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集合の濃度

2022-03-27T14:07:53Z

Alwe: /* 具体的な濃度 */

<noinclude>
{{TOC |align=right |noautonum=1 }}
</noinclude>
== 集合の濃度 ==

集合の'''濃度''' (cardinality) は集合の「大きさ」を測る指標であり、有限集合の「元の個数」を拡張するものである。有限集合 $X,Y$ が与えられたとき、以下は同値である。
# $X$ と $Y$ の元の個数が等しい。
# $X$ と $Y$ の間に全単射 $f\colon X\to Y$ が存在する。

また同様に以下も同値である。
# $X$ の元の個数は $Y$ の元の個数以下である。
# $X$ と $Y$ の間に単射 $f\colon X\to Y$ が存在する。

ナイーブには「元の個数」は有限集合に対してしか適用できないのに対し、全単射や単射の存在は無限集合に対しても考えうる。よって全単射や単射の存在によって集合 $X,Y$ の大きさを測ろうというのが、濃度の考え方といって良いだろう。

== 定義 ==

集合 $X,Y$ に対して関係 $X\equiv_{\mathrm{card}} Y$ を $X$ から $Y$ への全単射が存在する、と定める。このとき以下が成り立つ。
# '''反射律'''　任意の集合 $X$ に対し、 $X\equiv_{\mathrm{card}} X$ である。
# '''対称律'''　任意の集合 $X,Y$ に対し、$X\equiv_{\mathrm{card}} Y$ ならば $Y\equiv_{\mathrm{card}} X$ である。
# '''推移律'''　任意の集合 $X,Y,Z$ に対し、 $X\equiv_{\mathrm{card}} Y$ かつ $Y\equiv_{\mathrm{card}} Z$ ならば $X\equiv_{\mathrm{card}} Z$ である。

これらは定義に基づき書き直せば以下のようになる。
# '''反射律'''　任意の集合 $X$ に対し、全単射 $f\colon X\to X$ が存在する。
# '''対称律'''　任意の集合 $X,Y$ に対し、全単射 $f\colon X\to Y$ が存在するならば全単射$g\colon Y\to X$ も存在する。
# '''推移律'''　任意の集合 $X,Y,Z$ に対し、全単射 $f\colon X\to Y$が存在しかつ全単射 $g\colon Y\to Z$ が存在するならば全単射 $h\colon X \to Z$ も存在する。

反射律は $f:=\mathrm{id}_X$ とすれば良く、対称律は $g:=f^{-1}$ とすれば良く推移律は $h:=g\circ f$ とすれば成り立つことがすぐ分かるであろう。

よって $\equiv_{\mathrm{card}}$ は同値関係であることが分かる。同値関係であるということは、集合全体を $\equiv_{\mathrm{card}}$ で割ることができ、$X$ の同値類 $[X]_{\equiv_{\mathrm{card}}}$ を考えることができる。この同値類 $[X]_{\equiv_{\mathrm{card}}}$ を $X$ の'''濃度''' (cardinality) といい、$\mathrm{card}(X),\#X,|X|$ などと表す。また濃度の全体を $\mathrm{Card}$ とする。

== 濃度の順序 ==
$\mathrm{Card}$ の元 $[X]_{\equiv_{\mathrm{card}}},[Y]_{\equiv_{\mathrm{card}}}$ に対して二項関係 $[X]_{\equiv_{\mathrm{card}}}\leq [Y]_{\equiv_{\mathrm{card}}}$ を単射 $f\colon X\to Y$ が存在することと定義する。これはwell-definedである、すなわち以下が成り立つ。
* $[X_0]_{\equiv_{\mathrm{card}}}=[Y_0]_{\equiv_{\mathrm{card}}}$ かつ $[X_1]_{\equiv_{\mathrm{card}}}=[Y_1]_{\equiv_{\mathrm{card}}}$ かつ $[X_0]_{\equiv_{\mathrm{card}}}\leq [X_1]_{\equiv_{\mathrm{card}}}$ ならば $[Y_0]_{\equiv_{\mathrm{card}}}\leq [Y_1]_{\equiv_{\mathrm{card}}}$ である。

これを定義に基づいて書き直せば以下の用になる。
* 全単射 $f_0\colon X_0\to Y_0$ と、全単射 $f_1\colon X_1\to Y_1$ と単射 $g_X\colon X_0\to X_1$ が存在するとき、単射 $g_Y\colon Y_0\to Y_1$ も存在する。

これは $g_Y:=f_0^{-1}\circ g_X\circ f_1$ とすれば成り立つことが分かるであろう。

また $\leq$ は $\mathrm{Card}$ 上で[[全順序]]になる。すなわち以下が成り立つ。
* '''反射律'''　任意の $[X]_{\equiv_{\mathrm{card}}}\in\mathrm{Card}$ に対し、 $[X]_{\equiv_{\mathrm{card}}}\leq [X]_{\equiv_{\mathrm{card}}}$ である。
* '''全域律'''　任意の $[X]_{\equiv_{\mathrm{card}}},[Y]_{\equiv_{\mathrm{card}}}\in\mathrm{Card}$ に対し、$[X]_{\equiv_{\mathrm{card}}}\leq [Y]_{\equiv_{\mathrm{card}}}$ または $[Y]_{\equiv_{\mathrm{card}}}\leq [X]_{\equiv_{\mathrm{card}}}$ である。
* '''反対称律'''　任意の $[X]_{\equiv_{\mathrm{card}}},[Y]_{\equiv_{\mathrm{card}}}\in\mathrm{Card}$ に対し、$[X]_{\equiv_{\mathrm{card}}}\leq [Y]_{\equiv_{\mathrm{card}}}$ かつ$[Y]_{\equiv_{\mathrm{card}}}\leq [X]_{\equiv_{\mathrm{card}}}$ であるならば $[X]_{\equiv_{\mathrm{card}}}= [Y]_{\equiv_{\mathrm{card}}}$ である。
* '''推移律'''　任意の $[X]_{\equiv_{\mathrm{card}}},[Y]_{\equiv_{\mathrm{card}}},[Z]_{\equiv_{\mathrm{card}}}\in\mathrm{Card}$ に対し、$[X]_{\equiv_{\mathrm{card}}}\leq [Y]_{\equiv_{\mathrm{card}}}$ かつ $[Y]_{\equiv_{\mathrm{card}}}\leq [Z]_{\equiv_{\mathrm{card}}}$ ならば $[X]_{\equiv_{\mathrm{card}}}\leq [Z]_{\equiv_{\mathrm{card}}}$ である。

特に濃度に対する反対称律を[[Cantor–Bernstein–Schröderの定理]]という。

またもっと言えば濃度の順序は[[整列順序]]になっている。よって任意の濃度からなる集合 $X$ に対し最小元 $\min X$ が存在する。

== 濃度の演算 ==
$I$ を添字集合とし $\{[X_i]_{\equiv_{\mathrm{card}}}\}_{i\in I}$ を濃度の族とする。また $\sum_{i\in I}X_i,\prod_{i\in I}X_i$ を集合の直和、直積とする。このとき濃度の和 $\sum_{i\in I}[X_i]_{\equiv_{\mathrm{card}}}$ と濃度の積 $\prod_{i\in I}[X_i]_{\equiv_{\mathrm{card}}}$ を以下のように定める。
* $\sum_{i\in I}[X_i]_{\equiv_{\mathrm{card}}}:=[\sum_{i\in I}X_i]_{\equiv_{\mathrm{card}}}$ 。
* $\prod_{i\in I}[X_i]_{\equiv_{\mathrm{card}}}:=[\prod_{i\in I}X_i]_{\equiv_{\mathrm{card}}}$ 。

また濃度 $[X]_{\equiv_{\mathrm{card}}},[Y]_{\equiv_{\mathrm{card}}}$ に対して冪 ${[X]_{\equiv_{\mathrm{card}}}}^{[Y]_{\equiv_{\mathrm{card}}}}$ を以下のように定める。
* ${[X]_{\equiv_{\mathrm{card}}}}^{[Y]_{\equiv_{\mathrm{card}}}}:=[X^Y]_{\equiv_{\mathrm{card}}}$ 。

ここで $X^Y$ は $Y$ から $X$ への写像全体の集合である。

これらの演算は代表元の選択に依存しないためwell-definedである。

$I$ が有限集合で、ある $i$ に対して $X_i$ が無限集合であるとき
$$\sum_{i\in I}[X_i]_{\equiv_{\mathrm{card}}}=\prod_{i\in I}[X_i]_{\equiv_{\mathrm{card}}}=\max_{i\in_I}[X_i]_{\equiv_{\mathrm{card}}}$$ が成り立つ。また全ての $i$ に対して $X_i$ が有限集合であるとき、濃度は要素の数の和、積と一致する。

以下のような不等式も知られている。

* [[Cantorの定理]]　$Y$ の濃度は $2:=\{0,1\}$ 以上とする。このとき任意の集合 $X$ に対して $[X]_{\equiv_{\mathrm{card}}}<[Y^X]_{\equiv_{\mathrm{card}}}$ である。特に $[X]_{\equiv_{\mathrm{card}}}<[\mathcal{P}(X)]_{\equiv_{\mathrm{card}}}$ である。
* [[Kőnigの定理]] 各 $i\in I$ に対し $[X_i]_{\equiv_{\mathrm{card}}}<[Y_i]_{\equiv_{\mathrm{card}}}$ とする。このとき $\sum_{i\in I}[X_i]_{\equiv_{\mathrm{card}}}<\prod_{i\in I} [Y_i]_{\equiv_{\mathrm{card}}}$ である。

== 具体的な濃度 ==

* $\mathbb{N}$ の濃度を'''可算濃度''' といい $\aleph_0$ と表す。また $\aleph_n$ より大きい最小の濃度を $\aleph_{n+1}$ とする。また可算濃度を持つ集合を可算無限集合という<ref group="脚注">単に可算集合というと、有限集合も含むことがある。この記事に於いてはたかだか可算と可算無限のように使い分けることにする。</ref>。
* $\mathbb{R}$ の濃度を'''連続体濃度''' といい $\aleph$ や $\mathfrak{c}$ と表す。

可算濃度を持つ集合の例を挙げる。
* $\mathbb{Z},\mathbb{Q}$ 。
* 代数的数全体 $\bar{\mathbb{Q}}$ 。
* 自然数の有限列全体 $\mathbb{N}^{<\omega}$ 。

$\aleph_1$ を濃度として持つ集合の例を挙げる<ref group="脚注">$\aleph_1$ を濃度として持つ具体例が少ないように思えるかもしれない。実際非自明な $\aleph_1$ を濃度として持つ集合の例を挙げるのは経験的に難しいことが知られている。数理論理学、特にモデル理論に於いて有名な未解決問題としてVaught予想と呼ばれるものがある。これは大雑把に言うと、ある程度簡単な論理 (一階述語論理やもっと広く $\mathcal{L}_{\omega_1,\omega}$ など) を用いて公理化できる構造について、その公理を満たす可算な構造は同型を除いて、たかだか可算であるか、あるいは連続体濃度個であるという予想である。つまり、ちょうど $\aleph_1$ 個になることは (連続体仮説を仮定しないなら) 存在しないという予想である。これは実際 $\aleph_1$ の例が挙げられていないという経験則から得られた予想でありし、以下で挙げる双埋め込み可能性による例もVaught予想の反例をあげようとする研究の文脈で語られることが多い。</ref>。
* たかだか可算な順序数全体。
* $\mathbb{Q}$ 上の通常の順序で整列されるような集合を $W$ とし順序同型関係を $\equiv$ としたとき $W/{\equiv}$ の濃度。
* $\mathbb{R}$ 上の通常の順序で整列されるような集合を $W$ とし順序同型関係を $\equiv$ としたとき $W/{\equiv}$ の濃度。
* 可算全順序の双埋め込み可能性による同値類。
* 可算アーベル$p$-群の双埋め込み可能性による同値類。

* [[長い直線]]

連続体濃度を持つ集合の例を挙げる。
* [[超越数]] 全体 $\mathbb{R}\setminus\bar{\mathbb{Q}}$ 。
* 複素数全体 $\mathbb{C}$ 。
* $\mathcal{P}(\mathbb{N})$ 。
* $\mathbb{N}^\mathbb{N}$ 。
* 実数の可算列全体 $\mathbb{R}^\mathbb{N}$ 。
* $\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ の連続関数全体。
* [[Euclid空間]] $\mathbb{R}^n$ の開集合全体。

$2^\aleph$ を濃度として持つ集合の例を挙げる。
* $\mathcal{P}(\mathbb{R})$ 。
* $\mathbb{R}^\mathbb{R}$ 。
* [[Sorgenfrey直線]] $S$ に対して $S^2$ の開集合全体。

== 連続体仮説 ==
さてCantorは以下の'''連続体仮説''' (continuum hypothesis $\mathsf{CH}$) という問題を提示した。
* $\aleph_0$ と $\aleph$ の中間の濃度、すなわち $\aleph_0<\kappa<\aleph$ となるような濃度 $\kappa$ は存在しない。<ref group="脚注">選択公理の上で同値な命題である'''アレフ仮説''' (aleph hypothesis) $\aleph_1=\aleph$ と定式化されることも多い</ref>。

連続体仮説はGödelとCohenらによって一般的な集合論の公理系 $\mathsf{ZFC}$ では証明も反証もできないことが知られている。

== 濃度の正確な扱いについて ==
上記で述べた濃度の定義は集合論 $\mathsf{ZFC}$ に於いてはill-definedである。まず集合全体は集合ではないし、全単射が存在する二つの集合の組全体も集合ではなく、同じ濃度であるという論理式 $\equiv_\mathrm{card}$ も二項関係ではない。ill-definedであることは以下のように分かる。集合全体を $V$ とし、これが集合だとすると冪集合 $\mathcal{P}(V)$ が存在し $\mathcal{P}(V)$ の元はすべて集合であり $\mathcal{P}(V)\subseteq V$ あるわけだが、これは[[Cantorの定理]]に矛盾する。また $\{(x,x)\mid x\in V\}$ は「全単射が存在する二つの集合の組全体」の部分クラスになっており $V$ からの単射が存在するので真のクラスとなる。
よって以下では濃度を正確に扱う方法をいくつか考えよう。一つ目に挙げる方法は前提知識なく理解できるであろうが、二つ目以降は[[順序数]]や[[累積階層]]、[[数理論理学の概要|数理論理学]]などの知識を必要とする。

=== 濃度を直接定義せず、間接的に扱う。 ===
集合 $X$ に対して $\mathrm{card}(X)$ というものを定義せず、
$\mathrm{card}(X)=\mathrm{card}(Y)$ を全単射 $f\colon X\to Y$ が存在することの略記、$\mathrm{card}(X)\leq \mathrm{card}(Y)$ を単射 $f\colon X\to Y$ が存在することの略記として扱うという手法である。この手法のメリットとして使う道具立てが少なく、また他の扱い方と違い、整列可能性定理や正則性公理などに依存していない点が挙げられる。似たようなアイデアは構成主義数学などの'''亜集合''' (setoid) などの文脈でも用いられている。

=== 濃度をある種の順序数として定義する。 ===
濃度は直観的には同値類として上では扱っていたが、同値類は実際には存在しない。しかし、その代表元に相当するものが実は取ることができる。順序数 $\kappa$ が'''基数''' (cardinal) であるとは $\kappa$ 未満の順序数から $\kappa$ への全単射が存在しないことを言う。この基数が「集合全体を全単射で割った商集合の完全代表系」の役割を果たす。$X$ の濃度 $\mathrm{card}(X)$ を $X$ から全単射の存在する最小の[[順序数]]と定めよう。このような順序数の存在は $\mathsf{ZFC}$ で示せて、これは基数となる。このアプローチは公理的集合論に於いて一般的なものである。しかしこの定義は選択公理に依存する。整列可能性定理が、選択公理と同値なことを念頭に置くと、集合から順序数への全単射の存在は、集合の整列可能性を要求しているに他ならないからである。

=== Scottの絡繰を用いる方法 ===
このアプローチは同値類の定義を見直すことで真のクラスに対して定義できるようにする、というアプローチである。階数 $\mathrm{rank}(x):=\sup\{\mathrm{rank}(y)+1\mid y\in x\}$ と定めて、クラスに対しその元の階数に於いて最小のもののみを集めたものを考える。
真のクラス $C$ に対し $$\hat{C}:=\{x\in C\mid (\forall y)[\mathrm{rank}(x)\leq\mathrm{rank}(y)]\}$$ は常に非空な集合となり、これを'''Scottの絡繰''' (Scott's trick) という。集合であることは、任意の $x\in C$ に対し $\mathrm{rank}(x)=\alpha$ であることと $x\in V_{\alpha+1}$ であることが同値であることによる。ここで $V_\alpha$ は[[累積階層]] と呼ばれ、$\alpha$ に対する超限再帰で $V_\alpha:=\bigcup_{\xi<\alpha}\mathcal{P}(V_\xi)$ と定義される''集合''である。

真のクラス　$C$ 上の同値関係 $\equiv$ に対して、同値類 $[x]_\equiv$ を
$$[x]_\equiv:=\{y\mid y\equiv x\land(\forall z\in C)[z\equiv x\to\mathrm{rank}(y)\leq\mathrm{rank}(z)]\}$$ とすればこれは集合である。。よってこの同値類の定義にて $\mathrm{card}(x):=[x]_{\equiv_{\mathrm{card}}}$ とすれば良い。このアプローチでは選択公理によらずに全ての集合に対して濃度が定義できるというメリットがある。

=== クラスを扱えるような集合論を用いる方法 ===
クラスを対称として扱える[[Neumann–Bernays–Gödel集合論]]に[[大域選択公理]] $\mathsf{AGC}$ を加えた公理 $\mathsf{NBGC}$ などではクラス上の同値類 $[x]_{\equiv_{\mathrm{card}}}$ がそのままクラスとして存在する<ref group="脚注">大域選択公理は $[x]_{\equiv_{\mathrm{card}}}$ の存在には必要がないが、$\mathsf{ZFC}$ で証明可能な定理が $\mathsf{NBGC}$ でも証明可能であることには必要となる。しかしここの大域選択公理は普通の選択公理に弱めても問題はない。</ref>。よってこれを濃度の定義としてしまえば良い。また $\mathsf{NBGC}$ は $\mathsf{ZFC}$ の保存的拡大である。すなわち $\mathsf{ZFC}$ の言語で書かれた命題は、証明の際に $\mathsf{NBGC}$ にて定義される濃度を用いたとしても $\mathsf{ZFC}$ で証明可能であることが言える。つまり濃度の議論を用いて示した $\mathsf{ZFC}$ の言語での定理は $\mathsf{ZFC}$ で証明可能であることが言える。しかしこの定義だと濃度自体は $\mathsf{ZFC}$ の言語で記述できないため、濃度を含む定理が $\mathsf{NBGC}$ で証明可能だとしても、それが $\mathsf{ZFC}$ で証明可能であることをただちには導かない。$\mathsf{ZFC}$ の定理であることを導くためには $\mathsf{NBGC}$ での定義が上で挙げた他の $\mathsf{ZFC}$ に於ける定義と同値であることを証明しないとならない。

== 脚注 ==
<references group="脚注"/>
== 参考文献 ==
* T. Jech Set theory. Springer Science & Business Media, 2013.
* Barwise, Jon, and Paul Eklof. "Infinitary properties of abelian torsion groups." Annals of Mathematical Logic 2.1 (1970): 25-68.
* Laver, Richard. "On Fraïssé's order type conjecture." Annals of Mathematics (1971): 89-111.

== 集合論の初歩 ==

[[論理と命題]] / [[集合の基本的な用語、集合の演算]] / [[全称記号と存在記号]] / [[写像、像、逆像、写像のグラフ]] / [[写像の合成、写像の拡大と制限]] / [[選択公理について]] / [[単射、全射、全単射、逆写像]] / [[部分集合族、べき集合]] / （ [[演算と代数構造]] ） / （ [[関係、同値関係、商集合]] ） / （ [[初歩的な順序集合]] ） / （ [[Zornの補題]] ） / （集合の濃度）

== 関連項目 ==
*[[集合論]]

集合の濃度

2022-03-27T13:49:30Z

Alwe: /* クラスを扱えるような集合論を用いる方法 */

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== 集合の濃度 ==

集合の'''濃度''' (cardinality) は集合の「大きさ」を測る指標であり、有限集合の「元の個数」を拡張するものである。有限集合 $X,Y$ が与えられたとき、以下は同値である。
# $X$ と $Y$ の元の個数が等しい。
# $X$ と $Y$ の間に全単射 $f\colon X\to Y$ が存在する。

また同様に以下も同値である。
# $X$ の元の個数は $Y$ の元の個数以下である。
# $X$ と $Y$ の間に単射 $f\colon X\to Y$ が存在する。

ナイーブには「元の個数」は有限集合に対してしか適用できないのに対し、全単射や単射の存在は無限集合に対しても考えうる。よって全単射や単射の存在によって集合 $X,Y$ の大きさを測ろうというのが、濃度の考え方といって良いだろう。

== 定義 ==

集合 $X,Y$ に対して関係 $X\equiv_{\mathrm{card}} Y$ を $X$ から $Y$ への全単射が存在する、と定める。このとき以下が成り立つ。
# '''反射律'''　任意の集合 $X$ に対し、 $X\equiv_{\mathrm{card}} X$ である。
# '''対称律'''　任意の集合 $X,Y$ に対し、$X\equiv_{\mathrm{card}} Y$ ならば $Y\equiv_{\mathrm{card}} X$ である。
# '''推移律'''　任意の集合 $X,Y,Z$ に対し、 $X\equiv_{\mathrm{card}} Y$ かつ $Y\equiv_{\mathrm{card}} Z$ ならば $X\equiv_{\mathrm{card}} Z$ である。

これらは定義に基づき書き直せば以下のようになる。
# '''反射律'''　任意の集合 $X$ に対し、全単射 $f\colon X\to X$ が存在する。
# '''対称律'''　任意の集合 $X,Y$ に対し、全単射 $f\colon X\to Y$ が存在するならば全単射$g\colon Y\to X$ も存在する。
# '''推移律'''　任意の集合 $X,Y,Z$ に対し、全単射 $f\colon X\to Y$が存在しかつ全単射 $g\colon Y\to Z$ が存在するならば全単射 $h\colon X \to Z$ も存在する。

反射律は $f:=\mathrm{id}_X$ とすれば良く、対称律は $g:=f^{-1}$ とすれば良く推移律は $h:=g\circ f$ とすれば成り立つことがすぐ分かるであろう。

よって $\equiv_{\mathrm{card}}$ は同値関係であることが分かる。同値関係であるということは、集合全体を $\equiv_{\mathrm{card}}$ で割ることができ、$X$ の同値類 $[X]_{\equiv_{\mathrm{card}}}$ を考えることができる。この同値類 $[X]_{\equiv_{\mathrm{card}}}$ を $X$ の'''濃度''' (cardinality) といい、$\mathrm{card}(X),\#X,|X|$ などと表す。また濃度の全体を $\mathrm{Card}$ とする。

== 濃度の順序 ==
$\mathrm{Card}$ の元 $[X]_{\equiv_{\mathrm{card}}},[Y]_{\equiv_{\mathrm{card}}}$ に対して二項関係 $[X]_{\equiv_{\mathrm{card}}}\leq [Y]_{\equiv_{\mathrm{card}}}$ を単射 $f\colon X\to Y$ が存在することと定義する。これはwell-definedである、すなわち以下が成り立つ。
* $[X_0]_{\equiv_{\mathrm{card}}}=[Y_0]_{\equiv_{\mathrm{card}}}$ かつ $[X_1]_{\equiv_{\mathrm{card}}}=[Y_1]_{\equiv_{\mathrm{card}}}$ かつ $[X_0]_{\equiv_{\mathrm{card}}}\leq [X_1]_{\equiv_{\mathrm{card}}}$ ならば $[Y_0]_{\equiv_{\mathrm{card}}}\leq [Y_1]_{\equiv_{\mathrm{card}}}$ である。

これを定義に基づいて書き直せば以下の用になる。
* 全単射 $f_0\colon X_0\to Y_0$ と、全単射 $f_1\colon X_1\to Y_1$ と単射 $g_X\colon X_0\to X_1$ が存在するとき、単射 $g_Y\colon Y_0\to Y_1$ も存在する。

これは $g_Y:=f_0^{-1}\circ g_X\circ f_1$ とすれば成り立つことが分かるであろう。

また $\leq$ は $\mathrm{Card}$ 上で[[全順序]]になる。すなわち以下が成り立つ。
* '''反射律'''　任意の $[X]_{\equiv_{\mathrm{card}}}\in\mathrm{Card}$ に対し、 $[X]_{\equiv_{\mathrm{card}}}\leq [X]_{\equiv_{\mathrm{card}}}$ である。
* '''全域律'''　任意の $[X]_{\equiv_{\mathrm{card}}},[Y]_{\equiv_{\mathrm{card}}}\in\mathrm{Card}$ に対し、$[X]_{\equiv_{\mathrm{card}}}\leq [Y]_{\equiv_{\mathrm{card}}}$ または $[Y]_{\equiv_{\mathrm{card}}}\leq [X]_{\equiv_{\mathrm{card}}}$ である。
* '''反対称律'''　任意の $[X]_{\equiv_{\mathrm{card}}},[Y]_{\equiv_{\mathrm{card}}}\in\mathrm{Card}$ に対し、$[X]_{\equiv_{\mathrm{card}}}\leq [Y]_{\equiv_{\mathrm{card}}}$ かつ$[Y]_{\equiv_{\mathrm{card}}}\leq [X]_{\equiv_{\mathrm{card}}}$ であるならば $[X]_{\equiv_{\mathrm{card}}}= [Y]_{\equiv_{\mathrm{card}}}$ である。
* '''推移律'''　任意の $[X]_{\equiv_{\mathrm{card}}},[Y]_{\equiv_{\mathrm{card}}},[Z]_{\equiv_{\mathrm{card}}}\in\mathrm{Card}$ に対し、$[X]_{\equiv_{\mathrm{card}}}\leq [Y]_{\equiv_{\mathrm{card}}}$ かつ $[Y]_{\equiv_{\mathrm{card}}}\leq [Z]_{\equiv_{\mathrm{card}}}$ ならば $[X]_{\equiv_{\mathrm{card}}}\leq [Z]_{\equiv_{\mathrm{card}}}$ である。

特に濃度に対する反対称律を[[Cantor–Bernstein–Schröderの定理]]という。

またもっと言えば濃度の順序は[[整列順序]]になっている。よって任意の濃度からなる集合 $X$ に対し最小元 $\min X$ が存在する。

== 濃度の演算 ==
$I$ を添字集合とし $\{[X_i]_{\equiv_{\mathrm{card}}}\}_{i\in I}$ を濃度の族とする。また $\sum_{i\in I}X_i,\prod_{i\in I}X_i$ を集合の直和、直積とする。このとき濃度の和 $\sum_{i\in I}[X_i]_{\equiv_{\mathrm{card}}}$ と濃度の積 $\prod_{i\in I}[X_i]_{\equiv_{\mathrm{card}}}$ を以下のように定める。
* $\sum_{i\in I}[X_i]_{\equiv_{\mathrm{card}}}:=[\sum_{i\in I}X_i]_{\equiv_{\mathrm{card}}}$ 。
* $\prod_{i\in I}[X_i]_{\equiv_{\mathrm{card}}}:=[\prod_{i\in I}X_i]_{\equiv_{\mathrm{card}}}$ 。

また濃度 $[X]_{\equiv_{\mathrm{card}}},[Y]_{\equiv_{\mathrm{card}}}$ に対して冪 ${[X]_{\equiv_{\mathrm{card}}}}^{[Y]_{\equiv_{\mathrm{card}}}}$ を以下のように定める。
* ${[X]_{\equiv_{\mathrm{card}}}}^{[Y]_{\equiv_{\mathrm{card}}}}:=[X^Y]_{\equiv_{\mathrm{card}}}$ 。

ここで $X^Y$ は $Y$ から $X$ への写像全体の集合である。

これらの演算は代表元の選択に依存しないためwell-definedである。

$I$ が有限集合で、ある $i$ に対して $X_i$ が無限集合であるとき
$$\sum_{i\in I}[X_i]_{\equiv_{\mathrm{card}}}=\prod_{i\in I}[X_i]_{\equiv_{\mathrm{card}}}=\max_{i\in_I}[X_i]_{\equiv_{\mathrm{card}}}$$ が成り立つ。また全ての $i$ に対して $X_i$ が有限集合であるとき、濃度は要素の数の和、積と一致する。

以下のような不等式も知られている。

* [[Cantorの定理]]　$Y$ の濃度は $2:=\{0,1\}$ 以上とする。このとき任意の集合 $X$ に対して $[X]_{\equiv_{\mathrm{card}}}<[Y^X]_{\equiv_{\mathrm{card}}}$ である。特に $[X]_{\equiv_{\mathrm{card}}}<[\mathcal{P}(X)]_{\equiv_{\mathrm{card}}}$ である。
* [[Kőnigの定理]] 各 $i\in I$ に対し $[X_i]_{\equiv_{\mathrm{card}}}<[Y_i]_{\equiv_{\mathrm{card}}}$ とする。このとき $\sum_{i\in I}[X_i]_{\equiv_{\mathrm{card}}}<\prod_{i\in I} [Y_i]_{\equiv_{\mathrm{card}}}$ である。

== 具体的な濃度 ==

* $\mathbb{N}$ の濃度を'''可算濃度''' といい $\aleph_0$ と表す。また $\aleph_n$ より大きい最小の濃度を $\aleph_{n+1}$ とする。また可算濃度を持つ集合を可算無限集合という<ref group="脚注">単に可算集合というと、有限集合も含むことがある。この記事に於いてはたかだか可算と可算無限のように使い分けることにする。</ref>。
* $\mathbb{R}$ の濃度を'''連続体濃度''' といい $\aleph$ や $\mathfrak{c}$ と表す。

可算濃度を持つ集合の例を挙げる。
* $\mathbb{Z},\mathbb{Q}$ 。
* 代数的数全体 $\bar{\mathbb{Q}}$ 。
* 自然数の有限列全体 $\mathbb{N}^{<\omega}$ 。

$\aleph_1$ を濃度として持つ集合の例を挙げる。
* たかだか可算な順序数全体。
* $\mathbb{Q}$ 上の通常の順序で整列されるような集合を $W$ とし順序同型関係を $\equiv$ としたとき $W/{\equiv}$ の濃度。
* $\mathbb{R}$ 上の通常の順序で整列されるような集合を $W$ とし順序同型関係を $\equiv$ としたとき $W/{\equiv}$ の濃度。
* 可算全順序の双埋め込み可能性による同値類。
* 可算アーベル$p$-群の双埋め込み可能性による同値類。

* [[長い直線]]

連続体濃度を持つ集合の例を挙げる。
* [[超越数]] 全体 $\mathbb{R}\setminus\bar{\mathbb{Q}}$ 。
* 複素数全体 $\mathbb{C}$ 。
* $\mathcal{P}(\mathbb{N})$ 。
* $\mathbb{N}^\mathbb{N}$ 。
* 実数の可算列全体 $\mathbb{R}^\mathbb{N}$ 。
* $\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ の連続関数全体。
* [[Euclid空間]] $\mathbb{R}^n$ の開集合全体。

$2^\aleph$ を濃度として持つ集合の例を挙げる。
* $\mathcal{P}(\mathbb{R})$ 。
* $\mathbb{R}^\mathbb{R}$ 。
* [[Sorgenfrey直線]] $S$ に対して $S^2$ の開集合全体。

== 連続体仮説 ==
さてCantorは以下の'''連続体仮説''' (continuum hypothesis $\mathsf{CH}$) という問題を提示した。
* $\aleph_0$ と $\aleph$ の中間の濃度、すなわち $\aleph_0<\kappa<\aleph$ となるような濃度 $\kappa$ は存在しない。<ref group="脚注">選択公理の上で同値な命題である'''アレフ仮説''' (aleph hypothesis) $\aleph_1=\aleph$ と定式化されることも多い</ref>。

連続体仮説はGödelとCohenらによって一般的な集合論の公理系 $\mathsf{ZFC}$ では証明も反証もできないことが知られている。

== 濃度の正確な扱いについて ==
上記で述べた濃度の定義は集合論 $\mathsf{ZFC}$ に於いてはill-definedである。まず集合全体は集合ではないし、全単射が存在する二つの集合の組全体も集合ではなく、同じ濃度であるという論理式 $\equiv_\mathrm{card}$ も二項関係ではない。ill-definedであることは以下のように分かる。集合全体を $V$ とし、これが集合だとすると冪集合 $\mathcal{P}(V)$ が存在し $\mathcal{P}(V)$ の元はすべて集合であり $\mathcal{P}(V)\subseteq V$ あるわけだが、これは[[Cantorの定理]]に矛盾する。また $\{(x,x)\mid x\in V\}$ は「全単射が存在する二つの集合の組全体」の部分クラスになっており $V$ からの単射が存在するので真のクラスとなる。
よって以下では濃度を正確に扱う方法をいくつか考えよう。一つ目に挙げる方法は前提知識なく理解できるであろうが、二つ目以降は[[順序数]]や[[累積階層]]、[[数理論理学の概要|数理論理学]]などの知識を必要とする。

=== 濃度を直接定義せず、間接的に扱う。 ===
集合 $X$ に対して $\mathrm{card}(X)$ というものを定義せず、
$\mathrm{card}(X)=\mathrm{card}(Y)$ を全単射 $f\colon X\to Y$ が存在することの略記、$\mathrm{card}(X)\leq \mathrm{card}(Y)$ を単射 $f\colon X\to Y$ が存在することの略記として扱うという手法である。この手法のメリットとして使う道具立てが少なく、また他の扱い方と違い、整列可能性定理や正則性公理などに依存していない点が挙げられる。似たようなアイデアは構成主義数学などの'''亜集合''' (setoid) などの文脈でも用いられている。

=== 濃度をある種の順序数として定義する。 ===
濃度は直観的には同値類として上では扱っていたが、同値類は実際には存在しない。しかし、その代表元に相当するものが実は取ることができる。順序数 $\kappa$ が'''基数''' (cardinal) であるとは $\kappa$ 未満の順序数から $\kappa$ への全単射が存在しないことを言う。この基数が「集合全体を全単射で割った商集合の完全代表系」の役割を果たす。$X$ の濃度 $\mathrm{card}(X)$ を $X$ から全単射の存在する最小の[[順序数]]と定めよう。このような順序数の存在は $\mathsf{ZFC}$ で示せて、これは基数となる。このアプローチは公理的集合論に於いて一般的なものである。しかしこの定義は選択公理に依存する。整列可能性定理が、選択公理と同値なことを念頭に置くと、集合から順序数への全単射の存在は、集合の整列可能性を要求しているに他ならないからである。

=== Scottの絡繰を用いる方法 ===
このアプローチは同値類の定義を見直すことで真のクラスに対して定義できるようにする、というアプローチである。階数 $\mathrm{rank}(x):=\sup\{\mathrm{rank}(y)+1\mid y\in x\}$ と定めて、クラスに対しその元の階数に於いて最小のもののみを集めたものを考える。
真のクラス $C$ に対し $$\hat{C}:=\{x\in C\mid (\forall y)[\mathrm{rank}(x)\leq\mathrm{rank}(y)]\}$$ は常に非空な集合となり、これを'''Scottの絡繰''' (Scott's trick) という。集合であることは、任意の $x\in C$ に対し $\mathrm{rank}(x)=\alpha$ であることと $x\in V_{\alpha+1}$ であることが同値であることによる。ここで $V_\alpha$ は[[累積階層]] と呼ばれ、$\alpha$ に対する超限再帰で $V_\alpha:=\bigcup_{\xi<\alpha}\mathcal{P}(V_\xi)$ と定義される''集合''である。

真のクラス　$C$ 上の同値関係 $\equiv$ に対して、同値類 $[x]_\equiv$ を
$$[x]_\equiv:=\{y\mid y\equiv x\land(\forall z\in C)[z\equiv x\to\mathrm{rank}(y)\leq\mathrm{rank}(z)]\}$$ とすればこれは集合である。。よってこの同値類の定義にて $\mathrm{card}(x):=[x]_{\equiv_{\mathrm{card}}}$ とすれば良い。このアプローチでは選択公理によらずに全ての集合に対して濃度が定義できるというメリットがある。

=== クラスを扱えるような集合論を用いる方法 ===
クラスを対称として扱える[[Neumann–Bernays–Gödel集合論]]に[[大域選択公理]] $\mathsf{AGC}$ を加えた公理 $\mathsf{NBGC}$ などではクラス上の同値類 $[x]_{\equiv_{\mathrm{card}}}$ がそのままクラスとして存在する<ref group="脚注">大域選択公理は $[x]_{\equiv_{\mathrm{card}}}$ の存在には必要がないが、$\mathsf{ZFC}$ で証明可能な定理が $\mathsf{NBGC}$ でも証明可能であることには必要となる。しかしここの大域選択公理は普通の選択公理に弱めても問題はない。</ref>。よってこれを濃度の定義としてしまえば良い。また $\mathsf{NBGC}$ は $\mathsf{ZFC}$ の保存的拡大である。すなわち $\mathsf{ZFC}$ の言語で書かれた命題は、証明の際に $\mathsf{NBGC}$ にて定義される濃度を用いたとしても $\mathsf{ZFC}$ で証明可能であることが言える。つまり濃度の議論を用いて示した $\mathsf{ZFC}$ の言語での定理は $\mathsf{ZFC}$ で証明可能であることが言える。しかしこの定義だと濃度自体は $\mathsf{ZFC}$ の言語で記述できないため、濃度を含む定理が $\mathsf{NBGC}$ で証明可能だとしても、それが $\mathsf{ZFC}$ で証明可能であることをただちには導かない。$\mathsf{ZFC}$ の定理であることを導くためには $\mathsf{NBGC}$ での定義が上で挙げた他の $\mathsf{ZFC}$ に於ける定義と同値であることを証明しないとならない。

== 脚注 ==
<references group="脚注"/>
== 参考文献 ==
* T. Jech Set theory. Springer Science & Business Media, 2013.
* Barwise, Jon, and Paul Eklof. "Infinitary properties of abelian torsion groups." Annals of Mathematical Logic 2.1 (1970): 25-68.
* Laver, Richard. "On Fraïssé's order type conjecture." Annals of Mathematics (1971): 89-111.

== 集合論の初歩 ==

[[論理と命題]] / [[集合の基本的な用語、集合の演算]] / [[全称記号と存在記号]] / [[写像、像、逆像、写像のグラフ]] / [[写像の合成、写像の拡大と制限]] / [[選択公理について]] / [[単射、全射、全単射、逆写像]] / [[部分集合族、べき集合]] / （ [[演算と代数構造]] ） / （ [[関係、同値関係、商集合]] ） / （ [[初歩的な順序集合]] ） / （ [[Zornの補題]] ） / （集合の濃度）

== 関連項目 ==
*[[集合論]]

集合の濃度

2022-03-27T13:44:45Z

Alwe: /* 具体的な濃度 */

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{{TOC |align=right |noautonum=1 }}
</noinclude>
== 集合の濃度 ==

集合の'''濃度''' (cardinality) は集合の「大きさ」を測る指標であり、有限集合の「元の個数」を拡張するものである。有限集合 $X,Y$ が与えられたとき、以下は同値である。
# $X$ と $Y$ の元の個数が等しい。
# $X$ と $Y$ の間に全単射 $f\colon X\to Y$ が存在する。

また同様に以下も同値である。
# $X$ の元の個数は $Y$ の元の個数以下である。
# $X$ と $Y$ の間に単射 $f\colon X\to Y$ が存在する。

ナイーブには「元の個数」は有限集合に対してしか適用できないのに対し、全単射や単射の存在は無限集合に対しても考えうる。よって全単射や単射の存在によって集合 $X,Y$ の大きさを測ろうというのが、濃度の考え方といって良いだろう。

== 定義 ==

集合 $X,Y$ に対して関係 $X\equiv_{\mathrm{card}} Y$ を $X$ から $Y$ への全単射が存在する、と定める。このとき以下が成り立つ。
# '''反射律'''　任意の集合 $X$ に対し、 $X\equiv_{\mathrm{card}} X$ である。
# '''対称律'''　任意の集合 $X,Y$ に対し、$X\equiv_{\mathrm{card}} Y$ ならば $Y\equiv_{\mathrm{card}} X$ である。
# '''推移律'''　任意の集合 $X,Y,Z$ に対し、 $X\equiv_{\mathrm{card}} Y$ かつ $Y\equiv_{\mathrm{card}} Z$ ならば $X\equiv_{\mathrm{card}} Z$ である。

これらは定義に基づき書き直せば以下のようになる。
# '''反射律'''　任意の集合 $X$ に対し、全単射 $f\colon X\to X$ が存在する。
# '''対称律'''　任意の集合 $X,Y$ に対し、全単射 $f\colon X\to Y$ が存在するならば全単射$g\colon Y\to X$ も存在する。
# '''推移律'''　任意の集合 $X,Y,Z$ に対し、全単射 $f\colon X\to Y$が存在しかつ全単射 $g\colon Y\to Z$ が存在するならば全単射 $h\colon X \to Z$ も存在する。

反射律は $f:=\mathrm{id}_X$ とすれば良く、対称律は $g:=f^{-1}$ とすれば良く推移律は $h:=g\circ f$ とすれば成り立つことがすぐ分かるであろう。

よって $\equiv_{\mathrm{card}}$ は同値関係であることが分かる。同値関係であるということは、集合全体を $\equiv_{\mathrm{card}}$ で割ることができ、$X$ の同値類 $[X]_{\equiv_{\mathrm{card}}}$ を考えることができる。この同値類 $[X]_{\equiv_{\mathrm{card}}}$ を $X$ の'''濃度''' (cardinality) といい、$\mathrm{card}(X),\#X,|X|$ などと表す。また濃度の全体を $\mathrm{Card}$ とする。

== 濃度の順序 ==
$\mathrm{Card}$ の元 $[X]_{\equiv_{\mathrm{card}}},[Y]_{\equiv_{\mathrm{card}}}$ に対して二項関係 $[X]_{\equiv_{\mathrm{card}}}\leq [Y]_{\equiv_{\mathrm{card}}}$ を単射 $f\colon X\to Y$ が存在することと定義する。これはwell-definedである、すなわち以下が成り立つ。
* $[X_0]_{\equiv_{\mathrm{card}}}=[Y_0]_{\equiv_{\mathrm{card}}}$ かつ $[X_1]_{\equiv_{\mathrm{card}}}=[Y_1]_{\equiv_{\mathrm{card}}}$ かつ $[X_0]_{\equiv_{\mathrm{card}}}\leq [X_1]_{\equiv_{\mathrm{card}}}$ ならば $[Y_0]_{\equiv_{\mathrm{card}}}\leq [Y_1]_{\equiv_{\mathrm{card}}}$ である。

これを定義に基づいて書き直せば以下の用になる。
* 全単射 $f_0\colon X_0\to Y_0$ と、全単射 $f_1\colon X_1\to Y_1$ と単射 $g_X\colon X_0\to X_1$ が存在するとき、単射 $g_Y\colon Y_0\to Y_1$ も存在する。

これは $g_Y:=f_0^{-1}\circ g_X\circ f_1$ とすれば成り立つことが分かるであろう。

また $\leq$ は $\mathrm{Card}$ 上で[[全順序]]になる。すなわち以下が成り立つ。
* '''反射律'''　任意の $[X]_{\equiv_{\mathrm{card}}}\in\mathrm{Card}$ に対し、 $[X]_{\equiv_{\mathrm{card}}}\leq [X]_{\equiv_{\mathrm{card}}}$ である。
* '''全域律'''　任意の $[X]_{\equiv_{\mathrm{card}}},[Y]_{\equiv_{\mathrm{card}}}\in\mathrm{Card}$ に対し、$[X]_{\equiv_{\mathrm{card}}}\leq [Y]_{\equiv_{\mathrm{card}}}$ または $[Y]_{\equiv_{\mathrm{card}}}\leq [X]_{\equiv_{\mathrm{card}}}$ である。
* '''反対称律'''　任意の $[X]_{\equiv_{\mathrm{card}}},[Y]_{\equiv_{\mathrm{card}}}\in\mathrm{Card}$ に対し、$[X]_{\equiv_{\mathrm{card}}}\leq [Y]_{\equiv_{\mathrm{card}}}$ かつ$[Y]_{\equiv_{\mathrm{card}}}\leq [X]_{\equiv_{\mathrm{card}}}$ であるならば $[X]_{\equiv_{\mathrm{card}}}= [Y]_{\equiv_{\mathrm{card}}}$ である。
* '''推移律'''　任意の $[X]_{\equiv_{\mathrm{card}}},[Y]_{\equiv_{\mathrm{card}}},[Z]_{\equiv_{\mathrm{card}}}\in\mathrm{Card}$ に対し、$[X]_{\equiv_{\mathrm{card}}}\leq [Y]_{\equiv_{\mathrm{card}}}$ かつ $[Y]_{\equiv_{\mathrm{card}}}\leq [Z]_{\equiv_{\mathrm{card}}}$ ならば $[X]_{\equiv_{\mathrm{card}}}\leq [Z]_{\equiv_{\mathrm{card}}}$ である。

特に濃度に対する反対称律を[[Cantor–Bernstein–Schröderの定理]]という。

またもっと言えば濃度の順序は[[整列順序]]になっている。よって任意の濃度からなる集合 $X$ に対し最小元 $\min X$ が存在する。

== 濃度の演算 ==
$I$ を添字集合とし $\{[X_i]_{\equiv_{\mathrm{card}}}\}_{i\in I}$ を濃度の族とする。また $\sum_{i\in I}X_i,\prod_{i\in I}X_i$ を集合の直和、直積とする。このとき濃度の和 $\sum_{i\in I}[X_i]_{\equiv_{\mathrm{card}}}$ と濃度の積 $\prod_{i\in I}[X_i]_{\equiv_{\mathrm{card}}}$ を以下のように定める。
* $\sum_{i\in I}[X_i]_{\equiv_{\mathrm{card}}}:=[\sum_{i\in I}X_i]_{\equiv_{\mathrm{card}}}$ 。
* $\prod_{i\in I}[X_i]_{\equiv_{\mathrm{card}}}:=[\prod_{i\in I}X_i]_{\equiv_{\mathrm{card}}}$ 。

また濃度 $[X]_{\equiv_{\mathrm{card}}},[Y]_{\equiv_{\mathrm{card}}}$ に対して冪 ${[X]_{\equiv_{\mathrm{card}}}}^{[Y]_{\equiv_{\mathrm{card}}}}$ を以下のように定める。
* ${[X]_{\equiv_{\mathrm{card}}}}^{[Y]_{\equiv_{\mathrm{card}}}}:=[X^Y]_{\equiv_{\mathrm{card}}}$ 。

ここで $X^Y$ は $Y$ から $X$ への写像全体の集合である。

これらの演算は代表元の選択に依存しないためwell-definedである。

$I$ が有限集合で、ある $i$ に対して $X_i$ が無限集合であるとき
$$\sum_{i\in I}[X_i]_{\equiv_{\mathrm{card}}}=\prod_{i\in I}[X_i]_{\equiv_{\mathrm{card}}}=\max_{i\in_I}[X_i]_{\equiv_{\mathrm{card}}}$$ が成り立つ。また全ての $i$ に対して $X_i$ が有限集合であるとき、濃度は要素の数の和、積と一致する。

以下のような不等式も知られている。

* [[Cantorの定理]]　$Y$ の濃度は $2:=\{0,1\}$ 以上とする。このとき任意の集合 $X$ に対して $[X]_{\equiv_{\mathrm{card}}}<[Y^X]_{\equiv_{\mathrm{card}}}$ である。特に $[X]_{\equiv_{\mathrm{card}}}<[\mathcal{P}(X)]_{\equiv_{\mathrm{card}}}$ である。
* [[Kőnigの定理]] 各 $i\in I$ に対し $[X_i]_{\equiv_{\mathrm{card}}}<[Y_i]_{\equiv_{\mathrm{card}}}$ とする。このとき $\sum_{i\in I}[X_i]_{\equiv_{\mathrm{card}}}<\prod_{i\in I} [Y_i]_{\equiv_{\mathrm{card}}}$ である。

== 具体的な濃度 ==

* $\mathbb{N}$ の濃度を'''可算濃度''' といい $\aleph_0$ と表す。また $\aleph_n$ より大きい最小の濃度を $\aleph_{n+1}$ とする。また可算濃度を持つ集合を可算無限集合という<ref group="脚注">単に可算集合というと、有限集合も含むことがある。この記事に於いてはたかだか可算と可算無限のように使い分けることにする。</ref>。
* $\mathbb{R}$ の濃度を'''連続体濃度''' といい $\aleph$ や $\mathfrak{c}$ と表す。

可算濃度を持つ集合の例を挙げる。
* $\mathbb{Z},\mathbb{Q}$ 。
* 代数的数全体 $\bar{\mathbb{Q}}$ 。
* 自然数の有限列全体 $\mathbb{N}^{<\omega}$ 。

$\aleph_1$ を濃度として持つ集合の例を挙げる。
* たかだか可算な順序数全体。
* $\mathbb{Q}$ 上の通常の順序で整列されるような集合を $W$ とし順序同型関係を $\equiv$ としたとき $W/{\equiv}$ の濃度。
* $\mathbb{R}$ 上の通常の順序で整列されるような集合を $W$ とし順序同型関係を $\equiv$ としたとき $W/{\equiv}$ の濃度。
* 可算全順序の双埋め込み可能性による同値類。
* 可算アーベル$p$-群の双埋め込み可能性による同値類。

* [[長い直線]]

連続体濃度を持つ集合の例を挙げる。
* [[超越数]] 全体 $\mathbb{R}\setminus\bar{\mathbb{Q}}$ 。
* 複素数全体 $\mathbb{C}$ 。
* $\mathcal{P}(\mathbb{N})$ 。
* $\mathbb{N}^\mathbb{N}$ 。
* 実数の可算列全体 $\mathbb{R}^\mathbb{N}$ 。
* $\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ の連続関数全体。
* [[Euclid空間]] $\mathbb{R}^n$ の開集合全体。

$2^\aleph$ を濃度として持つ集合の例を挙げる。
* $\mathcal{P}(\mathbb{R})$ 。
* $\mathbb{R}^\mathbb{R}$ 。
* [[Sorgenfrey直線]] $S$ に対して $S^2$ の開集合全体。

== 連続体仮説 ==
さてCantorは以下の'''連続体仮説''' (continuum hypothesis $\mathsf{CH}$) という問題を提示した。
* $\aleph_0$ と $\aleph$ の中間の濃度、すなわち $\aleph_0<\kappa<\aleph$ となるような濃度 $\kappa$ は存在しない。<ref group="脚注">選択公理の上で同値な命題である'''アレフ仮説''' (aleph hypothesis) $\aleph_1=\aleph$ と定式化されることも多い</ref>。

連続体仮説はGödelとCohenらによって一般的な集合論の公理系 $\mathsf{ZFC}$ では証明も反証もできないことが知られている。

== 濃度の正確な扱いについて ==
上記で述べた濃度の定義は集合論 $\mathsf{ZFC}$ に於いてはill-definedである。まず集合全体は集合ではないし、全単射が存在する二つの集合の組全体も集合ではなく、同じ濃度であるという論理式 $\equiv_\mathrm{card}$ も二項関係ではない。ill-definedであることは以下のように分かる。集合全体を $V$ とし、これが集合だとすると冪集合 $\mathcal{P}(V)$ が存在し $\mathcal{P}(V)$ の元はすべて集合であり $\mathcal{P}(V)\subseteq V$ あるわけだが、これは[[Cantorの定理]]に矛盾する。また $\{(x,x)\mid x\in V\}$ は「全単射が存在する二つの集合の組全体」の部分クラスになっており $V$ からの単射が存在するので真のクラスとなる。
よって以下では濃度を正確に扱う方法をいくつか考えよう。一つ目に挙げる方法は前提知識なく理解できるであろうが、二つ目以降は[[順序数]]や[[累積階層]]、[[数理論理学の概要|数理論理学]]などの知識を必要とする。

=== 濃度を直接定義せず、間接的に扱う。 ===
集合 $X$ に対して $\mathrm{card}(X)$ というものを定義せず、
$\mathrm{card}(X)=\mathrm{card}(Y)$ を全単射 $f\colon X\to Y$ が存在することの略記、$\mathrm{card}(X)\leq \mathrm{card}(Y)$ を単射 $f\colon X\to Y$ が存在することの略記として扱うという手法である。この手法のメリットとして使う道具立てが少なく、また他の扱い方と違い、整列可能性定理や正則性公理などに依存していない点が挙げられる。似たようなアイデアは構成主義数学などの'''亜集合''' (setoid) などの文脈でも用いられている。

=== 濃度をある種の順序数として定義する。 ===
濃度は直観的には同値類として上では扱っていたが、同値類は実際には存在しない。しかし、その代表元に相当するものが実は取ることができる。順序数 $\kappa$ が'''基数''' (cardinal) であるとは $\kappa$ 未満の順序数から $\kappa$ への全単射が存在しないことを言う。この基数が「集合全体を全単射で割った商集合の完全代表系」の役割を果たす。$X$ の濃度 $\mathrm{card}(X)$ を $X$ から全単射の存在する最小の[[順序数]]と定めよう。このような順序数の存在は $\mathsf{ZFC}$ で示せて、これは基数となる。このアプローチは公理的集合論に於いて一般的なものである。しかしこの定義は選択公理に依存する。整列可能性定理が、選択公理と同値なことを念頭に置くと、集合から順序数への全単射の存在は、集合の整列可能性を要求しているに他ならないからである。

=== Scottの絡繰を用いる方法 ===
このアプローチは同値類の定義を見直すことで真のクラスに対して定義できるようにする、というアプローチである。階数 $\mathrm{rank}(x):=\sup\{\mathrm{rank}(y)+1\mid y\in x\}$ と定めて、クラスに対しその元の階数に於いて最小のもののみを集めたものを考える。
真のクラス $C$ に対し $$\hat{C}:=\{x\in C\mid (\forall y)[\mathrm{rank}(x)\leq\mathrm{rank}(y)]\}$$ は常に非空な集合となり、これを'''Scottの絡繰''' (Scott's trick) という。集合であることは、任意の $x\in C$ に対し $\mathrm{rank}(x)=\alpha$ であることと $x\in V_{\alpha+1}$ であることが同値であることによる。ここで $V_\alpha$ は[[累積階層]] と呼ばれ、$\alpha$ に対する超限再帰で $V_\alpha:=\bigcup_{\xi<\alpha}\mathcal{P}(V_\xi)$ と定義される''集合''である。

真のクラス　$C$ 上の同値関係 $\equiv$ に対して、同値類 $[x]_\equiv$ を
$$[x]_\equiv:=\{y\mid y\equiv x\land(\forall z\in C)[z\equiv x\to\mathrm{rank}(y)\leq\mathrm{rank}(z)]\}$$ とすればこれは集合である。。よってこの同値類の定義にて $\mathrm{card}(x):=[x]_{\equiv_{\mathrm{card}}}$ とすれば良い。このアプローチでは選択公理によらずに全ての集合に対して濃度が定義できるというメリットがある。

=== クラスを扱えるような集合論を用いる方法 ===
クラスを対称として扱える[[Neumann–Bernays–Gödel集合論]]に[[大域選択公理]] $\mathsf{AGC}$ を加えた公理 $\mathsf{NBGC}$ などではクラス上の同値類 $[x]_{\equiv_{\mathrm{card}}}$ がそのままクラスとして存在する<ref group="脚注">大域選択公理は $[x]_{\equiv_{\mathrm{card}}}$ の存在には必要がないが、$\mathsf{ZFC}$ で証明可能な定理が $\mathsf{NBGC}$ でも証明可能であることには必要となる。</ref>。よってこれを濃度の定義としてしまえば良い。また $\mathsf{NBGC}$ は $\mathsf{ZFC}$ の保存的拡大である。すなわち $\mathsf{ZFC}$ の言語で書かれた命題は、証明の際に $\mathsf{NBGC}$ にて定義される濃度を用いたとしても $\mathsf{ZFC}$ で証明可能であることが言える。つまり濃度の議論を用いて示した $\mathsf{ZFC}$ の言語での定理は $\mathsf{ZFC}$ で証明可能であることが言える。しかしこの定義だと濃度自体は $\mathsf{ZFC}$ の言語で記述できないため、濃度を含む定理が $\mathsf{NBGC}$ で証明可能だとしても、それが $\mathsf{ZFC}$ で証明可能であることをただちには導かない。$\mathsf{ZFC}$ の定理であることを導くためには $\mathsf{NBGC}$ での定義が上で挙げた他の $\mathsf{ZFC}$ に於ける定義と同値であることを証明しないとならない。
== 脚注 ==
<references group="脚注"/>
== 参考文献 ==
* T. Jech Set theory. Springer Science & Business Media, 2013.
* Barwise, Jon, and Paul Eklof. "Infinitary properties of abelian torsion groups." Annals of Mathematical Logic 2.1 (1970): 25-68.
* Laver, Richard. "On Fraïssé's order type conjecture." Annals of Mathematics (1971): 89-111.

== 集合論の初歩 ==

[[論理と命題]] / [[集合の基本的な用語、集合の演算]] / [[全称記号と存在記号]] / [[写像、像、逆像、写像のグラフ]] / [[写像の合成、写像の拡大と制限]] / [[選択公理について]] / [[単射、全射、全単射、逆写像]] / [[部分集合族、べき集合]] / （ [[演算と代数構造]] ） / （ [[関係、同値関係、商集合]] ） / （ [[初歩的な順序集合]] ） / （ [[Zornの補題]] ） / （集合の濃度）

== 関連項目 ==
*[[集合論]]

集合の濃度

2022-03-27T13:44:28Z

Alwe: /* 具体的な濃度 */

<noinclude>
{{TOC |align=right |noautonum=1 }}
</noinclude>
== 集合の濃度 ==

集合の'''濃度''' (cardinality) は集合の「大きさ」を測る指標であり、有限集合の「元の個数」を拡張するものである。有限集合 $X,Y$ が与えられたとき、以下は同値である。
# $X$ と $Y$ の元の個数が等しい。
# $X$ と $Y$ の間に全単射 $f\colon X\to Y$ が存在する。

また同様に以下も同値である。
# $X$ の元の個数は $Y$ の元の個数以下である。
# $X$ と $Y$ の間に単射 $f\colon X\to Y$ が存在する。

ナイーブには「元の個数」は有限集合に対してしか適用できないのに対し、全単射や単射の存在は無限集合に対しても考えうる。よって全単射や単射の存在によって集合 $X,Y$ の大きさを測ろうというのが、濃度の考え方といって良いだろう。

== 定義 ==

集合 $X,Y$ に対して関係 $X\equiv_{\mathrm{card}} Y$ を $X$ から $Y$ への全単射が存在する、と定める。このとき以下が成り立つ。
# '''反射律'''　任意の集合 $X$ に対し、 $X\equiv_{\mathrm{card}} X$ である。
# '''対称律'''　任意の集合 $X,Y$ に対し、$X\equiv_{\mathrm{card}} Y$ ならば $Y\equiv_{\mathrm{card}} X$ である。
# '''推移律'''　任意の集合 $X,Y,Z$ に対し、 $X\equiv_{\mathrm{card}} Y$ かつ $Y\equiv_{\mathrm{card}} Z$ ならば $X\equiv_{\mathrm{card}} Z$ である。

これらは定義に基づき書き直せば以下のようになる。
# '''反射律'''　任意の集合 $X$ に対し、全単射 $f\colon X\to X$ が存在する。
# '''対称律'''　任意の集合 $X,Y$ に対し、全単射 $f\colon X\to Y$ が存在するならば全単射$g\colon Y\to X$ も存在する。
# '''推移律'''　任意の集合 $X,Y,Z$ に対し、全単射 $f\colon X\to Y$が存在しかつ全単射 $g\colon Y\to Z$ が存在するならば全単射 $h\colon X \to Z$ も存在する。

反射律は $f:=\mathrm{id}_X$ とすれば良く、対称律は $g:=f^{-1}$ とすれば良く推移律は $h:=g\circ f$ とすれば成り立つことがすぐ分かるであろう。

よって $\equiv_{\mathrm{card}}$ は同値関係であることが分かる。同値関係であるということは、集合全体を $\equiv_{\mathrm{card}}$ で割ることができ、$X$ の同値類 $[X]_{\equiv_{\mathrm{card}}}$ を考えることができる。この同値類 $[X]_{\equiv_{\mathrm{card}}}$ を $X$ の'''濃度''' (cardinality) といい、$\mathrm{card}(X),\#X,|X|$ などと表す。また濃度の全体を $\mathrm{Card}$ とする。

== 濃度の順序 ==
$\mathrm{Card}$ の元 $[X]_{\equiv_{\mathrm{card}}},[Y]_{\equiv_{\mathrm{card}}}$ に対して二項関係 $[X]_{\equiv_{\mathrm{card}}}\leq [Y]_{\equiv_{\mathrm{card}}}$ を単射 $f\colon X\to Y$ が存在することと定義する。これはwell-definedである、すなわち以下が成り立つ。
* $[X_0]_{\equiv_{\mathrm{card}}}=[Y_0]_{\equiv_{\mathrm{card}}}$ かつ $[X_1]_{\equiv_{\mathrm{card}}}=[Y_1]_{\equiv_{\mathrm{card}}}$ かつ $[X_0]_{\equiv_{\mathrm{card}}}\leq [X_1]_{\equiv_{\mathrm{card}}}$ ならば $[Y_0]_{\equiv_{\mathrm{card}}}\leq [Y_1]_{\equiv_{\mathrm{card}}}$ である。

これを定義に基づいて書き直せば以下の用になる。
* 全単射 $f_0\colon X_0\to Y_0$ と、全単射 $f_1\colon X_1\to Y_1$ と単射 $g_X\colon X_0\to X_1$ が存在するとき、単射 $g_Y\colon Y_0\to Y_1$ も存在する。

これは $g_Y:=f_0^{-1}\circ g_X\circ f_1$ とすれば成り立つことが分かるであろう。

また $\leq$ は $\mathrm{Card}$ 上で[[全順序]]になる。すなわち以下が成り立つ。
* '''反射律'''　任意の $[X]_{\equiv_{\mathrm{card}}}\in\mathrm{Card}$ に対し、 $[X]_{\equiv_{\mathrm{card}}}\leq [X]_{\equiv_{\mathrm{card}}}$ である。
* '''全域律'''　任意の $[X]_{\equiv_{\mathrm{card}}},[Y]_{\equiv_{\mathrm{card}}}\in\mathrm{Card}$ に対し、$[X]_{\equiv_{\mathrm{card}}}\leq [Y]_{\equiv_{\mathrm{card}}}$ または $[Y]_{\equiv_{\mathrm{card}}}\leq [X]_{\equiv_{\mathrm{card}}}$ である。
* '''反対称律'''　任意の $[X]_{\equiv_{\mathrm{card}}},[Y]_{\equiv_{\mathrm{card}}}\in\mathrm{Card}$ に対し、$[X]_{\equiv_{\mathrm{card}}}\leq [Y]_{\equiv_{\mathrm{card}}}$ かつ$[Y]_{\equiv_{\mathrm{card}}}\leq [X]_{\equiv_{\mathrm{card}}}$ であるならば $[X]_{\equiv_{\mathrm{card}}}= [Y]_{\equiv_{\mathrm{card}}}$ である。
* '''推移律'''　任意の $[X]_{\equiv_{\mathrm{card}}},[Y]_{\equiv_{\mathrm{card}}},[Z]_{\equiv_{\mathrm{card}}}\in\mathrm{Card}$ に対し、$[X]_{\equiv_{\mathrm{card}}}\leq [Y]_{\equiv_{\mathrm{card}}}$ かつ $[Y]_{\equiv_{\mathrm{card}}}\leq [Z]_{\equiv_{\mathrm{card}}}$ ならば $[X]_{\equiv_{\mathrm{card}}}\leq [Z]_{\equiv_{\mathrm{card}}}$ である。

特に濃度に対する反対称律を[[Cantor–Bernstein–Schröderの定理]]という。

またもっと言えば濃度の順序は[[整列順序]]になっている。よって任意の濃度からなる集合 $X$ に対し最小元 $\min X$ が存在する。

== 濃度の演算 ==
$I$ を添字集合とし $\{[X_i]_{\equiv_{\mathrm{card}}}\}_{i\in I}$ を濃度の族とする。また $\sum_{i\in I}X_i,\prod_{i\in I}X_i$ を集合の直和、直積とする。このとき濃度の和 $\sum_{i\in I}[X_i]_{\equiv_{\mathrm{card}}}$ と濃度の積 $\prod_{i\in I}[X_i]_{\equiv_{\mathrm{card}}}$ を以下のように定める。
* $\sum_{i\in I}[X_i]_{\equiv_{\mathrm{card}}}:=[\sum_{i\in I}X_i]_{\equiv_{\mathrm{card}}}$ 。
* $\prod_{i\in I}[X_i]_{\equiv_{\mathrm{card}}}:=[\prod_{i\in I}X_i]_{\equiv_{\mathrm{card}}}$ 。

また濃度 $[X]_{\equiv_{\mathrm{card}}},[Y]_{\equiv_{\mathrm{card}}}$ に対して冪 ${[X]_{\equiv_{\mathrm{card}}}}^{[Y]_{\equiv_{\mathrm{card}}}}$ を以下のように定める。
* ${[X]_{\equiv_{\mathrm{card}}}}^{[Y]_{\equiv_{\mathrm{card}}}}:=[X^Y]_{\equiv_{\mathrm{card}}}$ 。

ここで $X^Y$ は $Y$ から $X$ への写像全体の集合である。

これらの演算は代表元の選択に依存しないためwell-definedである。

$I$ が有限集合で、ある $i$ に対して $X_i$ が無限集合であるとき
$$\sum_{i\in I}[X_i]_{\equiv_{\mathrm{card}}}=\prod_{i\in I}[X_i]_{\equiv_{\mathrm{card}}}=\max_{i\in_I}[X_i]_{\equiv_{\mathrm{card}}}$$ が成り立つ。また全ての $i$ に対して $X_i$ が有限集合であるとき、濃度は要素の数の和、積と一致する。

以下のような不等式も知られている。

* [[Cantorの定理]]　$Y$ の濃度は $2:=\{0,1\}$ 以上とする。このとき任意の集合 $X$ に対して $[X]_{\equiv_{\mathrm{card}}}<[Y^X]_{\equiv_{\mathrm{card}}}$ である。特に $[X]_{\equiv_{\mathrm{card}}}<[\mathcal{P}(X)]_{\equiv_{\mathrm{card}}}$ である。
* [[Kőnigの定理]] 各 $i\in I$ に対し $[X_i]_{\equiv_{\mathrm{card}}}<[Y_i]_{\equiv_{\mathrm{card}}}$ とする。このとき $\sum_{i\in I}[X_i]_{\equiv_{\mathrm{card}}}<\prod_{i\in I} [Y_i]_{\equiv_{\mathrm{card}}}$ である。

== 具体的な濃度 ==

* $\mathbb{N}$ の濃度を'''可算濃度''' といい $\aleph_0$ と表す。また $\aleph_n$ より大きい最小の濃度を $\aleph_{n+1}$ とする。また可算濃度を持つ集合を可算無限集合というref group="脚注">単に可算集合というと、有限集合も含むことがある。この記事に於いてはたかだか可算と可算無限のように使い分けることにする。</ref>。
* $\mathbb{R}$ の濃度を'''連続体濃度''' といい $\aleph$ や $\mathfrak{c}$ と表す。

可算濃度を持つ集合の例を挙げる。
* $\mathbb{Z},\mathbb{Q}$ 。
* 代数的数全体 $\bar{\mathbb{Q}}$ 。
* 自然数の有限列全体 $\mathbb{N}^{<\omega}$ 。

$\aleph_1$ を濃度として持つ集合の例を挙げる。
* たかだか可算な順序数全体。
* $\mathbb{Q}$ 上の通常の順序で整列されるような集合を $W$ とし順序同型関係を $\equiv$ としたとき $W/{\equiv}$ の濃度。
* $\mathbb{R}$ 上の通常の順序で整列されるような集合を $W$ とし順序同型関係を $\equiv$ としたとき $W/{\equiv}$ の濃度。
* 可算全順序の双埋め込み可能性による同値類。
* 可算アーベル$p$-群の双埋め込み可能性による同値類。

* [[長い直線]]

連続体濃度を持つ集合の例を挙げる。
* [[超越数]] 全体 $\mathbb{R}\setminus\bar{\mathbb{Q}}$ 。
* 複素数全体 $\mathbb{C}$ 。
* $\mathcal{P}(\mathbb{N})$ 。
* $\mathbb{N}^\mathbb{N}$ 。
* 実数の可算列全体 $\mathbb{R}^\mathbb{N}$ 。
* $\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ の連続関数全体。
* [[Euclid空間]] $\mathbb{R}^n$ の開集合全体。

$2^\aleph$ を濃度として持つ集合の例を挙げる。
* $\mathcal{P}(\mathbb{R})$ 。
* $\mathbb{R}^\mathbb{R}$ 。
* [[Sorgenfrey直線]] $S$ に対して $S^2$ の開集合全体。

== 連続体仮説 ==
さてCantorは以下の'''連続体仮説''' (continuum hypothesis $\mathsf{CH}$) という問題を提示した。
* $\aleph_0$ と $\aleph$ の中間の濃度、すなわち $\aleph_0<\kappa<\aleph$ となるような濃度 $\kappa$ は存在しない。<ref group="脚注">選択公理の上で同値な命題である'''アレフ仮説''' (aleph hypothesis) $\aleph_1=\aleph$ と定式化されることも多い</ref>。

連続体仮説はGödelとCohenらによって一般的な集合論の公理系 $\mathsf{ZFC}$ では証明も反証もできないことが知られている。

== 濃度の正確な扱いについて ==
上記で述べた濃度の定義は集合論 $\mathsf{ZFC}$ に於いてはill-definedである。まず集合全体は集合ではないし、全単射が存在する二つの集合の組全体も集合ではなく、同じ濃度であるという論理式 $\equiv_\mathrm{card}$ も二項関係ではない。ill-definedであることは以下のように分かる。集合全体を $V$ とし、これが集合だとすると冪集合 $\mathcal{P}(V)$ が存在し $\mathcal{P}(V)$ の元はすべて集合であり $\mathcal{P}(V)\subseteq V$ あるわけだが、これは[[Cantorの定理]]に矛盾する。また $\{(x,x)\mid x\in V\}$ は「全単射が存在する二つの集合の組全体」の部分クラスになっており $V$ からの単射が存在するので真のクラスとなる。
よって以下では濃度を正確に扱う方法をいくつか考えよう。一つ目に挙げる方法は前提知識なく理解できるであろうが、二つ目以降は[[順序数]]や[[累積階層]]、[[数理論理学の概要|数理論理学]]などの知識を必要とする。

=== 濃度を直接定義せず、間接的に扱う。 ===
集合 $X$ に対して $\mathrm{card}(X)$ というものを定義せず、
$\mathrm{card}(X)=\mathrm{card}(Y)$ を全単射 $f\colon X\to Y$ が存在することの略記、$\mathrm{card}(X)\leq \mathrm{card}(Y)$ を単射 $f\colon X\to Y$ が存在することの略記として扱うという手法である。この手法のメリットとして使う道具立てが少なく、また他の扱い方と違い、整列可能性定理や正則性公理などに依存していない点が挙げられる。似たようなアイデアは構成主義数学などの'''亜集合''' (setoid) などの文脈でも用いられている。

=== 濃度をある種の順序数として定義する。 ===
濃度は直観的には同値類として上では扱っていたが、同値類は実際には存在しない。しかし、その代表元に相当するものが実は取ることができる。順序数 $\kappa$ が'''基数''' (cardinal) であるとは $\kappa$ 未満の順序数から $\kappa$ への全単射が存在しないことを言う。この基数が「集合全体を全単射で割った商集合の完全代表系」の役割を果たす。$X$ の濃度 $\mathrm{card}(X)$ を $X$ から全単射の存在する最小の[[順序数]]と定めよう。このような順序数の存在は $\mathsf{ZFC}$ で示せて、これは基数となる。このアプローチは公理的集合論に於いて一般的なものである。しかしこの定義は選択公理に依存する。整列可能性定理が、選択公理と同値なことを念頭に置くと、集合から順序数への全単射の存在は、集合の整列可能性を要求しているに他ならないからである。

=== Scottの絡繰を用いる方法 ===
このアプローチは同値類の定義を見直すことで真のクラスに対して定義できるようにする、というアプローチである。階数 $\mathrm{rank}(x):=\sup\{\mathrm{rank}(y)+1\mid y\in x\}$ と定めて、クラスに対しその元の階数に於いて最小のもののみを集めたものを考える。
真のクラス $C$ に対し $$\hat{C}:=\{x\in C\mid (\forall y)[\mathrm{rank}(x)\leq\mathrm{rank}(y)]\}$$ は常に非空な集合となり、これを'''Scottの絡繰''' (Scott's trick) という。集合であることは、任意の $x\in C$ に対し $\mathrm{rank}(x)=\alpha$ であることと $x\in V_{\alpha+1}$ であることが同値であることによる。ここで $V_\alpha$ は[[累積階層]] と呼ばれ、$\alpha$ に対する超限再帰で $V_\alpha:=\bigcup_{\xi<\alpha}\mathcal{P}(V_\xi)$ と定義される''集合''である。

真のクラス　$C$ 上の同値関係 $\equiv$ に対して、同値類 $[x]_\equiv$ を
$$[x]_\equiv:=\{y\mid y\equiv x\land(\forall z\in C)[z\equiv x\to\mathrm{rank}(y)\leq\mathrm{rank}(z)]\}$$ とすればこれは集合である。。よってこの同値類の定義にて $\mathrm{card}(x):=[x]_{\equiv_{\mathrm{card}}}$ とすれば良い。このアプローチでは選択公理によらずに全ての集合に対して濃度が定義できるというメリットがある。

=== クラスを扱えるような集合論を用いる方法 ===
クラスを対称として扱える[[Neumann–Bernays–Gödel集合論]]に[[大域選択公理]] $\mathsf{AGC}$ を加えた公理 $\mathsf{NBGC}$ などではクラス上の同値類 $[x]_{\equiv_{\mathrm{card}}}$ がそのままクラスとして存在する<ref group="脚注">大域選択公理は $[x]_{\equiv_{\mathrm{card}}}$ の存在には必要がないが、$\mathsf{ZFC}$ で証明可能な定理が $\mathsf{NBGC}$ でも証明可能であることには必要となる。</ref>。よってこれを濃度の定義としてしまえば良い。また $\mathsf{NBGC}$ は $\mathsf{ZFC}$ の保存的拡大である。すなわち $\mathsf{ZFC}$ の言語で書かれた命題は、証明の際に $\mathsf{NBGC}$ にて定義される濃度を用いたとしても $\mathsf{ZFC}$ で証明可能であることが言える。つまり濃度の議論を用いて示した $\mathsf{ZFC}$ の言語での定理は $\mathsf{ZFC}$ で証明可能であることが言える。しかしこの定義だと濃度自体は $\mathsf{ZFC}$ の言語で記述できないため、濃度を含む定理が $\mathsf{NBGC}$ で証明可能だとしても、それが $\mathsf{ZFC}$ で証明可能であることをただちには導かない。$\mathsf{ZFC}$ の定理であることを導くためには $\mathsf{NBGC}$ での定義が上で挙げた他の $\mathsf{ZFC}$ に於ける定義と同値であることを証明しないとならない。
== 脚注 ==
<references group="脚注"/>
== 参考文献 ==
* T. Jech Set theory. Springer Science & Business Media, 2013.
* Barwise, Jon, and Paul Eklof. "Infinitary properties of abelian torsion groups." Annals of Mathematical Logic 2.1 (1970): 25-68.
* Laver, Richard. "On Fraïssé's order type conjecture." Annals of Mathematics (1971): 89-111.

== 集合論の初歩 ==

[[論理と命題]] / [[集合の基本的な用語、集合の演算]] / [[全称記号と存在記号]] / [[写像、像、逆像、写像のグラフ]] / [[写像の合成、写像の拡大と制限]] / [[選択公理について]] / [[単射、全射、全単射、逆写像]] / [[部分集合族、べき集合]] / （ [[演算と代数構造]] ） / （ [[関係、同値関係、商集合]] ） / （ [[初歩的な順序集合]] ） / （ [[Zornの補題]] ） / （集合の濃度）

== 関連項目 ==
*[[集合論]]

集合の濃度

2022-03-27T13:36:35Z

Alwe: /* 濃度をある種の順序数として定義する。 */

<noinclude>
{{TOC |align=right |noautonum=1 }}
</noinclude>
== 集合の濃度 ==

集合の'''濃度''' (cardinality) は集合の「大きさ」を測る指標であり、有限集合の「元の個数」を拡張するものである。有限集合 $X,Y$ が与えられたとき、以下は同値である。
# $X$ と $Y$ の元の個数が等しい。
# $X$ と $Y$ の間に全単射 $f\colon X\to Y$ が存在する。

また同様に以下も同値である。
# $X$ の元の個数は $Y$ の元の個数以下である。
# $X$ と $Y$ の間に単射 $f\colon X\to Y$ が存在する。

ナイーブには「元の個数」は有限集合に対してしか適用できないのに対し、全単射や単射の存在は無限集合に対しても考えうる。よって全単射や単射の存在によって集合 $X,Y$ の大きさを測ろうというのが、濃度の考え方といって良いだろう。

== 定義 ==

集合 $X,Y$ に対して関係 $X\equiv_{\mathrm{card}} Y$ を $X$ から $Y$ への全単射が存在する、と定める。このとき以下が成り立つ。
# '''反射律'''　任意の集合 $X$ に対し、 $X\equiv_{\mathrm{card}} X$ である。
# '''対称律'''　任意の集合 $X,Y$ に対し、$X\equiv_{\mathrm{card}} Y$ ならば $Y\equiv_{\mathrm{card}} X$ である。
# '''推移律'''　任意の集合 $X,Y,Z$ に対し、 $X\equiv_{\mathrm{card}} Y$ かつ $Y\equiv_{\mathrm{card}} Z$ ならば $X\equiv_{\mathrm{card}} Z$ である。

これらは定義に基づき書き直せば以下のようになる。
# '''反射律'''　任意の集合 $X$ に対し、全単射 $f\colon X\to X$ が存在する。
# '''対称律'''　任意の集合 $X,Y$ に対し、全単射 $f\colon X\to Y$ が存在するならば全単射$g\colon Y\to X$ も存在する。
# '''推移律'''　任意の集合 $X,Y,Z$ に対し、全単射 $f\colon X\to Y$が存在しかつ全単射 $g\colon Y\to Z$ が存在するならば全単射 $h\colon X \to Z$ も存在する。

反射律は $f:=\mathrm{id}_X$ とすれば良く、対称律は $g:=f^{-1}$ とすれば良く推移律は $h:=g\circ f$ とすれば成り立つことがすぐ分かるであろう。

よって $\equiv_{\mathrm{card}}$ は同値関係であることが分かる。同値関係であるということは、集合全体を $\equiv_{\mathrm{card}}$ で割ることができ、$X$ の同値類 $[X]_{\equiv_{\mathrm{card}}}$ を考えることができる。この同値類 $[X]_{\equiv_{\mathrm{card}}}$ を $X$ の'''濃度''' (cardinality) といい、$\mathrm{card}(X),\#X,|X|$ などと表す。また濃度の全体を $\mathrm{Card}$ とする。

== 濃度の順序 ==
$\mathrm{Card}$ の元 $[X]_{\equiv_{\mathrm{card}}},[Y]_{\equiv_{\mathrm{card}}}$ に対して二項関係 $[X]_{\equiv_{\mathrm{card}}}\leq [Y]_{\equiv_{\mathrm{card}}}$ を単射 $f\colon X\to Y$ が存在することと定義する。これはwell-definedである、すなわち以下が成り立つ。
* $[X_0]_{\equiv_{\mathrm{card}}}=[Y_0]_{\equiv_{\mathrm{card}}}$ かつ $[X_1]_{\equiv_{\mathrm{card}}}=[Y_1]_{\equiv_{\mathrm{card}}}$ かつ $[X_0]_{\equiv_{\mathrm{card}}}\leq [X_1]_{\equiv_{\mathrm{card}}}$ ならば $[Y_0]_{\equiv_{\mathrm{card}}}\leq [Y_1]_{\equiv_{\mathrm{card}}}$ である。

これを定義に基づいて書き直せば以下の用になる。
* 全単射 $f_0\colon X_0\to Y_0$ と、全単射 $f_1\colon X_1\to Y_1$ と単射 $g_X\colon X_0\to X_1$ が存在するとき、単射 $g_Y\colon Y_0\to Y_1$ も存在する。

これは $g_Y:=f_0^{-1}\circ g_X\circ f_1$ とすれば成り立つことが分かるであろう。

また $\leq$ は $\mathrm{Card}$ 上で[[全順序]]になる。すなわち以下が成り立つ。
* '''反射律'''　任意の $[X]_{\equiv_{\mathrm{card}}}\in\mathrm{Card}$ に対し、 $[X]_{\equiv_{\mathrm{card}}}\leq [X]_{\equiv_{\mathrm{card}}}$ である。
* '''全域律'''　任意の $[X]_{\equiv_{\mathrm{card}}},[Y]_{\equiv_{\mathrm{card}}}\in\mathrm{Card}$ に対し、$[X]_{\equiv_{\mathrm{card}}}\leq [Y]_{\equiv_{\mathrm{card}}}$ または $[Y]_{\equiv_{\mathrm{card}}}\leq [X]_{\equiv_{\mathrm{card}}}$ である。
* '''反対称律'''　任意の $[X]_{\equiv_{\mathrm{card}}},[Y]_{\equiv_{\mathrm{card}}}\in\mathrm{Card}$ に対し、$[X]_{\equiv_{\mathrm{card}}}\leq [Y]_{\equiv_{\mathrm{card}}}$ かつ$[Y]_{\equiv_{\mathrm{card}}}\leq [X]_{\equiv_{\mathrm{card}}}$ であるならば $[X]_{\equiv_{\mathrm{card}}}= [Y]_{\equiv_{\mathrm{card}}}$ である。
* '''推移律'''　任意の $[X]_{\equiv_{\mathrm{card}}},[Y]_{\equiv_{\mathrm{card}}},[Z]_{\equiv_{\mathrm{card}}}\in\mathrm{Card}$ に対し、$[X]_{\equiv_{\mathrm{card}}}\leq [Y]_{\equiv_{\mathrm{card}}}$ かつ $[Y]_{\equiv_{\mathrm{card}}}\leq [Z]_{\equiv_{\mathrm{card}}}$ ならば $[X]_{\equiv_{\mathrm{card}}}\leq [Z]_{\equiv_{\mathrm{card}}}$ である。

特に濃度に対する反対称律を[[Cantor–Bernstein–Schröderの定理]]という。

またもっと言えば濃度の順序は[[整列順序]]になっている。よって任意の濃度からなる集合 $X$ に対し最小元 $\min X$ が存在する。

== 濃度の演算 ==
$I$ を添字集合とし $\{[X_i]_{\equiv_{\mathrm{card}}}\}_{i\in I}$ を濃度の族とする。また $\sum_{i\in I}X_i,\prod_{i\in I}X_i$ を集合の直和、直積とする。このとき濃度の和 $\sum_{i\in I}[X_i]_{\equiv_{\mathrm{card}}}$ と濃度の積 $\prod_{i\in I}[X_i]_{\equiv_{\mathrm{card}}}$ を以下のように定める。
* $\sum_{i\in I}[X_i]_{\equiv_{\mathrm{card}}}:=[\sum_{i\in I}X_i]_{\equiv_{\mathrm{card}}}$ 。
* $\prod_{i\in I}[X_i]_{\equiv_{\mathrm{card}}}:=[\prod_{i\in I}X_i]_{\equiv_{\mathrm{card}}}$ 。

また濃度 $[X]_{\equiv_{\mathrm{card}}},[Y]_{\equiv_{\mathrm{card}}}$ に対して冪 ${[X]_{\equiv_{\mathrm{card}}}}^{[Y]_{\equiv_{\mathrm{card}}}}$ を以下のように定める。
* ${[X]_{\equiv_{\mathrm{card}}}}^{[Y]_{\equiv_{\mathrm{card}}}}:=[X^Y]_{\equiv_{\mathrm{card}}}$ 。

ここで $X^Y$ は $Y$ から $X$ への写像全体の集合である。

これらの演算は代表元の選択に依存しないためwell-definedである。

$I$ が有限集合で、ある $i$ に対して $X_i$ が無限集合であるとき
$$\sum_{i\in I}[X_i]_{\equiv_{\mathrm{card}}}=\prod_{i\in I}[X_i]_{\equiv_{\mathrm{card}}}=\max_{i\in_I}[X_i]_{\equiv_{\mathrm{card}}}$$ が成り立つ。また全ての $i$ に対して $X_i$ が有限集合であるとき、濃度は要素の数の和、積と一致する。

以下のような不等式も知られている。

* [[Cantorの定理]]　$Y$ の濃度は $2:=\{0,1\}$ 以上とする。このとき任意の集合 $X$ に対して $[X]_{\equiv_{\mathrm{card}}}<[Y^X]_{\equiv_{\mathrm{card}}}$ である。特に $[X]_{\equiv_{\mathrm{card}}}<[\mathcal{P}(X)]_{\equiv_{\mathrm{card}}}$ である。
* [[Kőnigの定理]] 各 $i\in I$ に対し $[X_i]_{\equiv_{\mathrm{card}}}<[Y_i]_{\equiv_{\mathrm{card}}}$ とする。このとき $\sum_{i\in I}[X_i]_{\equiv_{\mathrm{card}}}<\prod_{i\in I} [Y_i]_{\equiv_{\mathrm{card}}}$ である。

== 具体的な濃度 ==

* $\mathbb{N}$ の濃度を'''可算濃度''' といい $\aleph_0$ と表す。また $\aleph_n$ より大きい最小の濃度を $\aleph_{n+1}$ とする。また可算濃度を持つ集合を可算無限集合という((単に可算集合というと、有限集合も含むことがある。この記事に於いてはたかだか可算と可算無限のように使い分けることにする))。
* $\mathbb{R}$ の濃度を'''連続体濃度''' といい $\aleph$ や $\mathfrak{c}$ と表す。

可算濃度を持つ集合の例を挙げる。
* $\mathbb{Z},\mathbb{Q}$ 。
* 代数的数全体 $\bar{\mathbb{Q}}$ 。
* 自然数の有限列全体 $\mathbb{N}^{<\omega}$ 。

$\aleph_1$ を濃度として持つ集合の例を挙げる。
* たかだか可算な順序数全体。
* $\mathbb{Q}$ 上の通常の順序で整列されるような集合を $W$ とし順序同型関係を $\equiv$ としたとき $W/{\equiv}$ の濃度。
* $\mathbb{R}$ 上の通常の順序で整列されるような集合を $W$ とし順序同型関係を $\equiv$ としたとき $W/{\equiv}$ の濃度。
* 可算全順序の双埋め込み可能性による同値類
* 可算アーベル$p$-群の双埋め込み可能性による同値類。

* [[長い直線]]

連続体濃度を持つ集合の例を挙げる。
* [[超越数]] 全体 $\mathbb{R}\setminus\bar{\mathbb{Q}}$ 。
* 複素数全体 $\mathbb{C}$ 。
* $\mathcal{P}(\mathbb{N})$ 。
* $\mathbb{N}^\mathbb{N}$ 。
* 実数の可算列全体 $\mathbb{R}^\mathbb{N}$ 。
* $\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ の連続関数全体。
* [[Euclid空間]] $\mathbb{R}^n$ の開集合全体。

$2^\aleph$ を濃度として持つ集合の例を挙げる。
* $\mathcal{P}(\mathbb{R})$ 。
* $\mathbb{R}^\mathbb{R}$ 。
* [[Sorgenfrey直線]] $S$ に対して $S^2$ の開集合全体。

== 連続体仮説 ==
さてCantorは以下の'''連続体仮説''' (continuum hypothesis $\mathsf{CH}$) という問題を提示した。
* $\aleph_0$ と $\aleph$ の中間の濃度、すなわち $\aleph_0<\kappa<\aleph$ となるような濃度 $\kappa$ は存在しない。<ref group="脚注">選択公理の上で同値な命題である'''アレフ仮説''' (aleph hypothesis) $\aleph_1=\aleph$ と定式化されることも多い</ref>。

連続体仮説はGödelとCohenらによって一般的な集合論の公理系 $\mathsf{ZFC}$ では証明も反証もできないことが知られている。

== 濃度の正確な扱いについて ==
上記で述べた濃度の定義は集合論 $\mathsf{ZFC}$ に於いてはill-definedである。まず集合全体は集合ではないし、全単射が存在する二つの集合の組全体も集合ではなく、同じ濃度であるという論理式 $\equiv_\mathrm{card}$ も二項関係ではない。ill-definedであることは以下のように分かる。集合全体を $V$ とし、これが集合だとすると冪集合 $\mathcal{P}(V)$ が存在し $\mathcal{P}(V)$ の元はすべて集合であり $\mathcal{P}(V)\subseteq V$ あるわけだが、これは[[Cantorの定理]]に矛盾する。また $\{(x,x)\mid x\in V\}$ は「全単射が存在する二つの集合の組全体」の部分クラスになっており $V$ からの単射が存在するので真のクラスとなる。
よって以下では濃度を正確に扱う方法をいくつか考えよう。一つ目に挙げる方法は前提知識なく理解できるであろうが、二つ目以降は[[順序数]]や[[累積階層]]、[[数理論理学の概要|数理論理学]]などの知識を必要とする。

=== 濃度を直接定義せず、間接的に扱う。 ===
集合 $X$ に対して $\mathrm{card}(X)$ というものを定義せず、
$\mathrm{card}(X)=\mathrm{card}(Y)$ を全単射 $f\colon X\to Y$ が存在することの略記、$\mathrm{card}(X)\leq \mathrm{card}(Y)$ を単射 $f\colon X\to Y$ が存在することの略記として扱うという手法である。この手法のメリットとして使う道具立てが少なく、また他の扱い方と違い、整列可能性定理や正則性公理などに依存していない点が挙げられる。似たようなアイデアは構成主義数学などの'''亜集合''' (setoid) などの文脈でも用いられている。

=== 濃度をある種の順序数として定義する。 ===
濃度は直観的には同値類として上では扱っていたが、同値類は実際には存在しない。しかし、その代表元に相当するものが実は取ることができる。順序数 $\kappa$ が'''基数''' (cardinal) であるとは $\kappa$ 未満の順序数から $\kappa$ への全単射が存在しないことを言う。この基数が「集合全体を全単射で割った商集合の完全代表系」の役割を果たす。$X$ の濃度 $\mathrm{card}(X)$ を $X$ から全単射の存在する最小の[[順序数]]と定めよう。このような順序数の存在は $\mathsf{ZFC}$ で示せて、これは基数となる。このアプローチは公理的集合論に於いて一般的なものである。しかしこの定義は選択公理に依存する。整列可能性定理が、選択公理と同値なことを念頭に置くと、集合から順序数への全単射の存在は、集合の整列可能性を要求しているに他ならないからである。

=== Scottの絡繰を用いる方法 ===
このアプローチは同値類の定義を見直すことで真のクラスに対して定義できるようにする、というアプローチである。階数 $\mathrm{rank}(x):=\sup\{\mathrm{rank}(y)+1\mid y\in x\}$ と定めて、クラスに対しその元の階数に於いて最小のもののみを集めたものを考える。
真のクラス $C$ に対し $$\hat{C}:=\{x\in C\mid (\forall y)[\mathrm{rank}(x)\leq\mathrm{rank}(y)]\}$$ は常に非空な集合となり、これを'''Scottの絡繰''' (Scott's trick) という。集合であることは、任意の $x\in C$ に対し $\mathrm{rank}(x)=\alpha$ であることと $x\in V_{\alpha+1}$ であることが同値であることによる。ここで $V_\alpha$ は[[累積階層]] と呼ばれ、$\alpha$ に対する超限再帰で $V_\alpha:=\bigcup_{\xi<\alpha}\mathcal{P}(V_\xi)$ と定義される''集合''である。

真のクラス　$C$ 上の同値関係 $\equiv$ に対して、同値類 $[x]_\equiv$ を
$$[x]_\equiv:=\{y\mid y\equiv x\land(\forall z\in C)[z\equiv x\to\mathrm{rank}(y)\leq\mathrm{rank}(z)]\}$$ とすればこれは集合である。。よってこの同値類の定義にて $\mathrm{card}(x):=[x]_{\equiv_{\mathrm{card}}}$ とすれば良い。このアプローチでは選択公理によらずに全ての集合に対して濃度が定義できるというメリットがある。

=== クラスを扱えるような集合論を用いる方法 ===
クラスを対称として扱える[[Neumann–Bernays–Gödel集合論]]に[[大域選択公理]] $\mathsf{AGC}$ を加えた公理 $\mathsf{NBGC}$ などではクラス上の同値類 $[x]_{\equiv_{\mathrm{card}}}$ がそのままクラスとして存在する<ref group="脚注">大域選択公理は $[x]_{\equiv_{\mathrm{card}}}$ の存在には必要がないが、$\mathsf{ZFC}$ で証明可能な定理が $\mathsf{NBGC}$ でも証明可能であることには必要となる。</ref>。よってこれを濃度の定義としてしまえば良い。また $\mathsf{NBGC}$ は $\mathsf{ZFC}$ の保存的拡大である。すなわち $\mathsf{ZFC}$ の言語で書かれた命題は、証明の際に $\mathsf{NBGC}$ にて定義される濃度を用いたとしても $\mathsf{ZFC}$ で証明可能であることが言える。つまり濃度の議論を用いて示した $\mathsf{ZFC}$ の言語での定理は $\mathsf{ZFC}$ で証明可能であることが言える。しかしこの定義だと濃度自体は $\mathsf{ZFC}$ の言語で記述できないため、濃度を含む定理が $\mathsf{NBGC}$ で証明可能だとしても、それが $\mathsf{ZFC}$ で証明可能であることをただちには導かない。$\mathsf{ZFC}$ の定理であることを導くためには $\mathsf{NBGC}$ での定義が上で挙げた他の $\mathsf{ZFC}$ に於ける定義と同値であることを証明しないとならない。
== 脚注 ==
<references group="脚注"/>
== 参考文献 ==
* T. Jech Set theory. Springer Science & Business Media, 2013.
* Barwise, Jon, and Paul Eklof. "Infinitary properties of abelian torsion groups." Annals of Mathematical Logic 2.1 (1970): 25-68.
* Laver, Richard. "On Fraïssé's order type conjecture." Annals of Mathematics (1971): 89-111.

== 集合論の初歩 ==

[[論理と命題]] / [[集合の基本的な用語、集合の演算]] / [[全称記号と存在記号]] / [[写像、像、逆像、写像のグラフ]] / [[写像の合成、写像の拡大と制限]] / [[選択公理について]] / [[単射、全射、全単射、逆写像]] / [[部分集合族、べき集合]] / （ [[演算と代数構造]] ） / （ [[関係、同値関係、商集合]] ） / （ [[初歩的な順序集合]] ） / （ [[Zornの補題]] ） / （集合の濃度）

== 関連項目 ==
*[[集合論]]

集合の濃度

2022-03-27T13:31:12Z

Alwe: /* 濃度を直接定義せず、間接的に扱う。 */

<noinclude>
{{TOC |align=right |noautonum=1 }}
</noinclude>
== 集合の濃度 ==

集合の'''濃度''' (cardinality) は集合の「大きさ」を測る指標であり、有限集合の「元の個数」を拡張するものである。有限集合 $X,Y$ が与えられたとき、以下は同値である。
# $X$ と $Y$ の元の個数が等しい。
# $X$ と $Y$ の間に全単射 $f\colon X\to Y$ が存在する。

また同様に以下も同値である。
# $X$ の元の個数は $Y$ の元の個数以下である。
# $X$ と $Y$ の間に単射 $f\colon X\to Y$ が存在する。

ナイーブには「元の個数」は有限集合に対してしか適用できないのに対し、全単射や単射の存在は無限集合に対しても考えうる。よって全単射や単射の存在によって集合 $X,Y$ の大きさを測ろうというのが、濃度の考え方といって良いだろう。

== 定義 ==

集合 $X,Y$ に対して関係 $X\equiv_{\mathrm{card}} Y$ を $X$ から $Y$ への全単射が存在する、と定める。このとき以下が成り立つ。
# '''反射律'''　任意の集合 $X$ に対し、 $X\equiv_{\mathrm{card}} X$ である。
# '''対称律'''　任意の集合 $X,Y$ に対し、$X\equiv_{\mathrm{card}} Y$ ならば $Y\equiv_{\mathrm{card}} X$ である。
# '''推移律'''　任意の集合 $X,Y,Z$ に対し、 $X\equiv_{\mathrm{card}} Y$ かつ $Y\equiv_{\mathrm{card}} Z$ ならば $X\equiv_{\mathrm{card}} Z$ である。

これらは定義に基づき書き直せば以下のようになる。
# '''反射律'''　任意の集合 $X$ に対し、全単射 $f\colon X\to X$ が存在する。
# '''対称律'''　任意の集合 $X,Y$ に対し、全単射 $f\colon X\to Y$ が存在するならば全単射$g\colon Y\to X$ も存在する。
# '''推移律'''　任意の集合 $X,Y,Z$ に対し、全単射 $f\colon X\to Y$が存在しかつ全単射 $g\colon Y\to Z$ が存在するならば全単射 $h\colon X \to Z$ も存在する。

反射律は $f:=\mathrm{id}_X$ とすれば良く、対称律は $g:=f^{-1}$ とすれば良く推移律は $h:=g\circ f$ とすれば成り立つことがすぐ分かるであろう。

よって $\equiv_{\mathrm{card}}$ は同値関係であることが分かる。同値関係であるということは、集合全体を $\equiv_{\mathrm{card}}$ で割ることができ、$X$ の同値類 $[X]_{\equiv_{\mathrm{card}}}$ を考えることができる。この同値類 $[X]_{\equiv_{\mathrm{card}}}$ を $X$ の'''濃度''' (cardinality) といい、$\mathrm{card}(X),\#X,|X|$ などと表す。また濃度の全体を $\mathrm{Card}$ とする。

== 濃度の順序 ==
$\mathrm{Card}$ の元 $[X]_{\equiv_{\mathrm{card}}},[Y]_{\equiv_{\mathrm{card}}}$ に対して二項関係 $[X]_{\equiv_{\mathrm{card}}}\leq [Y]_{\equiv_{\mathrm{card}}}$ を単射 $f\colon X\to Y$ が存在することと定義する。これはwell-definedである、すなわち以下が成り立つ。
* $[X_0]_{\equiv_{\mathrm{card}}}=[Y_0]_{\equiv_{\mathrm{card}}}$ かつ $[X_1]_{\equiv_{\mathrm{card}}}=[Y_1]_{\equiv_{\mathrm{card}}}$ かつ $[X_0]_{\equiv_{\mathrm{card}}}\leq [X_1]_{\equiv_{\mathrm{card}}}$ ならば $[Y_0]_{\equiv_{\mathrm{card}}}\leq [Y_1]_{\equiv_{\mathrm{card}}}$ である。

これを定義に基づいて書き直せば以下の用になる。
* 全単射 $f_0\colon X_0\to Y_0$ と、全単射 $f_1\colon X_1\to Y_1$ と単射 $g_X\colon X_0\to X_1$ が存在するとき、単射 $g_Y\colon Y_0\to Y_1$ も存在する。

これは $g_Y:=f_0^{-1}\circ g_X\circ f_1$ とすれば成り立つことが分かるであろう。

また $\leq$ は $\mathrm{Card}$ 上で[[全順序]]になる。すなわち以下が成り立つ。
* '''反射律'''　任意の $[X]_{\equiv_{\mathrm{card}}}\in\mathrm{Card}$ に対し、 $[X]_{\equiv_{\mathrm{card}}}\leq [X]_{\equiv_{\mathrm{card}}}$ である。
* '''全域律'''　任意の $[X]_{\equiv_{\mathrm{card}}},[Y]_{\equiv_{\mathrm{card}}}\in\mathrm{Card}$ に対し、$[X]_{\equiv_{\mathrm{card}}}\leq [Y]_{\equiv_{\mathrm{card}}}$ または $[Y]_{\equiv_{\mathrm{card}}}\leq [X]_{\equiv_{\mathrm{card}}}$ である。
* '''反対称律'''　任意の $[X]_{\equiv_{\mathrm{card}}},[Y]_{\equiv_{\mathrm{card}}}\in\mathrm{Card}$ に対し、$[X]_{\equiv_{\mathrm{card}}}\leq [Y]_{\equiv_{\mathrm{card}}}$ かつ$[Y]_{\equiv_{\mathrm{card}}}\leq [X]_{\equiv_{\mathrm{card}}}$ であるならば $[X]_{\equiv_{\mathrm{card}}}= [Y]_{\equiv_{\mathrm{card}}}$ である。
* '''推移律'''　任意の $[X]_{\equiv_{\mathrm{card}}},[Y]_{\equiv_{\mathrm{card}}},[Z]_{\equiv_{\mathrm{card}}}\in\mathrm{Card}$ に対し、$[X]_{\equiv_{\mathrm{card}}}\leq [Y]_{\equiv_{\mathrm{card}}}$ かつ $[Y]_{\equiv_{\mathrm{card}}}\leq [Z]_{\equiv_{\mathrm{card}}}$ ならば $[X]_{\equiv_{\mathrm{card}}}\leq [Z]_{\equiv_{\mathrm{card}}}$ である。

特に濃度に対する反対称律を[[Cantor–Bernstein–Schröderの定理]]という。

またもっと言えば濃度の順序は[[整列順序]]になっている。よって任意の濃度からなる集合 $X$ に対し最小元 $\min X$ が存在する。

== 濃度の演算 ==
$I$ を添字集合とし $\{[X_i]_{\equiv_{\mathrm{card}}}\}_{i\in I}$ を濃度の族とする。また $\sum_{i\in I}X_i,\prod_{i\in I}X_i$ を集合の直和、直積とする。このとき濃度の和 $\sum_{i\in I}[X_i]_{\equiv_{\mathrm{card}}}$ と濃度の積 $\prod_{i\in I}[X_i]_{\equiv_{\mathrm{card}}}$ を以下のように定める。
* $\sum_{i\in I}[X_i]_{\equiv_{\mathrm{card}}}:=[\sum_{i\in I}X_i]_{\equiv_{\mathrm{card}}}$ 。
* $\prod_{i\in I}[X_i]_{\equiv_{\mathrm{card}}}:=[\prod_{i\in I}X_i]_{\equiv_{\mathrm{card}}}$ 。

また濃度 $[X]_{\equiv_{\mathrm{card}}},[Y]_{\equiv_{\mathrm{card}}}$ に対して冪 ${[X]_{\equiv_{\mathrm{card}}}}^{[Y]_{\equiv_{\mathrm{card}}}}$ を以下のように定める。
* ${[X]_{\equiv_{\mathrm{card}}}}^{[Y]_{\equiv_{\mathrm{card}}}}:=[X^Y]_{\equiv_{\mathrm{card}}}$ 。

ここで $X^Y$ は $Y$ から $X$ への写像全体の集合である。

これらの演算は代表元の選択に依存しないためwell-definedである。

$I$ が有限集合で、ある $i$ に対して $X_i$ が無限集合であるとき
$$\sum_{i\in I}[X_i]_{\equiv_{\mathrm{card}}}=\prod_{i\in I}[X_i]_{\equiv_{\mathrm{card}}}=\max_{i\in_I}[X_i]_{\equiv_{\mathrm{card}}}$$ が成り立つ。また全ての $i$ に対して $X_i$ が有限集合であるとき、濃度は要素の数の和、積と一致する。

以下のような不等式も知られている。

* [[Cantorの定理]]　$Y$ の濃度は $2:=\{0,1\}$ 以上とする。このとき任意の集合 $X$ に対して $[X]_{\equiv_{\mathrm{card}}}<[Y^X]_{\equiv_{\mathrm{card}}}$ である。特に $[X]_{\equiv_{\mathrm{card}}}<[\mathcal{P}(X)]_{\equiv_{\mathrm{card}}}$ である。
* [[Kőnigの定理]] 各 $i\in I$ に対し $[X_i]_{\equiv_{\mathrm{card}}}<[Y_i]_{\equiv_{\mathrm{card}}}$ とする。このとき $\sum_{i\in I}[X_i]_{\equiv_{\mathrm{card}}}<\prod_{i\in I} [Y_i]_{\equiv_{\mathrm{card}}}$ である。

== 具体的な濃度 ==

* $\mathbb{N}$ の濃度を'''可算濃度''' といい $\aleph_0$ と表す。また $\aleph_n$ より大きい最小の濃度を $\aleph_{n+1}$ とする。また可算濃度を持つ集合を可算無限集合という((単に可算集合というと、有限集合も含むことがある。この記事に於いてはたかだか可算と可算無限のように使い分けることにする))。
* $\mathbb{R}$ の濃度を'''連続体濃度''' といい $\aleph$ や $\mathfrak{c}$ と表す。

可算濃度を持つ集合の例を挙げる。
* $\mathbb{Z},\mathbb{Q}$ 。
* 代数的数全体 $\bar{\mathbb{Q}}$ 。
* 自然数の有限列全体 $\mathbb{N}^{<\omega}$ 。

$\aleph_1$ を濃度として持つ集合の例を挙げる。
* たかだか可算な順序数全体。
* $\mathbb{Q}$ 上の通常の順序で整列されるような集合を $W$ とし順序同型関係を $\equiv$ としたとき $W/{\equiv}$ の濃度。
* $\mathbb{R}$ 上の通常の順序で整列されるような集合を $W$ とし順序同型関係を $\equiv$ としたとき $W/{\equiv}$ の濃度。
* 可算全順序の双埋め込み可能性による同値類
* 可算アーベル$p$-群の双埋め込み可能性による同値類。

* [[長い直線]]

連続体濃度を持つ集合の例を挙げる。
* [[超越数]] 全体 $\mathbb{R}\setminus\bar{\mathbb{Q}}$ 。
* 複素数全体 $\mathbb{C}$ 。
* $\mathcal{P}(\mathbb{N})$ 。
* $\mathbb{N}^\mathbb{N}$ 。
* 実数の可算列全体 $\mathbb{R}^\mathbb{N}$ 。
* $\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ の連続関数全体。
* [[Euclid空間]] $\mathbb{R}^n$ の開集合全体。

$2^\aleph$ を濃度として持つ集合の例を挙げる。
* $\mathcal{P}(\mathbb{R})$ 。
* $\mathbb{R}^\mathbb{R}$ 。
* [[Sorgenfrey直線]] $S$ に対して $S^2$ の開集合全体。

== 連続体仮説 ==
さてCantorは以下の'''連続体仮説''' (continuum hypothesis $\mathsf{CH}$) という問題を提示した。
* $\aleph_0$ と $\aleph$ の中間の濃度、すなわち $\aleph_0<\kappa<\aleph$ となるような濃度 $\kappa$ は存在しない。<ref group="脚注">選択公理の上で同値な命題である'''アレフ仮説''' (aleph hypothesis) $\aleph_1=\aleph$ と定式化されることも多い</ref>。

連続体仮説はGödelとCohenらによって一般的な集合論の公理系 $\mathsf{ZFC}$ では証明も反証もできないことが知られている。

== 濃度の正確な扱いについて ==
上記で述べた濃度の定義は集合論 $\mathsf{ZFC}$ に於いてはill-definedである。まず集合全体は集合ではないし、全単射が存在する二つの集合の組全体も集合ではなく、同じ濃度であるという論理式 $\equiv_\mathrm{card}$ も二項関係ではない。ill-definedであることは以下のように分かる。集合全体を $V$ とし、これが集合だとすると冪集合 $\mathcal{P}(V)$ が存在し $\mathcal{P}(V)$ の元はすべて集合であり $\mathcal{P}(V)\subseteq V$ あるわけだが、これは[[Cantorの定理]]に矛盾する。また $\{(x,x)\mid x\in V\}$ は「全単射が存在する二つの集合の組全体」の部分クラスになっており $V$ からの単射が存在するので真のクラスとなる。
よって以下では濃度を正確に扱う方法をいくつか考えよう。一つ目に挙げる方法は前提知識なく理解できるであろうが、二つ目以降は[[順序数]]や[[累積階層]]、[[数理論理学の概要|数理論理学]]などの知識を必要とする。

=== 濃度を直接定義せず、間接的に扱う。 ===
集合 $X$ に対して $\mathrm{card}(X)$ というものを定義せず、
$\mathrm{card}(X)=\mathrm{card}(Y)$ を全単射 $f\colon X\to Y$ が存在することの略記、$\mathrm{card}(X)\leq \mathrm{card}(Y)$ を単射 $f\colon X\to Y$ が存在することの略記として扱うという手法である。この手法のメリットとして使う道具立てが少なく、また他の扱い方と違い、整列可能性定理や正則性公理などに依存していない点が挙げられる。似たようなアイデアは構成主義数学などの'''亜集合''' (setoid) などの文脈でも用いられている。

=== 濃度をある種の順序数として定義する。 ===
濃度は直観的には同値類として上では扱っていたが、同値類は存在しないがその代表元に相当するものが実は取ることができる。順序数 $\kappa$ が'''基数''' (cardinal) であるとは $\kappa$ 未満の順序数から $\kappa$ への全単射が存在しないことを言う。この基数が「集合全体を全単射で割った商集合の完全代表系」の役割を果たす。$X$ の濃度 $\mathrm{card}(X)$ を $X$ から全単射の存在する最小の[[順序数]]と定めよう。このような順序数の存在は $\mathsf{ZFC}$ で示せて、これは基数となる。このアプローチは公理的集合論に於いて一般的なものである。しかしこの定義は選択公理に依存する。なぜなら集合から順序数への全単射の存在は、集合の整列可能性を要求しているに他ならないからである。

=== Scottの絡繰を用いる方法 ===
このアプローチは同値類の定義を見直すことで真のクラスに対して定義できるようにする、というアプローチである。階数 $\mathrm{rank}(x):=\sup\{\mathrm{rank}(y)+1\mid y\in x\}$ と定めて、クラスに対しその元の階数に於いて最小のもののみを集めたものを考える。
真のクラス $C$ に対し $$\hat{C}:=\{x\in C\mid (\forall y)[\mathrm{rank}(x)\leq\mathrm{rank}(y)]\}$$ は常に非空な集合となり、これを'''Scottの絡繰''' (Scott's trick) という。集合であることは、任意の $x\in C$ に対し $\mathrm{rank}(x)=\alpha$ であることと $x\in V_{\alpha+1}$ であることが同値であることによる。ここで $V_\alpha$ は[[累積階層]] と呼ばれ、$\alpha$ に対する超限再帰で $V_\alpha:=\bigcup_{\xi<\alpha}\mathcal{P}(V_\xi)$ と定義される''集合''である。

真のクラス　$C$ 上の同値関係 $\equiv$ に対して、同値類 $[x]_\equiv$ を
$$[x]_\equiv:=\{y\mid y\equiv x\land(\forall z\in C)[z\equiv x\to\mathrm{rank}(y)\leq\mathrm{rank}(z)]\}$$ とすればこれは集合である。。よってこの同値類の定義にて $\mathrm{card}(x):=[x]_{\equiv_{\mathrm{card}}}$ とすれば良い。このアプローチでは選択公理によらずに全ての集合に対して濃度が定義できるというメリットがある。

=== クラスを扱えるような集合論を用いる方法 ===
クラスを対称として扱える[[Neumann–Bernays–Gödel集合論]]に[[大域選択公理]] $\mathsf{AGC}$ を加えた公理 $\mathsf{NBGC}$ などではクラス上の同値類 $[x]_{\equiv_{\mathrm{card}}}$ がそのままクラスとして存在する<ref group="脚注">大域選択公理は $[x]_{\equiv_{\mathrm{card}}}$ の存在には必要がないが、$\mathsf{ZFC}$ で証明可能な定理が $\mathsf{NBGC}$ でも証明可能であることには必要となる。</ref>。よってこれを濃度の定義としてしまえば良い。また $\mathsf{NBGC}$ は $\mathsf{ZFC}$ の保存的拡大である。すなわち $\mathsf{ZFC}$ の言語で書かれた命題は、証明の際に $\mathsf{NBGC}$ にて定義される濃度を用いたとしても $\mathsf{ZFC}$ で証明可能であることが言える。つまり濃度の議論を用いて示した $\mathsf{ZFC}$ の言語での定理は $\mathsf{ZFC}$ で証明可能であることが言える。しかしこの定義だと濃度自体は $\mathsf{ZFC}$ の言語で記述できないため、濃度を含む定理が $\mathsf{NBGC}$ で証明可能だとしても、それが $\mathsf{ZFC}$ で証明可能であることをただちには導かない。$\mathsf{ZFC}$ の定理であることを導くためには $\mathsf{NBGC}$ での定義が上で挙げた他の $\mathsf{ZFC}$ に於ける定義と同値であることを証明しないとならない。
== 脚注 ==
<references group="脚注"/>
== 参考文献 ==
* T. Jech Set theory. Springer Science & Business Media, 2013.
* Barwise, Jon, and Paul Eklof. "Infinitary properties of abelian torsion groups." Annals of Mathematical Logic 2.1 (1970): 25-68.
* Laver, Richard. "On Fraïssé's order type conjecture." Annals of Mathematics (1971): 89-111.

== 集合論の初歩 ==

[[論理と命題]] / [[集合の基本的な用語、集合の演算]] / [[全称記号と存在記号]] / [[写像、像、逆像、写像のグラフ]] / [[写像の合成、写像の拡大と制限]] / [[選択公理について]] / [[単射、全射、全単射、逆写像]] / [[部分集合族、べき集合]] / （ [[演算と代数構造]] ） / （ [[関係、同値関係、商集合]] ） / （ [[初歩的な順序集合]] ） / （ [[Zornの補題]] ） / （集合の濃度）

== 関連項目 ==
*[[集合論]]

集合の濃度

2022-03-27T13:27:46Z

Alwe: /* 濃度の演算 */

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{{TOC |align=right |noautonum=1 }}
</noinclude>
== 集合の濃度 ==

集合の'''濃度''' (cardinality) は集合の「大きさ」を測る指標であり、有限集合の「元の個数」を拡張するものである。有限集合 $X,Y$ が与えられたとき、以下は同値である。
# $X$ と $Y$ の元の個数が等しい。
# $X$ と $Y$ の間に全単射 $f\colon X\to Y$ が存在する。

また同様に以下も同値である。
# $X$ の元の個数は $Y$ の元の個数以下である。
# $X$ と $Y$ の間に単射 $f\colon X\to Y$ が存在する。

ナイーブには「元の個数」は有限集合に対してしか適用できないのに対し、全単射や単射の存在は無限集合に対しても考えうる。よって全単射や単射の存在によって集合 $X,Y$ の大きさを測ろうというのが、濃度の考え方といって良いだろう。

== 定義 ==

集合 $X,Y$ に対して関係 $X\equiv_{\mathrm{card}} Y$ を $X$ から $Y$ への全単射が存在する、と定める。このとき以下が成り立つ。
# '''反射律'''　任意の集合 $X$ に対し、 $X\equiv_{\mathrm{card}} X$ である。
# '''対称律'''　任意の集合 $X,Y$ に対し、$X\equiv_{\mathrm{card}} Y$ ならば $Y\equiv_{\mathrm{card}} X$ である。
# '''推移律'''　任意の集合 $X,Y,Z$ に対し、 $X\equiv_{\mathrm{card}} Y$ かつ $Y\equiv_{\mathrm{card}} Z$ ならば $X\equiv_{\mathrm{card}} Z$ である。

これらは定義に基づき書き直せば以下のようになる。
# '''反射律'''　任意の集合 $X$ に対し、全単射 $f\colon X\to X$ が存在する。
# '''対称律'''　任意の集合 $X,Y$ に対し、全単射 $f\colon X\to Y$ が存在するならば全単射$g\colon Y\to X$ も存在する。
# '''推移律'''　任意の集合 $X,Y,Z$ に対し、全単射 $f\colon X\to Y$が存在しかつ全単射 $g\colon Y\to Z$ が存在するならば全単射 $h\colon X \to Z$ も存在する。

反射律は $f:=\mathrm{id}_X$ とすれば良く、対称律は $g:=f^{-1}$ とすれば良く推移律は $h:=g\circ f$ とすれば成り立つことがすぐ分かるであろう。

よって $\equiv_{\mathrm{card}}$ は同値関係であることが分かる。同値関係であるということは、集合全体を $\equiv_{\mathrm{card}}$ で割ることができ、$X$ の同値類 $[X]_{\equiv_{\mathrm{card}}}$ を考えることができる。この同値類 $[X]_{\equiv_{\mathrm{card}}}$ を $X$ の'''濃度''' (cardinality) といい、$\mathrm{card}(X),\#X,|X|$ などと表す。また濃度の全体を $\mathrm{Card}$ とする。

== 濃度の順序 ==
$\mathrm{Card}$ の元 $[X]_{\equiv_{\mathrm{card}}},[Y]_{\equiv_{\mathrm{card}}}$ に対して二項関係 $[X]_{\equiv_{\mathrm{card}}}\leq [Y]_{\equiv_{\mathrm{card}}}$ を単射 $f\colon X\to Y$ が存在することと定義する。これはwell-definedである、すなわち以下が成り立つ。
* $[X_0]_{\equiv_{\mathrm{card}}}=[Y_0]_{\equiv_{\mathrm{card}}}$ かつ $[X_1]_{\equiv_{\mathrm{card}}}=[Y_1]_{\equiv_{\mathrm{card}}}$ かつ $[X_0]_{\equiv_{\mathrm{card}}}\leq [X_1]_{\equiv_{\mathrm{card}}}$ ならば $[Y_0]_{\equiv_{\mathrm{card}}}\leq [Y_1]_{\equiv_{\mathrm{card}}}$ である。

これを定義に基づいて書き直せば以下の用になる。
* 全単射 $f_0\colon X_0\to Y_0$ と、全単射 $f_1\colon X_1\to Y_1$ と単射 $g_X\colon X_0\to X_1$ が存在するとき、単射 $g_Y\colon Y_0\to Y_1$ も存在する。

これは $g_Y:=f_0^{-1}\circ g_X\circ f_1$ とすれば成り立つことが分かるであろう。

また $\leq$ は $\mathrm{Card}$ 上で[[全順序]]になる。すなわち以下が成り立つ。
* '''反射律'''　任意の $[X]_{\equiv_{\mathrm{card}}}\in\mathrm{Card}$ に対し、 $[X]_{\equiv_{\mathrm{card}}}\leq [X]_{\equiv_{\mathrm{card}}}$ である。
* '''全域律'''　任意の $[X]_{\equiv_{\mathrm{card}}},[Y]_{\equiv_{\mathrm{card}}}\in\mathrm{Card}$ に対し、$[X]_{\equiv_{\mathrm{card}}}\leq [Y]_{\equiv_{\mathrm{card}}}$ または $[Y]_{\equiv_{\mathrm{card}}}\leq [X]_{\equiv_{\mathrm{card}}}$ である。
* '''反対称律'''　任意の $[X]_{\equiv_{\mathrm{card}}},[Y]_{\equiv_{\mathrm{card}}}\in\mathrm{Card}$ に対し、$[X]_{\equiv_{\mathrm{card}}}\leq [Y]_{\equiv_{\mathrm{card}}}$ かつ$[Y]_{\equiv_{\mathrm{card}}}\leq [X]_{\equiv_{\mathrm{card}}}$ であるならば $[X]_{\equiv_{\mathrm{card}}}= [Y]_{\equiv_{\mathrm{card}}}$ である。
* '''推移律'''　任意の $[X]_{\equiv_{\mathrm{card}}},[Y]_{\equiv_{\mathrm{card}}},[Z]_{\equiv_{\mathrm{card}}}\in\mathrm{Card}$ に対し、$[X]_{\equiv_{\mathrm{card}}}\leq [Y]_{\equiv_{\mathrm{card}}}$ かつ $[Y]_{\equiv_{\mathrm{card}}}\leq [Z]_{\equiv_{\mathrm{card}}}$ ならば $[X]_{\equiv_{\mathrm{card}}}\leq [Z]_{\equiv_{\mathrm{card}}}$ である。

特に濃度に対する反対称律を[[Cantor–Bernstein–Schröderの定理]]という。

またもっと言えば濃度の順序は[[整列順序]]になっている。よって任意の濃度からなる集合 $X$ に対し最小元 $\min X$ が存在する。

== 濃度の演算 ==
$I$ を添字集合とし $\{[X_i]_{\equiv_{\mathrm{card}}}\}_{i\in I}$ を濃度の族とする。また $\sum_{i\in I}X_i,\prod_{i\in I}X_i$ を集合の直和、直積とする。このとき濃度の和 $\sum_{i\in I}[X_i]_{\equiv_{\mathrm{card}}}$ と濃度の積 $\prod_{i\in I}[X_i]_{\equiv_{\mathrm{card}}}$ を以下のように定める。
* $\sum_{i\in I}[X_i]_{\equiv_{\mathrm{card}}}:=[\sum_{i\in I}X_i]_{\equiv_{\mathrm{card}}}$ 。
* $\prod_{i\in I}[X_i]_{\equiv_{\mathrm{card}}}:=[\prod_{i\in I}X_i]_{\equiv_{\mathrm{card}}}$ 。

また濃度 $[X]_{\equiv_{\mathrm{card}}},[Y]_{\equiv_{\mathrm{card}}}$ に対して冪 ${[X]_{\equiv_{\mathrm{card}}}}^{[Y]_{\equiv_{\mathrm{card}}}}$ を以下のように定める。
* ${[X]_{\equiv_{\mathrm{card}}}}^{[Y]_{\equiv_{\mathrm{card}}}}:=[X^Y]_{\equiv_{\mathrm{card}}}$ 。

ここで $X^Y$ は $Y$ から $X$ への写像全体の集合である。

これらの演算は代表元の選択に依存しないためwell-definedである。

$I$ が有限集合で、ある $i$ に対して $X_i$ が無限集合であるとき
$$\sum_{i\in I}[X_i]_{\equiv_{\mathrm{card}}}=\prod_{i\in I}[X_i]_{\equiv_{\mathrm{card}}}=\max_{i\in_I}[X_i]_{\equiv_{\mathrm{card}}}$$ が成り立つ。また全ての $i$ に対して $X_i$ が有限集合であるとき、濃度は要素の数の和、積と一致する。

以下のような不等式も知られている。

* [[Cantorの定理]]　$Y$ の濃度は $2:=\{0,1\}$ 以上とする。このとき任意の集合 $X$ に対して $[X]_{\equiv_{\mathrm{card}}}<[Y^X]_{\equiv_{\mathrm{card}}}$ である。特に $[X]_{\equiv_{\mathrm{card}}}<[\mathcal{P}(X)]_{\equiv_{\mathrm{card}}}$ である。
* [[Kőnigの定理]] 各 $i\in I$ に対し $[X_i]_{\equiv_{\mathrm{card}}}<[Y_i]_{\equiv_{\mathrm{card}}}$ とする。このとき $\sum_{i\in I}[X_i]_{\equiv_{\mathrm{card}}}<\prod_{i\in I} [Y_i]_{\equiv_{\mathrm{card}}}$ である。

== 具体的な濃度 ==

* $\mathbb{N}$ の濃度を'''可算濃度''' といい $\aleph_0$ と表す。また $\aleph_n$ より大きい最小の濃度を $\aleph_{n+1}$ とする。また可算濃度を持つ集合を可算無限集合という((単に可算集合というと、有限集合も含むことがある。この記事に於いてはたかだか可算と可算無限のように使い分けることにする))。
* $\mathbb{R}$ の濃度を'''連続体濃度''' といい $\aleph$ や $\mathfrak{c}$ と表す。

可算濃度を持つ集合の例を挙げる。
* $\mathbb{Z},\mathbb{Q}$ 。
* 代数的数全体 $\bar{\mathbb{Q}}$ 。
* 自然数の有限列全体 $\mathbb{N}^{<\omega}$ 。

$\aleph_1$ を濃度として持つ集合の例を挙げる。
* たかだか可算な順序数全体。
* $\mathbb{Q}$ 上の通常の順序で整列されるような集合を $W$ とし順序同型関係を $\equiv$ としたとき $W/{\equiv}$ の濃度。
* $\mathbb{R}$ 上の通常の順序で整列されるような集合を $W$ とし順序同型関係を $\equiv$ としたとき $W/{\equiv}$ の濃度。
* 可算全順序の双埋め込み可能性による同値類
* 可算アーベル$p$-群の双埋め込み可能性による同値類。

* [[長い直線]]

連続体濃度を持つ集合の例を挙げる。
* [[超越数]] 全体 $\mathbb{R}\setminus\bar{\mathbb{Q}}$ 。
* 複素数全体 $\mathbb{C}$ 。
* $\mathcal{P}(\mathbb{N})$ 。
* $\mathbb{N}^\mathbb{N}$ 。
* 実数の可算列全体 $\mathbb{R}^\mathbb{N}$ 。
* $\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ の連続関数全体。
* [[Euclid空間]] $\mathbb{R}^n$ の開集合全体。

$2^\aleph$ を濃度として持つ集合の例を挙げる。
* $\mathcal{P}(\mathbb{R})$ 。
* $\mathbb{R}^\mathbb{R}$ 。
* [[Sorgenfrey直線]] $S$ に対して $S^2$ の開集合全体。

== 連続体仮説 ==
さてCantorは以下の'''連続体仮説''' (continuum hypothesis $\mathsf{CH}$) という問題を提示した。
* $\aleph_0$ と $\aleph$ の中間の濃度、すなわち $\aleph_0<\kappa<\aleph$ となるような濃度 $\kappa$ は存在しない。<ref group="脚注">選択公理の上で同値な命題である'''アレフ仮説''' (aleph hypothesis) $\aleph_1=\aleph$ と定式化されることも多い</ref>。

連続体仮説はGödelとCohenらによって一般的な集合論の公理系 $\mathsf{ZFC}$ では証明も反証もできないことが知られている。

== 濃度の正確な扱いについて ==
上記で述べた濃度の定義は集合論 $\mathsf{ZFC}$ に於いてはill-definedである。まず集合全体は集合ではないし、全単射が存在する二つの集合の組全体も集合ではなく、同じ濃度であるという論理式 $\equiv_\mathrm{card}$ も二項関係ではない。ill-definedであることは以下のように分かる。集合全体を $V$ とし、これが集合だとすると冪集合 $\mathcal{P}(V)$ が存在し $\mathcal{P}(V)$ の元はすべて集合であり $\mathcal{P}(V)\subseteq V$ あるわけだが、これは[[Cantorの定理]]に矛盾する。また $\{(x,x)\mid x\in V\}$ は「全単射が存在する二つの集合の組全体」の部分クラスになっており $V$ からの単射が存在するので真のクラスとなる。
よって以下では濃度を正確に扱う方法をいくつか考えよう。一つ目に挙げる方法は前提知識なく理解できるであろうが、二つ目以降は[[順序数]]や[[累積階層]]、[[数理論理学の概要|数理論理学]]などの知識を必要とする。

=== 濃度を直接定義せず、間接的に扱う。 ===
集合 $X$ に対して $\mathrm{card}(X)$ というものを定義せず、
$\mathrm{card}(X)=\mathrm{card}(Y)$ を全単射 $f\colon X\to Y$ が存在することの略記、$\mathrm{card}(X)\leq \mathrm{card}(Y)$ を単射 $f\colon X\to Y$ が存在することの略記として扱うという手法である。この手法のメリットとして使う道具立てが少ないということが挙げられる。

=== 濃度をある種の順序数として定義する。 ===
濃度は直観的には同値類として上では扱っていたが、同値類は存在しないがその代表元に相当するものが実は取ることができる。順序数 $\kappa$ が'''基数''' (cardinal) であるとは $\kappa$ 未満の順序数から $\kappa$ への全単射が存在しないことを言う。この基数が「集合全体を全単射で割った商集合の完全代表系」の役割を果たす。$X$ の濃度 $\mathrm{card}(X)$ を $X$ から全単射の存在する最小の[[順序数]]と定めよう。このような順序数の存在は $\mathsf{ZFC}$ で示せて、これは基数となる。このアプローチは公理的集合論に於いて一般的なものである。しかしこの定義は選択公理に依存する。なぜなら集合から順序数への全単射の存在は、集合の整列可能性を要求しているに他ならないからである。

=== Scottの絡繰を用いる方法 ===
このアプローチは同値類の定義を見直すことで真のクラスに対して定義できるようにする、というアプローチである。階数 $\mathrm{rank}(x):=\sup\{\mathrm{rank}(y)+1\mid y\in x\}$ と定めて、クラスに対しその元の階数に於いて最小のもののみを集めたものを考える。
真のクラス $C$ に対し $$\hat{C}:=\{x\in C\mid (\forall y)[\mathrm{rank}(x)\leq\mathrm{rank}(y)]\}$$ は常に非空な集合となり、これを'''Scottの絡繰''' (Scott's trick) という。集合であることは、任意の $x\in C$ に対し $\mathrm{rank}(x)=\alpha$ であることと $x\in V_{\alpha+1}$ であることが同値であることによる。ここで $V_\alpha$ は[[累積階層]] と呼ばれ、$\alpha$ に対する超限再帰で $V_\alpha:=\bigcup_{\xi<\alpha}\mathcal{P}(V_\xi)$ と定義される''集合''である。

真のクラス　$C$ 上の同値関係 $\equiv$ に対して、同値類 $[x]_\equiv$ を
$$[x]_\equiv:=\{y\mid y\equiv x\land(\forall z\in C)[z\equiv x\to\mathrm{rank}(y)\leq\mathrm{rank}(z)]\}$$ とすればこれは集合である。。よってこの同値類の定義にて $\mathrm{card}(x):=[x]_{\equiv_{\mathrm{card}}}$ とすれば良い。このアプローチでは選択公理によらずに全ての集合に対して濃度が定義できるというメリットがある。

=== クラスを扱えるような集合論を用いる方法 ===
クラスを対称として扱える[[Neumann–Bernays–Gödel集合論]]に[[大域選択公理]] $\mathsf{AGC}$ を加えた公理 $\mathsf{NBGC}$ などではクラス上の同値類 $[x]_{\equiv_{\mathrm{card}}}$ がそのままクラスとして存在する<ref group="脚注">大域選択公理は $[x]_{\equiv_{\mathrm{card}}}$ の存在には必要がないが、$\mathsf{ZFC}$ で証明可能な定理が $\mathsf{NBGC}$ でも証明可能であることには必要となる。</ref>。よってこれを濃度の定義としてしまえば良い。また $\mathsf{NBGC}$ は $\mathsf{ZFC}$ の保存的拡大である。すなわち $\mathsf{ZFC}$ の言語で書かれた命題は、証明の際に $\mathsf{NBGC}$ にて定義される濃度を用いたとしても $\mathsf{ZFC}$ で証明可能であることが言える。つまり濃度の議論を用いて示した $\mathsf{ZFC}$ の言語での定理は $\mathsf{ZFC}$ で証明可能であることが言える。しかしこの定義だと濃度自体は $\mathsf{ZFC}$ の言語で記述できないため、濃度を含む定理が $\mathsf{NBGC}$ で証明可能だとしても、それが $\mathsf{ZFC}$ で証明可能であることをただちには導かない。$\mathsf{ZFC}$ の定理であることを導くためには $\mathsf{NBGC}$ での定義が上で挙げた他の $\mathsf{ZFC}$ に於ける定義と同値であることを証明しないとならない。
== 脚注 ==
<references group="脚注"/>
== 参考文献 ==
* T. Jech Set theory. Springer Science & Business Media, 2013.
* Barwise, Jon, and Paul Eklof. "Infinitary properties of abelian torsion groups." Annals of Mathematical Logic 2.1 (1970): 25-68.
* Laver, Richard. "On Fraïssé's order type conjecture." Annals of Mathematics (1971): 89-111.

