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圏論の展開

2023-01-22T16:29:56Z

サクラ: 図式を表示できるように修正いたしました．

<noinclude>
{{TOC |align=right |noautonum=1 }}
</noinclude>
__MATHJAX2__

{{newtheorem |type=thm |display=定理 |counter=0 }}
{{newtheorem |type=def |display=定義 |family=thm }}
{{newtheorem |type=prop |display=命題 |family=thm }}
{{newtheorem |type=lem |display=系 |family=thm }}
{{newtheorem |type=fact |display=事実 |family=thm }}
{{newtheorem |type=axiom |display=公理 |family=thm }}
{{newtheorem |type=obs |display=観察 |family=thm }}
{{newtheorem |type=cor |display=系 |family=thm }}
{{newtheorem |type=conj |display=予想 |family=thm }}

この記事は、圏論についてのいくつかのトピックを解説することを目的としている。

== On the classes of monomorphisms and epimorphisms ==
モノ射もしくはエピ射のなかでも、特に性質のよいものに着目することは、圏論における議論のなかでしばしば行われる。そこで、このセクションにおいてはそのような性質のよいもののクラスを導入し、また一般論を述べる。

モノ射についての議論は、原則としてエピ射についての議論の双対として得られるため、本記事においてはエピ射の解説に重点をおく。
=== epimorphism に関する述語 ===
{{theorem |type=def |label=def:epimorphism |name=epimorphism }}
圏 $\mathcal{C}$ の射 $f\colon a\to b$ がepimorphismであるとは、任意の対象 $c$ について $f$ によって誘導される集合の写像 $$\mathrm{Hom}(f,c) \colon \mathrm{Hom}(b,c) \to \mathrm{Hom}(a,c) $$ が単射であることを指していう。また、圏 $\mathcal{C}$ のepimorphismのクラスを $\mathrm{Epi}(\mathcal{C})$ と表記する。

{{theorem |type=def |label=def:extr_epi |name=extremal epimorphism }}
圏 $\mathcal{C}$ の射 $f$ がextremal epimorphismであるとは、$f$ がepimorphismであって、かつ射分解 $f=m\circ g$ であって $m$ がmonomorphismであるようなものが取れたとき、$m$ がisomorphismとなることをいう。
<nowiki>
\begin{xy}
\xymatrix {
\cdot \ar[r]^{g} & \cdot \ar[r]^{m} & \cdot \ar@{}[r]|{=} & f
}
\end{xy}
</nowiki>
また、圏 $\mathcal{C}$ のextremal epimorphismのクラスを $\mathrm{ExtrEpi}(\mathcal{C})$ と表記する。

{{theorem |type=def |label=def:strong_epi |name=strong epimorphism }}
圏 $\mathcal{C}$ の射 $f$ がstrong epimorphismであるとは、$f$ がepimorphismであって、monomorphism $m$ と任意の図式
<nowiki>
\begin{xy}
\xymatrix {
\cdot \ar[d]_{f} \ar[r] & \cdot \ar[d]_{m} \\
\cdot \ar[r] & \cdot
}
\end{xy}
</nowiki>
について、射 $l$ であって
<nowiki>
\begin{xy}
\xymatrix {
\cdot \ar[d]_{f} \ar[r] & \cdot \ar[d]_{m} \\
\cdot \ar[r] \ar@{.>}[ru]^{l} & \cdot
}
\end{xy}
</nowiki>
を可換にするものが存在することをいう。また、圏 $\mathcal{C}$ のstrong epimorphismのクラスを $\mathrm{StrongEpi}(\mathcal{C})$ と表記する。

{{theorem |type=def |label=def:strict_epi |name=strict epimorphism }}
圏 $\mathcal{C}$ の射 $f$ について射の組 $(g, h)$ であって $f \circ g = f\circ h$ が成り立つようなものを、一時的に({{ref | type=def \label=def:strict_epi}} のなかで) $f$-pair とよぶことにする。

任意の $f$-pair $(g,h)$ について $k \circ g=k\circ h$ が成り立つような射 $k$ が存在したとき、$k = t\circ f$ なる $t$ が一意的に存在したとする。このとき $f$ をstrict epimorphismであるという。
<nowiki>
\begin{xy}
\xymatrix {
\cdot \ar@<0.5ex>[r]^-{g} \ar@<-0.5ex>[r]_-{h} & \cdot \ar[r]^{f} \ar[dr]^{k} & \cdot \ar@{.>}[d]^{\exists! t} \\
& & \cdot
}
\end{xy}
</nowiki>
また、圏 $\mathcal{C}$ のstrict epimorphismのクラスを $\mathrm{StrictEpi}(\mathcal{C})$ と表記する。
{{theorem |type=def |label=def:reg_epi |name=regular epimorphism }}
圏 $\mathcal{C}$ の射 $f$ がstrict epimorphismであるとは、射 $g$, $h$ であって以下の図式
<nowiki>
\begin{xy}
\xymatrix {
\cdot \ar@<0.5ex>[r]^-g \ar@<-0.5ex>[r]_-h & \cdot \ar[r]^f & \cdot
}
\end{xy}
</nowiki>
がコイコライザ図式となるようなものが存在することをいう。また、圏 $\mathcal{C}$ のregular epimorphismのクラスを $\mathrm{RegEpi}(\mathcal{C})$ と表記する。
{{theorem |type=def |label=def:effective_epimorphism |name=effective epimorphism }}
圏 $\mathcal{C}$ の射 $f\colon a\to b$ がeffective epimorphismであるとは、以下の引き戻し図式
<nowiki>
\begin{xy}
\xymatrix {
a\times_b a \ar[d]_{p_1} \ar[r]^{p_2} & a \ar[d]_{f} \\
a \ar[r]^{f} & b
}
\end{xy}
</nowiki>
が存在して、かつ
<nowiki>
\begin{xy}
\xymatrix {
a\times_b a \ar@<0.5ex>[r]^-{p_1} \ar@<-0.5ex>[r]_-{p_2} & a \ar[r]^{f} & b
}
\end{xy}
</nowiki>
がコイコライザ図式となることをいう。また、圏 $\mathcal{C}$ のeffective epimorphismのクラスを $\mathrm{EffEpi}(\mathcal{C})$ と表記する。
{{theorem |type=def |label=def:split_epi |name=split epimorphism }}
圏 $\mathcal{C}$ の射 $f$ がsplit epimorphismであるとは、$f\circ g$ が恒等射となるような射 $g$ が存在することをいう。また、圏 $\mathcal{C}$ のsplit epimorphismのクラスを $\mathrm{SplitEpi}(\mathcal{C})$ と表記する。

=== 圏論的操作における安定性 ===
{{theorem |type=prop |label=comp_of_epi |name=$\mathrm{Epi}$ と合成}}
圏 $\mathcal{C}$ の射 $f\colon a\to b$, $g\colon b\to c$ について、$g\circ f$ はepimorphismである。
{{begin |proof |collapsible=1 |display=証明 }}
圏 $\mathcal{C}$ の対象 $d$ について、集合の写像 $ \mathrm{Hom}(g\circ f,d)\colon \mathrm{Hom}(c,d)\to \mathrm{Hom}(a,d)$ は、$\mathrm{Hom}(g,d)\circ \mathrm{Hom}(f,d)$ と一致するが、これは単射である。よって $g\circ f$ はepimorphismである。{{end |proof }}
{{theorem |type=prop |label=comp_of_epi |name=$\mathrm{Epi}$ と恒等射 }}
圏 $\mathcal{C}$ の対象 $a$ について、恒等射 $\mathrm{id}_a\colon a\to a$ はepimorphismである。
{{begin |proof |collapsible=1 |display=証明 }}
圏 $\mathcal{C}$ の対象 $d$ について、集合の写像 $ \mathrm{Hom}(\mathrm{id}_a,d)\colon \mathrm{Hom}(a,d)\to \mathrm{Hom}(a,d)$ は、$\mathrm{Hom}(a,d)$ 上の恒等写像である。よって $\mathrm{id}_a$ はepimorphismである。{{end |proof }}
{{theorem |type=thm |label=char_of_epi |name=epi性の同値条件 }}
圏 $\mathcal{C}$ の射 $f\colon a\to b$ について、以下は同値である。
# $f$ はepimorphism
# 以下の図式<nowiki>
\begin{xy}
\xymatrix {
a \ar[d]_{f} \ar[r]^{f} & b \ar[d]_{\mathrm{id}_b} \\
b \ar[r]^{\mathrm{id}_b} & b
}
\end{xy}
</nowiki>は押し出し図式
{{begin |proof |collapsible=1 |display=証明 }}
* 1. $\Rightarrow$ 2. について
<nowiki>
\begin{xy}
\xymatrix {
a \ar[d]_{f} \ar[r]^{f} & b \ar@/^/[ddr]^{g} & \\
b \ar@/_/[drr]_{h} & &\\
& & c
}
\end{xy}
</nowiki>
なる可換図式が存在したとき、$g\circ f=h\circ f$ が成り立つが、$f$ のepi性より $g=h$ が成り立つ。よって
<nowiki>
\begin{xy}
\xymatrix {
a \ar[d]_{f} \ar[r]^{f} & b \ar[d]_{\mathrm{id}_b} \ar@/^/[ddr]^{g} & \\
b \ar[r]^{\mathrm{id}_b} \ar@/_/[drr]_{h} & b \ar@{.>}[dr]|{k} &\\
& & c
}
\end{xy}
</nowiki>
を可換にするような $k$ は $g=h$ ただひとつである。よって
<nowiki>
\begin{xy}
\xymatrix {
a \ar[d]_{f} \ar[r]^{f} & b \ar[d]_{\mathrm{id}_b} \\
b \ar[r]^{\mathrm{id}_b} & b
}
\end{xy}
</nowiki>
は押し出し図式である。
* 2. $\Rightarrow$ 1. について
$g\circ f=h\circ f$ なる $g,h\colon b\to c$ が存在したならば
<nowiki>
\begin{xy}
\xymatrix {
a \ar[d]_{f} \ar[r]^{f} & b \ar@/^/[ddr]^{g} & \\
b \ar@/_/[drr]_{h} & &\\
& & c
}
\end{xy}
</nowiki>
は可換図式となる。よって
<nowiki>
\begin{xy}
\xymatrix {
a \ar[d]_{f} \ar[r]^{f} & b \ar[d]_{\mathrm{id}_b} \ar@/^/[ddr]^{g} & \\
b \ar[r]^{\mathrm{id}_b} \ar@/_/[drr]_{h} & b \ar@{.>}[dr]|{k} &\\
& & c
}
\end{xy}
</nowiki>
を可換にするような $k$ が存在するが、明らかに $g=k=h$ が成り立つ。よって $f$ はepimorphismである。
{{theorem |type=prop |label=epi_fact |name=epiの射分解 }}
圏 $\mathcal{C}$ のepimorphism $e\colon a\to b$ について、$f\colon a\to c$, $g\colon c\to b$ によって $e=g\circ f$ と $e$ の射分解を行ったとき、$g$ はepimorphismである。
{{begin |proof |collapsible=1 |display=証明 }}
射 $h,k\colon b\to d$ であって $h\circ g=k\circ g$ なるものを取る。このとき、$e=g\circ f$ はepimorphismであるため、$h\circ e=k\circ e$ から $h=k$ が従う。よって $g$ はepimorphismである。{{end |proof }}
{{theorem |type=prop |label=pushout_stab |name=押し出し安定性 }}
圏 $\mathcal{C}$ の射 $f\colon a\to b$ と任意の射 $g\colon a\to c$ について、$f$ の $g$ による押し出し $\tilde{f}:c\to b\coprod_a c$ はepimorphismである。
{{begin |proof |collapsible=1 |display=証明 }}
押し出し図式
<nowiki>
\begin{xy}
\xymatrix {
a \ar[d]_{f} \ar[r]^{g} & c \ar[d]_{\tilde{f}} \\
b \ar[r]^-{\tilde{g}} & b\coprod_a c
}
\end{xy}
</nowiki>
が存在したとする。このとき、誘導される図式
<nowiki>
\begin{xy}
\xymatrix {
\mathrm{Hom}(a,d) & \mathrm{Hom}(c,d) \ar[l]_{\mathrm{Hom}(g,d)} \\
\mathrm{Hom}(b,d) \ar[u]^{\mathrm{Hom}(f,d)} & \mathrm{Hom}(b\coprod_a c,d) \ar[u]^{\mathrm{Hom}(\tilde{f},d)} \ar[l]_-{\mathrm{Hom}(\tilde{g},d)}
}
\end{xy}
</nowiki>
は引き戻し図式である。このとき、$\mathsf{Set}$ において単射の引き戻しは単射であるので、$\mathrm{Hom}(\tilde{f},d)$ は任意の対象 $d$ について単射となる。よって $\tilde{f}$ はepimorphismである。{{end |proof }}

=== クラスの包含関係 ===
{{theorem |type=obs |label=obviepiness |name=$\mathrm{ExtrEpi}\subset \mathrm{Epi}$ }}
射がextremal epimorphismであることの条件のひとつにepimorphismであることを課しているため、$\mathrm{ExtrEpi}\subset \mathrm{Epi}$ であることは明らかである。
{{theorem |type=obs |label=epiness |name=イコライザを持つ圏において }}
{{ref |type=def |label=def:extr_epi }} において $f$ がepimorphismであることを要請したが、イコライザを持つ圏においてはこの仮定は直接的には不要となる。実際、$g\circ f=h\circ f$ なる $g$, $h$ について $g$ と $h$ のイコライザ $m$ を取ると、$f=m\circ f'$ と射分解できる。
<nowiki>
\begin{xy}
\xymatrix {
\cdot \ar[dr]^f \ar@{.>}[d]_{f'} & & \\
\cdot \ar[r]^m & \cdot \ar@<0.5ex>[r]^-g \ar@<-0.5ex>[r]_-h & \cdot
}
\end{xy}
</nowiki>
ここで、イコライザとしてあらわれる射はmonomorphismであるため、$f$ の仮定より $m$ はisomorphismとなる。$g\circ m=h\circ m$ より、$g=h$ が成り立つ。よって $f$ はepimorphismである。

{{theorem |type=prop |label=strong_is_ectr |name=$\mathrm{StrongEpi}\subset \mathrm{ExtrEpi}$ }}
圏 $\mathcal{C}$ の射 $f$ がstrong epimorphismであるならば、extremal epimorphismである。
{{begin |proof |collapsible=1 |display=証明 }}
strong epimorphism $f$ について、$f=m\circ g$ なる射分解であって $m$ がmonomorphismであるものを取れたとする。このとき
<nowiki>
\begin{xy}
\xymatrix {
\cdot \ar[d]_{m\circ g} \ar[r]^{g} & \cdot \ar[d]_{m} \\
\cdot \ar[r]^{\mathrm{id}} \ar@{.>}[ru]^{l} & \cdot
}
\end{xy}
</nowiki>
を可換にする $l$ が存在する。よって、$m\circ l=\mathrm{id}$ が成り立つ。このとき、$m \circ l \circ m =m\circ \mathrm{id}$ であるため、$m$ のmono性から $l\circ m=\mathrm{id}$ が成り立つ。従って $m$ はisomorphismである。$f$ のepi性については定義より明らか。{{end |proof }}
{{theorem |type=obs |label=extr_epiness |name=イコライザを持つ圏において }}
{{ref |type=obs |label=epiness }} の議論を鑑みると、イコライザを持つ圏において、strong epimorphismの定義に $f$ の直接的なepi性の要請は不要であることがわかる。

=== ((dummy subsection)) ===
true desire

== information ==
=== 関連項目 ===
* [[圏論]]

付値環

2023-01-22T16:26:02Z

サクラ: /* 基本的な性質 */ 差し当たりご指摘いただいた点の修正をしました

[[Category:環論]]
{{newtheorem |type=thm |display=定理 |counter=0 }}
{{newtheorem |type=def |display=定義 |family=thm }}
{{newtheorem |type=prop |display=命題 |family=thm }}
{{newtheorem |type=ex |display=例示 |family=thm }}
{{newtheorem |type=cor |display=系 |family=thm }}
{{newtheorem |type=note |display=注意 |family=thm }}
{{newtheorem |type=lem |display=補題 |family=thm }}
{{newtheorem |type=axiom |display=公理 |family=thm }}
{{newtheorem |type=fact |display=事実 |family=thm }}
{{newtheorem |type=obs |display=観察 |family=thm }}
{{newtheorem |type=conj |display=予想 |family=thm }}
この記事において、[[環]]は可換であるとする。
<noinclude>
{{TOC |align=right |noautonum=1 }}
</noinclude>
== 定義 ==
[[整域]] $R$ が'''付値環'''であるとは、[[商体]] $K$ のなかで $K=R\cup R^{-1}$ をみたすことをいう。

=== 同値な定義 ===
{{theorem |type=thm |label=equiv:def |name=付値環の同値な定義 }}
環 $R$ について以下は同値である。
# $R$ は付値環
# $R$ の[[イデアル]]全体は包含関係により全順序集合をなす
# $R$ の[[主イデアル]]全体は包含関係により全順序集合をなす
{{begin |proof |collapsible=1 |display=証明 }}
2. $\Rightarrow$ 3. は明らかである。また 3. が成り立つと仮定する。このとき、任意の $k \in K$ について、$a,b \in R$ によって $k=ab^{-1}$ と表記できる。ここで、$(a) \subset (b)$ ならば $k \in R$ が、$(b) \subset (a)$ ならば $k^{-1} \in R$ が成り立つ。よって 3. $\Rightarrow$ 1. である。

環 $R$ が付値環であるとする。$R$ のイデアル $I$, $J$ について、$I$ が $J$ に含まれないと仮定する。このとき、ある元 $x \in I$ が存在して $x \notin J$ が成り立つ。よって、任意の $j \in J$ について $xj^{-1} \notin R$ が示される。よって $jx^{-1} \in R$ である。したがって $j \in xR=(x) \subset I$ であるため、$J \subset I$ が示される。1. $\Rightarrow$ 2. の成立である。{{end |proof }}

== 基本的な性質 ==
{{theorem |type=prop |label=localness |name=付値環は局所環 }}
付値環 $R$ について、$R$ は局所環である。
{{begin |proof |collapsible=1 |display=証明 }}
$R$ の非単元 $x,y$ について、$x \in (y)$ もしくは $y \in (x)$ が成り立つ。$x \in (y)$ であると仮定して以下の議論は一般性を失わない。$x \in (y)$ であるため、$x+y \in (y)$ が成り立つが、$x+y$ が単元ならば $(y)=R$ が成り立つ。これは $y$ の非単元性に反する。従って $R$ は局所環である。{{end |proof }}
{{theorem |type=prop |label=itgcl |name=付値環は整閉 }}
付値環 $R$ について、$R$ は整閉である。
{{begin |proof |collapsible=1 |display=証明 }}
$x \in K$ について、$x$ が $R$ 上整であるとする。このとき、$c_0 ,\ldots, c_{n-1} \in R$ について $$ x^n+c_{n-1}x^{n-1}+\ldots + c_0 =0$$ が成り立つ。このとき、$x \notin R$ ならば、$x^{-1} \in R$ が成り立つ。よって $$x = - (c_{n-1}+\ldots + c_0x^{-n+1}) \in R$$ が成り立つため、矛盾する。よって $x \in R$ が成り立つ。{{end |proof }}

{{theorem |type=prop |label=fg_is_principle |name=有限生成イデアルは主イデアル }}
付値環 $R$ の有限生成イデアル $I$ について、$I$ は主イデアルである。
{{begin |proof |collapsible=1 |display=証明 }}
$R$ の主イデアル全体は包含関係により全順序集合をなすことに注意する。このとき、$I=(x_1,\ldots,x_n)$ であると仮定すると、主イデアル $(x_1)$, $\ldots$, $(x_n)$ のなかで最も大きいイデアル $(x_i)$ を取ることができる。このとき、$I=(x_i)$ が成り立つ。よって $I$ は主イデアルである。{{end |proof }}

{{theorem |type=cor |label=noether |name=Noether付値環はPID }}
Noether付値環 $R$ について、$R$ は主イデアル整域である。
{{begin |proof |collapsible=1 |display=証明 }}
{{ref |type=prop |label=fg_is_principle }} より。{{end |proof }}

== 付値群 ==
付値環 $R$ について、$R$ の単元群を $R^\times$ とおき、商体 $K$ の乗法群を $K^\times$ とおく。このとき、$K^\times/R^\times$ の元 $[a]$, $[b]$ に対して、$a=rb$ なる $r\in R$ が存在するとき $b\leq a$ が成り立つような $K^\times/R^\times$ 上の順序が存在するが、これは全順序集合となっている。この全順序アーベル群のことを付値環 $R$ の付値群という。

== 付値 ==
整域 $R$ について、$R$ の商体を $K$ とおく。全順序アーベル群 $\Gamma$ について、$\Gamma$ を値に持つ環 $R$ 上の付値 $v$ とは、以下の条件をみたす写像 $v\colon K\to \Gamma\cup\{\infty\}$ のことである。
* $v(x)=\infty\Leftrightarrow x=0$
* $v(x) \in R \Leftrightarrow v(x) \geq 0$
* $v(xy)=v(x)+v(y)$
* $v(x+y) \geq \mathrm{min}\{v(x),v(y)\}$

このとき、$v$ が自明であるとは、$0\neq x\in R$ について $v(x)=0$ が成り立つことをいう。

ここで、付値環 $R$ について、射影 $\pi\colon R\to K^\times/R^\times \cup\{\infty\}$ は付値となっている。

環 $R$ が'''離散付値環'''(discrete valuation ring)であるとは、$\mathbb{Z}$ を値に持つ非自明な付値が存在することをいう。DVRと略記することがある。

== 例 ==
* [[体]] $K$ について、その商体は $K$ と一致するため、$K$ は付値環である。
* 素数 $p$ と有理数 $q \in \mathbb{Q}$ について、$m,n \in \mathbb{Z}$ によって $q=\frac{n}{m}$ と表記したとき、$\mathrm{ord}_p(n)-\mathrm{ord}_p(m)$ の値は $m,n$ の取り方に依らない。よってこの値を $\mathrm{ord}_p(q)$ とおく。このとき、$\mathbb{Z}_{(p)}=\{q \in \mathbb{Q}|\mathrm{ord}_p(q)\geq 0\} \subset \mathbb{Q}$ は $\mathbb{Q}$ を商体に持つ付値環となる。$\mathbb{Z}_{(p)}$ について、その付値群は $\mathbb{Z}$ と同型であるため、$\mathbb{Z}_{(p)}$ はDVRである。

=== 任意の全順序アーベル群に対しての付値環の構成 ===
全順序アーベル群 $\Gamma$ について、付値群に $\Gamma$ を持つような付値環を構成する。

$k$ を体とする。このとき、$\Gamma_{\geq 0}$ を指数とする $k$-係数多項式環 $k[X^e|e\in \Gamma_{\geq 0}]$ の商体を $K$ とおく。このとき、$f\in k[X^e|e\in \Gamma_{\geq 0}]$ が相異なる単項式 $c_iX^{e_i}$ の和で表されるとき、$v(f)=\mathrm{min}\{e_i\}$ とおく。ただし $0\in R$ については $v(0)=\infty$ とおく。

$r\in K$ の元は $f,g\in k[X^e|e\in \Gamma_{\geq 0}]$ によって $\frac{f}{g}$ と表されるが、このとき $v(f)-v(g)$ の値は $f,g$ の取り方に依らない。この値を $v(r)$ と表記する。

このとき、写像 $v\colon K\to \Gamma \cup \{\infty\}$ が構成される。このとき $v^{-1}(\Gamma_{\geq 0}\cup \{\infty\})\subset K$ は $K$ の部分環となっている。この環を $R_\Gamma$ とおくと、$R_\Gamma$ は付値環となり、その付値群は $\Gamma$ と同型である。

== Noether付値環 ==
環がNoether付値環であるためのさまざまな同値条件が知られている。
{{theorem |type=thm |label=equiv:def:norther |name=離散付値環 }}
環 $R$ について以下は同値である。
# $R$ はNoether付値環である。
# $R$ は付値環であり、付値群として $0$ または $\mathbb{Z}$ を持つ。
# $R$ はKrull次元 $1$ 以下のNoether局所整閉整域である。
# $R$ はKrull次元 $1$ 以下の正則局所環である。

== 非可換環における一般化 ==

== information ==
=== 参考文献 ===
* [AM]
* [Mat]

多元環の表現論(箙の表現論)

2022-11-30T02:26:35Z

サクラ: 証明に現れる文章をよりこなれたものに訂正しました。

{{begin |preamble}}
__MATHJAX2__
[[Category:環論]]

{{newtheorem |type=thm |display=定理 |counter=0 }}
{{newtheorem |type=def |display=定義 |family=thm }}
{{newtheorem |type=prop |display=命題 |family=thm }}
{{newtheorem |type=ex |display=例示 |family=thm }}
{{newtheorem |type=cex |display=反例 |family=thm }}
{{newtheorem |type=cor |display=系 |family=thm }}
{{newtheorem |type=rem |display=注意 |family=thm }}
{{newtheorem |type=abst |display=概要 |family=thm }}
{{newtheorem |type=conv |display=慣例 |family=thm }}
{{newtheorem |type=note |display=記法 |family=thm }}
{{newtheorem |type=lem |display=補題 |family=thm }}
{{newtheorem |type=axiom |display=公理 |family=thm }}
{{newtheorem |type=fact |display=事実 |family=thm }}
{{newtheorem |type=obs |display=観察 |family=thm }}
{{newtheorem |type=conj |display=予想 |family=thm }}

$\newcommand{\relmiddle}[1]{ \mathrel{}\middle#1\mathrel{} }$
$\newcommand{\set}[2]{ \left\{#1\relmiddle|#2\mbox{}\right\} }$
$\newcommand{\map}[3]{ {#1}\colon{#2}\rightarrow{#3} }$
$\newcommand{\ordpair}[1]{ \left\langle #1 \right\rangle }$
$\newcommand{\inv}[1]{ {#1}^{-1} }$
$\newcommand{\pow}[2]{ {#1}^{#2} }$
$\newcommand{\abs}[1]{ \left| #1 \right| }$
$\newcommand{\Homset}[2]{ \mathsf{Hom}(#1,#2) }$

$\newcommand{\cgrp}{ A }$

$\newcommand{\Hom}[3]{ \mathsf{Hom}_{#1}(#2,#3) }$
$\newcommand{\End}[2]{ \mathsf{End}_{#1}(#2) }$
$\newcommand{\Setcat}{\mathsf{Set}}$
$\newcommand{\Catcat}{\mathsf{Cat}}$
$\newcommand{\Quivcat}{\mathsf{Quiv}}$
$\newcommand{\Ringcat}{\mathsf{Ring}}$
$\newcommand{\Abelcat}{\mathsf{Abel}}$
$\newcommand{\Modcat}[1]{\mathsf{Mod}(#1)}$
$\newcommand{\modcat}[1]{\mathsf{mod}(#1)}$
$\newcommand{\Projcat}[1]{\mathsf{Proj}(#1)}$
$\newcommand{\projcat}[1]{\mathsf{proj}(#1)}$
$\newcommand{\Injcat}[1]{\mathsf{Inj}(#1)}$
$\newcommand{\injcat}[1]{\mathsf{inj}(#1)}$
$\newcommand{\Repcat}[2]{\mathop{\mathsf{rep}}\nolimits_{#1}(#2)}$
$\newcommand{\repcat}[2]{\mathop{\mathsf{rep}}\nolimits_{#1}(#2)}$

$\newcommand{\ring}{ R }$
$\newcommand{\ringformal}{ \langle R,+,0,\times,1\rangle }$
$\newcommand{\addgrp}{ \langle R,+,0\rangle }$
$\newcommand{\mulmon}{ \langle R,\times,1\rangle }$
$\newcommand{\zeroring}{ O }$
$\newcommand{\Unit}[1]{ \mathsf{U}(#1) }$
$\newcommand{\congasring}{ \mathrel{\cong_{\Ringcat}} }$

$\newcommand{\polyring}[1]{ {#1}[X] }$
$\newcommand{\multipolyring}[2]{ {#1}[X_1,\dots,X_{#2}] }$

$\newcommand{\module}{ M }$
$\newcommand{\lact}{ \mathsf{act} }$
$\newcommand{\lactmor}[2]{ \mathsf{act}_{#1\curvearrowright #2} }$
$\newcommand{rlact}{ \mathsf{act} }$
$\newcommand{\ractmor}[2]{ \mathsf{act}_{#2\curvearrowleft #1} }$
$\newcommand{\str}{ \mathsf{str} }$

$\newcommand{\graph}[1]{ \overline{#1} }$
$\newcommand{\path}[1]{ \mathop{\mathsf{path}}#1 }$
$\newcommand{\pathcat}[1]{ \mathop{\mathsf{path}}(#1) }$
$\newcommand{\pathalg}[2]{ {#1}[#2] }$
{{end |preamble}}

<noinclude>
{{TOC |align=right |noautonum=1 }}
</noinclude>

(この記事は充分に執筆されていません)
(この記事は査読がなされていません)

* 多元環の表現論のお試し記事．サクラ 2022年11月28日 (水) 04:40 (JST)

== モチベーションと本稿の構成 ==

=== 本稿で扱うこと ===
本稿では、多元環の表現論を扱う。
簡単のために代数的閉体 $K$ 上の有限次元多元環を扱うが、
議論の殆どはArtin多元環(これは可換Artin環上の長さ有限な多元環をいう)に対してもある程度うまく回る。
ここでは最大限の一般性を求めず、
具体例の計算に重きを置いて理論展開を行なう。

== 多元環の加群圏と箙の表現圏 ==

この章では $K$ は代数的閉体を表し、
$A$ は $K$ 上有限次元多元環とする。
先ず $A$ の構造を反映する箙 $Q_A$ を構成し、
箙から定まる道多元環 $K[Q_A]$ の許容的イデアル $I$ の剰余によって $A$ を表示する。
更に $\langle Q_A, I\rangle$ の束縛表現を導入し、$A$ 上の有限生成加群の為す圏 $\modcat{A}$ と $\langle Q_A, I\rangle$ の束縛表現の為す圏 $\repcat{K}{Q_A, I}$ との間の $\Abelcat$-圏同値を与える。
これらによって $A$ の表現を考える上では箙の表現を考えれば十分であることが分かる。

=== 箙に関する基本的な概念 ===

本節ではサイクルと多重辺を認めた有向グラフとして箙を定義し、基本的な用語法を定義し、道圏を導入する。
網羅的な用語の導入は避け、必要な範囲で逐一導入することにする。
一覧したい場合は、箙のページを参照されたい。

{{theorem |type=def |label=def:QuiverDef_Quiver |name=箙の定義 }}
本節ではサイクルと多重辺を認めた有向グラフを箙 (quiver) といい、
有向グラフの射を箙の射という。
厳密な定義は[[環上の加群のホモロジー代数]]を参照されたい。
ただし、本稿では簡単のために箙 $Q$ を四つ組で表す場合には $Q=\langle Q_0, Q_1, s_Q, t_Q \rangle$ と書き、
箙の射 $f$ を組で表す場合には $f=\langle f_0, f_1 \rangle$ と書く。
箙と箙の射の為す圏(または単に箙の為す圏)を $\Quivcat$ と書くものとする。

更に、箙に関する次の概念はよく用いるため、まとめて定義しておく。

{{theorem |type=def |label=def:QuiverDef_Notation |name=箙に関する諸定義 }}
$Q$ を箙とする。$Q$ の向きを忘れたものを基礎グラフといい、$\graph{Q}$ と書く。
# $Q$ が有限であるとは、$Q_0$ および $Q_1$ がともに有限集合であることをいう。
# $Q$ が連結であるとは、$\graph{Q}$ が連結であることをいう。
# $Q$ の二つの矢 $\alpha$ および $\beta$ が合成可能であるとは、$\alpha$ の終点と $\beta$ の始点が一致することをいう。即ち、$t_Q(\alpha)=s_Q(\beta)$ が成立することをいう。

{{theorem |type=def |label=def:QuiverDef_Path |name=道 }}
$Q$ を箙とする。$n$ を正の整数とするとき、$Q$ の矢の列 $(\alpha_1, \alpha_2, \ldots, \alpha_n)$ が長さ $n$ の道であるとは、
隣り合う二つの矢 $\alpha_i$ および $\alpha_{i+1}$ が合成可能であることをいう。
また、$Q$ の頂点 $a$ を長さ $0$ の道ともいい、$\epsilon_a$ と書く。
これらを合わせて単に $Q$ の道という。

また長さが正の道 $p=(\alpha_1, \alpha_2, \ldots, \alpha_n)$ について、$\alpha_1$ の始点を道 $p$ の始点といい、$\alpha_n$ の終点を道 $p$ の終点という。
長さが $0$ の道 $p=\epsilon_a$ については、$a$ を $p$ の始点とも、終点ともいう。
$Q$ の道の始点、終点もそれぞれ $s_Q(p)$ ないしは $t_Q(p)$ と書く。
$Q$ の長さ $n$ の道全体の為す集合を $\path{_n(Q)}$ と書き、$Q$ の道全体の為す集合を $\path{(Q)}$ と書く。

{{theorem |type=rem |label=def:QuiverDef_Path |name=道の定義に関する注意 }}
箙 $Q$ について、長さ $1$ の道 $\path{_1(Q)}$ と $Q$ の矢 $Q_1$ とは一対一に対応する。

{{theorem |type=def |label=def:QuiverRem_Pathcat |name=道圏 }}
$Q$ を箙とする。$\path{(Q)}$ の長さ $n$ の $p=(\alpha_1, \alpha_2, \ldots, \alpha_n)$ と長さ $m$ の道 $q=(\beta_1, \beta_2, \ldots, \beta_m)$ について、$p$ の終点と $q$ の始点とが一致するとき $p$ と $q$ は合成可能であるという。
道 $p$ と $q$ とが合成可能であるとき、またそのときに限り $(\alpha_1,\alpha_2,\ldots,\alpha_m,\beta_1,\beta_2,\ldots,\beta_m)$ は長さ $n+m$ の道である。
これを $p$ と $q$ の合成といい、$p \circ q$ と書く。
このとき、$Q$ の頂点 $Q_0$ を対象とし、$\path{(Q)}$ を射とし、$s_Q$、$t_Q$、$\circ$ を構造とする圏が定まる。
これを $Q$ の道圏といい、$\pathcat{Q}$ と書く。

{{theorem |type=rem |label=def:QuiverDef_Pathcat |name=道圏に関する注意 }}
箙 $Q$ に対して道圏 $\pathcat{Q}$ を取る操作は函手的である。
即ち、箙の射 $\map{f}{Q}{Q'}$ が与えられると、道圏の間の函手 $\map{\pathcat{f}}{\pathcat{Q}}{\pathcat{Q'}}$ が定まる。
この函手 $\path{}$ は圏の為す圏 $\Catcat$ から箙の為す圏 $\Quivcat$ への忘却函手の左随伴函手である。
この意味で道圏 $\pathcat{Q}$ は箙 $Q$ から自由に生成された圏と呼ぶことがある。

=== 道多元環とその基本性質 ===

{{theorem |type=def |label=def:QuiverDef_PathAlg |name=道多元環 }}
$Q$ を箙とし、$K$ を体とする。
このとき $Q$ の道全体 $\path{(Q)}$ を基底とする $K$-線形空間を $\pathalg{K}{Q}$ と書くとき、
道の合成により $\pathalg{K}{Q}$ の基底の間に積が定義できる。
ただし合成可能でない道の組に対応する基底どうしの積は $\pathalg{K}{Q}$ の零元 $0$ に対応させるものとする。
$\path{Q}$ が圏を為していたこと、特に道の合成の結合性よりいま定義した積の結合性が分かる。
これを $Q$ の道 $K$-多元環という。
一般には単位的でないことに注意せよ。

{{theorem |type=def |label=def:QuiverDef_PathAlg_Grading |name=道多元環の次数構造 }}
$Q$ を箙とし、$K$ を体とする。
道多元環 $\pathalg{K}{Q}$ を $K$-線形空間と見たとき、
長さ $n$ の道 $\path{_n(Q)}$ の生成する部分空間を $\pathalg{K}{Q}_n$ と書く。
族 $(\pathalg{K}{Q}_n)_{n\in\mathbb{Z}_{\leq 0}}$ を $\pathalg{K}{Q}$ の標準的な次数構造という。

実際、$\pathalg{K}{Q}_n$ の元 $p$ と $\pathalg{K}{Q}_m$ の元 $q$ との積を考えると、
$p$ が長さ $n$ の道の $K$-線形和であり、$q$ が長さ $m$ の道の $K$-線形和であるから、
$pq$ は零元でなければ長さ $n+m$ の道の $K$-線形和である。
よって特に $\pathalg{K}{Q}_{n+m}$ の元であり、標準的な次数構造が次数付けを与えることが分かる。

{{theorem |type=prop |label=def:QuiverProp_PathAlg |name=道多元環の基本性質 }}
$Q$ を箙とし、$K$ を体とする。このとき次が成立する。
# $\pathalg{K}{Q}$ は冪等元を十分豊富に持つ。
# $\pathalg{K}{Q}$ が単位的であることと、$Q_0$ が有限集合であることとは同値である。
# $\pathalg{K}{Q}$ が $K$-線形空間として有限次元であることと、$Q$ が有限箙であり、かつサイクルを持たないことと同値である。
: 証明
1 を示すために冪等元の集合 $X\colon=\set{e_a}{a\in Q_0}$ について考える。
$X$ の任意の相異なる2元は必ず合成不能であるため積は零元となり、よって $X$ が直交系であることが分かる。
更に任意の射 $p$ について、$a=s_Q(p)$とおけば $e_bp=\delta_{ab}$ が成り立ち、
$e_b\pathalg{K}{Q}=\langle\set{p}{\text{$p$ は $s_Q(p)=b$ を満たす}}\rangle$ が成立する。
よって右 $\pathalg{K}{Q}$-加群としての直和分解 $\pathalg{K}{Q} = \bigoplus _{ e_b \in X }e_b\pathalg{K}{Q}$ が取れる。
同様にして左 $\pathalg{K}{Q}$-加群としての直和分解 $\pathalg{K}{Q} = \bigoplus _{ e_b \in X }\pathalg{K}{Q}e_b$ も取れるので、
道 $K$-多元環が冪等元を十分豊富に持つことが分かった。

2 は 1 の系である。実際、任意の冪等元を十分豊富に持つ擬環は、
その冪等元の代表系として有限集合が取れるならば、それらの和が積に関する単位元であることが示される。
3 を示す。
$\pathalg{K}{Q}$ の $K$-線形空間としての基底として道全体 $\path{(Q)}$ が取れるため、
$K$-線形空間として有限次元であることはこれが有限集合であることと同値であることに注意する。
もし道全体が有限集合ならば、頂点が長さ $0$ の道と一対一に対応し、矢が長さ $1$ の道と一対一に対応することから、
$Q$ が有限箙であることが分かる。
また長さ $n$ のサイクル $p$ が存在すれば $p^m$ もまた長さ $nm$ の道であるため道は非有限であることが分かり、
この対偶より道全体が有限ならばサイクルが存在しないことが分かる。
逆に有限箙 $Q$ であってサイクルが存在しない場合、矢の濃度を $n$ とすれば道の最大長は $n$ で押さえられ、
かつ各矢に後続する矢の最大数は $n-1$ で押さえられる。
よって道全体は高々 $n(n-1)$ で押さえられるため、道 $K$-多元環は $K$-線形空間として有限次元であることが分かる。

多元環の表現論(箙の表現論)

2022-11-30T02:24:42Z

サクラ: 道多元環の基本性質性質を加筆しました。

{{begin |preamble}}
__MATHJAX2__
[[Category:環論]]

{{newtheorem |type=thm |display=定理 |counter=0 }}
{{newtheorem |type=def |display=定義 |family=thm }}
{{newtheorem |type=prop |display=命題 |family=thm }}
{{newtheorem |type=ex |display=例示 |family=thm }}
{{newtheorem |type=cex |display=反例 |family=thm }}
{{newtheorem |type=cor |display=系 |family=thm }}
{{newtheorem |type=rem |display=注意 |family=thm }}
{{newtheorem |type=abst |display=概要 |family=thm }}
{{newtheorem |type=conv |display=慣例 |family=thm }}
{{newtheorem |type=note |display=記法 |family=thm }}
{{newtheorem |type=lem |display=補題 |family=thm }}
{{newtheorem |type=axiom |display=公理 |family=thm }}
{{newtheorem |type=fact |display=事実 |family=thm }}
{{newtheorem |type=obs |display=観察 |family=thm }}
{{newtheorem |type=conj |display=予想 |family=thm }}

$\newcommand{\relmiddle}[1]{ \mathrel{}\middle#1\mathrel{} }$
$\newcommand{\set}[2]{ \left\{#1\relmiddle|#2\mbox{}\right\} }$
$\newcommand{\map}[3]{ {#1}\colon{#2}\rightarrow{#3} }$
$\newcommand{\ordpair}[1]{ \left\langle #1 \right\rangle }$
$\newcommand{\inv}[1]{ {#1}^{-1} }$
$\newcommand{\pow}[2]{ {#1}^{#2} }$
$\newcommand{\abs}[1]{ \left| #1 \right| }$
$\newcommand{\Homset}[2]{ \mathsf{Hom}(#1,#2) }$

$\newcommand{\cgrp}{ A }$

$\newcommand{\Hom}[3]{ \mathsf{Hom}_{#1}(#2,#3) }$
$\newcommand{\End}[2]{ \mathsf{End}_{#1}(#2) }$
$\newcommand{\Setcat}{\mathsf{Set}}$
$\newcommand{\Catcat}{\mathsf{Cat}}$
$\newcommand{\Quivcat}{\mathsf{Quiv}}$
$\newcommand{\Ringcat}{\mathsf{Ring}}$
$\newcommand{\Abelcat}{\mathsf{Abel}}$
$\newcommand{\Modcat}[1]{\mathsf{Mod}(#1)}$
$\newcommand{\modcat}[1]{\mathsf{mod}(#1)}$
$\newcommand{\Projcat}[1]{\mathsf{Proj}(#1)}$
$\newcommand{\projcat}[1]{\mathsf{proj}(#1)}$
$\newcommand{\Injcat}[1]{\mathsf{Inj}(#1)}$
$\newcommand{\injcat}[1]{\mathsf{inj}(#1)}$
$\newcommand{\Repcat}[2]{\mathop{\mathsf{rep}}\nolimits_{#1}(#2)}$
$\newcommand{\repcat}[2]{\mathop{\mathsf{rep}}\nolimits_{#1}(#2)}$

$\newcommand{\ring}{ R }$
$\newcommand{\ringformal}{ \langle R,+,0,\times,1\rangle }$
$\newcommand{\addgrp}{ \langle R,+,0\rangle }$
$\newcommand{\mulmon}{ \langle R,\times,1\rangle }$
$\newcommand{\zeroring}{ O }$
$\newcommand{\Unit}[1]{ \mathsf{U}(#1) }$
$\newcommand{\congasring}{ \mathrel{\cong_{\Ringcat}} }$

$\newcommand{\polyring}[1]{ {#1}[X] }$
$\newcommand{\multipolyring}[2]{ {#1}[X_1,\dots,X_{#2}] }$

$\newcommand{\module}{ M }$
$\newcommand{\lact}{ \mathsf{act} }$
$\newcommand{\lactmor}[2]{ \mathsf{act}_{#1\curvearrowright #2} }$
$\newcommand{rlact}{ \mathsf{act} }$
$\newcommand{\ractmor}[2]{ \mathsf{act}_{#2\curvearrowleft #1} }$
$\newcommand{\str}{ \mathsf{str} }$

$\newcommand{\graph}[1]{ \overline{#1} }$
$\newcommand{\path}[1]{ \mathop{\mathsf{path}}#1 }$
$\newcommand{\pathcat}[1]{ \mathop{\mathsf{path}}(#1) }$
$\newcommand{\pathalg}[2]{ {#1}[#2] }$
{{end |preamble}}

<noinclude>
{{TOC |align=right |noautonum=1 }}
</noinclude>

(この記事は充分に執筆されていません)
(この記事は査読がなされていません)

* 多元環の表現論のお試し記事．サクラ 2022年11月28日 (水) 04:40 (JST)

== モチベーションと本稿の構成 ==

=== 本稿で扱うこと ===
本稿では、多元環の表現論を扱う。
簡単のために代数的閉体 $K$ 上の有限次元多元環を扱うが、
議論の殆どはArtin多元環(これは可換Artin環上の長さ有限な多元環をいう)に対してもある程度うまく回る。
ここでは最大限の一般性を求めず、
具体例の計算に重きを置いて理論展開を行なう。

== 多元環の加群圏と箙の表現圏 ==

この章では $K$ は代数的閉体を表し、
$A$ は $K$ 上有限次元多元環とする。
先ず $A$ の構造を反映する箙 $Q_A$ を構成し、
箙から定まる道多元環 $K[Q_A]$ の許容的イデアル $I$ の剰余によって $A$ を表示する。
更に $\langle Q_A, I\rangle$ の束縛表現を導入し、$A$ 上の有限生成加群の為す圏 $\modcat{A}$ と $\langle Q_A, I\rangle$ の束縛表現の為す圏 $\repcat{K}{Q_A, I}$ との間の $\Abelcat$-圏同値を与える。
これらによって $A$ の表現を考える上では箙の表現を考えれば十分であることが分かる。

=== 箙に関する基本的な概念 ===

本節ではサイクルと多重辺を認めた有向グラフとして箙を定義し、基本的な用語法を定義し、道圏を導入する。
網羅的な用語の導入は避け、必要な範囲で逐一導入することにする。
一覧したい場合は、箙のページを参照されたい。

{{theorem |type=def |label=def:QuiverDef_Quiver |name=箙の定義 }}
本節ではサイクルと多重辺を認めた有向グラフを箙 (quiver) といい、
有向グラフの射を箙の射という。
厳密な定義は[[環上の加群のホモロジー代数]]を参照されたい。
ただし、本稿では簡単のために箙 $Q$ を四つ組で表す場合には $Q=\langle Q_0, Q_1, s_Q, t_Q \rangle$ と書き、
箙の射 $f$ を組で表す場合には $f=\langle f_0, f_1 \rangle$ と書く。
箙と箙の射の為す圏(または単に箙の為す圏)を $\Quivcat$ と書くものとする。

更に、箙に関する次の概念はよく用いるため、まとめて定義しておく。

{{theorem |type=def |label=def:QuiverDef_Notation |name=箙に関する諸定義 }}
$Q$ を箙とする。$Q$ の向きを忘れたものを基礎グラフといい、$\graph{Q}$ と書く。
# $Q$ が有限であるとは、$Q_0$ および $Q_1$ がともに有限集合であることをいう。
# $Q$ が連結であるとは、$\graph{Q}$ が連結であることをいう。
# $Q$ の二つの矢 $\alpha$ および $\beta$ が合成可能であるとは、$\alpha$ の終点と $\beta$ の始点が一致することをいう。即ち、$t_Q(\alpha)=s_Q(\beta)$ が成立することをいう。

{{theorem |type=def |label=def:QuiverDef_Path |name=道 }}
$Q$ を箙とする。$n$ を正の整数とするとき、$Q$ の矢の列 $(\alpha_1, \alpha_2, \ldots, \alpha_n)$ が長さ $n$ の道であるとは、
隣り合う二つの矢 $\alpha_i$ および $\alpha_{i+1}$ が合成可能であることをいう。
また、$Q$ の頂点 $a$ を長さ $0$ の道ともいい、$\epsilon_a$ と書く。
これらを合わせて単に $Q$ の道という。

また長さが正の道 $p=(\alpha_1, \alpha_2, \ldots, \alpha_n)$ について、$\alpha_1$ の始点を道 $p$ の始点といい、$\alpha_n$ の終点を道 $p$ の終点という。
長さが $0$ の道 $p=\epsilon_a$ については、$a$ を $p$ の始点とも、終点ともいう。
$Q$ の道の始点、終点もそれぞれ $s_Q(p)$ ないしは $t_Q(p)$ と書く。
$Q$ の長さ $n$ の道全体の為す集合を $\path{_n(Q)}$ と書き、$Q$ の道全体の為す集合を $\path{(Q)}$ と書く。

{{theorem |type=rem |label=def:QuiverDef_Path |name=道の定義に関する注意 }}
箙 $Q$ について、長さ $1$ の道 $\path{_1(Q)}$ と $Q$ の矢 $Q_1$ とは一対一に対応する。

{{theorem |type=def |label=def:QuiverRem_Pathcat |name=道圏 }}
$Q$ を箙とする。$\path{(Q)}$ の長さ $n$ の $p=(\alpha_1, \alpha_2, \ldots, \alpha_n)$ と長さ $m$ の道 $q=(\beta_1, \beta_2, \ldots, \beta_m)$ について、$p$ の終点と $q$ の始点とが一致するとき $p$ と $q$ は合成可能であるという。
道 $p$ と $q$ とが合成可能であるとき、またそのときに限り $(\alpha_1,\alpha_2,\ldots,\alpha_m,\beta_1,\beta_2,\ldots,\beta_m)$ は長さ $n+m$ の道である。
これを $p$ と $q$ の合成といい、$p \circ q$ と書く。
このとき、$Q$ の頂点 $Q_0$ を対象とし、$\path{(Q)}$ を射とし、$s_Q$、$t_Q$、$\circ$ を構造とする圏が定まる。
これを $Q$ の道圏といい、$\pathcat{Q}$ と書く。

{{theorem |type=rem |label=def:QuiverDef_Pathcat |name=道圏に関する注意 }}
箙 $Q$ に対して道圏 $\pathcat{Q}$ を取る操作は函手的である。
即ち、箙の射 $\map{f}{Q}{Q'}$ が与えられると、道圏の間の函手 $\map{\pathcat{f}}{\pathcat{Q}}{\pathcat{Q'}}$ が定まる。
この函手 $\path{}$ は圏の為す圏 $\Catcat$ から箙の為す圏 $\Quivcat$ への忘却函手の左随伴函手である。
この意味で道圏 $\pathcat{Q}$ は箙 $Q$ から自由に生成された圏と呼ぶことがある。

=== 道多元環とその基本性質 ===

{{theorem |type=def |label=def:QuiverDef_PathAlg |name=道多元環 }}
$Q$ を箙とし、$K$ を体とする。
このとき $Q$ の道全体 $\path{(Q)}$ を基底とする $K$-線形空間を $\pathalg{K}{Q}$ と書くとき、
道の合成により $\pathalg{K}{Q}$ の基底の間に積が定義できる。
ただし合成可能でない道の組に対応する基底どうしの積は $\pathalg{K}{Q}$ の零元 $0$ に対応させるものとする。
$\path{Q}$ が圏を為していたこと、特に道の合成の結合性よりいま定義した積の結合性が分かる。
これを $Q$ の道 $K$-多元環という。
一般には単位的でないことに注意せよ。

{{theorem |type=def |label=def:QuiverDef_PathAlg_Grading |name=道多元環の次数構造 }}
$Q$ を箙とし、$K$ を体とする。
道多元環 $\pathalg{K}{Q}$ を $K$-線形空間と見たとき、
長さ $n$ の道 $\path{_n(Q)}$ の生成する部分空間を $\pathalg{K}{Q}_n$ と書く。
族 $(\pathalg{K}{Q}_n)_{n\in\mathbb{Z}_{\leq 0}}$ を $\pathalg{K}{Q}$ の標準的な次数構造という。

実際、$\pathalg{K}{Q}_n$ の元 $p$ と $\pathalg{K}{Q}_m$ の元 $q$ との積を考えると、
$p$ が長さ $n$ の道の $K$-線形和であり、$q$ が長さ $m$ の道の $K$-線形和であるから、
$pq$ は零元でなければ長さ $n+m$ の道の $K$-線形和である。
よって特に $\pathalg{K}{Q}_{n+m}$ の元であり、標準的な次数構造が次数付けを与えることが分かる。

{{theorem |type=prop |label=def:QuiverProp_PathAlg |name=道多元環の基本性質 }}
$Q$ を箙とし、$K$ を体とする。このとき次が成立する。
# $\pathalg{K}{Q}$ は冪等元を十分豊富に持つ。
# $\pathalg{K}{Q}$ が単位的であることと、$Q_0$ が有限集合であることとは同値である。
# $\pathalg{K}{Q}$ が $K$-線形空間として有限次元であることと、$Q$ が有限箙であり、かつサイクルを持たないことと同値である。
: 証明
1 を示すために冪等元の集合 $X\colon=\set{e_a}{a\in Q_0}$ について考える。
$X$ の任意の相異なる2元は必ず合成不能であるため積は零元となり、よって $X$ が直交系であることが分かる。
更に任意の射 $p$ について、$a=s_Q(p)$とおけば $e_bp=\delta_{ab}$ が成り立ち、
$e_b\pathalg{K}{Q}=\langle\set{p}{\text{$p$ は $s_Q(p)=b$ を満たす}}\rangle$ が成立する。
よって右 $\pathalg{K}{Q}$-加群としての直和分解 $\pathalg{K}{Q} = \bigoplus _{ e_b \in X }e_b\pathalg{K}{Q}$ が取れる。
同様にして左 $\pathalg{K}{Q}$-加群としての直和分解 $\pathalg{K}{Q} = \bigoplus _{ e_b \in X }\pathalg{K}{Q}e_b$ も取れるので、
道 $K$-多元環が冪等元を十分豊富に持つことが分かった。

2 は 1 の系である。実際、任意の冪等元を十分豊富に持つ擬環は、
その冪等元の代表系として有限集合が取れるならば、それらの和が積に関する単位元であることが示される。
3 は $\pathalg{K}{Q}$ の $K$-線形空間としての基底として道全体 $\path{(Q)}$ が取れるため、
$K$-線形空間として有限次元であることはこれが有限集合であることと同値である。
もし道全体が有限集合ならば、頂点が長さ $0$ の道と一対一に対応し、矢が長さ $1$ の道と一対一に対応することから、
$Q$ が有限箙であることが分かる。
また長さ $n$ のサイクル $p$ が存在すれば $p^m$ もまた長さ $nm$ の道であるため道は非有限であることが分かり、
この対偶より道全体が有限ならばサイクルが存在しないことが分かる。
逆に有限箙 $Q$ であってサイクルが存在しない場合、矢の濃度を $n$ とすれば道の最大長は $n$ で押さえられ、
かつ各矢に後続する矢の最大数は $n-1$ で押さえられる。
よって道全体は高々 $n(n-1)$ で押さえられるため、道 $K$-多元環は $K$-線形空間として有限次元であることが分かる。

多元環の表現論(箙の表現論)

2022-11-29T18:42:34Z

サクラ: 道多元環の次数構造を加筆しました。

多元環の表現論(箙の表現論)

2022-11-29T18:31:33Z

サクラ: Artin多元環の定義を明瞭にしました。

{{begin |preamble}}
__MATHJAX2__
[[Category:環論]]

{{newtheorem |type=thm |display=定理 |counter=0 }}
{{newtheorem |type=def |display=定義 |family=thm }}
{{newtheorem |type=prop |display=命題 |family=thm }}
{{newtheorem |type=ex |display=例示 |family=thm }}
{{newtheorem |type=cex |display=反例 |family=thm }}
{{newtheorem |type=cor |display=系 |family=thm }}
{{newtheorem |type=rem |display=注意 |family=thm }}
{{newtheorem |type=abst |display=概要 |family=thm }}
{{newtheorem |type=conv |display=慣例 |family=thm }}
{{newtheorem |type=note |display=記法 |family=thm }}
{{newtheorem |type=lem |display=補題 |family=thm }}
{{newtheorem |type=axiom |display=公理 |family=thm }}
{{newtheorem |type=fact |display=事実 |family=thm }}
{{newtheorem |type=obs |display=観察 |family=thm }}
{{newtheorem |type=conj |display=予想 |family=thm }}

$\newcommand{\relmiddle}[1]{ \mathrel{}\middle#1\mathrel{} }$
$\newcommand{\set}[2]{ \left\{#1\relmiddle|#2\mbox{}\right\} }$
$\newcommand{\map}[3]{ {#1}\colon{#2}\rightarrow{#3} }$
$\newcommand{\ordpair}[1]{ \left\langle #1 \right\rangle }$
$\newcommand{\inv}[1]{ {#1}^{-1} }$
$\newcommand{\pow}[2]{ {#1}^{#2} }$
$\newcommand{\abs}[1]{ \left| #1 \right| }$
$\newcommand{\Homset}[2]{ \mathsf{Hom}(#1,#2) }$

$\newcommand{\cgrp}{ A }$

$\newcommand{\Hom}[3]{ \mathsf{Hom}_{#1}(#2,#3) }$
$\newcommand{\End}[2]{ \mathsf{End}_{#1}(#2) }$
$\newcommand{\Setcat}{\mathsf{Set}}$
$\newcommand{\Catcat}{\mathsf{Cat}}$
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$\newcommand{\Ringcat}{\mathsf{Ring}}$
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$\newcommand{\Modcat}[1]{\mathsf{Mod}(#1)}$
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$\newcommand{\repcat}[2]{\mathop{\mathsf{rep}}\nolimits_{#1}(#2)}$

$\newcommand{\ring}{ R }$
$\newcommand{\ringformal}{ \langle R,+,0,\times,1\rangle }$
$\newcommand{\addgrp}{ \langle R,+,0\rangle }$
$\newcommand{\mulmon}{ \langle R,\times,1\rangle }$
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$\newcommand{\polyring}[1]{ {#1}[X] }$
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$\newcommand{\module}{ M }$
$\newcommand{\lact}{ \mathsf{act} }$
$\newcommand{\lactmor}[2]{ \mathsf{act}_{#1\curvearrowright #2} }$
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$\newcommand{\pathalg}[2]{ {#1}[#2] }$
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<noinclude>
{{TOC |align=right |noautonum=1 }}
</noinclude>

(この記事は充分に執筆されていません)
(この記事は査読がなされていません)

* 多元環の表現論のお試し記事．サクラ 2022年11月28日 (水) 04:40 (JST)

== モチベーションと本稿の構成 ==

=== 本稿で扱うこと ===
本稿では、多元環の表現論を扱う。
簡単のために代数的閉体 $K$ 上の有限次元多元環を扱うが、
議論の殆どはArtin多元環(これは可換Artin環上の長さ有限な多元環をいう)に対してもある程度うまく回る。
ここでは最大限の一般性を求めず、
具体例の計算に重きを置いて理論展開を行なう。

== 多元環の加群圏と箙の表現圏 ==

この章では $K$ は代数的閉体を表し、
$A$ は $K$ 上有限次元多元環とする。
先ず $A$ の構造を反映する箙 $Q_A$ を構成し、
箙から定まる道多元環 $K[Q_A]$ の許容的イデアル $I$ の剰余によって $A$ を表示する。
更に $\langle Q_A, I\rangle$ の束縛表現を導入し、$A$ 上の有限生成加群の為す圏 $\modcat{A}$ と $\langle Q_A, I\rangle$ の束縛表現の為す圏 $\repcat{K}{Q_A, I}$ との間の $\Abelcat$-圏同値を与える。
これらによって $A$ の表現を考える上では箙の表現を考えれば十分であることが分かる。

=== 箙に関する基本的な概念 ===

本節ではサイクルと多重辺を認めた有向グラフとして箙を定義し、基本的な用語法を定義し、道圏を導入する。
網羅的な用語の導入は避け、必要な範囲で逐一導入することにする。
一覧したい場合は、箙のページを参照されたい。

{{theorem |type=def |label=def:QuiverDef_Quiver |name=箙の定義 }}
本節ではサイクルと多重辺を認めた有向グラフを箙 (quiver) といい、
有向グラフの射を箙の射という。
厳密な定義は[[環上の加群のホモロジー代数]]を参照されたい。
ただし、本稿では簡単のために箙 $Q$ を四つ組で表す場合には $Q=\langle Q_0, Q_1, s_Q, t_Q \rangle$ と書き、
箙の射 $f$ を組で表す場合には $f=\langle f_0, f_1 \rangle$ と書く。
箙と箙の射の為す圏(または単に箙の為す圏)を $\Quivcat$ と書くものとする。

