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テンプレート:OnlyForWriters

2021-05-02T14:12:28Z

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レンズ空間

2021-05-02T13:57:59Z

Administrator:

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{{TOC |align=right |noautonum=1 }}
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== レンズ空間 ('''書きかけ''')==
レンズ空間（lens space) とは基本的な閉三次元多様体の一つであり、ある種のホモトピー不変量が完全でない例として度々挙げられる。またはその一般化を含めてレンズ空間と呼ぶこともある。

== 定義 ==
まず $(p,q)$ を互いに素な自然数の組み($p\geq2$)とし、[[$n$次元球面|$3$ 次元球面]] $S^3$を $S^3\colon=\left\{(z_{1},z_{2})\in{\mathbb{C}}^2 \middle| |z_{1}|^2+|z_{2}|^{2}=1\right\}$ と ${\mathbb{C}}^2$ の部分空間と見なしておく。すると次のように $S^3$ に $\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}$ を[[作用]] させることができる。

\begin{eqnarray}
\large
S^{3}\times(\mathbb{Z}/p\mathbb{Z})\hspace{2.5mm}&\to& \hspace{16mm}S^{3} \\
\large
((z,w),n+p\mathbb{Z})\hspace{2mm}&\mapsto& (z e^{\frac{2n\pi}{p}\sqrt{-1}},w e^{\frac{2qn\pi}{p}\sqrt{-1}})
\end{eqnarray}

この作用による商空間を $\rm{L}(p;q):=S^{3}/(\mathbb{Z}/p\mathbb{Z})$ を'''$(p;q)$ レンズ空間'''と呼ぶ。またその一般化との整合性のため $\rm{L}(p;1,q)$ と書かれることもある

== 定義(一般化レンズ空間もしくは高次元レンズ空間) ==
同様の方法でより高次元の球に $\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}$ を作用をさせることができる。
まず $(p;q_{1},q_{2},\cdots,q_n)$ を自然数の組であって、$p\geq 2$、どの $i$ についても $p$ と $q_{i}$ は互いに素であるとする。$(2n-1)$次元球面も同様に、${(z_{1},z_{2},\cdots,z_{n})\in{\mathbb{C}}^n \middle| \sum_{j=1}^{n}|z_{j}|^2=1\right\}$ として ${\mathbb{C}}^n$ の部分空間と見なしておく。

== 位相的性質 ==
* 異なる $n$ に対して互いに[[同相]]でなく[[ホモトピー|ホモトピー同値]]でもない。
* $S^n$ は $n$ 次元[[多様体の向き|向き付け可能]][[多様体]]で[[分離公理|Hausdorff]]である。
* $S^n$ は[[ユークリッド空間]]の[[有界]][[閉集合]]であるから[[コンパクト空間|コンパクト]]である。
* 正整数 $n$ に対して $S^n$ は[[連結空間|連結]]、またもっと強く[[弧状連結空間|弧状連結]]であるが $S^0$ は二点からなる離散空間であり連結でない。
* 正整数 $n$ に対して $S^n$ は $\mathbb{R}^n$ の[[コンパクト化|一点コンパクト化]]と同相である。

== 主な不変量の値 ==
* [[ホモロジー群]]
正整数 $n$ に対して整数係数特異[[ホモロジー群]]は $i=0,n$ に対してのみ $H_i(S^n;\mathbb{Z})\cong \mathbb{Z}$であり、その他の $i$ に対しては$H_i(S^n;\mathbb{Z})\cong \{0\}$となる。 $S^0$ は $i=0$ に対してのみ $H_i(S^0;\mathbb{Z})\cong \mathbb{Z} \oplus \mathbb{Z}$であり、その他の $i$ に対しては $H_i(S^0;\mathbb{Z})\cong \{0\}$である。

* [[コホモロジー群]]
[[Poincaré双対性]]によって整数係数特異コホモロジー群と整数係数ホモロジー群は $H^i(S^n;\mathbb{Z})\cong H_{n-i}(S^n;\mathbb{Z})$ の関係をみたしこれによりコホモロジー群は、$i=0,n$ に対してのみ $H^i(S^n;\mathbb{Z})\cong \mathbb{Z}$であり、その他の $i$ に対しては$H^i(S^n;\mathbb{Z})\cong \{0\}$となる。 $S^0$ は $i=0$ に対してのみ $H^i(S^0;\mathbb{Z})\cong \mathbb{Z} \oplus \mathbb{Z}$であり、その他の $i$ に対しては $H^i(S^0;\mathbb{Z})\cong \{0\}$であり、結果として(自然な対応ではないが) $H^i(S^n;\mathbb{Z})\cong H_i(S^n;\mathbb{Z})$ とホモロジー群と同型となる。