== 集合論の初歩 ==

[[論理と命題]] / [[集合の基本的な用語、集合の演算]] / [[全称記号と存在記号]] / [[写像、像、逆像、写像のグラフ]] / [[写像の合成、写像の拡大と制限]] / [[選択公理について]] / [[単射、全射、全単射、逆写像]] / [[部分集合族、べき集合]] / （ [[演算と代数構造]] ） / （ [[関係、同値関係、商集合]] ） / （ [[初歩的な順序集合]] ） / （ [[Zornの補題]] ） / （集合の濃度）

== 関連項目 ==
*[[集合論]]

数理論理学の基礎：等式論理

2022-01-16T17:06:19Z

Alwe: /* 2.3 代数構造の理論 */

[[Category:数理論理学|トウシキロンリ]]
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{{begin |preamble }}


$
\newcommand{\Pow}[1]{\mathcal{P}(#1)}
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$

$\newcommand{\name}[1]{\underline{#1}}$

$
\newcommand{\blank}{ {-} }
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{{newtheorem |type=theorem |display=定理 |counter=0 }}
{{newtheorem |type=lemma |display=補題 |family=theorem }}
{{newtheorem |type=definition |display=定義 |family=theorem }}
{{newtheorem |type=proposition |display=命題 |family=theorem }}
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{{newtheorem |type=notation |display=表記 |family=theorem }}
{{end |preamble }}
== 2. 等式論理 ==

'''等式論理''' (equational logic) は先程までの命題論理とは異なり命題同士の関係ではなく命題の中身、特に $s=t$ という形をした等式による命題に注目する論理である。。
等式論理に対しても命題論理と同様に統語論、意味論を考える。命題論理と同様に形式的証明と、命題論理での真理値に対応する'''モデル''' (model) というのを紹介する。

形式的証明は等式の以下に上げる基本的な性質による書き換え操作によって得られる。

# '''反射律''' (reflexivity) $s=s$ である。
# '''対称律''' (symmetricity) $s=t$ ならば $t=s$ である。
# '''推移律''' (transitivity) $s=t$ かつ $t=r$ ならば $s=r$ である。
# '''代入''' (substitution) $s(u)=t(u)$ ならば $s(r)=t(r)$ である。
# '''関数との両立''' (compatibility with functions) 任意の $i<n+1$ に対して $s_i=t_i$ ならば $f(s_0,\ldots,s_n)=f(t_0,\ldots,t_n)$ である。

一方、モデルによる意味論はある種の数学的な'''代数構造''' (algebraic structure) を用いて定義される。具体的には構造が与えられたとき、その構造で満たされることを真と見做す。ここで構造というのは'''台集合''' (underlying set) とその上の関数からなる組のことである。

=== 2.1 等式論理の統語論 ===

{{theorem |type=definition |name=等式論理の記号 |label=symbols-of-equational-logic }}
等式論理の'''論理記号''' (logical symbol) は以下からなる。
* '''変数記号''' (variable symbol) $u,v,w,\ldots$ 。
* '''等号記号''' (equality symbol) $=$ 。
* '''括弧''' (brackets) $(,).$ 及び'''カンマ''' (comma) $,$ 。

変数記号の集合を $\mathrm{EqVar}$ とし、変数記号は無限個あることを仮定する。

{{theorem |type=definition |name=等式論理の代数言語 |label=algebraic-languages-of-equational-logic }}

'''代数言語''' (algebraic language) は'''関数記号''' (function symbol) からなる集合で各関数記号には'''項数''' (arity) という自然数が割り当てられているとする。

また特に項数が $0$ である関数記号を'''定数記号''' (constant symbol) という。言語の元を'''非論理記号''' (non-logical symbol) という。関数記号は有限個でも無限個あっても良い。

便宜上、代数言語を集合ではなく組として扱うこともある。

{{theorem |type=example |name=代数言語の例 |label=example-of-algebraic-languages-of-equational-logic }}
代数言語の例をいくつかあげる。
* 集合の言語 $\mathscr{L}_\mathsf{Set}:=\emptyset$ 。
* 群の言語 $\mathscr{L}_\mathsf{Grp}:=\{\mathtt{1},\mathrel{\hat{\cdot}},{-}^{\hat{-1}}\}$ 。項数は順に $0,2,1$ 。
* 環の言語 $\mathscr{L}_\mathsf{Ring}:=\{\mathtt{0},\mathtt{1},\mathrel{\hat{+}},\mathrel{\hat{-}},\mathrel{\hat{\cdot}}\}$ 。項数は順に $0,0,2,1,2$ 。
* 束の言語 $\mathscr{L}_\mathsf{Lat}:=\{\hat{\top},\hat{\bot},\mathrel{\hat{\land}},\mathrel{\hat{\lor}}\}$ 。項数は順に $0,0,2,2$ 。
* Boole代数の言語 $\mathscr{L}_\mathsf{BA}:=\{\hat{\top},\hat{\bot},\mathrel{\hat{\land}},\mathrel{\hat{\lor}},\mathrel{\hat{\lnot}}\}$ 。項数は順に $0,0,2,2,1$ 。
* $\mathcal{A}=\langle|\mathcal{A}|;0,1,+,-,\cdot\rangle$ を可換環としたとき $\mathcal{A}$-加群の言語は $\mathscr{L}_{\mathsf{Mod}_\mathcal{A}}:=\mathscr{L}_\mathsf{Grp}\cup\{\hat{a}\mid a\in|\mathcal{A}|\}$ とする。$\hat{a}$ の項数は全て $1$ である。

{{theorem |type=definition |name=等式論理の項 |label=terms-of-equational-logic}}

$\mathscr{L}$ を代数言語とする。このとき '''$\mathscr{L}$-項''' ($\mathscr{L}$-term) は以下のように帰納的に定義される文字列である。
# 変数 $u,v,w,\ldots$ は $\mathscr{L}$-項である。
# 関数記号 $\mathtt{f}$ に対し、その項数が $n$ であるとき、$\mathscr{L}$-項 $t_0,\ldots,t_{n-1}$ に対して $\mathtt{f}(t_0,\ldots,t_n)$ は$\mathscr{L}$-項である。

特に定数記号は $\mathscr{L}$-項であることに注意しよう。$\mathscr{L}$-項の集合を $\mathrm{EqTm}_\mathscr{L}$ と表す。

項数が $2$ の関数記号 $\mathtt{f}$ に対して $\mathtt{f}(s,t)$ の代わりに $s\mathrel{\mathtt{f}} t$ と'''中置記法''' (infix notation) で表し、適当に括弧を補うことがある<ref group="脚注">中置記法に対し、$\mathtt{f}(s,t)$ あるいは括弧などを省略し $\mathtt{f}st$ という記法を '''前置記法''' (prefix notation) あるいは'''ポーランド記法''' (Poland notation) といい、逆に $st\mathtt{f}$ という記法を'''後置記法''' (postfix notation) あるいは'''逆ポーランド記法''' (reverse Poland notation) という。</ref>。

{{theorem |type=definition |name=$\mathscr{L}$-項の例 |label=example-of-terms-of-equational-logic}}

項の例をいくつかあげる。
* $(u\mathrel{\hat{\cdot}}\mathtt{1})^{\hat{-1}},\mathtt{1}\mathrel{\hat{\cdot}}v$ は $\mathscr{L}_\mathsf{Grp}$-項である。
* $(\mathtt{1}\mathrel{\hat{+}}\mathtt{1})\mathrel{\hat{\cdot}} (\mathrel{\hat{-}}\mathtt{0}),(u\mathrel{\hat{+}}\mathtt{1})\mathrel{\hat{\cdot}}((\mathrel{\hat{-}}\mathtt{0})\mathrel{\hat{\cdot}}v)$ は $\mathscr{L}_\mathsf{Ring}$-項である。
* $u\mathrel{\hat{\land}} (v\mathrel{\hat{\lor}}w),(\hat{\top}\mathrel{\hat{\land}}u)\mathrel{\hat{\lor}}\hat{\bot}$ は $\mathscr{L}_\mathsf{Lat}$-項である。
* $u\mathrel{\hat{\land}}(\mathrel{\hat{\lnot}} v),(\mathrel{\hat{\lnot}}\hat{\top})\mathrel{\hat{\land}}\hat{\bot}$ は $\mathscr{L}_\mathsf{BA}$-項である。

{{theorem |type=definition |name=等式論理の論理式 |label=formulae-of-equational-logic}}
$\mathscr{L}$ を代数言語とする。このとき '''$\mathscr{L}$-論理式''' ($\mathscr{L}$-formula) は以下のように定義される文字列である。
# $\mathscr{L}$-項 $s,t$ に対して $s=t$ は$\mathscr{L}$-論理式である。
$\mathscr{L}$-論理式の集合を $\mathrm{EqFml}_\mathscr{L}$ と表す。

また等式論理の論理式を'''原子論理式''' (atomic formula) と呼ぶこともある。

{{theorem |type=definition |name=項の出現 |label=occurrence-of-terms}}

$\mathscr{L}$-項 $s$ が $\mathscr{L}$-項 $t$ に'''出現する''' (occur) あるいは単に'''現れる'''ということを $\mathscr{L}$-項 $t$ の定義に沿って帰納的に定義する。

# 変数 $u$ に対して $s$ が $u$ であるとき $u$ に $s$ が現れている。
# $\mathscr{L}$-項 $f(t_0,\ldots,t_{n-1})$ に対して、ある $i<n$ が存在し $t_i$ に $s$ が現れているか、または $s$ が $f(t_0,\ldots,t_{n-1})$ であるとき、$s$ が $f(t_0,\ldots,t_{n-1})$ に現れている。

また$\mathscr{L}$-項 $s$ が $\mathscr{L}$-論理式 $\varphi$ に現れるということを定義する。
# $t=r$ に $\mathscr{L}$-項 $s$ が現れるのは $t$ か $r$ のいずれかに現れるときである。

$\mathscr{L}$-項 $t$ に $s_0,\ldots,s_n$ が現れているとき $t(s_0,\ldots,s_n)$ などど表す。

{{theorem |type=definition |name=項の代入 |label=substitution-of-terms}}

$\mathscr{L}$-項 $s,t$ 、変数 $u$ に対して $s$ に現れる $u$ に $t$ を'''代入''' (substitution) した結果 $s[u:=t]$ を $s$ の定義に沿って帰納的に定義する。
# $s$ に $u$ が現れていないとき $s[u:=t]$ は $s$ である。
# $u[u:=t]$ を $t$ のこととする。
# $\mathtt{f}(t_0,\ldots,t_{n-1})[u:=t]$ を　$\mathtt{f}(t_0[u:=t],\ldots,t_{n-1}[u:=t])$　のこととする。

また $\mathscr{L}$-論理式 $\varphi$ 、 $\mathscr{L}$-項 $t$ 、変数 $u$ に対して $\varphi$ に現れる $u$ に $t$ を'''代入''' (substitution) した結果 $\varphi[u:=t]$ を定義する。
# $\varphi$ に $u$ が現れていないとき $\varphi[u:=t]$ は $\varphi$ である。
# $(s=r)[u:=t]$ を $s[u:=t]=t[u:=t]$ のこととする。

また $s(u)$ に対して $s(u)[u:=t]$ を単に $s(t)$ と表す。

{{theorem |type=notation |name=省略記法 |label=abbreviation}}

$\mathscr{L}$-項、$\mathscr{L}$-論理式などの「$\mathscr{L}$-」という接頭辞は、どの言語を指しているか明らかなとき、あるいは言語に拠らない議論をするとき省略する。

また命題論理と同様に以下の記法を用いる。

* 論理式の集合 $T$ を '''公理系''' (axiomatic system, axioms, axiomata) 、'''等式理論''' (equational theory) 、あるいは単に'''理論''' (theory) という。
* 理論 $T$ と論理式 $\varphi$ に対して $T+\varphi$ で $T\cup\{\varphi\}$ を表す。

=== 2.2 等式論理のモデル ===

{{theorem |type=definition |name=代数構造 |label=algebraic-structure}}

$\mathscr{L}$ を言語とする。このとき '''$\mathscr{L}$-代数構造''' ($\mathscr{L}$-algebraic structure) $\mathcal{M}$ は'''領域''' (domain) あるいは'''宇宙''' (universe) 、'''台集合''' (underlying set) と言われる空でない<ref group="脚注">空な構造を認める流儀も存在する。特に'''圏論的論理学''' (categorical logic) の文脈では、空な構造を認めた方が都合が良い場合が多い。構造からなる圏、あるいは後述するモデルからなる圏に始対象が存在しないと都合が悪い場合が多いからである。例えば後述する等式理論の項モデルの構成と類似の議論をすることによって、等式理論、あるいはその項モデルの圏論的対応物となる圏、'''Lawvere理論''' (Lawvere theory) を得ることができ、モデルとはLawvere理論から集合と写像からなる圏 $\mathrm{Set}$ への有限直積を保つ関手と思うことができるが、このような議論は空なモデルが存在しない場合、面倒な例外処理を行わなければならなくなる。またtoo simple to be simpleの理念に従っても空なモデルは認めたほうが良いと思われる。しかし数理論理学に於いては空なモデルを認めない流儀が主流である。これは等式論理の範疇では問題にならないが、一階述語論理に於いては空なモデルを許容すると、(等号を含む)関係記号を言語として持つ場合、論理式 $\forall x\varphi(x)\to\exists x\varphi(x)$ は証明可能になるが、空なモデルで成り立たない。すなわち健全性定理が成り立たなくなるのが問題となる。</ref>集合 $M$ と以下に定義される'''$\mathscr{L}$-解釈''' ($\mathscr{L}$-interpretation) ${-}^\mathcal{M}$ の組 $\langle M;{-}^\mathcal{M}\rangle$ である。

$\mathscr{L}$-解釈 ${-}^\mathcal{M}$ は以下を満たす言語 $\mathscr{L}$ からの写像である。

* 関数記号 $\mathtt{f}\in\mathscr{L}$ に対して $\mathtt{f}$ の項数が $n$ であるとき、$\mathtt{f}^\mathcal{M}\colon M^n\to M$ である。

定数記号の解釈は一つの $M$ の要素を返す関数となる。よってその返す値と同一視することで定数記号 $\mathtt{c}$ に対して $\mathtt{c}^\mathcal{M}\in M$ と見做すことができることに注意する。このような同一視を今後断りなく行うことに注意する。

代数構造 $\mathcal{M}$ が与えられたとき、$|\mathcal{M}|$ を $\mathcal{M}$ の台集合を表すことにする。また数学の慣習に基づき構造 $\mathcal{M}$ とその台集合 $|\mathcal{M}|$ を誤解を与えない範囲で同一視する。例えば $a\in |\mathcal{M}|$ の代わりに $a\in\mathcal{M}$ と表すことがある。

また $\mathcal{M}=\langle M;{-}^\mathcal{M}\rangle$ と表す代わりに解釈後の関数、関係をリストし $\mathcal{M}=\langle M;\mathtt{f}_0^\mathcal{M},\ldots,\mathtt{f}_i^\mathcal{M}\rangle$ と表すことがある。

{{theorem |type=example |name=代数構造の例 |label=examples-of-algebraic-structures}}
任意の群 $\mathcal{G}:=\langle|\mathcal{G}|;e,\cdot,{-}^{-1}\rangle$ は $\mathtt{1}^\mathcal{G}:=e,\hat{\cdot}^\mathcal{G}:=\cdot,{{-}^{\hat{-1}}}^\mathcal{G}:={-}^{-1}$ と定めることで $\mathscr{L}_\mathsf{Grp}$-構造として見做すことができる。しかし、別に群でなくても $a\in A,f\colon A^2\to A,g\colon A\to A $ に対して $\langle A;a,f,g\rangle$ は同様に $\mathscr{L}_\mathsf{Grp}$-構造として見做すことができる。

{{theorem |type=definition |name=項の解釈 |label=interpretation-of-terms}}

$\mathscr{L}$-代数構造 $\mathcal{M}=\langle M;{-}^\mathcal{M}\rangle$ と $\mathscr{L}$-閉項 $t$ に対して $t^\mathcal{M}\in M$ を帰納的に定義する。

* $\mathtt{f}(t_0,\ldots,t_{n-1})$ に対して $(\mathtt{f}(t_0,\ldots,t_{n-1}))^\mathcal{M}$ を $\mathtt{f}^\mathcal{M}(t_0^\mathcal{M},\ldots,t_{n-1}^\mathcal{M})$ と定める。

{{theorem |type=definition |name=拡大と縮約 |label=expansion-and-reduct}}

言語 $\mathscr{L}\subseteq\mathscr{L}'$ とし、$\mathcal{M}$ を $\mathscr{L}$-代数構造とし、$\mathcal{M}'$ を $\mathscr{L}'$-代数構造とする。$|\mathcal{M}|=|\mathcal{M}'|$ とし、$\mathtt{f}\in\mathscr{L}$ に対し $\mathtt{f}^\mathcal{M}=\mathtt{f}^{\mathcal{M}'}$ が成り立つとする。このとき $\mathcal{M}'$ を $\mathcal{M}$ の'''拡大''' (expansion) といい、$\mathcal{M}$ を $\mathcal{M}'$ の'''縮約''' (reduct) という。

{{theorem |type=example |name=拡大と縮約の例 |label=expansion-and-reduct}}
任意の環 $\mathcal{R}=\langle|\mathcal{R}|;\mathtt{0}^\mathcal{R},\mathtt{1}^\mathcal{R},\hat{+}^\mathcal{R},\hat{-}^\mathcal{R},\hat{\cdot}^\mathcal{R}\rangle$ はその加法群 $\mathcal{R}^+=\langle|\mathcal{R}|;\mathtt{0}^\mathcal{R},\hat{+}^\mathcal{R},{-}^\mathcal{R}\rangle$ の拡張となる。ここで群の言語は $\{\mathtt{1},\hat{\cdot},{-}^{\hat{-1}}\}$ であったが記号を変えて $\{\mathtt{0},\hat{+},\hat{-}\}$ としても本質的になにも変わらない。実際、[[Abel群]]に対してはこのように書かれることが多い。
一方、加法群と違い、乗法群 $\mathcal{R}^\times=\langle|\mathcal{R}|\setminus\{\mathtt{0}^\mathcal{R}\};\mathtt{0}^\mathcal{R},\hat{+}^\mathcal{R},{-}^\mathcal{R}\rangle$ は領域がことなるため拡張にはならない。

{{theorem |type=definition |name=名前 |label=name}}

$\mathscr{L}$-代数構造 $\mathcal{M}$ に対して言語 $\mathscr{L}(\mathcal{M})$ と $\mathscr{L}(\mathcal{M})$-代数構造 $\mathcal{M}_\mathrm{par}$ を定義する。
* $\mathscr{L}(\mathcal{M})$ には $\mathscr{L}$ の元に加え、$a\in|\mathcal{M}|$ に対する定数記号 $\underline{a}$ を持つ。この定数記号 $\underline{a}$ を $a$ の ''名前''(name) や''パラメータ'' (parameter) という。名前を単に $a$ と表すこともある。
* $\mathcal{M}_\mathrm{par}$ は $\mathcal{M}$ の拡大であり、$\underline{a}^{\mathcal{M}_\mathrm{par}}:=a$ とする。

誤解を生じないとき $\mathcal{M}_\mathrm{par}$ を単に $\mathcal{M}$ と表す。

{{theorem |type=definition |name=充足可能性関係 |label=satisfiability-relation}}

$\mathscr{L}$-代数構造 $\mathcal{M}$ と $\mathscr{L}(\mathcal{M})$-論理式 $s(u_0,\ldots,u_{n-1})=t(v_0,\ldots,v_{m-1})$ に対し '''充足可能性関係''' (satisfiability relation) $\mathcal{M}\models s(u_0,\ldots,u_{n-1})=t(v_0,\ldots,v_{m-1})$ を定義する<ref group="脚注">充足可能性関係の定義には名前ではなく、'''割り当て''' (assignment) と呼ばれる、論理式に出現する変数記号から領域への写像を用いて、閉項に対して定義された解釈を割り当てを用いて閉項とは限らない項に拡張することで定義する流儀もある。</ref>。
ここで $s(u_0,\ldots,u_{n-1})=t(v_0,\ldots,v_{m-1})$ に現れる変数は $u_0,\ldots,u_{n-1},v_0,\ldots,v_{m-1}$ に限るとする。

#　$\mathcal{M}\models s(u_0,\ldots,u_{n-1})=t(v_0,\ldots,v_{m-1})$ となるのは任意の $a_0,\ldots,a_{n-1},b_0,\ldots,b_{m-1}\in |\mathcal{M}|$ に対して $(s(u_0,\ldots,u_{n-1})[u_0:=\underline{a_0}]\cdots[u_{n-1}:=\underline{a_{n-1}}])^{\mathcal{M}_\mathrm{par}}=(t(v_0,\ldots,v_{m-1})[v_0:=\underline{b_0}]\cdots[v_{m-1}:=\underline{b_{m-1}}])^{\mathcal{M}_\mathrm{par}})$ が成り立つことである。

ここで $\mathcal{M}\models s(u_0,\ldots,u_{n-1})=t(v_0,\ldots,v_{m-1})$ に含まれる $=$ は等号記号だが、$(s(u_0,\ldots,u_{n-1})[u_0:=\underline{a_0}]\cdots[u_{n-1}:=\underline{a_{n-1}}])^{\mathcal{M}_\mathrm{par}}=(t(v_0,\ldots,v_{m-1})[v_0:=\underline{b_0}]\cdots[v_{m-1}:=\underline{b_{m-1}}])^{\mathcal{M}_\mathrm{par}})$　に表れる $=$ は実際の等号であることに注意されたい。また $\models$ に対していくつかの用語を定める。

* $T$ を理論とし、任意の $\varphi\in T$ に対して $\mathcal{M}\models\varphi$ となっているとする。このとき $\mathcal{M}$ を $T$ の'''モデル''' (model) であるといい、$\mathcal{M}\models\varphi$ と表す。
* $T$ の任意のモデル $\mathcal{M}$ に対して $\mathcal{M}\models\varphi$ であるとき $\varphi$ は $T$ からの'''論理的帰結''' (logical consequence) であるといい、$T\models \varphi$ と表す。

{{theorem |type=example |name=モデルの例 |label=examples-of-models}}
$\mathscr{L}_\mathsf{Grp}$-理論 $\mathsf{Grp}$ を以下の論理式からなるものとする。
* $u\mathrel{\hat{\cdot}}(v\mathrel{\hat{\cdot}}w)=(u\mathrel{\hat{\cdot}}v)\mathrel{\hat{\cdot}}w$ 。
* $u\mathrel{\hat{\cdot}}\mathtt{0}=u$ 。
* $u\mathrel{\hat{\cdot}}(u^{\hat{-1}})=\mathtt{0}$ 。

$\mathsf{Grp}$ のモデルは群そのものである。

$\mathscr{L}_\mathsf{Ring}$-理論 $\mathsf{Ring}$ を以下の論理式からなるものとする。

* $u\mathrel{\hat{+}}(v\mathrel{\hat{+}}w)=(u\mathrel{\hat{+}}v)\mathrel{\hat{+}}w$ 。
* $u\mathrel{\hat{+}}\mathtt{0}=u$ 。
* $u\mathrel{\hat{+}}(\mathrel{\hat{-}}u)=\mathtt{0}$ 。
* $u\mathrel{\hat{+}}v=v\mathrel{\hat{+}}u$ 。
* $u\mathrel{\hat{\cdot}} (v\mathrel{\hat{\cdot}} w)=(u\mathrel{\hat{\cdot}} v)\mathrel{\hat{\cdot}} w$ 。
* $u\mathrel{\hat{\cdot}} (v\mathrel{\hat{+}}w)=(u\mathrel{\hat{\cdot}} v)\mathrel{\hat{+}}(u\mathrel{\hat{\cdot}} w)$ 。
* $u\mathrel{\hat{\cdot}}\mathtt{1}=u$ 。

$\mathsf{Ring}$ のモデルも同様に環である。

言語 $\mathscr{L}_{\mathsf{Mod}_\mathcal{A}}$ 上の理論 $\mathsf{Mod}_\mathcal{A}$ は[[アーベル群]]の公理と任意の $a,b\in |\mathcal{A}|$ に対して以下の論理式からなるものとする。

* $\hat{a}(x\mathrel{\hat{+}}y)=\hat{a}(x)\mathrel{\hat{+}}\hat{a}(y)$ 。
* $\widehat{a\mathrel{+_\mathcal{A}}b}(x)=\hat{a}(x)\mathrel{\hat{+}}\hat{b}(x)$ 。
* $\widehat{a\mathrel{\cdot_\mathcal{A}} b}(x)=\hat{a}(\hat{b}(x))$ 。
* $\widehat{1_{\mathcal{A}}}(x)=x$

言語 $\mathscr{L}_\mathsf{Set}$ 上の理論 $\emptyset$ のモデルは空でない集合 $X$ に対して $\langle X\rangle$ という形をした構造である。これは空でない集合と同一視できる。

言語 $\mathscr{L}_\mathsf{SGrp}:=\{\hat{\cdot}\}$ とし、理論 $\mathsf{SGrp}$ を

* $u\mathrel{\hat{\cdot}}(v\mathrel{\hat{\cdot}}w)=(u\mathrel{\hat{\cdot}}v)\mathrel{\hat{\cdot}}w$ 。

とする。このとき理論 $\mathsf{SGrp}$ のモデルは空でない半群全体となる。

=== 2.3 代数構造の理論 ===
{{theorem |type=definition |name=準同型、同型 |label=homomorphism-and-isomorphism}}

$\mathscr{L}$-代数構造 $\mathcal{M},\mathcal{N}$ に対して $\sigma\colon|\mathcal{M}|\to|\mathcal{N}|$ が'''準同型射''' (homomorphism) であるとは、任意の $\mathtt{f}\in\mathscr{L}$ 、$a_0,\ldots,a_{n-1}\in|\mathcal{M}|$ に対し $\sigma(\mathtt{f}^\mathcal{M}(a_0,\ldots,a_{n-1}))=\mathtt{f}^\mathcal{N}(\sigma(a_0),\ldots,\sigma(a_{n-1}))$ が成り立つことである。すなわち、以下の図式を可換にするような写像である。

また準同型 $\sigma\colon|\mathcal{M}|\to|\mathcal{N}|,\tau\colon|\mathcal{N}|\to|\mathcal{M}|$ が存在し $\tau\circ\sigma =\mathrm{id}_\mathcal{M},\sigma\circ\tau =\mathrm{id}_\mathcal{N}$ となるとき $\mathcal{M}$ と $\mathcal{N}$ は'''同型''' (isomorphic))であるといい $\mathcal{M}\cong\mathcal{N}$ と表し、$\sigma,\tau$ を'''同型射''' (isomorphism) であるという。
ここで $\mathrm{id}_\mathcal{M}\colon|\mathcal{M}|\to|\mathcal{M}|,\mathrm{id}_\mathcal{M}(a)=a,\mathrm{id}_\mathcal{N}\colon|\mathcal{N}|\to|\mathcal{N}|,\mathrm{id}_\mathcal{N}(b)=b$ とする。

{{theorem |type=definition |name=部分代数 |label=subalgebra}}

$\mathscr{L}$-代数構造 $\mathcal{M},\mathcal{N}$ に対して、$\mathcal{N}$ が $\mathcal{M}$ の'''部分代数''' (subalgebra) であるとは $|\mathcal{N}|\subseteq|\mathcal{M}|$ かつ、任意の $\mathtt{f}\in\mathscr{L}$ 、任意の $b_0,\ldots,b_{n-1}\in|\mathcal{N}|$ に対し $\mathtt{f}^\mathcal{N}(b_0,\ldots,b_{n-1})=\mathtt{f}^\mathcal{M}(b_0,\ldots,b_{n-1})$ を満たすことである。

{{theorem |type=definition |name=直積代数 |label=direct-product-of-algebra}}
$\{\mathcal{M}_{i\in I}\}$ を $I$ によって添字付けられた $\mathscr{L}$-代数構造の族とする。$\{\mathcal{M}_{i\in I}\}$ の'''直積''' (direct product) 、$\prod_{i\in I}\mathcal{M}_i$ は以下のように定義される $\mathscr{L}$-代数構造である。
# 台集合は台集合の直積とする。すなわち $|\prod_{i\in I}\mathcal{M}_i|:=\prod_{i\in I}|\mathcal{M}_i|$ とする。
# $n$-変数関数記号 $\mathtt{f}\in\mathscr{L}$ に対して $\mathtt{f}^{\prod_{i\in I}\mathcal{M}_i}\colon\left(\prod_{i\in I}\mathcal{M}_i\right)^n\to\prod_{i\in I}\mathcal{M}_i$ を $\mathtt{f}^{\prod_{i\in I}\mathcal{M}_i}(a_0,\ldots,a_{n-1}):=\lambda i\in I.\mathtt{f}^{\mathcal{M}_i}(a_0(i),\ldots,a_{n-1}(i))$ とする。ここで $\lambda i\in I.\mathtt{f}^{\mathcal{M}_i}(a_0(i),\ldots,a_{n-1}(i))$ は $i\mapsto\mathtt{f}^{\mathcal{M}_i}(a_0(i),\ldots,a_{n-1}(i))$ となる写像を表すものとする。

==== 命題2.3.3（代数構造の同型に対する必要十分条件） ====

$\mathcal{M}\cong\mathcal{N}$ であるのは全単射準同型 $\upsilon\colon\mathcal{M}\to\mathcal{N}$ が存在するときであり、またそれに限る。

''証明''　$\mathcal{M}\cong\mathcal{N}$ であると仮定する。仮定より準同型 $\sigma\colon\mathcal{M}\to\mathcal{N},\tau\colon\mathcal{N}\to\mathcal{M}$ で $\sigma\circ\tau,\tau\circ\sigma$ が恒等となるものを取る。$\sigma,\tau$ は互いに逆写像であり、よって全単射である。

逆を示す。$\upsilon\circ\upsilon^{-1},\upsilon^{-1}\circ\upsilon$ が恒等になるのは明らかである。よって $\upsilon^{-1}\colon\mathcal{N}\to\mathcal{M}$ が準同型となることを確認すれば良い。
$\upsilon$ は全単射であるから、ある $a_0,\ldots,a_{n-1}\in|\mathcal{M}|$ が存在して $\upsilon(a_0)=b_0,\ldots,\upsilon(a_{n-1})=b_{n-1}$ である。
よって $\upsilon^{-1}(\mathtt{f}^\mathcal{N}(b_0,\ldots,b_{n-1}))=\upsilon^{-1}(\mathtt{f}^\mathcal{N}(\upsilon(a_0),\ldots,\upsilon(a_{n-1})))$ であり、$\upsilon$ は準同型であるから $\upsilon^{-1}(\mathtt{f}^\mathcal{N}(\upsilon(a_0),\ldots,\upsilon(a_{n-1})))=\upsilon^{-1}(\upsilon(\mathtt{f}^\mathcal{M}(a_0,\ldots,a_{n-1})))$ となる。
従って $\upsilon^{-1}(\upsilon(\mathtt{f}^\mathcal{M}(a_0,\ldots,a_{n-1})))=\mathtt{f}^\mathcal{M}(a_0,\ldots,a_{n-1})$　であり、$a_0=\upsilon^{-1}(b_0),\ldots,a_{n-1}=\upsilon^{-1}(b_{n-1})$ より良い。□

==== 定義2.3.4（合同関係） ====
$\mathcal{M}$ を代数構造とし、$\equiv$ を $|\mathcal{M}|$ 上の同値関係で $\mathtt{f}\in\mathscr{L}$ に対して $\mathtt{f}^\mathcal{M}$ と両立する、すなわち任意の $a_0,\ldots,a_{n-1},b_0,\ldots,b_{n-1}\in |\mathcal{M}|$ に対して、任意の $i<n$ について $a_i\equiv b_i$ $\equiv$ であるならば $\mathtt{f}^\mathcal{M}(a_0,\ldots,a_{n-1})\equiv\mathtt{f}^\mathcal{M}(b_0,\ldots,b_{n-1})$ が成り立つとき $\equiv$ は $\mathcal{M}$ 上の''合同関係'' (congruence relation) である、あるいは同値関係 $\equiv$ は $\mathtt{f}^\mathcal{M}$ に対して　''well-defined''であるという。
==== 定義2.3.5（剰余代数） ====

$\mathcal{M}$ を代数構造とし、$\equiv$ を $\mathcal{M}$ 上の合同関係とする。剰余代数'' (factor algebra, quotient algebra) $\mathcal{M}/{\equiv}:=\langle|\mathcal{M}|/{\equiv};{-}^{\mathcal{M}/{\equiv}}\rangle$ を以下のように定める。
* $|\mathcal{M}|/{\equiv}$ は $|\mathcal{M}|$ の $\equiv$ による商集合とし $a\in|\mathcal{M}|$ に対して $[a]_\equiv$ を $\equiv$ による同値類とする。
* $\mathtt{f}\in\mathscr{L}$ に対して $\mathtt{f}^{\mathcal{M}/{\equiv}}([a_0]_\equiv,\ldots,[a_{n-1}]_\equiv):=[\mathtt{f}^\mathcal{M}(a_0,\ldots,a_{n-1})]_\equiv$ とする。

==== 例2.3.6（剰余代数の例） ====

$\mathcal{G}$ を群、$\mathcal{H}$ を $\mathcal{G}$ の正規部分群、すなわち $\mathcal{H}$ は $\mathcal{G}$ の部分代数で、任意の $g\in|\mathcal{G}|,h\in|\mathcal{H}|$ に対し $(g\hat{\cdot}^\mathcal{G} h){\hat{\cdot}}^\mathcal{G}\left(g^{\hat{-1}^\mathcal{G}}\right)\in|\mathcal{H}|$ であるとする。$|\mathcal{G}|$ 上の合同関係　$\equiv_\mathcal{H}$ を $x\equiv_\mathcal{H} y:\Leftrightarrow x\hat{\cdot}^\mathcal{G}\left(y^{\hat{-1}^\mathcal{G}}\right)\in|\mathcal{H}|$ と定める。
このとき $\mathcal{G}/{\equiv_\mathcal{H}}$ を $\mathcal{G}/\mathcal{H}$ と表す。

$\mathcal{M}$ を可換環、$\mathcal{I}:=\langle|\mathcal{I}|;\mathtt{0}^\mathcal{I},\mathtt{1}^\mathcal{I},\hat{+}^\mathcal{I},\hat{-}^\mathcal{I},\hat{\cdot}^\mathcal{I}\rangle$ を $\mathcal{M}$ のイデアル、すなわち以下を満たすとする。
* $\langle|\mathcal{I}|;\mathtt{0}^\mathcal{I},\hat{+}^\mathcal{I},\hat{-}^\mathcal{I}\rangle$ は $\langle|\mathcal{M}|;\mathtt{0}^\mathcal{M},\hat{+}^\mathcal{M},\hat{-}^\mathcal{M}\rangle$ の部分構造である。
* 任意の $a\in|\mathcal{M}|,x\in|\mathcal{I}|$ に対し $a\hat{\cdot}^\mathcal{M}x\in|\mathcal{I}|$ である。

このとき上記の例と同様に $\equiv_\mathcal{I}$ を定義でき $\mathcal{M}/{\equiv_\mathcal{I}}$ を $\mathcal{M}/\mathcal{I}$ を表す。

==== 補題2.3.7（剰余代数と準同型） ====

代数構造 $\mathcal{M}$ と合同関係 $\equiv$ に対して $\pi_\equiv\colon|\mathcal{M}|\to|\mathcal{M}|/{\equiv},\pi_\equiv(a):=[a]_\equiv$ とする。このとき $\pi_\equiv$ は準同型となる。この準同型を $\equiv$ に対する自然な準同型という。

''証明''　剰余代数の定義より明らかである。□

==== 補題2.3.8（準同型と合同関係） ====

代数構造 $\mathcal{M},\mathcal{N}$ 、準同型 $\sigma\colon|\mathcal{M}|\to|\mathcal{N}|$ に対して $|\mathcal{M}|$ 上の二項関係 $\equiv_\sigma$ を $a\equiv_\sigma b:\Leftrightarrow\sigma(a)=\sigma(b)$ とする((これを $\sigma$ による''核'' (kernel) ということがある。))。このとき $\equiv_\sigma$ は合同関係である。

''証明''　$\equiv_\sigma$ が同値関係であることは明らかである。よって関数と両立することを示そう。
今 $\mathtt{f}$ の項数を $n$ とし任意の $i<n$ に対して $a_i\equiv_\sigma b_i$ であると仮定し、$\mathtt{f}^\mathcal{M}(a_0,\ldots,a_{n-1})\equiv_\sigma \mathtt{f}^\mathcal{M}(b_0,\ldots,b_{n-1})$ 、すなわち $\sigma(\mathtt{f}^\mathcal{M}(a_0,\ldots,a_{n-1}))=\sigma(\mathtt{f}^\mathcal{M}(b_0,\ldots,b_{n-1}))$ を示せば良い。
$\sigma$ が準同型であるという仮定から $\sigma(\mathtt{f}^\mathcal{M}(a_0,\ldots,a_{n-1}))=\mathtt{f}^\mathcal{N}(\sigma(a_0),\ldots,\sigma(a_{n-1}))$ であり、 $\equiv_\sigma$ の定義から $\mathtt{f}^\mathcal{N}(\sigma(a_0),\ldots,\sigma(a_{n-1}))=\mathtt{f}^\mathcal{N}(\sigma(b_0),\ldots,\sigma(b_{n-1}))$ 、よってもう一度 $\sigma$ が準同型であることから $\mathtt{f}^\mathcal{N}(\sigma(b_0),\ldots,\sigma(b_{n-1}))=\sigma(\mathtt{f}^\mathcal{M}(b_0,\ldots,b_{n-1}))$ 。□

==== 定理2.3.9（準同型定理 (homomorphism theorem) ） ====

全射準同型 $\sigma\colon|\mathcal{M}|\to|\mathcal{N}|$ に対して、同型 $\tau_{\equiv_\sigma}\colon|\mathcal{M}/{\equiv_\sigma}|\to|\mathcal{N}|$ が存在して $\sigma=\tau_{\equiv_\sigma}\circ\pi_{\equiv_\sigma}$ となる。
ここで $a\equiv_\sigma b:\Leftrightarrow\sigma(a)=\sigma(b)$ 、$\pi_{\equiv_\sigma}\colon|\mathcal{M}|\to|\mathcal{M}/{\equiv_\sigma}|,\pi_{\equiv_\sigma}(a)=[a]_{\equiv_\sigma}$ とする。

''証明''　まず $\tau_{\equiv_\sigma}([a]_{\equiv_\sigma}):=\sigma(a)$ とする。これが写像となることを示す。左全域性は明らかなので右一意性を示そう。
$[a]_{\equiv_\sigma}=[b]_{\equiv_\sigma}$ とすれば $\equiv_\sigma$ の定義から、$\sigma(a)=\sigma(b)$ であり良い。
同様に逆も言えるため左一意性、すなわち $\tau_{\equiv_\sigma}$ が単射であることも従う。また $\sigma$ が全射であることから $\tau_{\equiv_\sigma}$ も全射である。命題2.3.3より
準同型であることを示せば十分である。
剰余代数の定義から $\tau_{\equiv_\sigma}(\mathtt{f}^{\mathcal{M}/{\equiv_\sigma}}([a_0]_{\equiv_\sigma},\ldots,[a_{n-1}]_{\equiv_\sigma}))=\tau_{\equiv_\sigma}([\mathtt{f}^\mathcal{M}(a_0,\ldots,a_{n-1})]_{\equiv_\sigma})$ であり、$\tau_{\equiv_\sigma}$ の定義から $\tau_{\equiv_\sigma}([f^\mathcal{M}(a_0,\ldots,a_{n-1})]_{\equiv_\sigma})=\sigma(f^\mathcal{M}(a_0,\ldots,a_{n-1}))$ である。
$\sigma$ が準同型であることから $\sigma(\mathtt{f}^\mathcal{M}(a_0,\ldots,a_{n-1}))=\mathtt{f}^\mathcal{N}(\sigma(a_0),\ldots,\sigma(a_{n-1}))$ であり $\tau_{\equiv_\sigma}$ の定義が $\mathtt{f}^\mathcal{N}(\sigma(a_0),\ldots,\sigma(a_{n-1}))=\mathtt{f}^\mathcal{N}(\tau_{\equiv_\sigma}([a_0]_{\equiv_\sigma},\ldots,[a_{n-1}]_{\equiv_\sigma}))$ となる。□

==== 系2.3.10 ====

準同型 $\sigma\colon|\mathcal{M}|\to|\mathcal{N}|$ と $|\mathcal{M}|$ 上の合同関係 $\equiv_\sigma$ は $a\equiv_\sigma b$ ならば $\sigma(a)=\sigma(b)$ を満たすとする。
このとき準同型 $\tau_{\equiv_\sigma}\colon|\mathcal{M}/{\equiv}|\to|\mathcal{N}|$ が存在し $\sigma=\tau_{\equiv_\sigma}\circ\pi_{\equiv_\sigma}$ となる。
ただし $\pi_{\equiv_\sigma}\colon|\mathcal{M}|\to|\mathcal{M}/{\equiv_\sigma}|,\pi_{\equiv_\sigma}(a)=[a]_{\equiv_\sigma}$ とする。

''証明''　定理2.3.9の証明とほとんど同様で良い。□

==== 例2.3.11（準同型定理の具体例） ====

群準同型 $\sigma\colon|\mathcal{G}|\to|\mathcal{H}|$ に対して $\mathrm{Ker}(\sigma):=\{g\in|\mathcal{G}|\mid\sigma(g)=\mathtt{0}^\mathcal{H}\}$ とする。このとき $\langle \mathrm{Ker}(\sigma),\mathtt{0}^\mathcal{G},\hat{\cdot}^\mathcal{G},{-}^{\hat{-1}^\mathcal{G}}\rangle$ は $\mathcal{G}$ の部分群であり、例2.2.6で定められる同値関係を $\equiv_{\mathrm{Ker}(\sigma)}$ とすれば $g_0\equiv_{\mathrm{Ker}(\sigma)}g_1$ と $g_0\equiv_\sigma g_1$ は同値であり、従って定理2.3.9及び系2.3.10から以下の群論に於ける準同型定理が従う。
* 群準同型 $\sigma\colon|\mathcal{G}|\to|\mathcal{H}|$ 、自然な準同型 $\pi\colon|\mathcal{G}|\to|\mathcal{G}/\equiv_{\mathrm{Ker(\sigma)}}|$ に対して、準同型 $\tau\colon |\mathcal{G}/\equiv_{\mathrm{Ker(\sigma)}}|\to|\mathcal{H}|$ が存在して $\sigma=\tau\circ\pi$ であり、また $\tau$ は $\mathcal{G}/\equiv_{\mathrm{Ker(\sigma)}}$ から $\langle\mathrm{Im}(\sigma),\underline{0}^\mathcal{H},+^\mathcal{H},-^\mathcal{H}\rangle$ への同型射である。

=== 2.4. 等式論理の形式的証明 ===
==== 定義2.4.1（等式理論） ====
理論 $T$ 論理式 $\varphi$ に対して $T\vdash\varphi$ を帰納的に定義する。

1. $(\mathsf{refl})$　任意の項 $t$ に対して $T\vdash t=t$ である。

2. $(T)$　任意の $\varphi\in T$ に対して $T\vdash\varphi$ である。

3. $(\mathsf{sym})$　任意の項 $s,t$ に対して $T\vdash s=t$ ならば $T\vdash t=s$ である。

4. $(\mathsf{trans})$　任意の項 $s,t,r$ に対して $T\vdash s=t$ かつ $T\vdash t=r$ ならば $T\vdash s=r$ である。

5. $(\mathsf{sub})$　任意の変数 $u$ 、項 $s(u),t(u),r$ に対して $T\vdash s(u)=t(u)$ ならば $T\vdash s(r)=t(r)$ である。

6. $(\mathsf{comp})$　任意の関数記号 $f\in\mathscr{L}$ 、任意の項 $s_0,\ldots,s_{n-1},t_0,\ldots,t_{n-1}$ に対して、全ての$i<n$　について $T\vdash s_i=t_i$ ならば $T\vdash f(s_0,\ldots,s_{n-1})=f(t_0,\ldots,t_{n-1})$ である。

$\vdash$ に関して命題論理と同様に用語を定める。
* $T\vdash\varphi$ であるとき $T$ から $\varphi$ は''証明可能'' (provable) であるという。また $\emptyset\vdash\varphi$ であるとき単に証明可能であるといい、$\vdash\varphi$ と表す。
* $\mathrm{Th}(T):=\{\varphi\in\mathrm{EqFml}\mid T\vdash\varphi\}$ とする。また言語を明示するとき $\mathrm{Th}_\mathscr{L}(T)$ と表す。

=== 2.5. Birkhoffの完全性定理、$\mathsf{HSP}$ 定理 ===

==== 定義2.5.1（生成） ====
代数構造 $\mathcal{M}$ 、$X\subseteq|\mathcal{M}|$ とする。このとき $X\subseteq\mathcal{N}$ で $\mathcal{M}$ の部分代数のなか、領域の包含関係において最小であるとき、$\mathcal{N}$ を $X$ によって''生成される'' (generated) 部分代数であるという。

==== 定義2.5.2（自由 $\mathcal{K}$-代数） ====
$\mathcal{K}$ を代数構造からなるクラスとする。このとき $\mathcal{M}\in\mathcal{K}$ が $X$ によって生成される''自由 $\mathcal{K}$-代数'' (free $\mathcal{K}$-代数) であるとは以下を満たすことである。
* $\mathcal{M}$ は $X$ で生成される。
* 任意の $\mathcal{N}\in\mathcal{K}$ 、写像 $\sigma\colon X\to|\mathcal{N}|$ に対し、ある準同型 $\overline{\sigma}\colon|\mathcal{M}|\to|\mathcal{N}|$ で $\overline{\sigma}$ は $\sigma$ の拡大である、すなわち任意の $x\in X$ に対して $\sigma(x)=\overline{\sigma}(x)$ となるものが一意に存在する。

==== 命題2.5.3（自由生成と濃度） ====
代数構造 $\mathcal{M},\mathcal{N}\in\mathcal{K}$ でそれぞれ集合 $X,Y$ によって自由生成されていて、$X,Y$ が等濃であれば $\mathcal{M}\cong\mathcal{N}$ である。

''証明''　全単射 $\sigma\colon X\to Y$ を取る。
自由代数の定義から $\sigma,\sigma^{-1}$ は準同型 $\overline{\sigma}\colon|\mathcal{M}|\to|\mathcal{N}|,\overline{\sigma^{-1}}\colon|\mathcal{N}|\to|\mathcal{M}|$ に拡張され $\overline{\sigma^{-1}}\circ\overline{\sigma}$ は $X$ 上の恒等写像の拡張となる準同型 $|\mathcal{M}|\to|\mathcal{M}|$ で拡張の一意性から $\overline{\sigma^{-1}}\circ\overline{\sigma}=\mathrm{id}_{|\mathcal{M}|}$ 、
同様に $\overline{\sigma}\circ\overline{\sigma^{-1}}=\mathrm{id}_{|\mathcal{N}|}$ であり、$\mathcal{M}\cong\mathcal{N}$ である。

==== 定義2.5.3（項代数） ====

== 出典 ==

== 参考文献 ==

[田中19] 田中一之、数学基礎論序説、裳華房、2019。

[Sankappanavar–Burris] H.P. Sankappanavar, S. Burris, A course in universal algebra, Graduate Texts Math 78, 1981.

=== 脚注 ===
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数理論理学の基礎：等式論理

2022-01-16T17:03:26Z

Alwe: /* 2.3 代数構造の理論 */

[[Category:数理論理学|トウシキロンリ]]
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$
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== 2. 等式論理 ==

'''等式論理''' (equational logic) は先程までの命題論理とは異なり命題同士の関係ではなく命題の中身、特に $s=t$ という形をした等式による命題に注目する論理である。。
等式論理に対しても命題論理と同様に統語論、意味論を考える。命題論理と同様に形式的証明と、命題論理での真理値に対応する'''モデル''' (model) というのを紹介する。

形式的証明は等式の以下に上げる基本的な性質による書き換え操作によって得られる。

# '''反射律''' (reflexivity) $s=s$ である。
# '''対称律''' (symmetricity) $s=t$ ならば $t=s$ である。
# '''推移律''' (transitivity) $s=t$ かつ $t=r$ ならば $s=r$ である。
# '''代入''' (substitution) $s(u)=t(u)$ ならば $s(r)=t(r)$ である。
# '''関数との両立''' (compatibility with functions) 任意の $i<n+1$ に対して $s_i=t_i$ ならば $f(s_0,\ldots,s_n)=f(t_0,\ldots,t_n)$ である。

一方、モデルによる意味論はある種の数学的な'''代数構造''' (algebraic structure) を用いて定義される。具体的には構造が与えられたとき、その構造で満たされることを真と見做す。ここで構造というのは'''台集合''' (underlying set) とその上の関数からなる組のことである。

=== 2.1 等式論理の統語論 ===

{{theorem |type=definition |name=等式論理の記号 |label=symbols-of-equational-logic }}
等式論理の'''論理記号''' (logical symbol) は以下からなる。
* '''変数記号''' (variable symbol) $u,v,w,\ldots$ 。
* '''等号記号''' (equality symbol) $=$ 。
* '''括弧''' (brackets) $(,).$ 及び'''カンマ''' (comma) $,$ 。

変数記号の集合を $\mathrm{EqVar}$ とし、変数記号は無限個あることを仮定する。

{{theorem |type=definition |name=等式論理の代数言語 |label=algebraic-languages-of-equational-logic }}

'''代数言語''' (algebraic language) は'''関数記号''' (function symbol) からなる集合で各関数記号には'''項数''' (arity) という自然数が割り当てられているとする。

また特に項数が $0$ である関数記号を'''定数記号''' (constant symbol) という。言語の元を'''非論理記号''' (non-logical symbol) という。関数記号は有限個でも無限個あっても良い。

便宜上、代数言語を集合ではなく組として扱うこともある。

{{theorem |type=example |name=代数言語の例 |label=example-of-algebraic-languages-of-equational-logic }}
代数言語の例をいくつかあげる。
* 集合の言語 $\mathscr{L}_\mathsf{Set}:=\emptyset$ 。
* 群の言語 $\mathscr{L}_\mathsf{Grp}:=\{\mathtt{1},\mathrel{\hat{\cdot}},{-}^{\hat{-1}}\}$ 。項数は順に $0,2,1$ 。
* 環の言語 $\mathscr{L}_\mathsf{Ring}:=\{\mathtt{0},\mathtt{1},\mathrel{\hat{+}},\mathrel{\hat{-}},\mathrel{\hat{\cdot}}\}$ 。項数は順に $0,0,2,1,2$ 。
* 束の言語 $\mathscr{L}_\mathsf{Lat}:=\{\hat{\top},\hat{\bot},\mathrel{\hat{\land}},\mathrel{\hat{\lor}}\}$ 。項数は順に $0,0,2,2$ 。
* Boole代数の言語 $\mathscr{L}_\mathsf{BA}:=\{\hat{\top},\hat{\bot},\mathrel{\hat{\land}},\mathrel{\hat{\lor}},\mathrel{\hat{\lnot}}\}$ 。項数は順に $0,0,2,2,1$ 。
* $\mathcal{A}=\langle|\mathcal{A}|;0,1,+,-,\cdot\rangle$ を可換環としたとき $\mathcal{A}$-加群の言語は $\mathscr{L}_{\mathsf{Mod}_\mathcal{A}}:=\mathscr{L}_\mathsf{Grp}\cup\{\hat{a}\mid a\in|\mathcal{A}|\}$ とする。$\hat{a}$ の項数は全て $1$ である。

{{theorem |type=definition |name=等式論理の項 |label=terms-of-equational-logic}}

$\mathscr{L}$ を代数言語とする。このとき '''$\mathscr{L}$-項''' ($\mathscr{L}$-term) は以下のように帰納的に定義される文字列である。
# 変数 $u,v,w,\ldots$ は $\mathscr{L}$-項である。
# 関数記号 $\mathtt{f}$ に対し、その項数が $n$ であるとき、$\mathscr{L}$-項 $t_0,\ldots,t_{n-1}$ に対して $\mathtt{f}(t_0,\ldots,t_n)$ は$\mathscr{L}$-項である。

特に定数記号は $\mathscr{L}$-項であることに注意しよう。$\mathscr{L}$-項の集合を $\mathrm{EqTm}_\mathscr{L}$ と表す。

項数が $2$ の関数記号 $\mathtt{f}$ に対して $\mathtt{f}(s,t)$ の代わりに $s\mathrel{\mathtt{f}} t$ と'''中置記法''' (infix notation) で表し、適当に括弧を補うことがある<ref group="脚注">中置記法に対し、$\mathtt{f}(s,t)$ あるいは括弧などを省略し $\mathtt{f}st$ という記法を '''前置記法''' (prefix notation) あるいは'''ポーランド記法''' (Poland notation) といい、逆に $st\mathtt{f}$ という記法を'''後置記法''' (postfix notation) あるいは'''逆ポーランド記法''' (reverse Poland notation) という。</ref>。

{{theorem |type=definition |name=$\mathscr{L}$-項の例 |label=example-of-terms-of-equational-logic}}

項の例をいくつかあげる。
* $(u\mathrel{\hat{\cdot}}\mathtt{1})^{\hat{-1}},\mathtt{1}\mathrel{\hat{\cdot}}v$ は $\mathscr{L}_\mathsf{Grp}$-項である。
* $(\mathtt{1}\mathrel{\hat{+}}\mathtt{1})\mathrel{\hat{\cdot}} (\mathrel{\hat{-}}\mathtt{0}),(u\mathrel{\hat{+}}\mathtt{1})\mathrel{\hat{\cdot}}((\mathrel{\hat{-}}\mathtt{0})\mathrel{\hat{\cdot}}v)$ は $\mathscr{L}_\mathsf{Ring}$-項である。
* $u\mathrel{\hat{\land}} (v\mathrel{\hat{\lor}}w),(\hat{\top}\mathrel{\hat{\land}}u)\mathrel{\hat{\lor}}\hat{\bot}$ は $\mathscr{L}_\mathsf{Lat}$-項である。
* $u\mathrel{\hat{\land}}(\mathrel{\hat{\lnot}} v),(\mathrel{\hat{\lnot}}\hat{\top})\mathrel{\hat{\land}}\hat{\bot}$ は $\mathscr{L}_\mathsf{BA}$-項である。

{{theorem |type=definition |name=等式論理の論理式 |label=formulae-of-equational-logic}}
$\mathscr{L}$ を代数言語とする。このとき '''$\mathscr{L}$-論理式''' ($\mathscr{L}$-formula) は以下のように定義される文字列である。
# $\mathscr{L}$-項 $s,t$ に対して $s=t$ は$\mathscr{L}$-論理式である。
$\mathscr{L}$-論理式の集合を $\mathrm{EqFml}_\mathscr{L}$ と表す。

また等式論理の論理式を'''原子論理式''' (atomic formula) と呼ぶこともある。

{{theorem |type=definition |name=項の出現 |label=occurrence-of-terms}}

$\mathscr{L}$-項 $s$ が $\mathscr{L}$-項 $t$ に'''出現する''' (occur) あるいは単に'''現れる'''ということを $\mathscr{L}$-項 $t$ の定義に沿って帰納的に定義する。

# 変数 $u$ に対して $s$ が $u$ であるとき $u$ に $s$ が現れている。
# $\mathscr{L}$-項 $f(t_0,\ldots,t_{n-1})$ に対して、ある $i<n$ が存在し $t_i$ に $s$ が現れているか、または $s$ が $f(t_0,\ldots,t_{n-1})$ であるとき、$s$ が $f(t_0,\ldots,t_{n-1})$ に現れている。

また$\mathscr{L}$-項 $s$ が $\mathscr{L}$-論理式 $\varphi$ に現れるということを定義する。
# $t=r$ に $\mathscr{L}$-項 $s$ が現れるのは $t$ か $r$ のいずれかに現れるときである。

$\mathscr{L}$-項 $t$ に $s_0,\ldots,s_n$ が現れているとき $t(s_0,\ldots,s_n)$ などど表す。

{{theorem |type=definition |name=項の代入 |label=substitution-of-terms}}

$\mathscr{L}$-項 $s,t$ 、変数 $u$ に対して $s$ に現れる $u$ に $t$ を'''代入''' (substitution) した結果 $s[u:=t]$ を $s$ の定義に沿って帰納的に定義する。
# $s$ に $u$ が現れていないとき $s[u:=t]$ は $s$ である。
# $u[u:=t]$ を $t$ のこととする。
# $\mathtt{f}(t_0,\ldots,t_{n-1})[u:=t]$ を　$\mathtt{f}(t_0[u:=t],\ldots,t_{n-1}[u:=t])$　のこととする。

また $\mathscr{L}$-論理式 $\varphi$ 、 $\mathscr{L}$-項 $t$ 、変数 $u$ に対して $\varphi$ に現れる $u$ に $t$ を'''代入''' (substitution) した結果 $\varphi[u:=t]$ を定義する。
# $\varphi$ に $u$ が現れていないとき $\varphi[u:=t]$ は $\varphi$ である。
# $(s=r)[u:=t]$ を $s[u:=t]=t[u:=t]$ のこととする。

また $s(u)$ に対して $s(u)[u:=t]$ を単に $s(t)$ と表す。

{{theorem |type=notation |name=省略記法 |label=abbreviation}}

$\mathscr{L}$-項、$\mathscr{L}$-論理式などの「$\mathscr{L}$-」という接頭辞は、どの言語を指しているか明らかなとき、あるいは言語に拠らない議論をするとき省略する。

また命題論理と同様に以下の記法を用いる。

* 論理式の集合 $T$ を '''公理系''' (axiomatic system, axioms, axiomata) 、'''等式理論''' (equational theory) 、あるいは単に'''理論''' (theory) という。
* 理論 $T$ と論理式 $\varphi$ に対して $T+\varphi$ で $T\cup\{\varphi\}$ を表す。

=== 2.2 等式論理のモデル ===

{{theorem |type=definition |name=代数構造 |label=algebraic-structure}}

$\mathscr{L}$ を言語とする。このとき '''$\mathscr{L}$-代数構造''' ($\mathscr{L}$-algebraic structure) $\mathcal{M}$ は'''領域''' (domain) あるいは'''宇宙''' (universe) 、'''台集合''' (underlying set) と言われる空でない<ref group="脚注">空な構造を認める流儀も存在する。特に'''圏論的論理学''' (categorical logic) の文脈では、空な構造を認めた方が都合が良い場合が多い。構造からなる圏、あるいは後述するモデルからなる圏に始対象が存在しないと都合が悪い場合が多いからである。例えば後述する等式理論の項モデルの構成と類似の議論をすることによって、等式理論、あるいはその項モデルの圏論的対応物となる圏、'''Lawvere理論''' (Lawvere theory) を得ることができ、モデルとはLawvere理論から集合と写像からなる圏 $\mathrm{Set}$ への有限直積を保つ関手と思うことができるが、このような議論は空なモデルが存在しない場合、面倒な例外処理を行わなければならなくなる。またtoo simple to be simpleの理念に従っても空なモデルは認めたほうが良いと思われる。しかし数理論理学に於いては空なモデルを認めない流儀が主流である。これは等式論理の範疇では問題にならないが、一階述語論理に於いては空なモデルを許容すると、(等号を含む)関係記号を言語として持つ場合、論理式 $\forall x\varphi(x)\to\exists x\varphi(x)$ は証明可能になるが、空なモデルで成り立たない。すなわち健全性定理が成り立たなくなるのが問題となる。</ref>集合 $M$ と以下に定義される'''$\mathscr{L}$-解釈''' ($\mathscr{L}$-interpretation) ${-}^\mathcal{M}$ の組 $\langle M;{-}^\mathcal{M}\rangle$ である。

$\mathscr{L}$-解釈 ${-}^\mathcal{M}$ は以下を満たす言語 $\mathscr{L}$ からの写像である。

* 関数記号 $\mathtt{f}\in\mathscr{L}$ に対して $\mathtt{f}$ の項数が $n$ であるとき、$\mathtt{f}^\mathcal{M}\colon M^n\to M$ である。

定数記号の解釈は一つの $M$ の要素を返す関数となる。よってその返す値と同一視することで定数記号 $\mathtt{c}$ に対して $\mathtt{c}^\mathcal{M}\in M$ と見做すことができることに注意する。このような同一視を今後断りなく行うことに注意する。

代数構造 $\mathcal{M}$ が与えられたとき、$|\mathcal{M}|$ を $\mathcal{M}$ の台集合を表すことにする。また数学の慣習に基づき構造 $\mathcal{M}$ とその台集合 $|\mathcal{M}|$ を誤解を与えない範囲で同一視する。例えば $a\in |\mathcal{M}|$ の代わりに $a\in\mathcal{M}$ と表すことがある。

また $\mathcal{M}=\langle M;{-}^\mathcal{M}\rangle$ と表す代わりに解釈後の関数、関係をリストし $\mathcal{M}=\langle M;\mathtt{f}_0^\mathcal{M},\ldots,\mathtt{f}_i^\mathcal{M}\rangle$ と表すことがある。

{{theorem |type=example |name=代数構造の例 |label=examples-of-algebraic-structures}}
任意の群 $\mathcal{G}:=\langle|\mathcal{G}|;e,\cdot,{-}^{-1}\rangle$ は $\mathtt{1}^\mathcal{G}:=e,\hat{\cdot}^\mathcal{G}:=\cdot,{{-}^{\hat{-1}}}^\mathcal{G}:={-}^{-1}$ と定めることで $\mathscr{L}_\mathsf{Grp}$-構造として見做すことができる。しかし、別に群でなくても $a\in A,f\colon A^2\to A,g\colon A\to A $ に対して $\langle A;a,f,g\rangle$ は同様に $\mathscr{L}_\mathsf{Grp}$-構造として見做すことができる。

{{theorem |type=definition |name=項の解釈 |label=interpretation-of-terms}}

$\mathscr{L}$-代数構造 $\mathcal{M}=\langle M;{-}^\mathcal{M}\rangle$ と $\mathscr{L}$-閉項 $t$ に対して $t^\mathcal{M}\in M$ を帰納的に定義する。

* $\mathtt{f}(t_0,\ldots,t_{n-1})$ に対して $(\mathtt{f}(t_0,\ldots,t_{n-1}))^\mathcal{M}$ を $\mathtt{f}^\mathcal{M}(t_0^\mathcal{M},\ldots,t_{n-1}^\mathcal{M})$ と定める。

{{theorem |type=definition |name=拡大と縮約 |label=expansion-and-reduct}}

言語 $\mathscr{L}\subseteq\mathscr{L}'$ とし、$\mathcal{M}$ を $\mathscr{L}$-代数構造とし、$\mathcal{M}'$ を $\mathscr{L}'$-代数構造とする。$|\mathcal{M}|=|\mathcal{M}'|$ とし、$\mathtt{f}\in\mathscr{L}$ に対し $\mathtt{f}^\mathcal{M}=\mathtt{f}^{\mathcal{M}'}$ が成り立つとする。このとき $\mathcal{M}'$ を $\mathcal{M}$ の'''拡大''' (expansion) といい、$\mathcal{M}$ を $\mathcal{M}'$ の'''縮約''' (reduct) という。

{{theorem |type=example |name=拡大と縮約の例 |label=expansion-and-reduct}}
任意の環 $\mathcal{R}=\langle|\mathcal{R}|;\mathtt{0}^\mathcal{R},\mathtt{1}^\mathcal{R},\hat{+}^\mathcal{R},\hat{-}^\mathcal{R},\hat{\cdot}^\mathcal{R}\rangle$ はその加法群 $\mathcal{R}^+=\langle|\mathcal{R}|;\mathtt{0}^\mathcal{R},\hat{+}^\mathcal{R},{-}^\mathcal{R}\rangle$ の拡張となる。ここで群の言語は $\{\mathtt{1},\hat{\cdot},{-}^{\hat{-1}}\}$ であったが記号を変えて $\{\mathtt{0},\hat{+},\hat{-}\}$ としても本質的になにも変わらない。実際、[[Abel群]]に対してはこのように書かれることが多い。
一方、加法群と違い、乗法群 $\mathcal{R}^\times=\langle|\mathcal{R}|\setminus\{\mathtt{0}^\mathcal{R}\};\mathtt{0}^\mathcal{R},\hat{+}^\mathcal{R},{-}^\mathcal{R}\rangle$ は領域がことなるため拡張にはならない。

{{theorem |type=definition |name=名前 |label=name}}

$\mathscr{L}$-代数構造 $\mathcal{M}$ に対して言語 $\mathscr{L}(\mathcal{M})$ と $\mathscr{L}(\mathcal{M})$-代数構造 $\mathcal{M}_\mathrm{par}$ を定義する。
* $\mathscr{L}(\mathcal{M})$ には $\mathscr{L}$ の元に加え、$a\in|\mathcal{M}|$ に対する定数記号 $\underline{a}$ を持つ。この定数記号 $\underline{a}$ を $a$ の ''名前''(name) や''パラメータ'' (parameter) という。名前を単に $a$ と表すこともある。
* $\mathcal{M}_\mathrm{par}$ は $\mathcal{M}$ の拡大であり、$\underline{a}^{\mathcal{M}_\mathrm{par}}:=a$ とする。

誤解を生じないとき $\mathcal{M}_\mathrm{par}$ を単に $\mathcal{M}$ と表す。

{{theorem |type=definition |name=充足可能性関係 |label=satisfiability-relation}}

$\mathscr{L}$-代数構造 $\mathcal{M}$ と $\mathscr{L}(\mathcal{M})$-論理式 $s(u_0,\ldots,u_{n-1})=t(v_0,\ldots,v_{m-1})$ に対し '''充足可能性関係''' (satisfiability relation) $\mathcal{M}\models s(u_0,\ldots,u_{n-1})=t(v_0,\ldots,v_{m-1})$ を定義する<ref group="脚注">充足可能性関係の定義には名前ではなく、'''割り当て''' (assignment) と呼ばれる、論理式に出現する変数記号から領域への写像を用いて、閉項に対して定義された解釈を割り当てを用いて閉項とは限らない項に拡張することで定義する流儀もある。</ref>。
ここで $s(u_0,\ldots,u_{n-1})=t(v_0,\ldots,v_{m-1})$ に現れる変数は $u_0,\ldots,u_{n-1},v_0,\ldots,v_{m-1}$ に限るとする。

#　$\mathcal{M}\models s(u_0,\ldots,u_{n-1})=t(v_0,\ldots,v_{m-1})$ となるのは任意の $a_0,\ldots,a_{n-1},b_0,\ldots,b_{m-1}\in |\mathcal{M}|$ に対して $(s(u_0,\ldots,u_{n-1})[u_0:=\underline{a_0}]\cdots[u_{n-1}:=\underline{a_{n-1}}])^{\mathcal{M}_\mathrm{par}}=(t(v_0,\ldots,v_{m-1})[v_0:=\underline{b_0}]\cdots[v_{m-1}:=\underline{b_{m-1}}])^{\mathcal{M}_\mathrm{par}})$ が成り立つことである。

ここで $\mathcal{M}\models s(u_0,\ldots,u_{n-1})=t(v_0,\ldots,v_{m-1})$ に含まれる $=$ は等号記号だが、$(s(u_0,\ldots,u_{n-1})[u_0:=\underline{a_0}]\cdots[u_{n-1}:=\underline{a_{n-1}}])^{\mathcal{M}_\mathrm{par}}=(t(v_0,\ldots,v_{m-1})[v_0:=\underline{b_0}]\cdots[v_{m-1}:=\underline{b_{m-1}}])^{\mathcal{M}_\mathrm{par}})$　に表れる $=$ は実際の等号であることに注意されたい。また $\models$ に対していくつかの用語を定める。

* $T$ を理論とし、任意の $\varphi\in T$ に対して $\mathcal{M}\models\varphi$ となっているとする。このとき $\mathcal{M}$ を $T$ の'''モデル''' (model) であるといい、$\mathcal{M}\models\varphi$ と表す。
* $T$ の任意のモデル $\mathcal{M}$ に対して $\mathcal{M}\models\varphi$ であるとき $\varphi$ は $T$ からの'''論理的帰結''' (logical consequence) であるといい、$T\models \varphi$ と表す。

{{theorem |type=example |name=モデルの例 |label=examples-of-models}}
$\mathscr{L}_\mathsf{Grp}$-理論 $\mathsf{Grp}$ を以下の論理式からなるものとする。
* $u\mathrel{\hat{\cdot}}(v\mathrel{\hat{\cdot}}w)=(u\mathrel{\hat{\cdot}}v)\mathrel{\hat{\cdot}}w$ 。
* $u\mathrel{\hat{\cdot}}\mathtt{0}=u$ 。
* $u\mathrel{\hat{\cdot}}(u^{\hat{-1}})=\mathtt{0}$ 。

$\mathsf{Grp}$ のモデルは群そのものである。

$\mathscr{L}_\mathsf{Ring}$-理論 $\mathsf{Ring}$ を以下の論理式からなるものとする。

* $u\mathrel{\hat{+}}(v\mathrel{\hat{+}}w)=(u\mathrel{\hat{+}}v)\mathrel{\hat{+}}w$ 。
* $u\mathrel{\hat{+}}\mathtt{0}=u$ 。
* $u\mathrel{\hat{+}}(\mathrel{\hat{-}}u)=\mathtt{0}$ 。
* $u\mathrel{\hat{+}}v=v\mathrel{\hat{+}}u$ 。
* $u\mathrel{\hat{\cdot}} (v\mathrel{\hat{\cdot}} w)=(u\mathrel{\hat{\cdot}} v)\mathrel{\hat{\cdot}} w$ 。
* $u\mathrel{\hat{\cdot}} (v\mathrel{\hat{+}}w)=(u\mathrel{\hat{\cdot}} v)\mathrel{\hat{+}}(u\mathrel{\hat{\cdot}} w)$ 。
* $u\mathrel{\hat{\cdot}}\mathtt{1}=u$ 。

$\mathsf{Ring}$ のモデルも同様に環である。

言語 $\mathscr{L}_{\mathsf{Mod}_\mathcal{A}}$ 上の理論 $\mathsf{Mod}_\mathcal{A}$ は[[アーベル群]]の公理と任意の $a,b\in |\mathcal{A}|$ に対して以下の論理式からなるものとする。

* $\hat{a}(x\mathrel{\hat{+}}y)=\hat{a}(x)\mathrel{\hat{+}}\hat{a}(y)$ 。
* $\widehat{a\mathrel{+_\mathcal{A}}b}(x)=\hat{a}(x)\mathrel{\hat{+}}\hat{b}(x)$ 。
* $\widehat{a\mathrel{\cdot_\mathcal{A}} b}(x)=\hat{a}(\hat{b}(x))$ 。
* $\widehat{1_{\mathcal{A}}}(x)=x$

言語 $\mathscr{L}_\mathsf{Set}$ 上の理論 $\emptyset$ のモデルは空でない集合 $X$ に対して $\langle X\rangle$ という形をした構造である。これは空でない集合と同一視できる。

言語 $\mathscr{L}_\mathsf{SGrp}:=\{\hat{\cdot}\}$ とし、理論 $\mathsf{SGrp}$ を

* $u\mathrel{\hat{\cdot}}(v\mathrel{\hat{\cdot}}w)=(u\mathrel{\hat{\cdot}}v)\mathrel{\hat{\cdot}}w$ 。

とする。このとき理論 $\mathsf{SGrp}$ のモデルは空でない半群全体となる。

=== 2.3 代数構造の理論 ===
{{theorem |type=definition |name=準同型、同型 |label=homomorphism-and-isomorphism}}

$\mathscr{L}$-代数構造 $\mathcal{M},\mathcal{N}$ に対して $\sigma\colon|\mathcal{M}|\to|\mathcal{N}|$ が'''準同型射''' (homomorphism) であるとは、任意の $\mathtt{f}\in\mathscr{L}$ 、$a_0,\ldots,a_{n-1}\in|\mathcal{M}|$ に対し $\sigma(\mathtt{f}^\mathcal{M}(a_0,\ldots,a_{n-1}))=\mathtt{f}^\mathcal{N}(\sigma(a_0),\ldots,\sigma(a_{n-1}))$ が成り立つことである。すなわち、以下の図式を可換にするような写像である。

また準同型 $\sigma\colon|\mathcal{M}|\to|\mathcal{N}|,\tau\colon|\mathcal{N}|\to|\mathcal{M}|$ が存在し $\tau\circ\sigma =\mathrm{id}_\mathcal{M},\sigma\circ\tau =\mathrm{id}_\mathcal{N}$ となるとき $\mathcal{M}$ と $\mathcal{N}$ は'''同型''' (isomorphic))であるといい $\mathcal{M}\cong\mathcal{N}$ と表し、$\sigma,\tau$ を''同型射'' (isomorphism) であるという。
ここで $\mathrm{id}_\mathcal{M}\colon|\mathcal{M}|\to|\mathcal{M}|,\mathrm{id}_\mathcal{M}(a)=a,\mathrm{id}_\mathcal{N}\colon|\mathcal{N}|\to|\mathcal{N}|,\mathrm{id}_\mathcal{N}(b)=b$ とする。

{{theorem |type=definition |name=部分代数 |label=subalgebra}}

$\mathscr{L}$-代数構造 $\mathcal{M},\mathcal{N}$ に対して、$\mathcal{N}$ が $\mathcal{M}$ の'''部分代数''' (subalgebra) であるとは $|\mathcal{N}|\subseteq|\mathcal{M}|$ かつ、任意の $\mathtt{f}\in\mathscr{L}$ 、任意の $b_0,\ldots,b_{n-1}\in|\mathcal{N}|$ に対し $\mathtt{f}^\mathcal{N}(b_0,\ldots,b_{n-1})=\mathtt{f}^\mathcal{M}(b_0,\ldots,b_{n-1})$ を満たすことである。

{{theorem |type=definition |name=直積代数 |label=direct-product-of-algebra}}
$\{\mathcal{M}_{i\in I}\}$ を $I$ によって添字付けられた $\mathscr{L}$-代数構造の族とする。$\{\mathcal{M}_{i\in I}\}$ の'''直積''' (direct product) 、$\prod_{i\in I}\mathcal{M}_i$ は以下のように定義される $\mathscr{L}$-代数構造である。
# 台集合は台集合の直積とする。すなわち $|\prod_{i\in I}\mathcal{M}_i|:=\prod_{i\in I}|\mathcal{M}_i|$ とする。
# $n$-変数関数記号 $\mathtt{f}\in\mathscr{L}$ に対して $\mathtt{f}^{\prod_{i\in I}\mathcal{M}_i}\colon\left(\prod_{i\in I}\mathcal{M}_i\right)^n\to\prod_{i\in I}\mathcal{M}_i$ を $\mathtt{f}^{\prod_{i\in I}\mathcal{M}_i}(a_0,\ldots,a_{n-1}):=\lambda i\in I.\mathtt{f}^{\mathcal{M}_i}(a_0(i),\ldots,a_{n-1}(i))$ とする。ここで $\lambda i\in I.\mathtt{f}^{\mathcal{M}_i}(a_0(i),\ldots,a_{n-1}(i))$ は $i\mapsto\mathtt{f}^{\mathcal{M}_i}(a_0(i),\ldots,a_{n-1}(i))$ となる写像を表すものとする。

==== 命題2.3.3（代数構造の同型に対する必要十分条件） ====

$\mathcal{M}\cong\mathcal{N}$ であるのは全単射準同型 $\upsilon\colon\mathcal{M}\to\mathcal{N}$ が存在するときであり、またそれに限る。

''証明''　$\mathcal{M}\cong\mathcal{N}$ であると仮定する。仮定より準同型 $\sigma\colon\mathcal{M}\to\mathcal{N},\tau\colon\mathcal{N}\to\mathcal{M}$ で $\sigma\circ\tau,\tau\circ\sigma$ が恒等となるものを取る。$\sigma,\tau$ は互いに逆写像であり、よって全単射である。

逆を示す。$\upsilon\circ\upsilon^{-1},\upsilon^{-1}\circ\upsilon$ が恒等になるのは明らかである。よって $\upsilon^{-1}\colon\mathcal{N}\to\mathcal{M}$ が準同型となることを確認すれば良い。
$\upsilon$ は全単射であるから、ある $a_0,\ldots,a_{n-1}\in|\mathcal{M}|$ が存在して $\upsilon(a_0)=b_0,\ldots,\upsilon(a_{n-1})=b_{n-1}$ である。
よって $\upsilon^{-1}(\mathtt{f}^\mathcal{N}(b_0,\ldots,b_{n-1}))=\upsilon^{-1}(\mathtt{f}^\mathcal{N}(\upsilon(a_0),\ldots,\upsilon(a_{n-1})))$ であり、$\upsilon$ は準同型であるから $\upsilon^{-1}(\mathtt{f}^\mathcal{N}(\upsilon(a_0),\ldots,\upsilon(a_{n-1})))=\upsilon^{-1}(\upsilon(\mathtt{f}^\mathcal{M}(a_0,\ldots,a_{n-1})))$ となる。
従って $\upsilon^{-1}(\upsilon(\mathtt{f}^\mathcal{M}(a_0,\ldots,a_{n-1})))=\mathtt{f}^\mathcal{M}(a_0,\ldots,a_{n-1})$　であり、$a_0=\upsilon^{-1}(b_0),\ldots,a_{n-1}=\upsilon^{-1}(b_{n-1})$ より良い。□

==== 定義2.3.4（合同関係） ====
$\mathcal{M}$ を代数構造とし、$\equiv$ を $|\mathcal{M}|$ 上の同値関係で $\mathtt{f}\in\mathscr{L}$ に対して $\mathtt{f}^\mathcal{M}$ と両立する、すなわち任意の $a_0,\ldots,a_{n-1},b_0,\ldots,b_{n-1}\in |\mathcal{M}|$ に対して、任意の $i<n$ について $a_i\equiv b_i$ $\equiv$ であるならば $\mathtt{f}^\mathcal{M}(a_0,\ldots,a_{n-1})\equiv\mathtt{f}^\mathcal{M}(b_0,\ldots,b_{n-1})$ が成り立つとき $\equiv$ は $\mathcal{M}$ 上の''合同関係'' (congruence relation) である、あるいは同値関係 $\equiv$ は $\mathtt{f}^\mathcal{M}$ に対して　''well-defined''であるという。
==== 定義2.3.5（剰余代数） ====

$\mathcal{M}$ を代数構造とし、$\equiv$ を $\mathcal{M}$ 上の合同関係とする。剰余代数'' (factor algebra, quotient algebra) $\mathcal{M}/{\equiv}:=\langle|\mathcal{M}|/{\equiv};{-}^{\mathcal{M}/{\equiv}}\rangle$ を以下のように定める。
* $|\mathcal{M}|/{\equiv}$ は $|\mathcal{M}|$ の $\equiv$ による商集合とし $a\in|\mathcal{M}|$ に対して $[a]_\equiv$ を $\equiv$ による同値類とする。
* $\mathtt{f}\in\mathscr{L}$ に対して $\mathtt{f}^{\mathcal{M}/{\equiv}}([a_0]_\equiv,\ldots,[a_{n-1}]_\equiv):=[\mathtt{f}^\mathcal{M}(a_0,\ldots,a_{n-1})]_\equiv$ とする。

==== 例2.3.6（剰余代数の例） ====

$\mathcal{G}$ を群、$\mathcal{H}$ を $\mathcal{G}$ の正規部分群、すなわち $\mathcal{H}$ は $\mathcal{G}$ の部分代数で、任意の $g\in|\mathcal{G}|,h\in|\mathcal{H}|$ に対し $(g\hat{\cdot}^\mathcal{G} h){\hat{\cdot}}^\mathcal{G}\left(g^{\hat{-1}^\mathcal{G}}\right)\in|\mathcal{H}|$ であるとする。$|\mathcal{G}|$ 上の合同関係　$\equiv_\mathcal{H}$ を $x\equiv_\mathcal{H} y:\Leftrightarrow x\hat{\cdot}^\mathcal{G}\left(y^{\hat{-1}^\mathcal{G}}\right)\in|\mathcal{H}|$ と定める。
このとき $\mathcal{G}/{\equiv_\mathcal{H}}$ を $\mathcal{G}/\mathcal{H}$ と表す。

$\mathcal{M}$ を可換環、$\mathcal{I}:=\langle|\mathcal{I}|;\mathtt{0}^\mathcal{I},\mathtt{1}^\mathcal{I},\hat{+}^\mathcal{I},\hat{-}^\mathcal{I},\hat{\cdot}^\mathcal{I}\rangle$ を $\mathcal{M}$ のイデアル、すなわち以下を満たすとする。
* $\langle|\mathcal{I}|;\mathtt{0}^\mathcal{I},\hat{+}^\mathcal{I},\hat{-}^\mathcal{I}\rangle$ は $\langle|\mathcal{M}|;\mathtt{0}^\mathcal{M},\hat{+}^\mathcal{M},\hat{-}^\mathcal{M}\rangle$ の部分構造である。
* 任意の $a\in|\mathcal{M}|,x\in|\mathcal{I}|$ に対し $a\hat{\cdot}^\mathcal{M}x\in|\mathcal{I}|$ である。

このとき上記の例と同様に $\equiv_\mathcal{I}$ を定義でき $\mathcal{M}/{\equiv_\mathcal{I}}$ を $\mathcal{M}/\mathcal{I}$ を表す。

==== 補題2.3.7（剰余代数と準同型） ====

代数構造 $\mathcal{M}$ と合同関係 $\equiv$ に対して $\pi_\equiv\colon|\mathcal{M}|\to|\mathcal{M}|/{\equiv},\pi_\equiv(a):=[a]_\equiv$ とする。このとき $\pi_\equiv$ は準同型となる。この準同型を $\equiv$ に対する自然な準同型という。

''証明''　剰余代数の定義より明らかである。□

==== 補題2.3.8（準同型と合同関係） ====

代数構造 $\mathcal{M},\mathcal{N}$ 、準同型 $\sigma\colon|\mathcal{M}|\to|\mathcal{N}|$ に対して $|\mathcal{M}|$ 上の二項関係 $\equiv_\sigma$ を $a\equiv_\sigma b:\Leftrightarrow\sigma(a)=\sigma(b)$ とする((これを $\sigma$ による''核'' (kernel) ということがある。))。このとき $\equiv_\sigma$ は合同関係である。

''証明''　$\equiv_\sigma$ が同値関係であることは明らかである。よって関数と両立することを示そう。
今 $\mathtt{f}$ の項数を $n$ とし任意の $i<n$ に対して $a_i\equiv_\sigma b_i$ であると仮定し、$\mathtt{f}^\mathcal{M}(a_0,\ldots,a_{n-1})\equiv_\sigma \mathtt{f}^\mathcal{M}(b_0,\ldots,b_{n-1})$ 、すなわち $\sigma(\mathtt{f}^\mathcal{M}(a_0,\ldots,a_{n-1}))=\sigma(\mathtt{f}^\mathcal{M}(b_0,\ldots,b_{n-1}))$ を示せば良い。
$\sigma$ が準同型であるという仮定から $\sigma(\mathtt{f}^\mathcal{M}(a_0,\ldots,a_{n-1}))=\mathtt{f}^\mathcal{N}(\sigma(a_0),\ldots,\sigma(a_{n-1}))$ であり、 $\equiv_\sigma$ の定義から $\mathtt{f}^\mathcal{N}(\sigma(a_0),\ldots,\sigma(a_{n-1}))=\mathtt{f}^\mathcal{N}(\sigma(b_0),\ldots,\sigma(b_{n-1}))$ 、よってもう一度 $\sigma$ が準同型であることから $\mathtt{f}^\mathcal{N}(\sigma(b_0),\ldots,\sigma(b_{n-1}))=\sigma(\mathtt{f}^\mathcal{M}(b_0,\ldots,b_{n-1}))$ 。□

==== 定理2.3.9（準同型定理 (homomorphism theorem) ） ====

全射準同型 $\sigma\colon|\mathcal{M}|\to|\mathcal{N}|$ に対して、同型 $\tau_{\equiv_\sigma}\colon|\mathcal{M}/{\equiv_\sigma}|\to|\mathcal{N}|$ が存在して $\sigma=\tau_{\equiv_\sigma}\circ\pi_{\equiv_\sigma}$ となる。
ここで $a\equiv_\sigma b:\Leftrightarrow\sigma(a)=\sigma(b)$ 、$\pi_{\equiv_\sigma}\colon|\mathcal{M}|\to|\mathcal{M}/{\equiv_\sigma}|,\pi_{\equiv_\sigma}(a)=[a]_{\equiv_\sigma}$ とする。

''証明''　まず $\tau_{\equiv_\sigma}([a]_{\equiv_\sigma}):=\sigma(a)$ とする。これが写像となることを示す。左全域性は明らかなので右一意性を示そう。
$[a]_{\equiv_\sigma}=[b]_{\equiv_\sigma}$ とすれば $\equiv_\sigma$ の定義から、$\sigma(a)=\sigma(b)$ であり良い。
同様に逆も言えるため左一意性、すなわち $\tau_{\equiv_\sigma}$ が単射であることも従う。また $\sigma$ が全射であることから $\tau_{\equiv_\sigma}$ も全射である。命題2.3.3より
準同型であることを示せば十分である。
剰余代数の定義から $\tau_{\equiv_\sigma}(\mathtt{f}^{\mathcal{M}/{\equiv_\sigma}}([a_0]_{\equiv_\sigma},\ldots,[a_{n-1}]_{\equiv_\sigma}))=\tau_{\equiv_\sigma}([\mathtt{f}^\mathcal{M}(a_0,\ldots,a_{n-1})]_{\equiv_\sigma})$ であり、$\tau_{\equiv_\sigma}$ の定義から $\tau_{\equiv_\sigma}([f^\mathcal{M}(a_0,\ldots,a_{n-1})]_{\equiv_\sigma})=\sigma(f^\mathcal{M}(a_0,\ldots,a_{n-1}))$ である。
$\sigma$ が準同型であることから $\sigma(\mathtt{f}^\mathcal{M}(a_0,\ldots,a_{n-1}))=\mathtt{f}^\mathcal{N}(\sigma(a_0),\ldots,\sigma(a_{n-1}))$ であり $\tau_{\equiv_\sigma}$ の定義が $\mathtt{f}^\mathcal{N}(\sigma(a_0),\ldots,\sigma(a_{n-1}))=\mathtt{f}^\mathcal{N}(\tau_{\equiv_\sigma}([a_0]_{\equiv_\sigma},\ldots,[a_{n-1}]_{\equiv_\sigma}))$ となる。□

==== 系2.3.10 ====

準同型 $\sigma\colon|\mathcal{M}|\to|\mathcal{N}|$ と $|\mathcal{M}|$ 上の合同関係 $\equiv_\sigma$ は $a\equiv_\sigma b$ ならば $\sigma(a)=\sigma(b)$ を満たすとする。
このとき準同型 $\tau_{\equiv_\sigma}\colon|\mathcal{M}/{\equiv}|\to|\mathcal{N}|$ が存在し $\sigma=\tau_{\equiv_\sigma}\circ\pi_{\equiv_\sigma}$ となる。
ただし $\pi_{\equiv_\sigma}\colon|\mathcal{M}|\to|\mathcal{M}/{\equiv_\sigma}|,\pi_{\equiv_\sigma}(a)=[a]_{\equiv_\sigma}$ とする。

''証明''　定理2.3.9の証明とほとんど同様で良い。□

==== 例2.3.11（準同型定理の具体例） ====

群準同型 $\sigma\colon|\mathcal{G}|\to|\mathcal{H}|$ に対して $\mathrm{Ker}(\sigma):=\{g\in|\mathcal{G}|\mid\sigma(g)=\mathtt{0}^\mathcal{H}\}$ とする。このとき $\langle \mathrm{Ker}(\sigma),\mathtt{0}^\mathcal{G},\hat{\cdot}^\mathcal{G},{-}^{\hat{-1}^\mathcal{G}}\rangle$ は $\mathcal{G}$ の部分群であり、例2.2.6で定められる同値関係を $\equiv_{\mathrm{Ker}(\sigma)}$ とすれば $g_0\equiv_{\mathrm{Ker}(\sigma)}g_1$ と $g_0\equiv_\sigma g_1$ は同値であり、従って定理2.3.9及び系2.3.10から以下の群論に於ける準同型定理が従う。
* 群準同型 $\sigma\colon|\mathcal{G}|\to|\mathcal{H}|$ 、自然な準同型 $\pi\colon|\mathcal{G}|\to|\mathcal{G}/\equiv_{\mathrm{Ker(\sigma)}}|$ に対して、準同型 $\tau\colon |\mathcal{G}/\equiv_{\mathrm{Ker(\sigma)}}|\to|\mathcal{H}|$ が存在して $\sigma=\tau\circ\pi$ であり、また $\tau$ は $\mathcal{G}/\equiv_{\mathrm{Ker(\sigma)}}$ から $\langle\mathrm{Im}(\sigma),\underline{0}^\mathcal{H},+^\mathcal{H},-^\mathcal{H}\rangle$ への同型射である。

=== 2.4. 等式論理の形式的証明 ===
==== 定義2.4.1（等式理論） ====
理論 $T$ 論理式 $\varphi$ に対して $T\vdash\varphi$ を帰納的に定義する。

1. $(\mathsf{refl})$　任意の項 $t$ に対して $T\vdash t=t$ である。

2. $(T)$　任意の $\varphi\in T$ に対して $T\vdash\varphi$ である。

3. $(\mathsf{sym})$　任意の項 $s,t$ に対して $T\vdash s=t$ ならば $T\vdash t=s$ である。

4. $(\mathsf{trans})$　任意の項 $s,t,r$ に対して $T\vdash s=t$ かつ $T\vdash t=r$ ならば $T\vdash s=r$ である。

5. $(\mathsf{sub})$　任意の変数 $u$ 、項 $s(u),t(u),r$ に対して $T\vdash s(u)=t(u)$ ならば $T\vdash s(r)=t(r)$ である。

6. $(\mathsf{comp})$　任意の関数記号 $f\in\mathscr{L}$ 、任意の項 $s_0,\ldots,s_{n-1},t_0,\ldots,t_{n-1}$ に対して、全ての$i<n$　について $T\vdash s_i=t_i$ ならば $T\vdash f(s_0,\ldots,s_{n-1})=f(t_0,\ldots,t_{n-1})$ である。

$\vdash$ に関して命題論理と同様に用語を定める。
* $T\vdash\varphi$ であるとき $T$ から $\varphi$ は''証明可能'' (provable) であるという。また $\emptyset\vdash\varphi$ であるとき単に証明可能であるといい、$\vdash\varphi$ と表す。
* $\mathrm{Th}(T):=\{\varphi\in\mathrm{EqFml}\mid T\vdash\varphi\}$ とする。また言語を明示するとき $\mathrm{Th}_\mathscr{L}(T)$ と表す。

=== 2.5. Birkhoffの完全性定理、$\mathsf{HSP}$ 定理 ===

==== 定義2.5.1（生成） ====
代数構造 $\mathcal{M}$ 、$X\subseteq|\mathcal{M}|$ とする。このとき $X\subseteq\mathcal{N}$ で $\mathcal{M}$ の部分代数のなか、領域の包含関係において最小であるとき、$\mathcal{N}$ を $X$ によって''生成される'' (generated) 部分代数であるという。

==== 定義2.5.2（自由 $\mathcal{K}$-代数） ====
$\mathcal{K}$ を代数構造からなるクラスとする。このとき $\mathcal{M}\in\mathcal{K}$ が $X$ によって生成される''自由 $\mathcal{K}$-代数'' (free $\mathcal{K}$-代数) であるとは以下を満たすことである。
* $\mathcal{M}$ は $X$ で生成される。
* 任意の $\mathcal{N}\in\mathcal{K}$ 、写像 $\sigma\colon X\to|\mathcal{N}|$ に対し、ある準同型 $\overline{\sigma}\colon|\mathcal{M}|\to|\mathcal{N}|$ で $\overline{\sigma}$ は $\sigma$ の拡大である、すなわち任意の $x\in X$ に対して $\sigma(x)=\overline{\sigma}(x)$ となるものが一意に存在する。

==== 命題2.5.3（自由生成と濃度） ====
代数構造 $\mathcal{M},\mathcal{N}\in\mathcal{K}$ でそれぞれ集合 $X,Y$ によって自由生成されていて、$X,Y$ が等濃であれば $\mathcal{M}\cong\mathcal{N}$ である。

''証明''　全単射 $\sigma\colon X\to Y$ を取る。
自由代数の定義から $\sigma,\sigma^{-1}$ は準同型 $\overline{\sigma}\colon|\mathcal{M}|\to|\mathcal{N}|,\overline{\sigma^{-1}}\colon|\mathcal{N}|\to|\mathcal{M}|$ に拡張され $\overline{\sigma^{-1}}\circ\overline{\sigma}$ は $X$ 上の恒等写像の拡張となる準同型 $|\mathcal{M}|\to|\mathcal{M}|$ で拡張の一意性から $\overline{\sigma^{-1}}\circ\overline{\sigma}=\mathrm{id}_{|\mathcal{M}|}$ 、
同様に $\overline{\sigma}\circ\overline{\sigma^{-1}}=\mathrm{id}_{|\mathcal{N}|}$ であり、$\mathcal{M}\cong\mathcal{N}$ である。

==== 定義2.5.3（項代数） ====

== 出典 ==

== 参考文献 ==

[田中19] 田中一之、数学基礎論序説、裳華房、2019。

[Sankappanavar–Burris] H.P. Sankappanavar, S. Burris, A course in universal algebra, Graduate Texts Math 78, 1981.

=== 脚注 ===
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}}

数理論理学の基礎：等式論理

2022-01-16T17:01:20Z

Alwe: /* 2.3 代数構造の理論 */

[[Category:数理論理学|トウシキロンリ]]
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{{begin |preamble }}


$
\newcommand{\Pow}[1]{\mathcal{P}(#1)}
\newcommand{\nat}{\mathbb{N}}
$

$\newcommand{\name}[1]{\underline{#1}}$

$
\newcommand{\blank}{ {-} }
$

{{newtheorem |type=theorem |display=定理 |counter=0 }}
{{newtheorem |type=lemma |display=補題 |family=theorem }}
{{newtheorem |type=definition |display=定義 |family=theorem }}
{{newtheorem |type=proposition |display=命題 |family=theorem }}
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== 2. 等式論理 ==

'''等式論理''' (equational logic) は先程までの命題論理とは異なり命題同士の関係ではなく命題の中身、特に $s=t$ という形をした等式による命題に注目する論理である。。
等式論理に対しても命題論理と同様に統語論、意味論を考える。命題論理と同様に形式的証明と、命題論理での真理値に対応する'''モデル''' (model) というのを紹介する。

形式的証明は等式の以下に上げる基本的な性質による書き換え操作によって得られる。

# '''反射律''' (reflexivity) $s=s$ である。
# '''対称律''' (symmetricity) $s=t$ ならば $t=s$ である。
# '''推移律''' (transitivity) $s=t$ かつ $t=r$ ならば $s=r$ である。
# '''代入''' (substitution) $s(u)=t(u)$ ならば $s(r)=t(r)$ である。
# '''関数との両立''' (compatibility with functions) 任意の $i<n+1$ に対して $s_i=t_i$ ならば $f(s_0,\ldots,s_n)=f(t_0,\ldots,t_n)$ である。

一方、モデルによる意味論はある種の数学的な'''代数構造''' (algebraic structure) を用いて定義される。具体的には構造が与えられたとき、その構造で満たされることを真と見做す。ここで構造というのは'''台集合''' (underlying set) とその上の関数からなる組のことである。

=== 2.1 等式論理の統語論 ===

{{theorem |type=definition |name=等式論理の記号 |label=symbols-of-equational-logic }}
等式論理の'''論理記号''' (logical symbol) は以下からなる。
* '''変数記号''' (variable symbol) $u,v,w,\ldots$ 。
* '''等号記号''' (equality symbol) $=$ 。
* '''括弧''' (brackets) $(,).$ 及び'''カンマ''' (comma) $,$ 。

変数記号の集合を $\mathrm{EqVar}$ とし、変数記号は無限個あることを仮定する。

{{theorem |type=definition |name=等式論理の代数言語 |label=algebraic-languages-of-equational-logic }}

'''代数言語''' (algebraic language) は'''関数記号''' (function symbol) からなる集合で各関数記号には'''項数''' (arity) という自然数が割り当てられているとする。

また特に項数が $0$ である関数記号を'''定数記号''' (constant symbol) という。言語の元を'''非論理記号''' (non-logical symbol) という。関数記号は有限個でも無限個あっても良い。

便宜上、代数言語を集合ではなく組として扱うこともある。

{{theorem |type=example |name=代数言語の例 |label=example-of-algebraic-languages-of-equational-logic }}
代数言語の例をいくつかあげる。
* 集合の言語 $\mathscr{L}_\mathsf{Set}:=\emptyset$ 。
* 群の言語 $\mathscr{L}_\mathsf{Grp}:=\{\mathtt{1},\mathrel{\hat{\cdot}},{-}^{\hat{-1}}\}$ 。項数は順に $0,2,1$ 。
* 環の言語 $\mathscr{L}_\mathsf{Ring}:=\{\mathtt{0},\mathtt{1},\mathrel{\hat{+}},\mathrel{\hat{-}},\mathrel{\hat{\cdot}}\}$ 。項数は順に $0,0,2,1,2$ 。
* 束の言語 $\mathscr{L}_\mathsf{Lat}:=\{\hat{\top},\hat{\bot},\mathrel{\hat{\land}},\mathrel{\hat{\lor}}\}$ 。項数は順に $0,0,2,2$ 。
* Boole代数の言語 $\mathscr{L}_\mathsf{BA}:=\{\hat{\top},\hat{\bot},\mathrel{\hat{\land}},\mathrel{\hat{\lor}},\mathrel{\hat{\lnot}}\}$ 。項数は順に $0,0,2,2,1$ 。
* $\mathcal{A}=\langle|\mathcal{A}|;0,1,+,-,\cdot\rangle$ を可換環としたとき $\mathcal{A}$-加群の言語は $\mathscr{L}_{\mathsf{Mod}_\mathcal{A}}:=\mathscr{L}_\mathsf{Grp}\cup\{\hat{a}\mid a\in|\mathcal{A}|\}$ とする。$\hat{a}$ の項数は全て $1$ である。

{{theorem |type=definition |name=等式論理の項 |label=terms-of-equational-logic}}

$\mathscr{L}$ を代数言語とする。このとき '''$\mathscr{L}$-項''' ($\mathscr{L}$-term) は以下のように帰納的に定義される文字列である。
# 変数 $u,v,w,\ldots$ は $\mathscr{L}$-項である。
# 関数記号 $\mathtt{f}$ に対し、その項数が $n$ であるとき、$\mathscr{L}$-項 $t_0,\ldots,t_{n-1}$ に対して $\mathtt{f}(t_0,\ldots,t_n)$ は$\mathscr{L}$-項である。

特に定数記号は $\mathscr{L}$-項であることに注意しよう。$\mathscr{L}$-項の集合を $\mathrm{EqTm}_\mathscr{L}$ と表す。

項数が $2$ の関数記号 $\mathtt{f}$ に対して $\mathtt{f}(s,t)$ の代わりに $s\mathrel{\mathtt{f}} t$ と'''中置記法''' (infix notation) で表し、適当に括弧を補うことがある<ref group="脚注">中置記法に対し、$\mathtt{f}(s,t)$ あるいは括弧などを省略し $\mathtt{f}st$ という記法を '''前置記法''' (prefix notation) あるいは'''ポーランド記法''' (Poland notation) といい、逆に $st\mathtt{f}$ という記法を'''後置記法''' (postfix notation) あるいは'''逆ポーランド記法''' (reverse Poland notation) という。</ref>。

{{theorem |type=definition |name=$\mathscr{L}$-項の例 |label=example-of-terms-of-equational-logic}}

項の例をいくつかあげる。
* $(u\mathrel{\hat{\cdot}}\mathtt{1})^{\hat{-1}},\mathtt{1}\mathrel{\hat{\cdot}}v$ は $\mathscr{L}_\mathsf{Grp}$-項である。
* $(\mathtt{1}\mathrel{\hat{+}}\mathtt{1})\mathrel{\hat{\cdot}} (\mathrel{\hat{-}}\mathtt{0}),(u\mathrel{\hat{+}}\mathtt{1})\mathrel{\hat{\cdot}}((\mathrel{\hat{-}}\mathtt{0})\mathrel{\hat{\cdot}}v)$ は $\mathscr{L}_\mathsf{Ring}$-項である。
* $u\mathrel{\hat{\land}} (v\mathrel{\hat{\lor}}w),(\hat{\top}\mathrel{\hat{\land}}u)\mathrel{\hat{\lor}}\hat{\bot}$ は $\mathscr{L}_\mathsf{Lat}$-項である。
* $u\mathrel{\hat{\land}}(\mathrel{\hat{\lnot}} v),(\mathrel{\hat{\lnot}}\hat{\top})\mathrel{\hat{\land}}\hat{\bot}$ は $\mathscr{L}_\mathsf{BA}$-項である。

{{theorem |type=definition |name=等式論理の論理式 |label=formulae-of-equational-logic}}
$\mathscr{L}$ を代数言語とする。このとき '''$\mathscr{L}$-論理式''' ($\mathscr{L}$-formula) は以下のように定義される文字列である。
# $\mathscr{L}$-項 $s,t$ に対して $s=t$ は$\mathscr{L}$-論理式である。
$\mathscr{L}$-論理式の集合を $\mathrm{EqFml}_\mathscr{L}$ と表す。

また等式論理の論理式を'''原子論理式''' (atomic formula) と呼ぶこともある。

{{theorem |type=definition |name=項の出現 |label=occurrence-of-terms}}

$\mathscr{L}$-項 $s$ が $\mathscr{L}$-項 $t$ に'''出現する''' (occur) あるいは単に'''現れる'''ということを $\mathscr{L}$-項 $t$ の定義に沿って帰納的に定義する。

# 変数 $u$ に対して $s$ が $u$ であるとき $u$ に $s$ が現れている。
# $\mathscr{L}$-項 $f(t_0,\ldots,t_{n-1})$ に対して、ある $i<n$ が存在し $t_i$ に $s$ が現れているか、または $s$ が $f(t_0,\ldots,t_{n-1})$ であるとき、$s$ が $f(t_0,\ldots,t_{n-1})$ に現れている。

また$\mathscr{L}$-項 $s$ が $\mathscr{L}$-論理式 $\varphi$ に現れるということを定義する。
# $t=r$ に $\mathscr{L}$-項 $s$ が現れるのは $t$ か $r$ のいずれかに現れるときである。

$\mathscr{L}$-項 $t$ に $s_0,\ldots,s_n$ が現れているとき $t(s_0,\ldots,s_n)$ などど表す。

{{theorem |type=definition |name=項の代入 |label=substitution-of-terms}}

$\mathscr{L}$-項 $s,t$ 、変数 $u$ に対して $s$ に現れる $u$ に $t$ を'''代入''' (substitution) した結果 $s[u:=t]$ を $s$ の定義に沿って帰納的に定義する。
# $s$ に $u$ が現れていないとき $s[u:=t]$ は $s$ である。
# $u[u:=t]$ を $t$ のこととする。
# $\mathtt{f}(t_0,\ldots,t_{n-1})[u:=t]$ を　$\mathtt{f}(t_0[u:=t],\ldots,t_{n-1}[u:=t])$　のこととする。

また $\mathscr{L}$-論理式 $\varphi$ 、 $\mathscr{L}$-項 $t$ 、変数 $u$ に対して $\varphi$ に現れる $u$ に $t$ を'''代入''' (substitution) した結果 $\varphi[u:=t]$ を定義する。
# $\varphi$ に $u$ が現れていないとき $\varphi[u:=t]$ は $\varphi$ である。
# $(s=r)[u:=t]$ を $s[u:=t]=t[u:=t]$ のこととする。

また $s(u)$ に対して $s(u)[u:=t]$ を単に $s(t)$ と表す。

{{theorem |type=notation |name=省略記法 |label=abbreviation}}

$\mathscr{L}$-項、$\mathscr{L}$-論理式などの「$\mathscr{L}$-」という接頭辞は、どの言語を指しているか明らかなとき、あるいは言語に拠らない議論をするとき省略する。

また命題論理と同様に以下の記法を用いる。

* 論理式の集合 $T$ を '''公理系''' (axiomatic system, axioms, axiomata) 、'''等式理論''' (equational theory) 、あるいは単に'''理論''' (theory) という。
* 理論 $T$ と論理式 $\varphi$ に対して $T+\varphi$ で $T\cup\{\varphi\}$ を表す。

=== 2.2 等式論理のモデル ===

{{theorem |type=definition |name=代数構造 |label=algebraic-structure}}

$\mathscr{L}$ を言語とする。このとき '''$\mathscr{L}$-代数構造''' ($\mathscr{L}$-algebraic structure) $\mathcal{M}$ は'''領域''' (domain) あるいは'''宇宙''' (universe) 、'''台集合''' (underlying set) と言われる空でない<ref group="脚注">空な構造を認める流儀も存在する。特に'''圏論的論理学''' (categorical logic) の文脈では、空な構造を認めた方が都合が良い場合が多い。構造からなる圏、あるいは後述するモデルからなる圏に始対象が存在しないと都合が悪い場合が多いからである。例えば後述する等式理論の項モデルの構成と類似の議論をすることによって、等式理論、あるいはその項モデルの圏論的対応物となる圏、'''Lawvere理論''' (Lawvere theory) を得ることができ、モデルとはLawvere理論から集合と写像からなる圏 $\mathrm{Set}$ への有限直積を保つ関手と思うことができるが、このような議論は空なモデルが存在しない場合、面倒な例外処理を行わなければならなくなる。またtoo simple to be simpleの理念に従っても空なモデルは認めたほうが良いと思われる。しかし数理論理学に於いては空なモデルを認めない流儀が主流である。これは等式論理の範疇では問題にならないが、一階述語論理に於いては空なモデルを許容すると、(等号を含む)関係記号を言語として持つ場合、論理式 $\forall x\varphi(x)\to\exists x\varphi(x)$ は証明可能になるが、空なモデルで成り立たない。すなわち健全性定理が成り立たなくなるのが問題となる。</ref>集合 $M$ と以下に定義される'''$\mathscr{L}$-解釈''' ($\mathscr{L}$-interpretation) ${-}^\mathcal{M}$ の組 $\langle M;{-}^\mathcal{M}\rangle$ である。

$\mathscr{L}$-解釈 ${-}^\mathcal{M}$ は以下を満たす言語 $\mathscr{L}$ からの写像である。

* 関数記号 $\mathtt{f}\in\mathscr{L}$ に対して $\mathtt{f}$ の項数が $n$ であるとき、$\mathtt{f}^\mathcal{M}\colon M^n\to M$ である。

定数記号の解釈は一つの $M$ の要素を返す関数となる。よってその返す値と同一視することで定数記号 $\mathtt{c}$ に対して $\mathtt{c}^\mathcal{M}\in M$ と見做すことができることに注意する。このような同一視を今後断りなく行うことに注意する。

代数構造 $\mathcal{M}$ が与えられたとき、$|\mathcal{M}|$ を $\mathcal{M}$ の台集合を表すことにする。また数学の慣習に基づき構造 $\mathcal{M}$ とその台集合 $|\mathcal{M}|$ を誤解を与えない範囲で同一視する。例えば $a\in |\mathcal{M}|$ の代わりに $a\in\mathcal{M}$ と表すことがある。

また $\mathcal{M}=\langle M;{-}^\mathcal{M}\rangle$ と表す代わりに解釈後の関数、関係をリストし $\mathcal{M}=\langle M;\mathtt{f}_0^\mathcal{M},\ldots,\mathtt{f}_i^\mathcal{M}\rangle$ と表すことがある。

{{theorem |type=example |name=代数構造の例 |label=examples-of-algebraic-structures}}
任意の群 $\mathcal{G}:=\langle|\mathcal{G}|;e,\cdot,{-}^{-1}\rangle$ は $\mathtt{1}^\mathcal{G}:=e,\hat{\cdot}^\mathcal{G}:=\cdot,{{-}^{\hat{-1}}}^\mathcal{G}:={-}^{-1}$ と定めることで $\mathscr{L}_\mathsf{Grp}$-構造として見做すことができる。しかし、別に群でなくても $a\in A,f\colon A^2\to A,g\colon A\to A $ に対して $\langle A;a,f,g\rangle$ は同様に $\mathscr{L}_\mathsf{Grp}$-構造として見做すことができる。

{{theorem |type=definition |name=項の解釈 |label=interpretation-of-terms}}

$\mathscr{L}$-代数構造 $\mathcal{M}=\langle M;{-}^\mathcal{M}\rangle$ と $\mathscr{L}$-閉項 $t$ に対して $t^\mathcal{M}\in M$ を帰納的に定義する。

* $\mathtt{f}(t_0,\ldots,t_{n-1})$ に対して $(\mathtt{f}(t_0,\ldots,t_{n-1}))^\mathcal{M}$ を $\mathtt{f}^\mathcal{M}(t_0^\mathcal{M},\ldots,t_{n-1}^\mathcal{M})$ と定める。

{{theorem |type=definition |name=拡大と縮約 |label=expansion-and-reduct}}

言語 $\mathscr{L}\subseteq\mathscr{L}'$ とし、$\mathcal{M}$ を $\mathscr{L}$-代数構造とし、$\mathcal{M}'$ を $\mathscr{L}'$-代数構造とする。$|\mathcal{M}|=|\mathcal{M}'|$ とし、$\mathtt{f}\in\mathscr{L}$ に対し $\mathtt{f}^\mathcal{M}=\mathtt{f}^{\mathcal{M}'}$ が成り立つとする。このとき $\mathcal{M}'$ を $\mathcal{M}$ の'''拡大''' (expansion) といい、$\mathcal{M}$ を $\mathcal{M}'$ の'''縮約''' (reduct) という。

{{theorem |type=example |name=拡大と縮約の例 |label=expansion-and-reduct}}
任意の環 $\mathcal{R}=\langle|\mathcal{R}|;\mathtt{0}^\mathcal{R},\mathtt{1}^\mathcal{R},\hat{+}^\mathcal{R},\hat{-}^\mathcal{R},\hat{\cdot}^\mathcal{R}\rangle$ はその加法群 $\mathcal{R}^+=\langle|\mathcal{R}|;\mathtt{0}^\mathcal{R},\hat{+}^\mathcal{R},{-}^\mathcal{R}\rangle$ の拡張となる。ここで群の言語は $\{\mathtt{1},\hat{\cdot},{-}^{\hat{-1}}\}$ であったが記号を変えて $\{\mathtt{0},\hat{+},\hat{-}\}$ としても本質的になにも変わらない。実際、[[Abel群]]に対してはこのように書かれることが多い。
一方、加法群と違い、乗法群 $\mathcal{R}^\times=\langle|\mathcal{R}|\setminus\{\mathtt{0}^\mathcal{R}\};\mathtt{0}^\mathcal{R},\hat{+}^\mathcal{R},{-}^\mathcal{R}\rangle$ は領域がことなるため拡張にはならない。

{{theorem |type=definition |name=名前 |label=name}}

$\mathscr{L}$-代数構造 $\mathcal{M}$ に対して言語 $\mathscr{L}(\mathcal{M})$ と $\mathscr{L}(\mathcal{M})$-代数構造 $\mathcal{M}_\mathrm{par}$ を定義する。
* $\mathscr{L}(\mathcal{M})$ には $\mathscr{L}$ の元に加え、$a\in|\mathcal{M}|$ に対する定数記号 $\underline{a}$ を持つ。この定数記号 $\underline{a}$ を $a$ の ''名前''(name) や''パラメータ'' (parameter) という。名前を単に $a$ と表すこともある。
* $\mathcal{M}_\mathrm{par}$ は $\mathcal{M}$ の拡大であり、$\underline{a}^{\mathcal{M}_\mathrm{par}}:=a$ とする。

誤解を生じないとき $\mathcal{M}_\mathrm{par}$ を単に $\mathcal{M}$ と表す。

{{theorem |type=definition |name=充足可能性関係 |label=satisfiability-relation}}

$\mathscr{L}$-代数構造 $\mathcal{M}$ と $\mathscr{L}(\mathcal{M})$-論理式 $s(u_0,\ldots,u_{n-1})=t(v_0,\ldots,v_{m-1})$ に対し '''充足可能性関係''' (satisfiability relation) $\mathcal{M}\models s(u_0,\ldots,u_{n-1})=t(v_0,\ldots,v_{m-1})$ を定義する<ref group="脚注">充足可能性関係の定義には名前ではなく、'''割り当て''' (assignment) と呼ばれる、論理式に出現する変数記号から領域への写像を用いて、閉項に対して定義された解釈を割り当てを用いて閉項とは限らない項に拡張することで定義する流儀もある。</ref>。
ここで $s(u_0,\ldots,u_{n-1})=t(v_0,\ldots,v_{m-1})$ に現れる変数は $u_0,\ldots,u_{n-1},v_0,\ldots,v_{m-1}$ に限るとする。

#　$\mathcal{M}\models s(u_0,\ldots,u_{n-1})=t(v_0,\ldots,v_{m-1})$ となるのは任意の $a_0,\ldots,a_{n-1},b_0,\ldots,b_{m-1}\in |\mathcal{M}|$ に対して $(s(u_0,\ldots,u_{n-1})[u_0:=\underline{a_0}]\cdots[u_{n-1}:=\underline{a_{n-1}}])^{\mathcal{M}_\mathrm{par}}=(t(v_0,\ldots,v_{m-1})[v_0:=\underline{b_0}]\cdots[v_{m-1}:=\underline{b_{m-1}}])^{\mathcal{M}_\mathrm{par}})$ が成り立つことである。

ここで $\mathcal{M}\models s(u_0,\ldots,u_{n-1})=t(v_0,\ldots,v_{m-1})$ に含まれる $=$ は等号記号だが、$(s(u_0,\ldots,u_{n-1})[u_0:=\underline{a_0}]\cdots[u_{n-1}:=\underline{a_{n-1}}])^{\mathcal{M}_\mathrm{par}}=(t(v_0,\ldots,v_{m-1})[v_0:=\underline{b_0}]\cdots[v_{m-1}:=\underline{b_{m-1}}])^{\mathcal{M}_\mathrm{par}})$　に表れる $=$ は実際の等号であることに注意されたい。また $\models$ に対していくつかの用語を定める。

* $T$ を理論とし、任意の $\varphi\in T$ に対して $\mathcal{M}\models\varphi$ となっているとする。このとき $\mathcal{M}$ を $T$ の'''モデル''' (model) であるといい、$\mathcal{M}\models\varphi$ と表す。
* $T$ の任意のモデル $\mathcal{M}$ に対して $\mathcal{M}\models\varphi$ であるとき $\varphi$ は $T$ からの'''論理的帰結''' (logical consequence) であるといい、$T\models \varphi$ と表す。

{{theorem |type=example |name=モデルの例 |label=examples-of-models}}
$\mathscr{L}_\mathsf{Grp}$-理論 $\mathsf{Grp}$ を以下の論理式からなるものとする。
* $u\mathrel{\hat{\cdot}}(v\mathrel{\hat{\cdot}}w)=(u\mathrel{\hat{\cdot}}v)\mathrel{\hat{\cdot}}w$ 。
* $u\mathrel{\hat{\cdot}}\mathtt{0}=u$ 。
* $u\mathrel{\hat{\cdot}}(u^{\hat{-1}})=\mathtt{0}$ 。

$\mathsf{Grp}$ のモデルは群そのものである。

$\mathscr{L}_\mathsf{Ring}$-理論 $\mathsf{Ring}$ を以下の論理式からなるものとする。

* $u\mathrel{\hat{+}}(v\mathrel{\hat{+}}w)=(u\mathrel{\hat{+}}v)\mathrel{\hat{+}}w$ 。
* $u\mathrel{\hat{+}}\mathtt{0}=u$ 。
* $u\mathrel{\hat{+}}(\mathrel{\hat{-}}u)=\mathtt{0}$ 。
* $u\mathrel{\hat{+}}v=v\mathrel{\hat{+}}u$ 。
* $u\mathrel{\hat{\cdot}} (v\mathrel{\hat{\cdot}} w)=(u\mathrel{\hat{\cdot}} v)\mathrel{\hat{\cdot}} w$ 。
* $u\mathrel{\hat{\cdot}} (v\mathrel{\hat{+}}w)=(u\mathrel{\hat{\cdot}} v)\mathrel{\hat{+}}(u\mathrel{\hat{\cdot}} w)$ 。
* $u\mathrel{\hat{\cdot}}\mathtt{1}=u$ 。

$\mathsf{Ring}$ のモデルも同様に環である。

言語 $\mathscr{L}_{\mathsf{Mod}_\mathcal{A}}$ 上の理論 $\mathsf{Mod}_\mathcal{A}$ は[[アーベル群]]の公理と任意の $a,b\in |\mathcal{A}|$ に対して以下の論理式からなるものとする。

* $\hat{a}(x\mathrel{\hat{+}}y)=\hat{a}(x)\mathrel{\hat{+}}\hat{a}(y)$ 。
* $\widehat{a\mathrel{+_\mathcal{A}}b}(x)=\hat{a}(x)\mathrel{\hat{+}}\hat{b}(x)$ 。
* $\widehat{a\mathrel{\cdot_\mathcal{A}} b}(x)=\hat{a}(\hat{b}(x))$ 。
* $\widehat{1_{\mathcal{A}}}(x)=x$

言語 $\mathscr{L}_\mathsf{Set}$ 上の理論 $\emptyset$ のモデルは空でない集合 $X$ に対して $\langle X\rangle$ という形をした構造である。これは空でない集合と同一視できる。

言語 $\mathscr{L}_\mathsf{SGrp}:=\{\hat{\cdot}\}$ とし、理論 $\mathsf{SGrp}$ を

* $u\mathrel{\hat{\cdot}}(v\mathrel{\hat{\cdot}}w)=(u\mathrel{\hat{\cdot}}v)\mathrel{\hat{\cdot}}w$ 。

とする。このとき理論 $\mathsf{SGrp}$ のモデルは空でない半群全体となる。

=== 2.3 代数構造の理論 ===
{{theorem |type=definition |name=準同型、同型 |label=homomorphism-and-isomorphism}}

$\mathscr{L}$-代数構造 $\mathcal{M},\mathcal{N}$ に対して $\sigma\colon|\mathcal{M}|\to|\mathcal{N}|$ が'''準同型射''' (homomorphism) であるとは、任意の $\mathtt{f}\in\mathscr{L}$ 、$a_0,\ldots,a_{n-1}\in|\mathcal{M}|$ に対し $\sigma(\mathtt{f}^\mathcal{M}(a_0,\ldots,a_{n-1}))=\mathtt{f}^\mathcal{N}(\sigma(a_0),\ldots,\sigma(a_{n-1}))$ が成り立つことである。すなわち、以下の図式を可換にするような写像である。

また準同型 $\sigma\colon|\mathcal{M}|\to|\mathcal{N}|,\tau\colon|\mathcal{N}|\to|\mathcal{M}|$ が存在し $\tau\circ\sigma =\mathrm{id}_\mathcal{M},\sigma\circ\tau =\mathrm{id}_\mathcal{N}$ となるとき $\mathcal{M}$ と $\mathcal{N}$ は'''同型''' (isomorphic))であるといい $\mathcal{M}\cong\mathcal{N}$ と表し、$\sigma,\tau$ を''同型射'' (isomorphism) であるという。
ここで $\mathrm{id}_\mathcal{M}\colon|\mathcal{M}|\to|\mathcal{M}|,\mathrm{id}_\mathcal{M}(a)=a,\mathrm{id}_\mathcal{N}\colon|\mathcal{N}|\to|\mathcal{N}|,\mathrm{id}_\mathcal{N}(b)=b$ とする。

{{theorem |type=definition |name=部分代数 |label=subalgebra}}

$\mathscr{L}$-代数構造 $\mathcal{M},\mathcal{N}$ に対して、$\mathcal{N}$ が $\mathcal{M}$ の'''部分代数''' (subalgebra) であるとは $|\mathcal{N}|\subseteq|\mathcal{M}|$ かつ、任意の $\mathtt{f}\in\mathscr{L}$ 、任意の $b_0,\ldots,b_{n-1}\in|\mathcal{N}|$ に対し $\mathtt{f}^\mathcal{N}(b_0,\ldots,b_{n-1})=\mathtt{f}^\mathcal{M}(b_0,\ldots,b_{n-1})$ を満たすことである。

{{theorem |type=definition |name=直積代数 |label=direct-product-of-algebra}}
$\{\mathcal{M}_{i\in I}\}$ を $I$ によって添字付けられた $\mathscr{L}$-代数構造の族とする。$\{\mathcal{M}_{i\in I}\}$ の'''直積''' (direct product) 、$\prod_{i\in I}\mathcal{M}_i$ は以下のように定義される $\mathscr{L}$-代数構造である。
# 台集合は台集合の直積とする。すなわち $|\prod_{i\in I}\mathcal{M}_i|:=\prod_{i\in I}|\mathcal{M}_i|$ とする。
# $n$-変数関数記号 $\mathtt{f}\in\mathscr{L}$ に対して $\mathtt{f}^{\prod_{i\in I}\mathcal{M}_i}\colon\left(\prod_{i\in I}\mathcal{M}_i\right)^n\to\prod_{i\in I}\mathcal{M}_i$ を $\mathtt{f}^{\prod_{i\in I}\mathcal{M}_i}(a_0,\ldots,a_{n-1}):=\lambda i\in I.\mathtt{f}^
{\mathcal{M}_i}(a_0(i),\ldots,a_{n-1}(i))$ とする。ここで $\lambda i\in I.\mathtt{f}^
{\mathcal{M}_i}(a_0(i),\ldots,a_{n-1}(i))$ は $i\mapsto\mathtt{f}^
{\mathcal{M}_i}(a_0(i),\ldots,a_{n-1}(i))$ となる写像を表すものとする。

==== 命題2.3.3（代数構造の同型に対する必要十分条件） ====

$\mathcal{M}\cong\mathcal{N}$ であるのは全単射準同型 $\upsilon\colon\mathcal{M}\to\mathcal{N}$ が存在するときであり、またそれに限る。

''証明''　$\mathcal{M}\cong\mathcal{N}$ であると仮定する。仮定より準同型 $\sigma\colon\mathcal{M}\to\mathcal{N},\tau\colon\mathcal{N}\to\mathcal{M}$ で $\sigma\circ\tau,\tau\circ\sigma$ が恒等となるものを取る。$\sigma,\tau$ は互いに逆写像であり、よって全単射である。

逆を示す。$\upsilon\circ\upsilon^{-1},\upsilon^{-1}\circ\upsilon$ が恒等になるのは明らかである。よって $\upsilon^{-1}\colon\mathcal{N}\to\mathcal{M}$ が準同型となることを確認すれば良い。
$\upsilon$ は全単射であるから、ある $a_0,\ldots,a_{n-1}\in|\mathcal{M}|$ が存在して $\upsilon(a_0)=b_0,\ldots,\upsilon(a_{n-1})=b_{n-1}$ である。
よって $\upsilon^{-1}(\mathtt{f}^\mathcal{N}(b_0,\ldots,b_{n-1}))=\upsilon^{-1}(\mathtt{f}^\mathcal{N}(\upsilon(a_0),\ldots,\upsilon(a_{n-1})))$ であり、$\upsilon$ は準同型であるから $\upsilon^{-1}(\mathtt{f}^\mathcal{N}(\upsilon(a_0),\ldots,\upsilon(a_{n-1})))=\upsilon^{-1}(\upsilon(\mathtt{f}^\mathcal{M}(a_0,\ldots,a_{n-1})))$ となる。
従って $\upsilon^{-1}(\upsilon(\mathtt{f}^\mathcal{M}(a_0,\ldots,a_{n-1})))=\mathtt{f}^\mathcal{M}(a_0,\ldots,a_{n-1})$　であり、$a_0=\upsilon^{-1}(b_0),\ldots,a_{n-1}=\upsilon^{-1}(b_{n-1})$ より良い。□

==== 定義2.3.4（合同関係） ====
$\mathcal{M}$ を代数構造とし、$\equiv$ を $|\mathcal{M}|$ 上の同値関係で $\mathtt{f}\in\mathscr{L}$ に対して $\mathtt{f}^\mathcal{M}$ と両立する、すなわち任意の $a_0,\ldots,a_{n-1},b_0,\ldots,b_{n-1}\in |\mathcal{M}|$ に対して、任意の $i<n$ について $a_i\equiv b_i$ $\equiv$ であるならば $\mathtt{f}^\mathcal{M}(a_0,\ldots,a_{n-1})\equiv\mathtt{f}^\mathcal{M}(b_0,\ldots,b_{n-1})$ が成り立つとき $\equiv$ は $\mathcal{M}$ 上の''合同関係'' (congruence relation) である、あるいは同値関係 $\equiv$ は $\mathtt{f}^\mathcal{M}$ に対して　''well-defined''であるという。
==== 定義2.3.5（剰余代数） ====

$\mathcal{M}$ を代数構造とし、$\equiv$ を $\mathcal{M}$ 上の合同関係とする。剰余代数'' (factor algebra, quotient algebra) $\mathcal{M}/{\equiv}:=\langle|\mathcal{M}|/{\equiv};{-}^{\mathcal{M}/{\equiv}}\rangle$ を以下のように定める。
* $|\mathcal{M}|/{\equiv}$ は $|\mathcal{M}|$ の $\equiv$ による商集合とし $a\in|\mathcal{M}|$ に対して $[a]_\equiv$ を $\equiv$ による同値類とする。
* $\mathtt{f}\in\mathscr{L}$ に対して $\mathtt{f}^{\mathcal{M}/{\equiv}}([a_0]_\equiv,\ldots,[a_{n-1}]_\equiv):=[\mathtt{f}^\mathcal{M}(a_0,\ldots,a_{n-1})]_\equiv$ とする。

==== 例2.3.6（剰余代数の例） ====

$\mathcal{G}$ を群、$\mathcal{H}$ を $\mathcal{G}$ の正規部分群、すなわち $\mathcal{H}$ は $\mathcal{G}$ の部分代数で、任意の $g\in|\mathcal{G}|,h\in|\mathcal{H}|$ に対し $(g\hat{\cdot}^\mathcal{G} h){\hat{\cdot}}^\mathcal{G}\left(g^{\hat{-1}^\mathcal{G}}\right)\in|\mathcal{H}|$ であるとする。$|\mathcal{G}|$ 上の合同関係　$\equiv_\mathcal{H}$ を $x\equiv_\mathcal{H} y:\Leftrightarrow x\hat{\cdot}^\mathcal{G}\left(y^{\hat{-1}^\mathcal{G}}\right)\in|\mathcal{H}|$ と定める。
このとき $\mathcal{G}/{\equiv_\mathcal{H}}$ を $\mathcal{G}/\mathcal{H}$ と表す。

$\mathcal{M}$ を可換環、$\mathcal{I}:=\langle|\mathcal{I}|;\mathtt{0}^\mathcal{I},\mathtt{1}^\mathcal{I},\hat{+}^\mathcal{I},\hat{-}^\mathcal{I},\hat{\cdot}^\mathcal{I}\rangle$ を $\mathcal{M}$ のイデアル、すなわち以下を満たすとする。
* $\langle|\mathcal{I}|;\mathtt{0}^\mathcal{I},\hat{+}^\mathcal{I},\hat{-}^\mathcal{I}\rangle$ は $\langle|\mathcal{M}|;\mathtt{0}^\mathcal{M},\hat{+}^\mathcal{M},\hat{-}^\mathcal{M}\rangle$ の部分構造である。
* 任意の $a\in|\mathcal{M}|,x\in|\mathcal{I}|$ に対し $a\hat{\cdot}^\mathcal{M}x\in|\mathcal{I}|$ である。

このとき上記の例と同様に $\equiv_\mathcal{I}$ を定義でき $\mathcal{M}/{\equiv_\mathcal{I}}$ を $\mathcal{M}/\mathcal{I}$ を表す。

==== 補題2.3.7（剰余代数と準同型） ====

代数構造 $\mathcal{M}$ と合同関係 $\equiv$ に対して $\pi_\equiv\colon|\mathcal{M}|\to|\mathcal{M}|/{\equiv},\pi_\equiv(a):=[a]_\equiv$ とする。このとき $\pi_\equiv$ は準同型となる。この準同型を $\equiv$ に対する自然な準同型という。

''証明''　剰余代数の定義より明らかである。□

==== 補題2.3.8（準同型と合同関係） ====

代数構造 $\mathcal{M},\mathcal{N}$ 、準同型 $\sigma\colon|\mathcal{M}|\to|\mathcal{N}|$ に対して $|\mathcal{M}|$ 上の二項関係 $\equiv_\sigma$ を $a\equiv_\sigma b:\Leftrightarrow\sigma(a)=\sigma(b)$ とする((これを $\sigma$ による''核'' (kernel) ということがある。))。このとき $\equiv_\sigma$ は合同関係である。

''証明''　$\equiv_\sigma$ が同値関係であることは明らかである。よって関数と両立することを示そう。
今 $\mathtt{f}$ の項数を $n$ とし任意の $i<n$ に対して $a_i\equiv_\sigma b_i$ であると仮定し、$\mathtt{f}^\mathcal{M}(a_0,\ldots,a_{n-1})\equiv_\sigma \mathtt{f}^\mathcal{M}(b_0,\ldots,b_{n-1})$ 、すなわち $\sigma(\mathtt{f}^\mathcal{M}(a_0,\ldots,a_{n-1}))=\sigma(\mathtt{f}^\mathcal{M}(b_0,\ldots,b_{n-1}))$ を示せば良い。
$\sigma$ が準同型であるという仮定から $\sigma(\mathtt{f}^\mathcal{M}(a_0,\ldots,a_{n-1}))=\mathtt{f}^\mathcal{N}(\sigma(a_0),\ldots,\sigma(a_{n-1}))$ であり、 $\equiv_\sigma$ の定義から $\mathtt{f}^\mathcal{N}(\sigma(a_0),\ldots,\sigma(a_{n-1}))=\mathtt{f}^\mathcal{N}(\sigma(b_0),\ldots,\sigma(b_{n-1}))$ 、よってもう一度 $\sigma$ が準同型であることから $\mathtt{f}^\mathcal{N}(\sigma(b_0),\ldots,\sigma(b_{n-1}))=\sigma(\mathtt{f}^\mathcal{M}(b_0,\ldots,b_{n-1}))$ 。□

==== 定理2.3.9（準同型定理 (homomorphism theorem) ） ====

全射準同型 $\sigma\colon|\mathcal{M}|\to|\mathcal{N}|$ に対して、同型 $\tau_{\equiv_\sigma}\colon|\mathcal{M}/{\equiv_\sigma}|\to|\mathcal{N}|$ が存在して $\sigma=\tau_{\equiv_\sigma}\circ\pi_{\equiv_\sigma}$ となる。
ここで $a\equiv_\sigma b:\Leftrightarrow\sigma(a)=\sigma(b)$ 、$\pi_{\equiv_\sigma}\colon|\mathcal{M}|\to|\mathcal{M}/{\equiv_\sigma}|,\pi_{\equiv_\sigma}(a)=[a]_{\equiv_\sigma}$ とする。

''証明''　まず $\tau_{\equiv_\sigma}([a]_{\equiv_\sigma}):=\sigma(a)$ とする。これが写像となることを示す。左全域性は明らかなので右一意性を示そう。
$[a]_{\equiv_\sigma}=[b]_{\equiv_\sigma}$ とすれば $\equiv_\sigma$ の定義から、$\sigma(a)=\sigma(b)$ であり良い。
同様に逆も言えるため左一意性、すなわち $\tau_{\equiv_\sigma}$ が単射であることも従う。また $\sigma$ が全射であることから $\tau_{\equiv_\sigma}$ も全射である。命題2.3.3より
準同型であることを示せば十分である。
剰余代数の定義から $\tau_{\equiv_\sigma}(\mathtt{f}^{\mathcal{M}/{\equiv_\sigma}}([a_0]_{\equiv_\sigma},\ldots,[a_{n-1}]_{\equiv_\sigma}))=\tau_{\equiv_\sigma}([\mathtt{f}^\mathcal{M}(a_0,\ldots,a_{n-1})]_{\equiv_\sigma})$ であり、$\tau_{\equiv_\sigma}$ の定義から $\tau_{\equiv_\sigma}([f^\mathcal{M}(a_0,\ldots,a_{n-1})]_{\equiv_\sigma})=\sigma(f^\mathcal{M}(a_0,\ldots,a_{n-1}))$ である。
$\sigma$ が準同型であることから $\sigma(\mathtt{f}^\mathcal{M}(a_0,\ldots,a_{n-1}))=\mathtt{f}^\mathcal{N}(\sigma(a_0),\ldots,\sigma(a_{n-1}))$ であり $\tau_{\equiv_\sigma}$ の定義が $\mathtt{f}^\mathcal{N}(\sigma(a_0),\ldots,\sigma(a_{n-1}))=\mathtt{f}^\mathcal{N}(\tau_{\equiv_\sigma}([a_0]_{\equiv_\sigma},\ldots,[a_{n-1}]_{\equiv_\sigma}))$ となる。□

==== 系2.3.10 ====

準同型 $\sigma\colon|\mathcal{M}|\to|\mathcal{N}|$ と $|\mathcal{M}|$ 上の合同関係 $\equiv_\sigma$ は $a\equiv_\sigma b$ ならば $\sigma(a)=\sigma(b)$ を満たすとする。
このとき準同型 $\tau_{\equiv_\sigma}\colon|\mathcal{M}/{\equiv}|\to|\mathcal{N}|$ が存在し $\sigma=\tau_{\equiv_\sigma}\circ\pi_{\equiv_\sigma}$ となる。
ただし $\pi_{\equiv_\sigma}\colon|\mathcal{M}|\to|\mathcal{M}/{\equiv_\sigma}|,\pi_{\equiv_\sigma}(a)=[a]_{\equiv_\sigma}$ とする。

''証明''　定理2.3.9の証明とほとんど同様で良い。□

==== 例2.3.11（準同型定理の具体例） ====

群準同型 $\sigma\colon|\mathcal{G}|\to|\mathcal{H}|$ に対して $\mathrm{Ker}(\sigma):=\{g\in|\mathcal{G}|\mid\sigma(g)=\mathtt{0}^\mathcal{H}\}$ とする。このとき $\langle \mathrm{Ker}(\sigma),\mathtt{0}^\mathcal{G},\hat{\cdot}^\mathcal{G},{-}^{\hat{-1}^\mathcal{G}}\rangle$ は $\mathcal{G}$ の部分群であり、例2.2.6で定められる同値関係を $\equiv_{\mathrm{Ker}(\sigma)}$ とすれば $g_0\equiv_{\mathrm{Ker}(\sigma)}g_1$ と $g_0\equiv_\sigma g_1$ は同値であり、従って定理2.3.9及び系2.3.10から以下の群論に於ける準同型定理が従う。
* 群準同型 $\sigma\colon|\mathcal{G}|\to|\mathcal{H}|$ 、自然な準同型 $\pi\colon|\mathcal{G}|\to|\mathcal{G}/\equiv_{\mathrm{Ker(\sigma)}}|$ に対して、準同型 $\tau\colon |\mathcal{G}/\equiv_{\mathrm{Ker(\sigma)}}|\to|\mathcal{H}|$ が存在して $\sigma=\tau\circ\pi$ であり、また $\tau$ は $\mathcal{G}/\equiv_{\mathrm{Ker(\sigma)}}$ から $\langle\mathrm{Im}(\sigma),\underline{0}^\mathcal{H},+^\mathcal{H},-^\mathcal{H}\rangle$ への同型射である。

=== 2.4. 等式論理の形式的証明 ===
==== 定義2.4.1（等式理論） ====
理論 $T$ 論理式 $\varphi$ に対して $T\vdash\varphi$ を帰納的に定義する。

1. $(\mathsf{refl})$　任意の項 $t$ に対して $T\vdash t=t$ である。

2. $(T)$　任意の $\varphi\in T$ に対して $T\vdash\varphi$ である。

3. $(\mathsf{sym})$　任意の項 $s,t$ に対して $T\vdash s=t$ ならば $T\vdash t=s$ である。

4. $(\mathsf{trans})$　任意の項 $s,t,r$ に対して $T\vdash s=t$ かつ $T\vdash t=r$ ならば $T\vdash s=r$ である。

5. $(\mathsf{sub})$　任意の変数 $u$ 、項 $s(u),t(u),r$ に対して $T\vdash s(u)=t(u)$ ならば $T\vdash s(r)=t(r)$ である。

6. $(\mathsf{comp})$　任意の関数記号 $f\in\mathscr{L}$ 、任意の項 $s_0,\ldots,s_{n-1},t_0,\ldots,t_{n-1}$ に対して、全ての$i<n$　について $T\vdash s_i=t_i$ ならば $T\vdash f(s_0,\ldots,s_{n-1})=f(t_0,\ldots,t_{n-1})$ である。

$\vdash$ に関して命題論理と同様に用語を定める。
* $T\vdash\varphi$ であるとき $T$ から $\varphi$ は''証明可能'' (provable) であるという。また $\emptyset\vdash\varphi$ であるとき単に証明可能であるといい、$\vdash\varphi$ と表す。
* $\mathrm{Th}(T):=\{\varphi\in\mathrm{EqFml}\mid T\vdash\varphi\}$ とする。また言語を明示するとき $\mathrm{Th}_\mathscr{L}(T)$ と表す。

=== 2.5. Birkhoffの完全性定理、$\mathsf{HSP}$ 定理 ===

==== 定義2.5.1（生成） ====
代数構造 $\mathcal{M}$ 、$X\subseteq|\mathcal{M}|$ とする。このとき $X\subseteq\mathcal{N}$ で $\mathcal{M}$ の部分代数のなか、領域の包含関係において最小であるとき、$\mathcal{N}$ を $X$ によって''生成される'' (generated) 部分代数であるという。

==== 定義2.5.2（自由 $\mathcal{K}$-代数） ====
$\mathcal{K}$ を代数構造からなるクラスとする。このとき $\mathcal{M}\in\mathcal{K}$ が $X$ によって生成される''自由 $\mathcal{K}$-代数'' (free $\mathcal{K}$-代数) であるとは以下を満たすことである。
* $\mathcal{M}$ は $X$ で生成される。
* 任意の $\mathcal{N}\in\mathcal{K}$ 、写像 $\sigma\colon X\to|\mathcal{N}|$ に対し、ある準同型 $\overline{\sigma}\colon|\mathcal{M}|\to|\mathcal{N}|$ で $\overline{\sigma}$ は $\sigma$ の拡大である、すなわち任意の $x\in X$ に対して $\sigma(x)=\overline{\sigma}(x)$ となるものが一意に存在する。

==== 命題2.5.3（自由生成と濃度） ====
代数構造 $\mathcal{M},\mathcal{N}\in\mathcal{K}$ でそれぞれ集合 $X,Y$ によって自由生成されていて、$X,Y$ が等濃であれば $\mathcal{M}\cong\mathcal{N}$ である。

''証明''　全単射 $\sigma\colon X\to Y$ を取る。
自由代数の定義から $\sigma,\sigma^{-1}$ は準同型 $\overline{\sigma}\colon|\mathcal{M}|\to|\mathcal{N}|,\overline{\sigma^{-1}}\colon|\mathcal{N}|\to|\mathcal{M}|$ に拡張され $\overline{\sigma^{-1}}\circ\overline{\sigma}$ は $X$ 上の恒等写像の拡張となる準同型 $|\mathcal{M}|\to|\mathcal{M}|$ で拡張の一意性から $\overline{\sigma^{-1}}\circ\overline{\sigma}=\mathrm{id}_{|\mathcal{M}|}$ 、
同様に $\overline{\sigma}\circ\overline{\sigma^{-1}}=\mathrm{id}_{|\mathcal{N}|}$ であり、$\mathcal{M}\cong\mathcal{N}$ である。

==== 定義2.5.3（項代数） ====

== 出典 ==

== 参考文献 ==

[田中19] 田中一之、数学基礎論序説、裳華房、2019。

[Sankappanavar–Burris] H.P. Sankappanavar, S. Burris, A course in universal algebra, Graduate Texts Math 78, 1981.