更に、箙に関する次の概念はよく用いるため、まとめて定義しておく。

{{theorem |type=def |label=def:QuiverDef_Notation |name=箙に関する諸定義 }}
$Q$ を箙とする。$Q$ の向きを忘れたものを基礎グラフといい、$\graph{Q}$ と書く。
# $Q$ が有限であるとは、$Q_0$ および $Q_1$ がともに有限集合であることをいう。
# $Q$ が連結であるとは、$\graph{Q}$ が連結であることをいう。
# $Q$ の二つの矢 $\alpha$ および $\beta$ が合成可能であるとは、$\alpha$ の終点と $\beta$ の始点が一致することをいう。即ち、$t_Q(\alpha)=s_Q(\beta)$ が成立することをいう。

{{theorem |type=def |label=def:QuiverDef_Path |name=道 }}
$Q$ を箙とする。$n$ を正の整数とするとき、$Q$ の矢の列 $(\alpha_1, \alpha_2, \ldots, \alpha_n)$ が長さ $n$ の道であるとは、
隣り合う二つの矢 $\alpha_i$ および $\alpha_{i+1}$ が合成可能であることをいう。
また、$Q$ の頂点 $a$ を長さ $0$ の道ともいい、$\epsilon_a$ と書く。
これらを合わせて単に $Q$ の道という。

また長さが正の道 $p=(\alpha_1, \alpha_2, \ldots, \alpha_n)$ について、$\alpha_1$ の始点を道 $p$ の始点といい、$\alpha_n$ の終点を道 $p$ の終点という。
長さが $0$ の道 $p=\epsilon_a$ については、$a$ を $p$ の始点とも、終点ともいう。
$Q$ の道の始点、終点もそれぞれ $s_Q(p)$ ないしは $t_Q(p)$ と書く。
$Q$ の長さ $n$ の道全体の為す集合を $\path{_n(Q)}$ と書き、$Q$ の道全体の為す集合を $\path{(Q)}$ と書く。

{{theorem |type=rem |label=def:QuiverDef_Path |name=道の定義に関する注意 }}
箙 $Q$ について、長さ $1$ の道 $\path{_1(Q)}$ と $Q$ の矢 $Q_1$ とは一対一に対応する。

{{theorem |type=def |label=def:QuiverRem_Pathcat |name=道圏 }}
$Q$ を箙とする。$\path{(Q)}$ の長さ $n$ の $p=(\alpha_1, \alpha_2, \ldots, \alpha_n)$ と長さ $m$ の道 $q=(\beta_1, \beta_2, \ldots, \beta_m)$ について、$p$ の終点と $q$ の始点とが一致するとき $p$ と $q$ は合成可能であるという。
道 $p$ と $q$ とが合成可能であるとき、またそのときに限り $(\alpha_1,\alpha_2,\ldots,\alpha_m,\beta_1,\beta_2,\ldots,\beta_m)$ は長さ $n+m$ の道である。
これを $p$ と $q$ の合成といい、$p \circ q$ と書く。
このとき、$Q$ の頂点 $Q_0$ を対象とし、$\path{(Q)}$ を射とし、$s_Q$、$t_Q$、$\circ$ を構造とする圏が定まる。
これを $Q$ の道圏といい、$\pathcat{Q}$ と書く。

{{theorem |type=rem |label=def:QuiverDef_Pathcat |name=道圏に関する注意 }}
箙 $Q$ に対して道圏 $\pathcat{Q}$ を取る操作は函手的である。
即ち、箙の射 $\map{f}{Q}{Q'}$ が与えられると、道圏の間の函手 $\map{\pathcat{f}}{\pathcat{Q}}{\pathcat{Q'}}$ が定まる。
この函手 $\path{}$ は圏の為す圏 $\Catcat$ から箙の為す圏 $\Quivcat$ への忘却函手の左随伴函手である。
この意味で道圏 $\pathcat{Q}$ は箙 $Q$ から自由に生成された圏と呼ぶことがある。

=== 道多元環とその基本性質 ===

{{theorem |type=def |label=def:QuiverDef_PathAlg |name=道多元環 }}
$Q$ を箙とし、$K$ を体とする。
このとき$Q$ の道全体 $\path{(Q)}$ を基底とする $K$-線形空間を $\pathalg{K}{Q}$ と書くとき、
道の合成により $\pathalg{K}{Q}$ の基底の間に積が定義できる。
ただし合成可能でない道の組に対応する基底どうしの積は $\pathalg{K}{Q}$ の零元 $0$ に対応させるものとする。
$\path{Q}$ が圏を為していたこと、特に道の合成の結合性よりいま定義した積の結合性が分かる。
これを $Q$ の道 $K$-多元環という。
一般には単位的でないことに注意せよ。

多元環の表現論(箙の表現論)

2022-11-29T18:30:30Z

サクラ: 環上の加群のホモロジー代数の方に箙に関する議論を詳しく書いていたため、本記事では概略に留めることにしました。これに伴い、該当箇所を修正しました。

{{begin |preamble}}
__MATHJAX2__
[[Category:環論]]

{{newtheorem |type=thm |display=定理 |counter=0 }}
{{newtheorem |type=def |display=定義 |family=thm }}
{{newtheorem |type=prop |display=命題 |family=thm }}
{{newtheorem |type=ex |display=例示 |family=thm }}
{{newtheorem |type=cex |display=反例 |family=thm }}
{{newtheorem |type=cor |display=系 |family=thm }}
{{newtheorem |type=rem |display=注意 |family=thm }}
{{newtheorem |type=abst |display=概要 |family=thm }}
{{newtheorem |type=conv |display=慣例 |family=thm }}
{{newtheorem |type=note |display=記法 |family=thm }}
{{newtheorem |type=lem |display=補題 |family=thm }}
{{newtheorem |type=axiom |display=公理 |family=thm }}
{{newtheorem |type=fact |display=事実 |family=thm }}
{{newtheorem |type=obs |display=観察 |family=thm }}
{{newtheorem |type=conj |display=予想 |family=thm }}

$\newcommand{\relmiddle}[1]{ \mathrel{}\middle#1\mathrel{} }$
$\newcommand{\set}[2]{ \left\{#1\relmiddle|#2\mbox{}\right\} }$
$\newcommand{\map}[3]{ {#1}\colon{#2}\rightarrow{#3} }$
$\newcommand{\ordpair}[1]{ \left\langle #1 \right\rangle }$
$\newcommand{\inv}[1]{ {#1}^{-1} }$
$\newcommand{\pow}[2]{ {#1}^{#2} }$
$\newcommand{\abs}[1]{ \left| #1 \right| }$
$\newcommand{\Homset}[2]{ \mathsf{Hom}(#1,#2) }$

$\newcommand{\cgrp}{ A }$

$\newcommand{\Hom}[3]{ \mathsf{Hom}_{#1}(#2,#3) }$
$\newcommand{\End}[2]{ \mathsf{End}_{#1}(#2) }$
$\newcommand{\Setcat}{\mathsf{Set}}$
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$\newcommand{\Abelcat}{\mathsf{Abel}}$
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$\newcommand{\modcat}[1]{\mathsf{mod}(#1)}$
$\newcommand{\Projcat}[1]{\mathsf{Proj}(#1)}$
$\newcommand{\projcat}[1]{\mathsf{proj}(#1)}$
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$\newcommand{\Repcat}[2]{\mathop{\mathsf{rep}}\nolimits_{#1}(#2)}$
$\newcommand{\repcat}[2]{\mathop{\mathsf{rep}}\nolimits_{#1}(#2)}$

$\newcommand{\ring}{ R }$
$\newcommand{\ringformal}{ \langle R,+,0,\times,1\rangle }$
$\newcommand{\addgrp}{ \langle R,+,0\rangle }$
$\newcommand{\mulmon}{ \langle R,\times,1\rangle }$
$\newcommand{\zeroring}{ O }$
$\newcommand{\Unit}[1]{ \mathsf{U}(#1) }$
$\newcommand{\congasring}{ \mathrel{\cong_{\Ringcat}} }$

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$\newcommand{\module}{ M }$
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$\newcommand{\ractmor}[2]{ \mathsf{act}_{#2\curvearrowleft #1} }$
$\newcommand{\str}{ \mathsf{str} }$

$\newcommand{\graph}[1]{ \overline{#1} }$
$\newcommand{\path}[1]{ \mathop{\mathsf{path}}#1 }$
$\newcommand{\pathcat}[1]{ \mathop{\mathsf{path}}(#1) }$
$\newcommand{\pathalg}[2]{ {#1}[#2] }$
{{end |preamble}}

<noinclude>
{{TOC |align=right |noautonum=1 }}
</noinclude>

(この記事は充分に執筆されていません)
(この記事は査読がなされていません)

* 多元環の表現論のお試し記事．サクラ 2022年11月28日 (水) 04:40 (JST)

== モチベーションと本稿の構成 ==

=== 本稿で扱うこと ===
本稿では、多元環の表現論を扱う。
簡単のために代数的閉体 $K$ 上の有限次元多元環を扱うが、
議論の殆どは可換Artin環上の有限生成多元環に対してもある程度うまく回る。
ここでは最大限の一般性を求めず、
具体例の計算に重きを置いて理論展開を行なう。

== 多元環の加群圏と箙の表現圏 ==

この章では $K$ は代数的閉体を表し、
$A$ は $K$ 上有限次元多元環とする。
先ず $A$ の構造を反映する箙 $Q_A$ を構成し、
箙から定まる道多元環 $K[Q_A]$ の許容的イデアル $I$ の剰余によって $A$ を表示する。
更に $\langle Q_A, I\rangle$ の束縛表現を導入し、$A$ 上の有限生成加群の為す圏 $\modcat{A}$ と $\langle Q_A, I\rangle$ の束縛表現の為す圏 $\repcat{K}{Q_A, I}$ との間の $\Abelcat$-圏同値を与える。
これらによって $A$ の表現を考える上では箙の表現を考えれば十分であることが分かる。

=== 箙に関する基本的な概念 ===

本節ではサイクルと多重辺を認めた有向グラフとして箙を定義し、基本的な用語法を定義し、道圏を導入する。
網羅的な用語の導入は避け、必要な範囲で逐一導入することにする。
一覧したい場合は、箙のページを参照されたい。

{{theorem |type=def |label=def:QuiverDef_Quiver |name=箙の定義 }}
本節ではサイクルと多重辺を認めた有向グラフを箙 (quiver) といい、
有向グラフの射を箙の射という。
厳密な定義は[[環上の加群のホモロジー代数]]を参照されたい。
ただし、本稿では簡単のために箙 $Q$ を四つ組で表す場合には $Q=\langle Q_0, Q_1, s_Q, t_Q \rangle$ と書き、
箙の射 $f$ を組で表す場合には $f=\langle f_0, f_1 \rangle$ と書く。
箙と箙の射の為す圏(または単に箙の為す圏)を $\Quivcat$ と書くものとする。

更に、箙に関する次の概念はよく用いるため、まとめて定義しておく。

{{theorem |type=def |label=def:QuiverDef_Notation |name=箙に関する諸定義 }}
$Q$ を箙とする。$Q$ の向きを忘れたものを基礎グラフといい、$\graph{Q}$ と書く。
# $Q$ が有限であるとは、$Q_0$ および $Q_1$ がともに有限集合であることをいう。
# $Q$ が連結であるとは、$\graph{Q}$ が連結であることをいう。
# $Q$ の二つの矢 $\alpha$ および $\beta$ が合成可能であるとは、$\alpha$ の終点と $\beta$ の始点が一致することをいう。即ち、$t_Q(\alpha)=s_Q(\beta)$ が成立することをいう。

{{theorem |type=def |label=def:QuiverDef_Path |name=道 }}
$Q$ を箙とする。$n$ を正の整数とするとき、$Q$ の矢の列 $(\alpha_1, \alpha_2, \ldots, \alpha_n)$ が長さ $n$ の道であるとは、
隣り合う二つの矢 $\alpha_i$ および $\alpha_{i+1}$ が合成可能であることをいう。
また、$Q$ の頂点 $a$ を長さ $0$ の道ともいい、$\epsilon_a$ と書く。
これらを合わせて単に $Q$ の道という。

また長さが正の道 $p=(\alpha_1, \alpha_2, \ldots, \alpha_n)$ について、$\alpha_1$ の始点を道 $p$ の始点といい、$\alpha_n$ の終点を道 $p$ の終点という。
長さが $0$ の道 $p=\epsilon_a$ については、$a$ を $p$ の始点とも、終点ともいう。
$Q$ の道の始点、終点もそれぞれ $s_Q(p)$ ないしは $t_Q(p)$ と書く。
$Q$ の長さ $n$ の道全体の為す集合を $\path{_n(Q)}$ と書き、$Q$ の道全体の為す集合を $\path{(Q)}$ と書く。

{{theorem |type=rem |label=def:QuiverDef_Path |name=道の定義に関する注意 }}
箙 $Q$ について、長さ $1$ の道 $\path{_1(Q)}$ と $Q$ の矢 $Q_1$ とは一対一に対応する。

{{theorem |type=def |label=def:QuiverRem_Pathcat |name=道圏 }}
$Q$ を箙とする。$\path{(Q)}$ の長さ $n$ の $p=(\alpha_1, \alpha_2, \ldots, \alpha_n)$ と長さ $m$ の道 $q=(\beta_1, \beta_2, \ldots, \beta_m)$ について、$p$ の終点と $q$ の始点とが一致するとき $p$ と $q$ は合成可能であるという。
道 $p$ と $q$ とが合成可能であるとき、またそのときに限り $(\alpha_1,\alpha_2,\ldots,\alpha_m,\beta_1,\beta_2,\ldots,\beta_m)$ は長さ $n+m$ の道である。
これを $p$ と $q$ の合成といい、$p \circ q$ と書く。
このとき、$Q$ の頂点 $Q_0$ を対象とし、$\path{(Q)}$ を射とし、$s_Q$、$t_Q$、$\circ$ を構造とする圏が定まる。
これを $Q$ の道圏といい、$\pathcat{Q}$ と書く。

{{theorem |type=rem |label=def:QuiverDef_Pathcat |name=道圏に関する注意 }}
箙 $Q$ に対して道圏 $\pathcat{Q}$ を取る操作は函手的である。
即ち、箙の射 $\map{f}{Q}{Q'}$ が与えられると、道圏の間の函手 $\map{\pathcat{f}}{\pathcat{Q}}{\pathcat{Q'}}$ が定まる。
この函手 $\path{}$ は圏の為す圏 $\Catcat$ から箙の為す圏 $\Quivcat$ への忘却函手の左随伴函手である。
この意味で道圏 $\pathcat{Q}$ は箙 $Q$ から自由に生成された圏と呼ぶことがある。

=== 道多元環とその基本性質 ===

{{theorem |type=def |label=def:QuiverDef_PathAlg |name=道多元環 }}
$Q$ を箙とし、$K$ を体とする。
このとき$Q$ の道全体 $\path{(Q)}$ を基底とする $K$-線形空間を $\pathalg{K}{Q}$ と書くとき、
道の合成により $\pathalg{K}{Q}$ の基底の間に積が定義できる。
ただし合成可能でない道の組に対応する基底どうしの積は $\pathalg{K}{Q}$ の零元 $0$ に対応させるものとする。
$\path{Q}$ が圏を為していたこと、特に道の合成の結合性よりいま定義した積の結合性が分かる。
これを $Q$ の道 $K$-多元環という。
一般には単位的でないことに注意せよ。

多元環の表現論(箙の表現論)

2022-11-29T17:43:06Z

サクラ: 節のタイトルを変更しました。

{{begin |preamble}}
__MATHJAX2__
[[Category:環論]]

{{newtheorem |type=thm |display=定理 |counter=0 }}
{{newtheorem |type=def |display=定義 |family=thm }}
{{newtheorem |type=prop |display=命題 |family=thm }}
{{newtheorem |type=ex |display=例示 |family=thm }}
{{newtheorem |type=cex |display=反例 |family=thm }}
{{newtheorem |type=cor |display=系 |family=thm }}
{{newtheorem |type=rem |display=注意 |family=thm }}
{{newtheorem |type=abst |display=概要 |family=thm }}
{{newtheorem |type=conv |display=慣例 |family=thm }}
{{newtheorem |type=note |display=記法 |family=thm }}
{{newtheorem |type=lem |display=補題 |family=thm }}
{{newtheorem |type=axiom |display=公理 |family=thm }}
{{newtheorem |type=fact |display=事実 |family=thm }}
{{newtheorem |type=obs |display=観察 |family=thm }}
{{newtheorem |type=conj |display=予想 |family=thm }}

$\newcommand{\relmiddle}[1]{ \mathrel{}\middle#1\mathrel{} }$
$\newcommand{\set}[2]{ \left\{#1\relmiddle|#2\mbox{}\right\} }$
$\newcommand{\map}[3]{ {#1}\colon{#2}\rightarrow{#3} }$
$\newcommand{\ordpair}[1]{ \left\langle #1 \right\rangle }$
$\newcommand{\inv}[1]{ {#1}^{-1} }$
$\newcommand{\pow}[2]{ {#1}^{#2} }$
$\newcommand{\abs}[1]{ \left| #1 \right| }$
$\newcommand{\Homset}[2]{ \mathsf{Hom}(#1,#2) }$

$\newcommand{\cgrp}{ A }$

$\newcommand{\Hom}[3]{ \mathsf{Hom}_{#1}(#2,#3) }$
$\newcommand{\End}[2]{ \mathsf{End}_{#1}(#2) }$
$\newcommand{\Setcat}{\mathsf{Set}}$
$\newcommand{\Catcat}{\mathsf{Cat}}$
$\newcommand{\Quivcat}{\mathsf{Quiv}}$
$\newcommand{\Ringcat}{\mathsf{Ring}}$
$\newcommand{\Abelcat}{\mathsf{Abel}}$
$\newcommand{\Modcat}[1]{\mathsf{Mod}(#1)}$
$\newcommand{\modcat}[1]{\mathsf{mod}(#1)}$
$\newcommand{\Projcat}[1]{\mathsf{Proj}(#1)}$
$\newcommand{\projcat}[1]{\mathsf{proj}(#1)}$
$\newcommand{\Injcat}[1]{\mathsf{Inj}(#1)}$
$\newcommand{\injcat}[1]{\mathsf{inj}(#1)}$
$\newcommand{\Repcat}[2]{\mathop{\mathsf{rep}}\nolimits_{#1}(#2)}$
$\newcommand{\repcat}[2]{\mathop{\mathsf{rep}}\nolimits_{#1}(#2)}$

$\newcommand{\ring}{ R }$
$\newcommand{\ringformal}{ \langle R,+,0,\times,1\rangle }$
$\newcommand{\addgrp}{ \langle R,+,0\rangle }$
$\newcommand{\mulmon}{ \langle R,\times,1\rangle }$
$\newcommand{\zeroring}{ O }$
$\newcommand{\Unit}[1]{ \mathsf{U}(#1) }$
$\newcommand{\congasring}{ \mathrel{\cong_{\Ringcat}} }$

$\newcommand{\polyring}[1]{ {#1}[X] }$
$\newcommand{\multipolyring}[2]{ {#1}[X_1,\dots,X_{#2}] }$

$\newcommand{\module}{ M }$
$\newcommand{\lact}{ \mathsf{act} }$
$\newcommand{\lactmor}[2]{ \mathsf{act}_{#1\curvearrowright #2} }$
$\newcommand{rlact}{ \mathsf{act} }$
$\newcommand{\ractmor}[2]{ \mathsf{act}_{#2\curvearrowleft #1} }$
$\newcommand{\str}{ \mathsf{str} }$

$\newcommand{\graph}[1]{ \overline{#1} }$
$\newcommand{\path}[1]{ \mathop{\mathsf{path}}#1 }$
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$\newcommand{\pathalg}[2]{ {#1}[#2] }$
{{end |preamble}}

<noinclude>
{{TOC |align=right |noautonum=1 }}
</noinclude>

(この記事は充分に執筆されていません)
(この記事は査読がなされていません)

* 多元環の表現論のお試し記事．サクラ 2022年11月28日 (水) 04:40 (JST)

== モチベーションと本稿の構成 ==

=== 本稿で扱うこと ===
本稿では、多元環の表現論を扱う。
簡単のために代数的閉体 $K$ 上の有限次元多元環を扱うが、
議論の殆どは可換Artin環上の有限生成多元環に対してもある程度うまく回る。
ここでは最大限の一般性を求めず、
具体例の計算に重きを置いて理論展開を行なう。

== 多元環の加群圏と箙の表現圏 ==

この章では $K$ は代数的閉体を表し、
$A$ は $K$ 上有限次元多元環とする。
先ず $A$ の構造を反映する箙 $Q_A$ を構成し、
箙から定まる道多元環 $K[Q_A]$ の許容的イデアル $I$ の剰余によって $A$ を表示する。
更に $\langle Q_A, I\rangle$ の束縛表現を導入し、$A$ 上の有限生成加群の為す圏 $\modcat{A}$ と $\langle Q_A, I\rangle$ の束縛表現の為す圏 $\repcat{K}{Q_A, I}$ との間の $\Abelcat$-圏同値を与える。
これらによって $A$ の表現を考える上では箙の表現を考えれば十分であることが分かる。

=== 箙に関する基本的な概念 ===

本節ではサイクルと多重辺を認めた有向グラフとして箙を定義し、基本的な用語法を定義し、道圏を導入する。
網羅的な用語の導入は避け、必要な範囲で逐一導入することにする。
一覧したい場合は、箙のページを参照されたい。

{{theorem |type=def |label=def:QuiverDef_Quiver |name=箙の定義 }}
四つ組 $Q=\langle Q_0, Q_1, s, t \rangle$ が箙であるとは、次の二条件を満たすことである。
# $s$ は $Q_1$ から $Q_0$ への写像である。
# $t$ は $Q_1$ から $Q_0$ への写像である。
$Q_0$ の元を $Q$ の頂点といい、$Q_1$ の元を $Q$ の矢という。
$Q$ の矢 $\alpha$ に対して、$s(\alpha)$ を $\alpha$ の始点といい、$t(\alpha)$ を $\alpha$ の終点という。
また、単に箙 $Q$ というとき、$Q$ は $\langle Q_0, Q_1, s_Q, t_Q\rangle$ なる四つ組を表すものとする。

{{theorem |type=def |label=def:QuiverDef_QuiverMorph |name=箙の射の定義 }}
$Q$ および $R$ を箙とする。
このとき組 $f = \langle f_0, f_1\rangle$ が箙 $Q$ から $R$ への射であるとは、
# $f_0$ は $Q_0$ から $R_0$ への写像である。
# $f_1$ は $Q_1$ から $R_1$ への写像である。
# $Q$ の任意の矢 $\alpha$ につき、$s_R(f_1(\alpha))=f_0(s_Q(\alpha))$ が成立する。
# $Q$ の任意の矢 $\alpha$ につき、$t_R(f_1(\alpha))=f_0(t_Q(\alpha))$ が成立する。
を満たすことをいう。

箙の射の合成を成分ごとの合成として定めると、
合成に関して結合的であり、かつ恒等射の組が単位的に振舞う。
よって箙と箙の射の為す圏 $\Quivcat$ が定まる(以降、この圏を単に箙の圏ともいう)。

更に、箙に関する次の概念はよく用いるため、まとめて定義しておく。

{{theorem |type=def |label=def:QuiverDef_Notation |name=箙に関する諸定義 }}
$Q$ を箙とする。$Q$ の向きを忘れたものを基礎グラフといい、$\graph{Q}$ と書く。
# $Q$ が有限であるとは、$Q_0$ および $Q_1$ がともに有限集合であることをいう。
# $Q$ が連結であるとは、$\graph{Q}$ が連結であることをいう。
# $Q$ の二つの矢 $\alpha$ および $\beta$ が合成可能であるとは、$\alpha$ の終点と $\beta$ の始点が一致することをいう。即ち、$t_Q(\alpha)=s_Q(\beta)$ が成立することをいう。

{{theorem |type=def |label=def:QuiverDef_Path |name=道 }}
$Q$ を箙とする。$n$ を正の整数とするとき、$Q$ の矢の列 $(\alpha_1, \alpha_2, \ldots, \alpha_n)$ が長さ $n$ の道であるとは、
隣り合う二つの矢 $\alpha_i$ および $\alpha_{i+1}$ が合成可能であることをいう。
また、$Q$ の頂点 $a$ を長さ $0$ の道ともいい、$\epsilon_a$ と書く。
これらを合わせて単に $Q$ の道という。

また長さが正の道 $p=(\alpha_1, \alpha_2, \ldots, \alpha_n)$ について、$\alpha_1$ の始点を道 $p$ の始点といい、$\alpha_n$ の終点を道 $p$ の終点という。
長さが $0$ の道 $p=\epsilon_a$ については、$a$ を $p$ の始点とも、終点ともいう。
$Q$ の道の始点、終点もそれぞれ $s_Q(p)$ ないしは $t_Q(p)$ と書く。
$Q$ の長さ $n$ の道全体の為す集合を $\path{_n(Q)}$ と書き、$Q$ の道全体の為す集合を $\path{(Q)}$ と書く。

{{theorem |type=rem |label=def:QuiverDef_Path |name=道の定義に関する注意 }}
箙 $Q$ について、長さ $1$ の道 $\path{_1(Q)}$ と $Q$ の矢 $Q_1$ とは一対一に対応する。

{{theorem |type=def |label=def:QuiverRem_Pathcat |name=道圏 }}
$Q$ を箙とする。$\path{(Q)}$ の長さ $n$ の $p=(\alpha_1, \alpha_2, \ldots, \alpha_n)$ と長さ $m$ の道 $q=(\beta_1, \beta_2, \ldots, \beta_m)$ について、$p$ の終点と $q$ の始点とが一致するとき $p$ と $q$ は合成可能であるという。
道 $p$ と $q$ とが合成可能であるとき、またそのときに限り $(\alpha_1,\alpha_2,\ldots,\alpha_m,\beta_1,\beta_2,\ldots,\beta_m)$ は長さ $n+m$ の道である。
これを $p$ と $q$ の合成といい、$p \circ q$ と書く。
このとき、$Q$ の頂点 $Q_0$ を対象とし、$\path{(Q)}$ を射とし、$s_Q$、$t_Q$、$\circ$ を構造とする圏が定まる。
これを $Q$ の道圏といい、$\pathcat{Q}$ と書く。

{{theorem |type=rem |label=def:QuiverDef_Pathcat |name=道圏に関する注意 }}
箙 $Q$ に対して道圏 $\pathcat{Q}$ を取る操作は函手的である。
即ち、箙の射 $\map{f}{Q}{Q'}$ が与えられると、道圏の間の函手 $\map{\pathcat{f}}{\pathcat{Q}}{\pathcat{Q'}}$ が定まる。
この函手 $\path{}$ は圏の為す圏 $\Catcat$ から箙の為す圏 $\Quivcat$ への忘却函手の左随伴函手である。
この意味で道圏 $\pathcat{Q}$ は箙 $Q$ から自由に生成された圏と呼ぶことがある。

=== 道多元環とその基本性質 ===

{{theorem |type=def |label=def:QuiverDef_PathAlg |name=道多元環 }}
$Q$ を箙とし、$K$ を体とする。
このとき$Q$ の道全体 $\path{(Q)}$ を基底とする $K$-線形空間を $\pathalg{K}{Q}$ と書くとき、
道の合成により $\pathalg{K}{Q}$ の基底の間に積が定義できる。
ただし合成可能でない道の組に対応する基底どうしの積は $\pathalg{K}{Q}$ の零元 $0$ に対応させるものとする。
$\path{Q}$ が圏を為していたこと、特に道の合成の結合性よりいま定義した積の結合性が分かる。
これを $Q$ の道 $K$-多元環という。
一般には単位的でないことに注意せよ。

多元環の表現論(箙の表現論)

2022-11-29T17:42:17Z

サクラ: 道多元環の定義を加筆しました。

{{begin |preamble}}
__MATHJAX2__
[[Category:環論]]

{{newtheorem |type=thm |display=定理 |counter=0 }}
{{newtheorem |type=def |display=定義 |family=thm }}
{{newtheorem |type=prop |display=命題 |family=thm }}
{{newtheorem |type=ex |display=例示 |family=thm }}
{{newtheorem |type=cex |display=反例 |family=thm }}
{{newtheorem |type=cor |display=系 |family=thm }}
{{newtheorem |type=rem |display=注意 |family=thm }}
{{newtheorem |type=abst |display=概要 |family=thm }}
{{newtheorem |type=conv |display=慣例 |family=thm }}
{{newtheorem |type=note |display=記法 |family=thm }}
{{newtheorem |type=lem |display=補題 |family=thm }}
{{newtheorem |type=axiom |display=公理 |family=thm }}
{{newtheorem |type=fact |display=事実 |family=thm }}
{{newtheorem |type=obs |display=観察 |family=thm }}
{{newtheorem |type=conj |display=予想 |family=thm }}

$\newcommand{\relmiddle}[1]{ \mathrel{}\middle#1\mathrel{} }$
$\newcommand{\set}[2]{ \left\{#1\relmiddle|#2\mbox{}\right\} }$
$\newcommand{\map}[3]{ {#1}\colon{#2}\rightarrow{#3} }$
$\newcommand{\ordpair}[1]{ \left\langle #1 \right\rangle }$
$\newcommand{\inv}[1]{ {#1}^{-1} }$
$\newcommand{\pow}[2]{ {#1}^{#2} }$
$\newcommand{\abs}[1]{ \left| #1 \right| }$
$\newcommand{\Homset}[2]{ \mathsf{Hom}(#1,#2) }$

$\newcommand{\cgrp}{ A }$

$\newcommand{\Hom}[3]{ \mathsf{Hom}_{#1}(#2,#3) }$
$\newcommand{\End}[2]{ \mathsf{End}_{#1}(#2) }$
$\newcommand{\Setcat}{\mathsf{Set}}$
$\newcommand{\Catcat}{\mathsf{Cat}}$
$\newcommand{\Quivcat}{\mathsf{Quiv}}$
$\newcommand{\Ringcat}{\mathsf{Ring}}$
$\newcommand{\Abelcat}{\mathsf{Abel}}$
$\newcommand{\Modcat}[1]{\mathsf{Mod}(#1)}$
$\newcommand{\modcat}[1]{\mathsf{mod}(#1)}$
$\newcommand{\Projcat}[1]{\mathsf{Proj}(#1)}$
$\newcommand{\projcat}[1]{\mathsf{proj}(#1)}$
$\newcommand{\Injcat}[1]{\mathsf{Inj}(#1)}$
$\newcommand{\injcat}[1]{\mathsf{inj}(#1)}$
$\newcommand{\Repcat}[2]{\mathop{\mathsf{rep}}\nolimits_{#1}(#2)}$
$\newcommand{\repcat}[2]{\mathop{\mathsf{rep}}\nolimits_{#1}(#2)}$

$\newcommand{\ring}{ R }$
$\newcommand{\ringformal}{ \langle R,+,0,\times,1\rangle }$
$\newcommand{\addgrp}{ \langle R,+,0\rangle }$
$\newcommand{\mulmon}{ \langle R,\times,1\rangle }$
$\newcommand{\zeroring}{ O }$
$\newcommand{\Unit}[1]{ \mathsf{U}(#1) }$
$\newcommand{\congasring}{ \mathrel{\cong_{\Ringcat}} }$

$\newcommand{\polyring}[1]{ {#1}[X] }$
$\newcommand{\multipolyring}[2]{ {#1}[X_1,\dots,X_{#2}] }$

$\newcommand{\module}{ M }$
$\newcommand{\lact}{ \mathsf{act} }$
$\newcommand{\lactmor}[2]{ \mathsf{act}_{#1\curvearrowright #2} }$
$\newcommand{rlact}{ \mathsf{act} }$
$\newcommand{\ractmor}[2]{ \mathsf{act}_{#2\curvearrowleft #1} }$
$\newcommand{\str}{ \mathsf{str} }$

$\newcommand{\graph}[1]{ \overline{#1} }$
$\newcommand{\path}[1]{ \mathop{\mathsf{path}}#1 }$
$\newcommand{\pathcat}[1]{ \mathop{\mathsf{path}}(#1) }$
$\newcommand{\pathalg}[2]{ {#1}[#2] }$
{{end |preamble}}

<noinclude>
{{TOC |align=right |noautonum=1 }}
</noinclude>

(この記事は充分に執筆されていません)
(この記事は査読がなされていません)

* 多元環の表現論のお試し記事．サクラ 2022年11月28日 (水) 04:40 (JST)

== モチベーションと本稿の構成 ==

=== 本稿で扱うこと ===
本稿では、多元環の表現論を扱う。
簡単のために代数的閉体 $K$ 上の有限次元多元環を扱うが、
議論の殆どは可換Artin環上の有限生成多元環に対してもある程度うまく回る。
ここでは最大限の一般性を求めず、
具体例の計算に重きを置いて理論展開を行なう。

== 多元環の加群圏と箙の表現圏 ==

この章では $K$ は代数的閉体を表し、
$A$ は $K$ 上有限次元多元環とする。
先ず $A$ の構造を反映する箙 $Q_A$ を構成し、
箙から定まる道多元環 $K[Q_A]$ の許容的イデアル $I$ の剰余によって $A$ を表示する。
更に $\langle Q_A, I\rangle$ の束縛表現を導入し、$A$ 上の有限生成加群の為す圏 $\modcat{A}$ と $\langle Q_A, I\rangle$ の束縛表現の為す圏 $\repcat{K}{Q_A, I}$ との間の $\Abelcat$-圏同値を与える。
これらによって $A$ の表現を考える上では箙の表現を考えれば十分であることが分かる。

=== 箙に関する基本的な概念 ===

本節ではサイクルと多重辺を認めた有向グラフとして箙を定義し、基本的な用語法を定義し、道圏を導入する。
網羅的な用語の導入は避け、必要な範囲で逐一導入することにする。
一覧したい場合は、箙のページを参照されたい。

{{theorem |type=def |label=def:QuiverDef_Quiver |name=箙の定義 }}
四つ組 $Q=\langle Q_0, Q_1, s, t \rangle$ が箙であるとは、次の二条件を満たすことである。
# $s$ は $Q_1$ から $Q_0$ への写像である。
# $t$ は $Q_1$ から $Q_0$ への写像である。
$Q_0$ の元を $Q$ の頂点といい、$Q_1$ の元を $Q$ の矢という。
$Q$ の矢 $\alpha$ に対して、$s(\alpha)$ を $\alpha$ の始点といい、$t(\alpha)$ を $\alpha$ の終点という。
また、単に箙 $Q$ というとき、$Q$ は $\langle Q_0, Q_1, s_Q, t_Q\rangle$ なる四つ組を表すものとする。

{{theorem |type=def |label=def:QuiverDef_QuiverMorph |name=箙の射の定義 }}
$Q$ および $R$ を箙とする。
このとき組 $f = \langle f_0, f_1\rangle$ が箙 $Q$ から $R$ への射であるとは、
# $f_0$ は $Q_0$ から $R_0$ への写像である。
# $f_1$ は $Q_1$ から $R_1$ への写像である。
# $Q$ の任意の矢 $\alpha$ につき、$s_R(f_1(\alpha))=f_0(s_Q(\alpha))$ が成立する。
# $Q$ の任意の矢 $\alpha$ につき、$t_R(f_1(\alpha))=f_0(t_Q(\alpha))$ が成立する。
を満たすことをいう。

箙の射の合成を成分ごとの合成として定めると、
合成に関して結合的であり、かつ恒等射の組が単位的に振舞う。
よって箙と箙の射の為す圏 $\Quivcat$ が定まる(以降、この圏を単に箙の圏ともいう)。

更に、箙に関する次の概念はよく用いるため、まとめて定義しておく。

{{theorem |type=def |label=def:QuiverDef_Notation |name=箙に関する諸定義 }}
$Q$ を箙とする。$Q$ の向きを忘れたものを基礎グラフといい、$\graph{Q}$ と書く。
# $Q$ が有限であるとは、$Q_0$ および $Q_1$ がともに有限集合であることをいう。
# $Q$ が連結であるとは、$\graph{Q}$ が連結であることをいう。
# $Q$ の二つの矢 $\alpha$ および $\beta$ が合成可能であるとは、$\alpha$ の終点と $\beta$ の始点が一致することをいう。即ち、$t_Q(\alpha)=s_Q(\beta)$ が成立することをいう。

{{theorem |type=def |label=def:QuiverDef_Path |name=道 }}
$Q$ を箙とする。$n$ を正の整数とするとき、$Q$ の矢の列 $(\alpha_1, \alpha_2, \ldots, \alpha_n)$ が長さ $n$ の道であるとは、
隣り合う二つの矢 $\alpha_i$ および $\alpha_{i+1}$ が合成可能であることをいう。
また、$Q$ の頂点 $a$ を長さ $0$ の道ともいい、$\epsilon_a$ と書く。
これらを合わせて単に $Q$ の道という。

また長さが正の道 $p=(\alpha_1, \alpha_2, \ldots, \alpha_n)$ について、$\alpha_1$ の始点を道 $p$ の始点といい、$\alpha_n$ の終点を道 $p$ の終点という。
長さが $0$ の道 $p=\epsilon_a$ については、$a$ を $p$ の始点とも、終点ともいう。
$Q$ の道の始点、終点もそれぞれ $s_Q(p)$ ないしは $t_Q(p)$ と書く。
$Q$ の長さ $n$ の道全体の為す集合を $\path{_n(Q)}$ と書き、$Q$ の道全体の為す集合を $\path{(Q)}$ と書く。

{{theorem |type=rem |label=def:QuiverDef_Path |name=道の定義に関する注意 }}
箙 $Q$ について、長さ $1$ の道 $\path{_1(Q)}$ と $Q$ の矢 $Q_1$ とは一対一に対応する。

{{theorem |type=def |label=def:QuiverRem_Pathcat |name=道圏 }}
$Q$ を箙とする。$\path{(Q)}$ の長さ $n$ の $p=(\alpha_1, \alpha_2, \ldots, \alpha_n)$ と長さ $m$ の道 $q=(\beta_1, \beta_2, \ldots, \beta_m)$ について、$p$ の終点と $q$ の始点とが一致するとき $p$ と $q$ は合成可能であるという。
道 $p$ と $q$ とが合成可能であるとき、またそのときに限り $(\alpha_1,\alpha_2,\ldots,\alpha_m,\beta_1,\beta_2,\ldots,\beta_m)$ は長さ $n+m$ の道である。
これを $p$ と $q$ の合成といい、$p \circ q$ と書く。
このとき、$Q$ の頂点 $Q_0$ を対象とし、$\path{(Q)}$ を射とし、$s_Q$、$t_Q$、$\circ$ を構造とする圏が定まる。
これを $Q$ の道圏といい、$\pathcat{Q}$ と書く。

{{theorem |type=rem |label=def:QuiverDef_Pathcat |name=道圏に関する注意 }}
箙 $Q$ に対して道圏 $\pathcat{Q}$ を取る操作は函手的である。
即ち、箙の射 $\map{f}{Q}{Q'}$ が与えられると、道圏の間の函手 $\map{\pathcat{f}}{\pathcat{Q}}{\pathcat{Q'}}$ が定まる。
この函手 $\path{}$ は圏の為す圏 $\Catcat$ から箙の為す圏 $\Quivcat$ への忘却函手の左随伴函手である。
この意味で道圏 $\pathcat{Q}$ は箙 $Q$ から自由に生成された圏と呼ぶことがある。

=== 道多元環と束縛箙多元環 ===

{{theorem |type=def |label=def:QuiverDef_PathAlg |name=道多元環 }}
$Q$ を箙とし、$K$ を体とする。
このとき$Q$ の道全体 $\path{(Q)}$ を基底とする $K$-線形空間を $\pathalg{K}{Q}$ と書くとき、
道の合成により $\pathalg{K}{Q}$ の基底の間に積が定義できる。
ただし合成可能でない道の組に対応する基底どうしの積は $\pathalg{K}{Q}$ の零元 $0$ に対応させるものとする。
$\path{Q}$ が圏を為していたこと、特に道の合成の結合性よりいま定義した積の結合性が分かる。
これを $Q$ の道 $K$-多元環という。
一般には単位的でないことに注意せよ。

多元環の表現論(箙の表現論)

2022-11-29T17:30:48Z

サクラ: 節はじめのリード文を加筆をしました。

{{begin |preamble}}
__MATHJAX2__
[[Category:環論]]

{{newtheorem |type=thm |display=定理 |counter=0 }}
{{newtheorem |type=def |display=定義 |family=thm }}
{{newtheorem |type=prop |display=命題 |family=thm }}
{{newtheorem |type=ex |display=例示 |family=thm }}
{{newtheorem |type=cex |display=反例 |family=thm }}
{{newtheorem |type=cor |display=系 |family=thm }}
{{newtheorem |type=rem |display=注意 |family=thm }}
{{newtheorem |type=abst |display=概要 |family=thm }}
{{newtheorem |type=conv |display=慣例 |family=thm }}
{{newtheorem |type=note |display=記法 |family=thm }}
{{newtheorem |type=lem |display=補題 |family=thm }}
{{newtheorem |type=axiom |display=公理 |family=thm }}
{{newtheorem |type=fact |display=事実 |family=thm }}
{{newtheorem |type=obs |display=観察 |family=thm }}
{{newtheorem |type=conj |display=予想 |family=thm }}

$\newcommand{\relmiddle}[1]{ \mathrel{}\middle#1\mathrel{} }$
$\newcommand{\set}[2]{ \left\{#1\relmiddle|#2\mbox{}\right\} }$
$\newcommand{\map}[3]{ {#1}\colon{#2}\rightarrow{#3} }$
$\newcommand{\ordpair}[1]{ \left\langle #1 \right\rangle }$
$\newcommand{\inv}[1]{ {#1}^{-1} }$
$\newcommand{\pow}[2]{ {#1}^{#2} }$
$\newcommand{\abs}[1]{ \left| #1 \right| }$
$\newcommand{\Homset}[2]{ \mathsf{Hom}(#1,#2) }$

$\newcommand{\cgrp}{ A }$

$\newcommand{\Hom}[3]{ \mathsf{Hom}_{#1}(#2,#3) }$
$\newcommand{\End}[2]{ \mathsf{End}_{#1}(#2) }$
$\newcommand{\Setcat}{\mathsf{Set}}$
$\newcommand{\Catcat}{\mathsf{Cat}}$
$\newcommand{\Quivcat}{\mathsf{Quiv}}$
$\newcommand{\Ringcat}{\mathsf{Ring}}$
$\newcommand{\Abelcat}{\mathsf{Abel}}$
$\newcommand{\Modcat}[1]{\mathsf{Mod}(#1)}$
$\newcommand{\modcat}[1]{\mathsf{mod}(#1)}$
$\newcommand{\Projcat}[1]{\mathsf{Proj}(#1)}$
$\newcommand{\projcat}[1]{\mathsf{proj}(#1)}$
$\newcommand{\Injcat}[1]{\mathsf{Inj}(#1)}$
$\newcommand{\injcat}[1]{\mathsf{inj}(#1)}$
$\newcommand{\Repcat}[2]{\mathop{\mathsf{rep}}\nolimits_{#1}(#2)}$
$\newcommand{\repcat}[2]{\mathop{\mathsf{rep}}\nolimits_{#1}(#2)}$

$\newcommand{\ring}{ R }$
$\newcommand{\ringformal}{ \langle R,+,0,\times,1\rangle }$
$\newcommand{\addgrp}{ \langle R,+,0\rangle }$
$\newcommand{\mulmon}{ \langle R,\times,1\rangle }$
$\newcommand{\zeroring}{ O }$
$\newcommand{\Unit}[1]{ \mathsf{U}(#1) }$
$\newcommand{\congasring}{ \mathrel{\cong_{\Ringcat}} }$

$\newcommand{\polyring}[1]{ {#1}[X] }$
$\newcommand{\multipolyring}[2]{ {#1}[X_1,\dots,X_{#2}] }$

$\newcommand{\module}{ M }$
$\newcommand{\lact}{ \mathsf{act} }$
$\newcommand{\lactmor}[2]{ \mathsf{act}_{#1\curvearrowright #2} }$
$\newcommand{rlact}{ \mathsf{act} }$
$\newcommand{\ractmor}[2]{ \mathsf{act}_{#2\curvearrowleft #1} }$
$\newcommand{\str}{ \mathsf{str} }$

$\newcommand{\graph}[1]{ \overline{#1} }$
$\newcommand{\path}[1]{ \mathop{\mathsf{path}}#1 }$
$\newcommand{\pathcat}[1]{ \mathop{\mathsf{path}}(#1) }$

{{end |preamble}}

<noinclude>
{{TOC |align=right |noautonum=1 }}
</noinclude>

(この記事は充分に執筆されていません)
(この記事は査読がなされていません)

* 多元環の表現論のお試し記事．サクラ 2022年11月28日 (水) 04:40 (JST)

== モチベーションと本稿の構成 ==

=== 本稿で扱うこと ===
本稿では、多元環の表現論を扱う。
簡単のために代数的閉体 $K$ 上の有限次元多元環を扱うが、
議論の殆どは可換Artin環上の有限生成多元環に対してもある程度うまく回る。
ここでは最大限の一般性を求めず、
具体例の計算に重きを置いて理論展開を行なう。

== 多元環の加群圏と箙の表現圏 ==

この章では $K$ は代数的閉体を表し、
$A$ は $K$ 上有限次元多元環とする。
先ず $A$ の構造を反映する箙 $Q_A$ を構成し、
箙から定まる道多元環 $K[Q_A]$ の許容的イデアル $I$ の剰余によって $A$ を表示する。
更に $\langle Q_A, I\rangle$ の束縛表現を導入し、$A$ 上の有限生成加群の為す圏 $\modcat{A}$ と $\langle Q_A, I\rangle$ の束縛表現の為す圏 $\repcat{K}{Q_A, I}$ との間の $\Abelcat$-圏同値を与える。
これらによって $A$ の表現を考える上では箙の表現を考えれば十分であることが分かる。

=== 箙に関する基本的な概念 ===

本節ではサイクルと多重辺を認めた有向グラフとして箙を定義し、基本的な用語法を定義し、道圏を導入する。
網羅的な用語の導入は避け、必要な範囲で逐一導入することにする。
一覧したい場合は、箙のページを参照されたい。

{{theorem |type=def |label=def:QuiverDef_Quiver |name=箙の定義 }}
四つ組 $Q=\langle Q_0, Q_1, s, t \rangle$ が箙であるとは、次の二条件を満たすことである。
# $s$ は $Q_1$ から $Q_0$ への写像である。
# $t$ は $Q_1$ から $Q_0$ への写像である。
$Q_0$ の元を $Q$ の頂点といい、$Q_1$ の元を $Q$ の矢という。
$Q$ の矢 $\alpha$ に対して、$s(\alpha)$ を $\alpha$ の始点といい、$t(\alpha)$ を $\alpha$ の終点という。
また、単に箙 $Q$ というとき、$Q$ は $\langle Q_0, Q_1, s_Q, t_Q\rangle$ なる四つ組を表すものとする。

{{theorem |type=def |label=def:QuiverDef_QuiverMorph |name=箙の射の定義 }}
$Q$ および $R$ を箙とする。
このとき組 $f = \langle f_0, f_1\rangle$ が箙 $Q$ から $R$ への射であるとは、
# $f_0$ は $Q_0$ から $R_0$ への写像である。
# $f_1$ は $Q_1$ から $R_1$ への写像である。
# $Q$ の任意の矢 $\alpha$ につき、$s_R(f_1(\alpha))=f_0(s_Q(\alpha))$ が成立する。
# $Q$ の任意の矢 $\alpha$ につき、$t_R(f_1(\alpha))=f_0(t_Q(\alpha))$ が成立する。
を満たすことをいう。

箙の射の合成を成分ごとの合成として定めると、
合成に関して結合的であり、かつ恒等射の組が単位的に振舞う。
よって箙と箙の射の為す圏 $\Quivcat$ が定まる(以降、この圏を単に箙の圏ともいう)。

更に、箙に関する次の概念はよく用いるため、まとめて定義しておく。

{{theorem |type=def |label=def:QuiverDef_Notation |name=箙に関する諸定義 }}
$Q$ を箙とする。$Q$ の向きを忘れたものを基礎グラフといい、$\graph{Q}$ と書く。
# $Q$ が有限であるとは、$Q_0$ および $Q_1$ がともに有限集合であることをいう。
# $Q$ が連結であるとは、$\graph{Q}$ が連結であることをいう。
# $Q$ の二つの矢 $\alpha$ および $\beta$ が合成可能であるとは、$\alpha$ の終点と $\beta$ の始点が一致することをいう。即ち、$t_Q(\alpha)=s_Q(\beta)$ が成立することをいう。

{{theorem |type=def |label=def:QuiverDef_Path |name=道 }}
$Q$ を箙とする。$n$ を正の整数とするとき、$Q$ の矢の列 $(\alpha_1, \alpha_2, \ldots, \alpha_n)$ が長さ $n$ の道であるとは、
隣り合う二つの矢 $\alpha_i$ および $\alpha_{i+1}$ が合成可能であることをいう。
また、$Q$ の頂点 $a$ を長さ $0$ の道ともいい、$\epsilon_a$ と書く。
これらを合わせて単に $Q$ の道という。

また長さが正の道 $p=(\alpha_1, \alpha_2, \ldots, \alpha_n)$ について、$\alpha_1$ の始点を道 $p$ の始点といい、$\alpha_n$ の終点を道 $p$ の終点という。
長さが $0$ の道 $p=\epsilon_a$ については、$a$ を $p$ の始点とも、終点ともいう。
$Q$ の道の始点、終点もそれぞれ $s_Q(p)$ ないしは $t_Q(p)$ と書く。
$Q$ の長さ $n$ の道全体の為す集合を $\path{_n(Q)}$ と書き、$Q$ の道全体の為す集合を $\path{(Q)}$ と書く。

{{theorem |type=rem |label=def:QuiverDef_Path |name=道の定義に関する注意 }}
箙 $Q$ について、長さ $1$ の道 $\path{_1(Q)}$ と $Q$ の矢 $Q_1$ とは一対一に対応する。

{{theorem |type=def |label=def:QuiverRem_Pathcat |name=道圏 }}
$Q$ を箙とする。$\path{(Q)}$ の長さ $n$ の $p=(\alpha_1, \alpha_2, \ldots, \alpha_n)$ と長さ $m$ の道 $q=(\beta_1, \beta_2, \ldots, \beta_m)$ について、$p$ の終点と $q$ の始点とが一致するとき $p$ と $q$ は合成可能であるという。
道 $p$ と $q$ とが合成可能であるとき、またそのときに限り $(\alpha_1,\alpha_2,\ldots,\alpha_m,\beta_1,\beta_2,\ldots,\beta_m)$ は長さ $n+m$ の道である。
これを $p$ と $q$ の合成といい、$p \circ q$ と書く。
このとき、$Q$ の頂点 $Q_0$ を対象とし、$\path{(Q)}$ を射とし、$s_Q$、$t_Q$、$\circ$ を構造とする圏が定まる。
これを $Q$ の道圏といい、$\pathcat{Q}$ と書く。

{{theorem |type=rem |label=def:QuiverDef_Pathcat |name=道圏に関する注意 }}
箙 $Q$ に対して道圏 $\pathcat{Q}$ を取る操作は函手的である。
即ち、箙の射 $\map{f}{Q}{Q'}$ が与えられると、道圏の間の函手 $\map{\pathcat{f}}{\pathcat{Q}}{\pathcat{Q'}}$ が定まる。
この函手 $\path{}$ は圏の為す圏 $\Catcat$ から箙の為す圏 $\Quivcat$ への忘却函手の左随伴である。
この意味で道圏 $\pathcat{Q}$ は箙 $Q$ から自由に生成された圏と呼ぶことがある。

多元環の表現論(箙の表現論)

2022-11-29T17:26:34Z

サクラ: 道圏の定義を加筆しました。

{{begin |preamble}}
__MATHJAX2__
[[Category:環論]]

{{newtheorem |type=thm |display=定理 |counter=0 }}
{{newtheorem |type=def |display=定義 |family=thm }}
{{newtheorem |type=prop |display=命題 |family=thm }}
{{newtheorem |type=ex |display=例示 |family=thm }}
{{newtheorem |type=cex |display=反例 |family=thm }}
{{newtheorem |type=cor |display=系 |family=thm }}
{{newtheorem |type=rem |display=注意 |family=thm }}
{{newtheorem |type=abst |display=概要 |family=thm }}
{{newtheorem |type=conv |display=慣例 |family=thm }}
{{newtheorem |type=note |display=記法 |family=thm }}
{{newtheorem |type=lem |display=補題 |family=thm }}
{{newtheorem |type=axiom |display=公理 |family=thm }}
{{newtheorem |type=fact |display=事実 |family=thm }}
{{newtheorem |type=obs |display=観察 |family=thm }}
{{newtheorem |type=conj |display=予想 |family=thm }}

$\newcommand{\relmiddle}[1]{ \mathrel{}\middle#1\mathrel{} }$
$\newcommand{\set}[2]{ \left\{#1\relmiddle|#2\mbox{}\right\} }$
$\newcommand{\map}[3]{ {#1}\colon{#2}\rightarrow{#3} }$
$\newcommand{\ordpair}[1]{ \left\langle #1 \right\rangle }$
$\newcommand{\inv}[1]{ {#1}^{-1} }$
$\newcommand{\pow}[2]{ {#1}^{#2} }$
$\newcommand{\abs}[1]{ \left| #1 \right| }$
$\newcommand{\Homset}[2]{ \mathsf{Hom}(#1,#2) }$

$\newcommand{\cgrp}{ A }$

$\newcommand{\Hom}[3]{ \mathsf{Hom}_{#1}(#2,#3) }$
$\newcommand{\End}[2]{ \mathsf{End}_{#1}(#2) }$
$\newcommand{\Setcat}{\mathsf{Set}}$
$\newcommand{\Catcat}{\mathsf{Cat}}$
$\newcommand{\Quivcat}{\mathsf{Quiv}}$
$\newcommand{\Ringcat}{\mathsf{Ring}}$
$\newcommand{\Abelcat}{\mathsf{Abel}}$
$\newcommand{\Modcat}[1]{\mathsf{Mod}(#1)}$
$\newcommand{\modcat}[1]{\mathsf{mod}(#1)}$
$\newcommand{\Projcat}[1]{\mathsf{Proj}(#1)}$
$\newcommand{\projcat}[1]{\mathsf{proj}(#1)}$
$\newcommand{\Injcat}[1]{\mathsf{Inj}(#1)}$
$\newcommand{\injcat}[1]{\mathsf{inj}(#1)}$
$\newcommand{\Repcat}[2]{\mathop{\mathsf{rep}}\nolimits_{#1}(#2)}$
$\newcommand{\repcat}[2]{\mathop{\mathsf{rep}}\nolimits_{#1}(#2)}$

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* 多元環の表現論のお試し記事．サクラ 2022年11月28日 (水) 04:40 (JST)

== モチベーションと本稿の構成 ==

=== 本稿で扱うこと ===
本稿では、多元環の表現論を扱う。
簡単のために代数的閉体 $K$ 上の有限次元多元環を扱うが、
議論の殆どは可換Artin環上の有限生成多元環に対してもある程度うまく回る。
ここでは最大限の一般性を求めず、
具体例の計算に重きを置いて理論展開を行なう。

== 多元環の加群圏と箙の表現圏 ==

この章では $K$ は代数的閉体を表し、
$A$ は $K$ 上有限次元多元環とする。
先ず $A$ の構造を反映する箙 $Q_A$ を構成し、
箙から定まる道多元環 $K[Q_A]$ の許容的イデアル $I$ の剰余によって $A$ を表示する。
更に $\langle Q_A, I\rangle$ の束縛表現を導入し、$A$ 上の有限生成加群の為す圏 $\modcat{A}$ と $\langle Q_A, I\rangle$ の束縛表現の為す圏 $\repcat{K}{Q_A, I}$ との間の $\Abelcat$-圏同値を与える。
これらによって $A$ の表現を考える上では箙の表現を考えれば十分であることが分かる。

=== 箙に関する基本的な概念 ===

先ずは箙を定義する。
箙はサイクルと多重辺を認めた有向グラフのことであり、厳密には次の通りである。

{{theorem |type=def |label=def:QuiverDef_Quiver |name=箙の定義 }}
四つ組 $Q=\langle Q_0, Q_1, s, t \rangle$ が箙であるとは、次の二条件を満たすことである。
# $s$ は $Q_1$ から $Q_0$ への写像である。
# $t$ は $Q_1$ から $Q_0$ への写像である。
$Q_0$ の元を $Q$ の頂点といい、$Q_1$ の元を $Q$ の矢という。
$Q$ の矢 $\alpha$ に対して、$s(\alpha)$ を $\alpha$ の始点といい、$t(\alpha)$ を $\alpha$ の終点という。
また、単に箙 $Q$ というとき、$Q$ は $\langle Q_0, Q_1, s_Q, t_Q\rangle$ なる四つ組を表すものとする。

{{theorem |type=def |label=def:QuiverDef_QuiverMorph |name=箙の射の定義 }}
$Q$ および $R$ を箙とする。
このとき組 $f = \langle f_0, f_1\rangle$ が箙 $Q$ から $R$ への射であるとは、
# $f_0$ は $Q_0$ から $R_0$ への写像である。
# $f_1$ は $Q_1$ から $R_1$ への写像である。
# $Q$ の任意の矢 $\alpha$ につき、$s_R(f_1(\alpha))=f_0(s_Q(\alpha))$ が成立する。
# $Q$ の任意の矢 $\alpha$ につき、$t_R(f_1(\alpha))=f_0(t_Q(\alpha))$ が成立する。
を満たすことをいう。

箙の射の合成を成分ごとの合成として定めると、
合成に関して結合的であり、かつ恒等射の組が単位的に振舞う。
よって箙と箙の射の為す圏 $\Quivcat$ が定まる(以降、この圏を単に箙の圏ともいう)。

更に、箙に関する次の概念はよく用いるため、まとめて定義しておく。

{{theorem |type=def |label=def:QuiverDef_Notation |name=箙に関する諸定義 }}
$Q$ を箙とする。$Q$ の向きを忘れたものを基礎グラフといい、$\graph{Q}$ と書く。
# $Q$ が有限であるとは、$Q_0$ および $Q_1$ がともに有限集合であることをいう。
# $Q$ が連結であるとは、$\graph{Q}$ が連結であることをいう。
# $Q$ の二つの矢 $\alpha$ および $\beta$ が合成可能であるとは、$\alpha$ の終点と $\beta$ の始点が一致することをいう。即ち、$t_Q(\alpha)=s_Q(\beta)$ が成立することをいう。

{{theorem |type=def |label=def:QuiverDef_Path |name=道 }}
$Q$ を箙とする。$n$ を正の整数とするとき、$Q$ の矢の列 $(\alpha_1, \alpha_2, \ldots, \alpha_n)$ が長さ $n$ の道であるとは、
隣り合う二つの矢 $\alpha_i$ および $\alpha_{i+1}$ が合成可能であることをいう。
また、$Q$ の頂点 $a$ を長さ $0$ の道ともいい、$\epsilon_a$ と書く。
これらを合わせて単に $Q$ の道という。

また長さが正の道 $p=(\alpha_1, \alpha_2, \ldots, \alpha_n)$ について、$\alpha_1$ の始点を道 $p$ の始点といい、$\alpha_n$ の終点を道 $p$ の終点という。
長さが $0$ の道 $p=\epsilon_a$ については、$a$ を $p$ の始点とも、終点ともいう。
$Q$ の道の始点、終点もそれぞれ $s_Q(p)$ ないしは $t_Q(p)$ と書く。
$Q$ の長さ $n$ の道全体の為す集合を $\path{_n(Q)}$ と書き、$Q$ の道全体の為す集合を $\path{(Q)}$ と書く。

{{theorem |type=rem |label=def:QuiverDef_Path |name=道の定義に関する注意 }}
箙 $Q$ について、長さ $1$ の道 $\path{_1(Q)}$ と $Q$ の矢 $Q_1$ とは一対一に対応する。

