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2023-01-22T17:56:19Z

数学市民:

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== 各分野のOverview ==
=== [[数学の基礎]] ===
* [[数学の基礎の概要]]
* [[線形代数学]]
** [[ベクトル]]
** [[行列]]
** [[ベクトル空間]]
** [[線形写像]]
** [[内積]]
* [[微分積分学]]
* [[集合論]]
* [[位相空間]]
* [[圏論]]

=== [[代数学]] ===
* [[代数学の概要]]
* [[モノイド論]]
** [[可換モノイド論]]
* [[群論]]
**[[Coxeter系]]
**[[Tits系、BN対]]
* [[環論]]

** [[多項式環]]
** [[環上の加群論]]
** [[環上の加群のホモロジー代数]]
** [[多元環の表現論(箙の表現論)]]
** [[可換環論の基礎]]
** [[Hopf代数]]
**[[冪等代数]]
* [[体論]]
** [[Galoisの基本定理への道]]

=== [[幾何学]] ===
* [[幾何学の概要]]
* [[位相空間論]]
* [[位相幾何]]
* [[微分幾何]]
* [[代数幾何学|代数幾何]]
* [[数論幾何]]
* [[代数的トポロジー]]
* [[力学系]]
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=== [[解析学]] ===
*[[関数解析の基礎]]
** [[ネットによる位相空間論]]
** [[距離空間の位相の基本的性質]]
** [[入門テキスト「測度と積分」]]
** [[速習「線形空間論」]]
** [[入門テキスト「位相線形空間」]]
** [[Euclid空間における微積分1]]
** [[Euclid空間における微積分2]]
** [[ベクトル解析]]
** [[複素解析の初歩]]
** [[超関数とFourier変換、Sobolev空間]]
** [[Banach環とC*-環のスペクトル理論]]
** [[Hilbert空間上の作用素論]]
** [[微分方程式の初歩]]
** [[局所コンパクト群のユニタリ表現]]
** [[量子力学の数学的構造に関わる関数解析]]
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=== [[数論]] ===
* [[多重ゼータ値]]

=== [[数理論理学|数理論理学・数学基礎論]] ===
* [[数理論理学の基礎1]]
* [[証明論]]
* [[モデル理論]]
* [[計算理論]]
* [[公理的集合論]]

=== [[圏論]] ===
*[[Kan拡張]]
*[[モノイダル圏]]

== テキスト形式のコンテンツ ==
* [[入門テキスト「位相空間論」]]
* [[速習コース「位相空間論の基礎事項」]]
* [[入門テキスト「単体複体の二元体係数ホモロジー」]]
* [[関数解析の基礎]]
** [[ネットによる位相空間論]]
** [[距離空間の位相の基本的性質]]
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** [[速習「線形空間論」]]
** [[入門テキスト「位相線形空間」]]
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** [[Euclid空間における微積分2]]
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** [[複素解析の初歩]]
** [[超関数とFourier変換、Sobolev空間]]
** [[Banach環とC*-環のスペクトル理論]]
** [[Hilbert空間上の作用素論]]
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** [[局所コンパクト群のユニタリ表現]]
** [[量子力学の数学的構造に関わる関数解析]]
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*
* [[数理論理学の基礎1]]
** [[数理論理学の基礎・命題論理]]
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* [[多重ゼータ値入門～連結和法の観点から～]]
*
* [[入門テキスト「群論の基礎」]]

== 各分野の参考書 ==
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== 演習問題解答シリーズ ==
著作権等への考え方については[[数学書の演習問題の解答集]]を参照。

* [[演習問題解答：Engelking「General Topology」]]
* [[演習問題解答：Matsumura 「Commutative Ring Theory」]]
* [[演習問題解答：Hirsch「微分トポロジー」]]
* [[演習問題解答：雪江明彦「代数学１群論入門」]]
* [[演習問題解答：Jech「Set Theory」]]

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* [[:Category:位相空間論]]

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付値環

2023-01-22T15:41:01Z

数学市民: /* 基本的な性質 */

[[Category:環論]]
{{newtheorem |type=thm |display=定理 |counter=0 }}
{{newtheorem |type=def |display=定義 |family=thm }}
{{newtheorem |type=prop |display=命題 |family=thm }}
{{newtheorem |type=ex |display=例示 |family=thm }}
{{newtheorem |type=cor |display=系 |family=thm }}
{{newtheorem |type=note |display=注意 |family=thm }}
{{newtheorem |type=lem |display=補題 |family=thm }}
{{newtheorem |type=axiom |display=公理 |family=thm }}
{{newtheorem |type=fact |display=事実 |family=thm }}
{{newtheorem |type=obs |display=観察 |family=thm }}
{{newtheorem |type=conj |display=予想 |family=thm }}
この記事において、[[環]]は可換であるとする。
<noinclude>
{{TOC |align=right |noautonum=1 }}
</noinclude>
== 定義 ==
[[整域]] $R$ が'''付値環'''であるとは、[[商体]] $K$ のなかで $K=R\cup R^{-1}$ をみたすことをいう。

=== 同値な定義 ===
{{theorem |type=thm |label=equiv:def |name=付値環の同値な定義 }}
環 $R$ について以下は同値である。
# $R$ は付値環
# $R$ の[[イデアル]]全体は包含関係により全順序集合をなす
# $R$ の[[主イデアル]]全体は包含関係により全順序集合をなす
{{begin |proof |collapsible=1 |display=証明 }}
2. $\Rightarrow$ 3. は明らかである。また 3. が成り立つと仮定する。このとき、任意の $k \in K$ について、$a,b \in R$ によって $k=ab^{-1}$ と表記できる。ここで、$(a) \subset (b)$ ならば $k \in R$ が、$(b) \subset (a)$ ならば $k^{-1} \in R$ が成り立つ。よって 3. $\Rightarrow$ 1. である。

環 $R$ が付値環であるとする。$R$ のイデアル $I$, $J$ について、$I$ が $J$ に含まれないと仮定する。このとき、ある元 $x \in I$ が存在して $x \notin J$ が成り立つ。よって、任意の $j \in J$ について $xj^{-1} \notin R$ が示される。よって $jx^{-1} \in R$ である。したがって $j \in xR=(x) \subset I$ であるため、$J \subset I$ が示される。1. $\Rightarrow$ 2. の成立である。{{end |proof }}

== 基本的な性質 ==
{{theorem |type=prop |label=localness |name=付値環は局所環 }}
付値環 $R$ について、$R$ は局所環である。
{{begin |proof |collapsible=1 |display=証明 }}
$R$ の非単元 $x,y$ について、$x \in (y)$ もしくは $y \in (x)$ が成り立つ。$x \in (y)$ であると仮定して以下の議論は一般性を失わない。$x \in (y)$ であるため、$x+y \in (y)$ が成り立つが、$x+y$ が単元ならば $(y)=R$ が成り立つ。これは $y$ の非単元性に反する。従って $R$ は局所環である。{{end |proof }}
{{theorem |type=prop |label=itgcl |name=付値環は整閉 }}
付値環 $R$ について、$R$ は整閉である。
{{begin |proof |collapsible=1 |display=証明 }}
$x \in K$ について、$x$ が $R$ 上整であるとする。このとき、$c_0 ,\ldots, c_{n-1} \in R$ について $$ x^n+c_{n-1}x^{n-1}+\ldots + c_0 =0$$ が成り立つ。このとき、$x \notin R$ ならば、$x^{-1} \in R$ が成り立つ。よって $$x = - c_{n-1}+\ldots + c_0x^{-n+1} \in R$$ が成り立つため、矛盾する。よって $x \in R$ が成り立つ。{{end |proof }}

{{theorem |type=prop |label=fg_is_principle |name=有限生成イデアルは主イデアル }}
付値環 $R$ の有限生成イデアル $I$ について、$I$ は主イデアルである。
{{begin |proof |collapsible=1 |display=証明 }}
$R$ の主イデアル全体は包含関係により全順序集合をなすことに注意する。このとき、$I=(x_1,\ldots,x_n)$ であると仮定すると、主イデアル $(x_1)$, $\ldots$, $(x_n)$ のなかで最も大きいイデアル $(x_i)$ を取ることができる。このとき、$I=(x_i)$ が成り立つ。よって $I$ は主イデアルである。{{end |proof }}

{{theorem |type=cor |label=noether |name=Noether付値環はPID }}
Noether付値環 $R$ について、$R$ は主イデアル整域である。
{{begin |proof |collapsible=1 |display=証明 }}
{{ref |type=prop |label=fg_is_principle }} より。{{end |proof }}

== 付値群 ==
付値環 $R$ について、$R$ の単元群を $R^\times$ とおき、商体 $K$ の乗法群を $K^\times$ とおく。このとき、$K^\times/R^\times$ の元 $[a]$, $[b]$ に対して、$a=rb$ なる $r\in R$ が存在するとき $b\leq a$ が成り立つような $K^\times/R^\times$ 上の順序が存在するが、これは全順序集合となっている。この全順序アーベル群のことを付値環 $R$ の付値群という。

== 付値 ==
整域 $R$ について、$R$ の商体を $K$ とおく。全順序アーベル群 $\Gamma$ について、$\Gamma$ を値に持つ環 $R$ 上の付値 $v$ とは、以下の条件をみたす写像 $v\colon K\to \Gamma\cup\{\infty\}$ のことである。
* $v(x)=\infty\Leftrightarrow x=0$
* $v(x) \in R \Leftrightarrow v(x) \geq 0$
* $v(xy)=v(x)+v(y)$
* $v(x+y) \geq \mathrm{min}\{v(x),v(y)\}$

このとき、$v$ が自明であるとは、$0\neq x\in R$ について $v(x)=0$ が成り立つことをいう。

ここで、付値環 $R$ について、射影 $\pi\colon R\to K^\times/R^\times \cup\{\infty\}$ は付値となっている。

環 $R$ が'''離散付値環'''(discrete valuation ring)であるとは、$\mathbb{Z}$ を値に持つ非自明な付値が存在することをいう。DVRと略記することがある。

== 例 ==
* [[体]] $K$ について、その商体は $K$ と一致するため、$K$ は付値環である。
* 素数 $p$ と有理数 $q \in \mathbb{Q}$ について、$m,n \in \mathbb{Z}$ によって $q=\frac{n}{m}$ と表記したとき、$\mathrm{ord}_p(n)-\mathrm{ord}_p(m)$ の値は $m,n$ の取り方に依らない。よってこの値を $\mathrm{ord}_p(q)$ とおく。このとき、$\mathbb{Z}_{(p)}=\{q \in \mathbb{Q}|\mathrm{ord}_p(q)\geq 0\} \subset \mathbb{Q}$ は $\mathbb{Q}$ を商体に持つ付値環となる。$\mathbb{Z}_{(p)}$ について、その付値群は $\mathbb{Z}$ と同型であるため、$\mathbb{Z}_{(p)}$ はDVRである。

=== 任意の全順序アーベル群に対しての付値環の構成 ===
全順序アーベル群 $\Gamma$ について、付値群に $\Gamma$ を持つような付値環を構成する。

$k$ を体とする。このとき、$\Gamma_{\geq 0}$ を指数とする $k$-係数多項式環 $k[X^e|e\in \Gamma_{\geq 0}]$ の商体を $K$ とおく。このとき、$f\in k[X^e|e\in \Gamma_{\geq 0}]$ が相異なる単項式 $c_iX^{e_i}$ の和で表されるとき、$v(f)=\mathrm{min}\{e_i\}$ とおく。ただし $0\in R$ については $v(0)=\infty$ とおく。

$r\in K$ の元は $f,g\in k[X^e|e\in \Gamma_{\geq 0}]$ によって $\frac{f}{g}$ と表されるが、このとき $v(f)-v(g)$ の値は $f,g$ の取り方に依らない。この値を $v(r)$ と表記する。

このとき、写像 $v\colon K\to \Gamma \cup \{\infty\}$ が構成される。このとき $v^{-1}(\Gamma_{\geq 0}\cup \{\infty\})\subset K$ は $K$ の部分環となっている。この環を $R_\Gamma$ とおくと、$R_\Gamma$ は付値環となり、その付値群は $\Gamma$ と同型である。

== Noether付値環 ==
環がNoether付値環であるためのさまざまな同値条件が知られている。
{{theorem |type=thm |label=equiv:def:norther |name=離散付値環 }}
環 $R$ について以下は同値である。
# $R$ はNoether付値環である。
# $R$ は付値環であり、付値群として $0$ または $\mathbb{Z}$ を持つ。
# $R$ はKrull次元 $1$ 以下のNoether局所整閉整域である。
# $R$ はKrull次元 $1$ 以下の正則局所環である。

== 非可換環における一般化 ==

== information ==
=== 参考文献 ===
* [AM]
* [Mat]

Riemann-Hurwitzの定理

2023-01-13T09:32:43Z

数学市民:

$X$, $Y$ を閉[[リーマン面]]とする。

$F \colon X \to Y$ を正則写像とする。このとき、$Y$ 上には、分岐点をすべて頂点とするような三角形分割が存在する。このとき、その三角形分割における頂点・辺・面の個数をそれぞれ $v$, $e$, $f$ とおく。すると$v - e + f = 2 - 2g_Y$ が成り立つ。ここで $g_Y$ は $Y$ の[[種数]]である。

このとき、$F$ によって引き戻した $X$ 上の三角形分割についての頂点・辺・面の個数を計算する。

辺・面についてはそのまま $\mathrm{deg}(F)$ 倍すればよい。頂点の個数については、$\mathrm{deg}(F)v - \sum_{x \in X}(e_x(F) - 1)$ が成り立つ。したがって、ここから次の主張が導かれる。

* $2g_X - 2 = \mathrm{deg}(F)(2g_Y - 2) + \sum_{x \in X}(e_x(F) - 1)$.

速習コース「位相空間論の基礎事項」

2022-12-02T08:20:53Z

数学市民: /* 参考文献 */

<noinclude>
{{TOC |align=right |noautonum=1 }}
</noinclude>
== 速習コース「位相空間論の基礎事項」 ==
本稿においては、位相空間論に関するmathpedia の記事を読み進めるにあたって、必要な知識を解説する。本稿の内容は一般的な位相空間論についての入門的文献よりも少ない、最低限度のものとなっている。しかし、位相空間の言葉で書かれた議論について、その意味を知るための充分な内容をここに記述したいと考えている。

本稿においては、位相空間・連続写像の概念について述べ、また位相空間論における基本的な操作を定義し、最後に分離公理・コンパクト性について紹介する。内容には適宜変更が加えられる。

== 0. 基礎的な事項についてのページ一覧 ==
* [[位相空間]]
* [[閉包]]
* [[内部]]
* [[近傍]]
* [[連続写像]]
* [[分離公理]]
* [[コンパクト空間]]
* [[距離空間]]

== 1. 位相空間 ==
位相空間の定義の詳細については，[[位相空間]]を参照されたい。

=== 定義 1.1 (位相空間の定義) ===

位相空間とは、集合 $X$ とその開集合系と呼ばれる $X$ の部分集合族 $\mathcal{O}\subset \mathcal{P}(X)$ との組 $(X,\mathcal{O})$ であって、次の公理を満たすものをいう。
* (O1) $\emptyset,X\in \mathcal{O}$
* (O2) $U_1, U_2, \ldots, U_n\in \mathcal{O}\Rightarrow U_1\cap U_2\cap\cdots\cap U_n\in\mathcal{O}$
* (O3) $\{U_i\,|\,i\in I\}\subset \mathcal{O} \Rightarrow \bigcup_{i\in I}U_i\in \mathcal{O}$

([[位相空間]]より引用)

=== 注意 1.2 ===

正式には位相空間は $(X,\mathcal{O})$ という組のことであるが、通常は $\mathcal{O}$ を暗黙のうちに固定されたものとみなし、位相空間 $(X,\mathcal{O})$ と呼ぶかわりに、簡単に「位相空間 $X$」と呼ぶことが多い。開集合系 $\mathcal{O}$ の要素を、位相空間 $X$ の開集合という。開集合系 $\mathcal{O}$ が与えられているということは、$X$ の部分集合のうちどれが開集合であり、どれが開集合でないかが定まっているということに他ならない。

([[位相空間]]より引用)

=== 定義 1.3 (閉集合の定義) ===

位相空間 $X$ の部分集合 $F$ が閉集合であるとは、集合 $X-F$ が $X$ の開集合であることをいう。

=== 命題 1.4 (閉集合の有限和) ===

位相空間 $X$ の有限個の閉集合 $F_1,\ldots, F_n$ について、$F_1\cup\ldots\cup F_n$ は $X$ の閉集合である。

''証明''

$X-(F_1\cup \ldots \cup F_n)=(X-F_1)\cap \ldots \cap (X-F_n)$であるため、位相空間の定義より命題は示される。

=== 命題 1.5 (閉集合の交叉) ===

位相空間 $X$ の閉集合の族 $\mathcal{F}$ について、$\bigcap_{F \in \mathcal{F}}F$ は閉集合である。

''証明''　$X-\bigcap_{F \in \mathcal{F}}F=\bigcup_{F\in \mathcal{F}}(X-F)$ である。このとき、$X-F$ は $X$ の開集合であるため、$\bigcup_{F\in \mathcal{F}}(X-F)$ は $X$ の開集合である。よって、$\bigcap_{F \in \mathcal{F}}F$ は閉集合である。

== 2. 閉包・内部 ==

位相空間 $X$ の部分集合 $A$ について、$A$ の閉包とは、$A$ を含む最小の閉集合のことである。また、$A$ の内部とは、$A$ に含まれる最大の開集合のことである。

=== 定義 2.1 (閉包の定義) ===

位相空間 $X$ とその部分集合 $A$ について、以下の性質を満たす $\overline{A}$ を ($X$ における) $A$ の閉包という。

* $\overline{A}$ は閉集合
* $A \subset \overline{A}$
* $A$ を含むような任意の閉集合 $B$に対し、$\overline{A}\subset B$

=== 命題 2.2 (閉包の一意存在性) ===

位相空間 $X$ とその部分集合 $A$ について、$A$ の閉包は唯一つ存在する。

''証明''　$\mathcal{F}$ を $A$ を含む $X$ の閉集合全体の集合とする。このとき、$A\subset X$であるため、$X\in \mathcal{F}$ が成り立つ。よって $\mathcal{F}$ は空でない。従って $\bigcap_{F \in \mathcal{F}} F\subset X$ は存在する。(($\mathcal{F}$ が空集合でないことを確かめる議論は必要である。))

このとき、$\overline{A}=\bigcap_{F \in \mathcal{F}} F$ とおくと、任意の$F \in \mathcal{F}$ について $A\subset F$ であるため、$A \subset \overline{A}$ が成り立つ。次に、$\overline{A}$ は閉集合の交叉であるため閉集合である。

さらに、任意の $A\subset B$ を満たす閉集合 $B$ について、$B \in \mathcal{F}$ が成り立つため、$\overline{A} \subset B$ が成り立つ。よって $\overline{A}$ は $A$ の閉包である。

任意の$A$ の閉包 $A'$ について、$\overline{A}$ は $A\subset \overline{A}$ を満たす閉集合であるため、$A'\subset \overline{A}$ が成り立つ。逆に、$A'$ は $A\subset A'$ を満たす閉集合であるため、$\overline{A}\subset A'$ が成り立つ。よって $A'=\overline{A}$ である。したがって $A$ の閉包は $\overline{A}$ のみである。

=== 注意 2.3 ===

以下、$A$ の閉包について、$\overline{A}$ と表記する。しかし、どの位相空間で閉包を取っているか明らかでない場合は、$\mathrm{Cl}_X(A)$ と表記する。