=== 脚注 ===
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}}

数理論理学の基礎：等式論理

2022-01-16T15:17:44Z

Alwe: /* 2.2 等式論理のモデル */

[[Category:数理論理学|トウシキロンリ]]
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== 2. 等式論理 ==

'''等式論理''' (equational logic) は先程までの命題論理とは異なり命題同士の関係ではなく命題の中身、特に $s=t$ という形をした等式による命題に注目する論理である。。
等式論理に対しても命題論理と同様に統語論、意味論を考える。命題論理と同様に形式的証明と、命題論理での真理値に対応する'''モデル''' (model) というのを紹介する。

形式的証明は等式の以下に上げる基本的な性質による書き換え操作によって得られる。

# '''反射律''' (reflexivity) $s=s$ である。
# '''対称律''' (symmetricity) $s=t$ ならば $t=s$ である。
# '''推移律''' (transitivity) $s=t$ かつ $t=r$ ならば $s=r$ である。
# '''代入''' (substitution) $s(u)=t(u)$ ならば $s(r)=t(r)$ である。
# '''関数との両立''' (compatibility with functions) 任意の $i<n+1$ に対して $s_i=t_i$ ならば $f(s_0,\ldots,s_n)=f(t_0,\ldots,t_n)$ である。

一方、モデルによる意味論はある種の数学的な'''代数構造''' (algebraic structure) を用いて定義される。具体的には構造が与えられたとき、その構造で満たされることを真と見做す。ここで構造というのは'''台集合''' (underlying set) とその上の関数からなる組のことである。

=== 2.1 等式論理の統語論 ===

{{theorem |type=definition |name=等式論理の記号 |label=symbols-of-equational-logic }}
等式論理の'''論理記号''' (logical symbol) は以下からなる。
* '''変数記号''' (variable symbol) $u,v,w,\ldots$ 。
* '''等号記号''' (equality symbol) $=$ 。
* '''括弧''' (brackets) $(,).$ 及び'''カンマ''' (comma) $,$ 。

変数記号の集合を $\mathrm{EqVar}$ とし、変数記号は無限個あることを仮定する。

{{theorem |type=definition |name=等式論理の代数言語 |label=algebraic-languages-of-equational-logic }}

'''代数言語''' (algebraic language) は'''関数記号''' (function symbol) からなる集合で各関数記号には'''項数''' (arity) という自然数が割り当てられているとする。

また特に項数が $0$ である関数記号を'''定数記号''' (constant symbol) という。言語の元を'''非論理記号''' (non-logical symbol) という。関数記号は有限個でも無限個あっても良い。

便宜上、代数言語を集合ではなく組として扱うこともある。

{{theorem |type=example |name=代数言語の例 |label=example-of-algebraic-languages-of-equational-logic }}
代数言語の例をいくつかあげる。
* 集合の言語 $\mathscr{L}_\mathsf{Set}:=\emptyset$ 。
* 群の言語 $\mathscr{L}_\mathsf{Grp}:=\{\mathtt{1},\mathrel{\hat{\cdot}},{-}^{\hat{-1}}\}$ 。項数は順に $0,2,1$ 。
* 環の言語 $\mathscr{L}_\mathsf{Ring}:=\{\mathtt{0},\mathtt{1},\mathrel{\hat{+}},\mathrel{\hat{-}},\mathrel{\hat{\cdot}}\}$ 。項数は順に $0,0,2,1,2$ 。
* 束の言語 $\mathscr{L}_\mathsf{Lat}:=\{\hat{\top},\hat{\bot},\mathrel{\hat{\land}},\mathrel{\hat{\lor}}\}$ 。項数は順に $0,0,2,2$ 。
* Boole代数の言語 $\mathscr{L}_\mathsf{BA}:=\{\hat{\top},\hat{\bot},\mathrel{\hat{\land}},\mathrel{\hat{\lor}},\mathrel{\hat{\lnot}}\}$ 。項数は順に $0,0,2,2,1$ 。
* $\mathcal{A}=\langle|\mathcal{A}|;0,1,+,-,\cdot\rangle$ を可換環としたとき $\mathcal{A}$-加群の言語は $\mathscr{L}_{\mathsf{Mod}_\mathcal{A}}:=\mathscr{L}_\mathsf{Grp}\cup\{\hat{a}\mid a\in|\mathcal{A}|\}$ とする。$\hat{a}$ の項数は全て $1$ である。

{{theorem |type=definition |name=等式論理の項 |label=terms-of-equational-logic}}

$\mathscr{L}$ を代数言語とする。このとき '''$\mathscr{L}$-項''' ($\mathscr{L}$-term) は以下のように帰納的に定義される文字列である。
# 変数 $u,v,w,\ldots$ は $\mathscr{L}$-項である。
# 関数記号 $\mathtt{f}$ に対し、その項数が $n$ であるとき、$\mathscr{L}$-項 $t_0,\ldots,t_{n-1}$ に対して $\mathtt{f}(t_0,\ldots,t_n)$ は$\mathscr{L}$-項である。

特に定数記号は $\mathscr{L}$-項であることに注意しよう。$\mathscr{L}$-項の集合を $\mathrm{EqTm}_\mathscr{L}$ と表す。

項数が $2$ の関数記号 $\mathtt{f}$ に対して $\mathtt{f}(s,t)$ の代わりに $s\mathrel{\mathtt{f}} t$ と'''中置記法''' (infix notation) で表し、適当に括弧を補うことがある<ref group="脚注">中置記法に対し、$\mathtt{f}(s,t)$ あるいは括弧などを省略し $\mathtt{f}st$ という記法を '''前置記法''' (prefix notation) あるいは'''ポーランド記法''' (Poland notation) といい、逆に $st\mathtt{f}$ という記法を'''後置記法''' (postfix notation) あるいは'''逆ポーランド記法''' (reverse Poland notation) という。</ref>。

{{theorem |type=definition |name=$\mathscr{L}$-項の例 |label=example-of-terms-of-equational-logic}}

項の例をいくつかあげる。
* $(u\mathrel{\hat{\cdot}}\mathtt{1})^{\hat{-1}},\mathtt{1}\mathrel{\hat{\cdot}}v$ は $\mathscr{L}_\mathsf{Grp}$-項である。
* $(\mathtt{1}\mathrel{\hat{+}}\mathtt{1})\mathrel{\hat{\cdot}} (\mathrel{\hat{-}}\mathtt{0}),(u\mathrel{\hat{+}}\mathtt{1})\mathrel{\hat{\cdot}}((\mathrel{\hat{-}}\mathtt{0})\mathrel{\hat{\cdot}}v)$ は $\mathscr{L}_\mathsf{Ring}$-項である。
* $u\mathrel{\hat{\land}} (v\mathrel{\hat{\lor}}w),(\hat{\top}\mathrel{\hat{\land}}u)\mathrel{\hat{\lor}}\hat{\bot}$ は $\mathscr{L}_\mathsf{Lat}$-項である。
* $u\mathrel{\hat{\land}}(\mathrel{\hat{\lnot}} v),(\mathrel{\hat{\lnot}}\hat{\top})\mathrel{\hat{\land}}\hat{\bot}$ は $\mathscr{L}_\mathsf{BA}$-項である。

{{theorem |type=definition |name=等式論理の論理式 |label=formulae-of-equational-logic}}
$\mathscr{L}$ を代数言語とする。このとき '''$\mathscr{L}$-論理式''' ($\mathscr{L}$-formula) は以下のように定義される文字列である。
# $\mathscr{L}$-項 $s,t$ に対して $s=t$ は$\mathscr{L}$-論理式である。
$\mathscr{L}$-論理式の集合を $\mathrm{EqFml}_\mathscr{L}$ と表す。

また等式論理の論理式を'''原子論理式''' (atomic formula) と呼ぶこともある。

{{theorem |type=definition |name=項の出現 |label=occurrence-of-terms}}

$\mathscr{L}$-項 $s$ が $\mathscr{L}$-項 $t$ に'''出現する''' (occur) あるいは単に'''現れる'''ということを $\mathscr{L}$-項 $t$ の定義に沿って帰納的に定義する。

# 変数 $u$ に対して $s$ が $u$ であるとき $u$ に $s$ が現れている。
# $\mathscr{L}$-項 $f(t_0,\ldots,t_{n-1})$ に対して、ある $i<n$ が存在し $t_i$ に $s$ が現れているか、または $s$ が $f(t_0,\ldots,t_{n-1})$ であるとき、$s$ が $f(t_0,\ldots,t_{n-1})$ に現れている。

また$\mathscr{L}$-項 $s$ が $\mathscr{L}$-論理式 $\varphi$ に現れるということを定義する。
# $t=r$ に $\mathscr{L}$-項 $s$ が現れるのは $t$ か $r$ のいずれかに現れるときである。

$\mathscr{L}$-項 $t$ に $s_0,\ldots,s_n$ が現れているとき $t(s_0,\ldots,s_n)$ などど表す。

{{theorem |type=definition |name=項の代入 |label=substitution-of-terms}}

$\mathscr{L}$-項 $s,t$ 、変数 $u$ に対して $s$ に現れる $u$ に $t$ を'''代入''' (substitution) した結果 $s[u:=t]$ を $s$ の定義に沿って帰納的に定義する。
# $s$ に $u$ が現れていないとき $s[u:=t]$ は $s$ である。
# $u[u:=t]$ を $t$ のこととする。
# $\mathtt{f}(t_0,\ldots,t_{n-1})[u:=t]$ を　$\mathtt{f}(t_0[u:=t],\ldots,t_{n-1}[u:=t])$　のこととする。

また $\mathscr{L}$-論理式 $\varphi$ 、 $\mathscr{L}$-項 $t$ 、変数 $u$ に対して $\varphi$ に現れる $u$ に $t$ を'''代入''' (substitution) した結果 $\varphi[u:=t]$ を定義する。
# $\varphi$ に $u$ が現れていないとき $\varphi[u:=t]$ は $\varphi$ である。
# $(s=r)[u:=t]$ を $s[u:=t]=t[u:=t]$ のこととする。

また $s(u)$ に対して $s(u)[u:=t]$ を単に $s(t)$ と表す。

{{theorem |type=notation |name=省略記法 |label=abbreviation}}

$\mathscr{L}$-項、$\mathscr{L}$-論理式などの「$\mathscr{L}$-」という接頭辞は、どの言語を指しているか明らかなとき、あるいは言語に拠らない議論をするとき省略する。

また命題論理と同様に以下の記法を用いる。

* 論理式の集合 $T$ を '''公理系''' (axiomatic system, axioms, axiomata) 、'''等式理論''' (equational theory) 、あるいは単に'''理論''' (theory) という。
* 理論 $T$ と論理式 $\varphi$ に対して $T+\varphi$ で $T\cup\{\varphi\}$ を表す。

=== 2.2 等式論理のモデル ===

{{theorem |type=definition |name=代数構造 |label=algebraic-structure}}

$\mathscr{L}$ を言語とする。このとき '''$\mathscr{L}$-代数構造''' ($\mathscr{L}$-algebraic structure) $\mathcal{M}$ は'''領域''' (domain) あるいは'''宇宙''' (universe) 、'''台集合''' (underlying set) と言われる空でない<ref group="脚注">空な構造を認める流儀も存在する。特に'''圏論的論理学''' (categorical logic) の文脈では、空な構造を認めた方が都合が良い場合が多い。構造からなる圏、あるいは後述するモデルからなる圏に始対象が存在しないと都合が悪い場合が多いからである。例えば後述する等式理論の項モデルの構成と類似の議論をすることによって、等式理論、あるいはその項モデルの圏論的対応物となる圏、'''Lawvere理論''' (Lawvere theory) を得ることができ、モデルとはLawvere理論から集合と写像からなる圏 $\mathrm{Set}$ への有限直積を保つ関手と思うことができるが、このような議論は空なモデルが存在しない場合、面倒な例外処理を行わなければならなくなる。またtoo simple to be simpleの理念に従っても空なモデルは認めたほうが良いと思われる。しかし数理論理学に於いては空なモデルを認めない流儀が主流である。これは等式論理の範疇では問題にならないが、一階述語論理に於いては空なモデルを許容すると、(等号を含む)関係記号を言語として持つ場合、論理式 $\forall x\varphi(x)\to\exists x\varphi(x)$ は証明可能になるが、空なモデルで成り立たない。すなわち健全性定理が成り立たなくなるのが問題となる。</ref>集合 $M$ と以下に定義される'''$\mathscr{L}$-解釈''' ($\mathscr{L}$-interpretation) ${-}^\mathcal{M}$ の組 $\langle M;{-}^\mathcal{M}\rangle$ である。

$\mathscr{L}$-解釈 ${-}^\mathcal{M}$ は以下を満たす言語 $\mathscr{L}$ からの写像である。

* 関数記号 $\mathtt{f}\in\mathscr{L}$ に対して $\mathtt{f}$ の項数が $n$ であるとき、$\mathtt{f}^\mathcal{M}\colon M^n\to M$ である。

定数記号の解釈は一つの $M$ の要素を返す関数となる。よってその返す値と同一視することで定数記号 $\mathtt{c}$ に対して $\mathtt{c}^\mathcal{M}\in M$ と見做すことができることに注意する。このような同一視を今後断りなく行うことに注意する。

代数構造 $\mathcal{M}$ が与えられたとき、$|\mathcal{M}|$ を $\mathcal{M}$ の台集合を表すことにする。また数学の慣習に基づき構造 $\mathcal{M}$ とその台集合 $|\mathcal{M}|$ を誤解を与えない範囲で同一視する。例えば $a\in |\mathcal{M}|$ の代わりに $a\in\mathcal{M}$ と表すことがある。

また $\mathcal{M}=\langle M;{-}^\mathcal{M}\rangle$ と表す代わりに解釈後の関数、関係をリストし $\mathcal{M}=\langle M;\mathtt{f}_0^\mathcal{M},\ldots,\mathtt{f}_i^\mathcal{M}\rangle$ と表すことがある。

{{theorem |type=example |name=代数構造の例 |label=examples-of-algebraic-structures}}
任意の群 $\mathcal{G}:=\langle|\mathcal{G}|;e,\cdot,{-}^{-1}\rangle$ は $\mathtt{1}^\mathcal{G}:=e,\hat{\cdot}^\mathcal{G}:=\cdot,{{-}^{\hat{-1}}}^\mathcal{G}:={-}^{-1}$ と定めることで $\mathscr{L}_\mathsf{Grp}$-構造として見做すことができる。しかし、別に群でなくても $a\in A,f\colon A^2\to A,g\colon A\to A $ に対して $\langle A;a,f,g\rangle$ は同様に $\mathscr{L}_\mathsf{Grp}$-構造として見做すことができる。

{{theorem |type=definition |name=項の解釈 |label=interpretation-of-terms}}

$\mathscr{L}$-代数構造 $\mathcal{M}=\langle M;{-}^\mathcal{M}\rangle$ と $\mathscr{L}$-閉項 $t$ に対して $t^\mathcal{M}\in M$ を帰納的に定義する。

* $\mathtt{f}(t_0,\ldots,t_{n-1})$ に対して $(\mathtt{f}(t_0,\ldots,t_{n-1}))^\mathcal{M}$ を $\mathtt{f}^\mathcal{M}(t_0^\mathcal{M},\ldots,t_{n-1}^\mathcal{M})$ と定める。

{{theorem |type=definition |name=拡大と縮約 |label=expansion-and-reduct}}

言語 $\mathscr{L}\subseteq\mathscr{L}'$ とし、$\mathcal{M}$ を $\mathscr{L}$-代数構造とし、$\mathcal{M}'$ を $\mathscr{L}'$-代数構造とする。$|\mathcal{M}|=|\mathcal{M}'|$ とし、$\mathtt{f}\in\mathscr{L}$ に対し $\mathtt{f}^\mathcal{M}=\mathtt{f}^{\mathcal{M}'}$ が成り立つとする。このとき $\mathcal{M}'$ を $\mathcal{M}$ の'''拡大''' (expansion) といい、$\mathcal{M}$ を $\mathcal{M}'$ の'''縮約''' (reduct) という。

{{theorem |type=example |name=拡大と縮約の例 |label=expansion-and-reduct}}
任意の環 $\mathcal{R}=\langle|\mathcal{R}|;\mathtt{0}^\mathcal{R},\mathtt{1}^\mathcal{R},\hat{+}^\mathcal{R},\hat{-}^\mathcal{R},\hat{\cdot}^\mathcal{R}\rangle$ はその加法群 $\mathcal{R}^+=\langle|\mathcal{R}|;\mathtt{0}^\mathcal{R},\hat{+}^\mathcal{R},{-}^\mathcal{R}\rangle$ の拡張となる。ここで群の言語は $\{\mathtt{1},\hat{\cdot},{-}^{\hat{-1}}\}$ であったが記号を変えて $\{\mathtt{0},\hat{+},\hat{-}\}$ としても本質的になにも変わらない。実際、[[Abel群]]に対してはこのように書かれることが多い。
一方、加法群と違い、乗法群 $\mathcal{R}^\times=\langle|\mathcal{R}|\setminus\{\mathtt{0}^\mathcal{R}\};\mathtt{0}^\mathcal{R},\hat{+}^\mathcal{R},{-}^\mathcal{R}\rangle$ は領域がことなるため拡張にはならない。

{{theorem |type=definition |name=名前 |label=name}}

$\mathscr{L}$-代数構造 $\mathcal{M}$ に対して言語 $\mathscr{L}(\mathcal{M})$ と $\mathscr{L}(\mathcal{M})$-代数構造 $\mathcal{M}_\mathrm{par}$ を定義する。
* $\mathscr{L}(\mathcal{M})$ には $\mathscr{L}$ の元に加え、$a\in|\mathcal{M}|$ に対する定数記号 $\underline{a}$ を持つ。この定数記号 $\underline{a}$ を $a$ の ''名前''(name) や''パラメータ'' (parameter) という。名前を単に $a$ と表すこともある。
* $\mathcal{M}_\mathrm{par}$ は $\mathcal{M}$ の拡大であり、$\underline{a}^{\mathcal{M}_\mathrm{par}}:=a$ とする。

誤解を生じないとき $\mathcal{M}_\mathrm{par}$ を単に $\mathcal{M}$ と表す。

{{theorem |type=definition |name=充足可能性関係 |label=satisfiability-relation}}

$\mathscr{L}$-代数構造 $\mathcal{M}$ と $\mathscr{L}(\mathcal{M})$-論理式 $s(u_0,\ldots,u_{n-1})=t(v_0,\ldots,v_{m-1})$ に対し '''充足可能性関係''' (satisfiability relation) $\mathcal{M}\models s(u_0,\ldots,u_{n-1})=t(v_0,\ldots,v_{m-1})$ を定義する<ref group="脚注">充足可能性関係の定義には名前ではなく、'''割り当て''' (assignment) と呼ばれる、論理式に出現する変数記号から領域への写像を用いて、閉項に対して定義された解釈を割り当てを用いて閉項とは限らない項に拡張することで定義する流儀もある。</ref>。
ここで $s(u_0,\ldots,u_{n-1})=t(v_0,\ldots,v_{m-1})$ に現れる変数は $u_0,\ldots,u_{n-1},v_0,\ldots,v_{m-1}$ に限るとする。

#　$\mathcal{M}\models s(u_0,\ldots,u_{n-1})=t(v_0,\ldots,v_{m-1})$ となるのは任意の $a_0,\ldots,a_{n-1},b_0,\ldots,b_{m-1}\in |\mathcal{M}|$ に対して $(s(u_0,\ldots,u_{n-1})[u_0:=\underline{a_0}]\cdots[u_{n-1}:=\underline{a_{n-1}}])^{\mathcal{M}_\mathrm{par}}=(t(v_0,\ldots,v_{m-1})[v_0:=\underline{b_0}]\cdots[v_{m-1}:=\underline{b_{m-1}}])^{\mathcal{M}_\mathrm{par}})$ が成り立つことである。

ここで $\mathcal{M}\models s(u_0,\ldots,u_{n-1})=t(v_0,\ldots,v_{m-1})$ に含まれる $=$ は等号記号だが、$(s(u_0,\ldots,u_{n-1})[u_0:=\underline{a_0}]\cdots[u_{n-1}:=\underline{a_{n-1}}])^{\mathcal{M}_\mathrm{par}}=(t(v_0,\ldots,v_{m-1})[v_0:=\underline{b_0}]\cdots[v_{m-1}:=\underline{b_{m-1}}])^{\mathcal{M}_\mathrm{par}})$　に表れる $=$ は実際の等号であることに注意されたい。また $\models$ に対していくつかの用語を定める。

* $T$ を理論とし、任意の $\varphi\in T$ に対して $\mathcal{M}\models\varphi$ となっているとする。このとき $\mathcal{M}$ を $T$ の'''モデル''' (model) であるといい、$\mathcal{M}\models\varphi$ と表す。
* $T$ の任意のモデル $\mathcal{M}$ に対して $\mathcal{M}\models\varphi$ であるとき $\varphi$ は $T$ からの'''論理的帰結''' (logical consequence) であるといい、$T\models \varphi$ と表す。

{{theorem |type=example |name=モデルの例 |label=examples-of-models}}
$\mathscr{L}_\mathsf{Grp}$-理論 $\mathsf{Grp}$ を以下の論理式からなるものとする。
* $u\mathrel{\hat{\cdot}}(v\mathrel{\hat{\cdot}}w)=(u\mathrel{\hat{\cdot}}v)\mathrel{\hat{\cdot}}w$ 。
* $u\mathrel{\hat{\cdot}}\mathtt{0}=u$ 。
* $u\mathrel{\hat{\cdot}}(u^{\hat{-1}})=\mathtt{0}$ 。

$\mathsf{Grp}$ のモデルは群そのものである。

$\mathscr{L}_\mathsf{Ring}$-理論 $\mathsf{Ring}$ を以下の論理式からなるものとする。

* $u\mathrel{\hat{+}}(v\mathrel{\hat{+}}w)=(u\mathrel{\hat{+}}v)\mathrel{\hat{+}}w$ 。
* $u\mathrel{\hat{+}}\mathtt{0}=u$ 。
* $u\mathrel{\hat{+}}(\mathrel{\hat{-}}u)=\mathtt{0}$ 。
* $u\mathrel{\hat{+}}v=v\mathrel{\hat{+}}u$ 。
* $u\mathrel{\hat{\cdot}} (v\mathrel{\hat{\cdot}} w)=(u\mathrel{\hat{\cdot}} v)\mathrel{\hat{\cdot}} w$ 。
* $u\mathrel{\hat{\cdot}} (v\mathrel{\hat{+}}w)=(u\mathrel{\hat{\cdot}} v)\mathrel{\hat{+}}(u\mathrel{\hat{\cdot}} w)$ 。
* $u\mathrel{\hat{\cdot}}\mathtt{1}=u$ 。

$\mathsf{Ring}$ のモデルも同様に環である。

言語 $\mathscr{L}_{\mathsf{Mod}_\mathcal{A}}$ 上の理論 $\mathsf{Mod}_\mathcal{A}$ は[[アーベル群]]の公理と任意の $a,b\in |\mathcal{A}|$ に対して以下の論理式からなるものとする。

* $\hat{a}(x\mathrel{\hat{+}}y)=\hat{a}(x)\mathrel{\hat{+}}\hat{a}(y)$ 。
* $\widehat{a\mathrel{+_\mathcal{A}}b}(x)=\hat{a}(x)\mathrel{\hat{+}}\hat{b}(x)$ 。
* $\widehat{a\mathrel{\cdot_\mathcal{A}} b}(x)=\hat{a}(\hat{b}(x))$ 。
* $\widehat{1_{\mathcal{A}}}(x)=x$

言語 $\mathscr{L}_\mathsf{Set}$ 上の理論 $\emptyset$ のモデルは空でない集合 $X$ に対して $\langle X\rangle$ という形をした構造である。これは空でない集合と同一視できる。

言語 $\mathscr{L}_\mathsf{SGrp}:=\{\hat{\cdot}\}$ とし、理論 $\mathsf{SGrp}$ を

* $u\mathrel{\hat{\cdot}}(v\mathrel{\hat{\cdot}}w)=(u\mathrel{\hat{\cdot}}v)\mathrel{\hat{\cdot}}w$ 。

とする。このとき理論 $\mathsf{SGrp}$ のモデルは空でない半群全体となる。

=== 2.3 代数構造の理論 ===
{{theorem |type=definition |name=準同型、同型 |label=homomorphism-and-isomorphism}}

$\mathscr{L}$-代数構造 $\mathcal{M},\mathcal{N}$ に対して $\sigma\colon|\mathcal{M}|\to|\mathcal{N}|$ が'''準同型射''' (homomorphism) であるとは、任意の $\mathtt{f}\in\mathscr{L}$ 、$a_0,\ldots,a_{n-1}\in|\mathcal{M}|$ に対し $\sigma(\mathtt{f}^\mathcal{M}(a_0,\ldots,a_{n-1}))=\mathtt{f}^\mathcal{N}(\sigma(a_0),\ldots,\sigma(a_{n-1}))$ が成り立つことである。すなわち、以下の図式を可換にするような写像である。

また準同型 $\sigma\colon|\mathcal{M}|\to|\mathcal{N}|,\tau\colon|\mathcal{N}|\to|\mathcal{M}|$ が存在し $\tau\circ\sigma =\mathrm{id}_\mathcal{M},\sigma\circ\tau =\mathrm{id}_\mathcal{N}$ となるとき $\mathcal{M}$ と $\mathcal{N}$ は''同型'' (isomorphic))であるといい $\mathcal{M}\cong\mathcal{N}$ と表し、$\sigma,\tau$ を''同型射'' (isomorphism) であるという。
ここで $\mathrm{id}_\mathcal{M}\colon|\mathcal{M}|\to|\mathcal{M}|,\mathrm{id}_\mathcal{M}(a)=a,\mathrm{id}_\mathcal{N}\colon|\mathcal{N}|\to|\mathcal{N}|,\mathrm{id}_\mathcal{N}(b)=b$ とする。

==== 定義2.3.2（部分代数） ====

$\mathscr{L}$-代数構造 $\mathcal{M},\mathcal{N}$ に対して、$\mathcal{N}$ が $\mathcal{M}$ の''部分代数'' (subalgebra) であるとは $|\mathcal{N}|\subseteq|\mathcal{M}|$ かつ、任意の $\mathtt{f}\in\mathscr{L}$ 、任意の $b_0,\ldots,b_{n-1}\in|\mathcal{N}|$ に対し $\mathtt{f}^\mathcal{N}(b_0,\ldots,b_{n-1})=\mathtt{f}^\mathcal{M}(b_0,\ldots,b_{n-1})$ を満たすことである。

==== 命題2.3.3（代数構造の同型に対する必要十分条件） ====

$\mathcal{M}\cong\mathcal{N}$ であるのは全単射準同型 $\upsilon\colon\mathcal{M}\to\mathcal{N}$ が存在するときであり、またそれに限る。

''証明''　$\mathcal{M}\cong\mathcal{N}$ であると仮定する。仮定より準同型 $\sigma\colon\mathcal{M}\to\mathcal{N},\tau\colon\mathcal{N}\to\mathcal{M}$ で $\sigma\circ\tau,\tau\circ\sigma$ が恒等となるものを取る。$\sigma,\tau$ は互いに逆写像であり、よって全単射である。

逆を示す。$\upsilon\circ\upsilon^{-1},\upsilon^{-1}\circ\upsilon$ が恒等になるのは明らかである。よって $\upsilon^{-1}\colon\mathcal{N}\to\mathcal{M}$ が準同型となることを確認すれば良い。
$\upsilon$ は全単射であるから、ある $a_0,\ldots,a_{n-1}\in|\mathcal{M}|$ が存在して $\upsilon(a_0)=b_0,\ldots,\upsilon(a_{n-1})=b_{n-1}$ である。
よって $\upsilon^{-1}(\mathtt{f}^\mathcal{N}(b_0,\ldots,b_{n-1}))=\upsilon^{-1}(\mathtt{f}^\mathcal{N}(\upsilon(a_0),\ldots,\upsilon(a_{n-1})))$ であり、$\upsilon$ は準同型であるから $\upsilon^{-1}(\mathtt{f}^\mathcal{N}(\upsilon(a_0),\ldots,\upsilon(a_{n-1})))=\upsilon^{-1}(\upsilon(\mathtt{f}^\mathcal{M}(a_0,\ldots,a_{n-1})))$ となる。
従って $\upsilon^{-1}(\upsilon(\mathtt{f}^\mathcal{M}(a_0,\ldots,a_{n-1})))=\mathtt{f}^\mathcal{M}(a_0,\ldots,a_{n-1})$　であり、$a_0=\upsilon^{-1}(b_0),\ldots,a_{n-1}=\upsilon^{-1}(b_{n-1})$ より良い。□

==== 定義2.3.4（合同関係） ====
$\mathcal{M}$ を代数構造とし、$\equiv$ を $|\mathcal{M}|$ 上の同値関係で $\mathtt{f}\in\mathscr{L}$ に対して $\mathtt{f}^\mathcal{M}$ と両立する、すなわち任意の $a_0,\ldots,a_{n-1},b_0,\ldots,b_{n-1}\in |\mathcal{M}|$ に対して、任意の $i<n$ について $a_i\equiv b_i$ $\equiv$ であるならば $\mathtt{f}^\mathcal{M}(a_0,\ldots,a_{n-1})\equiv\mathtt{f}^\mathcal{M}(b_0,\ldots,b_{n-1})$ が成り立つとき $\equiv$ は $\mathcal{M}$ 上の''合同関係'' (congruence relation) である、あるいは同値関係 $\equiv$ は $\mathtt{f}^\mathcal{M}$ に対して　''well-defined''であるという。
==== 定義2.3.5（剰余代数） ====

$\mathcal{M}$ を代数構造とし、$\equiv$ を $\mathcal{M}$ 上の合同関係とする。剰余代数'' (factor algebra, quotient algebra) $\mathcal{M}/{\equiv}:=\langle|\mathcal{M}|/{\equiv};{-}^{\mathcal{M}/{\equiv}}\rangle$ を以下のように定める。
* $|\mathcal{M}|/{\equiv}$ は $|\mathcal{M}|$ の $\equiv$ による商集合とし $a\in|\mathcal{M}|$ に対して $[a]_\equiv$ を $\equiv$ による同値類とする。
* $\mathtt{f}\in\mathscr{L}$ に対して $\mathtt{f}^{\mathcal{M}/{\equiv}}([a_0]_\equiv,\ldots,[a_{n-1}]_\equiv):=[\mathtt{f}^\mathcal{M}(a_0,\ldots,a_{n-1})]_\equiv$ とする。

==== 例2.3.6（剰余代数の例） ====

$\mathcal{G}$ を群、$\mathcal{H}$ を $\mathcal{G}$ の正規部分群、すなわち $\mathcal{H}$ は $\mathcal{G}$ の部分代数で、任意の $g\in|\mathcal{G}|,h\in|\mathcal{H}|$ に対し $(g\hat{\cdot}^\mathcal{G} h){\hat{\cdot}}^\mathcal{G}\left(g^{\hat{-1}^\mathcal{G}}\right)\in|\mathcal{H}|$ であるとする。$|\mathcal{G}|$ 上の合同関係　$\equiv_\mathcal{H}$ を $x\equiv_\mathcal{H} y:\Leftrightarrow x\hat{\cdot}^\mathcal{G}\left(y^{\hat{-1}^\mathcal{G}}\right)\in|\mathcal{H}|$ と定める。
このとき $\mathcal{G}/{\equiv_\mathcal{H}}$ を $\mathcal{G}/\mathcal{H}$ と表す。

$\mathcal{M}$ を可換環、$\mathcal{I}:=\langle|\mathcal{I}|;\mathtt{0}^\mathcal{I},\mathtt{1}^\mathcal{I},\hat{+}^\mathcal{I},\hat{-}^\mathcal{I},\hat{\cdot}^\mathcal{I}\rangle$ を $\mathcal{M}$ のイデアル、すなわち以下を満たすとする。
* $\langle|\mathcal{I}|;\mathtt{0}^\mathcal{I},\hat{+}^\mathcal{I},\hat{-}^\mathcal{I}\rangle$ は $\langle|\mathcal{M}|;\mathtt{0}^\mathcal{M},\hat{+}^\mathcal{M},\hat{-}^\mathcal{M}\rangle$ の部分構造である。
* 任意の $a\in|\mathcal{M}|,x\in|\mathcal{I}|$ に対し $a\hat{\cdot}^\mathcal{M}x\in|\mathcal{I}|$ である。

このとき上記の例と同様に $\equiv_\mathcal{I}$ を定義でき $\mathcal{M}/{\equiv_\mathcal{I}}$ を $\mathcal{M}/\mathcal{I}$ を表す。

==== 補題2.3.7（剰余代数と準同型） ====

代数構造 $\mathcal{M}$ と合同関係 $\equiv$ に対して $\pi_\equiv\colon|\mathcal{M}|\to|\mathcal{M}|/{\equiv},\pi_\equiv(a):=[a]_\equiv$ とする。このとき $\pi_\equiv$ は準同型となる。この準同型を $\equiv$ に対する自然な準同型という。

''証明''　剰余代数の定義より明らかである。□

==== 補題2.3.8（準同型と合同関係） ====

代数構造 $\mathcal{M},\mathcal{N}$ 、準同型 $\sigma\colon|\mathcal{M}|\to|\mathcal{N}|$ に対して $|\mathcal{M}|$ 上の二項関係 $\equiv_\sigma$ を $a\equiv_\sigma b:\Leftrightarrow\sigma(a)=\sigma(b)$ とする((これを $\sigma$ による''核'' (kernel) ということがある。))。このとき $\equiv_\sigma$ は合同関係である。

''証明''　$\equiv_\sigma$ が同値関係であることは明らかである。よって関数と両立することを示そう。
今 $\mathtt{f}$ の項数を $n$ とし任意の $i<n$ に対して $a_i\equiv_\sigma b_i$ であると仮定し、$\mathtt{f}^\mathcal{M}(a_0,\ldots,a_{n-1})\equiv_\sigma \mathtt{f}^\mathcal{M}(b_0,\ldots,b_{n-1})$ 、すなわち $\sigma(\mathtt{f}^\mathcal{M}(a_0,\ldots,a_{n-1}))=\sigma(\mathtt{f}^\mathcal{M}(b_0,\ldots,b_{n-1}))$ を示せば良い。
$\sigma$ が準同型であるという仮定から $\sigma(\mathtt{f}^\mathcal{M}(a_0,\ldots,a_{n-1}))=\mathtt{f}^\mathcal{N}(\sigma(a_0),\ldots,\sigma(a_{n-1}))$ であり、 $\equiv_\sigma$ の定義から $\mathtt{f}^\mathcal{N}(\sigma(a_0),\ldots,\sigma(a_{n-1}))=\mathtt{f}^\mathcal{N}(\sigma(b_0),\ldots,\sigma(b_{n-1}))$ 、よってもう一度 $\sigma$ が準同型であることから $\mathtt{f}^\mathcal{N}(\sigma(b_0),\ldots,\sigma(b_{n-1}))=\sigma(\mathtt{f}^\mathcal{M}(b_0,\ldots,b_{n-1}))$ 。□

==== 定理2.3.9（準同型定理 (homomorphism theorem) ） ====

全射準同型 $\sigma\colon|\mathcal{M}|\to|\mathcal{N}|$ に対して、同型 $\tau_{\equiv_\sigma}\colon|\mathcal{M}/{\equiv_\sigma}|\to|\mathcal{N}|$ が存在して $\sigma=\tau_{\equiv_\sigma}\circ\pi_{\equiv_\sigma}$ となる。
ここで $a\equiv_\sigma b:\Leftrightarrow\sigma(a)=\sigma(b)$ 、$\pi_{\equiv_\sigma}\colon|\mathcal{M}|\to|\mathcal{M}/{\equiv_\sigma}|,\pi_{\equiv_\sigma}(a)=[a]_{\equiv_\sigma}$ とする。

''証明''　まず $\tau_{\equiv_\sigma}([a]_{\equiv_\sigma}):=\sigma(a)$ とする。これが写像となることを示す。左全域性は明らかなので右一意性を示そう。
$[a]_{\equiv_\sigma}=[b]_{\equiv_\sigma}$ とすれば $\equiv_\sigma$ の定義から、$\sigma(a)=\sigma(b)$ であり良い。
同様に逆も言えるため左一意性、すなわち $\tau_{\equiv_\sigma}$ が単射であることも従う。また $\sigma$ が全射であることから $\tau_{\equiv_\sigma}$ も全射である。命題2.3.3より
準同型であることを示せば十分である。
剰余代数の定義から $\tau_{\equiv_\sigma}(\mathtt{f}^{\mathcal{M}/{\equiv_\sigma}}([a_0]_{\equiv_\sigma},\ldots,[a_{n-1}]_{\equiv_\sigma}))=\tau_{\equiv_\sigma}([\mathtt{f}^\mathcal{M}(a_0,\ldots,a_{n-1})]_{\equiv_\sigma})$ であり、$\tau_{\equiv_\sigma}$ の定義から $\tau_{\equiv_\sigma}([f^\mathcal{M}(a_0,\ldots,a_{n-1})]_{\equiv_\sigma})=\sigma(f^\mathcal{M}(a_0,\ldots,a_{n-1}))$ である。
$\sigma$ が準同型であることから $\sigma(\mathtt{f}^\mathcal{M}(a_0,\ldots,a_{n-1}))=\mathtt{f}^\mathcal{N}(\sigma(a_0),\ldots,\sigma(a_{n-1}))$ であり $\tau_{\equiv_\sigma}$ の定義が $\mathtt{f}^\mathcal{N}(\sigma(a_0),\ldots,\sigma(a_{n-1}))=\mathtt{f}^\mathcal{N}(\tau_{\equiv_\sigma}([a_0]_{\equiv_\sigma},\ldots,[a_{n-1}]_{\equiv_\sigma}))$ となる。□

==== 系2.3.10 ====

準同型 $\sigma\colon|\mathcal{M}|\to|\mathcal{N}|$ と $|\mathcal{M}|$ 上の合同関係 $\equiv_\sigma$ は $a\equiv_\sigma b$ ならば $\sigma(a)=\sigma(b)$ を満たすとする。
このとき準同型 $\tau_{\equiv_\sigma}\colon|\mathcal{M}/{\equiv}|\to|\mathcal{N}|$ が存在し $\sigma=\tau_{\equiv_\sigma}\circ\pi_{\equiv_\sigma}$ となる。
ただし $\pi_{\equiv_\sigma}\colon|\mathcal{M}|\to|\mathcal{M}/{\equiv_\sigma}|,\pi_{\equiv_\sigma}(a)=[a]_{\equiv_\sigma}$ とする。

''証明''　定理2.3.9の証明とほとんど同様で良い。□

==== 例2.3.11（準同型定理の具体例） ====

群準同型 $\sigma\colon|\mathcal{G}|\to|\mathcal{H}|$ に対して $\mathrm{Ker}(\sigma):=\{g\in|\mathcal{G}|\mid\sigma(g)=\mathtt{0}^\mathcal{H}\}$ とする。このとき $\langle \mathrm{Ker}(\sigma),\mathtt{0}^\mathcal{G},\hat{\cdot}^\mathcal{G},{-}^{\hat{-1}^\mathcal{G}}\rangle$ は $\mathcal{G}$ の部分群であり、例2.2.6で定められる同値関係を $\equiv_{\mathrm{Ker}(\sigma)}$ とすれば $g_0\equiv_{\mathrm{Ker}(\sigma)}g_1$ と $g_0\equiv_\sigma g_1$ は同値であり、従って定理2.3.9及び系2.3.10から以下の群論に於ける準同型定理が従う。
* 群準同型 $\sigma\colon|\mathcal{G}|\to|\mathcal{H}|$ 、自然な準同型 $\pi\colon|\mathcal{G}|\to|\mathcal{G}/\equiv_{\mathrm{Ker(\sigma)}}|$ に対して、準同型 $\tau\colon |\mathcal{G}/\equiv_{\mathrm{Ker(\sigma)}}|\to|\mathcal{H}|$ が存在して $\sigma=\tau\circ\pi$ であり、また $\tau$ は $\mathcal{G}/\equiv_{\mathrm{Ker(\sigma)}}$ から $\langle\mathrm{Im}(\sigma),\underline{0}^\mathcal{H},+^\mathcal{H},-^\mathcal{H}\rangle$ への同型射である。

=== 2.4. 等式論理の形式的証明 ===
==== 定義2.4.1（等式理論） ====
理論 $T$ 論理式 $\varphi$ に対して $T\vdash\varphi$ を帰納的に定義する。

1. $(\mathsf{refl})$　任意の項 $t$ に対して $T\vdash t=t$ である。

2. $(T)$　任意の $\varphi\in T$ に対して $T\vdash\varphi$ である。

3. $(\mathsf{sym})$　任意の項 $s,t$ に対して $T\vdash s=t$ ならば $T\vdash t=s$ である。

4. $(\mathsf{trans})$　任意の項 $s,t,r$ に対して $T\vdash s=t$ かつ $T\vdash t=r$ ならば $T\vdash s=r$ である。

5. $(\mathsf{sub})$　任意の変数 $u$ 、項 $s(u),t(u),r$ に対して $T\vdash s(u)=t(u)$ ならば $T\vdash s(r)=t(r)$ である。

6. $(\mathsf{comp})$　任意の関数記号 $f\in\mathscr{L}$ 、任意の項 $s_0,\ldots,s_{n-1},t_0,\ldots,t_{n-1}$ に対して、全ての$i<n$　について $T\vdash s_i=t_i$ ならば $T\vdash f(s_0,\ldots,s_{n-1})=f(t_0,\ldots,t_{n-1})$ である。

$\vdash$ に関して命題論理と同様に用語を定める。
* $T\vdash\varphi$ であるとき $T$ から $\varphi$ は''証明可能'' (provable) であるという。また $\emptyset\vdash\varphi$ であるとき単に証明可能であるといい、$\vdash\varphi$ と表す。
* $\mathrm{Th}(T):=\{\varphi\in\mathrm{EqFml}\mid T\vdash\varphi\}$ とする。また言語を明示するとき $\mathrm{Th}_\mathscr{L}(T)$ と表す。

=== 2.5. Birkhoffの完全性定理、$\mathsf{HSP}$ 定理 ===

==== 定義2.5.1（生成） ====
代数構造 $\mathcal{M}$ 、$X\subseteq|\mathcal{M}|$ とする。このとき $X\subseteq\mathcal{N}$ で $\mathcal{M}$ の部分代数のなか、領域の包含関係において最小であるとき、$\mathcal{N}$ を $X$ によって''生成される'' (generated) 部分代数であるという。

==== 定義2.5.2（自由 $\mathcal{K}$-代数） ====
$\mathcal{K}$ を代数構造からなるクラスとする。このとき $\mathcal{M}\in\mathcal{K}$ が $X$ によって生成される''自由 $\mathcal{K}$-代数'' (free $\mathcal{K}$-代数) であるとは以下を満たすことである。
* $\mathcal{M}$ は $X$ で生成される。
* 任意の $\mathcal{N}\in\mathcal{K}$ 、写像 $\sigma\colon X\to|\mathcal{N}|$ に対し、ある準同型 $\overline{\sigma}\colon|\mathcal{M}|\to|\mathcal{N}|$ で $\overline{\sigma}$ は $\sigma$ の拡大である、すなわち任意の $x\in X$ に対して $\sigma(x)=\overline{\sigma}(x)$ となるものが一意に存在する。

==== 命題2.5.3（自由生成と濃度） ====
代数構造 $\mathcal{M},\mathcal{N}\in\mathcal{K}$ でそれぞれ集合 $X,Y$ によって自由生成されていて、$X,Y$ が等濃であれば $\mathcal{M}\cong\mathcal{N}$ である。

''証明''　全単射 $\sigma\colon X\to Y$ を取る。
自由代数の定義から $\sigma,\sigma^{-1}$ は準同型 $\overline{\sigma}\colon|\mathcal{M}|\to|\mathcal{N}|,\overline{\sigma^{-1}}\colon|\mathcal{N}|\to|\mathcal{M}|$ に拡張され $\overline{\sigma^{-1}}\circ\overline{\sigma}$ は $X$ 上の恒等写像の拡張となる準同型 $|\mathcal{M}|\to|\mathcal{M}|$ で拡張の一意性から $\overline{\sigma^{-1}}\circ\overline{\sigma}=\mathrm{id}_{|\mathcal{M}|}$ 、
同様に $\overline{\sigma}\circ\overline{\sigma^{-1}}=\mathrm{id}_{|\mathcal{N}|}$ であり、$\mathcal{M}\cong\mathcal{N}$ である。

==== 定義2.5.3（項代数） ====

== 出典 ==

== 参考文献 ==

[田中19] 田中一之、数学基礎論序説、裳華房、2019。

[Sankappanavar–Burris] H.P. Sankappanavar, S. Burris, A course in universal algebra, Graduate Texts Math 78, 1981.

=== 脚注 ===
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}}

数理論理学の基礎：等式論理

2022-01-07T20:57:20Z

Alwe: /* 定義2.3.1（準同型、同型） */

[[Category:数理論理学|トウシキロンリ]]
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{{begin |preamble }}


$
\newcommand{\Pow}[1]{\mathcal{P}(#1)}
\newcommand{\nat}{\mathbb{N}}
$

$\newcommand{\name}[1]{\underline{#1}}$

$
\newcommand{\blank}{ {-} }
$

{{newtheorem |type=theorem |display=定理 |counter=0 }}
{{newtheorem |type=lemma |display=補題 |family=theorem }}
{{newtheorem |type=definition |display=定義 |family=theorem }}
{{newtheorem |type=proposition |display=命題 |family=theorem }}
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== 2. 等式論理 ==

'''等式論理''' (equational logic) は先程までの命題論理とは異なり命題同士の関係ではなく命題の中身、特に $s=t$ という形をした等式による命題に注目する論理である。。
等式論理に対しても命題論理と同様に統語論、意味論を考える。命題論理と同様に形式的証明と、命題論理での真理値に対応する'''モデル''' (model) というのを紹介する。

形式的証明は等式の以下に上げる基本的な性質による書き換え操作によって得られる。

# '''反射律''' (reflexivity) $s=s$ である。
# '''対称律''' (symmetricity) $s=t$ ならば $t=s$ である。
# '''推移律''' (transitivity) $s=t$ かつ $t=r$ ならば $s=r$ である。
# '''代入''' (substitution) $s(u)=t(u)$ ならば $s(r)=t(r)$ である。
# '''関数との両立''' (compatibility with functions) 任意の $i<n+1$ に対して $s_i=t_i$ ならば $f(s_0,\ldots,s_n)=f(t_0,\ldots,t_n)$ である。

一方、モデルによる意味論はある種の数学的な'''代数構造''' (algebraic structure) を用いて定義される。具体的には構造が与えられたとき、その構造で満たされることを真と見做す。ここで構造というのは'''台集合''' (underlying set) とその上の関数からなる組のことである。

=== 2.1 等式論理の統語論 ===

{{theorem |type=definition |name=等式論理の記号 |label=symbols-of-equational-logic }}
等式論理の'''論理記号''' (logical symbol) は以下からなる。
* '''変数記号''' (variable symbol) $u,v,w,\ldots$ 。
* '''等号記号''' (equality symbol) $=$ 。
* '''括弧''' (brackets) $(,).$ 及び'''カンマ''' (comma) $,$ 。

変数記号の集合を $\mathrm{EqVar}$ とし、変数記号は無限個あることを仮定する。

{{theorem |type=definition |name=等式論理の代数言語 |label=algebraic-languages-of-equational-logic }}

'''代数言語''' (algebraic language) は'''関数記号''' (function symbol) からなる集合で各関数記号には'''項数''' (arity) という自然数が割り当てられているとする。

また特に項数が $0$ である関数記号を'''定数記号''' (constant symbol) という。言語の元を'''非論理記号''' (non-logical symbol) という。関数記号は有限個でも無限個あっても良い。

便宜上、代数言語を集合ではなく組として扱うこともある。

{{theorem |type=example |name=代数言語の例 |label=example-of-algebraic-languages-of-equational-logic }}
代数言語の例をいくつかあげる。
* 集合の言語 $\mathscr{L}_\mathsf{Set}:=\emptyset$ 。
* 群の言語 $\mathscr{L}_\mathsf{Grp}:=\{\mathtt{1},\mathrel{\hat{\cdot}},{-}^{\hat{-1}}\}$ 。項数は順に $0,2,1$ 。
* 環の言語 $\mathscr{L}_\mathsf{Ring}:=\{\mathtt{0},\mathtt{1},\mathrel{\hat{+}},\mathrel{\hat{-}},\mathrel{\hat{\cdot}}\}$ 。項数は順に $0,0,2,1,2$ 。
* 束の言語 $\mathscr{L}_\mathsf{Lat}:=\{\hat{\top},\hat{\bot},\mathrel{\hat{\land}},\mathrel{\hat{\lor}}\}$ 。項数は順に $0,0,2,2$ 。
* Boole代数の言語 $\mathscr{L}_\mathsf{BA}:=\{\hat{\top},\hat{\bot},\mathrel{\hat{\land}},\mathrel{\hat{\lor}},\mathrel{\hat{\lnot}}\}$ 。項数は順に $0,0,2,2,1$ 。
* $\mathcal{A}=\langle|\mathcal{A}|;0,1,+,-,\cdot\rangle$ を可換環としたとき $\mathcal{A}$-加群の言語は $\mathscr{L}_{\mathsf{Mod}_\mathcal{A}}:=\mathscr{L}_\mathsf{Grp}\cup\{\hat{a}\mid a\in|\mathcal{A}|\}$ とする。$\hat{a}$ の項数は全て $1$ である。

{{theorem |type=definition |name=等式論理の項 |label=terms-of-equational-logic}}

$\mathscr{L}$ を代数言語とする。このとき '''$\mathscr{L}$-項''' ($\mathscr{L}$-term) は以下のように帰納的に定義される文字列である。
# 変数 $u,v,w,\ldots$ は $\mathscr{L}$-項である。
# 関数記号 $\mathtt{f}$ に対し、その項数が $n$ であるとき、$\mathscr{L}$-項 $t_0,\ldots,t_{n-1}$ に対して $\mathtt{f}(t_0,\ldots,t_n)$ は$\mathscr{L}$-項である。

特に定数記号は $\mathscr{L}$-項であることに注意しよう。$\mathscr{L}$-項の集合を $\mathrm{EqTm}_\mathscr{L}$ と表す。

項数が $2$ の関数記号 $\mathtt{f}$ に対して $\mathtt{f}(s,t)$ の代わりに $s\mathrel{\mathtt{f}} t$ と'''中置記法''' (infix notation) で表し、適当に括弧を補うことがある<ref group="脚注">中置記法に対し、$\mathtt{f}(s,t)$ あるいは括弧などを省略し $\mathtt{f}st$ という記法を '''前置記法''' (prefix notation) あるいは'''ポーランド記法''' (Poland notation) といい、逆に $st\mathtt{f}$ という記法を'''後置記法''' (postfix notation) あるいは'''逆ポーランド記法''' (reverse Poland notation) という。</ref>。

{{theorem |type=definition |name=$\mathscr{L}$-項の例 |label=example-of-terms-of-equational-logic}}

項の例をいくつかあげる。
* $(u\mathrel{\hat{\cdot}}\mathtt{1})^{\hat{-1}},\mathtt{1}\mathrel{\hat{\cdot}}v$ は $\mathscr{L}_\mathsf{Grp}$-項である。
* $(\mathtt{1}\mathrel{\hat{+}}\mathtt{1})\mathrel{\hat{\cdot}} (\mathrel{\hat{-}}\mathtt{0}),(u\mathrel{\hat{+}}\mathtt{1})\mathrel{\hat{\cdot}}((\mathrel{\hat{-}}\mathtt{0})\mathrel{\hat{\cdot}}v)$ は $\mathscr{L}_\mathsf{Ring}$-項である。
* $u\mathrel{\hat{\land}} (v\mathrel{\hat{\lor}}w),(\hat{\top}\mathrel{\hat{\land}}u)\mathrel{\hat{\lor}}\hat{\bot}$ は $\mathscr{L}_\mathsf{Lat}$-項である。
* $u\mathrel{\hat{\land}}(\mathrel{\hat{\lnot}} v),(\mathrel{\hat{\lnot}}\hat{\top})\mathrel{\hat{\land}}\hat{\bot}$ は $\mathscr{L}_\mathsf{BA}$-項である。

{{theorem |type=definition |name=等式論理の論理式 |label=formulae-of-equational-logic}}
$\mathscr{L}$ を代数言語とする。このとき '''$\mathscr{L}$-論理式''' ($\mathscr{L}$-formula) は以下のように定義される文字列である。
# $\mathscr{L}$-項 $s,t$ に対して $s=t$ は$\mathscr{L}$-論理式である。
$\mathscr{L}$-論理式の集合を $\mathrm{EqFml}_\mathscr{L}$ と表す。

また等式論理の論理式を'''原子論理式''' (atomic formula) と呼ぶこともある。

{{theorem |type=definition |name=項の出現 |label=occurrence-of-terms}}

$\mathscr{L}$-項 $s$ が $\mathscr{L}$-項 $t$ に'''出現する''' (occur) あるいは単に'''現れる'''ということを $\mathscr{L}$-項 $t$ の定義に沿って帰納的に定義する。

# 変数 $u$ に対して $s$ が $u$ であるとき $u$ に $s$ が現れている。
# $\mathscr{L}$-項 $f(t_0,\ldots,t_{n-1})$ に対して、ある $i<n$ が存在し $t_i$ に $s$ が現れているか、または $s$ が $f(t_0,\ldots,t_{n-1})$ であるとき、$s$ が $f(t_0,\ldots,t_{n-1})$ に現れている。

また$\mathscr{L}$-項 $s$ が $\mathscr{L}$-論理式 $\varphi$ に現れるということを定義する。
# $t=r$ に $\mathscr{L}$-項 $s$ が現れるのは $t$ か $r$ のいずれかに現れるときである。

$\mathscr{L}$-項 $t$ に $s_0,\ldots,s_n$ が現れているとき $t(s_0,\ldots,s_n)$ などど表す。

{{theorem |type=definition |name=項の代入 |label=substitution-of-terms}}

$\mathscr{L}$-項 $s,t$ 、変数 $u$ に対して $s$ に現れる $u$ に $t$ を'''代入''' (substitution) した結果 $s[u:=t]$ を $s$ の定義に沿って帰納的に定義する。
# $s$ に $u$ が現れていないとき $s[u:=t]$ は $s$ である。
# $u[u:=t]$ を $t$ のこととする。
# $\mathtt{f}(t_0,\ldots,t_{n-1})[u:=t]$ を　$\mathtt{f}(t_0[u:=t],\ldots,t_{n-1}[u:=t])$　のこととする。

また $\mathscr{L}$-論理式 $\varphi$ 、 $\mathscr{L}$-項 $t$ 、変数 $u$ に対して $\varphi$ に現れる $u$ に $t$ を'''代入''' (substitution) した結果 $\varphi[u:=t]$ を定義する。
# $\varphi$ に $u$ が現れていないとき $\varphi[u:=t]$ は $\varphi$ である。
# $(s=r)[u:=t]$ を $s[u:=t]=t[u:=t]$ のこととする。

また $s(u)$ に対して $s(u)[u:=t]$ を単に $s(t)$ と表す。

{{theorem |type=notation |name=省略記法 |label=abbreviation}}

$\mathscr{L}$-項、$\mathscr{L}$-論理式などの「$\mathscr{L}$-」という接頭辞は、どの言語を指しているか明らかなとき、あるいは言語に拠らない議論をするとき省略する。

また命題論理と同様に以下の記法を用いる。

* 論理式の集合 $T$ を '''公理系''' (axiomatic system, axioms, axiomata) 、'''等式理論''' (equational theory) 、あるいは単に'''理論''' (theory) という。
* 理論 $T$ と論理式 $\varphi$ に対して $T+\varphi$ で $T\cup\{\varphi\}$ を表す。

=== 2.2 等式論理のモデル ===

{{theorem |type=definition |name=代数構造 |label=algebraic-structure}}

$\mathscr{L}$ を言語とする。このとき '''$\mathscr{L}$-代数構造''' ($\mathscr{L}$-algebraic structure) $\mathcal{M}$ は'''領域''' (domain) あるいは'''宇宙''' (universe) 、'''台集合''' (underlying set) と言われる空でない<ref group="脚注">空な構造を認める流儀も存在する。特に'''圏論的論理学''' (categorical logic) の文脈では、空な構造を認めた方が都合が良い場合が多い。構造からなる圏、あるいは後述するモデルからなる圏に始対象が存在しないと都合が悪い場合が多いからである。例えば後述する等式理論の項モデルの構成と類似の議論をすることによって、等式理論、あるいはその項モデルの圏論的対応物となる圏、'''Lawvere理論''' (Lawvere theory) を得ることができ、モデルとはLawvere理論から集合と写像からなる圏 $\mathrm{Set}$ への有限直積を保つ関手と思うことができるが、このような議論は空なモデルが存在しない場合、面倒な例外処理を行わなければならなくなる。またtoo simple to be simpleの理念に従っても空なモデルは認めたほうが良いと思われる。しかし数理論理学に於いては空なモデルを認めない流儀が主流である。これは等式論理の範疇では問題にならないが、一階述語論理に於いては空なモデルを許容すると、(等号を含む)関係記号を言語として持つ場合、論理式 $\forall x\varphi(x)\to\exists x\varphi(x)$ は証明可能になるが、空なモデルで成り立たない。すなわち健全性定理が成り立たなくなるのが問題となる。</ref>集合 $M$ と以下に定義される'''$\mathscr{L}$-解釈''' ($\mathscr{L}$-interpretation) ${-}^\mathcal{M}$ の組 $\langle M;{-}^\mathcal{M}\rangle$ である。

$\mathscr{L}$-解釈 ${-}^\mathcal{M}$ は以下を満たす言語 $\mathscr{L}$ からの写像である。

* 関数記号 $\mathtt{f}\in\mathscr{L}$ に対して $\mathtt{f}$ の項数が $n$ であるとき、$\mathtt{f}^\mathcal{M}\colon M^n\to M$ である。

定数記号の解釈は一つの $M$ の要素を返す関数となる。よってその返す値と同一視することで定数記号 $\mathtt{c}$ に対して $\mathtt{c}^\mathcal{M}\in M$ と見做すことができることに注意する。このような同一視を今後断りなく行うことに注意する。

代数構造 $\mathcal{M}$ が与えられたとき、$|\mathcal{M}|$ を $\mathcal{M}$ の台集合を表すことにする。また数学の慣習に基づき構造 $\mathcal{M}$ とその台集合 $|\mathcal{M}|$ を誤解を与えない範囲で同一視する。例えば $a\in |\mathcal{M}|$ の代わりに $a\in\mathcal{M}$ と表すことがある。

また $\mathcal{M}=\langle M;{-}^\mathcal{M}\rangle$ と表す代わりに解釈後の関数、関係をリストし $\mathcal{M}=\langle M;\mathtt{f}_0^\mathcal{M},\ldots,\mathtt{f}_i^\mathcal{M}\rangle$ と表すことがある。

{{theorem |type=example |name=代数構造の例 |label=examples-of-algebraic-structures}}
任意の群 $\mathcal{G}:=\langle|\mathcal{G}|;e,\cdot,{-}^{-1}\rangle$ は $\mathtt{1}^\mathcal{G}:=e,\hat{\cdot}^\mathcal{G}:=\cdot,{{-}^{\hat{-1}}}^\mathcal{G}:={-}^{-1}$ と定めることで $\mathscr{L}_\mathsf{Grp}$-構造として見做すことができる。しかし、別に群でなくても $a\in A,f\colon A^2\to A,g\colon A\to A $ に対して $\langle A;a,f,g\rangle$ は同様に $\mathscr{L}_\mathsf{Grp}$-構造として見做すことができる。

{{theorem |type=definition |name=項の解釈 |label=interpretation-of-terms}}

$\mathscr{L}$-代数構造 $\mathcal{M}=\langle M;{-}^\mathcal{M}\rangle$ と $\mathscr{L}$-閉項 $t$ に対して $t^\mathcal{M}\in M$ を帰納的に定義する。

* $\mathtt{f}(t_0,\ldots,t_{n-1})$ に対して $(\mathtt{f}(t_0,\ldots,t_{n-1}))^\mathcal{M}$ を $\mathtt{f}^\mathcal{M}(t_0^\mathcal{M},\ldots,t_{n-1}^\mathcal{M})$ と定める。

{{theorem |type=definition |name=拡大と縮約 |label=expansion-and-reduct}}

言語 $\mathscr{L}\subseteq\mathscr{L}'$ とし、$\mathcal{M}$ を $\mathscr{L}$-代数構造とし、$\mathcal{M}'$ を $\mathscr{L}'$-代数構造とする。$|\mathcal{M}|=|\mathcal{M}'|$ とし、$\mathtt{f}\in\mathscr{L}$ に対し $\mathtt{f}^\mathcal{M}=\mathtt{f}^{\mathcal{M}'}$ が成り立つとする。このとき $\mathcal{M}'$ を $\mathcal{M}$ の'''拡大''' (expansion) といい、$\mathcal{M}$ を $\mathcal{M}'$ の'''縮約''' (reduct) という。

{{theorem |type=example |name=拡大と縮約の例 |label=expansion-and-reduct}}
任意の環 $\mathcal{R}=\langle|\mathcal{R}|;\mathtt{0}^\mathcal{R},\mathtt{1}^\mathcal{R},\hat{+}^\mathcal{R},\hat{-}^\mathcal{R},\hat{\cdot}^\mathcal{R}\rangle$ はその加法群 $\mathcal{R}^+=\langle|\mathcal{R}|;\mathtt{0}^\mathcal{R},\hat{+}^\mathcal{R},{-}^\mathcal{R}\rangle$ の拡張となる。ここで群の言語は $\{\mathtt{1},\hat{\cdot},{-}^{\hat{-1}}\}$ であったが記号を変えて $\{\mathtt{0},\hat{+},\hat{-}\}$ としても本質的になにも変わらない。実際、[[Abel群]]に対してはこのように書かれることが多い。
一方、加法群と違い、乗法群 $\mathcal{R}^\times=\langle|\mathcal{R}|\setminus\{\mathtt{0}^\mathcal{R}\};\mathtt{0}^\mathcal{R},\hat{+}^\mathcal{R},{-}^\mathcal{R}\rangle$ は領域がことなるため拡張にはならない。

{{theorem |type=definition |name=名前 |label=name}}

$\mathscr{L}$-代数構造 $\mathcal{M}$ に対して言語 $\mathscr{L}(\mathcal{M})$ と $\mathscr{L}(\mathcal{M})$-代数構造 $\mathcal{M}_\mathrm{par}$ を定義する。
* $\mathscr{L}(\mathcal{M})$ には $\mathscr{L}$ の元に加え、$a\in|\mathcal{M}|$ に対する定数記号 $\underline{a}$ を持つ。この定数記号 $\underline{a}$ を $a$ の ''名前''(name) や''パラメータ'' (parameter) という。名前を単に $a$ と表すこともある。
* $\mathcal{M}_\mathrm{par}$ は $\mathcal{M}$ の拡大であり、$\underline{a}^{\mathcal{M}_\mathrm{par}}:=a$ とする。

誤解を生じないとき $\mathcal{M}_\mathrm{par}$ を単に $\mathcal{M}$ と表す。

{{theorem |type=definition |name=充足可能性関係 |label=satisfiability-relation}}

$\mathscr{L}$-代数構造 $\mathcal{M}$ と $\mathscr{L}(\mathcal{M})$-論理式 $s(u_0,\ldots,u_{n-1})=t(v_0,\ldots,v_{m-1})$ に対し '''充足可能性関係''' (satisfiability relation) $\mathcal{M}\models s(u_0,\ldots,u_{n-1})=t(v_0,\ldots,v_{m-1})$ を定義する<ref group="脚注">充足可能性関係の定義には名前ではなく、'''割り当て''' (assignment) と呼ばれる、論理式に出現する変数記号から領域への写像を用いて、閉項に対して定義された解釈を割り当てを用いて閉項とは限らない項に拡張することで定義する流儀もある。</ref>。
ここで $s(u_0,\ldots,u_{n-1})=t(v_0,\ldots,v_{m-1})$ に現れる変数は $u_0,\ldots,u_{n-1},v_0,\ldots,v_{m-1}$ に限るとする。

#　$\mathcal{M}\models s(u_0,\ldots,u_{n-1})=t(v_0,\ldots,v_{m-1})$ となるのは任意の $a_0,\ldots,a_{n-1},b_0,\ldots,b_{m-1}\in |\mathcal{M}|$ に対して $(s(u_0,\ldots,u_{n-1})[u_0:=\underline{a_0}]\cdots[u_{n-1}:=\underline{a_{n-1}}])^{\mathcal{M}_\mathrm{par}}=(t(v_0,\ldots,v_{m-1})[v_0:=\underline{b_0}]\cdots[v_{m-1}:=\underline{b_{m-1}}])^{\mathcal{M}_\mathrm{par}})$ が成り立つことである。

ここで $\mathcal{M}\models s(u_0,\ldots,u_{n-1})=t(v_0,\ldots,v_{m-1})$ に含まれる $=$ は等号記号だが、$(s(u_0,\ldots,u_{n-1})[u_0:=\underline{a_0}]\cdots[u_{n-1}:=\underline{a_{n-1}}])^{\mathcal{M}_\mathrm{par}}=(t(v_0,\ldots,v_{m-1})[v_0:=\underline{b_0}]\cdots[v_{m-1}:=\underline{b_{m-1}}])^{\mathcal{M}_\mathrm{par}})$　に表れる $=$ は実際の等号であることに注意されたい。また $\models$ に対していくつかの用語を定める。

* $T$ を理論とし、任意の $\varphi\in T$ に対して $\mathcal{M}\models\varphi$ となっているとする。このとき $\mathcal{M}$ を $T$ の'''モデル''' (model) であるといい、$\mathcal{M}\models\varphi$ と表す。
* $T$ の任意のモデル $\mathcal{M}$ に対して $\mathcal{M}\models\varphi$ であるとき $\varphi$ は $T$ からの'''論理的帰結''' (logical consequence) であるといい、$T\models \varphi$ と表す。

{{theorem |type=example |name=モデルの例 |label=examples-of-models}}
$\mathscr{L}_\mathsf{Grp}$-理論 $\mathsf{Grp}$ を以下の論理式からなるものとする。
* $u\mathrel{\hat{\cdot}}(v\mathrel{\hat{\cdot}}w)=(u\mathrel{\hat{\cdot}}v)\mathrel{\hat{\cdot}}w$ 。
* $u\mathrel{\hat{\cdot}}\mathtt{0}=u$ 。
* $u\mathrel{\hat{\cdot}}(u^{\hat{-1}})=\mathtt{0}$ 。

$\mathsf{Grp}$ のモデルは群そのものである。

$\mathscr{L}_\mathsf{Ring}$-理論 $\mathsf{Ring}$ を以下の論理式からなるものとする。

* $u\hat{+}(v\mathrel{\hat{+}}w)=(u\mathrel{\hat{+}}v)\mathrel{\hat{+}}w$ 。
* $u\mathrel{\hat{+}}\mathtt{0}=u$ 。
* $u\mathrel{\hat{+}}(\mathrel{\hat{-}}u)=\mathtt{0}$ 。
* $u\mathrel{\hat{+}}v=v\mathrel{\hat{+}}u$ 。
* $u\mathrel{\hat{\cdot}} (v\mathrel{\hat{\cdot}} w)=(u\mathrel{\hat{\cdot}} v)\mathrel{\hat{\cdot}} w$ 。
* $u\mathrel{\hat{\cdot}} (v\mathrel{\hat{+}}w)=(u\mathrel{\hat{\cdot}} v)\mathrel{\hat{+}}(u\mathrel{\hat{\cdot}} w)$ 。
* $u\mathrel{\hat{\cdot}}\mathtt{1}=u$ 。

$\mathsf{Ring}$ のモデルも同様に環である。

言語 $\mathscr{L}_{\mathsf{Mod}_\mathcal{A}}$ 上の理論 $\mathsf{Mod}_\mathcal{A}$ は[[アーベル群]]の公理と任意の $a,b\in |\mathcal{A}|$ に対して以下の論理式からなるものとする。

* $\hat{a}(x\mathrel{\hat{+}}y)=\hat{a}(x)\mathrel{\hat{+}}\hat{a}(y)$ 。
* $\widehat{a\mathrel{+_\mathcal{A}}b}(x)=\hat{a}(x)\mathrel{\hat{+}}\hat{b}(x)$ 。
* $\widehat{a\mathrel{\cdot_\mathcal{A}} b}(x)=\hat{a}(\hat{b}(x))$ 。
* $\widehat{1_{\mathcal{A}}}(x)=x$

言語 $\mathscr{L}_\mathsf{Set}$ 上の理論 $\emptyset$ のモデルは空でない集合 $X$ に対して $\langle X\rangle$ という形をした構造である。これは空でない集合と同一視できる。

言語 $\mathscr{L}_\mathsf{SGrp}:=\{\hat{\cdot}\}$ とし、理論 $\mathsf{SGrp}$ を

* $u\mathrel{\hat{\cdot}}(v\mathrel{\hat{\cdot}}w)=(u\mathrel{\hat{\cdot}}v)\mathrel{\hat{\cdot}}w$ 。

とする。このとき理論 $\mathsf{SGrp}$ のモデルは空でない半群全体となる。

=== 2.3 代数構造の理論 ===
{{theorem |type=definition |name=準同型、同型 |label=homomorphism-and-isomorphism}}

$\mathscr{L}$-代数構造 $\mathcal{M},\mathcal{N}$ に対して $\sigma\colon|\mathcal{M}|\to|\mathcal{N}|$ が'''準同型射''' (homomorphism) であるとは、任意の $\mathtt{f}\in\mathscr{L}$ 、$a_0,\ldots,a_{n-1}\in|\mathcal{M}|$ に対し $\sigma(\mathtt{f}^\mathcal{M}(a_0,\ldots,a_{n-1}))=\mathtt{f}^\mathcal{N}(\sigma(a_0),\ldots,\sigma(a_{n-1}))$ が成り立つことである。すなわち、以下の図式を可換にするような写像である。

また準同型 $\sigma\colon|\mathcal{M}|\to|\mathcal{N}|,\tau\colon|\mathcal{N}|\to|\mathcal{M}|$ が存在し $\tau\circ\sigma =\mathrm{id}_\mathcal{M},\sigma\circ\tau =\mathrm{id}_\mathcal{N}$ となるとき $\mathcal{M}$ と $\mathcal{N}$ は''同型'' (isomorphic))であるといい $\mathcal{M}\cong\mathcal{N}$ と表し、$\sigma,\tau$ を''同型射'' (isomorphism) であるという。
ここで $\mathrm{id}_\mathcal{M}\colon|\mathcal{M}|\to|\mathcal{M}|,\mathrm{id}_\mathcal{M}(a)=a,\mathrm{id}_\mathcal{N}\colon|\mathcal{N}|\to|\mathcal{N}|,\mathrm{id}_\mathcal{N}(b)=b$ とする。

==== 定義2.3.2（部分代数） ====

$\mathscr{L}$-代数構造 $\mathcal{M},\mathcal{N}$ に対して、$\mathcal{N}$ が $\mathcal{M}$ の''部分代数'' (subalgebra) であるとは $|\mathcal{N}|\subseteq|\mathcal{M}|$ かつ、任意の $\mathtt{f}\in\mathscr{L}$ 、任意の $b_0,\ldots,b_{n-1}\in|\mathcal{N}|$ に対し $\mathtt{f}^\mathcal{N}(b_0,\ldots,b_{n-1})=\mathtt{f}^\mathcal{M}(b_0,\ldots,b_{n-1})$ を満たすことである。

==== 命題2.3.3（代数構造の同型に対する必要十分条件） ====

$\mathcal{M}\cong\mathcal{N}$ であるのは全単射準同型 $\upsilon\colon\mathcal{M}\to\mathcal{N}$ が存在するときであり、またそれに限る。

''証明''　$\mathcal{M}\cong\mathcal{N}$ であると仮定する。仮定より準同型 $\sigma\colon\mathcal{M}\to\mathcal{N},\tau\colon\mathcal{N}\to\mathcal{M}$ で $\sigma\circ\tau,\tau\circ\sigma$ が恒等となるものを取る。$\sigma,\tau$ は互いに逆写像であり、よって全単射である。

逆を示す。$\upsilon\circ\upsilon^{-1},\upsilon^{-1}\circ\upsilon$ が恒等になるのは明らかである。よって $\upsilon^{-1}\colon\mathcal{N}\to\mathcal{M}$ が準同型となることを確認すれば良い。
$\upsilon$ は全単射であるから、ある $a_0,\ldots,a_{n-1}\in|\mathcal{M}|$ が存在して $\upsilon(a_0)=b_0,\ldots,\upsilon(a_{n-1})=b_{n-1}$ である。
よって $\upsilon^{-1}(\mathtt{f}^\mathcal{N}(b_0,\ldots,b_{n-1}))=\upsilon^{-1}(\mathtt{f}^\mathcal{N}(\upsilon(a_0),\ldots,\upsilon(a_{n-1})))$ であり、$\upsilon$ は準同型であるから $\upsilon^{-1}(\mathtt{f}^\mathcal{N}(\upsilon(a_0),\ldots,\upsilon(a_{n-1})))=\upsilon^{-1}(\upsilon(\mathtt{f}^\mathcal{M}(a_0,\ldots,a_{n-1})))$ となる。
従って $\upsilon^{-1}(\upsilon(\mathtt{f}^\mathcal{M}(a_0,\ldots,a_{n-1})))=\mathtt{f}^\mathcal{M}(a_0,\ldots,a_{n-1})$　であり、$a_0=\upsilon^{-1}(b_0),\ldots,a_{n-1}=\upsilon^{-1}(b_{n-1})$ より良い。□

==== 定義2.3.4（合同関係） ====
$\mathcal{M}$ を代数構造とし、$\equiv$ を $|\mathcal{M}|$ 上の同値関係で $\mathtt{f}\in\mathscr{L}$ に対して $\mathtt{f}^\mathcal{M}$ と両立する、すなわち任意の $a_0,\ldots,a_{n-1},b_0,\ldots,b_{n-1}\in |\mathcal{M}|$ に対して、任意の $i<n$ について $a_i\equiv b_i$ $\equiv$ であるならば $\mathtt{f}^\mathcal{M}(a_0,\ldots,a_{n-1})\equiv\mathtt{f}^\mathcal{M}(b_0,\ldots,b_{n-1})$ が成り立つとき $\equiv$ は $\mathcal{M}$ 上の''合同関係'' (congruence relation) である、あるいは同値関係 $\equiv$ は $\mathtt{f}^\mathcal{M}$ に対して　''well-defined''であるという。
==== 定義2.3.5（剰余代数） ====

$\mathcal{M}$ を代数構造とし、$\equiv$ を $\mathcal{M}$ 上の合同関係とする。剰余代数'' (factor algebra, quotient algebra) $\mathcal{M}/{\equiv}:=\langle|\mathcal{M}|/{\equiv};{-}^{\mathcal{M}/{\equiv}}\rangle$ を以下のように定める。
* $|\mathcal{M}|/{\equiv}$ は $|\mathcal{M}|$ の $\equiv$ による商集合とし $a\in|\mathcal{M}|$ に対して $[a]_\equiv$ を $\equiv$ による同値類とする。
* $\mathtt{f}\in\mathscr{L}$ に対して $\mathtt{f}^{\mathcal{M}/{\equiv}}([a_0]_\equiv,\ldots,[a_{n-1}]_\equiv):=[\mathtt{f}^\mathcal{M}(a_0,\ldots,a_{n-1})]_\equiv$ とする。

==== 例2.3.6（剰余代数の例） ====

$\mathcal{G}$ を群、$\mathcal{H}$ を $\mathcal{G}$ の正規部分群、すなわち $\mathcal{H}$ は $\mathcal{G}$ の部分代数で、任意の $g\in|\mathcal{G}|,h\in|\mathcal{H}|$ に対し $(g\hat{\cdot}^\mathcal{G} h){\hat{\cdot}}^\mathcal{G}\left(g^{\hat{-1}^\mathcal{G}}\right)\in|\mathcal{H}|$ であるとする。$|\mathcal{G}|$ 上の合同関係　$\equiv_\mathcal{H}$ を $x\equiv_\mathcal{H} y:\Leftrightarrow x\hat{\cdot}^\mathcal{G}\left(y^{\hat{-1}^\mathcal{G}}\right)\in|\mathcal{H}|$ と定める。
このとき $\mathcal{G}/{\equiv_\mathcal{H}}$ を $\mathcal{G}/\mathcal{H}$ と表す。

$\mathcal{M}$ を可換環、$\mathcal{I}:=\langle|\mathcal{I}|;\mathtt{0}^\mathcal{I},\mathtt{1}^\mathcal{I},\hat{+}^\mathcal{I},\hat{-}^\mathcal{I},\hat{\cdot}^\mathcal{I}\rangle$ を $\mathcal{M}$ のイデアル、すなわち以下を満たすとする。
* $\langle|\mathcal{I}|;\mathtt{0}^\mathcal{I},\hat{+}^\mathcal{I},\hat{-}^\mathcal{I}\rangle$ は $\langle|\mathcal{M}|;\mathtt{0}^\mathcal{M},\hat{+}^\mathcal{M},\hat{-}^\mathcal{M}\rangle$ の部分構造である。
* 任意の $a\in|\mathcal{M}|,x\in|\mathcal{I}|$ に対し $a\hat{\cdot}^\mathcal{M}x\in|\mathcal{I}|$ である。

このとき上記の例と同様に $\equiv_\mathcal{I}$ を定義でき $\mathcal{M}/{\equiv_\mathcal{I}}$ を $\mathcal{M}/\mathcal{I}$ を表す。

==== 補題2.3.7（剰余代数と準同型） ====

代数構造 $\mathcal{M}$ と合同関係 $\equiv$ に対して $\pi_\equiv\colon|\mathcal{M}|\to|\mathcal{M}|/{\equiv},\pi_\equiv(a):=[a]_\equiv$ とする。このとき $\pi_\equiv$ は準同型となる。この準同型を $\equiv$ に対する自然な準同型という。

''証明''　剰余代数の定義より明らかである。□

==== 補題2.3.8（準同型と合同関係） ====

代数構造 $\mathcal{M},\mathcal{N}$ 、準同型 $\sigma\colon|\mathcal{M}|\to|\mathcal{N}|$ に対して $|\mathcal{M}|$ 上の二項関係 $\equiv_\sigma$ を $a\equiv_\sigma b:\Leftrightarrow\sigma(a)=\sigma(b)$ とする((これを $\sigma$ による''核'' (kernel) ということがある。))。このとき $\equiv_\sigma$ は合同関係である。

''証明''　$\equiv_\sigma$ が同値関係であることは明らかである。よって関数と両立することを示そう。
今 $\mathtt{f}$ の項数を $n$ とし任意の $i<n$ に対して $a_i\equiv_\sigma b_i$ であると仮定し、$\mathtt{f}^\mathcal{M}(a_0,\ldots,a_{n-1})\equiv_\sigma \mathtt{f}^\mathcal{M}(b_0,\ldots,b_{n-1})$ 、すなわち $\sigma(\mathtt{f}^\mathcal{M}(a_0,\ldots,a_{n-1}))=\sigma(\mathtt{f}^\mathcal{M}(b_0,\ldots,b_{n-1}))$ を示せば良い。
$\sigma$ が準同型であるという仮定から $\sigma(\mathtt{f}^\mathcal{M}(a_0,\ldots,a_{n-1}))=\mathtt{f}^\mathcal{N}(\sigma(a_0),\ldots,\sigma(a_{n-1}))$ であり、 $\equiv_\sigma$ の定義から $\mathtt{f}^\mathcal{N}(\sigma(a_0),\ldots,\sigma(a_{n-1}))=\mathtt{f}^\mathcal{N}(\sigma(b_0),\ldots,\sigma(b_{n-1}))$ 、よってもう一度 $\sigma$ が準同型であることから $\mathtt{f}^\mathcal{N}(\sigma(b_0),\ldots,\sigma(b_{n-1}))=\sigma(\mathtt{f}^\mathcal{M}(b_0,\ldots,b_{n-1}))$ 。□

==== 定理2.3.9（準同型定理 (homomorphism theorem) ） ====

全射準同型 $\sigma\colon|\mathcal{M}|\to|\mathcal{N}|$ に対して、同型 $\tau_{\equiv_\sigma}\colon|\mathcal{M}/{\equiv_\sigma}|\to|\mathcal{N}|$ が存在して $\sigma=\tau_{\equiv_\sigma}\circ\pi_{\equiv_\sigma}$ となる。
ここで $a\equiv_\sigma b:\Leftrightarrow\sigma(a)=\sigma(b)$ 、$\pi_{\equiv_\sigma}\colon|\mathcal{M}|\to|\mathcal{M}/{\equiv_\sigma}|,\pi_{\equiv_\sigma}(a)=[a]_{\equiv_\sigma}$ とする。

''証明''　まず $\tau_{\equiv_\sigma}([a]_{\equiv_\sigma}):=\sigma(a)$ とする。これが写像となることを示す。左全域性は明らかなので右一意性を示そう。
$[a]_{\equiv_\sigma}=[b]_{\equiv_\sigma}$ とすれば $\equiv_\sigma$ の定義から、$\sigma(a)=\sigma(b)$ であり良い。
同様に逆も言えるため左一意性、すなわち $\tau_{\equiv_\sigma}$ が単射であることも従う。また $\sigma$ が全射であることから $\tau_{\equiv_\sigma}$ も全射である。命題2.3.3より
準同型であることを示せば十分である。
剰余代数の定義から $\tau_{\equiv_\sigma}(\mathtt{f}^{\mathcal{M}/{\equiv_\sigma}}([a_0]_{\equiv_\sigma},\ldots,[a_{n-1}]_{\equiv_\sigma}))=\tau_{\equiv_\sigma}([\mathtt{f}^\mathcal{M}(a_0,\ldots,a_{n-1})]_{\equiv_\sigma})$ であり、$\tau_{\equiv_\sigma}$ の定義から $\tau_{\equiv_\sigma}([f^\mathcal{M}(a_0,\ldots,a_{n-1})]_{\equiv_\sigma})=\sigma(f^\mathcal{M}(a_0,\ldots,a_{n-1}))$ である。
$\sigma$ が準同型であることから $\sigma(\mathtt{f}^\mathcal{M}(a_0,\ldots,a_{n-1}))=\mathtt{f}^\mathcal{N}(\sigma(a_0),\ldots,\sigma(a_{n-1}))$ であり $\tau_{\equiv_\sigma}$ の定義が $\mathtt{f}^\mathcal{N}(\sigma(a_0),\ldots,\sigma(a_{n-1}))=\mathtt{f}^\mathcal{N}(\tau_{\equiv_\sigma}([a_0]_{\equiv_\sigma},\ldots,[a_{n-1}]_{\equiv_\sigma}))$ となる。□

==== 系2.3.10 ====

準同型 $\sigma\colon|\mathcal{M}|\to|\mathcal{N}|$ と $|\mathcal{M}|$ 上の合同関係 $\equiv_\sigma$ は $a\equiv_\sigma b$ ならば $\sigma(a)=\sigma(b)$ を満たすとする。
このとき準同型 $\tau_{\equiv_\sigma}\colon|\mathcal{M}/{\equiv}|\to|\mathcal{N}|$ が存在し $\sigma=\tau_{\equiv_\sigma}\circ\pi_{\equiv_\sigma}$ となる。
ただし $\pi_{\equiv_\sigma}\colon|\mathcal{M}|\to|\mathcal{M}/{\equiv_\sigma}|,\pi_{\equiv_\sigma}(a)=[a]_{\equiv_\sigma}$ とする。

''証明''　定理2.3.9の証明とほとんど同様で良い。□

==== 例2.3.11（準同型定理の具体例） ====

群準同型 $\sigma\colon|\mathcal{G}|\to|\mathcal{H}|$ に対して $\mathrm{Ker}(\sigma):=\{g\in|\mathcal{G}|\mid\sigma(g)=\mathtt{0}^\mathcal{H}\}$ とする。このとき $\langle \mathrm{Ker}(\sigma),\mathtt{0}^\mathcal{G},\hat{\cdot}^\mathcal{G},{-}^{\hat{-1}^\mathcal{G}}\rangle$ は $\mathcal{G}$ の部分群であり、例2.2.6で定められる同値関係を $\equiv_{\mathrm{Ker}(\sigma)}$ とすれば $g_0\equiv_{\mathrm{Ker}(\sigma)}g_1$ と $g_0\equiv_\sigma g_1$ は同値であり、従って定理2.3.9及び系2.3.10から以下の群論に於ける準同型定理が従う。
* 群準同型 $\sigma\colon|\mathcal{G}|\to|\mathcal{H}|$ 、自然な準同型 $\pi\colon|\mathcal{G}|\to|\mathcal{G}/\equiv_{\mathrm{Ker(\sigma)}}|$ に対して、準同型 $\tau\colon |\mathcal{G}/\equiv_{\mathrm{Ker(\sigma)}}|\to|\mathcal{H}|$ が存在して $\sigma=\tau\circ\pi$ であり、また $\tau$ は $\mathcal{G}/\equiv_{\mathrm{Ker(\sigma)}}$ から $\langle\mathrm{Im}(\sigma),\underline{0}^\mathcal{H},+^\mathcal{H},-^\mathcal{H}\rangle$ への同型射である。

=== 2.4. 等式論理の形式的証明 ===
==== 定義2.4.1（等式理論） ====
理論 $T$ 論理式 $\varphi$ に対して $T\vdash\varphi$ を帰納的に定義する。

1. $(\mathsf{refl})$　任意の項 $t$ に対して $T\vdash t=t$ である。

2. $(T)$　任意の $\varphi\in T$ に対して $T\vdash\varphi$ である。

3. $(\mathsf{sym})$　任意の項 $s,t$ に対して $T\vdash s=t$ ならば $T\vdash t=s$ である。

4. $(\mathsf{trans})$　任意の項 $s,t,r$ に対して $T\vdash s=t$ かつ $T\vdash t=r$ ならば $T\vdash s=r$ である。

5. $(\mathsf{sub})$　任意の変数 $u$ 、項 $s(u),t(u),r$ に対して $T\vdash s(u)=t(u)$ ならば $T\vdash s(r)=t(r)$ である。

6. $(\mathsf{comp})$　任意の関数記号 $f\in\mathscr{L}$ 、任意の項 $s_0,\ldots,s_{n-1},t_0,\ldots,t_{n-1}$ に対して、全ての$i<n$　について $T\vdash s_i=t_i$ ならば $T\vdash f(s_0,\ldots,s_{n-1})=f(t_0,\ldots,t_{n-1})$ である。

$\vdash$ に関して命題論理と同様に用語を定める。
* $T\vdash\varphi$ であるとき $T$ から $\varphi$ は''証明可能'' (provable) であるという。また $\emptyset\vdash\varphi$ であるとき単に証明可能であるといい、$\vdash\varphi$ と表す。
* $\mathrm{Th}(T):=\{\varphi\in\mathrm{EqFml}\mid T\vdash\varphi\}$ とする。また言語を明示するとき $\mathrm{Th}_\mathscr{L}(T)$ と表す。

=== 2.5. Birkhoffの完全性定理、$\mathsf{HSP}$ 定理 ===

==== 定義2.5.1（生成） ====
代数構造 $\mathcal{M}$ 、$X\subseteq|\mathcal{M}|$ とする。このとき $X\subseteq\mathcal{N}$ で $\mathcal{M}$ の部分代数のなか、領域の包含関係において最小であるとき、$\mathcal{N}$ を $X$ によって''生成される'' (generated) 部分代数であるという。

==== 定義2.5.2（自由 $\mathcal{K}$-代数） ====
$\mathcal{K}$ を代数構造からなるクラスとする。このとき $\mathcal{M}\in\mathcal{K}$ が $X$ によって生成される''自由 $\mathcal{K}$-代数'' (free $\mathcal{K}$-代数) であるとは以下を満たすことである。
* $\mathcal{M}$ は $X$ で生成される。
* 任意の $\mathcal{N}\in\mathcal{K}$ 、写像 $\sigma\colon X\to|\mathcal{N}|$ に対し、ある準同型 $\overline{\sigma}\colon|\mathcal{M}|\to|\mathcal{N}|$ で $\overline{\sigma}$ は $\sigma$ の拡大である、すなわち任意の $x\in X$ に対して $\sigma(x)=\overline{\sigma}(x)$ となるものが一意に存在する。

==== 命題2.5.3（自由生成と濃度） ====
代数構造 $\mathcal{M},\mathcal{N}\in\mathcal{K}$ でそれぞれ集合 $X,Y$ によって自由生成されていて、$X,Y$ が等濃であれば $\mathcal{M}\cong\mathcal{N}$ である。

''証明''　全単射 $\sigma\colon X\to Y$ を取る。
自由代数の定義から $\sigma,\sigma^{-1}$ は準同型 $\overline{\sigma}\colon|\mathcal{M}|\to|\mathcal{N}|,\overline{\sigma^{-1}}\colon|\mathcal{N}|\to|\mathcal{M}|$ に拡張され $\overline{\sigma^{-1}}\circ\overline{\sigma}$ は $X$ 上の恒等写像の拡張となる準同型 $|\mathcal{M}|\to|\mathcal{M}|$ で拡張の一意性から $\overline{\sigma^{-1}}\circ\overline{\sigma}=\mathrm{id}_{|\mathcal{M}|}$ 、
同様に $\overline{\sigma}\circ\overline{\sigma^{-1}}=\mathrm{id}_{|\mathcal{N}|}$ であり、$\mathcal{M}\cong\mathcal{N}$ である。

==== 定義2.5.3（項代数） ====

== 出典 ==

== 参考文献 ==

[田中19] 田中一之、数学基礎論序説、裳華房、2019。

[Sankappanavar–Burris] H.P. Sankappanavar, S. Burris, A course in universal algebra, Graduate Texts Math 78, 1981.

=== 脚注 ===
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数理論理学の基礎：等式論理

2022-01-07T20:49:25Z

Alwe: /* 2.2 等式論理のモデル */

[[Category:数理論理学|トウシキロンリ]]
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== 2. 等式論理 ==

'''等式論理''' (equational logic) は先程までの命題論理とは異なり命題同士の関係ではなく命題の中身、特に $s=t$ という形をした等式による命題に注目する論理である。。
等式論理に対しても命題論理と同様に統語論、意味論を考える。命題論理と同様に形式的証明と、命題論理での真理値に対応する'''モデル''' (model) というのを紹介する。

形式的証明は等式の以下に上げる基本的な性質による書き換え操作によって得られる。

# '''反射律''' (reflexivity) $s=s$ である。
# '''対称律''' (symmetricity) $s=t$ ならば $t=s$ である。
# '''推移律''' (transitivity) $s=t$ かつ $t=r$ ならば $s=r$ である。
# '''代入''' (substitution) $s(u)=t(u)$ ならば $s(r)=t(r)$ である。
# '''関数との両立''' (compatibility with functions) 任意の $i<n+1$ に対して $s_i=t_i$ ならば $f(s_0,\ldots,s_n)=f(t_0,\ldots,t_n)$ である。

一方、モデルによる意味論はある種の数学的な'''代数構造''' (algebraic structure) を用いて定義される。具体的には構造が与えられたとき、その構造で満たされることを真と見做す。ここで構造というのは'''台集合''' (underlying set) とその上の関数からなる組のことである。

=== 2.1 等式論理の統語論 ===

{{theorem |type=definition |name=等式論理の記号 |label=symbols-of-equational-logic }}
等式論理の'''論理記号''' (logical symbol) は以下からなる。
* '''変数記号''' (variable symbol) $u,v,w,\ldots$ 。
* '''等号記号''' (equality symbol) $=$ 。
* '''括弧''' (brackets) $(,).$ 及び'''カンマ''' (comma) $,$ 。

変数記号の集合を $\mathrm{EqVar}$ とし、変数記号は無限個あることを仮定する。

{{theorem |type=definition |name=等式論理の代数言語 |label=algebraic-languages-of-equational-logic }}

'''代数言語''' (algebraic language) は'''関数記号''' (function symbol) からなる集合で各関数記号には'''項数''' (arity) という自然数が割り当てられているとする。

また特に項数が $0$ である関数記号を'''定数記号''' (constant symbol) という。言語の元を'''非論理記号''' (non-logical symbol) という。関数記号は有限個でも無限個あっても良い。

便宜上、代数言語を集合ではなく組として扱うこともある。

{{theorem |type=example |name=代数言語の例 |label=example-of-algebraic-languages-of-equational-logic }}
代数言語の例をいくつかあげる。
* 集合の言語 $\mathscr{L}_\mathsf{Set}:=\emptyset$ 。
* 群の言語 $\mathscr{L}_\mathsf{Grp}:=\{\mathtt{1},\mathrel{\hat{\cdot}},{-}^{\hat{-1}}\}$ 。項数は順に $0,2,1$ 。
* 環の言語 $\mathscr{L}_\mathsf{Ring}:=\{\mathtt{0},\mathtt{1},\mathrel{\hat{+}},\mathrel{\hat{-}},\mathrel{\hat{\cdot}}\}$ 。項数は順に $0,0,2,1,2$ 。
* 束の言語 $\mathscr{L}_\mathsf{Lat}:=\{\hat{\top},\hat{\bot},\mathrel{\hat{\land}},\mathrel{\hat{\lor}}\}$ 。項数は順に $0,0,2,2$ 。
* Boole代数の言語 $\mathscr{L}_\mathsf{BA}:=\{\hat{\top},\hat{\bot},\mathrel{\hat{\land}},\mathrel{\hat{\lor}},\mathrel{\hat{\lnot}}\}$ 。項数は順に $0,0,2,2,1$ 。
* $\mathcal{A}=\langle|\mathcal{A}|;0,1,+,-,\cdot\rangle$ を可換環としたとき $\mathcal{A}$-加群の言語は $\mathscr{L}_{\mathsf{Mod}_\mathcal{A}}:=\mathscr{L}_\mathsf{Grp}\cup\{\hat{a}\mid a\in|\mathcal{A}|\}$ とする。$\hat{a}$ の項数は全て $1$ である。

{{theorem |type=definition |name=等式論理の項 |label=terms-of-equational-logic}}

$\mathscr{L}$ を代数言語とする。このとき '''$\mathscr{L}$-項''' ($\mathscr{L}$-term) は以下のように帰納的に定義される文字列である。
# 変数 $u,v,w,\ldots$ は $\mathscr{L}$-項である。
# 関数記号 $\mathtt{f}$ に対し、その項数が $n$ であるとき、$\mathscr{L}$-項 $t_0,\ldots,t_{n-1}$ に対して $\mathtt{f}(t_0,\ldots,t_n)$ は$\mathscr{L}$-項である。

特に定数記号は $\mathscr{L}$-項であることに注意しよう。$\mathscr{L}$-項の集合を $\mathrm{EqTm}_\mathscr{L}$ と表す。

項数が $2$ の関数記号 $\mathtt{f}$ に対して $\mathtt{f}(s,t)$ の代わりに $s\mathrel{\mathtt{f}} t$ と'''中置記法''' (infix notation) で表し、適当に括弧を補うことがある<ref group="脚注">中置記法に対し、$\mathtt{f}(s,t)$ あるいは括弧などを省略し $\mathtt{f}st$ という記法を '''前置記法''' (prefix notation) あるいは'''ポーランド記法''' (Poland notation) といい、逆に $st\mathtt{f}$ という記法を'''後置記法''' (postfix notation) あるいは'''逆ポーランド記法''' (reverse Poland notation) という。</ref>。

{{theorem |type=definition |name=$\mathscr{L}$-項の例 |label=example-of-terms-of-equational-logic}}

項の例をいくつかあげる。
* $(u\mathrel{\hat{\cdot}}\mathtt{1})^{\hat{-1}},\mathtt{1}\mathrel{\hat{\cdot}}v$ は $\mathscr{L}_\mathsf{Grp}$-項である。
* $(\mathtt{1}\mathrel{\hat{+}}\mathtt{1})\mathrel{\hat{\cdot}} (\mathrel{\hat{-}}\mathtt{0}),(u\mathrel{\hat{+}}\mathtt{1})\mathrel{\hat{\cdot}}((\mathrel{\hat{-}}\mathtt{0})\mathrel{\hat{\cdot}}v)$ は $\mathscr{L}_\mathsf{Ring}$-項である。
* $u\mathrel{\hat{\land}} (v\mathrel{\hat{\lor}}w),(\hat{\top}\mathrel{\hat{\land}}u)\mathrel{\hat{\lor}}\hat{\bot}$ は $\mathscr{L}_\mathsf{Lat}$-項である。
* $u\mathrel{\hat{\land}}(\mathrel{\hat{\lnot}} v),(\mathrel{\hat{\lnot}}\hat{\top})\mathrel{\hat{\land}}\hat{\bot}$ は $\mathscr{L}_\mathsf{BA}$-項である。

{{theorem |type=definition |name=等式論理の論理式 |label=formulae-of-equational-logic}}
$\mathscr{L}$ を代数言語とする。このとき '''$\mathscr{L}$-論理式''' ($\mathscr{L}$-formula) は以下のように定義される文字列である。
# $\mathscr{L}$-項 $s,t$ に対して $s=t$ は$\mathscr{L}$-論理式である。
$\mathscr{L}$-論理式の集合を $\mathrm{EqFml}_\mathscr{L}$ と表す。

また等式論理の論理式を'''原子論理式''' (atomic formula) と呼ぶこともある。

{{theorem |type=definition |name=項の出現 |label=occurrence-of-terms}}

$\mathscr{L}$-項 $s$ が $\mathscr{L}$-項 $t$ に'''出現する''' (occur) あるいは単に'''現れる'''ということを $\mathscr{L}$-項 $t$ の定義に沿って帰納的に定義する。

# 変数 $u$ に対して $s$ が $u$ であるとき $u$ に $s$ が現れている。
# $\mathscr{L}$-項 $f(t_0,\ldots,t_{n-1})$ に対して、ある $i<n$ が存在し $t_i$ に $s$ が現れているか、または $s$ が $f(t_0,\ldots,t_{n-1})$ であるとき、$s$ が $f(t_0,\ldots,t_{n-1})$ に現れている。

また$\mathscr{L}$-項 $s$ が $\mathscr{L}$-論理式 $\varphi$ に現れるということを定義する。
# $t=r$ に $\mathscr{L}$-項 $s$ が現れるのは $t$ か $r$ のいずれかに現れるときである。

$\mathscr{L}$-項 $t$ に $s_0,\ldots,s_n$ が現れているとき $t(s_0,\ldots,s_n)$ などど表す。

{{theorem |type=definition |name=項の代入 |label=substitution-of-terms}}

$\mathscr{L}$-項 $s,t$ 、変数 $u$ に対して $s$ に現れる $u$ に $t$ を'''代入''' (substitution) した結果 $s[u:=t]$ を $s$ の定義に沿って帰納的に定義する。
# $s$ に $u$ が現れていないとき $s[u:=t]$ は $s$ である。
# $u[u:=t]$ を $t$ のこととする。
# $\mathtt{f}(t_0,\ldots,t_{n-1})[u:=t]$ を　$\mathtt{f}(t_0[u:=t],\ldots,t_{n-1}[u:=t])$　のこととする。

また $\mathscr{L}$-論理式 $\varphi$ 、 $\mathscr{L}$-項 $t$ 、変数 $u$ に対して $\varphi$ に現れる $u$ に $t$ を'''代入''' (substitution) した結果 $\varphi[u:=t]$ を定義する。
# $\varphi$ に $u$ が現れていないとき $\varphi[u:=t]$ は $\varphi$ である。
# $(s=r)[u:=t]$ を $s[u:=t]=t[u:=t]$ のこととする。

また $s(u)$ に対して $s(u)[u:=t]$ を単に $s(t)$ と表す。

{{theorem |type=notation |name=省略記法 |label=abbreviation}}

$\mathscr{L}$-項、$\mathscr{L}$-論理式などの「$\mathscr{L}$-」という接頭辞は、どの言語を指しているか明らかなとき、あるいは言語に拠らない議論をするとき省略する。

また命題論理と同様に以下の記法を用いる。

* 論理式の集合 $T$ を '''公理系''' (axiomatic system, axioms, axiomata) 、'''等式理論''' (equational theory) 、あるいは単に'''理論''' (theory) という。
* 理論 $T$ と論理式 $\varphi$ に対して $T+\varphi$ で $T\cup\{\varphi\}$ を表す。

=== 2.2 等式論理のモデル ===

{{theorem |type=definition |name=代数構造 |label=algebraic-structure}}

$\mathscr{L}$ を言語とする。このとき '''$\mathscr{L}$-代数構造''' ($\mathscr{L}$-algebraic structure) $\mathcal{M}$ は'''領域''' (domain) あるいは'''宇宙''' (universe) 、'''台集合''' (underlying set) と言われる空でない<ref group="脚注">空な構造を認める流儀も存在する。特に'''圏論的論理学''' (categorical logic) の文脈では、空な構造を認めた方が都合が良い場合が多い。構造からなる圏、あるいは後述するモデルからなる圏に始対象が存在しないと都合が悪い場合が多いからである。例えば後述する等式理論の項モデルの構成と類似の議論をすることによって、等式理論、あるいはその項モデルの圏論的対応物となる圏、'''Lawvere理論''' (Lawvere theory) を得ることができ、モデルとはLawvere理論から集合と写像からなる圏 $\mathrm{Set}$ への有限直積を保つ関手と思うことができるが、このような議論は空なモデルが存在しない場合、面倒な例外処理を行わなければならなくなる。またtoo simple to be simpleの理念に従っても空なモデルは認めたほうが良いと思われる。しかし数理論理学に於いては空なモデルを認めない流儀が主流である。これは等式論理の範疇では問題にならないが、一階述語論理に於いては空なモデルを許容すると、(等号を含む)関係記号を言語として持つ場合、論理式 $\forall x\varphi(x)\to\exists x\varphi(x)$ は証明可能になるが、空なモデルで成り立たない。すなわち健全性定理が成り立たなくなるのが問題となる。</ref>集合 $M$ と以下に定義される'''$\mathscr{L}$-解釈''' ($\mathscr{L}$-interpretation) ${-}^\mathcal{M}$ の組 $\langle M;{-}^\mathcal{M}\rangle$ である。

$\mathscr{L}$-解釈 ${-}^\mathcal{M}$ は以下を満たす言語 $\mathscr{L}$ からの写像である。

* 関数記号 $\mathtt{f}\in\mathscr{L}$ に対して $\mathtt{f}$ の項数が $n$ であるとき、$\mathtt{f}^\mathcal{M}\colon M^n\to M$ である。

定数記号の解釈は一つの $M$ の要素を返す関数となる。よってその返す値と同一視することで定数記号 $\mathtt{c}$ に対して $\mathtt{c}^\mathcal{M}\in M$ と見做すことができることに注意する。このような同一視を今後断りなく行うことに注意する。

代数構造 $\mathcal{M}$ が与えられたとき、$|\mathcal{M}|$ を $\mathcal{M}$ の台集合を表すことにする。また数学の慣習に基づき構造 $\mathcal{M}$ とその台集合 $|\mathcal{M}|$ を誤解を与えない範囲で同一視する。例えば $a\in |\mathcal{M}|$ の代わりに $a\in\mathcal{M}$ と表すことがある。

また $\mathcal{M}=\langle M;{-}^\mathcal{M}\rangle$ と表す代わりに解釈後の関数、関係をリストし $\mathcal{M}=\langle M;\mathtt{f}_0^\mathcal{M},\ldots,\mathtt{f}_i^\mathcal{M}\rangle$ と表すことがある。

{{theorem |type=example |name=代数構造の例 |label=examples-of-algebraic-structures}}
任意の群 $\mathcal{G}:=\langle|\mathcal{G}|;e,\cdot,{-}^{-1}\rangle$ は $\mathtt{1}^\mathcal{G}:=e,\hat{\cdot}^\mathcal{G}:=\cdot,{{-}^{\hat{-1}}}^\mathcal{G}:={-}^{-1}$ と定めることで $\mathscr{L}_\mathsf{Grp}$-構造として見做すことができる。しかし、別に群でなくても $a\in A,f\colon A^2\to A,g\colon A\to A $ に対して $\langle A;a,f,g\rangle$ は同様に $\mathscr{L}_\mathsf{Grp}$-構造として見做すことができる。

{{theorem |type=definition |name=項の解釈 |label=interpretation-of-terms}}

$\mathscr{L}$-代数構造 $\mathcal{M}=\langle M;{-}^\mathcal{M}\rangle$ と $\mathscr{L}$-閉項 $t$ に対して $t^\mathcal{M}\in M$ を帰納的に定義する。

* $\mathtt{f}(t_0,\ldots,t_{n-1})$ に対して $(\mathtt{f}(t_0,\ldots,t_{n-1}))^\mathcal{M}$ を $\mathtt{f}^\mathcal{M}(t_0^\mathcal{M},\ldots,t_{n-1}^\mathcal{M})$ と定める。

{{theorem |type=definition |name=拡大と縮約 |label=expansion-and-reduct}}

言語 $\mathscr{L}\subseteq\mathscr{L}'$ とし、$\mathcal{M}$ を $\mathscr{L}$-代数構造とし、$\mathcal{M}'$ を $\mathscr{L}'$-代数構造とする。$|\mathcal{M}|=|\mathcal{M}'|$ とし、$\mathtt{f}\in\mathscr{L}$ に対し $\mathtt{f}^\mathcal{M}=\mathtt{f}^{\mathcal{M}'}$ が成り立つとする。このとき $\mathcal{M}'$ を $\mathcal{M}$ の'''拡大''' (expansion) といい、$\mathcal{M}$ を $\mathcal{M}'$ の'''縮約''' (reduct) という。

{{theorem |type=example |name=拡大と縮約の例 |label=expansion-and-reduct}}
任意の環 $\mathcal{R}=\langle|\mathcal{R}|;\mathtt{0}^\mathcal{R},\mathtt{1}^\mathcal{R},\hat{+}^\mathcal{R},\hat{-}^\mathcal{R},\hat{\cdot}^\mathcal{R}\rangle$ はその加法群 $\mathcal{R}^+=\langle|\mathcal{R}|;\mathtt{0}^\mathcal{R},\hat{+}^\mathcal{R},{-}^\mathcal{R}\rangle$ の拡張となる。ここで群の言語は $\{\mathtt{1},\hat{\cdot},{-}^{\hat{-1}}\}$ であったが記号を変えて $\{\mathtt{0},\hat{+},\hat{-}\}$ としても本質的になにも変わらない。実際、[[Abel群]]に対してはこのように書かれることが多い。
一方、加法群と違い、乗法群 $\mathcal{R}^\times=\langle|\mathcal{R}|\setminus\{\mathtt{0}^\mathcal{R}\};\mathtt{0}^\mathcal{R},\hat{+}^\mathcal{R},{-}^\mathcal{R}\rangle$ は領域がことなるため拡張にはならない。

{{theorem |type=definition |name=名前 |label=name}}

$\mathscr{L}$-代数構造 $\mathcal{M}$ に対して言語 $\mathscr{L}(\mathcal{M})$ と $\mathscr{L}(\mathcal{M})$-代数構造 $\mathcal{M}_\mathrm{par}$ を定義する。
* $\mathscr{L}(\mathcal{M})$ には $\mathscr{L}$ の元に加え、$a\in|\mathcal{M}|$ に対する定数記号 $\underline{a}$ を持つ。この定数記号 $\underline{a}$ を $a$ の ''名前''(name) や''パラメータ'' (parameter) という。名前を単に $a$ と表すこともある。
* $\mathcal{M}_\mathrm{par}$ は $\mathcal{M}$ の拡大であり、$\underline{a}^{\mathcal{M}_\mathrm{par}}:=a$ とする。

誤解を生じないとき $\mathcal{M}_\mathrm{par}$ を単に $\mathcal{M}$ と表す。

{{theorem |type=definition |name=充足可能性関係 |label=satisfiability-relation}}

$\mathscr{L}$-代数構造 $\mathcal{M}$ と $\mathscr{L}(\mathcal{M})$-論理式 $s(u_0,\ldots,u_{n-1})=t(v_0,\ldots,v_{m-1})$ に対し '''充足可能性関係''' (satisfiability relation) $\mathcal{M}\models s(u_0,\ldots,u_{n-1})=t(v_0,\ldots,v_{m-1})$ を定義する<ref group="脚注">充足可能性関係の定義には名前ではなく、'''割り当て''' (assignment) と呼ばれる、論理式に出現する変数記号から領域への写像を用いて、閉項に対して定義された解釈を割り当てを用いて閉項とは限らない項に拡張することで定義する流儀もある。</ref>。
ここで $s(u_0,\ldots,u_{n-1})=t(v_0,\ldots,v_{m-1})$ に現れる変数は $u_0,\ldots,u_{n-1},v_0,\ldots,v_{m-1}$ に限るとする。

#　$\mathcal{M}\models s(u_0,\ldots,u_{n-1})=t(v_0,\ldots,v_{m-1})$ となるのは任意の $a_0,\ldots,a_{n-1},b_0,\ldots,b_{m-1}\in |\mathcal{M}|$ に対して $(s(u_0,\ldots,u_{n-1})[u_0:=\underline{a_0}]\cdots[u_{n-1}:=\underline{a_{n-1}}])^{\mathcal{M}_\mathrm{par}}=(t(v_0,\ldots,v_{m-1})[v_0:=\underline{b_0}]\cdots[v_{m-1}:=\underline{b_{m-1}}])^{\mathcal{M}_\mathrm{par}})$ が成り立つことである。

ここで $\mathcal{M}\models s(u_0,\ldots,u_{n-1})=t(v_0,\ldots,v_{m-1})$ に含まれる $=$ は等号記号だが、$(s(u_0,\ldots,u_{n-1})[u_0:=\underline{a_0}]\cdots[u_{n-1}:=\underline{a_{n-1}}])^{\mathcal{M}_\mathrm{par}}=(t(v_0,\ldots,v_{m-1})[v_0:=\underline{b_0}]\cdots[v_{m-1}:=\underline{b_{m-1}}])^{\mathcal{M}_\mathrm{par}})$　に表れる $=$ は実際の等号であることに注意されたい。また $\models$ に対していくつかの用語を定める。

* $T$ を理論とし、任意の $\varphi\in T$ に対して $\mathcal{M}\models\varphi$ となっているとする。このとき $\mathcal{M}$ を $T$ の'''モデル''' (model) であるといい、$\mathcal{M}\models\varphi$ と表す。
* $T$ の任意のモデル $\mathcal{M}$ に対して $\mathcal{M}\models\varphi$ であるとき $\varphi$ は $T$ からの'''論理的帰結''' (logical consequence) であるといい、$T\models \varphi$ と表す。

{{theorem |type=example |name=モデルの例 |label=examples-of-models}}
$\mathscr{L}_\mathsf{Grp}$-理論 $\mathsf{Grp}$ を以下の論理式からなるものとする。
* $u\mathrel{\hat{\cdot}}(v\mathrel{\hat{\cdot}}w)=(u\mathrel{\hat{\cdot}}v)\mathrel{\hat{\cdot}}w$ 。
* $u\mathrel{\hat{\cdot}}\mathtt{0}=u$ 。
* $u\mathrel{\hat{\cdot}}(u^{\hat{-1}})=\mathtt{0}$ 。

$\mathsf{Grp}$ のモデルは群そのものである。

$\mathscr{L}_\mathsf{Ring}$-理論 $\mathsf{Ring}$ を以下の論理式からなるものとする。

* $u\hat{+}(v\mathrel{\hat{+}}w)=(u\mathrel{\hat{+}}v)\mathrel{\hat{+}}w$ 。
* $u\mathrel{\hat{+}}\mathtt{0}=u$ 。
* $u\mathrel{\hat{+}}(\mathrel{\hat{-}}u)=\mathtt{0}$ 。
* $u\mathrel{\hat{+}}v=v\mathrel{\hat{+}}u$ 。
* $u\mathrel{\hat{\cdot}} (v\mathrel{\hat{\cdot}} w)=(u\mathrel{\hat{\cdot}} v)\mathrel{\hat{\cdot}} w$ 。
* $u\mathrel{\hat{\cdot}} (v\mathrel{\hat{+}}w)=(u\mathrel{\hat{\cdot}} v)\mathrel{\hat{+}}(u\mathrel{\hat{\cdot}} w)$ 。
* $u\mathrel{\hat{\cdot}}\mathtt{1}=u$ 。

$\mathsf{Ring}$ のモデルも同様に環である。

言語 $\mathscr{L}_{\mathsf{Mod}_\mathcal{A}}$ 上の理論 $\mathsf{Mod}_\mathcal{A}$ は[[アーベル群]]の公理と任意の $a,b\in |\mathcal{A}|$ に対して以下の論理式からなるものとする。

* $\hat{a}(x\mathrel{\hat{+}}y)=\hat{a}(x)\mathrel{\hat{+}}\hat{a}(y)$ 。
* $\widehat{a\mathrel{+_\mathcal{A}}b}(x)=\hat{a}(x)\mathrel{\hat{+}}\hat{b}(x)$ 。
* $\widehat{a\mathrel{\cdot_\mathcal{A}} b}(x)=\hat{a}(\hat{b}(x))$ 。
* $\widehat{1_{\mathcal{A}}}(x)=x$

言語 $\mathscr{L}_\mathsf{Set}$ 上の理論 $\emptyset$ のモデルは空でない集合 $X$ に対して $\langle X\rangle$ という形をした構造である。これは空でない集合と同一視できる。

言語 $\mathscr{L}_\mathsf{SGrp}:=\{\hat{\cdot}\}$ とし、理論 $\mathsf{SGrp}$ を

* $u\mathrel{\hat{\cdot}}(v\mathrel{\hat{\cdot}}w)=(u\mathrel{\hat{\cdot}}v)\mathrel{\hat{\cdot}}w$ 。

とする。このとき理論 $\mathsf{SGrp}$ のモデルは空でない半群全体となる。

=== 2.3 代数構造の理論 ===
==== 定義2.3.1（準同型、同型） ====

$\mathscr{L}$-代数構造 $\mathcal{M},\mathcal{N}$ に対して $\sigma\colon|\mathcal{M}|\to|\mathcal{N}|$ が''準同型射'' (homomorphism) であるとは、任意の $\mathtt{f}\in\mathscr{L}$ 、$a_0,\ldots,a_{n-1}\in|\mathcal{M}|$ に対し $\sigma(\mathtt{f}^\mathcal{M}(a_0,\ldots,a_{n-1}))=\mathtt{f}^\mathcal{N}(\sigma(a_0),\ldots,\sigma(a_{n-1}))$ が成り立つことである。

また準同型 $\sigma\colon|\mathcal{M}|\to|\mathcal{N}|,\tau\colon|\mathcal{N}|\to|\mathcal{M}|$ が存在し $\tau\circ\sigma =\mathrm{id}_\mathcal{M},\sigma\circ\tau =\mathrm{id}_\mathcal{N}$ となるとき $\mathcal{M}$ と $\mathcal{N}$ は''同型'' (isomorphic))であるといい $\mathcal{M}\cong\mathcal{N}$ と表し、$\sigma,\tau$ を''同型射'' (isomorphism) であるという。
ここで $\mathrm{id}_\mathcal{M}\colon|\mathcal{M}|\to|\mathcal{M}|,\mathrm{id}_\mathcal{M}(a)=a,\mathrm{id}_\mathcal{N}\colon|\mathcal{N}|\to|\mathcal{N}|,\mathrm{id}_\mathcal{N}(b)=b$ とする。

==== 定義2.3.2（部分代数） ====

$\mathscr{L}$-代数構造 $\mathcal{M},\mathcal{N}$ に対して、$\mathcal{N}$ が $\mathcal{M}$ の''部分代数'' (subalgebra) であるとは $|\mathcal{N}|\subseteq|\mathcal{M}|$ かつ、任意の $\mathtt{f}\in\mathscr{L}$ 、任意の $b_0,\ldots,b_{n-1}\in|\mathcal{N}|$ に対し $\mathtt{f}^\mathcal{N}(b_0,\ldots,b_{n-1})=\mathtt{f}^\mathcal{M}(b_0,\ldots,b_{n-1})$ を満たすことである。

==== 命題2.3.3（代数構造の同型に対する必要十分条件） ====

$\mathcal{M}\cong\mathcal{N}$ であるのは全単射準同型 $\upsilon\colon\mathcal{M}\to\mathcal{N}$ が存在するときであり、またそれに限る。

''証明''　$\mathcal{M}\cong\mathcal{N}$ であると仮定する。仮定より準同型 $\sigma\colon\mathcal{M}\to\mathcal{N},\tau\colon\mathcal{N}\to\mathcal{M}$ で $\sigma\circ\tau,\tau\circ\sigma$ が恒等となるものを取る。$\sigma,\tau$ は互いに逆写像であり、よって全単射である。

逆を示す。$\upsilon\circ\upsilon^{-1},\upsilon^{-1}\circ\upsilon$ が恒等になるのは明らかである。よって $\upsilon^{-1}\colon\mathcal{N}\to\mathcal{M}$ が準同型となることを確認すれば良い。
$\upsilon$ は全単射であるから、ある $a_0,\ldots,a_{n-1}\in|\mathcal{M}|$ が存在して $\upsilon(a_0)=b_0,\ldots,\upsilon(a_{n-1})=b_{n-1}$ である。
よって $\upsilon^{-1}(\mathtt{f}^\mathcal{N}(b_0,\ldots,b_{n-1}))=\upsilon^{-1}(\mathtt{f}^\mathcal{N}(\upsilon(a_0),\ldots,\upsilon(a_{n-1})))$ であり、$\upsilon$ は準同型であるから $\upsilon^{-1}(\mathtt{f}^\mathcal{N}(\upsilon(a_0),\ldots,\upsilon(a_{n-1})))=\upsilon^{-1}(\upsilon(\mathtt{f}^\mathcal{M}(a_0,\ldots,a_{n-1})))$ となる。
従って $\upsilon^{-1}(\upsilon(\mathtt{f}^\mathcal{M}(a_0,\ldots,a_{n-1})))=\mathtt{f}^\mathcal{M}(a_0,\ldots,a_{n-1})$　であり、$a_0=\upsilon^{-1}(b_0),\ldots,a_{n-1}=\upsilon^{-1}(b_{n-1})$ より良い。□

==== 定義2.3.4（合同関係） ====
$\mathcal{M}$ を代数構造とし、$\equiv$ を $|\mathcal{M}|$ 上の同値関係で $\mathtt{f}\in\mathscr{L}$ に対して $\mathtt{f}^\mathcal{M}$ と両立する、すなわち任意の $a_0,\ldots,a_{n-1},b_0,\ldots,b_{n-1}\in |\mathcal{M}|$ に対して、任意の $i<n$ について $a_i\equiv b_i$ $\equiv$ であるならば $\mathtt{f}^\mathcal{M}(a_0,\ldots,a_{n-1})\equiv\mathtt{f}^\mathcal{M}(b_0,\ldots,b_{n-1})$ が成り立つとき $\equiv$ は $\mathcal{M}$ 上の''合同関係'' (congruence relation) である、あるいは同値関係 $\equiv$ は $\mathtt{f}^\mathcal{M}$ に対して　''well-defined''であるという。
==== 定義2.3.5（剰余代数） ====

$\mathcal{M}$ を代数構造とし、$\equiv$ を $\mathcal{M}$ 上の合同関係とする。剰余代数'' (factor algebra, quotient algebra) $\mathcal{M}/{\equiv}:=\langle|\mathcal{M}|/{\equiv};{-}^{\mathcal{M}/{\equiv}}\rangle$ を以下のように定める。
* $|\mathcal{M}|/{\equiv}$ は $|\mathcal{M}|$ の $\equiv$ による商集合とし $a\in|\mathcal{M}|$ に対して $[a]_\equiv$ を $\equiv$ による同値類とする。
* $\mathtt{f}\in\mathscr{L}$ に対して $\mathtt{f}^{\mathcal{M}/{\equiv}}([a_0]_\equiv,\ldots,[a_{n-1}]_\equiv):=[\mathtt{f}^\mathcal{M}(a_0,\ldots,a_{n-1})]_\equiv$ とする。

==== 例2.3.6（剰余代数の例） ====

$\mathcal{G}$ を群、$\mathcal{H}$ を $\mathcal{G}$ の正規部分群、すなわち $\mathcal{H}$ は $\mathcal{G}$ の部分代数で、任意の $g\in|\mathcal{G}|,h\in|\mathcal{H}|$ に対し $(g\hat{\cdot}^\mathcal{G} h){\hat{\cdot}}^\mathcal{G}\left(g^{\hat{-1}^\mathcal{G}}\right)\in|\mathcal{H}|$ であるとする。$|\mathcal{G}|$ 上の合同関係　$\equiv_\mathcal{H}$ を $x\equiv_\mathcal{H} y:\Leftrightarrow x\hat{\cdot}^\mathcal{G}\left(y^{\hat{-1}^\mathcal{G}}\right)\in|\mathcal{H}|$ と定める。
このとき $\mathcal{G}/{\equiv_\mathcal{H}}$ を $\mathcal{G}/\mathcal{H}$ と表す。

$\mathcal{M}$ を可換環、$\mathcal{I}:=\langle|\mathcal{I}|;\mathtt{0}^\mathcal{I},\mathtt{1}^\mathcal{I},\hat{+}^\mathcal{I},\hat{-}^\mathcal{I},\hat{\cdot}^\mathcal{I}\rangle$ を $\mathcal{M}$ のイデアル、すなわち以下を満たすとする。
* $\langle|\mathcal{I}|;\mathtt{0}^\mathcal{I},\hat{+}^\mathcal{I},\hat{-}^\mathcal{I}\rangle$ は $\langle|\mathcal{M}|;\mathtt{0}^\mathcal{M},\hat{+}^\mathcal{M},\hat{-}^\mathcal{M}\rangle$ の部分構造である。
* 任意の $a\in|\mathcal{M}|,x\in|\mathcal{I}|$ に対し $a\hat{\cdot}^\mathcal{M}x\in|\mathcal{I}|$ である。

このとき上記の例と同様に $\equiv_\mathcal{I}$ を定義でき $\mathcal{M}/{\equiv_\mathcal{I}}$ を $\mathcal{M}/\mathcal{I}$ を表す。

==== 補題2.3.7（剰余代数と準同型） ====

代数構造 $\mathcal{M}$ と合同関係 $\equiv$ に対して $\pi_\equiv\colon|\mathcal{M}|\to|\mathcal{M}|/{\equiv},\pi_\equiv(a):=[a]_\equiv$ とする。このとき $\pi_\equiv$ は準同型となる。この準同型を $\equiv$ に対する自然な準同型という。

''証明''　剰余代数の定義より明らかである。□

==== 補題2.3.8（準同型と合同関係） ====

代数構造 $\mathcal{M},\mathcal{N}$ 、準同型 $\sigma\colon|\mathcal{M}|\to|\mathcal{N}|$ に対して $|\mathcal{M}|$ 上の二項関係 $\equiv_\sigma$ を $a\equiv_\sigma b:\Leftrightarrow\sigma(a)=\sigma(b)$ とする((これを $\sigma$ による''核'' (kernel) ということがある。))。このとき $\equiv_\sigma$ は合同関係である。

''証明''　$\equiv_\sigma$ が同値関係であることは明らかである。よって関数と両立することを示そう。
今 $\mathtt{f}$ の項数を $n$ とし任意の $i<n$ に対して $a_i\equiv_\sigma b_i$ であると仮定し、$\mathtt{f}^\mathcal{M}(a_0,\ldots,a_{n-1})\equiv_\sigma \mathtt{f}^\mathcal{M}(b_0,\ldots,b_{n-1})$ 、すなわち $\sigma(\mathtt{f}^\mathcal{M}(a_0,\ldots,a_{n-1}))=\sigma(\mathtt{f}^\mathcal{M}(b_0,\ldots,b_{n-1}))$ を示せば良い。
$\sigma$ が準同型であるという仮定から $\sigma(\mathtt{f}^\mathcal{M}(a_0,\ldots,a_{n-1}))=\mathtt{f}^\mathcal{N}(\sigma(a_0),\ldots,\sigma(a_{n-1}))$ であり、 $\equiv_\sigma$ の定義から $\mathtt{f}^\mathcal{N}(\sigma(a_0),\ldots,\sigma(a_{n-1}))=\mathtt{f}^\mathcal{N}(\sigma(b_0),\ldots,\sigma(b_{n-1}))$ 、よってもう一度 $\sigma$ が準同型であることから $\mathtt{f}^\mathcal{N}(\sigma(b_0),\ldots,\sigma(b_{n-1}))=\sigma(\mathtt{f}^\mathcal{M}(b_0,\ldots,b_{n-1}))$ 。□

==== 定理2.3.9（準同型定理 (homomorphism theorem) ） ====

全射準同型 $\sigma\colon|\mathcal{M}|\to|\mathcal{N}|$ に対して、同型 $\tau_{\equiv_\sigma}\colon|\mathcal{M}/{\equiv_\sigma}|\to|\mathcal{N}|$ が存在して $\sigma=\tau_{\equiv_\sigma}\circ\pi_{\equiv_\sigma}$ となる。
ここで $a\equiv_\sigma b:\Leftrightarrow\sigma(a)=\sigma(b)$ 、$\pi_{\equiv_\sigma}\colon|\mathcal{M}|\to|\mathcal{M}/{\equiv_\sigma}|,\pi_{\equiv_\sigma}(a)=[a]_{\equiv_\sigma}$ とする。

''証明''　まず $\tau_{\equiv_\sigma}([a]_{\equiv_\sigma}):=\sigma(a)$ とする。これが写像となることを示す。左全域性は明らかなので右一意性を示そう。
$[a]_{\equiv_\sigma}=[b]_{\equiv_\sigma}$ とすれば $\equiv_\sigma$ の定義から、$\sigma(a)=\sigma(b)$ であり良い。
同様に逆も言えるため左一意性、すなわち $\tau_{\equiv_\sigma}$ が単射であることも従う。また $\sigma$ が全射であることから $\tau_{\equiv_\sigma}$ も全射である。命題2.3.3より
準同型であることを示せば十分である。
剰余代数の定義から $\tau_{\equiv_\sigma}(\mathtt{f}^{\mathcal{M}/{\equiv_\sigma}}([a_0]_{\equiv_\sigma},\ldots,[a_{n-1}]_{\equiv_\sigma}))=\tau_{\equiv_\sigma}([\mathtt{f}^\mathcal{M}(a_0,\ldots,a_{n-1})]_{\equiv_\sigma})$ であり、$\tau_{\equiv_\sigma}$ の定義から $\tau_{\equiv_\sigma}([f^\mathcal{M}(a_0,\ldots,a_{n-1})]_{\equiv_\sigma})=\sigma(f^\mathcal{M}(a_0,\ldots,a_{n-1}))$ である。
$\sigma$ が準同型であることから $\sigma(\mathtt{f}^\mathcal{M}(a_0,\ldots,a_{n-1}))=\mathtt{f}^\mathcal{N}(\sigma(a_0),\ldots,\sigma(a_{n-1}))$ であり $\tau_{\equiv_\sigma}$ の定義が $\mathtt{f}^\mathcal{N}(\sigma(a_0),\ldots,\sigma(a_{n-1}))=\mathtt{f}^\mathcal{N}(\tau_{\equiv_\sigma}([a_0]_{\equiv_\sigma},\ldots,[a_{n-1}]_{\equiv_\sigma}))$ となる。□

==== 系2.3.10 ====

準同型 $\sigma\colon|\mathcal{M}|\to|\mathcal{N}|$ と $|\mathcal{M}|$ 上の合同関係 $\equiv_\sigma$ は $a\equiv_\sigma b$ ならば $\sigma(a)=\sigma(b)$ を満たすとする。
このとき準同型 $\tau_{\equiv_\sigma}\colon|\mathcal{M}/{\equiv}|\to|\mathcal{N}|$ が存在し $\sigma=\tau_{\equiv_\sigma}\circ\pi_{\equiv_\sigma}$ となる。
ただし $\pi_{\equiv_\sigma}\colon|\mathcal{M}|\to|\mathcal{M}/{\equiv_\sigma}|,\pi_{\equiv_\sigma}(a)=[a]_{\equiv_\sigma}$ とする。

''証明''　定理2.3.9の証明とほとんど同様で良い。□

==== 例2.3.11（準同型定理の具体例） ====

群準同型 $\sigma\colon|\mathcal{G}|\to|\mathcal{H}|$ に対して $\mathrm{Ker}(\sigma):=\{g\in|\mathcal{G}|\mid\sigma(g)=\mathtt{0}^\mathcal{H}\}$ とする。このとき $\langle \mathrm{Ker}(\sigma),\mathtt{0}^\mathcal{G},\hat{\cdot}^\mathcal{G},{-}^{\hat{-1}^\mathcal{G}}\rangle$ は $\mathcal{G}$ の部分群であり、例2.2.6で定められる同値関係を $\equiv_{\mathrm{Ker}(\sigma)}$ とすれば $g_0\equiv_{\mathrm{Ker}(\sigma)}g_1$ と $g_0\equiv_\sigma g_1$ は同値であり、従って定理2.3.9及び系2.3.10から以下の群論に於ける準同型定理が従う。
* 群準同型 $\sigma\colon|\mathcal{G}|\to|\mathcal{H}|$ 、自然な準同型 $\pi\colon|\mathcal{G}|\to|\mathcal{G}/\equiv_{\mathrm{Ker(\sigma)}}|$ に対して、準同型 $\tau\colon |\mathcal{G}/\equiv_{\mathrm{Ker(\sigma)}}|\to|\mathcal{H}|$ が存在して $\sigma=\tau\circ\pi$ であり、また $\tau$ は $\mathcal{G}/\equiv_{\mathrm{Ker(\sigma)}}$ から $\langle\mathrm{Im}(\sigma),\underline{0}^\mathcal{H},+^\mathcal{H},-^\mathcal{H}\rangle$ への同型射である。

=== 2.4. 等式論理の形式的証明 ===
==== 定義2.4.1（等式理論） ====
理論 $T$ 論理式 $\varphi$ に対して $T\vdash\varphi$ を帰納的に定義する。

1. $(\mathsf{refl})$　任意の項 $t$ に対して $T\vdash t=t$ である。

2. $(T)$　任意の $\varphi\in T$ に対して $T\vdash\varphi$ である。

3. $(\mathsf{sym})$　任意の項 $s,t$ に対して $T\vdash s=t$ ならば $T\vdash t=s$ である。

4. $(\mathsf{trans})$　任意の項 $s,t,r$ に対して $T\vdash s=t$ かつ $T\vdash t=r$ ならば $T\vdash s=r$ である。

5. $(\mathsf{sub})$　任意の変数 $u$ 、項 $s(u),t(u),r$ に対して $T\vdash s(u)=t(u)$ ならば $T\vdash s(r)=t(r)$ である。

6. $(\mathsf{comp})$　任意の関数記号 $f\in\mathscr{L}$ 、任意の項 $s_0,\ldots,s_{n-1},t_0,\ldots,t_{n-1}$ に対して、全ての$i<n$　について $T\vdash s_i=t_i$ ならば $T\vdash f(s_0,\ldots,s_{n-1})=f(t_0,\ldots,t_{n-1})$ である。

$\vdash$ に関して命題論理と同様に用語を定める。
* $T\vdash\varphi$ であるとき $T$ から $\varphi$ は''証明可能'' (provable) であるという。また $\emptyset\vdash\varphi$ であるとき単に証明可能であるといい、$\vdash\varphi$ と表す。
* $\mathrm{Th}(T):=\{\varphi\in\mathrm{EqFml}\mid T\vdash\varphi\}$ とする。また言語を明示するとき $\mathrm{Th}_\mathscr{L}(T)$ と表す。

=== 2.5. Birkhoffの完全性定理、$\mathsf{HSP}$ 定理 ===

==== 定義2.5.1（生成） ====
代数構造 $\mathcal{M}$ 、$X\subseteq|\mathcal{M}|$ とする。このとき $X\subseteq\mathcal{N}$ で $\mathcal{M}$ の部分代数のなか、領域の包含関係において最小であるとき、$\mathcal{N}$ を $X$ によって''生成される'' (generated) 部分代数であるという。

==== 定義2.5.2（自由 $\mathcal{K}$-代数） ====
$\mathcal{K}$ を代数構造からなるクラスとする。このとき $\mathcal{M}\in\mathcal{K}$ が $X$ によって生成される''自由 $\mathcal{K}$-代数'' (free $\mathcal{K}$-代数) であるとは以下を満たすことである。
* $\mathcal{M}$ は $X$ で生成される。
* 任意の $\mathcal{N}\in\mathcal{K}$ 、写像 $\sigma\colon X\to|\mathcal{N}|$ に対し、ある準同型 $\overline{\sigma}\colon|\mathcal{M}|\to|\mathcal{N}|$ で $\overline{\sigma}$ は $\sigma$ の拡大である、すなわち任意の $x\in X$ に対して $\sigma(x)=\overline{\sigma}(x)$ となるものが一意に存在する。

==== 命題2.5.3（自由生成と濃度） ====
代数構造 $\mathcal{M},\mathcal{N}\in\mathcal{K}$ でそれぞれ集合 $X,Y$ によって自由生成されていて、$X,Y$ が等濃であれば $\mathcal{M}\cong\mathcal{N}$ である。

''証明''　全単射 $\sigma\colon X\to Y$ を取る。
自由代数の定義から $\sigma,\sigma^{-1}$ は準同型 $\overline{\sigma}\colon|\mathcal{M}|\to|\mathcal{N}|,\overline{\sigma^{-1}}\colon|\mathcal{N}|\to|\mathcal{M}|$ に拡張され $\overline{\sigma^{-1}}\circ\overline{\sigma}$ は $X$ 上の恒等写像の拡張となる準同型 $|\mathcal{M}|\to|\mathcal{M}|$ で拡張の一意性から $\overline{\sigma^{-1}}\circ\overline{\sigma}=\mathrm{id}_{|\mathcal{M}|}$ 、
同様に $\overline{\sigma}\circ\overline{\sigma^{-1}}=\mathrm{id}_{|\mathcal{N}|}$ であり、$\mathcal{M}\cong\mathcal{N}$ である。

==== 定義2.5.3（項代数） ====

== 出典 ==

== 参考文献 ==

[田中19] 田中一之、数学基礎論序説、裳華房、2019。

[Sankappanavar–Burris] H.P. Sankappanavar, S. Burris, A course in universal algebra, Graduate Texts Math 78, 1981.