{{theorem |type=def |label=def:QuiverRem_Pathcat |name=道圏 }}
$Q$ を箙とする。$\path{(Q)}$ の長さ $n$ の $p=(\alpha_1, \alpha_2, \ldots, \alpha_n)$ と長さ $m$ の道 $q=(\beta_1, \beta_2, \ldots, \beta_m)$ について、$p$ の終点と $q$ の始点とが一致するとき $p$ と $q$ は合成可能であるという。
道 $p$ と $q$ とが合成可能であるとき、またそのときに限り $(\alpha_1,\alpha_2,\ldots,\alpha_m,\beta_1,\beta_2,\ldots,\beta_m)$ は長さ $n+m$ の道である。
これを $p$ と $q$ の合成といい、$p \circ q$ と書く。
このとき、$Q$ の頂点 $Q_0$ を対象とし、$\path{(Q)}$ を射とし、$s_Q$、$t_Q$、$\circ$ を構造とする圏が定まる。
これを $Q$ の道圏といい、$\pathcat{Q}$ と書く。

{{theorem |type=rem |label=def:QuiverDef_Pathcat |name=道圏に関する注意 }}
箙 $Q$ に対して道圏 $\pathcat{Q}$ を取る操作は函手的である。
即ち、箙の射 $\map{f}{Q}{Q'}$ が与えられると、道圏の間の函手 $\map{\pathcat{f}}{\pathcat{Q}}{\pathcat{Q'}}$ が定まる。
この函手 $\path{}$ は圏の為す圏 $\Catcat$ から箙の為す圏 $\Quivcat$ への忘却函手の左随伴である。
この意味で道圏 $\pathcat{Q}$ は箙 $Q$ から自由に生成された圏と呼ぶことがある。

多元環の表現論(箙の表現論)

2022-11-29T16:38:06Z

サクラ: 矢の合成可能性と道について、定義を加筆しました。

多元環の表現論(箙の表現論)

2022-11-27T20:09:01Z

サクラ: 箙の表現論を書きます。

メインページ

2022-11-27T19:37:44Z

サクラ: 箙の表現論を追加しました．

__NOTOC__
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Dedekind整域

2022-11-27T13:09:30Z

サクラ: Dedekind整域の加群論について、加筆しはじめました。全く不十分ですが、少しずつ補います。

<noinclude>
[[Category:環論]]
{{TOC |align=right |noautonum=1 }}
</noinclude>

== Dedekind整域 ==

''Dedekind整域''（Dedekind Domain）とは、零でない任意のイデアルが素イデアルの積に分解できる[[整域]]をいう。
この性質は有理整数環に於ける素因数分解をイデアルの言葉で言い換えた性質であり、
代数的整数論に於いては特に重要な役割を果たす。
Noether整域や離散付置整域に於ける特徴づけや、分数イデアルを用いた特徴付けが知られておりいずれも重要である。

[[単項イデアル整域]]はその性質の良さからイデアルおよび加群を詳しく調べることができるが、
整域が単項イデアル整域であるか否かは大変繊細な振る舞いをする。
これに対してDedekind整域であるか否かは比較的判定しやすく、
この理由の一つにNoether整域がDedekind整域であるか否かは局所的な性質のみで判定できることが挙げられる。
両者の振る舞いの違いは、任意の代数体の整数環はDedekind整域だが一般に単項イデアル整域であるとは限らないことにも表れている。

== 概要 ==

Dedekind整域の特徴付けは沢山知られており、どれを定義としても差支えはない。
本ページでは歴史的な重要性に鑑みて素イデアル分解が可能であることを定義に採用して議論を進めていく。
本項では定義を端的に紹介した後、
基本的な特徴づけを一通り紹介した上で重要な例を挙げる。
論理的にはDedekind整域の定義を読んだ後、
直ぐに次項のイデアル論的性質に進み、
最後にDedekind整域の特徴づけに戻ってくることで循環しないように書かれている。

=== Dedekind整域の定義 ===

整域 $A$ が''Dedekind整域''であるとは、$A$ の零でない任意のイデアル $I$ が有限個の素イデアル $P_1, P_2, \ldots, P_n$ の積として順番を除き一意的に書けることである。
本稿ではこの性質をDedekind性と呼ぶことにするが、これは一般的な呼称ではないことに留意されたい。

=== Dedekind整域の特徴づけ ===

冒頭で述べた通りDedekind整域はいろいろな観点から特徴づけることができる。
詳しい証明については次の項目以降で具体的に見ていくが、
見通しをよくするために先にまとめておこう。

整域 $A$ について次は同値である。
* $A$ はDedekind整域である。
* $A$ の零でない任意のイデアル $I$ は有限個の素イデアル $P_1, P_2, \ldots, P_n$ の積として書かれる。
* $A$ の零でない任意の分数イデアル $I$ は可逆である。
* $A$ の零でないイデアル $I$、$J$ について、$I\subset J$ が成り立つならば $I=JK$ なるイデアル $K$が存在する。
* $A$ は[[遺伝環]]である。

[[Noether整域]] $A$ について次は同値である。
* $A$ はDedekind整域である。
* $A$ の零でない任意の素イデアルによる局所化は[[離散付置整域]]である。
* $A$ は[[整閉整域]]であり、[[Krull次元]]は1以下である。

この特徴づけよりDedekind整域はKrull次元という観点で見ると体の次に簡単なクラスに属することが分かる。
この意味での高次元化として[[Krull整域]]があり、
実際、Krull整域 $A$ について次は同値である。
* $A$ はDedekind整域である。
* $A$ のKrull次元は1である。

=== Dedekind整域の重要な例 ===

Dedekind整域の例としては、先ず次の例が典型的である。

==== 例（Dedekind整域である例：単項イデアル整域） ====
$A$ を[[単項イデアル整域]]とするとき、$A$ はDedekind整域でもある。
特に有理整数環 $\mathbb{Z}$ はDedekind整域である。

''証明''
$A$ はNoether整域であることに注意すると、
Dedekind整域の特徴づけより[[整閉整域]]かつ[[Krull次元]]が1以下であることを示せばよい。
先ず後者については、[[単項イデアル整域]]の議論より単項イデアル整域のKrull次元は1である。
次に前者については、単項イデアル整域は特に[[一意分解整域]]でもあり、整閉整域であることが分かる。
整閉整域であることについての詳細は、[[整閉整域]]もしくは[[一意分解整域]]を参照されたい。
$\mathbb{Z}$ が単項イデアル整域であることは、[[単項イデアル整域]]を参照されたい。
''証明終''

なお、イデアル論的性質の分数イデアルとイデアル類群に於いて、
異なる証明を与えている。
別証明の方は本稿で完結しているため、そちらも必要に応じて参照されたい。

==== 例（Dedekind整域である例：代数体の整数環） ====
$K$ を代数体とし、$\mathcal{O}_K$ を $K$ の代数体とする。
このとき $\mathcal{O}_K$ はDedekind整域である。

''証明''
$\mathbb{Z}$ がDedekind整域であること、
$\mathbb{Z}$ の全商体が $\mathbb{Q}$ であること、
代数体 $K$ は $\mathbb{Q}$ の有限次拡大体であること、
$K$ の整数環は $K$ の中での $\mathbb{Z}$ の整閉包であることに留意すれば、
次に紹介する定理より直ちに従う。
特に整数環が $K$ の中での整閉包であるという事実は[[整数環]]または[[整環]]を参照されたい。
''証明終''

代数体の整数環がDedekind整域であることの証明からも分かるとおり、
次の主張は具体例を構成する上で大変重要である。

''定理''
$A$ および $B$ を整域とする。
$A$ の全商体を $K$ と、$B$ の全商体を $L$ とするとき、
$L$ は $K$ の有限次拡大体であり、
$B$ は $L$ の中での $A$ の正閉包であるとする。
このとき $A$ がDedekind整域であるならば $B$ もDedekind整域である。

''証明''
[[Krull-秋月の定理]]の直接の系である。
''証明終''

このような一般的な主張の証明は易しくはない。
一方で、$L$ が $K$ の有限次分離拡大であることまでを課すと次のように簡単な証明が知られている。
ここで $\mathbb{Q}$ 上の有限次拡大は全て分離的である(体 $\mathbb{Q}$ の標数が0であるから[[完全体]]である。)ことから、
先の代数体の整数環に関する例に限ればこの弱い主張からも証明ができることに留意されたい。
なお、次の定理の証明はJ. P. SerreのLocal Fieldsを参考にした。

''定理''
$A$ および $B$ を整域とする。
$A$ の全商体を $K$ と、$B$ の全商体を $L$ とするとき、
$L$ は $K$ の有限次分離拡大体であり、
$B$ は $L$ の中での $A$ の正閉包であるとする。
このとき $A$ がDedekind整域であるならば $B$ もDedekind整域である。

''証明''
$L$ が $K$ 上分離拡大であることに留意すると$B$ が有限生成 $A$-加群であることが従う。
この事実は[[トレース]]を参照されたい。
よって先ずNoether整閉整域であることが分かるため、
$B$ のKrull次元が1であることを示せばよい。
ここで[[整拡大]]の一般論より、
$B$ の素イデアル $P$，$Q$ について、$P \cap A=Q \cap A$ が成り立つならば $P=Q$ が成り立つので、
もし $B$ が非自明な長さ $2$ 以上の素イデアル鎖が取れるならば、
$A$ に制限することで $A$ も非自明な長さ $2$ 以上の素イデアル鎖が取れる。
この対偶を取ると $A$ のKrull次元が $1$ 以下であることから $B$ も斯かる性質を満たすことが分かる。
''証明終''

以上の議論により、単項イデアル整域から始めて次々Dedekind整域の例を構成することが出来るようになったが、
可換環論の視座に立つとこの逆の問題、即ち「任意のDedekind整域が単項イデアル整域に上述の操作を施すことで得られるか」という問は興味深い。
この問はZariskiとSamuelにより明示的に言及され、L. Clabornにより反例が構成された。
詳しくは[[Clabornの例]]を参照されたい。

また、全商体の有限次拡大のみならず無限次拡大を許す場合、最早Dedekind整域が得られるとは限らないが、
この場合は[[Pruefer整域]]というクラスになることが知られている。
これに関連してPruefer整域より強く「[[Bezout整域]]になるのはどのような条件を満たすときか」「[[Dedekind整域]]になるのはどのような条件を満たすときか」という問題も考えらる。
この辺りの十分条件に関する話題は[[Pruefer整域]]に記述する予定である。

== イデアル論的性質 ==

本項ではDedekind整域の定義からイデアル論的な基本性質を示していく。

=== 分数イデアルとDedekind整域のイデアル論的特徴づけ ===

$A$ を整域とし、$K$ を $A$ の[[全商体]]としよう。
$K$ の部分 $A$-加群 $I$ について、 $I$ が $A$ の[[分数イデアル]]であるとは $A$ のとある非零元 $a$ を掛けることで $aI \subset A$ が成立するようにできることをいう。
特に $A$ は $K$ の部分 $A$-加群であるから分数イデアルであり、
$A$ のイデアルは $A$ の部分 $A$-加群ということもでき、元より $A$ の部分集合であるのでこれも分数イデアルである。
この分数イデアルについて、証明は[[イデアル類群]]の項に譲るが次の顕著な性質が知られている。

==== 事実（イデアル類群の演算） ====
$A$の分数イデアル全体を $J_A$ と書くとき、
$J_A$ の元 $I$、$J$ について、
$I \star J=\langle\{ ij\ \in K \mid i \in I かつ j \in J \}\rangle_A$ と置くとこの演算 $\star$ により $J_A$ は $A$ を単位元とする可換モノイドを為す。

$A$ の分数イデアル $I$ が可換モノイド $J_A$ に於ける可逆元であるとき、可逆であるという。
$I$ が可逆な分数イデアルであるとき、$I^{-1}=\{ k \in K \mid kI \subset A \}$ と置けば $I \star I^{-1}=R$が成立する。
$A$ がDedekind整域であることは、分数イデアルの可逆性の言葉を用いてに関して次のように特徴づけることができる。

==== 命題（Dedekind整域のイデアル論的な特徴づけ） ====
$A$ を整域とするとき、次は同値である。
* $A$ はDedekind整域である。
* $A$ の零でない任意のイデアル $I$ は有限個の素イデアル $P_1, P_2, \ldots, P_n$ の積として書かれる。
* $A$ の零でない任意の分数イデアル $I$ は可逆である。
* $A$ の零でないイデアル $I$、$J$ について、$I\subset J$ が成り立つならば $I=JK$ なるイデアル $K$が存在する。

''証明''
先ず(3)と(4)との同値性を示す。
(3)ならば(4)について、
零でない分数イデアル $I$ を任意にとる。
分数イデアルの定義より $A$ の元 $a$ であって $Ia \subset A$ を成立させるものが取れる。
$Ia$ は $A$ のイデアルであるから仮定より $(Ia) \star J = A$ が成立するイデアル $J$ が取れる。
ここで $A = (Ia) \star J = (I \star \langle a \rangle_A) \star J = I \star (\langle a \rangle_A \star J)= I \star (aJ)$ が成立するので $I$ が可逆であることが分かった。
(4)ならば(3)について、$I\subset J$ が成り立つような零でないイデアル $I$、$J$ について考える。
このとき $J$ の可逆元 $J^{-1}$ が取れるので、
$I = A \star I = ( J \star J^{-1} ) \star I = J \star ( J^{-1} \star I )$ が成立する。
よって $K=J^{-1} \star I$ と置けばよい。

次に(1)、(2)、(3)の同値性を示す。
(1)ならば(2)は明白である。
(2)ならば(3)について、$I\subset J$ が成り立つような零でないイデアル $I$、$J$ について考える。
仮定より $I = P_1^{x_1} \cdots P_n^{x_n}$ および $J = P_1^{y_1} \cdots P_n^{y_n}$ と書くことができ、
$I \subset J$ より $y_n \leq x_n$ が成立する。
よって $K=P_1^{y_1-x_1} \cdots P_n^{y_n-x_n}$ と置けばこれは $I=J \star K$ が成立する $A$ のイデアルである。

(3)ならば(1)について、$A$ のイデアル $I$ を任意にとる。
先ず素イデアル分解の存在を示す。
$I$ を含む素イデアル $P_1$ を取るとき、もし $I=P_1$ が成立するなら示すことはないので $I$ よりも $P_1$ は真に大きいと仮定してよい。
このとき(3)より $I=P_1 \star I_1$ なるイデアル $I_1$ が取れる。
この操作を $I_j$ に対して適用することで再帰的に $I_j$ が素イデアルでなければ $I_j=P_{j+1} \star I_{j+1}$ なる素イデアル $P_{j+1}$ とイデアル $I_{j+1}$ とが取れる。
もしこの再帰的ステップが止まらなかったと仮定しよう。
このとき各 $j$ について $I_j=P_{j+1} \star I_{j+1}$ という関係式より $I_j \subset I_{j+1}$ が成立し、仮定よりこれは真の包含である。
よって $I \subset I_1 \subset I_2 \subset \cdots \subset I_n \subset \cdots$ という無限昇鎖の存在が分かり、
$A$ はNoetherではない。
任意の分数イデアルが可逆であるならばNoether整域であるということの対偶より、
とある分数イデアルが可逆でないこと、即ち(4)の否定が従うが、
既に示した通り(3)と(4)とは同値であったのでこれは矛盾である。
よって先の再帰は有限ステップで止まり、止まるステップ数を $N$ と置けば $I=P_1 \star P_2 \star \cdots \star P_N$ が得られる。
次に素イデアル分解の一意性を示す。
$I$ の二つの素イデアル分解 $I=P_1\cdots P_n=Q_1\cdots Q_m$ を任意にとる。
$P_1=Q_i$ なる素イデアル $Q_i$ が存在すること(☆)が示されれば、
順番を付け替えることで $P_1=Q_1$ としてよい。
イデアルは分数イデアルであるため(4)より $P_1$ が $J_A$ の可逆元であることが分かり、
$P_1^{-1}$ を左から掛けることで $P_2\cdots P_n=Q_2\cdots Q_m$ を得られ、
帰納的に順番を除いて一意であることが従う。
最後に(☆)を示す。
$P_1\supset Q_1\cdots Q_m$ が成立するので $P_1\supset Q_i$ なる $i$ が取れる。
このとき Krull次元が $1$ であることに留意すれば $Q_i$ は極大イデアルであり、
$P_1=Q_i$ が成立する。
以上より証明できた。
''証明終''

=== 分数イデアルとイデアル類群 ===
既に示したように整域 $A$ がDedekind整域であることは分数イデアルの可逆性で特徴づけられるから、
$A$ がDedekind整域の場合、またその時に限り $J_A$ は群を為す。
ここで $K$ の乗法群から $J_A$ への群準同型写像 $\varphi\colon K \rightarrow J_A$ を $\varphi(x)=\langle x \rangle_A$ と書く。
このとき $\varphi$ の核は $A$ の乗法群であり、余核は $J_A$ を単項分数イデアル全体 $P_A$ で割った剰余群となる。
この剰余群をイデアル類群といい、$\mathop{\mathsf{Cl}}(A)$ と書く。
これは代数的整数論に於いて重要な役割を果たす。

$G$を任意の可換群とするとき、$G\cong\mathop{\mathsf{Cl}}(A)$ が成り立つようなDedekind整域 $A$ の存在が知られている。
また定義からも分かる通り、単項イデアル整域 $A$ のイデアル類群 $\mathop{\mathsf{Cl}}(A)$ は一元集合であるから特に群を為しており、
よって単項イデアル整域ならばDedekind整域であることが分かる。
逆に、$A$ がDedekind整域であるとき、$A$ のイデアル類群が自明ならば単項イデアル整域であることも再び定義より分かる。

=== Noether性とその次元 ===

先ず分数イデアルに関する次の事実を思い出そう。

==== 命題（可逆な分数イデアルの有限生成性） ====
$A$ を整域とするとき、
$A$ の分数イデアルは可逆ならば有限生成である。

''証明'' $I$ を $A$ の可逆な分数イデアルとする。
このとき $I \star I^{-1}=A$ が成立するので $I$ の元と $I^{-1}$ の元の積の和として $A$ の任意の元が書かれ、特に $i_1k_1+\cdots+i_nk_n=1$ が成立するように $I$ の元 $i_j$ と $I^{-1}$ の元 $k_j$ とが取れる。
以下では $\langle i_1,\ldots,i_n \rangle_A = I$ が成立することを示す。
$I$ の元 $i$ を任意にとると、先に示した関係式より $i_1k_1i+\cdots+i_nk_ni=i$ が成立する。
$I^{-1}$ の定義より $k_ji\in A$ が成立するので、$i$ は $i_j$ 達の $A$ 線型和として書くことができた。
よって $i\in\langle i_1,\ldots,i_n \rangle_A$ が得られる。
''証明終''

この命題よりDedekind整域の任意のイデアルが有限生成であることが分かるため、
系としてDedekind整域のNoether性が分かることが重要である。

さて、Dedekind整域がNoetherであることが分かったので次はKrull次元を計算しよう。
そのために素イデアルについて調べていく。
Dedekind整域の素イデアルとして、整域であることからまず零イデアル $(0)$ が挙げられる。
$(0)$ 以外の素イデアルについては次の事実が成り立つ。

==== 補題（Dedekind整域の素イデアル） ====
$A$ をDedekind整域とするとき、$A$ の零でない素イデアルは総て極大である。

''証明'' $A$ の零でない素イデアル $P$ を任意にとるとき、$A$ は単位的であるから $P$ を含む極大である $M$ が存在し、同様の理由から素イデアルである。
よって $A$ がDedekind整域であることに留意すると $P=QI$ なるイデアル $I$ が存在し、
$I$ も有限個の素イデアルの積に分解できる。
ここで素イデアル分解の一意性より$P=Q$ が従う。
''証明終''

補題の帰結として次が得られる：

==== 定理（Dedekind整域の次元） ====

Dedekind整域の[[Krull次元]]は $1$ 以下である。

=== Noether整域に於けるDedekind整域 ===

Noether整域に於いて、Dedekind整域は次のように特徴づけることができる。
この項以降は[[整閉整域]]に関する基本的な事柄を仮定する。

==== 命題（体でないDedekind整域は1次元Noether整域である） ====
$A$ をNoether整域とするとき、次は同値である。
* $A$ はDedekind整域である。
* $A$ は整閉整域であり、Krull次元が $1$ 以下である。

''証明''
既にDedekind整域であるならばKrull次元が $1$ 以下であることを示しているので、
$1$ 次元Noether整域に対してDedekind整域であることと整閉整域であることとの同値性を示せばよい。
(準備中)

全く同じことであるが、Dedekind整域は1次元Noether整閉整域か体であるといえる。
ここまででNoether整域に於けるDedekind整域の立ち位置が分かったが、
Noether整域がDedekind整域か否かが局所的に判定可能であることも重要である。
ここからは[[離散付値整域]]に関する幾つかの性質を認める。

==== 命題（Noether整域のDedekind性が局所的であること） ====
$A$ をNoether整域とするとき、次は同値である。
* $A$ はDedekind整域である。
* $P$ を $A$ の零でない任意の素イデアルとするとき、$A_P$は離散付値整域である。
* $P$ を $A$ の零でない任意の素イデアルとするとき、$A_P$は単項イデアル整域である。

''証明'' (準備中)

ここで、$A$ のNoether性の仮定を外すとこの命題は成り立たないことに注意されたい。
即ち、Dedekind整域ではないが局所的には離散付値整域である例が知られている。
このようなクラスの可換環を概Dedekind整域といい、詳細の情報は[[概Dedekind整域]]を参照されたい。

=== Krull整域に於けるDedekind整域 ===

Dedekind整域が1次元Noether整閉整域か体であることを既に見てきたが、
この1次元であるという性質は強いものである。
そこでこの条件を緩めた概念を考えるのは可換環論の立場で見れば自然であり、
程よい整域のクラスに[[Krull整域]]がある。
以下ではKrull整域に関する性質を認めた上で、
Dedekind整域がよいKrull整域として特徴づけられることを見る。

==== 命題（Krull整域に於けるDedekind性） ====
$A$ をKrull整域とするとき、次は同値である。
* $A$ はDedekind整域である。
* $A$ のKrull次元は $1$ 以下である。

''証明'' (準備中)

== 加群の性質 ==

Dedekind整域上の加群の構造は、単項イデアル整域の上の加群の構造論の一般化がある程度成り立つことが知られている。
(以下準備中)

まずは入射加群に関する顕著な性質から確かめる。
以下の証明は加群論的には大変見通しがよいが、本稿で取り扱っていないPruefer整域に関する事実を用いている。
このことを踏まえて構造定理の系として与えられることを最後に述べるので、これは一旦読み飛ばしても差し支えない。

==== 命題（Dedekind整域における入射加群の特徴づけ） ====
$A$ をDedekind整域とし、$M$ を $A$ 加群とする。このとき、次は同値である。
* $M$ は入射加群である。
* $M$ は絶対純(absolutely pure)加群である。
* $M$ は可除加群である。

''証明''
入射的ならば絶対純、および絶対純ならば可除は一般に成立するので、逆を考える。
いま $A$ は整域なので、$A$ のNoether性は「可除ならば絶対純」という性質で特徴づけられる。
また、$A$ が整域なので、$A$ がPruefer性は「絶対純ならば入射的」という性質で特徴づけられる。
よって $A$ が整域のとき、三つの性質が同値であることはNoetherかつPrueferであることにより特徴づけられるが、
これはDedekind整域であることに他ならない。

==== 命題（Dedekind整域における有限生成加群の構造定理） ====
$A$ をDedekind整域とし、$M$ を有限生成 $A$-加群とする。
このときイデアルの昇鎖 $I_1 \subset I_2 \subset\cdots\subset I_n$ および自由 $A$-加群 $F$、可逆イデアル $I$ であって、
$M \cong R / I_1 \oplus R / I_2 \oplus\cdots\oplus R / I_n \oplus F \oplus I$ が成り立つものが存在する。

''注意''
$M$ は有限生成なので $F$ の階数は有限である。また、$I$ のみでなくイデアルの昇鎖も $M$ に対して一意的に定まるため、$F$ も一意的に決まることが分かる。
また次の概証は幾つかの補題を要するものであり、これは追って加筆する。

''概証''
$M$ を捻じれ部分 $\mathop{T}(M)$ とその剰余の直和に分解する。
$M / \mathop{T}(M)$ が射影加群であることが分かると自由加群と可逆イデアルとに直和分解できる。
捻じれ部分加群 $\mathop{T}(M)$ に対して条件を満たすようなイデアルの昇鎖を取ることができる。
以上より $M$ の構造が分かった。
''証明終''

== 関連項目 ==

* [[可換環論]]
* [[Noether環]]
* [[Dedekind整域]]
* [[Euclid整域]]
* [[一意分解整域]]
* [[整閉整域]]
* [[Pruefer整域]]
* [[Bezout整域]]
* [[完全体]]
* [[Krull整域]]
* [[イデアル類群]]

群

2022-08-08T08:34:42Z

サクラ: media wiki移行前の記事に於いてコメントアウトしていた部分が残っていたためを削除しました。

[[Category:群論]]
<noinclude>
{{TOC |align=right |noautonum=1 }}
</noinclude>
== 群 ==
工事中。

== 定義 ==
=== 定義1 ===
'''群(ぐん、group)'''とは、[[集合]] $G$ と $G$ の上で閉じた[[二項演算]] $\times$、$G$ の要素 $1$ の三つ組 $\langle G, \times, 1\rangle$ で、次の公理を満たすものをいう。
* (G1)（[[結合律]]）
$ \forall a,b,c \in G, (a \times b) \times c = a \times (b \times c) $
* (G2)（[[単位元]]の存在）
$ \forall a \in G, a \times 1 = 1 \times a = a $
* (G3)（[[逆元]]の存在）
$ \forall a \in G, \exists b \in G, a \times b = b \times a = 1 $
==== 補足 ====
上の定義に関連して、一般に集合 $G$ とその上の二項演算 $\times$ が与えられているとき、(G2)の条件を満たす元 $1 \in G$ のことを[[単位元]]と呼び、(G3)の条件を満たす元 $b \in G$ のことを $a$ の[[逆元]]と呼ぶ。~
正整数 $n$ に対し、$G$ の元 $g$の $n$ 乗を $$g^n = g \times g \times \cdots \times g$$ ( $g$ を $n$ 回掛ける)と定める(結合律によりこれは元を掛ける順番によらない)。また、$$g^0 = 1$$ とし、負の整数 $-n$ ( $n$ は正整数) に対しては、$g$ の逆元を$g^{-1}$ と書いて $$g^{-n} = (g^{-1})^n$$ と定める。~
このとき、実数のべき乗に関する指数法則と同様に、整数 $m, n$ に対し $g^{m + n} = g^m \times g^n, g^{mn} = (g^m)^n $が成り立つ。~
通常、二項演算 $\times$ と単位元 $1$ の内容が明らかなとき、群 $\langle G, \times, 1\rangle$ のことを単に群 $G$ と呼ぶことがある。特に構造としての群のその台集合を誤解を招かない範囲で同一の記号で表す。~
一般に群 $\langle G, \times, 1\rangle$ の単位元は $1$ に限られる（[[単位元|証明]]）ので、群を二つ組 $\langle G, \times \rangle$ として定義しても混乱が生じる恐れはない。この場合の定義は以下の通り。
:''群''とは、集合 $G$ と $G$ の上で閉じた二項演算 $\times$ のニつ組 $\langle G, \times \rangle$ で、次の公理を満たすものをいう。
* (G1)（結合律）
$ \forall a,b,c \in G, (a \times b) \times c = a \times (b \times c) $
* (G2)'（単位元の存在）
$ \exists 1 \in G, \forall a \in G, a \times 1 = 1 \times a = a $
以下 $1$ を(G2)'から存在が分かる単位元とする
((公理(G2)'において、$1$ という記号は $G$ の元を表す変数なので、(G3)における $1$ は（記号上は同じでも）論理的に同じ元を表すとは限らない。そこで「 $1$ を(G2)'から存在が分かる単位元とする」という文言が必要になる。))
* (G3)（逆元の存在）
$ \forall a \in G, \exists b \in G, a \times b = b \times a = 1 $
<また、群 $\langle G, \times, 1\rangle$ の各元に対してその逆元は一意に定まるので、逆元演算子 ${}^{-1}$ を用いた四つ組 $\langle G, \times, {}^{-1}, 1\rangle$ で定義することもある。具体的には以下の通り。((この場合、等式の全称閉包のみで公理化可能なので、[[普遍代数学]]ではこの定義が用いられる。))
:''群''とは、集合 $G$ と $G$ の上で閉じた二項演算 $\times$、単項演算 ${}^{-1}$、$G$ の要素 $1$ の四つ組 $\langle G, \times, {}^{-1}, 1\rangle$ で、次の公理を満たすものをいう。 ~
* (G1)（結合律）
$ \forall a,b,c \in G, (a \times b) \times c = a \times (b \times c) $
* (G2)（単位元の存在）
$ \forall a \in G, a \times 1 = 1 \times a = a $
* (G3)'（逆元の存在）
$ \forall a \in G, a \times a^{-1} = a^{-1} \times a = 1 $
<またMcCune 1993では群 $ \langle G, \times , {}^{-1}\rangle $ を一つの等式で公理化できることを示している、以下に一例を表す。
* (G) $ (w\times ( (x^{-1}\times w)^{-1}\times z) )\times ((y\times z)^{-1}\times y)=x $

=== 定義2 ===

圏 $\mathscr{C}$ が群であるとは、$\mathop{\mathrm{Ob}}(\mathscr{C})$ が一元集合であり、任意の射 $f\in\mathop{\mathrm{Mor}}(\mathscr{C})$ が可逆であることである。

== 具体例 ==
* [[自明群]] $\{1\}$ 。簡略化のために $1$ と書くこともある。
* [[整数]] $\mathbb{Z}$、[[有理数]] $\mathbb{Q}$、[[実数]] $\mathbb{R}$、[[複素数]] $\mathbb{C}$、[[四元数]] $\mathbb{H}$ は、それぞれ $0$ を単位元として加法について群である。
* [[有理数]] $\mathbb{Q}$、[[実数]] $\mathbb{R}$、[[複素数]] $\mathbb{C}$、[[四元数]] $\mathbb{H}$ からそれぞれ $0$ を除いた集合は、それぞれ $1$ を単位元として乗法について群である。
* 有限集合 $\{1, 2, \ldots, n\}$ の[[置換]]の全体 $S_n$ は、恒等置換を単位元とし、置換の合成について群である。（[[対称群]]）
* 有限集合 $\{1, 2, \ldots, n\}$ の[[偶置換]]の全体 $A_n$ は、恒等置換を単位元とし、置換の合成について群である。（[[交代群]]）
* n次実[[正則行列]]の全体 $\mathop{\mathrm{GL}_n}(\mathbb{R})$ は、[[単位行列]]を単位元とし、行列の乗法について群である。（[[一般線形群]]）
* [[有限群の分類(位数1~100)]]

== 群の定義そのものに関する基本的性質 ==
=== 命題1(単位元の唯一性) ===
群 $\langle G, \times, 1\rangle$ の単位元は $1$ に限られる。
すなわち、$e \in G$ が
: $ \forall a \in G, a \times e = e \times a = a $
<を満たすならば、$e=1$ 。
{{begin|proof}}
$e$について仮定した条件式において $a = 1$ として、$1 \times e = e \times 1 = 1$ 。
一方、群の公理(G2)で $a = e$ として、$e \times 1 = 1\times e = e$ 。
よって、$e = 1$ 。
{{end|proof|}}
より一般的な状況での証明については、「[[単位元]]」を参照。

=== 命題2(逆元の唯一性) ===
群 $\langle G, \times, 1\rangle$ の各元 $a$ に対して、その逆元は一意に定まる。

{{begin|proof}}
元 $b, b' \in G$ が、どちらも群の公理(G3)の条件式を満たすとする：
$a \times b = b \times a = 1, a \times b' = b' \times a = 1$ 。
このとき、$$b = b \times 1 = b \times (a \times b') = (b \times a) \times b' = 1 \times b' = b'$$ となるので、結局 $b$ と $b'$ は等しい。
{{end|proof|}}

=== 命題3(吸収元) ===
[[吸収元]]を持つ群は、[[自明群]]に限られる。
{{begin|proof}}
$\langle G, \times, 1\rangle$ を群とし、$0 \in G$ を吸収元とする。このとき、$0$ の逆元 $0^{-1} \in G$ が存在して、
: $0 \times 0^{-1} = 1$
一方、$0$ は吸収元だから、
: $0 \times 0^{-1} = 0$
よって、$0=1$ なので、$G=\{1\}$ が得られた。
{{end|proof|}}

=== 命題4（逆演算可能性） ===
$\langle M, \times \rangle$ を結合的マグマとする。このとき、以下は同値。
# $1 \in M$ が存在して $\langle M, \times, 1 \rangle$ は群。
# 任意の $a,b \in M$ に対して
:$a \times x = b$
$y \times a = b$
<を満たす $x,y \in M$ が一意に定まる。（逆演算可能）

== 群の位数、群の元の位数 ==
=== 群の位数 ===
群 $\langle G, \times, 1\rangle$ の台集合 $G$ の元の個数を、その群 $\langle G, \times, 1\rangle$ の''位数''（いすう、order）といい、$|G|$ または $\#G$ で表す。$G$ が無限集合であるときは「元の個数」という概念が言葉通りには適用できないので、$G$ の[[濃度>集合の濃度]]をその群の位数と定める。

=== 群の元の位数 ===
群 $\langle G, \times, 1\rangle$ と $G$ の元 $g$ が与えられているとする。$g$ のべき乗 $g^n$ について、以下の2つのうちどちらか1つが成り立つ。
# ある正整数 $n$ が存在して、$g^n = 1$ となる。
# 任意の正整数 $n$ に対して、$g^n \neq 1$ である。

1番目の条件が成り立つとき、$g^n = 1$ となる最小の正整数 $n$ が存在する。その最小の正整数を、$g$ の''位数''という。このとき $g$ は''有限位数''であるともいう。
2番目の条件が成り立つときは、$g$ は''無限位数''であるという。このとき $g$ の''位数''を便宜的に $\infty$と書くことがある。

=== 命題5（元の位数の基本的な性質） ===
群 $G$ とその元 $g$ が与えられていて、$g$ は有限位数であるとし、その位数を $l$ とする。このとき、整数 $m, n$ に対し以下は同値である。
#$g^m = g^n$。
#$m - n$ は $l$ で割り切れる。

特に、$g^n = 1$ であることと $n$ が $l$ で割り切れることは同値であり、また $1 = g^0, g^1, \ldots , g^{l - 1}$ はどの2つも相異なり、さらに $n$ を $l$ で割った余りを $r$ としたとき $g^n = g^r$ となる。

=== 群の位数、群の元の位数の例 ===

群 $\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$ ( $n$ は正整数)の位数は $n$ である。
群 $\mathbb{Z}/4\mathbb{Z}$ について、元 $\overline{0},\overline{1},\overline{2},\overline{3}$ の位数はそれぞれ $1,4,2,4$ である。
群 $\mathbb{Z}$ について、元 $0$ の位数は $1$ であり、その他の元は全て無限位数である。

== 部分群 ==
=== 部分群 ===
与えられた群 $G$ の''部分群''（ぶぶんぐん、subgroup）とは、$G$ の部分集合 $H$ で、もとの群 $G$ と同じ演算によって群の構造を持つもののことである。より正確には、以下のように定義する。

==== 部分群の定義 ====
群 $\langle G, \times, 1\rangle$ と、$G$ の部分集合 $H$ が与えられているとする。さらに、$H$ は $G$ の単位元 $1$ を含み、$G$ の積演算 $\times$ は $H$ 上で閉じているとする。このとき、群 $\langle G, \times, 1\rangle$ の台集合と演算を $H$ 上に制限すると、組 $\langle H, \times|_{H\times H}, 1\rangle$ ができる。これが再び群の公理を満たすとき、組 $\langle H, \times|_{H\times H}, 1\rangle$ は群 $\langle G, \times, 1\rangle$ の''部分群''であるという。もちろん、このとき $\langle H, \times|_{H\times H}, 1\rangle$ はまた群である。

==== 定義の補足 ====
* 積演算の内容が明らかなときは単に、$H$ は群 $G$ の部分群である、という。
* $H$ が群 $G$ の部分群であることを、$H \le G$ と書くことがある。この記号は数に対する不等式（例えば $1 \le 2$ ）と重複しているが、数と群に同じ記号を用いることは（ $1$ を除いて）ないので、文脈によって判断できる。

=== 命題6（部分群となるための条件） ===
$G$ を群、$H$ を $G$ の部分集合とするとき、$H$ に関する以下の条件は全て同値である。
# $H$ は上の定義の条件を満たし、$G$ の部分群を成す。
# 以下の3条件が成立する。
## $H$ は $G$ の単位元 $1$ を含む。
## $H$ は積について閉じている、つまり任意の $H$ の元 $x$、$y$ に対し $xy\in H$ が成り立つ。
## $H$ は逆元について閉じている、つまり任意の $H$ の元 $x$ に対し $x^{-1}\in H$ が成り立つ。
# 上の3条件のうち、1番目を以下の条件に置き換えたものが成立する。
## $H$ は空集合ではない。
# $H$ は空集合ではなく、また任意の $H$ の元 $x$、$y$ に対し $x^{-1}y\in H$ が成り立つ。

{{begin|proof}}
(1 $\Rightarrow $ 2) (i)、(ii)は、それぞれ「 $H$ は $G$ の単位元 $1$ を含み」、「 $G$ の積演算 $\times$ は $H$ 上で閉じている」という仮定から明らか。
(iii) $H$ の任意の元 $x$ をとる。今 $\langle H, \times|_{H\times H}, 1\rangle$ が群であることから、ある $H$の元 $y$ が存在して $xy = yx = 1$ が成り立つ。等式 $xy = 1$ の両辺に左から $x^{-1} (\in G)$ を掛ければ等式 $1y = x^{-1}$ を得て、結局 $y = x^{-1}$ となる。つまり、$x$ の $H$ における逆元は $G$ における逆元 $x^{-1}$ であることがわかり、同時に $x^{-1} \in H$ となることがわかる。
{{end|proof|}}

=== 部分群による剰余類 ===

群 $G$ とその部分群 $H$ に対し、「 $H$ の元を右から掛けて移り合う元を同一視する」という同値関係が考えられる。この同値関係による商は左剰余類と呼ばれる。この商集合には自然に $G$ が作用し(群の作用については後述)、そのため群の作用の典型的な例ができる。

==== 剰余類の定義 ====

群 $G$ とその部分群 $H$ に対し、集合 $G$ の上の同値関係 $\sim$ を $$g \sim g' \Leftrightarrow \exists h \in H \ g' = gh$$ で定める。この同値関係による商集合を $G/H$ と書き、「この $G/H$ の元(つまり1つ1つの同値類)」を''(左)剰余類''という。

=== 正規部分群 ===
与えられた群 $G$ の''正規部分群''（せいきぶぶんぐん、normal subgroup）とは、部分群であってさらに $G$ の構造によるある演算で不変なもののことである。具体的な定義は以下で述べる。

==== 共役 ====
$G$ を群、$g$ を $G$ の元とする。
$G$ の元 $h$ に対して、$h$ の $g$ による''共役''（きょうやく、conjugation）を、$ghg^{-1}$ で定める。
同様に、$G$ の部分集合 $S$ に対して、$S$ の $g$ による''共役集合''を、$gSg^{-1} := \{ gsg^{-1} \mid s\in S\}$ で定める。
$G$ の2つの元 $h$、$k$ が、ある $g$ によって $k = ghg^{-1}$ という関係にあるとき、$h$ と $k$ は''共役''である（conjugate）という。この関係を成り立たせる $g$ を指定して、$g$ により共役であるともいう。同様に、$G$ の部分集合 $S$ と $T$ がある $g$ について $T = gSg^{-1}$ となるとき、$S$ と $T$ は（ $g$ により）''共役''であるという。

==== 正規部分群の定義 ====
群 $G$ と、その部分群 $H$ が与えられているとする。 $H$ が $G$ の''正規部分群''であるとは、 $G$ の任意の元 $g$ に対して $$gHg^{-1}\subset H$$ となることをいう。

=== 命題7（正規部分群となるための条件） ===
$G$ を群、$H$ を $G$ の部分群とするとき、$H$ に関する以下の条件は全て同値である。
# 任意の $g\in G$ に対し $gHg^{-1}\subset H$ となる。
# 任意の $g\in G$ に対し $gHg^{-1} = H$ となる。
# 任意の $g\in G$ に対し $gH = Hg$ となる。
# $G$ の任意の2つの左剰余類 $xH$、$yH$ に対し、$xH$、$yH$ のそれぞれの代表元 $x'$、$y'$ について、積 $x'y'$ の左剰余類 $x'y'H$ は $x'$、$y'$ の取り方によらない。
# $G$ の任意の2つの右剰余類 $Hx$、$Hy$ に対し、 $Hx$、$Hy$ のそれぞれの代表元 $x'$、$y'$ について、積 $x'y'$ の右剰余類 $Hx'y'$ は $x'$、$y'$ の取り方によらない。

== 群準同型 ==

=== 群準同型 ===

''(群)準同型''(ぐんじゅんどうけい、group homomorphism、homomorphism of group)とは、2つの群 $G,H$ の間の写像 $f\colon G \to H$ で、群の演算、すなわち積を「保つ」ようなものである。より正確には、以下のように定義する。

==== 群準同型の定義 ====

$G,H$ を群とする。写像 $f\colon G \to H$ が''(群)準同型''であるとは、任意の $g,g'\in G$ に対し $$f(g\cdot g') = f(g)\cdot f(g')$$ となることをいう。

==== 補足 ====

定義の条件式において、左辺の $\cdot$ は $G$ における積であり、右辺の $\cdot$ は $H$ における積である。( $G$ での)積を $f$ でまるごと $H$ に送ったものが再び( $H$ での)積に分解されている様子を、「積を保つ」と表しているわけである。

=== 命題8 (群準同型が保つもの) ===

$G,H$を群、$f \colon G \to H$ を群準同型写像とする。
(1) $f$ は単位元を保つ、つまり $f(1)=1$ が成り立つ。
(2) $f$ は逆元を保つ、つまり任意の $g\in G$ に対し $f(g^{-1})=f(g)^{-1}$が成り立つ。

=== 群同型 ===

$G,H$ を群とする。写像 $f \colon G \to H$ が''(群)同型'' (ぐんどうけい、group isomorphism、isomorphism of group)であるとは、$f$ が全単射であり、$f$ とその逆写像 $f^{-1}$ が共に群準同型であることをいう。群同型 $f$ が存在するとき、$G$ と $H$ は''同型''(どうけい、isomorphic)であるという。

==== 補足 ====

*2つの群 $G,H$ の間に同型写像 $f \colon G \to H$ があるとき、積の計算や元の一致不一致、部分群の個数などの「群に関係する事柄」が $G$ と $H$ で完全に対応する。そこで、逆に群同型が存在するような群 $G,H$ について完全に対応する性質など(のうちで群を考えることにより初めて現れるもの)を''群論的性質''などと呼ぶことがある。
*さらに、群論を考える上ではこのような $G,H$ は全く同一の振る舞いをするので、しばしばこの2つを同一視したような言葉使いをすることがある。しかし、群同型がある2つの群をいつでも同一視すると、文脈によってはよくないことがある。例えば、対称群 $S_4$ の部分群 $\langle (1 2) \rangle$ と $\langle (3 4) \rangle$ は(どちらも位数2の巡回群だから)同型であるが、共通部分をとれば $1$ となる(「 $S_4$ の部分群であって位数2の巡回群であるもの2つの共通部分」という情報だけからその共通部分が確定しないことを強調しておく)。この点でこの2つの群は「 $S_4$ の部分群としては」区別されるべきものである。

== 群同士の演算 ==

与えられた群(たち)から、新たな群を作る一般的な方法がある。ここでは、そのうち基本的なものを紹介する。

=== 直積群 ===

与えられた群 $G, H$ に対し、台集合を直積集合 $G \times H$ とする直積群が作られる。この直積群では、$G$ と $H$ (それぞれ $G \times H$ の部分群とみなす)の元は可換となる。

==== 直積群の定義 ====

$G, H$ を群とする。直積集合 $G \times H$ の上の二項演算 $\cdot$ を、以下で定める。$$(g,h) \cdot (g',h') := (gg',hh')$$
このとき、$\langle G \times H, \cdot \rangle$ は単位元が $(1,1)$ 、$(g,h)$ の逆元が $(g^{-1},h^{-1})$ であるような群となる。この群を、$G$ と $H$ の''直積群''といい、やはり $G \times H$ と書く。

=== 自己同型群 ===

群 $G$ に対し、$G$ から自分自身への同型 $f \colon G \to G$ を $G$ の''自己同型''(じこどうけい、automorphism)という。$G$ の自己同型全体の集合を $\text{Aut} G$と書くと、これは写像の合成 $\circ$ に関して群を成す(単位元が恒等写像 $\text{id}_G$、$f \in \text{Aut} G$ の逆元が $f^{-1}$ ( $f$ の逆写像)であるような群)。この群 $\text{Aut} G$ を、$G$ の''自己同型群''という。

== 群の圏 ==

== 群の作用 ==

=== 群の作用の定義 ===
群 $G$ と集合 $X$ に対して、写像 $G \times X \to X$ （ $(g, x)\in G \times X$ の像を $g\cdot x$ と書くことにする）が以下の2条件を満たすとき、この写像を群 $G$ の $X$ への'''左作用'''であるという。
* 任意の $g, h \in G$ 、$x \in X$ に対し $g\cdot (h\cdot x) = (gh)\cdot x$
* 任意の $x\in X$ に対し $1\cdot x = x$
群の左作用 $G \times X \to X$ は以下の群準同型を定める。
\[G \to \text{Sym}(X)\]
\[g\mapsto (x\mapsto g\cdot x)\]
（ただし $\text{Sym}(X) = \text{Sym}_{\text{left}}(X)$ は $X$ から $X$ 自身への全単射全体の集合で、$\sigma, \tau\in \text{Sym}(X)$ の積を $(\sigma\tau)(x) \ \colon = \sigma(\tau(x)) (x\in X)$ で定めてできる群である。）

逆に、群準同型 $\rho \ \colon G \to \text{Sym}(X)$が与えられたとき、写像 $G \times X \to X; (g, x)\mapsto \rho(g)(x)$ は上の2条件を満たす。したがって、2条件を満たす写像 $G \times X \to X$ と群準同型 $\rho \ \colon G \to \text{Sym}(X)$ には(自然な)1対1対応があるので、群準同型の方を作用と言うこともある。

また、写像 $X \times G \to X$ （ $(x, g)\in X \times G$ の像を $x\cdot g$ と書くことにする）が以下の2条件を満たすとき、この写像を群の $G$ の $X$ への'''右作用'''であるという。
* 任意の $g, h\in G$ 、$x\in X$ に対し $(x\cdot g)\cdot h = x\cdot (gh)$
* 任意の $x\in X$ に対し $x\cdot 1 = x$
左作用の場合と同様に、この写像は
\[G \to \text{Sym}(X)^{\text{op}}\]
\[g\mapsto (x\mapsto x\cdot g)\]
（ただし $\text{Sym}(X)^{\text{op}} = \text{Sym}_{\text{right}}(X)$ は集合としては $\text{Sym}(X)$ と同じものとし、$\sigma, \tau\in \text{Sym}(X)^{\text{op}}$ の積を $(\sigma\tau)(x) \ \colon = \tau(\sigma(x)) (x\in X)$ で定めてできる群である。）
と1対1対応する。

以下左作用のみを用いることにし、左作用を単に作用と言うことにする。
作用　$G \times X \to X$ を $G \curvearrowright X$ と書く。

=== 例 ===
* 群 $G$ とその部分群 $H$ に対し、$G$ の元を $G/H$ の元に左からかける写像
\[G \times G/H \to G/H\]
\[(g, g'H)\mapsto gg'H\]
は作用である。この作用は'''置換作用'''と呼ばれる。
* 群 $G$ とその正規部分群 $N$ に対し、$N$ の元を $G$ の元による共役に移す写像
\[G \times N \to N\]
\[(g, n)\mapsto gng^{-1}\]
は作用である。この作用は'''共役作用'''と呼ばれる。

=== 命題(Cayley) ===
$G$ を位数 $n$ の有限群とする。このとき、$G$ から $n$ 次対称群 $S_n$ への単射群準同型 $G\to S_n$ が存在する。

{{begin|proof}}
$G$ の $G$ 自身への作用を左からの積 $g\cdot h \ \colon = gh$ で定めると、これに対応する群準同型 $G \to \text{Sym}(G) \ ; g\mapsto (h \mapsto gh)$ は単射である。（∵ $g$ の像が $\text{id}_G$ なら $1$ の像が $1$ 、すなわち $g1 = 1$ 。よって $g = 1$ 。）

$G$ の元に番号を付けて $G = \{g_1, \ldots, g_n\}$ とすれば、これは単射群準同型 $G \to S_n \ ; g\mapsto (i \mapsto (j\text{であって}gg_i = g_j\text{を満たすもの}))$ を定める。$\square$
{{end|proof|}}

=== 定義 ===
作用 $G \curvearrowright X$ を考える。
* $X$ の元 $x$ の'''軌道'''を
\[\mathcal{O}(x) = \text{Orb}_G(x) = \text{Orb}(x) = G\cdot x \ \colon = \{g\cdot x \mid g\in G\} = \{y\in X\mid \exists g\in G \quad y = g\cdot x\}\]
で定める。
* 作用が'''可移(推移的)'''であるとは、$X$ が少なくとも $1$ 個の元をもち、かつ任意の $x,y\in X$ に対しある $g\in G$ が存在して $y = g\cdot x$ となることをいう。軌道の言葉を使って簡潔に書けば、$X \neq \emptyset$ かつ $\forall x\in X \quad X = \text{Orb}(x)$ となる。$X \neq \emptyset$ かつ $\exists x\in X \quad X = \text{Orb}(x)$ とも同値である。
* $X$ 上の関係 $\sim$ を $x\sim y \ \colon \Leftrightarrow \text{Orb}(x) = \text{Orb}(y)$ で定めると、これは同値関係となる。そこで、この同値関係による $X$ の分割
\[X = \bigsqcup_{O\in X/\sim} O\]
をこの作用による $X$ の'''軌道分解'''という。
* $X$ の元 $x$ の'''安定化群'''を
\[\text{Stab}_G(x) = \text{Stab}(x) = G_x \ \colon = \{g\in G \mid g\cdot x = x\}\]
で定める。

=== 定理(Orbit-Stabilizer theorem) ===
作用 $G \curvearrowright X$ と $x\in X$ に対し、全単射
\[G/\text{Stab}(x)\to \text{Orb}(x)\]
\[g \ \text{Stab}(x)\mapsto g\cdot x\]
がある。

{{begin|proof}}
まず、上の写像がwell-definedであることを示す。$g, g'\in G$ に対し $g \ \text{Stab}(x) = g' \ \text{Stab}(x)\Leftrightarrow g'^{-1}g\in\text{Stab}(x) \Leftrightarrow g'^{-1}g\cdot x = x \Leftrightarrow g\cdot x = g'\cdot x$ だから、well-definedである。そして、この写像が全単射であることを示す。上の同値を逆にたどることで単射であることがわかる。また、任意の $y\in \text{Orb}(x)$ に対し、軌道の定義により $g\in G$ で $y = g\cdot x$ なるものをとれば $g \ \text{Stab}(x)\mapsto g\cdot x = y$ となるから、全射であることがわかる。$\square$
{{end|proof|}}

== 特殊な群のクラス ==

== 関連する概念 ==
=== より強い概念 ===
=== より弱い概念 ===

== 参考文献 ==
W.W. McCune. [[Single axioms for groups and Abelian groups with various operations.:https://doi.org/10.1007/BF00881862]] Journal of Automated Reasoning 10.1 1993: 1-13.
== 関連ページ ==
*[[群論]]

群

2022-08-08T08:28:46Z

サクラ: 不要な記号(~)を削除しました。

[[Category:群論]]
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{{TOC |align=right |noautonum=1 }}
</noinclude>
== 群 ==
工事中。

== 定義 ==
=== 定義1 ===
'''群(ぐん、group)'''とは、[[集合]] $G$ と $G$ の上で閉じた[[二項演算]] $\times$、$G$ の要素 $1$ の三つ組 $\langle G, \times, 1\rangle$ で、次の公理を満たすものをいう。
* (G1)（[[結合律]]）
$ \forall a,b,c \in G, (a \times b) \times c = a \times (b \times c) $
* (G2)（[[単位元]]の存在）
$ \forall a \in G, a \times 1 = 1 \times a = a $
* (G3)（[[逆元]]の存在）
$ \forall a \in G, \exists b \in G, a \times b = b \times a = 1 $
==== 補足 ====
上の定義に関連して、一般に集合 $G$ とその上の二項演算 $\times$ が与えられているとき、(G2)の条件を満たす元 $1 \in G$ のことを[[単位元]]と呼び、(G3)の条件を満たす元 $b \in G$ のことを $a$ の[[逆元]]と呼ぶ。~
正整数 $n$ に対し、$G$ の元 $g$の $n$ 乗を $$g^n = g \times g \times \cdots \times g$$ ( $g$ を $n$ 回掛ける)と定める(結合律によりこれは元を掛ける順番によらない)。また、$$g^0 = 1$$ とし、負の整数 $-n$ ( $n$ は正整数) に対しては、$g$ の逆元を$g^{-1}$ と書いて $$g^{-n} = (g^{-1})^n$$ と定める。~
このとき、実数のべき乗に関する指数法則と同様に、整数 $m, n$ に対し $g^{m + n} = g^m \times g^n, g^{mn} = (g^m)^n $が成り立つ。~
通常、二項演算 $\times$ と単位元 $1$ の内容が明らかなとき、群 $\langle G, \times, 1\rangle$ のことを単に群 $G$ と呼ぶことがある。特に構造としての群のその台集合を誤解を招かない範囲で同一の記号で表す。~
一般に群 $\langle G, \times, 1\rangle$ の単位元は $1$ に限られる（[[単位元|証明]]）ので、群を二つ組 $\langle G, \times \rangle$ として定義しても混乱が生じる恐れはない。この場合の定義は以下の通り。
:''群''とは、集合 $G$ と $G$ の上で閉じた二項演算 $\times$ のニつ組 $\langle G, \times \rangle$ で、次の公理を満たすものをいう。
* (G1)（結合律）
$ \forall a,b,c \in G, (a \times b) \times c = a \times (b \times c) $
* (G2)'（単位元の存在）
$ \exists 1 \in G, \forall a \in G, a \times 1 = 1 \times a = a $
以下 $1$ を(G2)'から存在が分かる単位元とする
((公理(G2)'において、$1$ という記号は $G$ の元を表す変数なので、(G3)における $1$ は（記号上は同じでも）論理的に同じ元を表すとは限らない。そこで「 $1$ を(G2)'から存在が分かる単位元とする」という文言が必要になる。))
* (G3)（逆元の存在）
$ \forall a \in G, \exists b \in G, a \times b = b \times a = 1 $
<また、群 $\langle G, \times, 1\rangle$ の各元に対してその逆元は一意に定まるので、逆元演算子 ${}^{-1}$ を用いた四つ組 $\langle G, \times, {}^{-1}, 1\rangle$ で定義することもある。具体的には以下の通り。((この場合、等式の全称閉包のみで公理化可能なので、[[普遍代数学]]ではこの定義が用いられる。))
:''群''とは、集合 $G$ と $G$ の上で閉じた二項演算 $\times$、単項演算 ${}^{-1}$、$G$ の要素 $1$ の四つ組 $\langle G, \times, {}^{-1}, 1\rangle$ で、次の公理を満たすものをいう。 ~
* (G1)（結合律）
$ \forall a,b,c \in G, (a \times b) \times c = a \times (b \times c) $
* (G2)（単位元の存在）
$ \forall a \in G, a \times 1 = 1 \times a = a $
* (G3)'（逆元の存在）
$ \forall a \in G, a \times a^{-1} = a^{-1} \times a = 1 $
<またMcCune 1993では群 $ \langle G, \times , {}^{-1}\rangle $ を一つの等式で公理化できることを示している、以下に一例を表す。
* (G) $ (w\times ( (x^{-1}\times w)^{-1}\times z) )\times ((y\times z)^{-1}\times y)=x $

=== 定義2 ===

圏 $\mathscr{C}$ が群であるとは、$\mathop{\mathrm{Ob}}(\mathscr{C})$ が一元集合であり、任意の射 $f\in\mathop{\mathrm{Mor}}(\mathscr{C})$ が可逆であることである。

== 具体例 ==
* [[自明群]] $\{1\}$ 。簡略化のために $1$ と書くこともある。
* [[整数]] $\mathbb{Z}$、[[有理数]] $\mathbb{Q}$、[[実数]] $\mathbb{R}$、[[複素数]] $\mathbb{C}$、[[四元数]] $\mathbb{H}$ は、それぞれ $0$ を単位元として加法について群である。
* [[有理数]] $\mathbb{Q}$、[[実数]] $\mathbb{R}$、[[複素数]] $\mathbb{C}$、[[四元数]] $\mathbb{H}$ からそれぞれ $0$ を除いた集合は、それぞれ $1$ を単位元として乗法について群である。
* 有限集合 $\{1, 2, \ldots, n\}$ の[[置換]]の全体 $S_n$ は、恒等置換を単位元とし、置換の合成について群である。（[[対称群]]）
* 有限集合 $\{1, 2, \ldots, n\}$ の[[偶置換]]の全体 $A_n$ は、恒等置換を単位元とし、置換の合成について群である。（[[交代群]]）
* n次実[[正則行列]]の全体 $\mathop{\mathrm{GL}_n}(\mathbb{R})$ は、[[単位行列]]を単位元とし、行列の乗法について群である。（[[一般線形群]]）
* [[有限群の分類(位数1~100)]]

== 群の定義そのものに関する基本的性質 ==
=== 命題1(単位元の唯一性) ===
群 $\langle G, \times, 1\rangle$ の単位元は $1$ に限られる。
すなわち、$e \in G$ が
: $ \forall a \in G, a \times e = e \times a = a $
<を満たすならば、$e=1$ 。
{{begin|proof}}
$e$について仮定した条件式において $a = 1$ として、$1 \times e = e \times 1 = 1$ 。
一方、群の公理(G2)で $a = e$ として、$e \times 1 = 1\times e = e$ 。
よって、$e = 1$ 。
{{end|proof|}}
より一般的な状況での証明については、「[[単位元]]」を参照。

=== 命題2(逆元の唯一性) ===
群 $\langle G, \times, 1\rangle$ の各元 $a$ に対して、その逆元は一意に定まる。

{{begin|proof}}
元 $b, b' \in G$ が、どちらも群の公理(G3)の条件式を満たすとする：
$a \times b = b \times a = 1, a \times b' = b' \times a = 1$ 。
このとき、$$b = b \times 1 = b \times (a \times b') = (b \times a) \times b' = 1 \times b' = b'$$ となるので、結局 $b$ と $b'$ は等しい。
{{end|proof|}}

=== 命題3(吸収元) ===
[[吸収元]]を持つ群は、[[自明群]]に限られる。
{{begin|proof}}
$\langle G, \times, 1\rangle$ を群とし、$0 \in G$ を吸収元とする。このとき、$0$ の逆元 $0^{-1} \in G$ が存在して、
: $0 \times 0^{-1} = 1$
<一方、$0$ は吸収元だから、
: $0 \times 0^{-1} = 0$
<よって、$0=1$ なので、$G=\{1\}$（[[参照>吸収元#xe6d5111]]）
{{end|proof|}}

=== 命題4（逆演算可能性） ===
$\langle M, \times \rangle$ を結合的マグマとする。このとき、以下は同値。
# $1 \in M$ が存在して $\langle M, \times, 1 \rangle$ は群。
# 任意の $a,b \in M$ に対して
:$a \times x = b$
$y \times a = b$
<を満たす $x,y \in M$ が一意に定まる。（逆演算可能）

//**命題5（消去律）
//$\langle M, \times \rangle$ を結合的マグマとする。このとき、以下は同値。
//+ $1 \in M$ が存在して $\langle M, \times, 1 \rangle$ は群。
//+ 任意の $a,b,x \in M$ に対して
//>$a \times x = b \times x \Rightarrow a=b$
//$x \times a = x \times b \Rightarrow a=b$
//<が成り立つ。（消去律）

