、$\phi$ は $B$ 適応準同型であるという。<br />
*(1) ${\rm Ker}(\phi)\subset B.$<br />
*(2) 任意の $g\in \widehat{G}$ に対して $h\in G$ が存在して $\phi(hBh^{-1})=g\phi(B)g^{-1}.$<br />
この条件(2)の代わりに<br />
*(2') 任意の $g\in \widehat{G}$ に対して $h\in G$ が存在して $\phi(hBh^{-1})=g\phi(B)g^{-1}, \phi(hNh^{-1})=g\phi(N)g^{-1}.$<br />
が成り立つとき、$\phi$ は $B$-$N$ 適応準同型であるという。<br />
<br />
<br />
{{theorem |type=lem |label=normal}}<br />
$\phi$ が $B$ 適応準同型のとき、像 $\phi(G)$ は $\widehat{G}$ の正規部分群である。<br />
{{begin|proof}}<br />
$G=\bigcup_{w\in W}\langle C(w)\rangle =\bigcup_{w\in W}\langle B,wBw^{-1}\rangle$ なので、$G$ は $B$ と共役な部分群たちによって生成されている。すなわち、任意の $a\in G$ に対して有限個の $(b_{i},k_{i})\in B\times G$ があり、<br />
$$<br />
a=\prod k_{i}b_{i}k_{i}^{-1}<br />
$$ <br />
となる。任意の $g\in \widehat{G}$ に対して、$g\phi(a)g^{-1}\in \psi(G)$ を示そう。$g_{i}=g\phi(k_{i})$ と置くと、$\phi$ は $B$ 適応準同型なので、$g_{i}\phi(B)g_{i}^{-1}=\phi(h_{i}Bh_{i}^{-1})$ となる $h_{i}\in G$ が存在する。このとき、<br />
\begin{align}<br />
g^{-1}\phi(a)g&=\prod g_{i}\phi(b_{i})g_{i}^{-1} \\<br />
&=\prod \phi(h_{i}b_{i}h_{i}^{-1})\in \phi(G)<br />
\end{align}<br />
であるから、$\phi$ の像は $\widehat{G}$ の正規部分群である。<br />
{{end|proof}}<br />
<br />
<br />
$\phi$ が $B$ 適応準同型とすると $\Delta(G,B)$ への $\widehat{G}$ への作用を<br />
$$<br />
\widehat{G}\times \Delta(G,B)\longrightarrow \Delta(G,B);(g,P)\longmapsto {}^{g}P:=\phi^{-1}(\phi(g)P\phi(g^{-1}))<br />
$$<br />
と定める。$P\in \Delta(G,B)$ に対して、安定化群を ${\rm Stab}(P)=\{g\in \widehat{G}\mathrel{\vert} {}^{g}P=P\}$ と置くと $\phi^{-1}({\rm Stab}(P))=P$ である。また $B$ 適応準同型 $\phi$ は Bruhat細胞をBruhat細胞に写すので、<br />
$$<br />
\xi\colon \widehat{G}\longrightarrow \mathrm{Aut}(W,S)<br />
$$<br />
を<br />
$$<br />
\phi(C(\xi(g)w))=\phi(h)^{-1}g\phi(C(w))g^{-1}\phi(h)<br />
$$<br />
となるように定めることができる。ただし、$g\in \widehat{G}$ に対して $h\in G$ を(2)を満たすように選んでいる。<br />
$$<br />
\widehat{G}_{0}={\rm Ker}(\xi), \Xi={\rm Im}\xi<br />
$$<br />
と置く。<br />
<br />
{{theorem |type=lem |label=stab}}<br />
$\phi$ が $B$ 適応準同型なら $\phi(G)\subset \widehat{G}_{0}$ かつ $\widehat{G}=\widehat{G}_{0}.{\rm Stab}(B)$ である。<br />
{{begin|proof}}<br />
任意の $g\in \widehat{G}$ に対して $h\in G$ を $\phi(hBh^{-1})=g\phi(B)g^{-1}$ となるよう取れば、$\phi(h^{-1})g\in {\rm Stab}(B)$ である。よって $\widehat{G}=\widehat{G}_{0}.{\rm Stab}(B)$ である。<br />
{{end|proof}}<br />
<br />
<br />
全射 ${\rm Stab}(B)\longrightarrow \widehat{G}/\widehat{G}_{0}$ の核を $\widehat{B}=\widehat{G}_{0}\cap {\rm Stab}(B)$ と書くことにする。<br />
<br />
{{theorem |type=prop |label=BN}}<br />
$(\widehat{G}_{0},\widehat{B},\phi(N))$ はTits系であり、$\Delta(G,B)\simeq \Delta(\widehat{G}_{0},\widehat{B})$ である。<br />
{{begin|proof}}<br />
まず $\widehat{G}_{0}=\widehat{B}\phi(N)\widehat{B}$ を示す。$g\in \widehat{G}_{0}={\rm Ker}(\xi)$ に対して $h\in G$ を $g^{-1}\phi(C(w))g=\phi(h^{-1}C(w)h), \forall w\in W$ となるように取ることができる。$G=BNB$ なので $h=b_{1}nb_{2}$ となるように $b_{1},b_{2}\in B, n\in N$ を取ると<br />
$$<br />
g^{-1}\phi(C(w))g=\phi(b_{2}^{-1}n^{-1})\phi(C(w))\phi(nb_{2})<br />
$$<br />
であり $w=1$ のとき $\phi(G)\subset \widehat{G}_{0}$ だったので $g\phi(b_{2}^{-1}n^{-1})\in \widehat{B}$ である。このとき、<br />
$$<br />
g\in \widehat{B}\phi(n)\phi(b_{2})\subset \widehat{B}\phi(N)\widehat{B} <br />
$$<br />
であることが示された。特に $\widehat{G}_{0}=\widehat{B}\phi(N)\widehat{B}$ である。次に $\widehat{B}\cap \phi(N)\triangleleft \phi(N)$ を示す。$x,y\in N$ とし $\phi(x)\in \widehat{B}$ とする。$\widehat{B}=\widehat{G}_{0}\cap {\rm Stab}(B)$ なので $\phi(xBx^{-1})=\phi(B)$ である。よって任意の $b_{1}\in B$ に対して $b_{2}\in B$ を $\phi(xb_{1}x^{-1}b_{2})=0$ となるように取ることができる。$xb_{1}x^{-1}b_{2}\in {\rm Ker}(\phi)\subset B$ かつ $N_{G}(B)=B$ なので $x\in B$ である。$x\in B\cap N\triangleleft N$ なので $\phi(y^{-1}xy)\in \phi(N)$ である。以上より $\widehat{B}\cap \phi(N)\triangleleft \phi(N)$ が示された。また $\phi$ が誘導する全射<br />
$$<br />
N/B\cap N \longrightarrow \phi(N)/\widehat{B}\cap \phi(N)<br />
$$<br />
はwell-definedで同型である。実際、$\phi(B)\subset {\rm Stab}(B)$ なので well-definedであることが言えるし、$n\in N$ <br />
が $\phi(n)\in \widehat{B}$ を満たすなら、$nBn^{-1}=B$ つまり $n\in B$ なので単射性も言える。<br />
{{end|proof}}<br />
<br />
==Titsの建物(Building)との関係==<br />
<br />
==Tits系の例==</div>
Gest N
https://math.jp/w/index.php?title=Tits%E7%B3%BB%E3%80%81BN%E5%AF%BE&diff=11779
Tits系、BN対
2022-09-19T02:37:48Z
<p>Gest N: /* $B$ 適応準同型、$B$-$N$ 適応準同型 */</p>
<hr />
<div><br />
<br />
{{newtheorem |type=lem |counter=0 |display=補題 }}<br />
{{newtheorem |type=thm |counter=0 |display=定理 }}<br />
{{newtheorem |type=prop |counter=0 |display=命題 }}<br />
{{newtheorem |type=def |counter=0 |display=定義 }}<br />
{{newtheorem |type=cor |counter=0 |display=系 }}<br />
{{newtheorem |type=proof |counter=0 |display=証明 }}<br />
{{newtheorem |type=rem |counter=0 |display=注 }}<br />
{{newtheorem |type=exa |counter=0 |display=例 }}<br />
{{newtheorem |type=cond |counter=0 |display=条件 }}<br />
<br />
__MATHJAX2__<br />
<br />
Tits系は代数群の構造を調べるための基本的な道具である。<br />
<br />
<br />
<noinclude><br />
{{TOC |align=right |noautonum=1 }}<!-- 右寄せ連番無し目次をここに表示 --><br />
</noinclude><br />
<br />
<br />
==定義==<br />
<br />
{{theorem |type=def |label=def}}<br />
群 $G$ の二つの部分群 $B,N$ が以下の条件を満たすとする。<br />
* (1) $G$ は $B$ と $N$ によって生成される。<br />
* (2) $B\cap N$ は $N$ の正規部分群であり、$S$ は $W=N/B\cap N$ の位数 $2$ の元からなる生成系である。<br />
* (3) 任意の $s\in S$ と $w\in W$ に対して、<br />
$$<br />
C(s)C(w)\subset C(sw)\cup C(w).<br />
$$<br />
* (4) 任意の $s\in S$ に対して、$sBs\neq B$ である。<br />
ただし、$C(w)$ は両側剰余類 $BwB$ である。このような条件を満足する四つ組 $(G,B,N,S)$ のことを'''Tits系(Tits system)'''と呼ぶ。<br />
<br />
Tits系の重要な例を一つ上げる。<br />
{{theorem |type=exa |label=GLspherical}}<br />
$G=GL_{n}(\mathbb{R})$ とし $B$ を上三角行列のなす $G$ の部分群とする。$G$ はベクトル空間 $\mathbb{R}^{n}=\mathbb{R}e_{1}\oplus \cdots \oplus \mathbb{R}e_{n}$ に自然に作用している。ただし、$e_{1},\ldots, e_{n}$ は $\mathbb{R}^{n}$ の標準基底とする。$N$ は $\mathbb{R}e_{1},\ldots,\mathbb{R}e_{n}$ を置換する $G$ の部分群とする。$N$ は 各行各列に一つだけ $0$ でない成分があり、そうでない成分が $0$ であるような行列のなす群である。$B\cap N$ は対角行列のなすトーラス<br />
$$<br />
B\cap N=\left\{<br />
\left. \left(<br />
<nowiki><br />
\begin{array}{cccc}<br />
x_{1} & 0 & \cdots & 0 \\<br />
0 & x_{2} & \cdots & 0 \\<br />
\vdots & & \ddots & \vdots \\<br />
0 & \ldots & \ldots & x_{n}<br />
\end{array}<br />
</nowiki><br />
\right)\right| x_{1},\ldots,x_{n}\in \mathbb{R}^{\times}<br />
\right\}<br />
$$<br />
であり、$N/B\cap N$ は対称群 $S_{n}$ と同型である。$S_{n}$ の位数 $2$ の元からなる生成系 $\{(i,i+1)\mathrel{\vert} i=1,\ldots,n-1\}$ のことを $S$ と置く。$(G,B,N,S)$ はTits系になる。<br />
<br />
<br />
{{theorem |type=def |label=def2}}<br />
Tits系 $(G,B,N,S)$ に対して、$B$ を含んでいるような $G$ の部分群のことを $(G,B,N,S)$ の'''標準的放物型部分群(standard parabolic subgroup)'''という。<br />
<br />
==Bruhat分解==<br />
{{theorem |type=thm |label=Bruhat-dec}}<br />
Tits系 $(G,B,N,S)$ に対して、<br />
$$<br />
G=\coprod_{w\in W}C(w)<br />
$$<br />
が成り立つ。この分解のことを $G$ の'''Bruhat分解(Bruhat decomposition)'''と呼ぶ。<br />
{{begin|proof}}<br />
合併<br />
$$<br />
\bigcup_{w\in W}C(w)<br />
$$<br />
は $B,N$ を含む群なので、これは $G$ と等しい。この分解が無縁和であることを示そう。$C(v)=C(w)$ とし、$d=\mathrm{min}\{\ell_{S}(v),\ell_{S}(w)\}$ と置く。このとき $v=w$ であることを $d$ についての帰納法で示す。$d=0$ のとき、$C(v)=C(w)=B$ であり、これは $v,w$ の代表元が $B\cap N$ に入っていることを意味するので、$v=w=1$ が言える。$d>0$ とする。一般性を失うことなく $d=\ell_{S}(w)\leq \ell_{S}(v)$ としてよく、このとき $\ell_{S}(sw)=\ell_{S}(w)-1$ となるような $s\in S$ がある。$wB\subset C(w)=C(v)$ なので <br />
$$<br />
C(sw)\subset sC(v)\subset C(sv)\cup C(v)<br />
$$<br />
である。よって、$C(sw)=C(v)$ であるかまたは $C(sw)=C(sv)$ である。前者の場合は $C(sw)=C(w)$ なので、$d-1=\mathrm{min}\{\ell_{S}(sw),\ell_{S}(w)\}<d$ から $sw=w$ が得られ、帰納法の仮定に反する。後者の場合、帰納法により、$sw=sv$ が分かる。したがって、$v=w$ を得る。<br />
{{end|proof}}<br />
<br />
<br />
{{theorem |type=prop |label=cellproduct}}<br />
任意の $w\in W$ と $s\in S$ に対して、もし $\ell(sw)=\ell(w)+1$ なら $C(s)C(w)=C(sw)$ であり $\ell(sw)=\ell(w)-1$ なら $C(s)C(w)=C(w)\cup C(sw)$ である。<br />
{{begin|proof}}<br />
$\ell(w)=0$ なら主張は自明である。$\ell(w)>0$ なら、$\ell(wt)<\ell(w)$ となる $t\in S$ がある。$\ell(sw)=\ell(w)+1$ のとき $C(s)C(w)=C(sw)$ となることをまず示そう。$w^{'}=wt$ と置く。<br />
$$<br />
\ell(w^{'})+1=\ell(w)\leq \ell(sw)=\ell(sw^{'}t)\leq \ell(sw^{'})+1<br />
$$<br />
なので帰納法の仮定から<br />
$$<br />
C(s)C(w^{'})=C(sw^{'})<br />
$$<br />
となる。$C(s)C(w)\neq C(sw)$ と仮定する。$sBw\cap C(w)\neq \phi$ なので $sBw^{'}\cap C(w)t$ も空でない。さらに $C(w)t\subset C(w)\cup C(w^{'})$ なので $sBw^{'}\cap (C(w)\cup C(w^{'}))\neq \phi$ である。$C(s)C(w^{'})=C(sw^{'})$ なので{{ref |type=thm |label=Bruhat-dec}} より $sw^{'}=w$ である。しかしこれは<br />
$$<br />
\ell(w^{'})<\ell(w)<\ell(sw)<br />
$$<br />
に矛盾する。したがって $C(s)(w)$ と $C(w)$ は交わらず、$C(s)C(w)=C(sw)$ であることが分かる。次に $\ell(sw)=\ell(w)-1$ の場合を考えよう。このとき $\ell(s(sw))=\ell(sw)+1$ なので、上で見たように<br />
$$<br />
C(s)C(sw)=C(w)<br />
$$<br />
である。このとき、<br />
\begin{align}<br />
C(s)C(w)&=C(s)C(s)C(sw) \\<br />
&=(C(s)\cup B)C(sw) \\<br />
&=C(w)\cup C(sw)<br />
\end{align}<br />
<br />
{{end|proof}}<br />
<br />
==放物型部分群==<br />
<br />
{{theorem |type=prop |label=Coxeter}}<br />
$(G,B,N,S)$ をTits系とすると、$(W,S)$ は[[Coxeter系]]になる。<br />
{{begin|proof}}<br />
$s\in S$ と $w\in W$ が $\ell(sw)=\ell(w)-1$ を満たすとする。また $s_{1},\ldots,s_{n}\in S$ を $w=s_{1}\cdots s_{n}$ が最短表示であるように選ぶ。このとき[[交換条件]]をみたすことを示そう。つまり<br />
$$<br />
sw=s_{1}\cdots \hat{s_{i}}\cdots s_{n}<br />
$$<br />
となる $i$ が存在することを示す。仮定より $C(s)C(w)=C(sw)\cup C(w)$ かつ $C(w)=C(s_{1})\cdots C(s_{n})$ が成り立つ。$1\leq i\leq n$ を $\ell(ss_{1}\cdots s_{i})<\ell(ss_{1}\cdots s_{i-1})$ となるような最小の添え字に選べば<br />
\begin{align}<br />
C(s)C(w)&=C(s)C(s_{1})\cdots C(s_{i-1})C(s_{i})\cdots C(s_{n}) \\<br />
&=C(ss_{1}\cdots s_{i-1})C(s_{i})\cdots C(s_{n}) \\<br />
&=\left(C(ss_{1}\cdots s_{i})\cup C(ss_{1}\cdots s_{i-1}) \right)C(s_{i+1})\cdots C(s_{n}) \\<br />
&\subset \bigcup \left(C(ss_{1}\cdots s_{i}s_{i_{1}}\cdots s_{i_{p}})\cup C(ss_{1}\cdots s_{i-1}s_{i_{1}}\cdots s_{i_{p}}) \right)<br />
\end{align}<br />
ここで、$i<i_{1}<\ldots <i_{p}\leq n$ を満たすような添え字を走る。$C(w)$ は最右辺に含まれるので $\ell(w)=n$ という事実と合わせて考えると $w=ss_{1}\cdots s_{i-1}s_{i+1}\cdots s_{n}$ であるかまたは $w=ss_{1}\cdots s_{i}s_{i+1}\cdots \widehat{s_{i+k}}\cdots s_{n}$ となる $k$ がある。どちらにせよ、$(W,S)$ は交換条件を満たすことが確認できる。<br />
{{end|proof}}<br />
<br />
<br />
$I$ を $S$ の部分集合とすると、$(W_{I},I)$ はCoxeter系である。$P_{I}=BW_{I}B$ は $B$ を含む $G$ の部分群になる。すなわち $P_{I}$ は標準的放物型部分群になる。逆に、$P$ が標準的放物型部分群のとき、<br />
$$<br />
W_{I}=\{w\in W\mathrel{\vert}C(w)\subset P\}<br />
$$<br />
と置くと、これは $W$ の放物型部分群であり、$I=S\cap W_{I}$ は $W_{I}$ の生成系である。つまり、$S$ の部分集合と $G$ の標準的放物型部分群は $1:1$ に対応する。$G$ の'''放物型部分群'''とは、$G$ の標準的放物型部分群と共役な群のことを意味する。$\Delta(G,B)$ を $G$ の放物型部分群全体のなす集合とする。<br />
<br />
{{theorem |type=lem |label=cell-gen}}<br />
もし $w\in W$ に対して $w=s_{1}\cdots s_{n}$ が最短表示なら $\langle C(w)\rangle=\langle C(s_{1}),\ldots,C(s_{n})\rangle=\langle B,wBw^{-1}\rangle$ が成り立つ。<br />
{{begin|proof}}<br />
$w\in C(w)$ かつ $wB\subset C(w)$ より $\langle B,wBw^{-1}\rangle\subset \langle C(w)\rangle $ が分かる。さらに$w=s_{1}\cdots s_{n}$ は最短表示なので $\langle C(s_{1}),\ldots, C(s_{n}) \rangle$ である。よって、$C(s_{1}),\ldots ,C(s_{n})\subset \langle B,wBw^{-1} \rangle$ を示せばよい。実際、$\ell(s_{1}w)<\ell(w)$ なので、$C(w)\subset C(s_{1})C(w)$ となる。特に、$w=b_{1}s_{1}b_{2}wb_{3}$ となる $b_{1},b_{2},b_{3}\in B$ が存在する。特に $s_{1}=b_{1}^{-1}wb_{3}^{-1}w^{-1}b_{2}^{-1}\in \langle B,wBw^{-1}\rangle$ となるので $\langle B,s_{1}wBw^{-1}s_{1}\rangle\subset \langle B,wBw^{-1}\rangle$ となる。さらに帰納法により、この左辺は $C(s_{2}),\ldots,C(s_{n})$ を含む。よって、<br />
$$<br />
\langle C(s_{1}),\ldots,C(s_{n})\rangle\subset \langle B,wBw^{-1}\rangle<br />
$$<br />
となる。<br />
{{end|proof}}<br />
<br />
{{theorem |type=prop |label=normal}}<br />
任意の $P\in \Delta(G,B)$ に対して $N_{G}(P)=P$ が成り立つ。 <br />
{{begin|proof}}<br />
任意の $g\in G$ に対して、$N_{G}(gPg^{-1})=gN_{G}(P)g^{-1}$ なので、$P$ は標準的であるとしてよい。$x\in N_{G}(P)$ に対し $x\in C(w)$ となるような $w\in W$ がある。この $w$ に対して$\langle B,wBw^{-1} \rangle$ は $P$ に含まれるので、$x\in C(w)\in P$ となる。したがって $N_{G}(P)=P$ が分かる。<br />
{{end|proof}}<br />
<br />
<br />
==$B$ 適応準同型、$B$-$N$ 適応準同型==<br />
<br />
$(G,B,N,S)$ をTits系とし、$\widehat{G}$ を群とする。<br />
<br />
{{theorem |type=def |label=adaptedhom}}<br />
準同型 $\phi\colon G\longrightarrow \widehat{G}$ が以下の条件を満たすとき、$\phi$ は $B$ 適応準同型であるという。<br />
*(1) ${\rm Ker}(\phi)\subset B.$<br />
*(2) 任意の $g\in \widehat{G}$ に対して $h\in G$ が存在して $\phi(hBh^{-1})=g\phi(B)g^{-1}.$<br />
この条件(2)の代わりに<br />
*(2') 任意の $g\in \widehat{G}$ に対して $h\in G$ が存在して $\phi(hBh^{-1})=g\phi(B)g^{-1}, \phi(hNh^{-1})=g\phi(N)g^{-1}.$<br />
が成り立つとき、$\phi$ は $B$-$N$ 適応準同型であるという。<br />
<br />
<br />
{{theorem |type=lem |label=normal}}<br />
$\phi$ が $B$ 適応準同型のとき、像 $\phi(G)$ は $\widehat{G}$ の正規部分群である。<br />
{{begin|proof}}<br />
$G=\bigcup_{w\in W}\langle C(w)\rangle =\bigcup_{w\in W}\langle B,wBw^{-1}\rangle$ なので、$G$ は $B$ と共役な部分群たちによって生成されている。すなわち、任意の $a\in G$ に対して有限個の $(b_{i},k_{i})\in B\times G$ があり、<br />
$$<br />
a=\prod k_{i}b_{i}k_{i}^{-1}<br />
$$ <br />
となる。任意の $g\in \widehat{G}$ に対して、$g\phi(a)g^{-1}\in \psi(G)$ を示そう。$g_{i}=g\phi(k_{i})$ と置くと、$\phi$ は $B$ 適応準同型なので、$g_{i}\phi(B)g_{i}^{-1}=\phi(h_{i}Bh_{i}^{-1})$ となる $h_{i}\in G$ が存在する。このとき、<br />
\begin{align}<br />
g^{-1}\phi(a)g&=\prod g_{i}\phi(b_{i})g_{i}^{-1} \\<br />
&=\prod \phi(h_{i}b_{i}h_{i}^{-1})\in \phi(G)<br />
\end{align}<br />
であるから、$\phi$ の像は $\widehat{G}$ の正規部分群である。<br />
{{end|proof}}<br />
<br />
<br />
$\phi$ が $B$ 適応準同型とすると $\Delta(G,B)$ への $\widehat{G}$ への作用を<br />
$$<br />
\widehat{G}\times \Delta(G,B)\longrightarrow \Delta(G,B);(g,P)\longmapsto {}^{g}P:=\phi^{-1}(\phi(g)P\phi(g^{-1}))<br />
$$<br />
と定める。$P\in \Delta(G,B)$ に対して、安定化群を ${\rm Stab}(P)=\{g\in \widehat{G}\mathrel{\vert} {}^{g}P=P\}$ と置くと $\phi^{-1}({\rm Stab}(P))=P$ である。また $B$ 適応準同型 $\phi$ は Bruhat細胞をBruhat細胞に写すので、<br />
$$<br />
\xi\colon \widehat{G}\longrightarrow \mathrm{Aut}(W,S)<br />
$$<br />
を<br />
$$<br />
\phi(C(\xi(g)w))=\phi(h)^{-1}g\phi(C(w))g^{-1}\phi(h)<br />
$$<br />
となるように定めることができる。ただし、$g\in \widehat{G}$ に対して $h\in G$ を(2)を満たすように選んでいる。<br />
$$<br />
\widehat{G}_{0}={\rm Ker}(\xi), \Xi={\rm Im}\xi<br />
$$<br />
と置く。<br />
<br />
{{theorem |type=lem |label=stab}}<br />
$\phi$ が $B$ 適応準同型なら $\phi(G)\subset \widehat{G}_{0}$ かつ $\widehat{G}=\widehat{G}_{0}.{\rm Stab}(B)$ である。<br />
{{begin|proof}}<br />
任意の $g\in \widehat{G}$ に対して $h\in G$ を $\phi(hBh^{-1})=g\phi(B)g^{-1}$ となるよう取れば、$\phi(h^{-1})g\in {\rm Stab}(B)$ である。よって $\widehat{G}=\widehat{G}_{0}.{\rm Stab}(B)$ である。<br />
{{end|proof}}<br />
<br />
<br />
全射 ${\rm Stab}(B)\longrightarrow \widehat{G}/\widehat{G}_{0}$ の核を $\widehat{B}=\widehat{G}_{0}\cap {\rm Stab}(B)$ と書くことにする。<br />
<br />
{{theorem |type=prop |label=BN}}<br />
$(\widehat{G}_{0},\widehat{B},\phi(N))$ はTits系であり、$\Delta(G,B)\simeq \Delta(\widehat{G}_{0},\widehat{B})$ である。<br />
{{begin|proof}}<br />
まず $\widehat{G}_{0}=\widehat{B}\phi(N)\widehat{B}$ を示す。$g\in \widehat{G}_{0}={\rm Ker}(\xi)$ に対して $h\in G$ を $g^{-1}\phi(C(w))g=\phi(h^{-1}C(w)h), \forall w\in W$ となるように取ることができる。$G=BNB$ なので $h=b_{1}nb_{2}$ となるように $b_{1},b_{2}\in B, n\in N$ を取ると<br />
$$<br />
g^{-1}\phi(C(w))g=\phi(b_{2}^{-1}n^{-1})\phi(C(w))\phi(nb_{2})<br />
$$<br />
であり $w=1$ のとき $\phi(G)\subset \widehat{G}_{0}$ だったので $g\phi(b_{2}^{-1}n^{-1})\in \widehat{B}$ である。このとき、<br />
$$<br />
g\in \widehat{B}\phi(n)\phi(b_{2})\subset \widehat{B}\phi(N)\widehat{B} <br />
$$<br />
であることが示された。特に $\widehat{G}_{0}=\widehat{B}\phi(N)\widehat{B}$ である。次に $\widehat{B}\cap \phi(N)\triangleleft \phi(N)$ を示す。$x,y\in N$ とし $\phi(x)\in \widehat{B}$ とする。$\widehat{B}=\widehat{G}_{0}\cap {\rm Stab}(B)$ なので $\phi(xBx^{-1})=\phi(B)$ である。よって任意の $b_{1}\in B$ に対して $b_{2}\in B$ を $\phi(xb_{1}x^{-1}b_{2})=0$ となるように取ることができる。$xb_{1}x^{-1}b_{2}\in {\rm Ker}(\phi)\subset B$ かつ $N_{G}(B)=B$ なので $x\in B$ である。$x\in B\cap N\triangleleft N$ なので $\phi(y^{-1}xy)\in \phi(N)$ である。以上より $\widehat{B}\cap \phi(N)\triangleleft \phi(N)$ が示された。また $\phi$ が誘導する全射<br />
$$<br />
N/B\cap N \longrightarrow \phi(N)/\widehat{B}\cap \phi(N)<br />
$$<br />
はwell-definedで同型である。<br />
{{end|proof}}<br />
<br />
==Titsの建物(Building)との関係==<br />
<br />
==Tits系の例==</div>
Gest N
https://math.jp/w/index.php?title=Tits%E7%B3%BB%E3%80%81BN%E5%AF%BE&diff=11778
Tits系、BN対
2022-09-19T02:31:17Z
<p>Gest N: /* $B$ 適応準同型、$B$-$N$ 適応準同型 */</p>
<hr />
<div><br />
<br />
{{newtheorem |type=lem |counter=0 |display=補題 }}<br />
{{newtheorem |type=thm |counter=0 |display=定理 }}<br />
{{newtheorem |type=prop |counter=0 |display=命題 }}<br />
{{newtheorem |type=def |counter=0 |display=定義 }}<br />
{{newtheorem |type=cor |counter=0 |display=系 }}<br />
{{newtheorem |type=proof |counter=0 |display=証明 }}<br />
{{newtheorem |type=rem |counter=0 |display=注 }}<br />
{{newtheorem |type=exa |counter=0 |display=例 }}<br />
{{newtheorem |type=cond |counter=0 |display=条件 }}<br />
<br />
__MATHJAX2__<br />
<br />
Tits系は代数群の構造を調べるための基本的な道具である。<br />
<br />
<br />
<noinclude><br />
{{TOC |align=right |noautonum=1 }}<!-- 右寄せ連番無し目次をここに表示 --><br />
</noinclude><br />
<br />
<br />
==定義==<br />
<br />
{{theorem |type=def |label=def}}<br />
群 $G$ の二つの部分群 $B,N$ が以下の条件を満たすとする。<br />
* (1) $G$ は $B$ と $N$ によって生成される。<br />
* (2) $B\cap N$ は $N$ の正規部分群であり、$S$ は $W=N/B\cap N$ の位数 $2$ の元からなる生成系である。<br />
* (3) 任意の $s\in S$ と $w\in W$ に対して、<br />
$$<br />
C(s)C(w)\subset C(sw)\cup C(w).<br />
$$<br />
* (4) 任意の $s\in S$ に対して、$sBs\neq B$ である。<br />
ただし、$C(w)$ は両側剰余類 $BwB$ である。このような条件を満足する四つ組 $(G,B,N,S)$ のことを'''Tits系(Tits system)'''と呼ぶ。<br />
<br />
Tits系の重要な例を一つ上げる。<br />
{{theorem |type=exa |label=GLspherical}}<br />
$G=GL_{n}(\mathbb{R})$ とし $B$ を上三角行列のなす $G$ の部分群とする。$G$ はベクトル空間 $\mathbb{R}^{n}=\mathbb{R}e_{1}\oplus \cdots \oplus \mathbb{R}e_{n}$ に自然に作用している。ただし、$e_{1},\ldots, e_{n}$ は $\mathbb{R}^{n}$ の標準基底とする。$N$ は $\mathbb{R}e_{1},\ldots,\mathbb{R}e_{n}$ を置換する $G$ の部分群とする。$N$ は 各行各列に一つだけ $0$ でない成分があり、そうでない成分が $0$ であるような行列のなす群である。$B\cap N$ は対角行列のなすトーラス<br />
$$<br />
B\cap N=\left\{<br />
\left. \left(<br />
<nowiki><br />
\begin{array}{cccc}<br />
x_{1} & 0 & \cdots & 0 \\<br />
0 & x_{2} & \cdots & 0 \\<br />
\vdots & & \ddots & \vdots \\<br />
0 & \ldots & \ldots & x_{n}<br />
\end{array}<br />
</nowiki><br />
\right)\right| x_{1},\ldots,x_{n}\in \mathbb{R}^{\times}<br />
\right\}<br />
$$<br />
であり、$N/B\cap N$ は対称群 $S_{n}$ と同型である。$S_{n}$ の位数 $2$ の元からなる生成系 $\{(i,i+1)\mathrel{\vert} i=1,\ldots,n-1\}$ のことを $S$ と置く。$(G,B,N,S)$ はTits系になる。<br />
<br />
<br />
{{theorem |type=def |label=def2}}<br />
Tits系 $(G,B,N,S)$ に対して、$B$ を含んでいるような $G$ の部分群のことを $(G,B,N,S)$ の'''標準的放物型部分群(standard parabolic subgroup)'''という。<br />
<br />
==Bruhat分解==<br />
{{theorem |type=thm |label=Bruhat-dec}}<br />
Tits系 $(G,B,N,S)$ に対して、<br />
$$<br />
G=\coprod_{w\in W}C(w)<br />
$$<br />
が成り立つ。この分解のことを $G$ の'''Bruhat分解(Bruhat decomposition)'''と呼ぶ。<br />
{{begin|proof}}<br />
合併<br />
$$<br />
\bigcup_{w\in W}C(w)<br />
$$<br />
は $B,N$ を含む群なので、これは $G$ と等しい。この分解が無縁和であることを示そう。$C(v)=C(w)$ とし、$d=\mathrm{min}\{\ell_{S}(v),\ell_{S}(w)\}$ と置く。このとき $v=w$ であることを $d$ についての帰納法で示す。$d=0$ のとき、$C(v)=C(w)=B$ であり、これは $v,w$ の代表元が $B\cap N$ に入っていることを意味するので、$v=w=1$ が言える。$d>0$ とする。一般性を失うことなく $d=\ell_{S}(w)\leq \ell_{S}(v)$ としてよく、このとき $\ell_{S}(sw)=\ell_{S}(w)-1$ となるような $s\in S$ がある。$wB\subset C(w)=C(v)$ なので <br />
$$<br />
C(sw)\subset sC(v)\subset C(sv)\cup C(v)<br />
$$<br />
である。よって、$C(sw)=C(v)$ であるかまたは $C(sw)=C(sv)$ である。前者の場合は $C(sw)=C(w)$ なので、$d-1=\mathrm{min}\{\ell_{S}(sw),\ell_{S}(w)\}<d$ から $sw=w$ が得られ、帰納法の仮定に反する。後者の場合、帰納法により、$sw=sv$ が分かる。したがって、$v=w$ を得る。<br />
{{end|proof}}<br />
<br />
<br />
{{theorem |type=prop |label=cellproduct}}<br />
任意の $w\in W$ と $s\in S$ に対して、もし $\ell(sw)=\ell(w)+1$ なら $C(s)C(w)=C(sw)$ であり $\ell(sw)=\ell(w)-1$ なら $C(s)C(w)=C(w)\cup C(sw)$ である。<br />
{{begin|proof}}<br />
$\ell(w)=0$ なら主張は自明である。$\ell(w)>0$ なら、$\ell(wt)<\ell(w)$ となる $t\in S$ がある。$\ell(sw)=\ell(w)+1$ のとき $C(s)C(w)=C(sw)$ となることをまず示そう。$w^{'}=wt$ と置く。<br />
$$<br />
\ell(w^{'})+1=\ell(w)\leq \ell(sw)=\ell(sw^{'}t)\leq \ell(sw^{'})+1<br />
$$<br />
なので帰納法の仮定から<br />
$$<br />
C(s)C(w^{'})=C(sw^{'})<br />
$$<br />
となる。$C(s)C(w)\neq C(sw)$ と仮定する。$sBw\cap C(w)\neq \phi$ なので $sBw^{'}\cap C(w)t$ も空でない。さらに $C(w)t\subset C(w)\cup C(w^{'})$ なので $sBw^{'}\cap (C(w)\cup C(w^{'}))\neq \phi$ である。$C(s)C(w^{'})=C(sw^{'})$ なので{{ref |type=thm |label=Bruhat-dec}} より $sw^{'}=w$ である。しかしこれは<br />
$$<br />
\ell(w^{'})<\ell(w)<\ell(sw)<br />
$$<br />
に矛盾する。したがって $C(s)(w)$ と $C(w)$ は交わらず、$C(s)C(w)=C(sw)$ であることが分かる。次に $\ell(sw)=\ell(w)-1$ の場合を考えよう。このとき $\ell(s(sw))=\ell(sw)+1$ なので、上で見たように<br />
$$<br />
C(s)C(sw)=C(w)<br />
$$<br />
である。このとき、<br />
\begin{align}<br />
C(s)C(w)&=C(s)C(s)C(sw) \\<br />
&=(C(s)\cup B)C(sw) \\<br />
&=C(w)\cup C(sw)<br />
\end{align}<br />
<br />
{{end|proof}}<br />
<br />
==放物型部分群==<br />
<br />
{{theorem |type=prop |label=Coxeter}}<br />
$(G,B,N,S)$ をTits系とすると、$(W,S)$ は[[Coxeter系]]になる。<br />
{{begin|proof}}<br />
$s\in S$ と $w\in W$ が $\ell(sw)=\ell(w)-1$ を満たすとする。また $s_{1},\ldots,s_{n}\in S$ を $w=s_{1}\cdots s_{n}$ が最短表示であるように選ぶ。このとき[[交換条件]]をみたすことを示そう。つまり<br />
$$<br />
sw=s_{1}\cdots \hat{s_{i}}\cdots s_{n}<br />
$$<br />
となる $i$ が存在することを示す。仮定より $C(s)C(w)=C(sw)\cup C(w)$ かつ $C(w)=C(s_{1})\cdots C(s_{n})$ が成り立つ。$1\leq i\leq n$ を $\ell(ss_{1}\cdots s_{i})<\ell(ss_{1}\cdots s_{i-1})$ となるような最小の添え字に選べば<br />
\begin{align}<br />
C(s)C(w)&=C(s)C(s_{1})\cdots C(s_{i-1})C(s_{i})\cdots C(s_{n}) \\<br />
&=C(ss_{1}\cdots s_{i-1})C(s_{i})\cdots C(s_{n}) \\<br />
&=\left(C(ss_{1}\cdots s_{i})\cup C(ss_{1}\cdots s_{i-1}) \right)C(s_{i+1})\cdots C(s_{n}) \\<br />
&\subset \bigcup \left(C(ss_{1}\cdots s_{i}s_{i_{1}}\cdots s_{i_{p}})\cup C(ss_{1}\cdots s_{i-1}s_{i_{1}}\cdots s_{i_{p}}) \right)<br />
\end{align}<br />
ここで、$i<i_{1}<\ldots <i_{p}\leq n$ を満たすような添え字を走る。$C(w)$ は最右辺に含まれるので $\ell(w)=n$ という事実と合わせて考えると $w=ss_{1}\cdots s_{i-1}s_{i+1}\cdots s_{n}$ であるかまたは $w=ss_{1}\cdots s_{i}s_{i+1}\cdots \widehat{s_{i+k}}\cdots s_{n}$ となる $k$ がある。どちらにせよ、$(W,S)$ は交換条件を満たすことが確認できる。<br />
{{end|proof}}<br />
<br />
<br />
$I$ を $S$ の部分集合とすると、$(W_{I},I)$ はCoxeter系である。$P_{I}=BW_{I}B$ は $B$ を含む $G$ の部分群になる。すなわち $P_{I}$ は標準的放物型部分群になる。逆に、$P$ が標準的放物型部分群のとき、<br />
$$<br />
W_{I}=\{w\in W\mathrel{\vert}C(w)\subset P\}<br />
$$<br />
と置くと、これは $W$ の放物型部分群であり、$I=S\cap W_{I}$ は $W_{I}$ の生成系である。つまり、$S$ の部分集合と $G$ の標準的放物型部分群は $1:1$ に対応する。$G$ の'''放物型部分群'''とは、$G$ の標準的放物型部分群と共役な群のことを意味する。$\Delta(G,B)$ を $G$ の放物型部分群全体のなす集合とする。<br />
<br />
{{theorem |type=lem |label=cell-gen}}<br />
もし $w\in W$ に対して $w=s_{1}\cdots s_{n}$ が最短表示なら $\langle C(w)\rangle=\langle C(s_{1}),\ldots,C(s_{n})\rangle=\langle B,wBw^{-1}\rangle$ が成り立つ。<br />
{{begin|proof}}<br />
$w\in C(w)$ かつ $wB\subset C(w)$ より $\langle B,wBw^{-1}\rangle\subset \langle C(w)\rangle $ が分かる。さらに$w=s_{1}\cdots s_{n}$ は最短表示なので $\langle C(s_{1}),\ldots, C(s_{n}) \rangle$ である。よって、$C(s_{1}),\ldots ,C(s_{n})\subset \langle B,wBw^{-1} \rangle$ を示せばよい。実際、$\ell(s_{1}w)<\ell(w)$ なので、$C(w)\subset C(s_{1})C(w)$ となる。特に、$w=b_{1}s_{1}b_{2}wb_{3}$ となる $b_{1},b_{2},b_{3}\in B$ が存在する。特に $s_{1}=b_{1}^{-1}wb_{3}^{-1}w^{-1}b_{2}^{-1}\in \langle B,wBw^{-1}\rangle$ となるので $\langle B,s_{1}wBw^{-1}s_{1}\rangle\subset \langle B,wBw^{-1}\rangle$ となる。さらに帰納法により、この左辺は $C(s_{2}),\ldots,C(s_{n})$ を含む。よって、<br />
$$<br />
\langle C(s_{1}),\ldots,C(s_{n})\rangle\subset \langle B,wBw^{-1}\rangle<br />
$$<br />
となる。<br />
{{end|proof}}<br />
<br />
{{theorem |type=prop |label=normal}}<br />
任意の $P\in \Delta(G,B)$ に対して $N_{G}(P)=P$ が成り立つ。 <br />
{{begin|proof}}<br />
任意の $g\in G$ に対して、$N_{G}(gPg^{-1})=gN_{G}(P)g^{-1}$ なので、$P$ は標準的であるとしてよい。$x\in N_{G}(P)$ に対し $x\in C(w)$ となるような $w\in W$ がある。この $w$ に対して$\langle B,wBw^{-1} \rangle$ は $P$ に含まれるので、$x\in C(w)\in P$ となる。したがって $N_{G}(P)=P$ が分かる。<br />
{{end|proof}}<br />
<br />
<br />
==$B$ 適応準同型、$B$-$N$ 適応準同型==<br />
<br />
$(G,B,N,S)$ をTits系とし、$\widehat{G}$ を群とする。<br />
<br />
{{theorem |type=def |label=adaptedhom}}<br />
準同型 $\phi\colon G\longrightarrow \widehat{G}$ が以下の条件を満たすとき、$\phi$ は $B$ 適応準同型であるという。<br />
*(1) ${\rm Ker}(\phi)\subset B.$<br />
*(2) 任意の $g\in \widehat{G}$ に対して $h\in G$ が存在して $\phi(hBh^{-1})=g\phi(B)g^{-1}.$<br />
この条件(2)の代わりに<br />
*(2') 任意の $g\in \widehat{G}$ に対して $h\in G$ が存在して $\phi(hBh^{-1})=g\phi(B)g^{-1}, \phi(hNh^{-1})=g\phi(N)g^{-1}.$<br />
が成り立つとき、$\phi$ は $B$-$N$ 適応準同型であるという。<br />
<br />
<br />
{{theorem |type=lem |label=normal}}<br />
$\phi$ が $B$ 適応準同型のとき、像 $\phi(G)$ は $\widehat{G}$ の正規部分群である。<br />
{{begin|proof}}<br />
$G=\bigcup_{w\in W}\langle C(w)\rangle =\bigcup_{w\in W}\langle B,wBw^{-1}\rangle$ なので、$G$ は $B$ と共役な部分群たちによって生成されている。すなわち、任意の $a\in G$ に対して有限個の $(b_{i},k_{i})\in B\times G$ があり、<br />
$$<br />
a=\prod k_{i}b_{i}k_{i}^{-1}<br />
$$ <br />
となる。任意の $g\in \widehat{G}$ に対して、$g\phi(a)g^{-1}\in \psi(G)$ を示そう。$g_{i}=g\phi(k_{i})$ と置くと、$\phi$ は $B$ 適応準同型なので、$g_{i}\phi(B)g_{i}^{-1}=\phi(h_{i}Bh_{i}^{-1})$ となる $h_{i}\in G$ が存在する。このとき、<br />
\begin{align}<br />
g^{-1}\phi(a)g&=\prod g_{i}\phi(b_{i})g_{i}^{-1} \\<br />
&=\prod \phi(h_{i}b_{i}h_{i}^{-1})\in \phi(G)<br />
\end{align}<br />
であるから、$\phi$ の像は $\widehat{G}$ の正規部分群である。<br />
{{end|proof}}<br />
<br />
<br />
$\phi$ が $B$ 適応準同型とすると $\Delta(G,B)$ への $\widehat{G}$ への作用を<br />
$$<br />
\widehat{G}\times \Delta(G,B)\longrightarrow \Delta(G,B);(g,P)\longmapsto {}^{g}P:=\phi^{-1}(\phi(g)P\phi(g^{-1}))<br />
$$<br />
と定める。$P\in \Delta(G,B)$ に対して、安定化群を ${\rm Stab}(P)=\{g\in \widehat{G}\mathrel{\vert} {}^{g}P=P\}$ と置くと $\phi^{-1}({\rm Stab}(P))=P$ である。また $B$ 適応準同型 $\phi$ は Bruhat細胞をBruhat細胞に写すので、<br />
$$<br />
\xi\colon \widehat{G}\longrightarrow \mathrm{Aut}(W,S)<br />
$$<br />
を<br />
$$<br />
\phi(C(\xi(g)w))=\phi(h)^{-1}g\phi(C(w))g^{-1}\phi(h)<br />
$$<br />
となるように定めることができる。ただし、$g\in \widehat{G}$ に対して $h\in G$ を(2)を満たすように選んでいる。<br />
$$<br />
\widehat{G}_{0}={\rm Ker}(\xi), \Xi={\rm Im}\xi<br />
$$<br />
と置く。<br />
<br />
{{theorem |type=lem |label=stab}}<br />
$\phi$ が $B$ 適応準同型なら $\phi(G)\subset \widehat{G}_{0}$ かつ $\widehat{G}=\widehat{G}_{0}.{\rm Stab}(B)$ である。<br />
{{begin|proof}}<br />
任意の $g\in \widehat{G}$ に対して $h\in G$ を $\phi(hBh^{-1})=g\phi(B)g^{-1}$ となるよう取れば、$\phi(h^{-1})g\in {\rm Stab}(B)$ である。よって $\widehat{G}=\widehat{G}_{0}.{\rm Stab}(B)$ である。<br />
{{end|proof}}<br />
<br />
<br />
全射 ${\rm Stab}(B)\longrightarrow \widehat{G}/\widehat{G}_{0}$ の核を $\widehat{B}=\widehat{G}_{0}\cap {\rm Stab}(B)$ と書くことにする。<br />
<br />
{{theorem |type=prop |label=BN}}<br />
$(\widehat{G}_{0},\widehat{B},\phi(N))$ はTits系であり、$\Delta(G,B)\simeq \Delta(\widehat{G}_{0},\widehat{B})$ である。<br />
{{begin|proof}}<br />
まず $\widehat{G}_{0}=\widehat{B}\phi(N)\widehat{B}$ を示す。$g\in \widehat{G}_{0}={\rm Ker}(\xi)$ に対して $h\in G$ を $g^{-1}\phi(C(w))g=\phi(h^{-1}C(w)h), \forall w\in W$ となるように取ることができる。$G=BNB$ なので $h=b_{1}nb_{2}$ となるように $b_{1},b_{2}\in B, n\in N$ を取ると<br />
$$<br />
g^{-1}\phi(C(w))g=\phi(b_{2}^{-1}n^{-1})\phi(C(w))\phi(nb_{2})<br />
$$<br />
であり $w=1$ のとき $\phi(G)\subset \widehat{G}_{0}$ だったので $g\phi(b_{2}^{-1}n^{-1})\in \widehat{B}$ である。このとき、<br />
$$<br />
g\in \widehat{B}\phi(n)\phi(b_{2})\subset \widehat{B}\phi(N)\widehat{B} <br />
$$<br />
であることが示された。特に $\widehat{G}_{0}=\widehat{B}\phi(N)\widehat{B}$ である。次に $\widehat{B}\cap \phi(N)\triangleleft \phi(N)$ を示す。$x,y\in N$ とし $\phi(x)\in \widehat{B}$ とする。$\widehat{B}=\widehat{G}_{0}\cap {\rm Stab}(B)$ なので $\phi(xBx^{-1})=\phi(B)$ である。よって $b_{1},b_{2}\in B$ を $\phi(xb_{1}x^{-1}b_{2})=0$ なので $xb_{1}x^{-1}b_{2}\in {\rm Ker}(\phi)\subset B$ かつ $N_{G}(B)=B$ なので $x\in B$ である。$x\in B\cap N\triangleleft N$ なので $\phi(y^{-1}xy)\in \phi(N)$ である。以上より $\widehat{B}\cap \phi(N)\triangleleft \phi(N)$ が示された。また $\phi$ が誘導する全射<br />
$$<br />
N/B\cap N \longrightarrow \phi(N)/\widehat{B}\cap \phi(N)<br />
$$<br />
はwell-definedで同型である。<br />
{{end|proof}}<br />
<br />
==Titsの建物(Building)との関係==<br />