=== 定義 2.4 (内部の定義) ===

位相空間 $X$ とその部分集合 $A$ について、以下の性質を満たす $A^\circ$ を ($X$ における) $A$ の内部という。

* $A^\circ$ は開集合
* $A^\circ\subset A$
* 任意の開集合 $U\subset A$に対し、$U\subset A^\circ$

=== 命題 2.5 (内部の一意存在性) ===

位相空間 $X$ とその部分集合 $A$ について、$A$ の内部は唯一つ存在する。

''証明''　命題 2.2 により、$X-A$ の閉包 $\overline{X-A}$ は存在する。このとき、$A^\circ = X-\overline{X-A}$ とおくと、$A^\circ$ は開集合であり、また $X-A\subset \overline{X-A}$ より $A^\circ \subset A$ が成り立つ。

また、$U\subset A$ なる開集合 $U$ について、$X-A\subset X-U$ が成り立つ。$X-U$ は閉集合であるため、$\overline{X-A}\subset X-U$ が成り立つ。よって、$U \subset A^\circ$ である。以上により、$A^\circ$ は $A$ の内部である。

内部の唯一性については、命題 2.2 と同様の議論によって示される。

=== 注意 2.6 ===

以下、$A$ の内部について、$A^\circ$ と表記する。しかし、どの位相空間で内部を取っているか明らかでない場合は、$\mathrm{Int}_X(A)$ と表記する。

=== 命題 2.7 (閉包・内部の関係) ===

位相空間 $X$ とその部分集合 $A$ について、以下が成り立つ。

* $A^\circ = X - \overline{X-A}$
* $\overline{A} = X - (X-A)^\circ$

''証明''　命題 2.5 の証明より、$A^\circ = X - \overline{X-A}$ が示される。残る式も同様に示される。

=== 命題 2.8 (閉集合の閉包・開集合の内部) ===

位相空間 $X$ の閉集合 $F$ と開集合 $U$ について、以下が成り立つ。

* $\overline{F}=F$
* $U^\circ =U$

''証明'' 定義より $F$ は $F$ の閉包である。同様に $U$ は $U$ の内部である。

=== 命題 2.9 (閉包・内部の単調性) ===

位相空間 $X$ の部分集合 $A \subset B$ について、以下が成り立つ。

* $\overline{A} \subset \overline{B}$
* $A^\circ \subset B^\circ$

''証明''　$A\subset B\subset \overline{B}$ より、$\overline{A} \subset \overline{B}$ が成り立つ。また、同様に $A^\circ \subset A \subset B$ より、$A^\circ \subset B^\circ$ が成り立つ。

$A$ の閉包 $\overline{A}$ について、$\overline{A}$ に属する点の特徴付けを与える。

=== 命題 2.10 (閉包の特徴付け) ===

位相空間 $X$ とその部分集合 $A$ について、以下は同値である。

# $x \in \overline{A}$
# $x \in U$ なる任意の開集合 $U$ について、$A\cap U$ は空でない

''証明''　1. $\Rightarrow$ 2. を示す。$x \in U$ なる開集合であって $A\cap U=\emptyset$ なるものが存在するならば、$A \subset X-U$ より、$\overline{A}\subset X-U$ が成り立つ。よって $x \notin \overline{A}$ が成り立つ。

2. $\Rightarrow$ 1. を示す。$x \notin \overline{A}$ ならば、$x \in X-\overline{A}$ が成り立つ。このとき、$X-\overline{A}$ は $X$ の開集合であり、$A \cap (X-\overline{A})=\emptyset $ である。

閉包を取る操作と集合の有限和について、以下のような関係が存在する。

=== 命題 2.11 (閉包と有限和の関係) ===

位相空間 $X$ とその有限個の部分集合 $A_1,\ldots,A_n$ について、$\overline{A_1\cup\ldots \cup A_n}=\overline{A_1}\cup \ldots \cup \overline{A_n}$ が成り立つ。

''証明''　命題 2.9 より、$\overline{A_i}\subset \overline{A_1\cup\ldots \cup A_n}$ が成り立つため、$\overline{A_1}\cup \ldots \cup \overline{A_n}\subset \overline{A_1\cup\ldots \cup A_n}$ が言える。また、$A_i \subset \overline{A_i}$ より、$A_1 \cup \ldots \cup A_n \subset \overline{A_1}\cup \ldots \cup \overline{A_n}$ が成り立つ。ここで、$\overline{A_1}\cup \ldots \cup \overline{A_n}$ は閉集合の有限和であるため閉集合である。このことにより、$\overline{A_1\cup\ldots \cup A_n}\subset \overline{A_1}\cup \ldots \cup \overline{A_n}$ が成り立つ。以上により$\overline{A_1\cup\ldots \cup A_n}=\overline{A_1}\cup \ldots \cup \overline{A_n}$ が示される。

== 3. 近傍 ==

=== 定義 3.1 (近傍の定義) ===

位相空間 $X$ の点 $x \in X$ について、$N \subset X$ が $x$ の近傍であるとは、$x\in U \subset N$ なる開集合 $U$ が存在することをいう。

=== 定義 3.2 (開近傍の定義) ===

位相空間 $X$ の点 $x \in X$ について、$U \subset X$ が $x$ の開近傍であるとは、開集合 $U$ であって $x \in U$ が成り立つことをいう。

== 4. 部分空間・部分位相 ==

=== 定義 4.1 (部分空間・部分位相の定義) ===

位相空間 $X$ とその部分集合 $Y$ について、集合 $Y$ に以下の方法で定まる位相を部分位相という。

* $V \subset Y$ が開集合 $\Leftrightarrow$ ある $X$ の開集合 $U$ が存在し、$V=Y\cap U$

また $X$ の部分集合 $Y$ に対して、$X$ の部分空間 $Y$ とは、上記の方法で $Y$ に位相を入れた位相空間のことを指す。

=== 定義 4.2 (開部分空間・閉部分空間) ===

位相空間 $X$ の開部分空間とは、$X$ の開集合に部分空間としての位相を入れたものである。また $X$ の閉部分空間とは、$X$ の閉集合に部分空間としての位相を入れたものである。

=== 命題 4.3 (部分空間の閉集合) ===

位相空間 $X$ の部分空間 $Y$ について、$G \subset Y$ が $Y$ の閉集合であることは、ある $X$ の閉集合 $F$ が存在して $G=Y\cap F$ が成り立つことと同値である。

''証明''　$G \subset Y$ が $Y$ の閉集合であることは $Y-G\subset Y$ が $Y$ の開集合であることと同値である。これはある $X$ の開集合 $U$ によって $Y-G=Y \cap U$ が成り立つことと同値である。これは $G=Y \cap (X-U)$ が成り立つことと同値である。これはある $X$ の閉集合 $F$ が存在して $G=Y\cap F$ が成り立つことと同値である。

=== 命題 4.4 (開部分空間の開集合) ===

位相空間 $X$ の開部分集合 $U$ について、$U' \subset U$ が $U$ の開集合であることと $X$ の開部分集合であることは同値である。

''証明''　$U' \subset U$ なる $X$ の開集合について、$U'\cap U=U'$ であるため、$U'$ は $U$ の開集合である。逆に、$U'$ が $U$ の開集合であるなら、ある $X$ の開集合 $V$ について $U'=U\cap V$ が成り立つが、このとき $U'$ は $X$ の開集合である。

=== 命題 4.5 (閉部分集合の閉集合) ===

位相空間 $X$ の閉部分集合 $F$ について、$F' \subset F$ が $F$ の閉集合であることと $X$ の閉部分集合であることは同値である。

''証明''　命題 4.3 を用いることで、命題 4.4 と同様の議論に帰着できる。

== 5. 商空間・商位相 ==

=== 定義 5.1 (商空間・商位相の定義) ===

位相空間 $X$ と集合 $Y$ とその間の集合の全射 $f:X\to Y$ が存在するとき、$Y$ に以下の方法で定まる位相を $f$ による商位相という。

* $V \subset Y$ は開集合 $\Leftrightarrow$ $f^{-1}(V)$ は $X$ の開集合

またこのとき、商位相をもった位相空間 $Y$ を $X$ の $f$ による商空間という。

=== 命題 5.2 (商空間の普遍性) ===

位相空間 $X$, $Z$ と $X$ の $h:X\to Y$ による商空間 $Y$ について、連続写像 $f:X\to Z$ が以下を満たすとする。

* ある集合の写像 $g:Y\to Z$ が存在して $f=g\circ h$ が成り立つ

このとき、$f=g\circ h$ が成り立つような $g$ はただひとつ存在してこれは連続写像である。

''証明''　$g$ の唯一性は $h$ の全射性より明らかである。

$Z$ の開集合 $U$ に対して、$f^{-1}(U)$ は $f$ の連続性より開集合であることが言える。このとき $f^{-1}(U)=h^{-1}(g^{-1}(U))$ が成り立つが、$Y$ の位相の定め方より、$g^{-1}(U)$ は $Y$ の開集合である。よって $g$ は連続である。

== 6. 連続写像 ==

=== 定義 6.1 (連続写像の定義) ===

位相空間 $X$, $Y$ について、連続写像 $f:X\to Y$ とは、写像 $f:X\to Y$であって、任意の $Y$ の開集合 $V$ について、$f^{-1}(V)$ が $X$ の開集合となるもののことである。

([[連続写像]]より引用)

=== 命題 6.2 (連続写像の合成) ===

位相空間 $X$, $Y$, $Z$ と連続写像 $f:X\to Y$, $g:Y\to Z$ について、(集合の写像としての)合成 $g\circ f:X\to Z$ は連続写像である。

''証明''　$Z$ の任意の開集合 $W$ について、$g^{-1}(W)$ は $Y$ の開集合である。このとき $(g\circ f)^{-1}(W)=f^{-1}(g^{-1}(W))$ は$X$ の開集合である。よって $g\circ f$ は連続写像である。

=== 命題 6.3 (恒等写像の連続性) ===

位相空間 $X$ について、恒等写像 $\mathrm{id}_X:X\to X$ は連続である。

''証明''　集合 $U$ について、$\mathrm{id}_X^{-1}(U)=U$ が成り立つ。

=== 定義 6.4 (同相写像の定義) ===

位相空間の連続写像 $f:X\to Y$ が同相写像であるとは、連続写像 $g:Y\to X$ であって $g\circ f=\mathrm{id}_X$ かつ $f\circ g=\mathrm{id}_Y$ なるものが存在することをいう。

=== 注意 6.5 (同相写像と恒等写像との相異) ===

同相写像 $f:X\to Y$ が存在したとき、「$X$ と $Y$ を同一視する」という表現を用いることがあるが、$X$ と $Y$ は一般に異なる対象であることに注意されたい。

=== 定義 6.6 (開写像・閉写像の定義) ===

位相空間の連続写像 $f:X\to Y$ が開写像であるとは、$X$ の任意の開集合 $U$ について $f(U)$ が開集合となることをいう。また、$f$ が閉写像であるとは、$X$ の任意の閉集合 $F$ について $f(F)$ が閉集合となることをいう。

=== 定義 6.7 (埋め込みの定義) ===

位相空間の連続写像 $f:X\to Y$ が埋め込みであるとは、$f(X)\subset Y$ に部分位相を入れたものについて値域を $f(X)$ に制限した写像 $X\to f(X)$ が同相写像であることをいう。

== 7. 開基・基本近傍系 ==

=== 定義 7.1 (開基の定義) ===

位相空間 $(X, \mathcal{O})$ とその開集合の族 $\mathcal{U}$ について、$\mathcal{U}$ が $X$ の開基（あるいは、$\mathcal{O}$ の開基）であるとは、任意の開集合 $V$ と $x\in V$ について、$x\in U \subset V$ を満たす $U\in \mathcal{U}$ が存在することをいう。

=== 定義 7.2 (基本近傍系の定義) ===

位相空間 $X$ と点 $x\in X$ を含むような $X$ の開集合の族 $\mathcal{U}$ について、$\mathcal{U}$ が $X$ の点 $x$ についての基本近傍系であるとは、任意の開集合 $x\in V$ について、$x\in U \subset V$ を満たす $U\in \mathcal{U}$ が存在することをいう。

=== 命題 7.3 (有限交叉に閉じる部分集合族と位相) ===

集合 $X$ と集合族 $\mathcal{A}\subset \mathcal{P}(X)$ について、$\mathcal{A}$ が以下の性質を満たすとする。

* $A,B\in \mathcal{A}$ ならば $A\cap B\in \mathcal{A}$

このとき、$\mathcal{A}$ を開基とする $X$ の位相が一意に存在する。

''証明''　まず、命題のような位相が存在すれば一意的であることを示す。位相 $\mathcal{O}_1$, $\mathcal{O}_2$ がともに $\mathcal{A}$ を開基とする位相であったとしよう。$U\in\mathcal{O}_1$ とすると、$\mathcal{A}$ が $\mathcal{O}_1$ の開基であることから、各 $x\in U$ に対して $A_x\in\mathcal{A}$ で $x\in A_x\subset U$ となるものが選べる。すると、$U=\bigcup_{x\in U} A_x$ であるが、$\mathcal{A}$ は $\mathcal{O}_2$ の開基であるので、各 $x\in U$ に対して $A_x\in\mathcal{O}_2$ であり、よって $U\in\mathcal{O}_2$ である。したがって、$\mathcal{O}_1\subset\mathcal{O}_2$ である。同様に、$\mathcal{O}_2\subset\mathcal{O}_1$ であるので、$\mathcal{O}_1=\mathcal{O}_2$ である。

次に、命題のような位相が存在することを示す。$\mathcal{A}$ のいくつかの要素の和集合で表される集合全体の族を $\mathcal{O}$ とする。このとき、$\mathcal{O}$ が $X$ 上の位相の定義を満たすことを示そう。

$\mathcal{O}$ の要素の有限個の開集合の交叉が再び開集合となることを示せばよい(それ以外の公理については簡単に示される)。そのためには、$\mathcal{O}$ の二個の要素 $U$, $V$ に対して $U\cap V\in\mathcal{O}$ を示せば十分である。$U$, $V$ は、ある集合族 $\mathcal{B},\mathcal{C}\subset \mathcal{A}$ に対して、$U=\bigcup_{B\in \mathcal{B}} B$, $V=\bigcup_{C\in \mathcal{C}}C$ と表すことができる。すると、$U\cap V=\bigcup_{B\in \mathcal{B}, C\in \mathcal{C}} B\cap C$ が成り立つ。このとき仮定より $B\cap C\in \mathcal{A}$ であるため、 $U\cap V\in\mathcal{O}$ である。

$\mathcal{A}$ は位相 $\mathcal{O}$ の開基となる。実際、任意の $V\in\mathcal{O}$ は $\mathcal{A}$ の要素の和集合であるため、各 $x\in V$ について $A\in \mathcal{A}$ で $x\in A\subset V$ となるものが存在する。また、$\mathcal{O}$ の定め方より $\mathcal{A}$ の任意の要素は $\mathcal{O}$ に属する。

== 8. 和空間・積空間 ==

=== 定義 8.1 (和空間の定義) ===

位相空間の族 $\{X_i | i\in \Lambda\}$ について、和空間 $\bigoplus_{i\in \Lambda} X_i$ とは、直和集合 $\coprod_{i\in \Lambda} X_i$ 上に以下で位相を定めたものをいう。

* $U\subset \coprod_{i\in \Lambda} X_i$ が開集合 $\Leftrightarrow$ 任意の $i\in \Lambda$ について $U\cap X_i$ は $X_i$ の開集合

=== 命題 8.2 (和空間の普遍性) ===
以下が成り立つ。

* $a\in \Lambda$ について、自然な写像 $s_a: X_i\to \bigoplus_{i\in \Lambda} X_a$ は連続写像である
* 任意の連続写像の組 $f_i:X_i\to Y$ について、連続写像 $F: \bigoplus_{i\in \Lambda} X_i\to Y$ であって、$F\circ s_i=f_i$ が成り立つものがただひとつ存在する

''証明''　位相の定め方により、明らかに $s_a$ は連続写像である。

連続写像の組 $f_i$ について、集合の写像 $F:\bigoplus_{i\in \Lambda} X_i\to Y$ であって、$F \circ s_i=f_i$ が成り立つものがただひとつ存在する。以下この写像 $F$ が連続であることを確かめる。

$Y$ の開集合 $V$ について、すべての $i\in \Lambda$ について $f_i^{-1}(V)$ は $X_i$ の開集合である。$f_i^{-1}(V)=s_i^{-1}(F^{-1}(V))$ であるため、位相の定め方により、$F^{-1}(V)$ は $\bigoplus_{i\in \Lambda} X_i$ の開集合である。よって $F$ は連続である。

=== 定義 8.3 (積空間の定義) ===

位相空間の族 $\{X_i | i\in \Lambda\}$ について、積空間 $\prod_{i\in \Lambda} X_i$ とは、直積集合 $\prod_{i\in \Lambda} X_i$ 上に以下で位相を定めたものをいう。

* 添字集合 $\Lambda$ の有限部分集合 $\Lambda'$ と $j\in \Lambda'$ ごとに定めた $X_j$ の開集合 $U_j$ について、$\prod_{j\in \Lambda'}U_j \times \prod_{i\in \Lambda-\Lambda'} X_i$ として表すことのできる $\prod_{i\in \Lambda} X_i$ の部分集合の族を $\mathcal{A}$ とおく。ここで $\mathcal{A}$ は有限交叉を取る操作について閉じているため、$\mathcal{A}$ を開基に持つ位相がただひとつ存在する。この位相を集合$\prod_{i\in \Lambda} X_i$ に入れる。

$\mathcal{A}$ に含まれる開集合のことを、命題 8.4 において基本開集合と呼ぶ。

=== 命題 8.4 (積空間の普遍性) ===

以下が成り立つ。

* $a\in \Lambda$ について、自然な写像 $p_a:\prod_{i\in \Lambda} X_i\to X_a$ は連続写像である
* 任意の連続写像の組 $f_i:Y\to X_i$ について、連続写像 $F: Y\to \prod_{i\in \Lambda}X_i$ であって、$p_i\circ F=f_i$ が成り立つものがただひとつ存在する

''証明''　$a\in \Lambda$ と $X_a$ の開集合 $U_a$ について、$p_a^{-1}(U_a)=U_a\times \prod_{i\in \Lambda-\{a\}} X_i$ が成り立つ。位相の定め方より、これは $\prod_{i\in \Lambda}$ の開集合であるため、$p_a$ は連続である。

連続写像の組 $f_i$ について、集合の写像 $F: Y\to \prod_{i\in \Lambda}X_i$ であって、$p_i\circ F=f_i$ が成り立つものがただひとつ存在する。以下この写像 $F$ が連続であることを確かめる。

$\prod_{i\in \Lambda} X_i$ の開集合は、基本開集合の合併である。基本開集合の $F$ による逆像が開集合であれば、$F$ は連続であることが示される。

基本開集合 $V=\prod_{j\in \Lambda'}U_j\times \prod_{i\in \Lambda-\Lambda'} X_i$ について、$F^{-1}(V)=\bigcap_{j\in \Lambda'}f_j^{-1}(U_j)$ が成り立つ。よって $F^{-1}(V)$ は開集合である。

== 9. 分離公理 ==
[[分離公理]]を参照されたい。

=== 定義 9.1 ($T_0$ 性の定義) ===

位相空間 $X$ が $T_0$ であるとは、任意の異なる二点 $x,y \in X$ について、ある開集合 $U$ が存在して、「$x \in U$ かつ $y \notin U$」または「$y \in U$ かつ $x \notin U$」が成り立つようにできることをいう。