== 群の位数、群の元の位数 ==
=== 群の位数 ===
群 $\langle G, \times, 1\rangle$ の台集合 $G$ の元の個数を、その群 $\langle G, \times, 1\rangle$ の''位数''（いすう、order）といい、$|G|$ または $\#G$ で表す。$G$ が無限集合であるときは「元の個数」という概念が言葉通りには適用できないので、$G$ の[[濃度>集合の濃度]]をその群の位数と定める。

=== 群の元の位数 ===
群 $\langle G, \times, 1\rangle$ と $G$ の元 $g$ が与えられているとする。$g$ のべき乗 $g^n$ について、以下の2つのうちどちらか1つが成り立つ。
# ある正整数 $n$ が存在して、$g^n = 1$ となる。
# 任意の正整数 $n$ に対して、$g^n \neq 1$ である。

1番目の条件が成り立つとき、$g^n = 1$ となる最小の正整数 $n$ が存在する。その最小の正整数を、$g$ の''位数''という。このとき $g$ は''有限位数''であるともいう。
2番目の条件が成り立つときは、$g$ は''無限位数''であるという。このとき $g$ の''位数''を便宜的に $\infty$と書くことがある。

=== 命題5（元の位数の基本的な性質） ===
群 $G$ とその元 $g$ が与えられていて、$g$ は有限位数であるとし、その位数を $l$ とする。このとき、整数 $m, n$ に対し以下は同値である。
#$g^m = g^n$。
#$m - n$ は $l$ で割り切れる。

特に、$g^n = 1$ であることと $n$ が $l$ で割り切れることは同値であり、また $1 = g^0, g^1, \ldots , g^{l - 1}$ はどの2つも相異なり、さらに $n$ を $l$ で割った余りを $r$ としたとき $g^n = g^r$ となる。

=== 群の位数、群の元の位数の例 ===

群 $\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$ ( $n$ は正整数)の位数は $n$ である。
群 $\mathbb{Z}/4\mathbb{Z}$ について、元 $\overline{0},\overline{1},\overline{2},\overline{3}$ の位数はそれぞれ $1,4,2,4$ である。
群 $\mathbb{Z}$ について、元 $0$ の位数は $1$ であり、その他の元は全て無限位数である。

== 部分群 ==
=== 部分群 ===
与えられた群 $G$ の''部分群''（ぶぶんぐん、subgroup）とは、$G$ の部分集合 $H$ で、もとの群 $G$ と同じ演算によって群の構造を持つもののことである。より正確には、以下のように定義する。

==== 部分群の定義 ====
群 $\langle G, \times, 1\rangle$ と、$G$ の部分集合 $H$ が与えられているとする。さらに、$H$ は $G$ の単位元 $1$ を含み、$G$ の積演算 $\times$ は $H$ 上で閉じているとする。このとき、群 $\langle G, \times, 1\rangle$ の台集合と演算を $H$ 上に制限すると、組 $\langle H, \times|_{H\times H}, 1\rangle$ ができる。これが再び群の公理を満たすとき、組 $\langle H, \times|_{H\times H}, 1\rangle$ は群 $\langle G, \times, 1\rangle$ の''部分群''であるという。もちろん、このとき $\langle H, \times|_{H\times H}, 1\rangle$ はまた群である。

==== 定義の補足 ====
* 積演算の内容が明らかなときは単に、$H$ は群 $G$ の部分群である、という。
* $H$ が群 $G$ の部分群であることを、$H \le G$ と書くことがある。この記号は数に対する不等式（例えば $1 \le 2$ ）と重複しているが、数と群に同じ記号を用いることは（ $1$ を除いて）ないので、文脈によって判断できる。

=== 命題6（部分群となるための条件） ===
$G$ を群、$H$ を $G$ の部分集合とするとき、$H$ に関する以下の条件は全て同値である。
# $H$ は上の定義の条件を満たし、$G$ の部分群を成す。
# 以下の3条件が成立する。
## $H$ は $G$ の単位元 $1$ を含む。
## $H$ は積について閉じている、つまり任意の $H$ の元 $x$、$y$ に対し $xy\in H$ が成り立つ。
## $H$ は逆元について閉じている、つまり任意の $H$ の元 $x$ に対し $x^{-1}\in H$ が成り立つ。
# 上の3条件のうち、1番目を以下の条件に置き換えたものが成立する。
## $H$ は空集合ではない。
# $H$ は空集合ではなく、また任意の $H$ の元 $x$、$y$ に対し $x^{-1}y\in H$ が成り立つ。

{{begin|proof}}
(1 $\Rightarrow $ 2) (i)、(ii)は、それぞれ「 $H$ は $G$ の単位元 $1$ を含み」、「 $G$ の積演算 $\times$ は $H$ 上で閉じている」という仮定から明らか。
(iii) $H$ の任意の元 $x$ をとる。今 $\langle H, \times|_{H\times H}, 1\rangle$ が群であることから、ある $H$の元 $y$ が存在して $xy = yx = 1$ が成り立つ。等式 $xy = 1$ の両辺に左から $x^{-1} (\in G)$ を掛ければ等式 $1y = x^{-1}$ を得て、結局 $y = x^{-1}$ となる。つまり、$x$ の $H$ における逆元は $G$ における逆元 $x^{-1}$ であることがわかり、同時に $x^{-1} \in H$ となることがわかる。
{{end|proof|}}

=== 部分群による剰余類 ===

群 $G$ とその部分群 $H$ に対し、「 $H$ の元を右から掛けて移り合う元を同一視する」という同値関係が考えられる。この同値関係による商は左剰余類と呼ばれる。この商集合には自然に $G$ が作用し(群の作用については後述)、そのため群の作用の典型的な例ができる。

==== 剰余類の定義 ====

群 $G$ とその部分群 $H$ に対し、集合 $G$ の上の同値関係 $\sim$ を $$g \sim g' \Leftrightarrow \exists h \in H \ g' = gh$$ で定める。この同値関係による商集合を $G/H$ と書き、「この $G/H$ の元(つまり1つ1つの同値類)」を''(左)剰余類''という。

=== 正規部分群 ===
与えられた群 $G$ の''正規部分群''（せいきぶぶんぐん、normal subgroup）とは、部分群であってさらに $G$ の構造によるある演算で不変なもののことである。具体的な定義は以下で述べる。

==== 共役 ====
$G$ を群、$g$ を $G$ の元とする。
$G$ の元 $h$ に対して、$h$ の $g$ による''共役''（きょうやく、conjugation）を、$ghg^{-1}$ で定める。
同様に、$G$ の部分集合 $S$ に対して、$S$ の $g$ による''共役集合''を、$gSg^{-1} := \{ gsg^{-1} \mid s\in S\}$ で定める。
$G$ の2つの元 $h$、$k$ が、ある $g$ によって $k = ghg^{-1}$ という関係にあるとき、$h$ と $k$ は''共役''である（conjugate）という。この関係を成り立たせる $g$ を指定して、$g$ により共役であるともいう。同様に、$G$ の部分集合 $S$ と $T$ がある $g$ について $T = gSg^{-1}$ となるとき、$S$ と $T$ は（ $g$ により）''共役''であるという。

==== 正規部分群の定義 ====
群 $G$ と、その部分群 $H$ が与えられているとする。 $H$ が $G$ の''正規部分群''であるとは、 $G$ の任意の元 $g$ に対して $$gHg^{-1}\subset H$$ となることをいう。

=== 命題7（正規部分群となるための条件） ===
$G$ を群、$H$ を $G$ の部分群とするとき、$H$ に関する以下の条件は全て同値である。
# 任意の $g\in G$ に対し $gHg^{-1}\subset H$ となる。
# 任意の $g\in G$ に対し $gHg^{-1} = H$ となる。
# 任意の $g\in G$ に対し $gH = Hg$ となる。
# $G$ の任意の2つの左剰余類 $xH$、$yH$ に対し、$xH$、$yH$ のそれぞれの代表元 $x'$、$y'$ について、積 $x'y'$ の左剰余類 $x'y'H$ は $x'$、$y'$ の取り方によらない。
# $G$ の任意の2つの右剰余類 $Hx$、$Hy$ に対し、 $Hx$、$Hy$ のそれぞれの代表元 $x'$、$y'$ について、積 $x'y'$ の右剰余類 $Hx'y'$ は $x'$、$y'$ の取り方によらない。

== 群準同型 ==

=== 群準同型 ===

''(群)準同型''(ぐんじゅんどうけい、group homomorphism、homomorphism of group)とは、2つの群 $G,H$ の間の写像 $f\colon G \to H$ で、群の演算、すなわち積を「保つ」ようなものである。より正確には、以下のように定義する。

==== 群準同型の定義 ====

$G,H$ を群とする。写像 $f\colon G \to H$ が''(群)準同型''であるとは、任意の $g,g'\in G$ に対し $$f(g\cdot g') = f(g)\cdot f(g')$$ となることをいう。

==== 補足 ====

定義の条件式において、左辺の $\cdot$ は $G$ における積であり、右辺の $\cdot$ は $H$ における積である。( $G$ での)積を $f$ でまるごと $H$ に送ったものが再び( $H$ での)積に分解されている様子を、「積を保つ」と表しているわけである。

=== 命題8 (群準同型が保つもの) ===

$G,H$を群、$f \colon G \to H$ を群準同型写像とする。
(1) $f$ は単位元を保つ、つまり $f(1)=1$ が成り立つ。
(2) $f$ は逆元を保つ、つまり任意の $g\in G$ に対し $f(g^{-1})=f(g)^{-1}$が成り立つ。

=== 群同型 ===

$G,H$ を群とする。写像 $f \colon G \to H$ が''(群)同型'' (ぐんどうけい、group isomorphism、isomorphism of group)であるとは、$f$ が全単射であり、$f$ とその逆写像 $f^{-1}$ が共に群準同型であることをいう。群同型 $f$ が存在するとき、$G$ と $H$ は''同型''(どうけい、isomorphic)であるという。

==== 補足 ====

*2つの群 $G,H$ の間に同型写像 $f \colon G \to H$ があるとき、積の計算や元の一致不一致、部分群の個数などの「群に関係する事柄」が $G$ と $H$ で完全に対応する。そこで、逆に群同型が存在するような群 $G,H$ について完全に対応する性質など(のうちで群を考えることにより初めて現れるもの)を''群論的性質''などと呼ぶことがある。
*さらに、群論を考える上ではこのような $G,H$ は全く同一の振る舞いをするので、しばしばこの2つを同一視したような言葉使いをすることがある。しかし、群同型がある2つの群をいつでも同一視すると、文脈によってはよくないことがある。例えば、対称群 $S_4$ の部分群 $\langle (1 2) \rangle$ と $\langle (3 4) \rangle$ は(どちらも位数2の巡回群だから)同型であるが、共通部分をとれば $1$ となる(「 $S_4$ の部分群であって位数2の巡回群であるもの2つの共通部分」という情報だけからその共通部分が確定しないことを強調しておく)。この点でこの2つの群は「 $S_4$ の部分群としては」区別されるべきものである。

== 群同士の演算 ==

与えられた群(たち)から、新たな群を作る一般的な方法がある。ここでは、そのうち基本的なものを紹介する。

=== 直積群 ===

与えられた群 $G, H$ に対し、台集合を直積集合 $G \times H$ とする直積群が作られる。この直積群では、$G$ と $H$ (それぞれ $G \times H$ の部分群とみなす)の元は可換となる。

==== 直積群の定義 ====

$G, H$ を群とする。直積集合 $G \times H$ の上の二項演算 $\cdot$ を、以下で定める。$$(g,h) \cdot (g',h') := (gg',hh')$$
このとき、$\langle G \times H, \cdot \rangle$ は単位元が $(1,1)$ 、$(g,h)$ の逆元が $(g^{-1},h^{-1})$ であるような群となる。この群を、$G$ と $H$ の''直積群''といい、やはり $G \times H$ と書く。

=== 自己同型群 ===

群 $G$ に対し、$G$ から自分自身への同型 $f \colon G \to G$ を $G$ の''自己同型''(じこどうけい、automorphism)という。$G$ の自己同型全体の集合を $\text{Aut} G$と書くと、これは写像の合成 $\circ$ に関して群を成す(単位元が恒等写像 $\text{id}_G$、$f \in \text{Aut} G$ の逆元が $f^{-1}$ ( $f$ の逆写像)であるような群)。この群 $\text{Aut} G$ を、$G$ の''自己同型群''という。

== 群の圏 ==

== 群の作用 ==

=== 群の作用の定義 ===
群 $G$ と集合 $X$ に対して、写像 $G \times X \to X$ （ $(g, x)\in G \times X$ の像を $g\cdot x$ と書くことにする）が以下の2条件を満たすとき、この写像を群 $G$ の $X$ への'''左作用'''であるという。
* 任意の $g, h \in G$ 、$x \in X$ に対し $g\cdot (h\cdot x) = (gh)\cdot x$
* 任意の $x\in X$ に対し $1\cdot x = x$
群の左作用 $G \times X \to X$ は以下の群準同型を定める。
\[G \to \text{Sym}(X)\]
\[g\mapsto (x\mapsto g\cdot x)\]
（ただし $\text{Sym}(X) = \text{Sym}_{\text{left}}(X)$ は $X$ から $X$ 自身への全単射全体の集合で、$\sigma, \tau\in \text{Sym}(X)$ の積を $(\sigma\tau)(x) \ \colon = \sigma(\tau(x)) (x\in X)$ で定めてできる群である。）

逆に、群準同型 $\rho \ \colon G \to \text{Sym}(X)$が与えられたとき、写像 $G \times X \to X; (g, x)\mapsto \rho(g)(x)$ は上の2条件を満たす。したがって、2条件を満たす写像 $G \times X \to X$ と群準同型 $\rho \ \colon G \to \text{Sym}(X)$ には(自然な)1対1対応があるので、群準同型の方を作用と言うこともある。

また、写像 $X \times G \to X$ （ $(x, g)\in X \times G$ の像を $x\cdot g$ と書くことにする）が以下の2条件を満たすとき、この写像を群の $G$ の $X$ への'''右作用'''であるという。
* 任意の $g, h\in G$ 、$x\in X$ に対し $(x\cdot g)\cdot h = x\cdot (gh)$
* 任意の $x\in X$ に対し $x\cdot 1 = x$
左作用の場合と同様に、この写像は
\[G \to \text{Sym}(X)^{\text{op}}\]
\[g\mapsto (x\mapsto x\cdot g)\]
（ただし $\text{Sym}(X)^{\text{op}} = \text{Sym}_{\text{right}}(X)$ は集合としては $\text{Sym}(X)$ と同じものとし、$\sigma, \tau\in \text{Sym}(X)^{\text{op}}$ の積を $(\sigma\tau)(x) \ \colon = \tau(\sigma(x)) (x\in X)$ で定めてできる群である。）
と1対1対応する。

以下左作用のみを用いることにし、左作用を単に作用と言うことにする。
作用　$G \times X \to X$ を $G \curvearrowright X$ と書く。

=== 例 ===
* 群 $G$ とその部分群 $H$ に対し、$G$ の元を $G/H$ の元に左からかける写像
\[G \times G/H \to G/H\]
\[(g, g'H)\mapsto gg'H\]
は作用である。この作用は'''置換作用'''と呼ばれる。
* 群 $G$ とその正規部分群 $N$ に対し、$N$ の元を $G$ の元による共役に移す写像
\[G \times N \to N\]
\[(g, n)\mapsto gng^{-1}\]
は作用である。この作用は'''共役作用'''と呼ばれる。

=== 命題(Cayley) ===
$G$ を位数 $n$ の有限群とする。このとき、$G$ から $n$ 次対称群 $S_n$ への単射群準同型 $G\to S_n$ が存在する。

{{begin|proof}}
$G$ の $G$ 自身への作用を左からの積 $g\cdot h \ \colon = gh$ で定めると、これに対応する群準同型 $G \to \text{Sym}(G) \ ; g\mapsto (h \mapsto gh)$ は単射である。（∵ $g$ の像が $\text{id}_G$ なら $1$ の像が $1$ 、すなわち $g1 = 1$ 。よって $g = 1$ 。）

$G$ の元に番号を付けて $G = \{g_1, \ldots, g_n\}$ とすれば、これは単射群準同型 $G \to S_n \ ; g\mapsto (i \mapsto (j\text{であって}gg_i = g_j\text{を満たすもの}))$ を定める。$\square$
{{end|proof|}}

=== 定義 ===
作用 $G \curvearrowright X$ を考える。
* $X$ の元 $x$ の'''軌道'''を
\[\mathcal{O}(x) = \text{Orb}_G(x) = \text{Orb}(x) = G\cdot x \ \colon = \{g\cdot x \mid g\in G\} = \{y\in X\mid \exists g\in G \quad y = g\cdot x\}\]
で定める。
* 作用が'''可移(推移的)'''であるとは、$X$ が少なくとも $1$ 個の元をもち、かつ任意の $x,y\in X$ に対しある $g\in G$ が存在して $y = g\cdot x$ となることをいう。軌道の言葉を使って簡潔に書けば、$X \neq \emptyset$ かつ $\forall x\in X \quad X = \text{Orb}(x)$ となる。$X \neq \emptyset$ かつ $\exists x\in X \quad X = \text{Orb}(x)$ とも同値である。
* $X$ 上の関係 $\sim$ を $x\sim y \ \colon \Leftrightarrow \text{Orb}(x) = \text{Orb}(y)$ で定めると、これは同値関係となる。そこで、この同値関係による $X$ の分割
\[X = \bigsqcup_{O\in X/\sim} O\]
をこの作用による $X$ の'''軌道分解'''という。
* $X$ の元 $x$ の'''安定化群'''を
\[\text{Stab}_G(x) = \text{Stab}(x) = G_x \ \colon = \{g\in G \mid g\cdot x = x\}\]
で定める。

=== 定理(Orbit-Stabilizer theorem) ===
作用 $G \curvearrowright X$ と $x\in X$ に対し、全単射
\[G/\text{Stab}(x)\to \text{Orb}(x)\]
\[g \ \text{Stab}(x)\mapsto g\cdot x\]
がある。

{{begin|proof}}
まず、上の写像がwell-definedであることを示す。$g, g'\in G$ に対し $g \ \text{Stab}(x) = g' \ \text{Stab}(x)\Leftrightarrow g'^{-1}g\in\text{Stab}(x) \Leftrightarrow g'^{-1}g\cdot x = x \Leftrightarrow g\cdot x = g'\cdot x$ だから、well-definedである。そして、この写像が全単射であることを示す。上の同値を逆にたどることで単射であることがわかる。また、任意の $y\in \text{Orb}(x)$ に対し、軌道の定義により $g\in G$ で $y = g\cdot x$ なるものをとれば $g \ \text{Stab}(x)\mapsto g\cdot x = y$ となるから、全射であることがわかる。$\square$
{{end|proof|}}

== 特殊な群のクラス ==

== 関連する概念 ==
=== より強い概念 ===
=== より弱い概念 ===

== 参考文献 ==
W.W. McCune. [[Single axioms for groups and Abelian groups with various operations.:https://doi.org/10.1007/BF00881862]] Journal of Automated Reasoning 10.1 1993: 1-13.
== 関連ページ ==
*[[群論]]

群論

2022-07-27T13:07:33Z

サクラ: 台集合に関する補足を加筆しました。

[[Category:代数学]]
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{{TOC |align=right |noautonum=1 }}
</noinclude>
== 群論 ==
群論(group theory)とは、群を研究する代数学の一分野である。
[[群]](group)は演算ができる枠組みの一つである。
最もよく知られた例の一つに、
整数全体 $\mathbb{Z}$ と通常の加法 $+$ と $0$ の三つ組 $\langle\mathbb{Z},+,0\rangle$ がある。

対称性を記述する際に道具として用いられるという特徴がある。
代数学、幾何学などを始めとして広く数学の諸分野で用いられる他、
対称性を記述する道具としての側面があるため物理学、化学などでも応用されている。

== 定義 ==
=== 標準的な定義 ===

'''[[群]]'''とは、[[集合の基本的な用語、集合の演算|集合]] $G$ と $G$ の上で閉じた[[演算と代数構造|二項演算]] $\times$、$G$ の要素 $1$ の三つ組 $\langle G, \times, 1\rangle$ で、次の三つの公理を満たすものをいう。
* (G1)（[[結合律]]）
$G$ の任意の元 $a$，$b$，$c$ について、$(a \times b) \times c = a \times (b \times c)$ が成立する。
* (G2)（[[単位元]]の存在）
$G$ の任意の元 $a$ について、$a \times 1 = 1 \times a = a $ が成立する。
* (G3)（[[逆元]]の存在）
$G$ の任意の元 $a$ について、$ a \times b = b \times a = 1 $ を満たす $G$ の元 $b$ が存在する。

==== 補足 ====
上の定義における $1$ のことを[[単位元]]と呼び、(G3)における $b$ のことを $a$ の[[逆元]]と呼ぶ。
逆元は一意的であることが証明できるため、$b$ のことを $a^{-1}$ と書く。
ただし二項演算を表す記号として $+$ を用いる場合には $b$ のことを $-a$ と表すことが多い。

通常、二項演算 $\times$ と単位元 $1$ の内容が文脈から明らかなとき、群 $\langle G, \times, 1\rangle$ のことを単に群 $G$ と呼ぶことがある。特に演算構造を備える群とその台集合<ref name="indeterminate">ここで三つ組 $\langle G, \times, 1\rangle$ が群であるときの集合 $G$ を群 $\langle G, \times, 1\rangle$ の台集合という。より一般に、群に限らず集合とその上の二項演算などの構造とを併せた数学的対象 $X$ について考えているときに、組ではなく集合を指して $X$ の台集合と呼ぶことがある。</ref>を誤解を招かない範囲で同一の記号で表す。

一般に群 $\langle G, \times, 1\rangle$ の単位元は $1$ に限られる（[[単位元|証明]]）ので、群を二つ組 $\langle G, \times \rangle$ として定義しても混乱が生じる恐れはない。
このことから、集合 $G$ に二項演算 $\times$ を定めたとき $\times$ に関する単位元が存在して上述の定義を満たすことを指して $G$ は $\times$ に関して群を為すという。

=== 圏論的観点からの定義 ===
一方で、
本稿では用いないものの特殊な圏として群を定義することもできる。
具体的には次の通り。

圏 $\mathscr{C}$ が群であるとは、$\mathop{\mathrm{Ob}}(\mathscr{C})$ が一元集合であり，任意の射 $f\in\mathop{\mathrm{Mor}}(\mathscr{C})$ が可逆であることである。

== 具体例 ==
* [[自明群]] $\{1\}$
* [[整数]] $\mathbb{Z}$、[[有理数]]$\mathbb{Q}$、[[実数]] $\mathbb{R}$、[[複素数]] $\mathbb{C}$、[[四元数]] $\mathbb{H}$ は、それぞれ $0$ を単位元として加法について群である。
* [[有理数]] $\mathbb{Q}$、[[実数]] $\mathbb{R}$、[[複素数]] $\mathbb{C}$、[[四元数]] $\mathbb{H}$ からそれぞれ $0$ を除いた集合は、それぞれ $1$ を単位元として乗法について群である。
* 有限集合 $\{1, 2, \ldots, n\}$ の[[置換]]の全体 $S_n$ は、恒等置換を単位元とし、置換の合成について群である。（[[対称群]]）
* 有限集合 $\{1, 2, \ldots, n\}$ の[[偶置換]]の全体 $A_n$ は、恒等置換を単位元とし、置換の合成について群である。（[[交代群]]）
* $n$ 次実[[正則行列]]の全体 $\mathop{\mathrm{GL}_n}(\mathbb{R})$ は、[[単位行列]]を単位元とし、行列の乗法について群である。（[[一般線形群]]）
* [[有限群の分類(位数1~100)]]

== 基本的な性質 ==

群の定義からわかる基本的な性質には次のようものがある。
より正確な主張は[[群]]を参照されたい。

* [[単位元の唯一性]] 群 $\langle G, \times, 1 \rangle$ について、単位元は一意である。
* [[逆元の唯一性]] 群 $\langle G, \times, 1 \rangle$ について、$G$ の元 $a$ の逆元は一意である。
* [[吸収元が存在するならば自明]] 群 $\langle G, \times, 1 \rangle$ が吸収元 $0$ を持つならば、$\langle G, \times, 1 \rangle$ は自明群である。
* [[逆演算可能性]] 群 $\langle G, \times, 1 \rangle$ について、$G$ の任意の元
$a$、$b$ を考える。$a \times x = b$ を満たす $G$ の元 $x$ が存在し、一意である。
* [[消去律]] 群 $\langle G, \times, 1 \rangle$ について、$G$ の任意の元 $a$、$b$、$x$ を考える。$a \times x = b \times x$ が成立するならば $a=b$ が成立する。

== 群の重要性 ==

群は $\mathbb{Z}$ などと比較すると幾分抽象的な概念であり、
基本的な性質を見るだけだと群を考える理由が分かりにくい。
ここでは群の重要性のうち次の3点について述べる。

* 台集合が有限である群に関する重要な定理とその分類
* 群の作用
* Galois理論との関係

この項目は概略を説明するに留まり、多少インフォーマルな言説が含まれることを注意する。
詳細は[[群]]、[[有限群の分類]]、[[群の作用]]などを参照されたい。

=== 群の位数 ===
群の位数とは、インフォーマルには群の台集合の元の数のことである。
また群 $\langle G, \times, 1\rangle$ について、
台集合が有限集合であるとき群は有限位数であるといったり、有限群であるという。
無限集合であるときは無限位数であるといったり、無限群であるという。

=== 部分群 ===
群 $\langle G, \times, 1\rangle$ の部分群とは、インフォーマルには $G$ と同じ演算を制限することで再び群を為すような部分集合のことである。より正確には次の通り。

$\langle G, \times, 1\rangle$ を群とするとき、
$G$ の部分集合 $H$ が部分群であるとは、$H$ の任意の元 $a$、$b$ について積 $a\times b$ および逆元 $a^{-1}$ が $H$ の元であり、$1$ を持つことをいう。

=== 有限群に関する重要な定理 ===

有限群に関しては、次の顕著な定理が知られる。
これらの技術を用いると低い位数の有限群の構造を分類することができる。

* [[Fermatの定理の一般化]] $\langle G, \times, 1\rangle$ を位数 $n$ の有限群とするとき、$G$ の任意の元 $a$ について $a$ の $n$ 個の積 $a\times\cdots\times a$ は $1$ である。
* [[Lagrangeの定理]] $\langle G, \times, 1\rangle$ を有限群とし、$H$ をその部分群とする。このとき $G$ の位数は $H$ の位数で整除される。
* [[Sylowの定理]] $\langle G, \times, 1\rangle$ を位数 $n$ の有限群とし、$p$ を素数とする。$p^m$ が $n$ を割り切る最大の整数を $m$ とすれば、$G$ は位数 $p^m$ の部分群をもつ。

=== 群の作用と例 ===
群の典型的な例として、構造をもつ集合のある種の自己同型変換全体の集合が挙げられる。そこで、群 $G$ の各元 $g$ が構造付き集合 $X$ のある種の自己同型変換 $T_g$ を定めていて、その対応が群の構造と整合的であるものを、群 $G$ の $X$ への作用と呼ぶ。群の作用の概念は、$X$ がいくつかの変換で不変であるという状況を定式化したものとなる。

=== Galois理論との関係 ===
有限群は構造が調べやすいため、すべての部分群を決定することも可能である。
よって調べたい数学的対象から群を構成し、両者の部分構造との間に一対一対応が作ることができれば、調べたい対象に関する問題を群論に帰着させられ便利である。
Galois理論は(少なくとも体の部分体を決定するという文脈に於いては)このようなアイデアの代表的な例である。

== 様々な群のクラスと群論に関する記事 ==
学部程度の群論に関する記事は次の通り。

* 群の他の定義、群準同型については[[群]]を参照。
* 正規部分群、群準同型定理については[[正規部分群]]を参照。
* 直積、半直積、非制限輪積、制限輪積については[[群の積]]を参照。
* 群の圏の性質については[[群の圏]]を参照。
* 群の作用については[[群の作用]]を参照。
* 群の表現については[[群の表現]]を参照。

既に紹介したものも含まれるが、重要な定理の証明やその応用については次の通り。
* [[Fermatの定理の一般化]]
* [[Lagrangeの定理]]
* [[Sylowの定理]]
* [[有限アーベル群の基本定理]]
* [[有限生成アーベル群の基本定理]]
* [[Jordan-Hölderの定理]]

特殊な群のクラスについては次の通り。
* [[有限群]]：台集合の濃度が有限な群のこと。[[有限群の分類(位数1~100)]]も参照されたい。
* [[無限群]]：台集合の濃度が無限な群のこと。
* [[アーベル群]]：任意の元 $g$、$h$ について $gh=hg$ が成立する群のこと。可換群とも呼ばれる。
** [[巡回群]]：一つの元で生成される群のこと。
* [[捻れ群]]
** [[準素群]]：任意の元の位数が $p$ 冪であるような群のこと。
***[[基本アーベル群]]
* [[可解群]]
* [[完全群]]：交換子部分群が自身と一致する群のこと。
* [[Frobenius群]]
* [[累アーベル群]]
* [[エクストラスペシャル群]]

* [[自由群]]：初等的な定義は詳細のページを参照されたい。群の圏 $\mathsf{Grp}$ から集合の圏 $\mathsf{Set}$ への忘却函手の左随伴による像として得られる群のことといえる。
* [[対称群]]：とある集合の置換全体の為す群と同型な群のこと。任意の有限群は有限対称群の部分として埋め込める([[Cayleyの定理]])。
* [[交代群]]：偶置換の為す対称群の部分群と同型な群のこと。
* [[ブレイド群]]

アーベル群に関するクラスは次の通り。
* [[可徐群]]：任意の元 $g$ と任意の整数 $n$ について $g=nh$ を満たす元 $h$ が存在するアーベル群のこと。可徐群は次の二つの群の直和に同型である(可徐群の構造定理)。
** [[有理数]]
** [[Pruefer群]]：定義は具体的なページを参照されたい。$p$-進整数のPontryagin双対である。
* [[被約群]]：可除部分群が自明である群のこと。任意のアーベル群が可除群と被約群とに直和分解できることが重要である。可算な被約準素アーベル群はUlmの定理により完全不変量が知られている。
* [[自由アーベル群]]：$\mathbb{Z}$ の直和と同型なアーベル群のこと。
* [[射影アーベル群]]：自由群の部分群と同型なアーベル群のこと。
* [[無捻群]]：すべての元の位数が無限である群のこと。有限生成アーベル群は捻れ群と無捻群とに直和分解できることは基本的である。一般にこの分解は成り立たない。
* [[混合群]]：捻れ群でも無捻群でもない群のこと。アーベル群 $A$ は最大捻れ部分群 $\mathop{\mathsf{T}}(A)$ が存在し、$0\rightarrow\mathop{\mathsf{T}}(A)\rightarrow A \rightarrow A/\mathop{\mathsf{T}}(A)\rightarrow 0$ なる完全列が得られる。
** [[分裂混合群]]：混合群であって最大捻れ部分群が直和因子であるもののこと。分裂混合群の内部構造に関しては捻れ群の理論と無捻群の理論とで尽きているため、いつ分裂的であるかが焦点になる。
* [[Whitehead群]]：${\mathop{\mathsf{Ext}}\nolimits}^1_{\mathbb{Z}}(A,\mathbb{Z})=0$ が成り立つような群 $A$ のこと。Whitehead群が自由アーベル群であるか否かは $\mathsf{ZFC}$ 上独立である。

アーベル群は元を $n$ 回足すという作用が自然に定まっているため $\mathbb{Z}$-加群と見做せ、
それ故にアーベル群に関する概念の多くはただちに一般の環上の加群に定義される。
それのみならず、アーベル群論の結果の一部は単項イデアル整域上の加群論の結果に一般化される。

他の構造が加わった群
* [[収束群]]：収束構造が追加され、積と逆元を取る操作が収束空間の射であるもののこと。
* [[位相群]]：位相構造が追加され、積と逆元を取る操作が連続であるもののこと。
** [[半位相群]]：位相構造が追加され、右作用と左作用が連続であるもののこと。
** [[準位相群]]：位相構造が追加され、右作用と左作用と逆元を取る操作が連続であるもののこと。
** [[パラ位相群]]：位相構造が追加され、積を取る操作が連続であるもののこと。
* [[Lie群]]：可微分構造が追加され、積と逆元を取る操作が滑らかであるもののこと。
* [[代数群]]：代数多様体の構造が追加され、積と逆元を取る操作が正則であるもののこと。
* [[測度群]]

== 群論に関する事項 ==
[[群論に関する事項]]を参照されたい。
*[[Coxeter系]]

アーベル圏

2022-02-13T19:57:50Z

サクラ:

{{begin |preamble}}
__MATHJAX2__

[[Category:圏論]]

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本記事においてはアーベル圏の概念について、その定義を幾つかの方法で述べ、そしてそれらの同値性について確かめる。

== アーベル圏の定義 ==

圏 $\abcat$ がアーベル圏であるとは、次の条件を満たすことをいう。
* $\abcat$ は有限完備かつ有限余完備である。
* $\abcat$ は零対象をもつ。
* $\abcat$ は一意的な正則エピ-正則モノ分解ができる。

アーベル圏

2022-02-13T19:53:58Z

サクラ:

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[[Category:圏論]]
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{{end |preamble}}

本記事においてはアーベル圏の概念について、その定義を幾つかの方法で述べ、そしてそれらの同値性について確かめる。

== アーベル圏の定義 ==

圏 $\abcat$ がアーベル圏であるとは、次の条件を満たすことをいう。
* $\abcat$ は有限完備かつ有限余完備である。
* $\abcat$ は零対象をもつ。
* $\abcat$ は一意的な正則エピ-正則モノ分解ができる。

線形代数の基礎

2021-10-11T15:29:15Z

サクラ: /* 補足1.1.2. */

$\newcommand{\bm}{\boldsymbol}$
<noinclude>
{{TOC |align=right |noautonum=1 }}
</noinclude>
== 線形代数学の基礎 ==
''線形代数学''もしくは''線型代数学''(せんけいだいすうがく、linear algebra)は[[ベクトル]]や[[行列]]の計算を通じて[[線形変換]]・[[連立一次方程式]]・[[二次形式]]といった数学的対象の研究を行う分野である。線形代数学はそれ自身[[代数学]]の一分野であるが、[[解析学]]・[[幾何学]]にも初歩的な部分での応用を持ち、現代数学の根幹をなすと言える。この項目では初学者に向け[[実ベクトル空間]]・[[複素ベクトル空間]]に限った線形代数学の概略を述べる。より一般的な[[体]]上での議論については「[[ベクトル空間]]」ほか各ページを参照のこと。

なお、linearの和訳について「線形」と「線型」のいずれも採用されることがあるが、当wikiでは「線形」に統一する。

== 0. 導入 ==
この項では、[[1. ベクトルとベクトル空間>#o898806e]]で定義されるベクトル空間の導入として、初等数学で扱うような幾何学的意味のベクトルについて、基本的な性質を確認する。

=== 0.1. 空間ベクトル ===

==== 定義0.1.1.（空間ベクトル） ====
平面上の「大きさと向きを持った量」を''平面ベクトル''という。実用的には、物理学において速度や加速度、力といったものを表すのに使われる。特に平面上に[[直交座標系]]が与えられている場合、平面ベクトルは各軸方向に分解することが出来る。たとえば仰角45°方向に働く1Nの力を水平方向 $\sqrt{2}/2$Nと鉛直方向 $\sqrt{2}/2$Nに分解すると言った具合である。このようにすると、平面ベクトルと実数の順序対とを同一視することができる。平面ベクトル $\vec{a}$ の $x$ 方向の大きさが $a_1$ 、 $y$ 方向の大きさが $a_2$ であることを
$$\vec{a}=(a_1,a_2)$$
のように表す。

同様に3次元空間上の「大きさと向きを持った量」を''空間ベクトル''((もっと一般に、4次元以上のEuclid空間上の幾何学的なベクトルのこともこう呼ぶことがある。))という。空間ベクトルは実数の順序付けられた3つ組と同一視出来る。すなわち、空間ベクトル $\vec{a}$ の $x$ 方向の大きさが $a_1$ 、 $y$ 方向の大きさが $a_2$ 、 $z$ 方向の大きさが $a_3$ であることを
$$\vec{a}=(a_1,a_2,a_3)$$
と表す。平面ベクトルにおける議論は空間ベクトルでも同様の議論が可能なので、当項「導入」では以下空間ベクトルについてのみ扱う。

==== 定義0.1.2.（空間ベクトルの大きさ） ====
空間ベクトル $\vec{a}$ の大きさは、 $|\vec{a}|$ と書かれる。特に、 $\vec{a}=(a_1,a_2,a_3)$ のとき、
$$|\vec{a}|=\sqrt{a_1^2+a_2^2+a_3^2}$$

==== 定義0.1.3.（空間ベクトルの和） ====
$\vec{a}=(a_1,a_2,a_3)$ と $\vec{b}=(b_1,b_2,b_3)$ に対し、 $\vec{a}+\vec{b}$ は次のように定義される。
$$\vec{a}+\vec{b}=(a_1+b_1, a_2+b_2, a_3+b_3)$$
物理量を空間ベクトルで表すことにより、物理量の合成を空間ベクトルの和で表すことができる。

==== 定義0.1.4.（空間ベクトルの定数倍） ====
$k$ を実数とする。空間ベクトル $\vec{a}$ の向きを変えずに大きさのみを $k$ 倍したものを、 $k\vec{a}$ とする。特に $\vec{a}=(a_1,a_2,a_3)$ と成分表示されている場合、
$$k\vec{a}=(ka_1,ka_2,ka_3)$$

==== 定義0.1.5.（空間ベクトルの内積） ====
空間ベクトル $\vec{a}$ と $\vec{b}$ のなす角を $\theta$ とするとき、内積 $\vec{a}\cdot\vec{b}$ を次のように定義する。
$$\vec{a}\cdot\vec{b}=|\vec{a}||\vec{b}|\cos\theta$$
特に $\vec{a}=(a_1,a_2,a_3),\vec{b}=(b_1,b_2,b_3)$ のとき、
$$\vec{a}\cdot\vec{b}=a_1b_1+a_2b_2+a_3b_3$$

== 1. ベクトルとベクトル空間 ==
この項では、前項で述べた空間ベクトルの一般化として、より一般的なベクトルを定義する。

=== 1.1. ベクトル空間 ===

==== 定義1.1.1.（ベクトル空間） ====

$K$ を[[実数]]全体のなす集合 $\mathbb{R}$ または[[複素数]]全体のなす集合 $\mathbb{C}$とする<ref>実数全体 $\mathbb{R}$ や複素数全体 $\mathbb{C}$ に限らず、より一般に[[体]]と呼ばれる代数系に対して $K$ 上の線形空間が定義される。</ref>。
$V$ を集合とし、$V$ 上の二項演算 $+$ および、 $K$ と $V$ の要素から $V$ の要素を定める演算 $\cdot$ 、そして$V$ の要素 $\bm{0}$ が予め定められており、これらが以下の8つの法則を満たすとき、四つ組 $(V, +, \cdot, \bm{0})$ は $K$ 上の''ベクトル空間''(vector space)または $K$ 上の''線形空間''(linear space)であるという<ref>$K$ 上のベクトル空間、$K$ 上の線型空間の他にも、$K$-ベクトル空間、$K$-線形空間と書かれることがある。また、線形は線型と書かれることも少なくない。</ref><ref>「ベクトル空間」と「線形空間」、「線型空間」は原則として互いに言い換え可能である。たとえば、「実ベクトル空間」は「実線形空間」ともいう。</ref>。

;(V1)結合律
: $V$ の任意の元 $\bm{x},\bm{y},\bm{z}$ に対して $(\bm{x} + \bm{y}) + \bm{z} = \bm{x} + (\bm{y} + \bm{z})$ が成り立つ。
;(V2)可換律
: $V$ の任意の元 $\bm{x},\bm{y}$ に対して $\bm{x} + \bm{y} = \bm{y} + \bm{x}$ が成り立つ。
;(V3)単位元（零ベクトル）の性質
: $V$ の任意の元 $\bm{x}$ に対して $\bm{x} + \bm{0} = \bm{0} + \bm{x} = \bm{x}$ が成り立つ。
;(V4)逆ベクトルの存在
: $V$ の任意の元 $\bm{x}$ に対して $V$ のある元 $\bm{x}'$ が存在して $\bm{x} + \bm{x}' = \bm{x}' + \bm{x} = \bm{0}$ を満たす。
;(V5)スカラーの加法に対する分配律
: $K$ の任意の元 $a,b$ と $V$ の任意の元 $\bm{x}$ に対して $(a+b)\cdot\bm{x} = a\cdot\bm{x} + b\cdot\bm{x}$ が成り立つ。
;(V6)ベクトルの加法に対する分配律
: $K$ の任意の元 $a$ と $V$ の任意の元 $\bm{x},\bm{y}$ に対して $a\cdot(\bm{x}+\bm{y}) = a\cdot\bm{x} + a\cdot\bm{y}$ が成り立つ。
;(V7)スカラーの積とスカラー乗法の両立
: $K$ の任意の元 $a,b$ と $V$ の任意の元 $\bm{x}$ に対して $(ab)\cdot\bm{x} = a\cdot(b\cdot\bm{x})$ が成り立つ。
;(V8)スカラー乗法の単位元の存在
: $V$ の任意の元 $\bm{x}$ に対して $1\cdot\bm{x} = \bm{x}$ が成り立つ。

==== 補足1.1.2. ====
* $V$ が $K$ 上のベクトル空間であるとき、 $V$ の要素を''ベクトル''(vector)、$K$ の要素を''スカラー''(scalar)と呼ぶ。
* $\mathbb{R}$ 上のベクトル空間のことを特に''実ベクトル空間''(real vector space)とも呼ぶ。
* $\mathbb{C}$ 上のベクトル空間のことを特に''複素ベクトル空間''(complex vector space)とも呼ぶ。
* 集合 $V$ は台集合と呼ばれる。
* 演算 $+$ はベクトルの''加法''(addition)と呼ばれ、その結果はベクトルの''和''(sum)と呼ばれる。
* 演算 $\cdot$ は''スカラー乗法''または''スカラー倍''(scalar multiplication)と呼ばれる。この演算子はしばしば省略されて $a\cdot\bm{x}$ は $a\bm{x}$ のように書かれる。
* $\bm{0}$ は''零ベクトル''(れい-、ぜろ-、zero vector)と呼ばれる。
* (V4)において、$\bm{x}'$ は $\bm{x}$ の''逆ベクトル''(inverse vector)と呼ばれる。$\bm{x}$ を取ると対応する逆ベクトルは一意に定まる（後述）ので、$\bm{x}$ の逆ベクトルは $-\bm{x}$ と書かれる。
*$\bm{x} + (-\bm{y})$ は $\bm{x} - \bm{y}$ とも書かれる。
* 正式には四つ組 $(V, +, \cdot, \bm{0})$ をベクトル空間と呼ぶが、加法 $+$ やスカラー乗法 $\cdot$、零ベクトル $\bm{0}$ が文脈から明らかに分かるときは省略してベクトル空間 $(V, +)$ やベクトル空間 $V$ と書くことがある。省略されている場合であっても演算は全て予め定まっているものと考える。
* ベクトル空間は四つ組 $(V, +, \cdot, \bm{0})$ を指すので、同じ集合であったとしても異なる演算を用いて定義されたベクトル空間 $(V, +', \cdot', \bm{0}')$ とは区別される<ref>より正確に書けば、台集合、加法、スカラー倍、零ベクトルのうち一つでも異なるならば異なるベクトル空間と考える。</ref>。本稿においては、このように同じ集合上に複数の演算が定まっている状況を考える場合、演算を省略せずに四つ組で書くことにする。

==== 例1.1.3.（ベクトル空間） ====
* 集合 $\{0\}$ は $K$ を問わず $K$上のベクトル空間となり、''自明なベクトル空間''(trivial vector space)と呼ばれる。
* $K$ 自身、 $K$上のベクトル空間とみなすことができる。
* 平面ベクトルの全体、空間ベクトルの全体は、実ベクトル空間の例である。
* $\mathbb{C}$ は、実ベクトル空間である。
* $K$ の元を係数とする一変数多項式の全体は、通常の和と定数倍に関して $K$上のベクトル空間である。

==== 定理1.1.4（消去律・逆ベクトルの一意性） ====
# $V$ をベクトル空間とする。$\bm{x},\bm{y},\bm{y}'\in V$ が $\bm{x}+\bm{y}=\bm{x}+\bm{y}'$ を満たすならば、$\bm{y}=\bm{y}'.$
# $V$ をベクトル空間とする。任意の $\bm{x}\in V$ に対し、その逆ベクトルは一意に定まる。

''証明''

# $\bm{z}\in V$ を $\bm{x}$ の逆ベクトルとすると、
$$\begin{aligned}
\bm{y}
=& (\bm{z}+\bm{x})+\bm{y} \\
=& \bm{z}+(\bm{x}+\bm{y}) \\
=& \bm{z}+(\bm{x}+\bm{y}') \\
=& (\bm{z}+\bm{x})+\bm{y}' \\
=& \bm{y}'.
\end{aligned}$$
# $\bm{x}+\bm{y}=\bm{x}+\bm{y}'=\bm{0}(\bm{y},\bm{y}'\in V)$ と置いて、1.を適用すればよい。

=== 1.2. 線形関係・基底 ===
=== 1.3. 部分空間 ===

== 行列 ==

== 線形写像 ==

== 連立一次方程式 ==

== 内積空間 ==

== 対角化・固有値・固有ベクトル ==

== Jordan標準形 ==

== 参考文献 ==

== ''リンク'' ==
* [[線形代数学]]

線形代数の基礎

2021-10-11T15:21:27Z

サクラ: /* 補足1.1.2. */

$\newcommand{\bm}{\boldsymbol}$
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</noinclude>
== 線形代数学の基礎 ==
''線形代数学''もしくは''線型代数学''(せんけいだいすうがく、linear algebra)は[[ベクトル]]や[[行列]]の計算を通じて[[線形変換]]・[[連立一次方程式]]・[[二次形式]]といった数学的対象の研究を行う分野である。線形代数学はそれ自身[[代数学]]の一分野であるが、[[解析学]]・[[幾何学]]にも初歩的な部分での応用を持ち、現代数学の根幹をなすと言える。この項目では初学者に向け[[実ベクトル空間]]・[[複素ベクトル空間]]に限った線形代数学の概略を述べる。より一般的な[[体]]上での議論については「[[ベクトル空間]]」ほか各ページを参照のこと。

なお、linearの和訳について「線形」と「線型」のいずれも採用されることがあるが、当wikiでは「線形」に統一する。

== 0. 導入 ==
この項では、[[1. ベクトルとベクトル空間>#o898806e]]で定義されるベクトル空間の導入として、初等数学で扱うような幾何学的意味のベクトルについて、基本的な性質を確認する。

=== 0.1. 空間ベクトル ===

==== 定義0.1.1.（空間ベクトル） ====
平面上の「大きさと向きを持った量」を''平面ベクトル''という。実用的には、物理学において速度や加速度、力といったものを表すのに使われる。特に平面上に[[直交座標系]]が与えられている場合、平面ベクトルは各軸方向に分解することが出来る。たとえば仰角45°方向に働く1Nの力を水平方向 $\sqrt{2}/2$Nと鉛直方向 $\sqrt{2}/2$Nに分解すると言った具合である。このようにすると、平面ベクトルと実数の順序対とを同一視することができる。平面ベクトル $\vec{a}$ の $x$ 方向の大きさが $a_1$ 、 $y$ 方向の大きさが $a_2$ であることを
$$\vec{a}=(a_1,a_2)$$
のように表す。

同様に3次元空間上の「大きさと向きを持った量」を''空間ベクトル''((もっと一般に、4次元以上のEuclid空間上の幾何学的なベクトルのこともこう呼ぶことがある。))という。空間ベクトルは実数の順序付けられた3つ組と同一視出来る。すなわち、空間ベクトル $\vec{a}$ の $x$ 方向の大きさが $a_1$ 、 $y$ 方向の大きさが $a_2$ 、 $z$ 方向の大きさが $a_3$ であることを
$$\vec{a}=(a_1,a_2,a_3)$$
と表す。平面ベクトルにおける議論は空間ベクトルでも同様の議論が可能なので、当項「導入」では以下空間ベクトルについてのみ扱う。

==== 定義0.1.2.（空間ベクトルの大きさ） ====
空間ベクトル $\vec{a}$ の大きさは、 $|\vec{a}|$ と書かれる。特に、 $\vec{a}=(a_1,a_2,a_3)$ のとき、
$$|\vec{a}|=\sqrt{a_1^2+a_2^2+a_3^2}$$

==== 定義0.1.3.（空間ベクトルの和） ====
$\vec{a}=(a_1,a_2,a_3)$ と $\vec{b}=(b_1,b_2,b_3)$ に対し、 $\vec{a}+\vec{b}$ は次のように定義される。
$$\vec{a}+\vec{b}=(a_1+b_1, a_2+b_2, a_3+b_3)$$
物理量を空間ベクトルで表すことにより、物理量の合成を空間ベクトルの和で表すことができる。

==== 定義0.1.4.（空間ベクトルの定数倍） ====
$k$ を実数とする。空間ベクトル $\vec{a}$ の向きを変えずに大きさのみを $k$ 倍したものを、 $k\vec{a}$ とする。特に $\vec{a}=(a_1,a_2,a_3)$ と成分表示されている場合、
$$k\vec{a}=(ka_1,ka_2,ka_3)$$

==== 定義0.1.5.（空間ベクトルの内積） ====
空間ベクトル $\vec{a}$ と $\vec{b}$ のなす角を $\theta$ とするとき、内積 $\vec{a}\cdot\vec{b}$ を次のように定義する。
$$\vec{a}\cdot\vec{b}=|\vec{a}||\vec{b}|\cos\theta$$
特に $\vec{a}=(a_1,a_2,a_3),\vec{b}=(b_1,b_2,b_3)$ のとき、
$$\vec{a}\cdot\vec{b}=a_1b_1+a_2b_2+a_3b_3$$

== 1. ベクトルとベクトル空間 ==
この項では、前項で述べた空間ベクトルの一般化として、より一般的なベクトルを定義する。

=== 1.1. ベクトル空間 ===

==== 定義1.1.1.（ベクトル空間） ====

$K$ を[[実数]]全体のなす集合 $\mathbb{R}$ または[[複素数]]全体のなす集合 $\mathbb{C}$とする<ref>実数全体 $\mathbb{R}$ や複素数全体 $\mathbb{C}$ に限らず、より一般に[[体]]と呼ばれる代数系に対して $K$ 上の線形空間が定義される。</ref>。
$V$ を集合とし、$V$ 上の二項演算 $+$ および、 $K$ と $V$ の要素から $V$ の要素を定める演算 $\cdot$ 、そして$V$ の要素 $\bm{0}$ が予め定められており、これらが以下の8つの法則を満たすとき、四つ組 $(V, +, \cdot, \bm{0})$ は $K$ 上の''ベクトル空間''(vector space)または $K$ 上の''線形空間''(linear space)であるという<ref>$K$ 上のベクトル空間、$K$ 上の線型空間の他にも、$K$-ベクトル空間、$K$-線形空間と書かれることがある。また、線形は線型と書かれることも少なくない。</ref><ref>「ベクトル空間」と「線形空間」、「線型空間」は原則として互いに言い換え可能である。たとえば、「実ベクトル空間」は「実線形空間」ともいう。</ref>。

;(V1)結合律
: $V$ の任意の元 $\bm{x},\bm{y},\bm{z}$ に対して $(\bm{x} + \bm{y}) + \bm{z} = \bm{x} + (\bm{y} + \bm{z})$ が成り立つ。
;(V2)可換律
: $V$ の任意の元 $\bm{x},\bm{y}$ に対して $\bm{x} + \bm{y} = \bm{y} + \bm{x}$ が成り立つ。
;(V3)単位元（零ベクトル）の性質
: $V$ の任意の元 $\bm{x}$ に対して $\bm{x} + \bm{0} = \bm{0} + \bm{x} = \bm{x}$ が成り立つ。
;(V4)逆ベクトルの存在
: $V$ の任意の元 $\bm{x}$ に対して $V$ のある元 $\bm{x}'$ が存在して $\bm{x} + \bm{x}' = \bm{x}' + \bm{x} = \bm{0}$ を満たす。
;(V5)スカラーの加法に対する分配律
: $K$ の任意の元 $a,b$ と $V$ の任意の元 $\bm{x}$ に対して $(a+b)\cdot\bm{x} = a\cdot\bm{x} + b\cdot\bm{x}$ が成り立つ。
;(V6)ベクトルの加法に対する分配律
: $K$ の任意の元 $a$ と $V$ の任意の元 $\bm{x},\bm{y}$ に対して $a\cdot(\bm{x}+\bm{y}) = a\cdot\bm{x} + a\cdot\bm{y}$ が成り立つ。
;(V7)スカラーの積とスカラー乗法の両立
: $K$ の任意の元 $a,b$ と $V$ の任意の元 $\bm{x}$ に対して $(ab)\cdot\bm{x} = a\cdot(b\cdot\bm{x})$ が成り立つ。
;(V8)スカラー乗法の単位元の存在
: $V$ の任意の元 $\bm{x}$ に対して $1\cdot\bm{x} = \bm{x}$ が成り立つ。

==== 補足1.1.2. ====
* $V$ が $K$ 上のベクトル空間であるとき、 $V$ の要素を''ベクトル''(vector)、$K$ の要素を''スカラー''(scalar)と呼ぶ。
* $\mathbb{R}$ 上のベクトル空間のことを特に''実ベクトル空間''(real vector space)とも呼ぶ。
* $\mathbb{C}$ 上のベクトル空間のことを特に''複素ベクトル空間''(complex vector space)とも呼ぶ。
* 演算 $+$ はベクトルの''加法''(addition)と呼ばれ、その結果はベクトルの''和''(sum)と呼ばれる。
* 演算 $\cdot$ は''スカラー乗法''または''スカラー倍''(scalar multiplication)と呼ばれる。この演算子はしばしば省略されて $a\cdot\bm{x}$ は $a\bm{x}$ のように書かれる。
* $\bm{0}$ は''零ベクトル''(れい-、ぜろ-、zero vector)と呼ばれる。
* (V4)において、$\bm{x}'$ は $\bm{x}$ の''逆ベクトル''(inverse vector)と呼ばれる。$\bm{x}$ を取ると対応する逆ベクトルは一意に定まる（後述）ので、$\bm{x}$ の逆ベクトルは $-\bm{x}$ と書かれる。
*$\bm{x} + (-\bm{y})$ は $\bm{x} - \bm{y}$ とも書かれる。
* 正式には四つ組 $(V, +, \cdot, \bm{0})$ をベクトル空間と呼ぶが、加法 $+$ やスカラー乗法 $\cdot$、零ベクトル $\bm{0}$ が文脈から明らかに分かるときは省略してベクトル空間 $(V, +)$ やベクトル空間 $V$ と書くことがある。省略されている場合であっても演算は全て予め定まっているものと考える。
* ベクトル空間は四つ組 $(V, +, \cdot, \bm{0})$ を指すので、同じ集合であったとしても異なる演算を用いて定義されたベクトル空間 $(V, +', \cdot', \bm{0}')$ とは区別される。本稿においては、このように同じ集合上に複数の演算が定まっている状況を考える場合、演算を省略せずに四つ組で書くことにする。

==== 例1.1.3.（ベクトル空間） ====
* 集合 $\{0\}$ は $K$ を問わず $K$上のベクトル空間となり、''自明なベクトル空間''(trivial vector space)と呼ばれる。
* $K$ 自身、 $K$上のベクトル空間とみなすことができる。
* 平面ベクトルの全体、空間ベクトルの全体は、実ベクトル空間の例である。
* $\mathbb{C}$ は、実ベクトル空間である。
* $K$ の元を係数とする一変数多項式の全体は、通常の和と定数倍に関して $K$上のベクトル空間である。

==== 定理1.1.4（消去律・逆ベクトルの一意性） ====
# $V$ をベクトル空間とする。$\bm{x},\bm{y},\bm{y}'\in V$ が $\bm{x}+\bm{y}=\bm{x}+\bm{y}'$ を満たすならば、$\bm{y}=\bm{y}'.$
# $V$ をベクトル空間とする。任意の $\bm{x}\in V$ に対し、その逆ベクトルは一意に定まる。

''証明''

# $\bm{z}\in V$ を $\bm{x}$ の逆ベクトルとすると、
$$\begin{aligned}
\bm{y}
=& (\bm{z}+\bm{x})+\bm{y} \\
=& \bm{z}+(\bm{x}+\bm{y}) \\
=& \bm{z}+(\bm{x}+\bm{y}') \\
=& (\bm{z}+\bm{x})+\bm{y}' \\
=& \bm{y}'.
\end{aligned}$$
# $\bm{x}+\bm{y}=\bm{x}+\bm{y}'=\bm{0}(\bm{y},\bm{y}'\in V)$ と置いて、1.を適用すればよい。

=== 1.2. 線形関係・基底 ===
=== 1.3. 部分空間 ===

== 行列 ==

== 線形写像 ==

== 連立一次方程式 ==

== 内積空間 ==

== 対角化・固有値・固有ベクトル ==

== Jordan標準形 ==

== 参考文献 ==

== ''リンク'' ==
* [[線形代数学]]

線形代数の基礎

2021-10-11T15:09:16Z

サクラ: /* 定義1.1.1.（ベクトル空間） */

$\newcommand{\bm}{\boldsymbol}$
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{{TOC |align=right |noautonum=1 }}
</noinclude>
== 線形代数学の基礎 ==
''線形代数学''もしくは''線型代数学''(せんけいだいすうがく、linear algebra)は[[ベクトル]]や[[行列]]の計算を通じて[[線形変換]]・[[連立一次方程式]]・[[二次形式]]といった数学的対象の研究を行う分野である。線形代数学はそれ自身[[代数学]]の一分野であるが、[[解析学]]・[[幾何学]]にも初歩的な部分での応用を持ち、現代数学の根幹をなすと言える。この項目では初学者に向け[[実ベクトル空間]]・[[複素ベクトル空間]]に限った線形代数学の概略を述べる。より一般的な[[体]]上での議論については「[[ベクトル空間]]」ほか各ページを参照のこと。

なお、linearの和訳について「線形」と「線型」のいずれも採用されることがあるが、当wikiでは「線形」に統一する。

== 0. 導入 ==
この項では、[[1. ベクトルとベクトル空間>#o898806e]]で定義されるベクトル空間の導入として、初等数学で扱うような幾何学的意味のベクトルについて、基本的な性質を確認する。

=== 0.1. 空間ベクトル ===

==== 定義0.1.1.（空間ベクトル） ====
平面上の「大きさと向きを持った量」を''平面ベクトル''という。実用的には、物理学において速度や加速度、力といったものを表すのに使われる。特に平面上に[[直交座標系]]が与えられている場合、平面ベクトルは各軸方向に分解することが出来る。たとえば仰角45°方向に働く1Nの力を水平方向 $\sqrt{2}/2$Nと鉛直方向 $\sqrt{2}/2$Nに分解すると言った具合である。このようにすると、平面ベクトルと実数の順序対とを同一視することができる。平面ベクトル $\vec{a}$ の $x$ 方向の大きさが $a_1$ 、 $y$ 方向の大きさが $a_2$ であることを
$$\vec{a}=(a_1,a_2)$$
のように表す。

同様に3次元空間上の「大きさと向きを持った量」を''空間ベクトル''((もっと一般に、4次元以上のEuclid空間上の幾何学的なベクトルのこともこう呼ぶことがある。))という。空間ベクトルは実数の順序付けられた3つ組と同一視出来る。すなわち、空間ベクトル $\vec{a}$ の $x$ 方向の大きさが $a_1$ 、 $y$ 方向の大きさが $a_2$ 、 $z$ 方向の大きさが $a_3$ であることを
$$\vec{a}=(a_1,a_2,a_3)$$
と表す。平面ベクトルにおける議論は空間ベクトルでも同様の議論が可能なので、当項「導入」では以下空間ベクトルについてのみ扱う。

==== 定義0.1.2.（空間ベクトルの大きさ） ====
空間ベクトル $\vec{a}$ の大きさは、 $|\vec{a}|$ と書かれる。特に、 $\vec{a}=(a_1,a_2,a_3)$ のとき、
$$|\vec{a}|=\sqrt{a_1^2+a_2^2+a_3^2}$$