* [[基本群]]
正整数 $n$ に対して $S^n$ は弧状連結であるから基本群の同型類は基点の取り方によらない。$n=1$ の時のみ $\pi_1(S^n)\cong \mathbb{Z}$ であり $n>1$ に対しては $\pi_1(S^n)\cong \{0\}$、つまり[[単連結空間|単連結]]である。$n=0$ の時 $S^n$ は弧状連結でなかったから基点を選ぶ必要があるがどちらの点を基点としても基本群は自明となる。

* [[ホモトピー群]]
上に挙げたような[[不変量]] と異なり、今なお完全なリストは得られていない。詳しくは[[球面のホモトピー群]]を参照されたいがここでも特に重要な例をいくつか挙げる。$S^0$ はどの点を基点として取っても全てのホモトピー群は自明となる。正整数 $n$ に対して $\pi_n(S^n)\cong \mathbb{Z}$であり $0<i<n$ に対しては $\pi_i(S^n)\cong \{0\}$であり、これはつまり $S^n$ は [[$n$-連結空間|$(n-1)$-連結]] であるということである。また $S^1$ の高次のホモトピー群は自明となる。すなわち $i>1$ に対して $\pi_i(S^1)\cong \{0\}$ となる。これは[[被覆空間|普遍被覆]]の被覆写像 $p:\mathbb{R}\to S^1$ がホモトピー群の同型を誘導することと $\mathbb{R}$ が[[可縮空間|可縮]]でホモトピー群が自明になることより従う。
また非自明でかつ最も単純な例として[[Hopfファイブレーション]] と[[ファイバー束]]の[[ホモトピー長完全系列]] によって得られる $\pi_3(S^2)\cong \mathbb{Z}$ がある。

== 微分トポロジー的性質 ==
この項では $n$ は常に正整数であるとする。

* 微分構造
一般に入る[[微分構造]]は一意ではないが球面の定義の項で与えたノルムの二乗により得られる微分構造を $S^n$ の標準的 (standard) な微分構造という。実際例えば $S^7$ には少なくとも標準的な微分構造の他に[[微分同相]]でない $S^4$ 上の $S^3$ 束の構造からなる異なる微分構造の存在が知られている。標準的でない微分構造を備えた球面を'''エキゾチック球面'''(exotic sphere)と呼ぶ。どの次元の球面がエキゾチック球面になるか、またその時にどれだけお互い微分同相でない微分構造を持つかなどは現在も未解決である。少なくとも$S^1,S^2,S^3,S^5,S^6,S^{12},S^{56},S^{61}$ はエキゾチック球面の構造を持たないことが知られていて、$S^4$がどれだけ多くの微分構造を許容するかは現在も未解決である。

* 接束
標準的な微分構造を備えた $S^n$ のうち[[接束]] $TS^n$が自明となるのは $n=1,3,7$ のみであることが知られている。(Bott-Milnor , Kervaire)。特に $TS^2$ は非自明な [[ベクトル束]] で自明な一次元部分束も許容しないことが知られている。しかしながら $S^n$ 上の自明な一次元ベクトル束 $\epsilon^1_{S^n}$ と[[Whitney和]] を取ることでベクトル束として自明となる。つまり $TS^n\oplus \epsilon_{S^n}^{1}$ は自明となる。これは $S^n\subset \mathbb{R}^{n+1}$ の埋め込みによって接束が $TS^n \oplus \nu =T \mathbb{R}^{n+1} |_{S^n}\cong\epsilon^{n+1}_{S^n}$ と分解することより従う。ただし $\nu$ は[[法束]]である。

* [[Lie群]]構造
Lie群の接束は自明であるから、標準的 $S^n$ にLie群の構造が入るとすれば $n=1,3,7$ に限られる。実際に$S^1\cong \rm{U}(1)\cong \mathbb{R}/\mathbb{Z}$、$S^3\cong \rm{Sp}(1)\cong \rm{SU}(2)\cong\rm{Spin}(3)$ と具体的に与えられる。しかしながら $S^7$ にはLie群の構造が入らないことが知られている。これは[[多元体実現問題]]とも関連があり'''結合的な積'''がそなわるのは $2^0,2^1,2^2$次元のみであることと関連がある。ちなみに $2^0$ に対応するのは $S^0$ であり $\mathbb{Z} / 2\mathbb{Z}$ と同型で0次元Lie群として実現できる。