=== 脚注 ===
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}}

数理論理学の基礎：等式論理

2022-01-07T20:48:34Z

Alwe: /* 2.2 等式論理のモデル */

[[Category:数理論理学|トウシキロンリ]]
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{{begin |preamble }}


$
\newcommand{\Pow}[1]{\mathcal{P}(#1)}
\newcommand{\nat}{\mathbb{N}}
$

$\newcommand{\name}[1]{\underline{#1}}$

$
\newcommand{\blank}{ {-} }
$

{{newtheorem |type=theorem |display=定理 |counter=0 }}
{{newtheorem |type=lemma |display=補題 |family=theorem }}
{{newtheorem |type=definition |display=定義 |family=theorem }}
{{newtheorem |type=proposition |display=命題 |family=theorem }}
{{newtheorem |type=corollary |display=系 |family=theorem }}
{{newtheorem |type=remark |display=注意 |family=theorem }}
{{newtheorem |type=example |display=例 |family=theorem }}
{{newtheorem |type=notation |display=表記 |family=theorem }}
{{end |preamble }}
== 2. 等式論理 ==

'''等式論理''' (equational logic) は先程までの命題論理とは異なり命題同士の関係ではなく命題の中身、特に $s=t$ という形をした等式による命題に注目する論理である。。
等式論理に対しても命題論理と同様に統語論、意味論を考える。命題論理と同様に形式的証明と、命題論理での真理値に対応する'''モデル''' (model) というのを紹介する。

形式的証明は等式の以下に上げる基本的な性質による書き換え操作によって得られる。

# '''反射律''' (reflexivity) $s=s$ である。
# '''対称律''' (symmetricity) $s=t$ ならば $t=s$ である。
# '''推移律''' (transitivity) $s=t$ かつ $t=r$ ならば $s=r$ である。
# '''代入''' (substitution) $s(u)=t(u)$ ならば $s(r)=t(r)$ である。
# '''関数との両立''' (compatibility with functions) 任意の $i<n+1$ に対して $s_i=t_i$ ならば $f(s_0,\ldots,s_n)=f(t_0,\ldots,t_n)$ である。

一方、モデルによる意味論はある種の数学的な'''代数構造''' (algebraic structure) を用いて定義される。具体的には構造が与えられたとき、その構造で満たされることを真と見做す。ここで構造というのは'''台集合''' (underlying set) とその上の関数からなる組のことである。

=== 2.1 等式論理の統語論 ===

{{theorem |type=definition |name=等式論理の記号 |label=symbols-of-equational-logic }}
等式論理の'''論理記号''' (logical symbol) は以下からなる。
* '''変数記号''' (variable symbol) $u,v,w,\ldots$ 。
* '''等号記号''' (equality symbol) $=$ 。
* '''括弧''' (brackets) $(,).$ 及び'''カンマ''' (comma) $,$ 。

変数記号の集合を $\mathrm{EqVar}$ とし、変数記号は無限個あることを仮定する。

{{theorem |type=definition |name=等式論理の代数言語 |label=algebraic-languages-of-equational-logic }}

'''代数言語''' (algebraic language) は'''関数記号''' (function symbol) からなる集合で各関数記号には'''項数''' (arity) という自然数が割り当てられているとする。

また特に項数が $0$ である関数記号を'''定数記号''' (constant symbol) という。言語の元を'''非論理記号''' (non-logical symbol) という。関数記号は有限個でも無限個あっても良い。

便宜上、代数言語を集合ではなく組として扱うこともある。

{{theorem |type=example |name=代数言語の例 |label=example-of-algebraic-languages-of-equational-logic }}
代数言語の例をいくつかあげる。
* 集合の言語 $\mathscr{L}_\mathsf{Set}:=\emptyset$ 。
* 群の言語 $\mathscr{L}_\mathsf{Grp}:=\{\mathtt{1},\mathrel{\hat{\cdot}},{-}^{\hat{-1}}\}$ 。項数は順に $0,2,1$ 。
* 環の言語 $\mathscr{L}_\mathsf{Ring}:=\{\mathtt{0},\mathtt{1},\mathrel{\hat{+}},\mathrel{\hat{-}},\mathrel{\hat{\cdot}}\}$ 。項数は順に $0,0,2,1,2$ 。
* 束の言語 $\mathscr{L}_\mathsf{Lat}:=\{\hat{\top},\hat{\bot},\mathrel{\hat{\land}},\mathrel{\hat{\lor}}\}$ 。項数は順に $0,0,2,2$ 。
* Boole代数の言語 $\mathscr{L}_\mathsf{BA}:=\{\hat{\top},\hat{\bot},\mathrel{\hat{\land}},\mathrel{\hat{\lor}},\mathrel{\hat{\lnot}}\}$ 。項数は順に $0,0,2,2,1$ 。
* $\mathcal{A}=\langle|\mathcal{A}|;0,1,+,-,\cdot\rangle$ を可換環としたとき $\mathcal{A}$-加群の言語は $\mathscr{L}_{\mathsf{Mod}_\mathcal{A}}:=\mathscr{L}_\mathsf{Grp}\cup\{\hat{a}\mid a\in|\mathcal{A}|\}$ とする。$\hat{a}$ の項数は全て $1$ である。

{{theorem |type=definition |name=等式論理の項 |label=terms-of-equational-logic}}

$\mathscr{L}$ を代数言語とする。このとき '''$\mathscr{L}$-項''' ($\mathscr{L}$-term) は以下のように帰納的に定義される文字列である。
# 変数 $u,v,w,\ldots$ は $\mathscr{L}$-項である。
# 関数記号 $\mathtt{f}$ に対し、その項数が $n$ であるとき、$\mathscr{L}$-項 $t_0,\ldots,t_{n-1}$ に対して $\mathtt{f}(t_0,\ldots,t_n)$ は$\mathscr{L}$-項である。

特に定数記号は $\mathscr{L}$-項であることに注意しよう。$\mathscr{L}$-項の集合を $\mathrm{EqTm}_\mathscr{L}$ と表す。

項数が $2$ の関数記号 $\mathtt{f}$ に対して $\mathtt{f}(s,t)$ の代わりに $s\mathrel{\mathtt{f}} t$ と'''中置記法''' (infix notation) で表し、適当に括弧を補うことがある<ref group="脚注">中置記法に対し、$\mathtt{f}(s,t)$ あるいは括弧などを省略し $\mathtt{f}st$ という記法を '''前置記法''' (prefix notation) あるいは'''ポーランド記法''' (Poland notation) といい、逆に $st\mathtt{f}$ という記法を'''後置記法''' (postfix notation) あるいは'''逆ポーランド記法''' (reverse Poland notation) という。</ref>。

{{theorem |type=definition |name=$\mathscr{L}$-項の例 |label=example-of-terms-of-equational-logic}}

項の例をいくつかあげる。
* $(u\mathrel{\hat{\cdot}}\mathtt{1})^{\hat{-1}},\mathtt{1}\mathrel{\hat{\cdot}}v$ は $\mathscr{L}_\mathsf{Grp}$-項である。
* $(\mathtt{1}\mathrel{\hat{+}}\mathtt{1})\mathrel{\hat{\cdot}} (\mathrel{\hat{-}}\mathtt{0}),(u\mathrel{\hat{+}}\mathtt{1})\mathrel{\hat{\cdot}}((\mathrel{\hat{-}}\mathtt{0})\mathrel{\hat{\cdot}}v)$ は $\mathscr{L}_\mathsf{Ring}$-項である。
* $u\mathrel{\hat{\land}} (v\mathrel{\hat{\lor}}w),(\hat{\top}\mathrel{\hat{\land}}u)\mathrel{\hat{\lor}}\hat{\bot}$ は $\mathscr{L}_\mathsf{Lat}$-項である。
* $u\mathrel{\hat{\land}}(\mathrel{\hat{\lnot}} v),(\mathrel{\hat{\lnot}}\hat{\top})\mathrel{\hat{\land}}\hat{\bot}$ は $\mathscr{L}_\mathsf{BA}$-項である。

{{theorem |type=definition |name=等式論理の論理式 |label=formulae-of-equational-logic}}
$\mathscr{L}$ を代数言語とする。このとき '''$\mathscr{L}$-論理式''' ($\mathscr{L}$-formula) は以下のように定義される文字列である。
# $\mathscr{L}$-項 $s,t$ に対して $s=t$ は$\mathscr{L}$-論理式である。
$\mathscr{L}$-論理式の集合を $\mathrm{EqFml}_\mathscr{L}$ と表す。

また等式論理の論理式を'''原子論理式''' (atomic formula) と呼ぶこともある。

{{theorem |type=definition |name=項の出現 |label=occurrence-of-terms}}

$\mathscr{L}$-項 $s$ が $\mathscr{L}$-項 $t$ に'''出現する''' (occur) あるいは単に'''現れる'''ということを $\mathscr{L}$-項 $t$ の定義に沿って帰納的に定義する。

# 変数 $u$ に対して $s$ が $u$ であるとき $u$ に $s$ が現れている。
# $\mathscr{L}$-項 $f(t_0,\ldots,t_{n-1})$ に対して、ある $i<n$ が存在し $t_i$ に $s$ が現れているか、または $s$ が $f(t_0,\ldots,t_{n-1})$ であるとき、$s$ が $f(t_0,\ldots,t_{n-1})$ に現れている。

また$\mathscr{L}$-項 $s$ が $\mathscr{L}$-論理式 $\varphi$ に現れるということを定義する。
# $t=r$ に $\mathscr{L}$-項 $s$ が現れるのは $t$ か $r$ のいずれかに現れるときである。

$\mathscr{L}$-項 $t$ に $s_0,\ldots,s_n$ が現れているとき $t(s_0,\ldots,s_n)$ などど表す。

{{theorem |type=definition |name=項の代入 |label=substitution-of-terms}}

$\mathscr{L}$-項 $s,t$ 、変数 $u$ に対して $s$ に現れる $u$ に $t$ を'''代入''' (substitution) した結果 $s[u:=t]$ を $s$ の定義に沿って帰納的に定義する。
# $s$ に $u$ が現れていないとき $s[u:=t]$ は $s$ である。
# $u[u:=t]$ を $t$ のこととする。
# $\mathtt{f}(t_0,\ldots,t_{n-1})[u:=t]$ を　$\mathtt{f}(t_0[u:=t],\ldots,t_{n-1}[u:=t])$　のこととする。

また $\mathscr{L}$-論理式 $\varphi$ 、 $\mathscr{L}$-項 $t$ 、変数 $u$ に対して $\varphi$ に現れる $u$ に $t$ を'''代入''' (substitution) した結果 $\varphi[u:=t]$ を定義する。
# $\varphi$ に $u$ が現れていないとき $\varphi[u:=t]$ は $\varphi$ である。
# $(s=r)[u:=t]$ を $s[u:=t]=t[u:=t]$ のこととする。

また $s(u)$ に対して $s(u)[u:=t]$ を単に $s(t)$ と表す。

{{theorem |type=notation |name=省略記法 |label=abbreviation}}

$\mathscr{L}$-項、$\mathscr{L}$-論理式などの「$\mathscr{L}$-」という接頭辞は、どの言語を指しているか明らかなとき、あるいは言語に拠らない議論をするとき省略する。

また命題論理と同様に以下の記法を用いる。

* 論理式の集合 $T$ を '''公理系''' (axiomatic system, axioms, axiomata) 、'''等式理論''' (equational theory) 、あるいは単に'''理論''' (theory) という。
* 理論 $T$ と論理式 $\varphi$ に対して $T+\varphi$ で $T\cup\{\varphi\}$ を表す。

=== 2.2 等式論理のモデル ===

{{theorem |type=definition |name=代数構造 |label=algebraic-structure}}

$\mathscr{L}$ を言語とする。このとき '''$\mathscr{L}$-代数構造''' ($\mathscr{L}$-algebraic structure) $\mathcal{M}$ は'''領域''' (domain) あるいは'''宇宙''' (universe) 、'''台集合''' (underlying set) と言われる空でない<ref group="脚注">空な構造を認める流儀も存在する。特に'''圏論的論理学''' (categorical logic) の文脈では、空な構造を認めた方が都合が良い場合が多い。構造からなる圏、あるいは後述するモデルからなる圏に始対象が存在しないと都合が悪い場合が多いからである。例えば後述する等式理論の項モデルの構成と類似の議論をすることによって、等式理論、あるいはその項モデルの圏論的対応物となる圏、'''Lawvere理論''' (Lawvere theory) を得ることができ、モデルとはLawvere理論から集合と写像からなる圏 $\mathrm{Set}$ への有限直積を保つ関手と思うことができるが、このような議論は空なモデルが存在しない場合、面倒な例外処理を行わなければならなくなる。またtoo simple to be simpleの理念に従っても空なモデルは認めたほうが良いと思われる。しかし数理論理学に於いては空なモデルを認めない流儀が主流である。これは等式論理の範疇では問題にならないが、一階述語論理に於いては空なモデルを許容すると、(等号を含む)関係記号を言語として持つ場合、論理式 $\forall x\varphi(x)\to\exists x\varphi(x)$ は証明可能になるが、空なモデルで成り立たない。すなわち健全性定理が成り立たなくなるのが問題となる。</ref>集合 $M$ と以下に定義される'''$\mathscr{L}$-解釈''' ($\mathscr{L}$-interpretation) ${-}^\mathcal{M}$ の組 $\langle M;{-}^\mathcal{M}\rangle$ である。

$\mathscr{L}$-解釈 ${-}^\mathcal{M}$ は以下を満たす言語 $\mathscr{L}$ からの写像である。

* 関数記号 $\mathtt{f}\in\mathscr{L}$ に対して $\mathtt{f}$ の項数が $n$ であるとき、$\mathtt{f}^\mathcal{M}\colon M^n\to M$ である。

定数記号の解釈は一つの $M$ の要素を返す関数となる。よってその返す値と同一視することで定数記号 $\mathtt{c}$ に対して $\mathtt{c}^\mathcal{M}\in M$ と見做すことができることに注意する。このような同一視を今後断りなく行うことに注意する。

代数構造 $\mathcal{M}$ が与えられたとき、$|\mathcal{M}|$ を $\mathcal{M}$ の台集合を表すことにする。また数学の慣習に基づき構造 $\mathcal{M}$ とその台集合 $|\mathcal{M}|$ を誤解を与えない範囲で同一視する。例えば $a\in |\mathcal{M}|$ の代わりに $a\in\mathcal{M}$ と表すことがある。

また $\mathcal{M}=\langle M;{-}^\mathcal{M}\rangle$ と表す代わりに解釈後の関数、関係をリストし $\mathcal{M}=\langle A;\mathtt{f}_0^\mathcal{M},\ldots,\mathtt{f}_i^\mathcal{M}\rangle$ と表すことがある。

{{theorem |type=example |name=代数構造の例 |label=examples-of-algebraic-structures}}
任意の群 $\mathcal{G}:=\langle|\mathcal{G}|;e,\cdot,{-}^{-1}\rangle$ は $\mathtt{1}^\mathcal{G}:=e,\hat{\cdot}^\mathcal{G}:=\cdot,{{-}^{\hat{-1}}}^\mathcal{G}:={-}^{-1}$ と定めることで $\mathscr{L}_\mathsf{Grp}$-構造として見做すことができる。しかし、別に群でなくても $a\in A,f\colon A^2\to A,g\colon A\to A $ に対して $\langle A;a,f,g\rangle$ は同様に $\mathscr{L}_\mathsf{Grp}$-構造として見做すことができる。

{{theorem |type=definition |name=項の解釈 |label=interpretation-of-terms}}

$\mathscr{L}$-代数構造 $\mathcal{M}=\langle M;{-}^\mathcal{M}\rangle$ と $\mathscr{L}$-閉項 $t$ に対して $t^\mathcal{M}\in M$ を帰納的に定義する。

* $\mathtt{f}(t_0,\ldots,t_{n-1})$ に対して $(\mathtt{f}(t_0,\ldots,t_{n-1}))^\mathcal{M}$ を $\mathtt{f}^\mathcal{M}(t_0^\mathcal{M},\ldots,t_{n-1}^\mathcal{M})$ と定める。

{{theorem |type=definition |name=拡大と縮約 |label=expansion-and-reduct}}

言語 $\mathscr{L}\subseteq\mathscr{L}'$ とし、$\mathcal{M}$ を $\mathscr{L}$-代数構造とし、$\mathcal{M}'$ を $\mathscr{L}'$-代数構造とする。$|\mathcal{M}|=|\mathcal{M}'|$ とし、$\mathtt{f}\in\mathscr{L}$ に対し $\mathtt{f}^\mathcal{M}=\mathtt{f}^{\mathcal{M}'}$ が成り立つとする。このとき $\mathcal{M}'$ を $\mathcal{M}$ の'''拡大''' (expansion) といい、$\mathcal{M}$ を $\mathcal{M}'$ の'''縮約''' (reduct) という。

{{theorem |type=example |name=拡大と縮約の例 |label=expansion-and-reduct}}
任意の環 $\mathcal{R}=\langle|\mathcal{R}|;\mathtt{0}^\mathcal{R},\mathtt{1}^\mathcal{R},\hat{+}^\mathcal{R},\hat{-}^\mathcal{R},\hat{\cdot}^\mathcal{R}\rangle$ はその加法群 $\mathcal{R}^+=\langle|\mathcal{R}|;\mathtt{0}^\mathcal{R},\hat{+}^\mathcal{R},{-}^\mathcal{R}\rangle$ の拡張となる。ここで群の言語は $\{\mathtt{1},\hat{\cdot},{-}^{\hat{-1}}\}$ であったが記号を変えて $\{\mathtt{0},\hat{+},\hat{-}\}$ としても本質的になにも変わらない。実際、[[Abel群]]に対してはこのように書かれることが多い。
一方、加法群と違い、乗法群 $\mathcal{R}^\times=\langle|\mathcal{R}|\setminus\{\mathtt{0}^\mathcal{R}\};\mathtt{0}^\mathcal{R},\hat{+}^\mathcal{R},{-}^\mathcal{R}\rangle$ は領域がことなるため拡張にはならない。

{{theorem |type=definition |name=名前 |label=name}}

$\mathscr{L}$-代数構造 $\mathcal{M}$ に対して言語 $\mathscr{L}(\mathcal{M})$ と $\mathscr{L}(\mathcal{M})$-代数構造 $\mathcal{M}_\mathrm{par}$ を定義する。
* $\mathscr{L}(\mathcal{M})$ には $\mathscr{L}$ の元に加え、$a\in|\mathcal{M}|$ に対する定数記号 $\underline{a}$ を持つ。この定数記号 $\underline{a}$ を $a$ の ''名前''(name) や''パラメータ'' (parameter) という。名前を単に $a$ と表すこともある。
* $\mathcal{M}_\mathrm{par}$ は $\mathcal{M}$ の拡大であり、$\underline{a}^{\mathcal{M}_\mathrm{par}}:=a$ とする。

誤解を生じないとき $\mathcal{M}_\mathrm{par}$ を単に $\mathcal{M}$ と表す。

{{theorem |type=definition |name=充足可能性関係 |label=satisfiability-relation}}

$\mathscr{L}$-代数構造 $\mathcal{M}$ と $\mathscr{L}(\mathcal{M})$-論理式 $s(u_0,\ldots,u_{n-1})=t(v_0,\ldots,v_{m-1})$ に対し '''充足可能性関係''' (satisfiability relation) $\mathcal{M}\models s(u_0,\ldots,u_{n-1})=t(v_0,\ldots,v_{m-1})$ を定義する<ref group="脚注">充足可能性関係の定義には名前ではなく、'''割り当て''' (assignment) と呼ばれる、論理式に出現する変数記号から領域への写像を用いて、閉項に対して定義された解釈を割り当てを用いて閉項とは限らない項に拡張することで定義する流儀もある。</ref>。
ここで $s(u_0,\ldots,u_{n-1})=t(v_0,\ldots,v_{m-1})$ に現れる変数は $u_0,\ldots,u_{n-1},v_0,\ldots,v_{m-1}$ に限るとする。

#　$\mathcal{M}\models s(u_0,\ldots,u_{n-1})=t(v_0,\ldots,v_{m-1})$ となるのは任意の $a_0,\ldots,a_{n-1},b_0,\ldots,b_{m-1}\in |\mathcal{M}|$ に対して $(s(u_0,\ldots,u_{n-1})[u_0:=\underline{a_0}]\cdots[u_{n-1}:=\underline{a_{n-1}}])^{\mathcal{M}_\mathrm{par}}=(t(v_0,\ldots,v_{m-1})[v_0:=\underline{b_0}]\cdots[v_{m-1}:=\underline{b_{m-1}}])^{\mathcal{M}_\mathrm{par}})$ が成り立つことである。

ここで $\mathcal{M}\models s(u_0,\ldots,u_{n-1})=t(v_0,\ldots,v_{m-1})$ に含まれる $=$ は等号記号だが、$(s(u_0,\ldots,u_{n-1})[u_0:=\underline{a_0}]\cdots[u_{n-1}:=\underline{a_{n-1}}])^{\mathcal{M}_\mathrm{par}}=(t(v_0,\ldots,v_{m-1})[v_0:=\underline{b_0}]\cdots[v_{m-1}:=\underline{b_{m-1}}])^{\mathcal{M}_\mathrm{par}})$　に表れる $=$ は実際の等号であることに注意されたい。また $\models$ に対していくつかの用語を定める。

* $T$ を理論とし、任意の $\varphi\in T$ に対して $\mathcal{M}\models\varphi$ となっているとする。このとき $\mathcal{M}$ を $T$ の'''モデル''' (model) であるといい、$\mathcal{M}\models\varphi$ と表す。
* $T$ の任意のモデル $\mathcal{M}$ に対して $\mathcal{M}\models\varphi$ であるとき $\varphi$ は $T$ からの'''論理的帰結''' (logical consequence) であるといい、$T\models \varphi$ と表す。

{{theorem |type=example |name=モデルの例 |label=examples-of-models}}
$\mathscr{L}_\mathsf{Grp}$-理論 $\mathsf{Grp}$ を以下の論理式からなるものとする。
* $u\mathrel{\hat{\cdot}}(v\mathrel{\hat{\cdot}}w)=(u\mathrel{\hat{\cdot}}v)\mathrel{\hat{\cdot}}w$ 。
* $u\mathrel{\hat{\cdot}}\mathtt{0}=u$ 。
* $u\mathrel{\hat{\cdot}}(u^{\hat{-1}})=\mathtt{0}$ 。

$\mathsf{Grp}$ のモデルは群そのものである。

$\mathscr{L}_\mathsf{Ring}$-理論 $\mathsf{Ring}$ を以下の論理式からなるものとする。

* $u\hat{+}(v\mathrel{\hat{+}}w)=(u\mathrel{\hat{+}}v)\mathrel{\hat{+}}w$ 。
* $u\mathrel{\hat{+}}\mathtt{0}=u$ 。
* $u\mathrel{\hat{+}}(\mathrel{\hat{-}}u)=\mathtt{0}$ 。
* $u\mathrel{\hat{+}}v=v\mathrel{\hat{+}}u$ 。
* $u\mathrel{\hat{\cdot}} (v\mathrel{\hat{\cdot}} w)=(u\mathrel{\hat{\cdot}} v)\mathrel{\hat{\cdot}} w$ 。
* $u\mathrel{\hat{\cdot}} (v\mathrel{\hat{+}}w)=(u\mathrel{\hat{\cdot}} v)\mathrel{\hat{+}}(u\mathrel{\hat{\cdot}} w)$ 。
* $u\mathrel{\hat{\cdot}}\mathtt{1}=u$ 。

$\mathsf{Ring}$ のモデルも同様に環である。

言語 $\mathscr{L}_{\mathsf{Mod}_\mathcal{A}}$ 上の理論 $\mathsf{Mod}_\mathcal{A}$ は[[アーベル群]]の公理と任意の $a,b\in |\mathcal{A}|$ に対して以下の論理式からなるものとする。

* $\hat{a}(x\mathrel{\hat{+}}y)=\hat{a}(x)\mathrel{\hat{+}}\hat{a}(y)$ 。
* $\widehat{a\mathrel{+_\mathcal{A}}b}(x)=\hat{a}(x)\mathrel{\hat{+}}\hat{b}(x)$ 。
* $\widehat{a\mathrel{\cdot_\mathcal{A}} b}(x)=\hat{a}(\hat{b}(x))$ 。
* $\widehat{1_{\mathcal{A}}}(x)=x$

言語 $\mathscr{L}_\mathsf{Set}$ 上の理論 $\emptyset$ のモデルは空でない集合 $X$ に対して $\langle X\rangle$ という形をした構造である。これは空でない集合と同一視できる。

言語 $\mathscr{L}_\mathsf{SGrp}:=\{\hat{\cdot}\}$ とし、理論 $\mathsf{SGrp}$ を

* $u\mathrel{\hat{\cdot}}(v\mathrel{\hat{\cdot}}w)=(u\mathrel{\hat{\cdot}}v)\mathrel{\hat{\cdot}}w$ 。

とする。このとき理論 $\mathsf{SGrp}$ のモデルは空でない半群全体となる。

=== 2.3 代数構造の理論 ===
==== 定義2.3.1（準同型、同型） ====

$\mathscr{L}$-代数構造 $\mathcal{M},\mathcal{N}$ に対して $\sigma\colon|\mathcal{M}|\to|\mathcal{N}|$ が''準同型射'' (homomorphism) であるとは、任意の $\mathtt{f}\in\mathscr{L}$ 、$a_0,\ldots,a_{n-1}\in|\mathcal{M}|$ に対し $\sigma(\mathtt{f}^\mathcal{M}(a_0,\ldots,a_{n-1}))=\mathtt{f}^\mathcal{N}(\sigma(a_0),\ldots,\sigma(a_{n-1}))$ が成り立つことである。

また準同型 $\sigma\colon|\mathcal{M}|\to|\mathcal{N}|,\tau\colon|\mathcal{N}|\to|\mathcal{M}|$ が存在し $\tau\circ\sigma =\mathrm{id}_\mathcal{M},\sigma\circ\tau =\mathrm{id}_\mathcal{N}$ となるとき $\mathcal{M}$ と $\mathcal{N}$ は''同型'' (isomorphic))であるといい $\mathcal{M}\cong\mathcal{N}$ と表し、$\sigma,\tau$ を''同型射'' (isomorphism) であるという。
ここで $\mathrm{id}_\mathcal{M}\colon|\mathcal{M}|\to|\mathcal{M}|,\mathrm{id}_\mathcal{M}(a)=a,\mathrm{id}_\mathcal{N}\colon|\mathcal{N}|\to|\mathcal{N}|,\mathrm{id}_\mathcal{N}(b)=b$ とする。

==== 定義2.3.2（部分代数） ====

$\mathscr{L}$-代数構造 $\mathcal{M},\mathcal{N}$ に対して、$\mathcal{N}$ が $\mathcal{M}$ の''部分代数'' (subalgebra) であるとは $|\mathcal{N}|\subseteq|\mathcal{M}|$ かつ、任意の $\mathtt{f}\in\mathscr{L}$ 、任意の $b_0,\ldots,b_{n-1}\in|\mathcal{N}|$ に対し $\mathtt{f}^\mathcal{N}(b_0,\ldots,b_{n-1})=\mathtt{f}^\mathcal{M}(b_0,\ldots,b_{n-1})$ を満たすことである。

==== 命題2.3.3（代数構造の同型に対する必要十分条件） ====

$\mathcal{M}\cong\mathcal{N}$ であるのは全単射準同型 $\upsilon\colon\mathcal{M}\to\mathcal{N}$ が存在するときであり、またそれに限る。

''証明''　$\mathcal{M}\cong\mathcal{N}$ であると仮定する。仮定より準同型 $\sigma\colon\mathcal{M}\to\mathcal{N},\tau\colon\mathcal{N}\to\mathcal{M}$ で $\sigma\circ\tau,\tau\circ\sigma$ が恒等となるものを取る。$\sigma,\tau$ は互いに逆写像であり、よって全単射である。

逆を示す。$\upsilon\circ\upsilon^{-1},\upsilon^{-1}\circ\upsilon$ が恒等になるのは明らかである。よって $\upsilon^{-1}\colon\mathcal{N}\to\mathcal{M}$ が準同型となることを確認すれば良い。
$\upsilon$ は全単射であるから、ある $a_0,\ldots,a_{n-1}\in|\mathcal{M}|$ が存在して $\upsilon(a_0)=b_0,\ldots,\upsilon(a_{n-1})=b_{n-1}$ である。
よって $\upsilon^{-1}(\mathtt{f}^\mathcal{N}(b_0,\ldots,b_{n-1}))=\upsilon^{-1}(\mathtt{f}^\mathcal{N}(\upsilon(a_0),\ldots,\upsilon(a_{n-1})))$ であり、$\upsilon$ は準同型であるから $\upsilon^{-1}(\mathtt{f}^\mathcal{N}(\upsilon(a_0),\ldots,\upsilon(a_{n-1})))=\upsilon^{-1}(\upsilon(\mathtt{f}^\mathcal{M}(a_0,\ldots,a_{n-1})))$ となる。
従って $\upsilon^{-1}(\upsilon(\mathtt{f}^\mathcal{M}(a_0,\ldots,a_{n-1})))=\mathtt{f}^\mathcal{M}(a_0,\ldots,a_{n-1})$　であり、$a_0=\upsilon^{-1}(b_0),\ldots,a_{n-1}=\upsilon^{-1}(b_{n-1})$ より良い。□

==== 定義2.3.4（合同関係） ====
$\mathcal{M}$ を代数構造とし、$\equiv$ を $|\mathcal{M}|$ 上の同値関係で $\mathtt{f}\in\mathscr{L}$ に対して $\mathtt{f}^\mathcal{M}$ と両立する、すなわち任意の $a_0,\ldots,a_{n-1},b_0,\ldots,b_{n-1}\in |\mathcal{M}|$ に対して、任意の $i<n$ について $a_i\equiv b_i$ $\equiv$ であるならば $\mathtt{f}^\mathcal{M}(a_0,\ldots,a_{n-1})\equiv\mathtt{f}^\mathcal{M}(b_0,\ldots,b_{n-1})$ が成り立つとき $\equiv$ は $\mathcal{M}$ 上の''合同関係'' (congruence relation) である、あるいは同値関係 $\equiv$ は $\mathtt{f}^\mathcal{M}$ に対して　''well-defined''であるという。
==== 定義2.3.5（剰余代数） ====

$\mathcal{M}$ を代数構造とし、$\equiv$ を $\mathcal{M}$ 上の合同関係とする。剰余代数'' (factor algebra, quotient algebra) $\mathcal{M}/{\equiv}:=\langle|\mathcal{M}|/{\equiv};{-}^{\mathcal{M}/{\equiv}}\rangle$ を以下のように定める。
* $|\mathcal{M}|/{\equiv}$ は $|\mathcal{M}|$ の $\equiv$ による商集合とし $a\in|\mathcal{M}|$ に対して $[a]_\equiv$ を $\equiv$ による同値類とする。
* $\mathtt{f}\in\mathscr{L}$ に対して $\mathtt{f}^{\mathcal{M}/{\equiv}}([a_0]_\equiv,\ldots,[a_{n-1}]_\equiv):=[\mathtt{f}^\mathcal{M}(a_0,\ldots,a_{n-1})]_\equiv$ とする。

==== 例2.3.6（剰余代数の例） ====

$\mathcal{G}$ を群、$\mathcal{H}$ を $\mathcal{G}$ の正規部分群、すなわち $\mathcal{H}$ は $\mathcal{G}$ の部分代数で、任意の $g\in|\mathcal{G}|,h\in|\mathcal{H}|$ に対し $(g\hat{\cdot}^\mathcal{G} h){\hat{\cdot}}^\mathcal{G}\left(g^{\hat{-1}^\mathcal{G}}\right)\in|\mathcal{H}|$ であるとする。$|\mathcal{G}|$ 上の合同関係　$\equiv_\mathcal{H}$ を $x\equiv_\mathcal{H} y:\Leftrightarrow x\hat{\cdot}^\mathcal{G}\left(y^{\hat{-1}^\mathcal{G}}\right)\in|\mathcal{H}|$ と定める。
このとき $\mathcal{G}/{\equiv_\mathcal{H}}$ を $\mathcal{G}/\mathcal{H}$ と表す。

$\mathcal{M}$ を可換環、$\mathcal{I}:=\langle|\mathcal{I}|;\mathtt{0}^\mathcal{I},\mathtt{1}^\mathcal{I},\hat{+}^\mathcal{I},\hat{-}^\mathcal{I},\hat{\cdot}^\mathcal{I}\rangle$ を $\mathcal{M}$ のイデアル、すなわち以下を満たすとする。
* $\langle|\mathcal{I}|;\mathtt{0}^\mathcal{I},\hat{+}^\mathcal{I},\hat{-}^\mathcal{I}\rangle$ は $\langle|\mathcal{M}|;\mathtt{0}^\mathcal{M},\hat{+}^\mathcal{M},\hat{-}^\mathcal{M}\rangle$ の部分構造である。
* 任意の $a\in|\mathcal{M}|,x\in|\mathcal{I}|$ に対し $a\hat{\cdot}^\mathcal{M}x\in|\mathcal{I}|$ である。

このとき上記の例と同様に $\equiv_\mathcal{I}$ を定義でき $\mathcal{M}/{\equiv_\mathcal{I}}$ を $\mathcal{M}/\mathcal{I}$ を表す。

==== 補題2.3.7（剰余代数と準同型） ====

代数構造 $\mathcal{M}$ と合同関係 $\equiv$ に対して $\pi_\equiv\colon|\mathcal{M}|\to|\mathcal{M}|/{\equiv},\pi_\equiv(a):=[a]_\equiv$ とする。このとき $\pi_\equiv$ は準同型となる。この準同型を $\equiv$ に対する自然な準同型という。

''証明''　剰余代数の定義より明らかである。□

==== 補題2.3.8（準同型と合同関係） ====

代数構造 $\mathcal{M},\mathcal{N}$ 、準同型 $\sigma\colon|\mathcal{M}|\to|\mathcal{N}|$ に対して $|\mathcal{M}|$ 上の二項関係 $\equiv_\sigma$ を $a\equiv_\sigma b:\Leftrightarrow\sigma(a)=\sigma(b)$ とする((これを $\sigma$ による''核'' (kernel) ということがある。))。このとき $\equiv_\sigma$ は合同関係である。

''証明''　$\equiv_\sigma$ が同値関係であることは明らかである。よって関数と両立することを示そう。
今 $\mathtt{f}$ の項数を $n$ とし任意の $i<n$ に対して $a_i\equiv_\sigma b_i$ であると仮定し、$\mathtt{f}^\mathcal{M}(a_0,\ldots,a_{n-1})\equiv_\sigma \mathtt{f}^\mathcal{M}(b_0,\ldots,b_{n-1})$ 、すなわち $\sigma(\mathtt{f}^\mathcal{M}(a_0,\ldots,a_{n-1}))=\sigma(\mathtt{f}^\mathcal{M}(b_0,\ldots,b_{n-1}))$ を示せば良い。
$\sigma$ が準同型であるという仮定から $\sigma(\mathtt{f}^\mathcal{M}(a_0,\ldots,a_{n-1}))=\mathtt{f}^\mathcal{N}(\sigma(a_0),\ldots,\sigma(a_{n-1}))$ であり、 $\equiv_\sigma$ の定義から $\mathtt{f}^\mathcal{N}(\sigma(a_0),\ldots,\sigma(a_{n-1}))=\mathtt{f}^\mathcal{N}(\sigma(b_0),\ldots,\sigma(b_{n-1}))$ 、よってもう一度 $\sigma$ が準同型であることから $\mathtt{f}^\mathcal{N}(\sigma(b_0),\ldots,\sigma(b_{n-1}))=\sigma(\mathtt{f}^\mathcal{M}(b_0,\ldots,b_{n-1}))$ 。□

==== 定理2.3.9（準同型定理 (homomorphism theorem) ） ====

全射準同型 $\sigma\colon|\mathcal{M}|\to|\mathcal{N}|$ に対して、同型 $\tau_{\equiv_\sigma}\colon|\mathcal{M}/{\equiv_\sigma}|\to|\mathcal{N}|$ が存在して $\sigma=\tau_{\equiv_\sigma}\circ\pi_{\equiv_\sigma}$ となる。
ここで $a\equiv_\sigma b:\Leftrightarrow\sigma(a)=\sigma(b)$ 、$\pi_{\equiv_\sigma}\colon|\mathcal{M}|\to|\mathcal{M}/{\equiv_\sigma}|,\pi_{\equiv_\sigma}(a)=[a]_{\equiv_\sigma}$ とする。

''証明''　まず $\tau_{\equiv_\sigma}([a]_{\equiv_\sigma}):=\sigma(a)$ とする。これが写像となることを示す。左全域性は明らかなので右一意性を示そう。
$[a]_{\equiv_\sigma}=[b]_{\equiv_\sigma}$ とすれば $\equiv_\sigma$ の定義から、$\sigma(a)=\sigma(b)$ であり良い。
同様に逆も言えるため左一意性、すなわち $\tau_{\equiv_\sigma}$ が単射であることも従う。また $\sigma$ が全射であることから $\tau_{\equiv_\sigma}$ も全射である。命題2.3.3より
準同型であることを示せば十分である。
剰余代数の定義から $\tau_{\equiv_\sigma}(\mathtt{f}^{\mathcal{M}/{\equiv_\sigma}}([a_0]_{\equiv_\sigma},\ldots,[a_{n-1}]_{\equiv_\sigma}))=\tau_{\equiv_\sigma}([\mathtt{f}^\mathcal{M}(a_0,\ldots,a_{n-1})]_{\equiv_\sigma})$ であり、$\tau_{\equiv_\sigma}$ の定義から $\tau_{\equiv_\sigma}([f^\mathcal{M}(a_0,\ldots,a_{n-1})]_{\equiv_\sigma})=\sigma(f^\mathcal{M}(a_0,\ldots,a_{n-1}))$ である。
$\sigma$ が準同型であることから $\sigma(\mathtt{f}^\mathcal{M}(a_0,\ldots,a_{n-1}))=\mathtt{f}^\mathcal{N}(\sigma(a_0),\ldots,\sigma(a_{n-1}))$ であり $\tau_{\equiv_\sigma}$ の定義が $\mathtt{f}^\mathcal{N}(\sigma(a_0),\ldots,\sigma(a_{n-1}))=\mathtt{f}^\mathcal{N}(\tau_{\equiv_\sigma}([a_0]_{\equiv_\sigma},\ldots,[a_{n-1}]_{\equiv_\sigma}))$ となる。□

==== 系2.3.10 ====

準同型 $\sigma\colon|\mathcal{M}|\to|\mathcal{N}|$ と $|\mathcal{M}|$ 上の合同関係 $\equiv_\sigma$ は $a\equiv_\sigma b$ ならば $\sigma(a)=\sigma(b)$ を満たすとする。
このとき準同型 $\tau_{\equiv_\sigma}\colon|\mathcal{M}/{\equiv}|\to|\mathcal{N}|$ が存在し $\sigma=\tau_{\equiv_\sigma}\circ\pi_{\equiv_\sigma}$ となる。
ただし $\pi_{\equiv_\sigma}\colon|\mathcal{M}|\to|\mathcal{M}/{\equiv_\sigma}|,\pi_{\equiv_\sigma}(a)=[a]_{\equiv_\sigma}$ とする。

''証明''　定理2.3.9の証明とほとんど同様で良い。□

==== 例2.3.11（準同型定理の具体例） ====

群準同型 $\sigma\colon|\mathcal{G}|\to|\mathcal{H}|$ に対して $\mathrm{Ker}(\sigma):=\{g\in|\mathcal{G}|\mid\sigma(g)=\mathtt{0}^\mathcal{H}\}$ とする。このとき $\langle \mathrm{Ker}(\sigma),\mathtt{0}^\mathcal{G},\hat{\cdot}^\mathcal{G},{-}^{\hat{-1}^\mathcal{G}}\rangle$ は $\mathcal{G}$ の部分群であり、例2.2.6で定められる同値関係を $\equiv_{\mathrm{Ker}(\sigma)}$ とすれば $g_0\equiv_{\mathrm{Ker}(\sigma)}g_1$ と $g_0\equiv_\sigma g_1$ は同値であり、従って定理2.3.9及び系2.3.10から以下の群論に於ける準同型定理が従う。
* 群準同型 $\sigma\colon|\mathcal{G}|\to|\mathcal{H}|$ 、自然な準同型 $\pi\colon|\mathcal{G}|\to|\mathcal{G}/\equiv_{\mathrm{Ker(\sigma)}}|$ に対して、準同型 $\tau\colon |\mathcal{G}/\equiv_{\mathrm{Ker(\sigma)}}|\to|\mathcal{H}|$ が存在して $\sigma=\tau\circ\pi$ であり、また $\tau$ は $\mathcal{G}/\equiv_{\mathrm{Ker(\sigma)}}$ から $\langle\mathrm{Im}(\sigma),\underline{0}^\mathcal{H},+^\mathcal{H},-^\mathcal{H}\rangle$ への同型射である。

=== 2.4. 等式論理の形式的証明 ===
==== 定義2.4.1（等式理論） ====
理論 $T$ 論理式 $\varphi$ に対して $T\vdash\varphi$ を帰納的に定義する。

1. $(\mathsf{refl})$　任意の項 $t$ に対して $T\vdash t=t$ である。

2. $(T)$　任意の $\varphi\in T$ に対して $T\vdash\varphi$ である。

3. $(\mathsf{sym})$　任意の項 $s,t$ に対して $T\vdash s=t$ ならば $T\vdash t=s$ である。

4. $(\mathsf{trans})$　任意の項 $s,t,r$ に対して $T\vdash s=t$ かつ $T\vdash t=r$ ならば $T\vdash s=r$ である。

5. $(\mathsf{sub})$　任意の変数 $u$ 、項 $s(u),t(u),r$ に対して $T\vdash s(u)=t(u)$ ならば $T\vdash s(r)=t(r)$ である。

6. $(\mathsf{comp})$　任意の関数記号 $f\in\mathscr{L}$ 、任意の項 $s_0,\ldots,s_{n-1},t_0,\ldots,t_{n-1}$ に対して、全ての$i<n$　について $T\vdash s_i=t_i$ ならば $T\vdash f(s_0,\ldots,s_{n-1})=f(t_0,\ldots,t_{n-1})$ である。

$\vdash$ に関して命題論理と同様に用語を定める。
* $T\vdash\varphi$ であるとき $T$ から $\varphi$ は''証明可能'' (provable) であるという。また $\emptyset\vdash\varphi$ であるとき単に証明可能であるといい、$\vdash\varphi$ と表す。
* $\mathrm{Th}(T):=\{\varphi\in\mathrm{EqFml}\mid T\vdash\varphi\}$ とする。また言語を明示するとき $\mathrm{Th}_\mathscr{L}(T)$ と表す。

=== 2.5. Birkhoffの完全性定理、$\mathsf{HSP}$ 定理 ===

==== 定義2.5.1（生成） ====
代数構造 $\mathcal{M}$ 、$X\subseteq|\mathcal{M}|$ とする。このとき $X\subseteq\mathcal{N}$ で $\mathcal{M}$ の部分代数のなか、領域の包含関係において最小であるとき、$\mathcal{N}$ を $X$ によって''生成される'' (generated) 部分代数であるという。

==== 定義2.5.2（自由 $\mathcal{K}$-代数） ====
$\mathcal{K}$ を代数構造からなるクラスとする。このとき $\mathcal{M}\in\mathcal{K}$ が $X$ によって生成される''自由 $\mathcal{K}$-代数'' (free $\mathcal{K}$-代数) であるとは以下を満たすことである。
* $\mathcal{M}$ は $X$ で生成される。
* 任意の $\mathcal{N}\in\mathcal{K}$ 、写像 $\sigma\colon X\to|\mathcal{N}|$ に対し、ある準同型 $\overline{\sigma}\colon|\mathcal{M}|\to|\mathcal{N}|$ で $\overline{\sigma}$ は $\sigma$ の拡大である、すなわち任意の $x\in X$ に対して $\sigma(x)=\overline{\sigma}(x)$ となるものが一意に存在する。

==== 命題2.5.3（自由生成と濃度） ====
代数構造 $\mathcal{M},\mathcal{N}\in\mathcal{K}$ でそれぞれ集合 $X,Y$ によって自由生成されていて、$X,Y$ が等濃であれば $\mathcal{M}\cong\mathcal{N}$ である。

''証明''　全単射 $\sigma\colon X\to Y$ を取る。
自由代数の定義から $\sigma,\sigma^{-1}$ は準同型 $\overline{\sigma}\colon|\mathcal{M}|\to|\mathcal{N}|,\overline{\sigma^{-1}}\colon|\mathcal{N}|\to|\mathcal{M}|$ に拡張され $\overline{\sigma^{-1}}\circ\overline{\sigma}$ は $X$ 上の恒等写像の拡張となる準同型 $|\mathcal{M}|\to|\mathcal{M}|$ で拡張の一意性から $\overline{\sigma^{-1}}\circ\overline{\sigma}=\mathrm{id}_{|\mathcal{M}|}$ 、
同様に $\overline{\sigma}\circ\overline{\sigma^{-1}}=\mathrm{id}_{|\mathcal{N}|}$ であり、$\mathcal{M}\cong\mathcal{N}$ である。

==== 定義2.5.3（項代数） ====

== 出典 ==

== 参考文献 ==

[田中19] 田中一之、数学基礎論序説、裳華房、2019。

[Sankappanavar–Burris] H.P. Sankappanavar, S. Burris, A course in universal algebra, Graduate Texts Math 78, 1981.

=== 脚注 ===
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数理論理学の基礎：等式論理

2022-01-07T20:45:56Z

Alwe: /* 2.1 等式論理の統語論 */

[[Category:数理論理学|トウシキロンリ]]
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== 2. 等式論理 ==

'''等式論理''' (equational logic) は先程までの命題論理とは異なり命題同士の関係ではなく命題の中身、特に $s=t$ という形をした等式による命題に注目する論理である。。
等式論理に対しても命題論理と同様に統語論、意味論を考える。命題論理と同様に形式的証明と、命題論理での真理値に対応する'''モデル''' (model) というのを紹介する。

形式的証明は等式の以下に上げる基本的な性質による書き換え操作によって得られる。

# '''反射律''' (reflexivity) $s=s$ である。
# '''対称律''' (symmetricity) $s=t$ ならば $t=s$ である。
# '''推移律''' (transitivity) $s=t$ かつ $t=r$ ならば $s=r$ である。
# '''代入''' (substitution) $s(u)=t(u)$ ならば $s(r)=t(r)$ である。
# '''関数との両立''' (compatibility with functions) 任意の $i<n+1$ に対して $s_i=t_i$ ならば $f(s_0,\ldots,s_n)=f(t_0,\ldots,t_n)$ である。

一方、モデルによる意味論はある種の数学的な'''代数構造''' (algebraic structure) を用いて定義される。具体的には構造が与えられたとき、その構造で満たされることを真と見做す。ここで構造というのは'''台集合''' (underlying set) とその上の関数からなる組のことである。

=== 2.1 等式論理の統語論 ===

{{theorem |type=definition |name=等式論理の記号 |label=symbols-of-equational-logic }}
等式論理の'''論理記号''' (logical symbol) は以下からなる。
* '''変数記号''' (variable symbol) $u,v,w,\ldots$ 。
* '''等号記号''' (equality symbol) $=$ 。
* '''括弧''' (brackets) $(,).$ 及び'''カンマ''' (comma) $,$ 。

変数記号の集合を $\mathrm{EqVar}$ とし、変数記号は無限個あることを仮定する。

{{theorem |type=definition |name=等式論理の代数言語 |label=algebraic-languages-of-equational-logic }}

'''代数言語''' (algebraic language) は'''関数記号''' (function symbol) からなる集合で各関数記号には'''項数''' (arity) という自然数が割り当てられているとする。

また特に項数が $0$ である関数記号を'''定数記号''' (constant symbol) という。言語の元を'''非論理記号''' (non-logical symbol) という。関数記号は有限個でも無限個あっても良い。

便宜上、代数言語を集合ではなく組として扱うこともある。

{{theorem |type=example |name=代数言語の例 |label=example-of-algebraic-languages-of-equational-logic }}
代数言語の例をいくつかあげる。
* 集合の言語 $\mathscr{L}_\mathsf{Set}:=\emptyset$ 。
* 群の言語 $\mathscr{L}_\mathsf{Grp}:=\{\mathtt{1},\mathrel{\hat{\cdot}},{-}^{\hat{-1}}\}$ 。項数は順に $0,2,1$ 。
* 環の言語 $\mathscr{L}_\mathsf{Ring}:=\{\mathtt{0},\mathtt{1},\mathrel{\hat{+}},\mathrel{\hat{-}},\mathrel{\hat{\cdot}}\}$ 。項数は順に $0,0,2,1,2$ 。
* 束の言語 $\mathscr{L}_\mathsf{Lat}:=\{\hat{\top},\hat{\bot},\mathrel{\hat{\land}},\mathrel{\hat{\lor}}\}$ 。項数は順に $0,0,2,2$ 。
* Boole代数の言語 $\mathscr{L}_\mathsf{BA}:=\{\hat{\top},\hat{\bot},\mathrel{\hat{\land}},\mathrel{\hat{\lor}},\mathrel{\hat{\lnot}}\}$ 。項数は順に $0,0,2,2,1$ 。
* $\mathcal{A}=\langle|\mathcal{A}|;0,1,+,-,\cdot\rangle$ を可換環としたとき $\mathcal{A}$-加群の言語は $\mathscr{L}_{\mathsf{Mod}_\mathcal{A}}:=\mathscr{L}_\mathsf{Grp}\cup\{\hat{a}\mid a\in|\mathcal{A}|\}$ とする。$\hat{a}$ の項数は全て $1$ である。

{{theorem |type=definition |name=等式論理の項 |label=terms-of-equational-logic}}

$\mathscr{L}$ を代数言語とする。このとき '''$\mathscr{L}$-項''' ($\mathscr{L}$-term) は以下のように帰納的に定義される文字列である。
# 変数 $u,v,w,\ldots$ は $\mathscr{L}$-項である。
# 関数記号 $\mathtt{f}$ に対し、その項数が $n$ であるとき、$\mathscr{L}$-項 $t_0,\ldots,t_{n-1}$ に対して $\mathtt{f}(t_0,\ldots,t_n)$ は$\mathscr{L}$-項である。

特に定数記号は $\mathscr{L}$-項であることに注意しよう。$\mathscr{L}$-項の集合を $\mathrm{EqTm}_\mathscr{L}$ と表す。

項数が $2$ の関数記号 $\mathtt{f}$ に対して $\mathtt{f}(s,t)$ の代わりに $s\mathrel{\mathtt{f}} t$ と'''中置記法''' (infix notation) で表し、適当に括弧を補うことがある<ref group="脚注">中置記法に対し、$\mathtt{f}(s,t)$ あるいは括弧などを省略し $\mathtt{f}st$ という記法を '''前置記法''' (prefix notation) あるいは'''ポーランド記法''' (Poland notation) といい、逆に $st\mathtt{f}$ という記法を'''後置記法''' (postfix notation) あるいは'''逆ポーランド記法''' (reverse Poland notation) という。</ref>。

{{theorem |type=definition |name=$\mathscr{L}$-項の例 |label=example-of-terms-of-equational-logic}}

項の例をいくつかあげる。
* $(u\mathrel{\hat{\cdot}}\mathtt{1})^{\hat{-1}},\mathtt{1}\mathrel{\hat{\cdot}}v$ は $\mathscr{L}_\mathsf{Grp}$-項である。
* $(\mathtt{1}\mathrel{\hat{+}}\mathtt{1})\mathrel{\hat{\cdot}} (\mathrel{\hat{-}}\mathtt{0}),(u\mathrel{\hat{+}}\mathtt{1})\mathrel{\hat{\cdot}}((\mathrel{\hat{-}}\mathtt{0})\mathrel{\hat{\cdot}}v)$ は $\mathscr{L}_\mathsf{Ring}$-項である。
* $u\mathrel{\hat{\land}} (v\mathrel{\hat{\lor}}w),(\hat{\top}\mathrel{\hat{\land}}u)\mathrel{\hat{\lor}}\hat{\bot}$ は $\mathscr{L}_\mathsf{Lat}$-項である。
* $u\mathrel{\hat{\land}}(\mathrel{\hat{\lnot}} v),(\mathrel{\hat{\lnot}}\hat{\top})\mathrel{\hat{\land}}\hat{\bot}$ は $\mathscr{L}_\mathsf{BA}$-項である。

{{theorem |type=definition |name=等式論理の論理式 |label=formulae-of-equational-logic}}
$\mathscr{L}$ を代数言語とする。このとき '''$\mathscr{L}$-論理式''' ($\mathscr{L}$-formula) は以下のように定義される文字列である。
# $\mathscr{L}$-項 $s,t$ に対して $s=t$ は$\mathscr{L}$-論理式である。
$\mathscr{L}$-論理式の集合を $\mathrm{EqFml}_\mathscr{L}$ と表す。

また等式論理の論理式を'''原子論理式''' (atomic formula) と呼ぶこともある。

{{theorem |type=definition |name=項の出現 |label=occurrence-of-terms}}

$\mathscr{L}$-項 $s$ が $\mathscr{L}$-項 $t$ に'''出現する''' (occur) あるいは単に'''現れる'''ということを $\mathscr{L}$-項 $t$ の定義に沿って帰納的に定義する。

# 変数 $u$ に対して $s$ が $u$ であるとき $u$ に $s$ が現れている。
# $\mathscr{L}$-項 $f(t_0,\ldots,t_{n-1})$ に対して、ある $i<n$ が存在し $t_i$ に $s$ が現れているか、または $s$ が $f(t_0,\ldots,t_{n-1})$ であるとき、$s$ が $f(t_0,\ldots,t_{n-1})$ に現れている。

また$\mathscr{L}$-項 $s$ が $\mathscr{L}$-論理式 $\varphi$ に現れるということを定義する。
# $t=r$ に $\mathscr{L}$-項 $s$ が現れるのは $t$ か $r$ のいずれかに現れるときである。

$\mathscr{L}$-項 $t$ に $s_0,\ldots,s_n$ が現れているとき $t(s_0,\ldots,s_n)$ などど表す。

{{theorem |type=definition |name=項の代入 |label=substitution-of-terms}}

$\mathscr{L}$-項 $s,t$ 、変数 $u$ に対して $s$ に現れる $u$ に $t$ を'''代入''' (substitution) した結果 $s[u:=t]$ を $s$ の定義に沿って帰納的に定義する。
# $s$ に $u$ が現れていないとき $s[u:=t]$ は $s$ である。
# $u[u:=t]$ を $t$ のこととする。
# $\mathtt{f}(t_0,\ldots,t_{n-1})[u:=t]$ を　$\mathtt{f}(t_0[u:=t],\ldots,t_{n-1}[u:=t])$　のこととする。

また $\mathscr{L}$-論理式 $\varphi$ 、 $\mathscr{L}$-項 $t$ 、変数 $u$ に対して $\varphi$ に現れる $u$ に $t$ を'''代入''' (substitution) した結果 $\varphi[u:=t]$ を定義する。
# $\varphi$ に $u$ が現れていないとき $\varphi[u:=t]$ は $\varphi$ である。
# $(s=r)[u:=t]$ を $s[u:=t]=t[u:=t]$ のこととする。

また $s(u)$ に対して $s(u)[u:=t]$ を単に $s(t)$ と表す。

{{theorem |type=notation |name=省略記法 |label=abbreviation}}

$\mathscr{L}$-項、$\mathscr{L}$-論理式などの「$\mathscr{L}$-」という接頭辞は、どの言語を指しているか明らかなとき、あるいは言語に拠らない議論をするとき省略する。

また命題論理と同様に以下の記法を用いる。

* 論理式の集合 $T$ を '''公理系''' (axiomatic system, axioms, axiomata) 、'''等式理論''' (equational theory) 、あるいは単に'''理論''' (theory) という。
* 理論 $T$ と論理式 $\varphi$ に対して $T+\varphi$ で $T\cup\{\varphi\}$ を表す。

=== 2.2 等式論理のモデル ===

{{theorem |type=definition |name=代数構造 |label=algebraic-structure}}

$\mathscr{L}$ を言語とする。このとき '''$\mathscr{L}$-代数構造''' ($\mathscr{L}$-algebraic structure) $\mathcal{M}$ は'''領域''' (domain) あるいは'''宇宙''' (universe) 、'''台集合''' (underlying set) と言われる空でない<ref group="脚注">空な構造を認める流儀も存在する。特に'''圏論的論理学''' (categorical logic) の文脈では、空な構造を認めた方が都合が良い場合が多い。構造からなる圏、あるいは後述するモデルからなる圏に始対象が存在しないと都合が悪い場合が多いからである。例えば後述する等式理論の項モデルの構成と類似の議論をすることによって、等式理論、あるいはその項モデルの圏論的対応物となる圏、'''Lawvere理論''' (Lawvere theory) を得ることができ、モデルとはLawvere理論から集合と写像からなる圏 $\mathrm{Set}$ への有限直積を保つ関手と思うことができるが、このような議論は空なモデルが存在しない場合、面倒な例外処理を行わなければならなくなる。またtoo simple to be simpleの理念に従っても空なモデルは認めたほうが良いと思われる。しかし数理論理学に於いては空なモデルを認めない流儀が主流である。これは等式論理の範疇では問題にならないが、一階述語論理に於いては空なモデルを許容すると、(等号を含む)関係記号を言語として持つ場合、論理式 $\forall x\varphi(x)\to\exists x\varphi(x)$ は証明可能になるが、空なモデルで成り立たない。すなわち健全性定理が成り立たなくなるのが問題となる。</ref>集合 $M$ と以下に定義される'''$\mathscr{L}$-解釈''' ($\mathscr{L}$-interpretation) ${-}^\mathcal{M}$ の組 $\langle M;{-}^\mathcal{M}\rangle$ である。

$\mathscr{L}$-解釈 ${-}^\mathcal{M}$ は以下を満たす言語 $\mathscr{L}$ からの写像である。

* 関数記号 $\mathtt{f}\in\mathscr{L}$ に対して $\mathtt{f}$ の項数が $n$ であるとき、$\mathtt{f}^\mathcal{M}\colon M^n\to M$ である。

定数記号の解釈は一つの $M$ の要素を返す関数となる。よってその返す値と同一視することで定数記号 $\mathtt{c}$ に対して $\mathtt{c}^\mathcal{M}\in M$ と見做すことができることに注意する。このような同一視を今後断りなく行うことに注意する。

代数構造 $\mathcal{M}$ が与えられたとき、$|\mathcal{M}|$ を $\mathcal{M}$ の台集合を表すことにする。また数学の慣習に基づき構造 $\mathcal{M}$ とその台集合 $|\mathcal{M}|$ を誤解を与えない範囲で同一視する。例えば $a\in |\mathcal{M}|$ の代わりに $a\in\mathcal{M}$ と表すことがある。

また $\mathcal{M}=\langle M;{-}^\mathcal{M}\rangle$ と表す代わりに解釈後の関数、関係をリストし $\mathcal{M}=\langle A;\mathtt{f}_0^\mathcal{M},\ldots,\mathtt{f}_i^\mathcal{M}\rangle$ と表すことがある。

{{theorem |type=example |name=代数構造の例 |label=examples-of-algebraic-structures}}
任意の群 $\mathcal{G}:=\langle|\mathcal{G}|;e,\cdot,{-}^{-1}\rangle$ は $\mathtt{1}^\mathcal{G}:=e,\hat{\cdot}^\mathcal{G}:=\cdot,{{-}^{\hat{-1}}}^\mathcal{G}:={-}^{-1}$ と定めることで $\mathscr{L}_\mathsf{Grp}$-構造として見做すことができる。しかし、別に群でなくても $a\in A,f\colon A^2\to A,g\colon A\to A $ に対して $\langle A;a,f,g\rangle$ は同様に $\mathscr{L}_\mathsf{Grp}$-構造として見做すことができる。

{{theorem |type=definition |name=項の解釈 |label=interpretation-of-terms}}

$\mathscr{L}$-代数構造 $\mathcal{M}=\langle M;{-}^\mathcal{M}\rangle$ と $\mathscr{L}$-閉項 $t$ に対して $t^\mathcal{M}\in M$ を帰納的に定義する。

* $\mathtt{f}(t_0,\ldots,t_{n-1})$ に対して $(\mathtt{f}(t_0,\ldots,t_{n-1}))^\mathcal{M}$ を $\mathtt{f}^\mathcal{M}(t_0^\mathcal{M},\ldots,t_{n-1}^\mathcal{M})$ と定める。

{{theorem |type=definition |name=拡大と縮約 |label=expansion-and-reduct}}

言語 $\mathscr{L}\subseteq\mathscr{L}'$ とし、$\mathcal{M}$ を $\mathscr{L}$-代数構造とし、$\mathcal{M}'$ を $\mathscr{L}'$-代数構造とする。$|\mathcal{M}|=|\mathcal{M}'|$ とし、$\mathtt{f}\in\mathscr{L}$ に対し $\mathtt{f}^\mathcal{M}=\mathtt{f}^{\mathcal{M}'}$ が成り立つとする。このとき $\mathcal{M}'$ を $\mathcal{M}$ の'''拡大''' (expansion) といい、$\mathcal{M}$ を $\mathcal{M}'$ の'''縮約''' (reduct) という。

{{theorem |type=example |name=拡大と縮約の例 |label=expansion-and-reduct}}
任意の環 $\mathcal{R}=\langle|\mathcal{R}|;\mathtt{0}^\mathcal{R},\mathtt{1}^\mathcal{R},\hat{+}^\mathcal{R},\hat{-}^\mathcal{R},\hat{\cdot}^\mathcal{R}\rangle$ はその加法群 $\mathcal{R}^+=\langle|\mathcal{R}|;\mathtt{0}^\mathcal{R},\hat{+}^\mathcal{R},{-}^\mathcal{R}\rangle$ の拡張となる。ここで群の言語は $\{\mathtt{1},\hat{\cdot},{-}^{\hat{-1}}\}$ であったが記号を変えて $\{\mathtt{0},\hat{+},\hat{-}\}$ としても本質的になにも変わらない。実際、[[Abel群]]に対してはこのように書かれることが多い。
一方、加法群と違い、乗法群 $\mathcal{R}^\times=\langle|\mathcal{R}|\setminus\{\mathtt{0}^\mathcal{R}\};\mathtt{0}^\mathcal{R},\hat{+}^\mathcal{R},{-}^\mathcal{R}\rangle$ は領域がことなるため拡張にはならない。

{{theorem |type=definition |name=名前 |label=name}}

$\mathscr{L}$-代数構造 $\mathcal{M}$ に対して言語 $\mathscr{L}(\mathcal{M})$ と $\mathscr{L}(\mathcal{M})$-代数構造 $\mathcal{M}_\mathrm{par}$ を定義する。
* $\mathscr{L}(\mathcal{M})$ には $\mathscr{L}$ の元に加え、$a\in|\mathcal{M}|$ に対する定数記号 $\underline{a}$ を持つ。この定数記号 $\underline{a}$ を $a$ の ''名前''(name) や''パラメータ'' (parameter) という。名前を単に $a$ と表すこともある。
* $\mathcal{M}_\mathrm{par}$ は $\mathcal{M}$ の拡大であり、$\underline{a}^{\mathcal{M}_\mathrm{par}}:=a$ とする。

誤解を生じないとき $\mathcal{M}_\mathrm{par}$ を単に $\mathcal{M}$ と表す。

{{theorem |type=definition |name=充足可能性関係 |label=satisfiability-relation}}

$\mathscr{L}$-代数構造 $\mathcal{M}$ と $\mathscr{L}(\mathcal{M})$-論理式 $s(u_0,\ldots,u_{n-1})=t(v_0,\ldots,v_{m-1})$ に対し '''充足可能性関係''' (satisfiability relation) $\mathcal{M}\models s(u_0,\ldots,u_{n-1})=t(v_0,\ldots,v_{m-1})$ を定義する<ref group="脚注">充足可能性関係の定義には名前ではなく、'''割り当て''' (assignment) と呼ばれる、論理式に出現する変数記号から領域への写像を用いて、閉項に対して定義された解釈を割り当てを用いて閉項とは限らない項に拡張することで定義する流儀もある。</ref>。
ここで $s(u_0,\ldots,u_{n-1})=t(v_0,\ldots,v_{m-1})$ に現れる変数は $u_0,\ldots,u_{n-1},v_0,\ldots,v_{m-1}$ に限るとする。

#　$\mathcal{M}\models s(u_0,\ldots,u_{n-1})=t(v_0,\ldots,v_{m-1})$ となるのは任意の $a_0,\ldots,a_{n-1},b_0,\ldots,b_{m-1}\in |\mathcal{M}|$ に対して $(s(u_0,\ldots,u_{n-1})[u_0:=\underline{a_0}]\cdots[u_{n-1}:=\underline{a_{n-1}}])^{\mathcal{M}_\mathrm{par}}=(t(v_0,\ldots,v_{m-1})[v_0:=\underline{b_0}]\cdots[v_{m-1}:=\underline{b_{m-1}}])^{\mathcal{M}_\mathrm{par}})$ が成り立つことである。

ここで $\mathcal{M}\models s(u_0,\ldots,u_{n-1})=t(v_0,\ldots,v_{m-1})$ に含まれる $=$ は等号記号だが、$(s(u_0,\ldots,u_{n-1})[u_0:=\underline{a_0}]\cdots[u_{n-1}:=\underline{a_{n-1}}])^{\mathcal{M}_\mathrm{par}}=(t(v_0,\ldots,v_{m-1})[v_0:=\underline{b_0}]\cdots[v_{m-1}:=\underline{b_{m-1}}])^{\mathcal{M}_\mathrm{par}})$　に表れる $=$ は実際の等号であることに注意されたい。また $\models$ に対していくつかの用語を定める。

* $T$ を理論とし、任意の $\varphi\in T$ に対して $\mathcal{M}\models\varphi$ となっているとする。このとき $\mathcal{M}$ を $T$ の'''モデル''' (model) であるといい、$\mathcal{M}\models\varphi$ と表す。
* $T$ の任意のモデル $\mathcal{M}$ に対して $\mathcal{M}\models\varphi$ であるとき $\varphi$ は $T$ からの'''論理的帰結''' (logical consequence) であるといい、$T\models \varphi$ と表す。

{{theorem |type=example |name=モデルの例 |label=examples-of-models}}
$\mathscr{L}_\mathsf{Grp}$-理論 $\mathsf{Grp}$ を以下の論理式からなるものとする。
* $u\mathrel{\hat{\cdot}}(v\mathrel{\hat{\cdot}}w)=(u\mathrel{\hat{\cdot}}v)\mathrel{\hat{\cdot}}w$ 。
* $u\mathrel{\hat{\cdot}}\mathtt{0}=u$ 。
* $u\mathrel{\hat{\cdot}}(u^{\hat{-1}})=\mathtt{0}$ 。

$\mathsf{Grp}$ のモデルは群そのものである。

$\mathscr{L}_\mathsf{Ring}$-理論 $\mathsf{Ring}$ を以下の論理式からなるものとする。

* $u\hat{+}(v\mathrel{\hat{+}}w)=(u\mathrel{\hat{+}}v)\mathrel{\hat{+}}w$ 。
* $u\mathrel{\hat{+}}\mathtt{0}=u$ 。
* $u\mathrel{\hat{+}}(\mathrel{\hat{-}}u)=\mathtt{0}$ 。
* $u\mathrel{\hat{+}}v=v\mathrel{\hat{+}}u$ 。
* $u\mathrel{\hat{\cdot}} (v\mathrel{\hat{\cdot}} w)=(u\mathrel{\hat{\cdot}} v)\mathrel{\hat{\cdot}} w$ 。
* $u\mathrel{\hat{\cdot}} (v\mathrel{\hat{+}}w)=(u\mathrel{\hat{\cdot}} v)\mathrel{\hat{+}}(u\mathrel{\hat{\cdot}} w)$ 。
* $u\mathrel{\hat{\cdot}}\mathtt{1}=u$ 。

$\mathsf{Ring}$ のモデルも同様に環である。

言語 $\mathscr{L}_{\mathsf{Mod}_\mathcal{A}}$ 上の理論 $\mathsf{Mod}_\mathcal{A}$ は[[Abel群]]の公理と任意の $a,b\in |\mathcal{A}|$ に対して以下の論理式からなるものとする。

* $\hat{a}(x\mathrel{\hat{+}}y)=\hat{a}(x)\mathrel{\hat{+}}\hat{a}(y)$ 。
* $\widehat{a\mathrel{+_\mathcal{A}}b}(x)=\hat{a}(x)\mathrel{\hat{+}}\hat{b}(x)$ 。
* $\widehat{a\mathrel{\cdot_\mathcal{A}} b}(x)=\hat{a}(\hat{b}(x))$ 。
* $\widehat{1_{\mathcal{A}}}(x)=x$

言語 $\mathscr{L}_\mathsf{Set}$ 上の理論 $\emptyset$ のモデルは空でない集合 $X$ に対して $\langle X\rangle$ という形をした構造である。これは空でない集合と同一視できる。

言語 $\mathscr{L}_\mathsf{SGrp}:=\{\hat{\cdot}\}$ とし、理論 $\mathsf{SGrp}$ を

* $u\mathrel{\hat{\cdot}}(v\mathrel{\hat{\cdot}}w)=(u\mathrel{\hat{\cdot}}v)\mathrel{\hat{\cdot}}w$ 。

とする。このとき理論 $\mathsf{SGrp}$ のモデルは空でない半群全体となる。

=== 2.3 代数構造の理論 ===
==== 定義2.3.1（準同型、同型） ====

$\mathscr{L}$-代数構造 $\mathcal{M},\mathcal{N}$ に対して $\sigma\colon|\mathcal{M}|\to|\mathcal{N}|$ が''準同型射'' (homomorphism) であるとは、任意の $\mathtt{f}\in\mathscr{L}$ 、$a_0,\ldots,a_{n-1}\in|\mathcal{M}|$ に対し $\sigma(\mathtt{f}^\mathcal{M}(a_0,\ldots,a_{n-1}))=\mathtt{f}^\mathcal{N}(\sigma(a_0),\ldots,\sigma(a_{n-1}))$ が成り立つことである。

また準同型 $\sigma\colon|\mathcal{M}|\to|\mathcal{N}|,\tau\colon|\mathcal{N}|\to|\mathcal{M}|$ が存在し $\tau\circ\sigma =\mathrm{id}_\mathcal{M},\sigma\circ\tau =\mathrm{id}_\mathcal{N}$ となるとき $\mathcal{M}$ と $\mathcal{N}$ は''同型'' (isomorphic))であるといい $\mathcal{M}\cong\mathcal{N}$ と表し、$\sigma,\tau$ を''同型射'' (isomorphism) であるという。
ここで $\mathrm{id}_\mathcal{M}\colon|\mathcal{M}|\to|\mathcal{M}|,\mathrm{id}_\mathcal{M}(a)=a,\mathrm{id}_\mathcal{N}\colon|\mathcal{N}|\to|\mathcal{N}|,\mathrm{id}_\mathcal{N}(b)=b$ とする。

==== 定義2.3.2（部分代数） ====

$\mathscr{L}$-代数構造 $\mathcal{M},\mathcal{N}$ に対して、$\mathcal{N}$ が $\mathcal{M}$ の''部分代数'' (subalgebra) であるとは $|\mathcal{N}|\subseteq|\mathcal{M}|$ かつ、任意の $\mathtt{f}\in\mathscr{L}$ 、任意の $b_0,\ldots,b_{n-1}\in|\mathcal{N}|$ に対し $\mathtt{f}^\mathcal{N}(b_0,\ldots,b_{n-1})=\mathtt{f}^\mathcal{M}(b_0,\ldots,b_{n-1})$ を満たすことである。

==== 命題2.3.3（代数構造の同型に対する必要十分条件） ====

$\mathcal{M}\cong\mathcal{N}$ であるのは全単射準同型 $\upsilon\colon\mathcal{M}\to\mathcal{N}$ が存在するときであり、またそれに限る。

''証明''　$\mathcal{M}\cong\mathcal{N}$ であると仮定する。仮定より準同型 $\sigma\colon\mathcal{M}\to\mathcal{N},\tau\colon\mathcal{N}\to\mathcal{M}$ で $\sigma\circ\tau,\tau\circ\sigma$ が恒等となるものを取る。$\sigma,\tau$ は互いに逆写像であり、よって全単射である。

逆を示す。$\upsilon\circ\upsilon^{-1},\upsilon^{-1}\circ\upsilon$ が恒等になるのは明らかである。よって $\upsilon^{-1}\colon\mathcal{N}\to\mathcal{M}$ が準同型となることを確認すれば良い。
$\upsilon$ は全単射であるから、ある $a_0,\ldots,a_{n-1}\in|\mathcal{M}|$ が存在して $\upsilon(a_0)=b_0,\ldots,\upsilon(a_{n-1})=b_{n-1}$ である。
よって $\upsilon^{-1}(\mathtt{f}^\mathcal{N}(b_0,\ldots,b_{n-1}))=\upsilon^{-1}(\mathtt{f}^\mathcal{N}(\upsilon(a_0),\ldots,\upsilon(a_{n-1})))$ であり、$\upsilon$ は準同型であるから $\upsilon^{-1}(\mathtt{f}^\mathcal{N}(\upsilon(a_0),\ldots,\upsilon(a_{n-1})))=\upsilon^{-1}(\upsilon(\mathtt{f}^\mathcal{M}(a_0,\ldots,a_{n-1})))$ となる。
従って $\upsilon^{-1}(\upsilon(\mathtt{f}^\mathcal{M}(a_0,\ldots,a_{n-1})))=\mathtt{f}^\mathcal{M}(a_0,\ldots,a_{n-1})$　であり、$a_0=\upsilon^{-1}(b_0),\ldots,a_{n-1}=\upsilon^{-1}(b_{n-1})$ より良い。□

==== 定義2.3.4（合同関係） ====
$\mathcal{M}$ を代数構造とし、$\equiv$ を $|\mathcal{M}|$ 上の同値関係で $\mathtt{f}\in\mathscr{L}$ に対して $\mathtt{f}^\mathcal{M}$ と両立する、すなわち任意の $a_0,\ldots,a_{n-1},b_0,\ldots,b_{n-1}\in |\mathcal{M}|$ に対して、任意の $i<n$ について $a_i\equiv b_i$ $\equiv$ であるならば $\mathtt{f}^\mathcal{M}(a_0,\ldots,a_{n-1})\equiv\mathtt{f}^\mathcal{M}(b_0,\ldots,b_{n-1})$ が成り立つとき $\equiv$ は $\mathcal{M}$ 上の''合同関係'' (congruence relation) である、あるいは同値関係 $\equiv$ は $\mathtt{f}^\mathcal{M}$ に対して　''well-defined''であるという。
==== 定義2.3.5（剰余代数） ====

$\mathcal{M}$ を代数構造とし、$\equiv$ を $\mathcal{M}$ 上の合同関係とする。剰余代数'' (factor algebra, quotient algebra) $\mathcal{M}/{\equiv}:=\langle|\mathcal{M}|/{\equiv};{-}^{\mathcal{M}/{\equiv}}\rangle$ を以下のように定める。
* $|\mathcal{M}|/{\equiv}$ は $|\mathcal{M}|$ の $\equiv$ による商集合とし $a\in|\mathcal{M}|$ に対して $[a]_\equiv$ を $\equiv$ による同値類とする。
* $\mathtt{f}\in\mathscr{L}$ に対して $\mathtt{f}^{\mathcal{M}/{\equiv}}([a_0]_\equiv,\ldots,[a_{n-1}]_\equiv):=[\mathtt{f}^\mathcal{M}(a_0,\ldots,a_{n-1})]_\equiv$ とする。

==== 例2.3.6（剰余代数の例） ====

$\mathcal{G}$ を群、$\mathcal{H}$ を $\mathcal{G}$ の正規部分群、すなわち $\mathcal{H}$ は $\mathcal{G}$ の部分代数で、任意の $g\in|\mathcal{G}|,h\in|\mathcal{H}|$ に対し $(g\hat{\cdot}^\mathcal{G} h){\hat{\cdot}}^\mathcal{G}\left(g^{\hat{-1}^\mathcal{G}}\right)\in|\mathcal{H}|$ であるとする。$|\mathcal{G}|$ 上の合同関係　$\equiv_\mathcal{H}$ を $x\equiv_\mathcal{H} y:\Leftrightarrow x\hat{\cdot}^\mathcal{G}\left(y^{\hat{-1}^\mathcal{G}}\right)\in|\mathcal{H}|$ と定める。
このとき $\mathcal{G}/{\equiv_\mathcal{H}}$ を $\mathcal{G}/\mathcal{H}$ と表す。

$\mathcal{M}$ を可換環、$\mathcal{I}:=\langle|\mathcal{I}|;\mathtt{0}^\mathcal{I},\mathtt{1}^\mathcal{I},\hat{+}^\mathcal{I},\hat{-}^\mathcal{I},\hat{\cdot}^\mathcal{I}\rangle$ を $\mathcal{M}$ のイデアル、すなわち以下を満たすとする。
* $\langle|\mathcal{I}|;\mathtt{0}^\mathcal{I},\hat{+}^\mathcal{I},\hat{-}^\mathcal{I}\rangle$ は $\langle|\mathcal{M}|;\mathtt{0}^\mathcal{M},\hat{+}^\mathcal{M},\hat{-}^\mathcal{M}\rangle$ の部分構造である。
* 任意の $a\in|\mathcal{M}|,x\in|\mathcal{I}|$ に対し $a\hat{\cdot}^\mathcal{M}x\in|\mathcal{I}|$ である。

このとき上記の例と同様に $\equiv_\mathcal{I}$ を定義でき $\mathcal{M}/{\equiv_\mathcal{I}}$ を $\mathcal{M}/\mathcal{I}$ を表す。

==== 補題2.3.7（剰余代数と準同型） ====

代数構造 $\mathcal{M}$ と合同関係 $\equiv$ に対して $\pi_\equiv\colon|\mathcal{M}|\to|\mathcal{M}|/{\equiv},\pi_\equiv(a):=[a]_\equiv$ とする。このとき $\pi_\equiv$ は準同型となる。この準同型を $\equiv$ に対する自然な準同型という。

''証明''　剰余代数の定義より明らかである。□

==== 補題2.3.8（準同型と合同関係） ====

代数構造 $\mathcal{M},\mathcal{N}$ 、準同型 $\sigma\colon|\mathcal{M}|\to|\mathcal{N}|$ に対して $|\mathcal{M}|$ 上の二項関係 $\equiv_\sigma$ を $a\equiv_\sigma b:\Leftrightarrow\sigma(a)=\sigma(b)$ とする((これを $\sigma$ による''核'' (kernel) ということがある。))。このとき $\equiv_\sigma$ は合同関係である。

''証明''　$\equiv_\sigma$ が同値関係であることは明らかである。よって関数と両立することを示そう。
今 $\mathtt{f}$ の項数を $n$ とし任意の $i<n$ に対して $a_i\equiv_\sigma b_i$ であると仮定し、$\mathtt{f}^\mathcal{M}(a_0,\ldots,a_{n-1})\equiv_\sigma \mathtt{f}^\mathcal{M}(b_0,\ldots,b_{n-1})$ 、すなわち $\sigma(\mathtt{f}^\mathcal{M}(a_0,\ldots,a_{n-1}))=\sigma(\mathtt{f}^\mathcal{M}(b_0,\ldots,b_{n-1}))$ を示せば良い。
$\sigma$ が準同型であるという仮定から $\sigma(\mathtt{f}^\mathcal{M}(a_0,\ldots,a_{n-1}))=\mathtt{f}^\mathcal{N}(\sigma(a_0),\ldots,\sigma(a_{n-1}))$ であり、 $\equiv_\sigma$ の定義から $\mathtt{f}^\mathcal{N}(\sigma(a_0),\ldots,\sigma(a_{n-1}))=\mathtt{f}^\mathcal{N}(\sigma(b_0),\ldots,\sigma(b_{n-1}))$ 、よってもう一度 $\sigma$ が準同型であることから $\mathtt{f}^\mathcal{N}(\sigma(b_0),\ldots,\sigma(b_{n-1}))=\sigma(\mathtt{f}^\mathcal{M}(b_0,\ldots,b_{n-1}))$ 。□

==== 定理2.3.9（準同型定理 (homomorphism theorem) ） ====

全射準同型 $\sigma\colon|\mathcal{M}|\to|\mathcal{N}|$ に対して、同型 $\tau_{\equiv_\sigma}\colon|\mathcal{M}/{\equiv_\sigma}|\to|\mathcal{N}|$ が存在して $\sigma=\tau_{\equiv_\sigma}\circ\pi_{\equiv_\sigma}$ となる。
ここで $a\equiv_\sigma b:\Leftrightarrow\sigma(a)=\sigma(b)$ 、$\pi_{\equiv_\sigma}\colon|\mathcal{M}|\to|\mathcal{M}/{\equiv_\sigma}|,\pi_{\equiv_\sigma}(a)=[a]_{\equiv_\sigma}$ とする。

''証明''　まず $\tau_{\equiv_\sigma}([a]_{\equiv_\sigma}):=\sigma(a)$ とする。これが写像となることを示す。左全域性は明らかなので右一意性を示そう。
$[a]_{\equiv_\sigma}=[b]_{\equiv_\sigma}$ とすれば $\equiv_\sigma$ の定義から、$\sigma(a)=\sigma(b)$ であり良い。
同様に逆も言えるため左一意性、すなわち $\tau_{\equiv_\sigma}$ が単射であることも従う。また $\sigma$ が全射であることから $\tau_{\equiv_\sigma}$ も全射である。命題2.3.3より
準同型であることを示せば十分である。
剰余代数の定義から $\tau_{\equiv_\sigma}(\mathtt{f}^{\mathcal{M}/{\equiv_\sigma}}([a_0]_{\equiv_\sigma},\ldots,[a_{n-1}]_{\equiv_\sigma}))=\tau_{\equiv_\sigma}([\mathtt{f}^\mathcal{M}(a_0,\ldots,a_{n-1})]_{\equiv_\sigma})$ であり、$\tau_{\equiv_\sigma}$ の定義から $\tau_{\equiv_\sigma}([f^\mathcal{M}(a_0,\ldots,a_{n-1})]_{\equiv_\sigma})=\sigma(f^\mathcal{M}(a_0,\ldots,a_{n-1}))$ である。
$\sigma$ が準同型であることから $\sigma(\mathtt{f}^\mathcal{M}(a_0,\ldots,a_{n-1}))=\mathtt{f}^\mathcal{N}(\sigma(a_0),\ldots,\sigma(a_{n-1}))$ であり $\tau_{\equiv_\sigma}$ の定義が $\mathtt{f}^\mathcal{N}(\sigma(a_0),\ldots,\sigma(a_{n-1}))=\mathtt{f}^\mathcal{N}(\tau_{\equiv_\sigma}([a_0]_{\equiv_\sigma},\ldots,[a_{n-1}]_{\equiv_\sigma}))$ となる。□

==== 系2.3.10 ====

準同型 $\sigma\colon|\mathcal{M}|\to|\mathcal{N}|$ と $|\mathcal{M}|$ 上の合同関係 $\equiv_\sigma$ は $a\equiv_\sigma b$ ならば $\sigma(a)=\sigma(b)$ を満たすとする。
このとき準同型 $\tau_{\equiv_\sigma}\colon|\mathcal{M}/{\equiv}|\to|\mathcal{N}|$ が存在し $\sigma=\tau_{\equiv_\sigma}\circ\pi_{\equiv_\sigma}$ となる。
ただし $\pi_{\equiv_\sigma}\colon|\mathcal{M}|\to|\mathcal{M}/{\equiv_\sigma}|,\pi_{\equiv_\sigma}(a)=[a]_{\equiv_\sigma}$ とする。

''証明''　定理2.3.9の証明とほとんど同様で良い。□

==== 例2.3.11（準同型定理の具体例） ====

群準同型 $\sigma\colon|\mathcal{G}|\to|\mathcal{H}|$ に対して $\mathrm{Ker}(\sigma):=\{g\in|\mathcal{G}|\mid\sigma(g)=\mathtt{0}^\mathcal{H}\}$ とする。このとき $\langle \mathrm{Ker}(\sigma),\mathtt{0}^\mathcal{G},\hat{\cdot}^\mathcal{G},{-}^{\hat{-1}^\mathcal{G}}\rangle$ は $\mathcal{G}$ の部分群であり、例2.2.6で定められる同値関係を $\equiv_{\mathrm{Ker}(\sigma)}$ とすれば $g_0\equiv_{\mathrm{Ker}(\sigma)}g_1$ と $g_0\equiv_\sigma g_1$ は同値であり、従って定理2.3.9及び系2.3.10から以下の群論に於ける準同型定理が従う。
* 群準同型 $\sigma\colon|\mathcal{G}|\to|\mathcal{H}|$ 、自然な準同型 $\pi\colon|\mathcal{G}|\to|\mathcal{G}/\equiv_{\mathrm{Ker(\sigma)}}|$ に対して、準同型 $\tau\colon |\mathcal{G}/\equiv_{\mathrm{Ker(\sigma)}}|\to|\mathcal{H}|$ が存在して $\sigma=\tau\circ\pi$ であり、また $\tau$ は $\mathcal{G}/\equiv_{\mathrm{Ker(\sigma)}}$ から $\langle\mathrm{Im}(\sigma),\underline{0}^\mathcal{H},+^\mathcal{H},-^\mathcal{H}\rangle$ への同型射である。

=== 2.4. 等式論理の形式的証明 ===
==== 定義2.4.1（等式理論） ====
理論 $T$ 論理式 $\varphi$ に対して $T\vdash\varphi$ を帰納的に定義する。

1. $(\mathsf{refl})$　任意の項 $t$ に対して $T\vdash t=t$ である。

2. $(T)$　任意の $\varphi\in T$ に対して $T\vdash\varphi$ である。

3. $(\mathsf{sym})$　任意の項 $s,t$ に対して $T\vdash s=t$ ならば $T\vdash t=s$ である。

4. $(\mathsf{trans})$　任意の項 $s,t,r$ に対して $T\vdash s=t$ かつ $T\vdash t=r$ ならば $T\vdash s=r$ である。

5. $(\mathsf{sub})$　任意の変数 $u$ 、項 $s(u),t(u),r$ に対して $T\vdash s(u)=t(u)$ ならば $T\vdash s(r)=t(r)$ である。

6. $(\mathsf{comp})$　任意の関数記号 $f\in\mathscr{L}$ 、任意の項 $s_0,\ldots,s_{n-1},t_0,\ldots,t_{n-1}$ に対して、全ての$i<n$　について $T\vdash s_i=t_i$ ならば $T\vdash f(s_0,\ldots,s_{n-1})=f(t_0,\ldots,t_{n-1})$ である。

$\vdash$ に関して命題論理と同様に用語を定める。
* $T\vdash\varphi$ であるとき $T$ から $\varphi$ は''証明可能'' (provable) であるという。また $\emptyset\vdash\varphi$ であるとき単に証明可能であるといい、$\vdash\varphi$ と表す。
* $\mathrm{Th}(T):=\{\varphi\in\mathrm{EqFml}\mid T\vdash\varphi\}$ とする。また言語を明示するとき $\mathrm{Th}_\mathscr{L}(T)$ と表す。

=== 2.5. Birkhoffの完全性定理、$\mathsf{HSP}$ 定理 ===

==== 定義2.5.1（生成） ====
代数構造 $\mathcal{M}$ 、$X\subseteq|\mathcal{M}|$ とする。このとき $X\subseteq\mathcal{N}$ で $\mathcal{M}$ の部分代数のなか、領域の包含関係において最小であるとき、$\mathcal{N}$ を $X$ によって''生成される'' (generated) 部分代数であるという。

==== 定義2.5.2（自由 $\mathcal{K}$-代数） ====
$\mathcal{K}$ を代数構造からなるクラスとする。このとき $\mathcal{M}\in\mathcal{K}$ が $X$ によって生成される''自由 $\mathcal{K}$-代数'' (free $\mathcal{K}$-代数) であるとは以下を満たすことである。
* $\mathcal{M}$ は $X$ で生成される。
* 任意の $\mathcal{N}\in\mathcal{K}$ 、写像 $\sigma\colon X\to|\mathcal{N}|$ に対し、ある準同型 $\overline{\sigma}\colon|\mathcal{M}|\to|\mathcal{N}|$ で $\overline{\sigma}$ は $\sigma$ の拡大である、すなわち任意の $x\in X$ に対して $\sigma(x)=\overline{\sigma}(x)$ となるものが一意に存在する。

==== 命題2.5.3（自由生成と濃度） ====
代数構造 $\mathcal{M},\mathcal{N}\in\mathcal{K}$ でそれぞれ集合 $X,Y$ によって自由生成されていて、$X,Y$ が等濃であれば $\mathcal{M}\cong\mathcal{N}$ である。

''証明''　全単射 $\sigma\colon X\to Y$ を取る。
自由代数の定義から $\sigma,\sigma^{-1}$ は準同型 $\overline{\sigma}\colon|\mathcal{M}|\to|\mathcal{N}|,\overline{\sigma^{-1}}\colon|\mathcal{N}|\to|\mathcal{M}|$ に拡張され $\overline{\sigma^{-1}}\circ\overline{\sigma}$ は $X$ 上の恒等写像の拡張となる準同型 $|\mathcal{M}|\to|\mathcal{M}|$ で拡張の一意性から $\overline{\sigma^{-1}}\circ\overline{\sigma}=\mathrm{id}_{|\mathcal{M}|}$ 、
同様に $\overline{\sigma}\circ\overline{\sigma^{-1}}=\mathrm{id}_{|\mathcal{N}|}$ であり、$\mathcal{M}\cong\mathcal{N}$ である。

==== 定義2.5.3（項代数） ====

== 出典 ==

== 参考文献 ==

[田中19] 田中一之、数学基礎論序説、裳華房、2019。

[Sankappanavar–Burris] H.P. Sankappanavar, S. Burris, A course in universal algebra, Graduate Texts Math 78, 1981.

=== 脚注 ===
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}}

数理論理学の基礎：等式論理

2022-01-07T20:44:43Z

Alwe: /* 2.1 等式論理の統語論 */

[[Category:数理論理学|トウシキロンリ]]
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{{TOC |align=right |noautonum=1 }}
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{{begin |preamble }}


$
\newcommand{\Pow}[1]{\mathcal{P}(#1)}
\newcommand{\nat}{\mathbb{N}}
$

$\newcommand{\name}[1]{\underline{#1}}$

$
\newcommand{\blank}{ {-} }
$

{{newtheorem |type=theorem |display=定理 |counter=0 }}
{{newtheorem |type=lemma |display=補題 |family=theorem }}
{{newtheorem |type=definition |display=定義 |family=theorem }}
{{newtheorem |type=proposition |display=命題 |family=theorem }}
{{newtheorem |type=corollary |display=系 |family=theorem }}
{{newtheorem |type=remark |display=注意 |family=theorem }}
{{newtheorem |type=example |display=例 |family=theorem }}
{{newtheorem |type=notation |display=表記 |family=theorem }}
{{end |preamble }}
== 2. 等式論理 ==

'''等式論理''' (equational logic) は先程までの命題論理とは異なり命題同士の関係ではなく命題の中身、特に $s=t$ という形をした等式による命題に注目する論理である。。
等式論理に対しても命題論理と同様に統語論、意味論を考える。命題論理と同様に形式的証明と、命題論理での真理値に対応する'''モデル''' (model) というのを紹介する。

形式的証明は等式の以下に上げる基本的な性質による書き換え操作によって得られる。

# '''反射律''' (reflexivity) $s=s$ である。
# '''対称律''' (symmetricity) $s=t$ ならば $t=s$ である。
# '''推移律''' (transitivity) $s=t$ かつ $t=r$ ならば $s=r$ である。
# '''代入''' (substitution) $s(u)=t(u)$ ならば $s(r)=t(r)$ である。
# '''関数との両立''' (compatibility with functions) 任意の $i<n+1$ に対して $s_i=t_i$ ならば $f(s_0,\ldots,s_n)=f(t_0,\ldots,t_n)$ である。

一方、モデルによる意味論はある種の数学的な'''代数構造''' (algebraic structure) を用いて定義される。具体的には構造が与えられたとき、その構造で満たされることを真と見做す。ここで構造というのは'''台集合''' (underlying set) とその上の関数からなる組のことである。

=== 2.1 等式論理の統語論 ===

{{theorem |type=definition |name=等式論理の記号 |label=symbols-of-equational-logic }}
等式論理の'''論理記号''' (logical symbol) は以下からなる。
* '''変数記号''' (variable symbol) $u,v,w,\ldots$ 。
* '''等号記号''' (equality symbol) $=$ 。
* '''括弧''' (brackets) $(,).$ 及び'''カンマ''' (comma) $,$ 。

変数記号の集合を $\mathrm{EqVar}$ とし、変数記号は無限個あることを仮定する。

{{theorem |type=definition |name=等式論理の代数言語 |label=algebraic-languages-of-equational-logic }}

'''代数言語''' (algebraic language) は'''関数記号''' (function symbol) からなる集合で各関数記号には'''項数''' (arity) という自然数が割り当てられているとする。

また特に項数が $0$ である関数記号を'''定数記号''' (constant symbol) という。言語の元を'''非論理記号''' (non-logical symbol) という。関数記号は有限個でも無限個あっても良い。

便宜上、代数言語を集合ではなく組として扱うこともある。

{{theorem |type=example |name=代数言語の例 |label=example-of-algebraic-languages-of-equational-logic }}
代数言語の例をいくつかあげる。
* 集合の言語 $\mathscr{L}_\mathsf{Set}:=\emptyset$ 。
* 群の言語 $\mathscr{L}_\mathsf{Grp}:=\{\mathtt{1},\mathrel{\hat{\cdot}},{-}^{\hat{-1}}\}$ 。項数は順に $0,2,1$ 。
* 環の言語 $\mathscr{L}_\mathsf{Ring}:=\{\mathtt{0},\mathtt{1},\mathrel{\hat{+}},\mathrel{\hat{-}},\mathrel{\hat{\cdot}}\}$ 。項数は順に $0,0,2,1,2$ 。
* 束の言語 $\mathscr{L}_\mathsf{Lat}:=\{\hat{\top},\hat{\bot},\mathrel{\hat{\land}},\mathrel{\hat{\lor}}\}$ 。項数は順に $0,0,2,2$ 。
* Boole代数の言語 $\mathscr{L}_\mathsf{BA}:=\{\hat{\top},\hat{\bot},\mathrel{\hat{\land}},\mathrel{\hat{\lor}},\mathrel{\hat{\lnot}}\}$ 。項数は順に $0,0,2,2,1$ 。
* $\mathcal{A}=\langle|\mathcal{A}|;0,1,+,-,\cdot\rangle$ を可換環としたとき $\mathcal{A}$-加群の言語は $\mathscr{L}_{\mathsf{Mod}_\mathcal{A}}:=\mathscr{L}_\mathsf{Grp}\cup\{\hat{a}\mid a\in|\mathcal{A}|\}$ とする。項数は $\hat{+}$ は $2$ であり、他は $1$ である。

{{theorem |type=definition |name=等式論理の項 |label=terms-of-equational-logic}}

$\mathscr{L}$ を代数言語とする。このとき '''$\mathscr{L}$-項''' ($\mathscr{L}$-term) は以下のように帰納的に定義される文字列である。
# 変数 $u,v,w,\ldots$ は $\mathscr{L}$-項である。
# 関数記号 $\mathtt{f}$ に対し、その項数が $n$ であるとき、$\mathscr{L}$-項 $t_0,\ldots,t_{n-1}$ に対して $\mathtt{f}(t_0,\ldots,t_n)$ は$\mathscr{L}$-項である。

特に定数記号は $\mathscr{L}$-項であることに注意しよう。$\mathscr{L}$-項の集合を $\mathrm{EqTm}_\mathscr{L}$ と表す。

項数が $2$ の関数記号 $\mathtt{f}$ に対して $\mathtt{f}(s,t)$ の代わりに $s\mathrel{\mathtt{f}} t$ と'''中置記法''' (infix notation) で表し、適当に括弧を補うことがある<ref group="脚注">中置記法に対し、$\mathtt{f}(s,t)$ あるいは括弧などを省略し $\mathtt{f}st$ という記法を '''前置記法''' (prefix notation) あるいは'''ポーランド記法''' (Poland notation) といい、逆に $st\mathtt{f}$ という記法を'''後置記法''' (postfix notation) あるいは'''逆ポーランド記法''' (reverse Poland notation) という。</ref>。

{{theorem |type=definition |name=$\mathscr{L}$-項の例 |label=example-of-terms-of-equational-logic}}

項の例をいくつかあげる。
* $(u\mathrel{\hat{\cdot}}\mathtt{1})^{\hat{-1}},\mathtt{1}\mathrel{\hat{\cdot}}v$ は $\mathscr{L}_\mathsf{Grp}$-項である。
* $(\mathtt{1}\mathrel{\hat{+}}\mathtt{1})\mathrel{\hat{\cdot}} (\mathrel{\hat{-}}\mathtt{0}),(u\mathrel{\hat{+}}\mathtt{1})\mathrel{\hat{\cdot}}((\mathrel{\hat{-}}\mathtt{0})\mathrel{\hat{\cdot}}v)$ は $\mathscr{L}_\mathsf{Ring}$-項である。
* $u\mathrel{\hat{\land}} (v\mathrel{\hat{\lor}}w),(\hat{\top}\mathrel{\hat{\land}}u)\mathrel{\hat{\lor}}\hat{\bot}$ は $\mathscr{L}_\mathsf{Lat}$-項である。
* $u\mathrel{\hat{\land}}(\mathrel{\hat{\lnot}} v),(\mathrel{\hat{\lnot}}\hat{\top})\mathrel{\hat{\land}}\hat{\bot}$ は $\mathscr{L}_\mathsf{BA}$-項である。

{{theorem |type=definition |name=等式論理の論理式 |label=formulae-of-equational-logic}}
$\mathscr{L}$ を代数言語とする。このとき '''$\mathscr{L}$-論理式''' ($\mathscr{L}$-formula) は以下のように定義される文字列である。
# $\mathscr{L}$-項 $s,t$ に対して $s=t$ は$\mathscr{L}$-論理式である。
$\mathscr{L}$-論理式の集合を $\mathrm{EqFml}_\mathscr{L}$ と表す。

また等式論理の論理式を'''原子論理式''' (atomic formula) と呼ぶこともある。

{{theorem |type=definition |name=項の出現 |label=occurrence-of-terms}}

$\mathscr{L}$-項 $s$ が $\mathscr{L}$-項 $t$ に'''出現する''' (occur) あるいは単に'''現れる'''ということを $\mathscr{L}$-項 $t$ の定義に沿って帰納的に定義する。

# 変数 $u$ に対して $s$ が $u$ であるとき $u$ に $s$ が現れている。
# $\mathscr{L}$-項 $f(t_0,\ldots,t_{n-1})$ に対して、ある $i<n$ が存在し $t_i$ に $s$ が現れているか、または $s$ が $f(t_0,\ldots,t_{n-1})$ であるとき、$s$ が $f(t_0,\ldots,t_{n-1})$ に現れている。

また$\mathscr{L}$-項 $s$ が $\mathscr{L}$-論理式 $\varphi$ に現れるということを定義する。
# $t=r$ に $\mathscr{L}$-項 $s$ が現れるのは $t$ か $r$ のいずれかに現れるときである。

$\mathscr{L}$-項 $t$ に $s_0,\ldots,s_n$ が現れているとき $t(s_0,\ldots,s_n)$ などど表す。

{{theorem |type=definition |name=項の代入 |label=substitution-of-terms}}

$\mathscr{L}$-項 $s,t$ 、変数 $u$ に対して $s$ に現れる $u$ に $t$ を'''代入''' (substitution) した結果 $s[u:=t]$ を $s$ の定義に沿って帰納的に定義する。
# $s$ に $u$ が現れていないとき $s[u:=t]$ は $s$ である。
# $u[u:=t]$ を $t$ のこととする。
# $\mathtt{f}(t_0,\ldots,t_{n-1})[u:=t]$ を　$\mathtt{f}(t_0[u:=t],\ldots,t_{n-1}[u:=t])$　のこととする。

また $\mathscr{L}$-論理式 $\varphi$ 、 $\mathscr{L}$-項 $t$ 、変数 $u$ に対して $\varphi$ に現れる $u$ に $t$ を'''代入''' (substitution) した結果 $\varphi[u:=t]$ を定義する。
# $\varphi$ に $u$ が現れていないとき $\varphi[u:=t]$ は $\varphi$ である。
# $(s=r)[u:=t]$ を $s[u:=t]=t[u:=t]$ のこととする。

また $s(u)$ に対して $s(u)[u:=t]$ を単に $s(t)$ と表す。

{{theorem |type=notation |name=省略記法 |label=abbreviation}}

$\mathscr{L}$-項、$\mathscr{L}$-論理式などの「$\mathscr{L}$-」という接頭辞は、どの言語を指しているか明らかなとき、あるいは言語に拠らない議論をするとき省略する。

また命題論理と同様に以下の記法を用いる。

* 論理式の集合 $T$ を '''公理系''' (axiomatic system, axioms, axiomata) 、'''等式理論''' (equational theory) 、あるいは単に'''理論''' (theory) という。
* 理論 $T$ と論理式 $\varphi$ に対して $T+\varphi$ で $T\cup\{\varphi\}$ を表す。

=== 2.2 等式論理のモデル ===

{{theorem |type=definition |name=代数構造 |label=algebraic-structure}}

$\mathscr{L}$ を言語とする。このとき '''$\mathscr{L}$-代数構造''' ($\mathscr{L}$-algebraic structure) $\mathcal{M}$ は'''領域''' (domain) あるいは'''宇宙''' (universe) 、'''台集合''' (underlying set) と言われる空でない<ref group="脚注">空な構造を認める流儀も存在する。特に'''圏論的論理学''' (categorical logic) の文脈では、空な構造を認めた方が都合が良い場合が多い。構造からなる圏、あるいは後述するモデルからなる圏に始対象が存在しないと都合が悪い場合が多いからである。例えば後述する等式理論の項モデルの構成と類似の議論をすることによって、等式理論、あるいはその項モデルの圏論的対応物となる圏、'''Lawvere理論''' (Lawvere theory) を得ることができ、モデルとはLawvere理論から集合と写像からなる圏 $\mathrm{Set}$ への有限直積を保つ関手と思うことができるが、このような議論は空なモデルが存在しない場合、面倒な例外処理を行わなければならなくなる。またtoo simple to be simpleの理念に従っても空なモデルは認めたほうが良いと思われる。しかし数理論理学に於いては空なモデルを認めない流儀が主流である。これは等式論理の範疇では問題にならないが、一階述語論理に於いては空なモデルを許容すると、(等号を含む)関係記号を言語として持つ場合、論理式 $\forall x\varphi(x)\to\exists x\varphi(x)$ は証明可能になるが、空なモデルで成り立たない。すなわち健全性定理が成り立たなくなるのが問題となる。</ref>集合 $M$ と以下に定義される'''$\mathscr{L}$-解釈''' ($\mathscr{L}$-interpretation) ${-}^\mathcal{M}$ の組 $\langle M;{-}^\mathcal{M}\rangle$ である。

$\mathscr{L}$-解釈 ${-}^\mathcal{M}$ は以下を満たす言語 $\mathscr{L}$ からの写像である。

* 関数記号 $\mathtt{f}\in\mathscr{L}$ に対して $\mathtt{f}$ の項数が $n$ であるとき、$\mathtt{f}^\mathcal{M}\colon M^n\to M$ である。

定数記号の解釈は一つの $M$ の要素を返す関数となる。よってその返す値と同一視することで定数記号 $\mathtt{c}$ に対して $\mathtt{c}^\mathcal{M}\in M$ と見做すことができることに注意する。このような同一視を今後断りなく行うことに注意する。

代数構造 $\mathcal{M}$ が与えられたとき、$|\mathcal{M}|$ を $\mathcal{M}$ の台集合を表すことにする。また数学の慣習に基づき構造 $\mathcal{M}$ とその台集合 $|\mathcal{M}|$ を誤解を与えない範囲で同一視する。例えば $a\in |\mathcal{M}|$ の代わりに $a\in\mathcal{M}$ と表すことがある。

また $\mathcal{M}=\langle M;{-}^\mathcal{M}\rangle$ と表す代わりに解釈後の関数、関係をリストし $\mathcal{M}=\langle A;\mathtt{f}_0^\mathcal{M},\ldots,\mathtt{f}_i^\mathcal{M}\rangle$ と表すことがある。

{{theorem |type=example |name=代数構造の例 |label=examples-of-algebraic-structures}}
任意の群 $\mathcal{G}:=\langle|\mathcal{G}|;e,\cdot,{-}^{-1}\rangle$ は $\mathtt{1}^\mathcal{G}:=e,\hat{\cdot}^\mathcal{G}:=\cdot,{{-}^{\hat{-1}}}^\mathcal{G}:={-}^{-1}$ と定めることで $\mathscr{L}_\mathsf{Grp}$-構造として見做すことができる。しかし、別に群でなくても $a\in A,f\colon A^2\to A,g\colon A\to A $ に対して $\langle A;a,f,g\rangle$ は同様に $\mathscr{L}_\mathsf{Grp}$-構造として見做すことができる。

{{theorem |type=definition |name=項の解釈 |label=interpretation-of-terms}}

$\mathscr{L}$-代数構造 $\mathcal{M}=\langle M;{-}^\mathcal{M}\rangle$ と $\mathscr{L}$-閉項 $t$ に対して $t^\mathcal{M}\in M$ を帰納的に定義する。

* $\mathtt{f}(t_0,\ldots,t_{n-1})$ に対して $(\mathtt{f}(t_0,\ldots,t_{n-1}))^\mathcal{M}$ を $\mathtt{f}^\mathcal{M}(t_0^\mathcal{M},\ldots,t_{n-1}^\mathcal{M})$ と定める。

{{theorem |type=definition |name=拡大と縮約 |label=expansion-and-reduct}}

言語 $\mathscr{L}\subseteq\mathscr{L}'$ とし、$\mathcal{M}$ を $\mathscr{L}$-代数構造とし、$\mathcal{M}'$ を $\mathscr{L}'$-代数構造とする。$|\mathcal{M}|=|\mathcal{M}'|$ とし、$\mathtt{f}\in\mathscr{L}$ に対し $\mathtt{f}^\mathcal{M}=\mathtt{f}^{\mathcal{M}'}$ が成り立つとする。このとき $\mathcal{M}'$ を $\mathcal{M}$ の'''拡大''' (expansion) といい、$\mathcal{M}$ を $\mathcal{M}'$ の'''縮約''' (reduct) という。

{{theorem |type=example |name=拡大と縮約の例 |label=expansion-and-reduct}}
任意の環 $\mathcal{R}=\langle|\mathcal{R}|;\mathtt{0}^\mathcal{R},\mathtt{1}^\mathcal{R},\hat{+}^\mathcal{R},\hat{-}^\mathcal{R},\hat{\cdot}^\mathcal{R}\rangle$ はその加法群 $\mathcal{R}^+=\langle|\mathcal{R}|;\mathtt{0}^\mathcal{R},\hat{+}^\mathcal{R},{-}^\mathcal{R}\rangle$ の拡張となる。ここで群の言語は $\{\mathtt{1},\hat{\cdot},{-}^{\hat{-1}}\}$ であったが記号を変えて $\{\mathtt{0},\hat{+},\hat{-}\}$ としても本質的になにも変わらない。実際、[[Abel群]]に対してはこのように書かれることが多い。
一方、加法群と違い、乗法群 $\mathcal{R}^\times=\langle|\mathcal{R}|\setminus\{\mathtt{0}^\mathcal{R}\};\mathtt{0}^\mathcal{R},\hat{+}^\mathcal{R},{-}^\mathcal{R}\rangle$ は領域がことなるため拡張にはならない。

{{theorem |type=definition |name=名前 |label=name}}

$\mathscr{L}$-代数構造 $\mathcal{M}$ に対して言語 $\mathscr{L}(\mathcal{M})$ と $\mathscr{L}(\mathcal{M})$-代数構造 $\mathcal{M}_\mathrm{par}$ を定義する。
* $\mathscr{L}(\mathcal{M})$ には $\mathscr{L}$ の元に加え、$a\in|\mathcal{M}|$ に対する定数記号 $\underline{a}$ を持つ。この定数記号 $\underline{a}$ を $a$ の ''名前''(name) や''パラメータ'' (parameter) という。名前を単に $a$ と表すこともある。
* $\mathcal{M}_\mathrm{par}$ は $\mathcal{M}$ の拡大であり、$\underline{a}^{\mathcal{M}_\mathrm{par}}:=a$ とする。

誤解を生じないとき $\mathcal{M}_\mathrm{par}$ を単に $\mathcal{M}$ と表す。

{{theorem |type=definition |name=充足可能性関係 |label=satisfiability-relation}}

$\mathscr{L}$-代数構造 $\mathcal{M}$ と $\mathscr{L}(\mathcal{M})$-論理式 $s(u_0,\ldots,u_{n-1})=t(v_0,\ldots,v_{m-1})$ に対し '''充足可能性関係''' (satisfiability relation) $\mathcal{M}\models s(u_0,\ldots,u_{n-1})=t(v_0,\ldots,v_{m-1})$ を定義する<ref group="脚注">充足可能性関係の定義には名前ではなく、'''割り当て''' (assignment) と呼ばれる、論理式に出現する変数記号から領域への写像を用いて、閉項に対して定義された解釈を割り当てを用いて閉項とは限らない項に拡張することで定義する流儀もある。</ref>。
ここで $s(u_0,\ldots,u_{n-1})=t(v_0,\ldots,v_{m-1})$ に現れる変数は $u_0,\ldots,u_{n-1},v_0,\ldots,v_{m-1}$ に限るとする。

#　$\mathcal{M}\models s(u_0,\ldots,u_{n-1})=t(v_0,\ldots,v_{m-1})$ となるのは任意の $a_0,\ldots,a_{n-1},b_0,\ldots,b_{m-1}\in |\mathcal{M}|$ に対して $(s(u_0,\ldots,u_{n-1})[u_0:=\underline{a_0}]\cdots[u_{n-1}:=\underline{a_{n-1}}])^{\mathcal{M}_\mathrm{par}}=(t(v_0,\ldots,v_{m-1})[v_0:=\underline{b_0}]\cdots[v_{m-1}:=\underline{b_{m-1}}])^{\mathcal{M}_\mathrm{par}})$ が成り立つことである。

ここで $\mathcal{M}\models s(u_0,\ldots,u_{n-1})=t(v_0,\ldots,v_{m-1})$ に含まれる $=$ は等号記号だが、$(s(u_0,\ldots,u_{n-1})[u_0:=\underline{a_0}]\cdots[u_{n-1}:=\underline{a_{n-1}}])^{\mathcal{M}_\mathrm{par}}=(t(v_0,\ldots,v_{m-1})[v_0:=\underline{b_0}]\cdots[v_{m-1}:=\underline{b_{m-1}}])^{\mathcal{M}_\mathrm{par}})$　に表れる $=$ は実際の等号であることに注意されたい。また $\models$ に対していくつかの用語を定める。

* $T$ を理論とし、任意の $\varphi\in T$ に対して $\mathcal{M}\models\varphi$ となっているとする。このとき $\mathcal{M}$ を $T$ の'''モデル''' (model) であるといい、$\mathcal{M}\models\varphi$ と表す。
* $T$ の任意のモデル $\mathcal{M}$ に対して $\mathcal{M}\models\varphi$ であるとき $\varphi$ は $T$ からの'''論理的帰結''' (logical consequence) であるといい、$T\models \varphi$ と表す。

{{theorem |type=example |name=モデルの例 |label=examples-of-models}}
$\mathscr{L}_\mathsf{Grp}$-理論 $\mathsf{Grp}$ を以下の論理式からなるものとする。
* $u\mathrel{\hat{\cdot}}(v\mathrel{\hat{\cdot}}w)=(u\mathrel{\hat{\cdot}}v)\mathrel{\hat{\cdot}}w$ 。
* $u\mathrel{\hat{\cdot}}\mathtt{0}=u$ 。
* $u\mathrel{\hat{\cdot}}(u^{\hat{-1}})=\mathtt{0}$ 。

$\mathsf{Grp}$ のモデルは群そのものである。

$\mathscr{L}_\mathsf{Ring}$-理論 $\mathsf{Ring}$ を以下の論理式からなるものとする。

* $u\hat{+}(v\mathrel{\hat{+}}w)=(u\mathrel{\hat{+}}v)\mathrel{\hat{+}}w$ 。
* $u\mathrel{\hat{+}}\mathtt{0}=u$ 。
* $u\mathrel{\hat{+}}(\mathrel{\hat{-}}u)=\mathtt{0}$ 。
* $u\mathrel{\hat{+}}v=v\mathrel{\hat{+}}u$ 。
* $u\mathrel{\hat{\cdot}} (v\mathrel{\hat{\cdot}} w)=(u\mathrel{\hat{\cdot}} v)\mathrel{\hat{\cdot}} w$ 。
* $u\mathrel{\hat{\cdot}} (v\mathrel{\hat{+}}w)=(u\mathrel{\hat{\cdot}} v)\mathrel{\hat{+}}(u\mathrel{\hat{\cdot}} w)$ 。
* $u\mathrel{\hat{\cdot}}\mathtt{1}=u$ 。

$\mathsf{Ring}$ のモデルも同様に環である。

言語 $\mathscr{L}_{\mathsf{Mod}_\mathcal{A}}$ 上の理論 $\mathsf{Mod}_\mathcal{A}$ は[[Abel群]]の公理と任意の $a,b\in |\mathcal{A}|$ に対して以下の論理式からなるものとする。

* $\hat{a}(x\mathrel{\hat{+}}y)=\hat{a}(x)\mathrel{\hat{+}}\hat{a}(y)$ 。
* $\widehat{a\mathrel{+_\mathcal{A}}b}(x)=\hat{a}(x)\mathrel{\hat{+}}\hat{b}(x)$ 。
* $\widehat{a\mathrel{\cdot_\mathcal{A}} b}(x)=\hat{a}(\hat{b}(x))$ 。
* $\widehat{1_{\mathcal{A}}}(x)=x$

言語 $\mathscr{L}_\mathsf{Set}$ 上の理論 $\emptyset$ のモデルは空でない集合 $X$ に対して $\langle X\rangle$ という形をした構造である。これは空でない集合と同一視できる。

言語 $\mathscr{L}_\mathsf{SGrp}:=\{\hat{\cdot}\}$ とし、理論 $\mathsf{SGrp}$ を

* $u\mathrel{\hat{\cdot}}(v\mathrel{\hat{\cdot}}w)=(u\mathrel{\hat{\cdot}}v)\mathrel{\hat{\cdot}}w$ 。

とする。このとき理論 $\mathsf{SGrp}$ のモデルは空でない半群全体となる。

=== 2.3 代数構造の理論 ===
==== 定義2.3.1（準同型、同型） ====

$\mathscr{L}$-代数構造 $\mathcal{M},\mathcal{N}$ に対して $\sigma\colon|\mathcal{M}|\to|\mathcal{N}|$ が''準同型射'' (homomorphism) であるとは、任意の $\mathtt{f}\in\mathscr{L}$ 、$a_0,\ldots,a_{n-1}\in|\mathcal{M}|$ に対し $\sigma(\mathtt{f}^\mathcal{M}(a_0,\ldots,a_{n-1}))=\mathtt{f}^\mathcal{N}(\sigma(a_0),\ldots,\sigma(a_{n-1}))$ が成り立つことである。

また準同型 $\sigma\colon|\mathcal{M}|\to|\mathcal{N}|,\tau\colon|\mathcal{N}|\to|\mathcal{M}|$ が存在し $\tau\circ\sigma =\mathrm{id}_\mathcal{M},\sigma\circ\tau =\mathrm{id}_\mathcal{N}$ となるとき $\mathcal{M}$ と $\mathcal{N}$ は''同型'' (isomorphic))であるといい $\mathcal{M}\cong\mathcal{N}$ と表し、$\sigma,\tau$ を''同型射'' (isomorphism) であるという。
ここで $\mathrm{id}_\mathcal{M}\colon|\mathcal{M}|\to|\mathcal{M}|,\mathrm{id}_\mathcal{M}(a)=a,\mathrm{id}_\mathcal{N}\colon|\mathcal{N}|\to|\mathcal{N}|,\mathrm{id}_\mathcal{N}(b)=b$ とする。

==== 定義2.3.2（部分代数） ====

$\mathscr{L}$-代数構造 $\mathcal{M},\mathcal{N}$ に対して、$\mathcal{N}$ が $\mathcal{M}$ の''部分代数'' (subalgebra) であるとは $|\mathcal{N}|\subseteq|\mathcal{M}|$ かつ、任意の $\mathtt{f}\in\mathscr{L}$ 、任意の $b_0,\ldots,b_{n-1}\in|\mathcal{N}|$ に対し $\mathtt{f}^\mathcal{N}(b_0,\ldots,b_{n-1})=\mathtt{f}^\mathcal{M}(b_0,\ldots,b_{n-1})$ を満たすことである。

==== 命題2.3.3（代数構造の同型に対する必要十分条件） ====

$\mathcal{M}\cong\mathcal{N}$ であるのは全単射準同型 $\upsilon\colon\mathcal{M}\to\mathcal{N}$ が存在するときであり、またそれに限る。

''証明''　$\mathcal{M}\cong\mathcal{N}$ であると仮定する。仮定より準同型 $\sigma\colon\mathcal{M}\to\mathcal{N},\tau\colon\mathcal{N}\to\mathcal{M}$ で $\sigma\circ\tau,\tau\circ\sigma$ が恒等となるものを取る。$\sigma,\tau$ は互いに逆写像であり、よって全単射である。

逆を示す。$\upsilon\circ\upsilon^{-1},\upsilon^{-1}\circ\upsilon$ が恒等になるのは明らかである。よって $\upsilon^{-1}\colon\mathcal{N}\to\mathcal{M}$ が準同型となることを確認すれば良い。
$\upsilon$ は全単射であるから、ある $a_0,\ldots,a_{n-1}\in|\mathcal{M}|$ が存在して $\upsilon(a_0)=b_0,\ldots,\upsilon(a_{n-1})=b_{n-1}$ である。
よって $\upsilon^{-1}(\mathtt{f}^\mathcal{N}(b_0,\ldots,b_{n-1}))=\upsilon^{-1}(\mathtt{f}^\mathcal{N}(\upsilon(a_0),\ldots,\upsilon(a_{n-1})))$ であり、$\upsilon$ は準同型であるから $\upsilon^{-1}(\mathtt{f}^\mathcal{N}(\upsilon(a_0),\ldots,\upsilon(a_{n-1})))=\upsilon^{-1}(\upsilon(\mathtt{f}^\mathcal{M}(a_0,\ldots,a_{n-1})))$ となる。
従って $\upsilon^{-1}(\upsilon(\mathtt{f}^\mathcal{M}(a_0,\ldots,a_{n-1})))=\mathtt{f}^\mathcal{M}(a_0,\ldots,a_{n-1})$　であり、$a_0=\upsilon^{-1}(b_0),\ldots,a_{n-1}=\upsilon^{-1}(b_{n-1})$ より良い。□

==== 定義2.3.4（合同関係） ====
$\mathcal{M}$ を代数構造とし、$\equiv$ を $|\mathcal{M}|$ 上の同値関係で $\mathtt{f}\in\mathscr{L}$ に対して $\mathtt{f}^\mathcal{M}$ と両立する、すなわち任意の $a_0,\ldots,a_{n-1},b_0,\ldots,b_{n-1}\in |\mathcal{M}|$ に対して、任意の $i<n$ について $a_i\equiv b_i$ $\equiv$ であるならば $\mathtt{f}^\mathcal{M}(a_0,\ldots,a_{n-1})\equiv\mathtt{f}^\mathcal{M}(b_0,\ldots,b_{n-1})$ が成り立つとき $\equiv$ は $\mathcal{M}$ 上の''合同関係'' (congruence relation) である、あるいは同値関係 $\equiv$ は $\mathtt{f}^\mathcal{M}$ に対して　''well-defined''であるという。
==== 定義2.3.5（剰余代数） ====

$\mathcal{M}$ を代数構造とし、$\equiv$ を $\mathcal{M}$ 上の合同関係とする。剰余代数'' (factor algebra, quotient algebra) $\mathcal{M}/{\equiv}:=\langle|\mathcal{M}|/{\equiv};{-}^{\mathcal{M}/{\equiv}}\rangle$ を以下のように定める。
* $|\mathcal{M}|/{\equiv}$ は $|\mathcal{M}|$ の $\equiv$ による商集合とし $a\in|\mathcal{M}|$ に対して $[a]_\equiv$ を $\equiv$ による同値類とする。
* $\mathtt{f}\in\mathscr{L}$ に対して $\mathtt{f}^{\mathcal{M}/{\equiv}}([a_0]_\equiv,\ldots,[a_{n-1}]_\equiv):=[\mathtt{f}^\mathcal{M}(a_0,\ldots,a_{n-1})]_\equiv$ とする。

==== 例2.3.6（剰余代数の例） ====

$\mathcal{G}$ を群、$\mathcal{H}$ を $\mathcal{G}$ の正規部分群、すなわち $\mathcal{H}$ は $\mathcal{G}$ の部分代数で、任意の $g\in|\mathcal{G}|,h\in|\mathcal{H}|$ に対し $(g\hat{\cdot}^\mathcal{G} h){\hat{\cdot}}^\mathcal{G}\left(g^{\hat{-1}^\mathcal{G}}\right)\in|\mathcal{H}|$ であるとする。$|\mathcal{G}|$ 上の合同関係　$\equiv_\mathcal{H}$ を $x\equiv_\mathcal{H} y:\Leftrightarrow x\hat{\cdot}^\mathcal{G}\left(y^{\hat{-1}^\mathcal{G}}\right)\in|\mathcal{H}|$ と定める。
このとき $\mathcal{G}/{\equiv_\mathcal{H}}$ を $\mathcal{G}/\mathcal{H}$ と表す。

$\mathcal{M}$ を可換環、$\mathcal{I}:=\langle|\mathcal{I}|;\mathtt{0}^\mathcal{I},\mathtt{1}^\mathcal{I},\hat{+}^\mathcal{I},\hat{-}^\mathcal{I},\hat{\cdot}^\mathcal{I}\rangle$ を $\mathcal{M}$ のイデアル、すなわち以下を満たすとする。
* $\langle|\mathcal{I}|;\mathtt{0}^\mathcal{I},\hat{+}^\mathcal{I},\hat{-}^\mathcal{I}\rangle$ は $\langle|\mathcal{M}|;\mathtt{0}^\mathcal{M},\hat{+}^\mathcal{M},\hat{-}^\mathcal{M}\rangle$ の部分構造である。
* 任意の $a\in|\mathcal{M}|,x\in|\mathcal{I}|$ に対し $a\hat{\cdot}^\mathcal{M}x\in|\mathcal{I}|$ である。

このとき上記の例と同様に $\equiv_\mathcal{I}$ を定義でき $\mathcal{M}/{\equiv_\mathcal{I}}$ を $\mathcal{M}/\mathcal{I}$ を表す。

==== 補題2.3.7（剰余代数と準同型） ====

代数構造 $\mathcal{M}$ と合同関係 $\equiv$ に対して $\pi_\equiv\colon|\mathcal{M}|\to|\mathcal{M}|/{\equiv},\pi_\equiv(a):=[a]_\equiv$ とする。このとき $\pi_\equiv$ は準同型となる。この準同型を $\equiv$ に対する自然な準同型という。

''証明''　剰余代数の定義より明らかである。□

==== 補題2.3.8（準同型と合同関係） ====

代数構造 $\mathcal{M},\mathcal{N}$ 、準同型 $\sigma\colon|\mathcal{M}|\to|\mathcal{N}|$ に対して $|\mathcal{M}|$ 上の二項関係 $\equiv_\sigma$ を $a\equiv_\sigma b:\Leftrightarrow\sigma(a)=\sigma(b)$ とする((これを $\sigma$ による''核'' (kernel) ということがある。))。このとき $\equiv_\sigma$ は合同関係である。

''証明''　$\equiv_\sigma$ が同値関係であることは明らかである。よって関数と両立することを示そう。
今 $\mathtt{f}$ の項数を $n$ とし任意の $i<n$ に対して $a_i\equiv_\sigma b_i$ であると仮定し、$\mathtt{f}^\mathcal{M}(a_0,\ldots,a_{n-1})\equiv_\sigma \mathtt{f}^\mathcal{M}(b_0,\ldots,b_{n-1})$ 、すなわち $\sigma(\mathtt{f}^\mathcal{M}(a_0,\ldots,a_{n-1}))=\sigma(\mathtt{f}^\mathcal{M}(b_0,\ldots,b_{n-1}))$ を示せば良い。
$\sigma$ が準同型であるという仮定から $\sigma(\mathtt{f}^\mathcal{M}(a_0,\ldots,a_{n-1}))=\mathtt{f}^\mathcal{N}(\sigma(a_0),\ldots,\sigma(a_{n-1}))$ であり、 $\equiv_\sigma$ の定義から $\mathtt{f}^\mathcal{N}(\sigma(a_0),\ldots,\sigma(a_{n-1}))=\mathtt{f}^\mathcal{N}(\sigma(b_0),\ldots,\sigma(b_{n-1}))$ 、よってもう一度 $\sigma$ が準同型であることから $\mathtt{f}^\mathcal{N}(\sigma(b_0),\ldots,\sigma(b_{n-1}))=\sigma(\mathtt{f}^\mathcal{M}(b_0,\ldots,b_{n-1}))$ 。□

==== 定理2.3.9（準同型定理 (homomorphism theorem) ） ====

全射準同型 $\sigma\colon|\mathcal{M}|\to|\mathcal{N}|$ に対して、同型 $\tau_{\equiv_\sigma}\colon|\mathcal{M}/{\equiv_\sigma}|\to|\mathcal{N}|$ が存在して $\sigma=\tau_{\equiv_\sigma}\circ\pi_{\equiv_\sigma}$ となる。
ここで $a\equiv_\sigma b:\Leftrightarrow\sigma(a)=\sigma(b)$ 、$\pi_{\equiv_\sigma}\colon|\mathcal{M}|\to|\mathcal{M}/{\equiv_\sigma}|,\pi_{\equiv_\sigma}(a)=[a]_{\equiv_\sigma}$ とする。

''証明''　まず $\tau_{\equiv_\sigma}([a]_{\equiv_\sigma}):=\sigma(a)$ とする。これが写像となることを示す。左全域性は明らかなので右一意性を示そう。
$[a]_{\equiv_\sigma}=[b]_{\equiv_\sigma}$ とすれば $\equiv_\sigma$ の定義から、$\sigma(a)=\sigma(b)$ であり良い。
同様に逆も言えるため左一意性、すなわち $\tau_{\equiv_\sigma}$ が単射であることも従う。また $\sigma$ が全射であることから $\tau_{\equiv_\sigma}$ も全射である。命題2.3.3より
準同型であることを示せば十分である。
剰余代数の定義から $\tau_{\equiv_\sigma}(\mathtt{f}^{\mathcal{M}/{\equiv_\sigma}}([a_0]_{\equiv_\sigma},\ldots,[a_{n-1}]_{\equiv_\sigma}))=\tau_{\equiv_\sigma}([\mathtt{f}^\mathcal{M}(a_0,\ldots,a_{n-1})]_{\equiv_\sigma})$ であり、$\tau_{\equiv_\sigma}$ の定義から $\tau_{\equiv_\sigma}([f^\mathcal{M}(a_0,\ldots,a_{n-1})]_{\equiv_\sigma})=\sigma(f^\mathcal{M}(a_0,\ldots,a_{n-1}))$ である。
$\sigma$ が準同型であることから $\sigma(\mathtt{f}^\mathcal{M}(a_0,\ldots,a_{n-1}))=\mathtt{f}^\mathcal{N}(\sigma(a_0),\ldots,\sigma(a_{n-1}))$ であり $\tau_{\equiv_\sigma}$ の定義が $\mathtt{f}^\mathcal{N}(\sigma(a_0),\ldots,\sigma(a_{n-1}))=\mathtt{f}^\mathcal{N}(\tau_{\equiv_\sigma}([a_0]_{\equiv_\sigma},\ldots,[a_{n-1}]_{\equiv_\sigma}))$ となる。□

==== 系2.3.10 ====

準同型 $\sigma\colon|\mathcal{M}|\to|\mathcal{N}|$ と $|\mathcal{M}|$ 上の合同関係 $\equiv_\sigma$ は $a\equiv_\sigma b$ ならば $\sigma(a)=\sigma(b)$ を満たすとする。
このとき準同型 $\tau_{\equiv_\sigma}\colon|\mathcal{M}/{\equiv}|\to|\mathcal{N}|$ が存在し $\sigma=\tau_{\equiv_\sigma}\circ\pi_{\equiv_\sigma}$ となる。
ただし $\pi_{\equiv_\sigma}\colon|\mathcal{M}|\to|\mathcal{M}/{\equiv_\sigma}|,\pi_{\equiv_\sigma}(a)=[a]_{\equiv_\sigma}$ とする。

''証明''　定理2.3.9の証明とほとんど同様で良い。□

==== 例2.3.11（準同型定理の具体例） ====

群準同型 $\sigma\colon|\mathcal{G}|\to|\mathcal{H}|$ に対して $\mathrm{Ker}(\sigma):=\{g\in|\mathcal{G}|\mid\sigma(g)=\mathtt{0}^\mathcal{H}\}$ とする。このとき $\langle \mathrm{Ker}(\sigma),\mathtt{0}^\mathcal{G},\hat{\cdot}^\mathcal{G},{-}^{\hat{-1}^\mathcal{G}}\rangle$ は $\mathcal{G}$ の部分群であり、例2.2.6で定められる同値関係を $\equiv_{\mathrm{Ker}(\sigma)}$ とすれば $g_0\equiv_{\mathrm{Ker}(\sigma)}g_1$ と $g_0\equiv_\sigma g_1$ は同値であり、従って定理2.3.9及び系2.3.10から以下の群論に於ける準同型定理が従う。
* 群準同型 $\sigma\colon|\mathcal{G}|\to|\mathcal{H}|$ 、自然な準同型 $\pi\colon|\mathcal{G}|\to|\mathcal{G}/\equiv_{\mathrm{Ker(\sigma)}}|$ に対して、準同型 $\tau\colon |\mathcal{G}/\equiv_{\mathrm{Ker(\sigma)}}|\to|\mathcal{H}|$ が存在して $\sigma=\tau\circ\pi$ であり、また $\tau$ は $\mathcal{G}/\equiv_{\mathrm{Ker(\sigma)}}$ から $\langle\mathrm{Im}(\sigma),\underline{0}^\mathcal{H},+^\mathcal{H},-^\mathcal{H}\rangle$ への同型射である。

=== 2.4. 等式論理の形式的証明 ===
==== 定義2.4.1（等式理論） ====
理論 $T$ 論理式 $\varphi$ に対して $T\vdash\varphi$ を帰納的に定義する。

1. $(\mathsf{refl})$　任意の項 $t$ に対して $T\vdash t=t$ である。

2. $(T)$　任意の $\varphi\in T$ に対して $T\vdash\varphi$ である。

3. $(\mathsf{sym})$　任意の項 $s,t$ に対して $T\vdash s=t$ ならば $T\vdash t=s$ である。

4. $(\mathsf{trans})$　任意の項 $s,t,r$ に対して $T\vdash s=t$ かつ $T\vdash t=r$ ならば $T\vdash s=r$ である。

5. $(\mathsf{sub})$　任意の変数 $u$ 、項 $s(u),t(u),r$ に対して $T\vdash s(u)=t(u)$ ならば $T\vdash s(r)=t(r)$ である。

6. $(\mathsf{comp})$　任意の関数記号 $f\in\mathscr{L}$ 、任意の項 $s_0,\ldots,s_{n-1},t_0,\ldots,t_{n-1}$ に対して、全ての$i<n$　について $T\vdash s_i=t_i$ ならば $T\vdash f(s_0,\ldots,s_{n-1})=f(t_0,\ldots,t_{n-1})$ である。

$\vdash$ に関して命題論理と同様に用語を定める。
* $T\vdash\varphi$ であるとき $T$ から $\varphi$ は''証明可能'' (provable) であるという。また $\emptyset\vdash\varphi$ であるとき単に証明可能であるといい、$\vdash\varphi$ と表す。
* $\mathrm{Th}(T):=\{\varphi\in\mathrm{EqFml}\mid T\vdash\varphi\}$ とする。また言語を明示するとき $\mathrm{Th}_\mathscr{L}(T)$ と表す。

=== 2.5. Birkhoffの完全性定理、$\mathsf{HSP}$ 定理 ===

==== 定義2.5.1（生成） ====
代数構造 $\mathcal{M}$ 、$X\subseteq|\mathcal{M}|$ とする。このとき $X\subseteq\mathcal{N}$ で $\mathcal{M}$ の部分代数のなか、領域の包含関係において最小であるとき、$\mathcal{N}$ を $X$ によって''生成される'' (generated) 部分代数であるという。

==== 定義2.5.2（自由 $\mathcal{K}$-代数） ====
$\mathcal{K}$ を代数構造からなるクラスとする。このとき $\mathcal{M}\in\mathcal{K}$ が $X$ によって生成される''自由 $\mathcal{K}$-代数'' (free $\mathcal{K}$-代数) であるとは以下を満たすことである。
* $\mathcal{M}$ は $X$ で生成される。
* 任意の $\mathcal{N}\in\mathcal{K}$ 、写像 $\sigma\colon X\to|\mathcal{N}|$ に対し、ある準同型 $\overline{\sigma}\colon|\mathcal{M}|\to|\mathcal{N}|$ で $\overline{\sigma}$ は $\sigma$ の拡大である、すなわち任意の $x\in X$ に対して $\sigma(x)=\overline{\sigma}(x)$ となるものが一意に存在する。

==== 命題2.5.3（自由生成と濃度） ====
代数構造 $\mathcal{M},\mathcal{N}\in\mathcal{K}$ でそれぞれ集合 $X,Y$ によって自由生成されていて、$X,Y$ が等濃であれば $\mathcal{M}\cong\mathcal{N}$ である。

''証明''　全単射 $\sigma\colon X\to Y$ を取る。
自由代数の定義から $\sigma,\sigma^{-1}$ は準同型 $\overline{\sigma}\colon|\mathcal{M}|\to|\mathcal{N}|,\overline{\sigma^{-1}}\colon|\mathcal{N}|\to|\mathcal{M}|$ に拡張され $\overline{\sigma^{-1}}\circ\overline{\sigma}$ は $X$ 上の恒等写像の拡張となる準同型 $|\mathcal{M}|\to|\mathcal{M}|$ で拡張の一意性から $\overline{\sigma^{-1}}\circ\overline{\sigma}=\mathrm{id}_{|\mathcal{M}|}$ 、
同様に $\overline{\sigma}\circ\overline{\sigma^{-1}}=\mathrm{id}_{|\mathcal{N}|}$ であり、$\mathcal{M}\cong\mathcal{N}$ である。

==== 定義2.5.3（項代数） ====

== 出典 ==

== 参考文献 ==

[田中19] 田中一之、数学基礎論序説、裳華房、2019。

[Sankappanavar–Burris] H.P. Sankappanavar, S. Burris, A course in universal algebra, Graduate Texts Math 78, 1981.