<br />
==Tits系の例==</div>
Gest N
https://math.jp/w/index.php?title=Tits%E7%B3%BB%E3%80%81BN%E5%AF%BE&diff=11777
Tits系、BN対
2022-09-19T02:28:19Z
<p>Gest N: /* $B$ 適応準同型、$B$-$N$ 適応準同型 */</p>
<hr />
<div><br />
<br />
{{newtheorem |type=lem |counter=0 |display=補題 }}<br />
{{newtheorem |type=thm |counter=0 |display=定理 }}<br />
{{newtheorem |type=prop |counter=0 |display=命題 }}<br />
{{newtheorem |type=def |counter=0 |display=定義 }}<br />
{{newtheorem |type=cor |counter=0 |display=系 }}<br />
{{newtheorem |type=proof |counter=0 |display=証明 }}<br />
{{newtheorem |type=rem |counter=0 |display=注 }}<br />
{{newtheorem |type=exa |counter=0 |display=例 }}<br />
{{newtheorem |type=cond |counter=0 |display=条件 }}<br />
<br />
__MATHJAX2__<br />
<br />
Tits系は代数群の構造を調べるための基本的な道具である。<br />
<br />
<br />
<noinclude><br />
{{TOC |align=right |noautonum=1 }}<!-- 右寄せ連番無し目次をここに表示 --><br />
</noinclude><br />
<br />
<br />
==定義==<br />
<br />
{{theorem |type=def |label=def}}<br />
群 $G$ の二つの部分群 $B,N$ が以下の条件を満たすとする。<br />
* (1) $G$ は $B$ と $N$ によって生成される。<br />
* (2) $B\cap N$ は $N$ の正規部分群であり、$S$ は $W=N/B\cap N$ の位数 $2$ の元からなる生成系である。<br />
* (3) 任意の $s\in S$ と $w\in W$ に対して、<br />
$$<br />
C(s)C(w)\subset C(sw)\cup C(w).<br />
$$<br />
* (4) 任意の $s\in S$ に対して、$sBs\neq B$ である。<br />
ただし、$C(w)$ は両側剰余類 $BwB$ である。このような条件を満足する四つ組 $(G,B,N,S)$ のことを'''Tits系(Tits system)'''と呼ぶ。<br />
<br />
Tits系の重要な例を一つ上げる。<br />
{{theorem |type=exa |label=GLspherical}}<br />
$G=GL_{n}(\mathbb{R})$ とし $B$ を上三角行列のなす $G$ の部分群とする。$G$ はベクトル空間 $\mathbb{R}^{n}=\mathbb{R}e_{1}\oplus \cdots \oplus \mathbb{R}e_{n}$ に自然に作用している。ただし、$e_{1},\ldots, e_{n}$ は $\mathbb{R}^{n}$ の標準基底とする。$N$ は $\mathbb{R}e_{1},\ldots,\mathbb{R}e_{n}$ を置換する $G$ の部分群とする。$N$ は 各行各列に一つだけ $0$ でない成分があり、そうでない成分が $0$ であるような行列のなす群である。$B\cap N$ は対角行列のなすトーラス<br />
$$<br />
B\cap N=\left\{<br />
\left. \left(<br />
<nowiki><br />
\begin{array}{cccc}<br />
x_{1} & 0 & \cdots & 0 \\<br />
0 & x_{2} & \cdots & 0 \\<br />
\vdots & & \ddots & \vdots \\<br />
0 & \ldots & \ldots & x_{n}<br />
\end{array}<br />
</nowiki><br />
\right)\right| x_{1},\ldots,x_{n}\in \mathbb{R}^{\times}<br />
\right\}<br />
$$<br />
であり、$N/B\cap N$ は対称群 $S_{n}$ と同型である。$S_{n}$ の位数 $2$ の元からなる生成系 $\{(i,i+1)\mathrel{\vert} i=1,\ldots,n-1\}$ のことを $S$ と置く。$(G,B,N,S)$ はTits系になる。<br />
<br />
<br />
{{theorem |type=def |label=def2}}<br />
Tits系 $(G,B,N,S)$ に対して、$B$ を含んでいるような $G$ の部分群のことを $(G,B,N,S)$ の'''標準的放物型部分群(standard parabolic subgroup)'''という。<br />
<br />
==Bruhat分解==<br />
{{theorem |type=thm |label=Bruhat-dec}}<br />
Tits系 $(G,B,N,S)$ に対して、<br />
$$<br />
G=\coprod_{w\in W}C(w)<br />
$$<br />
が成り立つ。この分解のことを $G$ の'''Bruhat分解(Bruhat decomposition)'''と呼ぶ。<br />
{{begin|proof}}<br />
合併<br />
$$<br />
\bigcup_{w\in W}C(w)<br />
$$<br />
は $B,N$ を含む群なので、これは $G$ と等しい。この分解が無縁和であることを示そう。$C(v)=C(w)$ とし、$d=\mathrm{min}\{\ell_{S}(v),\ell_{S}(w)\}$ と置く。このとき $v=w$ であることを $d$ についての帰納法で示す。$d=0$ のとき、$C(v)=C(w)=B$ であり、これは $v,w$ の代表元が $B\cap N$ に入っていることを意味するので、$v=w=1$ が言える。$d>0$ とする。一般性を失うことなく $d=\ell_{S}(w)\leq \ell_{S}(v)$ としてよく、このとき $\ell_{S}(sw)=\ell_{S}(w)-1$ となるような $s\in S$ がある。$wB\subset C(w)=C(v)$ なので <br />
$$<br />
C(sw)\subset sC(v)\subset C(sv)\cup C(v)<br />
$$<br />
である。よって、$C(sw)=C(v)$ であるかまたは $C(sw)=C(sv)$ である。前者の場合は $C(sw)=C(w)$ なので、$d-1=\mathrm{min}\{\ell_{S}(sw),\ell_{S}(w)\}<d$ から $sw=w$ が得られ、帰納法の仮定に反する。後者の場合、帰納法により、$sw=sv$ が分かる。したがって、$v=w$ を得る。<br />
{{end|proof}}<br />
<br />
<br />
{{theorem |type=prop |label=cellproduct}}<br />
任意の $w\in W$ と $s\in S$ に対して、もし $\ell(sw)=\ell(w)+1$ なら $C(s)C(w)=C(sw)$ であり $\ell(sw)=\ell(w)-1$ なら $C(s)C(w)=C(w)\cup C(sw)$ である。<br />
{{begin|proof}}<br />
$\ell(w)=0$ なら主張は自明である。$\ell(w)>0$ なら、$\ell(wt)<\ell(w)$ となる $t\in S$ がある。$\ell(sw)=\ell(w)+1$ のとき $C(s)C(w)=C(sw)$ となることをまず示そう。$w^{'}=wt$ と置く。<br />
$$<br />
\ell(w^{'})+1=\ell(w)\leq \ell(sw)=\ell(sw^{'}t)\leq \ell(sw^{'})+1<br />
$$<br />
なので帰納法の仮定から<br />
$$<br />
C(s)C(w^{'})=C(sw^{'})<br />
$$<br />
となる。$C(s)C(w)\neq C(sw)$ と仮定する。$sBw\cap C(w)\neq \phi$ なので $sBw^{'}\cap C(w)t$ も空でない。さらに $C(w)t\subset C(w)\cup C(w^{'})$ なので $sBw^{'}\cap (C(w)\cup C(w^{'}))\neq \phi$ である。$C(s)C(w^{'})=C(sw^{'})$ なので{{ref |type=thm |label=Bruhat-dec}} より $sw^{'}=w$ である。しかしこれは<br />
$$<br />
\ell(w^{'})<\ell(w)<\ell(sw)<br />
$$<br />
に矛盾する。したがって $C(s)(w)$ と $C(w)$ は交わらず、$C(s)C(w)=C(sw)$ であることが分かる。次に $\ell(sw)=\ell(w)-1$ の場合を考えよう。このとき $\ell(s(sw))=\ell(sw)+1$ なので、上で見たように<br />
$$<br />
C(s)C(sw)=C(w)<br />
$$<br />
である。このとき、<br />
\begin{align}<br />
C(s)C(w)&=C(s)C(s)C(sw) \\<br />
&=(C(s)\cup B)C(sw) \\<br />
&=C(w)\cup C(sw)<br />
\end{align}<br />
<br />
{{end|proof}}<br />
<br />
==放物型部分群==<br />
<br />
{{theorem |type=prop |label=Coxeter}}<br />
$(G,B,N,S)$ をTits系とすると、$(W,S)$ は[[Coxeter系]]になる。<br />
{{begin|proof}}<br />
$s\in S$ と $w\in W$ が $\ell(sw)=\ell(w)-1$ を満たすとする。また $s_{1},\ldots,s_{n}\in S$ を $w=s_{1}\cdots s_{n}$ が最短表示であるように選ぶ。このとき[[交換条件]]をみたすことを示そう。つまり<br />
$$<br />
sw=s_{1}\cdots \hat{s_{i}}\cdots s_{n}<br />
$$<br />
となる $i$ が存在することを示す。仮定より $C(s)C(w)=C(sw)\cup C(w)$ かつ $C(w)=C(s_{1})\cdots C(s_{n})$ が成り立つ。$1\leq i\leq n$ を $\ell(ss_{1}\cdots s_{i})<\ell(ss_{1}\cdots s_{i-1})$ となるような最小の添え字に選べば<br />
\begin{align}<br />
C(s)C(w)&=C(s)C(s_{1})\cdots C(s_{i-1})C(s_{i})\cdots C(s_{n}) \\<br />
&=C(ss_{1}\cdots s_{i-1})C(s_{i})\cdots C(s_{n}) \\<br />
&=\left(C(ss_{1}\cdots s_{i})\cup C(ss_{1}\cdots s_{i-1}) \right)C(s_{i+1})\cdots C(s_{n}) \\<br />
&\subset \bigcup \left(C(ss_{1}\cdots s_{i}s_{i_{1}}\cdots s_{i_{p}})\cup C(ss_{1}\cdots s_{i-1}s_{i_{1}}\cdots s_{i_{p}}) \right)<br />
\end{align}<br />
ここで、$i<i_{1}<\ldots <i_{p}\leq n$ を満たすような添え字を走る。$C(w)$ は最右辺に含まれるので $\ell(w)=n$ という事実と合わせて考えると $w=ss_{1}\cdots s_{i-1}s_{i+1}\cdots s_{n}$ であるかまたは $w=ss_{1}\cdots s_{i}s_{i+1}\cdots \widehat{s_{i+k}}\cdots s_{n}$ となる $k$ がある。どちらにせよ、$(W,S)$ は交換条件を満たすことが確認できる。<br />
{{end|proof}}<br />
<br />
<br />
$I$ を $S$ の部分集合とすると、$(W_{I},I)$ はCoxeter系である。$P_{I}=BW_{I}B$ は $B$ を含む $G$ の部分群になる。すなわち $P_{I}$ は標準的放物型部分群になる。逆に、$P$ が標準的放物型部分群のとき、<br />
$$<br />
W_{I}=\{w\in W\mathrel{\vert}C(w)\subset P\}<br />
$$<br />
と置くと、これは $W$ の放物型部分群であり、$I=S\cap W_{I}$ は $W_{I}$ の生成系である。つまり、$S$ の部分集合と $G$ の標準的放物型部分群は $1:1$ に対応する。$G$ の'''放物型部分群'''とは、$G$ の標準的放物型部分群と共役な群のことを意味する。$\Delta(G,B)$ を $G$ の放物型部分群全体のなす集合とする。<br />
<br />
{{theorem |type=lem |label=cell-gen}}<br />
もし $w\in W$ に対して $w=s_{1}\cdots s_{n}$ が最短表示なら $\langle C(w)\rangle=\langle C(s_{1}),\ldots,C(s_{n})\rangle=\langle B,wBw^{-1}\rangle$ が成り立つ。<br />
{{begin|proof}}<br />
$w\in C(w)$ かつ $wB\subset C(w)$ より $\langle B,wBw^{-1}\rangle\subset \langle C(w)\rangle $ が分かる。さらに$w=s_{1}\cdots s_{n}$ は最短表示なので $\langle C(s_{1}),\ldots, C(s_{n}) \rangle$ である。よって、$C(s_{1}),\ldots ,C(s_{n})\subset \langle B,wBw^{-1} \rangle$ を示せばよい。実際、$\ell(s_{1}w)<\ell(w)$ なので、$C(w)\subset C(s_{1})C(w)$ となる。特に、$w=b_{1}s_{1}b_{2}wb_{3}$ となる $b_{1},b_{2},b_{3}\in B$ が存在する。特に $s_{1}=b_{1}^{-1}wb_{3}^{-1}w^{-1}b_{2}^{-1}\in \langle B,wBw^{-1}\rangle$ となるので $\langle B,s_{1}wBw^{-1}s_{1}\rangle\subset \langle B,wBw^{-1}\rangle$ となる。さらに帰納法により、この左辺は $C(s_{2}),\ldots,C(s_{n})$ を含む。よって、<br />
$$<br />
\langle C(s_{1}),\ldots,C(s_{n})\rangle\subset \langle B,wBw^{-1}\rangle<br />
$$<br />
となる。<br />
{{end|proof}}<br />
<br />
{{theorem |type=prop |label=normal}}<br />
任意の $P\in \Delta(G,B)$ に対して $N_{G}(P)=P$ が成り立つ。 <br />
{{begin|proof}}<br />
任意の $g\in G$ に対して、$N_{G}(gPg^{-1})=gN_{G}(P)g^{-1}$ なので、$P$ は標準的であるとしてよい。$x\in N_{G}(P)$ に対し $x\in C(w)$ となるような $w\in W$ がある。この $w$ に対して$\langle B,wBw^{-1} \rangle$ は $P$ に含まれるので、$x\in C(w)\in P$ となる。したがって $N_{G}(P)=P$ が分かる。<br />
{{end|proof}}<br />
<br />
<br />
==$B$ 適応準同型、$B$-$N$ 適応準同型==<br />
<br />
$(G,B,N,S)$ をTits系とし、$\widehat{G}$ を群とする。<br />
<br />
{{theorem |type=def |label=adaptedhom}}<br />
準同型 $\phi\colon G\longrightarrow \widehat{G}$ が以下の条件を満たすとき、$\phi$ は $B$ 適応準同型であるという。<br />
*(1) ${\rm Ker}(\phi)\subset B.$<br />
*(2) 任意の $g\in \widehat{G}$ に対して $h\in G$ が存在して $\phi(hBh^{-1})=g\phi(B)g^{-1}.$<br />
この条件(2)の代わりに<br />
*(2') 任意の $g\in \widehat{G}$ に対して $h\in G$ が存在して $\phi(hBh^{-1})=g\phi(B)g^{-1}, \phi(hNh^{-1})=g\phi(N)g^{-1}.$<br />
が成り立つとき、$\phi$ は $B$-$N$ 適応準同型であるという。<br />
<br />
<br />
{{theorem |type=lem |label=normal}}<br />
$\phi$ が $B$ 適応準同型のとき、像 $\phi(G)$ は $\widehat{G}$ の正規部分群である。<br />
{{begin|proof}}<br />
$G=\bigcup_{w\in W}\langle C(w)\rangle =\bigcup_{w\in W}\langle B,wBw^{-1}\rangle$ なので、$G$ は $B$ と共役な部分群たちによって生成されている。すなわち、任意の $a\in G$ に対して有限個の $(b_{i},k_{i})\in B\times G$ があり、<br />
$$<br />
a=\prod k_{i}b_{i}k_{i}^{-1}<br />
$$ <br />
となる。任意の $g\in \widehat{G}$ に対して、$g\phi(a)g^{-1}\in \psi(G)$ を示そう。$g_{i}=g\phi(k_{i})$ と置くと、$\phi$ は $B$ 適応準同型なので、$g_{i}\phi(B)g_{i}^{-1}=\phi(h_{i}Bh_{i}^{-1})$ となる $h_{i}\in G$ が存在する。このとき、<br />
\begin{align}<br />
g^{-1}\phi(a)g&=\prod g_{i}\phi(b_{i})g_{i}^{-1} \\<br />
&=\prod \phi(h_{i}b_{i}h_{i}^{-1})\in \phi(G)<br />
\end{align}<br />
であるから、$\phi$ の像は $\widehat{G}$ の正規部分群である。<br />
{{end|proof}}<br />
<br />
<br />
$\phi$ が $B$ 適応準同型とすると $\Delta(G,B)$ への $\widehat{G}$ への作用を<br />
$$<br />
\widehat{G}\times \Delta(G,B)\longrightarrow \Delta(G,B);(g,P)\longmapsto {}^{g}P:=\phi^{-1}(\phi(g)P\phi(g^{-1}))<br />
$$<br />
と定める。$P\in \Delta(G,B)$ に対して、安定化群を ${\rm Stab}(P)=\{g\in \widehat{G}\mathrel{\vert} {}^{g}P=P\}$ と置くと $\phi^{-1}({\rm Stab}(P))=P$ である。また $B$ 適応準同型 $\phi$ は Bruhat細胞をBruhat細胞に写すので、<br />
$$<br />
\xi\colon \widehat{G}\longrightarrow \mathrm{Aut}(W,S)<br />
$$<br />
を<br />
$$<br />
\phi(C(\xi(g)w))=\phi(h)^{-1}g\phi(C(w))g^{-1}\phi(h)<br />
$$<br />
となるように定めることができる。ただし、$g\in \widehat{G}$ に対して $h\in G$ を(2)を満たすように選んでいる。<br />
$$<br />
\widehat{G}_{0}={\rm Ker}(\xi), \Xi={\rm Im}\xi<br />
$$<br />
と置く。<br />
<br />
{{theorem |type=lem |label=stab}}<br />
$\phi$ が $B$ 適応準同型なら $\phi(G)\subset \widehat{G}_{0}$ かつ $\widehat{G}=\widehat{G}_{0}.{\rm Stab}(B)$ である。<br />
{{begin|proof}}<br />
任意の $g\in \widehat{G}$ に対して $h\in G$ を $\phi(hBh^{-1})=g\phi(B)g^{-1}$ となるよう取れば、$\phi(h^{-1})g\in {\rm Stab}(B)$ である。よって $\widehat{G}=\widehat{G}_{0}.{\rm Stab}(B)$ である。<br />
{{end|proof}}<br />
<br />
<br />
全射 ${\rm Stab}(B)\longrightarrow \widehat{G}/\widehat{G}_{0}$ の核を $\widehat{B}=\widehat{G}_{0}\cap {\rm Stab}(B)$ と書くことにする。<br />
<br />
{{theorem |type=prop |label=BN}}<br />
$(\widehat{G}_{0},\widehat{B},\phi(N))$ はTits系であり、$\Delta(G,B)\simeq \Delta(\widehat{G}_{0},\widehat{B})$ である。<br />
{{begin|proof}}<br />
まず $\widehat{G}_{0}=\widehat{B}\phi(N)\widehat{B}$ を示す。$g\in \widehat{G}_{0}={\rm Ker}(\xi)$ に対して $h\in G$ を $g^{-1}\phi(C(w))g=\phi(h^{-1}C(w)h), \forall w\in W$ となるように取ることができる。$G=BNB$ なので $h=b_{1}nb_{2}$ となるように $b_{1},b_{2}\in B, n\in N$ を取ると<br />
$$<br />
g^{-1}\phi(C(w))g=\phi(b_{2}^{-1}n^{-1})\phi(C(w))\phi(nb_{2})<br />
$$<br />
であり $w=1$ のとき $\phi(G)\subset \widehat{G}_{0}$ だったので $g\phi(b_{2}^{-1}n^{-1})\in \widehat{B}$ である。このとき、<br />
$$<br />
g\in \widehat{B}\phi(n)\phi(b_{2})\subset \widehat{B}\phi(N)\widehat{B} <br />
$$<br />
であることが示された。特に $\widehat{G}_{0}=\widehat{B}\phi(N)\widehat{B}$ である。次に $\widehat{B}\cap \phi(N)\triangleleft \phi(N)$ を示す。$x,y\in N$ とし $\phi(x)\in \widehat{B}$ とする。$\widehat{B}=\widehat{G}_{0}\cap {\rm Stab}(B)$ なので $\phi(xBx^{-1})=\phi(B)$ である。よって $b_{1},b_{2}\in B$ を $\phi(xb_{1}x^{-1}b_{2})=0$ なので $xb_{1}x^{-1}b_{2}\in {\rm Ker}(\phi)\subset B$ かつ $N_{G}(B)=B$ なので $x\in B$ である。$x\in B\cap N\triangleleft N$ なので $\phi(y^{-1}xy)\in \phi(N)$ である。<br />
<br />
<br />
{{end|proof}}<br />
<br />
==Titsの建物(Building)との関係==<br />
<br />
==Tits系の例==</div>
Gest N
https://math.jp/w/index.php?title=Tits%E7%B3%BB%E3%80%81BN%E5%AF%BE&diff=11776
Tits系、BN対
2022-09-19T02:20:36Z
<p>Gest N: /* $B$ 適応準同型、$B$-$N$ 適応準同型 */</p>
<hr />
<div><br />
<br />
{{newtheorem |type=lem |counter=0 |display=補題 }}<br />
{{newtheorem |type=thm |counter=0 |display=定理 }}<br />
{{newtheorem |type=prop |counter=0 |display=命題 }}<br />
{{newtheorem |type=def |counter=0 |display=定義 }}<br />
{{newtheorem |type=cor |counter=0 |display=系 }}<br />
{{newtheorem |type=proof |counter=0 |display=証明 }}<br />
{{newtheorem |type=rem |counter=0 |display=注 }}<br />
{{newtheorem |type=exa |counter=0 |display=例 }}<br />
{{newtheorem |type=cond |counter=0 |display=条件 }}<br />
<br />
__MATHJAX2__<br />
<br />
Tits系は代数群の構造を調べるための基本的な道具である。<br />
<br />
<br />
<noinclude><br />
{{TOC |align=right |noautonum=1 }}<!-- 右寄せ連番無し目次をここに表示 --><br />
</noinclude><br />
<br />
<br />
==定義==<br />
<br />
{{theorem |type=def |label=def}}<br />
群 $G$ の二つの部分群 $B,N$ が以下の条件を満たすとする。<br />
* (1) $G$ は $B$ と $N$ によって生成される。<br />
* (2) $B\cap N$ は $N$ の正規部分群であり、$S$ は $W=N/B\cap N$ の位数 $2$ の元からなる生成系である。<br />
* (3) 任意の $s\in S$ と $w\in W$ に対して、<br />
$$<br />
C(s)C(w)\subset C(sw)\cup C(w).<br />
$$<br />
* (4) 任意の $s\in S$ に対して、$sBs\neq B$ である。<br />
ただし、$C(w)$ は両側剰余類 $BwB$ である。このような条件を満足する四つ組 $(G,B,N,S)$ のことを'''Tits系(Tits system)'''と呼ぶ。<br />
<br />
Tits系の重要な例を一つ上げる。<br />
{{theorem |type=exa |label=GLspherical}}<br />
$G=GL_{n}(\mathbb{R})$ とし $B$ を上三角行列のなす $G$ の部分群とする。$G$ はベクトル空間 $\mathbb{R}^{n}=\mathbb{R}e_{1}\oplus \cdots \oplus \mathbb{R}e_{n}$ に自然に作用している。ただし、$e_{1},\ldots, e_{n}$ は $\mathbb{R}^{n}$ の標準基底とする。$N$ は $\mathbb{R}e_{1},\ldots,\mathbb{R}e_{n}$ を置換する $G$ の部分群とする。$N$ は 各行各列に一つだけ $0$ でない成分があり、そうでない成分が $0$ であるような行列のなす群である。$B\cap N$ は対角行列のなすトーラス<br />
$$<br />
B\cap N=\left\{<br />
\left. \left(<br />
<nowiki><br />
\begin{array}{cccc}<br />
x_{1} & 0 & \cdots & 0 \\<br />
0 & x_{2} & \cdots & 0 \\<br />
\vdots & & \ddots & \vdots \\<br />
0 & \ldots & \ldots & x_{n}<br />
\end{array}<br />
</nowiki><br />
\right)\right| x_{1},\ldots,x_{n}\in \mathbb{R}^{\times}<br />
\right\}<br />
$$<br />
であり、$N/B\cap N$ は対称群 $S_{n}$ と同型である。$S_{n}$ の位数 $2$ の元からなる生成系 $\{(i,i+1)\mathrel{\vert} i=1,\ldots,n-1\}$ のことを $S$ と置く。$(G,B,N,S)$ はTits系になる。<br />
<br />
<br />
{{theorem |type=def |label=def2}}<br />
Tits系 $(G,B,N,S)$ に対して、$B$ を含んでいるような $G$ の部分群のことを $(G,B,N,S)$ の'''標準的放物型部分群(standard parabolic subgroup)'''という。<br />
<br />
==Bruhat分解==<br />
{{theorem |type=thm |label=Bruhat-dec}}<br />
Tits系 $(G,B,N,S)$ に対して、<br />
$$<br />
G=\coprod_{w\in W}C(w)<br />
$$<br />
が成り立つ。この分解のことを $G$ の'''Bruhat分解(Bruhat decomposition)'''と呼ぶ。<br />
{{begin|proof}}<br />
合併<br />
$$<br />
\bigcup_{w\in W}C(w)<br />
$$<br />
は $B,N$ を含む群なので、これは $G$ と等しい。この分解が無縁和であることを示そう。$C(v)=C(w)$ とし、$d=\mathrm{min}\{\ell_{S}(v),\ell_{S}(w)\}$ と置く。このとき $v=w$ であることを $d$ についての帰納法で示す。$d=0$ のとき、$C(v)=C(w)=B$ であり、これは $v,w$ の代表元が $B\cap N$ に入っていることを意味するので、$v=w=1$ が言える。$d>0$ とする。一般性を失うことなく $d=\ell_{S}(w)\leq \ell_{S}(v)$ としてよく、このとき $\ell_{S}(sw)=\ell_{S}(w)-1$ となるような $s\in S$ がある。$wB\subset C(w)=C(v)$ なので <br />
$$<br />
C(sw)\subset sC(v)\subset C(sv)\cup C(v)<br />
$$<br />
である。よって、$C(sw)=C(v)$ であるかまたは $C(sw)=C(sv)$ である。前者の場合は $C(sw)=C(w)$ なので、$d-1=\mathrm{min}\{\ell_{S}(sw),\ell_{S}(w)\}<d$ から $sw=w$ が得られ、帰納法の仮定に反する。後者の場合、帰納法により、$sw=sv$ が分かる。したがって、$v=w$ を得る。<br />
{{end|proof}}<br />
<br />
<br />
{{theorem |type=prop |label=cellproduct}}<br />
任意の $w\in W$ と $s\in S$ に対して、もし $\ell(sw)=\ell(w)+1$ なら $C(s)C(w)=C(sw)$ であり $\ell(sw)=\ell(w)-1$ なら $C(s)C(w)=C(w)\cup C(sw)$ である。<br />
{{begin|proof}}<br />
$\ell(w)=0$ なら主張は自明である。$\ell(w)>0$ なら、$\ell(wt)<\ell(w)$ となる $t\in S$ がある。$\ell(sw)=\ell(w)+1$ のとき $C(s)C(w)=C(sw)$ となることをまず示そう。$w^{'}=wt$ と置く。<br />
$$<br />
\ell(w^{'})+1=\ell(w)\leq \ell(sw)=\ell(sw^{'}t)\leq \ell(sw^{'})+1<br />
$$<br />
なので帰納法の仮定から<br />
$$<br />
C(s)C(w^{'})=C(sw^{'})<br />
$$<br />
となる。$C(s)C(w)\neq C(sw)$ と仮定する。$sBw\cap C(w)\neq \phi$ なので $sBw^{'}\cap C(w)t$ も空でない。さらに $C(w)t\subset C(w)\cup C(w^{'})$ なので $sBw^{'}\cap (C(w)\cup C(w^{'}))\neq \phi$ である。$C(s)C(w^{'})=C(sw^{'})$ なので{{ref |type=thm |label=Bruhat-dec}} より $sw^{'}=w$ である。しかしこれは<br />
$$<br />
\ell(w^{'})<\ell(w)<\ell(sw)<br />
$$<br />
に矛盾する。したがって $C(s)(w)$ と $C(w)$ は交わらず、$C(s)C(w)=C(sw)$ であることが分かる。次に $\ell(sw)=\ell(w)-1$ の場合を考えよう。このとき $\ell(s(sw))=\ell(sw)+1$ なので、上で見たように<br />
$$<br />
C(s)C(sw)=C(w)<br />
$$<br />
である。このとき、<br />
\begin{align}<br />
C(s)C(w)&=C(s)C(s)C(sw) \\<br />
&=(C(s)\cup B)C(sw) \\<br />
&=C(w)\cup C(sw)<br />
\end{align}<br />
<br />
{{end|proof}}<br />
<br />
==放物型部分群==<br />
<br />
{{theorem |type=prop |label=Coxeter}}<br />
$(G,B,N,S)$ をTits系とすると、$(W,S)$ は[[Coxeter系]]になる。<br />
{{begin|proof}}<br />
$s\in S$ と $w\in W$ が $\ell(sw)=\ell(w)-1$ を満たすとする。また $s_{1},\ldots,s_{n}\in S$ を $w=s_{1}\cdots s_{n}$ が最短表示であるように選ぶ。このとき[[交換条件]]をみたすことを示そう。つまり<br />
$$<br />
sw=s_{1}\cdots \hat{s_{i}}\cdots s_{n}<br />
$$<br />
となる $i$ が存在することを示す。仮定より $C(s)C(w)=C(sw)\cup C(w)$ かつ $C(w)=C(s_{1})\cdots C(s_{n})$ が成り立つ。$1\leq i\leq n$ を $\ell(ss_{1}\cdots s_{i})<\ell(ss_{1}\cdots s_{i-1})$ となるような最小の添え字に選べば<br />
\begin{align}<br />
C(s)C(w)&=C(s)C(s_{1})\cdots C(s_{i-1})C(s_{i})\cdots C(s_{n}) \\<br />
&=C(ss_{1}\cdots s_{i-1})C(s_{i})\cdots C(s_{n}) \\<br />
&=\left(C(ss_{1}\cdots s_{i})\cup C(ss_{1}\cdots s_{i-1}) \right)C(s_{i+1})\cdots C(s_{n}) \\<br />
&\subset \bigcup \left(C(ss_{1}\cdots s_{i}s_{i_{1}}\cdots s_{i_{p}})\cup C(ss_{1}\cdots s_{i-1}s_{i_{1}}\cdots s_{i_{p}}) \right)<br />
\end{align}<br />
ここで、$i<i_{1}<\ldots <i_{p}\leq n$ を満たすような添え字を走る。$C(w)$ は最右辺に含まれるので $\ell(w)=n$ という事実と合わせて考えると $w=ss_{1}\cdots s_{i-1}s_{i+1}\cdots s_{n}$ であるかまたは $w=ss_{1}\cdots s_{i}s_{i+1}\cdots \widehat{s_{i+k}}\cdots s_{n}$ となる $k$ がある。どちらにせよ、$(W,S)$ は交換条件を満たすことが確認できる。<br />
{{end|proof}}<br />
<br />
<br />
$I$ を $S$ の部分集合とすると、$(W_{I},I)$ はCoxeter系である。$P_{I}=BW_{I}B$ は $B$ を含む $G$ の部分群になる。すなわち $P_{I}$ は標準的放物型部分群になる。逆に、$P$ が標準的放物型部分群のとき、<br />
$$<br />
W_{I}=\{w\in W\mathrel{\vert}C(w)\subset P\}<br />
$$<br />
と置くと、これは $W$ の放物型部分群であり、$I=S\cap W_{I}$ は $W_{I}$ の生成系である。つまり、$S$ の部分集合と $G$ の標準的放物型部分群は $1:1$ に対応する。$G$ の'''放物型部分群'''とは、$G$ の標準的放物型部分群と共役な群のことを意味する。$\Delta(G,B)$ を $G$ の放物型部分群全体のなす集合とする。<br />
<br />
{{theorem |type=lem |label=cell-gen}}<br />
もし $w\in W$ に対して $w=s_{1}\cdots s_{n}$ が最短表示なら $\langle C(w)\rangle=\langle C(s_{1}),\ldots,C(s_{n})\rangle=\langle B,wBw^{-1}\rangle$ が成り立つ。<br />
{{begin|proof}}<br />
$w\in C(w)$ かつ $wB\subset C(w)$ より $\langle B,wBw^{-1}\rangle\subset \langle C(w)\rangle $ が分かる。さらに$w=s_{1}\cdots s_{n}$ は最短表示なので $\langle C(s_{1}),\ldots, C(s_{n}) \rangle$ である。よって、$C(s_{1}),\ldots ,C(s_{n})\subset \langle B,wBw^{-1} \rangle$ を示せばよい。実際、$\ell(s_{1}w)<\ell(w)$ なので、$C(w)\subset C(s_{1})C(w)$ となる。特に、$w=b_{1}s_{1}b_{2}wb_{3}$ となる $b_{1},b_{2},b_{3}\in B$ が存在する。特に $s_{1}=b_{1}^{-1}wb_{3}^{-1}w^{-1}b_{2}^{-1}\in \langle B,wBw^{-1}\rangle$ となるので $\langle B,s_{1}wBw^{-1}s_{1}\rangle\subset \langle B,wBw^{-1}\rangle$ となる。さらに帰納法により、この左辺は $C(s_{2}),\ldots,C(s_{n})$ を含む。よって、<br />
$$<br />
\langle C(s_{1}),\ldots,C(s_{n})\rangle\subset \langle B,wBw^{-1}\rangle<br />
$$<br />
となる。<br />
{{end|proof}}<br />
<br />
{{theorem |type=prop |label=normal}}<br />
任意の $P\in \Delta(G,B)$ に対して $N_{G}(P)=P$ が成り立つ。 <br />
{{begin|proof}}<br />
任意の $g\in G$ に対して、$N_{G}(gPg^{-1})=gN_{G}(P)g^{-1}$ なので、$P$ は標準的であるとしてよい。$x\in N_{G}(P)$ に対し $x\in C(w)$ となるような $w\in W$ がある。この $w$ に対して$\langle B,wBw^{-1} \rangle$ は $P$ に含まれるので、$x\in C(w)\in P$ となる。したがって $N_{G}(P)=P$ が分かる。<br />
{{end|proof}}<br />
<br />
<br />
==$B$ 適応準同型、$B$-$N$ 適応準同型==<br />
<br />
$(G,B,N,S)$ をTits系とし、$\widehat{G}$ を群とする。<br />
<br />
{{theorem |type=def |label=adaptedhom}}<br />
準同型 $\phi\colon G\longrightarrow \widehat{G}$ が以下の条件を満たすとき、$\phi$ は $B$ 適応準同型であるという。<br />
*(1) ${\rm Ker}(\phi)\subset B.$<br />
*(2) 任意の $g\in \widehat{G}$ に対して $h\in G$ が存在して $\phi(hBh^{-1})=g\phi(B)g^{-1}.$<br />
この条件(2)の代わりに<br />
*(2') 任意の $g\in \widehat{G}$ に対して $h\in G$ が存在して $\phi(hBh^{-1})=g\phi(B)g^{-1}, \phi(hNh^{-1})=g\phi(N)g^{-1}.$<br />
が成り立つとき、$\phi$ は $B$-$N$ 適応準同型であるという。<br />
<br />
<br />
{{theorem |type=lem |label=normal}}<br />
$\phi$ が $B$ 適応準同型のとき、像 $\phi(G)$ は $\widehat{G}$ の正規部分群である。<br />
{{begin|proof}}<br />
$G=\bigcup_{w\in W}\langle C(w)\rangle =\bigcup_{w\in W}\langle B,wBw^{-1}\rangle$ なので、$G$ は $B$ と共役な部分群たちによって生成されている。すなわち、任意の $a\in G$ に対して有限個の $(b_{i},k_{i})\in B\times G$ があり、<br />
$$<br />
a=\prod k_{i}b_{i}k_{i}^{-1}<br />
$$ <br />
となる。任意の $g\in \widehat{G}$ に対して、$g\phi(a)g^{-1}\in \psi(G)$ を示そう。$g_{i}=g\phi(k_{i})$ と置くと、$\phi$ は $B$ 適応準同型なので、$g_{i}\phi(B)g_{i}^{-1}=\phi(h_{i}Bh_{i}^{-1})$ となる $h_{i}\in G$ が存在する。このとき、<br />
\begin{align}<br />
g^{-1}\phi(a)g&=\prod g_{i}\phi(b_{i})g_{i}^{-1} \\<br />
&=\prod \phi(h_{i}b_{i}h_{i}^{-1})\in \phi(G)<br />
\end{align}<br />
であるから、$\phi$ の像は $\widehat{G}$ の正規部分群である。<br />
{{end|proof}}<br />
<br />
<br />
$\phi$ が $B$ 適応準同型とすると $\Delta(G,B)$ への $\widehat{G}$ への作用を<br />
$$<br />
\widehat{G}\times \Delta(G,B)\longrightarrow \Delta(G,B);(g,P)\longmapsto {}^{g}P:=\phi^{-1}(\phi(g)P\phi(g^{-1}))<br />
$$<br />
と定める。$P\in \Delta(G,B)$ に対して、安定化群を ${\rm Stab}(P)=\{g\in \widehat{G}\mathrel{\vert} {}^{g}P=P\}$ と置くと $\phi^{-1}({\rm Stab}(P))=P$ である。また $B$ 適応準同型 $\phi$ は Bruhat細胞をBruhat細胞に写すので、<br />
$$<br />
\xi\colon \widehat{G}\longrightarrow \mathrm{Aut}(W,S)<br />
$$<br />
を<br />
$$<br />
\phi(C(\xi(g)w))=\phi(h)^{-1}g\phi(C(w))g^{-1}\phi(h)<br />
$$<br />
となるように定めることができる。ただし、$g\in \widehat{G}$ に対して $h\in G$ を(2)を満たすように選んでいる。<br />
$$<br />
\widehat{G}_{0}={\rm Ker}(\xi), \Xi={\rm Im}\xi<br />
$$<br />
と置く。<br />
<br />
{{theorem |type=lem |label=stab}}<br />
$\phi$ が $B$ 適応準同型なら $\phi(G)\subset \widehat{G}_{0}$ かつ $\widehat{G}=\widehat{G}_{0}.{\rm Stab}(B)$ である。<br />
{{begin|proof}}<br />
任意の $g\in \widehat{G}$ に対して $h\in G$ を $\phi(hBh^{-1})=g\phi(B)g^{-1}$ となるよう取れば、$\phi(h^{-1})g\in {\rm Stab}(B)$ である。よって $\widehat{G}=\widehat{G}_{0}.{\rm Stab}(B)$ である。<br />
{{end|proof}}<br />
<br />
<br />
全射 ${\rm Stab}(B)\longrightarrow \widehat{G}/\widehat{G}_{0}$ の核を $\widehat{B}=\widehat{G}_{0}\cap {\rm Stab}(B)$ と書くことにする。<br />
<br />
{{theorem |type=prop |label=BN}}<br />
$(\widehat{G}_{0},\widehat{B},\phi(N))$ はTits系であり、$\Delta(G,B)\simeq \Delta(\widehat{G}_{0},\widehat{B})$ である。<br />
{{begin|proof}}<br />
まず $\widehat{G}_{0}=\widehat{B}\phi(N)\widehat{B}$ を示す。$g\in \widehat{G}_{0}={\rm Ker}\xi$ に対して $h\in G$ を $g^{-1}\phi(C(w))g=\phi(h^{-1}C(w)h), \forall w\in W$ となるように取ることができる。$G=BNB$ なので $h=b_{1}nb_{2}$ となるように $b_{1},b_{2}\in B, n\in N$ を取ると<br />
$$<br />
g^{-1}\phi(C(w))g=\phi(b_{2}^{-1}n^{-1})\phi(C(w))\phi(nb_{2})<br />
$$<br />
であり $w=1$ のとき $\phi(G)\subset \widehat{G}_{0}$ だったので $g\phi(b_{2}^{-1}n^{-1})\in \widehat{B}$ である。このとき、<br />
$$<br />
g\in \widehat{B}\phi(n)\phi(b_{2})\subset \widehat{B}\phi(N)\widehat{B} <br />
$$<br />
であることが示された。特に $\widehat{G}_{0}=\widehat{B}\phi(N)\widehat{B}$ である。<br />
{{end|proof}}<br />
<br />
==Titsの建物(Building)との関係==<br />
<br />
==Tits系の例==</div>
Gest N
https://math.jp/w/index.php?title=Tits%E7%B3%BB%E3%80%81BN%E5%AF%BE&diff=11775
Tits系、BN対
2022-09-19T01:50:27Z
<p>Gest N: /* $B$ 適応準同型、$B$-$N$ 適応準同型 */</p>
<hr />
<div><br />
<br />
{{newtheorem |type=lem |counter=0 |display=補題 }}<br />
{{newtheorem |type=thm |counter=0 |display=定理 }}<br />
{{newtheorem |type=prop |counter=0 |display=命題 }}<br />
{{newtheorem |type=def |counter=0 |display=定義 }}<br />
{{newtheorem |type=cor |counter=0 |display=系 }}<br />
{{newtheorem |type=proof |counter=0 |display=証明 }}<br />
{{newtheorem |type=rem |counter=0 |display=注 }}<br />
{{newtheorem |type=exa |counter=0 |display=例 }}<br />
{{newtheorem |type=cond |counter=0 |display=条件 }}<br />
<br />
__MATHJAX2__<br />
<br />
Tits系は代数群の構造を調べるための基本的な道具である。<br />
<br />
<br />
<noinclude><br />
{{TOC |align=right |noautonum=1 }}<!-- 右寄せ連番無し目次をここに表示 --><br />
</noinclude><br />
<br />
<br />
==定義==<br />
<br />
{{theorem |type=def |label=def}}<br />
群 $G$ の二つの部分群 $B,N$ が以下の条件を満たすとする。<br />
* (1) $G$ は $B$ と $N$ によって生成される。<br />
* (2) $B\cap N$ は $N$ の正規部分群であり、$S$ は $W=N/B\cap N$ の位数 $2$ の元からなる生成系である。<br />
* (3) 任意の $s\in S$ と $w\in W$ に対して、<br />
$$<br />
C(s)C(w)\subset C(sw)\cup C(w).<br />
$$<br />
* (4) 任意の $s\in S$ に対して、$sBs\neq B$ である。<br />
ただし、$C(w)$ は両側剰余類 $BwB$ である。このような条件を満足する四つ組 $(G,B,N,S)$ のことを'''Tits系(Tits system)'''と呼ぶ。<br />
<br />
Tits系の重要な例を一つ上げる。<br />
{{theorem |type=exa |label=GLspherical}}<br />
$G=GL_{n}(\mathbb{R})$ とし $B$ を上三角行列のなす $G$ の部分群とする。$G$ はベクトル空間 $\mathbb{R}^{n}=\mathbb{R}e_{1}\oplus \cdots \oplus \mathbb{R}e_{n}$ に自然に作用している。ただし、$e_{1},\ldots, e_{n}$ は $\mathbb{R}^{n}$ の標準基底とする。$N$ は $\mathbb{R}e_{1},\ldots,\mathbb{R}e_{n}$ を置換する $G$ の部分群とする。$N$ は 各行各列に一つだけ $0$ でない成分があり、そうでない成分が $0$ であるような行列のなす群である。$B\cap N$ は対角行列のなすトーラス<br />
$$<br />
B\cap N=\left\{<br />
\left. \left(<br />
<nowiki><br />
\begin{array}{cccc}<br />
x_{1} & 0 & \cdots & 0 \\<br />
0 & x_{2} & \cdots & 0 \\<br />
\vdots & & \ddots & \vdots \\<br />
0 & \ldots & \ldots & x_{n}<br />
\end{array}<br />
</nowiki><br />
\right)\right| x_{1},\ldots,x_{n}\in \mathbb{R}^{\times}<br />
\right\}<br />
$$<br />
であり、$N/B\cap N$ は対称群 $S_{n}$ と同型である。$S_{n}$ の位数 $2$ の元からなる生成系 $\{(i,i+1)\mathrel{\vert} i=1,\ldots,n-1\}$ のことを $S$ と置く。$(G,B,N,S)$ はTits系になる。<br />
<br />
<br />
{{theorem |type=def |label=def2}}<br />
Tits系 $(G,B,N,S)$ に対して、$B$ を含んでいるような $G$ の部分群のことを $(G,B,N,S)$ の'''標準的放物型部分群(standard parabolic subgroup)'''という。<br />
<br />
==Bruhat分解==<br />
{{theorem |type=thm |label=Bruhat-dec}}<br />
Tits系 $(G,B,N,S)$ に対して、<br />
$$<br />
G=\coprod_{w\in W}C(w)<br />
$$<br />
が成り立つ。この分解のことを $G$ の'''Bruhat分解(Bruhat decomposition)'''と呼ぶ。<br />
{{begin|proof}}<br />
合併<br />
$$<br />
\bigcup_{w\in W}C(w)<br />
$$<br />
は $B,N$ を含む群なので、これは $G$ と等しい。この分解が無縁和であることを示そう。$C(v)=C(w)$ とし、$d=\mathrm{min}\{\ell_{S}(v),\ell_{S}(w)\}$ と置く。このとき $v=w$ であることを $d$ についての帰納法で示す。$d=0$ のとき、$C(v)=C(w)=B$ であり、これは $v,w$ の代表元が $B\cap N$ に入っていることを意味するので、$v=w=1$ が言える。$d>0$ とする。一般性を失うことなく $d=\ell_{S}(w)\leq \ell_{S}(v)$ としてよく、このとき $\ell_{S}(sw)=\ell_{S}(w)-1$ となるような $s\in S$ がある。$wB\subset C(w)=C(v)$ なので <br />
$$<br />
C(sw)\subset sC(v)\subset C(sv)\cup C(v)<br />
$$<br />
である。よって、$C(sw)=C(v)$ であるかまたは $C(sw)=C(sv)$ である。前者の場合は $C(sw)=C(w)$ なので、$d-1=\mathrm{min}\{\ell_{S}(sw),\ell_{S}(w)\}<d$ から $sw=w$ が得られ、帰納法の仮定に反する。後者の場合、帰納法により、$sw=sv$ が分かる。したがって、$v=w$ を得る。<br />
{{end|proof}}<br />
<br />
<br />
{{theorem |type=prop |label=cellproduct}}<br />
任意の $w\in W$ と $s\in S$ に対して、もし $\ell(sw)=\ell(w)+1$ なら $C(s)C(w)=C(sw)$ であり $\ell(sw)=\ell(w)-1$ なら $C(s)C(w)=C(w)\cup C(sw)$ である。<br />
{{begin|proof}}<br />
$\ell(w)=0$ なら主張は自明である。$\ell(w)>0$ なら、$\ell(wt)<\ell(w)$ となる $t\in S$ がある。$\ell(sw)=\ell(w)+1$ のとき $C(s)C(w)=C(sw)$ となることをまず示そう。$w^{'}=wt$ と置く。<br />
$$<br />
\ell(w^{'})+1=\ell(w)\leq \ell(sw)=\ell(sw^{'}t)\leq \ell(sw^{'})+1<br />
$$<br />
なので帰納法の仮定から<br />
$$<br />
C(s)C(w^{'})=C(sw^{'})<br />
$$<br />
となる。$C(s)C(w)\neq C(sw)$ と仮定する。$sBw\cap C(w)\neq \phi$ なので $sBw^{'}\cap C(w)t$ も空でない。さらに $C(w)t\subset C(w)\cup C(w^{'})$ なので $sBw^{'}\cap (C(w)\cup C(w^{'}))\neq \phi$ である。$C(s)C(w^{'})=C(sw^{'})$ なので{{ref |type=thm |label=Bruhat-dec}} より $sw^{'}=w$ である。しかしこれは<br />
$$<br />
\ell(w^{'})<\ell(w)<\ell(sw)<br />
$$<br />
に矛盾する。したがって $C(s)(w)$ と $C(w)$ は交わらず、$C(s)C(w)=C(sw)$ であることが分かる。次に $\ell(sw)=\ell(w)-1$ の場合を考えよう。このとき $\ell(s(sw))=\ell(sw)+1$ なので、上で見たように<br />
$$<br />
C(s)C(sw)=C(w)<br />
$$<br />
である。このとき、<br />
\begin{align}<br />
C(s)C(w)&=C(s)C(s)C(sw) \\<br />
&=(C(s)\cup B)C(sw) \\<br />
&=C(w)\cup C(sw)<br />
\end{align}<br />
<br />
{{end|proof}}<br />
<br />
==放物型部分群==<br />
<br />
{{theorem |type=prop |label=Coxeter}}<br />
$(G,B,N,S)$ をTits系とすると、$(W,S)$ は[[Coxeter系]]になる。<br />