=== 定義 9.2 ($T_1$ 性の定義) ===
位相空間 $X$ が $T_1$ であるとは、任意の異なる二点 $x,y \in X$ について、ある開集合 $U$ が存在して、$x \in U$ かつ $y \notin U$ とできることをいう。

=== 定義 9.3 ($T_2$ 性の定義) ===
位相空間 $X$ が $T_2$ であるとは、任意の異なる二点 $x,y \in X$ について、ある開集合 $U,V$ が存在して、$x \in U$ かつ $y \in V$ かつ $U\cap V=\emptyset$ とできることをいう。

$T_2$ 空間のことを、ハウスドルフ空間ともいう。

=== 定義 9.4 ($T_3$ 性の定義) ===
位相空間 $X$ が $T_3$ であるとは、任意の点 $x \in X$ と閉集合 $x \notin F \subset X$ について、ある開集合 $U,V$ が存在して、$x \in U$ かつ $F \subset V$ かつ $U\cap V=\emptyset$ とできることをいう。

=== 定義 9.5 (正則性の定義) ===
位相空間 $X$ が正則であるとは、$T_1$ かつ $T_3$ であることをいう。

=== 定義 9.6 ($T_4$ 性の定義) ===
位相空間 $X$ が $T_4$ であるとは、任意の閉集合 $F,G \subset X$ であって $F\cap G=\emptyset$ であるものについて、ある開集合 $U,V$ が存在して、$F \subset U$ かつ $G \subset V$ かつ $U\cap V=\emptyset$ とできることをいう。

=== 定義 9.7 (正規性の定義) ===
位相空間 $X$ が正規であるとは、$T_1$ かつ $T_4$ であることをいう。

=== 命題 9.8 (分離公理の強弱) ===
「正規 $\Rightarrow$ 正則 $\Rightarrow$ $T_2$ $\Rightarrow$ $T_1$ $\Rightarrow$ $T_0$」が成り立つ。

''証明''　定義より、「$T_2$ $\Rightarrow$ $T_1$ $\Rightarrow$ $T_0$」が成り立つ。

次に、「正規 $\Rightarrow$ $T_2$」を示す。そのために以下の補題を示す。
* $X$ が $T_1$ 空間であるためには、任意の $x\in X$ に対して $\{x\}$ が閉集合であることが必要十分である。

補題の証明：まず、必要性を示す。$X$ を $T_1$ 空間とし、$x\in X$ とする。各 $y\in X-\{x\}$ に対して、$y\in U_y$ かつ $x\notin U_y$ を満たすような開集合 $U_y$ が選べる。すると $\bigcup_{y\in X-\{x\}} U_y=X-\{x\}$ であるから、$X-\{x\}$ は開集合の和集合として表され、よって $X-\{x\}$ は開集合となるから $\{x\}$ は閉集合である。次に、十分性を示す。任意の $x\in X$ に対して $\{x\}$ が閉集合であるとする。$x, y\in X$ を異なる点とすると、$\{y\}$ は閉集合であるから、$U=X-\{y\}$ は開集合であり、$x\in U$ および $y\notin U$ を満たす。よって、$X$ は $T_1$ 空間である。

以下、「正則 $\Rightarrow$ $T_2$」を示す。$X$ を正則空間とする。異なる点 $x,y\in X$ に対して、$\{y\}$ は閉集合であるため、$X$ の $T_3$ 性より、$U\cap V=\emptyset$ なる開集合であって $x\in U$ かつ $y\in V$ が成り立つものが取れる。よって $X$ は $T_2$ 空間である。

「正規 $\Rightarrow$ 正則」を示す。正則空間は $T_1$ 空間であるので、一点集合は閉集合である。したがって、正規性は正則性を導く。

== 10. コンパクト空間 ==
[[コンパクト空間]]を参照されたい。

=== 定義 10.1 (開被覆の定義) ===
位相空間 $X$ の開集合からなる族 $\mathcal{U}=\{U_i\,|\,i\in I\}$ が開被覆であるとは、$\mathcal{U}$ の要素すべての和集合が $X$ に一致することをいう。
すなわち、$X=\bigcup_{i\in I} U_i$ が成り立つことをいう。

=== 定義 10.2 (コンパクト空間の定義) ===
位相空間 $X$ がコンパクトであるとは、以下の性質を満たすことを指していう。

* $X$ の任意の[[開被覆]] $\mathcal{U}$ について、$\mathcal{U}$ の有限部分集合 $\mathcal{V}$ が存在して、$\mathcal{V}$ が $X$ の開被覆となる。

== A1. 位相空間論に関する事項についてのページ一覧 ==
[[位相空間論に関する事項]]を参照されたい。

== 関連項目 ==

[[ネットによる位相空間論]]においては、[[ネット]]を基本的な概念とする立場のもと位相空間論の基礎的事項について解説をしている。こちらも参考にされたい。[[フィルターによる位相空間論]]は[[ネットによる位相空間論]]の翻訳記事である。どちらの定式化も(ほぼ)等価なものであるが、ネットの概念はしばしば解析学において用いられるのに対し、フィルターの概念はしばしば集合論や代数学において登場する。

[[コンパクト性とその周辺]]においては、コンパクト空間に関するいくつかのトピックについて取り扱っている。

== 参考文献 ==
* [https://amzn.to/3OXNkbe Ryszard Engelking, "General Topology", 1989]

== 外部リンク ==
* [https://ncatlab.org/nlab/show/Introduction+to+Topology nlab "Introduction to Topology"]

Mathpediaの財務関連報告

2022-12-01T01:34:38Z

数学市民: /* Mathpediaの財務関連報告 */

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==Mathpediaの財務関連報告==
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*[[2022年9月期末の貸借対照表]]

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2022-12-01T01:27:50Z

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==Mathpediaの財務関連報告==
*[[2021年9月期末の貸借対照表]]
*[[2022年9月期末の貸借対照表]]

群論の基礎4：準同型定理

2022-04-14T09:37:45Z

数学市民: /* 定義 4.1 (準同型写像(準同型)) */

この章では準同型の定義を確認し、準同型定理を証明する。　

'''[[入門テキスト「群論の基礎」]]'''
* [[群論の基礎1：群の定義]]
* [[群論の基礎2：部分群]]
* [[群論の基礎2.5：様々な群]]
* [[群論の基礎3：正規部分群]]
* [[群論の基礎4：準同型定理]]
* [[群論の基礎5：群の作用]]
* [[群論の基礎6：シローの定理]]

=== 定義 4.1 (準同型写像(準同型)) ===

$G,G^\prime$を群とする。

写像$f:G\rightarrow G^\prime$が任意の$x,y\in G$に対して、

\[
f(xy)=f(x)f(y)
\]

を満たすとき、$f$を準同型写像、あるいは準同型という。

=== 定義 4.2 (同型写像(同型)) ===

$G,G^\prime$を群、写像$f：G\rightarrow G^\prime$を準同型とする。

$f$が全単射のとき、$f$を同型写像、あるいは同型という。

群$G,G^\prime$の間に同型写像が存在するとき、$G\cong G^\prime$と書く。

=== 命題 4.3 (準同型は単位元と逆元を保存する) ===

$G,G^\prime$を群、$x\in G$、写像$f：G\rightarrow G^\prime$を準同型とする。

(1)$f(e)=e^\prime$

(2)$f(x^{-1})=f(x)^{-1}$

が成り立つ。

{{begin|proof|display=''Proof.''|collapsible=1|collapsed=1}}

(1)

\[
f(e)=f(ee)=f(e)f(e)
\]

より、$f(e)=e^\prime$

(2)

\[
e^\prime=f(e)=f(xx^{-1})=f(x)f(x^{-1})
\]

より、$f(x^{-1})=f(x)^{-1}$

{{end|proof|}}

=== 命題 4.4 (準同型の合成は準同型) ===

$G,G^\prime$を群とする。

$f:G\rightarrow G^\prime, g:G^\prime\rightarrow G^{\prime\prime}$を準同型とする。

合成写像$g\circ f:G\rightarrow G^{\prime\prime}$も準同型写像である。

{{begin|proof|display=''Proof.''|collapsible=1|collapsed=1}}

任意に$x,y\in G$を取る。

\[
g\circ f(xy)=g(f(x)f(y))=gf(x)gf(y)=g\circ f(x)g\circ f(y)
\]

より$g\circ f$は準同型である。

{{end|proof|}}

=== 定義 4.5 (核) ===

$G,G^\prime$を群、写像$f：G\rightarrow G^\prime$を準同型とする。

\[
Ker(f)=\{x\in G|f(x)=e^\prime\}
\]

と定義する。

Ker(f)を$f$の核という。

=== 定義 4.6 (像) ===

$G,G^\prime$を群、写像$f：G\rightarrow G^\prime$を準同型とする。

\[
Im(f)=\{f(x)\in G^\prime| x\in G\}
\]

と定義する。

Im(f)を$f$の像という。

=== 命題 4.7 (準同型が単射性と核が単位元歯科持たないことは同値) ===

$G$を群とする。

$f:G\rightarrow G^\prime$を準同型とする。

\[
fが単射\Leftrightarrow Ker(f)=\{e_{G}\}
\]

{{begin|proof|display=''Proof.''|collapsible=1|collapsed=1}}

($\Rightarrow$)

$f$は単射なので、$x,y\in G$が$f(x)=e_{G^\prime}, f(y)=e_{G^\prime}$を満たすならば、$x=y$が成り立つ。

$f(e_G)=e_{G^\prime}$なので、$Ker(f)=\{e_{G}\}$が成り立つ。

($\Leftarrow$)

$x,y\in G$が$f(x)=f(y)$を満たすとする。

\[
e_{G^\prime}=f(e_G)=f(xx^{-1})=f(y)f(x^{-1})=f(yx^{-1})
\]

が成り立つので、$x=y$となり、$f$は単射である。

{{end|proof|}}

=== 命題 4.8 (核は正規部分群) ===

$G,G^\prime$を群、写像$f：G\rightarrow G^\prime$を準同型とする。

$Ker(f)$は$G$の正規部分群である。

{{begin|proof|display=''Proof.''|collapsible=1|collapsed=1}}

$x\in G,k\in Ker(f)$を任意に取る。

\[
f(xkx^{-1})=f(x)f(k)f(x)^{-1}=e_{G^\prime}
\]

より、$xkx^{-1}\in Ker(f)$なので、$Ker(f)$は$G$の正規部分群である。

{{end|proof|}}

=== 命題 4.9 (剰余群への自然な写像は全射準同型) ===

$G$を群、$N$を正規部分群とする。

写像$\pi:G\ni x\mapsto xN\in G/N$は全射準同型である。

また、$Ker(\pi)=N$である。

$\pi$を自然な準同型という。

{{begin|proof|display=''Proof.''|collapsible=1|collapsed=1}}

$\pi$が全射であることは明らかなので、準同型であることを示す。

任意の$x,y\in G$に対して、

\[
\pi(xy)=xyN=xNyN=\pi(x)\pi(y)
\]

よって$\pi$は準同型。

また、

\[
Ker(\pi)=\{x\in G|\pi(x)=N\}=\{x\in G|x\in N\}=N
\]

である。

{{end|proof|}}

=== 定理 4.10 (準同型定理(第１同型定理)) ===
$G.G^\prime$を群、$\phi:G\rightarrow G^\prime$を準同型とする。

$\pi:G\rightarrow G/Ker(\phi)$を自然な準同型とする。

準同型$\psi:G/Ker(\phi)\rightarrow G^\prime$で、同型$G/Ker(\phi)\rightarrow Im(\phi)$を定めるものが一意に存在する。

{{begin|proof|display=''Proof.''|collapsible=1|collapsed=1}}

$Ker(\phi)=K$とおく。

写像$\psi:G/K\rightarrow G^\prime$を$x\in G$に対して、

\[
\psi(xK)=\phi(x)$
\]

と定める。

$\psi$がwell-definedであることを示す。

$k\in K$を任意に取ると、

\[
$\psi(xkK)=\phi(xk)=\phi(x)\phi(k)=\phi(x)$
\]

よって、$\psi(xK)$の値は代表元の取り方に依らずに定まる。

次に、$\psi$が準同型であることを示す。

任意の$x,y\in G$に対して、

\[
\psi(xKyK)=\psi(xyK)=\phi(xy)=\phi(x)\phi(y)=\psi(xK)\psi(yK)
\]

より、$\psi$は準同型である。

$\pi$は全射なので、

\[
Im(\psi)=\psi\circ\pi(G)=\phi(G)=Im(\phi)
\]

また

\[
Ker(\psi)=\{xK\in G/K|\psi(xK)=e_G\}=\{xk\in G/K|\phi(x)=e_G\}=\{xK\in G/Ker(\phi)|x\in K\}\{K\}
\]

より$\psi$は単射。

よって$\psi$は同型$G/Ker(\phi)\rightarrow Im(\phi)$を定める。

最後に$\psi$の一意性を示す。

ある準同型$\psi^\prime$が存在して$\psi^\prime\circ\pi=\phi$を満たすとすると、任意の$x\in G$に対して

\[
\psi^\prime(xK)\pi=\phi(x)
\]

と値が定まるので、$\psi^\prime=\psi$となる。

よって$\psi$は一意に存在する。

{{end|proof|}}

=== 命題 4.11 (第２同型定理) ===

$G$を群、$N,H$を$G$の部分群、$N\triangleleft G$とする。以下が成り立つ。

(1)$HN$は$G$の部分群で$HN=NH$である。

(2)$H\cap N\triangleleft H$で$H/H\cap N\cong HN/N$

{{begin|proof|display=''Proof.''|collapsible=1|collapsed=1}}

(1)

$h_1,h_2\in H,n_1,n_2\in N$を任意に取る。

\[
(h_1n_1)(h_2n_2)=h_1h_2\{(h_2^{-1}n_1h_2)n_2\}\in HN

(h_1n_1)^{-1}=h_1^{-1}(h_1n_1^{-1}h_1^{-1})\in HN
\]

より、$HN$は$G$の部分群である。また、同様にして$NH$も$G$の部分群である。

$N,H\subset HN$なので$NH\subset HN$で、同様に$HN\subset NH$なので、$HN=NH$。

(2)

$H$から$HN/N$への自然な全射準同型を$\phi$とすると、$Ker(\phi)=H\cap N$なので、$H\cap N\triangleleft H$

よって準同型定理より、

\[
H/H\cap N\cong HN/N
\]

{{end|proof|}}

=== 命題 4.12 (第３同型定理) ===

$G$を群、$N\subset N^\prime$を$G$の正規部分群とする。

\[
(G/N)(N^\prime/N)\cong G/N^\prime
\]

が成り立つ。

{{begin|proof|display=''Proof.''|collapsible=1|collapsed=1}}

写像$\phi:G/N\rightarrow G/N^\prime$を$\phi(xN)=xN^\prime$と定める。

$\phi$がwell-definedな準同型であることを示す。

$n\in N\subset N^\prime$を任意に取る。

\[
\phi(xnN)=xnN^\prime=xN^\prime
\]

より$\phi$はwell-definedである。

任意の$x,y\in G$に対して、

\[
\phi(xNyN)=\phi(xyN)=xyN^\prime=xN^\prime yN^\prime=\phi(x)\phi(y)
\]

より、$\phi$は準同型。

\[
Ker(\phi)=\{xN\in G/N|/phi(xN)=N^\prime\}=\{xN\in G/N|/x\in N^\prime\}=N^\prime/N
\]

より準同型定理を適用すると、

\[
(G/N)(N^\prime/N)\cong G/N^\prime
\]

が得られる。

{{end|proof|}}

=== 定義 4.13 (自己同型群) ===

$G$を群とする。

同型写像$G\rightarrow G$を$G$の自己同型という。

$G$の自己同型全体は写像の合成を積として$Aut(G)$の部分群になる。

この群を自己同型群と呼び、$Aut(G)$と書く。

=== 定義 4.14 (内部自己群) ===

$G$を群とする。

$a\in G$に対して、

\[
I_a:G\ni x\rightarrow axa^{-1}\in G
\]

によって定めるとこれは自己同型になる。この自己同型を内部自己同型という。

内部自己同型全体は写像の合成を積として群になり、$Inn(G)$と書く。

=== 命題 4.15 (Aut(Z)は位数2の巡回群) ===

$\mathbb{Z}$を加法を演算として群とみなす。

$Aut(\mathbb{Z})$は位数2の巡回群に同型である。

{{begin|proof|display=''Proof.''|collapsible=1|collapsed=1}}

任意に$f\in Aut(G)$を取る。

\[
\mathbb{Z}=f(\mathbb{Z})=f(1)\mathbb{Z}
\]

よって、$f(1)=1$または$-1$である。

$f(1)=1$ならばこれは$\mathbb{Z}$の恒等写像$id_{\mathbb{Z}}$である。

$f(1)=-1$ならば、$f^2=id_{\mathbb{Z}}$である。

以上より、$Aut(\mathbb{Z})$は位数2の巡回群に同型。

{{end|proof|}}

=== 命題 4.16 ($Inn(G)$は$Aut(G)$の正規部分群) ===

$G$を群とする。

\[
Aut(G)\triangleright Inn(G)
\]

が成り立つ。

{{begin|proof|display=''Proof.''|collapsible=1|collapsed=1}}

$I_a,\in Inn(G),f\in Aut(G)$を任意に取る。

任意の$x\in G$に対して、

\[
(fI_af^{-1})(x)=f(I_a(f^{-1}(x)))=f(af^{-1}(x)a^{-1})=f(a)xf(a)^{-1}=I_{f(a)}(x)
\]

が成り立つので、

\[
Aut(G)\triangleright Inn(G)
\]

{{end|proof|}}

=== 定義 4.17 (中心で割った群は内部自己同型群) ===

$G$を群とする。

\[
Z(G)=\{z\in G|xg=gx( ^\forall x\in G)\}
\]

によって定めると、

\[
G/Z(G)\cong Inn(G)
\]

が成り立つ。

$Z(G)$を$G$の中心という。

{{begin|proof|display=''Proof.''|collapsible=1|collapsed=1}}

写像$\phi:G\rightarrow Inn(G)$を$\phi(a)=I_a$によって定めると$\phi$は全射準同型である。

\[
Ker(\phi)=\{a\in G|\phi(a)=id_G\}=\{a\in G|I_a=id_G\}=\{a\in G|axa^{-1}=x( ^\forall x\in G)\}=Z(G)
\]

よって、準同型定理より

\[
G/Z(G)\cong Inn(G)
\]

{{end|proof|}}

=== 命題 4.18 (第２同型定理の応用) ===

$G$を群、$H,K,N$を部分群、$N\triangleleft K\triangleleft G$とする。

\[
(H\cap K)/(H\cap N)\cong(H\cap K)N/N
\]

が成り立つ。

{{begin|proof|display=''Proof.''|collapsible=1|collapsed=1}}

第２同型定理より、

\[
(H\cap K)N/N\cong(H\cap K)/(H\cap K\cap N)=(H\cap K)/(H\cap N)
\]

{{end|proof|}}

=== 定義 4.19 (ツァッセンハウスの補題) ===

$G$を群、$H,H^\prime,K,K^\prime$を部分群、$H^\prime\triangleleft H,K^\prime\triangleleft K$とする。

\[
(H\cap K)H^\prime/(H\cap K^\prime)H^\prime\cong(H\cap K)K^\prime/(H^\prime\cap K)K^\prime
\]