=== 脚注 ===
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数理論理学の基礎：等式論理

2022-01-07T20:43:57Z

Alwe: /* 2.2 等式論理のモデル */

[[Category:数理論理学|トウシキロンリ]]
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$
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$

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$
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{{newtheorem |type=theorem |display=定理 |counter=0 }}
{{newtheorem |type=lemma |display=補題 |family=theorem }}
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== 2. 等式論理 ==

'''等式論理''' (equational logic) は先程までの命題論理とは異なり命題同士の関係ではなく命題の中身、特に $s=t$ という形をした等式による命題に注目する論理である。。
等式論理に対しても命題論理と同様に統語論、意味論を考える。命題論理と同様に形式的証明と、命題論理での真理値に対応する'''モデル''' (model) というのを紹介する。

形式的証明は等式の以下に上げる基本的な性質による書き換え操作によって得られる。

# '''反射律''' (reflexivity) $s=s$ である。
# '''対称律''' (symmetricity) $s=t$ ならば $t=s$ である。
# '''推移律''' (transitivity) $s=t$ かつ $t=r$ ならば $s=r$ である。
# '''代入''' (substitution) $s(u)=t(u)$ ならば $s(r)=t(r)$ である。
# '''関数との両立''' (compatibility with functions) 任意の $i<n+1$ に対して $s_i=t_i$ ならば $f(s_0,\ldots,s_n)=f(t_0,\ldots,t_n)$ である。

一方、モデルによる意味論はある種の数学的な'''代数構造''' (algebraic structure) を用いて定義される。具体的には構造が与えられたとき、その構造で満たされることを真と見做す。ここで構造というのは'''台集合''' (underlying set) とその上の関数からなる組のことである。

=== 2.1 等式論理の統語論 ===

{{theorem |type=definition |name=等式論理の記号 |label=symbols-of-equational-logic }}
等式論理の'''論理記号''' (logical symbol) は以下からなる。
* '''変数記号''' (variable symbol) $u,v,w,\ldots$ 。
* '''等号記号''' (equality symbol) $=$ 。
* '''括弧''' (brackets) $(,).$ 及び'''カンマ''' (comma) $,$ 。

変数記号の集合を $\mathrm{EqVar}$ とし、変数記号は無限個あることを仮定する。

{{theorem |type=definition |name=等式論理の代数言語 |label=algebraic-languages-of-equational-logic }}

'''代数言語''' (algebraic language) は'''関数記号''' (function symbol) からなる集合で各関数記号には'''項数''' (arity) という自然数が割り当てられているとする。

また特に項数が $0$ である関数記号を'''定数記号''' (constant symbol) という。言語の元を'''非論理記号''' (non-logical symbol) という。関数記号は有限個でも無限個あっても良い。

便宜上、代数言語を集合ではなく組として扱うこともある。

{{theorem |type=example |name=代数言語の例 |label=example-of-algebraic-languages-of-equational-logic }}
代数言語の例をいくつかあげる。
* 集合の言語 $\mathscr{L}_\mathsf{Set}:=\emptyset$ 。
* 群の言語 $\mathscr{L}_\mathsf{Grp}:=\{\mathtt{1},\mathrel{\hat{\cdot}},{-}^{\hat{-1}}\}$ 。項数は順に $0,2,1$ 。
* 環の言語 $\mathscr{L}_\mathsf{Ring}:=\{\mathtt{0},\mathtt{1},\mathrel{\hat{+}},\mathrel{\hat{-}},\mathrel{\hat{\cdot}}\}$ 。項数は順に $0,0,2,1,2$ 。
* 束の言語 $\mathscr{L}_\mathsf{Lat}:=\{\hat{\top},\hat{\bot},\mathrel{\hat{\land}},\mathrel{\hat{\lor}}\}$ 。項数は順に $0,0,2,2$ 。
* Boole代数の言語 $\mathscr{L}_\mathsf{BA}:=\{\hat{\top},\hat{\bot},\mathrel{\hat{\land}},\mathrel{\hat{\lor}},\mathrel{\hat{\lnot}}\}$ 。項数は順に $0,0,2,2,1$ 。
* $\mathcal{A}=\langle|\mathcal{A}|;0,1,+,-,\cdot\rangle$ を可換環としたとき $\mathcal{A}$-加群の言語は $\mathscr{L}_{\mathsf{Mod}_\mathcal{A}}:=\{\hat{+}\}\cup\{\hat{a}\mid a\in|\mathcal{A}|\}$ とする。項数は $\hat{+}$ は $2$ であり、他は $1$ である。

{{theorem |type=definition |name=等式論理の項 |label=terms-of-equational-logic}}

$\mathscr{L}$ を代数言語とする。このとき '''$\mathscr{L}$-項''' ($\mathscr{L}$-term) は以下のように帰納的に定義される文字列である。
# 変数 $u,v,w,\ldots$ は $\mathscr{L}$-項である。
# 関数記号 $\mathtt{f}$ に対し、その項数が $n$ であるとき、$\mathscr{L}$-項 $t_0,\ldots,t_{n-1}$ に対して $\mathtt{f}(t_0,\ldots,t_n)$ は$\mathscr{L}$-項である。

特に定数記号は $\mathscr{L}$-項であることに注意しよう。$\mathscr{L}$-項の集合を $\mathrm{EqTm}_\mathscr{L}$ と表す。

項数が $2$ の関数記号 $\mathtt{f}$ に対して $\mathtt{f}(s,t)$ の代わりに $s\mathrel{\mathtt{f}} t$ と'''中置記法''' (infix notation) で表し、適当に括弧を補うことがある<ref group="脚注">中置記法に対し、$\mathtt{f}(s,t)$ あるいは括弧などを省略し $\mathtt{f}st$ という記法を '''前置記法''' (prefix notation) あるいは'''ポーランド記法''' (Poland notation) といい、逆に $st\mathtt{f}$ という記法を'''後置記法''' (postfix notation) あるいは'''逆ポーランド記法''' (reverse Poland notation) という。</ref>。

{{theorem |type=definition |name=$\mathscr{L}$-項の例 |label=example-of-terms-of-equational-logic}}

項の例をいくつかあげる。
* $(u\mathrel{\hat{\cdot}}\mathtt{1})^{\hat{-1}},\mathtt{1}\mathrel{\hat{\cdot}}v$ は $\mathscr{L}_\mathsf{Grp}$-項である。
* $(\mathtt{1}\mathrel{\hat{+}}\mathtt{1})\mathrel{\hat{\cdot}} (\mathrel{\hat{-}}\mathtt{0}),(u\mathrel{\hat{+}}\mathtt{1})\mathrel{\hat{\cdot}}((\mathrel{\hat{-}}\mathtt{0})\mathrel{\hat{\cdot}}v)$ は $\mathscr{L}_\mathsf{Ring}$-項である。
* $u\mathrel{\hat{\land}} (v\mathrel{\hat{\lor}}w),(\hat{\top}\mathrel{\hat{\land}}u)\mathrel{\hat{\lor}}\hat{\bot}$ は $\mathscr{L}_\mathsf{Lat}$-項である。
* $u\mathrel{\hat{\land}}(\mathrel{\hat{\lnot}} v),(\mathrel{\hat{\lnot}}\hat{\top})\mathrel{\hat{\land}}\hat{\bot}$ は $\mathscr{L}_\mathsf{BA}$-項である。

{{theorem |type=definition |name=等式論理の論理式 |label=formulae-of-equational-logic}}
$\mathscr{L}$ を代数言語とする。このとき '''$\mathscr{L}$-論理式''' ($\mathscr{L}$-formula) は以下のように定義される文字列である。
# $\mathscr{L}$-項 $s,t$ に対して $s=t$ は$\mathscr{L}$-論理式である。
$\mathscr{L}$-論理式の集合を $\mathrm{EqFml}_\mathscr{L}$ と表す。

また等式論理の論理式を'''原子論理式''' (atomic formula) と呼ぶこともある。

{{theorem |type=definition |name=項の出現 |label=occurrence-of-terms}}

$\mathscr{L}$-項 $s$ が $\mathscr{L}$-項 $t$ に'''出現する''' (occur) あるいは単に'''現れる'''ということを $\mathscr{L}$-項 $t$ の定義に沿って帰納的に定義する。

# 変数 $u$ に対して $s$ が $u$ であるとき $u$ に $s$ が現れている。
# $\mathscr{L}$-項 $f(t_0,\ldots,t_{n-1})$ に対して、ある $i<n$ が存在し $t_i$ に $s$ が現れているか、または $s$ が $f(t_0,\ldots,t_{n-1})$ であるとき、$s$ が $f(t_0,\ldots,t_{n-1})$ に現れている。

また$\mathscr{L}$-項 $s$ が $\mathscr{L}$-論理式 $\varphi$ に現れるということを定義する。
# $t=r$ に $\mathscr{L}$-項 $s$ が現れるのは $t$ か $r$ のいずれかに現れるときである。

$\mathscr{L}$-項 $t$ に $s_0,\ldots,s_n$ が現れているとき $t(s_0,\ldots,s_n)$ などど表す。

{{theorem |type=definition |name=項の代入 |label=substitution-of-terms}}

$\mathscr{L}$-項 $s,t$ 、変数 $u$ に対して $s$ に現れる $u$ に $t$ を'''代入''' (substitution) した結果 $s[u:=t]$ を $s$ の定義に沿って帰納的に定義する。
# $s$ に $u$ が現れていないとき $s[u:=t]$ は $s$ である。
# $u[u:=t]$ を $t$ のこととする。
# $\mathtt{f}(t_0,\ldots,t_{n-1})[u:=t]$ を　$\mathtt{f}(t_0[u:=t],\ldots,t_{n-1}[u:=t])$　のこととする。

また $\mathscr{L}$-論理式 $\varphi$ 、 $\mathscr{L}$-項 $t$ 、変数 $u$ に対して $\varphi$ に現れる $u$ に $t$ を'''代入''' (substitution) した結果 $\varphi[u:=t]$ を定義する。
# $\varphi$ に $u$ が現れていないとき $\varphi[u:=t]$ は $\varphi$ である。
# $(s=r)[u:=t]$ を $s[u:=t]=t[u:=t]$ のこととする。

また $s(u)$ に対して $s(u)[u:=t]$ を単に $s(t)$ と表す。

{{theorem |type=notation |name=省略記法 |label=abbreviation}}

$\mathscr{L}$-項、$\mathscr{L}$-論理式などの「$\mathscr{L}$-」という接頭辞は、どの言語を指しているか明らかなとき、あるいは言語に拠らない議論をするとき省略する。

また命題論理と同様に以下の記法を用いる。

* 論理式の集合 $T$ を '''公理系''' (axiomatic system, axioms, axiomata) 、'''等式理論''' (equational theory) 、あるいは単に'''理論''' (theory) という。
* 理論 $T$ と論理式 $\varphi$ に対して $T+\varphi$ で $T\cup\{\varphi\}$ を表す。

=== 2.2 等式論理のモデル ===

{{theorem |type=definition |name=代数構造 |label=algebraic-structure}}

$\mathscr{L}$ を言語とする。このとき '''$\mathscr{L}$-代数構造''' ($\mathscr{L}$-algebraic structure) $\mathcal{M}$ は'''領域''' (domain) あるいは'''宇宙''' (universe) 、'''台集合''' (underlying set) と言われる空でない<ref group="脚注">空な構造を認める流儀も存在する。特に'''圏論的論理学''' (categorical logic) の文脈では、空な構造を認めた方が都合が良い場合が多い。構造からなる圏、あるいは後述するモデルからなる圏に始対象が存在しないと都合が悪い場合が多いからである。例えば後述する等式理論の項モデルの構成と類似の議論をすることによって、等式理論、あるいはその項モデルの圏論的対応物となる圏、'''Lawvere理論''' (Lawvere theory) を得ることができ、モデルとはLawvere理論から集合と写像からなる圏 $\mathrm{Set}$ への有限直積を保つ関手と思うことができるが、このような議論は空なモデルが存在しない場合、面倒な例外処理を行わなければならなくなる。またtoo simple to be simpleの理念に従っても空なモデルは認めたほうが良いと思われる。しかし数理論理学に於いては空なモデルを認めない流儀が主流である。これは等式論理の範疇では問題にならないが、一階述語論理に於いては空なモデルを許容すると、(等号を含む)関係記号を言語として持つ場合、論理式 $\forall x\varphi(x)\to\exists x\varphi(x)$ は証明可能になるが、空なモデルで成り立たない。すなわち健全性定理が成り立たなくなるのが問題となる。</ref>集合 $M$ と以下に定義される'''$\mathscr{L}$-解釈''' ($\mathscr{L}$-interpretation) ${-}^\mathcal{M}$ の組 $\langle M;{-}^\mathcal{M}\rangle$ である。

$\mathscr{L}$-解釈 ${-}^\mathcal{M}$ は以下を満たす言語 $\mathscr{L}$ からの写像である。

* 関数記号 $\mathtt{f}\in\mathscr{L}$ に対して $\mathtt{f}$ の項数が $n$ であるとき、$\mathtt{f}^\mathcal{M}\colon M^n\to M$ である。

定数記号の解釈は一つの $M$ の要素を返す関数となる。よってその返す値と同一視することで定数記号 $\mathtt{c}$ に対して $\mathtt{c}^\mathcal{M}\in M$ と見做すことができることに注意する。このような同一視を今後断りなく行うことに注意する。

代数構造 $\mathcal{M}$ が与えられたとき、$|\mathcal{M}|$ を $\mathcal{M}$ の台集合を表すことにする。また数学の慣習に基づき構造 $\mathcal{M}$ とその台集合 $|\mathcal{M}|$ を誤解を与えない範囲で同一視する。例えば $a\in |\mathcal{M}|$ の代わりに $a\in\mathcal{M}$ と表すことがある。

また $\mathcal{M}=\langle M;{-}^\mathcal{M}\rangle$ と表す代わりに解釈後の関数、関係をリストし $\mathcal{M}=\langle A;\mathtt{f}_0^\mathcal{M},\ldots,\mathtt{f}_i^\mathcal{M}\rangle$ と表すことがある。

{{theorem |type=example |name=代数構造の例 |label=examples-of-algebraic-structures}}
任意の群 $\mathcal{G}:=\langle|\mathcal{G}|;e,\cdot,{-}^{-1}\rangle$ は $\mathtt{1}^\mathcal{G}:=e,\hat{\cdot}^\mathcal{G}:=\cdot,{{-}^{\hat{-1}}}^\mathcal{G}:={-}^{-1}$ と定めることで $\mathscr{L}_\mathsf{Grp}$-構造として見做すことができる。しかし、別に群でなくても $a\in A,f\colon A^2\to A,g\colon A\to A $ に対して $\langle A;a,f,g\rangle$ は同様に $\mathscr{L}_\mathsf{Grp}$-構造として見做すことができる。

{{theorem |type=definition |name=項の解釈 |label=interpretation-of-terms}}

$\mathscr{L}$-代数構造 $\mathcal{M}=\langle M;{-}^\mathcal{M}\rangle$ と $\mathscr{L}$-閉項 $t$ に対して $t^\mathcal{M}\in M$ を帰納的に定義する。

* $\mathtt{f}(t_0,\ldots,t_{n-1})$ に対して $(\mathtt{f}(t_0,\ldots,t_{n-1}))^\mathcal{M}$ を $\mathtt{f}^\mathcal{M}(t_0^\mathcal{M},\ldots,t_{n-1}^\mathcal{M})$ と定める。

{{theorem |type=definition |name=拡大と縮約 |label=expansion-and-reduct}}

言語 $\mathscr{L}\subseteq\mathscr{L}'$ とし、$\mathcal{M}$ を $\mathscr{L}$-代数構造とし、$\mathcal{M}'$ を $\mathscr{L}'$-代数構造とする。$|\mathcal{M}|=|\mathcal{M}'|$ とし、$\mathtt{f}\in\mathscr{L}$ に対し $\mathtt{f}^\mathcal{M}=\mathtt{f}^{\mathcal{M}'}$ が成り立つとする。このとき $\mathcal{M}'$ を $\mathcal{M}$ の'''拡大''' (expansion) といい、$\mathcal{M}$ を $\mathcal{M}'$ の'''縮約''' (reduct) という。

{{theorem |type=example |name=拡大と縮約の例 |label=expansion-and-reduct}}
任意の環 $\mathcal{R}=\langle|\mathcal{R}|;\mathtt{0}^\mathcal{R},\mathtt{1}^\mathcal{R},\hat{+}^\mathcal{R},\hat{-}^\mathcal{R},\hat{\cdot}^\mathcal{R}\rangle$ はその加法群 $\mathcal{R}^+=\langle|\mathcal{R}|;\mathtt{0}^\mathcal{R},\hat{+}^\mathcal{R},{-}^\mathcal{R}\rangle$ の拡張となる。ここで群の言語は $\{\mathtt{1},\hat{\cdot},{-}^{\hat{-1}}\}$ であったが記号を変えて $\{\mathtt{0},\hat{+},\hat{-}\}$ としても本質的になにも変わらない。実際、[[Abel群]]に対してはこのように書かれることが多い。
一方、加法群と違い、乗法群 $\mathcal{R}^\times=\langle|\mathcal{R}|\setminus\{\mathtt{0}^\mathcal{R}\};\mathtt{0}^\mathcal{R},\hat{+}^\mathcal{R},{-}^\mathcal{R}\rangle$ は領域がことなるため拡張にはならない。

{{theorem |type=definition |name=名前 |label=name}}

$\mathscr{L}$-代数構造 $\mathcal{M}$ に対して言語 $\mathscr{L}(\mathcal{M})$ と $\mathscr{L}(\mathcal{M})$-代数構造 $\mathcal{M}_\mathrm{par}$ を定義する。
* $\mathscr{L}(\mathcal{M})$ には $\mathscr{L}$ の元に加え、$a\in|\mathcal{M}|$ に対する定数記号 $\underline{a}$ を持つ。この定数記号 $\underline{a}$ を $a$ の ''名前''(name) や''パラメータ'' (parameter) という。名前を単に $a$ と表すこともある。
* $\mathcal{M}_\mathrm{par}$ は $\mathcal{M}$ の拡大であり、$\underline{a}^{\mathcal{M}_\mathrm{par}}:=a$ とする。

誤解を生じないとき $\mathcal{M}_\mathrm{par}$ を単に $\mathcal{M}$ と表す。

{{theorem |type=definition |name=充足可能性関係 |label=satisfiability-relation}}

$\mathscr{L}$-代数構造 $\mathcal{M}$ と $\mathscr{L}(\mathcal{M})$-論理式 $s(u_0,\ldots,u_{n-1})=t(v_0,\ldots,v_{m-1})$ に対し '''充足可能性関係''' (satisfiability relation) $\mathcal{M}\models s(u_0,\ldots,u_{n-1})=t(v_0,\ldots,v_{m-1})$ を定義する<ref group="脚注">充足可能性関係の定義には名前ではなく、'''割り当て''' (assignment) と呼ばれる、論理式に出現する変数記号から領域への写像を用いて、閉項に対して定義された解釈を割り当てを用いて閉項とは限らない項に拡張することで定義する流儀もある。</ref>。
ここで $s(u_0,\ldots,u_{n-1})=t(v_0,\ldots,v_{m-1})$ に現れる変数は $u_0,\ldots,u_{n-1},v_0,\ldots,v_{m-1}$ に限るとする。

#　$\mathcal{M}\models s(u_0,\ldots,u_{n-1})=t(v_0,\ldots,v_{m-1})$ となるのは任意の $a_0,\ldots,a_{n-1},b_0,\ldots,b_{m-1}\in |\mathcal{M}|$ に対して $(s(u_0,\ldots,u_{n-1})[u_0:=\underline{a_0}]\cdots[u_{n-1}:=\underline{a_{n-1}}])^{\mathcal{M}_\mathrm{par}}=(t(v_0,\ldots,v_{m-1})[v_0:=\underline{b_0}]\cdots[v_{m-1}:=\underline{b_{m-1}}])^{\mathcal{M}_\mathrm{par}})$ が成り立つことである。

ここで $\mathcal{M}\models s(u_0,\ldots,u_{n-1})=t(v_0,\ldots,v_{m-1})$ に含まれる $=$ は等号記号だが、$(s(u_0,\ldots,u_{n-1})[u_0:=\underline{a_0}]\cdots[u_{n-1}:=\underline{a_{n-1}}])^{\mathcal{M}_\mathrm{par}}=(t(v_0,\ldots,v_{m-1})[v_0:=\underline{b_0}]\cdots[v_{m-1}:=\underline{b_{m-1}}])^{\mathcal{M}_\mathrm{par}})$　に表れる $=$ は実際の等号であることに注意されたい。また $\models$ に対していくつかの用語を定める。

* $T$ を理論とし、任意の $\varphi\in T$ に対して $\mathcal{M}\models\varphi$ となっているとする。このとき $\mathcal{M}$ を $T$ の'''モデル''' (model) であるといい、$\mathcal{M}\models\varphi$ と表す。
* $T$ の任意のモデル $\mathcal{M}$ に対して $\mathcal{M}\models\varphi$ であるとき $\varphi$ は $T$ からの'''論理的帰結''' (logical consequence) であるといい、$T\models \varphi$ と表す。

{{theorem |type=example |name=モデルの例 |label=examples-of-models}}
$\mathscr{L}_\mathsf{Grp}$-理論 $\mathsf{Grp}$ を以下の論理式からなるものとする。
* $u\mathrel{\hat{\cdot}}(v\mathrel{\hat{\cdot}}w)=(u\mathrel{\hat{\cdot}}v)\mathrel{\hat{\cdot}}w$ 。
* $u\mathrel{\hat{\cdot}}\mathtt{0}=u$ 。
* $u\mathrel{\hat{\cdot}}(u^{\hat{-1}})=\mathtt{0}$ 。

$\mathsf{Grp}$ のモデルは群そのものである。

$\mathscr{L}_\mathsf{Ring}$-理論 $\mathsf{Ring}$ を以下の論理式からなるものとする。

* $u\hat{+}(v\mathrel{\hat{+}}w)=(u\mathrel{\hat{+}}v)\mathrel{\hat{+}}w$ 。
* $u\mathrel{\hat{+}}\mathtt{0}=u$ 。
* $u\mathrel{\hat{+}}(\mathrel{\hat{-}}u)=\mathtt{0}$ 。
* $u\mathrel{\hat{+}}v=v\mathrel{\hat{+}}u$ 。
* $u\mathrel{\hat{\cdot}} (v\mathrel{\hat{\cdot}} w)=(u\mathrel{\hat{\cdot}} v)\mathrel{\hat{\cdot}} w$ 。
* $u\mathrel{\hat{\cdot}} (v\mathrel{\hat{+}}w)=(u\mathrel{\hat{\cdot}} v)\mathrel{\hat{+}}(u\mathrel{\hat{\cdot}} w)$ 。
* $u\mathrel{\hat{\cdot}}\mathtt{1}=u$ 。

$\mathsf{Ring}$ のモデルも同様に環である。

言語 $\mathscr{L}_{\mathsf{Mod}_\mathcal{A}}$ 上の理論 $\mathsf{Mod}_\mathcal{A}$ は[[Abel群]]の公理と任意の $a,b\in |\mathcal{A}|$ に対して以下の論理式からなるものとする。

* $\hat{a}(x\mathrel{\hat{+}}y)=\hat{a}(x)\mathrel{\hat{+}}\hat{a}(y)$ 。
* $\widehat{a\mathrel{+_\mathcal{A}}b}(x)=\hat{a}(x)\mathrel{\hat{+}}\hat{b}(x)$ 。
* $\widehat{a\mathrel{\cdot_\mathcal{A}} b}(x)=\hat{a}(\hat{b}(x))$ 。
* $\widehat{1_{\mathcal{A}}}(x)=x$

言語 $\mathscr{L}_\mathsf{Set}$ 上の理論 $\emptyset$ のモデルは空でない集合 $X$ に対して $\langle X\rangle$ という形をした構造である。これは空でない集合と同一視できる。

言語 $\mathscr{L}_\mathsf{SGrp}:=\{\hat{\cdot}\}$ とし、理論 $\mathsf{SGrp}$ を

* $u\mathrel{\hat{\cdot}}(v\mathrel{\hat{\cdot}}w)=(u\mathrel{\hat{\cdot}}v)\mathrel{\hat{\cdot}}w$ 。

とする。このとき理論 $\mathsf{SGrp}$ のモデルは空でない半群全体となる。

=== 2.3 代数構造の理論 ===
==== 定義2.3.1（準同型、同型） ====

$\mathscr{L}$-代数構造 $\mathcal{M},\mathcal{N}$ に対して $\sigma\colon|\mathcal{M}|\to|\mathcal{N}|$ が''準同型射'' (homomorphism) であるとは、任意の $\mathtt{f}\in\mathscr{L}$ 、$a_0,\ldots,a_{n-1}\in|\mathcal{M}|$ に対し $\sigma(\mathtt{f}^\mathcal{M}(a_0,\ldots,a_{n-1}))=\mathtt{f}^\mathcal{N}(\sigma(a_0),\ldots,\sigma(a_{n-1}))$ が成り立つことである。

また準同型 $\sigma\colon|\mathcal{M}|\to|\mathcal{N}|,\tau\colon|\mathcal{N}|\to|\mathcal{M}|$ が存在し $\tau\circ\sigma =\mathrm{id}_\mathcal{M},\sigma\circ\tau =\mathrm{id}_\mathcal{N}$ となるとき $\mathcal{M}$ と $\mathcal{N}$ は''同型'' (isomorphic))であるといい $\mathcal{M}\cong\mathcal{N}$ と表し、$\sigma,\tau$ を''同型射'' (isomorphism) であるという。
ここで $\mathrm{id}_\mathcal{M}\colon|\mathcal{M}|\to|\mathcal{M}|,\mathrm{id}_\mathcal{M}(a)=a,\mathrm{id}_\mathcal{N}\colon|\mathcal{N}|\to|\mathcal{N}|,\mathrm{id}_\mathcal{N}(b)=b$ とする。

==== 定義2.3.2（部分代数） ====

$\mathscr{L}$-代数構造 $\mathcal{M},\mathcal{N}$ に対して、$\mathcal{N}$ が $\mathcal{M}$ の''部分代数'' (subalgebra) であるとは $|\mathcal{N}|\subseteq|\mathcal{M}|$ かつ、任意の $\mathtt{f}\in\mathscr{L}$ 、任意の $b_0,\ldots,b_{n-1}\in|\mathcal{N}|$ に対し $\mathtt{f}^\mathcal{N}(b_0,\ldots,b_{n-1})=\mathtt{f}^\mathcal{M}(b_0,\ldots,b_{n-1})$ を満たすことである。

==== 命題2.3.3（代数構造の同型に対する必要十分条件） ====

$\mathcal{M}\cong\mathcal{N}$ であるのは全単射準同型 $\upsilon\colon\mathcal{M}\to\mathcal{N}$ が存在するときであり、またそれに限る。

''証明''　$\mathcal{M}\cong\mathcal{N}$ であると仮定する。仮定より準同型 $\sigma\colon\mathcal{M}\to\mathcal{N},\tau\colon\mathcal{N}\to\mathcal{M}$ で $\sigma\circ\tau,\tau\circ\sigma$ が恒等となるものを取る。$\sigma,\tau$ は互いに逆写像であり、よって全単射である。

逆を示す。$\upsilon\circ\upsilon^{-1},\upsilon^{-1}\circ\upsilon$ が恒等になるのは明らかである。よって $\upsilon^{-1}\colon\mathcal{N}\to\mathcal{M}$ が準同型となることを確認すれば良い。
$\upsilon$ は全単射であるから、ある $a_0,\ldots,a_{n-1}\in|\mathcal{M}|$ が存在して $\upsilon(a_0)=b_0,\ldots,\upsilon(a_{n-1})=b_{n-1}$ である。
よって $\upsilon^{-1}(\mathtt{f}^\mathcal{N}(b_0,\ldots,b_{n-1}))=\upsilon^{-1}(\mathtt{f}^\mathcal{N}(\upsilon(a_0),\ldots,\upsilon(a_{n-1})))$ であり、$\upsilon$ は準同型であるから $\upsilon^{-1}(\mathtt{f}^\mathcal{N}(\upsilon(a_0),\ldots,\upsilon(a_{n-1})))=\upsilon^{-1}(\upsilon(\mathtt{f}^\mathcal{M}(a_0,\ldots,a_{n-1})))$ となる。
従って $\upsilon^{-1}(\upsilon(\mathtt{f}^\mathcal{M}(a_0,\ldots,a_{n-1})))=\mathtt{f}^\mathcal{M}(a_0,\ldots,a_{n-1})$　であり、$a_0=\upsilon^{-1}(b_0),\ldots,a_{n-1}=\upsilon^{-1}(b_{n-1})$ より良い。□

==== 定義2.3.4（合同関係） ====
$\mathcal{M}$ を代数構造とし、$\equiv$ を $|\mathcal{M}|$ 上の同値関係で $\mathtt{f}\in\mathscr{L}$ に対して $\mathtt{f}^\mathcal{M}$ と両立する、すなわち任意の $a_0,\ldots,a_{n-1},b_0,\ldots,b_{n-1}\in |\mathcal{M}|$ に対して、任意の $i<n$ について $a_i\equiv b_i$ $\equiv$ であるならば $\mathtt{f}^\mathcal{M}(a_0,\ldots,a_{n-1})\equiv\mathtt{f}^\mathcal{M}(b_0,\ldots,b_{n-1})$ が成り立つとき $\equiv$ は $\mathcal{M}$ 上の''合同関係'' (congruence relation) である、あるいは同値関係 $\equiv$ は $\mathtt{f}^\mathcal{M}$ に対して　''well-defined''であるという。
==== 定義2.3.5（剰余代数） ====

$\mathcal{M}$ を代数構造とし、$\equiv$ を $\mathcal{M}$ 上の合同関係とする。剰余代数'' (factor algebra, quotient algebra) $\mathcal{M}/{\equiv}:=\langle|\mathcal{M}|/{\equiv};{-}^{\mathcal{M}/{\equiv}}\rangle$ を以下のように定める。
* $|\mathcal{M}|/{\equiv}$ は $|\mathcal{M}|$ の $\equiv$ による商集合とし $a\in|\mathcal{M}|$ に対して $[a]_\equiv$ を $\equiv$ による同値類とする。
* $\mathtt{f}\in\mathscr{L}$ に対して $\mathtt{f}^{\mathcal{M}/{\equiv}}([a_0]_\equiv,\ldots,[a_{n-1}]_\equiv):=[\mathtt{f}^\mathcal{M}(a_0,\ldots,a_{n-1})]_\equiv$ とする。

==== 例2.3.6（剰余代数の例） ====

$\mathcal{G}$ を群、$\mathcal{H}$ を $\mathcal{G}$ の正規部分群、すなわち $\mathcal{H}$ は $\mathcal{G}$ の部分代数で、任意の $g\in|\mathcal{G}|,h\in|\mathcal{H}|$ に対し $(g\hat{\cdot}^\mathcal{G} h){\hat{\cdot}}^\mathcal{G}\left(g^{\hat{-1}^\mathcal{G}}\right)\in|\mathcal{H}|$ であるとする。$|\mathcal{G}|$ 上の合同関係　$\equiv_\mathcal{H}$ を $x\equiv_\mathcal{H} y:\Leftrightarrow x\hat{\cdot}^\mathcal{G}\left(y^{\hat{-1}^\mathcal{G}}\right)\in|\mathcal{H}|$ と定める。
このとき $\mathcal{G}/{\equiv_\mathcal{H}}$ を $\mathcal{G}/\mathcal{H}$ と表す。

$\mathcal{M}$ を可換環、$\mathcal{I}:=\langle|\mathcal{I}|;\mathtt{0}^\mathcal{I},\mathtt{1}^\mathcal{I},\hat{+}^\mathcal{I},\hat{-}^\mathcal{I},\hat{\cdot}^\mathcal{I}\rangle$ を $\mathcal{M}$ のイデアル、すなわち以下を満たすとする。
* $\langle|\mathcal{I}|;\mathtt{0}^\mathcal{I},\hat{+}^\mathcal{I},\hat{-}^\mathcal{I}\rangle$ は $\langle|\mathcal{M}|;\mathtt{0}^\mathcal{M},\hat{+}^\mathcal{M},\hat{-}^\mathcal{M}\rangle$ の部分構造である。
* 任意の $a\in|\mathcal{M}|,x\in|\mathcal{I}|$ に対し $a\hat{\cdot}^\mathcal{M}x\in|\mathcal{I}|$ である。

このとき上記の例と同様に $\equiv_\mathcal{I}$ を定義でき $\mathcal{M}/{\equiv_\mathcal{I}}$ を $\mathcal{M}/\mathcal{I}$ を表す。

==== 補題2.3.7（剰余代数と準同型） ====

代数構造 $\mathcal{M}$ と合同関係 $\equiv$ に対して $\pi_\equiv\colon|\mathcal{M}|\to|\mathcal{M}|/{\equiv},\pi_\equiv(a):=[a]_\equiv$ とする。このとき $\pi_\equiv$ は準同型となる。この準同型を $\equiv$ に対する自然な準同型という。

''証明''　剰余代数の定義より明らかである。□

==== 補題2.3.8（準同型と合同関係） ====

代数構造 $\mathcal{M},\mathcal{N}$ 、準同型 $\sigma\colon|\mathcal{M}|\to|\mathcal{N}|$ に対して $|\mathcal{M}|$ 上の二項関係 $\equiv_\sigma$ を $a\equiv_\sigma b:\Leftrightarrow\sigma(a)=\sigma(b)$ とする((これを $\sigma$ による''核'' (kernel) ということがある。))。このとき $\equiv_\sigma$ は合同関係である。

''証明''　$\equiv_\sigma$ が同値関係であることは明らかである。よって関数と両立することを示そう。
今 $\mathtt{f}$ の項数を $n$ とし任意の $i<n$ に対して $a_i\equiv_\sigma b_i$ であると仮定し、$\mathtt{f}^\mathcal{M}(a_0,\ldots,a_{n-1})\equiv_\sigma \mathtt{f}^\mathcal{M}(b_0,\ldots,b_{n-1})$ 、すなわち $\sigma(\mathtt{f}^\mathcal{M}(a_0,\ldots,a_{n-1}))=\sigma(\mathtt{f}^\mathcal{M}(b_0,\ldots,b_{n-1}))$ を示せば良い。
$\sigma$ が準同型であるという仮定から $\sigma(\mathtt{f}^\mathcal{M}(a_0,\ldots,a_{n-1}))=\mathtt{f}^\mathcal{N}(\sigma(a_0),\ldots,\sigma(a_{n-1}))$ であり、 $\equiv_\sigma$ の定義から $\mathtt{f}^\mathcal{N}(\sigma(a_0),\ldots,\sigma(a_{n-1}))=\mathtt{f}^\mathcal{N}(\sigma(b_0),\ldots,\sigma(b_{n-1}))$ 、よってもう一度 $\sigma$ が準同型であることから $\mathtt{f}^\mathcal{N}(\sigma(b_0),\ldots,\sigma(b_{n-1}))=\sigma(\mathtt{f}^\mathcal{M}(b_0,\ldots,b_{n-1}))$ 。□

==== 定理2.3.9（準同型定理 (homomorphism theorem) ） ====

全射準同型 $\sigma\colon|\mathcal{M}|\to|\mathcal{N}|$ に対して、同型 $\tau_{\equiv_\sigma}\colon|\mathcal{M}/{\equiv_\sigma}|\to|\mathcal{N}|$ が存在して $\sigma=\tau_{\equiv_\sigma}\circ\pi_{\equiv_\sigma}$ となる。
ここで $a\equiv_\sigma b:\Leftrightarrow\sigma(a)=\sigma(b)$ 、$\pi_{\equiv_\sigma}\colon|\mathcal{M}|\to|\mathcal{M}/{\equiv_\sigma}|,\pi_{\equiv_\sigma}(a)=[a]_{\equiv_\sigma}$ とする。

''証明''　まず $\tau_{\equiv_\sigma}([a]_{\equiv_\sigma}):=\sigma(a)$ とする。これが写像となることを示す。左全域性は明らかなので右一意性を示そう。
$[a]_{\equiv_\sigma}=[b]_{\equiv_\sigma}$ とすれば $\equiv_\sigma$ の定義から、$\sigma(a)=\sigma(b)$ であり良い。
同様に逆も言えるため左一意性、すなわち $\tau_{\equiv_\sigma}$ が単射であることも従う。また $\sigma$ が全射であることから $\tau_{\equiv_\sigma}$ も全射である。命題2.3.3より
準同型であることを示せば十分である。
剰余代数の定義から $\tau_{\equiv_\sigma}(\mathtt{f}^{\mathcal{M}/{\equiv_\sigma}}([a_0]_{\equiv_\sigma},\ldots,[a_{n-1}]_{\equiv_\sigma}))=\tau_{\equiv_\sigma}([\mathtt{f}^\mathcal{M}(a_0,\ldots,a_{n-1})]_{\equiv_\sigma})$ であり、$\tau_{\equiv_\sigma}$ の定義から $\tau_{\equiv_\sigma}([f^\mathcal{M}(a_0,\ldots,a_{n-1})]_{\equiv_\sigma})=\sigma(f^\mathcal{M}(a_0,\ldots,a_{n-1}))$ である。
$\sigma$ が準同型であることから $\sigma(\mathtt{f}^\mathcal{M}(a_0,\ldots,a_{n-1}))=\mathtt{f}^\mathcal{N}(\sigma(a_0),\ldots,\sigma(a_{n-1}))$ であり $\tau_{\equiv_\sigma}$ の定義が $\mathtt{f}^\mathcal{N}(\sigma(a_0),\ldots,\sigma(a_{n-1}))=\mathtt{f}^\mathcal{N}(\tau_{\equiv_\sigma}([a_0]_{\equiv_\sigma},\ldots,[a_{n-1}]_{\equiv_\sigma}))$ となる。□

==== 系2.3.10 ====

準同型 $\sigma\colon|\mathcal{M}|\to|\mathcal{N}|$ と $|\mathcal{M}|$ 上の合同関係 $\equiv_\sigma$ は $a\equiv_\sigma b$ ならば $\sigma(a)=\sigma(b)$ を満たすとする。
このとき準同型 $\tau_{\equiv_\sigma}\colon|\mathcal{M}/{\equiv}|\to|\mathcal{N}|$ が存在し $\sigma=\tau_{\equiv_\sigma}\circ\pi_{\equiv_\sigma}$ となる。
ただし $\pi_{\equiv_\sigma}\colon|\mathcal{M}|\to|\mathcal{M}/{\equiv_\sigma}|,\pi_{\equiv_\sigma}(a)=[a]_{\equiv_\sigma}$ とする。

''証明''　定理2.3.9の証明とほとんど同様で良い。□

==== 例2.3.11（準同型定理の具体例） ====

群準同型 $\sigma\colon|\mathcal{G}|\to|\mathcal{H}|$ に対して $\mathrm{Ker}(\sigma):=\{g\in|\mathcal{G}|\mid\sigma(g)=\mathtt{0}^\mathcal{H}\}$ とする。このとき $\langle \mathrm{Ker}(\sigma),\mathtt{0}^\mathcal{G},\hat{\cdot}^\mathcal{G},{-}^{\hat{-1}^\mathcal{G}}\rangle$ は $\mathcal{G}$ の部分群であり、例2.2.6で定められる同値関係を $\equiv_{\mathrm{Ker}(\sigma)}$ とすれば $g_0\equiv_{\mathrm{Ker}(\sigma)}g_1$ と $g_0\equiv_\sigma g_1$ は同値であり、従って定理2.3.9及び系2.3.10から以下の群論に於ける準同型定理が従う。
* 群準同型 $\sigma\colon|\mathcal{G}|\to|\mathcal{H}|$ 、自然な準同型 $\pi\colon|\mathcal{G}|\to|\mathcal{G}/\equiv_{\mathrm{Ker(\sigma)}}|$ に対して、準同型 $\tau\colon |\mathcal{G}/\equiv_{\mathrm{Ker(\sigma)}}|\to|\mathcal{H}|$ が存在して $\sigma=\tau\circ\pi$ であり、また $\tau$ は $\mathcal{G}/\equiv_{\mathrm{Ker(\sigma)}}$ から $\langle\mathrm{Im}(\sigma),\underline{0}^\mathcal{H},+^\mathcal{H},-^\mathcal{H}\rangle$ への同型射である。

=== 2.4. 等式論理の形式的証明 ===
==== 定義2.4.1（等式理論） ====
理論 $T$ 論理式 $\varphi$ に対して $T\vdash\varphi$ を帰納的に定義する。

1. $(\mathsf{refl})$　任意の項 $t$ に対して $T\vdash t=t$ である。

2. $(T)$　任意の $\varphi\in T$ に対して $T\vdash\varphi$ である。

3. $(\mathsf{sym})$　任意の項 $s,t$ に対して $T\vdash s=t$ ならば $T\vdash t=s$ である。

4. $(\mathsf{trans})$　任意の項 $s,t,r$ に対して $T\vdash s=t$ かつ $T\vdash t=r$ ならば $T\vdash s=r$ である。

5. $(\mathsf{sub})$　任意の変数 $u$ 、項 $s(u),t(u),r$ に対して $T\vdash s(u)=t(u)$ ならば $T\vdash s(r)=t(r)$ である。

6. $(\mathsf{comp})$　任意の関数記号 $f\in\mathscr{L}$ 、任意の項 $s_0,\ldots,s_{n-1},t_0,\ldots,t_{n-1}$ に対して、全ての$i<n$　について $T\vdash s_i=t_i$ ならば $T\vdash f(s_0,\ldots,s_{n-1})=f(t_0,\ldots,t_{n-1})$ である。

$\vdash$ に関して命題論理と同様に用語を定める。
* $T\vdash\varphi$ であるとき $T$ から $\varphi$ は''証明可能'' (provable) であるという。また $\emptyset\vdash\varphi$ であるとき単に証明可能であるといい、$\vdash\varphi$ と表す。
* $\mathrm{Th}(T):=\{\varphi\in\mathrm{EqFml}\mid T\vdash\varphi\}$ とする。また言語を明示するとき $\mathrm{Th}_\mathscr{L}(T)$ と表す。

=== 2.5. Birkhoffの完全性定理、$\mathsf{HSP}$ 定理 ===

==== 定義2.5.1（生成） ====
代数構造 $\mathcal{M}$ 、$X\subseteq|\mathcal{M}|$ とする。このとき $X\subseteq\mathcal{N}$ で $\mathcal{M}$ の部分代数のなか、領域の包含関係において最小であるとき、$\mathcal{N}$ を $X$ によって''生成される'' (generated) 部分代数であるという。

==== 定義2.5.2（自由 $\mathcal{K}$-代数） ====
$\mathcal{K}$ を代数構造からなるクラスとする。このとき $\mathcal{M}\in\mathcal{K}$ が $X$ によって生成される''自由 $\mathcal{K}$-代数'' (free $\mathcal{K}$-代数) であるとは以下を満たすことである。
* $\mathcal{M}$ は $X$ で生成される。
* 任意の $\mathcal{N}\in\mathcal{K}$ 、写像 $\sigma\colon X\to|\mathcal{N}|$ に対し、ある準同型 $\overline{\sigma}\colon|\mathcal{M}|\to|\mathcal{N}|$ で $\overline{\sigma}$ は $\sigma$ の拡大である、すなわち任意の $x\in X$ に対して $\sigma(x)=\overline{\sigma}(x)$ となるものが一意に存在する。

==== 命題2.5.3（自由生成と濃度） ====
代数構造 $\mathcal{M},\mathcal{N}\in\mathcal{K}$ でそれぞれ集合 $X,Y$ によって自由生成されていて、$X,Y$ が等濃であれば $\mathcal{M}\cong\mathcal{N}$ である。

''証明''　全単射 $\sigma\colon X\to Y$ を取る。
自由代数の定義から $\sigma,\sigma^{-1}$ は準同型 $\overline{\sigma}\colon|\mathcal{M}|\to|\mathcal{N}|,\overline{\sigma^{-1}}\colon|\mathcal{N}|\to|\mathcal{M}|$ に拡張され $\overline{\sigma^{-1}}\circ\overline{\sigma}$ は $X$ 上の恒等写像の拡張となる準同型 $|\mathcal{M}|\to|\mathcal{M}|$ で拡張の一意性から $\overline{\sigma^{-1}}\circ\overline{\sigma}=\mathrm{id}_{|\mathcal{M}|}$ 、
同様に $\overline{\sigma}\circ\overline{\sigma^{-1}}=\mathrm{id}_{|\mathcal{N}|}$ であり、$\mathcal{M}\cong\mathcal{N}$ である。

==== 定義2.5.3（項代数） ====

== 出典 ==

== 参考文献 ==

[田中19] 田中一之、数学基礎論序説、裳華房、2019。

[Sankappanavar–Burris] H.P. Sankappanavar, S. Burris, A course in universal algebra, Graduate Texts Math 78, 1981.

=== 脚注 ===
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}}

数理論理学の基礎：等式論理

2022-01-07T20:22:27Z

Alwe: /* 2.1 等式論理の統語論 */

[[Category:数理論理学|トウシキロンリ]]
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$
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$

$\newcommand{\name}[1]{\underline{#1}}$

$
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$

{{newtheorem |type=theorem |display=定理 |counter=0 }}
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== 2. 等式論理 ==

'''等式論理''' (equational logic) は先程までの命題論理とは異なり命題同士の関係ではなく命題の中身、特に $s=t$ という形をした等式による命題に注目する論理である。。
等式論理に対しても命題論理と同様に統語論、意味論を考える。命題論理と同様に形式的証明と、命題論理での真理値に対応する'''モデル''' (model) というのを紹介する。

形式的証明は等式の以下に上げる基本的な性質による書き換え操作によって得られる。

# '''反射律''' (reflexivity) $s=s$ である。
# '''対称律''' (symmetricity) $s=t$ ならば $t=s$ である。
# '''推移律''' (transitivity) $s=t$ かつ $t=r$ ならば $s=r$ である。
# '''代入''' (substitution) $s(u)=t(u)$ ならば $s(r)=t(r)$ である。
# '''関数との両立''' (compatibility with functions) 任意の $i<n+1$ に対して $s_i=t_i$ ならば $f(s_0,\ldots,s_n)=f(t_0,\ldots,t_n)$ である。

一方、モデルによる意味論はある種の数学的な'''代数構造''' (algebraic structure) を用いて定義される。具体的には構造が与えられたとき、その構造で満たされることを真と見做す。ここで構造というのは'''台集合''' (underlying set) とその上の関数からなる組のことである。

=== 2.1 等式論理の統語論 ===

{{theorem |type=definition |name=等式論理の記号 |label=symbols-of-equational-logic }}
等式論理の'''論理記号''' (logical symbol) は以下からなる。
* '''変数記号''' (variable symbol) $u,v,w,\ldots$ 。
* '''等号記号''' (equality symbol) $=$ 。
* '''括弧''' (brackets) $(,).$ 及び'''カンマ''' (comma) $,$ 。

変数記号の集合を $\mathrm{EqVar}$ とし、変数記号は無限個あることを仮定する。

{{theorem |type=definition |name=等式論理の代数言語 |label=algebraic-languages-of-equational-logic }}

'''代数言語''' (algebraic language) は'''関数記号''' (function symbol) からなる集合で各関数記号には'''項数''' (arity) という自然数が割り当てられているとする。

また特に項数が $0$ である関数記号を'''定数記号''' (constant symbol) という。言語の元を'''非論理記号''' (non-logical symbol) という。関数記号は有限個でも無限個あっても良い。

便宜上、代数言語を集合ではなく組として扱うこともある。

{{theorem |type=example |name=代数言語の例 |label=example-of-algebraic-languages-of-equational-logic }}
代数言語の例をいくつかあげる。
* 集合の言語 $\mathscr{L}_\mathsf{Set}:=\emptyset$ 。
* 群の言語 $\mathscr{L}_\mathsf{Grp}:=\{\mathtt{1},\mathrel{\hat{\cdot}},{-}^{\hat{-1}}\}$ 。項数は順に $0,2,1$ 。
* 環の言語 $\mathscr{L}_\mathsf{Ring}:=\{\mathtt{0},\mathtt{1},\mathrel{\hat{+}},\mathrel{\hat{-}},\mathrel{\hat{\cdot}}\}$ 。項数は順に $0,0,2,1,2$ 。
* 束の言語 $\mathscr{L}_\mathsf{Lat}:=\{\hat{\top},\hat{\bot},\mathrel{\hat{\land}},\mathrel{\hat{\lor}}\}$ 。項数は順に $0,0,2,2$ 。
* Boole代数の言語 $\mathscr{L}_\mathsf{BA}:=\{\hat{\top},\hat{\bot},\mathrel{\hat{\land}},\mathrel{\hat{\lor}},\mathrel{\hat{\lnot}}\}$ 。項数は順に $0,0,2,2,1$ 。
* $\mathcal{A}=\langle|\mathcal{A}|;0,1,+,-,\cdot\rangle$ を可換環としたとき $\mathcal{A}$-加群の言語は $\mathscr{L}_{\mathsf{Mod}_\mathcal{A}}:=\{\hat{+}\}\cup\{\hat{a}\mid a\in|\mathcal{A}|\}$ とする。項数は $\hat{+}$ は $2$ であり、他は $1$ である。

{{theorem |type=definition |name=等式論理の項 |label=terms-of-equational-logic}}

$\mathscr{L}$ を代数言語とする。このとき '''$\mathscr{L}$-項''' ($\mathscr{L}$-term) は以下のように帰納的に定義される文字列である。
# 変数 $u,v,w,\ldots$ は $\mathscr{L}$-項である。
# 関数記号 $\mathtt{f}$ に対し、その項数が $n$ であるとき、$\mathscr{L}$-項 $t_0,\ldots,t_{n-1}$ に対して $\mathtt{f}(t_0,\ldots,t_n)$ は$\mathscr{L}$-項である。

特に定数記号は $\mathscr{L}$-項であることに注意しよう。$\mathscr{L}$-項の集合を $\mathrm{EqTm}_\mathscr{L}$ と表す。

項数が $2$ の関数記号 $\mathtt{f}$ に対して $\mathtt{f}(s,t)$ の代わりに $s\mathrel{\mathtt{f}} t$ と'''中置記法''' (infix notation) で表し、適当に括弧を補うことがある<ref group="脚注">中置記法に対し、$\mathtt{f}(s,t)$ あるいは括弧などを省略し $\mathtt{f}st$ という記法を '''前置記法''' (prefix notation) あるいは'''ポーランド記法''' (Poland notation) といい、逆に $st\mathtt{f}$ という記法を'''後置記法''' (postfix notation) あるいは'''逆ポーランド記法''' (reverse Poland notation) という。</ref>。

{{theorem |type=definition |name=$\mathscr{L}$-項の例 |label=example-of-terms-of-equational-logic}}

項の例をいくつかあげる。
* $(u\mathrel{\hat{\cdot}}\mathtt{1})^{\hat{-1}},\mathtt{1}\mathrel{\hat{\cdot}}v$ は $\mathscr{L}_\mathsf{Grp}$-項である。
* $(\mathtt{1}\mathrel{\hat{+}}\mathtt{1})\mathrel{\hat{\cdot}} (\mathrel{\hat{-}}\mathtt{0}),(u\mathrel{\hat{+}}\mathtt{1})\mathrel{\hat{\cdot}}((\mathrel{\hat{-}}\mathtt{0})\mathrel{\hat{\cdot}}v)$ は $\mathscr{L}_\mathsf{Ring}$-項である。
* $u\mathrel{\hat{\land}} (v\mathrel{\hat{\lor}}w),(\hat{\top}\mathrel{\hat{\land}}u)\mathrel{\hat{\lor}}\hat{\bot}$ は $\mathscr{L}_\mathsf{Lat}$-項である。
* $u\mathrel{\hat{\land}}(\mathrel{\hat{\lnot}} v),(\mathrel{\hat{\lnot}}\hat{\top})\mathrel{\hat{\land}}\hat{\bot}$ は $\mathscr{L}_\mathsf{BA}$-項である。

{{theorem |type=definition |name=等式論理の論理式 |label=formulae-of-equational-logic}}
$\mathscr{L}$ を代数言語とする。このとき '''$\mathscr{L}$-論理式''' ($\mathscr{L}$-formula) は以下のように定義される文字列である。
# $\mathscr{L}$-項 $s,t$ に対して $s=t$ は$\mathscr{L}$-論理式である。
$\mathscr{L}$-論理式の集合を $\mathrm{EqFml}_\mathscr{L}$ と表す。

また等式論理の論理式を'''原子論理式''' (atomic formula) と呼ぶこともある。

{{theorem |type=definition |name=項の出現 |label=occurrence-of-terms}}

$\mathscr{L}$-項 $s$ が $\mathscr{L}$-項 $t$ に'''出現する''' (occur) あるいは単に'''現れる'''ということを $\mathscr{L}$-項 $t$ の定義に沿って帰納的に定義する。

# 変数 $u$ に対して $s$ が $u$ であるとき $u$ に $s$ が現れている。
# $\mathscr{L}$-項 $f(t_0,\ldots,t_{n-1})$ に対して、ある $i<n$ が存在し $t_i$ に $s$ が現れているか、または $s$ が $f(t_0,\ldots,t_{n-1})$ であるとき、$s$ が $f(t_0,\ldots,t_{n-1})$ に現れている。

また$\mathscr{L}$-項 $s$ が $\mathscr{L}$-論理式 $\varphi$ に現れるということを定義する。
# $t=r$ に $\mathscr{L}$-項 $s$ が現れるのは $t$ か $r$ のいずれかに現れるときである。

$\mathscr{L}$-項 $t$ に $s_0,\ldots,s_n$ が現れているとき $t(s_0,\ldots,s_n)$ などど表す。

{{theorem |type=definition |name=項の代入 |label=substitution-of-terms}}

$\mathscr{L}$-項 $s,t$ 、変数 $u$ に対して $s$ に現れる $u$ に $t$ を'''代入''' (substitution) した結果 $s[u:=t]$ を $s$ の定義に沿って帰納的に定義する。
# $s$ に $u$ が現れていないとき $s[u:=t]$ は $s$ である。
# $u[u:=t]$ を $t$ のこととする。
# $\mathtt{f}(t_0,\ldots,t_{n-1})[u:=t]$ を　$\mathtt{f}(t_0[u:=t],\ldots,t_{n-1}[u:=t])$　のこととする。

また $\mathscr{L}$-論理式 $\varphi$ 、 $\mathscr{L}$-項 $t$ 、変数 $u$ に対して $\varphi$ に現れる $u$ に $t$ を'''代入''' (substitution) した結果 $\varphi[u:=t]$ を定義する。
# $\varphi$ に $u$ が現れていないとき $\varphi[u:=t]$ は $\varphi$ である。
# $(s=r)[u:=t]$ を $s[u:=t]=t[u:=t]$ のこととする。

また $s(u)$ に対して $s(u)[u:=t]$ を単に $s(t)$ と表す。

{{theorem |type=notation |name=省略記法 |label=abbreviation}}

$\mathscr{L}$-項、$\mathscr{L}$-論理式などの「$\mathscr{L}$-」という接頭辞は、どの言語を指しているか明らかなとき、あるいは言語に拠らない議論をするとき省略する。

また命題論理と同様に以下の記法を用いる。

* 論理式の集合 $T$ を '''公理系''' (axiomatic system, axioms, axiomata) 、'''等式理論''' (equational theory) 、あるいは単に'''理論''' (theory) という。
* 理論 $T$ と論理式 $\varphi$ に対して $T+\varphi$ で $T\cup\{\varphi\}$ を表す。

=== 2.2 等式論理のモデル ===

{{theorem |type=definition |name=代数構造 |label=algebraic-structure}}

$\mathscr{L}$ を言語とする。このとき '''$\mathscr{L}$-代数構造''' ($\mathscr{L}$-algebraic structure) $\mathcal{M}$ は'''領域''' (domain) あるいは'''宇宙''' (universe) 、'''台集合''' (underlying set) と言われる空でない<ref group="脚注">空な構造を認める流儀も存在する。特に'''圏論的論理学''' (categorical logic) の文脈では、空な構造を認めた方が都合が良い場合が多い。構造からなる圏、あるいは後述するモデルからなる圏に始対象が存在しないと都合が悪い場合が多いからである。例えば後述する等式理論の項モデルの構成と類似の議論をすることによって、等式理論、あるいはその項モデルの圏論的対応物となる圏、'''Lawvere理論''' (Lawvere theory) を得ることができ、モデルとはLawvere理論から集合と写像からなる圏 $\mathrm{Set}$ への有限直積を保つ関手と思うことができるが、このような議論は空なモデルが存在しない場合、面倒な例外処理を行わなければならなくなる。またtoo simple to be simpleの理念に従っても空なモデルは認めたほうが良いと思われる。しかし数理論理学に於いては空なモデルを認めない流儀が主流である。これは等式論理の範疇では問題にならないが、一階述語論理に於いては空なモデルを許容すると、(等号を含む)関係記号を言語として持つ場合、論理式 $\forall x\varphi(x)\to\exists x\varphi(x)$ は証明可能になるが、空なモデルで成り立たない。すなわち健全性定理が成り立たなくなるのが問題となる。</ref>集合 $M$ と以下に定義される'''$\mathscr{L}$-解釈''' ($\mathscr{L}$-interpretation) ${-}^\mathcal{M}$ の組 $\langle M;{-}^\mathcal{M}\rangle$ である。

$\mathscr{L}$-解釈 ${-}^\mathcal{M}$ は以下を満たす言語 $\mathscr{L}$ からの写像である。

* 関数記号 $\mathtt{f}\in\mathscr{L}$ に対して $\mathtt{f}$ の項数が $n$ であるとき、$\mathtt{f}^\mathcal{M}\colon M^n\to M$ である。

定数記号の解釈は一つの $M$ の要素を返す関数となる。よってその返す値と同一視することで定数記号 $\mathtt{c}$ に対して $\mathtt{c}^\mathcal{M}\in M$ と見做すことができることに注意する。このような同一視を今後断りなく行うことに注意する。

代数構造 $\mathcal{M}$ が与えられたとき、$|\mathcal{M}|$ を $\mathcal{M}$ の台集合を表すことにする。また数学の慣習に基づき構造 $\mathcal{M}$ とその台集合 $|\mathcal{M}|$ を誤解を与えない範囲で同一視する。例えば $a\in |\mathcal{M}|$ の代わりに $a\in\mathcal{M}$ と表すことがある。

また $\mathcal{M}=\langle M;{-}^\mathcal{M}\rangle$ と表す代わりに解釈後の関数、関係をリストし $\mathcal{M}=\langle A;\mathtt{f}_0^\mathcal{M},\ldots,\mathtt{f}_i^\mathcal{M}\rangle$ と表すことがある。

{{theorem |type=example |name=代数構造の例 |label=examples-of-algebraic-structures}}
任意の群 $\mathcal{G}:=\langle|\mathcal{G}|;e,\cdot,{-}^{-1}\rangle$ は $\mathtt{1}^\mathcal{G}:=e,\hat{\cdot}^\mathcal{G}:=\cdot,{{-}^{\hat{-1}}}^\mathcal{G}:={-}^{-1}$ と定めることで $\mathscr{L}_\mathsf{Grp}$-構造として見做すことができる。しかし、別に群でなくても $a\in A,f\colon A^2\to A,g\colon A\to A $ に対して $\langle A;a,f,g\rangle$ は同様に $\mathscr{L}_\mathsf{Grp}$-構造として見做すことができる。

{{theorem |type=definition |name=項の解釈 |label=interpretation-of-terms}}

$\mathscr{L}$-代数構造 $\mathcal{M}=\langle M;{-}^\mathcal{M}\rangle$ と $\mathscr{L}$-閉項 $t$ に対して $t^\mathcal{M}\in M$ を帰納的に定義する。

* $\mathtt{f}(t_0,\ldots,t_{n-1})$ に対して $(\mathtt{f}(t_0,\ldots,t_{n-1}))^\mathcal{M}$ を $\mathtt{f}^\mathcal{M}(t_0^\mathcal{M},\ldots,t_{n-1}^\mathcal{M})$ と定める。

{{theorem |type=definition |name=拡大と縮約 |label=expansion-and-reduct}}

言語 $\mathscr{L}\subseteq\mathscr{L}'$ とし、$\mathcal{M}$ を $\mathscr{L}$-代数構造とし、$\mathcal{M}'$ を $\mathscr{L}'$-代数構造とする。$|\mathcal{M}|=|\mathcal{M}'|$ とし、$\mathtt{f}\in\mathscr{L}$ に対し $\mathtt{f}^\mathcal{M}=\mathtt{f}^{\mathcal{M}'}$ が成り立つとする。このとき $\mathcal{M}'$ を $\mathcal{M}$ の'''拡大''' (expansion) といい、$\mathcal{M}$ を $\mathcal{M}'$ の'''縮約''' (reduct) という。

{{theorem |type=example |name=拡大と縮約の例 |label=expansion-and-reduct}}
任意の環 $\mathcal{R}=\langle|\mathcal{R}|;\mathtt{0}^\mathcal{R},\mathtt{1}^\mathcal{R},\hat{+}^\mathcal{R},\hat{-}^\mathcal{R},\hat{\cdot}^\mathcal{R}\rangle$ はその加法群 $\mathcal{R}^+=\langle|\mathcal{R}|;\mathtt{0}^\mathcal{R},\hat{+}^\mathcal{R},{-}^\mathcal{R}\rangle$ の拡張となる。ここで群の言語は $\{\mathtt{1},\hat{\cdot},{-}^{\hat{-1}}\}$ であったが記号を変えて $\{\mathtt{0},\hat{+},\hat{-}\}$ としても本質的になにも変わらない。実際、[[Abel群]]に対してはこのように書かれることが多い。
一方、加法群と違い、乗法群 $\mathcal{R}^\times=\langle|\mathcal{R}|\setminus\{\mathtt{0}^\mathcal{R}\};\mathtt{0}^\mathcal{R},\hat{+}^\mathcal{R},{-}^\mathcal{R}\rangle$ は領域がことなるため拡張にはならない。

{{theorem |type=definition |name=名前 |label=name}}

$\mathscr{L}$-代数構造 $\mathcal{M}$ に対して言語 $\mathscr{L}(\mathcal{M})$ と $\mathscr{L}(\mathcal{M})$-代数構造 $\mathcal{M}_\mathrm{par}$ を定義する。
* $\mathscr{L}(\mathcal{M})$ には $\mathscr{L}$ の元に加え、$a\in|\mathcal{M}|$ に対する定数記号 $\underline{a}$ を持つ。この定数記号 $\underline{a}$ を $a$ の ''名前''(name) や''パラメータ'' (parameter) という。名前を単に $a$ と表すこともある。
* $\mathcal{M}_\mathrm{par}$ は $\mathcal{M}$ の拡大であり、$\underline{a}^{\mathcal{M}_\mathrm{par}}:=a$ とする。

誤解を生じないとき $\mathcal{M}_\mathrm{par}$ を単に $\mathcal{M}$ と表す。

{{theorem |type=definition |name=充足可能性関係 |label=satisfiability-relation}}

$\mathscr{L}$-代数構造 $\mathcal{M}$ と $\mathscr{L}(\mathcal{M})$-論理式 $s(u_0,\ldots,u_{n-1})=t(v_0,\ldots,v_{m-1})$ に対し '''充足可能性関係''' (satisfiability relation) $\mathcal{M}\models s(u_0,\ldots,u_{n-1})=t(v_0,\ldots,v_{m-1})$ を定義する<ref group="脚注">充足可能性関係の定義には名前ではなく、'''割り当て''' (assignment) と呼ばれる、論理式に出現する変数記号から領域への写像を用いて、閉項に対して定義された解釈を割り当てを用いて閉項とは限らない項に拡張することで定義する流儀もある。</ref>。
ここで $s(u_0,\ldots,u_{n-1})=t(v_0,\ldots,v_{m-1})$ に現れる変数は $u_0,\ldots,u_{n-1},v_0,\ldots,v_{m-1}$ に限るとする。

#　$\mathcal{M}\models s(u_0,\ldots,u_{n-1})=t(v_0,\ldots,v_{m-1})$ となるのは任意の $a_0,\ldots,a_{n-1},b_0,\ldots,b_{m-1}\in |\mathcal{M}|$ に対して $(s(u_0,\ldots,u_{n-1})[u_0:=\underline{a_0}]\cdots[u_{n-1}:=\underline{a_{n-1}}])^{\mathcal{M}_\mathrm{par}}=(t(v_0,\ldots,v_{m-1})[v_0:=\underline{b_0}]\cdots[v_{m-1}:=\underline{b_{m-1}}])^{\mathcal{M}_\mathrm{par}})$ が成り立つことである。

ここで $\mathcal{M}\models s(u_0,\ldots,u_{n-1})=t(v_0,\ldots,v_{m-1})$ に含まれる $=$ は等号記号だが、$(s(u_0,\ldots,u_{n-1})[u_0:=\underline{a_0}]\cdots[u_{n-1}:=\underline{a_{n-1}}])^{\mathcal{M}_\mathrm{par}}=(t(v_0,\ldots,v_{m-1})[v_0:=\underline{b_0}]\cdots[v_{m-1}:=\underline{b_{m-1}}])^{\mathcal{M}_\mathrm{par}})$　に表れる $=$ は実際の等号であることに注意されたい。また $\models$ に対していくつかの用語を定める。

* $T$ を理論とし、任意の $\varphi\in T$ に対して $\mathcal{M}\models\varphi$ となっているとする。このとき $\mathcal{M}$ を $T$ の'''モデル''' (model) であるといい、$\mathcal{M}\models\varphi$ と表す。
* $T$ の任意のモデル $\mathcal{M}$ に対して $\mathcal{M}\models\varphi$ であるとき $\varphi$ は $T$ からの'''論理的帰結''' (logical consequence) であるといい、$T\models \varphi$ と表す。

{{theorem |type=example |name=モデルの例 |label=examples-of-models}}
$\mathscr{L}_\mathsf{Grp}$-理論 $\mathsf{Grp}$ を以下の論理式からなるものとする。
* $u\mathrel{\hat{\cdot}}(v\mathrel{\hat{\cdot}}w)=(u\mathrel{\hat{\cdot}}v)\mathrel{\hat{\cdot}}w$ 。
* $u\mathrel{\hat{\cdot}}\mathtt{0}=u$ 。
* $u\mathrel{\hat{\cdot}}(u^{\hat{-1}})=\mathtt{0}$ 。

$\mathsf{Grp}$ のモデルは群そのものである。

$\mathscr{L}_\mathsf{Ring}$-理論 $\mathsf{Ring}$ を以下の論理式からなるものとする。

* $u\hat{+}(v\mathrel{\hat{+}}w)=(u\mathrel{\hat{+}}v)\mathrel{\hat{+}}w$ 。
* $u\mathrel{\hat{+}}\mathtt{0}=u$ 。
* $u\mathrel{\hat{+}}(\mathrel{\hat{-}}u)=\mathtt{0}$ 。
* $u\mathrel{\hat{+}}v=v\mathrel{\hat{+}}u$ 。
* $u\mathrel{\hat{\cdot}} (v\mathrel{\hat{\cdot}} w)=(u\mathrel{\hat{\cdot}} v)\mathrel{\hat{\cdot}} w$ 。
* $u\mathrel{\hat{\cdot}} (v\mathrel{\hat{+}}w)=(u\mathrel{\hat{\cdot}} v)\mathrel{\hat{+}}(u\mathrel{\hat{\cdot}} w)$ 。
* $u\mathrel{\hat{\cdot}}\mathtt{1}=u$ 。

$\mathsf{Ring}$ のモデルも同様に環である。

言語 $\mathscr{L}_\mathsf{SGrp}:=\{\hat{\cdot}\}$ とし、理論 $\mathsf{SGrp}$ を

* $u\mathrel{\hat{\cdot}}(v\mathrel{\hat{\cdot}}w)=(u\mathrel{\hat{\cdot}}v)\mathrel{\hat{\cdot}}w$ 。

とする。このとき理論 $\mathsf{SGrp}$ のモデルは空でない半群全体となる。

=== 2.3 代数構造の理論 ===
==== 定義2.3.1（準同型、同型） ====

$\mathscr{L}$-代数構造 $\mathcal{M},\mathcal{N}$ に対して $\sigma\colon|\mathcal{M}|\to|\mathcal{N}|$ が''準同型射'' (homomorphism) であるとは、任意の $\mathtt{f}\in\mathscr{L}$ 、$a_0,\ldots,a_{n-1}\in|\mathcal{M}|$ に対し $\sigma(\mathtt{f}^\mathcal{M}(a_0,\ldots,a_{n-1}))=\mathtt{f}^\mathcal{N}(\sigma(a_0),\ldots,\sigma(a_{n-1}))$ が成り立つことである。

また準同型 $\sigma\colon|\mathcal{M}|\to|\mathcal{N}|,\tau\colon|\mathcal{N}|\to|\mathcal{M}|$ が存在し $\tau\circ\sigma =\mathrm{id}_\mathcal{M},\sigma\circ\tau =\mathrm{id}_\mathcal{N}$ となるとき $\mathcal{M}$ と $\mathcal{N}$ は''同型'' (isomorphic))であるといい $\mathcal{M}\cong\mathcal{N}$ と表し、$\sigma,\tau$ を''同型射'' (isomorphism) であるという。
ここで $\mathrm{id}_\mathcal{M}\colon|\mathcal{M}|\to|\mathcal{M}|,\mathrm{id}_\mathcal{M}(a)=a,\mathrm{id}_\mathcal{N}\colon|\mathcal{N}|\to|\mathcal{N}|,\mathrm{id}_\mathcal{N}(b)=b$ とする。

==== 定義2.3.2（部分代数） ====

$\mathscr{L}$-代数構造 $\mathcal{M},\mathcal{N}$ に対して、$\mathcal{N}$ が $\mathcal{M}$ の''部分代数'' (subalgebra) であるとは $|\mathcal{N}|\subseteq|\mathcal{M}|$ かつ、任意の $\mathtt{f}\in\mathscr{L}$ 、任意の $b_0,\ldots,b_{n-1}\in|\mathcal{N}|$ に対し $\mathtt{f}^\mathcal{N}(b_0,\ldots,b_{n-1})=\mathtt{f}^\mathcal{M}(b_0,\ldots,b_{n-1})$ を満たすことである。

==== 命題2.3.3（代数構造の同型に対する必要十分条件） ====

$\mathcal{M}\cong\mathcal{N}$ であるのは全単射準同型 $\upsilon\colon\mathcal{M}\to\mathcal{N}$ が存在するときであり、またそれに限る。

''証明''　$\mathcal{M}\cong\mathcal{N}$ であると仮定する。仮定より準同型 $\sigma\colon\mathcal{M}\to\mathcal{N},\tau\colon\mathcal{N}\to\mathcal{M}$ で $\sigma\circ\tau,\tau\circ\sigma$ が恒等となるものを取る。$\sigma,\tau$ は互いに逆写像であり、よって全単射である。

逆を示す。$\upsilon\circ\upsilon^{-1},\upsilon^{-1}\circ\upsilon$ が恒等になるのは明らかである。よって $\upsilon^{-1}\colon\mathcal{N}\to\mathcal{M}$ が準同型となることを確認すれば良い。
$\upsilon$ は全単射であるから、ある $a_0,\ldots,a_{n-1}\in|\mathcal{M}|$ が存在して $\upsilon(a_0)=b_0,\ldots,\upsilon(a_{n-1})=b_{n-1}$ である。
よって $\upsilon^{-1}(\mathtt{f}^\mathcal{N}(b_0,\ldots,b_{n-1}))=\upsilon^{-1}(\mathtt{f}^\mathcal{N}(\upsilon(a_0),\ldots,\upsilon(a_{n-1})))$ であり、$\upsilon$ は準同型であるから $\upsilon^{-1}(\mathtt{f}^\mathcal{N}(\upsilon(a_0),\ldots,\upsilon(a_{n-1})))=\upsilon^{-1}(\upsilon(\mathtt{f}^\mathcal{M}(a_0,\ldots,a_{n-1})))$ となる。
従って $\upsilon^{-1}(\upsilon(\mathtt{f}^\mathcal{M}(a_0,\ldots,a_{n-1})))=\mathtt{f}^\mathcal{M}(a_0,\ldots,a_{n-1})$　であり、$a_0=\upsilon^{-1}(b_0),\ldots,a_{n-1}=\upsilon^{-1}(b_{n-1})$ より良い。□

==== 定義2.3.4（合同関係） ====
$\mathcal{M}$ を代数構造とし、$\equiv$ を $|\mathcal{M}|$ 上の同値関係で $\mathtt{f}\in\mathscr{L}$ に対して $\mathtt{f}^\mathcal{M}$ と両立する、すなわち任意の $a_0,\ldots,a_{n-1},b_0,\ldots,b_{n-1}\in |\mathcal{M}|$ に対して、任意の $i<n$ について $a_i\equiv b_i$ $\equiv$ であるならば $\mathtt{f}^\mathcal{M}(a_0,\ldots,a_{n-1})\equiv\mathtt{f}^\mathcal{M}(b_0,\ldots,b_{n-1})$ が成り立つとき $\equiv$ は $\mathcal{M}$ 上の''合同関係'' (congruence relation) である、あるいは同値関係 $\equiv$ は $\mathtt{f}^\mathcal{M}$ に対して　''well-defined''であるという。
==== 定義2.3.5（剰余代数） ====

$\mathcal{M}$ を代数構造とし、$\equiv$ を $\mathcal{M}$ 上の合同関係とする。剰余代数'' (factor algebra, quotient algebra) $\mathcal{M}/{\equiv}:=\langle|\mathcal{M}|/{\equiv};{-}^{\mathcal{M}/{\equiv}}\rangle$ を以下のように定める。
* $|\mathcal{M}|/{\equiv}$ は $|\mathcal{M}|$ の $\equiv$ による商集合とし $a\in|\mathcal{M}|$ に対して $[a]_\equiv$ を $\equiv$ による同値類とする。
* $\mathtt{f}\in\mathscr{L}$ に対して $\mathtt{f}^{\mathcal{M}/{\equiv}}([a_0]_\equiv,\ldots,[a_{n-1}]_\equiv):=[\mathtt{f}^\mathcal{M}(a_0,\ldots,a_{n-1})]_\equiv$ とする。

==== 例2.3.6（剰余代数の例） ====

$\mathcal{G}$ を群、$\mathcal{H}$ を $\mathcal{G}$ の正規部分群、すなわち $\mathcal{H}$ は $\mathcal{G}$ の部分代数で、任意の $g\in|\mathcal{G}|,h\in|\mathcal{H}|$ に対し $(g\hat{\cdot}^\mathcal{G} h){\hat{\cdot}}^\mathcal{G}\left(g^{\hat{-1}^\mathcal{G}}\right)\in|\mathcal{H}|$ であるとする。$|\mathcal{G}|$ 上の合同関係　$\equiv_\mathcal{H}$ を $x\equiv_\mathcal{H} y:\Leftrightarrow x\hat{\cdot}^\mathcal{G}\left(y^{\hat{-1}^\mathcal{G}}\right)\in|\mathcal{H}|$ と定める。
このとき $\mathcal{G}/{\equiv_\mathcal{H}}$ を $\mathcal{G}/\mathcal{H}$ と表す。

$\mathcal{M}$ を可換環、$\mathcal{I}:=\langle|\mathcal{I}|;\mathtt{0}^\mathcal{I},\mathtt{1}^\mathcal{I},\hat{+}^\mathcal{I},\hat{-}^\mathcal{I},\hat{\cdot}^\mathcal{I}\rangle$ を $\mathcal{M}$ のイデアル、すなわち以下を満たすとする。
* $\langle|\mathcal{I}|;\mathtt{0}^\mathcal{I},\hat{+}^\mathcal{I},\hat{-}^\mathcal{I}\rangle$ は $\langle|\mathcal{M}|;\mathtt{0}^\mathcal{M},\hat{+}^\mathcal{M},\hat{-}^\mathcal{M}\rangle$ の部分構造である。
* 任意の $a\in|\mathcal{M}|,x\in|\mathcal{I}|$ に対し $a\hat{\cdot}^\mathcal{M}x\in|\mathcal{I}|$ である。

このとき上記の例と同様に $\equiv_\mathcal{I}$ を定義でき $\mathcal{M}/{\equiv_\mathcal{I}}$ を $\mathcal{M}/\mathcal{I}$ を表す。

==== 補題2.3.7（剰余代数と準同型） ====

代数構造 $\mathcal{M}$ と合同関係 $\equiv$ に対して $\pi_\equiv\colon|\mathcal{M}|\to|\mathcal{M}|/{\equiv},\pi_\equiv(a):=[a]_\equiv$ とする。このとき $\pi_\equiv$ は準同型となる。この準同型を $\equiv$ に対する自然な準同型という。

''証明''　剰余代数の定義より明らかである。□

==== 補題2.3.8（準同型と合同関係） ====

代数構造 $\mathcal{M},\mathcal{N}$ 、準同型 $\sigma\colon|\mathcal{M}|\to|\mathcal{N}|$ に対して $|\mathcal{M}|$ 上の二項関係 $\equiv_\sigma$ を $a\equiv_\sigma b:\Leftrightarrow\sigma(a)=\sigma(b)$ とする((これを $\sigma$ による''核'' (kernel) ということがある。))。このとき $\equiv_\sigma$ は合同関係である。

''証明''　$\equiv_\sigma$ が同値関係であることは明らかである。よって関数と両立することを示そう。
今 $\mathtt{f}$ の項数を $n$ とし任意の $i<n$ に対して $a_i\equiv_\sigma b_i$ であると仮定し、$\mathtt{f}^\mathcal{M}(a_0,\ldots,a_{n-1})\equiv_\sigma \mathtt{f}^\mathcal{M}(b_0,\ldots,b_{n-1})$ 、すなわち $\sigma(\mathtt{f}^\mathcal{M}(a_0,\ldots,a_{n-1}))=\sigma(\mathtt{f}^\mathcal{M}(b_0,\ldots,b_{n-1}))$ を示せば良い。
$\sigma$ が準同型であるという仮定から $\sigma(\mathtt{f}^\mathcal{M}(a_0,\ldots,a_{n-1}))=\mathtt{f}^\mathcal{N}(\sigma(a_0),\ldots,\sigma(a_{n-1}))$ であり、 $\equiv_\sigma$ の定義から $\mathtt{f}^\mathcal{N}(\sigma(a_0),\ldots,\sigma(a_{n-1}))=\mathtt{f}^\mathcal{N}(\sigma(b_0),\ldots,\sigma(b_{n-1}))$ 、よってもう一度 $\sigma$ が準同型であることから $\mathtt{f}^\mathcal{N}(\sigma(b_0),\ldots,\sigma(b_{n-1}))=\sigma(\mathtt{f}^\mathcal{M}(b_0,\ldots,b_{n-1}))$ 。□

==== 定理2.3.9（準同型定理 (homomorphism theorem) ） ====

全射準同型 $\sigma\colon|\mathcal{M}|\to|\mathcal{N}|$ に対して、同型 $\tau_{\equiv_\sigma}\colon|\mathcal{M}/{\equiv_\sigma}|\to|\mathcal{N}|$ が存在して $\sigma=\tau_{\equiv_\sigma}\circ\pi_{\equiv_\sigma}$ となる。
ここで $a\equiv_\sigma b:\Leftrightarrow\sigma(a)=\sigma(b)$ 、$\pi_{\equiv_\sigma}\colon|\mathcal{M}|\to|\mathcal{M}/{\equiv_\sigma}|,\pi_{\equiv_\sigma}(a)=[a]_{\equiv_\sigma}$ とする。

''証明''　まず $\tau_{\equiv_\sigma}([a]_{\equiv_\sigma}):=\sigma(a)$ とする。これが写像となることを示す。左全域性は明らかなので右一意性を示そう。
$[a]_{\equiv_\sigma}=[b]_{\equiv_\sigma}$ とすれば $\equiv_\sigma$ の定義から、$\sigma(a)=\sigma(b)$ であり良い。
同様に逆も言えるため左一意性、すなわち $\tau_{\equiv_\sigma}$ が単射であることも従う。また $\sigma$ が全射であることから $\tau_{\equiv_\sigma}$ も全射である。命題2.3.3より
準同型であることを示せば十分である。
剰余代数の定義から $\tau_{\equiv_\sigma}(\mathtt{f}^{\mathcal{M}/{\equiv_\sigma}}([a_0]_{\equiv_\sigma},\ldots,[a_{n-1}]_{\equiv_\sigma}))=\tau_{\equiv_\sigma}([\mathtt{f}^\mathcal{M}(a_0,\ldots,a_{n-1})]_{\equiv_\sigma})$ であり、$\tau_{\equiv_\sigma}$ の定義から $\tau_{\equiv_\sigma}([f^\mathcal{M}(a_0,\ldots,a_{n-1})]_{\equiv_\sigma})=\sigma(f^\mathcal{M}(a_0,\ldots,a_{n-1}))$ である。
$\sigma$ が準同型であることから $\sigma(\mathtt{f}^\mathcal{M}(a_0,\ldots,a_{n-1}))=\mathtt{f}^\mathcal{N}(\sigma(a_0),\ldots,\sigma(a_{n-1}))$ であり $\tau_{\equiv_\sigma}$ の定義が $\mathtt{f}^\mathcal{N}(\sigma(a_0),\ldots,\sigma(a_{n-1}))=\mathtt{f}^\mathcal{N}(\tau_{\equiv_\sigma}([a_0]_{\equiv_\sigma},\ldots,[a_{n-1}]_{\equiv_\sigma}))$ となる。□

==== 系2.3.10 ====

準同型 $\sigma\colon|\mathcal{M}|\to|\mathcal{N}|$ と $|\mathcal{M}|$ 上の合同関係 $\equiv_\sigma$ は $a\equiv_\sigma b$ ならば $\sigma(a)=\sigma(b)$ を満たすとする。
このとき準同型 $\tau_{\equiv_\sigma}\colon|\mathcal{M}/{\equiv}|\to|\mathcal{N}|$ が存在し $\sigma=\tau_{\equiv_\sigma}\circ\pi_{\equiv_\sigma}$ となる。
ただし $\pi_{\equiv_\sigma}\colon|\mathcal{M}|\to|\mathcal{M}/{\equiv_\sigma}|,\pi_{\equiv_\sigma}(a)=[a]_{\equiv_\sigma}$ とする。

''証明''　定理2.3.9の証明とほとんど同様で良い。□

==== 例2.3.11（準同型定理の具体例） ====

群準同型 $\sigma\colon|\mathcal{G}|\to|\mathcal{H}|$ に対して $\mathrm{Ker}(\sigma):=\{g\in|\mathcal{G}|\mid\sigma(g)=\mathtt{0}^\mathcal{H}\}$ とする。このとき $\langle \mathrm{Ker}(\sigma),\mathtt{0}^\mathcal{G},\hat{\cdot}^\mathcal{G},{-}^{\hat{-1}^\mathcal{G}}\rangle$ は $\mathcal{G}$ の部分群であり、例2.2.6で定められる同値関係を $\equiv_{\mathrm{Ker}(\sigma)}$ とすれば $g_0\equiv_{\mathrm{Ker}(\sigma)}g_1$ と $g_0\equiv_\sigma g_1$ は同値であり、従って定理2.3.9及び系2.3.10から以下の群論に於ける準同型定理が従う。
* 群準同型 $\sigma\colon|\mathcal{G}|\to|\mathcal{H}|$ 、自然な準同型 $\pi\colon|\mathcal{G}|\to|\mathcal{G}/\equiv_{\mathrm{Ker(\sigma)}}|$ に対して、準同型 $\tau\colon |\mathcal{G}/\equiv_{\mathrm{Ker(\sigma)}}|\to|\mathcal{H}|$ が存在して $\sigma=\tau\circ\pi$ であり、また $\tau$ は $\mathcal{G}/\equiv_{\mathrm{Ker(\sigma)}}$ から $\langle\mathrm{Im}(\sigma),\underline{0}^\mathcal{H},+^\mathcal{H},-^\mathcal{H}\rangle$ への同型射である。

=== 2.4. 等式論理の形式的証明 ===
==== 定義2.4.1（等式理論） ====
理論 $T$ 論理式 $\varphi$ に対して $T\vdash\varphi$ を帰納的に定義する。

1. $(\mathsf{refl})$　任意の項 $t$ に対して $T\vdash t=t$ である。

2. $(T)$　任意の $\varphi\in T$ に対して $T\vdash\varphi$ である。

3. $(\mathsf{sym})$　任意の項 $s,t$ に対して $T\vdash s=t$ ならば $T\vdash t=s$ である。

4. $(\mathsf{trans})$　任意の項 $s,t,r$ に対して $T\vdash s=t$ かつ $T\vdash t=r$ ならば $T\vdash s=r$ である。

5. $(\mathsf{sub})$　任意の変数 $u$ 、項 $s(u),t(u),r$ に対して $T\vdash s(u)=t(u)$ ならば $T\vdash s(r)=t(r)$ である。

6. $(\mathsf{comp})$　任意の関数記号 $f\in\mathscr{L}$ 、任意の項 $s_0,\ldots,s_{n-1},t_0,\ldots,t_{n-1}$ に対して、全ての$i<n$　について $T\vdash s_i=t_i$ ならば $T\vdash f(s_0,\ldots,s_{n-1})=f(t_0,\ldots,t_{n-1})$ である。

$\vdash$ に関して命題論理と同様に用語を定める。
* $T\vdash\varphi$ であるとき $T$ から $\varphi$ は''証明可能'' (provable) であるという。また $\emptyset\vdash\varphi$ であるとき単に証明可能であるといい、$\vdash\varphi$ と表す。
* $\mathrm{Th}(T):=\{\varphi\in\mathrm{EqFml}\mid T\vdash\varphi\}$ とする。また言語を明示するとき $\mathrm{Th}_\mathscr{L}(T)$ と表す。

=== 2.5. Birkhoffの完全性定理、$\mathsf{HSP}$ 定理 ===

==== 定義2.5.1（生成） ====
代数構造 $\mathcal{M}$ 、$X\subseteq|\mathcal{M}|$ とする。このとき $X\subseteq\mathcal{N}$ で $\mathcal{M}$ の部分代数のなか、領域の包含関係において最小であるとき、$\mathcal{N}$ を $X$ によって''生成される'' (generated) 部分代数であるという。

==== 定義2.5.2（自由 $\mathcal{K}$-代数） ====
$\mathcal{K}$ を代数構造からなるクラスとする。このとき $\mathcal{M}\in\mathcal{K}$ が $X$ によって生成される''自由 $\mathcal{K}$-代数'' (free $\mathcal{K}$-代数) であるとは以下を満たすことである。
* $\mathcal{M}$ は $X$ で生成される。
* 任意の $\mathcal{N}\in\mathcal{K}$ 、写像 $\sigma\colon X\to|\mathcal{N}|$ に対し、ある準同型 $\overline{\sigma}\colon|\mathcal{M}|\to|\mathcal{N}|$ で $\overline{\sigma}$ は $\sigma$ の拡大である、すなわち任意の $x\in X$ に対して $\sigma(x)=\overline{\sigma}(x)$ となるものが一意に存在する。

==== 命題2.5.3（自由生成と濃度） ====
代数構造 $\mathcal{M},\mathcal{N}\in\mathcal{K}$ でそれぞれ集合 $X,Y$ によって自由生成されていて、$X,Y$ が等濃であれば $\mathcal{M}\cong\mathcal{N}$ である。

''証明''　全単射 $\sigma\colon X\to Y$ を取る。
自由代数の定義から $\sigma,\sigma^{-1}$ は準同型 $\overline{\sigma}\colon|\mathcal{M}|\to|\mathcal{N}|,\overline{\sigma^{-1}}\colon|\mathcal{N}|\to|\mathcal{M}|$ に拡張され $\overline{\sigma^{-1}}\circ\overline{\sigma}$ は $X$ 上の恒等写像の拡張となる準同型 $|\mathcal{M}|\to|\mathcal{M}|$ で拡張の一意性から $\overline{\sigma^{-1}}\circ\overline{\sigma}=\mathrm{id}_{|\mathcal{M}|}$ 、
同様に $\overline{\sigma}\circ\overline{\sigma^{-1}}=\mathrm{id}_{|\mathcal{N}|}$ であり、$\mathcal{M}\cong\mathcal{N}$ である。

==== 定義2.5.3（項代数） ====

== 出典 ==

== 参考文献 ==

[田中19] 田中一之、数学基礎論序説、裳華房、2019。

[Sankappanavar–Burris] H.P. Sankappanavar, S. Burris, A course in universal algebra, Graduate Texts Math 78, 1981.

=== 脚注 ===
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数理論理学の基礎：等式論理

2022-01-07T19:58:33Z

Alwe: /* 2.1 等式論理の統語論 */

[[Category:数理論理学|トウシキロンリ]]
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$
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{{newtheorem |type=theorem |display=定理 |counter=0 }}
{{newtheorem |type=lemma |display=補題 |family=theorem }}
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== 2. 等式論理 ==

'''等式論理''' (equational logic) は先程までの命題論理とは異なり命題同士の関係ではなく命題の中身、特に $s=t$ という形をした等式による命題に注目する論理である。。
等式論理に対しても命題論理と同様に統語論、意味論を考える。命題論理と同様に形式的証明と、命題論理での真理値に対応する'''モデル''' (model) というのを紹介する。

形式的証明は等式の以下に上げる基本的な性質による書き換え操作によって得られる。

# '''反射律''' (reflexivity) $s=s$ である。
# '''対称律''' (symmetricity) $s=t$ ならば $t=s$ である。
# '''推移律''' (transitivity) $s=t$ かつ $t=r$ ならば $s=r$ である。
# '''代入''' (substitution) $s(u)=t(u)$ ならば $s(r)=t(r)$ である。
# '''関数との両立''' (compatibility with functions) 任意の $i<n+1$ に対して $s_i=t_i$ ならば $f(s_0,\ldots,s_n)=f(t_0,\ldots,t_n)$ である。

一方、モデルによる意味論はある種の数学的な'''代数構造''' (algebraic structure) を用いて定義される。具体的には構造が与えられたとき、その構造で満たされることを真と見做す。ここで構造というのは'''台集合''' (underlying set) とその上の関数からなる組のことである。

=== 2.1 等式論理の統語論 ===

{{theorem |type=definition |name=等式論理の記号 |label=symbols-of-equational-logic }}
等式論理の'''論理記号''' (logical symbol) は以下からなる。
* '''変数記号''' (variable symbol) $u,v,w,\ldots$ 。
* '''等号記号''' (equality symbol) $=$ 。
* '''括弧''' (brackets) $(,).$ 及び'''カンマ''' (comma) $,$ 。

変数記号の集合を $\mathrm{EqVar}$ とし、変数記号は無限個あることを仮定する。

{{theorem |type=definition |name=等式論理の代数言語 |label=algebraic-languages-of-equational-logic }}

'''代数言語''' (algebraic language) は'''関数記号''' (function symbol) からなる集合で各関数記号には'''項数''' (arity) という自然数が割り当てられているとする。

また特に項数が $0$ である関数記号を'''定数記号''' (constant symbol) という。言語の元を'''非論理記号''' (non-logical symbol) という。関数記号は有限個でも無限個あっても良い。

便宜上、代数言語を集合ではなく組として扱うこともある。

{{theorem |type=example |name=代数言語の例 |label=example-of-algebraic-languages-of-equational-logic }}
代数言語の例をいくつかあげる。
* 群の言語 $\mathscr{L}_\mathsf{Grp}:=\{\mathtt{1},\mathrel{\hat{\cdot}},{-}^{\hat{-1}}\}$ 。項数は順に $0,2,1$ 。
* 環の言語 $\mathscr{L}_\mathsf{Ring}:=\{\mathtt{0},\mathtt{1},\mathrel{\hat{+}},\mathrel{\hat{-}},\mathrel{\hat{\cdot}}\}$ 。項数は順に $0,0,2,1,2$ 。
* 束の言語 $\mathscr{L}_\mathsf{Lat}:=\{\hat{\top},\hat{\bot},\mathrel{\hat{\land}},\mathrel{\hat{\lor}}\}$ 。項数は順に $0,0,2,2$ 。
* Boole代数の言語 $\mathscr{L}_\mathsf{BA}:=\{\hat{\top},\hat{\bot},\mathrel{\hat{\land}},\mathrel{\hat{\lor}},\mathrel{\hat{\lnot}}\}$ 。項数は順に $0,0,2,2,1$ 。

{{theorem |type=definition |name=等式論理の項 |label=terms-of-equational-logic}}

$\mathscr{L}$ を代数言語とする。このとき '''$\mathscr{L}$-項''' ($\mathscr{L}$-term) は以下のように帰納的に定義される文字列である。
# 変数 $u,v,w,\ldots$ は $\mathscr{L}$-項である。
# 関数記号 $\mathtt{f}$ に対し、その項数が $n$ であるとき、$\mathscr{L}$-項 $t_0,\ldots,t_{n-1}$ に対して $\mathtt{f}(t_0,\ldots,t_n)$ は$\mathscr{L}$-項である。

特に定数記号は $\mathscr{L}$-項であることに注意しよう。$\mathscr{L}$-項の集合を $\mathrm{EqTm}_\mathscr{L}$ と表す。

項数が $2$ の関数記号 $\mathtt{f}$ に対して $\mathtt{f}(s,t)$ の代わりに $s\mathrel{\mathtt{f}} t$ と'''中置記法''' (infix notation) で表し、適当に括弧を補うことがある<ref group="脚注">中置記法に対し、$\mathtt{f}(s,t)$ あるいは括弧などを省略し $\mathtt{f}st$ という記法を '''前置記法''' (prefix notation) あるいは'''ポーランド記法''' (Poland notation) といい、逆に $st\mathtt{f}$ という記法を'''後置記法''' (postfix notation) あるいは'''逆ポーランド記法''' (reverse Poland notation) という。</ref>。

{{theorem |type=definition |name=$\mathscr{L}$-項の例 |label=example-of-terms-of-equational-logic}}

項の例をいくつかあげる。
* $(u\mathrel{\hat{\cdot}}\mathtt{1})^{\hat{-1}},\mathtt{1}\mathrel{\hat{\cdot}}v$ は $\mathscr{L}_\mathsf{Grp}$-項である。
* $(\mathtt{1}\mathrel{\hat{+}}\mathtt{1})\mathrel{\hat{\cdot}} (\mathrel{\hat{-}}\mathtt{0}),(u\mathrel{\hat{+}}\mathtt{1})\mathrel{\hat{\cdot}}((\mathrel{\hat{-}}\mathtt{0})\mathrel{\hat{\cdot}}v)$ は $\mathscr{L}_\mathsf{Ring}$-項である。
* $u\mathrel{\hat{\land}} (v\mathrel{\hat{\lor}}w),(\hat{\top}\mathrel{\hat{\land}}u)\mathrel{\hat{\lor}}\hat{\bot}$ は $\mathscr{L}_\mathsf{Lat}$-項である。
* $u\mathrel{\hat{\land}}(\mathrel{\hat{\lnot}} v),(\mathrel{\hat{\lnot}}\hat{\top})\mathrel{\hat{\land}}\hat{\bot}$ は $\mathscr{L}_\mathsf{BA}$-項である。

{{theorem |type=definition |name=等式論理の論理式 |label=formulae-of-equational-logic}}
$\mathscr{L}$ を代数言語とする。このとき '''$\mathscr{L}$-論理式''' ($\mathscr{L}$-formula) は以下のように定義される文字列である。
# $\mathscr{L}$-項 $s,t$ に対して $s=t$ は$\mathscr{L}$-論理式である。
$\mathscr{L}$-論理式の集合を $\mathrm{EqFml}_\mathscr{L}$ と表す。

また等式論理の論理式を'''原子論理式''' (atomic formula) と呼ぶこともある。

{{theorem |type=definition |name=項の出現 |label=occurrence-of-terms}}

$\mathscr{L}$-項 $s$ が $\mathscr{L}$-項 $t$ に'''出現する''' (occur) あるいは単に'''現れる'''ということを $\mathscr{L}$-項 $t$ の定義に沿って帰納的に定義する。

# 変数 $u$ に対して $s$ が $u$ であるとき $u$ に $s$ が現れている。
# $\mathscr{L}$-項 $f(t_0,\ldots,t_{n-1})$ に対して、ある $i<n$ が存在し $t_i$ に $s$ が現れているか、または $s$ が $f(t_0,\ldots,t_{n-1})$ であるとき、$s$ が $f(t_0,\ldots,t_{n-1})$ に現れている。

また$\mathscr{L}$-項 $s$ が $\mathscr{L}$-論理式 $\varphi$ に現れるということを定義する。
# $t=r$ に $\mathscr{L}$-項 $s$ が現れるのは $t$ か $r$ のいずれかに現れるときである。

$\mathscr{L}$-項 $t$ に $s_0,\ldots,s_n$ が現れているとき $t(s_0,\ldots,s_n)$ などど表す。

{{theorem |type=definition |name=項の代入 |label=substitution-of-terms}}

$\mathscr{L}$-項 $s,t$ 、変数 $u$ に対して $s$ に現れる $u$ に $t$ を'''代入''' (substitution) した結果 $s[u:=t]$ を $s$ の定義に沿って帰納的に定義する。
# $s$ に $u$ が現れていないとき $s[u:=t]$ は $s$ である。
# $u[u:=t]$ を $t$ のこととする。
# $\mathtt{f}(t_0,\ldots,t_{n-1})[u:=t]$ を　$\mathtt{f}(t_0[u:=t],\ldots,t_{n-1}[u:=t])$　のこととする。

また $\mathscr{L}$-論理式 $\varphi$ 、 $\mathscr{L}$-項 $t$ 、変数 $u$ に対して $\varphi$ に現れる $u$ に $t$ を'''代入''' (substitution) した結果 $\varphi[u:=t]$ を定義する。
# $\varphi$ に $u$ が現れていないとき $\varphi[u:=t]$ は $\varphi$ である。
# $(s=r)[u:=t]$ を $s[u:=t]=t[u:=t]$ のこととする。

また $s(u)$ に対して $s(u)[u:=t]$ を単に $s(t)$ と表す。

{{theorem |type=notation |name=省略記法 |label=abbreviation}}

$\mathscr{L}$-項、$\mathscr{L}$-論理式などの「$\mathscr{L}$-」という接頭辞は、どの言語を指しているか明らかなとき、あるいは言語に拠らない議論をするとき省略する。

また命題論理と同様に以下の記法を用いる。

* 論理式の集合 $T$ を '''公理系''' (axiomatic system, axioms, axiomata) 、'''等式理論''' (equational theory) 、あるいは単に'''理論''' (theory) という。
* 理論 $T$ と論理式 $\varphi$ に対して $T+\varphi$ で $T\cup\{\varphi\}$ を表す。

=== 2.2 等式論理のモデル ===

{{theorem |type=definition |name=代数構造 |label=algebraic-structure}}

$\mathscr{L}$ を言語とする。このとき '''$\mathscr{L}$-代数構造''' ($\mathscr{L}$-algebraic structure) $\mathcal{M}$ は'''領域''' (domain) あるいは'''宇宙''' (universe) 、'''台集合''' (underlying set) と言われる空でない<ref group="脚注">空な構造を認める流儀も存在する。特に'''圏論的論理学''' (categorical logic) の文脈では、空な構造を認めた方が都合が良い場合が多い。構造からなる圏、あるいは後述するモデルからなる圏に始対象が存在しないと都合が悪い場合が多いからである。例えば後述する等式理論の項モデルの構成と類似の議論をすることによって、等式理論、あるいはその項モデルの圏論的対応物となる圏、'''Lawvere理論''' (Lawvere theory) を得ることができ、モデルとはLawvere理論から集合と写像からなる圏 $\mathrm{Set}$ への有限直積を保つ関手と思うことができるが、このような議論は空なモデルが存在しない場合、面倒な例外処理を行わなければならなくなる。またtoo simple to be simpleの理念に従っても空なモデルは認めたほうが良いと思われる。しかし数理論理学に於いては空なモデルを認めない流儀が主流である。これは等式論理の範疇では問題にならないが、一階述語論理に於いては空なモデルを許容すると、(等号を含む)関係記号を言語として持つ場合、論理式 $\forall x\varphi(x)\to\exists x\varphi(x)$ は証明可能になるが、空なモデルで成り立たない。すなわち健全性定理が成り立たなくなるのが問題となる。</ref>集合 $M$ と以下に定義される'''$\mathscr{L}$-解釈''' ($\mathscr{L}$-interpretation) ${-}^\mathcal{M}$ の組 $\langle M;{-}^\mathcal{M}\rangle$ である。

$\mathscr{L}$-解釈 ${-}^\mathcal{M}$ は以下を満たす言語 $\mathscr{L}$ からの写像である。

* 関数記号 $\mathtt{f}\in\mathscr{L}$ に対して $\mathtt{f}$ の項数が $n$ であるとき、$\mathtt{f}^\mathcal{M}\colon M^n\to M$ である。

定数記号の解釈は一つの $M$ の要素を返す関数となる。よってその返す値と同一視することで定数記号 $\mathtt{c}$ に対して $\mathtt{c}^\mathcal{M}\in M$ と見做すことができることに注意する。このような同一視を今後断りなく行うことに注意する。

代数構造 $\mathcal{M}$ が与えられたとき、$|\mathcal{M}|$ を $\mathcal{M}$ の台集合を表すことにする。また数学の慣習に基づき構造 $\mathcal{M}$ とその台集合 $|\mathcal{M}|$ を誤解を与えない範囲で同一視する。例えば $a\in |\mathcal{M}|$ の代わりに $a\in\mathcal{M}$ と表すことがある。

また $\mathcal{M}=\langle M;{-}^\mathcal{M}\rangle$ と表す代わりに解釈後の関数、関係をリストし $\mathcal{M}=\langle A;\mathtt{f}_0^\mathcal{M},\ldots,\mathtt{f}_i^\mathcal{M}\rangle$ と表すことがある。

{{theorem |type=example |name=代数構造の例 |label=examples-of-algebraic-structures}}
任意の群 $\mathcal{G}:=\langle|\mathcal{G}|;e,\cdot,{-}^{-1}\rangle$ は $\mathtt{1}^\mathcal{G}:=e,\hat{\cdot}^\mathcal{G}:=\cdot,{{-}^{\hat{-1}}}^\mathcal{G}:={-}^{-1}$ と定めることで $\mathscr{L}_\mathsf{Grp}$-構造として見做すことができる。しかし、別に群でなくても $a\in A,f\colon A^2\to A,g\colon A\to A $ に対して $\langle A;a,f,g\rangle$ は同様に $\mathscr{L}_\mathsf{Grp}$-構造として見做すことができる。

{{theorem |type=definition |name=項の解釈 |label=interpretation-of-terms}}

$\mathscr{L}$-代数構造 $\mathcal{M}=\langle M;{-}^\mathcal{M}\rangle$ と $\mathscr{L}$-閉項 $t$ に対して $t^\mathcal{M}\in M$ を帰納的に定義する。

* $\mathtt{f}(t_0,\ldots,t_{n-1})$ に対して $(\mathtt{f}(t_0,\ldots,t_{n-1}))^\mathcal{M}$ を $\mathtt{f}^\mathcal{M}(t_0^\mathcal{M},\ldots,t_{n-1}^\mathcal{M})$ と定める。

{{theorem |type=definition |name=拡大と縮約 |label=expansion-and-reduct}}

言語 $\mathscr{L}\subseteq\mathscr{L}'$ とし、$\mathcal{M}$ を $\mathscr{L}$-代数構造とし、$\mathcal{M}'$ を $\mathscr{L}'$-代数構造とする。$|\mathcal{M}|=|\mathcal{M}'|$ とし、$\mathtt{f}\in\mathscr{L}$ に対し $\mathtt{f}^\mathcal{M}=\mathtt{f}^{\mathcal{M}'}$ が成り立つとする。このとき $\mathcal{M}'$ を $\mathcal{M}$ の'''拡大''' (expansion) といい、$\mathcal{M}$ を $\mathcal{M}'$ の'''縮約''' (reduct) という。

{{theorem |type=example |name=拡大と縮約の例 |label=expansion-and-reduct}}
任意の環 $\mathcal{R}=\langle|\mathcal{R}|;\mathtt{0}^\mathcal{R},\mathtt{1}^\mathcal{R},\hat{+}^\mathcal{R},\hat{-}^\mathcal{R},\hat{\cdot}^\mathcal{R}\rangle$ はその加法群 $\mathcal{R}^+=\langle|\mathcal{R}|;\mathtt{0}^\mathcal{R},\hat{+}^\mathcal{R},{-}^\mathcal{R}\rangle$ の拡張となる。ここで群の言語は $\{\mathtt{1},\hat{\cdot},{-}^{\hat{-1}}\}$ であったが記号を変えて $\{\mathtt{0},\hat{+},\hat{-}\}$ としても本質的になにも変わらない。実際、[[Abel群]]に対してはこのように書かれることが多い。
一方、加法群と違い、乗法群 $\mathcal{R}^\times=\langle|\mathcal{R}|\setminus\{\mathtt{0}^\mathcal{R}\};\mathtt{0}^\mathcal{R},\hat{+}^\mathcal{R},{-}^\mathcal{R}\rangle$ は領域がことなるため拡張にはならない。

{{theorem |type=definition |name=名前 |label=name}}

$\mathscr{L}$-代数構造 $\mathcal{M}$ に対して言語 $\mathscr{L}(\mathcal{M})$ と $\mathscr{L}(\mathcal{M})$-代数構造 $\mathcal{M}_\mathrm{par}$ を定義する。
* $\mathscr{L}(\mathcal{M})$ には $\mathscr{L}$ の元に加え、$a\in|\mathcal{M}|$ に対する定数記号 $\underline{a}$ を持つ。この定数記号 $\underline{a}$ を $a$ の ''名前''(name) や''パラメータ'' (parameter) という。名前を単に $a$ と表すこともある。
* $\mathcal{M}_\mathrm{par}$ は $\mathcal{M}$ の拡大であり、$\underline{a}^{\mathcal{M}_\mathrm{par}}:=a$ とする。

誤解を生じないとき $\mathcal{M}_\mathrm{par}$ を単に $\mathcal{M}$ と表す。

{{theorem |type=definition |name=充足可能性関係 |label=satisfiability-relation}}

$\mathscr{L}$-代数構造 $\mathcal{M}$ と $\mathscr{L}(\mathcal{M})$-論理式 $s(u_0,\ldots,u_{n-1})=t(v_0,\ldots,v_{m-1})$ に対し '''充足可能性関係''' (satisfiability relation) $\mathcal{M}\models s(u_0,\ldots,u_{n-1})=t(v_0,\ldots,v_{m-1})$ を定義する<ref group="脚注">充足可能性関係の定義には名前ではなく、'''割り当て''' (assignment) と呼ばれる、論理式に出現する変数記号から領域への写像を用いて、閉項に対して定義された解釈を割り当てを用いて閉項とは限らない項に拡張することで定義する流儀もある。</ref>。
ここで $s(u_0,\ldots,u_{n-1})=t(v_0,\ldots,v_{m-1})$ に現れる変数は $u_0,\ldots,u_{n-1},v_0,\ldots,v_{m-1}$ に限るとする。

#　$\mathcal{M}\models s(u_0,\ldots,u_{n-1})=t(v_0,\ldots,v_{m-1})$ となるのは任意の $a_0,\ldots,a_{n-1},b_0,\ldots,b_{m-1}\in |\mathcal{M}|$ に対して $(s(u_0,\ldots,u_{n-1})[u_0:=\underline{a_0}]\cdots[u_{n-1}:=\underline{a_{n-1}}])^{\mathcal{M}_\mathrm{par}}=(t(v_0,\ldots,v_{m-1})[v_0:=\underline{b_0}]\cdots[v_{m-1}:=\underline{b_{m-1}}])^{\mathcal{M}_\mathrm{par}})$ が成り立つことである。

ここで $\mathcal{M}\models s(u_0,\ldots,u_{n-1})=t(v_0,\ldots,v_{m-1})$ に含まれる $=$ は等号記号だが、$(s(u_0,\ldots,u_{n-1})[u_0:=\underline{a_0}]\cdots[u_{n-1}:=\underline{a_{n-1}}])^{\mathcal{M}_\mathrm{par}}=(t(v_0,\ldots,v_{m-1})[v_0:=\underline{b_0}]\cdots[v_{m-1}:=\underline{b_{m-1}}])^{\mathcal{M}_\mathrm{par}})$　に表れる $=$ は実際の等号であることに注意されたい。また $\models$ に対していくつかの用語を定める。

* $T$ を理論とし、任意の $\varphi\in T$ に対して $\mathcal{M}\models\varphi$ となっているとする。このとき $\mathcal{M}$ を $T$ の'''モデル''' (model) であるといい、$\mathcal{M}\models\varphi$ と表す。
* $T$ の任意のモデル $\mathcal{M}$ に対して $\mathcal{M}\models\varphi$ であるとき $\varphi$ は $T$ からの'''論理的帰結''' (logical consequence) であるといい、$T\models \varphi$ と表す。

{{theorem |type=example |name=モデルの例 |label=examples-of-models}}
$\mathscr{L}_\mathsf{Grp}$-理論 $\mathsf{Grp}$ を以下の論理式からなるものとする。
* $u\mathrel{\hat{\cdot}}(v\mathrel{\hat{\cdot}}w)=(u\mathrel{\hat{\cdot}}v)\mathrel{\hat{\cdot}}w$ 。
* $u\mathrel{\hat{\cdot}}\mathtt{0}=u$ 。
* $u\mathrel{\hat{\cdot}}(u^{\hat{-1}})=\mathtt{0}$ 。

$\mathsf{Grp}$ のモデルは群そのものである。

$\mathscr{L}_\mathsf{Ring}$-理論 $\mathsf{Ring}$ を以下の論理式からなるものとする。

* $u\hat{+}(v\mathrel{\hat{+}}w)=(u\mathrel{\hat{+}}v)\mathrel{\hat{+}}w$ 。
* $u\mathrel{\hat{+}}\mathtt{0}=u$ 。
* $u\mathrel{\hat{+}}(\mathrel{\hat{-}}u)=\mathtt{0}$ 。
* $u\mathrel{\hat{+}}v=v\mathrel{\hat{+}}u$ 。
* $u\mathrel{\hat{\cdot}} (v\mathrel{\hat{\cdot}} w)=(u\mathrel{\hat{\cdot}} v)\mathrel{\hat{\cdot}} w$ 。
* $u\mathrel{\hat{\cdot}} (v\mathrel{\hat{+}}w)=(u\mathrel{\hat{\cdot}} v)\mathrel{\hat{+}}(u\mathrel{\hat{\cdot}} w)$ 。
* $u\mathrel{\hat{\cdot}}\mathtt{1}=u$ 。

$\mathsf{Ring}$ のモデルも同様に環である。

言語 $\mathscr{L}_\mathsf{SGrp}:=\{\hat{\cdot}\}$ とし、理論 $\mathsf{SGrp}$ を

* $u\mathrel{\hat{\cdot}}(v\mathrel{\hat{\cdot}}w)=(u\mathrel{\hat{\cdot}}v)\mathrel{\hat{\cdot}}w$ 。

とする。このとき理論 $\mathsf{SGrp}$ のモデルは空でない半群全体となる。

=== 2.3 代数構造の理論 ===
==== 定義2.3.1（準同型、同型） ====

$\mathscr{L}$-代数構造 $\mathcal{M},\mathcal{N}$ に対して $\sigma\colon|\mathcal{M}|\to|\mathcal{N}|$ が''準同型射'' (homomorphism) であるとは、任意の $\mathtt{f}\in\mathscr{L}$ 、$a_0,\ldots,a_{n-1}\in|\mathcal{M}|$ に対し $\sigma(\mathtt{f}^\mathcal{M}(a_0,\ldots,a_{n-1}))=\mathtt{f}^\mathcal{N}(\sigma(a_0),\ldots,\sigma(a_{n-1}))$ が成り立つことである。

また準同型 $\sigma\colon|\mathcal{M}|\to|\mathcal{N}|,\tau\colon|\mathcal{N}|\to|\mathcal{M}|$ が存在し $\tau\circ\sigma =\mathrm{id}_\mathcal{M},\sigma\circ\tau =\mathrm{id}_\mathcal{N}$ となるとき $\mathcal{M}$ と $\mathcal{N}$ は''同型'' (isomorphic))であるといい $\mathcal{M}\cong\mathcal{N}$ と表し、$\sigma,\tau$ を''同型射'' (isomorphism) であるという。
ここで $\mathrm{id}_\mathcal{M}\colon|\mathcal{M}|\to|\mathcal{M}|,\mathrm{id}_\mathcal{M}(a)=a,\mathrm{id}_\mathcal{N}\colon|\mathcal{N}|\to|\mathcal{N}|,\mathrm{id}_\mathcal{N}(b)=b$ とする。

==== 定義2.3.2（部分代数） ====

$\mathscr{L}$-代数構造 $\mathcal{M},\mathcal{N}$ に対して、$\mathcal{N}$ が $\mathcal{M}$ の''部分代数'' (subalgebra) であるとは $|\mathcal{N}|\subseteq|\mathcal{M}|$ かつ、任意の $\mathtt{f}\in\mathscr{L}$ 、任意の $b_0,\ldots,b_{n-1}\in|\mathcal{N}|$ に対し $\mathtt{f}^\mathcal{N}(b_0,\ldots,b_{n-1})=\mathtt{f}^\mathcal{M}(b_0,\ldots,b_{n-1})$ を満たすことである。

==== 命題2.3.3（代数構造の同型に対する必要十分条件） ====

$\mathcal{M}\cong\mathcal{N}$ であるのは全単射準同型 $\upsilon\colon\mathcal{M}\to\mathcal{N}$ が存在するときであり、またそれに限る。

''証明''　$\mathcal{M}\cong\mathcal{N}$ であると仮定する。仮定より準同型 $\sigma\colon\mathcal{M}\to\mathcal{N},\tau\colon\mathcal{N}\to\mathcal{M}$ で $\sigma\circ\tau,\tau\circ\sigma$ が恒等となるものを取る。$\sigma,\tau$ は互いに逆写像であり、よって全単射である。

逆を示す。$\upsilon\circ\upsilon^{-1},\upsilon^{-1}\circ\upsilon$ が恒等になるのは明らかである。よって $\upsilon^{-1}\colon\mathcal{N}\to\mathcal{M}$ が準同型となることを確認すれば良い。
$\upsilon$ は全単射であるから、ある $a_0,\ldots,a_{n-1}\in|\mathcal{M}|$ が存在して $\upsilon(a_0)=b_0,\ldots,\upsilon(a_{n-1})=b_{n-1}$ である。
よって $\upsilon^{-1}(\mathtt{f}^\mathcal{N}(b_0,\ldots,b_{n-1}))=\upsilon^{-1}(\mathtt{f}^\mathcal{N}(\upsilon(a_0),\ldots,\upsilon(a_{n-1})))$ であり、$\upsilon$ は準同型であるから $\upsilon^{-1}(\mathtt{f}^\mathcal{N}(\upsilon(a_0),\ldots,\upsilon(a_{n-1})))=\upsilon^{-1}(\upsilon(\mathtt{f}^\mathcal{M}(a_0,\ldots,a_{n-1})))$ となる。
従って $\upsilon^{-1}(\upsilon(\mathtt{f}^\mathcal{M}(a_0,\ldots,a_{n-1})))=\mathtt{f}^\mathcal{M}(a_0,\ldots,a_{n-1})$　であり、$a_0=\upsilon^{-1}(b_0),\ldots,a_{n-1}=\upsilon^{-1}(b_{n-1})$ より良い。□

==== 定義2.3.4（合同関係） ====
$\mathcal{M}$ を代数構造とし、$\equiv$ を $|\mathcal{M}|$ 上の同値関係で $\mathtt{f}\in\mathscr{L}$ に対して $\mathtt{f}^\mathcal{M}$ と両立する、すなわち任意の $a_0,\ldots,a_{n-1},b_0,\ldots,b_{n-1}\in |\mathcal{M}|$ に対して、任意の $i<n$ について $a_i\equiv b_i$ $\equiv$ であるならば $\mathtt{f}^\mathcal{M}(a_0,\ldots,a_{n-1})\equiv\mathtt{f}^\mathcal{M}(b_0,\ldots,b_{n-1})$ が成り立つとき $\equiv$ は $\mathcal{M}$ 上の''合同関係'' (congruence relation) である、あるいは同値関係 $\equiv$ は $\mathtt{f}^\mathcal{M}$ に対して　''well-defined''であるという。
==== 定義2.3.5（剰余代数） ====

$\mathcal{M}$ を代数構造とし、$\equiv$ を $\mathcal{M}$ 上の合同関係とする。剰余代数'' (factor algebra, quotient algebra) $\mathcal{M}/{\equiv}:=\langle|\mathcal{M}|/{\equiv};{-}^{\mathcal{M}/{\equiv}}\rangle$ を以下のように定める。
* $|\mathcal{M}|/{\equiv}$ は $|\mathcal{M}|$ の $\equiv$ による商集合とし $a\in|\mathcal{M}|$ に対して $[a]_\equiv$ を $\equiv$ による同値類とする。
* $\mathtt{f}\in\mathscr{L}$ に対して $\mathtt{f}^{\mathcal{M}/{\equiv}}([a_0]_\equiv,\ldots,[a_{n-1}]_\equiv):=[\mathtt{f}^\mathcal{M}(a_0,\ldots,a_{n-1})]_\equiv$ とする。

==== 例2.3.6（剰余代数の例） ====

$\mathcal{G}$ を群、$\mathcal{H}$ を $\mathcal{G}$ の正規部分群、すなわち $\mathcal{H}$ は $\mathcal{G}$ の部分代数で、任意の $g\in|\mathcal{G}|,h\in|\mathcal{H}|$ に対し $(g\hat{\cdot}^\mathcal{G} h){\hat{\cdot}}^\mathcal{G}\left(g^{\hat{-1}^\mathcal{G}}\right)\in|\mathcal{H}|$ であるとする。$|\mathcal{G}|$ 上の合同関係　$\equiv_\mathcal{H}$ を $x\equiv_\mathcal{H} y:\Leftrightarrow x\hat{\cdot}^\mathcal{G}\left(y^{\hat{-1}^\mathcal{G}}\right)\in|\mathcal{H}|$ と定める。
このとき $\mathcal{G}/{\equiv_\mathcal{H}}$ を $\mathcal{G}/\mathcal{H}$ と表す。

$\mathcal{M}$ を可換環、$\mathcal{I}:=\langle|\mathcal{I}|;\mathtt{0}^\mathcal{I},\mathtt{1}^\mathcal{I},\hat{+}^\mathcal{I},\hat{-}^\mathcal{I},\hat{\cdot}^\mathcal{I}\rangle$ を $\mathcal{M}$ のイデアル、すなわち以下を満たすとする。
* $\langle|\mathcal{I}|;\mathtt{0}^\mathcal{I},\hat{+}^\mathcal{I},\hat{-}^\mathcal{I}\rangle$ は $\langle|\mathcal{M}|;\mathtt{0}^\mathcal{M},\hat{+}^\mathcal{M},\hat{-}^\mathcal{M}\rangle$ の部分構造である。
* 任意の $a\in|\mathcal{M}|,x\in|\mathcal{I}|$ に対し $a\hat{\cdot}^\mathcal{M}x\in|\mathcal{I}|$ である。

このとき上記の例と同様に $\equiv_\mathcal{I}$ を定義でき $\mathcal{M}/{\equiv_\mathcal{I}}$ を $\mathcal{M}/\mathcal{I}$ を表す。

==== 補題2.3.7（剰余代数と準同型） ====

代数構造 $\mathcal{M}$ と合同関係 $\equiv$ に対して $\pi_\equiv\colon|\mathcal{M}|\to|\mathcal{M}|/{\equiv},\pi_\equiv(a):=[a]_\equiv$ とする。このとき $\pi_\equiv$ は準同型となる。この準同型を $\equiv$ に対する自然な準同型という。

''証明''　剰余代数の定義より明らかである。□

==== 補題2.3.8（準同型と合同関係） ====

代数構造 $\mathcal{M},\mathcal{N}$ 、準同型 $\sigma\colon|\mathcal{M}|\to|\mathcal{N}|$ に対して $|\mathcal{M}|$ 上の二項関係 $\equiv_\sigma$ を $a\equiv_\sigma b:\Leftrightarrow\sigma(a)=\sigma(b)$ とする((これを $\sigma$ による''核'' (kernel) ということがある。))。このとき $\equiv_\sigma$ は合同関係である。

''証明''　$\equiv_\sigma$ が同値関係であることは明らかである。よって関数と両立することを示そう。
今 $\mathtt{f}$ の項数を $n$ とし任意の $i<n$ に対して $a_i\equiv_\sigma b_i$ であると仮定し、$\mathtt{f}^\mathcal{M}(a_0,\ldots,a_{n-1})\equiv_\sigma \mathtt{f}^\mathcal{M}(b_0,\ldots,b_{n-1})$ 、すなわち $\sigma(\mathtt{f}^\mathcal{M}(a_0,\ldots,a_{n-1}))=\sigma(\mathtt{f}^\mathcal{M}(b_0,\ldots,b_{n-1}))$ を示せば良い。
$\sigma$ が準同型であるという仮定から $\sigma(\mathtt{f}^\mathcal{M}(a_0,\ldots,a_{n-1}))=\mathtt{f}^\mathcal{N}(\sigma(a_0),\ldots,\sigma(a_{n-1}))$ であり、 $\equiv_\sigma$ の定義から $\mathtt{f}^\mathcal{N}(\sigma(a_0),\ldots,\sigma(a_{n-1}))=\mathtt{f}^\mathcal{N}(\sigma(b_0),\ldots,\sigma(b_{n-1}))$ 、よってもう一度 $\sigma$ が準同型であることから $\mathtt{f}^\mathcal{N}(\sigma(b_0),\ldots,\sigma(b_{n-1}))=\sigma(\mathtt{f}^\mathcal{M}(b_0,\ldots,b_{n-1}))$ 。□

==== 定理2.3.9（準同型定理 (homomorphism theorem) ） ====

全射準同型 $\sigma\colon|\mathcal{M}|\to|\mathcal{N}|$ に対して、同型 $\tau_{\equiv_\sigma}\colon|\mathcal{M}/{\equiv_\sigma}|\to|\mathcal{N}|$ が存在して $\sigma=\tau_{\equiv_\sigma}\circ\pi_{\equiv_\sigma}$ となる。
ここで $a\equiv_\sigma b:\Leftrightarrow\sigma(a)=\sigma(b)$ 、$\pi_{\equiv_\sigma}\colon|\mathcal{M}|\to|\mathcal{M}/{\equiv_\sigma}|,\pi_{\equiv_\sigma}(a)=[a]_{\equiv_\sigma}$ とする。

''証明''　まず $\tau_{\equiv_\sigma}([a]_{\equiv_\sigma}):=\sigma(a)$ とする。これが写像となることを示す。左全域性は明らかなので右一意性を示そう。
$[a]_{\equiv_\sigma}=[b]_{\equiv_\sigma}$ とすれば $\equiv_\sigma$ の定義から、$\sigma(a)=\sigma(b)$ であり良い。
同様に逆も言えるため左一意性、すなわち $\tau_{\equiv_\sigma}$ が単射であることも従う。また $\sigma$ が全射であることから $\tau_{\equiv_\sigma}$ も全射である。命題2.3.3より
準同型であることを示せば十分である。
剰余代数の定義から $\tau_{\equiv_\sigma}(\mathtt{f}^{\mathcal{M}/{\equiv_\sigma}}([a_0]_{\equiv_\sigma},\ldots,[a_{n-1}]_{\equiv_\sigma}))=\tau_{\equiv_\sigma}([\mathtt{f}^\mathcal{M}(a_0,\ldots,a_{n-1})]_{\equiv_\sigma})$ であり、$\tau_{\equiv_\sigma}$ の定義から $\tau_{\equiv_\sigma}([f^\mathcal{M}(a_0,\ldots,a_{n-1})]_{\equiv_\sigma})=\sigma(f^\mathcal{M}(a_0,\ldots,a_{n-1}))$ である。
$\sigma$ が準同型であることから $\sigma(\mathtt{f}^\mathcal{M}(a_0,\ldots,a_{n-1}))=\mathtt{f}^\mathcal{N}(\sigma(a_0),\ldots,\sigma(a_{n-1}))$ であり $\tau_{\equiv_\sigma}$ の定義が $\mathtt{f}^\mathcal{N}(\sigma(a_0),\ldots,\sigma(a_{n-1}))=\mathtt{f}^\mathcal{N}(\tau_{\equiv_\sigma}([a_0]_{\equiv_\sigma},\ldots,[a_{n-1}]_{\equiv_\sigma}))$ となる。□

==== 系2.3.10 ====

準同型 $\sigma\colon|\mathcal{M}|\to|\mathcal{N}|$ と $|\mathcal{M}|$ 上の合同関係 $\equiv_\sigma$ は $a\equiv_\sigma b$ ならば $\sigma(a)=\sigma(b)$ を満たすとする。
このとき準同型 $\tau_{\equiv_\sigma}\colon|\mathcal{M}/{\equiv}|\to|\mathcal{N}|$ が存在し $\sigma=\tau_{\equiv_\sigma}\circ\pi_{\equiv_\sigma}$ となる。
ただし $\pi_{\equiv_\sigma}\colon|\mathcal{M}|\to|\mathcal{M}/{\equiv_\sigma}|,\pi_{\equiv_\sigma}(a)=[a]_{\equiv_\sigma}$ とする。

''証明''　定理2.3.9の証明とほとんど同様で良い。□

==== 例2.3.11（準同型定理の具体例） ====

群準同型 $\sigma\colon|\mathcal{G}|\to|\mathcal{H}|$ に対して $\mathrm{Ker}(\sigma):=\{g\in|\mathcal{G}|\mid\sigma(g)=\mathtt{0}^\mathcal{H}\}$ とする。このとき $\langle \mathrm{Ker}(\sigma),\mathtt{0}^\mathcal{G},\hat{\cdot}^\mathcal{G},{-}^{\hat{-1}^\mathcal{G}}\rangle$ は $\mathcal{G}$ の部分群であり、例2.2.6で定められる同値関係を $\equiv_{\mathrm{Ker}(\sigma)}$ とすれば $g_0\equiv_{\mathrm{Ker}(\sigma)}g_1$ と $g_0\equiv_\sigma g_1$ は同値であり、従って定理2.3.9及び系2.3.10から以下の群論に於ける準同型定理が従う。
* 群準同型 $\sigma\colon|\mathcal{G}|\to|\mathcal{H}|$ 、自然な準同型 $\pi\colon|\mathcal{G}|\to|\mathcal{G}/\equiv_{\mathrm{Ker(\sigma)}}|$ に対して、準同型 $\tau\colon |\mathcal{G}/\equiv_{\mathrm{Ker(\sigma)}}|\to|\mathcal{H}|$ が存在して $\sigma=\tau\circ\pi$ であり、また $\tau$ は $\mathcal{G}/\equiv_{\mathrm{Ker(\sigma)}}$ から $\langle\mathrm{Im}(\sigma),\underline{0}^\mathcal{H},+^\mathcal{H},-^\mathcal{H}\rangle$ への同型射である。

=== 2.4. 等式論理の形式的証明 ===
==== 定義2.4.1（等式理論） ====
理論 $T$ 論理式 $\varphi$ に対して $T\vdash\varphi$ を帰納的に定義する。

1. $(\mathsf{refl})$　任意の項 $t$ に対して $T\vdash t=t$ である。

2. $(T)$　任意の $\varphi\in T$ に対して $T\vdash\varphi$ である。

3. $(\mathsf{sym})$　任意の項 $s,t$ に対して $T\vdash s=t$ ならば $T\vdash t=s$ である。

4. $(\mathsf{trans})$　任意の項 $s,t,r$ に対して $T\vdash s=t$ かつ $T\vdash t=r$ ならば $T\vdash s=r$ である。

5. $(\mathsf{sub})$　任意の変数 $u$ 、項 $s(u),t(u),r$ に対して $T\vdash s(u)=t(u)$ ならば $T\vdash s(r)=t(r)$ である。

6. $(\mathsf{comp})$　任意の関数記号 $f\in\mathscr{L}$ 、任意の項 $s_0,\ldots,s_{n-1},t_0,\ldots,t_{n-1}$ に対して、全ての$i<n$　について $T\vdash s_i=t_i$ ならば $T\vdash f(s_0,\ldots,s_{n-1})=f(t_0,\ldots,t_{n-1})$ である。

$\vdash$ に関して命題論理と同様に用語を定める。
* $T\vdash\varphi$ であるとき $T$ から $\varphi$ は''証明可能'' (provable) であるという。また $\emptyset\vdash\varphi$ であるとき単に証明可能であるといい、$\vdash\varphi$ と表す。
* $\mathrm{Th}(T):=\{\varphi\in\mathrm{EqFml}\mid T\vdash\varphi\}$ とする。また言語を明示するとき $\mathrm{Th}_\mathscr{L}(T)$ と表す。

=== 2.5. Birkhoffの完全性定理、$\mathsf{HSP}$ 定理 ===

==== 定義2.5.1（生成） ====
代数構造 $\mathcal{M}$ 、$X\subseteq|\mathcal{M}|$ とする。このとき $X\subseteq\mathcal{N}$ で $\mathcal{M}$ の部分代数のなか、領域の包含関係において最小であるとき、$\mathcal{N}$ を $X$ によって''生成される'' (generated) 部分代数であるという。

==== 定義2.5.2（自由 $\mathcal{K}$-代数） ====
$\mathcal{K}$ を代数構造からなるクラスとする。このとき $\mathcal{M}\in\mathcal{K}$ が $X$ によって生成される''自由 $\mathcal{K}$-代数'' (free $\mathcal{K}$-代数) であるとは以下を満たすことである。
* $\mathcal{M}$ は $X$ で生成される。
* 任意の $\mathcal{N}\in\mathcal{K}$ 、写像 $\sigma\colon X\to|\mathcal{N}|$ に対し、ある準同型 $\overline{\sigma}\colon|\mathcal{M}|\to|\mathcal{N}|$ で $\overline{\sigma}$ は $\sigma$ の拡大である、すなわち任意の $x\in X$ に対して $\sigma(x)=\overline{\sigma}(x)$ となるものが一意に存在する。

==== 命題2.5.3（自由生成と濃度） ====
代数構造 $\mathcal{M},\mathcal{N}\in\mathcal{K}$ でそれぞれ集合 $X,Y$ によって自由生成されていて、$X,Y$ が等濃であれば $\mathcal{M}\cong\mathcal{N}$ である。

''証明''　全単射 $\sigma\colon X\to Y$ を取る。
自由代数の定義から $\sigma,\sigma^{-1}$ は準同型 $\overline{\sigma}\colon|\mathcal{M}|\to|\mathcal{N}|,\overline{\sigma^{-1}}\colon|\mathcal{N}|\to|\mathcal{M}|$ に拡張され $\overline{\sigma^{-1}}\circ\overline{\sigma}$ は $X$ 上の恒等写像の拡張となる準同型 $|\mathcal{M}|\to|\mathcal{M}|$ で拡張の一意性から $\overline{\sigma^{-1}}\circ\overline{\sigma}=\mathrm{id}_{|\mathcal{M}|}$ 、
同様に $\overline{\sigma}\circ\overline{\sigma^{-1}}=\mathrm{id}_{|\mathcal{N}|}$ であり、$\mathcal{M}\cong\mathcal{N}$ である。

==== 定義2.5.3（項代数） ====

== 出典 ==

== 参考文献 ==

[田中19] 田中一之、数学基礎論序説、裳華房、2019。

[Sankappanavar–Burris] H.P. Sankappanavar, S. Burris, A course in universal algebra, Graduate Texts Math 78, 1981.

=== 脚注 ===
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数理論理学の基礎：等式論理

2022-01-07T19:52:16Z

Alwe: /* 2.2 等式論理のモデル */

[[Category:数理論理学|トウシキロンリ]]
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$
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== 2. 等式論理 ==

'''等式論理''' (equational logic) は先程までの命題論理とは異なり命題同士の関係ではなく命題の中身、特に $s=t$ という形をした等式による命題に注目する論理である。。
等式論理に対しても命題論理と同様に統語論、意味論を考える。命題論理と同様に形式的証明と、命題論理での真理値に対応する'''モデル''' (model) というのを紹介する。

形式的証明は等式の以下に上げる基本的な性質による書き換え操作によって得られる。

# '''反射律''' (reflexivity) $s=s$ である。
# '''対称律''' (symmetricity) $s=t$ ならば $t=s$ である。
# '''推移律''' (transitivity) $s=t$ かつ $t=r$ ならば $s=r$ である。
# '''代入''' (substitution) $s(u)=t(u)$ ならば $s(r)=t(r)$ である。
# '''関数との両立''' (compatibility with functions) 任意の $i<n+1$ に対して $s_i=t_i$ ならば $f(s_0,\ldots,s_n)=f(t_0,\ldots,t_n)$ である。

一方、モデルによる意味論はある種の数学的な'''代数構造''' (algebraic structure) を用いて定義される。具体的には構造が与えられたとき、その構造で満たされることを真と見做す。ここで構造というのは'''台集合''' (underlying set) とその上の関数からなる組のことである。

=== 2.1 等式論理の統語論 ===

{{theorem |type=definition |name=等式論理の記号 |label=symbols-of-equational-logic }}
等式論理の'''論理記号''' (logical symbol) は以下からなる。
* '''変数記号''' (variable symbol) $u,v,w,\ldots$ 。
* '''等号記号''' (equality symbol) $=$ 。
* '''括弧''' (brackets) $(,).$ 及び'''カンマ''' (comma) $,$ 。

変数記号の集合を $\mathrm{Var}$ とし、変数記号は無限個あることを仮定する。

{{theorem |type=definition |name=等式論理の代数言語 |label=algebraic-languages-of-equational-logic }}

'''代数言語''' (algebraic language) は'''関数記号''' (function symbol) からなる集合で各関数記号には'''項数''' (arity) という自然数が割り当てられているとする。

また特に項数が $0$ である関数記号を'''定数記号''' (constant symbol) という。言語の元を'''非論理記号''' (non-logical symbol) という。関数記号は有限個でも無限個あっても良い。

便宜上、代数言語を集合ではなく組として扱うこともある。

{{theorem |type=example |name=代数言語の例 |label=example-of-algebraic-languages-of-equational-logic }}
代数言語の例をいくつかあげる。
* 群の言語 $\mathscr{L}_\mathsf{Grp}:=\{\mathtt{1},\mathrel{\hat{\cdot}},{-}^{\hat{-1}}\}$ 。項数は順に $0,2,1$ 。
* 環の言語 $\mathscr{L}_\mathsf{Ring}:=\{\mathtt{0},\mathtt{1},\mathrel{\hat{+}},\mathrel{\hat{-}},\mathrel{\hat{\cdot}}\}$ 。項数は順に $0,0,2,1,2$ 。
* 束の言語 $\mathscr{L}_\mathsf{Lat}:=\{\hat{\top},\hat{\bot},\mathrel{\hat{\land}},\mathrel{\hat{\lor}}\}$ 。項数は順に $0,0,2,2$ 。
* Boole代数の言語 $\mathscr{L}_\mathsf{BA}:=\{\hat{\top},\hat{\bot},\mathrel{\hat{\land}},\mathrel{\hat{\lor}},\mathrel{\hat{\lnot}}\}$ 。項数は順に $0,0,2,2,1$ 。

{{theorem |type=definition |name=等式論理の項 |label=terms-of-equational-logic}}

$\mathscr{L}$ を代数言語とする。このとき '''$\mathscr{L}$-項''' ($\mathscr{L}$-term) は以下のように帰納的に定義される文字列である。
# 変数 $u,v,w,\ldots$ は $\mathscr{L}$-項である。
# 関数記号 $\mathtt{f}$ に対し、その項数が $n$ であるとき、$\mathscr{L}$-項 $t_0,\ldots,t_{n-1}$ に対して $\mathtt{f}(t_0,\ldots,t_n)$ は$\mathscr{L}$-項である。

特に定数記号は $\mathscr{L}$-項であることに注意しよう。$\mathscr{L}$-項の集合を $\mathrm{EqTm}_\mathscr{L}$ と表す。

項数が $2$ の関数記号 $\mathtt{f}$ に対して $\mathtt{f}(s,t)$ の代わりに $s\mathrel{\mathtt{f}} t$ と'''中置記法''' (infix notation) で表し、適当に括弧を補うことがある<ref group="脚注">中置記法に対し、$\mathtt{f}(s,t)$ あるいは括弧などを省略し $\mathtt{f}st$ という記法を '''前置記法''' (prefix notation) あるいは'''ポーランド記法''' (Poland notation) といい、逆に $st\mathtt{f}$ という記法を'''後置記法''' (postfix notation) あるいは'''逆ポーランド記法''' (reverse Poland notation) という。</ref>。

{{theorem |type=definition |name=$\mathscr{L}$-項の例 |label=example-of-terms-of-equational-logic}}

項の例をいくつかあげる。
* $(u\mathrel{\hat{\cdot}}\mathtt{1})^{\hat{-1}},\mathtt{1}\mathrel{\hat{\cdot}}v$ は $\mathscr{L}_\mathsf{Grp}$-項である。
* $(\mathtt{1}\mathrel{\hat{+}}\mathtt{1})\mathrel{\hat{\cdot}} (\mathrel{\hat{-}}\mathtt{0}),(u\mathrel{\hat{+}}\mathtt{1})\mathrel{\hat{\cdot}}((\mathrel{\hat{-}}\mathtt{0})\mathrel{\hat{\cdot}}v)$ は $\mathscr{L}_\mathsf{Ring}$-項である。
* $u\mathrel{\hat{\land}} (v\mathrel{\hat{\lor}}w),(\hat{\top}\mathrel{\hat{\land}}u)\mathrel{\hat{\lor}}\hat{\bot}$ は $\mathscr{L}_\mathsf{Lat}$-項である。
* $u\mathrel{\hat{\land}}(\mathrel{\hat{\lnot}} v),(\mathrel{\hat{\lnot}}\hat{\top})\mathrel{\hat{\land}}\hat{\bot}$ は $\mathscr{L}_\mathsf{BA}$-項である。

{{theorem |type=definition |name=等式論理の論理式 |label=formulae-of-equational-logic}}
$\mathscr{L}$ を代数言語とする。このとき '''$\mathscr{L}$-論理式''' ($\mathscr{L}$-formula) は以下のように定義される文字列である。
# $\mathscr{L}$-項 $s,t$ に対して $s=t$ は$\mathscr{L}$-論理式である。
$\mathscr{L}$-論理式の集合を $\mathrm{EqFml}_\mathscr{L}$ と表す。

また等式論理の論理式を'''原子論理式''' (atomic formula) と呼ぶこともある。

{{theorem |type=definition |name=項の出現 |label=occurrence-of-terms}}

$\mathscr{L}$-項 $s$ が $\mathscr{L}$-項 $t$ に'''出現する''' (occur) あるいは単に'''現れる'''ということを $\mathscr{L}$-項 $t$ の定義に沿って帰納的に定義する。

# 変数 $u$ に対して $s$ が $u$ であるとき $u$ に $s$ が現れている。
# $\mathscr{L}$-項 $f(t_0,\ldots,t_{n-1})$ に対して、ある $i<n$ が存在し $t_i$ に $s$ が現れているか、または $s$ が $f(t_0,\ldots,t_{n-1})$ であるとき、$s$ が $f(t_0,\ldots,t_{n-1})$ に現れている。

また$\mathscr{L}$-項 $s$ が $\mathscr{L}$-論理式 $\varphi$ に現れるということを定義する。
# $t=r$ に $\mathscr{L}$-項 $s$ が現れるのは $t$ か $r$ のいずれかに現れるときである。

$\mathscr{L}$-項 $t$ に $s_0,\ldots,s_n$ が現れているとき $t(s_0,\ldots,s_n)$ などど表す。

{{theorem |type=definition |name=項の代入 |label=substitution-of-terms}}

$\mathscr{L}$-項 $s,t$ 、変数 $u$ に対して $s$ に現れる $u$ に $t$ を'''代入''' (substitution) した結果 $s[u:=t]$ を $s$ の定義に沿って帰納的に定義する。
# $s$ に $u$ が現れていないとき $s[u:=t]$ は $s$ である。
# $u[u:=t]$ を $t$ のこととする。
# $\mathtt{f}(t_0,\ldots,t_{n-1})[u:=t]$ を　$\mathtt{f}(t_0[u:=t],\ldots,t_{n-1}[u:=t])$　のこととする。

また $\mathscr{L}$-論理式 $\varphi$ 、 $\mathscr{L}$-項 $t$ 、変数 $u$ に対して $\varphi$ に現れる $u$ に $t$ を'''代入''' (substitution) した結果 $\varphi[u:=t]$ を定義する。
# $\varphi$ に $u$ が現れていないとき $\varphi[u:=t]$ は $\varphi$ である。
# $(s=r)[u:=t]$ を $s[u:=t]=t[u:=t]$ のこととする。

また $s(u)$ に対して $s(u)[u:=t]$ を単に $s(t)$ と表す。

{{theorem |type=notation |name=省略記法 |label=abbreviation}}

$\mathscr{L}$-項、$\mathscr{L}$-論理式などの「$\mathscr{L}$-」という接頭辞は、どの言語を指しているか明らかなとき、あるいは言語に拠らない議論をするとき省略する。

また命題論理と同様に以下の記法を用いる。

* 論理式の集合 $T$ を '''公理系''' (axiomatic system, axioms, axiomata) 、'''等式理論''' (equational theory) 、あるいは単に'''理論''' (theory) という。
* 理論 $T$ と論理式 $\varphi$ に対して $T+\varphi$ で $T\cup\{\varphi\}$ を表す。

=== 2.2 等式論理のモデル ===

{{theorem |type=definition |name=代数構造 |label=algebraic-structure}}

$\mathscr{L}$ を言語とする。このとき '''$\mathscr{L}$-代数構造''' ($\mathscr{L}$-algebraic structure) $\mathcal{M}$ は'''領域''' (domain) あるいは'''宇宙''' (universe) 、'''台集合''' (underlying set) と言われる空でない<ref group="脚注">空な構造を認める流儀も存在する。特に'''圏論的論理学''' (categorical logic) の文脈では、空な構造を認めた方が都合が良い場合が多い。構造からなる圏、あるいは後述するモデルからなる圏に始対象が存在しないと都合が悪い場合が多いからである。例えば後述する等式理論の項モデルの構成と類似の議論をすることによって、等式理論、あるいはその項モデルの圏論的対応物となる圏、'''Lawvere理論''' (Lawvere theory) を得ることができ、モデルとはLawvere理論から集合と写像からなる圏 $\mathrm{Set}$ への有限直積を保つ関手と思うことができるが、このような議論は空なモデルが存在しない場合、面倒な例外処理を行わなければならなくなる。またtoo simple to be simpleの理念に従っても空なモデルは認めたほうが良いと思われる。しかし数理論理学に於いては空なモデルを認めない流儀が主流である。これは等式論理の範疇では問題にならないが、一階述語論理に於いては空なモデルを許容すると、(等号を含む)関係記号を言語として持つ場合、論理式 $\forall x\varphi(x)\to\exists x\varphi(x)$ は証明可能になるが、空なモデルで成り立たない。すなわち健全性定理が成り立たなくなるのが問題となる。</ref>集合 $M$ と以下に定義される'''$\mathscr{L}$-解釈''' ($\mathscr{L}$-interpretation) ${-}^\mathcal{M}$ の組 $\langle M;{-}^\mathcal{M}\rangle$ である。

$\mathscr{L}$-解釈 ${-}^\mathcal{M}$ は以下を満たす言語 $\mathscr{L}$ からの写像である。

* 関数記号 $\mathtt{f}\in\mathscr{L}$ に対して $\mathtt{f}$ の項数が $n$ であるとき、$\mathtt{f}^\mathcal{M}\colon M^n\to M$ である。

定数記号の解釈は一つの $M$ の要素を返す関数となる。よってその返す値と同一視することで定数記号 $\mathtt{c}$ に対して $\mathtt{c}^\mathcal{M}\in M$ と見做すことができることに注意する。このような同一視を今後断りなく行うことに注意する。

代数構造 $\mathcal{M}$ が与えられたとき、$|\mathcal{M}|$ を $\mathcal{M}$ の台集合を表すことにする。また数学の慣習に基づき構造 $\mathcal{M}$ とその台集合 $|\mathcal{M}|$ を誤解を与えない範囲で同一視する。例えば $a\in |\mathcal{M}|$ の代わりに $a\in\mathcal{M}$ と表すことがある。

また $\mathcal{M}=\langle M;{-}^\mathcal{M}\rangle$ と表す代わりに解釈後の関数、関係をリストし $\mathcal{M}=\langle A;\mathtt{f}_0^\mathcal{M},\ldots,\mathtt{f}_i^\mathcal{M}\rangle$ と表すことがある。

{{theorem |type=example |name=代数構造の例 |label=examples-of-algebraic-structures}}
任意の群 $\mathcal{G}:=\langle|\mathcal{G}|;e,\cdot,{-}^{-1}\rangle$ は $\mathtt{1}^\mathcal{G}:=e,\hat{\cdot}^\mathcal{G}:=\cdot,{{-}^{\hat{-1}}}^\mathcal{G}:={-}^{-1}$ と定めることで $\mathscr{L}_\mathsf{Grp}$-構造として見做すことができる。しかし、別に群でなくても $a\in A,f\colon A^2\to A,g\colon A\to A $ に対して $\langle A;a,f,g\rangle$ は同様に $\mathscr{L}_\mathsf{Grp}$-構造として見做すことができる。

{{theorem |type=definition |name=項の解釈 |label=interpretation-of-terms}}

$\mathscr{L}$-代数構造 $\mathcal{M}=\langle M;{-}^\mathcal{M}\rangle$ と $\mathscr{L}$-閉項 $t$ に対して $t^\mathcal{M}\in M$ を帰納的に定義する。

* $\mathtt{f}(t_0,\ldots,t_{n-1})$ に対して $(\mathtt{f}(t_0,\ldots,t_{n-1}))^\mathcal{M}$ を $\mathtt{f}^\mathcal{M}(t_0^\mathcal{M},\ldots,t_{n-1}^\mathcal{M})$ と定める。

{{theorem |type=definition |name=拡大と縮約 |label=expansion-and-reduct}}

言語 $\mathscr{L}\subseteq\mathscr{L}'$ とし、$\mathcal{M}$ を $\mathscr{L}$-代数構造とし、$\mathcal{M}'$ を $\mathscr{L}'$-代数構造とする。$|\mathcal{M}|=|\mathcal{M}'|$ とし、$\mathtt{f}\in\mathscr{L}$ に対し $\mathtt{f}^\mathcal{M}=\mathtt{f}^{\mathcal{M}'}$ が成り立つとする。このとき $\mathcal{M}'$ を $\mathcal{M}$ の'''拡大''' (expansion) といい、$\mathcal{M}$ を $\mathcal{M}'$ の'''縮約''' (reduct) という。

{{theorem |type=example |name=拡大と縮約の例 |label=expansion-and-reduct}}
任意の環 $\mathcal{R}=\langle|\mathcal{R}|;\mathtt{0}^\mathcal{R},\mathtt{1}^\mathcal{R},\hat{+}^\mathcal{R},\hat{-}^\mathcal{R},\hat{\cdot}^\mathcal{R}\rangle$ はその加法群 $\mathcal{R}^+=\langle|\mathcal{R}|;\mathtt{0}^\mathcal{R},\hat{+}^\mathcal{R},{-}^\mathcal{R}\rangle$ の拡張となる。ここで群の言語は $\{\mathtt{1},\hat{\cdot},{-}^{\hat{-1}}\}$ であったが記号を変えて $\{\mathtt{0},\hat{+},\hat{-}\}$ としても本質的になにも変わらない。実際、[[Abel群]]に対してはこのように書かれることが多い。
一方、加法群と違い、乗法群 $\mathcal{R}^\times=\langle|\mathcal{R}|\setminus\{\mathtt{0}^\mathcal{R}\};\mathtt{0}^\mathcal{R},\hat{+}^\mathcal{R},{-}^\mathcal{R}\rangle$ は領域がことなるため拡張にはならない。

{{theorem |type=definition |name=名前 |label=name}}

$\mathscr{L}$-代数構造 $\mathcal{M}$ に対して言語 $\mathscr{L}(\mathcal{M})$ と $\mathscr{L}(\mathcal{M})$-代数構造 $\mathcal{M}_\mathrm{par}$ を定義する。
* $\mathscr{L}(\mathcal{M})$ には $\mathscr{L}$ の元に加え、$a\in|\mathcal{M}|$ に対する定数記号 $\underline{a}$ を持つ。この定数記号 $\underline{a}$ を $a$ の ''名前''(name) や''パラメータ'' (parameter) という。名前を単に $a$ と表すこともある。
* $\mathcal{M}_\mathrm{par}$ は $\mathcal{M}$ の拡大であり、$\underline{a}^{\mathcal{M}_\mathrm{par}}:=a$ とする。

誤解を生じないとき $\mathcal{M}_\mathrm{par}$ を単に $\mathcal{M}$ と表す。

{{theorem |type=definition |name=充足可能性関係 |label=satisfiability-relation}}

$\mathscr{L}$-代数構造 $\mathcal{M}$ と $\mathscr{L}(\mathcal{M})$-論理式 $s(u_0,\ldots,u_{n-1})=t(v_0,\ldots,v_{m-1})$ に対し '''充足可能性関係''' (satisfiability relation) $\mathcal{M}\models s(u_0,\ldots,u_{n-1})=t(v_0,\ldots,v_{m-1})$ を定義する<ref group="脚注">充足可能性関係の定義には名前ではなく、'''割り当て''' (assignment) と呼ばれる、論理式に出現する変数記号から領域への写像を用いて、閉項に対して定義された解釈を割り当てを用いて閉項とは限らない項に拡張することで定義する流儀もある。</ref>。
ここで $s(u_0,\ldots,u_{n-1})=t(v_0,\ldots,v_{m-1})$ に現れる変数は $u_0,\ldots,u_{n-1},v_0,\ldots,v_{m-1}$ に限るとする。

#　$\mathcal{M}\models s(u_0,\ldots,u_{n-1})=t(v_0,\ldots,v_{m-1})$ となるのは任意の $a_0,\ldots,a_{n-1},b_0,\ldots,b_{m-1}\in |\mathcal{M}|$ に対して $(s(u_0,\ldots,u_{n-1})[u_0:=\underline{a_0}]\cdots[u_{n-1}:=\underline{a_{n-1}}])^{\mathcal{M}_\mathrm{par}}=(t(v_0,\ldots,v_{m-1})[v_0:=\underline{b_0}]\cdots[v_{m-1}:=\underline{b_{m-1}}])^{\mathcal{M}_\mathrm{par}})$ が成り立つことである。

ここで $\mathcal{M}\models s(u_0,\ldots,u_{n-1})=t(v_0,\ldots,v_{m-1})$ に含まれる $=$ は等号記号だが、$(s(u_0,\ldots,u_{n-1})[u_0:=\underline{a_0}]\cdots[u_{n-1}:=\underline{a_{n-1}}])^{\mathcal{M}_\mathrm{par}}=(t(v_0,\ldots,v_{m-1})[v_0:=\underline{b_0}]\cdots[v_{m-1}:=\underline{b_{m-1}}])^{\mathcal{M}_\mathrm{par}})$　に表れる $=$ は実際の等号であることに注意されたい。また $\models$ に対していくつかの用語を定める。

* $T$ を理論とし、任意の $\varphi\in T$ に対して $\mathcal{M}\models\varphi$ となっているとする。このとき $\mathcal{M}$ を $T$ の'''モデル''' (model) であるといい、$\mathcal{M}\models\varphi$ と表す。
* $T$ の任意のモデル $\mathcal{M}$ に対して $\mathcal{M}\models\varphi$ であるとき $\varphi$ は $T$ からの'''論理的帰結''' (logical consequence) であるといい、$T\models \varphi$ と表す。

{{theorem |type=example |name=モデルの例 |label=examples-of-models}}
$\mathscr{L}_\mathsf{Grp}$-理論 $\mathsf{Grp}$ を以下の論理式からなるものとする。
* $u\mathrel{\hat{\cdot}}(v\mathrel{\hat{\cdot}}w)=(u\mathrel{\hat{\cdot}}v)\mathrel{\hat{\cdot}}w$ 。
* $u\mathrel{\hat{\cdot}}\mathtt{0}=u$ 。
* $u\mathrel{\hat{\cdot}}(u^{\hat{-1}})=\mathtt{0}$ 。

$\mathsf{Grp}$ のモデルは群そのものである。

$\mathscr{L}_\mathsf{Ring}$-理論 $\mathsf{Ring}$ を以下の論理式からなるものとする。

* $u\hat{+}(v\mathrel{\hat{+}}w)=(u\mathrel{\hat{+}}v)\mathrel{\hat{+}}w$ 。
* $u\mathrel{\hat{+}}\mathtt{0}=u$ 。
* $u\mathrel{\hat{+}}(\mathrel{\hat{-}}u)=\mathtt{0}$ 。
* $u\mathrel{\hat{+}}v=v\mathrel{\hat{+}}u$ 。
* $u\mathrel{\hat{\cdot}} (v\mathrel{\hat{\cdot}} w)=(u\mathrel{\hat{\cdot}} v)\mathrel{\hat{\cdot}} w$ 。
* $u\mathrel{\hat{\cdot}} (v\mathrel{\hat{+}}w)=(u\mathrel{\hat{\cdot}} v)\mathrel{\hat{+}}(u\mathrel{\hat{\cdot}} w)$ 。
* $u\mathrel{\hat{\cdot}}\mathtt{1}=u$ 。

$\mathsf{Ring}$ のモデルも同様に環である。

言語 $\mathscr{L}_\mathsf{SGrp}:=\{\hat{\cdot}\}$ とし、理論 $\mathsf{SGrp}$ を

* $u\mathrel{\hat{\cdot}}(v\mathrel{\hat{\cdot}}w)=(u\mathrel{\hat{\cdot}}v)\mathrel{\hat{\cdot}}w$ 。

とする。このとき理論 $\mathsf{SGrp}$ のモデルは空でない半群全体となる。

=== 2.3 代数構造の理論 ===
==== 定義2.3.1（準同型、同型） ====

$\mathscr{L}$-代数構造 $\mathcal{M},\mathcal{N}$ に対して $\sigma\colon|\mathcal{M}|\to|\mathcal{N}|$ が''準同型射'' (homomorphism) であるとは、任意の $\mathtt{f}\in\mathscr{L}$ 、$a_0,\ldots,a_{n-1}\in|\mathcal{M}|$ に対し $\sigma(\mathtt{f}^\mathcal{M}(a_0,\ldots,a_{n-1}))=\mathtt{f}^\mathcal{N}(\sigma(a_0),\ldots,\sigma(a_{n-1}))$ が成り立つことである。

また準同型 $\sigma\colon|\mathcal{M}|\to|\mathcal{N}|,\tau\colon|\mathcal{N}|\to|\mathcal{M}|$ が存在し $\tau\circ\sigma =\mathrm{id}_\mathcal{M},\sigma\circ\tau =\mathrm{id}_\mathcal{N}$ となるとき $\mathcal{M}$ と $\mathcal{N}$ は''同型'' (isomorphic))であるといい $\mathcal{M}\cong\mathcal{N}$ と表し、$\sigma,\tau$ を''同型射'' (isomorphism) であるという。
ここで $\mathrm{id}_\mathcal{M}\colon|\mathcal{M}|\to|\mathcal{M}|,\mathrm{id}_\mathcal{M}(a)=a,\mathrm{id}_\mathcal{N}\colon|\mathcal{N}|\to|\mathcal{N}|,\mathrm{id}_\mathcal{N}(b)=b$ とする。

==== 定義2.3.2（部分代数） ====

$\mathscr{L}$-代数構造 $\mathcal{M},\mathcal{N}$ に対して、$\mathcal{N}$ が $\mathcal{M}$ の''部分代数'' (subalgebra) であるとは $|\mathcal{N}|\subseteq|\mathcal{M}|$ かつ、任意の $\mathtt{f}\in\mathscr{L}$ 、任意の $b_0,\ldots,b_{n-1}\in|\mathcal{N}|$ に対し $\mathtt{f}^\mathcal{N}(b_0,\ldots,b_{n-1})=\mathtt{f}^\mathcal{M}(b_0,\ldots,b_{n-1})$ を満たすことである。

==== 命題2.3.3（代数構造の同型に対する必要十分条件） ====

$\mathcal{M}\cong\mathcal{N}$ であるのは全単射準同型 $\upsilon\colon\mathcal{M}\to\mathcal{N}$ が存在するときであり、またそれに限る。

''証明''　$\mathcal{M}\cong\mathcal{N}$ であると仮定する。仮定より準同型 $\sigma\colon\mathcal{M}\to\mathcal{N},\tau\colon\mathcal{N}\to\mathcal{M}$ で $\sigma\circ\tau,\tau\circ\sigma$ が恒等となるものを取る。$\sigma,\tau$ は互いに逆写像であり、よって全単射である。

逆を示す。$\upsilon\circ\upsilon^{-1},\upsilon^{-1}\circ\upsilon$ が恒等になるのは明らかである。よって $\upsilon^{-1}\colon\mathcal{N}\to\mathcal{M}$ が準同型となることを確認すれば良い。
$\upsilon$ は全単射であるから、ある $a_0,\ldots,a_{n-1}\in|\mathcal{M}|$ が存在して $\upsilon(a_0)=b_0,\ldots,\upsilon(a_{n-1})=b_{n-1}$ である。
よって $\upsilon^{-1}(\mathtt{f}^\mathcal{N}(b_0,\ldots,b_{n-1}))=\upsilon^{-1}(\mathtt{f}^\mathcal{N}(\upsilon(a_0),\ldots,\upsilon(a_{n-1})))$ であり、$\upsilon$ は準同型であるから $\upsilon^{-1}(\mathtt{f}^\mathcal{N}(\upsilon(a_0),\ldots,\upsilon(a_{n-1})))=\upsilon^{-1}(\upsilon(\mathtt{f}^\mathcal{M}(a_0,\ldots,a_{n-1})))$ となる。
従って $\upsilon^{-1}(\upsilon(\mathtt{f}^\mathcal{M}(a_0,\ldots,a_{n-1})))=\mathtt{f}^\mathcal{M}(a_0,\ldots,a_{n-1})$　であり、$a_0=\upsilon^{-1}(b_0),\ldots,a_{n-1}=\upsilon^{-1}(b_{n-1})$ より良い。□

==== 定義2.3.4（合同関係） ====
$\mathcal{M}$ を代数構造とし、$\equiv$ を $|\mathcal{M}|$ 上の同値関係で $\mathtt{f}\in\mathscr{L}$ に対して $\mathtt{f}^\mathcal{M}$ と両立する、すなわち任意の $a_0,\ldots,a_{n-1},b_0,\ldots,b_{n-1}\in |\mathcal{M}|$ に対して、任意の $i<n$ について $a_i\equiv b_i$ $\equiv$ であるならば $\mathtt{f}^\mathcal{M}(a_0,\ldots,a_{n-1})\equiv\mathtt{f}^\mathcal{M}(b_0,\ldots,b_{n-1})$ が成り立つとき $\equiv$ は $\mathcal{M}$ 上の''合同関係'' (congruence relation) である、あるいは同値関係 $\equiv$ は $\mathtt{f}^\mathcal{M}$ に対して　''well-defined''であるという。
==== 定義2.3.5（剰余代数） ====

$\mathcal{M}$ を代数構造とし、$\equiv$ を $\mathcal{M}$ 上の合同関係とする。剰余代数'' (factor algebra, quotient algebra) $\mathcal{M}/{\equiv}:=\langle|\mathcal{M}|/{\equiv};{-}^{\mathcal{M}/{\equiv}}\rangle$ を以下のように定める。
* $|\mathcal{M}|/{\equiv}$ は $|\mathcal{M}|$ の $\equiv$ による商集合とし $a\in|\mathcal{M}|$ に対して $[a]_\equiv$ を $\equiv$ による同値類とする。
* $\mathtt{f}\in\mathscr{L}$ に対して $\mathtt{f}^{\mathcal{M}/{\equiv}}([a_0]_\equiv,\ldots,[a_{n-1}]_\equiv):=[\mathtt{f}^\mathcal{M}(a_0,\ldots,a_{n-1})]_\equiv$ とする。

==== 例2.3.6（剰余代数の例） ====

$\mathcal{G}$ を群、$\mathcal{H}$ を $\mathcal{G}$ の正規部分群、すなわち $\mathcal{H}$ は $\mathcal{G}$ の部分代数で、任意の $g\in|\mathcal{G}|,h\in|\mathcal{H}|$ に対し $(g\hat{\cdot}^\mathcal{G} h){\hat{\cdot}}^\mathcal{G}\left(g^{\hat{-1}^\mathcal{G}}\right)\in|\mathcal{H}|$ であるとする。$|\mathcal{G}|$ 上の合同関係　$\equiv_\mathcal{H}$ を $x\equiv_\mathcal{H} y:\Leftrightarrow x\hat{\cdot}^\mathcal{G}\left(y^{\hat{-1}^\mathcal{G}}\right)\in|\mathcal{H}|$ と定める。
このとき $\mathcal{G}/{\equiv_\mathcal{H}}$ を $\mathcal{G}/\mathcal{H}$ と表す。

$\mathcal{M}$ を可換環、$\mathcal{I}:=\langle|\mathcal{I}|;\mathtt{0}^\mathcal{I},\mathtt{1}^\mathcal{I},\hat{+}^\mathcal{I},\hat{-}^\mathcal{I},\hat{\cdot}^\mathcal{I}\rangle$ を $\mathcal{M}$ のイデアル、すなわち以下を満たすとする。
* $\langle|\mathcal{I}|;\mathtt{0}^\mathcal{I},\hat{+}^\mathcal{I},\hat{-}^\mathcal{I}\rangle$ は $\langle|\mathcal{M}|;\mathtt{0}^\mathcal{M},\hat{+}^\mathcal{M},\hat{-}^\mathcal{M}\rangle$ の部分構造である。
* 任意の $a\in|\mathcal{M}|,x\in|\mathcal{I}|$ に対し $a\hat{\cdot}^\mathcal{M}x\in|\mathcal{I}|$ である。

このとき上記の例と同様に $\equiv_\mathcal{I}$ を定義でき $\mathcal{M}/{\equiv_\mathcal{I}}$ を $\mathcal{M}/\mathcal{I}$ を表す。

==== 補題2.3.7（剰余代数と準同型） ====

代数構造 $\mathcal{M}$ と合同関係 $\equiv$ に対して $\pi_\equiv\colon|\mathcal{M}|\to|\mathcal{M}|/{\equiv},\pi_\equiv(a):=[a]_\equiv$ とする。このとき $\pi_\equiv$ は準同型となる。この準同型を $\equiv$ に対する自然な準同型という。

''証明''　剰余代数の定義より明らかである。□

==== 補題2.3.8（準同型と合同関係） ====

代数構造 $\mathcal{M},\mathcal{N}$ 、準同型 $\sigma\colon|\mathcal{M}|\to|\mathcal{N}|$ に対して $|\mathcal{M}|$ 上の二項関係 $\equiv_\sigma$ を $a\equiv_\sigma b:\Leftrightarrow\sigma(a)=\sigma(b)$ とする((これを $\sigma$ による''核'' (kernel) ということがある。))。このとき $\equiv_\sigma$ は合同関係である。

''証明''　$\equiv_\sigma$ が同値関係であることは明らかである。よって関数と両立することを示そう。
今 $\mathtt{f}$ の項数を $n$ とし任意の $i<n$ に対して $a_i\equiv_\sigma b_i$ であると仮定し、$\mathtt{f}^\mathcal{M}(a_0,\ldots,a_{n-1})\equiv_\sigma \mathtt{f}^\mathcal{M}(b_0,\ldots,b_{n-1})$ 、すなわち $\sigma(\mathtt{f}^\mathcal{M}(a_0,\ldots,a_{n-1}))=\sigma(\mathtt{f}^\mathcal{M}(b_0,\ldots,b_{n-1}))$ を示せば良い。
$\sigma$ が準同型であるという仮定から $\sigma(\mathtt{f}^\mathcal{M}(a_0,\ldots,a_{n-1}))=\mathtt{f}^\mathcal{N}(\sigma(a_0),\ldots,\sigma(a_{n-1}))$ であり、 $\equiv_\sigma$ の定義から $\mathtt{f}^\mathcal{N}(\sigma(a_0),\ldots,\sigma(a_{n-1}))=\mathtt{f}^\mathcal{N}(\sigma(b_0),\ldots,\sigma(b_{n-1}))$ 、よってもう一度 $\sigma$ が準同型であることから $\mathtt{f}^\mathcal{N}(\sigma(b_0),\ldots,\sigma(b_{n-1}))=\sigma(\mathtt{f}^\mathcal{M}(b_0,\ldots,b_{n-1}))$ 。□

==== 定理2.3.9（準同型定理 (homomorphism theorem) ） ====

全射準同型 $\sigma\colon|\mathcal{M}|\to|\mathcal{N}|$ に対して、同型 $\tau_{\equiv_\sigma}\colon|\mathcal{M}/{\equiv_\sigma}|\to|\mathcal{N}|$ が存在して $\sigma=\tau_{\equiv_\sigma}\circ\pi_{\equiv_\sigma}$ となる。
ここで $a\equiv_\sigma b:\Leftrightarrow\sigma(a)=\sigma(b)$ 、$\pi_{\equiv_\sigma}\colon|\mathcal{M}|\to|\mathcal{M}/{\equiv_\sigma}|,\pi_{\equiv_\sigma}(a)=[a]_{\equiv_\sigma}$ とする。

''証明''　まず $\tau_{\equiv_\sigma}([a]_{\equiv_\sigma}):=\sigma(a)$ とする。これが写像となることを示す。左全域性は明らかなので右一意性を示そう。
$[a]_{\equiv_\sigma}=[b]_{\equiv_\sigma}$ とすれば $\equiv_\sigma$ の定義から、$\sigma(a)=\sigma(b)$ であり良い。
同様に逆も言えるため左一意性、すなわち $\tau_{\equiv_\sigma}$ が単射であることも従う。また $\sigma$ が全射であることから $\tau_{\equiv_\sigma}$ も全射である。命題2.3.3より
準同型であることを示せば十分である。
剰余代数の定義から $\tau_{\equiv_\sigma}(\mathtt{f}^{\mathcal{M}/{\equiv_\sigma}}([a_0]_{\equiv_\sigma},\ldots,[a_{n-1}]_{\equiv_\sigma}))=\tau_{\equiv_\sigma}([\mathtt{f}^\mathcal{M}(a_0,\ldots,a_{n-1})]_{\equiv_\sigma})$ であり、$\tau_{\equiv_\sigma}$ の定義から $\tau_{\equiv_\sigma}([f^\mathcal{M}(a_0,\ldots,a_{n-1})]_{\equiv_\sigma})=\sigma(f^\mathcal{M}(a_0,\ldots,a_{n-1}))$ である。
$\sigma$ が準同型であることから $\sigma(\mathtt{f}^\mathcal{M}(a_0,\ldots,a_{n-1}))=\mathtt{f}^\mathcal{N}(\sigma(a_0),\ldots,\sigma(a_{n-1}))$ であり $\tau_{\equiv_\sigma}$ の定義が $\mathtt{f}^\mathcal{N}(\sigma(a_0),\ldots,\sigma(a_{n-1}))=\mathtt{f}^\mathcal{N}(\tau_{\equiv_\sigma}([a_0]_{\equiv_\sigma},\ldots,[a_{n-1}]_{\equiv_\sigma}))$ となる。□

==== 系2.3.10 ====

準同型 $\sigma\colon|\mathcal{M}|\to|\mathcal{N}|$ と $|\mathcal{M}|$ 上の合同関係 $\equiv_\sigma$ は $a\equiv_\sigma b$ ならば $\sigma(a)=\sigma(b)$ を満たすとする。
このとき準同型 $\tau_{\equiv_\sigma}\colon|\mathcal{M}/{\equiv}|\to|\mathcal{N}|$ が存在し $\sigma=\tau_{\equiv_\sigma}\circ\pi_{\equiv_\sigma}$ となる。
ただし $\pi_{\equiv_\sigma}\colon|\mathcal{M}|\to|\mathcal{M}/{\equiv_\sigma}|,\pi_{\equiv_\sigma}(a)=[a]_{\equiv_\sigma}$ とする。

''証明''　定理2.3.9の証明とほとんど同様で良い。□

==== 例2.3.11（準同型定理の具体例） ====

群準同型 $\sigma\colon|\mathcal{G}|\to|\mathcal{H}|$ に対して $\mathrm{Ker}(\sigma):=\{g\in|\mathcal{G}|\mid\sigma(g)=\mathtt{0}^\mathcal{H}\}$ とする。このとき $\langle \mathrm{Ker}(\sigma),\mathtt{0}^\mathcal{G},\hat{\cdot}^\mathcal{G},{-}^{\hat{-1}^\mathcal{G}}\rangle$ は $\mathcal{G}$ の部分群であり、例2.2.6で定められる同値関係を $\equiv_{\mathrm{Ker}(\sigma)}$ とすれば $g_0\equiv_{\mathrm{Ker}(\sigma)}g_1$ と $g_0\equiv_\sigma g_1$ は同値であり、従って定理2.3.9及び系2.3.10から以下の群論に於ける準同型定理が従う。
* 群準同型 $\sigma\colon|\mathcal{G}|\to|\mathcal{H}|$ 、自然な準同型 $\pi\colon|\mathcal{G}|\to|\mathcal{G}/\equiv_{\mathrm{Ker(\sigma)}}|$ に対して、準同型 $\tau\colon |\mathcal{G}/\equiv_{\mathrm{Ker(\sigma)}}|\to|\mathcal{H}|$ が存在して $\sigma=\tau\circ\pi$ であり、また $\tau$ は $\mathcal{G}/\equiv_{\mathrm{Ker(\sigma)}}$ から $\langle\mathrm{Im}(\sigma),\underline{0}^\mathcal{H},+^\mathcal{H},-^\mathcal{H}\rangle$ への同型射である。

=== 2.4. 等式論理の形式的証明 ===
==== 定義2.4.1（等式理論） ====
理論 $T$ 論理式 $\varphi$ に対して $T\vdash\varphi$ を帰納的に定義する。

1. $(\mathsf{refl})$　任意の項 $t$ に対して $T\vdash t=t$ である。

2. $(T)$　任意の $\varphi\in T$ に対して $T\vdash\varphi$ である。

3. $(\mathsf{sym})$　任意の項 $s,t$ に対して $T\vdash s=t$ ならば $T\vdash t=s$ である。

4. $(\mathsf{trans})$　任意の項 $s,t,r$ に対して $T\vdash s=t$ かつ $T\vdash t=r$ ならば $T\vdash s=r$ である。

5. $(\mathsf{sub})$　任意の変数 $u$ 、項 $s(u),t(u),r$ に対して $T\vdash s(u)=t(u)$ ならば $T\vdash s(r)=t(r)$ である。

6. $(\mathsf{comp})$　任意の関数記号 $f\in\mathscr{L}$ 、任意の項 $s_0,\ldots,s_{n-1},t_0,\ldots,t_{n-1}$ に対して、全ての$i<n$　について $T\vdash s_i=t_i$ ならば $T\vdash f(s_0,\ldots,s_{n-1})=f(t_0,\ldots,t_{n-1})$ である。

$\vdash$ に関して命題論理と同様に用語を定める。
* $T\vdash\varphi$ であるとき $T$ から $\varphi$ は''証明可能'' (provable) であるという。また $\emptyset\vdash\varphi$ であるとき単に証明可能であるといい、$\vdash\varphi$ と表す。
* $\mathrm{Th}(T):=\{\varphi\in\mathrm{EqFml}\mid T\vdash\varphi\}$ とする。また言語を明示するとき $\mathrm{Th}_\mathscr{L}(T)$ と表す。

=== 2.5. Birkhoffの完全性定理、$\mathsf{HSP}$ 定理 ===

==== 定義2.5.1（生成） ====
代数構造 $\mathcal{M}$ 、$X\subseteq|\mathcal{M}|$ とする。このとき $X\subseteq\mathcal{N}$ で $\mathcal{M}$ の部分代数のなか、領域の包含関係において最小であるとき、$\mathcal{N}$ を $X$ によって''生成される'' (generated) 部分代数であるという。

==== 定義2.5.2（自由 $\mathcal{K}$-代数） ====
$\mathcal{K}$ を代数構造からなるクラスとする。このとき $\mathcal{M}\in\mathcal{K}$ が $X$ によって生成される''自由 $\mathcal{K}$-代数'' (free $\mathcal{K}$-代数) であるとは以下を満たすことである。
* $\mathcal{M}$ は $X$ で生成される。
* 任意の $\mathcal{N}\in\mathcal{K}$ 、写像 $\sigma\colon X\to|\mathcal{N}|$ に対し、ある準同型 $\overline{\sigma}\colon|\mathcal{M}|\to|\mathcal{N}|$ で $\overline{\sigma}$ は $\sigma$ の拡大である、すなわち任意の $x\in X$ に対して $\sigma(x)=\overline{\sigma}(x)$ となるものが一意に存在する。

==== 命題2.5.3（自由生成と濃度） ====
代数構造 $\mathcal{M},\mathcal{N}\in\mathcal{K}$ でそれぞれ集合 $X,Y$ によって自由生成されていて、$X,Y$ が等濃であれば $\mathcal{M}\cong\mathcal{N}$ である。

''証明''　全単射 $\sigma\colon X\to Y$ を取る。
自由代数の定義から $\sigma,\sigma^{-1}$ は準同型 $\overline{\sigma}\colon|\mathcal{M}|\to|\mathcal{N}|,\overline{\sigma^{-1}}\colon|\mathcal{N}|\to|\mathcal{M}|$ に拡張され $\overline{\sigma^{-1}}\circ\overline{\sigma}$ は $X$ 上の恒等写像の拡張となる準同型 $|\mathcal{M}|\to|\mathcal{M}|$ で拡張の一意性から $\overline{\sigma^{-1}}\circ\overline{\sigma}=\mathrm{id}_{|\mathcal{M}|}$ 、
同様に $\overline{\sigma}\circ\overline{\sigma^{-1}}=\mathrm{id}_{|\mathcal{N}|}$ であり、$\mathcal{M}\cong\mathcal{N}$ である。

==== 定義2.5.3（項代数） ====

== 出典 ==

== 参考文献 ==

[田中19] 田中一之、数学基礎論序説、裳華房、2019。

[Sankappanavar–Burris] H.P. Sankappanavar, S. Burris, A course in universal algebra, Graduate Texts Math 78, 1981.