{{begin|proof}}<br />
$s\in S$ と $w\in W$ が $\ell(sw)=\ell(w)-1$ を満たすとする。また $s_{1},\ldots,s_{n}\in S$ を $w=s_{1}\cdots s_{n}$ が最短表示であるように選ぶ。このとき[[交換条件]]をみたすことを示そう。つまり<br />
$$<br />
sw=s_{1}\cdots \hat{s_{i}}\cdots s_{n}<br />
$$<br />
となる $i$ が存在することを示す。仮定より $C(s)C(w)=C(sw)\cup C(w)$ かつ $C(w)=C(s_{1})\cdots C(s_{n})$ が成り立つ。$1\leq i\leq n$ を $\ell(ss_{1}\cdots s_{i})<\ell(ss_{1}\cdots s_{i-1})$ となるような最小の添え字に選べば<br />
\begin{align}<br />
C(s)C(w)&=C(s)C(s_{1})\cdots C(s_{i-1})C(s_{i})\cdots C(s_{n}) \\<br />
&=C(ss_{1}\cdots s_{i-1})C(s_{i})\cdots C(s_{n}) \\<br />
&=\left(C(ss_{1}\cdots s_{i})\cup C(ss_{1}\cdots s_{i-1}) \right)C(s_{i+1})\cdots C(s_{n}) \\<br />
&\subset \bigcup \left(C(ss_{1}\cdots s_{i}s_{i_{1}}\cdots s_{i_{p}})\cup C(ss_{1}\cdots s_{i-1}s_{i_{1}}\cdots s_{i_{p}}) \right)<br />
\end{align}<br />
ここで、$i<i_{1}<\ldots <i_{p}\leq n$ を満たすような添え字を走る。$C(w)$ は最右辺に含まれるので $\ell(w)=n$ という事実と合わせて考えると $w=ss_{1}\cdots s_{i-1}s_{i+1}\cdots s_{n}$ であるかまたは $w=ss_{1}\cdots s_{i}s_{i+1}\cdots \widehat{s_{i+k}}\cdots s_{n}$ となる $k$ がある。どちらにせよ、$(W,S)$ は交換条件を満たすことが確認できる。<br />
{{end|proof}}<br />
<br />
<br />
$I$ を $S$ の部分集合とすると、$(W_{I},I)$ はCoxeter系である。$P_{I}=BW_{I}B$ は $B$ を含む $G$ の部分群になる。すなわち $P_{I}$ は標準的放物型部分群になる。逆に、$P$ が標準的放物型部分群のとき、<br />
$$<br />
W_{I}=\{w\in W\mathrel{\vert}C(w)\subset P\}<br />
$$<br />
と置くと、これは $W$ の放物型部分群であり、$I=S\cap W_{I}$ は $W_{I}$ の生成系である。つまり、$S$ の部分集合と $G$ の標準的放物型部分群は $1:1$ に対応する。$G$ の'''放物型部分群'''とは、$G$ の標準的放物型部分群と共役な群のことを意味する。$\Delta(G,B)$ を $G$ の放物型部分群全体のなす集合とする。<br />
<br />
{{theorem |type=lem |label=cell-gen}}<br />
もし $w\in W$ に対して $w=s_{1}\cdots s_{n}$ が最短表示なら $\langle C(w)\rangle=\langle C(s_{1}),\ldots,C(s_{n})\rangle=\langle B,wBw^{-1}\rangle$ が成り立つ。<br />
{{begin|proof}}<br />
$w\in C(w)$ かつ $wB\subset C(w)$ より $\langle B,wBw^{-1}\rangle\subset \langle C(w)\rangle $ が分かる。さらに$w=s_{1}\cdots s_{n}$ は最短表示なので $\langle C(s_{1}),\ldots, C(s_{n}) \rangle$ である。よって、$C(s_{1}),\ldots ,C(s_{n})\subset \langle B,wBw^{-1} \rangle$ を示せばよい。実際、$\ell(s_{1}w)<\ell(w)$ なので、$C(w)\subset C(s_{1})C(w)$ となる。特に、$w=b_{1}s_{1}b_{2}wb_{3}$ となる $b_{1},b_{2},b_{3}\in B$ が存在する。特に $s_{1}=b_{1}^{-1}wb_{3}^{-1}w^{-1}b_{2}^{-1}\in \langle B,wBw^{-1}\rangle$ となるので $\langle B,s_{1}wBw^{-1}s_{1}\rangle\subset \langle B,wBw^{-1}\rangle$ となる。さらに帰納法により、この左辺は $C(s_{2}),\ldots,C(s_{n})$ を含む。よって、<br />
$$<br />
\langle C(s_{1}),\ldots,C(s_{n})\rangle\subset \langle B,wBw^{-1}\rangle<br />
$$<br />
となる。<br />
{{end|proof}}<br />
<br />
{{theorem |type=prop |label=normal}}<br />
任意の $P\in \Delta(G,B)$ に対して $N_{G}(P)=P$ が成り立つ。 <br />
{{begin|proof}}<br />
任意の $g\in G$ に対して、$N_{G}(gPg^{-1})=gN_{G}(P)g^{-1}$ なので、$P$ は標準的であるとしてよい。$x\in N_{G}(P)$ に対し $x\in C(w)$ となるような $w\in W$ がある。この $w$ に対して$\langle B,wBw^{-1} \rangle$ は $P$ に含まれるので、$x\in C(w)\in P$ となる。したがって $N_{G}(P)=P$ が分かる。<br />
{{end|proof}}<br />
<br />
<br />
==$B$ 適応準同型、$B$-$N$ 適応準同型==<br />
<br />
$(G,B,N,S)$ をTits系とし、$\widehat{G}$ を群とする。<br />
<br />
{{theorem |type=def |label=adaptedhom}}<br />
準同型 $\phi\colon G\longrightarrow \widehat{G}$ が以下の条件を満たすとき、$\phi$ は $B$ 適応準同型であるという。<br />
*(1) ${\rm Ker}(\phi)\subset B.$<br />
*(2) 任意の $g\in \widehat{G}$ に対して $h\in G$ が存在して $\phi(hBh^{-1})=g\phi(B)g^{-1}.$<br />
この条件(2)の代わりに<br />
*(2') 任意の $g\in \widehat{G}$ に対して $h\in G$ が存在して $\phi(hBh^{-1})=g\phi(B)g^{-1}, \phi(hNh^{-1})=g\phi(N)g^{-1}.$<br />
が成り立つとき、$\phi$ は $B$-$N$ 適応準同型であるという。<br />
<br />
<br />
{{theorem |type=lem |label=normal}}<br />
$\phi$ が $B$ 適応準同型のとき、像 $\phi(G)$ は $\widehat{G}$ の正規部分群である。<br />
{{begin|proof}}<br />
$G=\bigcup_{w\in W}\langle C(w)\rangle =\bigcup_{w\in W}\langle B,wBw^{-1}\rangle$ なので、$G$ は $B$ と共役な部分群たちによって生成されている。すなわち、任意の $a\in G$ に対して有限個の $(b_{i},k_{i})\in B\times G$ があり、<br />
$$<br />
a=\prod k_{i}b_{i}k_{i}^{-1}<br />
$$ <br />
となる。任意の $g\in \widehat{G}$ に対して、$g\phi(a)g^{-1}\in \psi(G)$ を示そう。$g_{i}=g\phi(k_{i})$ と置くと、$\phi$ は $B$ 適応準同型なので、$g_{i}\phi(B)g_{i}^{-1}=\phi(h_{i}Bh_{i}^{-1})$ となる $h_{i}\in G$ が存在する。このとき、<br />
\begin{align}<br />
g^{-1}\phi(a)g&=\prod g_{i}\phi(b_{i})g_{i}^{-1} \\<br />
&=\prod \phi(h_{i}b_{i}h_{i}^{-1})\in \phi(G)<br />
\end{align}<br />
であるから、$\phi$ の像は $\widehat{G}$ の正規部分群である。<br />
{{end|proof}}<br />
<br />
<br />
$\phi$ が $B$ 適応準同型とすると $\Delta(G,B)$ への $\widehat{G}$ への作用を<br />
$$<br />
\widehat{G}\times \Delta(G,B)\longrightarrow \Delta(G,B);(g,P)\longmapsto {}^{g}P:=\phi^{-1}(\phi(g)P\phi(g^{-1}))<br />
$$<br />
と定める。$P\in \Delta(G,B)$ に対して、安定化群を ${\rm Stab}(P)=\{g\in \widehat{G}\mathrel{\vert} {}^{g}P=P\}$ と置くと $\phi^{-1}({\rm Stab}(P))=P$ である。また $B$ 適応準同型 $\phi$ は Bruhat細胞をBruhat細胞に写すので、<br />
$$<br />
\xi\colon \widehat{G}\longrightarrow \mathrm{Aut}(W,S)<br />
$$<br />
を<br />
$$<br />
\phi(C(\xi(g)w))=\phi(h)^{-1}g\phi(C(w))g^{-1}\phi(h)<br />
$$<br />
となるように定めることができる。ただし、$g\in \widehat{G}$ に対して $h\in G$ を(2)を満たすように選んでいる。<br />
$$<br />
\widehat{G}_{0}={\rm Ker}(\xi), \Xi={\rm Im}\xi<br />
$$<br />
と置く。<br />
<br />
{{theorem |type=lem |label=stab}}<br />
$\phi$ が $B$ 適応準同型なら $\phi(G)\subset \widehat{G}_{0}$ かつ $\widehat{G}=\widehat{G}_{0}.{\rm Stab}(B)$ である。<br />
{{begin|proof}}<br />
任意の $g\in \widehat{G}$ に対して $h\in G$ を $\phi(hBh^{-1})=g\phi(B)g^{-1}$ となるよう取れば、$\phi(h^{-1})g\in {\rm Stab}(B)$ である。よって $\widehat{G}=\widehat{G}_{0}.{\rm Stab}(B)$ である。<br />
{{end|proof}}<br />
<br />
<br />
全射 ${\rm Stab}(B)\longrightarrow \widehat{G}/\widehat{G}_{0}$ の核を $\widehat{B}=\widehat{G}_{0}\cap {\rm Stab}(B)$ と書くことにする。<br />
<br />
{{theorem |type=prop |label=BN}}<br />
$(\widehat{G}_{0},\widehat{B},\phi(N))$ はTits系であり、$\Delta(G,B)\simeq \Delta(\widehat{G}_{0},\widehat{B})$ である。<br />
{{begin|proof}}<br />
<br />
{{end|proof}}<br />
<br />
==Titsの建物(Building)との関係==<br />
<br />
==Tits系の例==</div>
Gest N
https://math.jp/w/index.php?title=Tits%E7%B3%BB%E3%80%81BN%E5%AF%BE&diff=11774
Tits系、BN対
2022-09-19T01:08:42Z
<p>Gest N: /* $B$ 適応準同型、$B$-$N$ 適応準同型 */</p>
<hr />
<div><br />
<br />
{{newtheorem |type=lem |counter=0 |display=補題 }}<br />
{{newtheorem |type=thm |counter=0 |display=定理 }}<br />
{{newtheorem |type=prop |counter=0 |display=命題 }}<br />
{{newtheorem |type=def |counter=0 |display=定義 }}<br />
{{newtheorem |type=cor |counter=0 |display=系 }}<br />
{{newtheorem |type=proof |counter=0 |display=証明 }}<br />
{{newtheorem |type=rem |counter=0 |display=注 }}<br />
{{newtheorem |type=exa |counter=0 |display=例 }}<br />
{{newtheorem |type=cond |counter=0 |display=条件 }}<br />
<br />
__MATHJAX2__<br />
<br />
Tits系は代数群の構造を調べるための基本的な道具である。<br />
<br />
<br />
<noinclude><br />
{{TOC |align=right |noautonum=1 }}<!-- 右寄せ連番無し目次をここに表示 --><br />
</noinclude><br />
<br />
<br />
==定義==<br />
<br />
{{theorem |type=def |label=def}}<br />
群 $G$ の二つの部分群 $B,N$ が以下の条件を満たすとする。<br />
* (1) $G$ は $B$ と $N$ によって生成される。<br />
* (2) $B\cap N$ は $N$ の正規部分群であり、$S$ は $W=N/B\cap N$ の位数 $2$ の元からなる生成系である。<br />
* (3) 任意の $s\in S$ と $w\in W$ に対して、<br />
$$<br />
C(s)C(w)\subset C(sw)\cup C(w).<br />
$$<br />
* (4) 任意の $s\in S$ に対して、$sBs\neq B$ である。<br />
ただし、$C(w)$ は両側剰余類 $BwB$ である。このような条件を満足する四つ組 $(G,B,N,S)$ のことを'''Tits系(Tits system)'''と呼ぶ。<br />
<br />
Tits系の重要な例を一つ上げる。<br />
{{theorem |type=exa |label=GLspherical}}<br />
$G=GL_{n}(\mathbb{R})$ とし $B$ を上三角行列のなす $G$ の部分群とする。$G$ はベクトル空間 $\mathbb{R}^{n}=\mathbb{R}e_{1}\oplus \cdots \oplus \mathbb{R}e_{n}$ に自然に作用している。ただし、$e_{1},\ldots, e_{n}$ は $\mathbb{R}^{n}$ の標準基底とする。$N$ は $\mathbb{R}e_{1},\ldots,\mathbb{R}e_{n}$ を置換する $G$ の部分群とする。$N$ は 各行各列に一つだけ $0$ でない成分があり、そうでない成分が $0$ であるような行列のなす群である。$B\cap N$ は対角行列のなすトーラス<br />
$$<br />
B\cap N=\left\{<br />
\left. \left(<br />
<nowiki><br />
\begin{array}{cccc}<br />
x_{1} & 0 & \cdots & 0 \\<br />
0 & x_{2} & \cdots & 0 \\<br />
\vdots & & \ddots & \vdots \\<br />
0 & \ldots & \ldots & x_{n}<br />
\end{array}<br />
</nowiki><br />
\right)\right| x_{1},\ldots,x_{n}\in \mathbb{R}^{\times}<br />
\right\}<br />
$$<br />
であり、$N/B\cap N$ は対称群 $S_{n}$ と同型である。$S_{n}$ の位数 $2$ の元からなる生成系 $\{(i,i+1)\mathrel{\vert} i=1,\ldots,n-1\}$ のことを $S$ と置く。$(G,B,N,S)$ はTits系になる。<br />
<br />
<br />
{{theorem |type=def |label=def2}}<br />
Tits系 $(G,B,N,S)$ に対して、$B$ を含んでいるような $G$ の部分群のことを $(G,B,N,S)$ の'''標準的放物型部分群(standard parabolic subgroup)'''という。<br />
<br />
==Bruhat分解==<br />
{{theorem |type=thm |label=Bruhat-dec}}<br />
Tits系 $(G,B,N,S)$ に対して、<br />
$$<br />
G=\coprod_{w\in W}C(w)<br />
$$<br />
が成り立つ。この分解のことを $G$ の'''Bruhat分解(Bruhat decomposition)'''と呼ぶ。<br />
{{begin|proof}}<br />
合併<br />
$$<br />
\bigcup_{w\in W}C(w)<br />
$$<br />
は $B,N$ を含む群なので、これは $G$ と等しい。この分解が無縁和であることを示そう。$C(v)=C(w)$ とし、$d=\mathrm{min}\{\ell_{S}(v),\ell_{S}(w)\}$ と置く。このとき $v=w$ であることを $d$ についての帰納法で示す。$d=0$ のとき、$C(v)=C(w)=B$ であり、これは $v,w$ の代表元が $B\cap N$ に入っていることを意味するので、$v=w=1$ が言える。$d>0$ とする。一般性を失うことなく $d=\ell_{S}(w)\leq \ell_{S}(v)$ としてよく、このとき $\ell_{S}(sw)=\ell_{S}(w)-1$ となるような $s\in S$ がある。$wB\subset C(w)=C(v)$ なので <br />
$$<br />
C(sw)\subset sC(v)\subset C(sv)\cup C(v)<br />
$$<br />
である。よって、$C(sw)=C(v)$ であるかまたは $C(sw)=C(sv)$ である。前者の場合は $C(sw)=C(w)$ なので、$d-1=\mathrm{min}\{\ell_{S}(sw),\ell_{S}(w)\}<d$ から $sw=w$ が得られ、帰納法の仮定に反する。後者の場合、帰納法により、$sw=sv$ が分かる。したがって、$v=w$ を得る。<br />
{{end|proof}}<br />
<br />
<br />
{{theorem |type=prop |label=cellproduct}}<br />
任意の $w\in W$ と $s\in S$ に対して、もし $\ell(sw)=\ell(w)+1$ なら $C(s)C(w)=C(sw)$ であり $\ell(sw)=\ell(w)-1$ なら $C(s)C(w)=C(w)\cup C(sw)$ である。<br />
{{begin|proof}}<br />
$\ell(w)=0$ なら主張は自明である。$\ell(w)>0$ なら、$\ell(wt)<\ell(w)$ となる $t\in S$ がある。$\ell(sw)=\ell(w)+1$ のとき $C(s)C(w)=C(sw)$ となることをまず示そう。$w^{'}=wt$ と置く。<br />
$$<br />
\ell(w^{'})+1=\ell(w)\leq \ell(sw)=\ell(sw^{'}t)\leq \ell(sw^{'})+1<br />
$$<br />
なので帰納法の仮定から<br />
$$<br />
C(s)C(w^{'})=C(sw^{'})<br />
$$<br />
となる。$C(s)C(w)\neq C(sw)$ と仮定する。$sBw\cap C(w)\neq \phi$ なので $sBw^{'}\cap C(w)t$ も空でない。さらに $C(w)t\subset C(w)\cup C(w^{'})$ なので $sBw^{'}\cap (C(w)\cup C(w^{'}))\neq \phi$ である。$C(s)C(w^{'})=C(sw^{'})$ なので{{ref |type=thm |label=Bruhat-dec}} より $sw^{'}=w$ である。しかしこれは<br />
$$<br />
\ell(w^{'})<\ell(w)<\ell(sw)<br />
$$<br />
に矛盾する。したがって $C(s)(w)$ と $C(w)$ は交わらず、$C(s)C(w)=C(sw)$ であることが分かる。次に $\ell(sw)=\ell(w)-1$ の場合を考えよう。このとき $\ell(s(sw))=\ell(sw)+1$ なので、上で見たように<br />
$$<br />
C(s)C(sw)=C(w)<br />
$$<br />
である。このとき、<br />
\begin{align}<br />
C(s)C(w)&=C(s)C(s)C(sw) \\<br />
&=(C(s)\cup B)C(sw) \\<br />
&=C(w)\cup C(sw)<br />
\end{align}<br />
<br />
{{end|proof}}<br />
<br />
==放物型部分群==<br />
<br />
{{theorem |type=prop |label=Coxeter}}<br />
$(G,B,N,S)$ をTits系とすると、$(W,S)$ は[[Coxeter系]]になる。<br />
{{begin|proof}}<br />
$s\in S$ と $w\in W$ が $\ell(sw)=\ell(w)-1$ を満たすとする。また $s_{1},\ldots,s_{n}\in S$ を $w=s_{1}\cdots s_{n}$ が最短表示であるように選ぶ。このとき[[交換条件]]をみたすことを示そう。つまり<br />
$$<br />
sw=s_{1}\cdots \hat{s_{i}}\cdots s_{n}<br />
$$<br />
となる $i$ が存在することを示す。仮定より $C(s)C(w)=C(sw)\cup C(w)$ かつ $C(w)=C(s_{1})\cdots C(s_{n})$ が成り立つ。$1\leq i\leq n$ を $\ell(ss_{1}\cdots s_{i})<\ell(ss_{1}\cdots s_{i-1})$ となるような最小の添え字に選べば<br />
\begin{align}<br />
C(s)C(w)&=C(s)C(s_{1})\cdots C(s_{i-1})C(s_{i})\cdots C(s_{n}) \\<br />
&=C(ss_{1}\cdots s_{i-1})C(s_{i})\cdots C(s_{n}) \\<br />
&=\left(C(ss_{1}\cdots s_{i})\cup C(ss_{1}\cdots s_{i-1}) \right)C(s_{i+1})\cdots C(s_{n}) \\<br />
&\subset \bigcup \left(C(ss_{1}\cdots s_{i}s_{i_{1}}\cdots s_{i_{p}})\cup C(ss_{1}\cdots s_{i-1}s_{i_{1}}\cdots s_{i_{p}}) \right)<br />
\end{align}<br />
ここで、$i<i_{1}<\ldots <i_{p}\leq n$ を満たすような添え字を走る。$C(w)$ は最右辺に含まれるので $\ell(w)=n$ という事実と合わせて考えると $w=ss_{1}\cdots s_{i-1}s_{i+1}\cdots s_{n}$ であるかまたは $w=ss_{1}\cdots s_{i}s_{i+1}\cdots \widehat{s_{i+k}}\cdots s_{n}$ となる $k$ がある。どちらにせよ、$(W,S)$ は交換条件を満たすことが確認できる。<br />
{{end|proof}}<br />
<br />
<br />
$I$ を $S$ の部分集合とすると、$(W_{I},I)$ はCoxeter系である。$P_{I}=BW_{I}B$ は $B$ を含む $G$ の部分群になる。すなわち $P_{I}$ は標準的放物型部分群になる。逆に、$P$ が標準的放物型部分群のとき、<br />
$$<br />
W_{I}=\{w\in W\mathrel{\vert}C(w)\subset P\}<br />
$$<br />
と置くと、これは $W$ の放物型部分群であり、$I=S\cap W_{I}$ は $W_{I}$ の生成系である。つまり、$S$ の部分集合と $G$ の標準的放物型部分群は $1:1$ に対応する。$G$ の'''放物型部分群'''とは、$G$ の標準的放物型部分群と共役な群のことを意味する。$\Delta(G,B)$ を $G$ の放物型部分群全体のなす集合とする。<br />
<br />
{{theorem |type=lem |label=cell-gen}}<br />
もし $w\in W$ に対して $w=s_{1}\cdots s_{n}$ が最短表示なら $\langle C(w)\rangle=\langle C(s_{1}),\ldots,C(s_{n})\rangle=\langle B,wBw^{-1}\rangle$ が成り立つ。<br />
{{begin|proof}}<br />
$w\in C(w)$ かつ $wB\subset C(w)$ より $\langle B,wBw^{-1}\rangle\subset \langle C(w)\rangle $ が分かる。さらに$w=s_{1}\cdots s_{n}$ は最短表示なので $\langle C(s_{1}),\ldots, C(s_{n}) \rangle$ である。よって、$C(s_{1}),\ldots ,C(s_{n})\subset \langle B,wBw^{-1} \rangle$ を示せばよい。実際、$\ell(s_{1}w)<\ell(w)$ なので、$C(w)\subset C(s_{1})C(w)$ となる。特に、$w=b_{1}s_{1}b_{2}wb_{3}$ となる $b_{1},b_{2},b_{3}\in B$ が存在する。特に $s_{1}=b_{1}^{-1}wb_{3}^{-1}w^{-1}b_{2}^{-1}\in \langle B,wBw^{-1}\rangle$ となるので $\langle B,s_{1}wBw^{-1}s_{1}\rangle\subset \langle B,wBw^{-1}\rangle$ となる。さらに帰納法により、この左辺は $C(s_{2}),\ldots,C(s_{n})$ を含む。よって、<br />
$$<br />
\langle C(s_{1}),\ldots,C(s_{n})\rangle\subset \langle B,wBw^{-1}\rangle<br />
$$<br />
となる。<br />
{{end|proof}}<br />
<br />
{{theorem |type=prop |label=normal}}<br />
任意の $P\in \Delta(G,B)$ に対して $N_{G}(P)=P$ が成り立つ。 <br />
{{begin|proof}}<br />
任意の $g\in G$ に対して、$N_{G}(gPg^{-1})=gN_{G}(P)g^{-1}$ なので、$P$ は標準的であるとしてよい。$x\in N_{G}(P)$ に対し $x\in C(w)$ となるような $w\in W$ がある。この $w$ に対して$\langle B,wBw^{-1} \rangle$ は $P$ に含まれるので、$x\in C(w)\in P$ となる。したがって $N_{G}(P)=P$ が分かる。<br />
{{end|proof}}<br />
<br />
<br />
==$B$ 適応準同型、$B$-$N$ 適応準同型==<br />
<br />
$(G,B,N,S)$ をTits系とし、$\widehat{G}$ を群とする。<br />
<br />
{{theorem |type=def |label=adaptedhom}}<br />
準同型 $\phi\colon G\longrightarrow \widehat{G}$ が以下の条件を満たすとき、$\phi$ は $B$ 適応準同型であるという。<br />
*(1) ${\rm Ker}(\phi)\subset B.$<br />
*(2) 任意の $g\in \widehat{G}$ に対して $h\in G$ が存在して $\phi(hBh^{-1})=g\phi(B)g^{-1}.$<br />
この条件(2)の代わりに<br />
*(2') 任意の $g\in \widehat{G}$ に対して $h\in G$ が存在して $\phi(hBh^{-1})=g\phi(B)g^{-1}, \phi(hNh^{-1})=g\phi(N)g^{-1}.$<br />
が成り立つとき、$\phi$ は $B$-$N$ 適応準同型であるという。<br />
<br />
<br />
{{theorem |type=lem |label=normal}}<br />
$\phi$ が $B$ 適応準同型のとき、像 $\phi(G)$ は $\widehat{G}$ の正規部分群である。<br />
{{begin|proof}}<br />
$G=\bigcup_{w\in W}\langle C(w)\rangle =\bigcup_{w\in W}\langle B,wBw^{-1}\rangle$ なので、$G$ は $B$ と共役な部分群たちによって生成されている。すなわち、任意の $a\in G$ に対して有限個の $(b_{i},k_{i})\in B\times G$ があり、<br />
$$<br />
a=\prod k_{i}b_{i}k_{i}^{-1}<br />
$$ <br />
となる。任意の $g\in \widehat{G}$ に対して、$g\phi(a)g^{-1}\in \psi(G)$ を示そう。$g_{i}=g\phi(k_{i})$ と置くと、$\phi$ は $B$ 適応準同型なので、$g_{i}\phi(B)g_{i}^{-1}=\phi(h_{i}Bh_{i}^{-1})$ となる $h_{i}\in G$ が存在する。このとき、<br />
\begin{align}<br />
g^{-1}\phi(a)g&=\prod g_{i}\phi(b_{i})g_{i}^{-1} \\<br />
&=\prod \phi(h_{i}b_{i}h_{i}^{-1})\in \phi(G)<br />
\end{align}<br />
であるから、$\phi$ の像は $\widehat{G}$ の正規部分群である。<br />
{{end|proof}}<br />
<br />
<br />
$\phi$ が $B$ 適応準同型とすると $\Delta(G,B)$ への $\widehat{G}$ への作用を<br />
$$<br />
\widehat{G}\times \Delta(G,B)\longrightarrow \Delta(G,B);(g,P)\longmapsto {}^{g}P:=\phi^{-1}(\phi(g)P\phi(g^{-1}))<br />
$$<br />
と定める。$P\in \Delta(G,B)$ に対して、安定化群を ${\rm Stab}(P)=\{g\in \widehat{G}\mathrel{\vert} {}^{g}P=P\}$ と置くと $\phi^{-1}({\rm Stab}(P))=P$ である。また $B$ 適応準同型 $\phi$ は Bruhat細胞をBruhat細胞に写すので、<br />
$$<br />
\xi\colon \widehat{G}\longrightarrow \mathrm{Aut}(W,S)<br />
$$<br />
を<br />
$$<br />
\phi(C(\xi(g)w))=\phi(h)^{-1}g\phi(C(w))g^{-1}\phi(h)<br />
$$<br />
となるように定めることができる。ただし、$g\in \widehat{G}$ に対して $h\in G$ を(2)を満たすように選んでいる。<br />
$$<br />
\widehat{G}_{0}={\rm Ker}(\xi), \Xi={\rm Im}\xi<br />
$$<br />
と置く。<br />
<br />
{{theorem |type=lem |label=stab}}<br />
$\phi$ が $B$ 適応準同型なら $\phi(G)\subset \widehat{G}_{0}$ かつ $\widehat{G}=\widehat{G}_{0}.{\rm Stab}(B)$ である。<br />
{{begin|proof}}<br />
任意の $g\in \widehat{G}$ に対して $h\in G$ を $\phi(hBh^{-1})=g\phi(B)g^{-1}$ となるよう取れば、$\phi(h^{-1})g\in {\rm Stab}(B)$ である。よって $\widehat{G}=\widehat{G}_{0}.{\rm Stab}(B)$ である。<br />
<br />
{{end|proof}}<br />
<br />
==Titsの建物(Building)との関係==<br />
<br />
==Tits系の例==</div>
Gest N
https://math.jp/w/index.php?title=Tits%E7%B3%BB%E3%80%81BN%E5%AF%BE&diff=11773
Tits系、BN対
2022-09-19T00:59:50Z
<p>Gest N: /* $B$ 適応準同型、$B$-$N$ 適応準同型 */</p>
<hr />
<div><br />
<br />
{{newtheorem |type=lem |counter=0 |display=補題 }}<br />
{{newtheorem |type=thm |counter=0 |display=定理 }}<br />
{{newtheorem |type=prop |counter=0 |display=命題 }}<br />
{{newtheorem |type=def |counter=0 |display=定義 }}<br />
{{newtheorem |type=cor |counter=0 |display=系 }}<br />
{{newtheorem |type=proof |counter=0 |display=証明 }}<br />
{{newtheorem |type=rem |counter=0 |display=注 }}<br />
{{newtheorem |type=exa |counter=0 |display=例 }}<br />
{{newtheorem |type=cond |counter=0 |display=条件 }}<br />
<br />
__MATHJAX2__<br />
<br />
Tits系は代数群の構造を調べるための基本的な道具である。<br />
<br />
<br />
<noinclude><br />
{{TOC |align=right |noautonum=1 }}<!-- 右寄せ連番無し目次をここに表示 --><br />
</noinclude><br />
<br />
<br />
==定義==<br />
<br />
{{theorem |type=def |label=def}}<br />
群 $G$ の二つの部分群 $B,N$ が以下の条件を満たすとする。<br />
* (1) $G$ は $B$ と $N$ によって生成される。<br />
* (2) $B\cap N$ は $N$ の正規部分群であり、$S$ は $W=N/B\cap N$ の位数 $2$ の元からなる生成系である。<br />
* (3) 任意の $s\in S$ と $w\in W$ に対して、<br />
$$<br />
C(s)C(w)\subset C(sw)\cup C(w).<br />
$$<br />
* (4) 任意の $s\in S$ に対して、$sBs\neq B$ である。<br />
ただし、$C(w)$ は両側剰余類 $BwB$ である。このような条件を満足する四つ組 $(G,B,N,S)$ のことを'''Tits系(Tits system)'''と呼ぶ。<br />
<br />
Tits系の重要な例を一つ上げる。<br />
{{theorem |type=exa |label=GLspherical}}<br />
$G=GL_{n}(\mathbb{R})$ とし $B$ を上三角行列のなす $G$ の部分群とする。$G$ はベクトル空間 $\mathbb{R}^{n}=\mathbb{R}e_{1}\oplus \cdots \oplus \mathbb{R}e_{n}$ に自然に作用している。ただし、$e_{1},\ldots, e_{n}$ は $\mathbb{R}^{n}$ の標準基底とする。$N$ は $\mathbb{R}e_{1},\ldots,\mathbb{R}e_{n}$ を置換する $G$ の部分群とする。$N$ は 各行各列に一つだけ $0$ でない成分があり、そうでない成分が $0$ であるような行列のなす群である。$B\cap N$ は対角行列のなすトーラス<br />
$$<br />
B\cap N=\left\{<br />
\left. \left(<br />
<nowiki><br />
\begin{array}{cccc}<br />
x_{1} & 0 & \cdots & 0 \\<br />
0 & x_{2} & \cdots & 0 \\<br />
\vdots & & \ddots & \vdots \\<br />
0 & \ldots & \ldots & x_{n}<br />
\end{array}<br />
</nowiki><br />
\right)\right| x_{1},\ldots,x_{n}\in \mathbb{R}^{\times}<br />
\right\}<br />
$$<br />
であり、$N/B\cap N$ は対称群 $S_{n}$ と同型である。$S_{n}$ の位数 $2$ の元からなる生成系 $\{(i,i+1)\mathrel{\vert} i=1,\ldots,n-1\}$ のことを $S$ と置く。$(G,B,N,S)$ はTits系になる。<br />
<br />
<br />
{{theorem |type=def |label=def2}}<br />
Tits系 $(G,B,N,S)$ に対して、$B$ を含んでいるような $G$ の部分群のことを $(G,B,N,S)$ の'''標準的放物型部分群(standard parabolic subgroup)'''という。<br />
<br />
==Bruhat分解==<br />
{{theorem |type=thm |label=Bruhat-dec}}<br />
Tits系 $(G,B,N,S)$ に対して、<br />
$$<br />
G=\coprod_{w\in W}C(w)<br />
$$<br />
が成り立つ。この分解のことを $G$ の'''Bruhat分解(Bruhat decomposition)'''と呼ぶ。<br />
{{begin|proof}}<br />
合併<br />
$$<br />
\bigcup_{w\in W}C(w)<br />
$$<br />
は $B,N$ を含む群なので、これは $G$ と等しい。この分解が無縁和であることを示そう。$C(v)=C(w)$ とし、$d=\mathrm{min}\{\ell_{S}(v),\ell_{S}(w)\}$ と置く。このとき $v=w$ であることを $d$ についての帰納法で示す。$d=0$ のとき、$C(v)=C(w)=B$ であり、これは $v,w$ の代表元が $B\cap N$ に入っていることを意味するので、$v=w=1$ が言える。$d>0$ とする。一般性を失うことなく $d=\ell_{S}(w)\leq \ell_{S}(v)$ としてよく、このとき $\ell_{S}(sw)=\ell_{S}(w)-1$ となるような $s\in S$ がある。$wB\subset C(w)=C(v)$ なので <br />
$$<br />
C(sw)\subset sC(v)\subset C(sv)\cup C(v)<br />
$$<br />
である。よって、$C(sw)=C(v)$ であるかまたは $C(sw)=C(sv)$ である。前者の場合は $C(sw)=C(w)$ なので、$d-1=\mathrm{min}\{\ell_{S}(sw),\ell_{S}(w)\}<d$ から $sw=w$ が得られ、帰納法の仮定に反する。後者の場合、帰納法により、$sw=sv$ が分かる。したがって、$v=w$ を得る。<br />
{{end|proof}}<br />
<br />
<br />
{{theorem |type=prop |label=cellproduct}}<br />
任意の $w\in W$ と $s\in S$ に対して、もし $\ell(sw)=\ell(w)+1$ なら $C(s)C(w)=C(sw)$ であり $\ell(sw)=\ell(w)-1$ なら $C(s)C(w)=C(w)\cup C(sw)$ である。<br />
{{begin|proof}}<br />
$\ell(w)=0$ なら主張は自明である。$\ell(w)>0$ なら、$\ell(wt)<\ell(w)$ となる $t\in S$ がある。$\ell(sw)=\ell(w)+1$ のとき $C(s)C(w)=C(sw)$ となることをまず示そう。$w^{'}=wt$ と置く。<br />
$$<br />
\ell(w^{'})+1=\ell(w)\leq \ell(sw)=\ell(sw^{'}t)\leq \ell(sw^{'})+1<br />
$$<br />
なので帰納法の仮定から<br />
$$<br />
C(s)C(w^{'})=C(sw^{'})<br />
$$<br />
となる。$C(s)C(w)\neq C(sw)$ と仮定する。$sBw\cap C(w)\neq \phi$ なので $sBw^{'}\cap C(w)t$ も空でない。さらに $C(w)t\subset C(w)\cup C(w^{'})$ なので $sBw^{'}\cap (C(w)\cup C(w^{'}))\neq \phi$ である。$C(s)C(w^{'})=C(sw^{'})$ なので{{ref |type=thm |label=Bruhat-dec}} より $sw^{'}=w$ である。しかしこれは<br />
$$<br />
\ell(w^{'})<\ell(w)<\ell(sw)<br />
$$<br />
に矛盾する。したがって $C(s)(w)$ と $C(w)$ は交わらず、$C(s)C(w)=C(sw)$ であることが分かる。次に $\ell(sw)=\ell(w)-1$ の場合を考えよう。このとき $\ell(s(sw))=\ell(sw)+1$ なので、上で見たように<br />
$$<br />
C(s)C(sw)=C(w)<br />
$$<br />
である。このとき、<br />
\begin{align}<br />
C(s)C(w)&=C(s)C(s)C(sw) \\<br />
&=(C(s)\cup B)C(sw) \\<br />
&=C(w)\cup C(sw)<br />
\end{align}<br />
<br />
{{end|proof}}<br />
<br />
==放物型部分群==<br />
<br />
{{theorem |type=prop |label=Coxeter}}<br />
$(G,B,N,S)$ をTits系とすると、$(W,S)$ は[[Coxeter系]]になる。<br />
{{begin|proof}}<br />
$s\in S$ と $w\in W$ が $\ell(sw)=\ell(w)-1$ を満たすとする。また $s_{1},\ldots,s_{n}\in S$ を $w=s_{1}\cdots s_{n}$ が最短表示であるように選ぶ。このとき[[交換条件]]をみたすことを示そう。つまり<br />
$$<br />
sw=s_{1}\cdots \hat{s_{i}}\cdots s_{n}<br />
$$<br />
となる $i$ が存在することを示す。仮定より $C(s)C(w)=C(sw)\cup C(w)$ かつ $C(w)=C(s_{1})\cdots C(s_{n})$ が成り立つ。$1\leq i\leq n$ を $\ell(ss_{1}\cdots s_{i})<\ell(ss_{1}\cdots s_{i-1})$ となるような最小の添え字に選べば<br />
\begin{align}<br />
C(s)C(w)&=C(s)C(s_{1})\cdots C(s_{i-1})C(s_{i})\cdots C(s_{n}) \\<br />
&=C(ss_{1}\cdots s_{i-1})C(s_{i})\cdots C(s_{n}) \\<br />
&=\left(C(ss_{1}\cdots s_{i})\cup C(ss_{1}\cdots s_{i-1}) \right)C(s_{i+1})\cdots C(s_{n}) \\<br />
&\subset \bigcup \left(C(ss_{1}\cdots s_{i}s_{i_{1}}\cdots s_{i_{p}})\cup C(ss_{1}\cdots s_{i-1}s_{i_{1}}\cdots s_{i_{p}}) \right)<br />
\end{align}<br />
ここで、$i<i_{1}<\ldots <i_{p}\leq n$ を満たすような添え字を走る。$C(w)$ は最右辺に含まれるので $\ell(w)=n$ という事実と合わせて考えると $w=ss_{1}\cdots s_{i-1}s_{i+1}\cdots s_{n}$ であるかまたは $w=ss_{1}\cdots s_{i}s_{i+1}\cdots \widehat{s_{i+k}}\cdots s_{n}$ となる $k$ がある。どちらにせよ、$(W,S)$ は交換条件を満たすことが確認できる。<br />
{{end|proof}}<br />
<br />
<br />
$I$ を $S$ の部分集合とすると、$(W_{I},I)$ はCoxeter系である。$P_{I}=BW_{I}B$ は $B$ を含む $G$ の部分群になる。すなわち $P_{I}$ は標準的放物型部分群になる。逆に、$P$ が標準的放物型部分群のとき、<br />
$$<br />
W_{I}=\{w\in W\mathrel{\vert}C(w)\subset P\}<br />
$$<br />
と置くと、これは $W$ の放物型部分群であり、$I=S\cap W_{I}$ は $W_{I}$ の生成系である。つまり、$S$ の部分集合と $G$ の標準的放物型部分群は $1:1$ に対応する。$G$ の'''放物型部分群'''とは、$G$ の標準的放物型部分群と共役な群のことを意味する。$\Delta(G,B)$ を $G$ の放物型部分群全体のなす集合とする。<br />
<br />
{{theorem |type=lem |label=cell-gen}}<br />
もし $w\in W$ に対して $w=s_{1}\cdots s_{n}$ が最短表示なら $\langle C(w)\rangle=\langle C(s_{1}),\ldots,C(s_{n})\rangle=\langle B,wBw^{-1}\rangle$ が成り立つ。<br />
{{begin|proof}}<br />
$w\in C(w)$ かつ $wB\subset C(w)$ より $\langle B,wBw^{-1}\rangle\subset \langle C(w)\rangle $ が分かる。さらに$w=s_{1}\cdots s_{n}$ は最短表示なので $\langle C(s_{1}),\ldots, C(s_{n}) \rangle$ である。よって、$C(s_{1}),\ldots ,C(s_{n})\subset \langle B,wBw^{-1} \rangle$ を示せばよい。実際、$\ell(s_{1}w)<\ell(w)$ なので、$C(w)\subset C(s_{1})C(w)$ となる。特に、$w=b_{1}s_{1}b_{2}wb_{3}$ となる $b_{1},b_{2},b_{3}\in B$ が存在する。特に $s_{1}=b_{1}^{-1}wb_{3}^{-1}w^{-1}b_{2}^{-1}\in \langle B,wBw^{-1}\rangle$ となるので $\langle B,s_{1}wBw^{-1}s_{1}\rangle\subset \langle B,wBw^{-1}\rangle$ となる。さらに帰納法により、この左辺は $C(s_{2}),\ldots,C(s_{n})$ を含む。よって、<br />
$$<br />
\langle C(s_{1}),\ldots,C(s_{n})\rangle\subset \langle B,wBw^{-1}\rangle<br />
$$<br />
となる。<br />
{{end|proof}}<br />
<br />
{{theorem |type=prop |label=normal}}<br />
任意の $P\in \Delta(G,B)$ に対して $N_{G}(P)=P$ が成り立つ。 <br />
{{begin|proof}}<br />
任意の $g\in G$ に対して、$N_{G}(gPg^{-1})=gN_{G}(P)g^{-1}$ なので、$P$ は標準的であるとしてよい。$x\in N_{G}(P)$ に対し $x\in C(w)$ となるような $w\in W$ がある。この $w$ に対して$\langle B,wBw^{-1} \rangle$ は $P$ に含まれるので、$x\in C(w)\in P$ となる。したがって $N_{G}(P)=P$ が分かる。<br />
{{end|proof}}<br />
<br />
<br />
==$B$ 適応準同型、$B$-$N$ 適応準同型==<br />
<br />
$(G,B,N,S)$ をTits系とし、$\widehat{G}$ を群とする。<br />
<br />
{{theorem |type=def |label=adaptedhom}}<br />
準同型 $\phi\colon G\longrightarrow \widehat{G}$ が以下の条件を満たすとき、$\phi$ は $B$ 適応準同型であるという。<br />
*(1) ${\rm Ker}(\phi)\subset B.$<br />
*(2) 任意の $g\in \widehat{G}$ に対して $h\in G$ が存在して $\phi(hBh^{-1})=g\phi(B)g^{-1}.$<br />
この条件(2)の代わりに<br />
*(2') 任意の $g\in \widehat{G}$ に対して $h\in G$ が存在して $\phi(hBh^{-1})=g\phi(B)g^{-1}, \phi(hNh^{-1})=g\phi(N)g^{-1}.$<br />
が成り立つとき、$\phi$ は $B$-$N$ 適応準同型であるという。<br />
<br />
<br />
{{theorem |type=lem |label=normal}}<br />
$\phi$ が $B$ 適応準同型のとき、像 $\phi(G)$ は $\widehat{G}$ の正規部分群である。<br />
{{begin|proof}}<br />
$G=\bigcup_{w\in W}\langle C(w)\rangle =\bigcup_{w\in W}\langle B,wBw^{-1}\rangle$ なので、$G$ は $B$ と共役な部分群たちによって生成されている。すなわち、任意の $a\in G$ に対して有限個の $(b_{i},k_{i})\in B\times G$ があり、<br />
$$<br />
a=\prod k_{i}b_{i}k_{i}^{-1}<br />
$$ <br />
となる。任意の $g\in \widehat{G}$ に対して、$g\phi(a)g^{-1}\in \psi(G)$ を示そう。$g_{i}=g\phi(k_{i})$ と置くと、$\phi$ は $B$ 適応準同型なので、$g_{i}\phi(B)g_{i}^{-1}=\phi(h_{i}Bh_{i}^{-1})$ となる $h_{i}\in G$ が存在する。このとき、<br />
\begin{align}<br />
g^{-1}\phi(a)g&=\prod g_{i}\phi(b_{i})g_{i}^{-1} \\<br />
&=\prod \phi(h_{i}b_{i}h_{i}^{-1})\in \phi(G)<br />
\end{align}<br />
であるから、$\phi$ の像は $\widehat{G}$ の正規部分群である。<br />
{{end|proof}}<br />
<br />
<br />
$\phi$ が $B$ 適応準同型とすると $\Delta(G,B)$ への $\widehat{G}$ への作用を<br />
$$<br />
\widehat{G}\times \Delta(G,B)\longrightarrow \Delta(G,B);(g,P)\longmapsto {}^{g}P:=\phi^{-1}(\phi(g)P\phi(g^{-1}))<br />
$$<br />
と定める。$P\in \Delta(G,B)$ に対して、安定化群を ${\rm Stab}(P)=\{g\in \widehat{G}\mathrel{\vert} {}^{g}P=P\}$ と置くと $\phi^{-1}({\rm Stab}(P))=P$ である。また $B$ 適応準同型 $\phi$ は Bruhat細胞をBruhat細胞に写すので、<br />
$$<br />
\xi\colon \widehat{G}\longrightarrow \mathrm{Aut}(W,S)<br />
$$<br />
を<br />
$$<br />
\phi(C(\xi(g)w))=\phi(h)^{-1}g\phi(C(w))g^{-1}\phi(h)<br />
$$<br />
となるように定めることができる。ただし、$g\in \widehat{G}$ に対して $h\in G$ を(2)を満たすように選んでいる。<br />
$$<br />
\widehat{G}_{0}={\rm Ker}(\xi), \Xi={\rm Im}\xi<br />
$$<br />
と置く。<br />
<br />
{{theorem |type=lem |label=stab}}<br />
$\phi(G)\subset \widehat{G}_{0}$ かつ $\widehat{G}=\widehat{G}_{0}.{\rm Stab}(B)$ である。<br />
{{begin|proof}}<br />
<br />
{{end|proof}}<br />
<br />
==Titsの建物(Building)との関係==<br />
<br />
==Tits系の例==</div>
Gest N
https://math.jp/w/index.php?title=Tits%E7%B3%BB%E3%80%81BN%E5%AF%BE&diff=11772
Tits系、BN対
2022-09-19T00:59:22Z
<p>Gest N: /* $B$ 適応準同型、$B$-$N$ 適応準同型 */</p>
<hr />
<div><br />
<br />
{{newtheorem |type=lem |counter=0 |display=補題 }}<br />
{{newtheorem |type=thm |counter=0 |display=定理 }}<br />
{{newtheorem |type=prop |counter=0 |display=命題 }}<br />
{{newtheorem |type=def |counter=0 |display=定義 }}<br />
{{newtheorem |type=cor |counter=0 |display=系 }}<br />
{{newtheorem |type=proof |counter=0 |display=証明 }}<br />
{{newtheorem |type=rem |counter=0 |display=注 }}<br />
{{newtheorem |type=exa |counter=0 |display=例 }}<br />
{{newtheorem |type=cond |counter=0 |display=条件 }}<br />
<br />
__MATHJAX2__<br />
<br />
Tits系は代数群の構造を調べるための基本的な道具である。<br />
<br />
<br />
<noinclude><br />
{{TOC |align=right |noautonum=1 }}<!-- 右寄せ連番無し目次をここに表示 --><br />
</noinclude><br />
<br />
<br />
==定義==<br />
<br />
{{theorem |type=def |label=def}}<br />
群 $G$ の二つの部分群 $B,N$ が以下の条件を満たすとする。<br />
* (1) $G$ は $B$ と $N$ によって生成される。<br />
* (2) $B\cap N$ は $N$ の正規部分群であり、$S$ は $W=N/B\cap N$ の位数 $2$ の元からなる生成系である。<br />
* (3) 任意の $s\in S$ と $w\in W$ に対して、<br />
$$<br />
C(s)C(w)\subset C(sw)\cup C(w).<br />
$$<br />
* (4) 任意の $s\in S$ に対して、$sBs\neq B$ である。<br />
ただし、$C(w)$ は両側剰余類 $BwB$ である。このような条件を満足する四つ組 $(G,B,N,S)$ のことを'''Tits系(Tits system)'''と呼ぶ。<br />
<br />
Tits系の重要な例を一つ上げる。<br />
{{theorem |type=exa |label=GLspherical}}<br />