が成り立つ。

{{begin|proof|display=''Proof.''|collapsible=1|collapsed=1}}

第２同型定理より、

\[
(H\cap K)H^\prime/(H\cap K^\prime)H^\prime
\]
\[
=(H\cap K)(H\cap K^\prime)H^\prime/(H\cap K^\prime)H^\prime
\]
\[
=(H\cap K)/(H\cap K^\prime)H^\prime\cap(H\cap K)
\]
\[
=(H\cap K)/(H\cap K^\prime)(H^\prime\cap H\cap K)
\]
\[
=(H\cap K)/(H\cap K^\prime)(H^\prime\cap K)
\]
\[
=(H\cap K)/(H^\prime\cap K)(H\cap K^\prime)
\]
\[
=(H\cap K)/(H^\prime\cap K)(K^\prime\cap H\cap K)
\]
\[
=(H\cap K)/(H^\prime\cap K)K^\prime\cap(H\cap K)
\]
\[
=(H\cap K)(H^\prime\cap K)K^\prime/(H^\prime\cap K)K^\prime
\]
\[
=(H\cap K)K^\prime/(H^\prime\cap K)K^\prime
\]

{{end|proof|}}

群論の基礎1：群の定義

2022-04-08T14:01:24Z

数学市民:

この章では群の定義について述べる。

'''[[入門テキスト「群論の基礎」]]'''
* [[群論の基礎1：群の定義]]
* [[群論の基礎2：部分群]]
* [[群論の基礎2.5：様々な群]]
* [[群論の基礎3：正規部分群]]
* [[群論の基礎4：準同型定理]]
* [[群論の基礎5：群の作用]]
* [[群論の基礎6：シローの定理]]

=== 定義 1.1 (群) ===

集合$G$と$G$上の二項演算$\cdot$の組$(G,\cdot)$で、以下の3つの条件を満たすものを群という。

(単位元の存在)単位元と呼ばれる特別な元$e\in G$が存在し、任意の$a\in G$に対して$a\cdot e=e\cdot a=a$が成り立つ。

(逆元の存在)任意の$a\in G$に対して、ある$b\in G$が存在し、$a\cdot b=b\cdot a=e$が成り立つ。
$b$を$a$の逆元と呼び, $a^{-1}$と書く。

(結合法則)任意の$a,b,c\in G$に対して、$(a\cdot b)\cdot c=a\cdot(b\cdot c)$が成り立つ。

$(G,\cdot)$が群のとき、集合$G$を群の台集合という。$a\cdot b$は$a$と$b$の積と呼ばれる。

=== 注意 1.2 (表記に関する注意) ===

・群は組$(G,\cdot)$の事だが、演算$\cdot$が明らかな場合には$G$を群と呼ぶ。

・積の演算記号は省略されて$ab$と書かれる場合が多い。

・演算が$+$で表されることがあり、この場合には$a+b$を和と呼ぶ。

・単位元は$1$や$1_G$などと書かれることもある。

・群の定義に単位元を入れて3つ組$(G,\cdot,e)$を群と定義することもある。

=== 定義 1.3 (可換・可換群(アーベル群)) ===

群$G$の元$a,b\in G$に対して、$ab=ba$が成り立つとき、$a$と$b$は可換であるという。

任意の元が可換な群を可換群、あるいはアーベル群という。

=== 定義 1.4 (群の位数・有限群・無限群) ===

$G$を群として、台集合$G$に含まれる元の個数$|G|$を群の位数という。

位数が有限な群を有限群と呼び、有限群ではない群を無限群という。

=== 命題 1.5 (単位元の一意性) ===

群の単位元は一意に定まる。

{{begin|proof|display=''Proof.''|collapsible=1|collapsed=1}}

$G$を群として、$e_1,e_2\in G$を単位元とする。単位元の性質より
\[
e_1=e_1e_2=e_2
\]
よって、$e_1=e_2$より単位元は一意に定まる。

{{end|proof|}}

=== 命題 1.6 (逆元の一意性) ===

群の任意の元に対して、その逆元は一意に定まる。

{{begin|proof|display=''Proof.''|collapsible=1|collapsed=1}}

$G$を群として、$a\in G$を任意にとり、$b,c\in G$を$a$の逆元とする。逆元の性質と結合法則より
\[
b=be=b(ac)=(ba)c=ec=c
\]
よって、$b=c$より$a$の逆元は一意に定まる。

{{end|proof|}}

=== 命題 1.7 (演算に関する基本的な性質) ===

$G$を群、$a,b,c\in G$とする。以下が成り立つ。

(1)$ab=ac$ならば、$b=c$

(2)$ab=c$ならば、$b=a^{-1}c,\ a=cb^{-1}$

(3)$(ab)^{-1}=b^{-1}a^{-1}$

(4)$(a^{-1})^{-1}=a$

{{begin|proof|display=''Proof.''|collapsible=1|collapsed=1}}

(1)$ab=ac$の両辺に左から$a^{-1}$を掛けると$b=c$が成り立つ。

(2)$ab=c$の両辺に左から$a^{-1}$を掛けると$b=a^{-1}c$、右から$b^{-1}$を掛けると$a=cb^{-1}$が成り立つ。

(3)$e=aa^{-1}=bb^{-1}$より
\[
(ab)^{-1}=(ab)^{-1}(aa^{-1})=(ab)^{-1}(a(bb^{-1})a^{-1})=(ab)^{-1}(ab)b^{-1}a^{-1}=b^{-1}a^{-1}
\]

(4)$e=a^{-1}a=(a^{-1})^{-1}(a^{-1})$より
\[
(a^{-1})^{-1}=(a^{-1})^{-1}(a^{-1}a)=((a^{-1})^{-1}a^{-1})a=a
\]

{{end|proof|}}

メインページ

2022-04-04T14:31:45Z

数学市民: /* テキスト形式のコンテンツ */

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* [https://ronkeisha.net/ 論計舎]

入門テキスト「単体複体の二元体係数ホモロジー」

2022-04-03T23:33:47Z

数学市民: /* 参考文献 */

== 入門テキスト「単体複体の二元体係数ホモロジー」 ==

本テキストでは、ホモロジー理論に親しみのない方を主なターゲットとし、'''単体複体の二元体係数ホモロジー'''という最もシンプルなホモロジー理論の一つを具体例も含めて紹介する。

テキストを読むにあたっては、集合と写像・線型代数の基本的な取り扱いに慣れているとよい。
たとえば、部分集合族・線型写像の核と像・ベクトル空間の商空間といった概念は頻繁に登場する。
'''しかし、位相空間論・環上の加群論の知識は全く必要としない。'''それは以下の理由による。

まず、ホモロジー理論とは[[代数的トポロジー]]と呼ばれる分野の一種である。代数的トポロジーとは、幾何的対象<ref name="群コホもあるよ">実は、対象が幾何的でなくてもよい。たとえば群に対する（コ）ホモロジー理論が存在する。</ref>から代数的な量を取り出し、それを用いて元々の幾何的対象を調べる分野の総称である。
このとき、ホモロジー理論で扱われる代数的な量のことを'''ホモロジー'''（あるいはホモロジー群）というが、ホモロジーにも様々な種類が存在する。
種類の区別の仕方として、以下に挙げる二つの判断基準がある：
* 第一に、取り扱う幾何的対象の範囲である。最も素朴にはすべての位相空間が考えられるが、扱う範囲を制限することで議論が進みやすくなる。本テキストでは、位相空間の知識がなくてもホモロジーに親しめるよう、'''単体複体'''と呼ばれる組合せ的な対象を取り扱う。
* 第二に、代数的量であるホモロジーの複雑さである。ホモロジーは一般に環上の加群であるが、環を簡単なものにすることで得られるホモロジーが簡単になる。本テキストでは、'''二元体''' と呼ばれる環の上でホモロジー理論を展開する。二元体は特に体であるので、ホモロジーは二元体上のベクトル空間ということになる。

現代の代数的トポロジーは、代数的にも幾何的にも抽象化を受けて大きく発展している。
それを学ぶとき、最も抽象的と思われる理論から勉強をスタートすることも一つの道であるが、最も原始的と思われる例から触れてみることも、親しみを持つためには有効なことがある。
本テキストで得た知識・経験が、数学を面白いと思える理由の一つ、あるいはこの先にあるホモロジー理論・代数的トポロジーを学ぶ際の助けとなれば幸いである。

== テキストの構成 ==

本テキストでは、幾何的なモチベーションを主軸に置き、必要に応じて代数的な道具を紹介する。
理論を説明した後に、あるいはしながら、具体例の計算を促していく。

本テキストの構成は以下の通りである。
'''2022年4月現在でテキストは未完成のため、順番を変更したり内容を追加・削除したりする可能性があります。'''

*[[単体複体の二元体係数ホモロジー0：二元体上の線型代数]]

この章では、'''二元体'''に親しみがない読者のため、速習コースを用意する。
二元体とは唯二つの要素のみから成る体のことであり、その計算規則の特異さから、実数体 $\mathbb{R}$ や複素数体 $\mathbb{C}$ 上の線型代数とは異なる部分を生む。

*[[単体複体の二元体係数ホモロジー1：単体複体とその多面体]]

この章では、本テキストを通して扱う幾何的対象である'''単体複体'''について、諸々の定義を行う。
地道な定義が続くので、一通り目を通したら先に進み、分からなかったり忘れたりしたらまた戻ってくるような辞書的扱いで問題ない。

*[[単体複体の二元体係数ホモロジー2：単体複体から鎖複体へ]]

この章では、単体複体という幾何的対象に対して、鎖複体と呼ばれる代数的対象を導入した後、'''ホモロジー'''の定義を述べる。

*[[単体複体の二元体係数ホモロジー3：ホモロジーの基本的性質]]

この章では、ホモロジーの持つ基本的な性質を紹介する。主なトピックは以下の三点である。
::-$0$ 次ホモロジーの幾何的な意味
::-錐のホモロジー
::-擬多様体のホモロジー

*[[単体複体の二元体係数ホモロジー4：単体複体の対と相対ホモロジー]]

この章では、単体複体の対というものを考え、そのホモロジーである'''相対ホモロジー'''について紹介する。
一見取っつきにくい概念かもしれないが、非常に有用な考え方であることが今後明らかとなる。

*[[単体複体の二元体係数ホモロジー5：単体写像から鎖写像へ]]

この章では、'''単体写像'''という幾何的写像に対して、鎖写像と呼ばれる代数的写像を導入し、それがホモロジーの間の写像を誘導することを述べる。

*[[単体複体の二元体係数ホモロジー6：蛇の補題]]

ここまでの内容で、ホモロジーの取り扱いに際して代数的な大道具は用意しなかった。
この章では、'''蛇の補題'''という強力な定理を紹介する。この章のみ、幾何的な議論を排除する。

*[[単体複体の二元体係数ホモロジー7：ホモロジー長完全列およびMayer-Vietorisの原理]]

この章では、蛇の補題から従う偉大な系として、'''ホモロジー長完全列'''および'''Mayer-Vietorisの原理'''を紹介する。

*[[単体複体の二元体係数ホモロジー8：ホモロジーの粗さ(1)]]

色々な単体複体に対してホモロジーを求めてみると、同じ計算結果を与えるものたちが見つかる。
この章では、単体複体に対する'''縮約'''という改変操作を導入し、縮約によってホモロジーが変化しないことを紹介する。

*[[単体複体の二元体係数ホモロジー9：ホモロジーの粗さ(2)]]

二つの単体複体間の単体写像に対して誘導射を求めてみると、同じ計算結果を与えるものたちが見つかる。
この章では、単体写像の間の'''近接関係'''という関係を導入し、近接関係にある単体写像は同じ誘導射を与えることを紹介する。

*[[単体複体の二元体係数ホモロジー10：ホモロジーからコホモロジーへ]]

これまで、単体複体のホモロジー理論を解説してきた。
この章では、ホモロジーに酷似した、しかしホモロジーよりも豊かな代数的構造を持つ'''コホモロジー'''と呼ばれる量を導入する。

== 参考文献 ==

*[https://amzn.to/3u6p5ig 枡田「代数的トポロジー」]
*[https://amzn.to/3uUYJyE 中岡「位相幾何学 -ホモロジー論-」]
*[https://amzn.to/3j2DS7a Hausmann「Mod Two Homology and Cohomology」]

== 関連項目 ==

*[[代数的トポロジー]]

== 脚注 ==
<references />

利用者:ぷれまに

2022-03-28T10:10:17Z

数学市民: ページの作成:「test」

test

有限群の分類(位数1~100)

2022-03-27T09:43:17Z

数学市民: /* 位数 $p^2$ の群の分類 */

[[Category:群論]]
<noinclude>
{{TOC |align=right |noautonum=1 }}
</noinclude>
== 位数1～100の有限群の分類 ==
群の分類は、数学における問題のひとつである。その難しさには、群の構造自体が複雑多岐にわたるものであることや、今のところ分類がひとつの統一された手順によって進められていないこと、いくつもの要因が挙げられる。本稿においては、位数1以上位数100以下の有限群の構造を分類し、その証明を述べることを目標とする。

OEIS (The On-line Encyclopedio of Integer Sequences) には、非負整数 $n$ について位数 $n$ の群の同型類の個数を並べた数列が提示されている。https://oeis.org/A000001 を参照されたい。

== 凡例 ==
* $C_n$: 位数 $n$ の[[巡回群]]
* $D_n$: 位数 $n$ の[[二面体群]]
* $Q_n$: 位数 $n$ の[[一般四元数群]]
* $S_n$: $n$ 次の[[対称群]]
* $A_n$: $n$ 次の[[交代群]]