=== 脚注 ===
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数理論理学の基礎：等式論理

2022-01-07T19:50:33Z

Alwe: /* 2.2 等式論理のモデル */

[[Category:数理論理学|トウシキロンリ]]
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{{begin |preamble }}


$
\newcommand{\Pow}[1]{\mathcal{P}(#1)}
\newcommand{\nat}{\mathbb{N}}
$

$\newcommand{\name}[1]{\underline{#1}}$

$
\newcommand{\blank}{ {-} }
$

{{newtheorem |type=theorem |display=定理 |counter=0 }}
{{newtheorem |type=lemma |display=補題 |family=theorem }}
{{newtheorem |type=definition |display=定義 |family=theorem }}
{{newtheorem |type=proposition |display=命題 |family=theorem }}
{{newtheorem |type=corollary |display=系 |family=theorem }}
{{newtheorem |type=remark |display=注意 |family=theorem }}
{{newtheorem |type=example |display=例 |family=theorem }}
{{newtheorem |type=notation |display=表記 |family=theorem }}
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== 2. 等式論理 ==

'''等式論理''' (equational logic) は先程までの命題論理とは異なり命題同士の関係ではなく命題の中身、特に $s=t$ という形をした等式による命題に注目する論理である。。
等式論理に対しても命題論理と同様に統語論、意味論を考える。命題論理と同様に形式的証明と、命題論理での真理値に対応する'''モデル''' (model) というのを紹介する。

形式的証明は等式の以下に上げる基本的な性質による書き換え操作によって得られる。

# '''反射律''' (reflexivity) $s=s$ である。
# '''対称律''' (symmetricity) $s=t$ ならば $t=s$ である。
# '''推移律''' (transitivity) $s=t$ かつ $t=r$ ならば $s=r$ である。
# '''代入''' (substitution) $s(u)=t(u)$ ならば $s(r)=t(r)$ である。
# '''関数との両立''' (compatibility with functions) 任意の $i<n+1$ に対して $s_i=t_i$ ならば $f(s_0,\ldots,s_n)=f(t_0,\ldots,t_n)$ である。

一方、モデルによる意味論はある種の数学的な'''代数構造''' (algebraic structure) を用いて定義される。具体的には構造が与えられたとき、その構造で満たされることを真と見做す。ここで構造というのは'''台集合''' (underlying set) とその上の関数からなる組のことである。

=== 2.1 等式論理の統語論 ===

{{theorem |type=definition |name=等式論理の記号 |label=symbols-of-equational-logic }}
等式論理の'''論理記号''' (logical symbol) は以下からなる。
* '''変数記号''' (variable symbol) $u,v,w,\ldots$ 。
* '''等号記号''' (equality symbol) $=$ 。
* '''括弧''' (brackets) $(,).$ 及び'''カンマ''' (comma) $,$ 。

変数記号の集合を $\mathrm{Var}$ とし、変数記号は無限個あることを仮定する。

{{theorem |type=definition |name=等式論理の代数言語 |label=algebraic-languages-of-equational-logic }}

'''代数言語''' (algebraic language) は'''関数記号''' (function symbol) からなる集合で各関数記号には'''項数''' (arity) という自然数が割り当てられているとする。

また特に項数が $0$ である関数記号を'''定数記号''' (constant symbol) という。言語の元を'''非論理記号''' (non-logical symbol) という。関数記号は有限個でも無限個あっても良い。

便宜上、代数言語を集合ではなく組として扱うこともある。

{{theorem |type=example |name=代数言語の例 |label=example-of-algebraic-languages-of-equational-logic }}
代数言語の例をいくつかあげる。
* 群の言語 $\mathscr{L}_\mathsf{Grp}:=\{\mathtt{1},\mathrel{\hat{\cdot}},{-}^{\hat{-1}}\}$ 。項数は順に $0,2,1$ 。
* 環の言語 $\mathscr{L}_\mathsf{Ring}:=\{\mathtt{0},\mathtt{1},\mathrel{\hat{+}},\mathrel{\hat{-}},\mathrel{\hat{\cdot}}\}$ 。項数は順に $0,0,2,1,2$ 。
* 束の言語 $\mathscr{L}_\mathsf{Lat}:=\{\hat{\top},\hat{\bot},\mathrel{\hat{\land}},\mathrel{\hat{\lor}}\}$ 。項数は順に $0,0,2,2$ 。
* Boole代数の言語 $\mathscr{L}_\mathsf{BA}:=\{\hat{\top},\hat{\bot},\mathrel{\hat{\land}},\mathrel{\hat{\lor}},\mathrel{\hat{\lnot}}\}$ 。項数は順に $0,0,2,2,1$ 。

{{theorem |type=definition |name=等式論理の項 |label=terms-of-equational-logic}}

$\mathscr{L}$ を代数言語とする。このとき '''$\mathscr{L}$-項''' ($\mathscr{L}$-term) は以下のように帰納的に定義される文字列である。
# 変数 $u,v,w,\ldots$ は $\mathscr{L}$-項である。
# 関数記号 $\mathtt{f}$ に対し、その項数が $n$ であるとき、$\mathscr{L}$-項 $t_0,\ldots,t_{n-1}$ に対して $\mathtt{f}(t_0,\ldots,t_n)$ は$\mathscr{L}$-項である。

特に定数記号は $\mathscr{L}$-項であることに注意しよう。$\mathscr{L}$-項の集合を $\mathrm{EqTm}_\mathscr{L}$ と表す。

項数が $2$ の関数記号 $\mathtt{f}$ に対して $\mathtt{f}(s,t)$ の代わりに $s\mathrel{\mathtt{f}} t$ と'''中置記法''' (infix notation) で表し、適当に括弧を補うことがある<ref group="脚注">中置記法に対し、$\mathtt{f}(s,t)$ あるいは括弧などを省略し $\mathtt{f}st$ という記法を '''前置記法''' (prefix notation) あるいは'''ポーランド記法''' (Poland notation) といい、逆に $st\mathtt{f}$ という記法を'''後置記法''' (postfix notation) あるいは'''逆ポーランド記法''' (reverse Poland notation) という。</ref>。

{{theorem |type=definition |name=$\mathscr{L}$-項の例 |label=example-of-terms-of-equational-logic}}

項の例をいくつかあげる。
* $(u\mathrel{\hat{\cdot}}\mathtt{1})^{\hat{-1}},\mathtt{1}\mathrel{\hat{\cdot}}v$ は $\mathscr{L}_\mathsf{Grp}$-項である。
* $(\mathtt{1}\mathrel{\hat{+}}\mathtt{1})\mathrel{\hat{\cdot}} (\mathrel{\hat{-}}\mathtt{0}),(u\mathrel{\hat{+}}\mathtt{1})\mathrel{\hat{\cdot}}((\mathrel{\hat{-}}\mathtt{0})\mathrel{\hat{\cdot}}v)$ は $\mathscr{L}_\mathsf{Ring}$-項である。
* $u\mathrel{\hat{\land}} (v\mathrel{\hat{\lor}}w),(\hat{\top}\mathrel{\hat{\land}}u)\mathrel{\hat{\lor}}\hat{\bot}$ は $\mathscr{L}_\mathsf{Lat}$-項である。
* $u\mathrel{\hat{\land}}(\mathrel{\hat{\lnot}} v),(\mathrel{\hat{\lnot}}\hat{\top})\mathrel{\hat{\land}}\hat{\bot}$ は $\mathscr{L}_\mathsf{BA}$-項である。

{{theorem |type=definition |name=等式論理の論理式 |label=formulae-of-equational-logic}}
$\mathscr{L}$ を代数言語とする。このとき '''$\mathscr{L}$-論理式''' ($\mathscr{L}$-formula) は以下のように定義される文字列である。
# $\mathscr{L}$-項 $s,t$ に対して $s=t$ は$\mathscr{L}$-論理式である。
$\mathscr{L}$-論理式の集合を $\mathrm{EqFml}_\mathscr{L}$ と表す。

また等式論理の論理式を'''原子論理式''' (atomic formula) と呼ぶこともある。

{{theorem |type=definition |name=項の出現 |label=occurrence-of-terms}}

$\mathscr{L}$-項 $s$ が $\mathscr{L}$-項 $t$ に'''出現する''' (occur) あるいは単に'''現れる'''ということを $\mathscr{L}$-項 $t$ の定義に沿って帰納的に定義する。

# 変数 $u$ に対して $s$ が $u$ であるとき $u$ に $s$ が現れている。
# $\mathscr{L}$-項 $f(t_0,\ldots,t_{n-1})$ に対して、ある $i<n$ が存在し $t_i$ に $s$ が現れているか、または $s$ が $f(t_0,\ldots,t_{n-1})$ であるとき、$s$ が $f(t_0,\ldots,t_{n-1})$ に現れている。

また$\mathscr{L}$-項 $s$ が $\mathscr{L}$-論理式 $\varphi$ に現れるということを定義する。
# $t=r$ に $\mathscr{L}$-項 $s$ が現れるのは $t$ か $r$ のいずれかに現れるときである。

$\mathscr{L}$-項 $t$ に $s_0,\ldots,s_n$ が現れているとき $t(s_0,\ldots,s_n)$ などど表す。

{{theorem |type=definition |name=項の代入 |label=substitution-of-terms}}

$\mathscr{L}$-項 $s,t$ 、変数 $u$ に対して $s$ に現れる $u$ に $t$ を'''代入''' (substitution) した結果 $s[u:=t]$ を $s$ の定義に沿って帰納的に定義する。
# $s$ に $u$ が現れていないとき $s[u:=t]$ は $s$ である。
# $u[u:=t]$ を $t$ のこととする。
# $\mathtt{f}(t_0,\ldots,t_{n-1})[u:=t]$ を　$\mathtt{f}(t_0[u:=t],\ldots,t_{n-1}[u:=t])$　のこととする。

また $\mathscr{L}$-論理式 $\varphi$ 、 $\mathscr{L}$-項 $t$ 、変数 $u$ に対して $\varphi$ に現れる $u$ に $t$ を'''代入''' (substitution) した結果 $\varphi[u:=t]$ を定義する。
# $\varphi$ に $u$ が現れていないとき $\varphi[u:=t]$ は $\varphi$ である。
# $(s=r)[u:=t]$ を $s[u:=t]=t[u:=t]$ のこととする。

また $s(u)$ に対して $s(u)[u:=t]$ を単に $s(t)$ と表す。

{{theorem |type=notation |name=省略記法 |label=abbreviation}}

$\mathscr{L}$-項、$\mathscr{L}$-論理式などの「$\mathscr{L}$-」という接頭辞は、どの言語を指しているか明らかなとき、あるいは言語に拠らない議論をするとき省略する。

また命題論理と同様に以下の記法を用いる。

* 論理式の集合 $T$ を '''公理系''' (axiomatic system, axioms, axiomata) 、'''等式理論''' (equational theory) 、あるいは単に'''理論''' (theory) という。
* 理論 $T$ と論理式 $\varphi$ に対して $T+\varphi$ で $T\cup\{\varphi\}$ を表す。

=== 2.2 等式論理のモデル ===

{{theorem |type=definition |name=代数構造 |label=algebraic-structure}}

$\mathscr{L}$ を言語とする。このとき '''$\mathscr{L}$-代数構造''' ($\mathscr{L}$-algebraic structure) $\mathcal{M}$ は'''領域'' (domain) あるいは'''宇宙''' (universe) 、'''台集合''' (underlying set) と言われる空でない<ref group="脚注">空な構造を認める流儀も存在する。特に'''圏論的論理学''' (categorical logic) の文脈では、空な構造を認めた方が都合が良い場合が多い。構造からなる圏、あるいは後述するモデルからなる圏に始対象が存在しないと都合が悪い場合が多いからである。例えば後述する等式理論の項モデルの構成と類似の議論をすることによって、等式理論、あるいはその項モデルの圏論的対応物となる圏、'''Lawvere理論''' (Lawvere theory) を得ることができ、モデルとはLawvere理論から集合と写像からなる圏 $\mathrm{Set}$ への有限直積を保つ関手と思うことができるが、このような議論は空なモデルが存在しない場合、面倒な例外処理を行わなければならなくなる。またtoo simple to be simpleの理念に従っても空なモデルは認めたほうが良いと思われる。しかし数理論理学に於いては空なモデルを認めない流儀が主流である。これは等式論理の範疇では問題にならないが、一階述語論理に於いては空なモデルを許容すると、(等号を含む)関係記号を言語として持つ場合、論理式 $\forall x\varphi(x)\to\exists x\varphi(x)$ は証明可能になるが、空なモデルで成り立たない。すなわち健全性定理が成り立たなくなるのが問題となる。</ref>集合 $M$ と以下に定義される'''$\mathscr{L}$-解釈''' ($\mathscr{L}$-interpretation) ${-}^\mathcal{M}$ の組 $\langle M;{-}^\mathcal{M}\rangle$ である。

$\mathscr{L}$-解釈 ${-}^\mathcal{M}$ は以下を満たす言語 $\mathscr{L}$ からの写像である。

* 関数記号 $\mathtt{f}\in\mathscr{L}$ に対して $\mathtt{f}$ の項数が $n$ であるとき、$\mathtt{f}^\mathcal{M}\colon M^n\to M$ である。

定数記号の解釈は一つの $M$ の要素を返す関数となる。よってその返す値と同一視することで定数記号 $\mathtt{c}$ に対して $\mathtt{c}^\mathcal{M}\in M$ と見做すことができることに注意する。このような同一視を今後断りなく行うことに注意する。

代数構造 $\mathcal{M}$ が与えられたとき、$|\mathcal{M}|$ を $\mathcal{M}$ の台集合を表すことにする。また数学の慣習に基づき構造 $\mathcal{M}$ とその台集合 $|\mathcal{M}|$ を誤解を与えない範囲で同一視する。例えば $a\in |\mathcal{M}|$ の代わりに $a\in\mathcal{M}$ と表すことがある。

また $\mathcal{M}=\langle M;{-}^\mathcal{M}\rangle$ と表す代わりに解釈後の関数、関係をリストし $\mathcal{M}=\langle A;\mathtt{f}_0^\mathcal{M},\ldots,\mathtt{f}_i^\mathcal{M}\rangle$ と表すことがある。

{{theorem |type=example |name=代数構造の例 |label=examples-of-algebraic-structures}}
任意の群 $\mathcal{G}:=\langle|\mathcal{G}|;e,\cdot,{-}^{-1}\rangle$ は $\mathtt{1}^\mathcal{G}:=e,\hat{\cdot}^\mathcal{G}:=\cdot,{{-}^{\hat{-1}}}^\mathcal{G}:={-}^{-1}$ と定めることで $\mathscr{L}_\mathsf{Grp}$-構造として見做すことができる。しかし、別に群でなくても $a\in A,f\colon A^2\to A,g\colon A\to A $ に対して $\langle A;a,f,g\rangle$ は同様に $\mathscr{L}_\mathsf{Grp}$-構造として見做すことができる。

{{theorem |type=definition |name=項の解釈 |label=interpretation-of-terms}}

$\mathscr{L}$-代数構造 $\mathcal{M}=\langle M;{-}^\mathcal{M}\rangle$ と $\mathscr{L}$-閉項 $t$ に対して $t^\mathcal{M}\in M$ を帰納的に定義する。

* $\mathtt{f}(t_0,\ldots,t_{n-1})$ に対して $(\mathtt{f}(t_0,\ldots,t_{n-1}))^\mathcal{M}$ を $\mathtt{f}^\mathcal{M}(t_0^\mathcal{M},\ldots,t_{n-1}^\mathcal{M})$ と定める。

{{theorem |type=definition |name=拡大と縮約 |label=expansion-and-reduct}}

言語 $\mathscr{L}\subseteq\mathscr{L}'$ とし、$\mathcal{M}$ を $\mathscr{L}$-代数構造とし、$\mathcal{M}'$ を $\mathscr{L}'$-代数構造とする。$|\mathcal{M}|=|\mathcal{M}'|$ とし、$\mathtt{f}\in\mathscr{L}$ に対し $\mathtt{f}^\mathcal{M}=\mathtt{f}^{\mathcal{M}'}$ が成り立つとする。このとき $\mathcal{M}'$ を $\mathcal{M}$ の'''拡大''' (expansion) といい、$\mathcal{M}$ を $\mathcal{M}'$ の'''縮約''' (reduct) という。

{{theorem |type=example |name=拡大と縮約の例 |label=expansion-and-reduct}}
任意の環 $\mathcal{R}=\langle|\mathcal{R}|;\mathtt{0}^\mathcal{R},\mathtt{1}^\mathcal{R},\hat{+}^\mathcal{R},\hat{-}^\mathcal{R},\hat{\cdot}^\mathcal{R}\rangle$ はその加法群 $\mathcal{R}^+=\langle|\mathcal{R}|;\mathtt{0}^\mathcal{R},\hat{+}^\mathcal{R},{-}^\mathcal{R}\rangle$ の拡張となる。ここで群の言語は $\{\mathtt{1},\hat{\cdot},{-}^{\hat{-1}}\}$ であったが記号を変えて $\{\mathtt{0},\hat{+},\hat{-}\}$ としても本質的になにも変わらない。実際、[[Abel群]]に対してはこのように書かれることが多い。
一方、加法群と違い、乗法群 $\mathcal{R}^\times=\langle|\mathcal{R}|\setminus\{\mathtt{0}^\mathcal{R}\};\mathtt{0}^\mathcal{R},\hat{+}^\mathcal{R},{-}^\mathcal{R}\rangle$ は領域がことなるため拡張にはならない。

{{theorem |type=definition |name=名前 |label=name}}

$\mathscr{L}$-代数構造 $\mathcal{M}$ に対して言語 $\mathscr{L}(\mathcal{M})$ と $\mathscr{L}(\mathcal{M})$-代数構造 $\mathcal{M}_\mathrm{par}$ を定義する。
* $\mathscr{L}(\mathcal{M})$ には $\mathscr{L}$ の元に加え、$a\in|\mathcal{M}|$ に対する定数記号 $\underline{a}$ を持つ。この定数記号 $\underline{a}$ を $a$ の ''名前''(name) や''パラメータ'' (parameter) という。名前を単に $a$ と表すこともある。
* $\mathcal{M}_\mathrm{par}$ は $\mathcal{M}$ の拡大であり、$\underline{a}^{\mathcal{M}_\mathrm{par}}:=a$ とする。

誤解を生じないとき $\mathcal{M}_\mathrm{par}$ を単に $\mathcal{M}$ と表す。

{{theorem |type=definition |name=充足可能性関係 |label=satisfiability-relation}}

$\mathscr{L}$-代数構造 $\mathcal{M}$ と $\mathscr{L}(\mathcal{M})$-論理式 $s(u_0,\ldots,u_{n-1})=t(v_0,\ldots,v_{m-1})$ に対し '''充足可能性関係''' (satisfiability relation) $\mathcal{M}\models s(u_0,\ldots,u_{n-1})=t(v_0,\ldots,v_{m-1})$ を定義する<ref group="脚注">充足可能性関係の定義には名前ではなく、'''割り当て''' (assignment) と呼ばれる、論理式に出現する変数記号から領域への写像を用いて、閉項に対して定義された解釈を割り当てを用いて閉項とは限らない項に拡張することで定義する流儀もある。</ref>。
ここで $s(u_0,\ldots,u_{n-1})=t(v_0,\ldots,v_{m-1})$ に現れる変数は $u_0,\ldots,u_{n-1},v_0,\ldots,v_{m-1}$ に限るとする。

#　$\mathcal{M}\models s(u_0,\ldots,u_{n-1})=t(v_0,\ldots,v_{m-1})$ となるのは任意の $a_0,\ldots,a_{n-1},b_0,\ldots,b_{m-1}\in |\mathcal{M}|$ に対して $(s(u_0,\ldots,u_{n-1})[u_0:=\underline{a_0}]\cdots[u_{n-1}:=\underline{a_{n-1}}])^{\mathcal{M}_\mathrm{par}}=(t(v_0,\ldots,v_{m-1})[v_0:=\underline{b_0}]\cdots[v_{m-1}:=\underline{b_{m-1}}])^{\mathcal{M}_\mathrm{par}})$ が成り立つことである。

ここで $\mathcal{M}\models s(u_0,\ldots,u_{n-1})=t(v_0,\ldots,v_{m-1})$ に含まれる $=$ は等号記号だが、$(s(u_0,\ldots,u_{n-1})[u_0:=\underline{a_0}]\cdots[u_{n-1}:=\underline{a_{n-1}}])^{\mathcal{M}_\mathrm{par}}=(t(v_0,\ldots,v_{m-1})[v_0:=\underline{b_0}]\cdots[v_{m-1}:=\underline{b_{m-1}}])^{\mathcal{M}_\mathrm{par}})$　に表れる $=$ は実際の等号であることに注意されたい。また $\models$ に対していくつかの用語を定める。

* $T$ を理論とし、任意の $\varphi\in T$ に対して $\mathcal{M}\models\varphi$ となっているとする。このとき $\mathcal{M}$ を $T$ の'''モデル''' (model) であるといい、$\mathcal{M}\models\varphi$ と表す。
* $T$ の任意のモデル $\mathcal{M}$ に対して $\mathcal{M}\models\varphi$ であるとき $\varphi$ は $T$ からの'''論理的帰結''' (logical consequence) であるといい、$T\models \varphi$ と表す。

{{theorem |type=example |name=モデルの例 |label=examples-of-models}}
$\mathscr{L}_\mathsf{Grp}$-理論 $\mathsf{Grp}$ を以下の論理式からなるものとする。
* $u\mathrel{\hat{\cdot}}(v\mathrel{\hat{\cdot}}w)=(u\mathrel{\hat{\cdot}}v)\mathrel{\hat{\cdot}}w$ 。
* $u\mathrel{\hat{\cdot}}\mathtt{0}=u$ 。
* $u\mathrel{\hat{\cdot}}(u^{\hat{-1}})=\mathtt{0}$ 。

$\mathsf{Grp}$ のモデルは群そのものである。

$\mathscr{L}_\mathsf{Ring}$-理論 $\mathsf{Ring}$ を以下の論理式からなるものとする。

* $u\hat{+}(v\mathrel{\hat{+}}w)=(u\mathrel{\hat{+}}v)\mathrel{\hat{+}}w$ 。
* $u\mathrel{\hat{+}}\mathtt{0}=u$ 。
* $u\mathrel{\hat{+}}(\mathrel{\hat{-}}u)=\mathtt{0}$ 。
* $u\mathrel{\hat{+}}v=v\mathrel{\hat{+}}u$ 。
* $u\mathrel{\hat{\cdot}} (v\mathrel{\hat{\cdot}} w)=(u\mathrel{\hat{\cdot}} v)\mathrel{\hat{\cdot}} w$ 。
* $u\mathrel{\hat{\cdot}} (v\mathrel{\hat{+}}w)=(u\mathrel{\hat{\cdot}} v)\mathrel{\hat{+}}(u\mathrel{\hat{\cdot}} w)$ 。
* $u\mathrel{\hat{\cdot}}\mathtt{1}=u$ 。

$\mathsf{Ring}$ のモデルも同様に環である。

言語 $\mathscr{L}_\mathsf{SGrp}:=\{\hat{\cdot}\}$ とし、理論 $\mathsf{SGrp}$ を

* $u\mathrel{\hat{\cdot}}(v\mathrel{\hat{\cdot}}w)=(u\mathrel{\hat{\cdot}}v)\mathrel{\hat{\cdot}}w$ 。

とする。このとき理論 $\mathsf{SGrp}$ のモデルは空でない半群全体となる。

=== 2.3 代数構造の理論 ===
==== 定義2.3.1（準同型、同型） ====

$\mathscr{L}$-代数構造 $\mathcal{M},\mathcal{N}$ に対して $\sigma\colon|\mathcal{M}|\to|\mathcal{N}|$ が''準同型射'' (homomorphism) であるとは、任意の $\mathtt{f}\in\mathscr{L}$ 、$a_0,\ldots,a_{n-1}\in|\mathcal{M}|$ に対し $\sigma(\mathtt{f}^\mathcal{M}(a_0,\ldots,a_{n-1}))=\mathtt{f}^\mathcal{N}(\sigma(a_0),\ldots,\sigma(a_{n-1}))$ が成り立つことである。

また準同型 $\sigma\colon|\mathcal{M}|\to|\mathcal{N}|,\tau\colon|\mathcal{N}|\to|\mathcal{M}|$ が存在し $\tau\circ\sigma =\mathrm{id}_\mathcal{M},\sigma\circ\tau =\mathrm{id}_\mathcal{N}$ となるとき $\mathcal{M}$ と $\mathcal{N}$ は''同型'' (isomorphic))であるといい $\mathcal{M}\cong\mathcal{N}$ と表し、$\sigma,\tau$ を''同型射'' (isomorphism) であるという。
ここで $\mathrm{id}_\mathcal{M}\colon|\mathcal{M}|\to|\mathcal{M}|,\mathrm{id}_\mathcal{M}(a)=a,\mathrm{id}_\mathcal{N}\colon|\mathcal{N}|\to|\mathcal{N}|,\mathrm{id}_\mathcal{N}(b)=b$ とする。

==== 定義2.3.2（部分代数） ====

$\mathscr{L}$-代数構造 $\mathcal{M},\mathcal{N}$ に対して、$\mathcal{N}$ が $\mathcal{M}$ の''部分代数'' (subalgebra) であるとは $|\mathcal{N}|\subseteq|\mathcal{M}|$ かつ、任意の $\mathtt{f}\in\mathscr{L}$ 、任意の $b_0,\ldots,b_{n-1}\in|\mathcal{N}|$ に対し $\mathtt{f}^\mathcal{N}(b_0,\ldots,b_{n-1})=\mathtt{f}^\mathcal{M}(b_0,\ldots,b_{n-1})$ を満たすことである。

==== 命題2.3.3（代数構造の同型に対する必要十分条件） ====

$\mathcal{M}\cong\mathcal{N}$ であるのは全単射準同型 $\upsilon\colon\mathcal{M}\to\mathcal{N}$ が存在するときであり、またそれに限る。

''証明''　$\mathcal{M}\cong\mathcal{N}$ であると仮定する。仮定より準同型 $\sigma\colon\mathcal{M}\to\mathcal{N},\tau\colon\mathcal{N}\to\mathcal{M}$ で $\sigma\circ\tau,\tau\circ\sigma$ が恒等となるものを取る。$\sigma,\tau$ は互いに逆写像であり、よって全単射である。

逆を示す。$\upsilon\circ\upsilon^{-1},\upsilon^{-1}\circ\upsilon$ が恒等になるのは明らかである。よって $\upsilon^{-1}\colon\mathcal{N}\to\mathcal{M}$ が準同型となることを確認すれば良い。
$\upsilon$ は全単射であるから、ある $a_0,\ldots,a_{n-1}\in|\mathcal{M}|$ が存在して $\upsilon(a_0)=b_0,\ldots,\upsilon(a_{n-1})=b_{n-1}$ である。
よって $\upsilon^{-1}(\mathtt{f}^\mathcal{N}(b_0,\ldots,b_{n-1}))=\upsilon^{-1}(\mathtt{f}^\mathcal{N}(\upsilon(a_0),\ldots,\upsilon(a_{n-1})))$ であり、$\upsilon$ は準同型であるから $\upsilon^{-1}(\mathtt{f}^\mathcal{N}(\upsilon(a_0),\ldots,\upsilon(a_{n-1})))=\upsilon^{-1}(\upsilon(\mathtt{f}^\mathcal{M}(a_0,\ldots,a_{n-1})))$ となる。
従って $\upsilon^{-1}(\upsilon(\mathtt{f}^\mathcal{M}(a_0,\ldots,a_{n-1})))=\mathtt{f}^\mathcal{M}(a_0,\ldots,a_{n-1})$　であり、$a_0=\upsilon^{-1}(b_0),\ldots,a_{n-1}=\upsilon^{-1}(b_{n-1})$ より良い。□

==== 定義2.3.4（合同関係） ====
$\mathcal{M}$ を代数構造とし、$\equiv$ を $|\mathcal{M}|$ 上の同値関係で $\mathtt{f}\in\mathscr{L}$ に対して $\mathtt{f}^\mathcal{M}$ と両立する、すなわち任意の $a_0,\ldots,a_{n-1},b_0,\ldots,b_{n-1}\in |\mathcal{M}|$ に対して、任意の $i<n$ について $a_i\equiv b_i$ $\equiv$ であるならば $\mathtt{f}^\mathcal{M}(a_0,\ldots,a_{n-1})\equiv\mathtt{f}^\mathcal{M}(b_0,\ldots,b_{n-1})$ が成り立つとき $\equiv$ は $\mathcal{M}$ 上の''合同関係'' (congruence relation) である、あるいは同値関係 $\equiv$ は $\mathtt{f}^\mathcal{M}$ に対して　''well-defined''であるという。
==== 定義2.3.5（剰余代数） ====

$\mathcal{M}$ を代数構造とし、$\equiv$ を $\mathcal{M}$ 上の合同関係とする。剰余代数'' (factor algebra, quotient algebra) $\mathcal{M}/{\equiv}:=\langle|\mathcal{M}|/{\equiv};{-}^{\mathcal{M}/{\equiv}}\rangle$ を以下のように定める。
* $|\mathcal{M}|/{\equiv}$ は $|\mathcal{M}|$ の $\equiv$ による商集合とし $a\in|\mathcal{M}|$ に対して $[a]_\equiv$ を $\equiv$ による同値類とする。
* $\mathtt{f}\in\mathscr{L}$ に対して $\mathtt{f}^{\mathcal{M}/{\equiv}}([a_0]_\equiv,\ldots,[a_{n-1}]_\equiv):=[\mathtt{f}^\mathcal{M}(a_0,\ldots,a_{n-1})]_\equiv$ とする。

==== 例2.3.6（剰余代数の例） ====

$\mathcal{G}$ を群、$\mathcal{H}$ を $\mathcal{G}$ の正規部分群、すなわち $\mathcal{H}$ は $\mathcal{G}$ の部分代数で、任意の $g\in|\mathcal{G}|,h\in|\mathcal{H}|$ に対し $(g\hat{\cdot}^\mathcal{G} h){\hat{\cdot}}^\mathcal{G}\left(g^{\hat{-1}^\mathcal{G}}\right)\in|\mathcal{H}|$ であるとする。$|\mathcal{G}|$ 上の合同関係　$\equiv_\mathcal{H}$ を $x\equiv_\mathcal{H} y:\Leftrightarrow x\hat{\cdot}^\mathcal{G}\left(y^{\hat{-1}^\mathcal{G}}\right)\in|\mathcal{H}|$ と定める。
このとき $\mathcal{G}/{\equiv_\mathcal{H}}$ を $\mathcal{G}/\mathcal{H}$ と表す。

$\mathcal{M}$ を可換環、$\mathcal{I}:=\langle|\mathcal{I}|;\mathtt{0}^\mathcal{I},\mathtt{1}^\mathcal{I},\hat{+}^\mathcal{I},\hat{-}^\mathcal{I},\hat{\cdot}^\mathcal{I}\rangle$ を $\mathcal{M}$ のイデアル、すなわち以下を満たすとする。
* $\langle|\mathcal{I}|;\mathtt{0}^\mathcal{I},\hat{+}^\mathcal{I},\hat{-}^\mathcal{I}\rangle$ は $\langle|\mathcal{M}|;\mathtt{0}^\mathcal{M},\hat{+}^\mathcal{M},\hat{-}^\mathcal{M}\rangle$ の部分構造である。
* 任意の $a\in|\mathcal{M}|,x\in|\mathcal{I}|$ に対し $a\hat{\cdot}^\mathcal{M}x\in|\mathcal{I}|$ である。

このとき上記の例と同様に $\equiv_\mathcal{I}$ を定義でき $\mathcal{M}/{\equiv_\mathcal{I}}$ を $\mathcal{M}/\mathcal{I}$ を表す。

==== 補題2.3.7（剰余代数と準同型） ====

代数構造 $\mathcal{M}$ と合同関係 $\equiv$ に対して $\pi_\equiv\colon|\mathcal{M}|\to|\mathcal{M}|/{\equiv},\pi_\equiv(a):=[a]_\equiv$ とする。このとき $\pi_\equiv$ は準同型となる。この準同型を $\equiv$ に対する自然な準同型という。

''証明''　剰余代数の定義より明らかである。□

==== 補題2.3.8（準同型と合同関係） ====

代数構造 $\mathcal{M},\mathcal{N}$ 、準同型 $\sigma\colon|\mathcal{M}|\to|\mathcal{N}|$ に対して $|\mathcal{M}|$ 上の二項関係 $\equiv_\sigma$ を $a\equiv_\sigma b:\Leftrightarrow\sigma(a)=\sigma(b)$ とする((これを $\sigma$ による''核'' (kernel) ということがある。))。このとき $\equiv_\sigma$ は合同関係である。

''証明''　$\equiv_\sigma$ が同値関係であることは明らかである。よって関数と両立することを示そう。
今 $\mathtt{f}$ の項数を $n$ とし任意の $i<n$ に対して $a_i\equiv_\sigma b_i$ であると仮定し、$\mathtt{f}^\mathcal{M}(a_0,\ldots,a_{n-1})\equiv_\sigma \mathtt{f}^\mathcal{M}(b_0,\ldots,b_{n-1})$ 、すなわち $\sigma(\mathtt{f}^\mathcal{M}(a_0,\ldots,a_{n-1}))=\sigma(\mathtt{f}^\mathcal{M}(b_0,\ldots,b_{n-1}))$ を示せば良い。
$\sigma$ が準同型であるという仮定から $\sigma(\mathtt{f}^\mathcal{M}(a_0,\ldots,a_{n-1}))=\mathtt{f}^\mathcal{N}(\sigma(a_0),\ldots,\sigma(a_{n-1}))$ であり、 $\equiv_\sigma$ の定義から $\mathtt{f}^\mathcal{N}(\sigma(a_0),\ldots,\sigma(a_{n-1}))=\mathtt{f}^\mathcal{N}(\sigma(b_0),\ldots,\sigma(b_{n-1}))$ 、よってもう一度 $\sigma$ が準同型であることから $\mathtt{f}^\mathcal{N}(\sigma(b_0),\ldots,\sigma(b_{n-1}))=\sigma(\mathtt{f}^\mathcal{M}(b_0,\ldots,b_{n-1}))$ 。□

==== 定理2.3.9（準同型定理 (homomorphism theorem) ） ====

全射準同型 $\sigma\colon|\mathcal{M}|\to|\mathcal{N}|$ に対して、同型 $\tau_{\equiv_\sigma}\colon|\mathcal{M}/{\equiv_\sigma}|\to|\mathcal{N}|$ が存在して $\sigma=\tau_{\equiv_\sigma}\circ\pi_{\equiv_\sigma}$ となる。
ここで $a\equiv_\sigma b:\Leftrightarrow\sigma(a)=\sigma(b)$ 、$\pi_{\equiv_\sigma}\colon|\mathcal{M}|\to|\mathcal{M}/{\equiv_\sigma}|,\pi_{\equiv_\sigma}(a)=[a]_{\equiv_\sigma}$ とする。

''証明''　まず $\tau_{\equiv_\sigma}([a]_{\equiv_\sigma}):=\sigma(a)$ とする。これが写像となることを示す。左全域性は明らかなので右一意性を示そう。
$[a]_{\equiv_\sigma}=[b]_{\equiv_\sigma}$ とすれば $\equiv_\sigma$ の定義から、$\sigma(a)=\sigma(b)$ であり良い。
同様に逆も言えるため左一意性、すなわち $\tau_{\equiv_\sigma}$ が単射であることも従う。また $\sigma$ が全射であることから $\tau_{\equiv_\sigma}$ も全射である。命題2.3.3より
準同型であることを示せば十分である。
剰余代数の定義から $\tau_{\equiv_\sigma}(\mathtt{f}^{\mathcal{M}/{\equiv_\sigma}}([a_0]_{\equiv_\sigma},\ldots,[a_{n-1}]_{\equiv_\sigma}))=\tau_{\equiv_\sigma}([\mathtt{f}^\mathcal{M}(a_0,\ldots,a_{n-1})]_{\equiv_\sigma})$ であり、$\tau_{\equiv_\sigma}$ の定義から $\tau_{\equiv_\sigma}([f^\mathcal{M}(a_0,\ldots,a_{n-1})]_{\equiv_\sigma})=\sigma(f^\mathcal{M}(a_0,\ldots,a_{n-1}))$ である。
$\sigma$ が準同型であることから $\sigma(\mathtt{f}^\mathcal{M}(a_0,\ldots,a_{n-1}))=\mathtt{f}^\mathcal{N}(\sigma(a_0),\ldots,\sigma(a_{n-1}))$ であり $\tau_{\equiv_\sigma}$ の定義が $\mathtt{f}^\mathcal{N}(\sigma(a_0),\ldots,\sigma(a_{n-1}))=\mathtt{f}^\mathcal{N}(\tau_{\equiv_\sigma}([a_0]_{\equiv_\sigma},\ldots,[a_{n-1}]_{\equiv_\sigma}))$ となる。□

==== 系2.3.10 ====

準同型 $\sigma\colon|\mathcal{M}|\to|\mathcal{N}|$ と $|\mathcal{M}|$ 上の合同関係 $\equiv_\sigma$ は $a\equiv_\sigma b$ ならば $\sigma(a)=\sigma(b)$ を満たすとする。
このとき準同型 $\tau_{\equiv_\sigma}\colon|\mathcal{M}/{\equiv}|\to|\mathcal{N}|$ が存在し $\sigma=\tau_{\equiv_\sigma}\circ\pi_{\equiv_\sigma}$ となる。
ただし $\pi_{\equiv_\sigma}\colon|\mathcal{M}|\to|\mathcal{M}/{\equiv_\sigma}|,\pi_{\equiv_\sigma}(a)=[a]_{\equiv_\sigma}$ とする。

''証明''　定理2.3.9の証明とほとんど同様で良い。□

==== 例2.3.11（準同型定理の具体例） ====

群準同型 $\sigma\colon|\mathcal{G}|\to|\mathcal{H}|$ に対して $\mathrm{Ker}(\sigma):=\{g\in|\mathcal{G}|\mid\sigma(g)=\mathtt{0}^\mathcal{H}\}$ とする。このとき $\langle \mathrm{Ker}(\sigma),\mathtt{0}^\mathcal{G},\hat{\cdot}^\mathcal{G},{-}^{\hat{-1}^\mathcal{G}}\rangle$ は $\mathcal{G}$ の部分群であり、例2.2.6で定められる同値関係を $\equiv_{\mathrm{Ker}(\sigma)}$ とすれば $g_0\equiv_{\mathrm{Ker}(\sigma)}g_1$ と $g_0\equiv_\sigma g_1$ は同値であり、従って定理2.3.9及び系2.3.10から以下の群論に於ける準同型定理が従う。
* 群準同型 $\sigma\colon|\mathcal{G}|\to|\mathcal{H}|$ 、自然な準同型 $\pi\colon|\mathcal{G}|\to|\mathcal{G}/\equiv_{\mathrm{Ker(\sigma)}}|$ に対して、準同型 $\tau\colon |\mathcal{G}/\equiv_{\mathrm{Ker(\sigma)}}|\to|\mathcal{H}|$ が存在して $\sigma=\tau\circ\pi$ であり、また $\tau$ は $\mathcal{G}/\equiv_{\mathrm{Ker(\sigma)}}$ から $\langle\mathrm{Im}(\sigma),\underline{0}^\mathcal{H},+^\mathcal{H},-^\mathcal{H}\rangle$ への同型射である。

=== 2.4. 等式論理の形式的証明 ===
==== 定義2.4.1（等式理論） ====
理論 $T$ 論理式 $\varphi$ に対して $T\vdash\varphi$ を帰納的に定義する。

1. $(\mathsf{refl})$　任意の項 $t$ に対して $T\vdash t=t$ である。

2. $(T)$　任意の $\varphi\in T$ に対して $T\vdash\varphi$ である。

3. $(\mathsf{sym})$　任意の項 $s,t$ に対して $T\vdash s=t$ ならば $T\vdash t=s$ である。

4. $(\mathsf{trans})$　任意の項 $s,t,r$ に対して $T\vdash s=t$ かつ $T\vdash t=r$ ならば $T\vdash s=r$ である。

5. $(\mathsf{sub})$　任意の変数 $u$ 、項 $s(u),t(u),r$ に対して $T\vdash s(u)=t(u)$ ならば $T\vdash s(r)=t(r)$ である。

6. $(\mathsf{comp})$　任意の関数記号 $f\in\mathscr{L}$ 、任意の項 $s_0,\ldots,s_{n-1},t_0,\ldots,t_{n-1}$ に対して、全ての$i<n$　について $T\vdash s_i=t_i$ ならば $T\vdash f(s_0,\ldots,s_{n-1})=f(t_0,\ldots,t_{n-1})$ である。

$\vdash$ に関して命題論理と同様に用語を定める。
* $T\vdash\varphi$ であるとき $T$ から $\varphi$ は''証明可能'' (provable) であるという。また $\emptyset\vdash\varphi$ であるとき単に証明可能であるといい、$\vdash\varphi$ と表す。
* $\mathrm{Th}(T):=\{\varphi\in\mathrm{EqFml}\mid T\vdash\varphi\}$ とする。また言語を明示するとき $\mathrm{Th}_\mathscr{L}(T)$ と表す。

=== 2.5. Birkhoffの完全性定理、$\mathsf{HSP}$ 定理 ===

==== 定義2.5.1（生成） ====
代数構造 $\mathcal{M}$ 、$X\subseteq|\mathcal{M}|$ とする。このとき $X\subseteq\mathcal{N}$ で $\mathcal{M}$ の部分代数のなか、領域の包含関係において最小であるとき、$\mathcal{N}$ を $X$ によって''生成される'' (generated) 部分代数であるという。

==== 定義2.5.2（自由 $\mathcal{K}$-代数） ====
$\mathcal{K}$ を代数構造からなるクラスとする。このとき $\mathcal{M}\in\mathcal{K}$ が $X$ によって生成される''自由 $\mathcal{K}$-代数'' (free $\mathcal{K}$-代数) であるとは以下を満たすことである。
* $\mathcal{M}$ は $X$ で生成される。
* 任意の $\mathcal{N}\in\mathcal{K}$ 、写像 $\sigma\colon X\to|\mathcal{N}|$ に対し、ある準同型 $\overline{\sigma}\colon|\mathcal{M}|\to|\mathcal{N}|$ で $\overline{\sigma}$ は $\sigma$ の拡大である、すなわち任意の $x\in X$ に対して $\sigma(x)=\overline{\sigma}(x)$ となるものが一意に存在する。

==== 命題2.5.3（自由生成と濃度） ====
代数構造 $\mathcal{M},\mathcal{N}\in\mathcal{K}$ でそれぞれ集合 $X,Y$ によって自由生成されていて、$X,Y$ が等濃であれば $\mathcal{M}\cong\mathcal{N}$ である。

''証明''　全単射 $\sigma\colon X\to Y$ を取る。
自由代数の定義から $\sigma,\sigma^{-1}$ は準同型 $\overline{\sigma}\colon|\mathcal{M}|\to|\mathcal{N}|,\overline{\sigma^{-1}}\colon|\mathcal{N}|\to|\mathcal{M}|$ に拡張され $\overline{\sigma^{-1}}\circ\overline{\sigma}$ は $X$ 上の恒等写像の拡張となる準同型 $|\mathcal{M}|\to|\mathcal{M}|$ で拡張の一意性から $\overline{\sigma^{-1}}\circ\overline{\sigma}=\mathrm{id}_{|\mathcal{M}|}$ 、
同様に $\overline{\sigma}\circ\overline{\sigma^{-1}}=\mathrm{id}_{|\mathcal{N}|}$ であり、$\mathcal{M}\cong\mathcal{N}$ である。

==== 定義2.5.3（項代数） ====

== 出典 ==

== 参考文献 ==

[田中19] 田中一之、数学基礎論序説、裳華房、2019。

[Sankappanavar–Burris] H.P. Sankappanavar, S. Burris, A course in universal algebra, Graduate Texts Math 78, 1981.

=== 脚注 ===
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数理論理学の基礎：等式論理

2022-01-07T19:47:43Z

Alwe: /* 2.2 等式論理のモデル */

[[Category:数理論理学|トウシキロンリ]]
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== 2. 等式論理 ==

'''等式論理''' (equational logic) は先程までの命題論理とは異なり命題同士の関係ではなく命題の中身、特に $s=t$ という形をした等式による命題に注目する論理である。。
等式論理に対しても命題論理と同様に統語論、意味論を考える。命題論理と同様に形式的証明と、命題論理での真理値に対応する'''モデル''' (model) というのを紹介する。

形式的証明は等式の以下に上げる基本的な性質による書き換え操作によって得られる。

# '''反射律''' (reflexivity) $s=s$ である。
# '''対称律''' (symmetricity) $s=t$ ならば $t=s$ である。
# '''推移律''' (transitivity) $s=t$ かつ $t=r$ ならば $s=r$ である。
# '''代入''' (substitution) $s(u)=t(u)$ ならば $s(r)=t(r)$ である。
# '''関数との両立''' (compatibility with functions) 任意の $i<n+1$ に対して $s_i=t_i$ ならば $f(s_0,\ldots,s_n)=f(t_0,\ldots,t_n)$ である。

一方、モデルによる意味論はある種の数学的な'''代数構造''' (algebraic structure) を用いて定義される。具体的には構造が与えられたとき、その構造で満たされることを真と見做す。ここで構造というのは'''台集合''' (underlying set) とその上の関数からなる組のことである。

=== 2.1 等式論理の統語論 ===

{{theorem |type=definition |name=等式論理の記号 |label=symbols-of-equational-logic }}
等式論理の'''論理記号''' (logical symbol) は以下からなる。
* '''変数記号''' (variable symbol) $u,v,w,\ldots$ 。
* '''等号記号''' (equality symbol) $=$ 。
* '''括弧''' (brackets) $(,).$ 及び'''カンマ''' (comma) $,$ 。

変数記号の集合を $\mathrm{Var}$ とし、変数記号は無限個あることを仮定する。

{{theorem |type=definition |name=等式論理の代数言語 |label=algebraic-languages-of-equational-logic }}

'''代数言語''' (algebraic language) は'''関数記号''' (function symbol) からなる集合で各関数記号には'''項数''' (arity) という自然数が割り当てられているとする。

また特に項数が $0$ である関数記号を'''定数記号''' (constant symbol) という。言語の元を'''非論理記号''' (non-logical symbol) という。関数記号は有限個でも無限個あっても良い。

便宜上、代数言語を集合ではなく組として扱うこともある。

{{theorem |type=example |name=代数言語の例 |label=example-of-algebraic-languages-of-equational-logic }}
代数言語の例をいくつかあげる。
* 群の言語 $\mathscr{L}_\mathsf{Grp}:=\{\mathtt{1},\mathrel{\hat{\cdot}},{-}^{\hat{-1}}\}$ 。項数は順に $0,2,1$ 。
* 環の言語 $\mathscr{L}_\mathsf{Ring}:=\{\mathtt{0},\mathtt{1},\mathrel{\hat{+}},\mathrel{\hat{-}},\mathrel{\hat{\cdot}}\}$ 。項数は順に $0,0,2,1,2$ 。
* 束の言語 $\mathscr{L}_\mathsf{Lat}:=\{\hat{\top},\hat{\bot},\mathrel{\hat{\land}},\mathrel{\hat{\lor}}\}$ 。項数は順に $0,0,2,2$ 。
* Boole代数の言語 $\mathscr{L}_\mathsf{BA}:=\{\hat{\top},\hat{\bot},\mathrel{\hat{\land}},\mathrel{\hat{\lor}},\mathrel{\hat{\lnot}}\}$ 。項数は順に $0,0,2,2,1$ 。

{{theorem |type=definition |name=等式論理の項 |label=terms-of-equational-logic}}

$\mathscr{L}$ を代数言語とする。このとき '''$\mathscr{L}$-項''' ($\mathscr{L}$-term) は以下のように帰納的に定義される文字列である。
# 変数 $u,v,w,\ldots$ は $\mathscr{L}$-項である。
# 関数記号 $\mathtt{f}$ に対し、その項数が $n$ であるとき、$\mathscr{L}$-項 $t_0,\ldots,t_{n-1}$ に対して $\mathtt{f}(t_0,\ldots,t_n)$ は$\mathscr{L}$-項である。

特に定数記号は $\mathscr{L}$-項であることに注意しよう。$\mathscr{L}$-項の集合を $\mathrm{EqTm}_\mathscr{L}$ と表す。

項数が $2$ の関数記号 $\mathtt{f}$ に対して $\mathtt{f}(s,t)$ の代わりに $s\mathrel{\mathtt{f}} t$ と'''中置記法''' (infix notation) で表し、適当に括弧を補うことがある<ref group="脚注">中置記法に対し、$\mathtt{f}(s,t)$ あるいは括弧などを省略し $\mathtt{f}st$ という記法を '''前置記法''' (prefix notation) あるいは'''ポーランド記法''' (Poland notation) といい、逆に $st\mathtt{f}$ という記法を'''後置記法''' (postfix notation) あるいは'''逆ポーランド記法''' (reverse Poland notation) という。</ref>。

{{theorem |type=definition |name=$\mathscr{L}$-項の例 |label=example-of-terms-of-equational-logic}}

項の例をいくつかあげる。
* $(u\mathrel{\hat{\cdot}}\mathtt{1})^{\hat{-1}},\mathtt{1}\mathrel{\hat{\cdot}}v$ は $\mathscr{L}_\mathsf{Grp}$-項である。
* $(\mathtt{1}\mathrel{\hat{+}}\mathtt{1})\mathrel{\hat{\cdot}} (\mathrel{\hat{-}}\mathtt{0}),(u\mathrel{\hat{+}}\mathtt{1})\mathrel{\hat{\cdot}}((\mathrel{\hat{-}}\mathtt{0})\mathrel{\hat{\cdot}}v)$ は $\mathscr{L}_\mathsf{Ring}$-項である。
* $u\mathrel{\hat{\land}} (v\mathrel{\hat{\lor}}w),(\hat{\top}\mathrel{\hat{\land}}u)\mathrel{\hat{\lor}}\hat{\bot}$ は $\mathscr{L}_\mathsf{Lat}$-項である。
* $u\mathrel{\hat{\land}}(\mathrel{\hat{\lnot}} v),(\mathrel{\hat{\lnot}}\hat{\top})\mathrel{\hat{\land}}\hat{\bot}$ は $\mathscr{L}_\mathsf{BA}$-項である。

{{theorem |type=definition |name=等式論理の論理式 |label=formulae-of-equational-logic}}
$\mathscr{L}$ を代数言語とする。このとき '''$\mathscr{L}$-論理式''' ($\mathscr{L}$-formula) は以下のように定義される文字列である。
# $\mathscr{L}$-項 $s,t$ に対して $s=t$ は$\mathscr{L}$-論理式である。
$\mathscr{L}$-論理式の集合を $\mathrm{EqFml}_\mathscr{L}$ と表す。

また等式論理の論理式を'''原子論理式''' (atomic formula) と呼ぶこともある。

{{theorem |type=definition |name=項の出現 |label=occurrence-of-terms}}

$\mathscr{L}$-項 $s$ が $\mathscr{L}$-項 $t$ に'''出現する''' (occur) あるいは単に'''現れる'''ということを $\mathscr{L}$-項 $t$ の定義に沿って帰納的に定義する。

# 変数 $u$ に対して $s$ が $u$ であるとき $u$ に $s$ が現れている。
# $\mathscr{L}$-項 $f(t_0,\ldots,t_{n-1})$ に対して、ある $i<n$ が存在し $t_i$ に $s$ が現れているか、または $s$ が $f(t_0,\ldots,t_{n-1})$ であるとき、$s$ が $f(t_0,\ldots,t_{n-1})$ に現れている。

また$\mathscr{L}$-項 $s$ が $\mathscr{L}$-論理式 $\varphi$ に現れるということを定義する。
# $t=r$ に $\mathscr{L}$-項 $s$ が現れるのは $t$ か $r$ のいずれかに現れるときである。

$\mathscr{L}$-項 $t$ に $s_0,\ldots,s_n$ が現れているとき $t(s_0,\ldots,s_n)$ などど表す。

{{theorem |type=definition |name=項の代入 |label=substitution-of-terms}}

$\mathscr{L}$-項 $s,t$ 、変数 $u$ に対して $s$ に現れる $u$ に $t$ を'''代入''' (substitution) した結果 $s[u:=t]$ を $s$ の定義に沿って帰納的に定義する。
# $s$ に $u$ が現れていないとき $s[u:=t]$ は $s$ である。
# $u[u:=t]$ を $t$ のこととする。
# $\mathtt{f}(t_0,\ldots,t_{n-1})[u:=t]$ を　$\mathtt{f}(t_0[u:=t],\ldots,t_{n-1}[u:=t])$　のこととする。

また $\mathscr{L}$-論理式 $\varphi$ 、 $\mathscr{L}$-項 $t$ 、変数 $u$ に対して $\varphi$ に現れる $u$ に $t$ を'''代入''' (substitution) した結果 $\varphi[u:=t]$ を定義する。
# $\varphi$ に $u$ が現れていないとき $\varphi[u:=t]$ は $\varphi$ である。
# $(s=r)[u:=t]$ を $s[u:=t]=t[u:=t]$ のこととする。

また $s(u)$ に対して $s(u)[u:=t]$ を単に $s(t)$ と表す。

{{theorem |type=notation |name=省略記法 |label=abbreviation}}

$\mathscr{L}$-項、$\mathscr{L}$-論理式などの「$\mathscr{L}$-」という接頭辞は、どの言語を指しているか明らかなとき、あるいは言語に拠らない議論をするとき省略する。

また命題論理と同様に以下の記法を用いる。

* 論理式の集合 $T$ を '''公理系''' (axiomatic system, axioms, axiomata) 、'''等式理論''' (equational theory) 、あるいは単に'''理論''' (theory) という。
* 理論 $T$ と論理式 $\varphi$ に対して $T+\varphi$ で $T\cup\{\varphi\}$ を表す。

=== 2.2 等式論理のモデル ===

{{theorem |type=definition |name=代数構造 |label=algebraic-structure}}

$\mathscr{L}$ を言語とする。このとき '''$\mathscr{L}$-代数構造''' ($\mathscr{L}$-algebraic structure) $\mathcal{M}$ は'''領域'' (domain) あるいは'''宇宙''' (universe) 、'''台集合''' (underlying set) と言われる空でない<ref group="脚注">空な構造を認める流儀も存在する。特に'''圏論的論理学''' (categorical logic) の文脈では、空な構造を認めた方が都合が良い場合が多い。構造からなる圏、あるいは後述するモデルからなる圏に始対象が存在しないと都合が悪い場合が多いからである。例えば後述する等式理論の項モデルの構成と類似の議論をすることによって、等式理論、あるいはその項モデルの圏論的対応物である'''Lawvere理論''' (Lawvere theory) を得ることができ、モデルとはLawvere theoryから集合と写像からなる圏 $\mathrm{Set}$ への有限直積を保つ関手と思うことができるが、このような議論は空なモデルが存在しない場合、面倒な例外処理を行わなければならなくなる。またtoo simple to be simpleの理念に従っても空なモデルは認めたほうが良いと思われる。しかし数理論理学に於いては空なモデルを認めない流儀が主流である。これは等式論理の範疇では問題にならないが、一階述語論理に於いては空なモデルを許容すると、(等号を含む)関係記号を言語として持つ場合、論理式 $\forall x\varphi(x)\to\exists x\varphi(x)$ は証明可能になるが、空なモデルで成り立たない。すなわち健全性定理が成り立たなくなるのが問題となる。</ref>集合 $M$ と以下に定義される'''$\mathscr{L}$-解釈''' ($\mathscr{L}$-interpretation) ${-}^\mathcal{M}$ の組 $\langle M;{-}^\mathcal{M}\rangle$ である。

$\mathscr{L}$-解釈 ${-}^\mathcal{M}$ は以下を満たす言語 $\mathscr{L}$ からの写像である。

* 関数記号 $\mathtt{f}\in\mathscr{L}$ に対して $\mathtt{f}$ の項数が $n$ であるとき、$\mathtt{f}^\mathcal{M}\colon M^n\to M$ である。

定数記号の解釈は一つの $M$ の要素を返す関数となる。よってその返す値と同一視することで定数記号 $\mathtt{c}$ に対して $\mathtt{c}^\mathcal{M}\in M$ と見做すことができることに注意する。このような同一視を今後断りなく行うことに注意する。

代数構造 $\mathcal{M}$ が与えられたとき、$|\mathcal{M}|$ を $\mathcal{M}$ の台集合を表すことにする。また数学の慣習に基づき構造 $\mathcal{M}$ とその台集合 $|\mathcal{M}|$ を誤解を与えない範囲で同一視する。例えば $a\in |\mathcal{M}|$ の代わりに $a\in\mathcal{M}$ と表すことがある。

また $\mathcal{M}=\langle M;{-}^\mathcal{M}\rangle$ と表す代わりに解釈後の関数、関係をリストし $\mathcal{M}=\langle A;\mathtt{f}_0^\mathcal{M},\ldots,\mathtt{f}_i^\mathcal{M}\rangle$ と表すことがある。

{{theorem |type=example |name=代数構造の例 |label=examples-of-algebraic-structures}}
任意の群 $\mathcal{G}:=\langle|\mathcal{G}|;e,\cdot,{-}^{-1}\rangle$ は $\mathtt{1}^\mathcal{G}:=e,\hat{\cdot}^\mathcal{G}:=\cdot,{{-}^{\hat{-1}}}^\mathcal{G}:={-}^{-1}$ と定めることで $\mathscr{L}_\mathsf{Grp}$-構造として見做すことができる。しかし、別に群でなくても $a\in A,f\colon A^2\to A,g\colon A\to A $ に対して $\langle A;a,f,g\rangle$ は同様に $\mathscr{L}_\mathsf{Grp}$-構造として見做すことができる。

{{theorem |type=definition |name=項の解釈 |label=interpretation-of-terms}}

$\mathscr{L}$-代数構造 $\mathcal{M}=\langle M;{-}^\mathcal{M}\rangle$ と $\mathscr{L}$-閉項 $t$ に対して $t^\mathcal{M}\in M$ を帰納的に定義する。

* $\mathtt{f}(t_0,\ldots,t_{n-1})$ に対して $(\mathtt{f}(t_0,\ldots,t_{n-1}))^\mathcal{M}$ を $\mathtt{f}^\mathcal{M}(t_0^\mathcal{M},\ldots,t_{n-1}^\mathcal{M})$ と定める。

{{theorem |type=definition |name=拡大と縮約 |label=expansion-and-reduct}}

言語 $\mathscr{L}\subseteq\mathscr{L}'$ とし、$\mathcal{M}$ を $\mathscr{L}$-代数構造とし、$\mathcal{M}'$ を $\mathscr{L}'$-代数構造とする。$|\mathcal{M}|=|\mathcal{M}'|$ とし、$\mathtt{f}\in\mathscr{L}$ に対し $\mathtt{f}^\mathcal{M}=\mathtt{f}^{\mathcal{M}'}$ が成り立つとする。このとき $\mathcal{M}'$ を $\mathcal{M}$ の'''拡大''' (expansion) といい、$\mathcal{M}$ を $\mathcal{M}'$ の'''縮約''' (reduct) という。

{{theorem |type=example |name=拡大と縮約の例 |label=expansion-and-reduct}}
任意の環 $\mathcal{R}=\langle|\mathcal{R}|;\mathtt{0}^\mathcal{R},\mathtt{1}^\mathcal{R},\hat{+}^\mathcal{R},\hat{-}^\mathcal{R},\hat{\cdot}^\mathcal{R}\rangle$ はその加法群 $\mathcal{R}^+=\langle|\mathcal{R}|;\mathtt{0}^\mathcal{R},\hat{+}^\mathcal{R},{-}^\mathcal{R}\rangle$ の拡張となる。ここで群の言語は $\{\mathtt{1},\hat{\cdot},{-}^{\hat{-1}}\}$ であったが記号を変えて $\{\mathtt{0},\hat{+},\hat{-}\}$ としても本質的になにも変わらない。実際、[[Abel群]]に対してはこのように書かれることが多い。
一方、加法群と違い、乗法群 $\mathcal{R}^\times=\langle|\mathcal{R}|\setminus\{\mathtt{0}^\mathcal{R}\};\mathtt{0}^\mathcal{R},\hat{+}^\mathcal{R},{-}^\mathcal{R}\rangle$ は領域がことなるため拡張にはならない。

{{theorem |type=definition |name=名前 |label=name}}

$\mathscr{L}$-代数構造 $\mathcal{M}$ に対して言語 $\mathscr{L}(\mathcal{M})$ と $\mathscr{L}(\mathcal{M})$-代数構造 $\mathcal{M}_\mathrm{par}$ を定義する。
* $\mathscr{L}(\mathcal{M})$ には $\mathscr{L}$ の元に加え、$a\in|\mathcal{M}|$ に対する定数記号 $\underline{a}$ を持つ。この定数記号 $\underline{a}$ を $a$ の ''名前''(name) や''パラメータ'' (parameter) という。名前を単に $a$ と表すこともある。
* $\mathcal{M}_\mathrm{par}$ は $\mathcal{M}$ の拡大であり、$\underline{a}^{\mathcal{M}_\mathrm{par}}:=a$ とする。

誤解を生じないとき $\mathcal{M}_\mathrm{par}$ を単に $\mathcal{M}$ と表す。

{{theorem |type=definition |name=充足可能性関係 |label=satisfiability-relation}}

$\mathscr{L}$-代数構造 $\mathcal{M}$ と $\mathscr{L}(\mathcal{M})$-論理式 $s(u_0,\ldots,u_{n-1})=t(v_0,\ldots,v_{m-1})$ に対し '''充足可能性関係''' (satisfiability relation) $\mathcal{M}\models s(u_0,\ldots,u_{n-1})=t(v_0,\ldots,v_{m-1})$ を定義する<ref group="脚注">充足可能性関係の定義には名前ではなく、'''割り当て''' (assignment) と呼ばれる、論理式に出現する変数記号から領域への写像を用いて、閉項に対して定義された解釈を割り当てを用いて閉項とは限らない項に拡張することで定義する流儀もある。</ref>。
ここで $s(u_0,\ldots,u_{n-1})=t(v_0,\ldots,v_{m-1})$ に現れる変数は $u_0,\ldots,u_{n-1},v_0,\ldots,v_{m-1}$ に限るとする。

#　$\mathcal{M}\models s(u_0,\ldots,u_{n-1})=t(v_0,\ldots,v_{m-1})$ となるのは任意の $a_0,\ldots,a_{n-1},b_0,\ldots,b_{m-1}\in |\mathcal{M}|$ に対して $(s(u_0,\ldots,u_{n-1})[u_0:=\underline{a_0}]\cdots[u_{n-1}:=\underline{a_{n-1}}])^{\mathcal{M}_\mathrm{par}}=(t(v_0,\ldots,v_{m-1})[v_0:=\underline{b_0}]\cdots[v_{m-1}:=\underline{b_{m-1}}])^{\mathcal{M}_\mathrm{par}})$ が成り立つことである。

ここで $\mathcal{M}\models s(u_0,\ldots,u_{n-1})=t(v_0,\ldots,v_{m-1})$ に含まれる $=$ は等号記号だが、$(s(u_0,\ldots,u_{n-1})[u_0:=\underline{a_0}]\cdots[u_{n-1}:=\underline{a_{n-1}}])^{\mathcal{M}_\mathrm{par}}=(t(v_0,\ldots,v_{m-1})[v_0:=\underline{b_0}]\cdots[v_{m-1}:=\underline{b_{m-1}}])^{\mathcal{M}_\mathrm{par}})$　に表れる $=$ は実際の等号であることに注意されたい。また $\models$ に対していくつかの用語を定める。

* $T$ を理論とし、任意の $\varphi\in T$ に対して $\mathcal{M}\models\varphi$ となっているとする。このとき $\mathcal{M}$ を $T$ の'''モデル''' (model) であるといい、$\mathcal{M}\models\varphi$ と表す。
* $T$ の任意のモデル $\mathcal{M}$ に対して $\mathcal{M}\models\varphi$ であるとき $\varphi$ は $T$ からの'''論理的帰結''' (logical consequence) であるといい、$T\models \varphi$ と表す。

{{theorem |type=example |name=モデルの例 |label=examples-of-models}}
$\mathscr{L}_\mathsf{Grp}$-理論 $\mathsf{Grp}$ を以下の論理式からなるものとする。
* $u\mathrel{\hat{\cdot}}(v\mathrel{\hat{\cdot}}w)=(u\mathrel{\hat{\cdot}}v)\mathrel{\hat{\cdot}}w$ 。
* $u\mathrel{\hat{\cdot}}\mathtt{0}=u$ 。
* $u\mathrel{\hat{\cdot}}(u^{\hat{-1}})=\mathtt{0}$ 。

$\mathsf{Grp}$ のモデルは群そのものである。

$\mathscr{L}_\mathsf{Ring}$-理論 $\mathsf{Ring}$ を以下の論理式からなるものとする。

* $u\hat{+}(v\mathrel{\hat{+}}w)=(u\mathrel{\hat{+}}v)\mathrel{\hat{+}}w$ 。
* $u\mathrel{\hat{+}}\mathtt{0}=u$ 。
* $u\mathrel{\hat{+}}(\mathrel{\hat{-}}u)=\mathtt{0}$ 。
* $u\mathrel{\hat{+}}v=v\mathrel{\hat{+}}u$ 。
* $u\mathrel{\hat{\cdot}} (v\mathrel{\hat{\cdot}} w)=(u\mathrel{\hat{\cdot}} v)\mathrel{\hat{\cdot}} w$ 。
* $u\mathrel{\hat{\cdot}} (v\mathrel{\hat{+}}w)=(u\mathrel{\hat{\cdot}} v)\mathrel{\hat{+}}(u\mathrel{\hat{\cdot}} w)$ 。
* $u\mathrel{\hat{\cdot}}\mathtt{1}=u$ 。

$\mathsf{Ring}$ のモデルも同様に環である。

言語 $\mathscr{L}_\mathsf{SGrp}:=\{\hat{\cdot}\}$ とし、理論 $\mathsf{SGrp}$ を

* $u\mathrel{\hat{\cdot}}(v\mathrel{\hat{\cdot}}w)=(u\mathrel{\hat{\cdot}}v)\mathrel{\hat{\cdot}}w$ 。

とする。このとき理論 $\mathsf{SGrp}$ のモデルは空でない半群全体となる。

=== 2.3 代数構造の理論 ===
==== 定義2.3.1（準同型、同型） ====

$\mathscr{L}$-代数構造 $\mathcal{M},\mathcal{N}$ に対して $\sigma\colon|\mathcal{M}|\to|\mathcal{N}|$ が''準同型射'' (homomorphism) であるとは、任意の $\mathtt{f}\in\mathscr{L}$ 、$a_0,\ldots,a_{n-1}\in|\mathcal{M}|$ に対し $\sigma(\mathtt{f}^\mathcal{M}(a_0,\ldots,a_{n-1}))=\mathtt{f}^\mathcal{N}(\sigma(a_0),\ldots,\sigma(a_{n-1}))$ が成り立つことである。

また準同型 $\sigma\colon|\mathcal{M}|\to|\mathcal{N}|,\tau\colon|\mathcal{N}|\to|\mathcal{M}|$ が存在し $\tau\circ\sigma =\mathrm{id}_\mathcal{M},\sigma\circ\tau =\mathrm{id}_\mathcal{N}$ となるとき $\mathcal{M}$ と $\mathcal{N}$ は''同型'' (isomorphic))であるといい $\mathcal{M}\cong\mathcal{N}$ と表し、$\sigma,\tau$ を''同型射'' (isomorphism) であるという。
ここで $\mathrm{id}_\mathcal{M}\colon|\mathcal{M}|\to|\mathcal{M}|,\mathrm{id}_\mathcal{M}(a)=a,\mathrm{id}_\mathcal{N}\colon|\mathcal{N}|\to|\mathcal{N}|,\mathrm{id}_\mathcal{N}(b)=b$ とする。

==== 定義2.3.2（部分代数） ====

$\mathscr{L}$-代数構造 $\mathcal{M},\mathcal{N}$ に対して、$\mathcal{N}$ が $\mathcal{M}$ の''部分代数'' (subalgebra) であるとは $|\mathcal{N}|\subseteq|\mathcal{M}|$ かつ、任意の $\mathtt{f}\in\mathscr{L}$ 、任意の $b_0,\ldots,b_{n-1}\in|\mathcal{N}|$ に対し $\mathtt{f}^\mathcal{N}(b_0,\ldots,b_{n-1})=\mathtt{f}^\mathcal{M}(b_0,\ldots,b_{n-1})$ を満たすことである。

==== 命題2.3.3（代数構造の同型に対する必要十分条件） ====

$\mathcal{M}\cong\mathcal{N}$ であるのは全単射準同型 $\upsilon\colon\mathcal{M}\to\mathcal{N}$ が存在するときであり、またそれに限る。

''証明''　$\mathcal{M}\cong\mathcal{N}$ であると仮定する。仮定より準同型 $\sigma\colon\mathcal{M}\to\mathcal{N},\tau\colon\mathcal{N}\to\mathcal{M}$ で $\sigma\circ\tau,\tau\circ\sigma$ が恒等となるものを取る。$\sigma,\tau$ は互いに逆写像であり、よって全単射である。

逆を示す。$\upsilon\circ\upsilon^{-1},\upsilon^{-1}\circ\upsilon$ が恒等になるのは明らかである。よって $\upsilon^{-1}\colon\mathcal{N}\to\mathcal{M}$ が準同型となることを確認すれば良い。
$\upsilon$ は全単射であるから、ある $a_0,\ldots,a_{n-1}\in|\mathcal{M}|$ が存在して $\upsilon(a_0)=b_0,\ldots,\upsilon(a_{n-1})=b_{n-1}$ である。
よって $\upsilon^{-1}(\mathtt{f}^\mathcal{N}(b_0,\ldots,b_{n-1}))=\upsilon^{-1}(\mathtt{f}^\mathcal{N}(\upsilon(a_0),\ldots,\upsilon(a_{n-1})))$ であり、$\upsilon$ は準同型であるから $\upsilon^{-1}(\mathtt{f}^\mathcal{N}(\upsilon(a_0),\ldots,\upsilon(a_{n-1})))=\upsilon^{-1}(\upsilon(\mathtt{f}^\mathcal{M}(a_0,\ldots,a_{n-1})))$ となる。
従って $\upsilon^{-1}(\upsilon(\mathtt{f}^\mathcal{M}(a_0,\ldots,a_{n-1})))=\mathtt{f}^\mathcal{M}(a_0,\ldots,a_{n-1})$　であり、$a_0=\upsilon^{-1}(b_0),\ldots,a_{n-1}=\upsilon^{-1}(b_{n-1})$ より良い。□

==== 定義2.3.4（合同関係） ====
$\mathcal{M}$ を代数構造とし、$\equiv$ を $|\mathcal{M}|$ 上の同値関係で $\mathtt{f}\in\mathscr{L}$ に対して $\mathtt{f}^\mathcal{M}$ と両立する、すなわち任意の $a_0,\ldots,a_{n-1},b_0,\ldots,b_{n-1}\in |\mathcal{M}|$ に対して、任意の $i<n$ について $a_i\equiv b_i$ $\equiv$ であるならば $\mathtt{f}^\mathcal{M}(a_0,\ldots,a_{n-1})\equiv\mathtt{f}^\mathcal{M}(b_0,\ldots,b_{n-1})$ が成り立つとき $\equiv$ は $\mathcal{M}$ 上の''合同関係'' (congruence relation) である、あるいは同値関係 $\equiv$ は $\mathtt{f}^\mathcal{M}$ に対して　''well-defined''であるという。
==== 定義2.3.5（剰余代数） ====

$\mathcal{M}$ を代数構造とし、$\equiv$ を $\mathcal{M}$ 上の合同関係とする。剰余代数'' (factor algebra, quotient algebra) $\mathcal{M}/{\equiv}:=\langle|\mathcal{M}|/{\equiv};{-}^{\mathcal{M}/{\equiv}}\rangle$ を以下のように定める。
* $|\mathcal{M}|/{\equiv}$ は $|\mathcal{M}|$ の $\equiv$ による商集合とし $a\in|\mathcal{M}|$ に対して $[a]_\equiv$ を $\equiv$ による同値類とする。
* $\mathtt{f}\in\mathscr{L}$ に対して $\mathtt{f}^{\mathcal{M}/{\equiv}}([a_0]_\equiv,\ldots,[a_{n-1}]_\equiv):=[\mathtt{f}^\mathcal{M}(a_0,\ldots,a_{n-1})]_\equiv$ とする。

==== 例2.3.6（剰余代数の例） ====

$\mathcal{G}$ を群、$\mathcal{H}$ を $\mathcal{G}$ の正規部分群、すなわち $\mathcal{H}$ は $\mathcal{G}$ の部分代数で、任意の $g\in|\mathcal{G}|,h\in|\mathcal{H}|$ に対し $(g\hat{\cdot}^\mathcal{G} h){\hat{\cdot}}^\mathcal{G}\left(g^{\hat{-1}^\mathcal{G}}\right)\in|\mathcal{H}|$ であるとする。$|\mathcal{G}|$ 上の合同関係　$\equiv_\mathcal{H}$ を $x\equiv_\mathcal{H} y:\Leftrightarrow x\hat{\cdot}^\mathcal{G}\left(y^{\hat{-1}^\mathcal{G}}\right)\in|\mathcal{H}|$ と定める。
このとき $\mathcal{G}/{\equiv_\mathcal{H}}$ を $\mathcal{G}/\mathcal{H}$ と表す。

$\mathcal{M}$ を可換環、$\mathcal{I}:=\langle|\mathcal{I}|;\mathtt{0}^\mathcal{I},\mathtt{1}^\mathcal{I},\hat{+}^\mathcal{I},\hat{-}^\mathcal{I},\hat{\cdot}^\mathcal{I}\rangle$ を $\mathcal{M}$ のイデアル、すなわち以下を満たすとする。
* $\langle|\mathcal{I}|;\mathtt{0}^\mathcal{I},\hat{+}^\mathcal{I},\hat{-}^\mathcal{I}\rangle$ は $\langle|\mathcal{M}|;\mathtt{0}^\mathcal{M},\hat{+}^\mathcal{M},\hat{-}^\mathcal{M}\rangle$ の部分構造である。
* 任意の $a\in|\mathcal{M}|,x\in|\mathcal{I}|$ に対し $a\hat{\cdot}^\mathcal{M}x\in|\mathcal{I}|$ である。

このとき上記の例と同様に $\equiv_\mathcal{I}$ を定義でき $\mathcal{M}/{\equiv_\mathcal{I}}$ を $\mathcal{M}/\mathcal{I}$ を表す。

==== 補題2.3.7（剰余代数と準同型） ====

代数構造 $\mathcal{M}$ と合同関係 $\equiv$ に対して $\pi_\equiv\colon|\mathcal{M}|\to|\mathcal{M}|/{\equiv},\pi_\equiv(a):=[a]_\equiv$ とする。このとき $\pi_\equiv$ は準同型となる。この準同型を $\equiv$ に対する自然な準同型という。

''証明''　剰余代数の定義より明らかである。□

==== 補題2.3.8（準同型と合同関係） ====

代数構造 $\mathcal{M},\mathcal{N}$ 、準同型 $\sigma\colon|\mathcal{M}|\to|\mathcal{N}|$ に対して $|\mathcal{M}|$ 上の二項関係 $\equiv_\sigma$ を $a\equiv_\sigma b:\Leftrightarrow\sigma(a)=\sigma(b)$ とする((これを $\sigma$ による''核'' (kernel) ということがある。))。このとき $\equiv_\sigma$ は合同関係である。

''証明''　$\equiv_\sigma$ が同値関係であることは明らかである。よって関数と両立することを示そう。
今 $\mathtt{f}$ の項数を $n$ とし任意の $i<n$ に対して $a_i\equiv_\sigma b_i$ であると仮定し、$\mathtt{f}^\mathcal{M}(a_0,\ldots,a_{n-1})\equiv_\sigma \mathtt{f}^\mathcal{M}(b_0,\ldots,b_{n-1})$ 、すなわち $\sigma(\mathtt{f}^\mathcal{M}(a_0,\ldots,a_{n-1}))=\sigma(\mathtt{f}^\mathcal{M}(b_0,\ldots,b_{n-1}))$ を示せば良い。
$\sigma$ が準同型であるという仮定から $\sigma(\mathtt{f}^\mathcal{M}(a_0,\ldots,a_{n-1}))=\mathtt{f}^\mathcal{N}(\sigma(a_0),\ldots,\sigma(a_{n-1}))$ であり、 $\equiv_\sigma$ の定義から $\mathtt{f}^\mathcal{N}(\sigma(a_0),\ldots,\sigma(a_{n-1}))=\mathtt{f}^\mathcal{N}(\sigma(b_0),\ldots,\sigma(b_{n-1}))$ 、よってもう一度 $\sigma$ が準同型であることから $\mathtt{f}^\mathcal{N}(\sigma(b_0),\ldots,\sigma(b_{n-1}))=\sigma(\mathtt{f}^\mathcal{M}(b_0,\ldots,b_{n-1}))$ 。□

==== 定理2.3.9（準同型定理 (homomorphism theorem) ） ====

全射準同型 $\sigma\colon|\mathcal{M}|\to|\mathcal{N}|$ に対して、同型 $\tau_{\equiv_\sigma}\colon|\mathcal{M}/{\equiv_\sigma}|\to|\mathcal{N}|$ が存在して $\sigma=\tau_{\equiv_\sigma}\circ\pi_{\equiv_\sigma}$ となる。
ここで $a\equiv_\sigma b:\Leftrightarrow\sigma(a)=\sigma(b)$ 、$\pi_{\equiv_\sigma}\colon|\mathcal{M}|\to|\mathcal{M}/{\equiv_\sigma}|,\pi_{\equiv_\sigma}(a)=[a]_{\equiv_\sigma}$ とする。

''証明''　まず $\tau_{\equiv_\sigma}([a]_{\equiv_\sigma}):=\sigma(a)$ とする。これが写像となることを示す。左全域性は明らかなので右一意性を示そう。
$[a]_{\equiv_\sigma}=[b]_{\equiv_\sigma}$ とすれば $\equiv_\sigma$ の定義から、$\sigma(a)=\sigma(b)$ であり良い。
同様に逆も言えるため左一意性、すなわち $\tau_{\equiv_\sigma}$ が単射であることも従う。また $\sigma$ が全射であることから $\tau_{\equiv_\sigma}$ も全射である。命題2.3.3より
準同型であることを示せば十分である。
剰余代数の定義から $\tau_{\equiv_\sigma}(\mathtt{f}^{\mathcal{M}/{\equiv_\sigma}}([a_0]_{\equiv_\sigma},\ldots,[a_{n-1}]_{\equiv_\sigma}))=\tau_{\equiv_\sigma}([\mathtt{f}^\mathcal{M}(a_0,\ldots,a_{n-1})]_{\equiv_\sigma})$ であり、$\tau_{\equiv_\sigma}$ の定義から $\tau_{\equiv_\sigma}([f^\mathcal{M}(a_0,\ldots,a_{n-1})]_{\equiv_\sigma})=\sigma(f^\mathcal{M}(a_0,\ldots,a_{n-1}))$ である。
$\sigma$ が準同型であることから $\sigma(\mathtt{f}^\mathcal{M}(a_0,\ldots,a_{n-1}))=\mathtt{f}^\mathcal{N}(\sigma(a_0),\ldots,\sigma(a_{n-1}))$ であり $\tau_{\equiv_\sigma}$ の定義が $\mathtt{f}^\mathcal{N}(\sigma(a_0),\ldots,\sigma(a_{n-1}))=\mathtt{f}^\mathcal{N}(\tau_{\equiv_\sigma}([a_0]_{\equiv_\sigma},\ldots,[a_{n-1}]_{\equiv_\sigma}))$ となる。□

==== 系2.3.10 ====

準同型 $\sigma\colon|\mathcal{M}|\to|\mathcal{N}|$ と $|\mathcal{M}|$ 上の合同関係 $\equiv_\sigma$ は $a\equiv_\sigma b$ ならば $\sigma(a)=\sigma(b)$ を満たすとする。
このとき準同型 $\tau_{\equiv_\sigma}\colon|\mathcal{M}/{\equiv}|\to|\mathcal{N}|$ が存在し $\sigma=\tau_{\equiv_\sigma}\circ\pi_{\equiv_\sigma}$ となる。
ただし $\pi_{\equiv_\sigma}\colon|\mathcal{M}|\to|\mathcal{M}/{\equiv_\sigma}|,\pi_{\equiv_\sigma}(a)=[a]_{\equiv_\sigma}$ とする。

''証明''　定理2.3.9の証明とほとんど同様で良い。□

==== 例2.3.11（準同型定理の具体例） ====

群準同型 $\sigma\colon|\mathcal{G}|\to|\mathcal{H}|$ に対して $\mathrm{Ker}(\sigma):=\{g\in|\mathcal{G}|\mid\sigma(g)=\mathtt{0}^\mathcal{H}\}$ とする。このとき $\langle \mathrm{Ker}(\sigma),\mathtt{0}^\mathcal{G},\hat{\cdot}^\mathcal{G},{-}^{\hat{-1}^\mathcal{G}}\rangle$ は $\mathcal{G}$ の部分群であり、例2.2.6で定められる同値関係を $\equiv_{\mathrm{Ker}(\sigma)}$ とすれば $g_0\equiv_{\mathrm{Ker}(\sigma)}g_1$ と $g_0\equiv_\sigma g_1$ は同値であり、従って定理2.3.9及び系2.3.10から以下の群論に於ける準同型定理が従う。
* 群準同型 $\sigma\colon|\mathcal{G}|\to|\mathcal{H}|$ 、自然な準同型 $\pi\colon|\mathcal{G}|\to|\mathcal{G}/\equiv_{\mathrm{Ker(\sigma)}}|$ に対して、準同型 $\tau\colon |\mathcal{G}/\equiv_{\mathrm{Ker(\sigma)}}|\to|\mathcal{H}|$ が存在して $\sigma=\tau\circ\pi$ であり、また $\tau$ は $\mathcal{G}/\equiv_{\mathrm{Ker(\sigma)}}$ から $\langle\mathrm{Im}(\sigma),\underline{0}^\mathcal{H},+^\mathcal{H},-^\mathcal{H}\rangle$ への同型射である。

=== 2.4. 等式論理の形式的証明 ===
==== 定義2.4.1（等式理論） ====
理論 $T$ 論理式 $\varphi$ に対して $T\vdash\varphi$ を帰納的に定義する。

1. $(\mathsf{refl})$　任意の項 $t$ に対して $T\vdash t=t$ である。

2. $(T)$　任意の $\varphi\in T$ に対して $T\vdash\varphi$ である。

3. $(\mathsf{sym})$　任意の項 $s,t$ に対して $T\vdash s=t$ ならば $T\vdash t=s$ である。

4. $(\mathsf{trans})$　任意の項 $s,t,r$ に対して $T\vdash s=t$ かつ $T\vdash t=r$ ならば $T\vdash s=r$ である。

5. $(\mathsf{sub})$　任意の変数 $u$ 、項 $s(u),t(u),r$ に対して $T\vdash s(u)=t(u)$ ならば $T\vdash s(r)=t(r)$ である。

6. $(\mathsf{comp})$　任意の関数記号 $f\in\mathscr{L}$ 、任意の項 $s_0,\ldots,s_{n-1},t_0,\ldots,t_{n-1}$ に対して、全ての$i<n$　について $T\vdash s_i=t_i$ ならば $T\vdash f(s_0,\ldots,s_{n-1})=f(t_0,\ldots,t_{n-1})$ である。

$\vdash$ に関して命題論理と同様に用語を定める。
* $T\vdash\varphi$ であるとき $T$ から $\varphi$ は''証明可能'' (provable) であるという。また $\emptyset\vdash\varphi$ であるとき単に証明可能であるといい、$\vdash\varphi$ と表す。
* $\mathrm{Th}(T):=\{\varphi\in\mathrm{EqFml}\mid T\vdash\varphi\}$ とする。また言語を明示するとき $\mathrm{Th}_\mathscr{L}(T)$ と表す。

=== 2.5. Birkhoffの完全性定理、$\mathsf{HSP}$ 定理 ===

==== 定義2.5.1（生成） ====
代数構造 $\mathcal{M}$ 、$X\subseteq|\mathcal{M}|$ とする。このとき $X\subseteq\mathcal{N}$ で $\mathcal{M}$ の部分代数のなか、領域の包含関係において最小であるとき、$\mathcal{N}$ を $X$ によって''生成される'' (generated) 部分代数であるという。

==== 定義2.5.2（自由 $\mathcal{K}$-代数） ====
$\mathcal{K}$ を代数構造からなるクラスとする。このとき $\mathcal{M}\in\mathcal{K}$ が $X$ によって生成される''自由 $\mathcal{K}$-代数'' (free $\mathcal{K}$-代数) であるとは以下を満たすことである。
* $\mathcal{M}$ は $X$ で生成される。
* 任意の $\mathcal{N}\in\mathcal{K}$ 、写像 $\sigma\colon X\to|\mathcal{N}|$ に対し、ある準同型 $\overline{\sigma}\colon|\mathcal{M}|\to|\mathcal{N}|$ で $\overline{\sigma}$ は $\sigma$ の拡大である、すなわち任意の $x\in X$ に対して $\sigma(x)=\overline{\sigma}(x)$ となるものが一意に存在する。

==== 命題2.5.3（自由生成と濃度） ====
代数構造 $\mathcal{M},\mathcal{N}\in\mathcal{K}$ でそれぞれ集合 $X,Y$ によって自由生成されていて、$X,Y$ が等濃であれば $\mathcal{M}\cong\mathcal{N}$ である。

''証明''　全単射 $\sigma\colon X\to Y$ を取る。
自由代数の定義から $\sigma,\sigma^{-1}$ は準同型 $\overline{\sigma}\colon|\mathcal{M}|\to|\mathcal{N}|,\overline{\sigma^{-1}}\colon|\mathcal{N}|\to|\mathcal{M}|$ に拡張され $\overline{\sigma^{-1}}\circ\overline{\sigma}$ は $X$ 上の恒等写像の拡張となる準同型 $|\mathcal{M}|\to|\mathcal{M}|$ で拡張の一意性から $\overline{\sigma^{-1}}\circ\overline{\sigma}=\mathrm{id}_{|\mathcal{M}|}$ 、
同様に $\overline{\sigma}\circ\overline{\sigma^{-1}}=\mathrm{id}_{|\mathcal{N}|}$ であり、$\mathcal{M}\cong\mathcal{N}$ である。

==== 定義2.5.3（項代数） ====

== 出典 ==

== 参考文献 ==

[田中19] 田中一之、数学基礎論序説、裳華房、2019。

[Sankappanavar–Burris] H.P. Sankappanavar, S. Burris, A course in universal algebra, Graduate Texts Math 78, 1981.

=== 脚注 ===
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}}

数理論理学の基礎：等式論理

2022-01-02T10:47:42Z

Alwe: /* 2.1 等式論理の統語論 */

[[Category:数理論理学|トウシキロンリ]]
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{{begin |preamble }}


$
\newcommand{\Pow}[1]{\mathcal{P}(#1)}
\newcommand{\nat}{\mathbb{N}}
$

$\newcommand{\name}[1]{\underline{#1}}$

$
\newcommand{\blank}{ {-} }
$

{{newtheorem |type=theorem |display=定理 |counter=0 }}
{{newtheorem |type=lemma |display=補題 |family=theorem }}
{{newtheorem |type=definition |display=定義 |family=theorem }}
{{newtheorem |type=proposition |display=命題 |family=theorem }}
{{newtheorem |type=corollary |display=系 |family=theorem }}
{{newtheorem |type=remark |display=注意 |family=theorem }}
{{newtheorem |type=example |display=例 |family=theorem }}
{{newtheorem |type=notation |display=表記 |family=theorem }}
{{end |preamble }}
== 2. 等式論理 ==

'''等式論理''' (equational logic) は先程までの命題論理とは異なり命題同士の関係ではなく命題の中身、特に $s=t$ という形をした等式による命題に注目する論理である。。
等式論理に対しても命題論理と同様に統語論、意味論を考える。命題論理と同様に形式的証明と、命題論理での真理値に対応する'''モデル''' (model) というのを紹介する。

形式的証明は等式の以下に上げる基本的な性質による書き換え操作によって得られる。

# '''反射律''' (reflexivity) $s=s$ である。
# '''対称律''' (symmetricity) $s=t$ ならば $t=s$ である。
# '''推移律''' (transitivity) $s=t$ かつ $t=r$ ならば $s=r$ である。
# '''代入''' (substitution) $s(u)=t(u)$ ならば $s(r)=t(r)$ である。
# '''関数との両立''' (compatibility with functions) 任意の $i<n+1$ に対して $s_i=t_i$ ならば $f(s_0,\ldots,s_n)=f(t_0,\ldots,t_n)$ である。

一方、モデルによる意味論はある種の数学的な'''代数構造''' (algebraic structure) を用いて定義される。具体的には構造が与えられたとき、その構造で満たされることを真と見做す。ここで構造というのは'''台集合''' (underlying set) とその上の関数からなる組のことである。

=== 2.1 等式論理の統語論 ===

{{theorem |type=definition |name=等式論理の記号 |label=symbols-of-equational-logic }}
等式論理の'''論理記号''' (logical symbol) は以下からなる。
* '''変数記号''' (variable symbol) $u,v,w,\ldots$ 。
* '''等号記号''' (equality symbol) $=$ 。
* '''括弧''' (brackets) $(,).$ 及び'''カンマ''' (comma) $,$ 。

変数記号の集合を $\mathrm{Var}$ とし、変数記号は無限個あることを仮定する。

{{theorem |type=definition |name=等式論理の代数言語 |label=algebraic-languages-of-equational-logic }}

'''代数言語''' (algebraic language) は'''関数記号''' (function symbol) からなる集合で各関数記号には'''項数''' (arity) という自然数が割り当てられているとする。

また特に項数が $0$ である関数記号を'''定数記号''' (constant symbol) という。言語の元を'''非論理記号''' (non-logical symbol) という。関数記号は有限個でも無限個あっても良い。

便宜上、代数言語を集合ではなく組として扱うこともある。

{{theorem |type=example |name=代数言語の例 |label=example-of-algebraic-languages-of-equational-logic }}
代数言語の例をいくつかあげる。
* 群の言語 $\mathscr{L}_\mathsf{Grp}:=\{\mathtt{1},\mathrel{\hat{\cdot}},{-}^{\hat{-1}}\}$ 。項数は順に $0,2,1$ 。
* 環の言語 $\mathscr{L}_\mathsf{Ring}:=\{\mathtt{0},\mathtt{1},\mathrel{\hat{+}},\mathrel{\hat{-}},\mathrel{\hat{\cdot}}\}$ 。項数は順に $0,0,2,1,2$ 。
* 束の言語 $\mathscr{L}_\mathsf{Lat}:=\{\hat{\top},\hat{\bot},\mathrel{\hat{\land}},\mathrel{\hat{\lor}}\}$ 。項数は順に $0,0,2,2$ 。
* Boole代数の言語 $\mathscr{L}_\mathsf{BA}:=\{\hat{\top},\hat{\bot},\mathrel{\hat{\land}},\mathrel{\hat{\lor}},\mathrel{\hat{\lnot}}\}$ 。項数は順に $0,0,2,2,1$ 。

{{theorem |type=definition |name=等式論理の項 |label=terms-of-equational-logic}}

$\mathscr{L}$ を代数言語とする。このとき '''$\mathscr{L}$-項''' ($\mathscr{L}$-term) は以下のように帰納的に定義される文字列である。
# 変数 $u,v,w,\ldots$ は $\mathscr{L}$-項である。
# 関数記号 $\mathtt{f}$ に対し、その項数が $n$ であるとき、$\mathscr{L}$-項 $t_0,\ldots,t_{n-1}$ に対して $\mathtt{f}(t_0,\ldots,t_n)$ は$\mathscr{L}$-項である。

特に定数記号は $\mathscr{L}$-項であることに注意しよう。$\mathscr{L}$-項の集合を $\mathrm{EqTm}_\mathscr{L}$ と表す。

項数が $2$ の関数記号 $\mathtt{f}$ に対して $\mathtt{f}(s,t)$ の代わりに $s\mathrel{\mathtt{f}} t$ と'''中置記法''' (infix notation) で表し、適当に括弧を補うことがある<ref group="脚注">中置記法に対し、$\mathtt{f}(s,t)$ あるいは括弧などを省略し $\mathtt{f}st$ という記法を '''前置記法''' (prefix notation) あるいは'''ポーランド記法''' (Poland notation) といい、逆に $st\mathtt{f}$ という記法を'''後置記法''' (postfix notation) あるいは'''逆ポーランド記法''' (reverse Poland notation) という。</ref>。

{{theorem |type=definition |name=$\mathscr{L}$-項の例 |label=example-of-terms-of-equational-logic}}

項の例をいくつかあげる。
* $(u\mathrel{\hat{\cdot}}\mathtt{1})^{\hat{-1}},\mathtt{1}\mathrel{\hat{\cdot}}v$ は $\mathscr{L}_\mathsf{Grp}$-項である。
* $(\mathtt{1}\mathrel{\hat{+}}\mathtt{1})\mathrel{\hat{\cdot}} (\mathrel{\hat{-}}\mathtt{0}),(u\mathrel{\hat{+}}\mathtt{1})\mathrel{\hat{\cdot}}((\mathrel{\hat{-}}\mathtt{0})\mathrel{\hat{\cdot}}v)$ は $\mathscr{L}_\mathsf{Ring}$-項である。
* $u\mathrel{\hat{\land}} (v\mathrel{\hat{\lor}}w),(\hat{\top}\mathrel{\hat{\land}}u)\mathrel{\hat{\lor}}\hat{\bot}$ は $\mathscr{L}_\mathsf{Lat}$-項である。
* $u\mathrel{\hat{\land}}(\mathrel{\hat{\lnot}} v),(\mathrel{\hat{\lnot}}\hat{\top})\mathrel{\hat{\land}}\hat{\bot}$ は $\mathscr{L}_\mathsf{BA}$-項である。

{{theorem |type=definition |name=等式論理の論理式 |label=formulae-of-equational-logic}}
$\mathscr{L}$ を代数言語とする。このとき '''$\mathscr{L}$-論理式''' ($\mathscr{L}$-formula) は以下のように定義される文字列である。
# $\mathscr{L}$-項 $s,t$ に対して $s=t$ は$\mathscr{L}$-論理式である。
$\mathscr{L}$-論理式の集合を $\mathrm{EqFml}_\mathscr{L}$ と表す。

また等式論理の論理式を'''原子論理式''' (atomic formula) と呼ぶこともある。

{{theorem |type=definition |name=項の出現 |label=occurrence-of-terms}}

$\mathscr{L}$-項 $s$ が $\mathscr{L}$-項 $t$ に'''出現する''' (occur) あるいは単に'''現れる'''ということを $\mathscr{L}$-項 $t$ の定義に沿って帰納的に定義する。

# 変数 $u$ に対して $s$ が $u$ であるとき $u$ に $s$ が現れている。
# $\mathscr{L}$-項 $f(t_0,\ldots,t_{n-1})$ に対して、ある $i<n$ が存在し $t_i$ に $s$ が現れているか、または $s$ が $f(t_0,\ldots,t_{n-1})$ であるとき、$s$ が $f(t_0,\ldots,t_{n-1})$ に現れている。

また$\mathscr{L}$-項 $s$ が $\mathscr{L}$-論理式 $\varphi$ に現れるということを定義する。
# $t=r$ に $\mathscr{L}$-項 $s$ が現れるのは $t$ か $r$ のいずれかに現れるときである。

$\mathscr{L}$-項 $t$ に $s_0,\ldots,s_n$ が現れているとき $t(s_0,\ldots,s_n)$ などど表す。

{{theorem |type=definition |name=項の代入 |label=substitution-of-terms}}

$\mathscr{L}$-項 $s,t$ 、変数 $u$ に対して $s$ に現れる $u$ に $t$ を'''代入''' (substitution) した結果 $s[u:=t]$ を $s$ の定義に沿って帰納的に定義する。
# $s$ に $u$ が現れていないとき $s[u:=t]$ は $s$ である。
# $u[u:=t]$ を $t$ のこととする。
# $\mathtt{f}(t_0,\ldots,t_{n-1})[u:=t]$ を　$\mathtt{f}(t_0[u:=t],\ldots,t_{n-1}[u:=t])$　のこととする。

また $\mathscr{L}$-論理式 $\varphi$ 、 $\mathscr{L}$-項 $t$ 、変数 $u$ に対して $\varphi$ に現れる $u$ に $t$ を'''代入''' (substitution) した結果 $\varphi[u:=t]$ を定義する。
# $\varphi$ に $u$ が現れていないとき $\varphi[u:=t]$ は $\varphi$ である。
# $(s=r)[u:=t]$ を $s[u:=t]=t[u:=t]$ のこととする。

また $s(u)$ に対して $s(u)[u:=t]$ を単に $s(t)$ と表す。

{{theorem |type=notation |name=省略記法 |label=abbreviation}}

$\mathscr{L}$-項、$\mathscr{L}$-論理式などの「$\mathscr{L}$-」という接頭辞は、どの言語を指しているか明らかなとき、あるいは言語に拠らない議論をするとき省略する。

また命題論理と同様に以下の記法を用いる。

* 論理式の集合 $T$ を '''公理系''' (axiomatic system, axioms, axiomata) 、'''等式理論''' (equational theory) 、あるいは単に'''理論''' (theory) という。
* 理論 $T$ と論理式 $\varphi$ に対して $T+\varphi$ で $T\cup\{\varphi\}$ を表す。

=== 2.2 等式論理のモデル ===

==== 定義2.2.1（代数構造） ====

$\mathscr{L}$ を言語とする。このとき ''$\mathscr{L}$-代数構造'' ($\mathscr{L}$-algebraic structure) $\mathcal{M}$ は''領域'' (domain) あるいは''宇宙'' (universe) 、''台集合'' (underlying set) と言われる空でない((空な構造を認める流儀も存在する。))集合 $M$ と以下に定義される''$\mathscr{L}$-解釈'' ($\mathscr{L}$-interpretation) ${-}^\mathcal{M}$ の組 $\langle M;{-}^\mathcal{M}\rangle$ である。

$\mathscr{L}$-解釈 ${-}^\mathcal{M}$ は以下を満たす言語 $\mathscr{L}$ からの写像である。

* 関数記号 $\mathtt{f}\in\mathscr{L}$ に対して $\mathtt{f}$ の項数が $n$ であるとき、$\mathtt{f}^\mathcal{M}\colon M^n\to M$ である。

定数記号の解釈は一つの $M$ の要素を返す関数となる。よってその返す値と同一値をすることで定数記号 $\mathtt{c}$ に対して $\mathtt{c}^\mathcal{M}\in M$ と見做すことにする。

代数構造 $\mathcal{M}$ が与えられたとき、$|\mathcal{M}|$ の台集合を表すことにする。また数学の慣習に基づき構造 $\mathcal{M}$ とその台集合 $|\mathcal{M}|$ を誤解を与えない範囲で同一視する。例えば $a\in |\mathcal{M}|$ の代わりに $a\in\mathcal{M}$ と表すことがある。

また $\mathcal{M}=\langle M;{-}^\mathcal{M}\rangle$ と表す代わりに解釈後の関数、関係をリストし $\mathcal{M}=\langle A;\mathtt{f}_0^\mathcal{M},\ldots,\mathtt{f}_i^\mathcal{M}\rangle$ と表すことがある。

==== 例2.2.2（代数構造の例） ====
代数構造の例。任意の群 $\mathcal{G}:=\langle|\mathcal{G}|;e,\cdot,{-}^{-1}\rangle$ は $\mathtt{1}^\mathcal{G}:=e,\hat{\cdot}^\mathcal{G}:=\cdot,{{-}^{\hat{-1}}}^\mathcal{G}:={-}^{-1}$ とすることで $\mathscr{L}_\mathsf{Grp}$-構造として見做すことができる。しかし、別に群でなくても $a\in A,f\colon A^2\to A,g\colon A\to A $ に対して $\langle A;a,f,g\rangle$ は同様に $\mathscr{L}_\mathsf{Grp}$-構造として見做すことができる。

==== 定義2.2.3（項の解釈） ====

$\mathscr{L}$-代数構造 $\mathcal{M}=\langle M;{-}^\mathcal{M}\rangle$ と $\mathscr{L}$-閉項 $t$ に対して $t^\mathcal{M}\in M$ を帰納的に定義する。

1. $\mathtt{f}(t_0,\ldots,t_{n-1})$ に対して $(\mathtt{f}(t_0,\ldots,t_{n-1}))^\mathcal{M}$ を $\mathtt{f}^\mathcal{M}(t_0^\mathcal{M},\ldots,t_{n-1}^\mathcal{M})$ と定める。

==== 定義2.2.4（拡張、縮約） ====

言語 $\mathscr{L}\subseteq\mathscr{L}'$ とし、$\mathcal{M}$ を $\mathscr{L}$-代数構造とし、$\mathcal{M}'$ を $\mathscr{L}'$-代数構造とする。$|\mathcal{M}|=|\mathcal{M}'|$ とし、$\mathtt{f}\in\mathscr{L}$ に対し $\mathtt{f}^\mathcal{M}=\mathtt{f}^{\mathcal{M}'}$ が成り立つとする。このとき $\mathcal{M}'$ を $\mathcal{M}$ の''拡大'' (expansion) といい、$\mathcal{M}$ を $\mathcal{M}'$ の''縮約'' (reduct) という。

==== 例2.2.5（拡張、縮約の例） ====
任意の環 $\mathcal{R}=\langle|\mathcal{R}|;\mathtt{0}^\mathcal{R},\mathtt{1}^\mathcal{R},\hat{+}^\mathcal{R},\hat{-}^\mathcal{R},\hat{\cdot}^\mathcal{R}\rangle$ はその加法群 $\mathcal{R}^+=\langle|\mathcal{R}|;\mathtt{0}^\mathcal{R},\hat{+}^\mathcal{R},{-}^\mathcal{R}\rangle$ の拡張となる。ここで群の言語は $\{\mathtt{1},\hat{\cdot},{-}^{\hat{-1}}\}$ であったが記号を変えて $\{\mathtt{0},\hat{+},\hat{-}\}$ としても本質的になにも変わらない。実際、[[Abel群]]に対してはこのように書かれることが多い。
一方、加法群と違い、乗法群は領域がことなるため拡張にはならない。

==== 定義2.2.5（名前） ====

$\mathscr{L}$-代数構造 $\mathcal{M}$ に対して言語 $\mathscr{L}(\mathcal{M})$ と $\mathscr{L}(\mathcal{M})$-代数構造 $\mathcal{M}_\mathrm{par}$ を定義する。
* $\mathscr{L}(\mathcal{M})$ には $\mathscr{L}$ の元に加えて、$a\in|\mathcal{M}|$ に対する定数記号 $\underline{a}$ を持つ。この定数記号 $\underline{a}$ を $a$ の ''名前''(name) や''パラメータ'' (parameter) という。名前を単に $a$ と表すこともある。
* $\mathcal{M}_\mathrm{par}$ は $\mathcal{M}$ の拡大であり、$\underline{a}^{\mathcal{M}_\mathrm{par}}:=a$ とする。

誤解を生じないとき $\mathcal{M}_\mathrm{par}$ を単に $\mathcal{M}$ と表す。

==== 定義2.2.6（充足可能関係） ====

$\mathscr{L}$-代数構造 $\mathcal{M}$ と $\mathscr{L}$-論理式 $s(u_0,\ldots,u_{n-1})=t(v_0,\ldots,v_{m-1})$ に対し $\mathcal{M}\models s(u_0,\ldots,u_{n-1})=t(v_0,\ldots,v_{m-1})$ を定義する。
ここで $s(u_0,\ldots,u_{n-1})=t(v_0,\ldots,v_{m-1})$ に現れる変数は $u_0,\ldots,u_{n-1},v_0,\ldots,v_{m-1}$ に限るとする。

1.　$\mathcal{M}\models s(u_0,\ldots,u_{n-1})=t(v_0,\ldots,v_{m-1})$ となるのは任意の $a_0,\ldots,a_{n-1},b_0,\ldots,b_{m-1}\in A$ に対して $(s(u_0,\ldots,u_{n-1})[u_0:=\underline{a_0}]\cdots[u_{n-1}:=\underline{a_{n-1}}])^{\mathcal{M}}=(t(v_0,\ldots,v_{m-1})[v_0:=\underline{b_0}]\cdots[v_{m-1}:=\underline{b_{m-1}}])^{\mathcal{M}})$ が成り立つことである。

ここで $=$ が記号列としてのものから実際の等号になっていることに気をつけよ。また $\models$ に対していくつかの用語を定める。

* $T$ を理論とし、任意の $\varphi\in T$ に対して $\mathcal{M}\models\varphi$ となっているとする。このとき $\mathcal{M}$ を $T$ の''モデル'' (model) であるといい、$\mathcal{M}\models\varphi$ と表す。
* $T$ の任意のモデル $\mathcal{M}$ に対して $\mathcal{M}\models\varphi$ であるとき $\varphi$ は $T$ からの''論理的帰結'' (logical consequence) であるといい、$T\models \varphi$ と表す。

==== 例2.2.7（モデルの例） ====
$\mathscr{L}_\mathsf{Grp}$-理論 $\mathsf{Grp}$ を以下の論理式からなるものとする。
* $u\hat{\cdot}(v\hat{\cdot}w)=(u\hat{\cdot}v)\hat{\cdot}w$ 。
* $u\hat{\cdot}\mathtt{0}=u$ 。
* $u\hat{\cdot}(u^{\hat{-1}})=\mathtt{0}$ 。

$\mathsf{Grp}$ のモデルは群そのものである。

$\mathscr{L}_\mathsf{Ring}$-理論 $\mathsf{Ring}$ を以下の論理式からなるものとする。

* $u\hat{+}(v\hat{+}w)=(u\hat{+}v)\hat{+}w$ 。
* $u\hat{+}\mathtt{0}=u$ 。
* $u\hat{+}(\hat{-}u)=\mathtt{0}$ 。
* $u\hat{+}v=v\hat{+}u$ 。
* $u\hat{\cdot} (v\hat{\cdot} w)=(u\hat{\cdot} v)\hat{\cdot} w$ 。
* $u\hat{\cdot} (v\hat{+}w)=(u\hat{\cdot} v)\hat{+}(u\hat{\cdot} w)$ 。
* $u\hat{\cdot} \mathtt{1}=u$ 。

$\mathsf{Ring}$ のモデルも同様に環である。

言語 $\mathscr{L}_\mathsf{SGrp}:=\{\hat{\cdot}\}$ とし、理論 $\mathsf{SGrp}$ を

* $u\hat{\cdot}(v\hat{\cdot}w)=(u\hat{\cdot}v)\hat{\cdot}w$ 。

とする。このとき理論 $\mathsf{SGrp}$ のモデルは空でない半群全体となる。

=== 2.3 代数構造の理論 ===
==== 定義2.3.1（準同型、同型） ====

$\mathscr{L}$-代数構造 $\mathcal{M},\mathcal{N}$ に対して $\sigma\colon|\mathcal{M}|\to|\mathcal{N}|$ が''準同型射'' (homomorphism) であるとは、任意の $\mathtt{f}\in\mathscr{L}$ 、$a_0,\ldots,a_{n-1}\in|\mathcal{M}|$ に対し $\sigma(\mathtt{f}^\mathcal{M}(a_0,\ldots,a_{n-1}))=\mathtt{f}^\mathcal{N}(\sigma(a_0),\ldots,\sigma(a_{n-1}))$ が成り立つことである。

また準同型 $\sigma\colon|\mathcal{M}|\to|\mathcal{N}|,\tau\colon|\mathcal{N}|\to|\mathcal{M}|$ が存在し $\tau\circ\sigma =\mathrm{id}_\mathcal{M},\sigma\circ\tau =\mathrm{id}_\mathcal{N}$ となるとき $\mathcal{M}$ と $\mathcal{N}$ は''同型'' (isomorphic))であるといい $\mathcal{M}\cong\mathcal{N}$ と表し、$\sigma,\tau$ を''同型射'' (isomorphism) であるという。
ここで $\mathrm{id}_\mathcal{M}\colon|\mathcal{M}|\to|\mathcal{M}|,\mathrm{id}_\mathcal{M}(a)=a,\mathrm{id}_\mathcal{N}\colon|\mathcal{N}|\to|\mathcal{N}|,\mathrm{id}_\mathcal{N}(b)=b$ とする。

==== 定義2.3.2（部分代数） ====

$\mathscr{L}$-代数構造 $\mathcal{M},\mathcal{N}$ に対して、$\mathcal{N}$ が $\mathcal{M}$ の''部分代数'' (subalgebra) であるとは $|\mathcal{N}|\subseteq|\mathcal{M}|$ かつ、任意の $\mathtt{f}\in\mathscr{L}$ 、任意の $b_0,\ldots,b_{n-1}\in|\mathcal{N}|$ に対し $\mathtt{f}^\mathcal{N}(b_0,\ldots,b_{n-1})=\mathtt{f}^\mathcal{M}(b_0,\ldots,b_{n-1})$ を満たすことである。

==== 命題2.3.3（代数構造の同型に対する必要十分条件） ====

$\mathcal{M}\cong\mathcal{N}$ であるのは全単射準同型 $\upsilon\colon\mathcal{M}\to\mathcal{N}$ が存在するときであり、またそれに限る。

''証明''　$\mathcal{M}\cong\mathcal{N}$ であると仮定する。仮定より準同型 $\sigma\colon\mathcal{M}\to\mathcal{N},\tau\colon\mathcal{N}\to\mathcal{M}$ で $\sigma\circ\tau,\tau\circ\sigma$ が恒等となるものを取る。$\sigma,\tau$ は互いに逆写像であり、よって全単射である。

逆を示す。$\upsilon\circ\upsilon^{-1},\upsilon^{-1}\circ\upsilon$ が恒等になるのは明らかである。よって $\upsilon^{-1}\colon\mathcal{N}\to\mathcal{M}$ が準同型となることを確認すれば良い。
$\upsilon$ は全単射であるから、ある $a_0,\ldots,a_{n-1}\in|\mathcal{M}|$ が存在して $\upsilon(a_0)=b_0,\ldots,\upsilon(a_{n-1})=b_{n-1}$ である。
よって $\upsilon^{-1}(\mathtt{f}^\mathcal{N}(b_0,\ldots,b_{n-1}))=\upsilon^{-1}(\mathtt{f}^\mathcal{N}(\upsilon(a_0),\ldots,\upsilon(a_{n-1})))$ であり、$\upsilon$ は準同型であるから $\upsilon^{-1}(\mathtt{f}^\mathcal{N}(\upsilon(a_0),\ldots,\upsilon(a_{n-1})))=\upsilon^{-1}(\upsilon(\mathtt{f}^\mathcal{M}(a_0,\ldots,a_{n-1})))$ となる。
従って $\upsilon^{-1}(\upsilon(\mathtt{f}^\mathcal{M}(a_0,\ldots,a_{n-1})))=\mathtt{f}^\mathcal{M}(a_0,\ldots,a_{n-1})$　であり、$a_0=\upsilon^{-1}(b_0),\ldots,a_{n-1}=\upsilon^{-1}(b_{n-1})$ より良い。□

==== 定義2.3.4（合同関係） ====
$\mathcal{M}$ を代数構造とし、$\equiv$ を $|\mathcal{M}|$ 上の同値関係で $\mathtt{f}\in\mathscr{L}$ に対して $\mathtt{f}^\mathcal{M}$ と両立する、すなわち任意の $a_0,\ldots,a_{n-1},b_0,\ldots,b_{n-1}\in |\mathcal{M}|$ に対して、任意の $i<n$ について $a_i\equiv b_i$ $\equiv$ であるならば $\mathtt{f}^\mathcal{M}(a_0,\ldots,a_{n-1})\equiv\mathtt{f}^\mathcal{M}(b_0,\ldots,b_{n-1})$ が成り立つとき $\equiv$ は $\mathcal{M}$ 上の''合同関係'' (congruence relation) である、あるいは同値関係 $\equiv$ は $\mathtt{f}^\mathcal{M}$ に対して　''well-defined''であるという。
==== 定義2.3.5（剰余代数） ====

$\mathcal{M}$ を代数構造とし、$\equiv$ を $\mathcal{M}$ 上の合同関係とする。剰余代数'' (factor algebra, quotient algebra) $\mathcal{M}/{\equiv}:=\langle|\mathcal{M}|/{\equiv};{-}^{\mathcal{M}/{\equiv}}\rangle$ を以下のように定める。
* $|\mathcal{M}|/{\equiv}$ は $|\mathcal{M}|$ の $\equiv$ による商集合とし $a\in|\mathcal{M}|$ に対して $[a]_\equiv$ を $\equiv$ による同値類とする。
* $\mathtt{f}\in\mathscr{L}$ に対して $\mathtt{f}^{\mathcal{M}/{\equiv}}([a_0]_\equiv,\ldots,[a_{n-1}]_\equiv):=[\mathtt{f}^\mathcal{M}(a_0,\ldots,a_{n-1})]_\equiv$ とする。

==== 例2.3.6（剰余代数の例） ====

$\mathcal{G}$ を群、$\mathcal{H}$ を $\mathcal{G}$ の正規部分群、すなわち $\mathcal{H}$ は $\mathcal{G}$ の部分代数で、任意の $g\in|\mathcal{G}|,h\in|\mathcal{H}|$ に対し $(g\hat{\cdot}^\mathcal{G} h){\hat{\cdot}}^\mathcal{G}\left(g^{\hat{-1}^\mathcal{G}}\right)\in|\mathcal{H}|$ であるとする。$|\mathcal{G}|$ 上の合同関係　$\equiv_\mathcal{H}$ を $x\equiv_\mathcal{H} y:\Leftrightarrow x\hat{\cdot}^\mathcal{G}\left(y^{\hat{-1}^\mathcal{G}}\right)\in|\mathcal{H}|$ と定める。
このとき $\mathcal{G}/{\equiv_\mathcal{H}}$ を $\mathcal{G}/\mathcal{H}$ と表す。

$\mathcal{M}$ を可換環、$\mathcal{I}:=\langle|\mathcal{I}|;\mathtt{0}^\mathcal{I},\mathtt{1}^\mathcal{I},\hat{+}^\mathcal{I},\hat{-}^\mathcal{I},\hat{\cdot}^\mathcal{I}\rangle$ を $\mathcal{M}$ のイデアル、すなわち以下を満たすとする。
* $\langle|\mathcal{I}|;\mathtt{0}^\mathcal{I},\hat{+}^\mathcal{I},\hat{-}^\mathcal{I}\rangle$ は $\langle|\mathcal{M}|;\mathtt{0}^\mathcal{M},\hat{+}^\mathcal{M},\hat{-}^\mathcal{M}\rangle$ の部分構造である。
* 任意の $a\in|\mathcal{M}|,x\in|\mathcal{I}|$ に対し $a\hat{\cdot}^\mathcal{M}x\in|\mathcal{I}|$ である。

このとき上記の例と同様に $\equiv_\mathcal{I}$ を定義でき $\mathcal{M}/{\equiv_\mathcal{I}}$ を $\mathcal{M}/\mathcal{I}$ を表す。

==== 補題2.3.7（剰余代数と準同型） ====

代数構造 $\mathcal{M}$ と合同関係 $\equiv$ に対して $\pi_\equiv\colon|\mathcal{M}|\to|\mathcal{M}|/{\equiv},\pi_\equiv(a):=[a]_\equiv$ とする。このとき $\pi_\equiv$ は準同型となる。この準同型を $\equiv$ に対する自然な準同型という。

''証明''　剰余代数の定義より明らかである。□

==== 補題2.3.8（準同型と合同関係） ====

代数構造 $\mathcal{M},\mathcal{N}$ 、準同型 $\sigma\colon|\mathcal{M}|\to|\mathcal{N}|$ に対して $|\mathcal{M}|$ 上の二項関係 $\equiv_\sigma$ を $a\equiv_\sigma b:\Leftrightarrow\sigma(a)=\sigma(b)$ とする((これを $\sigma$ による''核'' (kernel) ということがある。))。このとき $\equiv_\sigma$ は合同関係である。

''証明''　$\equiv_\sigma$ が同値関係であることは明らかである。よって関数と両立することを示そう。
今 $\mathtt{f}$ の項数を $n$ とし任意の $i<n$ に対して $a_i\equiv_\sigma b_i$ であると仮定し、$\mathtt{f}^\mathcal{M}(a_0,\ldots,a_{n-1})\equiv_\sigma \mathtt{f}^\mathcal{M}(b_0,\ldots,b_{n-1})$ 、すなわち $\sigma(\mathtt{f}^\mathcal{M}(a_0,\ldots,a_{n-1}))=\sigma(\mathtt{f}^\mathcal{M}(b_0,\ldots,b_{n-1}))$ を示せば良い。
$\sigma$ が準同型であるという仮定から $\sigma(\mathtt{f}^\mathcal{M}(a_0,\ldots,a_{n-1}))=\mathtt{f}^\mathcal{N}(\sigma(a_0),\ldots,\sigma(a_{n-1}))$ であり、 $\equiv_\sigma$ の定義から $\mathtt{f}^\mathcal{N}(\sigma(a_0),\ldots,\sigma(a_{n-1}))=\mathtt{f}^\mathcal{N}(\sigma(b_0),\ldots,\sigma(b_{n-1}))$ 、よってもう一度 $\sigma$ が準同型であることから $\mathtt{f}^\mathcal{N}(\sigma(b_0),\ldots,\sigma(b_{n-1}))=\sigma(\mathtt{f}^\mathcal{M}(b_0,\ldots,b_{n-1}))$ 。□

==== 定理2.3.9（準同型定理 (homomorphism theorem) ） ====

全射準同型 $\sigma\colon|\mathcal{M}|\to|\mathcal{N}|$ に対して、同型 $\tau_{\equiv_\sigma}\colon|\mathcal{M}/{\equiv_\sigma}|\to|\mathcal{N}|$ が存在して $\sigma=\tau_{\equiv_\sigma}\circ\pi_{\equiv_\sigma}$ となる。
ここで $a\equiv_\sigma b:\Leftrightarrow\sigma(a)=\sigma(b)$ 、$\pi_{\equiv_\sigma}\colon|\mathcal{M}|\to|\mathcal{M}/{\equiv_\sigma}|,\pi_{\equiv_\sigma}(a)=[a]_{\equiv_\sigma}$ とする。

''証明''　まず $\tau_{\equiv_\sigma}([a]_{\equiv_\sigma}):=\sigma(a)$ とする。これが写像となることを示す。左全域性は明らかなので右一意性を示そう。
$[a]_{\equiv_\sigma}=[b]_{\equiv_\sigma}$ とすれば $\equiv_\sigma$ の定義から、$\sigma(a)=\sigma(b)$ であり良い。
同様に逆も言えるため左一意性、すなわち $\tau_{\equiv_\sigma}$ が単射であることも従う。また $\sigma$ が全射であることから $\tau_{\equiv_\sigma}$ も全射である。命題2.3.3より
準同型であることを示せば十分である。
剰余代数の定義から $\tau_{\equiv_\sigma}(\mathtt{f}^{\mathcal{M}/{\equiv_\sigma}}([a_0]_{\equiv_\sigma},\ldots,[a_{n-1}]_{\equiv_\sigma}))=\tau_{\equiv_\sigma}([\mathtt{f}^\mathcal{M}(a_0,\ldots,a_{n-1})]_{\equiv_\sigma})$ であり、$\tau_{\equiv_\sigma}$ の定義から $\tau_{\equiv_\sigma}([f^\mathcal{M}(a_0,\ldots,a_{n-1})]_{\equiv_\sigma})=\sigma(f^\mathcal{M}(a_0,\ldots,a_{n-1}))$ である。
$\sigma$ が準同型であることから $\sigma(\mathtt{f}^\mathcal{M}(a_0,\ldots,a_{n-1}))=\mathtt{f}^\mathcal{N}(\sigma(a_0),\ldots,\sigma(a_{n-1}))$ であり $\tau_{\equiv_\sigma}$ の定義が $\mathtt{f}^\mathcal{N}(\sigma(a_0),\ldots,\sigma(a_{n-1}))=\mathtt{f}^\mathcal{N}(\tau_{\equiv_\sigma}([a_0]_{\equiv_\sigma},\ldots,[a_{n-1}]_{\equiv_\sigma}))$ となる。□

==== 系2.3.10 ====

準同型 $\sigma\colon|\mathcal{M}|\to|\mathcal{N}|$ と $|\mathcal{M}|$ 上の合同関係 $\equiv_\sigma$ は $a\equiv_\sigma b$ ならば $\sigma(a)=\sigma(b)$ を満たすとする。
このとき準同型 $\tau_{\equiv_\sigma}\colon|\mathcal{M}/{\equiv}|\to|\mathcal{N}|$ が存在し $\sigma=\tau_{\equiv_\sigma}\circ\pi_{\equiv_\sigma}$ となる。
ただし $\pi_{\equiv_\sigma}\colon|\mathcal{M}|\to|\mathcal{M}/{\equiv_\sigma}|,\pi_{\equiv_\sigma}(a)=[a]_{\equiv_\sigma}$ とする。

''証明''　定理2.3.9の証明とほとんど同様で良い。□

==== 例2.3.11（準同型定理の具体例） ====

群準同型 $\sigma\colon|\mathcal{G}|\to|\mathcal{H}|$ に対して $\mathrm{Ker}(\sigma):=\{g\in|\mathcal{G}|\mid\sigma(g)=\mathtt{0}^\mathcal{H}\}$ とする。このとき $\langle \mathrm{Ker}(\sigma),\mathtt{0}^\mathcal{G},\hat{\cdot}^\mathcal{G},{-}^{\hat{-1}^\mathcal{G}}\rangle$ は $\mathcal{G}$ の部分群であり、例2.2.6で定められる同値関係を $\equiv_{\mathrm{Ker}(\sigma)}$ とすれば $g_0\equiv_{\mathrm{Ker}(\sigma)}g_1$ と $g_0\equiv_\sigma g_1$ は同値であり、従って定理2.3.9及び系2.3.10から以下の群論に於ける準同型定理が従う。
* 群準同型 $\sigma\colon|\mathcal{G}|\to|\mathcal{H}|$ 、自然な準同型 $\pi\colon|\mathcal{G}|\to|\mathcal{G}/\equiv_{\mathrm{Ker(\sigma)}}|$ に対して、準同型 $\tau\colon |\mathcal{G}/\equiv_{\mathrm{Ker(\sigma)}}|\to|\mathcal{H}|$ が存在して $\sigma=\tau\circ\pi$ であり、また $\tau$ は $\mathcal{G}/\equiv_{\mathrm{Ker(\sigma)}}$ から $\langle\mathrm{Im}(\sigma),\underline{0}^\mathcal{H},+^\mathcal{H},-^\mathcal{H}\rangle$ への同型射である。

=== 2.4. 等式論理の形式的証明 ===
==== 定義2.4.1（等式理論） ====
理論 $T$ 論理式 $\varphi$ に対して $T\vdash\varphi$ を帰納的に定義する。

1. $(\mathsf{refl})$　任意の項 $t$ に対して $T\vdash t=t$ である。

2. $(T)$　任意の $\varphi\in T$ に対して $T\vdash\varphi$ である。

3. $(\mathsf{sym})$　任意の項 $s,t$ に対して $T\vdash s=t$ ならば $T\vdash t=s$ である。

4. $(\mathsf{trans})$　任意の項 $s,t,r$ に対して $T\vdash s=t$ かつ $T\vdash t=r$ ならば $T\vdash s=r$ である。

5. $(\mathsf{sub})$　任意の変数 $u$ 、項 $s(u),t(u),r$ に対して $T\vdash s(u)=t(u)$ ならば $T\vdash s(r)=t(r)$ である。

6. $(\mathsf{comp})$　任意の関数記号 $f\in\mathscr{L}$ 、任意の項 $s_0,\ldots,s_{n-1},t_0,\ldots,t_{n-1}$ に対して、全ての$i<n$　について $T\vdash s_i=t_i$ ならば $T\vdash f(s_0,\ldots,s_{n-1})=f(t_0,\ldots,t_{n-1})$ である。

$\vdash$ に関して命題論理と同様に用語を定める。
* $T\vdash\varphi$ であるとき $T$ から $\varphi$ は''証明可能'' (provable) であるという。また $\emptyset\vdash\varphi$ であるとき単に証明可能であるといい、$\vdash\varphi$ と表す。
* $\mathrm{Th}(T):=\{\varphi\in\mathrm{EqFml}\mid T\vdash\varphi\}$ とする。また言語を明示するとき $\mathrm{Th}_\mathscr{L}(T)$ と表す。

=== 2.5. Birkhoffの完全性定理、$\mathsf{HSP}$ 定理 ===

==== 定義2.5.1（生成） ====
代数構造 $\mathcal{M}$ 、$X\subseteq|\mathcal{M}|$ とする。このとき $X\subseteq\mathcal{N}$ で $\mathcal{M}$ の部分代数のなか、領域の包含関係において最小であるとき、$\mathcal{N}$ を $X$ によって''生成される'' (generated) 部分代数であるという。

==== 定義2.5.2（自由 $\mathcal{K}$-代数） ====
$\mathcal{K}$ を代数構造からなるクラスとする。このとき $\mathcal{M}\in\mathcal{K}$ が $X$ によって生成される''自由 $\mathcal{K}$-代数'' (free $\mathcal{K}$-代数) であるとは以下を満たすことである。
* $\mathcal{M}$ は $X$ で生成される。
* 任意の $\mathcal{N}\in\mathcal{K}$ 、写像 $\sigma\colon X\to|\mathcal{N}|$ に対し、ある準同型 $\overline{\sigma}\colon|\mathcal{M}|\to|\mathcal{N}|$ で $\overline{\sigma}$ は $\sigma$ の拡大である、すなわち任意の $x\in X$ に対して $\sigma(x)=\overline{\sigma}(x)$ となるものが一意に存在する。

==== 命題2.5.3（自由生成と濃度） ====
代数構造 $\mathcal{M},\mathcal{N}\in\mathcal{K}$ でそれぞれ集合 $X,Y$ によって自由生成されていて、$X,Y$ が等濃であれば $\mathcal{M}\cong\mathcal{N}$ である。

''証明''　全単射 $\sigma\colon X\to Y$ を取る。
自由代数の定義から $\sigma,\sigma^{-1}$ は準同型 $\overline{\sigma}\colon|\mathcal{M}|\to|\mathcal{N}|,\overline{\sigma^{-1}}\colon|\mathcal{N}|\to|\mathcal{M}|$ に拡張され $\overline{\sigma^{-1}}\circ\overline{\sigma}$ は $X$ 上の恒等写像の拡張となる準同型 $|\mathcal{M}|\to|\mathcal{M}|$ で拡張の一意性から $\overline{\sigma^{-1}}\circ\overline{\sigma}=\mathrm{id}_{|\mathcal{M}|}$ 、
同様に $\overline{\sigma}\circ\overline{\sigma^{-1}}=\mathrm{id}_{|\mathcal{N}|}$ であり、$\mathcal{M}\cong\mathcal{N}$ である。

==== 定義2.5.3（項代数） ====

== 出典 ==

== 参考文献 ==

[田中19] 田中一之、数学基礎論序説、裳華房、2019。

[Sankappanavar–Burris] H.P. Sankappanavar, S. Burris, A course in universal algebra, Graduate Texts Math 78, 1981.