==== 定義0.1.3.（空間ベクトルの和） ====
$\vec{a}=(a_1,a_2,a_3)$ と $\vec{b}=(b_1,b_2,b_3)$ に対し、 $\vec{a}+\vec{b}$ は次のように定義される。
$$\vec{a}+\vec{b}=(a_1+b_1, a_2+b_2, a_3+b_3)$$
物理量を空間ベクトルで表すことにより、物理量の合成を空間ベクトルの和で表すことができる。

==== 定義0.1.4.（空間ベクトルの定数倍） ====
$k$ を実数とする。空間ベクトル $\vec{a}$ の向きを変えずに大きさのみを $k$ 倍したものを、 $k\vec{a}$ とする。特に $\vec{a}=(a_1,a_2,a_3)$ と成分表示されている場合、
$$k\vec{a}=(ka_1,ka_2,ka_3)$$

==== 定義0.1.5.（空間ベクトルの内積） ====
空間ベクトル $\vec{a}$ と $\vec{b}$ のなす角を $\theta$ とするとき、内積 $\vec{a}\cdot\vec{b}$ を次のように定義する。
$$\vec{a}\cdot\vec{b}=|\vec{a}||\vec{b}|\cos\theta$$
特に $\vec{a}=(a_1,a_2,a_3),\vec{b}=(b_1,b_2,b_3)$ のとき、
$$\vec{a}\cdot\vec{b}=a_1b_1+a_2b_2+a_3b_3$$

== 1. ベクトルとベクトル空間 ==
この項では、前項で述べた空間ベクトルの一般化として、より一般的なベクトルを定義する。

=== 1.1. ベクトル空間 ===

==== 定義1.1.1.（ベクトル空間） ====

$K$ を[[実数]]全体のなす集合 $\mathbb{R}$ または[[複素数]]全体のなす集合 $\mathbb{C}$とする<ref>実数全体 $\mathbb{R}$ や複素数全体 $\mathbb{C}$ に限らず、より一般に[[体]]と呼ばれる代数系に対して $K$ 上の線形空間が定義される。</ref>。
$V$ を集合とし、$V$ 上の二項演算 $+$ および、 $K$ と $V$ の要素から $V$ の要素を定める演算 $\cdot$ 、そして$V$ の要素 $\bm{0}$ が予め定められており、これらが以下の8つの法則を満たすとき、四つ組 $(V, +, \cdot, \bm{0})$ は $K$ 上の''ベクトル空間''(vector space)または $K$ 上の''線形空間''(linear space)であるという<ref>$K$ 上のベクトル空間、$K$ 上の線型空間の他にも、$K$-ベクトル空間、$K$-線形空間と書かれることがある。また、線形は線型と書かれることも少なくない。</ref><ref>「ベクトル空間」と「線形空間」、「線型空間」は原則として互いに言い換え可能である。たとえば、「実ベクトル空間」は「実線形空間」ともいう。</ref>。

;(V1)結合律
: $V$ の任意の元 $\bm{x},\bm{y},\bm{z}$ に対して $(\bm{x} + \bm{y}) + \bm{z} = \bm{x} + (\bm{y} + \bm{z})$ が成り立つ。
;(V2)可換律
: $V$ の任意の元 $\bm{x},\bm{y}$ に対して $\bm{x} + \bm{y} = \bm{y} + \bm{x}$ が成り立つ。
;(V3)単位元（零ベクトル）の性質
: $V$ の任意の元 $\bm{x}$ に対して $\bm{x} + \bm{0} = \bm{0} + \bm{x} = \bm{x}$ が成り立つ。
;(V4)逆ベクトルの存在
: $V$ の任意の元 $\bm{x}$ に対して $V$ のある元 $\bm{x}'$ が存在して $\bm{x} + \bm{x}' = \bm{x}' + \bm{x} = \bm{0}$ を満たす。
;(V5)スカラーの加法に対する分配律
: $K$ の任意の元 $a,b$ と $V$ の任意の元 $\bm{x}$ に対して $(a+b)\cdot\bm{x} = a\cdot\bm{x} + b\cdot\bm{x}$ が成り立つ。
;(V6)ベクトルの加法に対する分配律
: $K$ の任意の元 $a$ と $V$ の任意の元 $\bm{x},\bm{y}$ に対して $a\cdot(\bm{x}+\bm{y}) = a\cdot\bm{x} + a\cdot\bm{y}$ が成り立つ。
;(V7)スカラーの積とスカラー乗法の両立
: $K$ の任意の元 $a,b$ と $V$ の任意の元 $\bm{x}$ に対して $(ab)\cdot\bm{x} = a\cdot(b\cdot\bm{x})$ が成り立つ。
;(V8)スカラー乗法の単位元の存在
: $V$ の任意の元 $\bm{x}$ に対して $1\cdot\bm{x} = \bm{x}$ が成り立つ。

==== 補足1.1.2. ====
* $V$ が $K$ 上のベクトル空間であるとき、 $V$ の要素を''ベクトル''(vector)、$K$ の要素を''スカラー''(scalar)と呼ぶ。
* $\mathbb{R}$ 上のベクトル空間のことを特に''実ベクトル空間''(real vector space)とも呼ぶ。
* $\mathbb{C}$ 上のベクトル空間のことを特に''複素ベクトル空間''(complex vector space)とも呼ぶ。
* 演算 $+$ はベクトルの''加法''(addition)と呼ばれ、その結果はベクトルの''和''(sum)と呼ばれる。
* 演算 $\cdot$ は''スカラー乗法''または''スカラー倍''(scalar multiplication)と呼ばれる。この演算子はしばしば省略されて $a\cdot\bm{x}$ は $a\bm{x}$ のように書かれる。
* $\bm{0}$ は''零ベクトル''(れい-、ぜろ-、zero vector)と呼ばれる。
* (V4)において、$\bm{x}'$ は $\bm{x}$ の''逆ベクトル''(inverse vector)と呼ばれる。$\bm{x}$ を取ると対応する逆ベクトルは一意に定まる（後述）ので、$\bm{x}$ の逆ベクトルは $-\bm{x}$ と書かれる。
*$\bm{x} + (-\bm{y})$ は $\bm{x} - \bm{y}$ とも書かれる。

==== 例1.1.3.（ベクトル空間） ====
* 集合 $\{0\}$ は $K$ を問わず $K$上のベクトル空間となり、''自明なベクトル空間''(trivial vector space)と呼ばれる。
* $K$ 自身、 $K$上のベクトル空間とみなすことができる。
* 平面ベクトルの全体、空間ベクトルの全体は、実ベクトル空間の例である。
* $\mathbb{C}$ は、実ベクトル空間である。
* $K$ の元を係数とする一変数多項式の全体は、通常の和と定数倍に関して $K$上のベクトル空間である。

==== 定理1.1.4（消去律・逆ベクトルの一意性） ====
# $V$ をベクトル空間とする。$\bm{x},\bm{y},\bm{y}'\in V$ が $\bm{x}+\bm{y}=\bm{x}+\bm{y}'$ を満たすならば、$\bm{y}=\bm{y}'.$
# $V$ をベクトル空間とする。任意の $\bm{x}\in V$ に対し、その逆ベクトルは一意に定まる。

''証明''

# $\bm{z}\in V$ を $\bm{x}$ の逆ベクトルとすると、
$$\begin{aligned}
\bm{y}
=& (\bm{z}+\bm{x})+\bm{y} \\
=& \bm{z}+(\bm{x}+\bm{y}) \\
=& \bm{z}+(\bm{x}+\bm{y}') \\
=& (\bm{z}+\bm{x})+\bm{y}' \\
=& \bm{y}'.
\end{aligned}$$
# $\bm{x}+\bm{y}=\bm{x}+\bm{y}'=\bm{0}(\bm{y},\bm{y}'\in V)$ と置いて、1.を適用すればよい。

=== 1.2. 線形関係・基底 ===
=== 1.3. 部分空間 ===

== 行列 ==

== 線形写像 ==

== 連立一次方程式 ==

== 内積空間 ==

== 対角化・固有値・固有ベクトル ==

== Jordan標準形 ==

== 参考文献 ==

== ''リンク'' ==
* [[線形代数学]]

環上の加群のホモロジー代数

2021-07-05T05:34:47Z

サクラ: 数式表示エラーの修正

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__MATHJAX2__
[[Category:環論]]

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(この記事は充分に執筆されていません)
(この記事は査読がなされていません)

* 環上の加群のホモロジー代数のお試し記事。サクラ 2020年11月04日 (水) 17:14 (JST)

この節では加群論に基づいて古典的にホモロジー代数の基礎をお浚いします。
本稿では圏論的な道具の明示的な使用は最小限に留め、
素朴にホモロジー次元を使った議論を体感することを目的としています。
特に環論との関わりを最後に書くと思います。

==モチベーションと本稿の構成==
===何故、圏の定義から始まっているか===
環上の加群のホモロジー代数について記述していくが、
これは大雑把にいって「分かりにくい環上の加群を、比較的分かりやすい環上の加群の列で近似する技術」といって差し支えない。
よって基本的には性質のよくない加群も含む「加群の全体」を取り扱うことになる。
また、性質のよい加群の列による近似を実現するために一つの加群の中身を具体的に見るのではなく、
加群の射を通して加群どうしの相対的な関係性を調べていくことになる。
この二つの理由から、環上の加群のホモロジー代数に於いては「環 $\ring$ に対して定まる圏 $\Modcat{\ring}$」を取り扱うことになり、
圏論的な言葉遣いを用いることになる<ref>勿論、圏論的な言葉遣いも全て論理式によって書き下すことで恰も圏を用いていないように振舞うことも可能である。しかしこれは本質的な困難は何も解消しておらず、却って状況を把握しづらくするものである。</ref>。

以下では図式を表現する道具として有向グラフ（箙ともいう）を導入し、
可換図式を定義するために圏を導入する。
そして本稿に必要な言葉遣いとしての圏を概説した後、
環上の加群の圏 $\Modcat{\ring}$ の基本的性質と、
特に性質のよい加群である自由加群、射影加群、平坦加群、入射加群などの基本性質を探る。
これを用いて $\Modcat{\ring}$ の対象が全てよい性質を満たしている場合に、環 $\ring$ がどのような制約を受けるかについて観察する。

この観察を通して一般の環 $\ring$ 上の一般の加群を扱う上ではどうしても素性が分かりにくい対象が現れてしまうことが理解できるため、
いよいよこれを近似するための道具として複体を定義する。
複体を全て集めるとこれもまた圏を為し、それを $\Chcat{\Modcat{\ring}}$ と書く。
これにより基本的な舞台が整ったことになるため、以降は $\Chcat{\Modcat{\ring}}$ の性質を調べ、
射影分解、平坦分解、入射分解などを導入して加群を実際に近似していくこととなる。
最後にこの近似を用いて加群に対してホモロジー次元が定義し、
具体的なホモロジー次元の計算をしたり、より発展的な話題にいかに繋がっていくかを概観することにする。

===他のホモロジー代数に関するページとの関係===
まず第一に、既に述べた通り本稿で扱う内容は圏論的な準備をした後、環上の加群圏 $\Modcat{\ring}$ に関する話題が前半にあり、後半に加群の複体の圏 $\Chcat{\Modcat{\ring}}$ でのホモロジー代数という二部構成になっている。
このうち前半に該当する環上の加群圏 $\Modcat{\ring}$ に関する話題は、$\Abelcat$-豊穣圏（これは前加法圏と同義語である）に関する一般論から従うことが少なくないことを指摘しておく。
特に基本的な構成については、$\Abelcat$-豊穣圏として環を捉えたときに、 $\Modcat{\ring^{\op}}$ が $\ring$ 上の $\Abelcat$-前層圏に他ならないことと、$\Abelcat$ が完備余完備であることとから従うことが少なくない。
これらの事実は[[前加法圏論]]にて解説する予定である。
このように捉えると $\Setcat$ に値を取る前層に関する議論と並行していることが明らかになるが、
本稿ではこれをある程度意識して書いているため、学習が進んでから立ち返って読み直すといった使い方や、(未完であるものの)先に[[前加法圏論]]を学ぶという方法と相性がよいと思う。

次に後半に該当する加群の複体の圏 $\Chcat{\Modcat{\ring}}$ でのホモロジー代数については、[[アーベル圏のホモロジー代数]]や[[完全圏のホモロジー代数]]などに於ける結果の系と見做すことができる。
しかしこちらの記事で解説する予定の一般化は、$\Modcat{\ring}$ がGrothendieckアーベル圏（これは自然に完全圏と見做される）であることと、$\Modcat{\ring}$ でのホモロジー代数が射に関する議論で完結すること（或いはアーベル圏側の大きな定理であるMitchellの埋め込み定理やGabriel–Popescuの定理などにより議論の多くが $\Modcat{\ring}$ に帰着させられること）とに依っている。
よってこれらは相補的なものであり、違いは準備の量と得られる結果の一般性とである。
基本的にどちらから読んでも差し支えないと考えている。

==ホモロジー代数の初歩に必要な加群の構成==
モチベーションでも述べた通り、
環上の加群のホモロジー代数に於いては圏論的な言葉遣いを用いていくことになる。
よって道具としての圏は最低限用意せざるを得ない。
図式（箙ともいう）、圏、函手、可換図式、自然変換などの言葉を扱っているのはこのためである。

一方、本稿に於ける興味の対象は環上の加群であって圏論的な言葉遣いは飽くまで道具であるという立場を取る為め、
裏返せば環上の加群を調べる際に必要になるまでは圏論的な言葉遣いは不要であるといってもよい。
以下では全体を通して整合性を取る為めに圏論的な言葉遣いを冒頭に纏めているものの、
特に圏と函手の定義まで読んだあとは一旦飛ばすことも可能であり、
環上の加群のホモロジー代数自体に興味のある読者は、寧ろ一旦飛ばすことをおススメする。

本稿では[[アーベル群]]、[[環]]、[[体]]に関する基本的な事実は認めることにするが、
何らかの事実を認めるときは何を認めたかを明示するよう努めている。

===圏と図式===
{{theorem |type=def |label=def:HomologyOverMod_Def_QuiverDef |name=有向グラフ、箙の定義 }}
四つ組 $\dgraph=\ordpair{ X, Y, \dom, \cod }$ が有向グラフ（ゆうこうぐらふ、irected Graph）または箙（えびら、Quiver）であるとは、
* $\dom$ は $Y$ から $X$ への写像である。
* $\cod$ が $Y$ から $X$ への写像である。

を満たすことをいう。有向グラフ $\dgraph$ について、この各成分を明示するとき $\dgraph = \ordpair{ \Ob{\dgraph}, \Mor{\dgraph}, \dom_{\dgraph}, \cod_\dgraph }$ と書く。

{{theorem |type=rem |label=rem:HomologyOverMod_Rem_QuiverDef |name=有向グラフ、箙の定義に関する注意 }}
* $\dgraph$ を有向グラフとするとき、$\Ob{\dgraph}$ の元を $\dgraph$ の対象や頂点という。
* $\dgraph$ を有向グラフとするとき、$\Mor{\dgraph}$ の元を $\dgraph$ の射や辺という。
* $\dgraph$ を有向グラフとするとき、$\dgraph$ の辺 $\varphi$ について、これの $\dom_{\dgraph}$ による値を $\varphi$ の始域という。
* $\dgraph$ を有向グラフとするとき、$\dgraph$ の辺 $\varphi$ について、これの $\cod_{\dgraph}$ による値を $\varphi$ の終域という。
* 始域を返す写像 $\dom_{\dgraph}$ や終域を返す写像 $\cod_{\dgraph}$ の添え字 $\dgraph$ は省略することが多い。
* 有向グラフ $\dgraph$ とその頂点 $a$、$b$ が与えられたとき次のように書き、この集合 $\Homset{\dgraph}{a}{b}$ を $a$ から $b$ への $\dgraph$ のHom集合という。
$$\Homset{\dgraph}{a}{b}\coloneqq\set{ f\in\Mor{\dgraph} }{ \text{$\dom(f)=a$ かつ $\cod(f)=b$ である} }$$
* 有向グラフの対象や射は、（$\ZF$-集合論における真クラスのように）集合でない場合がある。これは依って立つ理論に応じて正当化の方法が変わるため本稿では詳しく立ち入らないものとし、分かりやすさのために補助的に用いる場合はこれを“集まり”のように二重引用符を付けることにする。基本的な立場としては$\ZFC$-集合論に[[Grothendieck宇宙]]の存在を追加することで正当化できるような議論を行なっている。

ここでは詳しい証明を避けるが、頂点全体の集合 $\Ob{\dgraph}$ と全てのHom集合の為す族 $(\Homset{\dgraph}{a}{b})_{a,b\in\Ob{\dgraph}}$ とから元の有向グラフを復元することができるため、これを定義に採用してもよい。
具体的には次のように定義される。

{{theorem |type=def |label=def:HomologyOverMod_Def_QuiverDefwithHom |name=Hom集合に基づく有向グラフ、箙の定義 }}
四つ組 $\dgraph=\ordpair{ X, Y, \Homset{\dgraph}{-}{?} }$ が有向グラフ（ゆうこうぐらふ、irected Graph）または箙（えびら、Quiver）であるとは、
* $\Homset{\dgraph}{-}{?}$ は $X \times X$ から $\Powset{Y}$ への写像であり、
* $\Homset{\dgraph}{-}{?}$ の像は $Y$ の直和分解を与える。即ち、$Y$ の任意の元 $f$ について、$f \in \Homset{\dgraph}{a}{b}$ を満たす $X$ の元 $a$、$b$ が一意に存在する。

を満たすことをいう。

この後に述べる有向グラフ上の算法を考える上ではこちらの見方の方が記述がすっきりするため、以下では適切に使い分けることにする。
有向グラフの例を幾つか見ておこう。

{{theorem |type=ex |label=ex:HomologyOverMod_Ex_QuiverEx |name=有向グラフである例 }}
$X\coloneqq\{ a,b,c \}$、$Y\coloneqq\{ f,g,h \}$ と定め、$\dom(f)=a$、$\cod(f)=b$、$\dom(g)=b$、$\cod(g)=c$、$\dom(h)=a$、$\cod(h)=c$ と定める。このとき四つ組 $\dgraph\coloneqq\ordpair{ X, Y, \dom, \cod }$ は有向グラフである。この有向グラフは、
<nowiki>
\begin{xy}
\xymatrix {
a \ar@/^0pt/[dr]|{h} \ar[r]|{f}& b\ar@/^0pt/[d]|{g}\\
& c
}
\end{xy}
</nowiki>
のように図示される。これは各頂点ごとに対応する点を書いた後に、$\Homset{\dgraph}{a}{b}$ に属する辺を、頂点 $a$ に対応する点から頂点 $b$ に対応する点へ向かう矢印として書くことで得られる図である。
十分小さい有向グラフであればこのように図示して考えることができ、図示することで状況を一目で把握することができる。
このように情報を一目で分かる形で整理する上で有向グラフは有用であり、この有用性は本稿で図式（これは次に定義する）を用いた議論を多用する理由の一つである。

{{theorem |type=def |label=def:HomologyOverMod_Def_DiagramDef |name=集合の図式の定義 }}
$\dgraph$ を有向グラフとする。
組 $\ordpair{ (\module_a)_{a\in\Ob{\dgraph}}, (f_\varphi)_{\varphi\in\Mor{\dgraph}} }$ が $\dgraph$ 上の集合の図式であるとは、
* $\dgraph$ の任意の頂点 $a$ について、$\module_a$ は集合である。
* $\dgraph$ の任意の辺 $\varphi$ について、$f_\varphi$ は写像である。
* $\dgraph$ の任意の辺 $\varphi$ について、$\dom(f_\varphi)=M_{\dom_{\dgraph}(\varphi)}$ が成り立つ。
* $\dgraph$ の任意の辺 $\varphi$ について、$\cod(f_\varphi)=M_{\cod_{\dgraph}(\varphi)}$ が成り立つ。

を満たすことである。
この条件はインフォーマルには次のように書くこともできる。
集合全体の為す“集まり”を $\Ob{\SETcat}$ とし、写像全体の為す“集まり”を $\Mor{\SETcat}$ と書く。
更に $\Mor{\SETcat}$ の元に対して始域（これは $\Ob{\SETcat}$ の元である）を返す“写像”を $\dom_\SETcat$ と書き、$\Mor{\SETcat}$ の元に対して終域（これは $\Ob{\SETcat}$ の元である）を返す“写像”を $\cod_\SETcat$ と書く。
この下で組 $\ordpair{ M, f }$ が $\dgraph$ 上の集合の図式であるとは、次を満たすことである。
* $M$ は $\Ob{\dgraph}$ から $\Ob{\SETcat}$ への“写像”である。
* $f$ は $\Mor{\dgraph}$ から $\Mor{\SETcat}$ への“写像”である。
* $M \circ \dom_\dgraph = \dom_\SETcat \circ f$ が成立する。これは次の“図式”が可換であると言ってもよい。
<nowiki>
\begin{xy}
\xymatrix {
\Mor{\dgraph} \ar[r]|{f} \ar@/^0pt/[d]|{\dom_\dgraph} & \Mor{\SETcat} \ar@/^0pt/[d]|{\dom_\SETcat}\\
\Ob{\dgraph} \ar[r]|{M} & \Ob{\SETcat}
}
\end{xy}
</nowiki>
* $M \circ \cod_\dgraph = \cod_\SETcat \circ f$ が成立する。これは次の“図式”が可換であると言ってもよい。
<nowiki>
\begin{xy}
\xymatrix {
\Mor{\dgraph} \ar[r]|{f} \ar@/^0pt/[d]|{\cod_\dgraph} & \Mor{\SETcat} \ar@/^0pt/[d]|{\cod_\SETcat}\\
\Ob{\dgraph} \ar[r]|{M} & \Ob{\SETcat}
}
\end{xy}
</nowiki>

{{theorem |type=rem |label=rem:HomologyOverMod_Rem_DiagramDef |name=集合の図式の定義に関する注意 }}
* 大雑把に云えば、$\dgraph$ 上の集合の図式とは $\dgraph$ の頂点に集合を置き、$\dgraph$ の辺に写像を置いたものであり、より正確には辺の始点と射の始域との整合性および辺の終点と射の終点との整合性を満たすようなものといえる。
よって有向グラフが図示して考えられるようなものであれば、左 $\ring$-加群の図式も同様に図示して考えることができる。
* 集合の図式と同様に、アーベル群の図式や環の図式などを考えることができるが、これは(小)圏の定義をした後に再定義した方が見通しがよいため一旦保留する。
* $\dgraph$ を有向グラフとするとき、$\dgraph$ 上の集合の図式 $\ordpair{ (M_a)_{a\in\Ob{\dgraph}}, (f_\varphi)_{\varphi\in\Mor{\dgraph}} }$ の添え字のわたる範囲は殆ど明かであるため、以降では混乱の生じない限りにおいて $\ordpair{ M_\bullet,f_\bullet }$ と略記する。

===図式の可換性===
$\dgraph$ を有向グラフとし、$\dgraph$ 上の集合の図式を $\alpha=\ordpair{ M_\bullet,f_\bullet }$ としよう。
$\dgraph$ の頂点 $a$ と $b$ とについて、この頂点の上に乗っている集合 $M_a$ から出発し、有向グラフ $\dgraph$ の辺に沿って $M_b$ へ至る辿り方は一般に一通りではない。
如何なる方法で矢印を辿って行ったとしても同じ写像で向かったことになるような図式として可換図式が定義したい。
このとき「繋ぎうる $\dgraph$ の矢印の列」を辺に持つ新しい図式 $\widehat{\dgraph}$ を構成し、元の $\dgraph$ 上の図式を $\widehat{\dgraph}$ 上の図式に拡張できれば、$\Homset{\widehat{\dgraph}}{a}{b}$ の上の写像が一致していることとして図式の可換性を定義できる。
このアイデアに基づいて可換性を定義する。
ただし、図式の可換性の定義を完全に形式的に行なわずとも直観的な理解で困ることは殆どないといって差し支えないため、特別に気にならない場合は本節を読み飛ばすことも可能である。

{{theorem |type=def |label=def:HomologyOverMod_Def_FreeDGraphDef |name=自由に生成された有向グラフの定義 }}
$\dgraph$ を有向グラフとする。このとき次のように再帰的に有向グラフ $\dgraph_n$ を定義する。
$\Ob{\dgraph_n}=\Ob{\dgraph}$ とし、$\Ob{\dgraph}$ の元 $a$、$b$ に対して

$$
\begin{aligned}
\Homset{\dgraph_0}{a}{b} &= \Ob{\dgraph}\\
\Homset{\dgraph_{n+1}}{a}{b} &= \bigcup_{x\in\Ob{\dgraph}} \Homset{\dgraph_n}{x}{b}\times\Homset{\dgraph_n}{a}{x}
\end{aligned}
$$

と定める。更にこれらを用いて有向グラフ $\widehat{\dgraph}$ を次のように定義する。 $\Ob{\widehat{\dgraph}}=\Ob{\dgraph}$ と定め、 $\Ob{\dgraph}$ の元 $a$、$b$ に対して
$$\Homset{\widehat{\dgraph}}{a}{b} = \bigcup_{n\in\omega}\Homset{\dgraph_n}{a}{b}$$
とおく。このようにして得られた有向グラフ $\widehat{\dgraph}$ を $\dgraph$ から自由に生成された有向グラフと呼ぶ。

{{theorem |type=rem |label=rem:HomologyOverMod_Rem_DreeDGraphDef |name=自由に生成された有向グラフの定義に関する注意 }}
* 構成から容易に分かるように、$\widehat{\widehat{\dgraph}}=\widehat{\dgraph}$ が成立する。
* $\Homset{\dgraph_{n+1}}{a}{b} = \{ \ordpair{ p,q } \mid \text{ $\Ob{\dgraph}$ の元 $x$ であって $p\in\Homset{\dgraph_n}{a}{x}$ かつ $q\in\Homset{\dgraph_n}{x}{b}$ を満たすものが存在する } \}$ と書くこともできる。
* $\Homset{\dgraph_{n}}{a}{b}$ の元 $x$ は、二つの $\Homset{\dgraph_{n-1}}{a}{b}$ の元 $p_1$、$p_2$ を用いて $x=\ordpair{ p_1, p_2 }$ と書き下せるので、$\ordpair{ M_\bullet,f_\bullet }$ を $\dgraph$ 上の集合の図式とするとき、$\dgraph_n$ 上の図式への拡張も再帰的に定義でき、それらの合併により $\dgraph$ から自由に生成された有向グラフ上の図式への拡張 $\ordpair{ \widehat{M}_\bullet,\widehat{f}_\bullet }$ が得られる。

ここまでで可換性を定義する準備が整った。

{{theorem |type=def |label=def:HomologyOverMod_Def_CommutativityDef |name=図式の可換性 }}
$\ordpair{ M_\bullet,f_\bullet }$ を $\dgraph$ 上の集合の図式とする。図式 $\ordpair{ M_\bullet,f_\bullet }$ が可換であるとは、自由に生成された有向グラフ $\widehat{\dgraph}$ の任意の辺 $p$、$q$ について、$\dom_{\widehat{\dgraph}}(p)=\dom_{\widehat{\dgraph}}(q)$ および $\cod_{\widehat{\dgraph}}(p)=\cod_{\widehat{\dgraph}}(q)$ が成立するならば、対応する $\widehat{\dgraph}$ の図式への拡張 $\ordpair{ \widehat{M}_\bullet,\widehat{f}_\bullet }$ の辺 $\widehat{f}_p$ および $\widehat{f}_q$ が一致することをいう。

ここまでで図式の可換性を素朴なアイデアに基づき定義したが、圏の言葉を用いれば自由に生成された有向グラフというアイデアは自由圏の底グラフとして捉え直せ、更に図式が可換であることは有向グラフからの有向グラフの射が自由圏からの函手に持ち上がる必要十分条件として捉え直すことができる。本稿では圏の概念も用いるため、次節以降では圏に関する基本的な概念の定義を述べる。

===有向グラフ上の算法と圏===
前節では有向グラフの可換性を定義するために、有向グラフ $\dgraph$ から自由に生成された有向グラフ $\widehat{\dgraph}$ を構成した。この新たな有向グラフは $\widehat{\dgraph}$ 上の繋ぎうる二つの矢印 $p$、$q$ について、これらを繋いだものを表す $\widehat{\widehat{\dgraph}}$ の辺 $\ordpair{ p, q }$ が再び $\widehat{\dgraph}$ の辺であるという顕著な性質を満たしている。

本節ではこの性質を構造として捉えなおす。
具体的には「繋げられる矢印の組に一つの矢印を対応させる写像」として有向グラフ上の算法(合成)を定義し、
この合成を備えた有向グラフであって特に重要なものとして圏を導入する。
圏はこれ自体で学ぶべき価値がある概念であり、
環上の加群のホモロジー代数も圏論を学んだ後に読み直すことでより明瞭に理解されるようになる。

{{theorem |type=def |label=def:HomologyOverMod_Def_CompOverDGraphDef |name=合成、結合的、単位的 }}
$\dgraph$ を有向グラフとする。このとき族 $( \map{ m_{a,b,c} }{ \Homset{\dgraph}{b}{c}\times\Homset{\dgraph}{a}{b} }{ \Homset{\dgraph}{a}{c} } )_{a,b,c\in\Ob{\dgraph}}$ を $\dgraph$ の合成といい、合成による値 $m_{a,b,c}(g,f)$ を $g\circ f$ と略記する。
合成が結合的であるとは
* $\dgraph$ の任意の辺 $f\in\Homset{\dgraph}{a}{b}$、$g\in\Homset{\dgraph}{b}{c}$、$h\in\Homset{\dgraph}{c}{d}$ について、$h\circ(g\circ f)=(h\circ g)\circ f$ が成立する。

を満たすことである。また単位的であるとは次を満たすことである。
* $\dgraph$ の任意の頂点 $a$ について、$f\in\Homset{\dgraph}{a}{a}$ であって次を満たすものが存在する：$a$ を始点とする任意の辺 $g$ について $g \circ f=g$ が成立し、$a$ を終点とする任意の辺 $h$ について $f\circ h=h$ が成立する。

{{theorem |type=rem |label=rem:HomologyOverMod_Rem_CompOverDGraphDef |name=合成、結合的、単位的に関する注意 }}
* 合成は、終域と始域とが一致する二つの射 $f$、$g$ に対してのみ考えることができる。よって特に $\Mor{\dgraph}\times\Mor{\dgraph}$ 上の算法と見做したとき[[全域的]]とは限らない。
* 一方で、合成の定義域は必ず $\set{ \ordpair{ g,f }\in\Mor{\dgraph}\times\Mor{\dgraph} }{ \cod(f)=\dom(g) }$ である。これを $\compdom{\dgraph}$ と書く。
* $\dgraph$ を有向グラフとするとき、$\dgraph$ 上の合成 $( m_{a,b,c} )_{a,b,c\in\Ob{\dgraph}}$ から定まる写像 $\compdom{\dgraph}\rightarrow\Mor{\dgraph}$ を $\compstr_{\dgraph}$ と書く。添え字の $\dgraph$ はしばしば省略する。
* $\dgraph$ を有向グラフとするとき、$\compstr_{\dgraph}$ を与えることと $( m_{a,b,c} )_{a,b,c\in\Ob{\dgraph}}$ を与えることとは等価である。
* $\dgraph$ を有向グラフとし、$\compstr$ を$\dgraph$ 上の結合的かつ単位的な合成とするとき、各頂点 $a$ に対して存在が主張される射 $f$ は一意的に定まるのでこれを $\id_a$ と書く。実際、斯かる射 $f$、$f'$ を任意に取ると、$\dom(f)=\cod(f')$ が成立することに留意すると $f=f\circ f'= f'$ と計算できるのでよい。この射 $\id_a$ を頂点 $a$ の恒等射という。
* $\dgraph$ を有向グラフとし、$\compstr$ を$\dgraph$ 上の結合的かつ単位的な合成とするとき、先の注意より写像 $\map{ \id }{ \Ob{\dgraph} }{ \Mor{\dgraph} }$ が定まる。これを単位構造と呼び、組 $\ordpair{ \compstr, \idstr }$ を $\dgraph$ の単位的合成構造と呼ぶ。

{{theorem |type=def |label=def:HomologyOverMod_Def_SmallCategoryDef |name=小圏 }}
三つ組 $\ordpair{ \dgraph, \compstr, \idstr }$ が小圏であるとは、
* $\dgraph$ は有向グラフである。
* 組 $\ordpair{ \compstr, \idstr }$ は $\dgraph$ の単位的合成構造である。

を満たすことである。

圏の例を幾つか挙げておこう。
次のように図示される有向グラフ $\dgraph$ を考える。
<nowiki>
\begin{xy}
\xymatrix {
a \ar@/^0pt/[dr]|{h} \ar[r]|{f}& b\ar@/^0pt/[d]|{g}\\
& c
}
\end{xy}
</nowiki>
ただしこの図では省略したが、各頂点 $x$ に対して定まる集合 $\Homset{\dgraph}{x}{x}$ は一元集合であるとする。
このとき $\dgraph$ 上の合成は、各Hom集合が一元集合であるため一意に定まる。
この合成で $\dgraph$ は圏を為す。
先ず単位的であることは各Hom集合が一元集合であることに注意すると容易に確認できる。
次いで結合的であることは $\dgraph$ から頂点を四つ選んだ時点で重複が生じるため、結合律を定義通りに示す際に取るべき射 $f$、$g$、$h$ の一つは恒等射である。
よって単位的であることから $h\circ(g\circ f)=(h\circ g)\circ f$ が成立する。

{{theorem |type=ex |label=ex:HomologyOverMod_Ex_Setcat |name=集合の為す圏 }}
この例示に於いては[[Grothendieck宇宙]]の存在を仮定し、$\Grouniv$ をGrothendieck宇宙とする。
また順序対の集合論的実装はKuratowskiによるものを採用し、写像の集合論的実装はグラフによるものを採用する。
このとき次のように定義する。

$$
\begin{aligned}
\Ob{ \Setcat^\Grouniv }&\coloneqq\Grouniv\\
\Mor{ \Setcat^\Grouniv }&\coloneqq\{ \ordpair{ f,X,Y }\in\Grouniv \mid \text{$f$ は $X$ から $Y$ への写像である} \}
\end{aligned}
$$

更に $\Mor{\Setcat^\Grouniv}$ の元について、第二成分を始域とし、第三成分を終域とすると有向グラフを為し、
この有向グラフは写像の通常の合成により圏を為す。
これを（ $\Grouniv$-小な）集合の為す圏といい、$\Setcat^\Grouniv$ と書く。
$\Setcat^\Grouniv$ の恒等射は恒等写像である。

{{theorem |type=ex |label=ex:HomologyOverMod_Ex_Abelcat |name=アーベル群の為す圏 }}
この例示に於いてのみ[[Grothendieck宇宙]]の存在を仮定し、$\Grouniv$ をGrothendieck宇宙とする。
また順序対の集合論的実装はKuratowskiによるものを採用し、写像の集合論的実装はグラフによるものを採用する。
このとき次のように定義する。

$$
\begin{aligned}
\Ob{ \Abelcat^\Grouniv }&\coloneqq\set{ \module\in\Grouniv }{ \text{$\module$ はアーベル群である} }\\
\Mor{ \Abelcat^\Grouniv }&\coloneqq\set{ \ordpair{ f,\module,N }\in\Grouniv }{ \text{$f$ は $\module$ から $N$ へのアーベル群の射である} }
\end{aligned}
$$

更に $\Mor{\Abelcat^\Grouniv}$ の元について、第二成分を始域とし、第三成分を終域とすると有向グラフを為し、
この有向グラフは写像の通常の合成により圏を為す。
これを（ $\Grouniv$-小な）アーベル群の為す圏といい、$\Abelcat^\Grouniv$ と書く。
$\Abelcat^\Grouniv$ の恒等射は恒等写像である。

===有向グラフの射と圏の射（函手）===

{{theorem |type=def |label=def:HomologyOverMod_Def_DGraphMor |name=有向グラフの射 }}
$\dgraph$、$\dgraph'$ を有向グラフとするとき、組 $F=\ordpair{ F_0,F_1 }$ が有向グラフの射であるとは、
* $\map{ F_0 }{ \Ob{\dgraph} }{ \Ob{\dgraph'} }$ である。
* $\map{ F_1 }{ \Mor{\dgraph}}{ \Mor{\dgraph'}}$ である。
* $\dom_{\dgraph'}\circ F_1=F_0\circ\dom_{\dgraph}$ が成立する。これは次の集合の図式が可換であると言ってもよい。
<nowiki>
\begin{xy}
\xymatrix {
\Mor{\dgraph} \ar[r]|{F_1} \ar@/^0pt/[d]|{\dom_\dgraph} & \Mor{\dgraph'} \ar@/^0pt/[d]|{\dom_{\dgraph'}}\\
\Ob{\dgraph} \ar[r]|{F_0} & \Ob{\dgraph'}
}
\end{xy}
</nowiki>
* $\cod_{\dgraph'}\circ F_1=F_0\circ\cod_{\dgraph}$ が成立する。これは次の集合の図式が可換であると言ってもよい。
<nowiki>
\begin{xy}
\xymatrix {
\Mor{\dgraph} \ar[r]|{F_1} \ar@/^0pt/[d]|{\cod_\dgraph} & \Mor{\dgraph'} \ar@/^0pt/[d]|{\cod_{\dgraph'}}\\
\Ob{\dgraph} \ar[r]|{F_0} & \Ob{\dgraph'}
}
\end{xy}
</nowiki>
を満たすことである。

{{theorem |type=rem |label=def:HomologyOverMod_Rem_DGraphMor |name=有向グラフの射の定義の注意 }}
* $\dgraph$、$\dgraph'$ を有向グラフとするし、組 $F=\ordpair{ F_0,F_1 }$ を有向グラフの射とする。このとき $\ordpair{f,g}\in\compdom{\dgraph}$ について、$\cod(g)=\dom(f)$ が成立していることに注意すると、$\cod(F_1(g))=F_0(\cod(g))=F_0(\dom(f))=\dom(F_1(f))$ が成立するので $\ordpair{ F_1(f), F_1(g) }$ は $\compdom{\dgraph'}$ の元である。よって次を可換にする写像 $\varphi$ が $\varphi(\ordpair{f,g})=F_1(f)\times F_1(g)$ により定義できる。これも $F_1 \times F_1$ と書く。
<nowiki>
\begin{xy}
\xymatrix {
\Mor(\dgraph)\times\Mor(\dgraph) \ar[rr]|{F_1 \times F_1} && \Mor{\dgraph'}\times\Mor{\dgraph'}\\
\compdom{\dgraph} \ar[u]|{\incl} \ar[rr]|{\exists\varphi} && \compdom{\dgraph'} \ar[u]|{\incl}
}
\end{xy}
</nowiki>

{{theorem |type=def |label=def:HomologyOverMod_Def_CatMor |name=圏の射、函手 }}
$\cat$、$\cat'$ を小圏とするとき、組 $F=\ordpair{ F_0, F_1 }$ が函手であるとは、
* $F$ は底有向グラフの射であり、
* $\cat$ の任意の辺 $a\xrightarrow{\varphi}b\xrightarrow{\psi}c$ について、$F_1(\psi\circ\varphi)=F_1(\psi)\circ F_1(\varphi)$ が成立する。これは次の集合の図式が可換であると言ってもよい。
<nowiki>
\begin{xy}
\xymatrix {
\compdom{\cat} \ar[d]|{\compstr_\cat} \ar[rr]|{F_1 \times F_1} && \compdom{\cat'} \ar[d]|{\compstr_{\cat'}}\\
\Mor{\cat} \ar[rr]|{F_1} && \Mor{\cat'}
}
\end{xy}
</nowiki>
* $\dgraph$ の任意の頂点 $a$ について、$F_1(\id_a)=\id_{F_0(a)}$ が成立する。これは次の集合の図式が可換であると言ってもよい。
<nowiki>
\begin{xy}
\xymatrix {
\Ob{\cat} \ar[d]|{\idstr_\cat} \ar[r]|{F_0} & \Ob{\cat'} \ar[d]|{\idstr_{\cat'}}\\
\Mor{\cat} \ar[r]|{F_1} & \Mor{\cat'}
}
\end{xy}
</nowiki>
を満たすことである。

===有向グラフから自由に構成される圏===
図式の可換性を定義するために与えられた有向グラフ $\dgraph$ から全ての辺の辿り方を知っている有向グラフ $\widehat{\dgraph}$ を構成する方法を既に述べたが、これは圏の言葉を用いると有向グラフから構成される自由圏を考えることに他ならない。
以下ではこのことを説明するが、この節で述べた事実は以降で用いることはないので読み飛ばしても差し支えない。
(予定：自由圏の定義)
(予定：自由圏の存在(抽象的な方法))
(予定：自由圏の存在(具体的な構成))

有向グラフ $\dgraph$ の自由圏 $\cat(\dgraph)$ の具体的な構成よりこの底有向グラフは $\widehat{\dgraph}$ である。
有向グラフ $\dgraph$ 上の図式 $\ordpair{ M_\bullet, f_\bullet }$ は、一意的に $\widehat{\dgraph}$ 上の図式 $\widehat{\alpha}=\ordpair{ \widehat{M_\bullet}, \widehat{f_\bullet} }$ に拡張される。
これが自由圏からの函手であることを書き下すと、次の条件を満たすことと同値であることが分かる。
* 任意の頂点 $a$、$b$ について、$\widehat{\dgraph}$ に於ける $a$ から $b$ への任意の射 $\varphi$ および $\psi$ について、$\widehat{f_\varphi}=\widehat{f_\psi}$ が成立する

これは既に述べた有向グラフ $\dgraph$ 上の図示 $\alpha=\ordpair{ M_\bullet,f_\bullet }$ の可換性と同値である。

===加群と加群の射===
本稿で用いる加群の定義や加群の射の定義をここではっきりさせておこう。

{{theorem |type=def |label=def:HomologyOverMod_Def_Module |name=加群 }}
$\ring$ を環とするとき、
アーベル群 $\module$ と環準同型 $\map{ \ract{\module} }{ \module\times\ring }{ \module }$ との組 $\ordpair{ \module, \ract{\module} }$ が右 $\ring$-加群であるとは、
* $\ring$ の任意の元 $r$、$r'$ および $\module$ の任意の元 $m$ について、$m(rr')=(mr)r'$ が成立する。
* $\ring$ の任意の元 $r$、$r'$ および $\module$ の任意の元 $m$ について、$m(r+r')=mr+mr'$ が成立する。
* $\ring$ の任意の元 $r$ および $\module$ の任意の元 $m$、$m'$ について、$(m+m')r=mr+m'r$ が成立する。
* $\module$ の任意の元 $m$ について、$m1=m$ が成立する。
を満たすことである。
ただし $\ract{\module}(r,m)$ を $rm$ と略記した。

$\ordpair{ \module, \ract{\module} }$ および $\ordpair{ N, \ract{N} }$ を右 $\ring$-加群とするとき、
写像 $\map{ f }{ \module }{ N }$ が右 $\ring$-加群の射であるとは、
$\ring$ の任意の元 $r$ および $\module$ の任意の元 $m$ について $f(mr)=f(m)r$ が成立することである。

====定義（構造射による加群と加群の射）====
$\ring$ を環とするとき、
アーベル群 $\module$ と環準同型 $\map{ \modstr{\module} }{ \ring }{ \EndringF{\Abelcat}{\module} }$ との組 $\ordpair{ \module, \modstr{\module} }$ を右 $\ring$-加群という。

$\ordpair{ \module, \modstr{\module} }$ および $\ordpair{ N, \modstr{N} }$ を右 $\ring$-加群とするとき、
写像 $\map{ f }{ \module }{ N }$ が右 $\ring$-加群の射であるとは、
$\ring$ の任意の元 $r$ について
<nowiki>
\begin{xy}
\xymatrix {
M \ar[d]|{f} \ar[rrr]|{\modstr{\module}(r)}
&&& M \ar[d]|{f} \\
N \ar[rrr]|{\mathsf{str}_{R\curvearrowright N}(r)}
&&& N
}
\end{xy}
</nowiki>
が可換であることである。
以下では用いないが、環を一点前加法圏と見做せることに注意すると、構造射により定義された加群は環から $\Abelcat$ への加法的函手と同一視でき、加群の射を二つの函手の間の自然変換と同一視できる。
この見方を推し進めた研究は多く、例えばBarry MitchellのRings with several objectsなどは基本的である。

====注意・例示（加群と加群の射）====
加群および加群の射の二通りの定義を紹介したが、両者の定義は一方から他方が構成されるという意味で同値である。
このときの構成方法はカリー化とアンカリー化でよく、well-definedであることさえ示せば一対一対応を与えることは明白である。
詳しい証明については[[環上の加群論]]を参照されたい。
また本稿では可能な限り両方の定義による証明を併記している。
作用による加群の定義を用いた証明の方がアーベル群に関して認めるべき事実が少ないが、
構造射による加群の定義を用いた証明は「加群は環の表現である」という思想をよく表しており、
(少なくとも筆者は)一種の味わい深さがあると感じている。
よって特にアーベル群に関する事実に詳しくない場合は、
まず作用による加群の定義を用いた証明を読まれたうえで、
$\mathbb{Z}$-加群とアーベル群とが等価な概念であることに注意を払いつつ、
再度構造射による定義を用いた証明を眺められることをおススメする。
このような読み方ができるように配列したことで、自己完結的でありつつも仮定するべき前提知識を極力少なくなるよう努めた次第である。

$\ring$ の反対環 $\ring^\op$ と書くとき、右 $\ring^\op$-加群を左 $\ring$-加群という。
右 $\ring$-加群の射の写像としての合成は再び右 $\ring$-加群の射となり、
恒等写像は右 $\ring$-加群の射である。
よって( $\Grouniv$-小な)右 $\ring$-加群と右 $\ring$-加群の射は($\Grouniv$-小な)圏を為し、これを $\Modcat{\ring}$ と書く。
また、$\ring^{\op\op}=\ring$ および $\Modcat{\ring}^\op\cong\Modcat{\ring^\op}$ が成り立つため、$$\Modcat{\ring^\op}^\op\cong\mathsf{Mod}(\ring^{\op\op})=\Modcat{\ring}$$ が得られる。
この事実は圏論的な双対命題が常に成立することを担保する。
以下では特に既に示した命題の双対命題と見做せる言明については、一部の例外を除きこの性質を用いて証明していく。

{{theorem |type=ex |label=Zeromod |name=零加群 }}
$\ring$ を環とする。
このとき自明なアーベル群 $O$ について、
このEnd環は $\mathsf{End}_{\Abelcat}(O)=\{\id_O\}$ と計算できるため、
$\ring$ からEnd環への環準同型は一意的に定まる。
よってこれを構造として備えた左 $\ring$-加群も $O$ と書き、
これを零加群という。

{{theorem |type=ex |label=Zeromor |name=零射 }}
$\ring$ を環とし、\module を左 $\ring$-加群とする。
このとき $O$ を始域または終域とする一意的なアーベル群の射 $\map{ 0_{O,\module} }{ O }{ \module }$ および $\map{ 0_{M,O} }{ \module }{ O }$ は左 $\ring$-加群の射である。
更に $N$ を左 $\ring$-加群とするとき、左 $\ring$-加群の射 $\map{ 0_{M,N} }{ \module }{ N }$ を $0_{M,N}\coloneqq0_{O,N}\circ 0_{M,O}$ と定義する。
これらを総称して零射といい、始域および終域が明らかなときは単に $0$ と書く。
零射については次の性質が顕著である。
* \module、$N$、$L$ を左$\ring$-加群とするとき、$0_{N,L}\circ 0_{M,N}=0_{M,L}$ が成立する。

$\ring$ を環とし、$\map{f}{\module}{ N }$ および $\map{g}{ \module }{ N }$ を左 $\ring$-加群の射とする。
このとき $f$ および $g$ はアーベル群の射でもあるから、
アーベル群としてのHom集合 $\Homset{\Abelcat}{\module}{N}$ には値に依る加法を入れることができ、
これによりアーベル群と見做せる。
この加法は左 $\ring$-加群としてのHom集合 $\Homset{\Modcat{\ring}}{\module}{N}$ に於ける加法を誘導する。

証明：

また、加群に関する基本的な性質については、重要であったとしても本稿で用いないものについては言及していない。
これについても[[環上の加群論]]を参照されたい。

====定義（部分、剰余）====
$\ring$ を環とし、$\module$ を左 $\ring$-加群とする。
組 $\ordpair{ L, \iota }$ が $\module$ の部分であるとは、$\iota$ が $L$ から $\module$ への単射な加群の射であることである。
$\ordpair{ L_1, \iota_1 }$ および $\ordpair{ L_2, \iota_2 }$ を $\module$ の部分とするとき、$\varphi$ が $\ordpair{ L_1, \iota_1 }$ から $\ordpair{ L_2, \iota_2 }$ への部分の射であるとは、$\varphi$ は $L_1$ から $L_2$ への加群の射であって $\iota_1=\iota_2\circ\varphi$ を満たすことである。
この条件は次の左 $\ring$-加群の図式が可換になると換言できる。
$\varphi$ が同型であるとき、二つの部分は部分として同型であるという。

また、組 $\ordpair{ N, \pi }$ が $\module$ の剰余であるとは、$\pi$ が $\module$ から $N$ への全射な加群の射であることである。
$\ordpair{ N_1, \pi_1 }$ および $\ordpair{ N_2, \pi_2 }$ を $\module$ の剰余とするとき、$\varphi$ が $\ordpair{ N_1, \pi_1 }$ から $\ordpair{ N_2, \pi_2 }$ への剰余の射であるとは、$\varphi$ は $N_1$ から $N_2$ への加群の射であって $\pi_2=\varphi\circ\iota_1$ を満たすことである。
この条件は次の左 $\ring$-加群の図式が可換になると換言できる。
$\varphi$ が同型であるとき、二つの剰余は剰余として同型であるという。

{{theorem |type=ex |label=Zeromor |name=加群の射に沿って誘導される構造 }}

{{theorem |type=ex |label=Zeromor |name=値域に誘導される加群の構造 }}

===核===
====定義（差核、核）====
$\ring$ を環とし、
$\map{ f }{ \module }{ N }$、$\map{ g }{ \module }{ N }$ を左 $\ring$-加群の射とする。
組 $\ordpair{ E, e }$ について、
$e$ が $E$ から $\module$ への左 $\ring$-加群の射であり、かつ $f\circ e=g\circ e$ が成立するときこれを $f$ と $g$ とのフォーク(Fork)という。
$f$ と $g$ とのフォーク $\ordpair{ E, e }$ および $\ordpair{ F, f }$ が与えられたとき、
左 $\ring$-加群の射 $\map{ \varphi }{ E }{ F }$ がフォークの射であるとは、
$f\circ \varphi=e$ が成立することをいう。
これを図式で書けば次が可換になると換言できる。
<nowiki>
\begin{xy}
\xymatrix {
F \ar[r]|{f} & M \ar@<0.5ex>[r]^-{f} \ar@<-0.5ex>[r]_-{g} & N\\
E \ar@/_/[ru]|{e} \ar[u]|{\varphi}
}
\end{xy}
</nowiki>
フォークの射の合成もまたフォークの射であり、この合成に関して $\id_{X}$ は中立的に振舞う。
このことに注意し、$g\circ f=\id_X$ かつ $f\circ g=\id_Y$ を成立せしめる $g$ が存在するとき、
フォークの射 $f$ は同型であるという。斯かる射 $g$ は一意的であるから、これを $f$ の逆射といい $f^{-1}$と書く。

$\ring$ を環とし、
$\map{ f }{ \module }{ N }$、$\map{ g }{ \module }{ N }$ を左 $\ring$-加群の射とする。
このとき組 $\ordpair{ E, e }$ が $f$ と $g$ との差核対象であるとは、
任意のフォーク $\ordpair{ F, f }$ の中で終普遍的である、
即ち $\ordpair{ F, f }$ から $\ordpair{ E, e }$ への一意的なフォークの射 $\varphi$ が存在することをいう。
図式を用いて書けば、
<nowiki>
\begin{xy}
\xymatrix {
E \ar[r]|{e} & M \ar@<0.5ex>[r]^-{f} \ar@<-0.5ex>[r]_-{g} & N\\
F \ar@/_/[ru]|{f} \ar@{.>}[u]|{\varphi}
}
\end{xy}
</nowiki>
を可換にする射 $\varphi$ が一意的に存在することといえる。
左 $\ring$-加群のフォークに対する終普遍性を特に差核の普遍性と呼ぶ。
特に $g=0_{M,N}$であるときの $f$ と $0_{M,N}$ との差核対象を $f$ の核対象といい、
この場合の差核の普遍性を核の普遍性という。

====命題（差核の一意性）====
$\ring$ を環とする。
$\map{ f }{ \module }{ N }$ および $\map{ g }{ \module }{ N }$ を左 $\ring$-加群の射とするとき、
$f$ と $g$ との差核対象は存在するならばフォークの同型を除いて一意である。
: 証明
$f$ と $g$ との差核が存在する左 $\ring$-加群の射 $\map{ f }{ \module }{ N }$、$\map{ g }{ \module }{ N }$ について考え鵜。
このとき差核対象 $\ordpair{ X, \varphi }$ および $\ordpair{ X', \varphi' }$ を任意に取り、
この二つの間のフォークの同型を構成すればよい。
先ず $\ordpair{ X, \varphi }$ の差核の普遍性より
<nowiki>
\begin{xy}
\xymatrix {
X \ar@/^0pt/[r]|{\varphi} & M \ar@<0.5ex>[r]^-{f} \ar@<-0.5ex>[r]_-{g} & N \\
X'\ar@/_6pt/[ur]|{\varphi'} \ar@{.>}[u]|{\psi}
}
\end{xy}
</nowiki>
が可換になる射 $\psi$ が一意に存在し、
同様に $\ordpair{ X', \varphi' }$ の差核の普遍性より
<nowiki>
\begin{xy}
\xymatrix {
X'\ar@/^0pt/[r]|{\varphi'} & M \ar@<0.5ex>[r]^-{f} \ar@<-0.5ex>[r]_-{g} & N \\
X \ar@/_6pt/[ur]|{\varphi} \ar@{.>}[u]|{\psi'}
}
\end{xy}
</nowiki>
が可換になる射 $\psi'$ が一意に存在する。
この $\psi$ と $\psi'$ とを取れば $\psi\circ \psi'=\id_{X}$ および $\psi'\circ\psi=\id_{X'}$ が成立する。
これは次の二つの図式について
<nowiki>
\begin{xy}
\xymatrix {
X \ar@/^0pt/[r]|{\varphi} & M \ar@<0.5ex>[r]^-{f} \ar@<-0.5ex>[r]_-{g} & N \\
X \ar@/_6pt/[ur]|{\varphi} \ar[u]|{\psi\circ\psi'} \ar@/^9pt/[u]|{\id_X}\\

X' \ar@/^0pt/[r]|{\varphi} & M \ar@<0.5ex>[r]^-{f} \ar@<-0.5ex>[r]_-{g} & N \\
X' \ar@/_6pt/[ur]|{\varphi} \ar[u]|{\psi'\circ\psi} \ar@/^9pt/[u]|{\id_X'}
}
\end{xy}
</nowiki>
$\varphi\circ\psi\circ\psi'=\varphi'\circ\psi=\varphi$ および
$\varphi'\circ\psi'\circ\psi=\varphi\circ\psi=\varphi'$ と計算できることに注意し、
それぞれ $\ordpair{ X, \varphi }$ の差核の普遍性および $\ordpair{ X', \varphi' }$ の差核の普遍性を適用することで射の一意性から左の平行射の一致が分かることによる。
したがって $\ordpair{ X,\varphi }$ と $\ordpair{ X',\varphi' }$ はフォークの同型である。 (証明終)

====記法（差核）====
先の命題より左 $\ring$-加群の射 $f$ と $g$ との差核対象は存在すればフォークの同型を除いて一意である。
よって斯かる $f$ と $g$ との差核対象の一つを $\ordpair{ \Eq(f,g), \eq(f,g) }$ と書く。
差核対象の第一成分を差核といい、第二成分を差核射という。
核対象は特別な差核対象であったから、先の命題の系としてこれについても同様の主張が成り立つことが分かるので、
$f$ の核対象の一つを $\ordpair{ \Ker(f), \ker(f) }$ と書く。
核対象の第一成分を核といい、第二成分を核射という。

差核対象や核対象は第一成分の加群だけから決まるわけではないが、簡単のため屡々第二成分を省略して $\Eq(f,g)$ ないしは $\Ker(f)$ と書かれることがある。

====命題（差核と核との等価性）====
$\ring$ を環とし、 $\map{ f }{ \module }{ N }$ および $\map{ g }{ \module }{ N }$ を左 $\ring$-加群の射とする。
このとき次の二つの言明
* $f$ と $g$ との差核対象が存在する。
* $f-g$ の核対象が存在する。
は同値であり、
この一方（即ち全て）が成り立つとき、$\Eq(f,g)$ と $\Ker(f-g)$ とは左 $\ring$-加群として同型である。

証明:
$f$ と $g$ との差核対象が存在するとき、差核対象 $\ordpair{ \Eq(f,g),\eq(f,g) }$ を取れば
<nowiki>
\begin{xy}
\xymatrix {
\Eq(f,g) \ar[rr]|{\eq(f,g)} && M \ar@<0.5ex>[r]^-{f} \ar@<-0.5ex>[r]_-{g} & N\\
}
\end{xy}
</nowiki>
はフォークである。よって $g\circ\eq(f,g)=f\circ\eq(f,g)$ が成立し、これより $(f-g)\circ\eq(f,g)=0=0\circ\eq(f,g)$ を得る。
よって
<nowiki>
\begin{xy}
\xymatrix {
\Eq(f,g) \ar[rr]|{\eq(f,g)} && M \ar@<0.5ex>[r]^-{f-g} \ar@<-0.5ex>[r]_-{0} & N\\
}
\end{xy}
</nowiki>
はフォークである。これが弱終普遍的であることは、
<nowiki>
\begin{xy}
\xymatrix {
\mathsf{E} \ar[r]|{e} & M \ar@<0.5ex>[r]^-{f-g} \ar@<-0.5ex>[r]_-{0} & N\\
}
\end{xy}
</nowiki>
なるフォークを任意にとるとき、$0=0\circ e=(f-g)\circ\mathsf e=f\circ e-g\circ e$ と計算すると $f\circ e=g\circ e$ の成立が分かる。
よって $\ordpair{ \Eq(f,g),\eq(f,g) }$ が差核対象であることに留意すれば
<nowiki>
\begin{xy}
\xymatrix {
\Eq(f,g) \ar[rr]|{\eq(f,g)} && M \ar@<0.5ex>[r]^-{f} \ar@<-0.5ex>[r]_-{g} & N\\
E \ar[rru]|{e} \ar@{.>}[u]|{\varphi}
}
\end{xy}
</nowiki>
を可換にする射 $\varphi$ の存在が分かり、直ちに
<nowiki>
\begin{xy}
\xymatrix {
\Eq(f,g) \ar[rr]|{\eq(f,g)} && M \ar@<0.5ex>[r]^-{f-g} \ar@<-0.5ex>[r]_-{0} & N\\
E \ar[rru]|{e} \ar@{.>}[u]|{\varphi}
}
\end{xy}
</nowiki>
の可換性が分かるのでよい。
一意性についても、もし一つ上の図式を可換にする射 $\map{ \psi }{ E }{ \Eq(f,g) }$ を与えれば、二つ上の図式も可換にする。
よって $\ordpair{ \Eq(f,g),\eq(f,g) }$ の差核の普遍性を適用して射の一意性から $\varphi=\psi$ が得られる。
逆に $f-g$ の核対象 $\ordpair{ \Ker(f-g),\ker(f-g) }$ が与えられたとき、これが $f$ と $g$ との差核対象であることは殆ど同様にして示され、
同値性が分かる。
また $f$ と $g$ との余差核の存在ないしは $f-g$ の差核の存在の一方が成立するとき、いま示した同値性より他方も存在し、両者は同一のものを取れる。
よって特に左 $\ring$-加群として同型である。

====命題（核の存在）====
$\ring$ を環とし、 $\map{ f }{ \module }{ N }$ を左 $\ring$-加群の射とする。
このとき $f$ の核対象が存在する。
先の命題と併せると、一般に左 $\ring$-加群の差核対象が存在することが分かる。