== 一覧 ==
{| class="wikitable" style="text-align: center;"
|-
! 位数 !! 位数の素因数分解 !! 群の分類 !! 証明 !! 補足
|-
| 1 || $1$ || $C_1$ || 自明 ||
|-
| 2 || $2$ || $C_2$ || [[#位数 $p$ の群の分類|$p$]] ||
|-
| 3 || $3$ || $C_3$ || [[#位数 $p$ の群の分類|$p$]] || $A_3$ と同型。
|-
| rowspan="2" | 4 || rowspan="2"| $2^2$ || $C_4$ || [[#位数 $p^2$ の群の分類|$p^2$]] ||
|-
|| $C_2\times C_2$ || [[#位数 $p^2$ の群の分類|$p^2$]] || 位数最小の非巡回群。（ [[Kleinの四元群|個別記事]] ）
|-
| 5 || $5$ || $C_5$ || [[#位数 $p$ の群の分類|$p$]] ||
|-
| rowspan="2" | 6 || rowspan="2" | $2\times 3$ || $C_6$ || [[#位数 $2p$ の群の分類|$2p$]] ||
|-
| $S_3$ ||位数最小の非可換群。 $D_6$ と同型。（ [[3次の対称群|個別記事]] ）||
|-
| 7 || $7$ || $C_7$ || [[#位数 $p$ の群の分類|$p$]] ||
|-
| rowspan="5" | 8 || rowspan="5" | $2^3$ || $C_8$ || [https://www.youtube.com/watch?v=amXdtua6iLE 龍孫江さんの解説動画] ||
|-
| $C_2\times C_4$||||
|-
| $C_2\times C_2 \times C_2$|| ||
|-
| $D_8$ || ||
|-
| $Q_8$ || ||
|-
| rowspan="2" | 9 || rowspan="2" | $3^2$ || $C_9$ || [[#位数 $p^2$ の群の分類|$p^2$]] ||
|-
| $C_3\times C_3$ || [[#位数 $p^2$ の群の分類|$p^2$]] ||
|-
| rowspan="2" | 10 || rowspan="2" | $2\times 5$ || $C_{10}$ || [[#位数 $2p$ の群の分類|$2p$]] ||
|-
| $D_{10}$ || [[#位数 $2p$ の群の分類|$2p$]] ||
|-
| 11 || $11$ || $C_{11}$ || [[#位数 $p$ の群の分類|$p$]] ||
|-
| rowspan="5" | 12 || rowspan="5" | $2^2\times 3$ || $Q_{12}$ || ||
|-
| $C_3 \times C_4$ || ||
|-
| $A_4$ || ||
|-
| $D_{12}$ || ||
|-
| $C_2 \times C_2 \times C_3$ || ||
|-
| 13 || $13$ || $C_{13}$ || [[#位数 $p$ の群の分類|$p$]] ||
|-
| rowspan="2" | 14 || rowspan="2" | $2\times 7$ || $C_{14}$ || [[#位数 $2p$ の群の分類|$2p$]] ||
|-
| $D_{14}$ || [[#位数 $2p$ の群の分類|$2p$]] ||
|-
| 15 || $3\times 5$ || $C_{15}$ || [[#位数 $pq$ の群の分類|$pq$]] ||
|-
|rowspan="14" | 16 || rowspan="14" | $2^4$ || $C_{16}$ || ||
|-
| $C_4 \times C_4$ || ||
|-
| $(C_2 \times C_2) \rtimes C_4$ || ||
|-
| $C_4 \rtimes C_4$ || ||
|-
| $C_8 \times C_2$ || ||
|-
| $C_8 \rtimes C_2$ || ||
|-
| $D_{16}$ || ||
|-
| $SD_{16}$ ||||
|-
| $Q_{16}$ ||||
|-
| $C_4 \times C_2 \times C_2$ ||||
|-
| $D_8 \times C_2$ ||||
|-
| $Q_8 \times C_2$ ||||
|-
| $(C_4 \times C_2) \rtimes C_2$ ||||
|-
| $C_2 \times C_2 \times C_2 \times C_2$ || ||
|-
| 17 || $17$ || $C_{17}$ || [[#位数 $p$ の群の分類|$p$]] ||
|-
| rowspan="5" | 18 || rowspan="5" | $2\times 3^2$ || $D_{18}$ || ||
|-
| $C_9 \times C_2$ || ||
|-
| $D_6 \times C_3$ || ||
|-
| $(C_3 \times C_3) \rtimes C_2$ || ||
|-
| $C_3 \times C_3 \times C_2$ || ||
|-
| 19 || $19$ || $C_{19}$ || [[#位数 $p$ の群の分類|$p$]] ||
|-
| 20 || $2^2\times 5$ || || ||
|-
| rowspan="2" | 21 || rowspan="2" | $3\times 7$ || $C_{21}$ || [[#位数 $pq$ の群の分類|$pq$]], [[#位数 $21$ の群の分類|$21$]] ||
|-
| $C_{7}{\rtimes}_{\phi}C_{3}$ || ||
|-
| rowspan="2" | 22 || rowspan="2" | $2\times 11$ || $C_{22}$ || [[#位数 $2p$ の群の分類|$2p$]] ||
|-
| $D_{22}$ || [[#位数 $2p$ の群の分類|$2p$]] ||
|-
| 23 || $23$ || $C_{23}$ || [[#位数 $p$ の群の分類|$p$]] ||
|-
| 24 || $2^3\times 3$ || || ||
|-
| rowspan="2" | 25 || rowspan="2" | $5^2$ || $C_{25}$ || [[#位数 $p^2$ の群の分類|$p^2$]] ||
|-
| $C_5\times C_5$ || ||
|-
| rowspan="2" | 26 || rowspan="2" | $2\times 13$ || $C_{26}$ || [[#位数 $2p$ の群の分類|$2p$]] ||
|-
| $D_{26}$ || [[#位数 $2p$ の群の分類|$2p$]] ||
|-
| 27 || $3^3$ || || ||
|-
| 28 || $2^2\times 7$ || || ||
|-
| 29 || $29$ || $C_{29}$ || [[#位数 $p$ の群の分類|$p$]] ||
|-
| 30 || $2\times 3\times 5$ || || ||
|-
| 31 || $31$ || $C_{31}$ || [[#位数 $p$ の群の分類|$p$]] ||
|-
| 32 || $2^5$ || || ||
|-
| 33 || $3\times 11$ || $C_{33}$ || [[#位数 $pq$ の群の分類|$pq$]] ||
|-
| rowspan="2" | 34 || rowspan="2" | $2\times 17$ || $C_{34}$ || [[#位数 $2p$ の群の分類|$2p$]] ||
|-
| $D_{34}$ || [[#位数 $2p$ の群の分類|$2p$]] ||
|-
| 35 || $5\times 7$ || $C_{35}$ || [[#位数 $pq$ の群の分類|$pq$]] ||
|-
| 36 || $2^2\times 3^2$ || || ||
|-
| 37 || $37$ || $C_{37}$ || [[#位数 $p$ の群の分類|$p$]] ||
|-
| rowspan="2" | 38 || rowspan="2" | $2\times 19$ || $C_{38}$ || [[#位数 $2p$ の群の分類|$2p$]] ||
|-
| $D_{38}$ || [[#位数 $2p$ の群の分類|$2p$]] ||
|-
| rowspan="2" | 39 || rowspan="2" | $3\times 13$ || $C_{39}$ || [[#位数 $pq$ の群の分類|$pq$]],[[#位数 $39$ の群の分類|$39$]] ||
|-
| $C_{13}{\rtimes}_{\phi}C_{3}$ || ||
|-
| 40 || $2^3\times 5$ || || ||
|-
| 41 || $41$ || $C_{41}$ || [[#位数 $p$ の群の分類|$p$]] ||
|-
| 42 || $2\times 3\times 7$ || || ||
|-
| 43 || $43$ || $C_{43}$ || [[#位数 $p$ の群の分類|$p$]] ||
|-
| 44 || $2^2\times 11$ || || ||
|-
| 45 || $3^2\times 5$ || || ||
|-
| rowspan="2" | 46 || rowspan="2" | $2\times 23$ || $C_{46}$ || [[#位数 $2p$ の群の分類|$2p$]] ||
|-
| $D_{46}$ || [[#位数 $2p$ の群の分類|$2p$]] ||
|-
| 47 || $47$ || $C_{47}$ || [[#位数 $p$ の群の分類|$p$]] ||
|-
| 48 || $2^4\times 3$ || || ||
|-
| rowspan="2" | 49 || rowspan="2" | $7^2$ || $C_{49}$ || [[#位数 $p^2$ の群の分類|$p^2$]] ||
|-
| $C_7\times C_7$ || [[#位数 $p^2$ の群の分類|$p^2$]] ||
|-
| 50 || $2\times 5^2$ || || ||
|-
| 51 || $3\times 17$ || $C_{51}$ || [[#位数 $pq$ の群の分類|$pq$]] ||
|-
| 52 || $2^2\times 13$ || || ||
|-
| 53 || $53$ || $C_{53}$ || [[#位数 $p$ の群の分類|$p$]] ||
|-
| 54 || $2\times 3^3$ || || ||
|-
| rowspan="2" | 55 || rowspan="2" | $5\times 11$ || $C_{55}$ || [[#位数 $pq$ の群の分類|$pq$]], [[#位数 $55$ の群の分類|$55$]] ||
|-
| $C_{11}{\rtimes}_{\phi}C_{5}$ || ||
|-
| 56 || $2^3 \times 7$ || || ||
|-
| rowspan="2" | 57 || rowspan="2" | $3\times 19$ || $C_{57}$ || [[#位数 $pq$ の群の分類|$pq$]],[[#位数 $57$ の群の分類|$57$]] ||
|-
| $C_{19}{\rtimes}_{\phi}C_{3}$ || ||
|-
| rowspan="2" | 58 || rowspan="2" | $2\times 29$ || $C_{58}$ || [[#位数 $2p$ の群の分類|$2p$]] ||
|-
| $D_{58}$ || [[#位数 $2p$ の群の分類|$2p$]] ||
|-
| 59 || $59$ || $C_{59}$ || [[#位数 $p$ の群の分類|$p$]] ||
|-
| 60 || $2^2\times 3\times 5$ || || ||
|-
| 61 || $61$ || $C_{61}$ || [[#位数 $p$ の群の分類|$p$]] ||
|-
| rowspan="2" | 62 || rowspan="2" | $2\times 31$ || $C_{62}$ || [[#位数 $2p$ の群の分類|$2p$]] ||
|-
| $D_{62}$ || [[#位数 $2p$ の群の分類|$2p$]] ||
|-
| 63 || $3^2\times 7$ || || ||
|-
| 64 || $2^6$ || || ||
|-
| 65 || $5 \times 13$ || $C_{65}$ || [[#位数 $pq$ の群の分類|$pq$]] ||
|-
| 66 || $2\times 3\times 11$ || || ||
|-
| 67 || $67$ || $C_{67}$ || [[#位数 $p$ の群の分類|$p$]] ||
|-
| 68 || $2^2\times 17$ || || ||
|-
| 69 || $3\times 23$ || $C_{69}$ || [[#位数 $pq$ の群の分類|$pq$]] ||
|-
| 70 || $2\times 5\times 7$ || || ||
|-
| 71 || $71$ || $C_{71}$ || [[#位数 $p$ の群の分類|$p$]] ||
|-
| 72 || $2^3\times 3^2$ || || ||
|-
| 73 || $73$ || $C_{73}$ || [[#位数 $p$ の群の分類|$p$]] ||
|-
| rowspan="2" | 74 || rowspan="2" | $2\times 37$ || $C_{74}$ || [[#位数 $2p$ の群の分類|$2p$]] ||
|-
| $D_{74}$ || [[#位数 $2p$ の群の分類|$2p$]] ||
|-
| 75 || $3\times 5^2$ || || ||
|-
| 76 || $2^2\times 19$ || || ||
|-
| 77 || $7\times 11$ || $C_{77}$ || [[#位数 $pq$ の群の分類|$pq$]] ||
|-
| 78 || $2\times 3\times 13$ || || ||
|-
| 79 || $79$ || $C_{79}$ || [[#位数 $p$ の群の分類|$p$]] ||
|-
| 80 || $2^4 \times 5$ || || ||
|-
| 81 || $3^4$ || || ||
|-
| rowspan="2" | 82 || rowspan="2" | $2\times 41$ || $C_{82}$ || [[#位数 $2p$ の群の分類|$2p$]] ||
|-
| $D_{82}$ || [[#位数 $2p$ の群の分類|$2p$]] ||
|-
| 83 || $83$ || $C_{83}$ || [[#位数 $p$ の群の分類|$p$]] ||
|-
| 84 || $2^2\times 3\times7$ || || ||
|-
| 85 || $5\times 17$ || $C_{85}$ || [[#位数 $pq$ の群の分類|$pq$]] ||
|-
| rowspan="2" | 86 || rowspan="2" | $2\times 43$ || $C_{86}$ || [[#位数 $2p$ の群の分類|$2p$]] ||
|-
| $D_{86}$ || [[#位数 $2p$ の群の分類|$2p$]] ||
|-
| 87 || $3\times 29$ || $C_{87}$ || [[#位数 $pq$ の群の分類|$pq$]] ||
|-
| 88 || $2^3\times 11$ || || ||
|-
| 89 || $89$ || $C_{89}$ || [[#位数 $p$ の群の分類|$p$]] ||
|-
| 90 || $2\times 3^2\times 5$ || || ||
|-
| 91 || $7 \times 13$ || $C_{91}$ || [[#位数 $pq$ の群の分類|$pq$]] ||
|-
| 92 || $2^2\times 23$ || || ||
|-
| rowspan="2" | 93 || rowspan="2" | $3\times 31$ || $C_{93}$ || [[#位数 $pq$ の群の分類|$pq$]],[[#位数 $93$ の群の分類|$93$]] ||
|-
| $C_{31}{\rtimes}_{\phi}C_{3}$ || ||
|-
| rowspan="2" | 94 || rowspan="2" | $2\times 47$ || $C_{94}$ || [[#位数 $2p$ の群の分類|$2p$]] ||
|-
| $D_{94}$ || [[#位数 $2p$ の群の分類|$2p$]] ||
|-
| 95 || $5\times 19$ || $C_{95}$ || [[#位数 $pq$ の群の分類|$pq$]] ||
|-
| 96 || $2^5\times 3$ || || ||
|-
| 97 || $97$ || $C_{97}$ || [[#位数 $p$ の群の分類|$p$]] ||
|-
| 98 || $2\times 7^2$ || || ||
|-
| 99 || $3^2 \times 11$ || || ||
|-
| 100 || $2^2\times 5^2$ || || ||
|}

== 分類に使用する定理 ==
=== Lagrangeの定理 ===
[[Lagrangeの定理]]を参照。
=== Sylowの定理 ===
[[Sylowの定理]]を参照。
=== 有限アーベル群の基本定理 ===
[[有限アーベル群の基本定理]]を参照。

== 特定の形の位数のケースの分類 ==

=== 位数 $p$ の群の分類 ===
$p$を素数とする。有限群$G$の位数が$p$であったとき、$G$の元$g \in G$についてLagrangeの定理により$g$の位数は$1$または$p$である。よって、$1 \neq g \in G$をひとつ固定すると、任意の$h \in G$はある整数$0 \leq i < p$によって$h=g^i$と表すことができる。よって、$G$は巡回群$C_p$と同型である。

=== 位数 $p^2$ の群の分類 ===
$p$ を素数とすると、位数 $p^2$ の群 $G$ は $C_{p^2}$ または $C_p\times C_p$ と同型である。

{{begin|proof|display=''Proof.''|collapsible=1|collapsed=1}}
$G$ がアーベル群とすると、有限アーベル群の基本定理より $C_{p^2}$ または $C_p\times C_p$ と同型である。以下、 $G$ がアーベル群に限ることを示す。

Lagrangeの定理から $G$ の部分群および商群の位数は $1,p,p^2$ のいずれかである。$G$ が非アーベルならば中心 $Z(G)$ による商群 $G/Z(G)$ は巡回群にならないので、 $\#(G/Z(G))=p^2$ でなければいけない。したがって、 $\#Z(G)=1$ となる。一方、 $G$ は $p$-群であることから $Z(G)$ は自明群にはなりえないのでこれは不可能。ゆえに、 $G$ はアーベル群に限る。
{{end|proof|}}



















=== 位数 $2p$ の群の分類 ===
$p$を奇素数とし、$G$を位数$2p$の有限群とする。このときSylowの定理により、位数$p$の正規部分群$H$が存在する。$H$を生成する元をひとつ固定して、これを$g$とおく。ここで、位数$2$の元$t \in G$はSylowの定理により存在するため、これを任意にひとつ固定すると、ある整数$0 \leq i < p$によって$t^{-1}gt=g^i$と表せる。

このとき$t^{-1}=t$であることに注意する。$tg=t^{-1}g=g^it$より、$g=t^{-1}g^it=(t^{-1}gt)^i=g^{i^2}$が成り立つ。$g$の位数は$p$であったため、$i=1$または$i=p-1$が成り立つ。$i=1$の場合群$G$は$C_{2p}$に同型であり、$i=p-1$の場合群$G$は$D_{2p}$と同型である。

=== 位数 $pq$ の群の分類 ===
$q<p$ を素数とする。この時位数$pq$の群は
* $p\neq 1 $ mod $q$ の時 $C_{pq}$ と同型
* $p=1$ mod $q$ の時 $C_{pq}$ の他に非自明な半直積が存在し位数 $pq$ の[[フロベニウス群]]のどちらかと同型となる。

龍孫江氏による動画解説は[https://www.youtube.com/watch?v=ItSqqnKiZNY こちら]。

==== 位数 $21$ の群の分類 ====
非自明な $\phi :\mathbb{Z}/3\mathbb{Z}\to \mathrm{Aut}(\mathbb{Z}/7\mathbb{Z})\cong C_{6}, \phi(1):n\mapsto 2n \in \mathrm{Aut}(\mathbb{Z}/7\mathbb{Z})$ による半直積が存在する。これは書き下せば $(\mathbb{Z}/7\mathbb{Z})\times (\mathbb{Z}/3\mathbb{Z})$ 上の演算を $(n_1,m_1)\cdot(n_2,m_2):=(n_1+n_2\cdot 2^{m_1},m_1+m_2)$ と定義することにより得られる。

作用は $\phi(1):n\mapsto n,2n,4n$ の3種類が存在するが、恒等写像は直積に、 $2n,4n$ は互いに同型な半直積になる。

==== 位数 $39$ の群の分類 ====
非自明な $\phi :\mathbb{Z}/3\mathbb{Z}\to \mathrm{Aut}(\mathbb{Z}/13\mathbb{Z})\cong C_{12}, \phi(1):n\mapsto 3n \in \mathrm{Aut}(\mathbb{Z}/13\mathbb{Z})$ による半直積が存在する。これは書き下せば $(\mathbb{Z}/13\mathbb{Z})\times (\mathbb{Z}/3\mathbb{Z})$ 上の演算を $(n_1,m_1)\cdot(n_2,m_2):=(n_1+n_2\cdot 3^{m_1},m_1+m_2)$ と定義することにより得られる。

作用は $\phi(1):n\mapsto n,3n,9n$ の3種類が存在するが、恒等写像は直積に、残りは互いに同型な半直積になる。

==== 位数 $55$ の群の分類 ====
非自明な $\phi :\mathbb{Z}/5\mathbb{Z}\to \mathrm{Aut}(\mathbb{Z}/11\mathbb{Z})\cong C_{10}, \phi(1):n\mapsto 4n \in \mathrm{Aut}(\mathbb{Z}/11\mathbb{Z})$ による半直積が存在する。これは書き下せば $(\mathbb{Z}/11\mathbb{Z})\times (\mathbb{Z}/5\mathbb{Z})$ 上の演算を $(n_1,m_1)\cdot(n_2,m_2):=(n_1+n_2\cdot 4^{m_1},m_1+m_2)$ と定義することにより得られる。

作用は $\phi(1):n\mapsto n,4n,5n,9n,3n$ の5種類が存在するが、恒等写像は直積に、残りは互いに同型な半直積になる。

==== 位数 $57$ の群の分類 ====
非自明な $\phi :\mathbb{Z}/3\mathbb{Z}\to \mathrm{Aut}(\mathbb{Z}/19\mathbb{Z})\cong C_{18}, \phi(1):n\mapsto 7n \in \mathrm{Aut}(\mathbb{Z}/19\mathbb{Z})$ による半直積が存在する。これは書き下せば $(\mathbb{Z}/19\mathbb{Z})\times (\mathbb{Z}/3\mathbb{Z})$ 上の演算を $(n_1,m_1)\cdot(n_2,m_2):=(n_1+n_2\cdot 7^{m_1},m_1+m_2)$ と定義することにより得られる。

作用は $\phi(1):n\mapsto n,7n,11n$ の3種類が存在するが、恒等写像は直積に、残りは互いに同型な半直積になる。

==== 位数 $93$ の群の分類 ====
非自明な $\phi :\mathbb{Z}/3\mathbb{Z}\to \mathrm{Aut}(\mathbb{Z}/31\mathbb{Z})\cong C_{30}, \phi(1):n\mapsto 5n \in \mathrm{Aut}(\mathbb{Z}/31\mathbb{Z})$ による半直積が存在する。これは書き下せば $(\mathbb{Z}/31\mathbb{Z})\times (\mathbb{Z}/3\mathbb{Z})$ 上の演算を $(n_1,m_1)\cdot(n_2,m_2):=(n_1+n_2\cdot 5^{m_1},m_1+m_2)$ と定義することにより得られる。

作用は $\phi(1):n\mapsto n,5n,25n$ の3種類が存在するが、恒等写像は直積に、残りは互いに同型な半直積になる。








































== 関連項目 ==
*[[群論]]

コンパクト性とAscoli-Arzelàの定理

2022-03-27T09:21:51Z

数学市民: /* 命題1.1.3（可分距離空間） */

<noinclude>
{{TOC |align=right |noautonum=1 }}
</noinclude>
== コンパクト性とAscoli-Arzelàの定理 ==
＜＜執筆中＞＞
ここでは距離空間の基本的な位相的性質を復習しつつ、いくつか用語と記法を導入し、距離空間のその中で特に重要なAscoli-Arzelàの定理を紹介する。

=== 1.1. 有界性 ===
==== 定義1.1.1（直径） ====

距離空間 $(X,d)$ の部分集合 $A\subseteq X$ にたいし ${\rm diam}(A)$ を
$${\rm diam}(A):=\sup\{d(x,y)|x,y\in A\}$$

と定義し、$A$ の直径（diameter）と呼ぶ。

==== 定義1.1.2（部分集合の近傍） ====

距離空間 $(X,d)$ の部分集合 $A\subseteq X$ と実数 $r>0$ にたいし $B_d(A,r)$ を
$$B_d(A,r):=\{y\in X|d(A,y)<r\}$$

と定義し、$A$ の $r$ （開）近傍と呼ぶ。

同様に $\overline{B}_d(A,r)$ を
$$\overline{B}_d(A,r):=\{y\in X|d(A,y)\le r\}$$

と定義し、$A$ の $r$ 閉近傍と呼ぶ。

誤解の恐れがないときは、$d$ を省略する。

==== 命題1.1.3（可分距離空間） ====
距離空間 $(X,d)$ について以下の条件は同値
*$(1)$ $X$ は稠密な高々可算な部分集合を持つ（[[可分空間|可分]]）.
*$(2)$ 任意の実数 $\epsilon>0$ にたいし、ある高々可算な部分集合 $S\subseteq X$ が存在し $X\subseteq B_d(S,\epsilon)$.
*$(3)$ $X$ は[[第二可算>第二可算空間]].
*$(4)$ $X$ は[[Lindelöf>Lindelöf空間]].