* Lie群の[[等質空間]] としての構造
標準 $S^n$ には自然に $\rm{O}(n+1)$、$\rm{SO}(n+1)$ が[[作用]]しこの作用は滑らか(解析的)かつ[[推移的]]である。この作用により $S^n$ は $\rm{O}(n+1)$、$\rm{SO}(n+1)$の等質空間となる。実際にLie群の等質空間は元のLie群の商として得られ$S^n\cong \rm{O}(n+1) / \rm{O}(n)$、$S^n\cong \rm{SO}(n+1)/\rm{SO}(n)$ (こちらは自然に[[多様体の向き|向き]]が定まる)として構成できる。また奇数次元 $S^{2n-1}$ に対しては $\mathbb{R}^{2n}$ を $\mathbb{C}^n$ と同一視することで $\rm{U}(n)$、$\rm{SU}(n)$ の等質空間、$S^{4n-1}$ に対しては $\mathbb{R}^{4n}$ を $\mathbb{H}^n$ と同一視することで $\rm{Sp}(n)$ の等質空間となる。(特殊)直交群の時と同様に $S^n$ は対応するLie群をさらに一つしたの次元のLie群で割ることで得られる。

* [[複素構造]]
[[複素多様体]]になり得るのは次元の制限によって偶数次元のみであるが、果たして $S^{2n}$ には複素構造が入るだろうか。実際には複素構造が入るものも入らないものも、また入るかそもそも未解決な物が存在する。例えば $S^2$ には複素構造が入り[[Riemann球面]]と呼ばれる複素多様体となる。対して$S^4 $は複素構造を持たないことが知られている。もっと強く $S^{4n}$ は[[特性類]]による制限で(具体的には[[Pontrjagin類|Pontrjagin数]]で)どれも複素構造が入らないことがわかる。したがって複素構造を許容するのは $S^{4n-2}$ の形のもののみであるが実際には $k\geq 4$ に対して $S^{2k}$ は複素構造を持たないどころか[[概複素構造]]さえ持たないということが知られている。したがって残るは $S^6$ のみであるが $S^6$ に複素構造が入るかはいまだに未解決(2021/2/9現在)である(概複素構造が入ることは知られている。)。

== リーマン幾何学的性質 ==
$2n$ 次元ユークリッド空間 $\mathbb{E}^{2n}$ の部分多様体としての $S^{2n+1}$ に $\mathbb{E}^{2n}$のユークリッド計量から定まる誘導計量を入れたものを $S^{2n+1}$ の標準的計量という。
これは断面曲率が１の定曲率空間であり、完備単連結で断面曲率が１のものはこれに限る。

== 参考文献 ==
* [https://amzn.to/3bGxqhx ミルナー・スタシェフ「特性類講義」]
* [https://amzn.to/2FhGxZS ハーシュ「微分トポロジー」]
* [https://amzn.to/3jVUTyb 小林・大島「リー群と表現論」]

== 関連項目 ==
* [[位相幾何]]
* [[Lie群]]
* [[等質空間]]
* [[微分構造]]
* [[Hopfファイブレーション]]
* [[接束]]
* [[Riemann球面]]

====== 脚注 ======
<references />

利用者:T. Uda/Test

2021-05-02T13:47:45Z

Administrator:

{{metadata |description=#0は自然数 #0は自然数 #0は自然数 #0は自然数 }}
$0 \in \mathbf{N}$.

[[Category:Test]]

Regular category

2021-05-02T13:45:27Z

Administrator: {{metadata}} のテスト

{{begin |preamble}}{{metadata}}
__MATHJAX2__

[[Category:圏論]]
{{newtheorem |type=thm |display=定理 |counter=0 }}
{{newtheorem |type=def |display=定義 |family=thm }}
{{newtheorem |type=prop |display=命題 |family=thm }}
{{newtheorem |type=ex |display=例示 |family=thm }}
{{newtheorem |type=cor |display=系 |family=thm }}
{{newtheorem |type=rem |display=注意 |family=thm }}
{{newtheorem |type=note |display=記法 |family=thm }}
{{newtheorem |type=lem |display=補題 |family=thm }}
{{newtheorem |type=axiom |display=公理 |family=thm }}
{{newtheorem |type=fact |display=事実 |family=thm }}
{{newtheorem |type=obs |display=観察 |family=thm }}
{{newtheorem |type=conj |display=予想 |family=thm }}

$\newcommand{\ordpair}[1]{ \langle #1 \rangle }$
$\newcommand{\map}[3]{ #1 \colon #2 \rightarrow #3 }$
$\newcommand{\cat}{\mathcal{C}}$
$\newcommand{\RegEpi}[1]{ \mathsf{RegEpi}(#1) }$
$\newcommand{\Mono}[1]{ \mathsf{Mono}(#1) }$

$\newcommand{\Setcat}{\mathsf{Set}}$

以下は以前の版で用いていた図式です：
<math>
\begin{xy}
\xymatrix {
d\times_c d \ar[d]^{p_1} \ar[r]_{p_2} & d \ar[d]_f \\
d \ar[r]^f & c
}
\end{xy}
</math>