証明:
左 $\ring$-加群の射 $\map{ f }{ \module }{ N }$ を任意にとる。
このとき次の集合 $X\coloneqq\{m\in M\mid f(m)=0_N\}$ は $\module$ の部分加群である。
ここで $X$ と包含写像との組 $\ordpair{ X, \iota_X }$ を考えると、
$ f\circ\iota_X(x)=f(x)=0_N=0\circ\iota_X(x)$ が成立するので $f$ と $0$ とのフォークである。
これが弱終普遍的であることは、
$f$ と $0$ とのフォーク $\ordpair{ Y, y }$ を任意にとると $f(y(x))=f\circ y(x)=f\circ 0(x)=0_N$ が成立するので $y(x)\in X$ が成立することに留意すれば
<nowiki>
\begin{xy}
\xymatrix {
X \ar[rr]|{\iota_X} && M \ar@<0.5ex>[r]^-{f} \ar@<-0.5ex>[r]_-{0} & N\\
Y \ar[rru]|y \ar@{.>}[u]|\varphi
}
\end{xy}
</nowiki>
が左 $\ring$-加群の可換図式であることが分かる。
一意性については、上図式を可換にする射 $\map{ \varphi }{ Y }{ X }$、$\map{ \varphi' }{ Y }{ X }$ を任意にとると、$\iota_X$ が包含写像であることに留意すれば
$$ \varphi(a)=\iota_X\circ\varphi(a)=y(a)$$
$$ \varphi'(a)=\iota_X\circ\varphi'(a)=y(a)$$ と計算できるので $\varphi=\varphi'$ が従うのでよい。

左 $\ring$-加群の射 $\map{ f }{ \module }{ N }$ および $\map{ g }{ \module }{ N }$ を任意にとる。
差核対象と核対象との等価性より $f$ と $g$ との差核対象は $f-g$ の核対象に他ならないので、
$Y\coloneqq\{ m\in M\mid (f-g)(m)=0 \}=\{ m\in M\mid f(m)=g(m) \}$ とおけば $Y$ と包含写像 $\iota_Y$ との組 $\ordpair{ Y, \iota_Y }$ が $f$ と $g$ との差核対象であることが分かる。

別証:
左 $\ring$-加群の射 $\map{ f }{ \module }{ N }$ を任意にとる。
このとき $f$ をアーベル群の射て、アーベル群の射としての核 $\ordpair{ X, \iota }$ を取れば
<nowiki>
\begin{xy}
\xymatrix {
X \ar[rr]|{\iota_X} && M \ar@<0.5ex>[r]^-{f} \ar@<-0.5ex>[r]_-{0} & N
}
\end{xy}
</nowiki>
となっている。
これが左 $\ring$-加群の射となるように $X$ に構造射を定義し、
かつ $f$ の左 $\ring$-加群の射としての核の普遍性を満たすことを示す。

先ず左 $\ring$-加群の構造射については、$\ring$ の元 $r$ を任意にとるとき
<nowiki>
\begin{xy}
\xymatrix {
X \ar[rr]|{\iota_X} && M \ar[rr]|{f} && N\\
X \ar[rr]|{\iota_X} \ar@{.>}[u]|{\str(r)} && M \ar[rr]|{f} \ar[u]|{\str(r)} && N \ar[u]|{\str(r)}
}
\end{xy}
</nowiki>
なるアーベル群の可換図式が得られる。
よって $f\circ(\str(r)\circ\iota_X)=\str(r)\circ f\iota_X=\str(r)\circ 0=0$ と計算でき、
上図を可換にするアーベル群の射 $\map{ \str(r) }{ X }{ X }$ が一意的に定まる。
$r$ の取り方は任意であったので、これを束ねて得られる写像 $\map{ \str }{ \ring }{ \mathsf{End}_{\Abelcat}(X) }$ について、
$\ring$ の任意の元 $r$、$r'$ について
$$\begin{aligned}
\str(r+r')\circ\ker(f)&~=\ker(f)\circ\str(r+r')\\
&~=\ker(f)\circ(\str(r)+\str(r'))\\
&~=\ker(f)\circ(\str(r)+\str(r'))\\
&~=\ker(f)\circ\str(r)+\ker(f)\circ\str(r')\\
&~=\str(r)\circ\ker(f)+\str(r')\circ\ker(f)\\
&~=(\str(r)+\str(r'))\circ\ker(f)\\
\str(rr')\circ\ker(f)
&~=\ker(f)\circ\str(rr')\\
&~=\ker(f)\circ(\str(r)\circ\str(r'))\\
&~=\str(r)\circ\ker(f)\circ\str(r')\\
&~=(\str(r)\circ\str(r'))\circ\ker(f)\\
\str(1)\circ\ker(f)
&~=\ker(f)\circ\str(1)\\
&~=\ker(f)\circ\id\\
&~=\id\circ\ker(f)
\end{aligned}$$
と計算できることに注意すると、
$\ker(f)$ はアーベル群の射としてモノなので
$\str(r+r')=\str(r)+\str(r')$、
$\str(rr')=\str(r)\circ\str(r')$、
$\str(1)=\id$ が得られる。
よって $\str$ は環の射であり、組 $\ordpair{ X, \str }$ は左 $\ring$-加群である。

次に左 $\ring$-加群 $\ordpair{ X, \str }$ が $f$ の核対象であることを示すため、
左 $\ring$-加群としての核の普遍性を示す(近々書きます)。

====命題（差核射のモノ射たること）====
===余核===
====定義（余差核、余核）====
$\ring$ を環とし、
$\map{ f }{ \module }{ N }$、$\map{ g }{ \module }{ N }$ を左 $\ring$-加群の射とする。
組 $\ordpair{ C, c }$ について、
$c$ が $N$ から $C$ への左 $\ring$-加群の射であり、かつ $c\circ f=c\circ g$ が成立するときこれを $f$ と $g$ との余フォーク(Cofork)という。
$f$ と $g$ との余フォーク $\ordpair{ C, c }$ および $\ordpair{ D, d }$ が与えられたとき、
左 $\ring$-加群の射 $\map{ \varphi }{ C }{ D }$ がフォークの射であるとは、
$\varphi\circ c=d$ が成立することをいう。
これを図式で書けば次が可換になると換言できる。
<nowiki>
\begin{xy}
\xymatrix {
& M \ar@<0.5ex>[r]^-{f} \ar@<-0.5ex>[r]_-{g} & N　\ar[r]|{c} \ar[rd]|{d} & C \ar[d]|{\varphi}\\
&&& D
}
\end{xy}
</nowiki>
余フォークの射の合成もまた余フォークの射であり、この合成に関して $\id_{X}$ は中立的に振舞う。
このことに注意し、$g\circ f=\id_X$ かつ $f\circ g=\id_Y$ を成立せしめる $g$ が存在するとき、
余フォークの射 $f$ は同型であるという。斯かる射 $g$ は一意的であるから、これを $f$ の逆射といい $f^{-1}$と書く。

$\ring$ を環とし、
$\map{ f }{ \module }{ N }$、$\map{ g }{ \module }{ N }$ を左 $\ring$-加群の射とする。
このとき組 $\ordpair{ C, c }$ が $f$ と $g$ との余差核対象であるとは、
任意の余フォーク $\ordpair{ D, d }$ の中で始普遍的である、
即ち $\ordpair{ C, c }$ から $\ordpair{ D, d }$ への一意的なフォークの射 $\varphi$ が存在することをいう。
図式を用いて書けば、

<nowiki>
\begin{xy}
\xymatrix {
& M \ar@<0.5ex>[r]^-{f} \ar@<-0.5ex>[r]_-{g} & N　\ar[r]|{c} \ar[rd]|{d} & C \ar@{.>}[d]|{\varphi}\\
&&& D
}
\end{xy}
</nowiki>
を可換にする射 $\varphi$ が一意的に存在することといえる。
左 $\ring$-加群の余フォークに対する始普遍性を特に余差核の普遍性と呼ぶ。
特に $g=0_{M,N}$であるときの $f$ と $0_{M,N}$ との余差核対象を $f$ の余核対象といい、
この場合の余差核の普遍性を余核の普遍性という。

====命題（余差核の一意性）====
$\ring$ を環とする。
$\map{ f }{ \module }{ N }$ および $\map{ g }{ \module }{ N }$ を左 $\ring$-加群の射とするとき、
$f$ と $g$ との余差核対象は存在するならば余フォークの同型を除いて一意である。
: 証明
証明は余核の一意性の証明の矢印を全て逆にすることで得られるため、具体的な証明は省略する。
以下では双対性に注目した別証を与える。
環 $\ring$ を任意にとり、
$\map{ f }{ \module }{ N }$ および $\map{ g }{ \module }{ N }$ を左 $\ring$-加群の射とし、
余核対象 $\ordpair{ C, c }$ および $\ordpair{ D,d }$ を任意にとる。
このとき環 $\ring^\op$ に注目すると、
$\map{ f }{ M\leftarrow N$ および $\map{ g }{ M\leftarrow N$ は左 $\ring^\op$-加群の射であり、
組 $\ordpair{ C, c }$ および $\ordpair{ D,d }$ は差核対象である。
よって差核対象の一意性より
<nowiki>
\begin{xy}
\xymatrix {
& M & N　\ar@<0.5ex>[l]^-{f} \ar@<-0.5ex>[l]_-{g} & C \ar[l]|{c} \\
&&& D \ar@{.>}[u]|{\varphi} \ar[lu]|{d}
}
\end{xy}
</nowiki>
なる同型射 $\varphi$ が存在する。
これを再び $(\Modcat{\ring^\op})^\op=\mathsf{Mod}(\ring^{\op\op})=\Modcat{\ring}$ に於ける図式と見做すと、
<nowiki>
\begin{xy}
\xymatrix {
& M \ar@<0.5ex>[r]^-{f} \ar@<-0.5ex>[r]_-{g} & N　\ar[r]|{c} \ar[rd]|{d} & C \ar@{.>}[d]|{\varphi}\\
&&& D
}
\end{xy}
</nowiki>
が得られ、余差核対象の一意性が得られた。 (証明終)

====記法（余差核、余核）====

先の命題より左 $\ring$-加群の射 $f$ と $g$ との余差核対象は存在すればフォークの同型を除いて一意である。
よって斯かる $f$ と $g$ との余差核対象の一つを $\ordpair{ \Coeq(f,g), \mathsf{coeq}(f,g) }$ と書く。
余差核対象の第一成分を余差核といい、第二成分を余差核射という。
余核対象は特別な余差核対象であったから、先の命題の系としてこれについても同様の主張が成り立つことが分かるので、
$f$ の余核対象の一つを $\ordpair{ \Coker(f), \coker(f) }$ と書く。
余核対象の第一成分を余核といい、第二成分を余核射という。

余差核対象や余核対象は第一成分の加群だけから決まるわけではないが、簡単のため屡々第二成分を省略して $\Coeq(f,g)$ ないしは $\Coker(f)$ と書かれることがある。

====命題（余差核と余核との等価性）====
====命題（余核の存在）====
====命題（差余核射のエピ射たること）====
===像、余像===
====定義（像対象、余像対象）====
$\ring$ を環とし、$\map{ f }{ M }{ N }$ を左 $\ring$-加群の射とする。
組 $\ordpair{ \Ker(\coker(f)),\ker(\coker(f)) }$ を像対象といい、
組 $\ordpair{ \Coker(\ker(f)),\Coker(\ker(f)) }$ を余像対象という。
左 $\ring$-加群の射は常に核対象および余核対象を持つため、特に像対象および余像対象も常に存在し、
フォークおよび余フォークの同型を除いて一意であることに留意されたい。
====記法（像、余像）====
$\ring$ を環とし、$\map{ f }{ M }{ N }$ を左 $\ring$-加群の射とするとき、
像対象の一つを $\ordpair{ \mathsf{Im}(f),\mathsf{im}(f) }$ と書き、
余像対象の一つを $\ordpair{ \Coim(f),\coim(f) }$ と書く。
第一成分をそれぞれ像、余像といい、第二成分を像射、余像射という。
像対象や余像対象は第一成分の加群だけから決まるわけではないが、簡単のため屡々第二成分を省略して $\mathsf{Im}(f)$ ないしは $\Coim(f)$ と書かれることがある。
====注意（像、余像の具体的な姿）====
像対象の存在は定義を述べた直後に言及したが、(本質的には構成しているものの)像の姿は明示的には記述していない。
これは像対象の定義に留意すれば、核対象および余核対象の具体的な構成を一つ固定することで記述できる。
以下では左 $\ring$-加群の射 $\map{ f }{ \module }{ N }$ について、
核の存在および余核の存在の証明に於いて用いた次の具体的な記述$$\Ker(f)=\{m\in M\mid f(m)=0_N\}$$および$$\Coker(f)=N/f[M]$$を固定する。
先ず像対象について考えよう。
====命題（像、余像分解）====
====命題（加群の為す圏がBarr完全圏であること）====
$\ring$を環とするとき、$\Modcat{\ring}$はBarrの意味で完全圏である。
====命題（全射-単射分解の一意性）====
===図式に関する補題===
====定義（完全列）====
$\ring$ を環とする。
$0\rightarrow 1\rightarrow 2$ 上の左 $\ring$-加群の図式 $X\xrightarrow{f}Y\xrightarrow{g}Z$ について、$g\circ f=0$ が成り立つとき
<nowiki>
\begin{xy}
\xymatrix {
X \ar[rr]|{f} && Y \ar[rr]|{g} \ar[rrd]|{\coker(f)} && Z \ar@{.>}[d]|{\pi} \\
\Ker(g) \ar[rru]|{\ker(g)} \ar@{.>}[u]|{\iota} && && \Coker(f)
}
\end{xy}
</nowiki>
を可換にするような射 $\iota$ および $\pi$ が核の普遍性と余核の普遍性より一意に存在する。
ここで $\coker(f)\circ\ker(f)=\pi\circ g\circ f\circ\iota=\pi\circ 0\circ\iota=0$ と計算できるので、
核の普遍性より
<nowiki>
\begin{xy}
\xymatrix {
\mathsf{Im}(f) \ar[rrd]|{\mathsf{im}(f)} \\
X \ar[rr]|{f} && Y \ar[rr]|{g} \ar[rrd]|{\coker(f)} && Z \ar@{.>}[d]|{\pi} \\
\Ker(g) \ar[rru]|{\ker(g)} \ar@{.>}[u]|{\iota} \ar@{.>}@/^21pt/[uu]|{\varphi} && && \Coker(f)
}
\end{xy}
</nowiki>
を可換にする射 $\varphi$ が存在する。
この記号法の下で、図式 $X\xrightarrow{f}Y\xrightarrow{g}Z$ の完全性を
$g\circ f=0$ が成立し、このとき誘導される射 $\varphi$ が同型射であることとして定義する。

より長い $0\rightarrow 1\rightarrow\cdots\rightarrow n+1$ 上（あるいは $\omega$ 上、$\mathbb{Z}$ 上）の図式 $\ordpair{ M_\bullet, f_\bullet }$ の完全性は、
$0$ 以上 $n$ 未満の任意の整数 $n$（あるいは$0$ 以上の任意の整数 $n$、任意の整数 $n$）について定まる図式 $M_n\xrightarrow{f_n}M_{n+1}\xrightarrow{f_{n+1}}M_{n+2}$ が完全列であることとして定義する。
====四項補題====
====五項補題====
====蛇の補題====

===直積===
====定義（直積）====
$\ring$ を環とし、
$M_{\bullet}\coloneqq(M_\lambda)_{\lambda\in\Lambda}$ を左 $\ring$-加群の族とする。
組 $\ordpair{ X, p_\bullet }$ について、
各 $p_\lambda$ が $X$ から $M_\lambda$ への左 $\ring$-加群の射であるときこれを $M_{\bullet}$ の錘(Cone)という。
$M_{\bullet}$ の錘 $\ordpair{ X, p_\bullet }$ および $\ordpair{ Y, q_\bullet }$ が与えられたとき、
左 $\ring$-加群の射 $\map{ f }{ X}{ Y }$ が錘の射であるとは、
任意の $\lambda\in\Lambda$ について $p_\lambda\circ f=q_\lambda$ が成立することをいう。
これを図式で書けば次が可換になると換言できる。
<nowiki>
\begin{xy}
\xymatrix {
X \ar@/^0pt/[dr]|{p_\lambda} \ar@{.>}[r]|{f}& Y\ar@/^0pt/[d]|{q_\lambda}\\
& M_\lambda
}
\end{xy}
</nowiki>
錘の射の合成もまた錘の射であり、この合成に関して $\id_{X}$ は中立的に振舞う。
このことに注意し、$g\circ f=\id_X$ かつ $f\circ g=\id_Y$ を成立せしめる $g$ が存在するとき、
錘の射 $f$ は同型であるという。斯かる射 $g$ は一意的であるから、これを $f$ の逆射といい $f^{-1}$と書く。

$M_{\bullet}$ の錘 $\ordpair{ X, p_\bullet }$ が $M_{\bullet}\coloneqq(M_\lambda)_{\lambda\in\Lambda}$ の左 $\ring$-加群としての直積対象であるとは、
任意の錘 $\ordpair{ Y, q_\bullet }$ の中で終普遍的である、
即ち $\ordpair{ Y, q_\bullet }$ から $\ordpair{ X, p_\bullet }$ への一意的な錘の射 $f$ が存在することをいう。
左 $\ring$-加群の錘に対する終普遍性を特に直積の普遍性と呼ぶ。
$f$ の満たす条件を各成分に関する条件に書き下すと、
「任意の $\lambda\in\Lambda$ に対して定まる次の図式について、
<nowiki>
\begin{xy}
\xymatrix {
Y \ar@/^0pt/[dr]|{q_\lambda} \ar@{.>}[r]|{f}& X\ar@/^0pt/[d]|{p_\lambda}\\
& M_\lambda
}
\end{xy}
</nowiki>
は可換である」となる。
よって直積の普遍性は、各成分への行き先を定めることで必ず一意的に行き先が決まってしまうような対象であることを述べていると考えられる。

====命題（直積の一意性）====
$\ring$ を環とする。
$M_{\bullet}\coloneqq(M_\lambda)_{\lambda\in\Lambda}$ を左 $\ring$-加群の族とするとき、
$M_{\bullet}$ の直積は存在するならば錘の同型を除いて一意である。
: 証明
直積が存在する左 $\ring$-加群の族 $M_{\bullet}=(M_\lambda)_{\lambda\in\Lambda}$ について考える。
このとき直積 $\ordpair{ X, p_\bullet }$ および $\ordpair{ X', p'_\bullet }$ を任意に取り、この一致を示せばよい。
先ず $\ordpair{ X, p_\bullet }$ の直積の普遍性より任意の $\lambda\in\Lambda$ に対して
<nowiki>
\begin{xy}
\xymatrix {
X \ar@/^0pt/[dr]|{p_\lambda} \ar@{.>}[r]|{f}& X'\ar@/^0pt/[d]|{p'_\lambda}\\
& M_\lambda
}
\end{xy}
</nowiki>
が可換になる射 $f$ が一意に存在し、
同様に $\ordpair{ X', p'_\bullet }$ の直積の普遍性より任意の $\lambda\in\Lambda$ に対して
<nowiki>
\begin{xy}
\xymatrix {
X' \ar@/^0pt/[dr]|{p'_\lambda} \ar@{.>}[r]|{g} & X\ar@/^0pt/[d]|{p_\lambda}\\
& M_\lambda
}
\end{xy}
</nowiki>
が可換になる射 $g$ が一意に存在する。
この $f$ と $g$ とを取れば $f\circ g=\id_{X}$ および $g\circ f=\id_{X'}$ が成立する。
これは次の二つの図式について
<nowiki>
\begin{xy}
\xymatrix {
X \ar@{.>}[r]|{f} \ar@/_6pt/[drr]|{p_\lambda} \ar@/^15pt/[rr]|{\id_{X}}
& X' \ar@{.>}[r]|{g}
& X \ar@/^0pt/[d]|{p_\lambda}
& X' \ar@{.>}[r]|{g} \ar@/_6pt/[drr]|{p'_\lambda} \ar@/^15pt/[rr]|{\id_{X'}}
& X \ar@{.>}[r]|{f}
& X' \ar@/^0pt/[d]|{p'_\lambda} \\
&
&
M_\lambda &
&
&
M_\lambda
}
\end{xy}
</nowiki>
$p_\lambda\circ g\circ f=p'_\lambda\circ f=p_\lambda$ および
$p'_\lambda\circ g\circ f=p_\lambda\circ f=p'_\lambda$ と計算できることに注意し、
それぞれ $\ordpair{ X, p_\bullet }$ の直積の普遍性および $\ordpair{ X', p'_\bullet }$ の直積の普遍性を適用することで射の一意性から上辺の平行射の一致が分かることによる。
したがって $\ordpair{ X,p_\bullet }$ と $\ordpair{ X',p'_\bullet }$ は錘の同型である。 (証明終)

====記法（直積）====
先の命題より左 $\ring$-加群の族 $M_\bullet$ の直積対象は存在すれば錘の同型を除いて一意である。
よって斯かる錘の一つを $\ordpair{ \prod M_\bullet, p_\bullet }$ や $\ordpair{ \prod_{\lambda\in\Lambda}M_\lambda, (p_\lambda)_{\lambda\in\Lambda} }$ などと書く。
直積対象の第一成分を直積加群といい、第二成分を標準的射影という。
直積対象は直積加群だけから決まるわけではないが、簡単のため屡々第二成分を省略して $\prod M_\bullet$ と書かれることがある。
また標準的射影 $p_\lambda$ の方の記法はしばしば衝突するため、
状況に応じて $\mathsf{pr}_\lambda$、 $\pi_\lambda$、$p'_\lambda$ などと記述することがあることに注意されたい。

以下では直積の存在について示すが、
先んじて次の観察をしておこう。
$M_\bullet$ を左 $\ring$-加群の族とし、この直積対象 $\ordpair{ \prod M_\bullet, p_\bullet }$ が存在するとする。
このとき各 $\lambda\in\Lambda$ の台集合と $\mathsf{Hom}_{\Modcat{\ring^\op}}(\ring,M_\lambda)$ とが $\map{ f }{ \ring }{ M_\lambda }$ の$\id_\ring$ の行き先を見ることで一対一に対応することに留意すると、
直積加群 $\prod M_\bullet$ の台集合と $M_\lambda$ の台集合の集合としての直積とは一対一に対応する。
よって台集合の直積集合に対して構造を適切に追加することで直積対象の存在を示す方向で考える。

====命題（直積の存在）====
$\ring$ を環とする。
$M_{\bullet}\coloneqq(M_\lambda)_{\lambda\in\Lambda}$ を左 $\ring$-加群の族とするとき、
$M_{\bullet}$ の直積は存在する。
: 証明
この命題は左 $\ring$-加群の定義に立ち返る必要があるため、
採用している流儀に依って証明が変わる。
以下では左 $\ring$-加群 $\module$ をアーベル群 $\module$ とEnd環への環の射 $\map{ \str }{ \ring }{ \EndringF{\Abelcat}{\module} }$ との組と考える。
先ずアーベル群の直積が存在することに注意し、
$\map{ \mathop{\prod} }{ \prod\mathsf{End}_{\Abelcat}(M_\bullet) }{ \mathsf{End}_{\Abelcat}(\prod M_\bullet) }$ なる環の射を次で定める：
$\prod\mathsf{End}_{\Abelcat}(M_\bullet)$ の元 $f_\bullet$ に対して、
$\prod M_\bullet$ のアーベル群の直積の普遍性を用いて、
各 $\mu\in\Lambda$ について
<nowiki>
\begin{xy}
\xymatrix {
\prod M_\bullet \ar@/^0pt/[d]|{p_\mu} \ar@{.>}[rr]|{\prod f_\bullet}
&& \prod M_\bullet \ar@/^0pt/[d]|{p_\mu}\\
M_\mu \ar[rr]|{f_\mu}
&& M_\mu
}
\end{xy}
</nowiki>
が可換であるような射 $\prod f_\bullet$ を取り、
写像 $\mathop{\prod}$ による $f_\bullet$ の値を $\prod f_\bullet$ と定める。
次に環の直積は存在することに留意して、
<nowiki>
\begin{xy}
\xymatrix {
\ring \ar@/^0pt/[drrr]|{\str_\lambda} \ar@{.>}[rrr]|{\mathsf{prestr}} &&& \prod\mathsf{End}_{\Abelcat}(M_\bullet)\ar@/^0pt/[d]|{\pi_\mu}\\
&&& \mathsf{End}_{\Abelcat}(M_\mu)
}
\end{xy}
</nowiki>
を可換にする環の射 $\mathsf{prestr}$ が取れる。
これらを用いて$\str\coloneqq\mathop{\prod}\circ\mathsf{prestr}$ とおき、
以上の構成をまとめると
<nowiki>
\begin{xy}
\xymatrix {
\ring \ar@/^0pt/[drrr]|{\str_\lambda} \ar[rrr]|{\mathsf{prestr}} \ar@/^21pt/[rrrrr]|{\str}
&&&\prod\mathsf{End}_{\Abelcat}(M_\lambda) \ar@/^0pt/[d]|{\pi_\mu} \ar[rr]|{\mathop{\prod}}
&& \mathsf{End}_{\Abelcat}(\prod M_\bullet)　\ar@/^6pt/[lld]|{\sharp p_\mu}\\
&&& \mathsf{End}_{\Abelcat}(M_\mu) \ar@/^6pt/[rru]|{\iota_\mu\sharp\circ\sharp p_\mu}
}
\end{xy}
</nowiki>
となっている。
これが普遍性を満たすことを確かめないとね(未)。

この命題の系として、特に全て同じ加群であるような族 $M_\bullet=(M)_{\lambda\in\Lambda}$ から定まる直積加群を考えることができる。この直積加群は $M^{\Lambda}$ とも書かれる。

===直和===
====定義（直和）====
$\ring$ を環とし、
$M_{\bullet}\coloneqq(M_\lambda)_{\lambda\in\Lambda}$ を左 $\ring$-加群の族とする。
組 $\ordpair{ X, i_\bullet }$ について、
各 $i_\lambda$ が $M_\lambda$ から $X$ への左 $\ring$-加群の射であるときこれを $M_{\bullet}$ の余錘(Cocone)という。
$M_{\bullet}$ の余錘 $\ordpair{ X, i_\bullet }$ および $\ordpair{ Y,j_\bullet }$ が与えられたとき、
左 $\ring$-加群の射 $\map{ f }{ X}{ Y }$ が錘の射であるとは、
任意の $\lambda\in\Lambda$ について $f\circ i_\lambda=j_\lambda$ が成立することをいう。
これを図式で書けば次が可換になると換言できる。
<nowiki>
\begin{xy}
\xymatrix {
& M_\lambda \ar@/^0pt/[dl]|{i_\lambda} \ar@/^0pt/[d]|{j_\lambda}\\
X \ar@{.>}[r]|{f}& Y
}
\end{xy}
</nowiki>
余錘の射の合成もまた余錘の射であり、この合成に関して $\id_{X}$ は中立的に振舞う。
このことに注意し、$g\circ f=\id_X$ かつ $f\circ g=\id_Y$ を成立せしめる $g$ が存在するとき、
余錘の射 $f$ は同型であるという。斯かる射 $g$ は一意的であるから、これを $f$ の逆射といい $f^{-1}$と書く。

$M_{\bullet}$ の余錘 $\ordpair{ X, i_\bullet }$ が $M_{\bullet}\coloneqq(M_\lambda)_{\lambda\in\Lambda}$ の左 $\ring$-加群としての直和対象であるとは、
任意の余錘 $\ordpair{ Y, j_\bullet }$ の中で始普遍的である、
即ち $\ordpair{ X, i_\bullet }$ から $\ordpair{ Y, j_\bullet }$ への一意的な余錘の射 $f$ が存在することをいう。
左 $\ring$-加群の錘に対する始普遍性を特に直和の普遍性と呼ぶ。
$f$ の満たす条件を各成分に関する条件に書き下すと、
「任意の $\lambda\in\Lambda$ に対して定まる次の図式について、
<nowiki>
\begin{xy}
\xymatrix {
& M_\lambda \ar@/^0pt/[dl]|{i_\lambda} \ar@/^0pt/[d]|{j_\lambda}\\
X \ar@{.>}[r]|{f}& Y
}
\end{xy}
</nowiki>
は可換である」となる。

====命題（直和の一意性）====
$\ring$ を環とする。
$M_{\bullet}\coloneqq(M_\lambda)_{\lambda\in\Lambda}$ を左加群の族とするとき、
$M_{\bullet}$ の直和は存在するならば一意である。
: 証明
直和が存在する左加群の族 $M_{\bullet}=(M_\lambda)_{\lambda\in\Lambda}$ について考える。
このとき直和 $\ordpair{ X, i_\bullet }$ および $\ordpair{ X', i'_\bullet }$ を任意に取り、この一致を示せばよい。
先ず $\ordpair{ X, i_\bullet }$ の直和の普遍性より
<nowiki>
\begin{xy}
\xymatrix {
M_\lambda \ar[r] |{i_\lambda} \ar[rd]|{i'_\lambda} & X \ar@{.>}[d]|{f} \\
& X'
}
\end{xy}
</nowiki>
なる射 $f$ が一意に存在し、
同様に $\ordpair{ X', i_\bullet }$ の直和の普遍性より
<nowiki>
\begin{xy}
\xymatrix {
M_\lambda
\ar[r] |{i'_\lambda} \ar[rd]|{i_\lambda} & X' \ar@{.>}[d]|{g} \\
& X
}
\end{xy}
</nowiki>
なる射 $g$ が一意に存在する。
このとき直和の普遍性より $f\circ g=\id_{X'}$ が成立し、
また $g\circ f=\id_{X}$ が成立する。したがって $\ordpair{ X,i_\bullet }$ と $\ordpair{ X',i'_\bullet }$ とは同型である。
\qed
====記法（直和）====
先の命題より左 $\ring$-加群の族 $M_\bullet$ の直和対象は存在すれば余錘の同型を除いて一意である。

====命題（直和の存在）====

===テンソル積===

==特別な加群たち==
===自由加群===
環 $\ring$ と $r\in \ring^op$ に対し、$\map{ \mathsf{left}_r }{ \ring }{ ring }$ を $\mathsf{left}_r(s)=rs$ が成り立つような写像として定めると、$\mathsf{left}_r$ は $\mathsf{End}_\Abelcat(R)$ の元となっている。このとき、$r\in R^{op}$ に対し $\mathsf{left}_r\in \mathsf{End}_\Abelcat(R)$ を割り当てる対応 $\map{ \mathsf{left} }{ \ring^{op} }{ \mathsf{End}_\Abelcat(R) }$ は環準同型となっている。よって、$\mathsf{left}$ により $\ring$ は左 $\ring$-加群としての構造を持つ。以下明示的に $\ring$ の左 $\ring$-加群構造について言及しない場合は、この方法により左 $\ring$-加群構造が与えられているものとする。

$\ring$ を環とし、\module を左 $\ring$-加群とする。
このとき $\module$ が自由であるとは、
次を満たす基数が存在することである：左 $\ring$-加群の同型射 $\map{ f }{ \ring^{\oplus\kappa} }{ \module }$ が存在する。

恒等写像が特に左 $\ring$-加群の同型射であったことに注意すると、基数 $\kappa$ を用いて定義される $R^{\oplus\kappa}$ は自由である。

任意の集合 $X$ について、$R^{\oplus X}=\bigoplus_{x\in X}R$ は自由加群であることに注意する。実際、集合の同型 $\map{ \mathsf{ind} }{ X }{ \mathrm{card}(X) }$ をとったとき、$x\in X$ について $f\circ i_x=i_{\mathsf{ind}(x)}$ が成り立つような左 $\ring$-加群の射 $\map{ f }{ \ring^{\oplus X} }{ \ring^{\mathrm{card}(X)} }$ が(一意的に)存在する。また、$x'\in \mathrm{card}(X)$ について $g\circ i_{x'}=i_{\mathsf{ind}^{-1}(x')}$ が成り立つような左 $\ring$-加群の射 $\map{ g }{ \ring^{\oplus \mathrm{card}(X)} }{ \ring^{\oplus X} }$ が(一意的に)存在する。このとき、$g\circ f=\id_{R^{\oplus X}}$ かつ $f\circ g=\id_{R^{\oplus \mathrm{card}(X)}}$ が成り立つ。よって $\map{ g }{ \ring^{\oplus \mathrm{card}(X)} }{ \ring^{\oplus X} }$ は左 $\ring$-加群の同型である。$\mathrm{card}(X)$ は基数であったため、$R^{\oplus X}$ は自由左 $\ring$-加群である。

自由加群については、次の重要な性質がある。

$\ring$ を環とし $\module$ を左 $\ring$-加群とする。
写像 $\map{ f }{ \ring^{\oplus M} }{ \module }$ を $f(e_m)=m$ と定義すると全射な左 $\ring$-加群の射である。

証明:

予定
* 自由加群の特徴づけ
* 自由加群の例

===射影加群===
===平坦加群===
===入射加群===

==代表的な部分加群たち==
===本質的部分加群===
===余剰部分加群===
==加群の複体と加群による近似==
===射影被覆、入射包絡、平坦被覆===
===加群の複体===

$\mathbb{Z}$ 上の図式 $\alpha=\ordpair{ M_\bullet, f_\bullet }$ について、
$\mathbb{Z}$ の任意の元 $n$ について、$f^{n-1}\circ f^n=0$ が成立するとき $\alpha$ を複体であるという。

定義から直ちに分かる通り、複体は完全列を含む概念である。
Hom函手やテンソル函手のようによく用いられる加法的函手でさえ一般には完全函手でないため、
完全列全体は加法的函手を適用するという操作で閉じていない。
一方で零対象を保つので合成して零射であるという性質も保たれ、
このことに注目すると複体全体は加法的函手を適用するという操作で閉じている。
これが複体を考える理由の一つである。

また、以下で説明する通り複体を与えるとホモロジーを定義することができ、
その定義よりホモロジー自体が完全性からのズレを定量的に測っていると理解することができる。
これも複体を考える理由の一つである。

$\alpha$ を複体とするとき各 $n$ ごとに
<nowiki>
\begin{xy}
\xymatrix {
{\cdots} \ar[rr]|{f^{n+2}} && M^{n+1} \ar[rr]|{f^{n+1}} && M^n \ar[rr]|{f^n} \ar[rrd]|{\coker(f^{n-1})} && M^{n-1} \ar[rr]|{f^{n-1}} \ar@{.>}[d]|{\pi_{n-1}} && {\cdots}\\
&& \Ker(f^{n}) \ar[rru]|{\ker(f^n)} \ar@{.>}[u]|{\iota_{n+1}} && && \Coker(f^{n-1})
}
\end{xy}
</nowiki>
を可換にするような射 $\iota_{n+1}$ および $\pi_{n-1}$ が核の普遍性と余核の普遍性より一意に存在する。
ここで $\coker(f^{n-1})\circ\ker(f^{n+1})=\pi_{n-1}\circ f_{n}\circ f_{n+1}\circ\iota_{n+1}=\pi_{n-1}\circ 0\circ\iota_{n+1}=0$ と計算できるので、
核の普遍性より
<nowiki>
\begin{xy}
\xymatrix {
&& \mathsf{Im}(f^{n-1}) \ar[rrd]|{\mathsf{im}(f^{n-1})} \\
{\cdots} \ar[rr]|{f^{n+2}} && M^{n+1} \ar[rr]|{f^{n+1}} && M^n \ar[rr]|{f^n} \ar[rrd]|{\coker(f^{n-1})} && M^{n-1} \ar[rr]|{f^{n-1}} \ar[d]|{\pi_{n-1}} && {\cdots}\\
&& \Ker(f^{n}) \ar[rru]|{\ker(f^n)} \ar[u]|{\iota_{n+1}} \ar@{.>}@/^21pt/[uu]|{\varphi_n} && && \Coker(f^{n-1})
}
\end{xy}
</nowiki>
を可換にする射 $\varphi_n$ が存在する。

===射影分解、入射分解、平坦分解===
==環と加群のホモロジー次元==
===射影次元、入射次元、平坦次元===
===弱大域次元、大域次元===
===実際に使ってみる===

導分

2021-07-05T05:30:47Z

サクラ: 数式表示エラーの修正

<noinclude>

[[Category:環論]]
{{TOC |align=right |noautonum=1 }}
$\newcommand{\coloneqq}{\colon =}$
</noinclude>
== 導分 ==
導分は函数の微分の代数的な一般化であり、古典的な函数の微分を「函数に対して函数を対応させる写像」として捉えたときに成立している基本的な性質を抽象化したものである。
古典的な函数の微分はEuclid空間が持つノルムの構造などに依存して定義されていたが、
ひとたび代数的に抽象化されるとEuclid空間ほどリッチな構造を持たない対象に対しても微分の類似を考えることができるようになるため、
代数幾何や代数解析などの文脈では大変基本的で有用な道具となる。

本稿では整数論での応用も考慮し、可換とは限らない環に対して導分を定義する。
一般の環に於いては、例えばOre拡大の構成に用いられ、これによりWeyl代数が構成される。
少し構造を追加した多元環論の文脈に於いては、古くから分離多元環の特徴づけ((より一般に、環拡大の分離性も一般導分を用いて行われる。))に用いられており、この特徴づけを通して1次Hochschildコホモロジーが分離多元環からのずれを測る量であると理解できる。
なお、一般の環に不慣れな場合も考慮し、冗長性を厭わず可換環の場合も記述している。

== 概要 ==
=== 故郷：作用素としての微分 ===

滑らかな実数値函数 $f, g\colon\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}$ について考えよう。
先ず仮定より $f$ および $g$ は微分可能であるから、導函数と呼ばれる二つの滑らかな函数 $(f)', (g)'\colon\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}$ が定まっている。
また実数値函数は終域 $\mathbb{R}$ の加法を用いて函数どうしを足し合わせることができ、
それを $f+g$ と書くとき $f+g$ は再び滑らかであることが示される。
よって $f+g$ の導函数が存在するが、これは実は $(f+g)'=(f)'+(g)'$ と計算することができる。更に $\mathbb{R}$ の乗法を用いて函数どうしをかけあわせると、やはり滑らかであって導函数は $(fg)'=f(g)'+(f)'g$ と計算することができる。この公式をLeibniz則というのであった。

ここで、${\mathop{\mathbf{C}}\nolimits}^{\infty}(\mathbb{R})$ を実数 $\mathbb{R}$ 上の滑らかな実数値函数全体とすれば、
終域 $\mathbb{R}$ の演算を用いて定まる二つの二項演算 $+$ および $\times$ によりこれは環を為している。
函数の微分は ${\mathop{\mathbf{C}}\nolimits}^{\infty}(\mathbb{R})$ の元から ${\mathop{\mathbf{C}}\nolimits}^{\infty}(\mathbb{R})$ の元を対応させる写像 $(-)'$ であって、
${\mathop{\mathbf{C}}\nolimits}^{\infty}(\mathbb{R})$ の演算 $+$ および $\times$ との整合性があるものと理解することができる。
このような性質を抽象化することによって、位相的構造（正確にはノルム空間の構造）が入っておらず極限演算が定義できないような環に対しても、
a prioriに写像を与えてしまうことで微分に似た演算を考えられるようになる。
((ここでは簡単に「a prioriに写像を与える」と書いたが、実際に具体的な環 $A$ を与えたときに“何らかの意味のある導分” $D\colon A\rightarrow A$ を見出すことは一般に容易なことではない。しかし、これが大変重要であることもまた事実である。例えば滑らかな実数値函数の為す環を考えてみると、微分演算という重要で具体的な導分があることを既に見た。種々の導分の中で瞬間の傾きを与える函数を返す操作であるという点で“意味のある”微分を定義するためには、環構造のみではなくそれと整合しているノルム構造を用いる必要があるし、これが導分であることを示すためには解析的な議論が必要になる。よって解析を知っていればただちに例であることが分かる微分も、そういった背景を持っていない場合には付加的な構造を定めて議論しなければならない点で発見は容易ではないであろう。この微分の例のように環構造と整合する付加構造を備えている場合は付加構造と何らかの意味で整合しているという点で“意味のある”導分を考えることができ、これを与えるとより深い結果が得られる場合がある。また可換環論的な視座に立つと、具体的な導分の核として得られる環が種々の興味深い例になっていることがあり、この点で“意味のある”導分が知られている。例えばHilbertの第14問題に関しては、最初に永田が与えた反例こそ導分を用いたものでなかったが、それに続く研究では導分の核として定義されるものが殆どである。Hilbertの第14問題はこの導分の核として具体例を構成するという手法によりかなり精密な分析ができるようになったといってもよいであろう。以上は具体的な導分を考える嬉しさについて補足をしたが、本稿で解説される通り導分全体を考えることは（形式的に定義できるという意味で）容易であるものの、実は代数幾何学的な意味を持つ重要な対象であることが知られていることもこの時点で知っておいて損はないであろう。))

=== 本稿を読む上での用語法に関する注意 ===

本稿では冒頭にも書いた通り可換とは限らない環に対して導分を定義する。
そのため可換環に興味のある場合はあまり馴染みのない用語法により定義されるように感じられるやもしれないので、
最も基本的な用語法の定義と、
可換な場合に対応する概念とを明示しておく。
なお、以降の説明に於いては都度可換な場合に言及するように努めたため、
この項目は読み飛ばしても差し支えなく、
寧ろ以降を読む中でどのような対応があるかを整理したくなった場合に戻ってくることを念頭においている。
* [[環]]は加法に関してアーベル群を為し、乗法に関してモノイドを為す両側分配系とする。
* [[可換環]]は加法に関してアーベル群を為し、乗法に関して可換モノイドを為す両側分配系とする。
* $R$ を環とするとき、$R$ の中心 $\mathsf{C}(R)$ は、$R$ の任意の元と交換する元の全体として定義される $R$ の部分集合である。
** $R$ を環とするとき、$R$ の中心 $\mathsf{C}(R)$ は $R$ の可換な部分環である。なお、中心と極大な可換部分環とは一致するとは限らない((例えば四元数体 $\mathbb{H}$ について、この中心は $\mathbb{R}$ であるが $\mathbb{R}$ を真に含む可換部分環として $\mathbb{C}$ が取れる。))。
** $A$ を可換環とするとき、 $A$ の中心は $A$ と一致する。
* 組 $\langle\Lambda, {\mathop{\mathsf{act}}\nolimits}_{\Lambda/A}\rangle$ が $A$-[[多元環]]であるとは、$\Lambda$ が環であり、${\mathop{\mathsf{act}}\nolimits}_{\Lambda/A}$ が $A$ から $\Lambda$ への環の射であって$\Lambda$ の中心を経由するもののことである。
* 組 $\langle B, {\mathop{\mathsf{act}}\nolimits}_{B/A}\rangle$ が $A$-[[代数]]であるとは、$B$ が可換環であり、${\mathop{\mathsf{act}}\nolimits}_{B/A}$ が $A$ から $B$ への環の射であるもののことである。
** $\langle\Lambda, {\mathop{\mathsf{act}}\nolimits}_{\Lambda/A}\rangle$ が $A$-多元環のとき、$\Lambda$ が可換であることと組が $A$-代数であることとは同値である。

=== 導分の定義と基本性質 ===

先ず一般に環上の導分を定義するところから始めよう。

==== 定義（環の導分） ====
$R$ を環とし、$M$ を両側 $(R, R)$-加群とする。
このとき写像 $D \colon R \rightarrow M$ が $R$ から $M$ への導分である（または単に導分である）とは

# $R$ の任意の元 $x$、$y$ について $D(x+y)=D(x)+D(y)$ が成立する。
# $R$ の任意の元 $x$、$y$ について $D(xy)=xD(y)+D(x)y$ が成立する。

を満たすことである。
$R$ から $M$ への導分全体を ${\mathop{\mathsf{Der}}\nolimits}(R,M)$ と書く。
条件2をLeibniz則といい、これを用いると $D$ が $R$ から $M$ への導分であるとき $D(0)=D(00)=0D(0)+D(0)0=0$と計算できるので、条件1と併せると群準同型であることが分かる。
もし $R=M$ かつ $R$ を積が定める両側 $(R, R)$-加群と見做す場合、$R$ から $R$ への導分を指して $R$ の導分と呼ぶことがある。
$R$ の導分全体は単に ${\mathop{\mathsf{Der}}\nolimits}(R)$ と書く。

導分 $D$ は群準同型であるから、アーベル群としての核 ${\mathop{\mathsf{Ker}}\nolimits}_{\mathsf{Abel}}(D)$ を考えることができる。
これを導分の核といい、単に $\mathop{\mathsf{Ker}}(D)$ と書く。
Leibniz則に注意すると $\mathop{\mathsf{Ker}}(D)$ は $R$ の部分環を為すため、これを強調するときは $R^D$ とも書く。
この導分の核については可換環論、特に多項式環を詳しく調べる文脈に於いて重要であるが、
今現在でも未解決な問題が少なくない。
後で引用する都合も考え、命題としてまとめておこう．

==== 命題（導分の核が部分環であること） ====
$R$ を環とし、$M$ を両側 $(R, R)$-加群とし、$D$ を $R$ から $M$ への導分とする。このとき $R^D$ は部分環である。

''証明'' $R^D$ が $R$ の単位元を含むことを示す。これには $D(1)$ を計算すればよく、Leibniz則に注意すると $D(1)=D(1\times 1)=D(1)+D(1)$ と書き下される。
よって両辺から $D(1)$ を引くことで $D(1)=0_M$ の成立が分かる。
部分環の他の条件については、加法に関する条件は $R^D$ が群準同型としての核であることから従い、
積に関する条件はLeibniz則を適用すれば容易に分かる。
''証明終''

ここで導分が単位元を零元に写すことは ${\mathop{\mathbf{C}}\nolimits}^{\infty}(\mathbb{R})$ の上の微分について $(1)'=0$ が成立することの類似であることに注意しておこう。
この類似より本稿では常に加群の零元を返す写像を零写像と呼ぶことにする。
${\mathop{\mathbf{C}}\nolimits}^{\infty}(\mathbb{R})$ の上の微分の場合はより強く定数函数の微分が零写像であることが解析的に示されるが、
このことを定式化するためには定数函数という言葉を明確にしなければならない。
先ず一番最初に思い当たるのは導分の核 $R^D$ を定数環と呼び、その元を定数函数と見做す方法である。
これは実際に可換環の文脈に於いて用いられる便利な用語法であり、
$R$ が可換環のとき包含写像 $\iota\colon R^D\rightarrow R$が多元環の構造を定めることが便利さを生じせしむ一つの理由である。
しかし一般の多元環上の導分については、核上の多元環と見做せるとは限らないことがあるためもう少し精密に観察した方がよい((非可換な$\mathbb{R}$-代数として四元数体 $\mathbb{H}$ を考える。$\mathbb{H}$ から自明な両側 $(\mathbb{H}, \mathbb{H})$-加群への導分 $D$ を考えると、これは終域が一元集合であるから一意的に定まる。この導分の核は $\mathbb{H}$ であるから $\mathbb{H}^D=\mathbb{H}\nsubseteq\mathbb{R}=\mathop{\mathsf{C}}(\mathbb{H})$ と計算できるため、導分の核からの包含写像は多元環の作用射ではない。))。

ここで ${\mathop{\mathbf{C}}\nolimits}^{\infty}(\mathbb{R})$ の上の微分の例に立ち返ると ${\mathop{\mathbf{C}}\nolimits}^{\infty}(\mathbb{R})$ は $\mathbb{R}$ 上の多元環になっており、
この $\mathbb{R}$ の作用の言葉を用いると定数函数 $r$ は $1$に $\mathbb{R}$ の元 $r$ をスカラー倍して得られるものと換言できることに注意しよう。
$A$-多元環上の導分については次のような整合性条件を考えるのが妥当である。

==== 定義（多元環の作用射と整合する導分） ====
$A$ を可換環とし、
組 $\langle\Lambda, {\mathop{\mathsf{act}}\nolimits}_{\Lambda/A}\rangle$ を $A$ 上の多元環とする。
ここで ${\mathop{\mathsf{act}}\nolimits}_{\Lambda/A}$ は多元環としての作用射、即ち $A$ から $\Lambda$ への環準同型であって中心 $\mathop{\mathsf{C}}(\Lambda)$ を経由するものとする。
よって $\Lambda$ が可換環の場合は $A$-代数を考えることに相当する。
更に $M$ を両側 $(\Lambda, \Lambda)$-加群とするとき写像 $D \colon \Lambda \rightarrow M$ が $\Lambda$ から $M$ への$A$-導分であるとは、
# $D$ は $\Lambda$ 上の導分である。
# $A$ の任意の元 $a$ について、$D\circ{\mathop{\mathsf{act}}\nolimits}_{\Lambda/A}(a)\colon\Lambda\rightarrow M$ は零写像である。

を満たすことである。$\Lambda$ から $M$ への $A$-導分全体を ${\mathop{\mathsf{Der}}\nolimits}_A(\Lambda, M)$ と書く。
$\Lambda$ の導分であって全体は $A$-導分であるもの全体を単に ${\mathop{\mathsf{Der}}\nolimits}_A(\Lambda)$ と書く。

$A$-導分の条件2は作用射に沿って $A$ の元を $\Lambda$ の元と見做したとき、
定数函数のような振る舞いをするということを意図している為め（あまり一般的ではないが）$A$-定数条件と呼ぶことがある。
本稿では作用射と整合すると言い表すこともある。
作用射は環準同型であるためその像は部分環であり、$\Lambda$ の中心と導分の核との交叉 $\mathsf{C}(\Lambda) \cap R^D$ は $D$ が定数条件を満たす最大の部分環である。
特に $\Lambda$ が可換環の場合は $\mathsf{C}(\Lambda)=\Lambda$が成立するため $R^D$ が定数条件を満たす最大の部分環が定数環であるといえる。
$A$-定数条件は作用射の像が $\mathsf{C}(\Lambda) \cap R^D$ に含まれることと換言できる。

一般に環 $R$ は $\mathbb{Z}$-多元環と見做せるが、
$R$ の導分 $D$ は $D(0)=D(1)=0$ が成立するので $\mathbb{Z}$-導分である。
よって ${\mathop{\mathsf{Der}}\nolimits}_\mathbb{Z}(\Lambda, M)={\mathop{\mathsf{Der}}\nolimits}(\Lambda, M)$ が成立する。

$A$-定数条件より弱く $A$-導分ではないが特定の元 $a$ について $D\circ{\mathop{\mathsf{act}}\nolimits}_{\Lambda/A}(a)$ が零写像であるという状況も起こりうる。
このとき $D$ は $a$ に関する定数条件を満たすという。
この用語法は便宜的なものであり、ここだけのものであることに留意されたい。
$a$ に関する定数条件を満たすことは、次のように特徴づけることができる。
この特徴づけより、$A$-導分であれば$A$ の作用は導分と交換することが分かる。

==== 命題（$a$に関する定数条件の特徴づけ） ====
上述の記法の下で、$A$ の元 $a$ について次の二条件は同値である。
* $D$ は $a$ に関する定数条件を満たす。
* $\Lambda$ の任意の元 $f$ について，$D(af)=aD(f)$ が成立する。

''証明''
(1)ならば(2)について、$\Lambda$ の元 $f$ を任意にとる。
このとき
$D(af)
=D({\mathop{\mathsf{act}}\nolimits}_{\Lambda/A}(a) \times f)
={\mathop{\mathsf{act}}\nolimits}_{\Lambda/A}(a)D(f)+D({\mathop{\mathsf{act}}\nolimits}_{\Lambda/A}(a))f
=aD(f)+0f
=aD(f)$
と計算できるのでよい。

(2)ならば(1)については、
$\Lambda$ の元として特に $1_\Lambda$ を取れば
$0=D(a1_\Lambda)-aD(1_\Lambda)
=D({\mathop{\mathsf{act}}\nolimits}_{\Lambda/A}(a)\times 1_\Lambda)-a0
=D({\mathop{\mathsf{act}}\nolimits}_{\Lambda/A}(a))
=D\circ{\mathop{\mathsf{act}}\nolimits}_{\Lambda/A}(a)$
と計算できるのでよい。

==== 命題（導分の基本性質：$D(a^n)$ および $D^n(ab)$の計算） ====
$R$ を環とし、$D$ を $R$ から $M$ への導分とする。
$R$ の元 $a$、$b$ について次が成立する。
* $D(a^n)=\sum_{i+j=n-1}a^iD(a)a^j$ が成立する。
* $D$ が可換環 $R$ の導分ならば $D(a^n)=na^{n-1}D(a)$ が成立する。
* $D$ が正標数の可換環 $R$ の導分ならば $D(a^{\mathop{\mathsf{char}}(R)})=0$ が成立する。
* $D$ が環 $R$ の導分ならば $D^n(ab)=\sum_{i+j=n}\binom{n}{i}D^i(a)D^j(b)$ が成立する。
* $D$ が正標数の環 $R$ の導分ならば $D^{\mathop{\mathsf{char}}(R)}(ab)=D^{\mathop{\mathsf{char}}(R)}(a)b+aD^{\mathop{\mathsf{char}}(R)}(b)$ が成立する。

特に $R$ が正標数ならば $D^{\mathop{\mathsf{char}}(R)}$ も $R$ の導分である。

証明は数学的帰納法による。Leibniz則を繰り返し適用すればよく、
容易であるので省略する。
これを用いるとHochschildの公式が得られる。（準備中）

=== 導分全体の構造 ===

次に導分全体に自然に構造が誘導されることを見ていこう。

==== 命題（${\mathop{\mathsf{Der}}\nolimits}(R, M)$ は両側$(\mathsf{C}(R), \mathsf{C}(R))$-加群である） ====
$R$ を環、$M$ を両側 $(R, R)$-加群とするとき、
${\mathop{\mathsf{Der}}\nolimits}(R,M)$ は両側$(\mathsf{C}(R), \mathsf{C}(R))$-加群である。
特に $R$ が可換のとき、
${\mathop{\mathsf{Der}}\nolimits}(R,M)$ は両側$(R, R)$-加群である。

''証明'' 加法は $(D+D')(a)=D(a)+D'(a)$ と定め、$\mathsf{C}(R)$ の作用は $(rD)(a)=r(D(a))$ および $(Dr)(a)=(D(a))r$ と定める。
示すべきことはこれらが $R$ から $M$ への導分であることと、この演算が両側$(\mathsf{C}(R), \mathsf{C}(R))$-加群の構造を定めていることの二つである。
非可換の場合に特に注意するべきは $rD$ のLeibniz則の証明にあるため、ここのみ詳述する。
$\mathsf{C}(R)$ の元 $c$ と $R$ の元 $r$、$r'$ について考える。
このとき
$$
\begin{aligned}
(cD)(rr')&=c(D(rr'))\\
&=c(rD(r')+D(r)r')\\
&=c(rD(r'))+c(D(r)r')\\
&=(cr)D(r')+(cD(r))r'
\end{aligned}
$$
までは $c$ が $R$ の元であっても成立する（最後の等号に於いて $M$ が両側 $(R, R)$-加群であることを用いていることに留意されたい）。
しかしこれが　$r(cD(r'))+(cD(r))r'=(rc)D(r')+(cD(r))r'$ と一致することは、$c$ を中心の元とは限らない $R$ の元とすると、$r$ および $M$ の取り方によっては一般には成立しない。
一方で $r$ が $R$ の中心の元であることを仮定すれば $ar=ra$ が成立するので一致が分かる。
''証明終''

==== 命題（${\mathop{\mathsf{Der}}\nolimits}_A(\Lambda, M)$ は ${\mathop{\mathsf{Der}}\nolimits}(\Lambda, M)$ の両側部分加群である） ====
$A$ を可換環、$\Lambda$ を $A$-多元環、$M$を両側$(\Lambda, \Lambda)$-加群とするとき、
${\mathop{\mathsf{Der}}\nolimits}_A(\Lambda, M)$ は ${\mathop{\mathsf{Der}}\nolimits}(\Lambda, M)$ の両側$(\mathsf{C}(R), \mathsf{C}(R))$-部分加群である。
特に $\Lambda$ が可換のとき、
${\mathop{\mathsf{Der}}\nolimits}_A(\Lambda, M)$ は両側$(\Lambda, \Lambda)$-加群である。

''証明'' 示すべきことは $D+D'$ および $cD$、$Dc$ が $A$-導分であることである。
$A$ の元 $a$ を任意にとると、$(D+D')\circ{\mathop{\mathsf{act}}\nolimits}_{\Lambda/A}(a)(r)=(D+D')({\mathop{\mathsf{act}}\nolimits}_{\Lambda/A}(a)(r))=D({\mathop{\mathsf{act}}\nolimits}_{\Lambda/A}(a)(r))+D'({\mathop{\mathsf{act}}\nolimits}_{\Lambda/A}(a)(r))=0_M$ が成立するので $D+D'$ は $A$-導分であり、
$ cD\circ{\mathop{\mathsf{act}}\nolimits}_{\Lambda/A}(a)(r)=cD({\mathop{\mathsf{act}}\nolimits}_{\Lambda/A}(a)(r))=c(D({\mathop{\mathsf{act}}\nolimits}_{\Lambda/A}(a)(r)))=c0=0$ が成立するので $cD$ は $A$-導分である。 $Dc$ についても同様である。
''証明終''

==== 命題（${\mathop{\mathsf{Der}}\nolimits}(R)$ はLie環である） ====
$R$ を環とするとき、
$R$ の上の導分全体 ${\mathop{\mathsf{Der}}\nolimits}(R)$ はブラケット積 $[D, D']\coloneqq D \circ D' - D' \circ D$ によりLie環を為す。

''証明'' 示すべきことは $[D, D']=D \circ D'-D'\circ D$ が $R$ の上の導分であることと、$[-,?]$ がLie環の構造を定めることである。
$R$ の上の導分であることはLeibniz則が最も非自明であるためこれを示す。
$R$ の元 $r$、$r'$ を任意にとると

$$
\begin{aligned}
(D \circ D' - D' \circ D)(rr')
&=D \circ D'(rr') - D' \circ D(rr')\\
&=D(D'(r)r'-rD'(r'))-D'(D(r)r'-rD(r'))\\
&=D(D'(r))r'-D'(r)D(r')-D(r)D'(r')+rD(D'(r'))-D'(D(r))r'+D(r)D(r')+D'(r)D(r')-rD'(D(r'))\\
&=D(D'(r))r'+rD(D'(r'))-D'(D(r))r'-rD'(D(r'))\\
&=r(D\circ D'(r')-D'\circ D(r'))+(D\circ D'(r)-D'\circ D(r))r'\\
&=r(D\circ D'-D'\circ D(r'))+(D\circ D'-D'\circ D(r))r'
\end{aligned}
$$

と計算されるのでよい。
このように素朴な計算によって加法に関する準同型性も示され、$D\circ D'-D'\circ D$ は $R$ の上の導分と分かる。
Lie環の構造を定めることは、双加法性とJacobi恒等式とを確かめるべきであるが、これらも素朴に計算すると分かる。
''証明終''

==== 命題（${\mathop{\mathsf{Der}}\nolimits}_A(\Lambda)$ はLie $A$-代数である） ====
$A$ を可換環とし、$\Lambda$ を $A$-多元環とするとき、
$\Lambda$ の上の導分全体 ${\mathop{\mathsf{Der}}\nolimits}_A(\Lambda)$ はブラケット積によりLie $A$-多元環を為す。

''証明'' ブラケット積が $A$-定数条件を満たすことは、$[D, D']\circ{\mathop{\mathsf{act}}\nolimits}_{\Lambda/A}(a)(r)=(D\circ D'\circ{\mathop{\mathsf{act}}\nolimits}_{\Lambda/A}(a))(r)-(D'\circ D\circ{\mathop{\mathsf{act}}\nolimits}_{\Lambda/A}(a))(r)=0$ よりよい。
双 $A$-線型性は $A$-多元環の作用射 ${\mathop{\mathsf{act}}\nolimits}_{\Lambda/A}$ が $\Lambda$ の中心を経由することに注意すると容易に分かる。
''証明終''

=== 導分の例 ===
==== 自明な導分 ====
==== 多項式環に於ける例 ====
==== 解析的整数論からの例 ====

== 導分加群 ==
=== 導分加群の構成 ===
=== 相対導分加群の構成 ===
=== 第一基本完全列 ===
=== 第二基本完全列 ===
=== 関連する話題：不分岐性 ===