$G=GL_{n}(\mathbb{R})$ とし $B$ を上三角行列のなす $G$ の部分群とする。$G$ はベクトル空間 $\mathbb{R}^{n}=\mathbb{R}e_{1}\oplus \cdots \oplus \mathbb{R}e_{n}$ に自然に作用している。ただし、$e_{1},\ldots, e_{n}$ は $\mathbb{R}^{n}$ の標準基底とする。$N$ は $\mathbb{R}e_{1},\ldots,\mathbb{R}e_{n}$ を置換する $G$ の部分群とする。$N$ は 各行各列に一つだけ $0$ でない成分があり、そうでない成分が $0$ であるような行列のなす群である。$B\cap N$ は対角行列のなすトーラス<br />
$$<br />
B\cap N=\left\{<br />
\left. \left(<br />
<nowiki><br />
\begin{array}{cccc}<br />
x_{1} & 0 & \cdots & 0 \\<br />
0 & x_{2} & \cdots & 0 \\<br />
\vdots & & \ddots & \vdots \\<br />
0 & \ldots & \ldots & x_{n}<br />
\end{array}<br />
</nowiki><br />
\right)\right| x_{1},\ldots,x_{n}\in \mathbb{R}^{\times}<br />
\right\}<br />
$$<br />
であり、$N/B\cap N$ は対称群 $S_{n}$ と同型である。$S_{n}$ の位数 $2$ の元からなる生成系 $\{(i,i+1)\mathrel{\vert} i=1,\ldots,n-1\}$ のことを $S$ と置く。$(G,B,N,S)$ はTits系になる。<br />
<br />
<br />
{{theorem |type=def |label=def2}}<br />
Tits系 $(G,B,N,S)$ に対して、$B$ を含んでいるような $G$ の部分群のことを $(G,B,N,S)$ の'''標準的放物型部分群(standard parabolic subgroup)'''という。<br />
<br />
==Bruhat分解==<br />
{{theorem |type=thm |label=Bruhat-dec}}<br />
Tits系 $(G,B,N,S)$ に対して、<br />
$$<br />
G=\coprod_{w\in W}C(w)<br />
$$<br />
が成り立つ。この分解のことを $G$ の'''Bruhat分解(Bruhat decomposition)'''と呼ぶ。<br />
{{begin|proof}}<br />
合併<br />
$$<br />
\bigcup_{w\in W}C(w)<br />
$$<br />
は $B,N$ を含む群なので、これは $G$ と等しい。この分解が無縁和であることを示そう。$C(v)=C(w)$ とし、$d=\mathrm{min}\{\ell_{S}(v),\ell_{S}(w)\}$ と置く。このとき $v=w$ であることを $d$ についての帰納法で示す。$d=0$ のとき、$C(v)=C(w)=B$ であり、これは $v,w$ の代表元が $B\cap N$ に入っていることを意味するので、$v=w=1$ が言える。$d>0$ とする。一般性を失うことなく $d=\ell_{S}(w)\leq \ell_{S}(v)$ としてよく、このとき $\ell_{S}(sw)=\ell_{S}(w)-1$ となるような $s\in S$ がある。$wB\subset C(w)=C(v)$ なので <br />
$$<br />
C(sw)\subset sC(v)\subset C(sv)\cup C(v)<br />
$$<br />
である。よって、$C(sw)=C(v)$ であるかまたは $C(sw)=C(sv)$ である。前者の場合は $C(sw)=C(w)$ なので、$d-1=\mathrm{min}\{\ell_{S}(sw),\ell_{S}(w)\}<d$ から $sw=w$ が得られ、帰納法の仮定に反する。後者の場合、帰納法により、$sw=sv$ が分かる。したがって、$v=w$ を得る。<br />
{{end|proof}}<br />
<br />
<br />
{{theorem |type=prop |label=cellproduct}}<br />
任意の $w\in W$ と $s\in S$ に対して、もし $\ell(sw)=\ell(w)+1$ なら $C(s)C(w)=C(sw)$ であり $\ell(sw)=\ell(w)-1$ なら $C(s)C(w)=C(w)\cup C(sw)$ である。<br />
{{begin|proof}}<br />
$\ell(w)=0$ なら主張は自明である。$\ell(w)>0$ なら、$\ell(wt)<\ell(w)$ となる $t\in S$ がある。$\ell(sw)=\ell(w)+1$ のとき $C(s)C(w)=C(sw)$ となることをまず示そう。$w^{'}=wt$ と置く。<br />
$$<br />
\ell(w^{'})+1=\ell(w)\leq \ell(sw)=\ell(sw^{'}t)\leq \ell(sw^{'})+1<br />
$$<br />
なので帰納法の仮定から<br />
$$<br />
C(s)C(w^{'})=C(sw^{'})<br />
$$<br />
となる。$C(s)C(w)\neq C(sw)$ と仮定する。$sBw\cap C(w)\neq \phi$ なので $sBw^{'}\cap C(w)t$ も空でない。さらに $C(w)t\subset C(w)\cup C(w^{'})$ なので $sBw^{'}\cap (C(w)\cup C(w^{'}))\neq \phi$ である。$C(s)C(w^{'})=C(sw^{'})$ なので{{ref |type=thm |label=Bruhat-dec}} より $sw^{'}=w$ である。しかしこれは<br />
$$<br />
\ell(w^{'})<\ell(w)<\ell(sw)<br />
$$<br />
に矛盾する。したがって $C(s)(w)$ と $C(w)$ は交わらず、$C(s)C(w)=C(sw)$ であることが分かる。次に $\ell(sw)=\ell(w)-1$ の場合を考えよう。このとき $\ell(s(sw))=\ell(sw)+1$ なので、上で見たように<br />
$$<br />
C(s)C(sw)=C(w)<br />
$$<br />
である。このとき、<br />
\begin{align}<br />
C(s)C(w)&=C(s)C(s)C(sw) \\<br />
&=(C(s)\cup B)C(sw) \\<br />
&=C(w)\cup C(sw)<br />
\end{align}<br />
<br />
{{end|proof}}<br />
<br />
==放物型部分群==<br />
<br />
{{theorem |type=prop |label=Coxeter}}<br />
$(G,B,N,S)$ をTits系とすると、$(W,S)$ は[[Coxeter系]]になる。<br />
{{begin|proof}}<br />
$s\in S$ と $w\in W$ が $\ell(sw)=\ell(w)-1$ を満たすとする。また $s_{1},\ldots,s_{n}\in S$ を $w=s_{1}\cdots s_{n}$ が最短表示であるように選ぶ。このとき[[交換条件]]をみたすことを示そう。つまり<br />
$$<br />
sw=s_{1}\cdots \hat{s_{i}}\cdots s_{n}<br />
$$<br />
となる $i$ が存在することを示す。仮定より $C(s)C(w)=C(sw)\cup C(w)$ かつ $C(w)=C(s_{1})\cdots C(s_{n})$ が成り立つ。$1\leq i\leq n$ を $\ell(ss_{1}\cdots s_{i})<\ell(ss_{1}\cdots s_{i-1})$ となるような最小の添え字に選べば<br />
\begin{align}<br />
C(s)C(w)&=C(s)C(s_{1})\cdots C(s_{i-1})C(s_{i})\cdots C(s_{n}) \\<br />
&=C(ss_{1}\cdots s_{i-1})C(s_{i})\cdots C(s_{n}) \\<br />
&=\left(C(ss_{1}\cdots s_{i})\cup C(ss_{1}\cdots s_{i-1}) \right)C(s_{i+1})\cdots C(s_{n}) \\<br />
&\subset \bigcup \left(C(ss_{1}\cdots s_{i}s_{i_{1}}\cdots s_{i_{p}})\cup C(ss_{1}\cdots s_{i-1}s_{i_{1}}\cdots s_{i_{p}}) \right)<br />
\end{align}<br />
ここで、$i<i_{1}<\ldots <i_{p}\leq n$ を満たすような添え字を走る。$C(w)$ は最右辺に含まれるので $\ell(w)=n$ という事実と合わせて考えると $w=ss_{1}\cdots s_{i-1}s_{i+1}\cdots s_{n}$ であるかまたは $w=ss_{1}\cdots s_{i}s_{i+1}\cdots \widehat{s_{i+k}}\cdots s_{n}$ となる $k$ がある。どちらにせよ、$(W,S)$ は交換条件を満たすことが確認できる。<br />
{{end|proof}}<br />
<br />
<br />
$I$ を $S$ の部分集合とすると、$(W_{I},I)$ はCoxeter系である。$P_{I}=BW_{I}B$ は $B$ を含む $G$ の部分群になる。すなわち $P_{I}$ は標準的放物型部分群になる。逆に、$P$ が標準的放物型部分群のとき、<br />
$$<br />
W_{I}=\{w\in W\mathrel{\vert}C(w)\subset P\}<br />
$$<br />
と置くと、これは $W$ の放物型部分群であり、$I=S\cap W_{I}$ は $W_{I}$ の生成系である。つまり、$S$ の部分集合と $G$ の標準的放物型部分群は $1:1$ に対応する。$G$ の'''放物型部分群'''とは、$G$ の標準的放物型部分群と共役な群のことを意味する。$\Delta(G,B)$ を $G$ の放物型部分群全体のなす集合とする。<br />
<br />
{{theorem |type=lem |label=cell-gen}}<br />
もし $w\in W$ に対して $w=s_{1}\cdots s_{n}$ が最短表示なら $\langle C(w)\rangle=\langle C(s_{1}),\ldots,C(s_{n})\rangle=\langle B,wBw^{-1}\rangle$ が成り立つ。<br />
{{begin|proof}}<br />
$w\in C(w)$ かつ $wB\subset C(w)$ より $\langle B,wBw^{-1}\rangle\subset \langle C(w)\rangle $ が分かる。さらに$w=s_{1}\cdots s_{n}$ は最短表示なので $\langle C(s_{1}),\ldots, C(s_{n}) \rangle$ である。よって、$C(s_{1}),\ldots ,C(s_{n})\subset \langle B,wBw^{-1} \rangle$ を示せばよい。実際、$\ell(s_{1}w)<\ell(w)$ なので、$C(w)\subset C(s_{1})C(w)$ となる。特に、$w=b_{1}s_{1}b_{2}wb_{3}$ となる $b_{1},b_{2},b_{3}\in B$ が存在する。特に $s_{1}=b_{1}^{-1}wb_{3}^{-1}w^{-1}b_{2}^{-1}\in \langle B,wBw^{-1}\rangle$ となるので $\langle B,s_{1}wBw^{-1}s_{1}\rangle\subset \langle B,wBw^{-1}\rangle$ となる。さらに帰納法により、この左辺は $C(s_{2}),\ldots,C(s_{n})$ を含む。よって、<br />
$$<br />
\langle C(s_{1}),\ldots,C(s_{n})\rangle\subset \langle B,wBw^{-1}\rangle<br />
$$<br />
となる。<br />
{{end|proof}}<br />
<br />
{{theorem |type=prop |label=normal}}<br />
任意の $P\in \Delta(G,B)$ に対して $N_{G}(P)=P$ が成り立つ。 <br />
{{begin|proof}}<br />
任意の $g\in G$ に対して、$N_{G}(gPg^{-1})=gN_{G}(P)g^{-1}$ なので、$P$ は標準的であるとしてよい。$x\in N_{G}(P)$ に対し $x\in C(w)$ となるような $w\in W$ がある。この $w$ に対して$\langle B,wBw^{-1} \rangle$ は $P$ に含まれるので、$x\in C(w)\in P$ となる。したがって $N_{G}(P)=P$ が分かる。<br />
{{end|proof}}<br />
<br />
<br />
==$B$ 適応準同型、$B$-$N$ 適応準同型==<br />
<br />
$(G,B,N,S)$ をTits系とし、$\widehat{G}$ を群とする。<br />
<br />
{{theorem |type=def |label=adaptedhom}}<br />
準同型 $\phi\colon G\longrightarrow \widehat{G}$ が以下の条件を満たすとき、$\phi$ は $B$ 適応準同型であるという。<br />
*(1) ${\rm Ker}(\phi)\subset B.$<br />
*(2) 任意の $g\in \widehat{G}$ に対して $h\in G$ が存在して $\phi(hBh^{-1})=g\phi(B)g^{-1}.$<br />
この条件(2)の代わりに<br />
*(2') 任意の $g\in \widehat{G}$ に対して $h\in G$ が存在して $\phi(hBh^{-1})=g\phi(B)g^{-1}, \phi(hNh^{-1})=g\phi(N)g^{-1}.$<br />
が成り立つとき、$\phi$ は $B$-$N$ 適応準同型であるという。<br />
<br />
<br />
{{theorem |type=lem |label=normal}}<br />
$\phi$ が $B$ 適応準同型のとき、像 $\phi(G)$ は $\widehat{G}$ の正規部分群である。<br />
{{begin|proof}}<br />
$G=\bigcup_{w\in W}\langle C(w)\rangle =\bigcup_{w\in W}\langle B,wBw^{-1}\rangle$ なので、$G$ は $B$ と共役な部分群たちによって生成されている。すなわち、任意の $a\in G$ に対して有限個の $(b_{i},k_{i})\in B\times G$ があり、<br />
$$<br />
a=\prod k_{i}b_{i}k_{i}^{-1}<br />
$$ <br />
となる。任意の $g\in \widehat{G}$ に対して、$g\phi(a)g^{-1}\in \psi(G)$ を示そう。$g_{i}=g\phi(k_{i})$ と置くと、$\phi$ は $B$ 適応準同型なので、$g_{i}\phi(B)g_{i}^{-1}=\phi(h_{i}Bh_{i}^{-1})$ となる $h_{i}\in G$ が存在する。このとき、<br />
\begin{align}<br />
g^{-1}\phi(a)g&=\prod g_{i}\phi(b_{i})g_{i}^{-1} \\<br />
&=\prod \phi(h_{i}b_{i}h_{i}^{-1})\in \phi(G)<br />
\end{align}<br />
であるから、$\phi$ の像は $\widehat{G}$ の正規部分群である。<br />
{{end|proof}}<br />
<br />
<br />
$\phi$ が $B$ 適応準同型とすると $\Delta(G,B)$ への $\widehat{G}$ への作用を<br />
$$<br />
\widehat{G}\times \Delta(G,B)\longrightarrow \Delta(G,B);(g,P)\longmapsto {}^{g}P:=\phi^{-1}(\phi(g)P\phi(g^{-1}))<br />
$$<br />
と定める。$P\in \Delta(G,B)$ に対して、安定化群を ${\rm Stab}(P)=\{g\in \widehat{G}\mathrel{\vert} {}^{g}P=P\}$ と置くと $\phi^{-1}({\rm Stab}(P))=P$ である。また $B$ 適応準同型 $\phi$ は Bruhat細胞をBruhat細胞に写すので、<br />
$$<br />
\xi\colon \widehat{G}\longrightarrow \mathrm{Aut}(W,S)<br />
$$<br />
を<br />
$$<br />
\phi(C(\xi(g)w))=\phi(h)^{-1}g\phi(C(w))g^{-1}\phi(h)<br />
$$<br />
となるように定めることができる。ただし、$g\in \widehat{G}$ に対して $h\in G$ を(2)を満たすように選んでいる。<br />
$$<br />
\widehat{G}_{0}={\rm Ker}(\xi), \Xi={\rm Im}\xi<br />
$$<br />
と置く。<br />
<br />
{{theorem |type=lem |label=stab}}<br />
$\phi(G)\subset \widehat{G}_{0}$ かつ $\widehat{G}=\widehat{G}_{0}\dot{\rm Stab}(B)$ である。<br />
{{begin|proof}}<br />
<br />
{{end|proof}}<br />
<br />
==Titsの建物(Building)との関係==<br />
<br />
==Tits系の例==</div>
Gest N
https://math.jp/w/index.php?title=Tits%E7%B3%BB%E3%80%81BN%E5%AF%BE&diff=11771
Tits系、BN対
2022-09-19T00:58:41Z
<p>Gest N: /* $B$ 適応準同型、$B$-$N$ 適応準同型 */</p>
<hr />
<div><br />
<br />
{{newtheorem |type=lem |counter=0 |display=補題 }}<br />
{{newtheorem |type=thm |counter=0 |display=定理 }}<br />
{{newtheorem |type=prop |counter=0 |display=命題 }}<br />
{{newtheorem |type=def |counter=0 |display=定義 }}<br />
{{newtheorem |type=cor |counter=0 |display=系 }}<br />
{{newtheorem |type=proof |counter=0 |display=証明 }}<br />
{{newtheorem |type=rem |counter=0 |display=注 }}<br />
{{newtheorem |type=exa |counter=0 |display=例 }}<br />
{{newtheorem |type=cond |counter=0 |display=条件 }}<br />
<br />
__MATHJAX2__<br />
<br />
Tits系は代数群の構造を調べるための基本的な道具である。<br />
<br />
<br />
<noinclude><br />
{{TOC |align=right |noautonum=1 }}<!-- 右寄せ連番無し目次をここに表示 --><br />
</noinclude><br />
<br />
<br />
==定義==<br />
<br />
{{theorem |type=def |label=def}}<br />
群 $G$ の二つの部分群 $B,N$ が以下の条件を満たすとする。<br />
* (1) $G$ は $B$ と $N$ によって生成される。<br />
* (2) $B\cap N$ は $N$ の正規部分群であり、$S$ は $W=N/B\cap N$ の位数 $2$ の元からなる生成系である。<br />
* (3) 任意の $s\in S$ と $w\in W$ に対して、<br />
$$<br />
C(s)C(w)\subset C(sw)\cup C(w).<br />
$$<br />
* (4) 任意の $s\in S$ に対して、$sBs\neq B$ である。<br />
ただし、$C(w)$ は両側剰余類 $BwB$ である。このような条件を満足する四つ組 $(G,B,N,S)$ のことを'''Tits系(Tits system)'''と呼ぶ。<br />
<br />
Tits系の重要な例を一つ上げる。<br />
{{theorem |type=exa |label=GLspherical}}<br />
$G=GL_{n}(\mathbb{R})$ とし $B$ を上三角行列のなす $G$ の部分群とする。$G$ はベクトル空間 $\mathbb{R}^{n}=\mathbb{R}e_{1}\oplus \cdots \oplus \mathbb{R}e_{n}$ に自然に作用している。ただし、$e_{1},\ldots, e_{n}$ は $\mathbb{R}^{n}$ の標準基底とする。$N$ は $\mathbb{R}e_{1},\ldots,\mathbb{R}e_{n}$ を置換する $G$ の部分群とする。$N$ は 各行各列に一つだけ $0$ でない成分があり、そうでない成分が $0$ であるような行列のなす群である。$B\cap N$ は対角行列のなすトーラス<br />
$$<br />
B\cap N=\left\{<br />
\left. \left(<br />
<nowiki><br />
\begin{array}{cccc}<br />
x_{1} & 0 & \cdots & 0 \\<br />
0 & x_{2} & \cdots & 0 \\<br />
\vdots & & \ddots & \vdots \\<br />
0 & \ldots & \ldots & x_{n}<br />
\end{array}<br />
</nowiki><br />
\right)\right| x_{1},\ldots,x_{n}\in \mathbb{R}^{\times}<br />
\right\}<br />
$$<br />
であり、$N/B\cap N$ は対称群 $S_{n}$ と同型である。$S_{n}$ の位数 $2$ の元からなる生成系 $\{(i,i+1)\mathrel{\vert} i=1,\ldots,n-1\}$ のことを $S$ と置く。$(G,B,N,S)$ はTits系になる。<br />
<br />
<br />
{{theorem |type=def |label=def2}}<br />
Tits系 $(G,B,N,S)$ に対して、$B$ を含んでいるような $G$ の部分群のことを $(G,B,N,S)$ の'''標準的放物型部分群(standard parabolic subgroup)'''という。<br />
<br />
==Bruhat分解==<br />
{{theorem |type=thm |label=Bruhat-dec}}<br />
Tits系 $(G,B,N,S)$ に対して、<br />
$$<br />
G=\coprod_{w\in W}C(w)<br />
$$<br />
が成り立つ。この分解のことを $G$ の'''Bruhat分解(Bruhat decomposition)'''と呼ぶ。<br />
{{begin|proof}}<br />
合併<br />
$$<br />
\bigcup_{w\in W}C(w)<br />
$$<br />
は $B,N$ を含む群なので、これは $G$ と等しい。この分解が無縁和であることを示そう。$C(v)=C(w)$ とし、$d=\mathrm{min}\{\ell_{S}(v),\ell_{S}(w)\}$ と置く。このとき $v=w$ であることを $d$ についての帰納法で示す。$d=0$ のとき、$C(v)=C(w)=B$ であり、これは $v,w$ の代表元が $B\cap N$ に入っていることを意味するので、$v=w=1$ が言える。$d>0$ とする。一般性を失うことなく $d=\ell_{S}(w)\leq \ell_{S}(v)$ としてよく、このとき $\ell_{S}(sw)=\ell_{S}(w)-1$ となるような $s\in S$ がある。$wB\subset C(w)=C(v)$ なので <br />
$$<br />
C(sw)\subset sC(v)\subset C(sv)\cup C(v)<br />
$$<br />
である。よって、$C(sw)=C(v)$ であるかまたは $C(sw)=C(sv)$ である。前者の場合は $C(sw)=C(w)$ なので、$d-1=\mathrm{min}\{\ell_{S}(sw),\ell_{S}(w)\}<d$ から $sw=w$ が得られ、帰納法の仮定に反する。後者の場合、帰納法により、$sw=sv$ が分かる。したがって、$v=w$ を得る。<br />
{{end|proof}}<br />
<br />
<br />
{{theorem |type=prop |label=cellproduct}}<br />
任意の $w\in W$ と $s\in S$ に対して、もし $\ell(sw)=\ell(w)+1$ なら $C(s)C(w)=C(sw)$ であり $\ell(sw)=\ell(w)-1$ なら $C(s)C(w)=C(w)\cup C(sw)$ である。<br />
{{begin|proof}}<br />
$\ell(w)=0$ なら主張は自明である。$\ell(w)>0$ なら、$\ell(wt)<\ell(w)$ となる $t\in S$ がある。$\ell(sw)=\ell(w)+1$ のとき $C(s)C(w)=C(sw)$ となることをまず示そう。$w^{'}=wt$ と置く。<br />
$$<br />
\ell(w^{'})+1=\ell(w)\leq \ell(sw)=\ell(sw^{'}t)\leq \ell(sw^{'})+1<br />
$$<br />
なので帰納法の仮定から<br />
$$<br />
C(s)C(w^{'})=C(sw^{'})<br />
$$<br />
となる。$C(s)C(w)\neq C(sw)$ と仮定する。$sBw\cap C(w)\neq \phi$ なので $sBw^{'}\cap C(w)t$ も空でない。さらに $C(w)t\subset C(w)\cup C(w^{'})$ なので $sBw^{'}\cap (C(w)\cup C(w^{'}))\neq \phi$ である。$C(s)C(w^{'})=C(sw^{'})$ なので{{ref |type=thm |label=Bruhat-dec}} より $sw^{'}=w$ である。しかしこれは<br />
$$<br />
\ell(w^{'})<\ell(w)<\ell(sw)<br />
$$<br />
に矛盾する。したがって $C(s)(w)$ と $C(w)$ は交わらず、$C(s)C(w)=C(sw)$ であることが分かる。次に $\ell(sw)=\ell(w)-1$ の場合を考えよう。このとき $\ell(s(sw))=\ell(sw)+1$ なので、上で見たように<br />
$$<br />
C(s)C(sw)=C(w)<br />
$$<br />
である。このとき、<br />
\begin{align}<br />
C(s)C(w)&=C(s)C(s)C(sw) \\<br />
&=(C(s)\cup B)C(sw) \\<br />
&=C(w)\cup C(sw)<br />
\end{align}<br />
<br />
{{end|proof}}<br />
<br />
==放物型部分群==<br />
<br />
{{theorem |type=prop |label=Coxeter}}<br />
$(G,B,N,S)$ をTits系とすると、$(W,S)$ は[[Coxeter系]]になる。<br />
{{begin|proof}}<br />
$s\in S$ と $w\in W$ が $\ell(sw)=\ell(w)-1$ を満たすとする。また $s_{1},\ldots,s_{n}\in S$ を $w=s_{1}\cdots s_{n}$ が最短表示であるように選ぶ。このとき[[交換条件]]をみたすことを示そう。つまり<br />
$$<br />
sw=s_{1}\cdots \hat{s_{i}}\cdots s_{n}<br />
$$<br />
となる $i$ が存在することを示す。仮定より $C(s)C(w)=C(sw)\cup C(w)$ かつ $C(w)=C(s_{1})\cdots C(s_{n})$ が成り立つ。$1\leq i\leq n$ を $\ell(ss_{1}\cdots s_{i})<\ell(ss_{1}\cdots s_{i-1})$ となるような最小の添え字に選べば<br />
\begin{align}<br />
C(s)C(w)&=C(s)C(s_{1})\cdots C(s_{i-1})C(s_{i})\cdots C(s_{n}) \\<br />
&=C(ss_{1}\cdots s_{i-1})C(s_{i})\cdots C(s_{n}) \\<br />
&=\left(C(ss_{1}\cdots s_{i})\cup C(ss_{1}\cdots s_{i-1}) \right)C(s_{i+1})\cdots C(s_{n}) \\<br />
&\subset \bigcup \left(C(ss_{1}\cdots s_{i}s_{i_{1}}\cdots s_{i_{p}})\cup C(ss_{1}\cdots s_{i-1}s_{i_{1}}\cdots s_{i_{p}}) \right)<br />
\end{align}<br />
ここで、$i<i_{1}<\ldots <i_{p}\leq n$ を満たすような添え字を走る。$C(w)$ は最右辺に含まれるので $\ell(w)=n$ という事実と合わせて考えると $w=ss_{1}\cdots s_{i-1}s_{i+1}\cdots s_{n}$ であるかまたは $w=ss_{1}\cdots s_{i}s_{i+1}\cdots \widehat{s_{i+k}}\cdots s_{n}$ となる $k$ がある。どちらにせよ、$(W,S)$ は交換条件を満たすことが確認できる。<br />
{{end|proof}}<br />
<br />
<br />
$I$ を $S$ の部分集合とすると、$(W_{I},I)$ はCoxeter系である。$P_{I}=BW_{I}B$ は $B$ を含む $G$ の部分群になる。すなわち $P_{I}$ は標準的放物型部分群になる。逆に、$P$ が標準的放物型部分群のとき、<br />
$$<br />
W_{I}=\{w\in W\mathrel{\vert}C(w)\subset P\}<br />
$$<br />
と置くと、これは $W$ の放物型部分群であり、$I=S\cap W_{I}$ は $W_{I}$ の生成系である。つまり、$S$ の部分集合と $G$ の標準的放物型部分群は $1:1$ に対応する。$G$ の'''放物型部分群'''とは、$G$ の標準的放物型部分群と共役な群のことを意味する。$\Delta(G,B)$ を $G$ の放物型部分群全体のなす集合とする。<br />
<br />
{{theorem |type=lem |label=cell-gen}}<br />
もし $w\in W$ に対して $w=s_{1}\cdots s_{n}$ が最短表示なら $\langle C(w)\rangle=\langle C(s_{1}),\ldots,C(s_{n})\rangle=\langle B,wBw^{-1}\rangle$ が成り立つ。<br />
{{begin|proof}}<br />
$w\in C(w)$ かつ $wB\subset C(w)$ より $\langle B,wBw^{-1}\rangle\subset \langle C(w)\rangle $ が分かる。さらに$w=s_{1}\cdots s_{n}$ は最短表示なので $\langle C(s_{1}),\ldots, C(s_{n}) \rangle$ である。よって、$C(s_{1}),\ldots ,C(s_{n})\subset \langle B,wBw^{-1} \rangle$ を示せばよい。実際、$\ell(s_{1}w)<\ell(w)$ なので、$C(w)\subset C(s_{1})C(w)$ となる。特に、$w=b_{1}s_{1}b_{2}wb_{3}$ となる $b_{1},b_{2},b_{3}\in B$ が存在する。特に $s_{1}=b_{1}^{-1}wb_{3}^{-1}w^{-1}b_{2}^{-1}\in \langle B,wBw^{-1}\rangle$ となるので $\langle B,s_{1}wBw^{-1}s_{1}\rangle\subset \langle B,wBw^{-1}\rangle$ となる。さらに帰納法により、この左辺は $C(s_{2}),\ldots,C(s_{n})$ を含む。よって、<br />
$$<br />
\langle C(s_{1}),\ldots,C(s_{n})\rangle\subset \langle B,wBw^{-1}\rangle<br />
$$<br />
となる。<br />
{{end|proof}}<br />
<br />
{{theorem |type=prop |label=normal}}<br />
任意の $P\in \Delta(G,B)$ に対して $N_{G}(P)=P$ が成り立つ。 <br />
{{begin|proof}}<br />
任意の $g\in G$ に対して、$N_{G}(gPg^{-1})=gN_{G}(P)g^{-1}$ なので、$P$ は標準的であるとしてよい。$x\in N_{G}(P)$ に対し $x\in C(w)$ となるような $w\in W$ がある。この $w$ に対して$\langle B,wBw^{-1} \rangle$ は $P$ に含まれるので、$x\in C(w)\in P$ となる。したがって $N_{G}(P)=P$ が分かる。<br />
{{end|proof}}<br />
<br />
<br />
==$B$ 適応準同型、$B$-$N$ 適応準同型==<br />
<br />
$(G,B,N,S)$ をTits系とし、$\widehat{G}$ を群とする。<br />
<br />
{{theorem |type=def |label=adaptedhom}}<br />
準同型 $\phi\colon G\longrightarrow \widehat{G}$ が以下の条件を満たすとき、$\phi$ は $B$ 適応準同型であるという。<br />
*(1) ${\rm Ker}(\phi)\subset B.$<br />
*(2) 任意の $g\in \widehat{G}$ に対して $h\in G$ が存在して $\phi(hBh^{-1})=g\phi(B)g^{-1}.$<br />
この条件(2)の代わりに<br />
*(2') 任意の $g\in \widehat{G}$ に対して $h\in G$ が存在して $\phi(hBh^{-1})=g\phi(B)g^{-1}, \phi(hNh^{-1})=g\phi(N)g^{-1}.$<br />
が成り立つとき、$\phi$ は $B$-$N$ 適応準同型であるという。<br />
<br />
<br />
{{theorem |type=lem |label=normal}}<br />
$\phi$ が $B$ 適応準同型のとき、像 $\phi(G)$ は $\widehat{G}$ の正規部分群である。<br />
{{begin|proof}}<br />
$G=\bigcup_{w\in W}\langle C(w)\rangle =\bigcup_{w\in W}\langle B,wBw^{-1}\rangle$ なので、$G$ は $B$ と共役な部分群たちによって生成されている。すなわち、任意の $a\in G$ に対して有限個の $(b_{i},k_{i})\in B\times G$ があり、<br />
$$<br />
a=\prod k_{i}b_{i}k_{i}^{-1}<br />
$$ <br />
となる。任意の $g\in \widehat{G}$ に対して、$g\phi(a)g^{-1}\in \psi(G)$ を示そう。$g_{i}=g\phi(k_{i})$ と置くと、$\phi$ は $B$ 適応準同型なので、$g_{i}\phi(B)g_{i}^{-1}=\phi(h_{i}Bh_{i}^{-1})$ となる $h_{i}\in G$ が存在する。このとき、<br />
\begin{align}<br />
g^{-1}\phi(a)g&=\prod g_{i}\phi(b_{i})g_{i}^{-1} \\<br />
&=\prod \phi(h_{i}b_{i}h_{i}^{-1})\in \phi(G)<br />
\end{align}<br />
であるから、$\phi$ の像は $\widehat{G}$ の正規部分群である。<br />
{{end|proof}}<br />
<br />
<br />
$\phi$ が $B$ 適応準同型とすると $\Delta(G,B)$ への $\widehat{G}$ への作用を<br />
$$<br />
\widehat{G}\times \Delta(G,B)\longrightarrow \Delta(G,B);(g,P)\longmapsto {}^{g}P:=\phi^{-1}(\phi(g)P\phi(g^{-1}))<br />
$$<br />
と定める。$P\in \Delta(G,B)$ に対して、安定化群を ${\rm Stab}(P)=\{g\in \widehat{G}\mathrel{\vert} {}^{g}P=P\}$ と置くと $\phi^{-1}({\rm Stab}(P))=P$ である。また $B$ 適応準同型 $\phi$ は Bruhat細胞をBruhat細胞に写すので、<br />
$$<br />
\xi\colon \widehat{G}\longrightarrow \mathrm{Aut}(W,S)<br />
$$<br />
を<br />
$$<br />
\phi(C(\xi(g)w))=\phi(h)^{-1}g\phi(C(w))g^{-1}\phi(h)<br />
$$<br />
となるように定めることができる。ただし、$g\in \widehat{G}$ に対して $h\in G$ を(2)を満たすように選んでいる。<br />
$$<br />
\widehat{G}_{0}={\rm Ker}(\xi), \Xi={\rm Im}\xi<br />
$$<br />
と置く。<br />
<br />
{{theorem |type=lem |lavel=stab}}<br />
$\phi(G)\subset \widehat{G}_{0}$ かつ $\widehat{G}=\widehat{G}_{0}{\rm Stab}(B)$ である。<br />
{{begin|proof}}<br />
<br />
{{end|proof}}<br />
<br />
==Titsの建物(Building)との関係==<br />
<br />
==Tits系の例==</div>
Gest N
https://math.jp/w/index.php?title=Tits%E7%B3%BB%E3%80%81BN%E5%AF%BE&diff=11770
Tits系、BN対
2022-09-19T00:52:42Z
<p>Gest N: /* $B$ 適応準同型、$B$-$N$ 適応準同型 */</p>
<hr />
<div><br />
<br />
{{newtheorem |type=lem |counter=0 |display=補題 }}<br />
{{newtheorem |type=thm |counter=0 |display=定理 }}<br />
{{newtheorem |type=prop |counter=0 |display=命題 }}<br />
{{newtheorem |type=def |counter=0 |display=定義 }}<br />
{{newtheorem |type=cor |counter=0 |display=系 }}<br />
{{newtheorem |type=proof |counter=0 |display=証明 }}<br />
{{newtheorem |type=rem |counter=0 |display=注 }}<br />
{{newtheorem |type=exa |counter=0 |display=例 }}<br />
{{newtheorem |type=cond |counter=0 |display=条件 }}<br />
<br />
__MATHJAX2__<br />
<br />
Tits系は代数群の構造を調べるための基本的な道具である。<br />
<br />
<br />
<noinclude><br />
{{TOC |align=right |noautonum=1 }}<!-- 右寄せ連番無し目次をここに表示 --><br />
</noinclude><br />
<br />
<br />
==定義==<br />
<br />
{{theorem |type=def |label=def}}<br />
群 $G$ の二つの部分群 $B,N$ が以下の条件を満たすとする。<br />
* (1) $G$ は $B$ と $N$ によって生成される。<br />
* (2) $B\cap N$ は $N$ の正規部分群であり、$S$ は $W=N/B\cap N$ の位数 $2$ の元からなる生成系である。<br />
* (3) 任意の $s\in S$ と $w\in W$ に対して、<br />
$$<br />
C(s)C(w)\subset C(sw)\cup C(w).<br />
$$<br />
* (4) 任意の $s\in S$ に対して、$sBs\neq B$ である。<br />
ただし、$C(w)$ は両側剰余類 $BwB$ である。このような条件を満足する四つ組 $(G,B,N,S)$ のことを'''Tits系(Tits system)'''と呼ぶ。<br />
<br />
Tits系の重要な例を一つ上げる。<br />
{{theorem |type=exa |label=GLspherical}}<br />
$G=GL_{n}(\mathbb{R})$ とし $B$ を上三角行列のなす $G$ の部分群とする。$G$ はベクトル空間 $\mathbb{R}^{n}=\mathbb{R}e_{1}\oplus \cdots \oplus \mathbb{R}e_{n}$ に自然に作用している。ただし、$e_{1},\ldots, e_{n}$ は $\mathbb{R}^{n}$ の標準基底とする。$N$ は $\mathbb{R}e_{1},\ldots,\mathbb{R}e_{n}$ を置換する $G$ の部分群とする。$N$ は 各行各列に一つだけ $0$ でない成分があり、そうでない成分が $0$ であるような行列のなす群である。$B\cap N$ は対角行列のなすトーラス<br />
$$<br />
B\cap N=\left\{<br />
\left. \left(<br />
<nowiki><br />
\begin{array}{cccc}<br />
x_{1} & 0 & \cdots & 0 \\<br />
0 & x_{2} & \cdots & 0 \\<br />
\vdots & & \ddots & \vdots \\<br />
0 & \ldots & \ldots & x_{n}<br />
\end{array}<br />
</nowiki><br />
\right)\right| x_{1},\ldots,x_{n}\in \mathbb{R}^{\times}<br />
\right\}<br />
$$<br />
であり、$N/B\cap N$ は対称群 $S_{n}$ と同型である。$S_{n}$ の位数 $2$ の元からなる生成系 $\{(i,i+1)\mathrel{\vert} i=1,\ldots,n-1\}$ のことを $S$ と置く。$(G,B,N,S)$ はTits系になる。<br />
<br />
<br />
{{theorem |type=def |label=def2}}<br />
Tits系 $(G,B,N,S)$ に対して、$B$ を含んでいるような $G$ の部分群のことを $(G,B,N,S)$ の'''標準的放物型部分群(standard parabolic subgroup)'''という。<br />
<br />
==Bruhat分解==<br />
{{theorem |type=thm |label=Bruhat-dec}}<br />
Tits系 $(G,B,N,S)$ に対して、<br />
$$<br />
G=\coprod_{w\in W}C(w)<br />
$$<br />
が成り立つ。この分解のことを $G$ の'''Bruhat分解(Bruhat decomposition)'''と呼ぶ。<br />
{{begin|proof}}<br />
合併<br />
$$<br />
\bigcup_{w\in W}C(w)<br />
$$<br />
は $B,N$ を含む群なので、これは $G$ と等しい。この分解が無縁和であることを示そう。$C(v)=C(w)$ とし、$d=\mathrm{min}\{\ell_{S}(v),\ell_{S}(w)\}$ と置く。このとき $v=w$ であることを $d$ についての帰納法で示す。$d=0$ のとき、$C(v)=C(w)=B$ であり、これは $v,w$ の代表元が $B\cap N$ に入っていることを意味するので、$v=w=1$ が言える。$d>0$ とする。一般性を失うことなく $d=\ell_{S}(w)\leq \ell_{S}(v)$ としてよく、このとき $\ell_{S}(sw)=\ell_{S}(w)-1$ となるような $s\in S$ がある。$wB\subset C(w)=C(v)$ なので <br />
$$<br />
C(sw)\subset sC(v)\subset C(sv)\cup C(v)<br />
$$<br />
である。よって、$C(sw)=C(v)$ であるかまたは $C(sw)=C(sv)$ である。前者の場合は $C(sw)=C(w)$ なので、$d-1=\mathrm{min}\{\ell_{S}(sw),\ell_{S}(w)\}<d$ から $sw=w$ が得られ、帰納法の仮定に反する。後者の場合、帰納法により、$sw=sv$ が分かる。したがって、$v=w$ を得る。<br />
{{end|proof}}<br />
<br />
<br />
{{theorem |type=prop |label=cellproduct}}<br />
任意の $w\in W$ と $s\in S$ に対して、もし $\ell(sw)=\ell(w)+1$ なら $C(s)C(w)=C(sw)$ であり $\ell(sw)=\ell(w)-1$ なら $C(s)C(w)=C(w)\cup C(sw)$ である。<br />
{{begin|proof}}<br />
$\ell(w)=0$ なら主張は自明である。$\ell(w)>0$ なら、$\ell(wt)<\ell(w)$ となる $t\in S$ がある。$\ell(sw)=\ell(w)+1$ のとき $C(s)C(w)=C(sw)$ となることをまず示そう。$w^{'}=wt$ と置く。<br />
$$<br />
\ell(w^{'})+1=\ell(w)\leq \ell(sw)=\ell(sw^{'}t)\leq \ell(sw^{'})+1<br />
$$<br />
なので帰納法の仮定から<br />
$$<br />
C(s)C(w^{'})=C(sw^{'})<br />
$$<br />
となる。$C(s)C(w)\neq C(sw)$ と仮定する。$sBw\cap C(w)\neq \phi$ なので $sBw^{'}\cap C(w)t$ も空でない。さらに $C(w)t\subset C(w)\cup C(w^{'})$ なので $sBw^{'}\cap (C(w)\cup C(w^{'}))\neq \phi$ である。$C(s)C(w^{'})=C(sw^{'})$ なので{{ref |type=thm |label=Bruhat-dec}} より $sw^{'}=w$ である。しかしこれは<br />
$$<br />
\ell(w^{'})<\ell(w)<\ell(sw)<br />
$$<br />
に矛盾する。したがって $C(s)(w)$ と $C(w)$ は交わらず、$C(s)C(w)=C(sw)$ であることが分かる。次に $\ell(sw)=\ell(w)-1$ の場合を考えよう。このとき $\ell(s(sw))=\ell(sw)+1$ なので、上で見たように<br />
$$<br />
C(s)C(sw)=C(w)<br />
$$<br />
である。このとき、<br />
\begin{align}<br />
C(s)C(w)&=C(s)C(s)C(sw) \\<br />
&=(C(s)\cup B)C(sw) \\<br />
&=C(w)\cup C(sw)<br />
\end{align}<br />
<br />
{{end|proof}}<br />
<br />
==放物型部分群==<br />
<br />
{{theorem |type=prop |label=Coxeter}}<br />
$(G,B,N,S)$ をTits系とすると、$(W,S)$ は[[Coxeter系]]になる。<br />
{{begin|proof}}<br />
$s\in S$ と $w\in W$ が $\ell(sw)=\ell(w)-1$ を満たすとする。また $s_{1},\ldots,s_{n}\in S$ を $w=s_{1}\cdots s_{n}$ が最短表示であるように選ぶ。このとき[[交換条件]]をみたすことを示そう。つまり<br />
$$<br />
sw=s_{1}\cdots \hat{s_{i}}\cdots s_{n}<br />
$$<br />
となる $i$ が存在することを示す。仮定より $C(s)C(w)=C(sw)\cup C(w)$ かつ $C(w)=C(s_{1})\cdots C(s_{n})$ が成り立つ。$1\leq i\leq n$ を $\ell(ss_{1}\cdots s_{i})<\ell(ss_{1}\cdots s_{i-1})$ となるような最小の添え字に選べば<br />
\begin{align}<br />
C(s)C(w)&=C(s)C(s_{1})\cdots C(s_{i-1})C(s_{i})\cdots C(s_{n}) \\<br />
&=C(ss_{1}\cdots s_{i-1})C(s_{i})\cdots C(s_{n}) \\<br />
&=\left(C(ss_{1}\cdots s_{i})\cup C(ss_{1}\cdots s_{i-1}) \right)C(s_{i+1})\cdots C(s_{n}) \\<br />
&\subset \bigcup \left(C(ss_{1}\cdots s_{i}s_{i_{1}}\cdots s_{i_{p}})\cup C(ss_{1}\cdots s_{i-1}s_{i_{1}}\cdots s_{i_{p}}) \right)<br />
\end{align}<br />
ここで、$i<i_{1}<\ldots <i_{p}\leq n$ を満たすような添え字を走る。$C(w)$ は最右辺に含まれるので $\ell(w)=n$ という事実と合わせて考えると $w=ss_{1}\cdots s_{i-1}s_{i+1}\cdots s_{n}$ であるかまたは $w=ss_{1}\cdots s_{i}s_{i+1}\cdots \widehat{s_{i+k}}\cdots s_{n}$ となる $k$ がある。どちらにせよ、$(W,S)$ は交換条件を満たすことが確認できる。<br />
{{end|proof}}<br />
<br />
<br />
$I$ を $S$ の部分集合とすると、$(W_{I},I)$ はCoxeter系である。$P_{I}=BW_{I}B$ は $B$ を含む $G$ の部分群になる。すなわち $P_{I}$ は標準的放物型部分群になる。逆に、$P$ が標準的放物型部分群のとき、<br />
$$<br />
W_{I}=\{w\in W\mathrel{\vert}C(w)\subset P\}<br />
$$<br />
と置くと、これは $W$ の放物型部分群であり、$I=S\cap W_{I}$ は $W_{I}$ の生成系である。つまり、$S$ の部分集合と $G$ の標準的放物型部分群は $1:1$ に対応する。$G$ の'''放物型部分群'''とは、$G$ の標準的放物型部分群と共役な群のことを意味する。$\Delta(G,B)$ を $G$ の放物型部分群全体のなす集合とする。<br />
<br />
{{theorem |type=lem |label=cell-gen}}<br />
もし $w\in W$ に対して $w=s_{1}\cdots s_{n}$ が最短表示なら $\langle C(w)\rangle=\langle C(s_{1}),\ldots,C(s_{n})\rangle=\langle B,wBw^{-1}\rangle$ が成り立つ。<br />
{{begin|proof}}<br />
$w\in C(w)$ かつ $wB\subset C(w)$ より $\langle B,wBw^{-1}\rangle\subset \langle C(w)\rangle $ が分かる。さらに$w=s_{1}\cdots s_{n}$ は最短表示なので $\langle C(s_{1}),\ldots, C(s_{n}) \rangle$ である。よって、$C(s_{1}),\ldots ,C(s_{n})\subset \langle B,wBw^{-1} \rangle$ を示せばよい。実際、$\ell(s_{1}w)<\ell(w)$ なので、$C(w)\subset C(s_{1})C(w)$ となる。特に、$w=b_{1}s_{1}b_{2}wb_{3}$ となる $b_{1},b_{2},b_{3}\in B$ が存在する。特に $s_{1}=b_{1}^{-1}wb_{3}^{-1}w^{-1}b_{2}^{-1}\in \langle B,wBw^{-1}\rangle$ となるので $\langle B,s_{1}wBw^{-1}s_{1}\rangle\subset \langle B,wBw^{-1}\rangle$ となる。さらに帰納法により、この左辺は $C(s_{2}),\ldots,C(s_{n})$ を含む。よって、<br />
$$<br />
\langle C(s_{1}),\ldots,C(s_{n})\rangle\subset \langle B,wBw^{-1}\rangle<br />
$$<br />
となる。<br />
{{end|proof}}<br />
<br />
{{theorem |type=prop |label=normal}}<br />
任意の $P\in \Delta(G,B)$ に対して $N_{G}(P)=P$ が成り立つ。 <br />
{{begin|proof}}<br />
任意の $g\in G$ に対して、$N_{G}(gPg^{-1})=gN_{G}(P)g^{-1}$ なので、$P$ は標準的であるとしてよい。$x\in N_{G}(P)$ に対し $x\in C(w)$ となるような $w\in W$ がある。この $w$ に対して$\langle B,wBw^{-1} \rangle$ は $P$ に含まれるので、$x\in C(w)\in P$ となる。したがって $N_{G}(P)=P$ が分かる。<br />
{{end|proof}}<br />
<br />
<br />
==$B$ 適応準同型、$B$-$N$ 適応準同型==<br />
<br />
$(G,B,N,S)$ をTits系とし、$\widehat{G}$ を群とする。<br />
<br />
{{theorem |type=def |label=adaptedhom}}<br />
準同型 $\phi\colon G\longrightarrow \widehat{G}$ が以下の条件を満たすとき、$\phi$ は $B$ 適応準同型であるという。<br />
*(1) ${\rm Ker}(\phi)\subset B.$<br />
*(2) 任意の $g\in \widehat{G}$ に対して $h\in G$ が存在して $\phi(hBh^{-1})=g\phi(B)g^{-1}.$<br />
この条件(2)の代わりに<br />
*(2') 任意の $g\in \widehat{G}$ に対して $h\in G$ が存在して $\phi(hBh^{-1})=g\phi(B)g^{-1}, \phi(hNh^{-1})=g\phi(N)g^{-1}.$<br />
が成り立つとき、$\phi$ は $B$-$N$ 適応準同型であるという。<br />
<br />
<br />
{{theorem |type=lem |label=normal}}<br />
$\phi$ が $B$ 適応準同型のとき、像 $\phi(G)$ は $\widehat{G}$ の正規部分群である。<br />
{{begin|proof}}<br />
$G=\bigcup_{w\in W}\langle C(w)\rangle =\bigcup_{w\in W}\langle B,wBw^{-1}\rangle$ なので、$G$ は $B$ と共役な部分群たちによって生成されている。すなわち、任意の $a\in G$ に対して有限個の $(b_{i},k_{i})\in B\times G$ があり、<br />
$$<br />
a=\prod k_{i}b_{i}k_{i}^{-1}<br />
$$ <br />
となる。任意の $g\in \widehat{G}$ に対して、$g\phi(a)g^{-1}\in \psi(G)$ を示そう。$g_{i}=g\phi(k_{i})$ と置くと、$\phi$ は $B$ 適応準同型なので、$g_{i}\phi(B)g_{i}^{-1}=\phi(h_{i}Bh_{i}^{-1})$ となる $h_{i}\in G$ が存在する。このとき、<br />
\begin{align}<br />
g^{-1}\phi(a)g&=\prod g_{i}\phi(b_{i})g_{i}^{-1} \\<br />
&=\prod \phi(h_{i}b_{i}h_{i}^{-1})\in \phi(G)<br />
\end{align}<br />
であるから、$\phi$ の像は $\widehat{G}$ の正規部分群である。<br />
{{end|proof}}<br />
<br />
<br />
$\phi$ が $B$ 適応準同型とすると $\Delta(G,B)$ への $\widehat{G}$ への作用を<br />