{{end |preamble}}

== 概要 ==
''正則圏''（Regular Category）とは[[核対]]を持ち、かつ核対の[[コイコライザー]]を持つような圏であって、正則エピ射の[[引き戻し]]が再び正則エピ射であるものをいう。
圏 $\cat$ の射 $f$ について、$f$ の核対のコイコライザーを[[像]]という。この用語法を用いれば、前二つの条件は任意の射が像を持つような圏といいかえられる。
更に正則エピ射が引き戻しで閉じていることを用いると、像の持つホモロジー代数的な性質の幾つかを示すことができる。
この意味で正則圏はアーベル圏の非加法的な場合への一般化の一つと見做すことができ、実際、集合の為す圏 $\Setcat$ のような非アーベル（より強く非前加法的）な圏も含む概念であることに注意されたい。

== 定義 ==
{{theorem |type=def |label=def:RegCat_Def_RegCat |name=正則圏の定義 }}
圏 $\cat$ が ''正則圏''（Regular Category）であるとは、以下の条件を満たすことをいう。
* $\cat$ の任意の射 $f$ は[[核対]]を持つ。
* $\cat$ の任意の核対 $\ordpair{X , a, b }$ は余極限を持つ。即ち、任意の射 $\map{f}{C}{D}$ に対する引き戻し図式
<nowiki>
\begin{xy}
\xymatrix {
X \ar[d]^{a} \ar[r]_{b} & D \ar[d]_f \\
D \ar[r]^f & C
}
\end{xy}
</nowiki>

について、$a$ と $b$ についてのコイコライザが存在する。
* [[regular epimorphism]]の[[引き戻し]]はregular epimorphismである。

== 基本性質 ==
{{theorem |type=prop |label=def:RegCat_Prop_RegEpiMonoWFS |name=正則エピ-モノ分解の存在 }}
$\cat$ を正則圏とする。このとき正則エピ射全体 $\RegEpi{\cat}$ およびモノ射全体 $\Mono{\cat}$ に関して次が成立する。
# $\cat$ の任意の射 $f$ について、$\cat$ の正則エピ射 $p$ およびモノ射 $i$ であって $f=i \circ p$ を満たすものが存在する。

=== 関連項目 ===
[[Regular category/Regular categoryの例]]

=== 参考文献 ===

Property:Has keyword

2021-05-02T13:39:58Z

Administrator: ページの作成:「Has type::Keyword」

[[Has type::Keyword]]

利用者:T. Uda/Test

2021-05-02T13:36:19Z

Administrator:

{{metadata |description=#0は自然数 #0は自然数 #0は自然数 #0は自然数 }}
$0 \in \mathbf{N}$.

[[Category::Test]]

利用者:T. Uda/Test

2021-05-02T13:35:27Z

Administrator:

{{metadata |description=#0は自然数 #0は自然数 #0は自然数 #0は自然数 |keyword=Test 2 }}
$0 \in \mathbf{N}$.

[[Category::Test]]

MediaWiki:Mobile.css

2021-05-02T06:20:28Z

Administrator: Common.css に追随 (.mathpedia-proof h6 font)

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2021-05-02T06:18:32Z

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#nav li {
position: relative;
}

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position: absolute;
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height: 40px;
}
/* navの三角部分の描画 */
#nav li ul:before {
position: absolute;
content: "";
top: 15px;
left: 30px;
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/* navの折り畳み */
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}
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#nav li:hover > ul {
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/* navのhover時の色 */
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color: orange;
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MediaWiki:Common.css

2021-05-02T06:12:33Z

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padding-top: 5px;
padding-bottom: 5px;
padding-left: 10px;
padding-right: 10px;
margin-left: 20px;
border: solid 2px black;
}

.contents-block {
width: 760px;
height: 300px;
/* margin: 0 auto;中央揃え*/
padding: 0;
display: flex;
}
.selector-block {
width: 200px;
height: 240px;
margin: 0px;
padding: 10px 0px;
border: 0px;
background-color: #9fb7d4;
}
.sentence-block {
width: 560px;
height: 240px;
background: rgb(238,238,238);
margin: 0;
border: 0px;
padding: 10px;
text-align: left;
}
.sentence-block div.hidden {
display: none;
}

#nav {
position: relative;
width: 180px;
height: 40px;
margin: 0px;
padding-left:5px;
padding-right:5px;
border: 0px;
}
#nav > ul {
margin: 0px 10px;
}
#nav li {
display: block;
width: 180px;
height: 40px;
color: #fff;
font-size: 14px;
line-height: 2.8;
padding-left:5px;
padding-right:5px;
background: #9fb7d4;
text-decoration: none;
transition: 0.5s;
list-style: none;
}
#nav li {
position: relative;
}