''証明''

$(1)\Rightarrow (2)$ を示す。$\epsilon>0$ を任意に与える。仮定 $(1)$ から、$X$ の高々可算な稠密部分集合 $S$ が存在する。任意に $x\in X$ を与える。$S$ の稠密性から、ある $s\in S$ が存在して、$d(x,s)<\epsilon$ である。よって、$X\subseteq B_d(S,\epsilon)$ である。

$(2)\Rightarrow (1)$ を示す。仮定 $(2)$ から、各正整数 $n$ に対して、高々可算な $S_n\subseteq X$ であって、$B_d(S_n, 2^{-n})=X$ であるようなものが選べる。$S=\bigcup_{n=1}^\infty S_n$ は $X$ の高々可算な部分集合である。$S$ が $X$ において稠密であることを示そう。そのため、$x\in X$, $\epsilon>0$ とする。$B(x, \epsilon)\cap S\neq\emptyset$ を示せばよい。正整数 $n$ を $1/n<\epsilon$ であるように取る。$B_d(S_n, 2^{-n})=X$ によりある $s\in S_n$ が存在して $d(x, s)<2^{-n}$ である。すると、$s\in B_d(x, \epsilon)\cap S$ であるから $B_d(x, \epsilon)\cap S\neq\emptyset$ である。

$(1)\Rightarrow (3)$ を示す。仮定 $(1)$ により、高々可算な $X$ の稠密部分集合 $S$ が存在する。$\mathcal{B}=\{B_d(s, 2^{-n})\,|\,s\in S,\,n=1,2,\ldots\}$ とおこう。$\mathcal{B}$ は $X$ の開集合からなる高々可算な族であるが、これが $X$ の開基となることを証明しよう。そのため、$U\subseteq X$ を開集合とし、$x\in U$ とする。すると、ある正整数 $n$ が存在して、$B_d(x, 2^{-n})\subseteq U$ である。$S$ の稠密性により、点 $s\in S\cap B_d(x, 2^{-n-1})$ が存在する。$V=B_d(s, 2^{-n-1})$ とおくと、$V\in\mathcal{B}$ であり、$x\in V$ である。さらに、$V\subseteq U$ である。これを示すため、$y\in V$ とすると、$V$ の定義により $d(s, y)<2^{-n-1}$ であるので、

$$d(x, y)\leq d(x, s)+d(s, y)<2^{-n-1}+2^{-n-1}=2^{-n}$$

となる。よって、$y\in B_d(x, 2^{-n})\subseteq U$ である。これで、$V\subseteq U$ が示され、したがって $\mathcal{B}$ が $X$ の開基であることが示された。

$(3)\Rightarrow (4)$ を示す。$\mathcal{B}$ を、仮定 $(3)$ により存在する $X$ の高々可算な開基の一つとする。$\mathcal{U}$ を $X$ の開被覆とする。$\mathcal{U}$ が高々可算な部分被覆をもつことを示せばよい。集合族 $\mathcal{B}'$ を

$$ \mathcal{B}'=\{B\in\mathcal{B}\,|\, \text{ある }U\in\mathcal{U}\text{ に対して }B\subseteq U\}$$

で定義する。$\mathcal{B}'$ は $\mathcal{B}$ の部分族であるから、高々可算である。各 $B\in\mathcal{B}'$ に対して $U_B\in\mathcal{U}$ を、$B\subseteq U_B$ であるように選び、$\mathcal{U}'=\{U_B\,|\,B\in\mathcal{B}'\}$ と定義すると、$\mathcal{U}'$ は $\mathcal{U}$ の高々可算な部分族である。あとは $\mathcal{U}'$ が $X$ の被覆であることを示せばよい。そこで、$x\in X$ とする。$\mathcal{U}$ は被覆だから、$x\in U$ となる $U\in\mathcal{U}$ が存在する。$\mathcal{B}$ は開基なので、$x\in B\subseteq U$ を満たす $B\in\mathcal{B}$ が存在する。このとき、$\mathcal{B}'$ の定義により、$B\in\mathcal{B}'$ である。したがって、$U_B\in\mathcal{U}'$ が定義され、$B\subseteq U_B$ であるから $x\in U_B$ である。これで、 $\mathcal{U}'$ が $X$ の被覆であることが示された。

$(4)\Rightarrow (1)$ を示す。各正整数 $n$ に対して、$X$ の開被覆 $\mathcal{U}_n=\{B_d(x, 2^{-n})\,|\,x\in X\}$ を考える。仮定 $(4)$ により、各 $n$ に対して、$\mathcal{U}_n$ は高々可算な部分被覆をもつ。すなわち、$X$ の高々可算な部分集合 $S_n$ を選び、$\mathcal{V}_n=\{B_d(s, 2^{-n})\,|\,s\in S_n\}$ が $X$ の被覆になるようにできる。$S=\bigcup_{n=1}^\infty S_n$ は $X$ の高々可算集合であるが、これが $X$ において稠密であることを示そう。そのため、$x\in X$ とし、$\epsilon>0$ を任意に与える。$B_d(x, \epsilon)\cap S\neq\emptyset$ を言えばよい。正整数 $n$ を $2^{-n}<\epsilon$ となるように取る。$\mathcal{V}_n$ は $X$ の被覆だから、ある $s\in S_n\subseteq S$ に対して、$x\in B_d(s, 2^{-n})$ となり、したがって $d(x, s)<2^{-n}<\epsilon$ となる。よって、$s\in B_d(x, \epsilon)\cap S$ だから $B_d(x, \epsilon)\cap S\neq\emptyset$ である。

=== 1.2. 完備性とコンパクト性の復習 ===

==== 定義1.2.1（完備） ====

距離空間の任意のCauchy列が収束するとき、その距離空間は[[完備>完備距離空間]] （complete）であるという。

==== 定義1.2.2（完備化） ====

$X$ を距離空間、$Y$ を完備距離空間、$\iota\colon X\to Y$ を等長埋め込みとする（定義は[[Lipschtz写像と関数空間]]参照）。$\overline{\iota(X)}=\iota(Y)$ が成り立つとき $(Y,\iota)$ または単に $Y$ を $X$ の完備化という。

==== 定義1.2.3（点列コンパクト） ====

任意の点列が収束する部分列を持つ距離空間を[[点列コンパクト>点列コンパクト]]という。

==== 定理1.2.4（点列コンパクトの特徴付け） ====

距離空間が全有界かつ完備であることは、距離空間が[[点列コンパクト>点列コンパクト]]である為の必要十分条件である。

==== 命題1.2.5 ====

距離空間では点列コンパクトと[[コンパクト>コンパクト空間]]は同値。

==== 定義1.2.6（固有距離空間） ====

任意の有界閉集合が[[コンパクト>コンパクト空間]]になる距離空間を[[固有距離空間]]（proper metric space）という。

==== 例1.2.7 ====
よく知られているようにユークリッド空間は固有距離空間である（[[Heine–Borelの被覆定理]]）。より一般に完備リーマン多様体は固有距離空間（[[Hopf-Rinowの定理]]）。

==== 命題1.2.8（固有距離空間の位相的性質） ====
固有距離空間は完備かつ[[局所コンパクト>局所コンパクト空間]]かつ[[σコンパクト>σコンパクト空間]]である。

逆は一般には言えないが弧長距離空間では完備かつ[[局所コンパクト>局所コンパクト空間]]だけから固有距離であることが従う（[[曲線の長さとHopf-Rinowの定理]]参照）。

=== 1.3. Ascoli-Arzelàの定理 ===
==== 定義1.3.1 （同程度連続と各点全有界） ====
$\mathcal{F}$ を距離空間 $X$ から距離空間 $Y$ への写像からなる族とする。

任意の $x\in X$ と $\epsilon>0$ にたいして、ある $\delta>0$ が存在して、任意の $f\in\mathcal{F}$ と $y\in Y$ について「 $d(x,y)<\delta$ ならば $d(f(x),f(y))<\epsilon$ 」が成り立つときに、$\mathcal{F}$ は同程度連続だという。

任意の $x\in X$ について、$\{f(x)|f\in\mathcal{F}\}\subseteq Y$ が全有界となるとき、$\mathcal{F}$ は各点全有界だという。

==== 補題1.3.2 ====
$(f_n)_{n\in\mathbb{N}}$ を距離空間 $X$ から距離空間 $Y$ への写像の同程度連続な可算列であり、関数 $f\colon X\to Y$ に各点収束しているとするこのとき、$f$ は連続。

''証明''

今 $x\in X$ と $\epsilon>0$ を任意に取る。$(f_n)_{n\in\mathbb{N}}$ の同程度連続性から、$\delta>0$ を任意の $y\in X$ と $n\in\mathbb{N}$ にたいし、「$d(x,y)<\delta$ ならば $d(f_n(x),f_n(y))<\epsilon$」を満たすように取る。さらに $d(x,y)<\delta$ を満たす $y\in X$ を任意に取る。今 $\delta$ の取り方から $d(f_n(x),f_n(y))<\epsilon$ であるが、$\displaystyle\lim_{n\to\infty}f_n(x)=f(x)$ かつ $\displaystyle\lim_{n\to\infty}f_n(y)=f(y)$ であるから $d(f(x),f(y))\le \epsilon$ となり $f$ は $x$ において連続となる。これがすべての $x\in X$ に対して成り立つので、$f$ は連続である。

==== 補題1.3.3 ====
$(f_n)_{n\in\mathbb{N}}$ を距離空間 $X$ から距離空間 $Y$ への写像の同程度連続な可算列であり、関数 $f\colon X\to Y$ に各点収束しているとするこのとき、$(f_n)_{n\in\mathbb{N}}$ は任意のコンパクト集合上で $f\colon X\to Y$ に一様収束する。

''証明''

$A\subseteq X$ をコンパクト集合とし、$\epsilon>0$を固定する。このとき $\delta_0:=\inf\{d(a,b)|n>0,a,b\in A,d(f_n(a),f_n(b))\ge\epsilon\}$ は正の実数である。

もしそうでないなら、ある$A\times X$ 上の点列 $( (a_i,b_i) )_{i\in\mathbb{N}}$ と $(f_n)_{n\in\mathbb{N}}$ の部分列 $(f_{n_i})_{i\in\mathbb{N}} $ が存在して、$\displaystyle\lim_{i\to\infty}d(a_i,b_i)=0$ かつ任意の $i\in\mathbb{N}$ にたいし $d(f_{n_i}(a_i),f_{n_i}(b_i))\ge\epsilon$ となる。$A$ は点列コンパクトなので必要なら部分列を取ることで $\displaystyle\lim_{i\to\infty}a_i(=:\alpha)\in A$ として良い。今 $(f_n)_{n\in\mathbb{N}}$ の同程度連続性から、$\delta>0$ を任意の $x\in X$ と $n\in\mathbb{N}$ にたいし、「$d(\alpha,x)<\delta$ ならば $d(f_n(\alpha),f_n(x))<\frac{1}{2}\epsilon$」を満たすように取る。今$\displaystyle\lim_{i\to\infty}a_i=\alpha$ および $\displaystyle\lim_{i\to\infty}d(a_i,b_i)=0$ に注意すると十分大きい $N\in\mathbb{N}$ にたいし、$d(\alpha,a_N),d(\alpha,b_N)<\delta$ が成立する。このとき $\delta$ の取り方から $d(f_{n_N}(\alpha), f_{n_N}(a_N))<\frac{1}{2}\epsilon$ かつ $d(f_{n_N}(\alpha), f_{n_N}(b_N))<\frac{1}{2}\epsilon$ となり、$d(f_{n_N}(a_N), f_{n_N}(b_N))<\epsilon$ が成立し矛盾する。

今 $d(a,b)<\delta_0$ を満たす $a,b\in A$ を任意に取る。$d(f_n(a),f_n(b))<\epsilon$ および $\displaystyle\lim_{n\to\infty}f_n(a)=f(a)$ 、$\displaystyle\lim_{n\to\infty}f_n(b)=f(b)$ から $d(f(a),f(b))\le \epsilon$ がいえる。

$A$ はコンパクトなのである有限集合 $S\subseteq A$ が存在して $A\subseteq B_d(S,\delta_0)$ となる。$S$ が有限集合であること、$(f_n)_{n\in\mathbb{N}}$ が $f$ に各点収束していることから、$M\in\mathbb{N}$ を、「任意の $i>M$ と $s\in S$ について $d(f_i(s),f(s))<\epsilon$ が成立する」ように取る。今 $a\in A$ と $i>M$ を任意に取る。このときある $s\in S$ が存在して、$d(a,s)<\delta_0$ となり、$\delta_0,M$ の取り方から、$d(f_i(s),f_(s))<\epsilon$ および $d(f_i(a),f_i(s))<\epsilon$ 、$d(f(s),f(a))\le \epsilon$ がいえ、$d(f_i(a),f(a))<3\epsilon$ となる。$a$ と $\epsilon$ は任意だったので、一様収束が示せた。

==== 定理1.3.4（Ascoli-Arzelàの定理） ====
$(f_n)_{n\in\mathbb{N}}$ を可分距離空間 $X$ から完備距離空間 $Y$ への写像の可算列とする。$(f_n)_{n\in\mathbb{N}}$ が同程度連続かつ各点全有界ならある部分列が存在して、連続写像にコンパクト一様収束する。

''証明''

''補題1.3.2''および''補題1.3.3''より、各点収束だけ示せば良い。

$(s_i)_{i\in\mathbb{N}}$ を $X$ の稠密な部分集合を成す可算列とする。$(\iota_i\colon\mathbb{N}\to\mathbb{N})_{i\in\mathbb{N}}$ を以下のように再帰的に取る。
*step 0

$\{f_n(s_0)|n\in\mathbb{N}\}$ は完備距離空間の全有界な部分集合なので相対コンパクトである。これより $f_{\iota_0(i)}(s_0)$ を $(f_n(s_0))_{n\in\mathbb{N}}$ の収束する部分列として取り、その収束先を $f(s_0)$ と表記する。
*step i

同様に $(f_{\iota_i(n)}(s_i))_{n\in\mathbb{N}}$ を $(f_{\iota_{i-1}(n)}(s_{i-1}))_{n\in\mathbb{N}}$ の収束する部分列((つまりある狭義単調増加列 $\sigma\colon\mathbb{N}\to\mathbb{N}$ が存在して $\iota_i=\iota_{i-1}\circ\sigma$))として取り、その収束先を $f(s_i)$ と表記する。

このとき、$(\iota_n(n))_{n\ge i}$ は $(\iota_i(n))_{n\ge i}$ の部分列になっているのに注意すると、任意の $i\in\mathbb{N}$ について $\displaystyle\lim_{n\to\infty}f_{\iota_n(n)}(s_i)=f(s_i)$ が成り立つ。数列 $(\iota(n))_{n\in\mathbb{N}}$ を $\iota(n):=\iota_n(n)$ と定義する。
このとき、$(\iota_n(n))_{n\ge i}$ は $(\iota_i(n))_{n\ge i}$ の部分列になっているのに注意すると、任意の $i\in\mathbb{N}$ について $\displaystyle\lim_{n\to\infty}f_{\iota_n(n)}(s_i)=f(s_i)$ が成り立つ。数列 $(\iota(n))_{n\in\mathbb{N}}$ を $\iota(n):=\iota_n(n)$ と定義する。

今 $x\in X$ と $\epsilon>0$ を任意に固定。
$(f_n)_{n\in\mathbb{N}}$ の同程度連続性から $\delta>0$ を任意の $y\in X$ と $n\in\mathbb{N}$ にたいし、「$d(x,y)<\delta$ ならば $(f_n(x),f_(y))<\frac{1}{3}\epsilon$ 」を満たすように取る。さらに、$(s_i)_{i\in\mathbb{N}}$ の稠密性から $s_j$ を $d(x,s_j)<\delta$ となるように取る。
このとき $(f_{\iota(n)}(s_i))_{n\in\mathbb{n}}$ は収束列なので、十分大きい $n,m\in\mathbb{N}$ について $d(f_{\iota(m)}(s_j),f_{\iota(n)}(s_j))<\frac{1}{3}\epsilon$ が成立。さらに $\delta$ の取り方から $d(f_{\iota(m)}(s_j),f_{\iota(m)}(x))<\frac{1}{3}\epsilon$ と $d(f_{\iota(n)}(s_j),f_{\iota(n)}(x))<\frac{1}{3}\epsilon$ もいえるので $d(f_{\iota(m)}(x),f_{\iota(n)}(x))<\epsilon$ となる。よって $f_{\iota(n)}(x)$ はCauchy列であり $Y$ の完備性から収束する。その収束先を $f(x)$ と置けば、$(f_{\iota(n)})_ {n\in\mathbb{N}}$ は $f\colon X\to Y$ に各点収束する。

== 関連項目 ==
*[[距離空間]]
*前ページ：[[距離空間の位相の基本的性質]]
*次ページ：[[Lipschtz写像と関数空間]]

誤差(数値解析)

2022-03-25T15:04:12Z

数学市民: /* 参考文献 */

[[Category:数値解析]]
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== 誤差 ==
'''誤差(ごさ、error)'''とは一般に、取り扱いたい数の真の値と、観測ないし計算によって実際に得られた値との差のことをいう。数値解析においては、扱いたい数が一般の実数である一方で、コンピュータには有限桁の小数の有限回の計算しか扱えない以上、誤差の存在を無視するわけにはいかない。

=== 一般的な定義 ===
$a$が真の値$x$の近似値であるとき、$e = x - a$を$a$の誤差という。誤差の大きさ$|e|$を$a$の絶対誤差、$|e|\leq \eps$をみたす$\eps$を誤差$e$の限界という。また、絶対誤差と真の値の比
$$ e_R = \frac{|x-a|}{x} $$
を$a$の相対誤差という。

== 丸め誤差と打ち切り誤差 ==

数値計算における誤差は、実数値を有限桁の小数で表現せざるをえないがために生じる丸め誤差と、極限を有限値で打ち切ったり近似式を用いたりすることによって生じる打ち切り誤差の2つにおおよそ分類される。

=== 丸め誤差 ===
コンピュータにおいて、実数$x$はそれに近い浮動小数点数$x_f$によって近似される。これを丸めといい、丸めによって生じる誤差を丸め誤差とよぶ。また、浮動小数点数の絶対値の最大値を$F_{\text{max}}$、最小値を$F_{\text{min}}$とおくとき、実数$x$が
$$F_{\text{min}} \leq x \leq F_{\text{max}}$$
と表される場合、浮動小数点数体系と丸めの方法によって定まる数$\eps_M$によって、
$$x_f = x(1 + \eps_x),\ |\eps_x| \leq \eps_M$$
が成立する。この$\eps_M$はマシンイプシロン、計算機イプシロンなどとよばれ、浮動小数点数による$x$の近似値$x_f$の相対誤差の限界を表す指標である。
実数$x$が$F_{\text{min}} \leq x \leq F_{\text{max}}$の範囲外にある場合は、$x$を近似する浮動小数点数が存在しないと考えるのが自然である。$|x|>F_{\text{max}}$のときオーバーフロー、$|x|<F_{\text{min}}$のときアンダーフローという。

=== 打ち切り誤差 ===

関数
$$f(x) = e^x = 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \cdots$$
の（有限回の四則演算で実行できる）近似式として、
$$f_n(x) = 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \cdots + \frac{x^n}{n!}$$
を用いた場合、関数$f(x)$に現れる無限級数を$n+1$個の和で打ち切ったことになる。このときに生じる誤差
$$e_T(x) = f(x) - f_n(x) = \frac{x^{n+1}e^c}{(n+1)!}\ (0 < c < x)$$
を打ち切り誤差という。

一般に関数$f$の計算に無限回の四則演算が必要である場合は、有限回の四則演算で値を求められる近似関数$f_a$を用いなければならない。また、実数$x$における値ではなく、浮動小数点による$x$の近似値$x_f$における値を求めるしかない。したがって、$f(x)$の近似値として$f_a(x_f)$を計算するしかない。さらに計算結果$f_a(x_f)$も丸められた結果、我々は$f_a(x_f)$の近似値$\tilde f_a(x_f)$を得ることになる。誤差を3つに分解して、
$$f(x) - \tilde f_a(x_f) = \{ f(x) - f(x_f) \} + \{ f(x_f) - f_a(x_f) \} + \{ f_a(x_f) - \tilde f_a(x_f) \}$$
と書くとき、右辺第一項を代入誤差もしくは伝播誤差という。第二項は打ち切り誤差である。第三項は生成された誤差という。

== 誤差によって生じる問題 ==

=== 桁落ち ===

差のきわめて小さい2つの数$x_1,x_2$の差を計算するとき、浮動小数点数による近似値を$a_1,a_2$とすると相対誤差$e_R$の大きさは
$$|e_R|=\frac{|(x_1-x_2)-(a_1-a_2)|}{|x_1-x_2|} \leq \frac{|x_1-a_1|+|x_2-a_2|}{|x_1-x_2|}$$
と見積もられるが、$x_1,x_2$が近いのでこの上からの評価は$a_1,a_2$の相対誤差の限界よりも大きい。つまり計算の精度が著しく低下してしまう。この現象を桁落ちという。

{{theorem|type=Ex|label=ex1}}
$h=10^{-16}$のとき、$\sqrt{1+h} - 1$を素朴に計算すると$0$を得てしまう。あらかじめ、分子の有理化
$$\sqrt{1+h} - 1 = \frac{h}{\sqrt{1+h} + 1}$$
を行ってから計算することで、正しい値の近似値$5 \times 10^{-17}$を得る。

=== 情報落ち ===

絶対値の大きな浮動小数点数$x_f$に絶対値の小さな浮動小数点数$y_f$を足すとき、$x_f+y_f$を丸めた結果が$x_f$に等しくなり、$y_f$の情報が反映されないことがある。この現象を情報落ちまたは積み残しなどとよぶ。