$$<br />
\widehat{G}\times \Delta(G,B)\longrightarrow \Delta(G,B);(g,P)\longmapsto {}^{g}P:=\phi^{-1}(\phi(g)P\phi(g^{-1}))<br />
$$<br />
と定める。$P\in \Delta(G,B)$ に対して、安定化群を ${\rm Stab}(P)=\{g\in \widehat{G}\mathrel{\vert} {}^{g}P=P\}$ と置くと $\phi^{-1}({\rm Stab}(P))=P$ である。また $B$ 適応準同型 $\phi$ は Bruhat細胞をBruhat細胞に写すので、<br />
$$<br />
\xi\colon \widehat{G}\longrightarrow \mathrm{Aut}(W,S)<br />
$$<br />
を<br />
$$<br />
\phi(C(\xi(g)w))=\phi(h)^{-1}g\phi(C(w))g^{-1}\phi(h)<br />
$$<br />
となるように定めることができる。ただし、$g\in \widehat{G}$ に対して $h\in G$ を(2)を満たすように選んでいる。<br />
$$<br />
\widehat{G}_{0}={\rm Ker}(\xi), \Xi={\rm Im}\xi<br />
$$<br />
と置くと、$\phi(G)\subset \widehat{G}_{0}$ である。<br />
<br />
==Titsの建物(Building)との関係==<br />
<br />
==Tits系の例==</div>
Gest N
https://math.jp/w/index.php?title=Tits%E7%B3%BB%E3%80%81BN%E5%AF%BE&diff=11769
Tits系、BN対
2022-09-18T14:54:13Z
<p>Gest N: /* $B$ 適応準同型、$B$-$N$ 適応準同型 */</p>
<hr />
<div><br />
<br />
{{newtheorem |type=lem |counter=0 |display=補題 }}<br />
{{newtheorem |type=thm |counter=0 |display=定理 }}<br />
{{newtheorem |type=prop |counter=0 |display=命題 }}<br />
{{newtheorem |type=def |counter=0 |display=定義 }}<br />
{{newtheorem |type=cor |counter=0 |display=系 }}<br />
{{newtheorem |type=proof |counter=0 |display=証明 }}<br />
{{newtheorem |type=rem |counter=0 |display=注 }}<br />
{{newtheorem |type=exa |counter=0 |display=例 }}<br />
{{newtheorem |type=cond |counter=0 |display=条件 }}<br />
<br />
__MATHJAX2__<br />
<br />
Tits系は代数群の構造を調べるための基本的な道具である。<br />
<br />
<br />
<noinclude><br />
{{TOC |align=right |noautonum=1 }}<!-- 右寄せ連番無し目次をここに表示 --><br />
</noinclude><br />
<br />
<br />
==定義==<br />
<br />
{{theorem |type=def |label=def}}<br />
群 $G$ の二つの部分群 $B,N$ が以下の条件を満たすとする。<br />
* (1) $G$ は $B$ と $N$ によって生成される。<br />
* (2) $B\cap N$ は $N$ の正規部分群であり、$S$ は $W=N/B\cap N$ の位数 $2$ の元からなる生成系である。<br />
* (3) 任意の $s\in S$ と $w\in W$ に対して、<br />
$$<br />
C(s)C(w)\subset C(sw)\cup C(w).<br />
$$<br />
* (4) 任意の $s\in S$ に対して、$sBs\neq B$ である。<br />
ただし、$C(w)$ は両側剰余類 $BwB$ である。このような条件を満足する四つ組 $(G,B,N,S)$ のことを'''Tits系(Tits system)'''と呼ぶ。<br />
<br />
Tits系の重要な例を一つ上げる。<br />
{{theorem |type=exa |label=GLspherical}}<br />
$G=GL_{n}(\mathbb{R})$ とし $B$ を上三角行列のなす $G$ の部分群とする。$G$ はベクトル空間 $\mathbb{R}^{n}=\mathbb{R}e_{1}\oplus \cdots \oplus \mathbb{R}e_{n}$ に自然に作用している。ただし、$e_{1},\ldots, e_{n}$ は $\mathbb{R}^{n}$ の標準基底とする。$N$ は $\mathbb{R}e_{1},\ldots,\mathbb{R}e_{n}$ を置換する $G$ の部分群とする。$N$ は 各行各列に一つだけ $0$ でない成分があり、そうでない成分が $0$ であるような行列のなす群である。$B\cap N$ は対角行列のなすトーラス<br />
$$<br />
B\cap N=\left\{<br />
\left. \left(<br />
<nowiki><br />
\begin{array}{cccc}<br />
x_{1} & 0 & \cdots & 0 \\<br />
0 & x_{2} & \cdots & 0 \\<br />
\vdots & & \ddots & \vdots \\<br />
0 & \ldots & \ldots & x_{n}<br />
\end{array}<br />
</nowiki><br />
\right)\right| x_{1},\ldots,x_{n}\in \mathbb{R}^{\times}<br />
\right\}<br />
$$<br />
であり、$N/B\cap N$ は対称群 $S_{n}$ と同型である。$S_{n}$ の位数 $2$ の元からなる生成系 $\{(i,i+1)\mathrel{\vert} i=1,\ldots,n-1\}$ のことを $S$ と置く。$(G,B,N,S)$ はTits系になる。<br />
<br />
<br />
{{theorem |type=def |label=def2}}<br />
Tits系 $(G,B,N,S)$ に対して、$B$ を含んでいるような $G$ の部分群のことを $(G,B,N,S)$ の'''標準的放物型部分群(standard parabolic subgroup)'''という。<br />
<br />
==Bruhat分解==<br />
{{theorem |type=thm |label=Bruhat-dec}}<br />
Tits系 $(G,B,N,S)$ に対して、<br />
$$<br />
G=\coprod_{w\in W}C(w)<br />
$$<br />
が成り立つ。この分解のことを $G$ の'''Bruhat分解(Bruhat decomposition)'''と呼ぶ。<br />
{{begin|proof}}<br />
合併<br />
$$<br />
\bigcup_{w\in W}C(w)<br />
$$<br />
は $B,N$ を含む群なので、これは $G$ と等しい。この分解が無縁和であることを示そう。$C(v)=C(w)$ とし、$d=\mathrm{min}\{\ell_{S}(v),\ell_{S}(w)\}$ と置く。このとき $v=w$ であることを $d$ についての帰納法で示す。$d=0$ のとき、$C(v)=C(w)=B$ であり、これは $v,w$ の代表元が $B\cap N$ に入っていることを意味するので、$v=w=1$ が言える。$d>0$ とする。一般性を失うことなく $d=\ell_{S}(w)\leq \ell_{S}(v)$ としてよく、このとき $\ell_{S}(sw)=\ell_{S}(w)-1$ となるような $s\in S$ がある。$wB\subset C(w)=C(v)$ なので <br />
$$<br />
C(sw)\subset sC(v)\subset C(sv)\cup C(v)<br />
$$<br />
である。よって、$C(sw)=C(v)$ であるかまたは $C(sw)=C(sv)$ である。前者の場合は $C(sw)=C(w)$ なので、$d-1=\mathrm{min}\{\ell_{S}(sw),\ell_{S}(w)\}<d$ から $sw=w$ が得られ、帰納法の仮定に反する。後者の場合、帰納法により、$sw=sv$ が分かる。したがって、$v=w$ を得る。<br />
{{end|proof}}<br />
<br />
<br />
{{theorem |type=prop |label=cellproduct}}<br />
任意の $w\in W$ と $s\in S$ に対して、もし $\ell(sw)=\ell(w)+1$ なら $C(s)C(w)=C(sw)$ であり $\ell(sw)=\ell(w)-1$ なら $C(s)C(w)=C(w)\cup C(sw)$ である。<br />
{{begin|proof}}<br />
$\ell(w)=0$ なら主張は自明である。$\ell(w)>0$ なら、$\ell(wt)<\ell(w)$ となる $t\in S$ がある。$\ell(sw)=\ell(w)+1$ のとき $C(s)C(w)=C(sw)$ となることをまず示そう。$w^{'}=wt$ と置く。<br />
$$<br />
\ell(w^{'})+1=\ell(w)\leq \ell(sw)=\ell(sw^{'}t)\leq \ell(sw^{'})+1<br />
$$<br />
なので帰納法の仮定から<br />
$$<br />
C(s)C(w^{'})=C(sw^{'})<br />
$$<br />
となる。$C(s)C(w)\neq C(sw)$ と仮定する。$sBw\cap C(w)\neq \phi$ なので $sBw^{'}\cap C(w)t$ も空でない。さらに $C(w)t\subset C(w)\cup C(w^{'})$ なので $sBw^{'}\cap (C(w)\cup C(w^{'}))\neq \phi$ である。$C(s)C(w^{'})=C(sw^{'})$ なので{{ref |type=thm |label=Bruhat-dec}} より $sw^{'}=w$ である。しかしこれは<br />
$$<br />
\ell(w^{'})<\ell(w)<\ell(sw)<br />
$$<br />
に矛盾する。したがって $C(s)(w)$ と $C(w)$ は交わらず、$C(s)C(w)=C(sw)$ であることが分かる。次に $\ell(sw)=\ell(w)-1$ の場合を考えよう。このとき $\ell(s(sw))=\ell(sw)+1$ なので、上で見たように<br />
$$<br />
C(s)C(sw)=C(w)<br />
$$<br />
である。このとき、<br />
\begin{align}<br />
C(s)C(w)&=C(s)C(s)C(sw) \\<br />
&=(C(s)\cup B)C(sw) \\<br />
&=C(w)\cup C(sw)<br />
\end{align}<br />
<br />
{{end|proof}}<br />
<br />
==放物型部分群==<br />
<br />
{{theorem |type=prop |label=Coxeter}}<br />
$(G,B,N,S)$ をTits系とすると、$(W,S)$ は[[Coxeter系]]になる。<br />
{{begin|proof}}<br />
$s\in S$ と $w\in W$ が $\ell(sw)=\ell(w)-1$ を満たすとする。また $s_{1},\ldots,s_{n}\in S$ を $w=s_{1}\cdots s_{n}$ が最短表示であるように選ぶ。このとき[[交換条件]]をみたすことを示そう。つまり<br />
$$<br />
sw=s_{1}\cdots \hat{s_{i}}\cdots s_{n}<br />
$$<br />
となる $i$ が存在することを示す。仮定より $C(s)C(w)=C(sw)\cup C(w)$ かつ $C(w)=C(s_{1})\cdots C(s_{n})$ が成り立つ。$1\leq i\leq n$ を $\ell(ss_{1}\cdots s_{i})<\ell(ss_{1}\cdots s_{i-1})$ となるような最小の添え字に選べば<br />
\begin{align}<br />
C(s)C(w)&=C(s)C(s_{1})\cdots C(s_{i-1})C(s_{i})\cdots C(s_{n}) \\<br />
&=C(ss_{1}\cdots s_{i-1})C(s_{i})\cdots C(s_{n}) \\<br />
&=\left(C(ss_{1}\cdots s_{i})\cup C(ss_{1}\cdots s_{i-1}) \right)C(s_{i+1})\cdots C(s_{n}) \\<br />
&\subset \bigcup \left(C(ss_{1}\cdots s_{i}s_{i_{1}}\cdots s_{i_{p}})\cup C(ss_{1}\cdots s_{i-1}s_{i_{1}}\cdots s_{i_{p}}) \right)<br />
\end{align}<br />
ここで、$i<i_{1}<\ldots <i_{p}\leq n$ を満たすような添え字を走る。$C(w)$ は最右辺に含まれるので $\ell(w)=n$ という事実と合わせて考えると $w=ss_{1}\cdots s_{i-1}s_{i+1}\cdots s_{n}$ であるかまたは $w=ss_{1}\cdots s_{i}s_{i+1}\cdots \widehat{s_{i+k}}\cdots s_{n}$ となる $k$ がある。どちらにせよ、$(W,S)$ は交換条件を満たすことが確認できる。<br />
{{end|proof}}<br />
<br />
<br />
$I$ を $S$ の部分集合とすると、$(W_{I},I)$ はCoxeter系である。$P_{I}=BW_{I}B$ は $B$ を含む $G$ の部分群になる。すなわち $P_{I}$ は標準的放物型部分群になる。逆に、$P$ が標準的放物型部分群のとき、<br />
$$<br />
W_{I}=\{w\in W\mathrel{\vert}C(w)\subset P\}<br />
$$<br />
と置くと、これは $W$ の放物型部分群であり、$I=S\cap W_{I}$ は $W_{I}$ の生成系である。つまり、$S$ の部分集合と $G$ の標準的放物型部分群は $1:1$ に対応する。$G$ の'''放物型部分群'''とは、$G$ の標準的放物型部分群と共役な群のことを意味する。$\Delta(G,B)$ を $G$ の放物型部分群全体のなす集合とする。<br />
<br />
{{theorem |type=lem |label=cell-gen}}<br />
もし $w\in W$ に対して $w=s_{1}\cdots s_{n}$ が最短表示なら $\langle C(w)\rangle=\langle C(s_{1}),\ldots,C(s_{n})\rangle=\langle B,wBw^{-1}\rangle$ が成り立つ。<br />
{{begin|proof}}<br />
$w\in C(w)$ かつ $wB\subset C(w)$ より $\langle B,wBw^{-1}\rangle\subset \langle C(w)\rangle $ が分かる。さらに$w=s_{1}\cdots s_{n}$ は最短表示なので $\langle C(s_{1}),\ldots, C(s_{n}) \rangle$ である。よって、$C(s_{1}),\ldots ,C(s_{n})\subset \langle B,wBw^{-1} \rangle$ を示せばよい。実際、$\ell(s_{1}w)<\ell(w)$ なので、$C(w)\subset C(s_{1})C(w)$ となる。特に、$w=b_{1}s_{1}b_{2}wb_{3}$ となる $b_{1},b_{2},b_{3}\in B$ が存在する。特に $s_{1}=b_{1}^{-1}wb_{3}^{-1}w^{-1}b_{2}^{-1}\in \langle B,wBw^{-1}\rangle$ となるので $\langle B,s_{1}wBw^{-1}s_{1}\rangle\subset \langle B,wBw^{-1}\rangle$ となる。さらに帰納法により、この左辺は $C(s_{2}),\ldots,C(s_{n})$ を含む。よって、<br />
$$<br />
\langle C(s_{1}),\ldots,C(s_{n})\rangle\subset \langle B,wBw^{-1}\rangle<br />
$$<br />
となる。<br />
{{end|proof}}<br />
<br />
{{theorem |type=prop |label=normal}}<br />
任意の $P\in \Delta(G,B)$ に対して $N_{G}(P)=P$ が成り立つ。 <br />
{{begin|proof}}<br />
任意の $g\in G$ に対して、$N_{G}(gPg^{-1})=gN_{G}(P)g^{-1}$ なので、$P$ は標準的であるとしてよい。$x\in N_{G}(P)$ に対し $x\in C(w)$ となるような $w\in W$ がある。この $w$ に対して$\langle B,wBw^{-1} \rangle$ は $P$ に含まれるので、$x\in C(w)\in P$ となる。したがって $N_{G}(P)=P$ が分かる。<br />
{{end|proof}}<br />
<br />
<br />
==$B$ 適応準同型、$B$-$N$ 適応準同型==<br />
<br />
$(G,B,N,S)$ をTits系とし、$\widehat{G}$ を群とする。<br />
<br />
{{theorem |type=def |label=adaptedhom}}<br />
準同型 $\phi\colon G\longrightarrow \widehat{G}$ が以下の条件を満たすとき、$\phi$ は $B$ 適応準同型であるという。<br />
*(1) ${\rm Ker}(\phi)\subset B.$<br />
*(2) 任意の $g\in \widehat{G}$ に対して $h\in G$ が存在して $\phi(hBh^{-1})=g\phi(B)g^{-1}.$<br />
この条件(2)の代わりに<br />
*(2') 任意の $g\in \widehat{G}$ に対して $h\in G$ が存在して $\phi(hBh^{-1})=g\phi(B)g^{-1}, \phi(hNh^{-1})=g\phi(N)g^{-1}.$<br />
が成り立つとき、$\phi$ は $B$-$N$ 適応準同型であるという。<br />
<br />
<br />
{{theorem |type=lem |label=normal}}<br />
$\phi$ が $B$ 適応準同型のとき、像 $\phi(G)$ は $\widehat{G}$ の正規部分群である。<br />
{{begin|proof}}<br />
$G=\bigcup_{w\in W}\langle C(w)\rangle =\bigcup_{w\in W}\langle B,wBw^{-1}\rangle$ なので、$G$ は $B$ と共役な部分群たちによって生成されている。すなわち、任意の $a\in G$ に対して有限個の $(b_{i},k_{i})\in B\times G$ があり、<br />
$$<br />
a=\prod k_{i}b_{i}k_{i}^{-1}<br />
$$ <br />
となる。任意の $g\in \widehat{G}$ に対して、$g\phi(a)g^{-1}\in \psi(G)$ を示そう。$g_{i}=g\phi(k_{i})$ と置くと、$\phi$ は $B$ 適応準同型なので、$g_{i}\phi(B)g_{i}^{-1}=\phi(h_{i}Bh_{i}^{-1})$ となる $h_{i}\in G$ が存在する。このとき、<br />
\begin{align}<br />
g^{-1}\phi(a)g&=\prod g_{i}\phi(b_{i})g_{i}^{-1} \\<br />
&=\prod \phi(h_{i}b_{i}h_{i}^{-1})\in \phi(G)<br />
\end{align}<br />
であるから、$\phi$ の像は $\widehat{G}$ の正規部分群である。<br />
{{end|proof}}<br />
<br />
<br />
$\phi$ が $B$ 適応準同型とすると $\Delta(G,B)$ への $\widehat{G}$ への作用を<br />
$$<br />
\widehat{G}\times \Delta(G,B)\longrightarrow \Delta(G,B);(g,P)\longmapsto {}^{g}P:=\phi^{-1}(\phi(g)P\phi(g^{-1}))<br />
$$<br />
と定める。$P\in \Delta(G,B)$ に対して、安定化群を ${\rm Stab}(P)=\{g\in \widehat{G}\mathrel{\vert} {}^{g}P=P\}$ と置くと $\phi^{-1}({\rm Stab}(P))=P$ である。また $B$ 適応準同型 $\phi$ は Bruhat細胞をBruhat細胞に写すので、<br />
$$<br />
\xi\colon \widehat{G}\longrightarrow \mathrm{Aut}(W,S)<br />
$$<br />
を<br />
$$<br />
\phi(C(\xi(g)w))=\phi(h)^{-1}g\phi(C(w))g^{-1}\phi(h)<br />
$$<br />
となるように定めることができる。ただし、$g\in \widehat{G}$ に対して $h\in G$ を(2)を満たすように選んでいる。<br />
<br />
==Titsの建物(Building)との関係==<br />
<br />
==Tits系の例==</div>
Gest N
https://math.jp/w/index.php?title=Tits%E7%B3%BB%E3%80%81BN%E5%AF%BE&diff=11767
Tits系、BN対
2022-09-18T14:32:12Z
<p>Gest N: /* $B$ 適応準同型、$B$-$N$ 適応準同型 */</p>
<hr />
<div><br />
<br />
{{newtheorem |type=lem |counter=0 |display=補題 }}<br />
{{newtheorem |type=thm |counter=0 |display=定理 }}<br />
{{newtheorem |type=prop |counter=0 |display=命題 }}<br />
{{newtheorem |type=def |counter=0 |display=定義 }}<br />
{{newtheorem |type=cor |counter=0 |display=系 }}<br />
{{newtheorem |type=proof |counter=0 |display=証明 }}<br />
{{newtheorem |type=rem |counter=0 |display=注 }}<br />
{{newtheorem |type=exa |counter=0 |display=例 }}<br />
{{newtheorem |type=cond |counter=0 |display=条件 }}<br />
<br />
__MATHJAX2__<br />
<br />
Tits系は代数群の構造を調べるための基本的な道具である。<br />
<br />
<br />
<noinclude><br />
{{TOC |align=right |noautonum=1 }}<!-- 右寄せ連番無し目次をここに表示 --><br />
</noinclude><br />
<br />
<br />
==定義==<br />
<br />
{{theorem |type=def |label=def}}<br />
群 $G$ の二つの部分群 $B,N$ が以下の条件を満たすとする。<br />
* (1) $G$ は $B$ と $N$ によって生成される。<br />
* (2) $B\cap N$ は $N$ の正規部分群であり、$S$ は $W=N/B\cap N$ の位数 $2$ の元からなる生成系である。<br />
* (3) 任意の $s\in S$ と $w\in W$ に対して、<br />
$$<br />
C(s)C(w)\subset C(sw)\cup C(w).<br />
$$<br />
* (4) 任意の $s\in S$ に対して、$sBs\neq B$ である。<br />
ただし、$C(w)$ は両側剰余類 $BwB$ である。このような条件を満足する四つ組 $(G,B,N,S)$ のことを'''Tits系(Tits system)'''と呼ぶ。<br />
<br />
Tits系の重要な例を一つ上げる。<br />
{{theorem |type=exa |label=GLspherical}}<br />
$G=GL_{n}(\mathbb{R})$ とし $B$ を上三角行列のなす $G$ の部分群とする。$G$ はベクトル空間 $\mathbb{R}^{n}=\mathbb{R}e_{1}\oplus \cdots \oplus \mathbb{R}e_{n}$ に自然に作用している。ただし、$e_{1},\ldots, e_{n}$ は $\mathbb{R}^{n}$ の標準基底とする。$N$ は $\mathbb{R}e_{1},\ldots,\mathbb{R}e_{n}$ を置換する $G$ の部分群とする。$N$ は 各行各列に一つだけ $0$ でない成分があり、そうでない成分が $0$ であるような行列のなす群である。$B\cap N$ は対角行列のなすトーラス<br />
$$<br />
B\cap N=\left\{<br />
\left. \left(<br />
<nowiki><br />
\begin{array}{cccc}<br />
x_{1} & 0 & \cdots & 0 \\<br />
0 & x_{2} & \cdots & 0 \\<br />
\vdots & & \ddots & \vdots \\<br />
0 & \ldots & \ldots & x_{n}<br />
\end{array}<br />
</nowiki><br />
\right)\right| x_{1},\ldots,x_{n}\in \mathbb{R}^{\times}<br />
\right\}<br />
$$<br />
であり、$N/B\cap N$ は対称群 $S_{n}$ と同型である。$S_{n}$ の位数 $2$ の元からなる生成系 $\{(i,i+1)\mathrel{\vert} i=1,\ldots,n-1\}$ のことを $S$ と置く。$(G,B,N,S)$ はTits系になる。<br />
<br />
<br />
{{theorem |type=def |label=def2}}<br />
Tits系 $(G,B,N,S)$ に対して、$B$ を含んでいるような $G$ の部分群のことを $(G,B,N,S)$ の'''標準的放物型部分群(standard parabolic subgroup)'''という。<br />
<br />
==Bruhat分解==<br />
{{theorem |type=thm |label=Bruhat-dec}}<br />
Tits系 $(G,B,N,S)$ に対して、<br />
$$<br />
G=\coprod_{w\in W}C(w)<br />
$$<br />
が成り立つ。この分解のことを $G$ の'''Bruhat分解(Bruhat decomposition)'''と呼ぶ。<br />
{{begin|proof}}<br />
合併<br />
$$<br />
\bigcup_{w\in W}C(w)<br />
$$<br />
は $B,N$ を含む群なので、これは $G$ と等しい。この分解が無縁和であることを示そう。$C(v)=C(w)$ とし、$d=\mathrm{min}\{\ell_{S}(v),\ell_{S}(w)\}$ と置く。このとき $v=w$ であることを $d$ についての帰納法で示す。$d=0$ のとき、$C(v)=C(w)=B$ であり、これは $v,w$ の代表元が $B\cap N$ に入っていることを意味するので、$v=w=1$ が言える。$d>0$ とする。一般性を失うことなく $d=\ell_{S}(w)\leq \ell_{S}(v)$ としてよく、このとき $\ell_{S}(sw)=\ell_{S}(w)-1$ となるような $s\in S$ がある。$wB\subset C(w)=C(v)$ なので <br />
$$<br />
C(sw)\subset sC(v)\subset C(sv)\cup C(v)<br />
$$<br />
である。よって、$C(sw)=C(v)$ であるかまたは $C(sw)=C(sv)$ である。前者の場合は $C(sw)=C(w)$ なので、$d-1=\mathrm{min}\{\ell_{S}(sw),\ell_{S}(w)\}<d$ から $sw=w$ が得られ、帰納法の仮定に反する。後者の場合、帰納法により、$sw=sv$ が分かる。したがって、$v=w$ を得る。<br />
{{end|proof}}<br />
<br />
<br />
{{theorem |type=prop |label=cellproduct}}<br />
任意の $w\in W$ と $s\in S$ に対して、もし $\ell(sw)=\ell(w)+1$ なら $C(s)C(w)=C(sw)$ であり $\ell(sw)=\ell(w)-1$ なら $C(s)C(w)=C(w)\cup C(sw)$ である。<br />
{{begin|proof}}<br />
$\ell(w)=0$ なら主張は自明である。$\ell(w)>0$ なら、$\ell(wt)<\ell(w)$ となる $t\in S$ がある。$\ell(sw)=\ell(w)+1$ のとき $C(s)C(w)=C(sw)$ となることをまず示そう。$w^{'}=wt$ と置く。<br />
$$<br />
\ell(w^{'})+1=\ell(w)\leq \ell(sw)=\ell(sw^{'}t)\leq \ell(sw^{'})+1<br />
$$<br />
なので帰納法の仮定から<br />
$$<br />
C(s)C(w^{'})=C(sw^{'})<br />
$$<br />
となる。$C(s)C(w)\neq C(sw)$ と仮定する。$sBw\cap C(w)\neq \phi$ なので $sBw^{'}\cap C(w)t$ も空でない。さらに $C(w)t\subset C(w)\cup C(w^{'})$ なので $sBw^{'}\cap (C(w)\cup C(w^{'}))\neq \phi$ である。$C(s)C(w^{'})=C(sw^{'})$ なので{{ref |type=thm |label=Bruhat-dec}} より $sw^{'}=w$ である。しかしこれは<br />
$$<br />
\ell(w^{'})<\ell(w)<\ell(sw)<br />
$$<br />
に矛盾する。したがって $C(s)(w)$ と $C(w)$ は交わらず、$C(s)C(w)=C(sw)$ であることが分かる。次に $\ell(sw)=\ell(w)-1$ の場合を考えよう。このとき $\ell(s(sw))=\ell(sw)+1$ なので、上で見たように<br />
$$<br />
C(s)C(sw)=C(w)<br />
$$<br />
である。このとき、<br />
\begin{align}<br />
C(s)C(w)&=C(s)C(s)C(sw) \\<br />
&=(C(s)\cup B)C(sw) \\<br />
&=C(w)\cup C(sw)<br />
\end{align}<br />
<br />
{{end|proof}}<br />
<br />
==放物型部分群==<br />
<br />
{{theorem |type=prop |label=Coxeter}}<br />
$(G,B,N,S)$ をTits系とすると、$(W,S)$ は[[Coxeter系]]になる。<br />
{{begin|proof}}<br />
$s\in S$ と $w\in W$ が $\ell(sw)=\ell(w)-1$ を満たすとする。また $s_{1},\ldots,s_{n}\in S$ を $w=s_{1}\cdots s_{n}$ が最短表示であるように選ぶ。このとき[[交換条件]]をみたすことを示そう。つまり<br />
$$<br />
sw=s_{1}\cdots \hat{s_{i}}\cdots s_{n}<br />
$$<br />
となる $i$ が存在することを示す。仮定より $C(s)C(w)=C(sw)\cup C(w)$ かつ $C(w)=C(s_{1})\cdots C(s_{n})$ が成り立つ。$1\leq i\leq n$ を $\ell(ss_{1}\cdots s_{i})<\ell(ss_{1}\cdots s_{i-1})$ となるような最小の添え字に選べば<br />
\begin{align}<br />
C(s)C(w)&=C(s)C(s_{1})\cdots C(s_{i-1})C(s_{i})\cdots C(s_{n}) \\<br />
&=C(ss_{1}\cdots s_{i-1})C(s_{i})\cdots C(s_{n}) \\<br />
&=\left(C(ss_{1}\cdots s_{i})\cup C(ss_{1}\cdots s_{i-1}) \right)C(s_{i+1})\cdots C(s_{n}) \\<br />
&\subset \bigcup \left(C(ss_{1}\cdots s_{i}s_{i_{1}}\cdots s_{i_{p}})\cup C(ss_{1}\cdots s_{i-1}s_{i_{1}}\cdots s_{i_{p}}) \right)<br />
\end{align}<br />
ここで、$i<i_{1}<\ldots <i_{p}\leq n$ を満たすような添え字を走る。$C(w)$ は最右辺に含まれるので $\ell(w)=n$ という事実と合わせて考えると $w=ss_{1}\cdots s_{i-1}s_{i+1}\cdots s_{n}$ であるかまたは $w=ss_{1}\cdots s_{i}s_{i+1}\cdots \widehat{s_{i+k}}\cdots s_{n}$ となる $k$ がある。どちらにせよ、$(W,S)$ は交換条件を満たすことが確認できる。<br />
{{end|proof}}<br />
<br />
<br />
$I$ を $S$ の部分集合とすると、$(W_{I},I)$ はCoxeter系である。$P_{I}=BW_{I}B$ は $B$ を含む $G$ の部分群になる。すなわち $P_{I}$ は標準的放物型部分群になる。逆に、$P$ が標準的放物型部分群のとき、<br />
$$<br />
W_{I}=\{w\in W\mathrel{\vert}C(w)\subset P\}<br />
$$<br />
と置くと、これは $W$ の放物型部分群であり、$I=S\cap W_{I}$ は $W_{I}$ の生成系である。つまり、$S$ の部分集合と $G$ の標準的放物型部分群は $1:1$ に対応する。$G$ の'''放物型部分群'''とは、$G$ の標準的放物型部分群と共役な群のことを意味する。$\Delta(G,B)$ を $G$ の放物型部分群全体のなす集合とする。<br />
<br />
{{theorem |type=lem |label=cell-gen}}<br />
もし $w\in W$ に対して $w=s_{1}\cdots s_{n}$ が最短表示なら $\langle C(w)\rangle=\langle C(s_{1}),\ldots,C(s_{n})\rangle=\langle B,wBw^{-1}\rangle$ が成り立つ。<br />
{{begin|proof}}<br />
$w\in C(w)$ かつ $wB\subset C(w)$ より $\langle B,wBw^{-1}\rangle\subset \langle C(w)\rangle $ が分かる。さらに$w=s_{1}\cdots s_{n}$ は最短表示なので $\langle C(s_{1}),\ldots, C(s_{n}) \rangle$ である。よって、$C(s_{1}),\ldots ,C(s_{n})\subset \langle B,wBw^{-1} \rangle$ を示せばよい。実際、$\ell(s_{1}w)<\ell(w)$ なので、$C(w)\subset C(s_{1})C(w)$ となる。特に、$w=b_{1}s_{1}b_{2}wb_{3}$ となる $b_{1},b_{2},b_{3}\in B$ が存在する。特に $s_{1}=b_{1}^{-1}wb_{3}^{-1}w^{-1}b_{2}^{-1}\in \langle B,wBw^{-1}\rangle$ となるので $\langle B,s_{1}wBw^{-1}s_{1}\rangle\subset \langle B,wBw^{-1}\rangle$ となる。さらに帰納法により、この左辺は $C(s_{2}),\ldots,C(s_{n})$ を含む。よって、<br />
$$<br />
\langle C(s_{1}),\ldots,C(s_{n})\rangle\subset \langle B,wBw^{-1}\rangle<br />
$$<br />
となる。<br />
{{end|proof}}<br />
<br />
{{theorem |type=prop |label=normal}}<br />
任意の $P\in \Delta(G,B)$ に対して $N_{G}(P)=P$ が成り立つ。 <br />
{{begin|proof}}<br />
任意の $g\in G$ に対して、$N_{G}(gPg^{-1})=gN_{G}(P)g^{-1}$ なので、$P$ は標準的であるとしてよい。$x\in N_{G}(P)$ に対し $x\in C(w)$ となるような $w\in W$ がある。この $w$ に対して$\langle B,wBw^{-1} \rangle$ は $P$ に含まれるので、$x\in C(w)\in P$ となる。したがって $N_{G}(P)=P$ が分かる。<br />
{{end|proof}}<br />
<br />
<br />
==$B$ 適応準同型、$B$-$N$ 適応準同型==<br />
<br />
$(G,B,N,S)$ をTits系とし、$\widehat{G}$ を群とする。<br />
<br />
{{theorem |type=def |label=adaptedhom}}<br />
準同型 $\phi\colon G\longrightarrow \widehat{G}$ が以下の条件を満たすとき、$\phi$ は $B$ 適応準同型であるという。<br />
*(1) ${\rm Ker}(\phi)\subset B.$<br />
*(2) 任意の $g\in \widehat{G}$ に対して $h\in G$ が存在して $\phi(hBh^{-1})=g\phi(B)g^{-1}.$<br />
この条件(2)の代わりに<br />
*(2') 任意の $g\in \widehat{G}$ に対して $h\in G$ が存在して $\phi(hBh^{-1})=g\phi(B)g^{-1}, \phi(hNh^{-1})=g\phi(N)g^{-1}.$<br />
が成り立つとき、$\phi$ は $B$-$N$ 適応準同型であるという。<br />
<br />
<br />
{{theorem |type=lem |label=normal}}<br />
$\phi$ が $B$ 適応準同型のとき、像 $\phi(G)$ は $\widehat{G}$ の正規部分群である。<br />
{{begin|proof}}<br />
$G=\bigcup_{w\in W}\langle C(w)\rangle =\bigcup_{w\in W}\langle B,wBw^{-1}\rangle$ なので、$G$ は $B$ と共役な部分群たちによって生成されている。すなわち、任意の $a\in G$ に対して有限個の $(b_{i},k_{i})\in B\times G$ があり、<br />
$$<br />
a=\prod k_{i}b_{i}k_{i}^{-1}<br />
$$ <br />
となる。任意の $g\in \widehat{G}$ に対して、$g\phi(a)g^{-1}\in \psi(G)$ を示そう。$g_{i}=g\phi(k_{i})$ と置くと、$\phi$ は $B$ 適応準同型なので、$g_{i}\phi(B)g_{i}^{-1}=\phi(h_{i}Bh_{i}^{-1})$ となる $h_{i}\in G$ が存在する。このとき、<br />
\begin{align}<br />
g^{-1}\phi(a)g&=\prod g_{i}\phi(b_{i})g_{i}^{-1} \\<br />
&=\prod \phi(h_{i}b_{i}h_{i}^{-1})\in \phi(G)<br />
\end{align}<br />
であるから、$\phi$ の像は $\widehat{G}$ の正規部分群である。<br />
{{end|proof}}<br />
<br />
<br />
$\phi$ が $B$ 適応準同型とすると $\Delta(G,B)$ への $\widehat{G}$ への作用を<br />
$$<br />
\widehat{G}\times \Delta(G,B)\longrightarrow \Delta(G,B);(g,P)\longmapsto {}^{g}P:=\phi^{-1}(\phi(g)P\phi(g^{-1}))<br />
$$<br />
と定める。$P\in \Delta(G,B)$ に対して、安定化群を ${\rm Stab}(P)=\{g\in \widehat{G}\mathrel{\vert} {}^{g}P=P\}$ と置くと $\phi^{-1}({\rm Stab}(P))=P$ である。<br />
<br />
==Titsの建物(Building)との関係==<br />
<br />
==Tits系の例==</div>
Gest N
https://math.jp/w/index.php?title=Tits%E7%B3%BB%E3%80%81BN%E5%AF%BE&diff=11766
Tits系、BN対
2022-09-18T14:31:39Z
<p>Gest N: /* $B$ 適応準同型、$B$-$N$ 適応準同型 */</p>
<hr />
<div><br />
<br />
{{newtheorem |type=lem |counter=0 |display=補題 }}<br />
{{newtheorem |type=thm |counter=0 |display=定理 }}<br />
{{newtheorem |type=prop |counter=0 |display=命題 }}<br />
{{newtheorem |type=def |counter=0 |display=定義 }}<br />
{{newtheorem |type=cor |counter=0 |display=系 }}<br />
{{newtheorem |type=proof |counter=0 |display=証明 }}<br />
{{newtheorem |type=rem |counter=0 |display=注 }}<br />
{{newtheorem |type=exa |counter=0 |display=例 }}<br />
{{newtheorem |type=cond |counter=0 |display=条件 }}<br />
<br />
__MATHJAX2__<br />
<br />
Tits系は代数群の構造を調べるための基本的な道具である。<br />
<br />
<br />
<noinclude><br />
{{TOC |align=right |noautonum=1 }}<!-- 右寄せ連番無し目次をここに表示 --><br />
</noinclude><br />
<br />
<br />
==定義==<br />
<br />
{{theorem |type=def |label=def}}<br />
群 $G$ の二つの部分群 $B,N$ が以下の条件を満たすとする。<br />
* (1) $G$ は $B$ と $N$ によって生成される。<br />
* (2) $B\cap N$ は $N$ の正規部分群であり、$S$ は $W=N/B\cap N$ の位数 $2$ の元からなる生成系である。<br />
* (3) 任意の $s\in S$ と $w\in W$ に対して、<br />
$$<br />
C(s)C(w)\subset C(sw)\cup C(w).<br />
$$<br />
* (4) 任意の $s\in S$ に対して、$sBs\neq B$ である。<br />
ただし、$C(w)$ は両側剰余類 $BwB$ である。このような条件を満足する四つ組 $(G,B,N,S)$ のことを'''Tits系(Tits system)'''と呼ぶ。<br />
<br />
Tits系の重要な例を一つ上げる。<br />
{{theorem |type=exa |label=GLspherical}}<br />
$G=GL_{n}(\mathbb{R})$ とし $B$ を上三角行列のなす $G$ の部分群とする。$G$ はベクトル空間 $\mathbb{R}^{n}=\mathbb{R}e_{1}\oplus \cdots \oplus \mathbb{R}e_{n}$ に自然に作用している。ただし、$e_{1},\ldots, e_{n}$ は $\mathbb{R}^{n}$ の標準基底とする。$N$ は $\mathbb{R}e_{1},\ldots,\mathbb{R}e_{n}$ を置換する $G$ の部分群とする。$N$ は 各行各列に一つだけ $0$ でない成分があり、そうでない成分が $0$ であるような行列のなす群である。$B\cap N$ は対角行列のなすトーラス<br />
$$<br />
B\cap N=\left\{<br />
\left. \left(<br />
<nowiki><br />
\begin{array}{cccc}<br />
x_{1} & 0 & \cdots & 0 \\<br />
0 & x_{2} & \cdots & 0 \\<br />
\vdots & & \ddots & \vdots \\<br />
0 & \ldots & \ldots & x_{n}<br />
\end{array}<br />
</nowiki><br />
\right)\right| x_{1},\ldots,x_{n}\in \mathbb{R}^{\times}<br />
\right\}<br />
$$<br />
であり、$N/B\cap N$ は対称群 $S_{n}$ と同型である。$S_{n}$ の位数 $2$ の元からなる生成系 $\{(i,i+1)\mathrel{\vert} i=1,\ldots,n-1\}$ のことを $S$ と置く。$(G,B,N,S)$ はTits系になる。<br />
<br />
<br />
{{theorem |type=def |label=def2}}<br />
Tits系 $(G,B,N,S)$ に対して、$B$ を含んでいるような $G$ の部分群のことを $(G,B,N,S)$ の'''標準的放物型部分群(standard parabolic subgroup)'''という。<br />
<br />
==Bruhat分解==<br />
{{theorem |type=thm |label=Bruhat-dec}}<br />
Tits系 $(G,B,N,S)$ に対して、<br />
$$<br />
G=\coprod_{w\in W}C(w)<br />
$$<br />
が成り立つ。この分解のことを $G$ の'''Bruhat分解(Bruhat decomposition)'''と呼ぶ。<br />
{{begin|proof}}<br />
合併<br />
$$<br />
\bigcup_{w\in W}C(w)<br />
$$<br />
は $B,N$ を含む群なので、これは $G$ と等しい。この分解が無縁和であることを示そう。$C(v)=C(w)$ とし、$d=\mathrm{min}\{\ell_{S}(v),\ell_{S}(w)\}$ と置く。このとき $v=w$ であることを $d$ についての帰納法で示す。$d=0$ のとき、$C(v)=C(w)=B$ であり、これは $v,w$ の代表元が $B\cap N$ に入っていることを意味するので、$v=w=1$ が言える。$d>0$ とする。一般性を失うことなく $d=\ell_{S}(w)\leq \ell_{S}(v)$ としてよく、このとき $\ell_{S}(sw)=\ell_{S}(w)-1$ となるような $s\in S$ がある。$wB\subset C(w)=C(v)$ なので <br />
$$<br />
C(sw)\subset sC(v)\subset C(sv)\cup C(v)<br />
$$<br />
である。よって、$C(sw)=C(v)$ であるかまたは $C(sw)=C(sv)$ である。前者の場合は $C(sw)=C(w)$ なので、$d-1=\mathrm{min}\{\ell_{S}(sw),\ell_{S}(w)\}<d$ から $sw=w$ が得られ、帰納法の仮定に反する。後者の場合、帰納法により、$sw=sv$ が分かる。したがって、$v=w$ を得る。<br />
{{end|proof}}<br />
<br />
<br />
{{theorem |type=prop |label=cellproduct}}<br />
任意の $w\in W$ と $s\in S$ に対して、もし $\ell(sw)=\ell(w)+1$ なら $C(s)C(w)=C(sw)$ であり $\ell(sw)=\ell(w)-1$ なら $C(s)C(w)=C(w)\cup C(sw)$ である。<br />
{{begin|proof}}<br />
$\ell(w)=0$ なら主張は自明である。$\ell(w)>0$ なら、$\ell(wt)<\ell(w)$ となる $t\in S$ がある。$\ell(sw)=\ell(w)+1$ のとき $C(s)C(w)=C(sw)$ となることをまず示そう。$w^{'}=wt$ と置く。<br />
$$<br />
\ell(w^{'})+1=\ell(w)\leq \ell(sw)=\ell(sw^{'}t)\leq \ell(sw^{'})+1<br />
$$<br />
なので帰納法の仮定から<br />
$$<br />
C(s)C(w^{'})=C(sw^{'})<br />
$$<br />
となる。$C(s)C(w)\neq C(sw)$ と仮定する。$sBw\cap C(w)\neq \phi$ なので $sBw^{'}\cap C(w)t$ も空でない。さらに $C(w)t\subset C(w)\cup C(w^{'})$ なので $sBw^{'}\cap (C(w)\cup C(w^{'}))\neq \phi$ である。$C(s)C(w^{'})=C(sw^{'})$ なので{{ref |type=thm |label=Bruhat-dec}} より $sw^{'}=w$ である。しかしこれは<br />
$$<br />
\ell(w^{'})<\ell(w)<\ell(sw)<br />
$$<br />
に矛盾する。したがって $C(s)(w)$ と $C(w)$ は交わらず、$C(s)C(w)=C(sw)$ であることが分かる。次に $\ell(sw)=\ell(w)-1$ の場合を考えよう。このとき $\ell(s(sw))=\ell(sw)+1$ なので、上で見たように<br />
$$<br />
C(s)C(sw)=C(w)<br />
$$<br />
である。このとき、<br />
\begin{align}<br />
C(s)C(w)&=C(s)C(s)C(sw) \\<br />
&=(C(s)\cup B)C(sw) \\<br />
&=C(w)\cup C(sw)<br />
\end{align}<br />
<br />
{{end|proof}}<br />
<br />
==放物型部分群==<br />
<br />
{{theorem |type=prop |label=Coxeter}}<br />
$(G,B,N,S)$ をTits系とすると、$(W,S)$ は[[Coxeter系]]になる。<br />
{{begin|proof}}<br />
$s\in S$ と $w\in W$ が $\ell(sw)=\ell(w)-1$ を満たすとする。また $s_{1},\ldots,s_{n}\in S$ を $w=s_{1}\cdots s_{n}$ が最短表示であるように選ぶ。このとき[[交換条件]]をみたすことを示そう。つまり<br />
$$<br />
sw=s_{1}\cdots \hat{s_{i}}\cdots s_{n}<br />
$$<br />
となる $i$ が存在することを示す。仮定より $C(s)C(w)=C(sw)\cup C(w)$ かつ $C(w)=C(s_{1})\cdots C(s_{n})$ が成り立つ。$1\leq i\leq n$ を $\ell(ss_{1}\cdots s_{i})<\ell(ss_{1}\cdots s_{i-1})$ となるような最小の添え字に選べば<br />
\begin{align}<br />
C(s)C(w)&=C(s)C(s_{1})\cdots C(s_{i-1})C(s_{i})\cdots C(s_{n}) \\<br />
&=C(ss_{1}\cdots s_{i-1})C(s_{i})\cdots C(s_{n}) \\<br />
&=\left(C(ss_{1}\cdots s_{i})\cup C(ss_{1}\cdots s_{i-1}) \right)C(s_{i+1})\cdots C(s_{n}) \\<br />
&\subset \bigcup \left(C(ss_{1}\cdots s_{i}s_{i_{1}}\cdots s_{i_{p}})\cup C(ss_{1}\cdots s_{i-1}s_{i_{1}}\cdots s_{i_{p}}) \right)<br />
\end{align}<br />
ここで、$i<i_{1}<\ldots <i_{p}\leq n$ を満たすような添え字を走る。$C(w)$ は最右辺に含まれるので $\ell(w)=n$ という事実と合わせて考えると $w=ss_{1}\cdots s_{i-1}s_{i+1}\cdots s_{n}$ であるかまたは $w=ss_{1}\cdots s_{i}s_{i+1}\cdots \widehat{s_{i+k}}\cdots s_{n}$ となる $k$ がある。どちらにせよ、$(W,S)$ は交換条件を満たすことが確認できる。<br />
{{end|proof}}<br />
<br />
<br />
$I$ を $S$ の部分集合とすると、$(W_{I},I)$ はCoxeter系である。$P_{I}=BW_{I}B$ は $B$ を含む $G$ の部分群になる。すなわち $P_{I}$ は標準的放物型部分群になる。逆に、$P$ が標準的放物型部分群のとき、<br />
$$<br />
W_{I}=\{w\in W\mathrel{\vert}C(w)\subset P\}<br />
$$<br />
と置くと、これは $W$ の放物型部分群であり、$I=S\cap W_{I}$ は $W_{I}$ の生成系である。つまり、$S$ の部分集合と $G$ の標準的放物型部分群は $1:1$ に対応する。$G$ の'''放物型部分群'''とは、$G$ の標準的放物型部分群と共役な群のことを意味する。$\Delta(G,B)$ を $G$ の放物型部分群全体のなす集合とする。<br />
<br />
{{theorem |type=lem |label=cell-gen}}<br />
もし $w\in W$ に対して $w=s_{1}\cdots s_{n}$ が最短表示なら $\langle C(w)\rangle=\langle C(s_{1}),\ldots,C(s_{n})\rangle=\langle B,wBw^{-1}\rangle$ が成り立つ。<br />
{{begin|proof}}<br />
$w\in C(w)$ かつ $wB\subset C(w)$ より $\langle B,wBw^{-1}\rangle\subset \langle C(w)\rangle $ が分かる。さらに$w=s_{1}\cdots s_{n}$ は最短表示なので $\langle C(s_{1}),\ldots, C(s_{n}) \rangle$ である。よって、$C(s_{1}),\ldots ,C(s_{n})\subset \langle B,wBw^{-1} \rangle$ を示せばよい。実際、$\ell(s_{1}w)<\ell(w)$ なので、$C(w)\subset C(s_{1})C(w)$ となる。特に、$w=b_{1}s_{1}b_{2}wb_{3}$ となる $b_{1},b_{2},b_{3}\in B$ が存在する。特に $s_{1}=b_{1}^{-1}wb_{3}^{-1}w^{-1}b_{2}^{-1}\in \langle B,wBw^{-1}\rangle$ となるので $\langle B,s_{1}wBw^{-1}s_{1}\rangle\subset \langle B,wBw^{-1}\rangle$ となる。さらに帰納法により、この左辺は $C(s_{2}),\ldots,C(s_{n})$ を含む。よって、<br />
$$<br />
\langle C(s_{1}),\ldots,C(s_{n})\rangle\subset \langle B,wBw^{-1}\rangle<br />
$$<br />
となる。<br />
{{end|proof}}<br />
<br />
{{theorem |type=prop |label=normal}}<br />
任意の $P\in \Delta(G,B)$ に対して $N_{G}(P)=P$ が成り立つ。 <br />
{{begin|proof}}<br />
任意の $g\in G$ に対して、$N_{G}(gPg^{-1})=gN_{G}(P)g^{-1}$ なので、$P$ は標準的であるとしてよい。$x\in N_{G}(P)$ に対し $x\in C(w)$ となるような $w\in W$ がある。この $w$ に対して$\langle B,wBw^{-1} \rangle$ は $P$ に含まれるので、$x\in C(w)\in P$ となる。したがって $N_{G}(P)=P$ が分かる。<br />