#nav a {
color: #fff;
}
#nav li ul{
position: absolute;
top: -39px;
left: 180px;
height: 40px;
}
/* navの三角部分の描画 */
#nav li ul:before {
position: absolute;
content: "";
top: 15px;
left: 30px;
border: 5px solid transparent;
border-left: 5px solid #fff;
}
/* navの折り畳み */
#nav li {
overflow: hidden;
transition: 0.2s;
}
#nav li:hover {
overflow: visible;
transition: 0.2s;
}
#nav li > ul {
position: relative;
z-index: 0;
}
#nav li:hover > ul {
position: relative;
z-index: 1;
}
#nav li ul li {
overflow: hidden;
transition: 0.2s;
}
#nav li ul li:hover {
overflow: visible;
transition: 0.2s;
}
/* navのhover時の色 */
#nav li:hover {
color: orange;
background: #afc6e2;
}
#nav li:hover > span a {
color: orange;
background: #afc6e2;
}
#nav li ul li:hover {
color: olive;
background: #afc6e2;
}
#nav li ul li:hover > span a {
color: olive;
background: #afc6e2;
}
#nav li ul li ul li:hover {
color: pink;
background: #afc6e2;
}
#nav li ul li ul li:hover > span a {
color: pink;
background: #afc6e2;
}

/* 初期読み込み時のローダーを非表示にする */
.smw-indicator-vertical-bar-loader {
display: none !important;
}

テンプレート:Begin/proof

2021-05-02T06:08:54Z

Administrator: remove small tag

<includeonly>{{#parameterstohash: __params__ }}{{#hashinclude: __default_proof_params__
|class=mathpedia-proof
|collapsible=1
|collapsed=1
|display=Proof.}}{{#hashmerge: __proof_params__ |__default_proof_params__ |__params__ }}{{#hashtotemplate: Begin/section | __proof_params__ }}</includeonly><noinclude>
== Proof 環境 ==

このテンプレートは、デフォルト設定を Proof 環境用に特化したバージョンの [[テンプレート:Begin/section]] です。パラメータ引数の詳細は [[テンプレート:Begin]] を参照してください。

{{begin |proof |collapsible=1 |boxed=1 }}
素晴らしい証明．
<pre>
{{begin |proof |collapsible=1 |boxed=1 }}
素晴らしい証明．
{{end |proof |qed=□ }}
</pre>
{{end |proof |qed=□ }}

{{begin/proof |display=Proof }}素晴らしい証明{{end/proof |qed=Q.E.D. }}
{{begin/proof |display=証明： }}素晴らしい証明{{end/proof |qed=証明終 }}
{{begin/proof |display=(pf) }}素晴らしい証明{{end/proof |qed=(^^) }}
{{begin/proof |display= }}素晴らしい証明{{end/proof |qed= }}
</noinclude>

MediaWiki:Common.css

2021-05-02T06:08:06Z

Administrator:

/* ここに記述したCSSはすべての外装に反映されます */

.MathJax_Display{
overflow-x: auto;
overflow-y: hidden;
}

#content{
font-family: "Times New Roman","Times","YuMincho","Yu Mincho","BIZ UDPMincho","IPA P明朝","IPAex明朝","ＭＳＰ明朝","ＭＳ明朝",serif !important;
font-size: 1em;
}

#content p {
text-indent: 1em;
}

#content .mark-begin-proof {
font-style: normal;
font-weight: bold;
}

#content .mark-end-proof {
float: right;
}

#content .mark-end-proof::after {
content: '';
display: block;
clear: both;
}

#content .mathpedia-section.boxed {
border: solid 1px #8F8F8F;
background-color: #C0C0C0;
}

#content .mathpedia-section.mathpedia-proof.boxed {
background-color: #D0D0F0;
}

#content .mathpedia-section.mathpedia-proof h6 {
font-style: italic;
font-size: smaller;
}

.toclimit-2 .toclevel-1 ul,
.toclimit-3 .toclevel-2 ul,
.toclimit-4 .toclevel-3 ul,
.toclimit-5 .toclevel-4 ul,
.toclimit-6 .toclevel-5 ul,
.toclimit-7 .toclevel-6 ul {
display: none;
}

.mathpedia-smart-recentchanges .mw-changeslist-line-inner-separatorAfterLinks,
.mathpedia-smart-recentchanges .mw-changeslist-line-inner-userTalkLink,
.mathpedia-smart-recentchanges .mw-changeslist-line-inner-comment,
.mathpedia-smart-recentchanges .mw-changeslist-line-inner-rollback,
.mathpedia-smart-recentchanges .mw-changeslist-line-inner-tags,
.mathpedia-smart-recentchanges .mw-changeslist-line-inner-watchingUsers {
display: none;
}

.mathpedia-preamble {
display: none;
}

/* 目次の連番表示を無効化できるようにする */
.noautonum .tocnumber { display: none; }

/* 以下は正式採用されていません(追加:2020/11/23) */
.proofcase {
border-bottom: solid 2px silver;
}
.subproof {
padding-top: 5px;
padding-bottom: 5px;
padding-left: 10px;
padding-right: 10px;
margin-left: 20px;
border: solid 2px black;
}