{{theorem|type=Ex|label=ex2}}
無限級数
$$S = \frac{1}{1^2} + \frac{1}{2^2} + \frac{1}{3^2} + \cdots = \frac{\pi^2}{6} = 1.6449340668 \dots$$
の項を最初の$n$項の和で打ち切って計算する。2進24桁の浮動小数点数で素朴に
$$\frac{1}{1^2} + \frac{1}{2^2} + \frac{1}{3^2} + \cdots + \frac{1}{n^2}$$
を左から計算すると、項数が$2^{12}=4096$を超えると情報落ちが生じ、項数を増やしても和が増加せず$1.6447253227 \dots$程度で打ち止めになってしまう。しかし和の順序を逆にして
$$\frac{1}{n^2} + \frac{1}{(n-1)^2} + \frac{1}{(n-2)^2} + \cdots + \frac{1}{1^2}$$
を計算すれば、小さい数同士の和から始まるので情報落ちが起きず、精度の良い近似値を得ることができる。

== 補足 ==

このように、数値計算において誤差はつきものであり、根本的に回避することは困難である。しかし、コンピュータを用いて計算結果を得たとき、せめてどのくらいの誤差の範囲に収まっているのか？何桁までが正しい値なのか？くらいは知りたいであろう。これを数値解の精度保証問題という。厳密に誤差の限界が得られるような数値計算は精度保証付き数値計算と呼ばれる。

== 参考文献 ==
* [https://amzn.to/3izi82i 山本哲朗『数値解析入門』]
* [https://amzn.to/3wxk3wK 杉原正顕, 室田一雄『数値計算法の数理』]

== 関連項目 ==
* [[数値解析]]

利用者:もなくゎ

2022-03-24T15:20:35Z

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誤差(数値解析)

2022-03-24T15:16:22Z

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$\newcommand{\abs}[1]{\left\lvert#1\right\rvert}$
$\newcommand{\wenvert}[1]{\left\lvert\left\lvert#1\right\rvert\right\rvert}$
$\newcommand{\floor}[1]{\left\lfloor#1\right\rfloor}$
$\newcommand{\mathmod}[1]{\ \left(\mathrm{mod}\ #1\right)}$
{{end |preamble}}
<math>
\newcommand\eps\varepsilon{}
</math>
{{end |preamble }}{{TOC |limit=3 }} 
== 誤差 ==
'''誤差(ごさ、error)'''とは一般に、取り扱いたい数の真の値と、観測ないし計算によって実際に得られた値との差のことをいう。数値解析においては、扱いたい数が一般の実数である一方で、コンピュータには有限桁の小数の有限回の計算しか扱えない以上、誤差の存在を無視するわけにはいかない。

=== 一般的な定義 ===
$a$が真の値$x$の近似値であるとき、$e = x - a$を$a$の誤差という。誤差の大きさ$|e|$を$a$の絶対誤差、$|e|\leq \eps$をみたす$\eps$を誤差$e$の限界という。また、絶対誤差と真の値の比
$$ e_R = \frac{|x-a|}{x} $$
を$a$の相対誤差という。

== 丸め誤差と打ち切り誤差 ==

数値計算における誤差は、実数値を有限桁の小数で表現せざるをえないがために生じる丸め誤差と、極限を有限値で打ち切ったり近似式を用いたりすることによって生じる打ち切り誤差の2つにおおよそ分類される。

=== 丸め誤差 ===
コンピュータにおいて、実数$x$はそれに近い浮動小数点数$x_f$によって近似される。これを丸めといい、丸めによって生じる誤差を丸め誤差とよぶ。また、浮動小数点数の絶対値の最大値を$F_{\text{max}}$、最小値を$F_{\text{min}}$とおくとき、実数$x$が
$$F_{\text{min}} \leq x \leq F_{\text{max}}$$
と表される場合、浮動小数点数体系と丸めの方法によって定まる数$\eps_M$によって、
$$x_f = x(1 + \eps_x),\ |\eps_x| \leq \eps_M$$
が成立する。この$\eps_M$はマシンイプシロン、計算機イプシロンなどとよばれ、浮動小数点数による$x$の近似値$x_f$の相対誤差の限界を表す指標である。
実数$x$が$F_{\text{min}} \leq x \leq F_{\text{max}}$の範囲外にある場合は、$x$を近似する浮動小数点数が存在しないと考えるのが自然である。$|x|>F_{\text{max}}$のときオーバーフロー、$|x|<F_{\text{min}}$のときアンダーフローという。

=== 打ち切り誤差 ===

関数
$$f(x) = e^x = 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \cdots$$
の（有限回の四則演算で実行できる）近似式として、
$$f_n(x) = 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \cdots + \frac{x^n}{n!}$$
を用いた場合、関数$f(x)$に現れる無限級数を$n+1$個の和で打ち切ったことになる。このときに生じる誤差
$$e_T(x) = f(x) - f_n(x) = \frac{x^{n+1}e^c}{(n+1)!}\ (0 < c < x)$$
を打ち切り誤差という。

一般に関数$f$の計算に無限回の四則演算が必要である場合は、有限回の四則演算で値を求められる近似関数$f_a$を用いなければならない。また、実数$x$における値ではなく、浮動小数点による$x$の近似値$x_f$における値を求めるしかない。したがって、$f(x)$の近似値として$f_a(x_f)$を計算するしかない。さらに計算結果$f_a(x_f)$も丸められた結果、我々は$f_a(x_f)$の近似値$\tilde f_a(x_f)$を得ることになる。誤差を3つに分解して、
$$f(x) - \tilde f_a(x_f) = \{ f(x) - f(x_f) \} + \{ f(x_f) - f_a(x_f) \} + \{ f_a(x_f) - \tilde f_a(x_f) \}$$
と書くとき、右辺第一項を代入誤差もしくは伝播誤差という。第二項は打ち切り誤差である。第三項は生成された誤差という。

== 誤差によって生じる問題 ==

=== 桁落ち ===

差のきわめて小さい2つの数$x_1,x_2$の差を計算するとき、浮動小数点数による近似値を$a_1,a_2$とすると相対誤差$e_R$の大きさは
$$|e_R|=\frac{|(x_1-x_2)-(a_1-a_2)|}{|x_1-x_2|} \leq \frac{|x_1-a_1|+|x_2-a_2|}{|x_1-x_2|}$$
と見積もられるが、$x,y$が近いのでこの上からの評価は$a,b$の相対誤差の限界よりも大きい。つまり計算の精度が著しく低下してしまう。この現象を桁落ちという。

{{theorem|type=Ex|label=ex1}}
$h=10^{-16}$のとき、$\sqrt{1+h} - 1$を素朴に計算すると$0$を得てしまう。あらかじめ、分子の有理化
$$\sqrt{1+h} - 1 = \frac{h}{\sqrt{1+h} + 1}$$
を行ってから計算することで、正しい値の近似値$5 \times 10^{-17}$を得る。

=== 情報落ち ===

絶対値の大きな浮動小数点数$x_f$に絶対値の小さな浮動小数点数$y_f$を足すとき、$x_f+y_f$を丸めた結果が$x_f$に等しくなり、$y_f$の情報が反映されないことがある。この現象を情報落ちまたは積み残しなどとよぶ。

{{theorem|type=Ex|label=ex2}}
無限級数
$$S = \frac{1}{1^2} + \frac{1}{2^2} + \frac{1}{3^2} + \cdots = \frac{\pi^2}{6} = 1.6449340668 \dots$$
の項を最初の$n$項の和で打ち切って計算する。2進24桁の浮動小数点数で素朴に
$$\frac{1}{1^2} + \frac{1}{2^2} + \frac{1}{3^2} + \cdots + \frac{1}{n^2}$$
を左から計算すると、項数が$2^{12}=4096$を超えると情報落ちが生じ、項数を増やしても和が増加せず$1.6447253227 \dots$程度で打ち止めになってしまう。しかし和の順序を逆にして
$$\frac{1}{n^2} + \frac{1}{(n-1)^2} + \frac{1}{(n-2)^2} + \cdots + \frac{1}{1^2}$$
を計算すれば、小さい数同士の和から始まるので情報落ちが起きず、精度の良い近似値を得ることができる。

== 補足 ==

このように、数値計算において誤差はつきものであり、根本的に回避することは困難である。しかし、コンピュータを用いて計算結果を得たとき、せめてどのくらいの誤差の範囲に収まっているのか？何桁までが正しい値なのか？くらいは知りたいであろう。これを数値解の精度保証問題という。厳密に誤差の限界が得られるような数値計算は精度保証付き数値計算と呼ばれる。

== 参考文献 ==
* 山本哲朗『数値解析入門』
* 杉原正顕, 室田一雄『数値計算法の数理』

== 関連項目 ==
* [[数値解析]]

利用者:もなくゎ

2022-03-24T15:01:41Z

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=== [[数学の基礎]] ===
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=== [[代数学]] ===
* [[代数学の概要]]
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** [[環上の加群論]]
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=== [[数学の基礎]] ===
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=== [[代数学]] ===
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* [[モノイド論]]
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* [[位相空間論]]
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* [[代数幾何学|代数幾何]]
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2022-03-24T12:19:40Z

数学市民: /* 現在のチューター陣 */

'''Mathpediaチューター室'''とは、Mathpedia執筆メンバーによるオンラインチューターサービスです。[https://discord.com/ Discord]を用いて展開しており、数学を勉強している際に出てきたちょっとした質問などをチューター陣に聞くことが出来ます。[https://discord.gg/m4EBHtV5tu Discordグループ]への参加は無料ですが、チューター室に入室するには[https://mee6.xyz/m/953223113603162112 月額$30の課金プラン]に登録する必要があります。

=数学チューターのすゝめ=
数学を勉強するにあたって、多くの初学者の方々が躓くポイントとして'''「勉強している際に出てきたちょっとした質問・疑問を確かめることが難しい」'''ことだと我々は考えております。よくよく理解してみれば当たり前のことであっても、特に抽象的な大学の数学では、初見では意味が分からず迷宮入りしてしまうことは多々あります。そういった質問相手として家庭教師などを頼もうにも、専門知識を有する方に仕事をご依頼するのは経済的なハードルも高く、結局一人で考えて行き詰ってしまっている方は少なくないでしょう。我々が提供する[https://discord.gg/m4EBHtV5tu Mathpediaチューター室]においては、チューター陣としてMathpediaにおいて専門的な記事を執筆しているメンバーを取り揃えつつ、月額$30(22年3月時点)と可能な限りお手頃な価格でのチューターサービスの提供を試みております。このサービスによって上がった収益は全額Mathpediaの運営費用として用いられ、利用者拡大に伴い仮に今後Mathpedia自体の黒字化を達成した際には、更なる数学コンテンツ執筆者の採用などに充てさせて頂きます。

=現在のチューター陣=
サービスに登録していただいた場合、'''以下の全てのチューター陣の指導を受けることが出来ます。'''

*[[利用者:Kataoka|Kataoka Yutaさん]] 関数解析、数理物理学など。
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=オンライン家庭教師=
またチューターメンバーを主体に、Mathpediaではオンライン家庭教師サービスも提供しております。詳しくは[[家庭教師]]の項目をご覧ください。オンライン家庭教師に関する[https://docs.google.com/forms/d/e/1FAIpQLSfDnZ0X-YlLgHHzyp_YIxEpqi9BS5OG01prTQgpsCG4t9zTJQ/viewform?usp=sf_link お問い合わせフォーム]はこちらです。

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2022-03-24T12:16:16Z

群

2022-02-13T20:46:21Z

数学市民: /* 証明 */

[[Category:群論]]
<noinclude>
{{TOC |align=right |noautonum=1 }}
</noinclude>
== 群 ==
工事中。

== 定義 ==
=== 定義1 ===
'''群(ぐん、group)'''とは、[[集合]] $G$ と $G$ の上で閉じた[[二項演算]] $\times$、$G$ の要素 $1$ の三つ組 $\langle G, \times, 1\rangle$ で、次の公理を満たすものをいう。
* (G1)（[[結合律]]）~
$ \forall a,b,c \in G, (a \times b) \times c = a \times (b \times c) $
* (G2)（[[単位元]]の存在）~
$ \forall a \in G, a \times 1 = 1 \times a = a $
* (G3)（[[逆元]]の存在）~
$ \forall a \in G, \exists b \in G, a \times b = b \times a = 1 $
==== 補足 ====
上の定義に関連して、一般に集合 $G$ とその上の二項演算 $\times$ が与えられているとき、(G2)の条件を満たす元 $1 \in G$ のことを[[単位元]]と呼び、(G3)の条件を満たす元 $b \in G$ のことを $a$ の[[逆元]]と呼ぶ。~
正整数 $n$ に対し、$G$ の元 $g$の $n$ 乗を $$g^n = g \times g \times \cdots \times g$$ ( $g$ を $n$ 回掛ける)と定める(結合律によりこれは元を掛ける順番によらない)。また、$$g^0 = 1$$ とし、負の整数 $-n$ ( $n$ は正整数) に対しては、$g$ の逆元を$g^{-1}$ と書いて $$g^{-n} = (g^{-1})^n$$ と定める。~
このとき、実数のべき乗に関する指数法則と同様に、整数 $m, n$ に対し $g^{m + n} = g^m \times g^n, g^{mn} = (g^m)^n $が成り立つ。~
通常、二項演算 $\times$ と単位元 $1$ の内容が明らかなとき、群 $\langle G, \times, 1\rangle$ のことを単に群 $G$ と呼ぶことがある。特に構造としての群のその台集合を誤解を招かない範囲で同一の記号で表す。~
一般に群 $\langle G, \times, 1\rangle$ の単位元は $1$ に限られる（[[単位元|証明]]）ので、群を二つ組 $\langle G, \times \rangle$ として定義しても混乱が生じる恐れはない。この場合の定義は以下の通り。
:''群''とは、集合 $G$ と $G$ の上で閉じた二項演算 $\times$ のニつ組 $\langle G, \times \rangle$ で、次の公理を満たすものをいう。 ~
* (G1)（結合律）~
$ \forall a,b,c \in G, (a \times b) \times c = a \times (b \times c) $~
* (G2)'（単位元の存在）~
$ \exists 1 \in G, \forall a \in G, a \times 1 = 1 \times a = a $~
以下 $1$ を(G2)'から存在が分かる単位元とする
((公理(G2)'において、$1$ という記号は $G$ の元を表す変数なので、(G3)における $1$ は（記号上は同じでも）論理的に同じ元を表すとは限らない。そこで「 $1$ を(G2)'から存在が分かる単位元とする」という文言が必要になる。))
* (G3)（逆元の存在）~
$ \forall a \in G, \exists b \in G, a \times b = b \times a = 1 $~
<また、群 $\langle G, \times, 1\rangle$ の各元に対してその逆元は一意に定まるので、逆元演算子 ${}^{-1}$ を用いた四つ組 $\langle G, \times, {}^{-1}, 1\rangle$ で定義することもある。具体的には以下の通り。((この場合、等式の全称閉包のみで公理化可能なので、[[普遍代数学]]ではこの定義が用いられる。))
:''群''とは、集合 $G$ と $G$ の上で閉じた二項演算 $\times$、単項演算 ${}^{-1}$、$G$ の要素 $1$ の四つ組 $\langle G, \times, {}^{-1}, 1\rangle$ で、次の公理を満たすものをいう。 ~
* (G1)（結合律）~
$ \forall a,b,c \in G, (a \times b) \times c = a \times (b \times c) $~
* (G2)（単位元の存在）~
$ \forall a \in G, a \times 1 = 1 \times a = a $~
* (G3)'（逆元の存在）~
$ \forall a \in G, a \times a^{-1} = a^{-1} \times a = 1 $~
<またMcCune 1993では群 $ \langle G, \times , {}^{-1}\rangle $ を一つの等式で公理化できることを示している、以下に一例を表す。
* (G) $ (w\times ( (x^{-1}\times w)^{-1}\times z) )\times ((y\times z)^{-1}\times y)=x $

=== 定義2 ===

圏 $\mathscr{C}$ が群であるとは、$\mathop{\mathrm{Ob}}(\mathscr{C})$ が一元集合であり、任意の射 $f\in\mathop{\mathrm{Mor}}(\mathscr{C})$ が可逆であることである。

== 具体例 ==
* [[自明群]] $\{1\}$ 。簡略化のために $1$ と書くこともある。
* [[整数]] $\mathbb{Z}$、[[有理数]] $\mathbb{Q}$、[[実数]] $\mathbb{R}$、[[複素数]] $\mathbb{C}$、[[四元数]] $\mathbb{H}$ は、それぞれ $0$ を単位元として加法について群である。
* [[有理数]] $\mathbb{Q}$、[[実数]] $\mathbb{R}$、[[複素数]] $\mathbb{C}$、[[四元数]] $\mathbb{H}$ からそれぞれ $0$ を除いた集合は、それぞれ $1$ を単位元として乗法について群である。
* 有限集合 $\{1, 2, \ldots, n\}$ の[[置換]]の全体 $S_n$ は、恒等置換を単位元とし、置換の合成について群である。（[[対称群]]）
* 有限集合 $\{1, 2, \ldots, n\}$ の[[偶置換]]の全体 $A_n$ は、恒等置換を単位元とし、置換の合成について群である。（[[交代群]]）
* n次実[[正則行列]]の全体 $\mathop{\mathrm{GL}_n}(\mathbb{R})$ は、[[単位行列]]を単位元とし、行列の乗法について群である。（[[一般線形群]]）
* [[有限群の分類(位数1~100)]]

== 群の定義そのものに関する基本的性質 ==
=== 命題1(単位元の唯一性) ===
群 $\langle G, \times, 1\rangle$ の単位元は $1$ に限られる。~
すなわち、$e \in G$ が
: $ \forall a \in G, a \times e = e \times a = a $
<を満たすならば、$e=1$ 。
{{begin|proof}}
$e$について仮定した条件式において $a = 1$ として、$1 \times e = e \times 1 = 1$ 。~
一方、群の公理(G2)で $a = e$ として、$e \times 1 = 1\times e = e$ 。~
よって、$e = 1$ 。
{{end|proof|}}
より一般的な状況での証明については、「[[単位元]]」を参照。

=== 命題2(逆元の唯一性) ===
群 $\langle G, \times, 1\rangle$ の各元 $a$ に対して、その逆元は一意に定まる。

{{begin|proof}}
元 $b, b' \in G$ が、どちらも群の公理(G3)の条件式を満たすとする：~
$a \times b = b \times a = 1, a \times b' = b' \times a = 1$ 。~
このとき、$$b = b \times 1 = b \times (a \times b') = (b \times a) \times b' = 1 \times b' = b'$$ となるので、結局 $b$ と $b'$ は等しい。~
{{end|proof|}}

=== 命題3(吸収元) ===
[[吸収元]]を持つ群は、[[自明群]]に限られる。
{{begin|proof}}
$\langle G, \times, 1\rangle$ を群とし、$0 \in G$ を吸収元とする。このとき、$0$ の逆元 $0^{-1} \in G$ が存在して、
: $0 \times 0^{-1} = 1$
<一方、$0$ は吸収元だから、
: $0 \times 0^{-1} = 0$
<よって、$0=1$ なので、$G=\{1\}$（[[参照>吸収元#xe6d5111]]）
{{end|proof|}}

=== 命題4（逆演算可能性） ===
$\langle M, \times \rangle$ を結合的マグマとする。このとき、以下は同値。
# $1 \in M$ が存在して $\langle M, \times, 1 \rangle$ は群。
# 任意の $a,b \in M$ に対して
:$a \times x = b$~
$y \times a = b$
<を満たす $x,y \in M$ が一意に定まる。（逆演算可能）