{{end|proof}}<br />
<br />
<br />
==$B$ 適応準同型、$B$-$N$ 適応準同型==<br />
<br />
$(G,B,N,S)$ をTits系とし、$\widehat{G}$ を群とする。<br />
<br />
{{theorem |type=def |label=adaptedhom}}<br />
準同型 $\phi\colon G\longrightarrow \widehat{G}$ が以下の条件を満たすとき、$\phi$ は $B$ 適応準同型であるという。<br />
*(1) ${\rm Ker}(\phi)\subset B.$<br />
*(2) 任意の $g\in \widehat{G}$ に対して $h\in G$ が存在して $\phi(hBh^{-1})=g\phi(B)g^{-1}.$<br />
この条件(2)の代わりに<br />
*(2') 任意の $g\in \widehat{G}$ に対して $h\in G$ が存在して $\phi(hBh^{-1})=g\phi(B)g^{-1}, \phi(hNh^{-1})=g\phi(N)g^{-1}.$<br />
が成り立つとき、$\phi$ は $B$-$N$ 適応準同型であるという。<br />
<br />
<br />
{{theorem |type=lem |label=normal}}<br />
$\phi$ が $B$ 適応準同型のとき、像 $\phi(G)$ は $\widehat{G}$ の正規部分群である。<br />
{{begin|proof}}<br />
$G=\bigcup_{w\in W}\langle C(w)\rangle =\bigcup_{w\in W}\langle B,wBw^{-1}\rangle$ なので、$G$ は $B$ と共役な部分群たちによって生成されている。すなわち、任意の $a\in G$ に対して有限個の $(b_{i},k_{i})\in B\times G$ があり、<br />
$$<br />
a=\prod k_{i}b_{i}k_{i}^{-1}<br />
$$ <br />
となる。任意の $g\in \widehat{G}$ に対して、$g\phi(a)g^{-1}\in \psi(G)$ を示そう。$g_{i}=g\phi(k_{i})$ と置くと、$\phi$ は $B$ 適応準同型なので、$g_{i}\phi(B)g_{i}^{-1}=\phi(h_{i}Bh_{i}^{-1})$ となる $h_{i}\in G$ が存在する。このとき、<br />
\begin{align}<br />
g^{-1}\phi(a)g&=\prod g_{i}\phi(b_{i})g_{i}^{-1} \\<br />
&=\prod \phi(h_{i}b_{i}h_{i}^{-1})\in \phi(G)<br />
\end{align}<br />
であるから、$\phi$ の像は $\widehat{G}$ の正規部分群である。<br />
{{end|proof}}<br />
<br />
<br />
$\phi$ が $B$ 適応準同型とすると $\Delta(G,B)$ への $\widehat{G}$ への作用を<br />
$$<br />
\widehat{G}\times \Delta(G,B)\longrightarrow \Delta(G,B);(g,P)\longmapsto {}^{g}P=\phi^{-1}(\phi(g)P\phi(g^{-1}))<br />
$$<br />
と定める。$P\in Delta(G,B)$ に対して、安定化群を ${\rm Stab}(P)=\{g\in \widehat{G}\mathrel{\vert} {}^{g}P=P\}$ と置くと $\phi^{-1}({\rm Stab}(P))=P$ である。<br />
<br />
==Titsの建物(Building)との関係==<br />
<br />
==Tits系の例==</div>
Gest N
https://math.jp/w/index.php?title=Tits%E7%B3%BB%E3%80%81BN%E5%AF%BE&diff=11764
Tits系、BN対
2022-09-18T14:01:49Z
<p>Gest N: /* $B$ 適応準同型、$B$-$N$ 適応準同型 */</p>
<hr />
<div><br />
<br />
{{newtheorem |type=lem |counter=0 |display=補題 }}<br />
{{newtheorem |type=thm |counter=0 |display=定理 }}<br />
{{newtheorem |type=prop |counter=0 |display=命題 }}<br />
{{newtheorem |type=def |counter=0 |display=定義 }}<br />
{{newtheorem |type=cor |counter=0 |display=系 }}<br />
{{newtheorem |type=proof |counter=0 |display=証明 }}<br />
{{newtheorem |type=rem |counter=0 |display=注 }}<br />
{{newtheorem |type=exa |counter=0 |display=例 }}<br />
{{newtheorem |type=cond |counter=0 |display=条件 }}<br />
<br />
__MATHJAX2__<br />
<br />
Tits系は代数群の構造を調べるための基本的な道具である。<br />
<br />
<br />
<noinclude><br />
{{TOC |align=right |noautonum=1 }}<!-- 右寄せ連番無し目次をここに表示 --><br />
</noinclude><br />
<br />
<br />
==定義==<br />
<br />
{{theorem |type=def |label=def}}<br />
群 $G$ の二つの部分群 $B,N$ が以下の条件を満たすとする。<br />
* (1) $G$ は $B$ と $N$ によって生成される。<br />
* (2) $B\cap N$ は $N$ の正規部分群であり、$S$ は $W=N/B\cap N$ の位数 $2$ の元からなる生成系である。<br />
* (3) 任意の $s\in S$ と $w\in W$ に対して、<br />
$$<br />
C(s)C(w)\subset C(sw)\cup C(w).<br />
$$<br />
* (4) 任意の $s\in S$ に対して、$sBs\neq B$ である。<br />
ただし、$C(w)$ は両側剰余類 $BwB$ である。このような条件を満足する四つ組 $(G,B,N,S)$ のことを'''Tits系(Tits system)'''と呼ぶ。<br />
<br />
Tits系の重要な例を一つ上げる。<br />
{{theorem |type=exa |label=GLspherical}}<br />
$G=GL_{n}(\mathbb{R})$ とし $B$ を上三角行列のなす $G$ の部分群とする。$G$ はベクトル空間 $\mathbb{R}^{n}=\mathbb{R}e_{1}\oplus \cdots \oplus \mathbb{R}e_{n}$ に自然に作用している。ただし、$e_{1},\ldots, e_{n}$ は $\mathbb{R}^{n}$ の標準基底とする。$N$ は $\mathbb{R}e_{1},\ldots,\mathbb{R}e_{n}$ を置換する $G$ の部分群とする。$N$ は 各行各列に一つだけ $0$ でない成分があり、そうでない成分が $0$ であるような行列のなす群である。$B\cap N$ は対角行列のなすトーラス<br />
$$<br />
B\cap N=\left\{<br />
\left. \left(<br />
<nowiki><br />
\begin{array}{cccc}<br />
x_{1} & 0 & \cdots & 0 \\<br />
0 & x_{2} & \cdots & 0 \\<br />
\vdots & & \ddots & \vdots \\<br />
0 & \ldots & \ldots & x_{n}<br />
\end{array}<br />
</nowiki><br />
\right)\right| x_{1},\ldots,x_{n}\in \mathbb{R}^{\times}<br />
\right\}<br />
$$<br />
であり、$N/B\cap N$ は対称群 $S_{n}$ と同型である。$S_{n}$ の位数 $2$ の元からなる生成系 $\{(i,i+1)\mathrel{\vert} i=1,\ldots,n-1\}$ のことを $S$ と置く。$(G,B,N,S)$ はTits系になる。<br />
<br />
<br />
{{theorem |type=def |label=def2}}<br />
Tits系 $(G,B,N,S)$ に対して、$B$ を含んでいるような $G$ の部分群のことを $(G,B,N,S)$ の'''標準的放物型部分群(standard parabolic subgroup)'''という。<br />
<br />
==Bruhat分解==<br />
{{theorem |type=thm |label=Bruhat-dec}}<br />
Tits系 $(G,B,N,S)$ に対して、<br />
$$<br />
G=\coprod_{w\in W}C(w)<br />
$$<br />
が成り立つ。この分解のことを $G$ の'''Bruhat分解(Bruhat decomposition)'''と呼ぶ。<br />
{{begin|proof}}<br />
合併<br />
$$<br />
\bigcup_{w\in W}C(w)<br />
$$<br />
は $B,N$ を含む群なので、これは $G$ と等しい。この分解が無縁和であることを示そう。$C(v)=C(w)$ とし、$d=\mathrm{min}\{\ell_{S}(v),\ell_{S}(w)\}$ と置く。このとき $v=w$ であることを $d$ についての帰納法で示す。$d=0$ のとき、$C(v)=C(w)=B$ であり、これは $v,w$ の代表元が $B\cap N$ に入っていることを意味するので、$v=w=1$ が言える。$d>0$ とする。一般性を失うことなく $d=\ell_{S}(w)\leq \ell_{S}(v)$ としてよく、このとき $\ell_{S}(sw)=\ell_{S}(w)-1$ となるような $s\in S$ がある。$wB\subset C(w)=C(v)$ なので <br />
$$<br />
C(sw)\subset sC(v)\subset C(sv)\cup C(v)<br />
$$<br />
である。よって、$C(sw)=C(v)$ であるかまたは $C(sw)=C(sv)$ である。前者の場合は $C(sw)=C(w)$ なので、$d-1=\mathrm{min}\{\ell_{S}(sw),\ell_{S}(w)\}<d$ から $sw=w$ が得られ、帰納法の仮定に反する。後者の場合、帰納法により、$sw=sv$ が分かる。したがって、$v=w$ を得る。<br />
{{end|proof}}<br />
<br />
<br />
{{theorem |type=prop |label=cellproduct}}<br />
任意の $w\in W$ と $s\in S$ に対して、もし $\ell(sw)=\ell(w)+1$ なら $C(s)C(w)=C(sw)$ であり $\ell(sw)=\ell(w)-1$ なら $C(s)C(w)=C(w)\cup C(sw)$ である。<br />
{{begin|proof}}<br />
$\ell(w)=0$ なら主張は自明である。$\ell(w)>0$ なら、$\ell(wt)<\ell(w)$ となる $t\in S$ がある。$\ell(sw)=\ell(w)+1$ のとき $C(s)C(w)=C(sw)$ となることをまず示そう。$w^{'}=wt$ と置く。<br />
$$<br />
\ell(w^{'})+1=\ell(w)\leq \ell(sw)=\ell(sw^{'}t)\leq \ell(sw^{'})+1<br />
$$<br />
なので帰納法の仮定から<br />
$$<br />
C(s)C(w^{'})=C(sw^{'})<br />
$$<br />
となる。$C(s)C(w)\neq C(sw)$ と仮定する。$sBw\cap C(w)\neq \phi$ なので $sBw^{'}\cap C(w)t$ も空でない。さらに $C(w)t\subset C(w)\cup C(w^{'})$ なので $sBw^{'}\cap (C(w)\cup C(w^{'}))\neq \phi$ である。$C(s)C(w^{'})=C(sw^{'})$ なので{{ref |type=thm |label=Bruhat-dec}} より $sw^{'}=w$ である。しかしこれは<br />
$$<br />
\ell(w^{'})<\ell(w)<\ell(sw)<br />
$$<br />
に矛盾する。したがって $C(s)(w)$ と $C(w)$ は交わらず、$C(s)C(w)=C(sw)$ であることが分かる。次に $\ell(sw)=\ell(w)-1$ の場合を考えよう。このとき $\ell(s(sw))=\ell(sw)+1$ なので、上で見たように<br />
$$<br />
C(s)C(sw)=C(w)<br />
$$<br />
である。このとき、<br />
\begin{align}<br />
C(s)C(w)&=C(s)C(s)C(sw) \\<br />
&=(C(s)\cup B)C(sw) \\<br />
&=C(w)\cup C(sw)<br />
\end{align}<br />
<br />
{{end|proof}}<br />
<br />
==放物型部分群==<br />
<br />
{{theorem |type=prop |label=Coxeter}}<br />
$(G,B,N,S)$ をTits系とすると、$(W,S)$ は[[Coxeter系]]になる。<br />
{{begin|proof}}<br />
$s\in S$ と $w\in W$ が $\ell(sw)=\ell(w)-1$ を満たすとする。また $s_{1},\ldots,s_{n}\in S$ を $w=s_{1}\cdots s_{n}$ が最短表示であるように選ぶ。このとき[[交換条件]]をみたすことを示そう。つまり<br />
$$<br />
sw=s_{1}\cdots \hat{s_{i}}\cdots s_{n}<br />
$$<br />
となる $i$ が存在することを示す。仮定より $C(s)C(w)=C(sw)\cup C(w)$ かつ $C(w)=C(s_{1})\cdots C(s_{n})$ が成り立つ。$1\leq i\leq n$ を $\ell(ss_{1}\cdots s_{i})<\ell(ss_{1}\cdots s_{i-1})$ となるような最小の添え字に選べば<br />
\begin{align}<br />
C(s)C(w)&=C(s)C(s_{1})\cdots C(s_{i-1})C(s_{i})\cdots C(s_{n}) \\<br />
&=C(ss_{1}\cdots s_{i-1})C(s_{i})\cdots C(s_{n}) \\<br />
&=\left(C(ss_{1}\cdots s_{i})\cup C(ss_{1}\cdots s_{i-1}) \right)C(s_{i+1})\cdots C(s_{n}) \\<br />
&\subset \bigcup \left(C(ss_{1}\cdots s_{i}s_{i_{1}}\cdots s_{i_{p}})\cup C(ss_{1}\cdots s_{i-1}s_{i_{1}}\cdots s_{i_{p}}) \right)<br />
\end{align}<br />
ここで、$i<i_{1}<\ldots <i_{p}\leq n$ を満たすような添え字を走る。$C(w)$ は最右辺に含まれるので $\ell(w)=n$ という事実と合わせて考えると $w=ss_{1}\cdots s_{i-1}s_{i+1}\cdots s_{n}$ であるかまたは $w=ss_{1}\cdots s_{i}s_{i+1}\cdots \widehat{s_{i+k}}\cdots s_{n}$ となる $k$ がある。どちらにせよ、$(W,S)$ は交換条件を満たすことが確認できる。<br />
{{end|proof}}<br />
<br />
<br />
$I$ を $S$ の部分集合とすると、$(W_{I},I)$ はCoxeter系である。$P_{I}=BW_{I}B$ は $B$ を含む $G$ の部分群になる。すなわち $P_{I}$ は標準的放物型部分群になる。逆に、$P$ が標準的放物型部分群のとき、<br />
$$<br />
W_{I}=\{w\in W\mathrel{\vert}C(w)\subset P\}<br />
$$<br />
と置くと、これは $W$ の放物型部分群であり、$I=S\cap W_{I}$ は $W_{I}$ の生成系である。つまり、$S$ の部分集合と $G$ の標準的放物型部分群は $1:1$ に対応する。$G$ の'''放物型部分群'''とは、$G$ の標準的放物型部分群と共役な群のことを意味する。$\Delta(G,B)$ を $G$ の放物型部分群全体のなす集合とする。<br />
<br />
{{theorem |type=lem |label=cell-gen}}<br />
もし $w\in W$ に対して $w=s_{1}\cdots s_{n}$ が最短表示なら $\langle C(w)\rangle=\langle C(s_{1}),\ldots,C(s_{n})\rangle=\langle B,wBw^{-1}\rangle$ が成り立つ。<br />
{{begin|proof}}<br />
$w\in C(w)$ かつ $wB\subset C(w)$ より $\langle B,wBw^{-1}\rangle\subset \langle C(w)\rangle $ が分かる。さらに$w=s_{1}\cdots s_{n}$ は最短表示なので $\langle C(s_{1}),\ldots, C(s_{n}) \rangle$ である。よって、$C(s_{1}),\ldots ,C(s_{n})\subset \langle B,wBw^{-1} \rangle$ を示せばよい。実際、$\ell(s_{1}w)<\ell(w)$ なので、$C(w)\subset C(s_{1})C(w)$ となる。特に、$w=b_{1}s_{1}b_{2}wb_{3}$ となる $b_{1},b_{2},b_{3}\in B$ が存在する。特に $s_{1}=b_{1}^{-1}wb_{3}^{-1}w^{-1}b_{2}^{-1}\in \langle B,wBw^{-1}\rangle$ となるので $\langle B,s_{1}wBw^{-1}s_{1}\rangle\subset \langle B,wBw^{-1}\rangle$ となる。さらに帰納法により、この左辺は $C(s_{2}),\ldots,C(s_{n})$ を含む。よって、<br />
$$<br />
\langle C(s_{1}),\ldots,C(s_{n})\rangle\subset \langle B,wBw^{-1}\rangle<br />
$$<br />
となる。<br />
{{end|proof}}<br />
<br />
{{theorem |type=prop |label=normal}}<br />
任意の $P\in \Delta(G,B)$ に対して $N_{G}(P)=P$ が成り立つ。 <br />
{{begin|proof}}<br />
任意の $g\in G$ に対して、$N_{G}(gPg^{-1})=gN_{G}(P)g^{-1}$ なので、$P$ は標準的であるとしてよい。$x\in N_{G}(P)$ に対し $x\in C(w)$ となるような $w\in W$ がある。この $w$ に対して$\langle B,wBw^{-1} \rangle$ は $P$ に含まれるので、$x\in C(w)\in P$ となる。したがって $N_{G}(P)=P$ が分かる。<br />
{{end|proof}}<br />
<br />
<br />
==$B$ 適応準同型、$B$-$N$ 適応準同型==<br />
<br />
$(G,B,N,S)$ をTits系とし、$\widehat{G}$ を群とする。<br />
<br />
{{theorem |type=def |label=adaptedhom}}<br />
準同型 $\phi\colon G\longrightarrow \widehat{G}$ が以下の条件を満たすとき、$\phi$ は $B$ 適応準同型であるという。<br />
*(1) ${\rm Ker}(\phi)\subset B.$<br />
*(2) 任意の $g\in \widehat{G}$ に対して $h\in G$ が存在して $\phi(hBh^{-1})=g\phi(B)g^{-1}.$<br />
この条件(2)の代わりに<br />
*(2') 任意の $g\in \widehat{G}$ に対して $h\in G$ が存在して $\phi(hBh^{-1})=g\phi(B)g^{-1}, \phi(hNh^{-1})=g\phi(N)g^{-1}.$<br />
が成り立つとき、$\phi$ は $B$-$N$ 適応準同型であるという。<br />
<br />
<br />
{{theorem |type=lem |label=normal}}<br />
$\phi$ が $B$ 適応準同型のとき、像 $\phi(G)$ は $\widehat{G}$ の正規部分群である。<br />
{{begin|proof}}<br />
$G=\bigcup_{w\in W}\langle C(w)\rangle =\bigcup_{w\in W}\langle B,wBw^{-1}\rangle$ なので、$G$ は $B$ と共役な部分群たちによって生成されている。すなわち、任意の $a\in G$ に対して有限個の $(b_{i},k_{i})\in B\times G$ があり、<br />
$$<br />
a=\prod k_{i}b_{i}k_{i}^{-1}<br />
$$ <br />
となる。任意の $g\in \widehat{G}$ に対して、$g\phi(a)g^{-1}\in \psi(G)$ を示そう。$g_{i}=g\phi(k_{i})$ と置くと、$\phi$ は $B$ 適応準同型なので、$g_{i}\phi(B)g_{i}^{-1}=\phi(h_{i}Bh_{i}^{-1})$ となる $h_{i}\in G$ が存在する。このとき、<br />
\begin{align}<br />
g^{-1}\phi(a)g&=\prod g_{i}\phi(b_{i})g_{i}^{-1} \\<br />
&=\prod \phi(h_{i}b_{i}h_{i}^{-1})\in \phi(G)<br />
\end{align}<br />
であるから、$\phi$ の像は $\widehat{G}$ の正規部分群である。<br />
{{end|proof}}<br />
<br />
==Titsの建物(Building)との関係==<br />
<br />
==Tits系の例==</div>
Gest N
https://math.jp/w/index.php?title=Tits%E7%B3%BB%E3%80%81BN%E5%AF%BE&diff=11763
Tits系、BN対
2022-09-18T14:01:20Z
<p>Gest N: /* $B$ 適応準同型、$B$-$N$ 適応準同型 */</p>
<hr />
<div><br />
<br />
{{newtheorem |type=lem |counter=0 |display=補題 }}<br />
{{newtheorem |type=thm |counter=0 |display=定理 }}<br />
{{newtheorem |type=prop |counter=0 |display=命題 }}<br />
{{newtheorem |type=def |counter=0 |display=定義 }}<br />
{{newtheorem |type=cor |counter=0 |display=系 }}<br />
{{newtheorem |type=proof |counter=0 |display=証明 }}<br />
{{newtheorem |type=rem |counter=0 |display=注 }}<br />
{{newtheorem |type=exa |counter=0 |display=例 }}<br />
{{newtheorem |type=cond |counter=0 |display=条件 }}<br />
<br />
__MATHJAX2__<br />
<br />
Tits系は代数群の構造を調べるための基本的な道具である。<br />
<br />
<br />
<noinclude><br />
{{TOC |align=right |noautonum=1 }}<!-- 右寄せ連番無し目次をここに表示 --><br />
</noinclude><br />
<br />
<br />
==定義==<br />
<br />
{{theorem |type=def |label=def}}<br />
群 $G$ の二つの部分群 $B,N$ が以下の条件を満たすとする。<br />
* (1) $G$ は $B$ と $N$ によって生成される。<br />
* (2) $B\cap N$ は $N$ の正規部分群であり、$S$ は $W=N/B\cap N$ の位数 $2$ の元からなる生成系である。<br />
* (3) 任意の $s\in S$ と $w\in W$ に対して、<br />
$$<br />
C(s)C(w)\subset C(sw)\cup C(w).<br />
$$<br />
* (4) 任意の $s\in S$ に対して、$sBs\neq B$ である。<br />
ただし、$C(w)$ は両側剰余類 $BwB$ である。このような条件を満足する四つ組 $(G,B,N,S)$ のことを'''Tits系(Tits system)'''と呼ぶ。<br />
<br />
Tits系の重要な例を一つ上げる。<br />
{{theorem |type=exa |label=GLspherical}}<br />
$G=GL_{n}(\mathbb{R})$ とし $B$ を上三角行列のなす $G$ の部分群とする。$G$ はベクトル空間 $\mathbb{R}^{n}=\mathbb{R}e_{1}\oplus \cdots \oplus \mathbb{R}e_{n}$ に自然に作用している。ただし、$e_{1},\ldots, e_{n}$ は $\mathbb{R}^{n}$ の標準基底とする。$N$ は $\mathbb{R}e_{1},\ldots,\mathbb{R}e_{n}$ を置換する $G$ の部分群とする。$N$ は 各行各列に一つだけ $0$ でない成分があり、そうでない成分が $0$ であるような行列のなす群である。$B\cap N$ は対角行列のなすトーラス<br />
$$<br />
B\cap N=\left\{<br />
\left. \left(<br />
<nowiki><br />
\begin{array}{cccc}<br />
x_{1} & 0 & \cdots & 0 \\<br />
0 & x_{2} & \cdots & 0 \\<br />
\vdots & & \ddots & \vdots \\<br />
0 & \ldots & \ldots & x_{n}<br />
\end{array}<br />
</nowiki><br />
\right)\right| x_{1},\ldots,x_{n}\in \mathbb{R}^{\times}<br />
\right\}<br />
$$<br />
であり、$N/B\cap N$ は対称群 $S_{n}$ と同型である。$S_{n}$ の位数 $2$ の元からなる生成系 $\{(i,i+1)\mathrel{\vert} i=1,\ldots,n-1\}$ のことを $S$ と置く。$(G,B,N,S)$ はTits系になる。<br />
<br />
<br />
{{theorem |type=def |label=def2}}<br />
Tits系 $(G,B,N,S)$ に対して、$B$ を含んでいるような $G$ の部分群のことを $(G,B,N,S)$ の'''標準的放物型部分群(standard parabolic subgroup)'''という。<br />
<br />
==Bruhat分解==<br />
{{theorem |type=thm |label=Bruhat-dec}}<br />
Tits系 $(G,B,N,S)$ に対して、<br />
$$<br />
G=\coprod_{w\in W}C(w)<br />
$$<br />
が成り立つ。この分解のことを $G$ の'''Bruhat分解(Bruhat decomposition)'''と呼ぶ。<br />
{{begin|proof}}<br />
合併<br />
$$<br />
\bigcup_{w\in W}C(w)<br />
$$<br />
は $B,N$ を含む群なので、これは $G$ と等しい。この分解が無縁和であることを示そう。$C(v)=C(w)$ とし、$d=\mathrm{min}\{\ell_{S}(v),\ell_{S}(w)\}$ と置く。このとき $v=w$ であることを $d$ についての帰納法で示す。$d=0$ のとき、$C(v)=C(w)=B$ であり、これは $v,w$ の代表元が $B\cap N$ に入っていることを意味するので、$v=w=1$ が言える。$d>0$ とする。一般性を失うことなく $d=\ell_{S}(w)\leq \ell_{S}(v)$ としてよく、このとき $\ell_{S}(sw)=\ell_{S}(w)-1$ となるような $s\in S$ がある。$wB\subset C(w)=C(v)$ なので <br />
$$<br />
C(sw)\subset sC(v)\subset C(sv)\cup C(v)<br />
$$<br />
である。よって、$C(sw)=C(v)$ であるかまたは $C(sw)=C(sv)$ である。前者の場合は $C(sw)=C(w)$ なので、$d-1=\mathrm{min}\{\ell_{S}(sw),\ell_{S}(w)\}<d$ から $sw=w$ が得られ、帰納法の仮定に反する。後者の場合、帰納法により、$sw=sv$ が分かる。したがって、$v=w$ を得る。<br />
{{end|proof}}<br />
<br />
<br />
{{theorem |type=prop |label=cellproduct}}<br />
任意の $w\in W$ と $s\in S$ に対して、もし $\ell(sw)=\ell(w)+1$ なら $C(s)C(w)=C(sw)$ であり $\ell(sw)=\ell(w)-1$ なら $C(s)C(w)=C(w)\cup C(sw)$ である。<br />
{{begin|proof}}<br />
$\ell(w)=0$ なら主張は自明である。$\ell(w)>0$ なら、$\ell(wt)<\ell(w)$ となる $t\in S$ がある。$\ell(sw)=\ell(w)+1$ のとき $C(s)C(w)=C(sw)$ となることをまず示そう。$w^{'}=wt$ と置く。<br />
$$<br />
\ell(w^{'})+1=\ell(w)\leq \ell(sw)=\ell(sw^{'}t)\leq \ell(sw^{'})+1<br />
$$<br />
なので帰納法の仮定から<br />
$$<br />
C(s)C(w^{'})=C(sw^{'})<br />
$$<br />
となる。$C(s)C(w)\neq C(sw)$ と仮定する。$sBw\cap C(w)\neq \phi$ なので $sBw^{'}\cap C(w)t$ も空でない。さらに $C(w)t\subset C(w)\cup C(w^{'})$ なので $sBw^{'}\cap (C(w)\cup C(w^{'}))\neq \phi$ である。$C(s)C(w^{'})=C(sw^{'})$ なので{{ref |type=thm |label=Bruhat-dec}} より $sw^{'}=w$ である。しかしこれは<br />
$$<br />
\ell(w^{'})<\ell(w)<\ell(sw)<br />
$$<br />
に矛盾する。したがって $C(s)(w)$ と $C(w)$ は交わらず、$C(s)C(w)=C(sw)$ であることが分かる。次に $\ell(sw)=\ell(w)-1$ の場合を考えよう。このとき $\ell(s(sw))=\ell(sw)+1$ なので、上で見たように<br />
$$<br />
C(s)C(sw)=C(w)<br />
$$<br />
である。このとき、<br />
\begin{align}<br />
C(s)C(w)&=C(s)C(s)C(sw) \\<br />
&=(C(s)\cup B)C(sw) \\<br />
&=C(w)\cup C(sw)<br />
\end{align}<br />
<br />
{{end|proof}}<br />
<br />
==放物型部分群==<br />
<br />
{{theorem |type=prop |label=Coxeter}}<br />
$(G,B,N,S)$ をTits系とすると、$(W,S)$ は[[Coxeter系]]になる。<br />
{{begin|proof}}<br />
$s\in S$ と $w\in W$ が $\ell(sw)=\ell(w)-1$ を満たすとする。また $s_{1},\ldots,s_{n}\in S$ を $w=s_{1}\cdots s_{n}$ が最短表示であるように選ぶ。このとき[[交換条件]]をみたすことを示そう。つまり<br />
$$<br />
sw=s_{1}\cdots \hat{s_{i}}\cdots s_{n}<br />
$$<br />
となる $i$ が存在することを示す。仮定より $C(s)C(w)=C(sw)\cup C(w)$ かつ $C(w)=C(s_{1})\cdots C(s_{n})$ が成り立つ。$1\leq i\leq n$ を $\ell(ss_{1}\cdots s_{i})<\ell(ss_{1}\cdots s_{i-1})$ となるような最小の添え字に選べば<br />
\begin{align}<br />
C(s)C(w)&=C(s)C(s_{1})\cdots C(s_{i-1})C(s_{i})\cdots C(s_{n}) \\<br />
&=C(ss_{1}\cdots s_{i-1})C(s_{i})\cdots C(s_{n}) \\<br />
&=\left(C(ss_{1}\cdots s_{i})\cup C(ss_{1}\cdots s_{i-1}) \right)C(s_{i+1})\cdots C(s_{n}) \\<br />
&\subset \bigcup \left(C(ss_{1}\cdots s_{i}s_{i_{1}}\cdots s_{i_{p}})\cup C(ss_{1}\cdots s_{i-1}s_{i_{1}}\cdots s_{i_{p}}) \right)<br />
\end{align}<br />
ここで、$i<i_{1}<\ldots <i_{p}\leq n$ を満たすような添え字を走る。$C(w)$ は最右辺に含まれるので $\ell(w)=n$ という事実と合わせて考えると $w=ss_{1}\cdots s_{i-1}s_{i+1}\cdots s_{n}$ であるかまたは $w=ss_{1}\cdots s_{i}s_{i+1}\cdots \widehat{s_{i+k}}\cdots s_{n}$ となる $k$ がある。どちらにせよ、$(W,S)$ は交換条件を満たすことが確認できる。<br />
{{end|proof}}<br />
<br />
<br />
$I$ を $S$ の部分集合とすると、$(W_{I},I)$ はCoxeter系である。$P_{I}=BW_{I}B$ は $B$ を含む $G$ の部分群になる。すなわち $P_{I}$ は標準的放物型部分群になる。逆に、$P$ が標準的放物型部分群のとき、<br />
$$<br />
W_{I}=\{w\in W\mathrel{\vert}C(w)\subset P\}<br />
$$<br />
と置くと、これは $W$ の放物型部分群であり、$I=S\cap W_{I}$ は $W_{I}$ の生成系である。つまり、$S$ の部分集合と $G$ の標準的放物型部分群は $1:1$ に対応する。$G$ の'''放物型部分群'''とは、$G$ の標準的放物型部分群と共役な群のことを意味する。$\Delta(G,B)$ を $G$ の放物型部分群全体のなす集合とする。<br />
<br />
{{theorem |type=lem |label=cell-gen}}<br />
もし $w\in W$ に対して $w=s_{1}\cdots s_{n}$ が最短表示なら $\langle C(w)\rangle=\langle C(s_{1}),\ldots,C(s_{n})\rangle=\langle B,wBw^{-1}\rangle$ が成り立つ。<br />
{{begin|proof}}<br />
$w\in C(w)$ かつ $wB\subset C(w)$ より $\langle B,wBw^{-1}\rangle\subset \langle C(w)\rangle $ が分かる。さらに$w=s_{1}\cdots s_{n}$ は最短表示なので $\langle C(s_{1}),\ldots, C(s_{n}) \rangle$ である。よって、$C(s_{1}),\ldots ,C(s_{n})\subset \langle B,wBw^{-1} \rangle$ を示せばよい。実際、$\ell(s_{1}w)<\ell(w)$ なので、$C(w)\subset C(s_{1})C(w)$ となる。特に、$w=b_{1}s_{1}b_{2}wb_{3}$ となる $b_{1},b_{2},b_{3}\in B$ が存在する。特に $s_{1}=b_{1}^{-1}wb_{3}^{-1}w^{-1}b_{2}^{-1}\in \langle B,wBw^{-1}\rangle$ となるので $\langle B,s_{1}wBw^{-1}s_{1}\rangle\subset \langle B,wBw^{-1}\rangle$ となる。さらに帰納法により、この左辺は $C(s_{2}),\ldots,C(s_{n})$ を含む。よって、<br />
$$<br />
\langle C(s_{1}),\ldots,C(s_{n})\rangle\subset \langle B,wBw^{-1}\rangle<br />
$$<br />
となる。<br />
{{end|proof}}<br />
<br />
{{theorem |type=prop |label=normal}}<br />
任意の $P\in \Delta(G,B)$ に対して $N_{G}(P)=P$ が成り立つ。 <br />
{{begin|proof}}<br />
任意の $g\in G$ に対して、$N_{G}(gPg^{-1})=gN_{G}(P)g^{-1}$ なので、$P$ は標準的であるとしてよい。$x\in N_{G}(P)$ に対し $x\in C(w)$ となるような $w\in W$ がある。この $w$ に対して$\langle B,wBw^{-1} \rangle$ は $P$ に含まれるので、$x\in C(w)\in P$ となる。したがって $N_{G}(P)=P$ が分かる。<br />
{{end|proof}}<br />
<br />
<br />
==$B$ 適応準同型、$B$-$N$ 適応準同型==<br />
<br />
$(G,B,N,S)$ をTits系とし、$\widehat{G}$ を群とする。<br />
<br />
{{theorem |type=def |label=adaptedhom}}<br />
準同型 $\phi\colon G\longrightarrow \widehat{G}$ が以下の条件を満たすとき、$\phi$ は $B$ 適応準同型であるという。<br />
*(1) ${\rm Ker}(\phi)\subset B.$<br />
*(2) 任意の $g\in \widehat{G}$ に対して $h\in G$ が存在して $\phi(hBh^{-1})=g\phi(B)g^{-1}.$<br />
この条件(2)の代わりに<br />
*(2') 任意の $g\in \widehat{G}$ に対して $h\in G$ が存在して $\phi(hBh^{-1})=g\phi(B)g^{-1}, \phi(hNh^{-1})=g\phi(N)g^{-1}.$<br />
が成り立つとき、$\phi$ は $B$-$N$ 適応準同型であるという。<br />
<br />
<br />
{{theorem |type=lem}}<br />
$\phi$ が $B$ 適応準同型のとき、像 $\phi(G)$ は $\widehat{G}$ の正規部分群である。<br />
{{begin|proof}}<br />
$G=\bigcup_{w\in W}\langle C(w)\rangle =\bigcup_{w\in W}\langle B,wBw^{-1}\rangle$ なので、$G$ は $B$ と共役な部分群たちによって生成されている。すなわち、任意の $a\in G$ に対して有限個の $(b_{i},k_{i})\in B\times G$ があり、<br />
$$<br />
a=\prod k_{i}b_{i}k_{i}^{-1}<br />
$$ <br />
となる。任意の $g\in \widehat{G}$ に対して、$g\phi(a)g^{-1}\in \psi(G)$ を示そう。$g_{i}=g\phi(k_{i})$ と置くと、$\phi$ は $B$ 適応準同型なので、$g_{i}\phi(B)g_{i}^{-1}=\phi(h_{i}Bh_{i}^{-1})$ となる $h_{i}\in G$ が存在する。このとき、<br />
\begin{align}<br />
g^{-1}\phi(a)g&=\prod g_{i}\phi(b_{i})g_{i}^{-1} \\<br />
&=\prod \phi(h_{i}b_{i}h_{i}^{-1})\in \phi(G)<br />
\end{align}<br />
であるから、$\phi$ の像は $\widehat{G}$ の正規部分群である。<br />
{{end|proof}}<br />
<br />
<br />
==Titsの建物(Building)との関係==<br />
<br />
==Tits系の例==</div>
Gest N
https://math.jp/w/index.php?title=Tits%E7%B3%BB%E3%80%81BN%E5%AF%BE&diff=11762
Tits系、BN対
2022-09-18T13:59:34Z
<p>Gest N: /* $B$ 適応準同型、$B$-$N$ 適応準同型 */</p>
<hr />
<div><br />
<br />
{{newtheorem |type=lem |counter=0 |display=補題 }}<br />
{{newtheorem |type=thm |counter=0 |display=定理 }}<br />
{{newtheorem |type=prop |counter=0 |display=命題 }}<br />
{{newtheorem |type=def |counter=0 |display=定義 }}<br />
{{newtheorem |type=cor |counter=0 |display=系 }}<br />
{{newtheorem |type=proof |counter=0 |display=証明 }}<br />
{{newtheorem |type=rem |counter=0 |display=注 }}<br />
{{newtheorem |type=exa |counter=0 |display=例 }}<br />
{{newtheorem |type=cond |counter=0 |display=条件 }}<br />
<br />
__MATHJAX2__<br />
<br />
Tits系は代数群の構造を調べるための基本的な道具である。<br />
<br />
<br />
<noinclude><br />
{{TOC |align=right |noautonum=1 }}<!-- 右寄せ連番無し目次をここに表示 --><br />
</noinclude><br />
<br />
<br />
==定義==<br />
<br />
{{theorem |type=def |label=def}}<br />
群 $G$ の二つの部分群 $B,N$ が以下の条件を満たすとする。<br />
* (1) $G$ は $B$ と $N$ によって生成される。<br />
* (2) $B\cap N$ は $N$ の正規部分群であり、$S$ は $W=N/B\cap N$ の位数 $2$ の元からなる生成系である。<br />
* (3) 任意の $s\in S$ と $w\in W$ に対して、<br />
$$<br />
C(s)C(w)\subset C(sw)\cup C(w).<br />
$$<br />
* (4) 任意の $s\in S$ に対して、$sBs\neq B$ である。<br />
ただし、$C(w)$ は両側剰余類 $BwB$ である。このような条件を満足する四つ組 $(G,B,N,S)$ のことを'''Tits系(Tits system)'''と呼ぶ。<br />
<br />
Tits系の重要な例を一つ上げる。<br />
{{theorem |type=exa |label=GLspherical}}<br />
$G=GL_{n}(\mathbb{R})$ とし $B$ を上三角行列のなす $G$ の部分群とする。$G$ はベクトル空間 $\mathbb{R}^{n}=\mathbb{R}e_{1}\oplus \cdots \oplus \mathbb{R}e_{n}$ に自然に作用している。ただし、$e_{1},\ldots, e_{n}$ は $\mathbb{R}^{n}$ の標準基底とする。$N$ は $\mathbb{R}e_{1},\ldots,\mathbb{R}e_{n}$ を置換する $G$ の部分群とする。$N$ は 各行各列に一つだけ $0$ でない成分があり、そうでない成分が $0$ であるような行列のなす群である。$B\cap N$ は対角行列のなすトーラス<br />
$$<br />
B\cap N=\left\{<br />
\left. \left(<br />
<nowiki><br />
\begin{array}{cccc}<br />
x_{1} & 0 & \cdots & 0 \\<br />
0 & x_{2} & \cdots & 0 \\<br />
\vdots & & \ddots & \vdots \\<br />
0 & \ldots & \ldots & x_{n}<br />
\end{array}<br />
</nowiki><br />
\right)\right| x_{1},\ldots,x_{n}\in \mathbb{R}^{\times}<br />
\right\}<br />
$$<br />
であり、$N/B\cap N$ は対称群 $S_{n}$ と同型である。$S_{n}$ の位数 $2$ の元からなる生成系 $\{(i,i+1)\mathrel{\vert} i=1,\ldots,n-1\}$ のことを $S$ と置く。$(G,B,N,S)$ はTits系になる。<br />
<br />
<br />
{{theorem |type=def |label=def2}}<br />
Tits系 $(G,B,N,S)$ に対して、$B$ を含んでいるような $G$ の部分群のことを $(G,B,N,S)$ の'''標準的放物型部分群(standard parabolic subgroup)'''という。<br />
<br />
==Bruhat分解==<br />
{{theorem |type=thm |label=Bruhat-dec}}<br />
Tits系 $(G,B,N,S)$ に対して、<br />
$$<br />
G=\coprod_{w\in W}C(w)<br />
$$<br />
が成り立つ。この分解のことを $G$ の'''Bruhat分解(Bruhat decomposition)'''と呼ぶ。<br />
{{begin|proof}}<br />
合併<br />
$$<br />
\bigcup_{w\in W}C(w)<br />
$$<br />
は $B,N$ を含む群なので、これは $G$ と等しい。この分解が無縁和であることを示そう。$C(v)=C(w)$ とし、$d=\mathrm{min}\{\ell_{S}(v),\ell_{S}(w)\}$ と置く。このとき $v=w$ であることを $d$ についての帰納法で示す。$d=0$ のとき、$C(v)=C(w)=B$ であり、これは $v,w$ の代表元が $B\cap N$ に入っていることを意味するので、$v=w=1$ が言える。$d>0$ とする。一般性を失うことなく $d=\ell_{S}(w)\leq \ell_{S}(v)$ としてよく、このとき $\ell_{S}(sw)=\ell_{S}(w)-1$ となるような $s\in S$ がある。$wB\subset C(w)=C(v)$ なので <br />
$$<br />
C(sw)\subset sC(v)\subset C(sv)\cup C(v)<br />
$$<br />
である。よって、$C(sw)=C(v)$ であるかまたは $C(sw)=C(sv)$ である。前者の場合は $C(sw)=C(w)$ なので、$d-1=\mathrm{min}\{\ell_{S}(sw),\ell_{S}(w)\}<d$ から $sw=w$ が得られ、帰納法の仮定に反する。後者の場合、帰納法により、$sw=sv$ が分かる。したがって、$v=w$ を得る。<br />
{{end|proof}}<br />
<br />
<br />
{{theorem |type=prop |label=cellproduct}}<br />
任意の $w\in W$ と $s\in S$ に対して、もし $\ell(sw)=\ell(w)+1$ なら $C(s)C(w)=C(sw)$ であり $\ell(sw)=\ell(w)-1$ なら $C(s)C(w)=C(w)\cup C(sw)$ である。<br />
{{begin|proof}}<br />
$\ell(w)=0$ なら主張は自明である。$\ell(w)>0$ なら、$\ell(wt)<\ell(w)$ となる $t\in S$ がある。$\ell(sw)=\ell(w)+1$ のとき $C(s)C(w)=C(sw)$ となることをまず示そう。$w^{'}=wt$ と置く。<br />
$$<br />
\ell(w^{'})+1=\ell(w)\leq \ell(sw)=\ell(sw^{'}t)\leq \ell(sw^{'})+1<br />
$$<br />
なので帰納法の仮定から<br />
$$<br />
C(s)C(w^{'})=C(sw^{'})<br />
$$<br />
となる。$C(s)C(w)\neq C(sw)$ と仮定する。$sBw\cap C(w)\neq \phi$ なので $sBw^{'}\cap C(w)t$ も空でない。さらに $C(w)t\subset C(w)\cup C(w^{'})$ なので $sBw^{'}\cap (C(w)\cup C(w^{'}))\neq \phi$ である。$C(s)C(w^{'})=C(sw^{'})$ なので{{ref |type=thm |label=Bruhat-dec}} より $sw^{'}=w$ である。しかしこれは<br />
$$<br />
\ell(w^{'})<\ell(w)<\ell(sw)<br />
$$<br />
に矛盾する。したがって $C(s)(w)$ と $C(w)$ は交わらず、$C(s)C(w)=C(sw)$ であることが分かる。次に $\ell(sw)=\ell(w)-1$ の場合を考えよう。このとき $\ell(s(sw))=\ell(sw)+1$ なので、上で見たように<br />
$$<br />
C(s)C(sw)=C(w)<br />
$$<br />
である。このとき、<br />
\begin{align}<br />
C(s)C(w)&=C(s)C(s)C(sw) \\<br />
&=(C(s)\cup B)C(sw) \\<br />
&=C(w)\cup C(sw)<br />
\end{align}<br />
<br />
{{end|proof}}<br />
<br />
==放物型部分群==<br />
<br />
{{theorem |type=prop |label=Coxeter}}<br />
$(G,B,N,S)$ をTits系とすると、$(W,S)$ は[[Coxeter系]]になる。<br />
{{begin|proof}}<br />
$s\in S$ と $w\in W$ が $\ell(sw)=\ell(w)-1$ を満たすとする。また $s_{1},\ldots,s_{n}\in S$ を $w=s_{1}\cdots s_{n}$ が最短表示であるように選ぶ。このとき[[交換条件]]をみたすことを示そう。つまり<br />
$$<br />
sw=s_{1}\cdots \hat{s_{i}}\cdots s_{n}<br />
$$<br />
となる $i$ が存在することを示す。仮定より $C(s)C(w)=C(sw)\cup C(w)$ かつ $C(w)=C(s_{1})\cdots C(s_{n})$ が成り立つ。$1\leq i\leq n$ を $\ell(ss_{1}\cdots s_{i})<\ell(ss_{1}\cdots s_{i-1})$ となるような最小の添え字に選べば<br />
\begin{align}<br />
C(s)C(w)&=C(s)C(s_{1})\cdots C(s_{i-1})C(s_{i})\cdots C(s_{n}) \\<br />
&=C(ss_{1}\cdots s_{i-1})C(s_{i})\cdots C(s_{n}) \\<br />
&=\left(C(ss_{1}\cdots s_{i})\cup C(ss_{1}\cdots s_{i-1}) \right)C(s_{i+1})\cdots C(s_{n}) \\<br />
&\subset \bigcup \left(C(ss_{1}\cdots s_{i}s_{i_{1}}\cdots s_{i_{p}})\cup C(ss_{1}\cdots s_{i-1}s_{i_{1}}\cdots s_{i_{p}}) \right)<br />
\end{align}<br />
ここで、$i<i_{1}<\ldots <i_{p}\leq n$ を満たすような添え字を走る。$C(w)$ は最右辺に含まれるので $\ell(w)=n$ という事実と合わせて考えると $w=ss_{1}\cdots s_{i-1}s_{i+1}\cdots s_{n}$ であるかまたは $w=ss_{1}\cdots s_{i}s_{i+1}\cdots \widehat{s_{i+k}}\cdots s_{n}$ となる $k$ がある。どちらにせよ、$(W,S)$ は交換条件を満たすことが確認できる。<br />
{{end|proof}}<br />
<br />
<br />
$I$ を $S$ の部分集合とすると、$(W_{I},I)$ はCoxeter系である。$P_{I}=BW_{I}B$ は $B$ を含む $G$ の部分群になる。すなわち $P_{I}$ は標準的放物型部分群になる。逆に、$P$ が標準的放物型部分群のとき、<br />
$$<br />
W_{I}=\{w\in W\mathrel{\vert}C(w)\subset P\}<br />
$$<br />
と置くと、これは $W$ の放物型部分群であり、$I=S\cap W_{I}$ は $W_{I}$ の生成系である。つまり、$S$ の部分集合と $G$ の標準的放物型部分群は $1:1$ に対応する。$G$ の'''放物型部分群'''とは、$G$ の標準的放物型部分群と共役な群のことを意味する。$\Delta(G,B)$ を $G$ の放物型部分群全体のなす集合とする。<br />
<br />
{{theorem |type=lem |label=cell-gen}}<br />
もし $w\in W$ に対して $w=s_{1}\cdots s_{n}$ が最短表示なら $\langle C(w)\rangle=\langle C(s_{1}),\ldots,C(s_{n})\rangle=\langle B,wBw^{-1}\rangle$ が成り立つ。<br />
{{begin|proof}}<br />
$w\in C(w)$ かつ $wB\subset C(w)$ より $\langle B,wBw^{-1}\rangle\subset \langle C(w)\rangle $ が分かる。さらに$w=s_{1}\cdots s_{n}$ は最短表示なので $\langle C(s_{1}),\ldots, C(s_{n}) \rangle$ である。よって、$C(s_{1}),\ldots ,C(s_{n})\subset \langle B,wBw^{-1} \rangle$ を示せばよい。実際、$\ell(s_{1}w)<\ell(w)$ なので、$C(w)\subset C(s_{1})C(w)$ となる。特に、$w=b_{1}s_{1}b_{2}wb_{3}$ となる $b_{1},b_{2},b_{3}\in B$ が存在する。特に $s_{1}=b_{1}^{-1}wb_{3}^{-1}w^{-1}b_{2}^{-1}\in \langle B,wBw^{-1}\rangle$ となるので $\langle B,s_{1}wBw^{-1}s_{1}\rangle\subset \langle B,wBw^{-1}\rangle$ となる。さらに帰納法により、この左辺は $C(s_{2}),\ldots,C(s_{n})$ を含む。よって、<br />
$$<br />
\langle C(s_{1}),\ldots,C(s_{n})\rangle\subset \langle B,wBw^{-1}\rangle<br />
$$<br />
となる。<br />
{{end|proof}}<br />
<br />
{{theorem |type=prop |label=normal}}<br />
任意の $P\in \Delta(G,B)$ に対して $N_{G}(P)=P$ が成り立つ。 <br />
{{begin|proof}}<br />
任意の $g\in G$ に対して、$N_{G}(gPg^{-1})=gN_{G}(P)g^{-1}$ なので、$P$ は標準的であるとしてよい。$x\in N_{G}(P)$ に対し $x\in C(w)$ となるような $w\in W$ がある。この $w$ に対して$\langle B,wBw^{-1} \rangle$ は $P$ に含まれるので、$x\in C(w)\in P$ となる。したがって $N_{G}(P)=P$ が分かる。<br />