.contents-block {
width: 760px;
height: 300px;
/* margin: 0 auto;中央揃え*/
padding: 0;
display: flex;
}
.selector-block {
width: 200px;
height: 240px;
margin: 0px;
padding: 10px 0px;
border: 0px;
background-color: #9fb7d4;
}
.sentence-block {
width: 560px;
height: 240px;
background: rgb(238,238,238);
margin: 0;
border: 0px;
padding: 10px;
text-align: left;
}
.sentence-block div.hidden {
display: none;
}

#nav {
position: relative;
width: 180px;
height: 40px;
margin: 0px;
padding-left:5px;
padding-right:5px;
border: 0px;
}
#nav > ul {
margin: 0px 10px;
}
#nav li {
display: block;
width: 180px;
height: 40px;
color: #fff;
font-size: 14px;
line-height: 2.8;
padding-left:5px;
padding-right:5px;
background: #9fb7d4;
text-decoration: none;
transition: 0.5s;
list-style: none;
}
#nav li {
position: relative;
}

#nav a {
color: #fff;
}
#nav li ul{
position: absolute;
top: -39px;
left: 180px;
height: 40px;
}
/* navの三角部分の描画 */
#nav li ul:before {
position: absolute;
content: "";
top: 15px;
left: 30px;
border: 5px solid transparent;
border-left: 5px solid #fff;
}
/* navの折り畳み */
#nav li {
overflow: hidden;
transition: 0.2s;
}
#nav li:hover {
overflow: visible;
transition: 0.2s;
}
#nav li > ul {
position: relative;
z-index: 0;
}
#nav li:hover > ul {
position: relative;
z-index: 1;
}
#nav li ul li {
overflow: hidden;
transition: 0.2s;
}
#nav li ul li:hover {
overflow: visible;
transition: 0.2s;
}
/* navのhover時の色 */
#nav li:hover {
color: orange;
background: #afc6e2;
}
#nav li:hover > span a {
color: orange;
background: #afc6e2;
}
#nav li ul li:hover {
color: olive;
background: #afc6e2;
}
#nav li ul li:hover > span a {
color: olive;
background: #afc6e2;
}
#nav li ul li ul li:hover {
color: pink;
background: #afc6e2;
}
#nav li ul li ul li:hover > span a {
color: pink;
background: #afc6e2;
}

/* 初期読み込み時のローダーを非表示にする */
.smw-indicator-vertical-bar-loader {
display: none !important;
}

MediaWiki:Common.css

2021-05-02T06:05:39Z

Administrator: Proof 環境のヘッディング h6 small をイタリックデフォルトに

/* ここに記述したCSSはすべての外装に反映されます */

.MathJax_Display{
overflow-x: auto;
overflow-y: hidden;
}

#content{
font-family: "Times New Roman","Times","YuMincho","Yu Mincho","BIZ UDPMincho","IPA P明朝","IPAex明朝","ＭＳＰ明朝","ＭＳ明朝",serif !important;
font-size: 1em;
}

#content p {
text-indent: 1em;
}

#content .mark-begin-proof {
font-style: normal;
font-weight: bold;
}

#content .mark-end-proof {
float: right;
}

#content .mark-end-proof::after {
content: '';
display: block;
clear: both;
}

#content .mathpedia-section.boxed {
border: solid 1px #8F8F8F;
background-color: #C0C0C0;
}

#content .mathpedia-section.mathpedia-proof.boxed {
background-color: #D0D0F0;
}

#content .mathpedia-section.mathpedia-proof h6 small {
font-style: italic;
}

.toclimit-2 .toclevel-1 ul,
.toclimit-3 .toclevel-2 ul,
.toclimit-4 .toclevel-3 ul,
.toclimit-5 .toclevel-4 ul,
.toclimit-6 .toclevel-5 ul,
.toclimit-7 .toclevel-6 ul {
display: none;
}

.mathpedia-smart-recentchanges .mw-changeslist-line-inner-separatorAfterLinks,
.mathpedia-smart-recentchanges .mw-changeslist-line-inner-userTalkLink,
.mathpedia-smart-recentchanges .mw-changeslist-line-inner-comment,
.mathpedia-smart-recentchanges .mw-changeslist-line-inner-rollback,
.mathpedia-smart-recentchanges .mw-changeslist-line-inner-tags,
.mathpedia-smart-recentchanges .mw-changeslist-line-inner-watchingUsers {
display: none;
}

.mathpedia-preamble {
display: none;
}

/* 目次の連番表示を無効化できるようにする */
.noautonum .tocnumber { display: none; }

/* 以下は正式採用されていません(追加:2020/11/23) */
.proofcase {
border-bottom: solid 2px silver;
}
.subproof {
padding-top: 5px;
padding-bottom: 5px;
padding-left: 10px;
padding-right: 10px;
margin-left: 20px;
border: solid 2px black;
}