//**命題5（消去律）
//$\langle M, \times \rangle$ を結合的マグマとする。このとき、以下は同値。
//+ $1 \in M$ が存在して $\langle M, \times, 1 \rangle$ は群。
//+ 任意の $a,b,x \in M$ に対して
//>$a \times x = b \times x \Rightarrow a=b$~
//$x \times a = x \times b \Rightarrow a=b$
//<が成り立つ。（消去律）

== 群の位数、群の元の位数 ==
=== 群の位数 ===
群 $\langle G, \times, 1\rangle$ の台集合 $G$ の元の個数を、その群 $\langle G, \times, 1\rangle$ の''位数''（いすう、order）といい、$|G|$ または $\#G$ で表す。$G$ が無限集合であるときは「元の個数」という概念が言葉通りには適用できないので、$G$ の[[濃度>集合の濃度]]をその群の位数と定める。

=== 群の元の位数 ===
群 $\langle G, \times, 1\rangle$ と $G$ の元 $g$ が与えられているとする。$g$ のべき乗 $g^n$ について、以下の2つのうちどちらか1つが成り立つ。~
# ある正整数 $n$ が存在して、$g^n = 1$ となる。
# 任意の正整数 $n$ に対して、$g^n \neq 1$ である。

1番目の条件が成り立つとき、$g^n = 1$ となる最小の正整数 $n$ が存在する。その最小の正整数を、$g$ の''位数''という。このとき $g$ は''有限位数''であるともいう。~
2番目の条件が成り立つときは、$g$ は''無限位数''であるという。このとき $g$ の''位数''を便宜的に $\infty$と書くことがある。

=== 命題5（元の位数の基本的な性質） ===
群 $G$ とその元 $g$ が与えられていて、$g$ は有限位数であるとし、その位数を $l$ とする。このとき、整数 $m, n$ に対し以下は同値である。
#$g^m = g^n$。
#$m - n$ は $l$ で割り切れる。~

特に、$g^n = 1$ であることと $n$ が $l$ で割り切れることは同値であり、また $1 = g^0, g^1, \ldots , g^{l - 1}$ はどの2つも相異なり、さらに $n$ を $l$ で割った余りを $r$ としたとき $g^n = g^r$ となる。

=== 群の位数、群の元の位数の例 ===

群 $\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$ ( $n$ は正整数)の位数は $n$ である。~
群 $\mathbb{Z}/4\mathbb{Z}$ について、元 $\overline{0},\overline{1},\overline{2},\overline{3}$ の位数はそれぞれ $1,4,2,4$ である。~
群 $\mathbb{Z}$ について、元 $0$ の位数は $1$ であり、その他の元は全て無限位数である。

== 部分群 ==
=== 部分群 ===
与えられた群 $G$ の''部分群''（ぶぶんぐん、subgroup）とは、$G$ の部分集合 $H$ で、もとの群 $G$ と同じ演算によって群の構造を持つもののことである。より正確には、以下のように定義する。

==== 部分群の定義 ====
群 $\langle G, \times, 1\rangle$ と、$G$ の部分集合 $H$ が与えられているとする。さらに、$H$ は $G$ の単位元 $1$ を含み、$G$ の積演算 $\times$ は $H$ 上で閉じているとする。このとき、群 $\langle G, \times, 1\rangle$ の台集合と演算を $H$ 上に制限すると、組 $\langle H, \times|_{H\times H}, 1\rangle$ ができる。これが再び群の公理を満たすとき、組 $\langle H, \times|_{H\times H}, 1\rangle$ は群 $\langle G, \times, 1\rangle$ の''部分群''であるという。もちろん、このとき $\langle H, \times|_{H\times H}, 1\rangle$ はまた群である。

==== 定義の補足 ====
* 積演算の内容が明らかなときは単に、$H$ は群 $G$ の部分群である、という。
* $H$ が群 $G$ の部分群であることを、$H \le G$ と書くことがある。この記号は数に対する不等式（例えば $1 \le 2$ ）と重複しているが、数と群に同じ記号を用いることは（ $1$ を除いて）ないので、文脈によって判断できる。

=== 命題6（部分群となるための条件） ===
$G$ を群、$H$ を $G$ の部分集合とするとき、$H$ に関する以下の条件は全て同値である。
# $H$ は上の定義の条件を満たし、$G$ の部分群を成す。
# 以下の3条件が成立する。
## $H$ は $G$ の単位元 $1$ を含む。
## $H$ は積について閉じている、つまり任意の $H$ の元 $x$、$y$ に対し $xy\in H$ が成り立つ。
## $H$ は逆元について閉じている、つまり任意の $H$ の元 $x$ に対し $x^{-1}\in H$ が成り立つ。
# 上の3条件のうち、1番目を以下の条件に置き換えたものが成立する。
## $H$ は空集合ではない。
# $H$ は空集合ではなく、また任意の $H$ の元 $x$、$y$ に対し $x^{-1}y\in H$ が成り立つ。

==== 証明 ====
(1 $\Rightarrow $ 2) (i)、(ii)は、それぞれ「 $H$ は $G$ の単位元 $1$ を含み」、「 $G$ の積演算 $\times$ は $H$ 上で閉じている」という仮定から明らか。~
(iii) $H$ の任意の元 $x$ をとる。今 $\langle H, \times|_{H\times H}, 1\rangle$ が群であることから、ある $H$の元 $y$ が存在して $xy = yx = 1$ が成り立つ。等式 $xy = 1$ の両辺に左から $x^{-1} (\in G)$ を掛ければ等式 $1y = x^{-1}$ を得て、結局 $y = x^{-1}$ となる。つまり、$x$ の $H$ における逆元は $G$ における逆元 $x^{-1}$ であることがわかり、同時に $x^{-1} \in H$ となることがわかる。

=== 部分群による剰余類 ===

群 $G$ とその部分群 $H$ に対し、「 $H$ の元を右から掛けて移り合う元を同一視する」という同値関係が考えられる。この同値関係による商は左剰余類と呼ばれる。この商集合には自然に $G$ が作用し(群の作用については後述)、そのため群の作用の典型的な例ができる。

==== 剰余類の定義 ====

群 $G$ とその部分群 $H$ に対し、集合 $G$ の上の同値関係 $\sim$ を $$g \sim g' \Leftrightarrow \exists h \in H \ g' = gh$$ で定める。この同値関係による商集合を $G/H$ と書き、「この $G/H$ の元(つまり1つ1つの同値類)」を''(左)剰余類''という。

=== 正規部分群 ===
与えられた群 $G$ の''正規部分群''（せいきぶぶんぐん、normal subgroup）とは、部分群であってさらに $G$ の構造によるある演算で不変なもののことである。具体的な定義は以下で述べる。

==== 共役 ====
$G$ を群、$g$ を $G$ の元とする。~
$G$ の元 $h$ に対して、$h$ の $g$ による''共役''（きょうやく、conjugation）を、$ghg^{-1}$ で定める。~
同様に、$G$ の部分集合 $S$ に対して、$S$ の $g$ による''共役集合''を、$gSg^{-1} := \{ gsg^{-1} \mid s\in S\}$ で定める。~
$G$ の2つの元 $h$、$k$ が、ある $g$ によって $k = ghg^{-1}$ という関係にあるとき、$h$ と $k$ は''共役''である（conjugate）という。この関係を成り立たせる $g$ を指定して、$g$ により共役であるともいう。同様に、$G$ の部分集合 $S$ と $T$ がある $g$ について $T = gSg^{-1}$ となるとき、$S$ と $T$ は（ $g$ により）''共役''であるという。

==== 正規部分群の定義 ====
群 $G$ と、その部分群 $H$ が与えられているとする。 $H$ が $G$ の''正規部分群''であるとは、 $G$ の任意の元 $g$ に対して $$gHg^{-1}\subset H$$ となることをいう。

=== 命題7（正規部分群となるための条件） ===
$G$ を群、$H$ を $G$ の部分群とするとき、$H$ に関する以下の条件は全て同値である。
# 任意の $g\in G$ に対し $gHg^{-1}\subset H$ となる。
# 任意の $g\in G$ に対し $gHg^{-1} = H$ となる。
# 任意の $g\in G$ に対し $gH = Hg$ となる。
# $G$ の任意の2つの左剰余類 $xH$、$yH$ に対し、$xH$、$yH$ のそれぞれの代表元 $x'$、$y'$ について、積 $x'y'$ の左剰余類 $x'y'H$ は $x'$、$y'$ の取り方によらない。
# $G$ の任意の2つの右剰余類 $Hx$、$Hy$ に対し、 $Hx$、$Hy$ のそれぞれの代表元 $x'$、$y'$ について、積 $x'y'$ の右剰余類 $Hx'y'$ は $x'$、$y'$ の取り方によらない。

== 群準同型 ==

=== 群準同型 ===

''(群)準同型''(ぐんじゅんどうけい、group homomorphism、homomorphism of group)とは、2つの群 $G,H$ の間の写像 $f\colon G \to H$ で、群の演算、すなわち積を「保つ」ようなものである。より正確には、以下のように定義する。

==== 群準同型の定義 ====

$G,H$ を群とする。写像 $f\colon G \to H$ が''(群)準同型''であるとは、任意の $g,g'\in G$ に対し $$f(g\cdot g') = f(g)\cdot f(g')$$ となることをいう。

==== 補足 ====

定義の条件式において、左辺の $\cdot$ は $G$ における積であり、右辺の $\cdot$ は $H$ における積である。( $G$ での)積を $f$ でまるごと $H$ に送ったものが再び( $H$ での)積に分解されている様子を、「積を保つ」と表しているわけである。

=== 命題8 (群準同型が保つもの) ===

$G,H$を群、$f \colon G \to H$ を群準同型写像とする。~
(1) $f$ は単位元を保つ、つまり $f(1)=1$ が成り立つ。~
(2) $f$ は逆元を保つ、つまり任意の $g\in G$ に対し $f(g^{-1})=f(g)^{-1}$が成り立つ。

=== 群同型 ===

$G,H$ を群とする。写像 $f \colon G \to H$ が''(群)同型'' (ぐんどうけい、group isomorphism、isomorphism of group)であるとは、$f$ が全単射であり、$f$ とその逆写像 $f^{-1}$ が共に群準同型であることをいう。群同型 $f$ が存在するとき、$G$ と $H$ は''同型''(どうけい、isomorphic)であるという。

==== 補足 ====

*2つの群 $G,H$ の間に同型写像 $f \colon G \to H$ があるとき、積の計算や元の一致不一致、部分群の個数などの「群に関係する事柄」が $G$ と $H$ で完全に対応する。そこで、逆に群同型が存在するような群 $G,H$ について完全に対応する性質など(のうちで群を考えることにより初めて現れるもの)を''群論的性質''などと呼ぶことがある。~
*さらに、群論を考える上ではこのような $G,H$ は全く同一の振る舞いをするので、しばしばこの2つを同一視したような言葉使いをすることがある。しかし、群同型がある2つの群をいつでも同一視すると、文脈によってはよくないことがある。例えば、対称群 $S_4$ の部分群 $\langle (1 2) \rangle$ と $\langle (3 4) \rangle$ は(どちらも位数2の巡回群だから)同型であるが、共通部分をとれば $1$ となる(「 $S_4$ の部分群であって位数2の巡回群であるもの2つの共通部分」という情報だけからその共通部分が確定しないことを強調しておく)。この点でこの2つの群は「 $S_4$ の部分群としては」区別されるべきものである。

== 群同士の演算 ==

与えられた群(たち)から、新たな群を作る一般的な方法がある。ここでは、そのうち基本的なものを紹介する。

=== 直積群 ===

与えられた群 $G, H$ に対し、台集合を直積集合 $G \times H$ とする直積群が作られる。この直積群では、$G$ と $H$ (それぞれ $G \times H$ の部分群とみなす)の元は可換となる。

==== 直積群の定義 ====

$G, H$ を群とする。直積集合 $G \times H$ の上の二項演算 $\cdot$ を、以下で定める。$$(g,h) \cdot (g',h') := (gg',hh')$$~
このとき、$\langle G \times H, \cdot \rangle$ は単位元が $(1,1)$ 、$(g,h)$ の逆元が $(g^{-1},h^{-1})$ であるような群となる。この群を、$G$ と $H$ の''直積群''といい、やはり $G \times H$ と書く。

=== 自己同型群 ===

群 $G$ に対し、$G$ から自分自身への同型 $f \colon G \to G$ を $G$ の''自己同型''(じこどうけい、automorphism)という。$G$ の自己同型全体の集合を $\text{Aut} G$と書くと、これは写像の合成 $\circ$ に関して群を成す(単位元が恒等写像 $\text{id}_G$、$f \in \text{Aut} G$ の逆元が $f^{-1}$ ( $f$ の逆写像)であるような群)。この群 $\text{Aut} G$ を、$G$ の''自己同型群''という。

== 群の圏 ==

== 群の作用 ==

=== 群の作用の定義 ===
群 $G$ と集合 $X$ に対して、写像 $G \times X \to X$ （ $(g, x)\in G \times X$ の像を $g\cdot x$ と書くことにする）が以下の2条件を満たすとき、この写像を群 $G$ の $X$ への'''左作用'''であるという。
* 任意の $g, h \in G$ 、$x \in X$ に対し $g\cdot (h\cdot x) = (gh)\cdot x$
* 任意の $x\in X$ に対し $1\cdot x = x$
群の左作用 $G \times X \to X$ は以下の群準同型を定める。
\[G \to \text{Sym}(X)\]
\[g\mapsto (x\mapsto g\cdot x)\]
（ただし $\text{Sym}(X) = \text{Sym}_{\text{left}}(X)$ は $X$ から $X$ 自身への全単射全体の集合で、$\sigma, \tau\in \text{Sym}(X)$ の積を $(\sigma\tau)(x) \ \colon = \sigma(\tau(x)) (x\in X)$ で定めてできる群である。）

逆に、群準同型 $\rho \ \colon G \to \text{Sym}(X)$が与えられたとき、写像 $G \times X \to X; (g, x)\mapsto \rho(g)(x)$ は上の2条件を満たす。したがって、2条件を満たす写像 $G \times X \to X$ と群準同型 $\rho \ \colon G \to \text{Sym}(X)$ には(自然な)1対1対応があるので、群準同型の方を作用と言うこともある。

また、写像 $X \times G \to X$ （ $(x, g)\in X \times G$ の像を $x\cdot g$ と書くことにする）が以下の2条件を満たすとき、この写像を群の $G$ の $X$ への'''右作用'''であるという。
* 任意の $g, h\in G$ 、$x\in X$ に対し $(x\cdot g)\cdot h = x\cdot (gh)$
* 任意の $x\in X$ に対し $x\cdot 1 = x$
左作用の場合と同様に、この写像は
\[G \to \text{Sym}(X)^{\text{op}}\]
\[g\mapsto (x\mapsto x\cdot g)\]
（ただし $\text{Sym}(X)^{\text{op}} = \text{Sym}_{\text{right}}(X)$ は集合としては $\text{Sym}(X)$ と同じものとし、$\sigma, \tau\in \text{Sym}(X)^{\text{op}}$ の積を $(\sigma\tau)(x) \ \colon = \tau(\sigma(x)) (x\in X)$ で定めてできる群である。）
と1対1対応する。

以下左作用のみを用いることにし、左作用を単に作用と言うことにする。
作用　$G \times X \to X$ を $G \curvearrowright X$ と書く。

=== 例 ===
* 群 $G$ とその部分群 $H$ に対し、$G$ の元を $G/H$ の元に左からかける写像
\[G \times G/H \to G/H\]
\[(g, g'H)\mapsto gg'H\]
は作用である。この作用は'''置換作用'''と呼ばれる。
* 群 $G$ とその正規部分群 $N$ に対し、$N$ の元を $G$ の元による共役に移す写像
\[G \times N \to N\]
\[(g, n)\mapsto gng^{-1}\]
は作用である。この作用は'''共役作用'''と呼ばれる。

=== 命題(Cayley) ===
$G$ を位数 $n$ の有限群とする。このとき、$G$ から $n$ 次対称群 $S_n$ への単射群準同型 $G\to S_n$ が存在する。

=== 証明 ===
$G$ の $G$ 自身への作用を左からの積 $g\cdot h \ \colon = gh$ で定めると、これに対応する群準同型 $G \to \text{Sym}(G) \ ; g\mapsto (h \mapsto gh)$ は単射である。（∵ $g$ の像が $\text{id}_G$ なら $1$ の像が $1$ 、すなわち $g1 = 1$ 。よって $g = 1$ 。）

$G$ の元に番号を付けて $G = \{g_1, \ldots, g_n\}$ とすれば、これは単射群準同型 $G \to S_n \ ; g\mapsto (i \mapsto (j\text{であって}gg_i = g_j\text{を満たすもの}))$ を定める。$\square$

=== 定義 ===
作用 $G \curvearrowright X$ を考える。
* $X$ の元 $x$ の'''軌道'''を
\[\mathcal{O}(x) = \text{Orb}_G(x) = \text{Orb}(x) = G\cdot x \ \colon = \{g\cdot x \mid g\in G\} = \{y\in X\mid \exists g\in G \quad y = g\cdot x\}\]
で定める。
* 作用が'''可移(推移的)'''であるとは、$X$ が少なくとも $1$ 個の元をもち、かつ任意の $x,y\in X$ に対しある $g\in G$ が存在して $y = g\cdot x$ となることをいう。軌道の言葉を使って簡潔に書けば、$X \neq \emptyset$ かつ $\forall x\in X \quad X = \text{Orb}(x)$ となる。$X \neq \emptyset$ かつ $\exists x\in X \quad X = \text{Orb}(x)$ とも同値である。
* $X$ 上の関係 $\sim$ を $x\sim y \ \colon \Leftrightarrow \text{Orb}(x) = \text{Orb}(y)$ で定めると、これは同値関係となる。そこで、この同値関係による $X$ の分割
\[X = \bigsqcup_{O\in X/\sim} O\]
をこの作用による $X$ の'''軌道分解'''という。
* $X$ の元 $x$ の'''安定化群'''を
\[\text{Stab}_G(x) = \text{Stab}(x) = G_x \ \colon = \{g\in G \mid g\cdot x = x\}\]
で定める。

=== 定理(Orbit-Stabilizer theorem) ===
作用 $G \curvearrowright X$ と $x\in X$ に対し、全単射
\[G/\text{Stab}(x)\to \text{Orb}(x)\]
\[g \ \text{Stab}(x)\mapsto g\cdot x\]
がある。

=== 証明 ===
まず、上の写像がwell-definedであることを示す。$g, g'\in G$ に対し $g \ \text{Stab}(x) = g' \ \text{Stab}(x)\Leftrightarrow g'^{-1}g\in\text{Stab}(x) \Leftrightarrow g'^{-1}g\cdot x = x \Leftrightarrow g\cdot x = g'\cdot x$ だから、well-definedである。

そして、この写像が全単射であることを示す。上の同値を逆にたどることで単射であることがわかる。また、任意の $y\in \text{Orb}(x)$ に対し、軌道の定義により $g\in G$ で $y = g\cdot x$ なるものをとれば $g \ \text{Stab}(x)\mapsto g\cdot x = y$ となるから、全射であることがわかる。$\square$

== 特殊な群のクラス ==

== 関連する概念 ==
=== より強い概念 ===
=== より弱い概念 ===

== 参考文献 ==
W.W. McCune. [[Single axioms for groups and Abelian groups with various operations.:https://doi.org/10.1007/BF00881862]] Journal of Automated Reasoning 10.1 1993: 1-13.
== 関連ページ ==
*[[群論]]