{{end|proof}}<br />
<br />
<br />
==$B$ 適応準同型、$B$-$N$ 適応準同型==<br />
<br />
$(G,B,N,S)$ をTits系とし、$\widehat{G}$ を群とする。<br />
<br />
{{theorem |type=def |label=adaptedhom}}<br />
準同型 $\phi\colon G\longrightarrow \widehat{G}$ が以下の条件を満たすとき、$\phi$ は $B$ 適応準同型であるという。<br />
*(1) ${\rm Ker}(\phi)\subset B.$<br />
*(2) 任意の $g\in \widehat{G}$ に対して $h\in G$ が存在して $\phi(hBh^{-1})=g\phi(B)g^{-1}.$<br />
この条件(2)の代わりに<br />
*(2') 任意の $g\in \widehat{G}$ に対して $h\in G$ が存在して $\phi(hBh^{-1})=g\phi(B)g^{-1}, \phi(hNh^{-1})=g\phi(N)g^{-1}.$<br />
が成り立つとき、$\phi$ は $B$-$N$ 適応準同型であるという。<br />
<br />
<br />
{{theorem |type=lem}}<br />
$\phi$ が $B$ 適応準同型のとき、像 $\phi(G)$ は $\widehat{G}$ の正規部分群である。<br />
{{begin|proof}}<br />
$G=\bigcup_{w\in W}\langle C(w)\rangle =\bigcup_{w\in W}\langle B,wBw^{-1}\rangle$ なので、$G$ は $B$ と共役な部分群たちによって生成されている。すなわち、任意の $a\in G$ に対して有限個の $(b_{i},k_{i})\in B\times G$ があり、<br />
$$<br />
a=\prod k_{i}b_{i}k_{i}^{-1}<br />
$$ <br />
となる。任意の $g\in \widehat{G}$ に対して、$g\phi(a)g^{-1}\in \psi(G)$ を示そう。$g_{i}=g\phi(k_{i})$ と置くと、$\phi$ は $B$ 適応準同型なので、$g_{i}\phi(B)g_{i}^{-1}=\phi(h_{i}Bh_{i}^{-1})$ となる $h_{i}\in G$ が存在する。このとき、<br />
\begin{align}<br />
g^{-1}\phi(a)g&=\prod g_{i}\phi(b_{i})g_{i}^{-1} \\<br />
&=\prod \phi(h_{i}b_{i}h_{i}^{-1})\in \phi(G)<br />
\end{align}<br />
であるから、$\phi$ の像は $\widehat{G}$ の正規部分群である。<br />
{{end|proof}}<br />
<br />
==Tits系の例==</div>
Gest N
https://math.jp/w/index.php?title=%E3%83%A1%E3%82%A4%E3%83%B3%E3%83%9A%E3%83%BC%E3%82%B8&diff=11748
メインページ
2022-09-15T08:37:42Z
<p>Gest N: /* 代数学 */</p>
<hr />
<div>__NOTOC__<br />
== Mathpedia にようこそ ==<br />
Mathpediaとは、一般社団法人数学市民化プロジェクトにより運営されている現代数学を解説するウェブサイトです。詳しくは、[[Mathpedia:Mathpediaについて|Mathpediaについて]]をご覧ください。<br />
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<br />
== 各分野のOverview ==<br />
=== [[数学の基礎]] ===<br />
* [[数学の基礎の概要]]<br />
* [[線形代数学]]<br />
* [[微分積分学]]<br />
* [[集合論]]<br />
* [[位相空間]]<br />
* [[圏論]]<br />
<br />
=== [[代数学]] ===<br />
* [[代数学の概要]]<br />
* [[モノイド論]]<br />
** [[可換モノイド論]]<br />
* [[群論]]<br />
**[[Coxeter系]]<br />
**[[Tits系、BN対]]<br />
* [[環論]]<br />
<!--** [[環論の基礎]]--><br />
** [[多項式環]]<br />
** [[環上の加群論]]<br />
** [[環上の加群のホモロジー代数]]<br />
** [[可換環論の基礎]]<br />
** [[Hopf代数]]<br />
**[[冪等代数]]<br />
* [[体論]]<br />
** [[Galoisの基本定理への道]]<br />
<br />
=== [[幾何学]] ===<br />
* [[幾何学の概要]]<br />
* [[位相空間論]]<br />
* [[位相幾何]]<br />
* [[微分幾何]]<br />
* [[代数幾何学|代数幾何]]<br />
* [[数論幾何]]<br />
* [[代数的トポロジー]]<br />
* [[力学系]]<br />
* [[幾何学的群論]]<br />
<br />
=== [[解析学]] ===<br />
*[[関数解析の基礎]]<br />
<br />
=== [[数論]] ===<br />
* [[多重ゼータ値]]<br />
<br />
=== [[数理論理学|数理論理学・数学基礎論]] ===<br />
* [[数理論理学の基礎1]]<br />
* [[証明論]]<br />
* [[モデル理論]]<br />
* [[計算理論]]<br />
* [[公理的集合論]]<br />
<br />
=== [[圏論]] ===<br />
*[[Kan拡張]]<br />
*[[モノイダル圏]]<br />
<br />
== テキスト形式のコンテンツ ==<br />
* [[入門テキスト「位相空間論」]]<br />
* [[速習コース「位相空間論の基礎事項」]]<br />
* [[入門テキスト「単体複体の二元体係数ホモロジー」]]<br />
* [[関数解析の基礎]]<br />
** [[ネットによる位相空間論]]<br />
** [[距離空間の位相の基本的性質]]<br />
** [[入門テキスト「測度と積分」]]<br />
** [[速習「線形空間論」]]<br />
** [[入門テキスト「位相線形空間」]]<br />
** [[Euclid空間における微積分1]]<br />
** [[Euclid空間における微積分2]]<br />
** [[ベクトル解析]]<br />
** [[複素解析の初歩]]<br />
** [[超関数とFourier変換、Sobolev空間]]<br />
** [[Banach環とC*-環のスペクトル理論]]<br />
** [[Hilbert空間上の作用素論]]<br />
** [[微分方程式の初歩]]<br />
** [[局所コンパクト群のユニタリ表現]]<br />
** [[量子力学の数学的構造に関わる関数解析]]<br />
* [[Hölder空間の基本事項]]<br />
*<br />
* [[数理論理学の基礎1]]<br />
** [[数理論理学の基礎・命題論理]]<br />
** [[数理論理学の基礎：等式論理]]<br />
* [[多重ゼータ値入門～連結和法の観点から～]]<br />
*<br />
* [[入門テキスト「群論の基礎」]]<br />
<br />
== 各分野の参考書 ==<br />
* [[集合・論理の参考書]]<br />
* [[位相空間論の参考書]]<br />
* [[代数学の参考書]]<br />
* [[幾何学の参考書]]<br />
* [[解析学の参考書]]<br />
* [[代数幾何学の参考書]]<br />
* [[圏論の参考書]]<br />
* [[関数解析の参考書]]<br />
* [[数理論理学の参考書]]<br />
<br />
== 演習問題解答シリーズ ==<br />
著作権等への考え方については[[数学書の演習問題の解答集]]を参照。<br />
<br />
* [[演習問題解答：Engelking「General Topology」]]<br />
* [[演習問題解答：Matsumura 「Commutative Ring Theory」]]<br />
* [[演習問題解答：Hirsch「微分トポロジー」]]<br />
* [[演習問題解答：雪江明彦「代数学１ 群論入門」]]<br />
* [[演習問題解答：Jech「Set Theory」]]<br />
<br />
== カテゴリ ==<br />
* [[:Category:位相空間論]]<br />
<br />
== その他のコンテンツ ==<br />
* [[数学系YouTuberの一覧]]<br />
* [[数学系ブロガーの一覧]] <br />
* [[便利なサイト等のリンク集]]<br />
* [[Mathpediaチューター室]]<br />
* [[家庭教師]]<br />
<br />
<br />
== 外部リンク ==<br />
* [https://onlinemathcontest.com/ Online Math Contest]<br />
* [https://jxiv.jst.go.jp/index.php/jxiv Jxiv]<br />
* [https://ronkeisha.net/ 論計舎]</div>
Gest N
https://math.jp/w/index.php?title=%E3%83%A1%E3%82%A4%E3%83%B3%E3%83%9A%E3%83%BC%E3%82%B8&diff=11741
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<p>Gest N: /* 代数学 */</p>
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<br />
== 各分野のOverview ==<br />
=== [[数学の基礎]] ===<br />
* [[数学の基礎の概要]]<br />
* [[線形代数学]]<br />
* [[微分積分学]]<br />
* [[集合論]]<br />
* [[位相空間]]<br />
* [[圏論]]<br />
<br />
=== [[代数学]] ===<br />
* [[代数学の概要]]<br />
* [[モノイド論]]<br />
** [[可換モノイド論]]<br />
* [[群論]]<br />
**[[Coxeter系]]<br />
**[[Tits系、BN対]]<br />
* [[環論]]<br />
<!--** [[環論の基礎]]--><br />
** [[多項式環]]<br />
** [[環上の加群論]]<br />
** [[環上の加群のホモロジー代数]]<br />
** [[可換環論の基礎]]<br />
** [[Hopf代数]]<br />
* [[体論]]<br />
** [[Galoisの基本定理への道]]<br />
<br />
=== [[幾何学]] ===<br />
* [[幾何学の概要]]<br />
* [[位相空間論]]<br />
* [[位相幾何]]<br />
* [[微分幾何]]<br />
* [[代数幾何学|代数幾何]]<br />
* [[数論幾何]]<br />
* [[代数的トポロジー]]<br />
* [[力学系]]<br />
* [[幾何学的群論]]<br />
<br />
=== [[解析学]] ===<br />
*[[関数解析の基礎]]<br />
<br />
=== [[数論]] ===<br />
* [[多重ゼータ値]]<br />
<br />
=== [[数理論理学|数理論理学・数学基礎論]] ===<br />
* [[数理論理学の基礎1]]<br />
* [[証明論]]<br />
* [[モデル理論]]<br />
* [[計算理論]]<br />
* [[公理的集合論]]<br />
<br />
=== [[圏論]] ===<br />
*[[Kan拡張]]<br />
*[[モノイダル圏]]<br />
<br />
== テキスト形式のコンテンツ ==<br />
* [[入門テキスト「位相空間論」]]<br />
* [[速習コース「位相空間論の基礎事項」]]<br />
* [[入門テキスト「単体複体の二元体係数ホモロジー」]]<br />
* [[関数解析の基礎]]<br />
** [[ネットによる位相空間論]]<br />
** [[距離空間の位相の基本的性質]]<br />
** [[入門テキスト「測度と積分」]]<br />
** [[速習「線形空間論」]]<br />
** [[入門テキスト「位相線形空間」]]<br />
** [[Euclid空間における微積分1]]<br />
** [[Euclid空間における微積分2]]<br />
** [[ベクトル解析]]<br />
** [[複素解析の初歩]]<br />
** [[超関数とFourier変換、Sobolev空間]]<br />
** [[Banach環とC*-環のスペクトル理論]]<br />
** [[Hilbert空間上の作用素論]]<br />
** [[微分方程式の初歩]]<br />
** [[局所コンパクト群のユニタリ表現]]<br />
** [[量子力学の数学的構造に関わる関数解析]]<br />
* [[Hölder空間の基本事項]]<br />
*<br />
* [[数理論理学の基礎1]]<br />
** [[数理論理学の基礎・命題論理]]<br />
** [[数理論理学の基礎：等式論理]]<br />
* [[多重ゼータ値入門～連結和法の観点から～]]<br />
*<br />
* [[入門テキスト「群論の基礎」]]<br />
<br />
== 各分野の参考書 ==<br />
* [[集合・論理の参考書]]<br />
* [[位相空間論の参考書]]<br />
* [[代数学の参考書]]<br />
* [[幾何学の参考書]]<br />
* [[解析学の参考書]]<br />
* [[代数幾何学の参考書]]<br />
* [[圏論の参考書]]<br />
* [[関数解析の参考書]]<br />
* [[数理論理学の参考書]]<br />
<br />
== 演習問題解答シリーズ ==<br />
著作権等への考え方については[[数学書の演習問題の解答集]]を参照。<br />
<br />
* [[演習問題解答：Engelking「General Topology」]]<br />
* [[演習問題解答：Matsumura 「Commutative Ring Theory」]]<br />
* [[演習問題解答：Hirsch「微分トポロジー」]]<br />
* [[演習問題解答：雪江明彦「代数学１ 群論入門」]]<br />
* [[演習問題解答：Jech「Set Theory」]]<br />
<br />
== カテゴリ ==<br />
* [[:Category:位相空間論]]<br />
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== その他のコンテンツ ==<br />
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* [[Mathpediaチューター室]]<br />
* [[家庭教師]]<br />
<br />
<br />
== 外部リンク ==<br />
* [https://onlinemathcontest.com/ Online Math Contest]<br />
* [https://jxiv.jst.go.jp/index.php/jxiv Jxiv]<br />
* [https://ronkeisha.net/ 論計舎]</div>
Gest N
https://math.jp/w/index.php?title=Tits%E7%B3%BB%E3%80%81BN%E5%AF%BE&diff=11740
Tits系、BN対
2022-09-13T09:43:39Z
<p>Gest N: /* $B$ 適応準同型、$B-N$ 適応準同型 */</p>
<hr />
<div><br />
<br />
{{newtheorem |type=lem |counter=0 |display=補題 }}<br />
{{newtheorem |type=thm |counter=0 |display=定理 }}<br />
{{newtheorem |type=prop |counter=0 |display=命題 }}<br />
{{newtheorem |type=def |counter=0 |display=定義 }}<br />
{{newtheorem |type=cor |counter=0 |display=系 }}<br />
{{newtheorem |type=proof |counter=0 |display=証明 }}<br />
{{newtheorem |type=rem |counter=0 |display=注 }}<br />
{{newtheorem |type=exa |counter=0 |display=例 }}<br />
{{newtheorem |type=cond |counter=0 |display=条件 }}<br />
<br />
__MATHJAX2__<br />
<br />
Tits系は代数群の構造を調べるための基本的な道具である。<br />
<br />
<br />
<noinclude><br />
{{TOC |align=right |noautonum=1 }}<!-- 右寄せ連番無し目次をここに表示 --><br />
</noinclude><br />
<br />
<br />
==定義==<br />
<br />
{{theorem |type=def |label=def}}<br />
群 $G$ の二つの部分群 $B,N$ が以下の条件を満たすとする。<br />
* (1) $G$ は $B$ と $N$ によって生成される。<br />
* (2) $B\cap N$ は $N$ の正規部分群であり、$S$ は $W=N/B\cap N$ の位数 $2$ の元からなる生成系である。<br />
* (3) 任意の $s\in S$ と $w\in W$ に対して、<br />
$$<br />
C(s)C(w)\subset C(sw)\cup C(w).<br />
$$<br />
* (4) 任意の $s\in S$ に対して、$sBs\neq B$ である。<br />
ただし、$C(w)$ は両側剰余類 $BwB$ である。このような条件を満足する四つ組 $(G,B,N,S)$ のことを'''Tits系(Tits system)'''と呼ぶ。<br />
<br />
Tits系の重要な例を一つ上げる。<br />
{{theorem |type=exa |label=GLspherical}}<br />
$G=GL_{n}(\mathbb{R})$ とし $B$ を上三角行列のなす $G$ の部分群とする。$G$ はベクトル空間 $\mathbb{R}^{n}=\mathbb{R}e_{1}\oplus \cdots \oplus \mathbb{R}e_{n}$ に自然に作用している。ただし、$e_{1},\ldots, e_{n}$ は $\mathbb{R}^{n}$ の標準基底とする。$N$ は $\mathbb{R}e_{1},\ldots,\mathbb{R}e_{n}$ を置換する $G$ の部分群とする。$N$ は 各行各列に一つだけ $0$ でない成分があり、そうでない成分が $0$ であるような行列のなす群である。$B\cap N$ は対角行列のなすトーラス<br />
$$<br />
B\cap N=\left\{<br />
\left. \left(<br />
<nowiki><br />
\begin{array}{cccc}<br />
x_{1} & 0 & \cdots & 0 \\<br />
0 & x_{2} & \cdots & 0 \\<br />
\vdots & & \ddots & \vdots \\<br />
0 & \ldots & \ldots & x_{n}<br />
\end{array}<br />
</nowiki><br />
\right)\right| x_{1},\ldots,x_{n}\in \mathbb{R}^{\times}<br />
\right\}<br />
$$<br />
であり、$N/B\cap N$ は対称群 $S_{n}$ と同型である。$S_{n}$ の位数 $2$ の元からなる生成系 $\{(i,i+1)\mathrel{\vert} i=1,\ldots,n-1\}$ のことを $S$ と置く。$(G,B,N,S)$ はTits系になる。<br />
<br />
<br />
{{theorem |type=def |label=def2}}<br />
Tits系 $(G,B,N,S)$ に対して、$B$ を含んでいるような $G$ の部分群のことを $(G,B,N,S)$ の'''標準的放物型部分群(standard parabolic subgroup)'''という。<br />
<br />
==Bruhat分解==<br />
{{theorem |type=thm |label=Bruhat-dec}}<br />
Tits系 $(G,B,N,S)$ に対して、<br />
$$<br />
G=\coprod_{w\in W}C(w)<br />
$$<br />
が成り立つ。この分解のことを $G$ の'''Bruhat分解(Bruhat decomposition)'''と呼ぶ。<br />
{{begin|proof}}<br />
合併<br />
$$<br />
\bigcup_{w\in W}C(w)<br />
$$<br />
は $B,N$ を含む群なので、これは $G$ と等しい。この分解が無縁和であることを示そう。$C(v)=C(w)$ とし、$d=\mathrm{min}\{\ell_{S}(v),\ell_{S}(w)\}$ と置く。このとき $v=w$ であることを $d$ についての帰納法で示す。$d=0$ のとき、$C(v)=C(w)=B$ であり、これは $v,w$ の代表元が $B\cap N$ に入っていることを意味するので、$v=w=1$ が言える。$d>0$ とする。一般性を失うことなく $d=\ell_{S}(w)\leq \ell_{S}(v)$ としてよく、このとき $\ell_{S}(sw)=\ell_{S}(w)-1$ となるような $s\in S$ がある。$wB\subset C(w)=C(v)$ なので <br />
$$<br />
C(sw)\subset sC(v)\subset C(sv)\cup C(v)<br />
$$<br />
である。よって、$C(sw)=C(v)$ であるかまたは $C(sw)=C(sv)$ である。前者の場合は $C(sw)=C(w)$ なので、$d-1=\mathrm{min}\{\ell_{S}(sw),\ell_{S}(w)\}<d$ から $sw=w$ が得られ、帰納法の仮定に反する。後者の場合、帰納法により、$sw=sv$ が分かる。したがって、$v=w$ を得る。<br />
{{end|proof}}<br />
<br />
<br />
{{theorem |type=prop |label=cellproduct}}<br />
任意の $w\in W$ と $s\in S$ に対して、もし $\ell(sw)=\ell(w)+1$ なら $C(s)C(w)=C(sw)$ であり $\ell(sw)=\ell(w)-1$ なら $C(s)C(w)=C(w)\cup C(sw)$ である。<br />
{{begin|proof}}<br />
$\ell(w)=0$ なら主張は自明である。$\ell(w)>0$ なら、$\ell(wt)<\ell(w)$ となる $t\in S$ がある。$\ell(sw)=\ell(w)+1$ のとき $C(s)C(w)=C(sw)$ となることをまず示そう。$w^{'}=wt$ と置く。<br />
$$<br />
\ell(w^{'})+1=\ell(w)\leq \ell(sw)=\ell(sw^{'}t)\leq \ell(sw^{'})+1<br />
$$<br />
なので帰納法の仮定から<br />
$$<br />
C(s)C(w^{'})=C(sw^{'})<br />
$$<br />
となる。$C(s)C(w)\neq C(sw)$ と仮定する。$sBw\cap C(w)\neq \phi$ なので $sBw^{'}\cap C(w)t$ も空でない。さらに $C(w)t\subset C(w)\cup C(w^{'})$ なので $sBw^{'}\cap (C(w)\cup C(w^{'}))\neq \phi$ である。$C(s)C(w^{'})=C(sw^{'})$ なので{{ref |type=thm |label=Bruhat-dec}} より $sw^{'}=w$ である。しかしこれは<br />
$$<br />
\ell(w^{'})<\ell(w)<\ell(sw)<br />
$$<br />
に矛盾する。したがって $C(s)(w)$ と $C(w)$ は交わらず、$C(s)C(w)=C(sw)$ であることが分かる。次に $\ell(sw)=\ell(w)-1$ の場合を考えよう。このとき $\ell(s(sw))=\ell(sw)+1$ なので、上で見たように<br />
$$<br />
C(s)C(sw)=C(w)<br />
$$<br />
である。このとき、<br />
\begin{align}<br />
C(s)C(w)&=C(s)C(s)C(sw) \\<br />
&=(C(s)\cup B)C(sw) \\<br />
&=C(w)\cup C(sw)<br />
\end{align}<br />
<br />
{{end|proof}}<br />
<br />
==放物型部分群==<br />
<br />
{{theorem |type=prop |label=Coxeter}}<br />
$(G,B,N,S)$ をTits系とすると、$(W,S)$ は[[Coxeter系]]になる。<br />
{{begin|proof}}<br />
$s\in S$ と $w\in W$ が $\ell(sw)=\ell(w)-1$ を満たすとする。また $s_{1},\ldots,s_{n}\in S$ を $w=s_{1}\cdots s_{n}$ が最短表示であるように選ぶ。このとき[[交換条件]]をみたすことを示そう。つまり<br />
$$<br />
sw=s_{1}\cdots \hat{s_{i}}\cdots s_{n}<br />
$$<br />
となる $i$ が存在することを示す。仮定より $C(s)C(w)=C(sw)\cup C(w)$ かつ $C(w)=C(s_{1})\cdots C(s_{n})$ が成り立つ。$1\leq i\leq n$ を $\ell(ss_{1}\cdots s_{i})<\ell(ss_{1}\cdots s_{i-1})$ となるような最小の添え字に選べば<br />
\begin{align}<br />
C(s)C(w)&=C(s)C(s_{1})\cdots C(s_{i-1})C(s_{i})\cdots C(s_{n}) \\<br />
&=C(ss_{1}\cdots s_{i-1})C(s_{i})\cdots C(s_{n}) \\<br />
&=\left(C(ss_{1}\cdots s_{i})\cup C(ss_{1}\cdots s_{i-1}) \right)C(s_{i+1})\cdots C(s_{n}) \\<br />
&\subset \bigcup \left(C(ss_{1}\cdots s_{i}s_{i_{1}}\cdots s_{i_{p}})\cup C(ss_{1}\cdots s_{i-1}s_{i_{1}}\cdots s_{i_{p}}) \right)<br />
\end{align}<br />
ここで、$i<i_{1}<\ldots <i_{p}\leq n$ を満たすような添え字を走る。$C(w)$ は最右辺に含まれるので $\ell(w)=n$ という事実と合わせて考えると $w=ss_{1}\cdots s_{i-1}s_{i+1}\cdots s_{n}$ であるかまたは $w=ss_{1}\cdots s_{i}s_{i+1}\cdots \widehat{s_{i+k}}\cdots s_{n}$ となる $k$ がある。どちらにせよ、$(W,S)$ は交換条件を満たすことが確認できる。<br />
{{end|proof}}<br />
<br />
<br />
$I$ を $S$ の部分集合とすると、$(W_{I},I)$ はCoxeter系である。$P_{I}=BW_{I}B$ は $B$ を含む $G$ の部分群になる。すなわち $P_{I}$ は標準的放物型部分群になる。逆に、$P$ が標準的放物型部分群のとき、<br />
$$<br />
W_{I}=\{w\in W\mathrel{\vert}C(w)\subset P\}<br />
$$<br />
と置くと、これは $W$ の放物型部分群であり、$I=S\cap W_{I}$ は $W_{I}$ の生成系である。つまり、$S$ の部分集合と $G$ の標準的放物型部分群は $1:1$ に対応する。$G$ の'''放物型部分群'''とは、$G$ の標準的放物型部分群と共役な群のことを意味する。$\Delta(G,B)$ を $G$ の放物型部分群全体のなす集合とする。<br />
<br />
{{theorem |type=lem |label=cell-gen}}<br />
もし $w\in W$ に対して $w=s_{1}\cdots s_{n}$ が最短表示なら $\langle C(w)\rangle=\langle C(s_{1}),\ldots,C(s_{n})\rangle=\langle B,wBw^{-1}\rangle$ が成り立つ。<br />
{{begin|proof}}<br />
$w\in C(w)$ かつ $wB\subset C(w)$ より $\langle B,wBw^{-1}\rangle\subset \langle C(w)\rangle $ が分かる。さらに$w=s_{1}\cdots s_{n}$ は最短表示なので $\langle C(s_{1}),\ldots, C(s_{n}) \rangle$ である。よって、$C(s_{1}),\ldots ,C(s_{n})\subset \langle B,wBw^{-1} \rangle$ を示せばよい。実際、$\ell(s_{1}w)<\ell(w)$ なので、$C(w)\subset C(s_{1})C(w)$ となる。特に、$w=b_{1}s_{1}b_{2}wb_{3}$ となる $b_{1},b_{2},b_{3}\in B$ が存在する。特に $s_{1}=b_{1}^{-1}wb_{3}^{-1}w^{-1}b_{2}^{-1}\in \langle B,wBw^{-1}\rangle$ となるので $\langle B,s_{1}wBw^{-1}s_{1}\rangle\subset \langle B,wBw^{-1}\rangle$ となる。さらに帰納法により、この左辺は $C(s_{2}),\ldots,C(s_{n})$ を含む。よって、<br />
$$<br />
\langle C(s_{1}),\ldots,C(s_{n})\rangle\subset \langle B,wBw^{-1}\rangle<br />
$$<br />
となる。<br />
{{end|proof}}<br />
<br />
{{theorem |type=prop |label=normal}}<br />
任意の $P\in \Delta(G,B)$ に対して $N_{G}(P)=P$ が成り立つ。 <br />
{{begin|proof}}<br />
任意の $g\in G$ に対して、$N_{G}(gPg^{-1})=gN_{G}(P)g^{-1}$ なので、$P$ は標準的であるとしてよい。$x\in N_{G}(P)$ に対し $x\in C(w)$ となるような $w\in W$ がある。この $w$ に対して$\langle B,wBw^{-1} \rangle$ は $P$ に含まれるので、$x\in C(w)\in P$ となる。したがって $N_{G}(P)=P$ が分かる。<br />
{{end|proof}}<br />
<br />
<br />
==$B$ 適応準同型、$B$-$N$ 適応準同型==<br />
<br />
$(G,B,N,S)$ をTits系とし、$\widehat{G}$ を群とする。<br />
<br />
{{theorem |type=def |label=adaptedhom}}<br />
準同型 $\phi\colon G\longrightarrow \widehat{G}$ が以下の条件を満たすとき、$\phi$ は $B$ 適応準同型であるという。<br />
*(1) ${\rm Ker}(\phi)\subset B.$<br />
*(2) 任意の $g\in \widehat{G}$ に対して $h\in G$ が存在して $\phi(hBh^{-1})=g\phi(B)g^{-1}.$<br />
この条件(2)の代わりに<br />
*(2') 任意の $g\in \widehat{G}$ に対して $h\in G$ が存在して $\phi(hBh^{-1})=g\phi(B)g^{-1}, \phi(hNh^{-1})=g\phi(N)g^{-1}.$<br />
が成り立つとき、$\phi$ は $B$-$N$ 適応準同型であるという。<br />
<br />
==Tits系の例==</div>
Gest N
https://math.jp/w/index.php?title=Tits%E7%B3%BB%E3%80%81BN%E5%AF%BE&diff=11739
Tits系、BN対
2022-09-13T09:43:13Z
<p>Gest N: /* $B$ 適応準同型、$BN$ 適応準同型 */</p>
<hr />
<div><br />
<br />
{{newtheorem |type=lem |counter=0 |display=補題 }}<br />
{{newtheorem |type=thm |counter=0 |display=定理 }}<br />
{{newtheorem |type=prop |counter=0 |display=命題 }}<br />
{{newtheorem |type=def |counter=0 |display=定義 }}<br />
{{newtheorem |type=cor |counter=0 |display=系 }}<br />
{{newtheorem |type=proof |counter=0 |display=証明 }}<br />
{{newtheorem |type=rem |counter=0 |display=注 }}<br />
{{newtheorem |type=exa |counter=0 |display=例 }}<br />
{{newtheorem |type=cond |counter=0 |display=条件 }}<br />
<br />
__MATHJAX2__<br />
<br />
Tits系は代数群の構造を調べるための基本的な道具である。<br />
<br />
<br />
<noinclude><br />
{{TOC |align=right |noautonum=1 }}<!-- 右寄せ連番無し目次をここに表示 --><br />
</noinclude><br />
<br />
<br />
==定義==<br />
<br />
{{theorem |type=def |label=def}}<br />
群 $G$ の二つの部分群 $B,N$ が以下の条件を満たすとする。<br />
* (1) $G$ は $B$ と $N$ によって生成される。<br />
* (2) $B\cap N$ は $N$ の正規部分群であり、$S$ は $W=N/B\cap N$ の位数 $2$ の元からなる生成系である。<br />
* (3) 任意の $s\in S$ と $w\in W$ に対して、<br />
$$<br />
C(s)C(w)\subset C(sw)\cup C(w).<br />
$$<br />
* (4) 任意の $s\in S$ に対して、$sBs\neq B$ である。<br />
ただし、$C(w)$ は両側剰余類 $BwB$ である。このような条件を満足する四つ組 $(G,B,N,S)$ のことを'''Tits系(Tits system)'''と呼ぶ。<br />
<br />
Tits系の重要な例を一つ上げる。<br />
{{theorem |type=exa |label=GLspherical}}<br />
$G=GL_{n}(\mathbb{R})$ とし $B$ を上三角行列のなす $G$ の部分群とする。$G$ はベクトル空間 $\mathbb{R}^{n}=\mathbb{R}e_{1}\oplus \cdots \oplus \mathbb{R}e_{n}$ に自然に作用している。ただし、$e_{1},\ldots, e_{n}$ は $\mathbb{R}^{n}$ の標準基底とする。$N$ は $\mathbb{R}e_{1},\ldots,\mathbb{R}e_{n}$ を置換する $G$ の部分群とする。$N$ は 各行各列に一つだけ $0$ でない成分があり、そうでない成分が $0$ であるような行列のなす群である。$B\cap N$ は対角行列のなすトーラス<br />
$$<br />
B\cap N=\left\{<br />
\left. \left(<br />
<nowiki><br />
\begin{array}{cccc}<br />
x_{1} & 0 & \cdots & 0 \\<br />
0 & x_{2} & \cdots & 0 \\<br />
\vdots & & \ddots & \vdots \\<br />
0 & \ldots & \ldots & x_{n}<br />
\end{array}<br />
</nowiki><br />
\right)\right| x_{1},\ldots,x_{n}\in \mathbb{R}^{\times}<br />
\right\}<br />
$$<br />
であり、$N/B\cap N$ は対称群 $S_{n}$ と同型である。$S_{n}$ の位数 $2$ の元からなる生成系 $\{(i,i+1)\mathrel{\vert} i=1,\ldots,n-1\}$ のことを $S$ と置く。$(G,B,N,S)$ はTits系になる。<br />
<br />
<br />
{{theorem |type=def |label=def2}}<br />
Tits系 $(G,B,N,S)$ に対して、$B$ を含んでいるような $G$ の部分群のことを $(G,B,N,S)$ の'''標準的放物型部分群(standard parabolic subgroup)'''という。<br />
<br />
==Bruhat分解==<br />
{{theorem |type=thm |label=Bruhat-dec}}<br />
Tits系 $(G,B,N,S)$ に対して、<br />
$$<br />
G=\coprod_{w\in W}C(w)<br />
$$<br />
が成り立つ。この分解のことを $G$ の'''Bruhat分解(Bruhat decomposition)'''と呼ぶ。<br />
{{begin|proof}}<br />
合併<br />
$$<br />
\bigcup_{w\in W}C(w)<br />
$$<br />
は $B,N$ を含む群なので、これは $G$ と等しい。この分解が無縁和であることを示そう。$C(v)=C(w)$ とし、$d=\mathrm{min}\{\ell_{S}(v),\ell_{S}(w)\}$ と置く。このとき $v=w$ であることを $d$ についての帰納法で示す。$d=0$ のとき、$C(v)=C(w)=B$ であり、これは $v,w$ の代表元が $B\cap N$ に入っていることを意味するので、$v=w=1$ が言える。$d>0$ とする。一般性を失うことなく $d=\ell_{S}(w)\leq \ell_{S}(v)$ としてよく、このとき $\ell_{S}(sw)=\ell_{S}(w)-1$ となるような $s\in S$ がある。$wB\subset C(w)=C(v)$ なので <br />
$$<br />
C(sw)\subset sC(v)\subset C(sv)\cup C(v)<br />
$$<br />
である。よって、$C(sw)=C(v)$ であるかまたは $C(sw)=C(sv)$ である。前者の場合は $C(sw)=C(w)$ なので、$d-1=\mathrm{min}\{\ell_{S}(sw),\ell_{S}(w)\}<d$ から $sw=w$ が得られ、帰納法の仮定に反する。後者の場合、帰納法により、$sw=sv$ が分かる。したがって、$v=w$ を得る。<br />
{{end|proof}}<br />
<br />
<br />
{{theorem |type=prop |label=cellproduct}}<br />
任意の $w\in W$ と $s\in S$ に対して、もし $\ell(sw)=\ell(w)+1$ なら $C(s)C(w)=C(sw)$ であり $\ell(sw)=\ell(w)-1$ なら $C(s)C(w)=C(w)\cup C(sw)$ である。<br />
{{begin|proof}}<br />
$\ell(w)=0$ なら主張は自明である。$\ell(w)>0$ なら、$\ell(wt)<\ell(w)$ となる $t\in S$ がある。$\ell(sw)=\ell(w)+1$ のとき $C(s)C(w)=C(sw)$ となることをまず示そう。$w^{'}=wt$ と置く。<br />
$$<br />
\ell(w^{'})+1=\ell(w)\leq \ell(sw)=\ell(sw^{'}t)\leq \ell(sw^{'})+1<br />
$$<br />
なので帰納法の仮定から<br />
$$<br />
C(s)C(w^{'})=C(sw^{'})<br />
$$<br />
となる。$C(s)C(w)\neq C(sw)$ と仮定する。$sBw\cap C(w)\neq \phi$ なので $sBw^{'}\cap C(w)t$ も空でない。さらに $C(w)t\subset C(w)\cup C(w^{'})$ なので $sBw^{'}\cap (C(w)\cup C(w^{'}))\neq \phi$ である。$C(s)C(w^{'})=C(sw^{'})$ なので{{ref |type=thm |label=Bruhat-dec}} より $sw^{'}=w$ である。しかしこれは<br />
$$<br />
\ell(w^{'})<\ell(w)<\ell(sw)<br />
$$<br />
に矛盾する。したがって $C(s)(w)$ と $C(w)$ は交わらず、$C(s)C(w)=C(sw)$ であることが分かる。次に $\ell(sw)=\ell(w)-1$ の場合を考えよう。このとき $\ell(s(sw))=\ell(sw)+1$ なので、上で見たように<br />
$$<br />
C(s)C(sw)=C(w)<br />
$$<br />
である。このとき、<br />
\begin{align}<br />
C(s)C(w)&=C(s)C(s)C(sw) \\<br />
&=(C(s)\cup B)C(sw) \\<br />
&=C(w)\cup C(sw)<br />
\end{align}<br />
<br />
{{end|proof}}<br />
<br />
==放物型部分群==<br />
<br />
{{theorem |type=prop |label=Coxeter}}<br />
$(G,B,N,S)$ をTits系とすると、$(W,S)$ は[[Coxeter系]]になる。<br />
{{begin|proof}}<br />
$s\in S$ と $w\in W$ が $\ell(sw)=\ell(w)-1$ を満たすとする。また $s_{1},\ldots,s_{n}\in S$ を $w=s_{1}\cdots s_{n}$ が最短表示であるように選ぶ。このとき[[交換条件]]をみたすことを示そう。つまり<br />
$$<br />
sw=s_{1}\cdots \hat{s_{i}}\cdots s_{n}<br />
$$<br />
となる $i$ が存在することを示す。仮定より $C(s)C(w)=C(sw)\cup C(w)$ かつ $C(w)=C(s_{1})\cdots C(s_{n})$ が成り立つ。$1\leq i\leq n$ を $\ell(ss_{1}\cdots s_{i})<\ell(ss_{1}\cdots s_{i-1})$ となるような最小の添え字に選べば<br />
\begin{align}<br />
C(s)C(w)&=C(s)C(s_{1})\cdots C(s_{i-1})C(s_{i})\cdots C(s_{n}) \\<br />
&=C(ss_{1}\cdots s_{i-1})C(s_{i})\cdots C(s_{n}) \\<br />
&=\left(C(ss_{1}\cdots s_{i})\cup C(ss_{1}\cdots s_{i-1}) \right)C(s_{i+1})\cdots C(s_{n}) \\<br />
&\subset \bigcup \left(C(ss_{1}\cdots s_{i}s_{i_{1}}\cdots s_{i_{p}})\cup C(ss_{1}\cdots s_{i-1}s_{i_{1}}\cdots s_{i_{p}}) \right)<br />
\end{align}<br />
ここで、$i<i_{1}<\ldots <i_{p}\leq n$ を満たすような添え字を走る。$C(w)$ は最右辺に含まれるので $\ell(w)=n$ という事実と合わせて考えると $w=ss_{1}\cdots s_{i-1}s_{i+1}\cdots s_{n}$ であるかまたは $w=ss_{1}\cdots s_{i}s_{i+1}\cdots \widehat{s_{i+k}}\cdots s_{n}$ となる $k$ がある。どちらにせよ、$(W,S)$ は交換条件を満たすことが確認できる。<br />
{{end|proof}}<br />
<br />
<br />
$I$ を $S$ の部分集合とすると、$(W_{I},I)$ はCoxeter系である。$P_{I}=BW_{I}B$ は $B$ を含む $G$ の部分群になる。すなわち $P_{I}$ は標準的放物型部分群になる。逆に、$P$ が標準的放物型部分群のとき、<br />
$$<br />
W_{I}=\{w\in W\mathrel{\vert}C(w)\subset P\}<br />
$$<br />
と置くと、これは $W$ の放物型部分群であり、$I=S\cap W_{I}$ は $W_{I}$ の生成系である。つまり、$S$ の部分集合と $G$ の標準的放物型部分群は $1:1$ に対応する。$G$ の'''放物型部分群'''とは、$G$ の標準的放物型部分群と共役な群のことを意味する。$\Delta(G,B)$ を $G$ の放物型部分群全体のなす集合とする。<br />
<br />
{{theorem |type=lem |label=cell-gen}}<br />
もし $w\in W$ に対して $w=s_{1}\cdots s_{n}$ が最短表示なら $\langle C(w)\rangle=\langle C(s_{1}),\ldots,C(s_{n})\rangle=\langle B,wBw^{-1}\rangle$ が成り立つ。<br />
{{begin|proof}}<br />
$w\in C(w)$ かつ $wB\subset C(w)$ より $\langle B,wBw^{-1}\rangle\subset \langle C(w)\rangle $ が分かる。さらに$w=s_{1}\cdots s_{n}$ は最短表示なので $\langle C(s_{1}),\ldots, C(s_{n}) \rangle$ である。よって、$C(s_{1}),\ldots ,C(s_{n})\subset \langle B,wBw^{-1} \rangle$ を示せばよい。実際、$\ell(s_{1}w)<\ell(w)$ なので、$C(w)\subset C(s_{1})C(w)$ となる。特に、$w=b_{1}s_{1}b_{2}wb_{3}$ となる $b_{1},b_{2},b_{3}\in B$ が存在する。特に $s_{1}=b_{1}^{-1}wb_{3}^{-1}w^{-1}b_{2}^{-1}\in \langle B,wBw^{-1}\rangle$ となるので $\langle B,s_{1}wBw^{-1}s_{1}\rangle\subset \langle B,wBw^{-1}\rangle$ となる。さらに帰納法により、この左辺は $C(s_{2}),\ldots,C(s_{n})$ を含む。よって、<br />
$$<br />
\langle C(s_{1}),\ldots,C(s_{n})\rangle\subset \langle B,wBw^{-1}\rangle<br />
$$<br />
となる。<br />
{{end|proof}}<br />
<br />
{{theorem |type=prop |label=normal}}<br />
任意の $P\in \Delta(G,B)$ に対して $N_{G}(P)=P$ が成り立つ。 <br />
{{begin|proof}}<br />
任意の $g\in G$ に対して、$N_{G}(gPg^{-1})=gN_{G}(P)g^{-1}$ なので、$P$ は標準的であるとしてよい。$x\in N_{G}(P)$ に対し $x\in C(w)$ となるような $w\in W$ がある。この $w$ に対して$\langle B,wBw^{-1} \rangle$ は $P$ に含まれるので、$x\in C(w)\in P$ となる。したがって $N_{G}(P)=P$ が分かる。<br />
{{end|proof}}<br />
<br />
<br />
==$B$ 適応準同型、$B-N$ 適応準同型==<br />
<br />
$(G,B,N,S)$ をTits系とし、$\widehat{G}$ を群とする。<br />
<br />
{{theorem |type=def |label=adaptedhom}}<br />
準同型 $\phi\colon G\longrightarrow \widehat{G}$ が以下の条件を満たすとき、$\phi$ は $B$ 適応準同型であるという。<br />
*(1) ${\rm Ker}(\phi)\subset B.$<br />
*(2) 任意の $g\in \widehat{G}$ に対して $h\in G$ が存在して $\phi(hBh^{-1})=g\phi(B)g^{-1}.$<br />
この条件(2)の代わりに<br />
*(2') 任意の $g\in \widehat{G}$ に対して $h\in G$ が存在して $\phi(hBh^{-1})=g\phi(B)g^{-1}, \phi(hNh^{-1})=g\phi(N)g^{-1}.$<br />
が成り立つとき、$\phi$ は $B-N$ 適応準同型であるという。<br />
<br />
==Tits系の例==</div>
Gest N
https://math.jp/w/index.php?title=Tits%E7%B3%BB%E3%80%81BN%E5%AF%BE&diff=11738
Tits系、BN対
2022-09-13T09:30:09Z
<p>Gest N: /* 一般化されたBN対 */</p>
<hr />
<div><br />
<br />
{{newtheorem |type=lem |counter=0 |display=補題 }}<br />
{{newtheorem |type=thm |counter=0 |display=定理 }}<br />
{{newtheorem |type=prop |counter=0 |display=命題 }}<br />
{{newtheorem |type=def |counter=0 |display=定義 }}<br />
{{newtheorem |type=cor |counter=0 |display=系 }}<br />
{{newtheorem |type=proof |counter=0 |display=証明 }}<br />
{{newtheorem |type=rem |counter=0 |display=注 }}<br />
{{newtheorem |type=exa |counter=0 |display=例 }}<br />
{{newtheorem |type=cond |counter=0 |display=条件 }}<br />
<br />
__MATHJAX2__<br />
<br />
Tits系は代数群の構造を調べるための基本的な道具である。<br />
<br />
<br />
<noinclude><br />
{{TOC |align=right |noautonum=1 }}<!-- 右寄せ連番無し目次をここに表示 --><br />
</noinclude><br />
<br />
<br />
==定義==<br />
<br />
{{theorem |type=def |label=def}}<br />
群 $G$ の二つの部分群 $B,N$ が以下の条件を満たすとする。<br />
* (1) $G$ は $B$ と $N$ によって生成される。<br />
* (2) $B\cap N$ は $N$ の正規部分群であり、$S$ は $W=N/B\cap N$ の位数 $2$ の元からなる生成系である。<br />
* (3) 任意の $s\in S$ と $w\in W$ に対して、<br />
$$<br />
C(s)C(w)\subset C(sw)\cup C(w).<br />
$$<br />
* (4) 任意の $s\in S$ に対して、$sBs\neq B$ である。<br />
ただし、$C(w)$ は両側剰余類 $BwB$ である。このような条件を満足する四つ組 $(G,B,N,S)$ のことを'''Tits系(Tits system)'''と呼ぶ。<br />
<br />
Tits系の重要な例を一つ上げる。<br />
{{theorem |type=exa |label=GLspherical}}<br />
$G=GL_{n}(\mathbb{R})$ とし $B$ を上三角行列のなす $G$ の部分群とする。$G$ はベクトル空間 $\mathbb{R}^{n}=\mathbb{R}e_{1}\oplus \cdots \oplus \mathbb{R}e_{n}$ に自然に作用している。ただし、$e_{1},\ldots, e_{n}$ は $\mathbb{R}^{n}$ の標準基底とする。$N$ は $\mathbb{R}e_{1},\ldots,\mathbb{R}e_{n}$ を置換する $G$ の部分群とする。$N$ は 各行各列に一つだけ $0$ でない成分があり、そうでない成分が $0$ であるような行列のなす群である。$B\cap N$ は対角行列のなすトーラス<br />
$$<br />
B\cap N=\left\{<br />
\left. \left(<br />
<nowiki><br />
\begin{array}{cccc}<br />
x_{1} & 0 & \cdots & 0 \\<br />
0 & x_{2} & \cdots & 0 \\<br />
\vdots & & \ddots & \vdots \\<br />
0 & \ldots & \ldots & x_{n}<br />
\end{array}<br />
</nowiki><br />
\right)\right| x_{1},\ldots,x_{n}\in \mathbb{R}^{\times}<br />
\right\}<br />
$$<br />
であり、$N/B\cap N$ は対称群 $S_{n}$ と同型である。$S_{n}$ の位数 $2$ の元からなる生成系 $\{(i,i+1)\mathrel{\vert} i=1,\ldots,n-1\}$ のことを $S$ と置く。$(G,B,N,S)$ はTits系になる。<br />
<br />
<br />
{{theorem |type=def |label=def2}}<br />
Tits系 $(G,B,N,S)$ に対して、$B$ を含んでいるような $G$ の部分群のことを $(G,B,N,S)$ の'''標準的放物型部分群(standard parabolic subgroup)'''という。<br />
<br />
==Bruhat分解==<br />
{{theorem |type=thm |label=Bruhat-dec}}<br />
Tits系 $(G,B,N,S)$ に対して、<br />
$$<br />
G=\coprod_{w\in W}C(w)<br />
$$<br />
が成り立つ。この分解のことを $G$ の'''Bruhat分解(Bruhat decomposition)'''と呼ぶ。<br />
{{begin|proof}}<br />
合併<br />
$$<br />
\bigcup_{w\in W}C(w)<br />
$$<br />
は $B,N$ を含む群なので、これは $G$ と等しい。この分解が無縁和であることを示そう。$C(v)=C(w)$ とし、$d=\mathrm{min}\{\ell_{S}(v),\ell_{S}(w)\}$ と置く。このとき $v=w$ であることを $d$ についての帰納法で示す。$d=0$ のとき、$C(v)=C(w)=B$ であり、これは $v,w$ の代表元が $B\cap N$ に入っていることを意味するので、$v=w=1$ が言える。$d>0$ とする。一般性を失うことなく $d=\ell_{S}(w)\leq \ell_{S}(v)$ としてよく、このとき $\ell_{S}(sw)=\ell_{S}(w)-1$ となるような $s\in S$ がある。$wB\subset C(w)=C(v)$ なので <br />
$$<br />
C(sw)\subset sC(v)\subset C(sv)\cup C(v)<br />
$$<br />
である。よって、$C(sw)=C(v)$ であるかまたは $C(sw)=C(sv)$ である。前者の場合は $C(sw)=C(w)$ なので、$d-1=\mathrm{min}\{\ell_{S}(sw),\ell_{S}(w)\}<d$ から $sw=w$ が得られ、帰納法の仮定に反する。後者の場合、帰納法により、$sw=sv$ が分かる。したがって、$v=w$ を得る。<br />
{{end|proof}}<br />
<br />
<br />
{{theorem |type=prop |label=cellproduct}}<br />
任意の $w\in W$ と $s\in S$ に対して、もし $\ell(sw)=\ell(w)+1$ なら $C(s)C(w)=C(sw)$ であり $\ell(sw)=\ell(w)-1$ なら $C(s)C(w)=C(w)\cup C(sw)$ である。<br />
{{begin|proof}}<br />