=== 脚注 ===
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数理論理学の基礎：等式論理

2022-01-01T13:21:20Z

Alwe: /* 2.1 等式論理の統語論 */

[[Category:数理論理学|トウシキロンリ]]
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$
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{{newtheorem |type=theorem |display=定理 |counter=0 }}
{{newtheorem |type=lemma |display=補題 |family=theorem }}
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== 2. 等式論理 ==

'''等式論理''' (equational logic) は先程までの命題論理とは異なり命題同士の関係ではなく命題の中身、特に $s=t$ という形をした等式による命題に注目する論理である。。
等式論理に対しても命題論理と同様に統語論、意味論を考える。命題論理と同様に形式的証明と、命題論理での真理値に対応する'''モデル''' (model) というのを紹介する。

形式的証明は等式の以下に上げる基本的な性質による書き換え操作によって得られる。

# '''反射律''' (reflexivity) $s=s$ である。
# '''対称律''' (symmetricity) $s=t$ ならば $t=s$ である。
# '''推移律''' (transitivity) $s=t$ かつ $t=r$ ならば $s=r$ である。
# '''代入''' (substitution) $s(u)=t(u)$ ならば $s(r)=t(r)$ である。
# '''関数との両立''' (compatibility with functions) 任意の $i<n+1$ に対して $s_i=t_i$ ならば $f(s_0,\ldots,s_n)=f(t_0,\ldots,t_n)$ である。

一方、モデルによる意味論はある種の数学的な'''代数構造''' (algebraic structure) を用いて定義される。具体的には構造が与えられたとき、その構造で満たされることを真と見做す。ここで構造というのは'''台集合''' (underlying set) とその上の関数からなる組のことである。

=== 2.1 等式論理の統語論 ===

{{theorem |type=definition |name=等式論理の記号 |label=symbols-of-equational-logic }}
等式論理の'''論理記号''' (logical symbol) は以下からなる。
* '''変数記号''' (variable symbol) $u,v,w,\ldots$ 。
* '''等号記号''' (equality symbol) $=$ 。
* '''括弧''' (brackets) $(,).$ 及び'''カンマ''' (comma) $,$ 。

変数記号の集合を $\mathrm{Var}$ とし、変数記号は無限個あることを仮定する。

{{theorem |type=definition |name=等式論理の代数言語 |label=algebraic-languages-of-equational-logic }}

'''代数言語''' (algebraic language) は'''関数記号''' (function symbol) からなる集合で各関数記号には'''項数''' (arity) という自然数が割り当てられているとする。

また特に項数が $0$ である関数記号を'''定数記号''' (constant symbol) という。言語の元を'''非論理記号''' (non-logical symbol) という。関数記号は有限個でも無限個あっても良い。

便宜上、代数言語を集合ではなく組として扱うこともある。

{{theorem |type=example |name=代数言語の例 |label=example-of-algebraic-languages-of-equational-logic }}
代数言語の例をいくつかあげる。
* 群の言語 $\mathscr{L}_\mathsf{Grp}:=\{\mathtt{1},\mathrel{\hat{\cdot}},{-}^{\hat{-1}}\}$ 。項数は順に $0,2,1$ 。
* 環の言語 $\mathscr{L}_\mathsf{Ring}:=\{\mathtt{0},\mathtt{1},\mathrel{\hat{+}},\mathrel{\hat{-}},\mathrel{\hat{\cdot}}\}$ 。項数は順に $0,0,2,1,2$ 。
* 束の言語 $\mathscr{L}_\mathsf{Lat}:=\{\hat{\top},\hat{\bot},\mathrel{\hat{\land}},\mathrel{\hat{\lor}}\}$ 。項数は順に $0,0,2,2$ 。
* Boole代数の言語 $\mathscr{L}_\mathsf{BA}:=\{\hat{\top},\hat{\bot},\mathrel{\hat{\land}},\mathrel{\hat{\lor}},\mathrel{\hat{\lnot}}\}$ 。項数は順に $0,0,2,2,1$ 。

{{theorem |type=definition |name=等式論理の項 |label=terms-of-equational-logic}}

$\mathscr{L}$ を代数言語とする。このとき '''$\mathscr{L}$-項''' ($\mathscr{L}$-term) は以下のように帰納的に定義される文字列である。
# 変数 $u,v,w,\ldots$ は $\mathscr{L}$-項である。
# 関数記号 $\mathtt{f}$ に対し、その項数が $n$ であるとき、$\mathscr{L}$-項 $t_0,\ldots,t_{n-1}$ に対して $\mathtt{f}(t_0,\ldots,t_n)$ は$\mathscr{L}$-項である。

特に定数記号は $\mathscr{L}$-項であることに注意しよう。$\mathscr{L}$-項の集合を $\mathrm{EqTm}_\mathscr{L}$ と表す。

項数が $2$ の関数記号 $\mathtt{f}$ に対して $\mathtt{f}(s,t)$ の代わりに $s\mathrel{\mathtt{f}} t$ と'''中置記法''' (infix notation) で表し、適当に括弧を補うことがある<ref group="脚注">中置記法に対し、$\mathtt{f}(s,t)$ あるいは括弧などを省略し $\mathtt{f}st$ という記法を '''前置記法''' (prefix notation) あるいは'''ポーランド記法''' (Poland notation) といい、逆に $st\mathtt{f}$ という記法を'''後置記法''' (postfix notation) あるいは'''逆ポーランド記法''' (reverse Poland notation) という。</ref>。

{{theorem |type=definition |name=$\mathscr{L}$-項の例 |label=example-of-terms-of-equational-logic}}

項の例をいくつかあげる。
* $(u\mathrel{\hat{\cdot}}\mathtt{1})^{\hat{-1}},\mathtt{1}\mathrel{\hat{\cdot}}v$ は $\mathscr{L}_\mathsf{Grp}$-項である。
* $(\mathtt{1}\mathrel{\hat{+}}\mathtt{1})\mathrel{\hat{\cdot}} (\mathrel{\hat{-}}\mathtt{0}),(u\mathrel{\hat{+}}\mathtt{1})\mathrel{\hat{\cdot}}((\mathrel{\hat{-}}\mathtt{0})\mathrel{\hat{\cdot}}v)$ は $\mathscr{L}_\mathsf{Ring}$-項である。
* $u\mathrel{\hat{\land}} (v\mathrel{\hat{\lor}}w),(\hat{\top}\mathrel{\hat{\land}}u)\mathrel{\hat{\lor}}\hat{\bot}$ は $\mathscr{L}_\mathsf{Lat}$-項である。
* $u\mathrel{\hat{\land}}(\mathrel{\hat{\lnot}} v),(\mathrel{\hat{\lnot}}\hat{\top})\mathrek{\hat{\land}}\hat{\bot}$ は $\mathscr{L}_\mathsf{BA}$-項である。

{{theorem |type=definition |name=等式論理の論理式 |label=formulae-of-equational-logic}}
$\mathscr{L}$ を代数言語とする。このとき '''$\mathscr{L}$-論理式''' ($\mathscr{L}$-formula) は以下のように定義される文字列である。
# $\mathscr{L}$-項 $s,t$ に対して $s=t$ は$\mathscr{L}$-論理式である。
$\mathscr{L}$-論理式の集合を $\mathrm{EqFml}_\mathscr{L}$ と表す。

また等式論理においては論理式を''原子論理式'' (atomic formula) と呼ぶこともある。

==== 定義2.1.7（出現） ====

$\mathscr{L}$-項 $s$ が $\mathscr{L}$-項 $t$ に''現れる'' (occur) ということを $\mathscr{L}$-項 $t$ の定義に沿って帰納的に定義する。

1. 変数 $u$ に対して $s$ が $u$ であるとき $u$ に $s$ が現れている。

2. $\mathscr{L}$-項 $f(t_0,\ldots,t_{n-1})$ に対して、ある $i<n$ が存在し $t_i$ に $s$ が現れているか、または $s$ が $f(t_0,\ldots,t_{n-1})$ であるとき、$s$ が $f(t_0,\ldots,t_{n-1})$ に現れている。

また$\mathscr{L}$-項 $s$ が $\mathscr{L}$-論理式 $\varphi$ に現れるということを定義する。

1. $t=r$ に $\mathscr{L}$-項 $s$ が現れるのは $t$ か $r$ のいずれかに現れるときである。

$\mathscr{L}$-項 $t$ に $s_0,\ldots,s_n$ が現れているとき $t(s_0,\ldots,s_n)$ などど表す。

==== 定義2.1.8（代入） ====

$\mathscr{L}$-項 $s,t$ 、変数 $u$ に対して $s$ に現れる $u$ に $t$ を''代入'' (substitution) した結果 $s[u:=t]$ を $s$ の定義に沿って帰納的に定義する。

1. $s$ に $u$ が現れていないとき $s[u:=t]$ は $s$ である。

2. $u[u:=t]$ を $t$ のこととする。

3. $\mathtt{f}(t_0,\ldots,t_{n-1})[u:=t]$ を　$\mathtt{f}(t_0[u:=t],\ldots,t_{n-1}[u:=t])$　のこととする。

また $\mathscr{L}$-論理式 $\varphi$ 、 $\mathscr{L}$-項 $t$ 、変数 $u$ に対して $\varphi$ に現れる $u$ に $t$ を''代入'' (substitution) した結果 $\varphi[u:=t]$ を定義する。

1. $\varphi$ に $u$ が現れていないとき $\varphi[u:=t]$ は $\varphi$ である。

2. $(s=r)[u:=t]$ を $s[u:=t]=t[u:=t]$ のこととする。

また $s(u)$ に対して $s(u)[u:=t]$ を単に $s(t)$ と表す。

==== 表記2.1.9（省略記法） ====

$\mathscr{L}$-項、$\mathscr{L}$-論理式などの「$\mathscr{L}$-」はどの言語を指しているか明らかなとき、あるいは言語に拠らない議論をするとき省略する。

また命題論理と同様に以下の記法を用いる。

* 論理式の集合 $T$ を ''公理系'' (axiomatic system, axioms, axiomata) あるいは、''等式理論'' (equational theory) 、単に''理論'' (theory) という。
* 理論 $T$ と論理式 $\varphi$ に対して $T+\varphi$ で $T\cup\{\varphi\}$ を表す。

=== 2.2 等式論理のモデル ===

==== 定義2.2.1（代数構造） ====

$\mathscr{L}$ を言語とする。このとき ''$\mathscr{L}$-代数構造'' ($\mathscr{L}$-algebraic structure) $\mathcal{M}$ は''領域'' (domain) あるいは''宇宙'' (universe) 、''台集合'' (underlying set) と言われる空でない((空な構造を認める流儀も存在する。))集合 $M$ と以下に定義される''$\mathscr{L}$-解釈'' ($\mathscr{L}$-interpretation) ${-}^\mathcal{M}$ の組 $\langle M;{-}^\mathcal{M}\rangle$ である。

$\mathscr{L}$-解釈 ${-}^\mathcal{M}$ は以下を満たす言語 $\mathscr{L}$ からの写像である。

* 関数記号 $\mathtt{f}\in\mathscr{L}$ に対して $\mathtt{f}$ の項数が $n$ であるとき、$\mathtt{f}^\mathcal{M}\colon M^n\to M$ である。

定数記号の解釈は一つの $M$ の要素を返す関数となる。よってその返す値と同一値をすることで定数記号 $\mathtt{c}$ に対して $\mathtt{c}^\mathcal{M}\in M$ と見做すことにする。

代数構造 $\mathcal{M}$ が与えられたとき、$|\mathcal{M}|$ の台集合を表すことにする。また数学の慣習に基づき構造 $\mathcal{M}$ とその台集合 $|\mathcal{M}|$ を誤解を与えない範囲で同一視する。例えば $a\in |\mathcal{M}|$ の代わりに $a\in\mathcal{M}$ と表すことがある。

また $\mathcal{M}=\langle M;{-}^\mathcal{M}\rangle$ と表す代わりに解釈後の関数、関係をリストし $\mathcal{M}=\langle A;\mathtt{f}_0^\mathcal{M},\ldots,\mathtt{f}_i^\mathcal{M}\rangle$ と表すことがある。

==== 例2.2.2（代数構造の例） ====
代数構造の例。任意の群 $\mathcal{G}:=\langle|\mathcal{G}|;e,\cdot,{-}^{-1}\rangle$ は $\mathtt{1}^\mathcal{G}:=e,\hat{\cdot}^\mathcal{G}:=\cdot,{{-}^{\hat{-1}}}^\mathcal{G}:={-}^{-1}$ とすることで $\mathscr{L}_\mathsf{Grp}$-構造として見做すことができる。しかし、別に群でなくても $a\in A,f\colon A^2\to A,g\colon A\to A $ に対して $\langle A;a,f,g\rangle$ は同様に $\mathscr{L}_\mathsf{Grp}$-構造として見做すことができる。

==== 定義2.2.3（項の解釈） ====

$\mathscr{L}$-代数構造 $\mathcal{M}=\langle M;{-}^\mathcal{M}\rangle$ と $\mathscr{L}$-閉項 $t$ に対して $t^\mathcal{M}\in M$ を帰納的に定義する。

1. $\mathtt{f}(t_0,\ldots,t_{n-1})$ に対して $(\mathtt{f}(t_0,\ldots,t_{n-1}))^\mathcal{M}$ を $\mathtt{f}^\mathcal{M}(t_0^\mathcal{M},\ldots,t_{n-1}^\mathcal{M})$ と定める。

==== 定義2.2.4（拡張、縮約） ====

言語 $\mathscr{L}\subseteq\mathscr{L}'$ とし、$\mathcal{M}$ を $\mathscr{L}$-代数構造とし、$\mathcal{M}'$ を $\mathscr{L}'$-代数構造とする。$|\mathcal{M}|=|\mathcal{M}'|$ とし、$\mathtt{f}\in\mathscr{L}$ に対し $\mathtt{f}^\mathcal{M}=\mathtt{f}^{\mathcal{M}'}$ が成り立つとする。このとき $\mathcal{M}'$ を $\mathcal{M}$ の''拡大'' (expansion) といい、$\mathcal{M}$ を $\mathcal{M}'$ の''縮約'' (reduct) という。

==== 例2.2.5（拡張、縮約の例） ====
任意の環 $\mathcal{R}=\langle|\mathcal{R}|;\mathtt{0}^\mathcal{R},\mathtt{1}^\mathcal{R},\hat{+}^\mathcal{R},\hat{-}^\mathcal{R},\hat{\cdot}^\mathcal{R}\rangle$ はその加法群 $\mathcal{R}^+=\langle|\mathcal{R}|;\mathtt{0}^\mathcal{R},\hat{+}^\mathcal{R},{-}^\mathcal{R}\rangle$ の拡張となる。ここで群の言語は $\{\mathtt{1},\hat{\cdot},{-}^{\hat{-1}}\}$ であったが記号を変えて $\{\mathtt{0},\hat{+},\hat{-}\}$ としても本質的になにも変わらない。実際、[[Abel群]]に対してはこのように書かれることが多い。
一方、加法群と違い、乗法群は領域がことなるため拡張にはならない。

==== 定義2.2.5（名前） ====

$\mathscr{L}$-代数構造 $\mathcal{M}$ に対して言語 $\mathscr{L}(\mathcal{M})$ と $\mathscr{L}(\mathcal{M})$-代数構造 $\mathcal{M}_\mathrm{par}$ を定義する。
* $\mathscr{L}(\mathcal{M})$ には $\mathscr{L}$ の元に加えて、$a\in|\mathcal{M}|$ に対する定数記号 $\underline{a}$ を持つ。この定数記号 $\underline{a}$ を $a$ の ''名前''(name) や''パラメータ'' (parameter) という。名前を単に $a$ と表すこともある。
* $\mathcal{M}_\mathrm{par}$ は $\mathcal{M}$ の拡大であり、$\underline{a}^{\mathcal{M}_\mathrm{par}}:=a$ とする。

誤解を生じないとき $\mathcal{M}_\mathrm{par}$ を単に $\mathcal{M}$ と表す。

==== 定義2.2.6（充足可能関係） ====

$\mathscr{L}$-代数構造 $\mathcal{M}$ と $\mathscr{L}$-論理式 $s(u_0,\ldots,u_{n-1})=t(v_0,\ldots,v_{m-1})$ に対し $\mathcal{M}\models s(u_0,\ldots,u_{n-1})=t(v_0,\ldots,v_{m-1})$ を定義する。
ここで $s(u_0,\ldots,u_{n-1})=t(v_0,\ldots,v_{m-1})$ に現れる変数は $u_0,\ldots,u_{n-1},v_0,\ldots,v_{m-1}$ に限るとする。

1.　$\mathcal{M}\models s(u_0,\ldots,u_{n-1})=t(v_0,\ldots,v_{m-1})$ となるのは任意の $a_0,\ldots,a_{n-1},b_0,\ldots,b_{m-1}\in A$ に対して $(s(u_0,\ldots,u_{n-1})[u_0:=\underline{a_0}]\cdots[u_{n-1}:=\underline{a_{n-1}}])^{\mathcal{M}}=(t(v_0,\ldots,v_{m-1})[v_0:=\underline{b_0}]\cdots[v_{m-1}:=\underline{b_{m-1}}])^{\mathcal{M}})$ が成り立つことである。

ここで $=$ が記号列としてのものから実際の等号になっていることに気をつけよ。また $\models$ に対していくつかの用語を定める。

* $T$ を理論とし、任意の $\varphi\in T$ に対して $\mathcal{M}\models\varphi$ となっているとする。このとき $\mathcal{M}$ を $T$ の''モデル'' (model) であるといい、$\mathcal{M}\models\varphi$ と表す。
* $T$ の任意のモデル $\mathcal{M}$ に対して $\mathcal{M}\models\varphi$ であるとき $\varphi$ は $T$ からの''論理的帰結'' (logical consequence) であるといい、$T\models \varphi$ と表す。

==== 例2.2.7（モデルの例） ====
$\mathscr{L}_\mathsf{Grp}$-理論 $\mathsf{Grp}$ を以下の論理式からなるものとする。
* $u\hat{\cdot}(v\hat{\cdot}w)=(u\hat{\cdot}v)\hat{\cdot}w$ 。
* $u\hat{\cdot}\mathtt{0}=u$ 。
* $u\hat{\cdot}(u^{\hat{-1}})=\mathtt{0}$ 。

$\mathsf{Grp}$ のモデルは群そのものである。

$\mathscr{L}_\mathsf{Ring}$-理論 $\mathsf{Ring}$ を以下の論理式からなるものとする。

* $u\hat{+}(v\hat{+}w)=(u\hat{+}v)\hat{+}w$ 。
* $u\hat{+}\mathtt{0}=u$ 。
* $u\hat{+}(\hat{-}u)=\mathtt{0}$ 。
* $u\hat{+}v=v\hat{+}u$ 。
* $u\hat{\cdot} (v\hat{\cdot} w)=(u\hat{\cdot} v)\hat{\cdot} w$ 。
* $u\hat{\cdot} (v\hat{+}w)=(u\hat{\cdot} v)\hat{+}(u\hat{\cdot} w)$ 。
* $u\hat{\cdot} \mathtt{1}=u$ 。

$\mathsf{Ring}$ のモデルも同様に環である。

言語 $\mathscr{L}_\mathsf{SGrp}:=\{\hat{\cdot}\}$ とし、理論 $\mathsf{SGrp}$ を

* $u\hat{\cdot}(v\hat{\cdot}w)=(u\hat{\cdot}v)\hat{\cdot}w$ 。

とする。このとき理論 $\mathsf{SGrp}$ のモデルは空でない半群全体となる。

=== 2.3 代数構造の理論 ===
==== 定義2.3.1（準同型、同型） ====

$\mathscr{L}$-代数構造 $\mathcal{M},\mathcal{N}$ に対して $\sigma\colon|\mathcal{M}|\to|\mathcal{N}|$ が''準同型射'' (homomorphism) であるとは、任意の $\mathtt{f}\in\mathscr{L}$ 、$a_0,\ldots,a_{n-1}\in|\mathcal{M}|$ に対し $\sigma(\mathtt{f}^\mathcal{M}(a_0,\ldots,a_{n-1}))=\mathtt{f}^\mathcal{N}(\sigma(a_0),\ldots,\sigma(a_{n-1}))$ が成り立つことである。

また準同型 $\sigma\colon|\mathcal{M}|\to|\mathcal{N}|,\tau\colon|\mathcal{N}|\to|\mathcal{M}|$ が存在し $\tau\circ\sigma =\mathrm{id}_\mathcal{M},\sigma\circ\tau =\mathrm{id}_\mathcal{N}$ となるとき $\mathcal{M}$ と $\mathcal{N}$ は''同型'' (isomorphic))であるといい $\mathcal{M}\cong\mathcal{N}$ と表し、$\sigma,\tau$ を''同型射'' (isomorphism) であるという。
ここで $\mathrm{id}_\mathcal{M}\colon|\mathcal{M}|\to|\mathcal{M}|,\mathrm{id}_\mathcal{M}(a)=a,\mathrm{id}_\mathcal{N}\colon|\mathcal{N}|\to|\mathcal{N}|,\mathrm{id}_\mathcal{N}(b)=b$ とする。

==== 定義2.3.2（部分代数） ====

$\mathscr{L}$-代数構造 $\mathcal{M},\mathcal{N}$ に対して、$\mathcal{N}$ が $\mathcal{M}$ の''部分代数'' (subalgebra) であるとは $|\mathcal{N}|\subseteq|\mathcal{M}|$ かつ、任意の $\mathtt{f}\in\mathscr{L}$ 、任意の $b_0,\ldots,b_{n-1}\in|\mathcal{N}|$ に対し $\mathtt{f}^\mathcal{N}(b_0,\ldots,b_{n-1})=\mathtt{f}^\mathcal{M}(b_0,\ldots,b_{n-1})$ を満たすことである。

==== 命題2.3.3（代数構造の同型に対する必要十分条件） ====

$\mathcal{M}\cong\mathcal{N}$ であるのは全単射準同型 $\upsilon\colon\mathcal{M}\to\mathcal{N}$ が存在するときであり、またそれに限る。

''証明''　$\mathcal{M}\cong\mathcal{N}$ であると仮定する。仮定より準同型 $\sigma\colon\mathcal{M}\to\mathcal{N},\tau\colon\mathcal{N}\to\mathcal{M}$ で $\sigma\circ\tau,\tau\circ\sigma$ が恒等となるものを取る。$\sigma,\tau$ は互いに逆写像であり、よって全単射である。

逆を示す。$\upsilon\circ\upsilon^{-1},\upsilon^{-1}\circ\upsilon$ が恒等になるのは明らかである。よって $\upsilon^{-1}\colon\mathcal{N}\to\mathcal{M}$ が準同型となることを確認すれば良い。
$\upsilon$ は全単射であるから、ある $a_0,\ldots,a_{n-1}\in|\mathcal{M}|$ が存在して $\upsilon(a_0)=b_0,\ldots,\upsilon(a_{n-1})=b_{n-1}$ である。
よって $\upsilon^{-1}(\mathtt{f}^\mathcal{N}(b_0,\ldots,b_{n-1}))=\upsilon^{-1}(\mathtt{f}^\mathcal{N}(\upsilon(a_0),\ldots,\upsilon(a_{n-1})))$ であり、$\upsilon$ は準同型であるから $\upsilon^{-1}(\mathtt{f}^\mathcal{N}(\upsilon(a_0),\ldots,\upsilon(a_{n-1})))=\upsilon^{-1}(\upsilon(\mathtt{f}^\mathcal{M}(a_0,\ldots,a_{n-1})))$ となる。
従って $\upsilon^{-1}(\upsilon(\mathtt{f}^\mathcal{M}(a_0,\ldots,a_{n-1})))=\mathtt{f}^\mathcal{M}(a_0,\ldots,a_{n-1})$　であり、$a_0=\upsilon^{-1}(b_0),\ldots,a_{n-1}=\upsilon^{-1}(b_{n-1})$ より良い。□

==== 定義2.3.4（合同関係） ====
$\mathcal{M}$ を代数構造とし、$\equiv$ を $|\mathcal{M}|$ 上の同値関係で $\mathtt{f}\in\mathscr{L}$ に対して $\mathtt{f}^\mathcal{M}$ と両立する、すなわち任意の $a_0,\ldots,a_{n-1},b_0,\ldots,b_{n-1}\in |\mathcal{M}|$ に対して、任意の $i<n$ について $a_i\equiv b_i$ $\equiv$ であるならば $\mathtt{f}^\mathcal{M}(a_0,\ldots,a_{n-1})\equiv\mathtt{f}^\mathcal{M}(b_0,\ldots,b_{n-1})$ が成り立つとき $\equiv$ は $\mathcal{M}$ 上の''合同関係'' (congruence relation) である、あるいは同値関係 $\equiv$ は $\mathtt{f}^\mathcal{M}$ に対して　''well-defined''であるという。
==== 定義2.3.5（剰余代数） ====

$\mathcal{M}$ を代数構造とし、$\equiv$ を $\mathcal{M}$ 上の合同関係とする。剰余代数'' (factor algebra, quotient algebra) $\mathcal{M}/{\equiv}:=\langle|\mathcal{M}|/{\equiv};{-}^{\mathcal{M}/{\equiv}}\rangle$ を以下のように定める。
* $|\mathcal{M}|/{\equiv}$ は $|\mathcal{M}|$ の $\equiv$ による商集合とし $a\in|\mathcal{M}|$ に対して $[a]_\equiv$ を $\equiv$ による同値類とする。
* $\mathtt{f}\in\mathscr{L}$ に対して $\mathtt{f}^{\mathcal{M}/{\equiv}}([a_0]_\equiv,\ldots,[a_{n-1}]_\equiv):=[\mathtt{f}^\mathcal{M}(a_0,\ldots,a_{n-1})]_\equiv$ とする。

==== 例2.3.6（剰余代数の例） ====

$\mathcal{G}$ を群、$\mathcal{H}$ を $\mathcal{G}$ の正規部分群、すなわち $\mathcal{H}$ は $\mathcal{G}$ の部分代数で、任意の $g\in|\mathcal{G}|,h\in|\mathcal{H}|$ に対し $(g\hat{\cdot}^\mathcal{G} h){\hat{\cdot}}^\mathcal{G}\left(g^{\hat{-1}^\mathcal{G}}\right)\in|\mathcal{H}|$ であるとする。$|\mathcal{G}|$ 上の合同関係　$\equiv_\mathcal{H}$ を $x\equiv_\mathcal{H} y:\Leftrightarrow x\hat{\cdot}^\mathcal{G}\left(y^{\hat{-1}^\mathcal{G}}\right)\in|\mathcal{H}|$ と定める。
このとき $\mathcal{G}/{\equiv_\mathcal{H}}$ を $\mathcal{G}/\mathcal{H}$ と表す。

$\mathcal{M}$ を可換環、$\mathcal{I}:=\langle|\mathcal{I}|;\mathtt{0}^\mathcal{I},\mathtt{1}^\mathcal{I},\hat{+}^\mathcal{I},\hat{-}^\mathcal{I},\hat{\cdot}^\mathcal{I}\rangle$ を $\mathcal{M}$ のイデアル、すなわち以下を満たすとする。
* $\langle|\mathcal{I}|;\mathtt{0}^\mathcal{I},\hat{+}^\mathcal{I},\hat{-}^\mathcal{I}\rangle$ は $\langle|\mathcal{M}|;\mathtt{0}^\mathcal{M},\hat{+}^\mathcal{M},\hat{-}^\mathcal{M}\rangle$ の部分構造である。
* 任意の $a\in|\mathcal{M}|,x\in|\mathcal{I}|$ に対し $a\hat{\cdot}^\mathcal{M}x\in|\mathcal{I}|$ である。

このとき上記の例と同様に $\equiv_\mathcal{I}$ を定義でき $\mathcal{M}/{\equiv_\mathcal{I}}$ を $\mathcal{M}/\mathcal{I}$ を表す。

==== 補題2.3.7（剰余代数と準同型） ====

代数構造 $\mathcal{M}$ と合同関係 $\equiv$ に対して $\pi_\equiv\colon|\mathcal{M}|\to|\mathcal{M}|/{\equiv},\pi_\equiv(a):=[a]_\equiv$ とする。このとき $\pi_\equiv$ は準同型となる。この準同型を $\equiv$ に対する自然な準同型という。

''証明''　剰余代数の定義より明らかである。□

==== 補題2.3.8（準同型と合同関係） ====

代数構造 $\mathcal{M},\mathcal{N}$ 、準同型 $\sigma\colon|\mathcal{M}|\to|\mathcal{N}|$ に対して $|\mathcal{M}|$ 上の二項関係 $\equiv_\sigma$ を $a\equiv_\sigma b:\Leftrightarrow\sigma(a)=\sigma(b)$ とする((これを $\sigma$ による''核'' (kernel) ということがある。))。このとき $\equiv_\sigma$ は合同関係である。

''証明''　$\equiv_\sigma$ が同値関係であることは明らかである。よって関数と両立することを示そう。
今 $\mathtt{f}$ の項数を $n$ とし任意の $i<n$ に対して $a_i\equiv_\sigma b_i$ であると仮定し、$\mathtt{f}^\mathcal{M}(a_0,\ldots,a_{n-1})\equiv_\sigma \mathtt{f}^\mathcal{M}(b_0,\ldots,b_{n-1})$ 、すなわち $\sigma(\mathtt{f}^\mathcal{M}(a_0,\ldots,a_{n-1}))=\sigma(\mathtt{f}^\mathcal{M}(b_0,\ldots,b_{n-1}))$ を示せば良い。
$\sigma$ が準同型であるという仮定から $\sigma(\mathtt{f}^\mathcal{M}(a_0,\ldots,a_{n-1}))=\mathtt{f}^\mathcal{N}(\sigma(a_0),\ldots,\sigma(a_{n-1}))$ であり、 $\equiv_\sigma$ の定義から $\mathtt{f}^\mathcal{N}(\sigma(a_0),\ldots,\sigma(a_{n-1}))=\mathtt{f}^\mathcal{N}(\sigma(b_0),\ldots,\sigma(b_{n-1}))$ 、よってもう一度 $\sigma$ が準同型であることから $\mathtt{f}^\mathcal{N}(\sigma(b_0),\ldots,\sigma(b_{n-1}))=\sigma(\mathtt{f}^\mathcal{M}(b_0,\ldots,b_{n-1}))$ 。□

==== 定理2.3.9（準同型定理 (homomorphism theorem) ） ====

全射準同型 $\sigma\colon|\mathcal{M}|\to|\mathcal{N}|$ に対して、同型 $\tau_{\equiv_\sigma}\colon|\mathcal{M}/{\equiv_\sigma}|\to|\mathcal{N}|$ が存在して $\sigma=\tau_{\equiv_\sigma}\circ\pi_{\equiv_\sigma}$ となる。
ここで $a\equiv_\sigma b:\Leftrightarrow\sigma(a)=\sigma(b)$ 、$\pi_{\equiv_\sigma}\colon|\mathcal{M}|\to|\mathcal{M}/{\equiv_\sigma}|,\pi_{\equiv_\sigma}(a)=[a]_{\equiv_\sigma}$ とする。

''証明''　まず $\tau_{\equiv_\sigma}([a]_{\equiv_\sigma}):=\sigma(a)$ とする。これが写像となることを示す。左全域性は明らかなので右一意性を示そう。
$[a]_{\equiv_\sigma}=[b]_{\equiv_\sigma}$ とすれば $\equiv_\sigma$ の定義から、$\sigma(a)=\sigma(b)$ であり良い。
同様に逆も言えるため左一意性、すなわち $\tau_{\equiv_\sigma}$ が単射であることも従う。また $\sigma$ が全射であることから $\tau_{\equiv_\sigma}$ も全射である。命題2.3.3より
準同型であることを示せば十分である。
剰余代数の定義から $\tau_{\equiv_\sigma}(\mathtt{f}^{\mathcal{M}/{\equiv_\sigma}}([a_0]_{\equiv_\sigma},\ldots,[a_{n-1}]_{\equiv_\sigma}))=\tau_{\equiv_\sigma}([\mathtt{f}^\mathcal{M}(a_0,\ldots,a_{n-1})]_{\equiv_\sigma})$ であり、$\tau_{\equiv_\sigma}$ の定義から $\tau_{\equiv_\sigma}([f^\mathcal{M}(a_0,\ldots,a_{n-1})]_{\equiv_\sigma})=\sigma(f^\mathcal{M}(a_0,\ldots,a_{n-1}))$ である。
$\sigma$ が準同型であることから $\sigma(\mathtt{f}^\mathcal{M}(a_0,\ldots,a_{n-1}))=\mathtt{f}^\mathcal{N}(\sigma(a_0),\ldots,\sigma(a_{n-1}))$ であり $\tau_{\equiv_\sigma}$ の定義が $\mathtt{f}^\mathcal{N}(\sigma(a_0),\ldots,\sigma(a_{n-1}))=\mathtt{f}^\mathcal{N}(\tau_{\equiv_\sigma}([a_0]_{\equiv_\sigma},\ldots,[a_{n-1}]_{\equiv_\sigma}))$ となる。□

==== 系2.3.10 ====

準同型 $\sigma\colon|\mathcal{M}|\to|\mathcal{N}|$ と $|\mathcal{M}|$ 上の合同関係 $\equiv_\sigma$ は $a\equiv_\sigma b$ ならば $\sigma(a)=\sigma(b)$ を満たすとする。
このとき準同型 $\tau_{\equiv_\sigma}\colon|\mathcal{M}/{\equiv}|\to|\mathcal{N}|$ が存在し $\sigma=\tau_{\equiv_\sigma}\circ\pi_{\equiv_\sigma}$ となる。
ただし $\pi_{\equiv_\sigma}\colon|\mathcal{M}|\to|\mathcal{M}/{\equiv_\sigma}|,\pi_{\equiv_\sigma}(a)=[a]_{\equiv_\sigma}$ とする。

''証明''　定理2.3.9の証明とほとんど同様で良い。□

==== 例2.3.11（準同型定理の具体例） ====

群準同型 $\sigma\colon|\mathcal{G}|\to|\mathcal{H}|$ に対して $\mathrm{Ker}(\sigma):=\{g\in|\mathcal{G}|\mid\sigma(g)=\mathtt{0}^\mathcal{H}\}$ とする。このとき $\langle \mathrm{Ker}(\sigma),\mathtt{0}^\mathcal{G},\hat{\cdot}^\mathcal{G},{-}^{\hat{-1}^\mathcal{G}}\rangle$ は $\mathcal{G}$ の部分群であり、例2.2.6で定められる同値関係を $\equiv_{\mathrm{Ker}(\sigma)}$ とすれば $g_0\equiv_{\mathrm{Ker}(\sigma)}g_1$ と $g_0\equiv_\sigma g_1$ は同値であり、従って定理2.3.9及び系2.3.10から以下の群論に於ける準同型定理が従う。
* 群準同型 $\sigma\colon|\mathcal{G}|\to|\mathcal{H}|$ 、自然な準同型 $\pi\colon|\mathcal{G}|\to|\mathcal{G}/\equiv_{\mathrm{Ker(\sigma)}}|$ に対して、準同型 $\tau\colon |\mathcal{G}/\equiv_{\mathrm{Ker(\sigma)}}|\to|\mathcal{H}|$ が存在して $\sigma=\tau\circ\pi$ であり、また $\tau$ は $\mathcal{G}/\equiv_{\mathrm{Ker(\sigma)}}$ から $\langle\mathrm{Im}(\sigma),\underline{0}^\mathcal{H},+^\mathcal{H},-^\mathcal{H}\rangle$ への同型射である。

=== 2.4. 等式論理の形式的証明 ===
==== 定義2.4.1（等式理論） ====
理論 $T$ 論理式 $\varphi$ に対して $T\vdash\varphi$ を帰納的に定義する。

1. $(\mathsf{refl})$　任意の項 $t$ に対して $T\vdash t=t$ である。

2. $(T)$　任意の $\varphi\in T$ に対して $T\vdash\varphi$ である。

3. $(\mathsf{sym})$　任意の項 $s,t$ に対して $T\vdash s=t$ ならば $T\vdash t=s$ である。

4. $(\mathsf{trans})$　任意の項 $s,t,r$ に対して $T\vdash s=t$ かつ $T\vdash t=r$ ならば $T\vdash s=r$ である。

5. $(\mathsf{sub})$　任意の変数 $u$ 、項 $s(u),t(u),r$ に対して $T\vdash s(u)=t(u)$ ならば $T\vdash s(r)=t(r)$ である。

6. $(\mathsf{comp})$　任意の関数記号 $f\in\mathscr{L}$ 、任意の項 $s_0,\ldots,s_{n-1},t_0,\ldots,t_{n-1}$ に対して、全ての$i<n$　について $T\vdash s_i=t_i$ ならば $T\vdash f(s_0,\ldots,s_{n-1})=f(t_0,\ldots,t_{n-1})$ である。

$\vdash$ に関して命題論理と同様に用語を定める。
* $T\vdash\varphi$ であるとき $T$ から $\varphi$ は''証明可能'' (provable) であるという。また $\emptyset\vdash\varphi$ であるとき単に証明可能であるといい、$\vdash\varphi$ と表す。
* $\mathrm{Th}(T):=\{\varphi\in\mathrm{EqFml}\mid T\vdash\varphi\}$ とする。また言語を明示するとき $\mathrm{Th}_\mathscr{L}(T)$ と表す。

=== 2.5. Birkhoffの完全性定理、$\mathsf{HSP}$ 定理 ===

==== 定義2.5.1（生成） ====
代数構造 $\mathcal{M}$ 、$X\subseteq|\mathcal{M}|$ とする。このとき $X\subseteq\mathcal{N}$ で $\mathcal{M}$ の部分代数のなか、領域の包含関係において最小であるとき、$\mathcal{N}$ を $X$ によって''生成される'' (generated) 部分代数であるという。

==== 定義2.5.2（自由 $\mathcal{K}$-代数） ====
$\mathcal{K}$ を代数構造からなるクラスとする。このとき $\mathcal{M}\in\mathcal{K}$ が $X$ によって生成される''自由 $\mathcal{K}$-代数'' (free $\mathcal{K}$-代数) であるとは以下を満たすことである。
* $\mathcal{M}$ は $X$ で生成される。
* 任意の $\mathcal{N}\in\mathcal{K}$ 、写像 $\sigma\colon X\to|\mathcal{N}|$ に対し、ある準同型 $\overline{\sigma}\colon|\mathcal{M}|\to|\mathcal{N}|$ で $\overline{\sigma}$ は $\sigma$ の拡大である、すなわち任意の $x\in X$ に対して $\sigma(x)=\overline{\sigma}(x)$ となるものが一意に存在する。

==== 命題2.5.3（自由生成と濃度） ====
代数構造 $\mathcal{M},\mathcal{N}\in\mathcal{K}$ でそれぞれ集合 $X,Y$ によって自由生成されていて、$X,Y$ が等濃であれば $\mathcal{M}\cong\mathcal{N}$ である。

''証明''　全単射 $\sigma\colon X\to Y$ を取る。
自由代数の定義から $\sigma,\sigma^{-1}$ は準同型 $\overline{\sigma}\colon|\mathcal{M}|\to|\mathcal{N}|,\overline{\sigma^{-1}}\colon|\mathcal{N}|\to|\mathcal{M}|$ に拡張され $\overline{\sigma^{-1}}\circ\overline{\sigma}$ は $X$ 上の恒等写像の拡張となる準同型 $|\mathcal{M}|\to|\mathcal{M}|$ で拡張の一意性から $\overline{\sigma^{-1}}\circ\overline{\sigma}=\mathrm{id}_{|\mathcal{M}|}$ 、
同様に $\overline{\sigma}\circ\overline{\sigma^{-1}}=\mathrm{id}_{|\mathcal{N}|}$ であり、$\mathcal{M}\cong\mathcal{N}$ である。

==== 定義2.5.3（項代数） ====

== 出典 ==

== 参考文献 ==

[田中19] 田中一之、数学基礎論序説、裳華房、2019。

[Sankappanavar–Burris] H.P. Sankappanavar, S. Burris, A course in universal algebra, Graduate Texts Math 78, 1981.

=== 脚注 ===
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数理論理学の基礎：等式論理

2022-01-01T13:12:48Z

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== 2. 等式論理 ==

'''等式論理''' (equational logic) は先程までの命題論理とは異なり命題同士の関係ではなく命題の中身、特に $s=t$ という形をした等式による命題に注目する論理である。。
等式論理に対しても命題論理と同様に統語論、意味論を考える。命題論理と同様に形式的証明と、命題論理での真理値に対応する'''モデル''' (model) というのを紹介する。

形式的証明は等式の以下に上げる基本的な性質による書き換え操作によって得られる。

# '''反射律''' (reflexivity) $s=s$ である。
# '''対称律''' (symmetricity) $s=t$ ならば $t=s$ である。
# '''推移律''' (transitivity) $s=t$ かつ $t=r$ ならば $s=r$ である。
# '''代入''' (substitution) $s(u)=t(u)$ ならば $s(r)=t(r)$ である。
# '''関数との両立''' (compatibility with functions) 任意の $i<n+1$ に対して $s_i=t_i$ ならば $f(s_0,\ldots,s_n)=f(t_0,\ldots,t_n)$ である。

一方、モデルによる意味論はある種の数学的な'''代数構造''' (algebraic structure) を用いて定義される。具体的には構造が与えられたとき、その構造で満たされることを真と見做す。ここで構造というのは'''台集合''' (underlying set) とその上の関数からなる組のことである。

=== 2.1 等式論理の統語論 ===

{{theorem |type=definition |name=等式論理の記号 |label=symbol-of-equational-logic }}
等式論理の'''論理記号''' (logical symbol) は以下からなる。
* '''変数記号''' (variable symbol) $u,v,w,\ldots$ 。
* '''等号記号''' (equality symbol) $=$ 。
* '''括弧''' (brackets) $(,).$ 及び''カンマ'' (comma) $,$ 。

変数記号の集合を $\mathrm{Var}$ とし、変数記号は無限個あることを仮定する。

{{theorem |type=definition |name=等式論理の代数言語 |label=algebraic-language-of-equational-logic }}

'''代数言語''' (algebraic language) は'''関数記号''' (function symbol) からなる集合で各関数記号には''項数'' (arity) という自然数が割り当てられているとする。

また特に項数が $0$ である関数記号を'''定数記号''' (constant symbol) という。言語の元を'''非論理記号''' (non-logical symbol) という。関数記号は有限個でも無限個あっても良い。

便宜上、代数言語を集合ではなく組として扱うこともある。

{{theorem |type=example |name=代数言語の例 |label=example-of-algebraic-language-of-equational-logic }}
代数言語の例をいくつかあげる。
* 群の言語 $\mathscr{L}_\mathsf{Grp}:=\{\mathtt{1},\mathrel{\hat{\cdot}},{-}^{\hat{-1}}\}$ 。項数は順に $0,2,1$ 。
* 環の言語 $\mathscr{L}_\mathsf{Ring}:=\{\mathtt{0},\mathtt{1},\mathrel{\hat{+}},\mathrel{\hat{-}},\mathrel{\hat{\cdot}}\}$ 。項数は順に $0,0,2,1,2$ 。
* 束の言語 $\mathscr{L}_\mathsf{Lat}:=\{\hat{\top},\hat{\bot},\mathrel{\hat{\land}},\mathrel{\hat{\lor}}\}$ 。項数は順に $0,0,2,2$ 。
* Boole代数の言語 $\mathscr{L}_\mathsf{BA}:=\{\hat{\top},\hat{\bot},\mathrel{\hat{\land}},\mathrel{\hat{\lor}},\mathrel{\hat{\lnot}}\}$ 。項数は順に $0,0,2,2,1$ 。

{{theorem |type=definition |name=等式論理の項 |label=term-of-equational-logic}}

$\mathscr{L}$ を代数言語とする。このとき '''$\mathscr{L}$-項''' ($\mathscr{L}$-term) は以下のように帰納的に定義される文字列である。

1. 変数 $u,v,w,\ldots$ は $\mathscr{L}$-項である。

2. 関数記号 $\mathtt{f}$ に対し、その項数が $n$ であるとき、$\mathscr{L}$-項 $t_0,\ldots,t_{n-1}$ に対して $\mathtt{f}(t_0,\ldots,t_n)$ は$\mathscr{L}$-項である。

特に定数記号は $\mathscr{L}$-項であることに注意しよう。$\mathscr{L}$-項の集合を $\mathrm{EqTm}_\mathscr{L}$ と表す。

項数が $2$ の関数記号 $\mathtt{f}$ に対して $\mathtt{f}(s,t)$ の代わりに $s\mathrel{\mathtt{f}} t$ と'''中置記法''' (infix notation) で表し、適当に括弧を補うことがある<ref group="脚注">中置記法に対し、$\mathtt{f}(s,t)$ あるいは括弧などを省略し $\mathtt{f}st$ という記法を '''前置記法''' (prefix notation) あるいは'''ポーランド記法''' (Poland notation) といい、逆に $st\mathtt{f}$ という記法を'''後置記法''' (postfix notation) あるいは'''逆ポーランド記法''' (reverse Poland notation) という。</ref>。

==== 例2.1.5（$\mathscr{L}$-項の例） ====

項の例をいくつかあげる。
* $(u\hat{\cdot}\mathtt{1})^{\hat{-1}},\mathtt{1}\hat{\cdot}v$ は $\mathscr{L}_\mathsf{Grp}$-項である。
* $(\mathtt{1}\hat{+}\mathtt{1})\hat{\cdot} (\hat{-}\mathtt{0}),(u\hat{+}\mathtt{1})\hat{\cdot}((\hat{-}\mathtt{0})\hat{\cdot} v)$ は $\mathscr{L}_\mathsf{Ring}$-項である。
* $u\hat{\land} (v\hat{\lor} w),(\hat{\top}\hat{\land} u)\hat{\lor}\hat{\bot}$ は $\mathscr{L}_\mathsf{Lat}$-項である。
* $u\hat{\land}(\hat{\lnot} v),(\hat{\lnot}\hat{\top})\hat{\land}\hat{\bot}$ は $\mathscr{L}_\mathsf{BA}$-項である。

==== 定義2.1.6（等式論理の論理式） ====

$\mathscr{L}$ を言語とする。このとき ''$\mathscr{L}$-論理式'' ($\mathscr{L}$-formula) は以下のように定義される文字列である。

1. $\mathscr{L}$-項 $s,t$ に対して $s=t$ は$\mathscr{L}$-論理式である。

$\mathscr{L}$-論理式の集合を $\mathrm{EqFml}_\mathscr{L}$ と表す。

また等式論理においては論理式を''原子論理式'' (atomic formula) と呼ぶこともある。

==== 定義2.1.7（出現） ====

$\mathscr{L}$-項 $s$ が $\mathscr{L}$-項 $t$ に''現れる'' (occur) ということを $\mathscr{L}$-項 $t$ の定義に沿って帰納的に定義する。

1. 変数 $u$ に対して $s$ が $u$ であるとき $u$ に $s$ が現れている。

2. $\mathscr{L}$-項 $f(t_0,\ldots,t_{n-1})$ に対して、ある $i<n$ が存在し $t_i$ に $s$ が現れているか、または $s$ が $f(t_0,\ldots,t_{n-1})$ であるとき、$s$ が $f(t_0,\ldots,t_{n-1})$ に現れている。

また$\mathscr{L}$-項 $s$ が $\mathscr{L}$-論理式 $\varphi$ に現れるということを定義する。

1. $t=r$ に $\mathscr{L}$-項 $s$ が現れるのは $t$ か $r$ のいずれかに現れるときである。

$\mathscr{L}$-項 $t$ に $s_0,\ldots,s_n$ が現れているとき $t(s_0,\ldots,s_n)$ などど表す。

==== 定義2.1.8（代入） ====

$\mathscr{L}$-項 $s,t$ 、変数 $u$ に対して $s$ に現れる $u$ に $t$ を''代入'' (substitution) した結果 $s[u:=t]$ を $s$ の定義に沿って帰納的に定義する。

1. $s$ に $u$ が現れていないとき $s[u:=t]$ は $s$ である。

2. $u[u:=t]$ を $t$ のこととする。

3. $\mathtt{f}(t_0,\ldots,t_{n-1})[u:=t]$ を　$\mathtt{f}(t_0[u:=t],\ldots,t_{n-1}[u:=t])$　のこととする。

また $\mathscr{L}$-論理式 $\varphi$ 、 $\mathscr{L}$-項 $t$ 、変数 $u$ に対して $\varphi$ に現れる $u$ に $t$ を''代入'' (substitution) した結果 $\varphi[u:=t]$ を定義する。

1. $\varphi$ に $u$ が現れていないとき $\varphi[u:=t]$ は $\varphi$ である。

2. $(s=r)[u:=t]$ を $s[u:=t]=t[u:=t]$ のこととする。

また $s(u)$ に対して $s(u)[u:=t]$ を単に $s(t)$ と表す。

==== 表記2.1.9（省略記法） ====

$\mathscr{L}$-項、$\mathscr{L}$-論理式などの「$\mathscr{L}$-」はどの言語を指しているか明らかなとき、あるいは言語に拠らない議論をするとき省略する。

また命題論理と同様に以下の記法を用いる。

* 論理式の集合 $T$ を ''公理系'' (axiomatic system, axioms, axiomata) あるいは、''等式理論'' (equational theory) 、単に''理論'' (theory) という。
* 理論 $T$ と論理式 $\varphi$ に対して $T+\varphi$ で $T\cup\{\varphi\}$ を表す。

=== 2.2 等式論理のモデル ===

==== 定義2.2.1（代数構造） ====

$\mathscr{L}$ を言語とする。このとき ''$\mathscr{L}$-代数構造'' ($\mathscr{L}$-algebraic structure) $\mathcal{M}$ は''領域'' (domain) あるいは''宇宙'' (universe) 、''台集合'' (underlying set) と言われる空でない((空な構造を認める流儀も存在する。))集合 $M$ と以下に定義される''$\mathscr{L}$-解釈'' ($\mathscr{L}$-interpretation) ${-}^\mathcal{M}$ の組 $\langle M;{-}^\mathcal{M}\rangle$ である。

$\mathscr{L}$-解釈 ${-}^\mathcal{M}$ は以下を満たす言語 $\mathscr{L}$ からの写像である。

* 関数記号 $\mathtt{f}\in\mathscr{L}$ に対して $\mathtt{f}$ の項数が $n$ であるとき、$\mathtt{f}^\mathcal{M}\colon M^n\to M$ である。

定数記号の解釈は一つの $M$ の要素を返す関数となる。よってその返す値と同一値をすることで定数記号 $\mathtt{c}$ に対して $\mathtt{c}^\mathcal{M}\in M$ と見做すことにする。

代数構造 $\mathcal{M}$ が与えられたとき、$|\mathcal{M}|$ の台集合を表すことにする。また数学の慣習に基づき構造 $\mathcal{M}$ とその台集合 $|\mathcal{M}|$ を誤解を与えない範囲で同一視する。例えば $a\in |\mathcal{M}|$ の代わりに $a\in\mathcal{M}$ と表すことがある。

また $\mathcal{M}=\langle M;{-}^\mathcal{M}\rangle$ と表す代わりに解釈後の関数、関係をリストし $\mathcal{M}=\langle A;\mathtt{f}_0^\mathcal{M},\ldots,\mathtt{f}_i^\mathcal{M}\rangle$ と表すことがある。

==== 例2.2.2（代数構造の例） ====
代数構造の例。任意の群 $\mathcal{G}:=\langle|\mathcal{G}|;e,\cdot,{-}^{-1}\rangle$ は $\mathtt{1}^\mathcal{G}:=e,\hat{\cdot}^\mathcal{G}:=\cdot,{{-}^{\hat{-1}}}^\mathcal{G}:={-}^{-1}$ とすることで $\mathscr{L}_\mathsf{Grp}$-構造として見做すことができる。しかし、別に群でなくても $a\in A,f\colon A^2\to A,g\colon A\to A $ に対して $\langle A;a,f,g\rangle$ は同様に $\mathscr{L}_\mathsf{Grp}$-構造として見做すことができる。

==== 定義2.2.3（項の解釈） ====

$\mathscr{L}$-代数構造 $\mathcal{M}=\langle M;{-}^\mathcal{M}\rangle$ と $\mathscr{L}$-閉項 $t$ に対して $t^\mathcal{M}\in M$ を帰納的に定義する。

1. $\mathtt{f}(t_0,\ldots,t_{n-1})$ に対して $(\mathtt{f}(t_0,\ldots,t_{n-1}))^\mathcal{M}$ を $\mathtt{f}^\mathcal{M}(t_0^\mathcal{M},\ldots,t_{n-1}^\mathcal{M})$ と定める。

==== 定義2.2.4（拡張、縮約） ====

言語 $\mathscr{L}\subseteq\mathscr{L}'$ とし、$\mathcal{M}$ を $\mathscr{L}$-代数構造とし、$\mathcal{M}'$ を $\mathscr{L}'$-代数構造とする。$|\mathcal{M}|=|\mathcal{M}'|$ とし、$\mathtt{f}\in\mathscr{L}$ に対し $\mathtt{f}^\mathcal{M}=\mathtt{f}^{\mathcal{M}'}$ が成り立つとする。このとき $\mathcal{M}'$ を $\mathcal{M}$ の''拡大'' (expansion) といい、$\mathcal{M}$ を $\mathcal{M}'$ の''縮約'' (reduct) という。

==== 例2.2.5（拡張、縮約の例） ====
任意の環 $\mathcal{R}=\langle|\mathcal{R}|;\mathtt{0}^\mathcal{R},\mathtt{1}^\mathcal{R},\hat{+}^\mathcal{R},\hat{-}^\mathcal{R},\hat{\cdot}^\mathcal{R}\rangle$ はその加法群 $\mathcal{R}^+=\langle|\mathcal{R}|;\mathtt{0}^\mathcal{R},\hat{+}^\mathcal{R},{-}^\mathcal{R}\rangle$ の拡張となる。ここで群の言語は $\{\mathtt{1},\hat{\cdot},{-}^{\hat{-1}}\}$ であったが記号を変えて $\{\mathtt{0},\hat{+},\hat{-}\}$ としても本質的になにも変わらない。実際、[[Abel群]]に対してはこのように書かれることが多い。
一方、加法群と違い、乗法群は領域がことなるため拡張にはならない。

==== 定義2.2.5（名前） ====

$\mathscr{L}$-代数構造 $\mathcal{M}$ に対して言語 $\mathscr{L}(\mathcal{M})$ と $\mathscr{L}(\mathcal{M})$-代数構造 $\mathcal{M}_\mathrm{par}$ を定義する。
* $\mathscr{L}(\mathcal{M})$ には $\mathscr{L}$ の元に加えて、$a\in|\mathcal{M}|$ に対する定数記号 $\underline{a}$ を持つ。この定数記号 $\underline{a}$ を $a$ の ''名前''(name) や''パラメータ'' (parameter) という。名前を単に $a$ と表すこともある。
* $\mathcal{M}_\mathrm{par}$ は $\mathcal{M}$ の拡大であり、$\underline{a}^{\mathcal{M}_\mathrm{par}}:=a$ とする。

誤解を生じないとき $\mathcal{M}_\mathrm{par}$ を単に $\mathcal{M}$ と表す。

==== 定義2.2.6（充足可能関係） ====

$\mathscr{L}$-代数構造 $\mathcal{M}$ と $\mathscr{L}$-論理式 $s(u_0,\ldots,u_{n-1})=t(v_0,\ldots,v_{m-1})$ に対し $\mathcal{M}\models s(u_0,\ldots,u_{n-1})=t(v_0,\ldots,v_{m-1})$ を定義する。
ここで $s(u_0,\ldots,u_{n-1})=t(v_0,\ldots,v_{m-1})$ に現れる変数は $u_0,\ldots,u_{n-1},v_0,\ldots,v_{m-1}$ に限るとする。

1.　$\mathcal{M}\models s(u_0,\ldots,u_{n-1})=t(v_0,\ldots,v_{m-1})$ となるのは任意の $a_0,\ldots,a_{n-1},b_0,\ldots,b_{m-1}\in A$ に対して $(s(u_0,\ldots,u_{n-1})[u_0:=\underline{a_0}]\cdots[u_{n-1}:=\underline{a_{n-1}}])^{\mathcal{M}}=(t(v_0,\ldots,v_{m-1})[v_0:=\underline{b_0}]\cdots[v_{m-1}:=\underline{b_{m-1}}])^{\mathcal{M}})$ が成り立つことである。

ここで $=$ が記号列としてのものから実際の等号になっていることに気をつけよ。また $\models$ に対していくつかの用語を定める。

* $T$ を理論とし、任意の $\varphi\in T$ に対して $\mathcal{M}\models\varphi$ となっているとする。このとき $\mathcal{M}$ を $T$ の''モデル'' (model) であるといい、$\mathcal{M}\models\varphi$ と表す。
* $T$ の任意のモデル $\mathcal{M}$ に対して $\mathcal{M}\models\varphi$ であるとき $\varphi$ は $T$ からの''論理的帰結'' (logical consequence) であるといい、$T\models \varphi$ と表す。

==== 例2.2.7（モデルの例） ====
$\mathscr{L}_\mathsf{Grp}$-理論 $\mathsf{Grp}$ を以下の論理式からなるものとする。
* $u\hat{\cdot}(v\hat{\cdot}w)=(u\hat{\cdot}v)\hat{\cdot}w$ 。
* $u\hat{\cdot}\mathtt{0}=u$ 。
* $u\hat{\cdot}(u^{\hat{-1}})=\mathtt{0}$ 。

$\mathsf{Grp}$ のモデルは群そのものである。

$\mathscr{L}_\mathsf{Ring}$-理論 $\mathsf{Ring}$ を以下の論理式からなるものとする。

* $u\hat{+}(v\hat{+}w)=(u\hat{+}v)\hat{+}w$ 。
* $u\hat{+}\mathtt{0}=u$ 。
* $u\hat{+}(\hat{-}u)=\mathtt{0}$ 。
* $u\hat{+}v=v\hat{+}u$ 。
* $u\hat{\cdot} (v\hat{\cdot} w)=(u\hat{\cdot} v)\hat{\cdot} w$ 。
* $u\hat{\cdot} (v\hat{+}w)=(u\hat{\cdot} v)\hat{+}(u\hat{\cdot} w)$ 。
* $u\hat{\cdot} \mathtt{1}=u$ 。

$\mathsf{Ring}$ のモデルも同様に環である。

言語 $\mathscr{L}_\mathsf{SGrp}:=\{\hat{\cdot}\}$ とし、理論 $\mathsf{SGrp}$ を

* $u\hat{\cdot}(v\hat{\cdot}w)=(u\hat{\cdot}v)\hat{\cdot}w$ 。

とする。このとき理論 $\mathsf{SGrp}$ のモデルは空でない半群全体となる。

=== 2.3 代数構造の理論 ===
==== 定義2.3.1（準同型、同型） ====

$\mathscr{L}$-代数構造 $\mathcal{M},\mathcal{N}$ に対して $\sigma\colon|\mathcal{M}|\to|\mathcal{N}|$ が''準同型射'' (homomorphism) であるとは、任意の $\mathtt{f}\in\mathscr{L}$ 、$a_0,\ldots,a_{n-1}\in|\mathcal{M}|$ に対し $\sigma(\mathtt{f}^\mathcal{M}(a_0,\ldots,a_{n-1}))=\mathtt{f}^\mathcal{N}(\sigma(a_0),\ldots,\sigma(a_{n-1}))$ が成り立つことである。

また準同型 $\sigma\colon|\mathcal{M}|\to|\mathcal{N}|,\tau\colon|\mathcal{N}|\to|\mathcal{M}|$ が存在し $\tau\circ\sigma =\mathrm{id}_\mathcal{M},\sigma\circ\tau =\mathrm{id}_\mathcal{N}$ となるとき $\mathcal{M}$ と $\mathcal{N}$ は''同型'' (isomorphic))であるといい $\mathcal{M}\cong\mathcal{N}$ と表し、$\sigma,\tau$ を''同型射'' (isomorphism) であるという。
ここで $\mathrm{id}_\mathcal{M}\colon|\mathcal{M}|\to|\mathcal{M}|,\mathrm{id}_\mathcal{M}(a)=a,\mathrm{id}_\mathcal{N}\colon|\mathcal{N}|\to|\mathcal{N}|,\mathrm{id}_\mathcal{N}(b)=b$ とする。

==== 定義2.3.2（部分代数） ====

$\mathscr{L}$-代数構造 $\mathcal{M},\mathcal{N}$ に対して、$\mathcal{N}$ が $\mathcal{M}$ の''部分代数'' (subalgebra) であるとは $|\mathcal{N}|\subseteq|\mathcal{M}|$ かつ、任意の $\mathtt{f}\in\mathscr{L}$ 、任意の $b_0,\ldots,b_{n-1}\in|\mathcal{N}|$ に対し $\mathtt{f}^\mathcal{N}(b_0,\ldots,b_{n-1})=\mathtt{f}^\mathcal{M}(b_0,\ldots,b_{n-1})$ を満たすことである。

==== 命題2.3.3（代数構造の同型に対する必要十分条件） ====

$\mathcal{M}\cong\mathcal{N}$ であるのは全単射準同型 $\upsilon\colon\mathcal{M}\to\mathcal{N}$ が存在するときであり、またそれに限る。

''証明''　$\mathcal{M}\cong\mathcal{N}$ であると仮定する。仮定より準同型 $\sigma\colon\mathcal{M}\to\mathcal{N},\tau\colon\mathcal{N}\to\mathcal{M}$ で $\sigma\circ\tau,\tau\circ\sigma$ が恒等となるものを取る。$\sigma,\tau$ は互いに逆写像であり、よって全単射である。

逆を示す。$\upsilon\circ\upsilon^{-1},\upsilon^{-1}\circ\upsilon$ が恒等になるのは明らかである。よって $\upsilon^{-1}\colon\mathcal{N}\to\mathcal{M}$ が準同型となることを確認すれば良い。
$\upsilon$ は全単射であるから、ある $a_0,\ldots,a_{n-1}\in|\mathcal{M}|$ が存在して $\upsilon(a_0)=b_0,\ldots,\upsilon(a_{n-1})=b_{n-1}$ である。
よって $\upsilon^{-1}(\mathtt{f}^\mathcal{N}(b_0,\ldots,b_{n-1}))=\upsilon^{-1}(\mathtt{f}^\mathcal{N}(\upsilon(a_0),\ldots,\upsilon(a_{n-1})))$ であり、$\upsilon$ は準同型であるから $\upsilon^{-1}(\mathtt{f}^\mathcal{N}(\upsilon(a_0),\ldots,\upsilon(a_{n-1})))=\upsilon^{-1}(\upsilon(\mathtt{f}^\mathcal{M}(a_0,\ldots,a_{n-1})))$ となる。
従って $\upsilon^{-1}(\upsilon(\mathtt{f}^\mathcal{M}(a_0,\ldots,a_{n-1})))=\mathtt{f}^\mathcal{M}(a_0,\ldots,a_{n-1})$　であり、$a_0=\upsilon^{-1}(b_0),\ldots,a_{n-1}=\upsilon^{-1}(b_{n-1})$ より良い。□

==== 定義2.3.4（合同関係） ====
$\mathcal{M}$ を代数構造とし、$\equiv$ を $|\mathcal{M}|$ 上の同値関係で $\mathtt{f}\in\mathscr{L}$ に対して $\mathtt{f}^\mathcal{M}$ と両立する、すなわち任意の $a_0,\ldots,a_{n-1},b_0,\ldots,b_{n-1}\in |\mathcal{M}|$ に対して、任意の $i<n$ について $a_i\equiv b_i$ $\equiv$ であるならば $\mathtt{f}^\mathcal{M}(a_0,\ldots,a_{n-1})\equiv\mathtt{f}^\mathcal{M}(b_0,\ldots,b_{n-1})$ が成り立つとき $\equiv$ は $\mathcal{M}$ 上の''合同関係'' (congruence relation) である、あるいは同値関係 $\equiv$ は $\mathtt{f}^\mathcal{M}$ に対して　''well-defined''であるという。
==== 定義2.3.5（剰余代数） ====

$\mathcal{M}$ を代数構造とし、$\equiv$ を $\mathcal{M}$ 上の合同関係とする。剰余代数'' (factor algebra, quotient algebra) $\mathcal{M}/{\equiv}:=\langle|\mathcal{M}|/{\equiv};{-}^{\mathcal{M}/{\equiv}}\rangle$ を以下のように定める。
* $|\mathcal{M}|/{\equiv}$ は $|\mathcal{M}|$ の $\equiv$ による商集合とし $a\in|\mathcal{M}|$ に対して $[a]_\equiv$ を $\equiv$ による同値類とする。
* $\mathtt{f}\in\mathscr{L}$ に対して $\mathtt{f}^{\mathcal{M}/{\equiv}}([a_0]_\equiv,\ldots,[a_{n-1}]_\equiv):=[\mathtt{f}^\mathcal{M}(a_0,\ldots,a_{n-1})]_\equiv$ とする。

==== 例2.3.6（剰余代数の例） ====

$\mathcal{G}$ を群、$\mathcal{H}$ を $\mathcal{G}$ の正規部分群、すなわち $\mathcal{H}$ は $\mathcal{G}$ の部分代数で、任意の $g\in|\mathcal{G}|,h\in|\mathcal{H}|$ に対し $(g\hat{\cdot}^\mathcal{G} h){\hat{\cdot}}^\mathcal{G}\left(g^{\hat{-1}^\mathcal{G}}\right)\in|\mathcal{H}|$ であるとする。$|\mathcal{G}|$ 上の合同関係　$\equiv_\mathcal{H}$ を $x\equiv_\mathcal{H} y:\Leftrightarrow x\hat{\cdot}^\mathcal{G}\left(y^{\hat{-1}^\mathcal{G}}\right)\in|\mathcal{H}|$ と定める。
このとき $\mathcal{G}/{\equiv_\mathcal{H}}$ を $\mathcal{G}/\mathcal{H}$ と表す。

$\mathcal{M}$ を可換環、$\mathcal{I}:=\langle|\mathcal{I}|;\mathtt{0}^\mathcal{I},\mathtt{1}^\mathcal{I},\hat{+}^\mathcal{I},\hat{-}^\mathcal{I},\hat{\cdot}^\mathcal{I}\rangle$ を $\mathcal{M}$ のイデアル、すなわち以下を満たすとする。
* $\langle|\mathcal{I}|;\mathtt{0}^\mathcal{I},\hat{+}^\mathcal{I},\hat{-}^\mathcal{I}\rangle$ は $\langle|\mathcal{M}|;\mathtt{0}^\mathcal{M},\hat{+}^\mathcal{M},\hat{-}^\mathcal{M}\rangle$ の部分構造である。
* 任意の $a\in|\mathcal{M}|,x\in|\mathcal{I}|$ に対し $a\hat{\cdot}^\mathcal{M}x\in|\mathcal{I}|$ である。

このとき上記の例と同様に $\equiv_\mathcal{I}$ を定義でき $\mathcal{M}/{\equiv_\mathcal{I}}$ を $\mathcal{M}/\mathcal{I}$ を表す。

==== 補題2.3.7（剰余代数と準同型） ====

代数構造 $\mathcal{M}$ と合同関係 $\equiv$ に対して $\pi_\equiv\colon|\mathcal{M}|\to|\mathcal{M}|/{\equiv},\pi_\equiv(a):=[a]_\equiv$ とする。このとき $\pi_\equiv$ は準同型となる。この準同型を $\equiv$ に対する自然な準同型という。

''証明''　剰余代数の定義より明らかである。□

==== 補題2.3.8（準同型と合同関係） ====

代数構造 $\mathcal{M},\mathcal{N}$ 、準同型 $\sigma\colon|\mathcal{M}|\to|\mathcal{N}|$ に対して $|\mathcal{M}|$ 上の二項関係 $\equiv_\sigma$ を $a\equiv_\sigma b:\Leftrightarrow\sigma(a)=\sigma(b)$ とする((これを $\sigma$ による''核'' (kernel) ということがある。))。このとき $\equiv_\sigma$ は合同関係である。

''証明''　$\equiv_\sigma$ が同値関係であることは明らかである。よって関数と両立することを示そう。
今 $\mathtt{f}$ の項数を $n$ とし任意の $i<n$ に対して $a_i\equiv_\sigma b_i$ であると仮定し、$\mathtt{f}^\mathcal{M}(a_0,\ldots,a_{n-1})\equiv_\sigma \mathtt{f}^\mathcal{M}(b_0,\ldots,b_{n-1})$ 、すなわち $\sigma(\mathtt{f}^\mathcal{M}(a_0,\ldots,a_{n-1}))=\sigma(\mathtt{f}^\mathcal{M}(b_0,\ldots,b_{n-1}))$ を示せば良い。
$\sigma$ が準同型であるという仮定から $\sigma(\mathtt{f}^\mathcal{M}(a_0,\ldots,a_{n-1}))=\mathtt{f}^\mathcal{N}(\sigma(a_0),\ldots,\sigma(a_{n-1}))$ であり、 $\equiv_\sigma$ の定義から $\mathtt{f}^\mathcal{N}(\sigma(a_0),\ldots,\sigma(a_{n-1}))=\mathtt{f}^\mathcal{N}(\sigma(b_0),\ldots,\sigma(b_{n-1}))$ 、よってもう一度 $\sigma$ が準同型であることから $\mathtt{f}^\mathcal{N}(\sigma(b_0),\ldots,\sigma(b_{n-1}))=\sigma(\mathtt{f}^\mathcal{M}(b_0,\ldots,b_{n-1}))$ 。□

==== 定理2.3.9（準同型定理 (homomorphism theorem) ） ====

全射準同型 $\sigma\colon|\mathcal{M}|\to|\mathcal{N}|$ に対して、同型 $\tau_{\equiv_\sigma}\colon|\mathcal{M}/{\equiv_\sigma}|\to|\mathcal{N}|$ が存在して $\sigma=\tau_{\equiv_\sigma}\circ\pi_{\equiv_\sigma}$ となる。
ここで $a\equiv_\sigma b:\Leftrightarrow\sigma(a)=\sigma(b)$ 、$\pi_{\equiv_\sigma}\colon|\mathcal{M}|\to|\mathcal{M}/{\equiv_\sigma}|,\pi_{\equiv_\sigma}(a)=[a]_{\equiv_\sigma}$ とする。

''証明''　まず $\tau_{\equiv_\sigma}([a]_{\equiv_\sigma}):=\sigma(a)$ とする。これが写像となることを示す。左全域性は明らかなので右一意性を示そう。
$[a]_{\equiv_\sigma}=[b]_{\equiv_\sigma}$ とすれば $\equiv_\sigma$ の定義から、$\sigma(a)=\sigma(b)$ であり良い。
同様に逆も言えるため左一意性、すなわち $\tau_{\equiv_\sigma}$ が単射であることも従う。また $\sigma$ が全射であることから $\tau_{\equiv_\sigma}$ も全射である。命題2.3.3より
準同型であることを示せば十分である。
剰余代数の定義から $\tau_{\equiv_\sigma}(\mathtt{f}^{\mathcal{M}/{\equiv_\sigma}}([a_0]_{\equiv_\sigma},\ldots,[a_{n-1}]_{\equiv_\sigma}))=\tau_{\equiv_\sigma}([\mathtt{f}^\mathcal{M}(a_0,\ldots,a_{n-1})]_{\equiv_\sigma})$ であり、$\tau_{\equiv_\sigma}$ の定義から $\tau_{\equiv_\sigma}([f^\mathcal{M}(a_0,\ldots,a_{n-1})]_{\equiv_\sigma})=\sigma(f^\mathcal{M}(a_0,\ldots,a_{n-1}))$ である。
$\sigma$ が準同型であることから $\sigma(\mathtt{f}^\mathcal{M}(a_0,\ldots,a_{n-1}))=\mathtt{f}^\mathcal{N}(\sigma(a_0),\ldots,\sigma(a_{n-1}))$ であり $\tau_{\equiv_\sigma}$ の定義が $\mathtt{f}^\mathcal{N}(\sigma(a_0),\ldots,\sigma(a_{n-1}))=\mathtt{f}^\mathcal{N}(\tau_{\equiv_\sigma}([a_0]_{\equiv_\sigma},\ldots,[a_{n-1}]_{\equiv_\sigma}))$ となる。□

==== 系2.3.10 ====

準同型 $\sigma\colon|\mathcal{M}|\to|\mathcal{N}|$ と $|\mathcal{M}|$ 上の合同関係 $\equiv_\sigma$ は $a\equiv_\sigma b$ ならば $\sigma(a)=\sigma(b)$ を満たすとする。
このとき準同型 $\tau_{\equiv_\sigma}\colon|\mathcal{M}/{\equiv}|\to|\mathcal{N}|$ が存在し $\sigma=\tau_{\equiv_\sigma}\circ\pi_{\equiv_\sigma}$ となる。
ただし $\pi_{\equiv_\sigma}\colon|\mathcal{M}|\to|\mathcal{M}/{\equiv_\sigma}|,\pi_{\equiv_\sigma}(a)=[a]_{\equiv_\sigma}$ とする。

''証明''　定理2.3.9の証明とほとんど同様で良い。□

==== 例2.3.11（準同型定理の具体例） ====

群準同型 $\sigma\colon|\mathcal{G}|\to|\mathcal{H}|$ に対して $\mathrm{Ker}(\sigma):=\{g\in|\mathcal{G}|\mid\sigma(g)=\mathtt{0}^\mathcal{H}\}$ とする。このとき $\langle \mathrm{Ker}(\sigma),\mathtt{0}^\mathcal{G},\hat{\cdot}^\mathcal{G},{-}^{\hat{-1}^\mathcal{G}}\rangle$ は $\mathcal{G}$ の部分群であり、例2.2.6で定められる同値関係を $\equiv_{\mathrm{Ker}(\sigma)}$ とすれば $g_0\equiv_{\mathrm{Ker}(\sigma)}g_1$ と $g_0\equiv_\sigma g_1$ は同値であり、従って定理2.3.9及び系2.3.10から以下の群論に於ける準同型定理が従う。
* 群準同型 $\sigma\colon|\mathcal{G}|\to|\mathcal{H}|$ 、自然な準同型 $\pi\colon|\mathcal{G}|\to|\mathcal{G}/\equiv_{\mathrm{Ker(\sigma)}}|$ に対して、準同型 $\tau\colon |\mathcal{G}/\equiv_{\mathrm{Ker(\sigma)}}|\to|\mathcal{H}|$ が存在して $\sigma=\tau\circ\pi$ であり、また $\tau$ は $\mathcal{G}/\equiv_{\mathrm{Ker(\sigma)}}$ から $\langle\mathrm{Im}(\sigma),\underline{0}^\mathcal{H},+^\mathcal{H},-^\mathcal{H}\rangle$ への同型射である。

=== 2.4. 等式論理の形式的証明 ===
==== 定義2.4.1（等式理論） ====
理論 $T$ 論理式 $\varphi$ に対して $T\vdash\varphi$ を帰納的に定義する。

1. $(\mathsf{refl})$　任意の項 $t$ に対して $T\vdash t=t$ である。

2. $(T)$　任意の $\varphi\in T$ に対して $T\vdash\varphi$ である。

3. $(\mathsf{sym})$　任意の項 $s,t$ に対して $T\vdash s=t$ ならば $T\vdash t=s$ である。

4. $(\mathsf{trans})$　任意の項 $s,t,r$ に対して $T\vdash s=t$ かつ $T\vdash t=r$ ならば $T\vdash s=r$ である。

5. $(\mathsf{sub})$　任意の変数 $u$ 、項 $s(u),t(u),r$ に対して $T\vdash s(u)=t(u)$ ならば $T\vdash s(r)=t(r)$ である。

6. $(\mathsf{comp})$　任意の関数記号 $f\in\mathscr{L}$ 、任意の項 $s_0,\ldots,s_{n-1},t_0,\ldots,t_{n-1}$ に対して、全ての$i<n$　について $T\vdash s_i=t_i$ ならば $T\vdash f(s_0,\ldots,s_{n-1})=f(t_0,\ldots,t_{n-1})$ である。

$\vdash$ に関して命題論理と同様に用語を定める。
* $T\vdash\varphi$ であるとき $T$ から $\varphi$ は''証明可能'' (provable) であるという。また $\emptyset\vdash\varphi$ であるとき単に証明可能であるといい、$\vdash\varphi$ と表す。
* $\mathrm{Th}(T):=\{\varphi\in\mathrm{EqFml}\mid T\vdash\varphi\}$ とする。また言語を明示するとき $\mathrm{Th}_\mathscr{L}(T)$ と表す。

=== 2.5. Birkhoffの完全性定理、$\mathsf{HSP}$ 定理 ===

==== 定義2.5.1（生成） ====
代数構造 $\mathcal{M}$ 、$X\subseteq|\mathcal{M}|$ とする。このとき $X\subseteq\mathcal{N}$ で $\mathcal{M}$ の部分代数のなか、領域の包含関係において最小であるとき、$\mathcal{N}$ を $X$ によって''生成される'' (generated) 部分代数であるという。

==== 定義2.5.2（自由 $\mathcal{K}$-代数） ====
$\mathcal{K}$ を代数構造からなるクラスとする。このとき $\mathcal{M}\in\mathcal{K}$ が $X$ によって生成される''自由 $\mathcal{K}$-代数'' (free $\mathcal{K}$-代数) であるとは以下を満たすことである。
* $\mathcal{M}$ は $X$ で生成される。
* 任意の $\mathcal{N}\in\mathcal{K}$ 、写像 $\sigma\colon X\to|\mathcal{N}|$ に対し、ある準同型 $\overline{\sigma}\colon|\mathcal{M}|\to|\mathcal{N}|$ で $\overline{\sigma}$ は $\sigma$ の拡大である、すなわち任意の $x\in X$ に対して $\sigma(x)=\overline{\sigma}(x)$ となるものが一意に存在する。

==== 命題2.5.3（自由生成と濃度） ====
代数構造 $\mathcal{M},\mathcal{N}\in\mathcal{K}$ でそれぞれ集合 $X,Y$ によって自由生成されていて、$X,Y$ が等濃であれば $\mathcal{M}\cong\mathcal{N}$ である。

''証明''　全単射 $\sigma\colon X\to Y$ を取る。
自由代数の定義から $\sigma,\sigma^{-1}$ は準同型 $\overline{\sigma}\colon|\mathcal{M}|\to|\mathcal{N}|,\overline{\sigma^{-1}}\colon|\mathcal{N}|\to|\mathcal{M}|$ に拡張され $\overline{\sigma^{-1}}\circ\overline{\sigma}$ は $X$ 上の恒等写像の拡張となる準同型 $|\mathcal{M}|\to|\mathcal{M}|$ で拡張の一意性から $\overline{\sigma^{-1}}\circ\overline{\sigma}=\mathrm{id}_{|\mathcal{M}|}$ 、
同様に $\overline{\sigma}\circ\overline{\sigma^{-1}}=\mathrm{id}_{|\mathcal{N}|}$ であり、$\mathcal{M}\cong\mathcal{N}$ である。

==== 定義2.5.3（項代数） ====

== 出典 ==

== 参考文献 ==

[田中19] 田中一之、数学基礎論序説、裳華房、2019。

[Sankappanavar–Burris] H.P. Sankappanavar, S. Burris, A course in universal algebra, Graduate Texts Math 78, 1981.

=== 脚注 ===
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数理論理学の基礎：等式論理

2022-01-01T12:00:01Z

Alwe: /* 2.1 等式論理の統語論 */

[[Category:数理論理学|トウシキロンリ]]
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$
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== 2. 等式論理 ==

'''等式論理''' (equational logic) は先程までの命題論理とは異なり命題同士の関係ではなく命題の中身、特に $s=t$ という形をした等式による命題に注目する論理である。。
等式論理に対しても命題論理と同様に統語論、意味論を考える。命題論理と同様に形式的証明と、命題論理での真理値に対応する'''モデル''' (model) というのを紹介する。

形式的証明は等式の以下に上げる基本的な性質による書き換え操作によって得られる。

# '''反射律''' (reflexivity) $s=s$ である。
# '''対称律''' (symmetricity) $s=t$ ならば $t=s$ である。
# '''推移律''' (transitivity) $s=t$ かつ $t=r$ ならば $s=r$ である。
# '''代入''' (substitution) $s(u)=t(u)$ ならば $s(r)=t(r)$ である。
# '''関数との両立''' (compatibility with functions) 任意の $i<n+1$ に対して $s_i=t_i$ ならば $f(s_0,\ldots,s_n)=f(t_0,\ldots,t_n)$ である。

一方、モデルによる意味論はある種の数学的な'''代数構造''' (algebraic structure) を用いて定義される。具体的には構造が与えられたとき、その構造で満たされることを真と見做す。ここで構造というのは'''台集合''' (underlying set) とその上の関数からなる組のことである。

=== 2.1 等式論理の統語論 ===

{{theorem |type=definition |name=等式論理の記号 |label=symbol-of-equational-logic }}
等式論理の'''論理記号''' (logical symbol) は以下からなる。
* '''変数記号''' (variable symbol) $u,v,w,\ldots$ 。
* '''等号記号''' (equality symbol) $=$ 。
* '''括弧''' (brackets) $(,).$ 及び''カンマ'' (comma) $,$ 。

変数記号の集合を $\mathrm{Var}$ とし、変数記号は無限個あることを仮定する。

{{theorem |type=definition |name=等式論理の代数言語 |label=algebraic-language-of-equational-logic }}

'''代数言語''' (algebraic language) は'''関数記号''' (function symbol) からなる集合で各関数記号には''項数'' (arity) という自然数が割り当てられているとする。

また特に項数が $0$ である関数記号を'''定数記号''' (constant symbol) という。言語の元を'''非論理記号''' (non-logical symbol) という。関数記号は有限個でも無限個あっても良い。

便宜上、代数言語を集合ではなく組として扱うこともある。

{{theorem |type=example |name=代数言語の例 |label=example-of-algebraic-language-of-equational-logic }}
代数言語の例をいくつかあげる。
* 群の言語 $\mathscr{L}_\mathsf{Grp}:=\{\mathtt{1},\mathrel{\hat{\cdot}},{-}^{\hat{-1}}\}$ 。項数は順に $0,2,1$ 。
* 環の言語 $\mathscr{L}_\mathsf{Ring}:=\{\mathtt{0},\mathtt{1},\mathrel{\hat{+}},\mathrel{\hat{-}},\mathrel{\hat{\cdot}}\}$ 。項数は順に $0,0,2,1,2$ 。
* 束の言語 $\mathscr{L}_\mathsf{Lat}:=\{\hat{\top},\hat{\bot},\mathrel{\hat{\land}},\mathrel{\hat{\lor}}\}$ 。項数は順に $0,0,2,2$ 。
* Boole代数の言語 $\mathscr{L}_\mathsf{BA}:=\{\hat{\top},\hat{\bot},\mathrel{\hat{\land}},\mathrel{\hat{\lor}},\mathrel{\hat{\lnot}}\}$ 。項数は順に $0,0,2,2,1$ 。

{{theorem |type=definition |name=等式論理の項 |label=term-of-equational-logic}}

$\mathscr{L}$ を代数言語とする。このとき '''$\mathscr{L}$-項''' ($\mathscr{L}$-term) は以下のように帰納的に定義される文字列である。

1. 変数 $u,v,w,\ldots$ は $\mathscr{L}$-項である。

2. 関数記号 $\mathtt{f}$ に対し、その項数が $n$ であるとき、$\mathscr{L}$-項 $t_0,\ldots,t_{n-1}$ に対して $\mathtt{f}(t_0,\ldots,t_n)$ は$\mathscr{L}$-項である。

特に定数記号は $\mathscr{L}$-項であることに注意しよう。$\mathscr{L}$-項の集合を $\mathrm{EqTm}_\mathscr{L}$ と表す。

項数が $2$ の関数記号 $\mathtt{f}$ に対して $\mathtt{f}(s,t)$ の代わりに $s\mathrel{\mathtt{f}} t$ と'''中置記法''' (infix notation) で表し、適当に括弧を補うことがある<ref group="脚注">中置記法に対し、$\mathtt{f}(s,t)$ あるいは括弧などを省略し $\mathtt{f}st$ という記法を '''前置記法''' (prefix notation) あるいは'''ポーランド記法''' (Poland notation) といい、逆に $st\mathtt{f}$ という記法を'''後置記法''' (postfix notation) あるいは'''逆ポーランド記法''' (reverse Poland notation) という。</ref>。

==== 例2.1.5（$\mathscr{L}$-項の例） ====

項の例をいくつかあげる。
* $(u\hat{\cdot}\mathtt{1})^{\hat{-1}},\mathtt{1}\hat{\cdot}v$ は $\mathscr{L}_\mathsf{Grp}$-項である。
* $(\mathtt{1}\hat{+}\mathtt{1})\hat{\cdot} (\hat{-}\mathtt{0}),(u\hat{+}\mathtt{1})\hat{\cdot}((\hat{-}\mathtt{0})\hat{\cdot} v)$ は $\mathscr{L}_\mathsf{Ring}$-項である。
* $u\hat{\land} (v\hat{\lor} w),(\hat{\top}\hat{\land} u)\hat{\lor}\hat{\bot}$ は $\mathscr{L}_\mathsf{Lat}$-項である。
* $u\hat{\land}(\hat{\lnot} v),(\hat{\lnot}\hat{\top})\hat{\land}\hat{\bot}$ は $\mathscr{L}_\mathsf{BA}$-項である。

==== 定義2.1.6（等式論理の論理式） ====

$\mathscr{L}$ を言語とする。このとき ''$\mathscr{L}$-論理式'' ($\mathscr{L}$-formula) は以下のように定義される文字列である。

1. $\mathscr{L}$-項 $s,t$ に対して $s=t$ は$\mathscr{L}$-論理式である。

$\mathscr{L}$-論理式の集合を $\mathrm{EqFml}_\mathscr{L}$ と表す。

また等式論理においては論理式を''原子論理式'' (atomic formula) と呼ぶこともある。

==== 定義2.1.7（出現） ====

$\mathscr{L}$-項 $s$ が $\mathscr{L}$-項 $t$ に''現れる'' (occur) ということを $\mathscr{L}$-項 $t$ の定義に沿って帰納的に定義する。

1. 変数 $u$ に対して $s$ が $u$ であるとき $u$ に $s$ が現れている。

2. $\mathscr{L}$-項 $f(t_0,\ldots,t_{n-1})$ に対して、ある $i<n$ が存在し $t_i$ に $s$ が現れているか、または $s$ が $f(t_0,\ldots,t_{n-1})$ であるとき、$s$ が $f(t_0,\ldots,t_{n-1})$ に現れている。

また$\mathscr{L}$-項 $s$ が $\mathscr{L}$-論理式 $\varphi$ に現れるということを定義する。

1. $t=r$ に $\mathscr{L}$-項 $s$ が現れるのは $t$ か $r$ のいずれかに現れるときである。

$\mathscr{L}$-項 $t$ に $s_0,\ldots,s_n$ が現れているとき $t(s_0,\ldots,s_n)$ などど表す。

==== 定義2.1.8（代入） ====

$\mathscr{L}$-項 $s,t$ 、変数 $u$ に対して $s$ に現れる $u$ に $t$ を''代入'' (substitution) した結果 $s[u:=t]$ を $s$ の定義に沿って帰納的に定義する。

1. $s$ に $u$ が現れていないとき $s[u:=t]$ は $s$ である。

2. $u[u:=t]$ を $t$ のこととする。

3. $\mathtt{f}(t_0,\ldots,t_{n-1})[u:=t]$ を　$\mathtt{f}(t_0[u:=t],\ldots,t_{n-1}[u:=t])$　のこととする。

また $\mathscr{L}$-論理式 $\varphi$ 、 $\mathscr{L}$-項 $t$ 、変数 $u$ に対して $\varphi$ に現れる $u$ に $t$ を''代入'' (substitution) した結果 $\varphi[u:=t]$ を定義する。

1. $\varphi$ に $u$ が現れていないとき $\varphi[u:=t]$ は $\varphi$ である。

2. $(s=r)[u:=t]$ を $s[u:=t]=t[u:=t]$ のこととする。

また $s(u)$ に対して $s(u)[u:=t]$ を単に $s(t)$ と表す。

==== 表記2.1.9（省略記法） ====

$\mathscr{L}$-項、$\mathscr{L}$-論理式などの「$\mathscr{L}$-」はどの言語を指しているか明らかなとき、あるいは言語に拠らない議論をするとき省略する。

また命題論理と同様に以下の記法を用いる。

* 論理式の集合 $T$ を ''公理系'' (axiomatic system, axioms, axiomata) あるいは、''等式理論'' (equational theory) 、単に''理論'' (theory) という。
* 理論 $T$ と論理式 $\varphi$ に対して $T+\varphi$ で $T\cup\{\varphi\}$ を表す。

=== 2.2 等式論理のモデル ===

==== 定義2.2.1（代数構造） ====

$\mathscr{L}$ を言語とする。このとき ''$\mathscr{L}$-代数構造'' ($\mathscr{L}$-algebraic structure) $\mathcal{M}$ は''領域'' (domain) あるいは''宇宙'' (universe) 、''台集合'' (underlying set) と言われる空でない((空な構造を認める流儀も存在する。))集合 $M$ と以下に定義される''$\mathscr{L}$-解釈'' ($\mathscr{L}$-interpretation) ${-}^\mathcal{M}$ の組 $\langle M;{-}^\mathcal{M}\rangle$ である。

$\mathscr{L}$-解釈 ${-}^\mathcal{M}$ は以下を満たす言語 $\mathscr{L}$ からの写像である。

* 関数記号 $\mathtt{f}\in\mathscr{L}$ に対して $\mathtt{f}$ の項数が $n$ であるとき、$\mathtt{f}^\mathcal{M}\colon M^n\to M$ である。

定数記号の解釈は一つの $M$ の要素を返す関数となる。よってその返す値と同一値をすることで定数記号 $\mathtt{c}$ に対して $\mathtt{c}^\mathcal{M}\in M$ と見做すことにする。

代数構造 $\mathcal{M}$ が与えられたとき、$|\mathcal{M}|$ の台集合を表すことにする。また数学の慣習に基づき構造 $\mathcal{M}$ とその台集合 $|\mathcal{M}|$ を誤解を与えない範囲で同一視する。例えば $a\in |\mathcal{M}|$ の代わりに $a\in\mathcal{M}$ と表すことがある。

また $\mathcal{M}=\langle M;{-}^\mathcal{M}\rangle$ と表す代わりに解釈後の関数、関係をリストし $\mathcal{M}=\langle A;\mathtt{f}_0^\mathcal{M},\ldots,\mathtt{f}_i^\mathcal{M}\rangle$ と表すことがある。

==== 例2.2.2（代数構造の例） ====
代数構造の例。任意の群 $\mathcal{G}:=\langle|\mathcal{G}|;e,\cdot,{-}^{-1}\rangle$ は $\mathtt{1}^\mathcal{G}:=e,\hat{\cdot}^\mathcal{G}:=\cdot,{{-}^{\hat{-1}}}^\mathcal{G}:={-}^{-1}$ とすることで $\mathscr{L}_\mathsf{Grp}$-構造として見做すことができる。しかし、別に群でなくても $a\in A,f\colon A^2\to A,g\colon A\to A $ に対して $\langle A;a,f,g\rangle$ は同様に $\mathscr{L}_\mathsf{Grp}$-構造として見做すことができる。

==== 定義2.2.3（項の解釈） ====

$\mathscr{L}$-代数構造 $\mathcal{M}=\langle M;{-}^\mathcal{M}\rangle$ と $\mathscr{L}$-閉項 $t$ に対して $t^\mathcal{M}\in M$ を帰納的に定義する。

1. $\mathtt{f}(t_0,\ldots,t_{n-1})$ に対して $(\mathtt{f}(t_0,\ldots,t_{n-1}))^\mathcal{M}$ を $\mathtt{f}^\mathcal{M}(t_0^\mathcal{M},\ldots,t_{n-1}^\mathcal{M})$ と定める。

==== 定義2.2.4（拡張、縮約） ====

言語 $\mathscr{L}\subseteq\mathscr{L}'$ とし、$\mathcal{M}$ を $\mathscr{L}$-代数構造とし、$\mathcal{M}'$ を $\mathscr{L}'$-代数構造とする。$|\mathcal{M}|=|\mathcal{M}'|$ とし、$\mathtt{f}\in\mathscr{L}$ に対し $\mathtt{f}^\mathcal{M}=\mathtt{f}^{\mathcal{M}'}$ が成り立つとする。このとき $\mathcal{M}'$ を $\mathcal{M}$ の''拡大'' (expansion) といい、$\mathcal{M}$ を $\mathcal{M}'$ の''縮約'' (reduct) という。

==== 例2.2.5（拡張、縮約の例） ====
任意の環 $\mathcal{R}=\langle|\mathcal{R}|;\mathtt{0}^\mathcal{R},\mathtt{1}^\mathcal{R},\hat{+}^\mathcal{R},\hat{-}^\mathcal{R},\hat{\cdot}^\mathcal{R}\rangle$ はその加法群 $\mathcal{R}^+=\langle|\mathcal{R}|;\mathtt{0}^\mathcal{R},\hat{+}^\mathcal{R},{-}^\mathcal{R}\rangle$ の拡張となる。ここで群の言語は $\{\mathtt{1},\hat{\cdot},{-}^{\hat{-1}}\}$ であったが記号を変えて $\{\mathtt{0},\hat{+},\hat{-}\}$ としても本質的になにも変わらない。実際、[[Abel群]]に対してはこのように書かれることが多い。
一方、加法群と違い、乗法群は領域がことなるため拡張にはならない。

==== 定義2.2.5（名前） ====

$\mathscr{L}$-代数構造 $\mathcal{M}$ に対して言語 $\mathscr{L}(\mathcal{M})$ と $\mathscr{L}(\mathcal{M})$-代数構造 $\mathcal{M}_\mathrm{par}$ を定義する。
* $\mathscr{L}(\mathcal{M})$ には $\mathscr{L}$ の元に加えて、$a\in|\mathcal{M}|$ に対する定数記号 $\underline{a}$ を持つ。この定数記号 $\underline{a}$ を $a$ の ''名前''(name) や''パラメータ'' (parameter) という。名前を単に $a$ と表すこともある。
* $\mathcal{M}_\mathrm{par}$ は $\mathcal{M}$ の拡大であり、$\underline{a}^{\mathcal{M}_\mathrm{par}}:=a$ とする。

誤解を生じないとき $\mathcal{M}_\mathrm{par}$ を単に $\mathcal{M}$ と表す。

==== 定義2.2.6（充足可能関係） ====

$\mathscr{L}$-代数構造 $\mathcal{M}$ と $\mathscr{L}$-論理式 $s(u_0,\ldots,u_{n-1})=t(v_0,\ldots,v_{m-1})$ に対し $\mathcal{M}\models s(u_0,\ldots,u_{n-1})=t(v_0,\ldots,v_{m-1})$ を定義する。
ここで $s(u_0,\ldots,u_{n-1})=t(v_0,\ldots,v_{m-1})$ に現れる変数は $u_0,\ldots,u_{n-1},v_0,\ldots,v_{m-1}$ に限るとする。

1.　$\mathcal{M}\models s(u_0,\ldots,u_{n-1})=t(v_0,\ldots,v_{m-1})$ となるのは任意の $a_0,\ldots,a_{n-1},b_0,\ldots,b_{m-1}\in A$ に対して $(s(u_0,\ldots,u_{n-1})[u_0:=\underline{a_0}]\cdots[u_{n-1}:=\underline{a_{n-1}}])^{\mathcal{M}}=(t(v_0,\ldots,v_{m-1})[v_0:=\underline{b_0}]\cdots[v_{m-1}:=\underline{b_{m-1}}])^{\mathcal{M}})$ が成り立つことである。

ここで $=$ が記号列としてのものから実際の等号になっていることに気をつけよ。また $\models$ に対していくつかの用語を定める。

* $T$ を理論とし、任意の $\varphi\in T$ に対して $\mathcal{M}\models\varphi$ となっているとする。このとき $\mathcal{M}$ を $T$ の''モデル'' (model) であるといい、$\mathcal{M}\models\varphi$ と表す。
* $T$ の任意のモデル $\mathcal{M}$ に対して $\mathcal{M}\models\varphi$ であるとき $\varphi$ は $T$ からの''論理的帰結'' (logical consequence) であるといい、$T\models \varphi$ と表す。

==== 例2.2.7（モデルの例） ====
$\mathscr{L}_\mathsf{Grp}$-理論 $\mathsf{Grp}$ を以下の論理式からなるものとする。
* $u\hat{\cdot}(v\hat{\cdot}w)=(u\hat{\cdot}v)\hat{\cdot}w$ 。
* $u\hat{\cdot}\mathtt{0}=u$ 。
* $u\hat{\cdot}(u^{\hat{-1}})=\mathtt{0}$ 。

$\mathsf{Grp}$ のモデルは群そのものである。

$\mathscr{L}_\mathsf{Ring}$-理論 $\mathsf{Ring}$ を以下の論理式からなるものとする。

* $u\hat{+}(v\hat{+}w)=(u\hat{+}v)\hat{+}w$ 。
* $u\hat{+}\mathtt{0}=u$ 。
* $u\hat{+}(\hat{-}u)=\mathtt{0}$ 。
* $u\hat{+}v=v\hat{+}u$ 。
* $u\hat{\cdot} (v\hat{\cdot} w)=(u\hat{\cdot} v)\hat{\cdot} w$ 。
* $u\hat{\cdot} (v\hat{+}w)=(u\hat{\cdot} v)\hat{+}(u\hat{\cdot} w)$ 。
* $u\hat{\cdot} \mathtt{1}=u$ 。

$\mathsf{Ring}$ のモデルも同様に環である。

言語 $\mathscr{L}_\mathsf{SGrp}:=\{\hat{\cdot}\}$ とし、理論 $\mathsf{SGrp}$ を

* $u\hat{\cdot}(v\hat{\cdot}w)=(u\hat{\cdot}v)\hat{\cdot}w$ 。

とする。このとき理論 $\mathsf{SGrp}$ のモデルは空でない半群全体となる。

=== 2.3 代数構造の理論 ===
==== 定義2.3.1（準同型、同型） ====

$\mathscr{L}$-代数構造 $\mathcal{M},\mathcal{N}$ に対して $\sigma\colon|\mathcal{M}|\to|\mathcal{N}|$ が''準同型射'' (homomorphism) であるとは、任意の $\mathtt{f}\in\mathscr{L}$ 、$a_0,\ldots,a_{n-1}\in|\mathcal{M}|$ に対し $\sigma(\mathtt{f}^\mathcal{M}(a_0,\ldots,a_{n-1}))=\mathtt{f}^\mathcal{N}(\sigma(a_0),\ldots,\sigma(a_{n-1}))$ が成り立つことである。

また準同型 $\sigma\colon|\mathcal{M}|\to|\mathcal{N}|,\tau\colon|\mathcal{N}|\to|\mathcal{M}|$ が存在し $\tau\circ\sigma =\mathrm{id}_\mathcal{M},\sigma\circ\tau =\mathrm{id}_\mathcal{N}$ となるとき $\mathcal{M}$ と $\mathcal{N}$ は''同型'' (isomorphic))であるといい $\mathcal{M}\cong\mathcal{N}$ と表し、$\sigma,\tau$ を''同型射'' (isomorphism) であるという。
ここで $\mathrm{id}_\mathcal{M}\colon|\mathcal{M}|\to|\mathcal{M}|,\mathrm{id}_\mathcal{M}(a)=a,\mathrm{id}_\mathcal{N}\colon|\mathcal{N}|\to|\mathcal{N}|,\mathrm{id}_\mathcal{N}(b)=b$ とする。

==== 定義2.3.2（部分代数） ====

$\mathscr{L}$-代数構造 $\mathcal{M},\mathcal{N}$ に対して、$\mathcal{N}$ が $\mathcal{M}$ の''部分代数'' (subalgebra) であるとは $|\mathcal{N}|\subseteq|\mathcal{M}|$ かつ、任意の $\mathtt{f}\in\mathscr{L}$ 、任意の $b_0,\ldots,b_{n-1}\in|\mathcal{N}|$ に対し $\mathtt{f}^\mathcal{N}(b_0,\ldots,b_{n-1})=\mathtt{f}^\mathcal{M}(b_0,\ldots,b_{n-1})$ を満たすことである。

==== 命題2.3.3（代数構造の同型に対する必要十分条件） ====

$\mathcal{M}\cong\mathcal{N}$ であるのは全単射準同型 $\upsilon\colon\mathcal{M}\to\mathcal{N}$ が存在するときであり、またそれに限る。

''証明''　$\mathcal{M}\cong\mathcal{N}$ であると仮定する。仮定より準同型 $\sigma\colon\mathcal{M}\to\mathcal{N},\tau\colon\mathcal{N}\to\mathcal{M}$ で $\sigma\circ\tau,\tau\circ\sigma$ が恒等となるものを取る。$\sigma,\tau$ は互いに逆写像であり、よって全単射である。

逆を示す。$\upsilon\circ\upsilon^{-1},\upsilon^{-1}\circ\upsilon$ が恒等になるのは明らかである。よって $\upsilon^{-1}\colon\mathcal{N}\to\mathcal{M}$ が準同型となることを確認すれば良い。
$\upsilon$ は全単射であるから、ある $a_0,\ldots,a_{n-1}\in|\mathcal{M}|$ が存在して $\upsilon(a_0)=b_0,\ldots,\upsilon(a_{n-1})=b_{n-1}$ である。
よって $\upsilon^{-1}(\mathtt{f}^\mathcal{N}(b_0,\ldots,b_{n-1}))=\upsilon^{-1}(\mathtt{f}^\mathcal{N}(\upsilon(a_0),\ldots,\upsilon(a_{n-1})))$ であり、$\upsilon$ は準同型であるから $\upsilon^{-1}(\mathtt{f}^\mathcal{N}(\upsilon(a_0),\ldots,\upsilon(a_{n-1})))=\upsilon^{-1}(\upsilon(\mathtt{f}^\mathcal{M}(a_0,\ldots,a_{n-1})))$ となる。
従って $\upsilon^{-1}(\upsilon(\mathtt{f}^\mathcal{M}(a_0,\ldots,a_{n-1})))=\mathtt{f}^\mathcal{M}(a_0,\ldots,a_{n-1})$　であり、$a_0=\upsilon^{-1}(b_0),\ldots,a_{n-1}=\upsilon^{-1}(b_{n-1})$ より良い。□

==== 定義2.3.4（合同関係） ====
$\mathcal{M}$ を代数構造とし、$\equiv$ を $|\mathcal{M}|$ 上の同値関係で $\mathtt{f}\in\mathscr{L}$ に対して $\mathtt{f}^\mathcal{M}$ と両立する、すなわち任意の $a_0,\ldots,a_{n-1},b_0,\ldots,b_{n-1}\in |\mathcal{M}|$ に対して、任意の $i<n$ について $a_i\equiv b_i$ $\equiv$ であるならば $\mathtt{f}^\mathcal{M}(a_0,\ldots,a_{n-1})\equiv\mathtt{f}^\mathcal{M}(b_0,\ldots,b_{n-1})$ が成り立つとき $\equiv$ は $\mathcal{M}$ 上の''合同関係'' (congruence relation) である、あるいは同値関係 $\equiv$ は $\mathtt{f}^\mathcal{M}$ に対して　''well-defined''であるという。
==== 定義2.3.5（剰余代数） ====

$\mathcal{M}$ を代数構造とし、$\equiv$ を $\mathcal{M}$ 上の合同関係とする。剰余代数'' (factor algebra, quotient algebra) $\mathcal{M}/{\equiv}:=\langle|\mathcal{M}|/{\equiv};{-}^{\mathcal{M}/{\equiv}}\rangle$ を以下のように定める。
* $|\mathcal{M}|/{\equiv}$ は $|\mathcal{M}|$ の $\equiv$ による商集合とし $a\in|\mathcal{M}|$ に対して $[a]_\equiv$ を $\equiv$ による同値類とする。
* $\mathtt{f}\in\mathscr{L}$ に対して $\mathtt{f}^{\mathcal{M}/{\equiv}}([a_0]_\equiv,\ldots,[a_{n-1}]_\equiv):=[\mathtt{f}^\mathcal{M}(a_0,\ldots,a_{n-1})]_\equiv$ とする。

==== 例2.3.6（剰余代数の例） ====

$\mathcal{G}$ を群、$\mathcal{H}$ を $\mathcal{G}$ の正規部分群、すなわち $\mathcal{H}$ は $\mathcal{G}$ の部分代数で、任意の $g\in|\mathcal{G}|,h\in|\mathcal{H}|$ に対し $(g\hat{\cdot}^\mathcal{G} h){\hat{\cdot}}^\mathcal{G}\left(g^{\hat{-1}^\mathcal{G}}\right)\in|\mathcal{H}|$ であるとする。$|\mathcal{G}|$ 上の合同関係　$\equiv_\mathcal{H}$ を $x\equiv_\mathcal{H} y:\Leftrightarrow x\hat{\cdot}^\mathcal{G}\left(y^{\hat{-1}^\mathcal{G}}\right)\in|\mathcal{H}|$ と定める。
このとき $\mathcal{G}/{\equiv_\mathcal{H}}$ を $\mathcal{G}/\mathcal{H}$ と表す。

$\mathcal{M}$ を可換環、$\mathcal{I}:=\langle|\mathcal{I}|;\mathtt{0}^\mathcal{I},\mathtt{1}^\mathcal{I},\hat{+}^\mathcal{I},\hat{-}^\mathcal{I},\hat{\cdot}^\mathcal{I}\rangle$ を $\mathcal{M}$ のイデアル、すなわち以下を満たすとする。
* $\langle|\mathcal{I}|;\mathtt{0}^\mathcal{I},\hat{+}^\mathcal{I},\hat{-}^\mathcal{I}\rangle$ は $\langle|\mathcal{M}|;\mathtt{0}^\mathcal{M},\hat{+}^\mathcal{M},\hat{-}^\mathcal{M}\rangle$ の部分構造である。
* 任意の $a\in|\mathcal{M}|,x\in|\mathcal{I}|$ に対し $a\hat{\cdot}^\mathcal{M}x\in|\mathcal{I}|$ である。

このとき上記の例と同様に $\equiv_\mathcal{I}$ を定義でき $\mathcal{M}/{\equiv_\mathcal{I}}$ を $\mathcal{M}/\mathcal{I}$ を表す。

==== 補題2.3.7（剰余代数と準同型） ====

代数構造 $\mathcal{M}$ と合同関係 $\equiv$ に対して $\pi_\equiv\colon|\mathcal{M}|\to|\mathcal{M}|/{\equiv},\pi_\equiv(a):=[a]_\equiv$ とする。このとき $\pi_\equiv$ は準同型となる。この準同型を $\equiv$ に対する自然な準同型という。

''証明''　剰余代数の定義より明らかである。□

==== 補題2.3.8（準同型と合同関係） ====

代数構造 $\mathcal{M},\mathcal{N}$ 、準同型 $\sigma\colon|\mathcal{M}|\to|\mathcal{N}|$ に対して $|\mathcal{M}|$ 上の二項関係 $\equiv_\sigma$ を $a\equiv_\sigma b:\Leftrightarrow\sigma(a)=\sigma(b)$ とする((これを $\sigma$ による''核'' (kernel) ということがある。))。このとき $\equiv_\sigma$ は合同関係である。

''証明''　$\equiv_\sigma$ が同値関係であることは明らかである。よって関数と両立することを示そう。
今 $\mathtt{f}$ の項数を $n$ とし任意の $i<n$ に対して $a_i\equiv_\sigma b_i$ であると仮定し、$\mathtt{f}^\mathcal{M}(a_0,\ldots,a_{n-1})\equiv_\sigma \mathtt{f}^\mathcal{M}(b_0,\ldots,b_{n-1})$ 、すなわち $\sigma(\mathtt{f}^\mathcal{M}(a_0,\ldots,a_{n-1}))=\sigma(\mathtt{f}^\mathcal{M}(b_0,\ldots,b_{n-1}))$ を示せば良い。
$\sigma$ が準同型であるという仮定から $\sigma(\mathtt{f}^\mathcal{M}(a_0,\ldots,a_{n-1}))=\mathtt{f}^\mathcal{N}(\sigma(a_0),\ldots,\sigma(a_{n-1}))$ であり、 $\equiv_\sigma$ の定義から $\mathtt{f}^\mathcal{N}(\sigma(a_0),\ldots,\sigma(a_{n-1}))=\mathtt{f}^\mathcal{N}(\sigma(b_0),\ldots,\sigma(b_{n-1}))$ 、よってもう一度 $\sigma$ が準同型であることから $\mathtt{f}^\mathcal{N}(\sigma(b_0),\ldots,\sigma(b_{n-1}))=\sigma(\mathtt{f}^\mathcal{M}(b_0,\ldots,b_{n-1}))$ 。□

==== 定理2.3.9（準同型定理 (homomorphism theorem) ） ====

全射準同型 $\sigma\colon|\mathcal{M}|\to|\mathcal{N}|$ に対して、同型 $\tau_{\equiv_\sigma}\colon|\mathcal{M}/{\equiv_\sigma}|\to|\mathcal{N}|$ が存在して $\sigma=\tau_{\equiv_\sigma}\circ\pi_{\equiv_\sigma}$ となる。
ここで $a\equiv_\sigma b:\Leftrightarrow\sigma(a)=\sigma(b)$ 、$\pi_{\equiv_\sigma}\colon|\mathcal{M}|\to|\mathcal{M}/{\equiv_\sigma}|,\pi_{\equiv_\sigma}(a)=[a]_{\equiv_\sigma}$ とする。

''証明''　まず $\tau_{\equiv_\sigma}([a]_{\equiv_\sigma}):=\sigma(a)$ とする。これが写像となることを示す。左全域性は明らかなので右一意性を示そう。
$[a]_{\equiv_\sigma}=[b]_{\equiv_\sigma}$ とすれば $\equiv_\sigma$ の定義から、$\sigma(a)=\sigma(b)$ であり良い。
同様に逆も言えるため左一意性、すなわち $\tau_{\equiv_\sigma}$ が単射であることも従う。また $\sigma$ が全射であることから $\tau_{\equiv_\sigma}$ も全射である。命題2.3.3より
準同型であることを示せば十分である。
剰余代数の定義から $\tau_{\equiv_\sigma}(\mathtt{f}^{\mathcal{M}/{\equiv_\sigma}}([a_0]_{\equiv_\sigma},\ldots,[a_{n-1}]_{\equiv_\sigma}))=\tau_{\equiv_\sigma}([\mathtt{f}^\mathcal{M}(a_0,\ldots,a_{n-1})]_{\equiv_\sigma})$ であり、$\tau_{\equiv_\sigma}$ の定義から $\tau_{\equiv_\sigma}([f^\mathcal{M}(a_0,\ldots,a_{n-1})]_{\equiv_\sigma})=\sigma(f^\mathcal{M}(a_0,\ldots,a_{n-1}))$ である。
$\sigma$ が準同型であることから $\sigma(\mathtt{f}^\mathcal{M}(a_0,\ldots,a_{n-1}))=\mathtt{f}^\mathcal{N}(\sigma(a_0),\ldots,\sigma(a_{n-1}))$ であり $\tau_{\equiv_\sigma}$ の定義が $\mathtt{f}^\mathcal{N}(\sigma(a_0),\ldots,\sigma(a_{n-1}))=\mathtt{f}^\mathcal{N}(\tau_{\equiv_\sigma}([a_0]_{\equiv_\sigma},\ldots,[a_{n-1}]_{\equiv_\sigma}))$ となる。□

==== 系2.3.10 ====

準同型 $\sigma\colon|\mathcal{M}|\to|\mathcal{N}|$ と $|\mathcal{M}|$ 上の合同関係 $\equiv_\sigma$ は $a\equiv_\sigma b$ ならば $\sigma(a)=\sigma(b)$ を満たすとする。
このとき準同型 $\tau_{\equiv_\sigma}\colon|\mathcal{M}/{\equiv}|\to|\mathcal{N}|$ が存在し $\sigma=\tau_{\equiv_\sigma}\circ\pi_{\equiv_\sigma}$ となる。
ただし $\pi_{\equiv_\sigma}\colon|\mathcal{M}|\to|\mathcal{M}/{\equiv_\sigma}|,\pi_{\equiv_\sigma}(a)=[a]_{\equiv_\sigma}$ とする。

''証明''　定理2.3.9の証明とほとんど同様で良い。□

==== 例2.3.11（準同型定理の具体例） ====

群準同型 $\sigma\colon|\mathcal{G}|\to|\mathcal{H}|$ に対して $\mathrm{Ker}(\sigma):=\{g\in|\mathcal{G}|\mid\sigma(g)=\mathtt{0}^\mathcal{H}\}$ とする。このとき $\langle \mathrm{Ker}(\sigma),\mathtt{0}^\mathcal{G},\hat{\cdot}^\mathcal{G},{-}^{\hat{-1}^\mathcal{G}}\rangle$ は $\mathcal{G}$ の部分群であり、例2.2.6で定められる同値関係を $\equiv_{\mathrm{Ker}(\sigma)}$ とすれば $g_0\equiv_{\mathrm{Ker}(\sigma)}g_1$ と $g_0\equiv_\sigma g_1$ は同値であり、従って定理2.3.9及び系2.3.10から以下の群論に於ける準同型定理が従う。
* 群準同型 $\sigma\colon|\mathcal{G}|\to|\mathcal{H}|$ 、自然な準同型 $\pi\colon|\mathcal{G}|\to|\mathcal{G}/\equiv_{\mathrm{Ker(\sigma)}}|$ に対して、準同型 $\tau\colon |\mathcal{G}/\equiv_{\mathrm{Ker(\sigma)}}|\to|\mathcal{H}|$ が存在して $\sigma=\tau\circ\pi$ であり、また $\tau$ は $\mathcal{G}/\equiv_{\mathrm{Ker(\sigma)}}$ から $\langle\mathrm{Im}(\sigma),\underline{0}^\mathcal{H},+^\mathcal{H},-^\mathcal{H}\rangle$ への同型射である。

=== 2.4. 等式論理の形式的証明 ===
==== 定義2.4.1（等式理論） ====
理論 $T$ 論理式 $\varphi$ に対して $T\vdash\varphi$ を帰納的に定義する。

1. $(\mathsf{refl})$　任意の項 $t$ に対して $T\vdash t=t$ である。

2. $(T)$　任意の $\varphi\in T$ に対して $T\vdash\varphi$ である。

3. $(\mathsf{sym})$　任意の項 $s,t$ に対して $T\vdash s=t$ ならば $T\vdash t=s$ である。

4. $(\mathsf{trans})$　任意の項 $s,t,r$ に対して $T\vdash s=t$ かつ $T\vdash t=r$ ならば $T\vdash s=r$ である。

5. $(\mathsf{sub})$　任意の変数 $u$ 、項 $s(u),t(u),r$ に対して $T\vdash s(u)=t(u)$ ならば $T\vdash s(r)=t(r)$ である。

6. $(\mathsf{comp})$　任意の関数記号 $f\in\mathscr{L}$ 、任意の項 $s_0,\ldots,s_{n-1},t_0,\ldots,t_{n-1}$ に対して、全ての$i<n$　について $T\vdash s_i=t_i$ ならば $T\vdash f(s_0,\ldots,s_{n-1})=f(t_0,\ldots,t_{n-1})$ である。

$\vdash$ に関して命題論理と同様に用語を定める。
* $T\vdash\varphi$ であるとき $T$ から $\varphi$ は''証明可能'' (provable) であるという。また $\emptyset\vdash\varphi$ であるとき単に証明可能であるといい、$\vdash\varphi$ と表す。
* $\mathrm{Th}(T):=\{\varphi\in\mathrm{EqFml}\mid T\vdash\varphi\}$ とする。また言語を明示するとき $\mathrm{Th}_\mathscr{L}(T)$ と表す。

=== 2.5. Birkhoffの完全性定理、$\mathsf{HSP}$ 定理 ===

==== 定義2.5.1（生成） ====
代数構造 $\mathcal{M}$ 、$X\subseteq|\mathcal{M}|$ とする。このとき $X\subseteq\mathcal{N}$ で $\mathcal{M}$ の部分代数のなか、領域の包含関係において最小であるとき、$\mathcal{N}$ を $X$ によって''生成される'' (generated) 部分代数であるという。

==== 定義2.5.2（自由 $\mathcal{K}$-代数） ====
$\mathcal{K}$ を代数構造からなるクラスとする。このとき $\mathcal{M}\in\mathcal{K}$ が $X$ によって生成される''自由 $\mathcal{K}$-代数'' (free $\mathcal{K}$-代数) であるとは以下を満たすことである。
* $\mathcal{M}$ は $X$ で生成される。
* 任意の $\mathcal{N}\in\mathcal{K}$ 、写像 $\sigma\colon X\to|\mathcal{N}|$ に対し、ある準同型 $\overline{\sigma}\colon|\mathcal{M}|\to|\mathcal{N}|$ で $\overline{\sigma}$ は $\sigma$ の拡大である、すなわち任意の $x\in X$ に対して $\sigma(x)=\overline{\sigma}(x)$ となるものが一意に存在する。

==== 命題2.5.3（自由生成と濃度） ====
代数構造 $\mathcal{M},\mathcal{N}\in\mathcal{K}$ でそれぞれ集合 $X,Y$ によって自由生成されていて、$X,Y$ が等濃であれば $\mathcal{M}\cong\mathcal{N}$ である。

''証明''　全単射 $\sigma\colon X\to Y$ を取る。
自由代数の定義から $\sigma,\sigma^{-1}$ は準同型 $\overline{\sigma}\colon|\mathcal{M}|\to|\mathcal{N}|,\overline{\sigma^{-1}}\colon|\mathcal{N}|\to|\mathcal{M}|$ に拡張され $\overline{\sigma^{-1}}\circ\overline{\sigma}$ は $X$ 上の恒等写像の拡張となる準同型 $|\mathcal{M}|\to|\mathcal{M}|$ で拡張の一意性から $\overline{\sigma^{-1}}\circ\overline{\sigma}=\mathrm{id}_{|\mathcal{M}|}$ 、
同様に $\overline{\sigma}\circ\overline{\sigma^{-1}}=\mathrm{id}_{|\mathcal{N}|}$ であり、$\mathcal{M}\cong\mathcal{N}$ である。

==== 定義2.5.3（項代数） ====

== 出典 ==

== 参考文献 ==

[田中19] 田中一之、数学基礎論序説、裳華房、2019。

[Sankappanavar–Burris] H.P. Sankappanavar, S. Burris, A course in universal algebra, Graduate Texts Math 78, 1981.