.contents-block {
width: 760px;
height: 300px;
/* margin: 0 auto;中央揃え*/
padding: 0;
display: flex;
}
.selector-block {
width: 200px;
height: 240px;
margin: 0px;
padding: 10px 0px;
border: 0px;
background-color: #9fb7d4;
}
.sentence-block {
width: 560px;
height: 240px;
background: rgb(238,238,238);
margin: 0;
border: 0px;
padding: 10px;
text-align: left;
}
.sentence-block div.hidden {
display: none;
}

#nav {
position: relative;
width: 180px;
height: 40px;
margin: 0px;
padding-left:5px;
padding-right:5px;
border: 0px;
}
#nav > ul {
margin: 0px 10px;
}
#nav li {
display: block;
width: 180px;
height: 40px;
color: #fff;
font-size: 14px;
line-height: 2.8;
padding-left:5px;
padding-right:5px;
background: #9fb7d4;
text-decoration: none;
transition: 0.5s;
list-style: none;
}
#nav li {
position: relative;
}

#nav a {
color: #fff;
}
#nav li ul{
position: absolute;
top: -39px;
left: 180px;
height: 40px;
}
/* navの三角部分の描画 */
#nav li ul:before {
position: absolute;
content: "";
top: 15px;
left: 30px;
border: 5px solid transparent;
border-left: 5px solid #fff;
}
/* navの折り畳み */
#nav li {
overflow: hidden;
transition: 0.2s;
}
#nav li:hover {
overflow: visible;
transition: 0.2s;
}
#nav li > ul {
position: relative;
z-index: 0;
}
#nav li:hover > ul {
position: relative;
z-index: 1;
}
#nav li ul li {
overflow: hidden;
transition: 0.2s;
}
#nav li ul li:hover {
overflow: visible;
transition: 0.2s;
}
/* navのhover時の色 */
#nav li:hover {
color: orange;
background: #afc6e2;
}
#nav li:hover > span a {
color: orange;
background: #afc6e2;
}
#nav li ul li:hover {
color: olive;
background: #afc6e2;
}
#nav li ul li:hover > span a {
color: olive;
background: #afc6e2;
}
#nav li ul li ul li:hover {
color: pink;
background: #afc6e2;
}
#nav li ul li ul li:hover > span a {
color: pink;
background: #afc6e2;
}

/* 初期読み込み時のローダーを非表示にする */
.smw-indicator-vertical-bar-loader {
display: none !important;
}

テンプレート:Begin

2021-05-02T05:57:47Z

Administrator: collapsed引数について説明を追加

<includeonly>{{#if: {{#arraysize: __begin_end_stack__ }} ||{{#arraydefine: __begin_end_stack__ }} }}{{#arraydefine: __newenv__ | {{{1|}}} }}{{#arraymerge: __begin_end_stack__ | __newenv__ | __begin_end_stack__ }}{{#hashdefine: __params__}}{{#parameterstohash: __params__}}{{#hashtotemplate: begin/{{{1}}} | __params__ }}<nowiki /></includeonly><noinclude>
{{TOC |limit=3 }}
== begin/endテンプレート ==
<templatedata>
{
"params": {
"1": {
"label": "環境名",
"description": "サブテンプレート名を指定します。",
"type": "string",
"required": true
},
"collapsible": {
"label": "折り畳み",
"description": "セクションを折り畳み可能にする。任意の空でない値は真と解釈する。",
"example": "collapsible=1",
"type": "boolean"
},
"boxed": {
"label": "囲い",
"description": "セクションに枠と背景色を付ける。任意の空でない値は真と解釈する。",
"type": "boolean"
},
"collapsed": {
"label": "初期折り畳み状態",
"description": "セクションを最初から折り畳み状態にする。任意の空でない値は真と解釈する。collapsible引数と併用する。",
"example": "collapsed=1",
"type": "boolean"
}
},
"description": "テンプレート:Begin/{{{1}}}を同じパラメータで呼び出します。Begin-Endペアによるネストをチェックします。必ず対になるテンプレート:Endも利用してください。",
"format": "inline",
"paramOrder": [
"1",
"collapsible",
"collapsed",
"boxed"
]
}
</templatedata>

=== section環境 ===
section環境は一般的なセクション機能のみを提供します。この機能は内部的に他のproof環境などからも呼び出されますが、通常の記事などでもsectioningのために自由に使うことができます。
<pre>
{{begin |section |display=タイトル | boxed=1 }}
セクション
{{end |section }}
</pre>
{{begin |section |display=タイトル | boxed=1 }}
セクション
{{end |section }}