$\ell(w)=0$ なら主張は自明である。$\ell(w)>0$ なら、$\ell(wt)<\ell(w)$ となる $t\in S$ がある。$\ell(sw)=\ell(w)+1$ のとき $C(s)C(w)=C(sw)$ となることをまず示そう。$w^{'}=wt$ と置く。<br />
$$<br />
\ell(w^{'})+1=\ell(w)\leq \ell(sw)=\ell(sw^{'}t)\leq \ell(sw^{'})+1<br />
$$<br />
なので帰納法の仮定から<br />
$$<br />
C(s)C(w^{'})=C(sw^{'})<br />
$$<br />
となる。$C(s)C(w)\neq C(sw)$ と仮定する。$sBw\cap C(w)\neq \phi$ なので $sBw^{'}\cap C(w)t$ も空でない。さらに $C(w)t\subset C(w)\cup C(w^{'})$ なので $sBw^{'}\cap (C(w)\cup C(w^{'}))\neq \phi$ である。$C(s)C(w^{'})=C(sw^{'})$ なので{{ref |type=thm |label=Bruhat-dec}} より $sw^{'}=w$ である。しかしこれは<br />
$$<br />
\ell(w^{'})<\ell(w)<\ell(sw)<br />
$$<br />
に矛盾する。したがって $C(s)(w)$ と $C(w)$ は交わらず、$C(s)C(w)=C(sw)$ であることが分かる。次に $\ell(sw)=\ell(w)-1$ の場合を考えよう。このとき $\ell(s(sw))=\ell(sw)+1$ なので、上で見たように<br />
$$<br />
C(s)C(sw)=C(w)<br />
$$<br />
である。このとき、<br />
\begin{align}<br />
C(s)C(w)&=C(s)C(s)C(sw) \\<br />
&=(C(s)\cup B)C(sw) \\<br />
&=C(w)\cup C(sw)<br />
\end{align}<br />
<br />
{{end|proof}}<br />
<br />
==放物型部分群==<br />
<br />
{{theorem |type=prop |label=Coxeter}}<br />
$(G,B,N,S)$ をTits系とすると、$(W,S)$ は[[Coxeter系]]になる。<br />
{{begin|proof}}<br />
$s\in S$ と $w\in W$ が $\ell(sw)=\ell(w)-1$ を満たすとする。また $s_{1},\ldots,s_{n}\in S$ を $w=s_{1}\cdots s_{n}$ が最短表示であるように選ぶ。このとき[[交換条件]]をみたすことを示そう。つまり<br />
$$<br />
sw=s_{1}\cdots \hat{s_{i}}\cdots s_{n}<br />
$$<br />
となる $i$ が存在することを示す。仮定より $C(s)C(w)=C(sw)\cup C(w)$ かつ $C(w)=C(s_{1})\cdots C(s_{n})$ が成り立つ。$1\leq i\leq n$ を $\ell(ss_{1}\cdots s_{i})<\ell(ss_{1}\cdots s_{i-1})$ となるような最小の添え字に選べば<br />
\begin{align}<br />
C(s)C(w)&=C(s)C(s_{1})\cdots C(s_{i-1})C(s_{i})\cdots C(s_{n}) \\<br />
&=C(ss_{1}\cdots s_{i-1})C(s_{i})\cdots C(s_{n}) \\<br />
&=\left(C(ss_{1}\cdots s_{i})\cup C(ss_{1}\cdots s_{i-1}) \right)C(s_{i+1})\cdots C(s_{n}) \\<br />
&\subset \bigcup \left(C(ss_{1}\cdots s_{i}s_{i_{1}}\cdots s_{i_{p}})\cup C(ss_{1}\cdots s_{i-1}s_{i_{1}}\cdots s_{i_{p}}) \right)<br />
\end{align}<br />
ここで、$i<i_{1}<\ldots <i_{p}\leq n$ を満たすような添え字を走る。$C(w)$ は最右辺に含まれるので $\ell(w)=n$ という事実と合わせて考えると $w=ss_{1}\cdots s_{i-1}s_{i+1}\cdots s_{n}$ であるかまたは $w=ss_{1}\cdots s_{i}s_{i+1}\cdots \widehat{s_{i+k}}\cdots s_{n}$ となる $k$ がある。どちらにせよ、$(W,S)$ は交換条件を満たすことが確認できる。<br />
{{end|proof}}<br />
<br />
<br />
$I$ を $S$ の部分集合とすると、$(W_{I},I)$ はCoxeter系である。$P_{I}=BW_{I}B$ は $B$ を含む $G$ の部分群になる。すなわち $P_{I}$ は標準的放物型部分群になる。逆に、$P$ が標準的放物型部分群のとき、<br />
$$<br />
W_{I}=\{w\in W\mathrel{\vert}C(w)\subset P\}<br />
$$<br />
と置くと、これは $W$ の放物型部分群であり、$I=S\cap W_{I}$ は $W_{I}$ の生成系である。つまり、$S$ の部分集合と $G$ の標準的放物型部分群は $1:1$ に対応する。$G$ の'''放物型部分群'''とは、$G$ の標準的放物型部分群と共役な群のことを意味する。$\Delta(G,B)$ を $G$ の放物型部分群全体のなす集合とする。<br />
<br />
{{theorem |type=lem |label=cell-gen}}<br />
もし $w\in W$ に対して $w=s_{1}\cdots s_{n}$ が最短表示なら $\langle C(w)\rangle=\langle C(s_{1}),\ldots,C(s_{n})\rangle=\langle B,wBw^{-1}\rangle$ が成り立つ。<br />
{{begin|proof}}<br />
$w\in C(w)$ かつ $wB\subset C(w)$ より $\langle B,wBw^{-1}\rangle\subset \langle C(w)\rangle $ が分かる。さらに$w=s_{1}\cdots s_{n}$ は最短表示なので $\langle C(s_{1}),\ldots, C(s_{n}) \rangle$ である。よって、$C(s_{1}),\ldots ,C(s_{n})\subset \langle B,wBw^{-1} \rangle$ を示せばよい。実際、$\ell(s_{1}w)<\ell(w)$ なので、$C(w)\subset C(s_{1})C(w)$ となる。特に、$w=b_{1}s_{1}b_{2}wb_{3}$ となる $b_{1},b_{2},b_{3}\in B$ が存在する。特に $s_{1}=b_{1}^{-1}wb_{3}^{-1}w^{-1}b_{2}^{-1}\in \langle B,wBw^{-1}\rangle$ となるので $\langle B,s_{1}wBw^{-1}s_{1}\rangle\subset \langle B,wBw^{-1}\rangle$ となる。さらに帰納法により、この左辺は $C(s_{2}),\ldots,C(s_{n})$ を含む。よって、<br />
$$<br />
\langle C(s_{1}),\ldots,C(s_{n})\rangle\subset \langle B,wBw^{-1}\rangle<br />
$$<br />
となる。<br />
{{end|proof}}<br />
<br />
{{theorem |type=prop |label=normal}}<br />
任意の $P\in \Delta(G,B)$ に対して $N_{G}(P)=P$ が成り立つ。 <br />
{{begin|proof}}<br />
任意の $g\in G$ に対して、$N_{G}(gPg^{-1})=gN_{G}(P)g^{-1}$ なので、$P$ は標準的であるとしてよい。$x\in N_{G}(P)$ に対し $x\in C(w)$ となるような $w\in W$ がある。この $w$ に対して$\langle B,wBw^{-1} \rangle$ は $P$ に含まれるので、$x\in C(w)\in P$ となる。したがって $N_{G}(P)=P$ が分かる。<br />
{{end|proof}}<br />
<br />
<br />
==$B$ 適応準同型、$BN$ 適応準同型==<br />
<br />
$(G,B,N,S)$ をTits系とし、$\widehat{G}$ を群とする。<br />
<br />
{{theorem |type=def |label=adaptedhom}}<br />
準同型 $\psi\colon G\longrightarrow \widehat{G}$ が以下の条件を満たすとき、$\psi$ は $B$ 適応準同型であるという。<br />
<br />
==Tits系の例==</div>
Gest N
https://math.jp/w/index.php?title=Tits%E7%B3%BB%E3%80%81BN%E5%AF%BE&diff=11737
Tits系、BN対
2022-09-13T09:24:33Z
<p>Gest N: /* 一般化されたBN対 */</p>
<hr />
<div><br />
<br />
{{newtheorem |type=lem |counter=0 |display=補題 }}<br />
{{newtheorem |type=thm |counter=0 |display=定理 }}<br />
{{newtheorem |type=prop |counter=0 |display=命題 }}<br />
{{newtheorem |type=def |counter=0 |display=定義 }}<br />
{{newtheorem |type=cor |counter=0 |display=系 }}<br />
{{newtheorem |type=proof |counter=0 |display=証明 }}<br />
{{newtheorem |type=rem |counter=0 |display=注 }}<br />
{{newtheorem |type=exa |counter=0 |display=例 }}<br />
{{newtheorem |type=cond |counter=0 |display=条件 }}<br />
<br />
__MATHJAX2__<br />
<br />
Tits系は代数群の構造を調べるための基本的な道具である。<br />
<br />
<br />
<noinclude><br />
{{TOC |align=right |noautonum=1 }}<!-- 右寄せ連番無し目次をここに表示 --><br />
</noinclude><br />
<br />
<br />
==定義==<br />
<br />
{{theorem |type=def |label=def}}<br />
群 $G$ の二つの部分群 $B,N$ が以下の条件を満たすとする。<br />
* (1) $G$ は $B$ と $N$ によって生成される。<br />
* (2) $B\cap N$ は $N$ の正規部分群であり、$S$ は $W=N/B\cap N$ の位数 $2$ の元からなる生成系である。<br />
* (3) 任意の $s\in S$ と $w\in W$ に対して、<br />
$$<br />
C(s)C(w)\subset C(sw)\cup C(w).<br />
$$<br />
* (4) 任意の $s\in S$ に対して、$sBs\neq B$ である。<br />
ただし、$C(w)$ は両側剰余類 $BwB$ である。このような条件を満足する四つ組 $(G,B,N,S)$ のことを'''Tits系(Tits system)'''と呼ぶ。<br />
<br />
Tits系の重要な例を一つ上げる。<br />
{{theorem |type=exa |label=GLspherical}}<br />
$G=GL_{n}(\mathbb{R})$ とし $B$ を上三角行列のなす $G$ の部分群とする。$G$ はベクトル空間 $\mathbb{R}^{n}=\mathbb{R}e_{1}\oplus \cdots \oplus \mathbb{R}e_{n}$ に自然に作用している。ただし、$e_{1},\ldots, e_{n}$ は $\mathbb{R}^{n}$ の標準基底とする。$N$ は $\mathbb{R}e_{1},\ldots,\mathbb{R}e_{n}$ を置換する $G$ の部分群とする。$N$ は 各行各列に一つだけ $0$ でない成分があり、そうでない成分が $0$ であるような行列のなす群である。$B\cap N$ は対角行列のなすトーラス<br />
$$<br />
B\cap N=\left\{<br />
\left. \left(<br />
<nowiki><br />
\begin{array}{cccc}<br />
x_{1} & 0 & \cdots & 0 \\<br />
0 & x_{2} & \cdots & 0 \\<br />
\vdots & & \ddots & \vdots \\<br />
0 & \ldots & \ldots & x_{n}<br />
\end{array}<br />
</nowiki><br />
\right)\right| x_{1},\ldots,x_{n}\in \mathbb{R}^{\times}<br />
\right\}<br />
$$<br />
であり、$N/B\cap N$ は対称群 $S_{n}$ と同型である。$S_{n}$ の位数 $2$ の元からなる生成系 $\{(i,i+1)\mathrel{\vert} i=1,\ldots,n-1\}$ のことを $S$ と置く。$(G,B,N,S)$ はTits系になる。<br />
<br />
<br />
{{theorem |type=def |label=def2}}<br />
Tits系 $(G,B,N,S)$ に対して、$B$ を含んでいるような $G$ の部分群のことを $(G,B,N,S)$ の'''標準的放物型部分群(standard parabolic subgroup)'''という。<br />
<br />
==Bruhat分解==<br />
{{theorem |type=thm |label=Bruhat-dec}}<br />
Tits系 $(G,B,N,S)$ に対して、<br />
$$<br />
G=\coprod_{w\in W}C(w)<br />
$$<br />
が成り立つ。この分解のことを $G$ の'''Bruhat分解(Bruhat decomposition)'''と呼ぶ。<br />
{{begin|proof}}<br />
合併<br />
$$<br />
\bigcup_{w\in W}C(w)<br />
$$<br />
は $B,N$ を含む群なので、これは $G$ と等しい。この分解が無縁和であることを示そう。$C(v)=C(w)$ とし、$d=\mathrm{min}\{\ell_{S}(v),\ell_{S}(w)\}$ と置く。このとき $v=w$ であることを $d$ についての帰納法で示す。$d=0$ のとき、$C(v)=C(w)=B$ であり、これは $v,w$ の代表元が $B\cap N$ に入っていることを意味するので、$v=w=1$ が言える。$d>0$ とする。一般性を失うことなく $d=\ell_{S}(w)\leq \ell_{S}(v)$ としてよく、このとき $\ell_{S}(sw)=\ell_{S}(w)-1$ となるような $s\in S$ がある。$wB\subset C(w)=C(v)$ なので <br />
$$<br />
C(sw)\subset sC(v)\subset C(sv)\cup C(v)<br />
$$<br />
である。よって、$C(sw)=C(v)$ であるかまたは $C(sw)=C(sv)$ である。前者の場合は $C(sw)=C(w)$ なので、$d-1=\mathrm{min}\{\ell_{S}(sw),\ell_{S}(w)\}<d$ から $sw=w$ が得られ、帰納法の仮定に反する。後者の場合、帰納法により、$sw=sv$ が分かる。したがって、$v=w$ を得る。<br />
{{end|proof}}<br />
<br />
<br />
{{theorem |type=prop |label=cellproduct}}<br />
任意の $w\in W$ と $s\in S$ に対して、もし $\ell(sw)=\ell(w)+1$ なら $C(s)C(w)=C(sw)$ であり $\ell(sw)=\ell(w)-1$ なら $C(s)C(w)=C(w)\cup C(sw)$ である。<br />
{{begin|proof}}<br />
$\ell(w)=0$ なら主張は自明である。$\ell(w)>0$ なら、$\ell(wt)<\ell(w)$ となる $t\in S$ がある。$\ell(sw)=\ell(w)+1$ のとき $C(s)C(w)=C(sw)$ となることをまず示そう。$w^{'}=wt$ と置く。<br />
$$<br />
\ell(w^{'})+1=\ell(w)\leq \ell(sw)=\ell(sw^{'}t)\leq \ell(sw^{'})+1<br />
$$<br />
なので帰納法の仮定から<br />
$$<br />
C(s)C(w^{'})=C(sw^{'})<br />
$$<br />
となる。$C(s)C(w)\neq C(sw)$ と仮定する。$sBw\cap C(w)\neq \phi$ なので $sBw^{'}\cap C(w)t$ も空でない。さらに $C(w)t\subset C(w)\cup C(w^{'})$ なので $sBw^{'}\cap (C(w)\cup C(w^{'}))\neq \phi$ である。$C(s)C(w^{'})=C(sw^{'})$ なので{{ref |type=thm |label=Bruhat-dec}} より $sw^{'}=w$ である。しかしこれは<br />
$$<br />
\ell(w^{'})<\ell(w)<\ell(sw)<br />
$$<br />
に矛盾する。したがって $C(s)(w)$ と $C(w)$ は交わらず、$C(s)C(w)=C(sw)$ であることが分かる。次に $\ell(sw)=\ell(w)-1$ の場合を考えよう。このとき $\ell(s(sw))=\ell(sw)+1$ なので、上で見たように<br />
$$<br />
C(s)C(sw)=C(w)<br />
$$<br />
である。このとき、<br />
\begin{align}<br />
C(s)C(w)&=C(s)C(s)C(sw) \\<br />
&=(C(s)\cup B)C(sw) \\<br />
&=C(w)\cup C(sw)<br />
\end{align}<br />
<br />
{{end|proof}}<br />
<br />
==放物型部分群==<br />
<br />
{{theorem |type=prop |label=Coxeter}}<br />
$(G,B,N,S)$ をTits系とすると、$(W,S)$ は[[Coxeter系]]になる。<br />
{{begin|proof}}<br />
$s\in S$ と $w\in W$ が $\ell(sw)=\ell(w)-1$ を満たすとする。また $s_{1},\ldots,s_{n}\in S$ を $w=s_{1}\cdots s_{n}$ が最短表示であるように選ぶ。このとき[[交換条件]]をみたすことを示そう。つまり<br />
$$<br />
sw=s_{1}\cdots \hat{s_{i}}\cdots s_{n}<br />
$$<br />
となる $i$ が存在することを示す。仮定より $C(s)C(w)=C(sw)\cup C(w)$ かつ $C(w)=C(s_{1})\cdots C(s_{n})$ が成り立つ。$1\leq i\leq n$ を $\ell(ss_{1}\cdots s_{i})<\ell(ss_{1}\cdots s_{i-1})$ となるような最小の添え字に選べば<br />
\begin{align}<br />
C(s)C(w)&=C(s)C(s_{1})\cdots C(s_{i-1})C(s_{i})\cdots C(s_{n}) \\<br />
&=C(ss_{1}\cdots s_{i-1})C(s_{i})\cdots C(s_{n}) \\<br />
&=\left(C(ss_{1}\cdots s_{i})\cup C(ss_{1}\cdots s_{i-1}) \right)C(s_{i+1})\cdots C(s_{n}) \\<br />
&\subset \bigcup \left(C(ss_{1}\cdots s_{i}s_{i_{1}}\cdots s_{i_{p}})\cup C(ss_{1}\cdots s_{i-1}s_{i_{1}}\cdots s_{i_{p}}) \right)<br />
\end{align}<br />
ここで、$i<i_{1}<\ldots <i_{p}\leq n$ を満たすような添え字を走る。$C(w)$ は最右辺に含まれるので $\ell(w)=n$ という事実と合わせて考えると $w=ss_{1}\cdots s_{i-1}s_{i+1}\cdots s_{n}$ であるかまたは $w=ss_{1}\cdots s_{i}s_{i+1}\cdots \widehat{s_{i+k}}\cdots s_{n}$ となる $k$ がある。どちらにせよ、$(W,S)$ は交換条件を満たすことが確認できる。<br />
{{end|proof}}<br />
<br />
<br />
$I$ を $S$ の部分集合とすると、$(W_{I},I)$ はCoxeter系である。$P_{I}=BW_{I}B$ は $B$ を含む $G$ の部分群になる。すなわち $P_{I}$ は標準的放物型部分群になる。逆に、$P$ が標準的放物型部分群のとき、<br />
$$<br />
W_{I}=\{w\in W\mathrel{\vert}C(w)\subset P\}<br />
$$<br />
と置くと、これは $W$ の放物型部分群であり、$I=S\cap W_{I}$ は $W_{I}$ の生成系である。つまり、$S$ の部分集合と $G$ の標準的放物型部分群は $1:1$ に対応する。$G$ の'''放物型部分群'''とは、$G$ の標準的放物型部分群と共役な群のことを意味する。$\Delta(G,B)$ を $G$ の放物型部分群全体のなす集合とする。<br />
<br />
{{theorem |type=lem |label=cell-gen}}<br />
もし $w\in W$ に対して $w=s_{1}\cdots s_{n}$ が最短表示なら $\langle C(w)\rangle=\langle C(s_{1}),\ldots,C(s_{n})\rangle=\langle B,wBw^{-1}\rangle$ が成り立つ。<br />
{{begin|proof}}<br />
$w\in C(w)$ かつ $wB\subset C(w)$ より $\langle B,wBw^{-1}\rangle\subset \langle C(w)\rangle $ が分かる。さらに$w=s_{1}\cdots s_{n}$ は最短表示なので $\langle C(s_{1}),\ldots, C(s_{n}) \rangle$ である。よって、$C(s_{1}),\ldots ,C(s_{n})\subset \langle B,wBw^{-1} \rangle$ を示せばよい。実際、$\ell(s_{1}w)<\ell(w)$ なので、$C(w)\subset C(s_{1})C(w)$ となる。特に、$w=b_{1}s_{1}b_{2}wb_{3}$ となる $b_{1},b_{2},b_{3}\in B$ が存在する。特に $s_{1}=b_{1}^{-1}wb_{3}^{-1}w^{-1}b_{2}^{-1}\in \langle B,wBw^{-1}\rangle$ となるので $\langle B,s_{1}wBw^{-1}s_{1}\rangle\subset \langle B,wBw^{-1}\rangle$ となる。さらに帰納法により、この左辺は $C(s_{2}),\ldots,C(s_{n})$ を含む。よって、<br />
$$<br />
\langle C(s_{1}),\ldots,C(s_{n})\rangle\subset \langle B,wBw^{-1}\rangle<br />
$$<br />
となる。<br />
{{end|proof}}<br />
<br />
{{theorem |type=prop |label=normal}}<br />
任意の $P\in \Delta(G,B)$ に対して $N_{G}(P)=P$ が成り立つ。 <br />
{{begin|proof}}<br />
任意の $g\in G$ に対して、$N_{G}(gPg^{-1})=gN_{G}(P)g^{-1}$ なので、$P$ は標準的であるとしてよい。$x\in N_{G}(P)$ に対し $x\in C(w)$ となるような $w\in W$ がある。この $w$ に対して$\langle B,wBw^{-1} \rangle$ は $P$ に含まれるので、$x\in C(w)\in P$ となる。したがって $N_{G}(P)=P$ が分かる。<br />
{{end|proof}}<br />
<br />
<br />
==一般化されたBN対==<br />
<br />
$(G,B,N,S)$ をTits系とし、$\widehat{G}$ を $G$ を正規部分群として含む群とする。さらに以下の条件を仮定しよう。<br />
* 任意の $h\in \widehat{G}$ に対して $hBh^{-1}=gBg^{-1}, hNh^{-1}=gNg^{-1}$ を満たす $g\in G$ がある。<br />
<br />
==Tits系の例==</div>
Gest N
https://math.jp/w/index.php?title=Tits%E7%B3%BB%E3%80%81BN%E5%AF%BE&diff=11736
Tits系、BN対
2022-09-13T09:22:25Z
<p>Gest N: /* 一般化されたBN対 */</p>
<hr />
<div><br />
<br />
{{newtheorem |type=lem |counter=0 |display=補題 }}<br />
{{newtheorem |type=thm |counter=0 |display=定理 }}<br />
{{newtheorem |type=prop |counter=0 |display=命題 }}<br />
{{newtheorem |type=def |counter=0 |display=定義 }}<br />
{{newtheorem |type=cor |counter=0 |display=系 }}<br />
{{newtheorem |type=proof |counter=0 |display=証明 }}<br />
{{newtheorem |type=rem |counter=0 |display=注 }}<br />
{{newtheorem |type=exa |counter=0 |display=例 }}<br />
{{newtheorem |type=cond |counter=0 |display=条件 }}<br />
<br />
__MATHJAX2__<br />
<br />
Tits系は代数群の構造を調べるための基本的な道具である。<br />
<br />
<br />
<noinclude><br />
{{TOC |align=right |noautonum=1 }}<!-- 右寄せ連番無し目次をここに表示 --><br />
</noinclude><br />
<br />
<br />
==定義==<br />
<br />
{{theorem |type=def |label=def}}<br />
群 $G$ の二つの部分群 $B,N$ が以下の条件を満たすとする。<br />
* (1) $G$ は $B$ と $N$ によって生成される。<br />
* (2) $B\cap N$ は $N$ の正規部分群であり、$S$ は $W=N/B\cap N$ の位数 $2$ の元からなる生成系である。<br />
* (3) 任意の $s\in S$ と $w\in W$ に対して、<br />
$$<br />
C(s)C(w)\subset C(sw)\cup C(w).<br />
$$<br />
* (4) 任意の $s\in S$ に対して、$sBs\neq B$ である。<br />
ただし、$C(w)$ は両側剰余類 $BwB$ である。このような条件を満足する四つ組 $(G,B,N,S)$ のことを'''Tits系(Tits system)'''と呼ぶ。<br />
<br />
Tits系の重要な例を一つ上げる。<br />
{{theorem |type=exa |label=GLspherical}}<br />
$G=GL_{n}(\mathbb{R})$ とし $B$ を上三角行列のなす $G$ の部分群とする。$G$ はベクトル空間 $\mathbb{R}^{n}=\mathbb{R}e_{1}\oplus \cdots \oplus \mathbb{R}e_{n}$ に自然に作用している。ただし、$e_{1},\ldots, e_{n}$ は $\mathbb{R}^{n}$ の標準基底とする。$N$ は $\mathbb{R}e_{1},\ldots,\mathbb{R}e_{n}$ を置換する $G$ の部分群とする。$N$ は 各行各列に一つだけ $0$ でない成分があり、そうでない成分が $0$ であるような行列のなす群である。$B\cap N$ は対角行列のなすトーラス<br />
$$<br />
B\cap N=\left\{<br />
\left. \left(<br />
<nowiki><br />
\begin{array}{cccc}<br />
x_{1} & 0 & \cdots & 0 \\<br />
0 & x_{2} & \cdots & 0 \\<br />
\vdots & & \ddots & \vdots \\<br />
0 & \ldots & \ldots & x_{n}<br />
\end{array}<br />
</nowiki><br />
\right)\right| x_{1},\ldots,x_{n}\in \mathbb{R}^{\times}<br />
\right\}<br />
$$<br />
であり、$N/B\cap N$ は対称群 $S_{n}$ と同型である。$S_{n}$ の位数 $2$ の元からなる生成系 $\{(i,i+1)\mathrel{\vert} i=1,\ldots,n-1\}$ のことを $S$ と置く。$(G,B,N,S)$ はTits系になる。<br />
<br />
<br />
{{theorem |type=def |label=def2}}<br />
Tits系 $(G,B,N,S)$ に対して、$B$ を含んでいるような $G$ の部分群のことを $(G,B,N,S)$ の'''標準的放物型部分群(standard parabolic subgroup)'''という。<br />
<br />
==Bruhat分解==<br />
{{theorem |type=thm |label=Bruhat-dec}}<br />
Tits系 $(G,B,N,S)$ に対して、<br />
$$<br />
G=\coprod_{w\in W}C(w)<br />
$$<br />
が成り立つ。この分解のことを $G$ の'''Bruhat分解(Bruhat decomposition)'''と呼ぶ。<br />
{{begin|proof}}<br />
合併<br />
$$<br />
\bigcup_{w\in W}C(w)<br />
$$<br />
は $B,N$ を含む群なので、これは $G$ と等しい。この分解が無縁和であることを示そう。$C(v)=C(w)$ とし、$d=\mathrm{min}\{\ell_{S}(v),\ell_{S}(w)\}$ と置く。このとき $v=w$ であることを $d$ についての帰納法で示す。$d=0$ のとき、$C(v)=C(w)=B$ であり、これは $v,w$ の代表元が $B\cap N$ に入っていることを意味するので、$v=w=1$ が言える。$d>0$ とする。一般性を失うことなく $d=\ell_{S}(w)\leq \ell_{S}(v)$ としてよく、このとき $\ell_{S}(sw)=\ell_{S}(w)-1$ となるような $s\in S$ がある。$wB\subset C(w)=C(v)$ なので <br />
$$<br />
C(sw)\subset sC(v)\subset C(sv)\cup C(v)<br />
$$<br />
である。よって、$C(sw)=C(v)$ であるかまたは $C(sw)=C(sv)$ である。前者の場合は $C(sw)=C(w)$ なので、$d-1=\mathrm{min}\{\ell_{S}(sw),\ell_{S}(w)\}<d$ から $sw=w$ が得られ、帰納法の仮定に反する。後者の場合、帰納法により、$sw=sv$ が分かる。したがって、$v=w$ を得る。<br />
{{end|proof}}<br />
<br />
<br />
{{theorem |type=prop |label=cellproduct}}<br />
任意の $w\in W$ と $s\in S$ に対して、もし $\ell(sw)=\ell(w)+1$ なら $C(s)C(w)=C(sw)$ であり $\ell(sw)=\ell(w)-1$ なら $C(s)C(w)=C(w)\cup C(sw)$ である。<br />
{{begin|proof}}<br />
$\ell(w)=0$ なら主張は自明である。$\ell(w)>0$ なら、$\ell(wt)<\ell(w)$ となる $t\in S$ がある。$\ell(sw)=\ell(w)+1$ のとき $C(s)C(w)=C(sw)$ となることをまず示そう。$w^{'}=wt$ と置く。<br />
$$<br />
\ell(w^{'})+1=\ell(w)\leq \ell(sw)=\ell(sw^{'}t)\leq \ell(sw^{'})+1<br />
$$<br />
なので帰納法の仮定から<br />
$$<br />
C(s)C(w^{'})=C(sw^{'})<br />
$$<br />
となる。$C(s)C(w)\neq C(sw)$ と仮定する。$sBw\cap C(w)\neq \phi$ なので $sBw^{'}\cap C(w)t$ も空でない。さらに $C(w)t\subset C(w)\cup C(w^{'})$ なので $sBw^{'}\cap (C(w)\cup C(w^{'}))\neq \phi$ である。$C(s)C(w^{'})=C(sw^{'})$ なので{{ref |type=thm |label=Bruhat-dec}} より $sw^{'}=w$ である。しかしこれは<br />
$$<br />
\ell(w^{'})<\ell(w)<\ell(sw)<br />
$$<br />
に矛盾する。したがって $C(s)(w)$ と $C(w)$ は交わらず、$C(s)C(w)=C(sw)$ であることが分かる。次に $\ell(sw)=\ell(w)-1$ の場合を考えよう。このとき $\ell(s(sw))=\ell(sw)+1$ なので、上で見たように<br />
$$<br />
C(s)C(sw)=C(w)<br />
$$<br />
である。このとき、<br />
\begin{align}<br />
C(s)C(w)&=C(s)C(s)C(sw) \\<br />
&=(C(s)\cup B)C(sw) \\<br />
&=C(w)\cup C(sw)<br />
\end{align}<br />
<br />
{{end|proof}}<br />
<br />
==放物型部分群==<br />
<br />
{{theorem |type=prop |label=Coxeter}}<br />
$(G,B,N,S)$ をTits系とすると、$(W,S)$ は[[Coxeter系]]になる。<br />
{{begin|proof}}<br />
$s\in S$ と $w\in W$ が $\ell(sw)=\ell(w)-1$ を満たすとする。また $s_{1},\ldots,s_{n}\in S$ を $w=s_{1}\cdots s_{n}$ が最短表示であるように選ぶ。このとき[[交換条件]]をみたすことを示そう。つまり<br />
$$<br />
sw=s_{1}\cdots \hat{s_{i}}\cdots s_{n}<br />
$$<br />
となる $i$ が存在することを示す。仮定より $C(s)C(w)=C(sw)\cup C(w)$ かつ $C(w)=C(s_{1})\cdots C(s_{n})$ が成り立つ。$1\leq i\leq n$ を $\ell(ss_{1}\cdots s_{i})<\ell(ss_{1}\cdots s_{i-1})$ となるような最小の添え字に選べば<br />
\begin{align}<br />
C(s)C(w)&=C(s)C(s_{1})\cdots C(s_{i-1})C(s_{i})\cdots C(s_{n}) \\<br />
&=C(ss_{1}\cdots s_{i-1})C(s_{i})\cdots C(s_{n}) \\<br />
&=\left(C(ss_{1}\cdots s_{i})\cup C(ss_{1}\cdots s_{i-1}) \right)C(s_{i+1})\cdots C(s_{n}) \\<br />
&\subset \bigcup \left(C(ss_{1}\cdots s_{i}s_{i_{1}}\cdots s_{i_{p}})\cup C(ss_{1}\cdots s_{i-1}s_{i_{1}}\cdots s_{i_{p}}) \right)<br />
\end{align}<br />
ここで、$i<i_{1}<\ldots <i_{p}\leq n$ を満たすような添え字を走る。$C(w)$ は最右辺に含まれるので $\ell(w)=n$ という事実と合わせて考えると $w=ss_{1}\cdots s_{i-1}s_{i+1}\cdots s_{n}$ であるかまたは $w=ss_{1}\cdots s_{i}s_{i+1}\cdots \widehat{s_{i+k}}\cdots s_{n}$ となる $k$ がある。どちらにせよ、$(W,S)$ は交換条件を満たすことが確認できる。<br />
{{end|proof}}<br />
<br />
<br />
$I$ を $S$ の部分集合とすると、$(W_{I},I)$ はCoxeter系である。$P_{I}=BW_{I}B$ は $B$ を含む $G$ の部分群になる。すなわち $P_{I}$ は標準的放物型部分群になる。逆に、$P$ が標準的放物型部分群のとき、<br />
$$<br />
W_{I}=\{w\in W\mathrel{\vert}C(w)\subset P\}<br />
$$<br />
と置くと、これは $W$ の放物型部分群であり、$I=S\cap W_{I}$ は $W_{I}$ の生成系である。つまり、$S$ の部分集合と $G$ の標準的放物型部分群は $1:1$ に対応する。$G$ の'''放物型部分群'''とは、$G$ の標準的放物型部分群と共役な群のことを意味する。$\Delta(G,B)$ を $G$ の放物型部分群全体のなす集合とする。<br />
<br />
{{theorem |type=lem |label=cell-gen}}<br />
もし $w\in W$ に対して $w=s_{1}\cdots s_{n}$ が最短表示なら $\langle C(w)\rangle=\langle C(s_{1}),\ldots,C(s_{n})\rangle=\langle B,wBw^{-1}\rangle$ が成り立つ。<br />
{{begin|proof}}<br />
$w\in C(w)$ かつ $wB\subset C(w)$ より $\langle B,wBw^{-1}\rangle\subset \langle C(w)\rangle $ が分かる。さらに$w=s_{1}\cdots s_{n}$ は最短表示なので $\langle C(s_{1}),\ldots, C(s_{n}) \rangle$ である。よって、$C(s_{1}),\ldots ,C(s_{n})\subset \langle B,wBw^{-1} \rangle$ を示せばよい。実際、$\ell(s_{1}w)<\ell(w)$ なので、$C(w)\subset C(s_{1})C(w)$ となる。特に、$w=b_{1}s_{1}b_{2}wb_{3}$ となる $b_{1},b_{2},b_{3}\in B$ が存在する。特に $s_{1}=b_{1}^{-1}wb_{3}^{-1}w^{-1}b_{2}^{-1}\in \langle B,wBw^{-1}\rangle$ となるので $\langle B,s_{1}wBw^{-1}s_{1}\rangle\subset \langle B,wBw^{-1}\rangle$ となる。さらに帰納法により、この左辺は $C(s_{2}),\ldots,C(s_{n})$ を含む。よって、<br />
$$<br />
\langle C(s_{1}),\ldots,C(s_{n})\rangle\subset \langle B,wBw^{-1}\rangle<br />
$$<br />
となる。<br />
{{end|proof}}<br />
<br />
{{theorem |type=prop |label=normal}}<br />
任意の $P\in \Delta(G,B)$ に対して $N_{G}(P)=P$ が成り立つ。 <br />
{{begin|proof}}<br />
任意の $g\in G$ に対して、$N_{G}(gPg^{-1})=gN_{G}(P)g^{-1}$ なので、$P$ は標準的であるとしてよい。$x\in N_{G}(P)$ に対し $x\in C(w)$ となるような $w\in W$ がある。この $w$ に対して$\langle B,wBw^{-1} \rangle$ は $P$ に含まれるので、$x\in C(w)\in P$ となる。したがって $N_{G}(P)=P$ が分かる。<br />
{{end|proof}}<br />
<br />
<br />
==一般化されたBN対==<br />
<br />
$(G,B,N,S)$ をTits系とし、$\widehat{G}$ を $G$ を正規部分群として含む群とする。<br />
<br />
==Tits系の例==</div>
Gest N
https://math.jp/w/index.php?title=Tits%E7%B3%BB%E3%80%81BN%E5%AF%BE&diff=11735
Tits系、BN対
2022-09-13T09:20:37Z
<p>Gest N: </p>
<hr />
<div><br />
<br />
{{newtheorem |type=lem |counter=0 |display=補題 }}<br />
{{newtheorem |type=thm |counter=0 |display=定理 }}<br />
{{newtheorem |type=prop |counter=0 |display=命題 }}<br />
{{newtheorem |type=def |counter=0 |display=定義 }}<br />
{{newtheorem |type=cor |counter=0 |display=系 }}<br />
{{newtheorem |type=proof |counter=0 |display=証明 }}<br />
{{newtheorem |type=rem |counter=0 |display=注 }}<br />
{{newtheorem |type=exa |counter=0 |display=例 }}<br />
{{newtheorem |type=cond |counter=0 |display=条件 }}<br />
<br />
__MATHJAX2__<br />
<br />
Tits系は代数群の構造を調べるための基本的な道具である。<br />
<br />
<br />
<noinclude><br />
{{TOC |align=right |noautonum=1 }}<!-- 右寄せ連番無し目次をここに表示 --><br />
</noinclude><br />
<br />
<br />
==定義==<br />
<br />
{{theorem |type=def |label=def}}<br />
群 $G$ の二つの部分群 $B,N$ が以下の条件を満たすとする。<br />
* (1) $G$ は $B$ と $N$ によって生成される。<br />
* (2) $B\cap N$ は $N$ の正規部分群であり、$S$ は $W=N/B\cap N$ の位数 $2$ の元からなる生成系である。<br />
* (3) 任意の $s\in S$ と $w\in W$ に対して、<br />
$$<br />
C(s)C(w)\subset C(sw)\cup C(w).<br />
$$<br />
* (4) 任意の $s\in S$ に対して、$sBs\neq B$ である。<br />
ただし、$C(w)$ は両側剰余類 $BwB$ である。このような条件を満足する四つ組 $(G,B,N,S)$ のことを'''Tits系(Tits system)'''と呼ぶ。<br />
<br />
Tits系の重要な例を一つ上げる。<br />
{{theorem |type=exa |label=GLspherical}}<br />
$G=GL_{n}(\mathbb{R})$ とし $B$ を上三角行列のなす $G$ の部分群とする。$G$ はベクトル空間 $\mathbb{R}^{n}=\mathbb{R}e_{1}\oplus \cdots \oplus \mathbb{R}e_{n}$ に自然に作用している。ただし、$e_{1},\ldots, e_{n}$ は $\mathbb{R}^{n}$ の標準基底とする。$N$ は $\mathbb{R}e_{1},\ldots,\mathbb{R}e_{n}$ を置換する $G$ の部分群とする。$N$ は 各行各列に一つだけ $0$ でない成分があり、そうでない成分が $0$ であるような行列のなす群である。$B\cap N$ は対角行列のなすトーラス<br />
$$<br />
B\cap N=\left\{<br />
\left. \left(<br />
<nowiki><br />
\begin{array}{cccc}<br />
x_{1} & 0 & \cdots & 0 \\<br />
0 & x_{2} & \cdots & 0 \\<br />
\vdots & & \ddots & \vdots \\<br />
0 & \ldots & \ldots & x_{n}<br />
\end{array}<br />
</nowiki><br />
\right)\right| x_{1},\ldots,x_{n}\in \mathbb{R}^{\times}<br />
\right\}<br />
$$<br />
であり、$N/B\cap N$ は対称群 $S_{n}$ と同型である。$S_{n}$ の位数 $2$ の元からなる生成系 $\{(i,i+1)\mathrel{\vert} i=1,\ldots,n-1\}$ のことを $S$ と置く。$(G,B,N,S)$ はTits系になる。<br />
<br />
<br />
{{theorem |type=def |label=def2}}<br />
Tits系 $(G,B,N,S)$ に対して、$B$ を含んでいるような $G$ の部分群のことを $(G,B,N,S)$ の'''標準的放物型部分群(standard parabolic subgroup)'''という。<br />
<br />
==Bruhat分解==<br />
{{theorem |type=thm |label=Bruhat-dec}}<br />
Tits系 $(G,B,N,S)$ に対して、<br />
$$<br />
G=\coprod_{w\in W}C(w)<br />
$$<br />
が成り立つ。この分解のことを $G$ の'''Bruhat分解(Bruhat decomposition)'''と呼ぶ。<br />
{{begin|proof}}<br />
合併<br />
$$<br />
\bigcup_{w\in W}C(w)<br />
$$<br />
は $B,N$ を含む群なので、これは $G$ と等しい。この分解が無縁和であることを示そう。$C(v)=C(w)$ とし、$d=\mathrm{min}\{\ell_{S}(v),\ell_{S}(w)\}$ と置く。このとき $v=w$ であることを $d$ についての帰納法で示す。$d=0$ のとき、$C(v)=C(w)=B$ であり、これは $v,w$ の代表元が $B\cap N$ に入っていることを意味するので、$v=w=1$ が言える。$d>0$ とする。一般性を失うことなく $d=\ell_{S}(w)\leq \ell_{S}(v)$ としてよく、このとき $\ell_{S}(sw)=\ell_{S}(w)-1$ となるような $s\in S$ がある。$wB\subset C(w)=C(v)$ なので <br />
$$<br />
C(sw)\subset sC(v)\subset C(sv)\cup C(v)<br />
$$<br />
である。よって、$C(sw)=C(v)$ であるかまたは $C(sw)=C(sv)$ である。前者の場合は $C(sw)=C(w)$ なので、$d-1=\mathrm{min}\{\ell_{S}(sw),\ell_{S}(w)\}<d$ から $sw=w$ が得られ、帰納法の仮定に反する。後者の場合、帰納法により、$sw=sv$ が分かる。したがって、$v=w$ を得る。<br />
{{end|proof}}<br />
<br />
<br />
{{theorem |type=prop |label=cellproduct}}<br />
任意の $w\in W$ と $s\in S$ に対して、もし $\ell(sw)=\ell(w)+1$ なら $C(s)C(w)=C(sw)$ であり $\ell(sw)=\ell(w)-1$ なら $C(s)C(w)=C(w)\cup C(sw)$ である。<br />
{{begin|proof}}<br />
$\ell(w)=0$ なら主張は自明である。$\ell(w)>0$ なら、$\ell(wt)<\ell(w)$ となる $t\in S$ がある。$\ell(sw)=\ell(w)+1$ のとき $C(s)C(w)=C(sw)$ となることをまず示そう。$w^{'}=wt$ と置く。<br />
$$<br />
\ell(w^{'})+1=\ell(w)\leq \ell(sw)=\ell(sw^{'}t)\leq \ell(sw^{'})+1<br />
$$<br />
なので帰納法の仮定から<br />
$$<br />
C(s)C(w^{'})=C(sw^{'})<br />
$$<br />
となる。$C(s)C(w)\neq C(sw)$ と仮定する。$sBw\cap C(w)\neq \phi$ なので $sBw^{'}\cap C(w)t$ も空でない。さらに $C(w)t\subset C(w)\cup C(w^{'})$ なので $sBw^{'}\cap (C(w)\cup C(w^{'}))\neq \phi$ である。$C(s)C(w^{'})=C(sw^{'})$ なので{{ref |type=thm |label=Bruhat-dec}} より $sw^{'}=w$ である。しかしこれは<br />
$$<br />
\ell(w^{'})<\ell(w)<\ell(sw)<br />
$$<br />
に矛盾する。したがって $C(s)(w)$ と $C(w)$ は交わらず、$C(s)C(w)=C(sw)$ であることが分かる。次に $\ell(sw)=\ell(w)-1$ の場合を考えよう。このとき $\ell(s(sw))=\ell(sw)+1$ なので、上で見たように<br />
$$<br />
C(s)C(sw)=C(w)<br />
$$<br />
である。このとき、<br />
\begin{align}<br />
C(s)C(w)&=C(s)C(s)C(sw) \\<br />
&=(C(s)\cup B)C(sw) \\<br />
&=C(w)\cup C(sw)<br />
\end{align}<br />
<br />
{{end|proof}}<br />
<br />
==放物型部分群==<br />
<br />
{{theorem |type=prop |label=Coxeter}}<br />
$(G,B,N,S)$ をTits系とすると、$(W,S)$ は[[Coxeter系]]になる。<br />
{{begin|proof}}<br />
$s\in S$ と $w\in W$ が $\ell(sw)=\ell(w)-1$ を満たすとする。また $s_{1},\ldots,s_{n}\in S$ を $w=s_{1}\cdots s_{n}$ が最短表示であるように選ぶ。このとき[[交換条件]]をみたすことを示そう。つまり<br />
$$<br />
sw=s_{1}\cdots \hat{s_{i}}\cdots s_{n}<br />
$$<br />
となる $i$ が存在することを示す。仮定より $C(s)C(w)=C(sw)\cup C(w)$ かつ $C(w)=C(s_{1})\cdots C(s_{n})$ が成り立つ。$1\leq i\leq n$ を $\ell(ss_{1}\cdots s_{i})<\ell(ss_{1}\cdots s_{i-1})$ となるような最小の添え字に選べば<br />
\begin{align}<br />
C(s)C(w)&=C(s)C(s_{1})\cdots C(s_{i-1})C(s_{i})\cdots C(s_{n}) \\<br />
&=C(ss_{1}\cdots s_{i-1})C(s_{i})\cdots C(s_{n}) \\<br />
&=\left(C(ss_{1}\cdots s_{i})\cup C(ss_{1}\cdots s_{i-1}) \right)C(s_{i+1})\cdots C(s_{n}) \\<br />
&\subset \bigcup \left(C(ss_{1}\cdots s_{i}s_{i_{1}}\cdots s_{i_{p}})\cup C(ss_{1}\cdots s_{i-1}s_{i_{1}}\cdots s_{i_{p}}) \right)<br />
\end{align}<br />
ここで、$i<i_{1}<\ldots <i_{p}\leq n$ を満たすような添え字を走る。$C(w)$ は最右辺に含まれるので $\ell(w)=n$ という事実と合わせて考えると $w=ss_{1}\cdots s_{i-1}s_{i+1}\cdots s_{n}$ であるかまたは $w=ss_{1}\cdots s_{i}s_{i+1}\cdots \widehat{s_{i+k}}\cdots s_{n}$ となる $k$ がある。どちらにせよ、$(W,S)$ は交換条件を満たすことが確認できる。<br />
{{end|proof}}<br />
<br />
<br />
$I$ を $S$ の部分集合とすると、$(W_{I},I)$ はCoxeter系である。$P_{I}=BW_{I}B$ は $B$ を含む $G$ の部分群になる。すなわち $P_{I}$ は標準的放物型部分群になる。逆に、$P$ が標準的放物型部分群のとき、<br />
$$<br />
W_{I}=\{w\in W\mathrel{\vert}C(w)\subset P\}<br />
$$<br />
と置くと、これは $W$ の放物型部分群であり、$I=S\cap W_{I}$ は $W_{I}$ の生成系である。つまり、$S$ の部分集合と $G$ の標準的放物型部分群は $1:1$ に対応する。$G$ の'''放物型部分群'''とは、$G$ の標準的放物型部分群と共役な群のことを意味する。$\Delta(G,B)$ を $G$ の放物型部分群全体のなす集合とする。<br />
<br />
{{theorem |type=lem |label=cell-gen}}<br />
もし $w\in W$ に対して $w=s_{1}\cdots s_{n}$ が最短表示なら $\langle C(w)\rangle=\langle C(s_{1}),\ldots,C(s_{n})\rangle=\langle B,wBw^{-1}\rangle$ が成り立つ。<br />
{{begin|proof}}<br />
$w\in C(w)$ かつ $wB\subset C(w)$ より $\langle B,wBw^{-1}\rangle\subset \langle C(w)\rangle $ が分かる。さらに$w=s_{1}\cdots s_{n}$ は最短表示なので $\langle C(s_{1}),\ldots, C(s_{n}) \rangle$ である。よって、$C(s_{1}),\ldots ,C(s_{n})\subset \langle B,wBw^{-1} \rangle$ を示せばよい。実際、$\ell(s_{1}w)<\ell(w)$ なので、$C(w)\subset C(s_{1})C(w)$ となる。特に、$w=b_{1}s_{1}b_{2}wb_{3}$ となる $b_{1},b_{2},b_{3}\in B$ が存在する。特に $s_{1}=b_{1}^{-1}wb_{3}^{-1}w^{-1}b_{2}^{-1}\in \langle B,wBw^{-1}\rangle$ となるので $\langle B,s_{1}wBw^{-1}s_{1}\rangle\subset \langle B,wBw^{-1}\rangle$ となる。さらに帰納法により、この左辺は $C(s_{2}),\ldots,C(s_{n})$ を含む。よって、<br />
$$<br />
\langle C(s_{1}),\ldots,C(s_{n})\rangle\subset \langle B,wBw^{-1}\rangle<br />
$$<br />
となる。<br />
{{end|proof}}<br />
<br />
{{theorem |type=prop |label=normal}}<br />
任意の $P\in \Delta(G,B)$ に対して $N_{G}(P)=P$ が成り立つ。 <br />
{{begin|proof}}<br />
任意の $g\in G$ に対して、$N_{G}(gPg^{-1})=gN_{G}(P)g^{-1}$ なので、$P$ は標準的であるとしてよい。$x\in N_{G}(P)$ に対し $x\in C(w)$ となるような $w\in W$ がある。この $w$ に対して$\langle B,wBw^{-1} \rangle$ は $P$ に含まれるので、$x\in C(w)\in P$ となる。したがって $N_{G}(P)=P$ が分かる。<br />
{{end|proof}}<br />
<br />
<br />
==一般化されたBN対==<br />
<br />
==Tits系の例==</div>
Gest N