== $\sigma$-導分とOre拡大 ==
この節では環の導分の一種の一般化である $\sigma$-導分を定義する。
$\sigma$-導分は環の導分を環の自己同型で捻ったものであり、
このような捻りを加えることで様々な環を構成することが可能になる。
$\sigma$-導分を用いた環の環の構成の一例としてOre拡大を紹介し、
これが重要な例を含むクラスであることや、
元の環の性質を保存する拡大であることを調べる。
=== Ore拡大の定義と例 ===
=== Ore拡大の基本的な性質 ===

== 一般導分と環の分離拡大 ==
=== 導分による分離的代数の特徴づけ ===
=== 一般導分の定義 ===
=== 一般導分による分離環拡大の特徴づけ ===

== 関連する話題 ==
=== 相対微分の層、非特異多様体の不変量 ===
=== 純非分離拡大のGalois理論 ===
=== 1次のHochschildコホモロジー ===

可換環論の基礎

2021-07-05T05:27:05Z

サクラ: 数式表示エラーの修正

[[Category:環論]]

== 可換環および可換環の準同型の定義 ==
=== 可換環 ===
==== 可換環の定義 ====
''可換環''とは、[[集合]] $A$ と $A$ の上で閉じた2つの[[二項演算]] $+$、$\times$ 、 $A$ の2つの要素$0$、$1$の五つ組 $\langle A, +, 0, \times, 1\rangle$ で、次の三つの公理を満たすものをいう。
* (A1)（加法に関する条件）~
三つ組 $\langle A, +, 0\rangle$ は可換群を為す。具体的に書き下すと、次の四つの性質を全て満たすことである。
** $A$ の任意の元 $a$、$b$、$c$ について、$(a + b) + c = a + (b + c)$ が成立する。
** $A$ の任意の元 $a$ について、$a + 0 = 0 + a = a $ が成立する。
** $A$ の任意の元 $a$ について、$ a + b = b + a = 0 $ を満たす $A$ の元 $b$ が存在する。
** $A$ の任意の元 $a$、$b$について、$a+b=b+a$ が成立する。
* (A2)（乗法に関する条件）~
三つ組 $\langle A, \times, 1\rangle$ は可換モノイドを為す。具体的に書き下すと、次の三つの性質を全て満たすことである。
** $A$ の任意の元 $a$、$b$、$c$ について、$(a \times b) \times c = a \times (b \times c)$ が成立する。
** $A$ の任意の元 $a$ について、$a \times 1 = 1 \times a = a $ が成立する。
** $A$ の任意の元 $a$、$b$について、$a \times b = b \times a$ が成立する。
* (A3)（[[分配律]]）~
$A$ の任意の元 $a$、$b$、$c$ について、$a \times (b + c) = a\times b + a\times c$ および $(a + b) \times c = a\times c + b\times c$ が成立する。

==== 可換環の定義に関する補足 ====
* 定義のうち、加法に関する条件(A1)は次のように弱めることができる：
(A1)'三つ組 $\langle A, +, 0\rangle$ は群を為す。
** 証明：$A$ の任意の元 $a$、$b$ をとる。このとき $ (a+1) \times (b+1) $ の展開は、分配律の用い方によって次の二通りが考えられる： $ (a+1) \times (b+1) = a \times (b+1) + 1 \times (b+1) = a \times b + a \times 1 + 1 \times b + 1 \times 1 = a \times b + a + b + 1 $ および $ (a+1) \times (b+1) = (a+1) \times b + (a+1) \times 1 = a \times b + 1 \times b + a \times 1 + 1 \times 1 = a \times b + b + a + 1 $ 。この両者は一致するので、$ a \times b + a + b + 1 = a \times b + b + a + 1 $ が得られ、左から$ - a \times b $を加え、右から $ -1 $を加えると $ a+b = b+a $が得られる。

* 定義のうち、分配律に関する条件は、乗法の可換性に留意すると一方の式の成立が分かれば他方が得られる。

* 可換環 $ \langle A,+,0,\times,1\rangle$ について、 $A$ を台集合と、$+$を加法と、$0$を零元と、$\times$を乗法と、$1$を単位元という。

* 可換環は、正式には $ \langle A,+,0,\times,1\rangle$ という五つ組のことであるが、通常は $A$ 以外の四つの構造を暗黙のうちに固定されたものとみなし、可換環 $ \langle A,+,0,\times,1\rangle$ と呼ぶかわりに、簡単に「可換環 $A$ 」と呼ぶことが多い。

** 可換環 $A$ と書くとき、可換環 $A$ と $A$ の台集合とを同一視し、 $a$ が $A$ の台集合の元であることを $ a \in A $ と書くことがある。ただし、混乱が生じかねない場合は $A$ の台集合を $\underline{A}$ と書くことにする。

** 可換環 $A$ と書くとき、可換環 $A$ の加法を単に $+$ と書くことがある。ただし、混乱が生じかねない場合は $+_A$ のように$A$の加法であることを明示することとする。零元、乗法、単位元に対しても同様の約束をするものとし、 $A$ のものでることを明示するときはそれぞれ $0_A$、$ \times_A$、$1_A$ と書く。

* 可換環の定義から乗法単位元を存在を省いたものを可換擬環という。可換擬環に対して「乗法単位元が存在する」という性質を弱めた条件に関する研究もいくつか知られている。詳しくは[[可換擬環における乗法単位元]]を参照されたい。

=== 可換環の準同型 ===
可換環の準同型とは、可換環の構造を保つ写像のことである。ここで可換環の構造とは四つの演算のことであり、構造を保つとはそれぞれの演算について $A$ で計算してから $f$ で写すことと $f$ で写してから $B$ で計算することとが一致することをいう。
可換環は集合とその上の演算のみで既定されているので、二つの可換環 $A$、$B$ の間に全単射 $f$ であって構造を保つものがあれば、$A$ の元 $a$ と $f$ で移した $B$ の元 $f(a)$ とを同一視することで二つの可換環は( $f$ を通して)同じものだと見做すことができる。

このように、構造を保つ写像を考えることでその写像を通して二つの可換環の間の関係性を考えらえるようになる点で重要である(ここで、二つの可換環が可換環として同じであることは以下で定義するように同型というが、同型であるという性質は二つの可換環の間の一つの関係性を表していることに注意されたい)。
正式な定義は次の通り。

==== 可換環の準同型の定義 ====
$A$、$B$ を可換環とする。
$f$ が $A$ から $B$ への''可換環の準同型''(''可換環の射''ともいう)とは、 $f$ は$A$ から $B$ への[[写像]]であって、次の二つの公理を満たすことをいう。
* (Am1)（加法に関する条件）~
$f$は$\langle A, +_A, 0_A\rangle$ から $\langle B, +_B, 0_B \rangle$ への可換群の準同型である。具体的に書き下すと、次の二つの性質を全て満たすことである。
** $A$ の任意の元 $a$、$b$について、$f(a +_A b)=f(a) +_B f(b)$が成立する。
** $f(0_A)=0_B$が成立する。
* (Am2)（乗法に関する条件）~
$f$は$\langle A, \times, 1\rangle$ から $\langle B, \times, 1 \rangle$ への可換モノイドの準同型である。具体的に書き下すと、次の二つの性質を全て満たすことである。
** $A$ の任意の元 $a$、$b$について、$f(a \times_A b)=f(a) \times_B f(b)$が成立する。
** $f(1_A)=1_B$が成立する。

可換環の準同型は、二つの可換環の間の相対的な関係を調べる上で不可欠である。
この相対的な関係を調べるという意味では、最も簡単だが重要な例として部分と剰余という二つの概念がある。
これらは古典的には具体的な構成方法を以て定義されるが、
寧ろ二つの可換環の間にある準同型写像に力点を置いた方が理論全体がすっきりする。
次の補足に於いてこの二つの概念を定義し、
続くイデアルと環の構成に於いて具体的な構成方法を説明する。

==== 可換環の準同型の定義に関する補足 ====

* 可換環の準同型の定義に於いて二つの条件をそれぞれ具体的に書き下したが、実は $f(0_A)=0_B$が成立するという条件は不要である。このことは[[群]]のページに詳しいため、ここでは証明を省略する。

**

* $A$、$B$、$C$を可換環とし、$f\colon A \rightarrow B$、$g\colon B \rightarrow C$を可換環の準同型とするとき、合成写像 $g \circ f$ が考えられる。このとき $g \circ f$ は $A$ から $C$ への可換環の準同型であることが分かる。

* $A$ を可換環とするとき、$A$ から $A$ への恒等写像 $\mathop{\mathrm{id}}_A$ は可換環の準同型である。

** この二つの事実から、全ての可換環を対象とし、全ての可換環の準同型を射とする圏 $\mathbf{CRing}$ が定まる。本稿に於いては可換環の圏に関してはこれ以上言及しない。興味のある方は[[可換環の為す圏]]を参照されたい。

=== 部分，剰余，同型 ===
==== 部分と剰余の定義 ====
** $A$、$B$ を可換環とするとき、$A$ から $B$ への単射準同型写像 $f$ が存在するとき、組 $\langle A, f \rangle$ を $B$ の部分という。この定義は最初は分かりにくいが、部分環の項目で詳しく説明しているのでそちらを参照されたい。

** $A$、$B$ を可換環とするとき、$A$ から $B$ への全射準同型写像 $f$ が存在するとき、組 $\langle B, f \rangle$ を $A$ の剰余という。この定義は最初は分かりにくいが、剰余環の項目で詳しく説明しているのでそちらを参照されたい。

==== 同型の定義 ====

* 可換環の準同型 $f$ は台集合の間の写像であるため、単射、全射、全単射などの性質が考えられる。単射であるとき単射準同型、全射であるとき全射準同型、全単射であるとき同型という。

** $A$、$B$ を可換環とするとき、$A$ から $B$ への同型写像 $f$ が存在するとき、 $A$ と $B$ とは同型であるという。

* 可換環の準同型 $f$ が同型であるとき、すなわち $f$ が全単射であるとき、写像の性質より $f$ の逆写像 $f^{-1}$ が存在する。この逆写像 $f^{-1}$は可換環の準同型であり、特にこれも全単射であるため同型である。

* 可換環 $A$、$B$ が同型であるとき $A \cong B$ と書く。二つの可換環が同型であるという関係は同値関係を定める。

** 証明：可換環 $A$、$B$ が $A \cong B$を満たすとき同型写像 $f$が存在し、 $f^{-1}$ が $B$ から $A$ への同型写像を与えるので $B \cong A$ が得られ、対象律を満たす。 $A$ を可換環とするとき $\mathop{\mathrm{id}}_A$ は $A$ から $A$ への可換環の準同型であり、写像 $\mathop{\mathrm{id}}_A$ は全単射であるから $A \cong A$ が得られ、$\cong$は反射律を満たす。可換環 $A$、$B$ が $A \cong B$を満たすとき同型写像 $f$が存在し、可換環 $B$、$C$ が $B \cong C$を満たすとき同型写像 $g$が存在する。このとき合成写像 $g \circ f$ は $A$ から $C$ への同型写像であり、 $A \cong B$ が得られる。よって推移律を満たす。

== 基本的な環の構成とイデアル ==

基本的な可換環の構成方法である部分環および剰余環を導入する。
特に剰余環を定義するためにイデアルを導入する。

=== 部分環 ===
部分環とは、環の構造と整合している部分集合のことである。
代表的な例は、有理数全体 $\mathbb{Q}$ の部分集合としての整数全体 $\mathbb{Z}$ や、実数係数多項式全体 $\mathbb{R}[x]$ の中の実数全体 $\mathbb{R}$ などが挙げられる。

==== 部分環の定義 ====

$A$ を可換環とするとき、
$A$ の部分環とは、$A$ の[[部分集合]] $B$ であって次の四つの公理を満たすことである。
* (S1) $B$ の任意の元 $b_1$、$b_2$ について、$b_1 +_A b_2$ は $B$ の元である。
* (S2) $B$ は $0_A$を元に持つ。
* (S3) $B$ の任意の元 $b_1$、$b_2$ について、$b_1 \times_A b_2$ は $B$ の元である。
* (S4) $B$ は $1_A$を元に持つ。

この定義ではただの部分集合を部分環と呼ぶことを疑問に思われるやもしれないが、補足にて説明するように部分環には自然に元の可換環から演算が誘導されて環を為す。この演算を備えた新たな可換環も部分環と呼ぶ。
最初からこの構造を備えた環を部分環と呼ぶと定めてもよいが、部分集合を指定した際に部分環か否かを判定する上で条件や構造が少ない方が楽であるため本稿ではこの定義を採用する。

=== 部分環が自然に可換環と見做せること ===

* $B$ が可換環 $A$ の部分環であるとき、$B$ 上の二項演算 $+_B$ と $\times_B$ とを $b_1 +_B b_2 \colon = b_1 +_A b_2$、$b_1 \times_B b_2 \colon = b_1 \times_A b_2$ と定義すると、五つ組 $ \langle B, +_B, 0_B, \times_B, 1_B\rangle $ は可換環であり、包含写像 $\iota_B \colon B \rightarrow A $は可換環の準同型写像である。
以下、部分集合 $B$ が $A$ の部分環であるときは、特に断らずにこれらの演算を備えた可換環として扱うことがある。

=== 部分環と部分との同値性 ===
* $B$ が可換環 $A$ の部分環であるとき、組 $\langle B, \iota_B \rangle$ は $A$ の部分である。

* 組 $\langle B, f \rangle$ が $A$ の部分であるとき、$f$ の像 $ \mathop{\mathrm{Im}}(f) \colon= \{ a \in A | \text{ $B$の元 $b$ であって $f(b)=a$ を満たすものが存在する } \} $ は $A$ の部分環である。
** 証明：部分環の公理を満たすことを確かめる。(S1)については、$\mathop{\mathrm{Im}}(f)$ の元 $a_1$、$a_2$ を任意にとるとき $\mathop{\mathrm{Im}}(f)$ の定義より $f(b_i)=a_i$ を満たす $B$ の元 $b_1$、$b_2$ が存在する。これらを取ると、環の部分の定義より $f$ 可換環の準同型写像であり、準同型写像の定義より $a_1+a_2=f(b_1)+f(b_2)=f(b_1+b_2)$ と計算できる。よって $\mathop{\mathrm{Im}}(f)$ の定義より $b_1+b_2$ が $\mathop{\mathrm{Im}}(f)$ の元であることが得られる。(S_2)については、$f$ が可換環の準同型写像であることに留意すると $f(0_B)=0_A$ が成立し、$\mathop{\mathrm{Im}}(f)$ の定義より$0_A$ は $\mathop{\mathrm{Im}}(f)$ の元であることが得られる。(S_3)、(S_4)は同様である。

=== イデアル ===
イデアルとは、可換環 $A$ の和で閉じていて、かつ可換環 $A$ の元を掛ける作用で閉じている部分集合のことである。
代表的な例は、整数全体の為す可換環 $\mathbb{Z}$ に対して定まる $n$ の倍数全体の部分集合 $n\mathbb{Z}$ である。
歴史的にもイデアルはこの例の持つ性質を抽象したものと言って差し支えない。

=== イデアルの定義 ===
$A$ を可換環とするとき、
$A$ の''イデアル''とは、$A$の[[部分集合]] $I$ で、次の三つの公理を満たすものをいう。
* (I1)（加法に関する条件）~
三つ組 $\langle I, +_A, 0_A\rangle$ は可換群を為す。換言すれば、$I$ は包含写像 $\iota\colon I \rightarrow A$ が可換群の準同型であるような可換群の構造が入る。
* (I2) (乗法に関する条件) ~
$A$ の任意の元 $a$ および $I$ の任意の元 $i$ について、$A$ に於ける積 $a \times_A i$ が再び $I$ の元になる。

イデアルの重要性の一側面を垣間見るために、整数全体の為す環 $\mathbb{Z}$ のイデアルを決定してみよう。
$\mathbb{Z}$ のイデアルは次に証明するように倍数全体の集合と書かれるため、イデアル全体は $\mathbb{Z}$ の乗法の構造を比較的よく反映していると考えられる。
この事情は一般の可換環に対してもある程度正しく、実際、可換環のイデアル論の一部は加法を忘却した[[バイノイド]](吸収元付き可換モノイド)の構造のみを用いて十分に議論できることが知られている。

==== $\mathbb{Z}$ のイデアルの決定 ====

''命題''

$I$ が $\mathbb{Z}$ のイデアルであるならば、とある整数 $n$ を用いて $I = n \mathbb{Z}$ と書かれる。
逆に、$\mathbb{Z}$ の元 $n$ を用いて $I = n \mathbb{Z}$ と書かれる部分集合は $\mathbb{Z}$ のイデアルである。

''証明''

$\mathbb{Z}$ のイデアル $I$ を任意にとる。
このとき $I=\{0\}$ であれば $I=0\mathbb{Z}$ が成立する。
そうでないとき $I$ に属する $0$ でない元の中で最小のもの $n$ が取れ、これを用いて $I$ は $n\mathbb{Z}$ と書かれる。
実際、$n\mathbb{Z}\subset I$ の成立はイデアルの定義と $n$ の取り方より明らかであるため、
$I$ の任意の元 $i$ について、$i\in n\mathbb{Z}$ が成立することを証明しよう。
$i$ を $n$ で割ることで $i=qn+r$ かつ $0 \leq r < n$ を成立せしめる整数 $q$、$r$ が取れる。
$I$ がイデアルであることと $n$ が $I$ の元であることとより $qn \in I$ が従い、
これと $i \in I$ とを併せると $r = i - qn$ が $I$ の元であることが分かる。
ここで $n$ の最小性に注意すると $r$ は $0$ でなければならないため $i=qn$ となり、$i$ が $n\mathbb{Z}$の元であると分かる。
以上より $I \subset n\mathbb{Z}$ が得られ、
$I = n\mathbb{Z}$ が証明された。

==== 可換環の準同型の核 ====
==== 部分と核 ====
==== イデアルの生成 ====
==== 単項イデアルと有限生成イデアル ====

=== イデアルの定義に関する補足 ===
* $A$ を可換環とすると、$A$ 自身は $A$ のイデアルである。このイデアルを自明なイデアルという。イデアル $I$ が自明なイデアルであることを、単に自明であるという。自明でないイデアルのことを真のイデアルともいう。
* $A$ を可換環とすると、$\{0_A\}$ は$A$のイデアルである。このイデアルを零イデアルという。
* 可換環 $A$ のイデアル $I$ が自明であることと $1$ を元に持つことは同値である。特に真のイデアルは部分環ではない。

=== 剰余環の定義 ===
剰余環とは、可換環のイデアルを一つ固定するとき、固定されたイデアルを一元に潰して得られる新たな環のことである。
剰余環の典型的な例を説明する為に、[[初等整数論]]に於ける次の事実を思い出そう。
* $n$ の倍数の差を除いて一致する二つの整数を合同であると言い、合同関係と整数の加法および乗法とは $a \equiv a'$ ならば $a+b \equiv a'+b$ および $ab \equiv a'b$ が成立するという意味で整合している。

既に $n\mathbb{Z}$ が $\mathbb{Z}$ のイデアルの代表例であることを述べたが、この事実に注意すると上述した事実は次のように言い換えられる。
* イデアル $n\mathbb{Z}$ に属する元の差を除いて一致する二つの整数を合同と呼び、
イデアルから定まる合同関係 $\equiv$ による剰余集合 $A/\equiv$ は($A$ の演算を用いて自然に演算が定まり)新たな可換環を定める。

このようにして得られる新たな環を $\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$ と書き、
$\mathbb{Z}$ の $n\mathbb{Z}$ による剰余環という。

いま得られた可換環 $\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$ は集合としてはどういったものであるかをもう少し観察する。
まず合同関係 $\equiv$ の定義と剰余集合の構成方法とに注意すると、
剰余環 $\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$ の元 $x$ は $\mathbb{Z}$ の部分集合であり、
$x$ の元 $a$ を一つとるとき $x = \{ b\in\mathbb{Z} \mid a \equiv b \} = \{ a+nq \mid q\in\mathbb{Z} \}$ と書き下すことができる。
この集合はさながらイデアル $n\mathbb{Z}$ を元 $a$ で“平行移動”したように見るので $\{ a+nq \mid q\in\mathbb{Z} \} = a+n\mathbb{Z}$ と書くと約束すれば、
剰余環は $\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}=\{ n\mathbb{Z}, 1+n\mathbb{Z}, \ldots, n-1+n\mathbb{Z} \}$ と書き下すことができる。

以上の構成を注意深く観察すると、一般の可換環 $A$ とそのイデアル $I$ に対して全く同様の方法で新たな可換環を構成することができる。これを $A$ の $I$ による剰余環と呼び、 $A/I$ と書く。
この節の最初には「イデアルを一元に潰して得られる新たな環」と書いたが、$\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$ の例で最後に書いた通り、
正確にはイデアルを一元に潰すと同時にもとの可換環 $A$ の元 $a$ を足して“平行移動”したような集合 $\{ a+i | i \in I \}$ も一元に潰すことになる。

[[群論]]に於ける基本的な概念である[[剰余群]]を既に知っている場合は、
より精密に次のように説明することができる。
次の項目にて剰余群に関する知識を仮定せずに証明するため、この部分は読み飛ばしても構わない。
* 可換環 $A$ を加法に関する群と見做したときの部分群 $I$ を与えると、可換群の任意の部分群は正規であるため剰余群 $A/I$ が考えられる。
剰余環は剰余群 $A/I$ に可換環 $A$ の積から誘導された演算を備えた環である。
剰余環を構成するには剰余群 $A/I$ に積が誘導される必要があり、これは剰余群の各元である $A$ の部分集合に $A$ の如何なる元を掛けても再び同じ集合に含まれるときに(またそのときに限り)可能である。
このような $A$ の部分集合をイデアルといい、誘導される積と単位元とを備えた剰余群を剰余環という。

[[剰余群]]の項目で行われる議論も重複を厭わず、剰余環を構成する。

==== 剰余環の台集合の定義 ====

''定義''
$A$ を可換環とし、$I$ を $A$ のイデアルとするとき、
$a-b \in I$ であるとき、またそのときに限り $a \equiv_{I} b$ と書く。
これにより定まる $A$ 上の関係 $\equiv_{I}$ をイデアル $I$ を法とする $A$ 上の合同関係 $\equiv_{I}$ という。
$a \equiv_{I} b$ であることを $a \equiv b ( \mod I )$ と書くこともある。

''命題''
$A$ を可換環とし、$I$ を $A$ のイデアルとする。
このとき $\equiv_{I}$ は $A$ 上の同値関係である。

''証明''
反射律を示す。
$A$ の元 $a$ を任意にとるとき、
$a-a=0\in I$ であるから $a\equiv_{I}a$ が成立する。

対称律を示す。
$A$ の元 $a$、$b$ であって $a \equiv_{I} b$ を満たすものを任意にとる。
このとき $\equiv_{I}$ の定義より $a-b\in I$ が成立し、
$I$ はイデアルであるから $b-a=-(a-b)\in I$ が成立する。
よって $\equiv_{I}$ の定義より $b \equiv_{I} a$ が得られる。

推移律を示す。
$A$ の元 $a$、$b$、$c$ であって $a \equiv_{I} b$ および $b \equiv_{I} c$ を満たすものを任意にとる。
このとき $\equiv_{I}$ の定義より $a-b\in I$ および $b-c\in I$ が成立し、
$I$ はイデアルであるから $a-c=-(a-b)-(b-c)\in I$ が成立する。
よって $\equiv_{I}$ の定義より $a \equiv_{I} c$ が得られる。
以上より同値関係であることが示された。

''定義''
$A$ を可換環とし、$I$ をイデアルとする。
このとき $A/{\equiv_I}$ を $A/I$ と書き、
剰余集合に付随する全射を本節では $\pi\colon A \rightarrow A/I$ と書く。
ここで $\pi$ は文脈によって異なる意味で用いることがあることに注意されたい。

更に $A/{\equiv_I}$ の元 $x$ の代表元を $a$ とするとき、
$x=[a]$ と書く。
全く同じことであるが、$A$ の元 $a$ に対して $\pi(a)=[a]$ と書くといってもよい。

==== 剰余環の台集合上で加法から誘導される二項対応 $\overline{+}$ の定義 ====
''定義''
$A$ を可換環とし、$I$ をイデアルとする。
このとき $A/I$ の元 $[a]$、$[b]$に対して、
$[a]\overline{+}[b]=[a+b]$と定義する。
これにより $A/I$ 上の対応 $\overline{+}$ が定まった。

''命題''
$A/I$ 上の対応 $\overline{+}$ は写像である。

''証明''
$A/I$ の元 $[a]=[a']$、$[b]=[b']$ を任意にとる。
示すべきことは $[a]\overline{+}[b]=[a']\overline{+}[b']$ である。
このとき $\equiv_{I}$ の定義より $a'-a\in I$ および $b'-b\in I$ が成立し、
$a'=a+i$ および $b'=b+j$ なる $I$ の元 $i$、$j$ が取れる。
よって $a'+b'=(a+i)+(b+j)=a+b+(i+j)$ と計算でき、
$i$、$j$ の取り方より $I$ がイデアルであることに留意すると $i+j$ は $I$ の元であることが分かる。
よって $a+b \equiv_I a'+b'$ が成立し、
$[a]\overline{+}[b]=[a+b]=[a'+b']=[a']\overline{+}[b']$ を得る。

''補足''
このように剰余集合上の写像を定義する際は、
しばしば代表元を用いて対応を定義し、それが写像であることを示すという手順を取る。
この議論はよく用いられるため、対応という言葉を明に出さずに「二項演算$\overline{+}$ をこのように定義するとwell-definedである」と言い表すことがある。
本稿では全て対応を定義した上で写像であることを示すという手順を取るが、
可換環論のより進んだ記事に於いてはここで説明したwell-definedという用語を用いることがある。

==== 剰余環の加法が $[0_A]$ を零元として持つ可換群であること ====

''命題''
三つ組 $\langle A/I,\overline{+},[0_A] \rangle$ は可換群である。

''証明''
演算の可換性を示す。
$A/I$ の元 $[a]$、$[b]$ を任意にとるとき、$[a]\overline{+}[b]=[a+b]=[b+a]=[b]\overline{+}[a]$ が成立するのでよい。

このように $A$ が加法について可換群であったことに留意すると演算の結合性、$[0_A]$ が単位元であることは同様に示される。
逆元の存在については、
$A/I$ の元 $[a]$ を任意にとるとき、
$[a]\overline{+}[-a]=[a+(-a)]=[0_A]$ が成立するので $[-a]$ が $[a]$ の逆元であると分かる。
以上より可換群を為すことが示された。

==== 剰余環の台集合上で乗法から誘導される二項対応 $\overline{\times}$ の定義 ====

''定義''
$A$ を可換環とし、$I$ をイデアルとする。
このとき $A/I$ の元 $[a]$、$[b]$に対して、
$[a]\overline{\times}[b]=[a \times b]$と定義する。
これにより $A/I$ 上の対応 $\overline{\times}$ が定まった。

''命題''
$A/I$ 上の対応 $\overline{\times}$ は写像である。

''証明''
$A/I$ の元 $[a]=[a']$、$[b]=[b']$ を任意にとる。
示すべきことは $[a]\overline{\times}[b]=[a']\overline{\times}[b']$ である。
このとき $\equiv_{I}$ の定義より $a'-a\in I$ および $b'-b\in I$ が成立し、
$a'=a+i$ および $b'=b+j$ なる $I$ の元 $i$、$j$ が取れる。
よって $a'b'=(a+i)(b+j)=ab+aj+bi+ij$ と計算でき、
$I$、$j$ の取り方より $I$ がイデアルであることに留意すると $aj+bi+ij$ は $I$ の元であることが分かる。
よって $ab \equiv_I a'b'$ が成立し、
$[a]\overline{\times}[b]=[ab]=[a'b']=[a']\overline{\times}[b']$ を得る。

==== 剰余環の加法が $[1_A]$ を単位元として持つ可換モノイドであること ====

''命題''
三つ組 $\langle A/I,\overline{+},[1_A] \rangle$ は可換群である。

''証明''
演算の可換性を示す。
$A/I$ の元 $[a]$、$[b]$ を任意にとるとき、$[a]\overline{\times}[b]=[a \times b]=[b \times a]=[b]\overline{\times}[a]$ が成立するのでよい。

このように $A$ が乗法について可換モノイドであったことに留意すると演算の結合性、$[1_A]$ が単位元であることは同様に示される。
以上より可換モノイドを為すことが示された。

==== 五つ組 $\langle A/I, \overline{+}, [0_A], \overline{\times}, [1_A] \rangle$ が可換環を為すこと ====

''命題''
五つ組 $\langle A/I,\overline{+},[0_A],\overline{\times},[1_A] \rangle$ は可換環である。

''証明''
加法について可換群を為すことと、
乗法について可換モノイドを為すこととは既に示した。
以下では両側分配律が成り立つことを示すが、
乗法の可換性より片側分配律のみを示せば十分である。

$A$ の元 $[a]$、$[b]$、$[c]$ を任意に取るとき、
$[a]\overline{\times}([b]\overline{+}[c])=[a]\overline{\times}[b+c]=[a \times (b+c)]=[a\times b + a\times c]=[a\times b]\overline{+}[a\times c]=[a]\overline{\times}[b]\overline{+}[a]\overline{\times}[c]$ と計算される。
以上より可換環を為すことが示された。

=== 剰余環の定義の補足 ===
==== 剰余環の普遍性 ====
==== 剰余と剰余環との同値性 ====
==== イデアルの対応(剰余環 ver.) ====

== この時点で導入できる環のクラス ==
=== 体 ===
=== 整域 ===
=== 単項イデアル環 ===
=== 可換Noether環 ===
=== 可換Artin環 ===
== イデアル論を用いない基本的な環の構成 ==
=== 本節で扱える構成と扱えない構成 ===
=== 直積環 ===
==== 直積環の定義 ====
==== 直積環のイデアル ====
==== 直積環を取る操作で保たれる性質 ====
=== 多項式環 ===
==== 多項式環の定義 ====
==== 多項式環のイデアル ====
==== 直積環を取る操作で保たれる性質 ====
==== Hilbertの基底定理 ====
== 素イデアルと極大イデアル ==
=== 整域と体 ===
=== 素イデアルと極大イデアルの定義 ===
=== 素イデアルの定義と極大イデアルの定義の補足 ===
=== 素イデアルの対応(剰余環 ver.) ===
=== 極大イデアルの対応(剰余環 ver.) ===
== 局所化 ==
=== 可換環の局所化の定義 ===
==== 有理数体の構成 ====
==== 積閉集合の定義 ====
==== 積閉集合の生成 ====
==== 整域の場合の局所化の台集合 $AS^{-1}$ の構成(同値関係のwell-defined性) ====
==== 一般の場合の局所化の台集合 $AS^{-1}$ の構成(同値関係のwell-defined性) ====
==== 局所化の台集合 $AS^{-1}$ 上で加法から誘導される二項対応 $\overline{+}$ の定義 ====
==== 局所化の二項対応 $\overline{+}$ が写像としてwell-definedであること ====
==== 局所化の加法が $0_A/1_A$ を零元として持つ可換群であること ====
==== 局所化の台集合 $AS^{-1}$ 上で乗法から誘導される二項対応 $\overline{\times}$ の定義 ====
==== 局所化の二項対応 $\overline{\times}$ が写像としてwell-definedであること ====
==== 局所化の加法が $1_A/1_A$ を単位元として持つ可換モノイドであること ====
==== 五つ組 $\langle AS^{-1}, \overline{+}, 0_A/1_A, \overline{\times}, 1_A/1_A \rangle$ が可換環を為すこと ====
=== 局所化の定義の補足 ===
==== 局所化の普遍性 ====
==== イデアルの対応(局所化 ver.) ====
==== 素イデアルの対応(局所化 ver.) ====
==== 極大イデアルの対応(局所化 ver.) ====

== 参考文献 ==
W.W. McCune. Single axioms for groups and Abelian groups with various operations. Journal of Automated Reasoning 10.1 1993: 1-13.

== ''リンク'' ==

URLやメールアドレスは自動的にリンクになります
* URL -- http://example.org/
* メールアドレス -- foo@example.org
* URLが各種画像ファイルであればそのまま表示します
** http://pukiwiki.osdn.jp/image/b_pukiwiki.official.png

二面体群

2021-07-05T05:23:07Z

サクラ: 数式表示エラーの修正

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{{TOC |align=right |noautonum=1 }}
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== 二面体群 ==
''二面体群''(にめんたいぐん、dihedral group)とは、正多角形の合同変換に関する群もしくはそれと同型な抽象群のクラスのひとつ。

$n$ 次の''二面体群''とは正 $n$ 角形を自分自身に移す合同変換（回転・鏡映）全体のなす群である。この群の位数は $2n$ で、$\mathop{\mathrm{Dih}}_n$ と書かれる。

この群と同型な抽象群のことも''二面体群''と呼ばれる。この意味での位数 $2n$ の二面体群は $D_{2n}$ と書かれる。(($D_n$ と書く流儀もあるが、mathpediaでは $D_{2n}$ と書く。))

== 定義 ==
=== 定義1 ===
$n$ を $3$ 以上の自然数とする。正 $n$ 角形を自分自身に移す合同変換の全体を台集合とし、変換の合成を積とする群を$n$ 次の''二面体群''といい、$\mathop{\mathrm{Dih}}_n$ と書く。

=== 定義2 ===
$n$ を $1$ 以上の自然数とするとき、次のような表示を持つ群を位数 $2n$ の''二面体群''といい、$D_{2n}$ と書く。
$$\langle a,x\vert a^n=x^2=e, xax=a^{-1}\rangle$$

Euclid整域

2021-07-05T05:19:57Z

サクラ: 数式表示エラーの修正

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[[Category:環論]]
{{TOC |align=right |noautonum=1 }}

$\newcommand{coloneqq}{\colon =}$
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== Euclid整域 ==

'''Euclid整域（Euclidian Domain）'''とは、各要素の”大きさ”を測る写像を備え、"除法の原理"が成り立つ整域をいう。除法の原理からEuclidの互除法によって２要素の最大公約元を構成的に求められる。特にEuclid性はある環が[[単項イデアル整域]]となる十分条件を与えるが、逆は一般に成り立たない。

== 定義 ==
$R$ を整域とする。以下の条件を充たす写像 $\phi \colon R \to \mathbb{Z}$ が存在するとき、$R$ を''Euclid整域''という：
# 任意の $x \in R$ に対し、$\phi(x) \ge 0$、かつ $\phi(x) = 0$ $\Leftrightarrow$ $x = 0$；
# 任意の $a$, $b \in R \setminus \{0\}$ に対し $\phi(ab) \ge \phi(a)$；
# （''除法の原理''）任意の $a$, $b \in R \setminus \{0\}$ に対し、$q$, $r \in R$ で $$ a = bq + r,\phi(r) < \phi(b)$$ をみたすものが存在する。

上記定義における $\phi$ をEuclid写像という。これは最大公約的な呼称であり、他にノルム、次数、付値などと呼ばれる。実際、代数体の整数環がEuclid環となる場合((後述するように、代数体の整数環は一般にEuclid環ではない。))にはEuclidノルム((複素数体 $\mathbb{C}$ を座標平面と同一視する場合のEuclid距離をEuclidノルムという。))が、体上の１変数多項式環の場合には多項式の次数((厳密にいうと、次数写像 $\deg$ はEuclid写像の条件 1. を満たさない。しかし、この点は $1$ を足すことで解決し、また 1. の性質を簡単に言い換えれば重大な齟齬を生じるおそれもほぼないため、次数 $\deg$ をEuclid写像と見做して論じる場合がほとんどである。))が、離散付値環の場合には付値がそれぞれ除法の原理を満たし、Euclid整域をどの例の一般化と考えるかによって呼称は変化する。

=== 典型的な例 ===

# 有理整数環 $\mathbb{Z}$ は絶対値写像 $\phi(x) := |x|$ によりEuclid整域となる。
# 体 $K$ 上の１変数多項式環 $K[T]$ は $$\phi(f(T)) := \begin{cases} 1 + \deg f(T) & f(T) \ne 0\\ 0 & f(T) = 0 \end{cases}$$ によりEuclid整域となる。定義を厳格に適用すると、次数 $\deg f(T)$ は条件 1. を満たさないので $1$ ずらす必要があるが、論証において $\phi(x)$ が非負性は重要でない((さらに言えば、$\phi(x)$ が整数でなければならない理由もなく、議論上では整列集合（いかなる空でない部分集合も最小元を持つような順序集合）ならば十分である。))場合が多く「次数によってEuclid整域となる」と言ってもほぼ差し支えはない。

=== 剰余の一意性について ===

除法の原理を示す等式 $a = bq + r$ において、$r$ を $a$ の $b$ による剰余という。一般に、剰余は一意的に定まらない。例えば、有理整数環 $\mathbb{Z}$ は絶対値写像（Euclidノルム）$\phi$ によりEuclid整域となるが、$$ 4 = 3 \cdot 1 + 1 = 3 \cdot 2 + (-2)$$ において $\phi(1) = 1$、$\phi(-2) = 2$ はいずれも $\phi(3) = 3$ より小さいから $1$、$-2$ のいずれも剰余の定義を充たす。$\mathbb{Z}$ においては剰余の一意性のために剰余を非負整数に限定することも多いが、これは $\mathbb{Z}$ に特有の技巧である。

一方、体 $K$ 上の多項式環 $K[T]$ においては剰余の一意性が成り立つ。

''証明'' $f(T) = g(T) q_1(T) + r_1(T) = g(T) q_2(T) + r_2(T)$、ここで $s = 1$, $2$ に対し $\deg r_s(T) < \deg g(T)$とすると $$r_1(T) - r_2(T) = g(T) (q_2(T) - q_1(T)).$$ ここで $q_1(T) \ne q_2(T)$ とすると、左辺の次数は $\deg g(T)$ 未満、右辺の次数は $\deg g(T)$ 以上である。これは矛盾であり $q_1(T) = q_2(T)$、ゆえに $r_1(T) = r_2(T)$ である。$\square$

=== 定義の揺れに関する注意 ===

==== 値域の一般化 ====

ユークリッド写像による値域を一般の整列集合（任意の空ではない部分集合が最小元をもつ順序集合）にとる場合がある。実際、除法の原理を用いた議論においては値が整数である必要性はほぼなく、

* 値の小さなものに帰着する
* ある値より小さな値は高々有限個しか取りえない

という性質を満たせば十分である。

==== 条件 2. の冗長性 ====

上記の定義において、条件 2. を課すことは冗長として省き、1. および 3. のみをもってEuclid整域の定義とする書籍もある。実際に、整域 $R$ が 1. および 3. を満たす写像 $\psi \colon R \to \mathbb{Z}$ をもてば、1. から 3. の総てを満たす写像 $\phi \colon R \to \mathbb{Z}$ を構成できる。

$R$ の要素 $a$ に対し $$ \phi(a) \coloneqq \min_{x \ne 0} \psi (ax)$$ と定め、これが定義の 1. から 3. をすべて満たすことを示そう。$\psi$ は 1. を満たすので $\phi$ も 1. を満たす。また、任意の $b \ne 0$ に対し $$\phi (ab) = \min_{x \ne 0} \psi(abx)$$ を考える。$bx \ne 0$ から $\psi(abx) \ge \phi(a)$ であり、$x$ の任意性から $\phi(ab) \ge \phi(a)$、すなわち $\phi$ は 2. も満たす。

3. $R$ の任意の２要素 $a$, $b \ne 0$ に対して、$a = bq + r$，$\phi(r) < \phi(b)$ なる $q$, $r$ が存在することを示す。$\phi(b) = \psi(bc)$ なる $c$ をとり、$ac$ と $bc$ に $\psi$ による除法の原理を適用すれば $$ ac = Q bc + R,\psi(R) < \psi(bc)$$ なる $Q$, $R$ がとれる。ここで $q = Q$、$r = a - Qb$ とおくと $R = rc$ かつ$\phi(r) \le \psi(R) < \psi (bc) = \phi(b)$、これが証明すべきことであった。$\square$

== 単項イデアル整域との関係 ==
Euclid整域は単項イデアル整域と強く関連する概念である。

=== 定理（Euclid整域のイデアル） ===
Euclid整域は[[単項イデアル整域]]、すなわちEuclid整域の総てのイデアルは単項生成である。

''証明'' $R$ をEuclid整域、$\phi \colon R \to \mathbb{Z}$ をそのEuclid写像とする。$R$ のイデアル $I$ が単項生成であることを示そう。$I = 0$ ならば明らかなので $I \ne 0$ としてよい。$b \in I$ を $$ \phi (b) = \min \{ \phi(x) \mid x \in I \setminus \{0\} \} $$を満たすようにとる。$a \in I$ に対し、除法の原理から $$ a = bq + r,\phi(r) < \phi(b)$$ なる $q, r \in R$ が存在する。このとき $r = a - bq \in I$ と $b$ のとり方により $r = 0$ である。特に $a \in (b)$ であり、$I = (b)$。$\square$

Eudlid整域の一般化として概Euclid整域の概念が定義され、この単項イデアル整域であるための必要十分条件を与えることが知られている。

=== 概Euclid整域の定義 ===
$R$ を整域とする。写像 $\phi \colon R \to \mathbb{Z}$ で
# 任意の $x \in R$ に対し $\phi(x) \ge 0$、かつ $\phi(x) = 0$ $\Leftrightarrow$ $x = 0$；
# 任意の $x, y \ne 0$ に対し $\phi(xy) \ge \phi(x)$；
# ２要素 $x, y \in R$ が $y \ne 0$、$x \not\in (y)$ および $\phi(x) \ge \phi(y)$ を満たすとき、$0 < \phi (px - qy) < \phi(y)$ となるような $p, q \in R$ が存在する；

を満たすものが存在するとき、$R$ を''概Euclid整域''という((このような $\phi$ はひとつとは限らない。))。またこのとき、$\phi$ を''Dedekind-Hasseノルム''という。

=== 定理（概Euclid整域と単項イデアル整域） ===
$R$ を整域とする。$R$ が単項イデアル整域であるための必要十分条件は、ある写像 $\phi \colon R \to \mathbb{Z}$ により $R$ が概Euclid整域となることである。

証明は[[単項イデアル整域]]を参照されたい。

== Euclidの互除法とBezout整域 ==

Euclid整域においては、Euclidの互除法アルゴリズムが適用でき、２要素の最大公約元を構成的に得ることができる。特にEudlic整域は[[Bezout整域]]である。Euclid整域 $R$ の２要素 $a$, $b$ に対し、以下の手続きによって $R$ の要素列 $\{ r_n\}$ を構成する。
# $r_0 := a$、$r_1 := b$ とする；
# 除法の原理を用いて、$r_t = r_{t+1} q_t + r_{t+2}$ かつ $\phi(r_{t+2}) < \phi(r_{t+1})$ を充たす $r_{t+2}$ をとる。
# 数列 $\{\phi(r_n)\}$ は非負整数のなす狭義単調減少列なので、ある自然数 $N$ で $r_N \ne 0$、かつ $r_{N-1}$ が $r_N$ で割り切れるものが存在する。この $r_N$ が $a, b$ の最大公約元である。

''証明'' 証明は２段階に分かれる：

(1) 各 $t$ に対し $(r_{t-1}, r_t) = (r_t, r_{t+1})$ が成り立つ。

定義式 $r_{t-1} = r_t q + r_{t+1}$ により $r_{t-1} \in (r_t, r_{t+1})$ かつ $r_{t+1} \in (r_t, r_{t-1})$、ゆえに両辺は $(r_{t-1}, r_t, r_{t+1})$ に等しい。特に、総ての $t$ に対し $(a,b) = (r_t, r_{t+1})$ である。また構成法により $r_{N-1}$ は $r_N$ で割り切れるので $(r_{N-1}, r_N) = (r_N)$、ゆえに $(a,b) = (r_N)$ である。

(2) $(a,b) = (r)$ なる $r$ は $a, b$ の最大公約元である。

$a, b \in (r)$ から $r$ は $a, b$ の公約元である。$d$ を $a, b$ の公約元とすると、$a, b \in (d)$ ゆえ $(r) = (a,b) \subset (d)$。これは $r$ が $d$ で割り切れることを意味する。$\square$

== 関連項目 ==

* [[可換環論]]
* [[単項イデアル整域]]
* [[Bezout整域]]
* [[代数的整数論]]

遺伝環

2021-05-10T07:01:42Z

サクラ:

__MATHJAX2__
[[Category:環論]]
環は非可換のものを許すことに注意されたい。

== 定義 ==
環 $R$ が左(半)遺伝環であるとは、$R$ の射影左 $R$-加群の(有限生成)部分加群が射影的となることをいう。

環 $R$ が右(半)遺伝環であるとは、$R$ の射影右 $R$-加群の(有限生成)部分加群が射影的となることをいう。

=== 同値な定義 ===
環 $R$ が左(半)遺伝的であることの必要充分条件として、「$R$ の(有限生成)イデアルが射影加群であること」が挙げられる。

== 例 ==
* [[付値環]]は半遺伝環である。

整域

2021-05-10T07:01:22Z

サクラ:

__MATHJAX2__
[[Category:環論]]
== 定義 ==
環 $R$ が整域であるとは、任意の $a\neq 0$ について $ab=0$ ならば $b=0$ が成り立つことをいう。

== ホモロジー代数的な解釈 ==
環 $R$ と $a \in R$ について、$R$ 上の $a$ 倍写像を $a_R$ と表記することにすると、$a_R:R\to R$ は単射であることがわかる。従って、以下の図式
<nowiki>
\begin{xy}
\xymatrix {
0 \ar[r] & R \ar[r]^{a_R} & R \ar[r] & R/aR \ar[r] & 0
}
\end{xy}
</nowiki>
は短完全列である。

この定義を一般の(左-)$R$ 加群 $M$ について拡張する。$R$ 加群 $M$ と $a\in R$ について、$M$ 上の $a$ 倍写像を $a_M$ と表記することにする。このとき、$a \in R$ が $M$-正則元、もしくは $M$ の'''非零因子'''であるとは、以下の図式
<nowiki>
\begin{xy}
\xymatrix {
0 \ar[r] & M \ar[r]^{a_M} & M \ar[r] & M/aM \ar[r] & 0
}
\end{xy}
</nowiki>
が短完全列であることをいう。任意の $0\neq a\in R$ について、$a$ が $M$ の非零因子であるとき、$M$ は '''$R$-捻れを持たない'''という。

== 関連項目 ==
* [[Koszul複体]]
* [[素イデアル]]

整域

2021-05-10T07:00:49Z

サクラ:

[[Category:環論]]
[[Category:環論]]
== 定義 ==
環 $R$ が整域であるとは、任意の $a\neq 0$ について $ab=0$ ならば $b=0$ が成り立つことをいう。

== ホモロジー代数的な解釈 ==
環 $R$ と $a \in R$ について、$R$ 上の $a$ 倍写像を $a_R$ と表記することにすると、$a_R:R\to R$ は単射であることがわかる。従って、以下の図式
<nowiki>
\begin{xy}
\xymatrix {
0 \ar[r] & R \ar[r]^{a_R} & R \ar[r] & R/aR \ar[r] & 0
}
\end{xy}
</nowiki>
は短完全列である。

この定義を一般の(左-)$R$ 加群 $M$ について拡張する。$R$ 加群 $M$ と $a\in R$ について、$M$ 上の $a$ 倍写像を $a_M$ と表記することにする。このとき、$a \in R$ が $M$-正則元、もしくは $M$ の'''非零因子'''であるとは、以下の図式
<nowiki>
\begin{xy}
\xymatrix {
0 \ar[r] & M \ar[r]^{a_M} & M \ar[r] & M/aM \ar[r] & 0
}
\end{xy}
</nowiki>
が短完全列であることをいう。任意の $0\neq a\in R$ について、$a$ が $M$ の非零因子であるとき、$M$ は '''$R$-捻れを持たない'''という。

== 関連項目 ==
* [[Koszul複体]]
* [[素イデアル]]

導分

2021-05-10T07:00:21Z

サクラ:

<noinclude>

[[Category:環論]]
{{TOC |align=right |noautonum=1 }}
</noinclude>
== 導分 ==
導分は函数の微分の代数的な一般化であり、古典的な函数の微分を「函数に対して函数を対応させる写像」として捉えたときに成立している基本的な性質を抽象化したものである。
古典的な函数の微分はEuclid空間が持つノルムの構造などに依存して定義されていたが、
ひとたび代数的に抽象化されるとEuclid空間ほどリッチな構造を持たない対象に対しても微分の類似を考えることができるようになるため、
代数幾何や代数解析などの文脈では大変基本的で有用な道具となる。

本稿では整数論での応用も考慮し、可換とは限らない環に対して導分を定義する。
一般の環に於いては、例えばOre拡大の構成に用いられ、これによりWeyl代数が構成される。
少し構造を追加した多元環論の文脈に於いては、古くから分離多元環の特徴づけ((より一般に、環拡大の分離性も一般導分を用いて行われる。))に用いられており、この特徴づけを通して1次Hochschildコホモロジーが分離多元環からのずれを測る量であると理解できる。
なお、一般の環に不慣れな場合も考慮し、冗長性を厭わず可換環の場合も記述している。

== 概要 ==
=== 故郷：作用素としての微分 ===

滑らかな実数値函数 $f, g\colon\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}$ について考えよう。
先ず仮定より $f$ および $g$ は微分可能であるから、導函数と呼ばれる二つの滑らかな函数 $(f)', (g)'\colon\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}$ が定まっている。
また実数値函数は終域 $\mathbb{R}$ の加法を用いて函数どうしを足し合わせることができ、
それを $f+g$ と書くとき $f+g$ は再び滑らかであることが示される。
よって $f+g$ の導函数が存在するが、これは実は $(f+g)'=(f)'+(g)'$ と計算することができる。更に $\mathbb{R}$ の乗法を用いて函数どうしをかけあわせると、やはり滑らかであって導函数は $(fg)'=f(g)'+(f)'g$ と計算することができる。この公式をLeibniz則というのであった。

ここで、${\mathop{\mathbf{C}}\nolimits}^{\infty}(\mathbb{R})$ を実数 $\mathbb{R}$ 上の滑らかな実数値函数全体とすれば、
終域 $\mathbb{R}$ の演算を用いて定まる二つの二項演算 $+$ および $\times$ によりこれは環を為している。
函数の微分は ${\mathop{\mathbf{C}}\nolimits}^{\infty}(\mathbb{R})$ の元から ${\mathop{\mathbf{C}}\nolimits}^{\infty}(\mathbb{R})$ の元を対応させる写像 $(-)'$ であって、
${\mathop{\mathbf{C}}\nolimits}^{\infty}(\mathbb{R})$ の演算 $+$ および $\times$ との整合性があるものと理解することができる。
このような性質を抽象化することによって、位相的構造（正確にはノルム空間の構造）が入っておらず極限演算が定義できないような環に対しても、
a prioriに写像を与えてしまうことで微分に似た演算を考えられるようになる。
((ここでは簡単に「a prioriに写像を与える」と書いたが、実際に具体的な環 $A$ を与えたときに“何らかの意味のある導分” $D\colon A\rightarrow A$ を見出すことは一般に容易なことではない。しかし、これが大変重要であることもまた事実である。例えば滑らかな実数値函数の為す環を考えてみると、微分演算という重要で具体的な導分があることを既に見た。種々の導分の中で瞬間の傾きを与える函数を返す操作であるという点で“意味のある”微分を定義するためには、環構造のみではなくそれと整合しているノルム構造を用いる必要があるし、これが導分であることを示すためには解析的な議論が必要になる。よって解析を知っていればただちに例であることが分かる微分も、そういった背景を持っていない場合には付加的な構造を定めて議論しなければならない点で発見は容易ではないであろう。この微分の例のように環構造と整合する付加構造を備えている場合は付加構造と何らかの意味で整合しているという点で“意味のある”導分を考えることができ、これを与えるとより深い結果が得られる場合がある。また可換環論的な視座に立つと、具体的な導分の核として得られる環が種々の興味深い例になっていることがあり、この点で“意味のある”導分が知られている。例えばHilbertの第14問題に関しては、最初に永田が与えた反例こそ導分を用いたものでなかったが、それに続く研究では導分の核として定義されるものが殆どである。Hilbertの第14問題はこの導分の核として具体例を構成するという手法によりかなり精密な分析ができるようになったといってもよいであろう。以上は具体的な導分を考える嬉しさについて補足をしたが、本稿で解説される通り導分全体を考えることは（形式的に定義できるという意味で）容易であるものの、実は代数幾何学的な意味を持つ重要な対象であることが知られていることもこの時点で知っておいて損はないであろう。))

=== 本稿を読む上での用語法に関する注意 ===

本稿では冒頭にも書いた通り可換とは限らない環に対して導分を定義する。
そのため可換環に興味のある場合はあまり馴染みのない用語法により定義されるように感じられるやもしれないので、
最も基本的な用語法の定義と、
可換な場合に対応する概念とを明示しておく。
なお、以降の説明に於いては都度可換な場合に言及するように努めたため、
この項目は読み飛ばしても差し支えなく、
寧ろ以降を読む中でどのような対応があるかを整理したくなった場合に戻ってくることを念頭においている。
* [[環]]は加法に関してアーベル群を為し、乗法に関してモノイドを為す両側分配系とする。
* [[可換環]]は加法に関してアーベル群を為し、乗法に関して可換モノイドを為す両側分配系とする。
* $R$ を環とするとき、$R$ の中心 $\mathsf{C}(R)$ は、$R$ の任意の元と交換する元の全体として定義される $R$ の部分集合である。
** $R$ を環とするとき、$R$ の中心 $\mathsf{C}(R)$ は $R$ の可換な部分環である。なお、中心と極大な可換部分環とは一致するとは限らない((例えば四元数体 $\mathbb{H}$ について、この中心は $\mathbb{R}$ であるが $\mathbb{R}$ を真に含む可換部分環として $\mathbb{C}$ が取れる。))。
** $A$ を可換環とするとき、 $A$ の中心は $A$ と一致する。
* 組 $\langle\Lambda, {\mathop{\mathsf{act}}\nolimits}_{\Lambda/A}\rangle$ が $A$-[[多元環]]であるとは、$\Lambda$ が環であり、${\mathop{\mathsf{act}}\nolimits}_{\Lambda/A}$ が $A$ から $\Lambda$ への環の射であって$\Lambda$ の中心を経由するもののことである。
* 組 $\langle B, {\mathop{\mathsf{act}}\nolimits}_{B/A}\rangle$ が $A$-[[代数]]であるとは、$B$ が可換環であり、${\mathop{\mathsf{act}}\nolimits}_{B/A}$ が $A$ から $B$ への環の射であるもののことである。
** $\langle\Lambda, {\mathop{\mathsf{act}}\nolimits}_{\Lambda/A}\rangle$ が $A$-多元環のとき、$\Lambda$ が可換であることと組が $A$-代数であることとは同値である。

=== 導分の定義と基本性質 ===

先ず一般に環上の導分を定義するところから始めよう。

==== 定義（環の導分） ====
$R$ を環とし、$M$ を両側 $(R, R)$-加群とする。
このとき写像 $D \colon R \rightarrow M$ が $R$ から $M$ への導分である（または単に導分である）とは

# $R$ の任意の元 $x$、$y$ について $D(x+y)=D(x)+D(y)$ が成立する。
# $R$ の任意の元 $x$、$y$ について $D(xy)=xD(y)+D(x)y$ が成立する。

を満たすことである。
$R$ から $M$ への導分全体を ${\mathop{\mathsf{Der}}\nolimits}(R,M)$ と書く。
条件2をLeibniz則といい、これを用いると $D$ が $R$ から $M$ への導分であるとき $D(0)=D(00)=0D(0)+D(0)0=0$と計算できるので、条件1と併せると群準同型であることが分かる。
もし $R=M$ かつ $R$ を積が定める両側 $(R, R)$-加群と見做す場合、$R$ から $R$ への導分を指して $R$ の導分と呼ぶことがある。
$R$ の導分全体は単に ${\mathop{\mathsf{Der}}\nolimits}(R)$ と書く。

導分 $D$ は群準同型であるから、アーベル群としての核 ${\mathop{\mathsf{Ker}}\nolimits}_{\mathsf{Abel}}(D)$ を考えることができる。
これを導分の核といい、単に $\mathop{\mathsf{Ker}}(D)$ と書く。
Leibniz則に注意すると $\mathop{\mathsf{Ker}}(D)$ は $R$ の部分環を為すため、これを強調するときは $R^D$ とも書く。
この導分の核については可換環論、特に多項式環を詳しく調べる文脈に於いて重要であるが、
今現在でも未解決な問題が少なくない。
後で引用する都合も考え、命題としてまとめておこう．

==== 命題（導分の核が部分環であること） ====
$R$ を環とし、$M$ を両側 $(R, R)$-加群とし、$D$ を $R$ から $M$ への導分とする。このとき $R^D$ は部分環である。

''証明'' $R^D$ が $R$ の単位元を含むことを示す。これには $D(1)$ を計算すればよく、Leibniz則に注意すると $D(1)=D(1\times 1)=D(1)+D(1)$ と書き下される。
よって両辺から $D(1)$ を引くことで $D(1)=0_M$ の成立が分かる。
部分環の他の条件については、加法に関する条件は $R^D$ が群準同型としての核であることから従い、
積に関する条件はLeibniz則を適用すれば容易に分かる。
''証明終''

ここで導分が単位元を零元に写すことは ${\mathop{\mathbf{C}}\nolimits}^{\infty}(\mathbb{R})$ の上の微分について $(1)'=0$ が成立することの類似であることに注意しておこう。
この類似より本稿では常に加群の零元を返す写像を零写像と呼ぶことにする。
${\mathop{\mathbf{C}}\nolimits}^{\infty}(\mathbb{R})$ の上の微分の場合はより強く定数函数の微分が零写像であることが解析的に示されるが、
このことを定式化するためには定数函数という言葉を明確にしなければならない。
先ず一番最初に思い当たるのは導分の核 $R^D$ を定数環と呼び、その元を定数函数と見做す方法である。
これは実際に可換環の文脈に於いて用いられる便利な用語法であり、
$R$ が可換環のとき包含写像 $\iota\colon R^D\rightarrow R$が多元環の構造を定めることが便利さを生じせしむ一つの理由である。
しかし一般の多元環上の導分については、核上の多元環と見做せるとは限らないことがあるためもう少し精密に観察した方がよい((非可換な$\mathbb{R}$-代数として四元数体 $\mathbb{H}$ を考える。$\mathbb{H}$ から自明な両側 $(\mathbb{H}, \mathbb{H})$-加群への導分 $D$ を考えると、これは終域が一元集合であるから一意的に定まる。この導分の核は $\mathbb{H}$ であるから $\mathbb{H}^D=\mathbb{H}\nsubseteq\mathbb{R}=\mathop{\mathsf{C}}(\mathbb{H})$ と計算できるため、導分の核からの包含写像は多元環の作用射ではない。))。

ここで ${\mathop{\mathbf{C}}\nolimits}^{\infty}(\mathbb{R})$ の上の微分の例に立ち返ると ${\mathop{\mathbf{C}}\nolimits}^{\infty}(\mathbb{R})$ は $\mathbb{R}$ 上の多元環になっており、
この $\mathbb{R}$ の作用の言葉を用いると定数函数 $r$ は $1$に $\mathbb{R}$ の元 $r$ をスカラー倍して得られるものと換言できることに注意しよう。
$A$-多元環上の導分については次のような整合性条件を考えるのが妥当である。

==== 定義（多元環の作用射と整合する導分） ====
$A$ を可換環とし、
組 $\langle\Lambda, {\mathop{\mathsf{act}}\nolimits}_{\Lambda/A}\rangle$ を $A$ 上の多元環とする。
ここで ${\mathop{\mathsf{act}}\nolimits}_{\Lambda/A}$ は多元環としての作用射、即ち $A$ から $\Lambda$ への環準同型であって中心 $\mathop{\mathsf{C}}(\Lambda)$ を経由するものとする。
よって $\Lambda$ が可換環の場合は $A$-代数を考えることに相当する。
更に $M$ を両側 $(\Lambda, \Lambda)$-加群とするとき写像 $D \colon \Lambda \rightarrow M$ が $\Lambda$ から $M$ への$A$-導分であるとは、
# $D$ は $\Lambda$ 上の導分である。
# $A$ の任意の元 $a$ について、$D\circ{\mathop{\mathsf{act}}\nolimits}_{\Lambda/A}(a)\colon\Lambda\rightarrow M$ は零写像である。