数理論理学の基礎：等式論理

2022-01-01T11:38:24Z

Alwe:

[[Category:数理論理学|トウシキロンリ]]
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== 2. 等式論理 ==

'''等式論理''' (equational logic) は先程までの命題論理とは異なり命題同士の関係ではなく命題の中身、特に $s=t$ という形をした等式による命題に注目する論理である。。
等式論理に対しても命題論理と同様に統語論、意味論を考える。命題論理と同様に形式的証明と、命題論理での真理値に対応する'''モデル''' (model) というのを紹介する。

形式的証明は等式の以下に上げる基本的な性質による書き換え操作によって得られる。

# '''反射律''' (reflexivity) $s=s$ である。
# '''対称律''' (symmetricity) $s=t$ ならば $t=s$ である。
# '''推移律''' (transitivity) $s=t$ かつ $t=r$ ならば $s=r$ である。
# '''代入''' (substitution) $s(u)=t(u)$ ならば $s(r)=t(r)$ である。
# '''関数との両立''' (compatibility with functions) 任意の $i<n+1$ に対して $s_i=t_i$ ならば $f(s_0,\ldots,s_n)=f(t_0,\ldots,t_n)$ である。

一方、モデルによる意味論はある種の数学的な'''代数構造''' (algebraic structure) を用いて定義される。具体的には構造が与えられたとき、その構造で満たされることを真と見做す。ここで構造というのは'''台集合''' (underlying set) とその上の関数からなる組のことである。

=== 2.1 等式論理の統語論 ===

==== 定義2.1.1（等式論理の論理記号） ====
等式論理の''論理記号'' (logical symbol) は以下からなる。
* ''変数'' (variable) $u,v,w,\ldots.$
* ''括弧'' (brackets) $(,).$ 及び''カンマ'' (comma) $,$ 。

==== 定義2.1.2（等式論理の言語） ====

''代数言語'' (algebraic language) は''関数記号'' (function symbol) からなる集合で各関数記号、及び関係記号には''項数'' (arity) という自然数が割り当てられているとする。

また特に項数が $0$ である関数記号を''定数記号'' (constant symbol) という。言語の元を''非論理記号'' (non-logical symbol) という。関数記号は有限個でも無限個あっても良い。

==== 例2.1.3（言語の例） ====

代数言語の例をいくつかあげる。
* 群の言語 $\mathscr{L}_\mathsf{Grp}:=\{\mathtt{1},\hat{\cdot},{-}^{\hat{-1}}\}$ 。項数は順に $0,2,1$ 。
* 環の言語 $\mathscr{L}_\mathsf{Ring}:=\{\mathtt{0},\mathtt{1},\hat{+},\hat{-},\hat{\cdot}\}$ 。項数は順に $0,0,2,1,2$ 。
* 束の言語 $\mathscr{L}_\mathsf{Lat}:=\{\hat{\top},\hat{\bot},\hat{\land},\hat{\lor}\}$ 。項数は順に $0,0,2,2$ 。
* Boole代数の言語 $\mathscr{L}_\mathsf{BA}:=\{\hat{\top},\hat{\bot},\hat{\land},\hat{\lor},\hat{\lnot}\}$ 。項数は順に $0,0,2,2,1$ 。

==== 定義2.1.4（等式論理の項） ====

$\mathscr{L}$ を言語とする。このとき ''$\mathscr{L}$-項'' ($\mathscr{L}$-term) は以下のように帰納的に定義される文字列である。

1. 変数 $u,v,w,\ldots$ は $\mathscr{L}$-項である。

2. 関数記号 $\mathtt{f}$ に対し、その項数が $n$ であるとき、$\mathscr{L}$-項 $t_0,\ldots,t_{n-1}$ に対して $\mathtt{f}(t_0,\ldots,t_n)$ は$\mathscr{L}$-項である。

特に定数記号は $\mathscr{L}$-項であることに注意しよう。$\mathscr{L}$-項の集合を $\mathrm{EqTm}_\mathscr{L}$ と表す。

項数が $2$ の関数記号 $\mathtt{f}$ に対して $\mathtt{f}(s,t)$ の代わりに $s\mathrel{\mathtt{f}} t$ と''中置記法'' (infix notation) で表し、適当に括弧を補うことがある。

==== 例2.1.5（$\mathscr{L}$-項の例） ====

項の例をいくつかあげる。
* $(u\hat{\cdot}\mathtt{1})^{\hat{-1}},\mathtt{1}\hat{\cdot}v$ は $\mathscr{L}_\mathsf{Grp}$-項である。
* $(\mathtt{1}\hat{+}\mathtt{1})\hat{\cdot} (\hat{-}\mathtt{0}),(u\hat{+}\mathtt{1})\hat{\cdot}((\hat{-}\mathtt{0})\hat{\cdot} v)$ は $\mathscr{L}_\mathsf{Ring}$-項である。
* $u\hat{\land} (v\hat{\lor} w),(\hat{\top}\hat{\land} u)\hat{\lor}\hat{\bot}$ は $\mathscr{L}_\mathsf{Lat}$-項である。
* $u\hat{\land}(\hat{\lnot} v),(\hat{\lnot}\hat{\top})\hat{\land}\hat{\bot}$ は $\mathscr{L}_\mathsf{BA}$-項である。

==== 定義2.1.6（等式論理の論理式） ====

$\mathscr{L}$ を言語とする。このとき ''$\mathscr{L}$-論理式'' ($\mathscr{L}$-formula) は以下のように定義される文字列である。

1. $\mathscr{L}$-項 $s,t$ に対して $s=t$ は$\mathscr{L}$-論理式である。

$\mathscr{L}$-論理式の集合を $\mathrm{EqFml}_\mathscr{L}$ と表す。

また等式論理においては論理式を''原子論理式'' (atomic formula) と呼ぶこともある。

==== 定義2.1.7（出現） ====

$\mathscr{L}$-項 $s$ が $\mathscr{L}$-項 $t$ に''現れる'' (occur) ということを $\mathscr{L}$-項 $t$ の定義に沿って帰納的に定義する。

1. 変数 $u$ に対して $s$ が $u$ であるとき $u$ に $s$ が現れている。

2. $\mathscr{L}$-項 $f(t_0,\ldots,t_{n-1})$ に対して、ある $i<n$ が存在し $t_i$ に $s$ が現れているか、または $s$ が $f(t_0,\ldots,t_{n-1})$ であるとき、$s$ が $f(t_0,\ldots,t_{n-1})$ に現れている。

また$\mathscr{L}$-項 $s$ が $\mathscr{L}$-論理式 $\varphi$ に現れるということを定義する。

1. $t=r$ に $\mathscr{L}$-項 $s$ が現れるのは $t$ か $r$ のいずれかに現れるときである。

$\mathscr{L}$-項 $t$ に $s_0,\ldots,s_n$ が現れているとき $t(s_0,\ldots,s_n)$ などど表す。

==== 定義2.1.8（代入） ====

$\mathscr{L}$-項 $s,t$ 、変数 $u$ に対して $s$ に現れる $u$ に $t$ を''代入'' (substitution) した結果 $s[u:=t]$ を $s$ の定義に沿って帰納的に定義する。

1. $s$ に $u$ が現れていないとき $s[u:=t]$ は $s$ である。

2. $u[u:=t]$ を $t$ のこととする。

3. $\mathtt{f}(t_0,\ldots,t_{n-1})[u:=t]$ を　$\mathtt{f}(t_0[u:=t],\ldots,t_{n-1}[u:=t])$　のこととする。

また $\mathscr{L}$-論理式 $\varphi$ 、 $\mathscr{L}$-項 $t$ 、変数 $u$ に対して $\varphi$ に現れる $u$ に $t$ を''代入'' (substitution) した結果 $\varphi[u:=t]$ を定義する。

1. $\varphi$ に $u$ が現れていないとき $\varphi[u:=t]$ は $\varphi$ である。

2. $(s=r)[u:=t]$ を $s[u:=t]=t[u:=t]$ のこととする。

また $s(u)$ に対して $s(u)[u:=t]$ を単に $s(t)$ と表す。

==== 表記2.1.9（省略記法） ====

$\mathscr{L}$-項、$\mathscr{L}$-論理式などの「$\mathscr{L}$-」はどの言語を指しているか明らかなとき、あるいは言語に拠らない議論をするとき省略する。

また命題論理と同様に以下の記法を用いる。

* 論理式の集合 $T$ を ''公理系'' (axiomatic system, axioms, axiomata) あるいは、''等式理論'' (equational theory) 、単に''理論'' (theory) という。
* 理論 $T$ と論理式 $\varphi$ に対して $T+\varphi$ で $T\cup\{\varphi\}$ を表す。

=== 2.2 等式論理のモデル ===

==== 定義2.2.1（代数構造） ====

$\mathscr{L}$ を言語とする。このとき ''$\mathscr{L}$-代数構造'' ($\mathscr{L}$-algebraic structure) $\mathcal{M}$ は''領域'' (domain) あるいは''宇宙'' (universe) 、''台集合'' (underlying set) と言われる空でない((空な構造を認める流儀も存在する。))集合 $M$ と以下に定義される''$\mathscr{L}$-解釈'' ($\mathscr{L}$-interpretation) ${-}^\mathcal{M}$ の組 $\langle M;{-}^\mathcal{M}\rangle$ である。

$\mathscr{L}$-解釈 ${-}^\mathcal{M}$ は以下を満たす言語 $\mathscr{L}$ からの写像である。

* 関数記号 $\mathtt{f}\in\mathscr{L}$ に対して $\mathtt{f}$ の項数が $n$ であるとき、$\mathtt{f}^\mathcal{M}\colon M^n\to M$ である。

定数記号の解釈は一つの $M$ の要素を返す関数となる。よってその返す値と同一値をすることで定数記号 $\mathtt{c}$ に対して $\mathtt{c}^\mathcal{M}\in M$ と見做すことにする。

代数構造 $\mathcal{M}$ が与えられたとき、$|\mathcal{M}|$ の台集合を表すことにする。また数学の慣習に基づき構造 $\mathcal{M}$ とその台集合 $|\mathcal{M}|$ を誤解を与えない範囲で同一視する。例えば $a\in |\mathcal{M}|$ の代わりに $a\in\mathcal{M}$ と表すことがある。

また $\mathcal{M}=\langle M;{-}^\mathcal{M}\rangle$ と表す代わりに解釈後の関数、関係をリストし $\mathcal{M}=\langle A;\mathtt{f}_0^\mathcal{M},\ldots,\mathtt{f}_i^\mathcal{M}\rangle$ と表すことがある。

==== 例2.2.2（代数構造の例） ====
代数構造の例。任意の群 $\mathcal{G}:=\langle|\mathcal{G}|;e,\cdot,{-}^{-1}\rangle$ は $\mathtt{1}^\mathcal{G}:=e,\hat{\cdot}^\mathcal{G}:=\cdot,{{-}^{\hat{-1}}}^\mathcal{G}:={-}^{-1}$ とすることで $\mathscr{L}_\mathsf{Grp}$-構造として見做すことができる。しかし、別に群でなくても $a\in A,f\colon A^2\to A,g\colon A\to A $ に対して $\langle A;a,f,g\rangle$ は同様に $\mathscr{L}_\mathsf{Grp}$-構造として見做すことができる。

==== 定義2.2.3（項の解釈） ====

$\mathscr{L}$-代数構造 $\mathcal{M}=\langle M;{-}^\mathcal{M}\rangle$ と $\mathscr{L}$-閉項 $t$ に対して $t^\mathcal{M}\in M$ を帰納的に定義する。

1. $\mathtt{f}(t_0,\ldots,t_{n-1})$ に対して $(\mathtt{f}(t_0,\ldots,t_{n-1}))^\mathcal{M}$ を $\mathtt{f}^\mathcal{M}(t_0^\mathcal{M},\ldots,t_{n-1}^\mathcal{M})$ と定める。

==== 定義2.2.4（拡張、縮約） ====

言語 $\mathscr{L}\subseteq\mathscr{L}'$ とし、$\mathcal{M}$ を $\mathscr{L}$-代数構造とし、$\mathcal{M}'$ を $\mathscr{L}'$-代数構造とする。$|\mathcal{M}|=|\mathcal{M}'|$ とし、$\mathtt{f}\in\mathscr{L}$ に対し $\mathtt{f}^\mathcal{M}=\mathtt{f}^{\mathcal{M}'}$ が成り立つとする。このとき $\mathcal{M}'$ を $\mathcal{M}$ の''拡大'' (expansion) といい、$\mathcal{M}$ を $\mathcal{M}'$ の''縮約'' (reduct) という。

==== 例2.2.5（拡張、縮約の例） ====
任意の環 $\mathcal{R}=\langle|\mathcal{R}|;\mathtt{0}^\mathcal{R},\mathtt{1}^\mathcal{R},\hat{+}^\mathcal{R},\hat{-}^\mathcal{R},\hat{\cdot}^\mathcal{R}\rangle$ はその加法群 $\mathcal{R}^+=\langle|\mathcal{R}|;\mathtt{0}^\mathcal{R},\hat{+}^\mathcal{R},{-}^\mathcal{R}\rangle$ の拡張となる。ここで群の言語は $\{\mathtt{1},\hat{\cdot},{-}^{\hat{-1}}\}$ であったが記号を変えて $\{\mathtt{0},\hat{+},\hat{-}\}$ としても本質的になにも変わらない。実際、[[Abel群]]に対してはこのように書かれることが多い。
一方、加法群と違い、乗法群は領域がことなるため拡張にはならない。

==== 定義2.2.5（名前） ====

$\mathscr{L}$-代数構造 $\mathcal{M}$ に対して言語 $\mathscr{L}(\mathcal{M})$ と $\mathscr{L}(\mathcal{M})$-代数構造 $\mathcal{M}_\mathrm{par}$ を定義する。
* $\mathscr{L}(\mathcal{M})$ には $\mathscr{L}$ の元に加えて、$a\in|\mathcal{M}|$ に対する定数記号 $\underline{a}$ を持つ。この定数記号 $\underline{a}$ を $a$ の ''名前''(name) や''パラメータ'' (parameter) という。名前を単に $a$ と表すこともある。
* $\mathcal{M}_\mathrm{par}$ は $\mathcal{M}$ の拡大であり、$\underline{a}^{\mathcal{M}_\mathrm{par}}:=a$ とする。

誤解を生じないとき $\mathcal{M}_\mathrm{par}$ を単に $\mathcal{M}$ と表す。

==== 定義2.2.6（充足可能関係） ====

$\mathscr{L}$-代数構造 $\mathcal{M}$ と $\mathscr{L}$-論理式 $s(u_0,\ldots,u_{n-1})=t(v_0,\ldots,v_{m-1})$ に対し $\mathcal{M}\models s(u_0,\ldots,u_{n-1})=t(v_0,\ldots,v_{m-1})$ を定義する。
ここで $s(u_0,\ldots,u_{n-1})=t(v_0,\ldots,v_{m-1})$ に現れる変数は $u_0,\ldots,u_{n-1},v_0,\ldots,v_{m-1}$ に限るとする。

1.　$\mathcal{M}\models s(u_0,\ldots,u_{n-1})=t(v_0,\ldots,v_{m-1})$ となるのは任意の $a_0,\ldots,a_{n-1},b_0,\ldots,b_{m-1}\in A$ に対して $(s(u_0,\ldots,u_{n-1})[u_0:=\underline{a_0}]\cdots[u_{n-1}:=\underline{a_{n-1}}])^{\mathcal{M}}=(t(v_0,\ldots,v_{m-1})[v_0:=\underline{b_0}]\cdots[v_{m-1}:=\underline{b_{m-1}}])^{\mathcal{M}})$ が成り立つことである。

ここで $=$ が記号列としてのものから実際の等号になっていることに気をつけよ。また $\models$ に対していくつかの用語を定める。

* $T$ を理論とし、任意の $\varphi\in T$ に対して $\mathcal{M}\models\varphi$ となっているとする。このとき $\mathcal{M}$ を $T$ の''モデル'' (model) であるといい、$\mathcal{M}\models\varphi$ と表す。
* $T$ の任意のモデル $\mathcal{M}$ に対して $\mathcal{M}\models\varphi$ であるとき $\varphi$ は $T$ からの''論理的帰結'' (logical consequence) であるといい、$T\models \varphi$ と表す。

==== 例2.2.7（モデルの例） ====
$\mathscr{L}_\mathsf{Grp}$-理論 $\mathsf{Grp}$ を以下の論理式からなるものとする。
* $u\hat{\cdot}(v\hat{\cdot}w)=(u\hat{\cdot}v)\hat{\cdot}w$ 。
* $u\hat{\cdot}\mathtt{0}=u$ 。
* $u\hat{\cdot}(u^{\hat{-1}})=\mathtt{0}$ 。

$\mathsf{Grp}$ のモデルは群そのものである。

$\mathscr{L}_\mathsf{Ring}$-理論 $\mathsf{Ring}$ を以下の論理式からなるものとする。

* $u\hat{+}(v\hat{+}w)=(u\hat{+}v)\hat{+}w$ 。
* $u\hat{+}\mathtt{0}=u$ 。
* $u\hat{+}(\hat{-}u)=\mathtt{0}$ 。
* $u\hat{+}v=v\hat{+}u$ 。
* $u\hat{\cdot} (v\hat{\cdot} w)=(u\hat{\cdot} v)\hat{\cdot} w$ 。
* $u\hat{\cdot} (v\hat{+}w)=(u\hat{\cdot} v)\hat{+}(u\hat{\cdot} w)$ 。
* $u\hat{\cdot} \mathtt{1}=u$ 。

$\mathsf{Ring}$ のモデルも同様に環である。

言語 $\mathscr{L}_\mathsf{SGrp}:=\{\hat{\cdot}\}$ とし、理論 $\mathsf{SGrp}$ を

* $u\hat{\cdot}(v\hat{\cdot}w)=(u\hat{\cdot}v)\hat{\cdot}w$ 。

とする。このとき理論 $\mathsf{SGrp}$ のモデルは空でない半群全体となる。

=== 2.3 代数構造の理論 ===
==== 定義2.3.1（準同型、同型） ====

$\mathscr{L}$-代数構造 $\mathcal{M},\mathcal{N}$ に対して $\sigma\colon|\mathcal{M}|\to|\mathcal{N}|$ が''準同型射'' (homomorphism) であるとは、任意の $\mathtt{f}\in\mathscr{L}$ 、$a_0,\ldots,a_{n-1}\in|\mathcal{M}|$ に対し $\sigma(\mathtt{f}^\mathcal{M}(a_0,\ldots,a_{n-1}))=\mathtt{f}^\mathcal{N}(\sigma(a_0),\ldots,\sigma(a_{n-1}))$ が成り立つことである。

また準同型 $\sigma\colon|\mathcal{M}|\to|\mathcal{N}|,\tau\colon|\mathcal{N}|\to|\mathcal{M}|$ が存在し $\tau\circ\sigma =\mathrm{id}_\mathcal{M},\sigma\circ\tau =\mathrm{id}_\mathcal{N}$ となるとき $\mathcal{M}$ と $\mathcal{N}$ は''同型'' (isomorphic))であるといい $\mathcal{M}\cong\mathcal{N}$ と表し、$\sigma,\tau$ を''同型射'' (isomorphism) であるという。
ここで $\mathrm{id}_\mathcal{M}\colon|\mathcal{M}|\to|\mathcal{M}|,\mathrm{id}_\mathcal{M}(a)=a,\mathrm{id}_\mathcal{N}\colon|\mathcal{N}|\to|\mathcal{N}|,\mathrm{id}_\mathcal{N}(b)=b$ とする。

==== 定義2.3.2（部分代数） ====

$\mathscr{L}$-代数構造 $\mathcal{M},\mathcal{N}$ に対して、$\mathcal{N}$ が $\mathcal{M}$ の''部分代数'' (subalgebra) であるとは $|\mathcal{N}|\subseteq|\mathcal{M}|$ かつ、任意の $\mathtt{f}\in\mathscr{L}$ 、任意の $b_0,\ldots,b_{n-1}\in|\mathcal{N}|$ に対し $\mathtt{f}^\mathcal{N}(b_0,\ldots,b_{n-1})=\mathtt{f}^\mathcal{M}(b_0,\ldots,b_{n-1})$ を満たすことである。

==== 命題2.3.3（代数構造の同型に対する必要十分条件） ====

$\mathcal{M}\cong\mathcal{N}$ であるのは全単射準同型 $\upsilon\colon\mathcal{M}\to\mathcal{N}$ が存在するときであり、またそれに限る。

''証明''　$\mathcal{M}\cong\mathcal{N}$ であると仮定する。仮定より準同型 $\sigma\colon\mathcal{M}\to\mathcal{N},\tau\colon\mathcal{N}\to\mathcal{M}$ で $\sigma\circ\tau,\tau\circ\sigma$ が恒等となるものを取る。$\sigma,\tau$ は互いに逆写像であり、よって全単射である。

逆を示す。$\upsilon\circ\upsilon^{-1},\upsilon^{-1}\circ\upsilon$ が恒等になるのは明らかである。よって $\upsilon^{-1}\colon\mathcal{N}\to\mathcal{M}$ が準同型となることを確認すれば良い。
$\upsilon$ は全単射であるから、ある $a_0,\ldots,a_{n-1}\in|\mathcal{M}|$ が存在して $\upsilon(a_0)=b_0,\ldots,\upsilon(a_{n-1})=b_{n-1}$ である。
よって $\upsilon^{-1}(\mathtt{f}^\mathcal{N}(b_0,\ldots,b_{n-1}))=\upsilon^{-1}(\mathtt{f}^\mathcal{N}(\upsilon(a_0),\ldots,\upsilon(a_{n-1})))$ であり、$\upsilon$ は準同型であるから $\upsilon^{-1}(\mathtt{f}^\mathcal{N}(\upsilon(a_0),\ldots,\upsilon(a_{n-1})))=\upsilon^{-1}(\upsilon(\mathtt{f}^\mathcal{M}(a_0,\ldots,a_{n-1})))$ となる。
従って $\upsilon^{-1}(\upsilon(\mathtt{f}^\mathcal{M}(a_0,\ldots,a_{n-1})))=\mathtt{f}^\mathcal{M}(a_0,\ldots,a_{n-1})$　であり、$a_0=\upsilon^{-1}(b_0),\ldots,a_{n-1}=\upsilon^{-1}(b_{n-1})$ より良い。□

==== 定義2.3.4（合同関係） ====
$\mathcal{M}$ を代数構造とし、$\equiv$ を $|\mathcal{M}|$ 上の同値関係で $\mathtt{f}\in\mathscr{L}$ に対して $\mathtt{f}^\mathcal{M}$ と両立する、すなわち任意の $a_0,\ldots,a_{n-1},b_0,\ldots,b_{n-1}\in |\mathcal{M}|$ に対して、任意の $i<n$ について $a_i\equiv b_i$ $\equiv$ であるならば $\mathtt{f}^\mathcal{M}(a_0,\ldots,a_{n-1})\equiv\mathtt{f}^\mathcal{M}(b_0,\ldots,b_{n-1})$ が成り立つとき $\equiv$ は $\mathcal{M}$ 上の''合同関係'' (congruence relation) である、あるいは同値関係 $\equiv$ は $\mathtt{f}^\mathcal{M}$ に対して　''well-defined''であるという。
==== 定義2.3.5（剰余代数） ====

$\mathcal{M}$ を代数構造とし、$\equiv$ を $\mathcal{M}$ 上の合同関係とする。剰余代数'' (factor algebra, quotient algebra) $\mathcal{M}/{\equiv}:=\langle|\mathcal{M}|/{\equiv};{-}^{\mathcal{M}/{\equiv}}\rangle$ を以下のように定める。
* $|\mathcal{M}|/{\equiv}$ は $|\mathcal{M}|$ の $\equiv$ による商集合とし $a\in|\mathcal{M}|$ に対して $[a]_\equiv$ を $\equiv$ による同値類とする。
* $\mathtt{f}\in\mathscr{L}$ に対して $\mathtt{f}^{\mathcal{M}/{\equiv}}([a_0]_\equiv,\ldots,[a_{n-1}]_\equiv):=[\mathtt{f}^\mathcal{M}(a_0,\ldots,a_{n-1})]_\equiv$ とする。

==== 例2.3.6（剰余代数の例） ====

$\mathcal{G}$ を群、$\mathcal{H}$ を $\mathcal{G}$ の正規部分群、すなわち $\mathcal{H}$ は $\mathcal{G}$ の部分代数で、任意の $g\in|\mathcal{G}|,h\in|\mathcal{H}|$ に対し $(g\hat{\cdot}^\mathcal{G} h){\hat{\cdot}}^\mathcal{G}\left(g^{\hat{-1}^\mathcal{G}}\right)\in|\mathcal{H}|$ であるとする。$|\mathcal{G}|$ 上の合同関係　$\equiv_\mathcal{H}$ を $x\equiv_\mathcal{H} y:\Leftrightarrow x\hat{\cdot}^\mathcal{G}\left(y^{\hat{-1}^\mathcal{G}}\right)\in|\mathcal{H}|$ と定める。
このとき $\mathcal{G}/{\equiv_\mathcal{H}}$ を $\mathcal{G}/\mathcal{H}$ と表す。

$\mathcal{M}$ を可換環、$\mathcal{I}:=\langle|\mathcal{I}|;\mathtt{0}^\mathcal{I},\mathtt{1}^\mathcal{I},\hat{+}^\mathcal{I},\hat{-}^\mathcal{I},\hat{\cdot}^\mathcal{I}\rangle$ を $\mathcal{M}$ のイデアル、すなわち以下を満たすとする。
* $\langle|\mathcal{I}|;\mathtt{0}^\mathcal{I},\hat{+}^\mathcal{I},\hat{-}^\mathcal{I}\rangle$ は $\langle|\mathcal{M}|;\mathtt{0}^\mathcal{M},\hat{+}^\mathcal{M},\hat{-}^\mathcal{M}\rangle$ の部分構造である。
* 任意の $a\in|\mathcal{M}|,x\in|\mathcal{I}|$ に対し $a\hat{\cdot}^\mathcal{M}x\in|\mathcal{I}|$ である。

このとき上記の例と同様に $\equiv_\mathcal{I}$ を定義でき $\mathcal{M}/{\equiv_\mathcal{I}}$ を $\mathcal{M}/\mathcal{I}$ を表す。

==== 補題2.3.7（剰余代数と準同型） ====

代数構造 $\mathcal{M}$ と合同関係 $\equiv$ に対して $\pi_\equiv\colon|\mathcal{M}|\to|\mathcal{M}|/{\equiv},\pi_\equiv(a):=[a]_\equiv$ とする。このとき $\pi_\equiv$ は準同型となる。この準同型を $\equiv$ に対する自然な準同型という。

''証明''　剰余代数の定義より明らかである。□

==== 補題2.3.8（準同型と合同関係） ====

代数構造 $\mathcal{M},\mathcal{N}$ 、準同型 $\sigma\colon|\mathcal{M}|\to|\mathcal{N}|$ に対して $|\mathcal{M}|$ 上の二項関係 $\equiv_\sigma$ を $a\equiv_\sigma b:\Leftrightarrow\sigma(a)=\sigma(b)$ とする((これを $\sigma$ による''核'' (kernel) ということがある。))。このとき $\equiv_\sigma$ は合同関係である。

''証明''　$\equiv_\sigma$ が同値関係であることは明らかである。よって関数と両立することを示そう。
今 $\mathtt{f}$ の項数を $n$ とし任意の $i<n$ に対して $a_i\equiv_\sigma b_i$ であると仮定し、$\mathtt{f}^\mathcal{M}(a_0,\ldots,a_{n-1})\equiv_\sigma \mathtt{f}^\mathcal{M}(b_0,\ldots,b_{n-1})$ 、すなわち $\sigma(\mathtt{f}^\mathcal{M}(a_0,\ldots,a_{n-1}))=\sigma(\mathtt{f}^\mathcal{M}(b_0,\ldots,b_{n-1}))$ を示せば良い。
$\sigma$ が準同型であるという仮定から $\sigma(\mathtt{f}^\mathcal{M}(a_0,\ldots,a_{n-1}))=\mathtt{f}^\mathcal{N}(\sigma(a_0),\ldots,\sigma(a_{n-1}))$ であり、 $\equiv_\sigma$ の定義から $\mathtt{f}^\mathcal{N}(\sigma(a_0),\ldots,\sigma(a_{n-1}))=\mathtt{f}^\mathcal{N}(\sigma(b_0),\ldots,\sigma(b_{n-1}))$ 、よってもう一度 $\sigma$ が準同型であることから $\mathtt{f}^\mathcal{N}(\sigma(b_0),\ldots,\sigma(b_{n-1}))=\sigma(\mathtt{f}^\mathcal{M}(b_0,\ldots,b_{n-1}))$ 。□

==== 定理2.3.9（準同型定理 (homomorphism theorem) ） ====

全射準同型 $\sigma\colon|\mathcal{M}|\to|\mathcal{N}|$ に対して、同型 $\tau_{\equiv_\sigma}\colon|\mathcal{M}/{\equiv_\sigma}|\to|\mathcal{N}|$ が存在して $\sigma=\tau_{\equiv_\sigma}\circ\pi_{\equiv_\sigma}$ となる。
ここで $a\equiv_\sigma b:\Leftrightarrow\sigma(a)=\sigma(b)$ 、$\pi_{\equiv_\sigma}\colon|\mathcal{M}|\to|\mathcal{M}/{\equiv_\sigma}|,\pi_{\equiv_\sigma}(a)=[a]_{\equiv_\sigma}$ とする。

''証明''　まず $\tau_{\equiv_\sigma}([a]_{\equiv_\sigma}):=\sigma(a)$ とする。これが写像となることを示す。左全域性は明らかなので右一意性を示そう。
$[a]_{\equiv_\sigma}=[b]_{\equiv_\sigma}$ とすれば $\equiv_\sigma$ の定義から、$\sigma(a)=\sigma(b)$ であり良い。
同様に逆も言えるため左一意性、すなわち $\tau_{\equiv_\sigma}$ が単射であることも従う。また $\sigma$ が全射であることから $\tau_{\equiv_\sigma}$ も全射である。命題2.3.3より
準同型であることを示せば十分である。
剰余代数の定義から $\tau_{\equiv_\sigma}(\mathtt{f}^{\mathcal{M}/{\equiv_\sigma}}([a_0]_{\equiv_\sigma},\ldots,[a_{n-1}]_{\equiv_\sigma}))=\tau_{\equiv_\sigma}([\mathtt{f}^\mathcal{M}(a_0,\ldots,a_{n-1})]_{\equiv_\sigma})$ であり、$\tau_{\equiv_\sigma}$ の定義から $\tau_{\equiv_\sigma}([f^\mathcal{M}(a_0,\ldots,a_{n-1})]_{\equiv_\sigma})=\sigma(f^\mathcal{M}(a_0,\ldots,a_{n-1}))$ である。
$\sigma$ が準同型であることから $\sigma(\mathtt{f}^\mathcal{M}(a_0,\ldots,a_{n-1}))=\mathtt{f}^\mathcal{N}(\sigma(a_0),\ldots,\sigma(a_{n-1}))$ であり $\tau_{\equiv_\sigma}$ の定義が $\mathtt{f}^\mathcal{N}(\sigma(a_0),\ldots,\sigma(a_{n-1}))=\mathtt{f}^\mathcal{N}(\tau_{\equiv_\sigma}([a_0]_{\equiv_\sigma},\ldots,[a_{n-1}]_{\equiv_\sigma}))$ となる。□

==== 系2.3.10 ====

準同型 $\sigma\colon|\mathcal{M}|\to|\mathcal{N}|$ と $|\mathcal{M}|$ 上の合同関係 $\equiv_\sigma$ は $a\equiv_\sigma b$ ならば $\sigma(a)=\sigma(b)$ を満たすとする。
このとき準同型 $\tau_{\equiv_\sigma}\colon|\mathcal{M}/{\equiv}|\to|\mathcal{N}|$ が存在し $\sigma=\tau_{\equiv_\sigma}\circ\pi_{\equiv_\sigma}$ となる。
ただし $\pi_{\equiv_\sigma}\colon|\mathcal{M}|\to|\mathcal{M}/{\equiv_\sigma}|,\pi_{\equiv_\sigma}(a)=[a]_{\equiv_\sigma}$ とする。

''証明''　定理2.3.9の証明とほとんど同様で良い。□

==== 例2.3.11（準同型定理の具体例） ====

群準同型 $\sigma\colon|\mathcal{G}|\to|\mathcal{H}|$ に対して $\mathrm{Ker}(\sigma):=\{g\in|\mathcal{G}|\mid\sigma(g)=\mathtt{0}^\mathcal{H}\}$ とする。このとき $\langle \mathrm{Ker}(\sigma),\mathtt{0}^\mathcal{G},\hat{\cdot}^\mathcal{G},{-}^{\hat{-1}^\mathcal{G}}\rangle$ は $\mathcal{G}$ の部分群であり、例2.2.6で定められる同値関係を $\equiv_{\mathrm{Ker}(\sigma)}$ とすれば $g_0\equiv_{\mathrm{Ker}(\sigma)}g_1$ と $g_0\equiv_\sigma g_1$ は同値であり、従って定理2.3.9及び系2.3.10から以下の群論に於ける準同型定理が従う。
* 群準同型 $\sigma\colon|\mathcal{G}|\to|\mathcal{H}|$ 、自然な準同型 $\pi\colon|\mathcal{G}|\to|\mathcal{G}/\equiv_{\mathrm{Ker(\sigma)}}|$ に対して、準同型 $\tau\colon |\mathcal{G}/\equiv_{\mathrm{Ker(\sigma)}}|\to|\mathcal{H}|$ が存在して $\sigma=\tau\circ\pi$ であり、また $\tau$ は $\mathcal{G}/\equiv_{\mathrm{Ker(\sigma)}}$ から $\langle\mathrm{Im}(\sigma),\underline{0}^\mathcal{H},+^\mathcal{H},-^\mathcal{H}\rangle$ への同型射である。

=== 2.4. 等式論理の形式的証明 ===
==== 定義2.4.1（等式理論） ====
理論 $T$ 論理式 $\varphi$ に対して $T\vdash\varphi$ を帰納的に定義する。

1. $(\mathsf{refl})$　任意の項 $t$ に対して $T\vdash t=t$ である。

2. $(T)$　任意の $\varphi\in T$ に対して $T\vdash\varphi$ である。

3. $(\mathsf{sym})$　任意の項 $s,t$ に対して $T\vdash s=t$ ならば $T\vdash t=s$ である。

4. $(\mathsf{trans})$　任意の項 $s,t,r$ に対して $T\vdash s=t$ かつ $T\vdash t=r$ ならば $T\vdash s=r$ である。

5. $(\mathsf{sub})$　任意の変数 $u$ 、項 $s(u),t(u),r$ に対して $T\vdash s(u)=t(u)$ ならば $T\vdash s(r)=t(r)$ である。

6. $(\mathsf{comp})$　任意の関数記号 $f\in\mathscr{L}$ 、任意の項 $s_0,\ldots,s_{n-1},t_0,\ldots,t_{n-1}$ に対して、全ての$i<n$　について $T\vdash s_i=t_i$ ならば $T\vdash f(s_0,\ldots,s_{n-1})=f(t_0,\ldots,t_{n-1})$ である。

$\vdash$ に関して命題論理と同様に用語を定める。
* $T\vdash\varphi$ であるとき $T$ から $\varphi$ は''証明可能'' (provable) であるという。また $\emptyset\vdash\varphi$ であるとき単に証明可能であるといい、$\vdash\varphi$ と表す。
* $\mathrm{Th}(T):=\{\varphi\in\mathrm{EqFml}\mid T\vdash\varphi\}$ とする。また言語を明示するとき $\mathrm{Th}_\mathscr{L}(T)$ と表す。

=== 2.5. Birkhoffの完全性定理、$\mathsf{HSP}$ 定理 ===

==== 定義2.5.1（生成） ====
代数構造 $\mathcal{M}$ 、$X\subseteq|\mathcal{M}|$ とする。このとき $X\subseteq\mathcal{N}$ で $\mathcal{M}$ の部分代数のなか、領域の包含関係において最小であるとき、$\mathcal{N}$ を $X$ によって''生成される'' (generated) 部分代数であるという。

==== 定義2.5.2（自由 $\mathcal{K}$-代数） ====
$\mathcal{K}$ を代数構造からなるクラスとする。このとき $\mathcal{M}\in\mathcal{K}$ が $X$ によって生成される''自由 $\mathcal{K}$-代数'' (free $\mathcal{K}$-代数) であるとは以下を満たすことである。
* $\mathcal{M}$ は $X$ で生成される。
* 任意の $\mathcal{N}\in\mathcal{K}$ 、写像 $\sigma\colon X\to|\mathcal{N}|$ に対し、ある準同型 $\overline{\sigma}\colon|\mathcal{M}|\to|\mathcal{N}|$ で $\overline{\sigma}$ は $\sigma$ の拡大である、すなわち任意の $x\in X$ に対して $\sigma(x)=\overline{\sigma}(x)$ となるものが一意に存在する。

==== 命題2.5.3（自由生成と濃度） ====
代数構造 $\mathcal{M},\mathcal{N}\in\mathcal{K}$ でそれぞれ集合 $X,Y$ によって自由生成されていて、$X,Y$ が等濃であれば $\mathcal{M}\cong\mathcal{N}$ である。

''証明''　全単射 $\sigma\colon X\to Y$ を取る。
自由代数の定義から $\sigma,\sigma^{-1}$ は準同型 $\overline{\sigma}\colon|\mathcal{M}|\to|\mathcal{N}|,\overline{\sigma^{-1}}\colon|\mathcal{N}|\to|\mathcal{M}|$ に拡張され $\overline{\sigma^{-1}}\circ\overline{\sigma}$ は $X$ 上の恒等写像の拡張となる準同型 $|\mathcal{M}|\to|\mathcal{M}|$ で拡張の一意性から $\overline{\sigma^{-1}}\circ\overline{\sigma}=\mathrm{id}_{|\mathcal{M}|}$ 、
同様に $\overline{\sigma}\circ\overline{\sigma^{-1}}=\mathrm{id}_{|\mathcal{N}|}$ であり、$\mathcal{M}\cong\mathcal{N}$ である。

==== 定義2.5.3（項代数） ====

== 出典 ==

== 参考文献 ==

[田中19] 田中一之、数学基礎論序説、裳華房、2019。

[Sankappanavar–Burris] H.P. Sankappanavar, S. Burris, A course in universal algebra, Graduate Texts Math 78, 1981.

数理論理学の基礎：等式論理

2022-01-01T11:35:25Z

Alwe: /* 2. 等式論理 */

[[Category:数理論理学|トウシキロンリ]]
== 2. 等式論理 ==

'''等式論理''' (equational logic) は先程までの命題論理とは異なり命題同士の関係ではなく命題の中身、特に $s=t$ という形をした等式による命題に注目する論理である。。
等式論理に対しても命題論理と同様に統語論、意味論を考える。命題論理と同様に形式的証明と、命題論理での真理値に対応する'''モデル''' (model) というのを紹介する。

形式的証明は等式の以下に上げる基本的な性質による書き換え操作によって得られる。

# '''反射律''' (reflexivity) $s=s$ である。
# '''対称律''' (symmetricity) $s=t$ ならば $t=s$ である。
# '''推移律''' (transitivity) $s=t$ かつ $t=r$ ならば $s=r$ である。
# '''代入''' (substitution) $s(u)=t(u)$ ならば $s(r)=t(r)$ である。
# '''関数との両立''' (compatibility with functions) 任意の $i<n+1$ に対して $s_i=t_i$ ならば $f(s_0,\ldots,s_n)=f(t_0,\ldots,t_n)$ である。

一方、モデルによる意味論はある種の数学的な'''代数構造''' (algebraic structure) を用いて定義される。具体的には構造が与えられたとき、その構造で満たされることを真と見做す。ここで構造というのは'''台集合''' (underlying set) とその上の関数からなる組のことである。

=== 2.1 等式論理の統語論 ===

==== 定義2.1.1（等式論理の論理記号） ====
等式論理の''論理記号'' (logical symbol) は以下からなる。
* ''変数'' (variable) $u,v,w,\ldots.$
* ''括弧'' (brackets) $(,).$ 及び''カンマ'' (comma) $,$ 。

==== 定義2.1.2（等式論理の言語） ====

''代数言語'' (algebraic language) は''関数記号'' (function symbol) からなる集合で各関数記号、及び関係記号には''項数'' (arity) という自然数が割り当てられているとする。

また特に項数が $0$ である関数記号を''定数記号'' (constant symbol) という。言語の元を''非論理記号'' (non-logical symbol) という。関数記号は有限個でも無限個あっても良い。

==== 例2.1.3（言語の例） ====

代数言語の例をいくつかあげる。
* 群の言語 $\mathscr{L}_\mathsf{Grp}:=\{\mathtt{1},\hat{\cdot},{-}^{\hat{-1}}\}$ 。項数は順に $0,2,1$ 。
* 環の言語 $\mathscr{L}_\mathsf{Ring}:=\{\mathtt{0},\mathtt{1},\hat{+},\hat{-},\hat{\cdot}\}$ 。項数は順に $0,0,2,1,2$ 。
* 束の言語 $\mathscr{L}_\mathsf{Lat}:=\{\hat{\top},\hat{\bot},\hat{\land},\hat{\lor}\}$ 。項数は順に $0,0,2,2$ 。
* Boole代数の言語 $\mathscr{L}_\mathsf{BA}:=\{\hat{\top},\hat{\bot},\hat{\land},\hat{\lor},\hat{\lnot}\}$ 。項数は順に $0,0,2,2,1$ 。

==== 定義2.1.4（等式論理の項） ====

$\mathscr{L}$ を言語とする。このとき ''$\mathscr{L}$-項'' ($\mathscr{L}$-term) は以下のように帰納的に定義される文字列である。

1. 変数 $u,v,w,\ldots$ は $\mathscr{L}$-項である。

2. 関数記号 $\mathtt{f}$ に対し、その項数が $n$ であるとき、$\mathscr{L}$-項 $t_0,\ldots,t_{n-1}$ に対して $\mathtt{f}(t_0,\ldots,t_n)$ は$\mathscr{L}$-項である。

特に定数記号は $\mathscr{L}$-項であることに注意しよう。$\mathscr{L}$-項の集合を $\mathrm{EqTm}_\mathscr{L}$ と表す。

項数が $2$ の関数記号 $\mathtt{f}$ に対して $\mathtt{f}(s,t)$ の代わりに $s\mathrel{\mathtt{f}} t$ と''中置記法'' (infix notation) で表し、適当に括弧を補うことがある。

==== 例2.1.5（$\mathscr{L}$-項の例） ====

項の例をいくつかあげる。
* $(u\hat{\cdot}\mathtt{1})^{\hat{-1}},\mathtt{1}\hat{\cdot}v$ は $\mathscr{L}_\mathsf{Grp}$-項である。
* $(\mathtt{1}\hat{+}\mathtt{1})\hat{\cdot} (\hat{-}\mathtt{0}),(u\hat{+}\mathtt{1})\hat{\cdot}((\hat{-}\mathtt{0})\hat{\cdot} v)$ は $\mathscr{L}_\mathsf{Ring}$-項である。
* $u\hat{\land} (v\hat{\lor} w),(\hat{\top}\hat{\land} u)\hat{\lor}\hat{\bot}$ は $\mathscr{L}_\mathsf{Lat}$-項である。
* $u\hat{\land}(\hat{\lnot} v),(\hat{\lnot}\hat{\top})\hat{\land}\hat{\bot}$ は $\mathscr{L}_\mathsf{BA}$-項である。

==== 定義2.1.6（等式論理の論理式） ====

$\mathscr{L}$ を言語とする。このとき ''$\mathscr{L}$-論理式'' ($\mathscr{L}$-formula) は以下のように定義される文字列である。

1. $\mathscr{L}$-項 $s,t$ に対して $s=t$ は$\mathscr{L}$-論理式である。

$\mathscr{L}$-論理式の集合を $\mathrm{EqFml}_\mathscr{L}$ と表す。

また等式論理においては論理式を''原子論理式'' (atomic formula) と呼ぶこともある。

==== 定義2.1.7（出現） ====

$\mathscr{L}$-項 $s$ が $\mathscr{L}$-項 $t$ に''現れる'' (occur) ということを $\mathscr{L}$-項 $t$ の定義に沿って帰納的に定義する。

1. 変数 $u$ に対して $s$ が $u$ であるとき $u$ に $s$ が現れている。

2. $\mathscr{L}$-項 $f(t_0,\ldots,t_{n-1})$ に対して、ある $i<n$ が存在し $t_i$ に $s$ が現れているか、または $s$ が $f(t_0,\ldots,t_{n-1})$ であるとき、$s$ が $f(t_0,\ldots,t_{n-1})$ に現れている。

また$\mathscr{L}$-項 $s$ が $\mathscr{L}$-論理式 $\varphi$ に現れるということを定義する。

1. $t=r$ に $\mathscr{L}$-項 $s$ が現れるのは $t$ か $r$ のいずれかに現れるときである。

$\mathscr{L}$-項 $t$ に $s_0,\ldots,s_n$ が現れているとき $t(s_0,\ldots,s_n)$ などど表す。

==== 定義2.1.8（代入） ====

$\mathscr{L}$-項 $s,t$ 、変数 $u$ に対して $s$ に現れる $u$ に $t$ を''代入'' (substitution) した結果 $s[u:=t]$ を $s$ の定義に沿って帰納的に定義する。

1. $s$ に $u$ が現れていないとき $s[u:=t]$ は $s$ である。

2. $u[u:=t]$ を $t$ のこととする。

3. $\mathtt{f}(t_0,\ldots,t_{n-1})[u:=t]$ を　$\mathtt{f}(t_0[u:=t],\ldots,t_{n-1}[u:=t])$　のこととする。

また $\mathscr{L}$-論理式 $\varphi$ 、 $\mathscr{L}$-項 $t$ 、変数 $u$ に対して $\varphi$ に現れる $u$ に $t$ を''代入'' (substitution) した結果 $\varphi[u:=t]$ を定義する。

1. $\varphi$ に $u$ が現れていないとき $\varphi[u:=t]$ は $\varphi$ である。

2. $(s=r)[u:=t]$ を $s[u:=t]=t[u:=t]$ のこととする。

また $s(u)$ に対して $s(u)[u:=t]$ を単に $s(t)$ と表す。

==== 表記2.1.9（省略記法） ====

$\mathscr{L}$-項、$\mathscr{L}$-論理式などの「$\mathscr{L}$-」はどの言語を指しているか明らかなとき、あるいは言語に拠らない議論をするとき省略する。

また命題論理と同様に以下の記法を用いる。

* 論理式の集合 $T$ を ''公理系'' (axiomatic system, axioms, axiomata) あるいは、''等式理論'' (equational theory) 、単に''理論'' (theory) という。
* 理論 $T$ と論理式 $\varphi$ に対して $T+\varphi$ で $T\cup\{\varphi\}$ を表す。

=== 2.2 等式論理のモデル ===

==== 定義2.2.1（代数構造） ====

$\mathscr{L}$ を言語とする。このとき ''$\mathscr{L}$-代数構造'' ($\mathscr{L}$-algebraic structure) $\mathcal{M}$ は''領域'' (domain) あるいは''宇宙'' (universe) 、''台集合'' (underlying set) と言われる空でない((空な構造を認める流儀も存在する。))集合 $M$ と以下に定義される''$\mathscr{L}$-解釈'' ($\mathscr{L}$-interpretation) ${-}^\mathcal{M}$ の組 $\langle M;{-}^\mathcal{M}\rangle$ である。

$\mathscr{L}$-解釈 ${-}^\mathcal{M}$ は以下を満たす言語 $\mathscr{L}$ からの写像である。

* 関数記号 $\mathtt{f}\in\mathscr{L}$ に対して $\mathtt{f}$ の項数が $n$ であるとき、$\mathtt{f}^\mathcal{M}\colon M^n\to M$ である。

定数記号の解釈は一つの $M$ の要素を返す関数となる。よってその返す値と同一値をすることで定数記号 $\mathtt{c}$ に対して $\mathtt{c}^\mathcal{M}\in M$ と見做すことにする。

代数構造 $\mathcal{M}$ が与えられたとき、$|\mathcal{M}|$ の台集合を表すことにする。また数学の慣習に基づき構造 $\mathcal{M}$ とその台集合 $|\mathcal{M}|$ を誤解を与えない範囲で同一視する。例えば $a\in |\mathcal{M}|$ の代わりに $a\in\mathcal{M}$ と表すことがある。

また $\mathcal{M}=\langle M;{-}^\mathcal{M}\rangle$ と表す代わりに解釈後の関数、関係をリストし $\mathcal{M}=\langle A;\mathtt{f}_0^\mathcal{M},\ldots,\mathtt{f}_i^\mathcal{M}\rangle$ と表すことがある。

==== 例2.2.2（代数構造の例） ====
代数構造の例。任意の群 $\mathcal{G}:=\langle|\mathcal{G}|;e,\cdot,{-}^{-1}\rangle$ は $\mathtt{1}^\mathcal{G}:=e,\hat{\cdot}^\mathcal{G}:=\cdot,{{-}^{\hat{-1}}}^\mathcal{G}:={-}^{-1}$ とすることで $\mathscr{L}_\mathsf{Grp}$-構造として見做すことができる。しかし、別に群でなくても $a\in A,f\colon A^2\to A,g\colon A\to A $ に対して $\langle A;a,f,g\rangle$ は同様に $\mathscr{L}_\mathsf{Grp}$-構造として見做すことができる。

==== 定義2.2.3（項の解釈） ====

$\mathscr{L}$-代数構造 $\mathcal{M}=\langle M;{-}^\mathcal{M}\rangle$ と $\mathscr{L}$-閉項 $t$ に対して $t^\mathcal{M}\in M$ を帰納的に定義する。

1. $\mathtt{f}(t_0,\ldots,t_{n-1})$ に対して $(\mathtt{f}(t_0,\ldots,t_{n-1}))^\mathcal{M}$ を $\mathtt{f}^\mathcal{M}(t_0^\mathcal{M},\ldots,t_{n-1}^\mathcal{M})$ と定める。

==== 定義2.2.4（拡張、縮約） ====

言語 $\mathscr{L}\subseteq\mathscr{L}'$ とし、$\mathcal{M}$ を $\mathscr{L}$-代数構造とし、$\mathcal{M}'$ を $\mathscr{L}'$-代数構造とする。$|\mathcal{M}|=|\mathcal{M}'|$ とし、$\mathtt{f}\in\mathscr{L}$ に対し $\mathtt{f}^\mathcal{M}=\mathtt{f}^{\mathcal{M}'}$ が成り立つとする。このとき $\mathcal{M}'$ を $\mathcal{M}$ の''拡大'' (expansion) といい、$\mathcal{M}$ を $\mathcal{M}'$ の''縮約'' (reduct) という。

==== 例2.2.5（拡張、縮約の例） ====
任意の環 $\mathcal{R}=\langle|\mathcal{R}|;\mathtt{0}^\mathcal{R},\mathtt{1}^\mathcal{R},\hat{+}^\mathcal{R},\hat{-}^\mathcal{R},\hat{\cdot}^\mathcal{R}\rangle$ はその加法群 $\mathcal{R}^+=\langle|\mathcal{R}|;\mathtt{0}^\mathcal{R},\hat{+}^\mathcal{R},{-}^\mathcal{R}\rangle$ の拡張となる。ここで群の言語は $\{\mathtt{1},\hat{\cdot},{-}^{\hat{-1}}\}$ であったが記号を変えて $\{\mathtt{0},\hat{+},\hat{-}\}$ としても本質的になにも変わらない。実際、[[Abel群]]に対してはこのように書かれることが多い。
一方、加法群と違い、乗法群は領域がことなるため拡張にはならない。

==== 定義2.2.5（名前） ====

$\mathscr{L}$-代数構造 $\mathcal{M}$ に対して言語 $\mathscr{L}(\mathcal{M})$ と $\mathscr{L}(\mathcal{M})$-代数構造 $\mathcal{M}_\mathrm{par}$ を定義する。
* $\mathscr{L}(\mathcal{M})$ には $\mathscr{L}$ の元に加えて、$a\in|\mathcal{M}|$ に対する定数記号 $\underline{a}$ を持つ。この定数記号 $\underline{a}$ を $a$ の ''名前''(name) や''パラメータ'' (parameter) という。名前を単に $a$ と表すこともある。
* $\mathcal{M}_\mathrm{par}$ は $\mathcal{M}$ の拡大であり、$\underline{a}^{\mathcal{M}_\mathrm{par}}:=a$ とする。

誤解を生じないとき $\mathcal{M}_\mathrm{par}$ を単に $\mathcal{M}$ と表す。

==== 定義2.2.6（充足可能関係） ====

$\mathscr{L}$-代数構造 $\mathcal{M}$ と $\mathscr{L}$-論理式 $s(u_0,\ldots,u_{n-1})=t(v_0,\ldots,v_{m-1})$ に対し $\mathcal{M}\models s(u_0,\ldots,u_{n-1})=t(v_0,\ldots,v_{m-1})$ を定義する。
ここで $s(u_0,\ldots,u_{n-1})=t(v_0,\ldots,v_{m-1})$ に現れる変数は $u_0,\ldots,u_{n-1},v_0,\ldots,v_{m-1}$ に限るとする。

1.　$\mathcal{M}\models s(u_0,\ldots,u_{n-1})=t(v_0,\ldots,v_{m-1})$ となるのは任意の $a_0,\ldots,a_{n-1},b_0,\ldots,b_{m-1}\in A$ に対して $(s(u_0,\ldots,u_{n-1})[u_0:=\underline{a_0}]\cdots[u_{n-1}:=\underline{a_{n-1}}])^{\mathcal{M}}=(t(v_0,\ldots,v_{m-1})[v_0:=\underline{b_0}]\cdots[v_{m-1}:=\underline{b_{m-1}}])^{\mathcal{M}})$ が成り立つことである。

ここで $=$ が記号列としてのものから実際の等号になっていることに気をつけよ。また $\models$ に対していくつかの用語を定める。

* $T$ を理論とし、任意の $\varphi\in T$ に対して $\mathcal{M}\models\varphi$ となっているとする。このとき $\mathcal{M}$ を $T$ の''モデル'' (model) であるといい、$\mathcal{M}\models\varphi$ と表す。
* $T$ の任意のモデル $\mathcal{M}$ に対して $\mathcal{M}\models\varphi$ であるとき $\varphi$ は $T$ からの''論理的帰結'' (logical consequence) であるといい、$T\models \varphi$ と表す。

==== 例2.2.7（モデルの例） ====
$\mathscr{L}_\mathsf{Grp}$-理論 $\mathsf{Grp}$ を以下の論理式からなるものとする。
* $u\hat{\cdot}(v\hat{\cdot}w)=(u\hat{\cdot}v)\hat{\cdot}w$ 。
* $u\hat{\cdot}\mathtt{0}=u$ 。
* $u\hat{\cdot}(u^{\hat{-1}})=\mathtt{0}$ 。

$\mathsf{Grp}$ のモデルは群そのものである。

$\mathscr{L}_\mathsf{Ring}$-理論 $\mathsf{Ring}$ を以下の論理式からなるものとする。

* $u\hat{+}(v\hat{+}w)=(u\hat{+}v)\hat{+}w$ 。
* $u\hat{+}\mathtt{0}=u$ 。
* $u\hat{+}(\hat{-}u)=\mathtt{0}$ 。
* $u\hat{+}v=v\hat{+}u$ 。
* $u\hat{\cdot} (v\hat{\cdot} w)=(u\hat{\cdot} v)\hat{\cdot} w$ 。
* $u\hat{\cdot} (v\hat{+}w)=(u\hat{\cdot} v)\hat{+}(u\hat{\cdot} w)$ 。
* $u\hat{\cdot} \mathtt{1}=u$ 。

$\mathsf{Ring}$ のモデルも同様に環である。

言語 $\mathscr{L}_\mathsf{SGrp}:=\{\hat{\cdot}\}$ とし、理論 $\mathsf{SGrp}$ を

* $u\hat{\cdot}(v\hat{\cdot}w)=(u\hat{\cdot}v)\hat{\cdot}w$ 。

とする。このとき理論 $\mathsf{SGrp}$ のモデルは空でない半群全体となる。

=== 2.3 代数構造の理論 ===
==== 定義2.3.1（準同型、同型） ====

$\mathscr{L}$-代数構造 $\mathcal{M},\mathcal{N}$ に対して $\sigma\colon|\mathcal{M}|\to|\mathcal{N}|$ が''準同型射'' (homomorphism) であるとは、任意の $\mathtt{f}\in\mathscr{L}$ 、$a_0,\ldots,a_{n-1}\in|\mathcal{M}|$ に対し $\sigma(\mathtt{f}^\mathcal{M}(a_0,\ldots,a_{n-1}))=\mathtt{f}^\mathcal{N}(\sigma(a_0),\ldots,\sigma(a_{n-1}))$ が成り立つことである。

また準同型 $\sigma\colon|\mathcal{M}|\to|\mathcal{N}|,\tau\colon|\mathcal{N}|\to|\mathcal{M}|$ が存在し $\tau\circ\sigma =\mathrm{id}_\mathcal{M},\sigma\circ\tau =\mathrm{id}_\mathcal{N}$ となるとき $\mathcal{M}$ と $\mathcal{N}$ は''同型'' (isomorphic))であるといい $\mathcal{M}\cong\mathcal{N}$ と表し、$\sigma,\tau$ を''同型射'' (isomorphism) であるという。
ここで $\mathrm{id}_\mathcal{M}\colon|\mathcal{M}|\to|\mathcal{M}|,\mathrm{id}_\mathcal{M}(a)=a,\mathrm{id}_\mathcal{N}\colon|\mathcal{N}|\to|\mathcal{N}|,\mathrm{id}_\mathcal{N}(b)=b$ とする。

==== 定義2.3.2（部分代数） ====

$\mathscr{L}$-代数構造 $\mathcal{M},\mathcal{N}$ に対して、$\mathcal{N}$ が $\mathcal{M}$ の''部分代数'' (subalgebra) であるとは $|\mathcal{N}|\subseteq|\mathcal{M}|$ かつ、任意の $\mathtt{f}\in\mathscr{L}$ 、任意の $b_0,\ldots,b_{n-1}\in|\mathcal{N}|$ に対し $\mathtt{f}^\mathcal{N}(b_0,\ldots,b_{n-1})=\mathtt{f}^\mathcal{M}(b_0,\ldots,b_{n-1})$ を満たすことである。

==== 命題2.3.3（代数構造の同型に対する必要十分条件） ====

$\mathcal{M}\cong\mathcal{N}$ であるのは全単射準同型 $\upsilon\colon\mathcal{M}\to\mathcal{N}$ が存在するときであり、またそれに限る。

''証明''　$\mathcal{M}\cong\mathcal{N}$ であると仮定する。仮定より準同型 $\sigma\colon\mathcal{M}\to\mathcal{N},\tau\colon\mathcal{N}\to\mathcal{M}$ で $\sigma\circ\tau,\tau\circ\sigma$ が恒等となるものを取る。$\sigma,\tau$ は互いに逆写像であり、よって全単射である。

逆を示す。$\upsilon\circ\upsilon^{-1},\upsilon^{-1}\circ\upsilon$ が恒等になるのは明らかである。よって $\upsilon^{-1}\colon\mathcal{N}\to\mathcal{M}$ が準同型となることを確認すれば良い。
$\upsilon$ は全単射であるから、ある $a_0,\ldots,a_{n-1}\in|\mathcal{M}|$ が存在して $\upsilon(a_0)=b_0,\ldots,\upsilon(a_{n-1})=b_{n-1}$ である。
よって $\upsilon^{-1}(\mathtt{f}^\mathcal{N}(b_0,\ldots,b_{n-1}))=\upsilon^{-1}(\mathtt{f}^\mathcal{N}(\upsilon(a_0),\ldots,\upsilon(a_{n-1})))$ であり、$\upsilon$ は準同型であるから $\upsilon^{-1}(\mathtt{f}^\mathcal{N}(\upsilon(a_0),\ldots,\upsilon(a_{n-1})))=\upsilon^{-1}(\upsilon(\mathtt{f}^\mathcal{M}(a_0,\ldots,a_{n-1})))$ となる。
従って $\upsilon^{-1}(\upsilon(\mathtt{f}^\mathcal{M}(a_0,\ldots,a_{n-1})))=\mathtt{f}^\mathcal{M}(a_0,\ldots,a_{n-1})$　であり、$a_0=\upsilon^{-1}(b_0),\ldots,a_{n-1}=\upsilon^{-1}(b_{n-1})$ より良い。□

==== 定義2.3.4（合同関係） ====
$\mathcal{M}$ を代数構造とし、$\equiv$ を $|\mathcal{M}|$ 上の同値関係で $\mathtt{f}\in\mathscr{L}$ に対して $\mathtt{f}^\mathcal{M}$ と両立する、すなわち任意の $a_0,\ldots,a_{n-1},b_0,\ldots,b_{n-1}\in |\mathcal{M}|$ に対して、任意の $i<n$ について $a_i\equiv b_i$ $\equiv$ であるならば $\mathtt{f}^\mathcal{M}(a_0,\ldots,a_{n-1})\equiv\mathtt{f}^\mathcal{M}(b_0,\ldots,b_{n-1})$ が成り立つとき $\equiv$ は $\mathcal{M}$ 上の''合同関係'' (congruence relation) である、あるいは同値関係 $\equiv$ は $\mathtt{f}^\mathcal{M}$ に対して　''well-defined''であるという。
==== 定義2.3.5（剰余代数） ====

$\mathcal{M}$ を代数構造とし、$\equiv$ を $\mathcal{M}$ 上の合同関係とする。剰余代数'' (factor algebra, quotient algebra) $\mathcal{M}/{\equiv}:=\langle|\mathcal{M}|/{\equiv};{-}^{\mathcal{M}/{\equiv}}\rangle$ を以下のように定める。
* $|\mathcal{M}|/{\equiv}$ は $|\mathcal{M}|$ の $\equiv$ による商集合とし $a\in|\mathcal{M}|$ に対して $[a]_\equiv$ を $\equiv$ による同値類とする。
* $\mathtt{f}\in\mathscr{L}$ に対して $\mathtt{f}^{\mathcal{M}/{\equiv}}([a_0]_\equiv,\ldots,[a_{n-1}]_\equiv):=[\mathtt{f}^\mathcal{M}(a_0,\ldots,a_{n-1})]_\equiv$ とする。

==== 例2.3.6（剰余代数の例） ====

$\mathcal{G}$ を群、$\mathcal{H}$ を $\mathcal{G}$ の正規部分群、すなわち $\mathcal{H}$ は $\mathcal{G}$ の部分代数で、任意の $g\in|\mathcal{G}|,h\in|\mathcal{H}|$ に対し $(g\hat{\cdot}^\mathcal{G} h){\hat{\cdot}}^\mathcal{G}\left(g^{\hat{-1}^\mathcal{G}}\right)\in|\mathcal{H}|$ であるとする。$|\mathcal{G}|$ 上の合同関係　$\equiv_\mathcal{H}$ を $x\equiv_\mathcal{H} y:\Leftrightarrow x\hat{\cdot}^\mathcal{G}\left(y^{\hat{-1}^\mathcal{G}}\right)\in|\mathcal{H}|$ と定める。
このとき $\mathcal{G}/{\equiv_\mathcal{H}}$ を $\mathcal{G}/\mathcal{H}$ と表す。

$\mathcal{M}$ を可換環、$\mathcal{I}:=\langle|\mathcal{I}|;\mathtt{0}^\mathcal{I},\mathtt{1}^\mathcal{I},\hat{+}^\mathcal{I},\hat{-}^\mathcal{I},\hat{\cdot}^\mathcal{I}\rangle$ を $\mathcal{M}$ のイデアル、すなわち以下を満たすとする。
* $\langle|\mathcal{I}|;\mathtt{0}^\mathcal{I},\hat{+}^\mathcal{I},\hat{-}^\mathcal{I}\rangle$ は $\langle|\mathcal{M}|;\mathtt{0}^\mathcal{M},\hat{+}^\mathcal{M},\hat{-}^\mathcal{M}\rangle$ の部分構造である。
* 任意の $a\in|\mathcal{M}|,x\in|\mathcal{I}|$ に対し $a\hat{\cdot}^\mathcal{M}x\in|\mathcal{I}|$ である。

このとき上記の例と同様に $\equiv_\mathcal{I}$ を定義でき $\mathcal{M}/{\equiv_\mathcal{I}}$ を $\mathcal{M}/\mathcal{I}$ を表す。

==== 補題2.3.7（剰余代数と準同型） ====

代数構造 $\mathcal{M}$ と合同関係 $\equiv$ に対して $\pi_\equiv\colon|\mathcal{M}|\to|\mathcal{M}|/{\equiv},\pi_\equiv(a):=[a]_\equiv$ とする。このとき $\pi_\equiv$ は準同型となる。この準同型を $\equiv$ に対する自然な準同型という。

''証明''　剰余代数の定義より明らかである。□

==== 補題2.3.8（準同型と合同関係） ====

代数構造 $\mathcal{M},\mathcal{N}$ 、準同型 $\sigma\colon|\mathcal{M}|\to|\mathcal{N}|$ に対して $|\mathcal{M}|$ 上の二項関係 $\equiv_\sigma$ を $a\equiv_\sigma b:\Leftrightarrow\sigma(a)=\sigma(b)$ とする((これを $\sigma$ による''核'' (kernel) ということがある。))。このとき $\equiv_\sigma$ は合同関係である。

''証明''　$\equiv_\sigma$ が同値関係であることは明らかである。よって関数と両立することを示そう。
今 $\mathtt{f}$ の項数を $n$ とし任意の $i<n$ に対して $a_i\equiv_\sigma b_i$ であると仮定し、$\mathtt{f}^\mathcal{M}(a_0,\ldots,a_{n-1})\equiv_\sigma \mathtt{f}^\mathcal{M}(b_0,\ldots,b_{n-1})$ 、すなわち $\sigma(\mathtt{f}^\mathcal{M}(a_0,\ldots,a_{n-1}))=\sigma(\mathtt{f}^\mathcal{M}(b_0,\ldots,b_{n-1}))$ を示せば良い。
$\sigma$ が準同型であるという仮定から $\sigma(\mathtt{f}^\mathcal{M}(a_0,\ldots,a_{n-1}))=\mathtt{f}^\mathcal{N}(\sigma(a_0),\ldots,\sigma(a_{n-1}))$ であり、 $\equiv_\sigma$ の定義から $\mathtt{f}^\mathcal{N}(\sigma(a_0),\ldots,\sigma(a_{n-1}))=\mathtt{f}^\mathcal{N}(\sigma(b_0),\ldots,\sigma(b_{n-1}))$ 、よってもう一度 $\sigma$ が準同型であることから $\mathtt{f}^\mathcal{N}(\sigma(b_0),\ldots,\sigma(b_{n-1}))=\sigma(\mathtt{f}^\mathcal{M}(b_0,\ldots,b_{n-1}))$ 。□

==== 定理2.3.9（準同型定理 (homomorphism theorem) ） ====

全射準同型 $\sigma\colon|\mathcal{M}|\to|\mathcal{N}|$ に対して、同型 $\tau_{\equiv_\sigma}\colon|\mathcal{M}/{\equiv_\sigma}|\to|\mathcal{N}|$ が存在して $\sigma=\tau_{\equiv_\sigma}\circ\pi_{\equiv_\sigma}$ となる。
ここで $a\equiv_\sigma b:\Leftrightarrow\sigma(a)=\sigma(b)$ 、$\pi_{\equiv_\sigma}\colon|\mathcal{M}|\to|\mathcal{M}/{\equiv_\sigma}|,\pi_{\equiv_\sigma}(a)=[a]_{\equiv_\sigma}$ とする。

''証明''　まず $\tau_{\equiv_\sigma}([a]_{\equiv_\sigma}):=\sigma(a)$ とする。これが写像となることを示す。左全域性は明らかなので右一意性を示そう。
$[a]_{\equiv_\sigma}=[b]_{\equiv_\sigma}$ とすれば $\equiv_\sigma$ の定義から、$\sigma(a)=\sigma(b)$ であり良い。
同様に逆も言えるため左一意性、すなわち $\tau_{\equiv_\sigma}$ が単射であることも従う。また $\sigma$ が全射であることから $\tau_{\equiv_\sigma}$ も全射である。命題2.3.3より
準同型であることを示せば十分である。
剰余代数の定義から $\tau_{\equiv_\sigma}(\mathtt{f}^{\mathcal{M}/{\equiv_\sigma}}([a_0]_{\equiv_\sigma},\ldots,[a_{n-1}]_{\equiv_\sigma}))=\tau_{\equiv_\sigma}([\mathtt{f}^\mathcal{M}(a_0,\ldots,a_{n-1})]_{\equiv_\sigma})$ であり、$\tau_{\equiv_\sigma}$ の定義から $\tau_{\equiv_\sigma}([f^\mathcal{M}(a_0,\ldots,a_{n-1})]_{\equiv_\sigma})=\sigma(f^\mathcal{M}(a_0,\ldots,a_{n-1}))$ である。
$\sigma$ が準同型であることから $\sigma(\mathtt{f}^\mathcal{M}(a_0,\ldots,a_{n-1}))=\mathtt{f}^\mathcal{N}(\sigma(a_0),\ldots,\sigma(a_{n-1}))$ であり $\tau_{\equiv_\sigma}$ の定義が $\mathtt{f}^\mathcal{N}(\sigma(a_0),\ldots,\sigma(a_{n-1}))=\mathtt{f}^\mathcal{N}(\tau_{\equiv_\sigma}([a_0]_{\equiv_\sigma},\ldots,[a_{n-1}]_{\equiv_\sigma}))$ となる。□

==== 系2.3.10 ====

準同型 $\sigma\colon|\mathcal{M}|\to|\mathcal{N}|$ と $|\mathcal{M}|$ 上の合同関係 $\equiv_\sigma$ は $a\equiv_\sigma b$ ならば $\sigma(a)=\sigma(b)$ を満たすとする。
このとき準同型 $\tau_{\equiv_\sigma}\colon|\mathcal{M}/{\equiv}|\to|\mathcal{N}|$ が存在し $\sigma=\tau_{\equiv_\sigma}\circ\pi_{\equiv_\sigma}$ となる。
ただし $\pi_{\equiv_\sigma}\colon|\mathcal{M}|\to|\mathcal{M}/{\equiv_\sigma}|,\pi_{\equiv_\sigma}(a)=[a]_{\equiv_\sigma}$ とする。

''証明''　定理2.3.9の証明とほとんど同様で良い。□

==== 例2.3.11（準同型定理の具体例） ====

群準同型 $\sigma\colon|\mathcal{G}|\to|\mathcal{H}|$ に対して $\mathrm{Ker}(\sigma):=\{g\in|\mathcal{G}|\mid\sigma(g)=\mathtt{0}^\mathcal{H}\}$ とする。このとき $\langle \mathrm{Ker}(\sigma),\mathtt{0}^\mathcal{G},\hat{\cdot}^\mathcal{G},{-}^{\hat{-1}^\mathcal{G}}\rangle$ は $\mathcal{G}$ の部分群であり、例2.2.6で定められる同値関係を $\equiv_{\mathrm{Ker}(\sigma)}$ とすれば $g_0\equiv_{\mathrm{Ker}(\sigma)}g_1$ と $g_0\equiv_\sigma g_1$ は同値であり、従って定理2.3.9及び系2.3.10から以下の群論に於ける準同型定理が従う。
* 群準同型 $\sigma\colon|\mathcal{G}|\to|\mathcal{H}|$ 、自然な準同型 $\pi\colon|\mathcal{G}|\to|\mathcal{G}/\equiv_{\mathrm{Ker(\sigma)}}|$ に対して、準同型 $\tau\colon |\mathcal{G}/\equiv_{\mathrm{Ker(\sigma)}}|\to|\mathcal{H}|$ が存在して $\sigma=\tau\circ\pi$ であり、また $\tau$ は $\mathcal{G}/\equiv_{\mathrm{Ker(\sigma)}}$ から $\langle\mathrm{Im}(\sigma),\underline{0}^\mathcal{H},+^\mathcal{H},-^\mathcal{H}\rangle$ への同型射である。

=== 2.4. 等式論理の形式的証明 ===
==== 定義2.4.1（等式理論） ====
理論 $T$ 論理式 $\varphi$ に対して $T\vdash\varphi$ を帰納的に定義する。

1. $(\mathsf{refl})$　任意の項 $t$ に対して $T\vdash t=t$ である。

2. $(T)$　任意の $\varphi\in T$ に対して $T\vdash\varphi$ である。

3. $(\mathsf{sym})$　任意の項 $s,t$ に対して $T\vdash s=t$ ならば $T\vdash t=s$ である。

4. $(\mathsf{trans})$　任意の項 $s,t,r$ に対して $T\vdash s=t$ かつ $T\vdash t=r$ ならば $T\vdash s=r$ である。

5. $(\mathsf{sub})$　任意の変数 $u$ 、項 $s(u),t(u),r$ に対して $T\vdash s(u)=t(u)$ ならば $T\vdash s(r)=t(r)$ である。

6. $(\mathsf{comp})$　任意の関数記号 $f\in\mathscr{L}$ 、任意の項 $s_0,\ldots,s_{n-1},t_0,\ldots,t_{n-1}$ に対して、全ての$i<n$　について $T\vdash s_i=t_i$ ならば $T\vdash f(s_0,\ldots,s_{n-1})=f(t_0,\ldots,t_{n-1})$ である。

$\vdash$ に関して命題論理と同様に用語を定める。
* $T\vdash\varphi$ であるとき $T$ から $\varphi$ は''証明可能'' (provable) であるという。また $\emptyset\vdash\varphi$ であるとき単に証明可能であるといい、$\vdash\varphi$ と表す。
* $\mathrm{Th}(T):=\{\varphi\in\mathrm{EqFml}\mid T\vdash\varphi\}$ とする。また言語を明示するとき $\mathrm{Th}_\mathscr{L}(T)$ と表す。

=== 2.5. Birkhoffの完全性定理、$\mathsf{HSP}$ 定理 ===

==== 定義2.5.1（生成） ====
代数構造 $\mathcal{M}$ 、$X\subseteq|\mathcal{M}|$ とする。このとき $X\subseteq\mathcal{N}$ で $\mathcal{M}$ の部分代数のなか、領域の包含関係において最小であるとき、$\mathcal{N}$ を $X$ によって''生成される'' (generated) 部分代数であるという。

==== 定義2.5.2（自由 $\mathcal{K}$-代数） ====
$\mathcal{K}$ を代数構造からなるクラスとする。このとき $\mathcal{M}\in\mathcal{K}$ が $X$ によって生成される''自由 $\mathcal{K}$-代数'' (free $\mathcal{K}$-代数) であるとは以下を満たすことである。
* $\mathcal{M}$ は $X$ で生成される。
* 任意の $\mathcal{N}\in\mathcal{K}$ 、写像 $\sigma\colon X\to|\mathcal{N}|$ に対し、ある準同型 $\overline{\sigma}\colon|\mathcal{M}|\to|\mathcal{N}|$ で $\overline{\sigma}$ は $\sigma$ の拡大である、すなわち任意の $x\in X$ に対して $\sigma(x)=\overline{\sigma}(x)$ となるものが一意に存在する。

==== 命題2.5.3（自由生成と濃度） ====
代数構造 $\mathcal{M},\mathcal{N}\in\mathcal{K}$ でそれぞれ集合 $X,Y$ によって自由生成されていて、$X,Y$ が等濃であれば $\mathcal{M}\cong\mathcal{N}$ である。

''証明''　全単射 $\sigma\colon X\to Y$ を取る。
自由代数の定義から $\sigma,\sigma^{-1}$ は準同型 $\overline{\sigma}\colon|\mathcal{M}|\to|\mathcal{N}|,\overline{\sigma^{-1}}\colon|\mathcal{N}|\to|\mathcal{M}|$ に拡張され $\overline{\sigma^{-1}}\circ\overline{\sigma}$ は $X$ 上の恒等写像の拡張となる準同型 $|\mathcal{M}|\to|\mathcal{M}|$ で拡張の一意性から $\overline{\sigma^{-1}}\circ\overline{\sigma}=\mathrm{id}_{|\mathcal{M}|}$ 、
同様に $\overline{\sigma}\circ\overline{\sigma^{-1}}=\mathrm{id}_{|\mathcal{N}|}$ であり、$\mathcal{M}\cong\mathcal{N}$ である。

==== 定義2.5.3（項代数） ====

== 出典 ==

== 参考文献 ==

[田中19] 田中一之、数学基礎論序説、裳華房、2019。

[Sankappanavar–Burris] H.P. Sankappanavar, S. Burris, A course in universal algebra, Graduate Texts Math 78, 1981.

数理論理学の基礎・命題論理

2022-01-01T11:22:19Z

Alwe: /* 命題論理の付値による意味論 */

[[Category:数理論理学|メイダイロンリ]]
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{{begin |preamble }}

{{#scite: Gentzen34
|type=journal
|author=G. K. E. Gentzen
|year=1934
|title=Untersuchungen über das logische Schließen. I
|journal=Mathematische Zeitschrift
|volume=39
|number=2
|pages=176–210
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{{#scite: Gentzen35
|type=journal
|author=G. K. E. Gentzen
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|journal=Mathematische Zeitschrift
|volume=39
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|type=book
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|title=Normal derivability in classical logic
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$
\newcommand{\Pow}[1]{\mathcal{P}(#1)}
\newcommand{\nat}{\mathbb{N}}
$

$
\newcommand{\blank}{ {-} }
$

{{newtheorem |type=theorem |display=定理 |counter=0 }}
{{newtheorem |type=lemma |display=補題 |family=theorem }}
{{newtheorem |type=definition |display=定義 |family=theorem }}
{{newtheorem |type=proposition |display=命題 |family=theorem }}
{{newtheorem |type=corollary |display=系 |family=theorem }}
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{{newtheorem |type=notation |display=表記 |family=theorem }}
{{end |preamble }}

== 命題論理 ==
'''命題論理''' (propositional logic) は数学に於ける'''命題''' (proposition) を抽象化、あるいは記号化し、その命題と命題同士の関係性の記号化と言えるであろう'''論理結合子''' (logical connectives) からなる論理である。

命題論理では論理式 $\varphi,\psi$ に対し以下の結合子を考える。
{| class="wikitable" style="text-align: center;"
|+ 論理結合子
|-
! 論理式 !! 読み方 !! 名称
|-
| $\lnot \varphi$ || $\varphi$ ではない ||'''否定''' (negation)
|-
| $\varphi \land \psi$ || $\varphi$ かつ $\psi$ ||'''連言''' (conjunction)
|-
| $\varphi \lor \psi$ || $\varphi$ または $\psi$|| '''選言''' (disjunction)
|-
| $\varphi \to\psi$ || $\varphi$ ならば $\psi$ ||'''含意''' (implication)
|}
また真偽を直接表す以下の記号も考える。
{| class="wikitable" style="text-align: center;"
|+ 真偽を表す命題
|-
! 論理式 !! 読み方 !! 名称
|-
| $\top$ || 真である || '''真''' (true)
|-
| $\bot$ || 偽である || '''偽''' (false)
|}
これらの記号を用いて命題論理の'''論理式''' (logical formula, formula) は定義される。
注意しておくべきこととして論理式は単なる記号列でしかないということである。
まず記号列の中で「何が論理式であって、何が論理式でないのか」というのを定義する。
言語学において「何が文であって、何が文でないか」ということを扱う分野の用語として'''統語論''' (syntax) あるいは構文論、統辞論という言葉がある。
数理論理学に於いても何が論理式で何が論理式でないか、ということを定めたり、あるいは記号列としての性質を言語学から用語を拝借し、命題論理の統語論という。
同じく、言語学に於いて文の意味に関する分野の用語として'''意味論''' (semantics) があり、数理論理学に於いても言語学に倣い論理式の意味に関する分野として意味論という用語を用いる。こと命題論理の意味論としては '''真理値''' (truth value) というものを用いる。そして数学に於ける証明を形式化することによって'''形式的証明''' (formal proof) を与える。形式的証明を与えることは統語論とも意味論とも捉えられることがある。
=== 命題論理の統語論 ===

{{theorem |type=definition |name=命題論理の記号 |label=symbol-of-propositional-logic }}
命題論理の'''記号''' (symbol) は以下からなる。
* '''命題変数''' (propositional variable) $p,q,r,\ldots.$
* '''命題定数''' (propositional constant) $\top,\bot.$
* '''論理結合子''' (logical connectives) $\lnot,\land,\lor,\to.$
* '''括弧''' (brackets) $(,).$

以下 $p,q,r$ あるいはそれに添え字を付けたもので命題変数を表すものとする。

また命題変数の集合を $\mathrm{PropVar}$ と表す。$\mathrm{PropVar}$ の[[濃度]]は有限でも無限でもよいものとする。

{{theorem |type=definition |name=命題論理の論理式 |label=formulae-of-propositional-logic }}
命題論理の'''論理式''' (logical formula, formula) は以下のように帰納的に定義される。
# $\mathrm{PropVar}$ の要素は論理式である。
# $\top$ と $\bot$ はともに論理式である。
# $\varphi,\psi$ が論理式であるとき、$(\varphi\land\psi),(\varphi\lor\psi),(\varphi\to\psi)$ は論理式である。
# $\varphi$ が論理式であるとき $(\lnot\varphi)$ は論理式である。
# 以上によって論理式と分かるもののみが論理式である<ref group="脚注">論理式は帰納的に定義されているが、その(包含関係に於ける)最小性を要求するために「以上によって論理式と分かるもののみが論理式である」と記述している。しかし帰納的に定義をする際、毎回同じようなことを書いていても諄いので以降省略する。</ref>。

また命題論理の論理式の集合を $\mathrm{PropFml}$ とする。

{{theorem |type=example |name=命題論理の論理式 |label=examples-of-formulae-of-propositional-logic }}
* $( (\lnot p)\land q),( (p\land q)\lor\bot),(p\to (q\to r)),(\lnot (\lnot p)),( ( (\lnot p)\to q)\land (q\lor\top)).$
{{theorem |type=definition |name=命題論理に於ける論理式の省略記法 |label=abbreviation-for-propositional-formulae}}

さて上記の例を見れば分かる通り、このまま論理式を同じように表記すると括弧が多すぎて視認性を欠く。よって論理式の省略記法を定める。
まず論理結合子の結合順序は以下のようにする。
* $\lnot$ が一番強く、$\lor,\land$ がその次に強く、$\to$ が $\lor,\land$ の次に強いとする。つまり $\lnot \varphi \land\psi\to\chi$ は $( ( (\lnot\varphi)\land\psi)\to\chi) $を表す。
* $\land,\lor$ は左結合的であるとする。つまり $\varphi\land\psi\land\chi$ は $( (\varphi\land\psi)\land\chi)$ を、$\varphi\lor\psi\lor\chi$ は $( (\varphi\lor\psi)\lor\chi)$ を表すものとする。
* $\land,\lor$ に結合の強さは設けない。つまり $\varphi\lor\psi\land\chi$ とは書かず適宜 $(\varphi\lor\psi)\land\chi,\varphi\lor(\psi\land\chi)$ と書き分ける。
* $\to$ は'''右'''結合的であるとする。つまり $\varphi\to\psi\to\chi$ は $(\varphi\to(\psi\to\chi))$ を表すものとする。
* $\varphi\leftrightarrow\psi$ で $(\varphi\to\psi)\land(\psi\to\varphi)$ を表すこととする。また $\leftrightarrow$ の結合の強さは最弱であるとする。

=== 命題論理の付値による意味論 ===

以下では'''付値''' (truth assignment) を用いた命題論理の意味論を与える。
付値は命題変数に対して $0,1$ の値を割り当てることによって定義される。
ここで $0$ は偽であることを表し、$1$ は真であることを表している。以下では[[順序数]]の定義に則り $2:=\{0,1\}$ とする。

{{theorem |type=definition |name=付値 |label=valuation-for-propositional-formulae}}

関数 $\nu\colon\mathrm{PropVar}\to 2$ のことを'''付値''' (valuation, truth assignment) という。

{{theorem |type=definition |name=充足可能性関係 |label=satisfiability-relation}}

論理式 $\varphi$ と付値 $\nu$ に対して'''充足関係''' (satisfaction relation) 、$\nu\models\varphi$<ref group="脚注">$\models$ は'''ダブルターンスタイル''' (double turnstile)という記号である。</ref>を帰納的に定義する。
# $p\in\mathrm{PropVar}$ に対して $\nu\models p:\Leftrightarrow\nu(p)=1$ である。
# $\nu\models\top$ である。
# $\nu\models\bot$ ではない。
# $\nu\models\lnot\varphi$ であるのは $\nu\models\varphi$ ではないとき、またそれに限る。
# $\nu\models\varphi\land\psi$ であるのは、$\nu\models\varphi$ かつ $\nu\models\psi$ であるときであり、またそれに限る。
# $\nu\models\varphi\lor\psi$ であるのは、$\nu\models\varphi$ または $\nu\models\psi$ であるときであり、またそれに限る<ref group="脚注">「または」は'''包含的''' (inclusive) なものであることに注意すべきである。すなわち $\nu\models\varphi,\nu\models\psi$ どちらも成り立つときも正しいとする。</ref>。
# $\nu\models\varphi\to\psi$ であるのは、$\nu\models\varphi$ ではないか、または $\nu\models\psi$ であるときであり、またそれに限る。

また充足可能性に関する条件をいくつか定める。
* $\nu\models\varphi$ であるとき、$\nu$ は $\varphi$ を'''充足する''' (satisfy) という。
* ある付値 $\nu$ が存在して $\nu\models\varphi$ であるとき、論理式 $\varphi$ は'''充足可能''' (satisfiable) であるという。
* 論理式の集合 $T$ を '''公理系''' (axiomatic system, axioms, axiomata) あるいは'''理論''' (theory) という。
* 理論 $T$ と論理式 $\varphi$ に対して $T+\varphi$ で $T\cup\{\varphi\}$ を表す。
* 任意の $\varphi\in T$ に対し $\nu\models\varphi$ であるとき、$\nu$ は $T$ を充足するといい、$\nu\models T$ と表す。またこのとき $\nu$ を $T$ の'''モデル''' (model) という。
* ある付値 $\nu$ が存在して $\nu\models T$ であるとき、公理系 $T$ は充足可能であるという。
* 任意の付値 $\nu$ に対して $\nu\models\varphi$ であるとき、論理式 $\varphi$ は'''恒真''' (logically valid, valid) であるという。
* 任意の付値 $\nu$ に対して、$\nu\models T$ ならば $\nu\models\varphi$ であるとき、$\varphi$ は $T$ の'''定理''' (theorem) である、あるいは $\varphi$ は $T$ からの'''論理的帰結''' (logical consequence) であるといい、$T\models\varphi$ と表す。また $T$ が空なとき単に論理的帰結であるといい $\models \varphi$ と表す。
* 理論 $T$ 論理式 $\varphi,\psi$ に対して $T\models\varphi\leftrightarrow\psi$ であるとき $\varphi,\psi$ は $T$ 上で'''論理的同値''' (logically equivalent) または単に'''同値''' (equivalent) であるという。また $T$ が空なとき単に論理的同値であるという。

与えられた論理式が充足可能であるか否かは以下の拡張された付値を用いることで計算することができる。また論理式に現れる命題変数は有限であることから、恒真であることも判定できる。
{{theorem |type=definition |name=拡張された付値 |label=extended-valuation}}
命題変数に対して定義された付値 $\nu$は以下のように論理式全体に拡張される。付値 $\nu$ に対して関数 $\overline{\nu}\colon\mathrm{PropFml}\to 2$ は以下のように帰納的に定義される。
# $p\in\mathrm{PropVar}$ に対して $\overline{\nu}(p):=\nu(p)$ である。
# $\overline{\nu}(\top):=1$ である。
# $\overline{\nu}(\bot):=0$ である。
# $\overline{\nu}(\lnot\varphi):=1-\overline{\nu}(\varphi)$ である。
# $\overline{\nu}(\varphi\land\psi):=\min\{\overline{\nu}(\varphi),\overline{\nu}(\psi)\}$ である。
# $\overline{\nu}(\varphi\lor\psi):=\max\{\overline{\nu}(\varphi),\overline{\nu}(\psi)\}$である。
# $\overline{\nu}(\varphi\to\psi):=\max\{1-\overline{\nu}(\varphi),\overline{\nu}(\psi)\}$である。

{{theorem |type=proposition |name=拡張された付値と充足可能性の同値性 |label=equivalence-between-extended-valuation-and-satisfiability-relation}}
任意の論理式 $\varphi$ と付値 $\nu$ に対して $\nu\models\varphi$ であることの必要十分条件は $\overline{\nu}(\varphi)=1$ であることである。
{{begin |proof | collapsible=1 | boxed=1}}
論理式の構成に関する帰納法で示す。$p\in\mathrm{PropVar},\bot,\top$ に対して同値であるのは定義より明らかである。

$\overline{\nu}(\varphi)=1$ と $\nu\models\varphi$ が同値であると仮定しよう。
定義から $\overline{\nu}(\lnot\varphi)=1-\overline{\nu}(\varphi)$ であり、$1-\overline{\nu}(\varphi)=1$ となるのは $\overline{\nu}(\varphi)=0$ であるときであり、またそれに限る。
帰納法の仮定から $\overline{\nu}(\varphi)=0$ であるのは、$\nu\models\varphi$ ではないとき、またそれに限り、この条件は $\nu\models\lnot\varphi$ と同値である。

$\overline{\nu}(\varphi)=1$ と $\nu\models\varphi$ が同値であり、$\overline{\nu}(\psi)=1$ と $\nu\models\psi$ が同値であるとしよう。
$\overline{\nu}(\varphi\land\psi)=\min\{\overline{\nu}(\varphi),\overline{\nu}(\psi)\}$ であり、$\min\{\overline{\nu}(\varphi),\overline{\nu}(\psi)\}=1$ が成り立つのは $\overline{\nu}(\varphi)=1$ かつ $\overline{\nu}(\psi)=1$ であるときであり、またそれに限るから、帰納法の仮定を適用すれば良い。

$\overline{\nu}(\varphi)=1$ と $\nu\models\varphi$ が同値であり、$\overline{\nu}(\psi)=1$ と $\nu\models\psi$ が同値であるとしよう。
$\overline{\nu}(\varphi\lor\psi)=\max\{\overline{\nu}(\varphi),\overline{\nu}(\psi)\}$ であり、$\max\{\overline{\nu}(\varphi),\overline{\nu}(\psi)\}=1$ が成り立つのは $\overline{\nu}(\varphi)=1$ または $\overline{\nu}(\psi)=1$ であるときであり、またそれに限るから、帰納法の仮定を適用すれば良い。

$\overline{\nu}(\varphi)=1$ と $\nu\models\varphi$ が同値であり、$\overline{\nu}(\psi)=1$ と $\nu\models\psi$ が同値であるとしよう。
$\overline{\nu}(\varphi\to\psi)=\max\{1-\overline{\nu}(\varphi),\overline{\nu}(\psi)\}$ であり、$\max\{1-\overline{\nu}(\varphi),\overline{\nu}(\psi)\}=1$ が成り立つのは $\overline{\nu}(\varphi)=0$ または $\overline{\nu}(\psi)=1$ であるときであり、またそれに限るから、帰納法の仮定を適用すれば良い。
{{end |proof }}
{{theorem |type=proposition |name=充足可能性と論理的帰結の関係 |label=relationship-between-extended-valuation-and-satisfiability-relation}}
$T\models\varphi$であるための必要十分条件は$T\cup\{\lnot\varphi\}$が充足不能であることである。
{{begin |proof | collapsible=1 | boxed=1}}
$\nu\models T\cup\{\lnot\varphi\}$ であるためには、$\nu\models T$ かつ$ \nu\models \varphi$ でないことであることが必要十分であるため明らかである。
{{end |proof }}

{{theorem |type=example |name=恒真な論理式の例 |label=examples-of-validity}}
恒真な例としては以下のようなものが考えられる。
* $\land,\lor$ に関する代数的性質。
** '''結合律''' (associative law)　$( (\varphi\land\psi)\land\chi)\leftrightarrow(\varphi\land(\psi\land\chi))$ 及び $( (\varphi\lor\psi)\lor\chi)\leftrightarrow(\varphi\lor(\psi\lor\chi))$ 。
** '''可換律''' (commutative law) $(\varphi\land\psi)\leftrightarrow(\psi\land\varphi)$ 及び $(\varphi\lor\psi)\leftrightarrow(\psi\lor\varphi)$ 。
** '''吸収律''' (absorptive law)　$(\varphi\land(\varphi\lor\psi))\leftrightarrow\varphi$ 及び $(\varphi\lor(\varphi\land\psi))\leftrightarrow\varphi$ 。
** '''冪等律''' (idempotent law)　$(\varphi\land\varphi)\leftrightarrow\varphi$ 及び $(\varphi\lor\varphi)\leftrightarrow\varphi$ 。
** '''分配律''' (distributive law)　$(\varphi\lor(\psi\land\chi))\leftrightarrow( (\varphi\lor\psi)\land(\varphi\lor\chi))$ 及び $(\varphi\land(\psi\lor\chi))\leftrightarrow((\varphi\land\psi)\lor(\varphi\land\chi))$ 。
* $\to$ に関する順序的性質。
** '''反射律''' (reflexive law) あるいは'''同一律''' (identity law)　$\varphi\to\varphi$ 。
* '''比較可能性''' (compatibility) 、'''Dummettの法則''' (Dummett's law) あるいは'''前線形性''' (prelinearlity)　$(\varphi\to\psi)\lor(\psi\to\varphi)$ 。
** '''推移律''' (transitive law) あるいは'''三段論法''' (syllogism)　$(\varphi\to\psi)\land(\psi\to\chi)\to(\varphi\to\chi)$ 。
** '''反対称性''' (antisymmetric law) $((\varphi\to\psi)\land(\psi\to\varphi))\leftrightarrow(\varphi\leftrightarrow\psi)$ 。
* 有名な論理的性質。
** '''De Morganの法則''' (De Morgan's law) $(\lnot(\varphi\land\psi))\leftrightarrow(\lnot\varphi\lor\lnot\psi)$ 及び $(\lnot(\varphi\lor\psi))\leftrightarrow(\lnot\varphi\land\lnot\psi)$ 。
** '''対偶律''' (law of contraposition)　$(\varphi\to\psi)\leftrightarrow(\lnot\psi\to\lnot\varphi)$ 。
** '''二重否定導入''' (double negation introduction) と'''二重否定除去''' (double negation elimination)　$(\lnot\lnot\varphi)\leftrightarrow\varphi$ 。
** '''排中律''' (law of excluded middle, tertium non datur)　$\varphi\lor\lnot\varphi$ 。
** '''Peirceの法則''' (Pierce's law) $((\varphi\to \psi)\to\varphi)\to\varphi$ 。
** '''無矛盾律''' (law of non-contradiction) <ref group="脚注">ややこしいことに、無矛盾律のことを'''矛盾律''' (law of contradiction) ということもある。</ref>$\lnot(\varphi\land\lnot\varphi)$ 。
** '''前件肯定''' (modus ponens)　$\varphi\land(\varphi\to\psi)\to\psi$ 。
** '''爆発律''' (law of explosion, ex falso quodlibet) $\bot\to\varphi$ 。
* また以下のような随伴構造も知られている。
** '''指数随伴''' (exponential adjunction) $(\varphi\land\psi\to\chi)\leftrightarrow(\varphi\to\psi\to\chi)$ 。
* 特に名称はないが以下の $\to,\lor,\lnot$ の関係は重要である。
** $(\varphi\to\psi)\leftrightarrow(\lnot\varphi\lor\psi)$ 。

以下ではDe Morganの法則の片方が恒真であることを'''真理表''' (truth table) を用いて確かめよう。

まず $\overline{\nu}(\varphi\leftrightarrow\psi)=1$ となるのは $\overline{\nu}(\varphi)=1$ かつ $\overline{\nu}(\psi)=1$ であるか、もしくは $\overline{\nu}(\varphi)=0$ かつ $\overline{\nu}(\psi)=0$ であることを確かめよう。
これを調べるためには $\overline{\nu}(\varphi)$ が $0,1$ どちらを取るか、$\overline{\nu}(\varphi)$ が $0,1$ どちらを取るかの $2\cdot 2=4$ 通りを考えれば良い。
まず $\varphi\leftrightarrow\psi$ は $(\varphi\to\psi)\land(\psi\to\varphi)$ のことであった。よって下の表の $\varphi,\psi$ に $4$ 通りの $0,1$ を書き込む。
{| class="wikitable" style="text-align: center;"
|-
! $(\varphi$ !! $\to$ !! $\psi)$ !! $\land$ !! $(\psi$ !! $\to$ !! $\varphi)$
|-
| $1$ || || $1$ || || $1$ || || $1$
|-
| $1$ || || $0$ || || $0$ || || $1$
|-
| $0$ || || $1$ || || $1$ || || $1$
|-
| $0$ || || $0$ || || $0$ || || $1$
|}
次に $\overline{\nu}(\varphi\to\psi)=\max\{1-\overline{\nu}(\varphi),\overline{\nu}(\psi)\}$ と $\overline{\nu}(\psi\to\varphi)=\max\{1-\overline{\nu}(\psi),\overline{\nu}(\varphi)\}$ を計算して $\to$ の下に書き込むと、
{| class="wikitable" style="text-align: center;"
|-
! $(\varphi$ !! $\to$ !! $\psi)$ !! $\land$ !! $(\psi$ !! $\to$ !! $\varphi)$
|-
| $1$ || $1$ || $1$ || || $1$ || $1$ || $1$
|-
| $1$ || $0$ || $0$ || || $0$ || $1$ || $1$
|-
| $0$ || $1$ || $1$ || || $1$ || $1$ || $1$
|-
| $0$ || $1$ || $0$ || || $0$ || $0$ || $1$
|}
となる。$\overline{\nu}(\varphi\land\psi)=\min\{\overline{\nu}(\varphi),\overline{\nu}(\psi)\}$ であるから、計算し $\land$ の下に書き込むと、
{| class="wikitable" style="text-align: center;"
|-
! $(\varphi$ !! $\to$ !! $\psi)$ !! $\land$ !! $(\psi$ !! $\to$ !! $\varphi)$
|-
| $1$ || $1$ || $1$ || $1$ || $1$ || $1$ || $1$
|-
| $1$ || $0$ || $0$ || $0$ || $0$ || $1$ || $1$
|-
| $0$ || $1$ || $1$ || $0$ || $1$ || $1$ || $1$
|-
| $0$ || $1$ || $0$ || $1$ || $0$ || $0$ || $1$
|}
となり、確かめたいことが分かった。

同様に $(\lnot(\varphi\land\psi))\leftrightarrow(\lnot\varphi\lor\lnot\psi)$ が恒真であるかを調べるためには $\overline{\nu}(\varphi)$ が $0,1$ どちらを取るか、$\overline{\nu}(\varphi)$ が $0,1$ どちらを取るかの $2\cdot 2=4$ 通りを考えて真理表に書き込む。
{| class="wikitable" style="text-align: center;"
|-
! $(\lnot$ !! $(\varphi$ !! $\land$ !! $\psi))$ !! $\leftrightarrow$ !! $(\lnot$ !! $\varphi$ !! $\lor$ !! $\lnot$ !! $\psi)$
|-
| || $1$ || || $1$ || || || $1$ || || || $1$
|-
| || $1$ || || $0$ || || || $1$ || || || $0$
|-
| || $0$ || || $1$ || || || $0$ || || || $1$
|-
| || $0$ || || $0$ || || || $0$ || || || $0$
|}
{| class="wikitable" style="text-align: center;"
|-
! $(\lnot$ !! $(\varphi$ !! $\land$ !! $\psi))$ !! $\leftrightarrow$ !! $(\lnot$ !! $\varphi$ !! $\lor$ !! $\lnot$ !! $\psi)$
|-
| || $1$ || $1$ || $1$ || || $0$ || $1$ || || $0$ || $1$
|-
| || $1$ || $0$ || $0$ || || $0$ || $1$ || || $1$ || $0$
|-
| || $0$ || $0$ || $1$ || || $1$ || $0$ || || $0$ || $1$
|-
| || $0$ || $0$ || $0$ || || $1$ || $0$ || || $1$ || $0$
|}
{| class="wikitable" style="text-align: center;"
|-
! $(\lnot$ !! $(\varphi$ !! $\land$ !! $\psi))$ !! $\leftrightarrow$ !! $(\lnot$ !! $\varphi$ !! $\lor$ !! $\lnot$ !! $\psi)$
|-
| $0$ || $1$ || $1$ || $1$ || || $0$ || $1$ || $0$ || $0$ || $1$
|-
| $1$ || $1$ || $0$ || $0$ || || $0$ || $1$ || $1$ || $1$ || $0$
|-
| $1$ || $0$ || $0$ || $1$ || || $1$ || $0$ || $1$ || $0$ || $1$
|-
| $1$ || $0$ || $0$ || $0$ || || $1$ || $0$ || $1$ || $1$ || $0$
|}
{| class="wikitable" style="text-align: center;"
|-
! $(\lnot$ !! $(\varphi$ !! $\land$ !! $\psi))$ !! $\leftrightarrow$ !! $(\lnot$ !! $\varphi$ !! $\lor$ !! $\lnot$ !! $\psi)$
|-
| $0$ || $1$ || $1$ || $1$ || $1$ || $0$ || $1$ || $0$ || $0$ || $1$
|-
| $1$ || $1$ || $0$ || $0$ || $1$ || $0$ || $1$ || $1$ || $1$ || $0$
|-
| $1$ || $0$ || $0$ || $1$ || $1$ || $1$ || $0$ || $1$ || $0$ || $1$
|-
| $1$ || $0$ || $0$ || $0$ || $1$ || $1$ || $0$ || $1$ || $1$ || $0$
|}
と $\leftrightarrow$ の下が全て $1$ となり恒真であることが分かる。

{{theorem |type=definition |name=否定標準形 |label=nagation-normal-form}}
論理式 $\varphi$ が'''否定標準形''' (negation normal form, NNF) であるということ帰納的に定義する。
# 命題変数 $p$ とその否定 $\lnot p$ は否定標準形である。
# $\top,\bot$ は否定標準形である。
# $\varphi,\psi$ が否定標準形であるとき、$\varphi\land\psi,\varphi\lor\psi$ は否定標準形である。
つまり否定標準形は否定が命題変数にしか掛かっていなく、また $\to$ が使われていない論理式のことを指す。

{{theorem |type=theorem |name=否定標準形定理 |label=nagation-normal-form-theorem}}
任意の論理式 $\varphi$ に対して、ある否定標準形 $\varphi^*$ が存在して $\models\varphi\leftrightarrow\varphi^*$ となる。
{{begin |proof | collapsible=1 | boxed=1}}
まず $\leftrightarrow$ が推移的であることに注意する。論理式の構成に関する帰納法で示す。命題変数 $p$ に対しては自身が否定標準形で $\models p\leftrightarrow p$ であり良い。

$\lnot p$ であるときは $\lnot p$ 自身が否定標準形であり良い。

$\lnot\lnot\varphi_0$ であるときは二重否定除去から $\models(\lnot\lnot\varphi_0)\leftrightarrow\varphi_0$ であり $\varphi_0$ に帰納法の仮定を用いて $\models\varphi\leftrightarrow\varphi_0^*$ となる否定標準形 $\varphi_0^*$ を取れば $\models (\lnot\lnot\varphi_0)\leftrightarrow\varphi_0^*$ となり良い。

$\lnot(\varphi_0\lor\varphi_1)$ に対しDe Morganの法則から $\models (\lnot(\varphi_0\lor\varphi_1))\leftrightarrow(\lnot\varphi_0\land\lnot\varphi_1)$ であり $\lnot\varphi_0,\lnot\varphi_1$ に帰納法の仮定を適用し $\models(\lnot\varphi_0)\leftrightarrow(\lnot\varphi_0)^*,\models(\lnot\varphi_1)\leftrightarrow(\lnot\varphi_1)^*$ となる否定標準形 $(\lnot\varphi_0)^*,(\lnot\varphi_1)^*$ を取れば $\models(\lnot\varphi_0\land\lnot\varphi_1)\leftrightarrow((\lnot\varphi_0)^*\land(\lnot\varphi_1)^*)$ であり、よって $\models(\lnot(\varphi_0\lor\varphi_1) )\leftrightarrow( (\lnot\varphi_0)^*\land(\lnot\varphi_1)^*)$ となる。

$\lnot(\varphi_0\land\varphi_1)$ に対しDe Morganの法則から $\models (\lnot(\varphi_0\land\varphi_1))\leftrightarrow(\lnot\varphi_0\lor\lnot\varphi_1)$ であり $\lnot\varphi_0,\lnot\varphi_1$ に帰納法の仮定を適用し $\models(\lnot\varphi_0)\leftrightarrow(\lnot\varphi_0)^*,\models(\lnot\varphi_1)\leftrightarrow(\lnot\varphi_1)^*$ となる否定標準形 $(\lnot\varphi_0)^*,(\lnot\varphi_1)^*$ を取れば $\models(\lnot\varphi_0\lor\lnot\varphi_1)\leftrightarrow((\lnot\varphi_0)^*\lor(\lnot\varphi_1)^*)$ であり、よって $\models(\lnot(\varphi_0\land\varphi_1) )\leftrightarrow( (\lnot\varphi_0)^*\lor(\lnot\varphi_1)^*)$ となる。

$\lnot(\varphi_0\to\varphi_1)$ に対し $\models(\varphi_0\to\varphi_1)\leftrightarrow(\lnot\varphi_0\lor\varphi_1)$ であり、よって $\models(\lnot(\varphi_0\to\varphi_1))\leftrightarrow(\lnot(\lnot\varphi_0\lor\varphi_1))$、De Morganの法則、及び二重否定除去から $\models (\lnot(\lnot\varphi_0\lor\varphi_1))\leftrightarrow(\varphi_0\land\lnot\varphi_1)$ であり $\varphi_0,\lnot\varphi_1$ に帰納法の仮定を適用し $\models\varphi_0\leftrightarrow\varphi_0^*,\models(\lnot\varphi_1)\leftrightarrow(\lnot\varphi_1)^*$ となる否定標準形 $\varphi_0^*,(\lnot\varphi_1)^*$ を取れば $\models(\varphi_0\land\lnot\varphi_1)\leftrightarrow(\varphi_0^*\land(\lnot\varphi_1)^*)$ であり、よって $\models(\lnot(\varphi_0\to\varphi_1))\leftrightarrow(\varphi_0^*\land(\lnot\varphi_1)^*)$ となる。

$\varphi_0\lor\varphi_1$ に対して帰納法の仮定から $\models\varphi_0\leftrightarrow\varphi_0^*,\models\varphi_1\leftrightarrow\varphi_1^*$ となる否定標準形 $\varphi_0^*,\varphi_1^*$ が存在する。
よって$\models(\varphi_0\lor\varphi_1)\leftrightarrow(\varphi_0^*\lor\varphi_1^*)$ となり $\varphi_0^*\lor\varphi_1^*$ は否定標準形である。

$\varphi_0\land\varphi_1$ に対して帰納法の仮定から $\models\varphi_0\leftrightarrow\varphi_0^*,\models\varphi_1\leftrightarrow\varphi_1^*$ となる否定標準形 $\varphi_0^*,\varphi_1^*$ が存在する。
よって$\models(\varphi_0\land\varphi_1)\leftrightarrow(\varphi_0^*\land\varphi_1^*)$ となり $\varphi_0^*\land\varphi_1^*$ は否定標準形である。

$\varphi_0\to\varphi_1$ に対して$\models(\varphi_0\to\varphi_1)\leftrightarrow(\lnot\varphi_0\lor\varphi_1)$ であり $\lnot\varphi_0,\varphi_1$ に帰納法の仮定を適用し $\models(\lnot\varphi_0)\leftrightarrow(\lnot\varphi_0)^*,\models\varphi_1\leftrightarrow\varphi_1^*$ となる否定標準形 $(\lnot\varphi_0)^*,\varphi_1^*$ が存在する。
よって$\models(\varphi_0\to\varphi_1)\leftrightarrow((\lnot\varphi_0)^*\lor\varphi_1^*)$ となり $(\lnot\varphi_0)^*\lor\varphi_1^*$ は否定標準形である。
{{end |proof }}

=== 命題論理の形式的証明 ===

命題論理には'''形式的証明''' (formal proof) というのが考えられる。形式的証明にはさまざまな流儀が知られている。
例えばG. Gentzen[[CiteRef::Gentzen34]][[CiteRef::Gentzen35]] による'''自然演繹''' (natural deduction) や'''推件計算''' (sequent calculus) やD. Hilbertによる'''Hilbert流''' (Hilbert style) がある。
以下ではGentzenによる推件計算をW.W. Tait [[CiteRef::Tait68]]が改良した'''Tait計算''' (Tait calculus) を用いる。

形式的証明を定義するときは命題論理の論理式の定義を少し変えることによって簡易化できる。
まず論理結合子のいくつかは他の論理結合子を用いて表現することができる。例えば $\varphi\to\psi$ が $\lnot\varphi\lor \psi$ と同値であることを用いることで、$\varphi\to\psi$ を $\lnot\varphi\lor\psi$ の記法としての省略として考えることができるからである。Tait計算では論理結合子として $\land,\lor$ のみを用いて命題変数 $p\in\mathrm{PropVar}$ に対して、その'''補''' (complement) $\overline{p}$ が $\mathrm{PropVar}$ に含まれていると仮定する。
$\overline{p}$ は $\lnot p$ を表している、つまりTait計算では命題変数に対してしか否定は定義されない。この定義の背景には否定標準形定理に基づく。

{{theorem |type=definition |name=論理式の再定義 |label=re:definition-of-formulae }}

命題変数の集合 $\mathrm{PropVar}$ は偶数個の要素を持つ、あるいは無限集合であるとし、写像 $\overline{\blank}:\mathrm{PropVar}\to\mathrm{PropVar}$ があり $p\neq\overline{p},\overline{\overline{p}}=p$ を満たすとする。
$p\in\mathrm{PropVar}$ に対して、$\overline{p}$ をその''補'' (complement) といい、これは $\lnot p$ を意図している。
# $\mathrm{PropVar}$ の要素は論理式である。
# $\top$ と $\bot$ はともに論理式である。
# $\varphi,\psi$ が論理式であるとき、$(\varphi\land\psi),(\varphi\lor\psi)$ は論理式である。
また論理式 $\varphi$ に対して否定 $\lnot\varphi$ を以下のように帰納的に定義する。
# $\lnot p:=\overline{p}$ とする。
# $\lnot \top:=\bot$ とする。
# $\lnot \bot:=\top$ とする。
# $\lnot(\varphi\land\psi):=\lnot\varphi\lor\lnot\psi$ とする。
# $\lnot(\varphi\lor\psi):=\lnot\varphi\land\lnot\psi$ とする。

また $\varphi\to\psi:=\lnot\varphi\lor\psi$ とする。

{{theorem |type=definition |name=推件 |label=sequent }}

論理式の有限集合を'''推件''' (sequent) といいギリシャ文字の大文字 $\Gamma,\Delta,\Theta,\ldots$ などで表す<ref group="脚注">推件の定義は有限多重集合や有限列、あるいは有限木とされる場合もある。その場合は'''構造規則''' (structural rule) という規則を後述する形式的証明に追加しなければならない。またそのとき追加する規則を制限して得られる論理を'''部分構造論理''' (substructural logic) という。</ref>

また $\Gamma,\Delta$ で$\Gamma\cup\Delta$ を、$\Gamma,\varphi$ で$\Gamma\cup\{\varphi\}$ を表すものとする。

{{theorem |type=remark |name=推件に対する注意 |label=remark-for-sequent }}
推件は有限集合と定義されていることから $\Gamma:=\{\varphi,\varphi\},\Delta:=\{\varphi\}$ としたとき $\Gamma=\Delta$ となる。また $\Gamma:=\{\varphi,\psi\},\Delta=\{\psi,\varphi\}$ としたときも $\Gamma=\Delta$ となる。

{{theorem |type=definition |name=Tait計算|label=Tait-calculus-for-propositional-logic }}
理論 $T$ 、推件 $\Gamma$ に対して'''証明可能性関係''' (provability relation) $T\vdash\Gamma$<ref group="脚注">$\vdash$ は'''ターンスタイル''' (turnstile)という記号である。</ref>を以下のように帰納的に定義する。
# $(\mathsf{id})$　任意の推件 $\Gamma$ 、命題変数 $p$ に対して $T\vdash\Gamma,\overline{p},p$ である。
# $(\mathsf{\top})$　任意の推件 $\Gamma$ に対して $T\vdash\Gamma,\top$ である。
# $(T)$　任意の推件 $\Gamma$ 、任意の $\varphi\in T$ に対し $T\vdash\Gamma,\varphi$ である。
# $(\land)$　任意の推件 $\Gamma$ 、任意の論理式 $\varphi_0,\varphi_1$ に対して、任意の $i\in 2$ に対して $T\vdash\Gamma,\varphi_0\land\varphi_1,\varphi_i$ であるとき $T\vdash\Gamma,\varphi_0\land\varphi_1$である。
# $(\lor)$　任意の推件 $\Gamma$ 、任意の論理式 $\varphi_0,\varphi_1$ に対して、ある $i\in 2$ に対して $T\vdash\Gamma,\varphi_0\lor\varphi_1,\varphi_i$ であるとき $T\vdash\Gamma,\varphi_0\lor\varphi_1$である。
# $(\mathsf{cut})$　任意の推件 $\Gamma,\Delta$ 、任意の論理式 $\varphi$ に対して、 $T\vdash\Gamma,\varphi$ かつ $T\vdash\lnot\varphi,\Delta$ であるとき $T\vdash\Gamma,\Delta$ である<ref group="脚注">'''三段論法''' (syllogism) と言われることもある。</ref>。

ここで1,2,3を'''始件''' (initial sequent, axiom) といい、4,5,6を'''推論規則''' (inference rule) という。

また各始件での'''主論理式''' (major formula, principal formula) と'''副論理式''' (minor formula, arbitrary formula) を以下のように定める。
{| class="wikitable" style="text-align: center;"
|+ 主論理式と副論理式
|-
! 始件/推論規則 !! 主論理式 !!副論理式
|-
| $(\mathsf{id})$ || $\overline{p}$ 及び $p$ || $\blank$
|-
| $(\top)$ || $\top$ ||$\blank$
|-
| $(T)$ || $\varphi$ || $\blank$
|-
| $(\land)$ || $\varphi_0\land\varphi_1$ || $\varphi_0$ 及び $\varphi_1$
|-
| $(\lor)$ || $\varphi_0\lor\varphi_1$ ||$\varphi_i$
|-
| $(\mathsf{cut})$ || ${-}$ ||${-}$
|}
また $(\mathsf{cut})$ に於ける $\varphi$ を'''カット論理式''' (cut formula) という。
主論理式、副論理式、カット論理式はどの論理式に対して始件あるいは推論規則を明示するために用いられる。
また始件と推論規則の区別は証明の定義に関する帰納法を回す場合にベースケースと帰納法の仮定を用いるところ、すなわち自然数での帰納法に於いて「$0$ に於いて成り立つことを示す部分」と「$k$ に対して成り立つことを仮定し、$k+1$ に対して成り立つことを示す部分」を区別するときに重要になる。

$\vdash$ に関していくつかの用語を定める。
* $T\vdash\Gamma$ であるとき $T$ から $\Gamma$ は'''証明可能''' (provable) であるという。また $\emptyset\vdash\Gamma$ であるとき単に証明可能であるといい、$\vdash\Gamma$ と表す。
* $T\vdash\varphi$ であるとき $T$ から $\varphi$ は証明可能であるという。
* $T\vdash\lnot\varphi$ であるとき $T$ から $\varphi$ は'''反証可能''' (disprovable, refutable) であるという。
* $\mathrm{Th}(T):=\{\varphi\in\mathrm{PropFml}\mid T\vdash\varphi\}$ とする。

{{theorem |type=example |name=Tait計算による証明の例|label=examples-of-Tait-calculus-for-propositional-logic }}
例として $\vdash p\to q\to p$ を確かめてみる。
まず $p\to q\to p$ は $\lnot p\lor(\lnot q\lor p)$ の省略であった。
# $(\mathsf{id})$ により $\vdash \lnot p\lor(\lnot q\lor p),\lnot q\lor p,\lnot p, p$ 。ここで主論理式は $\lnot p, p$ 。
# 1と $(\lor)$ により $\vdash\lnot p\lor(\lnot q\lor p),\lnot p,\lnot q\lor p$ 。ここで主論理式は $\lnot q\lor p$ 、副論理式は $p$ である。
# 2と $(\lor)$ により $\vdash\lnot p\lor(\lnot q\lor p),\lnot p$ 。ここで主論理式は $\lnot p\lor(\lnot q\lor p)$ 、副論理式は $\lnot q\lor p$ である。
# 3と $(\lor)$ により $\vdash\lnot p\lor(\lnot q\lor p)$ 。ここで主論理式は $\lnot p\lor(\lnot q\lor p)$ 、副論理式は $\lnot p$ である。

{{theorem |type=definition |name=証明木|label=proof-tree }}
形式的証明をグラフィカルに表示したいときしばし用いられる、'''証明木''' (proof tree) を紹介する。
証明木は名前の通り木構造を持ち、葉に始件がラベルされ、根に証明する推件がラベルされ、隣接するノードの間は推論規則で結ばれている。また根を下に、葉を上に書く。
例えば
\begin{prooftree}
\AxiomC{$\Gamma_0$}
\AxiomC{$\Gamma_1$}
\BinaryInfC{$\Delta$}
\end{prooftree}
のように表したとき $\Gamma_0$ と $\Gamma_1$ から $\Delta$ が導かれたことを表す。
推論規則 $(\land)$ は
\begin{prooftree}
\AxiomC{$\Gamma,\varphi_0\land\varphi_1,\varphi_0$}
\AxiomC{$\Gamma,\varphi_0\land\varphi_1,\varphi_1$}
\RightLabel{$(\land)$}
\BinaryInfC{$\Gamma,\varphi_0\land\varphi_1$}
\end{prooftree}
と表される。
推論規則 $(\lor)$ は
\begin{prooftree}
\AxiomC{$\Gamma,\varphi_0\lor\varphi_1,\varphi_i$}
\RightLabel{$(\lor)$}
\UnaryInfC{$\Gamma,\varphi_0\lor\varphi_1$}
\end{prooftree}
と表される。

一般的に始件と推論規則が与えられたとき証明木は以下のように定義される。
# 始件は証明木である。
# $\mathcal{D}_0,\ldots\mathcal{D}_n$ が証明木で各証明木 $\mathcal{D}_i$ の一番下にある推件が、推論規則 $(I)$ の上件と一致し、$I$ の下件を $\Gamma$ とするとき、
\begin{prooftree}\AxiomC{$\mathcal{D}_0$}\AxiomC{$\cdots$}\AxiomC{$\mathcal{D}_n$}\RightLabel{$(I)$}\TrinaryInfC{$\Gamma$}\end{prooftree}は証明木である。

{{theorem |type=example |name=証明木の例|label=example-of-proof-tree }}
$(\lnot p\lor q)\lor(p\land \lnot q)$ の証明木は以下の通りである。
\begin{prooftree}
\AxiomC{$(\lnot p\lor q)\lor(p\land \lnot q),\lnot p\lor q,(p\land \lnot q),\lnot p,p$}
\RightLabel{$(\lor)$}
\UnaryInfC{$(\lnot p\lor q)\lor(p\land \lnot q),\lnot p\lor q,(p\land \lnot q),p$}
\AxiomC{$(\lnot p\lor q)\lor(p\land \lnot q),\lnot p\lor q,(p\land \lnot q),\lnot q,q$}
\RightLabel{$(\lor)$}
\UnaryInfC{$(\lnot p\lor q)\lor(p\land \lnot q),\lnot p\lor q,(p\land \lnot q),\lnot q$}
\RightLabel{$(\land)$}
\BinaryInfC{$(\lnot p\lor q)\lor(p\land \lnot q),\lnot p\lor q,(p\land \lnot q)$}
\RightLabel{$(\lor)$}
\UnaryInfC{$(\lnot p\lor q)\lor(p\land \lnot q),\lnot p\lor q$}
\RightLabel{$(\lor)$}
\UnaryInfC{$(\lnot p\lor q)\lor(p\land \lnot q)$}
\end{prooftree}
{{theorem |type=proposition |name='''証明論的コンパクト性''' (proof-theoretic compactness) |label=proof-theoretic-compactness }}
$T\vdash\varphi$ であるならば、ある $T$ の有限部分集合 $T'$ が存在して $T'\vdash\varphi$ である。
{{begin |proof | collapsible=1 | boxed=1}}
証明に現れる始件 $(T)$ の個数は有限個であり、その主論理式全体の集合を $T'$ とし、$(T)$ の代わりに $(T')$ を用いれば良い。正確にはTait計算の定義に関する帰納法で示す必要があるが推論規則を用いて導出された場合は明らかである。
{{end |proof }}
{{theorem |type=proposition |name='''弱化補題''' (weakening lemma) |label=weakening-lemma}}
$T\vdash\Gamma$ ならば $T\vdash\Gamma,\Delta$ である。
{{begin |proof | collapsible=1 | boxed=1}}
Tait計算の定義に関する帰納法で示す。まず始件の場合 $T\vdash\Gamma$ が始件なら $T\vdash\Gamma,\Delta$ も始件になるため良い。
推論規則を用いて $T\vdash\Gamma$ から $T\vdash\Gamma'$ が導出されたとする。$T\vdash\Gamma$ に帰納法の仮定を用いることで $T\vdash\Gamma,\Delta$ であり、同じ推論規則を適用することで $T\vdash\Gamma',\Delta$ となる。
{{end |proof }}
{{theorem |type=proposition |name='''トートロジー''' (tautology-lemma) |label=tautology-lemma}}
任意の論理式 $\varphi$ に対して $T\vdash \lnot\varphi,\varphi$ である。
{{begin |proof | collapsible=1 | boxed=1}}
論理式の定義に関する帰納法で示す。まず原子論理式 $p$ に対しては $(\mathsf{id})$ から良い。$\varphi$ が $\varphi_0\land\varphi_1$ の場合、帰納法の仮定と弱化補題から $T\vdash\lnot\varphi_0,\varphi_0,\lnot\varphi_1,\varphi_0\land\varphi_1,\lnot\varphi_0\lor\lnot\varphi_1$ かつ $T\vdash\lnot\varphi_1,\varphi_1,\lnot\varphi_0,\varphi_0\land\varphi_1,\lnot\varphi_0\lor\lnot\varphi_1$ であり $(\land)$ から $T\vdash\lnot\varphi_0,\lnot\varphi_1,\varphi_0\land\varphi_1,\lnot\varphi_0\lor\lnot\varphi_1$ であり $(\lor)$ を二回適用して $T\vdash\varphi_0\land\varphi_1,\lnot\varphi_0\lor\lnot\varphi_1$ となる。$\varphi$ が $\varphi_0\lor\varphi_1$ の場合も同様に示せる。
{{end |proof }}
{{theorem |type=proposition |name='''$\land$-遡及補題''' ($\land$-inversion lemma) |label=inversion-of-conjunction}}
$T\vdash\Gamma,\varphi_0\land\varphi_1$ ならば任意の $i\in 2$ に対し $T\vdash\Gamma,\varphi_i$ である。
{{begin |proof | collapsible=1 | boxed=1}}
Tait計算の定義に関する帰納法で示す。まず $(\mathsf{id}),(\top)$ によって $\Gamma,\varphi_0\land\varphi_1$ が始件である場合、$\overline{p},p\in\Gamma,$ あるいは $\top\in\Gamma$ であり、よって同じ始件から $T\vdash\Gamma,\varphi_i$ となる。
また $\varphi_0\land\varphi_1\in T$ から $(T)$ によって始件となる場合を考える。この場合[[#tautology-lemma|トートロジー補題]]、[[#weakening-lemma|弱化補題]]から $T\vdash\varphi_i,\lnot\varphi_i,\lnot\varphi_0\lor\lnot\varphi_1$ であり $(\lor)$ から $T\vdash\varphi_i,\lnot\varphi_0\lor\lnot\varphi_1$ であり、$T\vdash\Gamma,\varphi_0\land\varphi_1$ から $(\mathsf{cut})$ を用いることで $T\vdash\Gamma,\varphi_i$ を得る。

$(\land)$ 以外の推論規則の場合は帰納法の仮定から明らかである。よって $(\land)$ で $T\vdash\Gamma,\varphi_0\land\varphi_1$ が導けたとする。ここで　$\varphi_0\land\varphi_1$を主論理式としよう。
$(\land)$ を用いていて $\varphi_0\land\varphi_1$ が主論理式であることから $T\vdash\Gamma,\varphi_i,\varphi_0\land\varphi_1$ である。よって帰納法の仮定から $T\vdash\Gamma,\varphi_i$ となる。
{{end |proof }}
{{theorem |type=proposition |name='''$\lor$-遡及補題''' ($\lor$-inversion lemma) |label=inversion-of-disjunction}}
$T\vdash\Gamma,\varphi_0\lor\varphi_1$ ならば $T\vdash\Gamma,\varphi_0,\varphi_1$ である<ref group="脚注">「$T\vdash\Gamma,\varphi_0\lor\varphi_1$ ならばある $i\in 2$ に対して $T\vdash\Gamma,\varphi_i$ である。」という命題を'''選言特性''' (disjunction property) という。選言特性は古典論理に於いて一般的に成り立たないことが知られている。例えば $T$ 空としたとき、原子論理式 $p$ に対して $\lnot p\lor p$ は明らかに証明可能である。一方 $p$ と $\lnot p$ はどちらも証明不能となる。一方、[[直観主義論理]]や[[線形論理]]などの非古典論理では成り立つ場合があることが知られている。</ref>。
{{begin |proof | collapsible=1 | boxed=1}}
Tait計算の定義に関する帰納法で示す。まず $(\mathsf{id}),(\top)$ によって $\vdash\Gamma,\varphi_0\lor\varphi_1$ が始件である場合、$\overline{p},p\in\Gamma,$ あるいは $\top\in\Gamma$ であり、よって同じ始件から $T\vdash\Gamma,\varphi_0,\varphi_1$ となる。
また $\varphi_0\lor\varphi_1\in T$ から $(T)$ によって始件となる場合を考える。この場合[[#tautology-lemma|トートロジー補題]]、[[#weakening-lemma|弱化補題]]から $T\vdash\varphi_i,\lnot\varphi_i,\varphi_{1-i},\lnot\varphi_0\land\lnot\varphi_1$ であり $(\land)$ から $T\vdash\varphi_0,\varphi_1,\lnot\varphi_0\land\lnot\varphi_1$ であり、$T\vdash\Gamma,\varphi_0\lor\varphi_1$ から $(\mathsf{cut})$ を用いることで $T\vdash\Gamma,\varphi_0,\varphi_1$ を得る。

$(\lor)$ 以外の推論規則の場合は帰納法の仮定から明らかである。よって $(\lor)$ で $T\vdash\Gamma,\varphi_0\lor\varphi_1$ が導けたとする。ここで　$\varphi_0\lor\varphi_1$を主論理式としよう。
$(\lor)$ を用いていて $\varphi_0\lor\varphi_1$ が主論理式であることからある $i\in 2$ に対して $T\vdash\Gamma,\varphi_i,\varphi_0\lor\varphi_1$ である。よって帰納法の仮定から $T\vdash\Gamma,\varphi_0,\varphi_1$ となる。
{{end |proof }}
{{theorem |type=proposition |name='''演繹定理''' (deduction theorem) |label=deduction-theorem}}
任意の理論 $T$ と推件 $\Gamma$ 、論理式 $\varphi$ に関して以下は同値である。
# $T+\varphi\vdash\Gamma$ である。
# $T\vdash\lnot\varphi,\Gamma$ である。
{{begin |proof | collapsible=1 | boxed=1}}
まず $T+\varphi\vdash\Gamma$ を仮定したとき、$T\vdash\lnot\varphi,\Gamma$ が成り立つことをTait
計算の定義に関する帰納法で示す。始件の場合 $(T+\varphi)$ によって $\varphi\in\Gamma$ に対し $T+\varphi\vdash\Gamma$ となるとき以外は明らかである。
$(T+\varphi)$ によって $T+\varphi\vdash\Delta,\varphi$ としよう。ここで$\Delta:=\Gamma\setminus\{\varphi\}$ とする。[[#tautology-lemma|トートロジー補題]]、[[#weakening-lemma|弱化補題]]から $T\vdash\Delta,\lnot\varphi,\varphi$ であり良い。

推論規則によって $T+\varphi\vdash \Gamma'$ から $T+\varphi\vdash \Gamma$ が導かれた場合帰納法の仮定から $T\vdash \lnot\varphi,\Gamma'$ であり同じ推論規則を適用することで $T\vdash \lnot\varphi,\Gamma$ である。

次に $T\vdash\lnot\varphi,\Gamma$ を仮定して $T+\varphi\vdash\Gamma$ を示す。明らかに$T+\varphi\vdash\lnot\varphi,\Gamma$ であり、$(T+\varphi)$ から $T+\varphi\vdash\varphi$ であるから $(\mathsf{cut})$ から $T+\varphi\vdash\Gamma$ である。
{{end |proof }}
{{theorem |type=corollary |name='''演繹定理''' (deduction theorem) |label=deduction-theorem2}}
任意の理論 $T$ と推件 $\Gamma$ 、論理式 $\varphi$ に関して以下は同値である。
# $T+\varphi\vdash\psi$ である。
# $T\vdash\varphi\to\psi$ である。
{{begin |proof | collapsible=1 | boxed=1}}
$T\vdash\varphi\to\psi$ であることと $T\vdash\lnot\varphi,\psi$ であることが同値であることと[[#deduction-theorem|演繹定理]]から従う。$T\vdash\varphi\to\psi$ ならば $T\vdash\lnot\varphi,\psi$ であることは $\varphi\to\psi$ が $\lnot\varphi\lor\psi$ の略記であったことと [[#inversion-of-disjunction|$\lor$-遡及補題]]による。逆は[[#weakening-lemma|弱化補題]]によって $T\vdash\lnot\varphi\lor\psi,\lnot\varphi,\psi$ であり、$(\lor)$ を二回用いれば良い。
{{end |proof }}
=== 完全性とコンパクト性 ===
命題論理の基本的性質である完全性定理とコンパクト性定理に関して述べる。一般に証明可能性関係 $\vdash$ と論理的帰結関係 $\models$ が与えられたとき「 $T\vdash\varphi$ ならば $T\models\varphi$ 」という形をした主張を'''健全性''' (soundness) といい、逆「 $T\models\varphi$ ならば $T\vdash\varphi$ 」という形をした主張を'''完全性''' (completeness) という。完全性、及び健全性が成り立てば異なるが同値となる二つの関係 $\vdash$ 、$\models$ から論理を分析することができ、とても扱いやすい。
以下では上述した証明可能性関係と論理的帰結関係に対して完全性定理と健全性定理が成り立つことを示し、その帰結として'''コンパクト性定理''' (compactness theorem) を示す。

証明の方針を大まかに説明する。定理の主張自体は、理論 $T$ に対し、無矛盾性、すなわち $\bot$ の証明不能性と、モデルの存在性から即座に導かれる。よって無矛盾な理論に対してモデルの存在を示せば良い訳であるが、モデルを存在することを示すために、任意の論理式 $\varphi$ に対して $U\vdash\varphi$ か $U\vdash\lnot\varphi$ が成り立ち、かつ無矛盾であるという条件を満たす理論、極大無矛盾理論という概念を定義する。極大無矛盾理論さえ存在すればその理論から自然に付値、モデルの存在が言えるので極大無矛盾理論への拡大が寛容である。この拡大は理論の包含関係が帰納的半順序を成すことに気づけば[[Zornの補題]]を用いることで取ることができる。よって完全性定理が示される訳だ。
{{theorem |type=theorem |name='''健全性定理''' (soundness theorem) |label=soundness-theorem}}
{{begin |proof | collapsible=1 | boxed=1}}
任意の理論 $T$ に対して、$T\vdash\varphi$ ならば $T\models\varphi$ である。
Tait計算の定義に関する帰納法で $T\vdash\Gamma$ ならば、ある $\varphi\in\Gamma$ が存在して $T\models\varphi$ となることを示す。

始件 $(\mathsf{id})$ によって $T\vdash\Gamma,\lnot p,p$ の場合、任意の付値 $\nu$ に対して明らかに $\nu(p)=1$ か $\nu(\lnot p)=1$ となるため良い。

始件 $(\top)$ によって $T\vdash\Gamma,\top$ となる場合、任意の付値 $\nu$ に対して $\nu(\top)=1$ となり良い。

始件 $(T)$ によって $\varphi\in T$ に対して $T\vdash\Gamma,\varphi$ となる場合、 $T$ を充足する任意の付値に対して $\nu(\varphi)=1$ となり良い。

推論規則 $(\land)$ によって $i\in 2$ に対して $T\vdash\Gamma,\varphi_0\land\varphi_1,\varphi_i$ から $T\vdash\Gamma,\varphi_0\land\varphi_1$ になる場合、帰納法の仮定から、任意の $i\in 2$ に対して、ある$\psi_i\in\Gamma\cup\{\varphi_0\land\varphi_1,\varphi_i\}$ が存在して $T\models\psi_i$ である。
$\psi_i$ が $\varphi_i$ と等しいとき以外は明らかであるためその場合を考える。$T\models\varphi_0$ かつ $T\models\varphi_1$ であり、よって $\nu\models T$ を満たす付値 $\nu$ を任意に取ると $\nu\models\varphi_0$ かつ $\nu\models\varphi_1$ であり $\models$ の定義から $\nu\models\varphi_0\land\varphi_1$ である。よって $T\models\varphi_0\land\varphi_1$ である。

推論規則 $(\lor)$ によって、ある $i\in 2$ に対して $T\vdash\Gamma,\varphi_0\lor\varphi_1,\varphi_i$ から $T\vdash\Gamma,\varphi_0\lor\varphi_1$ になる場合、帰納法の仮定から、ある $i\in 2$ に対して、$\psi_i\in\Gamma\cup\{\varphi_0\lor\varphi_1,\varphi_i\}$ が存在して $T\models\psi_i$ である。
$\psi_i$ が $\varphi_i$ と等しいとき以外は明らかであるためその場合を考える。$T\models\psi_i$ であり、よって $\nu\models T$ を満たす付値 $\nu$ を任意に取ると $\nu\models\varphi_i$ であり、$\models$ の定義から $\nu\models\varphi_0\lor\varphi_1$ である。よって $T\models\varphi_0\lor\varphi_1$ である。

推論規則 $(\mathsf{cut})$ によって $T\vdash\Gamma,\varphi$ かつ $T\vdash\lnot\varphi,\Delta$ から $T\vdash\Gamma,\Delta$ になる場合、帰納法の仮定から、ある $\psi\in\Gamma\cup\{\varphi\}$ に対して $T\models\psi$ かつある $\chi\in\Delta\cup\{\lnot\varphi\}$ に対して $T\models\chi$ である。
$\psi\in\Gamma$ か $\chi\in\Delta$ の場合、$\Gamma\subseteq\Gamma\cup\Delta$ と $\Delta\subseteq \Gamma\cup\Delta$ から明らかである。よって問題になるのは $psi$ が $\varphi$ で $\chi$ が $\lnot\varphi$ である場合だが、これはありえない。
なぜなら任意の付値 $\nu$ に対して $\nu\models\varphi$ かつ $\nu\models\lnot\varphi$ は $\nu\models\varphi\land\lnot\varphi$ と同値であり、これは命題1.2.4から $\overline{\nu}(\varphi\land\lnot\varphi)=1$ と同値であり、つまり $\min\{\nu(\varphi),1-\nu(\varphi)\}=1$ であるが、$\nu(\varphi)$ が $0$ であろうが $1$ であろうがこれはありえない。
また $\nu\models T$ なる $\nu$ が存在しない場合は、無内容的<ref group="脚注">"vacuously"の訳として「無内容的」という語を用いた。</ref>に任意の論理式 $\varphi$ に対して $T\models\varphi$ であり良い。
{{end |proof }}
{{theorem |type=definition |name=無矛盾と矛盾 |label=consistency-and-inconsistency}}
理論 $T$ が'''矛盾''' (inconsistent) するとは $T\vdash\bot$ となることであり、'''無矛盾''' (consistent) であるとは $T\nvdash\bot$ となることである。
{{theorem |type=proposition |name=矛盾の同値性 |label=equivalence-between-definitions-of-inconsistency}}
任意の理論 $T$ に対して以下は互いに同値である。
# ある論理式 $\varphi$ に対して $T\vdash\varphi\land\lnot\varphi$ である。
# $T\vdash\emptyset$ である。
# $T\vdash\bot$ である。
# 任意の論理式 $\varphi$ に対して $T\vdash\varphi$ である。

{{begin |proof | collapsible=1 | boxed=1}}
1を仮定して2を示す。[[#inversion-of-conjunction|$\land$-遡及補題]]から $T\vdash\varphi$ かつ $T\vdash\lnot\varphi$ であり $(\mathsf{cut})$ によって $T\vdash\emptyset$ となる。

2を仮定して3,4を示す。仮定から[[#weakening-lemma|弱化補題]]を用いれば良い。

3を仮定して2を示す。仮定から $T\vdash\bot$ であり $(\top)$ から $T\vdash\top$ となり $(\mathsf{cut})$ から $T\vdash\emptyset$ である。

4から1は明らかである。
{{end |proof }}
{{theorem |type=corollary |name=無矛盾の同値性 |label=equivalence-between-definitions-of-consistency}}
任意の理論 $T$ に対して以下は互いに同値である。
# 任意の論理式 $\varphi$ に対して $T\nvdash\varphi\land\lnot\varphi$ である。
# $T\nvdash\emptyset$ である。
# $T\nvdash\bot$ である。
# ある論理式 $\varphi$ に対して $T\nvdash\varphi$ である。

{{begin |proof | collapsible=1 | boxed=1}}
[[#equivalence-between-definitions-of-inconsistency|矛盾の同値性]]から明らかである。
{{end |proof }}
{{theorem |type=proposition |name=矛盾と証明可能性の関係|label=relationship-between-provability-and-inconsistency}}
任意の理論 $T$ 、論理式 $\varphi$ に対して以下は互いに同値である。
* $T+\lnot\varphi$ が矛盾する。
* $T\vdash\varphi$ である。
{{begin |proof | collapsible=1 | boxed=1}}
[[#equivalence-between-definitions-of-inconsistency|矛盾の同値性]]から $T+\lnot\varphi$ が矛盾することは $T+\lnot\varphi\vdash\emptyset$ であることと同値であり[[#deduction-theorem|演繹定理]]から $T\vdash\varphi$ と同値である。
{{end |proof }}
{{theorem |type=proposition |name=無矛盾性と証明可能性の双対性|label=duality-between-provability-and-consistency}}
* $T+\lnot\varphi$ が無矛盾である。
* $T\nvdash\varphi$ である。
{{begin |proof | collapsible=1 | boxed=1}}
[[#relationship-between-provability-and-inconsistency|矛盾と証明可能性の関係]]から明らか。
{{end |proof }}
{{theorem |type=definition |name=極大無矛盾性|label=maximally-consistency}}
理論 $T$ が'''極大無矛盾''' (maximally consistent) であるとは無矛盾であり、'''極大性''' (maximality) 、$\mathrm{Th}(T)\subsetneq\mathrm{Th}(S)$ なる無矛盾な理論 $S$ が存在しないことである。
{{theorem |type=proposition |name=極大無矛盾な理論の証明可能性|label=provability-of-maximally-consistent-theory}}
理論 $T$ が極大無矛盾であると仮定する。このとき任意の論理式 $\varphi$ に対して $T\vdash\varphi$ または $T\vdash\lnot\varphi$ である。
{{begin |proof | collapsible=1 | boxed=1}}
背理法で示す。
ある論理式 $\varphi$ に対して $T\nvdash\varphi$ かつ $T\nvdash\lnot\varphi$であるとしよう。
$T\nvdash\lnot\varphi$ から $\lnot\varphi \notin\mathrm{Th}(T)$ であり、$\mathrm{Th}(T)\subsetneq\mathrm{Th}(T+\lnot\varphi)$ であるが、$T\nvdash\varphi$ と[[#duality-between-provability-and-consistency|無矛盾性と証明可能性の双対性]]から $T\cup\{\lnot\varphi\}$ は無矛盾であり、よって極大性に矛盾する。
{{end |proof }}
{{theorem |type=definition |name=極大無矛盾な理論に伴う付値|label=valuation-induced-by-maximally-consistent-theory}}
極大無矛盾な理論 $U$ に対して付値 $\nu_U$ 以下のように定める。

$ \nu_U(p):=\begin{cases} 1 & U\vdash p\\ 0 & U\vdash \lnot p \end{cases}$。
{{theorem |type=proposition |name=極大無矛盾な理論に伴う付値と証明可能性の関係|label=relationship-between-provability-and-valuation-induced-by-maximally-consistent-theory}}
極大無矛盾な理論 $U$ に対して以下が成り立つ。
# 任意の論理式 $\varphi$ に対して $\nu_U\models\varphi$ と $U\vdash\varphi$ は同値である。
# $\nu_U\models U$ である。
# $\mathrm{Th}(T)\subseteq\mathrm{Th}(U)$ を満たす任意の理論 $T$ に対して $\nu_U\models T$ である。
{{begin |proof | collapsible=1 | boxed=1}}
1を論理式の構成に関する帰納法で示す。命題変数 $p$ に対して $\nu_U\models p$ と $U\vdash p$ が同値なのは定義より明らかである。

$\nu_U\models \varphi_0\land\varphi_1$ と $U\vdash\varphi_0\land\varphi_1$ の同値性は帰納法の仮定から、任意の $i\in 2$ に対して $\nu_U\models \varphi_i$ と $U\vdash\varphi_i$ は同値であり、また任意の $i\in 2$ に対して $U\vdash\varphi_i$ であることと $U\vdash\varphi_0\land\varphi_1$ であることが同値なことが[[#weakening-lemma|弱化補題]]と [[#inversion-of-conjunction|$\land$-遡及補題]]から従うため良い。

$\nu_U\models \varphi_0\lor\varphi_1$ と $U\vdash\varphi_0\lor\varphi_1$ の同値性は互いの否定、 $\nu_U\models \lnot\varphi_0\land\lnot\varphi_1$ と $U\nvdash\varphi_0\lor\varphi_1$ を考えると[[#provability-of-maximally-consistent-theory|極大無矛盾な理論の証明可能性]]から $U\nvdash\varphi_0\lor\varphi_1$ と $U\vdash\lnot\varphi_0\land\lnot\varphi_1$ が同値であることから上と同じ議論から従う。

2は1から、3は2から明らかである。
{{end |proof }}
{{theorem |type=lemma |name=極大無矛盾理論への拡大|label=extending-to-maximally-consistent-theory}}
任意の無矛盾な理論 $T$ に対してある極大無矛盾な理論 $U$ が存在し $T\subseteq U$ が成り立つ。
{{begin |proof | collapsible=1 | boxed=1}}
$T\subseteq S$となる無矛盾な理論 $S$ 全体からなる集合を $\mathcal{B}_T$ とする。
まず $T\in \mathcal{B}_T$ から $\mathcal{B}_T$ は空ではない。また $\mathcal{B}_T$ 上の順序を$\leq_{\mathcal{B}_T}$ を

$$A\leq_{\mathcal{B}_T} B:\Leftrightarrow A\subseteq B$$

とすれば、包含関係 $\subseteq$ が半順序になることから $\langle\mathcal{B}_T;\leq_{\mathcal{B}_T}\rangle$ は半順序である。[[Zornの補題]]を用いて示すため、$\langle\mathcal{B}_T;\leq_{\mathcal{B}_T}\rangle$ が帰納的半順序であることを示したい。すなわち $\langle\mathcal{B}_T;\leq_{\mathcal{B}_T}\rangle$ の鎖、すなわち $X\subseteq\mathcal{B}_T$ を $\langle X,\leq_{\mathcal{B}_T}\!\restriction\! X\rangle$ が全順序になるように任意に取り、$T_X:=\bigcup X$ と定めたとき、これが $\mathcal{B}_T$ 上の $X$ の上界となることを示したい。
ここで $X$ が空なときは自明に上界を持つためは空でないとして良い。
$T\subseteq T_X$ は明らかであるから $T_X\in\mathcal{B}_T$ であることを示すためには $T_X$ が無矛盾であることを示せば良い。

$T_X$ が無矛盾であることを背理法で示そう。矛盾するとすれば $T_X\vdash\emptyset$ であり、[[#proof-theoretic-compactness|証明論的コンパクト性]]から、ある有限集合 $T_X'\subseteq T_X$ が存在し $T_X'\vdash\emptyset$ である。ここで $T_X'$ は空でないとして良い。もし空なら自明な公理 $\top$ を考える、すなわち $T_X\vdash\emptyset$ ならば $\{\top\}\vdash\emptyset$ となることから $T'_X:=\{\top\}$ としてしまえば良いからである。
任意の $\varphi\in T_X'$ に対して $\varphi\in T_\varphi$ なる理論 $T_\varphi\in X$ が存在するため、それを一つずつ固定する。$X$ は全順序集合であったから、ある $\psi\in T_X'$ が存在し $T_\psi$ が $\{T_\varphi\mid\varphi\in T_X'\}$ に於いて最大となる。すなわち任意の $\varphi\in T_X'$ に対して $T_\varphi\subseteq T_\psi$ となるような $\psi\in T_X'$ が取れる。
よって $T_X'\subseteq T_\psi$ であり、$T_X'\vdash\emptyset$ であるから $T_\psi\vdash\emptyset$ となる。しかし $T_\psi\in \mathcal{B}_T$ で $\mathcal{B}_T$ の元は無矛盾な理論であるため矛盾する。

上の議論から $\langle\mathcal{B}_T;\leq_{\mathcal{B}_T}\rangle$ は帰納的半順序、すなわち [[Zornの補題]]の仮定を満たす。よって [[Zorn
の補題]]から極大元 $U$ を持つ。これは $A\subseteq B$ が $\mathrm{Th}(A)\subseteq\mathrm{Th}(B)$ を含意するため明らかに極大無矛盾な理論である。
{{end |proof }}
{{theorem |type=theorem |name='''モデル存在性定理''' (model existence theorem)|label=model-existence-theorem}}
任意の理論 $T$ に対し以下は同値である。
# $T$ は無矛盾である。
# $\nu\models T$ となる付値 $\nu$ が存在する。
{{begin |proof | collapsible=1 | boxed=1}}
1を仮定して2を示す。[[#extending-to-maximally-consistent-theory|極大無矛盾理論への拡大]]から $T$ の極大無矛盾拡大 $U$ を取る。[[#relationship-between-provability-and-valuation-induced-by-maximally-consistent-theory|極大無矛盾な理論に伴う付値と証明可能性]]から $\nu_U\models T$ となり良い。

2を仮定して1を示す。対偶 $T$ が矛盾するならば、任意の付値 $\nu$ に対して $\nu\models T$ とならないことを示そう。
$T$ が矛盾することから $T\vdash\bot$ であり、[[#soundness-theorem|健全性定理]]から $T\models\bot$ である。しかし $\bot$ を充足する付値は存在しないため $T$ を充足する付値も存在しない。
{{end |proof }}
{{theorem |type=theorem |name='''完全性定理''' (completeness theorem)|label=completeness-theorem}}
任意の理論 $T$ 論理式 $\varphi$ に対して $T\models\varphi$ ならば $T\vdash\varphi$ である。また[[#soundness-theorem|健全性定理]]と合わせると
* $T\vdash\varphi$ である。
* $T\models\varphi$ である。
は同値となる。
{{begin |proof | collapsible=1 | boxed=1}}
対偶を示そう。[[#duality-between-provability-and-consistency|無矛盾性と証明可能性の双対性]]から $T\nvdash\varphi$ ならば $T+\lnot\varphi$ は無矛盾であり、[[#model-existence-theorem|モデル存在性定理]]から $\nu\models T+\lnot\varphi$ となる付値 $\nu$ が存在する。
よって[[#relationship-between-extended-valuation-and-satisfiability-relation]充足可能性と論理的帰結の関係]から $T\models \varphi$ にはなりえない。
{{end |proof }}
{{theorem |type=proposition |name=証明論的コンパクト性と無矛盾性|label=proof-theoretic-compactness-and-consistency}}
任意の理論 $T$ に対し以下は同値である。
* $T$ が無矛盾である。
* $T$ の任意の有限部分集合 $T'$ は無矛盾である。
{{begin |proof | collapsible=1 | boxed=1}}
[[#proof-theoretic-compactness|証明論的コンパクト性]]から明らかである。
{{end |proof }}
{{theorem |type=theorem |name=コンパクト性定理|label=compactness-theorem}}
任意の理論 $T$ に対し以下は同値である。
* $\nu\models T$ なる付値 $\nu$ が存在する。
* 任意の有限集合 $T'\subseteq T$ に対し、ある付値 $\nu$ が存在して $\nu\models T'$ となる。
{{begin |proof | collapsible=1 | boxed=1}}
[[#proof-theoretic-compactness-and-consistency|証明論的コンパクト性と無矛盾性]]、及び[[#completeness-theorem|完全性定理]]から明らかである。
{{end |proof }}

=== 脚注 ===
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}}

到達不能基数

2021-09-27T06:01:39Z

Alwe:

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'''到達不能基数''' (inaccessible cardinal) とは、集合論における巨大基数概念の最も基本的かつ重要なひとつである。集合論以外の文脈においても、[[Grothendieck宇宙]]などの概念とも関連する重要な基数である。しかしながらこの存在は[[ZFC公理系]]においては証明できない。
== 定義 ==
[[基数]] $\kappa$ が弱到達不能基数 (weakly inaccessible cardinal) であるとは、次の条件をみたすことをいう:
* $\kappa$ は正則基数である、
* $\kappa$ は極限基数。

[[基数]] $\kappa$ が(強)到達不能基数 (inaccessible cardinal) であるとは、次の条件をみたすことをいう:
* $\kappa$ は正則基数である、
* $\kappa$ は強極限基数($\lambda \lt \kappa$ について $2^\lambda \lt \kappa$)。
== 性質 ==
到達不能基数の存在は、[[ZFC]]公理系のもとでは示すことができない。これは[[不完全性定理]]による帰結である。実際、$\mathbb{V}$-[[累積階層]]のもとで $\kappa$ が到達不能基数であれば、$\mathbb{V}_\kappa$ は[[ZFC]]のモデルとなり、したがって[[ZFC]]の無矛盾性を証明できてしまうことになるが、これは矛盾である。

到達不能基数 $\kappa$ について $\mathbb{V}_\kappa$ は[[Grothendieck宇宙]]となる。逆にすべてのGrothendieck宇宙がこの形であることは容易に示される。

[[記述不能基数]]の言葉でいえば、$\kappa$ が到達不能基数であることと $\Sigma^1_1$-記述不能基数であることは同値である。

到達不能基数と弱到達不能基数の無矛盾性の強さは[[ZFC]]上で同値である。実際到達不能基数は[[構成可能宇宙]] $L$と共存し、$L$ では[[一般連続体仮説]]が成り立つため、到達不能基数と弱到達不能基数は一致する。また[[Shoenfield–Lévyの絶対性補題]]から $\Sigma^1_2$-論理式に対して、到達不能基数の存在と弱到達不能基数の存在の証明可能性は変わらない。

== 関連項目 ==
* [[集合論]]
* [[基数]]
* [[Grothendieck宇宙]]
* [[記述不能基数]]

到達不能基数

2021-09-27T06:01:15Z

Alwe: /* 性質 */

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'''到達不能基数''' (inaccessible cardinal) とは、集合論における巨大基数概念の最も基本的かつ重要なひとつである。集合論以外の文脈においても、[[Grothendieck宇宙]]などの概念とも関連する重要な基数である。しかしながらこの存在は[[ZFC公理系]]においては証明できない。
== 定義 ==
[[基数]] $\kappa$ が弱到達不能基数 (weakly inaccessible cardinal) であるとは、次の条件をみたすことをいう:
* $\kappa$ は正則基数である、
* $\kappa$ は極限基数。

[[基数]] $\kappa$ が(強)到達不能基数 (inaccessible cardinal) であるとは、次の条件をみたすことをいう:
* $\kappa$ は正則基数である、
* $\kappa$ は強極限基数($\lambda \lt \kappa$ について $2^\lambda \lt \kappa$)。
== 性質 ==
到達不能基数の存在は、[[ZFC]]公理系のもとでは示すことができない。これは[[不完全性定理]]による帰結である。実際、$\mathbb{V}$-[[累積階層]]のもとで $\kappa$ が到達不能基数であれば、$\mathbb{V}_\kappa$ は[[ZFC]]のモデルとなり、したがって[[ZFC]]の無矛盾性を証明できてしまうことになるが、これは矛盾である。

到達不能基数 $\kappa$ について $\mathbb{V}_\kappa$ は[[Grothendieck宇宙]]となる。逆にすべてのGrothendieck宇宙がこの形であることは容易に示される。

[[記述不能基数]]の言葉でいえば、$\kappa$ が到達不能基数であることと $\Sigma^1_1$-記述不能基数であることは同値である。

到達不能基数と弱到達不能基数の無矛盾性の強さは[[ZFC]]上で同値である。実際到達不能基数は[[構成可能宇宙]] $L$と共存し、$L$ では[[一般連続体仮説]]が成り立つため、到達不能基数と弱到達不能基数は一致する。また[[Shoenfield–Lévyの絶対性補題]]から $\sigma^1_2$-論理式に対して、到達不能基数の存在と弱到達不能基数の存在の証明可能性は変わらない。

== 関連項目 ==
* [[集合論]]
* [[基数]]
* [[Grothendieck宇宙]]
* [[記述不能基数]]