=== proof環境 ===
proof環境は証明開始記号と証明終了記号を指定して証明セクションを明示できます。
<pre>
{{begin |proof | collapsible=1 }}
素晴らしい証明が素敵な方法で実現される：$$\sum_{n=0}^\infty \dfrac{1}{(n+1)^2} < \infty.$$
{{end |proof }}
</pre>
{{begin |proof | collapsible=1 }}
素晴らしい証明が素敵な方法で実現される：$$\sum_{n=0}^\infty \dfrac{1}{(n+1)^2} < \infty.$$
{{end |proof }}

=== preamble環境 ===
preamble環境はただ表示されないセクションです。MathJaxマクロの定義や定理環境の宣言をこの中で行うと便利です。
<pre>
{{begin |preamble }}
<math>
% 自分用のマクロを定義します
\newcommand\NN{\mathbf{N}}
</math>
{{end |preamble }}
</pre>

=== 存在しないサブテンプレート呼び出し ===
存在しない誤った環境（テンプレート）名を第一引数に与えた場合、そのテンプレートへのリンクが表示され他の効果はありません。
<pre>
{{begin |unknown-environment |collapsible=1 }}
{{end |unknown-environment }}
</pre>
{{begin |unknown-environment |collapsible=1 }}
{{end |unknown-environment }}

=== 対にならないネスト呼び出し ===
いかなる場合にもネストチェックだけは常に行います。存在しない環境（テンプレート）名を指定した場合も含みます。
<pre>
{{begin |unknown-parent }}
{{begin |proof | collapsible=1 }}
{{end |proof-wrong-end }}
{{end |unknown-parent }}
</pre>
{{begin |unknown-parent }}
{{begin |proof | collapsible=1 }}
{{end |proof-wrong-end }}
{{end |unknown-parent }}


このような場合、文書の論理的なネスト構造も壊れてしまい、一部機能などが正常に動作しなくなります。この例では、折り畳み証明セクションが正常終了されず未知の環境名で閉じてしまったため、折り畳みセクションがこの位置まで継続してしまっています。</div>

== 一般的なパラメータ引数 ==
いくつかのbegin/endテンプレートには共通するパラメータがあります。

=== collapsible ===
<code>collapsible=1</code>をテンプレート引数に与えると、begin/endセクションが折り畳み可能になります。指定しなかった場合のデフォルトでは折り畳みUIは表示されません。引数<code>collapsible</code>の任意の空でない文字列値が真として解釈されます。

注意：booleanをうまくパラメータ引数に与えて処理するベストプラクティスがいまいち分かっていないので、この仕様は今後変更する可能性があります。

{{begin |section |collapsible=1 |collapsed=1 |display=collapsibleセクションの折り畳み初期状態指定collapsed }}
<code>collapsed=1</code>を併せて指定すると、begin/endセクションが初期状態で折り畳まれます。引数<code>collapsed</code>の任意の空でない文字列値が真として解釈されます。
{{end |section }}

=== boxed ===
<code>boxed=1</code>をテンプレート引数に与えると、begin/endセクションを枠で囲い背景色をつけます。指定しなかった場合のデフォルトでは囲いも背景色もつきません。引数<code>boxed</code>の任意の空でない文字列値が真として解釈されます。

注意：booleanをうまくパラメータ引数に与えて処理するベストプラクティスがいまいち分かっていないので、この仕様は今後変更する可能性があります。
</noinclude>

テンプレート:Begin/proof

2021-05-02T05:51:47Z

Administrator: 表示を Proof. に，collapsed=1, collapsible=1 をデフォルトに

<includeonly>{{#parameterstohash: __params__ }}{{#hashinclude: __default_proof_params__
|class=mathpedia-proof
|collapsible=1
|collapsed=1
|display=<small>Proof.</small>}}{{#hashmerge: __proof_params__ |__default_proof_params__ |__params__ }}{{#hashtotemplate: Begin/section | __proof_params__ }}</includeonly><noinclude>
== Proof 環境 ==

このテンプレートは、デフォルト設定を Proof 環境用に特化したバージョンの [[テンプレート:Begin/section]] です。パラメータ引数の詳細は [[テンプレート:Begin]] を参照してください。

{{begin |proof |collapsible=1 |boxed=1 }}
素晴らしい証明．
<pre>
{{begin |proof |collapsible=1 |boxed=1 }}
素晴らしい証明．
{{end |proof |qed=□ }}
</pre>
{{end |proof |qed=□ }}

{{begin/proof |display=Proof }}素晴らしい証明{{end/proof |qed=Q.E.D. }}
{{begin/proof |display=証明： }}素晴らしい証明{{end/proof |qed=証明終 }}
{{begin/proof |display=(pf) }}素晴らしい証明{{end/proof |qed=(^^) }}
{{begin/proof |display= }}素晴らしい証明{{end/proof |qed= }}
</noinclude>

高次元類体論

2021-01-30T19:10:27Z