を満たすことである。$\Lambda$ から $M$ への $A$-導分全体を ${\mathop{\mathsf{Der}}\nolimits}_A(\Lambda, M)$ と書く。
$\Lambda$ の導分であって全体は $A$-導分であるもの全体を単に ${\mathop{\mathsf{Der}}\nolimits}_A(\Lambda)$ と書く。

$A$-導分の条件2は作用射に沿って $A$ の元を $\Lambda$ の元と見做したとき、
定数函数のような振る舞いをするということを意図している為め（あまり一般的ではないが）$A$-定数条件と呼ぶことがある。
本稿では作用射と整合すると言い表すこともある。
作用射は環準同型であるためその像は部分環であり、$\Lambda$ の中心と導分の核との交叉 $\mathsf{C}(\Lambda) \cap R^D$ は $D$ が定数条件を満たす最大の部分環である。
特に $\Lambda$ が可換環の場合は $\mathsf{C}(\Lambda)=\Lambda$が成立するため $R^D$ が定数条件を満たす最大の部分環が定数環であるといえる。
$A$-定数条件は作用射の像が $\mathsf{C}(\Lambda) \cap R^D$ に含まれることと換言できる。

一般に環 $R$ は $\mathbb{Z}$-多元環と見做せるが、
$R$ の導分 $D$ は $D(0)=D(1)=0$ が成立するので $\mathbb{Z}$-導分である。
よって ${\mathop{\mathsf{Der}}\nolimits}_\mathbb{Z}(\Lambda, M)={\mathop{\mathsf{Der}}\nolimits}(\Lambda, M)$ が成立する。

$A$-定数条件より弱く $A$-導分ではないが特定の元 $a$ について $D\circ{\mathop{\mathsf{act}}\nolimits}_{\Lambda/A}(a)$ が零写像であるという状況も起こりうる。
このとき $D$ は $a$ に関する定数条件を満たすという。
この用語法は便宜的なものであり、ここだけのものであることに留意されたい。
$a$ に関する定数条件を満たすことは、次のように特徴づけることができる。
この特徴づけより、$A$-導分であれば$A$ の作用は導分と交換することが分かる。

==== 命題（$a$に関する定数条件の特徴づけ） ====
上述の記法の下で、$A$ の元 $a$ について次の二条件は同値である。
* $D$ は $a$ に関する定数条件を満たす。
* $\Lambda$ の任意の元 $f$ について，$D(af)=aD(f)$ が成立する。

''証明''
(1)ならば(2)について、$\Lambda$ の元 $f$ を任意にとる。
このとき
$D(af)
=D({\mathop{\mathsf{act}}\nolimits}_{\Lambda/A}(a) \times f)
={\mathop{\mathsf{act}}\nolimits}_{\Lambda/A}(a)D(f)+D({\mathop{\mathsf{act}}\nolimits}_{\Lambda/A}(a))f
=aD(f)+0f
=aD(f)$
と計算できるのでよい。

(2)ならば(1)については、
$\Lambda$ の元として特に $1_\Lambda$ を取れば
$0=D(a1_\Lambda)-aD(1_\Lambda)
=D({\mathop{\mathsf{act}}\nolimits}_{\Lambda/A}(a)\times 1_\Lambda)-a0
=D({\mathop{\mathsf{act}}\nolimits}_{\Lambda/A}(a))
=D\circ{\mathop{\mathsf{act}}\nolimits}_{\Lambda/A}(a)$
と計算できるのでよい。

==== 命題（導分の基本性質：$D(a^n)$ および $D^n(ab)$の計算） ====
$R$ を環とし、$D$ を $R$ から $M$ への導分とする。
$R$ の元 $a$、$b$ について次が成立する。
* $D(a^n)=\sum_{i+j=n-1}a^iD(a)a^j$ が成立する。
* $D$ が可換環 $R$ の導分ならば $D(a^n)=na^{n-1}D(a)$ が成立する。
* $D$ が正標数の可換環 $R$ の導分ならば $D(a^{\mathop{\mathsf{char}}(R)})=0$ が成立する。
* $D$ が環 $R$ の導分ならば $D^n(ab)=\sum_{i+j=n}\binom{n}{i}D^i(a)D^j(b)$ が成立する。
* $D$ が正標数の環 $R$ の導分ならば $D^{\mathop{\mathsf{char}}(R)}(ab)=D^{\mathop{\mathsf{char}}(R)}(a)b+aD^{\mathop{\mathsf{char}}(R)}(b)$ が成立する。

特に $R$ が正標数ならば $D^{\mathop{\mathsf{char}}(R)}$ も $R$ の導分である。

証明は数学的帰納法による。Leibniz則を繰り返し適用すればよく、
容易であるので省略する。
これを用いるとHochschildの公式が得られる。（準備中）

=== 導分全体の構造 ===

次に導分全体に自然に構造が誘導されることを見ていこう。

==== 命題（${\mathop{\mathsf{Der}}\nolimits}(R, M)$ は両側$(\mathsf{C}(R), \mathsf{C}(R))$-加群である） ====
$R$ を環、$M$ を両側 $(R, R)$-加群とするとき、
${\mathop{\mathsf{Der}}\nolimits}(R,M)$ は両側$(\mathsf{C}(R), \mathsf{C}(R))$-加群である。
特に $R$ が可換のとき、
${\mathop{\mathsf{Der}}\nolimits}(R,M)$ は両側$(R, R)$-加群である。

''証明'' 加法は $(D+D')(a)=D(a)+D'(a)$ と定め、$\mathsf{C}(R)$ の作用は $(rD)(a)=r(D(a))$ および $(Dr)(a)=(D(a))r$ と定める。
示すべきことはこれらが $R$ から $M$ への導分であることと、この演算が両側$(\mathsf{C}(R), \mathsf{C}(R))$-加群の構造を定めていることの二つである。
非可換の場合に特に注意するべきは $rD$ のLeibniz則の証明にあるため、ここのみ詳述する。
$\mathsf{C}(R)$ の元 $c$ と $R$ の元 $r$、$r'$ について考える。
このとき
$$
\begin{aligned}
(cD)(rr')&=c(D(rr'))\\
&=c(rD(r')+D(r)r')\\
&=c(rD(r'))+c(D(r)r')\\
&=(cr)D(r')+(cD(r))r'
\end{aligned}
$$
までは $c$ が $R$ の元であっても成立する（最後の等号に於いて $M$ が両側 $(R, R)$-加群であることを用いていることに留意されたい）。
しかしこれが　$r(cD(r'))+(cD(r))r'=(rc)D(r')+(cD(r))r'$ と一致することは、$c$ を中心の元とは限らない $R$ の元とすると、$r$ および $M$ の取り方によっては一般には成立しない。
一方で $r$ が $R$ の中心の元であることを仮定すれば $ar=ra$ が成立するので一致が分かる。
''証明終''

==== 命題（${\mathop{\mathsf{Der}}\nolimits}_A(\Lambda, M)$ は ${\mathop{\mathsf{Der}}\nolimits}(\Lambda, M)$ の両側部分加群である） ====
$A$ を可換環、$\Lambda$ を $A$-多元環、$M$を両側$(\Lambda, \Lambda)$-加群とするとき、
${\mathop{\mathsf{Der}}\nolimits}_A(\Lambda, M)$ は ${\mathop{\mathsf{Der}}\nolimits}(\Lambda, M)$ の両側$(\mathsf{C}(R), \mathsf{C}(R))$-部分加群である。
特に $\Lambda$ が可換のとき、
${\mathop{\mathsf{Der}}\nolimits}_A(\Lambda, M)$ は両側$(\Lambda, \Lambda)$-加群である。

''証明'' 示すべきことは $D+D'$ および $cD$、$Dc$ が $A$-導分であることである。
$A$ の元 $a$ を任意にとると、$(D+D')\circ{\mathop{\mathsf{act}}\nolimits}_{\Lambda/A}(a)(r)=(D+D')({\mathop{\mathsf{act}}\nolimits}_{\Lambda/A}(a)(r))=D({\mathop{\mathsf{act}}\nolimits}_{\Lambda/A}(a)(r))+D'({\mathop{\mathsf{act}}\nolimits}_{\Lambda/A}(a)(r))=0_M$ が成立するので $D+D'$ は $A$-導分であり、
$ cD\circ{\mathop{\mathsf{act}}\nolimits}_{\Lambda/A}(a)(r)=cD({\mathop{\mathsf{act}}\nolimits}_{\Lambda/A}(a)(r))=c(D({\mathop{\mathsf{act}}\nolimits}_{\Lambda/A}(a)(r)))=c0=0$ が成立するので $cD$ は $A$-導分である。 $Dc$ についても同様である。
''証明終''

==== 命題（${\mathop{\mathsf{Der}}\nolimits}(R)$ はLie環である） ====
$R$ を環とするとき、
$R$ の上の導分全体 ${\mathop{\mathsf{Der}}\nolimits}(R)$ はブラケット積 $[D, D']\coloneqq D \circ D' - D' \circ D$ によりLie環を為す。

''証明'' 示すべきことは $[D, D']=D \circ D'-D'\circ D$ が $R$ の上の導分であることと、$[-,?]$ がLie環の構造を定めることである。
$R$ の上の導分であることはLeibniz則が最も非自明であるためこれを示す。
$R$ の元 $r$、$r'$ を任意にとると

$$
\begin{aligned}
(D \circ D' - D' \circ D)(rr')
&=D \circ D'(rr') - D' \circ D(rr')\\
&=D(D'(r)r'-rD'(r'))-D'(D(r)r'-rD(r'))\\
&=D(D'(r))r'-D'(r)D(r')-D(r)D'(r')+rD(D'(r'))-D'(D(r))r'+D(r)D(r')+D'(r)D(r')-rD'(D(r'))\\
&=D(D'(r))r'+rD(D'(r'))-D'(D(r))r'-rD'(D(r'))\\
&=r(D\circ D'(r')-D'\circ D(r'))+(D\circ D'(r)-D'\circ D(r))r'\\
&=r(D\circ D'-D'\circ D(r'))+(D\circ D'-D'\circ D(r))r'
\end{aligned}
$$

と計算されるのでよい。
このように素朴な計算によって加法に関する準同型性も示され、$D\circ D'-D'\circ D$ は $R$ の上の導分と分かる。
Lie環の構造を定めることは、双加法性とJacobi恒等式とを確かめるべきであるが、これらも素朴に計算すると分かる。
''証明終''

==== 命題（${\mathop{\mathsf{Der}}\nolimits}_A(\Lambda)$ はLie $A$-代数である） ====
$A$ を可換環とし、$\Lambda$ を $A$-多元環とするとき、
$\Lambda$ の上の導分全体 ${\mathop{\mathsf{Der}}\nolimits}_A(\Lambda)$ はブラケット積によりLie $A$-多元環を為す。

''証明'' ブラケット積が $A$-定数条件を満たすことは、$[D, D']\circ{\mathop{\mathsf{act}}\nolimits}_{\Lambda/A}(a)(r)=(D\circ D'\circ{\mathop{\mathsf{act}}\nolimits}_{\Lambda/A}(a))(r)-(D'\circ D\circ{\mathop{\mathsf{act}}\nolimits}_{\Lambda/A}(a))(r)=0$ よりよい。
双 $A$-線型性は $A$-多元環の作用射 ${\mathop{\mathsf{act}}\nolimits}_{\Lambda/A}$ が $\Lambda$ の中心を経由することに注意すると容易に分かる。
''証明終''

=== 導分の例 ===
==== 自明な導分 ====
==== 多項式環に於ける例 ====
==== 解析的整数論からの例 ====

== 導分加群 ==
=== 導分加群の構成 ===
=== 相対導分加群の構成 ===
=== 第一基本完全列 ===
=== 第二基本完全列 ===
=== 関連する話題：不分岐性 ===

== $\sigma$-導分とOre拡大 ==
この節では環の導分の一種の一般化である $\sigma$-導分を定義する。
$\sigma$-導分は環の導分を環の自己同型で捻ったものであり、
このような捻りを加えることで様々な環を構成することが可能になる。
$\sigma$-導分を用いた環の環の構成の一例としてOre拡大を紹介し、
これが重要な例を含むクラスであることや、
元の環の性質を保存する拡大であることを調べる。
=== Ore拡大の定義と例 ===
=== Ore拡大の基本的な性質 ===

== 一般導分と環の分離拡大 ==
=== 導分による分離的代数の特徴づけ ===
=== 一般導分の定義 ===
=== 一般導分による分離環拡大の特徴づけ ===

== 関連する話題 ==
=== 相対微分の層、非特異多様体の不変量 ===
=== 純非分離拡大のGalois理論 ===
=== 1次のHochschildコホモロジー ===

可換環論の基礎

2021-05-10T07:00:08Z

サクラ:

[[Category:環論]]

== 可換環および可換環の準同型の定義 ==
=== 可換環 ===
==== 可換環の定義 ====
''可換環''とは、[[集合]] $A$ と $A$ の上で閉じた2つの[[二項演算]] $+$、$\times$ 、 $A$ の2つの要素$0$、$1$の五つ組 $\langle A, +, 0, \times, 1\rangle$ で、次の三つの公理を満たすものをいう。
* (A1)（加法に関する条件）~
三つ組 $\langle A, +, 0\rangle$ は可換群を為す。具体的に書き下すと、次の四つの性質を全て満たすことである。
** $A$ の任意の元 $a$、$b$、$c$ について、$(a + b) + c = a + (b + c)$ が成立する。
** $A$ の任意の元 $a$ について、$a + 0 = 0 + a = a $ が成立する。
** $A$ の任意の元 $a$ について、$ a + b = b + a = 0 $ を満たす $A$ の元 $b$ が存在する。
** $A$ の任意の元 $a$、$b$について、$a+b=b+a$ が成立する。
* (A2)（乗法に関する条件）~
三つ組 $\langle A, \times, 1\rangle$ は可換モノイドを為す。具体的に書き下すと、次の三つの性質を全て満たすことである。
** $A$ の任意の元 $a$、$b$、$c$ について、$(a \times b) \times c = a \times (b \times c)$ が成立する。
** $A$ の任意の元 $a$ について、$a \times 1 = 1 \times a = a $ が成立する。
** $A$ の任意の元 $a$、$b$について、$a \times b = b \times a$ が成立する。
* (A3)（[[分配律]]）~
$A$ の任意の元 $a$、$b$、$c$ について、$a \times (b + c) = a\times b + a\times c$ および $(a + b) \times c = a\times c + b\times c$ が成立する。

==== 可換環の定義に関する補足 ====
* 定義のうち、加法に関する条件(A1)は次のように弱めることができる：
(A1)'三つ組 $\langle A, +, 0\rangle$ は群を為す。
** 証明：$A$ の任意の元 $a$、$b$ をとる。このとき $ (a+1) \times (b+1) $ の展開は、分配律の用い方によって次の二通りが考えられる： $ (a+1) \times (b+1) = a \times (b+1) + 1 \times (b+1) = a \times b + a \times 1 + 1 \times b + 1 \times 1 = a \times b + a + b + 1 $ および $ (a+1) \times (b+1) = (a+1) \times b + (a+1) \times 1 = a \times b + 1 \times b + a \times 1 + 1 \times 1 = a \times b + b + a + 1 $ 。この両者は一致するので、$ a \times b + a + b + 1 = a \times b + b + a + 1 $ が得られ、左から$ - a \times b $を加え、右から $ -1 $を加えると $ a+b = b+a $が得られる。

* 定義のうち、分配律に関する条件は、乗法の可換性に留意すると一方の式の成立が分かれば他方が得られる。

* 可換環 $ \langle A,+,0,\times,1\rangle$ について、 $A$ を台集合と、$+$を加法と、$0$を零元と、$\times$を乗法と、$1$を単位元という。

* 可換環は、正式には $ \langle A,+,0,\times,1\rangle$ という五つ組のことであるが、通常は $A$ 以外の四つの構造を暗黙のうちに固定されたものとみなし、可換環 $ \langle A,+,0,\times,1\rangle$ と呼ぶかわりに、簡単に「可換環 $A$ 」と呼ぶことが多い。

** 可換環 $A$ と書くとき、可換環 $A$ と $A$ の台集合とを同一視し、 $a$ が $A$ の台集合の元であることを $ a \in A $ と書くことがある。ただし、混乱が生じかねない場合は $A$ の台集合を $\underline{A}$ と書くことにする。

** 可換環 $A$ と書くとき、可換環 $A$ の加法を単に $+$ と書くことがある。ただし、混乱が生じかねない場合は $+_A$ のように$A$の加法であることを明示することとする。零元、乗法、単位元に対しても同様の約束をするものとし、 $A$ のものでることを明示するときはそれぞれ $0_A$、$ \times_A$、$1_A$ と書く。

* 可換環の定義から乗法単位元を存在を省いたものを可換擬環という。可換擬環に対して「乗法単位元が存在する」という性質を弱めた条件に関する研究もいくつか知られている。詳しくは[[可換擬環における乗法単位元]]を参照されたい。

=== 可換環の準同型 ===
可換環の準同型とは、可換環の構造を保つ写像のことである。ここで可換環の構造とは四つの演算のことであり、構造を保つとはそれぞれの演算について $A$ で計算してから $f$ で写すことと $f$ で写してから $B$ で計算することとが一致することをいう。
可換環は集合とその上の演算のみで既定されているので、二つの可換環 $A$、$B$ の間に全単射 $f$ であって構造を保つものがあれば、$A$ の元 $a$ と $f$ で移した $B$ の元 $f(a)$ とを同一視することで二つの可換環は( $f$ を通して)同じものだと見做すことができる。

このように、構造を保つ写像を考えることでその写像を通して二つの可換環の間の関係性を考えらえるようになる点で重要である(ここで、二つの可換環が可換環として同じであることは以下で定義するように同型というが、同型であるという性質は二つの可換環の間の一つの関係性を表していることに注意されたい)。
正式な定義は次の通り。

==== 可換環の準同型の定義 ====
$A$、$B$ を可換環とする。
$f$ が $A$ から $B$ への''可換環の準同型''(''可換環の射''ともいう)とは、 $f$ は$A$ から $B$ への[[写像]]であって、次の二つの公理を満たすことをいう。
* (Am1)（加法に関する条件）~
$f$は$\langle A, +_A, 0_A\rangle$ から $\langle B, +_B, 0_B \rangle$ への可換群の準同型である。具体的に書き下すと、次の二つの性質を全て満たすことである。
** $A$ の任意の元 $a$、$b$について、$f(a +_A b)=f(a) +_B f(b)$が成立する。
** $f(0_A)=0_B$が成立する。
* (Am2)（乗法に関する条件）~
$f$は$\langle A, \times, 1\rangle$ から $\langle B, \times, 1 \rangle$ への可換モノイドの準同型である。具体的に書き下すと、次の二つの性質を全て満たすことである。
** $A$ の任意の元 $a$、$b$について、$f(a \times_A b)=f(a) \times_B f(b)$が成立する。
** $f(1_A)=1_B$が成立する。

可換環の準同型は、二つの可換環の間の相対的な関係を調べる上で不可欠である。
この相対的な関係を調べるという意味では、最も簡単だが重要な例として部分と剰余という二つの概念がある。
これらは古典的には具体的な構成方法を以て定義されるが、
寧ろ二つの可換環の間にある準同型写像に力点を置いた方が理論全体がすっきりする。
次の補足に於いてこの二つの概念を定義し、
続くイデアルと環の構成に於いて具体的な構成方法を説明する。

==== 可換環の準同型の定義に関する補足 ====

* 可換環の準同型の定義に於いて二つの条件をそれぞれ具体的に書き下したが、実は $f(0_A)=0_B$が成立するという条件は不要である。このことは[[群]]のページに詳しいため、ここでは証明を省略する。

**

* $A$、$B$、$C$を可換環とし、$f\colon A \rightarrow B$、$g\colon B \rightarrow C$を可換環の準同型とするとき、合成写像 $g \circ f$ が考えられる。このとき $g \circ f$ は $A$ から $C$ への可換環の準同型であることが分かる。

* $A$ を可換環とするとき、$A$ から $A$ への恒等写像 $\mathop{\mathrm{id}}_A$ は可換環の準同型である。

** この二つの事実から、全ての可換環を対象とし、全ての可換環の準同型を射とする圏 $\mathbf{CRing}$ が定まる。本稿に於いては可換環の圏に関してはこれ以上言及しない。興味のある方は[[可換環の為す圏]]を参照されたい。

=== 部分，剰余，同型 ===
==== 部分と剰余の定義 ====
** $A$、$B$ を可換環とするとき、$A$ から $B$ への単射準同型写像 $f$ が存在するとき、組 $\langle A, f \rangle$ を $B$ の部分という。この定義は最初は分かりにくいが、部分環の項目で詳しく説明しているのでそちらを参照されたい。

** $A$、$B$ を可換環とするとき、$A$ から $B$ への全射準同型写像 $f$ が存在するとき、組 $\langle B, f \rangle$ を $A$ の剰余という。この定義は最初は分かりにくいが、剰余環の項目で詳しく説明しているのでそちらを参照されたい。

==== 同型の定義 ====

* 可換環の準同型 $f$ は台集合の間の写像であるため、単射、全射、全単射などの性質が考えられる。単射であるとき単射準同型、全射であるとき全射準同型、全単射であるとき同型という。

** $A$、$B$ を可換環とするとき、$A$ から $B$ への同型写像 $f$ が存在するとき、 $A$ と $B$ とは同型であるという。

* 可換環の準同型 $f$ が同型であるとき、すなわち $f$ が全単射であるとき、写像の性質より $f$ の逆写像 $f^{-1}$ が存在する。この逆写像 $f^{-1}$は可換環の準同型であり、特にこれも全単射であるため同型である。

* 可換環 $A$、$B$ が同型であるとき $A \cong B$ と書く。二つの可換環が同型であるという関係は同値関係を定める。

** 証明：可換環 $A$、$B$ が $A \cong B$を満たすとき同型写像 $f$が存在し、 $f^{-1}$ が $B$ から $A$ への同型写像を与えるので $B \cong A$ が得られ、対象律を満たす。 $A$ を可換環とするとき $\mathop{\mathrm{id}}_A$ は $A$ から $A$ への可換環の準同型であり、写像 $\mathop{\mathrm{id}}_A$ は全単射であるから $A \cong A$ が得られ、$\cong$は反射律を満たす。可換環 $A$、$B$ が $A \cong B$を満たすとき同型写像 $f$が存在し、可換環 $B$、$C$ が $B \cong C$を満たすとき同型写像 $g$が存在する。このとき合成写像 $g \circ f$ は $A$ から $C$ への同型写像であり、 $A \cong B$ が得られる。よって推移律を満たす。

== 基本的な環の構成とイデアル ==

基本的な可換環の構成方法である部分環および剰余環を導入する。
特に剰余環を定義するためにイデアルを導入する。

=== 部分環 ===
部分環とは、環の構造と整合している部分集合のことである。
代表的な例は、有理数全体 $\mathbb{Q}$ の部分集合としての整数全体 $\mathbb{Z}$ や、実数係数多項式全体 $\mathbb{R}[x]$ の中の実数全体 $\mathbb{R}$ などが挙げられる。

==== 部分環の定義 ====

$A$ を可換環とするとき、
$A$ の部分環とは、$A$ の[[部分集合]] $B$ であって次の四つの公理を満たすことである。
* (S1) $B$ の任意の元 $b_1$、$b_2$ について、$b_1 +_A b_2$ は $B$ の元である。
* (S2) $B$ は $0_A$を元に持つ。
* (S3) $B$ の任意の元 $b_1$、$b_2$ について、$b_1 \times_A b_2$ は $B$ の元である。
* (S4) $B$ は $1_A$を元に持つ。

この定義ではただの部分集合を部分環と呼ぶことを疑問に思われるやもしれないが、補足にて説明するように部分環には自然に元の可換環から演算が誘導されて環を為す。この演算を備えた新たな可換環も部分環と呼ぶ。
最初からこの構造を備えた環を部分環と呼ぶと定めてもよいが、部分集合を指定した際に部分環か否かを判定する上で条件や構造が少ない方が楽であるため本稿ではこの定義を採用する。

=== 部分環が自然に可換環と見做せること ===

* $B$ が可換環 $A$ の部分環であるとき、$B$ 上の二項演算 $+_B$ と $\times_B$ とを $b_1 +_B b_2 \colon = b_1 +_A b_2$、$b_1 \times_B b_2 \colon = b_1 \times_A b_2$ と定義すると、五つ組 $ \langle B, +_B, 0_B, \times_B, 1_B\rangle $ は可換環であり、包含写像 $\iota_B \colon B \rightarrow A $は可換環の準同型写像である。
以下、部分集合 $B$ が $A$ の部分環であるときは、特に断らずにこれらの演算を備えた可換環として扱うことがある。

=== 部分環と部分との同値性 ===
* $B$ が可換環 $A$ の部分環であるとき、組 $\langle B, \iota_B \rangle$ は $A$ の部分である。

* 組 $\langle B, f \rangle$ が $A$ の部分であるとき、$f$ の像 $ \mathop{\mathrm{Im}}(f) \colon= \{ a \in A \middle \text{ $B$の元 $b$ であって $f(b)=a$ を満たすものが存在する } \} $ は $A$ の部分環である。
** 証明：部分環の公理を満たすことを確かめる。(S1)については、$\mathop{\mathrm{Im}}(f)$ の元 $a_1$、$a_2$ を任意にとるとき $\mathop{\mathrm{Im}}(f)$ の定義より $f(b_i)=a_i$ を満たす $B$ の元 $b_1$、$b_2$ が存在する。これらを取ると、環の部分の定義より $f$ 可換環の準同型写像であり、準同型写像の定義より $a_1+a_2=f(b_1)+f(b_2)=f(b_1+b_2)$ と計算できる。よって $\mathop{\mathrm{Im}}(f)$ の定義より $b_1+b_2$ が $\mathop{\mathrm{Im}}(f)$ の元であることが得られる。(S_2)については、$f$ が可換環の準同型写像であることに留意すると $f(0_B)=0_A$ が成立し、$\mathop{\mathrm{Im}}(f)$ の定義より$0_A$ は $\mathop{\mathrm{Im}}(f)$ の元であることが得られる。(S_3)、(S_4)は同様である。

=== イデアル ===
イデアルとは、可換環 $A$ の和で閉じていて、かつ可換環 $A$ の元を掛ける作用で閉じている部分集合のことである。
代表的な例は、整数全体の為す可換環 $\mathbb{Z}$ に対して定まる $n$ の倍数全体の部分集合 $n\mathbb{Z}$ である。
歴史的にもイデアルはこの例の持つ性質を抽象したものと言って差し支えない。

=== イデアルの定義 ===
$A$ を可換環とするとき、
$A$ の''イデアル''とは、$A$の[[部分集合]] $I$ で、次の三つの公理を満たすものをいう。
* (I1)（加法に関する条件）~
三つ組 $\langle I, +_A, 0_A\rangle$ は可換群を為す。換言すれば、$I$ は包含写像 $\iota\colon I \rightarrow A$ が可換群の準同型であるような可換群の構造が入る。
* (I2) (乗法に関する条件) ~
$A$ の任意の元 $a$ および $I$ の任意の元 $i$ について、$A$ に於ける積 $a \times_A i$ が再び $I$ の元になる。

イデアルの重要性の一側面を垣間見るために、整数全体の為す環 $\mathbb{Z}$ のイデアルを決定してみよう。
$\mathbb{Z}$ のイデアルは次に証明するように倍数全体の集合と書かれるため、イデアル全体は $\mathbb{Z}$ の乗法の構造を比較的よく反映していると考えられる。
この事情は一般の可換環に対してもある程度正しく、実際、可換環のイデアル論の一部は加法を忘却した[[バイノイド]](吸収元付き可換モノイド)の構造のみを用いて十分に議論できることが知られている。

==== $\mathbb{Z}$ のイデアルの決定 ====

''命題''

$I$ が $\mathbb{Z}$ のイデアルであるならば、とある整数 $n$ を用いて $I = n \mathbb{Z}$ と書かれる。
逆に、$\mathbb{Z}$ の元 $n$ を用いて $I = n \mathbb{Z}$ と書かれる部分集合は $\mathbb{Z}$ のイデアルである。

''証明''

$\mathbb{Z}$ のイデアル $I$ を任意にとる。
このとき $I=\{0\}$ であれば $I=0\mathbb{Z}$ が成立する。
そうでないとき $I$ に属する $0$ でない元の中で最小のもの $n$ が取れ、これを用いて $I$ は $n\mathbb{Z}$ と書かれる。
実際、$n\mathbb{Z}\subset I$ の成立はイデアルの定義と $n$ の取り方より明らかであるため、
$I$ の任意の元 $i$ について、$i\in n\mathbb{Z}$ が成立することを証明しよう。
$i$ を $n$ で割ることで $i=qn+r$ かつ $0 \leq r < n$ を成立せしめる整数 $q$、$r$ が取れる。
$I$ がイデアルであることと $n$ が $I$ の元であることとより $qn \in I$ が従い、
これと $i \in I$ とを併せると $r = i - qn$ が $I$ の元であることが分かる。
ここで $n$ の最小性に注意すると $r$ は $0$ でなければならないため $i=qn$ となり、$i$ が $n\mathbb{Z}$の元であると分かる。
以上より $I \subset n\mathbb{Z}$ が得られ、
$I = n\mathbb{Z}$ が証明された。

==== 可換環の準同型の核 ====
==== 部分と核 ====
==== イデアルの生成 ====
==== 単項イデアルと有限生成イデアル ====

=== イデアルの定義に関する補足 ===
* $A$ を可換環とすると、$A$ 自身は $A$ のイデアルである。このイデアルを自明なイデアルという。イデアル $I$ が自明なイデアルであることを、単に自明であるという。自明でないイデアルのことを真のイデアルともいう。
* $A$ を可換環とすると、$\{0_A\}$ は$A$のイデアルである。このイデアルを零イデアルという。
* 可換環 $A$ のイデアル $I$ が自明であることと $1$ を元に持つことは同値である。特に真のイデアルは部分環ではない。

=== 剰余環の定義 ===
剰余環とは、可換環のイデアルを一つ固定するとき、固定されたイデアルを一元に潰して得られる新たな環のことである。
剰余環の典型的な例を説明する為に、[[初等整数論]]に於ける次の事実を思い出そう。
* $n$ の倍数の差を除いて一致する二つの整数を合同であると言い、合同関係と整数の加法および乗法とは $a \equiv a'$ ならば $a+b \equiv a'+b$ および $ab \equiv a'b$ が成立するという意味で整合している。

既に $n\mathbb{Z}$ が $\mathbb{Z}$ のイデアルの代表例であることを述べたが、この事実に注意すると上述した事実は次のように言い換えられる。
* イデアル $n\mathbb{Z}$ に属する元の差を除いて一致する二つの整数を合同と呼び、
イデアルから定まる合同関係 $\equiv$ による剰余集合 $A/\equiv$ は($A$ の演算を用いて自然に演算が定まり)新たな可換環を定める。

このようにして得られる新たな環を $\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$ と書き、
$\mathbb{Z}$ の $n\mathbb{Z}$ による剰余環という。

いま得られた可換環 $\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$ は集合としてはどういったものであるかをもう少し観察する。
まず合同関係 $\equiv$ の定義と剰余集合の構成方法とに注意すると、
剰余環 $\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$ の元 $x$ は $\mathbb{Z}$ の部分集合であり、
$x$ の元 $a$ を一つとるとき $x = \{ b\in\mathbb{Z} \mid a \equiv b \} = \{ a+nq \mid q\in\mathbb{Z} \}$ と書き下すことができる。
この集合はさながらイデアル $n\mathbb{Z}$ を元 $a$ で“平行移動”したように見るので $\{ a+nq \mid q\in\mathbb{Z} \} = a+n\mathbb{Z}$ と書くと約束すれば、
剰余環は $\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}=\{ n\mathbb{Z}, 1+n\mathbb{Z}, \ldots, n-1+n\mathbb{Z} \}$ と書き下すことができる。

以上の構成を注意深く観察すると、一般の可換環 $A$ とそのイデアル $I$ に対して全く同様の方法で新たな可換環を構成することができる。これを $A$ の $I$ による剰余環と呼び、 $A/I$ と書く。
この節の最初には「イデアルを一元に潰して得られる新たな環」と書いたが、$\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$ の例で最後に書いた通り、
正確にはイデアルを一元に潰すと同時にもとの可換環 $A$ の元 $a$ を足して“平行移動”したような集合 $\{ a+i | i \in I \}$ も一元に潰すことになる。

[[群論]]に於ける基本的な概念である[[剰余群]]を既に知っている場合は、
より精密に次のように説明することができる。
次の項目にて剰余群に関する知識を仮定せずに証明するため、この部分は読み飛ばしても構わない。
* 可換環 $A$ を加法に関する群と見做したときの部分群 $I$ を与えると、可換群の任意の部分群は正規であるため剰余群 $A/I$ が考えられる。
剰余環は剰余群 $A/I$ に可換環 $A$ の積から誘導された演算を備えた環である。
剰余環を構成するには剰余群 $A/I$ に積が誘導される必要があり、これは剰余群の各元である $A$ の部分集合に $A$ の如何なる元を掛けても再び同じ集合に含まれるときに(またそのときに限り)可能である。
このような $A$ の部分集合をイデアルといい、誘導される積と単位元とを備えた剰余群を剰余環という。

[[剰余群]]の項目で行われる議論も重複を厭わず、剰余環を構成する。

==== 剰余環の台集合の定義 ====

''定義''
$A$ を可換環とし、$I$ を $A$ のイデアルとするとき、
$a-b \in I$ であるとき、またそのときに限り $a \equiv_{I} b$ と書く。
これにより定まる $A$ 上の関係 $\equiv_{I}$ をイデアル $I$ を法とする $A$ 上の合同関係 $\equiv_{I}$ という。
$a \equiv_{I} b$ であることを $a \equiv b ( \mod I )$ と書くこともある。

''命題''
$A$ を可換環とし、$I$ を $A$ のイデアルとする。
このとき $\equiv_{I}$ は $A$ 上の同値関係である。

''証明''
反射律を示す。
$A$ の元 $a$ を任意にとるとき、
$a-a=0\in I$ であるから $a\equiv_{I}a$ が成立する。

対称律を示す。
$A$ の元 $a$、$b$ であって $a \equiv_{I} b$ を満たすものを任意にとる。
このとき $\equiv_{I}$ の定義より $a-b\in I$ が成立し、
$I$ はイデアルであるから $b-a=-(a-b)\in I$ が成立する。
よって $\equiv_{I}$ の定義より $b \equiv_{I} a$ が得られる。

推移律を示す。
$A$ の元 $a$、$b$、$c$ であって $a \equiv_{I} b$ および $b \equiv_{I} c$ を満たすものを任意にとる。
このとき $\equiv_{I}$ の定義より $a-b\in I$ および $b-c\in I$ が成立し、
$I$ はイデアルであるから $a-c=-(a-b)-(b-c)\in I$ が成立する。
よって $\equiv_{I}$ の定義より $a \equiv_{I} c$ が得られる。
以上より同値関係であることが示された。

''定義''
$A$ を可換環とし、$I$ をイデアルとする。
このとき $A/{\equiv_I}$ を $A/I$ と書き、
剰余集合に付随する全射を本節では $\pi\colon A \rightarrow A/I$ と書く。
ここで $\pi$ は文脈によって異なる意味で用いることがあることに注意されたい。

更に $A/{\equiv_I}$ の元 $x$ の代表元を $a$ とするとき、
$x=[a]$ と書く。
全く同じことであるが、$A$ の元 $a$ に対して $\pi(a)=[a]$ と書くといってもよい。

==== 剰余環の台集合上で加法から誘導される二項対応 $\overline{+}$ の定義 ====
''定義''
$A$ を可換環とし、$I$ をイデアルとする。
このとき $A/I$ の元 $[a]$、$[b]$に対して、
$[a]\overline{+}[b]=[a+b]$と定義する。
これにより $A/I$ 上の対応 $\overline{+}$ が定まった。

''命題''
$A/I$ 上の対応 $\overline{+}$ は写像である。

''証明''
$A/I$ の元 $[a]=[a']$、$[b]=[b']$ を任意にとる。
示すべきことは $[a]\overline{+}[b]=[a']\overline{+}[b']$ である。
このとき $\equiv_{I}$ の定義より $a'-a\in I$ および $b'-b\in I$ が成立し、
$a'=a+i$ および $b'=b+j$ なる $I$ の元 $i$、$j$ が取れる。
よって $a'+b'=(a+i)+(b+j)=a+b+(i+j)$ と計算でき、
$i$、$j$ の取り方より $I$ がイデアルであることに留意すると $i+j$ は $I$ の元であることが分かる。
よって $a+b \equiv_I a'+b'$ が成立し、
$[a]\overline{+}[b]=[a+b]=[a'+b']=[a']\overline{+}[b']$ を得る。

''補足''
このように剰余集合上の写像を定義する際は、
しばしば代表元を用いて対応を定義し、それが写像であることを示すという手順を取る。
この議論はよく用いられるため、対応という言葉を明に出さずに「二項演算$\overline{+}$ をこのように定義するとwell-definedである」と言い表すことがある。
本稿では全て対応を定義した上で写像であることを示すという手順を取るが、
可換環論のより進んだ記事に於いてはここで説明したwell-definedという用語を用いることがある。

==== 剰余環の加法が $[0_A]$ を零元として持つ可換群であること ====

''命題''
三つ組 $\langle A/I,\overline{+},[0_A] \rangle$ は可換群である。

''証明''
演算の可換性を示す。
$A/I$ の元 $[a]$、$[b]$ を任意にとるとき、$[a]\overline{+}[b]=[a+b]=[b+a]=[b]\overline{+}[a]$ が成立するのでよい。

このように $A$ が加法について可換群であったことに留意すると演算の結合性、$[0_A]$ が単位元であることは同様に示される。
逆元の存在については、
$A/I$ の元 $[a]$ を任意にとるとき、
$[a]\overline{+}[-a]=[a+(-a)]=[0_A]$ が成立するので $[-a]$ が $[a]$ の逆元であると分かる。
以上より可換群を為すことが示された。

==== 剰余環の台集合上で乗法から誘導される二項対応 $\overline{\times}$ の定義 ====

''定義''
$A$ を可換環とし、$I$ をイデアルとする。
このとき $A/I$ の元 $[a]$、$[b]$に対して、
$[a]\overline{\times}[b]=[a \times b]$と定義する。
これにより $A/I$ 上の対応 $\overline{\times}$ が定まった。

''命題''
$A/I$ 上の対応 $\overline{\times}$ は写像である。

''証明''
$A/I$ の元 $[a]=[a']$、$[b]=[b']$ を任意にとる。
示すべきことは $[a]\overline{\times}[b]=[a']\overline{\times}[b']$ である。
このとき $\equiv_{I}$ の定義より $a'-a\in I$ および $b'-b\in I$ が成立し、
$a'=a+i$ および $b'=b+j$ なる $I$ の元 $i$、$j$ が取れる。
よって $a'b'=(a+i)(b+j)=ab+aj+bi+ij$ と計算でき、
$I$、$j$ の取り方より $I$ がイデアルであることに留意すると $aj+bi+ij$ は $I$ の元であることが分かる。
よって $ab \equiv_I a'b'$ が成立し、
$[a]\overline{\times}[b]=[ab]=[a'b']=[a']\overline{\times}[b']$ を得る。

==== 剰余環の加法が $[1_A]$ を単位元として持つ可換モノイドであること ====

''命題''
三つ組 $\langle A/I,\overline{+},[1_A] \rangle$ は可換群である。

''証明''
演算の可換性を示す。
$A/I$ の元 $[a]$、$[b]$ を任意にとるとき、$[a]\overline{\times}[b]=[a \times b]=[b \times a]=[b]\overline{\times}[a]$ が成立するのでよい。

このように $A$ が乗法について可換モノイドであったことに留意すると演算の結合性、$[1_A]$ が単位元であることは同様に示される。
以上より可換モノイドを為すことが示された。

==== 五つ組 $\langle A/I, \overline{+}, [0_A], \overline{\times}, [1_A] \rangle$ が可換環を為すこと ====

''命題''
五つ組 $\langle A/I,\overline{+},[0_A],\overline{\times},[1_A] \rangle$ は可換環である。

''証明''
加法について可換群を為すことと、
乗法について可換モノイドを為すこととは既に示した。
以下では両側分配律が成り立つことを示すが、
乗法の可換性より片側分配律のみを示せば十分である。

$A$ の元 $[a]$、$[b]$、$[c]$ を任意に取るとき、
$[a]\overline{\times}([b]\overline{+}[c])=[a]\overline{\times}[b+c]=[a \times (b+c)]=[a\times b + a\times c]=[a\times b]\overline{+}[a\times c]=[a]\overline{\times}[b]\overline{+}[a]\overline{\times}[c]$ と計算される。
以上より可換環を為すことが示された。

=== 剰余環の定義の補足 ===
==== 剰余環の普遍性 ====
==== 剰余と剰余環との同値性 ====
==== イデアルの対応(剰余環 ver.) ====

== この時点で導入できる環のクラス ==
=== 体 ===
=== 整域 ===
=== 単項イデアル環 ===
=== 可換Noether環 ===
=== 可換Artin環 ===
== イデアル論を用いない基本的な環の構成 ==
=== 本節で扱える構成と扱えない構成 ===
=== 直積環 ===
==== 直積環の定義 ====
==== 直積環のイデアル ====
==== 直積環を取る操作で保たれる性質 ====
=== 多項式環 ===
==== 多項式環の定義 ====
==== 多項式環のイデアル ====
==== 直積環を取る操作で保たれる性質 ====
==== Hilbertの基底定理 ====
== 素イデアルと極大イデアル ==
=== 整域と体 ===
=== 素イデアルと極大イデアルの定義 ===
=== 素イデアルの定義と極大イデアルの定義の補足 ===
=== 素イデアルの対応(剰余環 ver.) ===
=== 極大イデアルの対応(剰余環 ver.) ===
== 局所化 ==
=== 可換環の局所化の定義 ===
==== 有理数体の構成 ====
==== 積閉集合の定義 ====
==== 積閉集合の生成 ====
==== 整域の場合の局所化の台集合 $AS^{-1}$ の構成(同値関係のwell-defined性) ====
==== 一般の場合の局所化の台集合 $AS^{-1}$ の構成(同値関係のwell-defined性) ====
==== 局所化の台集合 $AS^{-1}$ 上で加法から誘導される二項対応 $\overline{+}$ の定義 ====
==== 局所化の二項対応 $\overline{+}$ が写像としてwell-definedであること ====
==== 局所化の加法が $0_A/1_A$ を零元として持つ可換群であること ====
==== 局所化の台集合 $AS^{-1}$ 上で乗法から誘導される二項対応 $\overline{\times}$ の定義 ====
==== 局所化の二項対応 $\overline{\times}$ が写像としてwell-definedであること ====
==== 局所化の加法が $1_A/1_A$ を単位元として持つ可換モノイドであること ====
==== 五つ組 $\langle AS^{-1}, \overline{+}, 0_A/1_A, \overline{\times}, 1_A/1_A \rangle$ が可換環を為すこと ====
=== 局所化の定義の補足 ===
==== 局所化の普遍性 ====
==== イデアルの対応(局所化 ver.) ====
==== 素イデアルの対応(局所化 ver.) ====
==== 極大イデアルの対応(局所化 ver.) ====

== 参考文献 ==
W.W. McCune. Single axioms for groups and Abelian groups with various operations. Journal of Automated Reasoning 10.1 1993: 1-13.

== ''リンク'' ==

URLやメールアドレスは自動的にリンクになります
* URL -- http://example.org/
* メールアドレス -- foo@example.org
* URLが各種画像ファイルであればそのまま表示します
** http://pukiwiki.osdn.jp/image/b_pukiwiki.official.png

可換環論

2021-05-10T06:59:45Z

サクラ:

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[[Category:環論]]
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</noinclude>
== 可換環論 ==
可換環論(commutative ring theory)とは、可換環を研究する代数学の一分野のこと。 [[可換環]](commutative ring)は加法および乗法と呼ばれる二つの演算ができる枠組みの一つである。
最も素朴な例として、整数全体 $\mathbb{Z}$に通常の加法と乗法を考えたものや、
整数係数の多項式全体 $\mathbb{Z}[x]$に通常の加法と乗法を考えたものが挙げられる。
可換環 $A$ を与えるとその係数を持つ多項式全体 $A[x]$ が再び可換環になるなど幾つかの顕著な性質があり、
線型代数を学ぶ上でもこの分野の結果が使われる。

可換環は環の中で特に乗法が可換なものとして捉えることが出来るため、[[環論]]と共通する部分が少なからずある。
一方で、可換環論は代数幾何学の基礎的な道具としての側面があり、
両者は互いに影響を与えて発展してきた歴史を持つ。
幾何的な解釈が容易であるという点は環論との決定的な違いといえるであろう。
本稿では幾何的な観点については最小限に留め、
特に純代数的な側面に重きを置き、分野を概観する。
より幾何的な観点に興味のある場合は[[代数幾何学]]も併せて参照されたい。
より踏み込んだ内容については[[可換環]]を参照されたい。

== ''定義'' ==
''可換環''とは、[[集合]] $A$ と $A$ の上で閉じた2つの[[二項演算]] $+$、$\times$ 、 $A$ の2つの要素$0$、$1$の五つ組 $\langle A, +, 0, \times, 1\rangle$ で、次の三つの公理を満たすものをいう。
* (A1)（加法に関する条件）~
三つ組 $\langle A, +, 0\rangle$ は可換群を為す。
* (A2)（乗法に関する条件）~
三つ組 $\langle A, \times, 1\rangle$ は可換モノイドを為す。
* (A3)（[[分配律]]）~
$A$ の任意の元 $a$、$b$、$c$ について、$a \times (b + c) = a\times b + a\times c$ および $(a + b) \times c = a\times c + b\times c$ が成立する。

== 具体例 ==
* [[自明可換環]] $\{1\}$
* [[整数]] $\mathbb{Z}$、[[有理数]] $\mathbb{Q}$、[[実数]] $\mathbb{R}$、[[複素数]] $\mathbb{C}$それぞれ $0$ を零元とした加法と $1$ を単位元とした乗法について可換環を為す。[[四元数]] $\mathbb{H}$は乗法が可換ではない( $ij=-ji$ である)環の例である。
* $A$ を可換環とするとき、$A$係数の多項式全体 $A[x]$ に次数ごとに$A$の加法を考えた加法と、畳み込みによる乗法とを考えると、これらについて可換環を為す。詳しい定義は[[多項式環]]を参照されたい。

== 基本的な性質 ==
== 可換環の重要性 ==
可換環は $\mathbb{Z}$ などと比較すると幾分抽象的な概念であり、基本的な性質を見るだけだと可換環を考える理由が分かりにくい。
一方で、可換環の重要性はその抽象度の高さ故に数学のあらゆる分野の基礎的な道具として浸透している点にある。
よってここでは、可換環の重要性を垣間見るために次の3つの分野とのかかわりのうち最も基本的な事柄について述べる。

* [[Dedekind環]]の理論と[[代数的整数論]]
* [[収束冪級数環]]の理論と[[多変数函数論]]
* 局所的性質を記述する道具と[[代数幾何学]]

この項目は概略を説明するに留まり、多少インフォーマルな言説が含まれることを注意する。

=== [[Dedekind環]]の理論と[[代数的整数論]] ===
=== [[収束冪級数環]]の理論と[[多変数函数論]] ===
=== 局所的性質を記述する道具と[[代数幾何学]] ===

== 可換環論の道具立て ==
=== 可換環論の二つの研究手法 ===
可換環論の研究手法は大別すると[[イデアル論]]と[[ホモロジー代数]]に分けられる。
特に初期の可換環論は[[イデアル論]]を中心に行われてきたが、
1950年代中頃には[[ホモロジー代数]]が重要な道具として用いられるようになった。
両者は環の内部構造であるイデアルに着目するか、
環の外部構造である環上の加群(環の表現と同義)に着目するかという視座の違いがあり、
相補的なものである。
ここで、可換環 $A$、$B$ について、$A$ と $B$ とが環として同型であることと、 $A$ 上の加群の為す圏と $B$ 上の加群の為す圏とが圏同値であることとは同じことであるため、(環論とは異なり)可換環論に於いては環上の加群の為す圏のみを考えるだけでも原理的には可換環の分類ができることに注意されたい。

ホモロジー代数的な手法を用いた初期の顕著な結果としては、
Serreによる[[正則局所環]]のホモロジー代数的な特徴づけが挙げられる。
この結果により正則局所環の局所化が再び正則局所環になることが直ちに従い、
当時は大変なインパクトがあったようである。

=== Noether性 ===
可換環論に於ける顕著な結果は、可換Noether局所環やCohen–Macaulay環の文脈で述べられることが多い。
Cohen-Macaulay環も特にNoether局所環である場合によく研究されているといって差し支えない状況であり、
いずれにしてもNother性が大変重要な役割を果たしていえる。

=== 可換環論の重要な結果 ===

ここでは可換環論に於ける記念碑的な結果を列挙する。
* Krullの標高定理
* 完備局所環の構造定理

=== より現代的な手法 ===

ここでは現代的な手法をより具体的に列挙する。
* 密着閉包の理論
* 局所コホモロジー
* Gorensteinホモロジー代数

== 可換環論の基礎 ==

== Mathpediaに於ける本記事の位置づけ ==
この記事は可換環論の最も入門的な記事であり、
分野全体の概観を目的としている。
より具体的な項目については次を参照されたい。
これら3つの記事は初学者が最初に読むことを想定している。

* [[可換環]]
* [[可換環のイデアル論]]
* [[可換環のホモロジー代数]]

一方で、加群論の基礎的な事柄は一般の環の枠組み(あるいはより広く[[アーベル圏]]などの加法圏)で議論できることが少なくない。
よって可換環論特有のページではなく、環論における次の記事を参照されたい。
* [[加群論]]

次の各記事は上述の4つの記事を前提として書かれている。
* [[可換Noether環]]
** [[Cohen-Macaulay環]]
** [[Gorenstein環]]
** [[局所的完全交叉環]]
** [[正規環]]
** [[正則環]]
* [[整域]]
** [[整閉整域]]
** [[Krull整域]]
** [[一意分解環]]
** [[単項イデアル整域]]
** [[Euclid整域]]
** [[離散付置整域]]
** [[Pruefer整域]]
** [[Bezout整域]]
** [[付値整域]]
** [[局所Noether整域]]
** [[Noether整域]]
** [[概Dedekind整域]]
** [[Dedekind整域]]

== 関連項目 ==
*[[代数学の概要]]

単項イデアル整域

2021-05-10T06:58:49Z

サクラ:

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[[Category:環論]]
{{TOC |align=right |noautonum=1 }}
</noinclude>
== 単項イデアル整域 ==
'''単項イデアル整域（Principal Ideal Domain, PID）'''とは、総てのイデアルが単項イデアルとなる整域をいう。イデアル論の観点からは、単項イデアル整域は簡単かつ整然とした構造を有する可換環のクラスに位置づけられ、そのイデアル論は可換環論の手法を発展・洗練させる指針ともなった。

== 定義 ==

整域 $A$ が'''単項イデアル整域'''であるとは、$A$ の任意のイデアル $I$ が単項生成であること、すなわちある要素 $a \in A$ により $$ I = (a) = \{ ax \mid x \in A \}$$ と表されることをいう。

=== 呼称について ===

任意のイデアルが単項生成である環を単項イデアル''環''という。単項イデアル環という性質は剰余環に遺伝する、すなわち $A$ が単項イデアル環ならばその剰余環 $A/I$ も単項イデアル環であり、整域でない単項イデアル環も存在する。

一方、単項イデアル整域の意味で「単項イデアル環」という呼称を用いる文献も存在するので注意が必要である。また、定義から体は単項イデアル整域の定義を満たすが、単に「単項イデアル整域」と述べた場合には体を除いて考えることがほとんどであろうと思われる。本稿でもその流儀に倣い、単に単項イデアル整域とだけ述べた場合には暗黙裡に体ではないと仮定するものとする。

== 典型的な例 ==

以下の２つの例は、いずれも[[Euclid整域]]の例となっている。

* 有理整数環 $\mathbb{Z}$；

絶対値写像 $| \cdot |$ をEuclid写像とするEuclid整域である。

* 体 $K$ 上の１変数多項式環 $K[T]$；

次数写像 $\deg$ をEuclid写像とするEuclid整域である。

== イデアル論的性質 ==

=== Noether性とその次元 ===

単項イデアル整域は[[Noether環]]である。このことは、単項イデアル整域の総てのイデアルが有限生成であることから従う。

単項イデアル整域の素イデアルとして、まず零イデアル $(0)$ がある。$(0)$ 以外の素イデアルについては次の事実が成り立つ。

==== 補題（単項イデアル整域の素イデアル） ====
$A$ を単項イデアル整域、$P = (p)$、$Q = (q)$ を $A$ の零でない素イデアルとする。このとき $P \subset Q$ ならば $P = Q$ である。特に、$A$ の零でない素イデアルは総て極大である。

''証明'' $p \in P \subset Q = (q)$ から $p = qx$ なる $x \in A$ が存在する。このとき $qx \in P$ なので、$q \in P$ または $x \in P$ のいずれかが成り立つ。

$x \in P$ とすると $x = pz$ なる $z \in A$ が存在し、このとき $p = pqz$ が成り立つ。$A$ は整域で $p \ne 0$ なので、$1 = qz$ を得る。
特に $q$ が可逆となるが、これは $Q = (q)$ が素イデアルであることに反する。ゆえに $q \in P$ でなければならない。

$q \in P$ ならば $q = py$ なる $y \in A$ が存在し、このとき $p = pxy$ が成り立つ。再び $A$ は整域で $p \ne 0$ なので、$1 = xy$ を得る。特に $x$ と $y$ は可逆なので $(p) = (px)$、すなわち $P = Q$ である。$\square$

補題の帰結として次が得られる：

==== 定理（単項イデアル整域の次元） ====

単項イデアル整域のKrull次元は $1$ である。

=== 素元分解性 ===

==== 定理（単項イデアル整域の一意分解性） ====

単項イデアル整域は一意分解整域である。

証明は[[一意分解整域]]を参照されたい。

== 単項イデアル整域となるための十分条件 ==

[[Euclid整域]]は単項イデアル整域である。Euclid整域の条件を弱めた'''概Euclid整域'''の概念が単項イデアル整域であるための必要充分条件を与えることが示されている。以下詳述する。

=== 概Euclid整域の定義 ===
$R$ を整域とする。写像 $\phi \colon R \to \mathbb{Z}$ で

# 任意の $x \in R$ に対し $\phi(x) \ge 0$、かつ $\phi(x) = 0$ $\Leftrightarrow$ $x = 0$；
# 任意の $x, y \ne 0$ に対し $\phi(xy) \ge \phi(x)$；
# ２要素 $x, y \in R$ が $y \ne 0$、$x \not\in (y)$ および $\phi(x) \ge \phi(y)$ を満たすとき、$0 < \phi (px - qy) < \phi(y)$ となるような $p, q \in R$ が存在する；

を満たすものが存在するとき、$R$ を''概Euclid整域''という((このような $\phi$ はひとつとは限らない。))。またこのとき、$\phi$ を''Dedekind-Hasseノルム''という。

条件 3. において、仮定 $\phi(px - qy) > 0$ を落として単に $\phi(px - qy) < \phi(y)$ とだけ条件づけると、$(p,q) = (y,x)$ が自明な関係式 $xy - xy = 0$ を導く。０ではない要素 $px-qy$ の中で、$\phi$ で写した値が $\phi(y)$ より小さくできることが重要であり、この事実によってイデアルの生成元を見出すことができる。

==== 定理（概Euclid整域の単元群） ====
$R$ を概Euclid整域とする。以下が成り立つ。
# $\phi(1) = \min \phi(R \setminus 0)$。
# $R^\times = \{ x \in R \mid \phi(x) = \phi(1) \}$。

''証明'' 1. $y \ne 0$ に対し $\phi(y) = \phi(y \cdot 1) \ge \phi(1)$。

2. $x \in R^\times$ ならば $\phi(1) = \phi(xx^{-1}) \ge \phi(x)$、一方 $\phi(1)$ の最小性から $\phi(1) = \phi(x)$。逆に $\phi(y) = \phi(1)$ なる $y \in R$ をとる。$y$ が可逆でなければ $1 \not\in (y)$、ゆえに $0 < \phi(p - qy) < \phi(y) = \phi(1)$ となる $p, q \in R$ が存在するが、これは $\phi(1)$ の最小性に反する、特に $y$ は可逆である。
$\square$

==== 定理（概Euclid整域との同値性） ====
$R$ を整域とする。$R$ が単項イデアル整域であるための必要十分条件は、ある写像 $\phi \colon R \to \mathbb{Z}$ により $R$ が概Euclid整域となることである。

''証明'' 十分性を示す。$I$ を $R$ のイデアルとする。$I = 0$ ならば示すことはないので、$I \ne 0$ とする。$$ \phi(y) = \min \phi(I \setminus 0)$$ なる $I$ の要素 $y \ne 0$ が $I$ を生成すること、すなわち $I = (y)$ を示そう。$(y) \ne I$ とすれば $x \in I \setminus (y)$ がとれる。$x$ は $y$ の倍元ではなく、$\phi(y)$ の最小性から $\phi(x) \ge \phi(y)$。概Euclid整域の条件 3. により $0 < \phi(px - qy) < \phi(y)$ を満たす $p, q \in R$ が存在するが、これは $\phi(y)$ の最小性に反する。これは矛盾であり、$I = (y)$ を得る。

必要性を示す。単項イデアル整域は[[一意分解整域]]なので、$R$ の $0$ でない要素は有限個の素元の積に一意的に表せる、特にこの分解に必要な素元の数は一意的に定まる。ここで、$\phi \colon R \to \mathbb{Z}$ を $$ \phi(x) := \begin{cases} 2^s & \text{$x = p_1 p_2 \cdots p_s$、ここで各 $p_t$ は素元} \\ 0 & x = 0 \end{cases}$$ と定義する。この写像 $\phi$ が条件を満たすことを示そう。定義により 1. および

* 任意の $x, y \in R$ に対し $\phi(xy) = \phi(x) \phi(y)$；

であり、2. も成り立つ。3. を示そう。$x, y \in R$ が $y \ne 0$、$x \not\in (y)$ および $\phi(x) \ge \phi(y)$ を満たすとする。$R$ のイデアル $(x,y)$ の生成元を $d$ とすれば、$y = dz$ と表せるので $\phi(y) = \phi(dz) \ge \phi(d)$。ここで $\phi(d) = \phi(y)$ ならば $\phi(z) = 1 =\phi(1)$ から $z$ は可逆であるが、このとき $x \in (d) = (y)$ ゆえ仮定に反する。特に $\phi(d) < \phi(y)$。一方 $d \in (x,y)$ から $d = px - qy$ となる $p, q \in R$ が存在し、このとき $0 < \phi(px - qy) < \phi(y)$ である。$\square$

== 加群の性質 ==

単項イデアル整域はその環構造の簡明さによって、その上の加群の構造も複雑になりにくい特徴を持つ。例えば、以下の定理がある。

==== 定理（単項イデアル整域上の加群） ====
$A$ を単項イデアル整域、$X$ を $A$ 加群とする。以下が成り立つ。
# $X$ が射影的である $\Longleftrightarrow$ $X$ は自由加群である。
# $X$ が入射的である $\Longleftrightarrow$ $X$ は可除である。
# $X$ が平坦である $\Longleftrightarrow$ $X$ はねじれがない。

== 参考文献 ==

* V. Peric and M. Vukovic, Some examples of principal ideal domain which are not Euclidian and some other counterexamples、Novi Sad J.Math., ''38''(2008), pp.137-154.

== 関連項目 ==

* [[可換環論]]
* [[Noether環]]
* [[Dedekind整域]]
* [[Euclid整域]]
* [[一意分解整域]]